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SCIENCE CENTER LIBRARY
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Zeitschrift
■ ^ 18ÖÜ
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für ^^■~:iJl''2^-^-^
Mathematik und Physik
herausgegeben
unter der yeiantwortlichen Bedaction
▼on
Dr. O. Soblömiloh, Dr. E. Kahl
imd
Dr. M. Cantor.
j-./ .^ ^ i
JLJLJLJL. Jahrgang.
Mit fünf lithographirten Tafeln.
Leipzig,
Verlag von B. G. Teubner.
1886.
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LOA- Cto ^
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Draok von B. 6. Teubuer ia Drtmden.
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. - -X
{ ^ Z[£ 8 18BÜ ;
Inhalt. V
V - ; ^ .^ A ^■^
Arithmetik nnd Aiialysis. Seite
Zar graphisch-mechanifichen Auflösung numerischer Gleichungen.
Von Prof. Dr. lUaioh)^ 12
üeber den functionentheoretischen Zusammenhang zwischen den
Lam^*schen, Laplace'schen und BesseTschen Functionen.
Von Dr. Hftatnehel 26
üeber die Inversion der vollständigen elliptischen Integrale erster Gattung.
Von Dr. Iseakrake 34
Ein Rechenfehler von J. BemouUi. Von P. Seelhoff 63
Die Berechnung der reellen Wurzeln der quartinomischen Gleich-
ungen. Yon A. Wieasr 65
Erklärung hierzu. Von demselben 192
Ueber die Auflösung gewisser algebraischer Gleichungen mittelst
Integration von Differentialgleichungen. Von W. Heymaim . 102
Schluss der Abhandlung 129
Bezichtigung zum XXIV. Jahrg. S. 254. Von W. Heymann 127
Die Auflösung grosser Zahlen in ihre Factoren. Von P. 8«elhoff 166
Die nennte vollkommene Zahl. Von P. Beelhoff 174
üeber die Inversion der von Legendre definirten vollständigen elliptischen Inte-
grale zweiter Gattung. Von Dr. Isenkrahe 178
Zur Theorie der Elimination. Von Dr. C. Behmidt 214
üeber die Auflösung der allgemeinen trinomischen Gleichung
t«+at«-»+6 = 0. Von W. Heymaim 223
Inversion des von Weierstrass definirten vollständigen elliptischen Integrales
zweiter Gattung. Yon Dr. Isenkrahe 241
Auflösung linearer Gleichungen. Von W. Yeltmaim 267
Zur Theorie der binären quadratischen Formen mit positiver De-
terminante. Von J. Yivanti 273
Einige Beiträge zur Theorie der allgemeinen quadratischen
Transformation. Yon V. Hofinaan 283
Ein neues Kennzeichen fOr die Primzahlen. Von P. Beelhoff 306
Zur Theorie der symmetrischen Functionen. Von L. Behendel 316
Berichtigung. Yon P. Seelhoff 320
Zur Theorie der Invarianten. Yon V. Hoftnann 369
Auflösung der Congruenz a^= r, mod N. Von P. Seelhoff 378
Die Zahlen von der Form ÄJ.2»+ 1. Yon P. Seelhoff 380
Synthetisclie nnd analytiselie Geometrie«
Ueber die Bealitätsverhältnisse der Doppeltangenten anCurven
vierter Ordnung. Yon Dr. Hotsfeld 1
Eine elementare Betrachtung über Strahlencongruenzen. Yon
Dr. Weiler . 18
Geometrische Sätze. Von B.Bporer ^^ . 43 ^
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IV Inhalt.
Seite
Ein Minimumproblem. Von Dr. Bermium 49
Nachtrag hierzu 381
Synthetische Theorie der Krümmung der Flächen zweiter Ordnung Von Dr.
Cranz 66
Ueber zwei einander gleichzeitig ein- und umbeschriebene Fünfecke. Von
M. Klose 61
Ueber die Abstände eines Punktes von drei Geraden. Von 0. Behlömilch . . 64
Zusammenstellung von Constructionen an Curven höherer Ord-
nung. Von Prof. Dr. Heger 88
Beweis eines Lehrsatzes von J. Steiner. Von 0. Zimmermaim 121
üeber eine ebene Beciprooität und ihre Anwendung auf dieCur-
ventheorie. Von Dr. Beyel 1 147
Ueber die Abstände dreier Punkte von einer Geraden. Von Prof. Dr. Heger . 191
Die Erzeugung polarer Elemente ffir Flächen und Curven durch
projectivische Verallgemeinerung des Schwerpunkts. Von
Dir. Dr. Geiienheimer 193
Ueber gewisse merkwürdige Punkte des Dreiecks. Von 0. SohlÖmilch . . . .251
Construction einer Curve vierter Ordnung aus sieben Doppelpunkten und sechs
einfachen Punkten. Vpn Prof. Dr. Heger 296
Die reguläre Eintheilung des Baumes bei elliptischer Maassbestimmung. Von
Dr. C. Hoisfeld '....♦ 810
Ueber die Systeme, welche durch Kegelschnitte mit einem gemein-
samen Polardreieck und durch Flächen zw.eiten Grades mit
einem gemeinsamen Polartetraeder gebildet werden. Von
K. Meuter 821
Ueber die Beziehung des Nullsystems und linearen Strahlencom*
plexes zum Polarsystem des Botationsparaboloids. Von Prof.
Dr. Hauck 362
Logische Einführung der Liniencoordinaten in der Ebene. Von Prof. Dr Benschle 371
Notiz über die Wendepunkte einer algebraischen Curve , sowie einen Satz von
Clebsch aus der Theorie der Curven. dritter Ordnung. Von F. Hofiouum 374
Zur Entartung einer Fläche zweiter Ordnung. Von Dr.Thaer 382
Wahrseheinlichkeitsrechnnng, Mechanik nnd Physik.
Bemerkungen zu der Abhandlung von Dr. Besser „ üeber die Vertheilung der
Elektricität etc." in Bd. XXX S. 257. Von Dr. H&ntischel 54
Bestimmung der Tonhöhe einer Stimmgabel mittelst des Hipp^schen Chrono-
skops. Von Prof. v. Lang 125
Zur geometrischen Theorie der Dämmerung. Von Prof. Crani 168
Zur mathematischen Statistik. Von W. Küttner 246
Beitrag zur Theorie der Potentialfunction. Von Prof. Dr. Frltchaof . • . . . 262
Ueber Körperketten. Von Prof. Angnst 348
Preisaufgaben der Ffirstl. Jablonowski'schen Gesellschaft 254
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Zei t seh ritt
fDr
Mallieiiintik und Physik
Qtit^t d^r ^ traut WMrÜjL'btfn R^daülion
Br. 0. Schldmiloh, Dr. E. Kahl
lind
Dr. M. Cantor,
dl« Jahrgang, 1, M^tt
luvw tii-tin^ji^niitieii Tufd-
^ ^ - 4/ Q ii v lü 22, D t" c e D! b e r 1 B85.
Leipzig,
Verlag von B. G. Tenbiwr.
lilnitlzertL-GUU^k
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VMH Anov, VreS. H&st &, Solm lU Kopeubogeo.
Unsere Naturerkenntiiis,
Theorie der iVLatlK^inati k luid Physik
l*rxTfMilc»r der li in Euf^mli^im.
Von der Kdnlot* '^■'^^ AkaiLimla itir WIttttnioliiltion mit d«f j|o1d«n«ii ll«dt^tlo aslkfanii Prtluotirtti
Ijm Deutedie üWr»(M^i utitor Mitwirkung Am Verfmmrn
Vortag Von Frlmirk'h Tioweg & Mohn m Brauaschwdg.
VorltNSimifoTi über dir* WelleiitliroH>^ des Lifhtos.
ß. Verdet.
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Augast Ferdinand Möbins
llrrar^<r^!f^lHii mt ^vni' .._ isdsrn llrsdyiafl der Wi^sm^tbüen.
Zweiter Band.
H^rauBgej^ben von F. Klein.
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^aof f « Klein in L«i|>u|^.
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werden ftoüeti. r^/^i-wrrl
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Ueber die ReaUtätsverhältiiisse der Doppeltangenten
der Curven vierter Ordnung.
Von
Dr. Carl Hosöfeld
In Apolda.
Die Resultate der vorliegenden Untersnchnng sind nicht neu; sie sind
in einer Abhandlang von Zeuthen: Sur les difP6rentes formes des courbes
planes du quatridme ordre (Mathem. Annalen Bd. VII), ausgesprochen. Den-
noch dürfte es nicht uninteressant, sondern vielmehr vielleicht nothwendig
sein, jene Resultate, welche die Realität der Doppeltangenten der Corven
vierter Ordnung betreffen, aus einer andern Quelle nochmals herzuleiten.
Den Ausgangspunkt dieser Herleitung bildet eine an räumliche Vor-
stellungen anknüpfende Erzeugungsweise der genannten Curven ; es erscheinen
die Geraden der Ebene auf sämmtliche Regelflächen zweiter Ordnung ab-
gebildet, welche ein Ebenenbüschel dritter Ordnung berühren, die Tangenten
und Doppeltangenten der Curve vierter Ordnung insbesondere auf diejenigen
Regelflächen, welche eine feste Fläche zweiten Grades einÜEtch, bezw. dop.
pelt berühren. Aus der Natur der letzteren, sowie aus der Realität ihrer
dem Ebenenbüschel dritter Ordnung angehörenden Tangentialebenen ergeben
sich dann fast ohne Weiteres die bekannten Resultate.
I.
1. Der Ort der Punkte einer Ebene c, deren Verbindungs-
linien mit den entsprechenden Punkten einer zu e in collineare
Beziehung gesetzten Ebene c' eine feste Fläche zweiten Grades
<p* berühren, ist eine Curve c* vierter Ordnung.
Durchläuft ein Punkt P die Gerade ^ in s, der entsprechende Punkt
P' also die Gerade g in /, so beschreibt die Verbindungslinie TT'^ im
Allgemeinen ein Hyperboloid 17', ihr Schnittpunkt mit der Polarebene von P
bezüglich qp' aber eine Raumcurve dritter Ordnung, welche 9>^ ausser in
den Schnittpunkten dieser Fläche mit g noch in vier Punkten trifift. Die
durch diese letzteren vier Punkte hindurchgehenden Erzeugenden von t^
berühren cp^ und fixireji auf g die Punkte einer Curve c*, welche hiemach
von der vierten Ordnung ist.
/Google
Ztiitsclirift f. Mathematik a. Pbjsik XXXI, I. 1
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2 Üeber die Realitätsverhältnisse der Doppeltangenten etc.
2. Die Curve c^ ist unter Voraussetzung der allgemeinsten
Form coUinearer Verwandtschaft zwischen s und e von der
zwölften Classe und hat achtundzwanzig Doppeltangenten.
Aus Nr. 1 ist klar, dass jeder Geraden ^ in f im Allgemeinen ein
Hyperboloid rj^ zugehört, nämlich dasjenige, welches sie mit der entspre-
chenden Geraden g' erzeugt; im Besondem wird dieses Hyperboloid in eine
eine Curve zweiter Classe enthaltende Doppelebene ij ausarten , sobald g mit
g' in eine Ebene zu liegen kommt, und die Gesammtheit dieser Doppel-
ebenen bildet ein Ebenenbüschel dritter Ordnung ^^, welches von allen
eigentlichen Hyperboloiden if berührt wird. Mit anderen Worten: die
Flächen rj* und rj bilden eine Schaar von doppelter Unendlichkeit (i?^, tf).
Vier Erzeugende einer jeden Fläche berühren im Allgemeinen die q>^ und
bestimmen auf der in c liegenden zugehörigen Geraden g die vier Punkte
der Curve c*. Wenn es nun eintritt, dass eine Fläche der Schaar (rf, rj)
die cp^ berührt , in welchem Falle zwei berührende Erzeugende in einer ein-
zigen zusammenfallen, so müssen auf der zugehörigen Geraden g zwei Cur-
venpunkte in einem zi^sammenfallen , d. h. ^ ist Tangente der c^. Einer
Fläche der Schaar {rj*, 17), welche q)^ einfach berührt, gehört also eine Tan-
gente von c* an ; in gleicher Weise gehört einer die qp* doppelt berührenden
Fläche oder aber einer dieselbe einfach berührenden Doppelebene der Schaar
(i}^ 17) in £ eine Doppeltangente von c^ an. Wenn es sich nun darum han-
delt, die Classe der Curve c*, d. h. die Anzahl der durch einen beliebig
gewählten Punkt P der Ebene € hindurchgehenden Tangenten, und ferner
die Anzahl ihrer Doppeltangenten zu bestimmen, so ist es einleuchtend, dass
diese Bestimmung auf die Beantwortung folgender beiden Fragen hinaus-
kommt :
Wieviel Flächen der Schaar (i?St?), welche die Ebenen des Büschels
PP' zu Tangentialebenen haben, berühren die Fläche qp*?
Wieviel Flächen der Schaar (?y*, 1^) berühren tp^ doppelt, bezw. —
im Fall einer Doppelebene — einfach?
Es gewinnen nun unsere Ausführungen an üebersichtlichkeit ,- wenn wir
statt der in Betracht kommenden Gebilde die ihnen bezüglich g>^ polar
gegenüberstehenden ins Auge fassen. Wir haben es dann mit zwei collinear
verwandten Ebenenbündeln E und E' und mit sämmtlichen Regelflächen i^*
und Kegeln x* zu thun, welche durch die von E und E' erzeugte Bauni-
curve dritter Ordnung r' hindarchgehen. An Stelle der Curve vierter Ord-
nung c* in der Ebene £ tritt jetzt ein Kegel vierter Classe y*, dessen Tan-
gentialebenen durch Projection der die 9* berührenden Sehnen von r^ aus
dem Punkte E erhalten werden. Jedem Hyperboloid if resp. jedem Kegel
X* des Bündels (r^) (wie wir von nun an die Gesammtheit der durch r^
hindurchgehenden iy* und x' bezeichnen wollen) entspricht ein durch E
gehender Strahl ^, nämlich die durch E mögliche Gerade des andern Systems,
resp. der durch E mögliche Kegelstrahl; die vier Erzeugenden der Fläche
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Von Dr. C. Hosspeld.
aus dem Bündel, welche (p^ berühren, lassen sich mit g durch die vier in
g sich schneidenden Tangentialebenen an y^ verbinden. Berührt nun eine
Fläche des Bündels (r^) die ^? einfach , so schneiden sich in der zugehörigen
Geraden g nur drei Tangentialebenen : g ist Eegelstrahl ; berührt die Fläche
aber q>^ doppelt, so reducirt sich die Zahl der Tangentialebenen auf zwei:
^^^st Doppelstrahl des Kegels /. Es fragt sich jetzt: Durch r* und durch
die in einer beliebig von E ausgehenden Ebene n liegende Sehne s lassen
sich wieviel Flächen zweiter Ordnung legen, welche die Fläche cp^ berühren?
und: Durch r^ lassen sich wieviel Flächen zweiter Ordnung legen, welche
qp* doppelt berühren?
Beschäftigen wir uns zunächst mit der ersten Frage. Bekanntlich
schneiden sich die Polarebenen eines Punktes B in Bezug auf sämmtliche
Flächen zweiter Ordnung eines Büschels in einer geraden Linie p, welche
also durch zwei Polarebenen im Allgemeinen völlig bestimmt ist, insbeson-
dere ist p in der Tangentialebene des Punktes B an die durch 22 hindurch-
gehende Fläche des Büschels gelegen. Berührt nun die Fläche j^ des Bü-
schels (r^, s) die feste Fläche zweiter Ordnung <p* im Punkte U , so enthält
die Polarebene von B bezüglich fp^ die zu B gehörige Gerade p, in welcher
sich die Polarebenen dieses Punktes bezüglich aller Flächen des Büschels
schneiden. Sucht man daher den Ort des Punktes zu bestimmen, dessen
Polarebene bezüglich (r^, s) , d. h, bezüglich zweier beliebigen Flächen dieses
Büschels, und ferner bezüglich q>^ in einer geraden Linie sich schneiden,
80 enthält derselbe sicher auch die Berührungspunkte von q>^ mit Flächen
des Büschels (r^, s). Dieser Ort nun ist eine Baumearve sechster Ordnung
r^, da die Polarebenen der Punkte einer beliebigen Ebene bezüglich dreier
Flächen zweiter Ordnung, indem sie coUineare Bündel darstellen, sechsmal in
geraden Linien sich schneiden.* Weil aber r® die Fläche q? in zwölf Punk-
ten trifft, so giebt es im Büschel (r*, s) zwölf die tp^ berührende Flächen,
welche die Ebene Es in den zwölf Kegelstrahlen von y* schneiden.
Noch einfacher gestaltet sich die Beantwortung der zweiten Frage.
Zunächst sei erwähnt, dass die Flächen des Bündels (r') die <p^ in Curven
vierter Ordnung schneiden , welche sämmtlich durch die sechs der 9* und
r^ gemeinsamen Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 hindurchgehen. Eine im eigent-
lichen Sinne doppelt berührende Fläche des Bündels (r^) wird g>* in einer
zerfallenden Curve vierter Ordnung mit zwei wirklichen Doppelpunkten, den
Berührungspunkten 1 reffen; diese zerfallende Curve vierter Ordnung kann
aber nur entweder aus einem Kegelschnittpaare , oder im Falle , dass q>^ gerad-
linig ist, aus einer Baumcurve dritter Ordnung mit Sehne bestehen. Solche
Curven haben wir also durch die Punkte 1 ... 6 auf der Fläche <p*, welche
wir als Regelfläche voraussetzen, zu legen. Die Kegelschnittpaare ergeben
sich unmittelbar. Indem wir z. B. mit 123 denjenigen Kegelschnitt bezeichnen.
♦ Reye, Die Geometrie der Lage, 11, 2. Aufl., S. 216.
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4 Ueber die Realitätsverhältnisse der DoppeltaDgenten etc.
welcher in der durch 1, 2 und 3 hindurchgehenden Ebene gelegen ist,
haben wir folgende zehn zerfallende Corven:
123 456 135 246
124 356 136 245
125 346 145 236
126 345 146 235
134 256 156 234,
in welchen g)^ von zehn Flächen des Bündels (r*) doppelt berührt wird.
Aber auch die Raumcurven mit je einer Sehne lassen sich leicht über-
blicken.
Bekanntlich* können durch fünf Punkte einer Regelfläche zweiter Ord-
nung <p' auf dieser im Allgemeinen zwei Raumcurven dritter Ordnung ge-
legt werden derart, dass die eine, durch einen beliebigen sechsten Flächen-
punkt gehende Erzeugende von q>* für die eine, die andere durch denselben
Punkt gehende Erzeugende für die andere Raumcurve eine Sehne ist. Hier-
nach erhalten wir zwölf, nämlich sechs Paar Raumcurven dritter Ordnung
mit Sehnen: i «23456 4-56123
2-34561 5-61234
3-45612 6-12345,
wobei z. B. mit 1 — 23456 die beiden durch die Punkte 2, 3, 4, 5, 6
möglichen Raumcurven nebst ihren von 1 ausgehenden Sehnen bezeichnet
sein sollen.
Entsprechend haben wir weiterhin zwölf doppelt berührende Flächen
des Bündels.
Aber damit sind noch nicht alle Flächen von (r^) erschöpft, welche zu
Doppelstrahlen des Kegels y^ Veranlassung geben. Im weiteren Sinne als
doppelt berührende Fläche ist jeder Kegel zweiter Ordnung zu betrachten,
dessen Spitze in einem der sechs Punkte 1 ... 6 gelegen ist, da <p^ nur von
zwei Erzeugenden eines solchen Kegels berührt wird. Wir bezeichnen die
sechs Curven, in denen <p* von jenen Kegeln geschnitten wird, wie folgt:
123456 456123
234561 561234
345612 612345,
wobei z. B. 123456 die Curve vierter Ordnung durch die Punkte 1, 2, 3,
4, 5, 6 mit einem wirklichen Doppelpunkte in 1 bezeichnen soll.
Somit haben wir 10+ 12 + 6 = 28 Flächen des Bündels (r^) gewonnen,
von denen jede einen durch E laufenden Doppelstrahl des Kegels y* als
Erzeugende enthält; letzterer isb also von der zwölften Ordnung und hat
28 Doppelstrahlen, oder c^ ist von der zwölften Classe und hat 28 Doppel-
tangenten.
* Reye, l. c. S. 93.
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Von Dr. C. Hosspbld. 5
3. Haben die beiden collinear verwandten Pnnktfelder s
und s' einen Pnnkt Z> ihrer Schnittlinie entsprechend gemein-
sam, 80 ist derselbe ein Doppelpunkt der Curve vierter Ord-
nung c\ und diese ist von der zehnten Classe und besitzt sechs-
zehn Doppeltangenten.
Legt man durch D in 6 eine beliebige Gerade g, so erzeugt dieselbe
mit der ebenfalls durch D gehenden entsprechenden Geraden g' in e zwei
Strahlbüschel erster Ordnung, deren eines sein Centrum in D selbst hat
Von den vier die Fläche q>* berührenden Strahlen beider Strahlbüschel treffen
mithin zwei die Gerade g in D, wodurch dieser in Anbetracht der willkür-
lichen Annahme von g als Doppelpunkt der Curve c^ charakterisirt ist.
Wir knüpfen nun unsere Betrachtungen wieder an die coUinearen
Ebenenbündel E und E' an, welche jetzt eine Ebene 6 entsprechend ge-
meinsam haben. Das Erzeugniss , d. h. der Ort der Schnittpunkte entspre-
chender Strahlen, ist ein durch E und E' hindurchgehender, in der Ebene
8 gelegener Kegelschnitt J^ und eine denselben in einem Punkte R schnei-
dende Gerade a.
Um die Ordnung des Kegels y^ zu bestimmen , nehmen wir wieder eine
Ebene tc durch E beliebig an und untersuchen , wieviel Flächen zweiter Ord-
nung von allen, welche durch A;^ a und die in der Ebene n gelegene Sehne s
hindurchgehen , mit anderen Worten , wieviel Flächen des Büschels (A;', a, s)
die q>^ berühren. Die Berührungspunkte wurden in Nr. 2 als die Schnitt-
punkte einer Raumcurve sechster Ordnung r* gefunden , welche der Ort der
Punkte im Räume ist, deren Polarebenen bezüglich tp^ durch die Polaren
bezüglich des Büschels (r^, s) hindurchgehen. Im vorliegenden Falle hat
sich die r® in eine Raumcurve fünfter Ordnung r^ und eine Gerade r ge-
spalten, welche die Schnittlinie der Ebene ö mit der Ebene as ist; offenbar
sind die Polarebenen eines beliebigen Punktes Q von r bezüglich der Flä-
chen des Büschels {Jc^, a, s) sämmtlich mit der durch die Polare q von Q
bezüglich k^ und den Punkt as möglichen Ebene <o identisch, und es ent-
spricht somit jeder Punkt der Linie r der Bedingung, welche die Punkte
der r^ erfüllen. Die Schnittpunkte von tp^ und r können aber deshalb nicht
Berührungspunkte von Flächen des Büschels {k\ a, s) sein , weil die durch
einen dieser Schnittpunkte hindurchgehende Fläche des Büschels in ein Ebe-
nenpaar zerfällt. Demnach haben wir nur noch zehn in den Schnittpunkten
von 9* und r^ berührende Flächen, welche n in den zehn Kegelstrahlen
des Kegels y* schneiden.
Nehmen wir an, g>* werde von äj* in den vier Punkten 1, 2, 3, 4,
von a in 5 und 6 getroffen, so gehen durch folgende zerfallende Curven;
123 456 5-61234 123456
124 356 6-12345 234561
134 256 345612
234 156 456123
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6 üeber die Bealitätsyerhältnisse der Doppeltangenten etc.
nicht mehr eigentliche Hyperboloide oder Kegel des Bündels {k^j a) . sondern
es sind Ebenenpaare, weil jede der aufgeführten Curven aus zwei Kegel-
schnitten besteht, von denen der eine mit dem der Fläche q>^ und der Ebene
6 gemeinsamen identisch ist. Jedes der zwölf Ebenenpaare enthält daher
ausser einer andern noch die Ebene 6\ da diese aber für y^ Doppeltangen-
tialebene ist, so kann keine durch E laufende Erzeugende derselben als
Doppelstrahl betrachtet werden. Es kommen mithin nur die folgenden
sechszehn zerfallenden Curven und die sie enthaltenden Hyperboloide oder
Kegel als solche in Betracht, welchen Doppelstrahlen des Kegels y*", bezw.
Doppeltangenten der Curve o^ entsprechen:
125 346
126 345 1-23456 561234
135 246 2-34561 612345
136 245 3-45612
145 236 4-56123
146 235
4. Haben die beiden collinear verwandten Funktfelder e
und £' zwei Punkte D^ und D^ ihrer Schnittlinie entsprechend
gemeinsam, so sind dieselben Doppelpunkte der Curve <^, und
diese ist von der achten Classe und besitzt acht Doppeltan-
genten.
Dass J>i und D, Doppelpunkte der c* sind , beweist man wie in Nr. 3.
Für die übrigen Fragen betrachten wir die beidöli Ebenenbündel E und E\
welche im vorliegenden Falle zwei Ebenen 6^ und 6^ ihrer Verbindungslinie
entsprechend gemeinsam haben und deren Erzeugniss daher aus der Verbin-
dungslinie EE'=v und zwei die letztere schneidenden zu einander wind-
schiefen Geraden a^ und a^ besteht. Eine beliebige in E angenommene
Ebene n , welche die beide Geraden a^ und a^ schneidende Sehne 8 enthält,
wird von den acht Flächen des Büschels (v, a,, Og? s), welche q>* berühren,
in den acht Kegelstrahlen des Kegels y^ geschnitten. Denn es kann nur
da eine Berührung der Fläche <p^ mit einer solchen des Büschels (v, a^^a^y s)
stattfinden , wo cp* von der Curve vierter Ordnung r* getroffen wird , welche
übrig bleibt, wenn man von der r^, dem Ort der Punkte, deren Polar-
ebenen bezüglich ip* und (v, 0^^02,8) in einer geraden Linie sich schneiden,
die beiden Verbindungslinien saiVa2 und sa^vai absondert, deren Schnitt-
punkte mit q>^ nicht Berührungspunkte von Flächen des Büschels sind.
Wird <jp* von v in den Punkten 1 und 2, von a^ in 3 und 4, von ct^
in 5 und 6 geschnitten, so entsprechen ,. wie man leicht erkennt, nur den-
jenigen Flächen des Bündels (v, aj , o,) Doppelstrahlen des Kegels ^, welche
die folgenden Curven auf q>^ enthalten:
135 246 145 236
136 245 146 235
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Von Dr. C. Hosspbld.
1-23456
2-34561.
Hieraus ergeben sich für y^ acht Doppektrahlen , für (^ acht Doppeltan-
genten.
5. Liegen die beiden collinearen Punktfelder s und e' in
einer Ebene vereinigt, haben sie also drei Punkte Dj, D,, Dg
entsprechend gemeinsam, so hat die Curve c^ die letzteren als
Doppelpunkte, ist von der sechsten Classe und besitzt vier
Doppeltangenten.
Die beiden Ebenenbündel E und E' haben jetzt dasselbe Centrum E
und erzeugen' als Ort der Schnittpunkte entsprechender Strahlen die drei
Schnittlinien a^, a^^ a^ der drei sich selbst entsprechenden Ebenen d^, d,,
Ö^. Die Flächen zweiter Ordnung, welche durch entsprechende Ebenen-
büschel g und g' erster Ordnung erzeugt werden , sind sämmtlich Kegel Ä;',
deren Spitzen im Punkte E liegen, oder Ebenenpaare, und enthalten die
drei Geraden a^, o,, a^ als Erzeugende. Legt man durch eine beliebige
Gerade g von E, durch die entsprechende g' und durch a^, «j, a^ einen
Kegel zweiter Ordnung k\ so werden die vier Schnittlinien desselben mit
dem von E aus an q>* möglichen Berührungskegel ß* mit g durch die vier
Tangentialebenen an den Kegel y^ verbunden. Die Kegelstrahlen des letz-
teren in einer beliebigen Ebene n von E findet man, wenn man n mit den
Kegeln zweiten Grades zum Schnitte bringt, welche durch die Schnittlinie 5
der Ebene n und ihrer entsprechenden n, femer durch a^ , Oj , ^3 hindurch-
gehen und (p^ oder, was auf dasselbe hinauskommt, den Berührungskegel ß^
berühren. Die ßaumcurve r® besteht in diesem Falle aus den drei Schnitt-
linien der drei Ebenenpaare a^s a^a^^ a^s a^a^^ a^s a^a^ und aus einer
ebenen Curve r^ dritter Ordnung in der Polarebene von E bezüglich 9*.
Letztere schneidet ip^ in den sechs Berührungspunkten von sechs dem
Büschel (a|9 a^, %, s) angehörenden Kegeln A;', welche ihrerseits die Ebene n
ausser in s in den sechs Erzeugenden des Kegels y* treffen.
Doppelstrahl des letzteren wird jeder Strahl g sein, welcher mit dem
entsprechenden Strahle g' und mit a^, ag, a^ auf einem die FlSche tp^ dop-
pelt berührenden Kegel zweiter Ordnung liegt, oder umgekehrt: Auf jedem
durch Oj, Oj, a^ hindurchgehenden, 9* doppelt berührenden Kegel zweiter
Ordnung ist derjenige Strahl g Doppelstrahl des Kegels y\ dessen ent-
sprechender g' ebenfalls auf jenem Kegel gelegen ist. Wenn wir nun an-
nehmen, dass g>^ von a^ in 1,2, von a^ in 3, 4, von a^ in 5, 6 getroffen
wird, so berühren diejenigen Kegel des Bündels («j, Oj, a^) die Fläche (p*
doppelt, welche diese in den Kegelschnittpaaren:
135 246
136 245
145 236
146 235
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8 üeber die BealitätsverhSltnisse der Doppeltangenten etc.
schneiden. Wir haben demnach vier Doppelstrahlen des Kegels y\ resp.
vier Doppeltangenten der Curve c*.
n.
Für die Realität der Doppeltangenten einer auf die in 1 beschriebene
Art erzeugten Curve vierter Ordnung (^ muss sich ein ausgezeichnetes Cri-
terium aus der Möglichkeit ergeben, bei fortgesetzter Beschränkung der
Bealität der sechs Punkte 1 ... 6 auf vier, zwei und Null und Combination
dieser Fälle mit den Voraussetzungen , dass g>* geradlinig oder nicht gerad-
linig ist , durch die Punkte 1 ... 6 Curven vierter Ordnung mit je einem
Doppelpunkte in i (i = 1 . , . 6) oder mit je einem Paare wirklicher Doppel-
punkte zu legen, deren Verbindungslinie reell ist. Dabei können die Curven
selbst möglicherweise imaginär werden; sind nichtsdestoweniger die beiden
Doppelpunkte einer solchen imaginären Curve reell, so entspricht diesem
Falle eine reelle Doppeltangente mit reellen Berührungspunkten; sind da-
gegen die Doppelpunkte conjugirt imaginär, ihre Verbindungslinie also reell,
so bleibt die Doppeltangente zwar reell , aber die Berührungspunkte auf ihr
sind conjugirt imaginär.
Wir übertragen im Folgenden die Bezeichnung der zerfallenden Curven
vierter Ordnung auf die Verbindungslinien ihrer Doppelpunkte.
6. Die Zahl der reellen Doppeltangenten der c^ ohne Dop-
pelpunkte kann nur die Werthe 28, 16, 8, 4 annehmen.*
Ist g>^ geradlinig und sind alle sechs Schnittpunkte derselben mit r^
reell, so sind nach Nr. 2 alle 28 Doppeltangenten reell. Wir lassen nun
die sechs Schnittpunkte paarweise imaginär werden.
a) g>* ist Begelfläche.
1. Die Punkte 1 und 2 sind imaginär, ihre Verbindungslinie 12 ist
reell. Dann sind reell:
3-45612 345612
4-56123 456123
5-61234 561234
6-12345 612345.
Hiemach ist die Zahl der Doppeltangenten ^ = 4 + 8 + 4= 16.
2. Imaginär sind: 1 und 2, 3 und 4;
reell: 12, 34;
reell: 125 346 5-61234 661234
126 345 6-12345 612345.
d = 2 + 4+2 = 8.
123
456
124
356
125
346
126
345
* Vergl. Zeathen, Sur ies diffärentes formes des courbes planes da qua-
tri^me ordre. Math. Ann. Bd. VII S. 411.
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Von Dr. C. Hossfblo. 9
3. Imaginär sind: 1 und 2, 3 und 4, 5 und 6;
reeU: 12, 34, 66;
reeU: 135 246
136 245
145 236
. . 146 235.
0 = 4.
Ist fp* nicht geradlinig, dann follen offenbar alle Baumcurven dritter
Ordnung mit Sehnen fort und wir erhalten der Eintheilong unter a) ent-
sprechend:
b) tf? ist Nicht -Begelflftcbe:
1. J = 4 + 4=8;
2. d = 2+2 = 4;
8. 3 = 4.
7. Die Zahl der reellen Doppeltangenten der c* mit einem
Doppelpunkte kann nur die Werthe 16, 8, 4, 0 annehmen.
Es möge wieder tp* von 1^ in den vier Punkten 1, 2, 3, 4, von a in
5 und 6 getroffen werden.
a) q>* ist BegelflSche:
1. a) ImaginSr sind: 1 und 2; reell: 12;
reeU: 125 346 3-45612 561234
126 345 4-56123 612345.
3 = 2 + 4 + 2 = 8.
ß) Imagin&r sind; 5 und 6; reell: 56;
reeU: 1 - 23456
2-34561
3-45612
, o 4-66123.
0 = 8.
2. o) Imaginär sind: 1 and 2, 3 und 4; reell: 12, 34;
reeU: 125 346 561234
126 345 612345.
3 = 2 + 2 = 4.
ß) Imaginftr sind: 1 nnd 2, 5 und 6; reell- 12, 56;
reell: 3-45612
4-56123.
3 = 4.
8. ImaginSr sind: 1 und 2, 3 und 4, 5 nnd 6; reell: 12, 34, 56;
i«ell: * 135 246
136 245
145 236
, . 146 235.
3 = 4.
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10 üeber die Bealitätsverbältnisse der Doppeltangenten etc.
h) tp^ ist Nicht -Regelfläche:
1. «) 15 = 4;
ß) 6 = 0.
2. a) 6 = 4;
ß) 6 = 0.
3. 5 = 4.
8. Die Zahl der reellen Doppeltangenten der c* mit zwei
Doppelpunkten kann nur die Werthe 8, 6, 4, 2, 0 annehmen.
Im vorliegenden Falle haben wir die beiden Möglichkeiten zu trennen,
dass die Doppelpunkte der d^ reell oder conjugirt imaginär sind; dem ent-
spricht die Realität oder Imaginarität der beiden Geraden a^ und o^. Die
Fläche q)^ möge von t; in 1 und 2, von a^ in 3 und 4, von a^ in 5 und
6 geschnitten werden.
I. a^ und Og sind reell; 6 = 8, 4, 0.
a) q>^ ist Regelfläche:
1. a) Imaginär sind: 1 und 2; reell: 12.
6 = 0.
ß) Imaginär sind: 3 und 4; reell: 34;
reell: 1-23456
. . 2-34561.
6 = 4.
2. a) Imaginär sind: 1 und 2, 3 und 4; reell: 12, 34.
6 = 0.
ß) Imaginär sind: 3 und 4, 5 und 6; reell: 34, 56;
reell: 1-23456
^ . 2-34561.
6 = 4.
3. Imaginär sind: 1 und 2, 3 und 4, 5 und 6; reell: 12, 34, 56.
6 = 4 (siehe Nr. 7 b, 3).
b) q>* ist Nicht -Regelfläche:
1, a) 6 = 0; ß) 6 = 0.
2: a) 6 = 0; ß) 6 = 0.
3. 6 = 4.
II. Ol und Og sind conjugirt imaginär; 6 = 6,2.
a) <p* ist Regelfläche:
1. Imaginär sind: 3, 4, 5, 6; reell: 35, 46;
reell: 135 246 1-23456
146 235 2-34561.
a = 2 + 4 = 6. ♦
2. Imaginär sind: 3, 4, 5, 6, 1 und 2; reell: 12, 35, 46;
reell: 145 236
6 = 2. '^^ 245.
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Von Dr. C. Hossfeld. 11
b) q>^ ist Nicht -Regelfläche:
1. tf = 2; 2. 5 = 2.
9. Die Zahl der reellen Doppeltangenten der c^ mit drei
Doppelpunkten kann nur die Werthe 4, 2, 0 annehmen.
Es werde <p* von a^ in 1 und 2, von o^ in 3 und 4 und von a^ in 5
und 6 getroffen.
I. a^ und a^ sind reell; 5 = 4,0.
1. Imaginär sind: 1 und 2; reell: 12.
d = 0.
2. Imaginär sind: 1 und 2, 3 und 4; reell: J2, 34.
a=o.
3. Imaginär sind: 1 und 2, 3 und 4, 5 und 6; reell: 12, 34, 56.
5 = 4
II. a^ und Og sind coujugirt imaginär; 5 = 2.
1. Imaginär sind: 1, 2, 3, 4; reell: 13, 24;
reell: 135 246
... 136 245.
O =Ä.
2. Imaginär sind: 1, 2, 3, 4, 5 und 6; reell: 13, 24 56;
reell: 145 236
, „ 146 235.
Hat demnach eine Curve vierter Ordnung drei reelle Doppelpunkte , so
ist die Zahl ihrer reellen Doppeltangenten vier oder Null; sind dagegen
zwei Doppelpunkte conjugirt imaginär, so ist die Zahl der reellen Doppel-
tangenten jederzeit zwei.
Apolda, 18. September 1885.
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IL
Zur graphisch-meohanischen Auflösung numerischer
Gleichungen.
Von
Prof. Dr. C. Reuschle
in Siatigart.
Erster Artikel.
Im Anschlags an meine Brocbure über ^Graphisch-mechanische
Methode zur Auflösung der numerischen Gleichungen" (Stutt-
gart, Ostern 1884) habe ich im Herbst 1885 unter dem Titel: „Graphisch-
mechanischer Apparat zur Auflösung numerischer Gleich-
ungen'' die Tafeln veröffentlicht, welche zur Behandlung der cubischen
(und quadratischen) Gleichungen in diesem Sinne nöthig sind. In der Bro-
cbure ist gezeigt, wie die numerischen Gleichungen II. bis V. Grades (ein-
schliesslich) nach einheitlichem Princip graphisch -mechanisch gelöst werden
können und wie die Methode auch auf defecte (bezw. „mehrfach reducirte'',
vergl. Anm. 4) Gleichungen höheren Grades anwendbar ist
Das allgemeine Princip ist das bekannte, schon vielfach angewandte,
die Wurzeln einer Gleichung mit Hilfe der Schnittpunkte zweier Curven zu
bestimmen. Während aber die bisher bekannten Methoden geometrische
Constructions - bezw. graphische Probirmethoden sind, wie z. B. die von
Lalanne^), liefert meine Methode die Wurzeln der numerischen Gleichungen
II. bis Y. Grades, und zwar alle reellen Wurzeln auf einmal, durch eine
directe (nicht probirende), einfache, mechanische Manipulation mittels ein-
für allemal angefertigter graphischer Tafeln.
Das specielle Princip besteht darin, dass eine auf durchsichtigem
Papier (Pauspapier, Gelatinepapier) gezeichnete Curve, bezw. Curvenschaar
über einer andern auf Millimeterpapier entworfenen Curvenschaar gemäss
den Werthen gewisser Coefficienten der Gleichung eingestellt wird , um dann
mit einem Blicke zu übersehen, wieviele reelle Wurzeln eine gegebene
Gleichung hat, und um dieselben als Abscissen der Durchachnittspunkte der
1) Vergl. LcUanne, „Memoire Bur les tables graphiques et sur la g^omätrie
anamorphique etc." in Annaies des Fonts et Chaoss^es 1846, Tome XI pag. 1;
femer Comptes rendus, T. LXXXI pag. 1186 and 1243.
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Zur graph.-mechan. Auflösung etc. Von Prof. Dr. C. Rbuschlb. 13
(bezw. einer) Curve des durchsichtigen Papiers und einer der Curven des
Millimeterpapiers auf zwei bis drei Stellen nSberungsweise abzulesen.
In der Begleitschrift des „Apparats^ ist die Methode für die Gleich-
ungen III. (und II.) Grades in einer auch für den Nichtmathematiker leicht
fasslichen Weise klargelegt, unter Voraussetzung der Bekanntschaft mit den
allerersten Elementen der Geometrie und Algebra wird Derjenige , der nicht
einmal eine quadratische Gleichung algebraisch auflösen kann, ja nicht
einmal Etwas von Quadrat- oder Cubikwurzel weiss, in den Stand gesetzt,
sogleich die allgemeine cubische Gleichung mit Zahlencoef ficienten gra-
phisch-mechanisch aufzulösen und die Methode theoretisch zu verstehen.
Die zur Auflösung der Gleichungen IV. und V. Grades nöthigen, sowie
die weiteren in dieses Gebiet fallenden , in der Brochure erwähnten graphi-
schen Tafeln bleiben einer späteren Veröffentlichung vorbehalten.
Zweck der gegenwärtigen Zeilen ist, zu zeigen, wie der bisher ver-
öffentlichte Apparat auch zur Auflösung der Gleichungen IV. Grades benutzt
werden kann, wobei übrigens sogleich erwähnt sein mag, dass dieses Ver-
fahren hinter der in der Brochure S. 25 hierfür gegebenen Methode sowohl
in Betreff der Einfachheit der Ausführung, als in Betreff der praktischen
Brauchbarkeit etwas zurücksteht. Immerhin dürfte auch diese Methode
Beachtung verdienen, einmal weil der Apparat, wie er bis jetzt vorliegt,
auch auf die biquadratischen Gleichungen anwendbar ist, das andere Mal,
weil ein neues Princip zur Anwendung kommt.
Der Apparat besteht erstens aus der Hjperbelschaar II. Ordnung
xy = j?, welche für p = 1, 2 , 3, . . . bis p = 50, femer für p = 0,1, 0,2, . . .
bis p = 0,9, für p = l,5, 2,5, 3,5, 4,5, endüch für p = 0,01 und 0,05
anf Millimeterpapier lithographirt ist; zweitens aus der auf Gelatinepapier
gedruckten Parabel II. Ordnung y = x^, welch* letztere in bestimmter Weise
auf ersterer durch doppelte Parallelverschiebung entlang den Coordinaten-
axen eingestellt wird , um dann die reellen Wurzeln einer allgemeinen nume-
rischen Gleichung III. Grades als Abscissen der Schnittpunkte der Parabel
mit einer der Hyperbeln abzulesen, während für eine quadratische Gleich-
ung die Wurzeln als Abscissen der Schnittpunkte der in derselben Weise
eingestellten Parabel mit der a;-Axe des Millimeterpapieres sich ergeben,
worüber des Näheren die citirten Schriften zu vergleichen sind.
Durch Einführung von LiniencoardincUen kann nun auch eine nume-
rische Gleichung IV. Grades mittels dieses Apparates in Verbindung mit
einem Lineal gelöst werden. In Liniencoordinaten ist die Gleichung der
H jperbelschaar :
1
UV = T- (P willkflrliGher pMameter),
4p
die Gleichung d^r Parabel:
4v = w*,
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14 Zur grapb.- mecfaan. Auflösung numerischer Gleichungen.
wenn u und v die negativen reciproken Werthe der Axenabschnitte einer
veränderlichen Tangente der Curve sind. Wird die Parabel um a parallel
zur +a;-Axe und um ß zur +y-Axe verschoben, so lautet ihre Gleichung*):
4:v{au + ßv + \) = u^
oder
tt* — 4aut? — 4/Jv* — 4t; = 0.
Das v-Eliminat^) des Systems:
j 1*2
■4aM«; — 4j3t;* — 4r= 0
1
UV = j—
4tp
giebt die in u biquadratische Gleichung
««-«-^-1 = 0
p ^p^w" pu
zur Bestimmung der u der gemeinschaftlichen Tangenten an die dem Werthe
p entsprechende Hyperbel und an die „um o, ß parallel -verschobene'' Pa-
rabel. Führt man in die letzte Gleichung an Stelle von u den Axen-
abschnitt x einer gemeinschaftlichen Tangente beider Curvcn ein , indem man
1
X
setzt, so erhält man:
2) Der Satz von der parallel -verschobenen Curve für Punktcoordinaten ist:
Die Gleichung f(x — (x,y-ß) = 0 stellt die um aparallel zur-far-Axe und
um ß parallel zur +y-Axe verschobene Curve f(Xfy) = 0 dar, während
die in Liniencoordinaten gegebene Curve ip(u,v) = 0, in derselben Weise parallel
verschoben, als Gleichung hat:
9 ( 7-3 — r-* » rö — rT^= ^ <>der 9(u7S7«<*+?^+^l) = 0,
^ \aU-{-ßV + l CCU-^ßv+lJ -rv » » r / j
wo die Wellenlinie über den Argumenten andeuten soll, dass die Function homo-
gen in denselben ist; also: Die Gleichung einer Curve in Liniencoordi-
naten, mit {au-hßv-hl) homogen gemacht, giebt die Gleichung der
um a bezw. ß parallel-verschobenen Curve. Z. B. die so verschobene
Ellipse a*u*-f &•»* = ! hat die Gleichung
a« «« + 6« ©« = (a w 4. ^ V 4. 1 )«.
3) An Stelle der Ausdrucksweisen: ^^Eliminationsresultat von x aus
zwei Gleichungen in x**f femer ^^Eliminationsresultat von x und y aus
drei Gleichungen in x und y*' u. dergl. schlage ich die kürzere und beque-
mere Bezeichnung: „x-Eliminat iweier Gleichungen in x'S bezw. „x^ y -■ Eliminat
dreier Gleichungen in x und y" vor. Bei der in der letzten Anmerkung ein
gefQhrten Bezeicbnungsweise f{x^yl)s) für eine homogene algebraische Function mit
drei Veränderlichen wäre für das Eliminationsresultat der drei homogenen Ver-
änderlichen aus zwei solchen Gleichungen zu sagen:
1^1 y^Eliminat des Systems \ ^^lZI^. }.
lg(x,y,2)=0j
Die linke Seite des Eliminats aus einem System heisst Resultante des Systems.
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Von Prof. Dr. C. Rbüsohlb. 15
zur Bestimmung der Axenabschnitte der gemeinschaftlichen Tangenten beider
Cur Yen.
Identificirt man die letzte Gleichung mit der einfach -reducirten*) Gleich-
ung IV. Grades
so erhfilt man zur Bestimmung der Coefficienten p, a und ß:
ß \ I 1
_=a p = -^
1 ^v
= 0 > , woraus
a=^ PC =-|^
P
- = <:^ lß = ip*a= *^\
Ist nun irgend eine gegebene numerische Gleichung IV. Grades auf die
Form (•) gebracht, so lässt sich dieselbe mit Hilfe des erwähnten Apparates
and eines Lineals graphisch - mechanisch folgendermassen lösen:
Man stelle über der Hjperbelschaar auf dem Millimeter-
papier die Gelatineparabel so ein, dass ihr Scheitel im Punkte
(c 4a\
— —9 — ^ j und ihre Axe parallel zur +y-Axe
liegt, lege das Lineal in die yerschiedenen möglichen Lagen
einer gemeinschaftlichen Tangente der eingestellten Parabel
und derjenigen Hyperbel, deren p = — — ist, und lese die Ab-
scissen der Durchschnittspunkte des Lineals mit der a;-Axe
des Millimeterpapieres als die reellen Wurzeln der gegebenen
Gleichung IV. Grades ab.
4} Eine Gleichung irgendwelchen Grades, in der sämmtliche Coefficienten be-
liebige Werthe haben, nenne ich die allgemeinste, eine Gleichung, in der irgend
ein Coefficient, insbesondere der des höchsten oder des niedersten Gliedes (des
Absolntgliedes) durch Division auf die Einheit gebracht ist, die allgemeine
Gleichung. Eine Gleichung, in der durch die bekannte lineare Transformation der
CoefGcient des zweithöchsten oder des zweitniedersten Gliedes auf Null gebracht
ist, nenne ich einfach-reducirte Gleichung. Letztere Reduction wird aus-
gefäbrt, indem man die erstere an der Beciprokalgleichung vornimmt, wobei unter
Reciprokalgleichung diejenige Gleichung verstanden ist, welche aus einer gegebe-
nen Gleichung hervorgeht, wenn man für die unbekannte ihren reciproken Werth
setzt. In derselben Weise unterscheide ich dann weiter zweifach-, dreifach-
reducirte Gleichung.
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16 Zur graph.-mecban. Auflösung numerischer Gleichungen.
Bei8,piele.
1) iK^ + 4a^ + 2x^ + 0x + 8t=0 oder -|ic^- Aa^-i«*= 1,
a b e
p=4p»c=4.4(-i)^ 2/
Man stelle also den Scheitel der Gelatineparabel in den Punkt (—^i
— 2), ihre Axe parallel zur +y-Axe und lege das Lineal in die Lagen der
gemeinschaftlichen Tangenten der Parabel und der Hyperbel xy=^2y als-
dann findet man als Abscissen der Durchschnittspunkte des Lineals mit der
a!;-Axe die zwei reellen Wurzeln
a;^= — 2 und «j = — 3,1;
die beiden anderen Wurzeln x^ und x^ sind imaginär, da nur zwei reelle
gemeinschaftliche Tangenten vorhanden sind.
Probe:
l 4 2 0 8 . ^ _ ,
,2|1 2 -2 ÄTW' ^''"''''"
Die kubische Gleichung
ic» + 2fl:«-2fl: + 4 = 0
giebt . nach der Methode in der Brochure oder im Apparat gelöst als ein-
zige reelle Wurzel näherungsweise —3,07.
2) 3Ä*-8ir»+16 = 0 oder -^a^ + ia;« + 0a?«= 1,
a % e
p = - — = -2, a= pc = Ol
Da p negativ ist, hat man die Hyperbel tafel um 90® zu drehen, wo-
durch die Hyperbelzweige in den zweiten und vierten Quadranten kommen;
die Hyperbel xy^ — 2 wird alsdann von der mit ihrem Scheitel in den
Punkt (0, — 3) gestellten Parabel in einem Paukte mit Abscisse 1 berührt,
die gemeinschaftliche Tangente in diesem Punkte, welche ftir zwei zusam-
menfallende Tangenten gilt, schneidet von der a;- Axe die doppelte Abscisse
des Bertthrungspunktes ab , also ist x^ = X2 = 2 eine Doppelwurzel der
Gleichung. Ausserdem giebt es keine (reellen) gemeinschaftlichen Tangen-
ten, die beiden anderen Wurzeln sind also wieder imaginär.
Probe:
3-8 0 0 16
3 —2—4—8 |0]1 also ist 2 eine
3 4 4 |0| ) Doppelwurzel.
Die quadratische Gleichung
3»« + 4ir + 4 = 0
giebt die imaginären Wurzeln der gegebenen Gleichung.
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Yoo Prof. .Dr. G. Bbusoblb. 17
3) a;* + 4a;»-10a:« + 4 = 0 oder - 1«* - «» + 2,5»» = 1 ;
a b c
p = l; ««2.6, |J=-1.
Die mit ihrem Scbeitel in den Punkt (2,5; —1) gestellte Parabel and
die Hyperbel x^ = 1 haben vier reelle gemeinschaftliche Tangenten, welche
nfthemngsweise als Wurzeln liefern:
ir,= l,5, «, = 0,8, «3 = — 0,5, «4S= — 5,7.
Probe: Summe der Wurzeln s=-.3,9 statt —4,
4) 75aJ* + 40ir«-.80Ä« + 8 = 0 oder -^rr*-5»»+ lOa?« 1;
p = 0,2; a = 2, /J = -l,6.
Die eingestellte Parabel und die Hyperbel haben wieder yier reelle
gemeinschaftliche Tangenten, welche fOr die Wurzeln die N&herungswerthe
liefern:
«i===0,7, «, = 0,4, a?3 = -.0,3, x^^-^i.S.
Probe: Summe der Wurzeln = — 0,5 statt —4t ^^^^ —0,53.
Man beachte, wie leicht das graphisch -mechanische Verfahren in diesem
Beispiel die beiden zwischen 0 und 1 nahe bei einander liegenden Wurzeln
0,7 und 0,4 liefert
Stuttgart, im September 1886.
Z«iu«brlft f. Mfttbematik u. Phyaik XXXI, 1.
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m.
Eine elementare Betrachtung über Strahlen-
oongruenzen.
Von
Dr. A. Weiler
in Zttrich.
Hierzu Taf. I Fig. 1-6.
Es soll hier mit Hilfe einfacher Sätze über Begelscbaaren neuerdings
bewiesen werden, dass ein Strahl einer beliebigen Oongmenz von zwei un-
endlich nahen Congruenzstrahlen geschnitten wird. Aus diesem Satze schliesst
man , dass die Ck)ngruenz aus Doppeltangenten einer gewissen FlSche bestehen
muss. Hierauf werden die einfachsten singulären Elemente untersucht; ihre
Beziehungen zu jener Fläche (Brennfläche) ergeben sich unmittelbar aus der
Vertheilung der zugehörigen Brennpunkte und Brennebenen. — Besteht die
Congruenz aus einem einfach unendlichen System von Begelscbaaren, so
zerfallen die Schnittlinien der aufeinanderfolgenden unter ihnen in gewisse
leicht angebbare Curven. — Die singulären Elemente können in unendlicher
Anzahl vorhanden sein. In Verbindung damit werden alle Hauptgattungen
angegeben, die bei Congruenzen möglich sind.
Die hier abgleiteten Resultate sind zumeist bekannt und es finden sich
auch manche der gegebenen Ausführungen theilweise oder ganz in früheren
Arbeiten über diesen Gegenstand, namentlich in den Kummer 'sehen*,
bereits vor.
1. Eine Congruenz w**' Ordnung w*" Classe besteht aus oo* Strahlen
des Raumes , welche derart stetig vertheilt sind , dass im Allgemeinen durch
jeden Punkt des Raumes m derselben gehen und in jeder Ebene deren n
liegen. Es sei p eine Gerade, welche nicht der Congruenz angehört; zieht
man aus allen ihren Punkten P die hindurchgehenden Congruenzstrahlen,
so entstehen die oo^ Erzeugenden einer Regelschaar Bp^ von denen keine
in p fallen kann. Dieselbe Regelschaar enthält alle Congruenzstrahlen,
welche in sämmtlichen Ebenen E durch p liegen. Für Rp istp eine m- fache
Leitlinie und eine n- fache Leitdeveloppable ; der Grad von Rp ist gleich
m + ^, d.h.: Alle Congruenzstrahlen, welche eine Raumgerade
* Abb. d.Berl. Akad. 1866; Crelle'a Journal Bd. 67.
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Eine elementare Betrachtung etc. Von Dr. A. Weilbb. 19
p Behneiden, bilden eine Regelschaar Bp, deren Grad gleich ist
der Summe aus Ordnung und Classe der Congruenz.
2. Tritt an Stelle der Geraden p ein Congruenzstrahl s, so wird m+M
ebenfialls der Grad der zugehörigen Begelschaar B« sein. Weil aber nun-
mehr durch P auf s noch in — 1 Erzeugende der Begelschaar gehen und in
E durch $ deren n — \ liegen, welche nicht in s fallen, so muss jeder Punkt
auf s ein (in + 1 ) - facher, jede Ebene durch 8 eine (« + 1) -fache Tangen-
tialebene sein. Die Berührungspunkte von E (auf s) sind die n—\ Schnitt-
punkte von 8 mit den n — 1 in E liegenden Erzeugenden und ausserdem
zwei weitere Punkte , die nicht von yariabeln Erzeugenden herrühren können,
sondern stationäre Punkte sind, in denen alle durch 8 gehenden Ebenen
berühren. Ebenso gehen durch 8 nothwendig zwei stationäre Tangential-
ebenen. — Ein stationärer Punkt und eine stationäre Ebene an 8 können
aber nur dann auftreten, wenn eine Erzeugende der Begelschaar in die
Leitgerade fällt, genauer gesagt, dieselbe schneidet und ihr unendlich be-
nachbart ist Hieraus folgt: Jeder Congruenzstrahl wird von zwei
unendlich benachbarten Congruenzstrahlen geschnitten.
3. Der Strahl a habe a,, a, zu seinen benachbarten, schneidenden
Strahlen. Es bestimmen a und a^ den Punkt A^ und die Ebene A| (Fig. 1),
a und a, ebenso den Punkt Ä^ und die Ebene A^. A^ und A^ sind die
beiden Brennpunkte von a, A^ und A^ seine Brennebenen. Von jedem
Strahl aus gelangt man durch Drehung um die Brennpunkte, in den zu-
geordneten Brennebenen, zu den beiden benachbarten, schneidenden Strahlen.
Die Anzahl dieser Punkte und Ebenen ist eine doppelt unendliche; alle
Brennpunkte erfüllen die Fläche der Brennpunkte und die genannten
Ebenen bilden die Fläche der Brennebenen.
Von a aus gehe man in der angegebenen Weise über zu a^.* Der
letxtere Strahl hat, mit ^j, A^ benachbart, den einen seiner Brennpunkte
A^^ und die eine Brennebene Ajj. Mit Hilfe von A^^ und A^j gelangt man
aus a^ weiter zu a^ u. s. w. Hierdurch entsteht eine developpable Begel-
schaar mit den Erzeugenden a^ a^^ a^-^^ , . .. der Bückkehrcurve ql^^^=^ A^A^^ , . ,
und der Torse 9^^ = A, A^^ . . . ; a^ liegt augenscheinlich auf der Fläche der
Brennpunkte, welch' letztere von a, a^, ... in A^y ^j,, ... berührt wird.
Ersetzt man in der vorstehenden Betrachtung überall die ersten Brenn-
punkte durch die zweiten, so ergiebt sich für a als Ausgangsstrahl die
zweite developpable Begelschaar a, fl^, a^, ... mit der Bückkehrcurve
Og = AugA^ . . . und der Torse ^^ = k^k^,.. Auch o^g liegt auf der Fläche
der Brennpunkte und es wird diese von 0,0^, ... in A^y ^|, ... berührt.
Für den Strahl a folgt hieraus, dass er die Fläche der Brennpunkte
in seinen Brennpunkten berührt , und weil a ein beliebiger Congruenzstrahl
* Die VoraussetzuDg der Bealität der Brennpunkte- und Brennebenenpaare
(und der benachbarten, schneidenden Strahlen) ist gestattet, wie die erlangten
Besoltate zeigen werden.
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20 Eine elementare Betraclitung über Strahlencongruenzen«
ist, so folgt: Alle Gongruenzstrahlen sind Doppeltangenten der
Fläche der Brennpunkte.
Weiterhin sind a, a^, a,i, . . . und a, o,, 022, . . . Schnittlinien oonsecutiver
Tangentialebenen der Fläche der Brennebenen. Diese Strahlen werden daher
mit den Ebenen Aj, A^,, ... und A,, A^^, ••. die letztere Fläche je an der-
selben Stelle berühren. Für a und somit für jeden Strahl folgt: Die
Gongruenzstrahlen sind Doppeltangenten der Fläche der Brenn-
ebenen.
Auf a, ttj, a,i, ... (a, a,, Ojjg, ..) führe man jetzt die zweiten Brenn,
punkte ein, nämlich -4^» A«' ••• Mj, -i^,, ...), so werden sie eine Curve
a,2 (a,i) bilden, welche auf der Fläche der Brennpunkte gelegen ist. Weil
a diese Fläche in Ä^ berührt und die Curve aj, ebenfalls auf ihr gelegen
ist, so ergiebt sich die Ebene {a,Äi^)^A^ als Tangentialebene der Fläche
in^, ebenso A^j als Tangentialebene in Ä^^ u. s. f. Hieraus folgt: Jede
Brennebene eines Strahles berührt die Fläche der Brennpunkte
in dem einen Brennpunkte dieses Strahles (Aj in ^2* ^^2 ^ A)*
— Die duale Schlussweise ergiebt: Jeder Brennpunkt eines Strahles
ist der Berührungspunkt der einen Brennebene des Strahles
mit der Fläche der Brennebenen {Ä^^ von Aj, Ä^ von A|). Somit
sind die Punkte (Ebenen) der Fläche der Brennpunkte zugleich Funkte
(Ebenen) der Fläche der Brennebenen; diese beiden Flächen sind identisch,
daher das Resultat:
Eine Strahlencongruenz hängt im Allgemeinen mit einer
Fläche, ihrer Brennfläche, in der Weise zusammen, dass die
Gongruenzstrahlen Doppeltangenten, die Brennpunkte die zu-
gehörigen Berührungspunkte und die Brennebenen die zuge-
hörigen Tangentialebenen der Fläche sind. Einem Brennpunkte
eines Strahles ist allemal die Tangentialebene im andern Brennpunkte des-
selben Strahles zugeordnet, in der Weise > dass beide einen den Strahl
schneidenden unendlich nahen Strahl liefern.
Die Brennfläche enthält alle Punkte des Raumes, Ton denen zwei un-
endlich nahe Strahlen ausgehen ; zugleich wird sie berührt von allen Ebenen,
in welchen zwei Strahlen unendlich nahe liegen.
um die einem Strahle a unendlich nahen Strahlen zu erhalten,* ersetze
man die Brennfläche durch ihre beiden osculirenden Paraboloide in den
Brennpunkten und construire ihre gemeinsamen, a unendlich nahen Tangenten.
4. Eine singulare Ebene S enthält unendlich viele Gongruenzstrahlen,
welche die zugehörige Strahlencurve umhüllen. Fig. 1 giebt eine Anschau-
ung hiervon; man lasse einfach, die Torse Sl^ zu einer Ebene S werden,
Uli ist alsdann die Strahlencurve. Die Brennfläche enthält diese Gurve und
* Vergl. Weingarten, Grelle's Journal 98, „Note über die Brennlinien eines
unendlich dünnen StrahlenbündeU^*.
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Von Dr. A. Weiler. 21
wird iSngs derselben von den von S verschiedenen Ebenen A,, Aj,» •••
berührt« In den Brennpunkten ^, Ä^^, ••• wird die Brennfläche Yon S
berührt. Die in der singulären Ebene enthaltene Strahlenoarye
ist eine Schnittcnrye mit der BrennflSche; ausserdem berührt
die singul&re Ebene die BrennflSche längs einer gewissen
Curve.
Bilden die Strahlen in S einen Büschel, so wird die Strahlencurve
zu einem Punkte; die Brennebenen Aj, A^^, ... bilden einen Kegel, wel-
cher die Brennfläche in unendlicher Nähe des Büschelscheitek repräsentirt.
Wenn y dieser Ebenen mit S zusammenfallen, so ist der Kegel von der
Classe y + ly er hat alsdann die Büschelebene zur y- fachen Tangentialebene.
— Haben x Strahlen des Büschels ihre beiden Brennpunkte (im Scheitel)
vereinigt, so berührt die singulare Ebene die Brennfläche längs einer Curve
von der Ordnung x + ly welche im Scheitel einen o;- fachen Punkt hat
Ist die Strahlencurve in S von der Classe v, so giebt es durch jeden
Punkt von S noch m — v Strahlen, die nicht in S fallen, und hieraus folgt,
dass V höchstens gleich m-'l sein darf.
ö. Durch einen singulären Punkt /S gehen unendlich viele Strahlen
a, Oj, a^i, ..., welche den zugehörigen Strahlenkegel bilden (Fig. 2).
Für alle diese Strahlen fallen die einen Brennpunkte Ä^^ Ä^^, ... in 5,
welcher Punkt die unendlich vielen Brennpunkte einer Curve ajj vertritt.
Die Brennebenen A^, Aj^, ... sind Tangentialebenen des Strahlenkegek, sie
berühren die Brennfläche in den Punkten der Curve a^g* Die übrigen Brenn-
ebenen umhüllen einen Kegel vom Scheitel S und weil sie die Brennfläche
in jS^ berühren , so folgt: Der vom singulären Punkte ausgehende
Strahlenkegel ist ein Berührungskegel an die Brennfläche
und durch den singulären Punkt geht diese Fläche in Gestalt
eines Kegels. — Die Ordnung eines Strahlenkegek ist höchstens gleich
6. Wie in 2. lässt sich zeigen , dass ein A;-facher Congruenzstrahl
von 2h unendlich nahen Strahlen geschnitten wird. Die Brennpunkte und
Brennebenen eines solchen Strahles sind in h Paare grnppirt; in einem
Brennpunktepaare Ät^ Ät seien A^, Aj^ die Tangentialebenen der Brenn-
fläche. Dann liefern Äi , Aa und Ak , A; ein Paar unendlich naher, schnei-
dender Strahlen. Aber die 2 Je Brennpunkte (Brennebenen) brauchen nicht
sämmtlich verschieden zu sein und es wird ein X;-facher Strahl die Brenn-
fläche in der Regel in weniger als 2Je Punkten berühren.
Ist k gleich der Ordnung m der Congruenz, so muss f»>m sein, wenn
die Congruenz nicht zerfallen soll. Durch einen beliebigen Punkt P dieses
Strahles 8 geht ausser s kein Strahl mehr, während in einer Ebene E durch
s noch deren n — m liegen. Die Begelschaar B« zerfällt nothwendig in
Strahleuk^gel, deren Scheitel auf s liegen und für welche « je einem -fache
Erzeugende ist. Jeder dieser Kegel enthält k Brennebenen des Strahles s
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22 Eine elementare Betrachtung über Strahlencongruenzen.
(Tangentialebenen des Kegels längs s); die zugeordneten Brennpunkte sind
im Kegelscheitel vereinigt. Daraus geht hervor, dass R« in nur zwei sol-
cher Kegel zerfiUlt. — Für h = n {fn>n) zerfällt B« in zwei Strahlen-
ourven.
7. Die 00* Congruenzstrahlen werden sich in verschiedener Weise zu
Systemen von oo^ Begelschaaren B zusammenfassen lassen. (Geht z. B. die
Leitcurve einer solchen Begelschaar durch singulare Punkte, so bilden deren
Strahlenkegel reducible Theile der Begelschaar.) Der Ort der Brennpunkte
der Strahlen von B ist eine Curve, welche im Allgemeinen jeden Strahl in
zwei Punkten tri£ft, und längs dieser Curve berührt B die Brennfläche.
Längs derselben Curve haben B und die Brennfläche eine gemeinsame De-
veloppable, bestehend aus den Brennebenenpaaren der Strahlen.
Es seien B = a&o... und B,'=a'Vc... zwei unendlich benachbarte
Begelschaaren des Systems, beide vom Grade (Bange) r. B hat eine Doppel-
curve, welche jede ihrer Erzeugenden in r— 2 Punkten trifft. — Ist a ein
Strahl von B', welcher a von B unendlich benachbart ist, so schneiden sich
a und B in unendlicher Nähe der r — 2 Punkte, in denen a die Doppel-
curve von B trifft; B' schneidet somit B in einer der Doppelcurve von B
unendlich nahen Curve, und umgekehrt. Ausserdem schneiden sich B und
B' in derjenigen Curve, längs welcher B die Brennfläche berührt; denn B'
muss die beiden irgend einem Strahl von B unendlich nfkhen, schneidenden
Strahlen enthalten.* Hierdurch entstehen für jede Erzeugende von B' die
zwei letzten Schnittpunkte mit B und es folgt: Besteht eine Con-
gruenz aus einem einfach unendlichen System von Begelschaa-
ren, so schneidet jede ihre consecutive in einer mit ihrer Dop-
pelcurve zusammenfallenden Curve** und ausserdem in ihrer
Berührungscurve mit der Brennfläche, hierbei abgesehen von den
gemeinsamen Erzeugenden beider.
Sind die Begelschaaren vom zweiten Grade, so folgt, dass die Brenn-
fläche ein System von Baumcurven vierter Ordnung (erster Species) enthält.
8. Die Anzahl der singulären Punkte kann eine einfach unendliche
werden. Die von ihnen gebildete Curve, dieBrenncurve, wird von allen
Strahlen geschnitten. Aus jedem Punkte 8 dieser Curve 6 geht ein Kegel
von Strahlen , die ihre einen Brennpunkte in S vereinigt haben. (5.) Die
Brennebenen, welche in S die ;, Brennfläche'' berühren, bilden einen Büschel,
dessen Axe die Tangente an b in /S ist. (Fig. 3.) Denn construirt man zu
einem Strahle g des Kegels den unendlich nahen, schneidenden Strahl g^^
so schneidet er b in dem 8 unendlich nahen Punkte 8* und die Brennebene
6^ enthält 88*, Die so entstehenden Brennebenen sind die oo' Tangen-
tialebenen der Brenncurve; die übrigen Brennebenen, Gj, sind die Tangen-
* Der Strahl a* schneidet a in dem einen Brennpunkte J.] . Ferner schneidet
a den a consecutiven Strahl 6 von B in B,.
** Diese Doppelcurve ist eine doppelt zu zählende Schnittcurve beider Flächen.
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Von Dr. A. Weiler. 23
tialebenen der Strahlenkegel. — Jede Ebene durch 88* wird den Strahlen-
kegel in mehreren Strahlen schneiden, ebensoviele Paare benachbarter Strahlen
sind in dieser Ebene. Die Tangentialebenen der Brenncurve sind also im
Allgemeinen mehrfache Brennebenen; ihre Pnnkte sind unendlich vielfache
Brennpunkte.
9. Besitzt eine Congruenz cx^ singulare Ebenen, so sind in denselben
alle Strahlen enthalten; sie bilden eine Torse singulSrer Ebenen.
Fig. 4 giebt zwei consecutive Ebenen A, A* mit ihren Strahlencurven a, a*;
zu einem Strahl ^ in A sind die beiden benachbarten, schneidenden Strahlen
construirt. Die Brennpunkte (ö,) , welche die Strahlencurven erfüllen , sind
einfache; die anderen {G-^), welche auf den geradlinigen Erzeugenden der
Torse liegen, sind ebenso vielfache Brennpunkte, als aus einem Punkte G^
auf AA* an a Tangenten gezogen werden können, die nicht in AA"^ fallen.
Die Ebenen A sind unendlich vielfache, (^^2) = ^s dagegen einfache Brenn-
ebenen.
10. Die Congruenz kann eine einfach unendliche Anzahl von
A;-fachen Strahlen enthalten, deren Gesammtheit eine Begelschaar R ist.
B berührt die Brennfläche in k Curven, von denen jede die Erzeugenden
von B in zwei zugeordneten Brennpunkten schneidet u. s. f. — Ist die Flfiche
developpabel (B = S))» so rückt mit jedem der Je Brennpunktepaare auf
einem Strahl a der eine Brennpunkt in den Schnittpunkt A^ mit dem con-
secutiven Strahl h (Fig. 5). Die Ebene (a5) = A| ist eine X;- fache Brenn-
ebene (und h reprfisentirt h der a benachbarten, schneidenden Strahlen).
Die den Brennpunkten A^, Ä^, ... zugeordneten Brennebenen A,, A3, ...
berühren die Brennfläche sämmtlich in Ä^ ; sie sind im Allgemeinen von A^
verschieden und es folgt: Die Bückkehrcurve von ^ ist eine &- fache Curve
der Brennfläche und es berührt SD die Brennfläche in Je getrennten Curven,
von denen jede die Erzeugenden von S) in je einem Punkte schneidet. —
Bestehen die X;- fachen Strahlen aus den Tangenten einer ebenen Curve, so
tritt eine einfache Modification ein. Bilden endlich diese Strahlen einen
Kegel, 80 berührt er die Brennfläche in Je einzelnen Curven und durch den
Eegelscheitel geht die Brennfläche in Oestalt von Je getrennten Kegeln.
11. Es lassen sich nun elf Hauptgattungen von Congruenzen
unterscheiden. Im allgemeinsten Falle besteht die Congruenz aus Doppel-
tangenten einer doppelt gekrümmten Brennfläche. L^ztere kann ersetzt
werden durch eine Brenncurve, welche die Congruenz zu ihrem Secanten-
sjstem hat, oder durch eine Developpable singulärer Ebenen, deren Doppel-
tangenten die Congruenzstrahlen sind. Sechs weitere Gattungen haben eine
Brennfläche, welche in zwei Theile zerf&Ut; jeder dieser Theile ist entweder
eine doppelt gekrümmte Fläche, oder eine Brenncurve, oder eine Develop-
pable singulärer Ebenen (so dass die drei genannten Gebilde zu zweien mit
Wiederholung zu combiniren sind).
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24 Eine elementare Betrachtung eto. Von Dr. A. Wbiluu
Sind die beiden Theile der Brennflftche ungleicher Art, aber in ver-
einigter Lage, oder gleicher Art und zngleich unendlich benachbart, so zer-
Wli die durch sie bestimmte Congruenz im Allgemeinen jedesmal in zwei
yerschiedene Congruenzen. Die eine davon gehGrt einer bereits genannten
Gattung an und die zweite ist in jedem Falle dieselbe. Sie besteht aus
den Tangentenbttscheln einer Fläche in den Punkten einer (einfach oder
mehrfach) aufgeschriebenen Curve und es kann die Flftche durch ihre längs
jener Curve umschriebene Developpable ersetzt werden u. s. f.
Dass alle Strahlen vereinigte Brennpunkte und verschiedene Brennebenen
haben, oder umgekehrt, ist bei einer * eigentlichen Congruenz unmGglich.
Fallen dagegen fOr jeden Strahl beide Brennpunkte und -Ebenen zusammen,
so besteht die Congruenz aus oo* Büscheln und gehGrt in die zuletzt er-
wähnte Gattung. Sind auf jedem Strahl die Brennpunkte und -Ebenen je
unendlich benachbart (und das Eine ohne das Andere kann auch hier nicht
stattfinden), so wird jeder Strahl die Brennfläche stationär berühren. Letz-
tere darf nicht ausarten; die Congruenz besteht bei dieser letzten Gattung
aus den Haupttangenten einer krummen Fläche.
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IV.
Ueber den ftinotionenfheoretisohen Zusammenhang
zwisohen den Lame'schen, Laplace'sohen und
BessePschen Functionen.
Von
Dr. E. Haentzbchel
in Doitburg ». Bh.
§1.
Unter den L am 6 'sehen Functionen zweiter Ordnung nehmen diejenigen
eine besondere Stellung ein, welche definirt sind durch die Differential-
gleichung:
^^ ^=l(**-i)(p«-«*)-A*ty,
WO V eine ganze Zahl ist. Denn das allgemeine Integral von 1) wird für
11 = 0 logarithmisch unendlich. Diese Eigenschaft geht verloren, wenn v
nicht mehr ganzzahlig ist. Die durch 1) definirten Functionen stehen zu
den übrigen L am 6 'sehen Functionen zweiter Ordnung in derselben Be-
ziehung, wie / — zu / -^9 wenn m^ 1; sie sind demnach von den
zuerst von Lam6 selbst, dann von Heine* und besonders von Herrn ite**
studirten verschieden. Ihr Verhältniss zu den letzteren ist leicht zu ermit-
teln. Heine legt seiner Untersuchung die Gleichung zu Gründe:
Setzt man hierin:
+ [(6«+c«)t;-fi(n+l)^«]E(fi) = 0.
4ä»— ^,5-^3 = 4(5— eOC«— ««)(«- ^a)
lüid macht s zur Unabhftngigen , so entsteht:
* Heine, Handbuch der KuRelfunctionen, 2. Aufl. Berlin 1878/81.
** Her mite, Sar quelques applications des fonotioDS elliptiques. Comptes
Rendos, Tome 86 etc., 1877—1888.
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26 lieber den fonctionentheoretischen Zusammenhang etc.
welche Gleichung durch die Substitution
in
5) ^=^\n[n+l)(pu-et)-h*\E
ttbergeftlhrt wird.
Die beidon partikulären Integrale von 5) bezeichnet Heine mit E''{u)
bez. JF"(m). £ä erhalten folglich die Integrale von 1) die Bezeichnung
E*-^{u) bez. F— %(«).
§2.
Den L am 6 'sehen Functionen y der Differentialgleichung 1) adjungire
ich Functionen e^ welche mit den y verbunden sind durch die Beziehung:
6) y = £f(ptt — ea)-^
und daher der Differentialgleichung genügen:
cp0 ' 1 pu de
_. du* 2 pu— «1 du
Das allgemeine Integral , ausgedrückt durch zwei partikuläre Integrale , sei :
8) 0 = aVr+ßWr.
Die Gleichung 1) für die Functionen y nenne ich die doppelt perio-
dische Normalform. Derselben lässt sich eine algebraische Nor-
malform an die Seite stellen, wenn man in 1)
9) 5 = pU
einftlhrt und s zur unabhängigen macht. Dann ergiebt sich:
10) (45»-^,a-^,)g+(65«-li,.)g-{(v«-i)(,-ei)-A«}y=0
mit dem Integral:
Es ist zu beachten, dass die Gleichung 1) eine dreifache Form an-
nimmt, je nachdem man A= 1, 2, 3 setzt, üeberträgt man die gebrauchte
Weierstrass'sche Bezeichnung in die Jacobi'sche, so ergeben sich die
drei Gleichungen:
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Von Dr. E. Haemtzsohbl.
27
11)
|(--T)''.-«.'SiE|^-l».
l^°{("-7)"--'-'^(^..,»-"
y>
wo
Dieselben gehen durch die Substitution:
12)
cn^iV^t-e^u, k)
dn^iVe^—e^u. k)
sn^ij/ei-e^u^k)
1
sofort in die algebraische Normalform 10) über.
Für das Fernere ist nöthig , die Aufmerksamkeit auf zwei Differential-
gleichungen zu lenken y welche eine Erweiterung der in Heiners Handbuch
Bd. I, S. 148, 28 und 8. 217, S%ß) auftretenden sind. Definurt man
13) £^''> = y(pu-n) * =i?(ptt-a)«=aa}-r + /
so genügt 0^^^ der Differentialgleichung:
(PiK»-) (2v + l) pu di^*)
14)
du*
_j(2v + l)(2v + 3)(a.-e,)(e.-ra)%Jg J^„^Q
l 4 pu — ei 4 ^ '^ j
und ganz analog:
15) iP(»)=y(p«-ez)'
der Gleichung:
16)
^%) (2vj-l) pu
cfu« "^ 2
pu — ex du
- {'^— f - '^'^;7^^-ru2.-i)'-»')..,=o.
«3.
unter Benutzung der von Herrn Professor Weierstrass in seinen
Vorlesungen gegebenen Theorie der elliptischen Functionen kann man streng
functionentheoretisch durch einen Grenzübergang aus dem Gebiete der
L am 6 'sehen in das der Laplace 'sehen Functionen hinabsteigen.
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28 lieber den fanetioneniheoretisohen Zusammenhang etc.
Bleibt von den beiden Perioden 2o) nnd 2 a»' der p- Function die reelle
CO
erste endlich, wird hingegen der reelle Bestandtheil Ton — . unendlich
(0.1
gross, so werden zwei* der Grössen e^, eji, ei einander gleich.
Ich wähle nun
17) ö«==Ci, ejt^e^, C;l = ^»
so ist unter der genannten Voraussetzung
18) ßj = C3
und es geht (pu — ej) über in
ION (^i— O
Daher verwandelt sich die Differentialgleichung der L am 6 'sehen Functio-
nen in:
du* \\ y sinHye,-e,u) j*
Die hierdurch dargestellten Functionen haben keinen besondem Namen
erhalten, wohl aber die zugehörigen js- Functionen.
Denn es ist
6a) y =r ^(«j - ej)- % m^ (Ve^^u)
zu setzen und e das Integral von:
Aus e| + eg + e3 = 0 folgt wegen 18), dass
3«3 = -(ei-C8);
führt man noch die Abkürzung ein:
20) n= * = _1
SO erhalt man:
+ (e|--e^) n(n + l)->-- -^_.-[^==0.
In Heiners Bezeichnung (Bd. I S. 216) ist:
8a) £r=aP,«(öo*(/c,-tf3w)) + iSör" («>s(^/v=^w)).
Die Functionen ier in 7) gehen demnach an der Orenze in Laplace'sche
Functionen über, d. h. in zugeordnete Eugelfunctionen, welche in dem vor-
liegenden Falle einen ganzzahligen unteren und einen willkürlichen oberen
Index haben.
Aus 20) ersieht man, dass für ej— e^^l die Grösse n eine ganze
Zahl wird, wenn h die Hälfte einer ungeraden Zahl ist, und dass die zu-
geordnete Kugelfunction mit ganzzahligem oberen und unteren Index ent^
steht, wie sie Heine betrachtet hat.
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Von Dr. E. Habhtzbobsl. 29
Fflr e, — e, = 1 und ganzzahliges h ergiebt sich die Bingfonction
(Heine 11, S. 289); endlich ftlr «, — ej=l und h = uy—l die zugeord-
nete Mehler'sche Kegelfunction (Heine 11, S. 231).
Weiter folgt:
it+1 (»»+» i
13a) «"^ = y(«i-e») * ««2_* (/eFe»«) = '{ei-e^sin-*{]/7p^u),
( »"> = o «pl, ieos (j/cj-ej «)) + /JOl, (cos 0/e,-e, «)) ;
14a) tJ^ + CZ^' + D/v^^'^C/^T^^«)^
+ («i-e»)(« - v)(«+ v + 1)«<'> = 0
(Heine, Bd. I S. 148 und S. 217);
(»»-!) (I»-l) _»
15a) 'w = y K-«»)~ * g*** * (y^i~ «»») = «(V^) * «»' (^«i-e» »).
16a) ^-(2v-l)>/iFic^(^^^«)^
+(«i — «») (« + v) (n — r + 1) ;?(,) = 0.
§4.
Durch die Substitution
geht 7 a) über in die bekannte Gleichung der zugeordneten Eugelfunctionen :
Wird hingegen
21) a; = co5*(/c, — ejw)
gesetzt, 80 erhält man:
22) 4.(l-,)g+2(l-3*)^+(n(»+l)-^). = 0.
Sei ftlr den Augenblick in dieser Gleichung ausser v auch das bisher
willkürliche n eine ganze Zahl.
Der Differentialgleichung 22) der Laplace'schen Functionen stellen
wir gegenüber die algebraische Normalform 3) der y- Functionen für 62 = 63.
Dieselbe lautet:
3a)4(»-e,)(*-«i)g+6(s+e3)g-{«(« + l)-^}y = 0.
Sie geht durch die Substitution
23) 5 = (6s-«i)« + «ii ^•^' flJ = -(rf^«(j/ei-65u),
über in:
24)4x(l-,)g+2(l-3«)2+{«(« + l)-(^^). = 0.
Hier mOge jetzt neben n anch ■ eine ganze Zahl sein.
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30 üeber den functionentheoretischen Zusammenhang etc.
Alsdann definiren 22) und 24) eine und dieselbe Function. Nun ist
das allgemeine Integral von 22):
und wir wissen, dass Qtix) an der Stelle x = l logarithmisch unendlich
.wird, so lange v<n; dass sich aber für v>n beide partikuläre Integrale
als algebraische Functionen von x darstellen lassen.* Andererseits definirt
24) solche Functionen y, welche aus den Lam^'scheu Functionen E^{x)
bez. jP"(a;) hervorgehen, wenn man e^^e^ setzt Herr Her mite hat die
vollständige Integration der Gleichung 3) geleistet und gezeigt, dass, wenn
F{x) ein partikuläres Integral ist, ^(— «) ein zweites ist.** Aber in
einem an Heine gerichteten Briefe findet er, dass seine Integration ver-
sagt, wenn e^sse^ und ausserdem eine ganze Zahl ist, kleiner oder
höchstens gleich w,*** weil dann das zweite partikuläre Integral logarith-
mischen Charakter hat, wie wir hinzusetzen können.^ Damit ist ein dop-
pelter Zugang zur Theorie der Eugelfunctiouen mit ganzzahligem unteren
und oberen Index erO&et und es ist interessant, denselben auch in H eine's
Handbuch vorzufinden. Im ersten Theile des ersten Bandes sind die zu-
geordneten Kugelf unctionen isr- Functionen, entsprechend der Differential-
gleichung 22). Hingegen werden im dritten Theil (S. 450) unter Kugel-
functionen zweiter Ordnung die durch 24) dargestellten y- Functionen ver-
standen, wofern dort eine ganze Zahl ist.
Aber man wird die Gleichungen 22) und 24), obschon unter unseren
Voraussetzungen gleichwerthig, doch nicht als gleichberechtigt ansehen dür-
fen, wenn man sich den Ursprung von 24) aus 3) vergegenwärtigt. Denn
alle Resultate, die man für 1) erhält, gelten unter der Voraussetzung 62 = 63
sofort für Heine 's Kugelfunction [Gleichung 22)], weil der Charakter des
Integrals wesentlich durch das ganzzahlige v bestimmt wird. Die Integrale
von 3) hingegen lassen keine directen Schlüsse auf je? = aPj(a?)-h/3^;(x)
zu, wie es der Brief Her mite's an Heine augenscheinlich darthut. üebri-
gens hätte Heine dieser Umstand nicht entgehen dürfen. Weil Fv(x)
eine ganze Function von x ist, so sucht er auchJ?"(a;) als ganze Function
darzustellen. Dieser AnsJogieschluss war falsch; er führte zur Integration
oi TT 7\iy f^v
* Haentzschel, Ueber die Beduction der Gleichung oZs"^ ^^ "^ '^~T =^ ^
auf gewöhnliche Differentialgleichungen. Ein Beitrag zur Theorie der L am ^ 'sehen
Functionen zweiter Ordnung. Berlin 1888, Mayer & Malier.
** Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiqaes. Comptee
Rendos 1877-1882.
*** Hermite, Sur Vintägration de Täquation diff^rentielle de Lama. Eztrait
d*une lettre adrets^ ä M. Heine. Borchardt'a Journal Bd. 89.
t Heine, Handbuch, Bd. H S. 864—867.
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Von Dr. E. Haentzschel. 31
von 3) für einen Ausnahmefall.* Denn Qp(x) wird fttr jrs=l logarithmisch
nnendlich, wfihrend die Lam6*8che Function der zweiten Art F^{x) nur
j9 elliptische Integrale der ersten und zweiten, nicht aber der dritten Gattung
enthält, folglich des logarithmischen Charakters entbehrt. (Heine I»
S. 386).
§5.
£8 ist endlich noch ein weiterer Grenzfall mOglich, nämlich der, dass
die beiden Perioden der p- Function unendlich gross werden, d. h. dass alle
drei Grössen e und also auch die Invarianten g^ und g^ verschwinden.
Man gelangt dann in das Gebiet der BesseTschen Functionen oder
nach Heine in das der Functionen des Ereiscjlinders. Diese sind daher
sowohl ein Grenzfall der L am 6 'sehen, sds der Laplace 'sehen Functionen,
in welchen natürlich über die e nicht, etwa in der Weise e^— 63 = 1, ver-
fügt werden darf.
Wird demnach
25) g^s=zg^9cO oder e^^^e^^e^^O
gesetzt, so lauten die entsprechenden Gleichungen:
6b) y^e/uy
Also ist
8b) B = aMhu) + ßKp{hu)
die Fourier-BesseTsche Function; die Functionen y haben keinen Namen
erhalten.
Die algebraische Normalform reducirt sich auf:
.Ob) 4..g+64j_{(^4),-».), = 0.
Weiter ist:
13b) xf^^^yu 2 ^gu'-v^ e^''^=^oMu) + ßkp{u)]
14b) ^Vv2v + 1)^. ,^,,^0
au* u du
(Heine, Bd. I 8.233),
2V-1
16b) «(v)==yw '^ =;?w*.
* Fuchs, üeber eine Classe von Differentialgleiehungen, welche durch
Abersche und elliptische Functionen integrirbar sind. Nachrichten der königl.
Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1878.
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32 üeber den fanctioneniheoretischen Zusammenhang etc.
16b) ^>-(lrill)^ + ,.,,,, = 0^
du' tt du
Bekanntlich hat Herr Mehler ein Orenzrerfahren angegeben, um von
Kngelfonctionen zu Bessel'schen Functionen zu gelangen. Dasselbe ist
jedoch nicht einwurfsfrei, denn es vermischt den endlich bleibenden Para-
meter f», der, in der Verbindung M(n+l)(^i-'^8) auftretend, an der
Grenze in h* übergeht, mit einem varürenden n, das sich auf das Argument u
bezieht. Es ist deshalb bezeichnend, dass Heine zu falschen Resultaten
gelangt, als er dieses Grenzverfahren auf die Differentialgleichung der
Lam6'schen Functionen anwendet, um die Functionen des elliptischen Cj-
linders zu erhalten.
§6.
Legen wir uns nämlich zum Schluss noch die Frage vor: In welchem
^^%rhSltniss stehen die Functionen des elliptischen Cylinders zu den Lam6-
schen Functionen und den daraus abgeleiteten? so antwortet Heine, Bd. I
S. 6: Man erhält die genannten Functionen in derselben Weise aus den
Lam^'schen, wie die Bessel'schen aus den Eugelfunctionen. Dass dies
falsch ist, haben die vorangegangenen Erörterungen bewiesen, indem die
Functionen des Kreiscjlinders sowohl aus den L am 6 'sehen, als aus den
L a p 1 a c e 'sehen hervorgingen , indem man e^ = 6, = «s = 0 setzt Aber auch
die andere Angabe He ine 's, Bd. I S. 401, ist als unrichtig zu bezeichnen:
„Wie die La m 6 'sehen Functionen mit den Kugelf unctionen , so hängen die
Functionen des elliptischen Cylinders mit denjenigen zusammen, welche
bisher schlechtweg sJs Cylinderfunctionen bezeichnet wurden." Die Func-
tionen des elliptischen Cylinders stehen eben mit den genannten drei Gat-
tungen von Functionen nicht in so naher Beziehung, als Heine angiebt.
Schreibt man die Differentialgleichang der Functionen des eUiptischen
Cylinders:
und setzt alsdann
^ ij+l" •"k-\T''"-*'?'-°
«,=68 = 0,
80 erhält man die Functionen des parabolischen Cylinders:
welche demnach mit den Functionen des elliptischen Cylinders ebenso zu-
sammenhängen, wie die Bessel'schen mit den La place 'sehen Func-
tionen.*
* Karl Baer, Ueber die Functionen des parabolischen Cylinders. Programm
des Gymnasiums zu Cüstrin, 1888.
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Von Dr. E. Habntzschbl. 33
Erwtthnt sei noch, dass keines der beiden partikalftren Integrale von
26} an der Stelle u = 0 logarithmiscb unendlich wird, wie eine einfache
üntersnchnng lehrt. Deshalb ist Heine 's Darstellung derselben durch
e{<p) = 2 Jo (il cosgi) - JWi /, (ilcastp) + N^ J^ {il costp) . . .,
irrthümlich, da in dem zweiten Integral der Factor von log{il€OSip) yer-
schwinden muss. Weil nttmlich:
^o(»A(»5gp) = 7o(»Aca5y).to^(ac(W9^) + 2(/,-i/, + i/,-...)
nach Heine, Bd. I S. 244, und allgemein:
Fp{iX cosqi) ssi Jp{il cosip) .log{ik eo8q>) + if{il 008 ip) y
wie sich aus S. 28 — 29 meiner schon citirten Dissertation ergiebt, so ist
jener Factor von log{ikeosq>) nichts Anderes, als €(9»), welches, gleich
Null gesetzt, aufhGren wttrde, ein Integral zu sein.
Z«lUohrlfl t. Mathematik u. Phj.ik XXXI. I. ^.^8 ^^ ^^ GoOglC
Kleinere Mittheilungen.
I. lieber die Invenion der ▼ollstftndigen elliptisohen Integrale
erster Oattnng Ar ihre reellen Moduln.
In der yerdienstlichen Schrift von Grothe über „Leonardo da Vinci
als Ingenieur und Philosoph^ wird mitgetheilt, dass der berühmte Künstler
folgenden Satz ausgesprochen habe: „Der schwere Körper A steigt
schneller auf dem Kreisbogen ACE herab, als auf der Sehne
AE,^^ — Bei der zugefügten Figur ist der Bogen ACE ein Quadrant.
Hierzu macht nun Grothe die Bemerkung: „Venturi weist in seiner
Erklärung darauf hin, daes Vinci und sp&ter Galilei gefunden haben und
festhielten, dass der Kreisbogen fUr den Fall der Körper der Weg des
Minimums der Zeitdauer sei, während später gezeigt ward, dass dies die
Cycloide sei."
Wenn wirklich Leonardo daVinci seinen obigen Satz auf die von
Venturi angegebene Eigenschaft des Kreisbogens gestützt haben sollte, so
wäre die Begründung allerdings eine falsche gewesen; der Satz selbst ist
aber nichtsdestoweniger vollkommen richtig , wie sich sehr leicht zeigen läset.
Bezeichnet man nämlich den Durchmesser desjenigen Kreises, welchem
der Bogen ACE als Quadrant angehört, mit 2r, so findet man für die
Fällzeit auf der Sehne AE den Werth: ^
,,-2/i.
Für die Fallzeit auf dem Bogen A CE aber lässt sich aus dem Pendelgesetz
die Relation ableiten: y—
wobei nach der Bezeichnungs weise von LegendreF' das vollständige ellip-
tische Integral erster Gattung bedeutet. Entnimmt man den Werth desselben
aus den Tafeln, so findet sich: ^
<, = 7/-- 1,85407....
Demnach ist i^Kti^ womit das Theorem von Leonardo da Vinci be-
wiesen ist. An dasselbe lässt sich nun in sehr einfacher Weise folgende
Pendelaufgabe anknüpfen:*
* Diese Gedankenverbindung wurde in einer Vorlesung über analyt. Mechanik
von Herrn Geh. Rath Lipschitz gelegentlich vorgetragen und gab zu der fol-
genden Untersuchung die unmittelbare Anregung.
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Kleinere MittheilQugen. 36
., Oebrancht bei einem Ausschlagwinkel von 90 Grad das Pendel eine
kürzere Zeit, um in seine tiefste Lage zu kommen, als ein auf der zu-
gehörigen Sehne ohne Reibung gleitender Körper nöthig hat, um an den-
selben Punkt zu gelangen, so wächst doch bei zunehmendem Bogen die
Schwingungszeit für das Pendel bekanntlich zu unendlicher Dauer an,
während die Fallzeit auf der zugehörigen Sehne ganz unverändert die-
selbe bleibt Es muss demnach irgend einen Bogen geben , bei welchem
beide Zeitbestimmungen genau den gleichen Werth haben. Wie gross
ist dieser Bogen?^^
Die analytisch -mechanische Entwickelung der so fixirten Aufgabe ist
rasch erledigt. Bezeichnet man den gesuchten Bogen mit t^ , so ist derselbe
geknfipft an die Bedingung:
'^/F
dg>
1 — ^m'-^«»n*<p
'/l
oder
F'(mod J)r=2.
Es handelt sich also nur noch darum, die Function JP' oder, wie man
dieselbe jetzt bezeichnet, das Integral K^ ftlr seinen reellen Modulus zu
invertiren, und dies ist die Aufgabe, deren allgemeine Lösung das Ziel
der folgenden Entwickelungen bildet.
1. laversion fftr kleine Werthe von K durch die Lande n'sehe Trans-
fomiation und dnreh abgekürste Potenireihen.
Giebt man dem vollständigen elliptischen Integral erster Gattung die
vorhin angegebene Form:
T
dtp
bezeichnet -^r mit iy und setzt nun 00517 == -r— — : — - » (»517,= . — - etc.,
iS l + ÄttH^j l+Wll^j
so gelangt man bekanntlich zu der Belation:
ir==Y(l + ««i/i)(l + 5mi7g)(l + «ifii|3)...,
und da hierbei die aufeinander folgenden Winkel t; rasch abnehmen, so
kann man, im Falle das Integral K und demnach auch der Winkel ^ nur
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36 Kleinere Mittheüungen.
kleine Werthe haben, das Prodact auf der rechten Seite schon bald ab-
brechen, ohne dass der damit begangene Fehler allzn erheblich wird. Aach
die in der Einleitung fixirte Aufgabe Iftsst sich, obschon der Bogen ^ einen
Quadranten übersteigt, doch noch mit ziemlicher Genauigkeit auf diese
Weise erledigen. Bricht man z. B. nach der zweiten Klammer ^b , so führt
die Rechnung auf eine quadratische Gleichung für mi}|, nach deren Auf-
lösung die Winkel i} und ^ leicht bestimmt werden können. Man findet
dabei :
tfi=1060 44'36"
und dieses Resultat ist schon bis auf eine Minute genau richtig.
Bricht man das Product hinter der dritten Klammer ab , so ergiebt sich
nach einigen Umformungen die Relation:
welche in ihrer weiteren Behandlung auf eine Gleichung des vierten Grades
führt, deren Auflösung kein besonderes Interesse mehr hat, da eine ge-
nauere Betimmung des Winkels i^, wie sich später ergeben wird, auf an-
dere Weise viel bequemer erreicht werden kann.
Einen zweiten Weg, um aus kleinen Werthen von IT den Modulus zu
eruiren, bietet die bekannte Reihe:
dar, wobei x = sinr ^ gesetzt ist. Wenn nämlich der Winkel tf; so klein
ausfl&llt, dass schon sifir-^ jenseits der Grenze liegt, bis zu welcher man die
Genauigkeit der Rechnung zu treiben gedenkt, dann kann man in der That
die aus der Abkürzung obiger Reihe sich ergebende Gleichung:
recht wohl zu Grunde legen, um den Modulus direct durch das Integral
K zu bestimmen.
In einem viel grösseren Bereich hingegen lässt sich die Methode der
abgekürzten Potenzreihen anwenden, wenn statt der obigen Legendre-
schen die von Jacobi gegebene Reihe:
dazu verwendet wird. Die Grösse q ist ja durchweg bedeutend kleiner als
der Modulus h des elliptischen Integrals, und infolge dessen convergirt die
Reihe so stark, dass man sie in vielen Fällen schon nach dem zweiten
Gliede abbrechen kann. Selbst für den verhältnissmässig ungünstigen Fall
der Pendelaufgabe findet man auf diese Weise schon ein auffallend richtiges
Resultat. Es ergiebt sich nämlich dann:
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Kleinere Mittheilungen. 37
g = i/^^_lV also für J:=2 g = |::^ = 0,0641896,
und nun kann man zur Anf&ndung des gesachten Winkels eine der For-
meln benutzen, in welchen k als Function von q auftritt, etwa die Formel :
Ä=^^2.{l + 2» + j«+. ..}«,*
oderaach j^^^ ,/r( 1 + 8*. 1 + 9* 1 + «* l' -
= ^V1[
1 + 9 1 + 3» 1 + 9» J
Dabei findet sich: -
,y = arcm&= 53« 22' 14", t/; = 1060 44' 28".
Bricht man aber obige Reihe ^3(0) erst hinter dem dritten Oliede ab, so
ergiebt sich die trinomische Gleichung:
«•+«-4 {/¥-')=«.
und man kann unmittelbar bilden:
y=M_(«-(„_(„-. ..)*)*)«.
ein 8chema, dessen Ausrechnung sehr rasch auf den Werth 9 ==0,0641726
ftlhrt, und dieser ist so genau, als er mit siebenstelligen Tafeln überhaupt
gefunden werden kann. Die Grösse des gesuchten Winkels ^ bestimmt sich
hieraus auf: ,p = 106« 43' 15,46".
2. Ldsnng des Problems durch die BeTersionsformel Ton Lagrange«
Die bis jetzt angeführten Methoden werden weit in Schatten gestellt
durch Entwickelung einer Reihe, welche aus der vorhin schon benutzten
Relation: .5-=
^^=l + 2g + 23*+... + 2g-'+...
durch Inversion erhalten werden kann. Man bildet zunächst wieder:
9 + 9* + 9'+... =!(/?- 1) = «.
sucht sodann eine neue Reihe abzuleiten von der Form:
und kann dabei die Coefficienten A nach irgend einer der bekannten Me-
thoden berechnen. Geeignet hierzu ist z. B. die Formel von Lagrange***:
* Jacobi, Fund, nova, p. 184 Nr. 10 and 6.
♦* Fund, nova, p. 89 Nr. 7.
*** M^c. Anal. 11, p. 22. Vergl. ferner Lagrange, „Nouvelle mäthode pour
r^BOudre les ^quations littärales** in den Berichten der Berliner Akademie des
Jahres 1768, 8. 274. — Bequem sind auch die von Kerz in seinen beiden Abband -
inngen über „Die allgemeine ümkehrung der Reihen**, Giessen 1860 und Darmstadt
1861, angegebenen Formeln.
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38 Kleinere Mittheilangen.
Bis zur zwanzigsten Potenz des Argumenta hat diese Reihe folgende Glieder:
Iu - II* + 4u^ - !»• + 22i|i® + 13u"
+ 140ii" - 136ii« + 969u" + 9ii" + 844u«
+ 6316ii"-42u»+...
Bei der Application derselben auf unsere Pendelaufgabe ist die Bech-
nung äusserst kurz:
u «0,0641896
II* = 0,0000170
4ii^ = 0,0000000
q =0,0641726,
und das Resultat stimmt mit dem vorhin erhaltenen fiberein.
So rasch und bequem nun auch diese Methode in einem gewissen Be-
reiche zum Ziele führt, so Iftsst sie doch im Stiche, sobald K und damit
auch u grössere Werthe annehmen, nicht allein deswegen, weil die Ermit-
telung der zu den höheren Potenzen von u gehörigen Coeffioienten eine sehr
mühevolle Rechnung erfordert, sondern weil die Reihe an irgend einem
Punkte überhaupt aufhört, convergent zu sein. Die zuverlässige Festsetzung
dieser Convergenzgrenze erfordert aber eine besondere und umständliche Un-
tersuchung , die ich aus dem Plane der gegenwärtigen Arbeit ausgeschieden
habe, um sie später zum speciellen Thema einer andern zu machen. Ich
will hier anticipando nur dies erwähnen, dass jene Grenze ftlr K nicht
jenseits des Werthes 2n liegen kann. Aber schon ziemlich weit unter-
halb dieser Zahl hört, wenn auch vielleicht nicht die Convergenz, so doch
die praktische Verwendbarkeit der obigen invertirten Reihe auf, und da K
n
bekanntlich von -^ bis oo wachsen kann, so ist es unerlässlich , ein Mittel
zu finden, welches auch für höhere Beträge aus dem Integral IT den reellen
Modulus zu ermitteln möglich macht.
8« Lösung des Inversionsproblems durch Limitation«
Weil es sich wesentlich nur noch um die grösseren Werthe von K
handelt, und weil offenbar jedes auf die Gleichung usg-f'^ + ^ + *«*
basirte Näherungsverfahren zu immer längeren und unbequemeren Rech-
nungen führt, je näher q an die Einheit heranrückt und je mehr Glieder
der rechten Seite demzufolge berücksichtigt werden müssen , so wird die Ent-
wickelung einer Formel, welche umgekehrt um so rascher zum Ziele führt,
je grösser K gegeben ist, das nächste Interesse beanspruchen dürfen.
Den complementären Moduln Je und Je entsprechen die Hilfsgrössen q
und q'f sowie die vollständigen Integrale K und K* in der Weise, dass,
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Kleinere Mittheilungen. 39
wenn h in h\ dann anch q ia g\ K in K' übergeht und umgekehrt. Dem-
gemäes kann die Jaoobi*Bche Definition:
auoh geschrieben werden:
K
oder entsprechend:
Da man nun allgemein, abgesehen von den Grenzen, die hier keiner be-
sondem Betrachtung bedürfen, hat:
0<g<l,
BD ist entsprechend anch
K(0)<K{q)<E{lh
dies ergiebt sich direct aus der Relation:
Ferner ist ersichtlich A'(0)sb-s-« K{1)'=<x>.
Setzen wir jetzt definirend :
, 1
wobei n irgend eine reelle oonstante Grösse bedeutet, welche der einzigen
Bedingung unterliegt: ^ ^
so kann man infolge des ümstandes, dass
j<K{q)<co
ist, statt n auch 2K{q) setzen, so dass die für q\ aufgestellte Definition
nunmehr lautet: , ,»-#«.
Diese lässt sich noch weiter umbilden, indem man, ohne die Identität zu
verletzen, auch noch die Function K' in dieselbe eintreten lässt. Man hat
nämlich zunächst: nK(^)
und weil -^ = ir(0), so kann man schreiben:
q\^e '^^^.
Combinirt man diese Gleichung mit der vorhin angeführten:
so folgt aus 0<$' der Beihe nach:
jr(0)<A'(,'), ^>^' e-'-^<e-T^, g'.<g.
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40 Kleiner» MittheilungeB.
Andereneita folgt aas »<oo, dass —>0 irt, also hat man:
0 <«',<«', K{0)<Ki^,)<K{q),
im SiO ^WT ^e i ^,
Setzt man daher wiedemm definirend:
80 ergiebt sich:
0<q\<q\<q.
und wenn man weiterhin setzt:
so erhält man auf dieselbe Weise:
0<q\ <q\<q\<q.
' In dieser Art lassen sich zwischen den znletzt fizirten Näherungswerth und
den wirklichen Werth q' immer neue Nfthemngen einschieben, so dass man
schreiben kann:
Um nun auch noch über die Stetigkeit dieser Annäherung ins Klare
zu kommen, ist folgende Erwägung dienlich. Wie schon angeführt, hat man:
Jf(«')= 5(1 + 2«'+ 23'*+2g'» + ...)».
Diese Function wächst fdr 0</<l von -^ ab mit wachsendem q stetig
weiter, ohne irgendwo ein Maximum zu erreichen; ihr Werth bleibt stets
endlich, so lange das Argument unter der Einheit bleibt.
Ist nun K{q) der Werth irgend eines gegebenen vollständigen ellip-
tischen Integrals erster Gattung, so hat man:
J<A'(g)<oo,
und der Bruch _ . ,[ ist für alle Werthe von q und g'», welche zwischen
0 und 1 liegen, eine eindeutig bestimmte Grösse, die nicht zu Null und
nicht unendlich werden kann. Ausserdem ist zu sehen, dass bei constantem
q und stets wachsendem qn der Bruch immerwährend abnimmt, dass also
e ^n?? stets zunehmen muss.
Setzen wir nun g'n+i^g'— in+i, 3'n = fl' — 'n «tc., so folgt zunächst :
...d„.i>a„>6„+,>0
nK[q)
und die Gleichung qf,^=e *(9'n-i) geht über in:
und entsprechend:
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Kleinere Mittheiluugen. 41
nK(g)
g'-«„+i=e Ä(?=^ etc.
oder auch:
8n^q-e «(«'-'— 1>, tf„+i = ff'-c «tj'-do etc.,
und nnter Berücksichtigung der Definition von q' hat man:
d„ = c Äl?f-e «(ff'-<'»-i), d,+i = e Ä<9')-e *(9'-'»> etc.
Da nun in-i> 9n> Sn-^-i etc., so n&hert sich mit wachsendem Index oder,
was dasselbe ist, mit abnehmendem i die Function K(q'^i) stetig dem
Werthe K{q')j also die Differenz:
nKiq^ nK(q)
stetig der Null. Wenn aber lim 6n=^0y so folgt aus q'n^q — in^ dftss
liniq'n=^q\ also dürfen wir schreiben:
nKjq)
1) g=Ufne *^<«'">
oder auch: ^ ^, ^
^ A (^ „)
wobei ir(g) als Werth des zu invertirenden elliptischen Integrals erster Gat-
tung eine bestimmt gegebene Grösse, und ^'o^^ ^^^'
Da die entwickelte Formel nur an die Bedingung
f<jr(g)<«
geknüpft ist, so enthält sie eine uneingeschränkte Lösung des Inver-
sionsproblems fttr die erste Gattung. Die nachherige Ermittelung von k
aus q kann leicht geschehen durch die von Jacobi* gegebene Gleichung:
,r__ »(O.g) . l^2q'+2g'*-2q»+ ..
, , , ^ »,{0,q') - l + 2q + 2g'* + 2q»+...
oder dorcb
*^°^ -1X4
-j[f(J^)*
Nunmehr ist auch leicht einzusehen, dass die gegenwärtige Lösungs-
methode gerade für die grösseren Werthe des Integrals K am raschesten
zum Ziele führt Denn in diesem Falle ist der Modulus h der Einheit nahe,
also k' der Null. Daher ist auch q' eine sehr kleine Grösse, und wenn in
dem ersten Näherungswerthe q\ statt K{q') die Grösse K{0) eingeführt
wird , so ist der Fehler nur gering und es bedarf weniger weiterer Annähe-
rungen , um q bis auf den gewünschten Grad von Genauigkeit zu bestimmen.
Der Werth des Integrals K^2y wie er in der Pendelaufgabe vorliegt, ist
für diesen Zweck noch etwas zu klein. Wenn aber schon K=4 gegeben
ist, so findet sich q sehr rasch. Man hat dann:
^ Fund, nova, p. 184 Nr. 11 und p. 89 Nr. 8.
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42 Kleinere Mittheilungen.
/,= 0,0003347
/,== 0,0003391
^'3 = 0,0003391.
Auf sieben Decimalstellen giebt also der zweite N&herungswerth das Resultat
schon richtig an.
Auch für kleine Betrftge von K lassen sich übrigens Wege finden,
um die Grösse q durch Limitation mit nur wenigen Nttherungswerthen sehr
genau bestimmen zu können. Geht man z. B. aus von der bekannten
BeUtion: j/2K_\±q U^ 1+3.» 1::^
r « ~i-2*i+3«" i-3»'i+a*"'
und setzt q^^coatp, so ergiebt sich auf leichte Weise die Gleichung:
2) o,rf.^ = fo„,^_.^-_,.__j.^__..., ,„ = 0,
welche für ein kleines K ziemlich rasch zum Ziele führt. Noch rascher ist
dies der Fall bei Anwendung der Formel:
3) q^lm j^^^ . qo — O.
'S'-'-'
Die Ableitung von Nr. 2) und 3) übergehe ich, weil sie im Wesent-
lichen auf Schlüssen derselben Art beruht, wie sie vorhin bei Entwickelung
der Limitation für q' benutzt worden sind. Die Anwendbarkeit der Formel
Nr. 3) geht übrigens, wie sich leicht zeigen Ittsst, nicht über die Zahl
ü^ssQ'-^ hinaus, allein schon weit unterhalb derselben wird sie so un-
bequem, dass man lieber Nr. 1) benutzen wird. Selbst bei kleineren Wer-
then von i^ kann sie in Bezug auf Bequemlichkeit nicht concurriren mit
der in Abschnitt 2 aufgeführten Reihe. Trotzdem haftet ihr doch ein be-
sonderes Interesse an, nämlich dass bei ihr die Annäherung nicht, wie bei
Nr. 1), eine einseitige ist, sondern eine oscillirende , so dass je zwei auf-
einander folgende Näherungswerthe , indem sie den wahren Werth von q
zwischen sich haben, stets über den Grad der erreichten Genauigkeit ein
zuverlässiges Urtheil gestatten.
Bezüglich aller in diesem Abschnitte entwickelten Limitationsformeln
wird man sich leicht die Gründe entwickeln können, weshalb es nicht erfor-
derlich ist, stets genau mit den Werthen g'o=^0 oder ^o = 0 anzufangen.
Sodann ist auch unschwer einzusehen, dass sich für die Grösse q eine Re-
lation ableiten Hesse, welche genau dieselben Eigenschaften haben würde,
wie die in Formel Nr. 1) für q' gegebene.
Durch vorstehende Erörterungen erscheint das Inversionsproblem für
jeden beliebigen Werth des vollständigen elliptischen Integrals erster Art
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Kleinere Mittheilungen. 43
gelOst Nicht minder lässt sieh aber auch, wie in einem folgenden Ab-
schnitt erörtert werden soll, aus jedem vollständigen elliptischen Inte*
gral zweiterArt der reelle Modulus mit beliebiger Genanigkeit ermitteln.
Bonn. Dr. C. Isbnkhahe.
II. Geometrische Sätie.
(Hierra Taf. I Fig. 6-9.)
I.
a) Beschreiben wir um die vier, von vier geraden Linien gebildeten
Dreiecke Kreise , so schneiden sich diese vier Kreise in einem und demselben
Pnnkte, dem Brennpunkte der Parabel, welche die vier geraden Linien
berührt« Diese vier Kreise bilden nun mit den vier geraden Linien acht
Systeme von je vier Linien, und zwar ein System von vier Linien, sechs
Systeme von je zwei Linien und zwei Kreisen, welche durch einen Punkt
gehen, und ein System von vier in einem Punkte sich schneidenden Kreisen.
Berühren nun die vier Linien von irgend einem solchen System einen Kreis,
so existirt zu jedem der acht Systeme ein solcher Berührungskreis.
Zum Beweise, dieses Satzes führen zwei Sätze, welche wir in Folgen-
dem entwickeln wollen.
b) Zwei sich in C schneidende Kreise werden von einem dritten berührt
und zwar in den Punkten A und J9. Die Verbindungslinie der beiden Be-
rührungspunkte, also AB^ geht nun durch einen Aehnlichkeitspunkt 0 der
beiden sich in C schneidenden Kreise, und zwar ist OC^^OA.OB, Be-
schreiben wir femer um 0 einen durch C gehenden Kreis , so muss dieser
den berührenden Kreis senkrecht schneiden. Dieser Kreis halbirt aber einen
der Winkel der beiden durch C gehenden Kreise. Wir erhalten also als
hinreichende Bedingung, dass ein Kreis, welcher einen andern Kreis berührt,
zugleich noch einen zweiten den ersteren schneidenden Kreis berühren muss,
dass die in Bezug auf ihn conjugirten Pole der beiden Schnittpunkte der
zwei sich schneidenden Kreise auf einem Kreise liegen müssen, welcher
einen der Winkel der beiden sich schneidenden Kreise halbirt und durch
deren Schnittpunkte geht.
c) Legen wir durch den Schnittpunkt P zweier Tangenten PE und
PD eines Kreises einen solchen, welcher den ersteren Kreis in einem Punkte
C berührt, so bestimmt dieser Berührungskreis auf den Tangenten PD und
PE zwei Punkte B und A so, dass AB einen festen Kreis berührt. Hal-
biren wir nämlich die zu den Sehnen PA und PB des durch P gehenden
Kreises gehörigen Bögen in F und &, so finden wir, dass z. B. die beiden
Berührungspunkte E und C mit F auf einer geraden Linie liegen, und
zwar als Aehnlichkeitspunkte der beiden Kreise und der Linie PF. Ebenso
liegen C, Q und D auf einer geraden Linie. Hieraus erhalten wir sofort
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44 Kleinere Mittheilangen.
die Relationen: FP^^FC.FE und GP^^aP.GD, d. h. FG ist Potenz-
linie des Punktes P und des ersten Kreises, haJbirt also die Tangenten PE
und PD. Diese Umstände ergeben uns aber sofort, dass der Mittelpunkt
des Inkreises des Dreiecks ÄBP ^la Schnittpunkt der zwei um F und G
beschriebenen, durch P gehenden Kreise der Halbirungspunkt der BerOh-
rungssehne ED ist. Die Linie AB berührt also einen festen die beiden
Linien PD und P£ berührenden Kreis, dessen Mittelpunkt der Halbirungs-
punkt der Berührungssehne ED ist.
d) (Fig. 6.) um nun den im AnÜEuig erwähnten Satz zu erweisen,
sollen die vier geraden Linien einen und denselben Kreis mit dem Mittel-
punkte 0 berühren. Wir finden nun sofort, dass nach dem zweiten Hilfs-
satze z. B. die beiden durch E gehenden Kreise einen Kreis berühren
müssen, welcher die beiden Linien EB und ED in zwei Punkten Hund J
berührt, und zwar so, dass HJ durch den Mittelpunkt 0 des gegebenen
berührenden Kreises jg^ehen und zu OE senkrecht stehen muss.
Da überdies 0 und E conjugirte Pole in Bezug auf den zu dem durch
E gehenden System von Linien gehörigen Berührungskreise sind, so halbirt
ein durch 0, E und P gelegter Kreis einen der Winkel der beiden durch
E gehenden Kreise. Wenden wir diese Scblussfolgerung auf irgend zwei
andere der vier durch P gehenden Kreise an , so finden wir, dass nach dem
ersten Hilfssatze 0 und P conjugirte Pole eines Kreises sein müssen, wel-
cher irgend zwei der vier durch P gehenden Kreise berührt , d. h. 0 und P
sind conjugirte Pole in Bezug auf einen Kreis , der die vier durch P gehen-
den Kreise berührt, oder mit anderen Worten, dass zu den vier durch P
gehenden Kreisen ein gemeinsamer Berührungskreis existirt, dessen Mittel-
punkt mit 0 und P auf einer geraden Linie liegt.
IL
In Bd. LXIX S. 332 von Grunert's Archiy giebt Herr Ehlert fol-
genden Satz: Beschreibt man um die vier, von vier geraden Linien gebil-
deten Dreiecke vier Kreise, so schneiden sich diese in einem Punkte, der
mit den vier Mittelpunkten der Kreise auf einem Kreise liegi Diesen Satz
beweist Herr Ehlert auf analytischem Wege. Wir werden nun in Folgen-
dem diesen Satz und eine Reihe von Eigenschaften dieses Kreises der vier
Mittelpunkte, den wir kurz als Mittelpunktskreis bezeichnen wollen, geo-
metrisch entwickeln und zugleich zeigen, dass derselbe in enger Beziehung
zu dem Feuerbach'schen Kreise vom Dreieck steht. Wir werden femer
eine Reihe von Sätzen entwickeln, welche bei dem gleichzeitigen Auftreten
mehrerer dieser Kreise giltig sind.
a) Es seien ÄB^ BFy CD und AF (Fig. 7) irgend yier gerade Linien
der Ebene und P der Schnittpunkt der vier, yon den vier geraden Linien
gebildeten Dreiecken umschriebenen Kreise. Die Mittelpunkte der Kreise
seien femer a^^ ck^^ a^ und a^. Wir erhalten nun folgende Relationen:
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Kleinere Mittheilungen. 45
LCa^P = 2.LCÄP und LBa^F^2.LCAF,
da ja stets jeder Centriwinkel doppelt so gross ist als der zugehörige Peri-
pheriewinkel. Nun halbiren aber die Linien a^a^ und a^a^ die Winkel
CtfjP und Ba^Py d. h. es sind auch die Winkel a^a^P und a^a^P unter
sich gleich, oder mit anderen Worten, a^, ag« a^ und P liegen auf einem
Kreise , dem Mittelpunktkreise. Auf diesem Kreise muss nun selbstverständ-
lich auch 02 liegen.
b) Errichten wir femer auf ED und BÄ , also auf zwei der Strecken,
in welche sich die vier Linien gegenseitig theilen und von denen keine
drei Endpunkte in einer geraden Linie liegen, die Mittellothe, so schneiden
sich diese in einem Punkte des Mittelpunktkreises. Wir finden nSmlich,
dass die beiden Halbirungslothe a^h^ und a^h^ einen Winkel a^hiO^ mit-
einander bilden, der gleich dem Winkel BCD ist. Da jedoch auch a^ayJ^PB
und ajOi_LPi) ist, so finden wir, dass La^a^a^=^ LBP'D ist. Dieser
letztere Winkel ist jedoch gleich dem Winkel BCD. Daraus ergiebt sich
sofort, dass auch Z. Og a^ 04 = Z. 02^^04 ist, oder mit anderen Worten, dass
&i auf dem Mittelpunktkreise liegt. Dies giebt sechs Punkte h,
c) Die um die Punkte a^, o^, o^ und a^ beschriebenen Kreise schnei-
den den Mittelpunktkreis ausserdem noch in den Punkten o^, Cg, c^ und c^.
Diese Punkte c liegen nun derart, dass z. B. C, a^ und c^ in einer geraden
Linie liegen, dass also der Satz giltig ist:
Verbindet man einen der sechs Schnittpunkte der vier geraden
Linien mit dem Mittelpunkte eines der beiden durch diesen Punkt
gehenden Kreise, so schneidet diese Linie den Mittelpunktkreis in
einem Punkte des zweiten durch den Punkt gehenden Kreises zum
zweiten Mal.
Es ergeben sich uns nttmlich folgende Relationen:
LCc.P^LCDP
und ^
La^c^P=>2R^La^a^P^2B'-'iLÄa^P
=^2S-LäFP ^LEDP,
d. h. es sind
LCciP + La^CiP:=^2S
oder Oj, c^ und C sind Punkte einer geraden Linie.
d) Diese letzteren Punkte c, die vier Mittelpunkte a und der Punkt P
stehen nun in einem interessanten Zusammenhang mit dem Feuerbach-
schen Kreise des Dreiecks, um diesen Umstand zu erläutern, wollen wir
zunächst die Beziehungen untersuchen, die eintreten, wenn, wie in Fig. 7
angenommen wird, vier der sechs Schnittpunkte der vier geraden Linien
auf einem Kreise liegen. In Fig. 7 ist dies der Fall mit den Punkten A^
P, D und E.
Wir finden zunächst sofort, dass der Punkt P auf der Linie CJP liegen
muss und dass der Mittelpunkt h^ des durch die Punkte Ay B, D und E
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46 Kleinere Mittheilnngen.
gehenden Kreises ans der Vereinigung von zwei Pankten h entsteht, also
ein Punkt des Mittelpunktkreises ist. Wir finden femer die Relationen:
Laf^a^hi = L PFD = L PÄB ^ La^a^P,
d. h.: die Linie a^€L^ wird parallel zu Ph^. Da jedoch a^a, J_CF ist, so
ist auch \PA.CF. Femer ist der Schnittpunkt 0 der beiden Diagonalen
ÄD und BE der Pol der Linie CF in Bezug auf den durch A^B,D und
E gelegten Kreis , d. h. die Linie h^ P geht, durch 0. Aus diesem Umstände
ergiebt sich uns jedoch sofort, dass 0 auch ein Punkt gleicher Potenz in
Bezug auf den letzterwähnten Kreis und den Mittelpunktkreis ist, also auf
der gemeinsamen Sehne dieser Kreise liegen muss, oder dass HJ durch 0
geht. Wir haben überdies gefunden, dass \PA^CF ist. Daraus folgt,
dass die Mittelpunkte der beiden zuletzt erwähnten Kreise und der zweite
Schnittpunkt der Linie CF mit dem Mittelpunktkreise, also &|, g und K
in einer geraden Linie liegen.
Werden nun die Linien CE und ^jP senkrecht zu den Linien ^ JP und
AC^ so föllt P\ mit der Linie AD zusammen und wird zu der durch A
gehenden Höhe des Dreiecks ACF^ die Linie HJ f&llt mit der Linie BE
zusammen und die Punkte C| und c^ vereinigen sich in B^ die Punkte c, und
C3 in E. Die Punkte a|, a^, a^^ 5^, K werden die Halbirungspunkte der
Strecken CD, BF, AC^ AF und CF und der Mittelpunktkreis selbst wird
der Feuerbach 'sehe Kreis von jedem der aus dreien der Punktet, (7, D
und F gebildeten Dreiecke.
e) Kehren wir wieder zu dem allgemeinen Falle zurück und ziehen die
Linie PA, so finden wir, dass folgende Gleichungen giltig sind:
sinPAC\ sinPAF^PB : PF= PCiPE.
Da jedoch femer die beiden Dreiecke PBC und PEF ähnliche Dreiecke
sind, so verhält sich auch:
PB : PF= BC:EF==PC:PE.
Hieraus erhalten wir jedoch die Etelation:
9inPAC:sinPAF=:BC:EF,
d. h. wir erhalten folgenden Satz:
Verbindet man einen Schnittpunkt zweier der vier Linien mit
dem gBmeinsamen Schnittpunkte der vier, den von den Linien gebil-
deten Dreiecken umschriebenen Kreise, so theilt dieser den Winkel
der beiden Linien in zwei Theile, deren Sinus sich wie die Abschnitte,
welche die beiden anderen Linien auf den ersteren bilden, verhalten.
f) Die Linien PA, PB, PC, PB, PE und PF sollen ferner den
Mittelpnnktkreis in den Punkten ä^^ d^, d^, d^, d^ und d^ schneiden. Be-
schreiben wir nun um einen dieser Punkte d, etwa d^, einen Kreis, der
durch den d^ entsprechenden Schnittpunkt A geht, so geht dieser Kreis
auch durch zwei Punkte c, und zwar durch diejenigen Punkte c, welche
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Kleinere Mittheilnngen. 47
auf den durch den Schnittpunkt gehenden Kreisen liegen, in unserem Bei-
spiele also durch c^ und c^.
Aus dem Umstände, dass Ä, o, und c^ in einer geraden Linie liegen
und a^Ä^a^Pj und somit La^c^d^^ La^Pd^^ La^Ädi ist, finden wir
nSmlich, dass diÄ = d^C4, wird.
Wir erhalten auf diese Art im Ganzen sechs neue Kreise. Betrachten wir
z. B. die durch Ä und 1^ gehenden Kreise, so finden wir, dass dieselben mit
dem um das Dreieck ABF beschriebenen Kreise einen Punkt c^ gemein
haben. Da überdies die Mittelpunkte dieser drei Kreise auf einem Kreise
liegen, der ebenfalls durch c^ geht, nämlich auf dem Mittelpunktkreise , so
folgt, dass deren übrige Schnittpunkte A^ L und J'auf einer geraden Linie
liegen. (Vergl. Salmon-Piedler, Anal. Geom. d. Eb. I, Art. 134 Aufg. 7.)
Durch denselben Punkt L muss jedoch auch der um d^ durch E beschrie-
bene Kreis gehen. Wir erhalten also auf den vier geraden Linien vier
Punkte, in welchen sich je drei Kreise schneiden.
Untersuchen wir femer das Dreieck BCD näher, so finden wir, dass
auf dessen Seiten die Punkte itf, N und Q derart liegen , dass die vier um
die Dreiecke BNM, BJDCy MQC und NBQ beschriebenen Kreise sich in
einem Punkte schneiden. Daraus ergiebt sich uns jedoch, dass Jf , JVund Q
Punkte einer geraden Linie sind. Wir finden also, dass die Punkte M^ N^
Q und L auf einer geraden Linie liegen. «^
Die Linie MN bildet nun mit den vier ersteren Linien fünf Vierseite,
welche den Mittelpunktkreis gemein haben. Berücksichtigen wir femer den
Umstand, dass s&mmtliche fünf Vierseite denselben Mittelpunktkreis be-
sitzen und dass P der Brennpunkt einer Parabel ist, welche die vier ersten
Linien berührt so finden wir, dass es möglich ist, zu vier Linien stets
eine fünfte zu constmiren, welche mit den ersteren vier die Eigenschaft
besitzt, dass die Mittelpunktkreise von je vier dieser Linien zusammenfallen,
die. Brennpunkte der fünf Parabeln , welche je vier der fünf geraden Linien
berühren, also auf einem Kreise liegen.
g) Wir wollen in Folgendem untersuchen, welchen Beziehungen die
Mittelpunktkreise und die Brennpunkte der berührenden Parabeln unter-
worfen sind, welche zu je vier von fünf Linien gehören.
Sind die ftlnf geraden Linien AB^ BC^ CD, DE und EA und sind
P^f P%i ^s> ^4 Tiod P^ (Fig. 8) die fünf Brennpunkte der Parabeln, so
finden wir, dass z. B. LP^P^A^LP^BK ist, da ja ABP^P^ ein Kreis-
viereck ist. Ebenso LAP^Pj,=^L P^EH und L GEP^ = L P^P^D. Hieraus
ergiebt sich uns, dass:
LP^P^P^^LP^Bif + LP^EH
ist. Wir haben jedoch femer folgende Gleichungen:
LDP^C^LDJC,
LP^F^C^LP,HD=^L^AP, = LP^Bk''LAPiB^LP,B&-LAFB,
also auch:
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48 Eleinere Mittheilungen.
LP^P^Ps = LPiEG + LJ)JC+LÄFB-LP,BK:
Durch Addition derWerthe für P^P^P^ und P^PiPf, erhalten wir hieraus:
LPiPiP3 + LP^P^P^ = LP^EG-\-LP^EH-\-LDJC-\-LAFB
= LFEJ +LEJF +LJFE
= 2B,
da ja die letztereü Winkel die Winkel eines Dreiecks sind. Wir finden
also, dass P^P^P^P^ ein Kreis Viereck ist und es ergiebt sich uns also fol-
gender bekannter Satz:
Die fQnf Brennpunkte der Parabeln, welche je vier von fUnf ge-
raden Linien berühren, liegen auf einem Kreise.
h) Da femer ahA^AP^^ also LP^aA = 2LP^ah und somit auch
P^P^a=^\LP^aA ist, ergiebt sich uns, dass LP^P^A^LhaP^ wird.
Ebenso finden wir, da hcA^EP^ ist, dass LhfP^^LEDP^^LEHP^
^LAP^P^ ist. Hieraus ergiebt sich uns sofort, dass die Summe der
Peripherie Winkel über den Bögen P^h und P^H der zwei durch h gehen-
den Mittelpunktkreise gleich dem Winkel P^P^P^ ist. Daraus folgt, dass
sich die beiden Mittelpunktkreise in einem Punkte H des Brennpunktkreises
schneiden, d. h. wir erhalten den Satz:
Die fünf Mittelpunktkreise, welche zu je vier von fünf Linien
^ gehören, schneiden sich in einem Punkte, welcher mit den fünf
Brennpunkten der je vier dieser Linien berührenden Parabeln auf
einem Kreise liegt.
Bevor wir diese Gebilde verlassen , wollen wir auf einen umstand noch
aufmerksam machen. Wir haben nämlich gefanden, dass zu vier Linien
vier und ein Punkt gehören, welche auf einem Kreise liegen, nSmlich die
Punkte a und der Punkt P, und dass ebenso vier und ein Kreis sich in
einem Punkte P schneiden. Wir finden femer, dass bei fünf Linien fünf
und ein Punkt auf einem Kreise liegen und dass fünf und ein Kreis sich
in einem Punkte schneiden.
Diese umstände machen es wahrscheinlich, dass nun für sechs Linien
die sechs Brennpunktkreise sich in einem Punkte schneiden und daas durch
diesen Punkt ein weiterer Kreis geht, ^uf dem sechs Punkte liegen, die
dem Punkte X entsprechen, und dass überhaupt diese Sätze sich ins Un-
endliche fortsetzen lassen.
i) Es seien irgend vier Punkte A^ B, 0^ D miteinander durch gerade
Linien verbunden. Die Verbindungslinien dieser Punkte bilden nun drei
Vierseite. Beschreiben wir um die Dreiecke dieser Vierseite Kreise, so
schneiden sich diese je zu vieren in drei Punkten Pj, i\, /*g. Diese Punkte P
liegen nun so, dass sich die Verbindungslinien derselben mit den Ecken
viermal zu dreien in einem Punkte schneiden. In Fig. 9 ist dies z. B. der
Fall mit den Linien P^Ay P^B und P^C.
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Kleinere Mittheilungen. 49
Wir wissen nSmlich, dass nach II. e) folgende Relationen giltig sind:
sinP^AB _BG sinP^BC _ CE ßinP^CÄ _ÄF
8inP,ÄC'~CF' sinP^BA"' AG sinP^CB" BE'
Die Multiplication dieser drei Gleichungen ergiebt uns:
sin P^ AB sinP^BC sinP^CA _BG CE £^__|
sinP^AO' sinP^BA sinP^CB'^ CF' AG' BE^ '
Die letztere Gleichung drückt aber bekanntlich die Bedingung aus , dass die
drei Linien P^A^ P^B und P^C sich in einem Punkte schneiden.
Ganz ebenso ergiebt sich, dass sich auch /^, D, P^B, P^C\ P^B^ /^jD,
PtA\ P^C^ P^A und P^D je in einem Punkte schneiden.
k) Construiren wir in Bezug auf die Vierseite die drei Mittelpunkt-
kreise, so finden wir, dass diese sich in einem Punkte X schneiden.* Er-
richten wir nSmlich z. B. auf AI) nnd BC^ also auf zwei Linien, welche
die Tier Punkte A^ B, C und D enthalten, die Halbirungslothe ah und e5,
80 liegt deren Schnittpunkt h auf zweien der drei Mittelpunktkreise [nach
II. b)]. Auf diese Art erhalten wir drei Schnittpunkte &, c und f der drei
Mittelpunktkreise. Wir finden femer, dass Lhmc + LACB=^2B sind, da
ja hmA-BC und mcJ^AC sind. Da überdies kn als Verbindungslinie
der Mittelpunkte der beiden, den Dreiecken BCF nnd .^DJ^ umschriebenen
Kreise senkrecht auf P^F und ebenso nb ^^ P^A steht, so ergiebt sich uns,
dass Lknh^LFP^A = LADF wird. Berücksichtigen wir femer noch,
dass der Peripheriewinkel über dem Bogen hc des Mittelpunktkreises durch
/*j, also der Winkel hlc^ gleich der Differenz der Winkel cmh und Ink
isty so erhalten wir:
Lhlc=^2B''LACB"LADF
^LBDA-LABC.
Ganz ebenso finden wir für die Winkel über den Bögen hf und fe die
Relationen: p^^p^^.^ ^^^ g^^^^ f^ j^^ =^LBDO'^ LBAC,
n n n . ^f n ^LADC-^LABG.
Aus den drei Werthen dieser letzteren Winkel folgt aber sofort, dass sich
die drei Mittelpunktkreise in einem Punkte X schneiden müssen.
Wir wollen noch hinzufügen, dass auch die Punkte X, P|, P^ und P^
ebenfiedls auf einem Kreise liegen, ohne jedoch einen Beweis, der sich ziem-
lich einfach ergiebt, anzufügen.
Weingarten (Württemb.). Benedikt Sporeb,
ProfeteomtHomadidAt
m. Ein Minimum -ProUem.
Es sei q>{Xy y, e) eine homogene Function n^' Dimension dreier Varia-
belen. Dann ist, wenn rr, ^, e die Coordinaten des Berührungspunktes
bedeuten und I)s(p=pt Dy(p = q^ D^q)=sr gesetzt wird:
* Vergl. Dr. H. Böklen, Math.-naturw. Mittheilungen, Heft 1 S. 66—67.
Z.U.ohrifl f. Mathematik u Phyik XXXI, 1. ^. J.^^^ ^^ GoOglC
50 Kleinere MitÜheilungen.
die Gleichung einer Tangentialebene der FlKche ip = C. Werden die Para-
meter dieser Ebene (ihre Abschnitte auf den im positiven Sinne genommenen
Axen der |, «, £), n&mlich ^-^ > =^ -» =^ »
' ' " p q r
für welche wegen der HomogenitSt von tp: — > — f — gesetzt werden
kann, bezw. mit t^ u^ v bezeichnet, so geht ihre Gleichung über in
7+^ + 7=1 = (l)p{+«iI+r£ = «C.«
Das Coordinatensystem ist schiefwinklig und es wird L{fi^i) mit a,
/.(£,{;) mit ßj Z.(£,i7) mit y bezeichnet, sowie L{i, £f}) mit %**
Es soll nun diejenige Tangentialebene ermittelt werden,
die Yon dem Trieder der Coordinatenebenen das kleinste
Tetraeder abschneidet
Da das Volumen eines durch die Ebene 't + -^ + —='1 von diesem
t u V
Trieder abgeschnittenen Tetraeders ^tuv siny sini ist, so hat man hier:
— . n^C^sinysini
pqr
Es sind mithin die Bedingungen aufzustellen, unter denen pqr=^P ein
Maximum wird.*^ Demnach ist
r2>*P-.l>D,i>=0, rDj,P-g2>,P=0
oder auch, hieraus abgeleitet,
Es ist aber JDsq = I^pPy I^xf==^I)^p, D^r^^D^q. Die vorstehenden
Gleichungen lassen sich also schreiben:
rDsP—PDsr^pDzP-'PD^Py rDyP— PD^r — qD^P-- PD^q u, s. w,
r«D.(|)=i,.D.(|). r«D,(^)=««D.(|) u. s. w.
Also ist
und
q*nApr)^P^ßy{qr)
oder
* Die BedingungBgleichnng der Homogenität von 9 = C ist somit, wenn p,
9, r die angegebene Bedeutung haben, auch die Gleichung der Tangentialebene.
-Bekanntlich üt ^<^ ^1 -<"»'«-«»'<'- "»«'7 + »«>,« cg«^eagy ^^
stny
2JT
-: — 9 WO n den sogenannten Eckensinus bedeutet
Mfiy
*** Von einem Minimum des P kann, da F unbegrenzt w&chst, nicht die
Eede sein. ^ j
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Kleinere Mittheiltragen. 51
^{pJ^^q + qD.p) = JP* {qBur + rD^q) ,
2) J r^{P^p9 + QJ>yP) = q^{pI>Mr+rD,p)
^ und
q\pD^r + rD,p) =p\qDyr + rD^p).
Hierzu kommt noch die Bedingungsgleichung der Homogenität mit ihren
Derivirten: / . . ^
l P^ + qy + r0^ nC,
Setzt man px^^^'if^ qys^ji^^ rg^Q^ so ergiebt sich aus den drei letzten
der Gleichungen 3):
D,g=.D^p^ — ,
äSXg
und es ist ausserdem
Substituirt man diese Werthe in 2), so nehmen die Gleichungen 2) fol-
gende Form an:
-i»2(2tfF(»-XP-X*)-Z>.^ + 2*Z(>(x-(>) = 0-
Diesen Gleichungen wird durch t^s=)^s=^ genügt, so dass also die ge-
suchte Bediligung fttr das Minimum des Tetraederyolumens
5) xDxg> = yDy<f=^gD»<p
nC
ist. Wegen der ersten der Gleichungen 3) ist jeder dieser Werthe ^^^
also auch p oder 2>jp9 = o— » 9 o^öt 2>y<ps=ö~» ^ ^^ör Dy^^s— » und
daher t = 3x^ fi = 3y, v^3g.
Es ist aber auch, wenn Xq^ yQ, 0q den Schwerpunkt des Schnittdrei-
ecks der Tangentialebene bedeutet, t^Sx^y y^^y^^ v = 5gQ. Mithin hat
man x = x^, Sf = yo» ^ = ^o» ^'^''
Das Minimaltetraeder wird Yom Trieder (der Coordinaten«
ebenen) durch diejenige Tangentialebene abgeschnitten, deren
Berührungspunkt der Schwerpunkt des zugehörigen Schnitt-
dreiecks ist.
I^ V des Minimaltetraeders geht über in ^xygsinysini.
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Kleinere Mittheilnngen.
Beispiele.
1. Die Flftche 9> = C sei das auf zugeordnete Durchmesser bezogene
EUipsoid ^^t^^ 1
sf y^ ff
Hier ist «D4rV = -• » V^v^^Ti^ zD^q>=^'^^* also
Qr 0 Cr
a» ~ 6» ~ c» ~ 3 *
«=««=«F^, y=yo=*F^. «««o^cKI-
Minimal -Tangentialebene: » .
Volumen des Minimaltetraeders:
= \ahc}/^ sin y sini.
(Ist leicht auf die Kugel zu Übertragen.)
2. Die Flftche sei das Hyperboloid
Dann ist
xDxq> = axy + Ixe^ yJ>yV = (^^y + cyt, eB^ q> = bxe + eye;
also:
hx=^cy, ax^cg^ ay=hg
und sodann
' a
-a^O^d/gfj' y^Sfo^rf/g^,' M^f^^^dj/-^
Minimal - Tangentialebene :
t-+-4-+-P=- = <iA
/i. /A i/±
ah ac ^ hc
Volumen des Minimaltetraeders:
1 cPj/3 siny sini
2 i/^
• Hier sind 2>,g oder D^p^D^r oder Dap^B^r oder D,g = 0. Wo dies
stattfindet, gestaltet sich die obige Rechnung sehr einfach. Die Qleichnngen 2)
reduciren sich dann nämlich auf
imd die drei letzten Gleichungen 8) auf
wodurch erstere iSbergeheo in
— = •£, ~ = -^ oder ^=x = ^.
X z y n TAT
/ Google
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Kleinere Mittheilnngen. 53
3. Die Fl&chengleichang sei:
xD:r<P^-äV^ U. 8. W.;
ayäi
= 6^ =
■■efi"
d
»0 =
y=yo =
d»
'■9V'
* = *o^
Minimal - Tangentialebene :
Volumen des Minimaltetraeders:
d^sinysini *
Auch fOr die durch einen festen Punkt gehenden Ebenen gilt
der Satz, dass diejenige unter ihnen das Minimaltetraeder abschneidet,
bei welcher jener feste Punkt zugleich der Schwerpunkt des Schnitt-
dreiecks ist Hier hat man, wenn -r + -^H 1 = /" gesetzt wird, und da
V = ^tuv»iny8ini ist, wegen
und
oder
oder endlich
1 . . . -^ 1, . . . -«
6 ' V* 6 ' r
-^tv sinysini'—^ — -^tusinysini'-^ =0
xv — gi — O^ yV'-0u=>O
i u V
Aus f^O folgt dann
^ = 3rc, u = 3y. e^Sv
oder
* Bei der Fl&cbe li^fsa* wird die Rechnung resultatlos, indem hier
xD,(p = yDyfp = BDM(p identisch x, y, g werden. Für diese Fläche ezistirt aber auch
(vergl. Magnas, Aufgabensammlung aus der analyl (Geometrie des Raumes) kein
Minimaltetraeder; Tielmehr schneiden hier die Tangentialebenen Tetraeder yon
gleichem Volumen ab. Auch berühren bei derselben, wie ich im Programm 1874
des Gymnasiums zu Liegnitz 8. 13 gezeigt habe, s&mmtliche Tangentialebenen
die Fläche in den Schwerpunkten der Schnittdreiecke des Trieders.
Liegnitz. Dr. 0. Bbrhanm.
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54 Kleinere Hittheilangeii.
IV. Bemerkimgen m Bem&t: „ITeber die Veriheilniig der Elektrioitit
auf einem Cylinder.^
Die Literatnrangaben in der Einleitung der Arbeit des Herrn Besser
erwShnen nicht die werthyolle Arbeit von Karl Baer: „Die Function des
parabolischen Cjlinders^ (Programm des Gymnasiums zu Cüstrin 1883),
welche die Integration der Potentialgleichung ftbr einen wnlstförmigen Kör-
per leistet, der durch Abbildung eines geraden parabolischen Cjlinders mit
Hilfe reciproker Radien oder auch dadurch entsteht, dass man vom Bück-
kehrpunkte einer Cardioide an diese alle Badienvectoren zieht und über
denselben als Durchmesser Kreise senkrecht zur £bene der Cardioide be-
schreibt. Herr Besser scheint diese Arbeit nicht gekannt zu haben; er
würde sonst sicher nicht versäumt haben, durch eine leichte Verallgemei-
nerung der Baer 'sehen Arbeit dem Resultat auf S. 260 folgende Form zu
geben:
„Die Differentialgleichung des Potentials ^Fs= 0 lässt sich bei Körpern,
begrenzt von Cylinderflfichen zweiten Grades und den aus diesen durch die
Transformation mittels reciproker Radien entstehenden auf gewöhnliche Dif-
ferentialgleichungen reduciren.^'
Der Beweis für diesen Zusatz ist leicht zu führen.
Wird die Fläche F{xye)ssO yom Anfangspunkt der Coordinaten aus
durch reciproke Radien abgebildet, so ist zu setzen:
c*J i^fl c^t
c='eonst. nnd r.Q = <f, wenn
ist Der Ausdruck JY, auf krummlinige orthogonale Coordinaten transfor-
mirt, ergiebt nach Lam6 (Le90n8 sur les coordin6es cnryilignes, S. 22,
Paris 1859): j^ ^ ^ ^^ ^ ^y
Setzt man nun p, = §, Q^^^ti^ pj = f und folglich Äj = Ä^ = ä, = ~ i seist:
d7?
c dV
Führt man in die runden Klammem statt —'irz das ihm gleiche
1 P 91
r-r( — VI — cF-— r und die analocen Ausdrücke ein und bedenkt, dass
o\\Q f dl
^ — = 0 ist, so folgt:
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Kleinere Hittheilungen. 55
Ist demnach die linke Seite gleich 0, so ist es anch die Klammer auf der
rechten Seite, d. h.: ist die Beduction der Potentialgleichung auf gewöhn-
liche Differentialgleichangen für einen Körper, begrenzt Ton einer Cjlinder-
flSche zweiten Grades mit der Oleichnng F{xyg)s=zO^ gelangen and ist das
Potential y{xy$)y so gelingt sie auch für den von der inyersen Flfiche
begrenzten Körper:
und das Potential ist:
c ^f c«$ <fn t?i
Dem geraden elliptischen Cylinder:
( (?l (?ri <?t \
= 1
entspricht demnach die Fläche:
ir-|-ij -1-6 ; <^.co^iu^(?{cosHu-\)
welche die Einhüllende aller Kngeln ist, deren Mittelpunkte auf der Ellipse
4c*aw*»u.y* + 4c*(<»Ä*»w — l)j?* = l liegen und deren Oberflächen durch
den Mittelpunkt dieser Ellipse gehen (Schlömilch, üebungsbuch, I, § 26
Aufg. 5).
Dem geraden hjperbolischeu Cylinder:
y' t ,
ist beigeordnet die Fläche:
(^+''*+«*=?£^-?^'
welche in ähnlicher Weise erzeugt werden kann; dem geraden parabolischen
Cylinder:
y« == — Ai(?e + 4c*,
die Fläche:
(l«+nHj*-2^J=^(,«+f*)
(Programmabhandlung des Herrn Karl Baer); endlich dem Ereiscylinder:
der Kreiswulst:
(?+»/*+£•)»= ^(n'+?).
Dnisborg. Dr. HABurteCHEL.
, Google
Digitized by ^
56 Kleinere Mitiheilangen.
V. SynthetiBelie Theorie der Srftmmimg der Flächen sweiter
Ordnung,
(ffierzu Taf. I Fig. 10—16.)
Der Zweck der folgenden Arbeit ist, die hanptsKchlichsten Stttze ttber
die Krümmnng der Flftcben zweiter Ordnung auf geometrischer Grundlage,
ohne Zuhilfenahme von kinematischen Betrachtungen* oder von Linienele-
menten zu entwickeln.
Für die Curven zweiter Ordnung ist durch den Satz Yon Steiner**
und die Arbeit von Herrn Pelz*** eine synthetische Ableitung der Sätze
über Krümmung vollständig geleistet; Herr Pelz hat gezeigt, dass in dem
Satze von Steiner sämmtliche bisher bekannte Krümmungshalbmessercon-
gtructionen der Kegelschnitte enthalten sind. In analoger Weise soll im
Folgenden versucht werden , die Sätze über die Krümmung der Flächen und
deren Zusammenhang mit der Indicatrice durch synthetisch -geometrische
üeberlegungen einfach herzuleiien.
Es möge ein Satz über Flächen 2. Ordnung vorausgeschickt werden.
Man denke sich eine Fläche zweiter Ordnung, in einem Punkte P der-
selben (Fig. 10) eine feste Tangente PT und durch diese Tangente alle
möglichen Ebenen gelegt, welche die Fläche nach Curven zweiter Ordnung
PQ^A^By^^ PQ^A^B^ etc. mit der gemeinschaftlichen Tangente PT schnei-
den und ausserdem senkrecht zur Tangente PT eine Schnittebene PA^A^ . . .,
welche die zu P gehörigen Normalen PN^A^y PN^A^ etc. und folglich auch
die Krümmungsmittelpunkte aller dieser Schnittcurven enthalten wird.
Die Mittelpunkte üf^, JU^, ... aller dieser Schnittcurven werden zu-
nächst in einer Ebene PB^B^ ... liegen — 'der zu der Richtung PT ge-
hörigen Diametralebene der Fläche zweiter Ordnung, der Polarebene des
unendlich fernen Punktes der Richtung PT.
Femer wird behauptet, dass die Quadrate deijenigeu Halbdurchmesser
j3fiQj, M^Q^^ ... der verschiedenen Schnitte, welche alle der Tangente PT
parallel sind, sich verhalten wie die Abstände d^, d^, ... der Mittelpunkte
üfj, JU^, ... von der Tangentialebene in P.
Um dies einzusehen , betrachte man zunächst die Curve zweiter Ordnung
Fig. 11 , in welcher PS eine Tangente in P ist; durch P ist eine Sehne
gezogen mit dem Mittelpunkte Jf^ und durch den Mittelpunkt M^ der Curve
der zu PM^ parallele Halbmesser My^ P^ . Hier verhalten sich die Quadrate von
* Mannheim, Gäomätrie descriptive, p. 276.
** Schröter, Theorie der Eegelachnitte, gestützt auf projectivische Eigen-
schaften, 2. Abschn. letzter Artikel.
*** Pölz, Die Krümmungshalbmesser- CoDbtruetionen der Kegelechnitte als
CoroUarien eines Steiner'schen Satzes. Sitzongsberichte der königl. böhm. Gesellsch.
d. Wissensch., April 1879.
/Google
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Kleinere MittheilnngeiL 57
JtfjPi und JfjP wie M^SiM^S* oder auch wie die Abstände e^ und e^ der
Punkte üfj und M^ von der Tangente in P. Denkt man sich die Ebene
dieser Curve gegen eine die Curve in P berührende Ebene E unter dem
Winkel y geneigt (Fig. 12), so verhält sich auch Jf, P,* : Jfcfj P* wie die
Abstände d^ und d^ der Punkte M^ und Jtf, von der Ebene Ey da d| : d^
= ^j siny le^siny.
Dies vorausgeschickt, kehre man zur Fig. 10 zurück. Es handle sich
um die beiden Schnitte PQ^Ä^B^ und PQ^A^B^^ wovon der erstere durch
den Mittelpunkt M^ der Fläche gelegt sei. Alle Schnitte der Fläche parallel
der Ebene des Schnittes PQ^Ä^B^ sind ähnlich und ähnlich gelegen; denkt
man sich also noch durch J3f| eine Parallele MyP^ zu M^P gezogen, welche
die Fläche in Pj schneidet (und in der Diametralebene PM^M^B^B^ ent
halten ist), so ist Jf, Q^ :M^Q^ = -^^i-Pi : ^j-Pi ^t^^ nach dem Vorhergehen-
den verhält sich also M^ ^,* : M^ £>,* wie die Abstände d^ : d^ der Punkte ilf ,
und JU^ von der Tangentialebene in P, womit die obige Behauptung erwiesen
ist. Alles zusammengefasst, hat man also folgendes Resultat:
Satg, Legt man durch eine feste Tangente PT, welche in
einem Punkte P einer Fläche zweiter Ordnung gezogen ist,
alle möglichen Schnittebenen, so liegen die Mittelpunkte
aller der Schnittcurven zweiter Ordnung in derselben Ebene;
die Abstände dieser Mittelpunkte von der Tangentialebene in
P verhalten sich wie die Quadrate der zu PT parallelen Halb-
durchmesser der einzelnen Schnitte.
Mit Hilfe dieses Satzes lässt sich der Satz von Meunier und aus
diesem der Satz von Eni er in Verbindung mit den Beziehungen zur Indica-
trioe folgendermassen leicht ableiten.
1.
Es liege wiederum eine Fläche zweiter Ordnung vor. Auf derselben
denke man sich einen Punkt P und eine Tangente PT in diesem Punkte
fixirt, lege durch diese Tangente alle möglichen Schnitte und stelle sich die
Aufgabe, die gegenseitige Lage der zu P gehörigen Erümmungsmittelpunkte
dieser Schnittcurven zweiter Ordnung zu untersuchen.
Die Bezeichnungen seien dieselben wie oben Fig. 10; Jf, der Mittel-
punkt der Fläche. Die Erümmungsmittelpunkte der einzelnen Schnittcurven
PQ,^,P,lfj, PQ^A^B^M^ etc. liegen, innerhalb der zu PT senkrechten
Ebene PA^A^..,, bezüglich auf den Normalen PA^, PA^ etc.
Nun ist bekanntlich der Krümmungsradius p^ einer Curve zweiter Ord-
nung POiA^B^ gleich dem Quadrat des zur Tangente PT parallelen Halb-
durchmessers MiOij dividirt durch die Senkrechte PjV| von P auf diesen
* üeber die geometrische Ableitung vergl. Chasles, Sections coniques,
Nr. 192, p. 126.
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58 Kleinere Mittheilaxigeii.
Halbdnrchmesser.* Die Krümmungshalbmesser P| und g^ der zwei SchDÜie
durch PT verhalten sich somit wie MiQ^^.PN^iM^Qt^^PNi. Aber nach
obigem Hilfssatze ist ilf| Q, ^ : üfg Q^* = d| :ci2 (cfx und d^ wie bisher die Ab-
stände der Punkte M^ und M^ von der Tangentialebene in P); oder auch
= PNi.cosiN^PN) : PN^.cos{N^PN)y falls PN die Normale zur Tangen-
tialebene in P darstellt Somit ist das zunächst erhaltene Besultat, dass
die Krümmungshalbmesser q^^ q^^ ... der einzelnen Schnitte sich verhalten
wie die Cosinus der Winkel «r^, a^, • • . zwischen den Normalen PN^ , PJV^, . . .
und der zur Tangentialebene senkrechten PN^ oder auch, dass das Verhält-
niss Qicosa für alle Schnitte eine Constante ist In Fig. 13 ist die Ebene
PAiÄ^.,, für sich herausgezeichnet; man sieht, dass das erwähnte Resultat
'geometrisch nichts Anderes bedeutet, als dass die Krümmungsmittelpunkte
JRj, B^f ... auf einem Kreise liegen; die Constante ist der Durchmesser
dieses Kreises. Die Ebene des Kreises steht senkrecht zur Tangente PT
und dieser berührt die Tangentialebene in P.
Damit ist der Meunier'sche Säte abgeleitet:**
Der Krümmungsradius eines beliebigen Schnittes, welcher
durch eine Tangente PTeiner Fläche zweiter Ordnung geführt
ist, ist die Projection des Krümmungsradius des zugehörigen
Normalschnittes auf die Ebene des schiefen Schnittes.
2.
Daraus folgt ohne Schwierigkeit der Euler^sche Saig mit den Be-
ziehungen der Krümmungshalbmesser zu den Durchmessern
der Indicatricencurve.
Durch die Normale PC, welche in einem gegebenen Punkte der Fläche
zweiter Ordnung construirt ist, denke man sich alle möglichen Schnittebenen
gelegt. Als Zeichenebene sei die Schnittebene durch den Mittelpunkt 0 der
Fläche gewählt. (Fig. 14.) Eine beliebige andere ist die zur Tangente PT
gehörige Schnittebene PABC oder ifj, C der Schnittpunkt der Flächen-
normalen PC mit der Durchmesserebene OABC oder AT,, welche parallel
zur Tangentialebene im Punkte P gelegt ist. Es handelt sich darum, ein
Gesetz für die Lagen der Krümmungsmittelpunkte der Schnittcurven zu
finden, welche alle die Normale PC gemeinschaftlich haben. Die Unter-
suchung des EjrümmungshalbmeBsers des beliebigen Normalschnittes PABC
oder üTj kann mittels des schon bewiesenen Meunier 'sehen Satzes auf die-
* Geometrisch abgeleitet von Herrn Peli, Z. c 8. 28, aus dem Stein er 'sehen
Satze, und in einer andern Weise von Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage,
§ 31 S. 280.
^ Die Ableitung des Hilfssatzes und damit des Meunier*Bchen Satzes kann
mit geringer Aenderung auch auf den Fall angewendet werden, wo der Mittei-
punkt der Fläche im unendlichen liegt. Das Princip des Beweises ist dasselbe;
vergl. übrigens den Schluss der Abhandlung.
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Kleinere Mittheilongen. 59
jenige für den schiefen Schnitt PEOF oder A", zurttckgeftthrt werden,
welcher durch dieselbe Tangente PT and durch den Flächenmittelpunkt 0
gelegt ist. Denn sind Ä^ B und £, F die Schnittpunkte der Curven
zweiter Ordnung K^ resp. h\ mit der erwähnten Durchmesserebene OABC
oder K^ (so dass EF\\ PT) und CD das Loth von (7 auf den Durchmesser
EF von Ä'j mit dem Pusspunkt 2>, wobei PD J. EF, so ist der zu P ge-
hörige Krümmungshalbmesser q des Normalschnittes A^| gleich demjenigen
fi des schiefen Schnittes K^^ dividirt durch den Cosinus des Neigungswin-
kels der beiden Ebenen K^ und K^ oder multiplicirt mit dem Quotienten
aus PD und PC.
Andererseits ist der Krümmungshalbmesser p| einer Curve zweiter Ord-
nung PEF für einen Curvenpunkt P gleich dem Quadrat des zur Tangente
PT parallelen Halbdurchmessers OF, diyidirt durch das Loth PD von P
auf letzteren. Somit ist OF* PD OF^
^^Tdpv'^Tc'
Dreht sich die Schnittebene £^ um die Normale PC, so bleibt PC dasselbe.
Die Schnittcurye ATg ist parallel der Berührungsebene des Punktes P, um
den es sich handelt Alle zu i^^ parallelen Schnitte der Pläche sind femer
ähnlich und ähnlich gelegen; ein beliebiger derselben, etwa iTj selbst, stellt
somit die Indicatrice der Fläche zweiter Ordnung in Beziehung auf P
dar (die sich bei einer Fläche beliebigen Grades auf den Schnitt mit einer
der Tangentialebene unendlich nahen Ebene reducirt), und wir haben somit
das Resultat:
Werden durch eine feste, in einem Punkte P construirte
Normale einer Fläche zweiter Ordnung Normalschnitte gelegt,
so ist der Krümmungshalbmesser eines zu einer bestimmten
Tangente in P gehörigen Normalschnittes proportional dem
Quadrat des der Tangente parallelen Halbdurchmessers der
Indicatricencurve.
In der Ebene der Indicatricencurve zweiter Ordnung A^, seien (Fig. 15)
OM und ON zwei conjugirte Durchmesser, OQ ein beliebiger anderer
Durehmesser, welcher gegen sie um die Winkel ß resp. o geneigt ist Zu
jedem Durchmesser einer Curre zweiter Ordnung gehört eine bestimmte
Potenz der Involution. P^ , Pr , Pq seien die entsprechenden Potenzen der
den Durchmessern OM, ONy OQ zugehörigen Involutionen; zwischen ihnen
bestehen die Beziehungen:*
^p— + -p-^= P^' Pm + P« = am^., Pm.Pn.sm{ii+ß)^const.
Diese Involutionspotenzen sind gleich den Quadraten der entsprechenden
Halbdurchmesser; letztere Quadrate aber sind nach dem Obigen proportional
* Vergl. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Baum-
curven dritter Ordnung alt Erzeugnisse projectivisoher Gebilde, 1880, 8. 681 f.
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60 Kleinere Mittheilongen.
den zagehörigen Erttmmungshalbmessem der Normalschnitte. Bezeichnen
also Bi, B^y B\ B'\ q die Krümmungshalbmesser der Normalschnitte von
P, welche durch die Tangenten PT^^ PT^, PT\ PT'\ PT parallel den
conjugirten Halbdurchmessem OM, ON^ den beiden Hauptaxen und dem
beliebigen Halbdurchmesser OQ der Indicatrice, geführt sind, so hat man
i> -bT^-^ -,
und speciell für die Hauptnormalschnitte (a + ß = 90^), welche entsprechend
den Hauptaxen der Indicatrice auf einander senkrecht stehen und ein Maxi-
mum B' und Minimum B" für den Krümmungshalbmesser liefern,
was den Euler'schen Satz herstellt.
Zugleich folgt noch
3) JBj + JRsj = const, = B'+ B'\
d. h.: Die Summe der Krümmungshalbmesser je zweier Normalschnitte,
welche zu zwei conjugirten Halbdurchmessem der Indicatrice (oder zu zwei
conjugirten Tangenten in der Berührungsebene) gehören, ist constant und
gleich der Summe der Hauptkrümmungshalbmesser.
Setzt man endlich in 2) « = 45^, wofür q^Bq^ und a = 45^ + 0,
o = 45^ — ^, wofür Q gleich resp. r, und r, sein möge, so findet man
1-l+JL
Bo~ R'^R"'
1 _3in*(46 + ») cos*(45 + d) 1 _cog»(45+») m«(45 + ^)
r» ~ Ä' "'" R" ' r, ~ Ä' "^ R"
worans
*^ ' 7;+7;^R'-^w"
d. h.: Die Summe der reciproken Werthe von zwei Krümmungshalbmessern,
deren Ebenen aufeinander senkrecht stehen , ist constant und folglich gleich
der Summe der reciproken Hauptkrümmungehalbmesser, und auf der Normalen
bilden die Krümmungsmittelpunkte von zwei solchen aufeinander senkrech*
ten Normalschnitten mit dem Flächenpunkte und mit dem Krümmungsmittel-
punkte desjenigen Normalschnittes, der gegen die Hauptaxen der Indicatrice
um 45^ geneigt ist, jedesmal vier harmonische Punkte, so dass auf der Nor-
malen eine Involution entsteht. Alles zusammengefasst, ist somit das Er-
gebnis)» folgendes:
Dreht sich ein Normalschnitt um eine feste Normale PC
eines Punktes P einer Fläche zweiter Ordnung, so gehört zu
jedem Normalschnitt ein bestimmter Krümmungshalbmesser
desselben, der proportional dem Quadrat des entsprechenden
Halbdurchmessers der Indicatrice ist Die Summe der Krfim-
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Kleinere Mittheilungen. 61
mangsradien je zweier conjugirten Normalschnitte ist con*
stant und gleich der Summe der Hauptkrümmungshalbmesser.
Die Hauptnormalschnitte stehen aufeinander senkrecht und
geben ein Maximum und Minimum aller Krümmungshalbmes-
ser. Der Krümmungsradius eines beliebigen Normalschnittes
hftngt mit denjenigen zweier conjugirter Normalschnitte und
speciell mit den beiden Hauptkrümmungshalbmessern durch
die Gleichungen 1) und 2) zusammen. Die Summe der reci-
proken Werthe je zweier Krümmungsradien, deren Ebenen auf
einander senkrecht stehen, istconstant. Die Oesammtheit der
Krümmungsmittelpunkte der aufeinander senkrechten Nor-
malschnitte bilden auf der Fl&chennormale eine Involution,
deren Doppelpunkte der Flftohenpunkt P und der Krümmungs-
mittelpunkt desjenigen Normalschnittes ist, dessen Ebene den
Winkel der Hauptnormalschnitte halbirt.
Dass diese Ableitung auch auf den Fall anwendbar ist, wo der Mittel-
punkt der FlKche im unendlichen liegt, sieht man durch eine leichte üeber-
legung, indem man die Untersuchung des Normalschnittes ATj auf diejenige
eines schiefen Winkels K^ reducirt , welcher durch dieselbe Tangente und den
unendlich fernen Punkt geht, femer statt der Durchmesserebene K^ eine
im Endlichen liegende, der Tangentialebene parallele Schnittebene K^ wählt
und die hierher gehörigen Modificationen für die Parabel einführt.
Femer dürfte es nicht schwer sein, auch von anderen Krümmungshalb-
messser-Constructionen ausgehend den Meunier^schen Satz abzuleiten.
Es möge erlaubt sein, auf dieses Weitere, sowie auf die Unterschei-
dung der einzelnen FlKchen zweiter Ordnung und auf die Krümmungsver-
hSltnisse in den besonderen Punkten (Scheitel-, EJreispunkte) an dieser Stelle
nicht nfther einzugehen, da der Verfasser beabsichtigt, die synthetische
Theorie der Krümmung der Curven und FlSchen zweiter Ordnung im Zu-
sammenhang eingehender darzustellen.
Stuttgart, October 1885. Dr. C. Cbanz,
B«p«tMit am PolTttohalknm.
VI. ITeber zwei einander gleichzeitig ein- und nmbeschriebene
Fünfecke.
(Hierzu Taf. 1 Fig. 16.)
Nachdem Mob ins zuerst auf die eigentbümliche Lage zweier Tetra-
eder, welche einander gleichzeitig ein- und umbeschrieben sind, hingewie-
sen hat, liegt die Frage nahe , ob nicht in der Ebene ein Analogen zu dieser
rftumlichen Figur existire. In der That kann eine längst bekannte, von
Desargues herrührende Figur als zwei einfache Fünfecke aufgefassj^ wer-
^ ^oogle
62 Kleinere Mittheilnngen.
den» welche einander ein- nnd nmbeschrieben sind. Denkt man sich nKm-
lieh fünf beliebige Punkte im Baume 1, 2, 3, 4, 5, so giebt es zwischen
denselben zehn Verbindungslinien und ebensoviel Verbindungsebenen. Der
Schein dieser räumlichen Figur in einer Transversalebene ist eine Configu-
ration von zehn Punkten und zehn Geraden derart, dass durch jeden Punkt
drei Gerade gehen und auf jeder Geraden drei Punkte liegen. Bedeutet
nun (iJc) die Spur der Geraden |t^|, und \ikl\ die Spur der Ebene [iht\
in der Transversalebene» so haben die beiden Fünfecke:
(12) (23) (34) (45) 51)
und
(13)(36)(52)(24)(41)
die obenererwähnte besondere Lage. Denn auf den Seiten
|123|, |234|, |345|, |451|, |512|
des ersten Ffinfecks liegea bezw. die Ecken
(13), (24), (35), (41), (62)
des zweiten Fünfecks. Aber gleichzeitig findet auch das umgekehrte statt:
die Seiten
|135|, |352|, |524|, |24)|, |413|
des zweiten Fünfecks enthalten die Ecken
(51), (23), (45), (12), (34)
des ersten Fünfecks.
(Die beigegebene Zeichnung, Fig. 16, stellt die beschriebene ebene
Configuration dar, und zwar sind die beiden Fünfecke dadurch unterschie-
den, dass die Seiten des einen, 010^03(1405, stark, die des andern, (iB^
^sW^6» schwach ausgezogen sind.)
Die beiden ebenen Fünfecke ergaben sich als die Spuren der Seiten zweier
räumlichen Fünfecke 12345 und 13524. Nun können fünf Punkte des
5!
Baumes auf ^t-e = ^^ Arten zu einem einfisu^hen Fünfeck verbunden wer-
den; diese zwölf Fünfecke ordnen sich in sechs Gruppen zu je zweien, so
dass ein und dieselbe ebene Configuration auf sechs verschiedene Arten als
zwei einander ein- und umbeschriebene Fünfecke aufgefasst werden kann.
Ist ein ebenes Fünfeck 010^030405 beliebig gegeben, so kann man
(und zwar auf unendlich viele Arten) zu demselben ein zweites construiren,
so dass beide zusammen wieder die in Bede stehende Figur bilden. Za
diesem Zwecke ziehe man durch o^ 0^0304 bezw. die Geraden aiCt^a^a^ so,
dass je zwei auf einander folgende einander im Baume begegnen, und
durch 05 die einzige Gerade ag, welche gleichzeitig a, und a^ trifft. Dann
ergiebt sich ein rftumliches FüAfseit a^a^a^a^a^, dessen Ecken^l, 2, 3« 4, 5
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Kleinere Mittheilnngen. 63
heissen mögen. Verbindet man dieselben in der veränderten Reihenfolge
13524 zu einem zweiten Fünfseit, so treffen die Seiten desselben die
Ebene der a in den Ecken des gesuchten Fünfecks.
Breslau, im November 1885. Max Klose.
Vn. Ein Boohenfehler you J. Bemonlli
In den j,Nouveanx Mömoires de TAcad^mie Boyale des sciences et
belles lettres. Berlin, Ann6e 1771'' finden sich zwei Aufsätze von J. Ber-
noulli, die in einem gewissen Zusammenhange stehen; sie tragen die
Anüschriften: „Sur les fractions d^cimales p^riodiques" und |,Becherches
sur les diviseurs de quelques nombres trös grands compris dans la somme
de la Progression g6ometrique 1 + 10* + 10« + . . . + 10« = S\
In dem letztem kommt ein Rechenfehler vor, den Bernoulli tlber-
sehen hat, und infolge dessen fand er denn auch trotz angewandter Mühe
kein Besultat. Das Oanze ist aber um so auffälliger, als B. in der von
ihm erhaltenen falschen Zahl nicht wahrnahm, dass diese den Divisor 3
enthielt.
Um ganz verständlich zu sein, ist es n5thig, dass ich die betreffende
Stelle ganz wiedergebe.
(S. 325.) „8aii t=sll, nous voyons ctäbard que 10"+1 a autre le
dknseur 11 U dwiseur 23; c^est donc du nombre 395256927 gi/^ü nous ä
chercher Us diviseurs; fai paur cet effet appligu4 ä la TäbUe II* la
remarque du § 9 en cherchant d'ahord au moytn de la fagon ordiftaire de
recannaUre si un nambre est divisihle par 11, quds nombres de cette Table
äofient en meme temps de la forme 22m + 1; je n'ai trou/v4 que les swr
wfrfÄ 23, 89, 331, 397, 463, 727, 859, 881, 1013. 1277, 1321, 1453,
1783, 2069, 2179, 2333, 2531, 2663, 2861, 2971, 3037; fai essayS
tous ces nombres sq^ trauver de diviseurs; mais je n^aipas eu lapatience
de pousser cette recherche ptus loin\ ainsi tout ce que je crais pouvovr
assurer (fest que 395256927 n'a pas de diviseur au-dessous de 3000.^
Hierzu ist zu bemerken, dass die vorletzte Ziffer der Zahl 1 statt 2
sein muss; es findet sich dann zunächst, wie es sein muss, noch ein zweiter
Factor 1 1 und der sich dann ergebende Factor 35932447 ist gleich 4093 . 8779,
also 10"+1 = 11».23.4093.8779.
Die Factoren von 35932447 » N fand ich aus den Darstellungen
5.75650«- 97. 5943« = 701.2/ und 5.147559«-97.82404« = --l5301J^r.
* Enthält die Primfactoren für a*+10lß bis 3000.
Sbelhoff.
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64 Kleinere Mittbeilungen.
Vm, Ueber die Abstände eines Punktes toh drei Geraden.
Bezeichnet man mit P einen im Innern des Dreiecks ABC beliebig
gewählten Punkt und mit u, v, 10 dessen Abstände von den Seiten BC^ CA^
AB^ üo kann man nach dem Spielräume fragen, auf welchen P beschränkt
werden muss, wenn es möglich sein soll, aus u, t;, fr ein neues Dreieck
zu construiren.
Das letztere ist nun reell, eine Gerade oder imaginär, je nachdem
positiv. Null oder negativ ist. Der erste Factor bleibt von selbst positiv,
das Dreieck wird also zu einer Geraden in den drei Fällen
v+«? — u = 0, tc+u— <; = 0, u+t; — tc = 0.
Werden u, v, fc als die homogenen Goordinaten von P betrachtet, so
charakterisiren diese Gleichungen drei Grerade, welche man dadurch erhält^
dass man die Punkte A\ B\ C\ in welchen die Winkelhalbirenden von
Ay By C den Gegenseiten begegnen, geradlinig verbindet. Wie sich hier-
nach leicht ergiebt, ist das Dreieck aus u, v^ to reell, eine Gerade oder
imaginär, je nachdem P im Innern, auf dem umfange oder ausserhalb des
Dreiecks A'B'C liegt.
Analoge Resultate erhält man für den Fall, dass P ausserhalb des
Dreiecks ABC angenommen wird; es sind dann, weil nur die absoluten
Werthe der Abstände in Frage kommen, die Vorzeichen von «, t;, fc ge-
hörig zu ändern. Dies möge dem Leser überlassen bleiben.
Diese Sätze dürften neu sein und ein hübsches Beispiel fQr den Ge-
brauch homogener Goordinaten darbieten. Schlömilch,
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Zeitschrift
tai
iVlalhenialili iiiul Physik
Br. O. Sohlömilob, Dr. E. Kahl
uihI
Dr. M, Cantor.
dl. JaliTgang. 2* Heft.
A.aag6g#b6ji am 35. MKrt 1886.
Leipzig,
Dioiti^^
Guui^Il '
Vwrlftg Toii Andr. l^ed. WSai &, Sohn m Sopenhftgetu
Unsere Naturerkenntnis.
Beiträge zu einer
Theorie der MathematLk: und Phvsik
Dt. phil M* ÜroinMU^
V0A dtr fcefilfl, d»(i. MtidMil« d«r Wltaiftsehtflifi mit 4er ^m^n^n HAdtlll* RtkrOfitt Prt rtte»irtt(.
las Deutsehe Öbersetzt mit*?r Mitirirkimg des VeriW^urö
Dr. B, V, Fiseher^Benzon,
l-ri'ia iL« Mark.
Verlag yoii Gi^rb. St»iHtty> Umenlmry,
Müller, E. R*, Plammetrisclie Koustructionsauf-
^abeti, Eie^ii Anleitung zu deren Ldnung fClr bdheTti Selmkit. Pmu k&rt.
• l Mark ^(1 Pf.
Müller, Leitfaden der unorganischen Clieniie ffir
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(Zu bedöben dtirch alle BuchhaikdIungeD. }
Yedag von L. Brill in Darinstadt^
Matheiuatisclie Modelle
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Med. von PtUcbeu ^. Ord. in Uif^e, Beideiifmleri« Carton^chaittei). Uipfftnod,
^' -ri Fl-, Fll, iRiT .eiHeii berCibr, Eborien, ii|
I "'^^""' K'*r Kii... ,„...., ^' u, Ajiynapt.-Ciirvf-n , Mi u-.jn
K * CenlrJiIlL* Breiinfll , FIL xnr Fliv . 1-
iul -,-,- . : llm^iLtirfeiij H,-CC. i.Ord. iiebät ihrew abw, i . _-,._:,.„:„,
Verlag vott B. G. Teubner in Leipzig«
l^errett J*-A.» Handbucli der höbeireii Alg^brft. Deulbche l'öber^etiuiig toii
Q, Wertlie: ' der RpäI
iTirl ü, M ^i 'l gr i* i
IL „ rVili u. &74 8.
4«I. A:
187U, 1 Jf 141.—.
H^embte de rinstitut et du Bureau d4i8 louicitudei, Itehrbuoh d©r Dilfo*
reatlal- imd InteigralTeclintiEig,
b&Arbeiieti v^oü AxelHarnaclLj Dr
3 Bünde. Mit in ileii Text gedruckt., i juMi-,, *;..
Einzeln :
L Bmd : DifteTe»tiiiho<^b?^<i > ' ^^ > ^' « 607 S. l * >^^^
Ih ,, l,eMfl«:l!.tcgr.i [vni
duiikuui XU Dretid^sji«
1 lĻ5z
Die Bereohnimg der reellen Wurzeln der quarti-
nomisohen Gleichungen. ,
Von
Alfred Wiener,
Rtad. el«ktroteohn. in D»rnMUdt.
Auszug aus einer preisgekrönten Bearbeitung der yon Herrn Prof. Dr. S. Gundbl-
FINGER in Darmstadt gestellten mathematischen Preisanfgabe:
,,Gau88 hat in seiner Abhandlung ,,Beitr&ge zur Theorie der algebraischen
Gleichungen'' [Werke, Bd. III S. 86 — 102J die Wurzeln der trinomischen Gleich-
ungen durch eine indirecte Methode rasch und sicher berechnen gelehrt. Das
hierbei zu Grunde gelegte Princip soll auf Gleichungen mit vier Gliedern aus-
gedehnt und für die numerische Bestimmung ihrer reellen Wurzeln nutzbar
gemacht werden.**
Herr Prof. Dr. Gundelfinger hat in seinen Vorträgen das Grund-
princip der Lösung dahin angegeben, dass man zur Aufsuchung der posi-
tiven Wurzeln irgend einer Gleichung diese letztere durch Division mit
irgend einem Gliede auf die Form
a;« + y« + ff« + ... = l
zu briugen habe , und speciell zur Vergleichung die unten aufgeführten
Formeln 5) und 6) mit Anwendung der Gaus s'schen Logarithmen empfoh-
len. — Der Verfasser dieser Arbeit hat daraufhin unter anderen die fol-
gende Formel 7) veiwerthet und darauf eine neue Berechnungsweise,
,,direct und auf sehr einfache Weise die Wurzeln der quartinomischeu
Gleichungen zu bestimmen**,
begründet, was vorerst den Gegenstand folgender Abhandlung bildet.
Erste Abtheilung.
Die yersehiedenen Formen der quartinomischen Oleichuiigen.
Sftmmtliehe algebraische Gleichungen mit vier Gliedern und mit einer
Unbekannten sind durch die Gleichung
1) a.«+n+p + /•ir'"+" ± gx"* + Ä = 0
ausgedrückt In derselben bedeuten m, n, p und /*, g^ h gegebene positive
Grössen. Die Gleichung 1) umfasst folgende acht verschiedene Fälle >^ j
Z«IUchrift f MAtbemaUk n. Vhytik XXXI, ?. Di^tized by VjOOglC
66 Die Berechnung der reellen Wurzeln der quartinom. Gleichungen.
2) ic«+"+i» -/•««+- +^«"'+Ä==0,
3) ic«+''+i» + /'a^+- — ^af + Ä = 0,
4) rc«+*+i» + /^«^ + "+-^af -Ä = 0.
5) a^+'+i» -/•«'"■*"' -^ic«-Ä = 0,
6) a:«+* + '» + /'a?'*+"-^aj"-Ä = 0,
7) aj«-»-+P-^a;"'+''+^a?'" — Ä = 0,
8)* af* + -+i» — /'«;"'+" — ^iC« + Ä = ü.
Die Exponenten m, w und p sind prim unter sich angenommen, denn
hfttten sie einen gemeinschaftlichen Theiler X;, so würde eine solche Gleich-
ung durch Einführung des Werthes
2) y = «»
auf einen der aufgeführten Fftlle zurückgeführt.
Die erste Form
3) ic"+»+i» + /'af"+" + irÄ" + Ä«0
hat keine positive Wurzel und ist zur Berechnung ihrer negativen Wurzeln
auf eine der übrigen Gleichungsformen durch Einführung von
4) a? = — y
zu transformiren.
Zur Berechnung der reellen Wurzeln der quartinomischen Gleichungen
lassen sich auf sehr verschiedene Weise Formeln ermitteln. Hier sollen nur
vier Bfethoden erwähnt und die dritte vollständig ausgeführt werden.
1. Mit Hilfe der von Herrn Prof. Dr. Gundelfinger zuerst empfoh-
lenen goniometrischen Formeln (Polarcoordinaten)
' \C08U/ ^\e08U/ ^ '
2. mit Hilfe der goniometrischen Formel
3. Mit Hilfe der trigonometarischen Formel
^) igvtgß + tgatgy + tgßtgy^X, wobei o + /J + y = 900 (-»),
lassen sich sämmtliche quartinomische Gleichungen der 2., 3., 4. und 5. Form
auflösen und für fn=^p vollständig discutiren.
4. Nach den neuesten Untersuchungen des Herrn Prof. Dr. Gundel-
finger kann unter Benutzung der in der Theorie der Gauss 'sehen Loga-
rithmen auftretenden algebraischen Gleichung
8) lO^^l + lO'^*
jede Gleichung vom n^^ Grade reducirt werden auf die Behandlung von
Gleichungen vom (fi— !)*•" Grade.
* Nach einer mir gewordenen mfindlichen Mittheilung will Herr Prof. Dr.
Gundelfinger diese Methode Tollständig auch für alle höheren Gleichungen
bearbeitet demnächst im Drucke erscheinen lassen.
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Von A. WiENBB. * 67
Die Theorie und Berechnung der Gauss 'sehen Logarithmen nach 8)
findet sich in den Logarithmentafeln Ton Prof. Dr. Neil (fünfstellig), v6n
Dr. C. Bremiker (sechsstellig) und von Prof. Theodor Wittstein in
HaaaoTer (siebenstellig). Die Oc tan tenbe Stimmung bei der Berechnung
der Wurzeln der trinomischen Gleichungen von Qauss (siehe dessen Werke,
Bd. m 8. 85 — 102) zur Lageermittelnng des von ihm eingeführten Hilfs-
winkeis fp ist durch die Anordnung der genannten Logarithmentafeln un-
nOthig geworden, wodurch sich daher auch die Berechnung der Wurzeln
bedeutend vereinfacht. In diesen Logarithmentafeln ist nftmlich zusammen-
gestellt
A=^logtg^(p \ berechnet für alle Werthe von q> von 0^ bis 90^, so dass
und I Ä alle Werthe von — oo bis + od und
B=:log8e(ffp] B ^ ^ ^ 0 „ + od annehmen kann.
Zur Berechnung der Wurzeln nach 7) sind nur Brigg'sche und zur Be-
rechnung der Wurzeln nach den übrigen angeführten Methoden sind sowohl
Brigg 'sehe, als auch die genauere Resultate ergebenden Gauss 'sehen Lo-
garithmen anwendbar.
Die hier ausgeführte AuflOsungsmethode kann lür die Auflösung der
vollstftndigen Gleichungen höherer Grade verwendet werden. Anch zur Tren-
nung und Berechnung nahezu gleicher Wurzeln, die bis auf eine Anzahl
Decimalstellen übereinstimmen, bietet diese Methode bedeutende Yortbeile.
Zweite Abtheilung.
Bestimmung der Grenzen und Anzahl der reellen Wurzeln
einer quartinomisetaen Olelcliung.
Ehe die numerische Berechnung der Wurzeln einer Gleichung vor-
genommen werden kann, ist es nothwendig, die einzelnen Wurzeln von
einander zu trennen, d. h. zwei Grenzen anzugeben, zwischen welchen jede
einzelne Wnrzel liegt.
Die Grenzen und Anzahl der Wurzeln einer qnartinomischen Gleichung
sind zu bestimmen:
1. direct aus den nach dieser Methode entwickelten Bestimmungsgleieh •
ungen, wie dies in diesem Auszüge ausgeführt ist, und unter anderen
noch (weitere Methoden werden in der nftchsten Abhandlung mitgetheilt)
2. durch den Stürmischen Lehrsatz, welcher jedoch bei Gleichungen
höherer Grade praktisch wenig Werth hat.
Wie schon Gauss bewiesen, hat eine trinomische Gleichung von der Form
9) af+P + Fa?«±C«=»ü,
höchstens zwei positive reede Wui*zeln, also nicht mehr als drei reelle
Wurzeln (wenn ft und p keinen gemeinschaftlichen Divisor haben), und
daher auch die qnartinomische Gleichung 1) höchstens drei positive re^ j
68 Die Berechnung der reellen Wurzeln der qnartinom. Gleichungen.
Wurzeln, und wenn m, n und p prim unter sich sind, höchstens fünf
reeUe Wurzeln.
Mit Hilfe des Satzes:
„Enthält eine Gleichung lauter gerade Potenzen der Unbekannten,
80 sind die Wurzeln derselben paarweise gleich, aber entgegengesetzt^^
kann speciell bewiesen werden, dass eine quartinomische Gleichung höch-
stens sechs reelle Wurzeln hat.
Setzt man nämlich in der gegebenen quartinomischen Gleichung
x^ — aa^ + ha^^c^O
für a^ den Werth y, so erhält man die ToUständige cubische Gleichung
welche höchstens drei reelle Wurzeln hat; daher kann die gegebene quarti-
nomische Gleichung sechs reelle Wurzeln haben.
Dritte Abtheilung.
Auflösung der quartinomischen Gleichungen Yon der zweiten,
dritten, yierten und fKnften Form.
Mit Hilfe der trigonometrischen Formel 7) lassen sich die hier aufgeführ-
ten Gleichungsformen der quartinomischen Gleichungen , bei denen die Expo-
nenten m = Py vollständig auflösen , ganz bestimmte Kriterien zur Berechnung
der einzelnen positiven und negativen Wurzeln aufstellen und einfach nach
weisen, in welchem Falle diese Gleichungen nur imaginäre Wurzeln haben.
Erster Abschnitt.
Auflösung der zweiten Form.
10) a:"»+«+P — /x"'+" + gx^ + Ä = 0.
Hier ist zunächst «. „ , . . «. . , ^ «...
oder
Die Vergleichung der Gleichung 11) mit der trigonometrischen Formel 7)
tga tgß + iga tgy + tgß tgy^l,
bei welcher « + j3 + y = 90^. ist, ergiebt die zur Berechnung der Hilfswinkel
und der Wurzeln nöthigen Bestimmungsgleichungen, als:
I. xP^ f. tga tgß, IL x" = —^-— und III. a?"' + " = ,^ ^^ -
f tga tgy f tgß tgy
Die Operation I . III : II liefert
12) IV. a-«+P = -i^<<7«a,
g
die Operation I.II:III liefert
13) V. siP-n^^-Il-tg^ß
und die Operation I. II. III liefert DigitizedbyGoOglc
Von A. Wiener. 69
VI. a;«+2»4-P = . ^*
Aus IV, V und VI ist x zu e]iminiren, indem man zunftchst
setzt und erhält
14) tg'—PaJg'-^Pß^-—^'
Femer ergiebt die Gleicbsetzung
noch
15) ^ ,^-. + »« + P„.<<,«+Py = -gl^^.
Aus 14) und 15) sind nun die Hilfswinkel a, ß und y mit Zuhilfenahme
der Relation
zu berechnen.
Die Gleichung 14), sowie auch 13) liefert den Lß^ sobald m = p wird,
direct. £s zerfallen daher die quartinomischen Gleichungen von der Form
10) bezüglich ihrer Auflösung in zwei verschiedene Arten und zwar:
1. in solche, bei denen die Exponenten m = Py und
2. „ „ „ „ „ ,, ♦» > /> sind.
Zu der ersten Sorte gehören:
1. die vollständigen cubischen Gleichungen,
2. die Gleichungen vom IV. Grade, bei denen das Glied a^ fehlt,
3. „ „ „ V. „ „ „ die Glieder ^* ^'^^^ ^ \ fg^ji^,,
oder X „ yi^l *
4. r » „ VI. „ „ „ „ „ X, rc«u.ic*)
oder x^y
5. n n n VII. „ „ „ „ n x\o(^,X^\l.X^\
od. ic, x\x/* \iafi\ fehlen
U. 8. W.
Die allgemeine cubische Gleichung,
„ einfach reducirte Gleichung vom IV. Grade,
„ zweifach ,. . „ „ V. ^
„ dreifach „ „ ,, VI. „
„ vierfach „ „ ^ VII. „ u. s. w.
können hiernach allgemein und vollständig aufgelöst werden.
Für alle diese Gleichungen der ersten Art ist aus 13)
.6) W-/|.
also Lß direct bestimmt, und folglich ist auch die Summe der Winkel
a + y==90-/J = s
bekannt. Aus 15) lassen sich daher die Winkel a und y und dann am
bequemsten vermittelst 12) die Werthe der Unbekannten x berechnen.
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o q . > fehlen,
*,iru.a^j
70 Die Barecbnnng der reellen Wurzeln der quartinom. Gleichungen.
Setzt man in 15) den Werth für ^ = s — «, so wird die linke Seite
dieser Gleichung
17) ^+^"+i»a.<^+J»(5-a),
als Function einer variabeln Grösse a betrachtet, sowohl für o = 0 als für
a -=8 yerschwinden. Zwischen diesen Grenzen muss daher ein grösster
Werth, ein Maximum, liegen, dessen Werth sich mit Hilfe der Differen-
tialrechnung ermitteln lässt. Bezeichnet man nftmlich den ersten Differen-
tialquotienten mit y\ so ist
y = <^"»+2«+PaJ^ + P(5— a)
und zu den natürlichen Logarithmen übergegangen
ly=-{m + 2n + p)ltga + (m+p)ltg{8--a),
folglich, diese Gleichung in Bezug auf a differentiirt,
y ^2(m + 2ft+p) 2{m+p)
y 8vn2a >iw*(s— a)
oder
Der Ausdruck 17) wird für den Werth von a, zu einem Maximum ü,
der sich ergiebt, wenn man y'=0 setzt. Für diesen Fall ist jedoch nur
die Klammorgrösse von 18) in Betracht zu ziehen.
Man erhält also diesen bestimmten Werth für a aus folgender gonio-
metrischen Gl^ehung:
m + 2n + p m+p _^
sin2a • Äin2u — «) '
woraus folgt
19) «)e2« = '^
^LhE_(,+".±^^3.)
8m2s
Dieser Ausdruck wird logarithmisch brauchbar, wenn man für 2« < 90^ setzt
oA\ ^ s m + 2fi + p ^
20) tg^w = : — -^'C082s.
^ ^ m + p
Dann ist
21) cat2a^ ^t^^'t^'
Für 2«>90o wird, da 2«= 180 -(180-25) ist,
co52« = a)5[180-(180-25)] «=-005(180-25)
und
5i»25==«fi[180-(180-25)]:= + «n(180-25).
Diese Werthe in 19) und noch
22) «^i^=ÜL±?!L+Z.co5(180-25)
m + /i
gesetzt, ergiabt
26) co<2.= "»+2«+p
»«(180 -2«)
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Von A. WnBNKR. 71
Ist nan der Wertb der rechten Seite der Gleichung 16) grösser^ gleich
oder kleiner als M. d. h., ist
80 erhftlt man aus 15) für cy entweder keinen, einen oder zwei Werthe.
Im ersten Falle hat die quartinomische Gleichnng 10) gar keine
positive reelle Wurzel, im letzten Falle zwei positive reelle
Wurzeln und im zweiten Falle, weil diese beiden Lösungen zusammen-
fallen, zwei gleiche positive reelle Wurzeln.
Für die Gleichungen der zweiten Sorte, bei denen m^p, ist zu-
D&chst vermittelst 9) die Existenz reeller Wurzeln nachzuweisen. — Zur
Berechnung der Hilfswinkel ergiebt sich aus 14), sobald m+pssf gesetzt
wird:
25)
und aus 15)
26) ^nff^-Vig^^^
CK
Durch Annahme von a wird aus 25) der Lß und aus 26) der Ly
derart berechnet, dass die erhaltenen Werthe mit dem angenommenen Werthe^
Ton a zusammen 90^ betragen.
um die Winkel ß und y rasch zu erhalten, bestimmt man mit den
genftherten Wurzeln aus 12) die genäherten Werthe von o. Diese indirecte
Berechnung wird mit Logarithmen ansgefühii und besteht daher nur in
einigen Additionen und Subtractionen.
Aus 25) und 26) lassen sich meist direct die Grenzen von a ermitteln.
Zweiter Abschnitt.
Auflösung der dritten Form.
27) a;«+»+j» + /-a;-+» -^ar« + A=0.
Diese Gleichung verwandelt sich in
folglich ist
28) ^+/^ + 4_ = l.
9 g gxf
Die Gleichung 28), mit d«r trigonometrischen Formel 7) verglichen, ergiebt
xr+' = gtg«tgß, IL sf = ^^
Die Mnltiplication I. II. III liefert
9) TV. !t
die Operation 11.111 :1 liefert
I. xr+'^gtgatgß, IL ci!' = ^tg€ttgy und III. x^'=-j-^7—
29) IV. afi-^'+Pz=?^tg*a,
und die Operation I. III: II liefert
30) V. x'-'t^'ftg'ß.
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72 Die Berechnung der reellen Wurzeln der quartinom. Gleichungen.
VI. a?'«+P = ^* .
Au8 iV, V und VI ist nun x zu eliminiren. Die Gleichsetzung Ton
31) ,^-p«.^+i.+,^ = _____
und
IV"+i'= VI" +»»+»•
gesetet, Uefert f«+«+PA-
32) t^+P„.^+2.+py = /____.
Das, was aus 13) und 14} bezüglich der Zerlegung dieser quartincAnischen
Gleichungen in zwei Sorten geschlossen wurde, gilt auch für 30) und 31).
Wird nämlich m=p, so erhftlt man aus 30)
33) ^^ = /^
und es ist dann die Summe
5=a + y = 90 — j5, also y^^S — dt,
Da 33) mit 16) genau übereinstimmt, so müssen 4ie linken Seiten der
Gleichungen 15) und 32) genau dieselben Werthe liefern./
Das Maximum üf, welches die linke Seite von 32:
34) ^"•+P«.f<7«»+«"+i»(5-«)
liefert, muss daher auch denselben Werth haben, als das Maximum, wel-
ches der Ausdruck 17) hat.
Wird nämlich [wie 17)] der Ausdruck 34) als Function y einer varia-
belen GrOsse o betrachtet, so verschwindet 34) sowohl für a = 0^, als auch
für o = 90^, d. h. es können zwei Werthe für a der Gleichung 32) genügen.
um den Werth von «, für welchen 34), also
y==^«+ra./^+««+P(5 — a),
ein Maximum üf wird , zu erhalten , geht man zu den natürlichen Logarith-
' ly = {m +p)l tgci + {m + 2n+p) l tg{s—a) ,
und differentiirt, so ergiebt sich
y ^2ifn + p) 2im + 2n+p) ^^^^ ,^^ fw+p w + 2w + a;|
y s%n2ci 5m2(s— a) ^ lsin2« w»2(ä — «) J
Die EJammergrüsse von ^ = 0 gesetzt, liefert eine goniometrisohe Gleich-
ung, aus der sich der gesuchte Werth von « ermitteln lässt. Man erh<
sin2s
Um a logarithmisch berechneu zu können, setzt man, wenn 2s > 90^,
35) sm«<p = "^t^. - 608(180-25)
und erhält
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Von A. Wiener. 73
Fttr 2»<90» ist
einzoftthren und man findet dann
38) eot2a =
fn+p
8in2s.co8^q>
Mit Hilfe dieses gefundenes Wertbes Ton a wird ans 34) das Maximum M
berechnet nnd ist die rechte Seite der Oleichung 32) grösser, gleich
oder kleiner als dieser Werth M^ als
39) .. 1 ^ M,
80 liefert 32) fttr a entweder keinen, einen oder zweiWerthe und 29)
die entsprechenden Wnrzeln.
Die Qleichnng 27) hat daher entweder
1. zwei imaginäre Wurzeln,
2. zwei gleiche reelle positive Wurzeln oder
3. zwei yerschiedene reeUe positive Wnrzeln.
Da, wie bereits nachgewiesen, die Ausdrücke 17) und 34 j ein und
ilenselben Maximalwerth ergeben , so haben die quartinomischen Gleichungen
von der zweiten Form 10) und der dritten Form 27) fttr m=p
1. sobald {m+n + p) gerade, dagegen (m + n) and m ungerade,
and wenn nach 15) und 32)
zwei gleiche positive und zwei gUkihe negative Wurzeln, und wenn
40) ^ + »+i»>/^+«+PÄ»,
höchstens zwei reelle positive Wurzeln oder nur zwei reeße negative
Wurzeln;
2. sobald aber (m + n+p) und (m + n), als auch m ungerade, so
können diese quartinomischen Gleichungen von der zweiten und
dritten Form fünf reelle Wurzeln haben.
Ist in den Gleichangen von der Form 27)
so werden vermittelst des ersten Differeniialquotienten und den Wurzeln der
entsprechenden trinomischen Gleichung 9) die Grenzen der reellen positiven
Wurzeln ermittelt. Hierauf liefert 29) angenäherte Werthe von a und die
entsprechenden Werthe von ß und y, welche drei Winkel zusammeü 90**
betragen müssen, erhält man dann aus 31) und 32), wenn m + 2n + p = q
gesetzt wird:
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74 Die Berechnung der reellen Wurzeln der quartinom. Oleichongen.
und -
Aus 41) und 42) können die Grenzen Ton et auch direct bestimmt
.werden, was bei den Beispielen gezeigt wird.
Dritter Abschnitt.
Anflösnng der vierten Form.
43) 0?«»+»+*' + /ir*+" +gx'^ - ä = 0.
Hier wird
gesetzt, so dass man durch Division von h die zur Vergleichung nöthige
Form erhält
a^-^n^P f^-^n gar
Die Gleichung 44) muss nun Glied für Glied mit 7) abereinstimmen,
wodurch folgende Bestimmungsgleichungen entstehen:
I. Ä*'+»+A'=:Af^«f/^/J, IL af+" = y<^«f.<^y und III. ^^^tgßtgy.
Die Operation I. II: III liefert
>) IV. a
die Operation I. III: II liefert
46) 1
und die Operation 11.111:1 liefert:
47) VI. «-- P^^^y.
. T9
Die Gleichsetzung von
giebt
und die Gleichsetzung von
liefert
49) y"^-»« ^ f^'^n^rVk'
Nach 47) und 48) lassen sieh auch diese quartinomischen Gleichungen
von der Form 43) in Bezug auf ihre Auflösung in zwei Arten zerlegen.
Für die erste Art, deren m^=p, erhält man aus 47) direct
öO) tgi^y^'
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46) IV. »-+2"+^ = ^<^«,
46) V. (ir+e = ^tg*ß
Von A. WiBKBR. 76
Vergleicht man 50) mit 16) und 33), so ersieht man, dass, wenn der
dort herechnete Winkel mit ß' bezeichnet wird,
51) tgy^wtfl
ist, d. h. der dort berechnete Winkel ^' ergftnzt den hier za berechnenden
Winkel y zn 90^. Diese Eigenschaft erleichtert die Rechnung ungemein,
sobald bei der Berechnung negativer Wurzeln eine quartinomische Gleich-
ung der zweiten oder dritten Form sich in eine Gleichung der vierten Form
oder umgekehrt verwandelt.
Sobald aus 50) der Winkel y bestimmt ist, wird die Summe 8 der
beiden anderen Winkel
5 = a + /? = 90-y.
Setzt man in 49) nun fCLr /} = 5— or, so giebt die linke Seite dieser Gleichung
' ^-+2-+''(s-«)
einen Ausdruck, als Function einer verftnderlichen Grösse o betrachtet, der
von 0 bis oo wftchst. wenn « alle Werthe von «® bis 0® nach und nach an-
nimmt. Es kann daher aus 49) nur ein Werth ftlr a gefunden werden,
d.h.: die Gleichung 43) hat ganz bestimmt nur eine reelle positive
Wurzel
Sobald aus 49) der eine Werth ftlr o gefunden, wird aas 45) die also
unter allen umständen vorhandene eine positive reeOe Wurzel berechnet.
Die zweite Art von Gleichungen der vierten Form, deren
ist, werden gelöst, indem zuerst ein genSherter Werth von « aus 45) und
dann der genaue Werth von n aus 48) und 49) berechnet wird. Diese
geben nftmlich, in Bezug auf ß und y (aufgelöst und fii + 2ft+/>~7 gesetzt,
53) ti/ß^f^f^^n-f^^r^«
und
Aus 53) und 54) ergeben sich die Grenz werthe von a sehr rasch.
Vierter Abschnitt.
Anflösuig der Anften Form.
56) a;«+-+i'-./*/c»ii+«— jra;'"-A«=0.
Hier ist
za setzen, dann wird durch Division mit 0^+"+'' die auf 1 reducirte bctmob-
bare Gleichung
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76 Die Berechnung der reellen Wurzeln der quartinom. Gleichungen.
erhalten, welche mit 7) verglichen , ergiebt
I. .tP = -— C-:r» IL ic»4-/'=_Z_. „nd III. a;"'+"+'' = -
tgatgß ' tgatgß tgß^gr
Die Operation I. II: III ergiebt
57)
IV. a^-i':
-T,""'
die Operation I. III: II ergiebt
58)
V. x'-^y-.
fh
fft9*ß
und die Operation II.III:I ergiebt
VI. af +»■+»' =
9^
Zur Elimination
Ton X setzt man
und erhftlt
IV-'+f =
_V'" p
59)
tg'"+P«.tg"-
wird ferner
Ym + 2n+p
= VI"+''
gesetzt, 80 ergiebt sich
60) <r+-+'^^
gm+n+p
Die erste Art dieser Gleichungen, bei denen m = Py lassen sich direct
auflösen. Aus 57) ist nämlich
61) tg« = -f/tl,
welcher Werth mit 50) übereinstimmt; d. h.: wenn der dort berechnete
Winkel mit / bezeichnet wird, ist a = /. In diesem Falle ist femer die
Summe der Winkel |3 und / bekannt als
5 = /5+y = 90^-a, daher ist y^s—ß.
Diesen Werth in 60) gesetzt, ergiebt für die linke Seite dieser Gleichung
62) tg-^-^^-^Pß
^ tg'"+P(s-'ß) '
einen Ausdruck, welcher von 0 bis oo wächst, sobald ß alle Werthe von
0^ bis s^ annimmt. Daher erhält man nur einen Werth für ß, welcher
60) zu genügen vermag, d.h.: die Gleichung 55) hat unter allen Umstän-
den eine reelle positive Wurzel. Aus 60) ist ß und aus 58) ist die
eine positive reelle Wurzel x zu berechnen.
Da 50) und 52) dieselben Werthe wie 61) und 62) liefern, so können
die quarünomischen Gleichungen von der zweiten [10)] und dritten Form
[27)1,
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Von A. Wiener. 77
wenn (m + ^+p) sowie m ungerade und zugleich {m+n)
gg. , gerade ist,
^ drei reelle Wurzeln und zwar zwei positive und eine
negative Wurzel haben.
Das Umgekehrte findet bei den quartinomischen Gleichungen von der
vierten [43)] und fünften [55) J Form statt, welche,
wenn (wi+«-|-;?), sowie m ungerade und {m+n) gerade ist,
eine positive reelle und zwei negative reeHe Wurzeln haben
können.
Ist
so haben genannte quar tinomische Gleichungsformen zwei gleiche reelle
Wurzeln.
Sind aber (m + n+p) sowie (m + n) gerade, dagegen m ungerade,
so können diese quartinomischen Gleichungen vier reelle Wurzeln haben.
Für die zweite Art dieser Gleichungen, bei denen
wird aus 58) ein angenäherter Werth von ß dadurch berechnet, dass man
dazu einen genäherten Wurzelwerth, der nach 9) bestimmt wird, benutzt.
Den genaueren Werth y m ß erhält man aus 59) und 60) , indem man diese
nach a und y auflöst und fn'\'P = r setzt:
64) tga^y -i^ j^cot^-Pß
und
Ist ß gefunden, wird die eine reelle positive Wurzel der Gleich-
ung 55) aus 58) berechnet.
Vierte Abtheilung.
Namerisehe Rerechnang der reellen Wurzeln der besprochenen
quartinomischen Gleichungen.
Die bei der Auflösung der quartinomischen Gleichungen gefundeneu
Formeln für die Berechnung der nöthigen Hilfswinkel zeigen, dass dieselben
sich sehr einfach mit Logarithmen indirect bestimmen lassen. Zur in-
directen Berechnung der Hilfswinkel nach den in voriger Abtheilung ent-
wickelten Formeln werden die Brigg 'sehen Logarithmen, die fast jedem
Rechner zur Hand, angewandt.
Die Berechnung einer jeden Wurzel erfordert zwei Operationen. Zuerst
ist indirect ein Hilfswinkel und dann direct die Wurzel zu berechnenv> j
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78 Die Berechnung der reellen WnrEeln der quartinom. Gleichungen.
Bei der ersten Operation, die annftherungs weise vollzogen wird, ist es
oft Tortheilhaft, zuerst das dreistellige Logarithmenblatt der goniometrischen
Functionen von Professor Dr. Neil (in dessen Tafel 8. 8ö), dann dessen
fünfstellige und zuletzt, wenn man nicht mehr als sieben Decimalstellen haben
will, die Vega'sche oder irgend eine andere Logarithmentafel zu benutzen.
Für genauere Resultate hat man nur Tafeln mit mehr als sieben Deci-
malstellen anzuwenden. Solche sind von Vega, Qillibrand, Brigg,
Adrian Vlacq, Callet und Anderen berechnet worden.
Diese indirecte Berechnung lässt sich noch dadurch erleichtem, dass
man beim Gebrauch der fllnf- und siebenstelligen Logarithmentafel Zeiger
zwischen die Seiten der Tafel, die man zu benutzen hat, legt, so dass man
jedesmal nur einmal umzudrehen bat. Bei einiger Uebung im Logarithmen-
aufschlagen Ittsst sich dann eine Wurzel auf sieben Decimalstellen genau in
ganz kurzer Zeit berechnen.
Immer ist es nicht nothwendig, für die stufenweise Annftherung Tafeln
mit 3-, 5-, 7- und mehrstelligen Logarithmen anzuwenden; oft ist es sogar
praktisch, von 3 stelligen direct auf 7stelUge Logarithmen überzugehen. —
Meist ergeben sich für jede specielle Berechnung besondere Vereinfachungen.
So zeigt es sich unter Anderem, dass fbr die Berechnung der negativen
Wurzeln meist dieselben Winkel und Logarithmen zur Verwendung kommen
müssen, wie bei der Berechnung der positiven Wurzeln.
um das Zeichen des Fehlers einheitlich festzustellen, wird die zur
Vergleichung nOthige Zahl immer abgezogen, so dass sie, wenn positiv, nut
dem Minuszeichen, und wenn negativ, mit dem Pluszeichen erscheint. Für
die Berechnung des Fehlers ist also meist die algebraische Summe zu suchen.
Der Uebergang des Fehlers von + in — oder von * in + zeigt das Vor-
handensein der Wurzeln an.
Brstefl BeitpieL
«'•-271a?' + 580j^ + 7896 = 0.
Diese Gleichung ist von der zweiten Form 10) und es ist
mc=3, fi = 4, jp = 3, femer / = 271, ^«580 und »==7896.
Zur Untersuchung, ob die Gleichung positive reelle Wurzeln hat, ist
nach 24) der Maximalwerth M des Ausdrucks 17) wie folgt zu bestimmen.
Aus 16) ist
^ß = j/m^' also /J=12«37'56.257".
*" I. «=« + y = 90-/J = 77«22'3,743';
daher aus 22) und 23) der Werth
logeot{180-2tt) = 0,0471783,
folfflich
* « = 69« 3' 10.75" and «-« = 8» 18' 52,9*0",
welche Werthe 17) za einem Maximum machen als /^ i
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Von A. WiENBB.
79
Jf = <^'*(69» 3' 10,75") .^«(80 18' 52,993") = 6,7153954.
Nach 15) ist aber
II. tg''atg^{3^a):= ,^^^^^,^^ = ofi(xmoooo(xm\90] ...
580«^
. 781)5* ■
Da also Jr> 0,00000000000051901 ..., so hat nach 24) die gegeben»
Oleichnng zwei positire Warzeln; und da 580><'<271>^.7896^ ist, so
hat die gegebene Oleichnng nach 40) nur zwei positive reelle und
acht imaginäre Warzeln.
Barechnung der poaitiYen Wuneln.
Um diese zu erhalten, sind ans II die entsprechenden Werthe von a,
wovon der eine klein und der andere nahe an 77^22' liegen muss, zu be-
rechnen. Ans II ist zunächst
580^
iff'u.tg'iW 22' 3,743"- «) = ^^j^^
oder
m. 7 logtffa + 3 logtg{W 22' 3,743"- «) = - 6,1424107.
Die Grenzen von a ergeben sich mit dreiziffirigen Logarithmen ans fol-
gender Zusammenstellnng sofort.
Bei der Annahme von a^ s= 4^ ist aus I der Werth y « 73^. Nach III
ist nun 1 log ig 4^ und 32o^^73 ' direct der Logarithmentafel zu entnehmen
and deren Summe mit —6,142 zu vergleichen.
Berechnung
von llogigat+SlogtgYi nach III.
llogtgA9 =0,916-9
-♦- S logign^ = 1,645
0,460-7 = -6,540
llogtgb^ =0,594-8
1,464
0,058-6 = -5,949
Berechnung
des Fehlers.
-6,540
4-6,142
-0,398
+ 6,142
-5,942
+ 0,200
Correctur.
2.60'
= 24'.
also «, = 5^-24'
= 4'»86'
Der Genauigkeit halber ist nun gleich mit siebenstelligen Logarithmen zu
rechnen.
7 logtgi^M' = 0,S889879- 8
+ 320^^^ 72*46' 8,748 = 1<52520284
0,86419074-7 = - 6,1358098
7 logigiPZ6' = 0,3279062 - 8
+ 3 toye^2»4r8,748^ = 1,52654804
0,85444924-7= - 6,1455508
7 logtgA^SS'^O" = 0,3316048-8
+ 8toyly72*46'48,748' = 1,52609594
0,8577002-7 = - 6,142^998
+ 6,1424107
-6,1358093
+ 0,00f 6014
-6,14* 5508
+ 6,1424107
-0,0081409
+ 6,1424107
-6,1422998
-0,0001109
31.60" _.„
""9r"=*^'
also «1 =.4«85'20'
1109.20"
= 0,69",
82510
also
«t = 4»85' 19,81"
Digitized by
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80 Die Berechnung der reellen Wurzeln der quartinom. Gleichungen.
Berechnung
▼on llogtgai -^Slogtgyi nach III.
Berechnung
des Fehlers.
Correctur.
Probe:
7 logtgAßSb' \9,Hl'' =0,8814768-8
-6,1424119
+ 6,1424107
12.0,69" ^^^,M
also
«,= 4*85' 19,317"!
auf tausendstel .
Secunde genau.
-H 3 logtg 7>»46'44,488"= 1,6261 1 18
0,8676881-7 = -6,1424119
- 0,0000012
DerWerthvon %<</«, = io^<^ 4 «35' 19,8 17" = 0,90441 68«- 2 in 12)
ergiebt, da
271.7895
afi=='
580
.« ^ TV 7 7 7V^71.7895 . ,, ^
tg^a oder IV. logx^logj/ — ^gj^ [-j logtg a
ist:
also:
logx, = 0,59448223 + 0,63483229- 1 = 0,2293145,,
X, = 1,69556531 . . .
Für die Berechnung der zweiten positiven Wurzel, da a, sehr
nahe 5« erreicht, benutzt man am bequemsten direct siebenstellige Loga-
ritbmen. Die Annahme von «, = 77^21' ergiebt aus I den Werth fELr
y= r 3,743". Durch folgende Zusammenstellung ergiebt sich der genaue
Werth von er«.
Berechnung
von Ilogtgof + Slogtgyt nach HI.
llogtgll92i' =
+ Zlogtg 1' 3,748"=
t log tgll^2l' 10'' =
+ Slogtg 63,748"=
7J05f«y77«2l'7" =
+ Slogtg 56,748"=
Probe:
7to^«</77»2l'7.152":
-^Slogig 56,591"=
=4,5422587
=0,4699914-11
0,0122501- 6 =-5,9877499
=4,5429482
= 0,2476001-11
0,7906483- 7 =-6,2094517
4,54274135
0,8184226-11
0,86116396-7=-6,18»8360r,
= 4,64275183
= 0,3149174-11
0,8*>76692, -7 = - 6,1428807,
Berechnung
des Fehlers.
+ 6,1424107
- 5,9877499
Correctur.
67.10"
+ 0,1546608
- 6,2094517 ' 222
+ 6,1424107 also
= »",
857.8'
- 0,0670410
+ 6,1424107', 7^j
- 6,1888860 ^; also
a, = 77»2l'7"
= 0,152 ,
+ 0,0OH5746..s «, = 77«21' 7,162"
+ 6,1424107
- 6,1423808 !
+ 0,0000799 I
799.2,848'
=0,008'
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671209
also
«, = 77*21' 7,156
auf tausendstel
Secunde genau.
Google
Von A. Wiener. 81
Der Werth von logtga^ = log tglV 21' l,)l&''^0,64896tö^^ in IV
liefert:
logx^ = 0,5944822., + 0,216321085« = 0,8108037556,
demnach
x^ = M6860232 . . .
auf acht Decimalstellen genau.
Die zwei positiven reeUen Wurzeln der Gleichung
«io-271rc^ + 580a^ + 7895 = 0
sind also
a?i = 1,69556531... und a^ = 6,46850232 .. .
Nach 40) hat hiemach die Gleichung
rc^o + 271a;' - 580a;» + 7895 = 0
acht imaginäre Wurzeln und nur folgende etoei negative reeüe Wurzeln:
a:i = - 1,69556531... und x, = - 6,46850232 .. .
Zweitef Beispiel.
a^+ IIa;«- 102 rr+ 181=0.
An diesem Beispiel soll gezeigt werden , welchen Vortheil diese Methode
bei der Aufsuchung von Wurzeln , welche bis auf eine Anzahl Decimalstellen
übereinstimmen, bietet. Die Gleichung gehört zur dritten Form 27) und
hat nach 39) und 63), wenn
iir>^^> d.h. > 0,22701581...
ist, zwei positive und eine negative reelle Wurzel.
Aus 33) ist
^^^'/m^' also ^ = 21»52'57,5".
Daher ist
5 = a+y^90-/3 = 68<^r2,5" und 180-25 = 43M5'55".
Nach 35) ist nun
2<>^«n9> = 9,7788076 -10 und q) = 36«56'5,7r\
folglich aus 36)
«0^00^2« = 0,26654845e und a = 14n2'49,38'\
also
s-« = 53^54'13,12".
Dies in 34) giebt
Jf = ^^(14oi2'49,38").<i7*(53054'13,12'0 = 0,22702109...
Da aber ^^^ = 0,22701581..., der Werth der rechten Seite der
Gleichung 32) hiemach kleiner, aber beinahe bis zur fünften Decimalstelle
mit M übereinstimmt, so hat die Gleichung zwei positive Wurzeln, welche
auf mehrere Decimalstellen miteinander übereinstimmen. Sind beide Werthe j
Z«lUebrfn f. Maihsmfttfk u. Phytilc XXXI, 2. 6^ ^^
ö2 Die Berecbnang der reellen Warzeln der quartinom. Gleichungen.
gleich, 80 sind die zwei positiven Warzeln gleich oder haben mindestens
sieben Decimalstellen gemein.
Die Werthe von a können daher hier auch nur einige Minuten von
14^ 12^49,38" differiren, und ist ctj um ungefähr dieselbe Anzahl Minuten
kleiner, als a, grösser.
Zur Berechnung dieser Werthe sind hier natürlich gleich siebenstellige
Logarithmen zu benutzen.
Aus 29) und 32) erhält man die zur Rechnung nöthigen Formeln, als
I. logx = 0,8062215,6 + i logtga
IL hgtga + 2 log tg{68n' 2,0''- a)= -0,32197195.
und
Bereohnung der ersten positiYen Wursel.
Berechnung
von logtga + 2logtg{s-a) nach n.
Berechnung
des Fehlers.
Correctur.
logtgW^S' =9,4010678-10
+ 2 %<</ 63069' 2,6"= 0,27696875
9,67802666- 10 =-0,82197345
logtg U^9' =9,4016910-10
4- 2 logtgbS^bS' 2,5"= 0,27643765
9,67802805 - 10 = -0,32197145
logtg 14»8'46" = 9,4014678 - 10
+ 22o5ft5f63068'l7,6"= 0,27657045
9,6780282» -10 = -0,32197175
logtgWB'39,r = 9,4014107«- 10
-(-2 to5f<5f63«68'22,8" = 0,27661735.
-0,82197345
-1-0,82197195
15.60" ^_,,
20 =*^'
also
«, = 1408'45"
^^•^"-89 7"
also
a, = 1408'39,7"
36.89,7"_ „
1 1536 "^'^ '
also
a, = 14«8'38,8"
•"i'*" =0.196".
also
a, = 14«8' 38,996"
-0,0000015
-f 0,82197195
-0,32197145
-♦-0,0000005
-H 0,0000002
+ 0,0000000»
-0.0000000,
9,678028085-10 = -0,8219719,5
logtg U^S' SB fi" -= 9,4014027«- 10
-(- 2 toflf t^68«68'23,7" = 0,2766258oe
9,67802804-10 =-0,3219719,
Daher %<^«i = 9,40140447^-10. Dies in I giebt:
^5^^»! = 0,50692736,, also a^i = 3,213096014 . .
Berechnung der sweiten poBitiyen Wursel.
Berechnung
von logtg u + 2 logtg (s—a) nach II.
log tg 14« 16' = 9,4053076 - lOi
- 2 /0^t5f53»2l'2,6"= 0,2727221 j
= -0,3219703
logtgU'^lt-h2logtgbS^bO'2,6'' = - 0,3219720
Berechnung
des Fehlers.
Correctur.
-|-0,0000016j
-0,00000005
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6.60"
170 =»•'«*•
= 14»16'M,886"
Google
Von A. Wiener.
83
Demnach logtga^== 9,^5821 ^^Q-'\0; aus I ist dann
log x^ = 0,6O91S\9q^ und «2 = 3,229474849...
Da der Coefficient des zweiten Gliedes einer vollständigen Gleichung
gleich ist der Summe der Wurzeln mit entgegengesetztem Zeichen genom-
men, so sind hiemach die drei reellen Wurzeln der cubischen Gleichung
rr»+llfl;«-102rc+ 181 = 0:
x^==+ 3,213096014...,
x^ = + 3,229474849...
und 0:3 = - 17,442570863...
Nach 63) hat die cubische Gleichung a^— IIa?*— 102ar — 181 =0 eine
positive und zwei negative reelle Wurzeln als
a:, = + 17,442570863...,
a;a = - 3,213096014...
und fl;s = - 3,229474849...
Drittes Beispiel.
3i? + 2(c^ + 3x-'52 = 0.
a) Bestünmung der positiven Wuneln.
Diese Gleichung ist von der vierten Form 43) und hat nach 52) nur
eine positive reeUe Wurzel. Hier ist /*=2, ^ = 3, Ä = 52 und w = n = jö
= 1, daher aus 47) ,g-g ^y
'^y = f -# = f 26'
2o^^^y = 9,5310740- 10 oder y= 18ö45'42,3",
foliflich
« + iS=90-y = 7P14'17,7" oder /3 = 7P14'17,7"-a.
Dies in 49) giebt
I. logtga-- 2 logtg{lV 14' 17,7"- «) = 0,5938647^ .
Hieraus wird nun der gesuchte Werth für a wie folgt erhalten:
Berechnung
nach
llogtgtt^2logtgß.
44» 86' 30"
440 36' 46"
44 036' 43,5"
0,624
0,666
0,59076
0,59429
0,6936661
0,6938868|
0,59386475
+ 0,031
- 0,087
- 0,00310
+ 0,00043
-0,0001986
+ 0,0000221
+ 0,00000000
Correctur.
37.60'
68
= 83',
alfio a. = 440 33'
310.4'
= M,5',
863
also « = 44» 86' 30"
1986.15"
= 13,6"
2207
also « = 44" 36' 43,5"
bis zur achten Dedmal
stelle genau.
Di^ilized by
Gocbgl
84 Die Berechnung der reellen Wurzeln der quartinom. Oleichungen.
Aus 45) ist
Da nun
rc* = — ^<^*a oder logx = ^logtga + \logl8.
so ist hiemach
%a?i = 0,47008321 und a^j = 2,9517749...
b) Bestimmung der negativen reellen Wurseln.
Um diese zu erhalten, hat man in die gegebene Gleichung 0? = — y
zu setzen und die positiven reellen Wurzeln der Gleichung
y3_2y« + 3y + 52=0
zu bestimmen. Nach 51) ist nun
|r=7in4'17,7" und /= 18045'42,3";
der Werth von a\, welcher den Ausdruck 17) zu einem Maximum macht,
ist hiernach aus 20) und 21) zu berechnen. Man findet «j = 12^ 36 '39,07"
und das Maximum M aus 17)
M= «^(120 36'39,07") .^«(6« 9' 3,23") = 0,00002909687 . . . ;
der Werth von 17) ist aber nach 15)
Da nun Jlf < 0,06490385 . .., so hat die gegebene Gleichung nach 24) gar
keine negative reelle Wurzel, d. h. die beiden anderen Wurzeln sind ima-
ginär (complex) und müssen cofvjugirt sein.
o) Die Bereohnung des oonjugirten Wurselpaares.
Die imaginären und reellen Theile eines conjugirten Wurzelpaares
müssen numerisch gleich sein, weil nur dann durch Multiplication, sowie
durch Addition der imaginäre Theil wegfällt, und nur dann das Zahlenglied
(Product der Wurzeln) und der Coefficient des zweiten Gliedes der Gleich-
ung (die Summe aller Wurzeln mit entgegengesetztem Zeichen) reelle Grössen
werden können. Diese Wurzeln haben also die Form y + i0 und y — »je.
Die imaginären Wurzeln können auf demselben hier angegebenen Wege
berechnet werden. Man braucht nur in die gegebene Gleichung y + in für
X einzuführen und dann das Beeile vom Imaginären zu trennen. Es ent-
stehen zwei Gleichungen , die nach z geordnet, folgende Gestalt annehmen:
I. ^«(3y + l)-(y3 + 2y + 3y-52) = 0
und
IL i,j;e«-(3y« + 4y + 3)}=0.
Da z ex hyp, nie den Werth 0 annehmen kann — denn sonst wäre
der imaginäre Theil der Wurzel =0 — , so wird aus II die Gleichung
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was in I eingeführt
Von A. Wiener. 85
IIL ;e?« = 3y« + 4y + 3,
y'+^y' + ^y + ^^O
liefert, welche Gleichung die Werthe von y ergiebt. Diese lassen sich jedoch
ofb einfacher dadurch bestimmen , dass man die Eigenschaft der auf 0 redu-
cirten algebraischen Gleichung, deren erstes Glied den Coefficienten 1 hat,
anwendet; als:
„Der Coefficient des zweiten Gliedes ist gleich der Summe aller
Wurzeln mit entgegengesetztem Zeichen genommen.^
Da femer der imaginäre Theil der conjugirten Wurzeln beim Addiren
bich aufhebt, so ist der Coefficient 2 des zweiten Gliedes der gegebenen
Gleichung gleich der entgegengesetzten Summe der gefundenen positiven
Wurzel und der reellen Theile des conjugirten Wurzelpaares, d. h. es ist
- 2,9517749 + 2(-y) =2, also y = -2,4758874...,
und aus III ist dann
^= + /3.2,47ö8874'-4.2,4758874 + 3= + 3,3829293...
Die sSmmtlichen drei Wurzeln der Gleichung
sind somit:
rci = + 2,9517749...
a^ = - 2,4758874 + 3,3829293 . i
und 0^3 = ^ 2,4758874 -3,3829293.i.
Viertes Beispiel.
a;3-2a;*-30rc-39 = 0.
a) Auffindung der positiven reellen Wurzel.
Diese Gleichung gehört zur fünften Form 55) und hat nach 62) unter
allen umständen eine positive reeUe Wurzel.
Aus 61) erhält man
« = 51« 7' 24,06", daher ist y = 38^52' 33,94"- /3
und aus 60) ist
I. logtgY"2logtgß = 0,96860tö^
und aus 58) ist
II. logx==0,2014866^-logtgß.
Aus I ist, wie folgt, logtgß nach und nach zu bestimmen und dann
aus II die Wurzel x.
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86 Die Berechnung der reellen Wurzeln der quartinom. Gleichungen.
13 •
lS|o
120 66'
12» 62' 35,94"
12» 68' 68,2"
12 • 68' 33,88"
Berechnung von
logtgY-2logtgß
naoh L
0,962
1,058
0,9649848
0,9700228
0,9681188
0,96860457
-0,006
+ 0,086
- 0,0086202
+ 0,0014183
- 0,0004912
+ 0,0000000k
Correctur.
6.60'
91
= 4',
also ^ = 18»-4'=120 66'
14.(4-85,94") _,.,,,,.,
-117,26,
also ^ = 12» 53' 68,2"
14183.(1' 17,26") ^^^3^.
19095
p= 12« 53' 83,33"
also bis Eur achten Ded-
malsielle genau.
Db, mm log tgß=^logtg 12^ 53' 33,33 " = 9,35963525^ - 10, so ist aus II
lo^fl?! = 0,847851 4ie, also a?, = 7,04451993 .. .
b) Auffindung der negativen reellen Waiveln«
Diese werden erhalten, wenn man in die gegebene Gleichung x = — y
setzt und die positiven reellen Wurzeln der Gleichung von der dritten Form 27)
y8 + 2y«-30y + 39==0
bestimmt. Nach 39) hat dieselbe zwei positive reelle Wurzeln, sobald
28.39
M>
30»
folglich ist
Die Vergleichung von 33) mit 61) ergiebt, dass
j!r=90-a = 38052'35.94",
/= 90-j3'- «'=51" 7' 24,06"- a, .
Aus 35) und 36) entsteht nun
« = 14M9' 50,655" und /= 36^7 33,41",
welche Werthe 34) zu einem Maximum
M= <^«(14o 19' 50,65") .e(7*(36o 47'33,41") = 0,02041913 . . .
, -, 2». 39 39 ^^,,...;^ ..*r^2».39 ^
machen. Da nun -o7xj- = y^ = 0,01 155556 ..., so ist 3f > ,^^ und
die gegebene Gleichung hat zwei positive reelle Wurzeln, für welche die
entsprechenden Werthe für a über und unter 14^ liegen müssen.
Aus 29) oder aus
III. Iogy = 0fi9n8^ + {logtga
wird y berechnet, sobald die genauen Werthe von a aus 32) oder aus
IV. logtga^ + 2 logtgy{^ 5P7' 24,06"- «,) = - 0,9686^45^
wie folgt bestinmit worden sind.
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Von A. Wiener.
87
Bestirnnrang des ersten Werthes Ton «', also « , .
Berechnung von
logig a\+2logtgy\
naoh lY.
6«
70
; mitTstellLogar.
6»
6^16'
6" 8' 60"
6» 8' 40,69"
6» 8' 40,61"
-0,978
- 0,941
- 0,9746398
-0,9636946
-0,9684966
- 0,9686024
-0,9686044
Fehler.
-0,010
-f 0,027
- 0,0060363
+ 0,0049099
+ 0,0001079
+ 0,0000021
+ 0,0000001
Correctur.
10.60'
37
= 16'
«<>-^«' = S'60"
109
1079.630"
61482
21.620,69'
= 9,31"
= 0.18",
60374
also in der 7. SteUe genau
Bestimmung des zweiten Werthes yon a\ also a\.
Berechnung von
logtga:t'h2logigr\
naoh lY.
26®
26»
26 »44'
26«
26» 61' 42"
26» 67' 02"
26 »67 '02,23"
-0,966
- 0,973
-0,9642726
-0,9696998
- 0,9668216
- 0,9686032
- 0,96860445
Fehler.
+ 0,013
-0,006
+ 0,0043319
- 0,0009963
+ 0,0017830
+ 0,0000013
+ 0,0000001
Correotor.
6.60'
18
= 16'
also a', = 26»-16'=26»44'
10.44'
63
17830.8' 18'
27783
13.2'68"
8' 18"
= 6' 20"
= 0,23"
9966
genau bis zur 7. Stelle
und
und
Hiemach ist also
logtga\ = logtgQ'' 8'40,5r' = 9,0320395- 10
logtga\ = logtg2b^ 57'02,23"= 9,68723113-10.
Diese Werthe in III ergeben
fc^y^ = 0.20780875, folglich yi = 1,61364777 ...,
logy^ = 0,53540406, „ y^ = 3,43087213 . . .
Die drei reellen Wurzeln der Gleichung
aJ^-2Ä«-30ir-39 = 0
sind somit: ^^ = + 7,04451993...
Äj = - 1,61364777...
imd^Ä, = - 3,43087213 . . .
deren Summe = — 2,Ö(X)Ö0003 bis auf sieben Decimalstellen genau mit
dem wahren Werthe (= dem CoefQcienten des zweiten Gliedes der Gleichung
mit entgegengesetztem Zeichen genommen) übereinstimmt, welches Resultat
der Genauigkeit der siebenstelligen Logarithmen entspricht.
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VI.
Zusammenstellung von Constmotionen an Curven
höherer Ordnung.
Von
Richard Heger
iu Dresden.
Die folgenden, grösstentbeils linearen Constructionen bezieben sieb
tbeils auf Heretellung feblender Scbnittpunkte , tbeils auf Erzeugung von
Curren; es sind zumeist nur im Einzelnen durcbgeftibrte Anwendungen be-
kannter Methoden. Der Vollst&ndigkeit wegen sind einige allgemein be-
kannte Constructionen vorausgescbickt. Wird mit 1"* ausgedrückt, dass
eine gewisse Curve den gegebenen Punkt l als m- fachen Punkt besitzen
J^ angedeutet, dass es sich um die
Construction der noch fehlenden Schnittpunkte der Curven m**' und »*•'
Ordnung Cm nnd Vn handelt, so entbot diese Zusammenstellung die Lösung
folgender Aufgaben:
C3...P2 3 4 5 6 7,
.V2 3 4 5 8 9;
„. f(7,...l»2 3 456 7,
' ^ lr,...l 2«3 4 5 6 8;
3) ^ C;...l»2»3»4 5 6 7 8;
. fO<...l«2»3«4 5 6 7 8,
' lr,...l»2«3«4 5 6 910;
5) C8...1»2«3»4»5«6«7 8 9;
6) C5...1»2»3«4»5«6«7 8;
7) C8...1*2*3*4»5*6»7 8 91011;
8) Cj...l»2»3»4*5 6 7 8 910;
p. |C,...1»2>3«4*5*6*7 8 9,
' lr6...P2«3*4»5«6«71011;
-^. . |Cb...1»2«3«4«5»6='7 8,
' tc,...l«2»3«4 5 6 7 9;
11) C,...l*2*3M»ö»6»7>8 910;
12) 07...1»2»3»4»5«6»7«8 9;
Digitized by VjOOQIC
Zusammenstellung yon Constructionen etc. Von B. Heger. 89
' lr4...1»2 3 4
,„. fC5...1»2«3»4«5»6»7 8,
' ir6...1«2«3«4»5»6»910;
14) C,o... 1*2* 3* 4« 0*6*7 8 91011;
15) Cg. .. 1* 2« 3» 4» 5» 6» 7 8 9 10;
16) C,o...l*2*3*4*5*6»7»8 910;
.„. rC7,...l»2»3»4«5 6 7 8 910,
' ir6...1»2»3»4«5 6 7 81112;
18) C„... 1*2« 3« 4*5*6» 7» 8*9 10 11 1213;
19) Cg... 1*2*3*4*5 6 7 8 91011 12;
20) C,...l»2 3 4 5 6 7 8 9;
.1»2 3 4 5 6 7 8 9,
5 6 71011; 1
22) Cg...l»2«3«4»5»6»7*8 9101112; \
23) C5...1»2»3*4»5 6 7 8 9;
„. fC5...1»2«3«4»5 6 7 8 9,
' tr5...1»2«3«4»5 6 71011;
25) C,o...l«2*3*4*5*6*7*8 9101112;
26) Cj...l*2 3 4 5 6 7 8 91011;
„ rC5...1*2 3 4 5 6 7 8 91011,
" ' ir5...1*2 3 4 5 6 7 8 91213;
28) C„...l«2«3»4*5«6»7*8»9*101112]314; \
29) Cg... 1*2» 3* 4* 5» 6« 7* 8 8' 9 9' 10 10' 11 11' 12 12' i
(besondere Cnrre);
30) (7j...l»2»3«4*5*6*78 (Bohn's Constr.),
31) Cg...l»2«3»4»ö»6»7»89;
fCg...l»2»3»4»5»6»7»89,
lrg...l»2»3M»5»6»7»1011;
32) Cg... 1» 2» 3* 4» 5* 6«7 8 9101112131415; '
33) Cg...l«2»3»4»5»6«7»8 910111213...
(Jacobi'sche Gnrre eines Netzes Ton Carven TU. Ordnung mit
7 gemeinanmen Punkten).
34) bis 37) Constructionen besonderer Gurren IV., V., VI. u. VIII. Ordn.,
sowie einer Gurre in. 0. ans 2 correspondirenden und 6 weiteren Punkten.
in
Cj...l«2 3 456 7 ... ,
1*2 3 45 8 9 ^*^°'»')-
Aus 1' und 2 projicirt man durch Strahlen die 3 4 5, durchschneidet
13), 14), 15) mit einer durch 3 gezogenen Geraden a in 3' 4' 5' und
projicirt 3' 4' 5' von einem auf 2 3 gewfthlten Punkte P aus. Jede Curve
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90 Znsammenstellung von Constructionen an Curven höherer Ordnung.
III. Ordnung, welche 1*2 3 45 enthalt, wird durch eine Strahlinvolution
1' und durch ein projectives Büschel 2 erzeugt, welche nach 3,4,5 ent-
sprechende Elemente senden. Mit der Involution 1^ ist eine Involution P
rücksichtlich a perspectiv, also mit 2 projectiv. Da nun hierbei P2 sieb
selbst entspricht, so sind P und 2 in reducirter Lage, erzeugen daher
einen Kegelschnitt x, der P4 5 enthält. Die beiden so erzeugten Kegel-
schnitte , die zu Cj und Tg gehören , haben somit P 4 5 gemein ; der vierte
Schnittpunkt x bestimmt ein Elementenpaar der 1^ und der 2 , die einander
entsprechen, sowohl, wenn man sie zu den Gebilden rechnet, welche O,,
als zu denen, welche Tg erzeugen; daher bestimmen dieselben den fehlen-
den Punkt Og fj .
f&,...l«2 34567 ,,. ,
.12*3456 8 (^^°^"'^^-
Man erhält C^ durch das Kegelschnittbüschel
[12 3 4] (5 6 7...)
und das projective Strahlbüschel
[1](5 6 7...);
die andere Curve V^ entsteht durch das Kegelschnittbüschel
[12 3 4] (5 6 8...)
und das projective Strahlbüschel
[2] (5 6 8...).
Der gesuchte Punkt ist daher auf dem Kegelschnitte % enthalten, den die
beiden Strahlbüschel erzeugen.
Man kann aber C^ und F, auch aus dem Kegelschnittbüschel
[12 3 5] (4 6 7 8...)
in Verbindung mit den projectiven Strahlbüscheln
[1](4 6 7...) bez. [2] (4 6.8...)
erzeugen ; folglich ist der gesuchte Punkt X auch auf dem Kegelschnitte X
enthalten, den diese beiden Strahlbüschel ergeben. Daher ist X der
vierte Schnittpunkt von % und X.
3. (74...1«2«3*45678* (linear).
Die projectiven Kegelschnittbüschel
[12 3 4] (6 7 8...) und [1 2 3 5] (6 7 8. . .)
erzeugen diese Curve. Mit Hilfe der Tangentenbüschel, welche zu den
beiden Büscheln in zwei verschiedenen Trägern construirt werden, wird
die Curve eindeutig auf einen Kegelschnitt abgebildet
* Nr. 3) und 4) behandelt u. A. Kortum: üeber geometrische Aufgaben
dritten und vierten Grades, Bonn 1869, S. 34 flg.
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Von B. Heger. 91
/C7,...l«2«3»45678
*• lr,...l«2«3U56910 '^^^^^^^^
Wenn man die in Nr. 3) erwähnten Tangentenbüschel z. 6. in 1 und 2
construirt, so erhält man das Tangentenbüschel 1 in doppelter Weise pro-
jectiv bezogen auf das Büschel 2, nämlich rücksichtlich C^ sowohl, als
rücksichtlich f^. Die beiden Kegelschnitte , auf welche C^ und r^ dadurch
abgebildet werden , haben die gemeinsamen Punkte 1 2 und das Bild von 6 ;
ihr vierter Schnittpunkt X ist das Bild des gesuchten Punktes.
5. C;;...l»2»3«4«5«6«7 8 9 (linear).
Diese Gurve erzeugt man durch die beiden Büschel von rationalen
Curven III. Ordnung
[P 2 3 4 5 6] (7 8 9. . .) Ä [1 2« 3 4 5 6] (7 8 9. . .),
für welche die Ergänzung und die Construction des fehlenden Schnittpunktes
entsprechender Curven [Nr. 2)] in bekannter Weise linear erfolgt.
6. (75...1«2«3M«5«6«7 8 (linear).
Man richtet zwei Büschel rationaler cubiscber Curven ebenso ein, wie
in Nr. 5), und setzt ausser den nach 7 und 8 gehenden Curven noch die
beiden zerfallenden Curven einander entsprechend, welche aus der Geraden
12 und den Kegelschnitten 13 4 5 6 bez. [23456 bestehen. Diese beiden
entsprechenden Büschelcurven haben alsdann 1 2 entsprechend gemein; die
Büschel erzeugen daher ausser 12 die Cj, welche 1*2* 3' 4* 5* 6* 7 8
enthält.
7. C78...1*2*3U«5«6«7 8 9 10 11 (linear).
Man erhält diese Curve durch zwei projective Büschel von rationalen
Curven IV. Ordnung
[1«2«3«4 5 6 7](9 10 11...)Ä[1«2«3«4 5 6 8](9 1011...).
Der bewegliche Schnittpunkt entsprechender Curven wird nach Nr. 4) ge-
funden.
8. Q;...P28 33 4«56 7 89 10 (linear).
Wenn man bei der vorigen Construction 11 weglässt und dafür die
beiden Curven IV. Ordnung entsprechend setzt, welche in die Kegelschnitte
12356 und 12347 bez. 12348 zerfallen, so besteht die erzeugte
Curve aus 12 3 5 6 und aus der gesuchten C^.
.1«28 3«4«5«6«7 8 9
tr...i«:
,,...J2S3«4«5«6«7 1011 (^'^®*')-
Die Tangentenbüschel, in 2 und 1 an die Curvenbüschel III. Ordnung
gelegt , welche C^^ und f^ erzeugen , bestimmen zwei Kegelschnitte x und i,
auf welche die Curven C^ und r^^ eindeutig abgebildet sind; beide haben
1 2 und das Bild von 7 gemein; der vierte Schnittpunkt ist das Bild des
gesuchten Punktes.
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92 Zusammenstellnng von Constrnctionen an Corven höherer Ordnnng.
Die C5 giebt in Verbindung mit der Geraden 1 2 eine O^, nnd die
C^ in Verbindung mit dem Kegelschnitte 12 4 5 6 eine f^y auf welche die
Construction Nr. 9) angewendet werden kann; dabei ist nur zu bemerken,
dass der fQr C^ noch nöthige Punkt auf 1 2, und der fOr f^ noch nöthige
auf 12 4 5 6 anzunehmen sind.
11. C;...l*2*3*4»5»687«8 9 10 (linear).
Diese Curve erzeugt man durch ein Büschel V. Ordnung
[1«2«3U«5«6«7](8 9 10...)
und ein projectives IV. Ordnung
[1«2«3U5 6 7](8 9 10...).
12. C,...P2333 4»5«6«7*8 9 (linear).
Zu dem in Nr. 11) verwandten Büschel V. Ordnung gehört die zer-
fallende Curve, welche aus dem Kegelschnitte C^, . A 2 3 5 6 und aus der
C^ 1 2 3 4^5 67 besteht; zu dem andern Büschel gehört die aus C^ und
aus dem Kegelschnitte 12 3 4 7 bestehende Curve. Werden nun diese
Curven einander entsprechend gesetzt, und iKsst man dafür 10 weg, so er-
zeugen die Büschel eine C^, welche aus 12 3 5 6 und der gesuchten C^
besteht.
fCß...P2«3U»5«6«7 8
irß...l«2«3U«5«6«910 ^^^^^^''^
Man verflihrt wie in Nr. 9), indem man C^ ans C^ und 1 2, Fi, aus
Tg und 1 2 bestehen lässt; die noch fehlenden zwei Bestimmungspunkte
sind auf 12 anzunehmen.
14. Cio...l*2*3U*5*6*7 8 9 1011 (linear).
Man erzeugt C^^ aus den beiden Curvenbüscheln V. Ordnung
[P2«3«4«5«6«7](9 10 11...)X[P2«3«4«5«6«8](9]011...).
15. Cg...l*2»3M»53637 8 9 10 (linear).
Bei den beiden Büscheln V. Ordnung [Nr. 14)] setzt man die Curven
einander entsprechend , welche aus dem Kegelschnitte 2 3 45 6 und aus der
Cg.. .1*234567 bez. r3...P234568
bestehen, und Iftsst dafür 11 weg.
16. (7,o...l*2*3*445*637»8 9 10 (linear).
Man legt die beiden projectiven Büschel V. Ordnung zu Grunde
[12 2« 32 42 52 6» 7] (8 9 10. . .) Ä [P 2« 3» 4« 5« 6 7«] (8 9 10. . .).
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Von R. Hbgbr. 93
|Ce...P2»3»4»567 89 10
^^- \re...P2»3»4»56 7 8 11 12 ^^'^®*'>
Zwei Tangentenbüschel , welche in 1 nnd 2 an die erzeugenden Curyen-
büschel IV. Ordnung construirt werden, bilden die beiden Curyen auf zwei
Kegelschnitte ab , welche 1 2 und das Bild von 8 gemein haben ; der vierte
Schnittpunkt ist das Bild des gesuchten Punktes.
18. Ci2...1«2«3«4*5«6»728«9 10 11 12 13 (linear).
Die erzeugenden Curvenbttschel sind VI. Ordnung, nämlich
[P2«3«4«5 6 7 8 9] (11 12 13. . .) Ä [1'23 38 4«5 6 7 8 10] (11 12 13. . .).
19. C8...1*2*3*4856 7 89 10 1112 (linear).
Man ordnet bei den projectiven Büscheln der vorigen Construction die
beiden Cunren VI. Ordnung einander zu, die in die
04...1«28 3M56 7 8
und in die Kegelschnitte 12 3 4 9 bez. 1 2 3 4 10 zerfallen , und Iftsst da-
fttr 13 weg.
Es ist klar, wie diese linearen Constructionen unbeschränkt fortgesetzt
werden können, immer im Bereiche rationaler Curven; es würde nur er-
wünscht sein, im Allgemeinen angeben zu können, wie viele mehrfiftche
Punkte dabei Verwendung finden können; insbesondere, ob es gelingt,
solche Combinationen von rationalen Büscheln herzustellen, dass jede ratio-
nale Curve erzeugt wird, deren mehrfache Punkte unabhängig von einander
angenommen werden können. —
Zunttchst soll gezeigt werden, dass eine Reihe von bis hierher noch
nicht aufgeführten linearen Constructionen mit Hilfe von quadratischen
Strahl- und Curven Involutionen erledigt werden kann.
20. 04...P23 456 7 89 (linear).
Man richtet eine quadratische Strahlinvolution 1' ein und ein dazu
projectives Kegelschnittbüschel 12 3 4, so dass dieselben entsprechende
Elemente durch 5 6 7 8 9 senden. Zu diesem Zwecke durchschneidet man
12 3 4 durch die Gerade 4 5 ; man erhSlt eine mit 12 3 4 projective
Punktreihe 5 6' T 8' 9. Diesen Querschnitt nimmt man von einem Punkte
A der 1 5 auf. Alsdann hat man in A ein zu 1^ projectives Strahlbüschel,
das zu 1^ in reducirter Lage ist, da 1 5 sich selbst entspricht. Daher er-
zeugen 1^ und A einen Kegelschnitt x; diesen kann man construiren, da
man 5 Punkte desselben kennt, nämlich 1 und die Schnittpunkte von
1 (6 7 8 9) mit A (6' 7' 8' 9'). Auf diesen Kegelschnitt x sind die Punkte
der C^ abgebildet. Die Vervollständigung von 1^ und A erfolgt linear,
wenn man immer von einem Strahle von 1' ausgeht; man bestimmt zu-
nSehst dessen Schnittpunkt 8 mit x, hierauf den Durchschnitt Z von A8
und X, nnd erhält so das zxi AS entsprechende luvolutionspaar 1/^ iind
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94 Zusammenstellung von Constructionen an Curven höherer Ordnung.
IZ. Hierauf bemerke man den Punkt Sq, in welchem 4 5 von ÄS ge-
troffen wird. Die Punkte, in denen der Kegelschnitt 1 2 3 4 ^9^ von IS
und 1 Z getroffen wird , liegen auf der gesuchten Curve und sind in S
und Z abgebildet.
o, rC,... 1323456789 ,,. ,
2^' {r;...P23 45 6 7 1011 ^^^'^^"^^-
Verfolgt man die vorige Construction soweit als möglich mit Hilfe der
gemeinsamen Punkte, so sind von den Kegelschnitten x und Xj, welche
zur Construction von C^ und f^ dienen, drei gemeinsame Punkte bekannt,
nämlich 1 und die Bilder von 6 und 7. Der vierte Schnittpunkt X von
X und X| bestimmt durch Vermittelung von Ä und 4<5 einen Kegelschnitt N
des Büschels 12 3 4, sowie zwei betreffs C^ und ^^ demselben entsprechende
Strahlenpaare der beiden zu 123 4 projectiven Involutionen V, und diese
beiden Strahlenpaare haben einen gemeinsamen Strahl, nämlich IX Der
Schnitt von 1 X mit N ist der gesuchte Punkt.
22. (78...1«2«3U«5»6«728 9 10 11 12 (linear).
Man benutzt die beiden projectiven Büschel IV. Ordnung
[18 2 3 4 5 6 7 8] (10 1112. . .) Ä [182 3 4 5 6 7 9] (10 11 12. . .).
23. C5...182»3U«56 789 (linear).
Man bildet eine quadratische Kegelschnittinvolution 12 34
und ein dazu projectives Strahlbüschel 1 , so dass die durch die fünf Pnnkte
5 6 7 8 9 gehenden Elemente einander entsprechen , in bekannter Weise
[vgl. Nr. 20)].
^ |C5...182»3«4»56789 ... ^
^^' \r5...1»2«3«4«5 6 7 1011 ^^'''^*'^>
Verfolgt man die vorige Construction soweit als möglich für beide
Curven mit denselben gegebenen Punkten, so erhält man C^ und Tg auf
Kegelschnitte abgebildet, welche 1 und die Bilder von 6 und 7 gemein
haben; ihr vierter Schnittpunkt bestimmt den gesuchten.
25. C,o...l«2*3*4*5«687«8 9 10 11 12 (linear).
Hierzu nimmt man die beiden projectiven Büschel V. Ordnung
[132* 3« 4*5 6 7 8] (10 11 12. . .) A [1' 2«3U«5 6 7 9] (10 11 12. . .).
26. Cß...I*23456 7 89 10 11 (linear).
So wie bei einigen der vorhergehenden Constructionen, hat mau auch
hier mehr als einen Weg zum Ziele. Man benutzt entweder eine Strahlen-
involution J * und ein Curvenbüschel III. Ordnung 1 ^2 3 4 5 6 , so dass [Nr. 20)]
{V\ (7 8 9 10 11. ..) Ä [122 3 4 5 6] (7 8 9 10 11 . . .),
wobei durch das Zeichen {{ die Involution angedeutet sein soll, oder man
conslruirt ein Büschel IV. Ordnung und ein projectives Strahlbüschel
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Von R. Hbgbr. 95
[1»2 3 4 5 6 7 8] (9 10 11 . . .) Ä [1] (9 10 11, . .),
wobei die Aufgabe, den fehlenden Schnittpunkt einer Curve IV. Ordnung
mit einem durch den dreifachen Punkt V gehenden Strahle zu construiren,
leicht gelöst werden kann.
|O5...1^23456 7 89 10 11
^^' iTs... 1*234567891213 ^^'^®*^>
Je nach der Oonstruction, die man zur Erzeugung der beiden Guryen
zu Grunde gelegt denkt, ergiebt sich der fehlende Schnittpunkt nach der
Methode Nr. 21) oder Nr. 4).
28, Cio...l*2*3«4^5«6«7«8«9M01112 13 14 (linear).
Hierzu dienen die beiden projectiven Büschel V. Ordnung
[P2 3 4567 89 10] (12 13 14... )Ä [1*23456 7 89 11] (12 13 14...).
29. Die Curven III. Ordnung, welche 7 gemeinsame Punkte 1 2. . .7
haben , bilden ein Netz , das zu den Geraden einer Ebene in projective Be-
ziehung gesetzt werden kann. Denn sind u^ u^ u, drei Curven des Netzes 8,
so ist in Bezug auf ein beliebig gewähltes Coordinatensystem in der Ebene Z
ein Punkt TT durch die Proportion eindeutig bestimmt
Der Netzcurve
a« = o, w, + Og ttj + aj ^3 = 0
entspricht die Gerade
«« ~ «1 li + «2 ^2 + «8 §3 = 0.
Dem Corvenbüschel ,^ ^
Ou — AOj, = ü
entspricht das projective Strahlbüschel
Die Beziehung TS ist ein - zweideutig ; denn dem Schnittpunkte TT der
^«««^^^ a| = 0, &^ = 0
entspricht das Punktpaar PP\ in welchem sich die Curven
a„ = 0, bu = 0
neben den 7 Netzgrundpunkten noch schneiden. In Bücksicht hierauf sollen
die Punkte in 8 immer paarweise aufgefasst werden, so dass zu jedem P
immer der ar.dere P' des Paares mit hinzugedacht wird.
Die Beziehung ist eindeutig bestimmt, wenn die Curven u^ = 0, i«2='0,
U3=rO geometrisch gegeben sind, welche den Geraden Sj = 0, $s = 0, I^^O
entsprechen, und wenn ausserdem ein Punktpaar Ä^A\ einem beliebigen
Punkte A4 in Z entsprechend gesetzt wird, oder wenn, was auf dasselbe
hinauskommt, vier Paare ÄiÄ\, A^Ä\y -^s-^s» -^4-^4 ^^ ^ beliebig ge-
wählten Punkten A1A2A3A4 in Z entsprechen.
Zu jedem Punkte P (bez. Paare) in 8 kann der entsprechende TT in Z
linear constmirt werden. Man construirt die Tangenten in Ä^ an die Netz- j
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96 Zasammenstellung von Constrnctionen an Carven höherer Ordnung.
curven ÄiA^, ^i'^s) A-^4» A^ ^"^^ in Z das projecÜTe Strahlbttschel
A^ (A9AgA4M); femer in S die Tangenten in ^ an die Netzcurven A^Ä^y
A^Ä^, A^Ä^^ A^P und in Z die projeetiv entsprechenden Strahlen
AsCAiAjA^N). Der Schnitt von A^M und AgN ist TT. Die umgekehrte
Construction ist quadratisch.
Dem Kegelschnitte (symbolisch geschrieben) a|^ = 0 entspricht die
Curve VI. Ordnung aj = 0. Dieselbe hat die Doppelpunkte 1 ... 7 und
enth< noch 5 willkürliche Punktpaare in 8y durch deren 5 entsprechende
Punkte in Z die a^^ bestimmt wird. Die o«^ wird quadratisch construirt,
indem man zu jedem Punkte der a^ das entsprechende Paar herstellt.
Daher folgt: 7 willkürliche Punkte 1...7 und 5 Punkt-
paare 88', gy, 1010', llir, 1212', derart, dass jedes dieser
Paare mit 1...7 zusammen ein System von Schnittpunkten
zweier Curven III. Ordnung bildet, sind auf einer Curve
VI. Ordnung enthalten, welche die Punkte 1...7 zu Doppel-
punkten hat. Femer: Die Punkte 1...7 nebst 4 Paaren 88',
99', lOlC, 11 ir der angegebenen Art bilden ein vollständiges
System von Schnittpunkten zweier Curven VI. Ordnung,
welche 1...7 zu Doppelpunkten haben.
30. Diese Verwandtschaft ist von Herrn Rohn (Math. Ann., Bd. 24)
behandelt und zu Constrnctionen verwerthet worden , unter (^enen die einer
rationalen Curve V.Ordnung (1*2*3*4*5*6*7 8) bemerkenswerth einfach ist.
Einer Geraden in iS, die 2 Grundpunkte enthält, entspricht eine Gerade
in Z. Denn sind x^x^x^ und y^y^y^ die Coordinaten zweier Punkte Q B^
HO hat irgend ein Punkt P von QR die Coordinaten Ixx + fiyw Setzt
man dies für x» in den symbolischen Cubus u^^ ee(uXi + u'x2 + u"x^^ ein,
so erhält man
1) k^Us^+3k^iiuJuy + 3X^*w,t*y*+ |ii3^/.
Sind nun P und Q Grandpunkte, so ist w,^ = Uy^=0, und 1) ver-
einfacht sich zu Qi /i 2 I «X
Der Punkt TT, der P entspricht, bestimmt sich daher aus
Daher genügen die g der Gleichung
£i Is Is
2) Ui^^Uiy Mj**U2jf WSar^WSjf =0.
Uij. W|y* U2x t«2y* Ms* «3/
Die Curve III. Ordnung , welche der Geraden 2) nach der allgemeinen
Regel entspricht, zerfällt daher in diesem besondern Falle in die 2 Grund-
punkte enthaltende Gerade PQ und in den durch die übrigen 5 Grand-
Digitizedby VjOOQi _
Von B. He GEB.
97
pnnkte beatimmten Kegelschnitt. Beschreibt daher ein Punkt in S
die Gerade zweier Orundpunkte, so beschreibt der zugehörige
Punkt den Kegelschnitt der 5 anderen Grundpnnkte.
Wenn nur Q , nicht auch R , Grundpunkt ist , so vereinfacht sich 1) zu
fiir den P entsprechenden Punkt TT hat man daher
: (3A«U,,»U2y + 3Af*fl2,U2y*+f**«ty«)
: (3A*U$,*M8i/+ 3A^M8,rW8y*+ fl^llsA
Setzt man zur Abkürzung
so hat man, wenn q einen gewissen, von i und x nicht abhängigen Pro-
portionalit&tsfactor bezeichnet,
Q'hin = ^* a, an+l^fi (a* h» + a« 6,) + AV^ («» <?« + 6i ^^n + a« c,)
Die Coordinaten | erftlllen daher die Gleichung
3)
1,'
I>^
<
«lO«
2 a. 6.
aih + <hh
2«.c, + V
o,c,+ »,&, + o,c,
26, c.
6,c,+ 6,c,
«.*
«iC«
6i«5 fit* fii6, fis*
rO.
Einer Geraden eines Grundpunktes Q entspricht somit ein Kegelschnitt
in r. Da nun aber einem Kegelschnitte in Z im Allgemeinen eine specielle
Curre VI. Ordnung in S entspricht, so folgt, dass die dem besonderen
Kegelschnitte 3) entsprechende Gurre VI. Ordnung in die Gerade des Gnmd-
punktes Q und eine C^ zerfUlt, welche die anderen 6 Grundpunkte zu
Doppelpunkten, Q zum einfachen Punkte hat.
Beschreibt daher ein Punkt in 8 einen Strahl, der 7 mit dem zu
irgend einem Punkte 8 gehörigen 8' verbindet, so beschreibt der zugehörige
die rationale C^ {V 2« 3« 4« 5« 6« 7 8).
31. Einer beliebigen Geraden in S entspricht in Z eine Curve, deren
Gleichung aus Nr. 30, 1) durch Elimination von l und fi gewonnen wird.
Ersetzt man die erwähnte Gleichung durch
80 erhSlt man zunächst
TMUohtttl t. MkihmnAtlk n. Phjdk XXXI, i.
Dijtizedby Google
»* + •
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-<«.
dl,-
-i.
c^-
■c»
il.
-d,
• 0.
98 Zusammenstellung von Constructionen an Cnrven höherer Ordnung.
wobei sich ah cd aus a^ &< a di und den Constanten des Coordinatensystems
zusammensetzen-
Aus 1) folgt weiter
Die Elimination von A und ft fährt zu
al,-«! 2>Si-5i c5i-c,
«fe-öj ^^-^ c^-<3« ^^Ig-dj
»{«-«i &^-&2 C^-C,
Wenn man diese Determinante mit leicht verständlicher Symbolik mit
14, 25, 36, 17, 28, 39
bezeichnet, so erkennt man, dass sie in 32 Determinanten zerfällt, die man
^i* (a, &, c, d, e)
bezeichnen kann, wenn a, &, c, d, e Zahlen sind, deren jede der Beihe
nach aus den 6 Paaren 14, 25, ... genommen ist. Von diesen 32 ver-
schwinden alle Determinanten, in deren Symbol zwei gleiche Zahlen vor-
kommen. Hieraus folgt, dass die obige Gleichung vom III. Grade in $| ^
ist. Einer beliebigen Geraden in S entspricht daher eine Curve
III. Ordnung in Z. .
Dieser Curve entspricht in 8 eine Curve IX. Ordnung, die in eine
Gerade und eine Curve VIII. Ordnung zerföUt. Letztere hat die Grund-
punkte zu dreifachen Punkten und enthält noch ausserdem zwei beliebige
Punkte , nämlich die zugehörigen zu zwei Punkten der zugehörigen Geraden.
Hierdurch sind folgende lineare Constructionen erledigt:
(7«. ..182« 3» 4» 5« 63 7389;
rCg...l9283«4»586»7»89, .
|r8...P28 33 48 5»68 7M0ll.
32. Ce. . .1«2»3«4«5»6«7 8 9 10 11 12 13 14 15.
Man richtet zwischen der Ebene 8, welche die Curve enthalten soll,
und einer anderen Ebene Z zwei Verwandtschaften nach Nr. 29) ein; in
der einen sind 12 34567 die Grundpunkte, in der andern 1234568.
Ferner construirt man die zu 9 10 11 12 13 14 15 gemäss beider Verwandt-
schaften entsprechenden Punkte
9i 10, 11^ 12j 13, 14j 15, bez. 9, 10, 11, 13^ 14^ 15,.
Durch eine bekannte Construction kann man in Z drei Punktpaare X^l,,
Y^ ^s > ^1 ii erhalten , so dass
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Von R. Hbgfb. 99
X,(9,lO,...15,)Ä6,(9,10,...lö,),
Y,(9,10,...15,)A'i?»(9,10,...15,),
Z,(9,10,...15,)ÄJ8(9ilO,...15,).
Constrnirt man nun zu X| Y^ Z| , sowie zu i^fi^tg die entsprechenden
Punkipaare in S gemäss der ersten und zweiten Verwandtschaft, so erhält
man 3 Paare von Punktpaaren:
1. Paar XX' und zz\
2. « rr „ yy',
Alsdann ist ^- » Z^' n ffff-
[1234ö67ZX'](9...15) A[1234568««](9...15),
[1 7 rr] (9... 15) Ä[l 68yyT(9...15),
[1 7ZZ'](9...15) A[l 6 8ij/](9...16).
Da nun aber , wenn 12345678a ein System von Schnittpunkten
zweier Cunren III. Ordnung bilden, identisch
[1234567 8a] (9...15)Ä [12 3 45687a] (9... 15),
80 folgt, dass eines der 3 Doppelpaare, sagen wir das letzte, mit 8a und
7a identisch ist, dass daher Z, mit 8^ und £, i^i^ ^^ zusammenüedlen. Die
beiden Punkte X| Y^ werden daher quadratisch gefunden , nämlich durch
2 cubische Curven, die 7 bekannte Schnittpunkte haben, und dasselbe gilt
von Ijijj.
Diese ganze Construction der C^ ist, wie man sieht, quadratisch.
33. Construction der Jacobi'schen Curve eines Curven-
netzes III. Ordnung mit 7 Grundpnnkten l 2 . . .7.
Zn dem Netze gehören die 21 zerfallenden Curven, welche aus dem
Kegelschnitte von 5 der gegebenen Punkte und der Geraden der beiden
übrigen bestehen. Die Doppelpunkte dieser 21 besonderen Netzcurven sind
aaf der gesuchten Jacobi'schen Curve enthalten. Man hat durch diese
42 Punkte zusammen mit den gegebenen Doppelpunkten 1^2^ 3^ 4' 5^6' 7'
überreichliches Material, um die gesuchte Curve als Curve VI. Ordnung
mit 6 Doppelpunkten (z. B. 1*2*3*4*5*6*) und einer genügenden Anzahl
einfacher Punkte (7 und dazu acht von den Doppelpunkten der zerfallenden
Netzcurven) zu construiren.
34. Eine Eegelschnittinvolution und ein dazu projectives Strahlbflschel
erzeugen im Allgemeinen eine Curve V. Ordnung, welche die Träger der
Involution zu Doppelpunkten hat
umgekehrt: Hat eine Curve V. Ordnung 4 Doppelpunkte
und lassen sich durch dieselben 2 Kegelschnitte legen,
deren weitere Schnittpunkte mit der Curve auf einer Oeraden
liegen, so kann die Curve durch eine Eegelschnittinvolution
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100 Zusammenstellung von Constructionen an Curven höherer Ordnung.
und ein projectives Strahlbttschel erzeugt werden. Sind näm-
lich 1234 die Doppelpunkte und Kq und K\ 2 Kegelschnitte des Btlschels
123 4, deren weitere Schnitte ^qBq und ä\B'q mit der C^ auf der
Geraden Tq liegen, so construire man durch den fünften Schnittpunkt ^
von Tq und Cg einen Strahl 2\ und durch zwei Ä^ Ä\ von den übrigen
Schnittpunkten von T^ und Cg , die mit 123 4 nicht auf demselben Kegel-
schnitte liegen, zwei Kegelschnitte
^^ = l2^4Ä„ IC\ = 12d4Ä\.
Die drei Curven V. Ordnung
haben gemeinsam MV2^3^^*A^BqÄ'o B'qÄ^Ä\, d. i. 23 Schnittpunkte,
folglich bilden sie ein Büschel; auf T| liegen daher auch die Punkte jB, B\^
in denen JK*, und IC\ die Cg noch treffen. Eine Curve Tg , welche durch die
Involution K^K\^ ^i^\ ^^^ ©i^ projectives Büschel T^T^ erzeugt wird,
gehört diesem Büschel an und ist durch einen weiteren Punkt bestimmt,
durch den die projective Beziehung festgelegt wird. Nimmt man diesen
Punkt auf C^ an, so fallen Tg und C^ zusammen.
35. Eine C5, welche durch eine Kegelschnittinvolution
und ein dazu projectives Strahlbüschel erzeugt werden kann,
ist durch die 4 Doppelpunkte und 7 weitere Punkte drei-
deutig bestimmt.
Man construirt die Kegelschnitte
(1234) (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11),
an dieselben in 1 die Tangenten T5. . .2\|. Ein beliebiger durch 1 gehender
Kegelschnitt treffe dieselben in 5' 6'. . . 11'. Alsdann kann man zu ö'6'. . . 11'
und 56. . .11 immer 3 Punktpaare M\ M^y M\ M^, M\ M^ finden, so dass
Mi (567. . .11) A M\ (5' 6' 7'. . .11').*
Jeder Punkt Mi ist Träger eines Strahlbüschels il/< (5 6. . .11), welches
mit einer projectiven Kegelschnittinvolution eine Curve bestimmt, die den
Bedingungen der Aufgabe genügt. Dabei wird von Mi aus mittels des
Hilfskegelschnittes die zur Kegelschnittinvolution gehörige Involution der
Tangenten in 1 hergestellt, und durch diese die Kegelschnittinvolution.
36. Zwei projective Strahlinvolutionen erzeugen eine Curve IV. Ordnung
mit 2 Doppelpunkten, mit einer Besonderheit, die durch eine cubische
Gleichung zwischen den Coefficienten ausgedrückt wird.** Die Curve ist
daher durch die Doppelpunkte und 7 einfache Punkte dreideutig bestimmt.
Von 2 gegebenen Trägern aus assen sich folglich 3 Paare pro-
* Sturm, Das Problem der Projectivität, Math. Ann. S. 633, 1869. Heger, Die
Conetruction der Fläche II. Ordnung au8 9 gegebenen Punkten , Leipzig 1881, S. XI.
** Diese Zeitachrift, Bd. 19, S. 170, 1874.
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Von R. Heger. 101
jectiyer Strahlinvolutionen constmiren, bei welchen ent-
sprechende Strahlen durch 7 gegebene Punkte gehen.
Die Construction kann in folgender Weise geschehen : Von den Doppel-
punkten A und B aus ziehe man Strahlen nach den 7 Punkten 1 ^ 2 ... 7
und schneide dieselben durch einen Ä und B enthaltenden Kegelschnitt K
in 1' 2'. . . T und 1" 2". . . 7". Die Strahlinvolutionen erzeugen auf IC zwei
Punktinvolutionen , deren Paare auf Strahlbüscheln liegen, die mit den In-
volutionen, also auch untereinander, projectiy sind. Die Träger M^ N der
beiden Büschel sind daher 2 Punkte , von denen aus man die beiden Gruppen
1'2'. . .7' und 1"2". . .7" durch 2 projective Büschel projiciren kann.
Hierdurch sind folgende Aufgaben erledigt:
Eine C^ zu construiren, die durch 2 projective Strahl-
involutionen erzeugt werden kann, aus 1*2*3 456 7 8 9.
Eine C^ zu construiren aua 2 correspondirenden und 6 wei-
teren Punkten.
37. Construction einer C^ aus
• 1*2*3M*5«67 89 1011 12
— 43 Bedingungen —
zu construiren, welche (44. Bedingung) durch 2 projective
Kegelschnittinvolutionen mit den Trägern 1234 und 1235
erzeugt werden kann.
Man construire die Kegelschnitte
(1234) (67891011 12)
"^^ (1235) (67891011 12),
sowie die Tangenten dazu , z. B. in 4 und 5. Diese ergeben 7 Schnittpunkte.
Die C4, welche durch diese Schnittpunkte, sowie durch 4 und 5 als
Träger zweier projectiven Involutionen bestimmt ist, wird auf Cg eindeutig
abgebildet.
Wenn in den Kegelschnittinvolutionen der Kegelschnitt 12345 sich
selbst entspricht', so entsteht eine C^ aus den einfachen Punkten 6 7 ... 12
und 3 dreifachen Punkten 1^2^ 3^, die einer besonderen Bedingung unter-
worfen sind.
Die Bedingung für die Cg ist, dass die beiden Kegelschnitte, die
123 4 enthalten und mit Cg in 4 drei zusammenfallende Punkte mit Cg
gemein haben^ die Cg noch ausserdem in 2 Punkten schneiden, die mit
1235 auf einem Kegelschnitte enthalten sind; woraus dann noch folgt,
dass diese Eigenschaft bestehen bleibt, wenn man 4 mit 5 vertauscht
Die Bedingung für die Cq ist, dass die beiden Kegelschnitte 1234
bez. 123 5, die in 4 bez« 5 die Curve berühren und damit bereits elf ge-
gebene Punkte mit der Curve gemein haben, noch einen gemeinsamen
Punkt auf der Curve besitzen.
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VII.
Ueber die Auflösung gewisser algebraischer Oleiohungen
mittelst Integration von Differentialgleichungen.*
VOD
WoLDEMAR Heymann
in Dretden.
Eb ist ein interessanter Umstand, dass sich Differentialgleichungen,
Yon welchen ein Integral in der Form
ÄJ= g>(y)
bekannt ist, bisweilen so integriren lassen, dass ihr allgemeines Integral
in der geschlossenen Form . .
auftritt, und zwar auch dann noch, wenn eine Auflösung der
Gleichung <p{y)^x in geschlossener Form auf anderem Wege
ganz unmöglich zu sein scheint. — Durch geeignete Wahl der will-
kttrlichen Constanten der Function i^ wird man es dann erreichen können,
dass y ==riß{x) die Auflösung der Gleichung ip{j/) = x darstellt.
In der yorliegenden Arbeit soll unter diesem Gesichtspunkte die
algebraische Gleichung
y" — ny — (n — 1) x = 0
aufgelöst werden
§1.
Lineare Differentialgleichnngen, welche befiriedigt werden durch
die Wuneln der algebraischen Oleichnngen
1) y»-ny~(«-l)a; = 0; 2) i?" - ngi? - (n - 1) = 0.
a) Alle Wurzeln der Gleichung 1) genügen der Differential-
gleichung
♦» — 1
wenn « = und « > 2.
*) Vergl. eine Arbeit des Veifassers, welche unter gleichem Titel in. der Zeit-
schrift f. Mathematik u. Physik erschienen ist. XXIX. Jahrg. 5. Heft.
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Ueber die Anflöftung etc. Von W. Hethann. 103
Um den Beweis dieser Behauptung zu yereinfachen , sei zunächst
darauf hingewiesen, dass die DifferentialgleichuDg 1) durch die Substitu-
tionen
4). Ä=r— ^ y = i?l —S d.h. ar«=|, x^-'y^ti
übergeht in die Gleichung
und dass daher der Differentialquotient
a\ii-i ' gebildet für die Wurzeln der Gleichung 1),
auch so ermittelt werden kann, dass man den Quotienten
-. , . » gebildet fttr die Wurzeln der Gleichung 2),
ag *
aufstellt und schliesslich die ursprünglichen Variabelen restituirt. — Nun
ist bekanntlich, wenn
y ^, . ij"— (n — 1)
5)
= 2),--2|f nn,(^ + ,) ^X-i|
^ IV niv + Q^-riv + Q) + {n^l)ifJ 1^=0*
_ j_
oder , wenn rückwärts ti = x ^ y gesetzt und für q eine neue Variabele 6
mittelst _ J_
eingeführt wird,
^""N _ n-^af-^D -^ If y<^iy^^) \-M
Weil zufolge der Gleichung 1)
(n-l)a; = y''-ny,
80 erhält man
U (y + <y)"- r- w^'/ Ja=o
Es ist nun weiter der Differentislquotient
-_^_f » gebildet für die Wurzeln der Gleichung 1),
aufzustellen. Benutzt man wieder die allgemeine Formel 5), so gelangt
man zu einem Ausdruck, der mit 6) wohl die grösste Aehnlichkeit hat,
aber doch nicht so gebaut ist, dass die Differentialgleichung 3) identisch
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104 Ueber die Auflösung gewisser algebraischer Gleichungen etc.
befriedigt würde. Man kommt indessen zum Ziele, wenn man beachtet,
dass durch Differentiation der Gleichung 1) die Beziehung
'^ drc»-» da;»-'
abgeleitet werden kann, vorausgesetzt, dass n ^ 2.
Nun ist allgemein*, wenn x^g>(tf),
folglich hat man für
r=^" und . = ^(y)=?li:^:
n n — 1
d«»-» ~ • l\(y + o)»-»(»+«)-y" + V ^''^ ^ J.=o'
also, mit Bttcksicht anf 7),
Die Ausdrücke 6) und 9) befriedigen in der That die Differentialgleichung
3), denn man erhält nach Einsetzen derselben
(n-l)»-» = a»-*n»--S d. h. « = ^^,
n
wie von vornherein angegeben worden ist.
Der Fall n = 2 bildet eine leicht zu erledigende Ausnahme ; die Diffe-
rentialgleichung 1) ist in diesem Falle nicht homogen, sie lautet:
äf=2 -1(^=^-2 '^'' (^+^)5i-2^ = "2-
Dem Integral der reducirten Gleichung ist hier noch additiv die Zahl 1 bei-
zugeben; es lautet:
wie auch aus
y*-2y-a; = 0
unmittelbar erkannt wird.
b) Substituirt man in die Differentialgleichung 3)
n_ i_
4) a? = | — S y^fi^ "-S
so entsteht ^
und dieser müssen offenbar sämmtliche Wurzeln der Gleichung
* Bezüglich der Formeln 5) und 8) vergl. 0. Schlömilch, Vorlesungen über
h(^here Analysis. Die höheren Diffetentialquotienten.
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Von W. Hbymann. 105
2) i^»-.n|i?-(w-l) = 0
genügen, weil Gleichung 2) ans ]) vermöge der Substitution 4) hervor-
geht. — Im Falle n = 2 muss der rechten Seite der Gleichung 10) noch
die Zahl — ^ additiv beigegeben werden; sie lautet alsdann:
Dem Integral der reducirten Gleichung ist, wie leicht zu sehen, die
Grösse | als Supplementintegral hinzuzufügen; mau hat daher
iy=:c/? + l + S, c = €onst. = ±h
wie auch aus
^2_25i?-l=0
unmittelbar folgt.
Bisher sind die Differentialgleichungen 3) und 10) in einer eigenthüm-
lichen concisen Form in Betracht gezogen worden, weil die Beweisführung,
dass diese Gleichungen algebraische Integrale besitzen , ausserordentlich um-
ständlich wird, sobald man die Differentialgleichungen umgestaltet. Für
die allgemeine Integration ist es aber zweckmässig, wenn man diesen Gleich-
ungen eine andere Gestalt verleiht. Hierzu dient folgende Formel: Es ist
für beliebige p und q
wenn die a die CoefGicienten einer Gleichung m*®" Grades
12) ;i'"-a«-a"-^ + a«-2A'»-2-...±a,A + (io = 0
bedeuten, deren Wurzeln folgendermassen lauten:
^t=i> — (*~1)3> *=1, 2, ...,*»;
Am 4.1, welches mit der Gleichung 12) zunächst nichts zu thun hat, besitzt
den Werth
Um von dem eigentlichen Gegenstande der vorliegenden Untersuchung
nicht abschweifen zu müssen, mögen Entwickelungen und Beweise, die sich
beiläufig — an dieser und anderen Stellen — aufdrängen, in spätere Para-
graphen verwiesen werden. Ueber die letzte Formel findet man Näheres
in § 6,
c) Behufs Umgestaltung der Differentialgleichung
' dx—' («(ar-)— ^
entwickle man den Differentialquotienten der rechten Seite nach Formel 11).
Hier ist n^l
me=n — 1, p = a — 1, 3^ = — «; «= '
folglich
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106 üeber die Anflösnng gewisser algebraischer Gleichangen etc.
A* = t*?— i-1, fc = l,2, ...,(n-l).
und also
d'
'=0 ^y
Die Wurzeln der Gleichung
1) jf--»iy-(n-l)a;r=0
genügen sonach der Differentialgleichung
5^^, = (-l) '2{«'J(iSy'
13) ^ wobei
'(-l)'a,i' = 0, it = Ä?^_l, * = 1, 2, ..,(«-]).
d) Für die Differentialgleichung 10) ist
w = n-l, p = -- — r» ^ =
folglich
^*= ^*~ -"r^ =(^-2);^l + ^' &=1,2. ...,(n-l).
und also
-—3—— = (-!>" V n \«-i^ «'d(n^ («--1 = 1).
Die Wurzeln der Gleichung
2) . ^«^w|^-_(w-l) = 0
genügen sonach der Differentialgleichung
dl—' ^ '^ Vri <*yi)'
14) } wobei
2'(-l)'«*A'=0, i* = (fc-2)^ + l. Ä = l, 2, ...,(»-!).
fl— 1
Diese Gleichung unterscheidet sich von der Gleichung 13) wesentlich dadurch,
dass vor dem Summenzeichen die Yariahele S vorkommt Man kann aher
diesen unterschied beseitigen und auf diese Weise die weiteren Betrach-
tungen unter einen Gesichtspunkt bringen.
e) Differenzirt man die. letzte Differentialgleichung einmal nach |, so
entsteht
Da hierbei yon der Formel
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Von W. Hbymann. 107
d^r diHY ]" d{n)*+''^ d{Hy
Gebrauch gemacht worden ist, so h&ngen die Coefficienten der Gleichnngen
in der Weise zusammen, dass
6^4-1 = 04+1 + 0^.
Ebenderselbe Coefficientenznsammenhang besteht bekanntlich für zwei alge-
braische Gleichungen
k'-'-an^,k^-^ + ...±a,k + ao = 0\
falls die letzte sämmtliche Wurzeln der ersten und ausserdem die Wurzel
+ 1 besitzt
Man gelangt daher zu folgendem Resultat:
Die Wurzeln der Gleichung
2) ^«-w|iy-(«-l) = 0
genügen der Differentialgleichung
wobei
15) {0
i» = + l.
Verlangt man, dass das allgemeine Integral der Gleichung 15) voll-
stfindig coincidire mit demjenigen der Gleichung 14), so hat man zwischen
den n willkflrlicben Constanten des erstgenannten Integrals eine Bedingung
festzusetzen, welche sich dadurch ergiebt, dass 97<"~'^> mit $ gleichzeitig
verschwinden muss.
Anmerkung. Auf die Gleichung 1) kann leicht die allgemeinere
Gleichung ^--a|J»iy-6S^=.0
zurackgeführt werden; doch ist dies für algebraische Fragen unwesentlich,
ünerlfiselich ist es jedoch, dass man neben Gleichung 1) auch die Gleichung
2) in Betracht zieht, wie die Beweisführung unter a) im letzten Paragra-
phen zeigt und wie dies auch später bei dem Integrationsproblem deutlich
hervortreten wird.
§2.
Auflösung der Gleichung
1) 2^''-«y-(n-l)iB = 0.
Die linearen Differentialgleichungen 13) und 15), denen die Wurzeln
der Gleichungen 1 ) resp. 2) genügten , stehen beide unter der Form
'") . &^S^^.-0'
m
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108 üeber die Auflösung gewisser algebraischer Gleichungen etc.
und dieser letzten Differentialgleichung genügt, wie später in § 5 ge^igt
wird, folgendes n»- fache Integral:
0
Hier bedeutet
Aj bis Im sind die Wurzeln der Gleichung
t=:0
und e, bis f«, diejenigen der Gleichung
£-+^«,=0.
Die Zahlen Aj bis Im« wie sie im Speciellen bei der vorliegenden Unter,
suchung (vergl. § 1) in Betracht kommen, sind reelle Zahlen und positiv,
ausgenommen X^, welches offenbar für ganze positive n immer ein negativer
echter Bruch wird.* Da nun die Integralform 17) durchaus positive A er-
fordert, so wird eine Umgestaltung derselben nothwendig.
Man überzeugt sich leicht, dass die Differentialgleichung 16) bei ein-
maliger Differentiation nach x und für -^^ = je; ihre Grundform nicht ändert,
ax
dass aber sämmtliche Wurzeln der algebraischen Gleichung
• = m
um die positive Einheit wachsen. Diese Eigenschaft der Differentialgleich-
ung präsentirt sich an der Integralform 17) in folgender Weise. Es ist
r r I r -"-^-^'^ l
18) y^' I edx^j dX'\»J e "* u^^ ..u^^^Sd%i^,..dUm]
* 0
und hier haben alle Grössen, wenn man sich tk in das willkürliche Ck
eingehend denkt, genau die vorige Bedeutung; für die A sind aber jetzt
auch negative echte Brüche zulässig.
a) Es möge nun das Integral der Gleichung 13) aufgestellt werden.
Man benutze den Ausdruck 18) und schreibe in Bücksicht auf spätere Ent-
Wickelungen Ai^— 1 an Stelle von A^. Das Resultat lautet:
* Diese Bemerkung trifft im Falle n = 2 und angewendet auf Gleichung 15)
nicht zu, denn dort ist A, =~ 1. Eine einfache Modification deä Verfahrens führt
mdessen auch hier zum Ziele.
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Von W. Hetmahn. 109
y!{-iyaiH-lY=0, l* = fc~, fc=l,2 (n-1); a._, = l,
Der Differentialgleichung
19j <J^obei
genügt das Integral
20) y^jdx.\n^je ^^ u/-^..uirJ «du, ... d««^, j.
0
Hier bedeutet
k=i\
die positiven Brüche k^ bis iU.i sind gegeben durch
n
und «j bis f*-i sind die Wurzeln der G-leichung
6"-i = (-l)»-t.
b) Da die Differentialgleichung 19) auch durch die Wurzeln der
Gleichung
1) y"-«y-(«-l)a; = 0
befriedigt wurde, so wird der Ausdruck 20) eine Auflösung der letzten
algebraischen Gleichung darstellen, wenn die willkürlichen Constanten ent-
sprechend bestimmt werden.
Für rr = 0 folgen nun aus 1) « Werthe für y, welche mit (yr)o» *' = 1»
2, ...,n bezeichnet werden mögen; ausserdem kann man aus 1) die zu-
gehörigen Werthe von (y'r)oi (y'Vjo» •••» (^/""^Oo finden. Andererseits
folgt aus der Integralform 20)
0 A=n-I
and hier ist das (n — 1)- fache Integral eine bestimmte Constante , welche
mit Pk bezeichnet werden soll.
Durch Yergleichung der in zweifacher Weise gewonnenen Differential-
qaotienten gelangt man zu der Relation
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110 üeber die Aoflösung gewisser algebraischer Oleichungen etc.
und aus dieser entspringt für h=»0^ 1, ..., (n— 2) ein lineares
Gleichungssystem, aus welchem die Constanten C^ bis Cm^t be-
rechnet werden können.
Die willkürliche Constante, welche das unbestimmte Integral in 20)
mit sich führt, ist so zu bestimmen, dass für a; = 0 y die Werthe 0, resp.
"/n erlangt.
Bezüglich der Ermittelung von Pu beachte man, dass allgemein
« U/+...+-:
22) */e * tt,*+*'-«. .«*+*--« <i«,...dM,
0
wobei
ö, = l{A,+X,+ . + i„-m(v-Ä)|.
Für v = m = «— 1, und weil £k=^- — «- ^ ' erhält man sonach
f»-l
n
Der Ausdruck für Pk lässt sich nach dem Theorem von Gauss über
Gammafnnctionen umgestalten ; auch sei darauf hingewiesen , dass das Gleich-
ungssystem 21) eine ganz eigenartige Behandlungsweise gestattet.*
c) Es bleibt noch übrig, das Bildungsgesetz von (yr^^~^'))o aus der
Gleichung
1) ^'» — «^ — (n — 1) a? = 0
herzuleiten, Ist
so hat man (vergl. § 1)
' lV(y + e)"-n(y+e)-y-+«y/ j,=o
oder, wenn a; = 0 , also y" — ny = 0 ,
Schliesst man zunächst den Fall y = 0 aus, so ist
y»-»-w = 0
und daher kann man auch schreiben
* Vergl. Baltzer, Determinanten, § 10 Abschnitt 12 und IS.
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Von W. Hkymann. 111
Zu diesem Ausdrucke würde man auch gelangen, wenn man suchte
gebildet für die Wurzeln der Gleichung
y"-* -»- («-!)» = 0;
denn es ist allgemein für a; = t^(y)
^,m=i>.'- |(.(,+;-^(,))'"'V(»+»),,.-
Es gilt sonach Folgendes:
Der Differentialquotient (y^*"*"*0o» gebildet für die Wurzeln
der Gleichung 1), jedoch mit Ausschluss der Wurzel ^ = 0, ist
identisch mit dem Quotienten
gebildet für die Wurzeln der Gleichung
d. h., es ist
f d*+^
oder
24)Jy^+0)^ = (^l)*(Ä + (n-l))(Ä + 2(ti-l))...(Ä + Ä{n.l))n"^"**"^^
Bestimmt man zweitens auch y(*+^' aus 1) für den Fall, in welchem
y mit X gleichzeitig verschwindet, so ergiebt sich
ii^'^'')o=[^^n+in-V,^)-'-^:{-h)\^^^
(y(
and hieraus entwickelt man leicht, dass sämmtliche Ableitungen
verschwinden, ausgenommen (y')o> (y^"0o» (y^'^-^^jo ©tc. Hier
0 0 0
kommt nur die erste in Betracht, und diese ist
25) (y')o=-^-
0 n
d) Es mögen nun die Grössen Ck aus dem Gleichungssystem 21)
ermittelt werden; man hat daher die rechten Seiten dieser Gleichungen
näher zu bestimmen, welche lauten:
(y,(»+'))o:P»; Ä = 0, 1, .. , (n-2).
Aas 23) folgt
oder, nach Anwendung des Theorems von Gauss,
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112 üeber die Auflösung gewisser algebraischer Gleichungen etc.
n— 1 1 n/b
/>*=(n-ir(2T) » n* «-ir(^):/'(^). Ä>0.
Nun ist
K.^)='-(.-^+')-(;^)(»4i+0-(.4i+-)K.-^).
daher ergiebt sich fUr Pa, wenn auch der Werth
•=» — g-
eingefUhrt wird,
26) />A = (n-l) 2 (2^)2 ^2 «-«.Ä(Ä + («-l))(Ä + 2(n-l))...
...(Ä + (Ä-l)(n-l)).
Der unter Nr. 24) entwickelte Differentialquotient kann folgendermassen
geschrieben werden:
= (-1) (Ä + («-l))(Ä + 2(«-l))...(Ä + (Ä-l)(«-l)):»Ä.« — '
oder
24a) (y<*+'))„ = (-l)*.Ä(Ä + (»-l))(Ä + 2(«-l))...(Ä + (Ä-l){n-l)).f.~5^«.
Folglich giebt eine Division
27) (y'*+")o: /»* = (-1)* (»-1)'^ (2«)~"~n-T
Für h = 0 ist die letzte Entwickelung nicht statthaft; dann ist aber
...(,_,-- r(i)r(|)...r(^)
oder
n-l «—i _j^
28) />„ = («-!) 2 (2«) 2 n ^
Andererseits hat man aus Gleichung 1) direct
29) (y')"»=v
folglich ist
30) (y')o : Po = (« - 1)"~ (2«)" ^ «" ^,
woraus übrigens hervorgeht, dass die Gleichung 27) auch für A = 0 ihren
Sinn behält.
Die eben gewonnenen Resultate gelten, da der Ausdruck 24) in Ver-
wendung kam, nur dann, wenn der Gleichung 1), für fl; = 0, jene (« — 1)
Wurzeln entnommen werden, die zu
y»-t — w = 0
gehören. In dem Falle , wo für o; = 0 die Wurzel y^O gewählt wird , ist
das Gleichungssystem 21) für die C ein anderes; es verschwinden nämlich
dann sämmtliche rechte Seiten, mit Ausnahme der ersten^ welche lautet:
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Von W. Hetmann. J13
oder
31) iy\:P, (n- 1)^(2«)""^«".
Nach diesen Vorbereitungen kann die Auflösung der Gleichungen 21)
in beiden F&llen leicht vollzogen werden.
a) Anflöflunff de« Systems
21«) 2 ^»*** = (-^)*(^-l)~^2«)"~n"% Ä = 0,1, ...,(n«2);
Führt man an Stelle von Ck eine neue Unbekannte mittels
em, so entsteht « « v / v /
Ci + c^ +...+ C-i «= 1,
«1 ^ + «« ^ + ..+«11-1 c«_i = — 1,
Hieraus folgt*
^*-(^^f,)%,)- wenn/^(0 = *-»-(-l)-^ nnd *=-l,
und dieses zeigt an, dass Ck yersehwindet, ausgenommen, wenn
^= «A, d. h. €jfc = — 1.
In diesem besondem Falle wird
und man hat dahier folgendes Resultat:
Sftmmtliche Constanten C des Systems 21a) haben den
Werth Null, mit Ausnahme von Cky welches letztere durch
€jt = — 1 genauer charakterisirt wird und den Werth
32) Ci = («-1) 2 (2«) J n « = fi
besitzt.
-2),
A AnfLötimff 4es Systems
Jbsn-l
21/») V C^^^** = (!^*+*>)o:^*» Ä = 0, 1, ...,(n
^^ j— i-\-l)— 1 = 0.
Hier, wo also (y<*+*>)o aus Gleichung 1) für » = 0 und y = 0 ab-
0
geleitet ist, verschwinden alle rechten Seiten mit Ausnahme der ersten,
• Vergl. Baltzer a. a. 0. . ,,CoOQ\q
ZdtMhvifl L »UthMDfttik a. Physik XXXI. 2. 9 O
114 üeber die AufK^sung gewisser algebraischer Gleichungen etc.
welche den unter Nr. 31) angegebenen Werth erhält. Setzt man jenen
Werth abkürzend =x, also
n-f 1 n — 1 _2.-
x = -(n-l) 2 {2n) ^ « ^
so lautet das Gleichungssystem:
0, + O^ +...+ Cn-x =x,
und hieraus folgt*
Cknek) = KfnM^k), wenn /^(O = <"-«- (-1)"-«
und fn^i^fi) durch die Entwickelung von
je — t
bestimmt ist. Man hat also
,,,•!.•. - /,-*W = *"-»,
folglich ist
. X. u («-l)C* = x,
d. h. aber:
Sämmtliche Constanten C des Systems 2lß) haben ein und
denselben Werth, und dieser ist
33) (7*=:-(n-l) 2 (2») ^ n ^=-(i.
e) Schreibt man den Integralausdruck 20) mit den in Nr. 32) und 33)
ntther bestimmten Consjanten C nochmals auf, so gelangt mau zu folgendem
Schlussresultat :
Sämmtliche Wurzeln der algebraischen Gleichung
1) y"-«y-(n-l)a?=^0
sind enthalten in den beiden Integralausdrücken
^ \
Xdui...dun-tj+c,
35) y^-i»,J dx.y-j e "-> V*""* •••«^hr/""^
X[e«i«i"'«''— 1' + ... + cf«-i "»•'—— »']dwi...(«w*_i| + c'.
In diesen bedeutet
36) ^ = +j/l(^)"~'; l» = fc*^, fc = l, 2, ...,(»-!),
und Cj. •.€«.! sind die Wurzeln der Gleichung
• Vergl. Baltzer a. a. 0. r^ i
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Von W. Hbtmann. 116
Die Constante e des ersten Integrals ist so zu wählen, dass
für « = 0 y = ^fi,
die Constante c des zweiten Integrals hingegen so, dass
für a? = 0 y = 0.
Beide Integrale 34) und 35) führen entwickelt auf convergente Reihen,
wenn ^~^^ 1, und diese Beihen zeigen deutlich, dass dem ersten Integral
(n~l) wesentlich von einander verschiedene Werthe zukommen,
wShrend durch das zweite Integral die noch fehlende Wurzel der
Gleichung 1) repräsentirt wird.* Man vergl. hierüber § 4, Nr. 57 und 64.
§3.
Auflösung der Oleiohung
2) ^"-nji;-(n-l) = 0.
a) Die Wurzeln dieser Oleichung genügten, wie in § 1 gezeigt worden
ist, der Differentialgleichung
1=0
1CX 1 wobei
^5) < «
/2(~')'^'^' = ^' Ait = (*-2)j^+l, Ä = l,2, ...,(«-!);
\ " ^ = +1,
und man hat, da A, = :: negativ ausf&llt, bei der Integration den
Ausdruck 18) des vorigen Paragraphen zu benutzen. Setzt man 1^ — 1 an
Stelle von Xk, so gelangtman zu folgendem Resultate:
Der Differentialgleichung
für welche
>'(-l)«5,(A-l)'=0, ;,=(Ä-2)-^ + 2, Ä = l,2,...,(n^l);
A„ = 2, 6«=1,
genügt das Integral
38) V=Jdk.\Je - u,^^-'.,.un^''-'8du,...dun],
37)
wo .
Google
* Der Fall, wenn a;'*'-i>l, findet seine Erledigung in den §§ 4 und 6.
g>^itized by
116 üeber die Auflösung gewisser algebraischer Oleichungen etc.
Die Exponenten X haben die oben angefahrten Werthe und sind, falls
n>2, sämmtlich positiv i^ e^ bis e^ bedeuten die Wurzeln der Oleichung
t«i=:(-l)«-t.
b) Soll der Ausdruck 38) die Lösungen der Gleichung 2) darstellen,
so sind die n Constanten C entsprechend zu bestimmen. — Man findet aus
2) für J = 0 n verschiedene Werthe für iy, welche mit {fjr)oi f = 1, 2, . . ., n
bezeichnet werclen mögen; ausserdem gewinnt man ans 2) die zugehörigen
Ableitungen (Vr)oi (']"r)o9 •••» {v^r^)o' Weiterhin folgt aus dem Integrale
38) fttr 1 = 0
/AhA-i \ (^ ">"+-+«;
0 Jb=n
und wird der letzte Integralausdruck nach Formel 22) ausgewerthet und Pk
genannt, so hat man wegen £1 = -^
3« ...,.r('-±i).re-±i)...r(»±'=), .-»-f
l» = (Ä-2)-Ai + 2, »=l,2,...,(n-l); i. = 2.
Durch Vergleichung' der in zweifacher Weise gewonnenen Differential-
quotienten gelangt man zu der Relation
40) Pk.y!c,ii^(fir^'\-^%
ans welcher für h = 0, 1, ..., (n — 1) das znr Berechnung der G erforder-
liche Gleichungssystem hervorgeht. Die willkürliche Gonstante, welche das
unbestimmte Integral in 38) mit sich führt, ist so zu bestimmen, dass fQr
1 = 0 ij die Werthe yn—l erlangt.
c) Um einen Ausdruck fttr (ij/*"*"")© aus Gleichung
2) i,--«|ij-(«-l)=0
herzuleiten, hat man nach einer im letzten Paragraphen bereits benutzten
Formel fttr
I = ,,(,) =
«(»+0 = 2) »1/ ünpMhf) y+M
und, wenn
6 = 0. ,,«-(„_l) = 0:
/Coogle
I ^=0
Digitized by ^
Von W. Hbymann. 117
Zu eben diesem Ansdmck würde man gelangen, wenn man sachte
I JtA4.i V r I 9 ) } ' gebildet für die Wurzeln der Gleichung
^"V-*»S-(n-l)«0,
mithin ist
oder ^ . 4
41) (V*+'>)o = (Ä+2-w)(Ä+2-2w)...(Ä+2-Äw)(w-l) » ^ ,
(»?')o=(«-ir^-
d) Es erübrigt noch den Ausdruck iür Pa in Nr 39 umzugestalten.
Es ist
= »'- 5 (2,)'-?-',»-l)T+*-i-'-"+" r(»+l - »±-2) . r(»±?).
Nun ist, falls h von w — 1 und n—2 verschieden ist,
r[Ä + l-^J=(-l)*n-VÄ+2-»)(Ä+2-2n)...(Ä+2-Äw).r(l-^^
und
^'^H^-'-^h-ü
Ä+2
5m n
folglich **
42) /^A = (-l)*w 2.:K2«)Mn-l)2 " ^ ^\Ä+2-n)...
... (Ä + 2 — An) :sw n.
n
Dividirt man den Ausdruck 41) durch 42), so erhält man
43) {v^^-^%:Ph =(-l)*fr^2(2^)~^(«-l)"2 *iw^^«.
Im Falle Ä = «— 2 und ä = «— 1 ist diese Entwickelung ungiltig. Für
Ä = n-2 ist
n n 5
44) P,_, = n»~*(2»)^"'(«-l)""(n-3)!.
Da aber (»j<"-")o = 0, so ist
Pttr h = n—l ist ,^,
45) (i,("')o=l.(l-n)(l-2«)...(l-(n-2)«)(«-l)~~"
"" ,..,=.T-(,„--?-'(„_,)i-=?-r(._»_id),.(»_±>)
^ " ^ Digitifedb-yCOOgle
118 üeber die Auflösung gewisser algebrabcher Gleichungen etc.
Weiter ist
= (-l)-»n*-(l-n)(l-2»)...(l-(«-2)n)r(^).
und weil
1
— n
^'-^H'^h—.
9tn — n
n
46) P,_, = (-l)— ^n~""
X-^(2«)^(n-l)^"*"V--(i.^)(l_2n)...(l^(n-2)»):Wni7r,
woraus flbrigens folgt, dass der Ausdruck 42) auch für h = n—l seine
Oiltigkeit beibehalten hat. Nach diesem ist
47) (nC))o:P«-t = (-l)— »n^.2(2«)~^(fi-ir^5ifij.
▲nilteans de« BjntacoB
40) 2<^'** = (-l)*~ 2.(2»)~^(n-ir»st»^»,
» = 0,1 (n-1); ,»-(-l)-'=0.
Fahrt man an Stelle von Ck eine neue unbekannte mittels
ein, so entsteht
w
Fflr die rechten Seiten dieser Gleichungen
(«1)*^„^^, Ä = nj,...,(n-1)
kann man
i}.,»+'-.,*+*l, i=/-l
schreiben, wo «| und «, zwei conjugirte Wurzeln der Gleichung
€»-.(-l)«-i = 0
bedeuten, r^^^^T^
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Von W. Hbymanh. 1 19
^ . . . Ä 1K . , n
it^ — cos — y-tsin — i e^ = ''Cos %s%n —
n n n n
und nim ergiebt sich*
Setzt man i9=ejb, so ist
fttr *=1 2».c, = -«i«,
ftlr* = 2 2».Cj = + «,«,
ftJr Ä = 3, 4, . . ., « Cfc = 0,
wie auch aus den Oleichungen ohne Weiteres ersichtlich ist. Man gelangt
alao zu folgendem Resultat:
Sämmtliche Constanten C des Systems 40) verschwinden,
ausgenommen C^ und Tg« welche letztere die Werthe
besitzen.
e) Führt man die oben bestimmten Constanten in das Integral 38) ein,
so ergiebt sich schliesslich Folgendes:
Sämmtliche Wurzeln der algebraischen Gleichung
2) ^»-w|i7-(»-l) = 0
sind enthalten in dem Integralausdruck
49) i; = f*y^5
0
wobei
* JS,..flf ff,, ff
t. = — COS — \-t8%n — 9 fa = — cos ♦«» —
50)^ = + ^/^j(^", .Afc = (A:-2)^ + 2, Ä; = l, 2, ...,(n-l); A„ = 2.
Die Constante C ist so zu wählen, dass
fflr 5 = 0 ,y = ^«-l.
Das Integral 49) fahrt entwickelt auf eine convergente Reihe, wenn
g"<l, und diese zeigt, dass dem ri n von einander verschiedene
Werthe zukommen. — Man vergl. hierüber §4, Nr. 71)«
♦ VergL Baltzer a. a. 0. r^ 1
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120 Üeb. d. Auflösung gewisser algebr. Gleich, etc. Von W. Hetmann.
Anmerkung. Die Gleichungen
1) y«-wy-(n-l)a? = 0
und
2) y._„{,_(„_l) = 0
konnten durch die Substitutionen
«_ ]__ w^l ^\_
4) a? = | *-^ y = i?l ""'» d, h. J = a? " , fj = yx "
in einander übergeführt werden. Hieraus folgt, dass
I" < 1, wenn a;*~ * > 1 ,
und umgekehrt. Mithin sind die Reihen, welche aus dem Inte-
gral 49) hervorgehen, brauchbar, wenn die Reihen, die den
Integralen 34) und 35) entsprechen, divergent werden, und
um^^ekehrt sind letztere convergeut, wenn erstere unbrauch-
bar werden.
(Bcblofs folgt.)
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Kleinere Mittheilungeii.
IX. Beweil eines Lebnatieg von Jacob Steiner.
Im XXX« Bande von Cr eile 's Journal theilt Steiner unter Nr. 3 auf
S. 274 einen Satz nebst dem polaren Gegensätze in verschiedenen Fassungen
mit, Yon denen ich die folgende ohne das polare Pendant reproducire:
„Ist einem yollst&ndigen Viereck ein beliebiger Kegel-
schnitt umgeschrieben, und werden in den Ecken desselben
an den letzteren die Tangenten gelegt, so wird jede der sechs
Seiten des Vierecks von den Tangenten in den ihr nicht an-
liegenden Ecken in zwei Punkten geschnitten, so dass im Gan-
zen swOlf Punkte entstehen; von diesen zwölf Punkten liegen
immer 3 mal 8 in irgend einem Kegelschnitte. — und ferner:
Die jedesmaligen acht Punkte haben zudem die Eigenschaft,
dass sie auf dreifache Art paarweise in vier Geraden liegen,
welche sich in einem Punkte a, &, c schneiden; und zwar sind
diese drei Schnittpunkte a, &, c fttr jedes der drei Systeme von
acht Punkten die nämlichen u. s. w."
Den vorstehenden Satz femd ich vor sieben Jahren unabhängig von
Steiner und erweiterte ihn, indem ich das Viereck und das Viersei t nur
der Bedingung unterwarf, dass sie dasselbe Diagonaldreieck haben sollten.
(Vergl. meine ^ Vermischten Aufgaben und Lehrsätze^ Nr. XXVI, XXVII,
XXVm, R. Friedländer & Sohn, Berlin.) Vorausgeschickt mag noch wer-
den, das« die von Steiner genannten drei Punkte a, b, c die Diagonal-
punkte des Vierecks sind, was ihm nicht unbekannt sein konnte.
Beweis.
Es seien p^^ p^, )>,, p^ die Ecken eines Vierecks $, welches einem
Kegelschnitte ft eingeschrieben ist, während P das von den Tangenten p^^
Pu Pzy Pi ^^^ genannten Ecken gebildete Vierseit sein möge. Die Diagonal-
punkte von $ seien:
1) I=(Pl>>8»>>t>>4)» P = (P1>>2»P5P4). J = (Pl*>4' >>«>>»)•
Die Diagonalen von P seien Xj y, 0. Man erhält sie, wenn man in 1)
statt der deutschen Buchstaben lateinische setzt
Combinirt man die durch einen bestimmten Diagonalpunkt von $ gehen-
den Seiten dieses Vierecks mit demjenigen vier Seitenpaaren von P, welche von
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122 Kleinere Mittheilungen.
Punkten ausgehen , die auf einer durch den gewählten Diagonalpunkt gehen-
den Diagonale liegen, so ergeben sich vier Vierseite, von deren jedem
natürlich die eine Diagonale durch den gewählten Diagonalpunkt geht; die
zweite Diagonale ist eine der sechs Seiten von $, die dritte Diagonale geht
durch einen der nicht gewählten Diagonalpunkte dieses Vierecks. Da es im
Ganzen zwölf solcher Vierseite giebt, so gehen von ihren zwölf dritten Dia-
gonalen je vier durch einen der Diagonalpunkte von $, was folgende Ta-
bellen erläutern und begründen.
!•
Das durch den Diagonalpunkt r gehende Seitenpaar von $ giebt com-
binirt mit den vier Seitenpaaren
PiyPt Pi^Pa P%^Pz Pz^Pa
des Vierseits P vier neue Vierseite, die bezeichnet werden durch
Xj, A,4 Xj3 Xj4.
Zwei Diagonalen derselben werden dargestellt durch
y und pi}>g e und Jj^p^ z und t)j}>3 y und ^jjp^.
Da nun die von x ausgehenden vier Strahlen y^ z\ )>|)>,, p^Pi harmonisch
sind, so geht
B y y B
bez. durch den Schnittpunkt der dritten Diagonale mit
Pl<>2 ^P4 M% Ma^
d. h. die dritten Diagonalen von Xj,, X^^, X^^ X)^
(»>l»>S,A)(PfP4li'|) (»>lPj'P4){P»p4.1>l) *l»>»»P«)(»>«»>4»i»s) (»>lPs.P4)(t>«»>4.Ps).
welche der EtLrze halber bezeichnet werden durch
*1« *14 *»8 ^34'
gehen bez. durch die Diagonalpunkte
^ l « *•
n.
Das durch den Diagonalpunkt ^ gehende Seitenpaar von $ giebt com-
binirt mit den vier Seitenpaaren
A»A P\>Pa PfjPs PüPa
des Vierseits P vier neue Vierseite, die bezeichnet werden durch
^13 ^14 ^18 ^«4*
Zwei Diagonalen derselben werden dargestellt durch
X und p^p^ 0 und )>|)>4 g und p^p^ x und ))2))^.
Da nun die von y ausgehenden vier Strahlen x, g; )>|)>2, )>sp4 harmonisch
sind, so geht
z X X e
bez. durch den Schnittpunkt der dritten Diagonale mit
PlPi >>ll>4 PtP9 Ma^
d. h, die dritten Diagonalen von Fjg, T^^^ J^, T^
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Kleinere Mittheilungen. 123
(Pl»>2,A)(p8P4il>l) iPlPi.P4)ip3p4>Px) iPlPtyP3)(Pip4^P%) (PlPtfPd(PzPiyP%)y
welche der Kürze halber bezeichnet werden durch
S^lS 2^14 3^88 y«4«
gehen bez. dnrch die Diagonalpunkte
r a a T.
HL
Das durch den Diagonalponkt } gehende Seitenpaar von $ giebt com-
binirt mit den yier Seitenpaaren
Pi^Pi PifPs P%yp4 Pz^Pa
des Yierseits P vier neue Vierseite, die bezeichnet werden durch
-2,. Z,3 Z24 Z^.
Zwei Diagonalen derselben werden dargestellt durch
y und l)il)2 X und >f^)p^ x und p^p^ y und pgp^.
Da nun die von ) ausgehenden vier Strahlen x^y\ pi))4, )p^)p^ harmonisch
sind, so geht
X y y X
bez. durch den Schnittpunkt der dritten Diagonale mit
Pil>» PiPa P«P4 P8l>4»
d. h. die dritten Diagonalen von Zj^, Z,,, Z^^, Z34
welche der Kürze halber bezeichnet werden durch
^1« ^18 ^«4 ^84'
gehen bez. durch die Diagonalpunkte
^ X X V-
Mithin gehen durch die Diagonaipunkte
bez. die yier Geraden
y«' y«4> ^18' *24 *12> *84» ^18' ^84 *14' ^» ^14' ^«8 '
Wir wollen diese Quadrupel von Geraden bezeichnen durch
Auf jeder dieser zwölf Geraden liegen, wie die Tabellen I, II, III zeigen,
zwei von den zw51( Punkten, in welchen die vier Seiten von P von den
sechs Seiten von $ getroffen werden.
Wir wollen die acht von diesen zwölf Punkten, welche je auf einem
Quadrupel [^{], [g^^ \g^ liegen, bezeichnen durch
[9«! [0^1 [di]-
Diese 3 mal 8 Punkte geHören nun je einem Kegelschnitte an, den wir
nach dem betreffenden Diagonalpunkte durch
Äj fti, «a
bezeichnen.
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124 Kleinere Mittheilungen.
Zum Beweise combiniren wir die Eckpunkte von $ zu dreien, wodurch
wir vier Dreiecke erhalten, die wir je nach dem Index des fehlenden Eck-
punktes von $ durch T^y S)^, S)s, ^4 bezeichnen. In jedem dieser Drei-
ecke liegen die drei Schnittpunkte je einer Seite mit 4®r Tangente der
Gegenecke auf einer gewissen Geraden. Die so erhaltenen vier Geraden
bezeichnen wir bez. durch d^^ ^ / ^3 > ^4 • Von den auf diesen vier Gera-
den zu je dreien vertheilten zwölf Punkten hatten wir oben bewiesen, dass
sie zu je zweien auf zwölf Gerade vertheilt sind , deren je vier durch einen
Diagonalpunkt von $ gehen. Mit Rücksicht hierauf sieht man zun&chst
ein, dass das von c2j, d^, d^y d^ gebildete Vierseit, welches wir durch D
bezeichnen wollen, dieselben Diagonalen wie P hat. Dies erklärt sich aus
folgender Tabelle.
rv.
S ( g fi ^ « \ g -1 -S '
fl 5 'ö Ja .2 S* tS
l^i^»] S g rpih {did,){p^p^,p,)(M^,p,) S J I \^{d,p^){d,p,) S g
Diejenigen vier von den acht Punkten [g^] , welche auch den Punkten
[g^], aber nicht den Punkten [g^] angehören [es sind dies die Punkte
(Pip4'P«)» (fiP4'Ps)» (p9PsyPi)y (»>«Ps»P4)]i liöfi^en einzeln auf den Geraden
von D und bilden ein Viereck, dessen Diagonalpunkte if, ^, } sind. Daher
befinden sich diese vier Punkte auf einem gewissen Kegelschnitt ftj^, wel-
cher dem Vierseit D einbeschrieben ist, denn die Seiten desselben sind die
Tangenten jener vier Punkte.
Diejenigen vier von den acht Punkten [g^] , welche auch den Punkten
[g}], aber nicht den Punkten [gj] angehören [es sind dies die Punkte (pi))^, /'s),
(Pi)^s>/'4)) {PiPiyPi)y {Ptp4yP3)]9 liegen auch einzeln auf den Geraden von
D und bilden ein Viereck, dessen Diagonalpunkte T* 9, } sind. Daher be-
finden sie sich auf einem Kegelschnitt S^, welcher auch dem Vierseit D ein-
beschrieben ist, denn die Seiten desselben sind di^ Tangenten jener vier Punkte.
Endlich liegen diejenigen vier von den acht Punkten [g^], welche
gleichzeitig den [g^] , aber nicht den [g^] angehören [es sind dies die Punkte
iPip9yP3)> (»>ip2»P4). (»>8p4iPi)> (P8p4»ft)]» ebenfalls einzeln auf den Ge-
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Kleinere Mittheilongen. 125
raden von D und bilden ein Viereck, dessen Diagonalpunkte r, 9, } sind.
Also liegen sie auf einem Kegelschnitte ßj 5, der dem Yierseit i> einbeschrie-
ben ist, weil dessen Seiten die Tangenten jener vier Punkte sind.
Die acht Berührungspunkte von ßgj, und 9%^ auf den Seiten des Vier-
seits D sind nun identisch mit den acht Punkten [g^], weshalb diese auf
einem Kegelschnitte ^^ liegen.
Die acht Berührungspunkte von 9%^ und ^^^ auf den Seiten des Vier-
seits D sind identisch mit den acht Punkten [(j^j, daher liegen diese auf
einem Kegelschnitte St^,
Die acht Berührungspunkte von S^j und 9^^ auf den Seiten des Vier-
seits D sind identisch mit den acht Punkten [g^], weshalb sich diese auf
einem Kegelschnitte 9^ befinden.
Hiermit ist der eine Theil des Satzes von Steiner bewiesen. Dass
die je acht Punkte eines der Kegelschnitte ftj, ff^, ft^ dreimal zu je zweien
auf vier Gerade vertheilt sind, die von den Diagonalpunkten T» 9» 5 aus-
gehen , dürfte aus der vorstehenden Untersuchung ohne Weiteres einleuchten.
Je zwei von den vier Geraden sind allemal Gegenseiten des Vierecks $.
Man erkennt noch leicht, dass die ausser den zwei Diagonalen von iß
durch einen Diagonalpunkt r, ^ oder g gehenden sechs Geraden in Involu-
tion sind. Es sind dies jedesmal die von Steiner genannten vier Geraden
und zwei Gegenseiten von $. Wir woUen dies nur für den Diagonalpunkt
r nachweisen.
Die durch i gehenden Seiten von $ und Diagonalen von P sind har-
monisch. Die in Tabelle II genannten vier Geraden ^,3, ^i^, y^^^ y^ und
die Geraden pi)>2) )^8l>4 ^^^ $ bilden die Seiten eines voUständigen Vierecks
X^, welches mit $ dieselben Diagonalpunkte hat. Daher sind die Geraden
^23 und y^ mit den Diagonalen e und y harmonisch coigugirt.
Ebenso bilden die vier Geraden »y^^^ z^^^ z^^ z^^ der Tabelle III mit
den Geraden pip^^ p^p^ die Seiten eines vollständigen Vierecks X^, das mit
$ dieselben Diagonalpunkte hat. Daher sind die Geraden z^^^ z^^ und die
Diagonalen z^ y zugeordnet harmonisch. Mithin sind die ausser den Dia-
gonalen von $ durch x gehenden sechs Geraden in Involution etc. Ausser-
dem sind P und X^ und P und X^ je für einen neuen Kegelschnitt um- und
einbeschriebenes Viereck etc.
Greifswald. H. E. M. 0. Zimmbbmann.
X. BMtimmung der Tonhöhe einer Stimmgabel mittels des
Hipp*8oIien Chronoskops.
Bei diesem ausgezeichneten Instrumente, welches eine grosse Verbrei-
tung in den physikalischen Laboratorien gefunden hat, wird der Gang des
Uhrwerkes durch eine Feder regulirt, die 1000 Schwingungen in der Se-
eunde macht« Diese Feder giebt natürlich einen entsprechenden Ton und
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126 Kleinere Mittheilnngen.
es können , wie der Verfasser beobachtete , die Schwebangen dieses Tones
mit dem Tone einer nahe gleichgestimmten Stimmgabel recht gnt wahr-
genommen und gezählt werden. Dies war wegen des grossen Gerftnsehes,
das der schnelle Gang des Uhrwerkes heryorbringt, kaum von vornherein
zu erwarten.
Es lag nun nahe, diese Erscheinung zur Bestimmung der Tonhöhe
einer Stimmgabel zu verwerthen , wenn man dabei auch nicht hoffen durfte,
etwa die Genauigkeit stroboskopischer Methoden zu erreichen. Doch durfte
man immerhin eine Genauigkeit erwarten, die für praktische Bedürfnisse,
etwa für die Construction und Yerification einer Normalstimmgabel weitaus
genügend erscheint. In der That scheinen die bisher angestellten Versuche
dies zu bestätigen.
Mit Rücksicht auf den berührten praktischen Zweck wurden die Ver-
suche gleich mit einer a- Stimmgabel angestellt. Dieselbe war vor mehre-
ren Jahren durch die Herren Lenoir und Forster von König in Paris
bezogen worden, hat die gewöhnliche Form und ist la^ 870 v. s. bezeichnet.
Natürlich musste die Feder des Chronoskopes geändert werden. Um
die alte Feder benützen zu können , wurde das Messingstück , in welches sie
eingeklemmt ist, weiter weg vom Steigrade gesetzt, sie selbst aber heraus-
gezogen, bis sie nahe einen Ton von 432 Schwingungen gab.
Da die Auslösung und Arretirung des Uhrwerkes natürlich durch das
Secundenpendel einer Uhr bewerkstelligt werden sollte, so musste der Anker
zwischen den beiden Elektromagneten des Elektroskops durch ein Stahlstück
ersetzt und der Strom durch beide Elektromagnete geleitet werden. Wurde
nun der Strom geschlossen, so wurde der Zeiger ausgelöst; um ihn dann
zu arretiren, musste vor der betreffenden Secnnde der Strom umgekehrt
werden.
Die Stimmgabel, deren Schwebungen mit der Feder des Ghronoskops
gezählt werden sollten , war an das Ende eines langen Holzstabes geschraubt,
dessen vorderes Ende eine kleine Holzscheibe trug. Der Stab war an zwei
Schnüren aufgehängt und war noch mit zwei Hebeln versehen, durch welche
die Stimmgabel vom andern Ende des Stabes angeschlagen werden konnte.
Diese Art der Befestigung empfiehlt sich überhaupt bei Aufbewahrung
einer Normalstimmgabel. Auf diese Weise ist es nämlich leicht, ihre
Schwebungen mit einer andern Stimmgabel, die etwa auf den Holzstab auf-
gesetzt wird, bis zu drei Minuten lang zu zählen, indem man das Ohr
hierbei an die Holzscheibe anlegt. Dies wird ja immer die Aufgabe einer
Normalstimmgabel sein und nicht etwa die, einen starken Ton zu geben.
Bei den vorliegenden Versuchen musste allerdings die Stimmgabel wäh-
rend der drei Minuten, als ihre Schwebungen mit der Chronoskopfeder gezählt
wurden, mehrmals angeschlagen werden, was aber weiter kein Hindemiss bot.
Beim Zählen der Schwebungen befand sich der Kopf des Beobachters
zwischen dem Chronoskop und der erwähnten Holzscheibe, an welche das
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Kleinere Mittheilnngen. 127
Ohr nach Bedarfniss ganz angelegt wurde. Addirt man die beobachtete
Anzahl der Schwebungen zu der Angabe des Chronoskops, so erhSlt man
die Anzahl der Schwingungen, welche die Stimmgabel in der gewählten
Zeit ausgeführt hat
Wenn nun ein einzelner solcher Versuch auch nur etwa die Genauig-
keit Yon ^ Schwingung hätte, so ist der Versuch doch so einfach, dass
eine oftmalige Wiederholung desselben in kurzer Zeit möglich ist, so dass
der Mittelwerth von etwa 1 6 solcher Beobachtungen schon eine Genauigkeit
Ton ^ einer Schwingung besitzen würde. Diese Genauigkeit dürfte kaum
durch eine andere Methode bei gleicher Bequemlichkeit zu erreichen sein.
Da es dem Verfasser mehr darauf ankam, die Methode zu prüfen,
als absolute Werthe zu erhalten, so wurden keine besonderen Anordnungen
zur Erhaltung constanter Temperatur getroffen, was bei den bekannten
unglücklichen Verhältnissen des physikalischen Cabinets ohnedem kaum aus-
führbar gewesen wäre. Auch der Gang der Pendeluhr, die durch Anbring-
ung eines seitlichen Contacts ungeheuer accelerirte, wurde nur beiläufig
controlirt.
Die letzten zwei Versuchsreihen ergaben so folgende Zahlen:
11. November, Temperatur 16^ C. Prof. F. Exner hatte die Güte,
die Schwebungen zu- zählen. Als Mittel von 14 Versuchen ergab sich
435.542 + 0.033.
12. November, Temperatur 15^ C. Die Schwebungen wurden theils
von mir, theils von Prof. Exner gezählt. Das Mittel von 13 Versuchen ist
435.595 + 0.028
Schwingungen.
Auf gleiche Temperatur mit dem Factor —0.0486 per 1^ C. reducirt,
giebt die erste Beobachtungsreihe 435.591, also fast genau dasselbe wie
die Reihe. Dies ist allerdings Zufall; doch ist zu hoffen, dass eine eigens
für diesen Ton verfertigte Feder noch eine viel grössere Genauigkeit der
einzelnen Beobachtungen ergeben wird. p^.^ y l^no
(Aus den Sitzungsberichten der Wiener Akademie.)
ZL Beriohtigang.
Im XXIV. Bande dieser Zeitschrift, S. 254 habe ich die Mittheilung
gemacht, dass sich die Differentialgleichung
mittels der Substitutionen
dv dv
du ^ du
in die Bernoulli'sche Gleichung
x=-, y = „_-r, y=M. xy-y = v
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128 Kleinere Mittheilangen.
du fp{u) + uif{u)
transformiren l&sst. ^ Um von dem Integral v = f{u) dieser letzten Gleich-
ung auf das Integral der vorgelegten Gleichung la) zu kommen, hat num
aus la) und aus
a?y-y = /'(y')
die Gr($8se y zu eliminiren.
Wird jene Elimination anders vollzogen, so gelangt man
im Allgemeinen zu falschen Besultaten, wie das an dem von mir
behandelten Beispiele
«+y — («y — y)" = 0
zu ersehen ist, dessen Integral nicht die damals angegebene Gestalt besitzt,
sondern folgendermassen lautet:
1 — m i w — I 1
X "• Ua;+y) "• +l] ^const.
Die früheren Bemerkungen über die Auflösbarkeit des Integrals nach
der Constanten, sowie über den integrirenden Factor fallen infolge dessen
von selbst fort. Woldbmar Hbymakh.
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^■M^
Zeitschrift
fBr
Mathematik und Physik
lieratisgegeb^ii
anUsx di$f vacaatwortÜdieii E«il«clioo
Dn O, Schiönuicu, Dr, E* Kahl
Dr. M. Cantor.
3L Jahrgang. 8. Heft.
Mit einer Itihogtaphttieo Tafel
Ausgegeben «in 30^ Judi 18^6*
Leipzig,
Vrrlag von B, G. Teobntr»
l§86.
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Lelirbucli der sphärischen Trigonometrie
Dr. Carl mpH£.
Dritte .:i:r •■ ..-..' ,. . : ^r- ,.
Mit 42 in ii
gr. », geb. Lini^upvi^h H u» &(> ^ ,
W,.. T^r-.ri;. ..^►..L,
a.r..^.^..K, A..n:L l.T, k..l.,i*..,^.... 1 .-.I
Lehranst alten wi« wiu*
Verlag vde Baum^ärltifr'g Buclihiijicllting in Li^ipxisr.
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I .-. 1 I 1 Mit »Sfj Hobflchniiiett.
lurHindunir unil Auwf^sdnjir
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VHL
Heber die Auflösmig gewisser algebraischer Oleichrmgen
mittelst Integration von Differentialgleioliimgen*
VOD
WoLDEMAR Heymann
in Dresden.
(S e h 1 a ■ ■.)
§4.
Anflösiing der Oleiohiuigen
1) y«-ny-(n-l)a? = 0 und 2) ij» -nji?- (n-l) = 0
dnroh Reihen.
Die Wnrzeln der Oleichungen 1) und 2) sind enthalten in dem all-
gemeinen Ausdrucke 17) des § 2. Dieser Integralausdruck lässt sich in
eine Reihe oder, genauer gesprochen, in ein Aggregat von m Reihen um-
setzen, und zwar hat man, wie in § 5 näher entwickelt ist,
ft=m — 1
51)
Diese Reihe entspricht jedoch noch nicht den Integralen 20) und 38),
auf deren Entwickelung es im Speciellen ankommt*; es muss vielmehr
nachträglich eine unbestimmte Integration nach x vollzogen werden, und
man erhält auf diese Weise
y== ^ EhXk^consi.y
A = 0
^^ « ^* = ^*(Ä+I)!-''"''*+"(Ä+^rHr)i+-
Hier bedeutet (vergl. Ausdruck 22)
• Vergl. den Anfang des § 2. C^ \
Keitarhrift f. Mathematik u. Physik XXXI, 3. [Sgitized by VjOOglC
130 üeber die AnflSsnng gewisser algebraischer Gleichungen etc.
53)
a) Soll der Ausdruck 52) die Entwickelung des Integrals 20) sein,
so mnss |
f» = n-l; Xk = h^, Ä=l,2, ...,(n-l); a. = (-l)-;
|._<5=L^ .„^^{(=^'_(._,H.-,_»,)„,-
n-1
2
b) Soll der Ansdmck 52) die Entwickelung des Integrals 38) sein,
so muss
« = »; l4 = (A;-2)-^+2, *=1, 2, ...,(♦.- 1); A. = 2;
a.={-i)-; ;^i = j'; '»=:^{?-»(«-A)}=*-f
Es möge nun zunächst die Reihe für Xh auf ihre Convergenz geprüft
werden. Ein allgemeines Glied, ohne Bücksicht auf das Vorzeichen, lautet
sonach ist
Berücksichtigt man, dass aus 53)
54) P*+m = (x + M...(T + A^)./>^
folgt, so hat man ^__^
CT" = m
und weil hier t mit 0 ins Unendliche w&chst, so ist
Die Reihe für Xk convergirt also, wenn sf*<\^ und da dies
unabhängig von h geschieht, so convergirt unter dieser Be-
dingung das gesammte Reihenaggregat in 52).
Ist a:" = 1, so bilde man
, ^.^.^ J7(.+*+i)-j7(^+A.)
'V—örr — ^r — "■
/ j(T + Ä+l)
dann ergiebt sich <
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Von W. Hbymann. 131
Da die in Betracht kommenden Fälle a) nnd b) das Gemeinsame haben,
»» «
dass ^^ A= -^> 80 liefert der letzte Grenzwerth den von h unabhängi-
gen Bruch f ; d. h. aber, das gesammte Beihenaggregat in 52)
conyergirt, auf die Fälle a) und b) angewendet, auch wenn
a^=l. '
d!) Soll der Aasdrack 52) die Lösung der Gleichung
1) yn-.ny-(n-l)a? = 0
darstellen, so sind die besonderen, unter a) aufgestellten Werthe in 52)
einzuführen und die Constanten £ so zu bestimmen, dass für x = 0
55) (y?+'>)o = -BA/>A.
Man hat zu unterscheiden, ob aus
^ = 0 oder y = Yn gefolgert wird.
a) Im ersten Falle verschwinden alle Ableitungen mit Ausnahme von
fi — 1
(y')^=: (vergl. Nr. 25), folglich verschwinden auch alle Constanten
0 f)
E mit Ausnahme von Eq^= {y\\ Pq\ die Constante c, welche durch die
0 ^^
unbestimmte Integration in 52) eingegangen ist, hat den Werth Null. Im
vorliegenden Falle lautet daher die Reihe
Setzt man]
SO sind die p eindeutige Producte, welche sich durch suocessive Anwendung
der Formel
54a) /'*+n-i = (^ + ^i)---(i^+^»-i)^*
ergeben. Hiernach ist
w — 1 n — ^1 w — t
56)
1 1
.p^(«-i)=/7A*./7(*»-i+io-../j((<^-i)(«-i)+io-
Da {y}o einen eindeutigen Werth besitzt, so findet man also fttr
0
y folgende eindeutige Reihe:
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60)
132 Ueber die Auflösung gewisser algebraischer Gleichungen etc.
und diese stellt eine Wurzel der Gleichung 1) dar.
Zu eben demselben Resultat gelangt man durch Entwickelung des In-
tegrals 35).
ß) Im zweiten Falle hat man
während c die Werthe ^n erlangt; sonach lautet das Beihenaggregat
58) y=^ (Sf'*+'»),^' + |/«-
Setzt man
so ist
59) ^+a(fi-l)+l ^
... + (-i)-<-^>ma(.-i)(^^,^,^i3^-^,+.>.}-
aj«-«< 1,
und die p sind wieder eindeutige Producte, welche successive nach Formel
54 a) berechnet werden können. Hiemach ist
A>A+»-i = (Ä + Ai)(Ä+A,) ..(Ä + A,.,)= JJ (Ä+AO, ..••
1
Xjk=:fc^Ili, fc=:l,2, ...,(fl-l).
Der Werth für (y<*+*>)o ist unter Nr. 24), § 2 entwickelt worden
und war ^
61) (y'*+'>)o = 9*+i»""'^,
wenn 9« + 1 ^'^ eindeutige OrSsse
( 9k+i = (-l)*tÄ + (f»-I))(Ä+2(n-l)) ... (Ä + Ä(n-l))«-(»+»);
62) . _ 1
bedeutet. Setzt man
^1 = ;?
WO nun Uk eine eindeutige Grösse ist, so entsteht aus 58)^^ j
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Von W. Hetjiann.
133
63)
k=m-2
JJk^-*-^+g,
and hier darf ftlr g jede Wurzel der Gleichung
gew&hlt werden. Das Beihensggregat*
stellt also die noch fehlenden (n — 1) Wurzeln der Gleichung
1) y«-ny-(w-l)a; = 0
dar. Die durch 57) gegebene Wurzel ist immer reell; 64) giebt eine oder
zwei reelle Wurzeln, je nachdem n gerade oder ungerade ist; alle übrigen
Wurzeln sind complex, wenn x reell gedacht wird.
Zu dem unter 64) aufgestellten Resultate gelangt man auch durch
directe Entwickelung des Integrals 34).
Es sei bemerkt, dass die Ausdrücke 57) und 64) auch für die n = 2
gelten und demgemäss die binomischen Entwickelungen von
1-(1+»)^ resp. l + (l + a?)H, x<\
darstellen.
Für n = 5 erhält man als Wurzeln der Gleichung
y^ — 5y — 4a? = 0:
und
y =
'+V^\ «*<!.
= -ö\ir+^«ö!+^''9!+^"i3! + ' i ^^'
1 /«. 0!», «». \
~5~Vl!+^*ö!+^«'9r+->'
2.6 /a» x' «" \*,T,
3.7.4/««. afi, X» , \,/=
— 5i-Vri+^^8!+''««12!+-;^^ ^
Hierbei ist
* Uh kann natürlich nach dem Früheren durch ein bestimmtes Integral dar-
gestellt werden. Der Ausdruck 64) fällt zusammen mit dem von BäzontimJabre
1765 aufgestellten; Bäzout konnte naturgemäss die l/* auf algebraischem Wege
nicht bestimmen, sobald n>4. — Vergl. Matthiessen, Grundzüge der antiken
und modernen Algebra. § 37, S. 83.
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134 lieber die Aaflfisung gewisser algebraischer Gleichungen etc.
p, =i,i,i8i, = n(i)5
Pg =Aii,i,i4(4+i.)(4+;,)(4+;i,)(4+i,) = JI(i) /7(4+i);
/.„=J2(1) 17(4+1) JI(8 + i),
P6 = il{l+i),
P9 = //(l+i)JI(5+i),
Pe=n(2 + i),
p,o= 77(2+ i) 71(6 + 1),
p, = 77(3+1),
p„=n(3 + 1)77(7 + 1).
»1 = 1-*. i» = 2.|. 1, = 3.|, l4 = 4.f.
b') Soll der Ausdruck 52) die Lösungen der Gleichung
2) i,"-nSi,-(»-l)=0
darstellen, so sind die besonderen unter b) stehenden Werthe in 52) ein-
zufahren, x = ^, y = *7 2u setzen und die Constanten E so zu bestimmen,
dass ftb: 1 = 0
65) (i**«)»«^*/»*,
während die Constante der unbestimmten Integration den Werth
c=yn—l
erlangt. Die Beihenentwickelung lautet jetzt
it=n— 1
66) 1,= ^ (»,(*+.))„^+^;^iri,
Tm = (Ä+T)!"**^~*^""'''*+"(Ä + M=I)! ■*"^*+'"(Ä + 2« + l)!+-
...+(-i)«'<->m,.^4^,+.... ^-<i.
Die p sind analog dem Früheren bestimmt durch
und ergeben sich bei Anwendung von
54b) Pt+n^{r+lt)^. {■c + kn)Pt
als eindeutige Producte, nämlich
n n n
1 1 1
i,= (Ä-2)^^+2; ä;=1,2, ...,(n-l); A. = 2.
Der Werth von (i?^* + ^% ist unter Nr. 41, §3 entwickelt worden und
war
68) W^+'>)o = 9ä+i(«-1)~,
wenn qn-^x die eindeutige Grösse
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Von W. Hbtmann. 135
69) yA+i=(Ä + 2-«)(Ä + 2-2n)...(Ä + 2- /*»)(«- !)-<*+»),
?i = ^3|» 5^—1 = 0
vorstellt Setzt man
WO nun Uh eindeutig und (/n-2 gleich Null, so entsteht aus 66)
7Q) ^"^ J^AP*+'+^.
und hier darf für g jede Wurzel der Gleichung
gewählt werden. .--(«-1) = 0
Das Reihenaggregat
71) I ''^ , fcA + oi» + l
^ I ^' =**+',§(- i)'''-''m'-(ÄT^^rH)!' ^* = ^' ^"^'
stellt daher sämmtliche Wurzeln der Gleichung
2) ij»-n|iy-(n-l) = 0
dar. Von diesen Wurzeln sind eine oder zwei reell, je nachdem n un-
gerade oder gerade ist, wenn | als reell gilt.*
Zu dem unter 71) aufgestellten Resultat gelangt man auch durch directe
Entwickelung des Integrals 49).
Sollte S" > 1 sein, so sind die Reihen 57) und 64) brauchbar, für
welche dann sicher a;"""^«<l, und umgekehrt ist die Reihe 71) cönvergeut,
wenn jene divergiren.
Für « = 2 ist die Reihenentwickelung 71), vergl. § 2, nicht giltig.
Wenn man indessen die Reihe nochmals nach | integrirt und A| = 1, k^ = 3
wählt, so dass also das Integral 49), aus welchem sie entspringt, im
Wesentlichen ungeändert bleibt, dann ergiebt sich^ weil für
5=0; v = ±h «?'-=+i, V'=±i. v"'=0', cr,=o,
Po = |-,-1.3|j + 1.3.3.5||-t.3.3.5.5.7|-, + ...,
und das stimmt mit der binomischen Entwickelung von
überein.
Für » = 5 erhält man als Wurzeln der Gleichung
t/*-5|«?-4 = 0:
* Eine Ausnahme findet statt, wenn | = -f 1; dann hat die Gieichiing 2) boi
ungeradem n drei reelle Wurzeln, worunter die Doppelwurzel 17 = — 1. Vergl. die
Anmerkung am Schlüsse.
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136 üeber die Auflösung gewisser algebnüscher Gleichungen etc.
4
2
tf,-«
+
4»
1.6
4»
V I"
+ P«yj-+l',il2T+
4«^V5i''''^»IÖ!''"''"T5]''"
Hierbei ist
P8=i3(l+l)
p,= J7(4 + i)
i, = -f + 2, A, = 0.| + 2,
Anmerkung.
1)
.)V4*
■+Vii i»<i.
fto=n(i) .n(5 + i); ..
p„ = n(l+A).i7(6 + A); ..
j,„ = i7(2 + i):J7(7 + i). ..
l»„=J7(4 + i)./7(9 + l); ..
*» = 4 + 2, i, = 2.J + 2, ij = 2.
Ist in Gleichung
y" — »y — {n-l)a: = 0
o;""^ = 1, 80 kann dieselbe folgendennassen geschrieben werden:
a) jy- + a^~»(y+a?){ = 0,
und diese besitzt bei ungeradem n offenbar die Doppelwurzel y = — x,
denn für diesen Werth verschwindet die Derivirte
y«-l-l.
Wird fflr x die reelle Wurzel +1 gewählt und aus Gleichung a) (y + 1)
und nochmals (y+l) ausgeschieden, so entsteht
Wird hingegen ftbr a; die reelle Wurzel —1 gewählt, so hat man nach
Ausscheidung von (y— 1), resp. (p—iy
^ \y«-2 + 2y-» + 3y— ♦+... + («-3)y« + (f»-2)y + (n-l) = 0
Diese Gleichungen sind auch als gelöst zu betrachten und zwar durch das
Integral 34) oder durch die Beihe 57) für o; = + 1.
Die zweite Gleichung jeder Gruppe, die übrigens von einander nicht
wesentlich verschieden sind, besitzt nur eine reelle Wurzel, die übrigen
Wurzeln sind complex.
Ist o;"'*^ = — 1, so kann die Gleichung 1) folgendermassen geschrieben
werden :
|y" — a?» — n(y +a;)| = 0,
und diese Gleichung besitzt bei geradem n die Doppel wurzel y = ^x.
Wählt man für x die reelle Wurzel —1, so entstehen nach Ausscheidung
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Von W. Hbymann. 137
von (y— 1), resp. (y — 1)* die unter a") anfgestellien Gleichungen (für ein
gerades n). Die zweite Gleichung dieser Gruppe hat aber jetzt nur complexe
Wurzeln, und diese sind sänimtlich enthalten in den Ausdrücken 34) und
57) für a; = -l.
Ist in Gleichung
2) ^«-njiy-(n-l) = 0
I« = 1, 80 kann dieselbe folgendermassen geschrieben werden :
t(Sij)"+i-»(i»? + i)|=o,
and diese besitzt bei ungeradem n die Doppelwurzel i) = — — > weil für
diesen Werth auch
(Si?)"-^-i = o.
W&hlt man für £ die reelle Wurzel +1, so erhält man nach Ausschei-
dung von (17 + 1), resp. (17+ 1)* zwei Gleichungen, wie in a'). Die Gruppe
a') kann daher auch mittelst des Integrals 49) oder der Reihe 71) für £ = 1
aufgelöst werden und man erkennt, dass die Gleichung 2) im Falle eines
ungeraden n und für | = 1 ausnahmsweise drei reelle Wurzeln besitzt,
nämlich die Doppel Wurzel 1} = — 1 und eine dritte reelle , welche in der
zweiten Gleichung der Gruppe a) enthalten ist.
Ist endlich |"= — 1, so kann der Gleichung 2) folgende Form ertheilt
werden: . .
und diese besitzt bei geradem n die Doppelwurzel i] = — -i weil für
diesen Werth (|,)-.+l=0.
Da § jetzt imaginär ist, so kann eine Factorenzerlegung der Gleichung
2) in reeller Form nicht stattfinden
§5.
Integration der Oleiohnng
A. In § 2 wurde das Integral der Gleichung 16) , welche ein Specialfall
obiger Gleichung ist, ohne Beweis angegeben; es möge daher nachträglich
eine Herleitung des Integrals der Gleichung 72) folgen. — Dieser Gleich-
ang genügt partikulär
0
wenn f{ux) = e ein partikuläres Integral der Gleichung
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138 Ueber die AoflSsung gewisger algebraischer Gleichnogen etc.
u$t und wenn die Zahlen b and A in gewisser Weise von den Zahlen a ab-
hängen. Denn bildet man
OD
0
0 0
und substitairt dies in Gleichung 72), so entsteht auf der linken Seite
00
b
und das wird zu Null, wenn f^z eine solche Function von x vorstellt,
dass
K^xsi^^'^^^+kz^'^+y'ai^^O.
Nun verschwindet aber wegen a) sicher folgender Ausdruck:
und dieses wird identisch mit K sein, wenn zwischen den Zahlen a, h und
k Beziehungen stattfinden, die dadurch ausgedrückt werden können, dass
mau nachstehende Identität festsetzt:
d. h.
Hiermit ist der oben ausgesprochene Satz bewiesen.
Um das Integral der Gleichung 72) cxplicite aufschreiben zu können,
gehe man von dem Falle m = 1 aus. Der Gleichung
genügt nach Laplace
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d. h., es ist
wobei
Von W. Hbymann. 139
und € eine Wurzel, von
{^ + 6^ = 0
ist. Mithin genügt der Gleichung 72) partikulär folgendes m ■ fache Integral :
^ ^ ^i^>»^ +...+>:;,,
0 0
wobei A, A,, ^, ..., A^-i die Wurzeln von
arnft"* — Om-i f*""^ + . . . ± a,f» T ao = 0
bedeuten and c eine Wurzel der Gleichung
E^ + a^^O
vorstellt Da die letzte Gleichnng v von einander verschiedene Wurzeln
besitzt, so kann man v von einander wesentlich verschiedene partikuläre
Integrale angeben, und man gelangt (bei geringer Abänderung der Bezeich-
Dung) zu folgendem Schlussresultat:
Der Differentialgleichung
genügt als vollständiges Integral
73) S^ f^t
(v > m).
üier bedeuten C^ ...Cp willkürliche Constante, f| .. fy sind die Wurzeln von
it] . . . An, sind die Wurzeln von
a«A'"~a,„.iA"'-^+ ..+a,l + ao = 0,
und diese müssen als positiv vorausgesetzt werden.
Zusate 1. Ein Ausdruck von der Form
lässt sich folgendermassen schreiben:
1=0
I — m
wenn zwischen den Coefficienten a und c Beziehungen bestehen, die durch
die Identität
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140 üeber die Auflösung gewisser algebraischer Gleichungen etc.
gegeben sind.*
Es besitzt daher die Differentialgleichung**
den Ausdruck 73) zum Integral, wenn die l der vorigen algebraischei
Gleichung entnommen werden und wenn
«* + Cm = 0.
Zusatz 2. Differenzirt man die Differentialgleichung 72) oder 74)
Ä-mal nach x und setzt y<*> = £f, so gewinnt man eine Gleichung der ur-
sprünglichen Form, nur sind sSmmtliche X um die positive ganze Zahl h
gewachsen. Diese Eigenschaft theilt die Gleichung mit der oft discutirten
am»~y^'"^ + . . . + ai xy + a^y^O,
und es bedarf daher die Behauptung keines Beweises. Man zieht aus dieser
Bemerkung Vortheil, wenn das Integral 73) zufolge negativer k (oder sol-
cher kj deren reelle Bestandtheile negativ sind) seine Bedeutung verliert.
Ist Xk von allen negativen X das absolut grösste, so wähle man h so
gross, dass
das ursprüngliche y ergiebt sich schliesslich mittelst unbestimmter Inte-
gration
y = Jedx^.
* Man erkennt dies am einfachsten in folgender Weise. Der Differential-
gleichung
CmX'^yi'^ -I- ... -I- c,a;y'-»- Coy = 0
genügt das Integral
y = Cxxr-K -!-... + Ci»a?— *»»,
wenn die X berechnet werden aus
^5^{Cm(X + w-l)!-... + Co(i-l)!|=0.
Setzt man a^^e», so lautet das letzte Integral
und dieses genügt einer Gleichung mit constantem Coefficienten
wo die X zu berechnen sind aus
am >L"« — . . . l: ai i + Oq = 0.
Weil nun u = lXy so besteht tbatsüchlich der obenerwähnte Zusammenhang.
** Gleichungen der Form 74) bat meines Wissens zuerst S. Spitzer in Wien
integrirt. Man vergl. dessen „Studien".
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Von W. Heymann. 141
Zusatz 3. Die Di£ferentialgl6ichung
kann, wenn p eine ganze positive Zahl bedeutet, durch p- fache Difife-
rentiation von der Potenz x^ befreit werden; sie steigt zwar zur (v+p)^*"
Ordnung auf, erlangt aber die Form der Gleichung 72) und kann sonach
integrirt werden. Die (v+p) Constanten des Integrals sind an p lineare
Bedingungen gebunden, so dass, wie nothwendig, nur v Constanten will-
kürlich bleiben. Diese Bedingungen erh< man, wenn man beachtet, dass
für aj = 0
y<i'+*) = 0, Ä = 0,1, ...,(p-l),
und sie lauten
»»+'• + o,- = 0.
Differenzirt man die Gleichung 75) zunächst einmal, so entsteht
wobei
Dieser Coefficientenzusammenhang zeigt, dass die zu 76) gehörige alge-
braische Gleichung
2^«+iA'»+*-ft«A«-h... + ^A + fto = 0
sich von der zu 75) gehörigen Gleichung
nur dadurch unterscheidet, dass sie die eine Wurzel
iin+l=P
mehr besitzt. — Wird daher der Dififerentiationsprocess p-mal vollzogen,
80 wird die algebraische Gleichung, welche zu der entstehenden Differential-
gleichung (v+p)**' Ordnung gehört, ausser den Wurzeln der Gleichung
ai«A"«-...:j:ao = 0
noch die p Wurzeln
Pf P— 1» •••! 3, 2, 1
" £^-*''-,J,''aw=»'
6. Es ist noch das Integral 73) in eine Reihe zu entwickeln. Ver-
wandelt man die Exponentialgrösse
in eine Reihe, so findet man für ein partikul&res Integral
wobei ^^ y
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142 lieber die Auflösung gewisser algebraischer Gleichungen etc.
78)
P^z=mj e
<"^^'"' ... Wm"*"^-"' ^«♦l ^^ - ^^-
Dieses m- fache Integral lässt sich durch Gammafunctionen auswerthen,
wenn man von der Formel
je ''M«-'du = v* 'r(-)
79)
Gebrauch macht; man erh<
/>, = .»r(iL±*)r(^)...r(^*).
V
und hieraus folgt noch die bemerkenswerthe Belation
80) • ^>i+r = {A.+Ä)(A, + Ä)...(A„, + Ä)/>>i.
Das allgemeine Integral lautet nun
90) y = Cjy, + Ciyj + ... + Cyyy.
Aber dieses Integral lässt noch eine Umformung zu, die für die Conver-
genzbetrachtung und andere analytische Fragen von Wichtigkeit ist
Da n&mlich
. A=v— 1 ^ ,
/j=V-.l
und
so hat, man
Bezeichnet man die von k unabhängige Klammergrösse der Summe mit
Xh^ so dass
92)
dann lautet das allgemeine Integral
93)
A=i»— 1. k—v
-^{«.^•H-Ji^'i^''"'
Die r einzelnen Summen
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Von W. Hbymann. 143
welche sich für Ä = 0 bis ä = v — 1 ergeben und welche vollkommen will-
kürliche Grössen repräsentiren , kann man dnrch v neue Integrationscon-
stanien Eq bis Ev^i ersetzen, so dass man zu folgendem Schlassresultat
gelangt:
Der Differentialgleichung
'^) S+^-äfe-o
genügt folgendes aus v einzelnen Reihen bestehende Reihen-
aggregat:
94)
wobei
k=m
80) Pk+v==TJ{h+Xk).PH
und X^ bis Xm die Wurzeln von
am^"'-a„_a'''-» + ... + aiAq:ao = 0
bedeuten. Die Coefficienten in Xa ergeben sich als gewisse Producte,
wenn man successive die Formel 80) in Anwendung bringt und schliesslich
Pk in ^A eingehen lässt.
Die Reihe für Xjk convergirt, wenn v>«», für jedes endliche a,
und zwar unabhängig von h] eben deshalb convergirt in diesem Falle
das gesammte Reihenaggregat 94). Ist v = m, so lautet die Conver-
genzbedingung a x"' < 1
Man vergL die Reihenentwickelungen in § 4.
§6.
d™(ajPv)
Entwickelnng des Differentialqnotienten ^ ♦
Die Entwickelung dieses Quotienten nach logarithmischen Quotienten
der Form ,,., .. ist bereits in § 1 aufgeschrieben und verwendet worden,
d{lxY
und es erübrigt noch, die Richtigkeit der dort unter Nr. 11) aufgestellten
Formel nachzuweisen. Am schnellsten kommt man zum Ziele, wenn man
von der fertigen Formel ausgeht und den Schluss von m auf (m + l) macht.
Will man indessen die Formel erst ableiten, so kann man folgenden Weg
einschlagen.
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144 Ueber die Auflösung gewisser algebraischer Gleichungen ete.
Es sei für den Augenblick sfie=iu und a^y = (;, und man betrachte
folgende Differentialgleichung:
worin g irgendwelche Constante ist. Diese Gleichung liefert integrirt
oder, wenn x und y restitoirt werden,
was auch geschrieben werden kann
Diesen letzten Ausdruck kann man als das complete Integral einer linearen
Differentialgleichung mf^ Ordnung mit constantem Coefficienten und zweitem
Theil ansehen, und diese würde lauten
wenn die a die Coefficienten einer algebraischen Gleichung
c) /^W = A'»-a„-ii"»-i + ...+aiA + ao = 0
vorstellen, welche folgende Wurzeln besitzt:
Der Ausdruck
m\ m\
ist offenbar das Supplementintegral* der letzten Differentialgleichung , denn
fuhrt man denselben in die linke Seite dieser Gleichung ein , so entsteht
IM!
und dies ist identisch, wenn
»= (-l)"|j /(!» + .)•
^* * = m k=m
so ist einfacher
und diese Relation verbindet die Ausdrücke
. d-{:tPy) ^^ + a^ , _^!ll!y + ... +. y = Äa^a«^-
zu der gesuchten Formel, nämlich
* VergL eine Arbeit des Verfassera „Üeber Supplementintegrale", Journal f.
d. reine u. angew. Mathematik, 98. Bd. ». Heft
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Von W. Hbtuann. 145
1-0
wobei die a zugleich die Coefficienten einer algebraischen Gleichung
c) A---an,-tA"— * + ...±aiil + ao = 0
sind, deren Wurzeln folgendermassen lauten:
Afc=p — (Ä — 1)<7, Ä=l, 2, ...,m;
Am+i b&^ den Werth
ZuscUe 1. Setzt man an Stelle der Zahlen p und g resp. ;> — (m— 1)^
und — ^, 80 geht A* =p-- (&— !)<? ttber in p — (w— Ä;)g, d. h. in km-k+i]
es verwandelt sich also
A| A^ . • • Am _ I Am
in
A-m Ajh — 1 ••• Aj A|5
mithin bleibt bei dieser Vertauschung die Gleichung c) unge&ndert. Nimmt
man diese Vertauschung auch in der [von Nr. 95) nicht verschiedenen]
Formel
1=0
»«) i-^'-'-'-'Wß
vor, so erhält man
and weil hier die linken Seiten vollkommen übereinstimmen, so muss
Infolge dieser Relation würde man die Gleichungen 3) und 10) des § 1 in
anderer Form geben können, doch würde dieser unterschied nach Anwen-
dung der Formel 11), § 1 von selbst wieder verschwinden.
Setzt man in 96) x^p^=Vy so entsteht eine Formel
welche einige Beachtung verdient; fUr g = — 1 geht aus ihr die bekannte
Formel
98) --^ = (-,l)n.,;n.4-t^"(^-'^)
hervor.» V^^
* Man vergl. 0. Schlömilch, Vorlesungen über höhere AnalyniB. Die höhe-
ren Differentialquotienten. — S. Spitzer, Studien über die Integration linearer
Differentialgleichungen (Wien 1860), S. 65, Nr. 131).
Zeitochrifl f. Mathematik u. PbyBik XXXI, 3. Dig^ffzed by GoOglC
146 XJeb. d. AnflOsimg gewisser algebr. Gleich, etc. Von W. Hethann.
2jusate 2. Ein Specialfall der Identität 95 a) , yon welchem hftofig Ge-
brauch gemacht wird, ist folgender:
Man setze p = 0 und 9=1, dann entsteht
S«'d^ = *"^i ^=0. A, = -l, i, 2,...,i. = -(m-l).
oder anders aasgedrückt: Es ist
QQ> ^^'"y_ fl^y . <^"^y , 4.,, ^y -r^ äy
\
dar d(lx)'^ """'rf(Zx)"— 1 • '— ' d{lx)^^ U{lx)
wenn die h die Coefficienten einer Gleichung (m—l)*^^ Grades
100) i— ^-5«.,A—« + ...±5,A + 5, = 0
bedeuten, deren Wurzeln
ii = li ^2 = 2, ..., A»,«.i=in — 1
heissen»
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IX.
TTeber eine ebene Reciprocität und ihre Anwendung
auf die Curventheorie.
Von
Dr. C. Betel
in Zflrioh.
Hierzu Taf. II Fig. 1-4.
1.
Saus. Seien iff^C die Ecken, abc die ihnen gegenüberliegen-
den Seiten eines Dreiecks. Mit PmPbPe bezeichnen wir die Ge-
raden, welche einen beliebigen Punkt in der Ebene des Drei-
ecks mit i^^Cyerbinden. PaPbPc seien die Schnittpunkte einer
durch P gehenden Geraden p mit den Seiten ahc. Dann können
wir beweisen, dass {pPaPbPe) = {PPaPbPe)'
Schneiden wir nämlich (Fig. 1) das Büschel ppaPbPe mit a und sei H
der Schnittpunkt von a mit PÄy so gilt die Relation {ppaPbPe)Ä{PaSBC).
Letztere Gruppe projiciren wir aus A und schneiden das hierdurch erhaltene
Büschel mit p. Dann ist {PaHBC)7^ {PaPPcPb)* Weil aber allgemein
iPaPPePb)={PPaPbPc) ist, SO folgt {pPaPbPc) ^ {P PaPbPc), W. Z. b. W.
Es knüpft sich an diesen Satz folgende Aufgabe: Durch einen Punkt
JP der Ebene soll eine Gerade p gezogen werden, welche die Seiten eines
Dreiecks in der Weise schneidet, dass P mit den Schnittpunkten — in vor-
geschriebener Reihenfolge — ein gegebenes Doppelverhältniss J bildet. Um
diese Aufgabe zu lösen, verbinden wir P mit den Ecken des Dreiecks.
Sind diese Verbindungslinien pa, Pby Pa so wird p nach der Relation
{PePbPaP)^^ gefunden. Da es nun zu den drei Geraden Pay Pb9 Po
sechs giebt, welche mit ihnen ein bestimmtes DoppelverhSltniss bilden, so
echliessen wir:
Durch einen Punkt P der Ebene können wir sechs Gerade
ziehen, welche die Seiten eines Dreiecks so schneiden, dass
die Schnittpunkte mit P ein gegebenes Doppelverhältniss
bilden.
Die duale Aufgabe verlangt in einer Geraden p die Punkte, von denen
ans nach den Ecken eines Dreiecks Strahlen gehen, welche mit p ein be-
stimmtes Doppelverhftltniss bilden. Es giebt sechs solcher Punkte. Sie
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148 Ueber eine ebene Beciprocitftt etc.
bilden resp» mit den Punkten, welche p aus den Seiten des Dreiecks schnei-
det, das DoppeWerhältniss J,
Eindeutig sind die erwähnten Aufgaben, wenn wir die Ecken und Seiten
des Dreiecks bestimmt festsetzen und femer die Beihenfolge angeben, in
welcher die Punkte in p, resp. die Strahlen um P mit P, resp. p das Dop-
pelverhftltniss bilden sollen. Durch diese Festsetzung wird jedem Punkte P
eine und nur eine Gerade p zugeordnet, für welche {PePbPaP) = ^ ist. Auf
jeder Geraden p liegt nur ein Punkt P, der die Bedingung (PcP^PaP) = ^
erftdlt. Es ist also auf diese Weise eine eindeutige Correspondenz zwischen
den Punkten und Geraden der Ebene festgelegt. Jeder Punkt geht durch
seine Gerade, jede Gerade enthält ihren Punkt. Entsprechend den Bestim-
mungsstücken wollen wir diese Beciprocität mit dem Symbol {CBA , A) be-
zeichnen.
2.
Sei Cn eine Gurre n*^ Classe in der Ebene der ReciprocitSt {CBÄ^ J).
Wir fragen nach dem Orte der Punkte, welche den Tangenten von Cu ent-
sprechen. Wir haben also in jeder Tangente p von (7« die Schnittpunkte
PaPbPe mit den Seiten abc des Dreiecks ABC zu bestimmen und je einen
Punkt P zu zeichnen, für den {PePbPaP)=^ ^ ist. Für diese Construc-
tion geben wir eine räumliche Interpretation (Fig. 2). Wir betrachten P«
als Fusspunkt einer Normalen n«, zur Ebene der Beciprocität. In nc be-
P C
stimmen wir zwei Punkte C^C^ in der Weise, dass ^ ' =J ist. Weiter
errichten wir in P^ eine Normale n« zur Ebene der Beciprocität. Ziehen
wir dann C^Pa nnd schneide diese Gerade aus n^ den Punkt 5, so triffl
P P PC
SC« die Ebene der Beciprocität in P. Es ist nämlich _^ " = ^^-^ und
PbPa PbO
P P PC
^^=^~; also ist {PcPbPaP) = ^' Um nun diese Construction auf
allen Tangenten von Cu durchzuführen, denken wir uns in c und h die resp.
Ebenen C und B bestimmt, welche zur Ebene der Beciprocität senkrecht
stehen. (Fig. 3.)* Dann zeichnen wir in Czwei durch B gehende Gerade
iocc
C|02 von der Art, dass j- — - = J ist Die Tangenten von C« betrachten
wir als Spuren von Normalebenen. Diese umhüllen somit einen zur Ebene
der Beciprocität senkrechten Cylinder C7y« der n*^** Classe. Jede dieser
Normalebenen schneidet aus c^c^ ein Punktepaar C^C^ und aus a einen
Punkt Pa- Ziehen wir C^Pa und treffe diese Linie die Ebene B in S", so
schneidet 8C^ aus der Ebene der Beciprocität einen Punkt P. Wir bemer-
ken, dass die Gerade SC^ eine Tangente des Cylinders C'^n ist. Erwägen
* Die Darstellung in Fig. 3 ist axonometrisch und a und c sind als Axen
angenommen.
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Von Dr. C. Betel. 149
wir jetzt, dass alle Linien C^Pa in der Ebene durch c^ und a liegen, so
folgt I dass alle Punkte 8 in der Schnittlinie $ der letzteren Ebene mit der
Ebene B gelegen sind. Also stellen uns die Linien 8C^ die Gesammtheit
der Geraden vor, welche die windschiefen Geraden 5, c^ schneiden und
den Cjlinder Cy« berühren. Sie erfOllen eine Begelfläche des 2n^° Grades
IP*. Eine beliebige Gerade g wird nämlich yon 2n Geraden SC^ ge-
schnitten. Um dies zu beweisen, construiren wir daa Hyperboloid JEP^
welches durch die Geraden 5, C, und g bestimmt wird. Dieses hat mit C^u
2n Tangentialebenen gemeinsam. Wir erhalten die letzteren, indem wir
den Cylinder zweiter Classe 0^2 zeichnen, der aus dem unendlich fernen
Punkte von Gyn ^^ H^ gelegt werden kann. Die gemeinsamen Tangential-
ebenen zwischen Gyn und 0^2 berühren auch HK Sie schneiden c^ und s
in Punkten, deren resp. Verbindungslinien zu den Geraden SG^ gehören
und auf H^ liegen. Folglich müssen sie g schneiden. Also wird g von 2n
Linien 8G^ getroffen.
Schneiden wir JR*" mit der Ebene der Beciprocitfit, so erhalten wir
den Ort der Punkte P. Dieser ist also eine Curve der 2n*^ Ordnung C7*J
und wir sagen:
Den Tangenten einer Curve von der n^*° Classe correspon-
diren in der Beciprocit&t {CBAA) Punkte, welche auf einer
Curve der 2n**'* Ordnung liegen.
Wir können dies auch so ausdrücken:
Construiren wir zu den Punkten, in welchen die Tangen|-
ten einer Curve n*®' Classe die äeiten eines Dreiecks schnei-
den, je den Punkt, welcher mit jenen — in bestimmter Beihen-
folge genommen — ein gegebenes Doppelverhfiltniss zi bildet,
so ist der Ort dieses Punktes eine Curve von der 2»**" Ordnung.
3.
Die Untersuchung der BegelflSche JR*" giebt uns weiteren Aufschluss
über den Zusammenhang der Curven C" und 0«.
Cj und 8 sind n-fache Gerade von 22^", Mithin sind B und G
n-fache Punkte von C*".
Eine weitere n- fache Linie von 12^" ist die Schnittlinie der Ebenen B
and C Sie trifft die Ebene der BeciprocitSt in A, Also ist auch^ ein
n-facher Punkt von C*",
Hat Gu eine r- fache Tangente ir^ so schneidet die Ebene, welche durch
tr geht und zur Ebene der Beciprocität normal steht, c, und s in Punkten,
deren Verbindungslinie eine r- fache Gerade von i?* ist. Letztere trifft die
Ebene der Beciprocitftt in einem r- fachen Punkte von C". Also folgt:
Auf den r-fachen Tangenten von C« liegen r-fache Punkte
von C*".
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150 lieber eine ebene Reciprocität etc.
Sei g eine Gerade in der Ebene der Reciprocität, so fragen wir nach
der Construction der Schnittpunkte von C*» mit g. Zur Beant-
wortung dieser Frage zeichnen wir das Hyperboloid JT*, welches durch 5,
c^ und g bestimmt ist. An dieses Hyperboloid construiren wir den Be-
rührungscylinder Cy2y welcher zur Ebene der Reciprocität senkrecht steht.
Er schneidet letztere in einem Kegelschnitte Kj^. Seine gemeinsamen Tan-
genten mit Cn sind Spuren von Tangentialebenen, welche H^ und Cyn ge-
meinsam sind (vergL 2). Folglich schneiden diese Tangenten aus g die
gesuchten Punkte von C*".
Zur Construction von K^ bemerken wir Folgendes. Die Geraden g^
a, c^ und $ liegen auf dem Hyperboloid H^. Also sind die Ebenen, welche
durch diese Geraden gehen und zur Ebene der Reciprocität senkrecht stehen,
Tangentialebenen dieses Hyperboloids, welche auch den Cylinder C^^ be-
rühren. Daraus folgt, dass g^ a^ c und h Tangenten des Kegelschnittes K^
sind. Wir bestimmen diesen Kegelschnitt vollends, indem wir seinen Be-
rtthrungspunkt in g zeichnen. Derselbe — G — ist Berührungspunkt der
durch g gehenden Tangentialebene 0 an J?', welche zur Ebene der Reci-
procität normal steht. Wir Construiren also von G die zweite Gerade h des
Hyperboloids H^. Sie schneidet ^ in 6r. Zur Durchführung dieser Con-
struction bezeichnen wir die Schnittpunkte von c^c^, a, h, c mit 0 resp.
durch Cj, O2, Pay Pbf Pc Dann ziehen wir C^Pa* Diese Gerade trifft s
im Schnittpunkte S mit der Ebene 0. SC^ ist die gesuchte Gerade h und
trifft g in G. Wir sehen daraus, dass 6r mit P«, P«, Pc durch die Rela-
tion {Pc f*bPaG) = ^ verbunden ist. 6r ist also der correspondirende Punkt
zu der Geraden g in der Reciprocität {CBÄJ). Wir können darnach die
Construction der Schnittpunkte von g mit C^^ dahin zusammenfassen:
a, &| c, g und der entsprechende Punkt zu g in der Reci-
procität {CBAJ) bestimmen einen Kegelschnitt, dessen gemein-
same Tangenten mit C7„ die Gerade g in Punkten von C* treffen.
Berührt der Kegelschnitt Kg^ die Curve C7„, so schneidet die Tangente
im Berührungspunkte aus ^ zwei benachbarte Punkte von C*", d. h. g ist
in diesen Punkten Tangente von C^". Wir können dies dahin verallgemei-
nem: Hat Kg^ in p Punkten mit Cn eine einfache Berührung, so
ist g eine p-fache Tangente an (7*". Osculirt Kg^ die Curve (7»,
so ist g eine Wendetangente von 0*" u. s. f.
4.
Zu jeder Geraden g der Ebene gehört ein Kegelschnitt Kg^, Die Ge-
raden der Ebene stehen also mit dem Netze der Kegelschnitte Kg^ in der
Beziehung einer quadratischen Transformation , welche wir der Kürze halber
mit dem Symbol {Kg^^g) bezeichnen wollen. Handelt es sich nun darum,
zu einem Kegelschnitt Kg^ die correspondirende Gerade g zu finden, so be-
nutzen wir folgende Eigenschaft von Kg^i Sei t eine beliebige Tangente
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Von Dr. C. Betel. 151
von K^^ so geht durch dieselbe eine Tangentialebene T an B}. In T muss
eine Gerade ^ von B} liegen , welche g schneidet. Sie ist die Verbindungs-
linie der Schnittpunkte von T mit c, und s. Bezeichnen wir die Punkte,
in welchen i die resp. Geraden c, &, a, ^ trifft , durch P«» ^ht Pa^ P^ 80
ist P der Schnittpunkt von h mit g und seine Construction wird durch die
Belation {PeP^PaP)^ ^ ausgedrückt. Weil aber i eine beliebige Tangente
von Kg^ war, so schliessen wir:
Die Punkte, welche in der Reciprocität (CBÄJ) den Tan-
genten von Kff* correspondiren, liegen auf der Geraden p,
welche in der quadratischen Transformation (Kg^g) dem Kegel-
schnitt ^^ entspricht.
Nun berührt in jedem — nicht singulären — Punkte von C» ein
Kegelschnitt JST/ diese Gurve. Ihm correspondirt in der quadratischen
Transformation (Kg^g) eine Tangente an C^". Somit erscheint C" als
die Enveloppe aller der Geraden, welche in der Transforma-
tion {Kg^g) den Kegelschnitten entsprechen, die Cn berühren.
Damit ist zugleich das Mittel gegeben , in einem — nicht singulären
— Punkte P von (7*" die Tangente zu construiren. Wir bestimmen zu P
die entsprechende Gerade p in der Reciprocität (CBAJ). Dann zeichnen
wir den Punkt P|, in welchem p die Curve Cn berührt. Durch diesen,
j), a, &, c, ist ein Kegelschnitt f/ bestimmt. An ihn geht durch P eine
zweite Tangente, welche 0*" in P berührt
Diese Tangentenconstruction vermittelt eine eindeutige Correspondenz
zwischen den Punkten von Cn und C^^. Je zwei solcher Punkte liegen auf
einer Tangente von Cn* Suchen wir zum Punkte P^ von Cn den entspre-
chenden P von C^", so liegt P in der Tangente, welche in P^ die Curve
Cn berührt, und wird durch die Bedingung {PePbP«P)^ ^ gefunden. Den
correspondirenden zu P erhalten wir aber, indem wir in der Beciprocität
(CBAJ) zu P die entsprechende Gerade p construiren. Ihr Berührungs-'
punkt an C*» ist P,.
Ist ein in C' gelegener Punkt D zugleich Berührungspunkt der ent-
sprechenden Greraden d an Cn, so ist D ein gemeinsamer Punkt von C^" und
Cn. Seine Tangente an C^" fällt mit d zusammen. Wir können dies auch
so ausdrücken: Correspondirt einem gemeinsamen Punkte von C»
und C^" in der Beciprocität (CJ^^l^ die Tangente in ihm an C»,
so berühren sich in diesem Punkte die Curven C» und C".
Sollen die Tangenten aus einem beliebigen Punkte X der Ebene an
C^" gezogen werden, so bemerken wir, dass die Kegelschnitte J£^^ welche
in der Transformation (K^g) den Geraden durch X entsprechen, eine Schaar
bilden; denn ausser von ahc werden sie von der Geraden x berührt, welche
in der Beciprocität (CBAJ) dem Punkte X entspricht. Denjenigen unter
ihnen, welche C« berühren — es sind im Allgemeinen n(«--l) — corre-
spondiren die Tangenten durch X an C^".
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152 üeber eine ebene Beciprocität etc.
5.
Indem wir jetzt das Dreieck ABC festhalten, wollen wir J alle mög-
lichen reellen Werthe geben. Zu jedem derselben gehört ein Linienpaar
C|(^ und ihm entsprechend eine Gerade s. Seien z. B. c^* und ^ die Ge-
raden, welche J* zugeordnet sind, und sei C*" die Curve, welche wir oben
aus Ca abgeleitet haben, so untersuchen wir jetzt die Enveloppe der Ge-
raden, welche den Punkten von C*" in der Eeciprocit&t {CBÄ/I*) ent-
sprechen. Durch jeden Punkt P* von C*" geht eine Transversale <♦ zu
C^* und s*. Legen wir durch eine derselben eine Normalebene P zur Ebene
der Beciprocit&t, so trifft P die resp. Geraden a, 5, c in Punkten Pa*^ Pb*^
P/ einer Geraden jp* und es gilt die Relation {P^* Pt" P/P*)^ ^^ P* ist
also die entsprechende Gerade zu P* in der Beciprocit&t {CBAJ*).
Nach dem Gesagten schneiden die Ebenen durch die t*j welche zur
Ebene der Beciprocität senkrecht stehen, aus dieser Ebene die Geraden p*.
Die i* aber sind die Transversalen zu den drei Leitlinien C", c^*^ s*, von
denen c^* und s* mit C7^" je einen n- fachen Punkt gemein haben. Folg-
lich erfüllen die t* eine Begelflächei^'"^ deren Grad gleich 2.2fi — 2n=2n
ist. Ein Berührungscjlinder au diese FlKche ist im Allgemeinen von der
2fi**" Classe. Betrachten wir speciell den Cjlinder C^m*^ welcher zur Ebene
der Beciprocität senkrecht steht, und constrniren wir an ihn die Tangen-
tialebenen, welche durch eine Noimale p gehen, so bemerken wir, dass n
von diesen Ebenen in die Ebene p^B und n in die Ebene p'^C zusammen-
fallen. Daraus folgt, dass die Ebenenbttschel , welche in B und C zur Ebene
der Beciprocität senkrecht stehen, Theile des Cjlinders Cyn* sind. Der
Best desselben ist somit ein Cylinder der fi^*° Classe. Er schneidet die
Ebene der Beciprocität in einer Curve der n**"* Classe C„*.
Zu jedem Werthe von J gehört eine solche Curve der nf^ Classe.
Aus ihr kann C'** in einer Beciprocität der betrachteten Art abgeleitet wer-
den und es gelten analoge Beziehungen zwischen C^* und C", wie diejeni-
gen, welche wir oben zfrischen C« und C" entwickelt haben. Daraus folgt,
dass alle Curven C» die nämlichen Charaktere haben müssen.
Sei P ein Punkt von C" und p eine durch P gehende Gerade, so ist
durch P und die Schnittpunkte von p mit den Seiten des Dreiecks ahc das
Doppelverhältniss J einer Beciprocität {CBÄ J) bestimmt. Ziehen wir dann
durch die weiteren Punkte von C" diejenigen Geraden, welche diesen
Punkten in der Beciprocität {CBÄJ) entsprechen, so umhüllen diese Ge-
raden eine Curve der n^^ Classe. Wir können dies so ausdrücken:
Alle die Geraden, welche die Seiten des Dreiecks ahc und
C" in Punktegruppen von constantem Doppelverhältniss tref-
fen, umhüllen eine Curve der fi**° Classe.
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Von Dr. C, Bbybl. 153
6.
Wir untersuchen jetzt die Enveloppe der Geraden, welche in der Re-
ciprocität {CBAJ) den Punkten P einer Curve w**' Ordnung 0" entspre-
chen. Wir wenden uns damit zu einer Frage, welche der unter 2 auf-
geworfenen dual gegenübersteht. Ihre Beantwortung fahrt zu Sätzen, welche
den oben gegebenen dual sind. Wollen wir dieselben direct entwickeln, so
gehen wir yon einer räumlichen Darstellung des Ausdruckes {PcPbPaP)^^ ^
ans. Wir errichten (Fig. 4) in B und C die resp. Normalen n^ und n«
zur Ebene der Beciprocität. • Auf n« construiren wir zwei Punkte C^G^^
welche der Bedingung CC^ : CC^ = J genügen. Dann legen wir durch C^
und pa eine Ebene. Sie treffe nt in S, Durch letzteren Punkt, durch c^
und P geht eine Ebene. Sie schneidet die Ebene der Beciprocität in der
gesuchten Geraden p.
Lassen wir nun p sich auf C" bewegen , so bilden alle Ebenen , welche
durch Cj und die Geraden i?« gehen, ein Büschel, dessen Scheitelkante C^J
— sagen wir a^ — ist. Dieses schneidet n^ in einer Punktreihe 5. Es
sind also die Geraden ^, welche die in den Ebenen durch Ui liegenden
Punkte P mit den resp. Punkten S verbinden, die gemeinsamen Transver-
salen zu a,, W6 und C". Folglich erfüllen sie eine Regelfläche des 2n^*'*
CIrades i2^". Legen wir durch C^ und die t Ebenen, so schneiden letztere
die Ebene der Beciprocität in den Geraden p, welche den Punkten P in der
Ebene der Reciprocität {CBAJ) entsprechen. Diese Ebenen durch C^ bil-
den den Kegel aus C^ an ^'", also einen Kegel der 2n*^ Classe. Er trifft
die Ebene der Beciprocität in einer Curve der 2n^^ Classe Ctn- Damit
sind die Sätze bewiesen, welche den in 2 hervorgehobenen dual gegenüber-
stehen.
Seien aus einem Punkte G der Ebene die Tangenten an ^2« zu con-
struiren, 80 benutzen wir das Hyperboloid H*^ welches durch die wind-
schiefen Geraden a, nt und GC^ bestimmt wird. Dieses trifft die Ebene
der Reciprocität in einem Kegelschnitte Kg\ Sei P ein gemeinsamer Punkt
von Kg^ und ^", so geht durch ihn eine Transversale t zu a^ und n^,
welche sowohl auf H^ wie auf 22*" liegt. Sie wird also die Gerade GC^
schneiden und mit C^ eine Tangentialebene an i?" bestimmen. Diese trifft
die Ebene der Reciprocität in einer durch P und G gehenden Tangente an
Ci«. Bemerken wir noch, dass K^ durch ABC geht und in G von der
Geraden g berührt vrird, welche dem Punkte G in der Beciprocität {CBAJ)
entspricht, so ergeben sich Schlüsse, welche den in 3 erwähnten dual gegen-
überstehen.
Die quadratische Transformation, zu der wir jetzt gelangen, ist der
Art, dass jedem Punkte G ein Kegelschnitt entspricht, der durch ABC
geht und in G von der Geraden g berührt wird, welche in der Beciprocität
(CBA/S) dem Punkte G correspondirt.
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154 Ueber eine ebene Reciprocität etc.
Geben wir A alle möglichen reellen Werthe, so gehört zu jedem der-
selben — unter Pestsetzung von C^ — ein Punkt Cg, z. B. zu A* der
Punkt ^2*. Halten wir dann die jetzt gefundene Curve (hn fest, so ist der
Kegel, welcher aus C^ über C%^ construirt werden kann, von der 2n*^
Classe. Seien 8^ die Schnittpunkte der Tangentialebenen dieses Kegels mit
nby so ziehen wir die Geraden durch C^ nach den iS*. Diese Geraden schnei-
den die Ebene der Beciprocität in Punkten P*^ denen in der Reciprocität
{CBÄd*) die Tangenten von C2« entsprechen. Wir können nun beweisen,
dass der Ort der Punkte F* eine Curve von der »**" Ordnung ist. Sei
nämlich g eine beliebige Gerade in der Ebene der Beciprocität und schneide
die Ebene durch C^ und g aus n« den Punkt iS'^, so ziehen wir 8g C^.
Diese Linie trifft die Ebene der Beciprocität in einem Punkte G^ welcher
in a liegt. Durch ihn gehen an 6211 2n Tangenten. Von diesen liegen n
in der Geraden a, welche für C2M eine n- fache Linie ist. Die übrigen
Tangenten schneiden ^ in n Punkten P\ Also ist der Ort der P* eine
Curve w*®* Ordnung C"*.
Wir schliessen aus dieser Herleitung von C^*y dass zu jedem reellen
Werthe von J eine Curve n**' Ordnung gehört, aus welcher sich C*" in
einer Beciprocität der betrachteten Art ableiten lässt, und bemerken, dass
sich hieraus Consequenzen ergeben, welche den in 5 entwickelten dual
gegenüberstehen.
7.
Das Princip der behandelten Beciprocität ist einer Erweiterung fähig.
Wir gehen bei derselben von zwei Geraden a, e und einer Curve m^^ Ord-
nung B"* aus. Eine beliebige Gerade p der Ebene schneide a, c, B'^ in
den resp. Punkten Pa^ Pe , Pb^ • • • Pftm • Dann erhalten wir m Punkte
Pj.t.Pm auf p durch Construction der Belationen {Pg P^^ P^ Pj) = ^f = .
= (PcPbm^aPm)» Hierdurch sind jeder Geraden p m ihrer Punkte zugeord-
net. Gehen wir aber von einem Punkte P aus und suchen wir die corre-
spondirenden Geraden, so verbinden wir P mit B, dem Schnittpunkte von
a und c. Sei p diese Verbindungslinie, so construiren wir eine Gerade h
nach der Belation (c&ap)=-^. b trifft B^ in m Punkten. Ihre Verbin-
dungslinien mit p seien die Geraden Pi...pm- Jede derselben schneidet
aus a, B'"^ c eine Punktgruppe PaPbPc, für welche {PaPbPeP) = ^ ist
Es sind also Pi >** Pm die correspondirenden Geraden zum Punkte P.
Wir wollen diese m- deutige Beciprocität mit dem Symbol {cB'"aJ)
bezeichnen. Wir stellen uns — wie unter 2 — auch hier die Aufgabe,
den Ort der Punkte zu untersuchen, welche den Tangenten p einer Curve
n^' Classe correspondiren. Wir gelangen zu demselben, indem wir an die
oben gegebene räumliche Interpretation der Construction eines Doppelver-
hältnisses anknüpfen. Wir legen durch 0 eine Normalebene C zur Ebene
der Beciprocität. In C ziehen wir durch B zwei Gerade OjC^, welche die
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Von Dr. C. Beyel. 155
tocc
Bedingung ^ — - == J erfüllen. J?*" und 0« betrachten wir als Spuren von
Cylindern B^^ Cy», welche zur Ebene der Beciprocität senkrecht stehen.
Die Tangentialebenen von Cyn schneiden c^c^B^'ac in den resp. Punkten
(yjCg, Pt^ ...Pa„, Pa-Pc Di© Geraden, welche die resp. Punkte C^Pa ver-
binden, liegen in der Ebene c^a und treffen B^ in einer Curve der m^^
Ordnung S*". Verbinden wir die Punkte dieser Curve mit den resp. 6^,
so tangiren diese Verbindungslinien den Cjlinder Cyn und schneiden die
Ebene der Beeiprocität in den Punkten P. Nun stellen die Geraden SC^
die Gesammtheit aller Transversalen zu c^ und S*^ vor, welche Cyn tangiren.
Sie liegen auf einer BegelflSche JP*"" des 2mn^°^ Grades. Jede Gerade g
schneidet nämlich diese Fläche in 2mn Punkten; denn die Transversalen
zu ^, c^ und S^ liegen auf einer Begelfläche des 2m^®° Grades. Diese hat
mit Cyn 2mn Tangentialebenen gemeinsam, welche g in Punkten von jß^""*
schneiden. Die Ebene der Beeiprocität o trifft IP"»" im Orte der Punkte P
and wir schliessen daher:
Die Punkte, welche in der Beeiprocität {cB'^aJ) den Tan-
genten einer Curve w*®' Classe entsprechen, liegen auf einer
Curve von der Ordnung 2mn,
Cg ist eine mn- fache Linie von IP"^*, Mithin ist B ein nin-facher
Punkt von 6'*"»». S"" ist eine w-fache Linie von JB^*"". Also sind die
Schnittpunkte von a mit B^ w- fache Punkte von C^"*". Die Geraden, in
welchen die Ebene C den Cylinder B^ trifft, sind ebenfalls tj- fache Linien
Ton jB*"»". Also sind die Schnittpunkte von c mit B"* w- fache Punkt.e von
C^mn Yqq jjigj. |^^g iggg^ gi^jjj leicht übersehen, dass ein Gedankengang,
welcher analog dem oben (2 — 6) eingeschlagenen, zur Verallgemeinerung
der dort gezogenen Schlüsse führt. Von den Punkten ein^ Curve w*" Ord-
nung gelangen wir zu den Tangenten einer Curve der 2mn^ Classe. Sie
wird mit Hilfe einer Begelfläche 2ww**^ Grades hervorgebracht. Ein Be-
rtihrungscylinder an letztere, der zur Ebene der Beeiprocität normal steht,
schneidet diese Ebene in der erwähnten Curve.
Wir unterlassen es, hier weiter auf diese Untersuchungen und ihre
dualen üebersetzungen einzutreten.
8.
Wir wollen nun zeigen, wie sich durch Specialisirung der behandelten
Reciprocitäten einige Sätze aus der Theorie der Kegelschnitte
beweisen lassen.
Setzen wir n = l, so folgt aus den Ausführungen von 2:
Satz, Die Punkte, welche in der Beeiprocität (CBÄJ) den
Strahlen eines Büschels correspondiren, liegen auf einem
Kegelschnitt K^, oder: Construiren wir zu den Punkten, in
welchen die Strahlen eines Büschels die Seiten eines Dreiecks j
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156 üeber eine ebene Beciprocität etc.
schneiden, je den Punkt, welcher mit jenen — in gleicher
Beihenfolge genommen — ein vorgeschriebenes Doppelver-
hSltniss A bildet, so ist der Ort dieses Punktes ein Kegel*
schnitt K^.
K^ wird nach dem in 2 Gesagten aus einem Hyperboloid B^ geschnit-
ten, welches durch 5, c^ und die Gerade np bestimmt wird, die im Scheitel
P des Büschels zur Ebene der Beciprocität senkrecht steht (Fig. 3). Also
geht K^ durch die Ecken ABC des Dreiecks und durch den Punkt P. Die
Tangente in P an K^ ist diejenige Gerade, welche in der Beciprocität
(pBA J) dem Punkte P entspricht, um die Tangente in ^ zu constmiren,
zeichnen wir die Tangentialebene T in JB an das Hyperboloid HK Diese
geht durch c^ und eine Gerade d^ welche die Ebene fipB aus der Ebene
c^a schneidet. Die Schnittlinie der Ebene T mit der Ebene der Becipro-
cität ist die Tangente h^ in ^ an K^. Bezeichnen wir die Gerade BP
durch p, so lässt sich die angegebene Construction von h^ durch das Sym-
bol (cpabi) = J ausdrücken. Liegt P auf einer Seite des Dreiecks ABC,
etwa auf a, so degenerirt K^ in zwei Gerade. Die eine iät a; die andere
geht durch A und bildet mit c, h und AF das Doppelverhältniss J,
Geben wir einen Kegelschnitt durch fünf Punkte , so kSnnen wir diese
zu zehn verschiedenen Dreiecken anordnen. Die Seiten eines solchen Drei-
ecks werden von der Verbindungslinie der zwei übrigen Punkte in drei
Punkten geschnitten. Diese bilden mit jedem jener zwei Punkte sechs
Doppelverhältnisse von verschiedenem Werthe. Durch jedes derselben und
das bezügliche Dreieck wird eine Beciprocität (CBA d) festgesetzt. In allen
diesen Beciprocitäten erscheint der durch fünf Punkte gegebene Kegelschnitt
als Ort von Punkten , welche den Strahlen eines Büschels entsprechen. In-
dem wir also in einem Punkte P des Kegelschnittes eine solche Beciprocität
festsetzen, können wir sagen:
Sota, Die Geraden, welche durch einen Punkt P eines
Kegelschnittes gehen, schneiden aus den Seiten eines Drei-
ecks, das dem Kegelschnitt eingeschrieben ist, Punkte, welche
- • in gleicher Beihenfolge genommen — mit dem zweiten
Schnittpunkte der Geraden und des Kegelschnittes das näm-
liche Doppelverhältniss ^ bilden.
Halten wir ABC fest, so gehört zu jedem Punkte P ein anderes ^.
Geben wir aber ^, so erhalten wir den zugehörigen Punkt P, indem wir
in B die Tangente h^ construiren und eine Gerade p zeichnen, für welche
{cpab^) =» J ist. Der zweite Schnittpunkt von jp mit K^ ist P. Damit
ist die Aufgabe gelöst: die Seiten eines Dreiecks, welches einem Kegel-
schnitt eingeschrieben ist, durch eine Gerade so zu schneiden, dass die
Schnittpunkte mit einem Punkte des Kegelschnittes — in vorgeschriebener
Beihenfolge genommen — ein gegebenes Doppelverhältniss bilden. Es giebt
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Von Dr. C. Bbybl. 157
unendlich viele Gerade, welche diese Bedingung erfüllen. Sie gehen alle
durch einen Punkt des Kegelschnittes.
Seien p^, p^ zwei Gerade durch P, Ihre Schnittpunkte mit abc seien
Pa,P^, Pci lind Fg^P^Pe^. Ihre zweiten Schnittpunkte mit K^ seien
PjPg. Dann sagt der zuerst hervorgehobene Satz aus, dass {Pc.PbtPa^Pi)
= {Pc^Pd^P^i^Pi) ißt. Die Punkte P«.... bestimmen also projectivische
Reihen auf PiP^, Folglich sind die Verbindungslinien entsprechender Punkte
dieser Reihen, also a&c, PiP^^ Tangenten eines Kegelschnittes £|^ der
von pjPj berührt wird. Wir schliessen daher:
Saus, Zwei Dreiecke, welche einem Kegelschnitt einge
schrieben sind, umhüllen einen zweiten Kegelschnitt.
Lassen wir an Stelle von p^ die Tangente p in P an JT^ treten, so
correspondirt in den projectivischen Reihen auf ;7| und p^ dem Punkte P der
Punkt P^. Folglich berührt p^ den Kegelschnitt K^* in P^ und wir lesen
ans der Figur folgenden Satz ab:
Säte, Ein Kegelschnitt K^^ sei durch fünf Tangenten a, 2»,
^1 Pf Pi gegeben. Zeichnen wir die Schnittpunkte von dreien,
80 geht durch diese Punkte ein Kegelschnitt if', welcher die
vierte im Schnittpunkte mit der fünften berührt. Dann trifft
letztere K^ in ihrem Berührungspunkte an K^\
Der erste der zwei vorstehenden Sätze lehrt uns zu fünf Punkten eines
Kegelschnittes einen sechsten mit Hilfe des Satzes von Brianchon zu
finden. Der zweite zeigt uns, wie wir zu fdnf Tangenten einen Berührungs-
punkt mit Hilfe des Satzes von Pascal construiren können.
Gegeben sei ein Viereck, a, b, c^d seien vier Seiten desselben, von denen
keine drei in einer Ecke zusammenstossen. Gesucht werden die Geraden
durch einen Punkt P der Ebene, welche die Seiten a, &, c, el in vier Punk-
ten P«, Pft, Pe, P^ schneiden, deren Doppelverhältniss ^ ist. Zur Lösung
dieser Aufgabe betrachten wir drei Seiten des Vierecks als Grundgerade
einer Reciprocitftt (CBA/f), In dieser correspondiren nach 6 den Punkten
der Geraden d die Tangenten eines Kegelschnittes K^. An diesen gehen
durch P zwei Tangenten, welche die Aufgabe lösen. Wir schliessen daher:
Satz. Durch jeden Punkt der Ebene gehen zwei Gerade,
welche die Seiten eines Vierecks, von denen keine drei in einer
Ecke zusammentreffen, in vier Punkten schneiden, welche —
in gleicher Reihenfolge genommen — ein vorgeschriebenes
Doppelverhältniss bilden. Diese Geraden umhüllen mit den
erwähnten Seiten eines Vierecks einen Kegelschnitt.
* Ein Beispiel für eine Beciprocität (cB^aJ) führte ich durch in der Abhand-
lung über die Curven vierter Ordnung mit einem Doppelpunkte uud einem dop-
pelten Berfihrungsknoten. Vierteljahrsschr. d. naturfGesellsch. in Zürich, Bd. XXXI.
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X.
Zur geometrischen Theorie der Dämmerung.
Von
Heinrich Cranz,
Professor am Gymnasituii in Stattgart.
ffierzu Taf. II Fig. 6—8.
Siebt man als den Anfang der Morgendämmerang oder als das Ende
der Abenddämmerung den Zeitpunkt an , wo die Sonne einen in der Tiefe c
(für bürgerlicbe Dämmerung 6® — 7^ für astronomische 16** — 18*) unter
dem Horizont liegenden Almukantarat, den Dämmerungskreis, passirt, so
hängt die Dauer t der Dämmerung nur von der Polhöhe q> und der Decli-
nation 6 der Sonne ab. Die möglichen sich hieraus ergebenden Aufgaben:
1. gegeben g> und d, gesucht t;
2« gegeben q> und r, gesucht d;
3. gegeben g), gesucht Minimum von t;
4. gegeben 8 und r, gesucht <p;
&• gegeben 8j gesucht Minimum von x,
sind auf sehr elementare Weise von Herrn Dr. Stell im XXYII. Jahr-
gange dieser Zeitschrift gelöst, während früher zur Bewältigung der Auf-
gäbe der kürzesten Dämmerung die Anwendung von Differentialrechnung
unerlässlich schien (vergl. Wo 1 f , Handbuch der Mathematik, Bd. II S. 1 77 flg.).
Ganz besonders einfach lassen sich vorstehende Aufgaben auf graphi-
schem Wege behandeln.
A. Constmotionen auf der EngeL
1. In Fig. 5 sei Z das Zenith, P der Nordpol, N8 der Horizont, EEi
der dazu parallele Dämmerungskreis, ÄQ der Aequator, BB^ ein Parallel-
kreis des Aequators, in welchem sich die Sonne eines Tags bewegt
Der letztere schneidet den Dämmerungskreis in D, den Horizont in H.
D ist der Ort der Sonne bei Beginn, H am Ende der Morgendämmerung.
Zieht man die Declinationskreise FD und PHy femer die Vertikal-
kreise ZD und ZHy so sind die Dreiecke PZH und PZD gegeben durch
ihre Seiten, also ist der Winkel BPH bekannt, und dies ist die Dauer
der Dämmerung, ausgedrückt in Bogenmaass.
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Zar geometr. Theorie der Dämmerung. Von Prof. H. Cranz. 159
2. Denkt man sich das Dreieck PZH um P gedreht, bis PH mit
Pjy znsammenföUt, so komme Z nach If; dann ist Winkel MPZ=%.
Wenn also i gesucht ist, so iSsst sich das gleichschenklige Dreieck MFZ
aus PZ=Plf=90^ — 9 und LMPZ=t zeichnen; D liegt einerseits auf
dem Dämmerungskreise , andererseits auf einem Grosskreise, dessen Pol M
ist. Der Bogen PD ist dann das Complement der gesuchten Declination.
Es kann zwei Punkte D geben; sie sind jedoch an die Bedingung ge-
bunden, dass sie .zwischen den Wendekreisen liegen müssen. Schneidet ein
Wendekreis, z. B. der des Steinbocks, den Dftmmerungskreis in (?|, und
beschreibt man um Q^ als Pol einen Grosskreis, so schneidet dieser den
durch das Zenith gehenden Parallelkreis ZM in itT, , die gleiche Construc-
tion giebt ftlr den Wendekreis des Krebses den Punkt ifcT.
Wenn M' am weitesten von Z absteht, so entspricht dieser Punkt dem
grössten mögliehen Werthe von r; liegt M zwischen M' und M'^ , so giebt
es nur einen zugehörigen Punkt D, liegt M zwischen Z und iT, so können
ihm zwei Punkte D entsprechen.
3. Zieht man den Grosskreisbogen JKf 2>, so ist fQr ein Minimum von r
der Bogen ZM im Dreieck PZM ein Minimum, da ZP und MP constant
sind. Im Dreieck ZDM kann aber ZM nur dann Minimum sein, wenn M
auf den Bogen ZD zwischen Z und D f&llt, oder ZM^ZD-- MD^ZJ)
-ZH=c ist.
In diesem Falle muss der Winkel ZDM verschwinden; da aber LP DM
^LPHZy so müssen im Falle des Minimums die Winkel zwischen Decli-
nationskreis und Yertikalkreis zu Anfang und Ende der Dämmerung ein-
ander gleich sein, oder, da die Declinationskreise auf dem Parallelkreise,
die Vertikalkreise auf den Almukantaraten senkrecht stehen:
Zur Zeit der kürzesten Dämmerung schneidet der Parallel-
kreis der Sonne den Dämmerungskreis und den Horizont unter
gleichen Winkeln.
Dieser Satz ist schon von Bohnenberger in seiner Astronomie
(Tübingen 1811), allerdings in etwas schwer^iger Weise, geometrisch
bewiesen.
Zieht man (Fig. 6). in diesem Falle noch den Bogen PR^ welcher den
Winkel an der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks MFZ halbirt, so steht
dieser senkrecht auf ZMD. Nun ist LPMD = LPZH, PR±ZD,
PZ± ZO, folglich halbirt ZO, d. h. der erste Vertikal, den Winkel DZH,
oder:
Zur Zeit der kürzesten Dämmerung liegen die Vertikal-
kreise, welche die Sonne am Anfang und am Ende der kürze-
sten Dämmerung passirt, symmetrisch zum ersten Vertikal.-
4. Ist i und t gegeben und q> gesucht, so ist das Dreieck PDH
(Fig. 5) bekannt, und Z liegt einerseits auf einem Kreise um D mit 90^ + c^
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160 Zar geometrischen Theorie der Dämmerang.
andererseits aaf einem Grosskreise um H. Bogen FZ giebt das Comple-
ment der Polhöhe.
Es werden sich im Allgemeinen zwei Pankte Z, also zwei verschie-
dene Polhöhen ergeben, so lange
BH>DZ-ZE, d.h. BH>c,
und
I)H< DZ+ZH, d. h. DH<\80^ + c
ist. Ebenso, wie wir oben den Fall, dass ZM = ZD + MD^]SO^ + c,
weggelassen haben, vernachlässigen wir hier den Fall DH= 180^ + c^ da
beide nicht einem wirklichen Maximum der Dämmerungsdaaer entsprechen,
sondern einem Maximum der Zeit zwischen Ende der Abenddämmerang. und
nächstem Sonnenaufgang, also der um eine Dämmerung verminderten Nacht.
5. Ist DH=Cf so wird BH und daher auch LDPH=t ein Mini-
mum; dann muss Z auf dem verlängerten Bogen DH im Abstände 90^
von H liegen.
Soll bei gegebener Declination die Dämmerungsdauer ein
Minimum sein, so muss der Parallelkreis der Sonne den Däm-
merungskreis und den Horizont in Punkten schneiden, welche
auf dem nämlichen Vertikalkreise liegen.
B. Graphische Darstellnng mit Hilfe von steraographiBoher FrojectLon.
(Bezüglich der verschiedenen Hilfsconstructionen und ihrer Beweise ver-
weisen wir auf Reu seh. Die stereographische Projection, Leipzig 1881.)
In Fig. 5 sei der Westpunkt des Horizonts das Projectionscentrum,
also stellt der Tafelkreiss ZNZ^S den Meridian dar mit dem Zenith Z,
dem Nadir Zj, dem Horizont N8, Mache NE^^SE-^c^ so geben die
Tangenten des Tafelkreises in E und E^ durch ihren Schnittpunkt den
Mittelpunkt des Dämmerungskreises EE^ an. Mache NP = Polhöhe q> und
ziehe ÄQjLOPf so ist P der Nordpol, ÄQ der Aequator.
Mache AB=^QB^^d^ so stellt Kreis BB^ (die Tangenten des Tafel-
kreises in B und B^ geben den Mittelpunkt) den Parallelkreis der Sonne
dar; dieser schneidet Dämmerungskreis und Horizont in B und H\ ziehe
die Declinationskreise PB und PH (Mittelpunkte auf AQ)^ welche AQ m
d und h treffen, ziehe Pd und Ph bis zum Tafelkreis nach d und x, so
ist ÖTC die in Bogenmaass ausgedrückte Dämmerungsdauer t.
2. Die Tangente des Tafelkreises in Z schneidet OP im Mittelpunkte
des durch das Zenith gehenden Parallelkreises Z17. Macht man ilft = r,
so giebt Pfi auf AQ Punkt fn; legt man- durch m den Declinationskreis
Pm (Mittelpunkt auf AQ), so schneidet dieser Kreis Zij in M. Ziehe
Durchmesser g Og^ _L iKf 0, ziehe g^ M bis zum Tafelkreis nach y und mache
yt^yg-^ so giebt g^i auf OM den Mittelpunkt des Kreises g^g^ dessen Pol
M ist und welcher den Dämmerungskreis in B und B^ trifft Der Decli-
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Von Prof. H. Cbanz. 161
nationskreisbogen PD resp. PD^ (Mittelpunkt auf AQ) ist dann das Com-
plement der gesuchten Declination,
Mache AC^QC^ =s der Ekliptikschiefe und zeichne den Wendekreis
CC^ (der Mittelpunkt ergiebt sich durch die Tangenten des Tafelkreises in
C und Oj)y dieser schneidet den Dämmerungskreis in 6r|. Die gleiche Con-
struction, welche zum Pol Jf den Grosskreis gg^ lieferte , giebt den Gross-
kreis, dessen Pol Q^ ist und welcher den Parallelkreis Zti in M\ schneidet.
Durch den andern Wendekreis erhftlt man ebenso den Punkt M\ Beide
Ponkte bestimmen die äussersten Lagen des Punktes M. Würde man den
Declinationskreis M'P (Mittelpunkt auf AQ) zeichnen, so wäre M'PZ das
Maximum von r.
In unserer Figur berührt der (nicht gezeichnete) Wendekreis des Krebses
den Dämmerungskreis gerade noch, deshalb ist hier ZPM' die halbe kür-
zeste Nacht. Wenn die Ekliptikschiefe grösser ist als Q^, so giebt es eine
Reihe von Nächten , welche nur aus Dämmerung bestehen ; unter diesen ist
aber diejenige die längste, für welche der Parallelkreis durch E geht
3. Um das Minimum der Dämmerungsdauer und die zugehörige Decli-
nation des Sonne bei gegebener Polhöhe zu finden, sei in Fig. 6 der Nadir-
punkt Projectionscentrum, der Tafelkreis stellt den Horizont dar, N8 den
Meridian, 0 fT den ersten Vertikal. Mache N{E)=^e, W{E) giebt auf SÄ"
Punkt J^; der zum Horizont concentrische Kreis durch E ist der Dämmerungs-
kreis. Mache JV"(P) =r tp, W{P) giebt auf 8N das Bild des Pols P, das Mittel-
loth auf OP schneidet NS in t, auf einer durch i gehenden Senkrechten zu
NS liegen die Mittelpunkte der Bilder aller durch P gehenden Grosskreise
(Declinationskreise). Mache (P)a = (P)0; Wa giebt auf SJT Punkt a, a ist
der Mittelpunkt des Aequators OAW und ein über Za als Durchmesser
beschriebener Kreis stellt den durch's Zenith gehenden Parallelkreis dar.
Macht man (i>>(i4) = 90^ femer (il)(C) = (il)JCi) = der EklipÜkschiefe.
so liefert die Verbindungslinie des Punktes W mit den Schnittpunkten der
Tangente des Tafelkreises in (C) und (C^) mit Z{P) auf N8 die Mittel-
punkte, und die Geraden W(b) und T7(C,) auf NS die Punkte G und Cj
der Wendekreise. Der eine derselben berührt den Dämmerungskreis, da
die Maasse dieselben sind, wie bei der vorigen Figur.
Um D und H zu erhalten, kann man auf zweierlei Weise verfahren.
Man mache Wk = c^ ziehe Oi, welche NS in l trifft, und beschreibe um
Z einen Kreis mit Zly der den Kreis Za in M trifft, ziehe ZMD. Oder:
Halbiie N{E) in (f,), ziehe W{F^)F^, mache auf ZOiZF^^ZF^, lege
dnrch F den Declinationskreis PF und an diesen in F eine Tangente,
welche auf SN den Mittelpunkt f des durch F gehenden Parallelkreises
J)HB ergiebt Zieht man die Declinationskreise PD und PH oder (bei
der ersten Construction) Plf, welche den Aequator in ä, A, m schneiden, so
bestimmen die Geraden Td, Ph und Pm auf dem Tafelkreise die Punkte(5,
Zeitschrift t Mathematik u Physik XXXI, 3. Itigitized by VjOOQIC
162 Zur geometrischen Theorie der Dämmerung.
Xy (ly and es ist 670 = 811 die Dauer der kürzesten Dämmerung; zieht man
dagegen WB{B^)y so ist {Ä){B) die Declination der Sonne zur Zeit der
kürzesten Dämmerung, südlich, wenn (B) zwischen {A) und 8 liegt
4. Ein beliebiger Punkt des Acquators ÄQ sei in Fig. 7 Ptojections-
centrum, der zu ihm als Pol gehörige Declinätionskreis /^ißil Tafelkreis, P
der Pol, ABi^QB die gegebene Declination; die Tangenten des Tafelkreises
in B und J?| schneiden sich im Mittelpunkte des Parallelkreises BBi,
Mache Qfi = der gegebenen Dämmerungsdauer x, ziehe Pfi, welche den
Aequator in m trifft, und zeichne den Declinätionskreis Pm (Mittelpunkt
auf ÄQ), welcher den Parallelkreis BB^ in M schneidet. Ziehe SllA-SlB^
mache Us=c und ziehe an den Tafelkreis in X eine Tangente, so schneidet
dieselbe die BSl im Mittelpunkte des zu B als Pol gehörenden Kleinkreises
AZZj, dessen sphärischer Halbmesser 90^ + ^ ist. Macht man femer den
Durchmesser nSln^J^SlM^ zieht n^lf bis zum Tafelkreis nach v und macht
auf diesem w, s=vfi| so giebt n^v^ auf SIM den Mittelpunkt des zu M
als Pol gehörenden Grosskreises nZZ^n^* Die beiden letzten Kreise treffen
einander in Z und Z|. Beide Punkte stellen den Ort des Zeniths dar,
wenn man B als Ort der Sonne zu Anfang und M beim Ende der Morgen-
dämmerung ansieht. Zieht man den Declinätionskreis PZ (Mittelpunkt auf
AQ)^ eo stellt seine wahre Grösse das Complement der gesuchten Polhöhe
dar. Um diese zu erhalten , drehen wir die Figur so , dass Z in den Tafel
kreis kommt, also dieser Meridian wird. Dabei bewegt sich Z auf einem
Parallelkreise des Aequators, dessen Mittelpunkt auf SIP durch die Tan-
gente an den Bogen PZ in Z erhalten wird, und kommt nach (Z).
N8 l^Sl(Z) und EE^ sind der zu (Z) gehörige Horizont und Dämme-
rungskreis, sie schneiden den Parallel BBy^ mD und H\ die Declinations-
kreise PD und PH geben auf dem Aequator wieder die Punkte d und A,
welche, von P aus auf den Tafelkreis projicirt, dort den Bogen ^k ein-
schliessen, welcher =il^ sein muss. Die gleiche Construction, wie für Z,
lässt sich auch für Z| machen, welches dann nach (Z^) kommt {Z)A imd
{Z^A stellen die gesuchte Polhöhe dar.
In Fig. 8 ist ein beliebiger Punkt des Horizonts als Projectionscentrum
gewählt, der zu ihm als Pol gehörige Grosskreis ZHZ^H^ ist Tafelkreis,
Z das Zenith, HH^ der Horizont, DE (wie früher zu construiren) der
Dämmerungskreis. Der Tafelkreis möge zugleich deijenige Yertikalkreis
sein , in welchem zu Anfang und zu Ende der Dämmerung die Sonne steht
Mache H& = fl^fe, =D/5 =D^j = dem Complement der Declination, so geben
die Schnittpunkte der Tangentenpaare des Tafelkreises in h, \ und in /?, /?,
die Mittelpunkte der Kreise hh^ und /}/?,, welche sich in P schneiden.
P liegt zugleich auf dem Radius i2F, welcher den Bogen HB halbirt
Lege durch P den Yertikalkreis ZP, so ist die wahre Länge von 2P das
Complement der Polhöhe. Um sie zu finden, verbinde Z^ mit dem Mittel-
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Von Prof. a Cbanz. 163
punkte des Kreises ZP, die Verbindungslinie schneidet den Tafelkreis in a;
halbire aZ in a^, ziehe Z^a^, welche auf HH^ den Punkt q giebt; dieser
ist der Pol des Kreises ZP, also giebt die Gerade qP{P) auf dem Tafel-
kreise die wahre Länge Z(P) des Bogens ZP, und es ist H{P) die gesuchte
Polhöhe. Aus der Figur ergiebt sich sofort, dass die Polhöhe negativ ist,
wenn die Declination nördlich ist, und umgekehrt um die Dftmmerungs-
dauer zu finden, ziehe die Declinationskreise PHxmd PD (der eine Mittel-
punkt liegt auf i2Z, der andere auf dem zu SID senkrechten Durchmesser
des Tafelkreises). Ziehe femer den Durchmesser ni^n, _Li2P, ziehe nP
bis zum Tafelkreise nach v und mache Wi^vn^y so giebt nvy auf HP
den Mittelpunkt i des Aequators ndhfiiy dieser trifft die Declinationskreise
PD und PH m d und h; Pd und Ph schneiden den Tafelkreis in i und »,
6x ist die kleinste DSmmerungsdauer bei der gegebenen Declination.
C. Ableitung der Formeln.
I. Im Dreieck PZH ist />Z=900-g), Pfl^=90'»- a, ZJ?=90®
und L ZPH sei == ^o,
imDreieck />Z/>ist PZ = 90°-g), />I> = 90®-Ä, ZI> = 90« + c
und LZPD sei =^t^.
Dann geben die beiden Dreiecke
Setzt man hier für i die Ekliptikschiefe, so erhftlt man die beiden Grenz-
werthe von t, welche den Punkten M' und M\ entsprechen.
IT. Setzt man ZM = 2v und L PZM = (i, halbirt das gleichschenklige
Dreieck /'ZAf durch PR, so ist im rechtwinkligen Dreieck PZR: PZ ^90^
-<p, LPZR^fi, ZR=:v, also
T T
8mv=^cos(psm'^t cotgik^=^8mq>tg-^'
Im Dreieck ZlUD ist ZJIf=2v, JlfD = 90*, ZD = 90*» -f-c und Winkel
DZAf sei =0), so ist
^2v
Im Dreieck PZ/> ist femer /^D = 90<>-«, PZ=90®-9, ZD = 90* + (?,
Z.PZDs=f* — w, also
sinÄ = — sine st»9 + co5r (sew9 ca5(|M — «),
woraus sich ^ berechnet Um den zweiten möglichen Werth zu erhalten,
denke man sich die Bögen ZB^^ MD^, PD^ gezogen, so ist /L D| ZJIf = eo,
also L PZD^ = |M +(», folglich
sind^^— 8inc8inq> -jr oosc cosq> cos{iil+ m),
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164 Zur geometrischen Theorie der DämmeruDg.
UI. In Fig. 6 sei LMPZs^Xq, die Declinaiion Dd=dQ; im Dreieck
PRZ ist />2 = 900-9, ÄZ=-~, LRPZ:==^' Daher ergiebt sich
. c
2 cos<p
femer
cosPR =
c
^2
Im rechtwinkligen Dreieck PRD ist aber ÄD = 90^ + ^i P2) = 900-d^,
also
stn^^ z= ^cos PR sin ^- ;
wenn man hier den obigen Werth von cos PH einsetzt, so erhält man
c
^n ^0 = — sintp tg -^ •
IV. Pig 7 sei BM^ 2n nnd Winkel PBM (wo wir uns den Parallel-
kreisbogen durch einen Grosskreisbogen ersetzt denken) i=m; im Dreieck
PBM ist PB = 90^—0 und LBPM^x-, halbirt man den Winkel t, so
entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, eines derselben liefert dann (wie in
II das Dreieck PZR) die Gleichungen
sinn = cosö$in-^y cotgm ^sinötg-^'
Im Dreieck BZM sei LZBM^O, femer ist BZi=90^+c, 51f=2n,
ZJlf=90^ also:
ige
tg2n
Im Dreieck BPZ ist LPBZ = m-Oy /*Z=90"-g>, /'P = 90«-a,
5Ze=90o + r, also
8inq)=^ ^sincsini +cosr cosd co8{fn-'0)'y
ebenso findet man die andere Polhöhe, wenn man m — o durch m + o ersetzt:
8in(p^ ^ — sine sind + cosc cosd cos{m + o).
V. In Pig. 8 ist im rechtwinkligen Dreieck PFDiFD = -^ i PD== 90"
-d, LFPD=^^ also
stn^ =
2 C05d
ferner
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Von Prof. H. Cbanz. 165
^_, sin 6
cos^
im rechtwinkligen Dreieck ZFF ist
also
somit
s%nfp^=i^stn-^cosP jP,
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Kleinere Mittheilungeiu
Xn. Die Auflösung grosser Zahlen in ihre Factoren.
Die Methode, grosse Zahlen in ihre Factoren zu zerlegen, welche ich
im Folgenden auseinandersetzen möchte, hat sich mir in allen Fällen, für
die ich sie benutzte, bis hinauf zu 2^ + 1 bewährt. Gerade diese Zahl,
deren Auflösung durch Herrn Landry mir seinerzeit nicht bekannt war,
hat die Veranlassung gegeben, die Methode, welche ich der Hauptsache
nach schon für Zahlen, wie 2*^ — 1, 2^ — 1 etc. angewandt hatte, weiter aus-
zubilden und zu einem gewissen Abschlüsse zu bringen. In der so gewon-
nenen Oestalt lege ich sie Tor.
Die Zahl, deren Factoren gefunden werden sollen, heisse N. Dann
setze man ». . .
Ist nun für eine Primzahl p
N=Q{p)
und Q ein quadratischer Best für p^ so dass
(o^^=q{p)
stattfindet, so lässt sich folgende Oleichung bilden:
N = »j* + (o + fl>i ) («> -" *»i) + ^•
Bezeichnet man das zweite und dritte Glied rechts zusammen durch h , so ist
5 = a)> -|- p — (ö^*.
Aber man hat
Q)« + r= q{p)
mithin & = w'* + 9 — (»i* = 0 (p).
Erweitert man noch die Wurzel coi in m^+py^ so ist
= a»+&
und & = 0(p).
Bestimmt man nun für die Primzahlen p von 2 an, für welche
(-~j = -|.] ist, bis zu einer durch die Grösse der Zahl zu bestimmenden
Grenze und ebenso für deren zweite Potenzen den Werth a>^ « so lassen sich
durch diese selbst oder durch deren Combinationen eine grössere Anzahl
einfacher binärer quadratischer Darstellungen der Zahl N bilden. Für Zahlen
bis zu 15 Stellen genügen durchweg die einschlägigen Primzahlen bis 97;
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Kleinere Mittheilungen. 167
bei der Primzahl 2 gehe ich bis zur zehnten Potenz, bei 3 bis zur sech-
sten und bei 5 bis zur vierten.
Es ergiebt sich nun, was folgt
Ist die Zahl N zusammengesetzt, so findet man bald entweder zwei
Darstellungen mit derselben Determinante und hiermit zwei Factoren, oder
es lassen sich durch Elimination gemeinschaftlicher Factoren verschiedener
Determinanten in mehr als zwei Darstellungen ein Paar bilden, wie
a^* + mc^* = fi JT, Oj* + «wCg* = vN,
die zu verschiedenen positiven oder negativen Wurzeln der Congruenz
Z^ = -'m{N) und demnach wieder zu der Bestimmung von zwei Factoren
fahren.
Ist dagegen N eine Primzahl, so gelangt man auch leicht zu solchen
Eliminationen ; diese ftlhren aber selbstredend stets zu derselben Wurzel + Z,
Zugleich bekundet sich der Umstand, dass man es mit einer Primzahl zu
thnn hat, einigermassen dadurch, dass eine Reihe von Determinanten auf-
tritt, die nur aus einem Factor bestehen, und etwa auch, dass mau mehr-
fach dieselbe Determinante J sowohl mit +* ^^^ ^^^ "^9 t^BO ^i = — 1 er-
hält. Um Gewissheit zu erlangen, sind die erhaltenen Determinanten meist
mehr als ausreichend, um die Primzahlen auszuschliessen, für welche sie keine
quadratischen Reste sind, die also als Divisoren nicht vorkommen können.
Für die Ausführung bemerke man, dass, wenn
» + (a),+py) = o
gesetzt wird,
Wi+py = ±(w-«)
und
» + (wi+i>y) oder ö— (©i + py) = 2a) — «,
also
JV=(iö --«)« + (2(0 -a)o + r
ist. Sei sodann
2» = ±2^(j,), r = y(p).
80 ist die Congruenz
(+2jS— a)a = — y(p) oder «» + 2jJtt = y (/;)
zu lOsen oder für
a=±ß + Z
2«-(ß«+y) = 0(p).
die Congruenz
Es ist aber
y =r (p)
mithin ß* + Y =»* + r = ^(p),
also, wie früher,
Z«-p = 0(p), d. h. 2 = 0),.
Da man ferner für ß nach der ersten Congruenz +_(^—pyi) setzen
kann, so ist
« = ±/5 + a>i = + (» -pyi) + »i = « + (»i +i>y)»
wie vorher.
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168 Kleinere Mittheilungen.
Die Fnndamentalgleichangen und Gongruenzen für die Methode sind
demnach
a = + ßi + »1 1
6
und auch
2^= (»-«)»+ (2w-a)a + r.
Für p=>2, 3, 5 sind, wie bereits erwähnt, noch höhere Potenzen mit
heranzuziehen.
Ist N nicht von der Form Sn+ly so modificiren sich diese, damit
der Factor 2" für & nicht verloren geht, insoweit, dass man setzt, wenn
z. B. N die Form 8« + 3 hat,
jy=3»« + f,
a>,«^?L+£^(p) und ^^^9^ip^U
fthnlich ftb- 8n + 5 und Sn + 1.
Es folgt hieraus, während das üebrige unverändert bleibt,
JV^=3(a-a)» + 3(2co-a)« + r etc.
Was nun die Auflösung der Gongruenzen
a),* = Pi(p) und o>j* = pg(j9«)
betrifft, so sind ja für die ersteren leicht Tafeln herzustellen; für die letz-
teren habe ich solche Tafeln bis zu 47^ angelegt, ausserdem auch für den
Modulus 2» bis 2^ 3^ bis 3* und 5^ bis 5*. In anderen Fällen ist folgen-
des Verfahren vielleicht am zweckmässigsten.
Ist nach der obigen Bezeichnung
N=gi{p) und =^,(p»),
so sei Q%^qp + Qt*
Aus (Oi^^Qiip) hat man »i^^^QoP + Qi*
Löst man nun bei einem gegebenen p für sämmtliche p| die Gongruenz
2ai.w = l(p)
und bestimmt ebenso zu jedem (t das zugehörige Po, so lassen sich für die
einzelnen p kleine Tafeln zusammenstellen mit vier senkrechten Golonnen,
welche nach der Beihe enthalten p^, «i, g^ und u.
Die Anwendung ist leicht. Man multiplicire (p— p^) mit u und be-
stimme zu dem Producte den, absolut genommen, kleinsten Best durch p,
er sei + ^; dann ist + d.p + <o, == cog. Zwei Beispiele mögen schliesslich
zur Erläuterung der Methode dienen.
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Kleinere Mittheilnngen. 169
Es sei j^^ ^ g,,^ j ^ 120259084289,
2V^= 346783»+ 635200, also » = 346783,
also setze man
J^=l(7) und jr=15(7«),
woraus
(0| ^ 1 , Wj ^ ö
folgi Femer
ans » = 3(7) und «=10(7»), ist/5i = 3 und /J,= 10,
« = 3 + 1 = 2 und 4 fttr 7, a=10 + 8 = 2 und 18 für 7»
oder erweitert
«r=7y + 2,4 und =7«y + 2, 18.
So findet man
« = 2»y + 0,2,4,6; 2«y + 0,6,8, 14; 2»y + 0. 14, 16, 30;
2«y + 0, 30, 32,62; 2^» + 30, 32. 94, 96; 2«» + 30, 32, 158. 160;
29y+ 158, 160, 414, 416; 2'Oy + 158, 160, 670, 672.
« = 5y + 0,l; 5»y + 0,16; 5»y+16,50; 5<y + 141,300.
« = 7y + 2,4; 7«y + 2,18;
= l]y + 2,3; ll«y + 47,68;
= 19y + l, 8; 19»y + 115,331;
= 31y + 5,29; 31»y + 60, 625;
= 37y+12,26; 37«y + 271,581 (1369);
= 47y+10, 24; 47»y + 762, 1387 (2209);
= 53y+12,49; 53»y + 261, 2291 (2809); .
= 67y + 2,47; 67»y+ 114, 2146 (4489);
= 71y + l, 37; 71«y + 3871, 4119 (6041);
= 97y + 45, 68; 97»y + 1911, 4798 (9409).
Ausserdem war 127 in einer Determinante mit aufgetreten und darum be-
nutzt worden, also
« = 127y + 49, 97 ; 127»y + 1748, 14400 (16129).
Für
a = 1950 (5y + 0 mit 37V + 581) ,
«=143432 (127»y+ 14400 mit lly + 3) und
a = -3836 (37«y + 271 mit lly + 3)
bekommt man
1) Ä-=344833» + 2. 7. 11.2960»
2) =203351»+ 7.106172»
3) =350619» -2. 11. 11026».
Aus 1) und 2) erhftlt man
1 1 . 832082029» - 2 . 150479740» = ,i iV
und hieraus in Verbindung mit 3)
»15045995048467+ 26380527979530} J5045995048467- 26380527979350}
= vN.
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170
Kleinere Mittheilungen.
Der grösste gemeinschaftliclie Factor der Di£fereiiz auf der linken Seite
and der Zahl N ist einer der gesuchten Factoren, nämlich 317306291; der
andere Factor, welcher sich aus der Summe ergeben muss, ist 397.
Für das zweite Beispiel diene die Zahl
N^ 2971215073 (die 48. Zahl der Lamö'schen Reihe 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8. ...)•
^® '** jy= 54608« + 93009, also a> = 54508,
und man hat ^ ^ ^^^^ _ ^^3 ^ (109016 - a) « + 93009.
Die Summe der beiden letzten Glieder heisse wieder h.
Man erhftlt dann unter Anderem:
für 1.
a= 59
6 = 2.17.37.72»,
» 2.
«= 4109
b= 2.3.7.3204»,
, 3.
a = - 1
5 = -2.3.23.29.2»,
, 4.
« = _ 387
» = -3.7.17.344»,
n 5.
« = - 831
» = -2.3.23.31.146»,
, 6.
« = _ 5987
6 = -2.7.97.712»,
, 7.
a« 93
b= 17.29.144»,
, 8.
« = - 7519
6 = -2.31.37.618».
, 9.
«= 1517
6= 2.7.17.828»,
„10.
a = 3323
b= 3.7.17.992»,
»11.
«= 3827
&= 3.7.29.43.124»,
»12.
«= 3311
6= 2.3.7.23.602»,
»13.
« = _ 7051
6 = -7. 10812»,
»14.
o= 15421
6= 7.31.37.424»,
»15.
« = -28707
6 = -2.7.23.3504»,
»16.
«= 31143
&= 2.3.43.3066»,
»".
a= 20561
6= 2.17.7314»,
»18.
« = - 5891
6 = -23.37.43.136»,
»19.
« = -13573
6 = -3.7.23. 1856»,
»20.
« = -11773
6 = -2.3.23.3204»,
„21.
«= 21801
6= 2.3.17802»,
,22.
«= 19
6= 7.556»,
„23.
«= 1983
6= 2.3.37.978»,
,24.
« = - 3187
6 = -2.3.7.31. 524»,
„25.
« = - 2441
6 = -2.23.53.334»,
„26.
« = - 2629
6 = -2.3.31.1256»,
„27.
« = - 99
» = -2.3.1336»,
„28.
« = - 5343
» = -2.7.37.1086»,
„29.
«= 28075
»= 2.7.17.37.508».
a) Aus 15) nnd 19) hat man
i«f =83215» -
-2.7.23.3504»
= 68081»-
-3.7.23.1856»,
»US ergiebt sich
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Kleinere Mittheilongen. 171
3.4969913»- 2.4826470« = 9259 JV'
und diese Darstellang fahrt zu der Congruenz
1670196456«= eCÄ-).
Diese letztere Congruenz erhält man auch aus der Darätellung
JV=54607»-2.3.1336«,
die ans 27. abgeleitet ist.
Solche Zusammenstellungen kann man aus den obigen Werthen mehrere
machen.
b) Ebenso leicht gewinnt man Darstellangen, deren Determinante nur
aus einer Primzahl besteht
c) In 4. und 10. sind die Determinanten +3.7.17 und —3.7.17,
„ 13. „ 22. „ „ „ +7 „ — 7,
„27. „ 21. „ „ „ +6 „ -6.
Die Zahl dieser Fälle lässt sich durch Elimination noch vermehren.
d) Mit Hilfe einer Anzahl der obigen Determinanten findet man, dass
keine Primzahl bis zu )/^ Divisor von iV^sein kann; die Zahl ist also eine
Primzahl.
Zum Schlüsse darf ich wohl noch auf zwei Erwägungen hinweisen,
welche bei dem erstmaligen Oebrauche der angegebenen Methode leicht
übersehen werden könnten.
Die eine dieser Erwägungen betrifft die approximative Bestimmung der
übrigen Factoren einer Determinante, wenn einzelne derselben bereits fest-
gestellt sind, um dann, wenn sich jene als zu gross erweisen sollten, von
der Fortführung der Rechnung abzusehen. Ein Beispiel möge zur Erläute-
rnng dienen.
Für
Ä'=481036337153 = (693567-a)«+(1387134-a)a + 1153664
hat man unter Anderem
a«7»y+41, =lly + 3, =2*3^ + 8.
Aus dem ersten Werthe ergiebt sich für y = — 1 speciell a = — 8, und die
beiden anderen Werthe liefern für die Determinante noch die Factoren 11
und 64.
Schätzt man jetzt (1384134 + 8).8: (11 .64.49) ab, so ergiebt sich als
ungefthres Resultat 1400 fUr die übrigen Factoren und als Quadratwurzel
hieraus 37. Sollte die Determinante also noch einen kleineren Factor haben,
so könnte dieser höchstens 37 sein. Zur Verftigung stehen jedoch nur
as=3 7|^+1,6 und =29^ + 16,29, die beide nicht zu gebrauchen sind.
Der letzte Factor wird also ungefähr 1400 sein und es ist darum von ihm
füglich abzusehen. In der That ist fftr a=3 — 8 der Werth von 6 = — 11
X 1153.28*.
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172 Kleinere Mittheilangen.
Aber damit ist nicht gesagt — und dies ist der Gregenstand der zwei-
ten Erwägung — , dass man auf solche grössere Factoren unter allen um-
ständen verzichten soll. Da man nämlich die entsprechenden Werthe von a
aus der Rechnung sofort entnehmen kann, so führt deren Prüfung in ein-
zelnen Fällen zu einem neuen Werthe für &, welcher in Verbindung mit
dem zuerst gefundenen die Elimination des einen grossen Factors gestattet
und zu einer brauchbaren Determinante führt. Z. B. : Für dieselbe Zahl N^
wie oben, hat man auch a = 59*^-f 2094 und aus der Combination mit
a==Uy + S ergiebt sich a = 9056, sowie &=:463.5192^ Da nun 9056
-259(463) und 2a) «1387134 = 449(463) ist, so hat man
a = 463y + 259 und « = 463y + 449 -259 oder =463^ + 190.
Und aus o » 190 bekommt man
6 = 7.11.29.463.16«.
Eliminirt man aus den Darstellungen, die den beiden Werthen von o
und b entsprechen, den Factor 463, so gelangt man zu
1) 450001673« - 7. 1 1 .29. 1369022« = 412269.-y.
Andeiweit war schon gefunden für er k-^ 10450 und a = — 448
2) 704017«- 2.7.29. 131 .524« - N
und
3) 694015«-2. 11. 131.464« =2^.
Aus 1) und 2) folgt
11.481907380687«-2.11.131.117900438326« = fi.J^
und in Verbindung mit 3) gelangt man zu einer Darstellung wie
ni«-fi« = v.J^,
aus welcher
^'= 166609.2887217
ist. Eine weitere Auflösung ist beiläufig gesagt unmöglich, da beide Fac>
toren Primzahlen sind.
Anhang.
Die TheUbarkeit des Binoms 2<*4-l.
Mit Hilfe der vorstehend angegebenen Methode konnte ich auch die
Untersuchung über die Zahlen von der Form 2«"+l weiter ausdehnen , als
es mir bis dahin möglich war, und ich erlaube mir, hierüber noch Einiges
zu berichten.
Im Jahre 1732 machte L. Euler die Mittheilung, dass die Zahl 2'«-{-l
oder 2«* + l durch 641 theilbar sei. (Observationes de theoremate quodam
Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus — Comm. Ac. PetropoL
T. VI.) Damit war in das Theorem Fermat's: „omnes numeros a hinario
quadratice in se ductos et unitate auetos semper numeros primos esse^, die
erste Bresche gelegt. Wie E. nachwies, müssen die Primzahlen, welche
Divisoren des Binoms 2" + l sind, die Form 2nx + l haben^ und so bot
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Kleinere Mittheilungen. 173
sich denn allerdings für 2^^+l s^lur bald ein solcher Factor dar. Auf einem
andern Wege gelangte später Beguelin zu ähnlichen Resultaten. (Appli-
cation de rAlgorithme exponenüel k la recherche des fieu^teurs des nombres
de la forme 2" + l. Nouv, Mem. de TAc. R. Berlin 1771) Während E.
nämlich Ton dem fertigen Binom ausgegangen war, um dessen Factoren zu
ermitteln, suchte Beg, die Form zweier Factoren f und F zu bestimmen,
deren Product ein Binom wie 2" + l sei, und zwar so, dass /"^O, a, «n
und JP= 0, a, X, m+p genommen wurde, d. h. /"= 1 + 2*+2'" und Fss 1
+ 2*+... 2*+ 2*+... 2^+1». Dabei glaubt er gefunden zu haben, dass
nur die Zahlen 2^<^ + l, 2^+1 und 2'* + l einen solchen Factor f hätten
und dass insbesondere für die Form 2** -|- 1 auch keine Factoren f mit mehr,
als drei Gliedern existirten. Mit anderen Worten, fUr ihn behielt das
Theorem von Format bis auf die einzige Ausnahme seine Oiltigkeit.
Nach dieser Zeit findet man wohl nirgend einen selbstständigen Ver-
such, um neue Fälle für die Theilbarkeit von 2**+l zu erhalten oder eine
Entscheidung in dieser Frage sonstwie herbeizuführen, bis in der neueren
Zeit V. Bouniakwsky die Congruenzen 2«"+ 1 =0(114689) und 2«"+l
= 0(167772161) veröflFentlichte , welche der russische Geistliche Pervou-
chine der kaiserl. Akademie in St. Petersburg eingesandt hatte. (Bulletin
de FAc Imp. St. P6tersbourg. 1878 u. 1879.) Fast gleichzeitig mit der
ersten dieser Yerofifentlichungen hatte auch E. Lucas die Congruenz 2''*+l
= 0(114689) als von ihm gefunden bekannt gegeben. (Atti de la Reale
Accademia di Torino, Vol. XIII.) Im Jahre 1880 theilte das Journal „Les
Mondes^ (IL S. T. VII) den Factor von 2®*+l mit, der von L and ry ge-
funden war, nämlich 274177, und ganz vor Kurzem fand ich die Congruenz
22»+ 1 = 0(2748779069441). Der Modulus ist 5.2»»+ 1.
Diese Congruenzen, einschliesslich der von Eule r gefundenen, gehören
nach der Art und Weise, wie sie gefunden wurden, zwei verschiedenen
Kategorien an. In die eine gehören 2^^ + ] und 2^^-|-l, in die andere
2«"+l, 2*"+l und 2*"+l. Um die Factoren zu finden , welche zu 2»« + 1
und 2^4~1 gehören, ging man von dem fertigen Binom aus. Wie Euler
verfahren hat, ist bereits angedeutet; ähnlich wird auch Landry zu Werke
gegangen sein, doch ist, soviel ich weiss. Näheres hierüber nicht bekannt.
Ich selbst fand für 2^ + 1 ebenfalls den oben angegebenen Factor auf fol-
gende Weise. Die Untersuchungen Beguelin's Hessen mich wenigstens
den Schluss machen , dass der kleinere Factor nicht gar zu gross sein könne ;
ich beschränkte daher meine Untersuchungen auf die Primzahlen der ersten
vier Hunderttausende. Mit Hilfe einer grösseren Anzahl von quadratischen
Besten für 2^+1* ^^^ ^<^^ gefunden hatte, reducirte ich die Primzahlen,
die noch als Divisoren in Frage kommen konnten , auf drei und hatte nun
leichte Arbeit.
Anders verhält es sich mit den Congruenzen der zweiten Kategorie.
Hier ist zunächst der Factor zu suchen, um von ihm aus zu dem Binom
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174 Kleinere Mittheilungeii.
zu gelangen. Für diesen Factor bieten sich sofort als einÜEM^hste Formen
5 22*'+i + l und 7.2««' + 1 dar; weiterhin könnte man noch 17.2»«'+»,
31.2»^ etc. berücksichtigen, wie ich es gethan habe. Es kommt dann in
erster Linie darauf an, dass diese Zahlen Primzahlen sind. Für 5.2»*+*
+ 1 hat man bis zu 5.2^ + 1 ausser 11, 41 und 641 noch 40961, 163841,
167772161 und 274877E069441 , entsprechend den Exponenten 13, 15, 25
und 39, welche dieser Bedingung genügen; für 7.2»*'+l sind Primzahlen
ausser 29 und 113 noch 114689, 734033, 46U762049. Von diesen führen
aber nur 167772161, 2748779069441 und 114689 zu Congruenzen, wie
2»"+l =0{p). Auch die Primzahlen, die ich unter den Zahlen 17.2»*'+ *,
31.2»*'+ 1 etc. fand, liessen sich nicht weiter verwenden.
Im Ganzen sind also jetzt von den Zahlen mit der Form 2^+1 als
zusammengesetzt bekannt
2»* +1=0(641), Euler;
2»* +1 =0(274177), Landry;
2»''+ 1=0(114689), \^ ,.
2»-+ 1 = 0(167772161), r^""^^*^^^^^
2»" + 1 = 0 (2748779069441) von mir.
Bremen. P. SeBLHOFF.
xm. Die nennte vollkommene ZahL
Unter vollkommenen Zahlen versteht man bekanntlich solche, für welche
die Theilersumme der Zahl selbst gleichkommt oder für welche die Divi-
sorensumme das Doppelte der Zahl ist. Bevor ich nun von der in der
Ueberschrift genannten Zahl im Besondern sprechen werde , erscheint es mir
zweckmässig, die Theorie der vollkommenen Zahlen überhaupt einer kurzen
Besprechung zu unterziehen.
Stellt man eine Zahl n in der Form a^lfit^,., dar, so ist ihre Divi-
^ (a«+i-^l)(y+i-l)(cy+i^l)...
sorensumme N= -. — -tttz — ,v/ .x — » iind die Gleichung,
(a-l)(6-l)(c-l)...
welche die vollkommenen Zahlen bestimmt, ist
1) jy=2n.
Dass eine einzelne Primzahl dieser Gleichung nicht genügen kann , liegt auf
der Hand. Ebenso wenig kann irgend eine Potenz einer Primzahl dies
leisten; deim sei z. B. n = fi^ und p eine Primzahl, so hat man aus 1)
P*+* — 1 «
und hieraus
2p«— p«+i oder />«(2— p)=:l, d. h. p = l.
Ist dagegen n das Product zweier einfachen Primzahlen pr, so ver-
wandelt sich die Gleichung 1) in
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Kleinere Mittheilmigen. 175
(/'+J)(^ + J) = 2|)r oder jor— p— r = l.
Addirt man beiderseits 1, -so entäteht
(p-l)(r-l) = 2,
also ist, da die Wnrzeln nur ganze Zahlen sein können, p — 1 = 1 und
r— 1=2 oder p = 2 und r = 3.
Die einfachste yoUkommene Zahl ist also 2.3 <= 6.
Hieran schliesst sich der Fall, dass die Zahl n das Product aus einer
einfachen Primzahl und der Potenz einer andern Primzahl ist, also n^r.p".
Man hat es dann mit der Gleichung
zu thnn. Ans ihr ergiebt sich
r(2-p)+p
oder, wenn 2+h ÜXr p gesetzt wird.
Ä;(l-r) + 2
Da der Nenner positiv sein muss, so ist ä; = 0 zu nehmen und es ist
r = 2* + * — 1. Die resultirende vollkommene Zahl ist demnach (2* + * — 1) . 2"
mit der Bedingung, das 2*+^ — 1 eine Primzahl ist.
Zu demselben Ergebniss gelangt man , wenn n das Product der Poten-
zen zweier Primzahlen ist, also n^=sjp^f^. Für diesen Fall ist
p-l r-1
und
= 2p^r^
r€+»(2-p)-2f«(l-i?)-p
Man sieht sofort, dass 2— 1) = 0 sein muss, wenn p^ eine ganze Zahl sein
soll, und es ist mithin
2* = -o3r— ö- oder 2«+i= ^ . =r +
2r€— 2 r€-l ^r*— 1
lann
9=1, also
r— 1
Hier muss dann wieder — — i- eine ganze Zahl sein, d. h. es ist f9 = r und
2*+^c=!lJ: = r+l und f = 2«+»-l.
r— 1
Die vollkommene Zahl ist also, wie vorher, 2''(2*+^ — 1).
Geht man weiter und setzt zunächst n=p.Cy wobei p eine Primzahl
und c irgend eine zusammengesetzte Zahl bezeichnet, so findet man, wenn
für die Divisorensumme von c die Bezeichnung C gewählt wird.
{p + l)C=2pc und hieraus -^ =
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176 Kleinere Mittheünngen.
Es mass also 2c :m =:/> + ! und C:m=j> sein, cL h. 2c und C haben als
2c
grössten gemeinschaftlichen Divisor m und der Bruch — muss nach der
Reduction durch diesen die Form annehmen. Dieser Forderung ge-
2«+*
nügt aber nur der Werth 2« für c; dann ist (7=2«+* — 1 und ,p^^,_^^
= ■ » woraus dann wieder p- 2*+* — 1 folgt; mau gelangt aUo auch
P
hier zu demselben Resultat, wie in beiden vorhergehenden Fällen.
In diesen Fall ist auch eingeschlossen, dass die Zahl n das Prodnct
von mehr als zwei einfachen Primzahlen ist; es bedarf mithin für die bezüg-
liche Annahme keiner besondern Untersuchung, und es bleibt nur noch
übrig, den Fall einer Erörterung zu unterziehen, in welchem die Zahl n
als das Product zweier zusammengesetzten Zahlen darstellbar ist, also
n=^a.c* Bezeichnet man die Divisorensummen von a und c mit A und C
und setzt Ä — a^g, C- c = hy so folgt
{a + g)[c+h) = 2ag
oder
und
und endlich
ac
(uj)(,+A)=.„,
(-+1)0+7)=^
a c a c
Die Forderung spitzt sich also auf Folgendes zu. Es sind zwei echte
Brüche zu finden, deren Zähler grösser als 1 ist, da ja a und c zusammen-
gesetzte Zahlen sein sollen. Die Summe dieser Brüche und ihres Productes
muss gleich 1 sein, und jede derselben muss das Yerhältniss der Differenz
zwischen Divisorensumme und einer Zahl zu der Zahl selbst darstellen. Die
Möglichkeit, diesen Bedingungen zu genügen, scheint wenigstens nicht aus-
geschlossen zu sein , wenn auch die bis jetzt bekannten vollkommenen Zahlen,
die einfachste, d. h. 6, mit eingeschlossen, sämmtlich an die Form 2^(2*+ *-l)
gebunden sind.
Was diese letzteren nun betrifft, so erwähnt sie schon Euklid, und
giebt an, wie sie zu finden sind. In den Werken späterer Mathematiker
trifft man vielfach Zusammenstellungen solcher Zahlen, theil weise auch zu
mystischen Zwecken. Aber diese Zusammenstelltmgen sind durchweg fehler-
haft. Theil weise enthalten sie Zahlen, in welchen der zweite Factor 2«+' — 1
nachweislich keine Primzahl ist, wie beispielsweise in der Arithmetica von
Nie. Tartaglia (Paris 1613), oder aber Zahlen, bei denen es offenbar
Nichts als Yermuthung ist, dass der Factor 2«+^ — 1 eine Primzahl sei,
wie die von Mersenne in seinen Cogitata physico • mathematica gegebenen
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^-
Kleinere Mittheilnngen. 177
2«''-l, 2*«^~1 und 2«^-.l. Auch der Petersburger Mathematiker G. W.
E rafft giebt in seinem Verzeichniss yon zehn vollkommenen Zahlen zwei
fabche an, nftmlich diejenigen mit dem Factor 2^^-^l und 2^^ — l. Für
diese beiden beruft er sich darauf, dass L. Euler ihm gelegentlich mit-
getheilt habe, es seien beide Zahlen Primzahlen. (Comm. Petrop. T. VII.)
Es hat jedoch 2**-l den Factor 13367 und 2*^-1 den Factor 2351, wie
zuerst von E. Lucas angegeben wurde. (Am. Joum. of Math. Vol. I, 1878.)
Euler selbst hat hiervon nichts erwähnt; wohl aber wies er nach, wie be-
kannt ist, dass 2"— 1 eine Primzahl ist, so dass 2*^.(2^*— 1) eine voll-
kommene Zahl ist. Sie ist die achte und grösste in der ganzen Reihe der
bis dahin bekannten, die vorhergehenden enthalten bezüglich den Primfactor
2»-l, 2»-l, 2^-1, 2^-1, 2^3-1, 2"-l, 2i»-l; die übrigen Binome
dieser Art bis zu 2^^— 1 sind keine Primzahlen, üeber diese Grenze hinaus
findet sich für 2^7-1 der Factor 223 und für 2«>-l bei Erafft der Fac-
tor 431 erwähnt, für 2*^— 1 gab Lucas an dem citirten Orte den Factor
69431 an und ich fand für 2^9-1 den Factor 179951. Da überall nur
Exponenten in Frage kommen können, die Primzahlen sind, so bietet also
die Folge von 2^ — 1 an aufwärts bis zu 2^—1 einschliesslich keine Prim-
zahl dar.
Dagegen ist ^=2^^ — 1 eine Primzahl. Ich fand dies, wie folgt.
Zunächst lässt sich 2«^— 1 auch schreiben 2.(2^> — 1, es ist also +2 De-
terminante oder quadratischer Best für jeden etwaigen Factor von N\ diese
Factoren können also nur von der Form 8n + l nnd 8n + 7 sein. Da nun
in allen übrigen Fällen, in welchen 2'^1 nachweislich zusammengesetzt
ist, der kleinere Factor die Form 8n+7 hat, und weil ausserdem für den
Fall dreier Factoren jeder diese Form haben könnte, so richtete sich die
Untersuchung zuerst auf derartige Factoren. Ich benutzte hierbei die Deter-
minanten -t-3.7, +13.31.59, +3.13.223, +5.47.223, -11.13.41.43.47,
+ 5.7.11.71.151, -7.73.227.251, -11.13.71.499 und +131.367, die
ich aus binären quadratischen Darstellungen von N entnahm, und konnte
constatiren, dass bis zu ^^ kein Divi<'or 8n + 7 existirt, dass also die Zahl
höchstens zwei Factoren, einen von der Form 8n + 7, den andern von der
Form 8n + l besitzen konnte. Ich vermuthete aber, dass sie überhaupt
nicht zusammengesetzt sei, und versuchte, ob etwa a^^^ = l{fnodN) sei.
Als a wählte ich 3 und ^—1 zerlegte ich in seine Factoren 1321.331
Xl51. 61. 41. 31. 25. 13. 11. 9.7.2. Zunächst bestimmte ich den Best Ä von
13^^^ für den modN^ dann von Ä^\ den Best B für denselben Modul
u. s. w. und es ergab sich zuletzt
j\ 3issi.88i.m.6i*ii.8i.s6a3.ii«7«9 ^ } (modN).
Es ist nämlich
3iMi = 787129 795740 558444,
^Mi =217998 394871 602223,
B»" = 150777 982738 043149, ^ ,
Z.it«elnin IKktkoMtlk n. Phyrik mi. S. D|2ized by VjOOglC
178 Kleinere Mittheilongen.
C" = 1 112024 330179 388289,
2>*i = -. 80608696386672208,
^« = - 568631149062601525,
F» = 347515 800658 063717 ,
0»» = - 410019352368443721,
H^i = - 1 165310 750493 918737 ,
J"= 1
für modN.
Bezeichnet man jetzt die beiden etwaigen Factoren von Nmii fnnd F
und den Exponenten in 1) mit ß^ so moss zunächst für F zugleich
a» = l (modF) und 3^-' = 1 (madF)
sein und es müsste entweder F^-l^ß sein oder, wenn sie yerschieden
sind, j3 in F— 1 oder endlich F^l in ß aufgehen. Bezeichnet aber F
speciell den fraglichen Factor von der Form 8n + l, so kann F— 1 nicht
in ß aufgehen, weil dies die Zahl 2 nur einmal als Factor enthftlt. F— 1
kann aber auch nicht gleich ß oder Fs=ß+l sein; denn dies erforderte
einen zweiten Factor <9, weil 9/3 + 1 = -^ ist, der nicht ezistirt; noch
weniger könnte /} in F— 1 aufgehen. Die Zahl
2^s= 2«! - 1 = 2305843009213693951
ist also eine Primzahl und demnach
2«>.(2«»-l)
die neunte vollkommene Zahl.*
Bremen, im April. P. Seelhoff.
UV. Heber die Inversion der von Legendre definirten vollständigen
elliptischen Integrale zweiter Oattnng flir ihre reellen Moduln.
Den unmittelbaren Anlass zur Aufstellung des Inversionsproblems für
die vollständigen elliptischen Integrale erster Gattung hatte, wie im Ein-
gänge unseres früheren Aufsatzes über diesen Gegenstand dargelegt wurde,
eine Entwickelung aus dem Gebiete der analytischen Mechanik gegeben;
es ist nun keineswegs schwer, auch solche Probleme zu bilden, deren Lösung
die Inversion der Integrale zweiter Gattung postulirt« Zu diesem Zwecke
bietet schon die bekannte Beziehung zur Ellij)se, welcher die „elliptischen*'
Integrale ihren Namen verdanken, einen ganz geeigneten Anknüpfungspunkt
und führt z. B. zur Formulirung folgender Aufgabe:
Auf einer Botationsmaschine sind die in der Experimentalphjsik ge-
bräuchlichen sogenannten i, Abplattungsringe'' aufgesteckt. Wir setzen
voraus , dieselben seien ursprünglich genau kreisförmig gewesen und hätten
* ich finde nirgends erwSlhnt und hebe es deshalb hier noch hervor, dass in
2*' — 1, 2**-l u. 8. w. bis 2**— 1 der zweite gr^Bsere Factor jedesmal eine Prim-
zahl igt
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Eleinere Hittheilangen. 179
infolge der Rotation (ohne aber ihre Peripherie auszudehnen) eine ellip-
tische Gestalt angenommen, wobei eine der beiden Azen um — ihrer
fi
früheren Lftnge vergrOssert worden sei: in welchem Verhaltniss hat sich
dann die andere Aze verkleinert?
Die Lösung ist in Kürze folgende. Aus dem Kreisquadranten r*-^
ist bei der Botation ein EUipsenquadrant geworden, dessen Bectification
bekanntlich das Resultat a,E{modk) ergiebt, wobei a die halbe grosse Aze
und h die numerische Ezcentricitfit bedeutet. Weil nun im gegebenen Falle
ist, so hat man die Gleichung:
r(n-i).i;(f«(Hlt)=r.{.
also:
und nun besteht der nfichste Schritt nothwendig darin, diese Gleichung für
k aufzulösen. Damit sind wir auf das Problem gestossen: das von Le-
gendre definirte* vollständige elliptische Integral zweiter Gattung für seinen
reellen Modul zu invertiren, und wollen zunächst dazu übergehen, die all-
gemeine Lösung dieses Problems zu entwickeln.
!• Inversion des Integrals E bei kleineren Wertken des Modnlas.
Die bekannte Reihe:
2
i;=/^,d,= |(i-Q)V-(,-yW-(^j5.--...}
0
(2E\
1 le=u und i?ssax die Form an:
1) .=.+Q'8^+(^»)'6..+(|^)'7^+...
und kann nun mit der Formel von Lagrange** invertirt werden; dann
erscheint das Quadrat des Modulus direct als Function von u.
Dankbarer ist indess die Methode der Limitation. Setzt man zur Ab-
und multiplicirt beiderseits mit o;, so erhält man zufolge Gleichung 1):
* Die Inversion des von Weierstrass definiiten vollständigen elUpt. Inte-
grals zweiter Gattung wird im Späteren noch besonders untersucht werden.
*• Vergl. diese Zeitschrift 1886, S. 38. ^^ j
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180 Kleinei» Mittheilangen.
Sei nun
1 j ist Und wenn weiter
gesetzt wird:
so fragt sich znnSchst, ob und in welchem Bereich die Convergenz der Reihe
Ij{x^ gesichert sei.
Nun findet man aber durch sehr naheliegende Orttnde, dass zu diesem
Zwecke der Werth von E grösser als \n bleiben muss. Da der grOsst-
möglichste Werth von E gleich -^ ist, so steht anter der Voranssetznng
3 w
•Q7t^E<-s i^i<^hts im Wege, die obigen Definitionen fortzusetzen und zn
schreiben: ^ ^
dann folgt der Beihe nach ans:
0<a;,
Z(0)<i(x). ^>^. *,>.>0,
X(«.)>i(«)>i(0). ^<^<^. 0<^<*<x. etc.
Schliessen wir nunmehr in ähnlicher Weise, wie es im dritten Abschnitt
der früheren Abhandlung ttber die Inversion der vollständigen elliptischen
Integrale erster Gattung geschehen ist, weiter, so ergiebt sich zuletzt das
Resultat:
^^ ^-^T^)' ^ = ^-
Die Näherungswerthe oscilliren, aber die Berechnung derselben ist unbe-
quem, weil die Reihe 2) schlecht convergirt. Es liegt daher nahe, fUr den
Zweck der Inversion des Integrals E^ ebenso wie früher bei Ä, die Hilfs-
grosse q in Dienst zu ziehen.
Jacobi giebt bezüglich des Integrals E u. a. die Gleichung:*
Nun ist identisch:
_jr 4li » . 1 i
daher Ifisst sich die Gleichung 4) auch aufschreiben in der Form:
• Pnnd. n. p. 186.
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Kleinere Hittheilungeo. 181
2K2K 2K2E .f « . « . 2?» . 2g» , 3«» . 3«»
5) ??.?£-2^2E^4|
l+3^1-fl^l+ff«^l-^ + l+g»"''l-g»+'
Subirahirfc man sie nmunebr von der folgenden:*
2K2K_ I2q 4^ Gq' \
80 ergiebt sieb:
2X 2E , .„f q* 2«* 3g« \
und wenn dieses Besnltat scUiesslich noch dividirt wird dnroh die Gleich-
™*^*-'* 2K '^ fl»— '
2jr
SO erbält man zwiscben den Grössen E und q die unmittelbare Relation:
n^*"
Nun kann man dnrcb Ansdividiren der Brttebe nnd Addition der Re-
sultate sowobl den Zäbler, als aucb den Nenner sebr leicbt in eine Reibe
entwickeln« Für den Nenner ist übrigens das Gesetz, nacb welcbem die
Glieder aufeinander folgen, von Jacobi ausgedrückt worden durcb die
Formel: qj^^
n
wobei „n numeruB in^par, cuius fadares prim omnes formam 4a + 1 hdbeni,
^(n) mmerus faäomm ipsms n; 1 ,m num^ omnes a 0 utf^tie ad oc''.***
Diese Formel ist aber nicbt correct; aus ihr Iftsst sieb eine gewisse
Classe von Gliedern, die in der Reibe tbatsScblicb vorkommen, z. B. q^\
2.q^^'^ etc.) gar nicbt ableiten. In der von Borcbardt besorgten Aus-
gabe der „Gesammelten Werke Jacobi's^ ist dieser Irrtbum aber scbon be-
ricbtigt worden. Dort beisst es nftmlicb:t „Porro sü m numertis impar,
cuüMS faäores primi omnes formam 4a— 1, n numerus mpar, cuius faäores
primi omnes formam 4a + 1 hahent, ^(n) numerus factorum ipsius n, l nu-
merus quicunque a 0 usque ad od: oUinemus
Ott
— «l + 4Zt(^(n)q«'-«'».«
n
* Gebildet aus Fond, n p. 103 Nr. 8.
•• Fund. n. p. 108 Nr. 4.
*♦ Ibid. p. 105.
tBd.Ip.l61u.l». ronoTp
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182 Kleinere Mittheiiungen.
Es bleibt also nur noch fOr den Zähler das OeBetz zu finden, nach
welchem die Reihe fortschreitet. Dasselbe kann einfach folgendermassen
formnlirt werden:
H-8^Vl)"+' • 1?^. = 1+8^
|X(P)-S(P)|4«',
wobei x(p) die Samine aller nngeraden, |(p) die Summe aller geraden
Factoren bedeutet, welche in p enthalten sind.*
Wir haben also:
2E l+8^{x(j>)-|(p)}g'»'
l + 8g«-8g«-32g<»-40g«+48g»»-32g"+64g"-104»'«+104g'8-48g*'+...
l + 4g+4g» + 42* + 8a6 + 4a8 + 8g"»+8g" + 4g« + 8}" + 4g«' + 8g*+../
Durch AnsfOhmng der Division findet man hieraus:
g-5g»+16a»-41g*+9856-2243« |
+ 480g»- 977 3« + 1946a» -37583'« + 7068g» [•
l-13024g" + 23602g"-41640g«*+72576g«s-+)
6) ?5=i_4
Setzt man nnn:
K'-^^=«
und invertirt nach Lagrange, so findet sich:
8) g = u+5tt« + 34tt« + 266i«*+2260i«5 + 19992tt« + ...
und diese Reihe ist in der That brauchbai* für alle Werthe des Integrals E^
n
welche von seiner oberen Orenze -^ nicht zu w^t entfernt sind.
Wählen wir z. B. aus Tafel VIII in Legendre's Trait6 des Fonct.
Ellipt. etwa den Werth E=^ 1,4674662, so findet sich dabei angegeben der
Modolns h=s8in30^* Nun ist aber für den genannten Betrag von E die
Grösse uc= 0,01644617, und hiernach aus der invertirten Reihe 8): 9 =
0,0179727, woraus mit Hufe der Formeln l^=^\'Z J^ J.'T'" «nd
^_^ ^ 1 + 2^ + 22^ + . .
& = j/l-(Är)« sich aU Resultat ergiebt:
Ä«w«30<»0'0,08".
Nehmen wir aber die Mittelwerthe für E und "k an, nämlich:
-E;= 1,3506439, Ä; = sm45o,
so ergiebt die Rechnung: u = 0,03530835 , und nun zeigt sich, dass die
Reihe 8) uns im Stiche lässt Wir gehen daher zur Limitation über und
setzen zufolge 6) und 7):
* Die Differenz 2(1') — £(l>) stimmt überein mit dem negativen Werthe der
von Geh. Rath Lipschitz (Comptes rendus, 1886, p. 846) unter der Bezeich-
nung 2(m) behandelten Function. ^ j
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Kleinere Hitiheilangen. 183
9) u = 3(l-5« + 16g«-41j» + ...) = a.l>(9);
^^m '^'^m '^^m '*"•'
dann iSsst sich wieder ganz in der früheren Weise ableiten:
Die Bechnnng ergiebt:
^,=0,035, g^ =0,043211,
^, = 0,041, g^ =0,0432134,
^3 = 0,0429, g^ = 0,0432138,
g^ = 0,0431, g^ = 0,0432139,
g^ = 0,043199, ^,0= 0,0432139,
und hieraus:
Ä = «n45«0'0,48''.
Für alle Werihe des Modulns, welche kleiner als 5in45^ sind, führt
die gegenwärtige Methode natürlich rascher zum Ziele, allein auch noch
jenseits dieser Grenze bleibt sie anwendbar; z.B. für £=1,1 ergiebt sich:
^1 = 0,074,
g^ = 0,016, g^ = 0,1436118,
^,1 = 0,1436118;
;k = w»72n'31,07^
II. Intersion des Integrals E für grSssere Werthe des Modalas dvreh
Tenulttelujig tob gf.
Nachdem im Vorigen von -^ an abwärts bis in die Nähe der unteren
Grenze des Integrals £, welche bekanntlich durch die Einheit bezeichnet
wird, die Inversion geleistet ist, bleibt nur noch das kleine Intervall:
i<i?<i.i
zu behandeln übrig. Obschon die Möglichkeit nicht ausgeschlossen ist, dass
auch innerhalb dieses Gebietes noch die zuletzt erOi*terte Methode anwend-
bar bleibt, so muss die Rechnung doch eine so langwierige werden, dass
man lieber davon Abstand nehmen und — wie das auch schon bei der
Inversion des Integrals K geschehen ist — nach einem Mittel suchen wird,
um statt der Grösse q die complementäre Grösse q zu berechnen. Man
wird also zunächst dahin streben müssen, eine unmittelbare Relation
zwischen E iind q herzustellen.
Zu diesem Zwecke gehen wir aus von der bekannten Legendre^schen
Gleichung, welche in der bisher von uns benutzten Bezeichnungsweise heisst:
U) , K'(E^K) + KE'=>j'
Sodann greifen wir zurück auf die im vorigen Abschnitt benutzte Gleichung:
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1
184 Eleinere Mittheilnngen.
2K 2K 2K 2E '\l ng»
» ff n n ^^, 1 — 0*"
und multipliciren beiderseits mit -* jt^> so kommt:
» = go
^-'-Ä«2i^.-
Substitairt man diesen Werth in II), so ergiebt sich:
12) i?'= ^^
2^
n
Weil aber, wie schon mehrfach erwShnt,
,jl+2jV)'~.+4^"(-.)-*'l^,
ist, so bleibt} nm E vollständig als Function von q auszudrücken, in der
nK'
Gleichung 12) nur noch die Orösse — =- zu eliminiren übrig.
Nun ist bekanntlich: ^k' ^ r,*
g = e * , 109- = -^'
Setzen wir diesen Werth in Gleichung 12) ein, so ist eine directe Beziehung
zwischen E' und q hergestellt, und zwar:
JL ^ — i
wofür wir natürlich auch schreiben können
lf=r(S
1
13) £«=
reiben können:
l + 4^(_l).-.t_^__
Bezüglich der Beihenentwickelung ist nunmehr im Nenner wiederum
die im vorigen Abschnitte angegebene Formel von Borchardt einzusetzen.
Was aber die im ZShler enthaltene Summe ^ ^ ^ »« betrifft, so kann
_, , , *=i
man Folgendes erwägen. ^ j
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Kleinere Mittheilungen. 185
Wird irgend einer der in dieser Summe enthaltenen Brüche in eine
Reihe entwickelt, so ergiebt sich allgemein:
^ «=0
wasop ,
Demnach kann bei der Darstellung von ^> = — =-7,^ eine bestimmte Potenz
q^ offenbar nur vorkommen in der Entwickelung des Bruches ^ ^ ,^^ und
in den Entwickelungen der früheren; niemals aber in denen der späteren
Brüche.
Nehmen wir einen der früheren Brüche, etwa den (X:— u)^ so kommt
bei ihm die Potenz 2'* nur dann vor, wenn Ä sich auf die Form (2a + l)(Ä— u)
bringen lässt, wobei a eine beliebige ganze Zahl bedeutet, und in diesem
Ä
Falle hat g* den Factor (Ä— w) oder q-jTT* Wir dürfen daher den voll-
ständigen Coefficienten von q^ mit ^^J (~) bezeichnen, wobei r alle un-
geraden Factoren durchläuft, welche in der Zahl Ä; enthalten sind. Demnach
wäre ^, ^ /,>. = y, ^\ — ]9'^' Dieselbe Summe könnte auch mit
^n%y^{n)q^ bezeichnet werden, wobei Xi(^) <^^® Summe der reciproken
Werthe aller in n enthaltenen ungeraden Divisoren bedeutet. Allein es
ist gar nicht nOthig, an dieser Stelle eine neue Function einzuftLhren , da
die früheren Functionen %{fC) oder tf;(fi) für den vorliegenden Zweck völlig
ausreichen. Man findet nämlich leicht:
wobei einerseits n alle ganzen Zahlen von 1 bis 00 zu durchlaufen hat und s
den grössten ungeraden Factor bedeutet, der in n enthalten ist, während
andererseits l alle positiven ganzen Zahlen von der Null an, und p alle
ungeraden positiven Zahlen durchläuft. Bei Benutzung der letzteren Dar-
stellung geht die Formel 13) über in die folgende:
^^ 1 +4 2;t(;(fi)g «'•«••«
oder
\ + 4g'logl£2'n'{p).q'^'P'''
i4\ ^j_ ?
^ 1 + 4 2;i|;(«) (?'«'•"••»
imd hieraus entwickelt sich auf einfache Weise:
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186 Kleinere Mitiheilungen.
. . t{-E(l + 4^»(n)g""''-)-l}
lO) q= T »
statt deren zur Abkttnnng gesetzt werden soll:
Auf Grund dieser Gleichung können wir jetzt die Inversion durch das
Limitationsverfahren zur Ausführung bringen.
Der Beweis, dass die Limitation im vorliegenden Falle überhaupt zum
Ziele führt, wird etwas erschwert durch den aus Gleichung 15) sofort er-
sichtlichen Umstand I dass keiner der beiden Grenzwerthe 0 und 1, welche
die GrOsse q' haben kann, einen geeigneten Ausgangspunkt ftlr das Ver-
fahren darbietet. Wir müssen also zwischen 0 und 1 einen beliebigen Werth
auswählen, den wir mit q^ bezeichnen, und der entweder grösser oder kleiner
sein kann, als der gesuchte Werth q'.
Angenommen erstens q'o^q'.
Setzt man dann definirend:
q\^L{E,q\),
so sind zunächst zwei für die folgende Betrachtung durchaus wesentliche
Fragen zu beantworten, nämlich einerseits, ob q\ kleiner oder grösser als
q\ andererseits, ob g\ kleiner oder grösser als ^q ^^^ wird.
Um die erstere zur Entscheidung zu bringen, entwickeln wir in Gleich-
ung 15) die Summen in ihren ersten Gliedern, wobei sich ergiebt:
16) ,'= mi + 4a+4,''+4,-+...)-U ^^^^^^^^
foy4(l + 2g + 43', + 42'»+63'« + ...)
und bilden nun den partiellen Differentialquotienten ^-71 wobei wir E als
constant ansehen. Derselbe ist gleich einem Bruche, dessen Nenner
|%-T(l + 2/+2g'* + 4/* + ...)| heissen wird, also jedenfalls positiv
ist. Der Zähler des Differentialquotienten enthält zunächst ein positives
Glied, entstanden durch Multiplication des Nenners von 16) mit dem Dif-
ferentialquotienten des Zählers von 16). Abgesehen von dem Factor ^,
heisst dieses Glied:
Elog\{l + 2q'+Aq'*+...){4 + Sq+lQq'+...).
Sodann hat der Zähler des gesuchten Differentialquotienten ein negatives
Glied; entstanden aus der Multiplication des Zählers von 16) mit dem Dif-
ferentialquotienten des bez. Nenners. Dieses Glied lautet:
-\E{l + 4q+4q*+...)-\\{-^(l + 2q'+iq'*+...)
+ log^{2 + Sq+\2q'+...)y
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Kleinere Mittheilangen, 187
Löst man diese Klammem auf, so kommen aus denselben wieder zwei
positive Glieder zum Vorschein, nämlich:
and zwei Glieder bleiben negativ, nSmlich:
-Elog\i2 + 8q + l2q*+...)H + 4q+4q* + ...).
Sondert man nnn einerseits Eloff-n andererseits — (l + 2g'+4</'*+-. )
als Factor ab, so kann man dem Zfthler des Differentialquotienten ^-> die
dq
Form geben:
7!^vu,ii 4+8«'+16s'» + ... + 8/+16j'» + ... + 16?'»+16/»+...|
^'^q' \-2-8q'-l2q'*-...-Sq'-S2q'*-...-8q>-32q'»-... |
+ log^(2+8q'+12q'+...)
+ i.{l + 2q'+4q» + ...)\E0+4q' + Aq*+...)-l\.
Das zweite Glied ist stets positiv, das dritte ebenfalls, weil ja bei allen
in Betracht kommenden Fällen £f^l ist. Das erste Glied iSsst sich, da
in demselben die Terme mit q' sich gegenseitig aufheben, in die Form
bringen : i
E.log nr {2 + q'*.X-q '.,,),
wobei unter A und fc Functionen von q' verstanden sind , welche die Eigen-
schaft haben, mit q' zugleich stetig abzunehmen und sich dabei entweder
der Null, oder irgend einem positiven, festen Grenzwerthe zu nähern.
Demnach wäre es wohl möglich , dass auch dieses erste Glied für alle
Werthe von q' positiv ausfallen, dass mithin der ganze Differentialquotient
o jr
:r-7 stets positiv sein könnte; unmöglich aber kann dieser Differentialquo-
dq
tient stets negativ sein; denn abgesehen von dem stets positiven zweiten
und dritten Gliede, muss ja für einen gewissen kleinen Werth von q' das
Glied q'*.fi jedenfalls unter die Grösse 2 herabsinken, und dann muss für
diesen und alle noch kleineren Werthe von q' der ganze Differen-
tialquotient positiv sein. Auf diesen nothwendig existirenden Bereich schrän-
ken wir nunmehr unsere Betrachtung über die Grösse q' ein.
ri T
In dem ganzen Gebiet, wo ^->>0 ist, muss L mit q' zugleich zu-
öq
und abnehmen, mithin folgt aus unserer früheren Annahme:
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188 Kleinere Mittheilangen.
ist, wenn "E beide Male denselben Werih hat, oder, was ganz dasselbe be-
sagt, es folgt: , ^ ,
und damit ist die erste der beiden vorbin gestellten Fragen entschieden. —
Bezeichnen wir jetzt denjenigen Werth von ^, welcher entsteht, wenn
man in der Gleichung 14) statt q überall q^ einsetzt, mit £^, so geht die
Gleichung 15) über in die Form:
Um mm zunächst das Verh<niss zwischen £ und JS'q festzustellen,
muss daran erinnert werden, dass, wenn der Modulus h wächst, die Grösse
q ebenfalls wächst, das Integral JEJ aber zugleich ununterbrochen abnimmt
Dem Wachsen des Modulus A; entspricht eine Abnahme des complementären
Modulus Ä;\ sowie auch eine Abnahme der complementären HilfsgrOsse q\
es nehmen also Ü^ ^ und E gleichzeitig ab. Weil nun q'^ < /, so ist auch
E^<E.
Durch den Augenschein überzeugt man sich aber sofort, dass die
»0
bei constantem q\ mit E zugleich zu- und abnehmen muss. Weil daher
Eq<.E, so ist auch:
i(^o.2'o)<i(^,2'o)
oder, was dasselbe ist:
Hierdurch ist auch die zweite unserer obigen Fragen entschieden , und man
hat denmach die Relation:
Damit ist für alles Folgende Bahn gebrochen. Denn gehen wir weiter und
q% = HE,q^)^
so wiederholt sich die vorige Betrachtung ganz in gleicher Weise und liefert
das Resultat: ' ^ ' ^ ' ^ »
9o<9i<9%<9^
So kann man nun beliebig weit fortschreiten, wenn man nur nicht
o r
über die Grenze hinweggeht, wo ^-7 etwa aufhOrt, einen positiven Werth
dq
zu haben, unter diesem Vorbehalt ist die Approximation eine ganz un-
unterbrochene, beliebig enge, und wir können schreiben:
18) q'^limL{E,q\y
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Kleinere MitÜieilangen. 189
Nun war aber die gegenwBrtige Erörterung basirt auf die besondere
Voraussetzung q\<q. Setzen wir daher zweitens den Fall q\<,q. Dann
o r
folgt aus ö~>>0, dass:
L{E,q\)>L{E,q\ also q\>q\
Femer folgt, dass Eq>E^ also auch
L{E^,q'^>L{E,q\), mithin q\> q\,
und man hat:
Setzt man wiederum weiter:
80 ergiebt sich aus denselben Gründen:
^'^^\>9\>q
und 80 fort:
9\>q\>q\ '">q'n>q'
Es nähert sich also auch in diesem Falle jeder folgende Werth dem gesuch-
ten, und zwar von oben, immer mehr und mehr, und das Schlussresultat
ist wieder dasselbe: , ,. ,,__ , ^
q ^lmL{E,qn).
Damit ist die Aufgabe gelöst, aus einem vollständigen elliptischen Integral
E^ dessen Werth zu klein ist, als dass nach der früheren Methode q dar-
aus leicht bestimmt werden könnte, statt dessen die complementSre Grösse
q' zu ermitteln. Da aber vorhin ausdrücklich vorausgesetzt wurde, dass
die ganze Erörterung nur gelten solle für einen gewissen Bereich, inner-
halb dessen q' nur kleine Werthe annehmen darf, so muss nunmehr unter-
sucht werden, ob dieser Bereich sich auch wirklich über das ganze am
Anfang dieses Abschnittes bezeichnete Intervall:
ausdehnt oder nicht.
Nehmen wir also die obere Grenze desselben: £=1,1, und versuchen,
uns dem gewünschten Werthe q zunächst von unten her zu nähern, indem
wir ftir /o eine kleinere Grösse annehmen, als der muthmassliche Werth
von q betragen wird. Dass die Null hierzu ungeeignet ist, haben wir vor-
hin schon erwähnt; wir gehen daher von dem kleinsten Werthe aus, den
wir mit siebenstelligen Tafeln noch controliren können, und setzen:
^'0 = 0,0000001.
Dann ergiebt die Rechnung folgende Besultate:
/, = 0,002,
q\ = 0,004, /„ = 0,0061838 ,
?', = 0,0052, ?'„== 0,0061839,
«'„ = 0,0061839,
und hierans:
fc = ««72<>7'31,47'', ^ ,
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190 Kleinere Mitiheilungen.
ein Resultat, welches mit dem im vorigen Abschnitt fOr den Modnlus desselben
Integrals E auf einem andern Wege ermittelten Werthe genügend übereinstimmt
Hiermit ist der Beweis erbracht, dass die Brauchbarkeit der zuletzt
definirten Function L{E^q^ sich thatsächlich bis zu der Grenze ^=1,1
erstreckt, dass also die im ersten Abschnitt noch übrig gelassene Lücke
durch die vorstehende Methode vollkommen ausgefüllt ist In Wirklichkeit
erstreckt sich der Spielraum für die letztere aber noch bedeutend weiter,
und zwar, wie leicht nachzuweisen, mindestens bis in die Mitte des ganzen
zulässigen Intervalls von h = smO bis k = sin90^. Denn setzen wir etwa
A;s=5in45^, so hat man k = h\ q^q\ und da bekanntlich {(^9. 2o^ 9' =>n^,
so ergiebt sich leicht 5^ = ^'= 0,0432139.
Wenn wir uns nun für JE? = 1,1 dem gesuchten Werthe q einmal von
oben her nähern wollen, indem wir setzen ^'9^= 0,0432 139, so ergiebt sich
folgende Rechnung:
/, = 0,021,
q\ = 0,012, q\^ == 0,0061840,
q\ = 0,008 , /18 = 0,0061839 ,
^'14 = 0,0061839,
was mit dem vorhin gefundenen Werthe von q' übereinstimmt.
Wäre E grösser gewählt worden als 1,1 , so würde naturgemäss die
Zahl der erforderlichen Näherungswerthe eine geringere gewesen sein. Wir
dürfen daher als Ergebniss unserer Untersuchung über die Inversion des
von Legendre definirten vollständigen elliptischen Integrals zweiter Gat-
tung für seinen reellen Modulus dies hinstellen, dass in dem Intervall, wo
dieser Modulus sich zwischen Null und sm4S)^ bewegt, die Formel 10) des
ersten Abschnittes zur Berechnung von 9, in dem Intervall von m45^ bis
1 die im gegenwärtigen Abschnitte entwickelte Methode zur Berechnung
von q bequemer zum Ziele führt. In einem kleinen Gebiete von Null bis
zu etwa 5in30^ wird die erstere aber noch übertroffen durch die nach
Lagrange invertirte Reihe 8).
Auf Grund der bisherigen Entwickelungen sind wir nunmehr in der Lage,
das in der Einleitung aufgestellte Problem zur vollständigen Lösung führen
zu können.
Der Werth des Integrals E^ und damit also auch die Auswahl unter
den vorhin angegebenen Lösungsmitteln ist von dem Werthe der gegebenen
Grösse n abhängig. Nehmen wir als solchen etwa die Zahl 20, so ist
J57=^^.« = 1,496 ..., und nun kann die Inversion schon durch die Reihe
8) geleistet werden. Man hat dabei zu setzen:
1 A 2E\ 1
^=4V-irJ=84'
und die Rechnung ergiebt zunächst 9 = 0,0126767. Hieraus müsste Ä;, die
numerische Excentricität der 'Ellipse, ermittelt werden; allein infolge der
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Kleinere Mittheilungen. 191
bekannten Gleichnng 1^ = 1~ hat man für die Hälfte der als Endresultat
gesuchten kleineren Axe schon sofort:
sich rasch:
Jfc'= 0,9036396, 6 = r. 0,9487 166.
WSre der Fall angenommen worden, dass die eine Axe des rotirenden
Ringes sich um ein Zehntel ihrer Länge vergrössert hätte, so wäre die
Reihe 8) schon nicht mehr anwendbar gewesen zur Ermittelung von q.
Man hätte die Limitation nach 10) vornehmen müssen und konnte dabei
entweder von der Null oder von dem Mittel werthe ^o ^^ 0,0432139, oder von
einem beliebigen zwischenli^enden, aus irgendwelchen Gründen als muth-
masslich richtiger erscheinenden Anfangswerthe ausgehen. In allen Fällen
gelangt man zu dem Resultate:
^ = 0,0257973, Ä'«0,8I33757, & = r. 8947133.
Bonn. Dr. C. Isenkrahb.
XV. üeber die Abstände dreier Punkte von einer Geraden.
Als Gorrelat der auf S. 64 des lauf. Jahrg. gemachten Bemerkung lässt
sich folgende Frage stellen : Wie muss eine Gerade gelegen sein , damit die
von den Ecken eines Dreiecks ABC auf dieselbe gefällten Lothe u, r, ir
die Seiten eines Dreiecks bilden?
Man kann sich zunächst auf solche Gerade beschränken, die das Drei-
eck ^^C7 nicht schneiden; alsdann ist u+t^ + f^ stets >0. Die Gleichungen
— tt + t? + t(; = 0, tt — t; + t(; = 0, u + v — fr = 0
stellen die Ecken D, £7, F eines Dreie<^ks dar, dessen Seiten durch A^ B^ C
parallel zu BG, CA, AB gezogen sind.
Wenn die Gerade uvw das Dreieck DEF nicht schneidet und von B
Tim d, von E und F, also auch Ay B^ C um mehr entfernt ist, so hat
eine durch J) gelegte Parallele die Coordinaten m — ä, t; — ä, I£^ — ä, und
ea ist
-(M-Ä) + (t;-Ä) + (fr-Ä) = 0,
also
— u + v + w^S.
Hieraus folgt
ti — t; + w = 2«? — d, tt + t7 — «? = 2t? — Ä.
Mithin sind die Ausdrücke —u + v + Wy u — v + w, u + v — w positiv, und
ans UyVyW ein Dreieck construirbar.
Wenn uvw das Dreieck BEF schneidet, ABC aber nicht, so liegt
eine Ecke, z. B. 2>, auf einer Seite von uvw, während EFABC aufgier ^
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'^---■•^WJ
192 Kleinere Mitiheünngeii.
andern liegen« Ist uvuf von D nm 5 entfernt , so hat die durch Dznuvw
gezogene Parallele die Coordinaten u + <t, t^ + ^'t uf+6*^ folglich ist
-{u+8) + {v + 8) + {w + if)^0, ^u+v + fa = ^8.
Da^nn
u — v + w = 2w + öf u + t; — w = 2© + Ä,
so folgt, dass (br jede Gerade, welche DEF schneidet, nicht aber ABC^
das Dreieck nicht constrairbar ist.
Es ist nicht schwer, zn entscheiden, wie es sich mit den Geraden ver-
hält, die ^JBC7 schneiden; man hat nnr auf die nOthigen Vorzeichen&nde-
rungen zu achten.
Dresden. Prof. Dr. R. Hbobr.
XVL Erklämng.
Die etwas unklare Fassung einer Stelle der historischen Einleitung
meiner Arbeit, S. 66 dieses Bandes, veranlasst mich zu der ErklSmng, dass
die Auflösung vermöge der Relation l + tg*u=^8e(^u oder der damit iden-
tischen lO^ssl + lO"*, sammt den fertigen Formeln für den Fall der qua-
trinomischen Gleichungen, meinem Vater im Manuscripte und durch dessen
Vermittelung mir selbst von Herrn Prof. Gundeifinger zuerst mitgetheilt
worden ist.
Darmstadt, Mai 1886. Alfred Wibnbr,
StncU elektzoteoha.
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'•*tA^*^^.
Zeitschrift
für
Mathematik und Physik
herausgegebeni
unter der verantwortlichen Redaction
' von
Dr. O. Schlömüch, Dr. E. KaM
und
Dr, M. Cantor.
31. Jahrgang. 4. Heft.
Mit einer lithographirten Tafel.
Ausgegeben am 23. August 1886.
Leipzig,
Verlag von B. G. Teubner.
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bem ftrebfamen Anfänger ein SSegtüeifcr für einen fru(^tbringenbcn Unterri^t im mot^e^
matij(^en Se^rfadi bieten. — 2)a ein berartigeg SBerf in unfcrer matl^ematifd^en ©d^ul-
litteratur nod^ nic^t tjorl^anbcn ift, fo toirb tjorlicgenbcr SSerfud^ für ollic Bctctltgtcn
ge^retfreife öon gntcrcffc unb ouc^ augetbcm gYeitittien niUi Stniiteren^ctt Her gic»
mentttr»a»ättcmatif^ 3. 83. butd^ bie 5Qt)Irei(^enS3itteraturs9Jac§ weife, öon »tu^cn fein,
»erlin. i5. (Brolel^cr SSerlaa.
XL
Die Eneugung polarer Elemente für Flächen und Curven
durch die projectivische Verallgemeinerung des Schwer-
punktes.
Von
Dr. L. Geisenheiher,
Bergicbnl-IHTectoT In Tarnowits, O.-Sohl.
Hierza Taf. III Fig. 1 u. 2.
In folgender Arbeit sollen mehrere von Newton, Cotes, Mac-Laa-
rin and Chasles gegebene Sätze über die Beziehungen zwischen einem
Punkte und seiner Polargeraden (Polarebene) für ebene Curven und Flttchen,
wie die redproken Sätze synthetisch aus den einfachsten Gesetzen des Schwer-
punktes hergeleitet und erweitert werden. Insbesondere wird nachgewiesen
werden, dass auch für jede algebraische Baumcurve polare Beziehungen
zwischen linearen Elementen stattfinden und für jede derartige Curve ein
Mittelpunkt im Chasles'schen Sinne als polares Element der unendlich
fernen Ebene ezistirt. Die so erhaltenen allgemeinen Sätze werden schliess-
lich zur Aufstellung mehrfacher neuer Beziehungen für die Raumcurven
dritter Ordnung verwandt werden.
§1.
In Fig. 1 seien Je und Je zwei sich entsprechende, zur CoUineationsaze
parallele Strecken in zwei perspeetivischen ebenen Systemen £ und 2\ Die
parallel zu einer bestimmten Richtung gemessenen Abstände dieser Strecken
vom Collineationscentrum 0 seien x und x\ die parallel gemessene Ent-
fernung der Collineationsaxe von 0 sei 2, die der ersten Gegenaxe g sei c.
Die zweite Qegenaxe ist mit g' bezeichnet.
Nach bekanntem Satze über die Gegenpunkte in projectivischen Punkt-
reihen ergiebt sich die Gleichung:
(«-c)(ä'-« + c) = {Z^c)c,
woraus folgt:
1) *'= t:^.
X X — c
ZeitMbfflft f. Matli«matik n. Physik XXXI, 4. 18)igitized by V:iOOQIC
194 Die Erzeugung polarer Elemente für Flächen u. Curven etc.
I
I l—c und x—c bedeuten die Entfernungen der CoUineationsaxe und der
' Strecke k von der ersten Gegenaxe g. Somit findet sich:
I Das Verliftltniss zweier zur CoUineationsaxe parallelen sich
j entsprechenden Strecken in perspectivischen Systemen ist zum
' Abstände des Hintergliedes (k) von der zugehörigen Gegen-
axe (g) umgekehrt proportional.
Hiemach lässt sich die coUineare Verallgemeinerung des Schwerpunk-
tes ftir ein beliebiges ebenes Punktsystem £ bilden, indem wir zu £ ein
! collineares System Z' und in diesem den Schwerpunkt Xq nach gewöhn-
licher Weise suchen. Für letzteren gilt bezüglich einer beliebigen Geraden
, 1 /
die Gleichung Xq = — £x\ wo n die Anzahl der Punkte , x' die parallel
fi
einer beliebigen Richtung genommenen Abstände der Punkte von dieser
Geraden bedeuten. Demnach ergiebt sich für den collinearen Punkt in £,
wenn man x der Gegenaxe des Systems £ parallel wählt und den gemein-
schaftlichen Factor l^c forthebt:
2) 5l«1V£.
Hier bezeichnet x die der gewählten Gegenaxe parallele Strecke bis zu
einer beliebigen Geraden, welche man als die F-Axe des Systems £ be-
trachten kann , y die zur Gegenaxe beliebig geneigte Ordinate. Die Gegen-
axe stellt die X-Axe des Systems dar.
Wird die F-Axe um eine Strecke a verschoben, so folgt:
a?o+a_ 1 ^g+g
oder
Vo «^"
Po ^"^^ y
Die Formeln für Coordinatentransformation zeigen, dass, wenn die
Gleichungen 2) für eine Lage der F-Axe bestehen, sie für jede Lage der-
selben richtig sind. Geht die F Axe speciell durch den Punkt x^yQ^ so
wird Gleichung 2) zu ^^ — = 0 oder, wenn man in diesem Falle den
Winkel des zum Punkte xy gehörigen Leitstrahls mit der Z-Axe durch
{XoX), mit der F-Axe durch (y^y) bezeichnet, V^i^^^i = 0. Letzte
Gleichung stimmt aber der Form nach vollständig mit jener überein , welche
den Punkt x^y^ als Pol der Z-Axe bezüglich des Vielecks der Punkte xy,
letzteres als eine Curve n^ Classe angesehen, bestimmt.* Hiermit ist ge-
funden :
* Vergl. z. B. Salmon-FiedLer, Analytische Geometrie der höheren ebcDeo
Curven, Ausgabe 1873 S. 140.
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Von Dr. L. Obisbnheimbr. 195
Die collineare Verallgemeinerung des Schwerpunktes für
ein ebenes Punktsystem fftlit mit dem Pol der zum coUinearen
Punktsystem gehörigen Gegenaxe in Bezug auf letzteres Sy-
stem zusammen.
Der Schwerpunkt selbst ist hiernach der Pol der unend-
lich fernen Geraden bezüglich des Punktsystems.
Der Pol einer Geraden g in Bezug auf ein Punktsystem kann nach
dem Vorstehenden auch durch fortschreitende Construction Ton Punkt zu
Punkt erhalfen werden. Die aufeinander folgenden Punkte seien durch
Tj, T«, ... bezeichnet. Man suche für g den Pol in Bezug auf Ti und r,,
d. h« bilde den zu g coigugirten, mit Xil^ und g yierten harmonischen
Punkt a, welchem man das Gewicht 2 beilegt, während jeder der ursprüng-
lichen Punkte das Gewicht 1 hat. Alsdann verbinde man |a mit r^ und
bestimme einen Punkt b in laXsl, welcher diese Strecke mit g nach dem
Doppelverhältniss —2:1 theilt, so dass also (Tsba^) = — 2. Den so erhal-
tenen Punkt 6, ihm das Gewicht 3 zuschreibend, verbinde man mit r« u. s. f.
Sollen in einem beliebigen Coordinatensystem zwei Punkte x^y^ uud
x^y^ durch einen dritten Punkt d und die Abscissenaze (g) nach dem Dop-
pelverhttitniss mm getheilt werden, so dass {XiiX%^)=^ — ' so gelten all-
gemein die Gleichungen:
mfifii — f* x^ ^i i \«c»
= » m-^ — «-^ = (w — n) — —
^2 Vi y» y« i^i y»
Die Beziehung zwischen einer Geraden und ihrem Pol in Bezug auf
ein aus n Punkten bestehendes Punktsystem ist im Allgemeinen keine ein-
deutige, indem zu einem gegebenen Punkte als Pol mehrere gerade Linien g
(sie mögen Gegengerade heissen) gehören. Stellt in einem beliebig ge-
wählten Coordinatensystem y^ax+h die Gleichung der Gegengeraden dar,
welcher x^y^ als Pol entspricht, so müssen folgende zwei Gleichungen
erfüllt sein:
aaco + ft — yo ^ ax + h-y' arCo + ^— yo ^ ax + h—y
Die zweite Gleichung mit x^ multiplicirend und die erste subtrahirend,
folgt:
5^ — tr^ ~ ^» ®^°® Gleichung (« — 1 )••' Ordnung.
Die zweite Gleichung lässt sich auch in der Form schreiben:
^Z 1 1 ^^y «(go-g?)"-(yo-y) ^0
^\ax + b-y axo+h-yj ^ (ax + h-y)( x^ + h^y^)
daher:
2'_yorJL_=0, ebenfalls von («-1)*« Ordnung.
ax+b — y
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idB Die Erzeugung polarer Elemente für Flächen, und Curven etc.
Somit ergiebt sich ftlr a oder 5 eine Resolvente der Ordnung (n^l)^*
Offenbar genügt aber die Verbindungslinie je zweier Punkte des gegebenen
Vielecks diesen Gleichungen, da für eine solche Gerade je zwei Nenner in
den beiden Gleichungen (n— l)*** Ordnung verschwinden. Die Anzahl der
r, n j • * 1 / i\« n{n-l) (n — l)(n— 2)
gesuchten Gegengeraden ist also (« — 1)' ^ = ö *
Für ein Dreieck ist die Beziehung der Gegengeraden zu
ihrem Pol hiernach eine eindeutige; die Gegengerade ist die Har-
monikale des Pols.
Fttllt ein Punkt irgend eines Punktsystems in die Gegengerade , so föllt
ihr Pol mit diesem Punkte zusammen. Liegen zwei Punkte des Systems in
der Gegengeraden, so wird der Pol ein beliebiger Punkt dieser Geraden. —
Die entsprechenden Entwickelungen gelten fOr ein räumliches Punktsystem.
Wählen wir die für das System genommene Gegenebene zur XY- Ebene, so
ergiebt sich aus den Gleichungen 2) für die Coordinaten Xq^ Pq. Zq des
zum Schwerpunkte in einem coUinearen System entsprechenden Punktes:
und hieraus folgt in gleicher Weise wie vorhin, dass dieser Punkt mit
dem Pol der Gegenebene in Bezug auf das System der n Punkte,
letzteres als eine Fläche n**' Classe angesehen, zusammen-
fällt. Ebenso lässt sich dieser Pol durch Construction von Punkt zu Punkt
bestimmen. Falls ein, zwei oder drei Punkte des körperlichen n-Ecks in
die Gegenebene fallen, liegt der Pol in diesem Punkte, ihrer Verbindungs-
geraden oder Verbindungsebene.
Um die Zahl der Gegenebenen zu finden, welche bei einem körper-
lichen n-Eck einem gegebenen Pole entsprechen, lösen wir die reciproke
Aufgabe, wieviele Punkte bei einem n-Flach eine gegebene Ebene als Polar-
ebene besitzen. Wir bilden zu dem Zwecke für drei Punkte der gegebenen
Pularebene die ersten Polarflächen bezüglich des n- Flachs, deren jede von
(n— 1)*^ Ordnung ist und deren Schnittpunkte die gesuchten Punkte sind.
Die zwei ersten Polarflächen schneiden sich in einer Raumcurve von der
Ordnung (n— 1)*, welcher aber sämmtliche Schnittlinien des n- Flachs an-
gehören, so dass sich die Ordnung der eigentlichen Schnittcurve C'" auf
(n - 1)« - ^i^lü =: (n-J[Kn--2) ^^^^;^^ j^.^^ Schnittcurve C" ent-
hält die Ecken des n- Flachs als einfache Punkte, während sie in einer der
Polarflächen als Doppelpunkte einbegriffen sind. Die Raumcurve C*" schnei-
det hiernach die Polarfläche des dritten Punktes in (n— 1) -^
— 2-^ --^ Punkten, die Ecken des »Flachs als doppelt zu zählende
* Vergl. Salmon-Fiedler a. a. 0. S. 69. ^
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Von Dr. L. Gbisbnhbimbr. 197
singulare Schnittpunkte abgerechnet. Somit ergeben sich \ o ^ '
Punkte, welche bei einem n- Flach eine gegebene Ebene als Polarebene,
oder . Q ., Ebenen, welche bei einem körperlichen n-Eck
einen gegebenen Punkt als Pol besitzen. Die Beziehung zwischen Gegen-
ebene und Pol ist also nur für das Tetraeder eine gegenseitig ein-
deutige. —
Bilden wir überhaupt zu den vorstehenden die reciproken Entwicke-
lungen, so ergiebt sich, dass einem gegebenen Punkte (derselbe möge im
Folgenden der Deutlichkeit wegen als Oegenpunkt bezeichnet werden) in
Bezug auf ein n- Flach (ebenes f}-Seit) eine Polarebene (Polargerade) ent-
spricht, welche zunächst, gemäss der vorhin entwickelten Construction des
Pols durch Fortschreiten von Punkt zu Punkt, durch Fortschreiten von Seite
zu Seite erhalten werden kann. Sind $|, ^, ... die Seiten des n- Flachs,
p der Gegenpunkt, so lege man durch p und die Schnittgerade \^i^\ eine
Ebene und suche zu dieser bezüglich 1^ und ^ die vierte harmonische Ebene a;
bringe or, welcher man das Gewicht 2 zuschreibt, mit der folgenden Seite
I, zum Schnitt, lege durch \cc^^\ und p wieder eine Ebene, zu welcher man
bezüglich o und $3 die anharmonische sucht u. s. f. Legt man durch p eine
beliebige Gerade { und bezeichnet man die Polarebene mit ^, so giebt die
Anwendung der für das DoppelverhSltniss entwickelten ersten Formel auf
diese Construction:
durch |p^|, ||>£|K • • immer die Strecken auf { vom Gegenpunkte bis zur
betreffenden Ebene darstellend. Es ist dies die bekannte Bedingung für die
Polarebene eines Punktes in Bezug auf eine FlSche n^' Ordnung, als welche
hier das n- Flach auftritt.
Falls der Gegenpunkt p in eine Seitenebene, Kante oder Ecke des
n- Flachs fällt, coincidirt seine Polarebene mit dieser Seitenebene oder wird
zu einer durch die Kante oder Ecke beliebig gelegten Ebene.
Für das Dreieck und Tetraeder werden die Beziehungen zwischen Gegen-
ebene (Gegengerade) und Pol, wie zwischen Gegenpunkt und Polare nicht
nur gegenseitig eindeutige , sondern auch involutorische, indem dieselben
linearen Gebilde sowohl als Gegenpunkt und Polare, wie auch als Gegen-
ebene (Gegengerade) und Pol aufgefasst werden können. Der Beweis hierfür
folgt aus den bekannten Eigenschaften des Schwerpunktes dieser Figuren.
Die polaren Beziehungen für Raum, Punkt und Ebene werden durch
folgende Sätze verknüpft:
IstTo derPol der Gegenebene Ist Iq die Polarebene des Ge-
n in Bezug auf das n-EckTiX2- .. genpnnktes p in Bezug auf das
und wählt man in n einen be- n-Flacb liS^... und legt man
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198 Die Erzeugung polarer Elemente für Flfichen und Cnnren etc,
liebigen Punkt e, 80 ist die Ge- durch p eine beliebige Ebene
rade |erol die Polare von ji in c, so ist die Gerade |c|o| die
Bezug auf das fi-Kant c(Virs«*0- Polare von p in Bezug auf die
Scbnittfigur zwischen e und
Fallen Ti Tg" • in eine Gerade Bilden Si^*** ein Ebenen-
oder Ebene, liegt auch Xq in bttschel oder Bttndel, geht ^
dieser Geraden oder Ebene. durch die Axe oder den Schei-
tel desselben.
Die vorstehenden Entwickelungen werden im Weitern auf folgende Fi-
guren Anwendung finden:
Die Ecken eines ebenen n-Ecks Die Seiten eines ebenen n-Scits
bilden Punkte einer ebenen Curve bilden Tangenten einer ebenen Gurve
««" Ordnung. «*" Classe.
Die Ecken eines rftumlichen n-Ecks Die Seiten eines n - Flachs bilden :
bilden :
1. Punkte einer beliebigen Fläche 1. Tangentialebenen einer FlSche
n**' Ordnung; «*" Classe;
2. Punkte einer abwickelbaren 2. die eine Baamcurye tangirenden
Fläche; Ebenen;
3. Punkte einer Raumcunre. 3. die Schmiegungsebenen einer
Baumcunre.
§2.
Wenn eine ebene Curye n^*^ Ordnung durch ein System paralleler Sehnen
geschnitten wird, so bildet das Centrum der mittleren Entfernungen der n
Schnittpunkte einer jeden Sehne (der Schwerpunkt dieser Schnittpunkte; in
dieser Sehne einen eindeutig bestimmten Punkt. Der geometrische Ort dieser
Schwerpunkte muss daher eine Gerade sein, falls nicht der unendlich ferne
Punkt der Sehnen in ein- oder mehrfacher Weise für irgendwelche Sehnen
der Schaar das Centrum der mittleren Entfernungen darstellt. Letzteres
kann aber nur der Fall sein , wenn die Sehnen einer Asymptote der Curve
parallel laufen, in welchem Falle der Mittelpunkt für die Schnittpunkte aller
Sehnen unendlich fem fällt, der gesuchte geometrische Ort also zur unend-
lich fernen Geraden der Ebene wird.
Die betrachtete Curve besitzt in den Tangenten der Schnittcurve mit
der unendlich fernen Cteraden n Asymptoten. Wird in Bezug auf das aus
letzteren bestehende n-Seit die Polare zum unendlich fernen Punkte der
Sehnenschaar gebildet, so muss sich diese mit der Polaren desselben Punk-
tes in Bezug auf die Curve in der unendlich fernen Geraden schneiden. Die
beiden Polaren müssen also zusammenfallen oder parallel laufen , in letasterem
Falle sich aber asymptotisch nähern. Da ea unmöglich ist, dass sich zwei
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Von Dr. L. Gbisbnheimbr. 199
gerade Linien adyuipiotiiich nähern, ergiebfc uivh die Coincidenz beider Po-
laren nnd hiermit der New ton 'sehe Satz:
Die Polare eines unendlich fernen Punktes in Bezug auf
eine Curve n^*** Ordnung fftllt mit der Polaren desselben Punk-
tes in Bezug auf das aus sämmtlichen Asymptoten der Curve
gebildete n-S.eit zusammen.
Eine bekannte Folgerung des Satzes lautet:
Die algebraische Summe der Abschnitte zwischen einer
CnrTe und ihren Asymptoten ist gleich Null«
Die collineare Verallgemeinerung liefert die Sätze von Cot es und Mac-
Laurin:
Bildet man fttr alle durch einen festen Punkt p gehenden
Leitstrahlen die collineare Verallgemeinerung Xq ^^^ Sohwer-
punkies fttr die Schnittpunkte TiT2*-' mit einer Gnrye in Be-
zug auf p als Gegenpunkt (-rryT™-^ Ipxl/ ^^ ^^* ^^' ^^^
der Punkte To eine gerade Linie, die Polargerade oder kurz die
Polare des Punktes p in Bezug auf die Curve genannt. Diese
Polare fällt mit der Polaren des Punktes p in Bezug auf das
Vielseit derjenigen Tangenten zusammen, welche sich in den
Schnittpunkten eines durch p gezogenen Leitstrahls mit der
Curve an letztere legen lassen.
Die duale Ergänzung dieses Satzes liefert:
Legt man aus einem beliebigen Punkte einer Geraden (Ge-
gengeraden}^ die Tangenten ^|, i^^ ... an eine Curve n***^ Classe
nnd zieht im Büschel dieser Tangenten einen Strahl ^^ derart,
dass catgigL)^ £cotg{gt)^ so gehen alle Strahlen ^o durch einen
festen Punkt, welcher als Pol der Geraden g in Bezug auf die
Curve bezeichnet wird. Dieser Pol fällt mit dem Pol dersel-
ben Geraden g in Bezug auf das Vieleck zusammen, welches
durch die Bertthrungspunkte der aus einem beliebigen Punkte
von g an die Curve gelegten Tangenten gebildet wird.
Rttckt die Gegengerade g ins unendliche, so folgt als Vervollständigung
eines von Chasles gegebenen Satzes:*
Der Pol der unendlich fernen Geraden bezüglich einer
Curve stimmt mit dem Schwerpunkte für die Berührungs-
punkte eines Systems paralleler Tangenten ttberein.
Dieser Schwerpunkt der Berührungspunkte ist also ein für die Curve
fester Punkt, welcher nach Chasles als Centrum der Curve bezeich-
net wird. —
• A a 0. S. 141.
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200 Die Erzeugung polarer Elemente für FlSchen und Curven etc.
Die Yoratehenden Entwickelnngen lassen sich leicht auf den Banm tlber-
tragen. um in hier betrachtetem Sinne das polare Gebilde eines Punktes
(Gegenpunktes) p in Bezug auf eine Flfiche zu erhalten, bilde man die p
entsprechenden Polargeraden bezflglich der Schnittcunren in den durch p
gelegten Ebenen. Der Ort dieser Polargeraden, in jedem seiner Punkte
beliebig Tiele Geraden enthaltend , kann also nur eine Ebene sein. Hebt man
einen bestimmten Leitstrahl l durch p heraus und legt in dessen Schnitt-
punkten die BerOhmngsebenen an die Flftche, so ergiebt sich durch die
Betrachtung der Polargeraden fftr die Schnittcunren in den durch l gelegten
Ebenen, dass die Polarebene bezüglich der Flftche mit deirjenigen bezüglich
des aus den Berührungsebenen gebildeten Vielfiachs coincidirt.
Die Polarebene eines Punk- Der Pol einer Ebene in Be-
tes in Bezug auf eine Flftche zng auf eine Flftche fftllt mit
fftllt mit der Polarebene des- dem Pol derselben Ebene in
selben Punktes in Bezug auf Bezug auf dasVieleck derjeni-
das Vielflach derjenigen Tan- gen Punkte zusammen, in wel-
gentialebenen zusammen, chen die aus einer Geraden der
welche sich in den Schnitt* Ebene an die Flftche gelegten
punkten eines durch denPunkt Tangentialebenen letztere be-
gezogenen Leitstrahls an die rühren.
Flftche legen lassen.
Aus dem Satze links ergiebt sich als weitere Folgerung, dass ein Punkt
p dieselbe Polarebene bezüglich der gegebenen Flftche und bezüglich einer
Developpabeln besitzt, welche die Schnittcurve der Flftche in einer durch p
gehenden Ebene abwickelt Bei Flftchen zweiter Ordnung z. B. wird für
alle unendlich fernen Punkte p diese Developpable zum Asymptotenkegel.
Der Pol einer Ebene e in Bezug auf eine Flftche Iftsst sich nach dem
Vorstehenden bestimmen: 1. indem man aus einer Geraden der Ebene c die
Berührungsebenen t, , r, , ... an die Flftche legt und den gemeinschaftlichen
Schnittpunkt aller durch die Gleichung ootgitr^) = — £cotg{ix) bestimmten
TW
Ebenen r^ sucht; 2. indem man den Pol von i in Bezug auf die Berühr-
ungspunkte von r,, Tj, ... darstellt; 3. indem man aus einem beliebigen
Punkte der Ebene s einen Tangentialkegel an die Flftche legt und die Polar-
gerade zu e in Bezug auf diesen Kegel, welche stets durch den Pol gehen
muss, nimmt. Eine weitere Construction mit Hilfe der Berührungscurre
dieses Kegels wird später hergeleitet werden.
Bückt die Gegenebene i unendlich weit, so ergiebt sich wieder:
Der Schwerpunkt für die Berührungspunkte eines Systems
paralleler Berührungsebenen einer Fläche ist als Pol der un-
endlich fernen Ebene ein fester Punkt, welcher als Centrum
der Fläche bezeichnet wird. —
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Von Dr. L. GBrsBNHEiiiisR. 2()t
Legvn wir durch eine feste Gerade g beliebige Ebenen l and bestim-
men die Pole ffir die Axe g des so erhaltenen EbenenbUachels in Bezug auf
die Schnittcnnren einer Flftche F mit diesen Ebenen y so fallen , wie im Fol-
genden bewiesen werden wird, diese Pole in eine Gerade. Behufs einfacherer
Aasdrocksweise soll dieser Beweis nur fQr den Fall geführt werden, dass
g im Unendlichen liegt; doch wird sich aas der Form des Beweises seine
allgemeine Geltung ergeben.
Wir beschreiben um die Fläche F einen sie berührenden Cylinder,
de?sen Kanten die unendlich ferne Axe g treffen, also zu den in diesem
Falle parallelen Schnittebenen parallel laufen. Schneiden wir diesen Cylin-
der durch eine der Schnittebenen A, so fKllt die Mittellinie der parallelen
Seitenkanten, in welchen sich Cjlinder und Ebene durchsetzen, und hier-
mit das Centrum der Schnittourve IFitj, in eine der Cjlinderkante parallele
Ebene. Wir erhalten letztere« indem wir den Cjlinder durch eine gegen i
geneigte neue Ebene f* schneiden und zum unendlich fernen Punkte der
Geraden |Afi| in Bezug auf die Schnittcurre des Cjlinders die Polargerade
suchen. Diese Polargerade ist die Spur der geendeten Ebene mit fi. Um-
schreibt man der Fl&che F einen zweiten derartigen Cjlinder, so ergiebt
sich eine zweite Ebene und hiermit eine Gerade als Ort ftlr die Centra der
in die Parallelebenen k fallenden Schnittcurven.
Stellt man dem hiermit gewonnenen Satze den reciproken gegenüber,
80 erkennt man, dass jeder Geraden g in Bezug auf eine beliebige Flftche
zwei im Allgemeinen verschiedene gerade Linien als polare Gebilde ent-
sprechen, deren Verschiedenheit darauf beruht, dass g einmal als Träger
eines die Fläche F schneidenden Ebenenbüschels, also als Axe, ein anderes
Mal als Träger einer Reihe von Punkten, aus welchen Tangentialkegel an
die Fläche gelegt werden, also als Strahl erscheint. Hiernach lauten die -
bezüglichen Sätze:
Die Pole, welche der Axe Die Polarebenen, welche
einesEbenenbüschels inBezug dem Strahle einer Punktreihe
auf die Schnittcurven seiner in Bezug auf die aus diesen
Ebenen mit einer Fläche ent- Punkten an eine Fläche geleg-
sprechen, bilden eine gerade ten Berührungskegel entspre-
Panktreihe. eben, bilden ein Ebenenbüschel
erster Ordnung.
Bei Flächen zweiter Ordnung, für welche die Beziehung zwischen pola-
ren Elementen stets eine involutorische ist, findet auch die Coincidenz der
beiden einer gegebenen Geraden entsprechenden polaren Geraden statt. Fer-
ner umhüllen in diesem speciellen Falle die in Bezug auf die Fläche selbst
gebildeten Polarebenen für alle Punkte einer Geraden wieder eine Gerade
(nämlich die vorerwähnte Polare) , was im Allgemeinen nicht stattfindet.
Bei einer Fläche n^** Ordnung bilden diese Polarebenen vielmehr eine De-
veloppable der (n— 1)**" Classe, für Flächen dritter Ordnung also einen
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2^)2 Die Erzeugung polarer Elemente für Plftcben und Corven etc.
Kegel zweiten Grades. Die Spitze dieses Kegels flUlt nach früherem Satze
in den Schnittpunkt der drei Tangentialebenen, welche sich in den Schnitt-
punkten der ursprünglich gegebenen Geraden mit der cubischen FlSche an
letztere legen lassen«
§3.
Die vorstehend für Flftchen entwickelten Sfttze lassen sich mit gewissen
Modificationen auf Raumcunren übertragen.
Eine Baumcurve kann in zwei sich reciprok gegenüberstehenden Weisen
aufgefasst werden, als Strictionslinie einer Developpabeln oder als Grenze
einer ROhrenfläche. Bei der ersten Auffassung löst sich der aus einem be-
liebigen Punkte des Raumes an die Developpabele gelegte Tangentialkegel
in ein System singulftrer Ebenen, bei der zweiten Auffassung die Schnitt-
curye einer beliebigen Ebene in ein System singulSrer Punkte auf.
Von der Polaren eines Punktes in Bezug auf ein System singuUbrer
Punkte Iftsst sich allgemein nicht reden, die Lage derselben hängt von der
Form der quadratisch^ Faetoren, welche jeder singulftre Punkt reprSsen-
tirt, also vom üebergang der degenerirenden Curye in die als Grenslall
derselben auftretenden Punkte ab. Dies zeigt sich schon bei einem isolir-
ten Punkte , wo die zu einem beliebigen Punkte gehörige Polare durch die
Art des in den isolirten Punkt übergegangenen Kegelschnittes bestimmt wird,
unter Zuhilfenahme der reciproken Betrachtung ergiebt sich:
Wird eine Raumcurve als Strictionslinie einer Develop-
pabeln angesehen, so wird hiermit jedem Punkte des Raumes
eine Polarebene, nicht aber einer Ebene ein bestimmter Pol
zugeordnet. Wird aber die Raumcurve als Grenze einer Röh-
renflficbe betrachtet, so wird umgekehrt zu jeder Ebene ein
Pol, nicht aber zu einem Punkte die Polarebene bestimmt.
Die Zuordnung des Pols zu einer gegebenen Ebene e im letzten Falle
erfolgt genau wie bei Fl&chen. Man wähle in i eine beliebige Gerade,
lege durch diese die tangirenden Ebenen t, , r, , ... an die Raumcurve und
bestimme in diesem Ebenenbüschel die Ebene r^ durch die Formel eatgr^
= — Scotgxy so schneiden sich alle Eb^en t^ im Pol der Ebene c in Be-
zug auf die Raumcurve. Da letztere als Grenze einer Röhrenflftche auftritt,
ist streng genommen den Berühmngsebenen t,, t,, ... immer das Gewicht 2
beizuschreiben, wodurch aber das Resultat nicht gefindert wird. Derselbe
Pol wird natürlich erhalten, wenn die Raumcurve aus einem beliebigen
Punkte der Ebene s projicirt und die Polare der Ebene $ in Bezug auf den
hiermit gebildeten Kegel gesucht wird; alle diese Polaren gehen durch den
Pol der Ebene e. Ferner kann die Curve, ebenso wie die FlSche, durch
das System der zu T|, t,, ... gehörigen Berührungspunkte ersetzt werden.
Aus letzter Construction üiessen sofort die dualen Sfttze:
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Von Dr. L. Geisbnheimer. 203
Der Pol einer Ebene in Be- Die Polarebene eines Punk-
zug auf eine Fläche fällt mit tes in Bezug auf eine Fläche
dem Pole diener Ebene in Be- fällt mit der Polarebene dieses
zag auf die Curve zusammen, Punktes in Bezug auf die De-
in welcher der aus einem be- veloppabele derjenigen Curve
liebigen Punkte der Ebene an zusammen, in welcher eine be-
die Fläche gelegte Tangential- liebig durch den Punkt ge-
kegel letztere berührt. legte Ebene die Fläche durch-
schneidet.
Der Satz rechts ist eine schon erwähnte Folge des Mac Lau ri naschen
Satzes. Der Satz links ist besonders fftr den Fall, dass die Berührnngs-
curre eben wird, anwendbar; der Pol flUlt dann in die Ebene der Berühr-
rungscurve.
Den Pol der unendlich fernen Ebene in Bezug auf eine Baumcurve,
diese also als Grenze einer Böhrenfläche betrachtet, bezeichnen wir wieder als
das Gentrum der Raumcurve. Die Mittellinien aller durch eine Raum ^
curre gel^^n Cjlinder schneiden sich also in eiqem festen Punkte, dem
Centrum derselben.
Der Vorstehende Satz lässt sich auch leicht durch die Methode der
descriptiven Geometrie nachweisen. Wir projiciren zu dem Zwecke die
Baumourre 0 zweimal durch verschieden gerichtete Parallelstrahlen auf eine
ProjectionsebenQ in die Curven h^ und k^. Diese Curven können völlig
unabhängig von einander sein ; wird aber C zum dritten Male durch Parallel-
strahlen, welche mit den erstgewählten Projectionsstrahlen derselben* Ebene
parallel laufen, auf dieselbe Projectionsebene in die Curve k^ projicirt, so ist
%3 durch k^ und k^ bestimmt, indem die einem Punkte von C entsprechenden
Punkte dieser drei Curven ähnliche nnd ähnlich liegende Punktreihen bilden.
Sind daher die bezüglichen Abscissen fELr je drei einander zugehörige Punkte
^,, x, nnd a^, so ist ^s=='fi^i"l'f'sW» ^^ ^i ^^^ N Constanten. Legt
man an die beiden ersten projicirenden Cjlinder die zu ihren beiden Pro-
jectionsstrahlen parallelen Tangentialebenen, so werden diese in gemein-
schaftliche Tangenten an k^ und k^ projicirt, welche auch k^ berühren. Die
Abscisse des Schwerpunktes für die Berührungspunkte dieses Systems paralleler
Tangenten an Jb,, A^ und k^ sei bezüglich $|, $,, l^, so ist
wo Xiy x^^ x^ die Abscissen der Berührungspunkte bedeuten. Da 13 = ^,$^
H^f^it» entspricht den Centren aller durch Projection der Baumcurve ent-
standenen Curven k^^ k^j k^ stets derselbe Punkt des Raumes.
Der hier geführte Beweis setzt offenbar voraus, dass die Curven A^j, Ar,,
k^ gleicher Classe sind und jedem Punkte dieser Curven nur ein einziger
Punkt der Raumcurve entspricht, die Strahlen der projicirenden Cjlinder
die Raumcurve also nicht in mehreren Punkten treffen. Derartige singulare
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204 Die Erzeugung polarer Elemente fttr Flächen und Curven etc.
Cylinder bezüglich Kegel müssen also bei Aufsuchung des, einer durch ihren
Scheitel gelegten Ebene zugehörigen Poles ausgeschlossen oder diejenigen
mehrfachen und iroaginSren Berührungsebenen berücksichtigt werden, welche
bei üebergang des allgemeinen in den singulftren Kegel für letzteren resul-
tiren. Ein Beispiel hierfür bietet die Baumcurve vierter Ordnung, welche
entsteht, wenn sich zwei zu einander senkrecht stehende normale Kreiscylin-
der excentrisch durchdringen; das Ceutrum der Sehnittcurre kann nur mit
Hilfe ihrer schiefen Projection, also einer Curve vierter Ordnung erhalten
werden. Das Entsprechende gilt fELr die Kegel zweiter Ordnung, in wel-
chen sich der Schnitt zweier beliebigen quadratischen Flftchen aus den Ecken
ihres gemeinschaftlichen Polartetraeders projicirt
Ein weiterer bemerkenswerther Specialfall bei Aufsuchung des Pols zu
einer Ebene s ergiebt sich , wenn man den Scheitel des die Baumcurve pro-
jicirenden Kegels in einen Schnittpunkt der Ebene c mit der Curve fallen
iSsst. Vom allgemeinen Kegel sondert sich dann diejenige Ebene ab , welche
sich durch die betreffende Cnrventangente t und das letzte Element der
Bahn legen iSsst, auf welcher sich der Scheitel des projicirenden Kegels der
Raumcurve nähert. Diese Ebene ist also variabel und wird nur bei einer
speciellen Annäherung des Scheitels zur Schmiegnngsebene, ist aber in Be-
zug auf die Classenzahl des Kegels doppelt zu rechnen, da bei dem üeber^
gang zur Grenze die benachbarten Abstände zwischen Kegel und Ebene von
vierter Ordnung werden. Ist e der Polarstrahl der Ebene c in Bezug auf
den durch Absonderung dieser variablen Ebene in seiner Classe (um 2) auf n
reducirten Kegel , so erhält man den Polarstrahl von e in Bezug auf diesen
Kegel mit Einschluss der Doppelebene in demjenigen Strahl, welcher die
Strahlen e und t in Bezug auf die Ebene £ nach dem Doppelschnittverhält-
niss '-2:n theilt; e muss das Gre wicht n, der Tangente t das Gewicht 2
zugeschrieben werden.
Entsprechend erhält man die reciproke Figur, indem man durch einen
Punkt eine Schmiegungsebene an die Raumcurve legt. Die Schnittcurve
mit der Developpabeln der Schmiegungsebenen sinkt dann in ihrer Ordnung
um zwei Einheiten , welche auf die Tangente der betreffenden Schmiegungs-
ebene übertragen werden.
Die üebertragung der für Flächen über die Polaren einer Geraden ent-
wickelten Sätze auf Raumcnrven liefert:
1. Die Raumcurve als Strictionslinie einer Developpabeln aufgefasst:
Die Pole, welche einer be- Die Polarebenen, welche
liebigen Aze in Bezug auf die einem Strahl bezüglich jedem
Curven entsprechen, welche Kant der Schmiegungsebenen
die Schmiegungsebenen einer an eine Raumcurve entapre-
Raumcurve in den durch diese eben, welches sich aus einem
Aze gelegten Ebenen umhül- Punkte des Strahls an die
len, bilden eine Gerade. Raumcurve legen lässt, gehen
durch eine feste Gerade.
Von Dr. L. GBtssHBfinfBR. 205
2. Die Baumcnnre als Grenze einer BOhrenfiftche ansehend:
Die Polarebenen, welche Die Pole, welche einer be-
irgend einem Strahl bezüglich liebigen Axe in den dnrch diese
der Kegel entsprechen, welche Axe gelegten Ebenen bezüglich
sich ans einem Punkte des der Schnittpunkte mit einer
Strahles dnrch eineBaumcurTe Ranmcurve entsprechen, bil-
legen lassen, sehneiden sich in den eine Gerade,
einer festen Geraden.
Die anf derselben Seite vertikal untereinander stehenden Sätze sind
einander reciprok zugeordnet.
Degenerirt die Baumcurve j so dass sie in eine Cunre niederer Ordnung
und eine oder mehrere Gerade zerfftllt, so sondern sich für einen beliebigen
Punkt die durch diesen und die Geraden gelegten Ebenen als singulare
Schmiegnngsebenen oder als singulare Ebenen der die Baumcurve projiciren-
den Kegel ab. Die obigen vier Sfttze behalten auch in diesem Falle ihre
Giltigkeit, wenn nur diese sich absondernden Ebenen in gleicher Weise,
wie dies auf Seite 204 für die eine Baumcurve tangirende Ebene geschah,
jedesmal mit dem ihnen zukommenden Gewichte in die Construction ein-
geführt werden. Trennt sich z. B. eine Gerade von einer Baumcurve und
projicirt man aus einem beliebigen Punkte, so werden die aus letzterem an
die Curve gehenden Schmiegnngsebenen zu Osculationsebenen des projiciren-
den Kegels. Die Zahl dieser Osculationsebenen hängt von den vielfachen
Strahlen des Kegels, also von der Zahl der aus der Kegelspitze an die
Baumcurve möglichen Secanten ab.* Mit der Bestimmung dieser ergiebt
sich also auch, wie ofb eine durch die sich absondernde Gerade gelegte
Ebene als Schmiegungsebene der- allgemeinem Baumcurve gerechnet wer-
den muss.
Durch genau dieselbe Betrachtung, wie sie für ebene Curven bei Con-
struction der Polaren eines unendlich fernen Punktes angestellt wurde, er-
giebt sich, dass die Pole einer unendlich fernen Axe bezüglich der Schnitt-
punkte einer Baumcurve mit den Ebenen des diese Axe enthaltenden Paral-
lelebenenbüschels zusammenfallen mit den Polen derselben Axe bezüglich der
Schnittpunkfe , in welchen die Asymptoten der betrachteten Baumcurve
jene Ebenen durchsetzen. Die collineare und reciproke Verallgemeinerung
hiervon liefert im Anschluss an die letzten rechts verzeichneten Sätze fol-
gende:
Bei Construction der Pola- Bei Construction der Pola-
ren zur Axe eines Ebenenbü- ren zum Strahl einer Punkt-
schels inBezug auf dieSchnitt- reihe in Bezug auf die Schmie-
punkte einer Baumcurve mit gungsebenen, welche sich aus
* Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie der höheren ebenen Curven,
S. 69 flg. ^ ,
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206 Die Erzengang polarer Elemente für Fli&chen and Curven etc.
den Ebenen des Büschels kann den Punkten des Strahls an
dieRaumcorve ersetzt werden eine Banmcurye legen lassen,
durch das System ihrer Tan- kann die Baumcurve ersetzt
genten in den Schnittpunkten werden durch ihre Tangenten
einer dieser Ebenen. in den Berflhrungspunkten der
aus einem Punkte des Strahls
an die Raumcurve möglichen
Schmiegungsebenen.
Falls eine Raumcurve sich in ein System gerader Linien auflöst« wird
— bei Auffassung dieses Systems als Strictionslinie einer abwickelbaren
Flfiche — die irgend einem Punkte des Raumes estsprechende Polarebene
unbestimmt. Denn jede durch diesen Punkt gelegte Ebene schneidet die
Developpable in einer Curve, welche sich in ein System isolirter Punkte
(die Durchbohrungspnnkte der Systemgeraden) aufgelöst hat, und wie schon
oben erwähnt; wird die Polare eines Punktes in Bezug auf ein System sin-
gulärer Punkte unbestimmt. Ebenso wird — das System der Geraden als
Grenze einer Röhrenfläche ansehend — der einer beliebigen Ebene entspre-
chende Pol unbeetimmt
Bezüglich der einer Geraden entsprechenden verschiedenen Polaren
erkennt man sofort, dass bei Auflösung der Raumcurve in ein System
gerader Linien die beiden für eine Axe und ebenso die beiden für einen
Strahl geltenden Sätze zusammenfallen; es lässt sich aber weiter zeigen,
dass auch die zwei hiemach noch übrig bleibenden Constructionen auf die-
selbe Gerade fahren, einer Geraden also stets dieselbe Polare entspricht,
mag man diese Gerade als Axe oder Strahl auffassen.
Es genügt, dieses für die Polare einer unendlich fernen Geraden nach-
zuweisen. Die Gleichung einer Geraden des in n gerade Linien zerfallenden
Systems sei, bei beliebig gewählten Coordinatenaxen :
Für die Coordinaten £ , 17 , {; derjenigen Geraden , welche in Bezug auf
das durch diese n Geraden dargestellte System der unendlich fernen Geraden
der XF- Ebene als Axe eines Parallelebenenbüschels polar -entspricht", folgt:
n.fi = £{ci+d).
Betrachten wir diese unendlich ferne Gerade der X 7- Ebene auch als
Strahl und legen aus einem beliebigen Punkte derselben, für welchen wir
bei der willkürlichen Wahl des Coordinatensystems die Richtung der X- Axe
wählen können, Ebenen durch die n Geraden des Systems. Als Schnitt
des hierdurch gebildeten n- Flachs mit der TZ- Ebene ergeben sich gerade
Linien, deren Gleichungen lauten je=:0, y^=^cg+d, während der zu Grunde
gelegte Strahl die YZ- Ebene im unendlich fernen Punkte der F-Axe trifft.
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Von Dr. L. Gbisbnhbimbr. 2(YI
Wir mOssen also zum Netz dieser Scbnittgeraden die zum unendlich fernen
Punkte der F-Axe gehörige Polare (den Dnrchmeseer) bestimmen, für welche
wir finden: „/ «. . ,n
Da die durch diesen Durchmesser parallel der X-Axe gelegte Ebene nach
den obigen Gleichungen auch die vorhin gefundene, der unendlich fernen
Axe entsprechende Polare enthält, ergiebt sich der Satz:
Einer Geraden entspricht bezüglich eines Systems fester,
eine Raumcurve vertretenden geraden Linien stets dieselbe
Polare, man mag diese Gerade als Strahl oder Axe auffassen.
Dieser Satz stellt eine principielle Eigenschaft des in gerade Linien
zerfallenden Systems dar. Während also fUr eine beliebige Raumcurve,
diese bald als Strictionslinie einer Developpabeln , bald als Grenze einer
RöhrenflSche betrachtend^ jeder Ebene ein Punkt und speciell der unendlich
fernen Ebene ein als Centrum der Raumcurve bezeichneter Punkt des Raumes,
jedem beliebigen Punkte eine Ebene | jeder Geraden, je nachdem sie als
Strahl oder Axe aufgefasst wird , vier im Allgemeinen verschiedene Geraden
polar entsprechen, kann bei einem nur aus Geraden bestehenden System
einer Geraden nur eine einzige Gerade polar zugeordnet werden, während
zu einem Punkte oder einer Ebene im Allgemeinen kein polares Element
gehört Daher kann auch vom Centrum eines aus Geraden bestehenden
Systems in dem oben definirten Sinne nicht gesprochen werden.
§4.
Die bisher allgemein entwickelten Sätze gestatten mehrfache Anwen-
dungen auf die Raumcnrven dritter Ordnung, wobei wir behufs der Her-
leitung der sich ergebenden Resultate auf eine in dieser Zeitschrift* früher
veröffentlichte Arbeit „üeber den Mittelpunkt der Raumcurve dritter Ordnung**
hinweisen. Wie dort, werde vorausgesetzt, dass die Raumcurve C^^ drei
reelle unendlich ferne Punkte a«, boo, c« besitze, sich also durch dieselbe
drei hyperbolische Cylinder legen lassen, deren Axen a^ h^ c seien und auf
welcht-n die Asymptoten Uj tht ^c verlaufen. Der Mittelpunktskegelschnitt
11^ treffe die Cylinderaxen a, 2>, c in den Punkten m, n, o (Fig. 2), die
Asymptoten i^y /(, tc in a^, bj, q; endlich mögen die Verbindungslinien
1^1 ml) |bin|, |CiO| den zugehörigen Cylinder zum zweiten Male in den auf
der Ranmcnrve liegenden Punkten a^, bo, Cq durchsetzen. Die letztgenannten
Geraden schneiden sich nach den Entwickelungen der angeführten Arbeit
in einem Punkt« u , in welchen der Pol der den Mittelpunktskegelschnitt jn^'^
enthaltenden Ebene fi, der Mittelpunkt dieses Kegelschnittes selbst und der
Mittelpunkt des durch die Asymptoten gelegten Hyperboloids zusammenfielen
und weldien wir mit Rücksicht auf weitere Eigenschaften als den Mittel-
*Bd XXVU S.3Elflg.
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208 Die Erzeugung polarer Elemente fUr Flächen und Curven etc.
punkt der cubischen Banmcurve bezeichneten. Nach dem Früheren er-
giebt sich sofort, dass dieser Punkt u in dem oben entwickelten Sinne
der Pol der unendlich fernen Ebene r« in Bezug auf die Baum-
curve ist. Diese Ebene schneidet C^^ in den Punkten (u, im und c«.
Nach dem auf 8. 204 behandelten Specialfall zerflült der die C^^ proji-
cirende Kegel für einen dieser Schnittpunkte, z. B. a«, in einen Cjlinder
zweiten Grades und eine die Asymptote ta enthaltende Ebene. Der Pol der
Ebene f« liegt nach der dort gefQhrten Entwickelüng in einer Geraden,
welche die Axe a des Cylinders und die Tangente ta bezüglich der Ebene
f« nach dem Verhältniss —2:2 theilt, also im Mittelstrahl der letztgenann-
ten Geraden, welcher für alle drei unendlich fernen Punkte durch u geht
Bei einer C^^^ entspricht bekanntlich jedem Punkte des Baumes ein
hierzu conjugirter, welcher die aus dem ersten Punkte an die Baumcurve
gelegte Secante harmonisch theilt. Die aus u an die C^> gelegte und durch
diesen Punkt halbirt« Secante g trifft die Ebene e« im Schnittpunkte u
der drei Asjmptotenebenen; der zu Cod conjugirte Punkt u ist der Pol der
Gegenebene e«. Ist umgekehrt zunächst u als Gegenpunkt gegeben und
soll dessen Polarebene bestimmt werden, so wenden wir die reciproken Con-
struciionen in dem durch die C^^ inducirten Nullsystem an. Wir bilden
die in diesem Nullsystem zu u gehörige Ebene fi, und da die zu ^ bezüg-
lich der C^^ conjugirte Ebene wieder €« ist, folgt, dass dem Punkte u als
Gegenpunkt wieder die Ebene f« als Polarebene entspricht. Somit ergeben
sich durch collineare und reciproke Verallgemeinerung folgende Sätze:
Der Pol einer beliebigen Die Polarebene eines belie-
Ebene e als Gegenebene be- bigen Punktes e als Gegen-
züglich einer C^^^ fällt znsam- punkt bezüglich einer C^' fällt
men mit demjenigen Punkte» zusammen mit derjenigen
welcher in der zu c conjugir- Ebene, welche durch den zu c
ten Ebene «' als Pol der letz- conjugirten Punkt c'alsPolar-
tern in Bezug auf das durch die ebene des letztern inBezng auf
0<^)inducirte Nullsystem liegt, das durch die C<^) inducirte
Nullsystem geht.
Bei der cubischen Baumcurve ist die Beziehung zwischen
den polaren Elementen involutorisch, d. h. zwei Elemente,
welche einander bezüglich der Curve als Gegenpunkt und Po-
larebene entsprechen, entsprechen sich auch als Gegenebene
und Pol.
Die vorstehenden Sätze enthalten Beziehungen für die Kegel dritter
Ordnung und vierter Classe, durch welche die C^ aus einem beliebigen
Punkte projicirt wird, wie für die hierzu reciproken Curven, welche die
Schmiegungsebenen der C^^ in einer beliebigen Schnittebene umhüllen. Der
zuletzt aufgeführte Satz stellt eine Analogie zu den polaren Eigenschaften
der Kegelschnitte dar, welche aber in weiterer Entwickelung nicht mehr
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Von Dr. L. Gbisbniusimbr.
209
stattfindet. Beschreiben nämlich die Gegenpnnkte eine beliebige Gerade g^
80 bilden die zu diesen bezüglich der cubischen ^amcurve conjagirten
Ponkte im Allgemeinen wieder eine cubische Banmcurre*, so dass die Polar-
ebenen der ersten Ponkte eine derartige Gurre umhttUen. Unter Berttck-
sicbtignng der Specialf&lle ergeben sich hiemach folgende Sätze:
Beschreibt der Gegenpnnkt Dreht sich die Gegenebene
eine Gerade g^ so nmhttllt die
Polarebene eine zweite cnbi-
sehe Baumcurve; hat die Ge-
rade g mit der ursprünglichen
(7<')einen Punkt gemeinschaft-
lichy so beschreibt die Polar-
ebene einen Kegel zweiter
Classe, und nur, wenn^ ausser-
dem in die Schmiegungsebene
des gemeinschaftlichen Punk-
tes fällt, dreht sich auch die
Polarebene um eine Gerade,
welche, wie in diesem Falle
auch g, ein sich selbst con-
jagirter Strahl des durch die
C**^ inducirten Nullsystems ist
Ferner :
Beschreibt der Gegenpunkt eine Secante der Baumcurve,
so dreht sich die Polarebene in projectivischer Abhängigkeit
um den der Secante entsprechenden Schmiegungsstrahl,. und
umgekehrt.
um eine Gerade g^ so beschreibt
der Pol eine zweite cubische
Baumcurve; fällt g in eine
Schmiegungsebene der ur-
sprünglichen (7^^, so beschreibt
der Pol einen ebenen Kegel-
schnitt, und nur, wenn g aus-
serdem die C^Mm Berührungs-
punkte dieser Schmiegungs-
ebene schneidet, beschreibt
der Pol eine Gerade, welche,
wie in diesem Falle auch^, ein
sich selbst conjugirter Strahl
des durch die C^> inducirten
Nullsystems ist.
Den sämmtlichen Punkten
einer Ebene y (als Gegenpunk-
ten) entsprechen als Polarebe-
nen die Tangentialebenen
einerFläche dritter Classe r^\
welche auch von den Schmie-
gungsebenender gegebenen C<^
berührtwird. IstPein gemein-
schaftlicher Punkt von C<'> und
y, so geht P^ durch die Tan-
gente von C^^^ in P und ist allen
Kegeln eingeschrieben, welche
einer Geraden in y durch Pent-
sprechen, so dass V^^ auch in
Den sämmtlichen Ebenen
eines Ebenenbündels durchden
Punkt )> (als Gegenebenen) ent-
sprechen als Pole die Punkte
e,iner Fläche gj^») dritter Ord-
nung, welcher auch C^^ ange-
hört Ist TS eine aus )> an die
C^*)gelegte Schmiegungsebene,
80 geht ^('Murch dieTangente
von (?('> in n und durch alle
Kegelschnitte, welche einer
durch )) laufenden Geraden in
ff entsprechen, so dass$<'> auch
in dreifacher Weise als Ort
• Vergl. Reye, Geometrie der Lage, U. Bd., U. Aufl., S. 106 flg.
ZaitMhrilt f. MAtheniAtik a. Phyvik XXXT, 4.
Dijffeedby Google
210 Die Erzeugung polarer EUemente für Flttchen und Curven eic.
dreifacher Weise als Enveloppe
eines yeränderlicben Kegels
zweiter Ordnung entsteht. Die
Sohmiegungsebene in /'schnei-
det y in einer Geraden, welcher
auf r<^^ eine andere Gerade ent-
spricht; ebenso entspricht jeder
Secante in y ein Schmiegungs-
strahl auf rW.
eines variablen Eegelschnit-
tes entsteht. Der Verbindungs-
linie des Punktes ^ mit dem
Berührungspunkte yon n ent-
spricht auf $^') wiederum eine
Gerade, wie auch zu jedem
Schmiegungsstrahl aus p eine
auf $<^' yerlaufende Secante
der C<») gehört.
Die durch eine cubische Raumcurve zu einer Geraden inducirten polaren
Gebilde geben Anlass zu folgenden sich reciprok entsprechenden Sätzen:
1. Die C^ als Stricüonslinie einer
Developpablen betrachtet:
Die Pole, welche einer be
liebigen Axe g in Bezug auf
die Curven vierter Ordnung
und dritter Classe entspre-
chen, welche die Schmiegungs-
ebenen in den durch diese Axen
gelegten Ebenen umhüllen,
bilden eine Gerade g ,
2. Die O^ als Grenze einer Höh-
renfiftche betrachtet:
Die Polarebenen, welche
einem beliebigen Strahle g in
Bezug auf die, aus den Punk-
ten des Strahls durch die C^
gelegten Kegel dritter Ord-
nung und vierter Classe ent-
sprechen, gehen durch eine
feste Gerade g\
Von speciellen F&llen dieser Sätze seien hervorgehoben:
Schneidet g die C^ in einem
Punkte, so wird dieser Punkt ein
Cuspidalpunkt der Schnittcurven, der
Pol von g fällt daher stets in die
Tangente desselben. Somit liegt g'
in der Schmiegungsebene des Schnitt-
punktes. Wird g eine Secante der
C<^\ so wird g der entsprechende
Schmiegungsstrahl.
Liegt g in einer Schmiegungsebene,
so fallen sämmtliche Pole von g in
den Schnittpunkt von g mit der Tan-
gente i der C^ in dieser Schmie-
gungsebene zusammen. Eine Aus-
nahme findet für die Schnittcurve in
der Schmiegungsebene selbst, welche
in diese Tangente und einen Kegel-
schnitt zerfällt, statt. Für diesen
Fall wird der Pol ein nach dem Frühe-
Liegt der Strahl g in einer Schmie-
gungsebene der C^\ so wird letztere
eine Osculationsebene dieser Kegel.
Die Polarebene von g geht stets
durch den betreffenden Osculations-
strahl des Kegels. Die SchnittUnie
g' dieser Polarebenen läuft also durch
den Berührungspunkt der g enthalten-
den Schmiegungsebenen. Wird g ein
Schmiegungsstrahl der 0>^^ so ist g
die entsprechende Secante.
Schneidet g die CK^\ so wird ^
ein gemeinschaftlicher Strahl aller
sich längs desselben in einer gemein-
schaftlichen Tangentialebene berüh-
renden Kegel. Für den Schnittpunkt
selbst degenerirt dieser Kegel dritter
Ordnung in die Tangente der Curve
und einen Kegel zweiter Ordnung.
Die in Bezug auf die letzte zusam-
mengesetzte Figur gebildete Polar-
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Von Dr. L. Qbisbnhbimbr.
211
ren leicht zu construirender Pankt
ansaerhalb g und t^ so dass g die in
die SchBUQgungsebene fallende Ver-
bindungslinie dieses letzten Punktes
mit dem Scbnittpankte igt) wird.
Ist g ein Sehmiegongsstrahl, be-
rührt also die Developpable in zwei
Punkten, so ist der Pol ftlr jede
Sehnittcnrve ein beliebiger Punkt in g\
g fUlt also mit g zusammen. —
Die harmonischen Ebenen
für einen beliebigen Strahl g
bezfiglich des Dreikants der
Schmiegungsebenen, welche
sich aus den Punkten dieses
Strahls an eine cubischeBaum-
curve legen lassen, schneiden
sich in einer Geraden^'. Diese
Gerade g' kann auch als Polare
der erstgegebenen Geraden g
in Bezug auf das System der
drei Tangenten erhalten wer-
den, welche sich in den Berüh-
rungspunkten eines derarti-
gen Dreikants an die C^Megen
lassen.
Als speoielle Fälle der letzten
Schneidet g die (P'^ so liegt g' in
der Schmiegungsebene dieses Schnitt-
punktes. Einer Secante g entspricht
hiemach als Gerade g' der zugehörige
Schmiegungsstrahl.
liegt der Strahl g in einer Schmie-
gungsebene, so WM die harmonische
Ebene stets mit letzterer zusammen;
einem Schmiegungsstrahle g kann jede
durch g gehende Ebene als harmo-
nische zugeordnet werden. —
ebene von g schneidet die gemein-
schaftliche Tangentialebene in der
Geraden g'.
Ist g eine Secante der C^\ so
wird diese Gerade zum Doppelstrahl
aller durch die C<'> gelegten Kegel,
f&llt also mit g' zusammen* —
Die harmonischen Pole für
die Axe^ einesEbenenbüschels
bezüglich des Dreiecks der
Schnittcurve, in welchen die
Ebenen des Büschels mit einer
cubischen Baumcurve zusam-
mentreffen, liegen in einer
Geraden g\* Diese Gerade g'
kann auch als Polare der erst-
gegebenen Geraden g in Be-
zug auf das System der drei
Tangenten erhalten werden,
welche sich in den Schnitt-
punkten einer Ebene des Bü-
schels an die C^^ legen lassen.
Sätze erwähnen wir:
Liegt g in einer Schmiegungsebene,
so geht g' durch deren Berührungs-
punkt. Ist also g ein Schmiegungs-
strahl, so wird g' die entsprechende
Secante.
Hat die Axe g mit C^^ einen
Punkt gemeinschaftlich, so fällt der
Pol stets mit diesem Punkte zusam-
men; wird g zur Secante, so ist der
Pol ein beliebiger Punkt derselben. —
^ Der Yorstehende Satz — eine Erweiterung des bekannten Falles, wo g der
Schmiegungsstrahl einer C(>> — wurde nach einer brieflichen Mittheilung des Herrn
Professor Dr. Schröter in Breslau durch Herrn Dr. Hurwitz in Königsberg ge-
funden und bot den ersten Anlaas zur vorliegenden Arbeit. f^ r^r^r^\r^
14C»igitized by VjOOQLC
212 Die Erzeugung polarer Elemente für Flächen und Curven etc.
Wir wenden uns nochmals eu Fig. 2. Der die C^^ schneidenden Ge-
raden loottil entspricht als geometrischer Ort der bezüglich der C<') zu ihren
Punkten conjugirten wieder eine Gerade, und zwar, da |aoaJ die zur Schmie-
gungsebene Ta parallelen Secanten halbirt , die unendlich ferne Gerade dieser
Ebene. Die in den Endpunkten einer derartigen ßecante an die C^^ gelegten
Schmiegungsebenen schneiden sich wieder in einer zu t<i parallelen Sehmie-
gungsaxe und hieraus folgt, dass die eben genannten Geraden sich aach
bezüglich der durch sie gelegten conjugirten Ebenen entsprechen.
Betrachten wir andererseits das durch die Asymptoten taj h^ it ^
stimmte Polarsystem, so ergiebt sich leicht, dass in diesem die Geraden
laoa^l und die unendlich ferne Gerade der Ebene Ta in einer ganz entspre-
chenden Beziehung stehen. Mit Hilfe des durch die Asymptoten gelegten
Hyperboloids erkennt man, dass alle Geraden (Secanten) dieses Systems,
welche die beiden erzeugenden Geraden t^ und tt schneidend parallel zu r^
laufen, durch jaoOil für die Strecke zwischen den Schnittpunkten mit h and
te halbirt werden. Femer werden die beiden durch eine solche Secante und
die beiden Erzeugenden fe und tt gelegten Ebenen durch die erwähnten Ge-
raden harmonisch getheili
Die collineare Verallgemeinerung ergiebt:
Den drei Strahlen, in welchen die von einem Punkte au
die C^^^ gelegten Schmiegungsebenen die Verbindungsebene
ihrer Berührungspunkte durchsetzen, entsprechen als Orte
der conjugirten Punkte und Ebenen die in gleicherweise con-
struirten Strahlen der zu dieser Verbindungsebene conjugir-
ten Ebene. Jeder Strahl schneidet die im Schnittpunkte des
entsprechenden Strahls mit der C^^^ an letztere gelegte Tan-
gente. Je zwei dieser Tangenten in den Schnittpunkten einer
der conjugirten Ebenen und die zum dritten Schnittpunkte ge-
hörigen, einander entsprechenden Strahlen bilden vier har-
monische Erzeugende eines Hyperboloids.
Legt man zu einem Durchmesser der cubischen Baumcurve, z. B. zu
loo^^ilt ^^^^ 2^ ^^^ parallele Ebenen in gleichen, aber entgegengesetzten
Abständen, so schneiden diese Ebenen die 0^'^ in zwei einander gleichen
Dreiecken, deren Eckpunkt« sich derart entsprechen, dass die Verbindungs-
linie je zweier entsprechenden Eckpunkte der dem Durchmesser zugehöri-
gen Schmiegungsebene Ta parallel läuft und durch den Durchmesser selbst
halbirt wird. Die Mittelpunkte (Schwerpunkte) aller dieser Dreiecke bilden
nach Früherem eine den Durchmesser schneidende Gerade. Das Gleiche
findet nach dem Vorstehenden statt, wenn wir die C^^ durch das System
ihrer Asymptoten ersetzen, und zwar fedlen die Schwerpunkte des in einer
zu I Qq a| I parallelen Ebene einmal durch die Durchbohrungspunkte der C^\
dann durch die Durchbohrungspunkte der Asymptoten bestinmiten Dreiecke
zusammen. Denkt man sich diese , mit ihren Ecken auf iderOi^Jliegenden,
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Von Dr. L. Geisenheimbr. 213
unter sich und zn lo^aij parallelen Dreiecke mit homogener Masse gefüllt,
80 ftllt der Schwerpunkt eines solchen , durch zwei gleichweit von |a^a||
abstehende Ebenen begrenzten Körpers in den Durchmesser laottj. Alle
nach vorstehender Construction gebildeten Schwerlinien bilden ein hyper-
bolisches Paraboloid, dessen eine Leitebene zu xa und dessen zweite Leit-
ebene zu den Asymptoten ti und tt parallel Ittuft. Die alle drei Durch-
messer enthaltende Mittelebene fi ist die einzige, für welche die zugehörige
Schwerlinie — nSmlich in diesem Falle die aus dem Mittelpunkte u an die
Baumcurve gelegte Secante — der geometrische Ort der den parallelen
Schnittebenen entsprechenden Pole ist, und zwar sowohl beztlglich der C^^^
selbst, wie bezüglich des durch die C^^^ inducirten Nullsjstems und bezüg-
lich des durch die Asymptoten gelegten Hyperboloids.
TarnowitB, im Mai 1886.
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XII.
Zur Theorie der Elimination.
Von
Dr. Carl Schmidt
in Ulewen.
In Serret's Höherer Algebra, Bd. I Üap. 4, sind Untersuchungen von
B6zont über Elimination dargestellt, gegen welche sich noch einige Ein-
wendungen erheben lassen. Da im Uebrigen die dort angewandte Methode
in directer und theoretisch einfacher Weise die Bildung und Beschaffenheit
der Eliminationsresultante kennen lehrt, so ist es wohl gerechtfertigt, wenn
ich im Folgenden die Lttcken , welche in den Betrachtungen noch geblieben
sind, beseitige.
Gregeben seien n algebraische Gleichungen
Fi = 0, 7, = 0, ..., 7« = 0
der Unbekannten x^i , £^2« * "* ^» beziehungsweise vom Grade nij, «14, . . .', m«.
Es wird vorausgesetzt, dass jede Gleichung möglichst allgemein sei, d. h.
jede Gleichung enthftlt alle Glieder, die Überhaupt vermöge ihres Grades
vorkommen können, und die Coefficienten sind von einander unabhSngige,
unbestimmte Grössen. Es handelt sich darum, alle Unbekannten bis aaf^«
zu eliminiren, den Grad der Eliminationsresultante zu ermitteln, und za
bestimmen, wieviel Werthsysteme es giebt, die den gegebenen Gleichungen
genttgen.
Da man schon von vornherein vermuthen kann, dass die Eliminations-
resultante in Bezug auf 0n vom Grade m|.fi4...ma ist und ebenso, wie
bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, durch Composition der Func-
tionen 7|, V^j ..., Vu mit geeigneten ganzen Functionen T|, T,, ..., T.
erhalten wird , so wird zur Abkürzung m| . 114 . . . n»« s= m gesetzt und
nun folgende Aufgabe gestellt: Es sollen die ganzen Functionen Z\, T,, ... T.
beziehungsweise vom Ghnde m-^mi^ m— 114, ..., m^mn so bestimmt wer-
den, du. r,7, + r,7, + ... + r.F. = B(*.)
eine ganze Function von 0« allein und zwar genau vom Grade m wird.
In der Darstellung von Serret wird fUr T« nicht die allgemeinste
ganze Function vom Grade m^mn eingeführt, sondern eine Function,
welche in Bezug auf xr, , g^, . . ., gn-^i in einer bestimmten Weise redncirt ist.
Infolge dessen mttssen erst Betrachtungen über diese Beduction vorans-
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Zar Theorie der ElimiDation. Von Dr. C. Schmidt. 215
geschickt werden, und so wird die Aufgabe complicirter ; wie mir scheint,
ohne irgendwelchen Vortheil. Es soll daher im Folgenden 7« nicht be-
schränkt werden.
Diese Aenderung hat jedoch keinen Einfluss auf die Einwände, welche
gegen die Darstellung Serret's erhoben werden mttssen.
Das Poljnom
T^V,+ T,V, + ... + T^Vn
soll nur noch die Variable Zn enthalten, folglich mOssen alle Glieder mit
Ausnahme der m + 1 Glieder, aus welchen eine ganze Function von 0n noch
bestehen kann, wegfallen. Bezeichnet man die unbekannten Coefficienten
Yon Ti, 7^, ..., Tu mit li,, t«,, ..., Ui, so ergiebt sich folgendes Gleich-
igssysten
1)
i:
«11
«»1
• •
«1+«W
»1 + «M
«, + .
. + «11
• • • •
«1 = 0,
«1 = 0,
• • • •,
a;,-i,t «I + 0/1-1,2«» + . . + a;,_i.aiii = 0,
Die letzte Gleichung entsteht, weil der Coefficient von m^ gleich 1 wer-
den soll.
Die Grössen a^ sind lineare homogene Functionen der Coefficienten
von 7i, r„ ..., 7«.
Es muss nun zunächst die Anzahl der Unbekannten und der Gleich-
ungen festgestellt werden. Bezeichnet man mit JN'(n, m) die Anzahl der
Glieder, welche die allgemeinste ganze Function m^^ Grades von n Varia-
bein besitzen kann, so ist
^(«.")=("i")=("t">
Dann ist offenbar die Anzahl der unbekannten Coefficienten li^, t«^, ..m^ji
gleich
A = JV(n, m-^rn^) + N{n,m^fn^) + . . . + N{n, m — »in) =^, N{n^ m- m,).
W
Die Anzahl der Gleichungen ist
fi = 2V(n,m) — w.
Nun wird im Art. 66 in Serret's Algebra aus der Eigenschaft der
Combinationszahlen bewiesen, dass
N{n^ m) — ^, JY(n,m— m,)+^^ 2V(n,m— «4—114) + ...
. . . + (— 1)" -N^C» , w» — w»i — 114 — . . . — mn) = m, . «14 . . . m«
ist, vorausgesetzt, dass m^ (Wi—l) + (»4— !) + ••• +(♦»« — 1) ^st. Diese
Bedingung ist fdr msmi.m,. ..»in sicher erftlUt. Dabei bedeutet z.B.
Xi -^C**» «•— »»i — «ij) die Summe aller Glieder, welche aus N{n^ m -»ij— nij)
entstehen , wenn man statt »t| , m^ nach und nach alle Combinationen zweiter
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216 Zur Theorie der EliminatioD.
Classe der 'Grössen fn^, f»^, ..., mn einsetzt Femer ergiebt sich leicht
(vergl. Art. 67) , dass
V\) if!) (€,)
+ {— l)*-^^{n,m — m, — w,— . . — m«)
ist. Daher ist für m = 9}»|.mg.. .m«
oder ^
JV(n, fw— Wj) + N{n^ m — wi,) + • • • + N{n, w — w«) ^ N{n^fn) — m,
d,h.
* ^ f •
In dem Gleiehungssjstem 1) ist demnach die Anzahl der Gleichungen
höchstens gleich der Anzahl der unbekannten, um nun die Frage zu ent-
scheiden, ob diese Gleichungen auflösbar sind, betrachtet Serret den
speciellen Fall, in welchem sich 7|, Fg, ..., Vn beziehungsweise auf
reduciren. Wählt man hier
3^1 *=i.
80 wird T,7, + T^V^ + ... + TnVn = i^-a.
Nun schliesst Serret: Da die Lösung des Gleichungssystems 1) nicht
unmöglich ist, wenn man den Coefficienten der gegebenen Gleichungen
gewisse besondere Werthe giebt, so kann eine solche Unmöglichkeit auch
im allgemeinen Falle nicht eintreten.
Dieser Schluss ist nicht gerechtfertigt.
Um zu bestimmen, ob ein Gleichungssystem von der Form des Systems
1) auflösbar ist oder nicht, hat man zunftchst zu suchen, wieviel von ein-
ander linear unabhftngige Gleichungen unter den ersten ff>—l homogenen
Gleichungen enthalten sind. Diese Anzahl sei gleich v<fft — 1, sie heisst
die Stufenzahl oder der Bang des Systems. Nicht alle Determinanten
V*« Ordnung aus dem System der a^ (» = 1, 2, . . ., f* — 1 ; Ä = 1, 2, . . ., 1}
werden dann identisch verschwinden , wohl aber die Determinanten höherer
Ordnung, &ll8 solche überhaupt existiren. Man darf nun das Gleiehungs-
system 1) eventuell so reduciren, dass nur die v von einander unabhftngi-
gen homogenen Gleichungen und die eine nicht homogene
OßiUi + aß2U^ + "- + a^iux=l
stehen bleiben. Ist jetzt in diesem reducirten System eine Determinante
von der Ordnung v + \ nicht identisch 0, so ist das System auflösbar;
sind dagegen alle Determinanten von der Ordnung v + l identisch 0, so ist
das System nicht auflösbar.
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Von Dr. C, Schmidt. 217
Nun ist 68 denkbar, dass bei dem Uebergang von dem allgemeinen zu
einem speciellen Falle Determinanten, welche im allgemeinen Falle nicht
identisch 0 waren, yersch winden, dass also der Bang des homogenen Oleich«
nngssjstems sich von v aaf v — ^ erniedrigt. Tritt dieser Fall ein , so kann
das System 1) im speciellen Falle lösbar sein, im allgemeinen aber nicht.
Es ist daasu nnr nOthig, dass eine bestimmte Determinante von der Ord-
nung v — Q + l im speciellen Falle, folglich auch im allgemeinen Falle nicht
identisch yerschwindet, dass aber alle Determinanten von der Ordnung v + 1
identisch Null sind.
um die Lücke in dem Beweise auszufüllen, werde ich Folgendes zeigen.
Es sei iS die allgemeinste ganze Function der Variabein «r^, 0,, ..., 0^
vom Grade m. Dann können in dem speciellen Falle, wo
ist, die ganzen Functionen 7*|, T,, . . ., T^ beziehungsweise vom Grade m— mj,
m— fi4, ...,«»— m» so bestimmt werden, dass
S+r,7, + T,7, + ... + r,7„
eine ganze Function von g^ allein wird, deren Grad kleiner als m ist.
Ist dies bewiesen, so folgt, dass das Gleichungssystem
«11 «1 + »« <«» + .. . + «11 W2«&i,
2) '
a^i Ui + a^2 t<8 + . -t-a^a ux = h^
im speciellen Falle bei beliebig gewählten Werthen von 5, . . . &f( auflösbar
ist Die 1» homogenen Functionen auf der linken Seite müssen demnach im
speciellen und im allgemeinen Falle von einander linear unabhängig sein,
d. h. : nicht alle Determinanten ft^ Ordnung können identisch verschwinden.
Daher sind auch im allgemeinen Falle die Gleichungssysteme 1) und 2) auf-
lösbar.
Die ganze Function 8 wird zunSchst in der Weise reducirt, dass alle
Glieder wegfallen, welche durch g^^^ oder durch g^'^ u. s. w. oder schliess-
lich durch gm'^ theilbar sind. Man kann nämlich 8 folgendermassen zer-
legen:
wo 8^ vom Grade m^nin ist und T nur noch solche Glieder enthält , die
nicht mehr durch g^'^ theilbar sind. Dann ist
8--8'Yn-=^gn''-8'+T^S'{gn^-gn^i)
Nun sei
wo 8'^ vom Grade m — 2*1»« ist und T' nur noch Glieder enthält, die nicht
mehr durch x^n"*" theilbar sind. Dann ist
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218 Zur Theorie der Elimination.
So fortfahrend, findet man eine ganze Function W« vom Grade m-^rnuy
80 dass 8+WnVu die Variable Zn nur noch in Potenzen enth<, deren
Exponenten kleiner als m. sind.
Indem man dasselbe Verfahren weiter snccessive auf Zm^i, ^«-2« --m ^i
anwendet, erhält man die ganzen Functionen Wn, TT«,.!, .,.yW^ be-
ziehungsweise vom Grade m— fiin, m—fün-i, .••> m— m,^ so dass in
alle Glieder wegfallen, welche durch g^"* oder jer,"^ n. s. w. oder schliesslich
durch 0»"** theilbar sind. Es ist demnach S eine Summe yon Gliedern von
der Form ^ ^ ä. - *• * a.
wo Ä, <•»! — 1, Äj<fi4— 1, ..., Ä«<m«— 1 ist.
Setzt man jetzt b^^^z^^ so geht az^^^z^ ,,.Zn^ über in
ajr,** "••+*» j»,*» . . . 0,*«.
Diese Substitution hat denselben Erfolg, als wenn zu
dasProduct « ^x*' ^2*» • • • ^-*-
hinzugefClgt würde. Der Grad von A^ ist gleich
— m8 + Ä4«i8 + Äj + Ä8 + ... + Ä»
< — nij + Äj w^Wj . . . w« + ÄjWj . . . w« + • • • + ^*— 1 w»„ + An
<- w,+(Wi-l)mj»n8.. w, + (n4-l)iWj...m« + ... + (w„-i-l)m,+»»«-l
< f» — fn^ .
Setzt man jetzt in « jP,*» ••»+*• ^g*»...^«*«
so hat diese Substitution denselben Erfolg, als wenn das Product
(jgf^Wi ^g^ az^^* . . . 0»*« (0,*« "»•+*»— * + 0j*i"»«+*t— 2 0j"i -|- , . . + j5j(*i"h +*!->)«».)
hinzugefügt würde. Der Grad von A^ ist kleiner als m— m^.
Ffthrt man so fort, so geht schliesslich az^^z^ ,.. zj** über in
Der Exponent yon z^ erreicht höchstens die Zahl m— 1. Die ganze Func-
tion S verwandelt sich also in eine ganze Function von Zn allein, deren
Grad kleiner als m ist. Diese Aenderung wird dadurch erzielt, dass zu S
ein Polynom U^V^-^- , , , + UnVu addirt wird , wo der Grad von Ui die
Zahl m—mi nicht erreicht Damit ist also die Beduction von 8 nach-
gewiesen und die Lücke in dem Beweise vollständig ausgefüllt.
Man kann demnach die ganzen Functionen T,, T^, ..., Tn so bestim-
men, dass r,7, + r,7, + ... + T„7„ = i2f0„)
ist. JB(jr») ist vom Grade m = mj m^ . . . »in* Die Coefficienten von T, , 7„
..., Tn sind durch lineare Gleichungen bestimmt und enthalten deshalb eine
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Von Dr. C. Schmidt. 219
gewisse Determinante f»**' Ordnung als Nenner. Denkt man sich beide Seiten
mit dieser Determinante mnltiplicirt, so werden die Coeffieienten von T^,
Tg, ..., Tn und von B{0u) ganze Functionen der Coeffieienten von F|, F,«
...y Fa- I^er Coeffieient von gj^ auf der rechten Seite ist dann nicht mehr
gleich 1, sondern gleich der Determinante fi**' Ordnung. In dem mehrfach
erwähnten speciellen Falle muss sich B auf 0j^ — a reduciren. Diese Func-
tion ist als ganze Function Ton «■ und a irreducibel; folglich muss auch
im allgemeinen Falle R^ als ganze Function von g» und von den Coeffieien-
ten von F|, F,, ...9 Vn betrachtet, irreducibel sein.
Aus der Identitftt
T^V, + T^V^ + ... + TnVn-=B{gn)
schliesst man: Ist {^y {^r ...» U ein Werthsystem, welches den Gleichungen
F| = 0, F^ssQ, ..., F«s=0 genttgt, so ist U eine Wurzel der Gleichung
RM = 0.
Es fragt sich aber jetzt: Giebt es Überhaupt Werthsysteme, die diesen
Gleichungen gentigen, und wieviele?
Nun hat Liouyille im 12. Bande seines Journals eine Methode ver-
öffentlicht, durch welche man zu jeder Wurzel der Gleichung B{z„) = 0
eindeutig die zugehörigen Werthe der eliminirten Unbekannten 0|, 4^21 -••«
gn-i erhSlt. Dass aber die so gefundenen Werthsysteme wirklich den ge-
gebenen Gleichungen genügen, wird von Liouville stillschweigend als
richtig angenommen, von Serret aber, wie es auch in diesem Zusammen-
hange nothwendig ist, in Art 75 besonders bewiesen. Dabei wird jedoch
der Satz gebraucht, dass es keine Gleichung ip(gn)s=:0 geben kann, deren
Grad kleiner als m ist und welche sich als nothwendige Folge aus den ge-
gebenen Gleichungen herleiten lieese; und zur Begründung dieses Satzes
wird gesagt: Da offenbar in dem schon betrachteten speciellen Falle eine
solche Gleichung unmöglich ist, so kann sie auch im allgemeinen Falle nicht
existiren« Allein es Ifisst sich doch dagegen einwenden, dass vielleicht im
allgemeinen Falle eine solche Gleichung möglich wftre, aber bei dem üeber-
gange zu dem speciellen Falle sich in eine Identität verwandeln könnte.
Um nun diese Lücke im Beweise auszufüllen , ohne die Existenz irgend
eines alle Gleichungen befriedigenden Werthsystems schon vorauszusetzen
und ohne die Functionentheorie zu Hilfe zu nehmen, kann man folgender-
massen verfahren.
Setzt man nach Liouville
X?» = 0 — «jX?, — a2gf — ... — tt«.i jT«. I
in F|, F,, .. , Fa ein, eliminirt nun g und setzt dann wieder
g — gn + «1*^1 + «i<^j + . . . + «ü-l 01.-1»
so erhftlt man die Identitftt
^1 ^i + ^t T^i + ...+ TF, F. = B{0« + «i0i + ... +«— i<fi.-i; «, . . «.-0.
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220 Zur Theorie der Elimination.
Hier sind W], TF^, ... W« ganze Functionen von 0|, jb^, ..., 4?j.~t,
^n + «1 ^1 + • • - + <>^« - 1 ^1 - 1 ^ deren Coefficienten selbst noch ganxe Functionen
von ffj, a,, ..., o^».| sind, wShrend F,, 7,, ..., 7« die ursprüngliche Be-
deutung haben, also von a^, a,, ..., tt«.i unabhängig sind. Ordnet man
links und rechts nach Potenzen von a|, a^f ...t «Vn-i und yergleicht die
entsprechenden Glieder, so ergiebt sich
r, V,+T, 7,+ . +T« 7„ = i2£f.),
3j T,, 7^ + 2^« 7, + .. +r,„ 7« = B'(£r,)j?j + B,(5.),
T.-i.,7i + T«-,,7 7j + ... + T«_i,.7„ = B'(i?„>i9,+Ä,_i(iP«).
Bezeichnet man mit J die Determinante der links stehenden n linearen
Formen Yon 7|, ..., 7«, so sind umgekehrt
J7i, /f7j, .. , JVn
lineare homogene Fanctionen yon
Sind also die letzteren gleich Null, so folgt , dass die Gleichungen
7i = 0, 7, = 0, .. , 7. = 0
bestehen, wenn man weiss, dass ^ in diesem Falle nicht Null wird.
Es bleibt demnach nur Folgendes zu beweisen übrig. Setzt man in zf
Zn-i'
B\0n)
und multiplicirt mit einer geeigneten Potenz yon B\ so entsteht eine ganze
Function yon xf«, welche nicht durch JB(5») theilbar ist.
Wäre dies der Fall, so würde auch in jedem speciellen Beispiele die
entsprechende ganze Function yon 0n durch B{en) theilbar sein, d. h. zf
yerschwinden , wenn gleichzeitig
ÄW, B'(0n)Zi+B,{Zn), ..., B\Zn)0.^l + Rn^l{0n)
gleich Null wären.
Dies trifft jedoch nicht zu.
Ist nämlich
so ist
SW = iBf»'"'"-— -a ^l.Vi + T^V^ + T^V^+...+ Tn 7..
Ebenso
4) ^•"•--- -0^ = I.73 + ...+ S2.7,,
»
ZvT^ — «f,«i= 1.7«.
Denkt man sich nun für dieses Beispiel ausserdem noch das Oleichungs-
System 3) gebildet, so heisst z. B. die i^ Gleichung:
B'(0n)0i + Bi{0n)^Ti,V^ + Tnr^ + ...+ Ti,Vn.
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Von Dr. C. Schmidt. 221
Nun ist B'(if.)iP,-<-»-'-"'- + Äf(^«) Null, wenn B(gu) gleich Null ist,
folglich
also durch Subiraction
Ä>.)(i9,-£r.-<+i.-"'.) = Tn 7i+ ..+ T,„F»- /?(ir.)v<(i5,)
Andererseits ist nach 4)
R'(i^){et - £r.-<+i •"•.) = - B\en) 7,+t - ...-ä'(i^«)Ä,-. 7«.
Daher ist die Differenz der rechten Seiten identisch Null. Ist aber ein
Ausdruck von der Form
U,V^+U^V^ + ...+ UnVn
oder
identisch Null, so muss U^ die Form haben:
ebenso
u. s. w., oder nach der bequemen Er onecker 'sehen Schreibweise:
Un=0fnodd7i, 7„ ..., 7«.i.
Denn setzt man z. B. in der identischen Gleichung
so wird U^ eine ganze Function von »i und g^y welche identisch verschwin-
den muss. Die Substitutionen haben aber, wie früher schon nachgewiesen
ist, denselben Erfolg, als wenn von U^ ein Ausdruck von der Form
subtrahirt würde; folglich ist
U^=^B,V, + B^V^+...+ BnVn
oder
U^ = ()fnoddV,, Fs, ..., 7«.
Nun ist die Function B\0„) ,{ei^ e„^'+^'-^') auf zwei verschiedene
Arten als lineare homogene Function von Fj . . F. dargestellt worden,
folglich ist
Tn =q>iT, iwocW 7„ 7„ ..., 7«,
Tu =fPiTi moddV^...Vi^^, 7<+i...7„,
Ti^i^t = q>iTi^i-B\0n) fnoddV^...Vi, 7^+»... 7,,
Ttn -^<PiTn ''B\Zn)Sinm0ddV,, 7„ ..., 7,-,.
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222 Zur Theorie der Eliminatioii. Von Dr. C. Schmibt.
Bestimmt man jr«, 0^^ ..., Zu^t ans den Gleichnngen
SO werden im speciellen Falle V^s=0^ 7,b=0, ..., Fa = 0; daher wird
nicht Nnll«
Dies war aber das einiige Besnltat, welches noch bewiesen werden
Es giebt demnach genau m, .in,..., m« yerschiedene Werthsysteme
^i«.>5aY welche den n gegebenen Oleichnngen genttgen, und zwar erhSlt
man dieselben durch Auflösung des Systems
Oiesien, im Mai 1886.
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xm.
üeber die Auflösung der allgemeinen trinomischen
Gleichung i*^ + a(^-^ + b^ i).
Von
WoLDEMAR Heymann
in Dresdea
Torbemerknng.
Die nachstehende Arbeit schliesat sich bezüglich der Fragestellung den
früheren Untersuchungen des Verfassers über die einfachere trinomische
Gleichung t' + at+b^O eng an. — Vergl. Math. Annalen Bd. XXVI und
den laufenden Jahrgang dieser Zeitschrift;, 3. Heft
Es handelt sich allerorts darum, die genannten trinomischen Gleich-
ungen durch geschlossene, wenn auch transcendente Ausdrücke aufzulösen,
wobei es natürlich sehr wesentlich ist, dass letztere in möglichst einfacher
Weise numerisch auswerthbar sind. Diese Ausdrücke, also die Wurzeln
der trinomischen Gleichung, erscheinen nach unserer früheren Darstellung in
der Form von (ti — 1) resp. n- fachen bestimmten Integralen, und eben diese
Integrale wurden dadurch gefunden, dass wir jene lineare Differentialgleich-
ung aufstellten, welcher sttmmtliche Wurzeln der trinomischen Gleichung
genügen , und hierauf die Differentialgleichung mittels bestimmter Integrale
integrirten.
In der vorliegenden Abhandlung betrachten wir allgemeinere tri-
nomische Gleichungen als früher und zwar insbesondere
i?« + 6i?«- + l = 0l
Mt;"+ i;"-'+l = OJ
und stellen die m*®** Potenzen ihrer Wurzeln mittels des Mac Laurin-
schen Theorems durch Reihen dar.
Aus der Gestalt dieser Reihen erschliessen wir sodann, dass sich sel-
bige durch Doppelintegrale summiren lassen, und dass mithin die tri-
nomischen Gleichungen ebenfalls durch Doppelintegrale aufgelöst
werden können, w&hrend hierzu früher, wie schon gesagt, w- fache Inte-
grale in Verwendung kamen.
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224 üeber die ADflösong der allgem. trmomischen Gleichung etc.
Endlich stellen wir jene linearen Differentialgleichungen aaf,
denen die m^^ Potenzen der Wurzeln der trinomischen Gleichung genfigen,
und integriren dieselben durch die znyor gefundenen Beiben und Doppel-
integrale.
Es mOge an dieser Stelle noch darauf hingewiesen sein, dass das eben-
erwfthnte Doppelintegral den Ausgangspunkt ftlr allgemeinere Untersuch-
ungen bildet, welche die Gleichung n^^ Grades
i7« + 6ii?"-'' + ... + l.-ii?— ^-« + 1=0
betreffen« In der Tbat lassen sich sSmmtliche Wurzeln dieser allgemeinsten
algebraischen Gleichung durch bestimmte Integrale darstellen. — VergL
hierüber die einschlägige Arbeit des Verfassers in dem Journal f. d. reine tu
angew. Mathematik, Bd. 101,
L Zusammenhang iwischen den Fundamentalformen.
Jede trinomische Gleichung kann auf folgende Hauptgleichung
zurückgeführt werden. Die späteren Untersuchungen erfordern es, dass wir
der Hauptgleichung noch die anderen beiden
y) y*+y*"' + «=0, t^) MV« + »"-• + 1=0
an die Seite stellen, und diese drei Gleichungen, welche die Fundamen-
talformen der trinomischen Gleichung genannt werden mögen,
hängen in folgender Weise zusammen.
Sie gehen in einander über, wenn wir die Substitutionen
-i L
1) ^"=:a5* = tt""*, fi = yx •=t;tt*
gebrauchen. Ausserdem yerwandelt sich Gleichung y) in t^) und umgekehrt,
fidla wir ., _,
Xj y, n — s resp. mit m, m\ 8
yertauschen, während die Hauptgleichung i}) ungeändert bleibt, wenn
i|, n — s resp. mit ij""*, s
yerwechselt wird.
Gewisse allgemeinere algebraische Untersuchungen lassen es wttnschens-
werth erscheinen, dass wir yon Anfang an die Potenzen
2) vr = ij y'" = JP» !>"• = «;
in Betracht ziehen, d. h. direct diese als Functionen yon £, resp. «, resp. u
zu entwickeln yersuchen.
Bezeichnen wir die Fundamentalformen 17), y), f), nachdem die Werthe
unter 2) entsprechend eingesetzt sind , bez. mit {;), jBf), to)^ so folgt aus dem
Vorhergehenden, dass die letzten Gleichungen mittels der Substitutionen
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Von W. Hbymann. 225
in einander übergeffthrt werden können. Ausserdem verwandelt sich Gleich-
ung g) in w) and umgekehrt, wenn wir
Xy g, w— «, m resp. mit Uy Wy 5, — m
yertauschen, während die Hanptgleichung i) nnge&ndert bleibt, wenn
, ,. . , «— 5, m resp. mit 5, — m
yerwechselt wird.
n. AnfUsnng der limcUuiioiitalform
^^ l y~-fc
Es m0ge folgender Weg eingeschlagen werden.
Wir bestimmen i'Tzg] imd entwickeln i als Function yon £ nach
dem Theorem von Mac-Lanrin. Hierbei wird sich zeigen, dassdie Beihe
bedingungsweise convergirt und daas sie sich durch ein Doppelintegral sum-
miren Iftsst
Nach einer bekannten Formel* von Schlömilch ergiebt sich, dass
Oder
und dieser Ausdruck iSsst sich mittels der Relation
in eine für unsere Zwecke schicklichere Form setzen, nämlich
A«— m . , Sin — - — n
6,y..= 5.,_„-« ±__,,.(»£=5).r(»-»i=^).
a) BeihenentwiekelaBg.
Wir bilden
(» + »»)!
nnd beachten, dass aus 5)
* Diese für nniere algebraischen Untennchnngen fiberans wichtige Formel
lantet ^ .
EaHMhim f. M »«brnwUli ■. Fhytik XXXI. 4. Ül|tized by Vj O OQ IC
226 üeber die Aaflösang der allgem. trinomischen Gleichung etc.
•— 1 / t^ \ *i-«-i.
folgt. Durch eine einfache Umformung des letzten Froductes gelangen wir zu
7) y*+-> = ^.£o<*>.^(Ä),
wobei
8) ^f = (-l)«n-»«'(n-5)»—
und
»— 1 , ^_ _^, n— • — 1
'')n')-jrf(-[f-?]).ß(*+[.4,+*-^]).
d. h., wo f{h) die linke Seite einer algebraischen Gleichung n*^ Grades
für h Yorstellt, deren Wurzeln aus den Parametern der trinomischen Gleich-
ung t) in bestimmter Weise zu construiren sind. Durch successive Anwen-
dung der Formel 7) ergiebt sich
10) fc*+'->=^fi>'*)77/'(Ä+in), /j=l,
und yermöge dieser Beziehung stellt sich die Reihenentwickelung wie
folgt dar:
11) :=!;«*. ^* = Jo<*'l'{^'i^^AÄ+in)}.
üntersnohen wir die Reihe JS* bezflglich ihrer Convergenit, so gilt
Folgendes: Es ist
7T(A +»« + *)
nnd hieraus finden wir ftlr t=>Qo
falls aber ^/.|"=1,
Mithin conyergirt Rk unter der Bedingung, dass
und da diese Bedingung unabhängig yon h ist, so convergirt zu glei-
cher Zeit das unter Nr. 11 angegebene Beihenaggregat.
= VlC(y^,)-^(y)y'r(y-Hrt)^^,, -=9(y)
und findet sich in den „Vorlefiungen Aber höhere Analysis^ von 0. Seh 10 milch.
— Siehe das Capitel: Die höheren Differentialquotienten.
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Von W. Heymahk. 227
Infolge der n Deutigkeit von {^^^^ ist auch i w-deutig, nnd deshalb
sind durch 11) sSmmtliche Wurzeln der Fundamentalform
0 i?" + 5i?— ' + 1=0, i,« = t
dargestellt
b) BeibensnminatloB.
Da der Ausdruck {^<*) unter Nr. 5) das Product zweier Gammafunctionen
enthSlt, so liegt es nahe, das Doppelintegral
00 OD
0 0
in Betracht zu ziehen. Stellen wir noch allgemeiner das Integral
J^(«) ^ ^ t-«" /yi-(ti.-+«^)tt/.-i 1IJ--.--1 e- «•«.•«.—•« du, du^
0 0
auf, 80 ergiebt sich mit Rücksicht auf das Vorhergehende
Es sei nun £ irgend eine Wurzel der binomischen Gleichung
.-=1,
dann darf
r= (-!)-(«« -^+i««n-^)
gesetzt werden, wobei die n- Deutigkeit auf das Symbol (—1)'* geworfen ist.
Der Ausdruck
,'=(-1)* (^co8^-i8m^y
in welchem (-—1)" genau dieselbe Wurzel bedeuten soll wie zuvor, genügt
auch der Gleichung c" ~ 1, ist von f verschieden nnd nie dem e conjugirt.
mit Ausnahme des Falles, wo n eine ungerade Zahl ist und im Speciellen
j_
aus (—1)" der reelle Werth —1 gezogen wird. Durchläuft f' alle Wur-
zeln der Gleichung e" = 1, wie sie successive aus der Formel
n n
hervorgehen, so nimmt s gleichzeitig solche Werthe an, wie sie successive aus
2{k+l)n , . . 2(Ä-l)7r , o 1 1
^ j
entspringen. Bei ungeradem n würde der Specialwerth k « ^ dais einzig
mögliche Paar conjugirter Wurzeln erzeugen.
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228 üeber die AnflösuDg der allgem. trinomischen Gleichung etc.
Bilden wir die Differenz
80 gelangen wir, wie ein Vergleich mit Nr. 5) lehrt, genau zu dem anfangs
erwähnten Differeniialquotienten y*>. Da das Symbol (—1)" in jener Dif-
ferenz successiye die Werthe
cos- — ^—+%s%n- ; Ä=:0, 1, ..., n— 1
n n
durchl&uft, so gestattet t^^^^ folgende durchsichtige Schreibweise:
Nun hat die Summation der unter Nr. 6) und 11) aufgestellten Reihen
keine Schwierigkeit mehr; es ergiebt sich als Summe
J:=^|J«(**+i)-J«(«*)I,
d.h.
12)
00 OD
0 0
{; = ^ / /e-<-«"+-^>w,-»-'ttg"'-«Ä(IUidM8,
Denn entwickeln wir die Ezponentialgrösse (in S) nach fortschreitenden
Potenzen von |, so gelangen wir nach successiver Auswerthung der ein-
zelnen Integrale zu
d. h. zu der erw&hnten Reihe. Doch es ist, bevor jene Auswerthung vor-
genommen wird, noch Folgendes zu beachten. Das Integral 12) hat nur
dann einen Sinn, wenn beide Exponenten in dem Potenzproduct tf|"'"'~'ug'"'*
grösser als —1 sind, was indessen hier keineswegs stattfindet. — Wir
können jedoch den Ausdruck 12) nachträglich identisch so umgestalten, dass
die erw&hnten Bedingungen eintreten, wenn wir von der Relation
0
Gebrauch machen. Es entsteht alsdann
13)
•-«.
0 0 0
Sollten die Exponenten auch jetzt noch nicht grösser als —1 sein,
so mttssten wir mit dem v- fachen Integrale
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Von W. Hbtmann. 229
0
operiren und fflr v eine solche poeitiye ganse Zahl w&hlen, dass
vfi — ni>0 und v(n — s) + m>0,
was immer möglich ist.
Sind diese Forderungen erfüllt, so stellt der Ausdruck 13)
resp. 13a) die m**^ Potenzen* sämmtlicher Wurzeln der Fun-
damentalform
v) i?-+5n— +1 = 0
dar, wenn h in
2kn , . . 2kn
n n
die Zahlen 0, 1, ..., n— 1 durchläuft.
Bemerkenswerth ist die Beziehung
«—1
V|y^(6,+i)-./K'*)l = 0,
welche zur Folge hat, dass
^,.-=2l«'+«''n+-+'''-"(S)i)'
WO die Summe auf der rechten Seite dahin zu verstehen ist, dass in {^ his
j;;^^*-!) successive die verschiedenen Einheitswurzeln, wie sie dem Symbol
(-1) » (vergl. Nr. 4)
entsprechen, auftreten.
Zum Schluss sei noch darauf hingewiesen , dass sttmmtliche Ausdrücke
4) bis mit 13) im Wesentlichen ungettndert bleiben, wenn
n— 5, m resp. mit 5, — «i
vertauscht wird, wie das auch zu erwarten stand.
m. Anflögnng der Fnndamentalförmen
y" + !r— + flJ = 0, _^ -, f ttt;«+t;"— + 1=0,
.) r*'""'r':«' "* •' {
Wir betreten wieder den früher eingeschlagenen Weg und entwickeln
zunächst z in eine nach Potenzen von x fortschreitende Beihe. Durch ent-
sprechende Vertauschung der VerSnderlichen gewinnen wir alsdann auch die
zur Fundamentalform w) gehörigen Reihen. — Es wird sich zeigen, dass
* Die Beihe 11), sowie das Integral 13) können fBr ein verachwindendes m
BOT Darstellnng von Ifi benutzt werden, wenn man den Orenzwerth {17 = l- )
hinzuzieht. ^-^ j
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230 üeber die Aaflösung der allgem. trinomiscben Gleichung etc.
die neuen Beiben genau in den Fällen convergiren, in welchen die Reihen,
die zur ersten Fundamentalform {;) gehören» divergiren, so dass also
schliesslich alle möglichen F&lle ihre Erledigung finden.
Nach Schlömilch's Formel ergiebt sich, dass
er
oder, wenn das Product rechts in bekannter Weise durch den' Quotienten
zweier Gammafunctionen ersetzt wird,
m'-km
15) v*)=^(-i)^^^'.r(A+*^"-;>-"*):r(i+*^*'-;>"*).
Durch Vertauschung der entsprechenden Grössen erhalten wir sogleich noch
oder ^=^
Der Ausdruck 14) resp. 15) stellt nur jene 8 Ableitungen dar, welche
zu den nicht gleichzeitig mit x verschwindenden Wurzeln der Gleichung z)
gehören. Fttr die übrigen {n—s) Wurzel werthe werden die Ableitungen im
Allgemeinen unendlich gross. — Der Ausdruck 16) resp. 17) stellt nur jene
{n—s) Ableitungen dar, welche den (n—s) endlichen Lösungen der Gleich-
ung to) entsprechen.
a) Beihenentwlekelnng.
Wir bilden
4=00 I. h=.»-\
18)
und beachten, dass aus 15)
n—X / -tf^ N ^_v n-"!— 1.
*«^+
Eine einfache Umformung des letz
19) iPo^*+») = ^f->V*).
folgt Eine einfache Umformung des letzten Productes ergiebt weiter
>(Ä + 5)'
wobei ^ den bereits unier Nr. 8) angegebenen Werth
besitzt und q> und ^ folgende Bedeutung haben:
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Von W. HBTMAtm. 231
20)
.(»+.,=^'(»+.-[^,+v^]),
d. h., es stellen g> und tff die linken Seiten zweier algebraischen Gleich-
nngen vom n*~, resp. («— 5)**° Grade dar, deren Wurzeln die in den
eckigen Klammem stehenden Grössen sind.*
Durch suGcessiye Anwendung der Formel 19) ergiebt sich
TT Vih+js) ^.^,_,
and vermöge dieser Beziehung stellt sich die Reihenentwickelung wie folgt dar:
Untersuchen wir die Reihe Bk bezüglich ihrer Convergenz, so gilt
Folgendes: Es ist
üi+i^ ._, ^ <Pih + i8) 1
M {h + i8 + h)
und hieraus finden wir für is=oo
falls aber .<^^a:*=l,
Mithin convergirt Ba unter der Bedingung, dass
und da diese Bedingung unabhängig von h ist, so convergirt zu glei-
cher Zeit das unter Nr. 22) angegebene Reihenaggregat.
Infolge der 5-Deutigkeit von e^f^^ ist auch 0 ein ^- deutiger Ausdruck,
und deshalb sind durch 22) jene s Wurzeln der Fundamental-
form 0) ermittelt, welche mit x nicht gleichzeitig verschwinden.
* Die Gleichungen 9 = 0 und V = 0, wie auch die Gleichung /"=© (vergl
Nr. 9} haben für die entsprechenden trinomischen Gleichungen eine charakteristische
Bedeutung. Wir werden ihnen bei Gelegenheit der AuÜBtellnng der Differential-
resolventen, Cap. IV, wieder begegpien.
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232 Ueber die Auflösung der allgem. iiinomischen Gleichung etc.
Vertauschen wir in 22)
a?, 0^ n — 5, m resp. mit t«, w, «, — w,
so geht 22) ttber in
»— •— i
23)
mit der Convergenzbedingung
<1.
J =
Hierbei unterscheiden sich q> und ^ von den früheren <jd und tf; inso-
fern, als ihre Yerschwindungswerthe bei der letzten Vertauschung andere
geworden sind.
Infolge der (n — «) - Deutigkeit von w^^*^ ist auch to ein (n— 5) -deu-
tiger Ausdruck, und deshalb sind durch 23) jene (n — 5) Wurzeln
der Fundamentalform w) ermittelt, welche für u = 0 nicht un-
endlich gross werden.
Substituiren wir in 23)
m
u*-* = a?*, tp = ex *■"• (vergl. Nr. 3),
so erhalten wir
24)
mit der Convergenzbedinguiig
U^-
Der Ausdruck 24) ist (n — 8)-deutig und stellt die noch feh
lenden Wurzeln der Fundamentalform 0) dar.
Vertauschen wir schliesslich in 24) abermals
X, 0, n— «, m resp. mit u, «;, ä, — m,
so geht 24) über in
m s-\
«* 0^ ^Y ^j ipCÄ+ü+i)^)
25)
mit der Gonyergenzbedingung
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Von W. Hbtmann. 233
Der Aasdrack 25) ist s-dentig und stellt die noch fehlen-
den Wurzeln der Fundamentalform n?) dar.
Da zwischen den YerSnderliohen a;, u und | die Beziehung
bestand, so conyergiren die Reihenaggregate 22), 24) und 23), 25) dann,
wenn das Beihenaggregat 11) divergirt — und umgekehrt.
Es kann daher jede der drei Fnndamentalformen durch
convergente Reihen vollständig aufgelöst werden.
b) Anmerkung.
£8 würde sieh jetzt weiter darum handeln, die eben aufgestellten Reihen,
also etwa Nr. 22), durch einen geschlossenen Ausdruck darzustellen, ähnlich
wie dies in Abschnitt II) mit der Reihe 6) resp. 11) geschehen ist. Dabei
käme es in erster Linie darauf an , ein Integral zu ermitteln , welches aus-
gewerthet den Quotienten zweier Gammafunctionen liefert, wie er fUr g^^^^
unter Nr. 15) auftritt
In einer Arbeit yon Liouville* findet man das Integral
e^^^d« 2«r-« x>0
behandelt I aus dem leicht ein anderes hergeleitet werden kann, welches den
Quotienten zweier Gammafunctionen darbietet. Dieses mttsste dann mit dem
in Frage kommenden Differentialquotienten 0q^^^ zur Coincidenz gebracht
werden.
Allein die neuen Integralformen weichen von den früheren so sehr ab,
dass wir die angeregte Aufgabe im Augenblicke nicht weiter verfolgen.
lY. Lineare Differentialgleiohangen (Differentialresolventen)^ denen
die Wnrseln der FnndamentaUörmen genügen.
Wir könnten auf directem Wege, unter wiederholter Anwendung der
SchlOmilch*schen Differentialformel, die höheren Differentialquotienten,
» welche aus den Fundamentalformen i) , z) und w) hervorgehen, so vereinigen,
dass die verlangte Differentialgleichung erscheint. Der Kürze halber stellen
wir jedoch diese Differentialgleichung sogleich an die Spitze und begnügen
uns damit, einen Weg anzugehen, auf welchem die Richtigkeit des Resul-
tates nachträglich ohne Mühe erschlossen werden kann.
Die gesuchte Gleichung lautet
^ Siehe Grelle's Journal, Bd. 13.
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234 üeber die Auflösung der allgem. trinomischen Gleichung etc.
and ihr genügen die ni**° Potenzen sämmtlicher Wurzeln der
drei Fundamentalformen i|)» y), t?), je nachdem durch die Sub-
stitutionen
IN m
die specifischen Variabelen eingeführt sind.
Die Existenz der Gleichung 26) wird durch folgenden Process erwiesen:
Wir bilden mittels SchlÖmilch's Formel* die Ableitung ^_^
unter Zugrundelegung der Gleichung iff) und führen hierauf statt u, v die
Veränderlichen x^ y ein, ausserdem ersetzen wir q durch ^lO; ''~'. Die
rechte Seite von 26) verwandelt sich alsdann in einen fif^ Differential-
qnotienten. Nun entwickeln wir in derselben Weise unter Zugrundelegung
der Gleichung f) den Quotienten jr;j> führen auch hier statt £, 17 die Ver-
Snderlichen Xy y ein und ersetzen q durch q^x ". Dann entsteht aber
auf der linken Seite genau derselbe Differentialausdrnck , den wir auf der
rechten fanden, und hiermit ist unsere anföngliche Behauptung erwiesen.
Die Gleichung 26) kann auch in anderen, doch unwesentlich von ein-
ander verschiedenen Formen erscheinen. Diese unterschiede verschwinden,
wenn man jene Gleichung weiter transformirt, und zu diesem Zwecke wird
es nöthig sein, einen Differentialausdruck von der G^talt
in eine geläufigere Form umzusetzen.
Integriren wir die letzte Gleichung und sehen dabei y als eine gegebene
Constante an, so erhalten wir als completes Integral einen linearen Aus-
druck, der — ausser Constanten — einzig und allein nur Potenzen von x
enthält Eben deshalb kann rückwärts eine lineare Differentialgleichung
(5+r)*«f Ordnung von der Form
aufgestellt werden, welche genau dasselbe complete Integral liefern würde.
Wir finden hierbei, dass
und dass die Charakteristik** der Differentialgleichung V) folgendermassen
lautet:
• Vergl. Capitel H.
** unter der Charakteristik der Gleichung h) wird bekanntlich jene alge-
braische Gleichung (8 + r)<*" Grades verstanden, welche sich für 1 ergiebt, wenn
verlangt wird, dass y^x^ eine particuläre Lösung der reducirten Differential-
gleichung sei
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Von W. Hbthahn. 235
27) F(i) = tT(i-[fc<r-j>+g.r-i>jJ). JJ(i-[»'«?,-i»,]) =0.
Verknüpfen wir jetzt die beiden in Bede stehenden Differentialausdrücke
a) nnd h) gemäss der Belation
so erhalten wir unmittelbar
wobei
a = <2« — P + ftr— 1?,, -4,4.r = l,
und die Ai durch die Charakteristik 27) eindeutig bestimmt sind.*
Pur j7j = 0, ^1 = 1, r = 0, ss=n entsteht specieller
29)
fei
ü— 1
=0"-^
^W=/ /(^-[*^-i>J)=o, ii„=i.
Mit Hilfe der Belationen 28) und 29) erhalten wir nun folgende end-
giltige Resultate:
Die ni^*° Potenzen sSmmtlicher Wurzeln der Pundamen-
talform ^ « . v « - . i n
genfigen der Differentialgleichung
30) Sl= ^- 'S' ^' «'?<'>.
Die ii< sind durch die Charakteristik
n.=0(.-[f-»=)]--^-(x+[.-^+.-;^])=o
bestimmt, d hat den früheren Werth
8) ^/ = (-.l)«n-«s-(n-5)«— .
Die m**" Potenzen sämmtlicher Wurzeln der Pundamental-
^''''°' y) y»+jr— +« = 0
genügen der Differentialgleichung
0 0
31) Vil,aj'««) = ^f-««* V-B,aj'iB<0.
Die Ai sind bestimmt durch die Charakteristik
* Wer die Ableitung der Formeln 28) und 29) nicht als einwurfsfrei anerkennt,
kann sich durch Anwendung des Schlusses von n auf (n+1) von der Richtigkeit
überzeugen.
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236 Ueber die Auflösung der iülgem. trinomischeD Gleichung etc.
«—1 «— •— 1
die Bi hingegen durch
''«=flf('-[^'J])=''•
Die der dritten Fundamentalform entsprechende Differentialgleichung
erhält man durch die frtlher angezeigte Yertauschung. — Yergl. Capitel I.
Hierzu bemerken wir noch Folgendes.
Die Charakteristik, welche zu 30) gehört, ist identisch mit der Gleich-
ung /*(JL) = 0, die wir bei Gelegenheit der Reihenentwickelung fanden. —
Vergl. Nr. 9.
Die erste Charakteristik, welche zu 31) gehört, enthält s&mmÜiche
Wurzeln der Gleichung t^(A) = 0, vergl. Nr. 20), und ausserdem die Wur-
zeln 0, 1, ..., («— 1), welch' Letzteres anzeigt^ dass die Coefficienten A^
bis il«-.i verschwinden. Die zweite Charakteristik in 31) ist identisch mit
9(A) = 0, vergl. Nr. 20).
Beiläufig sei erwähnt, dass man mittels Durchganges durch 26) leicht
jene lineare Differentialgleichung aufstellen kann, die zu der trinomischen
Gleichung ,- + |.,.-. + |/. = 0. ," = t
gehört.
Lineare Differentialgleichungen („differential resölvenis*'), denen die Wur-
zeln trinomischer Gleichungen genügen, hat zuerst Harlej aufgestellt in
einer Arbeit „On the theorj of the Transcendental Solution of Algebraic
Equations", Quarterlj Journal of Mathematics, Yol Y. Später hat er seine
Resultate verallgemeinert, und dieselben sind aufgezeichnet in Boole*s
Treatise on Differential Equations, Snpplementary Volume, Ch. XXX, Art
5 u. 6. An derselben Stelle befinden sich auch bemerkenswerthe Zusätxe
von Boole, sowie ein Beweis von Cajlej, mittels dessen die Richtigkeit
des von Harlej durch Induction erschlossenen Resultates dargethan wird.
Jene englischen Mathematiker betrachten die Differentialresolvente in
einer eleganten symbolischen Form , und wir halten es nicht ftlr tlberflfissig,
diese Gleichungen, insoweit sie die drei Fundamentalformen {;), jv), ir) be«
treffen, mitzutheilen. Sie lauten
and hier bedeutet [;fcj» = fc(j_i^(;fc_2) ...(fc_„+l).
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Von W. Hetmann.
237
y. Integration der Diflerentialreeolventen.
Durch die früheren Untersuchnngen ist die Integration schon vorbereitet.
Der Dififerenüalresolvente
30) {;<"> = ^f{?'{<"> + iln-tg— '£<«-» + . .. + il.U'+^o£l
genflgt, wie eine einfache Betrachtang lehrt, unmittelbar einzeln eine jede
der fi Reihen Bu^ welche unter Nr.ll^ Cap. II a) vorkommen, so dass
mit Unterdrückung der Gonstanten £;><*> das allgemeine Integral fol-
gende Form besitzt:
32)
•[J/'(Ä+;«)l
(h + in I
In derselben Weise finden wir, dass der Differentialresolvente
31)
=, ja-^(H) + .
, + B,x0 + B^e\
eine jede der n Beihen Bky wie sie unter Nr. 22) und 24) Cap. III a)
angegeben sind, für sich genügt, so dass das allgemeine Integral
folgendermassen lautet:
{h + i8y/j.Ji^(h^ j+i)s)\
1-1
33) e
— ^
'^'.
fj t^(A + (i+l)(n-5))j
Durch bekannte Vertauschung der Variabelen und Parameter, resp.
durch Benutzung der Ausdrücke 23) und 25), Cap. III a), würden wir
•das allgemeine Integral jener Differentialresolvente erhalten, welche zur
dritten Fundamentalform vo) gehört. Sollten in 32) oder 33) die Conver-
genzbedingungen nicht erfüllt sein, so gelangen wir mit Hilfe der Substi-
tutionen ^ ^
sicher zu brauchbaren Beihen *
• iX
wu^
^ Alle diese Beihen gehören zur Classe der hypergeometrischen n'*' Ordnung
und und anderweitig genauer untemucht. — Man vergl. hierüber die intereesanten
Arbeiten von J. Thomae, Mathem. Annalen Bd. II, und Goursat, Annales de
TEcole Normale ZU, 1883
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238 Ueber die Auflösung der allgem. trlnomischen Gleichung etc.
Die Differentialresolyente 30) läsfit sich aber auch durch bestimmte
Integrale vollständig integriren. Wir fanden in Cap. II b) unter Nr. 12),
dass jede Wurzel der Fundamentalform
^ ^ 0 i?" + |i?— '+1=0, nT-^i
durch
{;=^^|J{(«n-i)-^«(«*)l
dargestellt ist, wenn
ii,==cos \-t3tn ; Ä=0, 1, ..., ♦•— 1.
fi fi
Bezeichnen wir den zu einem individuellen k gehörigen Werth von (
mit iki so wird der Differentialresolyente 30) der allgemeine Ausdruck
«—1
genügen, und führen wir statt f/t die Differenzen der Doppelintegrale /&
ein, so kommen wir zu
34) i^y^MkMi,).
Die neuen Integrationsconstanten Mk hSngen mit den frflheren in fol-
gender Weise zusammen:
2^—1
ihre Summe ist daher augenscheinlich der Null gleich und es iSsst sich
demnach auf diesem Wege das allgemeinste Integral der Differentialresol-
yente 30) nicht erschliessen. Indessen geht aus anderen Betrachtungen*
heryor, dass jener Differentialgleichung ein jedes der J^ ftlr sich genügt.
* Im 3. Bande der Mathem. Annalen hat Spitzer darauf aufmerksam ge-
macht, dass der Differentialgleichung
— mit beliebigen eonstanten Goefficienten Ai — durch n- fache Integrale der Form
»
in denen e^^ irgendwelche Wurzel der Gleichung
«» =An
bedeutet, genügt werden kann. — Wir haben in unseren bereits dtirten Arbeiten
über trinomische Gleichungen das Spitz er 'sehe Resultat bewiesen und bemerkt,
dass die i die negativ genommenen Wurzeln der Charakteristik der Gleichung
sind. ~ Falls die Charakteristik yon so spedeller fiedeutong ist, wie in der Dif-
ferentialresoWent« 30), und falls y = fi, so redueiren sich die eben angegcbeneu
n fachen Integrale auf die Doppelintegrale J^{9fi)t wie überhaupt das n-faoLe
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Von W. Heymann. 239
Vertauschen wir noch cjg mit ik^y wobei die Differentialresolvente nn-
geSndert bleibt, so repräsentirt sich das vollständige Integral in
der Form
0 0 ^
Für tk Bind nach und nach sämmtliche Warzeln der Gleichung
zu setzen, und ausserdem ist bei der Auswerthung der Integrale die in
Cap. IIb) angegebene identische Umformung gehörig zu beachten.
Jene Umformung hat übrigens für die Differentialresolvente 30) fol-
gende Bedeutung:
Bei V- maliger Differentiation der Gleichung nach $ entsteht in Bezug
auf ^^^ eine lineare Differentialgleichung, die sich von der früheren nur
dadurch unterscheidet, dass die Wurzeln ihrer Charakteristik um die Zahl v
kleiner geworden sind. Ein Sinken dieser Wurzeln um 1 hat aber ein
Steigen der Exponenten im Potenzenproducte Mi"""''"*!*^'""* um 5, bez.
(n — $) zur Folge, so dass der hinreichend differenzirten Gleichung schliess-
lieb ein brauchbares Integral zukommt. Rückwärts verschafft uns dann
eine v- malige Integration nach £ das Integral der ursprünglichen Gleichung.
Was endlich das Integral unter Nr. 33) anlangt, so kann es sich er-
eignen, dass eine der ersten s Reiben mit einer der letzten (n—s) Reihen
vollständig übereinstimmt. Soll etwa die mit Mp multiplicirte Reihe Bp
zusammenfallen mit der mit üf^ multiplicirten Reihe 22,, wobei pc=0, 1,
Integral, je nach der Beschaffenheit der Charaktenstik , zuweilen in ein einfaches,
doppeltes, dreifaches u. a. w umgesetzt werden kann Dieses wird direct nicht
leicht erkannt, und da wir in unseren früheren Arbeiten die Auflösung der tri-
nomiflchen Gleichung auf die Integration der allgemeinen Differentialgleichung
basirten, so erscheinen dort die Lösungen in der Gestalt von n- fachen Integralen.
Auf die Reihenentwickelung ist indessen dieser Umstand ganz ohne Einfluss, denn
die Reihe 32) genügt der Gleichung 30) auch, fal s die CoefGcienten Äi beliebige
Zahlen sind, wenn nur der Ausdruck / in der Reihe identisch mit der Charakte-
ristik der allgemeinen Differentialgleichung ist. Es lässt sich daher mittels der
Reihen leicht darthun, dass die n- fachen Integrale bei der erwähnten speciellen
Charakteristik nicht wesentlich von den Doppelintegralen verschieden sind, hin-
gegen, dass es die n- fachen, resp. Doppelintegrale unter sich sind. — Noch eine
aodere Reduction der Integrale ist möglich: Im Falle v = n kann das Spitz er *sche
Integral unter allen Umständen in ein n — l-faches verwandelt werden, wenn man
an Stelle von --^ bis die neuen Integrationsvariabelen v, bis t7».i einf^rt.
Mithin können die Doppelintegrale, welche der trinomischen Gleichung genfigen,
sogar durch einfache ersetzt werden. Die Form der Integrale erleidet indessen
hierdurch eine wesentliche Veränderung, und ich möchte mich zu jener Umgestal-
tung nicht eher entschliessen, als bis ein zwingender Grund vorbanden ist und die
in Abschnitt III b) offen gelassene Frage ihre Beantwortung gefunden hat.
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240 Ueb. d. Auflösung d. allg. trinom. Gleichung etc. Von W. Hbtmann.
• •»
;^1; gs=0, 1, ..., n— 5— 1, 80 ist zunftohst erforderlich, dass die
Exponenten p und — nicht verschieden sind, d« h., es muss
Wenn aber diese Bedingung stattfindet, so werden auch — wie eine ein-
fache Rechnung zeigt — die Coefficienten gleicher ^-Potenzen einander
proportional und es ergiebt sich
^ s '
Der in Rede stehende Fall kann im Allgemeinen für 5(n — s) yon einander
yerschiedene ganzzahlige m stattfinden.
Ist aber m eine ganze Zahl, so yerschwindet , abgesehen yon beson-
deren Fällen, die Summe der Wurzeln der Fundamentalform z) und es
stellt der Ausdruck ^_j
'=<§'
nicht mehr das vollständige Integral der Differentialresolvente 31) dar.
Oesetzt nun, es ist ^_,
so iSsst sich — bei Aenderung der Constanten — t in der Form
geben, und geht man zur Grenze über, so entsteht
36) *=2'^***+^-'2*"'**''
also ein Ausdruck mit der hinreichenden Anzahl von Integra-
tionsconstanten. — Eine der letzten Entwickelung sehr ähnliche findet
sich bei Boole. Yergl. a. a. 0.
Die weiteren Ausnahmefälle, insbesondere wenn n und s nicht relativ
prim sind, lassen wir bei Seite.
Dresden, Ende August 1885.
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Kleinere Mittheilungeii.
XVn. Invemon des von Weierttraii deflnirten Tollitändigen
elliptisohen Integrals zweiter Oattang.
Von den darch Weierstrass definirten Integralen J und J' ist das
zweite bekanntlich identisch mit dem Legendre'schen Integral "E'^ seine
Inversion ist daher in unserer zweiten Abhandlung (s. diesen Jahrgang,
Heft ä S. 178) schon geleistet und wir können die darin enthaltenen Gleich-
ungen 10) und 18) einfach mit veränderter Bezeichnung wieder benutzen,
indem wir ^ in ^' und zugleich q in q^ resp« q' in q umwandeln. Dann
ergiebt sich:
^'= ^^^THTV ^'= ^^ ^'C-^' 5'«),
wobei u durch Gleichung 7), L(qn) durch 9) und L{J\qn) durch 17)
definirt ist. Es handelt sich also nur noch um die Inversion des Integrals «7.
Zunächst ist bekanntlich J^K—E'^ sodann hat man die Reihe*:
woraus zu ersehen, dass^mit h zugleich verschwindet, mit wachsendem h
stetig vrächst und für Ä; = l einen unendlich grossen Werth annimmt.
Man könnte nun schon gleich diese Reihe nach Lagrange inyertiren
und so den Modulus "k direct als Function von / darstellen; es ist aber
dankbarer, die Vermittelung der Grösse q dabei in Anspruch zu nehmen. —
Wir haben nämlich in der vorigen Abhandlung 8. 180 schon die Gleichung an-
geführt :
7t \ n n J ^ 1 — 2*"
und auch schon die Formel festgestellt, nach welcher die Coefficienten der
aufeinander folgenden Potenzen von q zu bilden sind, wenn die rechte
Seite in eine Potenzreihe entwickelt wird. Geben wir dieser Gleichung nun
die Form: fi=«
2k' 2y^g%-l wg"
oder:
n n jf^^j 1-^«"
* Weierstrass, Theorie der Aberschen Functionen. Crelle*8 Journal
Bd. 62 S, 364. C^ \
Z«lUohrift f. Mathematik u. Physik XXXI, 4. D^itized by VjOOQIC
242 Kleinere MittheilangeD.
'^ n 2K
n
so können wir auf der rechten Seite nach dem früher Dagewesenen zunächst
folgendermassen entwickeln:
sodann aber aach durch eine beliebig weit ausführbare Division die Relation
zwischen J und q auf die Form bringen:
"" -.1800^ + 3266^^0-...).
Diese Reihe Iflsst sich ohne besondere Mühe inyertiren und liefert, wenn
J
man zur Abkürzung j^ = u setzt , das Resultat :
5 = u + 2u*-20«*-66u* + 84ti« + ...
In einem weiteren Gebiete, als diese letztere Formel, ist aber die In-
version nach der Limitationsmethode anwendbar. Aus Gleichung 1) findet
sich z. B. direct folgende:
27 2^:
2) g =
wofür, da — als Function von q bekannt ist, geschrieben werden kann:
3) "" g = L{J,q).
Um nunmehr zur Entscheidung der Frage nach der Convergenz der
beabsichtigten Limitation zunächst über das Vorzeichen des Differential-
quotienten r— Etwas zu erfahren , bringen wir die Gleichung 2) durch Reihen-
entwickelung und Division auf die Form:
4) g=_(i + 29-4^«-49»+14v*-8i7*-24^« + 56^^-29^8
"" -104^» + 2ö0^^ö-...)
und bilden
|^ = ^(2-?[8 + 129-56»«+...]).
oq n
Hieraus ist ersichtlich, dass der Werth von — - für kleinere Werthe von g
dg
nothwendig positiv ausfallen muss, dass also in diesem Bereich aus der
Relation 9»<^r+i bei constantem J die weitere Relation folgt:
L{J,qn)^L{J,q„^i).
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Kleinere Mittheilangen. 243
Wählen wir für den Beginn der Limitation irgend eine Grösse ^q, so
sind, gerade wie in der vorigen Abhandlung S. 186, zwei Fälle zn unter-
scheiden. Angenommen erstens : ^qK,9i ^o ist auch L {J, q^ < L (/, q). Setzt
man jetzt:
5', = i(J,5'o)i
so folgt aus 3):
5) <ii<q>
Werde nun derjenige Werth von 7, welcher entsteht, wenn man in
Gleichung 1) die Grösse q mit q\ vertauscht, durch J^ bezeichnet, so geht
zunächst Gleichung 3) über in die Form:
%==L(J^,q^).
Ferner folgt aus der Relation q^^^q und aus dem zu Anfang dieses Ab-
schnittes hervorgehobenen Umstände, dass das Integral J mit seinem Mo-
dulus Ä;, also auch mit der Grösse q zugleich stetig zu- und abnimmt, dass
auch Jq<CJ sein muss. — Nunmehr lehrt ein Blick auf die Gleichung 4),
dass auch L{Jq^ q^) < 7v(/, q^) ist oder, was ganz dasselbe bedeutet, q^Kqi .
Combinirt man dieses Resultat mit 5\ so ergiebt sich die fundamentale
Relation :
9o < ^1 < ^•
Ganz dieselben Schlüsse, wie wir sie schon mehrmals aneinander gereiht
haben, führen auch hier wieder zu dem Resultate:
yo<^i<y2---<'/n< V,
6) q=^limL{J,qn).
Wäre aber zweitens der Anfangswerth q^^ grösser als die unbekannte
Grösse q gewesen, so würden sich nacheinander folgende Relationen ergeben:
%>9^ L{,Aq,^)>Li,J,q), q^>q,
Jo>J, X(yo,^o)>^(A5'o)» 9o><?i»
</o>9i>9 etc.,
9o>9i>9i''>(/n>qy g = limL(J, ^„).
Es findet also in diesem Falle eine Annäherung von oben her statt. — In-
dessen besitzt, wie vorhin schon angedeutet, die Anwendung dieser Limi-
tation irgendwo eine obere Grenze und daher muss nun über den zulässigen
Spielraum Etwas constatirt werden.
Nehmen wir den Mittelwerth fc = ^n45®, so ist:
(? = 0,0432139, jr= 1,8540747, iJ= 1,3506439,
also:
7 = 0,5034308.
Soll nun versucht werden, ob aus diesem Integral der oben angegebene
Werth von 7 durch die eben entwickelte Limitation sich ermitteln lässt, so
kömien wir von der Null ausgehen. Für ^0 = ^ Mg^ aber aus 4):
g = X (J, 0) = ^ = 0,0400618.
Sodann ist:
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244 Kleinere Mittheilungen.
y, = 0,0430055, ^3 = 0,0432001,
^, = 0,0432130, r/, = 0,0432139, (7^ = 0,0432139.
Für diesen und alle kleineren Werthe von q fClbrt das gegenwärtige
Verfahren also zum Ziele. Ohne Zweifel reicht seine Anwendbarkeit aber
über den Mittelwerth A; = ^n45^ noch eine Strecke hinaus. Indessen, da
jedenfalls doch ein Restintervall übrig bleibt, wo die Formel 6) uns im
Stiche lässt, so wollen wir den ganzen übrigen Spielraum:
sm45«<Ä;<l
lieber mit einem Schlage erledigen, indem wir g' als Function von J aus-
drücken.
Zu einer Gleichung zwischen J und q' kann man auf verschiedenen
Wegen gelangen. Da wir indess früher schon die Beziehungen der Grössen
K und E zu q' entwickelt haben , so scheint es hier am einfachsten , / als
Differenz dieser beiden Integrale darzustellen.
Aus q'=e ^ ergiebt sich:
_ 1 nK , ^ 1 _ 1 2ir'
log-r^-:^ und K^^log—
q K 2 q n
Ferner entnehmen wir aus der vorigen Abhandlung die Gleichung 13), wo-
nach: ,=•
je;= 1-^^ 1
i+42(-i)-^'r!:f^
oder, was dasselbe ist:
^= WF
Demnach erbKlt man durch Subtraction:
2
Jz=K-E=
N,M(^IT-«Ii!$-.)-
2^^'
7t
Nun kann man die in der Klammer enthaltene Differenz folgendermassen
vereinfachen :
• Fund. n. p. 108 Nr. 8.
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Kleinere Mittheilungen. 245
[ir) -^4|i37i-. = »+8j-j-_-^.,— + — ^^^, — +...J
- ^ +« (137.- 1-37.+ 1:17« —•• )
= l + 85"(-l)"+'i^-
Also hat man:
7) J= 1-5 "=' '
Ans dieser Gleichung isoliren wir den Logarithmus und erhalten:
e\ 7 ^ 11/
8) Jog-f-^.
9 "^ . «<,'!«
Hiermit kann nun die Limitation vollzogen werden. Wir setzen also statt
8) zur Abkürzung:
9) logj = L{J,q').
Bezüglich der Entwickelung in Potenzreihen ist hier auf die schon
erwähnte Formel von Borchardt zu verweisen:
sowie auf die in der vorigen Abhandlung S. 182 von mir angegebene Formel:
11 = 00 P=QD
11=1 ^ p=:l
Man erhält:
..J _2 + 2/(l + 4g-4-4g-> + 4g^ + 8g^ + 4g^» + ...)
Nunmehr läset sich wieder durch Bildung des partiellen Differentialquotien-
dL
ten -- leicht nachweisen , dass ein Intervall existiren muss , innerhalb dessen
dq
die Function L mit q zugleich wächst und abnimmt. Berücksichtigt man
ferner, dass mit zunehmendem Werthe von q der log — abnimmt und um-
q
gekehrt, so gelangt man durch Schlüsse, welche den im Vorigen mehrmals
^ederholten ganz analog sind, zu dem Resultat:
^'o <^\<Qa" < (In < q< /ii+i "<q\ <q\y
10) q=lifnL(J,q'„). ^ ,
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246 E[leiiiere Mittheilungen.
Es findet also eine oscillirende Ann&herung statt; je zwei aufeinander fol-
gende Näherungen haben die erwünschte Eigenschaft, den gesuchten Werth
stets zwischen sich einzuschliessen. — Nun nimmt bekanntlich in dem In-
tervall «»45®<Ä< 1 die Grösse q stetig ab. Wenn daher Gleichung 10)
den Mittel werth Ä; = ^n45^ noch beherrscht, so beheiTscht sie das ganze
Intervall. Führt man diese Probe aus, und zwar, um die Annäherung
durch den ganzen Zwischenraum hindurchzuleiten, mit dem Anfangswerth
/q = 0, so ergiebt sich:
Z()^ i = 27+ 2 = 0,0494466,
sodann
/, = 0,0426670, 9', = 0,0432659, /^ = 0,0432089 , 7^5 = 0,0432147,
^'« = 0,0432138, ^, = 0,0432139, /8 = 0,0432139.
Dieser Werth von q stimmt mit dem vorhin für q gefundenen voll-
ständig überein, wie es ja offenbar auch sein muss.
Hiermit ist die letzte noch übrige Lücke ausgefüllt und der Zweck
unserer Untersuchungen über die Inversion der vollständigen elliptischen
Integrale erster und zweiter Gattung erreicht. Es haben sich die Mittel
gefunden, um aus jedem möglichen Werthe der Grössen K^ K\ Ey E' ^
/, 3' den zugehörigen reellen Modulus mit beliebiger Genauigkeit berechnen
zu können.
Bonn. Dr. G. Isenkrahe.
XVnL Znr mathematiichen Statistik.
Antwort auf die Angriffe des Herrn Dr. H. Zimmbshabh.
In der Schrift ,, lieber Dienstunföhigkeits - und Sterbensverhältnisse^,
Berlin 1886, bei Puttkammer & Mühlbrecht , wird von Herrn Dr. Zimmer-
mann der folgende, von mir aufgestellte und zuerst in dieser Zeitschrift.
Jahrgang XXV Heft 1, veröffentlichte Satz angegriffen:
Wenn n Ereignisse, die von n von einander unabhängigen Ur-
sachen bedingt werden , sich sämmÜich oder theilweise ausschliessen,
d. h., wenn das vorherige Eintreffen des einen oder des andern das
Eintreffen mehrerer oder aller übrigen unmöglich macht, so kann
bei einem unendlich kleinen Zeitintervall doch dieses Abhängigkeits-
verhältniss nicht in Frage kommen , weil , wenn die Aufeinanderfolge
zweier oder mehrerer Ereignisse von dem Zusammentreffe!! durch
unsere Sinne unterschieden werden soll, immer ein endliches , wenn
auch noch so kleines Zeitintervall zwischen denselben liegen muss.
Für ein unendlich kleines Zeitintervall werden daher derartige ab-
hängige Ereignisse unabhängig von einander und die Sätse der un-
abhängigen Wahrscheinlichkeiten sind auf sie anwendbar.
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EHeiiiere Mittheilungen. 247
Genannter Autor sagt S. 8 a. a. 0. wörtlich:
9 Dieser Satz ist nicht nur in seiner Anwendung auf den yor-
liegenden Fall, sondern inti Allgemeinen folsch"
nnd begrfindet dies damit, dass man nicht a priori für die Aufstellung der
Grandgleichung in Infinitesimalgrössen Bedingungen ändern oder yemach-
lässigen könne, welche für endliche Gröesen gegeben seien.
Man muss bekennen, dass Herr Dr. Zimmermann in seinen Behaup-
tungen bewundemswerth klar und verstftndlich ist, yerstSndlicher, als in
seinen Begründungen. Ich bin ja auch der Ansicht, dass man a priori nicht
Bedingungen yerftndem oder yemachlässigen darf; aber ich meine, dass
das Letztere hier gar nicht geschehen ist. Die dem Satze yorausgeschickten
Betrachtungen , die mein Gegner zunächst ganz ignorirt , genügen nach meinem
Dafürhalten vollkommen, um einzusehen, dass in einem unendlich kleinen
Zeitinteryall die hier in Frage kommende Abhängigkeit verschwindet
Nun gebe ich aber gern zu, dass man hieiHber auch anderer Ansicht
sein kann, zumal wenn man, wie Herr Dr. Zimmermann, den Stand-
punkt vertritt, dass bei mathematischen Untersuchungen nur die Grenz-
metbode zulässig ist, wie ich aus der folgenden Aeasserung dieses Herrn
schliesse. Derselbe fährt nämlich fort:
;,Was vernachlässigt werden darf, zeigt sich, wenn man die
Gleichung in endlichen Grössen aufstellt und dann zur Grenze über-
gebt«
Um nun meinen Satz auch einer solchen Auffassung gegenüber auf-
recht zu erhalten , wird mir nichts weiter übrig bleiben , als denselben nach
der Grenzmethode abzuleiten. Dass die Aufgabe keine schwierige ist, trotz-
dem sie Herr Dr. Zimmermann für unmöglich hält, werde ich sogleich
zeigen.
Es handelt sich im vorliegenden Falle darum, den Beweis zu erbringen,
dass die folgenden Wahrscheinlichkeiten, nämlich, dass 1. keine s von den n ab-
hängigen Ereignissen, dass 2. ein beliebiges dieser n Ereignisse und dass end -
lieh 3. ein bestimmtes dieser n Ereignisse innerhalb des unendlich kleinen
Zeitinteryalls von xhia x -^-dx stattfindet, genau dieselben sind, als wenn die
n Ereignisse yoUständig unabhängig von einander wären. Die Wahrscheinlich-
keiten, dass zwei und mehrere der n Ereignisse innerhalb xhis x + dx hinter
einander eintreten , sind hier kein Gegenstand der Untersuchung , da mein Satz
auf Grund der ihm yorausgeschickten Betrachtungen auf solche Fälle nicht
angewandt werden kann.
Sei allgemein die Wahrscheinlichkeit, dass unter der Einwirkung der
übrigen (m— 1) Ereignisse das i^ Ereigniss innerhalb der Zeit yon x bis
x+^x stattfindet, gleich Xi/tx und die Wahrscheinlichkeit, dass keines dieser*
n Ereignisse innerhalb der angegebenen Zeit eintritt, gleich l—Jy, so würde,
wenn die Ereignisse alle unabhängig yon einander wären, nach
dem Satze von der zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit
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248 E[leiiiere Mittheilnngen.
= 1-'X^^X'-X2^x-^ ...—Xn^x + N^^a^ — N^Js^
H ... ±Nn/l(Kf
sein. Hierbei ist es gleichgiltig , ob man sich x^y x^^ ..., o;« als constant
oder Yon ^x abhftngig Torstellt. Jedenfalls ist, was auch ^x sein mag,
keine der GrOssen x^^ oc,, ... unendlich gross.
Aus 1) folgt
Jx
und, wenn jetzt zur Grenze abergegangen wird, in aller Strenge
Fikr ein unendlich kleines Zeitintervall ist daher
2) äy=^x^äx + x^dx + .., + Xn dx^
1 — dy = 1 — ojj da; — Äj da? — . . . — a?« dx.
Nun sollen aber diese n Ereignisse dergestalt von einander abh&ngig
sein, dass das vorherige Eintreffen des einen das Eintreffen des andern oder
aller übrigen unmöglich macht. In diesem Falle wird in dem Ausdrucke 1)
die Wahrscheinlichkeit für verschiedene der daselbst auftretenden zusammen-
gesetzten Ereignisse eine Verminderung erfahren. Wäre z. B. der Eintritt
des zweiten Ereignisses nach dem ersten, nicht aber umgekehrt der Eintritt
des ersten nach dem zweiten möglich, so würde die Wahrscheinlichkeit für
das Eintreffen dieser beiden Ereignisse nicht x^x^Jm?^ sondern nur ix^x^^^i^
sein, wo 0<€<1 ist. Es ist daher klar, dass in diesem Falle die Reihe
3) N^Ja?''N^Jar^ + -.,.±Nn dx"" = S^
durch eine andere
4) ir^Jii^''ir^Jx^ + -...±N'n^fixf = 8^
ersetzt werden muss, deren Coefflcienten kleiner als die der ersteren sind.
Zur Ermittelung der Grenzen, innerhalb deren S^ liegen muss, führen
folgende einfache Betrachtungen.
In den FWen, wo alle zusammengesetzten Ereignisse an-
möglich sind, ist offenbar
5) 1 — ^y= l — O?! 2^0? — »2^/05 — ... --Xn^X
und somit das auf der rechten Seite noch zuzusetzende Glied
5 = 0.
Könnte aber z. B. das i^ Ereigniss in einer Verbindung mit dem k^^ eintreten,
vielleicht so , dass das erstere vor dem letzteren möglich ist, so würde die
Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen beider Ereignisse, da solche sowohl
in XidXy als auch in Xk ^x mit enthalten wäre, auf der rechten Seite der
Gleichung 5) einmal zuviel in Abzng gebracht sein und wieder hinzn-
geftlgt werden müssen, woraus sofort foljrt, dass unter dieser Voraussetzung
8>0
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Kleinere Mittheilungen. 249
ist. Die soeben gefundene Eigenschaft findet aber in unserem Falle , wo nur
das vorherige Bintreffen des einen oder des andern das Eintreffen mehrerer
oder aller übrigen unmöglich macht, erst recht statt; denn hier sind offen-
bar sehr yiele von den zusammengesetzten Ereignissen noch möglich, deren
Wahrscheinlichkeiten in den Wahrscheinlichkeiten der einfachen Ereignisse
alle wiederholt enthalten sind. Am grössten wird, wie leicht einzusehen
ist, jedoch S sein, wenn die n Ereignisse in allen möglichen Combinationen
stattfinden können, d. h. also, wenn alle n Ereignisse vollkommen unab-
hängig von einander sind. In diesem Falle ist
8 = 8^.
Die Grenzen fUr 8^ sind daher durch die Ungleichung
0<Ä,<S,
und die Grenzen für die Wahrscheinlichkeit 1 — Jy, wenn die n Ereignisse
die angegebene Abhängigkeit besitzen, durch
+ -...+ 2V„z/a;»
> 1 — a?j zia; — »g Ax — . . . — ic„ Ax
gegeben.
Aus 6) folgt
Ax \ <iri + a:,+ ...+a:„
und, wenn jetzt zur Grenze übergegangen wird,
Ay dy
*"^=5i = ^'+*»+-+^-'
also genau dasselbe, was wir unter 2) für unabhängige Ereignisse
gefunden haben, nämlich
7) dy=^x^dx + x^dx+ ...+Xndx,
8) 1 — dy= 1 — Xjdrc — rc, diC— ... — Xndx.
Durch analoge Schlüsse erhält man behufs Ermittelung der noch fest-
zustellenden Wahrscheinlichkeit Ayiy dass innerhalb der Zeit von x bis
x+Ax von den n Ereignissen nur allein das i^ stattfindet,
für unabhängige Ereignisse:
Jy^ =XiAx{l^XiAx){l--X2Ax) ...{l-'Xi^\Ax){l'-Xi^iAx)
...{l-XnAx)
= xtAx-'A^ Aa^ + Ä^ Ao? —+...+ -4« Ax^
und
für abhängige Ereignisse:
^ f >XiAX'-A.A7?'\-A.A(^'^'^,.. + AnAx^'y
Ayt^ -.5 —
<XiAx,
woraus, wenn zur Grenze übergegangen wird, für beide Fälle über-
einstimmend ^^ ,
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250 Kleinere Mittheilnngen.
9) dyi^Xidx
gefunden wird.
Damit ist aber bewiesen, dass für ein nnendlioh kleineB Zeit-
intervall Ereignisse von der besprochenen Abhängigkeit inso-
fern als anabbängig von einander betrachtet werden kSnneu,
als die Sätze der unabhängigen Wahrscheinlichkeiten auf sie
anwendbar sind.
Ich weiss nicht, ob Herr Dr. Zimmermann jetzt noch die Behaup-
tung aufrecht erhält, die er den bereits angeführten Auslassungen anfügt,
nämlich :
„Wendet man aber einen solchen Satz an, wie den obigen, so
setzt man etwas voraus, was erst bewiesen werden müsste, was
aber nicht bewiesen werden kann; denn man kann nicht be-
weisen, dass man vorhandene Bedingungen als nicht vorhanden be-
trachten darf." —
Was nun das sogenannte zweite Argument betrifft, das Herr Dr.
Zimmermann gegen meinen Satz ins Feld führt, so steht dies anf sehr
schwachen Füssen. Herr Dr. Zimmermann meint, es sei ebenso un-
gereimt, anzunehmen, dass eine Person gleichzeitig im Zustande der Dienst-
tauglichkeit sterben und auch dienstunföhig werden könne, als den Fall
zuzulassen, dass sie zuerst stürbe und später dienstunföhig würde. Hierüber
bin ich allerdings anderer Ansicht. Das Zusammenfallen, d. h. das gleich-
zeitige Eintreffen dieser zwei Ereignisse ist durchaus keine Absurdität, son-
dern thatsächlich möglich. Warum soll nicht Jemand in dem Augenblicke
sterben können, wo er seine Arbeit als Activer für immer einstellen will,
oder die der Invalidität vorangehende Erankheitsdauer eben absolvirt hat,
oder endlich von einer Körperschaft als invalid erklärt wird? Die Wahr-
scheinlichkeit hierfür ist freilich, wie wir gesehen haben, ein Unendlich-
kleines zweiter Ordnung, und daher gegen die Wahrscheinlichkeit der ein-
fachen Ereignisse verschwindend klein; aber etwas ungereimtes ist das
Zusammentreffen dieser zwei Ereignisse nicht.
Ob endlich mein Satz eine falsche Interpretation des Grundsatzes von
der Vernachlässigung des Unendlichkleinen höherer Ordnung ist, mag Herr
Dr. Zimmermann mit seinen philosophischen Ansichten über das ünend-
lichkleine abmachen; fQr mich handelt es sich nur darum, ob meine „In-
terpretation^ zulässig und zur Einleitung der Rechnung zweckmässig
ist. Das Erstere ist hier erwiesen und das Letztere , glaube ich , steht ausser
allem Zweifel.
Burgk bei Dresden. W. Küttner.
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Kleinere MittheilungeiL 25 t
XIX. Heber gewisse merkwftrdige Pnnkte des Breiecks.
(Hierzu Taf. III Fig. 3 u. 4.)
Wenn die Ecken eines Dreiecks ABC zn Mittelpunkten von Kreisen
genommen werden, deren Halbmesser gleich dem Radius des nm ABC be-
schriebenen Kreises sind , so schneiden sich jene Kreise in vier Puukteu M^
Ä^f J^i, C7i, von denen M das Centram des Umkreises ist und A^ ausser-
halb des Dreiecks gegenüber A, ebenso j?, ' gegenüber B^ C^ gegenüber C
liegen möge; die Geraden AA^^ BB^^ CC^ gehen dann durch einen und
denselben Punkt 0, der u. A. folgende Eigenschaften besitzt.
Sind AB, BE, CF (Fig. 3) die Höhen des Dreiecks, MP, MQ, MB
die Abstände des Punktes M von den Dreiecksseiten BC^ CA, AB, und
OU. OV, GW die entsprechenden Abstände des Punktes 0, so halbiren
U, 7, W die Strecken DP, EQ,FR. Wird ferner auf iiD der Abschnitt
-4P, = MP genommen und ebenso BQ^:= MQ, CR^ =^MR, so gehen PP^,
QQ^,RR^ gleichfalls durch den Punkt 0. Aus diesen Bemerkungen ergeben
sich zwei anderweite Constructionen von 0.
Für BC^a, CA = h, AB—c, MA^r und bei der üblichen Be-
zeichnung der Dreieckswinkel erhält man
AAi^j/r* +2bccosa, analog BB^ und (7(7,,
oder, wenn a* + &* + c* + ♦** = ä;* gesetzt wird,
-4-4,=j/ik«^=^2ä« u. s. w.
Die Entfernungen AG, BG, CG sind die Hälften von AA^, BB^, CC^,
Ferner ist GU =^ \r cos(ß-y). analog 07, GW.
itf 0 = i /ör» - (d" + 5M-V).
Diese Ergebnisse sind wahrscheinlich specielle Fälle des folgenden
Theorems :
Drei mit gleichen, aber sonst beliebigen Radien um ^, ^, C
beschriebene Kreise schneiden sich in sechs Punkten, von denen A^,
B^, (7| die äusseren, A^, B^, C^ die inneren sein mögen; die Ge-
raden AA^, BB^, CC^ gehen dann im Allgemeinen durch einen
Punkt Oi, ebenso AA^, BB^, CC^ durch einen von 0, verschiedenen
Punkt Og (Fig. 4).
Es muss jedoch bemerkt werden , dass dieser Satz Ausnahmen erleidet
und dass mitunter nur 0^ ezistirt, manchmal weder 0^, noch 0,. Man kann
daher die Frage stellen:
unter welchen Bedingungen lässt sich in jedes der gleichseitigen
Sechsecke AB^CA^BC^A und AB^CA^BC^A oder nur in eines oder
in keines derselben ein Kegelschnitt beschreiben?
Für jetzt muss ich es bei diesen Andeutungen bewenden lassen, meine
aber, dass eine weitere Untersuchung hierüber nicht ohne Interesse sein
dürfte. ScHLÖMiLOH^
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252 Kleinere Mittheilangen.
XX. Beitrag zur Theorie der Potentialfonetion.
Der Satz von der sprungweisen Aenderung des Differentialquoiienten
der Potential function beim Durchgang des afficirteii Punktes durch eine
Fläche in der Richtung der Normale wird von Dirichlet* in anderer Art
bewiesen wie von Gauss**. Dirichlet's Beweis setzt nur die Stetigkeit
der Dichte der Flftche voraus, wShrend bei Gauss noch überdies die End-
lichkeit der Differentialquotienten der Dichte vorausgesetzt werden muss.
Die Grundlage des erwähnten Satzes besteht in der Auswerthung des
bestimmten Integrals
0
wo (a, b, c) die Coordinaten des Punktes der Fläche, {x, 0, 0) die des affi-
cirten Punktes bezeichnen; die Berührungsebene im Coordinatenanfong ist
die 6 c- Ebene; für die rechtwinkligen Coordinaten h und c sind durch
Polarcoordinaten eingeführt. Die Grösse x wird gegen die unendlich kleine
Grösse e als unendlich klein vorausgesetzt. Zerlegt man das Integral J in
die beiden T heile
0 0
80 bietet die Bestimmung des Integrals K gar keine Schwierigkeit. Nicht
so die von L, Für dessen Auswerthung setzt Dirichlet x in einer ge-
wissen Grösse gegen a voraus. Diese Voraussetzung lässt sich durch die
bekannte Darstellung des Ausdruckes der Gleichung einer Fläche bei obigem
Coordinatensystem beseitigen, wodurch zugleich Dirichlet 's Behandlung
an Durchsichtigkeit gewinnt.
Die dazu nöthigen Integralformeln sind, wenn Z= (« + ^^r + yj5')^
gesetzt wird,
-2{2a + ßs)
11)
/gde _
Z^ -
{4aY-ß')Z
welche aus der bekannten Grundformel
* Vorlesungen, herausgegeben von Grube, § 14.
** Allgemeine Lehrsätze u. s. w., Art. 15 und 16. C. F. Gauss' Werke, Bd. V.
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J
Kleinere Mittheilnngen. 2ö3
^^==^^\og{2yz + ß + '2yyZ)
durch Differentiation nach a, j3, y erhalten werden.
1. Wird in dem durch den Winkel ^ bestimmten Normalschnitt ein
endlicher Krümmungsradius (1:2Z, wo l eine homogene Function zweiten
Grades von cosd' und sin^ ist) vorausgesetzt, so ist mit Vernachlässigung der
Glieder höherer Ordnung , «
Dadurch wird das Integral K schon bei Vernachlässigung von (a — a;)* in
r^ mit £ unendlich klein.
Für das Integral Z setze man ?p* — aj = £f; damit erhält man nach I)
T — ~"^ — "" 1
~" Absoluta: "~
je nachdem x positiv oder negativ ist.
Es möge bemerkt werden, dass derselbe Werth von L auch erhalten
wird, wenn man in (a— •a;)*+(>* die Grösse a gegen x vernachlässigt.
2. Wird im Goordinatenanfang eine scharfe Spitze vorausgesetzt, so ist
näherungsweise
damit wird nach III) das Integral K unendlich, während das Integral L
nach II) den Werth
annimmt.
3. Ist in dem durch den Winkel & bestimmten Normalschnitt der
Krümmungsradius unendlich klein, so ist näherungsweise
a = ?()'+^ 0<^<1.
Das Integral K ist, wie in 1., mit c zugleich unendlich klein. Für die
Bestimmung von L rechne man dieses Integral für die beiden folgenden
Grenzwerthe :
a=^lQ^ (oder a = 0),
d. h. a verkleinert, wofür nach 1. L= + ] folgt; setzt man
d. h. a vergrössert, so erhält man nach 2.
Es ist daher in den beiden Fällen 1. und 3. der Werth von J ent-
weder — 1 oder +1, je nachdem x unendlich klein positiv oder unendlich
klein negativ ist
Graz. Prof. Dr. Joh. Frischauf.
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254 Kleinere Mittheilungen.
Preisanfgaben
der
Fürstlich Jablonowski'schen Gesellschaft
ICathematiBoh-natnrwiBBeiiBOhaftliehe Seotion.
1. FOr das Jahr 188«.
Seitdem im Jahre 1818 Beudant die Abhandlung „Recherches sur les
causes qui d^ierminent les yariations des formes cristallines d*mie mßme
substance mio^rale*' veröffentlicht hat, sind umfassendere experimentelle
Untersuchungen über das Zustandekommen der verschiedenen Erjstallgestal-
ten oder deren Combinationen bei einer und derselben krystallisirenden
Substanz nicht mehr angestellt oder wenigstens nicht mehr mitgetheilt wor-
den, trotzdem die künstliche Darstellung von Krystallen seit jener Zeit
erhebliche Fortschritte gemacht hat Angesichts der Bedeutung, welche
neue Forschungen auf diesem Gebiete voraussichtlich auch für das YerstSnd-
niss der bei einer und derselben Mineralart hervortretenden Gestaltnngs-
gegensätze haben würden, stellt die Gesellschaft die Aufgabe:
Es sollen unter Berücksichtigung der den Gegen-
stand behandelnden Literatur auf experimentellem Wege
Beiträge zur Lösung der Frage geliefert werden, von
welchen Verhältnissen bei krystallisirenden Substanzen
die Entstehung der verschiedenen Erystallformen oder
die gegenseitige Combination der einzelnen abhängig ist
Es wird gewünscht, dass namentlich dabei solche Sub-
stanzen in Betracht gezogen werden, welche eine Ver-
allgemeinerung der gewonnenen Resultate auf die natür-
lichen Mineralvorkommnisse zulassen.
Preis 1000 Mark.
2. Fflr das Jahr 1887.
Unser Mitglied, Herr W. Hankel, hat in seiner Abhandlung „Ueber
die photo- und thermoelektrischen Eigenschaften des Flussspathes^ (im
20. Bd. der Abh. d. Königl. Sachs. Ges. d. Wiss., 12. Bd. der Abh. d. matb.-
phys. Classe) den Nachweis geführt, dass auf farbigen Fiussspathkrystallen
durch die Einwirkung des Lichtes elektrische Spannungen erregt werden.
Diese photoelektrische Erregung der bezeichneten Krystalle ist eine Folge
der Einwirkung des Lichtes auf den in ihnen enthaltenen Farbstoff; die
hierdurch eingeleiteten Vorgänge werden durch die Structur der Substanz
in bestimmter Weise beeinflusst, so dass die elektrischen Vertheilungen in
strenger Abhängigkeit von der Gestalt und dem Wachsthum der Krystalle
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Kleinere Mittheilungen. 255
erscheinen. Dieselben stehen femer bei dem FlusBspath in engster Beziehung
zu den durch Temperaturftnderungen erzeugten thermoelektrischen Span-
nungen, dergestalt, dass beim Belichten dieselben Polaritäten, wenn auch
in grösserer oder geringerer Intensität, auftreten, wie bei steigender Tem-
peratur. Ob bei anderen Krystallformen und namentlich bei anderen Farb-
stoffen die eben erwähnte Beziehung fortbesteht, lässt sich im Voraus nicht
entscheiden. Für eine weitere Verfolgung der elektrischen Wirkungen des
Lichtes werden wahrscheinlich nur sehr wenige Mineralien ausser dem Fluss-
spathe tauglich sein; dagegen steht zu erwarten, dass es gelingen werde,
auf künstlich dargestellten, mit geeigneten Farbstoffen imprfignirten Krystal-
len die photoelektrischen Erscheinungen hervorzurufen.
Die Gesellschaft wiederholt daher die bereits für das Jahr 1883 ge-
stellte Preisaufgabe:
die Nachweisung und nähere Bestimmung der durch
Einwirkung des Lichtes auf künstlich dargestellten und
mit geeigneten Stoffen gefärbten Krystallen hervor-
gerufenen photoelektrischen Spannungen, sowie ihrer
Beziehung zu den durch Temperaturänderungen erzeug-
ten thermoelektrischen Spannungen.
Preis 1000 Mark.
3. Ffir das Jahr 1888.
Durch Weismann^s Untersuchungen über die Metamorphose der In-
sekten sind wir mit der Thatsache bekannt geworden, dass die Vorgänge
der Histolyse in dem Entwickelungsieben der Thiere vielfach eine hervor-
ragende Rolle spielen. Trotzdem sind diese Erscheinungen bis jetzt nur
wenig im Detail untersucht worden. Die Gesellschaft wünscht daher
eine eingehende Darstellung der Veränderungen, welche
die Gewebselemente eines Thieres bei der Rückbildung
seiner Organe eingehen.
Die Gesellschaft überlässt die Wahl des Untersuchungsobjectes dem
Ermessen des Beobachters, erwartet aber, dass dasselbe der Zahl solcher
Thiere angehört, bei denen die histoljtischen Processe in grösserem Umfange
stattfinden. — Preis 1000 Mark.
4. Ffir das Jahr 1889.
Obgleich durch die Untersuchungen von Borchardt über das arith-
metisch-geometrische Mittel ein gewisser Zusammenhang der Thetafunctionen
mehrerer Variabein mit mehrfachen Integralen nachgewiesen worden, und
obgleich die Ausdehnung des AbeTschen Theorems auf vielfache alge-
braische Integrale schon Jacobi nicht unbekannt war*, so scheinen doch
* Siehe Crelle's Journal Bd. Vni, S. 415, sowie Rosenhain in seinen an
Jacobi gerichteten Briefen, Grell e's Journal Bd. XL, wo auch Integrale vonljer
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256 Kleinere Mittheilangen.
selbst die betreffenden Doppelintegrale noch keiner erschöpfenden Betrach-
tung unterworfen worden zu sein. Da sich nun zeigen lässt, dass, wenn
z. B. •&, ^j, ^2> '^st ^4> ^5 ge^sse einer sogenannten Rosenhain^schen
Gruppe (Cr eile 's Journal Bd. XL, S. 342) angehörige Thetafunctionen
zweier Yariabeln u und v bedeuten, die Determinante
»
».
»»
du
du
du
d9
dv
dv
d»t
dv
dem Product ^3, ^^4, '^5 proportional ist, so ergiebt sich daraus (Leipziger
Berichte 1884, S. 187) fär x==(^J . y=z(-^j eine Gleichung von der
Form du dv = • Die Gesellschaft wünscht
eine eingehende Untersuchung der allgemeineren Dop-
/• /» f(xy) dx dy
pelintegrale von der Form / / 1 wo f eine
ff'
}/R(xy)
rationale Function sei, in ihrem Zusammenhange mit
deu Thetafunctionen zweier Yariabeln.
Preis 1000 Mark.
Die anonym einzureichenden Bewerbungsschrifteu sind, wo nicht die
Gesellschaft im besonderen Falle ausdrücklich den Gebrauch einer anderen
Sprache gestattet, in deutscher, lateinischer oder französischer
Sprache zu verfassen, müssen deutlich geschrieben und pagin irt, femer
mit einem Motto versehen und von einem versiegelten Couvert begleitet
sein, das auf der Aussenseite das Motto der Arbeit trägt, inwendig den
Namen und Wohnort des Verfassers angiebt. Die Zeit der Einsendung
endet mit dem 30. November des angegebenen Jahres, und die Zn-
sendung ist an den Secretär der Gesellschaft (für das Jahr 1886 Geh. Rath
Prof. Dr. Wilhelm Röscher, An der 1. Bürgerschule 4) zu richten. Die
Resultate der Prüfung der eingegangenen Schriften werden durch die Leip-
ziger Zeitung im März oder April des folgenden Jahres bekannt gemacht.
Die gekrönten Bewerbungsschriften werden Eigenthum der Gesellschafb.
Form I / Z**^!!.^, betrachtet werden, in denen F(tu) das Product von aechg linearen
Cdtdu
y~F{ti)
Factoren A + Bt+Cu ist. Vergl ferner die Ndth er *8chen Arbeiten in den GOt-
tinger Nachrichten 1869, Nr. 16 und Bd. U der Mathematischen Annalen, S. 239.
Leipzig, Mai 1886.
W. Aosoher, Präses.
W. Hankel. A. Leskien. B. Leuokart H. Liptins. W. Seheibner.
0. Voigt F. Zarneke. F. ZirkeL
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: r\ i fi
Zeitschrift
für
Mathematik und Physik
herausgegeben
unter der yerantwortlichen Redaction
von
Dr. O. Schlömilch, Dr. E. Kahl
und
Dr. M. Cantor.
81. Jahrgang. 5. Heft.
Ausgegeben am 25. October 1886.
Leipzig,
Verlag von B. G. Teubner.
1886.
i r>^r>>^c\\(
Mif. AlnAr 1lAi1ii9A vnn AlhAri Haük in Sltntterart.
Verlag von JoL Ambi% Barth in Leipxi
CLAUHIUS^ R, Bie Potentialfimotioti und das FotentiaL Ein Bei^
trag X. matbeinat Physit 4- verb, Aiiil 188 Seit, gt.S^, 1885. Jf 4. —
HAMILTON, W, R,, Blomente der Qnatomioneii, deoUcb rem
P. Glau. 2 Bände. 750 ü. 450 Seit gr, 8^ 1882-1884. Jl 34.—
HOPPE, Edm., GeBChichte der Elektricitat. C42 Seit gr, 8*, 1884,
Jt 13. 50,
Teriae Wfl FerdlEani Ettfce m Stpttgart
Soeben erschien:
Lehrbuch der Ki-ystallherechmiug.
Mit zalilretcben Beispielen,
die mit Hilfe der apharieelieii Trigonometrie auf Grtmd einer
atoreograplüBohdii Frojectioa berechiiet wurden«
Von
Ferdiiianit llenrlrb,
Oi9«f lehre r Am Ee«]^~miiHiB]aiiii tu VTiQ^httduti
Mit 95 HolzscbnitteD* 8. geK -^ B,—
Neuer Verlag von B, G. Teubner m Leipzig»
[•JBueildJB Opera omnia. Ediderutit I. L. HüfßSBO «»t E. Müstfuiu Eu«
ekmefitä* Edidit et latioe intcrpretatuü est L h* ÜBSBMtG^ Dr« itiiiL
UöL III. Lifjnim X contineBa. (VI u, 41 7 SJ 8. geh, jT 4.5''*
FulirmaiiQt W«t Oberlehrei; am RealgymntiduiD auf der Bnrg in K*
berg, 0,-P., Wegweiser in der Aritlimeisik, Algebra und uiederu
Aöaijsia, bestehead m einer geordneten Sammlong ton Begriffet]
mein and Lehrßüt^.en in dietien DiszipÜtiert. [C3 8.] gr« 8w kart ^
HefuEe, Dr. Sari, weilatid Professor in 051h^ü, ganetiscbe Sir
mefcrie, Hearbeitet von Fiiänz Lückb, Gyinnasiallchror in 1
Mit lithographierten Tafeln, |XII u. 194 S.] gr, 8* geh. n. ul 6. — -
Hooh]leim^ Dr* Adolf, Proiefisor, Aufgaben ans der anal'^ • '"^^-"
Göüm#tri<^ der Ebonij. H«ft IIL Die KegoisehnLitte, AK;
A. Aufgaben. [67 8.J gr. 8. geh. n. .#1* 20.
B. Auf^sungon, [94 BJ gr. 8. gek n. Jt 1.8Ü.
Hofnmnu, fritst die Cönitruetionen dof>peU bern!
ächiiltle mil imaginären Beälimn^ungisiückon z
durch die Theorie der KegelBchnitte in doppelte^r BerOlirang i^.
Hand anschanlicher .\Iethoden* [Hit Figureo iin
gr, 8, geL n, ^ 3 *^ri
^v n ]i
XIV.
Auflösung linearer Oleichungen.
Von
Dr. W. Veltmann,
Dooent a. d. UmdwirthschaftL Akademie Poppelidorf-Boim.
§ 1. Sind n unbekannte x^^ x^, . . ., o;. ans ebensoviel Gleichungen
(a) 0^X1+ a^x^ . . . + anXn+ a^,= 0
(&) &ifl?i+ h^x^ . . . + 6„««+ &o=0
I) (c) CiaJi+C8Äj... + c«. + (H,=0
(0 h^l + hX^ .>.+tnXn+t^ = 0.
ZU bestimmen, so ist ein gebräuchliches und für die praktische Bechnung
geeignetes EliminationsYerfahren das folgende: Man diyidirt jede Gleiphung
durch ihren ersten Coefficienten und addirt sie dann mit entgegengesetzten
Vorzeichen zu der folgenden, wodurch x^ herausflült. Auf gleiche Weise
wird aus den erhaltenen n — 1 Gleichungen a% eliminirt u. s. w. Am Schlüsse
der Bechnung hat man n Systeme von Gleichungen, von welchen jedes
folgende eine Gleichung und eine unbekannte weniger enthält. Das letzte
System besteht blos aus einer Gleichung von der Form Xn+p^^O^ welche
also unmittelbar den Werth von Xn liefert.
Die Bechnung erfordert eine Anzahl
„«+(„_!)»+ (n_ 2)» ... + 1» = ?^i!d:1^2n+l)
Divisionen und eine Anzahl
Additionen von jedesmal zwei Summanden.
Da man zur Berechnung der unbekannten von jedem System nur eine
Gleichung braucht, so wird ein Verfahren vorzuziehen sein, durch welches
wenigstens das Hinschreiben der übrigen erspart wird. Ein solches ist
dasjenige, welches hier beschrieben werden soll.
§ 2. Die Gleichungen I) seien so geschrieben^ dass o^ jedenfalls nicht
= 0 ist. Es sollen n Gleichungen (Eliminations-Gleichungen)^^ ,
Z«lt«shrlft f. Mathematik u. Physik XXXI, 5. Jl d by VjOOglC
258 Auflösung linearer Gleichungen.
n)
(o) X, + «r,a;g+ «,«8+ «43:4 . . . + ««««+ «0=0
iß) a^+Ms+M4.-- + ^-«" + Ä.=0
(y) ai,+y4*4--- + y«*«+yo=0
(«) «4 ••• + ««»« + «0-0
(t) X„ + Vg = 0
n (n I 1 ^
und eine Anzahl =— ^— ^ — - Zahlen (Eliminations-Coefficienten)
f f t
«1«««?
III) /s.-./«
derart bestimmt werden, dass dieselben folgenden Bedingungen genügen.
Ä. Multiplicirt man die Gleichung (a) mit a\, so entsteht die Gleich-
ung (a).
B. Multiplicirt man die Gleichung (a) mit a , und (ß) mit ß^^ und
addirt die beiden Gleichungen, so entsteht die Gleichung (fi).
C. Multiplicirt man die Gleichung (a) mit a'3, {ß) mit /^'g, (y) nodt y'3
und addirt die drei Gleichungen, so entsteht die Gleichung (c).
ü. s. w.
T. Multiplicirt man die Gleichung (a) mit a„ , (ß) mit /f „ u. s. w.,
(t) mit t'„ und addirt, so entsteht die Gleichung (t).
Da die Gleichungen I) n(n+l) Coefficienten enthalten, die Grössen
a, ß, ..., a, ß^^ ... also n(n+l) Gleichungen genügen müssen und
die Anzahl dieser Grössen ebenfalls n(n-f 1) ist, so werden sich dieselben
den Bedingungen gemäss bestimmen lassen. Die Gleichungen I) sind dann
Folgerungen der Gleichungen II) und umgekehrt, und letztere können daher
als das Resultat einer Elimination aus ersteren betrachtet werden.
Aus der Bedingung Ä ergiebt sich:
a\=ai also o'j=raj
•«1
r
IV)
o,,«,= a,
n
«,=o,:o
«i.aj=Os
»»
«j=o,:a
a',a„=a„
n
«, = o„:«'
«i«o = ao
j»
«o=Oo:a
Die Gleichung (a) entsteht also aus (a) , indem man diese durch ihren ersten
Coefficienten dividirt.
Aus der Bedingung B folgt:
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Von Dr. W. Vbltmann.
259
a'g= 6j also «'^= 6^
«'«*'«+ /^«= ^2 n /^2=^2-
V)
«'2«8+/5'2ft=^8
'2«2
?3=(^8-«'2«8)-i5'.
«'2«»+/^2i5«=^»
«'2«0+/5'2/'o = ^
Die Bedingung C liefert dann:
/5o=(fefi— a2«») = l^2
VI)
«8 = ^1
«'8«2+/^d=^
y8«8+|3'3/^8+/8==^
«d«4+/^8^4+/8y4=^4
also 0^3 =0|
»» y'8=^— «8«3"-/^3ft
» y4 = (^4- «V4— ^8 ^4) • y's
» ^6 = (^6- «'8 «6- /^8 W : /a
«8«« + /^8 /^«+ /3y«= C« 1» y« = (^— «3««— P^sßn) - / 8
«8 «0 + |3'8 i^o + y'syo = ^0 n Yo = (^0 - «>o - /^ s /^o) '• / 8«
U. 8. W.
Von den Grössen a\, jS',, /g, d'4, ... darf hier keine gleich Null
werden, da durch dieselben dividirt wird. Sollte dies irgendwo vorkommen,
so muss man dem durch Aenderung der Reihenfolge der unbekannten in
den gegebenen Gleichungen abhelfen. Angenommen z. B. , in obigen Gleich-
ungen VI) (rechts) sei die rechte Seite der dritten Gleichung =0, ftlr /,
werde also der Werth 0 erhalten. Dann wird, auch wenn man die letzte aus-
schliesst; wenigstens eine der folgenden Gleichungen auf der rechten Seite
nicht 0 haben. Denn wenn in allen (etwa mit Ausnahme der letzten) der
Klammerausdruck auf der rechten Seite = 0 wäre , so würde denselben ge-
nügt werden , wenn man /g^ >'4<= ys • • • = yn= 0 setzte. Dann würde aber
die linke Seite der Gleichung (c) aus denjenigen der Gleichungen («) und
(ß) allein linear zusanimengesetzt sein; die Gleichungen {ä), (h) und (c)
wären also entweder nicht unabhängig von einander oder sie würden einen
Widerspruch enthalten. Es möge also z. B. die Gleichung mit y^ ^^f der
rechten Seite nicht 0 haben. Man wird dann in den Gleichungen I) die
Reihenfolge so ändern, dass x^ in die dritte Colonne kommt In den
Gleichungen 11) wird entsprechend x^ an die Stelle von x^ gesetzt und in
den Gleichungen VI) ebenfalls die erforderliche Vertauschung vorgenommen.
Von den ausgeführten Rechnungen ist keine vergeblich gewesen.
Nach dem Multiplicationssatz für Determinanten von Cauchy ist:
«iß^i
a
l «s
«',
«'.1
1 «,
h h
0 ß\
0 1
<h «8
^ / r
«i «» «8
1 «, 0^
K h
=
0 /s-, ^,
0 1 ft
C, Cj
0
0
y»
0
0 1
= «'l/5'2/8
fc^tizedby Google
260
Auflösang linearer Gleichungen.
»1
0» «» «4
r t r f
«1 «» «» «4
1 ««« «S «4
bf \ b^ 1
0 ^, ^, />'4
Ol ft A
C» C, «4
0 0 /, /,
0 0 1 y.
d, d, d.
0 0 0 a'4
0 0 0 1
^^x?%y\^A
U. 8. W.
Von den Grössen a\, /^2 9 /s» **- ^^^'^ ^^^ ^^^ ^^^^"^ ®^^® ^^ werden,
wenn eine der Determinanten anf den linken Seiten vorstehender Oleich-
angen =0 ist*. Die gegebenen Gleichungen würden also so geordnet
werden müssen , dass von jenen Determinanten keine = 0 ¥nrd. Von vom
herein lässt sich jedoch nicht benrtheilen, welche Reihenfolge der un-
bekannten dieser Bedingung etwa nicht entspricht. Im Allgemeinen wird
derselben bei jeder Reihenfolge genügt sein.
§ 3. Das in § 2 beschriebene EliminationsYerfahren iSsst sich in einer
Weise übersichtlich darstellen, ¥ne jetzt an einem System von sechs Gleich-
ungen gezeigt werden soll. Die gegebenen Gleichungen seien
a^x^+ (H^t+ ösa^+ a^x^+ 05^5+ «6^6+ «0= 0
^a?l+ ^«8+ ^3^+ ^4«4+ M6+ M6+ ^0= 0
C^X^ + (^X^+(kX^ + C^X^+ <?6«5 + <J6«6 + ^ =0
4l«l+ ^^^8+ ^«8+ ^4^4+ ^6^5+ ^6^6+ 4= 0
«1 a?! + Cg Äg + 63 «5 + ^4 a;4 -f Cj »5 + e« a?e + Co == 0
die durch die Elimination erhaltenen:
X^ + a^X^+ «8^8+ «4«^4+ «6^5+ «6^6+ «0 = 0
«a+l^8«i+A«^4+ft«6+ft«^6+/'o = 0
a'8+y4«4+y6«^6+y6«6+yo=o
«6+«6«6 + «0=»0
und die Eliminationscoefficienten: a^6+£o = ^
«, «S «4
f**! /''s /''4
«6
«8
«'4
«-5
Die Eliminationsrechnung kann nach dem Schema auf folgender Seite
ausgeführt werden. Zwisehen je zwei Doppellinien steht hier die Berechnung
einer Zeile der Coefficienten der Eliminationsgleichungen a, ß u. s. w. und
einer Colonne der Eliminationscoefficienten a\ ß' u. s. w. Jede 2iahlen-
* Man vergleiche die Verwandlung einer Determinante in ein Product Eweier
Determinanten in § 7 meiner Schrift : „ Ausgleichung von Beobachtungsfehlem etc. **
Marburg, Elwert'sehe YerlagshaDdlung, 1886.
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Von Dr. W. Veltmann.
261
oolonne zwiscben einer Doppellinie und der nächstfolgenden einfachen Linie
enthftlt die Summanden einer Summe mit den links stehenden Vorzeichen;
der erste Summand ist eine einflEU^he Zahl, die übrigen sind Produote. Der
Bachstabe 8 bedeutet das Resultat der Summation rechts von den punktir-
ten Linien. Jede Summe $ wird durch den rechts stehenden Divisor a\ j
+
«1
«1
«^
«4
«B
«8
«0
«I
»
8
«
9
S
S
:«'.
■ ««
«S
«4
«5
«8
«0
+
»1
»,
».
»4
&6
»6
^
—
«»«»
: «,Og
«l«4
«t«B
«S«6
«»«0
«'»
If,
a
8
8
8
8
:/»'s
ß>
ß*
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ße
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+
Ol
«>»
Cs
«'s «8
(J-s/J,
«'s «4
Cb
«'s «6
Cs/»«
«'s «6
ß^sßi
«'s«0
ß^^ßo
«'s
^^
7»
8
s
8
3
= 78
r*
y»
76
7o
+
d.
ä.
d.
ä*
äs
äc
do
—
«4««
«4«8
C4ft
«4«4
ß\ß*
«4«B
^4^
•4«6
ß^4ß.
ß^<ßo
,
—
y*u
y^B
Yi7e
7i7o
«4
^4
74.
^
9
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:*'4
»B
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«0
+
Ol
«.
«s
«4
«B
<fs
«b
—
«8««
«»«8
/»'s/'s
«6«4
ß^,ß.
«B«B
«6«6
^6^6
«6«o
ß\ß.
—
Y674
/srB
«'b«b
«'b'o
9
«B
^5
/fi
«'s
«'b
«
«
5«B
*6
«0
+
^»
f.
«6 «8
«e«4
C./»4
/b
«'6«B
Cs^B
/6
«'6«6
i «'c«o
; ^6^0
~z
y'6y4
7676
*'6«6
: 767«
t
«6«0
«'«
^6
/
re
«'.
«'«
r«
8
'U
to
Digitized by
Coogle
262
AuflösuDg linearer Gleichungen.
/^8> /s ®^* <li^i<^^* ^^ Besnltat der Division ist die unter dem be-
treffenden 8 stehende Grösse a, j3, y etc. Links von den punktirten Linien
liefert die Addition unmittelbar die unter den einzelnen Colonnen stehen-
den Grössen a', ^, y etc. Gerechnet wird in jeder Horizontalspalte in der
Beihenfolge von links nach rechts, wo dann immer die Zahlen, mit wel-
chen man rechnet, entweder ursprünglich gegebene oder schon berechnete sind.
Man kann jedoch auch nach den Yertikalreihen des Schemas rechnen, die
gesuchten Grössen also in der Beihenfolge bestimmen: o\, a\^ a\j a\^
«6» «6» ««» 1^8» i^8> /^4» /^6» /''e» «8> ft; Ysf y\ ti.s. w., wo man dann
ebenfalls immer mit schon bekannten Zahlen zu rechnen hat. Endlich
kann man auch in der Weise rechnen, dass man in folgender Zusammen-
«S
«4
«6
»6
«'» ^i
/
^8
«4 ^4 y\
«4
«'s P"» y\ ^5
«5
Ye
«6 /^6 /e *'e «'e t'e
in welcher die Grössen o, /?,..., o', /?',.. . so geordnet sind, wie in dem
Schema S. 261, diese Grössen in der Beihenfolge bestimmt, in welcher sie
durch die gebrochenen Linien abgetheilt sind, also zuerst die Grössen
zwischen den Linien 1 und 2, dann zwischen 2 und 3 u. s. w. So oft dann
von den Grössen a', ß'y .'.. eine Anzahl der Colonnen von III) S. 258 (im
Schema auf S. 261 sind dies die Zeilen) vollständig berechnet ist, ist auch
eine um 1 kleinere Anzahl Colonnen der Grössen a, ß^ ... vollständig
berechnet. Diese Beihenfolge verdient den Vorzug, wenn man die weit^
unten zu beschreibenden Proberechnungen anwenden will.
Sollte es vorkommen, dass irgend eine der Grössen a\, /S^^, /g, ...,
also irgend einer der Eliminationscoef&cienten , welche unmittelbar neben
den punktirten Linien stehen, =0 wird, so inuss in der bis dahin aus-
geführten Bechnung die ganze (in der ersten Zeile a^, o^, 03, ... be-
ginnende) Colonne, zu welcher die =0 gewordene Summe gehört, mit
irgend einer späteren Colonne vertauscht werden, in welcher eine von 0
verschiedene Summe erhalten wird. Dementsprechend müssen dann aach
in den Eliminationsgleichungen die zugehörigen beiden Unbekannten ver-
tauscht werden.
Wie aus obigem Schema zu ersehen ist, besteht die Bechnung (die
Zahl der Gleichungen wieder allgemein =^n gesetzt) aus
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Von Dr. W. Vbltmann. 263
n(n-l) + (t»-l)(n-2)... + 2.1 = 5^^^-^
Maltiplicationen ,
« + C«-l) + («-2)... + l = :^^^^^
Divisionen nnd, falls man eine Snmme von p Summanden als durch
(jp—1). malige Addition von jedesmal ztrei Bummanden erhalten betrachtet,
aas
links von den punktirten Linien: rechts von den pnnktirten Linien:
1 +(«-l).l
+ 1 + 2 +(w-2)-2
+ 1 + 2 + 3 +(n-3)-3
+ 1 + 2 + 3 + 4... + (n-l) +(„_[«_i]).(n-l)
_(n-l)w(«+l)
~ 3
Additionen.
Die Zahl der Mnltiplicationen und der Divisionen zusammen ist
n(f»+l)(n-l) . fi(n + l) w (n + 1) (2« + 1)
= 3 + § S •
stimmt also überein mit der Zahl der Divisionen in § 1. Die Zahl der
Additionen ist derjenigen in § 1 ebenfEÜls gleich.
Wenn man demnach hinsichtlich des Zeitaufwandes zwischen Moltipli-
cation und Division nnd ebenso zwischen der Addition von z. 6. zehn
Summanden und neun Additionen von je zwei Summanden keinen Unter-
schied macht, so ist der Umfang der Bechenarbeit in § 2 genau derselbe
wie in § 1. In Wirklichkeit ist jedoch eine Addition von p Summan-
den eine erheblich einfachere Bechnung, als Q)— 1) Additionen von je
zwei Summanden und, falls man nicht mit Logarithmen rechnet, erfordert
auch das Multipliciren zweier Zahlen weniger Zeit, als das Dividiren. Ueber-
dies wird durch das Verfahren in § 2 eine Menge Schreibarbeit erspart,
80 dass dasselbe vor demjenigen in § 1 wesentliche Vorzüge besitzt.
§ 4. In folgender Gleichung
VII) +t,inX, + tJnX^ + t^inX^ . . . + tninXn+t,inl
+ T«lll.(«i.+ Vl) ^
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264 Auflösung linearer Gleichungen.
ist die Function der Veränderlichen x^, x^, • . ., ^n und S^, ^y . . ., £« &uf
der linken Seite dadurch erhalten, dass die Gleichungen I) in §2, nach-
dem die erste mit (|, die zweite mit l^, • . •• die n^ mit $« multiplicirt war,
addirt wurden. Die rechte Seite ist in ersichtlicher Weise zusammengesetzt
aus den linearen Ausdrücken in den Gleichungen II) S. 258 und ähnlichen
homogenen linearen Ausdrücken, deren Coefficienten die Eliminofcions-
coefScienten III) sind. Ordnet man die rechte Seite in derselben Weise
wie die linke und setzt dann beiderseits die Coefficienten gleichnamiger
Glieder einander gleich, so erhftlt man genau die Gleichungen lY), V), VI)
u. s. w., aus welchen in § 2 die GrOssen a, |3, . . ., a, /'',..• bestimmt
wurden. Man kann also die dort beschriebene Bechnung auch als die Ver-
wandlung der quadratischen Function in obiger Gleichung links in diejenige
rechts betrachten. Aber nicht blos die zu dem in § 2 beschriebenen Eli-
miuationsyerfahren gehörige Bechnung, sondern auch die Begründung des-
selben lässt sich aus obiger Gleichung VII) ableiten. Sind nttmlich die
Grössen CK, /3, ..., a\ ß>^ ... in der angegebenen Weise bestimmt, so ist
die Gleichung VH) in Bezug auf die Verttnderlichen x und £ eine identische.
Man setze nun für d?^, a^, . . ., o^n diejenigen Werthe, welche den Gleich-
ungen II) genügen. Dann ist die rechte Seite von VII) für beliebige Werthe
der (aO, weil in jedem von den Producten ein Factor =0 ist Mithin
muss auch die linke Seite in Bezug auf die | identisch =0 sein. Die-
selbe ist aber
==Si(a,«i+ «2^ ' • •+«««!•+ ao)
+ 5»(^aJi + »jüi . . . + hnXn+ »o)
kann also nur dann für beliebige Werthe der g verschwinden, wenn die
Ausdrücke in den Klammern einzeln =0 sind, d. h. wenn die Grössen
^1) ^at • • M ^ &^<^b ^^^ Gleichungen I) in § 2 genügen. «Die Gleichungen I)
sind somit Folgerungen aus den Gleichungen 11) und letztere sind daher
als das Besultat einer Elimination aus ersteren zu betrachten« Zugleich
Iftsst sich aus den Gleichungen VII) eine sehr geeignete Froberechnung ab-
leiten, durch welche die Bechnung nicht blos am Schlüsse, sondern auch
wfthrend des Verlaufs derselben controlirt werden kann. Die Grössen 0,
/?,..., o', /S', .. . müssen dann nach der dritten, S. 262 angegebenen Beihen-
folge berechnet werden. Man sei z. B. mit der Bechnung bis zu der ge-
brochenen Linie 4, S. 262 gekommen. Dann sind also von den Eliminatdons-
coefficienten III) S. 258, sowie von den Coefficienten der Gleichungen II)
(den Yon Xi mitgezählt) die vier ersten Colonnen bekannt. Setzt man also
jetzt statt 1 eine Veränderliche Xq und dann x^^x^.».^=^Xn^=^XQ=^i^
= ^ .. . = |as= 0, so verschwinden in der Gleichung VH) sämmtliche Glieder
mit noch nicht bekannten Coefficienten. Der noch übrige Theil der Gleichung
aber muss auf beiden Seiten gleiche Werthe liefern , wenn man für die noch
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Von Dr. W. Veltmann.
ttbrigen Veränderlichen beliebige Werthe, am einfaohaten + 1 oder — 1 setzt.
Nimmt man z. B. diese OrOssen s&mmtlicb =+l» so wird die Gleiobung:
+ d, + d, + d, + d,
+ (^. + ^8 + /^4)(l + A+|5i)
+ (/8 + /4)(l+y4)
Diese Probe erstreckt sieb über die ganze bis dahin ansgeftthrte Becb-
nimg. Bechnet man jetzt bis zur fünften gebrochenen Linie (8. 262), so
kann man bei der dann ausznftlhrenden Proberechnong einen Theil der
obigen, nftmlich did stattgefandenen Additionen wieder benutzen. Nur die
Moltiplicationen müssen bei jeder Probe von Nenem aosgeftlhrt werden.
§ 5. Sind die aufzulösenden Gleichungen von der Beschaffenheit, dass
die Coefficienten der unbekannten ein zur Diagonale symmetrisches Zahlen-
qoadrat bilden, so führt das in § 2 beschriebene Eliminationsverfahren für
je zwei zur Diagonale symmetrische CoefBcienten zu zwei ganz übereinstim-
menden Bechnungen, von welchen also dann nur eine ausgeführt zu wer-
den braueht. Um dies zu erkennen, dürfen die Eliminationscoefücienten
nicht, wie in § 2, sämmtlich als neue Grössen mit einzelnen Buchstaben
bezeichnet werden, sondern es darf dies nur bei einem Theil derselben ge-
schehen, w&hrend die übrigen aus diesen und den Coefficienten der Elimi-
nationsgleichungen zusammengesetzt werden müssen.
Es seien z. B. die Gleichungen aufzulösen:
Ä^v + B^iv + CiX + D^y + E^g + Fia^O
B^v + B^iv+ CiX + D^ff + E^e + F^c=zO
Vni) C,v+ C^iv + C^x + D^y + E^0 + F^^O
D^v + D^iv + D^x + D^y + E^g + F^^O
Ej;v + E^w + E^x + E^y + E^z + Ff,^0.
Die Eliminationsgleichungen seien: ^
V + h^w + c^x + d^y + e^$ + f^^O
IX) ic+d^y + h» + U^O
y+M+/4=^o
i» + /k = 0.
Die Eliminationscoefßeienten werden jetzt in folgender Weise dar-
gesteUt:
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266
AnflOsiiBg linearer Gleichungen.
«1*1 «l«!
«jd,
«l«!
ß* AC.
ßtd.
A%
^»
rzd.
r»«i
«4
«««4
CS
X)
Von denselben sind also blos o^^ ß^^y^, Ö^, t^ Q^Q eingeführte, unabhftngige
Grössen; die ttbrigen sind Producte aus diesen und den Coefficienten der
Eliminationsgleiohungen. Die Eliminationscoefficienten und die Coefficienten
der Eliminationsgleichungen werden nun den nftmlichen Bedingungen gemftss
bestimmt, wie in § 2. Multiplicirt man also die ersten n der Oleichungen
IX) mit den n Eliminationscoef&cienten, welche in der n^^ Golonne von X)
stehen, und zwar jede Gleichung mit dem in der gleich nummerirten Zeile
stehenden, und addirt, so muss die n^ der Gleichungen Ym) erhalten
werden. Die Gleichungen, welche sich hieraus zur Bestimmung der QrOssen
5|, e^y ..., «1, /S^, ... ergeben, sind folgende:
«iCi/i. + ft^/i + r3/5=-^s
«1^1«! + Ael2%+y8^S«S + *4«4 = -^4
«l«l^l + ft«8^ + y3«S^+^4«4 = -^4
«1«! «1 +/^««2^ + 73^^ + ^4«4^4 + «6 = ^
«1^1 /l + ßi^fi + Yf^^fi + h^ifi + «s/'s = ^5.
Von diesen Oleichungen stimmen je zwei, welche auf der rechten Seite
übereinstimmen, auch auf der linken überein. Lftsst man von je zwei sol*
chen Oleichungen eine fort, so erhftlt man in jeder der übrigbleibenden das
unmittelbar vor dem Gleichheitszeichen stehende Glied, indem man die übrigen
Glieder links mit negativen Zeichen zu der Grösse rechts addirt, worauf
«1=^
«,», = B,
«,»i = -Bi
a,l>i6i + /J, = B,
«iC, = Ci
«1^01 + ft<^ =Ci
«idi = D,
a^lidi + ß,d,'=D,
a^e,=E,
«i*i«i + fte»=^t
«ifi^F,
''ihft + ß,f,=F,
Division durch a^, ß^^ ..
einen der Coefficienten der Eliminationsgleich-
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Von Dr. W. Vbltmann.
267
ungen liefert. Diese Beohnung ist im folgenden Schema ttbersichtlich dar-
gestellt:
XI)
+
A Bi
<7.
A
^.
^.
«, <»,6,
a^c^
o,d,
o,e,
"Jl
: «1
1 6,
Cl
d.
«1
f,
+
B,
«,6,6,
o,6,c.
B,
«, 6, d.
«,6,e,
F2
1».
Ac,
ß,d.
fte,
ßJu
•■ß.
1
(^
d.
«g
f»
+
ßiCaCt
«jCjdi
Ac,e,
߻Cif*
n
r,d»
y««»
y,/»
-n
l
d»
«s
fs
+
^4
^4
y8A.«3
"idifi
ß,d,f,
Y>d,r,
«4
«4«,
i<U
:S,
1
«4
U
+
ys«3«8
*4«4«4
Fi
y»«s^8
«54 «4 /i
«5
»5/4
•h
1
/•&
Zwischen jeder Doppellinie und der nttchstfolgenden einfachen Linie
enthfilt hier jede Colonne die Summanden einer Summe mit den links
stehenden Vorzeichen. Es sind dies diejenigen Summen, welche in obigen
Gleichungen nach der Transposition auf der rechten Seite erscheinen. Das
Besnltat der Addition, also die Grösse unmittelbar vor den Oleichheits-
zeichen, steht unter der Colonne. Diese Grössen werden noch durch die
rechts stehenden Divisoren dividirt und das Resultat steht dann jedesmal
unter dem betreffenden Diyidenden. Diese Quotienten sind die gesuchten
Coefficienten der Eliminationsgleichungen.
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Auflösung linearer Gleichungen.
In dem Schema XI) kann man jetzt noch die in X) als Producte aas
zwei Grössen sich darstellenden Eliminationscoeificienten durch einzelne Bach-
staben bezeichnen und zwar in zweierlei Weise, wodurch man dasselbe in
einer der folgenden beiden Formen XII) und XIII) erhttli
XII)
+
Ä, B, C,
A
Et
F,
«I ßi Vi
«.
«1
Ix
:«,
1 », c,
d,
«I
ft
+
B, C,
D,
Et
F»
—
ßih ß,c,
ß.d,
(».«.
ßJt
ßi Yi
a,
«s
tt
:ft
1 c.
dt
^
u
+
c,
A
E,
F,
—
yiCi
nd,
/!«>
rtft
—
y»c»
rtd.
y»««
VtU
r»
«.
h
i.
'ys
1
dt
«>
U
+
J>i
E,
F,
—
S,d,
d,e,
«.A
—
d,d.
«,e,
*,/.
—
S,d,
hh
«./i
«4
«4
^
:*4
1
«4
/i
+
^
2^8
—
•l«l
hfl
—
e,e,
hf.
—
«s«»
hf.
—
«4 «4
uh
t6
&
:«8
1
h
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Von Dr. W. Vbltmahm.
269
xni)
+
A, B,
Or
D,
^1
F,
"i ßi
Yi
»1
«1
r.
:«,
1 b.
"i
äx
«1
/;
+
B,
C,
A
E,
^»
—
hßi
\yx
h,S,
6.S,
6. f.
ß.
r»
«,
h
t,
:^,
1
c«
«*.
H
^.
+
c.
A
^
J^8
-
<'iYi
c.d.
Cl«,
Clfi
—
<^r%
C,«8
e,H
«>£,
Yi
*3
h
^3
J/s
1
*.
h
A,
+
A
^4
^4
—
d.«,
d,«i
««.fl
—
i,*,
d..,
d*i»
—
d.*.
'^*.
<^£.
«4
«4
::.
:«4
1
«4
/4
+
^6
Jk
—
e,e,
«it.
—
C,f,
e.^
—
<^»8
«^ti>
—
«4*4
e4J;
«S
&
•tt
1
h
Welche Grössen in dem Schema XI) hier in XII) und XIII) mit /?|,
yn •••> /if ^s» ••• u- 8* w. bezeichnet sind, ist durch Vergleichung von XU)
nnd XIII) mit XI) leicht zu ersehen.
Gleichongen obiger Art erhält man bei der Ausgleichung von Beobach-
tongsfehlem nach der sogenannten Methode der kleinsten Quadrate. Ein
besonderes Verfahren zur Elimination aus diesen Gleichungen hat Gauss
in der j^Disquisitio de elementis ellipticis Palladis etc.*' gezeigt. Die Bech-
nnng nach obigem Schema wird nun hinsichtlich des ümfiangs der Rechen-
arbeit mit dem Gauss 'sehen Verfahren im Wesentlichen übereinstimmen.
Bas Rechnen nach obigem Schema ist jedoch übersichtlicher und es wird
dadurch das Hinschreiben einer grossen Zahl überflüssiger Gleich'jngen yer-
mieden.
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270 AuflöBtiDg linearer Gleichungen.
§ 6. Wendet man auf die Gleichungen VIII), die zugehörigen Elimi-
nationsgleichungen IX) und die Eliminationscoefficienten X) die Oleichnng
VII) an, indem man v\ io\ x\ y\ fS an die Stelle von $i, l^f ***? ^n ^^^ v
statt 1 setzt, so wird dieselbe
A^ vV + Bj t?'«7+C; vx-^J)^ vy + ^i v'z'\'¥^ vu
+ Bii€% + B^iOio + O^iDX + B^wy + E^we + F^iou
+ Cj XV + C, x'w + Cg XX + D3 xy +E^ofz + F^ xu
+ I),y'v+D,yio + D^y'x + D,yy+E^ye + F^yu
+ E^ ßv + E^/io + E^ g'x + E^ gy + E& sf'z + F^ zu
^{a^v + a^\w^n^c^x + a^d^y + a^e^e'){v + l^w + c^x + d^y+e^z + f^u)
+ {ßt^'+ß%c^^'+ß%d^y'\'ß^e^z){w + c^x + d^y + e^z+f^u)
+ (^4^ + ^4 «4^') (y + «4* + /4<*)
oder
4, v'v + J?i t;'«; + C, vfl? + D^ v'y + E^ v z + Fj vu
+ B^ iov + B^ w'w + Oj ir'a; + D, ir'y + i?, ufz + F^ wu
+ Gl oj't? + Cg Ä «7 + CJj oc'a; + D3 xy + ^j ä'jp + F^ xu
+ D, yv+D^yw + D^ yx + D^ yy+E, yz + F, yu
XIV) + E^ ZV + E^zi€ + E^ zx + E^ zy + E^ zz + F^ zu
= a^{v + hiW'+CiX + diy+eiif){v + biW + c^x + diy + e^z + fiu)
+ A(w'+ (^x + d^y + eg/) {w + c^x + d^y + e^z + f^u)
+ Yi{^'+dsy + ef,z){x+d^y + e^e + f^u)
+ ^4(y'+«4^')(y + «4^ + /4**)
Diese Gleichung ist nun ebenfalls in Bezug auf die Veränderlichen v,
to^ ..., v\ U)\ ... eine identische und kann daher in derselben Weise, wie
S. 264 gezeigt worden, zu Proberechnungen benutzt werden. Jedoch müssen
dann in dem Schema XII) oder XIII) die Coefficienten der Eliminations-
gleichungen nicht Zeilen- sondern colonnen weise berechnet werden. Da
hierbei, mit Ausnahme der letzten Proberechnung nach Bestimmung Ton/|,
/^,, ..., die Veränderliche u stets =0, die übrigen zum Theil =0, «um
Theil =1 gesetzt werden, so hat man rechts eine Summe von Quadraten,
multiplicirt mit den Grössen o^, jSg, /j, ...
§ 7. Setzt man in der Gleichung XIV) t;'=t;, «?'=«;, «'=«, y^h
z'^=^Zy so wird dieselbe
ii, t;* +B^viß+C^ vx + JD^ f>y + Ei vz + FiVu
+ Bitov + B^w' + C^wx + D^wy + E^i€Z + F^i€u
+ Ci XV +C^xw + Cj^ X* +DQxy + E^xz + F^xu
+ I)^yv+D^yw + D^yx + D^y* +E^yz + F^yu
XV) +E^zv+ E^ zw + E^zx + E^ zy + E,^ z^ + F^ zu
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Von Dr. W. Vbltmann. 271
Es seien nnn
myV + n^io +PiX + g,y + r^e + s^u = ^^
jryjj n^v + n^io+p^x + q^y + r^z + s^u^fp^
n^v + n^to +PtX + q^y + r^z + s^u = q>^
die Fehlergleichnngen eines Ausgleichungsproblems, wo also t;, «(7, ..., üt so
bestimmt werden sollen, dass für i4=l
Vi* + 9«* + --- + V»*
ein Minimum wird. Die in bekannter Weise erhaltenen Bedingungen dieses
Minimums mögen die Gleichungen Vlll) sein, also
A^v + B^iO+ C^x+D^y + EyZ + F^u^Fy
B,V'\^B^io+ C^x + B^y + E^e + F^u=^P^
XVII) C,v+C^w+ C^x + D^y + E^e + F^u^P^
D,v + D^iv + Df^x + D^y + E^z + F^u = P^
E^v+E^w + E^x + E^y + EiZ + l?i<* = -P6
wenn hier i* = 1 und Pj = P, . . . = P5 = 0 gesetzt wird. Dann ist
XVIII) ^^^^ + ^»"^ + ^»'^ + ^'^ + ^'"^
= 9>i* + 9«* + ••• + 9»* — (*i**9>i + ««W9i +••• + «»«9»)
oder
= <Pl(qOl -«iW) + 9^2(9^2 — SjW) +... + (<p, — «,t*).
Die linke Seite dieser Gleichung stimmt überein mit deijenigen von XV);
also sind auch die rechten Seiten gleich, d.h. es ist, wenn man zugleich
statt 9|, 9>2f '*' ^^® Werthe aus XVI) setzt:
ai{v + hiW + CiX + d^y + eiz){v + h^w + c^x + d^y + e^z + f^u)
+ ßii^ + C2X + d^y + e^z){w + C2X + d^y + e^z + f^u)
+ *4(y + «4^) (y + «4^ + M
XIX) +i^0(0 + f^u)
= (miV+n^w+PiX + qiy+r^z)(myV + n^io+Pj,x + q^y+r^z-8^u)
+ {miV + n^i€+p^x+qiy+r^z){fn^v + n^w+p^x + q^y + r^z-'8^u)
+ {nhv + fhto+p^x + q9y + r^z){nhv + n^iO+p^x + q^y+UZ^89u).
Diese identische Gleichung kann jetzt ebenfalls in der früher angegebe-
nen Weise zu Proberechnungen angewandt werden, so oft eine Colonne der
Coefficienten der Eliminationsgleichungen yollstftndig berechnet ist. Diese
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272 Auflösung linearer Gleichungen. Von Dr. W. Yeltmann.
Probe erstreckt sich nicht blos auf die richtige Elimination aus den Gleich-
ungen Vin), sondern auch auf die richtige Herleitung dieser Gleichungen
aus den Fehlergleichungen.
Berechnet man aus den resultirenden Gleichungen die Grössen Vt w, x,
y^ 0 und setzt die Werthe derselben in Gleichung XIX) ein (u = l), so
wird die linke, mithin auch die rechte Seite =0. Da nun letztere [gleich
der rechten Seite der Gleichung XYIII)] um
kleiner ist als die Summe der Fehlerquadrate, so ist das Minimum der
Quadratsumme « , , , . «
9i+<P%^ + '" + <Pir
gleich dem Ausdruck {u ist = 1):
«1 Vi + h9%+ ••• + Sptpp^
wenn hier in 9?^, fp^, ..., q>p für r, Wy ... die gefundenen Werthe gesetzt
werden.
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XV.
Zur Theorie der binären quadratischen Formen
von positiver Determinante.
Von
J. ViVANTI
In MMktuft.
1. Eine binSre quadratische Form {A^ B^ C), deren Determinante D
positiv nnd keine Qnadratzahl ist*, beisst redncirt, wenn (Gauss,
Disqn. Ar. 183): _ _
j/D -^ B < tnod. Ä<j/D + By
0<B<yD,
Dann ist ancb (2. o. 184):
}/D'-B< mod. C< y'j5+ B.
2. Theorem. Eine Form (a, &, — c) von der Determinante D,
wo a, b positiv sind und c=a + ^f ist jedenfalls eine redu-
cirte Form.
Man muss nämlich beweisen, dass:
b<j/D, yD'-'h<a<j/D + b.
Aas
D=zb^ + ac=:^b^+ab + a^
folgt:
b<j/D
und
oder
a + b<j/D+b',
da aber
a(a + 5) = D-6«=(/:D + 6)(/5-6),
muss
a<yD'-b
sein.
Aus a) folgt a fortiori
* Um Wiederholungen zu vermeideD, werden wir immer Btillsohweigend
voraussetzen, dass D dieseu Bedingungen genügt. _, ^
Zeltoohrift t Mathematik n. Physik XXXI, 6. tfigitized by VjOOQIC
274 Zur Theorie der binären quadratischen Formen etc.
womit alle unsere Behauptungen bewiesen sind.
3. Wir werden eine Form (a, 6, — c), wo a, h positiv sind und
c^a+b^ der Kürze wegen eine Nullform nennen. Demnach lautet
der obere Satz: Jede Nullform ist reducirt.
4. Theorem. Aus jeder Nullform (a, 6, —c) erhält man dnreh
Umsetzung der Coeff icienten a, h eine neue Nullform (5, a, — c).
Die zwei Formen (a, 6, — c), (&, a, — c) gehören zueinerund der-
selben Determinante.
Die erste Behauptung ist evident. Zum Beweise des zweiten Theiles
des Satzes braucht man nur zu bemerken, dass
D = 6«+ ac = 6«+ aiE> + a« = &C+ a«.
Wir werden die Nullformen (a, 6, — c), (&, a, — c) reciprok nennen.
5. Theorem. Die nothwendige und hinreichende Bedingung
für das Vorkommen von Nullformen im reducirten Formen-
system von der Determinante D ist, dass bei der Zerlegung
von D in Primfactoren der Factor 2 und die Primzahlen von
der Form 6n + 5 mit geraden Exponenten (0 eingeschlossen)
auftreten.
a) Es muss sein:
«) D^a*+ah+V.
Ist D gerade^ so müssen offenbar a und h gleichfalls gerade sein, und
folglich ist D durch 4 theilbar. Setzt man nun
4=Ai -2^^^' 2^"*^'
so folgt:
Durch Wiederholung derselben Schluss weise zeigt man, dass, wenn
die Zahl D^ durch 2 theilbar ist, sie durch 4 theilbar sein muss. Indem
man so fortfiLhrt; sieht man ein, dass D nicht durch 2^"'"'^ theilbar sein
kann, ohne durch 2^"* theilbar zu sein.
V) Aus a) folgt:
Die Zahl 2D muss also durch die Form (2, 1,2) von der negativen Dei^-
minante —3 darstellbar sein. Solcher Darstellungen giebt es zweierlei;
es können nämlich a, h entweder relative Primzahlen sein, oder einen ge-
meinschaftlichen Theiler d zulassen. Im letzten Falle ist 2D durch d*
theilbar; und aus jeder Darstellung von der zweiten Art entsteht eine Dar-
2D
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Stellung von -^^ .
Von J. VivANTi. 275
wo -^1 — relative Primzahlen sind.
d d
¥-Ki)+^f^a)*.
2B
Bezeichnen wir allgemein durch J eine von den Zahlen 2D,
Zur Darstellbarkeit von 2J durch
2x* + 2xy + 2y\
wo 0?, y relative Primzahlen sind, ist es noth wendig (aber nicht hin-
reichend) , dass (2. c. 182) •— 3 quadratischer Best von 2 J sei ; und folg-
lich, dass (2. 0. 120) 2J weder durch 8, noch durch 9, noch durch irgend-
welche Primzahl von der Form 6n + & theilbar sei.
Damit also Darstellungen von 2D durch die Form (2, 1,2) über-
haupt existiren, ist es nothwendig, dass jeder Primfactor von D von der
Form 6n + 5 einen geraden Exponenten habe.
c) Es bleibt jetzt übrig zu beweisen , dass die Bedingungen a), h) zur
Lösbarkeit der Gleichung a) durch ganze positive Zahlen a, b hinreichend
sind. Zu diesem Zwecke werden wir zeigen, wie man, jene Bedingungen
als erfüllt vorausgesetzt, wenigstens eine Lösung von a) auffinden kann.
Sei g^ das grösste in D enthaltene Quadrat, und bezeichne man -^ durch
9
2X. Dann ist die Zahl 1/ ungerade, und weder durch ^, noch durch irgend
eine Primzahl von der Form 6n + 5 theilbar; folglich (2. c* 182) ist sie
durch die Form (1, 0, 3) darstellbar. Man kann also setzen:
D'=i>»+3(Z»,
wo p, q ganze positive Zahlen sind. Setzt man nun:
« = 2y, y^p — q,
so folgt:
D'=si^+xy + yK
Wenn p'^Q, so setze man
a^gx, h^gy
oder
man erhftlt so:
D^a^+ab + bK
Wenn dagegen q'^p^ dann ist y negativ und absolut kleiner als x;
indem man
^'=—9yi c^gx
oder
ö=— ^y» c^^gx
setzt, erbSlt man:
D^<^-cb + V=a^+ab + b^,
oder
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276 Zur Theorie der binären quadratischen Formen etc.
6. Theorem. Die reoiproken Nullformen (a, 6, — c), (6, a, —c)
sind aneigentlich ftquivalent. Denn man erhftlt die zweite Form aus
der ersten durch die Substitution
/» = «'>
deren Determinante — 1 ist.
7. Theorem. Damit die reciproken Nullformen {a, &, — c),
(&, a, — c) eigentlich äquivalent seien, ist es nothwendig und
hinreichend, dass die unbestimmte Gleichung
WO d der grösste gemeinschaftliche Theiler von a, b ist, ganz-
zahlige Lösungen besitze.
(Jeht (a^h^—c) in {hj a^ ^c) durch eine Substitution
(x^ax+ßy\
\y = YX+öy
über, so muss sein:
aa*+2&ay — cy'=&,
aß^+2bßö-cö^^-c.
Durch Anwendung der Relation c=a + h erhftlt man hieraus:
a) a(a»-y«)+&(2ay-y«-l) = 0,
y) a(^«-6«+l) + 5(2^d-6«+l)=-0.
Sind (a, 2», — c), (&, a, — c) eigentlich äquivalent, so ist
S) ad — j3y = l.
Es fragt sich, wann diese Oleichungen nebeneinander bestehen können. Als
Coexistenzbedingung ftlr a) , ß) und fftr ß) , /) findet man bez. durch An-
wendung von d):
0 = (« + y)(« + ^-Ä),
0 = {ß^2d){a + ß^ö).
Man hat daher, als Coexistenzbedingungen fdr o), /?), y):
«+ y = 0,
'^ "^*^^^" (j-2d = 0',
Ö oder « + /? — Ä=0.
Aus £), d) erhält man leicht die durch ganze Zahlen unmöglich zu er-
ftillende Relation
3a*«=l.
Es bleibt also nur die zweite Möglichkeit ttbrig.
Aus irgend einer der Oleichungen a), ß), y) erhält man, wegen i)
und f): ^ .
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Von J. VivANTi. 277
Setzt man:
wo Qu \ relative Primzahlen sind, so folgt ans 17):
wo X eine ganze Zahl ist; und daraus, wegen i)i
ß-2Y=x{a,^b,).
Gesetzt nun
Y = xr,
wo y zwar ganz sein muss^ r aber nnr rational zu sein braucht, hat man:
ß^x{a,^b,+ 2r),
y^xry
»««(a^ + r),
also aus 6):
I=:a«~/Jy=a;«(ai6,- 2[ai- 6Jr- 3r»),
und r wird durch die Gleichung
'•+^V^'-(=#-Ä)=<'
bestimmt.
Als Lösung dieser Gleichung ergiebt sich*
3«
Lftsst die unbestimmte Gleichung
ganzzahlige Lösungen zu, so ist:
Man beweist leicht, dass der eine von den zwei Werthen der rechten Seite
von f) jedenfalls ganz ist.
Aus
y« = ««D, - 3 = a?« (l>i - ai)«+ 3a;«ai &i - 3
sieht man n&mlich, dass, wenn xiPi—a^ durch 3 theilbar ist, auch y durch
3 theilbar sein muss , so dass in diesem Falle die beiden Werthe der rech-
ten Seite von i) ganz sind. Ist aber xijb^—c^ durch 3 nicht theilbar,
also
X (2>i— a^) = e (mod 3),
wo c entweder = + 1 oder = — 1 ist 1 so ist y^ durch 3 nicht theilbar^
und die zwei Werthe von ^y* sind bez. = i 1 {fnod 3). Wenn man also in
i) für y denjenigen Werth von j/y* setzt, welcher = — «(ifW(l3) ist, wird
die rechte Seite jener Gleichung einen ganzzahligen Werth erhalten«
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278 Zur Theorie der binftren quadratischen Formen etc.
Demnach ist der zu Anfang dieses Paragraphen ausgesprochene Satz
vollständig bewiesen, und zugleich geben uns die Oleichungen d) eine Sub-
stitution, durch welche die Form (a, ib, — c) in die Form (5, a, — c)
übergeht«
8« Indem wir die allgemeine Behandlung der Frage von der Lösbar-
keit der Gleichung
auf eine spätere Oelegenheit yerschieben, wollen wir hier zwei besondere
Fälle erwähnen ; welche aus verschiedenen Gründen bemerkenswerth scheinen.
9) Der Fall, wo eine von den Formen (a, "b, — c), (&, a, — c) eine
ambige Form ist, muss unter den Möglichkeitsfttllen des Satzes von § 7 ent-
halten sein; denn die Formen (a,5,^c), (&,a,— (?) sind ja einander
uneigentlich äquivalent (§ 6), und daher müssen sie auch eigentlich äqui-
valent sein, sobald die eine von ihnen eine ambige Form ist.
Ist {a^h^—'C) eine ambige Form*, so ist:
a) Entweder daa,
also
und die Gleichung a) § 8 besitzt offenbar die Lösung
aj = 2, y = 2ti+l.
Hieraus erhält man
AT *=* —
3
also für das untere Zeichen r-
= — ^; und folglich die Substitutioii
(« = 26,+ l,
U^-2b,,
h) Oder
.=f
also
0 1>
«1
= 2, 6,=
= -, A=4+26i+V;
und die Gleichung
a) § 8 ist
für
erfüllt. Dann ist
X
r =
3
also für das untere Zeichen r
= — 1, und man erhfilt die Substitution
* Den Fall, wo (h,a, --e) eine ambige Form ist, erledigt man gtaa analog.
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Von J. VivANTi. 279
d^ + 1.
10. Den zweiten im § 8 angedenteten besonderen Fall erhftlt man wie
folgt. Setzt man in O) § 7 ^ = y, so folgt daraus:
also, wegen 6), a; = l, und daher:
Aus i) %1 erhält man dann:
und durch Einsetzung in a) §8:
d. i.:
Diese unbestimmte Oleichung verdient wohl, genauer betrachtet zu wer-
den. Schreiben wir von nun an, der Einfachheit wegen, p und q statt
a^ und 5j, und lassen wir zunächst die evidente Lösung p=l; ^«=1 bei
Seite, so ersehen wir aus
dass jedem Werthe von p zwei Werthe von q entsprechen, welche zugleich
rational und ganz oder zugleich irrational sind, und deren einer kleiner, der
andere grösser als p ist. Bezeichnet tr einen Werth von|7, dem ganzzahlige
Werthe <r-i, <r+i von q entsprechen, und ist
80 folgt aus der Symmetrie der Oleichung a), dass sie gleichfalls erfdllt
wird, wenn man
setzt. Oiebt man also der unbestimmten Grösse p in ß) den Werth ^+i,
80 ist der eine der daraus entstehenden Werthe von q nothwendigerweise
in der zweite, welcher ganzzahlig und grösser als ^r+i ist, werde durch
tr^2 bezeichnet. Indem man so fortfILhrt, erh< man aus einer bekannten
ganzzahligen Lösung p=^tr, q=^tr^i von a) eine unendliche Beihe von
Zahlen
deren irgend zwei benachbarte eine Lösung von a) bilden.
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280 Zmt Theorie der bin&ren quadratischen Formen etc.
Die Ansgangslösung findet man wie folgt Da a) ftir|)t=l, q=l
erfüllt ist, so mass man durch Einsetzung von ps=l in a) einen zweiten
ganzzahligen Werth von q finden; man erhält thatsftchlich q = 2. Demnach
kann man als Ausgangspunkt die Lösung i» = 2, ^ = 1 annehmen. Indem
man 1=^, l = ^i> 2 = h^ ••• setzt, erhält man die unendliche Folge
(wo ^o = ^i<^j<^3<. . .)> deren jedes Glied von dem vorhergehenden
durch die Oleichung
^r+i= 2
und von dem nachfolgenden durch die Oleichung
«r-l
"" 2
bestimmt wird. Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man die
Becursionsf ormeln :
Es fragt sich jetzt, ob die Reihe y) alle positiven Lösungen** von a) giebt.
Dass die Sache sich so verhält, werden wir durch vollständige Induction
beweisen. Setzen wir voraus, es gebe keine kleinere als tr und von
^11 U> ***f ^r-^i verschiedene Zahl, welche in ß) für p eingesetzt ganz-
zahlige Werthe f&r q erzeuge , und sei dagegen eine solche Zahl u zwischen
tr und ^r+i vorhanden. Da die Function ^ von p=2 m
mit p beständig zunimmt, und da ihre Werthe tViT pt=tr, p = tr-^i bez.
^r— 1, tr sind, so wird sie für |)=u einen zwischen tr~~\ und tr eingeschlossenen
Werth V annehmen. Dann hat man aber auch die Lösung
was der Voraussetzung widerspricht.
Da also unsere Voraussetzung für r = 2 offenbar richtig ist, so gilt
dieselbe für jeden Werth von r, und die aufgeworfene Frage muss bejaht
werden.
11. Die Reihe y) ^^9 vorigen Paragraphen giebt uns unendliche Paare
von einander eigentlich (und zugleich uneigentlich) äquivalenten reoiproken
Nullformen
* Eb iBttsf^l) ti$^i=l, tit+2=2(mod4); femer enthalten die Zahlen ^
keine Factoren von der Form 4n + 3.
** AuB jeder positiven Lösung x, y von a) erhält man eine negative Lösong
-a?, — y derselben Gleichung.
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Von J. VivANTi. 281
{dir, dtr^X, -d[^r+<r + l]), (d^r+l, dir, -d{tr+tr^i])
(wo d irgend eine ganze Zahl ist) ; die erste Form je eines Paares geht in
die zweite durch die Substitution
über.
Wir wollen sehen, ob unter den so erhaltenen Nullformen ambige
Formen vorhanden sind. Aus der Qleichung:
^+1= 2
erheUt, dass für r>2 5^r >2^r+i >6^r iat, so dass 2fr+i durch tr
nicht theilbar ist. Die einzigen ambigen Formen von der betrachteten Art
sind also
(1,1,-2), (1,2,-3), (2,1,-3), (2,5.-7),
und diejenigen, welche aus diesen durch Multiplication aller Coefficienten
mit einer und derselben Zahl entstehen.
12. Die Beste der Glieder der Reihe
in Bezug auf irgend einen Modulus m bilden eine periodische Beihe, und
die Periode kann höchstens m^ Glieder erhalten*. Man beweist leicht, dass
die Periode symmetrisch ist, wenn man sie mit dem zweiten Gliede
der Reihe anfängt. Man findet insbesondere für die Moduli 3 und 7 bez.
die folgenden Perioden:
1, 2, 2, 1; 1, 2, 5, 6, 6, 5, 2, 1.
Bezeichnet man durch 2)r,r -|-i die Determinante der Formen (^^ ^r+ii
-[<r+^+i]), (^+1, try — [^r+ ^r+i]), SO crhüt man leicht:
woraus man die Beste von 2>r,r+i in Bezug auf irgendwelche Moduli mit
leichter Mühe berechnen kann. So erhält man für
* Da nämlich, wegen der Relation: tr+i=3*r— *r-i, jedes Glied dnrch die
zwei vorhergehenden linear und ganz darstellbar ist, so wird die Gliederfolge sich
wiederholen, sobald ein schon aufgetretenes Paar von benachbarten Tennen von
Neuem erscheint; und die Anzahl der verschiedenen binären Gombinationen der
Beste (fnod. m) ist eben m*. — Diese obere Grenze wird aber durch manche üeber-
legungen vermindert. Ist insbesondere m eine Potenz einer ungeraden Primzahl,
so ist 2 m, wie wir hier nicht beweisen wollen, die Maximalanzahl derTerme der
Periode; sie wird auch wirklich in einigen Fällen (wie z B. für m = 5) erreicht
/Google
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282 Zur Theorie d. binären quadratischen Formen etc. Von J. Vivahti.
-Do,l> -01,21 A,87 A,4> -Z>4,5» A,6
die folgenden Beste:
in Bezug auf 3: 0 10 10 1 ...,
„ „ „7: 304030304030...
Wir erhalten also das bemerkenswerthe Ergebniss, dass Paare von eigent-
lich äquivalenten reciproken Nullformen (a, &, '~^)i (^> a» — c) deren
Goefficienten die Gleichung
3a6-a«-&»«l
erfüllen, nur für solche Determinanten existiren können, welche entweder
durch 3 oder durch 7 theilbar sind.
Es bleiben davon insbesondere alle primzahligen Determinanten aas-
geschlossen.
Mantua, den 28. Februar 1886.
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XVI.
Einige Beitrage zur Theorie der allgemeinen rationalen
quadratischen Transformation.
Von
Feitz Hofmann
in Mfinohen.
Lassen wir zwischen den Punkten einer o;- Ebene and denen einer y-
Ebene die Beziehungen bestehen:
I) 9^i=y$y3y ^^=^1%. Q^H^ViVt^
n) <^yi=a?«a?8> <iyt^^i^^^ tfy3=«i««>
80 haben wir damit die einfachste und für die Rechnung bequemste ratio-
nale quadratische Transformation angegeben , aber auch die speciellste
Transformation dieser Art
Aus diesen Gleichungen ist sofort abzulesen, dass es bei diesen speciel-
len Transformationen Punkte x giebt, welchen nicht ein einzelner Punkt
y entspricht, sondern eine Gerade der y- Ebene und umgekehrt; dem
Punkte x^^=^x^^:^0 entspricht beispielsweise die Gerade ^8 = 0 und ebenso
dem Punkte yj=y, = 0 die Gerade «8=0.
Im Nachfolgenden sollen die Sätze entwickelt werden, die zur Orien-
tirung über die Verhältnisse bei allgemeinen quadratischen Substitutionen
genügen, die somit ein sicheres Operiren gestatten auch mit Transformationen,
die sich nicht mehr ausschliesslich stützen — wie die von I) und II) —
auf die evidenten Eigenschaften von a priori als zerfallend vorgegebenen
Kegelschnitten.
Ersetzt man die Gleichungen I) durch die allgemeinen:
^«i=9>i(yiyiy8)»
wo die 9 homogen geschriebene Gleichungen von Kegelschnitten vorstellen
sollen , die nicht mehr direct das Product von zwei linearen Factoren bilden
— die wir nur der einzigen Bedingung unterwerfen wollen, dass die drei
Kegelschnitte ^^ = 0 drei Punkte, /3j, ß^^ ß^ gemeinschaftlich haben — , so
drängen sich Fragen mancherlei Art auf, wie etwa die folgenden: wie findet
man die inversen Transformationen, d. h. wie können die Functionen
ip: öifi=:^fffi{x) am einfachsten erhalten werden, welche die Auf lOsung^ des
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ni)
284 Einige Beiträge z. Theorie d. allg. ration. quadrat. Transformationen.
Systems III) nach den y vorstellen? Wo liegen die Corven, geschrieben
in den x^ die den Hauptpunkten ß in der y- Ebene entsprechei;, da ja
letztere Punkte durch das Einsetzen ihrer Werthe in die Gleichungen III)
dieselben zunächst illusorisch machen? Und welche Beziehungen haben
diese Cnryen zu den Transformationscurven ayi^rifi(x)? Tritt vielleicht
der Fall ein, dass den Schnittpunkten a dieser den ß entsprechenden Cur-
ven wiederum umgekehrt in der y- Ebene keine bestimmten Punkte, sondern
Curven entsprechen — und welche Beziehungen haben diese Curven, ge-
schrieben in den y, zu den vorgegebenen Kegelschnitten ^i(y)?
Auf alle diese Fragen ist fUr den Fall einer rationalen quadratischen
Transformation der einfachsten Art [Nn I) und II)] die Antwort ge-
geben in der kurzen Bemerkung, die wir an jene Transformationsformeln
anschlössen.
Auch ftlr den Fall der allgemeinen Formeln Nr. III) kann die Ant-
wort auf jene Fragen als gegeben angesehen werden, indem man von Sätzen
viel allgemeinerer Art über Transformationen von beliebigem Grade eine
speoielle Anwendung auf jene Formeln macht (vergl. etwa Clebsch-Linde-
mann, Geometrie S. 474— >480 oder 8. Capitel von Salmon-Fiedler's
„Höheren ebenen Curven*).
Wir wollen hier gleich das Ergebniss dieser allgemeineren Unter-
suchungen, angewendet auf unsere Formeln III), vorausschicken, wie es in
den angefUhrten Werken gewonnen wird und zwar dort nicht direct, sondern
durch Schlüsse über eindeutiges Entsprechen von Punkten , sowie vermittelst
allgemeiner Curventheorie und schliesslich auch durch Infinitesimalbetrach-
tungen.
Wir setzten voraus, dass die drei Curven g>i{y)^0 durch drei Punkte
ß gehen. Alsdann „entspricht einem Punkte /?, geschrieben in den ^, eine
Gerade, geschrieben in den x. Die drei so erhaltenen Geraden bilden ein
Dreieck mit den Eckpunkten o^itts^ys, und durch diese Punkte a gehen die
Curven ^i (x) = cyt , welche die ümkehrung der Substitutionen III) repräsen-
tiren. Sucht man aber umgekehrt fQr die Punkte a, geschrieben in den
X, die Bilder in der y- Ebene, so würden zunächst die Formeln flfi(x)i=6yi
nach der soeben gemachten Bemerkung illusorisch — man weist aber nach,
dass diesen Punkten o in der a;- Ebene nicht mehr einzelne Punkte der ^•
Ebene, sondern die Seiten des Dreiecks der ß entsprechen. Schliesslich
kann man noch zeigen, dass die Curven if/<(:r) selbst wieder vom zweiten
Grade sind, also in den Curven q> ganz analoges Verhalten zeigen, indem
auch sie ihrerseits drei feste Punkte, a, gemeinschaftlich haben ^.
Diese Besultate sollen im Nachfolgenden ganz direct gewonnen
werden, ohne den Geschlechtsbegriff der Curven oder die Infinitesimal-
rechnung heranzuziehen, indem wir die LOsungen für sämmtliche in obigen
Fragen gestellte Hilfsaufgaben auf elementarem Wege bringen. Auch
die ebenso naheliegenden Fragen: wie construirt man sich Beispiele fUr
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Von Fritz Hofmann. 285
diese Theorien? wie verscbafft man sich Kegelschnitte, die überhaupt durch
drei Pankte gehen, wie solche, die drei bestimmte Punkte gemein-
schaftlich haben? wie kann man die Gleichungen III) darstellen als das
Eliminationsresultat von zwei einfacheren Gleichungen, die die Grössen
X und y nur linear enthalten? finden dabei zugleich ihre Erledigung.
V)
I. Indem wir die Coordinaten der drei Punkte ßi, ß^^ ß^^ welche die
Kegelschnitte q>i (y) = 0 gemeinschaftlich haben , als bekannt annehmen,
können wir die Gleichungen der Seiten des Dreiecks der ß bilden:
IV) i?i=0, i,,«0, i?3«0
Hierbei bedeuten die 17 lineare Functionen der y.
Diese Gleichungen IV) können wir auflösen nach y und dann in die
Gleichungen m) q Xi=q>i(y) die so für ^ gewonnenen Ausdrücke substi-
tairen. Wir müssen dann lauter Gleichungen erhalten, in welchen ti^^ 1/2^,
i}3* gleichzeitig fehlen, weil eben die Kegelschnitte q> durch die Eckpunkte
des Dreiecks der drei Geraden 17 hindurchgehen. D. h. unsere Gleichungen III)
nehmen die Gestalt an
P «1 = «11 {Vi %) + «li K ^1) + »18 (^1 Vi) = ^1 (v) »
QX^ = «21(^2%) + (hiiVsVl) + «28(^1^«) = ^%i.v) »
Q^$ = «81 (^2^8) + Ö82(%^i) + 033(^1^2) = ^siv) •
Bezeichne nun aut die ünterdeterminante des Jc^^ Elements in der
i^ Horizontalreihe der Determinante der a, so erhüt man weiter:
!Vi% = «11^1+ «21^+ «31 «8>
VzVi = «i2a'i+ »22^+ «82 «3>
Vi V2 = «18^1 + «28^+ «88^8 •
Diesen Formeln VI) können wir bereits Folgendes entnehmen. Es sei für
einen Punkt 171= 0, so entspricht ihm der gemeinschaftliche Schnittpunkt
der Geraden:
«12*1+ «22^8+ «32^8 = 0 und «igiTi + «83«2+ «88^8 = 0-
Wir sind demnach bereits auf Punkte — wir wollen sie a nennen — auf-
merksam gemacht, welche die Eigenschaft haben, dass ihnen, als Punkte
der a;- Ebene aufgefasst, in der ^- Ebene gerade Linien 17 entsprechjBU, näm-
lich die Seiten des Dreiecks der ß. Und zwar sind diese drei Punkte a
die Schnittpunkte der drei Geraden, welche von den rechten Seiten der
Gleichungen VI) vorgestellt werden. Man kann nun aber auch die Gleich-
ungen VI) paarweise mit einander multipliciren und erhält:
{{VlV%Vs)Vz= Kl «1+ «21 «2+ «31^3) («12^1+ «22^2+ «38«8)»
(^1»?2^3)^2= («11^1+ «21^2+ «31 ^d) («13^1+ «28^2+ «88^3)»
(^l'?«^3)^l=(«l2«l+«2?^1J+«3«^3)(«l8«l+«28^+«88«3)- ^ T
/Lioogle
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286 Einige Beiträge z. Theorie d. allg. ration. quadraiTransformationen.
Setzt man eine der linearen Functionen =0, welche die rechten Seiten de
Gleichungen VII) componiren, etwa {ci^^Xi+ (ii2iX^+ oi^iX^ = 0 , bo ergiebt
sich 1/3 = 1^2 = 0.
Daher der Satz: Einem Eckpunkte des Dreiecks ßiß^ß^ entspricht in
der o;- Ebene nicht ein einzelner Punkt, sondern es ent-spricht
dem Punkte ß^ : i^g = iyg= 0 die Gerade a^^ aJi + «jj aj, + «si ^ = 0 ,
VIII) „ „ /5j:iyj = 1?3=0 „ „ «i8a?i+«2««2+ «82^=0,
n n ft- ^1 = ^2=0 >» »> «18^1+ «28^2+ «83^=' 0»
während doch zunächst aus den Formeln III) oder V) die Correspondenz
zwischen den Punkten ß und x illusorisch zu werden scheint — Es i^t
bemerkenswerth , dass dieses Resultat gewonnen wurde ohne Betrachtungen
des ünendlichkleinen. Wir wiederholen rasch die Ableitung desselben
Satzes an der Hand der Methoden von Salmon-Fiedler, a. a. 0. Art. 339
oder Clebsch-Lindemann a. a. 0. S;481:
Wäre i?j=i?3 = 0 vorgegeben zur Transformirung in die o;- Ebene, so
bilde man, nach dem Taylor'schen Satze:
Man erhält, indem man auf die Formeln Y) zurückgeht:
Q^l *= «12^1 *%+ «18^1 ^^2»
^^^8 = o^i?! 5%+ OjgiJi 5i?a,
QX^ = a^^Tji di?8+ a^ri^ äri^.
Dies giebt den Werth der Coordinaten x für einen Punkt in der Nachbar-
schaft des Punktes ß^. Indem man die Grössen q^ Vi^%^ Vi^V% elimi-
= 0
als Gleichung des dem Punkte ß^ entsprechenden Ortes der ^- Ebene; in
vollständiger Uebereinstimmung mit unserer Formel VIII). Wir wollen zu
diesen Gleichungen YIII) noch einen Augenblick zurückkehren, um aus ihnen
die Coordinaten der neuentstandenen merkwürdigen Punkte der o;- Ebene,
der or, abzulesen. Ersetzen wir in den ersten beiden Gleichungen des
Systems VIII) die Unbekannten x^, x^^ x^ durch resp. ^139^83;^* so werden
dieselben identisch erfüllt. Daher ist: (^^3 0^3033) der Schnittpunkt der
beiden ersten Geraden von VIII) , d. h. wir können für die Coordinaten der
drei Punkte a folgende Tabelle aufstellen, indem wir nur d^n soeben ge-
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nirt, findet man
«1
«1»
«1»
«1
o»
0»
«,
«M
Obs
Von Fritz Hopmann. 287
machten Schlnss fQr andere Paare von Gleichungen des Systems VIII)
wiederholen :
a| hat die Coordinaten (Ojj, 0,1 , a^i),
^% »> n n V^i«» ^«» ^)i
*8 " t? >i (^18 9 ^8> ^)*
Man hat es demnach ganz in der Hand, Beispiele von allgemeinen
rationalen quadratischen Transformationen za constmiren mit vorgegebenen
^-Hauptpunkten, welche hinführen auf a- Punkte von bestimmten, willkür-
lich angegebenen Coordinaten — man braucht eben nur zu diesem Zwecke
die Coef&cienten a der Formeln V) richtig zu w&hlen.
Die Gleichungen VII) in Verbindung mit IV) lösen nun vollständig
das unseren Betrachtungen eigentlich — als wichtigstes — zu Grunde
liegende Hauptproblem: die ümkehrung der Formeln III) anzugeben, eine
auch ftlr die Algebra interessante Aufgabe.
Wir haben nur noch die Gleichungen IV), die wir bereits einmal nach
y auflösen mussten, nochmals zu verwerthen, indem wir in diese Lösungen,
die die Form haben:
%= ^31^1+ ^9in% + K%i
die in Formel VII) erhaltenen Werthe der 17 einfahren. Dann erhalten wir;
IX) y8 = *2(«)»
, y3 = *8(«^)»
wobei die Functionen 1^ vom zweiten Grade in den x sind und zusammen-
gesetzt aus Producten von je zwei linearen Functionen der x, Functionen,
welche fCLr sich allein =0 gesetzt, die Gleichungen der drei Seiten des
Dreiecks der a vorstellen. Demnach gehen in der That die Curven ^^ = 0
durch drei feste Punkte er, was wir uns vorgesetzt hatten zu beweisen.
Erstes Zahlenbeispiel.
Aufgabe. Man soll die Transformation
in') aj,= -3y,«+y,«+ y8*+2(y,y, + ViVz-y^y^).
l «3=-4yi* -2y,«+2(2y,y, + 3y,y3+y,y3),
von der zugleich angegeben wird, dass die drei Kegelschnitte der rechten
Seite durch die drei Punkte p (0, 1, 1); (1, 0, 1); (1,1,0) gehen, auf-
lösen nach den y und die Lage der Hauptpunkte or der o;- Ebene bestimmen.
Indem man die Gleichungen iji, i;,, f^g fUr die drei Seiten des vor-
gegebenen Dreiecks bildet und nach y auflöst, findet man
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288 Einige Beiträge z. Theorie d. sJlg. ration. quadrat. Transformationen.
F&hrt man diese Ausdrücke ein, so erh< man Gleichungen, die nach
Früherem nur noch die Grössen 172 ^s> VsVi^ ^1^2 ®i^Ui<en:
Demnach sind bereits die Coordinaten der a- Punkte bekannt und können
direct nach Früherem hergestellt werden:
a,:(l, -1, 1),
«2:(li 1» 3),
«8^(1. 1.2).
Indem man die letzten Gleichungen auflöst nach ri^%y ^8^i> V1V91 erhält
man:
^2% = "" *1+ ^2'
^1^2 = - 4a?4- 2«,+ 2xi,
woraus man schliesst, dass beispielsweise der Geraden t7i=0 der Schnitt-
i_i. ( 3«!+ aJo— 2a?.=0 ^ . , . t ,
punkt von { . * o ■ o a entspricht. Indem man nun paarweise
mnltiplicirt und den sich gleichmSssig einstellenden Factor (171172%) ^^^'
lässt, findet sich
»i?i=(3iCi + X2-2a:3)(- 4*1-2^:2 + 2^8)»
Ti72= (— «1+ ^) (— ^^i - 2a;2+ 2x3),
Tf?8= (- a?i + iTg) (3a?i + arg - 2a;3).
Man schliesst hieraus, dass dem Schnittpunkt« ß^ von 17^=0, 1/2=0 eine
.Gerade dera;-Ebene entspricht, nämlich die Gerade —4a;i~- 20^2+ 20^3=0.
(Dieselbe Gleichung mttsste man nach Obigem auch durch Differential-
rechnung erhalten.)
Indem wir nun diese Werthe substituiren in die Ausdrücke für y,
finden wir als Umkehrung unserer Transformation III'):
IX') y, = (3a;i + aj2-2a:3)([-a;i+a:2] + [- 4^:1-20^+20:3]),
y3 = («4o:i-2oi+2oJ3)([-o:i + a?2] + [3x1 + 0:2-20:2])»
Formeln, die jedem Punkte der 0:- Ebene einen einzigen Punkt der ^- Ebene
zuweisen.
Zweites Zahlenbeispiel.
Eine nicht zerfallende Curve dritten Grades (durch die Punkte [0, 0, 1],
[0, 1, 0], [1,0, 0] gehend), dabei vom Geschlechte 0:
^yiy2y8+^yi*y2 + c^yiy2"+-2>yi*y8 + ^y2*y8=o
soll durch eine rationale quadratische Transformation allgemeinster Art
transformirt werden in einen Kegelschnitt. Dabei wird noch die Bedingung
gestellt, dass die linearen Functionen in x, welche sich iafolge der auf-
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Von Fritz Hofmann. 289
zustellenden Transformation aus der neuen Öurvengleichung absondern wer-
den, identisch werden mit drei vorgegebenen:
es sollen zugleich die Functionen q> in y angegeben werden, welche die
X bei dieser Transformation eindeutig ausdrücken durch die y.
Der eine Theil dieser Aufgabe ist besonders einfach zu lösen: man
setzt eben y^^^s^^ ^°^ überzeugt sich durch Einsetzen in die vor-
gegebene Curvengleichung, dass sich dieselbe auf einen Kegelschnitt Äc^c^
+ -BcjCsH- Ccj Cj + Dc^* + jECj* = 0 reducirt
Um den zweiten Theil der Aufgabe za erledigen, erinnern wir uns,
dass die ausscheidenden Geraden jene Seiten des Dreiecks der a sind, welche
den drei Punkten |3 der y- Ebene entsprechen, durch welche die vorgegebene
Curve geht. Die Coordinaten der a sind aber einerseits erhältlich als die
Schnittpunkte der vorgegebenen Geraden c, andererseits sind sie nach Frühe-
rem identisch mit den Coefficienten atk jener Transformation (III) oder (Y)
Xi = (pi {y) , die verlangt wird. Wir erhalten also einerseits für die «-Punkte
die Tabelle J (y,^, yjs» Xss)« ^^^ können dann sofort diese Grössen, die
ünterdeterminanten der c- Determinante bedeuten, einführen, um zu erhalten:
Diese Aufgabe kann auch dahin variirt werden, dass man eine all-
gemeine quadratische Transformation verlangt, für welche die «-Punkte
(2. 1,0)|«„
bestimmte vorgegebene Coordinaten haben. SoU man haben (1, 2, 3) l «g,
(3,1,3)]«,,
80 hat man anzuwenden:
^i='2y2ys+ ^3^1+3^1^2.
aja= +^ysyi+^yiy2^
welche Formeln dann vor ihrer Verwendung noch nach den y aufgelöst
werden müssen. —
* Die Formeln V) sind nämlich die allgemeinen quadratischen Transfor-
mationsformeln, wenn vom ^-Dreiecke die Gieichungen 17 , i^t, Vi der drei Seiten
bekannt; uod diese Seiten werden hier durch O^y^ ytj y^ bestimmt.
Zeitschrift f. Mathematik n. Physik XXXI. 5. ^^gitized by GoOQIc
290 Einige Beiträge z. Theorie d. allg. ration. quadrat. TransformatioiieD.
üeberblicken wir die bis jetzt gewonnenen Resultate, so können wir
sagen: wird an Stelle einer quadratischen Transformation der einfachsten
Art [I), II)] eine allgemeinere Transformation vom Typus III) verwendet,
so gestaltet sich das Rechnen mit derselben und der üeberblick über die
dieselbe charakterisirenden Gnindgebilde ebenso einfach, wie bei den
specielleren Formeln , und eine solche allgemeinere Substitution ist von der-
selben Sicherheit und Beweglichkeit in der Behandlung, wie die specielle;
sie gestattet eine grössere Freiheit, insofern sie über die Bestimmung ge-
wisser Constanten, der Coordinaten der Punkte o, die Wahl lässi Zu-
gleich besitzen diese auf elementarem Wege erledigten Untersuchungen den
Werth eines instructiven Beispiels für die Ton der allgemeinen Curven-
theorie durch abstractere Methoden gewonnenen Beziehungen zwischen den
Hauptpunkten höherer Transformationen.'*'
II. Wie man sofort Gleichungen zweiten Grades hinschreiben kann,
von denen man sicher sein darf, dass die durch sie vorgestellten Curven
drei Punkte gemeinschaftlich haben, zeigt die folgende elegante, bei Clebsch-
Lindemann a. a. 0. S. 476 mitgetheilte Methode.
Man schreibe an
yn 1 Qi^i + Q^^ + Qs^ =0,
^ 1 Ci^i+Ö>,+ e>8=0,
wobei die Qj, Qg, Q3, Q\t Q\y Q\ beliebige homogene lineare Functionen
n den y bedeuten, und bestimme hieraus:
XII) 9^=-QzQ\-Q\Q,,
„Die drei rechts stehenden Kegelschnitte haben immer drei Punkte
gemeinschaftlich. "
Für diese Bemerkung ist ein directer Nachweis möglich. (Vergl. Sal-
mon, Algebra der linearen Transform., Art. 267; sowie Salmon, Höhere
Qi Q% «3
ebene Curven, Art. 190.) Wir haben die Identität Q^ Q^ Q^ =0; oder
Q\ Q\ Q\
XIII) Q,{Q,Q\''Q,Q\) = '-\Q,{Q^Q\-Q,Q\)+Q,{Q^iyt-Q^Q\)l
Die beiden Kegelschnitte der rechten Seite haben nun offenbar den Punkt
gemeinschaftlich, der zugleich auf Oi = 0 und Q\=^0 liegt. Aber sie haben
im Allgemeinen keinen Punkt der Geraden Q^ ausserdem gemeinschafUicL
Der eine geht zwar durch den Schnittpunkt von Q^ mit 0,, der andere
* Die Bemerkung, dass die allgemeine Transformation zweiten Grades im
directeaten Zusammenhange steht mit der speciell erscheinenden Transfor-
mation der Formel I) S. 283, findet sich übrigens auch bei Salmon, Höhere Oar-
ven, Art. 326 am Schloeae. Von dieser Bemerkung soll eben das im Texte im
Abschnitt 1 Gegebene eine Ausftihrung sein.
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Von Fritz Hofmank. 291
durch den von Q^ mit Og, aber das sind eben getrennte Punkte. Wir
können also wiederholen: im Allgemeinen haben die beiden Kegelschnitte
der rechten Seite auf der Geraden Q^ nur den Schnittpunkt von Q^ mit
0\ gemeinschaftlich.
Aus der Identität XIII) schliesst man nun: der Schnittpunkt von Ot
und 0\y einer der vier gemeinschaftlichen Punkte der Kegelschnitte der
rechten Seite, braucht nicht auf dem Kegelschnitte OiDs" OsQ\ der linken
Seite zu liegen, denn für ihn wird der Factor Q^ der linken Seite von
XIII) zu Null. Dagegen liegen alle anderen Schnittpunkte der beiden rechts-
stehenden Kegelschnitte auf dem Kegelschnitte der linken Seite, denn für
diese anderen Schnittpunkte verschwindet Q^ nicht mehr, also muss es der
Factor QiO\— QsQi thun.
Also haben in der That die drei Kegelschnitte der Tabelle XII) drei
Punkte gemeinschaftlich.* —
Wir wollen noch einige kleine Aufgaben behandeln , die mit dem Vor-
hergehenden Zusammenhang haben.
Wenn zwei quadratische Transformationen specieller Art vorgegeben
sind [Nr. I) und II)] , kann man dann zwei Gleichungen von der Art der
Nr. XI) angeben, durch deren Auflösung eben jene Formeln I) und II)
entstehen würden?
Wir geben zur Lösung dieser Aufgab^ folgende einflEu^he Vorschrift.
Man bilde eine Matrix \ ^ ^ ^
« «1 «2 «3
I ^1 h h
und nenne die ünterdeterminanten derselben, wie etwa {(^h^-- a^h^) ab-
gekürzt (o^^g).
„Wenn dann die sechs Zahlen a^a^ti^h^h^h^ ganz beliebig gegriffen
werden und der einzigen Bedingung unterliegen, dass von den ünter-
determinanten (a^ l),) , {a^h^)y (03 &J keine verschwindet, so können die Sub-
«i = y2y8>
a^=^^^3, ersetzt werden durch den Verein der beiden Gleich-
stitutionen
nngen
(a,&,)(a,l.,) '"" {a,b,){a,h,) «^» ' (a,6,)(ag6,)
* Auch bei der Bestimmung der Anzahl von Doppelpunkten, welche
eine durch einen Parameter rational ausgedrückte Curve besitzt, tritt eine ähnliche
SchlusBweise auf. üeberhaupt tritt derselbe Schluss in allen Gebieten der analyti-
schen Geometrie uns entgegen; vergl. noch Salmon, Geometrie des Raumes,
Bd. II Art. 2 ; S. 6 der deutschen Ausgabe.
l&Sitizedby Google
292 Einige Beiträge z. Theorie d. aUg. ration. quadrat . Transformationen .
Der Beweis wird durch Auflösung nach x^x^x^ sichtbar. — Mit Hilfe
dieser Bemerkung können wir nun darauf hinarbeiten, allgemeine qua-
dratische Substitutionen III) durch ein System von zwei in x
und y linearen Gleichungen wie XI) zu ersetzen, um zu zeigen,
wie sich dieses Problem besonders übersichtlich behandeln Iftsst, sobald
erst einmal die drei gemeinschaftlichen Punkte der Kegelschnitte q> bekannt
sind 9 nehmen wir unser frflheres Zahlenbeispiel wieder auf (S. 288).
-4«i-2a?,+ 2fl;3=i;iiy,
ersetzen, wie wir soeben gesehen haben, durch die zwei Gleichungen:
und in diesen Formeln können wir schliesslich noch fQr die fjifi^% ihre
Werthe in den y substituiren.
12 3
Wir wählen als Zahlenbeispiel die Matrix 0 12 °^^ ^^^ Unter-
determinanten (a^ ftg) = 1 , (o^ ^3) = 1 , (ßz^i) = — 2. Führt man diese Werthe
in die beiden Gleichungen ein, ersetzt die rj durch ihre Ausdrücke in den
y und ordnet schliesslich nach den x^ so erhält man:
1 (7^1+^2-%)«!+ (3^1 + ^2-^8)««- 4^1^ = 0'
und die Auflösung dieser Gleichungen liefert in der That genau wieder
das System III') (S. 287):
von dem wir bei unserem Zahlenbeispiele ausgegangen waren; eben würde
die Ordnung der Gleichungen XI') nach den y und deren hierauffolgende Auf-
lösung nach den y die Gleichungen IX') unseres Zahlenbeispieles ergeben.
nL Statt sich zu fragen: welche Werthe der x\^ x\, x\ steUen sich ein.
wenn in die Formeln qx\ = X^^ qx\= X^y qx\ = X^ rechts direct ge-
wisse Werthe von x^, x^, x^ eingeführt werden, die die drei rechts stehen-
den Ausdrücke verschwinden machen? kann man auch die Frage so stellen,
dass man den Ort für die x\, x\j x\ sucht, für deren Coordinatenwerthe
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Von Fbitz Hokmank.
293
Y Y X
die drei Curven -^ == ^ = -7^ sich in einem ihrer festen gemeinschaftlichen
a?, «2 «8
(Haupt-) Punkte berühren.*
Denn im Falle einer Berührung in einem Hauptpunkte Ä können die
obigen Formeln zunächst nur illusorische Werthe fOr die Coordinaten der x
geben, da die Curven X in solchem Falle ausser dem Berührpunkte (und
den beiden a priori immer festen anderen Hauptpunkten) weiter keinen
Schnittpunkt aufweisen, so dass also der für die Cromo na -Transformation
wesentliche, freie vierte Schnittpunkt eben diesmal gleichfalls in den ge-
meinschafOichen Hauptpunkt Ä der Curven X hineingerüokt ist.
Verfolgt man das Problem von diesem Gesichtspunkte aus weiter, so
stellt sich das Besultat überaus einfach dar.
£s seien also x\, x\y x\ die Coordinaten eines Punktes x von der
X X9 X
gewünschten Eigenschaft — d. h., sie sollen drei Curven -7^ = ^ = -y^ liefern,
«1 ^% «8
die sich in A (von den Coordinaten x^^ x^j x^) berühren. Alsdann hat
man zur Ermittelung der x zunächst zu schreiben:
•^1 X^ X^
x\ Yl x\
oder ^ ^
x^Xi — 05 j X^ = 0 , a? 3 Xj — x\ Xj = 0,
Sollen diese beiden Curven sich berühren, so müssen die ersten Differen-
tialquotienten derselben entsprechend proportional sein — genommen in
Bezug auf die drei Grössen x^^x^^x^^ die Coordinaten des Hauptpunktes A.
D. h. es muss sein :
. dX^ , 3X2 ( , dX^ , dX^
, dX* , dX^ ( , dXy , ^-XoN
demnach muss die folgende Determinante verschwinden:
0 =
dX^
, dX* , dX^
* dx^ * dx^
, dX^ , dXa , dX^ f dX*
'«^^^"^^a^
Nun ist aber nach dem Multiplicationssatze der Determinanten diese
Determinante identisch mit dem Producte der beiden Matrices:
dX^ dX^ dXg
-x\ 0
0 ^x\
dx^
dX,
dx2
dxi
dX^
dx^
dxi
dx,
dx^
* Die Entwickelungen dieses Abschnittes III sind allgemeiner Art, sie beziehen
sich nicht anBschliesslich auf quadratische rationale Transformationen.
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294 Einige Beiträge z. Theorie d. allg. ration. quadrat. Transformation.
Andererseits ist aber nach den Elementen der Determinantentheorie
bekannt, dass dieses Product auch entwickelt werden kann als Samme von
drei Prodncten, welche als paarweise zti nehmende Factoren je zwei ent-
sprechende ünterdeterminanten dieser Matrices aufweisen. Daher:
0 =
dXt
az,
az,
dX^
-x\ 0
dx,
a«,
+
x\
0
a«!
dx.
0 -x\
dx^
ax.
-X,
az,
dX,
dXi
dx.
dXf
a«,
dXi
dx.
+
x\
-x\
dxi
dxi
9
0
dx^
SXg
dx^
dx.
dXt
a«,
dx,
dx,
dx^
dXi
dXt
dxf
dX,
ax,
dXi
oder, ausgerechnet und nach Unterdrückung des gemeinschaftlichen Factors x\ :
:0, was zu beweisen war. (Vergl. Salmon,
Höhere ebene Curven, Art. 339; sowie
Clebsch-Lindemann, a. a. 0. S.481.)
Hierbei bedeuten, wie gesagt, die Xi, x^^ x^ feste Zahlen, die Coordinaten
jenes Hauptpunktes Ä^ in welchem die Berührung stattfindet.
Diese Entwicklung lässt am besten ein klares Bild entstehen von den
Vorgängen, die überhaupt bei der Annäherung an die singulären Stellen der
x'- und der d?- Ebene statthaben. Man kann zunächst einen Punkt x' so
wählen, dass sein entsprechender Punkt x möglichst nahe an einen Haupt-
punkt der a;- Ebene zu liegen kommt. Alsdann kann man den o;'- Punkt
sich so weiter bewegen lassen, dass sein entsprechender Punkt x ganz in
einen solchen Punkt selbst hineinföllt.
Hierbei ist die Bewegung von x keine freie; die Annäherung an die
kritische Stelle muss im letzten Momente in einer bestimmten Bichtung
erfolgen, wie die Formeln
nebst den beiden zugehörigen darthun. Dagegen braucht der Punkt x' sich
nur in beliebiger Weise irgend einer Stelle jener Geraden zu nähern, deren
Gleichung wir auf der vorigen Seite bestimmt haben.
Wir geben noch das folgende vollständig durchgefOhrte Zahlenbeispiel.
Qx\ = 5a?2^ + 3x^0?, + ^rCjOyg,
gx\ = Xi* — Ix^x^ + 2x^ — a^iÄg — 2x^x^,
Qx\ = -- a?!^ — x^x^ — 3x^* + x^x^ — ^x^x^.
Die drei Curven X^, X,, X^ haben drei gemeinschaftliche ELauptpunkte ;
einer davon ist offenbar der Punkt
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Von Fritz Hofmann.
295
iCi:a5j:iC3 = 0:0:1.
Für ihn ergiebt sich als Ort der x (nach der Gleichung der vorigen Seite) :
0, 7, x',
-1, -2, «', =7a!',+7«', + 7a!'8 = 0.
1, -ö, «',
Nehmen wir x^ = — 1, ä'o =1, ip'» = 0 , so erhält man aus —7^ = —r- = — v^
iCj x^ a?3
diesmal X3 = 0 und X^ + -^9 = 0. Demnach entstehen die Curven (welche
den entsprechenden Punkt X durch ihren vierten Schnittpunkt liefern sollten):
Z3 = -aj«-3y»-a:y + a?-5y = 0,
Xi + J^=ir« + 7y«-4fl?y-j» + 5y =0,
Wie man aus den in o; und y linearen Gliedern dieser beiden Gleich-
ungen erkennt, berühren sich die beiden Curven längs der Geraden
rc ~ 5^ = 0 im Anfangspunkte. Demnach liefern dieselben in der That
keinen weiteren vierten Schnittpunkt.
München, Herbst 1886.
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Kleinere Mittheilungeu.
XXL Constmotion einer Curve Tl. Ordnung ans sieben Doppelpunkten
und sechs einfachen Punkten.
Im 2. Hefte S. 98 dieser Zeitschrift findet sich die Constmction einer
Cg aus 1« 2« 3« 4« 5» 6n 8 9 10 1 1 12 13 14 15. Diese Construction ist qua-
dratisch, soweit sie dort mitgetheilt worden ist; im weitem Verlaufe ist sie
kubisch. Durch einen bestimmten Grenzübergang gelingt es, aus dieser
Construction die einer C« aus 1« 2« 3« 4« 5« 6« 7« 8 9 10 11 12 13 abzuleiten.
Aid Vorübung dazu in einem gewissen Sinne diente mir die Aufgabe,
aus sieben gegebenen Punkten 1' 2 3 4 5 6 7 einer C^ ein Eegelschnittbüschel,
das in 23 45 getragen wird, und ein die Curve erzeugendes projectives
Strahlbüschel abzuleiten, ohne dabei von der bekannten Construction der
Curve aus einer Strahlinvolution nebst projectivem Strahlbüschel Gebrauch
zu machen.
Es seien a«> = 0, a,*=:0 die Eegelschnitte des Büschels, die durch 6
und 7 gehen; ferner &« = 0, /3« = 0 die entsprechenden Strahlen; endlich
lik die Coordinaten des Doppelpunktes 1 und lib+^jb» ^k+^k die zweier
unendlich nahen Punkte. Die Curve III. Ordnung
1)
B =
a.*
«.»
«{*
««»
Is
ßs
be
ßi
= 0
enthält den Punkt ^k\ soll sie auch noch die beiden Nachbarpunkte 1^ + ^^
ik + ^k enthalten, so muss
2)
Da nun
«{+<>*
««+<!*
Of+.'
««+.*
««*
««'
af«
«f»
h+i
ßi+i
H+'
ft+.
&f
ßi
h
ßi
= 0.
a^+d« = a^* + 2a^ad + ad^ fe^+d ^ 6f + &d ,
so geht, wenn Glieder zweiter Ordnung vernachlässigt werden, 2) über in
woraus folgt
14
^a^ai , 2«{oj
1+
1 +
h
1+
ßi
ßi
0,
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3)
Ebenso erhält man
4)
Kleinere Mittheilungen. 297
2agaa 2ggg, __ &, /3,
Setzt man zur Abkürzung
. _2a^ak 2ataff _5|* i ^,
so gehen 4) und 5) über in
6) A,i, + JL,ß^ + A^Ö^^O,
7) A^B^+A^B^ +il3«8 = 0;
femer ist identisch
^^1+^^2 + ^53 = 0,
folglich ist
Nnn ist aber
_dR _dR _dR
^'^dl' "^"H,' ^''^dl,'
daher folgt, dass die Corve in der That in ^k einen Doppelpunkt hat, dessen
Tangenten im Allgemeinen natürlich von den Geraden |jb, ^k + 9k und ^^
^k + ^k verschieden sind. Die Construction schliesst sich am besten den
Gleichungen 3) und 4) an, obgleich dieselben die für die Aufgabe ganz ein-
flusslosen Punkte ik + Sk} ^k + Sk enthalten. Die nächstliegende üebertrag-
ung — wenn auch vielleicht nicht die einfachste Construction — dürfte
folgende sein.
Mit Benutzung einer willkürlichen Zahl m bilde man aus 3)
Werden die Punkte Sjt + w^* mit C, ^k mit 5 bezeichnet, sind femer
Ä, Z die Spuren von &x=0 und /?« = 0 auf J?C, so ist
h^ 8B' ß^ 1B'
Sind femer T^ T,, sowie T, T, die Spuren von a,* = 0 und «,* = 0 auf J?C7,
so ist
a^« '^T.B^T.b' «^« '^T.B^T^B'
daher folgt aus 3)
8B ZB'^T^B^T^B Kj^B^T^B/'
Durch elementare Constructionen kann man die Punkte X und Z so
bestimmen, dass
alsdann hat man
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298 Kleinere Mittheilungen.
8C TC^XC =C
SB TB XB EB'
Die Puuktepaare P und TT, für welche
PO nc
bilden die entsprechenden Punkte zweier projectiven Reihen, welche, wie
man sofort sieht, in B zwei zusammenfallende Doppelpunkte haben. Also
entsprechen S und Z, X und Z einander in einer projectiven Beziehung,
bei welcher die Doppelpunkte in B zusammenfallen.
Bestimmt man noch auf elementare Weise den Punkt f so, dass
rc^xc =0
VB XB =B'
so ist r der entsprechende zu C, und man hat
(j?,x, c,s) A(J?, =,r, Z),
wobei die projective Beziehung durch die drei bekannten Paare (B^ X, C)
A (5, E, r) festgelegt ist. ,
Ebenso ergeben sich die Spuren der &;r = 0 und ßx^=0 auf JBD, wo
D den Punkt ik+\nsk bezeichnet, als entsprechende zweier projectiven
Beihen. Projicirt man die Reihen auf BC von 6 bez. 7 aus, so ist das
Erzeugniss ein Kegelschnitt, der 6, 7 und B enth< und indem man ebenso
die Reihen auf BD von 6 und 7 aus projicirt, erhält man einen Kegel-
schnitt durch dieselben drei Punkte. Der vierte Schnittpunkt derselben ist
der gesuchte Punkt, welcher in der gesuchten C^ den Schnittpunkten von
ajt* = 0 und aj.* = 0 gegenüberliegt.
Ebenso, wie die vorige Construction aus der einer Cg aus neun Punk-
ten dadurch hergestellt worden ist, dass man zwei dieser neun Punkte,
nSmlich ^t + St und ^k + ^kt ^ unendlich nahe bei dem Punkte |( gelegen
annahm, kann man aus der Construction der
Ce aus 1«2«3«4«5«6« 7 8910111213 1415
die der C^ aus P2«3«485«6«7«8 9 1011 12 13
in der Weise herstellen, dass man die Punkte 14 und 15 als Nachbarpunkte
von 7 voraussetzt.
Des Zusammenhangs wegen gestatte ich mir, zunächst die zu Grunde
Hegenden Entwickelungen nochmals vollständig in Kürze mitzutheilen.*
Den Ausgangspunkt bildet die Aufgabe: zwei Punkte zu finden , von
denen aus zwei gegebene Gruppen von je sieben Punkten durch zwei pro-
jective Büschel projicirt werden.
Wird für jede Gruppe ein Coordinatensystem zu Grunde gelegt, dessen
Ecken in drei Punkte 1, 2, 3, bez. l\ 2\ 3' dieser Gruppe fallen, sind
* Eine aasfilhrliche DarBtellang ist enthalten in meiner Abhandlang: Die
ConstructioQ einer Fläche II. Ordnung aus neun gegebenen Punkten; Leipug 1881.
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Kleinere Mittheilnngen.
299
ferner at und a'k die Coordinaten zweier anderer entsprechender Punkte 4
und 4' der beiden Gruppen, und ^i^ ^k die Coordinaten zweier Punkte P
und P\ 80 sind die Gleichungen
des Strahles PA^i Tj — SjOJg — {,«3 = 0,
FA^: T,= Si ^ I3 =«,T, + «,T, + a3T3 = ü.
«1
«X
««
ll
1,
k
«I
««
«J
= 1" [(«I !.-«. J.)^! + (««Is -«8^)2^.
Hieraus ergiebt sich für das Doppelverhältniss der vier Strahlen
(r.r....,=(^-|),(^-^).
Ebenso findet man für die Strahlen P'(r2'3'4')
(r,nnr.,=(=i-^),(|-.-|i).
Diese DoppeWerhSltnisse sind gleich, wenn
Vi, Sa/'Vi, i3/~V, r.v'-vr, {7^
oder, in geeigneterer Form:
1)
^.=
«1
«»
«8
s.
1;
1;
«'»
«'s
rx
z
rf
1
1
1
= 0.
Sind /?A und ß^k die Coordinaten von 5 und 5', so ergiebt sich die
Bedingung für die Gleichheit der DoppelverhSltnisse
/>(l235) = P'(r2'3'5')
zu
2)
Ki =
ßx
ß*
ft
ll
i>
l8
ß\
ß^*
/^8
IT
l'2
z
1
1
1
= 0.
Zu jedem Punkte P bestimmt sich nach 1) und 2) der entsprechende Punkt
P' im Allgemeinen eindeutig. Man construirt die Kegelschnitte £'4und K^, von
denen aus die Gruppen 1' 2' 3 '4' und r2'3'5' unter Doppelverhältnissen
(Tj r, T3 T^) bez. It\ T\ T\ T\) projicirt werden. Diese beiden Kegel-
schnitte haben die Punkte 1' 2' 3' gemein; ihr vierter Schnittpunkt ißt P\ ,
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300
Kleinere Mittheilnngen.
Nimmt man P anf dem Perimeter des Kegelflchnittes 12345 beliebig
an, 80 entspricht ihm ein bestimmter Punkt, der mit B' bezeichnet werde;
dieser Punkt B' entspricht also nicht einem bestimmten Ponkte des andein
Systems, sondern allen Punkten des Kegelschnittes 12345. Ebenso ent-
spricht allen Punkten des Kegelschnittes 1' 2' 3' 4' 5' ein einziger Punkte.
Diese beiden Punkte B und B' bezeichnen wir ab die mit den Gruppen
12345 und 1'2'3'4'b' verbundenen Punkte. Ihre Coordinaten gt
und ifk ergeben sich aus den Gleichungen, die aus 1) und 2) hervorgehen:
ßi ßi ßs
3)
4)
9i 92
(f.
f(.
1
1
«1
«»
ft
Ä
^
^
Ol
9t
1
1
1
f
9»
1
= 0,
= 0,
9x
9t
9t
^.
^
ß^t
■■■/■
9
«1
«1
«»
1
1
1
ft
A
h
«I
"i
«s
^,
ß't
^,
— 7-
9i
9t
«•s
1
1
1
= 0,
= 0.
Aus denselben folgen die Lösungen
'^\ß^%-^\ß\
«««'s Z^'« /^8 - «'j «8 /^8 /^'a ' «8 «'l ß\ ßl — «'s «1 ßs ß\ ' «1 «'s ß'l ß% - «'l «8 ßl P%
6)
«2fe~«S<^»
^1 -^a-^s
«3^1— «ife
«l/^8--«8ft
«'s «S A /^8 — «8 «'s /^8 /^S ' «8 «1 A /3'l - «8 «1 ß^Z ßl ' «1 «8 /^l /^'s — «1 «8 /^l A
Die erste der Gleichungen 3) kann man schreiben
^9% 9jß\ Ws ^i^^ Wi 9%^ ß^^ '
fügt man hierzu die Identität
^9% 9i^ ^93 9i^ ^9i 9%'
80 erkennt mau die Proportion
^ Vps 9J'\9, 9i''\9i 9J Vs /J's/'Vs ^V'Vi f'J
In gleicher Weise findet man aus der zweiten Gleichung des Systems 3)
8) (&-^»):(A_£.)..(^_^.)=(^_^3),(^_M/0_^).
^9% 9z^ Vps 9i^ ^9i 9%^ \«8 «s^' ^«8 «1^ ^«1 «t^
Werden die Glieder der linken Seiten abkürzend mit ra und Sik bezeichnet,
so erhalt man aus 5) und 6) r^ 1
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Kleinere Mittheilungen. 301
Q^ ^«S »_ ^81 _ ^18 «, T
^ {«',r,)ri~(«'.^i)/»',~(«'i^.)?'. '
^ («',^,)«'. («,/J'.)«'. («1^,)«', '
wobei , wie immer, {a\ jJ'j) für (a'g jS's — a'j j8'2) gesetzt worden ist. Man
erhält nun weiter
«,«,Jlf-^,^,i=-J^(«35,.-^,r3,) = -;^.-i.
Setzt man nach 5) und 6)
* («««SP2A) («««sPj^b)
so erfaSlt man
Daher folgt
(«1/^2) f*' ^s' («1^3) f*' (»2
f* Vi P2 ^8
f* 9\ 9% 9s
Die Oleichungen £'^ = 0 und £5=30 kann man in der Form schreiben
Daher hat man
Wenn zwei Punkte 11 und 17' die Gleichungen K^ = 0 und £5 = 0 erfüllen,
so ist daher auch
(f-t)^+(t-t):i*(t-t)fc=»;
Hieraus ersieht man: Wenn von den Punkten 11 und FI' aus die
Gruppen 12345 und r2'3'4'5' durch projective Büschel pro-
jicirt werden, so gehen entsprechende Strahlen dieser Büschel
auch durch die yerbundenen Punkte B und B'y es ist
n(l 2345J5) Ä n'(r 2'3'4'5'^').
Für zwei Punkte II und n\ welche der Bedingung genügen
n(123456) An'(r2'3'4'5'6'),
gelten die Gleichungen, wenn y^ die Coordinaten von 6 sind:
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302 Kleinere Mittheilnngen.
B =
-=(|-t)^(t-f)^(f-|)ft=»'
--(f-|)^(M;)^(|-f)^i=»-
Der Punkt TT ist daher der Bedingung unterworfen
(«iSs)«! («sSi)«'t Klt)o'8
B= iß,^)ß\ (ß^yiS', (ft&)^, =0.
(ytia)/! (ys^/t (yi5t)/s
Ebenso folgt für die entsprechende Curve
R'= [(«'. r,) «, . (ß\ r.) ft . (y'x ro ^3 = o.
Die Punkte TT und TT', von denen aus die Gruppen 123456
und r2'3'4'5'6' durch projective Büschel projicirt werden,
sind auf zwei Curven III. Ordnung 22 = 0 und JB'=0 enthalten.
Die Curve R geht, wie ihre Gleichung lehrt, durch die Ecken 123 des
Axendreiecks , sowie durch die Punkte 456; wie die Proportionen 7) und
8) lehren, liegen auf ihr noch die Punkte BCDEFQy welche mit den in
123456 enthaltenen sechs fünfpunktigen Gruppen verbunden sind. Ebenso
liegen auf jB'=0 die Punkte 1' 2' 3' 4 '5' 6', sowie die mit diesen verbun-
denen Punkte B' C'D'E' F'Q'\ durch die angegebenen je zwölf Punkte sind
beide Curven überreichlich bestimmt.
Construirt man ausser diesen Curven R und R' noch nach derselben
Methode die Curven 8 und /S'' unter Zugrundelegung der Punkte 123457
bez. r2'3'4'5'7', so haben B und 8 die Punkte 123455, U' und S'
die Punkte r2'3'4'5'jB' gemein; die übrigen Schnittpunkte ord-
nen sich zu drei Punktpaaren TT,TT'j, TT,TT',, TTjTT'j, von denen
aus die beiden Gruppen 1234567 und 1' 2' 3'4'5'6'7' durch
projective Büschel projicirt werden.*
Wenn nun die Punkte 5 und 6 dem Punkte 4 unendlich nahe rücken,
so setze man
/?* = «A + h% Tfc = «* + n\
^k = «'* + i'k , /* = « fc+ ^k ,
wobei iky ^ky i'kf s\ zur Grenze Null abnehmen müssen. Alsdann erhält man
05. Is) = («. Is) + («. y . (r. Ss) = («. Ij) + (*. Is) ;
0»'. r,) = («'. Q + («'. r,), ir't Q = («'. Q + (/. Q ;
(«.Ij)«!, K^l)«'.' («l^t)
i
[(«.^)+ (*.!,)] [«1 + A). [(«,li) + (*»l,)][«'. + *'.], [(«il.) + KI.)][«'s+«'5]i
* Abadie, Terquem et Gerono, Nouv. Ann. Bd. 14 S. 142. — Poudra, das.
Bd 15 S. 58, 1856. — De Jonquidres, das. Bd. 17, 8.399, 1858. — Cremona,
da«. Bd. 20 S. 452, 1861. — Hesse, Die kubische Gleichung etc. Grelle, Bd. 62 8.188,
1863. — Sturm, Das Problem der Projectivität etc. Math. Ann. Bd. 1 S. 538, 1869.
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Kleinere Mittheilangen.
303
Das endliche Glied ver ich windet identisch, als Determinante von drei
identischen Zeilen; auch verschwinden alle Glieder, welche mit unendlich
kleinen Factoren linear multiplicirt sind , weil bei diesen Determinanten zwei
Zeilen identisch sind. Mit zwei unendlich kleinen Gliedern II. Ordnung von
der Form 8m in oder tm^'n sind ebenfalls nur zwei verschwindende Deter-
minanten behaftet.
Unterdrückt man die unendlich kleinen Glieder dritter und höherer
Ordnung, so redncirt sich schliesslich die Gleichung der Curve auf
(«t^)«l («sSl)«'! («l^t)«'« («tSs)«!-.- («fis)«'!---
11) i2= {a,^)d\ {a,^,)6\ {a,^,)d\ + {a,^,)6\... + {8,^,)a\... =0.
(««5s)«'l («sO^'t («iSt)f'3 (ffSs)«'l--- {«th)^\'"
Das erste Glied ist
wobei li = 0, £, = 0, £3 = 0 die Gleichungen der Geraden 14, 24, 34
sind. Das zweite Glied lässt die Umgestaltung zu
Si^i £«£. ^£3
ii«! i,«. ais«'«
(«t4)«l («sSl)«! («lSl)«S
ii^.?;. &£.^ is£3^
«1(^.53) ^(^3^1) ^(^i&)
Beachtet man nun, dass
so geht dies über in
Da nun
(«sli - fil«)5ts- («,1.- «,l,)3:, = «sfii^;» + «.liS:. - *,(^5E8+5t2:.)
so ergiebt sich fUr das zweite Glied der Entwickelang 11) der Aasdrnck
die Gleichung
7=«i£i + €,£, + i3£3 = 0
gehört der Geraden 45 zu, denn sie wird von den Coordinaten beider
Punkte erfüllt.
Ebenso ergiebt sich für das letzte Glied der Entwickelung 11)
wobei
\«1 «1 «3 ^
die Gleichung der Geraden 46 ist. Daher hat die Curve III. Ordnung in
unserem Falle die Gleichung
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304
Kleinere Mittheilungen.
12) +„>'.„',. ftl.l. + 5^&2:. + ^^3:,)-F
\a, «, «8 ^
Die Doppelpunktstangenten werden erhalten, indem man ^t durch
ak + lxk ersetzt nnd den Coef&cienten von k^ mit Null yergleicht Wird
das Resultat der Substitntion von Xk für ^k in die Functionen X, (/, F
wieder mit St^r» ^«i ^« bezeichnet, so ist
Xt(« + Air) = AI,, V{a + Xx) = XVy, U{cc+Xx):=kUy,
nnd das Substitutionsergebniss von a + kx in die Curvengleichnng liefert
+{^x,z,s+...).r^k^+(^x,Zt^+...yuA'
Die Gleichong der Doppelpunktstangenten ist hiemach
13) (^«,t„ + ...)F.-(iat,,+ ...)ü, = 0.
Wir schreiben hierfür abkürzend, indem wir den Index x unterdrücken,
14) U^V-V,U^O.
Hierbei ist
u,=
«1
^'l
a'
^1 =
Die Geraden (7| = 0 und Fj = 0 lassen sich in einfacher Weise con-
struiren. Ein auf der Geraden a'ky au + S'k beliebig angenommener Punkt
hat die Coordinaten yt = ^'k + md'k'^ bildet man nun yi^ nach der Proportion
«1 «t «8 **1 "2 «8
SO entspricht dieser Punkt projectiy dem y/cy in einer Verwandt-
Schaft, bei welcher (] 2 3 4) A (1' 2' 3'4').
Ersetzt man in U^ die Xk durch die yk und diese durch die propor-
tionalen
— •«* =
so erkennt man , dass yk auf ^^ = 0 liegt , dass also ^^ = 0 die Punkte 4
und yk enthält.
Ebenso entspricht V in derselben Verwandtschaft der Geraden a^^
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Kleinere Mittheilungen. 305
Die Doppelpunktstangenten sind daher ein Paar der durch
die beiden Paare UiV=0 und Z77j=0 bestimmten Strahlinvo«
lution.
Alle Curven III. Ordnung mit einem gemeinsamen Doppelpunkte und
fünf gemeinsamen einfachen Punkten bilden ein Büschel; die Paare Yon
Doppelpunktstangenten bilden eine Involution, Yon welcher sich leicht meh-
rere Paare angeben lassen, indem man die Curven beachtet, welche in eine
den Doppelpunkt mit einem der übrigen Grundpunkte verbindende Gerade
und den Kegelschnitt zerfallen, der die weiteren vier einfachen Grundpunkte
und den Doppelpunkt enthält.
Diese Involution, construirt ftlr den Doppelpunkt 4 und die Punkte
123, sowie für die mit 12345 und 12346 verbundenen Punkte, f&llt
mit der durch die Paare UV^ s= 0 und VU^ = 0 bestimmten nicht zusammen.
Denn die für die Qk geltenden Gleichungen kann man schreiben
(«._?;i)i!i+(^_^)üi+(«i_^)^=o.
^P 1 P 8'' Pi Ws V\' Qt ^P 1 Pt^ 9i
\«, a^/ Qi Vtts a^/ Qt \a, Ot^ Q^
Ersetzt man ßk und ß^k durch ajt + Ajt iui<l »'k + ik, so ergiebt sich,
wenn man schliesslich zur Grenze übergeht,
„ . , i^t 1^» «'t + ^'t a's + ^\ «8 «^
Femer ist qp x» s^
/ "~ # — / /
« «S " t «8
Die Gleichungen für qk verwandeln sich hiemach in
(?;j_?;)i+...=o, (?i-?i)A+.,.=o.
Die erste Ifisst die Anordnung zu
and giebt daher durch Mnltiplication mit ^^^s
** 1 ** 1 ** 8
Der Kegelschnitt -t^JjÄ, + ... = 0 enthalt daher den Punkt Qu*
Zu dem Curvenbüschel IIL Ordnung, das durch den Doppelpunkt 4
u. 8. w. bestimmt ist, gehört dieser Kegelschnitt in Verbindung mit der Ge-
raden, welche den Doppelpunkt und den mit 12346 verbundenen a^ ent-
hAlt; die Doppelpunktstangenten dieser Curve sind U^ und ak^k* Da* 'oxm
die letztere Gerade im Allgemeinen mit Y nicht zusammenfällt, so folgt,
dass die beiden bezeichneten Involutionen nicht identisch sind.
Zeltachrlfl f. Matbenfttik n. PbTtlk XXZI, 6w 2J) ci by VjOOglC
306 Kleinere Mittheilungen.
Die Doppelpunktstangenten der gesuchten Cz sind hiemach als das
gemeinsame Paar zweier Involutionen eindeutig bestimmt.
Die Construction der Curven III. Ordnung, auf denen die Punkte ent-
halten sind, von denen aus 123 45 7 und r2'3'4'5'7' durch projective
Büschel projicirt werden , ist einfacher. Denn für jede dieser Curven kennt
man die Punkte 1234 7, die Tangente 45, und die sechs mit je fünf der
Punkte 1...7 verbundenen Punkte.
Dresden. Richard Heger.
XXII. Ein neues Kennzeichen fttr die Prisusalüen.
unter Bezugnahme auf das Verfahren, grössere Zahlen zu analysii'en,
welches ich in XXXI, 3 dieser Zeitschrift mittheilte, beabsichtige ich, in
dem Folgenden den Fall einer besonderen Besprechung zu unterziehen, wenn
die zu untersuchende Zahl N eine Primzahl ist, da sich inzwischen bei
einer grossen Zahl von Analysen, die ich gemacht habe, als ausnahmslose
Thatsache erwiesen hat, dass sich die Primzahlen, welche benutzt wurden,
als Reste oder Nichtreste von N ohne Schwierigkeit einzeln absondern Hessen
und zwar in Uebereinstimmung mit dem Gesetze der Beciprociiftt. Wie
dies zu verwerthen ist, um ein sicheres Kennzeichen für die Primzahlen zu
gewinnen, soll unten weiter ausgeführt werden; vorher möchte ich, um
diese Arbeit möglichst selbstständig zu erhalten, einige einleitende Worte
vorausschicken, wobei freilich Wiederholungen des Früheren nicht ganz zu
vermeiden sind.
Soll die Differenz zwischen einem Quadrate und einer Zahl N durch
eine bestimmte Zahl, insbesondere durch eine Primzahl p theilbar sein, so
müssen beide bei der Division durch diese denselben Best liefern. Daraus
folgt zunächst, dass N durch p dividirt, einen quadratischen Rest geben
muss, ferner geht daraus hervor, dass man die Wurzel des Quadrates so
zu wählen hat, um bei der Division desselben durch p denselben Rest zu
erhalten, welchen N giebt. Will man mehrere Quadrate nach einander
subtrahiren und geht von dem Quadrate aus, welches kleiner als N ist,
aber dieser Zahl am nächsten kommt, so sei dessen Wurzel a und irgend
eine andere Wurzel a — o; dann handelt es sich um die Differenz
N'-{a^aY oder um den Werth, welcher ihr gleich kommt, nämlich
(2 a — a) ff + r, wenn N=a^+r ist. Damit nun dieser Ausdruck (2a — «)« +r,
der durch h bezeichnet werden soll, durch p theilbar ist, muss « so ge>
wählt werden, dass (a— c)* denselben Rest ^, wie JV selbst giebt, wenn
man durch p dividirt.
Schreibt man dementsprechend die Gleichung ^— (a— «)*= 6, so muss
also N für jeden Factor von h quadratischer Rest sein, umgekehrt, wenn
man die Plätze von N und h vertauscht, also die Gleichung — 6 — (a — «)■
z= — N bildet, muss auch für jeden Factor von N dejr Werth —h
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Kleinere Mittheilungen. 307
quadratischer Rest sein. Man kann aber h immer in der Form m<^ dar-
stellen, und wenn — & Rest für jeden Factor von N sein muss, so gilt
dies anch Yon — nt, da ja c* an und für sich ein quadratischer Rest und da
der zweite Factor — m also auch Rest sein muss. Schreibt man nun
2V'=(a — «)*-!- mc*, so ist — m bekanntlich die Determinante der quadra-
tischen Darstellung auf der rechten Seite, und diese muss mithin quadra-*
tischer Rest für jeden Factor von N sein. Ist das Quadrat kleiner als die
Zahl , so ist die Determinante negativ , im anderen Falle positiv. Statt der
Differenz zwischen einem einfachen Quadrate und der Zahl kann man auch
die Differenz zwischen dem Vielfachen eines Quadrates und der Zahl in Be-
tracht ziehen; es sei diese JN"— Ä(a — o)** und die entsprechende Gleichung
^'-fcCa— a)« = Äj(2a — a)aH-r, wenn N^ka^+r ist Für die rechte
Seite der Gleichung setze man &, dann müssen für jeden Theiler von h
die Zahl N und k{a— a)^ gleiche Reste liefern ; demnach sind N und Je
zugleich Reste oder Nichtreste für diese Theiler. und werden in der Gleich-
ung N — Ä(a — «)* = & die Zahl N und der Werth h vertauscht, schreibt
man also — 5 — Ä;(a — a)* = — ^, so kann man statt b setzen mc^^ und
man erhält, wenn beide Seiten noch mit k multiplicirt werden, —kmc*
— fc* (a —«)* = — Ä^, wo dann — km für jeden Factor von N quadratischer
Rest sein muss. — km ist aber die Determinante in der quadratischen
Darstellung ^=Ä(a — a)*+mc*. Also wie vorher folgt schliesslich, dass
diese Determinante quadratischer Rest für jeden Factor von N sein muss.
Sind dann nach dem früher angegebenen Verfahren in dem einen oder dem
anderen Falle, d. h. ob man die Differenz ^— (a — «)* oder JV— Ä;(a— «)*
benutzt y mehrere einfache Determinanten gefunden, so sollen zu diesen etwa
~ 1 , 2 , 5 und 13 gehören. Dementsprechend müssen die Factoren von
^die Form 8n + 1 besitzen, sie müssen durch 5 dividirt die Reste 1 oder
4 and durch 13 dividirt die Reste 1, 3, 4, 9, 10, 12 geben; der all-
gemeine Ausdruck für sie ist mithin 520ti + l, 9,49, 81, 121, 129, 209,
289, 321, 329, 361, 441. Berechnet man nach und nach die Werthe dieses
Ausdrucks , wenn nöthig bis j/N, und schliesst unter Benutzung der übrigen
Determinanten die Primzahlen aus, die keine Factoren von N sein können,
80 wird durch jede Determinante die Zahl der noch möglichen Factoren
ungefUhr auf die Hälfte gebracht, so dass bei einer Gesammtzahl von r
Determinanten die Apzahl der noch verbleibenden ^ von der Anzahl aller
Primzahlen, die kleiner als }/N sind, beträgt. Dies Verfahren der Aus-
schliessung, vermittelst dessen also im gegebenen Falle ermittelt werden
kann, ob N eine Primzahl ist, leidet jedoch an Eintönigkeit und erfordert
grosse Aufmerksamkeit. Bei den Versuchen mit den einzelnen Determinan-
* Diese Differenz ist einfacher, als die zuerst von L. Euler vorgeschlagene
und stets gebrauchte kN—{a — a)\ wie sie in einem Schreiben an mich auch noch
vor Kurzem von einem namhaften französischen Mathematiker gebraucht wurde.
80»^
ogle
308 Kleinere Mittheilungen.
ten darf man keine Division dnrch die ihr angehörigen Divisoren ohne
Probelassen, sonst ist man nur dann seiner Sache sicher, wenn man einen
Divisor der Zahl JV findet. Lassen die gewonnenen Determinanten mit
einiger Sicherheit annehmen, dass N eine Primzahl sei, so kann man anch
dazu übergehen, Gebrauch von dem Format 'sehen Satze zu machen und
zu versuchen, ob x^ "^^ =: l (mod N) ist Zu diesem Zwecke ist es aber
wieder unbedingt nöthig, ^— 1 in seine Factoren zu zerlegen. Denn sei
N zusanmiengesetzt und die Anzahl der relativen Primzahlen < N gleich
<p {N\ so muss ja a;V^^> = 1 (inodN) sein. Haben in diesem Falle tp (N)
und ^— l einen gemeinsamen Factor 7t und ist schon a^=l {modN), so
ist auch x^'~^=l{fnodN); aber man hat keine Primzahl vor sich. So
ist z. B. 4'= 1 (^5), q> {N) = 8 und ^— 1 = 14 haben den gemeinsamen
Factor 2, für welchen schon die Cöngruenz 4^ = l {mod 15) besteht, aus
welcher auch 4** = 1 {mod 15) folgt. Die Factoren von ^— 1 zu bestimmen,
ist aber in vielen Fällen nicht viel leichter, als die Factoren von N selbst
zu ermitteln.
Gegenüber diesen beiden Methoden ist nun das neue Verfahren ein
einfaches und zuverlässiges. Ich nehme zuerst an, dass man Gebrauch
macht von der Gleichung jV=(a-- «)*+ (2a — flf)a + r. Wenn dann N
eine Primzahl ist, so gelingt es immer, zuweilen in ganz kurzer Zeit, alle
benutzten Primzahlen entweder direct , oder durch Elimination als Beste für
N einzeln hinzustellen. Für die Elimination hat man nur zu beachten,
dass eine ungerade Anzahl negativer Determinanten eine negative Determi-
nante liefern ; im üebrigen hat man die gemeinsamen Factoren paarweise weg-
zustreichen. Ist nun die Menge der Primzahlen ^j/Ncisn und die Anzahl
der benutzten Primzahlen p gleich r, so muss man soviele Primzahlen für
die Determinanten benutzen, deiss „^ wesentlich kleiner als 1 ist Das
macht gar keine Schwierigkeiten, wenn man einmal annähernd den Werth
^ = 1 erreicht hat. Es kommt aber als nothwendige Bedingung noch hinzu
für Zahlen von der Form 8w+ 1, dass — 1 und 2 Reste sind; für 8n + 3,
dass — 1 Nichtrest und —2 Rest, für 8w + 5, dass — 1 Rest und 2 Nicht-
rest, für 8w + 7, dass — - 1 Nichtrest und 2 Rest ist.
Auf einen Fall muss man besonders merken. Ist nämlich N=:8n+l
und aus zwei Factoren 4n + 3 zusammengesetzt, so müssen beide zugleich
für die gebrauchton Primzahlen Reste oder Nichtreste sein, weil N Rest
für sie ist; also ist umgekehrt jedes einzelne p für beide Factoren Rest
oder Nichtrest und sämmtliche gebrauchte Primzahlen treten einzeln mit +
oder — 1 als Reste auf. Aber ein Schluss auf N als Primzahl wäre ver-
kehrt. Es fehlt ja in diesem Falle die Determinante — 1 , die entscheidend ist.
Benutzt man die Gleichung N= Ä (a — a)* + Ä; (2a — «) a + r, so er-
hält man alle benutzten p , welche nach dem Reciprocitätsgesetze Reste von
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Kleinere Mittheilongen, 309
J^sind, einzeln als Determinanten, diejenigen, welche Nichtreste sind, aber
paarweise und zwcu: in der Weise, dass alle Paare einen Nichtrest als ge-
meinsamen Factor haben. Sind diese Bedingungen erfüllt und hat man noch
— 1 als Best oder Nichtrest nach den Formen 4»+l oder 4« + 3,
und tritt auch 2 in richtiger Weise als Determinante auf, so ist der Nach-
weis, dass N eine Primzahl ist, mit voller Sicherheit geführt. Zum Be-
leg für das Gesagte füge ich zwei Beispiele an, von welchen sich das
erste auf eine kleine Zahl, das zweite auf eine elfstellige Zahl bezieht.
Erstere habe ich ganz willkürlich herausgegriffen, das zweite Beispiel habe
ich erst für die yorliegende Arbeit berechnet, ohne zu wissen, dass ich
dasselbe schnell zu Ende führen konnte.
Für die Zahl 457 nehme man beispielsweise jp = 3, da (^-p) => + 1
ist. Subtrahirt man von ihr die Quadrate, deren Wurzel 3^Hh 1 ist, so
enthält der Rest stets den Factor 3. Für 3y + 1 « 1 bis 3y + 1 = 16
ergeben sich der Reihe nach die Determinanten —2.3.19, —3.151, — 1,
-3, -2.3.17, -3.131, -3.7.17, -3.7, -29, -3.67, also sind
Beste von 457 zunächst -1,-3,-29, ferner 151, 131, 7, 17, 2, 19,
67 und es ist ersichtlich, dass 457 eine Primzahl sein muss.
Der zweite Factor von 2«-l ist 2f= 20408568497 = (142858 -a)«
+ (285716 -a)« + 160333.
Man erhält für:
6= 17.83.4», D:s=-17.83,
&= 7.31.187*, 2) = ^ 7.31,
6 = -7.11.l7.97.8^ D = + 7.11.17.97,
5= 17.5896«, 2) = -17,
6 = -19.53.67.16^ 2) = + 19.53.67,
6= 2.7.17.19.124«, 2) = -2.7.17.19,
6 = - 7.11. 19.83.44«, D = + 7. 11.19.83,
5= 2.3.1666«, 2) = -2.23,
5 = - 7.11.17.43.136«, D = + 7.11.17.43,
6= 7.43.1441«, D=-7.43,
6= 2.7.53.452«, D=-2.7.53,
6 = - 7. 19.23.131.4«, D = + 7. 19.23.131,
6 = -2.17 131.2486«, D = + 2.17.131,
6= 11.17.19.2231«, D = -11.17 19,
5= 43.61.308«, D = -43.61,
h= 11.97.113.56«, 2) = - 11.97. 113.
Zunächst ist +43 oder —43 ein Rest für etwaige Factoren von N^
da sie zu dem Binom 2^^ — 1 gehören. Dann findet man in 4) — 17 und
erhält aus 1) + 83. Verbunden mit 7) und 9) ergiebt sich — 19 odwr
+ 19, je nachdem 43 positiv oder negativ ist. Aus 10) erhält man ebenso
— 7 oder +7 und aus 9) +11 oder —11. Benutzt man diese Determi-
nanten, so erhält man 14) unter beiden Annahmen +43 oder =43. die ,
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1)
ö =
9,
2)
a =
26,
3)
a = -
-29.
4)
a =
2083,
•5)
a = -
-61,
6)
«=i
243,
7)
a = -
-821.
8)
c =
447,
9)
a = -
-3599,
10)
a =
2204,
11)
a =
531,
12)
« = -
-23,
13)
a = -
-76083,
14)
a =
90666,
15)
« =
873,
16)
a =
1329,
310 Kleinere Mittheilungen.
Determinante — 1. Fährt man in ähnlicher Weise fort, so gewinnt man
ausser— 1 als Determinanten noch die 15 folgenden: 2, 7, 11, 17, 19, 23,
31, j43, 53, 61, 67, 83, 97, 113, 131. Die Anzahl der Primzahlen
<j/N ist geringer als 1600; durch die obigen Determinanten ist die Zahl
derjenigen, welche Divisoren von JN" sein könnten, auf öie ^ Af>Rqfi zurück-
gebracht, einen Werth, den man noch beliebig verringern könnte durch
Hinzunahme weiterer Primzahlen p^ und N ist als Primzahl erwiesen.
Das Entscheidende liegt eben darin, dass die Determinanten, weil sie
einfache Primzahlen sind, vollständig unabhängig von einander sind und
dass nicht etwa zwei Factoren existiren können, fQr welche alle diese Prim-
zahlen zugleich Beste oder Nichtreste sind.
Fasst man das Gesagte zusammen, so ergiebt sich folgendes Resultat:
»Wird eine Zahl N dargestellt entweder durch (a — «)*+ h oder äj( — «)*
+ Z>9 bestimmt man dann Werthe von o in der Weise, dass h durch eine
hinreichende Anzahl von Primzahlen p nach und nach theilbar wird , so er-
hält man eine Reihe einfacher Determinanten. Erhält man aus diesen direct
oder durch Elimination sämmtliche benutzten p als Reste oder Nichtreste
von N in der Weise, wie es das Reciprocitätsgesetz verlangt, ist endlich
für JV*==4«+1 die Zahl -1 Rest und für JV=4« + 3 Nichtrest, so ist
N eine Primzahl. ** ^ _
P. Seelhoff.
XXTTT. Die reguläre Eintheilung des Eaumes bei elliptischer
Maassbestimmnng.
Die an sich rein geometrische Aufgabe, die Ebene bei nicht -euklidi-
scher Maassbestimmung regulär zu theilen, d. h. Polygone zu construiren,
durch deren congruente Wiederholung die Ebene ganz oder zum Theil über-
deckt wird , hat bekanntlich Bedeutung für die Theorie der Functionen mit
linearen Transformationen in sich und ist in diesem Interesse von Klein
in der Abhandlung: üeber binäre Formen mit linearen Transformationen
in sich selbst (Math. Ann. Bd. IX) und von Poincar^ in: Th6orie des
groupes fuchsiens (Acta math. Bd. I) bebandelt und gelöst worden.
Nicht unmittelbar mit Fragen aus der Theorie der Functionen com-
plexer Veränderlichen verknüpft, daher zunächst nur von geometrischem
Interesse ist die Aufgabe, den Raum von drei Dimensionen bei nicht-
euklidischer Maassbestimmung regulär zu theilen. Dem doppelten Charakter
der Maassbestimmung, als einer elliptischen oder hyperbolischen* entsprechend,
haben wir entweder eine endliche oder eine unendliche Zahl congruenter
Gebiete. Mit dem letzteren Falle hat sich Dyck beschäftigt in: Vorläufige
* Wegen des Sprachgebrauchs vergl. ausser den im Texte erwähnten Schriften :
Klein, Ueber die sogenannte nicht -euklidische Geometrie. Math. Ann. Bd. IV^.
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Kleinere Mittheilungen. 31 1
Mittheilung über die darch Gruppen linearer Transformationen gegebenen
regulären Gebietseintheilungen des Baumes (Ber. über d. Verbandl. der
Eönigl. Bachs. Ges. d. Wissensch. zu Leipzig). Die Lösung der dem ersten
Falle entsprechenden Aufgabe ist Gegenstand der vorliegenden Mittheilung.
Es wird sich hierbei hauptsächlich um die Erledigung der beiden Fragen
handeln :
1. nach den Bedingungen, denen ein Polyeder zu genügen
hat, um Ausgangspolyeder einer regulären Raumtheilung zu
sein;
2. nach der Construction der Grenzflächen, der Gebiete.
Dabei legen wir als Fundamentalfläche der Maassbestimmung eine
Kugel mit imaginärem Badius zu Grunde und betrachten als „Ebenen*' alle
auf dieser Kugel senkrecht stehenden Kugeln, bezw. Ebenen. Bekanntlich
sind dann alle Kanten- und Flächen winkel „gleich'', welche im Sinne Eukli-
discher Maassbestimmung gleich sind, and jede „Ebene'' trifft eine be-
stimmte Kugel in einem grössten Kreise.
I.
unsere Untersuchung gewinnt wesentlich an Einfachheit durch die
Möglichkeit der Beschränkung auf Tetraeder, durch deren symmetrische
und congiiiente Wiederholung der Baum lückenlos und einfach überdeckt
wird. Diese Möglichkeit erkennen wir aus folgenden Bemerkungen. Ein
Aasgangspolyeder der regulären Raumtheilung kann einmal nur solche Ecken
besitzen, welche auf concentrischen Kugeln Ausgangspolygone, bezw. Aus-
gangsdreiecke der regulären endlichen Kugeltheilung bestimmen würden,
denn nur unter dieser Bedingung wird durch congruente Wiederholung des
Ausgangspolyeders eine Theilung in eine endliche Zahl congruenter Gebiete
erzielt. Sodann muss ein Ausgangspolyeder symmetrisch sein bezüglich der
Symmetrieebenen jeder Ecke, wie man sich leicht überzeugt, muss also
auch zusammengesetzt werden können durch symmetrische Wiederholung
eines Fundamentalpolyeders, welches nur dreikantige Ecken besitzt. Da
endlich wegen der elliptischen Maassbestimmung die Winkelsumme eines
ebenen n-Seits >(n — 2)jnp ist, kein Kanten winkel einer Ecke des Funda-
n
mentalpolyeders aber > -^ sein kann, so müssen die Flächen des letzteren
Dreiecke, dieses selbst muss mithin ein Tetraeder sein.
Die Bedingungen, welche ein Tetraeder zu erfüllen hat, um Ausgangs-
tetraeder einer regulären Baumtheilung zu sein« sind im Vorstehenden be-
reits ausgesprochen; formuliren wir sie knapp folgendermassen :
1. Die Ecken des Ausgangstetraeders müssen auf concen-
trischen Kugeln Ausgangsdreiecke der regulären endlichen
Kugeltheilung bestimmen, d.h. je aus drei benachbarten Sym-
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n
n
V
V
7C
n
V
4'
n
n
3'
5*
312 Kleinere Mittheilungen.
metrieebenen einer regulären Doppelpjramide oder eines re-
gulären Körpers bestehen.
2. Die Summe der 12 Kantenwinkel des Ausgangstetra-
eders muss ^49r sein.
Wir beschäftigen uns nun etwas näher mit dem Inhalte beider Be-
dingungen. Die übrigens wohlbekannten Combinationen , welchen die
Winkel dreier benachbarten Symmetrieebenen einer regulären Doppel-
pjramide oder eines regulären Körpers angehören, sind folgende:
1. Bei der Doppelpyramide. . . . -q» "ö' ~" (v beliebige ganze Zahl);
« A V
2. beim Tetraeder -^i
3. beim Hexaeder und Octaeder . -^)
4. beim Dodekaeder und Ikosaeder -^ >
Diesen Combinationen gehören also auch die Flächenwinkel der Ecken des
Ausgangstetraeders an.
Was die zweite Bedingung betrifft, so gewinnt dieselbe dadurch an
Brauchbarkeit, dass sich die Summe der drei Kantenwinkel einer jeden der
eben aufgezählten Ecken unmittelbar angeben lässt. Legt man nämlich
die Kanten eines jeden Ausgangsdreiecks der regulären endlichen Kugel-
theilung auf der Kugel geradlinig aneinander, so findet man sofort folgende
Winkelsummen :
1. bei der Doppelpyramide . • . . «H ;
2. beim Tetraeder n\
3jr
3. beim Hexaeder und Octaeder . -r-i
4
4. beim Dodekaeder und Dcosaeder -^*
Die Abhängigkeit der Summe der Kantenwinkel von der Grösse der Flächen-
winkel liegt für den Fall der Doppelpyramide auf der Hand; ffir die drei
übrigen Fälle kann man sie gemeinsam durch die Formel
4
kennzeichnen, wobei als Flächenwinkel der Ecke
fC fC fC
2' r 7
angenommen sind, und x den Bedingungen unterworfen ist:
2<T<&.
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Kleinere Mittheilungen. 313
Kan ist zu bemerken, dass, weil jeder Ecke mindestens ein Flächen-
n
Winkel =-^ angehören muss, entweder in zwei einander gegenüberliegenden,
oder in drei in einem Eckpunkt znsammenstossenden Kanten des Aasgangs-
tetraeders Flächenwinkel von dieser Grösse auftreten müssen. Mit Beziehung
auf die Figur also haben wir zu unterscheiden:
A^ X = v = 2. Diese Voraussetzung erfordert
die gesonderte Betrachtung der fünf FftUe:
1. ^=:tf = T = ft = 2. Durch diese An-
nahme ist ein reguläres, durch symme-
trische und congruente Wiederholung
eines nicht -regulären Tetraeders zu er-
zeugendes Tetraeder gekennzeichnet.
2. ^ = <y£=T = 2. Hierdurch wird ein
sjnmietrisches, aus nicht - symmetri-
schen Tetraedern zusammengesetztes
Tetraeder charakterisiri
3.a)^ = a = 2. Da in jeder Ecke, welche nicht mindestens zwei
Flächenwinkel = -^ aufweist, mindestens ein solcher = -^ auf-
treten muss, so ist eine der beiden Zahlen t, fi =3 anzunehmen.
Es sei fi = 3, so besteht für t die Bedingung:
welche jedoch durch die Bedingung
eingeschlossen wird; r kann hiemach die Werthe 3, 4, 5 erhalten,
von welchen der erste ein symmetrisches Tetraeder liefert.
If) Qs=sfi=s2 kennzeichnet ein symmetrisches , aber immer nur wieder
aus symmetrischen Tetraedern bestehendes Tetraeder, und legt
den Zahlen o und t die Bedingung auf:
l + T + l + T + l + - + l + ->*
O O T T
^^«^ ö + T>0,
woraus sich ergiebt, dass c und t beliebige von einander unab-
hängige ganze Zskhlen sein können.
4. |[A = 2. Da in jeder Ecke, welche nicht mindestens zwei Flächeu-
Winkel = -^ aufweist, mindestens ein solcher = -^ aufbreten muss,
so ist zu unterscheiden:
a) Q = Sf woraus sich für tf und r die Bedingung ergiebt:
1 . . 1 . 7-(y . 7-
Google
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314 Kleinere Mittheilangen.
Die Formen, welche dieselbe für die zulftssigen Werte von 0 an-
nimmt, und die zugehörigen Werte von r sind aas folgender Ta-
belle ersichtlich:
(FT T
= 3, :^5, =3, 4, 6,
= 4, <4. =3.
= 5, <3, =3.
Da a und r gleichwerthig sind , so werden für 0 = 3 alle Werth-
combinationen a, r erhalten.
h) a = z = S, Q hat den Bedingungen zu genügen :
oder _
^ = 4 oder 3,
welch' letzterer Fall bereits unter 4 a) aufgeführt ist
ö. Qy Cj T, |iA^2 verlangt, dass mindestens zwei einander gegenüber-
7t
liegende Kanten Flftchenwinkel = -ö" besitzen , dass also etwa (» = f*
e=s3 sei; dann besteht für a und x die Bedingung:
-4-+-4- + -4-+^r>*'
welche nicht erfüllbar ist.
B, T = |Ä = V = 2. Die Voraussetzungen , dass eine oder mehrere der
Zahlen Qy 0, X gleich 2 seien, sind uns bereits unter Ä entgegen-
getreten. Um neue Fälle zu erhalten , müssen wir von den drei Zahlen
mindestens zwei == 3 annehmen , wodurch wiederum ein symmetrisches
Tetraeder gegeben ist. Durch die unter Ä aufgeführten Möglichkeiten
sind also alle überhaupt auftretenden Fälle erschöpft.
Stellen wir dieselben übersichtlich zusammen: Soll durch symme-
trische und congruente endliche Wiederholung eines Tetra-
eders der Baum lückenlos und einfach überdeckt werden, so
müssen die sechs Flächenwinkel eine der folgenden Gombi-
nationen bilden:
n n n n 7t n
, — j — , — , — , — .
X V g fi C T
^ 7t 7t n 7t 7t 7t
T Y' "2' "3* T V
Q 7t 7t 1t 7t 7t 7t
"2' "2' ¥' "3' 2"' "5'
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Kleinere Mittheilnngen. 315
n n n it n
^' IT' "ö' "o' IT' ~~' ~(<^>^ beliebige ganze Zahlen);
M 1t 7t 7C n n n
2' T T 3' ¥' 3'
^ n 7t 7t 7t n 71
°- 2' T T V 3' 4'
^' 2' 2' 2' 3' 3' 5'
- 1t 7t n 7t 7t 7t
"ä' ¥' ¥' 4' 3"' ¥*
IL
Wir gehen dazu über, die Construction der Grenzflächen der den eben
aufgezählten sieben Winkelcombinationen entsprechenden Rauraeintheilungen
kurz zu beschreiben; dabei entspricht die Nummerirung derjenigen der
tabellarischen üebersicht:
1. Die Construction knüpft an die reguläre Theilung der Kugelober-
fläche durch die Sjmmetrieebenen des Octaeders oder Hexaeders an. Die
Grenzflächen werden durch die neun Sjmmetrieebenen dieser regulären
Körper und durch eine concentrische Kugel gebildet. Ihre Zahl ist also
10 und sie begrenzen 96 Tetraeder oder 48 congruente Polyeder.
2. Die 16 Grenzflächen werden durch die 15 Symmetrieebenen des
Ikosaeders und eine concentrische Kugel gebildet, und bestimmen 240 Tetra-
eder oder 120 congruente Polyeder.
3. Zwei orthogonale Kugelbüschel, von denen das erste (T, das zweite
T in gleichem Winkelabstand aufeinander folgende Kugeln enthält, also
0+T Flächen begrenzen 20.2T = 4a.T congruente Tetraeder.
4. Durch die sechs Symmetrieebenen eines regulären Tetraeders und
die vier aus den Eckpunkten desselben mit der Kante als Badius geschlagenen
Kugeln, also durch zehn Flächen werden 120 Tetraeder, 60 congruente
Polyeder begrenzt.
5. Die neun Symmetrieebenen des Octaeders , die sechs aus den Eckpunkten
mit der Kante als Badius geschlagenen Kugeln und die umgeschriebene
Kugel, somit 16 Flächen, theilen den Baum in 384 Tetraeder, welche, zu
zweien zusammengefasst , 192 congruente Polyeder darstellen.
6. Die neun Symmetrieebenen des Hexaeders, die acht aus den Ecken
mit der Kante als Badius , und die sechs aus den Flächenmittelpunkten mit
der halben Flächendiagonale als Badius geschlagenen Kugeln, nebst der um-
schriebenen Kugel bilden die 24 Grenzflächen einer Baumtheilung in 1152
Tetraeder oder 576 congruente Polyeder.
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316 Kleinere Mittheilnngen.
7. Die Constrnction geht von dem regulären Ikosaeder aus. Die
Ebenen, welche je fünf Eckpunkte desselben verbinden , begrenzen ein re-
guläres Octaeder; die Ebenen, welche je drei nicht benachbarte und nicht
diametral einander gegenüberliegende Eckpunkte verbinden, ein zweites
reguläres Ikosaeder. Von den Eckpunkten des letzteren aus schlage man
nach den benachbarten des Dodekaeders 12, von den Eckpunkten des Dode-
kaeders aus nach den benachbarten des Ausgangs - Ikosaeders 20, und aus
den Eckpunkten dieses letzteren mit der Kante als Radius abermals 12
Kugeln, füge die 15 Symmetrieebenen und eine concentrische Kugel hinzu,
so erhält man die 60 Flächen, welche den Raum in 14400 Tetraeder, bezw.
7200 congruente Polyeder eintheilt.
Betreffs der im Vorstehenden gegebenen regulären endlichen Gebiets-
eintheilungen des Raumes bleibt natürlich noch eine Reihe von Fragen zu-
nächst gruppentheoretischer Natur zu erledigen ; hierauf sollte indessen hiei*
nicht eingegangen werden.
Apolda, Juni 1886. Dr. Carl Hossfeld.
XXIV. Zur Theorie der BymmetriBchen Fanetionen.
1. Die Gleichung
n
1
fahrt auf zwei Gleichungen, die für die Theorie der symmetrischen Func-
tionen von Bedeutung sind.
Es ist .
Kl- «1») .. (1- a„a?) =- 27(^5 t^)a^^ir'•
und daher ,
(1 — ajic). .(1 — a„a?)= e 1 "^
oder, da sich der rechts stehende Ausdruck durch die Summe
darstellen lässt,
(1 — airc)..(l — a„rc)
==^ A,!"a,1!'!!^»2^ . . ^^^^ ^^ ^^'^'^ ^^^' ^^^^'^"^ • ' • ^^'^•^'''^"
für alle positiven ganzen Werthe, den Werth Null mit eingeschlossen, der
Zahlen A^, ü«, .., und man gelaugt bei Berücksichtigung der eingangs
gegebenen Gleichung zu der Gleichung
(a; n)a, . . ür =^ fV^rpTT^trCi«; w)«i'y» • • ((«; w)«ry%
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Kleinere Mittheilungen. 317
in der sich die Summe auf alle positiven ganzen Werthe, den Werth Null
mit eingeschlossen, der Zahlen A,,..,Ar bezieht, welche der Bedingung
1 Aj + . . + r Ar = r genügen.
Ferner ist andererseits
l{l-a,x)..(l--anX) = '-^jf--^{^lY(a;n)a,.^
oder, da der rechts stehende Ausdruck durch die Summe
-?■
((a;w)aiy*..((a;w)ai..a,y-
darstellbar ist,
Z(l-aia;)..(l — a„a;)
für alle positiven ganzen Werthe, den Werth Null mit eingeschlossen, der
Zahlen il|, ..,An, und es ergiebt sich durch Vergleichung dieser Darstellung
des Logarithmus mit der erstgegebenen die Gleichung
(a;n)ai- = r^ ^ ^ ^; '^^ —({a',n)a^y^,,
((a ',n)ai,. a„y«, Uj + . . + n A„ = r,
in der sich die Summe auf alle positiven ganzen Werthe, den Werth Null
mit eingeschlossen, der Zahlen Aj,..,iln bezieht, welche der Bedingung
lX^ + .,+nln=^r genügen.
2. Verbindet man die beiden Gleichungen durch algebraische Mnltipli-
cation mit dem algebraischen Producte Pi ••Pn so erhält man die Gleich-
ungen
'^i(— n^|+..+ Ar+»■
nnd
(a; n)ai-p^ ..pr^r^j j^ ^ \Ji ((»; «) «i)^ • •
((a; n)a^ . . Onf^^Pi -.Pr, lXi + ..+n^^r.
In diesen Gleichungen sind die Grössen ({a;n)ai^)^» . . ((a; w)a/)^'Pi . .Pr
und ((a ; n) aj^» . . ((a ; w) aj . . ap)^Pi . . pr die arithmetischen Mittel aller der-
jenigen Ausdrücke, die man erhält, wenn man auf alle möglichen Weisen
die Grössen (a; n)ai^f • •> («; n)ai^ A^, . ., Ar mal mit je 1, . ., r Factoren und
die Grössen (a; nja^, . ., (a; »)a, . . a» A^, . ., A„mal mit je 1,. ., ^ Factoren
des Productes Pi . . Pr verbindet. Femer ist a^. .arPi. . Pr das arith-
metische Mittel aller derjenigen Ausdrücke, die dadurch entstehen, dass man
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318 Kleinere Mittheilnngen.
die Elemente aller Permutationen der Grössen ;» i, . . , Pr mit den Factoren
des Productes a^ , ,ar der Beihe nach verbindet, und a^^'p^ . ,pr das alge-
braische Product der Grössen a^p^^ .., a^Pr» I^ie Grössen (a; n)a^.,arPi..Pr
und {a\n)a^^p^. .pr sind also Verbindungen der Grössen
die in Bezug auf die Grössen a^, . . , ^n sowohl , wie in Bezug auf die Grössen
Pi 1 • "iPr symmetrisch sind , und die erste Gleichung stellt die Grösse
(a; n)a^. , Ch-Pi . -Pr durch Grössen von der Form (a; w)a/Pi . .pr und die
zweite Gleichung die Grösse (a ; «) a//?! . . Pr durch Grössen von der Form
{a\n)ai..arPi..Pr dar.
Eine A« malige Verbindung einer Grösse mit x Factoren eines r facto-
rigen Productes ist auf
C.)Cr)-C-'.'-")
Ax! A«! iiH«(r-«Ax)!
verschiedene Weisen möglich. Die Anzahl der Ausdrücke, deren arithmeti-
sches Mittel die Grösse ((a; n)ai^)A» . . ((a;«)a|'')^»-pj . .Pr ist, ist daher
r! (r-^lA^)! (r- lA,-~. .~(r-l)Ar^i)!
Ai!l!Ai(r~lA,)!*A,!2!A>(r-lAi-2At)I " Ar!r!Ar (r^lA^ — . .-rA,.)!
^ r!
~ Ai!..Ar!l!Ai..r!Ar '
ihre Summe ist durch diese Zahl zu dividiren und erscheint somit in der
Gleichung mit dem Coefficienten
(^l)Ai+..+A,+rO|l, , ^ (r-l)f>
r\
Für die Grösse ((a;n)a,)^». .((a; w)a^ . . a„)^Pi . .Pr ist die entspre-
chende Anzahl ^^
AiI..A,lll^«..nlA-
und der entsprechende Goefficient
(^l)A,4-.. + A,4T(;t^ + .. + A„-l)!llA»..nl^^
(r-1)!
Die Anzahl der Ausdrücke, deren arithmetisches Mittel die Grösse
a, ..ürPi'.pr ist, ist r!.
Selbstverständlich verringert sich die Anzahl der Ausdrücke, sobald die
Grössen p^.-Pr nicht sämmtlich von einander verschieden sind.
3. Es sei a"j9" eine binäre Form und a" = a|..an- £s sind dann
die Wurzeln der Gleichung o"f,~''p® = 0, und in den aus den Grössen
gebildeten Grössen ^^ ,
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Kleinere Mittheilungen. 319
(a; n)a,o . . Or^- c,->e,)«« . . (-er' O'S («5 w)aj«(-cr * c)«»+..+«r
stellen sich symmetrische Functionen der Wurzeln dar, und zwar in der
ersteren eine beliebige symmetrische Function und in der letzteren eine
Potenzsumme der Wurzeln. Nach dem vorigen Abschnitte gelten für sie
die Gleichungen
(a; nX . . ar«(- er ' e,)«« . . (-er ' e,)«'
und
(a;»)a,»(-e,-'e.)''+-+«'
=^2'-"'""';7'j-''-""'b'""V)^-
((a;n)ai«..a„«y-(-er*e,)««..(-er'e,)'r, U, + .. + «A„ = r.
Sie stellen die symmetrischen Functionen der Wurzeln durch ihre Potenz-
sammen und die Potenzsummen der Wurzeln durch andere symmetrische
Functionen dar.
Für X| = 1, . . , Xr =s 1 insbesondere hat man die Gleichungen
(a;t»)a,^.a.^-.er^e,r
und
(a;n)a,« (-«,-*«.)'■
((a;«)al^.a^(-e^*e.)")^ U, + ..+nA» = r.
Die Gleichung
a" ej"""'" ej*" = aj . . a« ej"-** e/
führt aber, wenn man die ihr gleichwerthige Gleichung
(r) «"«i""""^' = («; »»)fli • • are,''.ar+i .. anej"- *•
durch a"e," = aiej.. a„Ci dividirt und mit (—1)'* multiplicirt und endlich
a^e^-^'e^
^l ^ - nn^n
are,
setzt oder also durch a®ej-*e,\..,a®Ci~"e," die Coefficienten der Gleichung
=0 bezeichnet, auf die Gleichung
a"ej"
(- ir(^)a<> er' «.'=(«;♦»)«.••■ ar»(-er»e,r.
Man kann ihnen daher auch die Form
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320 Kleinere Mittheilungen.
. . ((a; n) o.» (- e,-' e.r)*', U, + . . + r A, = f
und
(a;«)fl,«(-c,->e,y
_,2<=ai±:^&±^-J)i(j)\. (;:)N^.,-,.,-...
geben , und in dieser Form stellen sie die Coefficienten der Gleichung durch
die .Potenzsummen der Wurzeln und die Potenzsummen der Wurzeln durch
die Coefficienten dar«
Berlin, den 7. December 1885. Leopold Schbndel.
XXV. Berichtigung.
In einer Anmerkung zu dem Artikel XUI der Kleineren Mittheilungen
im laufenden Jahrgang S. 174 dieser Zeitschrift gab ich auf Grund einer
von mir gemachten Notiz über frühere Analysen an, dass der zweite Factor
von 2^' — 1 bis 2** — 1 eine Primzahl sei. Ich habe nunmehr das in der
Mittheilung S. 303 angegebene Verfahren angewandt und gefunden, dass
für 2*7-1 der zweite Factor 59862819377 und für 2«- 1 der zweite Factor
129728784761 zusammengesetzt sein mussten. In der That fand sich ftLr
den erstgenannten das Product 4513.13264529 und für den zweiten das
Product 6361 .20394401. Weiter geht die Zusammensetzung aber nicht.
Für die übrigen angegebenen Fälle fand ich volle Bestätigung. Ein solches
üebersehen ist nach dem neueren Verfahren ausgeschlossen.
P. Seelhofb.
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Ze\isvhr\rt
IQr
Miillicmalik iiiiil Physik
Dr. O. Bohlömilolit Dr, E. Kahl
Lind
Dr. M. Hantor,
dX, Jalurgang. 6. Heft
Mit twei lilb%^rfti>hxrit!a Tmleln.
A^iitgeg^bbn am 2(K ^Oltmhti 18^6«
Leipzig,
1880,
in Cookie
ö"
w5^^ft^ii^^^^?N^^^^^^>^s»^
Verlug Ton Friedrich Vieweg & Hohn in Brauusehwelg.
(Zu bt*yi»?heii dürcb jede ßuchhandiuji^, *
Lelirbiich der angewandten Optik in der Cliemie.
Bpeotralaaetl^ae, Mikroakopie» Folarisatiou^
Prakti9cbö Atjl
«u wiAaentchafllicticn nnd teebokohen Uii\ H<en mit Hölfo npti«cli^
Insintmeot« tteb&t tb^^orettiK^her Erklünmg der beobachteteu Kr«cboui(ingtta
von
Pr. C. «ünge
iit J r II K4
f»6i« 16 Mark.
Verlag Toa B. F, Voigt Im Weixsiar.
DElemeuüirbiieh der
ifferential- und Integralrechnung.
Mit zahlreichen /VnwRntlungen aus dtir Anal y hl 9. 0^ lJJl^^-hJt■. ^^^^I;aIJIl^
Physik etc*
fttr li&bere Leöriiiistftlteii fin*1 ilni Scn*Ätu«ii^rru"ijt m^ari^cin^t 1011
Fr* AateDbeinier,
Mit IB^ j^^bbilduneeiu
1887- gr. a 9 Mark.
Vorrätig in alien Buo1iJiaii<ilmigeii*
Verlag voo B. (h Teubner in Leipzig.
Hftriiibck, I>r. Axel, 0, Prof^^ä^or der Mathematik an dem TelytscliDilmm
in Ihv^sden, die Elemente der Differ ßütial' uüd lötegralrwch-
nung. Zur Eii ' ^ im das Sluditmi dargwätölli Mit WU-
T#xt. iVIIJ u ; gT.8^ iHHL geh. 11.
Hwr ^'urftt.«ier liftt «ich sur lI«Lrfttiig4ti« divi«! >
Jt'?« und tri «-Irr
Um levlt« »ad <«« koiupk'«« intMRrmt irrKrianiioilYi
.- N
In dar
1885. geil.
1 Natir^
XVII.
üeber die Systeme, welche durch Kegelschnitte mit
einem gemeinsamen Polardreieck, bez. durch Flächen
zweiten Grades mit einem gemeinsamen Polar-
tetraeder gebildet werden.
Von
Karl Meister
ans MontabftUT
im Auszüge veröffentlicht and mit einigen Zusätzen versehen
Ton
Dr. A. Rasche
in EiMo.
Hierzu Taf. IV Pig. 1—9.
Im Folgenden vrird im Aaszuge eine Arbeit veröffentlicht, für welche
der leider zu früh verstorbene Verfasser im Jahre 1881 von der philoso-
phischen Facultät zu Münster einen Preis erhielt. Wir geben zunfichst die
Hauptresultate der Untersuchung über das ebene System an.
§1-
1. Die Bedingung, ein gegebenes Dreieck zum Polardreieck zu haben,
ist für einen Kegelschnitt, mag man ihn als Punkt- oder Tangentengebilde
auffossen , gleich drei linearen einfachen Bedingungen. Demnach bilden alle
Kegelschnitte, welche ein Dreibck ABO zum gemeinsamen Polardreieck
haben, ein lineares System zweiter Stufe, das in sich dual ist, d. h. gleich-
zeitig die Eigenschaften eines Netzes und eines Gewebes besitzt.
Umgekehrt: „Jedes in sich duale lineare Kegelschnittsystem
zweiter Stufe hat ein gemeinsames Polardreieck. "
Besitzen nämlich drei Kegelschnitte eines Netzes, die nicht demselben
Büschel angehören, ein gemeinsames Polardreieck J.^C7, so ist dieses auch
für alle anderen Kegelschnitte des Netzes ein Polardreieck. Dasselbe gilt
auch für ein Kegelschnittgewebe, wenn drei nicht in einer Schaar liegende
Kegelschnitte desselben ein gemeinsames Polardreieck haben.
Denken wir uns nun in einem in sich dualen Kegelscbnittsystem zweiter
Stufe eine Kegelschnittschaar. Letztere hat ein gemeinsames Polardreieck
Zeltsehrifl f. Mathematik n. Phyaik XXXI, ü. ^i d by CjOOQIC
322 üeb. die Systeme , welche durch Kegelschn. etc. gebildet werden.
ABC, Zwei beliebige Kegelschnitte der Schaar constituiren einen Büschel,
dessen s&ramtliche Kegelschnitte dem System angehören und das Dreieck
ABC ebenfalls zum Polardreieck haben. Irgend zwei Kegelschnitte des
Büschels, welche nicht der Schaar angehören, und irgend ein Kegelschnitt
dieser Schaar, der nicht dem Büschel angehört, haben demnach das Dreieck
ABC zum Polardreieck, folglich haben auch alle Kegelschnitte des Systems
dieses Dreieck zum gemeinsamen Polardreieck,
Da je zwei Seiten des Polardreiecks, resp. je zwei Ecken desselben
bezüglich aller Curven des Systems conjugirt sind, so folgt, dass jedes Ge-
radenpaar im System seinen Mittelpunkt in einer der drei Ecken des Polar-
dreiecks hat und zu den durch diese Ecke gehenden Seiten harmonisch ist,
sowie dass jedes Pnnktepaar des Systems auf einer der drei Seiten des
Polardreiecks liegt und durch die auf dieser Seite liegenden Ecken harmo-
nisch getrennt wird. Fällt insbesondere eine Gerade des Geradenpaares mit
einer Seite des Polardreiecks zusammen, so thut es auch die zweite; das
Geradenpaar besteht dann aus zwei vereinigten Geraden. Die drei Seiten
des Polardreiecks ABC bilden demnach drei doppelte Gerade des Systems.
Dualistisch: In unserem System giebt es drei doppelte Punkte, nümlich
die Ecken des Polardreiecks.
2. Die Forderung, einen gegebenen Punkt zu enthalten, ist Hir die
Kegelschnitte unseres linearen Systems, als Netz betrachtet, mit einer
linearen Bedingung äquivalent; derselben genügen also die Kegelschnitte
eines Büschels im System.
Fassen wir das Kegelschnittsystem als ein Gewebe auf, so ist die Be-
dingung, eine gegebene Gerade zu berühren, ebenfalls eine lineare; eine
Gerade wird mithin von den Kegelschnitten einer Schaar des Systems be-
rührt. Ferner ergiebt sich:
Durch zwei Punkte geht ein Kegelschnitt, zwei Gerade werden von
einem Kegelschnitte des Systems berührt.
Da eine gegebene Gerade zwei Kegelschnitte eines Büschels berührt,
so folgt:
Durch einen gegebenen Punkt gehen zwei Kegelschnitte des Systems,
welche eine gegebene Gerade berühren.
Jeder Büschel des Systems enthält drei Geradenpaare, deren Mittel-
punkte die drei Ecken des gemeinsamen Polardreiecks sind. Ist also ein
Grundpunkt P des Büschels gegeben , so lassen sich die drei anderen leicht
construiren. Man verbinde nämlich P mit zwei Ecken A und B des Polar-
dreiecks und construire zu PA und PB bezüglich der durch A resp. B
gehenden Dreiecksseiten die vierten harmonischen Strahlen. Damit hat man
zwei Geradenpaare des Büschels, welche sich ausser in P noch in den ge-
suchten Punkten schneiden. Genau auf duale Weise findet man, wenn eine
Gerade p als Grundtangente einer Schaar gegeben ist, die drei anderen
gemeinschaftlichen Tangenten.
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Von K. Meisteh. 323
Je vier Grundpunkt« eines Büschels wollen wir associirte Punkte,
je vier Grundtangenten einer Schaar associirteGeraden nennen. ( Vergl.
Reye, Geometrie der Lage, 11. Abth. S. 236 der 2. Aufl.) Zu jedem
Punkte der Ebene sind also drei andere Punkte, und zu jeder Geraden drei
andere Geraden associirt.
Insbesondere sind zu der unendlich fernen Geraden der Ebene diejenigen
drei Geraden associirt, welche die Mitten Ä^ B\ C der Seiten J?(7, CLi,
AB des Polardreiecks verbinden, da der Mittelpunkt und der unendlich
ferne Punkt auf jeder Seite harmonisch getrennt werden durch die beiden
daraufliegenden Ecken.
3. Vier Punkte eines Kegelschnittes und ihre vier Tangenten haben
dasselbe Diagonaldreieck. (Beje, Geom. , I S. 69.) Haben wir nun vier
associirte Punkte ^,, A^y J.3, A^^ so geht durch diese ein Eegelschnitt-
büschel unseres Systems. Ziehen wir an einen dieser Kegelschnitte in den
Grundpunkten A^^ A^^ ^3, A^ die vier Tangenten O], o,, 03, »4, so folgt
aus dem Vorhergehenden, dass a^, o,, a,, a^ die Grundtangenten einer
Kegelschnittschaar sind, welche mit dem Büschel dasselbe Polaidreieck hat,
also zu unserem System gehört. Wir gewinnen daher den Satz:
Dreht eine Gerade a^ sich um einen Punkt J.,, so drehen
die drei associirten Geraden o,, o,, a^ sich bez. um die drei asso-
ciirten Punkte -4^, .^3, A^»^
Dualistisch :
„Bewegt ein Punkt A^ sich auf einer Geraden a^, so be-
wegen die drei associirten Punkte ^, A^^ A^ sich bez. auf den
drei associirten Geraden Oj, a^y a^.^
Zu jedem Punktepaare A^^ B^ sind hiernach drei andere Punktepaare
A^y B^\ A^j B^'y A^y B^ associirt, so zwar, dass zu der Geraden A^B^^ die
drei Geraden A^B^^, A^B^^ ^a^a a*ssociirt sind. Ebenso sind zu jedem
Paare von Geraden drei andere Paare von Geraden associirt.
Da durch zwei Punkte, resp. durch zwei Tangenten ein Kegelschnitt
des Systems im Allgemeinen bestimmt ist, 'so ergiebt sieh:
„Je zwei Gruppen associirter Punkte liege^n auf einem
Kegelschnitt, und je zwei Gruppen associirter Geraden berüh-
ren einen Kegelschnitt des Systems. **
Ferner sind zu dem Schnittpunktepaar einer Geraden mit einem Kegel-
schnitt des Systems diejenigen drei Punktepaare associirt, in welchen die
drei associirten Geraden der ersten den Kegelschnitt schneiden, und zu den
Tangentenpaaren aus einem Punkte an einen Kegelschnitt des Systems sind
die drei Tangentenpaare aus den drei associirten Punkten an den Kegel-
schnitt associirt. Da nun zu dem Berührungspunkte einer Tangente die
Berührungspunkte der associirten Tangenten associirt sind, so bilden auch
die Berührungspunkte der vier associirten Tangentenpaare mit dem Kegel- x
21* , 'Ogle
324 üeb. die Systeme, welche durch Eegelscbn. etc. gebildet werden.
schnitte vier associirte Pnnktepaare, und die Verbindungslinien derselben
Tier associirte Geraden. Also:
lyDie Polaren von vier associirten Punkten bezüglich eines
Kegelschnittes des Systems bilden vier associirte Geraden.''
Dualistisch :
;,Die Pole von vier associirten Geraden bezüglich eines
Kegelschnittes des Systems bilden vier associirte Punkte."
Zusatz. Was die Bealitftt oder Imaginarität der associirten Elemente
anbetrifpfc, so sind unter Voraussetzung eines reellen Polardreiecks die asso-
ciirten Elemente sftmmtlich reell, wenn eines unter ihnen reell ist; dagegen
imaginär, wenn eines imaginär ist. (Vgl. Schröter, Kegelschnitte, 2. Aufl.
S. 368 flg.)
§2.
1- Jeder Punkt M ist im Allgemeinen der Mittelpunkt eines einzigen
Kegelschnittes des Systems, da dieser Punkt und die unendlich ferne Ge-
rade als Pol und Polare einen Kegelschnitt des Systems bestimmen. Je
nachdem der Punkt innerhalb der drei Räume {h) (Fig. 1) oder der vier
Bäume (e) liegt, in welche die Ebene durch die Seiten des Dreiecks ABC
und die unendlich ferne Gerade getheilt wird, ist der betreffende Kegel-
schnitt eine Hyperbel oder Ellipse (Schröter, Kegelschnitte, S. 288), und
zwar sind die im Innern des Dreiecks ABC liegenden Punkte die Mittel-
punkte imaginärer Ellipsen.
Die Mittelpunkte aller Kegelschnitte eines Büschels liegen auf dem
Mittelpunktskegelschnitte des Büschels, welcher durch die drei Ecken des
Polardreiecks geht (Schröter, Kegelschnitte, S. 304); und umgekehrt ist
jeder dem Dreieck ABC umgeschriebene Kegelschnitt der Mittelpunktskegel-
schnitt eines Büschels des Systems; denn zwei Punkte P^ und P^ desselben
sind die Mittelpunkte zweier Kegelschnitte K' und K" im System, welche
einen Büschel constituiren, dessen Mittelpunktskegelschnitt mit dem ersten
Kegelschnitt identisch ist, da er mit ihm fünf Punkte gemeinsam hat.
2. Die Mittelpunkte der Kegelschnitte einer Schaar des Systems liegen
auf einer Geraden ; und umgekehrt ist jede Gerade l Mittelpunktslinie einer
Schaar ; denn sie ist zur unendlich fernen Geraden conjugirt bezüglich einer
Schaar des Systems. Construiren wir zu den beiden Schnittpunkten der
gegebenen und der unendlich fernen Geraden mit einer Seite, etwa AB,
des Dreiecks ABC und zu den Ecken A und B das gemeinschaftlich har-
monisch trennende Punktepaar, so ist dieses eines der drei Punktepaare der
Schaar. Führt man diese Construction auch auf den beiden anderen Seiten
des Dreiecks ABC aus, so erhält man die beiden ferneren Punktepaare der
Schaar. Diese drei Punktepaare liegen auf vier Geraden, den vier Orund-
tangenten der Schaar. Geht die Gerade l durch eine der drei Micken des
Polardreiecks, so fallen zwei Punktepaare der Schaar in dießer Ecke zu-
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Von E. Meisteb. 325
sammen; es vereinigen sich gleichzeitig je zwei von den vier gemeinsamen
Tangenten der Schaar nnd letztere besteht somit aus doppelt berührenden
Kegelschnitten. Femer ergiebt sich die der betreffenden Ecke des Polar-
dreiecks gegenüberliegende Seite als die gemeinsame Berührungssehne dieser
Kegelschnitte. Die gemeinsamen Berührangspnnkte der Kegelschnitte auf
dieser Seite können leicht gefunden werden.
Nehmen wir an, l gehe durch die Ecke C und schneide die Seite AB
in E\ sei iC* ein Kegelschnitt der Schaar, welche l zur Mittelpunktslinie
bat Da der Durchmesser l durch den Pol C der Seite AB bezüglich K^
geht, so geht auch die Gerade AB durch den Pol von l bezüglich K*^ oder
der Punkt E und der unendlich ferne Punkt von AB sind bezüglich K*
coDJugirte Punkte. Von der Involution der conjugirten Punkte bezüglich
K^ auf der Geraden AB kennen wir also die beiden Punktepaare A und B
und ebenso E und den unendlich fernen Punkt auf ^J? oder, was dasselbe
ist, das Punktepaar A imd B und den Centralpunkt E der Involution. Die
Potenz der Involution ist mithin EA,EB = a^\ dadurch sind uns aber die
Doppelpunkte der Involution, d. h, die Schnittpunkte von ä^ mit AB und
folglich auch die gemeinsamen Berührungspunkte der Kegelschnitte der
Schaar gegeben.
Das vorhin Gefundene gilt insbesondere auch von den drei Höhen des
Polardreiecks und da jede die zu ihr senkrechte Seite des Polardreiecks zu
einer conjugirt«n Geraden hat, so ist sie eine Axe aller derjenigen Kegel-
schnitte des Systems, von denen sie ein Durchmesser ist. Also:
„Jede der drei Höhen des Polardreiecks ist gemeinsame
Axe der Kegelschnitte einer Schaar von sich doppelt berüh-
renden Kegelschnitten des Systems.^
§3.
1. Durch einen seiner Brennpunkte ist ein Kegelschnitt des Systems
im Allgemeinen eindeutig bestimmt; denn er repräsentirt zwei Tangenten,
welche aus den unendlich fernen Kreispunkten an den Kegelschnitt gehen.
(Salmon-Fiedler, Kegelschnitte , S. 403 der 4. Aufl.) Die zwei zu einem
Kegelschnitt gehörigen reellen Brennpunkte wollen wir correspondirende
Brennpunkte nennen.
. ,, Ziehen wir von einem Punkte einer Seit« des Polardreiecks ABC die
Tangentenpaare an sämmÜiche Kegelschnitte des Systems, so bilden dieselben
eine Strahleninvolution. ^
Ist nämlich P ein Punkt auf ^C, p eine beliebige Gerade durch P, so
ist p Grundtangente einer Schaar unseres Systems. Wir suchen jetzt die
associirten Geraden. Zu dem Ende construire man (vergl. § 1 Nr. 2} zu
P bezüglich B und C, ferner zu dem Schnitte von p mit AB bezüglich A
und B die vierten harmonischen Punkte. Damit hat man zwei Punktepaare
der Schaar und die Verbindungslinien derselben geben uns ausser p die
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326 üeb. die Systeme, welche durch Eegelschn. etc. gebildet werden.
drei übrigen Grandtangenten. Eine derselben, sie heisse p\ geht durch P.
Gehen wir umgekehrt aus von der Geraden p durch P, so finden wir als
zweite Grundtangente aus P an dieselben Kegelschnitte die Linie p. £&
sind demnach die Strahlen um den Punkt P involutorisch gepaart, indem
sich je zwei solcher Strahlen entsprechen , welche Grundtangenten derselben
Schaar sind. Fällt insbesondere p mit BC zusammen oder geht p durch
die der Seite BC gegenüberliegende Ecke A^ so vereinigt sich nach der
angegebenen Construction p' mit p. Wir erhalten also die Doppelstrahlen
der Involution. Für den Fall , dass der Punkt P mit dem HOhenfusspunkte
auf einer der drei Seiten des Polardreiecks incidirt, sind die Doppelstrahlen
der Tangenteninvolution — die betreffende Seite und die zugehörige Höhe —
zu einander normal, die Involution ist eine gleichseitig hyperbolische, d. h.
die Strahlen eines Paares bilden mit den Doppelstrahlen gleiche Winkel.
2. Aus der Eegelschnittstheorie ist der Satz bekannt: Die Halbirungs-
linien der Winkel des von einem beliebigen Punkte 0 an einen Kegelschnitt
gelegten Tangentenpaares und die Halbirungslinien der Winkel des von 0
nach den beiden Brennpunkten des Kegelschnitts gehenden Strahlenpaares
fallen zusammen. (Schröter, S. 199.) Hieraus folgt:
„Die von dem HOhenfusspunkte einer Seite des Polardreiecks niach
irgend zwei correspondirenden Brennpunkten gehenden Strahlen bilden sowohl
mit der betreffenden Seite, als auch mit der zugehörigen Höhe gleiche
Winkel."
Man kann hiemach leicht zu jedem Brennpunkte F den correspondiren-
den construiren. Denn verbindet man F mit zwei Höhenfusspunkten Jß und S
(Fig. 2) des Polardreiecks und zieht durch B und S diejenigen Linien,
welche mit den entsprechenden Höhen dieselben Winkel bilden wie FB und
F8y so schneiden sich dieselben in dem dem Punkte F correspondirenden
Brennpunkte F'. So erhalten wir im Allgemeinen zu jedem Brennpunkte
einen und nur einen correspondirenden. Wir wollen nun zu einem der drei
HOhenfusspunkte B, S, T(Fig. 2), etwa zu i2, den correspondirenden suchen.
Verbinden wir B mit S und T und construiren diejenigen Strahlen durch
8 und T, welche mit den Höhen SB und TC bez. dieselben Winkel bilden
wie SB und TA, so erhalten wir beidemal den Strahl ST\ denn die Höhen
halbiren bekanntlich die Winkel des Dreiecks BST der HOhenfusspunkte.
Der Schnittpunkt der beiden Linien wird also unbestimmt und es ist daher
jeder Punkt der Linie ST dem Punkte B correspondirend und umgekehrt. Also :
„Jedem HOhenfusspunkte des Polardreiecks correspon-
diren alle Punkte der Verbindungslinie der beiden übrigen;
und umgekehrt, jedem Punkte auf der Verbindungslinie zweier
HOhenfusspunkte correspondirt der dritte.^
„Bewegt der eine Brennpunkt F sich auf einer Geraden , so beschreibt
der correspondirende F' einen Kegelschnitt durch die drei HOhenfusspunkte
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Von K. Meister. 327
Denn die beiden Strahlen, welche Fans zwei Höhenfasspnnkten B und
S projiciren, beschreiben perspective Strahlbüschel, mit welchen bez. die
durch BF' und 8F' beschriebenen Strahlbllschel projectiv sind. Letztere
sind daher auch unter einander projectiv, erzeugen also einen Kegelschnitt,
der durch B und S geht. Da wir statt eines der beiden ersten Höhenfuss-
punkte auch den dritten T als Mittelpunkt eines der erzeugenden Strahl-
bdscbel hätten wählen können , so geht der Kegelschnitt auch durch T. um-
gekehrt: Beschreibt der eine Brennpunkt einen Kegelschnitt durch jß, jS, 7\ '
so bewegt der correspondirende sich auf einer Geraden. Denn construirt
man zu zwei beliebigen Punkten des Kegelschnittes die correspondirenden
und verbindet letztere durch eine Gerade, so entspricht dieser ein Kegel-
schnitt, welcher mit dem ersten fünf Punkte gemein hat, also mit dem-
selben identisch ist.
„Wir sehen somit, dass die correspondirendenBrennpunkte
in einer involutorischen quadratischen Beziehung stehen.^ Die
„Hauptpunkte" und „Hauptlinien" (Reye, Geom., IL Abth. S. 119) sind
die drei Höhenfusspunkte und deren Verbindungslinien.
Bewegt sich der eine Brennpunkt auf einer Curve n*^ Ordnung, so
beschreibt der correspondirende eine Curve 2 n^^ Ordnung, welche die Punkte
i2, jS, T zu n- fachen Punkten bat.
3. Der unendlich fernen Geraden entspricht der dem Dreieck B8T
umgeschriebene Kreis oder der Feuerbach'sche Kreis des Polardreiecks.
Denn sei P^ ein unendlich ferner Punkt und P^ der correspondirende
(Fig. 2) , so ist
LP^BT^P^BS, LP^BS=^P^SB, LP^SB=:P^8T,
^'^^^^^ LP,BT^P,ST,
^^^^^^^^ LBP,8^BT8,
d. h.: Pj liegt auf dem durch B8T gehenden Kreise.
Den beiden Schnittpunkten einer Geraden mit diesem Kreise sind die
unendlich fernen Punkte des der Geraden entsprechenden Kegelschnitts cor-
respondirend. Je nachdem also die Gerade den Kreis reell schneidet, be-
rührt oder imaginär trifft, ist der entsprechende Kegelschnitt eine Hjperbel,
Parabel oder Ellipse. Die beiden Schnittpunkte der Geraden mit ihrem ent-
sprechenden Kegelschnitte sind die beiden Brennpunkte desjenigen Kegel-
ächnittes, welcher die Gerade zur Axe bat; denn da sie sowohl auf der
Geraden, als auch auf dem Kegelschnitt liegen, so correspondiren sie ein-
ander.
Einer durch einen Höhenfusspunkt gehenden Geraden entspricht wieder
eine Gerade durch denselben ^ nämlich diejenige, welche mit der durch diesen
Höhenfusspunkt gehenden Höhe denselben Winkel bildet, wie die erste.
Eine Höhe entspricht daher sich selbst. Die darauf befindlichen Brenn-
punktepaare bilden offenbar eine Involution , deren Doppelpunkte der Höj^en-
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328 üeb. die Systeme, welche durch Kegelschn. etc. gebildet werden.
ponkt und die auf der Höhe befindliche Ecke des Folardreiecks sind; denn
sie werden aus jedem der beiden nicht auf dieser Höhe liegenden Höhen-
fusspunkte durch ßtrahlenpaare einer gleichseitig hyperbolischen Involution
projicirt, deren Doppelstrahlen die durch den betreffenden Höhenfusspunkt
gehende Seite des Polardreiecks und die zugehörige Höhe sind. (Vergl.
Schröter, Kegelschnitte, S. 187—189.)
Wir müssen hier eine Bemerkung einschalten. Nach § 2 liegen die
Mittelpunkte der Hyperbeln des Systems in den Räumen (h) , die der Ellipsen
in den Räumen (e), und zwar die der imaginären Ellipsen im Innern des
Polardreiecks ABC (Fig. 1). Ueberschreiten wir eine Dreiecksseite, so
bildet dieselbe, doppelt genommen , den Uebergang von Hyperbeln zu Ellip-
sen, und zwar, wenn wir dieselbe ausserhalb des Dreiecks überschreiten, so
kommen wir zu reellen Ellipsen; gelangen wir aber beim Ueberschreiten in
das Innere des Dreiecks, zu imaginären Ellipsen. Im ersten Falle muss die
doppelte Gerade aufgefasst werden als eine Hyperbel, deren Nebenaxe un-
endlich klein ist, weil sie durch Null vom Imaginären zum Reellen über-
gehen muss, oder als eine Hyperbel , deren Asymptotenwinkel gleich 0^ ist
Im zweiten Falle dagegen muss die doppelte Gerade betrachtet werden als
eine Hyperbel mit unendlich kleiner Hanptaxe, weil dieselbe imaginär wer-
den muss, was beim üebergange durch Null geschieht, d.h., sie ist eine
Hyperbel, deren Asymptotenwinkel gleich 180** ist.
Wir kehren nun zu unserer früheren Betrachtung zurück. Die Seiten
des Polardreiecks entsprechen sich ebenfalls von selbst. (Vergl. Nr. 2.)
Die Brennpunktepaare auf einer derselben bilden gleichfalls eine Involution,
deren Doppelpunkte die auf der Seite liegenden Ecken des Dreiecks ABC
sind. Die Mitten zwischen zwei reellen Brennpunkten eines solchen Paares
liegen ausserhalb der durch die beiden Ecken bestimmten Strecke. Folglich
gehört jedes dieser reellen Brennpunktepaare zu der Seite, als doppelte
Gerade aufgefasst, ftir den Fall, wo sie den Uebergang zwischen Hyperbeln
und reellen Ellipsen bildet.
4. Ein Höhenfusspunkt des Polardreiecks ist nach dem Vorhergehenden
(Nr. 2) Brennpunkt von unendlich vielen Kegelschnitten, deren zweite Brenn«
punkte auf der Verbindungslinie der beiden übrigen Höhenfusspunkte liegen.
Alle diese Kegelschnitte bilden eine Schaar; denn sie haben die Verbin-
dungslinien des gemeinsamen Brennpunktes mit den unendlich fernen Kreis-
punkten zu gemeinsamen Tangenten. Diese beiden Linien aber sind har-
monisch zu der durch den Höhenfusspunkt gehenden Seite und zugehörigen
Höhe, bilden folglich zwei Tangenten einer Schaar unseres Systems. (Vergl.
Nr. 1.) Wir gewinnen mithin den Satz:
„In unserem System giebt es drei Schaaren von Kegel-
schnitten, welche je einen Höhenfusspunkt des gemeinsamen
Polardreiecks zum gemeinsamen Brennpunkt haben.^
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Von E. Mbister. 329
Die Mittelpunktsgerade einer solchen Schaar ist leicht constrairbar. Da
die übrigen Brennpunkte der Kegelschnitte der Schaar nach dem Vorher-
gehenden auf einer Geraden liegen , so erhalten wir die Mittelpunktsgerade,
indem wir die Mittelsenkrechte zu dem vom gemeinsamen Brennpunkte auf
die Brennpunktsgerade geföllten Lothe ziehen. Die Hauptaxen femer bilden
einen Strahlbüschel um den gemeinsamen Brennpunkt. Die Nebenaxen wer-
den gebildet durch den einen Schenkel eines rechten Winkels, dessen an-
derer Schenkel durch den gemeinschaftlichen Brennpunkt geht, wfthrend der
Scheitel sich auf der Mittelj^unktsgeraden bewegt. Sie umhüllen also eine
Parabel, die den gemeinsamen Brennpunkt ebenfalls zum Brennpunkt und
die Mittelpunktsgerade zur Scheiteltangente, also die Brennpunktsgerade zur
Leitlinie hat (Schröter, S. 200.) Diese Parabel berührt auch diejenigen
beiden Seiten des Polardreiecks, welche nicht durch den gemeinsamen Brenn-
punkt ffehen. Denn sei der letztere der Punkt B (Fig. 2), so ist
LB8C=:T8Ä,
also muss, wenn man von B 3Xif ÄC die Senkrechte BE flillt und um sich
selbst verlängert, der Endpunkt 2) auf 8T fallen, woraus folgt, dass ÄC
eine Tangente der Parabel ist. Das Gleiche gilt von AB. Die zum Brenn-
punkt B gehörigen Leitlinien aller Kegelschnitte der Schaar gehen durch
die der Seite BC gegenüberliegende Ecke Ä des Polardreiecks, weil Ä zu
B bezüglich der Kegelschnitte des Systems und mithin auch bezüglich aller
Kegelschnitte der Schaar conjugirt ist.
Da jede Schaar unseres Systems mit jedem Büschel desselben zwei
Kegelschnitte gemein hat — denn eine Grundtangente der Schaar und folg-
lich auch ihre drei associirten Geraden, die übrigen Grundtangenten, be-
rühren dieselben zwei Kegelschnitte des Büschels im System — , so ergiebt
sich, „dass in jedem Kjegelschnittbüschel sich je zwei Kegel-
schnitte befinden, welche einen der drei Höhenfusspunkte
des gemeinsamen Polardreiecks zum gemeinsamen Brennpunkt
haben^.
5. Jeder Punkt der Ebene ist nach Nr. 1 Brennpunkt eines gewissen
Kegelschnitts in unserm System. Es fragt sich» wie die Brennpunkte der
Ellipsen und Hyperbeln vertheilt sind. Wir wollen die Grenzlinien unter-
suchen , d. h. diejenigen Linien , auf welchen die Brennpunkte der Parabeln
und doppelten Geraden in unserem System liegen, da diese den üebergang
von Ellipsen zu Hyperbeln bilden. Die Parabeln bilden den üebergang
zwischen reellen Ellipsen und Hyperbeln. Die Parabeln des Systems bilden
eine Schaar (vergl. § 1 Nr. 2). Ihre Brennpunkte liegen auf der unendlich
fernen Geraden und dem Feu er bach 'sehen Kreise des Polardreiecks (vergl.
Reye, L Abth. S. 185). Doppelte Geraden im System sind die drei Seiten
des. Polardreiecks. Fassen wir jede derselben auf als eine Hyperbel mit
unendlich kleiner Nebenaxe, so liegen die reellen Brennpunkte auf ihr und
sie bildet den Üebergang zwischen reellen Hyperbeln und reellen Eljipsen
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330 üeb. die Systeme, welche durch Kegelschn. etc. gebildet werden.
(Nr. 3). Betrachten wir sie aber als eine Hyperbel mit unendlich kleiner
Hauptaxe, so bildet sie den üebergang zwischen Hyperbeln und imaginären
Ellipsen, und ihre reellen Brennpunkte liegen auf einem gewissen Kreise.
Nehmen wir z. B. die Seite B 0, beschreiben über B C als Durchmesser den
Kreis und construiren zu irgend einem Punkte E dieses Kreises als Brenn-
punkt eines Kegelschnitts unseres Systems den conjugirten E\ so finden
wir, dass derselbe ebenfalls auf diesem Kreise liegt Letzterer geht näm-
lich durch die Höhenfusspunkte S und T auf den beiden anderen Seiten
AB und ÄC (Fig. 3). Ferner ist
LETB^E'TB, LESB^E'SB (Nr. 2).
Als Peripheriewinkel sind aber die Winkel ETB und ESB, da sie über
demselben Bogen stehen, einander gleich, folglich ist auch
LETE'=ESE\
Daher
LTE8=TE'8,
d. h.: E liegt auf dem Kreise über BC als Durchmesser. Da auch
LERB=:E'RB
ist, so erhält man E\ indem man von E Bxd BC die Senkrechte f^lt und
mit dem Kreise schneidet. EE' wird also von der Seit« BC halbirt oder
E und E' sind die Brennpunkte eines Kegelschnitts ^ dessen Mittelpunkt auf
der Seite BC liegt; das ist aber die doppelte Gerade BC.
Demnach trennen die über den Seiten des Polardreiecks als Durchmes-
sern beschriebenen Kreise die Brennpunkte von Hyperbeln von denjenigen
imaginärer Ellipsen.
Da wir von reellen zu imaginären Kegelschnitten weiter keine üeber-
gangslinien haben, so müssen diejenigen Theile der Ebene, welche die
Brennpunkte der imaginären Ellipsen enthalten, ganz von jenen drei Krei-
sen begrenzt werden. Die übrigen Bäume enthalten abwechselnd Brenn-
punkte von Hyperbeln und von reellen Ellipsen. Eine üebersicht über die
Yertheilung der Brennpunkte ist in Fig. 4 gegeben. Die schraffirten Flächen-
theile bezeichnen die Lage der Brennpunkte von Ellipsen, und zwar die
horizontal schraffirten die von reellen , die vertical schraffirten die von ima-
ginären Ellipsen; die weissen Partien aber enthalten die Brennpunkte der
Hyperbeln. Erstere sind mit e, , Cg, C3, ...; ß'j, ^V ^'s' •••» letztere mit •
^1» ^> ^3» •••; ^1) ä's» ^'3» bezeichnet, wo die Räume e\y e\^ ...,
^i> ^2) "' diejenigen Brennpunkte enthalten, welche bez. den in e|, ßj, ...,
j^j , ^ , ... enthaltenen correspondiren. Liegt z. B. ein Brennpunkt in e^ ,
so liegt der correspondirende in ßg; denn eg wird begrenzt von den Kreis-
bogen BD und BT und der Linie DT. Dem Bogen BD entspricht der
Bogen BB und dem Bogen BT der Bogen BF. Der Linie D 2^ entspricht
der Punkt R und dem Punkte T die Linie FR. Die Stücke BR, BF und
FR begrenzen aber den Flächentheil e'g.
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Von K Mbisteb. 331
§4.
1. Was die Art der Kegelschnitte anbetrifft, die im System enthalten
sind, so ist zunächst leicht einzusehen, dass in unserem Netze, wie in
jedem Netze, ein und nur ein Kreis vorkommt, da durch zwei Punkte,
also auch durch die beiden unendlich fernen Kreispunkte, ein Kegelschnitt
des Systems bestimmt ist. Der Mittelpunkt des Kreises ist der fiöhenpunkt
des gemeinsamen Polardreiecks, und je nachdem das letztere stumpfwinklig
oder spitzwinklig ist, ist der Kreis reell oder imaginftr. (Vergl. Schröter,
Kegelschnitte, S. 48, und Salmon, Kegelschnitte, S. 401.)
Ferner enth< das System einen Büschel gleichseitiger Hyper-
beln, da die gleichseitigen Hyperbeln definirt werden als Kegelschnitte,
welche die unendlich fernen Kreispunkte zu conjugirten Punkten haben. Die
drei (rechtwinkligen) Geradenpaare des Büschels ergeben sich leicht als die
Halbirungslinien der Winkel des Polardreiecks und der Nebenwinkel der-
selben. Die Mittelpunkte aller gleichseitigen Hyperbeln aber liegen auf dem
Kreise, der dem Polardreieck umgeschrieben ist. (Schröter, Kegelschnitte,
S. 233.)
2. Sttmmtliche Parabeln des Systems als Kegelschnitte, welche die un-
endlich ferne Gerade berühren ^ bilden eine Schaar, deren drei im Endlichen
gelegene Grundtangenten JilB\ B'G\ G'Ä sind. (Vergl. § 1 Nr. 2.) Ihre
Brennpunkte liegen auf demjenigen Kreise, welcher darch die Punkte Ä^
J^, C und folglich auch durch die Höhenfusspunkte des Polardreiecks geht,
also auf dem Feu erb ach 'sehen Kreise des Polardreiecks. (Vergl. Beye,
I. Abth. S. 138 und 185.)
Femer: Die Scheiteltangente einer Parabel ist bekanntlich die Fuss-
punktcurve der vom Brennpunkte auf die Tangenten der Parabel gefällten
Lothe. (Beye, I. Abth. S. 136.) Fällt man demnach von irgend einem
Punkte 'S des Feuerbach'schen Kreises des Polardreiecks auf die Seiten
des Dreiecks ÄB'C* die Lothe, so liegen deren Fasspunkte auf einer Ge-
raden , nämlich aaf der Scheiteltangente derjenigen Parabel , welche ¥ zum
Brennpunkt hat. Wir sehen hieraus, dass die Scheiteltangenten
aller Parabeln der Schaar eine Curve dritter Classe und vierter
Ordnung A'j, die Steiner'sche Hypocycloide mit drei Spitzen,
umhüllen. (Vergl. Steiner, Crelle's Journal Bd. 53 S. 133.) Die un-
endlich ferne Gerade ist eine Doppeltangente derselben; sie ergiebt sich
nämlich nach obiger Construction als Scheiteltangente derjenigen beiden
Parabeln der Schaar, welche einen der beiden unendlich fernen Kreispunkte
zum Brennpunkt haben«
Eine Parabel der Schaar ist durch ihren unendlich fernen Punkt oder
durch ihren Brennpunkt bestimmt. Jedem Punkte des um AB' C beschrie-
benen Kreises, als Brennpunkt einer Parabel , ist daher der unendlich ferne
Punkt derselben zugeordnet und umgekehrt. Der Kreis und die unendlich
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332 Ueb. die Systeme, welche durch Kegelschn. eic. gebildet werden.
ferne Gerade sind demnach eindeutig aufeinander bezogen. Die Verbindungs-
linien entsprechender Punkte, d. h., die Azen der Parabeln umhüllen
demnach eine Curye dritter Classe und vierter Ordnung K\,
und zwar gleichfalls eine Steiner'sche Hypocycloide. (Schröter,
Cr eile 's Journal Bd. 54 S. 31.) Gemftss der Erzeugung tritt die unend-
lich ferne Gerade zweimal als Axe auf, nämlich als Axe desjenigen beiden
Parabeln, welche einen der beiden unendlich fernen Kreispunkte zum Brenn-
punkt haben. Die Tangenten der Gurre K\ sind auf die von ^^ eindeutig
beziehbar, indem je zwei solche einander entsprechen sollen, welche als Axe
und Scheiteltangente derselben Parabel angehören. Die Schnittpunkte entspre-
chender Tangenten, die Scheitel der Parabeln, liegen also nach dem Chasles-
schen Correspondenzprincip auf einer Curve sechster Ordnung. Letztere
zerfällt indessen in eine Curye vierter Ordnung und die doppelte unendlich
ferne Gerade, da für diejenigen beiden Parabeln, welche einen der beiden
unendlich fernen Kreispunkte zum Brennpunkt haben, die Scheiteltangente
mit der Axe coincidirt. Der Ort der Scheitel der eigentlichen Pa-
rabeln des Systems ist mithin eine Curve vierter Ordnung.
§5.
1. Wir nennen zwei Kegelschnitte einander ähnlich, wenn ihre reellen
oder imaginären Asymptotenwinkel einander gleich sind. Hiernach müssen
wir auch zwei conjugirte Kegelschnitte einander ähnlich nennen.
Um zunächst den Ort der Mittelpunkte eines Systems ähnlicher Kegel-
schnitte in unserem System zu untersuchen, wollen wir mit dem Felde der
Mittelpunkte aller Kegelschnitte unseres Netzes eine Transformation vor-
nehmen.
Ist jSf der Mittelpunkt eines Kegelschnitts des Netzes, so bilden MA
und die Parallele durch M zm BC ein Paar conjugirter Durchmesser dieses
Kegelschnitts, und wir können demnach leicht drei Paare der Durchmesser-
involution construiren. (Schröter, S. 288.)
Wir denken uns nun die Durchmesserinvolutionen sämmtlicher Kegel-
schnitte des Netzes mit ihren Mittelpunkten M nach einem und demselben
Punkte 0 einer Kreises ß parallel verschoben. Jede Durchmesserinvolution
schneidet in den Kreis eine Punktinvolution ein, und die Verbindungs-
linien sämmtlicher Paare derselben laufen durch einen Punkt M\ das In-
volutionscentrum. Durch letzteres gehen auch die Tangenten des Kreises in
den Doppelpunkten der Involution. So entspricht jedem Punkte M im ersten
Felde (I) ein Punkt M' im zweiten (II). Ebenso umgekehrt; denn üf' als
Involutionscentrum bestimmt die Punktinvolution auf ft, und letztere die
Strahleninvolution um 0. In dieser befinden sich zwei Strahlenpaare, von
denen zwei Strahlen zu zwei Seiten, etwa zu BCnnä CA des Polardreiecks
parallel sind. Ziehen wir nun zu dem jedesmaligen zweiten Strahl die Pa-
rallele durch A^ bez. B, so schneiden sich diese in M (Fig. 5).
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Von K. Meister. 333
2. Der Punkt M' ist schon durch zwei Paare der Durchmesserinyolu-
tion bestimmt. Ziehen wir also durch 0 die Parallelen zu BC^ CÄy AB,
welche St in 9, 9, @ schneiden mögen, femer die Parallelen zu MÄ,
MBy MC durch 0, welche S in 91] , S^ i @i treffen , so schneiden sich die
drei Linien 91 9[i, ©Sj, (£6| in ^f '. Zwei derselben genügen zur Bestim-
mung von M\ Die beiden Felder (I) und (II) stehen in quadra-
tischer Beziehung, die Hauptdreiecke sind ABC^ resp. 91S(S.
(Vergl. Schröter, Kegelschnitte, S. 290 — 294.) Die beiden Dreiecke ABC
nnd 3(93S haben gleiche Winkel; denn es ist nach Fig. 5
/.«(5» = 2lO»«-äC5 und L«g3e = 9lD(5 = -ä50,
folglich auch
L^%^^BAC.
Dem Höhenpunkt Q des Polardreiecks entspricht der Mittelpunkt (^ des
Kreises ft ; denn in diesem Falle ist die Durchinesserinyolution circular, die
Pnnktinvolution auf £ besteht also aus Paaren von Durchmesserendpunkten,
und das Involutionscentrum Q' ist daher der Mittelpunkt von ff.
Der unendlich fernen Geraden im ersten Felde entspricht im zweiten
der Kreis ß. Denn ist M unendlich fern , so sind MA und MB einander
parallel, Z>%i und OSi fallen also zusammen, und die Linien %%^ und
93 Si schneiden sich demnach auf ff.
Femer dem Kreise & um ABO entspricht die unendlich ferne Gerade
im zweiten Felde. Denn liegt M auf K^ so ist die zugehörige Durchmesser-
involution gleichseitig hyperbolisch — die Punkte von K sind die Mittel-
punkte der gleichseitigen Hyperbeln des Systems (§ 4 Nr. 2) — , die Doppel-
strahlen also sind rechtwinklig. Wir erhalten demnach auf ff als Doppel-
punkte der Punktinvolution zwei Durchmesserendpunkte und die Tangenten
in diesen schneiden sich in einem unendlich femen Punkte.
Es folgt aus dem Vorhergehenden, dass den unendlich fernen Kreis-
punkten des einen Feldes die unendlich fernen Kreispunkte im andern ent-
sprechen.
3. Je nachdem der Punkt M im ersten Felde Mittelpunkt einer Ellipse
oder Hyperbel ist, ist die Durchmesserinvolution elliptisch oder hyperbo-
lisch , der entsprechende Punkt M' also innerhalb oder ausserhalb des Kreises
ff gelegen.
Den Punkten innerhalb des Dreiecks ABC^ also den Mittelpunkten
imaginärer Ellipsen, entsprechen auch die Punkte innerhalb des Dreiecks
31936 (Fig. 6), denn den Seiten ^JB, BC, CA entsprechen die Punkte S,
%, 93, dagegen -den Punkten A, B, C die Seiten SS, €%, 9193. Den
Punkten innerhalb der Räume (e^) , {e^ , (ej , den Mittelpunkten der reellen
Ellipsen, entsprechen die Punkte innerhalb der Bäume {e\), (e'3), (e\);
denn z. B. die Begrenzung von {e^) besteht aus den Seiten AB, AC^ 'der
unendlich femen Geraden und dem Punkte A , denen bez. die Punkte (S, 93t
der Kreis ff und die Seite 936 entsprechen. Aehnlich findet man^^dass j
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334 üeb. die Systeme, welche durch Kegelschn. etc. gebildet werden.
den Punkten innerhalb der Räume (Äj), (h^), (A3), (ä^), (Ä5), (Ä^), den
Mittelpunkten der Hyperbeln , die Punkte der Räume (h\), {h\), (Äjj), (Ä'4),
(Ä'g), (Ä'g) entsprechen.
§6.
1. Wir fragen uns nun, wo in dem zweiten Felde diejenigen Punkte Jtf '
liegen, denen die Mittelpunkte einander ähnlicher Kegelschnitte im ersten
Falle entsprechen. Offenbar müssen sie eine solche Lage haben, dass die
aus ihnen an ft gezogenen Tangenten gleiche Berührungssehnen haben; denn
letztere erscheinen dann aus 0 unter demselben Winkel, und dieser ist der
Asymptotenwinkel derjenigen Kegelschnitte, welche die den Punkten M' ent-
sprechenden zu Mittelpunkten haben. Der Ort der Punkte M' ist, wie sich
leicht einsehen lässt, ein mit ft concentrischer Kreis ft^. Letzterem ent-
spricht aber im ersten Felde wegen der quadratischen Beziehung eine Curve
vierter Ordnung, welche durch die unendlich fernen Kreispunkte geht und
die Punkte Ä, B^ C zu Doppelpunkten hat. Also:
„Die Mittelpunkte eines Systems unter einander ähnlicher
Kegelschnitte unseres Netzes liegen auf einer Curve vierter
Ordnung A'\ welche die Ecken des gemeinsamen Polardreiecks
zu Doppelpunkten hat und durch die unendlich fernen Kreis-
punkte gehf Die Doppelpunkte sind die Mittelpunkte der sechs Gera-
denpaare des Systems. (Vergl. § 8 Nr. 6.)
2. Eine wichtige Eigenschaft dieser Curve ergiebt sich aus folgender üeber-
legung. Durch die drei Punkte 91, S3, S gehen vier Kegelschnitte, welche
den Kreis ftj doppelt berühren und welche sämmüich reell sind, weil die
Punkte %, S3, (S entweder innerhalb oder ausserhalb ß, liegen (Schröter,
Kegelschnitte, S. 345). Einer von diesen ist der Kreis $, welcher, da er
mit ft| concentrisch ist, denselben in den unendlich fernen Kreispunkten
berührt' Den vier Kegelschnitten aber entsprechen vier Geraden, welche
die 'Curve K^ doppelt berühren; darunter befindet sich die unendlich ferne
Gerade, die dem Kreise $i entspricht und deren Berührungspunkte mit K^
die unendlich fernen Kreispunkte sind. Die Curve K*' hat demnach
vier reelle Doppeltangenten, von denen eine die unendlich
ferne Gerade ist, welche K^ in den unendlich fernen Kreis-
punkten berührt.
3. Einer Linie durch eine der Ecken 91, 93, S entspricht eine Linie
durch einen der Punkte A^ J5, C (Reye, Geom., II. Abtti. S. 124.) Ins-
besondere entsprechen denjenigen Linien, welche durch die Punkte 91, 93, S
nach den Schnittpunkten der Gegenseiten mit dem Kreise 5)^ gehen, die
Doppelpunktstangenton von K^ in ihren Doppelpunkten Ä^By C, Je nach-
dem also $1 eine Seite des Dreiecks 9(S<S reell oder imaginär schneidet
oder berührt, besitzt die Curve K^ einen eigentlichen oder i8oU3:ten Doppel-
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Von K. Meiste». 335
pnnkt oder eine^Rllckkehrpankt. Wir wollen nun das System der mit ft
concentrischen Sreise Si betrachten, sowie die denselben entsprechenden
Curven JT*. Allen Kreisen, deren Radien kleiner sind als der von Ä, ent-
sprechen Mittelpunktscarven Shnlicher Ellipsen, allen demjenigen Kreisen
aber, die grösser sind als ft, die Mittelpnnktscurven ähnlicher Hyperbeln
(§5 Nr. 3). Je nachdem das Dreieck ABC und also auch 91 936 (vergl.
§ 5 Nr. 2) spitz - oder stumpfwinklig ist , wird der Mittelpunkt von ft inner-
halb oder ausserhalb %93(S liegen^ der entsprechende Punkt Q, der Höhen-
punkt des Dreiecks ÄBG^ also im Räume {e^) oder in einem der Räume
(Cg), (Cj), (64) sich befinden (Fig. 6). Dem Mittelpunkte von Ä als Null-
kreis entspricht daher auch eine Curve Ä*, die, soweit sie reell ist, in den
Punkt 0 zusammengeschrumpft ist. Wächst der Kreis J^^, so wächst auch
die entsprechende Curve K^. Zuerst wird der Kreis Ä, die Seiten des
Dreiecks 9L936 nicht schneiden, dann wird er eine Seite berühren, darauf
dieselbe schneiden, eine zweite bertthren, auch diese schneiden, dann
die dritte berühren und endlich alle drei Seiten schneiden. Dementspre-
chend hat die betreffende Mittelpunktscurve zunächst drei isolirte Doppel-
punkte, welche nach einander in Rückkehrpunkte und dann in eigentliche
Doppelpunkte übergehen. Eine Curve mit drei Rückkehrpunkten würde
dann entstehen, wenn die Dreiecke ABO und %93£ gleichseitig wären,
da es nur in diesem Falle einen mit ft concentrischen Kreis giebt, der alle
drei Seiten des Dreiecks 91S3@ berührt. Berührt der Kreis ^^ eine Seite
des Dreiecks 9[93€; etwa 316, so degeneriren zwei von den vier Kegel-
schnitten , welche durch 9193 6 gehen und ß^ doppelt berühren , in Geraden-
paare. Die Curve K^ hat in diesem Falle einen Rückkehrpunkt in B und
nur noch eine eigentliche endliche Doppeltangente; die beiden anderen
endlichen Doppeltangenten sind Tangenten aus dem Rückkehrpunkte an die
Curve geworden und sie entsprechen den obigen Greradenpaaren. — Alle
Kreise, die grösser sind als ft, schneiden die Seiten 31 89 9 S36, €9 stets
reell , also haben die Mittelpnnktscurven ähnlicher Hyperbeln stets drei eigent-
liche Doppelpunkte.
4. Die Mittelpunktscurve ähnlicher Ellipsen wird sich nach dem Vor-
hergehenden anfänglich ganz in einem der vier Räume {e^), {e^)^ («3), {e^
befinden und nach und nach in die drei anderen eintreten. Nehmen wir
an, das Dreieck 31936 sei spitzwinklig und der Kreis Si schneide die Seiten
desselben reell, so wird er der Reihe nach die Räume (e'J, {e\){e\), {e\){e^),
{e\) durchlaufen (Fig. 7) , folglich wird die entsprechende Mittelpunktscurve
ähnlicher Ellipsen aus (64) in (e^) , aus diesem in (e,) j wieder in (e^) , dann
in (ej), (e^) und schliesslich wieder in (e^) hineintreten. Die Gestalt der
Curve zeigt Fig. 8. Ist der Kreis R^ grösser als S, entspricht ihm also
eine Mittelpunktscurve ähnlicher Hyperbeln , so durchläuft er die Räume {hW
(^'2)» (^'s)» (^'4)» (^'ö)» (^'e)» ^i® entsprechende Curve wird mithin nach der
Reihe in die Räume (ä/), (ä,), (^3), (Ä^), (Ä5), (Ä«) eintreten (Fig. 8).
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336 üeb. die Systeme, welche darch EegeUchn. etc. gebildet werden.
5. Wird ft| immer grösser, so nähert er sich immer mehr der unend-
lich fernen Geraden; die entsprechende Gnnre K* wird sich daher immer
mehr dem Kreise um ABC anschmiegen, und wie die Theile des Kreises
fti, welche in {h\) und (ä'J, oder in {h\) und (Vg), oder in (Ä'3) und {h\)
liegen , einander und der unendlich fernen Geraden sich immer mehr nfthem,
so nähern sich auch je zwei Theile der Cunre K^ in (^,) und (AJ, oder in
(h^) und (/15), oder in (A3) und (^) einander und dem Kreise um ^^C
immer mehr und fallen schliesslich mit letzterem zusammen. Der Kreis K
als Mittelpunktscurye des Systems gleichseitiger — also ähnlicher — Hyper-
beln (§ 4 Nr. 2) ist demnach als Curve K^ doppelt zu denken.
6. Dem Kreise ft im zweiten Felde entspricht (§ 5 Nr. 2) die unend-
lich ferne Gerade im ersten Felde, welche der Ort der Mittelpunkte aller
Parabeln unseres Netzes ist. Da St aber durch die Punkte 31, S, S geht,
welchen die Seiten BC, CÄj AB entsprechen, so müssen diese drei Seiten
zur unendlich fernen Geraden hinzugenommen werden, um sie zu einer Curve
vierter Ordnung zu ergänzen. Auf ihnen liegen die Mittelpunkte der drei
doppelten Geraden des Systems, nämlich der drei Seiten selbst.
7. Sämmtliche Curven JST^ bilden einen Büschel von Curven
vierter Ordnung; denn sie haben in den drei gemeinsamen Doppelpunk-
ten 3.4=3 12 and in den unendlich fernen Kreispunkten, in welchen sie
einander berühren, 2.2 = 4 Punkte, im Ganzen also 16 Punkte gemein.
Dasselbe können wir schliessen aus der Anzahl der Bedingungen^ welchen
diese Curven unterworfen sind.
Die Bedingung, einen gegebenen Punkt zum Doppelpunkt zu haben,
ist nämlich eine dreifache lineare; eine Gerade in einem gegebenen Punkte
zu berühren, eine doppelte lineare Bedingung fdr jede Curve. Die Forde-
rung, drei gegebene Punkte als Doppelpunkte zu enthalten, sowie die un-
endlich ferne Gerade in zwei Punkten zu berühren , involvirt also für unsere
Curven 13 lineare Bedingungen. Da aber 14 lineare Bedingungen eine
Curve vierter Ordnung eindeutig bestimmen, so ist durch 13 lineare Be-
dingungen ein Büschel von Curven vierter Ordnung festgel^.
8. Den Tangenten aus einem beliebigen Punkte P an die Curve AT^
entsprechen diejenigen Kegelschnitte durch den entsprechenden Punkt P'
und durch S, 33, S, welche den der Curve K* entsprechenden Kreis S,
berühren. Nach Steiner (Crelle 's Journal, Bd. 37 S. 189) und Schrö-
ter (Crelle's Journal, Bd. 54 S. 37) giebt es sechs Kegelschnitte in einem
Büschel, welche einen gegebenen Kegelschnitt berühren. Hieraus folgt:
;,Die Mittelpunktscurve K^ ist eine Curve sechster Classe.''
§7.
1. Einer Tangente an den mit St concentrischen Kreis Sti wird ein
Kegelschnitt durch A^ By Centsprechen, welcher die Curve K^ berührt Der
Gesammtheit aller Tangenten von Sti entspricht aber ein System ähnlicher
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Von E. Mbistbb. 337
Kegelschnitte durch Ä^ B und C. Denn da diese Tangenten Yom Mittel-
punkte des Kreises gleichen Abstand haben, so werden ihre Schnittpunkte-
paare mit ß, welchen die unendlich fernen Funkte jener Kegelschnitte ent-
sprechen , Yon 0 aus unter gleichen Winkeln gesehen (Fig. 5). Nun sind
aber die Geraden, welche von einem der drei Funkte A^B^ G nach einem
unendlich fernen Funkte P« gehen, parallel zu der Verbindungslinie von 0
mit dem entsprechenden Punkte P' auf ft. um nämlich den entsprechen-
den Funkt zu construireu; verbindet man P« etwa mit A und zieht zu AP^
durch 0 die Farallele, welche ft in 9(j schneidet; der entsprechende Punkt
liegt dann auf der Linie XX^ (§5 Nr. 2); da er aber auch auf ft li^en
muss, so ist er der Punkt Stj selbst, 0^ aber ist parallel zu AP^. Da-
raus folgt y dass die den Tangenten von ft^ entsprechenden Kegelschnitte
durch A, Bj C unter einander ähnlich sind, indem ihre unendlich fernen
Pnnktepaare aus A unter gleichen Winkeln gesehen werden. Demnach
erhalten wir den Satz:
„ Die Mittelpuuktscurve K^ eines Systems ähnlicher Kegel-
schnitte unseres Netzes kann als die Enyeloppe ähnlicher
Kegelschnitte durch A^ Bj C, d. h. ähnlicher Mittelpunktskegel-
'Schnitte (§2 Nr. 1), betrachtet werden,* und zwar bestehen die letz-
teren , je nachdem das erste System von ähnlichen Hyperbeln oder Ellipsen
gebildet wird, aus Ellipsen und Hyperbeln." Denn im ersten Falle sind
die Schnittpunktepaare der Tangenten von Si mit ft imaginär, im zweiten
reell (§ 6 Nr. 4).
2. Unter den ähnlichen Mittelpunktskegelschnitten, welche K^ berühren,
giebt es auch sechs (xeradenpaare , jedes bestehend aus einer Seite des Polar-
dreiecks und einer Geraden durch die gegenüberliegende Ecke, welche mit
der ersteren den gemeinsamen Asymptotenwinkel bildet Die zweite Gerade
muss daher K* berühren.
^Also gehen aus jedem der drei Doppelpui|kte von K^ zwei Tangenten
an dieselbe, welche mit der Verbindungslinie der beiden anderen Doppel-
punkte gleiche Winkel bilden. '^
Diese Tangenten sind reell bei den Mittelpunktscurven ähnlicher Ellip-
sen, imaginär bei denjenigen ähnlicher Hyperbeln , weil im ersten Falle die
Winkel, welche sie mit der jedesmal gegenüberliegenden Seite des Polar-
dreiecks bilden, reell, im zweiten imaginär sind.
3. Den vier Doppeltangenten einer Curve AT* entsprechen, wie wir
sahen, die vier Kegelschnitte durch 9(, S, €, welche den entsprechenden
Kreis ft^ doppelt berühren. Man erhält die Berührungspunkte der letzteren
mit Sti (vergl. Schröter, Kegelschnitte, S. 345)^ indem man je zwei der
drei Punkte %, S, 6! verbindet und zu ihnen und den Schnittpunkten ihrer
* üeber die allgemeinen Eigenschaften eines solchen Systems vergl. Eroes,
Inangural- Dissertation, §7. Göttingen, 1881.
Z^tUchrin f. Mathematik u. Phylk XXXI, «. Digiffed by GoOglC
338 üeb. die Systeme, welche durch Eegelschn. etc. gebildet werden.
Yerbindnngsliiiie mit ß| das gemeinschaftlich harmonisch trennende Paar
anfsncht. Die so erhaltenen sechs Punkte liegen zu je dreien auf vier Ge-
raden, welche man mit ft| schneidet Die Schnittpunktepaare sind dann
die gesuchten Berührungspunkte. — Verbinden wir nun etwa % mit 93 (Fig. 9)
und sind S) und @ die Schnittpunkte der VerbindungBlinie mit ß|, so ist
leicht einzusehen, dass das gemeinschaftlich harmonisch trennende Paar
aus der Mitte Wt und dem unendlich fernen Punkte von 919 besteht. Das-
selbe gilt bei 93 @ und 69[. Die vier Geraden, welche ß^ in den gesuchten
Berührungspunkten schneiden , sind demnach die unendlich ferne Gerade und
die Verbindungslinien der Mitten von 9$, 93€, SX. Die unendlich ferne
Gerade schneidet Sti in den unendlich fernen Ereispunkten, und in diesen
wird auch St^ von St berührt. Den Schnittpunkten der drei übrigen Geraden
mit ß| entsprechen die Berührungspunkte der drei endlichen Doppeltangen-
ten von IC\ Da die drei Geraden von ft^ nicht abhängig sind, so bewegen
sich die Schnittpunkte immer auf diesen und bilden eine Involution, von
welcher auch die Schnittpunkte mit St ein Paar sind« Den drei Geraden
entsprechen aber drei Kegelschnitte, und zwar Hyperbeln, weil St reell
geschnitten wird. Den Geraden €3^, %Wi\ SSR'' (Fig. 9) entsprechen die
Tangenten der Hyperbeln ia 0^ Ä^ B. Je zwei von den drei Hyperbeln
berühren sich also in einer Ecke des Dreiecks ABC^ während die dritte
in dieser Ecke den umgeschriebenen Kreis berührt. Letzteres ergiebt sich
daraus, dass z. B. die Parallele durch S zur Seite %83 diese in ihrem
Schnittpunkte sowohl mit W!^\ als auch mit der unendlich fernen Gera-
den schneidet, also übergehen muss in eine Gerade durch (7, welche dort
sowohl die der Linie äR'SR'' entsprechende Hyperbel, als auch d^i dem
Dreieck ABC umgeschriebenen Kreis berührt. Also:
„Wenn wir die Gurve K^ den ganzen Büschel durchlaufen
lassen, so bewegt sich jedes Paar von Berührungspunkten
einer der drei endlichen Doppeltangenten auf je einer Hyper-
bel durch ^^t? und bildet auf derselben eine Punktinvolution,
von welcher ihre beiden unendlich fernen Punkte ein Paar
sind."
4. Ein Doppelpunkt der Involution ist der Eckpunkt, wo die Hyperbel
den Kreis durch Ä, B^ C berührt; dessen Tangente geht also durch das
Involutionscentrum. Weil die Involution auch die unendlich fernen Punkte
der Hyperbel zu einem Punktepaar hat, so ist das Involutionscentram nn-
endlich fem, demnach sind die Verbindungslinien entsprechender Punkte
unter einander und zur Tangente des Kreises K xim ABC parallel. Wir
gewinnen damit das Resultat:
y,Die drei endlichen Doppeltangenten einer jeden Curre
K* sind zu den Tangenten des Kreises £C in Ay Bj C parallel.'^
— Die drei letztgenannten Geraden sind die Doppeltangenten des doppelt
gedachten Kreises K als Curve JT*. (Vergl § 6 Nr. 5.)
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Von E. Meister. 339
5« Schneiden wir den Büschel der mit S concentrischen Kreise mit
einer beliebigen Geraden p, so erhalten wir auf dieser eine Panktinyolntion,
deren Doppelpankte aus dem unendlich fernen Punkte Ton p und demjeni-
gen Punkte bestehen, in welchem p Ton einem dieser Kreise berührt wird.
Der Geraden p entspricht im ersten Felde ein Kegelschnitt K* durch Äy B^
Cy d. h. der Mittelpunktskegelschnitt eines Büschels unseres Systems. K^
wird also Ton dem Büschel der IC^ in einer Punktinyolution geschnitten,^
deren Doppelpunkte aus dem Schnittpunkte Ton K* mit dem Kreise K (ausser
Jy ByC) und demjenigen Punkte bestehen, in welchem K^ von einer der
K^ berührt wird. Wir sehen hieraus, dass in einem Kegelscbnittbüschel
die Kegelschnitte paarweise ähnlich sind (Schröter, K^elschnitte, S. 270)
und dass ihre Mittelpunktepaare eine krumme Inyolution auf dem Mittel-
punktskegelschnitte bilden.
Da jede Gerade im ersten Felde, welche wir als Mittelpunktsgerade
einer Kegelsdmittschaar auffassen können^ jede K^ in vier Punkten schnei-
det, so folgt, dass in jeder Kegelschnittschaar je vier Kegelschnitte einander
ähnlich sind (Schröter, Kegelschnitte, S. 296).
§8-
1. Wir gehen jetzt zur Untersuchung der Enyeloppe eines Systems
ähnlicher Kegelschnitte über, dessen Mittelpunktscurve K^ ist, und wollen
zunächst deren Classe bestimmen.
Die Enyeloppe eines Systems von Curven wird gewöhnlich definirt als
der Ort der Schnittpunkte consecutiver eingehüllter Curven. Denken wir
uns in irgend einem dieser Schnittpunkte die Tangente an diia Enyeloppe
gezogen, so ist dieselbe auch gemeinsame Tangente an diejenigen beiden
einander unendlich nahen Guryen, welche sich in dem betrachteten Punkte
schneiden. Wir können daher die Enyeloppe auch auffassen als den Ort
der gemeinsamen Tangenten consecutiyer Cunren.
Jede Gerade ist, wie wir wissen, Mittelpunktsgerade einer Schaar, und
ihre vier Schnittpunkte mit K*" sind die Mittelpunkte yon yier ähnlichen
Kegelschnitten der Schaar. Ist die Mittelpunktsgerade nun eine Tangente
der K^y so kommen zwei yon den yier ähnlichen Kegelschnitten einander
unendlich nahe, d. h. die Grundtangenten der Schaar sind also yier Tan-
genten der Enyeloppe des Systems der ähnlichen Kegelschnitte. Jeder Tan-
gente der Mittelpunktscurye K^ entsprechen daher yier Tangenten der En-
yeloppe. Von einem Punkte P gehen nun an K^ sechs Tangenten aus (§ 6
Nr. 8). Diese sind Mittelpunktslinien yon sechs Schaaren , deren 24 Grund-
tangenten die Enyeloppe und denjenigen Kegelschnitt K^ unseres Netzes
berühren, welcher P zum Mittelpunkt hat, da dieser zu allen sechs Schaa-
ren gehört. Weitere Tangenten kann K^ mit der Enyeloppe nicht gemein
haben ; denn wäre das der Fall, so würde daraus umgekehrt folgen, dass auch yon
P aus noch wenigstens eine weitere Tangente an K^ gezogen werden könnte.
Difi?z*edby Google
340 üeb. die Systeme, welche durcli Eegelschn. etc. gebildet werden.
,,Demnach hat die Enveloppe mit JT^ ^^^ ^^^^^^^^ "^^^ j®^^™
beliebigen Kegelschnitt des Systems 24 Tangenten gemein; sie
ist also eine Curve zwölfter Classe.''
2. Wenn die Mittelpnnktslinie einer Schaar durch eine Ecke des Polar-
dreiecks geht, so besteht die Schaar aus sich doppelt berührenden Kegel-
schnitten, deren gemeinsame Tangenten durch dieselbe Ecke gehen, während
die gemeinsamen Berührungspunkte auf der Gegenseite liegen und durch
die darauf befindlichen Ecken harmonisch getrennt werden (§ 2 Nr. 2). Da
man nun aus jeder Ecke des Polardreiecks an K^ zwei Tangenten ziehen
kann (§ 7 Nr. 2), so folgt, ^ dass aus jeder Ecke des Polardreiecks
an die Enyeloppe vier Tangenten gehen, deren Berührungs-
punkte auf der jedesmal gegenüberliegenden Dreiecksseite sich
befinden und paarweise zu den darauf liegenden Ecken harmo-
nisch sind'^.
Bei der Enveloppe ähnlicher Hyperbeln sind diese Tangenten stets
imaginär (§ 7 Nr. 2).
3. Fassen wir eine der Doppeltangenten von K^ als Mittelpunktsgerade
einer Schaar auf ^ so fallen je zwei von den vier ähnlichen Kegelschnitten
dieser Schaar zusammen, also sind ihre vier Grundtangenten auch Doppel-
tangenten der Enyeloppe. Jeder der vier Doppeltangenten von K^ entspre-
chen hiemach vier Doppeltangenten der Enyeloppe, welche eine Gruppe yon
associirten Geraden bilden. Da die unendlich ferne Gerade als Mittelpunkts-
linie der Parabelschaar letztere zugleich berührt, „so hat dieEnyeloppe
des Systems ähnlicher Kegelschnitte die unendlich ferne Ge-
rade und deren associirte Geraden (§1 Nr. 2) zu Doppeltangen-
ten und ausserdem noch zwölf andere Doppeltangenten''.
4. Betrachten wir femer eine Wendetangente yon K* als Mittelpunkis-
gerade einer Schaar, so werden die Grundtangenten dieser Schaar auch
Wendetangenten der Enyeloppe sein; denn es fallen dann drei yon den yier
ähnlichen Kegelschnitten dieser Schaar zusammen. Den Wendepunkten yon
K^ entspricht somit die vierfache Anzahl yon Wendepunkten der Enyeloppe.
Nach den P lücker 'sehen Formeln hat erstere im allgemeinen Falle, wo
sie den Doppelpunkt besitzt, sechs Wendepunkte; die Enyeloppe besitzt also
dann 24.
5. Zwei unendlich nahe ähnliche Kegelschnitte des Systems oonstituiren
nicht allein eine Kegelschnittschaar, sondern auch einen Kegelschnittbüschel
iS, dessen Mittelpunktskegelschnitt die Curye K^ berührt. Der Mittelpnnkts-
kegelschnitt gehört demnach zu dem System ähnlicher Kegelschnitte durch
A^ B^ Cy dessen Enyeloppe K* ist (§ 7 Nr. 1). Die Grundpunkte des Bü-
schels S sind die Schnittpunkte von zwei unendlich nahen ähnlichen Kegel-
schnitten^ sie liegen also auf der Enyeloppe. Es lässt sich zeigen, dass durch
einen beliebigen Punkt P zwei Mittelpunktskegelschnitte gehen, welche A'^
berühren ; denn durch P geht ein Büschel von Mittelpunktskegelschnitten , in
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Von E. Mbistbb. 341
welchen alle Kegelschnitte paarweise ähnlich sind; es müssen sich darunter
also zwei befinden, welche K^ berühren (entsprechend den zwei Tangenten
ans P' an ft^). Die Grundpunkte der beiden zugehörigen Büschel liegen
sowohl auf der Enveloppe, als auf dem Kegelschnitt ft', welcher P zum
Mittelpunkt hat Weitere Punkte hat ft' mit der Enveloppe nicht gemein,
da sonst mehr als zwei Mittelpnnktskegelschnitte durch P gingen , welche K^
berührten.
;,Die Enveloppe hat demnach mit jedem Kegelschnitte ft*
unseres Netzes acht Punkte gemein^ sie ist also eine Curve
vierter Ordnung E\ ihre Punkte und Tangenten bilden ein-
fach-unendlich viele Quadrupel associirter Elemente«^
6. Da die Classe der Enveloppe gleich 12 ist, so ist dieselbe eine all-
gemeine Curve vierter Ordnung ohne Doppel- und Bückkehrpunkte mit 24
Wende- und 28 Doppeltangenten.
Wir haben bisher erst 16 Doppeltangenten ermittelt, die übrigen zwölf
sind also noch nachzuweisen. Jede Gerade durch eine Ecke des Polardrei-
ecks ist Mittelpunktslinie einer Schaar sich doppelt berührender Kegelschnitte,
welche paarweise ähnlich sind (die Curve K^ wird nämlich von der Geraden
noch in zwei Punkten ausser der Ecke geschnitten). Dreht die Gerade sich
um die betreffende Ecke, bis sie eine Doppelpunktstangente von K^ wird,
so fäUt einer von den zwei Schnittpunkten noch in die Ecke hinein, ist also
Mittelpunkt eines Geradenpaares , welches die Enveloppe tangirt. Dieses Ge-
radenpaar gehört aber zu einem Kegelschnittbüschel, dessen Mittelpunkts-
kegelschnitt die K^ in dem Doppelpunkte, welchen sie in jener Ecke hat,
berührt. Die vier Grundpunkte dieses Büschels, von denen je zwei auf
einer Geraden des Geradenpaares liegen, sind die Berührungspunkte des
letzteren mit E^, Das Geradenpaar besteht hiernach aus zwei Doppeltan-
genten der Enveloppe, und da jede Ecke des Polardreiecks zwei solche Ge-
radenpaare liefert, so erhalten wir damit zwölf neue Doppeltangenten der
Enveloppe E^. Je vier derselben gehen durch eine Ecke des Polardreiecks
und sind zu zweien harmonisch zu den durch dieselbe Ecke gehenden Drei-
ecksseiten. Alle sechs Paare schliessen ausserdem den gemeinsamen Asym-
ptotenwinkel ein, da sie zu dem System ähnlicher Kegelschnitte gehören.
Diese zwölf Doppeltangeoten sind hiemach reell bei der Enveloppe ähn-
licher Hyperbeln, dagegen imaginär bei derjenigen ähnlicher Ellipsen.
Dagegen kann die Enveloppe ähnlicher Hyperbeln die Seiten des Polar-
dreiecks niemals reell schneiden. Denn die von den Ecken des letzteren an
die Curven gehenden Tangenten, welche dieselbe in ihren Schnittpunkten
mit der jedesmaligen Gegenseite berühren, sind in diesem Falle imaginär
(§ 8 Nr. 2).
7. ji'D^e Enveloppen E^ aller Systeme ähnlicher Kegel-
schnitte unseres Netzes bilden einen Curvenbüschel vierter
Ordnung; denn sie haben die unendlich ferne Gerade nebst ihr€m>drei j
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343 üeb. die Systeme, welche durcli Eegelschn. etc. gebildet werden.
associirten Geraden zu Doppeltangenten (Nr. 3) und bertthren dieselben , wie
sich leicht zeigen lässt, in denselben acht Punkten. Da nttmlich die unend-
lich ferne Gerade sfimmtliche K^ in den unendlich fernen Ereispunkten
berührt, so muss sie auch sämmtliohe JE7^ dort berühren, weil jeder Kegel,
schnitt, welcher einen unendlich fernen Punkt zum Mittelpunkt hat, in
diesem yon der unendlich fernen Geraden berührt wird. Demnach werden
die drei übrigen gemeinsamen Doppeltangenten aller E^ in denjenigen
Punkten berührt, die den unendlich fernen Ereispunkten associirt sind. Die
acht gemeinsamen Berührungspunkte sind also sämmtlich imaginär, es sind
die Schnittpunkte der gemeinsamen Doppeltangenten mit dem Kreise unseres
Systems; denn dieser ist, doppelt genonunen^ als speeielle Enveloppe, näm-
lich als diejenige der Ereise des Netzes anzusehen.
Wir fanden in § 7 Nr. 3, dass die drei endlichen Doppeltangenten aller
iC^ durch dieselben drei unendlich fernen Punkte gehen. Jeder von diesen
Doppeltangenten entsprechen vier Doppeltangenten einer E\ welche den-
jenigen Eegelschnitt des Netzes berühren, welcher den unendlich fernen
Punkt der ersteren zum Mittelpunkt hat. Hieraus folgt:
„Die zwölf veränderlichen Doppeltangenten einer jeden
EnveloppeJ5^ welche nicht durch die Ecken des Polardreiecks
gehen, berühren zu je vieren drei zum Netz gehörige Pa-
rabeln.^
§9.
1. Sind a und h die Halbaxen eines Eegelschnittes , so nenne ich a&n
den Inhalt desselben. Das Product ah ist reell, wenn der Eegelschnitt eine
Ellipse, imaginär, wenn derselbe eine Hyperbel ist, und zwar ist es im
ersten Falle positiv, wenn die Ellipse reell , negativ, wenn sie imaginär ist-
Das Product der Halbazenquadrate ist daher für alle Ellipsen positiv, für
alle Hyperbeln negativ.
Nun ist (vergl. Schröter, Eegelschnitte, S. 185):
wo r den Badius des einem Polardreieck eines Eegelschnitts umgeschriebe-
nen Ereises, p^y p^, p^ aber die Lothe aus dem Mittelpunkte des Eegel-
schnitts auf die Seiten dieses Polardreiecks bedeuten.
Da alle Eegelschnitte unseres Netzes ein gemeinsames Polardreieck be-
sitzen, so können wir dasselbe dazu benutzen, um den Inhalt eines beliebigen
der in Bede stehenden Eegelschnitte auszudrücken. Es ist J=7t,]/p^p^p^.r,
Da r constant ist, so gewinnen wir für alle Eegekchnitte unseres Netzes,
welche gleichen Inhalt haben, PiP^Pt'^^c, wo c positiv oder negativ sein
muss, je nachdem die betreffenden Eegelschnitte Ellipsen oder Hyperbeln
sind. Denken wir uns die Gleichungen der drei Seiten des Polardreiecks,
bezogen auf ein beliebiges rechtwinkliges Coordinatensystem , dessen AnfEUigs-
punkt etwa im Innern des Polardreiecks liegt, in der Normalform geschrie-
Von K. Mbisteb. 343
ben, aber mit umgekehrten Vorzeichen als in der üblichen Weise (Salmon-
Fiedler, Kegelschnitte, 4. Aufl. , S. 21), so dass das Sabstitutionsresaltat
der Coordinaten eines Punktes für einen Punkt auf der Seite der betreffen-
den Geraden, welcher auf der Seite des Goordinatenanfanges liegt, das Loiih
aus dem Punkte auf die Gerade mit positivem Vorzeichen giebt. Es ist
leicht einzusehen, dass für die Mittelpunkte von reellen Ellipsen stets eine
gerade Anzahl dieser Lothe, für die Mittelpunkte von Hyperbeln aber stets
eine ungerade Anzahl derselben mit — 1 multiplicirt ist (vergl. § 2) , so dass
das Product der linken Seiten im ersten Falle positiv, im zweiten negativ
ist. Sind also p, =0, p^^Q^ Pa^^O die Gleichungen der drei Seiten, so
müssen die Coordinaten der Mittelpunkte aller Kegelschnitte gleichen Inhalts
der Gleichung genügen
W4r sehen, dass diese Gleichung eine Curve dritter Ordnung darstellt,
welche die Seiten des Polardreiecks zu Wendeasymptoten hat; denn denken
wir uns die Gleichung homogen gemacht, so erh< c den Factor z^\ die
Curve schneidet also jede der drei Geraden Pj == 0, p^ — ö> ^» = 0 *lort>
wo dieselben ifi^=^0 treffen.
„Die Mittelpunkte aller Kegelschnitte in unserem Netze
mit gleichem Inhalt liegen mithin auf einer Curve dritter
Ordnung £^^ welche die drei Seiten des gemeinsamen Polar-
dreiecks zu Wendeasymptoten hat.^
Die Curve £^^ besitzt weder einen Doppel- noch einen Bückkehrpunkt ;
denn es könnte höchstens einer der drei Eckpunkte des Polardreiecks ein
vielfacher Punkt sein, da nur diese Punkte Mittelpunkte von mehreren
Kegelschnitten unseres linearen Systems sind; die Coordinaten der Eckpunkte
des Dreiecks genügen aber nicht der Gleichung Pi • i>2 ' Ps ^^ ^* Mithin ist
die Curve K^ eine allgemeine Curve dritter Ordnung, somit von der sechsten
Classe.
2. Die Curve K^ befindet sich innerhalb der Bäume Qi) oder (e) des
Polardreiecks (Fig. 1) , je nachdem das System aus inhaltsgleichen Ellipsen
oder Hyperbeln besteht. Enthält im ersten Falle das System auch imagi-
näre Ellipsen y so besitzt die Curve innerhalb des Polardreiecks ein Ovhl;
denn sie darf die Seiten des Dreiecks nicht überschreiten. Für innere
Punkte erreicht das Product Pi.P2'i^8 ®"^ Maximum in {\ ^Y '* s^s^s^ (für
den Schwerpunkt), wo /i den Inhalt des Dreiecks, ^^, s^, 8^ die drei Sei-
tenlängen bedeuten. Je nachdem e kleiner oder grösser als dieses Maximum
ist, besitzt das System imaginäre Ellipsen oder nicht.
Da die Mittelpunktslinie einer Kegelschnittschaar unseres Systems die
Curve . K^ in drei , und der Mittelpunktskegelschnitt eines Büschels dieselbe
in sechs Punkten schneidet, so folgt: „In einer Kegelschnittschaar
sind je drei, in einem Kegelschnittbüschel je sechs Kegel-
schnitte inhaltsgleich.^ ^ j
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344 üeb. die Systeme , welche durch Eegelschn. etc. gebildet werden.
Die Curye K^ wird von der Curye K^ in zwölf Punkten geschnitten«
Diese zwölf Punkte sind die Mittelpunkte von Kegelschnitten , welche unter
einander sowohl ähnlich, als auch inhaltsgleich, d. h. congruent sind. „In
unserem Netze sind daher je zwölf Kegelschnitte einander
congruent/
3. Es erübrigt noch die Untersuchung der Enveloppe des Systems
inhaltsgleicher Kegelschnitte. Ziehen wir eine Tangente an die Mittelpunkts-
curve A'^ ao ist dieselbe Mittelpunktslinie einer Schaar Ton Kegelschnitten,
deren vier gemeinsame Tangenten die Enyeloppe berühren (§ 8 Nr. 1).
Dreht sich die Mittelpunktslinie um einen Punkt, so umhüllen die Tangen-
ten der zugehörigen Schaaren denjenigen Kegelschnitt iT,, welcher den festen
Punkt zum Mittelpunkt hat. Da die Mittelpunktscurve K^ sechster Classe
ist, so gehen durch jenen Punkt sechs Tangenten an dieselbe ; also hat £^
mit der Enyeloppe 6.4 s^ 24 Tangent.en gemeinsam. »Die Enyeloppe
inhaltsgleicher Kegelschnitte in unserem Netze ist daher eine
Curye zwölfter Classe.*'
4. In einem Curyenbflschel m**" Ordnung giebt es f»(n + 2m — 3) Cur-
yen, welche eine gegebene Curye n*^^ Ordnung ohne Doppel- und Bttck-
kehrpunkte berühren (Cremona, Einleitung in eine Theorie der ebenen
Curyen, übersetzt yon Curtze, 1865, S. 122). Betrachten wir nun die
Mittelpunktskegelschnitte unseres Netzes, welche durch einen Punkt P gehen,
so bilden dieselben einen Büschel zweiter Ordnung, unter ihnen giebt es
folglich zwölf Kegelschnitte, welche K^ berühren. Aber die drei Wende-
asymptoten yon K^ gehören zu je einem der drei Geradenpaare des Büschels
und sind als berührende Kegelschnitte yon K^ doppelt zu zählen. Es giebt
mithin nur sechs eigentliche Mittelpunktskegelschnitte durch einen Punkt P,
welche K^ berühren. Aber die drei Wendeasymptoten yon K^ gehören zu
je einem der drei Geradenpaare des Büschels und sind als berührende Kegel-
schnitte yon K^ doppelt zu zählen. Es giebt mithin nur sechs eigentliehe
Mittelpunktskegelschnitte durch einen Punkt P, welche K^ berühren. Die
Grundpunkte der zugehörigen Kegelschnittbüschel sind Punkte der Enyeloppe
und liegen auf demjenigen Kegelschnitt ft^ welcher P zum Mittelpunkt hat
(§8 Nr. 5). „Die Enyeloppe hat daher mit dem Kegelschnitt fi^
6.4s=24 Punkte gemeinsam, ist also eine Curye zwölfter Ord-
nung E^K''
5. Da Classe und Ordnung yon E^* übereinstimmen , so ist die Curye
in sich dual. Wie bei der Curye E\ sind auch bei JEJ" je yier Punkte
associirte Punkte und die zugehörigen Tangenten associirte Geraden.
An K^ lassen sich aus jeder Ecke des Polardreiecks noch zwei gewöhn-
liche Tangenten ziehen, da die beiden durch die Ecke gehenden Seiten
Wendeasymptoten und als Tangenten daher doppelt zu zählen sind. Fassen
wir die aus einer Ecke gezogenen beiden Tangenten als Mittelpunktslinien
zweier Schaaren yon (sich doppelt berührenden) Kegelschnitten auf. so
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Von E. Mbibtsb. 345
ergiebt sioh, wie in § 8 Nr. 2, „dass ans jeder Ecke des Polardrei-
ecks an E^^ vier Tangenten geben, deren Berübrnngspunkte
auf der jedesmaligen Gegenseite liegen und paarweise barnio-
nisch sind zu den auf derselben Seite liegenden Ecken.^
§10.
1. Wir lassen einige S&tze folgen, welcbe verscbiedene Steiner'scbe
Sätze (Crelle*s Journal, Bd. 44 S. 275; Ges. Werke, Bd. 2 S. 427) als
Specialfölle umfassen.
a) „Hat man drei einem Yierseit eingeschriebene Kegel-
schnitte, so liegen die Schnittpunkte von zweien derselben
mit den vier Berührungspunkten des dritten auf einem Kegel-
schnitt, der mit den drei gegebenen dasselbe Polardreieck hat"
Denn geh(5rt die durch das Yierseit bestimmte Kegelschnittschaar zu
unseim System, so sind die vier Schnittpunkte der beiden ersten Kegel-
schnitte vier associirte Punkte, ebenso die vier Berührungspunkte des dritten
(§ 1 Nr. 2). Zwei Gruppen associirter Punkte liegen aber auf einem Kegel-
schnitt des Systems.
[Degenerirt der dritte Kegelschnitt zu einem Punktepaar, so ergiebt
sich der Satz:
,,Die gegenseitigen vier Schnittpunkte je zweier demsel-
ben Yierseit eingeschriebenen Kegelschnitte liegen mit jedem
der drei Paar Gegenecken des Yierseits zusammen in einem
Kegelschnitte.'^ (Schröter, Kegelschnitte; S. 221.)]
b) „umgekehrt: Legt man durch die vier Schnittpunkte
zweier Kegelschnitte einer Schaar einen dritten Kegelschnitt^
so schneidet dieser die gemeinsamen Tangenten der Schaar in
vier Punktepaaren, in welchen letztere von zwei Kegelschnit-
ten der Schaar berührt werden.*'
Denn betrachten wir die Schaar als zu unserem System gehörig, so
sind die vier gemeinsamen Tangenten vier associirte Geraden, schneiden
also einen Kegelschnitt des Systems in zwei Gruppen associirter Punkte,
welche zwei Kegelschnitte der Schaar zu Berührungspunkten haben.
Dualistisch:
c) „Gehen drei Kegelschnitte durch vier Punkte, so sind
die gemeinsamen Tangenten von zweien derselben mit den in
den vier Punkten gezogenen Tangenten des dritten Kegel-
schnittes acht Tangenten eines neuen Kegelschnittes, der mit
den drei ersten ein gemeinsames Polardreieck hat'*
[Artet der dritte Kegelschnitt in ein Geradenpaar aus, so folgt:
„Die vier gemeinsamen Tangenten von zwei einem Yier-
eck umgeschriebenen Kegeschnitten umhüllen mit jedem-^er j
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346 üeb. die Systeme, welche durch Kegelschn. etc. gebildet werden.
drei Paare Gegenseiten des Vierecks einen neuen Kegelschnitt,
der mit den beiden gegebenen dasselbe Polardreieek hai^']
d) ^^ümgekehrt: Construirt man einen Kegelschnitt, der
die vier gemeinsamen Tangenten zweier Kegelschnitte eines
Büschels berührt, so gehen an den letzteren yon den vier
Grundpunkten des Büschels vier Tangentenpaare aus, welche
zwei Kegelschnitte des Büschels in den Grundpunkten be-
rühren."
e) „Die vier Schnittpunkte zweier Kegelschnitte einer
Schaar liegen mit den vier Schnittpunkten zweier anderer
Kegelschnitte der Schaar auf einem neuen Kegelschnitt, der
mit den Kegelschnitten der Schaar dasselbe Polardreieck hat,^'
Nehmen wir nämlich an, die Schaar gehöre zu unserm System, so
sind die Schnittpunkte zweier Kegelschnitte derselben vier associirte Punkte.
Zwei Gruppen derselben liegen aber auf einem Kegelschnitt des Systems.
[Lassen wir das eine Paar von Kegelschnitten sich vereinigen, so er-
halten wir den Satz a), und lassen wir auch das andere Paar zusammen-
fallen, so erhalten wir:
;,Werden einem vollständigen Yierseit zwei Kegelschnitte
eingeschrieben, so liegen die acht Punkte, in welchen sie die
Seiten berühren, allemal in irgend einem dritten Kegel-
schnitt."]
Dualistisch :
„Die vier gemeinsamen Tangenten zweier Kegelschnitte
eines Büschels umhüllen mit den vier gemeinsamen Tangen-
ten zweier anderer Kegelschnitte des Büschels einen neuen
Kegelschnitt, der mit den Kegelschnitten des Büschels das-
selbe Polardreieck hat.**
[Vereinigt sich das eine Paar Kegelschnitte, so erhalten wir den Satz c);
vereinigt sich auch das andere Paar, so folgt:
„Die acht Tangenten in den vier Schnittpunkten zweier
Kegelschnitte umhüllen einen Kegelschnitt, welcher mit den
beiden ersten dasselbe Polardreick hat."]
2. Wir theilen noch einige Sätze über ein allgemeines Kegelschnitt-
netz mit.
„In jedem Kegelschnittnetz giebt es drei Büschel concen-
trischer Kegelschnitte."
„Die drei Centra Aj JB, C dieser drei Büschel liegen auf
allen Mittelpunktskegelschnitten des Netzes."
„Das Dreieck AGB ist ein Tripeldreieck der Hesse'schen
Curve des Kegelschnittnetzes und zwar dasjenige, das die un-
endlich fernen Punkte derselben zu oonjugirten hai^"
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Von K. Meister. 347
,,Der Höhenpnnkt des Dreiecks ABC ist der Mittelpunkt
des im Netze befindlichen Kreises."
„In jedem Netz giebt es drei Büschel von Kegelschnitten,
welche je eine Höhe des Dreiecks ABO zur gemeinsamen Axe
haben."
„Die Mittelpunkte des Büschels gleichseitiger Hyperbeln
des Netzes liegen auf dem um das Dreieck ABC beschriebenen
Kreise."
„Die Mittelpunkte eines Systems ähnlicher Kegelschnitte
des Netzes liegen auf einer Curire vierter Ordnung und sechs-
ter Classe mit drei Doppelpunkten in den Ecken des Drei-
ecks ABO und vier reellen Doppeltangenten; zu letzteren ge-
hört die unendlich ferne Gerade^ welche yon der Curve in den
unendlich fernen Kreispunkten berührt wird."
„Die EnYeloppe des genannten Systems ist vierter Ord-
nung."
„Die Mittelpunkte aller Kegelschnitte des Netzes mit
gleichem Inhalt liegen auf einer Curve zwölfter Ordnung,
welche die Punkte A^ JB, C zu sechsfachen Punkten hat"
„In einem Kegelschnittnetz sind je zwölf Kegelschnitte
einander congruent."
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XVIIL
Ueber Körperketten.
Von
Prof. F. August.
Hierzu Taf. V Fig. 1-4D.
Bei der Betrachtang der Ketten- und Seilpolygone pflegt man sich auf
den Fall zu beschrSnken, dass ein System gegebener Erfifte das Seil in ein-
zelnen Punkten angreift;, welche im Grenzfall unendlich nahe aneinander
rücken, während die Kräfte unendlich klein werden. Es wird auch der
Fall betrachtet, dass eine Anzahl von Stangen so verbunden sind, dass das
eine Ende einer jeden um das eine Ende der vorhergehenden drehbar ist.
Dagegen ist mir nicht bekannt, dass man allgemein eine Kette betrachtet
hätte, welche aus einer beliebigen Anzahl schwerer starrer Körper besteht,
von denen jeder folgende um einen Punkt des vorhergehenden drehbar ist.
Da nun diese Yorallgemeinerung zu ganz interessanten Resultaten führt, so
habe ich dieselbe zum Gegenstande der folgenden Besprechung gemacht.
L
Ein Körper (Fig. 1), dessen Schwerpunkt S^ ist, sei in den Punkten
Ä^ und B^ an gewichtlosen Fäden BqÄ^ und B^A^ aufgehängt. Es sollen
die Bedingungen des Gleichgewichts untersucht werden.
Wir fällen von 5| die Senkrechte S^ C^ auf die Gerade A^ B^ und setzen
Ä^ JBj = Ji , -4j C| = a^ , C^S^ = Ci . Fällt der Punkt C^ in die Verlängerung
von B^A^ über A^^ hinaus, so ist a^ negativ. Das Gewicht des Körpers
sei /'i, die Spannungen in den Fäden B^A^ und ByA^ seien Tq und T, .
Diese zählen wir positiv, wenn die Fäden auf Zug angespannt sind. Ein
negativer Werth von T würde bedeuten, dass der Faden durch eine Strebe
ersetzt wäre, welche auf Druck angespannt ist. Damit Gleichgewicht vor-
handen sei, müssen die beiden Angriffslinien der Spannungen, welche durch
die Fäden und deren Verlängerungen dargestellt sind, und die durch den
Schwerpunkt 8^ gelegte Verticale sich in einem Punkte D^ schneiden, und
es muss die Resultante aus der auf den Körper ausgeübten Zugkraft T^ und
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üeber Körperketten. Von Prof. F. August. 349
dem Gewicht P^ entgegengesetzt sein der anf den Körper ausgeübten Zug-
kraft 2\y mithin nach Gr^tose und Bichtnng gleich der Zugkraft 7\y mit
welcher der zweite Faden auf den äusseren Punkt J^ wirkt. Soll das
Gleichgewicht stabil sein, so muss ausserdem der Schwerpunkt 8^ \mier A^B^
liegen. Dies findet bei der Anordnung der Zeichnung statt, wenn 0| positiv
ist. Wird aber der Körper um eine zur Ebene der Zeichnung lothrechte
Axe so gedreht, dass die Horizontalprojection von A^B^ die entgegengesetzte
Richtung erhält, so liegt gerade bei positivem c^ der Schwerpunkt über
Die Lage des ersten Fadens B^Ay^ sei gegeben, ebenso seine Spannung
7q, ihre Yerticalcomponente sei F^, die Horizontalcomponente jETq* Als-
dann fällt die im Körper feste Ebene A^B^S^ und der Faden B^A^ in die
Vertica^ebene durch B^A^ . Diese ist im Allgemeinen bestimmt. Nur wenn
BqA^ selbst vertical, also Hq=>0 ist, sind alle durch B^A^ gelegten Ebe-
nen vertical, und in jede derselben kann die £bene A^B^S^ und der Faden
B^A^ fallen. Bezeichnet man die Horizontal- und die Yerticalcomponente
der Spannung T, durch H^ und Fj und die Winkel, welche die Fäden B^A^
und B^Jl^ mit der zur x-Axe gewählten Horizontalen bilden, mit Uq und
«1, während x^ der Winkel ist, welchen die Strecke A^B^ mit der Hori-
zontalen bildet, dann ergeben sich aus den oben besprochenen Gleichgewichts-
bedingungen die Gleichungen:
1) T^cosa^ = TQCOSaQ oder H^^Bq = H^
2) T^sina,^T^sinu^ + P^ oder T^^V^ + P,,
also auch
p
Es ist also die Horizontalcomponente beider Spannungen gleich , während
die Yerticalcomponenten sich um das Gewicht P| unterscheiden. Nennt
man noch Z| das Stück S^D^^ so ergeben sich weiter die Gleichungen:
Hlpi sifiTi — Cj cosT^ + Z,] = V^lß^ cosx^ + Cj sinr,] ,
H[{Ji^ — aj sinx^ + c^ cosx^ — ZJ = Y^ [{l^ — aJcoÄr, — c^ sinx^ ,
woraus nach Elimination von Z, folgt:
*^ ^^'^IH^cP T
^x^ + c^P, H+'-^P,
Wir setzen noch zur Yereinfachung
und erhalten
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360 üeber ESrperketien.
Ist J7=0, also die Richtang beider FSden yerticaly so werden ihre
Spannungen, die wir JB^ und JB| nennen, folgendermaasen bestimmt:
8) ^o — c\igt^ + a\y B^^e\tgT^ + ao.
Führt man diese Werthe in die Oleichnngen 7) ein, so wird
9) V^^R^ + Htgr,, V, = S, + HigT,.
Das Problem des (stabilen) Gleichgewichts ist für einen gegebenen
Körper mit gegebenen Aufhängeponkten, abgesehen von der absoluten
Lage, welche nebensächlich ist, bestimmt, wenn zwei Grössen gegeben sind,
z. B. Vq and Hy oder r^ und jET, oder a^ und «,.
Ist ^1 = 0, fallen also die beiden Aufhängepunkte in einen zusammen,
so ist ^T| = ^f also fällt der Schwerpunkt unter den Aufhängepunkt.
Lässt man {, sich allmählich der Null nähern, während Tq endlich bleibt,
so findet dasselbe statt. Wird aber gleichzeitig Tq unendlich gross, so
kann t^ jeden beliebigen Werth annehmen. Dies Letztere ist natürlich als
Grenzfall physikalisch nur annäherungsweise realisirbar.
Anmerkung. In den hier aufgestellten Formeln kommt nach Elimi-
nation Yon Z| der Winkel T| immer nur unter dem Zeichen tgv^ vor, und
da tgr^ die Periode 9e = 180^ hat, so kann man aus der in Fig. 1 dar-
gestellten Gleichgewichtslage eine zweite ableiten, andern man das im
Körper feste Dreieck Ä^B^S^ in der Ebene der Zeichnung um 180^ dreht,
wodurch der Körper selbst eine halbe Umdrehung macht, dann aber in A^
und B^ nach Grösse und Richtung absolut (nicht relativ zum Körper) die-
selben Spannungen anbringt, wie vorher. Während aber die ursprüngliche
Gleichgewichtslage bei der in der Zeichnung gewählten Anordnung stabil
ist, ist die zweite labil, und auch wenn man die freie Beweglichkeit be-
schränkt und nur gegenseitige Drehungen um horizontale Axen in Ai und in
B^ zulässt, ist die zweite Lage nicht unbedingt stabil, sondern nur, wenn
die Fäden oder Bänder BqA^ und B^A^ aussen um Axen in Bq und A^
drehbar sind, die in hinreichender Nähe des Körpers liegen«
Es würde die folgende Untersuchung ausserordentlich schwerföllig
machen, wollten wir diese beiden Fälle für jeden einzelnen in Betracht
gezogenen Körper berücksichtigen. Wir wollen deshalb auch im Folgenden
vorzugsweise den Fall des unbedingt stabilen Gleichgewichts in Betracht
ziehen.
n.
Es hat nun keine Schwierigkeit, das Gleichgewicht eines Systems von
schweren starren Körpern mit den Gewichten Pj^j P^^ ..., P« zu untersuchen,
welche dadurch zusammenhängen , dass von einem Punkte Bk des Ji^^ Kör-
pers nach einem Paukte ^jfc^i des (ib + 1)^**^ Körpers ein gewichtloser Faden
führt. Auf die Länge dieser Fäden kommt es nicht an, wie bereits oben
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Von Prot F. Auoubt. 351
bemerkt; sie können also auch Nnll sein, d. h. es kann anoh der Körper
JPk+t im Punkte Äk^i um den Punkt Bk des yorhergehenden Körpers frei
drehbar sein. Der erste Körper sei in ^| an einem Ton aussen kommenden
Faden ß^Ä^^ der letzte im Punkte Bu an einem nach aussen führenden
Faden B^Än^i aufgehängt Die gebrochene Linie B^ÄiBiA^B^ ... ^f »^^+1
wollen wir das zum System gehörige Kettenpoljgon nennen. Wir
bezeichnen die Punkte und die auf die einzelnen Körper bezüglichen Grössen
durch dieselben Buchstaben wie oben, und unterscheiden sie durch Indices. *
Die Strecken ÄtBk^h nennen wir die L&ngen der festen Kettenglieder.
Wir bezeichnen endlich das Gesammtgewicht der h ersten Körper durch Qk^
80 dass Qk^'^Bkt lind Pk^Qk—Qk-i ist. Eine einfache Wieder-
1
holung der Betrachtung in I ergiebt dann folgende Resultate.
Wenn H nicht Null ist, so liegt das ganze Polygon und die Schwer-
punkte s&mmÜicher Kettenglieder in derselben Yerticalebene. Ist dagegen
^ = 0, so sind alle FSden vertical, aber die Yerticalebenen , in denen die
einzelnen festen Polygonseiten und die zugehörigen Schwerpunkte liegen,
sind ganz beliebig. Man kann auch in diesem Falle zunächst annehmen,
dass das ganze Polygon in dieselbe Yerticalebene falle. Um daraus eine
beliebige Gleichgewichtslage zu erhalten, braucht man nur die einzelnen
Glieder ohne Aenderung der Winkel tu um die yertical gerichteten Ffiden
als Axen zu drehen, üebrigens Mit jede Singnlarit&t fort, ohne dass die
sonstigen Betrachtungen sich wesentlich ändern, wenn man voraussetzt,
dass die Glieder nicht frei gegen einander drehbar sind, sondern um hori-
zontale Axen.
Jedenfalls ergeben sich die Gleichungen:
TkSinau^T^sina^+Qi,, d.h. Vk=V^ + Qk,
10) { ''"* = 5'
hVk-akPk^ ' h "
Wählt man den Punkt Bq zum Anfangspunkt, und sind a, 5 die Co-
ordinaten des Endpunktes i^n-fi) so ist die Abscisse des Schwerpunktes der
ganzen Kette: a( Fo + C«) - ^ J?
^^ Qn
Diese Formel bleibt auch fOr den Fall bestehen, dass der Endpunkt frei
ist. Dann ist as=0 und £r=0, und hieraus folgt £ = 0. Der Schwer-
punkt liegt in diesem Falle unter dem Aufhängepunkte.
Auch das hier betrachtete Polygon ist, abgesehen von der schon be
sprochenen Unbestimmtheit, welche eintreten kann, wenn iJ==0 ist, voll-
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352 üeber KörperkeUen.
stöndig bestimmt y wenn zwei Consiante gegeben sind^ am einÜEUifaaten, wenn
man H und V^ als gegeben ansieht
Ist fftr ein Kettenglied Ck gleich Nall, so ist bei freier Drehbarkeit
der Glieder gegen einander die Lage dieses Gliedes nicht vollständig be-
stimmt. Dasselbe kann vielmehr ohne Störung des Gleichgewichts \xm ÄkBi^
als Axe beliebig gedreht werden. Sind sSmmtliche c=sO, wie z. B. bei
einem aus Stangen gebildeten Polygon, und ist jETssO, so reducirt sich das
Polygon auf eine Yerticale.
m.
Wir wollen nun specieller eine Eörperkette betrachten, welche
aus n im mechanischen Sinne congruenten Gliedern besteht.
Unter Congrnenz im mechanischen Sinne ist hier verstanden Gleichheit der
Massen und gleiche relative Lage des Schwerpunktes und der Anfhänge-
punkte zu einander. Die Länge der Fäden sei gleich Null, mit Ausnahme
des ersten und letzten , durch welche die Kette gehalten wird. Jedes Ketten-
glied ist also um das vorhergehende frei drehbar. Bezeichnet man dann
mit Q das Gewicht, mit L die Länge der ganzen Kette, so hat man
11) ^*="^' ^*'='^; 0* = «, c* = c,
n n
und die Gleichungen 10) werden ,
Tk cosak = JET,
T,sinak=^T^sina^ + ^Q, d.h. Vj^^V^ + ^Q,
12) < <!7«. = ^S
oder, wenn man setzt
n-i« n-j«+^,
H+J« B+^Q
^01
13) H+^Q = H,. ^—^tgx,
14) <iJ^r, = ^^ + ^|..
Diese Gleichung 14) ist genau von derselben Form, wie die entsprechende
für ein gewöhnlicUes Kettenpolygon, d. h. für ein System von n gleichen
q L
Gewichten —9 welche an einem Seil in gleichen Abständen — angreifen,
wenn die Horizontalspannung H^^=H'\- — Qy und der Neigungswinkel des
ersten (äusseren) Fadens Xq isi Dieser einfachere Fall ist selbstverständlich
als specieller Fall in unserem allgemeineren enthalten. Wir setzen noch
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Von Prof. P. August. 353
15) P = X^, H«Ä^, E,^\fii, Vk^Vkik,
d. h. wir setzen das Crewicht der Kette gleich dem einer homogenen Linie
Ton der Länge X, so dass ft das Gewicht der Längeneinheit ist, und drücken
die Gewichte H^ H^ and Vk ebenfalls durch die Gewichte von Theilen der-
selben homogenen Linie aus, deren Längen A, \ und Vk sind. Dann ist
Tc
oder, wenn man —L = Sk setzt, so dass sjt die Länge der k ersten Glieder
bedeutet, so ist
17) tgTk^tgTo + ^'
Wird nun n unendlich gross ; während £, a und e endlich bleiben,
so werden die Längen und die Gewichte der einzelnen Glieder unendlich
klein und das Polygon geht in eine Curve über, um zu einem beliebigen
Punkte dieser Curve zu gelangen, setzen wir k eben&lls unendlich gross,
k
so dass Iim — L=^tim8k=^s einen endlichen Grenz werth zwischen Null und
n
L bedeutet. Wählt man nun eine beliebige nach oben gerichtete Verticale
zur positiven F-Axe, so wird im (JrenzfeJl
und es ist
dif
.8, g=^, + ^.^g=^/i;^.
Dies ist die bekannte Differentialgleichung der gewöhnlichen Eettenlinie.
Bei passender Wahl des Anfangspunktes findet man durch Integration hier-
aus fElr diese die bekannte Gleichung
19) y^h(ß+e-^).
Die Constante h^s^h + c ist die sogenannte Höhe der Eettenlinie.
Der hier besprochene Fall lässt sich mit derselben Annäherung reali-
siren, wie der einer gewöhnlichen Kette, und zwar u. A. in folgender Weise
mit sehr einfiEMihen Hilfsmitteln.*
Eine homogene ebene Scheibe von beliebiger Dicke, etwa aus starkem
Papier, Pappe oder Cigarrenkistenholz, habe im Grundriss die Gestalt eines
Parallelogramms (Fig. 4 a) mit der Seite uiiui,+i = I/, der zugehörigen
* Der Mechaniker Herr Ferdinand Ernecke in Berlin fertigt Modelle der
hier betrachteten Körperketten an.
Zeitochrift f. Mathematik «. Phylk XXXI, C. §3.^.^^^ ^^ GoOglC
354 üeber Körperketten.
Höhe 2 c und einem Winkel y. Die Basis werde durch die Punkte A^A^...Äu
in n gleiche Theile und dieser Theilung entsprechend die Scheibe in n con-
gruente Scheiben getheilt, deren jede die Gestalt eines Parallelogramms mit
der Basis — L und der Höhe 2 c hat. Klebt man nun die sämmtüchen
n
Körper in der ursprünglichen Lage mit den den Kanten ÄiA^^ ^^^^y •••i
^„^n+i entsprechenden Seitenflächen, welche senkrecht zur Ebene des
Grundrisses stehen , an ein Band , dessen Breite etwa gleich der Dicke der
Scheibe ist, so erhält man eine körperliche Kette , bei welcher die aufein-
anderfolgenden Glieder nicht frei gegen einander drehbar sind , sondern um
parallele Axen, und es ist bei Vernachlässigung der Dicke und des Gewichts
des Bandes ^
20) a=^,y- + cctgy, c^c.
Hebt man das System an den beiden Bandenden auf, so nimmt das
Polygon AyÄ^.».AnAn^\ die Gestalt eines gewöhnlichen Kettenpolygons
an (Fig. 4c). Durch die verschiedenen Stellungen , welche man beiden Enden
des Bandes geben kann, kann man die Horizontalspannung H und somit
die Constanten h und h^^h + c beliebig ändern und ausserdem bewirken,
dass ein beliebiges Glied der Kette zum Scheitelgliede wird.
Je grösser man n wählt, desto mehr nimmt das Band zwischen A^ und
Am^\ die Form einer gewöhnlichen Kettenlinie an. Besonders interessant
ist der Fall, dass man die Kette nur an einem Ende aufhängt, withrend
man das andere Ende frei herunterhängen lässt. Alsdann ist die Horizon-
talspannung ffcsO, also auch ^ = 0 und A, =o. Der aufgeklebte Theil
des Bandes nimmt angenähert, insofern man — als unendlich klein be-
trachten darf, die Form eines Bogens einer Kettenlinie von der Höhe c an.
Hält man die Kette an demjenigen Bandende, an welchem der stumpfe
Winkel des Parallelogramms liegt, so erhebt sich das freie Ende der Kette
über den Scheitel (Fig. 4d). Diese Erscheinung hat auf den ersten Blick
etwas Ueberraschendes , weil man nach den gewöhnlich betrachteten Fällen,
bei denen der Schwerpunkt in der Verbindungslinie der Aufhängepunkte
liegt, also c = 0 ist^ nicht vermuthet, dass es eine wirkliche Kettenlinie
giebt, wenn die Horizontalspannung Null ist.
Theoretisch interessant ist der ganze in diesem Paragraphen behandelte
Fall wohl besonders deshalb, weil sich zeigt, dass das allgemeine Problem
der Körperketten wesentlich mit dem speciellen Kettenproblem übereinstimmt.
Die als Kettenlinie bekannte Curve gewinnt dadurch eine noch weitergehende
Bedeutung. Auch liefert diese körperliche Kette, namentlich die nur an
einem Ende aufgehängte, ein interessantes Beispiel des Satzes, dass der
Schwerpunkt eines der Schwere unterworfenen Systems im stabilen Gleich-
gewicht die tiefste Lage hat , worauf wir weiter unten in V zurückkommen
werden. Bei der frei herabhängenden Kette liegt, wie wir gesehen haben,
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Von Prof. P. August. 355
der Schwerpunkt senkrecht unter dem Bande, an welchem die Kette hftngt,
und der Schwerpunkt der m letzten Glieder senkrecht unter der Kante
zwischen dem ersten dieser Glieder und dem vorhergehenden Oliede.
IT.
Constructionen. Die Construction eines, einem beliebigen System
von Körpern entsprechenden Kettenpoljgons ist zwar nach dem bisher Be-
sprochenen schon ziemlich einfach , sie lässt sich aber ganz besonders über-
sichtlich darstellen, wenn man folgende Vorbetrachtung anstellt. Denkt
man sich in Fig. 1 die Aufhiingepunkte von Ä^ und B^ nach Ä\ und J^^
verlegt, welche den Funkten A^ und B^ als ähnlich liegende Punkte ent-
sprechen, wenn man 8^ als (äussern) Aehnlichkeitspunkt wählt, so können'
die Fäden, welche den Körper halten, mit Beibehaltung ihrer Spannungen
parallel mit sich selbst nach ^', und B\ verlegt werden, ohne dass das
Gleichgewicht gestört wird. Es wird dabei auch der Punkt D| durch den
auf derselben Verticalen ihm ähnlich liegenden Punkt D\ ersetzt werden,
80 dass also ' ' = ' ,' = ' ' = / p' ist. Durch eine solche Ver-
OjX^j "i-"i ^i-"i -^i-^i
legung der Aufhängepunkte kann man der Entfernung derselben von ein-
ander, d. h. der Länge des betreffenden Kettengliedes jede beliebige Grösse
geben , wofern nur die Auf hängepunkte nicht zusammenfallen. Wir wollen
nun bei allen denjenigen Kettengliedern , die zwei getrennte Auf hängepunkte
Äk und Bjt haben, diese in der beschriebenen Weise so verlegen, dass die
Längen der einzelnen Glieder ihren Gewichten proportional werden, dass
also bei passender Wahl der Längeneinheit die Seite Ä't B^k ebensoviel
Längeneinheiten enthält, wie das Gewicht Fk Gewichtseinheiten. Alsdann
können wir die Gewichte geometrisch durch die ihnen entsprechenden Glie-
derlängen darstellen. Die Gewichte derjenigen Glieder, deren Aufhänge-
punkte zusammenfallen y denken wir uns ebenfalls geometrisch durch Längen
dargestellt. Das so entstehende Kettenpoljgon nennen wir das dem ur-
sprünglichen entsprechende, statisch reducirte Kettenpoly-
gon, seine Glieder die statisch reducirten. Das ursprüngliche und das ihm
entsprechende statisch reducirte Polygon haben die entsprechenden Seiten
parallel. Hat man also das statisch reducirte Polygon construirt, so hat
die Construction des nicht reducirten keine SchwieriglAit mehr. Für das
statisch reducirte Polygon ist
21) r, = ft, a\ = ^ft, ct«^ft.
Ist 2it = 0, so sind at und ct unbestimmt, ihr Verhältniss kann ganz be-
liebig angenommen werden. Dementsprechend werden a't und c a unendlich
gross, aber ebenfalls so, dass -7- unbestimmt bleibt, d. h. für das sta-
Ck
tisch reducirte Glied ist als Schwerpunkt irgend ein unendlich entfern- ,
23'. ^8^^
356 üeber Eörperketten.
ter Pankt zu nehmen, und es ist gleichgiltig, in welcher Richtung der-
selbe liegt.
Die drei letzten Gleichungen 10) werden nun
22) VM^^V^ + Qk^Vt^t + Pk. tg«k=^^ ^^'^^T^'
Um also, wenn Vk^t und H gegeben sind, die Winkel ori^ und tk xn
constniiren, denke man sich zunächst das statisch reducirte Glied A'kS^tSk'
Der Fusspunkt der Senkrechten Ton St auf A'uSk sei C'k\ dann \siA'kIfk
= Pkf A\C'icS=akf C'kS'k = Ck- Man construire nun (Fig. 2) die hori-
zontale Strecke EM^H^ errichte in E nach unten die Yerticale EFk—i
= Vib— 1> verlängere sie bei JFa> so dass Fk^\Fit = Fky ziehe Fk^iM und
• FkM» Diese Strecken stellen nach Grösse und Bichtung die Spannungen
Tk^\ und Tk dar, ihre Richtungswinkel sind €ik—\ und ak* Dann trage
man auf der Yerticalen von Fk nach oben FkGrk^=cbk ab, verlftngere ME
über ^ bis Jk% so dass EJk=^Ck ist. Wir ziehen durch Jk die Yerticale,
durch Qk die Horizontale und verbinden deren Durchschnitt Nk mit M, Die
Strecke NkM giebt die Richtung des Kettengliedes At^k^ sie bildet mit
der Horizontalen den Richtungswinkel t«. Yerbindet man noch Nk mit
Fk^i und Ja, so erhttlt man das Dreieck NkFkFk^ij welches congruent
ist mit SkA'kJB'ky aber so liegt, dass das letztere erst um irgend eine in
seiner Ebene liegende Gerade als Axe um 180® gedreht werden muss, damit
es durch Yerschieben in der Ebene mit NkFkFk—i zur Deckung gebracht
werden kann. Hierdurch ergiebt sich eine andere Construction von Nk^
welche namentlich bei der Anwendung auf eine aus mehreren Gliedern be-
stehende Kette übersichtlicher ist. Ist £r=0, so föUt ^ mit If zusammen.
Anwendung auf eine aus vier Gliedern bestehende Kette.
In Fig. 3a sind die Aufhttngepunkte AB und der Schwerpunkt 8 eines
jeden der vier gegebenen Kettenglieder in der Ebene der Zeichnung liegend
dargestellt. Beim dritten Gliede fallen beide Aufhängepunkte zusanmien.
Die gegebenen Gewichte der vier Glieder stellen wir durch Strecken dar,
welche wir der Reihe nach von oben nach unten auf einer Yerticalen ab-
tragen (Fig. 3b), und zwar FoJF\=Pi, FiF, = P„ P,P3 = P3, F^F^=:P^.
Als gegeben nehmen wir femer an die Spannung im ersten Faden T^^,
dargestellt nach Grösse und Richtung durch die Strecke F^M. Wir ver-
binden die Punkte f|, F^, F^, F^ ebenfalls mit üf und erhalten so die vier
Strecken T^^, T,, jT,, T^, welche die Spannungen in den übrigen Fäden
darstellen. Wir constrairen ferner die Dreiecke FjJV^JTo«^ -^rf^Si^j, F^N^F^
ro A^S^B^j F^N^F^f^ A^S^B^^ aber so, dass die ähnlichen Dreiecke nicht
durch Yerschieben in der Ebene in ähnliche Lage gebracht werden können.
Für den dritten Körper föUt die analoge Construction aus, da seine Anf-
hängepunkte zusammenfallen — mao kann für J^3 irgend einen in beliebiger
Richtung in unendlicher Entfernung liegenden Punkt nehmen. Wir verbin-
den dann die Punkte ^| , ^^ , ^3 mit If ; die drei Yerbindungslinien geben
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Von Prof. F. August. 357
die Bichtungen der drei Geraden ^iJ^i, -^s-^s) -^4-^4' ^* ^' ^^^ festen Polj-
gonseiten an (^^3 ist Null sait unbestimmter Richtung). Es sind also
sowohl die Richtungen der Fäden, als auch die der festen Polygonseiten
bestimmt; sind nun noch die Fadenlängen gegeben y so hat es keine Schwie-
rigkeit, das Eettenpoljgon BqÄ^B^-.- ^4-^5 vollständig zu construiren, wie
in Fig. 3c geschehen ist. Die Dreiecke F^N^Fq, F^N^N^^ F^N^F^, um'
die Axe F(^F^ geklappt, geben die drei entsprechenden statisch reducirten
Kettenglieder an.
In Fig. 4a, 4:b, 4c, 4d i^t die Construction fUr den in III betrach-
teten Fall einer körperlichen Kette aus acht im mechanischen Sinne con-
grnenten Gliedern durchgeführt. In Fig. 4 b sind die Spannungen und die
Richtungen der festen Kettenglieder dargestellt Das Dreieck MN^Ng ist
gleichschenklig gewählt. Infolge dessen ist das entsprechende Kettenpolygon
Fig. 4 c symmetrisch und A^ ist der tiefste Punkt oder der Scheitel. Die
Strecke EM stellt die constante Horizontalspannung dar. JPq If = T^ und
F^M= T^ sind nach Grösse und Richtung die Spannungen der beiden
Fäden, an denen die Kette hängt. Will man die Spannung zwischen irgend
zwei benachbarten Gliedern , also in einem der Gelenke darstellen , z. B. in
^3, so hat man nur von dem dieser Verbindungsstelle entsprechenden Punkte
Fj nämlich von F^ nach M die Strecke F^M zu ziehen.
Verändert man die Lage von itf , so erhält man alle möglichen Gleich-
gewichtslagen der Kette. Soll T^ gleich Null sein, also das letzte Glied
frei herabhängen, so fällt Punkt M mit F^ zusammen. Die Kette nimmt
alsdann die Gestalt Fig. 4 d an, und die Horizontalspannung in sämmtlichen
Gelenken ist Null.
Anmerkung. Es sind auch bei diesen Gonstructionen in der Zeich-
nung, entsprechend dem in der Anmerkung zu I Gesagten, nur die un-
bedingt stabilen Gleichgewichtslagen dargestellt.
Da bekanntlich der Schwerpunkt eines der Schwere und gewissen geo-
metrischen Bedingungen unterworfenen Systems in der stabilen Gleich-
gewichtslage am tiefsten liegt, so lässt sich die stabile Gleichgewichtslage
einer Körperkette auch dadurch finden, dass man untersucht, für welche
Anordnung der in einem oder in beiden Endpunkten festen Kette der Schwer-
punkt die tiefste Lage hat. Einen Unterschied zwischen Fäden und festen
Kettengliedern brauchen wir hierbei nicht zu machen, da die Fäden als
feste Glieder mit der Masse Null und beliebig liegendem Schwerpunkt an-
gesehen werden können.
Aus sehr einfachen Ueberlegungen kann man zunächst folgern, dass
das Polygon und sämmtliche Schwerpunkte in dieselbe Verticalebene fallen
müssen, wenn beide Endpunkte fest sind. Ist nur ein Endpunkt fest, so
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358 Ueber Körperketten.
kann man zunächst dasselbe annehmen und dann die einzelnen Glieder gegen-
einander um verticale Azen drehen, welche durch die Verbindungsstellen
zu legen sind, wie wir schon oben besprochen haben. Nehmen wir dann
die Ebene des Polygons zur a;y- Ebene, die nach oben gerichtete Verticale
zur positiven y-Axe und den festen Anfangspunkt der Kette zum Coordi-
naienanfangi so sind die Coordinaten des Endpunktes des k^^ Gliedes:
\yk^yk-\ + hsinik^li sinzj^ + l^sinr^ + l^sinx^ + • . . + hsinxk.
Die Coordinaten des Schwerpunktes des k*^ Gliedes sind:
Xk^i + ük cosxk + Ck sinrk, y*-i + a* sinxk — Ck cosxk,
und die Coordinaten des Schwerpunktes des ganzen Systems, welche wir
mit u und t; bezeichnen, sind bestimmt durch die Gleichungen:
n n
u^ Pk=^ ^PkXk^\ + l^kakC08Xk + PkCkSmxky
n n
^^Pk^ ^Pkyk^i+PkakSinxk — PkCkCosxk.
^
^'
SCk "~~ Xk — 1 Vi "" Vi 1
Nun ist cosxk^ ; > 8mxk=^- — :r ^"^^ wenn man, wie
k h Ik
oben, ^^ Fk = Ok setzt, ist
n
n
OnV^^Pkyk^X+^Pk{yk-yk^y)~Pk{Xk-Xk^t).
Um nun zu untersuchen, für welche Anordnung t; ein Minimum wird,
gehen wir zu einer Nachbarlage über, indem wir XkPk übergehen lassen in
Xk + ^k^ Vk + Vk' Hierdurch geht v über in v + <P, und es ist
24)
25)
v.£>.=^^[p*i?t-i + yfP*(«jt-flt-.)-|Pt(5*-l*-i)]-
Da die Längen der Kettenglieder ungeändert bleiben, ist
oßN f 2(ik'-^k^i){xk-Xk^i) + 2{fik-fik-.i){yk-yk~i)
Jede der k Gleichungen 26) multipliciren wir mit einem vorläufig noch
nicht bestimmten Factor kk und addiren sie sämmtlich zu 25); dann kommt,
wenn wir zur Abkürzung setzen:
29)
'^Pk + 2Xk(yk-yk^A)=- Vk,
j-Pk-'2lk(Xk-Xk--\) = — -Sfc,
iik-ik^xy + {jik-rik^iy=^Qk\
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Von Prof. P. AüGOST. 359
vQn= >;[P*i?*-i+ n(iJ*-n*-i)--Hi(l*-S*_i) + A*e*»].
.=^f^'
Nun ist identisch
Fa(i/a— t?it-i)= yktlk— Vk-\rik-\'-rik^\{yk—Vk^%),
Hk(U- 1*- 1) = fit S* - Hk-x Sit-i - &-1 (St- Slfc_i).
Diese Identitäten wollen wir für alle Werthe von Je zwischen 1 und n an-
wenden, indem wir die noch nicht definirten Grössen H^ und Y^ vorläufig
unbestimmt lassen. Wir erhalten alsdann, da der Anfangßpunkt fest, also
^ = ^?o = 0 ist,
^Qn=^ynrin-Hnln+y^[{Pk-yk+yk-\)Vk-i + {Ek'-Hk-{)h~V
Wir verfügen nun zunächst über die Grössen Ik so^ dass Hk = HQ = H
constant wird; dann ist
n
30) ^On-=ynVn-H^n+yj[(PA-yk+yk^l)rik-i + lkQk^].
Soll nun für das betrachtete Polygon die Ordinate ein Maximum oder
Minimum haben, so darf g> für keine mögliche Wahl der tj sein Vorzeichen
wechseln. Hierzu muss
31) 7„t/n-Hs„=o, Pk-yk+yk+i=o
sein, und zwar gilt die Jetztere Gleichung zunächst für alle Werthe von k
zwischen 2 und ti. Wir setzen fest, dass sie auch gelte für fts=l^ und
bestimmen dadurch Fq.
Die Gleichungen 31) müssen erfüllt sein, weil bei unendlich kleinen
Werthen der rj,e die Werthe Qk von höherer Ordnung unendlich klein wer»
n
den , die t^k aber nur durch die Bedingung verknüpft sind , dass ^^ fjk^=0
sei, so dass alle ausser einem ganz willkürlich gewählt werden können.
Damit nun ein relatives Minimum (oder Maximum) der Schwerpunktsordi-
nate vorhanden sei, muss EXkQi? für jede mit den Bedingungen vertrag*
liehe Wahl der unendlich klein zu nehmenden Werthe fj^, durch welche die
Qk mit bestimmt werden , positiv (oder negativ) sein. Die allgemeine Durch-
führung dieser Discussion wtlrde äusserst verwickelt werden. Ist aber Xk
für jeden Werth von Ä positiv (resp. negativ), so hat die Ordinate ein
absolutes Minimum (resp. Maximum); d. h. es kann für keine andere
Anordnung des Polygons der Schwerpunkt tiefer (resp. höher) oder auch
nur ebenso tief (resp. hoch) fallen.
Wir wollen nun die ermittelten Bedingungen näher betrachten.
Setzt man in der Gleichung 31) Pifc=FÄ— Fit-i für Ä alle Werthe
von l bis Tc und addirt, so folgt
32) ÖÄ = F*-7o, also Vk^Y^ + Qk.
und die beiden ersten Gleichungen 29) werden ^
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36^) üeber KSrperkettes.
33)
h
Die Elimination von 1* ergiebt
(F*-^y'*)(x*-«*_,)-(H + |p*)(y*-y*_,) = 0. also
34)
Ferner ist
tgxk = ;; = ;
h Ik
H+^^P, Yk'-^Pk
35) 2A4 = 5*_= **
X/c — Xk^l yk — ffk-X
Es handelt sich nun noch um die beiden Gonstanten Fq und H und
um die erste Bedingung 31). Ist der Endpunkt x^ffn auch fest, so sind 4«
und flu von selbst Null, und zur Bestimmung von Fg und H dienen die
Gleichungen: ^ ^
36) Xn^a=^lkC08Xk, yn=b^^lksintk^
in welchen man sich die Werthe coszk und sintk durch Igtk ausdrücken,
also vermöge der Gleichungen 34) durch V^ und H darstellen kann.
Ist dagegen der Endpunkt frei, so fallen die Gleichungen 36) fort;
dagegen liefert die Gleichung 31), da bei mehr als einem Oliede £« und ^
von einander unabhängig sind, die beiden Bedingungen
36a) jff=0, F,i=0, mithin Fo^-©«.
Die hier gefundenen Gleichungen stimmen mit den früher gefundenen, wie
von vornherein zu erwarten war, vollständig überein. Namentlich ist tgxk
durch die Gleichungen 10) und 34) in derselben Weise bestimmt und Vk
und H sind die Yertical - und die Horizontalcomponente der Spannung im
Gelenke Xk^k-
Zur vollständigen Lösung des Problems bei gegebenen festen Endpunkten
würde die Auflösung der Gleichungen 36) erforderlich sein, welche im AU-
gemeinen ausserordentlich verwickelt sind. Es würden sich mehrere Lösungen
ergeben , und die Prüfung der Vorzeichen der Xk und des Ausdrucks SlkQk*
würde noch weitere Verwickelungen mit sich bringen.
Weit einfiacher gestaltet sich die Sache, wenn wir uns darauf beschen-
ken, Vq und H als gegeben zu betrachten. Dies schliesst nicht aus, dass
der Endpunkt Xnyn fest ist, aber seine Lage kann dann nicht willkürlich
gegeben sein, sondern sie ist bestimmt. Alsdann lässt sich das Polygon
vollständig construiren. Man kann zunächst sämmtüche Werthe i^Tjt be-
stimmen, und da man jedesmal hieraus zwei entgegengesetzte Bichtangoi
Von Prof. F. August. 361
erhftlt, würde man im Allgemeinen 2" verschiedene Oleichgewichtslagen er.
halten oder, wenn man die cu auch noch durch —Ck ersetzt, sogar 4", aber
jede mit anderem Endpunkte. Von diesen sind zwei besonders ausgezeichnet,
welche ein absolutes Minimum oder Maximum der Schwerpunktsordinate für
das gefundene Polygon, wenn man seine Endpunkte festhält, bedingen.
Man kann nftmlich unter den beiden Werthen von r^ jedesmal denjenigen
wählen, der bewirkt, dass der entsprechende Werth Ajt positiv (resp. negativ)
wird. Im ersteren Falle erhält man stets eine stabile Gleichgewichtslage,
im letzteren stets eine labile.
Sind alle Ck positiv, wie wir es oben angenommen haben, und ist H
g.
so gewählt, dass alle Werthe H+^Pk positiv sind, so hat man nur
h
Xk^Xk^Y zu wählen, was stets bei einer der beiden Richtungen zutreffen
wird. Alsdann ist die Abscisse jedes Eckpunktes grösser als die des vor-
hergehenden. Aber auch unter anderen Voraussetzungen lässt sich stets die
absolute Minimalbedingung ohne Schwierigkeit erftülen.
Berlin, im August 1886.
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XIX.
Ueber die Beziehung des Nullsystems und linearen
Strahlenoomplexes zum Polarsystem des Botations-
paraboloids.
Von
Prof. Dr. Guido Hauck
in Berlin.
Hierzu Taf. V Fig. 6 a u. 5 b.
Die sehr nahe Beziehung, in welcher das Nullsjstem zum Polar-
sjstem des Rotationsparaboloids steht, scheint bis jetzt nicht be-
merkt worden zu sein. Dieselbe ergiebt sich aber (ganz abgesehen yon grapho-
statischen Erwägungen*) auf sehr einfache TV eise, sobald man das Null-
system als zwei in einander liegende reciproke rfiumliche Systeme betrachtet
und die Frage auf wirft, welche von den Eigenthümlichkeiten des Null-
systems auf Kosten einer Besonderheit der reciproken Verwandtschaft — und
welche auf Kosten der Besonderheit der Lage kommen.
Als erstere Eigenschaften, welche wir innere Eigenschaften nennen
wollen, geben sich sofort zu erkennen: 1. die Existenz einer Centralaxe,
2. das ünendlichfemeliegen des Pols der unendlich fernen Ebene.
Beide Eigenschaften sind auch dem Polarsystem des Botations-
paraboloidesals innere Eigenschaften charakteristisch. Es liegt daher die
Vermuthung nahe, das Nullsystem möchte nur eine andere gegenseitige
Lage der nämlichen zwei im Polarsystem eines Botationsparaboloides ver-
einigten reciproken Systeme £ und £' vorstellen. Diese Vermuthung be-
stätigt sich insoweit, als zwar nicht Z und £' selbst, wohl aber £ und ein
mit £' symmetrisches System £" stets in eine solche gegenseitige Lage
gebracht werden können, in welcher sie ein Nullsystem constituiren.
Dies soll im Folgenden näher ausgeführt werden, indem die wesent-
lichsten Eigenschaften des Nullsystems** aus denjenigen des Polarsystems
eines Rotationsparaboloids auf elementare Weise abgeleitet werden.
* Vergl. hierüber meinen Aufsatz: „Ueber die reciproken Figuren der gra-
phischen Statik", im 100. Band des Journals f. d. reine u. angew. Math.
*♦ Ueber dieselben vergleiche man: Möbius, Ueber eine besondere Art dualer
Verhältnisse zwischen Figuren im Baume, Grelle J. X, S. 817. Femer: Beye, Die
Geometrie der Lage, 2. Aufl. 1882, II. Abth. S. 69.
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Von Prof. Dr. Guido Hauck. 363
§1.
Die Aze des Botationsparaboloids sei 9t , sein Scheitelpunkt —8, die
Tangentialebene im Scheitelpunkt — a; der Parameter der Meridianparabel
sei = 2p. Das als Originalsystem betrachtete räumliche System sei £.
Das yon den Polarebenen, Polaren und Polen der Punkte , Geraden und
Ebenen von £ in Beziehung auf das Botationsparaboloid gebildete Sjstem
— wir nennen es das Polaren-System — sei 2^'. Endlich bedeute £"
das Spiegelbild des Systems £' in Beziehung auf die Ebene c als
Spiegelebene.
Ist nun P irgend ein Punkt des Systems £, so erhält man dessen
Polarebene n wie folgt (vergl. Taf. V, Fig. 5a) : Man lege durch den Punkt P
und die Axe % die Meridianebene ^ welche als Zeichenebene diene, und
zeichne in ihr die Meridianparabel sammt Scheiteltangente S>. Man ziehe
hierauf durch P eine Parallele zu 9, welche die Meridianparabel in X
schneide, verlängere PX um sich selbst nach M' und zjjehe durch M' die
Linie p' parallel zu der Parabeltangente im Punkte X; dann ist p' die
Polare des Punktes P in Beziehung auf die Meridianparabel. Legt man
endlich durch p' die Ebene n senkrecht zur Meridianebene, so ist n die
Polarebene des Punktes P in Beziehung auf das Botationsparaboloid.
Die Linie p' schneide die Scheiteltangente d' in ü" und die Aze 31 in
/; die Parabeltangente in X schneide die Aze in t Man fälle von den
Punkten P und X die Senkrechten Pp und Xx auf die Aze. Es ist dann
p8=8r\ (weil px^PX=:XM'==tr und x8^St)'^ der Punkt p ist
also das Spiegelbild von / in Beziehung auf die Ebene a. Hieraus
folgt, dass die Linie U'p das Spiegelbild p" der Linie p' — und femer:
dass die durch p" senkrecht zur Meridianebene gelegte Ebene das Spiegel-
bild «" der Ebene n vorstellt.
Man drehe nun die Ebene n" um die Aze % um einen Winkel von
90 ^. wobei sie den Mantel eines Rotationskegels beschreibt, dessen , Spitze
p ist. Nach Vollendung der Drehung geht sie durch die Linie pP.
Sie wird durch die Linie pP in ein oberes und ein unteres Blatt getheilt*.
Das obere Blatt liegt vor der Meridianebene oder hinter derselben , je nach-
dem die Drehung um die Aze nach links oder nach rechts (d. i. von
oben gesehen — entgegengesetzt dem Uhrzeiger oder im Sinne desselben)
erfolgt. Die erste Lage werde durch n\f die zweite durch 7v\ bezeichnet.
Würden wir umgekehrt die Ebene n\ oder n\ als dem Original-
system 2 angehörig betrachten und demgemäss durch ^|, bezw. q^ be-
zeichnen, so würde der Pol B\ von q^ auf der Senkrechten zur Meridian-
* Im Hinblick auf Fig. 6 a (Taf. V) möge der ins Innere des Faraboloids
fallende Ast der Aze 91 als der obere, der ausserhalb fallende Ast als der untere
bezeichnet werden.
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364 Ueber d. Beziehung d. Nullsjstems q. linear. Strahlencomplexes etc.
ebene durch r in einem Abstand r iZ\s=pP vor der Meridianebene liegen.
Sein Spiegelbild B'\ würde folglich auf der Senkrechten durch p vom im
nämlichen Abstand liegen und würde also nach einer Linksdrehung um
die Axe um 90® mit F zusammenfallen (vergL Taf. V, Fig. 5b, welche die
Projection auf eine zur Axe senkrechte Ebene vorstellt). Das Spiegelbild
R'g des Pols I^^ von q^ würde in gleichem Abstand hinter der Meridian-
ebene liegen und demgemäss durch eine Bechtsdrehung um 90® zum
Zusammenfallen mit P gelangen.
Führt man die nämliche Operation mit sämmtlichen Punkten P und
Ebenen q des Systems £ aus, so ist das von den Polarebenen n und
Polen JB' gebildete System £' — und folglich auch dessen Spiegelbild £"
reciprok zu £^ und es befindet sich S'' nach seiner Links- oder Bechts-
drehung um die Axe % um 90® beidemal in einer solchen involutorischen
Lage mit ü^ dass jede Ebene it' durch den ihr entsprechenden Punkt P
geht und jeder Punkt i^' in der ihm entsprechenden Ebene q liegt Das
heisst: Das Syslem 2 und das um 90® nach links oder rechts
verdrehte System £" bilden zusammen je ein Nullsystem.
In anderer Fassung lässt sich hiemach auch sagen: Entsprechen sich
zwei Polyeder reciprok in Beziehung auf das Polarsystem eines Botations-
paraboloids, so kann das eine mit dem Spiegelbild des andern stets in eine
solche gegenseitige Lage gebracht werden, dass jedes dem andern zugleich
ein- und umbeschrieben ist.
§2.
Der Abstand des Punktes P von der Axe % sei =6; der Winkel,
den die Ebene n mit der Axe % macht, sei =0'. Schneidet nun (vergl.
Taf. V, Fig. 5 a) die im Punkt X gezogene Parabelnormale die Axe in n,
so ist die Subnormale zn constant gleich dem halben Parameter p. Femer
ist in dem rechtwinkligen Dreieck Xxn:Xx = e und Winkel xXn = a\
Folglich hat man:
1) etga=p.
Da das Spiegelbild n" der Ebene n mit der Axe % den nämlichen
Winkel a macht wie n, und da sich dieser Winkel bei der Drehung der
Ebene n" um die Axe nicht ändert, so gilt die Belation 1) in gleicher
Weise für das Nullsystem wie für das Polarsystem des Botationsparaboloids.
Vermöge derselben ist in beiden Systemen der Axenwinkel a der Polar-
ebene aus dem Axenabstand e des Pols direct bestinunti und umgekehrt.
Es kann daher für jeden Pol die Polarebene — und umgekehrt — angegeben
werden, wenn ausserdem noch beachtet wird, dass im Nullsystem die
Polarebene durch die vom Pol P auf die Axe gefällte Senk-
rechtePi? — , dagegen imPolarsystem des Botationsparaboloids
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Von Prof. Dr. Guido HaüOk. 365
durch das um 90* verdrehte Spiegelbild JS'r dieser Senk-
rechten geht.
Bezeichnet man die Grösse p in Beziehung auf das Nnllsjstem als die
Constante des Nnllsystems, so kann man nunmehr den Satz aus-
sprechen :
Das Polaren-Sjstem eines Nullsystems kann betrachtet
werden als das um 90^ axial verdrehte Spiegelbild des Polaren-
Systems eines Botationsparaboloids, dessen Parameter doppelt
80 gross ist, als die Constante des Nullsystems.
§3.
Es seien ( und V zwei conjugirte gerade Linien im Polarsystem des
Rotationsparaboloids. Die kürzeste Entfernung der Linie l von der Axe %
sei =^ e, der Winkel, den ihre Richtung mit der Axe macht, sei = a; der Axen-
abstand der Linie X sei =e\ ihr Axenwinkel sei B=a^
Die zu r parallele Meridianebene diene als Zeichenebene (vergl. Taf. V,
Fig. 5 a). Man lege durch f senkrecht zur Meridianebene * die Ebene n\
welche die Meridianebene nach p' schneide. Es ist dann p' parallel za T
und stellt deren Projection auf die Meridianebene vor.
Legt man durch die Linie FM' die Ebene X senkrecht zur Meridian-
ebene, 80 stellt diese die conjugirte Durchmesserebene der Linie p' und
folglich auch der zu p' parallelen V vor. In ihr muss also die Polare (
von l' liegen. Da aber die durch X gehende Durchmesserebene parallel
zur Meridianebene und folglich senkrecht zur Durchmesserebene X ist, so
hat man den Satz:
ImPolarsystemdesBotationsparaboloids stehen dieDurch-
messerebenen, welche durch je zwei conjugirte gerade Linien
gelegt werden, auf einander senkrecht
Hieraus folgt dann, wenn man das Spiegelbild X' von X (welches mit X
in der nämlichen Durchmesserebene liegt) um die Axe % um 90® dreht,
weiter:
Im Nullsystem sind die Durchmesserebenen, welche durch
je zwei conjugirte gerade Linien gelegt werden, zu einander
parallel.
Der kürzeste Abstand der Linie X von der Axe % ist senkrecht zur
Meridianebene, sein Eusspunkt auf der Axe ist r, sein Fusspunkt auf {'
sei if. Es ist also /JB' = c'. Femer ist der Winkel, den die mit X
parallele Linie p' mit der Axe macht, = a . Derselbe ist also identisch
mit dem Axenwinkel der Ebene n\ — Da I' in der Ebene n liegt, so
muss ihre Conjugirte l durch den Pol P von it gehen. Da femer I in
der zur Meridianebene senkrechten Durchmesserebene X liegt, so pn^icirt
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366 Ueber d. Beziehung d. Kulisystems u. linear. Strahlencomplezes etc.
sie sich auf die Meridianebene nach FM\ und es stellt V^ den kürzesten
Abstand e zwischen t und % vor. Da endlich X durch den Punkt J?' geht,
so muss I in der Polarebene p von "EC liegen. Diese geht nach § 1 durch
Tß'E\ ihr oberes Blatt liegt vor der Meridianebene oder hinter derselben,
je nachdem der Punkt JB' vom oder hinten liegt. DemgemSss liegt auch
der obere Ast der Linie l vor der Meridianebene oder hinter derselben, je
nachdem die Linie X vom oder hinten liegt. Der Winkel, den die Ebene q
mit der Axe 9( und also auch mit der Meridianebene macht , wird gemessen
durch den von I und Plf' gebildeten Winkel und ist demzufolge gleich
dem Axenwinkel a der Linie I.
Da hiemach bewiesen ist, dass die Axenabstftnde t und t und die
Axenwinkel a und a der zwei conjugirten Linien l und X bezw. identisch
sind mit den Axenabständen der zwei Punkte P und 'S und den Axen-
winkeln der zwei Polarebenen ^ und li^ so folgt aus dem Satze des § 2
unmittelbar die Relation:
2) etgcLczsetga^p.
Dreht mqfi das Spiegelbild X' von X, welches den nämlichen Axen«
abstand e und Axenwinkel a besitzt, um die Axe um 90^, so ändert sich
hierbei weder Axenabstand noch Axenwinkel. Die Relation 2) gilt daher
ebensowohl für das Nullsjstem, wie für das Polarsjstem des Rotations-
paraboloids. Vermöge derselben ist Axenabstand und Axenwinkel der einen
von zwei conjugirten Linien aus Axenabstand und Axenwinkel der andern
direct bestimmt. Betreffs ihrer gegenseitigen Lage ist noch Folgendes zu
bemerken : Das Spiegelbild S' des Punktes S liegt auf der Linie , welche in
p senkrecht zur Meridianebene steht und also bei einer Drehung um die
Axe um 9()^ mit der Linie pP zusammenföllt. Daher fallen im Null-
System die Axenabstände zweier conjugirten Linien in die
nämliche Gerade. Im Polarsystem des Rotationsparaboloids
dagegen fallen sie in Linien, von denen die eine das um 90^
verdrehte Spiegelbild der andern vorstellt
§4.
Besteht zwischen Axenabstand e und Axenwinkel a einer geraden
Linie I die Beziehung:
3) etga^p,
so folgt aus der Relation 2) des vorigen Paragraphen, dass Axenabstand e
und Axenwinkel a der conjugirten Linie X die nämlichen Werthe:
besitzen. Umgekehrt folgt: Haben zwei conjugirte gerade Linien [ und t'
gleiche Axenabstände, so haben sie auch gleiche Axenwinkel, und um-
gekehrt, und es besteht dann zwischen beiden die Beziehun&^S).
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Von Prof. Dr. Guido Hauck. 367
Zwei conjugirte Linien von dieser besonderen Art haben im Null-
System eine solche Lage, dass ihre Axenabstftnde (welche nach § 3 in
derselben geraden Linie liegen) entweder zusammenfallen oder auf ver-
schiedenen Seiten der Aze liegen, um diese Verhältnisse nfther zu prüfen,
denken wir uns im Anschluss an die Betrachtungen des vorigen Paragraphen
(vergl. Taf. V, Fig. 5 a) zwei gerade Linien l\ und l'j, beide parallel zu p'
und sich nach p' projicirend, — l\ vor der Meridianebene, l\ hinter der-
selben, aber mit gleichen Axenabstttnden rB^^^^^r^^, ^^^® conjugirten
Linien I^ und I, liegen dann in der zur Meridianebene senkrechten Ebene l
und projiciren sich beide nach FM'\ sie gehen beide durch P und liegen
symmetrisch zur Meridianebene, — der obere Ast von I^ vor der Meridian-
ebene , der obere Ast von I^ hinter derselben ; ihr gemeinschaftlicher Axen-
abstand ist pP. Axenabstand e und Axenwinkel o von I^ und \^ mögen
der Relation 3) genügen. Es haben also dann Axenabstand und Axen-
winkel von l\ und l'j die n&mlichen Werthö: r'ij'jss r 2J'j = />P = c,
und a' = a.
Die Spiegelbilder von i^j und li^ seien 1X\ und 1B!\\ sie liegen auf
der Senkrechten zur Meridianebene durch p , — R\ vom , 1B!\ hinten , in
gleichen Abständen pIt\=pR\ = pP (vergl. Taf. V, Fig. 5b). Man denke
sich noch Pp um sich selbst verlängert nach Q, — Die Spiegelbilder von
l\ und \\ seien \'\ und l",. In Fig. 5 b (Taf. V) sind die Projectionen
der oberen Aeste sowohl von t\ und V^ S'ls von I^ und I, ^^^ ^^^ ^^^
Axe senkrechte Ebene durch p markirt. Die oberen Aeste von V\ und f'^
sind beide nach links geneigt, der obere Ast von l^ ist nach vorn, der
von I^ nach hinten geneigt. Da die Axenwinkel durchweg gleich sind, so
kann man diese vier Linien auffassen als Mantellinien eines windschiefen
Rotationshyperboloids, dessen Mittelpunkt p und dessen Kehlhalbmesser e
ist; und zwar gehören l^ und l'\ der einen Mantellinienschaar, I^ und l'\
der andern Schaar an.
Dreht man daher das System 2" um die Axe ^ nach links (d. i.
entgegengesetzt dem Uhrzeiger) um 90^, so fällt I^\ mit P — und t'i mit
Ii zusammen, während S^\ nach Q gelangt und der obere Ast von l'\ vor
die Meridianebene zu liegen kommt, so dass V'2 ^^^ U sich kreuzen.
Dreht man dagegen nach rechts (d. i. im Sinne des Uhrzeigers), so fällt
Iif\ mit P — und l"^ mit I^ zusammen, während K\ nach Q gelangt und
der obere Ast von V\ hinter die Meridianebene zu liegen kommt, so dass
l'\ und tj sich kreuzen.
Die Gesammtheit der zusammenfallenden Linien — also bei der Links-
drehung die sämmtlichen Linien I| , bei der Rechtsdrehung die sämmtlichen
Linien f, — bilden je einen linearen Strahlencomplex. Denkt man
sich zwei Schraubenlinien, welche beide 91 zur Axe haben, und von denen
die eine die Linie l|, die andere die Linie I^ zur Tangente hat, so ist die
erstere rechts gewunden, die letztere links gewunden. Hierdurch
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368 üeb. d. Beziehung d. Nallsjstems etc. Von Prof. Dr. Guido Hauck.
ist auch der Charakter der zwei Strahlencomplexe I>estimmt. Die zwei
Nulls jsteme, von denen das eine durch Linksdrehung , das andere durch
Rechtsdrehung des Systems 2" um 90^ entsteht, unterscheiden sich somit
dadurch von einander, dassdervon den Doppellinien (Leitstrahlen)
gebildete Strahlencomplex bei der Linksdrehung rechts ge-
wunden, bei der Bechtsdrehung links gewunden ist.
Zugleich folgt hieraus, dass ein Nullsystem mit Linkswindung
in ein solches mit Kechtswindung umgewandelt werden kann
dadurch, dass man sein Polaren-System um die Axe um 180*
dreht
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Kleinere Mittheilungeii.
XZVL Zur Theorie der InvarianteiL
Dass die Summe der numerischen Coefficienten einer Invariante ver-
schwindet, kann aus elementaren Eigenschaften dieser Gebilde geschlossen
werden, wie im Nachfolgenden gezeigt werden soll.
In Fai di Bruno's „Theorie der binären Formen« (§ 10, 7; S. 108
der deutschen Ausgabe) finde ich diesen Satz mit Hilfe einer complexen
Substitution abgeleitet — ein Weg, der wenig geeignet ist, die überaus
ein&che Natur des Satzes hervortreten zu lassen«
Jener Satz wird nun ohne Weiteres evident gemacht mit Hilfe der
beiden bekannten Hüfssäisse:
1. Die Bestandtheile (Summanden) einer Invariante sind zu einander
isobarisch (a. a. 0. § 10, 6);
2. eine Invariante / genügt der Differentialgleichung:
dJ c^ dJ ^ dJ dJ
Cax 0(1^ ca^ o(hn
(bei letzterer Gleichung ist vorausgesetzt, dass die vorgelegte Form /*, deren
Coefficienten die a vorstellen, mit Binomialcoefficienten geschrieben wurde :
f = Ooi»,« + (7 ) a, a?,-»-^ a^ + . . . ;
a.a.O. §10,8). ^^^
Beweis des Satzes:
Es seien Cn O,, ..., 0|r, .«., Cjb die Summanden (Buchstabenaggregate), aus
denen sich/ zusammensetzt — ohne die numerischen Coefficienten. Dann
gilt für jedes Cp der Hilfssatz 1, der sich so einkleiden lässt:
(p s= Gewicht der Invariante), wenn man nach Vollzug der links
vorgeschriebenen Operation auf das Cy alle a»l setzt*
* Beispiel Die cnbisohe Invariante einer Form vierter Ordnung
enthftlt fOnf Summanden G, Bämmtlich vom Gewichte 6. Die Operation
d<h S(h d<h 3<*4 r^ T
Zcitaohrift f. Mathematik u. Physik XXXI, 6. Dig^zed by VjOOglC
'370 Kleinere Mitiheilungen.
Unter derselben Voraussetzung ist auch
L oUi da, ^ö-iJao=..=«„=i
Wir führen nunmehr die Zahlencoefficienten der C ein, um die es sich
handelt: C|, (%, ..., Cy, ..., Ci^i so dass also der Summand CV der Inva-
V=zk
riante / den Zahlencoefficienten Cp besitzen soll: J = ^^CvCp.
Wir erhalten zunächst einmal:
urch Summation über alle v:
f''[°-t+-] _,=(.+...+«)P.
Oder schlieealich;
Hier verlangt nun der Aasdntok links, daes man an der InTariamte / die
Operation dJ , ^ dJ , , dJ
Tomehmen nnd schliesslich alle yorkommenden a gleich 1 setzen soll.
Aber nach dem Hilfssatze 2 ist fOr alle Invarianten allgemein
"•0^ + 2«.^+... =0.
und zwar identisch. Demnach ist diese Summe auch ^0, wenn man nach
ihrer Bestimmung nachträglich allen Coefficienten a den Werth 1 ertheilt.
Daher ist jene Sunune
jedenfalls gleich 0, somit auch
Ci +c,+ .., + ca«='0, w. z. b. w.
Dieser Beweis ist allgemein giltig, für Invarianten beliebigen Gra-
des, von beliebigen Formen.
Eine ebenso einfache Ableitung des uns vorliegenden Theorems findet
sich in einer Bemerkung in Fiedler 's „Elemente der neueren Geometrie
und der Algebra der binären Formen ** Art. 18, 8. 146 der ersten Ausgabe.
giebt (indem wir von den nomeritchen Coeffidenten der C absehen) der Beihe
nach die fOnf Besnltate:
2.0004 + 4.0001, 1.0t0t + 2.Oi0| + 8.O|0|, 2.802*, 8.20oai, i.2oia4 + 4.ai*.
In der That verwandeln sich aber alle diese Grössen in die Zahl 6 fOr ao = at
= 01 = 01 = 04=1. ^ ,
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Kleinere Mittheilimgen. 371
Der dort benutzte Gedankengang ist übrigens von dem obigen total
verschieden und nur anwendbar für eine ganz bestimmte Erzeugongsweise
von Invarianten, nKmlich nur fEbr die durch die Operation
if,' -Ä)'
dargestellten Invarianten. Diese Operation liefert aber bekanntlich nur die
quadratischen Invarianten der Formen gerader Ordnung, also nur
eine beschrftnkte Anzahl solcher Gebilde.
Anmerkung. Es soll übrigens nicht verschwiegen werden, dass —
will man nicht die Differentialgleichung der Invarianten als bekannt vor-
aussetzen, sondern dafür den Satz: ,Alle Invarianten sind Productsummen,
gebildet aus Wurzeldifferenzen'' — alsdann ein ganz besonders ein&cher
Beweis des uns beschftftigenden Theorems existirt. (Vergl. Salmon-Fied-
1er, Algebra d. Transform., Art 61, sowie auch 136.)
Denn jenem Satze entsprechend verschwindet eine Invariante jedenfalls
dann, wenn die Wurzeln der zugehörigen Form sämmtlich gleich werden.
Setzt man aber in der zu einer Invariante gehörigen Form
alle Coefficienten a^, Oi, ..., a« gleichzeitig =1, so erhSlt man eine Form
von n gleichen Wurzeln und die zugehörigen Invarianten verschwinden
daher sämmtlich. Invarianten haben also allgemein die Eigenschaft, sich
auf Null zu reduciren, wenn die in ihnen enthaltenen Coefficienten Oo» • • -f On
gleichzeitig = 1 gesetzt werden. Dies ist aber eben unser Satz.
München. Fritz Hofmahn.
ZXVn. Logische BinfBhmng der Liniencoordinaten in der Ebene.
Zweck der folgenden Zeilen ist, die Eflnstlichkeit zu heben, mit
der die Lehrbücher der analytischen Geometrie bei Einführung der Linien-
coordinaten in der Ebene zu verfahren pflegen; zugleich soll damit ein
kleiner Beitrag geliefert werden zu natürlicherer und rationellerer Behand-
lungsweise in der Mathematik.
Punkt und Gerade sind die Fundamentalgebilde in der Ebene. Wie
nun in der D esc artesischen Geometrie die Bestimmung eines Punktes
durch Coordinaten die Grundlage bildet, so kann man auch die Gerade
als Grundlage wählen, indem man Coordinaten ftlr dieselbe einführt. Stellt
man nftmlich auf als
Deflnition des Coordinatenbegriffs: unter Coordinaten eines geo-
metrischen Gebildes versteht man eindeutige und voneinander r
24* dbyOOOgle
372 KLeinere Mittheilungen.
unabhängige Bestimmnngsstttcke desselben in genügender An-
zahl,
so hat man, da die allgemeinste Oleichung der Geraden
1) Äx+By + C==0
drei Coef&cienten , also nach Division mit einem derselben zwei Yon einan-
der unabhängige Constanten enthält, für die Gerade, wie ftir den Punkt,
zwei Bestimmungsstücke oder Coordinaten einzuführen.
Es fragt sich nun, was für Bestimmungsstücke sind zu wählen? In
Clebsch-Lindemann, Vorlesungen über Geometrie, S. 27, ist hierüber
wörtlich gesagt: „Welche Bestimmungsstücke der Geraden man benutzen
will, ist zunächst gleichgiltig, aber unsere weiteren Betrachtungen werden
die folgende Wahl als die zweckmässigste erscheinen lassen:
> Wir verstehen unter den Coordinaten u^v einer Chraden die negativen
reciprohen Werthe ihrer Abschnitte auf den (Joordinatenaxen.^
In einer ähnlichen künstlichen und jedenfalls ungenetischen Weise
verfahren andere Lehrbücher. Daher wird es einem Philosophen, wie
Schmitz-Dumont, keineswegs zu verargen sein , dass er in seinem Werk :
„Die mathematischen Elemente der Erkenntnisstheorie", S. 295, den Des-
cartes'schen Punktcoordinaten, die er, als natürliche Coordinaten
bezeichnet, die Liniencoordinaten als künstliche Coordinaten gegen-
überstellt, während doch vom mathematischen Standpunkte beide voUstSndig
gleichberechtigt sind.
Es ist zunächst nicht, und überhaupt nicht gleichgiltig, welche Be-
stinmiungsstücke man für die Gerade einführt. Auf das D esc artesische
Coordinatensjstem gründet sich in erster Linie die Bestimmung eines
Punktes durch seine mit Vorzeichen behafteten Abstände von den Coordi-
natenazen, d. h. durch seine Coordinaten; alsdann stellt die al^meinste
lineare Gleichung 1) in x und y eine Gerade dar und umgekehrt ist jede
Gerade durch eine lineare Gleichung zwischen den Coordinaten eines auf ihr
„ laufenden'* Punktes dargestellt. Es müssen daher auch die Coordinaten der
Geraden in Beziehung auf dieses Coordinatensjstem lediglich aus der Gleich-
ung der Geraden durch logische Schlüsse sich ableiten lassen. Dies ISsst
sich in der That im Anschluss an die schon oben gemachten Bemerkungen
über die Constanten in Gleichung 1) folgendermassen bewerkstelligen.
Da A und B als Coefficienten der beiden Veränderlichen, von denen
keine vor der anderen etwas voraus hat, dieselbe Bolle spielen, so könnte
man mit derselben Berechtigung die Gleichung 1) mit A oder mit B durch-
dividiren, man wird daher logischerweise (logisches Sjmmetrieprin-
cip!) weder das Eine, noch das Andere thun, sondern man wird mit dem
für sich allein stehenden Absolutglied G dividiren, wodurch man -^ and
-j^ als die „ natürlichen ** Constanten in der Gleichung der Geraden erhält;
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Kleinere Mittheilungen.
373
diese sind daher natorgemäss als die Coordinaien der Geraden ein-
zufUiren.
Wie nun die Coordinaten eines yerftnderlichen Punktes mit x and y,
der Punkt selbst als Punkt {x^y) bezeichnet wird, so werden die Coordi-
naten einer yeränderlichen Geraden mit u und t;, die Gerade selbst als
Gerade i^yv) bezeichnet; x und y heissen Punktcoordinaten, u und v
Liniencoordinaten. Dem Obigen gemäss hat man also:
1« Die Coordinaten t», r der Geraden
1) -Äar + Äy+€r=0
sind:
2)
jA
""=€
"%
2. Die Gerade (tf , r) hat die Gleichung
8) ujp + rir + 1 == 0.
3. Ist in der auf Null gebrachten Gleichung einer Geraden
das Absolutglied gleich +1^ oder wird dasselbe gleich +1
gemacht; so sind die Coefficienten von x und y die Coordina-
ten der Geraden.
Nun ist hinterher die geometrische Bedeutung der rein analytisch ge-
wonnenen Liniencoordinaten zu bestimmen. Da u nur von A und C ab-
hängig ist, so setze man ^ = 0 in der Gleichung 1) oder 3), womit man
Ä u
als Axenabschnitt der Geraden auf der a;-Aze erhält; mit ^ = 0 erhält
man ebenso ^ .
Die Axenabschnitte o(, und ^* der Geraden sind somit:
1 \ / 1
u =
1
also :
4)
«=_-
,._!
woraus :
5)
* Um eine weitere Reihe von Bachstaben in der Mathematik zu habeo, in
der sich häafig der Mangel an Bolchen fühlbar macht , schlage ich die Zeichen q;,
#1, ... Yor und belege dieselben mit den Namen Aleph^ Bed, ... der hebräigchen
Buchstabeo. An Stelle der schleppenden Ausdrucksweise „das durch die Ge-
rade Ton der rc-Aze abgeschnittene Stück'* kann man dann kurz and be-
zeichnend „das (f derGeraden*S ebenso „das ^ der Geraden*' sagen; analog
für die Ebene im Baum. Dass diese Bezeichnung nicht unzweckmässig ist, dürfte
auch noch aus Folgendem einleuchten. Führt man in die Gleichung
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374 Kleinere MittheilniigiBa,
OeeBetriieke Beiemtaag 4er UaieBeeordlBateB« Die Coordinaten
einer Geraden sind die negativen reciproken Werthe ihrer
Axenabschnitte.
Oanz in derselben Weise kann num bei Einfthning der Ebenencoor-
dinaten im Banm Terfiüiren.
Stnttgart, 17. Min 1886. Prof. Dr. G. Rbuschub.
XXYin. Vetiz ftber die Wendepunkte einer algebraiaehen Corre; sowie
einen Sats Ton Clebseh ans der Theorie der Cnrren dritter Ordnnng.
L Ist ein Punkt x einer algebraiscben Gurre ein Wendepunkt, so liegt
er auf der Hesse 'sehen Gurre der yorgegebenen Gurre: dies kann mit
recht ein&chen HilÜBmitteln direct bewiesen werden, vergL etwa: Duröge,
Ebene Gurren dritter Ordnung § 155.
Dass umgekehrt ein Schnittpunkt einer algebraischen Gurre mit
ihrer Hesse*schen Gurre im Allgemeinen ein Wendepunkt der yorgegebenen
Conre ist, wird in den am häufigsten gebrauchten Lehrbttchem, wenn auch
streng, so doch immerhin theils indirect, tbeils in wenig übersichtlicher
Weise bewiesen — so dass es vielleicht erwünscht erscheinen mag, jene
indirecten Methoden durch einen ganz directen und somit überzeugenderen
Beweisgang ersetsst zu sehen.
(Yergl. yon der einschlägigen Literatur: Durdge {. c. § 156; Sal-
mon, Höhere ebene Guryen § 74; Glebsch-Lindemann, Geometrie
8.312.)
Die nachfolgenden Bemerkungen möchten die hier ftLhlbare Lücke aus-
fallen durch Verwendung des Gedankens: ., jenen Schnittpunkt 0 der beiden
Geraden ins Auge zu fassen, in welche die (ti — 2)^ Polare in Bezug auf
eine Gurye zerfällt, wenn sie gebildet wird für einen Schnittpunkt x jener
Gurye mit ihrer Hesse'schen Gurye.''
Beweis.
Es sei u«B=0 die Gleichung einer algebraischen Gijrye — zu zeigen
ist dann, dass, wenn ein Punkt x zugleich auf Ux = 0 gelegen ist, wie
auch auf
Wll ^1% «IS
^l <*2S ^
«Bl «B« «M
einer Gurre in Linienooordinaten yermittelst der Gleichungen 6) das « und das ^
ein, so erhält man fär ihre Gleichung:
9(-~» - j) = 0 oder ^(«, ^) = 0,
welche neben der obigen u,V'Oleiehung als die «^ ^-Glekhimg der Conre be-
seichnet werden kann. Während erstere in theoretificher Beziehong den Vonug
verdient, ist die «, ^-Gleichung zur „strahlenweisea** Berechnng einer „Strahlsa-
onrye" (Unihüllnngscur?e einer Geraden) besonders geeignet.
H)
= 0,
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Kleinere Miitheilimgen« 876
er ein Wendepunkt jener vorgegebenen Corye w,= 0 ist u^^ Wj, ... be-
deutet hierbei in herkömmlicher Weise die zweiten Differentialquotienten
Aus dem Verschfrinden der Determinante H) schliesst man, dass sich
drei Zahlen ^iBfif^ finden lassen, so dass gleichzeitig
Indem man die Gleichungen Ä) successiye multiplicirt mit x^x^x^ resp. und
addirt; erhält man nach Euler's Satz:
Und indem man ebenso successiye multiplicirt mit BiB%B^ resp. und
addirt, erhält man
C) 'l***ll + VW22+ '8*««8S + 2iBf2'i%8 + 2iBf3JPit«ji + 2i5,£f,Mi, = 0
oder kfirzer ^,*(w,) = 0.
In der Currengleichung, geschrieben für den beweglichen Punkt x + lM
in der Form: ^
yersch winden demnach die ersten drei Olieder; und es ist aus D) direct
zn entnehmen, dass es in der That durch den Punkt x gehend eine Gerade
giebt, welche die Curye in drei zusammenfallenden Punkten schneidet, näm-
lich die VerbindungsgenMle yon dem Punkte x naph dem Punkte g hin,
dessen Coordinaten J^itf^ifs ^^^^ ^^^ ^^^ Gleichungen Ä) bestimmen, o; ist
demnach ein Wendepunkt, wie zu beweisen war.
In symbolischer Bechnung: aus der Existenz der Gleichungen A)i
Oiasa^'^'ssO («=1, 2, 3) schliesst man nach obigen Operationen B):
ax'*""^a«=0 und C): ajr*""'a,*=0, womit der Satz bewiesen ist.
n. Wir können aber diese Formeln noch weiter yerwenden, um yon einem
Satze, der die Grundlage bildet für die Theorie des Zusammenhangs der
Hesse 'sehen Curye mit der Originalcurye, eine ganz directe Ableitung zu
geben*
Indem wir die rein symbolischen Methoden yerlassen, mOgen im Folgen-
den die Zeichen tf|, u,, 113, u^^.,. die nach y genommenen Differential-
quotienten der Gleichung u^=0 der Originalcurye bedeuten. Für einen
Punkt y der Hesse'schen Cunren, den wir aber im Nachfolgenden nicht
mehr zugleich auf der Originalcurye gelegen denken, hat man dann als
Definition:
* Das Nachfolgende bezieht sich spedell auf Cunren dritter Ordnung.
^ Google
376 Kleinere Mittheilangen.
I
welche drei Gleichungen erstens sichtbar machen, dass y der Hesse 'sehen
Curve angehört, nnd welche uns zweitens den Schnittpunkt ß jenes Linien-
paares angeben, in welches die conische Polare von y zerföllt. Durch
Multiplication der drei Gleichungen mit tfiy^ff^ resp. und Addition erhält
man, wie frtther schon bemerkt wurde:
was aussagt, dass ß auf der geraden Polare Ton y gelegen (wie auch geo-
metrisch evident, da diese gerade Polare, als vierte harmonische Gerade
eines durch 0 gehenden Linienpaares, jedenfalls z enthalten muss).
Wir können uns nun fragen: lassen wir den Punkte auf der Hesse-
schen Curve jEr=0 sich weiter bewegen, so dass also dabei die Gleichung:
äff, . dH^ , ajgr, ^
zwischen den unendlich kleinen Zuwächsen Sy der drei Coordinaten von y besteht,
welche Bedingung erftillen dann die Veränderungen ig der Coordinaten jenes
Punktes 0^ der, als Schnittpunkt eines Linienpaares, immer noch sich ein-
stellen muss, so lange eben y auf der Hesse 'sehen Curve bleibt?
Jedenfalls müssen dann die obigen drei Gleichungen, die Definitions-
gleichungen fllr den Zusammenhang zwischen y und £r, erhalten bleiben;
und wir stellen daher auf (unter ausdrücklicher Voraussetzung , dass y auf
der Tangente der Hesse'schen Curve im Punkte y bleibt):
0iSun + 0t8u^^+0^iUi^+Uiii0i + Uiii0t+Ui^80^=O^
G) e^iu^i+0%iUn + 09Öu^+u^60i+u^iöls^+u^i0^^O,
Deutlicher: die Coordinaten 0i0%0^ sind abhängig von denen des Punktes
y : ^i^t^s« ^^^ ^^^^^ Aenderung der letzteren er&hren sowohl die Functionen
^11) ^**'9 ^ ^^^^ ^^ Coordinaten 0i0%0^ Variationen, welche alle zu
berücksichtigen sind.
Indem wir die Gleichungen G) mit 0i0^0^ resp. multipliciren und addiren,
erhalten wir (weil die letzten drei Summanden verschwinden infolge der
früheren definirenden Gleichungen E) für die 0):
Je nachdem man in der Bedingungsgleichung für die 8y zwei der drei
Variationen Sy^^ Öy^^ Sy^ beliebig annimmt und hierauf die dritte bestimmt,
wird man ganz verschiedene Werthe für die sechs Grössen Si^uSiA^, 6u^^
Su^^, 6ui^^ tftias erhalten. Aber das Gesetz, welches diese sechs Grössen dabei
immer noch verbindet, ist nunmehr in der soeben erhaltenen Gleichung
sichtbar geworden. —
Wir kehren zur Gleichung JP^) zurück, die eine bemerkenswerthe Um-
gestaltung zulässt. Denken wir uns die Gleichung der Curve in einer Normal-
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Kleinere Mittheilnngen. 377
form geschrieben: fx^^ + gx^^ + hx^^ + ßax^x^x^^O^ so nehmen die drei
zwischen den Punkten y nnd e bestehenden Gleichungen die Form an:
Stellt man nun den Ausdruck auf:
80 können bei Benutzung obiger Normalform die Werthe von dUn, di«s,, iu^'^
'^a» ^^1« '^18 <^ii^ct gebildet werden. Sie sind aus den yorhergehenden
drei Oleiobnngen, welche die Functionen u^^ ti^, u^] u^f «31, u^, aus-
gerechnetenthalten, zu erkennen als: 8uii=fdyi; 8^n^^ffiy%\ difss^^^^s»
Führt man diese Werthe in die soeben gebildete Summe /) ein, so
erhftlt man, nachdem man nach dy^, dy^, 6y^ geordnet hat:
l +{jPi.ayi+^i.ayi+^8-Äy8)*y8-
Jeder einzelne Sununand yerschwindet hier identisch, nach den auf-
gestellten drei Gleichungen für ü. Daher schliesst man, dass allgemein:
J) '^i(yi^«*ii + yt*vi»+y8*<*i8)+^2(yi*«8i+y8*»^+y8*<f88)
+ jef8(yi*«8i+y«*«%2+y8*«38)=0-
Nun können wir aber obige Gleichungen G)^ welche aus der Existenz
eines neuen Doppelpunktes ß+9ss ftlr das neue y+9y za folgern waren,
auch multipliciren mit yiy%y^ resp., und erhalten durch Addition:
+^8(yi««ji+ysd«»+y8*«*28)+^8Ö^i*«3i+y«'«to+y»*«*M)=^-
Die Summe der drei letzten Glieder yerschwindet zufolge der Gleichung J) :
Dies ist nun nichts Andres, als die Tangente an die Hesse'sche Cunre
im Punkte g. Denn jer lag a priori auf der Hesse 'sehen Cunre; und durch
die Umänderung des ursprünglichen y in ein ebenfalls auf der Hesse 'sehen
Ctirye liegendes y + 6y bleibt s jedenfalls auf der Hesse'schen Curye ge-
legen, auch bei Umwandlung seiner Coordinaten in j9 + iz. Obige Gleichung
gilt nun gerade für die unendlich kleinen Zuwächse der Coordinaten des
aaf der Hesse'schen Curye gelegenen Nachbarpunktes £r + ^^1 muss daher
in derThat identisch sein mit der Gleichung der Tangente der Hesse'schen
Ciirye im Punkte e.
Nun sind aber u^ u^ u^ die Coordinaten der geraden Polaren des Punktes y
in Bezug auf die Originalcurye ; daher fällt jene Tangente mit der Polaren
des Punktes y zusammen. Also:
„Für jeden Punkt y der Hesse'schen Curye ist die gerade Polare
rTjWi + rrjWj + Äg 1*3=0
in Bezug auf die Originalcurye identisch mit der Tangente
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378 Oeinere Mittheilongen.
im entsprechenden Punkte e der Hess ersehen Cnrye an diese letztere Cnnre.
Wenn also y and e einander entsprechen , so herrscht die Belation:
dH dH dHu
^ ^ ^ d0i dg^ dg^
Dies war der Satz, den wir uns vorgesetzt hatten zu beweisen. (VergL
Salmon, höhere eb. Cnryen, art 179; Durdge, ebene Cnry. IIL Ordn.,
art. 469.)
Oder mit anderen Worten: sind y und g einander zugeordnet durah
den Verein der Gleichungen E):
so sind die Gleichungen:
njy^ + H^Sy^ + H^8y^^0 und
u^Sg^ +u^dg^ +u^9Bi =0
gleichzeitig erfüllt, sind sich äquivalent. Hierbei ist gedacht, dass
man sich den entsprechenden Punkt zu y + iy verschafft hat auf der
Hesse'schen Curve in der Nachbarschaft von ir, nSmlich g + dg.
Wir wollen, um wieder auf unsere Wendepunkte zu kommen, eine An-
wendung des Vorhergehenden machen auf den Fall, wo y auf der Original-
curve gew&hlt wird (während es, wie immer, zugleich auf der Hesse'schen
Curve liegt). Alsdann fällt seine gerade Polare in Bezug auf die Original-
curve zusammen mit der Wendetangente, und auf ihr liegt g selbst Dem-
nach kann man sagen: „die Hesse'sche Curve wird berührt von der Ver-
bindungsgeraden eines Wendepunktes y mit seinem auf der Hesse'schen
Curve ihr entsprechenden Punkte g^ oder: sie wird berührt von der Wende-
tangente selbst und zwar im Punkte g.^*^ (Vergl. C leb seh, üeber die
Wendepunkte etc., Cr eile Bd. 58.)
München, Herbst 1886. Fritz HoniAKR.
XXix. Auflofung der Congrueni a^^r{modN).
Um die Congruenz «* = r (moi Jf) , wobei N eine Primzahl ist, auf-
zulösen, kann man bekanntlich in dem Falle, wenn N die Form 4fi+3
hat, durch wiederholtes Potenziren zu der Congruenz r^*+^ = l {mod N)
und von dieser zu der neuen r*«+* oder (#*+')*= r(fiweJ20 gelangen, so
dass x^if^"^^ {modN) die Lösung fOr die vorgesetzte Congruenz ist. Hat
N die Form 8ti + 5, so tritt der Uebelstand auf, dass man entweder
(r"+^)^ = + r oder — r (mod N) erhält und in letzterem Falle die Bechnung
vergeblich gemacht hat, wenn man nicht etwa schon die Congruenz
«•=—1 (modN) kennt. Ist endlich N von der Form 8w+ 1, so gelingt
das Verfahren nur dann, wenn fQr den ungeraden Factor g in JV— 1 die
Congruenz r9=l {modN) besteht.
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Kleinere Miitheilangen. 379
In allen übrigen Fällen hat man bisher das Aasschliessongsver&hren
Yon Gauss (Disqn. arithm.) oder das Verfahren von Desmarest (Theorie
des nombres par E. Desmarest) befolgt; beide Methoden erfordern jedoch
bei einigermassen grossen Moduln viel Zeit und geben leicht zn Versehen
Anlass« Auch hier bietet sich nun in dem von mir angegebenen Verfahren,
Zahlen zu analjsiren, ein bequemerer und sicherer Weg dar, wenn man das
in Heft 5 dieser Zeitschrift enthaltene Ergebniss beachtet, dass man die
einzelnen Primzahlen p als Determinanten oder als quadratische fieste von
N erhält, wenn N eine Primzahl ist. Ein Beispiel wird zum Nachweise ge-
nügend sein. Ich hatte die Aufgabe gestellt, die Congruenz 0^^=41 (mod 120097)
zu lösen.
Setzt man JT = 120097 = (346 - af + (692 - a) « + 381 , so hat man
« = 2^+1,3,5,7; 2*y+l,3,9,ll; 2^y + 9, 11, 25, 27;
2«y = 9, 11,41,43.
« = 3y + 0,2; 3«y + 3,5; 3«y + 2l,23; 3*y + 50,75.
«=13y + 4,12; 13«y + 56, 129.
«=17^ + 3,9; 17«y + 173,230.
a=19y+10, 17; 19«y+ 112, 2l9.
« = 41y+ll,25; 41«y + 763, 1610.
Bezeichnet man (692 — er) a + 381 mit &, so ist für
6= 3.41.8«, 2> = -3.41,
&= 2.13.17.8«, 2>=- 2.3.17,
&== 17.12*, 2>==-17,
6= 3.13.19.4», D=-3. 13.19,
6 = -2.3. 13.19.2«, D = + 2.3.13.19,
6= 2.3.13.34«, 2>=-2.3.13,
6= 2.228«; D = -2.
Nr. 1, 2, 3, 7 liefern eine Darstellung yon ilN mit der Det 41. Man
hatnBmlioh i) 335» +3. 41. 8» =N,
2) 337»+2.3.17.8«=JN-,
3) 343»+ 17. 12« =2r,
4) 127»+ 2.228» =N,
and erMlt, indem man jede Grundzahl eines Quadrates, die grSsser ab N
ist, dnrch dieses reducirt
61198»-41. 38744*= p^.
Nun 'setze man
120097» + 6119 = 38744y
und
(120097« + 6119;»- 41 .38744»= /JT,
so iSsst sich die letzte Gleichung durch 38744* diridiren und man bat
schliesslich ^j_ jgpgg^, ^ ^^ ^^^ 120097),
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1)
a =
11,
2)
as=5
9,
3)
flf =
3,
4)
as=
17,
5)
Ofs=-
-9,
6)
as=
173,
7)
a=a
219;
380 Kleinere Mittheilnngen.
üebrigens hätte die Bechnimg schon bei 5) abgebrochen werden kennen,
da 4) und ö) bereits die Det. — 2 liefern.
Dass dies Verfahren sich anch mit Vortheil dann anwenden iSsst, wenn
r und N zusammengesetzte Zahlen sind, liegt klar zu Tage.
Mit dieser Lösungsweise der Congrnenz sif^r {mod N) ist zugleich die
Lösung der Oleichungen vom zweiten Orade mit zwei unbekannten über-
haupt yereinfacht, da die Auflösung jener Congruenz ja die Grundlage
hierfür ist.
Bremen, im Juli 1886. P. Seelhoff.
XXX. Die Zahlen Ton der Form A;.2"4-l.
Ich habe das Verfahren, wie ich es in dem in Heft 5 dieser Zeitschrift
enthaltenen ersten Aufsatze angab, benutzt, um die Zahlen von der Form
k.2^+1 zu untersuchen, und erlaube mir aus den Resultaten die grösseren
Primzahlen, sowie ftlr einige jener Zahlen die Factoren anzugeben. Für
k sind sftmmtliche Primzahlen von 3 bis 97 benutzt, für n ist als obere
Grenze 30 genommen, bei einigen kleineren Werthen von k ist diese Grenze
überschritten worden. Für k^3fn+iistn gerade, fttrÄ=3m+2 ist es
ungerade, fOr Jbs=3 ist es gerade und ungerade.
Primzahlen sind:
3.2«>+ 1 c= 3221225473, 5.2«»+ 1 = 167772161,
5.2»+ 1=2748779069441, 7.2««+ 1 = 469762049,
7 .2»+ 1 = 7881299347898369, 11.2«^+ 1 = 23068673,
13.2«>+ 1 « 13631489, 13.2«+ 1 = 3489660929,
17.2«+ 1 = 2281701377, 19.2«+ 1 = 79681777,
19.2«+ 1 = 1275068417, 23.2»+ 1 = 12348030977,
29.2"+ 1 = 3892314113, 37.2« + 1 = 155189249,
37.2«+ 1 = 2483027969, 41.2»»+ 1 =21495809,
41.2«+ 1 = 1375731713, 43.2«+ 1 = 11272193,
43.2«+ l =2885681153, 53. 2^»+ 1 = 111149057,
59.2"+ 1 = 7918845953, 67.2»+ 1 = 70254593,
71.2*»+ 1 = 595591169, 71.2"+ 1 = 9529458689,
73.2«+ 1 = 1224736769, 73.2»+ 1 = 78383153153,
89.2"+ 1 = 186646529, 97.2»+ 1 = 101711873.
Theilbar sind: 7.2«+ 1 durchf 166609, 7.2*«+ 1 durch 708493,
7.2^+1 durch 8803, 7.2«+ 1 durch 1329241, 11.2"+ 1 durch 4271,
13.2«+ 1 durch 2129, 17.2«+ 1 durch 9871, 29.2»+ 1 durch 13709,
37.2»+ 1 durch 60169, 41.2«+ 1 durch 2677, 61.2"+ 1 durch 2207,
67.2«+ 1 durch 1153, 67.2«+ 1 durch 1471, 67.2»+ 1 durch 4691,
89.2" + l durch 1201, 97.2»+l durch 3449, 97.2»+ 1 durch 997.
Bremen, im Juli 1886. P. Seelhoff.
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Kleinere Miüheilimgeii.
381
ZXXL Sin mnimnmproUeiii!
IL
Im ersten Hefte dieses Jahrgangs wurde in Bezug auf Flachen , deren
Gleichung homogen ist, von mir nachgewiesen, dass diejenige Berührungs-
ehene, deren Tangentialpunkt zugleich der Schwerpunkt des Dreiecks ist,
in welchem sie die Coordinatenebenen (diese beliebig als schiefwinkliges
oder rechtwinkliges System vorausgesetzt) sehneidet, Tom Trieder der
Coordinaten ein Minimaltetraeder abschneidet. Ich beabsichtige nunmehr
die allgemeine Oiltigkeit dieser Relation für beliebige Flächen nach-
zuweisen.
Unter denselben übrigen Voraussetzungen wie damals haben wir das
Minimum des Tetraedervolumens
1^=Vb
{pj^c + qy + reY
pqr
sinysini zu ermitteln,
1)
wo 9(^,y, ier) = 0 die Gleichung einer beliebigen FlSche, (x, y, jer) der
Tangentialpunkt, p = D^Vy 9 = -^y9i r=!D^q> ist
Wir haben also;
zu setzen.
6P*
Der Kürze wegen m px + qy + re=^8j pgr = Pj -^r^—, r—. = m.
Dann ergiebt die Differentiation des obigen Ausdrucks für V nach den drei
Variabein:
Im2>,F= 3P2>,Ä — ÄDx P,
mD,V=-3PD^8'-8D,P.
2)
Es ist aber:
3a)
und
DyS = q+ xDyP + yDyq + gByt,
D^8=^r + xD^p+yD,q + zD^r,
IDsP= qrD^p +prDsq +pql>xr,
DyP=^qrDgp+prDyq+pqDyr,
D^P^qrD^p+prD^q +pqD^r.
qr {ßpx — gy — rj») == -A,
pr (2gy —px -'rz)=^B,
pq {2rg — jpa? — gy)= C
gesetzt, so gehen nach Substitution der Werthe 3a) und 36) in 2), letztere
Gleichungen über in: r^ i
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3h)
Wird
382 Eleioere Mitiheilangen.
4) D^V^m{3p^r + ADyP+BDyq + CDyr),
\ D^V =m{^pqr^ + AD^p + BD^q +CD^r).
Durch Sabstitution dieser Ausdrücke in 1) erlangen wir:
iÄ{rD:rP-pl>zP) + B{rDa^q^pD^q+CirDsr-pD^r)=^0,
^ \ A {rByp-pD^p) +B{rDyq - gD.g) + C{rDyr - qD^r) = 0.
welchen Gleichungen durch
qy + r0^2px^
px+re==2qy,
px + qys=2re^
und die hieraus ableitbare
d. h. durch
px^qy^r»
genügt wird. Das Weitere stimmt mit dem in dem früheren Aufsatse Er-
örterten überein.
Es ist also allgemein richtig , dass yon jedem eine Flüche schneidenden
Trieder diejenige Berührungsebene der Flftche ein Minimaltetraeder (Tetraeder
von kleinstem Inhalt) abschneidet, welche jener zu Anfang genannten Be-
dingung genügt.
Als Beispiel möge das Paraboloid
q^ :=:! asi? + l>y + et + d^Q
dienen, für welches aj2>x<p=2a«*, yBytp^^hyy eD:t(p = cg ist, so dass
2aa^=hy = ce wird. In Verbindung mit der Flfichengleichung wird hier
«Q=X/^i yQ=:-p--j 0Q=s — und das Volumen des Minimaltetraeders ;
18 dPj/d \ . .
25/5 hcya
Liegnitz. Dr. 0. Bermann.
XXZIL Zur Entartong einer Fläche zweiter Ordnung.
Die Gleichung einer FlSche zweiter Ordnung in Punktkoordinaten sm:
2:aaaf<a?* = 0 (♦ = 1,2,3; »=1,2,3; atk^^aki)
und in der Determinante \aik\ der Coefficienten werde die Adjuncta von
ctik durch or,^ ausgedrückt; dann ist die Gleichung derselben FlSche in
Ebenencoordinaten :
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Kleinere Mittheilongeii. 383
Besteht die FlSche zweiter Ordnung ans zwei Ebenen, so mnss diese letztere
Gleichnng identisch verschwinden , was zehn Gleichungen zu erfordern scheint.
Da aber drei Gleichungen nothwendig und hinreichend sind, eine Fl&che
sweiter Ordnung entarten zu lassen (Schlömilch, Anal. Geom. §38), so
ist hier, wie häufig (Clebsch, Binftre Formen S. 91 und 163), eine üeber-
zahl Yon Bedingungen vorhanden , deren Beduction mit Hilfe der Eronecker-
Bchen Subdeterminanten-Belationen gelingt.
Setzt man in der Identität (Pasch, diese Ztschr. XXYII S. 123):
so ist
und
'•41 — «*4a»
d. h. je drei A^juncten einer Zeile sind durch eine Gleichung verbunden,
deren Coefficienten Sunmien von Subdeterminanten zweiten Grades sind«
Sind die letzteren nicht sämmtlich Null, so verschwinden mit zwei Ad-
juncten einer Zeile sämmtliche Adjuncten derselben Zeile, also mit drei
nicht derselben Zeile entnommenen unter Berücksichtigung der Symmetrie
alle Adjuncten atk der Determinante | a^ « | . Statt dreier Adjuncten kann
man auch die Hauptdeterminante \ a,^\ und zwei Diagonaladjuncten ver-
schwinden lassen, unter Berücksichtigung der dann bestehenden Gleichung
(Baltzer, Det. §7,8):
Eine Fläche zweiter Ordnung artet also in zwei Ebenen aus, wenn
entweder ihre Determinante und zwei Diagonaladjuncten, oder drei nicht
derselben Zeile angehörige Adjuncten verschwinden (vergl. diese Ztschr«
XXTX S. 374).
Sollen die zwei Ebenen zusammenfallen, so müssen alle Subdetermi-
nanten zweiten Grades verschwinden, das sind 21 Gleichungen statt der
erforderlichen sechs. Da auch hier eine entsprechende Beziehung zwischen
drei Subdeterminanten einer Zeilencombination besteht, z.B.:
(«ai - (h%) («11 «M - V) - (oii - fl«) («i: o» - «««»i)
+ («11 - ««) (oiiOw - fl«Ö8i) = 0.
so verschwinden mit zwei Subdeterminanten einer Zeilencombination alle
Subdeterminanten derselben Zeilencombination, vorausgesetzt, dass nicht
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384 Kleinere MittheiloDgen.
alle Elemente einer Colonne den entsprechenden einer anderen Colonne gleich
sind. In der That genügen also sechs beliebig, aber nie drei ans einer
Zeilencombination , gewfthlte Subdeterminanten zweiten Grades, nm alle
Sabdeterminanten yerschwinden zn machen. Statt dessen kann man auch,
analog dem obigen, wählen:
|ö**l = «ii = «44 = -2: + anaM = -2:+asBa„ = 2: + 05,044 = 0.
Berlin. A. Thaeb.
Beriehtlgnngen.
Im 6. Hefte dieser Zeitschrift Seite 269 ist nach der 10. Zeile des anf 0. s. w.
folgenden Absatzes einzoschalten „ohne die Absolotglieder*^. Seite 264
Zeile 12 y. q. statt „den Gleichungen'' sn lesen „der Gleichung". Seite 271
in Gleichung XIX die drei Minuszeichen dorch Pluszeichen zn ersetzen.
Seite 294 Zeile 11 y. u. Ues =0^^ statt =0.
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Historisch-literarische Abtheilung
der
Zeitschrift flir Mathematik und Physik
herausgegeben
anter der yerantwortlichen Redaction
▼on
Dr. O. Schlömilch, Dr. E. Kahl
Dr. M. Cantor.
JLJLJLL, Jahrgang.
Leipzig,
Verlag von B. G. Tenbner.
1886.
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Dniok ▼OD B. O. T«iibn«r in Dr«id«]i.
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Inhalt.
I. Abhandlungen. s,,,.
Die Berechnang irratiocaler Quadratwarzeln bei Archimedes und Hero. Von
C. Damme 1
Wilhelm unverzagt. Ein Nekrolog v<m einem ehemaligen Schüler. Von
Aug. Sehmidt 41
Zar Erinnerung an Ludwig Scheeffer. Von Walth. Dyek 50
Euklid bei den Arabern. Von Mor. Steinsofaneidar 81
Zur talmudischen Mathematik. Von Ed. Mahler 12 1
Bemerkungen zu den Kegeln des Ahmes und des Baudhäyana Qber die Quadra-
tur des Kreises. Von C. Demme I<t2
Seiten- und Diametralzahlen bei den Griechen. Von Faul Bergh 135
Ueber die Entdeckung der Variation und der jährlichen Gleichung des Mondes.
Von C. Aasehftti 161,201
IL Becensionen.
Geschichte der Mathematik.
Henrid, Die Erforschung der Schwere durch Galilei , Huygens, Newton. Von
M. Cantor 38
Bbsenberger, Geschichte der Physik U. Von S. CKbither 144
HeUer, Geschichte der Physik II. Von 8. CMbither 147
Sennu, Geschichte des Fernrohrs. Von 8. Günther 149
Btadnieka, Tychonis Brahe Triangulorum planorum et sphaericorum praxis arith-
metica. Von 8. Oik&ther 150
Hultaeh, Antolyci de sphaera quae mo?etur liber et de ortibus et occasibus
libri duo. Von M. Cantor 152
durtae, Liber trium fratrnm de geometria. Von M. Cantor 154
Tavaro, Carteggio inedito 'del Magini con celebri astronomi. Von H. Gantor . 155
Klimpert, Kurzgefasste Geschichte der Arithmetik und Algebra. Von M. Cantor 157
Marie, Histoire des sciences mathämatiques et physiques VII. Von HAlantor. 172
Hammer, Bohnenberger's Berechnung trigonometrischer Vermessungen. Von
M. Cantor .173
Arithmetik, Algebra^ Analygis.
Bardey, Zur Formation der quadratischen Gleichungen. Von K. Sdhwering . . 67
Sohmrig, Lehrbuch der Arithmetik U. Von K. Söhwering 68
Serret (Hamaek), Differential- und Integralrechnung, 11^ und Q*. Von M. Cantor 77
Canehy (Itiigsohn)^ Algebraische Analysis. Von M. Cantor 173
Xanlich, Lehrbuch der kaufmännischen Arithmetik. Von M. Cantor . . . .177
Bftrloeher, Zinseszins -^ Renten-^ Anleihen-^ Obligationen -Rechnung. Von
K. Cantor 179
Befsaehle^ Apparat zur Auflösung numerischer Gleichungen. Von M. Cantor . 181
Stola, Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, I. Von W. Xilling .... 182
Integralrechnung. Von M. Cantor 227
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IV Inhalt.
Synthetische 9 analytische, desciiptiTe Geometrie , Geodäsie. seit«
Hartner (Wastler), Handbuch der niederen Geodäsie. Von E. Hammer ... 33
Wiener, Lehrbach der darstellenden Geometrie, I. Von C. Bodenborg ... 57
Marx, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, I. Von C. Bodonberg .... 61
Fesohka, Darstellende und projective Geometrie, IV. Von C. Bodonberg ... 62
Schüler, Analytische Geometrie des Baumes, I. Von C. Bodenborg 65
Fischer, Lehrbuch der Geometrie. Von K. Böhworing 65
Heilermann , Sammlung geometrischer Aufgaben. Von K. Sehworing .... 70
D*Ocagne , Coordonn^es paralleles et axiales. Von K. Sehworing 71
Vollhering, Lehrbuch der Geometrie. Von K. Sehworing 74
Boidt, Sammlung von Aufgaben und Beispielen ans der Trigonometrie und
Stereometrie. Von K. Sehworing 75
Kobor, Leitfaden der ebenen Geometrie. Von K. Sehworing 111
Spieker, Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie. VonK. Sehworing 112
Helmert, Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geo-
däsie. Von J. Lüroth 139
XiUing, Die Nichteuklidischen Raumformen in analytischer Behandlung. Von
V. Schlegel 220
Wiener, Geometrische Theorie der Darstellung binärer Formen. Von V. Schlegel 223
Orftfe, Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie. Von K. Sehworing 226
Mechanik und Physik.
üeber Prof. Weyrauch's Theorie der elastischen Körper. Von A. Knr« ... 28
Wittwer, Grundzüge der Molekularphysik und der mathematischen Chemie.
Von Helm 29
Erwiderung? auf eine Bemerkung von Dr. Häntzschel. Von B. Besser .... 56
Sonnenbarg , Analytische Untersuchungen über ein Problem der Dynamik. Von
B. Kebel 114
Uppenbom, Das internationale elektrische Maasssystem. Von B. Kobol. . . .114
Valentiner, Kometen und Meteore. Von B. Nebel 114
Day (Schlenk), Arithmetik der elektrischen Beleuchtung. Von B. Kobol . . .115
Abendroth, Leitfaden der Physik. Von B. Vebel 116
Feters, Die Fixsterne. Von P. Zech 115
Bothwisch, Der Irrthum der Schwerkraftshypothese. Von F. Zech 116
Venmann, Vorlesungen über theoretische Optik. Von F. Zoeh 116
Hofineister, Leitfaden der Physik. Von B. Kobol 136
Lamb (Beiff), Einleitong in die Hydrodynamik. Von B. Kobol ..... 136
Egmont, Kritische und nichtkritische Versuche. Von F. Zech 137
. Holxwarth , Elemente der theoretischen Astronomie. Von F. Zech 137
Blum, Lehrbuch der Physik und Mechanik. Von F. Zech 138
Dippel , Grundzüge der allgemeinen Mikroskopie. Von F. Zech 139
Van Bobbor, Handbuch der ausübenden Witterungskunde, I. Von F. Erk . . 174
Kiessling, Dämmerungserscheinungeu und ihre Erklärungen. Von 7. Erk . . 176
Bibliographie Seite 39, 78, 117, 158, 187, 228
Mathematisches Abhandlnngsregister: 1. Januar bis 30. Juni 1885 190
„ „ 1. Juli bis 81. December 1885 .... 281
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Historisch -literarische Abtheilung.
Die Bereohnrmg irrationaler Quadratwurzeln
bei Arohimedes und Hero.
Von
C. Demme.
Hierzu Taf. I Fig. 17 und 18.
L
Im XXVn. Jahrgang der Zeitschrift für Mathematik und Physik
(Supplement zur historisch - literarischen Abtheilung) stellt Günther in
seiner Abhandlang über die quadratischen Irrationalitäten der Alten und
deren Entwickelongsmethoden* das auf diese Frage bezugnehmende Mate-
rial auf Grund einer sorgflütigen kritischen Musterung zusammen, um den
Leser in den Stand zu setzen, sich selbst darüber ein ürtheil zu bilden,
welche Art und Weise der Ausziehung der Quadratwurzeln als die für das
Alterthum natürlichste und damit wahrscheinlichste betrachtet werden könne.
£s liegt in der Natur der Sache, dass den Verfasser einer solchen Arbeit
die Yerschiedenen Methoden, je nachdem sie ihm selbst mehr oder weniger
wahrscheinlich erscheinen, Terschieden ansprechen und es darf uns deshalb
nicht Wunder nehmen, wenn ihm die Methode am meisten zusagt, bei
welcher nur „der einfachste, ja alltäglichste Apparat zur Anwendung ge-
bracht wird, dessen sich die antike Zahlentheorie in sehr yielen andern zu
unserer Eenntniss gelangten Fällen bediente ''.** Es ist hiermit die Methode
von P. Tannery gemeint, der in letzter Zeit besonders die bei Arohi-
medes und Hero vorkommenden Näherungswerthe für quadratische Irratio-
nalitäten wiederholt untersucht und bearbeitet hat Tannery 's Grund-
gedanke ist nach Günther folgender:** Archimedes kannte ein unserer
modernen Methode ganz ähnliches Extractions verfahren, um sich zunächst
einen brauchbaren Näherungswerth der vorgelegten Quadratwurzel zu ver-
schaffen. In den meisten Fällen blieb er bei dieser ersten Annäherung
stehen. . Bei yS genügte ihm dieselbe jedoch nicht, vielmehr bediente er
* In der Folge nur ak „Günther** angefahrt.
•• Günther, S. 87.
Hl.t..m. Abthlg. d. ZeiUohr. f. Math. u. l'hy.. XXXI, l . ^r^i^^^ ^^ GoOglC
Historisch - literarische Abtheilung.
sich jenes Verfahrens in diesem Falle nur, um eine erste Lösung der bei-
den Gleichungen p* — 3^^=1, jp*— 3g*= — 2 zu bekommen, und nun
Terfügte er über eine neue, selbständige Methode, welche ihm zu diesen
ersten Lösungen eine beliebige Vielzahl weiterer Lösungen hinzuzufinden
lehrte, wodurch er also Näherungswerthe von grösserer Genauigkeit er-
hielt.
Für diesen zweiten Theil der Arbeit können nach Tannerj zwei
verschiedene Wege eingeschlagen werden, yon denen der eine auf einer
indirecten Kettenbruchentwickelung beruht; wir wenden uns deshalb gleich
zur Betrachtung des nach Günther yorzuziehenden zweiten Weges.
Tannerj findet nftmlich*, indem er eine Auflösung der Gleichung
p*— aq*= r nach Diophant's Muster versucht, dass man annehmen
könne, zur Auflösung der eben genannten Gleichung sei von den Sub-
stitutionen
ausgegangen worden.
Es genügt, zur Bestimmung von o, ß, y und ö die drei Gruppen der
einfachsten Lösungen zu kennen und zwei Paar Gleichungen vom ersten
Grade mit zwei Unbekannten aufzulösen. Für den speciellen Fall p^ — 3q^
= 1 brauchte man nur die durch Versuch leicht zu beschaffenden drei ein-
fachsten Lösungen
p^l 2 7
^ = 0 1 4
zu kennen and fand denn die 4 Coefficienten a = 2, /3 = 3, )^ = 1, ^ = 2,
mit deren Hilfe die Herleitung aller weiteren Näherungswerthe von y3
ohne jede Schwierigkeit erfolgen konnte.
Mir will es erscheinen, als ob diese Herleitung dem altgriechischen
Geiste nicht recht angepasst sei, da ich glaube, dass die erste Gruppe der
Lösungen p = 1y q=^0 eine für einen Archimedes unfassbare war.**
Schon vor dem Erscheinen der T an n er y 'sehen Abhandlung hatte
Zeuthen*** der Berechnung der Näherungswerthe von j/3 ebenfalls die
Lösung der Gleichungen a;' — 3y* = 1 , ic* — 3^/* = — 2 zu Grunde gelegt.
Die erste dieser Gleichungen wird von ihm auf die Identität
3 (2mn)« + (m« - 3n«)« = (w« + 3n«j«,
die zweite auf die Identität
(w + 3n)« - 3 (1» + n)«= ~ 2 (tn* - 3n«)
zurückgeführt. Hatte man für w*— 3w*=l eine Lösung, so waren die
neuen Werthe nach der ersten Identität
• Günther, S. 89.
♦• Man vergleiche: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik von M. Can-
tor, S. 107 und 144.
♦♦* Günther, S. 90.
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Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes u« Hero. 3
und nach der zweiten
«1= 2mn
tn, = w + 3 «
n^^i m + n.
Nach Günther 's ürtheil zeichnet sich diese Methode durch Einfach-
heit und Natürlichkeit aus, wogegen derjenigen Tann er y^s der hohe Vor-
zug zukomme, überhaupt auf jede Diophantische Gleichung von der Form
x^— py^= r anwendbar zu sein.
Ich muss gestehen, so einfach finde ich Zeuthen's Methode gerade
nicht; denn er findet z. B. mit Hilfe der ersten Identität den Archimedi-
schen Werth ~~y überhaupt nicht, imd mit Hilfe der zweiten Identität
\\^ als sechsten und ~-^ sogar erst als neunten Werth.
Einen zweiten Ausgangspunkt* für seine Untersuchungen fand Tan-
nery in den Relationen Ya^ +h <\> a + ^y ya^+ h (\) a + ^ — -r-r »
wobei er sich dann auf die Anbringung ganz einfacher und naheliegender
Verbesserungen an diesen primären Näherungswerthen beschränkt.
Allein so bequem und elegant auch einige Heronische Werthe nach
ihnen ihre Erklärung finden würden, so kann ich doch nach der neuesten
Arbeit von Schönborn (im 3. Heft des vorigen Jahrganges dieser Zeit-
schrift) an einen Gebrauch der obigen Formeln niqjbt glauben. Schön-
born theilt nämlich einige Aufgaben aus Diophant's aQi^firjrixa mit.
Bei der ersten Aufgabe handelt es sich darum, 13 in zwei Quadrate, deren
jedes grösser als 6 ist, zu zerlegen. Diophant halbirt 13 und sucht
einen Bruch, der zu i^ addirt, die Summen zu einem Quadrate macht,
das heisst nach moderner Ausdrucksweise: er sucht einen Näherungswerth
für yli. Er setzt y^ll =» ^]/26y macht also den Nenner durch Erwei-
tem rational. Bei einer zweiten Aufgabe handelt es sich darum, 10 in
die Summe dreier Quadrate zu zerlegen, deren jedes grösser ist als 3.
Da der dritte Theil von 10 = 3^ ist, so würde es sich hier um einen
Näherungswerth von j/Tl = i]/EÖ handeln. Sowohl j/2ö als auch /3Ö
würden nach der Formel J^a* + h (\> a + -^ die bei Diophant vorkom-
menden Resultate (j/26 = 5^^ und ^30 = 5^) ergeben; allein Diophant
/26 a;* 4- 1
gebraucht eine solche Formel nicht, setzt vielmehr ^26 '^1/ -5
und ^30 (\)J/ und bestimmt x so, dass sowohl 26a^+l als
auch 30ic*+l Quadratzahlen werden. Er findet im ersten Falle a: = 10
und im zweiten Falle o; = 4, wodurch sich ^26 = \^ und ]^30 = ^ er-
* Günther, S 118.
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Historisch - literarische Ab theilnng.
giebt Sehr beachtenswerth findet hierbei Schönborn dais Bationalmachen
des Nenners. Aber auch in der weiteren Behandlang der beiden obigen
Aufgaben tritt bei Diophant das Bestreben hervor, das Rechnen mit
Brüchen möglichst zu yermeiden. Schönborn findet es unwahrscheinlich,
dass Diophant eine Sehen vor Brüchen gehabt habe und meint, dass die
Schwierigkeit gehoben sei, wenn man annimmt, dass Diophant hier alte
Methoden der Berechnung irrationaler Quadratwurzeln verwendet habe. Ist
dies aber der_Fall, so kann man daraus, dass Diophant bei so einfachen
Fällen wie ]/26 und f^3Ö die Resultate nicht nach der Formel f/a* + h
<\>a + n-'* obwohl sie ihr entsprechen würden, sondern auf einem viel
umstttndlicheren Wege findet, schliessen, dass die Formel dem Diophant
und demnach wohl auch seinen Vorgängem nicht bekannt gewesen sei.
Den SchluBsfolgerungen jedoch, die Schönborn hieraus und aus der
weiteren Behandlung der Diophantischen Aufgaben zieht, kann ich nicht
überall beistimmen. So behandelt z.B. Schönborn ganz nach Diophan-
tischem Muster: /ö8^==\j/935 Aus 935ic«+ 1 = (31a; - 1)« folgt
X = fl, mithin j/W> ^ 31 - il = 30i^; :t/935 oo TJ^ <x^ 7|.
Bei Diophant kommen für x nur ganze Zahlen vor. Die Aus-
dehnung auf gemischte Werthe scheint mir hier nicht unbedenklich, zumal
das Heronische Resultat doch nicht erreicht wird.
Als einer der wenigen ganz genauen Heronischen Werthe wird von
Günther* j/TöT^ =^^^ + i + ^ + ^ angeführt Verwandelt man
den Radicanden in einen Quotienten, so erhält man
i/TßT-H 7/167069 + 1 t/167.T3»+ 1
einen Ausdruck, der in der Form vollständig mit den bei Diophant vor-
kommenden ^30 oo X/ — -^ und ]/26 (\jj/ — ^ übereinstimmt
Da sowohl 30a;' +1, als auch 26 a;' +1 ein vollständiges Quadrat sein
soll, so müssen 30 a;' und 26a;' von der Form a'— 1 sein, sich also in
(a + 1) (a — 1) zerlegen lassen, welcher Form ja auch das Product
167.169 entspricht, so dass wir als erste der Grundformen der Reduci-
rung hätten: 7/i?L±iy^Lzl) <; |. Schreibt man hierftlr
woraus dann
j/'j^^/t±
2c ^e + l
j/t+^^^1 + 1
♦ Günther, S. 110.
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Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes u. Hero. 5
c / 2m 1
folgt, und setzt man - = m, so wird 7/ 1»*+ -=- <•» + —• Setzt man
nunmehr — — = s, so wird z- = n — ^"^^ l^w* ± 5 < w +• ^^ —
J) h 2m ' -^ —2m
Den Zusammenhang dieser letzten Formel mit der Diophantischen
Lösung der oben erwähnten Aufgaben hat Schönborn in seinem Aufsatze
heryorgehoben , indem er angiebt , dass zur Bestimmung des x in den Aus-
drücken 30a;« + 1 = (5a: + 1)« und 26a;« + 1 = (5a? + 1)«, wobei 30 = 5« + 5
und 26 = 5*+l, oder allgemein bei {A^±B)oi?+l^ {Ax±\Y die
Oleichung a; = -^=- diene, woraus dann l/ul* + ^ < -4 + -5-7 folge. Nach
Scbönborn besteht hierbei nur die Bedingung x>\\ nach meiner. An-
sicht muss, wie schon oben bemerkt , entsprechend den Diophantischen
Beispielen x auch eine ganze Zahl sein. Da dies aber nicht inmier zu er-
möglichen war, so konnte naturgem&ss auch nur eine beschränkte Anwen-
dung der Formel
^«^f-^^f "? — y — ? — <7
stattfinden.
Vor allen Dingen war sie bequem bei Radicanden, die nur um eine
Einheit yon einer Quadratzahl verschieden warep^ Hier brauchte man fUr
3? nur das Vierfache der benachbarten Quadratzahl zu nehmen. So hat
man z.B. bei Y2Q a;«=100, bei }/^ a:«=16, bei /63 a;«=256, bei
j/50 0!*= 196 u. s. w. zu setzen. Auch bei ^30 = ^3.10 war leicht ein-
zusehen , dass man durch Multiplication mit 4 die Form 1/ ^
herstellen konnte (7/ — ^ — j-
Wie eben erwähnt, wäre bei ^ a?*=16, also
/o t/3.16 t/49-1 1
Dieser Werth genügt in Bezug auf Genauigkeit weder dem Archimedes
noch dem Hero, so dass man genöthigt ist, sich noch nach einer andern
Formel umzusehen, die genauere Werthe zu liefern im Stande ist.
n.
Die bei Archimedes vorkommenden Näherungswerthe für /3 sind
1351 's 1/3 S. 26_5
780 «^^^»^ 153'
wofür man auch schreiben kann
*i95^^''^*'5f rnnaT(>
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Historisch - literarische Ahthei] ung.
Beide Näherungswerthe hestehen in dieser Form aus 2 Factoren» deren
erster ein unechter Bruch ist, und zwar ist dieser in dem einen Falle zu
gross , in dem andern Falle zu klein. Der zu grosse l^Terth (-}-) wird mit
einem echten Bruch (^|), der zu kleine Werth (^) mit einem unechten
Bruch (^1) multiplicirt. Sowohl bei dem echten Bruch {{^i)^ als auch
bei dem unechten Bruch (^) ist der Unterschied von Zähler und Nenner 2.
Vergleicht man jf/^^'-föl = /3 = V^fT^ mit der obigen zweiten
Ungleichung, geschrieben in der Form
80 Würde hieraus folgen jf/yl^i < Hf ""^ ^M-^M» ^^®^ allgemein
7/äT2 ^ a + 1
A a±2>a±l'
Berücksichtigt man, dass der Werth eines Bruches kleiner wird, wenn
jxT ^ ^ ^ ^ w a+h^a + h + c
man den Nenner vergrössert, also - > — - • i so muss — — > - »
n n + p a a + c
denn 1 H — > 1 H : — und — — ^ < — r-^— — sein, denn
a a + c a + h a + h + c
1— 4^<i- "■
Es ist aber « + * a + h + c
,,/o-iJ ,/o»-2o ^,/o»-2a + l - -,/a-2^a — 1
Resultate , welche die Richtigkeit der oben aufgestellten Formeln bestätigen.
Setzt man nach der oben erwähnten Gleichung
/3 = /H W = ^"fRf'i-s und iy\i.\ = ir\ü < Mlf .
sowie
so kann man leicht einsehen, dass sich der Weg, den man bei Anwendung
unserer abgeleiteten Formeln zu gehen hat , etwa folgendermassen bezeichnen
je nachdem --p ^ c*.
Die Umwandlung von - 1/ —^ in -j-j/ zz^^ ist aber nur dann
16 folgt
Google
möglich , wenn — s — = zn^ gesetzt werden kann. Hieraus folgt
(rn p + 2 °
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Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes u. Hero. 7
c^n "^ — P + 2
4 9 V
und a l)^n = c'n -h — .^ ♦ sowie n (c^ — a6*) = -l- 4 ^^ • Für den
—p+2 ' ^ p+2
_____ ^
Specialfall c*» = ;t? + 2 wäre dann ti (c* — a 6*) = + 4 oder c* — a 6* = + - »
eine Gleichung, welche, abgesehen von einer später zu besprechenden Aus-
nahme, die hier in Frage kommenden Werthe ftlr h und c liefert. Da
4
aber a, &, c, p und n ganze Zahlen sind, so muss auch nothwendig ~
t*
eine ganze Zahl sein , woraus dann weiter folgt , dass n nur 1 , 2 oder 4
sein kann.
Eine allgemeine Discussion der Gleichung ist, so lange es sich um
j/S handelt, offenbar nicht nöthig. Man braucht, da in diesem Falle a»3,
nur 2 Werthe h^ und (^ zu suchen, so dass der unterschied der grösseren
Quadratzahl und der dreifachen kleineren 1 , 2 oder 4 beträgt. Man kann
durch einfaches Probiren erkennen, dass* 1.3 + 1 = 4, 4.3-^4=1 6,
9.3 — 2 = 25, 16.3 + 1 = 49 u. s. w. und also die Zahlen 1 und 4,
4 und 16, 9 und 25, 16 und 49, 64 und 196 u. s. w. solche Werthgruppen
4
für 6* und c* darzustellen vermögen , die der Bedingung 3 5* — c*= + —
Genüge leisten.
Die Zahlengruppen 1 und 4, sowie 4 und 16 führen in unserem spe-
ciellen Falle (a = 3) zu demselben Werthe für }/3 , da ja -^ nichts Ande-
res ist, als der mit 4 erweiterte Bruch ^, und zwar ist der hierbei erhal-
tene Werth etwas zu gross , da ^ = |^ ein echter Bruch ; die Anwendung
9 3
der Gruppe 9 und 25 führt zu einem kleineren Werth, da -^ ein un-
echter Bruch, wogegen die Anwendung der Gruppe 16 und 49 wieder zu
16.3
einem zu grossen Werth führt, da .1 ein echter Bruch u. s. w.
Wir ersehen also hieraus, dass zur Berechnung der Archimedischen
Näherungswerthe für j/3 mit Hilfe unserer Formeln zwei benachbarte
Werthgruppen zu verwenden sind.
Schreibt man statt 7/ ^— ^-, > ^—^ » 1/ — ^— > — tt- so ^^Igt
,. r P — ^ P — Aa W» W+l
hieraus
/
i + ^>n-
m w + 1
Unter dem Wurzelzeichen befindet sich hier nur der irrationale Factor
unserer oben aufgestellten Formel
/:
c' p + 2 -^ c p + \
y^ p^2-lb p + \
* Man vergleiche hiermit die Methode von de Lagny, Günther, S. 64.
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8 Historisch -literarische Abtheilnng.
Multiplicirt man nnn beide Seiten mit dem rationalen Factor c, so
erh< man
f.
wofür man auch schreiben kann
4t<?
/■
4^^ . m
m
m
4c« . . . 2c
Setzt man = d, so ist — = «- iind l/c* '\-h> €-{ =-• In
*» W äC rt . *>
wenn a + 2 = m
ganz gleicher Weise erhttlt man aus 1/ ^ < — XT '
4c*
und das bei der weiteren Rechnung sich ergebende = & setzt:
. h ^
y<^^ b <.c j-\ das heisst also: unsere Formeln gehen unter der
4 c*
Bedingung — = &, wobei m eine ganze Zahl bedeutet, in den dritten
Nftherungswerth eines eingliederig- periodischen Eettenbruchs über.
Doch will ich im Anschluss hieran gleich bemerken, dass dieser Zu-
y^ ~T~"9 /» "T" 1
enhang den Gebrauch der Formel J/ "T ^^ ^ J" ^ bei den Grie-
chen keineswegs in Frage zu stellen yermag, da weder in der Form, noch
in der Anwendung der Formel die geringste Hindeutung auf ein Eetten-
bruchverfahren gefunden werden kann; wohl aber wird der oben geschil-
derte Uebergang zur Genüge erklaren, wie Heilermann mit Hilfe des
dritten NSherungswerthes eines eingliederig -periodischen Eettenbruches bei
günstiger Zerlegung des Radicanden Werthe abzuleiten im Stande ist, die
Formel 1/ -^^75 ^ ■ zz ^ uns sp&ter liefern wird.
f^ a + 2 ^a+ 1 ^
sammi
unsere
Heilermann leitet z. B.
9
/135 = Uif aus yi2' - 9 = 12 - ^^ _
/630Ö= 79^1 aus /80«- 100= 80 ^^
160- H*
/216 =14H aus j/TöTTg = 15- g^^^.
/54 = 7J aus J/6^T18 = 6 + ^2T||'
/8^ - 2H aus y ^y - 5* = 3| - — ^
7t — -S
ab und setzt ' 7^
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Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln bei Arcbimedes u. Hero. 9
y^ = l/V+l =1+ 2^1:^ = i.
}^=Air-T^-^i — ^ =A
351
_iE ''"
*^4
10 4. J-
3
4c*
In allen diesen Beispielen ist der Bedingung = 5, wobei m eine ganze
Zahl, Genüge geleistet So ist
bei }/^±h==}/l35^j/l2*^9, 4.12« = 9w also w = 64,
bei /63ÜÖ =^80^-100, 4.80* =100.w also w = 256,
bei /2T6 =^15« -9, 4.15« = 9. m also m = 100,
bei ^ =^6«+ 18, 4.6« = 18. m also w = 8,
bei^^ =^(3i)«+5|, 4.(3|)«- 5|.m also tn=10,
bei j^^ =/PHri, 4.1 = l.fnal80w = 4,
bei ^ =/2«^, 4.2« = l.w also f»=:16,
bei/3 =^a)»-TV» 4.(i)« = Vir-»» also f»=196,
bei /3 =^(|)«+|, 4.(4)« = -l.m also m = 50.
m.
Nach einer Mittheilung des Eutokius, von dem wir einen Commen-
tar zur Archimedischen Exeismessung besitzen» hatte Hero über Quadrat,
wurzelausziehen geschrieben; in gleicher Weise Pappus, Theon und
andere Exegeten der grossen Zusammenstellung bei Claudius Ptole-
maeus.* Von allen diesen Schriften ist uns nur die des letztgenannten
Theon von Alexandria erhalten, der aber die noch heute übliche Schul-
methode lehrt, mit der Abänderung, welche durch 'den Gebrauch der
Sexagesimalbrüche geboten ist, eine Methode, welcher sich die bei Arcbi-
medes und Hero vorkommenden Wurzelwerthe nicht anpassen lassen, da
sie in gemeinen bezw. Stammbrüchen angegeben sind.
Da es also an einer directen üeberlieferung der Methode des Wurzel-
ausziehens bei den alten Griechen fehlt, so sind wir in dieser Beziehung
nur auf Yermuthungen angewiesen, die sich natürlich nur innerhalb der
* Cantor, Geschichte der Mathematik (in der Folge nur als «Cantor** an-
geführt), S. 274.
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10 Historisch -literarische Abtheilung.
Gebiete bewegen dürfen, die uns als den Griechen bekannt überliefert
wurden. Hier treten uns nun in erster Linie die Untersuchungen entgegen,
die schon von Pythagoras, den ja auch das sogenannte alte Mathematiker-
verzeichniss den Entdecker des Irrationalen nennt, über den Zusammenhang
zwischen Seiten und Diagonalen bei Quadrat und Rechteck angestellt wor-
den. Bei seinen Versuchen, für die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks
ganze Zahlen aufzufinden, kam er auf Fälle, in denen dies nicht mög-
lich war. Er fand, dass** die Hjpothenuse des gleichschenkligen recht-
winkligen Dreiecks mit messbaren Katheten selbst unmessbar sei, dass sie
durch keine Zahl benennbar, durch keine aussprechbar sei. Seine Nach-
folger, d. h. die sich nach ihm mit demselben Gegenstande beschäftigten,
mussten die gleiche Ueberzeugung gewinnen; sie erkannten, dass es zwar
leicht sei, ein Quadrat zu zeichnen von der doppelten Grösse eines gegebe-
nen, aber eine Quadratzahl, .die das Doppelte einer gegebenen Quadratzahl
war, fanden sie nicht. Von welcher Quadratzahl sie auch ausgingen,
immer war die doppelte etwas grösser oder kleiner , als eine andere Quadrat-
zahl und so lange sie sich auf ganze Zahlen beschränkten, konnten sie bei
gtlnstiger Wahl das doppelte Quadrat nur bis auf eine Einheit an ein
anderes Qnadrat heranbringen. Diese Erkenntniss scheint mir auch einer
auf Quadratwurzeln Bezug habenden Stelle zu Grunde zu liegen, die von
Piaton herrührt; ich meine jene vielbesprochene Stelle im achten Buche
des Staates,^ in der von der Diagonale eines Quadrates von der Seite 5
die Bede ist, welche rational ausfalle, wenn eins fehle, dagegen irrational,
wenn zwei fehlen. Man versteht das allgemein so, dass jene Diagonale
oder j/öÖ in den rationalen Werth 7 tibergehe, wenn die Zahl 50 um eins
verringert werde, dagegen irrational y48 bleibe, wenn man 2 von 50
abzieht.
Noch deutlicher allerdings drückt sich Proklos, der Common tator
Euklid 's, aus, indem*** er geradezu sagt, dass es keine Quadratzahl gebe,
die das Doppelte einer Quadratzahl anders als nahezu sei; so sei das Qua-
drat von 7 das Doppelte des Quadrates von 5, an welchem nur eins fehle.
Aus diesen Angaben geht wohl zur Genüge hervor , dass man die Un-
möglichkeit erkannt hatte, zwei Zahlen zu finden, deren Quadrate sich wie
2 zu 1 verhalten, dass man es bei günstiger Wahl aber nahezu könne
(d. h. einen Näherungswerth finden könne), wenn man (natürlich ganze
Zahlen vorausgesetzt) die Zahlen so wählte, dass das doppelte Quadrat sich
um eine Einheit von einem andern Quadrat unterscheide, so dass wir als
eräte Formeln für die Auffindung von Zahlen, deren Quadrate näherungs-
weise in einem gegebenen Yerhältniss stehen sollten, folgende aufzustellen
hätten: //Si > ^
• Cantor, S. 154.
** und *** Cantor, S. 191.
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Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes u. Hero. 1 1
Eine solche Formel hatte aber nur dann praktischen Werth, wenn
man auch Mittel und Wege fand, um die gegebene Yerh<nisszahl mit
den der Formel entsprechenden Quadratzahlen in Einklang zu bringen, und
hier war man offenbar auf das Probiren angewiesen. Am einfachsten ge-
staltete sich die ganze Sache bei dem Yerhältniss 2:1. Hier konnte man
leicht solche Werthgruppen finden, die den beiden obigen Formeln ent-
sprechen, und dass man sie auch gefunden , zeigt uns ja der bekannte Satz
des Theon von Smjrrna, der diese zusammengehörigen quadradischen Werthe,
die in dem angenäherten Yerhältniss 2:1 standen, nach der bei den
Griechen beliebten geometrischen Interpretationsweise Diametral- und Seiten-
zahlen {öianeTQog und nXevQa) nennt. Hierbei ist nun allerdings zu bemerken,
dass es dem Theon nicht darum zu thun, Nüherungswerthe für y2
anzugeben, dass ihm vielmehr seine Regel, wie man nämlich aus einer
Werthgruppe die anderen finden könne, die Hauptsache war; denn erst
nach Angabe der Kegel erklärt er, dass diese so gebildeten Werthgruppen
solche seien, die den oben angegebenen Formeln entsprechen.
Das zur Benutzung der obigen Formel nothwendigste Werkzeug war
wohl eine Quadratzahlentabelle, deren Gebrauch bei den alten Griechen
wohl vorausgesetzt werden darf, um so mehr, da ja den alten Babjloniem
schon derartige"^ Tabellen bekannt waren. Mit Hilfe derselben war es dann
leicht, quadratische Werthgruppen zu finden, die nahezu in einem gegebenen
Verhältniss standen: z. B. 49 und 16, 676 und 2:^5, die im angenäherten
Verhältniss 3 : 1 stehen, oder auch 81 und 16, sowie 1444 und 283, deren
angenähertes Verhältniss 5:1 ist u. s. w., so dass also
Dass die Griechen derartige Betrachtungen rein arithmetisch, ohne Be-
ziehungen zur Geometrie aufzusuchen, angestellt hätten, möchte ich freilich
nicht behaupten; ich glaube vielmehr, dass hier, wie wohl auch vielfach
bei anderen Untersuchungen im Alterthum, Geometrie und Arithmetik Hand
in Hand gingen, so dass sich schliesslich schwer entscheiden liesse, wem
wohl die Priorität zuzuerkennen sei. Es wird wohl desshalb auch nur
natürlich erscheinen, wenn wir versuchen, ein geometrisches Bild der obigen
Formeln zu verschaffen. Wir kehren zunächst zu j/2 zurück.
Theilt man die Seiten eines Quadrates in dem Verhältniss 3 : 4, (Fig. .
17), so dass immer zwei ungleiche Theile in einer Ecke zusammeri treffen,
und verbindet man die Theilpunkte in je zwei anstossenden Seiten mit ein-
ander, so erhält man ein Quadrat von der Seite 5. Errichtet man nun über
Cantor, S. 73. ^^ ^
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12 Historisch -literarische Abtheilong.
UL^
jeder Seite desselben nach innen ein dem ausserhalb der betreffenden Seite
befindlichen Dreieck congmentes Dreieck, so dass die beiden über derselben
Seite errichteten Dreiecke zusammen ein Rechteck bilden, so wird im
Innern der Figur ein Quadrat von der Seite 1 übrig bleiben. Fügt man
dem grossen Quadrat ein solches Quadrat von der Seite 1 hinzu, so wird
es das Doppelte des kleineren Quadrates betragen. Nimmt man von beiden
Quadraten das Quadrat von der Seite 1 hinweg, so wird der Best des
grosseren Quadrates ebenfalls doppelt so gross wie der Best des kleineren
sein, demnach werden die 8 Dreiecke des grossen Quadrates das Doppelte
von den 4 Dreiecken des kleineren betragen oder
'^i f^ 25 f^ 25-1 y 3A r 4:.6 ^*
2
Hier zeigte sich also der Zähler und Nenner des Resultates als das
arithmetische Mittel der Factoren im Zähler und Nenner des Radicanden,
Betrachtungen, die den Griechen nach des Nikomachus Mittheilung
(Cantor S. 144) geläufig waren.
Von hier aus lag dann der Schluss nahe, dass, da die Dreiecke in-
haltsgleich waren, schon die Anzahl derselben im grossen und kleinen
Quadrat die Verhältnisszahl 2:1 bilden konnten, ^'^»T/ t-5 = V\^ i'
Natürlich galt diese ganze Schlussweise nur für ^^ d. h., wenn Zähler
und Nenner des Radicanden im Verhältniss 2 : 1 standen. Aber in der
Betrachtung von Verhältnissen waren ja die alten Griechen sehr geübt; es
musste ihnen deshalb leicht sein, sich zu überzeugen, dass allgemein
— ^ — --r % J6 nachdem fn^n, und dass demnach auch
n ^ » + 1 ' •* -^
lA'-^ ^ 7/(fl+l)(a-l) > 7 A
f/ v^^i^y (6+1) (t-
je nachdem der Zähler oder der Nenner des Radicanden grösser war.
Die Factoren im Zähler sowohl wie im Nenner waren um 2 von ein-
nander verschieden, so dass die geringste Differenz zwischen dem grössten
und kleinsten Factor 4 sein musste. Dies war aber zugleich der günstigste
Fall, da alsdann der mittlere Factor im Zähler und Nenner vorkam, also
durch Kürzen beseitigt werden konnte, so dass dann allgemein die Formel
'ä|g?±l Übrigblieb.
a + 2^a + l ^
Die oben erwähnte Figur konnte aber auch zu einer Ableitung für
]^3 dienen: Das grosse Quadrat von der Seite 7 wurde in 4 Rechtecke
mit den Seiteu 3 und 4 zerlegt, die noch ein Quadrat von^ der Seite 1
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/\
Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes u. Hero. 13
ttbrig Hessen. Zerlegte man das eine Bechteck in drei gleiche Theile von
den Seiten 4 und 1 und legte jedem der drei übrigen Rechtecke einen
Theil zu, so erhielt man drei Quadrate von der Seite 4, so dass also
7*— 1
7* = 3.4*+l oder .^ =3. Wenn man nun, wie vorher, für?*— 1 das
3.4
achtfache Dreieck vom Inhalt -^ = 6 einsetzte, so folgte hieraus
Aach hier war also der Zähler des Resultates das arithmetische Mittel
der beiden Factoren des Ztthlers im Badicanten, so dass der zweite Theil
. r. 11, . -m/^^^ -,/(»+ l)(a-l)^a, ,
unserer ersten Formel allgemem y — rz — = t/ r, < r lauten
würde.
Nun wird freilich der Satz: (a + 1) (a— 1) +1 = a* erst von Jam-
blichus* mitgetheilt, indem er sagt, dass eine jede Zahl mit einer der
beiden zunSchstliegenden gleichartigen Zahlen vervielfacht unter Hinzufügung
der Einheit zu dem Product ein Quadrat giebt; doch ist dies nach meiner
Ansicht kein Hindemiss für die Annahme, dass die in dem Satze enthaltene
Wahrheit schon früher bekannt war, zumal die in den eben angegebenen Bei-
spielen vorkommende Anwendung desselben sich zum Theil mit der An-
wendung des schon früher bekannten Satzes von den achtfachen Dreiecks-
zahlen decken würde und im 27. Satze des VI. Buches des Euklid** eine
später bei Pappus*** wiederkehrende Maximumaufgabe enthalten ist, die
wir etwa durch a* = ^ ^-g-^ \>{a + x)a--x) ausdrücken könn-
ten, wenn wir zugleich den Satz vom arithmetischen Mittel anwenden
wollten.
Diese letzte Formel könnte aber auch als die Grundlage einer Er-
weiterung der Formel 7/ ^ < - betrachtet werden, insofern man von
der Bedingung, dass der Zähler die Form {a + 1) (a — 1) habe, absah, und
sich, besonders bei grossen Zahlen, mit der ungenaueren Formel
/'■^
ia — n) (^+hl+Ja — n)
begnügte. ^ ^" ^6
Bei dieser letzten Betrachtung nahmen wir unseren Ausgang von der
Zergliederung von geometrischen Figuren, die als lUustrirung des Satzes
von den achtfachen Dreieckszahlen gelten können, und in der That lassen
sich ganz ähnliche Ableitungen bei einem Quadrat von der Seite 3, von
• Cantor, S. 892.
•• Cantor, 8. 228.
** Cantor, S. 286.
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14 Historisch - literarische Abtheilung.
der Seite 5, von der Seite 9 u. s w. machen, allgemein bei solchen, welche
die mehrerwähnte Beziehung zu den achtfachen Dreieckszahlen besitzen«
Theilt man die Seiten eines Quadrates im Verhältniss 1 : 4 (Fig. 18)
und wendet man hierbei ein ähnliches Verfahren an, wie vorher bei dem
Quadrat von der Seite 7, so würde im Innern der Figur ein Quadrat von
der Seite 3 übrig bleiben; würde man nunmehr das Verfahren fortsetzen,
indem man das Verhältniss 1 : 2 zu Grunde legte, so würde schliesslich im
Innern ein Quadrat von der Seite 1 übrig bleiben. Es würden dann hierbei
im Ganzen 5 Quadrate entstehen, wobei der Zwischenraum zwischen dem
ersten und zweiten und zwischen dem zweiten und dritten aus je vier Drei-
ecken bestehen würde, die zusammengelegt ein Rechteck von den Seiten 2
und 4 geben. Der Zwischenraum zwischen dem dritten und fünften Quadrat
würde hierbei aas vier Rechtecken von den Seiten 2 und 1 bestehen, die
zusammengelegt ein Rechteck von den Seiten 2 und 4 ergeben vrürden.
Das ganze Quadrat ist hierdurch also in drei Rechtecke von den Seiten
2 und 4 und in ein Quadrat von der Seite 1 zerlegt, waraus dann
folgen würde. /- >^ - 1 r ^
Nachdem aber die alten Griechen durch derartige geometrische Zeich-
nungen grundlegende Betrachtungen für das Quadratwurzelausziehen ge-
wonnen hatten, stellten sie sich im weiteren Verlaufe der Behandlung der
Wurzeln ofienbar ganz auf algebraischen Boden, sonst hätte Hero unmög-
lich in einem Radicanden Flächen- und Liniengrössen vereinigen können.*
Beweis dafür ist mir ferner der Satz des Theon von Smyrna, der nichts
Anderes ist als eine Regel, wie man algebraisch aus einem Nährungswerth für
j/2 die anderen ableiten könne. Theon geht in ihm. von zwei Einheiten
aus, die doch unmöglich als zusammengehörige Werthe für Diagonale und
Quadratseite betrachtet werden konnten, was Theon übrigens auch nicht
beansprucht.
Von der Thatsache ausgehend, dass der einen Diagonale zwei Quadrat-
seiten gegenüberstehen; fand er einen Zusammenhang hiermit darin, dass
für jede folgende Werthgruppe die Diagonale um die Summe der Quadrat-
seiten, dagegen jede Quadrat«eite nur um die einfache Diagonale zu ver
mehren sei.
Nimmt man nun an, dass diese Regel Theon' s von ihm selbst ge-
funden sei, so schliesst das natflrlich nicht aus, dass schon vor ihm andere
Regeln über den Zusammenhang von Nährungswerthen für dieselbe Quadrat-
wurzel bekannt waren. Schon vorher war ich ja bei }/2 davon ausgegangen,
dass die Griechen es verstanden hätten, unter gewissen Bedingungen von
der Formel j/ — = — zu 7/ -- — ^ überzugehen , was mir besonders da-
/Google
*Cantor, S. 341.
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Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes u. Hero. 15
durch wahrscheinlich geworden, dass die Griechen nach den Ueberlieferungen
sich mit Vorliebe solcher Nährungswerthe fttr ^2, yS und J^5 bedienten,
.V-hl ,. a
die sowohl nach der Formel 7/ - i^ ' ^ r ' *^8 a^cl» nach der Formel
// —- ^ -- (je nachdem m^nj dargestellt werden können. So ist
'^^-f 25 >^' '^^ y 2Ö-1 / ,5+1) (5-1)^'"
J'^^^/^-^^*' ^'3 = 2^H = 2j/l§^<2.+i oder ^,
Die eine der Formeln wird hier aus der andern erhalten, wenn man
Zähler und Nenner in ihrem YerhSltniss zu einander yermindert: so ist
'' y 25 y 24-1^*'
ferner
n-/-
^^5^ = K'4H=?/4..iH<H,
'1444 + 1
Der Werth des abgeleiteten Ausdruckes rausste natürlich ein anderer
sein, wenn die Verminderung im Zähler und Nenner nicht in ihrem Ver-
hältniss zu einander ausgeführt wurden. So setzt Archimedes in seiner
Kreisberechnung •t^f^> ^f- Verwendet man zum Kürzen den bei der Ketten-
division sich ergebenden ersten Rest also, da 8069 = 7.1137+110, hier
. X. i... ....,, 10.110 + 37 10.110 , ,,
den Rest 110, so ist iMi=7| ^q^ 7 37 > riÄÄ^ ^ ^'^ ^^•
Ganz ähnliche Betrachtungen lassen sich natürlich auch rückwärts, d. h.
bei der Vermehrung von Zähler und Nenner aufstellen, wie wir sie ja auch
schon vorgreifend bei Ableitung von y^ verwendeten. Unserer Formel
7/ — ^*^~~ hatten wir die noch etwas ungenauere 7/ '\
< (m+n)^ (»n:^ angefügt. Schreibt man statt der letzteren ^^^i^±^
< ö ' so ist der Zähler 2 a* + 5 mehr als o - mal so gross wie der
Nenner 2 a. Einer Vermehrung des Nenners um 1 würde demnach die
Vermehrung des Zählers um a nicht vollständig entsprechen. Erhebt
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16 Historisch - literarische Abtheilnng.
2fl8 + & + fl. a«(2a+l)»+2a(2a+l)&+6«
man nun — jj — —r — ins Quadrat, so erhält man — ^-7^ — rr^«
jäa + 1 (äg + ')
■= a* + ^ ^TH — r-iTi — - • Vergleicht man hiermit den Badicanden =
(2a + 1)* ar
= a* + hy so erkennt man sofort, dass die beiden Ausdrücke b und
— ^ — —r— — h einander gleich sind unter der Bedingung 6 = 2a+l,
(Ja + iy
dass dagegen unter der Bedingung 6<2a + l der Radicand 5
" + 2a+l)» '*'**'' A^ a*
+b 2a* + b+a
2a+l
Das Ergebniss unserer BetrachtnngeQ wflrden folgende sechs Formeln sein:
hierzu kSme dann die noch etwas ungenauere
j/{m + n){m — n) ^ (m + n)+{m - n)
+b)
III) yvrSr^J^:iZL2>< _
^
Aus dem speciellen Falle J/ ^ leiteten wir dann
TVN ,/a^(a'+5) . 2a^+b+a
^^^ V a^ ^ 2a+l
ab. Ausserdem hatten wir noch:
^/m*— 1 ,/(m + l) (m — 1) >m . ^
Für m — n = _+ 2 gehen diese Formeln über in
V) /:4i>:4i
d
„»N -./a—2 ^ a— 1
und
Zu diesen 6 Formeln kämen für grössere Zahlen noch zwei Formeln hinzn,
die etwas allgemeiner als die beiden ersten gehalten sind:
VIT)
VIII)
« wenn m<.a.
t/o* — m^^a
f^ b* '^i
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Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes n. Hero. 17
Ausser den beiden erwähnten N&herungswertheu für }/$, deren Ableitung
bei der Aufstellung der Formeln V) und VI) angegeben worden, kommen in
Archimed's Ereismessung nachfolgende sieben Wurzel werthe Tor:
1) y 349450 >59li; 2) ^lä73943H> 1172|;
3) >^5472l32yj>2339i; 4) / 9082321 <3013|;
5) y 3380929 < 1839^; 6) / 1018405 < 1009^;
7) /4069284,V < 2017^^.
Zur bequemeren Berechnung wollen wir zunächst jedesmal die rationalen
Factoren herausziehen und dann bei den ersten drei die Formel TV und
bdi den letzten vier die specieUe Formel zu IJI zur Anwendung bringen.
2a+l
1, K-54H5ö=6^i35r»-6/!M|^>6.58?^ + ^i±lL«
=5- 118^=590+1^,V=591H>591H>59H* <«le' 59H;
2) ^r3-73943|i = */TÖ8^ = |/^^S^
>f^^^?.toir'':r=^^^^^+^^M)
= 1041 + 130i + m\ + ,m = U72i + ^Jt, > 1172i;
.,_„^,,^ , , 787554 113. 87553449
3) ^54721 s2tV = i y 87054:1 13 = i ^ c.7P.^wQ
r 87553449
875541 13 + 875.53449 + 9357
>i 2.9357+1 -i(9dö7 + rt^.y)
= 2339i + THfT>2339i
,/9082321 .9084196 ^ 9082321 + 9084196
4) /9082321 = y 9,)84196 < 2:Mir
= 3014 - m^ < 3014 - ,V = 3013,!^ < SOlS,», = 30131 ,
6028 ==3. 1875 + 403
1875 = 4. 403 + 263
6028:403 = 13[ 4.403 + 263 4 403 ^ ,
^ r^^^=13.403 + 3.263>T3:4^°^'"^^'
-789 = 3.263
1209
Htot,Ufc AbtM«. d. ZelUohr. t M»th. n. Pby^ XXXI, 1. Di|,i2ed by GoOQIc
18 Historisch -literarische Abtheilnng.
Mb8092y.33«lW2l 3380929 + 33819;il
5) >/3380929=.;/- 33^- • <^^^;^^
= 1839 - -jVi^ = 1839 - T<gV\r < 1839 - ^^ oder 1838^^,
1839 = 3.496 + 351 \,„, 3 145 + (31
TWif = , . , A~ . 1 -öT ' 63 >st demnach
496 = 1.351 +145 ["^'^ ll.l4o + 4.6l
496 = 3.145 + 61 ) tV > tV»'» > A;
1« •18405. 102ÜIU0 1018405 + 1020100
6) /1018405 = // -- fö25jTi— < - -.-j^j^o
,= 1010 - 4111 = 1010 - f^f < 1010 - I oder 1009^,
4()4= 1.339 + 65( 5.65 + 14 ,
339 = 5.65+14 (*** ~ 6.65 + 14 > *'
7, /4Ö69284,V = | ^5859769 = ^ //5859769;586124r
^^ 58:^71+5861211 ^^^,^^_^.^
= ^ (241 - ,Wt1 < 20174 - ^ V\) oder 2017^-.
2421 =
736 =
3.736 + 213 I _ 3.213 + 97
3.213 + 97 P^" ~ ><>-2]3 + 3.97 ^"^
Bei Nr. 1) und 4) wurden die gefundenen Grenzen 591^^ und 3013y*j
noch weiter hinausgeschoben und dafttr 591-1^^ und 'S()\S-^j genommen,
weil man dann durch Kürzen bequemere Werthe erhalten konnte.
Bei Nr. 5) w&re ein weiteres Hinausschieben der Grenze von keinem
Vortheil gewesen, denn man hKtte hier 1838^ oder 1838^^ nehmen
mOssen, die beide kein weiteres Kürzen zugelassen hätten. Bei allen
übrigen Werthen zeigte sich die Annttherung in Gestalt eines Stammbruche».
Die Wnnelwerthe des Hero.
Unter Beibehaltung der Eintheilung derselben nach Tannery in eine
geometrische und eine goniometrische Gruppe will ich zuerst ein Veneicb-
niss der der ersteren Gruppe angehörigen Werthe voranschicken, wobei der
Seitenangabe die Ausgabe der Schriften Hero 's von Hnltsch zu Grunde
liegt und ro als Zeichen der Annäherung gewählt wurde, um es vorerst
unerSrtert zu lassen, ob der Näherungswerth zu gross oder zu klein ge-
nommen ist. Hero setzt nämlich
yS^ rsj 2 + 1+ i,
/I35 fNjll + 4 + ,(y+,V,
/43f cvj e + i + iV + ^V.
/63ÖÖfN.79 + 4 + j', +T^«,
Digitized byVjOOQlC
1)
(S.
92)
2)
(8.
93)
3)
^s
94)
4)
(S.
95)
Die Berechnung irrationaler Quadratwnrzeln bei Archimedes u. Hero, 19
5) (S. 95) y'\ö7b ,x.39 + | + yV-
6) (8, 95) K 886 _ ^^ ~ 29 + i + t + tiV-
7) (8. 96) ;. äieöjl rv 49 + i + A + Vt + b't-
8) (8. 96) ^615ii ^ 24 + i + i + ^i, + 5V + A.
9) (S. 110) /2l6 .X. 14 + ^ + Vir,
10) (8. 112) ^'58^ cv. 7^,
11) (8.119) /72Ö rK.26 + i+ i,
12) (S. 126) yW)H 00 14 + ^ + ,', .
13) (S. 130) ^444^ 'N^aii's,
14) (S. 163) /63 ~ 8- A.
15) (S. 182) /n25 ^ 33 + i + J,.
16) (8. 183) /UM rx. 32 + J + 1 + I + Vt,
17) (8.183) ym fv;iO + | + ^,
18) (8. 184) ^54 ~ 7i .
19) (8. 184) y'ÖÖ rvj 7,«i,
20) (S. 185) /75 f^^ 8 + i,
21) (8. 185) J/356S c^^ 18 + i + i + J,
22) (8.185) yim '-^ 6 + i+ i,
23) (8.212) /3^Ö ~58Jt,
24) (8. 212) y^M) <N. 70 + i + ^,
25) (8. 217) ^356 cvj 18 + ^ + i + i.
Von diesen ordnen sichNr. 2), 4), 5), 6), 7), 8), 9), 11), 17), 18)
und 1) der Formel j/ zr:,, ^ — "^-r unter.
' ^a+2^a+l
Da bei 2) /TM = /y.l5 = 3^0, so hatte hier m die Perm
(r + 1) {r — l), es würde dann die Gleichung p*— w^*= + — ^^ ^ = 1'
den Werth p^ = 4* liefern.
ym = 4.3//i| = 12 //|| < 12.ti oder 12 (1 - A)
=:12-^==llif = lli + ,V+,V
Bei 4) hÄtten wir /. 630 » = ^'100.7.9, für m also 7 zu setzen.
Wollten wir mq* wie vorher auf die Form (r + 1) (f — 1) hringen, so
mÜBsten wir ^* = 9 nehmen , woraus p* = 64 folgen würde.
i/em = 10.8/M = ^VWi < so ei = 80(i - ,1,,) = so - ^
= 7yH = 79i + ,v + T+i. r- I
D%ffizedbyV^OOgle
Historisch -literarische Abtheilung.
Bei 5), 6), 7) nnd 8) wttrden wir durch die Zerlegung in Factoren
auf dieselben Werthe fOr q* und p' gefllhrt werden , also q*=9 und
p* s 64 zu nehmen haben.
5) /l575 = /25X7 = 5.8^t|<40.f^| = 40-if
7; ^2460H = ^i^=/H.25.9.7 = M.8^H<50.m
= 50-|}==49i + TV + Vi + !4-.
Bei 9) ist ^216 = j/9A.6^ also, da m = 6, unter Berttcksichtigung
des bei 4) Gesagten 9'= 4 und p^= 25 zu nehmen, so dass
/2l6 = 3.5/fi = l5K'VW<»5.« oder 15(1-A)=15-«
= 14H«14j + Vjr;
Bei 11) ist ^^^720 = /16.9.5. Da m = 5 eine Primzahl ist, die be-
nachbarten Qnadratzahlen 4 nnd 9 sind, so Ittsst sich hier fdr mg* die
Form (r + 1) (r — 1) nicht herstellen. Setzt man 9 für g\ so geht mg*
in die Form (r + 2) (r — 2) ttber, deren Werth von r* um 4 verschieden.
Durch Annahme der Werthe q*=9 und p* s 49 wird demnach der Oleich-
4
ung p*— 5^*= + - Genüge geleistet Es ist also
♦I
^^720 = >/16:9:5 = 4.7/11 < 28.4| = 28. H = 28 - 1^ = 264 + f
Bei 17) ist
^108 = J/30 = 6/3 = 6.2/H < 6.f| = 10 + i + ^.
Hier ist m = 3, also für y*=al, p*=4 zu nehmen.* Bei dieser Wurzel
hat Tann er 7 ebenfalls eine Zerlegung in 6/3 vorgenommen, /3 = |f
* Wir könnten hiemach die Resultate von 5), 6), 7), 8), 11) und 17) eben-
ÜEdls in der Form des dritten Näherungswerthes eines eingliederigen periodischen
Kettenbmchs angeben, wenn wir die Formeln 7/ < — — r» — =6 und
r m I» + 1 111
y^Z:b<e ^ anwenden. Bei 6), 6), 7) und 8) ist x/?i^ = J^, also
2c
2c
m:=266. Bei 6) ist — = t^ = 6 = 25 und Kl676 = ?^ie00-25Oo40-^-?^
= 39«. Bei 6) ist -^ = ^=6 = 141^ und ym-^^V^OO-l^c^ SO
lit^ = 2»H Bei 7) ist ^ = ^ = 2^ = 89^, und f^iÜSÖ« = ^2600 - S9tI
60 - lÜ ^ ^^
eo
Digitized by
Google
Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes n. Hero. 21
allerdings auf andere Weise herzuleiten gesucht. (Diese Zerlegung tritt
bei Tannery gewissermassen A Kunstgriff auf, während sie hier in der
Anwendung unserer Formel begründet ist.)
Bei 18) ist j/Ei = ^976 = 3/6. Da hier m = 6 = ««+ 2, so ist
für 5* sa 1 j5« = s^^ d. h. 4 zu setzen, wenn der Gleichung jp^— 6g* g= + —
genügt werden soll. Es ist dann
/6=i2/| = 2/n>2.Y = ^ und /5i = 3j/6>3.M = 7|.
Bei 12) ist /2S8 = /16.13. Legt man die bei 11) angewandte Be-
trachtung zu Grunde, so würde 9*= 9, p'=ll zu nehmen sein, so dass
oder l^il-^)^■i^-^^l^+^=l^+^,+^.
Der kleinste bei den Heronischen Wurzelwerthen vorkommende Stammbruch
hat den Nenner 102. Bedenkt man femer, da^s Hero für ]/E als Näherungs-
werth |{ vorzog, obwohl er um j^ ungenauer ist, als der schon von
Archimedes gebrauchte Näherungswerth ^ ^^ , so liegt die Annahme
nahe, dass er den Stammbruch y^ (^^^^ '^^^ ^^ geringer Bedingung) ver-
nachlässigte, zumal das Resultat, wie sich aus der Formel ergiebt, etwas
zu gross war, so dass er dann j/208 oo 14^ + -|ij setzte. Eine Zusammen-
steUung der Betrachtungen, die zur Verwandlung des Radicanden in die
Form 7/ zZg^ dienen sollten, würde folgende vier besondere Lösungen
der Gleichung p* — iwg'* = + — ergeben :
♦I
a) Ist m = (5 + 1) (ä — 1), so ist für g'*» 1 ;»*=«* zu setzen,
denn ««- (ä + 1) (5 - 1) = 1 [bei 2)];
~60 ??i^ = 4Hf Bei8)i8t:^=^' = 6:-9HnndK6l6S = f^6i»5-9|t
CV26 ^ = 24H. Bein)^?!^ = flF, al8om = 49. ^ = i^' = t = 64
^""60
und K72Ö==K7S-64CU28--— ?ijf7==264. Bei 17) ist l/^^ = ^+i, m=::16;
06 — ff *• r m
^ = ^^ = 6 = 86 und Ki08 = ^144 - 36 = 12 - ^^ J . , = 10?. — Einige Erklärer
leiten 11) K72Ö = K27«-9 oj 27- A «^^ ^7) KlÖ8 = J^10«-8CO lo,^ ab. Dass
diese beiden Wurzelwerthe nach zwei verschiedenen Formeln dargestellt werden
können, hat darin seinen Grund, dass die beiden Werthe, auf deren Berechnung
es hier ankommt, nämlich y% oj ff und Vh <\f ^^ nach den Formeln y < —
Google
und 1/ -— -r < — r-:7 berechnet werden können.
r a+2 a+1
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22 Historisch -literarische Abtheilung.
4
b) ist m = 5*+— ' so ist für |^= 1 p'=5* zu setzen, denn
^-(«'±^) = + ^ [bei 18)];
c) ist g* = I» + 2, so ist p* = (w + 1)*, denn
(«» + l)*-»n(m + 2)=l [bei 4), 5), 6), 7), 8), 9), 17)];
d) ist 5* = m + 4, so ist />* = (w + 2)*, denn
(m ± 2)« - m (f» + 4) = 4 [bei 11), 12)].
4
Die Gleichung p*— n»9*= + — ging als Specialfall aus der allgemei-
neren Gleichung n(p^— mq^) =^ —> ,^ i die wiederum auf — ~ = zi: ,.
°^ '''^a + 2 p* a + 2
zurückzuführen war, hervor, wenn p*w = a + 2 gesetzt wurde, d. h. wenn
— 5- durch Erweitem in die Form — ^=-r. tiberffinfl:.
p* a + 2 ® ®
Setzt man in der Gleichung — ^ = zz» ganz wie bei a) m = (r + 1 ) (*■ — 1 )i
g*= 1, so geht sie über m -^ = =r ^- Man erkennt m die-
p* a + 2
ser Form sofort, dass ausser der bei a) angegebenen Lösung p^=r^ auch
noch p* = (r + 1)* einen etwas zu grossen Werth liefert, während p*={r — If
einen zu kleinen liefern würde ; denn es ist ja ^^ — ■ — — -,>, .> — = — r-rt •
(r + l)*, 2 a + 2
wahrend ^ — - — ^^^^ ./' = „ ergeben würde
(r — 1)*. 2 a — 2 °
Bei 1) könnte man j/8^ = \j/l^ = ^j/dTö setzen und unter Be-
rücksichtigung des eben Gesagten
erhalten.
Bei 3) ist
Vm = Wrrö = ^/'^ [nach Formel III)] <h^^
= 6,a, = 6i + ,V + jy.
Bei 10) ist ^58,^ = i F'SSö, Da 900 und 961 zu weit entfernt, so
setzt man
Bei 13) ist
/44H =4^^4000 ==1^/12^==^
[nach Formel VIII)]=21iVi
253« = 64009.
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Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes u. Hero. 23
T..t>iN.x /5ö -f/03464 ,/12H.12S ^.,. ^ ,
Bei 14) ist /63 = ;/-^5^=//-^^g-<Ll_.= 8-,V
[nach Forme) It)].
T, • IK^ • X ,/T7ÖR ./7Ö--Ö 7/H75.3.I2I ,/37d.363
Bei 16) 18t ]/\l2b = y\2o.9 = f/ j^j =J/—-—-
<;aia = 33,«, [nach Formel in)J = 334 + Vf
[nach Formel III)] = S2^ + ^ + |+^1y.
•
m 19) »t >^=/' *?j|^=/l'|^<. 1=7,1, [n..hPo™.lIl)).
[nach Formel III)] =8i+^+TV-
,/461488 ,
Bei 21) ist ^356,V = ^i'-Af +|=^^^>'W = 18H
[nach Formel VII])= I8i+|+^;
Ü80« =462400,
679*= 461041.
Bei 22) i8t ^43|i = f/4FM = /^>m=6H = 64 + i
[Formel YII)];
239»= 57121,
238* = 56644.
Bei 23) ist ^^3400 = j/^^^A^ j/5J»_|o<i < ULS = 58|
•7 *'
[Formel VII)];
175« = 30625.
Bei 24) ist y6O(0 = }/^^^^^^ = }/s^^<:ip^=-7Oi=10^+^
[nach Formel VII)];
283» =80089.
Bei 25) ist /356 = /?^=^/5-^T^< if = l.Si= 18^+1+^
[nach Formel VII i];
15P = 22801.
Ausser den eben bebandelten Näherungswerthen findet sich bei Hero
noch eine andere Gruppe Näherungswertbe , von Tannery goniometriscbe
genannt.
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▼on
24 Historisch -literarische Abtheilung.
Hero bat nämlich zum Gebrauch der Formel Fn^^Oi? Cn^ in welcher
F den Flächeninhalt und a die Seite eines regelmässigen Vielecks, sowie c
eine Constante bedeutet, die Werthe für c^ bis c,, berechnet und zwar
setzte er:
^ = 14, ^« = V, c«=JU.und iJi,
C5=^undf, C8=M, Cii=iL6, und Cj,=i^.
Zur Berechnung derselben stehen uns aus den Heronischen Schriften
die beiden Formeln dn=^n-^% wobei d den Durchmesser des um das n-F.ck
der Seite a beschriebenen Kreises darstellt und Fn^nanJ/ -j — -7-
zur Verfügung. Die erstere Formel passt allerdings wie von Cantor*
hervorgehoben wird, nur für n=6, während sie für n<6 efnen zu kleinen
und für n>6 einen zu grossen Werth liefert. Dass dies Hero sehr wohl
gewusst und sie gewissermassen nur als Ausgangspunkt für in besonderen
Fällen zu bestimmende Näherungswerthe gebrauchte, scheint mir daraus
hervorzugehen, dass Hero selbst in einer von ihm angestellten Berechnung
nach einer wahrscheinlich richtigen Vermuthung Cantor's** c?8=— abge-
setzt hat, also zum Coefficienten der Sehne einen Werth gebrauchte, der
<f denn 8 5-3.13 = 1.
Was nun die Berechnung der Werthe selbst betrifft, so stimme ich
mit Tannery überein, wenn er c^ aus F^=:\ 03*^8 und Cg aus FQ=iaQj/'d
berechnet, wobei J^3 = ff zu setzen ist.
(^ lässt sich leicht mit Hilfe der beiden Heronischen Formeln d^=^a^
undF5 = |a5 >^W~ V = JV J^^^^b* ableiten. Hero hat nun
offenbar gewusst, dass d^>^a^ und deshalb f(ir c^ noch den etwas grGssem
Werth 11 angegeben. (Es ist 12.3 — 5.7 = 1.)
Setzt man, d& d^^^Oj, fdr -J- den etwas kleineren Werth M (es ist
nämlich 7.7-16.3=1), so erhält man F^^ia^ Z^^^^^i a^V^O?
= ri V V'^^^ • 9 = iV V /1863 > ff a^K (43» = 1849.)
Bei der Berechnung von F^ findet man, da <?8< f ««i f >^(8. 8— 3.21=1)
und F,= ia^ j/^=T = |a,* ym^^a^*}/Sm:>\W. (58»=3364.)
Bei d^co^Og lässt sich nicht, wie vorher, ein etwas kleinerer Werth
für I bestimmen, und man hat demnach Fg=^^aQ^ j/.^» — 1 = |. a^* j/8
= iS*Z/^ = f V /288cv>|aeM7. (17«=289.) Da aber Y offenbar
zu gross war, so gab Hero in ähnlicher Weise wie bei c^ noch den etwas
kleineren Werth M an. (51.3 — 19.8 = 1.)
* Cantor, 8. 836.
•♦ Cantor, S. 387.
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Die Berechnung iiTationaler Quadratwurzeln bei Archimedes u. Hero. 25
Setzt man
^10 '^^^aio (10.4-3.13 = 1),
80 ist
Für (^hOo V (es ist zwar 11.7-25.3 = 2, allein 25 und 7 sind
zwei entsprechende Pythagoräische Werthe) erhalten wir
Bei c,2 gilt dasselbe von y, was bei Cq von ^ gesagt würde; wir er-
halten demnach
l^« = ^V /r6=T=3«„'^^>3.'^o„»=i±a.,«,
Unsere oben aufgestellten Formeln mit Ausnahme der IV), V) und VI)
lassen sich in eine Regel zusammenfassen, die grosse Aehnlichkeit mit der
indischen Regel des Bhaskära haben würde; aber auch Beispiele von
Näher ungs wer then nach der VIj**° Formel glaube ich bei den Indern an*
geben zu können. Setzt man nämlich den nach der 11)*^ Formel gefun-
denen Werth /2<|| in die VI)*« Formel ein, so erhält man
l/2 = U7/ — — — — ^ l/-'-J4 - <^ 1^ *JLÄ3 oder i' (1
1165 '•
Dieser Werth ist darum« interessant, weil in ihm die beiden Näherungs-
werthe für y2 enthalten sind, welche von Baudhäyana in den „^ulva-
sütras** angegeben sind. Es ist nämlich
Will man mit drei Gliedern abbrechen und im dritten Zähler 1 erhalten,
so muss man 34 durch Kürzen wegzubringen suchen. Setzt man 1156
34 1
statt 1155, so ist ^^ ^^,^ = ^,. ^^ imd wir haben alsdann
12.1150 12. d4
^='* + 374" 3X34'
ganz wie es Baudh&jana angiebt.
Ein zweiter Näherungswerth für ]/2 tritt nicht unmittelbar auf, son-
dern muss erst aus einer Regel des Baudhäjana in Verbindung mit
einer Näherungsconstruction abgeleitet werden.
In den „(^ulvasütras^ findet sich nämlich die Lösung der Aufgabe:
ein gegebenes Quadrat in einen Kreis zu verwandeln. Aus der hierbei*
angewandten Näherungsconstruction lässt sich leicht die Beziehung zwischen
Quadratseite und Durchmesser ableiten und zwar wird die Qnadratseite
3
gleich Durchmesser mal ;= sein. Thi baut hat zuerst den Gedankenge-
2 + /2
habt, hiermit die von Baudh&yaua gegebene Regel , den Kreisdurch-
• Cantor, S. 646. r^ 1
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26 Historisch- literarische Abtheilung.
messer mit i + g^ - OgTg + 8.29.6.8 '" vervielfachen, um die
Quadratseite zu erhalten, in Verbindung zu bringen, und wirklich geht
3
auch der Factor = in den von Baudhäyana gegebenen Ausdruck
2+1/2
3 /~
über, wenn man statt ^ den gleichwerthigen Factor ^(2 — ^2)
nimmt und }/2 = 1^ ( 1 — -f-^^) setzt. Es wird alsdann
1(2-^2)= f. 4J + Hin^T = lTV + r.\iH^ = i + lTih-
Will man nun nach indischer Weise ausser der ersten Zahl noch drei
I^äherungsstammbrüche erhalten, so darf man weder 1156 für 1155 schreiben,
noch auch ^* == -_il_ — — ^ — setzen , denn im ersten Falle würde man
1155 1155 1155
einen und im zweiten Falle nur zwei Näherungsstammbiiüche erhalten.
Q*. 17 «0 20.1155-17.1160 , 169 ,_
Setzt man — Ll_ = »o , ^gg ^^nn =-Az^ ^a * .^^ so gebt der
1155 1160 1155.1160 ^ ö8.1l5o ^
obige Ausdruck über in
7 J 338 _ l 385__ 47
^■^8.29 8.29.6.385 ""*■'' 8.29 8.29.6.385"^ 8.29.6.385
*"^8.29 8.29.6 ' 8.29.6.«'
wenn man -g^^ nähemngsweise = ^ setzt, um abzubrechen. Der indische
Werth ^3 = 1+^ + ^-= — ^-j-m* beruht offenbar auf der Erkenntniss,
dass der ja auch von Baudhäyaua gebrauchte Werth 1^ um -^j^ grösser
ist, denn e "
1 1
als 1^ ist, denn es ist hiernach j/3= L^ = 1|- _1_ = 1i.o + ^-.^^
^^■''ä.ö 3.5.52
Zum Schluss möge noch eine kurze Betrachtung der nicht gerade zahl-
reichen Wurzelwerthe, die bei den Rabbinen vorkommen, stattfinden. Nach
Günther p. 37 und 38 sind dieselben ]/2ou^, l/2 e\> i, ^VS x;l» und
/5ÖÖÖ>70f '
Die drei letzten Weiiihe können ganz nach der bei den Griechen an-
gewandten Schlussweise berechnet werden.
wie ich mit Rücksicht auf den Beitrag zur Geschichte der Mathematik von
Dr. E. Mahl er in der Zeitschr. f. Math. u. Phjs. 1882 annehmen möchte.
j/öm= j/^-^^:^ = j/"^^ > H-' = TOi ^212« = 44944.)
* Gilnther, 8. 42.
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Die Berechnung irrationaler Qaadi*atwarzeln bei Archimedes u. Hero. 27
In diesem Falle wnssten die jüdischen Weisen, wie es im Jerusalemitischen
Talmud heisst, den Werth nicht genauer anzugeben.
Der erstgenannte Werth 4 iSsst sich der Formel 1/ - — -\ — t — ~r. ^ -
anpassen, wenn man j/2 = 7/ ^^-^ co ^ setzt. Doch möchte ich hier lieber
mit Günther* annehmen, dass f seine Entstehung als Näherungswerth
für ^2 blos roher Empirie, nicht mathematischer üeberlegang verdankt,
zugleich noch bemerkend, dass eine der obigen ähnliche Schlussweise zu
einer einfachen Erklärung der von einem gewi^i^en Pheidon gebrauchten
Näherung i/^ csj Jo ** führt. Nimmt jnan nämlich//^ als Näherungswerth
'^ 18 »
von (p + 1) (p — 1) an, so muss auch offenbar p^ ^{p+^) p (p — \] sein.
Man kann nun ^|| = ^^-^-^ = y TTü) setzen. Da 8 = 2^ so erhält
durch Erweitern mit dieser Zahl 1^2Jl = 7/ ^ ^
man
8 9.10 "
♦ Günther, S. 89.
** Günther, 8. 51.
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Kecensionen.
lieber Herrn Professor Weyrauch's „Theorie der
elastischen Körper '^ etc.
Duplik zn S. 142 und 278 flg. im vorigen Bande.
Was Herr Prof. Weyrauch durch Citation aus meinem Briefe „richtig
stellen'' zu müssen glaubt, ist wohl kaum erfindlich, Er bestätigt ja im
vierten Alinea selbst die Wahrheit meiner diesbezüglichen Aussage. Dem
Leser können allerdings meine Briefstellen jetzt zur üeberzeugung dienen,
dass ich den übernommenen Becensentenberuf mir nicht leicht machen wollte.
Allerdings ward die freudige Voraussetzung, die in literarischen und experi-
mentellen Arbeiten meinerseits auf solchen Grebieten wurzelte, auch durch
das Erscheinen des Aufgabenbuches nicht erfüllt.
Die „Schwierigkeiten^ betreffend (5. Alinea), spricht u. A. Ritter in der
von Herrn Prof. W. citirten Recension (8. Alinea) neben der „Bewunderung
des Eingeweihten" von „ün Verständlichkeit fttr den Anfänger" und Wilt-
mann^ äussert: „Allerdings wird selbst der in der Handhabung des mathe-
matischen Apparates Geübte manche Schwierigkeiten finden, wenn ihm nicht
zugleich auch die erforderliche Reife und Schulung des mathematischen
Denkens zu Gebote stehen." Dagegen lauten die Scblussworte des Ver-
fassers in der Vorrede: „Von mathematischen Vorkenntnissen nehmen wir
soviel in Anspruch, als sich Jeder auf den Mittelschulen oder doch nach
einjährigem Besuche der Hochschule erworben haben kann.'*
Die im 6. Alinea mir aufgebürdete „Unrichtigkeit^ muss ich zurück-
geben. Selbst wenn ich übersehen hätte, dass der Herr Verfasser im sel-
ben Satze von der „specifischen Massenkraft" und von der „specifischen
Flächenkraft" spricht, so ist doch immer die Kraft für die Masse 1 gleich
der Beschleunigung. Und die „elastische Nachwirkung" (T.Alinea), ob diese
in eine im Jahre 1884 erscheinende, „der Sache und der Darstellung nach"
theilweise neue „Theorie der elastischen Körper" gehört oder nicht, darüber
kann man seit einigen Jahren verschiedener Ansicht sein.
Die kurze Anzeige des Aufgabenbuches erklärt sich nach dem Früheren
nunmehr wohl von selbst. Mein Standpunkt ist (wohl naturgemäss) ein
mittlerer zwischen den durch Ritt er 's Worte vorhin angedeuteten Stand-
punkten des Eingeweihten und des in die „neue Sache und Darstellung"
Einzuweihenden. Im Grunde genommen, machten auch Ritter und Wilt-
mann nur den Leser auf die „Theorie etc." aufmerksam. Um ferner gar
• Grashof *8 Recension steht mir. nicht zur Verfügung. Wied. Beiblätter,
1884, S. 408 — 411, enthalten eine BeeprecbuDg des Herrn Verfassers selbst.
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Recensionen. 29
keinen Zweifel übrig za lassen, ob meine Schilderung der Beziehung des
Anfgabenbuches zur „Theorie etc/' „wieder nicht ganz richtig** sei, mögen
ans dem Vorworte des Aufgabenbuches die Worte folgen: „Zu jeder Auf-
gabe ist angegeben, nach welchem Paragraphen der Theorie ihre Einschal-
tung gedacht ist/'
Das 10. Alinea handelt von meiner Erwähnung der Brochure des Herrn
Verfassers, die mir Herr Professor Cantor nachträglich noch zugesandt
hatte, auf dass ich hierüber etwa gleichzeitig referire. Da hat aber Herr
Prof. W. augenscheinlich mich selbst unrichtig citirt, indem ich ausdrück-
lich Robert Mayer als den „Autor** genannt habe. Eine Verwechselung
meinerseits wäre sonst allerdings „unbegreiflich". Was auch ein Helm-
holtz im Jahre 1847 „Kraft*' genannt hat, würde ich im Jahre 1885 ins-
besondere „zur Orientirung** lieber mit „Energie** benennen.
Schliesslich (11. Alinea) ist jetzt jede der genannten Schriften zum
dritten Male der Leserwelt dieser Zeitschrift nahegelegt worden. Die „ür-
theile** — ich habe mich, wie gesagt ^ eines solchen enthalten — werden
nach meiner Vermuthung, insbesondere wenn gewogen und nicht blos gezählt,
mindestens zum Theil negativ lauten. Ob ich die „nöthige Vorsicht'* dabei
versäumte — dies kann ich in mehrfacher Beziehung selbst zugeben.
Kürz.
WiTTWBR, Orandzftge der Molekularphysik und der mathematisclien
Chemie. Stuttgart, Wittwer. 1885.
Der Verfasser hat seit einer Reihe von Jahren seine mathematischen
Untersuchungen über Erscheinungen aus den Gebieten der Physik und Chemie
in dieser Zeitschrift veröffentlicht. 1871 erschien eine Zusammenstellung
seiner Arbeiten unter dem Titel : Die Molekulargesetze. (Leipzig , Teubner.)
Nunmehr legt er seine späteren , besonders der Chemie gewidmeten Arbeiten
gesammelt vor.
Im I. Abschnitte seines Buches entwickelt der Verfasser mit mehrfacher
Bezugnahme auf sein früheres Werk seine Ansichten über die Constitution
der Körper, Sein Bestreben ist — wie die Kenner seiner früheren Ver-
öffentlichungen wissen — , der Ne'w ton 'sehen Auffassung der Naturkräfte
auch auf dem Gebiete der molekularen Erscheinungen Geltung zu ver-
schaffen. Das Bewegende als Fernewirkung zu denken, ist eine Anschau-
ungsweise, die auf allen Gebieten so schöne Früchte getragen hat, dass es
immer wie ein Axiom erschien, auch die Molekularerscheinungen müssten
mit solchen Mitteln einer umfassenden mathematischen Behandlung zugäng-
lich sein, obschon sie bisher jedem tiefergehenden Versuche in dieser Rich-
tung widerstanden haben.
Der Verfasser folgt auch darin noch den herrschenden Anschauungen,
dass er auf dem Boden des Atomismus steht. Im Räume denkt er sich
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30 Historisch - literarische Abtheilung.
discrete (kugelförmige / Atome vertheilt und schreibt die meisten Verschie-
denheiten der Körper den Verschiedenheiten in der Aneinanderlagerang dieser
Theilchen zu.
Ich hebe den Anschluss der principiellen Ausgangspunkte des Ver-
fassers an die herrschenden Anschauungen hervor, da es von Bedeutung ist,
zu sehen, wie weit man durch die mathematische Verfolgung dieser Ideen
auf den Gebieten der Molekularerscheinungen gelangen kann. Es mehrt
sich ja die Zahl Derer, welche Fortschritte im mathematischen Naturerken.
nen nur von dem Aufgeben der Vorstellungen des Atomismus und der
Femewirkung hoffen und vor Allem in der stetigen BaumerfUllung eine
Quelle weiterer Erkenntniss suchen. Crerade diesen Gegnern des principiellen
Standpunktes, den der Verfasser vertritt, möchten dessen AnsfQhrangen als
ein Massstab für die Berechtigung ihrer eigenen Ansichten von Interesse sein.
Die Atome denkt sich der Vei*fasser theils als Massenatome, theils als
Aetheratome. Von ersteren nimmt er soviel der Grösse nach verschiedene
Arten an , als chemische Elemente existiren ; die Aetheratome sind von ein-
ander nicht verschieden. Alle diese Atome üben Femwirkungen ans, die
dem New ton 'sehen Gesetze folgen, wobei Gleichartiges sich abstösst. Un-
gleichartiges sich anzieht. Der Verfasser bemerkt sehr richtig, dass seine
Massentheilchen der negativen, seine Aethertheilchen der positiven Elektri-
citftt entsprechen; seine Ansichten berühren sich demnach mit gewissen von
Zöllner vertretenen Annahmen. Er unternimmt es nun, aus den Kräften
seiner Atome alle bekannten Naturkräfte herzuleiten. An Stelle des Newton-
sehen Gesetzes müsste wohl das Web er 'sehe treten, wenn auch die elektro-
dynamischen Erscheinungen in den Bereich der Untersuchung gezogen würden.
Die Anziehungen und Abstossungen der Atome haben zur Folge, dass
jedes Massentheilchen mit einem oder einigen Aethertheilchen in Berühmng
tritt, die sich gleichförmig über seine Oberfläche vertheilen. Eine solche
Oombination von Theilchen ist ein „Atom im chemischen Sinne ** ; dasselbe
bildet um sich eine Djnamide, indem es die Dichtigkeit des umgebenden
Aethers verändert. Die Dichtigkeit der Djnamiden und deshalb auch des
Körperäthers ergiebt sich nun geringer als die des freien Aethers. Um
dieses von den Eigenschaften der Red tenb acher 'sehen Djnamiden ab-
weichende Resultat mit den Ergebnissen der Lichtbrechung in Uebereinstim-
mung zu bringen , führt der Verfasser in der bekannten Formel c = y(e : d)
nicht nur d, sondern auch e als Function des Atomabstandes ein. Im In-
teresse der Klarheit wäre es wünschenswerth , dass der dabei benutzte Be-
griff der linearen Dichtigkeit eines Körpers genau definirt oder überhaupt
vermieden würde.
Der Hauptinhalt des Buches, der II. Abschnitt, ist der Untersuchung
einiger chemischen Atome und ihres gegenseitigen Verhaltens gewidmet.
Die Gruppirung der Aetherkugeln um die Massenkugel ist ohne Einflnss auf
die Wirkung in weite Ferne, ermöglicht aber mannigfache Wirkungsweisen
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Becensionen. 31
in Bezug auf benachbarte Atome. Diese Mannichfaltigkeit nöthigt den Ver-
üuser oft zu einer willkürlich erscheinenden Wahl; dadurch wird es wohl
möglich, der einen oder andern experimentell festgestellten Thatsache zu
genügen, aber man gewinnt nicht den Eindruck, dass der Theorie Voraus-
sagen möglich seien, wie sie der New tonischen Anschauung auf anderen
Gebieten so glänzend gelungen sind. Vor Allem hindert das auch die
mathematische Complication. ;,Die Grundlagen der chemischen Erschei-
nungen'^f sagt der Verfasser selbst S. 38, 9 sind wohl sehr einfach, aber in
der Anwendung giebt es der Haken allerlei. So einfach das Gravitations-
gesetz ist, so haben doch viele Erscheinungen, die durch dasselbe hervor-
gerufen werden, wie z. B. die Störungen, den Astronomen schon viele Arbeit
gemacht, und derartige Sachen, wie die Störungen, erwarten den rechnen-
den Chemiker in noch höherem Grade, als den rechnenden Astronomen.
Man steht hier einem Gewirre von Erscheinungen und Wirkungen gegen-
über, bei dem es oft sehr schwer föllt, den Weg zu finien, und es wird
darum auch keinen Mangel an Fehlschlüssen geben. Ganz geringfügig er-
scheinende Umstände sind mitunter von höchster Bedeutung. Grosse Schwie-
rigkeiten bietet die rechnerische Behandlung des Gegenstandes, denn fort
und fort hat man mit vielgliedrigen Ausdrücken zu kämpfen. . . . Ich ver-
lasse mich jedoch hier auf das: Kommt Zeit, kommt Rath. Hat sich ein-
mal das Bedürfniss ordentlich eingestellt, so werden sich auch bei der
mathematischen Behandlung des Stoffes Mittel und Wege finden lassen, von
denen man zur Zeit keine Ahnung hat.^ Also gerade an dem Punkte, wo
unter allen Umständen — mögen die Hypothesen gewählt werden, wie sie
wollen — nach unserer Auffassung das grosse Problem der mathematischen
Chemie beginnt, muss der Verfasser beinahe die Waffen strecken. Selbst
zugegeben , dass dies an der ganzen bisherigen Entwicklung der Mathematik
liegt und daher nicht ihm persönlich zur Last fällt, so spricht es doch
gegen den Nutzen seiner Hypothesen, da es hindert, dass dieselben zur Zeit
fruchtbringende Leitfaden für Experimentaluntersuchungen sein können.
Andererseit-s verdient hervorgehoben zu werden, dass die Theorie einen
guten Anschluss an einzelne Thatsachen gewinnt. Die Abhängigkeit der
Atomvolumina von den Atomgewichten, die periodische Abhängigkeit des
elektrischen Verhaltens der Elemente vom Atomgewicht fügen sich gut der
Theorie ein, und der Verfasser verfehlt nicht, sie zu Nutzen seiner An-
sichten zu verwerthen.
Im III. Abschnitt wird die Wärme als eine schwingende Bewegung
der Atome behandelt. Die Folgen der zwischen benachbarten Atomen ein-
tretenden Stösse werden nur an Zahlenbeispielen erörtert. Wäre an Stelle
dieser schwerfälligen Darstellung nicht die Anwendung der Wahrscheinlich-
keitsrechnung in der Weise MaxwelTs angezeigt?
Die schwingenden Theile üben aufeinander eine New ton 'sehe Fernwir-
kung aus, die sich als abhängig von der Geschwindigkeit . der Bewegung
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32 Historisch -literarische Abtheilnng.
erweist. So ergiebt sich die Abhängigkeit der Yolumzunahme Ton der
Temperatnrzunahme. Sehr ansprechend ist der Gedanke, jene sei als eine
(algebraische) Function dieser darstellbar, dergestalt, dass der üebergang
eines Körpers aus einem Aggregats- oder allotropen Zustande in einen
andern auf dem Imaginärwerden eines Zweiges der Function beruhe. Die
dafür angeführten mühevollen Beweise aus Beobachtungen sind freilich nicht
ausreichend: es hätte doch — von anderen Punkten abgesehen — gezeigt
werden müssen , dass die Beobachtungen zweier verschiedener Zustände einer
und derselben Gleichung entsprechen und verschiedene Werthereihen der-
selben Function darstellen, während der Verfasser nur zeigt., dass das Ima-
ginärwerden einer Function , ^ die sich einigen Beobachtungen eines Zustan-
des anschliesst, mit der beobachteten Temperatur der Zustandsftnderung
zusammenföUt.
Ich hob oben hervor, dass die Untersuchungen des Yer^Etösers auf den
älteren Principien der Physik fussen. Wie fern er zum Theil den modernen
Anschauungen gegenübersteht, tritt besonders an einer Stelle scharf hervor.
Dem Gesetze der Wärmeäquivalenz schreibt er keine umfassende Bedeutung
zu; es gilt nach ihm nur für Gase; wo innere Arbeiten eingeführt werden
müssen, bezeugen diese nur, dass eben das Gesetz nicht gilt. —
Viele begegnen theoretischen Untersuchungen , wie die sind , denen der
Verfasser seine literarische Thätigkeit gewidmet hat, nur mit kühler Ab-
weisung. Freilich lässt sich nicht verkennen, dass die Experimentalunter-
suchungen trotz der eifrigen Arbeit der Chemiker uns erst an die Schwelle
der tieferen Einsicht in die chemischen Beziehungen geführt haben, also für
theoretische Grundlegungen noch wenig herangereift sind. Wir kennen z. B.
das chemische Verhalten der meisten Körper nur innerhalb geringer Druck-
grenzen, ja theilweise nur zwischen massigen Temperatur- oder Potential-
differenzen. Andererseits aber lehrt die Geschichte der exacten Wissen.
Schäften, wie gewaltig oft eine glücklich ersonnene Hypothese die experi-
mentelle Arbeit gefördert hat. Deshalb reizen doch mit vollem Rechte die
dunklen Gebiete zu immer neuen Anläufen. Helm
F. Habtner, Handbuch der niederen Oeodttaie. 6. Aufl., bearbeitet von
J. Wastler. Wien, Seidel & Sohn. 1885. XII und 786 S. mit
425 Holzschnitten und 2 Tafeln. Preis 16 Mk.
Das vorstehend angekündigte Handbuch erschien zuerst 18o2. Mit
der Bearbeitung der 5. Auflage hat H artner Herrn Professor Wastler
in Graz beauftragt, welcher nun nach Hartner's Tod auch die vorliegende
6. Auflage besorgte. Nebst Bauern feind 's Elementen der Vermessungs-
kunde, welche ebenfalls in 6. Auflage vorliegen und deren 1. Auflage auch
ungefähr zur selben Zeit wie Hartner's Buch erschien (1856 — 1858), und
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Becensionen.
dem ersten Bande, des Handbuchs der Vermessangskonde von Jordan ist
das angezeigte Werk das am weitesten verbreitete Lehrbuch der niederen
Geodfisie.
Das Buch hat in der neuen Auflage gegenüber der ftLnften wesentliche
Erweiterungen erfieihren und ist In dieser neuen Form noch besser als
seitdem geeignet, dem Studium der niederen Oeodftsie, soweit diese über-
haupt ans Büchern zu erlernen ist, zu Grunde gelegt zu werden. Wenn
ich mir im Folgenden trotzdem einige Aenderungsvorschläge erlaube ^ so
bitte ich, daraus lediglich auf das grosse Interesse zu schliessen, welches
ich an den ferneren Umgestaltungen des Buches nehme.
Zunächst möchte ich auf Mängel der Baumvertheilung in dem Werke
hinweisen, auf eine gewisse UngleichfÖrmigkeit in der Ausführung der ein-
zelnen Partien; es werden nicht selten nebensächliche Dinge mit grosser
Ausführlichkeit vorgeführt auf Kosten thatsächlich wichtiger Gegenstände.
Auf der einen Seite wird z. B. angestrebt, ein Stück Geschichte der geo-
dätischen Instrumente einzuflechten , wogegen in einem Handbuche wohl
nichts zu erinnern gewesen wäre, wenn die Idee gleichmässig und in ge-
drängter Form zur Durchführung gekommen wäre , was aber nicht der Fall
ist. Ein anderes als histoiisches Interesse können die früheren dioptrischen
Instrumente, das Astrolabium, die (übrigens nicht erwähnte) Zoll mann 'sehe
Scheibe, die Kanalwaage, die Wallwaage u. s. f. heute doch kaum mehr
beanspruchen. An Stelle der beiden letzteren wäre wohl besser eines der
kleinen Instrumentchen, welche zu flüchtigen Nivellements bei generellen
flöhenaufnahmen oder Tracenstudien neben dem Nivellirinstrument gute
Dienste leisten, aufzunehmen gewesen (Mejdenbauer*8 Pendelspiegel,
Patentgefällmesser von Mayer; der letztere ist nur in einer Anmerkung
erwähnt). Femer ist eine Reihe von Gegenständen aufgenommen, welche
kaum in einem Hcmdbuche der niederen Geodäsie gesucht werden können;
wozu die ausführliche Beschreibung der Heliotrope, wozu gebrochenes Fem-
rohr und Prismenocular, wozu die lange Beschreibung von Sextant^ Spie-
gelkreis, Prismenkreis, da diese letzteren Instramente für die Horizontal-
winkelmessung gar nicht mehr und für die Höhenwinkelmessung der niederen
Geodäsie neben dem Höhenkreise der Theodolite und neben der Mikro-
meterschraube kaum je in Frage kommen? Sodann ist veralteten Messungs-
methoden ein sehr breiter Baum gegönnt, so besonders den Horizontal -
aufnahmen mit dem Messtische. Es ist allerdings ganz ungerechtfertigt,
den Messtisch überhaupt als einen veralteten Apparat zu bezeichnen, wie
dies neuerdings ziemlich allgemein geschieht. Er ist für die Aufnahme
von Höhencurven bei formenreichem Terrainrelief, besonders für Auf-
nahmen topographischer Art in kleinerem Masssiabe, ein unersetzliches In-
strument. Eine sorgfältige Höhenauhiahme dieser Art mit dem Messtische
wird die Höhencurven in richtigerer Gestalt, besonders charakteristischer
im Detail liefern, als eine Aufnahme mit dem Tachymetertheödolit -bei
Hltt^Ut. Abtblff A. ZeltMbr. t Mftth. u Phyt. XXXI, 1. 3^
)ei T
oogle
34 Historisck- literarische Abtbeilung.
gleicher . Zahl der Höhenpunkte, indem im ersten Falle eine Menge von
werthvoUen Notizen nnd Einträgen nach dem Angenmaass gleich bei den
betreffenden Punkten gemacht werden können, welche bei der Curven-
constrnction treffliche Dienste leisten. Die nachträgliche Vergleichung der
aus einzelnen mit dem Theodolit aufgenommenen Punkten construirten Cnr-
yen mit der natürlichen Oberflächenform hat meist nicht viel Werth, und
da die zur Aufnahme einschliesslich der Ausarbeitung erforderliche Zeit für
beide Methoden , wie dem Referenten zahlreiche Versuchsmessungen ergeben
haben, nahezu gleich ist, so ist der Messtisch mit Tachymeteraufsatz häufig
(natürlich nicht immer) vorzuziehen. Das der Aufnahme zu Grunde lie-
gende Situationsnetz ist aber, wie bereits angedeutet, besser durch Triangu-
lirung und Stationirung mit dem Theodolit herzustellen, selbst für ziemlich
ungenaue Aufnahmen; und zu genaueren Horizontalaufnahmen, aus welchen
später z. B. Grundstücksflächen entnommen werden sollen , ist der Messtisch
in Ländern, in welchen der Grund und Boden nicht ganz werthlos ist,
nicht mehr zu gebrauchen.
Warum sind endlich mehrere Distanzmesserconstructionen , zum Theil
ausführlich, beschrieben, welche auf dem Princip der Parallaxenmessung
beruhen, da doch diese Instrumente, welche für militärische Zwecke gut
genug sein mögen , für geodätische Messungen alle zusammen nichts taugen ?
Sogar keines der neuen „Schnellcotirinstrumente*', die speciell als Ersatz
des gewöhnlichen Tachymeters mit Fadendistanzmesser, gutem Femrohr
und groben, leicht lesbaren Theilungen construirt sind, wird das zuletzt
genannte Instrument verdrängen können.
Dieser breiten Ausführung unwichtiger Dinge — bei welcher man nur
dankbar sein muss, dass nicht auch noch die Beschreibung jener grossen
Beihe von „ Forstinstrumenten ^ der niedersten Geodäsie aufgenommen ist,
welche meist erfindungslustige Forstleute zu Schöpfern haben und sich durch
nichts vor den sonst üblichen Instrumenten auszuzeichnen pflegen, als durch
ihre ünbrauchbarkeit — steht nun auf der andern Seite vielfach eine grosse
Knappheit in der Behandlung wichtiger Gegenstände gegenüber.
Bei Beschreibung der Winkelmessung mit dem Theodolit ist z. B. keines
der angegebenen Winkelprotokolle bequem und übersichtlich und von der
Messung mit Compensation ist erst beim Bepetiren die Bede. Nirgends ist
femer eine genügende Anleitung ;sum Messen der Höhenwinkel gegeben.
Die aufgestellten Nivellementsformulare sind ebenfalls nicht bequem; es
giebt deren bekanntlich nur zwei gute , von welchen ich nach mehxjährigem
Gebrauche beider nebeneinander, das neuere mit Trennung der Bückwärts-,
Zwischen- und Yorwärtsablesungen und der Horizont- und Punkthöhen, so-
wie mit einer sehr 'einfachen Bechnungscontrole , vorgezogen habe. Dieses
Formular scheint nicht so allgemein verwandt zu werden, wie es seiner
Uebersichtlichkeit wegen insbesondere für den Beginn des Studiums ver-
diente. Eine erschöpfende Anleitung zu den verschiedenen Methoden der
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Becensionen. 35
Qnerprofil -Aufnahme fehlt. Die graphischen Ansgleichnngsmethoden, welche
vielfach für die niedere GeodSsie von Bedentnng sind, finden sich kaum ge-
legentlich erwähnt. Die Angaben über das Abstecken von Kreisbögen , wie
über die Aussteckungen überhaupt sind ebenso dürftig ausgefallen. Es fehlt
z. B. bei den Kreisbögen die Methode der rechtwinkligen Coordinaten mit
runden Abscissenintervallen, welche der allein angeführten Methode der
Aussteckung unter sich gleich weit abstehender Bogenpunkte, wobei deren
Abscissen und Ordinaten unrunde Zahlen werden, fast immer vorzuziehen
ist. Die 80 überaus wichtige Tachymetrie muss sich an einem Anhang ge-
nügen lassen, und wie wenig gerade dieser dem thatsSchlichen Bedürfhiss
entspricht, möge daraus hervorgehen, dass die bequemen Rechnungsmittel,
welche die Tachymetrie erst zu diesem Namen berechtigen , nicht angeführt
werden. Im ganzen Buche ist die Rechenmaschine nicht erwähnt; speciell
in diesem Anhang fehlt eine bequeme Rechnungsvorschrift für den Reichen-
bach'sehen Distanzmesser, fehlt jede Andeutung über den Wil duschen
Rechenschieber oder die Jordanischen Diagramme und Hilfstafeln.
Zum Schluss dieser allgemeineren Bemerkungen möchte ich noch
darauf hinweisen, dass mir die Rechnung mit sechsstelligen Logarithmen,
welche der Verfasser durchgängig anwendet, unzweckmässig scheint, da die
Genauigkeit derselben über die in der niederen Geodäsie angestrebte meist
wesentlich hinausgeht. B6 lange es sich bei Rechnungen im Coordinaten-
system um so kleine Coordinatendifferenzen handelt, wie der Verfasser stets
voraussetzt, vor Allem also bei allen polygonalen Zügen, ist die Anwen-
dung fünfstelliger Tafeln geboten, und nur ausnahmsweise kann daneben
eine sechsstellige Tafel fQr die Aufgaben des Vorwärts- oder Rückwärts-
einschneidens bei langen Visuren erforderlich sein.
Es möge mir nun noch gestattet sein, einige wenige der Wünsche,
welche ich im Einzelnen hätte, namhaft zu machen. Das Princip, den
Gebrauch der Instrumente der Angabe ihrer Rectification , beim Theodolit
sogar der Beschreibung des Instruments selbst voranzustellen, wird nicht
durchaus zu billigen sein. S. 19 u^ 20 wird für den Oentesimalgrad
degrS bezw. '^ geschrieben , für die Minuten und Secunden ' ", während dann
später (S. 280) wieder einfach ® ' " dafür steht; es empfiehlt sich hier sehr,
die Minuten und Secunden bei Centesimaltheilung gar nicht besonders zu
bezeichnen. S. 24 wird empfohlen , sich für das Abschreiten einen bestimm-
ten Schritt anzugewöhnen und noch dazu den kleinen Normalschritt (0,75 m)
des österreichischen Militärs, was entschieden nicht zu empfehlen ist. S. 125
hätte von der Messkette gesagt werden sollen, dass sie nicht mehr anzu-
wenden sei und S. 127 von den Messbändem aus Hanf und den Mess-
schnüren, dass sie zu gewöhnlichen Längenmessungen gar nicht, zu ge-
wissen Zwecken aber (hydrometrische Arbeiten z. B.) mit Vortheil zu ge-
brauchen sind. S. 141 und später ist nur die letzte der angegebenen Latten
als einigermassen zweckmässig getheilt zu bezeichnen, dagegen fehltnuuch j
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36 Historisch -literarische Ahtheilung.
bei ihr vollstSndig die Angabe einer rationellen Bezifferung, welche be-
kanntlich ftlr die Sicherheit und Baschheit der Arbeit von grösster Bedeu-
tung ist. S. 145 ist die Verschiebbarkeit der Distanzföden beim Faden-
distanzmesser als wünschenswerth bezeichnet. Referent hat jedoch stets
feste Fäden vorgezogen wegen der jahrelangen Unverftnderlichkeit der Con-
stanten, auch wenn die „Fftden" nicht auf einem Glas- oder Glimmer-
bl&ttchen angebracht sind; feine MetallflUien , zu denen man zum Theil
wieder zurückkehrt, sind Spinnfäden wegen der hygroskopischen Eigenschaf-
ten der letzteren vorzuziehen. Es ist allerdings nicht möglich, beim Ein-
ziehen fester Fftden die Entfernung derselben so zu reguliren , dass die vom
Verfasser mit K bezeichnete Constante genügend genau gleich einer ge-
wünschten runden Zahl werde. Es ist dies aber, sobald man zur Ermitte-
lung von 2) eine mittelst der Rechenmaschine hergestellte Tabelle anwendet^
auch gar nicht nothwendig und femer machen verschiebbare DistanzfMen
eine viel häufigere Bestimmung von K erforderlich, als feste. S. 165 wi&re
bei dem Winkelspiegel in Verbindung mit dem Spiegelkreuz die Anordnung
der beiden Instrumente übereinander (wie bei den von Gold seh mid und
seinen Nachfolgern hergestellten Instrumenten) statt nebeneinander vorzu-
ziehen. 8. 166 fehlt die neuere Construction des Bauernfeind'schen
Prismenkreuzes. S. 179 ist nicht beachtet, dass bei kleinen Theodoliten
meist eine auf die horizontale Axe aufsetzbare Dibelle gar nicht vorhanden
ist. üeber die Reotification der Libellenaxe bezw. der vertikalen Drehaxe
wird nichts gesagt. S. 199 fehlt eine Angabe über die Justirung des
Schraubenmikroskops. S. 211 hätte wohl besser eine der ausgezeichneten
Breithaupt 'sehen Bussolen mit centrischem Femrohr Aufnahme gefunden.
S. 282 muss der Leser zunächst den Eindrack bekommen, als ob der
Befractionscoefßcient eine Constante sei; die nachträglichen Bemerkungen
8. 615 werden nicht genügen. S. 324, bei der sehr ausftLhrlichen Behand-
lung der Messtischlösungen der Po theno tischen Aufgabe, wäre vielleicht
entschiedener, als es geschieht, darauf hinzuweisen, dass die zahlreichen
Hilfsmittel zur mechanischen Lösunff der Aufgabe, welche meist auf das
Princip des alten englischen Dreischenkelzirkels hinauskommen, unbrauch-
bar sind, indem dieselben bei wesentlicher Einbusse an Genauigkeit keine
Verein£EUihung oder Zeiterspamiss gegenüber der bekannten indirecten Me-
thode ergeben. S. 418 wäre zu erwähnen, dass die directe Berechnung der
Eleintriangulirangen und Stationimngen mittelst fünf-, in einzelnen Fällen
vierstelliger Logarithmen mindestens ebenso bequem und sicher ist, als die
mittelst der angeführten Eoppeltafeln. S. 444, 445 u. a. a. St. ist zu be-
merken, dass die „Vermessungsvorschriften VIII und IX" (ich will hinzu-
fügen, leider) nur für Preussen gelten. In dem Abriss der Methode der
kleinsten Quadrate (S. 460 — 524) hätte wohl auch noch eine Andeutung
über die Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleich-
ungen Aufnahme verdient, S. 537 wäre die Bemerkung erwünscht , dass
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Becensionen. 37
man sich die parallelen Ffiden des Old endorp 'sehen Planimeters für viele
Zwecke ersetzen kann durch gut getheiltes Millimeterpapier, welches zudem
das Auftragen der betreffenden Figuren erleichtert. Es giebt z. B. bei
Fischenberechnungen in Querprofilen kein einfacheres und besseres Mittel , als
das der mechanischen Ordinatenaddition mit dem gewöhnlichen Zirkel , wenn
die Profile auf gutes Millimeterpapier aufgetragen sind. S. 546 ist der
einfache A ms 1er 'sehe Polarplanimeter nicht erwfthni Obgleich Miller
Y. Hanenfels, dessen Instrument in der Starke 'sehen Modification be-
schrieben wird, seinen Polarplanimeter etwas vor Amsler construirt zu
haben scheint, so gebtthrt doch dem Letzteren, der seine Entdeckung un-
abhängig machte, das Verdienst, durch die einfachen und billigen Instru.
mente, welche aus seiner Fabrik hervorgingen, die allgemeine Anwendung
des Polarplanimeters ermöglicht zu haben; und trotzdem, dass sein Instrument
an Genauigkeit durch die neueren Abänderungen weit überholt ist, ist es
doch so allgemein eingebürgert, dass es unbedingt aufzunehmen wäre.
Warum (S. 591) die Methode des doppelten Copirens genauer sein soll,
als die unmittelbar vorher behandelte (dritte) Methode des einfachen Durch.
Stechens , ist nicht einzusehen. S. 596 fehlt die Erwähnung des Panto-
graphen von Ott und Coradi in Kempten, welcher doch gerade als der
brauchbarste bezeichnet werden muss. S. 650 wird , obgleich auf S. 638
richtig angegeben ist, dass das Aneroid beim Gebrauch im Etui zu belassen
sei, empfohlen, auf den einzelnen zu bestimmenden Punkten eine Viertel-
stunde zuzuwarten, wozu nicht viele Geometer Zeit haben werden. Die
8. 761 angegebene Latte für tachymetrische Aufnahmen kenne ich nicht
aus Erfahrung , glaube aber nicht , dass sie besonders praktisch ist. Da man
hier von vornherein von grosser Genauigkeit der Arbeit absieht, so ist es
zweckmässig, für einigermassen bedeutende Entfernungen (etwa von 200m an
für die gewöhnlichen Femröhren) auf Ablesung der mm zu verzichten und
deshalb eine Latte anzuwenden, welche durch starke, etwa 1 cm breite
Striche nur in dm getheilt ist und an welcher dann durch Scnatzung cm
abgelesen werden. Auf der Latte können dann die Meterzahlen so gross
angeschrieben werden, dass sie stets lesbar sind, was der vom Verfasser
mitgetheilten Anordnung, welche zu Irrungen leicht Anlass geben muss,
sicher vorzuziehen ist.
Erfreulich ist, dass das Werk fast ganz frei ist von den sprachlichen
Besonderheiten, welche sich sonst bekanntlich zahlreich in österreichischen
Büchern ^ zumal technischen , zu finden pflegen.* In der nächsten Auflage
würde es sich wohl empfehlen, die jetzt noch beibehaltene alte Schreibweise
der Wörter Azimuth, Zenith zu Gunsten der neuen zu verlassen.
* In einem solcheD ißt mir z. B. einmal der Ausdruck „portative Katastral-
mappc"* aufgestosseu , der auBserhalb Oeeterreichs nicht überall ohne Weiteres
verständlich »ein wird. ^ j
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38 Historisch - literarische Abtheilung.
Das Buch ist vortrefflich ausgestattet und seine Benutzung durch ein
umfangreiches Register erleichtert. In dem letzteren fehlt das Wort
Theodolit.
Einer besonderen Empfehlung bedarf selbstverständlich das treffliche
Werk nicht mehr; dass es dem Bedürfniss eines stets sich erweiternden
Leserkreises entspricht , hat es durch die Reihe seiner Auflagen bewiesen.
Stuttgart, im Juli 1885. Hammer.
Die Erfonoliang der Soliwere durch Galilei, Hujgens, Newton als
Grundlage der rationellen Kinematik und Dynamik, historisch -didak-
tisch dargestellt von JuLiua Hehrici. Beilage zum Jahresbericht
des Heidelberger Gymnasiums für das Schuljahr 1884—1885. 4^
40 S. Bei B. G. Teubner, Leipzig. 1885.
Das gegenwärtig in Deutschland am meisten verbreitete Lehrbuch der
Mechanik, das von H. G. Kirchhof f, hat als Aufgabe sich gestellt, ,die
in der Natur vor sich gehenden Bewegungen vollständig und auf die ein-
fachste Weise zu beschreiben^. So gerechtes Aufsehen diese Definition bei
ihrem ersten Erscheinen machen musste, in ihrem bewussten Gegensatze
gegen die Mechanik der Kräfte, wie sie von den meisten früheren Schrift-
stellern aufgefasst wurde, so war sie doch nicht ganz ohne Vorgänger.
Herr M. A. Stern unterscheidet in seinen Zusätzen zur deutschen üeber-
setzung von Poisson's Mechanik (Berlin 1835, Bd. I, S. 552flgg.) eine
hypothetische Mechanik der Kräfte von einer Einwürfen weniger ausgesetz-
ten Mechanik der Bewegungen, und Referent hörte im Winter 1850 — 1851
bei eben diesem seinem verehrten Lehrer in Göttingen eine Vorlesung über
höhere Mechanik, in welcher wirklich nur von Bewegungen die Rede war.
Ist nun die moderne Bewegungslehre der alten Kräfteuntersuchung so
schnurstracks entgegengesetzt, dass die alten Ergebnisse der Sicherheit
verlustig werden, die man ihnen mehrere Jahrhunderte lang, wenn wir
auch nur bis auf Galilei zurückgreifen wollen, zuschrieb? Die Bejahung
dieser Frage war im höchsten Grade unwahrscheinlich, nachdem auch die
Lehrbücher neuesten Schnittes zu Ergebnissen leiten, die von den älteren
sich kaum anders als im Wortlaute unterscheiden. Aber es lohnte doch
die Frage zu stellen, und das hat nun Herr Henrici gethan. Er hat in
ausführlichen und genauen Auszügen gezeigt, wie die Galilei, Huygens,
Newton ihre Lehren aufbauten. Er hat aus diesen Auszügen mit dem
Takte des philosophisch denkenden Lehrers herausgeschält^ was von neuen
Ideen in dem alten Gewände sich barg, und hat so eine Abhandlung ge-
schaffen, welcher er mit Fug und Recht die Bezeichnung als historisch-
didaktisch beilegen durfte und welche wir in beiden Beziehungen einer all-
gemeinen Kenntnissnahme recht sehr empfehlen dürfen. Cantor
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Bibliographie
vom 1. bis 30. November 1885.
Periodisehe Schriften.
A i handlnngen der mathematisch -physikalischen Classe der königl. bayer.
Akademie der Wissenschaften. 15. Bd. 2. Abth. München , Franz.
10 Mk.
Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der W^issenschaften in Wien, mathe-
mat.- natnrwissenschaftl. Classe, Abtheil. II. 91. Bd., 4. u. 5. Heft.
92. Bd., 1. Heft. Wien, Gerold. 13 Mk. 50 Pf.
M^langes math^matiques et astronomiques , tir^s da buUetin de racad6mie
imp. des sc. de Petersburg. T. VI, livr. 3. Leipzig, Voss. 1 Mk.
Archiv der Mathematik und Physik , begr. v. Grükert, fortges. v. B. Hoppe.
2. Reihe, 3. Theil, 1. Heft. Leipzig, Koch, pro compl. 10 Mk. 50 Pf.
Vierteljahrsschrift der astronomischen Gesellschaft, herausgeg. v. E. Sghön-
FELD und H. Seelioer. 20. Jahrg. 1885. 3. Heft. Leipzig, Engel-
mann. 2 Mk.
Astronomische Nachrichten, herausgeg. von A. Kbüoeb. 113. Bd. (24 Nrn.)
Nr. 1. Hamburg, Mauke Söhne. pro compl. 15 Mk.
Oesohiohte der Physik.
Servus , H., Die Geschichte des Fernrohrs bis auf die neueste Zeit. Berlin,
Springer. 2 Mk. 60 Pf.
Reine Mathematik.
Baumoart, C, üeber das quadratische Reciprocitätsgesetz. Leipzig, Teubner.
2 Mk. 40 Pf.
Reuschlb y C. , Graphisch - mechanischer Apparat zur Auflösung numerischer
Gleichungen. Stuttgart, Metzler. • 2 Mk. 80 Pf.
Oppolzee , Th. V., üeber die Auflösung des Eeppler'schen Problems. (Akad.)
Wien, Gerold. 3 Mk. 20 Pf.
GoRDAN, P., Vorlesungen über die Invariantentheorie; herausgegeben von
G. Eerschensteiner. 1. Bd.: Determinanten. Leipzig, Teubner.
6 Mk. 40 Pf.
CuRTZE , M. , Liber trium fratrum de geometria. Nach der Lesart des Codex
Basileensis mit Einleitung und Commentar herausgeg. (Leop.- Carol.
Akademie). Leipzig, Engelmann. 3 Mk. 50, Pf. ^
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40 Historisch -liierarische Abtheiluog. Bibliographie.
DiHGELDBT, F., üeber die Erzeugung der Curven vierter Ordnung durch
Bewegungsmechanismen. Leipzig, Teubner. 2 Mk.
Weth, E., üeber Baamcurven fünfter Ordnung vom Geschlecht 1. 2. Mitth.
(Akad.) Wien, Gerold. 50 Pf.
Wiese, B. u. W. Lichtblau, Sammlung geometrischer Constructionsauf-
gaben. Hannover, Meyer. 2 Mk, 80 Pf.
Angewandte Mathematik.
Hebz, N., Lehrbuch der Landkartenprojection. Leipzig, Teubner. 10 Mk.
Nbumann, F.y Vorlesungen über die Theorie der Elasticität der festen K5r-
per und des Lichtäthers, herausgegeben von 0. E. Meter. Ebendas,
11 Mk. 80 Pf.
Physik und Meteorologie.
Lehmann, 0., Physikalische Technik, spec. zur Selbstanfertigung physika-
lischer Apparate. Leipzig, Engelmann. 8 Mk.
Mann, F., Grundzüge einer ündulationstheorie der Wärme. Neue Bearbei-
tung. Würzburg, StaheL 2 Mk. 50 Pf.
Oettinoen, A. V., Die thermodynamischen Beziehungen, antithetisch ent-
wickelt. (Petersb. Ak.) Leipzig, Voss. 2 Mk.
Rühlmann , R., Handbuch der mechanischen Wärmetheorie. 2. Bd. 3. Lief.
(Schluss.) Braunschweig, Vieweg. 10 Mk., compl. 46 Mk.
Hxmstedt, f., Eine Bestimmung des Ohm. Freiburg i. B., Mohr.
1 Mk. 60 Pf.
Planta, G., Untersuchungen über Elektricität. üebers. v. G Wallentin.
Wien, Holder. 5 Mk. 60 Pf.
Spbung, A., Lehrbuch der Meteorologie. Hamburg, Hofimann & Campe.
10 Mk.
Bredichin, Th., Sur les oscillations des jets d'^mission dans les com^tes.
(Acad.) Leipzig, Voss. 1 Mk. 20 Pf.
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Taf. 1.
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Yerkg rou Fried rlth Vii^w>
1)11 in ItriiiiuMiivrei^«
Handbuch der meGhanischen Wärmetheorie
von
Prof. Dr, Hiclisra
mu.
ZWfl Bilnile. Mit zahiretciien » ; tun BD^tichei)
gl % geh. Pfeift 46 Hark.
Verlag von hoiiH K©bi?rl iti Hall
Co leiL. TBeorie und QeBQhiobts^
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Tlaomitr*
und der .
^ R. hr, ü M*iii* 2i} i'f.
Thtutine« rri>f ih L. HmJeittuii^iii die TheoriB der be«tüamtejä I&ift^«li>«
gX 4. br. t Mark m IT
TliiiiiiAv, Prni. lir. J.. Bbetie g^ds^^HAOlie 0ebi]de «t^er iwid uwedter
Ordnung vo^ kte d^ aevar^^irie der luiff« t><»trao1ttet,
Ljr. -1. lir '2 ' __
i!> r ellipti stoben iLnd loneii gebraucht
'Tlioifiae. Prof Dr J. Ueber eine speclette KIiumiq Alj^reolier IHioktioaeo.
Tbuiiiiit'. Tiof, iJr J., Üebcr eine Punktion, welöhe euior Lineareu Dif-
fereutml- und DifTeren-^uoifleitthuiie vierter Ordnting G^nü^ l^jtstet^
0enfi, T^i (\ e ütH^rMiLTnm^fün tili O^bield der trlgO]ia>
Tid der FoDT
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<iicliitbi'r« f -'-^ Pr Si-';iM Ute der mat.
und pby lö, ifi, t^ b.» 12 Miirk,
C}0iitti4*r, Ii«hr© van deö g^ewdlmlieben tmd y©r»
^igrale. Zvreile rerb^ie^rte
RAftlckr. r dJo Eereotoun^ der Bornoulli«
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€Nt u^ ^iim Reehnen mit den {Hajnflton-
^rU0Ulorll, Dr J Ant,, Ueber Beta- ut. 'ifunitticjnea, gr-4, f»0 Ff
F r r u e , I» r (t , B egrlffa schrif t . Im n t^ ? i e t i ■ h € ii rnic h gti hihi «te Formel •
npr;vh** ciejf rrinru Üeukina gr ^ br
tl4»vlilic*itn. Hr. Ad , Ueber die Biö^erenti. _ -i n der KegMacliiutte. ^r $
br li \hiTk.
üorbfif (iii. Pr A4., Ueber Fol© und Pol&reti der paraboliBoheia Citrven
gr. i. br. 1 MiirV,
11 «M i 1 Ad., KAfi ni Hi^ftb ("lenCtK^'^r^r^ ^Wt Anf.hm*^ft!r'' des Abts
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Historisch -literarische Ahtheilung.
Wilhelm Unveraagt.
Ein Nekrolog von einem ehemaligen Schüler.
Vor wenigen Wochen hat man in Wiesbaden einen Mann zu Grabe
getragen, dessen Wirken als Lehrer und Vertreter der mathematischen
Wissenschaften ihn eines Nachrufs an dieser Stelle dürfte werth erscheinen
lassen — den Director der vormaligen Oberrealschule zu Wiesbaden , Herrn
Professor Unverzagt.
Wilhelm Unverzagt wurde am 17. December 1830 als der zweite
Sohn des Schmiedes Ludwig Unverzagt zu Bad Ems geboren. Schon in
der Elementarschule seines Heimathsortes zeigte er so hervorragende Geistes-
anlagen, dass seine Lehrer in den Vater drangen, einen so talentvollen
Knaben weiter ausbilden zu lassen. Dieser, welcher den Sohn anfangs fOr
den eigenen Beruf bestinmit hatte, gab schliesslich ihrem Drängen nach
und sandte ihn, da Ems selbst noch keine höhere Schule besass, im
Herbste 1844 auf die Realschule nach Wiesbaden, von welcher er im
folgenden Frühjahre auf das zu dieser Zeit ins Leben gerufene Realgym-
nasium derselben Stadt überging. Das Erbtheil des väterlichen Hauses,
Sinn für bescheidene und gediegene Arbeit, begleitete ihn in die neue Schule,
an welcher er bald alle seine Kameraden überflügelte. Was ihn damals
anspornte, sehen wir aus seinen eigenen (von einem Bruder überlieferten)
Worten: „Ich dachte an meinen Vater, der, ein einfacher Handwerker,
wegen etlicher Arbeiten, in denen er Meister war, in Ems und der Um-
gegend ein besonderes Ansehen genoss, und auch an meinen Bruder, der
dem Vater auf diesem Wege folgte, und ich sagte mir: Was sie in ihrem
Berufe fertig bringen, das musst du in dem deinigen, den du ihrer Opfer-
willigkeit verdankst, erst recht leisten — und ich arbeitete mit dreifachem
Fleisse."
Im Frülgahre 1850 machte er das Maturitätsexamen und widmete sich
dann auf den Universitäten Marburg und GOttingen dem Studium der Mathe-
matik und der neueren Sprachen. Er blieb der Anstalt, auf der er seine Vor-
bildung genossen, nicht lange ferne. Nachdem er zu Beginn des Jahres 1854 das
Hiii.-lit AbtlÜR. d. ZeitMhr. t M»th. u. Phj«. XXXI, 2. -4
ogle
42 Historiscli- literarische Abtheilung.
Staatsexamen ehrenvoll bestanden, wurde er zu Ostern desselben Jahres
dem Realgymnasium zu Wiesbaden als Probecandidat zugewiesen. Es ent-
sprach nur seiner Arbeitskraft und Arbeitslust, dass ihm sofort eine grössere
Anzahl von Stunden übertragen wurde. Unter schwerer Arbeit trat er in
den Dienst , schwere Arbeit war sein ganzes Lebenslos ; aber sie sichert ihm
auch das treue Gedenken aller derer, in deren Herzen er den Sinn ftlr
Arbeit gepflanzt hat.
Zwei Jahre verblieb er in dieser Stellung, dann ging er zu seiner
weiteren Ausbildung auf ein Jahr nach Paris. Neben dem Studium der
französischen Literatur fesselte ihn dorten namentlich das Studium der
französischen Mathematiker. Bei seiner Bückkehr wurde er als Collaborator
an der städtischen höheren Bürgerschule angestellt, die gerade damals yon
dem Realgymnasium war abgezweigt worden, und wirkte dann vier Jahre
an derselben.
Zu Ostern 1861 kehrte er zum zweiten Male au das Realgymnasium
zurück. Nachdem er an demselben schon seit einem halben Jahre mit
wöchentlich neun Stunden Aushilfe geleistet hatte, wurde er der Anstalt
als Conrector überwiesen und lehrte von da an an derselben 16 Jahre lang
Mathematik und Französisch in den oberen Classen. Hiermit hatte er einen
Wirkungskreis gefunden , der seinem Wollen und Können in gleicher Weise
entsprach, und rasch kam innerhalb desselben seine Thatkraft zur vollen
Entfaltung.
Kurz vor Unverzagtes Rückkehr zur Anstalt nämlich war der da-
malige Director, der rühmlichst bekannte Mathematiker J. H. T. Müller,
in der Lage gewesen, die beiden Jahrgänge der Prima in den wichtigsten
Lehrfächern zu trennen. Mit dieser Trennung hatte er eine Erhöhung der
Ziele des mathematischen Unterrichts verbunden, indem er von Frühjahr
1860 an in der Oberprima Dififerential- und Integralrechnung lehrte. Um
dieselbe Zeit begann der Unterricht in der darstellenden Geometrie nach
streng mathematischer Methode durch alle Classen der Anstalt Hiermit
hatte der Lehrplan der Anstalt die Gestalt gewonnen, die er 22 Jahre hin-
durch trotz mancher Anfechtungen in den letzten Jahren seiner Geltung im
Wesentlichen beibehielt, bis ihm die Ministerial -Verfügung vom 31. März 1882
ein Ende bereitete. Der Schöpfer dieser Consolidation konnte sich seines
Werkes nur kurze Zeit freuen; er starb schon in den Prühjahrsferien des
Jahres 1861.
Sein Schüler Unverzagt wurde sein Nachfolger im Unterrichte und
diese Nachfolge war auch eine solche des Geistes mit der durch die Indivi-
dualität bedingten Modification. An dem von Müller aufgestellten Grund-
satze: »Der Lehrstoff ist so anzuordnen, dass der Schüler den Plan, nach
welchem er verarbeitet wird, jederzeit übersehen und selbst construirea
kann", hielt er getreulich fest. Schon hierdurch war sein Unterricht an-
regend; er wurde es in noch höherem Grade durch den Geistesreiohthum
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Wilhelm unverzagt
und die Lebhaftigkeit des Lehrers, üeberall stand das Princip der Ent-
wickelang in dem Vordergründe: die einzelnen Wahrheiten traten in den
meisten Fällen nicht von vornherein in der Form fertiger Lehrstttze vor
den Schiller, sondern erschienen als das Resultat einer Untersuchung, deren
Abschluss auf neue Untersuchungen hinwies. Dabei hob Unverzagt be-
sonders scharf die Resultate hervor, welche über den in den Grenzen des
Schulunterrichts liegenden Stoff hinauswiesen , und deutete an , wie sie weiter
verfolgt werden kOnnten. Das war für die beföhigten Schüler ein starker
Impuls zu selbstständigem Studium und weckte in allen Sinn und Liebe zur
Wissenschaft: Zur Verstärkung dieser Impulse trug seine Lehrthätigkeit
noch in anderer Weise bei. Seine klare Einsicht in die verschiedenen
Methoden der mathematischen Forschung, verbunden mit der grossen Elasti-
cität seines Geistes , ermöglichten es ihm , denselben Stoff vor den gleichen
Schülern von vielen Gesichtspunkten aus zu beleuchten und in verschiedenen
Jahren von verschiedenen Gesichtspunkten aus zu bearbeiten. Beispielsweise
Hess er in einem Jahre die Kegelschnitte zuerst gesondert untersuchen, in-
dem er die Schüler die Eigenschaften jeder Curve aus ihrer speciellen De-
finition entwickeln Hess, wobei er aber fortwährend auf die überein-
stimmenden Merkmale aufmerksam machte, und zeigte dann nachher, wie
diese geometrischen Oerter in der allgemeinen Gleichung zweiten Grades
einen gepieinsamen Ausdruck finden ; wie ihre Eigenschaften aus dieser ein-
heitlichen Basis abgeleitet werden können und wie endlich der Gemeinsam-
keit der Eigenschaften die Gemeinsamkeit des geometrischen Ursprungs zu
Grunde liegt.
Im nächsten Jahre, vor anderen Schülern, schlug er dann wohl den
umgekehrten Weg ein, stellte die allgemeine Gleichung zweiten Grades an
die Spitze und verfolgte, von ihr ausgehend, die einzelnen Kegelschnitte
bis zur Erschöpfung ihrer Eigenschaften. Hatte er einen besonders be-
anlagten Jahrgang vor sich, so befolgte er wohl zunächst den ersten der
bezeichneten Wege, um dann bei der Generalrepetition den zweiten ein-
zuschlagen.
Da er unaufhörlich bemüht war, zur Vereinfiachung des Lehrstoffes
oder zur Erweiterung des Gesichtskreises der Schüler neue Gesichtspunkte
zur Geltung zu bringen, die er entweder selbst ausfindig machte oder der
Literatur entnahm , so war der ganze Unterricht in steter Entwickelung und
Vervollkommnung begriffen.
Bei solcher Lehrmethode traten die üblichen Lehrbücher naturgemäss in
den Hintergrund. An die Stelle des Studiums derselben traten Bearbeitungen
der wichtigsten Abschnitte durch die Schüler selbst, oder gar Ausarbeitungen
des gesammten Lehrganges, die von dem Lehrer controlirt wurden. Das
war die richtige und nothwendige Vorbereitung der Zöglinge für den Ueber-
gang aus der gebundenen Arbeit der Schule zu dem freien Studium auf der
Universität. Einzelne der erwähnten Ausarbeitungen haben für manche
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44 Historisch - literarische Abtheilung.
Schaler noch eine recht wohltb&tige Bolle bei Gelegenheit ihrer Vorbereitung
zum Staatsexamen gespielt, andere den späteren Lehrern recht nützliche
Winke für ihren Unterricht gegeben.
Die Rückwirkung solcher Lehrthäügkeit auf den Lehrer selbst blieb
nicht aus. Sein unausgesetztes Streben, durch Einführung neuer, selbst
geschaffener Gesichtspunkte den Unterricht zu vervollkommnen, führte ihn
bald zu Untersuchungen, die über den Kreis der Schule hinaus gingen:
aus einem genialen Lehrer entwickelte sich ein tüchtiger Vertreter der
mathematischen Wissenschaften. In der ersten von ihm veröffentlichten
Abhandlung, die als „Festschrift des Realgymnasiums zur 25jährigen JubeU
feier des Herzogs von Nassau^ im Sommer 1864 erschien, sucht er eine
Erweiterung der darstellenden Geometrie anzubahnen. Das ihm vorschwe-
bende Ziel markirt er durch die Frage: „Ist es möglich, eine Projections-
methode zu erfinden, welche Zeichnungen liefert, die eine mehrfache Be-
deutung haben können, je nachdem man dieselben als Projectionen an
Punkten oder an Ebenen auffasst?*' Zur Lösung der so formulirten Auf-
gabe führt er die Methode des Dreipunkts ein, indem er jedes der Grund-
gebilde Punkt, Gerade und Ebene durch drei in einer Ebene — der ein-
zigen Bildebene — liegende Punkte festlegt. ,, Liegt nun eine nach einem
bestimmten Gesetze geordnete conünuirliche Folge von geometrischen Ele-
menten vor, so werden deren Bestimmungspunkte — deren Projectionen —
auf der Bildebene im Allgemeinen drei Curven bilden. Umgekehrt können
wir drei Curven der Bildebene als die Projectionen dreier Raumgebilde auf-
fassen, wenn noch das Gesetz gegeben ist, wonach die Punkte der Curven
zusammengehören, weil wir ja die drei Curven als Punkt-, als Geraden-
und als Ebenenprojection betrachten können.''
Einen ähnlichen Zweck verfolgt eine zweite, im Osterprogramm des
Realgymnasiums von 1866 veröffentlichte Arbeit: „Ueber einige neue
Projectionsmethoden.'^ In derselben legt er zunächst den Raumpunkt durch
zwei Punkte in der Bildebene fest und zeigt die Anwendbarkeit der so er-
haltenen Zweipunktprojection an einer Reihe von Beispielen. Sodann be-
stimmt er die Gerade und die Ebene durch je zwei sich schneidende Gerade
in der Bildebene und gelangt so zu einer Zweistrahlprojection. Schliesslich
weist er nach, dass jedes der Elemente Punkt, Gerade und Ebene sowohl
durch zwei Punkte, als auch durch zwei Strahlen projicirt werden kann.
Hiermit ist die Möglichkeit gegeben, ein und dieselbe Projection auf drei-
fache Art zu interpretiren und dadurch ternär zusammenhängende Sätze über
die Baumgebilde selbst zu erhalten.
Die beiden, wie man sieht, eng zusammenhängenden Untersuchungen
sind reich an Andentungen, die der weiteren Verfolgung werth erscheinen.
Unverzagt selbst hat dieses Gebiet nicht weiter bearbeitet, wenigstens
liegen von ihm weitere Abhandlungen in dieser Richtung nicht vor. Der
Unterricht scheint seine wissenschaftliche Thätigkeit langsam auf ein anderes
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Wilhelm unverzagt. 45
Feld gelenkt zu haben. Um die damalige Zeit n&mlich hatte er die Linien-
coordinaten neben den cartesischen Coordinaten in den Unterricht der ana-
lytischen Geometrie eingeführt, um die Schüler daran zu gewöhnen, auch
die Gerade als Element aufzufassen. Dabei hatte sich ihm die üeberzeugung
aufgedrSngt, dass die üblichen Coordinatensysteme der Geraden den carte-
sischen Coordinaten an Einfachheit und damit an Brauchbarkeit für die
Lehrthätigkeit nachstünden. Diesem Mangel suchte er durch Erfindung eines
neuen Coordinatensystems abzuhelfen. So entstand seine im Osterprogramm
des Realgymnasiums vom Jahre 1871 veröffentlichte Abhandlung: „üeber
ein einfaches Coordinatensystem der Geraden/^ Das neue System besteht
aus zwei parallelen Geraden, den „Axen'S die von einer dritten, der
„ Grundlinie *S geschnitten werden. Eine Gerade ist bestimmt durch ihre
AxenabschnittC; ihre „Coordinaten^*, die von der Grundlinie aus gemessen
werden. In gründlicher Erörterung zeigt der Verfasser, dass dieses System
„in BezDg auf Einfachheit, durchgehende üebereinstimmung in seinem
Bechnungsverfahren und seinen Resultaten mit den üntersuchungsweisen
und Gleichungen bei cartesischen Pnnktcoordinaten, endlich aber auch durch
die Leichtigkeit, mit der es den üebergang zu eigenthümlichen , wie zu
PI Ocker 'sehen homogenen Geradencoordinaten gestattet, sich vor anderen
vortheilhaffi aaszeichnet.*' Den Schülern gegenüber erwies sich dasselbe
dem entsprechend als ein Susserst geeignetes Mittel zur Einführung in die
Geradencoordinaten und zur üebung in der Lösung von Aufgaben.
Gereichte diese Arbeit zunächst der Schule zu besonderem Nutzen, so
wurde sie doch auch bald für ihren Verfasser zum Ausgangspunkte neuer
und wichtiger Forschungen. Um den aus seinem Coordinatensysteme fli^s-
senden Gleichungen möglichst bequeme und einfache Form zu geben, hatte
er eine neue Art Functionen erdacht — Quotienten zwischen den beiden
Theilen einer Strecke — , denen er den Namen „ longimetrische Functionen"
gegeben hatte. In einer Anwendung derselben auf complexe Ausdrücke
hatte er einen Factor zu ermitteln gesucht, welcher für die Geometrie der
Geraden eine ähnliche Bedeutung habe , wie die Grösse i für die Geometrie
des Punktes. Dabei war er auf einen Widerspruch zwischen den Resultaten
einer rein geometrischen Betrachtung und denen einer entsprechenden arith-
metischen Operation gestossen, den er zunächst nicht zu lösen vermochte.
Von da an war seine ungetheilte Aufmerksamkeit diesem Gebiete zugewandt.
Er suchte jenen Widerspruch nach dem Beispiele des berühmten französi-
schen Mathematikers zu lösen „en y pensant touQOurs" — und er kam zu
einer Lösung. Als Resultat einer mehrjährigen angesti'engten Geistesarbeit
erschien im Sommer 1876 sein Hauptwerk: „Theorie der goniometrischen
und longimetrischen Quatemionen." Eine Skizze des Gedankenganges der
umfangreichen Arbeit zu geben , die derselben einigermassen gerecht würde,
ist hier nicht wohl thunlich. Auch ist sie wiederholt Gegenstand der
wissenschaftlichen Discussion gewesen, die wir weiter unten in einem Falle
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46 Historisch -literarische Abtheilung.
streifen werden. Bemerkt sei hier nur, dass die in dem Werke geftLhrten
Untersuchungen die Mathematik um die allgemeinen Winkelfunctionen und
die longimetrischen Quatemionen bereicherten. Die wissenschaftliche Thätig-
keit Unverzagtes war hiermit noch nicht abgeschlossen; wir werden ihr
später nochmals begegnen. Nebenbei sei noch erwähnt, dass ihm bald nach
der Veröffentlichung seines Hauptwerks durch Verfügung des preussiachen
Cultusministers der Titel „ Professor' verliehen wurde; zum Oberlehrer war
er 1872 befördert worden.
Naturgemäss war der Einfluss eines solchen Mannes auf die Schule,
an welcher er arbeitete, ein sehr tiefgehender. Dieser Einfluss machte sich
zunächst bei den Schülern geltend — wir haben ihn in dieser Hinsicht
schon theilweise kennen gelernt — , wirkte aber auch wesentlich auf den
Charakter der ganzen Anstalt und auf ihr Ansehen nach aussen ein.
Wir haben schon gesehen, in welcher Weise und in wie hohem Grade
er in den Schülern den Sinn für Arbeit zu wecken und ihre selbständige
Thätigkeit anzuregen vermochte. Aber wir würden sein Verhältniss zu den
Schülern nur ungenügend kennzeichnen, wollten wir seine Lehrthäügkeit
allein und auch diese nur nach ihrer wissenschaftlichen Seite beleuchten.
Vielmehr müssen wir hier zunächst noch des persönlichen Verkehrs gedenken,
in welchem er mit seinen Schülern stand. Mit einem cholerischen Tempera-
mente verband er eine selteue Güte und Milde des Charakters, die in einem
herzlichen und aufmunternden Entgegenkommen einen entsprechenden Aus-
druck fanden. Daher wurde kaum je ein Lehrer häufiger im Hause von
den Schülern — namentlich den voran strebenden — aufgesucht, als er;
daher war auch seine halbe Bibliothek fast inmier unterwegs. Solcher Ver>
kehr gewann meistens an Tiefe, wenn die Zöglinge die Universität bezogen.
Viele blieben in brieflichem Verkehre mit ihm und selten kehrte einer von
ihnen in die Ferien zurück , der nicht Bath und Anregung bei ihm gesucht
und gefunden hätte. Insbesondere konnten die, welche das Leben nicht
auf einen grünen Zweig gesetzt hatte, jeder Zeit auf seinen energischen
Beistand rechnen.
All das wirkte zusammen , um ihm die Liebe der Schüler zu gewinnen
und um sein Ansehen bei ihnen zu einem unbegrenzten und unerschütter-
lichen zu gestalten. Und wiederum hieraus erklären sich der Ernst und
die absolute Buhe der Zöglinge während des Unterrichts; denn das Resultat
einer rigorosen Disciplin waren dieser Ernst und diese Buhe sicherlich nicht
Der Mann strafte ja nie. Wohl konnte er aufbrausen, wenn es bei deu
Repetitionen haperte, und dann schmetterte er zuweilen auch den tüchtigen
Schüler, der seinen unglücklichen Tag hatte, mit wenigen sarkastisdien
Worten nieder; aber dem so niedergeschmetterten gab er bald Gelegenheit,
durch bessere Leistungen die Scharte wieder auszuwetzen. Die üblichen
Requisiten der praktischen Pädagogik dagegen, als da sind Einschreiben,
Strafarbeit, Arrest, u. s. w. existirten für ihn nicht. Leid genug war es
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Wilhelm Unverzagt. 47
ihm , wenn er als Classenlehrer fOr Andere davon Gebrauch machen musste.
Nein, die musterhafte Ordnung, die freudige Aufmerksamkeit, die unter
den Schülern w&hrend seines Unterrichts herrschten, waren das Resultat
der freiwilligen Unterordnung des jugendlichen Geistes unter den Geist der
ciTisten, nach hohen Zielen ringenden Arbeit, der mit dem Manne einzog,
und sie waren zugleich der Ausdruck der hohen Verehrung, die ihm Alle
ohne Ausnahme von Herzen entgegenbrachten. Dieser Mann regierte eben
in der Schule nicht durch die Gewalt seines Amtes, sondern durch die
Kraft seines Geistes. Hiernach ist die Wärme, ja die Begeisterung wohl
verständlich, mit welcher noch heute, nach zwanzig und mehr Jahren, Mftnner>
die damals seine Schüler waren , von der Anstalt überhaupt und in Sonder-
heit von diesem Lehrer reden.
Und darum war die Mathematik, ohne eine Absicht von seiner Seite,
ohne eine behördliche Anordnung und Vermehrung der Stundenzahl dieses
Faches, viele Jahre hindurch der Mittelpunkt des gesamraten Unterrichts
der Anstalt; nur die Chemie machte ihr eine Zeit lang den Bang streitig.
Und wenn die Anstaut allmälig einen Ruf errang, der über die Grenzen
unseres Vaterlandes hinausreichte, so verdankte sie denselben zu einem
nicht geringen Theile dem Einflüsse dieses Mannes.
Das war, wie seinen ehemaligen Schülern und seinen Bekannten, so
den gebildeten Kreisen der engeren Heimath sehr wohl bekannt. Ihnen
Allen galt er als der geistige Träger der Anstalt, die ein weit vorgescho-
bener Vorposten des Realismus .war. Darum sah man in ihm den Mann , dßr
berufen sei, eine solche Anstalt dermaleinst auch nach aussen hin zu ver-
treten. In dieser Hoffnung aber wurde man bitter getäuscht.
Schon seit Frühjahr 1876 unterhandelte mit ihm die Wiesbadener
Stadtbehörde, die über die Bedeutung Unverzagt 's nicht im Zweifel sein
konnte, um ihn für die freigewordene Bectorstelle der städtischen „höheren
Bürgerschule^ zu gewinnen. Zögernd ging er anfangs auf die Verband*
lungen ein; aber zu Beginn des Jahres 1877 kamen sie zum Abschluss
und mit Ostern desselben Jahres trat er seine neue Stellung an. Er ver-
liess das Realgymnasium , an dem er mit ganzem Herzen hing, an das ihn
starke geistige Bande fesselten, in bitterem Schmerze und er ist dieses
Schmerzes in seinem späteren Leben niemals ganz Herr geworden. Den
Widerspruch, der in dieser Hinsicht zwischen seinen Gefühlen und seinen
Handinngen zu bestehen scheint, werden wir hier nicht lösen.
Mit ungeschwächter Energie widmete er sich seinem neuen Amte. Das
Beispiel der Pflichttreue und Arbeitsfreudigkeit, das er gab, das, bei ent-
schiedener Betonung der Pflichterfüllung, echt humane Entgegenkommen den
GoUegen und Schülern gegenüber, konnten nicht ohne Wirkung bleiben.
Unter seiner Leitung kräftigte sich die innere Tüchtigkeit der ihm unter-
stellten Anstalt und erhöhte sich ihr Ansehen nach aussen. Schon zu Ende
des Jatires 1879 erhielt sie den Charakter als Realschule IL Ordnung-^ohne
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48 Historisch -literarische Abtheilung.
Latein, deren Abgangszeugniss die Berechtigung zum Eiig&hrig- Freiwilligen-
Militärdienste in sich schloss, während diese Berechtigung bis dahin dureh
ein förmliches Abgangsexamen erworben werden mnsste. Zu Ostern 1884
endlich wurde die Schule auf sein Betreiben zur Oberrealschule erweitert.
Doch diese Schöpfung ruhte auf zwei Augen und diesen Augen sollte es
nicht beschieden sein, lange über das Cledeihen der jungen Schöpfung zu
wachen — sie schlössen sich allzu frtthe. Schon im Herbste des folgenden
Jahres sank die Schule auf ihren früheren Bang zurück.
Die Stellung ünverzagt's als Director erschöpfte seine Thatkraft
nicht. Zwar konnte ihn der Unterricht bei dem Charakter der ihm unterstell-
ten Anstalt naturgemäss nicht mehr in dem Maasse wissenschaftlich anregen,
wie seine frühere Lehrthätigkeit; aber für diese Anregung hatte er in
seinem Hauptwerke bereits selbst gesorgt In seiner Vorrede zu demselben
hatte er sehr richtig gesagt: ;,Es giebt fast kein einziges Capitel der vor-
liegenden Arbeit, das nicht der Weiter- und Umbildung föhig wäre.'^ Er
nahm diese Weiterbildung selbst in die Hand. Zu Ostern 1878 veröfTent-
lichte er eine Abhandlung unter dem Titel: „Der Winkel als Grundlage
mathematischer Untersuchungen*'. In derselben eröffnete er den Quater-
nionen ein neues Feld und gab zum Schluss einen beachtenswerthen Finger-
zeig nach der Richtung, in welcher eine Fortentwickelung der ganzen
Theorie angebahnt werden kann. Diese Arbeit und die Quatemionenlehre
überhaupt erfuhren eine heftige Anfechtung in den „Polydimensionalen
Grössen*' von Dr. H. Scheffler. Der genannte Autor suchte in der an-
geführten Arbeit den Nachweis zu führen , dass die Quatemionen überhaupt
auf einem wissenschaftlichen Irrthume beruhen. Als Abwehr gegen diesen
Angriff erschien im Osterprogramm der Realschule von 1881 Unverzagtes
letzte wissenschaftliche Arbeit: „Ueber die Grundlage der Rechnung mit
Quatemionen.*' Wie der Titel schon andeutet, stellte er darin die wissen-
schaftliche Grundlage der Quatemionen fest und lieferte damit eine werth-
volle Ergänzung zu seinem Hauptwerke : ^Theorie der goniometrischen und
longimetrischen Functionen.**
Gerne hätte er sich diesen wissenschaftlichen Untersuchungen mit noch
grösserem Nachdrucke hingegeben; aber was er ihnen an freier Zeit wid-
mete, muBste er mühsam den Anforderungen seines Amtes und des Wohles
seiner Familie abgewinnen. In der oben angeführten Vorrede sagte er:
j^Wenn nicht alle Abschnitte des Werkes gleich ausführlich behandelt sind,
so hat dies seinen Gmnd in dem Wunsche des Verfassers, Untersuchungen
zu veröffentlichen und dadurch Forschungen zu veranlassen, deren Dnrch-
fühmng bei dem geringen Maasse an Zeit, das er dieser Seite seiner Thätig-
keit widmen kann, nicht in seinen Kräften steht.** Und dieses Wort von
dem geringen Maasse der ihm für solche Arbeit verbleibenden Zeit war
wahrlich keine Phrase. Ausser seiner dienstlichen Stellung und der Wissen-
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Wilhelm Unyerzagt. 49
schaftjnabin auch noch ein Familienpensionat seine Kraft in Anspruch, das
er gegen Ende der^ sechziger Jahre in seinem Hause für Knaben eröffnet
hatte und das sich eines vortrefflichen Bufes erfreute. So ruhte auf seinen
Schultern die dreifache Arbeitslast eines Mannes von normalen Kräften.
Lange Zeit hindurch Hess er sich von ihr nicht niederdrücken. Wenn
Freunde über Widerwärtigkeiten bei ihm klagten, wusste er sie aufzumun-
tern, verstand er es wohl gar, vermöge des köstlichen Humors, der ihm
zur Verfügung stand, die Sorgen von ihrer Stirn wegzuscherzen. Man
schämte sich, mnthlos zu sein, wenn man ihn gesprochen hatte. Die That-
kraft dieses Mannes schien unerschöpflich zu sein. Aber die jahrelange
ununterbrochene Anstrengung aller seiner Kräfte musste endlich nachtheilig
auf seine Gesundheit wirken. Schon seit £nde der siebziger Jahre hatte
er mit einem Herzleiden zu kämpfen, zu dem sich bald Schlaflosigkeit ge-
sellte. Trotzdem wollte er sich, gestützt auf die Erfahrungen früherer Jahre,
zu einer wesentlichen Entlastung seiner selbst nicht entschliessen. Sie wurde
ihm aber, wenigstens nach einer Richtung hin, von einer Seite zu Theil,
gegen die er sich nicht wohl ablehnend verhalten konnte.
unter den angeführten Verhältnissen nämlich war es ein ganz besonderes
Glück für ihn, dass ihm eine Gemahlin zur Seite stand, die ihm geistig verwandt
und ebenbürtig war. Sie leitete mit starker und kundiger Hand alle äusse-
ren und inneren Angelegenheiten des grossen Haushaltes — sie hatte ihrem
Manne ftlnf Kinder geschenkt — und, soweit es anging, auch des Pensio-
nates. Dabei war ihr Humor noch unverwüstlicher, als der des Gatten;
vor diesem Humor hielten die Falten auf der Stime des Mannes nicht Stand.
Eingeweiht in das Verständniss der tüchtigsten Vertreter unserer Kunst und
Poesie, wusste sie ihrem Manne die wenigen Stunden der Muse zu Stunden
wahrer Geisteserholung und Geisteserfrischung zu gestalten. Wer immer
mit diesem glücklichen Familienleben in Berührung kam, fühlte sich von
ihm erfrischt und wohlthuend angeregt , wie der Wanderer in der Sommer-
schwüle von der kräftigen, gesunden Bergesluft.
Aber gerade zu der Zeit, da eine solche Stütze dem. Manne unentbehr-
lich geworden war, wurde sie ihm entrissen. Im Frühjahr 1884 starb diese
seltene Frau plötzlich; kaum eine leise Warnung vor dem herannahenden
ünheile war den Angehörigen vorher geworden. Wie grausam dieser
Schicksalsschlag in das schöne Familienleben eingriff, wie tief und schmerz-
lich er den Mann verwundete, braucht nicht mehr gesagt zu werden. Seine
Freunde fürchteten ernstlich für ihn. Anfangs noch schien er dem Schlage
gewachsen zu sein ; aber schon gegen Ende des Sommers traten seine körper-
lichen Leiden in verstärktem Maasse auf und zu ihnen gesellte sich jetzt
eine tiefe Gemüthsverstimmung. Was jahrelange ungewöhnlich schwere
Arbeit, Sorgen und Enttäuschungen nicht vermocht hatten, das hatte der
Schmerz vermocht: er hatte das Gleichgewicht seiner Seele gestört. Zwar
nahm er nach wenigen Wochen der Erholung im Spätherbste desselben
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50 Historisch -literarische Abtheilung.
Jahres nochmals seinen Dienst auf, bald aber musste er anf jede an-
strengende Thtttigkeit verzichten« Er suchte in einer Heilanstalt in Bendorf
Genesung, und es schien, als ob die Kraft seines Geistes den Sieg über
sein Unglück davon tragen solle. Seine Wiederherstellung machte so rasche
Fortschritte, dass seine Entlassung aus der Anstalt schon für Ende Februar
1885 und die Wiederaufnahme seiner dienstlichen Functionen für das Früh-
jahr in Aussicht genommen werden konnten. Freunde, die ihn w&hrend
des Januar besuchten, kamen mit der frohen Nachricht zurück: „Er ist
wieder der alte Unverzagt" Die Theil an ihm nahmen — und wie gi-oss
war ihre Zahl ! — athmeten auf. Pa legte das Schicksal zum letzten Male
Beine schwere Hand auf ihn. Ende Januar unternahm er von Bendorf aus
einen Ausflug auf den gerade zugefrorenen Rhein, unterhielt sich dorten in
der heitersten Stimmung mit Bekannten und trat dann einen Rheindamm
entlang den Weg nach dem benachbarten Mühlhofen an , wo er verabredeter-
massen m't anderen Bekannten zusammentreffen wollte. Seitdem ist er
lebend nicht mehr gesehen worden; er kam nicht nach Mühlhofen. Wahr-
scheinlich glitt er unterwegs aus , brach in das schon morsche Eis und be-
sass nicht mehr Kraft genug, um sich aus dem kalten Wasser herauszu-
arbeiten. Erst im August wurde seine Leiche bei Porz unweit Deutz ge-
landet und zunttchst unerkannt auf dem Kirchhofe bei Urbach begraben.
Die Beste seiner Kleidung führten zur Erkennung der Leiche und am
3. October konnte er zur Seite seiner Gemahlin in Wiesbaden beigesetzt
werden.
Viele ehemalige Schüler — meist schon M&nner in der harten Schule
des Lebens — und viele Freunde umstanden sein Grab, Schmerz und Trauer
im Herzen um den treuen genialen Lehrer, um den gediegenen Vertreter
der Wissenschaft , um- den liebewerthen Freund. Aber ihr Schmerz verlor
sich nicht in fruchtlose Resignation. Aus dem Grabe des Todten hallte ihnen
die Losung des Lebenden nach:
„Auf zur Arbeit!*
Wiesbaden, im November 1885. August Schmidt.
Zur Erinnerung an Ludwig Solieeffer.
Inmitten regsten Schaffens, in schüner Jugendhoffnung ist Ludwig
Scheeffer am 11. Juni 1885 zu München an den Folgen des Typhus und
eines Lungenleidens verschieden. Er war geboren am 1. Juni 1859 zu
Königsberg in Pr., wo er seine erste Jugend verlebte. Zwei in Heidelberg
und Leipzig verbrachte Semester ausgenommen, hat er sich in Berlin
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Zur Erinnerung an Ludwig Scheeffer. 61
mathematisch -physikalischen und philosophischen Studien gewidmet und
ebendort promovirt. Nachdem er hierauf ein Jahr als Gandidatus probandus
am Friedrich -Wilhelms -Oymnasium unter Schellbach's Leitung gelehrt
und gelernt, habilitirte er sich zu München (Anfang 1884), wo er nur
noch ein Jahr wirken sollte.
In der kurzen Frist, die seinem Schaffen vergönnt war, hat er der
Wissenschaft durch eine Reihe origineller, klarer Untersuchungen wichtige
Dienste geleistet. Die folgenden Zeilen wollen es versuchen, eine kurze
Charakteristik dieser Arbeiten zu geben, dem Frühverstorbenen zum Gre-
dftchtniss.
Zum ersten Male trat Scheeffer an die Oeffentlichkeit mit der Pro-
motionsschrift: ;,üeber Bewegungen starrer Punktsysteme in einer ebenen
n- fachen Mannigfaltigkeit^ (Berlin 1880), in welcher die gleichf5rmigen
Bewegungen solcher Punktsysteme studirt werden, d. h. diejenigen, für
welche die Geschwindigkeitscomponenten nach n mit dem Körper verbun-
denen Axen unabhängig von der Zeit sind * ^
Im Sommer 1882 war Scheeffer aus Gesundheitsrücksichten gezwungen,
seine obenerwähnte pädagogische Thätigkeit zu unterbrechen und in den
Alpen Erholung zu suchen. Hier entstand in ihm der Plan, sich der
akademischen Laufbahn zu widmen und erst jetzt begann er auch, sich
eingehender mit speciellen mathematischen Untersuchungen zu beschäftigen,
zu denen er früher wenig Neigung gezeigt. Ein Jahr darauf habilitirte er
sich in München mit der Abhandlung: „Ueber einige bestimmte Integrale,
betrachtet als Functionen eines complexen Parameters^ (Berlin 1883). In
ihr kommt der schon von Uankel (für die Euler 'sehen Integrale) an-
gewandte Gedanke, eine charakteristische Functionalgleichung zur Bestim-
mung von Integralen mit complexem Parameter zu benützen, in einer ver-
einfachten und präcisirten Form — die gleichzeitig auch für weitere Fälle
anwendbar ist — zur Geltung. Eine zweite, anschliessende Arbeit: ;,Zur
Theorie der Functionen r{z), P(r), Q(0y (Journal f. Math., Bd. 97),
zeigt die Möglichkeit, die genannteu Functionen durch gewisse Functional-
gleichungen zu definiren, welche direct sowohl zu den bekannten analyti-
schen Ausdrücken, als auch zu deren Darstellung durch bestimmte Inte-
grale führen.
Nun entstand in rascher Folge eine Reihe von Arbeiten, die einerseits
in die moderne Functionentheorie, andererseits, und hier mit ganz
besonderem Erfolge, in Fragen der Variationsrechnung eindringen.
Zu den ersteren, bei welchen ein häufiger Verkehr mit Georg Cantor
von wesentlichem Einfluss gewesen, gehört zunächst ein nur auf elementare
* In neoe»ter Zeit bat Killing die auf nichteuklidische Bäume verallgemei-
nerte Frage behandelt (Crelle's Journal, Bd. 98).
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52 Historisch -literarische Abtheilung.
Betrachtungen gestützter Beweis des L au r entaschen Satzes (Acta math.,
Bd. 4), wie ein solcher, unabhängig von den Cauchy^schen Integral-
betrachtungen , zur Ergftnzung der We ierstrass-Mittag-Leffler ^schen
Sätze wünschenswerth war.*
Eine nächste Arbeit behandelt die Frage der „Bectification'' fttr eine
durch eine eindeutige Function gegebene Curve, wenn weder über die
Stetigkeit , noch Differentiirbarkeit derselben irgend eine Voraussetzung ge-
macht wird. Man wird sich hier erst über den Begriff „Länge'' zu ver-
ständigen haben** und der Verfasser legt eine im Wesentlichen von
Duhamel gegebene Definition der Länge mit Hilfe eines geradlinigen
Poljgonzuges von Secanten zu Grunde. Damach kommt einer Curve eine
Länge zu oder nicht, je nachdem für jeden Grenzübergang (bei successiver
Einschaltung neuer Polygonseiten) der Grenzwerth der Länge aller solchen
Polygonzüge derselbe bleibt oder sich ändert bez. unendlich wird. Auf
Grund dieser Definition gelingt dem Verfasser, für gewisse Kategorien ein-
deutiger Functionen die Kriterien für die Existenz oder Nichtexistenz der
„ Curvenlänge ^ aufzustellen.
Die beiden folgenden Abhandlungen: „Zur Theorie der stetigen Functio-
nen einer reellen Veränderlichen^ (Acta, Bd. 5) behandeln die Erweiterung
des bekannten Satzes : Wenn die Differentialquotienten zweier stetiger Func-
tionen einer reellen Veränderlichen überall endlich und einander gleich sind,
so unterscheiden sich die Functionen nur um eine Constante. Die all-
gemeine, hier anschliessende Frage ist die: In welchem umfange muss in
einem gegebenen Intervalle die Gleichheit der „Ableitungen"*** für zwei
Functionen F(x) und f{x) bekannt sein, um daraus den Schluss F{x)
= /'(^) + const. zu ziehen? Seh ee ff er zeigt: Der obige Schluss ist ge-
stattet, wenn (in dem Intervall, für welches die Functionen betrachtet
werden) die Stellen, an denen die Gleichheit der Ableitungen nicht nach-
gewiesen ist, eine ab zählbare Menge bilden; aber er kann nicht gemacht
werden, wenn die Menge jener „unbestimmten^ Stellen eine „perfecte^*
Punktmenge (Cantor) bildet oder enthält. Unentschieden bleibt, ob es
ausser diesen Kategorien einen Zwischenfall giebt, eine Frage, die mit der
anderen nach der Existenz „nicht abzählbarer Punktmengen ohne perfecte
Bestandtheile '^ gleichbedeutend ist. —
Die letzten Arbeiten Scheeffer's sind entstanden im Anschluss an
eine Vorlesung über Variationsrechnung, mit der er seine Lehrthätigkeit
• Gleichzeitig ist ein Beweis von Mittag-Leffler selbst (Acta, Bd. 4)
gegeben worden.
** Vergl. hier die Bemerkungen von Dubois-Reymond (Acta, Bd. 6).
*** Der Allgemeinheit und Präcision wegen ist die „obere oder untere Ün-
bestimmtheitsgrenze^ (Dubois-Reymond) des ^ vorderen oder hinteren Differential-
qnotienten** als Ableitung eingeführt.
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Zur Erinnerung an Ludwig Sdbeefifer. 53
in München eröffnete, und lebhaft angeregt durch einen engen, den ge-
meinsamen Interessen entsprungenen Verkehr mit Adolf Mayer.*
Die grosse Arbeit: „Die Maxima und Minima der einfachen Integrale
zwischen festen Grensen^^ (Math. Annalen, Bd. 25) giebt eine ToUständige
Theorie der zweiten Variation einfacher Integrale. Um zu den Kriterien
des Maximums und Minimums zu gelangen, muss die zweite Variation auf
eine zur Discussion ihres Zeichens geeignete Form gebracht werden. Diese
Transformation ist aber nur so lange giltig, als eine gewisse Determinante
zwischen den Grenzen des Integrales nirgends verschwindet. Man war so-
mit bisher gewissermassen gezwungen , das Nichtverschwinden dieser Deter-
minante mit in die Kriterien aufzunehmen , ohne doch für die Noth wendig-
keit dieser Bedingung zum Bestehen des Maximums oder Minimums selbst
mehr als blosse Wahrscheinlichkeitsgründe anführen zu kOnnen. Diese
wesentliche Lücke füllt Seh ee ff er aus, indem er direct zeigt, dass die
zweite Variation stets zur Zeichenänderung gebiacht werden kann, so oft
jene Determinante zwischen den Grenzen ihr Zeichen wechselt. Zugleich
aber gelingt es ihm , mit Zugrundelegung eines einfachen allgemeinen Prin-
cipes, die gesammte Transformation der zweiten Variation selbst ihres
künstlichen analytischen Apparates zu entkleiden und sie in vorwiegend
geometrischer Weise auf einem neuen, naturgemftssen Wege durchzuführen,
wodurch erst der Zusammenhang und die innere Nothwendigkeit der seit-
her benutzten Methoden klar zu Tage tritt. So giebt die Arbeit nicht blos
eine wesentliche Ergänzung, sondern fUhrt auch — insbesondere durch die
anschauliche Darstellung — in die bisherige Theorie, über die sie aus-
führlich referirt, auf sicherem Wege ein. Eine hinzugefügte Note bezweckt
hauptsächlich, den Giltigkeitsbereich der gewonnenen Kriterien streng ab-
zugrenzen und hebt in dieser Hinsicht hervor, dass dieselben sich lediglich
auf das rein analytische Maximum und Minimum beziehen, bei. welchem
die gegebene Curve nur mit solchen Curven verglichen wird, die nicht blos
(wie bei den allgemeineren Untersuchungen von Weierstrass) innerhalb
eines die gegebene Curve einscbliessenden schmalen Flächenstreifens liegen,
sondern überdies auch allenthalben nahezu parallel zu jener {{leiben.
Eingehender noch wird für das einfachste Problem der Variations-
rechnung, der letzte Punkt in dem Aufsätze: „Ueber die Bedeutung der
Begriffe , Maximum* und , Minimum* in der Variationsrechnung*^ (Ber. d.
Sachs. Ges. d. W., März 1885, abgedr. Math. Ann., Bd. 26) besprochen.
Dieser macht zunächst auf den Fehler aufmerksam, der in der üblichen
Annahme liegt, dass jede beliebige Variation der unbekannten Function y
sich durch eine willkürliche Function i} und eine hinreichend kleine Zahl x
in der Form dys=:xi] wiedergeben lasse. Durch die Erkenntniss dieses
* Dessen Güte ich auch nachfolgende Mittheilungen, insbesondere bezüglich
der nachgelassenen Arbeit Scheeffer's, verdanke.
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54 Historisch -literariBche Abfcheilnng.
Fehlers yerliert aber der Schlnss, dass ein Minimum sicher stattfindet,
wenn die erste Variation des Integrales verschwindet und die zweite be-
stfindig positiv ist, seine frühere Evidenz und in der That zeigt ein ein>
faches Beispiel , dass der Satz nicht ausnahmslos richtig ist. Es macht sieh
daher weiter eine Revision der aus ihm gezogenen Kriterien des Minimums
nöthig, die aber schliesslich zeigt, dass die letzteren trotzdem (Geltung be-
halten, sobald man »nur eine der Mheren Bedingungen etwas enger fasst,
als es für das Positivsein der zweiten Variation selbstp erforderlich ist
In diesem Aufsatze weist Scheeffer bereits auf den Gegenstand hin,
mit dem sich seine letzte fundamentale Arbeit beschäftigen sollte. In den
Vorlesungen von Genocchi, Calcolo Differenziale (Turin 1884), hatte der
Herausgeber, Giuseppe Peano, an einem höchst einfisichen Beispiele dar-
gethui, dass auch die bisherige Theorie des Maximums und Minimums der
Functionen von mehreren Variabein unhaltbar ist. unabhängig davon war
Scheeffer von der Variationsrechnung aus seinerseits zu demselben Resul-
tate gelangt und stand eben im Begriffe, die betreffenden Untersuchungen
druckfertig zu machen, als er von Peano's Bemerkungen erfuhr und hier-
durch veranlasst wurde, die ganze Arbeit wieder vollständig von Neuem
zu beginnen. Auf diese Weise entstand in der kurzen Zeit von Mitte
Februar bis Mitte März 1885 die nachgelassene Abhandlung: „Theorie der
Mazima und Minima einer Function von zwei Variabein'*, die, von
A. Mayer herausgegeben, in dem Journal für Mathematik erscheinen
soll. Während Peano sich darauf beschränkt, die Fehler der alten
Theorie aufzudecken und zu zeigen, wie man das, was von derselben noch
richtig bleibt, atich wirklich streng beweisen kann, geht Scheeffer
weit darüber hinaus und bringt auf vollkommen neuer Grundlage eine er-
schöpfende Theorie des Maximums und Minimums für Functionen von zwei
Variabein, die ein ganz anderes Aussehen hat, als die frühere. Sie zeigt
nämlich, dass in der Entwickelung der Differenz f{x + ^x, y + ^y)'-f{p:i% y)
durchaus nicht immer die Summen der Glieder gleicher Ordnung in zfx
und 4dy den Ausschlag geben für das Zeichen der Differenz, sondern dass
dieses auch vf n dem Ensemble mehrerer Glieder von verschiedenen Ord-
nungen abhängen kann. Wie man diese Glieder jedesmal findet, wird durch
ein Verfahren entschieden, welches der New ton- Cr am er 'sehen Begel zui-
Discussion der verschiedenen Zweige einer algebraischen Cnrve in der Nähe
eines vielfachen Punktes entlehnt ist. üeberhaupt bildet die Theorie der
algebraischen Curven das Fundament der Untersuchung; für ihre ganze
Anlage war der Gesichtspunkt massgebend, dass die Frage, ob die Function
f(x^ y) im Punkte x^a^ y = h ein Minimum resp. Maximum erreicht
oder nicht, identisch ist mit der, ob für die Curve /"(a?, y) — /*(«> &) = 0
der Punkt a,h ein isolirter Punkt ist oder nicht. Dass aber gerade nur
die algebraischen Curven eine Bolle spielen, rührt von dem Fundamental-
satze der Arbeit her, der das Problem des Maximums und Minimums von
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Zar Erinnerniig an Lndwig Scheeffer. 55
beliebigen Functionen (anter Aueschlass aller derjenigen besonderen Func-
tionen, für welche überhaupt die Ableitung der Kriterien des Maximums
und Minimums auf dem Wege der Potenzentwickelung von yomherein als
anmöglich erkannt wird) auf ganze rationale Functionen zurttckführt. Leider
finden sich ausser diesem Satze nirgends Andeutungen darüber, wie man
die Untersuchung auf Functionen Ton mehr als zwei Variabein ausdehnen
könnte.
Mit den klaren, ruhig ezponirten, frisch geschriebenen Arbeiten, die
wir im Vorstehenden zu charakterisiren versucht, ist auch Scheeffer 's
Persönlichkeit gezeichnet: Klar und bestimmt im Wollen und Thun, und
dabei wohl über die Jahre gereift; anregend, lebhaft im Vortrag, wie im
geselligen Verkehr; einfach, offenherzig, hingebend im Tertrauten Umgänge
— so lebt er im Herzen Derer, die ihm im Leben ntther getreten sind.
Hohen-Asohau, im September 1886. Walther DrCK.
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Recensionen.
Erwiderung auf die Bemerkung des Herrn Dr. Haentzschel.
Auf die von Herrn Dr. Haentzschel im 1. Hefte des neuen Jahr-
ganges dieser Zeitschrift 8. Ö4 und 55 gemachte Bemerkung zu meinem
im 5. uDd 6. Hefte des vorigen Jahrganges S. 257—273 und S. 305—3^24
abgedruckten Auf satze : „Ueber die Yertheilung der inducirten ElektricitSt etc.^
gestatte ich mir zu erwidern:
Von der trefflichen Abhandlung des Herrn Dr. Baer: Die Function
des parabolischen Cjlinders, Programm des Gymnasiums in Cfistrin, 1883,
erhielt ich leider zu spät Eenntniss, um sie noch in meinem Aufsatze er-
wähnen zu können. Der Inhalt jener Abhandlung hat aber, wie ich mich
nachträglich, als mir dieselbe durch die Güte ihres Herrn Verfassers zu-
gänglich gemacht worden war, überzeugt habe, keinen directen Einfluss auf
den der meinigen. Insbesondere würde die Arbeit des Herrn Dr. Baer mich
nicht veranlasst haben , wie Herr Dr. Haentzschel annimmt , dem auf S. 260
meiner Abhandlung befindlichen Satze die von Herrn Dr. Haentzschel vor-
geschlagene allgemeinere Form zu geben. Denn einerseits beschäftigt sich
jener Satz nur mit Cjlinder flächen — er beantwortet die Frager Für
welche Cylin der flächen ist die Differentialgleichung JV=0 auf ge-
wöhnliche Differentialgleichungen reducirbar? — , und andererseits dürfte
die fragliche Ergänzung fdr Jeden, der mit der Theorie der Elektrostatik
näher bekannt ist, wohl selbstverständlich sein.
Dies bewog mich, von einer Erwähnung jenes Zusatzes an der frag-
lichen Stelle abzusehen; doch habe ich am Schlüsse meiner Arbeit, auf S. 324,
seiner kurz gedacht. Auf einen Beweis des Zusatzes glaubte ich verzichten
zu müssen, da sich derselbe in jedem neueren Werke über Potentialtheorie
findet. (Vergl. z.B. Heine, Eugelfunctionen , II. Bd., S. 251 flg., Thom-
son, Reprint of Papers on Electrostatics and Magnetism.; S. 144 — 177,
Art. XIV: Electrical Images., namentlich S. 149 u. 173.)
Dresden, 4. Januar 1886. Dr. B. Besser.
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fiecensionen. 57
Lehrbuch der darstellenden Oeometrie, von Dr. Christian Wienbb, Geh.
Hofrath und Professor an der grossherzogl. poljtechn. Schnle zu
Karlsruhe. In 2 Bänden. 1. Band. 477 S. gr. 8^. Leipzig, B. 6.
Tenbner. 1884.
InhaltsTerieichniss :
Grundbegriffe.
1. Ahschnüt, Geschichte der darstellenden Geometrie. Alter-
tbum und Mittelalter. Die Perspective von der Renaissance bis zum Beginn
des 19. Jahrhunderts. Ausbildung des Grund- und Aufrissverfahrens und
Entstehung der darstellenden Geometrie in Frankreich. Die neuere fran-
zösische Perspective. Die darstellende Geometrie und Perspective in Deutsch-
land. 'Die darstellende Geometrie in Italien. Die schiefe Projection und
die Axonometrie. Die Reliefperspective. Die Photogrammetrie. Die Schatten-
und Beleuchtungslehre, üeberblick über die geschichtliche Entwickelung
und die wissenschaftliche Aufgabe der darstellenden Geometrie.
2. Ahschnüt, Punkt, Gerade und Ebene in senkrechter Pro-
jection auf zwei zu einander senkrechte Projectionsebenen.
3. Ahschnüt. Benutzung einer einzigen Projectionsebene«.
Zwei parallele Spurebenen. Cotirte Projectionen.
4. Ahschnüt. Ebenflächige Gebilde. Das Dreikant. Vielflache,
insbesondere regelmässige Vielflache. Durchdringungen etc.
5. Ahschnüt. Die Curven im Allgemeinen und die Kegel-
schnitte als Brennpunktcurven im Besonderen.
6. Ahschnüt. Projective Geometrie. Projectiye Beziehung zwischen
gerader Punktreihe, Strahlenbüschel und Ebenenbüschel. Harmonische Ge-
bilde. Involution. Imagiuäi-e Elemente. Collineation ebener Systeme. Er-
zeugnisse projectiver Strahlenbüschel und Punktreihen in einer Ebene. Pol
und Polare zu einem Kegelschnitte. Construction eines Kegelschnittes aus
imaginären Elementen. Beciprocität in der Ebene. Conjugirte Durchmesser
der Kegelschnitte. Lösung von Aufgaben über die Kegelschnitte mittels
Collineation. Sätze über perspective Lage, die Brennpunkte, die Aehnlich-
keit und die Ejrünmiungsmittelpunkte der Kegelschnitte. Allgemeines über
die Büschel und Schaaren von Kegelschnitten. Conjugirte Kegelschnitte
und Imaginärprojection. Verzeichniss von Curven einer Schaar oder eines
Büschels von Kegelschnitten mittels Netzen. Die cjclisch projectiven Punkt-
reihen und ihre Anwendung auf Kegelschnittschaaren und BüscheL Imagi-
näre Projection zweier Büschel oder zw.eier Schaaren von Kegelschnitten auf
einander, wenn die Anzahlen ihrer reellen Grundelemente verschieden sind.
7. Ahschnüt. Beleuchtungslehre mit ihrer Anwendung auf
eben flächige Körper. Physikalische Grundlagen der Beleuchtungslehre.
Nachahmnng der Helligkeit durch Tuschlagen. Bestimmung des Schattens
und der Helligkeit von ebenflächigen Körpern bei Parallelbeleuchtung.
Hin.- lit. Abtblg. d. Z«iUohr. f. Math. u. Phji. XXXI, 2. Ö ^^^^ CjOOQ IC
58 Historisch -literariBche Abtbeilang.
8, Abschnitt, Axonometrische und schiefe Projection«
9. ÄhschniU. Perspective nnd Reliefperspective.
Mit der Herausgabe dieses Lehrbuches hat der Verfasser die Literatur
über den vorliegenden Qegenstand um ein sehr werthvolles Werk bereichert.
Trotz der grossen Anzahl verschiedener Bearbeitungen, welche die dar-
stellende Geometrie in den letzten Jahren erfahren hat, besitzen die ver-
schiedenen Capitel viel Eigenartiges, und ist selbst in den Elementen Man-
ches neu und besser gestaltet. Bei anderen Dingen, wie namentlich der
Schattenconstruction , zeigt sich eine sorgfiLltige Revision der Grundlagen
geradezu als geboten.
Dem Vortrage der darstellenden Geometrie selbst geht eine Geschichte
derselben voran, an welcher es bis jetzt, abgesehen von zerstreuten Ab-
handlungen und Poudra's Geschichte der Perspective, fehlte. Die For-
schungen gehen einerseits bis auf die ersten Zeiten, in denen sich Spuren
unserer Wissenschaft nachweisen lassen, zurück und dringen andererseits
bis zu den neuesten Erscheinungen der Zeit vor. üeberall findet man Be-
lege von einem sorgfältigen Quellenstudium. Die einzelnen Methoden wer-
den bezüglich ihres Werthes auch für die Zeit ihrer Entdeckung kritisch
beleuchtet , über die besonders wichtigen Erscheinungen findet man Referate ;
hin und wieder eingefiochtene biographische Notizen beleben das Ganze und
gestalten es zu einer angenehmen, fesselnden Lecture.
Den Ausgangspunkt des mathematischen Theils bildet die Orthogonal-
projection. Schon bei der Lösung der Elementaraufgaben tritt uns an
vielen Stellen eine eigenartige Auffassung entgegen. Heben wir etwa das
Capitel VI im 2. Abschnitt: ;, Verschieben und Entbehren der Projections-
axe'' als Beleg dafür hervor. In alF den Aufgaben, in welchen nur Pro-
jectionen, nicht Spuren gegeben sind oder benutzt werden, hat die Aze
gar keine Bedeutung und kann demnach ganz weggelassen werden. Ein
prägnantes Beispiel ist die Aufgabe, den Abstand eines Punktes von einer
Geraden zu bestimmen. Zur Lösung denke man sich die anzuwendende
Hilfsebene, welche den Punkt enthält und normal zur gegebenen Geraden
steht, durch ihre Hauptlinien (das sind Geraden parallel zu den Projections-
ebonen) , welche den gegebenen Punkt enthalten , bestimmt. Der Fusepunkt
des Perpendikels Ittsst sich dann bekanntlich ohne Hilfe der Axe ermitteln
und damit auch die wahre Länge.
Von Projectionsmethoden mit einer Projectionsebene werden nur die-
jenige mit zwei parallelen Spurebenen und die cotirte Projection in Kürze
auf vier Seiten erledigt, was schliesslich bei der grossen Evidenz der Con-
struction und dem geringen Kreis von Aufgaben , in denen sich namentlich
die letztere als zweckmässig erweist, auch ausreichend erscheint.
Die Curventheorie wird eingeleitet durch Entwickelung des Begriffs
der Stetigkeit, erläutert an Beispielen, insbesondere einigen transeendisnten
Curven mit Ecken und freien Endungen. Durch Einführung der unter-
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Beoensionen. 59
scheidenden Bezeichnungen „absolnte Nnir* und „ Grenznull ^^ wird die
Untersuchung über die Bestimmtheit der Tangente eine sehr prttcise. Auch
die Singularitäten der Curven werden in Kürze besprochen; bemerkenswerth
sind namentlich die Untersuchungen über die Krümmungshalbmesser in' den
▼erschiedenen Arten der Spitzen. Durch Discussion der möglichen Formen
der Evoluten von Currentheilen in der N&he solcher Elemente wird gezeigt,
dass der Krümmungshalbmesser im gewöhnlichen Bückkehrpunkt entweder
Null oder Unendlich ist, während er bei der Schnabelspitze jeden beliebigen
Werth haben kann.
Nachdem bereits durch Betrachtung von ebenen Figuren und ihren
ümklappungen und Projectionen , sowie durch Pjramidenschnitte die Begriffe
der Affinität und Gollineation gewonnen waren, wendet sich der Verfasser
nunmehr zur systematischen Behandlung der synthetischen Geometrie« Die
Projectivität wird mit Hilfe von Doppelverhältnissen definirt. Die Ver-
mittelung dieses Theils mit der darstellenden Geometrie geschieht durch
den Nachweis, dass jede durch zwei projective Strahlenbüschel erzeugte
Curve auf einen Botationskegel gelegt werden kann, wie ihn der Verfasser
vor langer Zeit gegeben hat. Daran knüpft sich naturgemäss die Bestim-
mung der Brennpunkte als Berührungspunkte von zwei den Kegel und die
Curvenebene tangirenden Kugeln, wodurch der Zusammenhang dieser Ent-
Wickelungen mit Capitel V hergestellt ist. Einen Glanzpunkt des Werkes
bildet eine, wie der Verfasser sagt, Imaginärprojection einer Curve II. Ord-
nung. Diese Frojection fahrt zu einer Verallgemeinerung des Begriffs der
schon von Poncelet eingeführten coivjugirten C^, welch' letztere sich als
übereinstimmend mit den von Steiner als einander harmonisch zugeord-
neten bezeichneten O^ erweisen. Während aber bei Steiner jeder dieser
Kegelschnitte als seine eigene Polarfigur in Bezug auf die andere erscheint
und hierdurch bestimmt wird, wählt der Verfasser folgenden Gedankengang:
Sei in der Ebene eines Kegelschnittes m, P ein ausserhalb desselben liegen-
der Punkt, r eine durch F gehende und m nicht schneidende Gerade, p die
Polare von P, Q deren Schnittpunkt mit r, so sind in der auf r statt-
findenden gleichlaufenden Involution der in Bezug auf m einander cox^'ugir-
ten Punkte P und Q einander zugeordnet und es werden nun diejenigen
Punkte CCi dieser Involution die ideellen Doppelpunkte in Bezug auf P
genannt, welche einander zugeordnet und durch P and Q harmonisch ge-
trennt sind. Da nun im Falle einer m schneidenden Geraden die reellen
Doppelpunkte der Involution die Schnittpunkte mit der Curve sind, so
sollen auch die ideellen Doppelpunkte die ideellen Schnittpunkte,
CC^ eine ideelle Sehne genannt werden. Die Gesammtheit der Punkte C6\
liegt auf einem Kegelschnitt, dem „conjugirten ideellen Kegel-
schnitt von m in Bezug auf P". Man erkennt leicht, dass die Be-
ziehung vertauschbar ist, femer dass beide Kegelschnitte sich in zwei
Punkten berühren und p als Polare beiden gemeinschaftlich ist. Zuden
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60 Historisch- literarische Abtheilang.
wesentlichsten Vortheilen ist wohl der umstand zu rechnen , dass die obige
Projection anch vollkommen imaginäre Kegelschnitte der Constmction zu-
gänglich macht. Andere Vortheile entspringen ans der Möglichkeit der
üebertragnng von Constructionsmethoden der Büschel mit reellen Grund-
punkten auf solche mit ganz oder theil weise imaginären. In den der Aus-
führung dieser Gedanken beigefügten Figuren sind die Curven der einzelnen
Büschel und Schaaren äusserst dicht aneinander gereiht, fast einer Schraf-
firung gleichkommend, und geben demgemäss eine selir gute Vorstellung
von der continuirlichen Aufeinanderfolge der Curyen, was namentlich bei
imaginären Grundpunkten, bez. Strahlen, wo die Vorstellung erschwert ist,
sehr willkommen ist.
Im 7. Abschnitt verhilft der Verfasser der Beleuchtungslehre zu einer
solideren Grundlage. Nach sorgfältigst angestellten Versuchen mit zweck-
mässig erleuchteten Gjpskörpern werden die Resultate mit bekannten Ge-
setzen, dem Lambert*schen cos.- Gesetz und dem von Schülern Monge's
aufgestellten und von Burmester benutzten cos.- cos.- Gesetz, verglichen.
Hierbei ergiebt sich eine recht befriedigende üebereinstimmung mit dem
ersteren , so dass die Coustructionen der Curven gleicher scheinbarer Hellig-
keit als unnöthig erscheinen, indem ein unterschied zwischen diesen und
den Curven gleicher wahrer Beleuchtung kaum existirt. Höchstens könnte
man die Glanzpunkte noch durch helle Flecke auszeichnen. Auch die Wirkung
des Beflexlichtes wird einer besonderen Untersuchung unterzogen; der Verfasser
begnügt sich nicht mit der gebräuchlichen Annahme von dem directen Licht
entgegengesetzt gerichteten, aber verhältnissmässig schwachen Beflexstrahlen.
Behufs Gewinnung einer Grundlage fOr die sichere Beurtheilung der
Wirkung einer mehrfachen üeberarbeitung von Flächen mit einem Tuschton
wird zunächst ein ziemlich tiefer Ton hergestellt. Eine einmalige Ueber-
deckung des Papiers der Helligkeit 1 ergebe die Helligkeit h^ . Nimmt man
die Helligkeit der Eohlentheilchen der Tusche = 0, so ist h^ ein positiver
kleiner Bruch. Nun werden einmal durch Schraffiren Flächen hergestellt,
deren Helligkeit aus der verhältnissmässigen Breite der hellen und dunklen
Streifen abgeleitet wird, — ein zweites Mal wird durch 1, 2, 3 . . . 50-
maliges Anlegen mit sehr blassem Tuschton (50 malige Verdünnung des
ursprünglichen) eine andere Skala gewonnen. Beide Skalen werden sodann
verglichen. Trägt man nun entsprechende Werthe der Helligkeiten und der
Anzahlen von üeberarbeitungen bez. als Abscissen und Ordinaten einer
Curve auf, so ist deren Aehnlichkeit mit der logarithmischen Linie unver-
kennbar. Diese Thatsache veranlasst denn auch den Verfasser, ein loga-
rithmisches Gesetz der bezüglichen Wirkung aufzustellen, wie es schon
früher von Schülern Monge's gethan war. Die minutiöse Genauigkeit,
mit welcher hierbei verfahren wird , kann wohl am besten durch die That-
sache illustrirt werden , dass die Widersprüche in den berechneten Constanten
nach der Methode der kleinsten Quadrate ausgeglichen sind.
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Becensionen. 61
Im Sehlusscapitel, der Gentralprojection gewidmet, giebt der* Verfasser
nach Erledigung der nothwendigsten Fundamentalsätze zun&cbst einige An-
wendungen. Viele Winke zur Vermeidung von Zeichenfehlem bei kleinen
Details (vergU namentlich die Perspective eines Hauses) werden dem Prak-
tiker willkommen sein. Dann werden auch die wichtigsten stereometrischen
Elementaraufgaben in freier Perspective gelöst Es darf wohl als zweifellos
angesehen werden , dass diese Projectionsart später noch weiter durchgebildet
wird. Die letzten zehn Seiten sind der Beliefperspective gewidmet. Die
Mängel , welche mit ihrer Anwendung in der Kunst verbunden sind , werden
hervorgehoben und begründet. Es wird angedeutet, wie die strenge Theorie
für derartige Zwecke zu modificiren sei. Aber, wie der Verfasser schliesst,
nicht minder, wie zum Befolgen der Regeln, ist zum zielbewussten Ab-
weichen ihre Kenntniss nothwendig.
Referent hofft, durch dieses Referat seine Eingangs ausgesprochene
Ansicht über die Bedeutung des vorliegenden Werkes ausreichend motivirt
zu haben.
Hannover. Dr. Carl Rodenbebo.
Lehrbuch der darstellenden Geometrie, von Dr. Walfried Marx, Professor
an der königl. technischen Hochschule in München. Erster Abschnitt:
Die Methode der rechtwinkligen Projectionen und ihre Anwendung
zur graphischen Bestimmung von Punkten, Geraden, Ebenen und
der von ihnen begrenzten Körper, sowie zur Lösung von Aufgaben
über die gegenseitige Lage dieser Objecto. Dritte umgearbeitete und
durch Aufgaben vermehrte Auf läge des 1. Bandes von F. A. Klingen-
feld's Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Mit 11 lithographirten
Tafeln. 311 S. 8^ Nürnberg, Friedr. Korn. 1885.
Wir entnehmen dem Vorwort das Folgende:
„Ueber der Vorbereitung der 3. Auflage starb Klingen feld 1880
als Professor der königl technischen Hochschule in München, der er seit
ihrer Gründung angehört hatte. Diese neue Auflage fertig zu stellen, fiel
mir, seinem Amtsnachfolger und früheren Schüler, zu. Mit einigem Wider-
streben unterzog ich mich der Arbeit. Einer Neuauflage durften die Be-
reicherungen nicht vorenthalten werden, welche die darstellende Geometrie
in den letzten Decennien erfahren; sie sollte nicht mehr unter den vielen
Abkürzungen leiden, die der blossen Lecture der früheren Auflagen so
sehr hinderlich waren; schliesslich soUte sie, und das hatte Klingen feld
schon als wünschenswerth bezeichnet, durch Beigabe eines reichen üebungs-
materials vermehrt werden. Die stete Rücksicht auf diese Punkte und die
Ueberzeugung, die ich bald gewann, dass durch Abänderungen und Zusätze
ein einheitliches Ganzes nie geschaffen werden könne, liess schliesslich ein
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62 * Historisch -literarische Abtheil ang.
Buch entstehen, das, wie ich hoffe, der Vorzüge des alten nicht yerlnstig
gegangen ist . . . Die beiden ersten Capitel sind neu, die übrigen habe
ich sachgemSss abzurunden und zu ergänzen mich bestrebt/'
Die Absichten, welche der Verfasser in den vorstehenden Worten zu
erkennen giebt, hat er in vollkommener Weise durchgeführt. Von den neu
hinzugekommenen Abschnitten giebt der erste eine gedrängte Darstellung
des Wesens der verschiedenen Projectionsmethoden. Der zweite beschäftigt
sich mit der rechtwinkligen Projection auf eine Tafel; der Hauptzweck
desselben ist wohl die Einführung der Affinität.
Das ganze Buch kann jedem Studirenden, insbesondere des reichen
üebungsmaterials wegen, empfohlen werden.
Hannover. Dr. Carl Rodbnberg.
Darstellende und projective Oeometrie, von Dr. Gubt. Ad. V. Peschka.
4. Band. Mit einem Atlas von 30 Tafeln. Wien, Carl Gerold 's
Sohn. 1885.
Dieser vierte und letzte Band behandelt die windschiefen Flächen
höherer Ordnung, Normalenflächen, Rotationsflächen, ümhüllungsflächen.
Schraubenflächen , Schattenconstructionen.
Die Discussion der windschiefen Flächen, denen wir schon früher be-
gegneten, wird vervollständigt; die Projectivität zwischen der Punktreihe
auf einer Erzeugenden und dem Ebenenbüschel der zugehörigen Tangential-
ebenen wird dargelegt und daraus auf die Möglichkeit von Schmiegungs-
flächen IL Ordnung geschlossen. Dann folgt die Bestimmung einiger Cha-
raktere, insbesondere der Anzahl von Torsallinien. Für solche Linien,
behauptet der Verfasser S. 8, finde die obige Projectivität nicht statt,
während in Wirklichkeit nur eine singulare Projectivität auftritt.
Die Theorie der Begelflächen dritten Grades geht aus von den Merk-
malen, welche eine solche Fläche nothwendig aufweisen müsse. Es wird
gezeigt, dass eine Fläche IH. Ordnung mit Doppelgerade nothwendig eine
Regelfläche sei , und umgekehrt jede Regelfläche III. Ordnung eine Doppel-
gerade enthalte. Erst später werden dann die verschiedenen projectivischen
Eigenschaften und die hierauf beruhenden Erzeugungsweisen abgeleitet.
Schliesslich wird auch des Specialfalles der Cayley'schen Regelfläche ge-
dacht. Recht erwünscht wäre nun, die Stellung dieser Fläche als üeber-
gangsfläche zwischen den beiden allgemeinen Species mit reellen und imagi-
närea Torsallinien gekennzeichnet zu sehen. Femer sei hier die Frage
gestattet, warum auch nicht eine einzige dieser so interessanten und für
die constructiye Behandlung so überaus geeigneten Flächen zur DarsteUung
gelangte?
Im Gegensatze hierzu wird den Normalenflächen ein grosser Abschnitt
gewidmet Diese Flächen werden von den Normalen einer Fläche längs
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Becensionen. 68
einur ihr aufgeschriebenen Carve gebildet; man kann sich demnach auf die
Untersuchung der Normalenflächen von Developpabeln beschränken. Ein
grosser Theil des Vorgetragenen besteht aus eigenen Untersuchungen des
VerfEissers. Die ersten systematischen Untersuchungen rühren wohl von
dem leider früh verstorbenen Goutnj her. Der allgemeinen Behandlung
dieser Flächen sind einige Constructionen ftir den Fall eingereiht, dass die
Grundfläche ein Kegel ist Von den des weitem bestimmten Charakteren
sei hier hervorgehoben, dass im Allgemeinen die Ordnung der Fläche ffi.tn,
ist, wobei m die Ordnung der Fläche, m^ die der Leitcurve bedeutet. Es
wird hinzugefügt: „ vorausgesetzt, dass die Fläche nicht transcendent wird'';
aber wie soll sie das anfangen? Ein besonderes Capitel ist den Normalen-
flachen längs ebener Schnitte der Flächen zweiten Grades gewidmet, deren
Behandlung durch den Umstand , dass nur Kegel als Grundflächen betrachtet
zu werden brauchen, besondere Vereinfachungen erfährt.
Ausser diesen letzten werden von Begelflächen IV. Ordnung noch die
Wölbfläche des schiefen Eingangs, das Kegelschnittconoid , das Kugelconoid
und das Cjlindroid in ansprechender Weise behandelt. Aus dem Beiseite-
lassen der allgemeinen Theorie der Begelflächen IV. Ordnung wird kaum
Jemand dem Verfasser einen Vorwurf machen, aber es kann doch wohl
nicht ganz ernsthaft gemeint sein, wenn im Vorwort dieses Fehlen damit
motivirt wird, dass dem Leser, auf Grund des Studiums obiger Specialfälle,
bei der Untersuchung des allgemeinen Falles irgendwelche Schwierigkeiten
nicht erwachsen würden.
Von Umhüllungsflächen wird eingehend die Ringfläche behandelt (die
Schraubenröhrenfläche vermissen wir ungern) und als Specialfall der Cjclide
erkannt Nachträglich sei hier bemerkt, dass im 3. Band die Cjclide nicht
als ^^ mit dem oo- fernen Kugelkreise als Doppelcurve aufgeführt ist, was
nicht hätte unterbleiben dürfen. Diese Thatsache wurde jetzt auffällig bei der
Lectore des durch Rechnung geführten Beweises für die Existenz zur Aze
des Ringes geneigter Ebenen , welche nach zwei Kreisen schneiden. Berührt
nämlich eine solche Ebene in zwei Punkten, so folgt die erwähnte Eigen-
schaft sofort aus dem Umstände, dass dann die Schnittcurve vier Doppel-
punkte, unter denen zwei die imaginären Kreispunkte sind, hat; und der
Beweis gilt auch gleich für die allgemeine Cjclide.
Die Flächentheorie schliesst mit der Betrachtung der geradlinigen
Schraubenflächen.
An dieser Stelle sei es uns gestattet, die Aufmerksamkeit des Lesers
auf S.Vn der Vorrede zu richten, woselbst das Fehlen mehrerer von uns
früher als unerlässlich hingestellter Partien motivirt wird, oder richtiger,
zu motiviren versucht wird. Dieser Versuch ist unserer Ansicht nach ent-
schieden verunglückt; denn die ausserordentliche Wichtigkeit der be-
züglichen Gegenstände ist nicht in Frage zu ziehen, und wo soll man
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64 Historisch • literarische Abtheilung.
sie schliesslich erwarten, wenn nicht in einem Werke von beilttufig
2500 Seiten!*
Als Anhang wird die Schattenlehre beigegeben. Nach der Anfiangs
gegebenen Aufzählung dessen , was bei der Schattenconstruction berücksichtigt
werden muss, als: Beschaffenheit der Lichtquelle, Beschaffenheit des Me-
diums, durch welches ein Fortpflanzen der Lichtstrahlen statt hat, Ent-
fernung und Lage des beleuchteten Objects und der Lichtquelle gegen
einander, Beschaffenheit der Oberflftche, Lage und Entfernung des Auges
vom beleuchteten Gegenstande und schliesslich gar die physiologischen
Eigenthtlmlichkeiten unserer Sehorgane, erwartet sicher Jeder auch ein
etwas tieferes Eingehen auf diese Dinge. Aber die Untersuchung verläuft
sozusagen im Sande ; die Entwickelung , S. 389 — 403 etwa , bleibt unklar,
wofür der Grund in erster Linie wohl in dem ^ anfänglichen Fehlen von
prompten Definitionen der Begriffe Intensität, scheinbarer Helligkeit u. dergl.
zu suchen ist. Erst später (z. B. § 334) findet man hin und wieder einige
beiläufige Erläuterungen dieser Fundamentalbegriffe. Greifen wir jetzt zur
Kennzeichnung der Arbeit etwa den Satz 232 auf S. 390 heraus: j^Die
Intensität, unter welcher ein Punkt einer leuchtenden Fläche erscheint, wird
stets durch das Product aus der Normalintensität der Fläche in dem be-
treffenden Punkte und dem Sinus jenes Winkels ausgedrückt, welchen die
ihm entsprechende Tangentenebene mit dem Sehstrahle einschliesst,'' —
und stellen wir demselben den Ausspruch auf der folgenden Seite entgegen:
„Dem unendlich fernen Auge wird somit die Lichtkugel als Lichtscheibe
von derselben constanten Licht-stärke erscheinen*' — so haben wir zwei
sich direct widersprechende Behauptungen. Ebenso unklar ist uns unter
Anderem im § 338 die Bestimmung der Isophengen geblieben. Es scheint
die Formel für die Abnahme der Int^sität der Beleuchtung mit dem Qua-
drat der Entfernung vom leuchtenden Punkte, auf die beobachtete In-
tensität eines Punktes einer gleich stark leuchtenden Fläche übertragen zu
sein; etwas Anderes heraus zu lesen, will uns nicht gelingen, so absurd
die obige Annahme auch sein mag. Wer will es unternehmen, den §331
zu entziffern? — Wendet man sich jedoch von diesen Dingen zu den in
üblicher Weise ausgeführten Beleuchtungsconstructionen , so b^egnet man
einer grossen Reihe elegant durchgeführter Beispiele, wie sie bei der
ungemeinen zeichnerischen Fertigkeit des Verfassers nicht anders erwartet
werden konnten.
Schliesslich möge betont werden, dass das vorliegende Werk, trotz
der vielen Ausstellungen, die zu machen wir uns genöthigt sahen, durch
seine Fülle an Material aus den behandelten Gebieten für den verständniss-
vollen Leser ein vortreffliches Nachschlagebuch ist, es insbesondere dem
* Infolge des Fehlens der Eegelschnittbüschel entbehrt überdies die ganze
Polarentheorie im 2. Bande des Fundaments.
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Becensionen. 65
Docenten eine grosse Menge von Beispielen für seine Vorlesungen bietet.
Einem Lernenden es zu empfehlen, müssen wir so lange aufrichtiges Be-
denken tragen, bis nicht die gekennzeichneten grossen Lücken ausgefüllt
und die wesentlichsten Mängel der Darstellung beseitigt sind.
Hannover. Dr. Carl Bodbnbbrg.
Analytische Oeometrie des Baumes nebst den Principien der darstellen-
den Geometrie unter besonderer Berücksichtigung des Imaginären.
Zum Grebraucbe an technischen Hochschulen und höheren technischen
Schulen, sowie zum Selbstunterricht. Mit zahlreichen üebungsauf-
gaben nebst Auflösungen. Von Wilhelm Fbiedbich Schueleb.
1. Band. Erste Hälfte. 223 S. 8^ Mit 4 Tafeln in Steindruck.
Ansbach, G. Brügel und Sohn. 1884.
Der uns Torliegende Theil enthält die Elemente; nur einmal tritt bei
der Betrachtung der Gesammtheit der Schnittgeraden von drei gegebenen
eine Fläche II. Ordnung auf. Dem Buche liegt die Idee zu Grunde, die
Constructionen der modernen darstellenden Geometrie durch Bechnung zu
begrtlnden. Das analytische Verfahren ist also wesentlich Mittel zum Zweck.
Fast immer werden Gerade durch die Gleichungen ihrer projicirenden Ebenen
dargestellt, wodurch dann sofort die Gleichungen der Projectionen aus-
gedrückt sind, andererseits aber die Symmetrie der Bechnung yerloren geht.
Bis zum Erscheinen der weiteren Theile, die namentlich die dem Ver-
fasser eigenthümliche Auffassung des Imaginären enthalten sollen, möchten
wir uns auf diese kurze Anzeige beschränken.
Hannover. Dr. Cabl Bodenbbrg.
Lehrbuch der Geometrie für Gymnasien und höhere Lehranstalten, von
Dr. F.W. Fischer, Oberlehrer am Gymnasium zu Kempen. I. Theil,
Planimetrie. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. VIII und
184 S. Freiburg i. Br., Herder'sche Verlagsbuchhandlung. 1884.
In der Vorrede behauptet Herr Fischer, sein Buch sei in drei Curse
getheilt, „welche die Lehrpensa für die Quarta, die Unter- und Obertertia
und für die Unter- und Obersecunda enthalten/^ Glücklicherweise scheint
er es aber bei dieser Drohung haben bewenden zu lassen. Wir haben die
Ueberschriften Gursus I, 11, III wenigstens nicht finden können, obschon
wir darnach die 184 Seiten des Büchleins suchend durchblättert haben.
Das ist ein entschiedener Vortheil des Buches. Denn ein Buch verfassen
zu wollen, welches auf verschiedenen Seiten dem Quartaner und Ober-
secundaner dienen und dabei handlich bleiben soll, halten wir für eine
Chimäre.
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66 Historisch -literatische Abtheilung.
8.2, §8 finden wir die Definition: „Die Kreislinie ist eine knimBie
geschlossene Linie, deren Pankte alle in einer Ebene liegen und von einem
Punkte innerhalb, dem Mittelpunkte, gleich weit abstehen.^' Diese Defini-
tion taugt weder für Quarta, noch für Obersecunda, sondern gar nicht
8. 31 wird die Aufgabe, einen beliebigen Winkel in drei gleiche Theile
zu theilen, als eine nicht gelöste Aufgabe bezeichnet.
Nicht besonders glücklich scheinen 8. 42 die beiden parallelen Seiten
eines Paralleltrapezes „Grundlinien*^ und die Hypotenusenhöhe des recht-
winkligen Dreiecks „Höhe'' im engeren 8inne genannt zu sein.
Durchweg sagt Herr Fischer eine Parallele auch dann, wo nur eine
einzige möglich ist, also die Parallele vorzuziehen sein würde. Ebenso
wenig kann die Vermeidung der schönen Bezeichnung „Strecke'' gebiUigt
werden. Die Definition der Tangente 8. 55 lässt ebenfalls zu wünschen
übrig; und wenn 8. 72 verlangt wird, von einem gegebenen Punkte ans
zwei Tangenten an einen £reis zu ziehen, so ist das wiederum nicht
correci.
Die Parallelentheorie baut Herr Fischer 8. 12 auf folgende Betrach-
tung. Werden zwei Parallelen von einer dritten geschnitten und schiebt
man diese schneidende Oerade in sich selbst fort, während die eine Parallele
mit ihr fest verbunden bleibt, so gelangt sie allmälig in die Lage der andern
Parallelen und man sieht, dass die Wechselwinkel gleich werden u. s. w.
8. 26 flg. stellt Herr Fischer eine Reihe von Aufgaben zusammen,
welche passend als Grundaufgaben bezeichnet werden können. Sie behan-
deln das gleichseitige Dreieck, die Halbirung der Strecke, des Winkels, die
Errichtung eines Lothes u. s. w. Diese ausftLhrliche Zusammenstellung haben
die älteren Lehrbücher durchweg, während die neueren, nicht zu ihrem
y ortheil, von dieser wichtigen didaktischen Anordnung vielfach abweichen.
Es folgt die Lehre von den Vierecken insbesondere den Parallelo-
grammen, die Theilung und Verwandlung der Figuren, der pjtha-
gorftische Lehrsatz. Jetzt erst,, auf 8. 54, gelangt ipan zum Ereitie.
Will man diese Vertheilung des Stoffes gutheissen, so lässt sich gegen die
Behandlung desselben, wie sie in unserm Buche vorliegt i wenig erinnern.
Es folgen die merkwürdigen Punkte und i22 Aufgaben, die recht schön
und passend sind.
8. 81 beginnt die Lehre von der Aehnlichkeit sehr zweckmässig mit
einer Darstellung der Proportionenlehre. Dieselbe ist ebenso kurz, wie
inhaltreich. Die Sätze von der Aehnlichkeit reichen bis 8. 109, wo die
Transversalentheorie beginnt
8. 127 flg. werden Berechnungsaufgaben vorgeführt, denen der Herr
Fischer die Construction nicht unmittelbar, sondern erst 8. 157 anreiht.
Den Schluss des Buches bilden die Sätze über harmonische Theilung u. s. w.,
die aber nicht unfruchtbare Theorie bleiben, sondern zur Lösung des
Taktionsproblems führen«
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Becensionen. 67
Wir haben unsere in einigen Punkten abweichende Ansicht unumwun-
den ausgesprochen. Daher bleibt uns bei der Zusammenfassung des Urtheils
die angenehme Pflicht, das Werkchen nach Inhalt und Form für ein ge-
diegenes und praktisches Schulbuch zu erklären, dem wir den besten Erfolg
wfinschen.
Coesfeld, im Juni 1885. K. Schwering.
Zar Fonnation der qnadratigohen Gleichungen, von Dr E. Bardby.
390 S. gr. 8^. Leipzig, Druck und Verlag von B. 6. Teubner.
1884.
Der Name des Verfassers hat auf dem hier von ihm behandelten Ge-
biete einen guten , wir möchten sagen , den besten Klang. Das vorliegende
Buch verfolgt den Zweck, die Leser mit dbr Methode bekannt zu machen,
wie man zu quadratischen Gleichungen von vorgeschriebener ,,Form'^
Lösungen zierlicher Art zurechtmachen kann. Die Buchstaben A^ By C
bedeuten Ausdrücke von der Form aa + ßh + yx^ wo o, /?, y specielle
Zahlzeichen sind. Die erste von dem Verfosser behandelte Gleichungsform
ist AC=^B^. Hier könnte man also den Ansatz machen
(«a + ßh + yx) («ja + ft5 + y^x) = ((la + vh + qx)*
und nun itj v^ q so bestimmen, dass
2vQ^ßy, + ß^y
wird. Direct jedoch gelangt man zu solchen Bildungen auf andere Weise.
Man bildet die Form
Wic* + na?y + poi?y^ + n x^ + i»y*«
dividirt dieselbe durch eine ähnliche Form mit anderen Coefficienten m^ , n, ,
Pi, f»|, m| und setzt den Quotienten gleich -^* Hierauf setzt man
^ — , u^
Ä — y xy
lind bestimmt zunächst u und dann i. Die quadratische Gleichung in u
führt auf eine Quadratwurzel, welche mit r bezeichnet ist. Indem man
nun für i die Werthe aufsucht und r durch x ersetzt, gelingt es, quadra-
tische Gleichungen der vorgeschriebenen Form mit eleganter Lösung in be-
liebiger Menge aufzustellen.
Femer steUt sich der VerfEisser die Aufgabe, die Gleichung AC^s B*
in andere Formen zu setzen, die aber die Hauptform: Product zweier
linearer Ausdrttcke gleich dem Quadrate eines andern linearen Ausdj^cks,
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68 Historisch -literarische Abtheilung.
behalten sollen. Analog sind nnn die Ausdrücke Ä^ + B*=^C^ + D',
y A + yB =^yc u. s. w. , femer cabische Gleichungen von der Form
\bJ d
und endlich Gleichungen vierten und fünften Grades von eleganter Form und
mit ebenso eleganter Lösung in reicher Fülle geboten. Natürlich sind die
Gleichungen höheren Gi-ades alle durch Lösung quadratischer Gleichungen
zu erledigen.
Was die wissenschaftliche Ausbeute betrifft, die wir bei der Durch-
sicht des vorliegenden Buches entdeckt haben, so dürfte dieselbe nur gering
veranschlagt werden können. Wir wollen damit weder ein Lob, noch einen
Tadel ausdrücken, sondern nur eine Thatsache constatiren. Wer von die-
sem Gesichtspunkte aus das Buch für überflüssig erklären wollte, dürfte
jedoch dem Verfasser unrecht thun. Nichts belebt den Eifer des Schülers
mehr, als wenn die Aufgabe, die ihm gestellt wird^ ihn durch ihre Form
reizt und am Schlüsse die Lösung ihn durch Einfeushbeit und Eleganz er-
freut und belohnt. Daher wird jeder Lehrer, der in seinem algebraischen
Unterrichte sich mit der dankbaren Aufgabe beschäftigt, in seinen Schülern
den Sinn für elegante Form zu wecken und zu pflegen, das vorli^ende
Buch als willkommene Beihilfe begrüssen.
Coesfeld, im Juni 1885. E. Schvtbrikg.
Lehrbnch der Arithmetik. Zum Gebrauch an höheren Lehranstalten und
beim Selbststudium, von B. E. Richard Schurig. In 3 Theilen.
2. Theil : Allgemeine Zahlenlehre (Buchstabenrechnung). Preis 6 Mk.
Leipzig, Fr. Brandstetter. 1884.
Der vorliegende, 430 S. starke Octavband gliedert seinen Inhalt in
22 Paragraphen (§ 52 — 73). Obschon wir beim Verfasser diese Eintheilung
nicht gefunden haben , lassen sich dabei füglich vier Abschnitte unterschei-
den. Der erste (bis zum § 67 gehend) enthalt die Lehre von den ratio-
nalen Rechnungsarten und schliesst mit dem Aufsuchen des grössten
gemeinsamen Theilers und des kleinsten gemeinsamen Viel-
fachen zweier Polynome ab. Der zweite enth< die Grundzttge der
Zahlentheorie und behandelt sogar Eigenschaften der quadratischen
Reste. Der dritte Theil beschäftigt sich mit den Wurzeln, enthftlt die
Theorie der imaginären Grössen und schliesst mit der wirklichen
Ausziehung höherer Wurzeln. Hierdurch ist der vierte Theil trefTlich
eingeleitet, welcher die Logarithmen praktisch und theoretisch zum
Gegenstande hat.
Der Vortrag behandelt den Gegenstand in der didaktisch trefflichen
Weise, durch Beispiele und thatsttchlich ausgeführte Rechnungen dem
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Recensionen. 69
Schüler die Sache darzulegen. Man erkennt fast an allen Stellen den er-
fahrenen Praktiker, der selbst zu rechnen yersteht, und viele Andere kennen
gelernt hat, welche es nicht verstehn. Allein auch fBbr den Mathematiker
von Fach findet sich in dem Buche einige Ausbeute. Für beide Behaup-
tungen stellen wir einige Belegstellen zusammen.
S. 85, Anmerkung 4, wird der Ungeübte gewarnt, (a + &)^ nicht mit
{aVf zu verwechseln. Eine sehr nützliche Warnung, welche in keinem
Schulbuche fehlen sollte. S. 89, Beispiel 6, finden wir zur Einübung der
Potenzirung von Polynomen den interessanten Satz von der Summe der
4 Quadrate, welche in ein Product von 2 Quadratsummen verwandelt
werden. S. 99 findet sich eine interessante Tabelle von a* + b^ bis herauf
zu a^+l^ ausgedrückt durch a + b = 8 und a& = p. Ebenso eingehend
ist die Behandlung des binomischen Lehrsatzes, wo über die Binomial-
coefficienten weitläufig gehandelt wird. S. 157 wird der Beweis geführt,
dass die Reihe l + i + -| + T+"* nicht convergiri Der Beweis ist geist-
reich, aber Referent zieht doch das gewöhnliche Verfahren als kürzer vor.
S. 263 begegnen wir wieder einer heilsamen Warnung; nämlich vor dem
Fehler ya+h = j/a + }/h. Gleiche didaktische Trefflichkeit zeichnet
S. 343 die Ausziehung höherer Wurzeln und insbesondere S.351 die Methode
zur Berechnung der Logarithmen aus. S, 361 wird ebenso kurz wie klar
der Beweis vorgetragen, dass die Tafellogarithmen der natürlichen Zahlen
irrational sind. S. 375 führt der Verfasser den Anfänger in die theoretische
Seite der Interpolation beim Aufsuchen der Logarithmen u. s. w. ein. Das
Verfahren ist lediglich auf Beispiele gegründet und äusserst praktisch.
Sogar der Begriff von „Function" und ihrer „Ableitung" könnte in dieser
Weise dem Anfänger trefflich erläutert werden. Heis pflegte in seinen
Vorlesungen ähnlich zu verfahren.
Referent glaubt durch das Vorstehende genugsam gezeigt zu haben,
dass das Buch des Herrn Schur ig viele Vorzüge aufweist. Leider macht
es ihm die Wahrhaftigkeit zur Pflicht, nun auch andere Dinge nicht un-
erwähnt zu lassen.
Zunächst ist der „Beweis" S. 31, dass 1**= 8 sein kann, nicht streng;
er genügt allenfalls als Schulexperiment; aber das hätte der Verfasser be-
merken und sein Verfahren nicht mit dem stolzen Worte „Beweis" ein-
leiten sollen. Viel schlimmer ist auf derselben Seite der „Beweis", dass
a*. a''= a"+''. Denn derselbe gilt nur für positive ganze n, r und schon
auf der folgenden Seite wird mit negativen Exponenten gearbeitet, als
ob sich das von selbst verstände. £s kann ein solches Verfahren nur als
gänzlich unzulässig bezeichnet werden. Wenn der Ver&sser den Beweis
des binomischen Lehrsatzes durch vollständige Induction für neu
hält, so ist das ziemlich unschädlich; aber S. 328 wird der binomische
Lehrsatz für n = ^ ohne die mindeste Bemerkung angewandt. Sollte Herr
Schur ig denn die berühmte Abhandlung AbeVs nicht kennen? F^t
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70 Historisch -literarische Abtheilung.
möchte man für diese Vermuthnng eine Sttttse in den über convergente
und divergente Reihen S. 154 flg. gegebenen ziemlich minderwerthigen Be-
merkungen finden, wenn der Verdacht nicht ein gar zu nngehenerlidier
wäre. S. 184 finden wir den ,,Satz von Scharig 'S Der Inhalt desselben
beruht auf der Bemerkung, dass bei der Division von a*+ahx + Vif
durch a + hz als Best h*y + Vz {e — x) sich ergiebt. S. 196 erscheint
Gauss als Autor bei dem Satze, welcher die Anzahl der relativen Prim-
zahlen zu M, welche kleiner als n sind, bestimmt. Bekanntlich hat Eni er
(Comm. nov. Ac. Petrop. VIII, p. 74) diese berahmte Aufgabe zuerst ge-
löst. Vergl. auch Gauss, Disq. arithm. art. 38, wo |E!uler oitirt ist
S. 261 wird behauptet und „bewiesen", dass ^/ö" nur den einen Werth a
habe, nicht n Werthe. S. 274 wird behauptet und „ bewiesen '^ dass das
Product aus zwei imaginftren Quadratwurzeln negativ reell ist. Ebenso
ist 8. 285 }/^^:}/^ = yi. nicht =--/|. S.349, Zeile 10 von
unten, steht ein sehr schlimmes „oder*'. Nftndich: Für Zahlen, die <0
sind, kann es keine Logarithmen geben, oder: die Logarithmen ne-
gativer Zahlen sind imaginftr.
Genug. Das Buch leidet an manchen Unebenheiten, wenn man die
theoretische Seite ins Auge fasst. Praktisch, namentlich ftir Selbst Übungen
und in der Hand des Lehrers, ist es empfehlenswerth.
Coesfeld, im August 1885. E. Scuwbring.
Sammlung geomotriteher Anljg;aben, von H. Heilbbmakn, Director des
Bealgjnmasiums in Essen. 1. Theil: Aufgaben, welche ohne An-
wendung der Lehre von der Proportionalität der Linien gelöst wer-
den können. Fünfte vermehrte Auflage. Preis 0,80 Mk. 2. Theil:
Aufgaben, zu deren Auflösung die Lehre von der ProportionalitiU
der Linien und Flftchen erforderlich ist. Dritte vermehrte und ver-
besserte Auflage. Preis 0,80 Mk. Essen, Bftdeker.
Der erste Theil zählt 51 , der zweite 54 Seiten. Da fast gar keine An-
deutungen, wie die Auflösung zu bewerkstelligen sei, gegeben werden, so
ist es dem VerfEwser gelungen , einen sehr reichen StofF in so engem Baume
zusammenzudrängen. Dabei ist wohl der in der Vorrede ausdrücklich dar-
gelegte Gedanke leitend gewesen, „dass die Einführung in das Yerständniss
der geometrischen Analysis und die ersten Anwendungen derselben der
gemeinsamen Arbeit von Lehrern und' Schülern während der ünterriehts-
stunde zuzuweisen sind^'; femer meint der Yer&sser, „dass die Winke
und Andeutungen, welche die Auflösung einer Aufgabe erleichtern sollen,
im Allgemeinen nicht das Schulbuch, sondern nur der Lehrer, welcher den
Standpunkt der Schüler kennt und die Schwierigkeit einer gestellten Auf-
gabe vorher geprüft hat, in zweckmässiger Auswahl geben kann.^'
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Beoensionen. 71
Man hat in einer, jetzt glücklicherweise überwundenen, philosophischen
Schule behauptet, dass jeder Satz genau so wahr sei, wie das contradikto-
rische Oegentheil desselben Satzes. Vielleicht ist diese aberwitzige Sohul-
meinung dennoch, cum gr<mo saMs^ in der Pädagogik wahr. Referent ist
z. B. nicht der Meinung — üeberzeugung — des Herrn Heilermajin,
sondern der ziemlich genau entgegengesetzten. Nach meiner ^ Meinung **
sollte keine Aufgabe, deren Lösung nicht durch die unmittelbar vorher-
gehenden mit gegeben ist, ohne eine Andeutung der Sätze gelassen werden,
welche zur Lösung ftOiren. Freilich brauchen diese Andeutungen nicht den
umfang zu haben, den wir bei Herrn Heil ermann, 1. Theil, S. 36
aufgewendet sehen. Im Gegentheill Je kürzer, desto besser. Auch bin
ich der Ansicht, dass eine solche Fluth von Aufgaben, selbst bei der über-
sichtlichen Anordnung des Herrn Heilermann, den Schüler verwirren
und muthlos machen kann. Vielleicht empfindet sogar noch sonst Jemand —
auf gewissen Versammlungen pädagogischer Männer sagt man euphemistisch
der „jüngere Lehrer", „der noch nicht aus dem 'Vollen' schöpft ^ — diesen
erdrückenden Beichthum. Und diesem Uebelstande könnte doch leicht —
etwa durch Bestemung der die Methoden enthaltenden Hauptaufgaben —
abgeholfen werden.
Doch genug der Bedenken. Beferent hat nur in dem ehrenvollen Auf-
trage, in dieser Zeitschrift das Heilermann'sche Büchlein anzeigen zu
sollen, den erforderlichen Muth finden können, einem so gewiegten Schul-
mann gegenüber eine abweichende Ansicht nicht nur zu haben , sondern auch
zu äussern. Die Reichhaltigkeit, Kürze und Wohlgeordnetheit des Lihaltes
nochmals hervorzuheben, ist dem Referenten eine angenehme Pflicht.
Coesfeld, 1885. K. Sohwbrikg.
Coordonn^es paralleles et aziAles, par Maubicb d^Ooaonb. Paris, Gauthier.
Villars. 1885.
Auf der ersten Seite dieser 91 Seiten starken Schrift sagt uns der Ver-
fasser, Herr d'Ocagne, dass er unter den zahlreichen Systemen von
Liniencoordinaten zwei ausgewählt habe, welche ihm als die einfach-
sten erschienen seien. Das eine derselben entspreche den gewöhnlichen
Parallelcoordinaten, das andere den Polarcoordinaten.
Das erstere System definirt Herr d'Ocagne folgendermaassen : Man
nimmt zwei feste Punkte an, A und B, und nennt dieselben Coordinaten-
anfangspunkte, dann zieht man durch dieselben zwei Parallele jIu und
Bvy welche man Coordinatenaxen nennt. Dann trägt man auf den
Azen zwei Segmente ÄM^s^u, BN=v in gleichem Sinne ab. So sind
die Punkte M und N bestimmt Die Längen u und v zeichenrichtig ge-
nommen, heissen die Coordinaten der Geraden MN,
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72 Historisch -literariBche Abtheilung.
Man sieht, das System des Herrn d*Ooagne ist identisch mit dem
von mir in der Schrift: Theorie und Anwendung der Linien-
coordinaten in der analytisclien Geometrie der Ebene, von
K. Schwering, Leipzig bei B. 0. Teubner, 1884, ausfUhrlich be-
handelten Systeme. Ein Unterschied tritt nur insofern hervor, als ich
Gründe hatte, in der obigen Definition AB stets senkrecht zu den Axen
zu nehmen. Ich habe diese Gründe an geeigneter Stelle dargelegt, und
auch Herr d'Ocagne hat sich denselben Gründen, wie wir sehen werden,
nicht yerschlossen. Allein nicht nur dieser Vergleich ist interessant.
Wäre die Sache nicht von zu sehr persönlichem Charakter, so würde Re-
ferent sich gestatten, eine Zusammenstellung der beiden Bearbeitungen in
extenso zu geben. Ich beschränke mich auf Weniges. Während ich die
einfachsten Formen der drei Kegelschnittsgleichungen durch geometrische
Betrachtungen direct finde und dann die allgemeine Gleichung zwei-
ten Grades in eine dieser Formen setze, zieht Herr d'Ocagne die den
Axen parallelen Tangenten und discutirt die so erhaltene transformirte
Gleichung. Diese Discussion führt ihn dann zu den einfachsten Gleichungs-
formen. Diese Darstellung zeigt in allen Einzelheiten bedeutende Eleganz
und — was mich persönlich begreiflicher Weise nicht wenig interessirte —
die völlige Unabhängigkeit des tenzösischen Mathematikers von meinen
Arbeiten. Diese reichen bis in das Jahr 1873/74 zurück, wo ich meine
Liniencoordinaten in einer Wintervorlesung über analytische Geometrie in
Münster meinen Zuhörern mitgetheilt habe.* Erst zwei Jahre später er-
schienen dieselben im Druck und zwar im 21. Bande dieser Zeitschrift.
In Frankreich scheinen also sowohl diese erste, als auch alle späteren
Publicationen , welche sich auf diese Liniencoordinaten bezogen haben,
gänzlich unbeachtet geblieben zu sein. Um so angenehmer war es mir
daher, durch die originelle und geschickte Behandlung des Herrn d'Ocagne
in der Ueberzeugung bestärkt zu werden, dass das von uns Beiden selbst -
ständig gefundene und behandelte System nicht eine künstlich zurecht-
gemachte „ Erfindung ^\ sondern ein durch die Natur der Liniencoordinaten
selbst bedingtes ist. Leider konnte Referent es nicht umgehen, von sich
selbst zu reden. Für den übrigen Theil des d*Ocagne'schen Buches ist
Referent dieser Unannehmlichkeit enthoben.
S. 36 definirt Herr d'Ocagne seine coordannies axiales. Man nimmt
eine feste Gerade an, die Axe des Systems, und auf der Geraden einen
festen Punkt 0, den Pol des Systems. Eine willkürliche Gerade ist als-
dann gegeben durch den Abstand Ox = k ihres Schnittpunkts mit der Axe
vom Pol und dem Winkel O, den sie mit der Axe bildet Dieses System
hat schon Plücker mit einigen Worten gestreift Bei unserm Verfasser
finden wir es genau discutirt. Seine Beziehungen zn den coardonnSes
* Zu meinen damaligen Zuhörern zählten die Herren Busch in Arnsberg und
Caspari in Oberlahnstein. Ich berufe mich hiermit öffentlich auf dieselben.
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Becensionen. 73
paraUäes, die Oleichungen der Kegelschnitte werden erOrteri Dann wen-
det der Verfasser sich den höheren Carven zu. Durch Betrachtungen
einfachster Art in rein geometrischer Methode findet er den Bertlhrungs-
punkt einer Tangente, den Krümmungsradius, das Flfichenelement, das
Bogenelement, und fügt interessante Beispiele bei. Unter denselben findet
sich die Cjcloide und die ümhüllungscurve des freien Schenkels eines
rechten Winkels, dessen anderer Schenkel von gegebener Grösse ist und
auf zwei festen rechtwinkligen Axen gleitet.
S. 52 beginnt der Verfasser eine interessante Studie des Zusammen-
banges zwischen den Cartesischen Punktcoordinaten und den coardofmSes
paraUUes, Bezeichnet y = vnx + n^ wenn man m constant und n variabel
nimmt, ein System paralleler Geraden, so nennt Herr d'Ocagne die
Punkte v = mu + n parallele Punkte. Dabei ist immer, wie bei mir,
das Mittelloth senkrecht zu den Axen (s. o.). AUein es gelingt auch, und
das scheint von besonderer Wichtigkeit, m in der Gleichung des Punktes
als trigonometrische Tangente eines leicht auffindbaren Winkels zu definiren.
Dieser Winkel, welcher fUr alle parallelen Punkte derselbe bleibt, heisst
modfde anguiaire des Punktes. So gelingt es denn alsbald, den Winkel
zweier Punkte, ja poifUs perpendkulaires zu behandeln. Die interessan-
ten Folgerungen wollen wir nur erwähnen; man muss sie bei Herrn
d'Ocagne selbst nachlesen.
S. 73 beginnt der Verfasser — er ist seiner Lebensstellung nach
inginieur des ponts et chatMsSes — die Behandlung einer praktischen Auf-
gabe des cälctd graphique. Er löst mit Hilfe der coordonnies paräU^es die
Gleichung ji^ + pz + q=^0. Er ersetzt p und g durch u und v. Dann ist
g^ + uB + v^O die Gleichung eines Punktes und, indem g alle Werthe
durchläuft, beschreibt der Punkt eine Curve, die solutive der Gleichung
fs^+pz + q^O, Es ist interessant, dass der Verfieueer durch diese prak-
tische Aufgabe zur Aufstellung des Systems veranlasst worden ist und das-
selbe wirklich praktisch gute Dienste geleistet hat.
Dem Büchlein sind einige Beilagen angefügt. Wie mir der Verfasser
brieflich mittheilt, hat sein System in Frankreich verdiente Anerkennung
und didaktische Verwendung gefunden. Ce procSdS (de cälcfd graphique)
a H4 introdmt dans phmeurs Cowrs en France et en ItdUe, II faü partie
du traüi de cälcid graphique de M. Terrier qui va incessamment paraUre
ä la Ubraürie Gauthier-VUlars.
Referent giebt dem Büchlein gern das Zeugniss, dass es auch in
Deutschland gekannt zu werden verdient.
Coesfeld, 1885. K. SoHWfiRiKO.
Hist.-Ut. Abtblg. d. Z«ittohT. r. Math. a. Phys. XXXI, 2. ^
Digitjzed by
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74 Historisch -liierarische Abtheilung.
Ldhrbnoh der Oeometrie für höhere Lehranstalten , von Dr. Wilhelm
VoLLHBRiNG, Director der Realschule in Bautzen. 1. Theil: Geo-
metrie der Alten. Bautzen, Eduard Rühl. 1884.
Das vorliegende Buch behandelt auf 75 Seiten in ziemlich grossem
Format die Planimetrie und Stereometrie. Inhaltlich unterscheidet sich das
Buch von anderen Schulbüchern wenig. Das Buch will vorwiegend Lehr-
buch sein , daher treten üebungsaufgaben in geringer Zahl und Vollständig-
keit auf. Der Verfasser will laut Vorrede die Selbstständigkeit des Ler-
nenden durch die ,, entwickelnde" Methode seines Vortrags befördern.
Referent ist anderer Ansicht, die er häufig genug öffentlich aus-
gesprochen hat. Doch weiss er sehr wohl, dass in Didaktik und Pädagogik
nicht bloss Oedanken zollfrei sind.
Sehen wir uns andere Eigenheiten des Buches an. Nach demselben
ist Raum der Ort, worin sich das Weltall befindet. Die Paral-
lelentheorie wird in § 2 vorgetragen. Derselbe enthält 6 „ Hilfssätze ^',
5 „Sätze**, ausserdem ,,IJmkehrungen" und „Zusätze**. Der eigentliche
Grundsatz wird ohne Bezeichnung gelassen und heisst: „Da Parallelen
gleiche Richtungen haben, so hat eine Schneidende gegen die eine von
ihnen denselben Richtungsunterschied, wie gegen die andere.** S. 12 wird
der erste Congruenzsatz behandelt. Verfasser löst die betreffende Aufgabe,
bei der aber auch der Transporteur als geometrisches Instrument auf-
tritt, und zwar ohne weitere Bemerkung. Die ganze Darstellung ist von
ermüdender Breite. S. 21 stellt Herr Vollhering dem Rechteck das
„Schiefeck** und S. 64 der Polarecke die „Urecke** sprachlich
gegenüber. Diese Neubildungen erscheinen dem Referenten ziemlich un-
schädlich. Aber störend findet er die sich durch das ganze Buch hin-
ziehende Manier, mehrere Sätze durch den Druck in einen zu contrahiren.
Schlagen wir einmal 8. 24 auf, so finden wir Zusatz 2: Hat ein ParaUelo-
i einhalb \
ein Drittel I so grosse Grundlinie, als ein anderes,
ein ntel j
doppelt
so grosse Höhe, so sind beide einander gleich. Be-
aber eine
dreimal
w-mal
sonders abstossend wirkt diese Caprice S. 59, wo sogar Klammem in den
Klammem stehen. Auch das X und : contrahirt Herr Voll her ing in )<'
Die heronische Formel wird mit den Worten S. 30 eingeleitet, dass es in
der Praxis zuweilen von Wichtigkeit sei, den Inhalt des Dreiecks ans
seinen drei Seiten finden zu können. Ebendort wird 8 = a + b + c statt
8 = ^{a + h +c) eingeführt. Dadurch erreicht der Herr Vollhering,
dass das Resultat anders, aber nicht besser aussieht, als in der gewöhn-
lichen Form. Ohne „ merklichen Fehler ** — diese Phrase wendet der Ver-
fasser S. 59 statt der sonst üblichen Grenzbetrachtungen azioEher^ könnte
^ Digitizedby'
Becensionen. 75
man sie S. 50 dulden, da dort wenigstens eine Andeutung des richtigen
Gedankenganges gegeben ist.
S. 54 wird die Stereometrie durch Folgendes eingeleitet. „Denkt
man den Inhalt F einer Figur in ihren Schwerpunkt vereinigt, so ist
offenbar* der Inhalt (das Volumen) des Drehkörpers (Rotations-
körpers), den die Figur bei einer { . , ., . | Drehung um eine ausser-
halb oder in einer ihrer Seiten in ihrer Ebene befindlichen Drehaxe erzeugt,
von der der Schwerpunkt der Figur die Entfernung (> hat, das Product
1360^1
0 I
Satz 1. Volrot =
„ gna
F ^
180
Hieraus leitet nun Herr YoUhering die bekannten Yolumgleichungen fUr
Cjlinder und Kegel ab. Offenbar! Wer wagt zu zweifeln, da erst S. 68,
also 14 Seiten später, das Körpermaass, die Volumeneinheit
erklärt wird?
Das Buch ist in den H&nden eines tüchtigen Lehrers vielleicht doch
unschädlich.
Coesfeld, 1885. K. Schweeing.
Sammliing von Aufgaben und Beispielen ans der Trigonometrie nnd
Stereometrie, von Dr. Friedrich Reibt, Professor in Hamm.
1. Theil: Trigonometrie. 3. Auflage. 250 S. gr. 8^. Preis 4 Mk.
Leipzig, B. G. Teubner. 1884.
In der Vorrede äussert der Verfasser, dass seine Absicht gewesen sei,
„den Lehrern ein Hilfsmittel von unmittelbarer Verwendbarkeit im Unter-
richte zu bieten. Deshalb wurden die Aufgaben in der Art geordnet, dass
sie diesen Unterricht von seinen ersten Anfängen an gleichsam von Stunde
zu Stunde begleiten , der Lehrer also für jede einzelne Stelle desselben den
dahin passenden Uebungsstoff zusammengestellt findet und nicht genöthigt
ist, das zur Belebung, Anwendung und Einübung der einzelnen Sätze dien-
liche Material sich mühsam zusammen zu suchen.'* Indem wir andere be-
merkenswerthe Gesichtspunkte der Vorrede einstweilen übergehen ^ mag hier
gleich erwähnt werden, dass nach der Ueberzeugung des Referenten der
Verfasser sein eben angedeutetes Ziel wirklich erreicht hat
• Die Sperrung rührt von mir her. Der Referent.
Digitized^by
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76 Historisch -literarische Abtheilung.
Der erste Theil des Baches, die Goniometrie, enthält den her-
gehörigen Stoff in nicht gewöhnlicher Vollständigkeit Obwohl die Defini-
tion der trigonometrischen Functionen der Winkel im zweiten n. s. w.
Quadranten am Kreise bewirkt zu sein scheint, kann der Lehrer, welcher
nach der allein wissenschaftlich zulässigen Definition durch das Additions-
theorem arbeitet, das Buch seinem Unterrichte anpassen. Interessant sind
die Anwendungen auf die Cardanische Formel S. 38, streng und doch dem
Schülerverständniss angepasst die Ableitung von sinnz^ cosnx und des
Mo i vre 'sehen Lehrsatzes. Vorgerücktere Schüler finden besonders S. 50
reichen Uebungsstoff, der ihnen bei einiger Anleitung durch den Lehrer
einen nützlichen Ausblick in die Analjsis eröffnet Gleiches gilt von S 60.
Die ebene Trigonometrie S. 61 flg. enthält eine ausserordentlich
reichhaltige und gutgeordnete Sammlung von Aufgaben. Man erkennt auf
Schritt und Tritt den tüchtigen Praktiker. Musterbeispiele sind in 7- und
5 stelliger Rechnung ausführlich gegeben. (Bei der letzteren hätten wir
die Winkel nicht in Secunden , sondern in Zehnteln von Minuten angegeben.)
Mit Recht betont die Vorrede, dass neben den theoretisch wichtigen sich
viele der Praxis entnommene Beispiele Buden. Auch die Mechanik, Optik,
Akustik und Astronomie liefern üebungsmateriaL Damit der Lehrer jeden
Augenblick zu irgend einer Aufgabe ein Zahlenbeispiel bilden könne, hat
der Verfasser eine höchst zweckmässige Einrichtung getroffen. Er hat für
20 Dreicke einige 30 — 40 Stücke a, fe, c, a, /?, y, r, ^, Ä, p, Wa u. s.w.
ausgerechnet und tabellarisch zusammengestellt Dabei sorgen sorgfältig
aufgeschriebene Zusammenstellungen von Formeln dafür, dass die Aufgaben
für den Durchschnittsschüler bei häuslicher Vorbereitung keine Räthsel,
sondern Aufgaben sind. Die Aufgaben fdr das Viereck (Tetragonometrie)
hätten wir in geringerer, die über Maxima und Minima vielleicht in grös-
serer Vollständigkeit gewünscht. Poljgonometrie durch Coordinatenmethode
ist kurz behandelt. Unter den S. 178 gegebenen Taktionsaufgaben ver-
misst Referent die wunderschöne Lösung des allgemeinen Problems, welche
bei Gauss (Werke, IV., S. 399) zu finden ist Auch die Malfatti'sche
Aufgabe kann man nach der von Schellbach gegebenen Methode sehr
wohl mit Primanern lösen.
Für die sphärische Trigonometrie sind dieselben praktischen Gesichts-
punkte massgebend gewesen.
Das Buch ist seinem Inhalte nach reichhaltig. Der Stoff ist gründlich
und von den Grundzügen bis an die äussersten Grenzen der elementaren
Behandlung in übersichtlicher Fülle gegeben. Die verdiente Anerkennung
hat ihm nicht gefehlt und wird ihm femer nicht fehlen.
Coesfeld, im August 188Ö. K. Schwebikg.
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Google
Recensionen. 77.
Ldirbnoh der Differential- und Integralreohnnng, von J. A. Ssrrbt,
membre de Tinstitat et da bureau des longitudes. Mit Genehmigung
des Verfassers deatsch bearbeitet von Dr. Axel Harnack, Professor
am Polytechnikom zu Dresden. 2. Band erste Hälfte: Integral-
rechnung. Vm, 379 8. 2. Band zweite Hälfte: Differential-
gleichungen. VI, 388 S. Leipzig, B. G. Teubner. 1885.
Wenn wir Bd. XXX , Histor.- liter. Abth. 8. 28, aus dem 1 . Bande des
Se r r et -Harnack 'sehen Lehrbuches die Zuversicht schöpften, dasselbe
werde bald zu den meistempfohlenen gehören , so hat diese Vorhersage sich
nicht nur bewahrheitet, sondern seit der Vollendung des Werkes auch
glänzend gerechtfertigt. Die beiden Hälften des 2. Bandes , eigentlich besser
2. und 3. Band genannt» da sie äusserlich vollständig getrennt, auch be-
sonders paginirt sind, halten reichlich, was der 1. Band versprach, und
mehr als das. Herrn Harnack 's Zusätze, häufiger und umfangreicher, als
sie es in jenem 1. Bande waren, ergänzen das vorher schon durch Serret 'sehe
Reichhaltigkeit, Strenge und Eleganz sich auszeichnende Lehrbuch mit den
Ergebnissen neuerer, namentlich deutscher Forschung. Wo giebt es, so
mochte man noch vor Kurzem rathlos die Frage steUen, ein Lehrbuch des
Infinitesimalcalculs , das, von den Elementen ausgehend und dem Anfänger
verständlich, zugleich zu den Höhen der Wissenschaft ftlhrt und bei den
verschiedenartigsten Vorlesungen als Beihilfe häuslichen Studiums dienen
kann? Seit der Vollendung des Werkes, von dem hier die Rede ist, braucht
man um eine Antwort auf diese Frage nicht verlegen zu sein. Es leistet
vollständig das Verlangte. Wir haben die drei Bände gerade mit Racksicht
auf die Benutzung neben Vorlesungen genau angesehen, und wir behaupten,
sowohl bei Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, als auch
bei solchen aber Curven und Oberflächen, über bestimmte Integrale, über
Differentialgleichungen, über Variationsrechnung, über Einleitung in die
Functionentheorie werde der Studirende sich mit Nutzen ihrer' bedienen.
Bei späteren Auflagen, welche gewiss nicht auf sich warten lassen werden,
kann ja Herr Harnack, nach dem Tode von J. A. Serret vollständig
unabhängig gemacht in seiner Bearbeitung, vielleicht noch etwas mehr in
Citaten leisten, wir meinen, durch Noten mit genauem Hinweise auf Ab-
handlungen aufmerksam machen, welche über das im Buche Gelehrte hinaus-
gehen, wie er es jetzt schon an nicht gerade wenigen Stellen gethan hat.
Wir vermissen z.B. ungern den Diric hie tischen Discontinuitätsfactor als
solchen, die Erwähnung der Beltr am i 'sehen Arbeiten über Oberflächen
von überall constanter Krümmung, die Dubois-Reymond 'sehen Abhand-
lungen über Doppelintegrale und dergleichen mehr; aber wir heben rühmend
hervor, dass der Abhandlungen von Mayer über singulare Integrale, deren
von demselben und von Lie über Differentialgleichungen, der ersten grossen
Abhandlung von Fuchs über lineare Differentialgleichungen , geometrischer
Untersuchungen von Brill und Nöther u. s. w. gedacht ist. Oa
Digitized by
anz^neue t
DTCjOOgk
78 Historisch -literarische Abtheilung.
Dinge wird man in einem Lehrbache, das überdies an ein schon vorhan-
denes Werk sich genau anschliesst, nicht suchen wollen, und eben darum
darf der Berichterstatter sich der Mühe entheben, den Inhalt genauer zu
schildern. Das kurz Erwähnte mag genügen und zwar um so mehr, als
sicherlich eine grosse Anzahl der Leser dieser Besprechung das Werk schon
kennen, vielleicht selbst besi^^en wird. Cantob
Bibliographie
vom 1. December 1885 bis 31. Januar 1886.
Periodisohe Schriften.
Sitzungsberichte der kOnigl. preuss. Akademie der Wissenschaften, Jahrg.
1886, Nr. 1 und 2. Berlin, Dtimmler. compl. 12 Mk.
Abhandlungen der königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu 65ttingen.
32. Bd., Jahrg. 1885. Göttingen, Dieterich. 48 Mk.
Denkschriften der kaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien , mathem.-
naturwissenschaftl. Classe. 50. Bd. Wien, »Gerold. 50 Mk.
Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien, mathe-
mat. - naturwissenschaftl. Classe, Abtheil. II. 92. Bd., 2. Heft. Ebendas^
8 Mk.
M^moires de TAcad. imp. des sc. de St P^tersbourg. 7. 86rie, tome 33,
no. 3 und 4. Petersburg und Leipzig, Voss. 3 Mk. 80 Pf.
Annalen des physical. Centralobservatoriums in Petersburg, herausgegeben
von H. Wild. Jahrg. 1884, 1. Thl. Ebendas. 10 Mk. 20 Pf.
Bepertorium. für Meteorologie. (Akad.) Redigirt von H. Wiu>. 9. Bd.
Ebendas. 19 Mk.
Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, begründet von Ohrtmahk,
herausgegeben von Henoch u. Lampe. 15. Bd., Jahrg. 1883, 1. Heft
Berlin, G. Beimer. compl. 10 Mk.
Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftl. Unterricht, herausgeg.
von J. C. V. HoFPMANN. 17. Jahrg. (1866, 6 Hefte). 1. Heft. Leipzig,
Teubner. compl. 12 Mk.
Annalen der Physik und Chemie (begr. v. Pogoemdobff), herausgeg. von
G. WiBDBMANN. Jahrg. 1886 (12 Hefte), 1. Heft. Leipzig, Barth.
compl* 31 Mk.
Beiblätter zu den Annalen der Physik und Chemie, herausgegeben v. 6. u.
£. WiEDEMANN. 10. Bd. (12 Hefte), 1. Heft. Ebendas;^ compL 16 ifk
Digitized by VJjO _ _ _ •
Bibliographie. 79
Bibliotheca historico- naturalis, physico-chemica et mathematica, herausgeg.
von R. V. Hanstbin. 35. Jahrg., 1. Heft, Januar — Juni 1885. Göt-
tingen, Yandenhoeck & Ruprecht. 1 Mk. 40 Pf.
Reine Kathematik.
MÖBius, A., Oesammelte Werke. 2. Bd., herausgegeben von F. Klbin.
Leipzig, Hirzel. 16 Mk.
Weiebstrass, E., Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen
Functionen. Nach Vorlesungen bearbeitet von H. Schwarz. 2. Heft
Berlin, Friedländer & S. 1 Mk. 20 Pf.
Pick, G., üeber mehrdeutige doppelt -periodische Functionen. (Akad.) Wien,
Gerold. 20 Pf.
LiPSCHiTz, R., Untersuchungen über die Summen von Quadraten. Bonn,
Cohen. 5 Mk.
Gbgenbauer, L., Ueber das Symbol (— )• (Akad.) Wien, Gerold. 40 Pf.
, Ueber ein Theorem von Hermite. Ebendas. 20 Pf.
Janisch, 0., Aufgaben aus der analytischen Geometrie der Ebene. Heraus-
gegeben von H. Funcke. Potsdam, Stein. 3 Mk.
Landmesser, F., Lehrgang der ebenen Trigonometrie. Bensheim a. B.,
Ehrhard & Comp. 1 Mk.
Müller, R., Planimetrische Constructionsaufgaben. Oldenburg, Stalling.
1 Mk. 20 Pf.
Grbbnhill, A. , Differential and integral calculus. London, Macmillan.
7 sh. 6 d.
Eaqlbs, H., Constructive geometry of plane curves. Ebendas. 12 sh.
Angewandte Mathematik.
Bohn, C, Die Landmessung. 2. Hftlfte. (Schluss) Berlin, Springer.
10 Mk.
Wagner, H., Tafeln der Dimensionen des Erdsphäroids. Auf Minuten-
Decaden erweitert von A. Steinhäuser. Wien, HOlzel. 2 Mk.
Yeltmamn, W., Ausgleichung der Beobachtungsfehler nach dem Princip sym-
metrisch berechneter Mittelgrössen. Marburg, Elwert. 4 Mk. 20 Pf.
Boltzmann, L., Ueber einige F&lle, wo die lebendige E[raft nicht inte-
grirender Nenner des Differentials der zugefUhrten Energie ist. (Akad.)
Wien, Gerold. 45 Pf.
Zwerqer, M., Die lebendige Kraft und ihr Maass. München, Lindauer.
7 Mk.
Uhlig, P., Die Festigkeitslehre und ihre Anwendung. Dresden, Knecht.
3 Mk. 50 Pf.
Hbrz,N., Bahnbestimmung des Planeten Ida (243). (Akad.) Wien, Gerold.
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80 Historisch -literarische AbtheiloDg. Bibliographie.
Mahler , E. , Astronomische Untersachnngen über die in hebrSischen Schrif-
ten erwähnten Finsternisse. 1. Thl. : Die biblischen Finsternisse. 2. ThL :
Die prophetischen Finsternisse. (AkacL) Wien, Gerold. 1 Ifk.
Shdamow, A., Becherches snr Forbite interm^diaire de la comöte de Faje
dans la prozimit6 du Jupiter en 1841. (Akad.) Petersburg und Leipzig,
Voss. 80 Pf.
Struve, C, Sammlung der Beobachtungen Yon Stembedeckungen wfthrend
^ der totalen Mondfinstemiss vom 4. October 1884. Ebendas. 70 Pf.
I
Physik und Meteorologie.
Vbrdbt, E., Vorlesungen über die WeUentheorie des Lichts. Deutsch von
K. ExNER. 2. Bd. 2. Abth. Braunschweig, Vieweg. 3 Mk. SO Pf.
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Historisch-literarische Abtheilung.
Euklid bei den Arabern.
Eine bibliographische Studie
▼on
Moritz Steinschneider.
Bei dem Interesse, welches die Geschichte der Mathematik unter den
Arabern auch bei Nichtorientalisten gefunden, bedarf diese Studie wohl
keiner Rechtfertigung. Die Dissertation von J. C. Gartz: De interpretibus
etc. Euclidis arabicis, Halae 1823, welche noch von Orientalisten benutzt
wird, ist veraltet und unvollständig. Ihre Hauptquellen sind die unvoll-
ständigen Auszüge aus dem biographischen Lexikon von al-Kifti (XIII.
Jahrh.) in Casiri's Bibliotheca arab. (namentlich I, 341, Artikel Euklid)^),
die Biblioih^ue Orient, von d'Herbelot (der fast nur aus dem bibliogra-
phischen, nunmehr arabisch mitFlügeTs lateinischer Uebersetzung und in
einer orientalischen Ausgabe zugänglichen, bibliographischen Wörterbuch des
Hagi Ehalfa inoorrecte Auszüge giebt) und die anonyme [bekanntlich
von Hammer*) herrührende] Encyklopädische Uebersicht der Wissenschaften
des Orients (Leipzig 1804), wo S. 326figg. der Artikel Eaklid aus Hagi
Khalfa (I, 380 flgg. ed. Flügel, vergL Index VII, 1067 Nr. 2634) wie-
dergegeben ist. Ausserdem hat Gartz einige ältere, seitdem vielfach be-
richtigte Kataloge benutzt. Für Paris ist leider der neue Katalog noch nicht
bis zur Mathematik vorgeschritten.
Seitdem ist Manches in einzelnen Abhandlungen, die an ihrer SteUe
citirt werden sollen , gefördert worden. Zusammenstellungen finden sich in
der bekannten Preisschrift von Wen rieh (De auctorum graecorum versio-
nibus etc., Lipsiae 1842, p. 176 flgg. und 303), dem es nicht an Fleiss,
aber manchmal an Kritik gebrach , und — wo mau es am wenigsten erwarten
sollte — in Leclerc's Histoire de la m^decine arabe, Paris 1876, 2 Bde.
1) Yergl. den Katalog arah. Hs. der Bodieiaua von Nie oll und Pnsey (Bd.n,
p. 628 n. 540). .
2) Ich nenne ihn auch so, der Kürze halber, für von Hammer Purgstall,
wenn ich seine Literaturgeschichte der Araber citire, deren UDsaverlässig-
keit von Flügel längst proclamirt ist. ^ ^
Ui»t.-lit. Abtliltf. d. /«iUebr. i; Math. u. Phji. XXXI, 8. Dl^itized by VjOOQ IC
82 Historisch -literarische Abtheilnng.
(I, 233flgg. und II, 490 über occiden talische üebersetzungen).') Wenrich
standen drei für unser Thema sehr wichtige Quellen nur in einzelnen Hand-
schriften zu Gebote, nämlich ausser Hagi Khalfa das zu Ende des X. Jahrh.
vollendete Buch Fi brist (Katalog) von al-Nadim, nach allen zugäng-
lichen Handschr. redigirt von G. Flügel (Leipzig 1871), wozu aus seinem
Nachlass der Commentar als 2. Band (1872), herausgeg. von Job. Boe-
diger und Aug. Müller erschien. Dieses für die Geschichte der profanen
Wissenschaften unentbehrliche Werk ist bis heute noch nicht durch eine
Uebersetzung Nichtarabisten zugänglich gemacht, konnte daher auch in
Heiberg's Literaturgeschichtlichen Studien über Euklid (1882) nicht ver-
werthet werden. Es ist meistens die, nicht immer gebührlich benutzte
Quelle der späteren Autoren. Das dritte Werk ist die, namentlich durch
Wüsten feld 's auf einen Auszug basirte treffliche Geschichte der arabischen
Aerzte (Göttingen 1840) bekannte Greschichte der Aerzte (aller Welt) von ihn
abi Oseibia (XIH. Jahrb.). Diese ist von August Müller (Königsberg
1884, Selbstverlag) nach allen Becensionen trefflich bearbeitet, leider von
dem Drucker in Kairo theilweise misshandelt.^)
In dem nachfolgenden Versuche einer übersichtlichen Zusammenstellung
ist zunächst der Artikel Euklid der F ihr ist (S. 265, dazu 11, 122) zu
Grunde gelegt, und daran geknüpft, was der Fihrist an anderen Stellen,
dazu, was Kifti, Oseibia, Hagi Khalfa an Entlehnung und Erweiterung dar-
bieten ; auch ist auf hebräische^) und lateinische üebersetzungen Bück-
sicht genommen.
Sollte dieser Versuch beifällig aufgenommen werden, so würde ich
mich zu ähnlichen Studien über andere griechische Mathematiker auf-
gemuntert sehen«
§1.
1. Die Elemente der Oeometrie.
%»*a\J^ I ijya ! , „griechisch £toi%tTa^, Der Name des Euklid ist im
Arabischen corrumpirt. Erst Kifti weiss, dass die griechischen Philosophen,
oder Weisen, an die Pforten ihrer Schulen schrieben: „Niemand trete ein, der
nicht Mathematiker ist", das heisst, wer nicht die Bücher des Euklid studirt
hat. Man hat also einem, dem Plato beigelegten Spruch eine besondere Anwen-
1) Vergl. meine Besprechung im Deutschen Archiv für Gesch. d. Medidn,
herausgeg. v. Bohlfs, Bd. 1.
2) S. meine Anzeige im Literaturbl., herausgeg. v. Kuhn, 1885.
3) üeber diese handle ich weitläufiger in der noch ungedruckten, von der
Pariser Akadmie im Juni 1885 gekrönten Preisschriffc über die hebräischen Üeber-
setzungen des Mittelalters.
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Euklid bei den Arabern. 83
dang auf das Buch Enklid's gegeben. Der Fihrist kennt diese Anwendung
nicht.
Wir schicken die Bemerkung voraus, dass die Araber die dem Hjpsi«
kies beigelegten Bücher mit Euklid verbanden und sie den 14. und 15. Trac-
tat nannten.
Nach dem Fihrist (S. 266) hatte Hjpsikles die Tractate 4 und 5 ver-
bessert (oder redigirt?); man muss aber nach Eifti (Casiri I, *346) 14 und
15 lesen.
Die Elemente wurden zweimal von Hadjdjadj b. Jusnf b. Matar
übersetzt; die erste üebersetzung wurde „Harun i^ (für Harun), die zweite
^Ma'amuni'^ (für Ma'amun) genannt; letztere ist die mehr anerkannte
(J^ nAcj), Mit Recht vermuthet Wenrich , dass die zweite Üebersetzung
nur eine Uevision der ersten sei. Nach dem Vorworte des Lejdener Manu-
soripts 965 (Klamroth S. 304) wurde die erste Üebersetzung für Ja^'hja
b. Barmek gemacht, die andere verbessert und abgekürzt.
Die Üebersetzung des Ishak b. Honein wurde von Thabit b. Eorra
verbessert. Kifti legt dem Letzteren ausser dieser Verbesserung eine un-
abhängige üebersetzung bei und Chwolsohn (Die Ssabierl, 553) hebt dieses
Zeugniss hervor. Wir glauben mit Klamroth (S. 305, wo dieses Zeugniss
vemachlSssigt ist), dass Thabit nur die Üebersetzung Ishak's verbessert
habe. Wir kommen auf die Verbesserungen Thabit's (am Schlüsse von § 5)
zurück.
Abu Othman (Said) Dimischki übersetzte einige Traktate; den X. sah
Nadim zu Mosul in der Bibliothek Ali's b. Ahmed Imrani (gest. 344 H.),
welcher mit dem Astrologen identisch ist, der in der, mit Hilfe des Juden
Savasorda oder Abraham bar Gh\ija angefertigten Üebersetzung des Plato
von Tivoli „Embrani^ genannt wird.^) Leclerc (I, 222) hat diese Notiz
des Fihrist vemachlftssigt, welche er (II, 511) anfahrt, nicht nach dem
Texte des Eofti, sondern nach der falschen üebersetzung Casiri's (I, 346),
nach welcher Ali die üebersetzung gesehen hätte. DttrsTahr 370, welches
sich nicht im Texte Kifti*s findet, ist von Casiri hinzugefügt Der Name
„Omrani^ ist von Leclerc weggelassen, so dass ihm die Identität mit dem
Autor, welcher bald darauf (II, 513) genannt wird, entgangen ist
Wir werden noch Gelegenheit haben, auf den X.Tractat zurückzukommen.
Verweilen wir einen Augenblick bei den beiden vollständigen üeber-
Setzungen (abgesehen von der doppelten Revision des Hadjdy'a^j , deren erstere
sich wahrscheinlich nicht erhalten hat). Zunächst fragen wir uns, was sich
davon in den arabischen Manuscripten und in den üebersetzungen erhalten
1) Zeitschr. f. Math. XU, 22; XVI, 870. Ztschr. D. M. G. XXV, 898. — Das von
Plato aus dem Hebräischen übersetzte Buch gehört eigentlich nicht in Wüsten -
feld*8 Latein. Ueberaetsungen aus dem Arabischen (S. 48), wohl aber das Werk
des Imrani, das er nicht aufführt.
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84 Historisch -literarische AbUieilang.
hat. Ehe wir in die Einzelheiten eintreten, müssen wir einer kritischen
und linguistischen Arbeit des Dr. Klamroth (üeber den arabischen Euklid)
erwähnen — in der Zeitschrift der Deutschen Morgenl&ndischen Gesellschaft
(Bd. 35 S. 270 — 325) — , welche die verschiedenen üebersetsungen von ver-
schiedenen griechischen Texten herrühren Iftsst.
Die Manuscripte der Elemente, welche den Namen Euklid's tragen,
sind nicht selten; Wenrich (S. 179) nennt mehrere in der Bodleiana, im
Escurial und im Paris, wozu sich andere hinzufügen Hessen, z. B. im
British. Museum Nr. 974, 1334, 1335, India Office Nr. 736— 740,
768 1,2, in Kopenhagen, in üpsala Nr. 321, in Oxford, St, John*s
College Nr. 145 (Coxe p. 48) , und besonders die Mannscripte Nr. 279 und
280 der Bodleiana, beschrieben von NicoU (S. 257, 258); das zweite
Manuscript, geschrieben im Jahre 1260/61 in Meraga bei Lebzeiten Tusi's,
enthftlt ein von Nicoll übersetztes Vorwort, in welchem Avicenna und abu'l-
Wafa citirt sind; das hindert Heiberg nicht, den üebersetzer Thabit für
dieses Vorwort verantwortlich zu machen! Nicoll (S. 260k) möchte bewei-
sen, dass das Manuscript 279 die Uebersetzung IshaVs vor der Verbesse-
rung enthalte, wenn wir ihn richtig verstehen. Hat auch er dem Thabit
den Prolog beigelegt? oder will er das Gegentheil sagen, indem er den
Prolog dem Ishak beilegt? Klamroth hat dieses Vorwort ganz unbeachtet
gelassen.
Mehrere Manuscripte enthalten keine der alten üebersetzungen, sondern
die Redaction {j^j^) Tusi*s (s. §5), welche mit Unrecht, z.B. von Jour-
dain und noch von Nicoll (S. 258) und selbst von Heiberg (S. 5, 6), als
eine Uebersetzung betrachtet worden ist. Andere Mss. haben Inschriften,
welche den Bibliographen entlehnt sind, die direct oder indirect aus dem
Fihrist schupfen ; einige Manuscripte sind aus verschiedenen Uebersetzungen
zusammengesetzt, wie die drei Manuscripte, welche Klamroth analysirt hat.
Endlich enthält eine Anzahl von Gommentaren, die wir aufzählen werden,
den ganzen Text oder einen grossen Theil desselben.
Man legt eine Uebersetzung des XIV. und XV. Tractates (Hypsikles)
dem Costa b. Luca bei.')
Betreffs der lateinischen Uebersetzungen nennen wir einan Artikel
von H. Weiss enborn (Die Uebersetzung des Euklid aus dem Arabischen
u. s. w. durch AdelhardvonBath), in der von Cantor veröffentlichten Samm-
lung (Abhandlungen zur Gesch. d. Mathematik Bd. II, 1880, S. 141—166),
wonach Adelard (um 1120 — 1130) und Campanus von einander unabhängige
Uebersetzungen gemacht hätten;') aber M.Curtze (Sonderabdruck des ,, Jahres-
berichts über die Fortschritte der klassischen Alterthumswissenschaft'' vom
2) Mb. bei üri 919, Wenrich p. 178.
3) Vergl. die älteren Ansichten bei Ledere II, 294; Wüstenfeld, Lat. üebers.
S. 20; vergl. unten Anm. 6. r^ 1
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Euklid bei den Arabern. 85
Ociober 1879—1882, Berlin 1884, 8. 19) behauptet, dass Beide eine
üebersetzung der Theoreme benutzten, welche bis zum X. oder XI. Jahr-
hundert hinaufreicht (Ms. in München); er beweist sogar, dass die Citate
Weissenborn's im Namen Adelard's nicht aus den beiden Erfurter Manu-
scripten gezogen sind. Die Citate bei Curtze (S. 20) aus diesen Manuscrip-
ten bieten die arabischen Worte elmuaim oder elmuhim ((^j^^Jtj und
helmunharifa oder elmuarifa. Wir fttgen hinzu, dass der ;,Prologus N.
(Joannis) Ocreati^) in helceph ad Adelardum^ u. s. w. verö£fentlicht wurde
von Charles Henry nach dem Manuscript b626 der Nationalbibliothek in
der erw&hnten Sammlung (Abhandl. u. s. w. S. 131 ^gg,). Henry hat Ocrea-
tuB vergebens bei den englischen Biographen gesucht; er weiss nicht (wie
Ledere S. 297), dass der Caialog. Mss. Angliae (II, 247 Nr. 8639) Joann.
Ooreatum zum üebersetzer der Elemente macht. Leclerc erklärt das Wort
helceph durch „el-hasseb^, das Rechnen. Rodet (bei Henry 3. 132) erklärt
Ol
es durch s^i^fii f, Prüfung, Forschung (des Rechnens). Die erste Erklärung
ist gegen die gewöhnliche Umschreibung; man setzt nicht c für arabisches ^.
Die zweite Erklärung bietet ein, Freitag und Dozy unbekanntes Wort, und
es setzt einen Titel voraus, wo nur die Bezeichnung einer Rechnungsart
vorliegt. Der Text selbst giebt „Helcep (sk) Saracenicum tractare de mul-
tiplicatione scilicet numerorum et divisione^. Ist es etwa K^fijub verdoppeln
(=multipliciren)? üebrigens findet man in der Liste der üebersetzungen
Gerard's von Cremona (Nr. 4) „Liber Euclidis Tractatus XV"; aber
man kennt kein Manuscript derselben.^)
Es giebt mindestens zwei ältere hebräische Üebersetzungen der Ele-
mente, deren eine wahrscheinlich aus dem Lateinischen zu einer unbekannten
Zeit abgefasst worden;^) die andere, welche aus einer arabischen üebersetzung
Ishak's entt^tanden, von Thabit verbessert worden, ist in den verschiedenen
nicht seltenen Manuscripten einem der beiden, fast gleichzeitig lebenden und zu
dei-selben Familie gehörenden Gelehrten Moses Tibbon (etwa 1244 — 1274)
oder Jakob b. Machir (dem berühmten Prophatius in Montpellier, kurz
nach 1306 gestorben) beigelegt.^) Nach einer Randnote des Manuscripts
4) Ueber ihn vergl. Leclerc II, 397; Wüstenfeld 1. c. S. 23.
5) Leclerc 1. c. II, 409; Wüstenfeld 1. c. S. 59 bemerkt: ,Die Ausgaben und bis
jetzt bekannten Handschriften dieses Werkes enthalten die Üebersetzung des
Adelard.^ Eine Ausgabe des Letzteren existirt nicht, aber Wüst, nahm (8.21)
an, dass dem edirten Campanus nur der Commentar angehöre
6) Ueber die Hs. Mantua 2 verdanke ich meinem gelehrten Freunde und Ver-
fasser des Catalogo dei Manuscr. ebr. della biblioteca delia comunitä israel. di
Mantova compilato dal Rabb. maggiore Marco Mortara (Livomo 1878), ausführ-
lichere Mittheilungen, welche anderswo verwerthet werden sollen, üeber eine
Bearbeitung desJehudab. Salomo Eohen (1247) s. Anhang 11.
7) Dieser auffällige Umstand ist noch immer nicht genügend aufgeklärt, auch
nicht in der Histoire lit. de la France, t. XXVII p 608. Die Hss., welche den
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86 HlBtorisch- literarische Abtheilung.
36 zu München hfttte Ha^jcUadj algebraische oder arithmetische Proportionen
für die geometrischen substituirt Thabit hat die griechischen Les-
arten zu Rathe gezogen (s. unten §5).
§2.
Die Commantare und Bearbeitongen.
Wir geben die Nachrichten des Fihrist über die Commentare, die sich
mit den Elementen beschäftigt haben, indem wir seinem Texte folgen und
einige Notizen über die Autoren einschalten. Wir schliessen eine Anzahl
anderer, dort nicht genannter Autoren daran. Im Allgemeinen müssen wir
bemerken, dass der Fihrist in diesem Capitel oft unter dem griechischen
Autor auf den arabischen Erklärer verweist. Die Artikel dieses Capitels,
welche die arabischen Autoren betreffen, werden theil weise von Kifti wieder-
holt; Casiri (I, 402 — 444) hat daraus eine Anzahl yon Mathematikern mit
einer sehr ungenauen lateinischen Uebersetzung gezogen. Dennoch hat E.
A. Sedillot (Prol^gomdnes des tables astronomiques d*01oug-Beg p. IX sqq.)
die unvollständigen Texte (Lücken sind mitunter durch Punkte angedeutet)
und die lateinische üebersetzung Casiri's in einer, theilweise problematischen
chronologischen Ordnung wiedergegeben.^) Der Fihrist unterscheidet hier
nicht die Autoren der Commentare von denen der Com pendien und
auch wir vereinigen in unseren Ergänzungen die verschiedenen Arten der
Erklärungen und der Bearbeitungen. Wo wir nichts Näheres angeben , han-
delt es sich nur um Commentare.
Unter den zu citirenden Manuscripten ist eines der interesantesten das
Pariser Suppl. ar. 952, 2, geschrieben im Februar — März 968 von einem
Mathematiker in Schiraz. Es enthält 50 Stücke, welche F. Woepcke auf-
zählt in seiner Abhandlung: Essai d'une restitution des travaux perdus
d' ApoUonius (Memoire pr6sent6s t. XIV, p. 663 ügg, ; Sonderabdruck 1856
p. 6—14).
Nach Heron (^ j* ') erwähnt der Fihrist:
al-Veiriii (ein Name, der oft in Tabrizi entstellt worden ist). Sein
Commentar über die Tractate I— VI findet sich in dem Leydner Ms. 965
(III, 38). In der Liste der üebersetzungen Gerard's von Cremona (Nr. 15)
liest man: ,yLiber anaritii super Eudidem tr. I^, aber man kennt keine
Handschrift davon. Oiebt N. Citate aus Heron?
Namen des Moses ibn Tibbon fahren und die Vorrede des Jakob b« M. nicht ent-
halten, sind nicht seltener (wie Mortara zu Cod. 1 angiebt).
8) Die chronlogische Tabelle, p. CL — CLV, darf nicht ohne Controle benntit
werden; sie enthält viele Anachronismen. loh habe verschiedene Namen und
Daten, welche theilweise in andere Schriften übergegangen sind, bei verschiedenen
Gelegenheiten berichtigt.
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Euklid bei den AraberD. 87
Der FihriBt erwähnt in dem Artikel Neirizi (aba'l-Abbas al-Fadhl b.
Hatim, S. 279) nicht den Commentar zu Euklid, wtthrend Kifid (Casiri I,
421) ihn angiebt; auch Maimonides citirt ihn (s. die Citate in Zeitschr. D.
M. G. Bd. 24 S» 336 und Magazin für die Wissenschaft des Judenthums III,
199). Neirizi widmete ein Werk dem £[halifen al-Muatadhid, welcher im
Jahre 892—902 herrschte. Hagi Khalfa (I, 382; VII, 610) las Jezidi.»)
Al-Kerabiai (Ahmed b. Omar u. s. w. — S. 282; Kifti, bei Casiri S. 410
voll von Irrthümem, wie Hammer III, 266 N. 1173 = IV, 283), nicht
Qarabisi, wie bei Woepcke, Memoire sur la propagation des chiflfres ind.
p. 156. Bei Hagi Ehalüa wird er mit Ahmed b. Muhammed vermengt; s.
Zeitschr. d. Deutsch. Morgenland. Gesellsch. Bd. 24 S. 370, nicht beachtet im
Fihrist II, 133. Man kennt seine Zeit nicht genau, wahrscheinlich f&llt
sie in das IX. und X. Jahrhundert.
9) Hammer, Lib. IV, 311, übersieht das Wort lüLf {, übersetzt sprachwidrig:
Bach der ungünstigen Ereignisse für den Ghalifen, und corrigirt Casiri's üeber-
setzang: „Liber imperatori (nicht imperatoris, wie H. citirt) M. inscripsif —
Wüstenfeld (latein. üebers. S. 75) vermuthet, dass Neirizi der Verfasser der Geo-
mantie sei, welche als ,,Liber alfadhol, i. e. arab. de bachi" im Kegister der
UebersetzuDgen Gerard's von Cremona (Nr. 69) erscheint und in lateiD. Hss. ent-
halten ist (8. auch dieWienerTabulaeCodd. H, 136 Nr. 2704^). Es findet sich aach
die Angabe: „de Meregi" (Merengi) qai fait Saracenas filius 8 edel, cujus pater
fuit de Arabia mater vero de Chaldea**; die Pariser Hs hatSedbel. Wüstenfeld
legt auf die Abstammung keinen Wer th, liest richtig al-Fadhl, und Merengi soll
ans Neirizi entstanden sein; Sedbel sei kein arabischer Namen. Allein Sedel ist
besser und offenbar entstanden aus Sehel, und de bachi eine Gorruption TOn
Naubakht, Namen einer aus Persien stammenden bekannten Familie, über welche
ich anderswo handeln werde, um hier nicht zu weit abzuschweifen. Abu Sa hl
al-Fadhl ben Naubakht war ein Astrologe zur Zeit Harun*B, unter dessen
Schriften im Fihrist (S. 274, yergl. Eifti bei Casiri I, 421, wo der Theologe Ismail
confundirt ist) ein astrologisches Loosbuch und ein ßuch, betitelt J^^vXa^^J t,
woraus vielleicht der undeutlich geschriebene Titel ^ Li?\ÄJuJ I von „Fadhl ibn
Sahl ibn Naubakht** (Eatal. d. Brit. Mus. S. 426) geworden; der Namen Nau-
bakht ist dort ebeufalls corrnmpirt. Fadhl ben Sahl (aber Dicht Naubakht,
soviel ich sehe) hiess ein Wezir Maamuns, dessen IdentilSt mit dem Astrologen
abn Sahl mir sehr zweifelhaft erscheint. Das arabische Original der astrologi-
schen Geomantie in 144 Abschnitten hat Ign. Guidi in der anonymen arab. Hs. 36
der Bibliothek Vittorio Emanuele in Rom erkannt (Catalogo dei codd. orientali di
alcnne biblioteche d'Italia, Firenze 1878, p. 21), zugleich die Identität mit der Hs.
1004 des Brit. Mus. (Catal. p. 466), welche einem, sonst unbekannten Abd Allah
ben Obeid el-Munedjdjim (Astrolog) beigelegt wird, der das Werk für Hamn
al-Easchid verfasst habe. Femer verweist Guidi auf die Geomantie des Abd
Allah ben Ali ben Ma*hfut8 el-Munedj4jim in der Bibliothek des Ehedive (arab.
Katalog p. 199). Ich kann letzteren augenblicklich nicht anders belegen, als durch
H. Kh. V, 378 Nr. 11366 (nur diese Stelle im Index p. 1136 Nr. 6126); s. VH, 871,
wo zwei Hss. in Constantinopel nachgewiesen sind, aber nur der variirende letzte
Namen des Ahns oder Grossvaters gegeben ist. üeber das Verhältniss dieser
Geomantie zur obigen Iftsst sich aus blossen Titelangaben nichts ermitteln. Die
angeblichen Autoren sind offenbar nicht identisch.
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HistoriBch - literarische Abtheilong.
Al-Djavhari (al-Abbas ben Said) commentirte das ganze Buch. Der
Fihrist (S. 266) verweist aof den betreffenden Artikel (8.270, II, 128;
Eifti bei Casiri p. 403; Wenrich p. 302; Hammer ÜI, 259 N. 1146). Er
fügte, wie es scbeint, in einer besondem Schrift einige Fignren zu dem
ersten Tractat hinzn. Er war einer der Beobachter unter Ma'amnn (832).
Al-Mahani (abu *Abd- Allah Muhammed b. Isa), commentirte den
V. Tractat. Nach dem Specialartikel (S. 271, II, 128, s. die Gitate in der
Zeitschr. f. Math. u. Phys. X, 474; Eifti bei Casiri p. 431; Wenrich p. 188
giebt keine Details) verfasste er ein Buch über 26 Axiome (?) in dem ersten
Tractat. In dem Mannscr. suppl. ai*. 9Ö2,^ (Woepcke 1. o. S. 12) findet sich
ein Fragment seines Commentars über den X. Tractat. Er lebte nm 854—866.
§3.
Fortsetznng.
Der Fihrist schiebt hier eine interessante Notiz ein, welche Ton Wen-
rich übersehen worden ist, der daher einen Uebersetzer weglässt:
Hatnf (w^A^ii) ^ der sich mit Medicin beschäftigte, erzfthlte Nadim, dass
er den X. Tractat in griechischer Sprache, um 40 Fignren mehr als die gewöhn-
lichen Exemplare enthaltend (die 109 Figuren enthalten), gesehen, und dass er sich
bemüht habe, diese (die 40 Fignren) arabisch zu übersetzen; s. weiter unten.
Natsif jnJÜ t (der Presbyter, s. Oseibia I, 236; Ledere I, 190,
376; Hammer V, 362 N. 4184 ^ t vjulai, und j^ \ N. 4185; Nadif
bei Gartz S. 18) wird fälschlicherweise {j>*^ t genannt in dem unedir-
ten Artikel Eifti's; bei Hagi Ehalfa (I, 38i) wird er mit Abdal-Latif
(s. De Sacy, Relation p. 494) vermengt. EifU und Oseibia nennen ihn
als Uebersetzer ans dem Oriechischen , ohne ein Werk genau anzugeben,
vielleicht nur wegen der genannten Stelle? In dem Ms. suppl. ar. N. 952
wird er abu Ali ben Jaman (Benjamini?) genannt. Die Nm. 18 und
34 jener Hs. enthalten seine Uebersetzung der Zusätze zu einigen Proposi-
tionen des X. Tractates, wahrscheinlich diejenigen, die der Fihrist erwähnt.
Sein Beinamen steht in dem vom October 970 datirten Briefe von al-
Sidjzi (ib. n. 27, Woepcke 1. c. p. 10); dieses Datum dient zur Bestimmung
seiner Zeit und beweist, dass Natsif selbst übersetzte, während man die
Stelle im Fihrist so verstehen könnte, dass er übersetzen liess.
JiShanna (Johann), der Presbyter (cr*AJ t), besass [in seinem Exem-
plar] in griechischer Sprache die Figur (das Theorem) ^^) in Tr. I, welche
Thabit [ben Eorra] sich angeeignet hatte, und zeigte sie dem Natsif. —
Thabit dürfte sie in seinem Exemplar der Uebersetzung Ishak*s nicht ge-
funden, und hinzugefügt haben, ohne dass er behauptet hätte, sie erfunden
zu haben. Zu IX, 31 bemerkt Thabit, dass er die Figuren 30 und 31
10) JX£, Figur, bedeutet auch allmälig Lehnatz (Klamrotfa S. 286), wie
Diagram im Griechischen (Heiberg, Studien 16, der Garte S. 18 dtirt).
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Euklid bei den Arabern. 89
nicht in griechischer, sondern in arabischer Sprache gefanden habe; Elamroth
(p. 279) schliesst daraus , dass die Araber zur damaligen Zeit sich für
einen authentischen Text interessirten (s. § 5 unter Tusi).
Der Presbyter Johannes ist auch ausserdem als üebersetzer bekannt;
nach dem Artikel des Fihrist (S. 282, U, 133, Eifti bei Casiri S. 426)
studirte man unter der Leitung desselben den Euklid. Eine seiner Ab-
handlungen ist copirt, die andere (welche im Fihrist erwähnt ist) wider-
legt von al-Sidjzi, in dem Manuscript suppl. ar. 952 n. 49 und 10 (Woepcke,
1. c. pp. 13 und 8). Demnach lebte er in der zweiten Hälfte des X. Jahr-
hunderts.
Al-Khasim, Abu Dja'afer, aus Ehorasan, hatte einen persischen Namen,
der in dem kurzen Artikel des Fihrist (S. 282, II, 133) nicht ausgefüllt
ist. Das gab Kifti Veranlassung, seinen Artikel mit der Bemerkung (welche
bei Casiri S. 408 weggelassen ist) zu schliessen, dass er unter seinem
(arabischen) Beinamen bekannter war. Ghwolsohn hatte ihn mit abu-Bu'h
(oder Bau^'h, s. Zeitschrift für Mathematik X, 479) identificirt. Sein Com-
mentar übar den j "^^ des X. Tractats findet sich in den Lejdener Hand-
schriften 1468, 1469 (geschrieben für Golius, Katalog III, p. 40, 41). Am
Ende bemerkt E^hazin, dass der Best schon von Soleiman b. S»,bc com-
mentirt worden sei (s. § 4). — Seine Methode wird (von Tusi? NicoU
p. 262, 8. unten § 3) charakterisirt und getadelt. In den Mss. L. 992 und
1014 finden sich zwei andere Werke Khazin's; in dem ersteren werden zwei
Autoren genannt, welche der Katalog (III, 52) nicht zu entzififem wusste.
In dem einen habe ich bereits in dieser Zeitschrift (X, 491) den Byzantiner
Philon erkannt; dass der andere, dessen Namen zu ^^ß verstümmelt ist,
Diocles heisst, und dass die Quelle Eutocius ist, wird unten im ersten An-
bange nachgewiesen. Die Zeit, in der Khazin lebte, wird dadurch fest-
gestellt, dass er ein Zeitgenosse des abu Zeid al-Balkbi war (s. Monats-
schrift für Geschichte und Wissenschaft des Juden tbums, 1882, S. 329).
Als Commentator Euclid's hat Khazin einen Doppelgänger erhalten:
abu 'Hafs al-Haritt^i)
11) Dieser bisher unerkannte Umstand ist für die Entstehung von Doppel-
gängern in der arabischen Literatur charakteristisch. Für abu Dj. al- Khazin findet
sich in Handschriften des Fihrist (II, 122 A. 4, nachzutragen im Index II, 219):
y^ j^ t yjoii^' ^ i; das Wort y^ y^ | ist yielleicht eine angefangene Doub-
lette des folgenden ^ \tM jss\l t (al-Ehorasani) ; denn nur abu 'Haf s (nicht al-*Harith)
findet sich bei Kifti, im Artikel Euklid (bei Casiri I, 341, der p. 340 das Wort
„Persa" als Erklärung von Khoraseni hinzufügt; „ergo Persa** bei Gartz §66).
Je nach der Quelle erscheinen daher zwei Commentatoren zu Euklid, resp. zum
X. Buch, z. B. bei Hagi KhaUa unter Enklid (I, 382) abu *Hafs al-*Hareth, neben
Khazin, bei D*Herbelot, Art Hareth; bei Hammer, Encykl. üebersicht S. 327 Abu*l
Chafs (Mc) ans Chorassan und S. 328 über das X. Buch Abu Dschafer el Haress (1)
Gartz S. 16 § 11 hat wohl die Identität des Letzteren mit al -Khazin, aber nicht
die des Abu Hafs S. 13 § 6 errathen können. Aber auch Wenrich (p. 187)i^^lfii&
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90 Hißtorißch- literarische Abtheilung.
Abn'l-Wafii al Bazdjani (Muhammed) hat seinen Commentar nicht
beendigt. Wir werden uns bei diesem berühmten Schriftsteller (gestorben
im Jahre 997, s. Fihrist II, 133, zu I 283 Note 2) nicht lange aufhalten.
Der verstorbene E. A. Sedillot hat ihm die Eenntniss der Variation des
Mondes in verschiedenen Schriften bis zu seinem Tode, namentlich gegen
Biot, zu vindiciren gesucht. Nach dem Prolog bei Nicoll. (8. 261) ist „der
Neisaburi'' oft zu weitschweifig, oft zu kurz.
§4.
Fortsetsong.
Ein Schriftsteller R&hawijja al - Arc^jani commentirte den X, Tractat.
Eifti hat diesen Autor übergangen, folglich existirt er nicht für Wenrich!
Abu'l - Kasim al - Antaki (lies ^^ l-I^ ^ t) verfasste einen Commentar über
das ganze Buch, der veröffentlicht worden ist. Es ist zu verwundem, dass
Flügel nicht die Identität erkannte dieses Autors mit Abu' 1- Kasim Ali b.
Ahmed, auch Mudjtabi [Modjetabi und \J j^*^ (?) in Woepcke's Memoire
sur la propagation des chiffres etc. S. 160] genannt, gestorben am 15. April
987 ; s. den Artikel des Fihrist (S. 284). Der Namen und Beinamen fehlt
hier, steht aber in Eifti (bei Casiri I, 441, Woepcke L c und selbst bei
Wenrich S. 187, siehe auch die Citate in meinen Lettere, S. 30, Baldi,
S. 94). Der Commentar über den V. Tractat und die folgenden, welcher
in dem Ms. der Bodleiana bei Nicoll S. 262 N. 281 den Titel führt:
„Commentar über Euklid und Lösung seiner Schwierigkeiten^, wird ihn
Heitham beigelegt, aber Nicoll (s. S. 541) legt ihn ohne genügenden Grund
dem Ehazin bei.
Sind b. Ali commentirte das Buch der Elemente; abu Ali sah neun
Tractate und einen Theil des X. — Dieser jüdische Renegat, welcher abu't-
T^jjib genannt wird, hatte früher eine Synagoge in Schemasijje errichtet,
wo er später (gegen 830) den St«rnenbeobachtern präsidirte; s. den Arti-
kel des Fihrist, S. 275, II, 130, wiederholt von Eifti bei Casiri, S. 440,
wo das Ende fehlt (s. Zeitschrift der Deutsch. Morgenländischen Gesellschaffc,
Bd. 24 S.362, Bd. 25 S. 404 N. 11). Ledere (II, 412) citirt die Notiz
des Fihrist nicht genau, indem er Sind zum Autor des liber Judei
super X Euclidis in der Liste der Uebersetzungen des Gerard v. Cre-
mona (Nr. 12) macht. Wüstenfeld (Uebersetzer S. 61) ist noch weniger
exact, indem er Sind zum Uebersetzer macht; ausserdem scheint er durch
alle Quellen zu Gebote standen, hat Abu Hafs Ghorasenus fdr Euklid überhaupt,
dann Abu Dschaafer Alchazen für das X.'Buch. Hiemach ist im Index von H.
Eh. VIl, 1078 N. 2956 Abu Hafs mit Abu Jafer p. 1109 N. 4137 identisch. — Ande-
res betreffend al-E[hazin b. in meinen l^^tudes sur Zarkali (in Foncompagnrs Eul-
lettino) § 18.
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Euklid bei den Arabern. 91
Leclere (II, 512) irregeführt Wir werden auf diesen Commentar anderswo
zürftckkommen (s. diese Zeitschr. X, 489).
Aba Jusuf a'r-Basi commentirte den X. Tractat für 'Amid. Sein eigent-
licher Name war Ja'aknb b. Mnhammed (s. den Artikel des Fihrist
8.281, Kifti hat keinen Artikel über diesen Gelehrten, dessen Zeit man
nicht kennt).
Es folgt nun im Fihrist eine Stelle der Abhandlung al-Eindi's über die
Zwecke oder Tendenzen (^ tj^ 1, s. II, 132) des Buches Euklids, dessen
wahrer Verfasser Apollonius u. s. w. sein soll. Diese Legende hat in der
Uebersetzung Gasiri's einen strengen Kritiker an Heiberg (S. S.flg.) gefunden,
welcher nicht die erste Quelle kennt und die Araber stets für das verant-
wortlich macht, was sie ohne Zweifel den Syrern entlehnt haben.
§5.
FoTtsetzong.
Kifld (bei Casiri, 8.341) hat hier einige Nachrichten eingeschoben,
deren erste, einen griechischen Gommentator betreffend, wir anderswo be-
sprechen werden. Die anderen sind eingeschaltet in der folgenden Auf-
Zählung, die wir nach dem Alphabet geordnet haben, weil wir die Zeit
einiger Autoren nicht genau kennen; wir erledigen durch eine Verweisung
diejenigen Autoren, die in den letzten Paragraphen vorangegangen sind.
Abu'l Hasan al-Eoscheiri, welcher im Jahre .595 H. lebte, hatte
Kifti einige Namen von spanischen Gommentatoren mitgeteilt; aber als dieser
den Artikel Euklid schrieb, konnte er sich ihrer nicht mehr erinnern. Wir
werden einen derselben zu nennen haben (s. Sam'h).
Abd Allah b. Muhammed, s. Schamsi.
Ahwasi oder Ehwazi (<^j'j^^Oi nicht Emwazi, wie man in dem
alten Catalogus Lugd. bei Gartz S. 2 (welcher ^ j ij^ i vermuthet) und
bei Wenrich liest. Sein Gommentar über den X. Tractat findet sich in
den Leydener Mss. 969, 970. Der Katalog (IH, 41) citirt den Index zu
Hagi Khalfa, in welchem er, ohne den geringsten Grund (s. Zeitschrift der
Deutsch. Morgenländischen Gesellschaft, Bd. 17 S.243, Bd. 24 S. 386) mit
Abd Allah b. Hilal des VIII. Jahrhunderts identificirt wird.
Wenrich (S. 187) nennt ihn abu*l-Husein, ohne eine Quelle anzugeben.
Abul Hasan (leichte Variante von Husein) al-Ahwazi hatte gegen die
Tafeln des Khowarezmi^') geschrieben; al-Biruni verfasste ein Buch der
Einsprache {^ U» jJ I) zwischen beiden.**)
18) Muhammed benMuBa; vgl. Zeitschr. der Deutschen MorgenL (- esellsch.
Bd. 24 S. 389, Bd. 26 S. 419.
13) Biruni's Verzeichniss seiner 'Schriften, bei Sacbau, Chronologie orienta-
lischer Völker von Alb^ruu!, Leipzig 1878, S. XL N. 8. ■— Ahwazi dürfte ein viel-
leicht älterer Zeitgenosse Bimni's gewesen sein. In Sedillot^s Tabelle (Prol^.
d*01ough Begh) ist er nicht zu finden.
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92 Historisch -literarische Abtheilung.
Antarid (Otharid), 8.§4
Avioenna; das Compendinm des Eaklid (von Wenrich 8. 189 citirt),
welches sich in dem Leidener Ms. Nr. 1445 (III, 319) findet, bildet einen
Theil der Encyklopädie ,,Schefa'* (Hebrttische Bibliogri^P^ie X, 54; vergl.
Oseibia II, 3, 5, 6, 7, 19).
Costa b. Lnoa schrieb über die schwierigen Stellen («d^^-Cft) des Baches
(Fihrist S. 295, Eifti bei Casiri I» 420; Oseibia I, 245) und verfasste eine
Risale über die Ausziehong der auf die Zahlen bezüglichen Fragen des
III. Tractats (Fihrist),
Sjabir b. Hajjan commentirte Eaklid, nach einem fabelhaften Katalog
(Fihrist S. 357).
Djanhari, s. § 2.
Djordjani, Ali b. Muhammed, ein berühmter Philosoph (gestorben im
Jahre 1413) verfasste Olossen zur Bedaction des Tasi (Hagi Khalfa I, 384).
Farabi erläaterte die v::? { . o Laa (Erklftrangen, Axiome a. s. w.) einiger
Tractate; in der wahrscheinlich von Moses Tibbon herrührenden üebersetzang
finden sich die Tractate I and V (s. mein Alfarabi S. 73).
Farisi, Taki ed-Din aba'l>Kheir Mahammed b. Mahammed, schaltete
den Commentar Tusi's in seinem Werke über Mathematik ein (Hagi Khalfa
I, 383, vergl. IV, 100). Er war ein Schüler des Ghijat a'd-Din Mans'ur
(gestorben im Jahre 1542, Hagi Khalfa II, 201; Catal, Lugd. IV, 99).
Abu 'Haf's (al-Harith), s. Khazin.
Hasan ihn Obeid Allah b. Saleiman b. Wahab, abu Mahammed ge-
nannt, im Fihrist anter Eaklid vergessen.
In dem Specialartikel (S. 273, Kifti bei Casiri II, 413) mass man
mit Hammer (V, 308 N. 4059) zwei Titel anterscheiden : „Commentar
(Erklärang) dessen, was schwierig ist (JX^t, Kifti: J^^) in dem
Bache Eaklid'', and „üeber die Proportionen (oder die Proportion) , in Einem
Tractat''. Casiri, Gartz, Flügel and Wenrich (S. 189) haben daraas einen
Commentar za einem Bach der Proportionen des Eaklid gemacht,
welches gar nicht existirt, so dass Gartz (S. 25) diesen Titel aaf das V. Bach
der Elemente bezieht (s. Zeitschr. für Mathem. X, 468, Heiberg S. 24).
Hasan ist wahrscheinlich identisch mit ibn Wahab , an welchen Thabit eine
Abhandlang über geometrische Probleme richtet, Ms. sappl. ar. 952 N. 43
(Woepcke, 1. c. p. 12).
Heifham (ibn) verfasste verschiedene Werke über Eaklid. Die Titel
werden von Oseibia (S. 90, 91, 93, passim, 94, 97, 98) genannt. Wir
geben sie karz nach der üebersetzang Woepcke's (L*Algöbre d'Omar Al-
hajyami, 1851 p. 73 — 76), indem wir bemerken, dass die Nammern zu
verschiedenen von Oseibia angeführten (listen gehören:
1. Commentaire et abr6g6 des Elements etc.;
2. Becaeil des ^l^ments de g6om6trie, et d'arithmötiqae, tir6 des
trait6s d'Euclide et d'ApoUonias, dont Tordre est renversö;
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Enklid bei den Arabenu 93
4. Becueil des ^lömexits da calcul, deduit des piincipes pos^s par
Euclide dans sea Elements.
9. Trait6 de la mesore ä la manidre des Elements d'Enclide.
24. Mömoires poor resoudre un doute snr Euclide, relativement aa
cinqaidme livre; s. folgende Nnmmer.
(II) 2. Commentaire snr les d^finitions de Touvrage d'Enclide.
[Anstatt mit „ definitions '*, mass man das Wort tsL^La« durch
einen allgemeineren Ausdruck übersetzen. Die Bemerkung Elamroth's (S. 286)
zu Gunsten Wenrich's beweist, dass er die citirte Stelle in meinem Mfs^
rabi nur oberflftchlich gelesen hat.]
Dieses Werk existirt in dem Manuscript der Bodleiana bei Uri 908
und ein Theil desselben in der hebräischen XJebersetzung des Mose Tib-
bon (Zeitschrift der Deutsch. Morgenlftndischen Gesellschaft Bd. 24, S.352).
Woepoke identificirt mit diesem Titel das Leydener Manuscript 1069 des alten
Katalogs; aber dieses Ms. (Nr. 966 des neuen Katalogs, III, 38) enthält
nach der Vorrede den Commentar über die schwierigen Stellen (J^^Xä ^
oder wjM J.Ä») bis zum V. Tractat. Mehrere ältere und jüngere Autoren
haben sich damit beschäftigt; das vorliegende Buch werde, zusammen mit
dem Commentar über die Mu^adirftt, so hofft der Verfasser, eine Art yoU-
ständigen Commentars bilden. Eafti unter Euklid (Casiri p. 342) erwähnt
beide Schriften. Wir wissen nicht, ob der Autor darin seine einzelnen Ab-
handlungen über einige Zweifel und schwierige Stellen im Euklid gesammelt
habe, s. oben n. 24 und die folgenden Titel. Wir haben gesehen, dass
das Manuscript der Bodleiana bei NicoU Nr. 271 (p. 262) einen Commentar
(welcher in dem Manuscript dem ihn Heitham beigelegt ist) enthält, wel-
cher hauptsächlich eine Erklärung der schwierigen Stellen in Tractat V bis
XV giebt, das wäre dann eine Fortsetzung des Leydener Manuscripts.
39. Memoire sur la Solution d'un doute sur la partie st6r6om6trique.
40. Memoire sur la diyision des deux quantit6s etc., mentionn6e
dans la l'* proposition du X* trait6 (le th^oröme d^exhaustion) ; Ms. de
rinstitut des langues Orient. 4Petersbourg 192^ (Rosen, Catal. p. 125).
55. Memoire sur la Solution d'un doute sur les XII. livre.
56. Memoire sur la Solution des difficult6s dans le P' livre.
lihak ben Honein verfasste ein Compendium j L^flXi^. t (Oseibia I, 201).
Jeiidi, s. Neirizi.
Juhaiina u. s. w. , s. § 3.
Kadiiadeh Bumi, Sala'h u'd-Din Musa b. Muhammed (gest. 1412/13),
verfasste Glossen über die Bedaoticm des Tusi (Hagi Khalfa I, 384, siehe
weiter unten, Artikel Samarkandi). üeber diesen bekannten Autor s.
NicoU S. 247 (704); in dem Index des Hagi Khalfa ist er in zwei Artikel
getheilt: VII, S. 1207 N. 7780, S. 1118 N. 4446.
Karabiii, 9.§2.
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94 Historisch -literarische Abiheilung.
Khajjami, abu'l-Falfh Omar b. Ibrahim, verfasste im Jahre 470 H.
(1077/78) eine Abhandlung über die Schwierigkeiten in den Muiadirat, Ms.
1467 (in, 40) zu Leyden. Kbajjami ist durch Woepcke^s Ausgabe der
Algebra hinlänglich bekannt. Gedichte von ihm sind im Joum. Asiat, mit-
getheilt.
Khasin^ s. § 3.
Kindi verfasste eine Abhandlung über die Verbesserung der Tractate
XIY, XV (Hypsicles), s. Nr. 99 des Verzeichnisses seiner Schriften bei
Flügel S. 26. Das oben in § 4 citirte Werk, in der Liste Nr. 86 (Flügel
S. 52) über die Zwecke u. s. w. , bildete nur einen Theil eines anderen
Werkes?
Al-Kaubi oder Knhi (Bewohner der Gebirgsgegenden von Taberistan,
Barhebraeus übersetzt den Namen syrisch: Turojo), abu Sahl-Widjan
(über diesen Namen s. Gutschmidt in der Zeitschrift der Deutsch. Morgen-
landischen Gesellschaft Bd. 15 S. 672) ben Bostom (nicht Wastam), dessen
Namen verschiedene Umänderungen erlitten hat, die man in meinem 3. Brief
an Boncompagni findet, welcher Nasawi und Kuhi gewidmet ist (p. 31 flg.,
s. den Nachtrag S. 93, welchen Flügel (Fihirst II, 134) nicht kennt; vergl.
Zeitschrift der Deutsch. Morgenländischen Gesellschaft XIII, 633 und Zeit-
schrift für Mathematik Bd. X, 480, wo sich einige üngenauigkeiten finden).
Nach dem Artikel des Fihrist (S.383), welcher wiederholt und erweitert wurde
von Eifti, bei Casiri I, 441 —444, und ausgezogen von Woepcke (FAlg^bre
d'Omar etc. p. 65), verfasste er nach Art des Werkes des Euklid ein Buch
der Elemente. Eifti (welcher eine falsche Lesart hat) setzt hinzu, dass
das Werk unvollendet geblieben ist, was der Fihrist von dem vorhergehen-
den Werke sagt; aber er führt die folgenden Titel mit den Worten ein:
„was er veröffentlicht haf ; das Buch der Elemente wurde also nicht ver-
öffentlicht. Wenrich (S. 187 und in dem Index) hat also irrthümlicherweise
Kuhi als üebersetzer betrachtet. Nach den von Kifti mitgetheilten Urkunden
nahm Kuhi Theil an den astronomischen Beobachtungen im Jahre 988.
Lubudi (ibn al-) Na^jmu'd-Din abu Zakkarijja Jalija b. Muhammed,
Arzt zu Damaskus, verfasste ein Compendium (des ganzen Buches) und ein
Compendium yöÄ^^ der Ma'sadirät (Oseibia II, 198). — Sein Vater, Schems
ud-Din abu Abd Allah b. Abd&n, starb im Jahre 621 H. (1224); s.
Wüstenfeld, Gesch. d. arab. Aerzte S. 120, N. 210 und 211; Ledere II,
160 (I; 419); bei Hammer, VII, 533, fehlen Vater und Sohn; im Index
zu Hagi Ehalfa VII, 1187 N. 6979, sind sie miteinander vermengt; das
Todesjahr des Vaters ist irrthümlich in 661 verändert worden, s. VII, 611
und 736. Auch Leclerc legt Schriften des Vaters dem Sohne bei.
Mahani, s. §2.
Mu4]tabi, s. § 4.
Mnhammed (abu) ben Abdu'l-Bäki, Eadhi von Bagdad, hat einen aus-
gezeichneten Gommentar zu dem X. Tractate verfasst, in welchem er die
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Eaklid bei den Arabern. 95
Figuren durch Ziffern bezeichnete (J^, was weder Casiri, p.340, noch
Flflgel zu Hagi Ehalfa I, 382 genau ttbersetzt). Kifti, der diesen Com-
mentar besass, giebt nicht das Zeitalter des Autors an. H. Khal& setzt
hinzu, dass er ,,Kadhi Marestan'* (Richter des Hospitals) genannt wurde;
wir vermuthen hier irgend einen Irrthum.
Hatnf , s. § a
Heiriii, s. §2.
Otima &4^ (ihn), auch Osma, X-moe. Im Yowort^zu Nasawi (Lejdener
Eatal. III, 90): abu Datd Buldman, Verfasser einer Abhandlung über
Binome u. s. w., in dem X. Tractat des Euklid, welcher sich in dem Ma-
nuscript N. 974 zu Leyden befindet; die üeberschrift ist dort incorrect/^)
die Verbesserung des Catalogs (III, 42) nicht besser; der Commentar ent-
hält den Theil, welchen al-Ehazin (s. unter diesem) nicht commentirt hat,
indem er auf unseren Autor verweist» welcher also zu derselben Zeit (oder
früher) lebte ; s. Zeitschrift der Deutsch. Morgenlftndischen Oesellsohaft
Bd. 17 S. 243, Bd. 27 8. 386. Wenrich (S. 187) giebt den Namen Okba,
ohne seine Quelle (nämlich Hagi Khalfa I, 382) anzugeben.
Rahaw^a (ihn) , s. § 4.
Saxi, abu Jusuf Jakub b. Muhammed, s. §4.
Bazi [jun.] , Fakhr uM Din abu Abd Allah Muhammed, ihn al-Khatib^)
genannt (1210 gest.), commentirte die Musadirät (Kifti bei Casiri I, 183,
Oseibia II, 30).
Said b. Masud ibn al-Eassbillah (?), dessen Commentar über die Trac-
täte I — VI in dem Leydener Ms. N. 965, geschrieben im Jahre 639 H.
nach dem Katalog (III, 38), scheint ins IV. Jahrhundert der He^jra zu
gehören.
Samarkaadi, Schams u'd-Din Muhammed, verfasste im Jahre 1196/97 (?)
das Buch (^^m^aJxR JLCfi ( ^ zur Erkl&rung der 35 Grundfiguren des Euklid.
Man findet dieses Buch in vielen Manuscripten, besonders mit dem Com-
mentar des Kadhizade (s. oben unter diesem Namen), üeber das Buch
s. den Artikel in meinen Lottere a Don B. Boncompagni (p. 86 und 92),
welcher Pertsch (Katalog der Gothaer arab. Hss. II» 123 N. 1498) un-
bekannt ist. Anonym und ohne Titel findet es sich in den Lejdener Mss.
1472 und 1473. Wenrich fahrt auf derselben Seite (188) die bezeichnen-
den Worte des alten Katalogs an, ohne den Titel des Buches von Samar-
kandi zu erkennen; das andere Ms. erwähnt er auf S. 187. Der neue
Leydener Katalog (III, 41) ist nicht besser unterrichtet, und der Nachtrag
(V, 246) legt das Buch dem Commentator bei.
14) Unrichtig Jfj-ÄjJf o^ÄJUJ I „in den X Tractaten".
16) So hiess auch der t^panische Wezir Lisan u'd-Din; beide werden in
hebräischen Quellen genannt; ein ganz yerschiedener Namen ist der des jfldisohen
Astronomen hak al-A'hdab, oder al-*Hadeb (der Bucklige), der 1896 in Syrakus
lebte, s. meine Etudes sur Zarhali § 18.
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96 Historiscb-literariscbe Abtheilung.
Die Sterntabelle in dem Leydener Manuscript 1196,^ (IIl, 157) kann
▼on Samarkandi nicht 675 H. datirt sein.
Sam*h (ibn, oder Samma^'h, nicht Samdj, abul Easim Asbag b.
Mühammed) , Arzt aus Granada (gest. 1035, nicht 1029, wie bei Leclerc I,
543; s. Virchow^s Archiv Bd. 86 S. 126, Zeitschrift der Dentsch- Morgen-
Iftndischen Gesellschaft Bd. 24 S. 336, 337), verfasste eine Einleitung
(J^ sX») in die Geometrie, indem er das Buch des Euklid erklSrte (Oseibia
n, 39jl«^^),
Sdiamsi, abu'l -Hasan Abd Allah b. Mühammed al-Harawi (wahr-
scheinliche Combination von Namen), widmete dem abu Abd AUah (al-
Mahani?) eine Abhandlung (^^^), enthaltend den Beweis, dass das
Buch der Elemente sich auf die Logik gründe, Leydener Manuscript 994
(III, 53). Die arabische Inhaltsangabe ist nicht ganz klar.
Si^jsi» oder Sidjistani, abu Said Ahmed b. Mühammed b. Abd il-
Djalü (969/70 in Schiraz, s. Zeitschrift fttr Mathematik X, 480; Lettere
S. 93; Catal. Lugd. Batavorum III, 54 — 56: Ahmed b. Ibrahim, vgL
S. 96) ,**) erklärte die Beweise (t^^ l/J ! vü/-j3) ; ein Fragment dieser Schrift
findet sich in dem Manuscript 734, 14 des In dia Office (Catal. Lotfa S. 213).
Sinaa b. Thabit hat den Euklid vielleicht erläutert, indem er Zusätze
machte. Bei Eifti (bei Casiri I, 438) heisst der Name des griechischen
Autors der Elemente der Geometrie ^f^ LS {• Casiri vermuthet Conon! In
Oseibia (1 , 224 , s. Lesarten S. 28) liest man denselben Namen , oder eine
willkürliche Verbesserung, welche Plato bedeuten würde. In meinen
Lettere (p. 62) schlug ich Euklid vor. Der Name Menelaus, unter dessen
Namen die Araber ein Buch der Elemente der (Geometrie nennen, ist dem
problematischen Namen zu unähnlich, um ihn für letzteren zn substi-
tuiren.
Sind b. Ali, s. § 4.
Taki ud-Din, s. Farisi.
Thabit b. Korra, welcher die üebersetzung Ishak*s b. Honein ver-
besserte, verfasste mehrere Schriften über Euklid; Oseibia (I, 219) er-
wähnt drei derselben: 1. über die Propositionen («:» U lAJU), 2. über die
Figuren, 3. eine ausgezeichnete Einleitung (vgl. Leydener Manuscript Nr. 1473,
III, 42); Chwolsohn (I, 563) nennt nur das 3. Werk. Wahrscheinlich be-
steht eine Beziehung .zwischen diesem Buche und einer Abhandlung im
Leydener Manuscript 975 (III, 42) über die Anordnung u. s. w. des Euklid.
Eifti (bei Casiri I, 391) nennt noch, nach einer Notiz des Sabiers Mulisin,
einen Commentar zu Tract. XIV und XV (Hypsicles).
Tusi (oder Thusi)^ Na'sir ud-Din Mühammed b. Hasan, der be-
rühmte persische Astronom (gest. 24. Juni 1274), redigirte die alten üebei^
Setzungen der griechischen Mathematiker; man findet sie gewöhnlich, be-
16) Vgl. Abdu'l-Djalil v^ jJumJ f in Catal. Lugd. Bat. UI, 167 Z. 1.
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Enklid bei den Arabern. 97
sonders die Ellemente und die sogenannten mittleren Bücher,^^) in seiner
arabischen Bedaction (j^yL); die persischen Ueberseizongen oder Aus-
gaben (Wenrich S. 68, 18ö) interessiren uns hier nicht.
Was die mittleren Bücher betrifft, so flLnde sich naeh Wenrich
(S. 212) die ganze Sammlung in der Bedaction (,,ex recensione*') mit dem
Commentar Tusi's in 6 Büchern unter dem Titel .^^J^-^wU-jJ! j^ ^^
(Ausgabe der geometrischen Bücher). Allein es waltet hier wahrscheinlich
ein Irrthum ob. Hagi Ehalfa (11, 213 N. 2496) giebt unter diesem Titel
15 Bücher an, wahrscheinlich dieselben, die sich in dem Manuscript 286
der Medic. Bibliothek finden (Zeitschrift für Mathematik X, 461, 467).
Kehren wir zu den Elementen zurück.
Tusi verfasste zwei eigentliche Gommentare, n&mlioh 1. <^y^^i
(die Variante jü ^ ist vielleicht durch Confusion mit der Bedaction ent-
standen?). 2. ^ XJ I (Hagi Khalfa VII, 610 und 848 zu H, 206 N. 2457
und zu V, 59 ^.9958); Wenrich (S. 185) nennt sie nicht. Wir kennen
kein Manuscript, welches einen dieser Titel ftlhrt. Die Beschreibung der
Manuscripte der Medicea tmd der Bodleiana, bei Assemani und üri, wieder-
holt von Wenrich, ist nicht genau. Wir wissen nichts über das Compen-
dium der Qeometrie Rm/Aj^JI yaxicv« and über die Fundamente (<^^i^)
der Geometrie in Manuscr. 277 und 298 der Medicea („ex Euclide de-
prompta", bei Wenrich S. 185). üri 949 übersetzt ja y«^ mit „explanatio",
unter Nr. 1012 giebt er „Commentarius^ an. — Im Index auctorum (T. 11
p. 679, unter Euklid) sind diese beiden Manuscripte als Texte mit dem
Commentar des Tusi bezeichnet, aber S. 701 unter Mohammed u. s. w.
als lyBecensio*'; Letzteres scheint das Bichtige zu sein. Wenrich (S. 68,
178, 179, 180, 185) hat den Charakter der Schriften Tusi's nicht genau
gekennzeichnet. Das Manuscript 272 der Medicea ist dieselbe Handschrift,
welche gedient hat zur Ausgabe des I.— XUI. Buches, die 1594 in Bom
mit arabischen und lateinischen Titeln, oder vieUeicht nur lateinischen
(Wenrich, 8. 180) erschien. Eine andere Ausgabe wurde, nach Loth
(S. 215, s. jedoch Hagi Eh. VII, 611) in Constantinopel (1801?) veröffent-
licht. Das I. bis IV. Buch wurde im Jahre 1824 zu Calontta (von der
School book Society) gedruckt. Die Manuscripte üri 989 und 1012 und
ein Auszug in den Pariser Manuscripten 1129 und 1216 (Elamroth S. 273)
enthalten die Bücher XIV und XV (Hypsicles).
Das Manuscript 736 des India Office, als TuM bezeichnet, weicht nach
Loth (S. 215) sehr von der Ausgabe ab. Ist es yieUeicht eine alte üeber-
setzung? De Sacy hat bereits bemerkt, dass das Werk Tusi's keine üeber-
Setzung ist (s. § 1); ebenso wenig ist es aber ein Text mit einem Com-
17) Ueber diese Schriften, meist entsprechend dem „kleinen Astronomen"
(Gantor, Vorles. S. 880, der Artikel ist im Register S. 786 nachzutragen), s. Zeit-
schrift für Mathem. Bd. X. r^ i
HUt.-lit. Abthlg. d, ZeiUohr. f. M^th. u. Pbyi. XXXI, 3. DigSzed by CjOOQ IC
Historiscb- literarische Abtheilang.
mentar. Der wesentliche Inhalt des Vorwortes des Tusi ist von Wenrich
(S. 180) wiedergegeben, welcher zweifelt, ob Tusi die üebersetznngen des
Ishak oder des Hadjdjadj benutzt hat. Elamroth (S. 274) hebt eine Stelle
des Vorworts hervor, welche von Hagi Ehalfa (I, 383) angeführt wird
nnd wonach die üebersetzung Hadj^jadj^s 468 Figoren (oder Theoreme),
die des Thabit 478 zftblt; Tosi zählt aber gerade 468. Klamroth hat
diese Stelle nicht in der Ansgabe gefunden, aber sie steht bei üri N. 949
und nach dem Pariser Manuscript N. 1129 bei Leclerc (HistI, 222), der
hinzufügt, dass er eine Ausgabe vor Augen habe, welche 491 z&hle (ist
es die Constantinopler?)'®). Dieselbe Differenz wird auch hervorgehoben
von Amuli (wahrscheinlich gest im J. 1352) in seinem persischen Buche
pjjiJ{j#^Ui, welches von Hammer angeführt wird.^^) Am Schlüsse des
Manuscriptes der Bodleiana (im Jahre 1238 geschrieben, bei Nicoll S. 260)
f. 213 findet sich ein Register von 478 Figuren. Elamroth, der dieses
Manuscript benutzte, hat das nicht hervorgehoben.
Das Manuscript 280 (bei Nicoll S. 260) scheint eine eigenthttmliche
Bedaction der üebersetzung Thabit's zu enthalten. Wir bemerkten bereits,
das^ das Vorwort Avicenna und andere spätere Autoren erwähnt. Man hat
am Bande Lesarten und Verbesserungen angebracht, nach der Bedaction
des Tusi , zu Meraga im Jahre 1260/61 , woselbst das Manuscript geschrieben
ist, nach Nicoll, der nicht hervorhebt, dass Tusi damals in Meraga lebte,
vielleicht gar selbst der Verfasser des Prologs ist? Dieses Manuscript, welches
^j^ überschrieben ist, verdient genaue Untersuchung.
Wafa (abu'l), s. § 3.
Unter den anonymen Erklärungen, denen wir begegnen, nennen wir
z. B. die Manuscripte: Lejden 1473, Suppl. ar. in Paris 952,^'*'^;
Leclerc (I, 223) giebt die Nummer 935 an.
Diese Gelehrten, die Spuren ihres Studiums der Elemente in ihren Werken
hinterlassen haben , sind nicht die einzigen in der Geschichte der Literatur der
Araber Genannten; man spricht von noch anderen, welche sich durch ihre Be-
lesenheit und Kenntniss dieses Buches ausgezeichnet haben und welche als
Lehrer desselben aufgesucht waren.^) Das Buch hat eine besondere Wichtig-
keit. Es ist nicht nur eines der ersten , wenn nicht das erste (Elamroth S. 303,
304), sicher nach einem griechischen Texte übersetzte Buch,*^) sondern
18) In einem Citat b^ Elamroth, 8. 279, findet Thabit die Stelle IX, 80,
81 nicht im Griechischen; Elamroth nimmt an, dass Thabit die Zahl der Sätze
in der üebersetzung Isbak^s nicht geändert habe.
19) Ueber Amuli 8. Flügers Eatalog der oriental. Handschr. der k. Bibliothek
in Wien I, 88; vgl. Hammer's Encydop. üebers. S. 829. Vgl. auch Ant. van der
Linde, Geschichte des Schachspiels I, 108.
20) Einige, auch sonst instnictive Beispiele, meist von Aerzten, aus Oseibia,
8. in Anhang II.
21) üeber Hadjdjadj s. meine Lettere a Don 6. Boncompagni p. 86; DeutBches
Archiv f. (beschichte d. Medicio, her. von Bohlfs 1, 449; Val. Rose, in Hermes VIIL 388.
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Euklid bei den Arabern. 99
die arabischen üebersetzongen sind älter als die griechischen Texte, die
wir besitzen. Heiberg (S. 7) hebt zwar diese Thatsache hervor, aber schliess-
lich (S. 21) behauptet er, dass die Abweichungen der arabischen Texte von
einer „ungewissenhaft en** Methode herrühren; allerdings gesteht er in
dem Vorworte, dass er viele Dinge in seinem Buche anders behandelt hfttte,
wenn er den sehr interessanten Artikel £[lamroth's , auf welchen er zurück-
zukommen verspricht, gekannt htttte.
Fügen wir eine andere bis jetzt unbekannte Thatsache hinzu, welche
beweist , dass man auch nicht die hebräischen Uebersetzungen , wie Elam-
roth (S. 271) glaubt, entbehren könne. Derselbe verzweifelt, jemals die
Materialien zu finden, um zu entscheiden, ob Thabit die Uebersetzung nach
einem griechischen Text verbessert habe (vgl. Klamroth S. 279, 305). Die
hebräische uebersetzung sagt das aber ausdrücklich (III, 9 und 10).
§6.
Andere Schriften.
Wir fahren in unserer Aufzählung fort nach der Ordnung der in dem
Fihrist genannten Bücher, ftlr welche der Commentar (11, 134) keine
anderweitigen Nachweisungen darbietet.
2. Die Phänomena ^ fj^ ^ '. Wir bemerken im Allgemeinen,
dass dieses Buch (worüber s. Heiberg S. 12 und 46), wie fast alle Bücher,
die zu den sogen. „ mittleren ** gehören, sich wahrscheinlich nur in der
Becension des Tusi erhalten hat, von welchem die Aufzählung jener Bücher
abhängt, verschieden von der Hon ein 's (Zeitschr. für Mathem. X, 464). Wir
nennen die Manuscripte Berlin 559 Qu.' (s. Baldi p. 89); Bodleiana
(üri) 876, 895; India Office 743,« fp. 216), Med. Laun 386 (Copie
von N. 271; Assemani nennt die Optik anstatt der Phänomena), Leyden
1040 (III, 78). Letzteres ist eine Copie eines von Na^jm u'd-Din abu'l-
Futuli Ahmed b. Muhammed ben \jj^ i (Sari oder Surri?, eines Autors
des XII. Jahrhunderts) von dem Autograph copirten Manuscriptes (s. Catal.
Lugd. V, 235 zu N. 1005, wo diese Stelle nicht benutzt ist; NicoU, Index
S. 668); dieselbe Copie wurde zuletzt collationirt mit einem Manuscripte,
das von abu Bekr al-Azrak, dem Bibliothekar und Schreiber Honein's
(Oseibia I, 187, 197) geschrieben worden. Es waren darin Glossen und
Verbesserungen von 'S&Yd (Richter von Toledo). Nach diesem Manuscript
wäre abu'l Hasan Ali b. Ja'hja (b.) Isa b. Ja'lga, ein Schüler Honein's,
der üebersetzer. Der Katalog bezieht die Worte „Schüler u. s. w.^ auf Ali
ben Jahja und identificirt ihn mit dem Mäcen abu'l- Hasan Ali ben Jahja
(ihn abi Mansur) ihn al Munedjdjim, gest 888/9 (Oseibia I, 205; Wüsten-
feld § 76; Steinschneider, Alfarabi S. 170; Polemische Literatur S. 76). Für
Letzteren verfetsste Honein eine Aufzählung der übersetzten und nicht über-
setzten Werke Oalen's (Oseibia I, 91 — 101); wahrscheinlich ist auch Ali ,
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100 Historiscb- literarische Abtheilang.
b. Ja'^hja, welcher Honein zum Islam zu bekehren snchte (Oseibia I, 200),
dieselbe Persönlichkeit. Auch abn'l- Hasan Ali b. Jal\ja, Klient des Emir
n'1-Mmnenim, welchem Costa b. Luca seine Einleitung zur Geometrie wid-
mete (Oseibia I, 245), dürfte derselbe seia.") Man könnte aber auch die
Worte „discipulus" etc. auf den Gross vater des üebersetzers Isab. Jahja
beziehen; aber Honein war ein Schüler des Isa b. Jahja b. Ibrahim (Fihrist
S. 297, n, 144, ein unvoUstftndiger Artikel, s. Virchow's Archiv, Bd. 52
S. 372), der eine Anzahl der Werke Galen's und Hippokrates' übersetzte»
Der Werth der ganzen Notiz ist sehr zweifelhaft, und man darf, ohne die
IJebersetzung selbst geprüft zu haben, nicht zwei verschiedene üebersetzungen
vermuthen (wie Loth in seinem Katalog es that). Wenrich (S. 182) ver-
muthet, dass Ishak der üebersetzer der Phänomena sei, ohne uns einen
Grund dafür anzugeben, wahrscheinlich, weil Ishak in den folgenden Num-
mern 3 und 4 als üebersetzer genannt wird. Die Bibliographen kennen
den üebersetzer des Buches nicht.
Der Commentator, welcher Wenrich (8. 189) unbekannt ist, wird in
dem Vorworte des Tusi (H, Kh. V, 113 N. 10289; VII, 1241 N. 8874)
Tabrizi genannt, richtiger Neirizi (s. § 3).
§7.
8. DieOptik^UJU^ibc^.l'^) oder ji^LuJI (Hagi Khalfa V, 159
N. 105 32). Dieses Mal haben Assemani und Casiri (I, 413) gaflz
unabhängig von einander die Optik in ein Buch der Proportionen
(o Lft^ Un«), welches nicht existirt, verwandelt; dennoch hat Wenrich (S. 183)
den Ursprung des Irrthums nicht entdeckt (Zeitschrift für Mathematik X,
408— *410; Heiberg 8.20). Die arabischen Bibliographen kennen den üeber-
setzer des Buches nicht. Das Manuscript Bodleiana, Uri 875, nennt als
üebersetzer Hon ein, dessen üebersetzung von Thabit b. Korra verbessert
wurde. Assemani (Med. 271 , 286) nennt ebenfalls Honoin; Wenrich setzt
dafür Ishak b. Honein. Die Manuscripte Berlin 559 Qu. und Leyden 976
(III 43, betitelt ^ «^^^ 0 sind anonym. Die Manuscripte India Office
743 und wahrscheinlich Lejden 977 (betitelt j^ ^ Wenrich S. 183) ent-.
halten ohne Zweifel die Redaction des Tusi. Averroes (ÜoUiget IE, 38 f,
54k ed. 1562) citirt das Buch Almendahat; dieses Wort ist wahrschein-
lich aus Manatsir entstanden I*^)
22) Hiemach wären die drei Artikel Ali b. Jabja im Autorenregister sn
Oseibia S. 86 zusammenzuziehen; vergl. unten S. 110.
23) Bedeutet auch Parallaxe; s. Caussin in Mämoires de Tlnstitut VI, 1822
p. 21, wo die Optiken von Ptolemäos, angebl. Euklid und Alhazen verglichen
werden.
24) Nachträglich finde ich dieselbe, sehr leichte Conjectur bei D. Kaufmann,
Die Sinne u. b. w. Budapest 1884 (aus dem Jahresbericht der Landesrabbiner-
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Euklid bei den Arabern. 101
Eine persische üebersetzang (aus dem Arabischen?) enthält eine Ha.
der Petersburger kaiserl. Bibliothek.^)
Eine hebräische üebersetznng (betitelt tir^D^ttfi Sj*)^), wovon mir 3 Hss.
bekannt sind, scheint nicht die einzige; die Hs. Mantua 3 ist abweichend
und bietet Varianten aus einer anderen üebersetsung. In einigen Hss. findet
man den Namen Thabit's. Vergleicht man diese üebersetzung mit der
graeco-latioa, Venedig 1557, so bietet sie bemerkenswerthe Verschieden-
heiten, besonders einen Prolog, in dem Euklid sagt, dass er seine Elemente
als Einleitung zum Almagest verfasst habe! Nach Curtze soll das Buch
de Visu ms. identisch sein, welches schon im XIII. Jahrhundert unter dem
Namen des Aristoteles angeführt wird. Man findet es auch unter dem Titel:
Über de Aspectibus, wahrscheinlich aus dem Arabischen übersetzt^ auch
nach der Meinung Leclerc's (II, 490).
In einigen hebräischen Manuscripten findet man nach diesem Stück
ein anderes, das D^^&hnn'D Buch der Aspecte (oder der Spiegel?).
Der Katalog der Pariser Bibliothek N. 1021.giebt Katoptrik an. Dieses
Stück ist verschieden von der griechischen Katoptrik, von der unter dem
Namen des Aristoteles citirten Perspective und dem lateinischen Buche
De Speculis, aber es scheint mit dem Buche De Speculis identisch,
welches dem Euklid beigelegt ist in dem lateinischen Manuscript 9335
der Nationalbibliothek, wo eine jüngere Hand „imo Ptolemei" hinzugefügt
hat Die dieses Buch betreffenden Forschungen V. Rose's (Anecdota II,
291, 295) sind nicht zur Kenntniss Wttstenfeld^s (Lat. üebers. S. 79)
gelangt.
Razi bestritt einige Figuren der Optik in einer Abhandlung über den
Modus des Sehens {j L^'^ MtV^), wie wir aus Oseibia (I, 316 Zeile 1)
erfahren; der Fihrist (S. 299 letzte Zeile) giebt nur den kurzen Titel;
Hammer (IV, 367 N. 16, 17) theilt das eine Buch in zwei.
Ibn Heitham verfasste ein Compendium der Optik, welches er Euklid's
und Ptolomäus' Werken entnahm, indem er den Inhalt des I. Buches,
welches in Ptolomäus' Buche verloren gegangen war, wieder herstellte.
Das sagt der gelehrte „Alhazen'^ selbst von seinem Werke (Oseibia II,
93; Woepcke, VAlg^bre d'Omar S. 74 N. 5). Bei Kifti (Casiri I, 416)
scheint entsprechend ^ h *■>■» ^^uJ I u-^ \X^ und J^ L^J f ? Wir finden bei
Oseibia (S. 98, Woepcke p. 75 N. 27) einen anderen Titel: „Abhandlung
über die Optik nach der Methode des Ptolemäus** ; im Artikel Heitham bei
Kifti findet man am Ende seiner Liste den Titel J^ L^ ' ^J Xcä. 1, das
ist das aus sieben Tractaten bestehende, berühmte Buch, bei Oseibia (11,
Schale) S. 108, wo Almendahar (aus einer anderen Ausgabe?). Ich habe Dr. Neu-
bauer gebeten, die hebräische üebersetzung des Colliget in der Bodleiana zu ver-
gleichen; er fand wirklich niKiön noan, arab. «niMaiK (8iel) ote.
26) In Dom's Katalog der Sammlung Khanykov (oder Chanykov) S. 40.
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102 Historisch -literarische Abtheilung.
97, Woepcke 1. c. p. 74 [II] N. 3). üeber den Commentar dazu in der
Handschrift zuLeydenlOU [HI, 61] 8. Wiedemann in Annalen der Physik,
1876 S. 657. Ausserdem erwähnt Oaeibia ein Problem (&Ai*«^ „Probleme s**
bei Woepcke 41). Wenrich (p. 189) nennt einen Commentar von Ihn
Heitham über die Optik (die Citate in der Note sind nicht geordnet), den
man bei Eifti nicht findet.
§8.
4. Data vs^ [Am* I ! — , das Buch wurde später auch <^Lbjj^\ ge-
nannt, ein Titel, den Thabit seinem eigenen Buche gegeben hatte (s.
Hagi Khalfa V, 154 N. 10528, wo — wie bei Kifti, nach Pihrist, Wenrich
S. 194 — ein solches Buch dem Archimedes beigelegt wird). Den ersteren
Titel findet man ebenfalls bei Hagi Khalfa V, 154 N. 10511 (H, 213).
Die Redaction des Buches Thabit 's (von Tusi) findet sich in Manuscript
Berlin 559 Qu. und Leyden N. 1029 (III, 72),
Vielleicht existirt das Bucli Euklid's in der alten üebersetzung und in
der Bedaction von Tusi (nicht mit einem Commentar des Tusi, wie
Wenrich nach Assemani angiebt). Es findet sich in den Manuscripten:
Berlin, India Office (Tusi?) und der Medicea (auch N. 273), welche
oben unter N. 2 und 3 erwähnt sind (§§ 6 und 7). Das Leydener Ma-
nuscript 978 (III, 44) enthält nur Auszüge (j^ Lac xXaj^ nämlich die Propo-
sitionen ohne die Demonstrationen.
Das Bodleianische Mb. nennt Honein als üebersetzer, das Mediceiflche
Ishak b. Honein; die Üebersetzung wurde von Thabit verbessert. Honein
wird in der hebräischen üebersetzung (tvurTan'o) des Jacob b. Machir
(Prophatius) genannt. Qerard von Cremona hat es lateinisch übersetzt
(Liste N. 16; Ledere II, 413; Wüstenfeld, Lat. Uebersetz. S. 62, S.Zeit-
schrift für Mathematik X, 468, 485; Heiberg S. 29).
§9.
5. Die Harmonik |i^ !, Tulgo „Musica^, ein untergeschobenes Buch.
— Ibn Heitham verfasste einen Commentar zu y^j^j^j^ ' {sic^ Oseibia
II, 98) in Form von Scholien. Woepcke (L'algdbre etc. p. 76 n. 86)
vermuthet, dass es die Harmonik des Euklid sei? Diese Notiz ist Heiberg
(S. 99 und 55 flgg.) entgangen.
6. Buch der Section lU-wJÜ I (^diat^iastg) ^ von Thabit verbessert.
Der Pihrist erwähnt den üebersetzer nicht. Diese Schrift über die Section
der ebenen Figuren, welche sich in dem Pariser Manuscript suppl. ar. 952
findet, wurde von Woepcke in dem Journal Asiatique 1851, S. 233 flg.
übersetzt. Heiberg, der strenge Kritiker, erkennt nicht allein (S. 14, 36 flg.)
die Echtheit dieses Werkes, sondern auch seine Vollständigkeit an. Das
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Euklid bei den Arabern. 103
Bach de diyisionibus superficieram Machometis Bagdadini
(ein nach Dee unbekannter Autor des X. Jahrhunderts , der im Register
Wenrich's fehlt, s. S. 183), von Dee (im Jahre 1570 u. s. w.). lateinisch ver-
öffentlicht, deutsch von Ofterdingen, ist nach Heiberg (S. 13) eine unab-
hängige Schrift, welche dem Buche Euklid's Manches entlehnt.
7. Canon (musikalisch, sectio Canonis). Ihn H ei t harn verfasste
einen Commentar zu dem „Canon'' in der Form von Scholien, welcher
nach einem Commentar zu der Arithmetik (von Nicomachus?) und nach dem
Commentar über die Harmonik genannt wird. Wenrich (S. 189) führt
diesen Commentar nach Kifti (bei Casiri I, 416) an; Woepcke (VAlgöbre
etc. S. 76 n. 85, Oseibia S. 98) nwmt Euklid als Conjectur.
8. Vom Schweren und Leichten XA^vJI^ JJUJ 1^ unter einem
längeren Titel in dem Manuscript India Office 744,^ (Loth p. 217) f.
98 — 101; danach hätte Thabit die Uebersetzung, deren Verfasser nicht
genannt ist, verbessert. Diese Schrift ist das Original des „De levi et
ponderoso'' (ed. Basel 1537, 1546, 1558, Oxford 1703, französisch
1565); wenigstens stimmt der Anfang im Arabischen und im Lateinischen.
Heiberg läugnet die Echtheit, ohne ein Manuscript zu kennen«
9. Wir reihen daran eine kleine, damit in Verbindung stehende Ab-
handlung.
Abhandlung über die Waage ^ ' jtV^ ' ^^, von Woepcke in dem Jour-
nal Asiatique, 1851 t. XVIII S. 252, veröffentlicht und übersetzt nach dem
Manuscript suppl. arabe 952. Der Anfang stimmt überein mit dem Hb er
de Ponderibus, welches in einigen Manuscripten Euklid beigelegt wird,
und imter dem Namen des Jordanus Nemorarius gedruckt, mit de
Canonio (Pariser Manuscript 8680 A) identisch ist. Die arabische Ab-
handlung wird anderweitig den Beni Musa b. Schakir (drei Brüdern)
beigelegt; nach Curtze und Hei borg ist diese Beilegung vorzuziehen^ und
das Buch des Thabit über die Waage („Karastun^* genannt) ist nur eine
Erweiterung derselben Abhandlung, üebrigens hat ihn Heitham ebenfalls
über Karastun geschrieben, ein Wort, welches nicht von dem persischen
Worte Farastun. sondern vielleicht vom griechischen %ctQiaxl(ov abzuleiten
ist (Hebräische Bibliographie XXI, 39).
10. Hagi Ehalfa (II, 311 N. 1063) nennt Euklid als Verfasser einer
Traumdeutekunst (y^^); man findet ein solches Buch von Euklid
weder im Pihrist (S. 312), noch bei Wenrich.
Man kann diese Notiz nicht als Beweis für das Vorhandensein eines
dem Euklid untergeschobenen Buches gelten lassen; noch weniger darf man
sie gegen die alten arabischen Quellen im Allgemeinen geltend machen,
wie Heiberg (S. 9) es thut, in Verbindung mit der Thatsache, dass der
Pihrist die Harmonik als untergeschoben bezeichnet, was im Gegentheil be-
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104 Historisch -literarische Abtheilung.
weist, dass die Araber nicht durchaus falsch berichtet waren und dass
man nicht alle Unterschiebungen in Bausch und Bogen auf ihr Conto
setzen darf.
Anhang L
Tidexis.
Den Commentar des Entocius über das Werk des Archimedes von
der Sphftre und dem Cjlinder beschränkt Fihrist (Artikel Eutocius p. 267,
Kifti bei Casiri I, 383) auf das L Buch. Darauf folgt der Titel einer Schrift
von Entocius: nüeber die zwei Linien, welche (die Materie) behandelt nach
den Beden der geometristischen Philosophen, übersetzt von Thabif [b.
Eorra]. Dieser unklare Titel erhftlt seinen vollen Sinn durch die üeber-
schrift der in der Pariser Hs. suppl. ar. 952,^ erhaltenen Abhandlung,
nämlich j,üeber die zwei Linien zwischen zwei anderen, übersetzt von abu*l-
Hasan Thabit^ etc. Diese Abhandlung ist aber nichts Anderes; als ein
Fragment des Commentars von Eutocius über die dritte Proposition des
zweiten Tractats yon Archimedes. In der Zeitschrift fttr Mathematik (X,
491) habe ich schon die Identität dieses Fragmentes mit dem Manuscript
955 des Escurial erkannt, welches nach Casiri (I, 382) den Commentar
des Eutocius über den ganzen zweiten Tractat enthalten solL Wenrich
(S. 197 unter Diokles und ,|8umidas^) hat sich bemüht, die Verstümmelungen
der Namen, welche Casiri giebt, zu verbessern, ohne einen Blick auf den
gedruckten Text des Eutocius zu werfen. Woepcke (F Algöbre d'Omar S. XII)
führt die Namen der elf Geometer; deren Problemlösungen von Eutocius
mitgeiheilt werden, richtig an, nämlich: Heron, Philon, der Byzantiner,
y^^j/»^ i; den wir bei Ehazin gefunden haben, bei ihn Awwam in Phi-
16mon verstümmelt,^) Apollonius, Diokles (kj^^*^), Pappus, Sporns,
Menechmes, Eratosthenes, Plato, Archjtas, Nikomedes ( j^ ^ <^^^*^, bei
Casiri \j^ ^^^ii^j^j*
unter diesen Namen giebt es einen, der uns dazu dienen wird, eine
räthselhafte Person (Ledere II, 523, vergl. I, 226, II, 413; Wüstenfeld
S. 62) zu erkennen.
Tydeus oder Thideus, oder „Tideus fil. Theodori" a uegoiu (?)
medicus, oder selbst Archimenides (= Archimedes , welcher daselbst an-
geführt wird), ist der Name des Verfassers einer kurzen Abhandlung, be-
titelt: de Speculis comburentibus; in einem Baseler Manuscript wird
hinznflfefü$rt „vel de sectione mukesi^, was man mukefi lesen muss
(^l-^l f^), d. h. parabolische Section, z. B. in einer besondem Ab-
26) ^^J^ ' erscheint im Pihrist (IT, 206 Index) als Namen eines Arabers.
Ueber den Pneumatiker Phüon (H. Eh. I, 401) s. V. Rose, Anecdota II.
/Google
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Euklid bei den Arabern. 105
handlnng des Thabit (Pariser Ms. Snppl. arab. 952 n. 25, yergl. 24, unten
8. 110). DasBucb des Tideus wird in der Liste der üebersetzungen des Oerard
Ton Cremona erwähnt Wir haben in dem Werke des Ebazin den Namen
^j^ (anstatt u^*^>p) gefunden fttr den Verfasser eines Buches ^
^j^^ Uj;^ über die Brennspiegel. Eutocius fdhrt in seinem
Commentar den Diokles an als Verfasser des Buches m^i nvgtimv, ein Titel
den man nicht zu erklären weiss; Cantor (Vorlesungen, S. 306) übersetzt
ihn durch Feuerzeug. Nun, dieses Mal werden die Philologen die Be-
deutung eines griechischen Titels von den Arabern lernen. Das Buch des
Tideus ist nur die Stelle des Eutocius, welche von Thabit arabisch und von
Gerard lateinisch übersetzt worden ist. Vielleicht existirte die Stelle des
Diokles in dem Manuscript 426/* des British Museum vor ApoUonius;
denn das Epigraph erwähnt das Buch der Brennspiegel; der Katalog (S. 208)
bebt diese sonderbare Erwähnung nicht hervor.
Wir wissen nicht, wer Diokles als Arzt bezeichnet hat; er vdrd im
Fihrist (S. 287 Z. 4) erwähnt (die Seitenzahl ist im Index verdruckt) , auch
im Continens des Razi, wo die lateinische üebersetzung (Leclerc I, 262)
Theophil nennt.
Wir kennen keine andere Quelle betreffs der Üebersetzung des ganzen
zweiten Tractats von Eutocius, mit Ausnahme einer sweifelhaften ^otiz in
einer hebräischen Handschrift über das Vorhandensein der beiden Abhand-
lungen, ohne anzugeben, ob sie in arabischer oder hebräischer Sprache ge-
schrieben sind. In dem Katalog der Bücher der Medic. Bibliothek, welche
Jean Bapt. Raymond drucken wollte (edirt von Labbö und von Libri, Eist
des mathem. I; 227, vergl. IV, 73), heisst es: ;,Eutocius Comm. in libros
Archimedis de sphaera^ u. s. w.
Anhang IL
ArabiBohe Gelehrte, welohe Euklid stadirten.
1. Abu Abd u'1-Malik at-Thakafi, ^yuui i (Ende des X. Jahrb.,
Oseibia II, 46; Sakafi bei Hammer VI, 477 N. 6005; Thaquifi bei Leclerc
I, 425) studirte Euklid.
2. Abu*l-Fadhl Muwajjid u'd-Din Muhammed ben Abd i'l-Kerim
etc. in Syrien wird selbst el-Muhendis (der Geometer) genannt; bei H.
Eh.1, 227 (VII, 1069 N. 2604) ist ihn Mohendis wahrscheinlich durch
Ueberspringung der anderen Namen zu erklären und die Combination ihn
al. Mohendis bei d'Herbelot (s. unten) und Wüstenfeld (Aerzte S. 120 N. 209)
unberechtigt. Letzterer lässt ihn ^um 620 IL (1223)'' leben, nach Oseibia
(II, 190; bei Hammer VII, 467 unter Qeometern, Leclerc II, 162)| starb er 599H.
(1202). Er war ursprünglich Zimmerer in Damaskus und studirte Euklid^ um
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106 Historisch • literarische Abtheilang.
sich zu yerrollkommnen, unter den hier folgenden Oelehrten. Diesen, bei d'Her-
belot (in, 492 der deutschen Ausg., nach H. £3i.) genannten Arzt identificirt
Alb. Haller (Biblioth. botan. I, 205, Biblioth. med. p. 417) mit dem VerfiAsser
der Pariser arab. Hs. 1032. Leclerc fragt, ob er der von Claus Celsius genannte
abu'l-Fadhlsei; diese Frage war yielleicht besser angebracht bei dem be-
kannteren jüdischen Arzte Abu'l-Fadhl Sedid u'd-Din Daud etc. (Leclero II,
218), über welchen s. Oseibia II, 118 und Hebr. Bibliogr. XIII, 61 flgg.
3. Seheref u'd-Din Tusi, Mutsaffir ben Muhammed b. Mutsaffir,
von welchem zwei Schriften in Leyden erhalten sind , die eine vom Jahre 606 H.
(1209/10), figurirt höchst wahrscheinlich im Index zu H.Kh. unter den zwei
Artikeln N. 6593 und 8279 (s. Hebr. Bibliogr. XVI, 11). Er war eine Art
von Wanderlehrer in Mathematik, auch in Euklid's Elementen, und wird
meist nur gelegentlich unter seinen Schülern genannt. Er lehrte in Mossul
und Tus den Muhaddsib u'd-Din Ahmed ben el-''Hadjib (Oseibia II,
182, Leclerc II, 46, fehlt bei Hammer), in Haleb den jüdischen Schröpfer
[yjPk j-^ ^, vergl. abu Zeid Ahmed esch-Schureiti, bei Hammer, Encykl.
üebers. 8. 252, Shoruti im Index von H. Kh. VII, 1253 N. 9382, und
"^xi^ms 13K in der Erzählung in Cod. Fischl 15], dessen voller Namen
abu'l-Fadhl Benjamin (s. Hebr. Bibliogr. XVI, 10, offenbar identisch
ist der Astrolog abu'l-Fadhl el- Israeli bei Oseibia II, 144 Z. 3 unter ibn
al-Dakhwer; die Stelle fehlt bei Hammer VII, 734 und Leclerc II, 179); in
Damaskus lehrte er den, oben unter 2 genannten abul-Fadhl, unter wel-
chem ihn Oseibia als vorzüglichen Mathematiker bezeichnet. Er verbesserte
das Astrolab, und seine Abhandlung darüber wurde von seinem Schüler in
Mosul, dem hier folgenden Autor, herausgegeben. Hammer VI , 434 unter-
schiebt dem ibn Ehallikan, dass Tusi zuerst über das Astrolab überhaupt
geschrieben habe. (So ist H. B. 1. c. zu berichtigen.) Slane (üebers. des
ibn Khallikan III, 472) konnte keine Nachricht über diesen Tusi finden,
was wohl unsere Ausführlichkeit rechtfertigt.
4. Eemal u'd-Din abu Imran, oder abu'l-Fat'h Musa ben abu'l-Fadhl
ibn Junis, in Mossul geb. 1156, gest. 1242, war Arzt, Philosoph und aus-
gezeichneter Mathematiker, Schüler des Tusi (N. 3); er soll Juden und
Christen über das alte und neue Testament belehrt haben ! (s. Hebr. Bibl.
XVI, 21) soll „die Schwierigkeiten des Euklid und Ptolemäus, wie Keiner
seit al-Farabi gelöst haben^ (Hammer VII, 463, nach Sobki). üeber ibn
s. Oseibia I, 306—308, II, 404; Wüstenfeld, Aerzte, § 229; Hammer VII,
455, 458, 462, 466, vergl. VI, 432; Leclerc II, 144.
An diesen Gelehrten knüpfen sich Nachrichten, die meines Wissens noch
unverwerthet sind. Leclerc citirt aus Eazwini, dass zur Zeit des Malik el-
Kamil „les Francs demanddrent en Syrie la Solution de questions de mSde-
eine, de phdosophie et de mathematiques*'. Es handelte sich darum, ein
Quadrat vom Flftchenraum eines Kreissegments herzustellen. Eemalud-Din
allein löste das Problem. Der vollständige Oseibia berichtet über denselben
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Euklid bei den Arabern. 107
Cregenstand nach der EneftUung eines Schülers des Mnsa. Die Fragen
über Astronomie und Anderes kommen durch einen (Gesandten des j^j*^
(Elibemr = Empereur) , des Beherrschers der Franken (= Christen) zunächst
an den Herrscher von MossoL Der Kaiser ist ohne Zweifel Friedrich IL, der
philosophische Fragen an den Muselman ibn Sab'in schickte (s. Joum. Asiat.
1879, t. XIV p. 430 flgg., vergl. Hebr. Bibliogr. 1881, S. VII zu S. 35).
Der „Philosoph** Friedrich's richtete mathematische Prägen an den ISjfth-
rigen Juden Jehuda ben Salomo Eohen in Toledo, und dieser an jenen,
in arabischer Sprache. Jehuda übersetzte einen Theil seiner Correspondenz
hebräisch, und ich besitze eine Copie dessen, was davon Jehuda * seinem
grösseren Werk einverleibte, worin auch eine Bearbeitung Euklid*s
enthalten ist. Der Philosoph verlangte die Construcüon der fünf Körper auf
einer gegebenen Kugel und umgekehrt, Jehuda beginnt seine Antwort mit
einer Hinweisung auf Euklid. Am Schluss bemerkt Jehuda, der Kaiser
habe sich über seine Antworten sehr gefreut. Zehn Jahre später kam Jehuda
nach Italien und sah den kaiserlichen Hof, dessen Qelehrte u. s. w. ^AUes
hängt vom Glücke ab!^ ruft er aus. Jehuda arbeitete sein grosses encjklo-
pädisches Werk 1247 in Toscana aus.
In jenem Philosophen habe ich entweder Job. Palermitanus , der an
Fibonacci Fragen stellt, oder den, anderweitig genannten, aber sonst wenig
bekannten Theodorns vermuthet (Hebr. Bibliogr. VII, 63, VHI, 41; D
libro di Sidrach [Estratto dal Buonarroti, Boma 1872] p. 12;*^) vergl. üa-
rini's Artikel, Sülle scienze occulte ecc. in der Bivista Sioula VII, 1872
p. 152, 468, 472). Im Libro di Sidrach heisst er „Codre, der Philosoph
aus Antiochien*'. Ungefähr um das Jahr 1184 („/$ %uä,Md^ drückt nicht
eine genaue Zahl aus) war ein christlicher Gelehrter nach Jerusalem ge-
kommen, der „antiochische Philosoph^ genannt y"^) welcher in Antiochien
einiges von den ,, Wissenschaften der Anfänge''^) und Anderes studirt hatte.
Sein Haus machte er zu einer Art von Kirche und lehrte dort den Christen
Jakob ben 'Saklan (oder ''Saklab) Philosophie und Medicin.
Später (p. 143, bei Leclerc II, 145) erzählt Abulfaragius von einem
Jakobiten Theodorus, einem Schüler des (unter 4 genannten) Musa, der ihn
27) Zu der Bemerkung über Antiochien (welche Wüstenfeld, Lat. üebers.
S. 24 entging) vergl. auch Catal. Codd. er. Lngd. Bat. III, 210 N. 1275, wonach dort
ein alchemiBtisches Werk verfasst sein soll.
28) Kifti unter Jakub (Ms. Berlin 493 Fol. f. 161) nennt den Namen Theo-
dorus nicht, welchen Leclerc ü, 169 (aus Abulforag?) angiebt (Hist. Dynast, latein.
von Pocock, p. 816, wo auf die nachfolgende SteUe [p. 841] verwiesen ist).
29) Ueber die Bedeutung dieses Ansdrucks (weiter unten: veteri« clisotplmis)
8. B. Gosche, Die Eitab al-awatl, in Festgabe lur XXV. Yersammlnng deutscher
Philologen a s. w., Halle 1867; dazu Said imFihrist S. 171; Akhbar al-Awail bei
H. Kh. I, 186 N. 188 ist jedoch wohl nicht historia primordiorum rerum zu über-
setzen, sondern auf Menschen zu beziehen? Vergl. auch Lathaif n'l*Maarif von
Thaalebi, ed. de Jong, Leyden 1867. ^
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108 Historisch -literarische Abtheilnng.
in Mosnl n. A. in EaUid und Ptolemftus nnterriohtete. Theodoms hatte
in Antiochien syrisch und lateinisch, auch etwas „e yetemm disciplinis **
gelernt, stadirte Medicin in Bagdad u. s. w. Der Sultan Ala u'd-Din nahm
hn nicht sehr gtlnstig auf, auch des Fürsten Constantin von Armenien
Behandlung stellte ihn nicht zufrieden.^) Das Zusammentreffen mit einem
Gesandten des „ Imperator'*, Königs der Franken (Leclerc erkennt hier
Friedrich II.) veranlasste ihn, sich zu diesem Fürsten zu begeben, der ihn
mit Wohlthaten überhttufte und ihm die Stadt „üamahya*^ (?) nebst Terri-
torien überwies. Obwohl es ihm hier wohl ging , veranlasste ihn doch der
Wunsch, die Seinigen wiederzusehen, ohne oder gegen den Willen seines
Beschützers, sich auf den Weg nach Acco (St. Jean d'Acre)'') zu begeben;
aber ein Zufall trieb das Schiff in einen Hafen, wo er dem Fürsten zu
begegnen erwarten musste; Scham, nicht Furcht eines üblen Empfanges,
meint Abulpharag, trieb ihn zur Selbstvergiftung.
Die Quelle Abulpharag' s ftbr die letzten Details ist noch aufzusuchen,
vielleicht ist er hier weniger als sonst von al-Kifti abhängig, üeber die
Identität der Persönlichkeit des „Philosophen aus Antiochien'* kann wohl
kein Zweifel obwalten ; hingegen sind vielleicht die Einzelheiten und Daten
nicht überall correct. Die Begegnung mit dem Gesandten böte sieh am
einfachsten während seines Studiums in Mosul unter Kemal ud-Din, was
aber nicht zu den anderen Details bei Abulpharagius passt. Die letzte Kata-
strophe erklärt sehr gut, warum die occidentalischen Quellen nichts Näheres
über ihn wissen. Vielleicht wurde die Nachricht von dem weiter segelnden
Schiffe nach dem Osten gebracht — wenn hier überhaupt Facten und nicht
Sagen vorliegen.
5. Emir ed-Daule (Din) abu'l Faradj ben Muwafiak e'd-Din Jacob
b. Ishak^) ihn el-Koff, ein christlicher Arzt und Schüler Oseibia's, bil-
det den letzten Artikel der Geschichte der Aerzte, ergänzt nach dem Tode
des Verfiassers, nach welchem ibn el-Roff am 2. August 1233 geboren ist
(Leclerc II, 203 hatte den Artikel nicht vor sich). Das Todesdatum
(Djumada I, 685 = 1286), in Klammer zugesetzt hei H. Kh. (s YII, 1206
N. 2441) und bei Wüstenfeld (Aerzte S. 146 N. 241) u. s. w., habe ich
(Hebr. Bibliogr. XV, 85 und Ptolemische und apologet. Lit. S. 101) als ver-
dächtig bezeichnet, weil es von dem bekannten Abulfaragius herübergenommen
sein könnte, welcher in neuerer Zeit mit ibn el-Koff verwechselt worden,
und der im Djumada II. desselben J. gestorben ist. Der Verdacht ist aller-
dings geringer nach dem Znsatz zu Oseibia, aber nicht ganz beseitigt.
SO) VoD einer ADBtellung bei diesem Fürsten (Leclerc) steht nichts im
AbulfEirag.
31) Leclerc übergeht diesen Ort.
82) Der tmyollständige Namen bei d'Herbelot hat Wolf (Bibl. hebr. III, 578
N. 1209) verleitet, in ihm einen Juden zu vermuthen.
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Euklid bei den Arabern. * 109
Von ibn el-Eoff erzählt Oseibia (II, 273), dass er Euklid beim Scheikh
Muwajjid ed-Din «^^^^i gelesen habe. Letzterer ist ohne Zweifel
der Astronom aus Damaskus, welcher zu den bekannten Beobachtungen in
Meraga (um 1260) zugezogen wurde, und selbst astronomische Tafeln ver-
fasst haben soll; den Namen liest Flügel (H. Eh. III, 561, 562, 567
N.6956, VII, 1178 N. 6648) al-Ordhi, Sedülot zu Oloug Beg (p. XIC
und CLIV N. 99) Oredhi. Greaves hat die Variante Farad i {^^j^ U
d. h. einer , der sich mit der Wissenschaft der Erbrechung beschäftigt), welche
bei diesem Namen nicht selten ist (s. z. B. H. Kh. VII, 822 zu IV, 408,
IV, 272 N. 8392, VII, 804. VII, 1080 N. 3330, m, 217 s. VII, 1246
N. 9091).
Ob in dem Namen Ali ben Safd ^^^^^^^xJS^ im Fihrist 8. 286, wel-
chen Hammer (IV, 319 N. 20) al-Oklidesi liest, etwa eine Beziehung zu
Euklid liege, lasse ich dahingestellt; es dürfte ein Ortsnamen sein.
Nachtrage.
Während das Manuscript dieses Artikels sich in Händen der Bedaction
befand, ergaben sich mir noch einige hierher gehörende Thatsachen. die
ich hier, während der Correctur, kurz angebe, indem ich die Begründung
theilweise einem andern Orte vorbehalte.
S. 91 § 5. Erklärungen von ibn Äflah (Djabir, aus Sevilla, bekannt
als „Geber") enthält die hebr. Hs. 747 Qu. (neuer Erwerb) der k. Biblio-
thek in Berlin.
S. 95, 96. Ueber das Zeitalter des Samarkandi, und ob es zwei Mathe-
matiker dieses Namens gebe, kann hier nicht mehr gesprochen werden. Einen
Commentar zu seiner Schrift enthält auch die Bibliothek Mulla Firuz
(Katalog von Behatsek S. 3).
S. 96. Ibn abi 'l-Sohukr, Mu hji u'd-Din Jalija b.Muhammed (X. Jahrb.),
redigirte die Elemente ; s. meine Note zu Baldi p. 90 und Sammlung Land-
berg in Lejden N. 459 (Katalog p. 134). üeber ihn vergl. Usener, Ad
historiam astronomiae Symbola, p. 16. Mehr anderswo.
S. 97. Assemani zu Med. 277 (p. 386) lässt sogar Tusi, nach einer
Angabe des Abschreibers, sein „Compendium^ im J. 698 H. (1298!) voll-
enden.
S. 98. Ein anonymes Compendium, mit hebr« Lettern geschrieben,
in Paris N. 1099, ist noch nicht näher untersucht.
S. 99 §6. Nadjm u'd-Din etc. ist der nach 1145 gestorbene Arzt,
genannt ibn ''Sala^'h, s. Oseibia II , 164figg., wo im Lobgedicht S. 166 Z.5
eine Anspielung auf Euklid. Mehr über ihn als Mathematiker anderswo.
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110 Historisch -literarische Abtheilung.
S. 100 A. 22. Auch in den Autorenregistem zum Fihrist und zu
Hagi Ehalfa ist Ali übel weggekommen, was hier zu weit führen würde.
S. 104, 105, Ihn Heitham verfasste eine Abhandlung über den Raum-
inhalt (Mesalia) des parabolischen Körpers (al-Mudjassam al-mukafi),
worin er erwtthnt, dass Thabit b. Eorra und abu Sahl al-Kauhi (s. oben
S. 94) darüber geschrieben haben, die Schrift des Ersteren weitläufig und
schwierig -(schwer verständlich) sei, die des Letzteren nur die leichteren
zwei Arien behdndle; s. Loth*s Gatal. India Off. p.213 N. 734, XL Ich habe
dieses Ms. kurze Zeit für meine Abhandlung über das astronom. Werk des
ihn Heitham (in Boncompagni's BuUettino, 1884) benutzt.
S. 107. In der Ars venandi, Ms. Digbj 152 in der Bodleiana liest
Macray (Eatal. 1883 p. \Ö2) ,,Theodoti phüosophi imperatoris*' ft^r Theodori.
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Recensionen.
Leitfeulen der ebenen Oeometrie mit über 700 üebnngssätzen und -Auf-
gaben. Bearbeitet von Dr. Julius Eober, Director der Bealschule
in Grossenbain. Mit in den Text gedruckten Figuren. 2. Auflage.
Leipzig, Druck und Verlag von B. G. Teubner. 1884.
Das Bücblein ist 86 Seiten stark und enthält auf diesem engen Baume
ein reiches Material. Insbesondere ist der Aufgabensammlung vom Verfasser
Aufmerksamkeit geschenkt. Das Buch zeichnet sich gerade in dieser Rich-
tung vor vielen ein ähnliches Ziel verfolgenden Lehrbüchern durch Reich-
haltigkeit und zweckmässige Anleitungen aus.
Der Inhalt ist der gewöhnliche, durch die Anforderungen des Lehr-
planes im Allgemeinen feststehende Lehrstoff. Bezüglich der Anordnung
weicht der Yer&sser vom Herkommen dadurch ab, dass er die Lehre vom
Kreise hinter die Lehre von der Ausmessung der Figuren und die Aehn-
lichkeitslehre zurückschiebt. Vielleicht namens der „Logik^. Doch scheint
Herr E., laut Vorrede, beim Gebranch des Buches auch auf eine anders
geordnete Durchnahme des Buches hinreichende Rücksicht genommen zu
haben.
Im Einzelnen seien mir die nachstehenden Bemerkungen gestattet
In der Parallelentheorie spielt die „Richtung" und der „Richtungs-
unterschied*' eine nach meiner Meinung nicht berechtigte Bolle. Ich habe
meine abweichende Ansicht in dieser Zeitschrift an früherer Stelle bereits
zu begründen versucht. S. 16 ist vom Anlegen des Winkels an eine
Gerade die Rede, obschon die betreffende Construction erst S. 31 gelehrt
wird. Ebenda wird als zweiter Gongruenzsatz die Bestimmtheit des
Dteieeks durch zwei Seiten und einen Winkel aufgestellt Dieser Satz
hat nach Herrn E. zwei Fälle: Das Dreieck kann bestimmt sein durch
b, Cy a oder durch d, h^ a (!). Diese Auffassung kann Referent durchaus
nicht theilen und hält die Tendenz, zwei grundverschiedene Dinge durch
äussere Uebereinstimmung in Eins zusammenschweissen zu wollen, für eine
namens der „Logik'' an der Geometrie verübte Gewaltthai S. 24 ist die
Dejßjiition des Parallelogramms anscheinend nicht ganz glücklich; S. 29 ist
die Erklärung der MitteUinie des Paralleltrapezes etwas auffallend und vom
Herkommen abweichend, aber durch die Analogie am Dreieck vollkommen
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112 Historiscb' literarische Abtheilang.
geschätzt Die Aehnlichkeit wird auf nur zwei Seiten, 45 und 46, erledigt.
Das erscheint, selbst unter Erw&gung der früheren Yorbereitungssfttze, doch
wohl etwas kurz und dürftig. S. 54 ist die durch den Berührungspunkt
begrenzte Tangente einfach als Tangente bezeichnet. Sollte da nicht
namens der „ Logik ^* eine Erklärung auf S. 50 wünschenswerth sein? Auch
hat Referent der Fassung des Satzes von der Potenz am Kreise S. 57
keinen rechten Geschmack abgewinnen können. Es scheint mir anschau-
licher, die Figur durch den Ausspruch entstehen zu lassen, etwa: „Zieht
man durch einen Punkt Gerade, welche einen Kreis schneiden u. s. w."
Wünschenswerth erscheint mir femer dringend , dass der Wortlaut der Sätze
10 und 11 S. 81 geändert werde. Auch weiss ich nicht, ob man beim
Vortrag des Apollonischen Tactionsproblems sagen soll: ,, Der Punkt /^ wird
von dem Kreise berührt." Freilich, Kreise und Gerade werden „berührt",
warum nicht auch Punkte? Die Majorität mindestens ist gesichert. S. 76
mangelt die Discussion der negativen Wurzel der Gleichung a^ + ax=^hc.
Wollte Referent dem Leser die Möglichkeit verschaffen, sich über die
reichhaltige, wohlgeordnete und zweckmässig vertheilte Aufgabensammlung
ein eigenes Urtheil zu bilden, so bliebe kaum etwas Anderes übrig, als
Abschrift einzelner Partien. Ich hebe hier nur Weniges hervor. Sehr an-
sprechend sind die Winkelberechnungen 8. 1 1 und 13. Kurz und klar be-
handelt Herr K. S. 31 die „Fundamentalaufgaben 'S Die Fruchtbarkeit des
Pjthagoräischen Satzes erscheint sehr angemessen durch die Ableitung der
Heronischen Formel S. 42 sofort nachgewiesen. Inhaltsreich sind die Auf-
gaben S. 59 — 63. Die Behandlung der geometrischen Aufgaben durch al-
gebraische Methoden S. 75flgg. ist klar und lehrreich. Gleiches Lob kann
dem in den „Anhängen'' über Pol, Polare, harmonische Theilung, Maxima
Enthaltenen zuerkemnt werden. Das Buch schliesst mit dem Apollonischen
Tactionsproblem.
Das Buch kann bestens empfohlen werden.
Coesfeld, im Juli 1885. K. Schwerino.
Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie mit Uebungsstücken
für höhere Lehranstalten. Von Dr. Th. Spiekgb, Professor am Real-
gymnasium zu Potsdam. Potsdam 1885, Verlag von Aug. Stein.
8«. 134 S.
Das vorliegende Buch zerfällt in zwei Curse, von denen der erste die
ebene, der zweite die sphärische Trigonometrie behandelt Der erste Cursus
enthält sechs Abschnitte, welche der Reihe nach die Winkelfunctionen, die
Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks, die geometrischen Grundformeln,
die trigonometrische Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks aus einfachen
Stücken, die trigonometrische Analysis und endlich die Berechnung der Vier-
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Becensionen. 113
ecke und Polygone behandeln. Jeden Abschnitt begleiten zahlreiche und
gut gewählte Uebungsaufgaben.
Das Buch ist in leserlichem Deutsch geschrieben und bietet die Fülle
seines Stoffes in anmuthiger Ausführlichkeit dar, ohne irgend durch Breite
zu ermüden. Das sind zwar nur formelle, aber darum keineswegs unwich-
tige Vorzüge. Es will dem Referenten sogar scheinen ; als lege man den-
selben in Deutschland noch immer nicht die Wichtigkeit bei, welche sie in
Wahrheit verdienen. Französische Elementar -Lehrbücher, welche mir kürz-
lich vorgelegen haben, zeigen, dass man jenseits der Vogesen weniger an-
spruchslos ist als bei uns.
Die Einleitung liefert eine kurze, aber vollkommen zweckmässige Ge-
schichte der Trigonometrie.
Der Verfasser richtet sich in der Ableitung der Functionen stumpfer
u. s, w. Winkel nach dem Herkommen. Das bedauert Beferent aufrichtig.
Es ist wirklich nicht abzusehen, warum man den Oedanken, der bei der
Herleitnng der arithmetischen Sätze unabweisbar geworden ist; nicht auch
in der Trigonometrie verwenden will. Durch dies zunächst rein formelle
Verfahren wird das Azenkreuz und die Projectionslehre nicht über-
flüssig. Kein vernünftiger Lehrer wird auf die Anschauung verzichten,
wenn er auch froh sem wird , den Ballast zu entbehren , den die Additions-
theoreme sonst, s. S. 32 flgg., zu schleppen haben. S. 15 und wieder S. 35
erscheinen Doppel Vorzeichen , z. B. «»«r = + j/l — cos^Oj während doch Auf-
schluss gegeben werden kann, wann jedes derselben zu ertheilen isi Dieser
Hinweis, wenn auch nur an einer Stelle und so kurz wie möglich, darj
nicht fehlen. S, 13 ist sehr schön die Aufgabe: Gegeben a^tifha^ behan-
delt. Die erste Lösung schliesst sich an die geometrische Gonstruction an,
während die zweite rein analytisch vom Cosinussatz und ah^^bceina aus-
geht. In der ersten konnte der Herr Verfasser sogar noch einen Schritt
weiter gehen , da man leicht den Hilfswinkel <p in der Figur nachweisen
und so ohne irgendwelche Rechnung zur Lösung C08{y — ß) .sin<p = 8in{a — gi)
gelangen kann. Man hat zu diesem Zwecke durch B und 0 den Kreis zu
legen, welcher den Winkel <p fasst, durch B den Diameter BE und die
Sehne BÄF zu ziehen. Dann ist
Trefflich sind auch die vier den Congruenzsätzen entsprechenden Aufgaben
behandelt. Die Reihenfolge richtet sich glücklicherweise nicht nach der
„Logik", sondern nach trigonometrischen Thatsachen. Bei der vierten
Grundaufgabe a, &, /3 kann man auch den Gosinussatz &' = c^ + a' — 2ae
X cosß zur Lösung verwerthen und das Resultat geometrisch aufsuchen und
discutiren.
Der zweite Cnrsus behandelt in drei Abschnitten das sphärische
Dreieck (geometrisch), die trigonometrischen Grundrelationen (Gauss,
HUt- m.Abtblg. d. Zeitaohr. t Math. n. Phys. XXXI, 3. 9 ^ by CjOOQIC
114 Historisch- literarische Abtheilong.
Napier) und die um- und eingeschriebenen Kreise, nebst dem Inhalt des
Dreiecks.
Das Buch ist sehr zu empfehlen.
Coesfeld, im Juli 1885. K. Sohwbrino.
L. SoKNENBüRG, Analytische Vntersnohungen ftber ein Problem der Dyna-
mik. (Inaugural- Dissertation.) Bonn, 1884 '
Auf einer (Geraden soll sich unter der Einwirkung einer Centralkraft
eine Strecke bewegen , welche an einzelnen Punkten mit Masse behaftet ist
Der Punkt, in welchem die Kraft wirkend gedacht wird^ gehört als einziger,
fester Punkt der Geraden an. Dabei wird vorausgesetzt, dasa die Kraft
nach einer Function der Entfernung auf jeden der Massenpunkte wirkt;
durch specielle Annahmen dieser Function werden die Bahnen der Be-
wegungen abgeleitet, deren das System der Massenpunkte f&hig ist.
B. Nebel.
F. ÜPPENBOBN, Das internationale elektrische Maasssystem. 2. Auflage.
München, Verlag von B. Oldenbourg. 1884/
Dass die Ableitung und Zusammenstellung der elektrischen Maasse ffir
den Techniker ein BedQrfniss war, Ittsst die innerhalb kurzer Zeit noth-
wendig gewordene 2. Auflage erkennen. Verfasser erläutert die vom Pariser
Congress aufgestellten Beschlüsse und leitet nach Herstellung der absoluten
mechanischen Einheiten noch das elektrostatische und das elektromagnetische
Maasssystem ab. Den Sohluss bilden die in der Praxis üblichen Einheiten
und deren Znsammenhang unter einander. Leider haben sich wieder einige
störende Druckfehler eingeschlichen. B. Nebel.
W. Valentimeb, Die Kometen nnd Keteore. 27. Band von „Das Wissen
der Gegenwart *S Leipzig und Prag, 1884.
In der Einleitung macht uns der Verfasser mit den Bahnen nnd Bahn-
elementen der Kometen bekannt und geht sodann zur eingehenden Be-
sprechung der hervorragendsten Kometen über. Daran schliessen sich die
Meteore mit ihren yerschiedenen Abstufungen an. Den Schluss bildet der
durch einzelne Beispiele geführte Beweis von dem Zusammenhang der
Kometen und Sternschnuppen. Als Anhang ist sowohl eine Tabelle der
Sternschnuppenradiationen, als auch eine solche der Kometenbahnen bei-
gefügt
Wer sich für die von unserem Aage nur kurze Zeit wahmehmbareo
Gestirne interessirt, findet in diesem Bttndchen yollstttndigen Aufschluss.
B. Nebel.
Digitizedby VjOOQi _
Recensionen. 115
Day-Schlbkk, Arithmetik der elektrisohen Belenolitüiig. Wien, C. Grä-
ser. 1884.
Vorliegende Sammlung von 150 Aufgaben ist dem Englischen ent-
nommen. Die Aufgaben, welche sämmtlich nur mit Arithmetik zu lösen
sind, behandeln den Leitungs widerstand in Drähten und Lampen; die Strom-
stärke, WärmewirkuDg , Nutzarbeit und Energievertheilung im combinirten
Stromkreis. Daran reihen sich Tabellen über Quadrate, Quadratwurzeln etc.,
ferner über die Birmingham -Draht -Lehre und schliesslich über die speci-
fischen Widerstände von Metallen und Legirungen. Ein kurzer Anhang
enthält das absolute Maasssystem. — Da die Aufgaben keinerlei Schwierig-
keiten bieten und zugleich die elektrischen Gesetze wieder ins Gedächtniss
zurückrufen, so kann dieses Buch als eine sehr nützliche Beschäftigung in
Musestunden empfohlen werden. -ß jj^bbl
Dr. W. Abendroth, Leitfaden der Physik. II. Band. Cursus der Ünter-
und Oberprima. Leipzig, 1884. Verlag von Hirzel.
Der zweite Band trägt durchaus den wissenschaftlichen Charakter, der
schon rühmend bei der Recension des ersten Bandes hervorgehoben wurde.
— Mechanik und Optik nehmen je ein Drittel, Wellenlehre, Akustik und
mathematische Geographie zusammen ein Diittel des ganzen Buches ein.
Da überall das neue Maasssystem durchgeführt ist, sollte auch S. 140 das
0 durch kg ersetzt werden.
S. 232 Zeile 14 v. o. „in jeder anderen Richtung schneller und senk-
recht zur Axe am schnellsten fortgehen etc.^ dürfte nicht richtig sein,
wenn man einen positiven Krystall betrachet. ß Nbbbl
Die Fixsterne, von Dr. Petbbs. Leipzig und Prag, 1883. 163 S.
Das Buch gehört zu dem Sammelwerke: „Das Wissen der Gegenwart^',
ist also für jeden Gebildeten verständlich geschrieben. Es beginnt mit dem
äusseren Ansehen der Fixsterne, ihrem funkelnden Lichte, ihrer Farbe und
ihrer Anordnung in Sternbilder, und geht dann zur Helligkeit der Sterne
und zu ihrer Yertheilung, insbesondere in der Milchstrasse, über. Dann
folgen die Entfernung und Eigenbewegung, die Doppelsterne und ihre Bahnen,
die veränderlichen Sterne und eine Beschreibung der Sternhaufen und Nebel-
flecke. Den Schluss bildet eine Betrachtung der physischen Beschaffenheit
der Fixsterne, soweit die Spectralanalyse Anhaltspunkte giebt, und ihrer
Wärmestrahlung, wie sie die Thermosäule giebt. Daran schliesst sich eine
kurze Auseinandersetzung über die Entstehung des Weltsystems nebst Be-
denken gegen die Theorie von Kant. So ist Alles, was wir über die Fix-
sterne vrissen, kurz und präcis nach dem neuesten Stande unserer Kennt-
nisse zusammengestellt p ^ech
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116 Historisch - literarische Abtheilung.
Der Irrthnm der Sohwerkraftshypothese, von Dr. Eethwisch. Freibnrg
i. B., 1884. 119 S.
„Im Ganzen brauchte Newton zu seinen Berechnungen nur ein Frincip
der Annftherung, das den Eindruck einer Fallbewegung macht und im Qua-
drat der Entfernung abnimmt; und eine Tangentialkraft, die immer von
Neuem ablenkt und den einen Weltkörper am andern gleichsam sicher vor-
überfQhrt," schreibt der Verfasser am Ende seiner Polemik gegen die Hypo-
these der allgemeinen Anziehung; setzt also an die Stelle der Anziehung
„ein Princip der Annäherung^. Der zweite Satz von der Tangentialkraft
zeigt, dass der Verfasser mit der heutigen Mechanik auch Skuf dem Eriegs-
fusse steht , da diese die Tangentialkraft nur als eine Componente der An-
ziehung betrachtet. Wie wenig vertraut der Verfasser mit den S&tzen über
das Pendel ist, zeigen die Seiten 16 und 22 des Buches und der Versuch^
die elliptische Bewegung durch eine Kegelkugel zu erklären (S. 45). Wer
die heutige Mechanik umstossen will, muss anders zu Werke gehen. Die
neue Theorie ist in dem Capitel: „Die Individualisirung des Urkörpers '' ent-
halten: Ein Körper dreht sich unbegrenzt schnell, jedes Theilchen beschreibt
eine zum Mittelpunkt strebende Spirale und ertheilt den vorliegenden einen
Stoss, am stärksten am Aequator, wo Stücke losgelöst werden, in gerader
Linie, „weil die Kraft des Stosses momentan stärker war, als die Axen-
kraft". „Die durchjagten Bäume verhalten sich wie die Quadrate der Fall-
zeiten.'' „ Die Stosskraft ist unbegrenzt gross und wirkt bei dem Rückweg
ausweitend auf die Bahn des Weltkörpers." „Die Masse jagt durch den
Baum und schnellt wieder zurück.'' „In den flüssigen Massen, die durch
einen Ruck in ungeheure Bewegung gesetzt wurden , zitterte der Ruck noch
lange nach, daher Fluth und Ebbe und Erdbeben *' u. s.w. Wer in diesem
Capitel igendwelchen Verstand findet , kann vielleicht auch die Reformthesen
und siderischen Grundgesetze am Schlüsse verstehen, beispielsweise wie sich
die Rotationsbewegung zu Axenkraft und Stosskraft differentiirt. Bodenloses
Geschwätz, wie zur Zeit der blühenden Naturphilosophie^ hat in der heuti-
gen Naturforschung keine Geltung mehr. p 7»«^
YorleBangen über theoretisohe Optik , von Dr. F. Nbümakn. Herausgege-
ben von DoBN. Leipzig, 1885. 310 S.
Das vierte Hefb der Gesammtausgabe der Vorlesungen über mathe-
matische Physik von Dr. F. Neumann, welche seine Schüler besorgen.
Neumann hat an der Entwickelung , welche die theoretische Optik genom-
men hat, grossen Antheil; er ist der Vertreter der Ansicht, dass das durch
Zurttokwerfung polarisirte Licht in der Einfallsebene schwinge, im Gegen-
satz zu Fresnel, der es senkrecht zur Einfallsebene schwingen lägst. Er'
behauptet die gleiche Dichte des Aethers und die Verschiedenheit der Elas-
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Bibliographie. 117
ticitSt in yerschiedenen Mitteln, Fresnel umgekehrt die Verschiedenheit
der Dichte und Gleichheit der Elasticität. Die Anwendung auf Erystalle
spricht unbedingt ftlr Neumann.
Die vorliegenden Vorlesungen behandeln die Interferenz und Beugung,
die Polarisation des Lichts und die Doppelbrechung in Erystallen. Zum
Schlüsse folgen einige Nachträge vom Herausgeber. Ueber den hohen
Werth des ganzen Werkes haben wir uns schon früher ausgesprochen. Je
rascher es zum Ziele gelangt, desto besser fdr das Studium der mathe-
matischen Physik. p 2ech
Bibliographie
vom 1. Februar bis 31. Mai 1886.
PeriodiBohe Schriften.
Sitzungsberichte der mathem.-phjsikal. Classe der königl. bayr. Akademie
der Wissenschaften. 1885^ 4. Heft. München, Franz. 1 Mk. 20 Pf.
Sitzungsberichte der königl. sSchs. Gesellschaft der Wissenschaften, mathem.-
physikal. Classe. 1885, III. Leipzig, Hirzel. 1 Mk.
Sitzungsanzeiger der* kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien , mathe-
mat.-naturwissenschaftl. Classe, Jahrg. 1886, Nr. 1—4. Wien, Gerold.
compl. 3 Mk.
Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, Abth. II
d. mathem.-naturwissenschaftl. Cl. 92. Bd., 3. Heft. Ebendas. '8 Mk.
Sitzungsberichte der königl. böhm. Gesellschaft d. Wissenschaften , mathem.-
naturwissenschaftl. Cl. Jahrg. 1885. Leipzig, Frejtag. 12 Mk.
M6moire8 de TAcademie imp. des sciences de St. Petersbourg. 7. s6rie tome 33
No. 5 — 8, tome 34 No. 1. Petersburg und Leipzig, Voss.
31 Mk. 30 Pf.
Publicationen des astrophysikali sehen Observatoriums zu Potsdam, heraus-
gegeben von C. Vogel. Nr. 20. Leipzig, Engelmann. 12 Mk.
Astronomisches Jahrbuch für das Jahr 1888, herausgeg. von der Berliner
Sternwarte unter Leitung von F. Tietjen. Berlin , Dümmler. 12 Mk.
Gezeitentafeln für das Jahr 1887. Hydrographisches Amt der kaiserl. Ad-
miralität in Berlin. 1 Mk. 50 Pf.
Annalen des kaiserl. russ. Centralobseryatoriums , herausgeg. von H. Wild.
Jahrg. 1884, Thl. 11. (Meteorol. Beob. an Stationen 2. u. 3. Ordnung.)
Leipzig, Voss. 15 Mk. 4ö,Pf.
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1 1 8 Historisch - literarische Abtheilung.
Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, herausgegeben von Henocb
u. Lampe. 15. Bd., Jahrg, 1883, 2, Heft. Berlin, G. Reimer. 6 Mk.
Fortschritte der Physik. 1885, Nr. 9. Leipzig, Majer. 1 Mk. 80 Pf.
Meteorologische Zeitschrift, redigirt v. J. Hann u. W. Koppen. 3. Jahrg.
1886. (12 Hefte.) 1. Heft. BerUn, Ascher & Comp, compl. 16 Mk.
Journal de Töcole polytechnique. 65. cahier. Paris, Gauthier- Villars. 14Frs.
Raine Kathematik.
MÖBius, A. F.^ Gesammelte Werke. '3. Bd., herausgegeben Yon F. Klein.
Leipzig, Hirzel. 14 Mk.
Wbibrstbass, K., Abhandlungen ans der Functionenlehre. Berlin, Springer.
12 Mk.
Legendre, A., Zahlentheorie, übersetzt von H. Maser. 1. Bd. Leipzig,
Teubner. 11 Mk. 60 Pf.
Gboenbauer, L., Einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. (Akad.)
Wien, Gerold. 40 Pf.
, lieber die mittlere Anzahl der Classen quadratischer Formen von ne-
gativer Determinante. Ebendas. 25 Pf.
, Arithmetische Sätze. Ebendas. 50 Pf.
KiLLiNG, W., Zur Theorie der Lie'schun Transformationsgruppen. Brauns-
, berg, Huye. 1 Mk. 60 Pf.
EscHBRiGH, G. Y., ZuT Thoorie der linearen Differentialgleichungen. (Akad.)
Wien, Gerold. 1 Mt 20 Pf.
BiBRMANN, 0., Zur Theorie der Fuohs'schen Functionen. Ebendas. 30 Pf.
LiE, S., Ueber gewöhnliche Differentialgleichungen. Christiania, Djbwad.
^ 35 Pf.
Gegenbaubr, L., Ueber das Additionstheorem der Functionen Y'**{x). (Akad.)
Wien, Gerold, , 20 Pf.
NsuHiENN, C, Ueber die Kugelfanctionen P«, Qu, insbesondere über die
Entwickelung von
Pn{fiiifi + yi- 0* ]/l-iSi^ cos<p) und Oniise^ + j/U^yT^cosip)
nach den Cosinus der Vielfachen .von <p, Leipzig, Hirzel. 2Mk. 40 Pf.
Weltzien, C, Zur Theorie der homogenen linearen Substitutionen. Berlin,
Gärtner. 1 Mk.
Hahn, J. , Untersuchung der Kegelschnittnetze, deren Jacobi'sche oder Her-
mite*sche Form verschwindet. Leipzig, Fock. 80 Pf.
BoBBK, K., Ueber das Maximalgeschlecht von algebraischen Baumcurven
gegebener Ordnung. (Akad.) Wien, Gerold. 30 Pf.
Zeuthen, G., Die Lehre von den Kegelschnitten im Alterthum. Deutsch
von B. y. Fischer -Benzon. 1. Halbbd. Kopenhagen, Host & S.
compL 15 Mk.
ßURCKHARDT, W., Lchrbuch der Stereometrie. Leipzig, Kressner & Schramm.
7 Mk. 50 Pf.
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Bibliographie. 119
Müller, R., Lehr- und Uebungs'juch der Elementargeometrie. 1. Thl. f.
Quinta. Oldenburg, Stalling. 40 Pf.
KÜHL, H., Grundriss der Geometrie. L Planimetrie. Hamburg, Meissner.
1 Mk. 20 Pf.
Hermes, 0., Das Secbsflach. Ein Beitrag zur analytischen Geometrie des
Raumes. Berlin, Gärtner. 1 Mk.
GussBROW, C, Ueber anschauliche Quadratur und Cubatnr. Berlin, Gärt-
ner - Hejfelder. 60 Pf.
Seipp, H., Beiträge zur Kenntniss der Eigenschaften des ebenen Dreiecks.
Halle, Schmidt. 4 Mk.
Baschke, W., Mathematische Tabellen. Hildburghausen, Gadow. 1 Mk.
JouRJON, C, La divisibilit^ des fonctions enti^res, dömontr^e sans les ima-
ginaires. Paris, Gauthier -Villars. 2 Frs.
Angewandte Hatbematik.
Kries, J., Die Principien der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Freiburg i. B-,
Mohr. 6 Mk.
Veltmanv und 0. Eoll, Formeln der niederen und höheren Mathematik,
sowie der Theorie und Ausgleichung der Beobachtungsfehler nach der
Methode der kleinsten Quadrate. Bonn, Strauss. 3 Mk.
Günther , 8. , Grundlinien der mathematischen Geographie und elementaren
Astronomie. 2. Aufl. München, Ackermann. 2 Mk.
Betti, E.| Lehrbuch der Potentialtheorie und ihrer Anwendung auf Elektro-
statik und Magnetismus. Deutsch von F. Meter. Stuttgart, Kohl-
hammer. 12 Mk.
Haubner, J., Ueber die Linien gleicher Stromdichte auf flächenförmigen
Leitern. (Akad.) Wien, Gerold. 20 Pf.
Thurein, H., Elementare Darstellung der Planetenbahnen durch Construo-
tion und Rechnung. Berlin, Gärtner- Hey felder. 1 Mk.
Wittram, Th., Zur Berechnung der speciellen Störungen der kleinen Pla-
neten. Dorpat, Earow. 1 Mk.
BiDSOHOF, E. , Bestimmung der Bahn des Planeten Honoria (236). (Akad.)
Wien, Gerold. 50 Pf.
Schräm, R., Beitrag zur Hansen'schen Theorie der Sonnenfinsternisse.
Ebendas. 36 Pf.
Weiss, E., Ueber die Bestimmung von M bei Olbers' Methode zur Berech-
nung der Kometenbahnen. Ebendas. 45 Pf.
WiSLiCENUS, W., Beitrag zur Bestimmung der Botationszeit des Planeten
Mars. Leipzig, Engelmann. 4 Mk.
Kam, M., Katalog von Sternen etc. Aus Bd. 1 — 66 der Astron. Nachr.,
reducirt auf 1855. Amsterdam, Joh. Müller. 15 Mk.
BuszczYNSKi, B., Ueber die Bahnen der am 11. Dec. 1852 und am 13. Dec
1861 in Deutschland beobachteten hellen Meteore. Halle, Schmidt. 60Pf.
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120 Historisch -literarische Abtheilusg. Bibliographie.
Physik nnd Meteorologie. pj^
Wbinstein, H., Handbach der physikalischen Maassbestimmungen. 1. Bd.
Berlin, Springer. 14 Mk.
HuLLMAKN, E., Die Gay - Lussac'sche Formel. Oldenburg, Hintzen. 1 Mk,
Nald, 0., Licht und Schwere; Zurückführang der Licht- nnd Wärme*
erscheinungen auf die Schwere* Berlin, Seydel. 1 Mk. 50 Pf.
Gross, Th., üeber eine neue Entstehungsweise galvanischer Ströme durch
Magnetismus. (Akad.) Wien, Gerold. 40 Pf.
Schilling, A., lieber die Herstellung eines homogenen magnetischen Feldes
an der Tangentenbussole zur Messung intensiverer Ströme. Ebendas*
45 Pf.
Adler, G., Ueber die Energie msignetisch polarisirter Körper. Ebendas.
40 Pf
SoHRBYER, 0., Erdmagnetische Beobachtungen im Königreich Sachsen. Frei
berg, Engelhardt 1 Mk. 60 PC
Bericht über die von der wissenschaftl. Commission an Dynamomaschinei
u. elektrischen Lampen ausgeführten Messungen. Wien , Holder. 9 Mk
SuoHBLAND, E., Die gemeinschaftliche Ursache der elektrischen Meteore un(
des Hagels. Halle, Schmidt 1 Mk. 20 P! ^
Zengbr, W., Die Meteorologie der Sonne und ihres Systems. Wien, Hart
leben. 5 Mk
Fayargbr, A., L'61ectricit6 et ses applications a la chronom6trie. Geni
Stapelmohr. 5 Mk
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A
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>n Jok Anibn Barth io oFTTr^rpr
CLAljSir^ ^ Die Pote&tislftmction und dA» Potential Ein Bm-
trag £- 1. \ Physik. 4. vörb, Aufl. 188 SöjL gr. 8*1 1886* Jf l. —
AM 1 LT 0 In, W, IL, ESlemante der Quatermonen , deutecli von
V. Glaa. 2 Biia^le, 750 u. 459 Seit, gn 8'\ 1882-1884, Jf U.—
OPPE, Edm., Oesohlohie dar Blektrioität. 642 Seit gr. 81 1884,
H
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Verlag von B. Q. Teabner in Leipzig.
Oenber, Emaouel, geometrlBche WalirscbeinUclikätteii und Mittel-
werte- Mit 115 in den Text gedrückten Figuren, fVU a. 244 SJ
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Henrioi, Julitifl, l*rotessor am ilymttasiuiii ia Heideibtsrg, dio Krfor*
sciiuüg der Schwere durch Üalilei, Huygeiis, Newtoo ab
Gruüdlftge der ratioueUea lunematik und Dynamik^ hidtonsch- didaktisch
darg6»ttolU. [Beilago zum Jahresbericht am Heidellierger rjjtouasiTUiis
für das Schuljühr 1884/1885.] [40 B.] 4^ 1886. geh. .# —,60.
und P, Tratitleiii, Professor aiu ÖymnaHitim sm Karlsnüie^ Lehr*
^bnch der El omoEtar* Geometrie. In drei Teilen, Mit in den Text
gedruckten Holzscbuitteji, gr. 8*^. göh. tl ^/f 7 60.
Eätizelni
L Teil: GleiehJieit der platümetiiscbeti Oröfse^i Kongniento Abbüduiig
in der Ebene, Pensum der Tertiii. Mit 1 8B Figuren in Holjiäüliiutt,
[Vlll u. 152 S.] IH8L ti. .äX^
IL Teil: FerBpektivisohe AbbOdung in der Ebene* B^^reehnuti^ der
plaoimetriFicbeij GrfU'aen. PenHuia dur Stkunda. [Nebfit weiteren
AusfiiUrnngfjn für l^riiim 1 Mit im Figuren in HolÄScbnitt und einera
[Uthof;r ] Kiirtrhen. [Vitl u. 242 S,) 105^, n .^ 2.%0.
111, Teil: Lage und Grrr>fse der Stereo:^
Figuren «iiior Fb^ne auf oint' x
lien Gebilde.
n^laehnittel- 1'
f^en der
l*rima»
Ift« Ania
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IVri.A »b IffiUrf WDil iIkU niobt lilott im ]>*tit^ii ,Hhi otii liPüor FiMk ÄOf *tis »Ut« Kltrtfl «ii «vU^o U«.
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XVII* Töber M^ Sy»temir, w^ldit durch Kr-geUchTiTHi' xsit i^f^rto i^m^^
Btkmi^n Polardreieck, boz. iinrnh Flliclj^n .'
btitir. im \ay
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HiivK in Htrliii (Tuf V Fig 5« tind ßb)
KUtp«i^e Mttth<itluo|f«ii.
XKVl. 'Im Hieorie dttr InTnrtantufi. Von F«nx HcrttiAiai to Mflsicbeii , « Jd9
XXVn. Lot^tHciic ' nüooiiiiottttii In disr KbeiML Von
Prof, Dr t
XXVtlL Kt>Ü« ühtT tüt^ W»' ^«
'^Ätx voo Clobnüh -.. . . .
Von Fiirw HfjfKAn» in Müticbeo
JiA ~ ' flfif C*>u|fniei3SE x' r [^/i^jfi .
XXXi. fein MmiminiM
XXXII. Zur ^lUrUiöfe . -
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G«*ometrii! d««« Punkt«», dtr geradöü liin
iin^l der ICegvbcbtiitt«. Von K *-'
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Historisch -literarische Abtheilung.
Zar talmudischen Mathematik.
Von
Dr. Eduard Mahler
in Wien.
Seitdem ich — angeregt darch die von Cantor über das Oppert-
sche Werk: ,,L'6talon des m^sures assjriennes *' veröffentlichte Recension
(Ztschr. f. Math. u. Phys. Bd. XIX, hist-lit. Abth.) — die Mathematik der
alten Hebräer studire und inbesondere die mathematischen Stellen der
Mi seh nah und der 6 amar ah zu sichten bestrebt bin, um etwaige mathe-
matische Erörterungen, die dort vorkommen und für den mathematischen
Hist-oriker von Interesse sein können, der Oeffentlichkeit zu übergeben*,
war meine Aufmerksamkeit dahin gerichtet, die Methoden kennen zu lernen,
nach denen die alten Hebräer die Quadratwurzeln berechneten. Ich
will nun die Resultate meiner bisher auf diesem Gebiete gemachten For-
schungen hier mittheilen.
Im Tractat Erubin 23*, so auch Erubin - Mischnah Abschnitt II
Mischnah 5 ist ein Streit zwischen Rabbi Jehudah ben Baba** und
Rabbi Akiba einerseits, und zwischen Rabbi Elieser und Rabbi Josi
andrerseits, der im genannten Tracfate von Raschi***, in der Mischnah
von Rabbi Obadjah von Bartenurah^ näher erörtert wird. Dabei
• Diese Au^be ist wesentlich verschieden von der, die sich Zuekermann
stellte und löste. Zuckermann bezweckte keineswegs eine Auslieferung der
talmudischen Mathematik an den Historiker, um Letzterem ein Denkmal zu zeigen,
das für seine Studien von irgend welcher Bedeutung sein könnte; Zuckermann
wollte vielmehr die mathematischen Stellen des Talmuds, die vielen Talmud-
gelehrten Schwierigkeiten bereiten, mit Hilfe der modernen Anschauungen der
Wissenschaft erläutern, um so den Talmudlesem ein Mittel in die Hand zu geben,
mit dem sie nun auch die für sie sonst schwierigen mathematischen Stellen sollen
lesen können. Meine Aufgabe ist eine rein historische.
** Lebte in der zweiten Hälfte des 1. Jahrh. nach Chr. Geb.
•^ Raschi lebte 4890-4965 jfld. Zeitr., d i. 1130-1206 n. gew. Zeitr.
t Starb 1509 n. Chr. Geb ^ j
UisL-lit. Abthlg. d. Zeituhr. f. Math. n. Phyi. XXXI, 4. iC0itized by VjOOglC
122 Historisch - literarische Abtheilung.
suchen sie zu ergründen, warum ein Quadrat, das an Flächeninhalt gleich
sei einem Bechtecke mit 100 Ellen Länge und 50 E. Breite, eine Seitenlange
Yon 70 E. und einigen Bruchtheilen haben muss.
Raschi sagt:
„Hat man von der Länge, die 100 E. beträgt, einen Streifen von
der Länge = 50 E. abgeschnitten (wodurch noch ein Quadrat mit 50 E.
Seitenlänge bleibt), so mache man aus diesem fünf Streifen, von denen j'eder
10 E. breit und 50 E. lang ist Nun gebe man an jede Seite des Quadrates
(mit 50 E. Seitenlänge) je einen solchen Streifen, so hat die erhaltene
Fläche eine Breite von 70 E. und eine Länge von 70 E. , nur bleiben noch
in jeder Ecke quadratförmige Winkelflächen (von der Seitenlänge = 10 E.)
auszufüllen. Nun nehme man den fünften Streifen, der 50 E. lang und
10 E. breit ist, und theile ihn der Breite nach in fünf Theile, so hat jeder
dieser Theile eine Länge von 10 E. und eine Breite von 10 E. Je einen
dieser Theile gebe man in die erwähnten vier Winkelflächen, so sind die-
selben vollkommen ausgefüllt , und man hat sonach eine vollständige Quadrat-
fläche mit der Seitenlänge = 70 E. Nun nehme man den fünften Quer-
streifen , der 10 E.= 60 Spannen lang und 10 E. = CO Sp, breit ist , und theile
ihn in 30 Theile, jeder 2 Sp. breit und 60 Sp. = 10 E. lang, so haben
diese t30 Streifen zusammen eine Länge von 30 mal 10 E. = 300 E. Von
diesen 300 E. gebe man an jede Seite des Quadrates mit nun 70 E. Seiten-
länge 70 E. , so hat die entstehende Fläche eine Breite und eine Länge von
70 E. mehr 4 Sp. Es bleiben nun vier quadratförmige Winkelflächen mit
der Seitenlänge = 2 Sp., die aber dadurch ausgefüllt werden können, dass
man von den übrig gebliebenen 300 — (viermal 70) = 20 E. = 120 Sp. vier-
mal zwei Spannen nimmt und mit denselben die vier Winkelstreifen be-
legt. Es bleibt nun noch ein Streifen übrig, der 2 Sp. breit und 112 Sp.= 18 E.
mehr 4 Sp. lang ist. Diese Theilung könnte fortgesetzt werden, indem man
den restirenden Streifen zunächst in Theile zerlegt, denen nun schon der
Finger (1 Sp. = 4 Finger) als Maasseinheit dient und wollte man dies
weiter verfolgen, so kommt man schliesslich zu Flächenstreifen, deren
Breiten unmessbar klein sind, und wenn man diese Theilung noch so
weit verfolgt, immer wieder wird ein Streifen übrig bleiben, weshalb wir
uns mit der bisherigen Theilung begnügen und als Seitenlänge des Quadrates
mit 5000Qu.-E. Flächeninhalt den genäherten Werth von 70 £. und 4 Sp.
annehmen.'^
Ziehen wir diese Stellen genau in Erwägung, so sehen wir, dass die
eigentliche Aufgabe, die sich Baschi stellte, darin bestand, nachzuweisen,
dass ein Quadrat, dessen Flächeninhalt 5000 Qu.- Einheiten beträgt, eine
Seitenlänge von 70 mehr einigen nicht ganz genau bestimmbaren Bruch-
theilen der Längeneinheit hat, d.i. die Quadratwurzel aus 5000 ist
gleich 70 mehr einigen nicht genau bestimmbaren Bruch-
theilen. Durch den hier gegebenen Beweis Etaschi's ist al^ ein geome-
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Zur talmudischen Mathematik. 123
trischer Nachweis für die Irrationalität der }/2 gegeben. Denn der Vor-
gang Raschi's besteht darin, dass er die Fläche von 5000 Qn.-Einh. vor
Allem in zwei Flächen, jede zu 2500Qa.-Einh. zerlegt, also gleichsetzt
2.2500. Nun ist aber eine Fläche yon 2500 Qu.-Einh. gleich einem Quadrat
mit der Seitenlänge = 50 Längeneinheiten, also besteht der Nachweis
Baschi's einerseits darin, dass j/2 irrational ist. Andererseits ist uns
durch die hier gegebenen Auseinandersetzungen Raschids ein Einblick in
die Methoden gewährt, deren sich die alten Rabbinen beim Wurzelziehen
bedienten. Der angenommene Näherungswerth für j/5ÖÖÖ ist^ da 6£. = 1 Sp.,
70|. Es ist also:
(/5000 = 50/2)cv70f
Nun ist
70| =
also:
212
3
= 50
3.60 —
50
. 212
30.5
»50-
JOS
7S
V2
'^'f 75
=s
m\-
Es ist dies einer der archimedischen Näherungswerthe für j^2, die
Heilermann (Ztschr . f. Math . u. Phy s . , Jahrg. 1 884) anführt , und sind 1^ und
1^ die alleinigen taimudischen Näherungswerthe für ^^2, die bisher histo-
risch nachgewiesen wurden. Es ist mir aber gelungen, auch die gleich-
falls von Heilermann als archimedischer Näherungswerth heryorgehobene
Zahl ^^ als einen talmudisch gebrauchten Näherungswerth für ^/2 nach-
zuweisen. Es geht dies aus der an der betreffenden Stelle vonMaimoni-
des gegebenen Erklärung herTor, die also lautet:
„Wir haben bereits erklärt, dass Chazar hamischkan ein Beth-Sotha-
jim ist und wissen auch, dass das Flächenmaass des Chazar hamischkan,
d. i. eines Beth - Sothajim , 5000 E. ist, nachdem die Länge 100 E. und die
Breite 50 E. beträgt. Und überall, wo ein Flächenmaass von 5000 E. ge-
geben ist, so ist es ein Beth -Sothajim, welche Figur es auch sein mag,
ob Kreis, ob Dreieck, ob Viereck oder sonst eine Figur. Ist aber ein
Quadrat gegeben, dessen Fläche 5000 E. beträgt, so kann dessen Seiten-
länge nur annähernd angegeben werden,
da 5000 eine Rechnung ohne Wurzel ist. Der Wurzelwerth ist in
der Annäherung 70^. Die Sache hier bei dieser Bechnung ist ähnlich der
bei der Berechnung des Verhältnisses zwischen ümfieuig eines Kreises zu
seinem Durchmesser.
Man gelangt nie zu einer Grenze der Bechnung, sondern nur zu
einem Näherungswerthe.
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".•iiattjrm nt 5ao «^aBo «i«
124 Historisch- liierarische Abtheilung.
und es liegt dies nicht in einem Wissensmangel unsererseits,
sondern in der Art und Eigenschaft dieser Rechnung. Darum
auch sagen sie (die Gamarahisten) 70 E. und einige Bruchtheile; denn
setzest du diese Bruchtheile =-^ und quadrirst 704^, so ist das Resultat
der Rechnung gleich 5000 und nahezu ^. Setzest du aber diese Bruch-
theile gleich ^, wie dies der Jeruschalmi (Jerusalemische Talmud) thut,
so erhältst du 499^. Dies ist nun der Streit zwischen Rabbi Jehudah ben
Baba und Rabbi Akiba*. Rabbi Jehudah nimmt die Rechnung sehr genau
und setzt, um ein möglichst yoUständiges Quadrat vom Flächeninhalte eines
Beth - Sothajim zu haben, die Bruchtheüe gleich ^, während Rabbi Akiba
sich mit einer kleineren Annäherung begnügt und die Bruchtheile gleich
f setzt; wodurch das Flächenmaass des Quadrates (das nun eine Seitenlänge
von 70| E. hat) nicht genau ein Beth -Sothajim ist. (Darum auch sind
die von Rabbi Jehudah gestellten Bedingungen nicht nöthig.) So ist dies
auch seinen Worten an einer anderen Stelle ersichtlich ^
„Was nun den Streit zwischen Rabbi Elieser und Rabbi Jossi betrifft,
so' meint Rabbi Jossi, dass in einem Orte, der ein Beth - Sothajim ist,
dessen Flächenmaas also 5000 Qu.- £. beträgt, selbst dann noch das Tragen
erlaubt ist, wenn die Länge zweimal so gross ist, als die Breite, so dass
die Länge =:100E,, die Breite 50 E., die Diagonale nahezu
112 E., also mehr als das Doppelte der Breite hat, während Rabbi Elieser
der Meinung ist, dass die Länge nur um so viel grösser sein darf als die
Breite, dass die Diagonale das Doppelte der Breite habe. Es hat also die
Länge der Fläche 93f E., die Breite 53^ E. und die Diagonale 107^ E.
Alle diese Rechnungen sind natürlich nur annähernd
und ist es nicht möglich, sie genau auszuführen, nachdem sie
alle Rechnungen ohne Wurzelwerthe sind, und alles das, was
wir erwähnten von der Wurzel, der Berechnung der Diagonale
eines Rechtecks, und von einem Bruche, ist sehr einleuchtend
* Es heisfit in der Mischnah:
„Und noch sagt Rabbi Jehudah ben Baba: Ist ein Garten, der 70 E. und
einige Bruchtheile auf 70 E. und einige Bruchtheile hat, von einem Zaune nm-
geben, der 10 Sp. hoch ist, so kann man in ihm (am Sabbat) tragen, nur mois
in ihm sein ein Wächterhaue oder ein Wohnhaus, oder er muss nahe sein zur
Stadt. Rabbi Jehudah sagt: selbst wenn nur eine Grube oder eine Höhle darin
ist, darf man schon in ihm tragen. Rabbi Akiba sagt, auch wenn keines dieser
Dinge darin ist, darf darin getragen werden, nur muss er 70 E. und einige Bruch-
theile auf 70 E. und einige Bruchtheile haben. Rabbi Elieser sagt: ist die Länge
mehr als die Breite, wenn auch nur um iE., so ist das Tragen darin erlaubt.
Rabbi Jossi sagt: ist die Länge 2 mal so gross als die Breite, ist das Tragen
erlaubt.** ^^ ^
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Zur talmudischen Mathematik. 125
Jenen, die mit der Wissenschaft der Beohnungen vertraut
sind, ist aber sehr schwierig Jenen, die in diesem Capitel nichts gelernt
haben."
Soweit die maimonidische Auseinandersetzung. Nun folgt die Er-
klärung des Tosfeth-Jom Tow (Rabbi Lipmann Heller)*, die von Interesse
sein mag, weil über die Mathematik der Hebrfier nur wenig bekannt ist
und sonach diese Erklärung über die hier gebrachte maimonidische Stelle
einen Beitrag zur Geschichte der Mathemalik der Hebriler liefern kann.
Bevor wir jedoch zu dieser schreiten, wird es gestattet sein, an die
maimonidischen Auseinandersetzungen einige Bemerkungen zu knüpfen. Vor
Allem erkennt man deutlich die bezüglich der Irrationalitäten der Babbinen
(Zischr. f. Math. u. Phys. Bd. XXIX, Heft 2, hist.-lit. Abth.) gemachte Be-
merkung. Wichtiger als dies erscheint aber die Thatsache, dass sich hier
zwei archimedische Näherungswerthe für j/2 vorfinden. Es sind dies:
und
von denen der letztere wohl schon von Günther als im Talmud vor-
kommend erwähnt wurde, während der erstere hier zum ersten
Male (als im Talmud vorkommend) historisch nachgewiesen wird.
Nach den Auseinandersetzungen des Maimonides ist nämlich:
j/50ÖÖ~70^.
Nun iät:
70^ = 4^^ = 50., ^ = 50-, ^ = 50. ff.
d. i.
woraus folgt:
Der zweite Näherungswerth j/2 <^ 70^ wurde bereits oben näher er-
örtert.
Und nun übergehen wir zu den von Tosfeth-Jom Tow gegebenen Er-
klärungen. Vor Allem wird erörtert, warum die Fläche eines Quadrates,
dessen Seitenlänge 70f E. ist, annähernd öOO()^Qu.-E. beträgt.
„Wir müssen '^ — sagt Tosfeth — „auch die Ellen zu Siebenteln machen,
damit Alles gleichbenannt sei; es werden sein die 70 E. gleich (7 mal 70
= 490) Siebentel E. Wir haben sonach 495 Siebentel. Nun quadriren
wir 495, indem wir sagen: 5 mal 5 sind 25, 5 mal 90 sind 450, 5 mal
400 sind 2000. Nun sage: 90 mal 5 sind 450, 90 mal 90 sind 8100
(denn 90 mal 10 = 900 und 9 mal 900 = 8100), 90 mal 400 sind 36000
* Lipmann Heller lebte in der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts o. Ohr. Oj
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126 Historisch -literarische Abtheilong.
(denn 10 mal 400 = 4000 und 9 mal 4000 = 36000); sage noch: 400 mal
5 sind 2000, 400 mal 90 sind 36000, 400 mal 400 sind 160000 (denn
100 mal 100= 10000, also 100 mal 400 = 40000, also 4 mal 40000
= 160000). Addire nun 26, 460,2000,450, 8100, 36000,2000,36000
und 160000, so ist es zusammen 246026. Nun müssen wir wissen, wie
viele ganse Qnadratellen in dieser Zahl enthalten sind. Zu diesem Behufe
müssen wir die Siebentel mit sich selbst multipliciren, denn je 7 Siebentel
der einen Omppe geben eine Elle der anderen Gruppe. So oft nun 7 mal
7 gleich 49 in der gefundenen Zahl 246026 enthalten ist, so viele Quadrat-
ellen haben wir. Es kommt also darauf an , zu finden , wie oft mal 49 in
246026 enthalten ist. Nun finden wir, dass in 245000 die Zahl 49
6000 mal enthalten ist, denn in 200 ist 49 viermal enthalten und bleiben
4, die zu den 46 gegeben 49 sind, also ist 49 in 246 6 mal, und sonach
in 246000 6000 mal enthalten. Jede 49 geben aber eine Elle, also sind
in 246026 6000 E. enthalten und bleiben |^ übrig, die fast \ E. ausmachen/*
Eine ähnliche Erklärung folgt nun für den Fall, wenn die Seite des
Quadrates 70} E. ist. Es wird auf ganz analogem Wege gezeigt, dass
Fl&che = 4993^. Interessanter mag die Berechnung der Diagonale eines
Bechteckes sein, dessen Länge 100 E. und dessen Breite 50 E. beträgt.
Sie lautet:
„Die Länge der Diagonale eines Bechteckes ist die Wur-
zel zu einem Quadrate, das so gross ist, wie die zwei Quadrate,
deren Wurzeln die Länge und Breite sind.
Nun ist die Länge des gegebenen Bechteckes Wurzel eines Quadrates,
dessen Fläche = 10000 Qu.- E. sind, denn 100 mal 100 sind 10000. Die
Breite ist Wurzel eines Quadrates, dessen Flächenmaass 2600 Qu.-E. be-
trägt, denn 60 mal 50 sind 2600 (denn 10 mal 50 sind 500, also hast
du 6 mal 500); also beträgt die Summe beider Quadrate 12500. Wird
nun die Länge der Diagonale 112 genommen und 112 nach der oben ge-
gebenen Begel quadrirt, so bekommen wir 12544, welches nur um 44
grösser ist als 12500, also beträgt die Diagonale in der That nahezu 112.^^
Und nun wird auf ähnliche Weise auseinandergesetzt, dass, wenn die
Länge des Bechteckes 93|:E., die Breite 5S\E, beträgt, die Diagonale
107^ B.. hat.
Zum Schlüsse bemerkt noch Tosfeth-Jom Tow:
„Ich glaube, es wäre besser, wenn man statt 107^ (welchen Werth
Maimonides für die Länge der Diagonale nimmt) 107^ setzen würde, da
sich dann das Quadrat der Diagonale der Summe der beiden aus Länge
und Breite gebildeten Quadraten mehr nähert. Denn die Summe der beiden
Quadrate beträgt 11500 und noch nahezu -|. Nimmt man für die Diagonale
107^ an, so beträgt dessen Quadrat 11556|^, während wir für 107^ als
Länge der Diagonale 11602^^ erhalten, was von der Wahrheit (11600)
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Zur talmudischeu Mathematik. 127
nur um 2-^ abweicht, also ein genügend feiner Näherungswerth ist. Die
Rechnung iat so: 107 j^ sind 429 Viertel; quadriren wir 42^ nach der
Regel des Quadrirens und ziehen Alles zusammen, so haben wir 184041;
quadriren wir 4, so haben wir 16. Nun sind 1600^K) == 10000 mal 16;
in den übrig bleibenden 24000 sind 16 1000 mal enthalten und bleiben
noch 8000 = 500 mal 16; wir haben sonach 11500 und bleiben nur mehr
^ = 2y^ übrig. Nimmt man daher als Maasszahl der Diagonale 107^ an,
so nähert sich die Quadratzahl der Diagonale der Summe der beiden anderen
Quadratzahlen bis auf 2|\. Darum dünkt es mir, dass es bei Maimonidea
ein Schreibfehler sei und nicht 107^, sondern 107^ heissen soll."
Und nun wir diese Talmudstelle genügend gesichtet haben, werfen wir
unser Augenmerk auf andere nicht minder interessante Theile. Wenn die-
selben mit dem bisher Behandelten auch nichts gemein haben, als die An-
wendung des Pjthagoräischen Satzes, so dürfte es dennoch am Platze sein,
dieselben hier anzuführen.
In Kilajim Abschn. Y, Mischnah 5 ist zu lesen:
„Wenn in einem Weingarten ein Gewächs gepflanzt wird, so werden
dadurch 45 Weinstöcke durch Kilajim (gemischte Pflanzung) heilig.*'
Hierauf sagt Maimonides:
„Ein Weingarten, der aus neun Reihen Weinstöcken besteht, so zwar,
dass der Abstand zwischen je zwei der Reihen 4 E. beträgt und in jeder
Reihe neun Weinstöcke sind, die auch 4 E. von einander abstehen, wird,
wenn man im Mittelpunkte des so entstehenden Quadrates, dessen Seiten-
länge = 32 E. ist, ein Gewächs pflanzt, 16 E. rings um den Mittelpunkt
durch Kilajim heilig. Denkt man sich nun dem Weingarten einen Kreis
eingeschrieben , so schliesst dieser 45 Weinstöcke ein (s. die Figur), welche nun
durch Kilajim heilig werden.*'
Diesen letzten Punkt erklärt Tosfeth-Jom Tow folgendermassen :
„Betrachten wir diese Figur, so ist ein-
leuchtend , dass die Linie s» 12 £. hat ; ebenso I :i ' | ' I I ' | |
beti-ägt die Entfernung von a nach a 12 E. | j\ | f~|~~T~~|~'| '"
Ziehen wir um die Gerade a«, so hat das über T~ ? |\~? ~]' ? |" T ~ T
diese Gerade errichtete Quadrat 288 Qu.-E. «— a -J^h— «— h— h- -h— it
Wird aus 288 Wurzel gezogen, so erhält man n--» — j -i__^— Ä — » — n — ii
beinahe 17 E. für die Entfernung von » bis a. i.J j, i~
Da aber durch das im Punkte » gepflanzte Ge- [__„.. ] „_
wachs nur 16 E. durch Kilajim heilig werden, I I ! I
tt H H — n -
so ist der in der Ecke ^ stehende Weinstock | | | {
nicht heilig. Da dasselbe von den übrigen **~ "
drei nächst der Kreisperipherie liegenden Ecken gilt, so bleiben nur 45 Wein-
stöcke als durch Kilajim heilig.''
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-l
128 Historisch -literarische Abtheilung.
Erwähnenswerth ist auch die Stelle in Embin 78*. Daselbst sagt
Rabbi Jehudah*:
„Wenn eine Mauer, die 10 Sp. hoch ist, zwei Höfe von einander
trennt, so kann man dadurch, dass man an die Mauer eine Leiter von
14 Sp. Länge stellt, beide Höfe mit einander verbinden und als einen Hof
betrachten, und es genügt also für beide Höfe ein Erub.'^
Hierzu bemerkt Tosfeth**:
„Hat die Leiter 14 Sp. und ist die Mauer 10 Sp. hoch, so können
die Fflsse der Leiter fast 10 Sp. von der Mauer entfernt sein und dennoch
wird die Spitze der Leiter den oberen Theil der Mauer erreichen.*'
Eine andere nennenswerthe Stelle findet sich in Oholoth vor. Da-
selbst sagt die Mischnah:
„Wenn eine runde Säule im Hofe liegt ^ so bildet^ wenn deren um-
fang 24 Sp. hat, der zwischen der Mantelfläche der Säule und dem Erd-
boden befindliche Baum ein Ohel (Zelt), und wird demnach, wenn sich in
jenem Baume etwas Unreines befindet, alles daselbst Befindliche unrein/'
Hierzu machen der Babbenu Schimschon und der Babbenu Ascher fol-
gende Bemerkung:
„Hat jene Säule 24 Sp. im Umfange^ so hat sie 8 Sp. in der Breite,
denn es ist bekannt, Alles (bez. auf runde Körper)^ was in der Breite 1 Sp.
hat, hat im umfange 3 Sp."
Und nun gehen sie zu folgender Betrachtung über:
„ Haben wir einen Kreis mit dem Durchmesser = 8 Sp. und umschreiben
ihm ein Quadrat, so ist jede Ecke dieses Quadrates vom umfange des
Kreises f Sp. entfernt. Denn nach der Begel, wonach jeder Elle in der
Seite des Quadrates 1^ E. in der Diagonale entsprechen , beträgt die Dia-
gonale unseres Quadrates^ das eine Seitenlänge von 8 Sp. hat, 8 Sp. mehr
i-^ Sp. Nachdem aber der Durchmesser des Kreises 8 Sp. hat, so bleiben
für die Entfernungen der einander gegenüber liegenden Ecken des Quadrates
von dem Umfange des E[reises ^, was für eine Ecke | Sp« giebt.
Interessant sind ihre weiteren Auseinandersetzungen:
„Construiren wir'' — sagen die beiden genannten Commentatoren —
„in jeder Ecke des Quadrates ausserhalb des Kreises ein Viereck yon tefad^
(ü tefach^ d. i. ein Quadrat mit der Seitenlänge = 1 Sp., so ist das zwisch^
der Quadratecke und dem Umfange des Kreises liegende Stück der Diago-
nale eine Diagonale in dem neu construirten Quadrate und hat sonach
1^ = f Sp. Wohl müsste es nach den oben gemachten Betrachtangen f Sp.
haben, doch thuVs Nichts, wenn es auch mit ^ nicht stimmt."
« Lebte im 1. Jahrhundert n. Chr. Geb.
** Darunter ist grösstentheils Rabbi Jitschak Baal -Tosfeth gemeint, er lebte
4890 bis 4980 n. E. d. W., d. i. 1130 bis 1220 n. Chr. Geb. Nach Anderen wäre er
schon 1108 n. Chr. im Alter von 90 Jahren gestorben.
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Zur talznadischen Mathematik. 129
Dasselbe sagt auch Owadja von Bartenurah und fügt hinzu, dass der
Satz, nach welchem die Diagonale eines Quadrates, dessen Seitenlange
SS 1 Sp. ist, 1{ Sp. hat, nicht Tollkommen richtig sei; sie hat etwas weniger.
Hierauf sagt der Tosfeth-Jom Tow, dass dem nicht so sei, da die Diago-
nale noch etwas grösser als l|^Sp. ist, und begründet dies auf ähnliche Weise,
wie dies die Baleh - Tosfeth in Snccha 8* thun.
Henrorzuheben ist auch der Widerspruch , auf den Babbenu Schimschon
und Babbenu Ascher bei ihren gemachten Auseinandersetzungen bezüglich
des Abstandes einer Qnadratecke Yon der Peripherie des ihm eingeschriebenen
Kreises gelangen. Statt dessen, dass sie hieraus erkennen sollten, dass
ihre Voraussetzung, jener Abstand sei Diagonale eines Quadrates mit der
Seitenlange = 1 Sp. , unrichtig sei (indem dieser unter Annahme }/2 = ^,
Diagonale eines Quadrates ist, dessen Seitenlange -=- ist, wenn a die LSnge
einer Seite des ursprünglichen Quadrates bedeutet), sagten sie: „wenn es
auch mit ^ nicht genau stimmt, so thut dies nichts *^
Von dieser irrigen Ansicht war der Tosfeth-Jom Tow schon frei, und
muss überhaupt hervorgehoben werden, dass dieser Gommentator mit
mathematischem Wissen besonders vertraut gewesen zu sein scheint, wie
dies auch aus der oben gegebenen Auseinandersetzung (Erubin 23*) hervor-
geht. Er nahm für das Verh<niss zwischen Umfang und Durchmesser
eines Kreises nicht mehr tc = 3 an , sondern sagte :
d. i.: „hat der Durchmesser eines Kreises 1 Sp., so hat der Umfang bei-
Iftufig (oder besser: annähernd) 3f Sp.*'
Ich will UL diesen Gegenstand keine weiteren Bemerkungen knüpfen,
begnüge mich vielmehr, fast wörtliche Uebersetzungen der betreffenden
Stellen gebracht zu haben.
Eine mit dem hier vorgebrachten Gegenstande (in Bezug auf mathe-
matischen Inhalt) zusammenhängende Stelle findet sich auch in Erubin 57 \
Dasselbe findet sich auch vor in Erubin 60^ und auch in Erubin 51*. Eine
ebenfalls auf diesen Gegenstand Bezug habende Stelle findet sich vor in Baba-
Bassra 102*. Hervorzuheben ist eine Bemerkung, die daselbst Baschi macht.
„Die Diagonale eines Bechtecks, dessen Seiten die Längen 4 Sp. und
6 Sp. haben, ist genau so gross, wie die Diagonale eines Quadrates mit
der Seitenlänge = 5 Sp."
Baschi meinte offetfbar, dass, weil die Umfange in beiden Figuren
gleich sind, auch die Diagonalen einander gleich sein müssen.
Eine gleiche Naivität bekundet Baschi in Erubin 78»**. Daselbst
sagt Baschi:
* Siehe des Verfassers „Beitrag zur Geschichte der Mathematik" in Ztschr.
f. Mathem. u. Phys., hist.-lit. Abth. Jahrg. 1882, S. 210.
•♦ Siehe S.128 Z. 3— 6 v.o.
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130 Historisch - liierarische Abtheilung.
„ Soll eine Leiter gegen eine 10 Sp. hohe Mauer so gestellt werden,
dass das obere Ende der Leiter an den Band der Mauer zu liegen kommt,
so muss die Leiter 14 8p. haben , da die Fttsse derselben 4 Sp. von der
Mauer abstehen mfissen, und sonach bleiben noch 10 Sp. gegen die 10 Sp.
hohe Mauer/*
Diese Worte Raschids sind um so auffallender, nachdem dieser hervor-
ragende Commentator an anderen Stellen eine grosse Anschaunngskraft
und Kenntniss in der Rechnung an den Tag legte.
Zieht man diese Stellen (Baba-Bassra und Erubin 78*) allein in Be-
tracht, so wird wohl kaum Jemand zu behaupten wagen, Baschi sei Mathe-
matiker gewesen, nachdem es durchaus keines grossen mathematischen
Geistes bedarf, um sich von der Unrichtigkeit des von Baschi Vorgebrachten
zu ttberzeugen. Jeder Laie, ja jedes Eind weiss, dass, wenn drei Punkte
Äy B und C nicht in einer Geraden liegen, der directe Weg von A nach
C kürzer sei, als der ron A über B nach C führende Weg. Wenn man
einem Kinde den Auftrag giebt, von einer Ecke des Saales zur gegenüber-
liegenden Ecke zu gehen, so wird es diesen Weg wohl nicht längs den
Wänden des Saales zurücklegen, sondern wird bestrebt sein, dies — wenn
auch unbewusst — längs der Diagonale, die die Ecken yerbindet, zu thun.
Die citirte Stelle würde sonach das ürtheil Jener, die Baschi als grossen
Mathematiker hinstellen, völlig vernichten.
Liest man dagegen in Erubin 56^, so findet man folgende Stelle:
„Wenn eine Stadt, die in Kreisform gebaut ist, deren Durchmesser
2000 E. beträgt, in Quadratform von der Seitenlange =s 2000 E. umgebaut
wird, so gewinnt dadurch die Stadt in Bezug auf die Bestimmung der
Grenze eines Erublegens, welches das Tragen am Sabbath erlauben soll,
400 E. auf der einen Seite und 400 E. auf der entgegengesetzten Seite."
Hierzu macht Baschi eine Erklärung, in der er eine vollständige
Kenntniss aus der Lehre des rechtwinkligen Vierecks, des Kreises und der
Beziehungen der einem Kreise eingeschriebenen und umgeschriebenen
Quadrate zum Kreise verräth. Desgleichen findet man eine sehr interessante
Auseinandersetzung Baschi's über eine Erubin 23* vorkommende Stelle
(vergl. S. 122 dieser Arbeit). Nun könnte man behaupten, dass die
alten Ausleger talmudischer Schriften Vieles verstanden, Vieles nicht ver-
standen haben, aber zu verstehen glaubten, und daher kämen jene
Widersprüche, auf die hier hingewiesen wurde. Doch glaube ich, es sei
besser die Annahme zu machen, dass jene Schriftgelehrte, bei denen man
— wie bei Baschi — bezüglich ihres mathematischen Wissens auf hier an-
gedeutete Widersprüche stösst, keine geschulten Mathema^ker, wohl aber
mit einem bedeutenden mathematischen Geiste begabt waren, der sie in
den Stand setzte, gewisse schwierige mathematische Probleme, die sie bei
gewissen rituellen Fragen (denn mit diesen und nicht mit wissenschaft-
lichen Disciplinen beschäftigten sie sich hauptsächlich) zu erörtern hatten,
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Zur talmudischen Matbemaiik, 131
richtig — wenn auch auf höchst originelle Weise — zu lösen. Dass nun
diese Männer bei einfachen Dingen oft sehr weit von der Wahrheit ent-
fernt waren, erklärt sich dadurch, dass sie bei diesen Dingen, eben weil
sie so leicht schienen, ohne viel nachzudenken ganz leichtfertig über die-
selben hinweggingen, wie dies ja häufig bei solchen Leuten der Fall zu
sein pflegt. Männer, wie Maimonides, die nicht nur in talmudischen
Schriften forschten , sondern auch Zweige der Wissenschaft mit Eifer studir-
ten, wussten derlei Probleme mit Leichtigkeit zu lösen. Anders war dies
bei Männern, denen, wie Rabbi Owadja von Bartenurah selbst bemerkt,
die mathematischen Auseinandersetzungen Maimonides' zu schwierig waren.
Und blicke ich auf meine bisherigen Talmudstudien zurück , so gelange ich
zur üeberzeugung, dass, wenn Raschi auch nicht als Mathematiker ge-
priesen werden kann, er dennoch mit mathematischen Fähigkeiten
reichlich begabt war.
Lesen wir Eilajim II, Mischnah 9, so finden wir:
„Soll ein Stück Feld von der Grösse eines Beth-Saa mit allerlei be-
säet werden, so theile man es in 24 Theile. . . ^
Owadjah von Bartenurah giebt bezüglich der Theiiung folgende Er-
klärung:
„Ein Beth-Saa ist ein Quadrat mit der Seitenlänge = 50 E. Ich
denke mir nun diese Quadratfläche in 25 gleiche Theile getheilt, so ist
jeder Theil ein Quadrat mit der Seitenlänge = 10 £. Nun greife ich eines
dieser Quadrate heraus und theile es in 24 Flächenstreifen, so, dass jeder
Streifen 10 E. lang und 2^ Sp. (1 E. = 6 Sp.) breit sei. Füge ich nun je
einen dieser Streifen an eine Seite je einer der übrig gebliebenen 24 Quadrat-
flächen, so erhalte ich 24 Rechtecke, von denen jedes eine Länge von 10 E.
und 2^ Sp. hat und 10 E. breit ist."
Maimonides führt diese Theiiung arithmetisch aus; er erhält
24 Quadrate, jedes mit der Seitenlänge = 10^ E.
Der Tosfeth-Jom Tow führt die Sache noch einfacher aus. Er
theilt das gegebene Quadrat nach der einen Richtung in sechs gleiche
Theile, nach der anderen Richtung in vier gleiche Theile, wodurch das ge-
gebene Quadrat ita 24 gleiche Flächenstreifen zerlegt wird , jeder 12^ E.
lang und 8^ E. breit.
Es könnten noch einige Stellen mathematischen Inhalts hier angeführt
werden; da sie aber im Wesentlichen derselben Art und desselben Inhaltes
sind, als die hier und die bereits in früheren Aufsätzen gebrachten, so
glaube ich sie fortlassen zu können und schliesse somit meine Eingangs er-
wähnten Untersuchungen.
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132 Historisch - literarische Abtheilung.
Bemerkungen zu den Regeln des Ahmes und des
Baudhäyana über die Quadratur des Kreises.
Von
C. D£MME,
Oberlehrer »m BeAlgymnaeiuin io Dresden -AUst.
Hierzu Taf. HI Fig. 6 u. 6.
In dem altägjptischen Bechenbuche des Ahmes, in welchem auch die
Quadratur des Kreises* behandelt ist, wird zur Quadratseite der um ^
seiner Länge verminderte Kreisdurchmesser gewählt. Wie man zu dieser
Vorschrift gekommen, ist allerdings nicht beigefügt.
Nun ist uns wohl bekannt, dass zu Ahmes^ Zeiten in zwölf gleiche
Theile zerlegte Kreise** zu den besonders auf GefÄssen beliebten Verzierungen
gehörten; man darf deshalb wohl auch dem Versuche einer Ableitung der
obigen Formel die Betrachtung eines solchen in zwölf Theile zerlegten
Kreises zu Grunde legen.
Der vertikale und der horizontale Durchmesser zerlegen den Kreis in
vier Quadranten, von denen jeder wieder in drei gleiche Theile zerfUllt.
Zieht man durch die dem vertikalen Durchmesser benachbarten Theilpnnkte
der Kreislinie Parallele zum horizontalen Durchmesser und durch die dem
horizontalen Durchmesser benachbarten Theilpunkte der Kreislinie Parallele
zum vertikalen Durchmesser, so entsteht ein Quadrat, das an den vier
Ecken über die Kreisfläche hinausragt , dagegen an den vier Seiten vier
Kreissegmente tlbrig lässt. Das Quadrat würde dem Kreise flächengleich
sein, wenn ein Kreissegment einem solchen an der Ecke des Quadrates
herausragenden Flächenstück gleich wäre oder wenn man die Diagonalen
zieht, wenn Plächenstück ABB = Flächenstück BEF (s. Fig. 5).
Man wird nun wohl dem Ahmes, der*** den Inhalt eines gleich-
schenkligen Dreiecks durch das halbe Product aus Basis und Schenkel aus-
drückt, nicht gerade unrecht thun, wenn man ihm die Schlussfolgerung
unterschiebt, dass die beiden FlSchenstücke ABB und BEF^ bei denen
Bogen BB die Hälfte vom Bogen JE72> ist, gleich seien, wenn andererseits
EF die Hälfte von AB wäre.
unter dieser Bedingung würde dann der eine der beiden Abschnitte,
welche der Durchmesser auf der Diagonale des Quadrates übrig lässt, gleich
* Gantor, Geschichte der Mathematik, S. 50.
*♦ Cantor, G. d. M., S. 69.
♦*• Cantor, G. d. M., S. 49.
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Bemerkungen zu den Regeln des Ahmes und des Baudhäjana etc. 133
der Summe der beiden Abschnitte sein, welche die Quadratseite auf dem
Durchmesser übrig lässt. Man konnte sich nun leicht Überzeugen, dass
der eine der eben erwähnten beiden Abschnitte der Diagonale {AB) auf
dem Durchmesser {BC) ungeföhr neunmal abgetragen werden kann, also AB
gleich ^ Durchmesser sei. Sollte nun aber AB gleich der Summe der
beiden Abschnitte, die die Quadratseite auf dem Durchmesser übrig lässt,
sein, 80 musste man den Durchmesser demnach um ^ seiner Länge yer-
mindem, um die entsprechende Quadratseite zu erhalten.
Für einen Praktiker, der die Messung wirklich ausführte, scheint mir
bei Verwendung unserer Fig. 5 der obige Weg der einfEichste zu sein , zu-
mal wenn man annimmt*, dass die Ausmessung mit Hilfe eines Lineals,
aber ohne Zirkel vorgenommen sei, da in diesem Falle dasselbe nur an
der einen Linie AC entlang zu schieben war.
Die Frage, ob Ahmes oder wer sonst die Formel zuerst aufstellte,
wirklich glaubte, dass in unserer Figur ABs=2EF sei, braucht nach
meiner Ansicht nicht weiter verfolgt zu werden : Ahmes setzte ja in seiner
Rechnung den Unterschied zwischen Durchmesser und Quadratseite gleich
der Grösse, die er für AB gefunden, machte also in seiner Rechnung
jedenfalls AB =^2 EF.
Ein mit der Betrachtung rechtwinkliger Dreiecke und der Quadrat-
wurzelausziehung vertrauter Rechner , der dieselbe Figur seiner Entwickelung
zu Grunde legte, hatte natürlich nicht nöthig, den Durchmesser und die
ganze Quadratseite zur Vergleichung zu nehmen: er konnte leicht erkennen,
dass, da Z.DOJP= 30^, das Dreieck DOF die Hälfte eines gleichseitigen
Dreiecks und som'it I)F=^-^ und OF^^f/'d bezw. jff jP = ^ ]^3 , woraus
sich (für j/3 =■ ff) die Quadratseite gleich dem um -f^ seiner Länge ver-
minderten Durchmesser ergab, wie von Baudhäyana und anderen indischen
Mathematikern angegeben wird**.
Man kann nun wohl weiter annehmen, dass der Rechner auch
^0 = ^/3/2 = J]K6 und (füiY6 = 2|***)^5 = ir fand, so dass also
AB : EF=^ : -^ = 5 : 3. Auch selbst ein etwas zu grosser Wert für J^ü
(etwa j/6 =2^) konnte immer noch nicht die Proportion -45: ^F= 2 : 1
herstellen, vielmehr blieb auch hier noch AB\EF=\b\S also < 2 : 1.
Ahmes setzte, wie oben erwähnt, in seiner Rechnung AB = 2EF, er
wählte also ein kleineres EF bezw. eine grössere Quadratseite, als die
seiner Figur zu Grunde liegende. Dem entsprechend musste dann aber
wiederum eine grössere Diagonale vorausgesetzt werden , so dass hier eigent-
* Cantor, G. d. M., S. 48.
♦» Cantor, S. 548.
*♦* ^6 = 2,44949. ^ j
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134 Historisch -literarische Abtheilong.
lieh AB : EF> 2 : 1 sein würde. Sollte nxmÄB: EF =2:1 festgehalten
werden , so durfte man weder von der Beziehung der Diagonale zum Dorrh-
messer, wie bei der Formel des Ahmes, noch von der Beziehung des
Durchmessers zur Quadratseite, wie bei der oben erwähnten Regel des
Baudh&jana, ausgehen. Dann blieb aber als dritter und letzter Ausgangs-
punkt die Beziehung der Diagonale zur Quadratseite, also eine Betrachtung^
die sich zunächst nur auf das Quadrat bezog, und dieser Weg wird auch
in den (^ulvasütras angegeben. Dort wird n&mlich* die Aufgabe behandelt,
ein Quadrat in einen Kreis zu verwandeln. Der Unterschied zwischen der
halben Quadratseite und der halben Diagonale (Fig. 6) wird in drei gleiche
Theile getheilt und die um einen solchen dritten Theil yermehrte halbe
Quadratseite als Radius gewählt. Aus dieser Construction hat nun Baud-
hajana einen Werth für das Verhältniss zwischen Quadratseite und Durch-
messer abgeleitet**. Da nämlich die Diagonale gleich der Quadrataeite,
multiplicirt mit ]^2, ist, so würde, wenn man für ^2 den bei den Indem
gebräuchlichen Werih }/2 = 1 + i + tV "" —^ — ^\ii einsetzt, die Dii^-
nale sich zur Quadratseite wie 577:408 verhalten und, wenn man die Ver-
hältnisszahlen für die Grössen selbst einsetzt, der Unterschied zwischen
Diagonale und Qnadratseite 169, der dritte Theil davon 56^ und somit
408
der Durchmesser 464^ sein. Dann wäre also ttttt das Verhältniss zwischen
4b4^
406 7 408 7
Quadratseite und Durchmesser. Da nun j^ "^ « ' ^^ ^^^ Afül ^^ ß"
, 408.8-464^.7 7 , 13f ^ ' . u - ^ i
+ "^ö"j>?T.~^ — = ö" + ZT-T/Ti T ' odcr wcuu man, um eine bei den In-
8.464| 8 8.464J
dern beliebte Entwickelungsweise . bei der jeder folgende Nenner ein Viel-
faches des vorhergehenden ist, zu ermöglichen, den Bruch ^ im Nenner
7 16 2| ^ 7
Ü » ö AaA Q AHA Q »
8^8.464 8.464~8^8.29 8.464.3
» Q Oll Q AUA O • Q AdA O — Q • (
8 ^8 2y 8.464.3^8.464.3 ""8 ^8.29 8.29.6^8.29.6.8
Und dies ist der Werth , mit dem man nach Baudhäyaua*** den Durch-
messer multipliciren muss, um die Seite des dem Kreise gleichen Quadrates
zu erhalten.
* Cantor, S. 646.
** Cantor, S. 547.
*** Cantor, S. 547.
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Seiten- und Diametralzablen bei den Griechen. 13ö
Seiten- und Diametralzahlen bei den Griechen.
Von
Paul Bergh,
AmtBscbnlvorBUher in Bergen (Norwegen).
Der als Verfasser in der üeberschrift genannte norwegische Gelehrte
hat dem Herausgeber der Historisch -literarischen Abtheilung brieflich eine
kleine Mittheilnng gemacht , welche dieser veröffentlichen zu müssen glaubt,
da sie ihm eine überaus geistreiche Yermuthung auszusprechen scheint.
Bekanntlich nennt Theon von Smyrna solche Zahlen Seiten- und Diametral-
zahlen (an und 8„\ welche den Bildungsgesetzen
genügen, und welche — als Näherungswerth von ]^2 liefern. Herr Bergh
zeigt nun die geometrische, mithin wahrscheinlich echt griechische Ent-
stehung dieses Bildungsgesetzes. Ein gleichschenklig rechtwinkliges Drei-
eck ABC habe die beiden Katheten AB = ÄC=^ On^x, die Hypotenuse
BC=^8n^\. Die Katheten verlängert man um BD=CE^ ön-i^ so er-
hSlt man ein neues gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck ADE mit den
Katheten ÄD = ÄE= an= an-\+dn—\ und der Hypotenuse DJB=3„.
FftUt man nun von B und O aus die Senkrechten BF und CG auf DEy
so zerfÄUt letztere in drei Abschnitte DF, FG, GE. Weil L^5C=45^
L GBF =90^, ist LDBF==Ab^ und Dreieck J9 DJP gleichschenklig recht-
winklig mit BI)=^6n—\ als Hypotenuse, folglich mit «n-i als Kathete,
oder es ist DF=a„_i. Ebenso ist GE=an^\. Endlich ist FG^BG
= dn-i, mithin d„= 2a„_| + dn_i. W. z. b. w.
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Recensionen.
R. H. Hofmeister, Leitfiftden der Physik. 4 Auflage. 1884. Zfirich,
Orell Füssli & Co. Preis 4 Mk.
Mit Recht führt dieses Buch den Namen Leitfaden, indem es in aller
Kürze die ganze Physik behandelt und somit dem Schüler das in der Schale
Erläuterte rasch ins GedSchtniss zurückruft. Gegenüber der früheren Auf-
lage findet man theils andere Anordnung des Textes , die leider nicht immer
besser geworden ist (z. B. sind in der früheren Auflage die HauptsStze der
mechanischen Wärmetheorie schärfer hervorgehoben gewesen), theils mehrere
neue Capitel, wie z B. der Begriff vom Potential, das absolute Maass-
system etc. Irrthümlich werden die in der Praxis üblichen elektrischen
Maasse aus dem elektrodynamischen Maasssystem abgeleitet, statt aus dem
elektromagnetischen , welche Systeme zwar in den Dimensionen, aber nicht
in den Constanten übereinstimmen. Das Ohm ist [U"^] . 10^ und nicht
[U'^].l()^. — Das Buch, das sich ganz auf der Höhe der Wissenschaft
befindet, bietet in knapper Ausdrucksweise einen reichen Inhalt und darf
daher für den Unterricht höherer Lehranstalten bestens empfohlen werden.
B. Nbbel.
Lamb-Reiff, Einleitung in die Hydrodynamik. Preis 7 Mk. Verlag von
J. C.B.Mohr, Freiburg -Tübingen, 1884.
Vorliegendes Werk ist eine üebersetzung aus dem Englischen, welches
durch Hinzufügen einiger Capitel und Vervollständigung des Literatur-
verzeichnisses erweitert wurde. Zuerst werden die Bewegungsgleichungen
abgeleitet, wobei es S. 6 Z. 15 v. o. „Kraft** statt „Beschleunigung**
heissen sollte; daran schliesst sich die Integration der Gleichungen in spe-
ciellen Fällen an. Das Capitel über relative Bewegung der Theilchen wurde
von dem Uebersetzer eingeschaltet. Die Potentialbewegung und ihre An-
wendung auf die Bewegung der Flüssigkeit nach zwei Dimensionen wurde
auch an Beispielen weiter ausgeführt, wobei die Riemann'ache Theorie
der complexen Variabein nach Aufstellung der Hauptsätze derselben benfitzt
wurde. Bewegung fester Körper in einer Flüssigkeit, Wirbelbewegung,
Wellenbewegung in incompressibler Flüssigkeit, Wellen inr^er Luft und
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Becensionen. 137
innere Reibung bilden die weiteren Capitel, in welchen sehr anzuerkennen
ist, dass die Methoden und Formeln der yerschiedenen Autoren nach ein-
ander angeführt werden , was dem Buche zugleich einen kritischen Charak-
ter verleiht und deshalb Jedem, der sich mit Hydrodynamik beschäftigt,
um 80 willkommener sein wird. Der Anhang, welcher das nach einzelnen
Gapiteln geordnete Literaturverzeichniss und die Erwähnung der Lehrbücher
umfasst, ist ein Vorzug, der nicht gering anzuschlagen ist. _ ^^
Kritische und nicht kritische Versuche , von £gmomt. I. Erdaxen im
Verhältniss zum Werden und Vergehen. Danzig 1885. 22 S.
„Es müssen andere Naturgesetze, als die bisheVigen Theorien auf-
weisen, bei der Bildung der Weltkörper in Thätigkeit treten." Das scheint
das Thema zu sein, das sich der Verfasser gestellt hat. „Wenn das Sonnen-
licht Resultat der Gravitationskraft, das heisst eine elektrische Erscheinung
wäre, könnte die Theorie vom brennenden Umebel aufgegeben werden.**
Das scheint die Lösung zu sein. Wie? das sollen einzelne Gedankenreihen
nachweisen: Lage der Erde zur Sonne und Wechsel der Erdaxe, Jurazeit,
Eiszeit, Protoplasma, Schamgefühl (vielen Menschen kann aus Furcht und
Angst das Mannigfachste passiren), Instinkt, das Moner werden der Reihe
nach betrachtet, zu welchem Zweck ist schwer zu errathen. p 7«^,^
Elemente der theoretischen Astronomie, für Studirende bearbeitet von
Dr. Israel Holtzwart. Wiesbaden 1885. I. Abth. 185 S. An-
hänge 51 S.
Der Verfasser will Studirenden Anleitung geben, die Aufgabe zu
lösen, aus drei Beobachtungen eines Planeten dessen Bahn zu bestimmen,
ohne dass mehr Mathematik verlangt wird, als in Gynmasien gegeben wird
oder gegeben werden kann. Selbstverständlich sind hierbei Sätze aus der
Mechanik, analytischen Geometrie und höheren Analysis zu entlehnen, die
auf elementarem Wege entwickelt werden, üeber die Zweckmässigkeit, zu
Lösung einer bestimmten Aufgabe, der ein Schüler nach seinen bisher er-
worbenen Kenntnissen nicht gewachsen ist, diesen noch Einiges aus noch
unbekannten Gebieten hinzuzufügen, kann man verschiedener Ansicht sein.
Dass es aber möglich ist, auf astronomischem Gebiete mit elementarer
Mathematik weit vorwärts zu kommen, hat Bohnenberger in seiner
Astronomie gezeigt.
Der Verfasser weist zunächst die Keple raschen Gesetze empirisch nach
\S. 10 dürfte die Schlussfassung klarer sein) und zeigt, wie man die Form
einer Planetenbahn aus Beobachtungen von geocentrischen Längen und
Breiten finden kann. Dann folgt die theoretische Begründung der Kep-
ler'sehen Gesetze. Dabei werden rasch einige Differentialformeln eingeführt j
Hi*t.-Ut. Abthlg. d. Zttitsehr. f. Math. u. Phya. XXXI, 4. J J , OQ IC
138 Historisch -literarische Abtheilung.
für den Werth der Geschwindigkeit und der Beschleunigung, das Symbol
^B wird gebraucht, ohne etwas darüber zu sagen (S. 28). Um die bei
der elliptischen Bewegung wirkende Kraft zu bestimmen, wird die Ellipse
nfther betrachtet unter Voraussetzung der Grundlehren der analytischen
Geometrie auf drei Seiten (33 bis 35). Gerade diese Partie zeigt das Un-
behagliche, für andere Zwecke nöthige Gleichungen rasch zu entwickeln,
ohne beim Gegenstand selbst länger zu Yerweilen. Da die Ellipse für das yor-
liegende Werk Hauptgegenstand ist, so wftre es wohl besser gewesen, eine
ausftlhrliche Betrachtung derselben, etwa in der Art behandelt, wie in
Gu gl er 's Lehrbuch der descriptiven Geometrie, Allem voranzustellen.
In einem weiteren A'bschnitt werden die Elemente der Mondbahn und
die Ausdrücke für die Hauptstörungen des Mondes gegeben, und dann
der elliptische Ort eines Planeten bestimmt, nebst einem Beispiel aus
Bohnenberger^s Astronomie.
Alles Bisherige lässt sich als Einleitung zu der nun folgenden Haupt-
aufgabe, eine Planetenbahn aus wenigen, durch kurze Zwischenzeiten ge-
trennten Beobachtungen zu bestimmen. Die praktische Anleitung zur Aus-
führung der Berechnung, wie sie das Berliner astronomische Jahrbuch
(Jahrgang 1879 und 1882) gegeben hat, ist nicht berücksichtigt. Die Be-
urtheilung der Wahl der Formeln überlassen wir dem rechnenden Astronomen.
P. Zech.
Lehrbuch der Physik und Hechanik, für gewerbliche Fortbildungsschulen
Ton Dr. Ludwig Blum. 3. Auflage. Leipzig 1885. 539 S.
In den Fortbildungsschulen Württembergs werden seit mehr als dreissig
Jahren Abends anderthalbstündige Vorträge über Physik und Mechanik ge-
geben. Das vorliegende Lehrbuch giebt dem Lehrer Anleitung zur Ver-
theilung des Stoffs. Es ist erfreulich, sagen zu können» dass hier nicht,
wie so gewöhnlich bei den Lehrbüchern der Physik, frühere gedankenlos
abgeschrieben werden, sondern dass Althergebrachtes, unrichtiges überall
verbannt ist Man sieht dies z. B. bei der Behandlung der Waage, wo
insbesondere der Uebelstand der langen Hebelarme berücksichtigt ist, oder
bei der Ausdehnung der Gase, wo stets bestimmt gesagt wird, dass man
vom Volumen bei Null Grad ausgeht u. s. w. Als Muster für den mecha-
nischen Theil dienten die Werke von Delaunay und Holtzmann, er
nimmt nahezu die Hälfte ein. In der Lehre von der Wärme schliesst sich
noch die Betrachtung der Dampfmaschine an mit einer lehrreichen üeber-
sicht über die verschiedenen Arten derselben. Bei der Elektricität werden
die Dynamomaschinen und die elektrischen Lampen, die Telegraphen und
Telephone in Betracht gezogen. Den Schluss des Werkes bildet ein Kapitel
über die Erhaltung der Energie und eine Anzahl von Tafeln physikalischer
Constanten. Druck und Ausstattung sind sehr zu loben. p ^ech.
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ßecensioneti. 159
Omndztkge der allgemeinen Mikroskopie von Dr. Dippbl. Vieweg in
Braunechweig, 1885,, 524 S.
Eine Bearbeitung des früher besprochenen Handbuchs der Mikroskopie
vom praktischen Gesichtspunkte aus, mit Beschiänkung der theoretischen
Abschnitte auf das geringste Maass, indem nur die Resultate der theore-
tischen Untersuchungen gegeben werden, soweit sie nöthig sind, um die
neue Theorie der Bilderzeugang im Mikroskop Jedermann zugänglich zu
machen. Die Ausstattung ist die bekannte, schöne der Yerlagshandlung,
die Holzschnitte sind dieselben, wie die des Handbuchs. p 7.nQ
Helmert, Die mathematisohen nnd physikalischen Theorieen der höheren
(Geodäsie. II. Theil : Die physikalischen Theorieen , mit Untersuchungen
über die mathematische Erdgeötalt auf Grund von Beobachtungen.
Leipzig 1H84, Teubner. XV und 610 S, »> mit zwei Tafeln.
Im ersten Band des vorliegenden Werkes , von welchem in Band XXYIII
S. 55 flg. dieser Zeitschrift eine Inhaltsanzeige gegeben wurde, sind die
mathematischen Methoden zur Bestimmung der Erdgestalt behandelt, wenn
man die Erde als Kugel oder als EUipsoid betrachtet Zugleich sind die
Mittel aufgezeigt, mit welchen man, genügendes Material vorausgesetzt,
Schlüsse auf die wahre Form des Geoids machen kann. In dem jetzt vor-
liegenden zweiten Band giebt der Verfasser die Gründe an, welche ein
Rotationsellipsoid als eine plausible Näherungsform für das Geoid erscheinen
lassen, und zeigt, welche Mittel, ausser den geodätischen Messungen, uns
zur Bestimmung der Erdgestalt noch zu Gebote stehen. Im Einzelnen ist
der Inhalt in folgender Weise disponirt.
Da das Geoid eine Niveaufläche der Schwere ist, so werden im ersten
Capitel die wichtigsten Eigenschaften des Potentials und der Niveauflächen
abgeleitet.
Das zweite Capitel beginnt mit dem Beweise einiger Eigenschaften der
Kugelfunctionen. Dann wird gezeigt, dass man das Potential der Erde in
Bezug auf einen gehörig weit entfernten Punkt in eine Beihe nach Kugel-
funktionen entwickeln kann, die aber nicht bis an die physische Erdober-
fläche convergent ist. Für die weitere Betrachtung wird nun angenommen,
die Massenvertheilung sei dersTrt, dass das Potential ausserhalb durch die
drei ersten Glieder jener Reihe dargestellt werden könne. Die Niveau-
flächen sind dann — unter einer bei der Erde zutreffenden Annahme —
algebraische, an den Polen abgeplattete Rotationsflächen, die sieh von
Rotationsellipsoiden kleiner Abplattung wenig unterscheiden und die Niveau-
sphäroide genannt werden. Für die Intensität der Schwere an ihrer Oberfläche
folgt mit einigen Vernachlässigungen das Clair au tische Theorem und ergiebt
sich ein Ausdruck durch die geographische Breite , welcher die bei der Erde
[ji^iLdby Google
140 Historisch -literarische Abtheilung.
durch die Beobachtungen angezeigte Form hat, deren Constanten im dritten
Kapitel berechnet werden. Ans ihnen ergiebt sich die Abplattung = oöqö^'
also fast genau der BesseTsche Werth. Ein NiveausphSroid mit dieser
Abplattung erhebt sich über ein Rotationsellipsoid von gleicher Abplattung
und gleichem Aequatorealradius im Maximum um rund 13*". Mit derselben
Annäherung, mit der man das Geoid als ein Niveausphäroid ansehen darf,
darf man es auch als ein Ellipsoid betrachten.
Im dritten Capitel wird die Aufgabe gelöst, eine Formel ftlr die
Schwere im Meeresniyeau aufzustellen. Zu dem Zwecke wird die whrkliche
Erde durch eine theoretische Erde ersetzt, die aus dem inneren Kern der
wirklichen Erde und einer darüber gelegten homogenen Schale von etwa
21 km Dicke besteht, deren äussere Begrenzung ein der wirklichen Meeres-
fläche sich nahe anschliessendes Rotationsellipsoid ist. Diejenigen Massen,
welche bei der wirklichen Erde ausserhalb des Kernes liegen, werden bei
der theoretischen auf die Oberfläche des Kernes condensirt. Für diese
theoretische Erde nun kann man das äussere Potential durch Kugelfunctionen
in eine bis zur Oberfläche convergente Reihe entwickeln und mit ihrer
Hilfe auch einen Ausdruck ftlr die Schwere herleiten. Da, wie eine Schätzung
zeigt , die Niveauflächen gleichen. Potentialwerthes der beiden Erden sich
sehr nahe liegen, so kann man näherungsweise die der theoretischen Erde
für die der wirklichen setzen. Aus der auf der wirklichen Erde beob-
achteten Schwerkraft muss nun die von der theoretischen Erde auf einen
Punkt ihrer Oberfläche ausgeübte Anziehung berechnet werden. Die dazu
dienenden, im Eingang des Capitels entwickelten, Formeln finden An-
wendung auf die zur Zeit bekannten Schwerebeobachtungen, von welchen
22 Oruppen behandeU werden. Nach Ausgleichung der mehrfachen Be-
obachtungen an demselben Orte bleiben schliesslich 122 Beobachtu "gen an
ebensovielen Orten übrig. An sie werden die erwähnten Correctionen an-
gebracht und dann acht Oruppen gebildet, indem immer die Beobachtungen
von je 10^ Breite in ein Mittel zusammengefasst werden, unter Sonderung
in Festland-, Küsten- und Insel - Stationen. Dabei zeigt sich, dass auf
der theoretischen Erde Festland- und Küsten - Stationen derselben Breite
sehr nahe die gleiche Schwere liefern, während auf den Inseln das Secunden-
pendel ungefähr lOOMicrons länger ist, als auf dem Festlande.
Wenn mehr und besser vertheiltes Material vorläge, würde man die
Formel für die Schwere mit Hilfe der mechanischen Quadratur finden kön-
nen. Bei dem heutigen Stand bleibt nur übrig, in einer auf zwei Glieder
reducirten Formel die Constanten durch die Methode der kleinsten Quadrate
zu finden. Aus dem erwähnten Material findet Helm er t so für die theo-
retische Schwere die Formel
g = y,78(X>" ( 1 + 0,0053 10 sin^ B)
(wo B die geographische Breite).
/Google
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Becensionen. 141
Wenn weitere Beobachtungen, besonders über die Schwere auf dem
Meere existirte, könnte man nach einer von Stokes gegebenen, ¥om Ver-
fasser reproducirten Formel die Abweichungen des Oeoids von einem Niveaa-
sphäroid mit Hilfe eines Integrales finden, das aber heute noch nicht brauch-
bar ist. Gewisse Näberungsformeln für diese Abweichungen werden zum
Schlüsse als ungenügend erwiesen. Referent hatte bei der Lecture dieses
Capitels das Geföhl , dass die Einführung von Zeichen für die yerschiedenen
anziehenden Körper und ihre Wirkungen, und die Herstellung einer Gleichung
zwischen den Wirkungen der theoretischen und wirklichen Erde, an der
Spitze der ganzen Untersuchung , die üebersicht über die Condensations-
methode sehr fördern würde.
Das vierte Capitei führt uns noch mehr in ideelle Verhältnisse. Es
werden hier die Wirkungen von Massen untersucht, die auf eine homogene,
sehr grosse Kugel aufgesetzt sind. Die Schwere auf dem so entstehenden
Körper, die Niyeauflftcheu der Schwere und die Ablenkungen des Lothes
werden ermittelt. Die Niveauflächen werden dabei bezogen auf eine,
Normalniveau genannte Kugel, deren Centrum der Schwerpunkt des
gesammten Körpers ist und deren Volum dem der betreffenden Niveaufiftche
gleich ist. Als |,störende'' Massen, bez Defecte, erscheinen hier eine
Kugel , ein sehr langes dreiseitiges liegendes Prisma, dessen mittlerer Theil nur
betrachtet wird, ein prismatisches langes Thal, ein halbkugeliger Berg,
eine halbkugelige Vertiefung, eine kleine spitze InseL Wenn das auch nur
ideale Formen sind, so erlauben die Besultate doch eine Schätzung der in
der Natur vorkommenden Grössen. Man findet auf diese Weise, dass z. B.
die Alpen, bei einer Dichte =2,8, in ihrem mittleren Theile die Niveau-
flächen um etwa 30 m heben , in ihrer Kammlinie das Secxmdenpendel um
200 Microns verlängern und auf ihrem Hange eine Lothstörung von viel-
leicht 30" bewirken.
Wichtiger noch ist die folgende Untersuchung. Die aufgesetzten Massen
sind fünf unseren Continenten entsprechende abgestumpfte Kreiskegel. Jeder hat
die Höhe von 1440 + 3400 m und seine Grundfläche ist dem betreffenden Con-
tinent flächengleich. Die Dichte wird 2,8 angenommen. Da die ganze Kugel mit
einem 3400 m tiefen Meere bedeckt sein soll, so würde jeder Continent um
1440m aus dem Meere hervorragen, wenn dieses durch die Anziehung der Con-
tinentalmassen nicht gestört würde. Zuerst werden fOr die Wirkung eines Con-
tinents die analytischen Formeln abgeleitet (wobei die Lothstörungen an den
Küsten besonders zu behandeln sind), dann für jeden einzelnen Continent die
Zahlenwerthe berechnet und diese durch ein graphisches Verfahren zu der
Gesammtwirkung der fünf Continente zusammengesetzt Die so gefundenen
Höhen der gestörten Meeresfläche über einem Normalniveau sind durch
Höhencurven in einer Karte dargestellt. Es ergiebt sich aus ihr, dass
die Festländer im Mittel sich um 440 m über die gestörte Meeresfläche er-
heben (wie es auch bei der Erde der Fall ist) und dass die Niveaufläche
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142 Historisch -literarische Ahtheilung.
des Meeres sich bis gegen 500 m nach beiden Seiten vom Normalniveau
entfernt. Die Lothstörungen können, besonders an den Küsten, bis auf
1 — 2^ Minuten anwachsen. Wenn man nun die Schwere auf diesem idealen
Körper untersucht, so zeigt sich, dass sie auf dem Meere kleiner ist, als
auf dem Festlande. Da aber nach den Resultaten des dritten Kapitels es
sich gerade umgekehrt zu verhalten scheint , so giebt jene ideale Erde kein
Bild der wirklichen. Die einfiachste Art, dem Fehler abzuhelfen, besteht
in der Annahme, die neuerdings auch sonst gemacht worden ist, dass unter
den Continenten die Erdkruste weniger dicht ist, als unter dem Meere.
Wenn man diese Voraussetzung macht, so weichen aber die Niveauflftchen
noch um viel weniger als 500 m vom Normalniveau ab. Man darf hier-
nach ftlr die Erde als sicher annehmen, dass das Geoid von einem passend
bestimmten Niveausphftroid nirgend sich weiter als ein paar hundert Meter
entfernt, wodurch die Zulftssigkeit der Rechnungen des zweiten Capitels
dargethan ist und zugleich die Annahme der Geodäten, das Geoid sei ein
Rotationsellipsoid, hinlänglich gerechtfertigt erscheint.
Das folgende, fOnfte Capitel liefert eine Reihe von negativen Resul-
taten. Zuerst wird gezeigt, dass die Aendenmgen der Schwe)-e durch die
Anziehungen von Sonne und Mond auf die Gestalt der Niveauflächen einen
unwesentlichen Einfluss haben. Dann wird die Rotation der Erde um ihren
Schwerpunkt betrachtet, zunächst ohne Rttcksicht auf die störenden Kräfte,
und, mit Zuziehung der beobachteten Werthe der Lunisolarpräcession , ge-
funden , dass die Momentanaxe um die Axe des grössten Trägheitsmomentes
in 10 Monaten einen Kegel von sehr kleiner Oeffnung beschreibt, die aus
den Polhöhebeobachtungen in Pulkowa sich zu etwa -^" ergiebt. Die
Berücksichtigung der störenden Wirkungen von Mond und Sonne l^idert
dieses Resultat ebenso wenig in erheblicher Weise, als eine kleine Un-
gleichheit der, bis jetzt als gleich angenommenen, äquatorealen Trägheits-
momente. Die Bewegung der Momentanaxe im Erdkörper stört die Gestalt
der Niveauflächen zwar etwas, aber nur um wenige Millimeter. Grösseren
Einfluss könnten auf die Rotationsbewegung, und infolge dessen auf die Gre-
stalt der Niveauflächen, dagegen Massenbewegungen auf der Erde, z. B.
durch meteorologische Processe, ausüben. Ob eine langsame Abnahme der
Polhöhen durch die Beobachtungen angezeigt ist, scheint zweifelhaft; sie
würde sich — ebenso wie die beobachteten Hebungen und Senkungen des
Landes an einzelnen Stellen — durch Aenderung der Eisbedeckung der
Oircumpolarländer erklären lassen.
Einen schätzenswerthen Beitrag zur Kenntniss der Erdgestalt liefern,
wie im sechsten Capitel gezeigt wird, astronomische Beobachtungen. Die
Idee zwar, Mondbeobachtungen zur Bestimmung der geocentrischen Coordi-
naten eines Erdortes zu benutzen, ist praktisch nicht ausführbar, weil die
Theorie der Mondbewegung noch zu ungenau ist Dagegen lassen sich , aus
der Intensität der Schwere und der Mondparallaxe, der Aequatorealhalb-
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Recensionen. 143
meäser der Erde, aus einigen Störnngsgliedern der Mondbewegung und aus
der Prficession die Hauptträgheitsmomente und die Abplattung (1 : 297,8) be-
rechnen. DieWerthederTrägheitsmomente(A=Ü,3310fl^«Jf, (7=0,3321 a^^itf;
a^ := Erdradius , M Erdmasse) entsprechen nicht einem homogenen Ellip-
soid, sondern yerlangen eine Zunahme der Dichte nach Innen. Indem
man die Erde als Kugel annimmt und Ä^=C setzt, sowie die Dichte
als gerade Function vierten Grades des Abstandes vom Centrum ansetzt,
kann man das Gesetz der Dichte aus der Beobachtung finden. Die Bech-
nung ergiebt für die Dichte im Centrum den Werth 11,6. Eine ähnliche
Rechnung wird unter der Avnahme durchgeführt, die Masse sei in ellip-
soidischen Schichten angeordnet, und sie liefert für die Dichte im Centrum
11,3. In diesem Falle würde die Schwere von der Erdoberfläche bis zur
Tiefe von etwa 1200 km wachsen und dann erst abnehmen. Wie man aus
einer beobachteten Zunahme die mittlere Dichte berechnen könne und wie
sehr diese Rechnung von der Kenntniss der Umgebungen der Beobachtungs-
orte abhänge, wird am Schluss noch gezeigt.
Das siebente Capitel ist den geometrischen Nivellements gewidmet.
Nachdem die strenge Reduction der Messungsergebnisse mit Hilfe von
Schweremessung zur Erlangung von Potentialdifferenzen gelehrt ist, wird
die wichtige Frage untersucht, wie die Resultate der gewöhnlichen Be-
rechnungsart corrigirt werden müssen, um unterschiede wahrer Meeres-
höhen zu geben. Wenn man nur die normale Aenderung der Schwere mit
der Breite in Rechnung zieht, findet sich eine einfache Regel zur Berech-
nung der Correction. JWenn man sie nicht in Rechnung zieht, so kann
das Nivellement einer geschlossenen Curve einen „Schlussfehler'' zeigen,
der z. B. bei einer die Alpen einmal überschreitenden Schleife, die an der
Ostsee beginnt und endigt , bis gegen 0,4 m steigen kann.
Um für die Wirkung der unregelmässigen Aenderung der. Schwere
eine Schätzung zu gewinnen, wird ein synthetischer Weg eingeschlagen,
indem die Fehler untersucht werden, die beim Nivelliren der Querschnitte
von acht dreiseitigen langen Prismen entstehen. Bei einer Höhe von
2500 m haben vier Prismen eine Breite von 25 km, die vier anderen von
250 km. Die Resultate sind in Tabellen und durch Curven in einer Tafel
niedergelegt, welche die Lothablenkung auf dem Hange und auf der Grund-
fläche, die Krümmung der Lothlinie vom Hang bis zur Grundlinie und den
Nivellementsfehler ersehen lassen. Die Kammhöhe kann, wie sich zeigt,
bis zu 35 cm fehlerhaft sich ergeben, wogegen der Schlussfehler nur bei ,
dem Profil mit senkrechtem Absturz 3 dem , bei allen anderen nicht über
1 dem beträgt, so dass selbst bei Alpennetzen ein erheblicher Schlussfehler
aus dieser Ursache unwahi'scheinlich ist. Das gleiche Resultat folgt aus
der Untersuchung der Wirkungen eines kugelförmigen Hohlraumes. Diese
Ueberlegiingen beweisen, dass man aus Nivellementsnetzen, mit Berück-
sichtigung der normalen Schwereänderung allein , wenigstens widerspruchsfrei
/Google
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144 Historisch -literarische Abtheilang.
Meereshöhen berechnen kann, die zwar nicht fehlerfrei sind, deren Fehler
aber (die selbst bei den grössten Alpenhöhen kaum 1 m betragen) sich
durch kein Nivellement entdecken lassen. Zum Schlüsse des Kapitels wird
nachgewiesen , dass mehrere vorher gemachte Yemachlftssigungen ohne Einflufs
sind, dass höchstens die Anziehungen von Sonne und Mond sich unter be-
sonderen und vermeidbaren Umständen bemerklich machen könnten.
Das achte und letzte Capitel ist der trigonometrischen Höhenmessung
gewidmet. Wenn die Befraction nicht wäre, könnte man die gegenseitige
Lage von beliebig vielen Erdorten durch Beobachtungen ohne Benutzung
einer Hypothese bestimmen. Die Brechung des Lichts in der Luft aber
kann nur der Bechnung unterworfen werden, wenn man über die Qestalt
der Fl&chen gleicher Dichte, über die Temperaturabnahme nach oben und
über den Oehalt der Luft an Wasserdampf Annahmen macht. In dem vor-
liegenden Capitel ist gezeigt, wie man dann je nach den verschiedenen Theo-
rien (Laplace, Bauernfeind, Jordan) die Refraction berechnen kann.
Leider sind jene Annahmen vielfach der Wirklichkeit nicht entsprechend
und deswegen empfiehlt Verfasser, die Messungen von Zenithdistanzen auf
Entfernungen von höchstens etwa 20 km zu beschränken. Bei so kurzen
Distanzen können auch die auf dem üblichen Wege berechneten Höhen-
unterschiede sehr nahe als unterschiede wahrer Meereshöhen betrachtet
werden. Immerhin aber erhält man bei der Lecture dieses Capitels nicht
den Eindruck, dass in absehbarer Zeit die Befractionstheorie so vervoll-
kommnet werden könnte, dass man sich der Zenithdistanzen zur Bestimmung
der Erdgestalt würde bedienen können.
Diese Uebersicht des Inhaltes, bei welcher Referent nur einige Resul-
tate von allgemeinem Interesse hervorgehoben, reicht hin, uip die un-
gemeine Reichhaltigkeit des Buches zu zeigen. Was beim ersten Bande
zu rühmen war, eine einfieu^he, durchaus einheitliche Bearbeitung eines
umfangreichen Stoffes, ist auch beim vorliegenden Bande hervorzuheben.
Eine grosse Zahl historischer und kritischer Noten behandelt die Be-
strebungen der Vorgänger, unter welchen besonders S tokos und Bruns
zu nennen sind, deren Arbeiten aber viel weniger ins Detail gehen, als
die des Verfassers.
Herr Helmert hat sich durch dieses Buch die Anwartschaft auf eine
leitende Stelle in der deutschen Oeodäsie erworben und wir wünschen und
hoffen, dass er in einer solchen bald seine Ideen praktisch ausführen kann.*
J. LÜROTH.
Die GFeschichte der Physik, in ihren Grundzügen mit synchronistischen
Tabellen der Mathematik, der Chemie und beschreibenden Natur-
* Seit Abfassung dieser Anzeige ist der Wunsch durch Heluiert^s Berufung
an die Spitze des geodätischen InstitutB erfüllt worden
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Becensionen. 145
Wissenschaften, sowie der allgemeinen Geschichte. Von Dr. Fbrd.
RoSENBBBaER. Zweiter Teil. Geschichte der Physik in der neueren
Zeit. Braanschweig, Druck und Verlag von Friedrich Vieweg & Sohn.
1884. VI, 407 S.
Unser Bericht über den ersten Theil des vorliegenden Werkes ist im
28. Bande dieser Zeitschrift (hist.-lit Abth., S. 14flgg.) enthalten. Es wurde
damals die Anlage als eine geeignete anerkannt, der Styl gelobt, das Be-«
streben des Verfassers gebilligt, die Geschichte einer einzelnen Wissenschaft
nur in stetem Zusammenhange mit der allgemeinen Kulturgeschichte zu
behandeln; getadelt musste werden die mangelhafte und hftufig ungründ-
liche Ausführung der einzelnen Episoden. Es war zu erwarten, dass diese
Nachtheile sich in der Geschichte der neueren Physik minder bemerklich
machen würden, als in derjenigen der alten; denn es werden ja, je weiter
die Darstellung fortschreitet, die QueUen auch immer leichter zugänglich,
die sonstigen literarischen Hilfismittel zahlreicher. So ist denn diese zweite
Abtheilung ein recht lesbares und lesenswerthes Buch geworden , das nament-
lich in der äusseren Form der Geschichte der Physik von Poggendorff,
in welcher freilich wieder eine weit grössere Menge von Thatsachen ent-
halten ist, vorzuziehen sein dürfte.
Mit Recht wird eine sehr umflbigliche Schilderung der Leistungen
Galilei's an die Spitze dieses Bandes gestellt, denn durch diese wird der
Naturwissenschaft aUer Folgezeit der unauslöschliche Stempel aufgedrückt.
Daran reiht sich die Lehre vom Magnetismus and von der Elektricit&t, wie
sie in den Schriften William Gilbert 's zuerst eine systematische Fassung
empfangen hat, und darauf folgt ein Kapitel ans der Geschichte der Optik
(Kepler, Erfindungsgeschichte des Femrohrs u. s. w.). Nachdem sodann, ^
für ein der Astronomie als solcher doch ziemlich fem stehendes Werk sehr
ausführlich, Kepler' s und Galilei's Ansichten über kosmische Wirkungen
und Gesetze besprochen sind, geht der Verfasser zu Bacon über, betreffii
dessen es nun einmal zum guten Ton zu gehören scheint, sich mit Liebig's
absprechendem ürtheil einverstanden zu erklftren, verweilt kurz bei Gelli-
brand, Mersenne und Kircher, etwas Iftnger bei Torricelli und be-
schftftigt sich sodann eingehender mit Descartes und Gassend i. Dass
der Verfasser den erstgenannten dieser beiden speculativen Physiker nicht
nach Verdienst gewürdigt, hat bereits Lasswitz in der „Zeitschr. f. math.
u. naturw. Unterricht^ hervorgehoben; Herr Bosenberger kennt recht
wohl die Ehrenrettung von Kr am er (4. Heft der ^Abhandlungen zur Ge-
schichte der Mathematik*'), allein dieselbe passt ihm so wenig zu seiner un-
günstigen Meinung, dass er an einem von Cartesius an Snellius be-
gangenen Plagiat nach wie vor festhalten zu müssen glaubt. Die zweite
Periode nimmt ihren Anfang mit Guericke und Boyle — einer der
besten Abschnitte dieses Bandes — , darauf wird von den Versuchen der
florentinischen Akademie, von der Erfindung der Pendeluhren und von der
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146 Historisch -literarische Abtheilnng.
Verwendung des Secnndenpendels znr genaueren Bestimmung der Erdgestalt
gehandelt, und damit ist die Einleitung zu der durch den Namen Isaak
N e w 1 0 n ' 8 gekennzeichneten Epoche gegeben. Aber auch die Meteorologie
und die Fortschritte der Experimentirkunst werden nicht vergessen. Die
dritte Periode erstreckt sich von 1690 bis 1750; neben der Vervollkommnung
der Mechanik beginnt jetzt auch die Theorie der Imponderabilien eine
. grössere Bolle zu spielen denn vorher , auch der jugendfrisch aufstrebenden
Akustik müssen einige Seiten eingeräumt werden, Wellenlehre, physiologische
Optik und Hydrodynamik beginnen sich langsam zu entwickeln, und treff-
liche Lehrbücher der Experimentalphysik, wie diejenigen von Sturm und
Musschenbroek, weisen auf das erfolgreiche ^Bingen der Wissenschaft
nach methodischer Gestaltung hin. Die vierte Periode endlich soll bis 1780
reichen. Jedem Schriftsteller bleibt es unbenommen, sich die Grenze fUr
seine Arbeit nach eigenem Ermessen zu wfthlen, doch können wir persön-
lich uns nicht davon überzeugen, dass gerade das genannte Jahr irgendwie
ausgezeichnet vor anderen Jahren wäre. Natürlich ist es die Elekiricitftt,
welche dieser letzten Periode ihre Signatur verleiht. Fügen wir noch hinzu,
dass die synchronistischen Tabellen in der That recht geschickt gearbeitet
sind und die Aneignung des Memorirstoffs gewiss erheblich zu erleichtern
vermögen, sowie dass ein guter Index das Buch beschliesst, so glauben
wir von diesem letzteren einen ausreichend erschöpfenden Bericht erstattet
zu haben, wenigstens soweit dessen allgemeine Eigenschafton in Frage
kommen.
Im Besonderen freilich Hessen sich, wie früher, manche begründete
Einwände erheben. Die Bemerkung, dass der Verfasser sich zu häufig gänz-
lich in die Hände der Autoren giebt, aus denen er schöpft, drängt sich
auch hier wieder auf. So ist denn doch der akustische Abschnitt (S. 269
bis 283) gar zu wenig selbständig, weil durchaus den betreffmden Bestand-
theilen von WhewelTs „Geschichte der inductiven Wissenschaften" nach-
gebildet. Auch mit Mersenne, diesem Centralorgan alles naturwissen-
schaftlichen Wissens aus der ersten Hälfte des XVII. Jahrhunderts, scheint
sich der Verfasser nicht selbst beschäftigt zu haben, da er sich nur auf
das beruft, was Montucla und Wilde von Jenem zu melden wissen; so
ist denn auch von Mersenne 's Werken die anregende und an scharf-
sinnigen Beobachtungen reiche „Acontismologia^ nicht einmal genannt.
S. 201 bespricht der Verfosser die bekannte Arbeit von Huygens über
Doppelbrechung und fügt hinzu: „Newton kann diese Abhandlung nur
flüchtig gelosen haben, denn er giebt in seiner Optik zur Auffindung des
ansserge wohnlich gebrochenen Strahles eine falsche Regel, während Huygens
schon die richtige hat.^ Abgesehen davon, dass es immer eine missliche
Sache ist, gegen einen Newton den Vorwurf der Flüchtigkeit zu erheben,
ist dieser Vorwurf auch inhaltlich unzutreffend , denn wie konnte Newton
die Ellipsoidconstruction des Huygens billigen, welche mit der vom
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Reoensionen. 147
Enteren nun einmal nicht anerkannten Yibrationstheorie steht und föllt?
Endlich sind gewisse Untersnchungsgebiete mit Stillschweigen übergangen,
die fOr die Beurtheilung der Phjsik des XVII. nnd XYIII. Jahrhunderts
Ton höchster Bedentang sind. Von der Atomistik wird stets nur gelegent-
lich, niemals im Zusammenhang^ gehandelt, die mit den Molekularhypo-
thesen in engster Verbindung stehende Theorie des leuchtenden Barometers,
ein ganz ungemein belehrendes Capitel, wird nur gelegentlich gestreift,
und, was wir am wenigsten verstehen, die meteorologische Bedeutung der
Himmelskörper, über welche in dem genannten Zeitraum eine wahre Fluth
Ton Schriften erschien, findet gar keine Erwähnung. Allerdings machen
es die Vorlagen, an welche sich die Darstellung des Verfassers in der
Hauptsache anlehnte, nicht anders, allein darum hätte eben in solchen
Punkten über das Vorhandene hinausgegangen werden sollen.
Diese Ausstellungen sollen an dem oben gefüllten Gesammturtheil nichts
mehr ändern. Sie sollen nur zur Begründung unseres Ausspruchs dienen,
dass die Herstellung einer wirklichen, pragmatischen Geschichte der Physik,
80 wie wir sie uns denken, nur auf Grund ausgedehnterer Vorarbeiten zu
ermöglichen ist. Als Etappe auf dem Wege zur Erreichung dieses Zieles
wollen wir uns Bosenberger's Buch gerne gefallen lassen.
Ansbach. Dr. 8. Günther.
Oesohiohte der Physik von Aristoteles bis auf die neueste Zeit von
AuQUST HeliiEr, Professor in Budapest. Zweiter Band. Von Des-
cartes bis Robert Mayer. Stuttgart Verlag von Ferdinand Enke.
1884. XV, 754 S.
Eine Geschichte nicht sowohl der Physik, als vielmehr der Physiker —
so hatten wir bei unserer Anzeige des ersten Bandes diesen zu charakteri-
siren , und ebenso erscheint auch der zweite. Nimmt man diese Einrichtung
des Buches, auch ohne sich mit ihr einverstanden zu erklären, als etwas
Gegebenes hin, so wird man nicht umhin können ^ den grossen und achtungs-
werthen Fleiss anzuerkennen, welchen der Verfasser seiner Aufgabe ge-
widmet hat. Referent glaubt sich zu der Behauptung berechtigt, dass kein
Physiker, von dem irgend originelle Leistungen bekannt sind, in dem Ver-
zeichniss fehlt, und zahlreiche Stichproben haben ihm auch die Ueberzeugung
verschafft, dass die biographischen Abrisse treu und die literarischen An-
gaben zuverlässig sind, obschon — vergl. weiter unten — nicht selten noch
Zusätze angebracht werden könnten. Im Gegensatz zuBosenberger führt
Herr Heller die Darstellung bis in die allemeueste Zeit herein fort, indem
er sich dabei eine wohl anzuerkennende Unparteilichkeit zu wahren sucht
So stellt er die grossen Verdienste Robert May er 's um die Ausbildung
der Wärmemechanik zwar in helles Licht, aber er verföllt nicht in die
durch den Vorgang Dühring's neuerdings herrschend gewordene Manie
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148 Historisch -literarische Abtheilung.
der üebertreibung , sondq^i hat den Mnth, fUr den yielgeschmfthten Poggen-
dorff einzutreten und es auszusprechen, dass es nicht so leicht gewesen
sei, hinter dem von Jenem zurückgewiesenen Aufsfttzchen „üeber quanti-
tative und qualitative Bestimmung der Erfifte** das Genie des Autors zu
verspüren. Man merkt es Hei 1er 's Erztthlung, obgleich dieselbe an Ge-
wandtheit der Form hinter derjenigen Bosenberger's um ein Merkliches
zurücksteht, allenthalben an, dass ihr eine genauere Eenntniss der ab-
gehandelten Dinge zu Grunde liegt; und diese üeberzeugung söhnt auch
mit jenem Hauptfehler des Buches aus, der darin besteht, eine Fülle von
Sachen mit in den Text zu verweben, die an sich ganz wissenswfirdig
sind, aber mit dem eigentlichen Gegenstand so gut wie gar nichts zu
thnn haben.
Wie lässt es sich z. B. rechtfertigen, dass Otto v. Guericke's wegen
volle 2^ Seiten durch Schilderungen aus der Magdeburger Belagenings-
geschichte angeftillt sind, wie femer, dass die blosse Lebensgeschichte des
Cartesius gar 10 Seiten beanspruchen darf? Dadurch wird denn doch
eine unzulässige Breite herbeigeführt. Dass der Verfasser die Astronomie,
auch die blos beobachtende und theoretische, für nahezu gleichberechtigt mit
der eigentlichen Physik hält, haben wir schon früher gesehen, und so be-
gegnen wir denn auch hier Mftnnem, wie Dörfel, Kirch, Hevel, die
sich wohl selbst darüber wandern würden, weshalb sie an diesem Orte
figuriren ; bei dem Erstgenannten ist sogar gerade jene Leistung nicht auf-
geführt, welche ihm wenigstens in der Geschichte der Geophysik eine Stelle
sichert, nämlich seine Berechnung einer Meteorbahn (vergl. die interessante
Biographie von C. Reinhardt). Ganz ähnlich verhält sich's mit Spinoza.
Dass die geistvoUen Schriften dieses tiefen Denkers irgend eine Bückwirkung
auf den Fortgang unserer Naturerkenn tniss gehabt hätten, dafür fehlt jeder
Anhalt, allein eine physikalische ; hier nicht erwähnte Abhandlung hat er
allerdings geschrieben, nämlich eine ,,8teelkon6tige Beeckening van den
Begenboog''. — Kleinigkeiten herauszusuchen, um daran zu mäkeln, kann
nicht unsere Sache sein, denn dass bei einer solchen Fülle von Einzel-
angaben Manches der Berichtigung bedarf, versteht sich ja von selbst
Nur um dem Verfasser einen Beweis des Interesses zu geben, mit weldbem
wir sein Werk lasen, schalten wir hier zwei Bemerkungen ein, zu welchen
uns S. 243 den Anlass bietet. Von Th6venot wäre doch etwas mehr zu
sagen, als hier zu finden ist, denn er ist nach B. Wolf der Erfinder eines
der wichtigsten unter allen auf physikalischen Grundsätzen basirten M^s-
Werkzeugen, der Wasserwaage, xmd der Geologe Steno hiess von Hause
aus nicht Steen, sondern Stensen, wie die unlängst über ihn von
Plenckers veröffentlichte Monographie darthut.
Helle r's nunmehr zum Abschlüsse gelangtes Werk kann mit noch
grösserem Bechte als dasjenige, von dem wir vorhin sprachen, als eine
wichtige und unumgängliche Vorarbeit zu einer dereinstigen Geschichte der
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Becensioneti. 149
Natnrlehre im wahren Sinne des Wortes bezeichnet werden. An Kenniniss
und an Beherrschung des Materials fehlt es diesmal nicht, nnr die metho-
dologische Auffassung, mit welcher der Verfasser an seine Arbeit heran-
trat, ist in unseren Augen eine vollkommen unrichtige. Wir wünschten,
dass in einer zu erhoffenden zweiten Auflage ein Versuch zur Abstellung
dieses Grundfehlers gemacht würde; leicht ist nicht, was wir verlangen,
aber m5glich ist es. — Ausstattung und Correctheit des Druckes sind hier,
wie auch bei der zuerst recensirten Schrift, durchaus lobenswfirdig.
Ansbach. Dr. S. Günther.
Die Geschichte des Fernrohrs bis auf die neueste Zeit. Von Dr. H. Sbrvus.
Mit acht in den Text gedruckten Abbildungen« Berlin. Verlag von
Julius Springer. 1886. VII, 135 S.
Für eine quellenmässige Geschichte des Femrohrs sind 8^ Bogen sehr
weiten Druckes in Klein -Octav etwas wenig, und in der That ist die Dar-
stellung auch keine vollständige^ Wir wollen das, was fehlt, weiter unten
in Kürze zusammen&ssen , gleichzeitig aber jetzt schon bereitwillig das Zu-
geständniss machen, dass einige Hauptpunkte eine genügend ausführliche
und durchaus einwurfsfreie Erledigung gefunden haben. Der Verfasser ent-
scheidet sich auf Grund der Aetenstücke, welche uns über die allfallsigen
Ansprüche der Niederländer Jansen, Metius und Laprey unterrichten,
dafür, dass für die Priorität des letzteren die grössere Wahrscheinlichkeit
spreche; er schildert zutreffend die Verdienste von Galilei, Kepler und
Descartes, welch' Letzteren er gegen die allerdings oft recht leichtfertigen
Vorwürfe seiner und einer späteren Zeit in Schutz nimmt, er giebt end-
lich eine ausführliche und , soweit wir zu prüfen in der Lage waren , durch-
aus zutreffende Geschichte der Entdeckung des Achromatismus , die er bis
auf die neuesten Arbeiten von W. Schmidt, Hansen, Scheibner,
Vogel fortführt. Die Spiegelteleskope behandelt er weit kürzer, doch wird
auch in dem von ihnen handelnden Abschnitte nichts eigentlich Wichtiges
vermisst.
Dem gegenüber ist hervorzuheben , dass der Verfasser die Vorgeschichte
des Femrohrs mit einigen 'aus Poggendorff entnommenen Angaben ab-
macht, ohne sich irgend mit den hochinteressanten Fragen zu beschäftigen,
zu deren Stellung jene Anlass gegeben hat. Stellte doch schon Lessing
hierüber eine seiner geistreichen, durch kritischen Geist ausgezeichneten
Untersuchungen an. Henri Martins' Abhandlung „Sur des instmments
d'optique faussement attribu^s aux anciens par quelques savants modernes^
mag in Deutschland allerdings nicht sehr bekannt geworden sein, allein
dafür hat R. Wolf im 9. Jahrgang der „Vierteljahrsschr. d. astron. Gesell-
schaft^ einen genügend eingehenden Bericht über dieselbe abgestattet. Der
Verfasser bemerkt femer, dass die Astronomen des Mittelalters sich offener
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150 Historisch -literarische Abtheilung.
und nur zur Abhaltung des diffusen Lichtes bestimmter Tuben zum Be-
obachten der Gestirne bedient hätten ; das ist wahr , und den Yom Verfasser
angefahrten Beispielen lässt sich nach Zimmermann noch ein weiteres,
anscheinend sehr merkwürdiges aus einem St. Gallener Codex zur Seite
stellen, allein hier w&re der Ort gewesen, zu erörtern, welchen Zweck die
Verwendung eines gläserlosen Tubus wohl haben konnte. Es ist nicht ganz
leicht, sich einen solchen zu denken. Bezüglich des Binocolarteleskops
finden wir nur die an sich richtige Bemerkung, Bheita habe es nicht
zuerst erfunden. Gerade über diesen Gegenstand hat uns die Neuzeit manch'
interessante Forschung gebracht, so von Govi und Favaro; zumal des
Letzgenannten Schrift ,, Bulla invenzione dei cannochiali binoculari'' (Turin
1881) hätte nicht ausser Acht gelassen werden dürfen. — Schliesslich müssen
wir es tadeln, dass den Eigennamen, resp. ihrer Rechtschreibung» zu wenig
Beachtung geschenkt ist (Hujghens statt Hujgens, Hook statt Hooke,
Barron statt Barrow, Vitellion statt Witelo, Schleiner statt Scheiner u a. m.).
Aller dieser Ansstellungen unerachtet hoffen wir den Verftuser noch
häufig auf dem mit dieser Monographie betretenen Wege zu begegnen.
Denn in der Hauptsache hat er nicht blos Lust und Liebe , sondern aueh
Talent für die Arbeit auf seinem noch immer zu wenig bebauten Gebiete
bethätigt.
Ansbach. Dr. S. Günther.
Tychonis Brahe Triangnlomm planoram et sphaerioomm prazia arith-
metica, qua maximus eorum, praesertim in astronomicis usus com>
pendiose explicatur. Nunc primum edidit Dr: F. J. Stüdnicka,
C. B. Prof. Math. PubL Ord. üniversitatis litterarum Bohem. etc. etc.
Pragae 1885.
Dass die Prager Universität ein merkwürdiges Manuscript aus T jcho*s
Feder bewahre, war seit einiger Zeit bekannt; einige Mittheilungen darüber
hatte R. Wolf im 15. Jahrgang der Vierteljahrsschrift der astronomischen Ge-
Seilschaft gegeben. Nunmehr hat Professor Studnicka diese Tjchonische
Trigonometrie, welche ihr Autor als eine Ergänzung zum ,, Canon doctrinae
Triangulorum" des Bheticus aufgefasst zu haben scheint, in trefflicher
photographischer Nachbildung herausgegeben. Die ebine Trigonometrie
enthält sieben, die sphärische neun „Dogmata**; aus beiden zusammen er*
sieht man recht deutlich, über welche Hilfsmittel rechnerischer Art ein
Astronom zu Ende des XVI. Jahrhunderts, also ungefähr 30 Jahre vor dem
Bekanntwerden der Logarithmen, verfügte. Tycho bedient sich nicht der
jetzt üblichen Fassung, man solle aus gegebenen Stücken des Dreiecks die
übrigen berechnen, sondern bedient sich, wie 350 Jahre früher Jordanus
Nemorarius in seinem Buche „De numeris datis", der Ausdrucks weise :
Wenn die und die Stücke bekannt sind, so sind auch die noch fehlenden
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Becensionen. 151
bekannt, nnd zwar Yermöge der folgenden Sätze. Die Beweise fehlen theil-
weise ganz, theilweise beschränken sie sich aaf eine den Beweiagang dar-
legende Figur. In einem Falle war der Verfasser mit der Zeichnung nicht
zufrieden und strich sie aus, ohne eine andei*e an ihre Stelle zu setzen.
Für die Geschichte der Terminologie flQlt der immerhin beachtenswerthe
Umstand ab, dass Brahe die Ausdrücke Hypotenuse und Katheten nicht
kennt, sondern sich mit den Umschreibungen „latus reäo stMensum^ und
ftlatera circa rectum^ behilft.
Die Aufgaben für das rechtwinklige Dreieck werden in drei Sätzen in
der bekannten Weise erledigt. Beim schiefwinkligen Dreieck wird natür-
lich so verfahren, dass möglichst wenig Multiplicationen und Divisionen
sich als nöthig erweisen, und die Art der Auflösung ist deshalb häufig
eine von der modernen ziemlich abweichende. Zum Beweise hierfür sei die
Stellung und Behandlung der Aufgabe hier mitgetheilt, aus h, c und
or (6 > ß , c > 90®) den Winkel ß zu finden. „At si angulus obittsm fuerü,
duc simim complementi oUus^i in tnqjus lattts, et dimde per totum, exü m-
ventum L Bernde duc smum ohtusi in majusr Uxtus, et di&ide per totum;
exU inventum IL Postea adde L inventum dato minori lateri, et habehis
inventum III. Jam duc inventum IL in totum, et divide per inventum HL
exit numeris Anguli, qui adßacet lateri minori, in Tabula foecunda in
quirendi.** Schreiben wir diese Anweisung' entsprechend um, indem wir zu-
gleich mit r den Sinus totus bezeichnen, so sieht das Rechnungsschema so
aus (die Sinus sind hier nicht als Verhältnisszahlen, sondern als Strecken
zu nehmen):
= I, = II, — 3=— = III = der in der „Tab. foec."
r r II
aufzusuchenden Zahl.
Diese Tafel, die ihren Namen schon durch Begiomontan erhalten hat,
ist aber keine andere , als eine solche der Tangenten und Cotangenten , und
wirklich ist
cotangß_hsin{a'"90'^) + cr_c + hco8{180'^''a) _
r " hsina " 6«n(l80«-«) i*'^'^ *•- !)•
Die Berechnung der Winkel aus den Seiten erfolgt im Wesentlichen noch
ganz nach dem Gedankengang des Ptolemaeischen Almagests, in welchem
diese Aufgabe — bei Bestimmung der Verfinsterungsgrösse einer partiellen
Sonnenfinstemiss — uns zuerst begegnet. Die Baumtrigonometrie trägt
dagegen völlig den Stempel Begiomontan 'scher Geistesarbeit, wie denn
erst durch L. Euler dieser Disciplin die Gestalt verliehen wurde, welche
uns heute als die einzig natürliche erscheint
Ansbach. Dr. S. Günther.
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152 Historisch -literarische Abtheilung.
Antolyd de sphaera quae moyetnr über de ortibns et oooasibni libri
dno una cum scholiis antiquis e libris manuscnptis edidit latina
interpretatione et commentariis instruzit Fridbrious Hultsch. Lip-
siae in aedibus B. G. Teubneri. 1885. LXIV, 231 8.
Seit Josef Anria 1587 die Schriften des Autolykus erstmalig ans
dem Griechischen ins Lateinische übersetzt herausgab, sind fast drei Jahr-
hunderte yerflossen. Man kann nicht sagen, dass diese Jahrhunderte die
genannten, fOr sie neuerdings vorhandenen Werke in richtiger Weise aus-
gebeutet hfttten. Man wusste, dass es einen astronomisch -geometrischen
Schriftsteller Autolykus von Pitane gegeben habe, dass dessen Lebens-
zeit kurz vor der des Euklid lag, aber über den Lihalt seiner Leistungen
war man aufs Nothdürftigste , wenn überhaupt, untern ?htet Die Auria-
sche Ausgabe gehörte eben selbst zu den buchhftndlerischen Seltenheiten,
und da Autolykus nur von wenigen griechischen Schriftstellern genannt
wird , vorzugsweise von P a p p u s , der auch wieder vor der H u 1 1 s c h *8chen
Ausgabe (1876 -r- 78) häufiger erw&hnt als studirt wurde, so versäumten
die Geschichtsschreiber alter Geometrie, sich nach Autolykus genauer um-
zuschauen. Auch als Herr Bich. Hoche 1877 den griechischen Wort-
laut der Lehrsätze des Autolykus in einem Programm des Hamburger
Johanneums zum Abdruck brachte, veränderte sich die Sachlage nur un-
wesentlich. Trotz allen Gewichtes, welches die gelehrten Gymnasien, von
den Einen dafür geschmält, von den Anderen gelobt, auf die Pflege der
griechischen Sprache legen, bedarf es doch meistens mit Erläuterungen und
womöglich mit üebersetzungen versehener Ausgaben griechischer Mathema-
tiker, damit sie von modernen Fachgenossen in Deutschland berücksichtigt
werden können, und in anderen Ländern als Deutschland liegen die Ver-
hältnisse wohl wenig anders. Herr Hultsch hat uns nun mit einer sol-
chen Ausgabe beschenkt , und dass dieselbe auch weitestgehende Ansprüche
befriedigt, braucht kaum besonders gesagt zu werden. Der Hultsch'sche
Pappus steht fest in der allgemeinsten Anerkennung; der Hultsch 'sehe
Autolykus ist dessen ebenbürtiges Seitenstück. Ohne diesem Lobe Worte
beifügen zu wollen, die es doch nicht erhöhen könnten, wenden vrir uns
zu den Schriften des Autolykus selbst.
Zurückführung verhältnissmässig ^äten Wissens auf frühere Zeiten,
diese Worte kennzeichnen das Bestreben und das Ergebniss der Geschichte
unserer Wissenschaft, wie sie allmälig in den letzten fünfzig Jahren sich
entwickelt hat. Es kann hier unsere Aufgabe nicht sein, diese Behauptung
im Einzelnen und an jedem Capitel der Mathematik zu rechtfertigen. Nur
der Eugellehre oder Sphärik haben wir zu gedenken. Die längste Zeit galt
es für unanfechtbar, dass Theodosius von Tripolis, muthmasslich dem
I. vorchristlichen Jahrhundert angehörig, der Erste war, der ein Werk über
diesen Gegenstand schrieb. Ein Gymnasialprogramm von A. Nokk (1847)
bewies zu grossem Erstaunen der Wenigen, die zufällig die Abhandlung in
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Becensionen. 153
die Hand bekamen, dass die Euklidischen Phftnomena bereits eine ent-
wickelte Sphftrik ganz ähnlich der des Theodosins voraussetzen, und
Herr Heiberg vervollstftndigte den Beweis in seinen Euklidstudien und
half ihm zu allgemeiner Bekanntschaft. Mit den Schriften desAutolykus
in der Hand fordert heute Herr Hultsch ein noch älteres Ursprungs-
zeugniss fOr die griechische Sphttrik, und Herr Paul Tannery wagt die
Vermuthung (Note zu S. XH der Hultsoh'schen Vorrede zu Autolykus),
Eudoxus als Verfasser einer lUtesten, aber von der jüngsten des Theo-
dosins kaum verschiedenen Sphttrik zu nennen! Wir wollen diese letzte
Vermuthung (ohne sie geradezu abzuweisen, denn einem Astronomen wie
EudoxuSy der mit der Bewegung von mannigfachen Sphttren sich be-
schäftigte, konnten leicht Stttze aus der Eugellehre eines Beweises bedürftig
und föhig erscheinen) auf sich beruhen lassen. Dass aber Autolykus
eine schon entwickelte Eugellehre voraussetzt, ist unzweifelhaft Insbeson-
dere die Schrift IIsqi ntvovfiivqg oq>atQag zeigt sichere und wiederholte
Spuren der Sätze, die bei Theodosius als I, 1, 6, 7, 8, 12, 15, 20;
II, 2, 5, 10, 13, 20; III, 1 erscheinen, die also jedenfalls um 320 a. C.
bereits vorhanden waren. Man wusste mithin damals: dass jede Ebene die
Kugel in einem Kreise schneidet; dass die Ebenen der OrOsstenkreise durch
den Kugelmittelpunkt gehen; dass die Verbindungsgerade des Kugelmittel-
punktes mit dem Mittelpunkte eines Kreises der Kugel auf der Ebene
dieses- Kreises senkrecht steht; dass eben diese Verbindungsgerade nach
beiden Seiten verlängert in den Polen des Kreises endigt; dass einander
gegenseitig halbirende Kugelkreise Grösstekreise sein müssen; dass ein die
Pole eines Kugelkreises enthaltender Grössterkreis jenen Kreis halbirt; dass
Kugelkreise mit einerlei Polen einander parallel sind; dass die Pole zweier
einander berührender Kugelkreise nebst dem Berührungspunkte auf einem
und demselben GrGsstenkreise liegen; man war im Stande, durch zwei ge-
gebene Punkte auf der Kugeloberfläche einen Grösstenkreis zu legen. Man
kannte endlich drei nemlich viel umständlichere Sätze, deren Wortlaut wir
im Wesentlichen nach der Nizze'schen üebersetzung der Sphärik des
Theodosius (Stralsund ]826) folgen lassen: Wenn sich auf einer Kugel
Parallelkreise befinden und GrOsstenkreise beschrieben sind, die den einen
Parallelkreis berühren, die anderen aber schneiden , so sind die Bogen der
Parallelkreise einander ähnlich, welche zwischen den nicht zusammen-
treffenden Halbkreisen der GrOsstenkreise liegen. Wenn ein Gr^sterkreis
der Kugel irgend welche Parallelkreise derselben nicht durch die Pole
schneidet, so werden unter den abgetrennten Bogen in der einen Halb-
kugel die dem sichtbaren Pole näheren grOsser ab ähnlich den entfernteren
sein. Wenn durch einen Kugelkreis eine gerade, denselben ungleich thei-
lende Linie geführt und darüber senkrecht ein Kreisabschnitt, nicht grösser
als ein Halbkreis errichtet, auch der Bogen des errichteten Abschnittes un-
gleich getheilt worden ist, so ist die Sehne des kleineren Bogens die
Hict-Ut. Abthlg. d. Z«itoohr. t Math. n. Vhjn. XXXI, 4. 12 ^OOQIC
154 Historisch - literariBche Abtheilung.
kleinste unter allen genulen Linien, die von jenem Theilnngspnnkte bis an
den grösseren Bogen des ursprünglichen Kreises reichen. ErwSgt man, dass
alle diese Sätze nicht ohne Weiteres jeder aus dem Torhergehenden fol-
gen, so erhellt um so deutlicher die Wahrheit der Behauptung, dass dem
Zeitalter des Autolykus, der sie in bunter Folge benutzte, in der That
eine sehr ausgebildete Sphftrik vorangegangen sein muss, und damit ist
die Bedeutsamkeit der neuen Yeröifentliohung wohl auch solchen unserer
Leser klargelegt, welche historischen Untersuchungen im Allgemeinen
femer stehen. ^Cantoe.
Der Liber trium fkratrom de geometria nach der Lesart des Codex Basi-
leensis F. 11, 33, mit Einleitung und Commentar herausgegeben von
Maximilian Cuetzb M.A.N., Oberlehrer am Eönigl. Gjnmasium
zu Thom. Mit in den Text eingedruckten Holzschnitten. Separat-
abzug aus den Nova Acta der Kais. Leop.-CaroL Deutschen Akademie
der Naturforscher, Band XLIX Nr. 2 (S. 109—167 des Bandes).
Halle 1885. Druck von E. Blochmann & Sohn in Dresden. Ffir
die Akademie in Commission bei Wilh. Engelmann in Leipzig.
Das erhöhte Interesse, welches unsere Zeit der geschichtlichen Ent-
Wickelung der mathematischen Wissenschaften entgegenbringt, macht sich
nicht blos in der Oeschiohte selbst gewidmeten Schriften bemerkiieh, son-
dern auch in der Nutzbarmachung alter Quellen {tur den allgemeinen Ge-
brauch. Bald wagen sieh bekannte Verlagsbuchhandlungen an die selbst-
ständige Herausgabe filterer und ganz alter Mathematiker, bald sind es
akademische Veröffentlichungen und Zeitschriften, welche die neue Bekannt-
schaft der in Vergessenheit gerathenen Leistungen früher Jahrhunderte ver-
mitteln. Wir haben es heute mit einem Drucke der zweiten Gattung zu
thnn. Die Leopoldinisch-Garolinische Akademie hat dem Buche def drei
Brüder einen Platz in dem neuesten Bande ihrer Abhandlungen eingerftnmt,
und wir können ihr nur dankbar dafür sein. Grösseren Dank freilich hat
sich Herr Maximilian Curtze erworben, der den Abdruck leitete und
durch die vorausgeschickte Einleitung, durch Reinigung des Textes, durch
am Schlüsse beigeftlgte Erläuterungen das VerstSndniss theils erleichterte,
thcols erst ermöglichte. Wir denken dabei insbesondere an den zweiten
Beweis der Heronischen Dreiecksformel (S. 133— 135 als VII^ bezeich-
net), den Herr Einkelin noch als unrettbar verderbt betrachtete und
den Herr Curtze, allerdings unter der Annahme, es seien wiederholt ver-
schiedene Wörter ausgefallen, wieder hergestellt hat. Dass in dem Buche
der drei Brüder ein Beweis der Heronischen Dreiecksformel sich finde,
war so ziemlich das Einzige, was man von jenem Buche wusste, und konnte,
wie jetzt der Augenschein zu bestätigen erlaubt, unmöglich zu «iner auch
nur annähernd richtigen Werthschätzung desselben führen. Heute erkennen
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Beoensioneii. Iö5
wir den wahrhaft geometrischen Geist, der g'n Söhnen des Mü8& ihn Sh&kir
innewohnte. Wohl waren sie gleich allen arabischen Geometern Schüler der
Griechen, aber sie waren es doch in verhäLtnissmttssig selbständiger Weise,
Sie schrieben, wie es scheint, nicht ein£Etch die griechischen Vorlagen ab,
sie wossten neben dem, dass sie Sätze verschiedenen Ursprunges zu einem
neuen Ganzen vereinigten und dadurch eine gewisse G^taltungsffthigkeit
an den Tag legten, auch in der Beweisführung sich einigermassen freier
zu bewegen. Wenigstens nehmen sie Manches ausdrücklich für sich in An-
spruch, und wir sind sehr geneigt, diesen Anspruch zum Mindesten für
ihre Methode der Enbikwurzelausziehung als berechtigt anzuerkennen , darin
mit unserem gelehrten Freunde Herrn Curtze durchaus übereinstimmend.
Diese Methode verlangt, um yj. zu finden, deren Verwandlung in
jrr-yÄ.&y'^^ so dass Sexagesimalbrüche m*^ Grades als Wurzeln er-
scheinen. Herr Curtze hat gewiss Recht, wenn er dieser Methode eine
nicht zu unterschätzende geschichtliche Bedeutung beilegt. Wirft sie doch
ein Licht auch auf die Näherungämethoden der Qaadratwurzelausziehung
und giebt manchen seitherigen Wiederherstellungsversuchen derselben eine
bedeutsame Stütze. Camtor
Carteggio inedito di Ticone Brahe, Giovanni Keplero e di altri celebri
astronomi e matematici dei Secoli XVI e XVH con Giovanni Anto-
nio Magini tratto dair Archivio Malvezzi de' Medici in Bologna
pubblicato ed illustrato da Antonio Favabo. Bologna 1886, Nicola
Zanichelli. XV, 522 pag.
Giovanni Antonio Magini wurde am 14. Juni 1555 Nachmittag
um 6 Uhr 67 Min. in Padua geboren. Sein Tod erfolgte in Bologna am
11. Februar 1617.
Die genaue Geburtsangabe, welche uns überliefert ist, zeigt aufs Deut-
lichste, dass Magini's Eltern so wenig als er selbst der Sitte und den
Anschauungen ihrer Zeit sich entziehen konnten. Wenn unser Jahrhundert
die Geburt eines Kindes, man möchte sagen, mit Zirkel, Maassstab und
Waage erwartet, so erwartete das XVI. und zum Theil noch das XVH. Jahr-
hnndert das gleiche Ereigniss die Uhr in der Hand. Statt nach Grösse
und Gewicht des Neugeborenen, fragte man nach dem genauen Stand der
Gestirne, unter deren Einfluss er sein Leben durch zu stehen hatte, und
man hielt diese judiciäre Astrologie fOr exacte Forschimg, gleichwie eine
später auch für exact gehaltene Forschung Witterungsänderungen auf Monate»
wenn nicht auf Jahre vorherzuverkündigen, künftige Erdbeben zu berechnen,
Weltkatastrophen anzusagen liebte und für Wissenschaft gab, gleichwie die
Jetztzeit ohne flJle Zweifel Mancherlei exact erforscht und Erfahrungsschlüsse
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156 Historisch- literarische Abtheilong.
darauf baut, welche eine Zukunft in die Rumpelkammer des Irrthums wer-
fen wird. Die (beschichte aller Wissenschaften warnt uns, nicht gar zu
stolz auf unsere Altvorderen herabzusehen. Sofern ihr Streben ein wissen-
schaftliches war, und wissenschaftlich auch ihre Methode; dürfen wir wenig
Gewicht auf das Richtige oder Nichtige in ihren Lehren legen. Sie halfen
auch an dem Bau unseres Wissens mit, sie brachten Steine zu demselben,
mögen sie sie zunftcht immerhin erst in ungeordneten Haufen aufgeschichtet
haben. Zu den wissenschaftlich arbeitenden Astrologen in diesem Sinne
gehörte unbedingt Magini. Er gehörte sogar einer Gattung an, welche
zu jener Zeit weit seltener war, als in unseren Tagen: er war vorzugs-
weise Rechner, nicht Beobachter. Ist es doch bekannt, dass Magini zu
Denen gehörte, welche die Galileische Entdeckung der Jupitermonde leug-
neten, welche an die Offenbarungen des Femrohrs nicht glaubten. Und
andererseits femden die von Magini hergestellten Ephemeriden bei einem
Tycho Brahe und einem Kepler verdiente Anerkennung. Wollen wir
sie ihnen nachträglich versagen, weil ihr Verfasser sie zu astrologischen
Zwecken berechnete?
Ist uns der Astrolog Magini demnach eine Persönlichkeit, deren die
Astronomie mit Achtung gedenkt, so kann uns auch seine Stellung auf
Seiten der Gegner des Eopemikanischen Systems nicht irre machen. War
er als Astrologe ein Gleichdenker mit Eopernikus selbst, mit Kepler,
mit Galilei, so fand er sich in seinen astronomischen Theorien Schulter
an Schulter mit Tycho Brahe und nicht Wenigen unter den damaligen
Gelehrten. Die Galileischen Dialoge über die beiden Weltsysteme waren
noch nicht geschrieben, Kepler hatte seine Gesetze noch nicht entdeckt,
Newton, der die Lehre von der allgemeinen Anziehung auf die letzteren
gründen sollte, war noch nicht geboren. Damals schon Kopemikaner zu
sein, dazu gehörte ein der Bewunderung würdiges wissenschaftliches Vor-
gefühl, ohne dass die entgegengesetzte Meinung die Fähigkeiten Dessen,
wer ihr anhing, in Abrede stellen liesse.
Auf Abwegen begegnen wir Magini allerdings, aber in einer Rich-
tung, die mit heutiger Wissenschaft gar Nichts gemein hat. Die Vor-
bedeutungslehre fesselte ihn, auch wo sie statt der Gestirne die Linien
in der Hand und dergleichen beobachtete, und diesen Magini preiszugeben,
nehmen wir natürlich nicht Anstand.
Eine eigentliche mathematische Bedeutung hat Magini, trotzdem er
die mathematische Professur in Bologna inne hatte, nicht besessen; nur die
sphärische' Trigonometrie verdankt ihm einige Formeln.
Von bahnbrechender Wichtigkeit sind dagegen seine kartographischen
Leistungen. Er hat für Italien das überboten, was die grossen nieder-
ländischen Kartenzeichner für ihre Heimath geleistet haben, und die Ge-
schichte der Geographie wird mit Recht betrauern , dass das grossartig an-
gelegte Werk nicht ganz, wie es geplant, zur Vollendung kam.
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Becensionen. 157
Diese wenigen Züge, welche wir dem meisterhaften Lebens- und
Charakterbilde entnehmen, das Herr Favaro von seinem Helden zu ent-
werfen wosste, mögen genügen, um zu zeigen, dass Magini in der That
eine Persönlichkeit ist, mit welcher es sich lohnte, genauer bekannt zu
werden. Da nun überdies Herr Favaro in Besitz eines ganzen un-
gedruckten Briefwechsels eben dieses Q^lehrten mit geschichtlich denk-
würdigen Personen der verschiedensten Lebensstellung und Herkunft ge-
langte, so war es gewiss verdienstlich von ihm, die Briefe herauszugeben.
Doppelt verdienstlich aber müssen wir die Art der Herausgabe nennen.
Von den vielen Fragen, die dem Leser unwillkürlich auf die Lippen treten,
bleibt kaum eine unbeantwortet üeberall und immer geben entweder be-
sondere, reichhaltige Anmerkungen oder die 184 S. starke einleitende Ab-
handlung die gewünschte Auskunft.
Wir wiederholen es daher, Herr Favaro hat sich durch diese neue
Arbeit seiner rastlosen Feder wirkliche Verdienste erworben, und wer die
Zeit um das Jahr 1600 studiren will, wird nicht umhin können, auch
dieses Werk einer gründlichen Durchsicht zu unterziehen. Cantob.
Knrsgofufte Oefcbiolite der Arithmetik und Algebra. Eine Ergänzung
zu jedem Lehrbuche der Arithmetik und Algebra von Richard
E[limpbbt, Seminarlehrer in Bremen. Mit fünf in den Text ein-
gedruckten Figuren. Hannover 1885, Verlag von Carl Meyer
(Gustav Prior). 70 8.
Der Verfasser findet die bis jetzt erschienenen Creschichten der Mathe-
matik zu gelehrt fOr den Leserkreis, an welchen er sich wendet. Er will
also deren Ergebnisse popularisiren, und er bedient sich, wie es scheint,
dazu folgender von ihm jyzu Hilfe genommener^ oder „theilweise benutzter**
Werke: Die mathem. Beiträge z. Culturl. des Referenten, daneben ESstner,
Poppe, Hankel, Suter, Geschichte der Mathematik, ElügePs Wörter-
buch und Schmidts EncjklopSdie des gesammten Erziehungs- und Unter-
richtswesens. Ob Herr Klimpert alle diese Schriften ab gleichwerthig be-
trachtet oder die einen für glaubwürdiger und zuverlässiger hält, als die
anderen, darüber vermissen wir jede Auskunft. Bis zu den Quellen selbst
scheint der Verfasser nirgend aufgestiegen zu sein , so dass es ftb: ihn wirk-
lich recht schwer war, sich ein ürtheii über die von ihm gelesenen ge-
schichtlichen Werke zu bilden, dieselben also mit der nöthigen Auswahl zu
benutzen. Das merkt man dem kleinen , gewiss sehr gut gemeinten Schriftchen
auch aller Orten an. Referent bedauert, dass Herr Klimpert sich nur seines
Buches von 1863 bediente, ohne von seinen späteren, vielleicht etwas reiferen
Arbeiten auf dem gleichen Gebiete Notiz zu nehmen. Er hätte sich durch deren
Benutzung vielleicht manche Irrthümer ersparen können. CAirrOR.
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Bibliographie
vom 1. Juni bis 31. Juli 1886.
Perioditehe Sohriftan.
Physikalische Abhandlungen d. königL preuss. Akademie d. W. aus dem
J. 1885. 2 Abthlgn. Berlin, G. Reimer. 11 Mk.
Mathematische und naturwissensch. Mittheilungen aus den Sitzungsberichten
der Berliner Akademie. Jahrg. 1886 (12 Hefte). 1. Heft. Berlin,
G. Reimer. compl. 3 Mk.
Mömoires de FAcad^mie imp^r. des siences de St. Petersburg. 7. s^rie,
tome 34, No. 2 u. 3. Leipzig, Voss. 2 Mk. 20 Pf.
Beobachtungen der meteorol. Stationen im Königreiche Bayern. Heraus-
gegeben von C. Lang und F. Ebk. VIII. Jahrgang. 1886, 1. Heft
München, Ackermann. compl. 18 Mk*
Nautisches Jahrbuch f. d. Jahr 1889. Herausgeg. von Tietjbn. Berlin,
Heymann. 1 Mk. 50 Pf.
Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, begründet von Ohrtmann,
fortgesetzt von Henooh u. Lampe. 15. Jahrg. 1883. Heft 3. Berlin,
G. Reimer. 7 Mk.
Journal für reine und angewandte Mathematik (begr. Ton CreUe), heraus-
gegeben von L. Eronbokbr und K. Weiebstrass. 100. Bd., 1. Heft
Berlin , G. Reimer. compl. 12 Mk.
Acta mathematica, herausgeg. von Mittag -Leffleb. VIII. Bd., 1. Heft.
Berlin, Mayer & Müller. compl. 12 Mk.
Archiv der Mathematik, begründet von Grunert, fortgesetzt von R. Hoppe.
II. Reihe, 4. Theil (4 Hefte). 1. Heft. Leipzig, Koch.
compl. 10 Mk. 50 Pf.
Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn, redig. von
J. Fröhlich. 3. Bd. (Juni 1881 bis Juni 1885). Berlin, Fried-
länder & Sohn. 6 Mk.
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Bibliographie. 159
Rdine Hathematik.
Legendre, M., Zahlentheorie. Deutsch von H. Maser. 2. Bd. Leipzig,
Teubner. 11 Mk. 60 Pf.
Mansion, P., Elemente der Theorie der Determinanten. 2. Aufl. Ebendas.
1 Mk. 20 Pf.
Reichbl, C, Die Grundlagen der Arithmetik, unter Einführung formaler
Zahlbegriffe dargestellt 1. Theil. Berlin , Haude & Spener. 1 Mk.
Kürten, B., Theorie der magischen Quadrate und Kreise. Köln, Theissing.
1 Mk.
Behl, f.. Die Darstellung der Geometrie nach inductiver Methode. Hildes-
heim ^ Lax. 2 Mk.
BoHN, K., Die Flächen vierter Ordnung hinsichtlich ihrer Knotenpunkte
und ihrer Gestaltung. Leipzig, Hirzel. 2 Mk.
JoLLES, S., Die Theorie der Osculanten und das Sehnensystem der Baum-
curyen IV. Ordnung und 2. Species. Aachen, J. A. Mayer. 2 Mk.
LiLiBNTHAL, B. V., Untersuchungen zur allgemeinen Theorie der krummen
Flächen und geradlinigen Strahlensysteme. Bonn, Ed. Weber. 4 Mk.
Schönflies, A., Geometrie der Bewegung in synthetischer Darstellung.
Leipzig, Teubner. 4 Mk.
Burmester, L., Lehrbach der Kinematik. Bd. I. Die ebene Bewegung.
1. Lief. Leipzig, Arth. Felix. 16 Mk.
HoLZMÜLLBR, G., Einführung in das stereometrische Zeichnen mit be-
sonderer Rücksicht aof Krystallographie und Kartographie. Leipzig,
Teubner. 4 Mk. 40 Pf.
Angewandte Ifathematik.
HoHANNy B., Die wissenschaftliche Fehlerausgleichung in der Markscheide-
kunst. Freiberg, Craz & Gerlach. 2 Mk.
Finger, J., Elemente der reinen Mechanik. 6. Lief. (Schlass). Wien,
Holder. 3 Mk. 60 Pf.
Müller, F., Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik
der Bauconstructionen. Leipzig, Baumgärtner. 6 Mk.
Haasb, H., Die Theorie der parabolischen und elliptischen Bögen in ihrer
Anwendung auf Eisenconstructionen. Wien , Waldheim. 5 Mk. 50 Pf.
Astronomisch -geodätische Arbeiten für die europäische Gradmessung im
Königreich Sachsen. 4. Abtheilung. Das Landesnivellement, begr.
von J. Weisbach, vollendet und bearbeitet von A. Nagel. Berlin,
Stankiewicz. 12 M,
Jsrabl- Holzwart, K., Elemente der Astromechanik , f. Stud. bearbeitet.
Wiesbaden, Bergmann. 6 Mk.
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160 Historisch -literarisohe Abtheilung. Bibliographie.
Wbinbk, L., Astronomische Beobachtungen an der kaiserl. kCnigl. Stern-
warte in Pragy enthaltend Originalzeichnungen des Mondes. Prag,
Calve's Verlag. 12 Mk.
Akschütz, C, Ungedriickte wissenschaftliche Correspondenz zwischen
Job. Kepler und Herw. y. Hohenburg (1599). Altenburg, Dietz.
2 Mk. 70 Pf.
Fhyiik und Meteorologie.
Baumoartbn, M. y., Kritischer Versuch über ein Maass für Schall -Inten-
sität. Wien, C. Teufen. 60 Pf.
Winter, W., Lehrbuch der Physik ftlr Schulen. München, Ackermann.
4 Mk. 80 Pf.
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Cirellr« Br, rrleilr., ' äu %ler i
^ All ' t' ■ 1' Ilbpuc, ^iii 111 HökittmittetL 2* Aitfl&i^ii.
Ni . '1 .^\
Eiji LüitfatlrTi VI itik MJi
fltttlendorl% Ut, iiUll, 14.. i'coL a d. Kgl. leübu. IluuUciiHlii m AaebtftL
Einleitung In ille luiUeri^ Aual>^iK. Lr/3t,'8. bron^k ü wolalfoün AtjggÄl»«?.
AU'*^^*T-nls.<ltj iiisilvfiiM. Mit tl tfol«^4cljiütteti. Lex.-S> trüicb. ä. wolil-
fei 1 .4
— - IH' ^ f 1 iHuUlfmen. S Aiifbi|;if. L»%,-U. brosi^h 187i. 2*^
Funeli«!, Dr.« t.riirtillagcu iltr R«Qiiiwl«MMi6cbiiftt Mit 41 HaleticluiiUfii.
Tellkottiiir. II., (i^ ' itlknc'Ut
<flei<jljxi*itig ampfübkn Krir fui Ajiift^lmtf'ung*
' -T "*!-; -ff Hilf *t<i>iinin»j;isri
ilttuift^llrliter*« ilut*bliiiiiclliitis.
tue.
Im Vn^kgi) r^u Frledr« Unuidstinl ter tu L^if^xis^ ül> cr^ch
Srliurtjarf itich,, Ldlirbucti der Arithmetik tum üt*Urat3üiiij an b5h» r i:
Lfclirun^i^tl^f'n und bi-Mui St-!^«^'.l'Ml*ntti ?, ThHh
t Teil: Xiihlf'uli*!!!'! Ich m HancihiicE f ii
n. Teü:
Xiililf'uli*!!!'!
illtfhrifr.l fb'
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i7^i ßo^eii gr
Ol. Teil: Alirvlim nebst. AnwBndtsDg litmvtben luil' die Analysii« tl% Ba^ti
f ^ !THb. <i,4a *#.
„Keia ^.^
'!a Lehrbuih d^r Anthin*'tils m dttr {itthürge^brnclitGti Ft-nit
t Lohrea tl
r!ief*?ä Otj*:bs iriiigiiuhri« iiirtiiuiÜH h<r Yrr*
irf'1iIitidf*-=; und ^h'^-i^n Ztirvr'^kl'nhnnii^ nnf tt-
inrif.ijiii»it4Mii'b«'ii Lüiir-
1 <^i»e ttUgtineüie
LÖI>0^ Dt, JL, Samnüung von Aafgal>ea aus der Arithmetilc« Für
Gymii&sieii, n»^i' '' ' u. i» w, S Hefte*
I. Heft: (irundrer mit imbeniiiini^u und ^leldibeniiiuiten fanzeii
Zaliku, -- bi uiidf4?cliiitiuir mit iiiiglololilietiaiiiit^m ZutiliMt«. 3. Aaü.
5 B<:»ger» kaft. S(^ -^
n, Heft: ßtH'bpiiii^eii mit Ui'/Itiiiil^jililtm. — lUa'linaii^^cit mit g4tiiiA}iii«}ii
Briiivhen- 3. Ami 5^.- linken, kurt. 80 a^-
d Heltt rroyentrechiimiür» — YcrteiluujarH- uud lllHitiyji^««n'eltuuii«r, Ter»
hUltuf^ii« und Fr«i*«»rtluüt^D. 2. AviÜ t-*! Ho^^^:!]. gth. 7*. .>,
— ^ Anflösungoa zTi den «.Auigaben äü& der Arithmetik**, Heil 1—3,
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X. Zur gvumütri'*rij«n TlitJürie üer l»4mmemng. Von Üj-i
Profeiiiür am Oytimanium b ßtiittg-art (Titf. U Fig. Ä-
KUint^rt» MitLhi»iltiiig<lii,
5fn. Pie AnfltJÄiinj^' i^ft»e»r Zahlen in ihre FnoUjrcn, Von P. Bw^m^rr tu
Bw«icn , . , . . i 't^
XII l Die tieuiitö vollkotiimeüae Xahl. Von I\ 8*f.uioff ui F^nn i i:.
XIV. Üöber die IjiveNion tier tou Legeudr^ doflüjrteo vo^l
dehmi Integrulc »weiter öattuiig für iljtö reeüfu AiiHini
Dr, 0. IftitjiKWAtfjs iti Botti] , . . .,...,.
XT» Üeber di*J Abötände dreit>r Pttiiktt? von öiner Gemdttit. Vöö 1
U, [ii:ai:m in Üroüden . , . . :iil
XVI, E?klilnmff, Von Ajj-ipib WtE»i.ti b l>arm!»tiidi
Histoi isch "litorarischi? Abikeiluni^ t,be»oiwlorm paffmiHt.
BuMid bei d'-*ii Ara\»erii. Eine hibBagnipluscbi^ 8t<i4io ?Oft '
Ko8i5«, ih, j, i.uö, Leitfüden der ^benwn Üt^uai
Sfwjijbji, Dr. TtJ., Lehrbuiih der t'^liKtieii nnd
iiit?trie. Von K , ^ . , » - . *
SosöUCKiii'itd^ L. , Aimlytisfb it^hungeu aber ein l^r^'ibTöfii i\{.,
Dynamik. Von Ö, ÜWMUh . ^ .
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Aasr.'CtfnmB, Dr. W, , Ltsittaden der l'iiysiii. Von K ^?n
pCTiau, Dr, » Di<i Fixsf-eroo, Von P, Zuji , . 4 -
KmiNTUttm, Dr.^ Dt'T Irrtbum d^^r SchwerknifUhjpoibiMie* ToaP
KKimx!ra, Dr, F,^ Vorkaungen dber tlu.^ortifciicbi! üpttk, Tob P. ^C^j
Btbliogmpbie vuia l. FebriMtr bi» 31. Mai 18«ö-
Penodiicht* Schrilien . . . , =
Rein« V k , , . IJH
Ajig€ Willi I bematik , \itt
Physik nnd Mtteorotogie .
M« Bi 0. 1»H n»— !■
Historisch-literarische Abtheilung.
Ueber die Entdeckung der Variation und der jährlichen
Gleichung des Mondes.
Von
C. Anschütz, S. J.
Als ich mich im Herbst vorigen Jahres mit der Heraasgabe und Erklä*
rang der von mir in München aufgefundenen Briefe Kepler 's ^) befasste,
lenkte eine Stelle des Briefes vom 9. und 10. April 1599 meine Aufmerk-
samkeit auf sich. Kepler charakterisirt in derselben eine Mondgleichung,
die er einstweilen als Conjectur hinstellt, so deutlich, dass man in ihr sofort
die jährliche Gleichung erkennt^). Dies erregte in mir den Ver-
dacht, ob es wohl mit der hergebrachten und in allen Büchern als zweifel-
los hingestellten Meinung, dass TychoBrahe der Entdecker der jährlichen
Oleichung sei, auch wirklich seine Richtigkeit habe; und ich machte mich
daran, die in seinen Werken und Briefen zerstreuten Aeusserungen Kep-
ler*s über die Ungleichheiten des Mondlaufes soviel möglich zu sammeln
und zu vergleichen. Das Ergebniss dieser mühsamen Arbeit war aber auch
höchst überraschend und lohnend.
Ich werde im Folgenden drei Sätze nachzuweisen suchen, nämlich:
1. Tycho Brahe kann nicht als Entdecker der jährlichen
Gleichung des Mondes gelten.
2. Dagegen gebührt Tycho Brahe das Recht, als der selbst-
ständige Entdecker der in Europa bis dahin unbekannten Va-
riation angesehen zu werden, auch für den Fall, dass die nicht un-
bestrittene Priorität Abul Wefa's begründet sein sollte.
1) Dieselben sind unter dem Titel: „üogedruckte wiBsenBchaftliche Gorrespon-
denz swiachen Johann Kepler und Herwart voo Hohenburg. 1699^ im Format der
„Opera omnia Keplen'' (Ausgabe von Chr. v. Frisch), mit einer Ergänzung des
Sachregisters und Noten versehen, erschienen, nnd bei Victor Diets in Altenburg
(S.-A.) zu haben. Ich bezeichne diese Schrift in der Folge mit U. W. G.
2) Ich komme weiter unten im Verlauf der Untersuchung auf diese Stelle
zurück.
Hi8t.-Ut. Abthlg. d. Zeitachr. f. Math, m Phys. XXXI, 5. 13 ^^ ^ ^ r-^T ^
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162 Historisch -literarische Abtheilung.
3. Kepler ist der Entdecker der jährlichen Gleichung, war
nahe daran, einen sehr genauen Werth für dieselbe zu be-
stimmen, und wurde nur durch eine unglückliche Idee ab-
gehalten, sie auch als Mondgleichung definitiv aufzustellen.
1. Tycho Brahe kann nicht als Entdecker der jährlichen Gleichung
des Mondes gelten.
Beim Nachweis dieses und des folgenden Satzes stütze ich mich zumeist
auf die Auctorität Kepler 's. Ich halte Kepler 's Aussprüche für entschei-
dend in der Frage, welche Mondgleichungen beim Tode Tycho Brahe's
aufgestellt waren; ebenso darin, welcher Antheil an der Entdeckung (even-
tuell Neuentdeckung) einer Mondgleichung demselben zukomme. Ich glaube,
dass wohl Niemand Kepler ein competentes ürtheil und ein eminentes
Verständniss in astronomischen Fragen absprechen wird; ebenso wird man
wohl einverstanden sein , wenn ich sage , Niemand sei so im Stande gewesen,
die Ansichten und Theorien Tycho Brahe's authentisch zu interpretiren,
wie gerade Kepler*). Die Wahrheitsliebe Kepler 's endlich ist über jeden
Zweifel erhaben. Sein gutmüthiges schwäbisches Naturell, zeigt sich in
seinen Briefen oft von der liebenswürdigsten Seite. Er war nicht fähig,
ein Plagiat sich zu Schulden kommen zu lassen, noch viel weniger einen
Plagiatstreit mit der Erbitterung zu führen, wie etwa TychoBrahe oder
Galilei. Ist er doch unbefangen genug, an Menschen, die seinen guten
Namen hinterlistig blossgestellt haben, sogar in der ersten Aufregung das
Gute in lobenden Worten anzuerkennen.^)
Wie wäre es nun unter diesen umständen denkbar, dass Kepler von
der Variation als einer Entdeckung Tycho 's oft und ausführlich handelt,
diese vorgebliche Entdeckung Tycho 's aber nie als solche erwähnt?®)
Indessen dies wäre nur ein rein negativer Beweis , der nicht hinreichte,
um eine üeberliefernng zu beseitigen. Kepler hat aber Stellen/ welche
positiv das Gegentheil beweisen und zugleich einen Fingerzeig dafür geben,
wie diese Ansicht sich bilden konnte.
1) Kepler verkehrte nicht nur persönlich mit Tycho Er ah e, sondern hatte
auch Tycho 's Aufzeichnungen und Beobachtungen zu seiner Verfügung, arbeitete
dieselben mit grossem Aufwände von Zeit und Mühe durch, und gab sogar die
„Progjmnasmata^, welche für Tycho 's Ansprüche zuerst in Betracht kommen,
nach dessen Tode mit Zusätzen heraus. Vergl. die zweitfolgende Anmerkimg.
2) Man vergl. z. B. Eepler's Lob des Beimarus Ursus, 8. 41 meiner
Schrift, und das S. 91 ügg. über Kepler 's damalige Lage Gesagte. Ergötzlich ist
auch Kepler 's Bericht über den Anlauf, den er nahm, um Ursus bei einer per-
sönlichen Zusammenkunft seinen Zorn fühlen zu lassen. Und das Ende? ,ßi€que
nomen tandem professus, pacifice ab ipso discessi," (Opera Omnia, Bd. I S. 237.)
3) Der Nachweis für Letzteres ergiebt sich bei Besprechung des zweiten
Satzes von selbst.
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üeber die Entdeckung der Variation etc. des Mondes. 163
Tycho Brahe hat in seinen „Progymnasmata" ^) zwei Tafeln der
Zeitgleichung aufgestellt. Die erste derselben findet sich bei dem Abschnitt
über die Bewegung der Sonne und enthält die vollständige Zeitgleichung;
die zweite ist dem Abschnitt über den Mond beigedruckt, und in dieser
fehlt ein Element der Zeitgleichung. Welches dieses Element sei, könnte
ich aus Autopsie berichten, will aber Kepler das Wort lassen^. ^^Die Zeit-
gleichung entsteht hauptsächlich durch das Zusammenwirken zweier Ursachen :
der Schiefe der Ekliptik und der ungleichförmigen Bewegung der Sonne
oder ihrer [Mittelpunkts-] Gleichung. Den ersten Theil hat Tycho berück-
sichtigt, den andern, der aus der [Mittelpunkts-] Gleichung der
1) Da im Folgenden die „Progjmnd&mata*' Tycho Brahe 's eine grosse Bolle
spielen, so bin ich genötbigt, ihre Entstehung und Bedeutung ins rechte Licht zu
setzen, da immer noch sehr irrige Anschauungen darüber in vielen Büchern herum-
spuken. Ich will daher die Daten zusammenstellen, wie sie grOsstentheils Kepler
selbst aufgezeichnet hat.
Die „Progymnasmata** sind 1582 im Druck begonnen (0. 0. 1, 191), und zwar
in Tycho 's eigener Druckerei zu Uranienburg (auch auf dem Titelblatt steht:
„Typifl inchoata Uraniburgi Daniae''). Tycho förderte den Druck in dem Maase,
wie das Manuscript voranschritt. So erklärt es sich, dass der Druck volle 20 Jahre
dauerte. Tycho druckte manche Seiten mit der Zeit von Neuem und vertheilte
auch unvollständige Exemplare während des Druckes (so Kepler, 0. Q.VII, 192).
Daher ist Vorsicht bei Argumenten aus diesem Buche anzurathen. Im Jahre 1692
wurde der Druck sistirt, weil Tycho nach dem Tode, des Landgrafen von Hessen
die „Epistolae astronomicae" zu drucken begann, die 1596 vollendet wurden
(I.Band). Tycho verhess darauf Dänemark und nahm die unvollendeten Exem-
plare des I. und n. Bandes der „Progymnasmata** mit. Am I.Band fehlten noch:
Vorrede , Nachwort and die Blätter, die vom Mond handeln ; der II. Band (über
Kometen) war unvollendet, weil der in. mit gleichem Stoffe sich unmittelbar
anschliessen sollte (so Kepler, 0. 0. VII, 225). In diesem Zustande war das Werk
noch bei Tycho 's Tode (0. 0. 1, 191), Die Herausgabe besorgte vorzüglich Kep-
ler, der auch den vom Mond handelnden Theil überarbeitete (0. 0. I, 191); dieser
letztere Abschnitt ist theilweise anders paginirt (nach S. 112 folgt S. 01—029, dann
S. 113 u. s. w. Von 02 bis 136 reicht die Mondtheorie). Die Vorrede ist von den
„Erben**. Ebenso, angeblich, das Nachwort; in Wirklichkeit ist Kepler dessen Ver-
fasser {„Äppendicis ad Progymnasmata ipse auctor sum." Kepler an Magini,
den 1. Febr. 1610. 0. 0. UI, 495. Vergl. 1, 191; VI, 668. Deshalb ist es auch 0. 0.
VI, 668 abgedruckt). Ob auch eine von Tycho selbst verfasste Vorrede sich
in der ersten Auflage befindet, konnte ich leider nicht feststellen, da in dem mir
zu Gebote stehenden Exemplar acht Seiten fehlen; nach den Aeusserungen Kep-
1er '0 (0. 0. 1, 191; VE, 226) ist dies jedoch fast sicher nicht der Fall. Eine neue
Ausgabe veranstaltete von beiden Bänden mit Beifügung der „Epistolae astrono-
micae" Tengnagel (Schwiegersohn Tycho's) im Jahre 1610 (0. 0. I, 191); end-
lich wurden beide Bände neu aufgelegt zu Frankfurt 1648 (L. c).
2) 0. 0. Vni, 630: f^equatio temporis duas potissimum habet causas: obliquam
aseemionem graduum ecUpticae, et inaequalitatem motits Solis, seu ^jus aeqitatiO'
nem, lUa parte usus est Tycho; hac, quae ex aeguatione Solaris motits fluity in
Luna non est usus."
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164 Historisch - literarische AbtheilnDg.
Sonne folgt, nicht'' Ferner*): ;,Die erste Tafel Tycho's för die Be-
rechnung des Sonnenortes enthält beide Theile der Zeitgleichnng; die zweite
Tafel, für die Berechnung des Mondortes bestimmt, enthält nur den einen
Theil der Zeitgleichung, der sich aus der Neigung der Sonnenbahn gegen
den Aequator herleitet. '^
Da die jährliche Gleichung dasselbe Argument (sinM) hat, wie die
Mittelpunktsgleichung der Sonne, aber entgegengesetztes Vorzeichen,
so lag allerdings der Gedanke nahe, Tjcho habe auf die angegebene Weise
die jährliche Gleichung in seinen Mondtafeln compensiren wollen; und so
mag die Meinung, Tjcho sei deren Entdecker, entstanden sein. Dem ist
aber nicht so.
Zwar berichtet Kepler'): »Vor meiner Zusammenkunft mit Tjcho,
bei dessen Aufenthalt in Wittenberg^), sah er sich genöthigt, um seine
Beobachtungen richtig darzustellen, ausser so vielen anderen „Circelli^ auch
einen mit jährlichemUmlauf einzufügen, so lange er beide Theile der
Zeitgleichung beibehielt.*' Dass Tjcho diesen Versuch in einer zu Witten-
berg veröffentlichten Schrift gemacht habe, erhellt aus einem Briefe Her-
w a r t 's an Kepler^): „ Sonst werdet Ihr noch gedenken und von B r ah e o
selbst vernommen haben, wie Braheus ad rectificationem veri loci Lunae
ein circellum annuae variationis (in dem ddiquw Lunae, so sie zu
Wittenberg drucken lassen) introducirt, cv^jus inUium statuüur Sole versatUe
in principio Q, ita ut in priori semicirculo hujus circeUi verus locus Lunae
promoveatur in consequentia^) , et vn posteriori retrotrahatur in praecedentia.^
Allein wenn auch Brahe durch seine Beobachtungen zur Aufstellung
einer jährlichen Gleichung hingedrängt wurde , so schreckte ihn andererseits
die Menge der „Circelli^ ab, welche nöthig gewesen wäre, besonders nach
Entdeckung der Variation, um in der althergebrachten unbehilflichen Weise
alle Launen des so sehr zur Freizügigkeit hinneigenden Trabanten der Erde
darzustellen, wie wir aus folgender Aeusserung Kepler 's entnehmen^):
1) 0. 0. Vni, 631: „Tfämla Tychonis prior pro Sole computando continet
utramque partem aequationis temporis, täbtda posterior pro Lu/na facta continä
wnam saUem partem aequationis temporis, quae fMt ex inaequalibus et öbliquis
eclipHcae aseensionibus in sphaerae recta/'
2) 0. 0. Vni, 627: „Priusquam ego ad Tyehonem veni, quo tempori « Wüe-
hergae adhuc fuit, eoactus fuit, praeter tot circellos unum etiam annuum inserere,
quando retinuit utramque temporis aequationem, ut dbservaia sua tt^eri possit."
3) Also nicht vor Juni 1698 und nicht nach Mai 1599.
4) Vom 26. Juli 1600. 0. 0. DI, 28.
6) Zu ergänzen ist: „siffna", ebenso „praecedentia Signa",
6) O. 0. VI, 684; „Et tarnen adhue aliam Tyeho variationem dq^ehendit,
ct^ effectrices machinas non est attsus inferre systemati orhitm Lunae; trans-
scripsit igitwr eos ipsi Zodiacol Oculos aperuit Uli tandem haec inaeqwüitcLs ul-
tima, ut videre inciperet, non circulis realibus, sed causis natwraiibus aliis Ims
inaequalitates effici/'
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üeber die Entdeckung der Yariation etc. des Mondes. 165
„üeberdies entdeckte Tycho noch eine Yariation, deren Mechanismus er
gar nicht in das System der Mondsphäre einzuschalten wagte; er übertrug
sie daher auf den Thierkreis selbst! Diese letzte Ungleichheit öffnete ihm
endlich die Augen, dass er einzusehen begann, dass diese Ungleichheiten
nicht reellen Sphären, sondern anderen physischen Ursachen ihre Entstehung
verdanken.^ Hieraus wird yerstftndlich , was Kepler über die Versuche
des Tycho und Longomontanus in dieser Richtung mittheilt ^). Bei
dem „Anfang der Einsicht^ blieb es aber aucL Tycho war, wie Kepler
sich ausdrückt^, zu sehr in die Vorstellung von der kreisförmigen
als der yollkommensten Bewegung verrannt, als dass er sich hätte
entschliessen können, eine wirkliche Ungleichförmigkeit der Bewegung
anzunehmen. Indessen die Schwierigkeit war einmal da und forderte ihre
Beseitigung. „Dieser ^CirceUus^ mit jährlichem Umlauf'^ sagt Kepler®),
„wurde später in Prag beseitigt durch Weglassung des zweiten
Theiles der Zeitgleichung und durch Vernachlässigung von 5—6
Bogenminuten , um welche Berechnung und Beobachtung noch differiren.'*
Diesen letzten Ausweg darf man sich aber keineswegs als eine wohlüber-
legte^ zielbewusste Lösung vorstellen^); es war ein Nothbeheif, den
die Bathlosigkeit eingab. Auch war nicht Tycho es, der in dieser
Weise den Knoten zerhieb, sondern Longomontanus, der nach Kep-
ler's Erzählung^) dem unzufriedenen Tycho grob erwiderte: wenn ihm
das nicht gefiele , so möge er selbst etwas Besseres an dessen SteUe setzen.
Tycho's Stimmung zeichnet Kepler zur Genüge mit den Worten®): „Hätte
Brahe seine Mondtafeln und das übrige Werk gleichzeitig abgefasst,
so hätte er vielleicht den beim Mond vernachlässigten Theil der Zeitgleich-
ung auch bei derSonne weggelassen, da er bei dieser unmerklich ist ^;
... Aber weil die Blätter über die Sonnentheorie schon vor langer Zeit
gedruckt waren, ergab sich diese Inconsequenz/'
Ein weiteres Zeugniss Kepler's für die rein empirische Natur
dieser Massregel Tycho 's findet sich in einer Antwort Kepler 's an Fa-
1) 0. 0. VI, 671.
2) „Totus perfectioni motuwn addicttM in circülis perfecUsJ*
8) 0. 0. Vm, 627: „Is ergo annwm circeUus profligatue est postea Fragae,
per otnmissionem sectmdae partis aeqaandi tetnporis, et per neglectionem 5 vel 6
scrtipulorum residttorum, quibus ccUcülus adhuc abit ab observatis/*
4) Kepler erkannte, wie wir sehen werden, klar seine Tragweite.
6) 0. 0. Vni, 627.
6) Brief an Odontius vom 30. Sept. 1606. 0. 0. VUI, 626 flg.: „SiBraheus,
quo tempore tabulaa Lunares scripsit, scripsisaet etiam totum suum Ubntm, fortasse
partem aequationis in Luna omissum omisiaaet etiam in Sole, utpote insensibHem
tn Sole; • . . Sed quia paginae de Sole erant impresioe a multo tempore, hdnc orta
haec dissimüitttdo/^
7) Für die damaligen Beobachtungsmittel.
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166 Historisch - literarische Abtheilnng.
bricins^). Letzterer hatte gefragt, weshalb eine doppelte 2ieitgleichimg6-
tabelle nöthig sei« Kepler erwidert: „Ich weiss nicht, was du eigentlich
willst. Die Zeitgleichung entsteht aus zwei Ursachen...; Tycho berück-
sichtigt beim Mond nur eine derselben und yemachlftssigt die andere, ihut
also gerade das Gegentheil von dem, um dessen Grund du fragst. Sach-
lich gerechtfertigt hat sich Tjcho oder vielmehr sein Bearbeiter der Mond-
theorie, Chr. Longomontanus, indem er sich auf die Erfahrung
beruft. Oder ist der Sinn deiner Frage yielleicht der, warum bei Berech-
nung des Laufes der Sonne die doppelte Ursache der Zeitgleichung berttck-
sichtigt sei, bei der Berechnung des Mondlaufes nur eine? Wenn dies, so
habe ich schon gesagt, dass Tycho sich auf die Erfahrung beruft''
Im Lichte dieser Erklärungen Kepler 's') erhalten die Worte, mit
denen in den „ Progymnasmata ^' die Tafel der Zeitgleichung für den Mond
eingeführt wird, eine sehr prosaische, band werksm&ssige Bedeutung^), wäh-
rend man sonst versucht ist, mehr dahinter zu suchen. Sie lauten^): „Oft-
malige Erfahrung lehrte , dass der Mondlauf die Zeitgleichung , wie sie aus
der Bewegung der Sonne sich ergiebt, nicht zulässt, ausser wenn man ihn
von der wahren Sonnenbewegung, von welcher dann diese Differenz
gleichsam absorbirt wird, abhängig macht Deshalb haben wir eine
andere Art der Zeitgleichung nebst der Tafel dazu ausfindig gemacht,
welche nur aus der geraden Aufsteigung der Ekliptikgrade entsteht und 8o
lautet... ^^ (folgt dann die Tafel der Zeitgleichung). Dazu nehme man noch,
dass Tycho gar keinen Versuch macht, den genauen Betrag dieser ver-
meintlichen Mondgleichung zu bestimmen , und dass die Tychonische Lösung^)
die Differenz nicht compensirt, sondern nur verringert
1) 0. 0. 11, 96: „Nescio quid velis. Duae stmt causae, ob quas tempus est
aequandum: altera inaequalis ascensio recta additamentorum Solis, cUtera inaegua-
Jia Solu additamenta. Jam Tycho in Luna usurpat saUem priorem causam, poste-
riorem negligit, itaque plane contrarium ß ßjus, cuju8 tu quaeris causam. Pro rt
cavit Tycho seu ^us cwrator motibua Lunaribus designatus, Chr, LongomofUanus,
vocat inquam ad experientiam. An tu haec fortasse quaeris, cttr in motu Soiis
inquirendo tempus propter utramque causam aequetur, in motu Lunae tempus
propter causam cUteram? Si hoc quaeris, jam diasi experentiam a Tychone a27^
gatam." — Vergl. 0. 0. ü, 9.
2) Ich will durchaus nicht gesagt haben, dass dies alle Stellen Eepier*8 über
diesen Gegenstand sind. Das wäre nicht richtig. Aber die angeführten sind so
klar und unzweideutig, dass weitere Citate überflüssig scheinen.
3) Tycho spricht eben wie ein Meister, der seinem Lehrling Anweisungen
giebt, wie er seine Aufgabe lösen muss. Derartige Weisungen können viel prak-
tischer sein, als ein Theoretiker sie zu geben vermöchte, beweisen aber nicht, dass
der Meister auch von den zu Grunde liegenden Gesetzen Kenntniss habe. Tycho
war eben gross als Beobachter, als Theoretiker ist er ein Zwerg neben dem genialen
Kepler.
4) Frogymnasmata (1602), L. I p. 06. Diese Seiten sind allerdings später
gedruckt, aber dass ihr Inhalt gleich geblieben ist, dafür bürgt Kepler.
6} Im dritten Theil wird dies näher gezeigt
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üeber die Entdeckofig der Variation etc. des Mondes. 167
Kann Tycho Brahe unter diesen Umständen als Entdecker der jähr-
lichen Gleichung gelten? Ich glaube nicht
2. Tycho Brahe ist für das Abendland der Entdecker der Variation.
Wenn es, wie wir gesehen haben, um die Urheberschaft der vorhin
besprochenen Mondgleichung ftlr Brahe so schlimm bestellt ist, ist dann
nicht das Gleiche bei der vielfach umstrittenen Entdeckung der Variation
der Fall? Hier scheint die Sache noch schlimmer zu liegen, da ein Con-
enrrent auftritt, dessen Priorität von vielen Astronomen als begründet an-
erkannt wird. „Dass nicht ^rst Tycho (wie man früher glaubte, obschon
er es selbst nicht behauptete), sondern schon Abul-Wefa die Variation
entdeckte, hat S^dillot aus des Letzteren „Almagestum sive Systema
Astronomicum'' schlagend nachgewiesen/' So Dr. B. Wolf^). In der
„Geschichte der Astronomie'*^) vertritt Wolf die Ansicht S^dillot's nicht
mehr so entschieden; er spricht von der Streitfrage als einer zweifelhaften
und beklagt mit Becht den unfruchtbaren Streit. Ich habe auch nichts
weniger als die Absicht, „diese unerquickliche Fehde '^ neuerdings zu inaugu-
riren, und habe dfesem Standpunkt Ausdruck verliehen durch die Formu-
lirung des zweiten Satzes. Mag S6dillot Becht haben oder nicht, mir
scheint,. dass man rein um des Kaisers Bart gestritten hat.
Zunächst würde ich mich bedenken ^ so ohne Weiteres zu sagen, Tycho
Brahe habe nie diese Entdeckung für sich in Anspruch genommen^). Es
ist wahr, Tycho rühmt sich dessen nicht in auffallender Weise; und
dies kann befremden, da Tycho seine Verdienste wohl zu schätzen wusste.
Allein Tycho mochte zunächst, da er fest überzeugt war, er habe der
Astronomie durch sein System eine ganz neue Aera eröffnet, es nicht
für der Mühe werth halten, von einer einzelnen untergeordneten Entdeckung
zuviel Aufhebens zu machen. Andererseits sind die wenigen der Mond-
theorie gewidmeten Seiten in den „Progymnasmata'' nur ein Lücken-
büsser^)^ während die „Progymnasmata'^ selbst schon ihrem Titel nach
nur der Vorläufer zu einem grossen Werke sind, etwa wie Kepler 's „Pro-
1) Handbuch der Mathematik a. s. w. 1872. Bd. ü Nr. 394.
2) München 1877. S. 53 figg.
3) Wolf hält diese Behauptung auch in der „Gesch. d. Astron/' S. 54 aufrecht
loh wünsche übrigens nicht, dass der hochverehrte Herr diese Ausführungen als
lediglich gegen sich gerichtet auffasse; dies liegt mir fem; ich iand eben nur bei
ihm sämmtliche Steine des Anstosses, die vorher zu entfernen sind, schön ge-
sammelt.
4) Im Nachwort der „Erben" (eigentlich Kepler 's; O. 0. VI, 568) wird plat-
terdings erzählt, da der Druck gleichzeitig mit verschiedenen Partien begonnen
habe, und bei der ersten die Sonne behandelnden noch einige Bogen leer geblieben'
seien, habe Tycho beschlossen, diese Lücke mit einer kurzen Mondtheorie aus-
zufällen. Daher die sonderbare Paginirung.
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168 Historisch -literarische Abtheilnng.
dromas'* zur „Harmonice mundi^'. Endlich hatte Tycho keine Veranlas-
sung, diese Prioritöt so zu betonen, da Niemand sie ihm streitig machte.
Unter diesen Umständen ist es doch hinreichend, wenn Tycho nach Be-
sprechung der Mittelpunktsgleichung und Evection fortf&hrt^): „Daes sich
jedoch aus vielen genauen Beobachtungen ergab, dass diese Kreise
noch nicht allen Erscheinungen Genüge leisten, indem in den Octanten oder
den mitten zwischen den Quadraturen und Sjzjgien, d und gj gelegenen
Stellen, wenn die beiden Himmelskörper in 45® Distanz von einander sich
befinden, noch eine sehr merkliche Ungleichheit sich geltend macht, so
schien es von Nöthen, noch einen kleinen Kreis, der diese Variation
darzusteUen hat, hinzuzufügen. ... Der Betrag dieser periodischen Gleich-
ung ist von der doppelten wahren Distanz der Sonne und des Mondes ab-
hängig und erreicht ein Maximum von 40' S0'\ welches im ersten und
dritten Octanten, von der J an gerechnet, addirt, im zweiten und vierten
Octanten subtrahirt werden muss.^*
Tjcho bezeichnet hier die Variation mit aller wttnschenswerthen Ge-
nauigkeit und sagt ausdrücklich, er sei durch seine Beobachtungen
darauf gekommen. Was sollte er noch hinzufügen?
Nun führt man noch ins Feld, dass Tycho von der Variation ausdrück-
lich als einer „hypotheaia redintegrata*' spreche'). Leider hat man ver-
gessen, dass nur Dezjenige in diesem Sinne von einer Wiederherstellung
reden kann, der von der ersten Aufstellung eine Kenntniss gehabt hat
Kannte Tycho Brahe den „Almagesf* Abul Wefa's? Hierfür einen Beweis
oder auch nur den Schein eines Beweises beizubringen, scheint Niemand
eingefallen zu sein; es wäre auch vergebliche Mühe gewesen. Der „Alma-
gest*' Abul Wefa*s ist noch nie in Druck gekommen'); wer kann es da
für wahrscheinlich halten, dass Tycho das Manuscript kannte? Verstand
Tycho das Arabische? Kepler, der sonst sogar gerne mit solch* alten
Reliquien sich abgab, hatte allem Anscheine nach nicht einmal eine Ahnung,
dass ein Abul Wefa existirte^). Bevor also der Beweis beigebracht ist,
1) Progymnasmata (1602), L. I pag. 05 (immer erster Band): „Verwneumper
tnultiplices et accuratas observationes ea^erti aimw, hoc circidoa (mmtbua apparen-
tiis necdiMn eatisfacere, aiqiMdem in octcmtibtu sive mediü locis inter quadnUuras
et syzygias, ^ et ^, cum luminaria sesquisigno inier se distawt, adhuc inaequdlitas
quaedam et differentia satis perc^pübüü sese ingerat, necessum videbatwr, tuOiuc
alium parvum circeUum, per quem jfuiec variatio excusetur, euperaddere. ... Mo-
tu8 atUem hi^ librationis duplici distantiae verae Solis et Lunae commensurabilis
est, maximamque varuxtionem 40' 30" in l.et 3. acf octcmte addendam; in 2. vero
et 4. octante eubtrahendam procreat.**
2} So z. B. Dr. Wolf, „Gesch. d. Astron.** S. 54, wo er offenbar die Argumente
S^dillot's referirt.
3) Dr. Wolf, „Gesch. d. Astron." (1877) S. 204.
4) Wenn Jemand eine Stelle aus £epler*B Werken oder Briefen aoffreist»
bin ich gern bereit, zu widerrufen; Frisch kennt, soviel ich weiss, keine.
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üeber die Entdeckung der Variation etc. des Mondes. 169
dass T jcho die Schrift Abul Wefa's gekannt habe, sind alle auf die Worte
„hypothesis redmtegraia" gebauten Schlüsse eitel Luftschlösser. Der Be-
weis leidet aber noch an einem andern höchst bedenklichen
Mangel. Hat Tycho mit den Worten „JHfpoihesis redintegrata*' auch den
Begriff yerbunden, den S^dillot unterlegt? Durchaus nicht. „Hypo-
thesis Lunae redintegraia" ist die üeberschrift des ganzen Abschnittes^),
in dem von der Mittelpunktsgleichung, der Evection und der Variation die
Bede ist. Wem wird es wohl einfallen, die dem Ausdruck yon S6dillot
unterschobene Bedeutung als von Tjcho z. B. auf die Evection angewandt
zu bezeichnen? Noch mehr! S. 03 heisst es: „IJjus primam inaequa^
litatem [also die Mittelpunktsgleichung!] ad amtissim restituimus/' An
anderen Stellen der „Progymnasmata** braucht er „redintegrare", „resti-
tuere" von noch anderen Problemen, deren Lösung niemals in Vergessen-
heit gerathen war'). Tjcho bezeichnet sogar die nach ihm benannte
Hypothese als „redintegratio"^); was er aber dazu sagen würde,
wollte man dies für „ aufgewärmt*' nehmen, davon könnte BeimarusUrsus
erzählen, den er noch auf dem Todesbette vor Gericht zog^). „Bedinte-
grare" bedeutet für Tycho einfach: „von Qrund aus erneuern"^),
und eine „hypothesis redintegrata" kann somit alte Elemente in neuem
1) In der „Gesch. d. Astron.** ist freilich von einer „Note in Tycho's hinter-
lassenen Papieren*' die Bede; welche damit gemeint sind, weiss ich nicht; da es
hier aber nur darauf ankommt, zu zeigen, welchen Begriff Tycho mit dem
Ausdruck verbindet, ist ein Beweis aus den „Progymnasmata** ganz am Platze.
2) Z. B. in der „Praefatio" (also eigentlich Kepler): „in Solu curricülo
restituendo*^; — S. 106: „de Solaris cursm redintegratione ex professo
agemus*'.
3) Einige BeispiÄe. Tycho an Mästlin (1. Mai 1698; 0. 0. 1, 46): „Per-
spicies ttH spero, rem ästronomicam aliter quamputatur [Copernicus!] redinte-
grari posse," An Kepler (9. Dec. 1699; 0.0. 1, 225): „Ex Mechanicia [Werk
Tycho 's] coUigea, qtuinto molimine cutronomiae redintegrationem aggressus sim,"
In den „Progymnasmata** 8. 9: „Ab ht^ ...ad rem ästronomicam redintegran-
dam necessarii Jubaris [er meint die Sonne] in debiium et congruentem cum eo,
qui coelitiM apparet, tenorem restitutione/'
4) Dieser Vorgang wirft ein so eigenthümliches Licht auf Tycho *8 Charakter,
dass ich mir es nicht versagen kann, auf eine bezeichnende Stelle aus einem Briefe
Tycho 's an Kepler aufmerksam zu machen. Tycho schreibt den 28. August
1600 an Kepler (0. 0. I, 232): „Institui contra illtm actionem jwridicam , ...
inteUigens perieidum esse in mora, siquidem graviter decumberetJ' Er erlangt vom
Kaiser die Eiusetzang einer Gerichtscommission. „Verum accidit, ut eadem hord,
qua citatio tili intimanda fu4t, exstingueretur/' Welche Bachsucht, einen in den
letzten Zügen Liegenden nodi vor Gericht zu schleppen wegen einer Ehrenbelei-
digongl
6) So z. B. „Convmiumt haec tempora [einer Finstemiss] satis praedse cum
nostro redintegrato cdhulo'* (Tycho an Mästlin; 0. 0. 1, 46). „Tempora iedip- .
sium] mea reatitutioni apprime congrvkentia*' (Tycho an Kepler; 0. 0. 1, 226)^
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170 Historisch - literarische Abfcheilnng.
Gewände und auch ganz neue Entdeckungen umfassen^). Eine Stelle
der Mondtheorie in den „Progjmnasmat»^* widerspricht sogar direct der
Annahme, für die man sich auf die „redintegraia hypcthesis** bemfL Sie
lautet: „Ich hielt es für der Mühe werth, wenn ich als Anhang zu diesem
Capitel über die Sonne kurz und bündig darlegte, wie die Mondtheorie
wieder in Ordnung zu bringen sei; da viele Jahre fortgesetzte genaue Be-
obachtungen mich überzeugt hatten, dass der Lauf des Mondes am Himmel
durch die bisher aufgestellten Hypothesen, ob dies nunPtole-
mäische oder Copernicanische sind, und die aus diesen auf irgend
eine Weise abgeleiteten Tafeln nicht richtig dargestellt werde*' ^). Hier versichert
Tjcho, dass ihm keine frühere Hypothese bekannt sei, die den An-
forderungen Genüge leiste, und er soll die Variation, die er gerade des-
halb neu einführt; in einem Athem als eine alte, wieder neu aufgelegte
Hypothese bezeichnet haben?
Die im Wege stehenden Argumente dürften mit diesem genügend wider-
legt sein. Sehen wir uns jetzt um, wie Kepler sich über die Variation
äussert. Er entwickelt in seinen beiden für den damaligen Stand der Mond-
theorie klassischen Werken, der „Epitome Astronomiae Copemicanae*' und
den „Tabulae Budolphinae ^^ dieselbe in folgender Weise.
Er unterscheidet zwei Arten von Ungleichheiten des Mondlaufes in
Länge. Die erste Art (nur eine einzige Ungleichheit) nennt er „Lunat
anomälia söktta" (d. h. a motu Sölis). Es ist dies die Mittelpunkts-
gleichung'). Er nennt sie auch „anomälia periodica*' xmd „sui juris"*).
Die anomalistische Revolution des Mondes giebt er sehr genau an zu 27^
Die zweite Art nennt er „inaequälUates menstruae**. Er führt nur
zwei an: eine „temporanea" und eine „perpetua". Die erstere nennt er
„temporanea", weil sie zwar von den Lunationen abhängig, jedoch nicht
in allen synodischen Revolutionen von gleichem Betrag ist^). Er erklärt
ihren Verlauf und ihren Unterschied von der Mittelpunktsgleichung. Wenn
auch die Auseinandersetzung etwas dunkel ist, so erkennt man doch be-
1) Deis Wort „Tippothesis" kann Niemand stossen. Tycho kennt nur dieses;
er nennt seine, des Ptolemaeus, der Co per nie us Theorie gleicherweise „hifpo-
thesis**. Vergl. die folgende Anmerkung.
2) Progymnasmata, L. I pag. 02: „Operae pretium me facturum exietimavij
si brevem et succinctam cwrriGuli Lu/naria restitutionem huic capiti de SoU •
Butfjungerem; postquam tnuUorum annorum accwratis observatiombus satis expLora-
tum habuerim, ejus in coeHo phaenomena non oongruere hypothesibus hactenm
constitutis, sive Ptolemaicis, sive Copernicanis, atquenumerishinequo
modocunque derivatis."
3) 0.0. VI, 680 flg.
4) 0. 0. VI, 462.
6) 0.0. VI, 466 flgg.; 584.
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Ueber die Entdeckung der Variation etc. des Mondes. 171
stimmt die Evection, Ueberdies sagt er noch^), sie sei abhängig vom
Apogaeum und den Syzygien. Ihr Maximum giebt er zu 2^30' an. —
Die andere „maequalitas menstrua" nennt er „perpetua", weil sie von den
Lunationen abhängig, aber auch in allen synodischen Bevolutionen yon
gleichem Betrag ist. Diese kennzeichnet er durch die Bemerkung: „Sie
verschwindet sowohl in den Syzygien, als in den Quadraturen, und erreicht
ihr Maximum in den Octanten**^) zweifellos als unsere heutige Varia-
tion. Er nennt sie auch so und sagt an verschiedenen Stellen ^ sie sei
den Alten. unbekannt gewesen^), Tycho habe sie gefunden und
kraft seines Entdeckungsrechtes „Variation** genannt^).
Von der angeblich durch Tycho Brahe eingeführten jährlichen
Gleichung weiss dagegen Kepler Nichts.
Auf Grund dieser Ausführungen glaube ich mit Becht behaupten zu
können, es sei unerwiesen und unwahrscheinlich^ ja fast anmög-
lich, dass Tycho Brahe von der Entdeckung Ab ul Wefa's, wie es nun
mit dieser immer aussehen mag, Eenntniss hatte; dagegen ist erwiesen,
dass Tycho Brahe selbststttndig die Variation fand, ihren Verlauf
beschrieb, den Betrag genau bestimmte, und ihr den noch heute gebräuch-
lichen Namen gab; somit das Eecht hat, als ihr Entdecker (wenigstens
für das Abendland) zu gelten.
1) L. c. 474.
2) 0. 0. VI, 475: „Evanescit tarn in qttadris quam in^ptUiSi tnaxima est eiroa
octantes."
8) „Inobservata a veterihus" (0. 0, VI, 684). — „Praderea ignoraverunt tili
[Veteres] incitationem Lwnae in copülis, quam Tycho Brake variaHonem dixib"
(0.0. VIII, 112).
4) „Tertia Iwiae inaequdlitas, Variatio, inventum Tyckonis Brake'* (0. 0. VII,
485). — „ Succedit famosa illa Tyckonis inventio, variatio didta" (0. 0. VII , 527).
Vergl. 0. 0. U, 9 und III, 812). — „Tycko Brake inventor variaiionem dixiVy was
jeder des Lateins Kundige mit: „Tycho gab ihr als Erfinder den Namen Varia-
tion" übersetzen wird (0. 0. VI, 475. — „Quam Tycho inventor variaiionem indi-
getavit" (0. 0. VI, 585). Vergl. 0. 0. ÜI, 535; 545; 684 flg. ; 708. VI, 14. VIII, 838.
— Tycho bestimmte das Maximum hinreichend genau zu 40' 30". Kepler will
dasselbe aas Gründen, die er a priori aus seiner Speculation über die Ursache der
Centralbewegung herleitet, auf 51' oder wenigstens 49' erhöhen.
(Foitsetsung folgt.)
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Recensionen.
Histoire des Boienoes mafhämatiqneB et physiqneB. Par M. Maxihilien
Marie, r6p6titear de m^canique, examinatear d'admission ä T^cole
polytechnique. Tome VII. De Newton k Euler (Suite). 272 pag.
Paris, Gauthier -Villars , imprimeur-libraire. 1885*
Wenn man je ein Werk als ungleichen Werthes in seinen einzelnen
Abtheiiungen bezeichnen durfte , so gilt dieses für dasjenige , dessen VIL Band
ans heute yorliegt, selbst ein Muster von Ungleichheit. Auch dieser Band
ist noch der Entstehung und ersten Entwickelung des Infinitesimalcalculs
gewidmet. Er beginnt mit der Erzählung des Prioritätsstreites zwischen
Newton und Leibnitz, er bringt in seinem Verlaufe die Entdeckungen
von Jacob und Johann Bernoulli, von de L'Hospital, von Taylor,
um nur die wichtigsten Namen hervortreten zu lassen. Aber wir möchten
den Leser kennen lernen, der aus den hier gegebenen Schilderungen den
Entwickelungsgang der Wissenschaft zu entwirren im Stande ist! Einen
grossen Theil der Schuld trägt die unselige Gewohnheit des Verfassers,
die Schriftsteller nach dem Geburtsdatum zu ordnen. So erscheint Jacob
Bernoulli S. 72-119, Johann B. S. 154—198, de L'Hospital,
Johann's Schüler, dagegen schon S. 143 — 148! Wie kann da eine folge-
richtige Geschichte der Ideen zu Stande kommen, die Herr Marie sich
doch als Ziel vorsetzte? Nein, wir kOnnen hier höchstens mehr oder weniger
gut gelungene üebersetzungen einzelner Abhandlungen einzelner Schrift-
steller aus der Sprache ihrer Zeit in die der heutigen Bezeichnungsweise
erkennen, aber wie die Ideen sich eine aus der anderen ableiteten, wie die
richtigen Gedanken , wie die Fehlschlüsse entstanden sein mögen , wie jeder
unmittelbare oder mittelbare Lehrer auf seine Schüler einwirkte, das sagt
uns Herr Marie nie und nirgend. Aber auch an grossen nicht erwähnten
Leistungen ist in diesem Bande so wenig ein Mangel wie in den früheren.
Wir begnügen uns wiederholt damit , auf einige der klaffendsten Lücken hin-
zuweisen. Jeder FachnuHin kennt die Bernoulli 'sehen Zahlen und das
Gesetz der grossen Zahlen von Jacob Bernoulli, kennt Tschirn-
hausen's Methode, zwei Glieder aus einem Gleichungspol jnom wegzu-
schaffen, kennt Hallej's bahnbrechende Arbeit über die Bevölkenmgs-
Verhältnisse der Stadt Breslau. Von diesen wichtigen Dingen ist mit
keinem einzigen Worte die Rede. Cantor.
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Recensionen. 173
Die Bereohnung der trigonometrischen Vermesgangen mit Rücksicht auf
die sphäroidische Gestalt der Erde. Von J. G. F. Bohnbnbbrqbr.
Deutsche Bearbeitung der Abhandlung „De computandis etc.^, von
E. Hammer , Professor am Eönigl. Polytechnikum in Stuttgart. VIII,
65 S. mit 13 Figuren im Text. Stuttgart, 1885. Verlag der J. B.
Met^ler'schen Buchhandlung.
Wenn eine Abhandlung etwa 60 Jahre nach ihrem erstmaligen Erschei-.
nen einen neuen Abdruck und zwar in deutscher Uebersetzung erfahrt, so
i:ann diese immerhin sehr seltene Erscheinung als ein gutes, wie als ein
schlimmes Zeichen aufgefasst werden. Als ein schlimmes, sofern daraus der
Schluss gezogen werden könnte, die Wissenschaft sei inzwischen nicht weiter
gekommen, als ein gutes, sofern der Abhandlung selbst durch die Ueber-
setzung das Zeugniss bleibenden Werthes ertheilt ist. Der erstere Schluss
wäre, wenn man ihn auf Bohnenberge r 's Abhandlung anwenden wollte,
nicht gerechtfertigt. Es bedarf nur des Hinweises auf die „ Disquisitiones
generales circa superficies curras", in welchen Gauss 1828 der Lehre von
den Oberflächen neue Bahnen erö&ete, auf Grunert's Sphäroidische Tri-
gonometrie (1833), in welcher der Verfasser in gewohnt breitspuriger,
aber gewissenhafter Darstellung das zu seiner Zeit Bekannte vereinigt wieder-
gab, auf die ganze neuere Literatur über das Geoid, um der Meinung von
etwaigem Stillstande der Wissenschaft zu begegnen. Nichtsdestoweniger ist
Bohnenberger's Schrift noch heute sehr lesens würdig und Herrn Ham-
mer's Bearbeitung derselben sehr lesbar, so dass wir mit Vergnügen auf
die neue alte Erscheinung aufmerksam machen. Cantor
AlgebraiBohe Analysig von Augnstin Louis Canchy, deutsch herausgegeben
von Carl Itzigsohn. Berlin 1885, bei Julius Springer. XII, 398 S.
Im XXX. Bande dieser Zeitschrift, hist.-lit. Abth. S. 23, haben wir die
Uebersetzung des I. Bandes von Euler's Einleitung in die Analjsis des
Unendlichen anzeigen können als Erö&ungsband jener Sammlungen mathe-
matischer Klassiker» welche die Springer'sche Verlagshandlung dem deut-
schen Publicum zu bieten gedenkt. Zur Fortsetzung des Unternehmens
wurde Canchy 's Algebraische Analysis gewählt. Wir können die Wahl
nur billigen. Das französische Original von 1821 ist eine bibliographische
Seltenheit geworden. Huzler's Uebersetzung von 1828 ist kaum häufiger
zu finden und nahezu unlesbar. Dass aber zwischen Euler 's und Cauchy's
Werk, zwischen 1748 und 1821 kein anderes Buch von gleicher Bedeutung
für die Analysis erschienen ist, darf bereitwilligst zugestanden werden. Nur
eine Abhandlung von unvergänglichem Werthe fällt in diese lange Zwischen-
zeit von fast dreiviertel Jahrhundert , welche , wenn sie bei ihrer Entstehung
gleich so bekannt geworden wäre, wie sie es jetzt ist, vielleicht anders
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174 Historiscb - literarische Abtheilung.
gestaltend auf Cauchj's Analyse alg^brique gewirkt hätte, möglicherweise
zum Schaden des Werkes, welches dabei an Originalitftt eingebüsst hätte.
Jeder Fachmann weiss, dass wir von der Gauss'schen Abhandlung „Circa
seriem" etc. sprechen, welche in den Jahren 1811 — 1813 dem Drucke über-
geben wnrde. Während Euler heute noch durch die Fülle neuer Sätze
überwältigt, hat Cauchy sich den Buhm erworben, für Vieles, was Euler
wusste und sagte, die ersten strengen Beweise geführt zu haben. Dieser
Buhm ist vollauf verdient, aber er gebührt nicht Cauchy allein. Auch
Oauss hat bereits ein Strenge der Beweisführung, welche vor jeder moder-
nen Kritik besteht. Insbesondere seine Kriterien der Convergenz unendlicher
Beihen sind mustergiltig entwickelt, und deutsche Schriften über Analysis
sollten, glauben wir, ans geschichtlich und vaterländisch gestattetem Erst-
lingsrechte, mit den Gauss 'sehen statt mit den Cauchy 'sehen Beihenunter-
suchungen zu beginnen sich zur Pflicht machen. Diese Bemerkung soll natür-
lich nicht das geringste Lorbeerblatt aus Cauchy 's Buhmeskranz entfernen.
Wir bleiben bei dem Ausspruche , es sei eine vortreffliche Wahl gewesen , un-
mittelbar auf die „Introductio^ die „Analyse alg^brique*' folgen zu lassen, in-
sofern nur Bücher und nicht einzelne Abhandlungen übersetzt werden sollen.
Sonst hätte die Schrift „Circa seriem" vorausgehen müssen. Cantor.
J. vAM Bebber: Handbuch der ausübenden Wittenmgsknnde. I. Theil:
Geschichte der Wetterprognose. 392 S. 12 Holzschn.
Unter allen naturwissenschafiilichen Zweigen ist wohl als eigentliche
Wissenschaft die Meteorologie die jüngste, während andererseits die uran-
fönglichsten Versuche der Wetterkunde und -Voraussage bis in die frühesten
Zeiten der Menschheit zurückreichen. Nachdem sich nun aus diesen kind-
lichen Bestrebungen des Alterthums und den Verirrungen der mittelalter-
lichen Astrometeorologie in unserem Jahrhundert auf physikalischer Grund-
lage ein Hauptzweig der Gesammtmeteorologie , die Wetterprognose, als
selbstständige Disciplin entwickelt hat, muss ein Werk, welches uns den
ganzen geschichtlichen Aufbau vorführt, von hohem Interesse für den Fach-
mann im engeren Sinne, wie für den ferner stehenden Laien sein. Eine
solche „Geschichte der Wetterprognose" hat als ersten Theil eines Hand-
buchs der ausübenden Witterungskunde Herr Dr. J. van Bebber, Abthei-
lungsvorstand an der deutschen Sternwarte, in dem bekannten Verlag von
F. Enke (Stuttgart) zur Publication gebracht. Der Autor war gerade so
recht berufen, dieses Werk zu veröffentlichen^ da er für die Praxis der
täglichen Wetterprognose, wie für den wissenschaftlichen Ausbau der ihr
zu Grunde liegenden Begeln seii; Jahren so hervorragend thätig ist. Ein
nicht geringer Vorzug der v. Beb herrschen Publication ist die scharfe
sachliche Gliederung in einzelne Capitel, die dann wieder für sich in chro-
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Recensionen. 175
nologischer Folge durchgeführt sind. Durch diese systematische Theilung
und einen die literarischen Nachweise erbringenden Anhang wird dieses
Buch zu einem ausgezeichneten Nachschlagswerke , das auch Lehrer und For-
scher hochschätzen werden, um aber auf den Inhalt der einzelnen Capitel
überzugehen, führt uns der Autor zunächst die Aeusserungen des Glaubens
an die Einwirkung von dämonischen Kräften auf die Witterungselemente
vor. Nach zahlreichen Citaten aus den Beligionsschriften der yorchristlichen
und christlichen Aera lesen wir von einer ganzen Beihe jener Verirrungen,
in denen der religiöse Wahnsinn, der ganze Völker erfasst hatte, Hunderte
und Tausende von unglücklichen Opfern als Hexen und Zauberer in die
Arme des Henkers trieb. Neben Goldmachen, Pestanstiften und allenfall-
sigem Viehverhexen war ja besonders das Wettermachen eine Klage, die
man gegen die der Zauberei Verdächtigen erhob. Auch die Entwickelung
der eigentlichen Astrometeorologie wird uns bekannt gegeben durch Mit-
theilungen über ihre hauptsächlichen Vertreter, ihre Begeln und den hun-
dertjährigen Kalender, jenes Vermächtniss derselben, das noch bis in unsere
Tage hinein sein Unwesen treibt Während der Glaube an den hundert-
jährigen Kalender, dessen Unsinn durch einen Blick auf seine Entstehung
erkannt werden muss, als eine Schmach für den Menschenverstand zu er-
klären ist, muss ein zweiter Irrthum, der nicht weniger verbreitet ist,
wesentlich milder beurtheilt werden, nämlich der Glaube an den Einfluss
des Mondes auf die Witterung. Bei der relativen Nähe und Grösse des
Mondes scheint der Gedanke an einen Einfluss desselben nicht von vornherein
ausgeschlossen, zumal ja die Ebbe und Fluth als eine Wirkung des Mondes
bekannt ist. Der Autor hat mit dem grössten Fleisse und Geschicklichkeit,
welche durch seine hervorragende Literaturkenntniss unterstützt wurden,
jene zahlreichen Untersuchungen, welche seit den Tagen New ton 's mit den
Hilfsmitteln der höheren Mathematik und der ausgebildeten Statistik an-
gestellt wurden, zusammengetragen und uns damit ein höchst werthvolles
Material geliefert. Am Schlüsse des 3. Capitels, das diese Zusammenstellung
bringt und an Raum einen grossen Theil des Gesanmitwerkes einnimmt,
kommt er zu den Resultaten , dass zwar der Mond auch eine atmosphärische
Ebbe und Fluth erzeugt, dass aber selbst in niederen Breiten, wo ihre
Wirkung auf das Barometer noch am besten nachweisbar ist, dieselbe unter
0,1 mm bleibt. Auf kein anderes meteorologisches Element ausser dem
Luftdruck lässt sich, selbst in so geringem Maasse, ein Einfluss mit Be-
stimmtheit nachweisen , und jedenfalls ist es unzulässig und unwissenschaft-
lich, auf Mondeinflüsse Wetterprognosen zu gründen. Die nächsten zwei
Capitel, welche sich gegen die Annahme eines Einflusses der Kometen,
sowie der Meteoriten wenden ^ wurden kürzer gefasst. Eine weitere Aus-
dehnung erhielt wieder der folgende Abschnitt ^ ^er sich mit dem Einflass
der Sonnenflecken beschäftigt. Seit man die Sonnenflecken beobachtet hat,
sind Versuche gemacht worden, einen Zusammenhang zwischen ihnen und
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176 Historisch- literarische AbtheiluDg.
den Vorgängen in der Atmosphäre der £rde nachzuweisen. Ein solcher
Zusammenhang scheint allerdings zu bestehen; ob er aber als ein ursäch-
licher oder vielleicht nur als ein gleichzeitiger, aus gemeinschaftlicher Be-
gründung entspringender sich aufrecht erhalten lä88t> muss vor der Hand
noch zukünftigen Forschungen aufbewahrt bleiben. Jeden^Edk können aber
unsere Kenntnisse von der Sonnenfleckenperiode noch nicht benützt werden,
um darauf Wetterprognosen ftir längere Zeit zu gründen. Nach einer noch
folgenden kurzen Besprechung der „Wetterregeln*' tritt der Yerfiasser auf
das moderne Gebiet, die Entwickelung der neueren Meteorologie über. Es
sind eine Reihe hochinteressanter historischer Einzelheiten, die uns hier
geboten werden, so jene Worte, in welchen Layoisier gewissermassen
prophetisch die heutigen Wetterbulletins ankündigte. Die Arbeiten Ton
Brandes und Dove bereiteten den Boden vor, auf dem sich schliesslich
nach Auffindung des Buj8-Ballot*schen Gesetzes die synoptische Meteo-
rologie voll entwickeln konnte. Von historischem Werthe sind die Mitthei-
lungen über die Prioritätsansprüche, die zwischen Buy s- Ball ot und Fe r-
rel bestehen. Es waren aber nicht blos die erwähnten und weitere sich
daran schliessende wissenschaftliche Arbeiten, welche den mächtigen Auf-
schwung der Meteorologie forderten, sondern es traten noch zwei äussere
Factoren hinzu: einerseits die Entwickelung des Telegraphen wesens , welche
gestattete, rasche Witterungsnachnchten zu sammeln und die auf ihnen
begründeten Prognosen und Sturmwarnungen rechtzeitig zu verbreiten, an-
dererseits die praktischen Er&hrungen, welche man über den hohen Werth
solcher Mittheilungen machte. Congresse und Conferenzen, zuerst durch
den amerikanischen Nautiker Maury ins Leben gerufen, beriethen sich nun
über die praktische Verwerthung und den weiteren Ausbau der Meteorologie.
Die Schilderung der Thätigkeit der Congresse, sowie des sich nun allent-
halben entwickelnden telegraphischen Wetterdienstes füllt die beiden letzten
Capitel. Am Schlüsse ist noch der bereits anfangserwähnte literarische
Nachweis gegeben.
Die bei aller Wissenschaftlichkeit stets populär und leicht fasslich ge-
haltene Sprache eröfhet dem Werke einen grossen Leserkreis. Mit Interesse
sehen wir dem zweiten Theile entgegen. p ^
J. EiESSLiNO: Die DämmerungterBoheinimgen im Jahre 1883 und ihre
physikaliBohe Erklärung. 53 S. 5 Holzschn.
Nachdem die Dämmerungserscheinungen des Jahres 1883 so ausser-
ordentliches Aufsehen erregt haben und die Anregung gaben zu sorgßütigen
Studien über das Phänomen der Dämmerung im Allgemeinen und speciell
in der damals auftretenden Verstärkung, ist eine Schrift von besonderem
Interesse, die zum ersten Male eine Erklärung des mehraktigen Schau-
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Becensionen. 177
Spiels giebt, welches wir bei einer zur ganzen Entwickelnng gelangenden
D&mmemng sehen. Herr Professor J. Eiessling hat unter dem obigen
Titel eine Stadie veröffentlicht, welche, zunSchst noch in popnlftrer Form
gegeben , der Vorläufer einer grösseren Arbeit ttber das gleiche Thema sein
soll. Der Verfasser giebt eine Schilderung der Erakatoa- Ausbräche und
schliesst sich der Ansicht an, dass yulkanischer Staub, der von diesen oder
anderen, nahezu gleichzeitigen Eruptionen herstammte, die Ursache von
diesen aussergewöhnlichen Verstftrkungen der Dämmerung gewesen sei Es
ist nämlich, wie ausftihrlich dargethan wird; nur bei Gegenwart von feinem
Staube die Bildung einer homogenen, äusserst zarten Nebel- oder Dunst-
schicht möglich , die dann ihrerseits Anlass zu den Diffractionserscheinungen
giebt, welche eben die einzelnen Phasen der Dämmerung sind. Daran reiht
der Verfasser eine die grösste Feinheit der Beobachtung beweisende Schil-
derung einer normalen Dämmerung und giebt dann die Erklärung des gan-
zen Phänomens „durch die Diffraction, welche die oberste Zone einer der
Erdoberfläche in grosser Höhe aufgelagerten Schichte von Nebelkörperchen
von nahezu gleicher Grösse auf die Sonnenstrahlen ausübt'*. An der Hand
einer schematischen Figur wird die Aufeinanderfolge der einzelnen Dämme-
rungsphasen in der überzeugendsten Darstellung abgeleitet. Die anomalen
Dämmerungen von 1883 lassen sich in allen ihren Eigenthümlichkeiten
dieser Erklärung unterordnen, ja gerade das damals bemerkte charak-
teristische Fehlen des „dunklen Segments *' erscheint als eine nothwendige
Folge. Zum Schluss vertritt der Autor nochmals seine Ansicht, dass diese
ungewöhnlichen Dämmerungen in directem Zusammenhange mit den vulka-
nischen Ausbrüchen in der Sunda- Strasse stehen. Als Anhang ist noch
eine Schilderung des Nebelglühapparates und der interessanten Versuche
gegeben, welche Herr Professor Eiessling zur experimenteUen Darstellung
der mannigfaltigen Farbenbildungen machte, welche die Dämmerungserschei-
nungen begleiten. Wir sehen nach dieser kleineren, populären Schrift mit
Interesse dem grösseren Werke entgegen, welches ausser einer umÜEUsenden
Bearbeitung des normalen Dämmerungsproblems auch eine Untersuchung über
die geographische Verbreitung jener ungewöhnlichen Dämmerungen bringen
^^^- F. Ebk.
Lehrbuch der kanfnoLännisohen Arithmetik zum Gebrauche ftbr Handels-
lehranstalten und fUr den Selbstunterricht Von Dr. Ebnst Eaulich,
Director der Prager Handelsakademie. 4. umgearbeitete und ver-
mehrte Auflage. Prag, 1885. Druck und Verlag der k. k. Hofbuch-
druckerei von Ignaz Fuchs. IX, 378 S.
Es war eine Principienfrage für uns, ob wir einem Berichte über das
vorliegende Werk in unserer Zeitschrift Raum geben sollten oder nicht.
Wendet sich doch dasselbe an Leser, die von der Existenz dieser Zeitschrift
HiiMii. Ahihlg. d. ZdtMhr. f. Math, n, Phyi . XXXI, 6. t4 Og IC
178 Historisch -literarische AVtheilang.
kaum in den seltensten Fällen Eenntniss haben; ist es doch auf deren Be-
dttr£ais8e an Strenge, wie an Fasslichkeit eingerichtet, und beide weichen
gar sehr von denen des Mathematikers ab. Wir entschlossen uns, aus-
nahmsweise das Buch zu besprechen, weil es uns die Gelegenheit bietet,
einen Gegenstand zu berühren , den wir gern schon längst einmal in unserer
Zeitschrift zur Sprache gebracht hätten und der den mathematischen Unter-
richt in unseren humanistischen Gymnasien betrifft
Vergleichen wir den Lehrcursus in unseren badischen Gymnasien , wel-
cher Ton dem anderer deutscher Anstalten gleichen Banges nur wenig ab-
weichen dürfte, so finden wir für Quarta: „Einfache und zusammengesetzte
Zweisatzrechnungen/* Darunter werden Procentrechnungen, Mischongsrech«
nungen u. dergl. verstanden. In keiner der höheren Classen wird dagegen
ein eigentlicher Bechenunterricht ertheilt. Ist das richtig? Wir bezweifeln
es auf das Entschiedenste. Wir wünschten vielmehr die ganze Beihenfolge
anders geordnet. Das algebraische Pensum der Untertertia bis zu dem der
Obersecunda sollte nach unserem Dafürhalten von Quarta bis Untersecunda
abgehandelt werden und könnte es ohne die geringste Schwierigkeit. Den
algebraischen Lehrstoff der beiden Primen würden wir den drei oberen Classen
mit je einer Wochenstunde weniger als seither zuweisen. Die so frei wer-
dende Stunde beanspruchen wir dagegen in denselben drei Classen für kauf-
männisches Bechnen, wie wir statt des vorher erwähnten Namens „Einfache
und zusammengesetzte Zweisatzrechnungen ^* zu sagen vorziehen würden.
Die Gründe, welche uns leiten, sind folgende. Es ist Thatsache, dass
in Quarta bisher gerade die mathematisch begabteren Schüler nur wider-
willig dem Unterricht folgen , und es kann kaum anders sein. Auswendig
gelernte Bechnungsschemen befriedigen den erwachenden Verstand nicht; für
eine genügende algebraische Begründung fehlt aber die Voraussetzung alge-
braischen Elementarwissens ; wie soll da der Knabe Freude an dem Lernen
und dem Erlernten haben? Was ist die Folge davon? Unsere Gymnasial-
abitnrienten sind im Allgemeinen nicht im Stande, die einfachste Bechnang
eines Bankiers auch nur zu verstehen, und da sie bei ihrem Universitäts-
studium diese Lücke nur in den seltensten Fällen ausfüllen, so sind xmd
bleiben sie unwissend auf einem Gebiete von hoher praktischer Bedeu-
tung, auf einem Gebiete, auf wdchem sie, falls sie etwa Mathematiker
wurden, sogar berufen sind, später Unterricht zu ertheilen, der alsdann
auch oft genug entsprechend beschaffen ist Dazu kommt noch Eines. Der
Quartaner ist nicht blos unreif für die Begründung der ihm zugemutheten
Bechnungsverfahren^ er ist es noch mehr für deren inneren Gehalt Wir
möchten beinahe sagen: erst mit beginnendem Taschengelde, mit beginnen-
der freier Verfügung über kleinere Summen, die dem Erstverfügenden stets
gross erscheineui und um so grösser, wenn sie auf die Neige gehen, er-
wacht der Begriff des Geldwertbes, der Berechtigung etwaigen Abzuges bei
baarer Bezahlung, der Möglichkeit, Geld zu miethen, also auch zu ver-
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Beoensionen. 179
Zinsen. Eb kommt das Verständniss des Versichemngsvesens gleicbEeitig
mit eigener oder fremder Erfahrung bei mannigfiEkchen ünglüoksflülen. Es
bilden sich unter dem Einflüsse wiederholter Volkszfthlungen die Begrifft
der Bevölkerungslisten, der Sterblichkeit u. s. w. Kurzum es wuchst von
Jahr zu Jahr in dem Knaben die Menge eines dem Schulunterricht nicht
angehörenden Wissens, welches ihm Interesse und YerstSndniss für die Auf-
gaben selbst gewährt, die das kaufm&nnische Rechnen zu lösen hat, und
jetzt erst soll er nach unserem Dafürhalten die Lösungen als nunmehr
leichtes Mittel zu einem wichtigen Zwecke kennen lernen. Wir wissen wohl^
dass manche Wünsche noch weiter gehen, als die unsrigen. Viele Ejiaben,
sagt man, verlassen das Gymnasium nach zurückgelegter üntersecunda;
sollen diese, die theil weise zum Kaufmannsstande übergehen^ nie Etwas von
kaufmännischem Rechnen kennen gelernt haben? Sollte man nicht um ihrer
willen schon in üntersecunda jenen Unterricht und zwar vorzugsweise
pflegen? Wir sind der entgegengesetzten Ansicht. Schon heute ist das
humanistische Gymnasium in seinen unteren und mittleren Classen schwer
überlastet durch eine Vielzahl von Knaben, welche zu ihrem künftigen
Lebensberufe viel besser durch die Realschule vorbereitet würden» Soll diese
Vielzahl künstlich zu einer Mehrzahl grossgezogen werden dadurch, dass
man das Gymnasium in seiner die Zulassung zum Einj&hrigendienst be-
dingenden Abtheilung zu einer Vorbereitungsanstalt fCür junge Kauflente
umvrandelt? Gerade das Gegentheil scheint uns noth wendig im Interesse
des Gymnasiums und seiner berechtigten Schüler, wie im Interesse der einem
nichtgelehrten Berufe Zustrebenden, die vor Halbwissen bewahrt werden
sollen, und mehr könnte ihnen der Rechenunterricht der üntersecunda doch
nicht gewähren.
Nur eine nebensächliche Frage ist es, wie der nach dem seitherigen
Bildungsgange in seine Lehrstelle eingerückte Schulmathematiker den neuen
Unterricht werde ertheilen können. Er wird sich eben guter literarischer
Hilfsmittel zu bedienen haben, denen er mit leichter Mühe die ihm mangeln-
den sachlichen Kenntnisse entnehmen kann , während sein mathematisch ge*
Schulter Geist die meist etwas mangelhaften Beweise bestens ergänzen wird.
Ein solches Hilfsbuch kann ihm auch das uns vorliegende Werk sein, aus
welchem wir selbst Manches in der angegebenen Richtung gelernt haben.
Leider wimmelt das Buch von Druckfehlem auch in den Zahlenangaben, so
dass jedes Beispiel erst der Nachrechnung bedarf, bevor man sich auf die
Richtigkeit der mitgetheilten Ergebnisse verlassen kann. Cantor
Zinsetsins-, Renten-, Anleihen-, Obligationeü-Reohnong. Handbuch von
V. Babrlochbr. Mit 5 Tafeln von F^dor Thoican. Zürich, 1886.
Verlag von Orell Füssli & Comp. XXXI, 249 S.
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180 Historisch -liierarische Abtheilang.
Der Verfosser geht Ton der in der Vorrede stark betonten Voranssetz-
ung ans, die deutsche Literatur sei in den hier behandelten Fragen hinter
der fremdlttndischen zurückgeblieben. Wttre dem so, so läge in der That
ein Bedürfniss Tor, die Lttcke auszufüllen und durch ein neues Handbuch
den nur mit den Anfangsgründen der Algebra bekannten Leser in den Stand
zu setzen, die Lehre von den Anleihen — denn diese bildet naturgemfiss
den Mittelpunkt des Ganzen — im Zusammenhange zu studiren. Weit ge-
ringer wird aber dieses Bedürfniss sein, wenn schon seit 40 Jahren ein
vortreffliches deutsches Werk vorhanden ist, das eben jenen Zweck zu er-
ftiUen durchaus sich eignet, und dem wir es nicht als Tadel anzurechnen
vermögen, dass es auch mit dem Versicherungswesen sich beschäftigt, wel-
ches Herr Baerlocher grundsätzlich ausgeschlossen hat. Wir meinen die
1845 im Vieweg'schen Verlag in Braunschweig erschienene „Anleitung zu
finanziellen, politischen und juridischen Rechnungen" von L. Oettinger.
Der Freiburger Professor hatte, dem Studienplan badischer Cameralisten
entsprechend, altjtthrlich Vorlesungen über politische Arithmetik zu halten,
und aus diesen oftmals wiederholten Vorlesungen ist offenbar sein Buch her-
vorgegangen, welches Referent selbst genauer kennen und schätzen lernte,
seit er an der Heidelberger üniversitilt die gleichbenannten Vorlesungen
übernommen hat.
Wenn nun die Voraussetzung einer auszufüllenden Lücke unrichtig ist,
so f&llt es uns selbstverständlich nicht ein, daraus folgern zu wollen, es
sei unstatthaft, ein zweites Werk über den gleichen Gegenstand zu schreiben.
Höchstens wünschen wir, der Verfasser des zweiten Werkes hätte mit dem
vorhandenen Vorbilde sich bekannt gemacht und dasselbe theilweise benutzt.
So ist, um nur ein Beispiel hervorzuheben, S. 4 des neuen Handbuches von
der Zinseszinsrechnung gesagt: „Sie ist für die Berechnung von grösseren
Finanzoperationen , welche sich zumal auf eine lange Beihe von Jahren aus-
dehnen, wie Staats- und Eisenbahnanleihen, Lebensversicherungen etc., ganz
unerlässlich." Fürchtet Herr Baerlocher nicht, ein denkender Leser
werde daran die Frage: Warum? knüpfen? Bei Oettinger wird diese
Frage beantwortet, und zwar etwa folgendermassen. Ein Schuldner habe
Mk. 10000 zu 4 Procent aufgenonunen. Am Ende des ersten Jahres zahlt
er seinem Gläubiger Mk. 400 an fälligem Zins und die Hälfte seiner Schuld
mit Mk. 5000, zusammen also Mk. 5400. Am Ende des zweiten Jahres
zahlt er den jetzt fälligen Zins mit Mk. 200 und seine Bestschuld mit
Mk. 5000, zusammen also Mk. 5200, wodurch er schuldenfrei wird. Die
Zahlungen von Mk. 5400 am Ende des ersten und von Mk. 5200 am Ende
des zweiten Jahres müssen also zusammen den Baarwerth Mk. 10000 be-
sitzen. Ihn liefert aber die Zinseszinsformel und ist folglich richtig, während
Discontirung mit ein&chem Zinse, mag er von 100 oder auf 100 gerechnet
werden, nicht zu dem Baarwerthe Mk. 10000 führt und folglich falsch ist.
Diese schlagende Beweisführung, welcher wir den Eingang in den Schul-
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Becensionen. 181
Unterricht wünschen und die wir deshalb hier so weitlttufig wiederholen,
rührt übrigens ihrem Wesen nach von Leibnitz her, der in seinem be-
rühmten Aufsatze ron 1683, „De intemsurio simplice'*, noch folgende Be-
trachtung beifügt, unzweifelhaft werden 100 zu 4 Procent in einem Jahre
104 und umgekehrt ist der Baarwerth einer am Ende des Jahres zu leisten-
den Zahlung am Anfang des betreffenden Jahres gleich deren Quotient durch
1,04. Ist daher der Schuldner zunSchst mit seinem Qlftubiger überein-
gekommen, ihm am Ende des ersten Jahres 5400, am Ende des zweiten
Jahres 5200 zu zahlen, so kann er letztere Zahlung, auf YnZ* ^^^^^üidert,
auf das Ende des ersten Jahres gleichzeitig mit den 5400 zurückführen.
Die 5400 + TTu ^^™ ^i^cle des ersten Jahres sind aber am Anfang desselben
infolge ganz ähnlichen Schlusses -j-t^ + TTjjß ^^<^ ausgerechnet giebt dieses
genau 10000 und damit zugleich die bewiesene Zinseszinsformel. Auch den
Beweis dafür, dass bei halbjährlicher Zinszahlung die Discontirung über
t Halbjahre zum Jahreszinsfuss Yon p Procent durch Division mittels
/100+iy
V 100 /
/100+p\^
und nicht durch Division mittels ( — Trjn^ ) gefunden wird,
hat Oettinger geliefert, indem er die üebereinstimmung der ersteren
Formel mit allmlüiger Schuldabtragung, verbunden mit pünktlicher Zins-
zahlung, zeigt, auch dieser Beweis verdient gleichfalls allgemeinere Ver-
breitung. Lfisst Herr Baerlocher so an mehreren Stellen naturgemäss
sich einstellende Fragen unbeantwortet, so sind dagegen andere Sätze wenig-
stens in Anmerkungen bewiesen, wie z. B. die Bailj'sche Formel S. 52,
welche dadurch für den mathematisch gebildeteren Leser mehr wird als eine
blosse BegeL Im Ganzen kennen wir unser ürtheil dahin zosammenfiAssen,
dass das neue Handbuch insbesondere durch die zahlreich ausgerechneten
Beispiele und die angehängten Tabellen, wenn dieselben, wie wir annehmen,
correcten Abdruck erfahren haben, sich als brauchbar erweist, ohne eine
mustergiltige Leistung auf- unbebautem Gebiete zu sein. Cai«tob
Oraphiscli-mechanischer Apparat zur Auflösung nümerisohor Gleichungen,
mit gemeinverständlichen Erläuterungen. Von Dr. C. Bbusohlb,
Professor an der technischen Hochschule in Stuttgart. Stuttgart,
Herbst 1885. J. B. Metzler'sche Buchhandlung.
Im XXX. Bande dieser Zeitschrift, hist-lit. Abth. S. 29— 30, haben
wir über Beuschle's graphisch -mechanische Auflösung von Gleichungen
berichtet Dieselbe beruhte auf der Verschiebung einer auf durchsichtigem
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jL82 Historisch -literarische Abtheilung.
Material angefertigteii Curve — einer Apollonischen Parabel — über an-
deren auf Millimeterpapier hergestdlten Curven. Die Zeichnung solcher
Curven, auf deren Genauigkeit Alles ankommt, ist nicht gerade Jedermanns
Sache. Herr Beuschle hat der Mühe sich unterzogen und der Verleger
seiner Druckschrift aus dem Jahre 1884 hat für die YerrielflUtigung Sorge
getragen. So bilden denn ein grosser Foliobogen steifen Millimeterpi^ieres
und ein kleineres Blatt Oelatinepapier, beide mit wunderyoU gezeichneten
krummen Linien bedeckt, den heute zum Verkauf bestimmten Apparat,
welchem eine kurze populäre Gebrauchsanwebung beigegeben ist. Der Preis
mit 2 Mk. 80 Pf. ist für die elegante Ausstattung ein verhältnissmässig
nicht hoher. Cantor.
Otto Stolz, Yorlesimgen über allgemeine Arithmetik. Nach den neue-
ren Ansichten bearbeitet. Erster Theil: Allgemeines und Arithmetik
der reellen Zahlen* Leipzig, 1885.
Die allgemeine Arithmetik konnte bis vor Kurzem^ wenn man nicht
so glücklich war, ein Colleg darüber zu hören oder wenigstens eiae (doch
niemals authentische) Ausarbeitung einer solchen Vorlesung zu bekommen,
nur aus der überaus kleinen Zahl von Originalarbeiten erlernt werden^ wo
gerade die ersten Elemente keine Berücksichtigung fEmden und wo leise
Andeutungen nur dem Beichbegabten über die Schwierigkeiten hinweghelfen
konnten. Das soll jetzt besser werden. Zwar vermissen wir es noch immer
schmerzlich, dass Herr Weierstrliss die Besultate seiner Forschungen noch
nicht im Zusammenhang veröffentlicht hat; aber wir fireuen uns, dass ge-
rade die letzte Zeit manchen überaus werthvollen Beitrag von ihm in authen-
tischer Form gebracht hat. Vor noch nicht vier Jahren schenkte uns Herr
P. du Bois-Beymond im ersten Theile seiner „ Allgemeinen Functionen-
theorie'^ (Tübingen 1882) eine sehr anregende Theorie der mathematischen
Grundbegriffe, worin namentiich der Orenzbegriff von zwei ganz verschie-
denen Seiten beleuchtet war; wenn auch manche Mathematiker den Stand-
punkt des Verfassers nicht theilen konnten, so mussten sie doch ohne Zweifel
der Schärfe und Consequenz seiner Deductionen volle Anerkennung zollen.
Jetzt haben wir die angenehme Aufgabe, über das vorliegende Werk des
Herrn Stolz Bericht zu erstatten. Der Verfosser ist längst bekannt durch
die vielen werthvoUen Bereicherungen, welche ihm die Functionentheorie
verdankt; seine früheren Arbeiten haben ausserdem gezeigt, dass er mit der
Literatur sehr vertraut ist und dass er es namentlich versteht, die Anschau-
ungen der alten griechischen Mathematiker für neuere Forschungen nutzbar
zu machen. Wir gingen daher mit sehr grossen Erwartungen an das Sta-
dium seines Werkes und wir freuen uns^ aussprechen zu müssen, dass die-
selben nicht getäuscht worden sind.
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Becensionen. 188
Nach dem Vorwort hat der Verfasser denjenigen Lehren, deren Ge-
sammtheit als allgemeine Arithmetik und algebraische Analjsis bezeichnet
wird, systematisch fortschreitende, den gegenwärtigen Stand der Wissen-
schaft überall berücksichtigende Vorlesungen gewidmet, welche er in diesem
Werke der Oeffentlichkeit übergiebt Der Torliegende erste Theil umfasst
die Lehre von den reellen Zahlen; auch der zweite Theil ist bereits an-
gekündigt und wird wohl binnen Kurzem zu erwarten sein. Der erste Ab-
schnitt entwickelt den Grössenbegriff in der grössten Allgemeinheit nach
Hermann Grassmann und setzt den Umfang unserer Wissenschaft fest.
Im zweiten Abschnitt wird die Theorie der natürlichen Zahlen im Anschluss
an E. Schröder gegeben; hier möchte ich, allerdings ohne unbedingt zu-
zustimmen, auf folgenden Passus au^erksam machen (S. 15): ,,Die Summe
von h Gliedern A,.. wird das & -fache von A genannt ... hA ... Wenli
auch die erstere eine natürliche Zahl a ist, so betrachtet man das &- fache
als das Ergebniss einer Verknüpfung der Zahlen a, &, ..., in Zeichen:
&a = aX& = a.&.*' Der dritte Abschnitt beruht auf H a n k e Ts Betrachtungen
über Grössenverknüpfangen im Allgemeinen, jedoch werden neben „gleich*'
auch die Begri£Ee „grösser*', „ kleiner'* in formalem Sinne benutzt Die
Verknüpfungen werden als thetische und lytische unterschieden; Zeichen für
die ersteren sind dem Verf. o und ®, für die letzteren w. Besonders genau
werden die Bedingungen für das associative, das commutative und das
distributive Gesetz untersucht. Die Ent Wickelung wird benutzt, um das
System der rationalen Zahlen rein formal zu begründen. Demnach definirt
der Verfasser zunächst die rationale Zahl a:b als das Ding, welches existirt,
falls a durch h nicht theilbar ist; setzt dann die Begriffe gleich, grösser
oder kleiner für diese Zahlen fest und führt entsprechend die Definitionen
für die Bechenoperationen ein. Ganz ähnlich gelangt er zur Null und den
negativen Zahlen. Warum aber der Verfasser die rationalen Zahlen (S. 53)
auch algebraische Zahlen nennt, ist uns nicht recht erfindlich. Nachdem
kurz auf irrationale Zahlen aufmerksam gemacht ist, liefert der vierte Ab-
schnitt die synthetische Theorie der rationalen Zahlen, indem der Stamm-
bruch — als neue Einheit, Untereinheit eingefllhrt wird. Während die
Vergleichung mehrerer Brüche und ihre Addition sehr natürlich erhalten
werden, haftet der Einführung der Multiplication auch hier der formale
Charakter an. Aehnlich gelangt der Verf. zu den negativen Zahlen. Daran
schliesst sich die Einführung der allgemeinen Decimalzahl oder vielmehr
unter Anwendung einer beliebigen natürlichen Zahl e>2 die Theorie der
systematischen Brüche. Der folgende Abschnitt: Absolute, relative und
stetige Grössen, erörtert zunächst, welche Eigenschaften allen Systemen vtm
geometrischen Grössen, abgesehen von der Ausdehnung, zukommen, und
stellt dafür fünf Forderungen auf: I. Möglichkeit der Vergleichung nach
gleich, grösser und kleiner; IL — IV. Möglichkeit der Addition, der Sab-
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184 Historisch -literarische Abtheilung.
tractioQ und der Theilung; Y. das „Axiom des Archimedes^': Ist il>J9,
so giebt es ein Vielfaches von B, das grösser ist als A. Die Geometrie der
Alten wird in Bezug auf die Orössenlehre einer genauen Prüfung unterzogen,
welche beim Anf^ger viel zur Klärung des BegrifEs und zur Schftrfung des
ürtheils beitragen wird. Die nach G. Cantor gegebene Definition dw
stetigen Grössen dürfte wahrscheinlich dem Anfönger sehr grosse Schwierig-
keit bereiten; wir möchten den Verf. bitten, diesen Abschnitt in der zweiten
Auflage weitläufiger zu gestalten. Im folgenden Abschnitt wird die Theorie
der Verhältnisse nach Euklid dargestellt, das arithmetische Verhältniss
nur kurz erwähnt, das geometrische aber sehr weitläufig entwickelt. Es
ist einerseits der Euklidische Geist, welcher die ganze Behandlung durch-
dringt; aber zugleich ist die Darstellung so recht das eigenste Werk des
Verfassers, so dass wir nicht anstehen, diesen Abschnitt zum genauesten
Studium auf's Wärmste zu empfehlen. Derselbe wird nicht nur zu echt
mathematischer Bildung beitragen, auch die Analysis, die Geometrie und
die allgemeine Grössenlehre wird Nutzen dayon haben. NatQrlich geht der
Verf. weiter als die Alten, indem er das Verhältniss als Zahl aufTasst und zeigt,
wie damit gerechnet werden kann. Nachdem so die Untersuchung von den ver-
schiedensten Seiten dahin gedrängt hat, das Zahlengebiet über die Rational-
zahlen zu erweitem, ist der siebente Abschnitt der arithmetischen Theorie
der irrationalen Zahlen gewidmet, und zwar wird die von G. Cantor auf-
gestellte Theorie entwickelt. Die Darlegung knüpft an die systematischen
Brüche an. Da die Bedingungen, unter welchen ein unendlicher systema-
tischer Bruch einen rationalen Werth hat, zunächst entwickelt werden, bietet
der üebergang zum Irrationalen keine Schwierigkeit Es sei g)« ein ratio-
naler, von der ganzen Zahl n abhängiger Ausdruck und fdr jedes n definirt
Es wird angenommen, dass zu jeder positiven Zahl e eine positive Zahl fi
von der Eigenschaft gehört, dass der^absolute Betrag von fpn-^-r-^qfn kleiner
als s sei, wenn nur n>ik ist, was für eine positive ganze Zahl auch r
sein mag. Besitzen diese Functionen keinen rationalen Grenzwerth, so denkt
sich der Verf. dadurch ein neues | von jeder rationalen Zahl verschiedenes
Object gesetzt und zeigt, dass mit diesen neuen Objecten gerechnet werden
kann, dass dieselben, zu den Bationalzahlen hinzugenommen, ein stetiges
System bestimmen, dass man ferner die Forderung, tp^ solle eine rationale
Function von n sein, fJEJlen lassen kann, ohne zu neuen Zahlen zu gelangen)
und dass sich jede irrationale Zahl in systematischer Form darstellen lässt.
Diese Theorie findet ihre Anwendung in der Lehre von den Potenzen, Wur-
zeln und Logarithmen, welche im achten Abschnitt durchgeftlhrt wird. Der
folgende Abschnitt: Die reellen Veränderlichen und ihre Functionen, definirt
zuerst die untere und die obere Grenze der Veränderlichen, dann deren
Stetigkeit, und geht, nachdem er die Function erklärt hat, dazu über, die
gebräuchlichsten Arten derselben anzufCLhren. Der Grenzwerth einer Func-
tion wird nach Weierstrass gegeben. Für den Anftnger ist es sehr wich-
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Becensionen. 185
ügf wie hier geschieht, angehalten zu werden, dass er wohl darauf achtet,
in welcher Weise der Grenzübergang vor sich geht Es ist eine strenge
Schule, die er durchzumachen hat, aber dieselbe ist von sehr grossem
Nutzen und wird, ebenso wie die folgende Darlegung über stetige Func-
tionen, durch zahlreiche äusserst interessante Beispiele erleichtert, welche
auch an sich, abgesehen von den zu erkl&renden Sätzen, hohes Interesse
gewähren. Betreffs der stetigen Functionen einer Veränderlichen handelt
es sich vor Allem um die Erreichung eines jeden Mittelwerthes, um Erreich-
ung der oberen und der unteren Grenze und um Feststellung der Schwan-
kungen in gegebenen Intervallen. Von den Functionen mehrerer Veränder-
lichen wird nur das Wichtigste behandelt, namentlich der Grenzwerth und
die Stetigkeit. Einen Anhang zu diesem Capitel bildet die Theorie der
unendlich kleinen Grössen.
Der folgende, zehnte Abschnitt, welcher den unendlichen Reihen ge-
widmet ist, umfasst mehr als ein Viertel des ^ganzen Werkes. Dennoch hat
der Ver&sser hier eine weise Mässigung in der Begrenzung des Stoffes be-
wiesen, indem er das Hauptaugenmerk den unbedingt convergenten Beihen
zuwendet. Dabei sind • diejenigen Beihen, deren Grenzwerth von der An-
ordnung der Glieder abhängt, in völlig genügender Vollständigkeit behan-
delt; aber dabei lag die Versuchung nahe, die hierüber in letzter Zeit ge-
fundenen Besultate dem Werke einzuverleiben, welcher Versuchung der
Verfasser gewiss mit Beoht widerstanden hat. So entwickelt er denn die
allgemeinen Gesetze über Convergenz und Divergenz, legt den durchgreifen-
den unterschied zwischen absolut und bedingt convergenten Beihen klar^
streift kurz die unendlichen Producte und geht dann dazu über, im Anschluss
an P. du Bois-Bejmond die bisher aufgestellten und auf ganz verschie-
denen Wegen hergeleiteten Kriterien für die Convergenz und Divergenz
unter wenigen Gesichtspunkten zu vereinigen. Von denjenigen Beihen , deren
Glieder von einer Variabein abhängen, werden natürlich die Potenzreihen
am genauesten untersucht, und zwar in Bezug auf Convergenz , auf Gleich-
mässigkeit der Convergenz, auf Unbestimmtheit an den Grenzen; es werden
neue Beihen aus der gegebenen hergeleitet, rationale Brüche in recurrente
Beihen verwandelt. Die Beihen mit mehreren Unbekannten werden zur
Umkehr von Beihen und zur Auflösung von Gleichungen benutzt. Daneben
enthält dieser Abschnitt noch manches interessante Besultat, das wir hier
der Kürze wegen nicht berühren konnten. Auch liefert derselbe wiederum
zur Erläuterung zahlreiche Beispiele. Die schönste Anwendung aber liefert
der letzte Abschnitt, indem er die Potenzreihen für die Exponentialfunction,
die Potenz und den Logarithmus behandelt. Eine angenehme Beigabe sind
hier ganz gewiss Anleitungen zu möglichst einfacher und genauer Berech-
nung von Wurzeln und Logarithmen.
Es versteht sich von selbst, dass die Ansichten über die Auswahl und
die Behandlung des Stoffes nie ganz übereinstimmen werden. Aber zur
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t86 Historisch -literarische Abtheilung.
£[lärang muss es entschieden beitragen , wenn Jeder recht deutlich seinen
eigenen Standpunkt darlegt« In diesem Sinne spreche ich jetzt ganz offen
einige Punkte aus^ in denen ich dem Verf. nicht beizustimmen vermag. Da
muss ich denn gestehen, dass mir auf dem Titel die Worte: „Nach den
neaeren Ansichten^' nicht recht gefallen. In den Ergebnissen, welche doirh
langdauemde und angestrengte Untersuchungen tlber Stetigkeit, irrationale
Zahlen , unendliche Beihen u. dergl. gefSrdert sind , erblicke ich eben mehr,
als eine blosse Ansicht. Dagegen bin ich überzeugt, dass Grösse, Zahl,
Zahlsjstem und verwandte Begri£Ee augenblicklich einer strengem Behand-
lung noch nicht föhig sind, und möchte demnach hierauf die Worte „Neuere
Ansichten'^ beschränkt sehen. Dieser unterschied muss durch die ganze
Darstellung ausdrücklich hervorgehoben werden, so dass auch der Anftnger
sich bewusst wird, wo er es mit Ansichten zu thun hat und wo er auf
festem Boden steht. Wir glauben, dass unser Standpunkt von dem des
Verf. nicht wesentlich verschieden ist, aber wir zweifeln daran, dass der
Anfänger beim Studium dieselbe üeberzeugung gewinnt, üeberhanpt legt
der Verf. in den ersten Capiteln den Ansichten verschiedener Autoren zn
grosses Gewicht bei, ohne deren Mängel scharf genug zu kennzeichnen.
Es unterliegt keinem Zweifel, dass die erste Einleitung in eine strenge
Arithmetik meistens nur geringes Interesse zu erwecken vermag, ja dass
die Berechtigung solcher Darlegungen im Anfange vielfach, völlig geleugnet
wird. Untersuchungen über den Gleichheitsbegriff werden anfieuigs nur
wenige Studirende Interesse entgegenbringen, und dieses wird durch die
Hinzunahme des allgemeinen Begriffes „eindeutige Verknüpfung von Grössen"
ganz gewiss nicht gesteigert. Da wäre es sehr erwünscht gewesen, wenn
der Verf. seine schönen Entwickelungen über „gleich, grösser und kleiner*^
von geraden Strecken, ebenen Polygonen und Polyedern (S. 74 — 78) hätte
in den Anfang setzen und dadurch die Darstellung beleben und das Inter-
esse steigern wollen. Besonders mache ich auf die Gleichheit von Polygonen
aufinerksam. Herr Stolz definirt: „Zwei Polygone sind einander gleich,
wenn sie entweder congruent sind oder aus gleich vielen Stücken bestehen,
die paarweise congruent sind.*^ Diese wird dann allen Sätzen zu Gmnde
gelegt. Wir stimmen aus unserer früheren Erfahrung dem Verf. darin bei,
dass auf diesem Wege der Unterricht bedeutend gewinnt. (Dabei darf ich
wohl eine kleine Bemerkung einschalten. Die Definition benutzt eine ganz
bestimmte Zerlegung und eine ganz bestimmte Anordnung der Theile; damit
die Definition also erlaubt sei, muss folgender Satz vorausgesetzt werden:
Wenn es eine Zerlegung eines Polygons A giebt, für welche eine bestimmte
Anordnung der Theile ein Polygon B liefert, so ist keine Zerlegung von A
möglich , für welche eine neue Anordnung der Theile ein Polygon C liefert,
in welchem das Polygon B als Theil enthalten ist.)
Einigemal führt der Verf. Sätze an oder verweist auf Betrachtangen,
welche an der betreffenden Stelle und bei der nothwendigen Kürze schwer-
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Bibliographie. l'W
lioh verstanden werden dürften. Das mag sonst angebracht sein ; f^ >ein
Werk, dessen Aufgabe es ist, zur grössten mathematischen Schärfe zu er-
ziehen, kann es uns weniger gefallen. — Die Literatur ist mit grosser
Sorgfalt citirt; nur an einer Stelle, bei Erwähnung derjenigen Linien^ bei
denen von Länge nicht die Rede sein kann, hätten wir gewünscht, dass die
ersten Entdecker angegeben seien.
Für den Studirenden ist das Werk natürlich geradezu unentbehrlich-
Wir möchten aber auch diejenigen Collegen darauf dringend hinweisen,
denen der Unterricht in den Elementen der Mathematik obliegt Beferent
ist lange genug Lehrer gewesen, um ermessen zu können, wie weit die
höchste Strenge in den Beweisen für den Unterricht nutzbringend ist, und
spricht seine Ansicht unbedenklich dahin aus, dass der Oeist, in welchem
das vorliegende Werk geschrieben ist, auch für den Schulunterricht der passende
ist. Einzelne Partien können direct für die Schule verwendet werden.
Braunsberg. W. Killing.
BibUographie
vom 1. August bis 15. September 1886.
Periodisehe Sohriften.
Sitzungsberichte der mathem,- phjsikal. Classe der königL bayerischen Aka-
deiüie der Wissenschaften. Jahrg. 1886« 1. HefL München, Franz.
1 Mk. 20 Pf.
, Inhaltsverzeichniss zu den Jahrg. 1871 — 1885. Ebendas. 1 Mk. 20 Pf-
Sitzungsberichte der kaiserL Akademie der Wissenschaften in Wien. Mathem.-
naturwissenschaftl« Classe. IL 95. Bd., 5. Heft. Wien, Gerold. 5 Mk.
Astronomische Nachrichten, herausgeg. v. A. Ekubgbb. 115. Bd. (24 Nrn.)
Nr. 1. Hamburg, Mauke S. compl. 15 Mk.
Yierteljahrsschrift der astronom. Gesellschaft, herausgeg. von E. Schönfbld
und H. SsBLiaBB. 21. Jahrg. 1886, 1. und 2. Heft. Leipzig, Engel-
mann. 4 Mk.
Bibliotheca historico- naturalis, phjsico-chemica et mathematica; ed. B. v.
Hanstein. 35. Jahrg. 2. Heft, Juli-December 1885. Göttingen, Van-
denhoeck & Buprecht. 1 Mk. 80 Pf.
Reine Kathanaük.
Jacobi, C. G. J., Gesammelte Werke. 4. Bd., herausgeg. von K. Weivb-
BTRAflS. Berlin, G. Reimer. 18 Mk.
Sebsawy, y . , üeber den Zusammenhang zwischen den vollständigen Inte-
gralen und der allgemeinen Lösung bei partiellen Differentialgleichungen
höherer Ordnung. (Akad.) Wien, Gerold. 1 Mk. 80 Pf.
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188 Historisch -literarische Abtheilung.
Schüler y F., Die aUgemeine Deriyation, ein neuer Grundbegriff der Fnnc-
tionenrechnung. Ansbach , Brügel & S. 3 Mk.
Geoenbaueb, L., Die mittlere Anzahl der Darstellungen einer ganzen Zahl
durch eine Summe Yon bestimmten Vielfachen oder Quadraten. (Akad.)
Wien, Gerold. 20 Pf.
, üeber die Classenzahl der quadratischen Formen von negativer Deter-
minante. Ebendas. 20 Pf.
Mertens , F. , üeber die Invarianten dreier temären quadratischen Formen.
Ebendas. 35 Pf.
FuHRMANK, W., Wegweiser in der Arithmetik, Algebra und niederen Ana-
Ijsis.) (Formelsammlung.) Leipzig, Teubner. 1 Mk.
Euclidis opera omnia, edd. L. HEisEna et H. Mehgb. Elementa, Vol. UI.
librum X continens. Ebendas. 4 Mk. 50 Pf.
Ambsedeb^ A., üeber Configurationen und Polygone auf biquadrat. Gurren.
(Akad.) Wien, Gerold. 50 Pf.
WiRTiNGEE, E., üeber rationale Baumcurven vierter Ordnung. Ebendas. 40 Pf.
EoHN, G., üeber das Vierseit und Viereck, das FOnfflach und Fünfeck.
Ebendas. 60 Pf.
Fuss, E., Sammlung der wichtigsten Sätze aus der Planimetrie und Ste-
reometrie. Nürnberg, Korn. 75 K
Elbyer, A., Lehrbuch der Goniometrie. Stuttgart, Jul. Maier. 7 Mk.
Heinze, E., Genetische Stereometrie, bearb. v. F. Luoke. Leipzig, Teubner.
6 Mk.
Hochheim, A., Aufgaben aus d. analytischen Geometrie der Ebene. 3. Heft:
Die Eegelschnitte. Ebendas.
Aufgaben 1 Mk. 20 Pf. Auflösungen 1 Mk. 60 Pf.
Hofmann, F., Die Construction doppelt berührender Eegelschnitte. mit ima-
ginären Bestimmungsstücken. Ebendas. 3 Mk. 20 Pf.
Angewandte Mathematik.
Ambseder, A., Zur Auflösung der Gleichungen 4. und ö. Grades durch
Bewegungsmechanismen. (Akad.) Wien, Gerold. 20 Pf.
Roth, F., Der Einflnss der Reibung auf die Bewegungen iSngs der Erd-
oberfläche. Halle, Schmidt. 80 Pf.
Lampel, A., üeber Drehschwingungen einer Eugel mit Luftwiderstand.
(Akad.) Wien, Gerold. 45 Pf.
BoLTZMANN, L., Der zweite Hauptsatz der mechan. Wärmetheorie. Vortrag.
Ebendas. 50 Pf.
Oppolzbr, Th. y., Entwurf einer Mondtheorie. Ebendas. 2 Mk.
Eühnert, f., üeber die definitiven Elemente des Planeten Hilda (153).
Ebendas. 35 Pf.
NissL, G. Y., Bahnbestimmung des Meteors Y. 17. Juni 1885. Ebdas. 30 Pf-
PizzBTTi, P., La determinazione degli azimut. Turin, Löscher. 6 L*
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Bibliographie. 189
Physik und Meteorologie.
Meisbb u. Mebtiq^ Anleitung zum experimentalen Studium der Physik«
1. Thl.: Oalvanische Elektricität. Leipzig, Baldamus. 1 Mk. 50 Pf.
Maohb, J., üeber die Sichtbarkeit der Doppelsteme. Halle, Schmidt.
40 Pf.
ExNEB, F., üeber die Ursache und die Gesetze der atmosphSrischen Elek-
tricität. (Akad.) Wien, Gerold. 1 Mk. 50 Pf.
Obbrmaybb, A. y. imd M. y. Piohlbb, üeber die Einwirkung der Ent-
ladung hochgespannter Elektricität auf feste in d. Luft suspendirte
Theilchen. Ebendas. 25 Pf.
Hobnbebgeb, B., Graphische Darstellungen für den meteorologischen Unter-
richt 1. Lief. Kassel, Fischer. 8 Mk.
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Mathematisclies Abhandlnngsregister.
1885.
Erste Hälfte: 1. Januar bis 30. Juni.
Analytlseho Oeometrie der Ebene.
1. Zam Schwering*8chen LinienooordinateDiyBtem. W. Krimp ho ff. ZeitBchr.
Math. Phyg. XXX, 253.
8. Coordonn^ee paralleles et coordoimäes axiales. M. d*Ocagne. N. ann. math.
XLIV, 110. [VerffL Bd. XXX, Nr. 604.]
8. Remarques aar un article de M. d^Ocagne. E. Cesaro. N. ami. math. XLIV,
«66. — D'Ocagne ibid. 874.
4. Sur une coorbe da 6. degr^ avec 4 points de rebroassement. H. Brocard.
N. ann. math. XLlV, 144.
6. Sur une mäthode de transformation. A. Mathieu. N. ann. math. XLIV, 471.
6. Le lieu des sommets des angles droits drconscrits k une courbe peut ^tre ime
droite, sans que cette coorbe seit une parabole. V. Jamet Mathesis
V, 11. — P. Mansion ibid. 11.
7. Propriät^ de 8 droites menäes i>ar les sommets d*im triangle et par an m^me
point. Bastin. Mathesis V, 60. — Li^nard ibid. 62. — Radicke
ibid. 62.
8. Trouver une conrbe plane teile qne la projection de son ra^on de conrbure en
un point M, sur one droite fixe du plan, seit proportionelle ä la partie
de la tangente aa point 3f , compnse entre ce point et la droite fixe.
J. Richard. N. ann. math. XLIV, 626.
9. Le centre d*une circonfärence se meut sur une parabole, trouver le lieu des
goints de contact des tangentes k cette circonfärence, menäes d'un point
xe pris sur Taxe de la parabole. Pisani. MaÜLOsis V, 36.
10. Gonstruction par points de la coorbe a?'(aj*4-y*) — 2aa;y(a; + y) + y'(2a*-6")
= 0. Falisse etc. Mathesis V, 260.
11. Propriät^s de la cochläoide. J. Neuberg. Mathesis V, 89.
Vergl. Ellipse. Hyperbel. Kegelschnitt. Kreis. Parabel. Quadratur. Sin-
gularitäten.
Analjrtische Geometrie des Baumes.
12. Sur rh^ce osculatrice. E. Cesaro. Mathesis V, 82.
18. Sur la plus courte distance entre deux droites infiniment voisines. E. Cesaro.
Mathesis V, 196
14. Reduction der Gleichung des Tetraedroids auf die Form Vxl-hVyrj '^]^ei-^^
F, Hof mann. Crelle XCVm, 264.
15. Zur Gleichung von Kegel und Cylinder. A. Thaer. Zeitschr. Math. Phys.
XXX, 69. [VergL Bd. XXIX, Nr. 9.]
16. Sur rherpoloide. Barbarin. N. ann. math. XLIV, 538.
17. Wann besitzt eine kubische Parabel eine Directrix? 0. Böklen. Zeitschr.
Math. Phys. XXX, 345.
Verffl.Complanation. EUipsoid. Krümmung. Oberflächen. Oberflächen zweiter
Ordnung. Tetraeder.«
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Abhandlungsregister. 191
Bestimmte Inftegrale.
18. Sar le second thdortoe de la moyeime. P. Mansion. Matheeis V, 97. —
L. Eronecker ibid. 99.
19. Quelques formules gänärales relatives aiix integrales däfinies et ind^finies. L.
A, Mony. N. ann. math. XLIV, 176.
20. i^valuation gäomätriqae de Tint^ale I '*^"' ^^ = A«)* N. Goffart
N. ann. math. XLIV, 171.
BiuomialeoeffleieAten.
21. Eine Verallgemeinerong des binomischen Satzes. Schlömilch. Zeitschr.
Math. Phys. XXX, 191.
22. Sur la loi de saccession des coef&cients dans la formale du binome. G. Fonret
N. ann. math. XLIV, 837.
C.
Oiss^de.
23. Sur la cissoide de Diodes. L. Mir man. N. ann. math. XLIV, 872.
CombinatorUc.
24. Propriete des combinaisons de 2n äMmente, n ^tant de la forme 8 m +1. E.
G^saro. Mathesis V, 118.
25. Divisibilitä du nombre des combinaisons de n ^dments pris p^p par certains
facteurs. E. Cesaro. Mathesis V, 84.
26. Sauts du cayalier sur un rectanffle dep^cases. J. Neu b erg. Mathesis V, 35.
VergL Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Complanatioii.
27. Aire d^crite par un arc de chainette. H. Brocard. Mathesis V, 54. — P. Man-
sion ibid. 55. '
Vergl. Näherungswerthe 148.
Cubetnr.
28. Volume d*un prismatoide. Halst ed. Mathesis V, 9. — G. J. Latars ibid. 74.
Vergl. Näherungswerthe 148. Quadratur 190. Tetraeder 219.
DeteradiuuiteiL
29. Zur ßesultantenbildnng. G. Beuschle. Zeitschr, Math. Phys. XXX, 106, 804.
30. Sur nn th^or^me de Mr. Mansion. E. Gesaro. Mathesis V, 248.
31. Sur le d^veloppement d*un d^terminant. £. Humbert. N. ann. math. XLIV, 289.
Differentialgleiehimgeii.
32. Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. £. Grünfeld. Grelle XGVIIl,
333.
33. üeber die Integration linearer nicht homogener Differentialgleichungen. Wo Id.
Heymann. Zeitschr. Math. Phys. XXX, 27, 79.
34. lieber Integrale transcendenter Functionen. L. Königsberger. Grelle
XGVIIl, 97.
35. üeber die Bedingungen, unter denen zwei lineare homogene Differentialgleich-
ungen mehrere partikuläre Integrale gemeinsam haben. E. Grünfeld.
Zeitschr. Math. Phys. XXX, 210.
36. Sur r^quation de Riccati et sa double g^n^ralisation. J. de Tilly. Mathesis V,
Supplement.
87. Integration de diverses ^quations diff^rentielles. H, Brocard. Mathesis V,
130, 156, 169, 224.
38. Integrer T^quation (a«y* + o*c' - c«aj»)y'« - 2a^xy y'+ (a«— c«)«* = 0. Bastin.
Mathesis V, 255. — R adicke ibid. 256.
39. Zur Differentialgleichung (a, + 2^« + c, «* + dsx*) j-^ + («2 + ^i« + Ct«*) .-%
+ (ai + 6,aj) 2^ + 00^ = 0. Wold. Heymann. Zeitschr. Math. Phys.
XXX, 127.
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192 Historisch -literarische Abtheilung.
40. Sur nne äquation auz diff^renoes mdlto. E. Cesaro. N. ann. math. XLIV, S6.
41. Zwei Sätze über dielntepale simultaner Differentialgleichungeil. Wold. Hey-
mann. Zeitschr. Math. Phys. XXX, 302.
43. üeber eine Transformation bei linearen simultanen DifferentialgleichungeiL
W. Heymann. CreUe XCVHI, 241.
43. Ueber n simultane Differentialgleichungen der Form jj Xfi dXfi, = 0. 0. Bier-
mann. Zeitschr. Math. Phys. XXX, 284. '*=^
44. Sur les ^quations diff^rentielleB hn^aires simultan^es. De Tilly. Mathesis V,
121. [Vergl. Bd. XXX, Nr, 669.]
46. Ueber Snpplementintegrale. W. Hey mann. Grelle XCVUI, 281.
DifferenÜalquotimit
46. D^riv^es des fonctions de fonctions. E. Cesaro. N. ann. math. XLIV, 41.
B.
Elektridtät.
47. Ueber die Vertheilung der inducirten Elektricität aaf einem unbegrenzten ellip-
tischen Gylinder. B. Besser. Zeitschr. Math. Phys. XXX, 267, 806.
Ellipse.
48. Construction der von einem beliebigen Punkte der Ebene ausgehenden Nor-
malen einer Ellipse. E. Lauermann. Zeiischr. Math. Phys. XXX, 68.
[VergL Bd. XXVH, Nr. 64.]
49. Mener dans une ellipse une normale de longueur donn^e. Lemoine. Mathesis
V, 16. - Gob ibid. 16. - Pisani ibid. 17. - Falisse ibid. 17. - Thiry
ibid. 18.
60. Sur les normales ä une ellipse. E. Barisien. N. ann. math. XLIV, 476.
61. Sur les projections sur le grand axe d*une ellipse des pieds des qnatre nor-
males menäes d'un mdme point ä cette ellipse. U. Bassani. N. ann.
math. XLIV, 680.
62. Produit des distances des foyers d*une ellipse ä une normale ä cette courbe.
Juhel-Ränoy. N. ann. math. XLIV, 628.
63. Construction du centre de courbure en an point d*une ellipse. A. La Ghes-
nais. N. ann. math. XLIV, 247. — De Saint-Germain ibid. 610.
64. Remarques sur le cercie osculateur k Tellipse, E. Cesaro. Mathesis V, 7. -
J. Neuberg ibid. 8.
66. Th^or^mes sur TeUipse et Thyperbole äquilatäre. Juhel-Bänoy. N. ann
math. XLIV, 460.
66. Circonförences coupant en quatre points r^els une ellipse par les foyers de la-
qnelle elles passent. K ann. math. XLIV, 846. - Juhel>Benoy ibid. 498.
67. Thäorlmes sur Tellipse par les fovers de laquelle on fiiit passer une circon-
f^rence yariable. G. Boubals. Mathesis V, 167.
68. Propriät^ d*une certaine corde d*une ellipse. G. Drouod&H. Bagard. N.
amL math. XLIV, 480.
69. Th^or^me sur deux points situäs sur les prolongements de deux diam&tres.con-
jugu^ d*ane ellipse. Juhel-B^noy. NT ann. math. XLIV, 381.
Ellipsoid.
60. Trouyer un plan sur lequel la proiection orthogonale d*un ellipsoide donn^ soit
drculaire. V. Jamet. Matnesis V, 187. — Verstraeten ibid. 188.
61. Sur les normales k un ellipsoide partant d'un point. P. Giat. N. ann. math.
XLIV, 266.
Vergl. Geometrie (descriptive) 67. Potential.
F.
Ponnon.
62. Ueber die Classenanzahl derjenigen temären quadratischen Formen, durch welche
die Null rational darstellbar ist. A. Meyer. Grelle XCVHI, 177.
FuistioneiL
63. Ueber die Lage der Verschwindungspunkte einer ganzen Function. A. Witting.
Zeitschr. Math. Phys. XXX, 274.
64. Zur Theorie der symmetrischen Functionen. A. H. Anglin. Grelle XCVIII, 175.
Vergl. Bestimmte Integrale. Determinanten. Differentialgleichungen. Diffe-
rentialquotient. Formen. Interpolation. Oberflächen 151. Reihen. Theta-
functionen. Ultraelliptische Transcendenten.
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AbhandluDgsregister. 193
Odometri« (desoriptive).
66. Sur une lacane qai semble ezister au d^but de la G^omätrie descriptive. J. de
Tilly. Mathesis V, Supplement.
66. Faire un changement de plan de protection tel que les nouvelles traces d*un
Slan se confondent sur Täpure en uue möme droite. Benson&Henrard.
rathesis V, 236.
67. Contour apparent d*nn ellipoYde de r^yolution allong^ par rapport k un plan
quelconque. Barbelenet. Mathesis V, 63. ~ H. Brocard ibid. 64.
Geometrie (liökere)«
68. Theorie der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme. G. Hauck. Grelle
XCVm, 304. [Vergl. Bd. XXX, Nr. 641.J
69. Conjugirte Bedprocitäten. Goldschmidt Zeitschr. Math. Phys. XXX, 182.
70. Sur les figures semblablement variables. J. Neuberg. Mathesis V, Supplement.
71. Theor^mes de g^omätrie sur le centre des moyenneb distances. X. Antomari.
N. ann. math. XLIV, 98.
72. Sur les anticaustiques par räfraction de la parabole, les rayons incidents etant
perpendiculaires a Taxe. £. Laguerre. N. ann. math. XLIV, 6.
73. Ueber die Brennlinien eines unendlich dünnen Strahlenbündels. J. Wein garten.
Grelle XGVDI, 281.
74. Proprietäs eiömentaires des faisceaux en Involution et leur application h quelques
?robUmes relatifs aux courbes du second et du troisi^me degre. J. B.
omey. N. ann. math. XLIV, 489.
76. Weitere Bemerkungen über den Zusammenhang einer Steiner'schen Aufgabe
mit der Hexaederconfiguration. G. Hossfeld. Zeitschr. Math. Phys.
XXX, 116. [Vergl. Bd. XXX, Nr. 203.J
76. Ueber collineare rftunUiche Systeme. G. Bodenberg. Zeitschr. Math. Phys.
XXX, 112.
77. Der Doppelpunkt symmetrischer räumlicher Gebilde. B. Heger. Zeitschr.
U&Üi. Phys. XXX, 246.
78. Sur les complexes de droites du premier degrä et sur leurs congruences. £.
Ja^gi. N. ann. math. XLlV, 80, 334.
79. Ueber die Hauptarten der allgemeinen quadratischen Strahlencomplexe und
Gomplexenffewebe. Th. Eeye. Grelle XGVHI, 284.
Vergl. Kegelscnnitte. Kinematik. Singularitäten.
Oesehiohto dar Kathematik.
80. Die von Diophant überlieferten Methoden der Berechnung irrationaler Quadrat-
wurzeln. W. Schönborn, Zeitschr. Math. Phys. XXX, hist-lit. Abth. 81.
81. Die Ferrari -Gardanische Auflösung der reducirten Gleichung 4. Grades. K.
Hunrath. Zeitschr. Math. Phys. XXX. hist.-lit. Abth. 41.
82. Die mathematischen Instrumente des Brescianer Grafen Giambattista Suardi.
£. Gel eich. Zeitschr. Math. Phys. XXX, hist.-lit Abth. 1.
83. Ueber das quadratische Reciprocitätsgesetz. 0. Baumgart. Zeitschr. Math.
Phys. XXX, hisi-lit. Abth. 169, 241.
84. Sur les travaux math^matiques de Mr. E. Gatalan. P. Mansion. Mathesis V,
Supplement.
86. Mort de Mr. Lionnet. N. ann. math. XLIV, 66.
Vergl Reihen 202. Zahlentheorie 242.
Oleiehimgen.
86. Formules d*algebre. Bäsolution des äquations du troisiäme et du quatridme
degrö. G. H. Halphen. N. ann. math. XLIV, 17.
87. Sur les fonctions homogenes de deux polynomes ü et F, premiers entre eux
et de mSme degrö en o;. L. Mirman. N. ann. math. XLIV, 173.
88. Gän^raUsation d*un thäoräme d^monträ dans la thäorie du plus grand commun
diviseur algäbrique. X. Antomari. N. ann. math. XLIV, 194.
89. ]ßquation& du 3. et du 4. degrä dont on trouve les racines en n*op^rant que
sur des . grandenrs oommensurables. Fauquembergue. Mathesis V, 204.
90. £quation du 4. degrä n'admettant pas de radne enti^re. Fauquembergue.
N. ann. math. XLIV, 427. — S. B^alis ibid. 429.
91. Sur quelques äquations qui n'admettent pas de racines enti^res. S. Bealis.
N. ann. math. XLIV, 377.
UUt-lit. Abthlg. d. ZeiUchr. f. Math. u. Phjm. XXXI, 6. DigiJfed by CjOOQIC
194 Historisch -literarische Abtheilnng.
92. Limites d^aiie radne de T^quation f{x) = 0 situ^e entre les racines a, /} de
r^quation du degr^ n: f(x) = 0. £. Cesaro. N. ann. math. XLIV,
328.
93. Eqaation ajant toutes ses racines imaginaires d^duite d'ane autre ^aation qui
n*admet qae des racines r^Ues et simples. E. Cesaro. N. aim. math.
XLIV, 321.
94. Demonstration directe d*ane identit^. Ch. Brisse. N. aun. math. XLIV, 537.
95. ^Sqnation pouvant se transformer en {«— l)(rc — 2)... («— n) = 0. Cesaro.
Mathesis V, 259.
96. Quatre polyndmes entiers satisfaisant ä Tidentit^ X^T-hT^Z + Z^Ü-k-Ü^X
= 0. Weill. N. ann. math. XLIV, 184.
97. Resolution d*un Systeme d*dquations ayec 6 inconnoes. FalisseftGob. Ma-
thesis V, 278.
98. Solution d'nn sj^stäme d*equations quadratiques. Gob. Mathesis V, 41. — J.
Neaberg ibid. 42.
Vergi. Determinanten. Functionen 63. Geschichte der Mathematik 81. Nähe-
rungswerthe 150.
Hyperbel.
99. Engendrement d*une hyperbole. E. ßarisien. N. ann. math. XLIV, 602.
100. Däterminer une hyperbole ^quUatäre une asymptote, une tangente et un point
de la courbe etant donn^s. N. ann. math. XLIV, 532.
101. Projections d*nn point quelconque d'une hyperbole ^quilat^re snr les cötäs
d*un triangle inscrit. H. Brocard. N. ann. math. XLIV, 524
102. Triangle equilatäral inscrit dans une hyperbole ^quilat^re. Moret-Blanc.
N. ann. math. XLIV, 382.
103. Thäoröme sur un triangle rectangle inscrit dans une hyperbole ^quilatäre.
N. U offart. N. ann. math. XLIV, 380.
104. Secante k deuz hyperboles equilat^res menäe par un de leurs points d'inter-
section. N. ann. math. XLlV, 434.
VergL Ellipse 55.
I.
Integration (nnbestimmte).
105 Sur rintägrale Ctt-Ata' J. B. Pomey. N. ann. math. XLIV, 193.
106. Trouver Tintegrale ' '^^ ' ^ '-
J (a^-^ax-^h) Va^ + bx + a (^a;«+aa; + 6 + Va^ + bx + a)
E. Cesaro. Mathesis V, 133.
Vergl. Bestimmte Integrale 19.
Interpolation.
107. Sur rinterpolation au moyen des fonctions circulaires. G. Teixeira. N. ann.
math. XLIV, 351.
Irrationaliahl.
108. Definition d'un nombre incommensurabie. R. Dedekind. Mathesis V, 49.
Vergl. Geschichte der Mathematik 80.
Kogelsohnitte.
109. Bemerkungen zum Pascarschen Satze über Eegelschnittsechsecke. R. Heger.
Zeitschr. Math. Phys. XXX, 279.
110. Sur la theorie des foyers. E. Humbert. N. ann. math. XLIV, 188.
111. Note sur la sym^diane. M. d'Ocagne. N. ann. math. XLIV, 860. [Vergi.
Bd. XXX, Nr. 834.]
112. Sur une generalisation d^ propriet^s relatives au cercle de Brocard et au
point de Lemoine. E Lemoine. N. ann. math. XLIV, 201.
113. Construction nouvelle des points d'intersection d*une droite et d*une conique.
E. Lebon. N. ann. math XLIV, 338.
114. Conique coupant les trois cöt^s d'un trianffle donne. Droz. N. ann. math.
XLIV, 432.
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Abhandluogsregister. 195
115. Goniaaes se coupant dans le point de Steiner d'un triangle. H. Brocard.
MathesiB Y, 208.
116. Sar Peuveloppe des droites qui coupent deux cercles harmoniquement. H.
Picqaet. N. ann. math. XLIV, 183.
117. Taogentes tiräes d*un point fixe ä une s^rie de coniques homofocales. Y. Jamet.
Mathesis Y, 37. — Gob & Boersch ibid. 89.
118. Sur des coniques homothätiqaes. P. Bast in. Mathesis Y, 180.
Yergl. Ellipse. Hyperbel. Kreis. Oberfl&chen 154, 157. Parabel.
Kettenbrtehe.
119. Sur certaines fractions de d^nominateor ne d^passant pas ane limite donn^e.
J. Neaberff. Mathesis Y, 12, 57. — Yan den Broeck ibid. 56. — H.
Brocard ibid. 76.
Xinemalik.
120. Theorie der Bewegung starrer rftumlicher Systeme. A. Schoenflies. Grelle
XCVin, 266.
121. Thäor^mes de g^omätrie et de dn^matiqae. E. Dewulf. N. ann. math.
XLIY, 79.
122. üeber die Bewegung ähnlich -veränderlicher ebener Systeme. P. Somoff.
Zeitechr. Math. Phys. XXX, 193.
123. Ueber einen Satz von Burmester. P. Somoff. Zeitschr. Math. Phj^s. XXX, 248.
124. Eine Ebene als bewegtes Element. J. F. Witteubauer. Zeitschr. Math.
Phys. XXX, 216.
125. Ueber die relative Bewegung eines Punktes in einem in continuirlicher De
formation begriffenen Medium. Bobylew. Zeitschr. Math. Phys. XXX,
336.
XroU.
126. Propri^t^ du oercle et de la droite de Brocard. E. Lern eine. Mathesis Y, 108.
127. Segment d^un diam^tre vu sous un angle droit d^un point donn^. E. Chr^-
tien. N. ann. math. XLIY, 519.
128. On donne 3 points en li^e droite A,B,G, Trouver gäom^triquement le lieu
du poinc d'intersection de deux cercles ägaux däcrits respectivement sur
AB, BC, Ben rar d etc. Mathesis Y, 261.
129. Thäoräme sur deux circonfärences par le point d'intersection desquelles ou tire
deux s^cantes. Gob, Depres etc. Mathesis Y, 262.
130. Sur les droites passant par les deux centres de similitude de deux circonf^-
rences donnees. N. ann. math. XLIY, 105.
131. Second point d*intersection de deux circonfi^rences touchant chacune un autre
cöte d'un triangle donnä et passant par le m6me point du troisi^me c5tä
de ce triangle. Blond eel etc. Matnesis Y, 189.
132. Trois circonfereuces d^rivant d'un triangle qui se coupent en un mdme point.
Lambert etc. Mathesis Y, 233.
133. Trois circonfereuces därivant d*un triangle qui se coupent aux deux m^mes
points. Lambert etc. Mathesis Y, 234.
134. £tant donnees trois circonfereuces quelconques dans i'espace, construire une
qnatri^me drconference s'appuvaut sur chacune des premi^res en deux
points. Scheute. Mathesis Y, 161.
Yergl. Analytische Geometrie der Ebene 9. Gissoide. Ellipse 56, 57.
Krüsunung,
135. Beziehungen zwischen den Krümmungen reciproker räumlicher Gebilde. L.
Geisenheimer. Zeitschr. Math. Phys. XXX, 129. [Yergl. Bd. XXYI,
Nr. 72.]
fti.
Logarithmen.
fi + 1
136. Deux in^galitäs pour log Minoliti. Mathesis Y, 35.
Kagnetismiu.
187. Zur Bestimmimg der Intensität des Erdmagnetismus. Th. H ab 1er. Zeitschr.
Math. Phys. XXX, 119. [Yergl. Bd. fiCYI, Nr. 47.J
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196 HiBiorisch - literarische Abtheilung.
138. Reciproke Maxim a und Minima. F. HaluBchka. ZeitBchr.Math.Phy8.XXXf 57.
139. Trouyer k Tintärieur d*nn triangle ABC, le point Jlf tel que le triangle ÄB'C\
ayant pour sommets les pointe de rencontre des cötäe de ABC par let
droites AM, BM, CM seit Maximum. Bastin. Mathesis V, 87. — J.
Nenberg ibid. 88. — De Bocqnigny ibid. 89.
140. Droite paasant par un point donn^ d'nn plan pour laquelle la somme des
carr^s des perpendioulaires men^s des sommets d un rectangle doone
dans le mdme plan soit un maximum ou un minimum. Moret-Blanc.
N. ann. math. XLIV, 454.
141. Sur le minimum d*un angle duquel on fait toumer une spirale logarithmiqae
autonr de son pole. Timmerhans. Mathesis Y, 186.
Yergl. Mechanik 144. Optik.
Kedunik.
142. Ueber die Eigenschaften mono^klischer und anderer damit verwandter Sy-
steme. L. Boltzmann. Grelle XCVllI, 68.
143. Sur Taxe central et Taxe instantan^ glissant. De Tilly. Mathesis Y, 145.
144. Si la somme des carr^s des distances d*un point ä n droites dounäes est aa
minimum ces distances repr^sentent un Systeme de Forces en dquilibre.
J. Neuberg. Mathesis Y, 277.
145. Sur le coefßcient de stabilitä des massifs. E. Cesaro. N. ann. math. XLIV,
196.
146. Sur la courbe de Watt. E. Catalan. Mathesis Y, 154, 222.
Yer^l. Analytische Geometrie des Raumes 16. Elektricität. Kinematik. Magne-
tismus. Mehrdimensionale Geometrie. Optik. Potential. Schwerpunkt.
KehrdimensioBale Ctoometrie.
147. Die Mechanik in den nicht -Euklidischen Raumformen. W. Eilling. CreUe
XCYUI, 1.
Hflhenmgswerttie.
148. Näherungsfonneln für Inhalt und Oberfläche niedriger Flächenabschnitte. L.
Geisenheimer. Zeitschr. Math. Phys. XXX, 325.
149. Sur r^valuation approch^e des aires planes. G. Petit-Bois. Mathesis V,
5, 27.
150. a^-'^ = {x--f^ti^){X'\-\B'\"i^z^){x-\»^^s^) ä un multiple pr^ de «•+108.
L. Eronecker. Mathesis Y, 102.
Yergl. Geschichte der Mathematik 80.
Oberfliehsn.
151. Allgemeine Eigenschaften von Fl&chen, deren Goordinaten sich durch die
reellen Theile dreier analytischen Functionen einer complexen Yerander-
lidien darstellen lassen, y. Lilienthal. Grelle XGYIIl, 181.
152. Flächenerzeugung durch Erfimmungslinien. J. N. Hazzidakis. Grelle
XGYUI, 49.
153. Sur les ombilics des surfaces. Oatalan. Mathesis Y, 73.
154. üeber einige Flächen, welche Schaaren von Eegelschnitten enthalten. A.
Weiler. Zeitschr. Math. Phys. XXX. 159.
155. Nouvelle propriät^ d'un systäme triple de surfaces quartiques homofocales,
comprenant comme cas particufier la surface des onoes. A Legoaz.
N. ann. math. XLIY, 398.
156. Sur les courbes de tangentes principales des surfaces de Eommer. G. Segrei
Grelle XGYUI, 301.
157. Ueber Flächen 4. Ordnung mit Doppel- und mit Guspidalkegebchnitt A
Weiler. Zeitschr. Math. Phys. XXX, 170.
Yergl. Gomplaoation.
Oberfliehan swelter Ordnung.
158. üeber einen von Steiner entdeckten Satz und einige verwandte Eigenschaften
der Flächen zweiter Ordnung. G. Loria. Zeifichr. Math. Phys. XXX, 291.
Yergl. EUipsoid.
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Abbandlungsregisier. 197
Optik.
159. Geometrische Beweise des Satzes von der Minimalablenkung im Prisma. H.
Vogt. Zeitschr. Math. Phys. XXX, 111.
F.
Ftrabel.
160. Theor^mes sar la parabole. C. Berffmans. Mathesis Y, 71, 96, 176.
161. Sar la longuear des 3 normales menees d'un point ä une parabole. Boubals.
Mathesis V, 181.
162. Sur les raccordements paraboliques. M. d*OcagDe. Mathesis V, 25.
163. Parabole tangente ä nne droite coupant un angle fixe droit en deuz points
dont les distances ä denx points fixes sur les jambes de Tangle sont pro-
portionelles k deoz nombres donnäs. P. Raex« Mathesis V, 86. ~ Pisani
ibid. 86.
164. Dans la parabole les segments d^terminäs sur deux tangentes issues d'un mSme
point de Taxe par deux tangentes queloonqnes sont ägaux. G. Busse.
K. ann. math. XLIV, 484.
165. Enveloppe de la polaire du sommet d*une parabole par rapport k une certaine
circonfi§renc6. Moret-Blanc. N. ann. math. XLIV, 633.
166. Chercher Tenveloppe de la droite qui Joint les projections d*un point quel-
conque de la parabole sur Taxe et sur la tangente au sommet. Ph Gil-
bert Mathesis Y, 212. ->- Y. Jamet ibid. 214.
167. Trouver Fenveloppe d*ane parabole dont le fover et un point de la directrice
sont fixes, f. Richard. N. ann. math. XLIY, 384.
168. Sur trois parabolet envelopp^es par les cötäs d'un triangle. Minoliti. Ma-
thesis Y, 163. — Pisani ibid. 166. — Brocard ibid. 166. ~ Fr. Fa-
lisse 166.
169. Sur un Systeme de parabolea. £. Barisien. N. ann. math. XLIY, 422.
Yergl. Analytische Geometrie der Ebene 9.
Planimetrie.
170. Sur les constructions dans le plan et dans Pespace aveo la droite seule. De
Tilly. Mathesis Y, 124.
171. Ueber einen aus der Potentialtheorie hergeleiteten geometrischen Satz. Nie-
möller. Zeitschr. Math. Phys. XXX, 251. -- Schlömilch ibid. 252.
172. Construction d*un triangle d^apr^s des donn^es d^pendant de la division soit
d*un aujgle, soit d'un ou de deux cdt^ en parties dont on connait la
Proportion. Blondeel etc. Mathesis Y, 189.
173. Gonstruire un triangle connaissant la hauteur, la mediane et le rapport de la
base ä la difference des deux autres cöt^s. Thiry. Mathesis Y, 18. -
Pisani ibid. 19. — Yan den Broeck ibid. 19. — Gob ibid. 19. — Sum
ibid. 162.
174. Gonstruire un triangle connaissant la hauteur ÄH, la mediane AM et le rap-
port ^n5 = -. Sum. Mathesis Y, 162.
175. Projections orthoffonales de deux sommets d'un triangle sur une droite passant
Sar le troisieme sommet Leboullenx. N. ann. math. XLIY, 369. -
ferono ibid. 389.
176. Si dans un triangle deux medianes antiparallöles sont ^ales, le triangle est
isoscMe. Gulet. Mathesis Y, 84.
177. Thäoräme sur les points milieux des c6täs de deux triangles. F. Pisani.
N. ann. math. XLIY, 474.
178. Propri^tä des bissectilces de deux angles d'un triangle dont les angles sont
Sroportionnels aux nombres 1» 2, 4. H. Brocard. Mathesis Y, 92.
eux triangles semblables dont Pun est inscrit ä Tautre. Cesaro. Ma-
thesis Y, 128. - Gob, Henrard, Falisse ibid. 134. - Gob ibid. 135.
- Jefä.bek ibid. 136.
180. Transversales d*un triangle et d*un tätraädre se coupant dans un mäme point.
Lez. N. ann. math. XLIY, 385.
181. Propri^t^ du triangle et du oercle drconscrii Blondeel etc. Mathesis Y, 142.
182. Propri^t^s du triangle et du cercle inscrit. Boedt etc. Mathesis Y, 141.
183. Aire du triiuigle dont les sommets sont les centres des trois cerdes exinscrits
ä un triangle. N. ann. math. XLIY, 485.
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198 Historisch - literarische Abtheilung.
184. Sar le (]^aadrilatäre harmoniqae. J. Neaberg. Mathesis Y, 802, 217, 841, 865.
186. Conatruire an quadrilatäre, connaissant an angle et lee distaneeB da point
d^interaection des diagonales auz qaatre cötäs. Fr. Falisse. Mauesis
V, 21.
186. Constraire an qaadrilat^re connaissant les projections du point de renconfare
des diagonales sur les cöt^. Boedt etc. Mathesis V, 191.
187. Constraire an qoadrilatäre inscriptible, connaissant les distances des 4 o6t^
an point de rencontre des diagonales. Mearice. Mathesis Y, 65. -
Gob ibid. 69.
Potential.
188. Bestimmang des Potentials eines homogenen Ellipsoids. F. Grube. Grelle
XCVm, 126.
Yergl. Elektricität. Planimetrie 171.
Qnadfaftor.
189. Qaadrature d*nne certaine coarbe därivant d*ane circonf^rence donn^. H.
Brocard. Mathesis V, 227. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 409.1
190. G^n^ralisation de trois propri^t^ de la cycloide. Eeelhoff. Mathesis Y, 185.
- Brocard ibid. 185. - Neaberg ibid. 186.
191. Aire de la coarbe 2. = ^'^^^"^. Boabals & Gillet Mathesis Y, 110.-
a r — a,c08m
Dewulf ibid. 113. - Neaberg ibid. 115.
Yergl. Bestimmte Integrale 20. Näherangswerth 149.
Beihan.
192. Principe fondamental de la m^thode des limites. P. Mansion. Mathesis Y, 193.
193. Caractöre g<^näral de conyergence. P. Mansion. MaÜiesis Y, 870.
194. Sur an theoräme d*Abel relatif auz säries et sur an däveloppement en s^rie
souvent utile en astronomie. A. de Saint- Ger main. N. ann. math.
XLIY, 169.
196. Sur la discontinuit^ de certaines säries. A. de Saint-Germain. N. ans.
math. XLIY, 881.
196. G^n^ralisation de la s^rie de Lagrange. E. Cesaro. N. ann. math. XLIY, 316.
197. Notes sur le caicul isobarique. E. Cesaro. N. ann. math. XLIY, 69.
198. Sur la särie harmonique. £. Cesaro. N. ann. math. XLIY, 296.
199. Sur la somme des puissances semblables des n premiers nombres entien.
E. Cesaro. Mathesis Y, 66.
200. Sur une loi symbolique remarquable. £. Cesaro. Mathesis Y, 81.
201. Bemarque concemant la limite de (1 + --) • Escary. N. ann. matii. XLIY,
101.
202. Limite de — K^H — j +(öH — ) +... + faH j \ pour n croissant in-
d^finiment Yan den Broeck. Mathesis Y, 43. - Format ibid. 44.
203. V4ri&er<^ne^^^ + :^ + ... = ^,^^^-,^^-^... E.
Cesaro. Mathesis Y, 182. - Badicke ibid. 184. - Catalan ibid. 224.
Yergl. Binomialcoefficienten. Combinatorik 24. Logarithmen.
».
Sshwefpnnkt.
294. Transformation des propriätäs barycentriques au moTon de la m^thode des
polaires r^ciproques. M. d'Ocagne. Mathesis Y, 170.
206. Centres de gravit^ de certaines snrfaces planes. Cl. Servais. Mathesis Y,
137.
206. Propriätäs des centres de grayitä de deuz triangles. Liänard. Mathesis Y, 58.
207. Sur deux triangles ayant le m6me centre de gravit^. MinolitL Mathesis
Y, 44.
Yergl. Tetraeder 816.
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Abhandlungsregister. 199
Siagniarititen.
208. Snr la constrnction des courbes dont T^aation est donn^e en coordonn^es
Eolaires. Ch. Biehler. N. ann. math. XLIY, 158, 228, 249. [Yergl.
d. XXX, Nr. 869.]
209. Quelques r^flexions sur Tätude g^m^trique des courbes g^om^tariqnes et Üi6o-
r^mes pouvant j Stre utiles. J. £. Estienne. N. ann. math. XLIV, 87,
181, 297.
210. Snr les pointe dHaflezion des courbes du troisi^me et du quatri^me degr^.
J. B. Pomey. N. ann. math. XLIV, 169.
211. Die Gurren 4. Ordnung mit 8 doppelten Inflezionsknoten. C. BeyeL Zeitschr.
Math. Phys. XXX, 1, 66.
YergL Analytische Geometrie der Ebene 4.
SphArik.
212. Soient r. r' les rayons sph^riques de deux petits oercles tracäs sur une mSme
sphere et tangents ezt^rieurement, et soit t la longueur de Taro de grand
cerde qui les touche, d^montrer la relation sin—=ytgrAgr\ E. Os-
säre. Mathesis V, 117. — Henrard ibid. 118.
Storsometrie.
213. Condition sons laquelle on pent inscrire une sph&re dans un tronc de c6ne.
P. Giat. N. ann. math. XLIV, 271.
Yergl. Cubatur. Tetraeder.
T.
TetrMdsr.
214. Mämoire sur le t^tra^dre. J. Neuberg. Mathesis Y, Supplement.
216. Die Ortsfl&che der Spitzen gleichseitiger Tetraeder zu gegebener Geraden der
Zeicheuebene. F. Graberg. Zeitschr. Math. Phys. XXX, 349. [Yeigl.
Bd. XXX, Nr. 447.]
216. Th^or^me sur les droites men^es des sommets d*un tätra^dre aux centres de
gravitä des faces opposäes. Yan den Broeck. Mathesis Y, 279.
217. Propri^tä de certains points des ardtes d'une face d'un tätraädre. A. Geneix-
Martin. N. ann. math. XLIY, 481.
218. Les centres des sph^res exinscrites ä un tätraädre regulier sont situ^s sur la
Sphäre drconscrite. Yan den Broeck & Li^nard. Mathesis Y, 117.
219. Yolumes de certains tetra^dres. B^n^zech. N. ann. math. XLIY, 272.
YergL Planimetrie 180. xhetaftmctteneiL
220. üeber die constanten Factoren der Thetareihen. G. Frobenius. Grelle
XCYHI, 244.
221. Sur une identitä trigonomätrique. Hermite. N. ann. math. XLIY, 67.
Trigonometrie.
222. Relations trigonom^tri^ues entre les angles d*un triangle. Mathesis Y, 23.
223. Relation entre les fonctions tngonom^triques des angles d*un triangle. Gillet
& d'Hondt. Mathesis V, 286.
224. ABC etant un triangle rectangle en A, et 9 ^tant Tangle compris entre la
mediane et la bissectrice men^e par B, on a tgqf=iytg — ). Blondeel.
Mathesis Y, 139.
226. Expression pour Taire d*un triangle. Pisani Ai Gob. Mathesis Y, 191, 223.
226. Th^oräme sur un point 0 du triangle ABC donnant lien ä P^quation angu-
laire BOC-BAC^QO^ E. Barisien. N. ann. math. XLIY, 386.
227. Sur les projections des sommets d*un triangle sur la bissectrice d*un angle.
Golette. Mathesis Y, 230.
228. Th^orämes sur les bissectrices d*un triangle et les points dans l^juels elles
coupent la circonförence circonscrite. P. Giat. N. ann. math. XLIY, 267,
229. Ueber gewisse Schaaren von Dreieckskreisen. Schlö milch. Zeitschr. Math.
Phys. XXX. 301.
230. Belation entre les rayons de 4 drconfärences d^rivant d*un triangle. Ser-
vais etc. Mathesis Y, 267.
281. Belation entre les tangentes des anales sous lesauels on voit d*un point intä-
rieur les cöt^ d'un carr^. Gelin etc. Matnesis Y, 237.
Yergl. Analytische Geometrie der Ebene 7. Sphärik.
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200 Historisch -literarische Abtheilung. Abhandlungsregister.
IJ.
ültrftdlliptUolie TraatodiLdeiitdiL
282. Zur Theorie der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung. M. Krause.
Grelle XGVllI, 148.
233. Note in connexion vith the hyperelliptic integrals of the first order. A. Cayley.
Grelle XGVIII, 95.
Unglsidniagsn.
234. Ueber geometrische Ungleichungen. Schlömilcb. Zeitschr. Math. Pfays.
XXa, 361.
^w •
WahrsehsüilidikeltsreoliBimg.
235. Quelques problämes ^lämentaires relatifs en jeu de d^s. Weill. Mathesis V, 152.
236. Loi de probabilit^ des ^carts. Peticol. N. ann. math. XLIV, 441.
Zshlentlioorle.
237. Sur Hnterversion des facteurs dans un prodnii J. Saurel. Mathesis V, 180.
238. Questions d*arithmologie. DeBocquigny. Mathesis Y, 78. [VergL Bd. XXX«
Nr. 498.3
239. G^n^ralisation de Tidentitä de Mrs. Tchebychew et de Polignac. E. Gesaro.
N. ann. math. XLIV, 418.
240. De la partition des nombres. J. B. Pomey. N. ann. math. XLIV, 408.
241. Scolies pour un th^or^me de Format. S. ftealis. N. ann. math. XLIV, 367.
242. Sur un thäor^me inexacte de Sophie Germain. A.Genocchi. N. ann. math.
XLIV, 148.
243. Sur les puissances des nombres. W. Th. Lewy. N. ann. math. XLIV, 235.
244. Sur les restee d*un nombre divis^ par chacun des nombres qui le präc^dent
L. M. N. ann. math. XLIV, 478.
245. SircestcomprisentreOetlona [J&(a;)]' -l-rj^^a; +—)]'+.— ♦- [-^(^ + **—-)]
^E(nx). Van den Broeok. Mathesis V, 65. — E. Gesaro ibid. 65.
246. n et p ätant deux nombres entiers positifs a'("+»')+* + (o*— l)(a* — a — l)n
-o«p+» est divisible fpar (a«- 1)». J. Bomero. N. ann. math. XLIV, 488.
247. |>"" + 3p^" — 4=:Jlf.25 si p est premier ayec 5. Lemoine. Mathesis V, 67.
— Jamet ibid. 68.
248. Sur quelques äquations ind^terminto. Weill. N. ann. math. XLIV« 189.
249. Sur une identite alg^brique contenant un nombre premier p et sur la yaleor
p = 7 qui seule la ylrifie. Gatalan. N. ann. math. aLFV, 520.
250. Däoomposer 2(a^-f a'ft-f 4a'2>' + a&' + &^) en trois et en quatre carr^ Gob.
Mathesis V, 20. — Henrard ibid. 21.
251. Le nombre des Solutions eutidres non n^ffatives de p*a; + (l' + l)'y = [(l)+l)*
-j)*Jn-i)' oü j) = l, 2, ... est ^gal a ». Gillet. Mathesis V, 59.
x'+2
252. Solutions en nombres entiers de Fäquation , =y on Ton suppose x ini-
pair. N. ann. math. XLIV, 431.
253. Gondition sous laquelle a:^^'k = y* admet toujours une Solution enti^re. Fau-
quembergue. N. ann. math. XLIV, 879.
254. Däterminer a, ß. y par T^quation o«(o+/J)«-a< = (a+jJ+y)*-(a+ft*. Van
den Broeck. Mathesis V, 20. ~ Gesaro ibid. 228.
Vergl. Gombinatorik 24, 25. Geschichte der Mathematik 83. Kettenbrache.
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das stereometriffcliö Zeichnen. Mit BorUcksichtigimg <Jer i
«talii.igraphk tmd ICartograpbie. [Mit Iß lithographiortvii Tftfwuui
|TI n, 102 SJ gr 8. karL n. .4 4.40.
ItOgendfe, Adrien- Marie, Zahlenibßorjö, Kaeh Oer dritieji AuflAge
Im Deatsche Uh&rtrÄgen von H. Masrr. Krstt-r K^n! t\'\^TT ti
— — Zweiter fßchluß-) Band» fXlI iu 4^3 S,J gc« 8. gi^L
^ll.Ga
Maoslou« Dr* P.« Profesiar An dirr üiuversUit zu Gent, Elemet'
Theorie der IleT' iteo mii vi««leo ÜVungsoAifgabrn. i.\%v\\\\
vermehrte Anfluge «• 56 S,J gr, K geb. u .Z' 1,20.
Heidt« ^1. Friedrich f Prof€tGs(>r am Gyn^naslum in Hamm, Resultate
der EeeLnoßgsaafgaben in der SammUng von Aufc^aUen «öd
Be^iee{]ia!eti aus der Trigontittietrie and St et reü tue tri e. II. Teil:
Stete ometrie* Dritte Auflage. [48 S.j gr, 8. gt-h. »ift^ 1. —
,,S4;]2Otii£i0o, Dr. Arthur, Privatdoc^fit der Mathematik ein der UmTorM^^^^
65tti]igenr Gdomctrie dor B«w6g(iDg in gyntheii-scher I>
fiteUnng. Mit Figuren im Text* [VI u. 196 SJ gi'. 8* g«k ü
Fi^üJier ei'i*ohieiieTi:
SerreC, J.-A., HandUnijb der höheren Algebra. Deutseht; Uebe-r-
jsütaiang von G. Wertheim, Lehrer an der Realtteliulö der israelitiseheo
Gemeinde m Frankfurt n. M. 2 Bünde, 2. Aoti gr. 8. 1878. 187<J.
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taasars denUch boeirbeitet von Axel Harnaekf Dr. und Professor am
Polv*- ^- Inißi zti Droäden. Zwei Bünde* Mit in den Text gedruck-
ten . gr, 8. geh. n* Jt 24.40.
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Historisch -literarische Abtheilung.
Ueber die Entdeckung der Variation und der jährlichen
Gleichung des Mondes.
Von
C. Anschütz, S. J.
(Fortsetsnng.)
3. Kepler ist der Entdecker der jäbrliohen Oleichnng des Mondes.
Wir kommen jetzt zu dem interessantesten Ergebniss unserer Nach-
forsohungen^), interessant besonders deshalb, weil Kepler zu dieser Ent-
deckung nicht auf rein empirischem Wege gelangte, sondern sozusagen
a priori^ und daher einer jener merkwürdigen Fälle vorliegt, in denen
Kepler 's Genie fast instinctiv das' Richtige ahnte. Es wird daher das
Beste sein, hier der historischen Entwicklung zu folgen«
Das erste Aufleuchten dieses Gedankens finden wir schon im Brief-
wechsel mit Mästlin*), den Kepler, veranlasst durch die Sonnenfinster-
niss vom 7. März 1598 , über die grossen DifiPerenzen zwischen Beobachtung
und Berechnung mit diesem führte. Zu Kepler 's Obliegenheiten als Land-
schaftsmathematiker von Steiermark gehörte auch die Abfassung von £[alendern.
Im Kalender für 1598^ schrieb Kepler im zweiten Capitel: „Von Finster-
nussen", unter anderem wie folgt*): ,,Zum andern begibt sich ein sehr
grosse Finsernuss an der Sonnen , den 7. Martij im 16. grad der )( bey dem
Drachenhaupt ^), nämlich bey dem Creützweg, da der Mond vber die Sonnen-
strass gegen Mittemacht heraufiPwertz^ vnd vns vnter das Hecht laufft.
Solle sich anfahen ein viertl vor neünVhr, vnd ein kleins nach
1) Frisch scheint dies ganz entgangen zu sein, was bei der Masse des von
ihm verarbeiteten Materials begreiflich ist. Auch sind die Stellen in den von mir
aufgefundenen Briefen auffälliger als alle übrigen.
2) 0. 0. II, 16 flg.
3) „Schreib Calender auff das Jahr nach dess Herrn Christi vnsers Erlösers
Geburt MDXOVIII. Gestelt durch M. Joannem Kheplerum, Einer Ersamen
Laudschafit dess Herzogthumbs Steyr Mathematicum/'
4) 0. 0. 1, 396 flg.
5) Aufsteigender Knoten der Mondbahn.
Hi8t.-lit. Abthlg. d. Zeitiohr f. Math. u. Phys. XXXI, 0. Diji^zed by CjOOQ IC
202 Historisch -liierarische Abiheilnng.
eilff yhr widernmb verschwinden. Die Astronomische ndttang^)
gibt sie so gross, dass nicht mehr als der 24. theil von der Son, das
ist ein sehr kleines hörnl, hervor bleiben solte. Derowegen so es
mtiglich w&re, dass ein Mensch etwa an einem ort im Himmel stdnde, vnd
auff die Erd herabschawet: wUrde er dieselbe mit einem schwartzen mnden
Fleck verfinstert sehen, wölcher Fleck in wenig stunden dnrch die Cana-
rias Africam vnd Hispaniam Sardinien Sicilien Griechenland Aegypten
Jerusalem Babylon vnd Persien in einem strich durchschwei£Fen wQrde: da
dan an allen erzelten orten sinckende nacht erfolgen muess. Sol doch aber-
mahl den verstand haben, dass die Astronomische Calculation also be
schaffen, dass wie die Monds Finsternuss speter, also die f&rhabuDde
0 Finsternuss auch wol vmb 1 halbe stund früer*) vnd kleiner, oder
villeicht gar bedeckt erscheinen mag. Dem sej nun wie jm wolle, so
ist einmal gewiss, dass in vnsern Landen mehr dan in fünfftzig
jaren kein grossere Verfinsterung an der Q gesehen worden:
derowegen dan alle die kunst erfahrne ein schön, die vnwissende aber ein
schröcklich spectakel haben, vnd an hohem tag die stern am Himel.
sonderlich Venerem vnd Mercurium nach der Son, vnd Jovem im anfing
sehen werden, ^o es sich aber begäbe, das (wie gehört) die Sonnen
gantz bedeckhet, oder nur der Himmel mit wolcken vberzogen
würde, sogeben vnss etliche vmbstände gewisse anzeigungen,
das kein finsterere nacht im gantzen Jahr gewest, also finster
derselbige Tag werden solle. Doch weret solche dicke Finsternuss
nicht vber ein viertl stund, wiewol sich die ganze verdunckelung vor Tud
nach in die zwo stund vnd ein viertl verziehet."
Kepler hatte also zwar einige kleine Clausein angebracht ^ da er von
der Unzuverlässigkeit der damaligen Mondtafeln bereits Proben kannte; aber
er hatte doch die Erwartungen und theilweise die Befürchtungen seines
Publikums auf's höchste gespannt Er selbst verfehlte nicht, rechtzeitig sich
in Bereitschaft zu setzen, um die Beobachtung möglichst genau anzustellen.
Letzteres gelang nun nicht ganz nach Wunsch, weil der Himmel stark be-
wölkt war'); aber ein um so „ schröcklicheres spectakel" und eine um so
„finsterere nacht '^ musste er erwarten. Es kam aber ganz anders. ,;Ein
viertl vor nettn Yhr" sollte die Finstemiss anfangen, sie begann in Wirk-
lichkeit etwas vor 10^^ ühr^); ihre Dauer hatte Kepler zu etwas über
1) Kepler bediente sich für dieeen Kalender der Tafeln des Magini
2) Welchen G-rund Kepler gerade zu dieser Vermuthung hatte, konnte ich
nicht finden.
3) ,^Coelum turhidissimum fuit, et tnane ninxercU. Itaque,,. rarissimos ex
praeterläbentibua nubibtM excepi fülgores*^, Brief an Mästlin vom 15. M&n 1698
(0. 0. II, 16).
4) L. c.
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üeber die Entdeckung der Variation etc. des Mondes. 203
2V4 Standen veranschlagt, und sie dauerte ungeffthr 27, Stunden^); er hatte
aus Vorsicht bemerkt, die Finstemiss könne vielleicht Y, Stunde früher be>
ginnen, und sie trat um etwa IV, Stunden zu spät ein. Das waren schlimme
Vorzeichen^ und es ist natürlich^ auch wenn Kepler uns dies nicht aus-
drücklich sagte ^), dass er in höchster Spannung die „grosse Finsternuss^'
erwartete und erhoffte. Auch das schlug fehl. Die ganze Verfinsterung
beschränkte sich auf eine kaum wahrnehmbare Abnahme des Tageslichtes^).
Dazu hatte Kepler dieselbe durch die Angabe der Totalitätszone als süd-
lich bezeichnet, und sie war nördlich^).
Dieses gewaltige Missgeschick machte Kepler höchst bestürzt. Seine
Reputation stand auf dem Spiele, und dies am Anfange seiner Laufbahn!
Er musste sich, wenn er nicht allen Credit verlieren wollte, im nächsten
Kalender rechtfertigen. Die Zeit war kurz gemessen ^ und er sollte den
Grund angeben, warum die bisherigen Mondtafeln so mangelhaft seien, also
die Mondtheorie umgestalten. Rathlos wendet er sich an seinen Lehrer
Mästlin und bittet ihn dringend, ihm aus der Verlegenheit zu helfen^).
Mästlin war jedoch selbst sehr unglücklich in der Beobachtung gewesen,
da er die Sonne nicht einmal zu sehen bekommen hatte ^). Er machte aber
Kepler darauf aufmerksam, dass die starke Verspätung der Finster-
niss das Wichtigste sei, und dass durch Erklärung dieser sich das
üebrige von selbst ergebe; aber wie diese Erklärung zu lauten habe, das
kann er nicht angeben^). Er bemerkt nur, dass die Erklärunjg aus Kepler*s
1) So glaubte wenigstens damals Kepler (L. c. S. 18: „Desiüpaulopost 12}",
0. 0. 11^ 364 schreibt er jedoch schon [in der ,} Optik**]: „Sane cum desiisset,
paulo post sonuit tertium quadrantem post duodecimam'*)\ 0.0. II, 441, Note t02
heisst es aber: ^^In TahuUs Budolphinis (S 110) Keplerus hone edipsin eligit, ex
quaratianem ostenderet computandi edipsin SoUs ad certum hcum. Durationis
tempus exhibet hic = !^2P^, addens: Bwrationem quidem in Optids prodidilon-
giorem, at manifesta hallucinatione, dum prindpium non observcUum legi-
time y fini eamparavi minime eomparandum''. Damit ist auch die Schwierigkeit be-
seitigt, wie eine längere Dauer und eine kleinere Phase sich vereinigen lassen.
2) L. c. S. 17: „Cum ego multum anxitts optdbam tenebras, quae sequi nole-
bant",
3) L. c. : „ Vix enim exigua illarum [tenebrarum] in observatarum ocühs in-
currerat animadversio. Sic autem erat diminwta lux, ut cum pluvia aliqua (non
tarnen ui in magna tempestate) vnstat, cum tamen nübes non essent undique crassae,
quae hoc causari potuissent."
4) L. c: jyboredlis fuit, cum austrdlem dixerit calculus^^.
5) L. c. S. 16: „Literas tuas, Clarissime D. Praeceptor accepi ea hora, qua
redii ab observatione eclipsis Solaris. Itaque ab illa incipiam, et majorem in
modum te rogo, sinullum aliud verbum, scdtem de hoc mihi nonnikü respondere
digneris. Etenim ex illa me simpliciter expedire non possum".
6) 0.0. n, 20.
7) L. c: yj Quae Vera hujus tardioris apparitionis causa sit, sdre non possum".
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204 Historisch •literarische Abfcheiltmg.
Ansichten über die Ursache der Planetenbewegnng^) nicht möglich sei, nnd
der Grund in den fehlerhaften Sonnentafeln gesucht werden mflsse. Kepler
war anfangs hocherfreut über letztere Bemerkung, er glaubte so die Ver-
antwortung von sich abwSUen zu können, aber auch dies, wie es scheint,
nur im ersten Augenblick'). Die Verantwortung für Kepler 's Erkifinmg
zu Übernehmen, lehnte zudem Mftstlin im folgenden Brief ab, indem er
seine vielen Beschäftigungen vorschützte^. Kepler war daher auf sich selbst
angewiesen, und durfte auch keine Zeit mehr verlieren, da der Kalender
für 1599 fertig gestellt werden musste^). Ein rascher Entschluss that npth.
So gab er denn dem Kalender für 1599 als Anhang einen „ Bericht an den
günstigen Leser *' bei, in dem er sich folgendermassen äussert^): „Von der
grossen Sonnen -Finstemuss vnd besorgten verkherung des Tags in die Nacht,
so den 7. Mariyi des 98i8ten Jahrs geschehen sollen, hab ich wol ein
besonder bericht und tractätl geschriben. Weil aber dasselbig
etwas lang, vnd nit jedermann angenäm zu lesen sein möchte, hab ich
hie allein einen auszug desselbigen einbringen wollen. Nämb-
lieh ist dieselbige, wie auch die vorhergehende Monds -Finstemuss im Fe-
bruario, und der nachfolgende volmond auffii Ostertag mehr dan ein gantze
stund später: hingegen aber die Monds -Finstemuss im Augusto früer er-
schinen, dero wegen notwendig folgen müssen^), das die Sonne nicht zwölffi-
halb puncten , sondern nur neun oder zehenthalb verfinstert werde , vnd die
schmelemng des tagliechts gleichwohl gespürt, aber doch keinner nacht zu
vergleichen gewest: Auch nicht im Mittelländischen, sondem im gefromen
Meer hinter Schotland, Norwegen, Moschau etc. am grössisten erschinen
sey^) ... Die Vrsach aber, warumb ich mit der Zeit vil verfehlet,
ist nicht bey mir oder einem andern Astrologe, die wir miteinander vber-
eingestimmet, sondern bey unsern Patriarchen Copemico vnd der noch
mangelhaften Astronomia zu suechen^) . • • Der nächste weg aber zur
1} Der Anfang dieser Kepler 'sehen Hypothese^ die später von ihm in einer
Weise ausgebildet wurde, die einige Aehnlichkeit mit der Gravitationstheorie
zeigt, fällt in das Jahr 1595. Vergl. Brief an Mästlin vom 3. October 1596
(0. 0. I, 13).
8} „Enitn vero ego discwrro, tuum est statuere: scribo enim imprae-
meditatus'', Brief an Mästlin vom 11. Juni 1598 (0. 0. II, 23).
3) yyPlura de his jam cogitandi et scribendi me brevitas temporis et occupa-
tumes impeditmt, praesertitn examen candidatorum etc/* Brief vom 14. Juli I5d8
(0.0. II, 24).
4) Die Vorrede ist vom 1. September 1598 datirt (0. 0. 1, 403). Dies und die
gleich folgende Erwähnung der Mondsfinstemiss vom 16. August weisen auf die
zweite Hälfte August als die Entstehungszeit der Hypothese hin.
5) 0.0. I, 408 flg.
6) Vergl. oben den Rath Mästlin's.
7) Hier folgt astrologisches.
8) Die ausgelassene Stelle kann man am kürzesten als „ Keplerus pro domo
wa" bezeichnen.
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üeber die Entdeckung der Variation etc. des Mondes. 205
verbessemng, dardurch die Finsternnssen in künfftiger zeit gewisser aus-
geraitet werden möchten, ist meines Bedunckhens diser, das man setze vnd
lehre, dass ein Hatttrlioher Monat oder lanff des Monds von der Sonnen
bis wider zn derselben» zu winters zeitten oaeteris paribns ein wenig
l&nger vnd langsamer seye, dan zn Sommers zeitten» vnd also dem
Mondslanff die schuld geben werd,.ynd nicht der Sonnen, an deren man
ohne grosse Zerrüttung nichts hierzu Dienstliches reformiren khan.
Ob aber die yngleichheit an des Monds Himmel selbsten, oder
an der veränderten Mensur vnd Tagleng^), üa ut dies natv/raUB
hyhemus aestivo sit hrevior: vnd was dise gantze vngleichheit in der natur
vnd Gopemici Philosophia für grund habe^, lesst sich mit so kurtzen
Worten nicht entdeckhen."
Kepler führt eine sehr sichere Sprache, so dass man versucht wäre zu
glauben, er sei wirklich schon mit der angekündigten Beform der Mond-
theorie im Beinen gewesen. Ein Brief an Mästlin^) zerstört gründlich jede
solche Illusion. Was zunächst den „ langen Tractat *' betrifft, den Kepler
geschrieben haben will, so sah es damit nach seinem eigenen Geständnisse
schlecht genug aus: der Tractat existirte gar nichts) Auch die
Lösung, die er gab, war nur aus dem Grunde gewählt, weil er glaubte,
dieselbe leichter gegen allfallsige Angriffe vertheidigen zu können, als eine
Aenderung in den Elementen der Sonnen- (resp. Erd-) Bahn; andererseits
wollte er vor allem die Folgen abwenden, die sein Missgeschick für seine
Stellung, also zuletzt für seinen Geldbeutel, haben konnte. Angriffe be-
sorgte er überhaupt nicht, da er es nicht für wahrscheinlich hielt, dass ein
Exemplar des neuen Kalenders seinen Weg nach Deutschland finden werde.
Die Sache klingt so abenteuerlich , dass ich mich durch Vorlegen des Textes
rechtfertigen will. Kepler schreibt^): „Es steht Vieles darin [im Kalender],
1) Hier Bind schon beide Wege angegeben, deren erster uns zunächst, deren
letzter uns am Schlüsse beschäftigen wird.
2) Vermuthlich wusste ihn Kepler, als er dieses schrieb, selbst noch nicht,
und faud ihn erst später aus Noth.
3) Vom 8, Dec. 1698 (O 0. I, 409 flg.).
4) jy Magna sum usm immodestia, s» prodeat hoc prognosticum in Germaniam.
Audacter polliceor, ostendere me posse tractatvm integrum de ea [de eclipsi], qualis
rero tradatus? Null u 8 adhuc, si verum fatear, Sed tarnen, si quis peteret,
Maestlini literae pro me loquerentur, uhi maxime necesse esset. Nam statim mense
Martio scripsi ad tres paginas, petentihus ita quibusdam Äbhatibus, sed popu-
lariter sine computo seriem explicavi natae paülatim artis [also eine populäre
Geschichte der Astronomie] ex observationibuSy hypothesibus, ta^lis, ephemeridihus
usque ad prognostica [welch' eine Gradation !] : addidi descriptionem meae ohserva-
tianis, omnia ad meum commodum meique officii fundationem direxi. '
Nemo tarnen id quod scripsi vidit^^ L. c. S. 410. Also auch .yKepleruspro domo swa".
6) L. c. S. 409 flg. (Bei dieser Stelle vermied ich absichtlich jede Unterstreich-
ung, da ich nicht weiss, welchem Satz ich den Vorzug 'geben soll): „Multa sunt
in eo, quae aut excusanda simt düigenter, aut meae nocebuwt eocistimationi <wud
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206 Historisch -literarische Abtheilung.
wegen dessen ich mich dringend entschuldigen mnss , wenn es nicht meinem
Rufe bei dir schaden solL Eum gesagt: Ich schreibe nicht für das Volk,
auch nicht für Gelehrte (mit wenigen Ausnahmen) , sondern für Adelige
und Prälaten, die sich einbilden Kenntnisse zu haben, die ihnen abgehen.
Mehr als 400 bis 600 Exemplare werden nicht ausgegeben, keines davon
wird die Grenze dieses Landes überschreiten. Ich brauche also vor dem
ürtheil der Gelehrten in Deutschland nicht bange zu sein. Meine einzige
Absicht ist» die Wahrheit zu meinem Vortheil zu verwenden. In allen
Kalendern verfolge ich nur den einen Zweck, durch die mir gerade kom-
menden Gedanken, die mir wahr zu sein scheinen, meinen oben charakte-
risirten Lesern den Genuss der Schönheit und Erhabenheit der Natur za
vermitteln, in der Hoffnung, sie würden so geneigter, mir einen grösseren
Gehalt zu gewähren. Diese Entschuldigung muss ich auch auf den Anhang
über die Sonnenfinstemiss ausdehnen.''^)
Nach solchen Geständnissen glaube ich Kepler nicht Unrecht zu thnn,
wenn ich die Behauptung aufstelle, dass sein gutes Glück und sein unver-
gleichliches Talent ihn unbewusst zu einer Entdeckung hindrängten; jeden-
falls war er sich damals nicht über die Tragweite seines kühnen Griffes
klar. Er hatte aus ein paar Beobachtungen, die ihm gerade zur Hand
waren, eine Verspätung der Finsternisse im Winter, eine Yerfrühung im
Sommer gefimden, und war beim Nachdenken über die mögliche Ursache
auf drei verschiedene Hypothesen gekommen: Entweder lag die Schuld an
der unrichtig bestimmten Excentricität der Erdbahn; oder die tägliche Be-
wegung der Erde (um ihre Achse) ist im Winter schneller als im Sommer ;
oder der Mondlauf musste im Winter langsamer sein. Kepler entschied
sich für letzteres, und damit für das Richtige; aber ausser einer einzigen
Beobachtung, die auf diese Wahl hinwies, hatte er nur Opportunitäts-
rücksichten.^) Hätte sich Kepler^s Ho&ung erfüllt, und wäre sein Kalen-
der wirklich nicht über die Grenze gekommen, wer weiss, ob Kepler den
Gedanken nicht als Nothbehelf nach Beseitigung der Gefahr vergessen hätte.
Aber sein Glück, das er allerdings zuerst für ein Unglück ansah, war för
ihn thätig. Der bayerische Kanzler Herwart von Hohenburg, ein
te. Summa haec est: scribo ego non vülgo, neque doctis [nisi paucissimis], sedno-
bilibus et praelatis, qm scientiam dliquam sibi arrogant rentm, quas nesciunt, Ultra
400 vel 600 exemplaria non distrdhufUwr . nvXlum extra limites harum provinciarum
eifertwr. Itaque mihi, . . . a doctis per Germaniam non est metuendum, Id unum
ago, ut veritatem ego ... ad meum commodum dirigam. In omnibus prognostids id
ago, ut de promptis sententiis, quae mihi verae videntur, gustum aliquem jueun-
didatis et majestatis naturae praeheam Ulis supra deßnitis meis lectorihus: si forte
per hoc exdtentur ad me tanto majori cum salario aJendum . . . Eadem exc%isatio
pertinet etiam ad appendicem de edipsi*^.
1) Das Vorhergehende bezieht sich nämlich zunächst auf die astrologischen
Prophezeibangen.
2) Um mich nicht zu wiederholen, verweise ich auf den folg^rief Kepler *6.
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üeber die Entdeckung der Variation etc. des Mondes. 207
Gönner Kepler 's und ein Freund und Beförderer der Wissenschaften, hatte
sich ein Exemplar des Kalenders zu verschaffen gewusst, und hatte nichts
Eiligeres zu thnn, als sich an Kepler um weitere Aufklärung zu wenden;
Kepler hatte ja schon einen „langen Tractat^ fertig! Den 2. Januar 1599
schreibt Herwart an Kepler^): „Was der Herr in seiner Practica') zu
£nd derselben de tempore et quantüate, d et 8 luminarium et edipsium
discuriert, hab ich gern gelesen, und vemimme, dass etliche Mathematici
in Saxen, alda man die bedeutte jüngst beschehene grosse Finstemuss
coelo sereno wol gesehen, id ipsum observiert haben sollen, das nemlich die
Sonn dermahlen nicht von unden, sondern von oben her bei ^ verfinstert
worden. Bitt um Erleuterung dieser anomalia, wie sie ad hy-
pothesin Copernioi zu accommodiren.'^ Hier war kein Ausweichen
mehr möglich. Kepler versuchte also, auch bestärkt durch die von Her-
wart mitgetheilte Bestätigung, seine Position zu halten, und fand in seinem
reichen Geiste Mittel genug, dies zu unternehmen. Sein Brief, vom 29. Ja-
nuar^), zeigt beraits eine grössere £[larheit und consequente Durchführung
seines Gedankens. Im Eingange dankt er für die mitgetheilte Beobachtung,
und bittet Her wart, ihm alle Beobachtungen zukommen zu lassen, die er
auftreiben könne, denn nur so lasse sich eine Beform gründlich durch-
führen. Dann fllhrt er fort^): „Es ist zwar nicht möglich, über diese
jährlicheüngleichheitin den Finsternissen sich endgiltig auszusprechen,
obne jahrelange Vorarbeiten gemacht. Alles genau erwogen, alle Elemente
der Berechnung der Finsternisse eingehend untersucht, sänfmtliche Finster-
nisse aller Zeiten mit den Prutenisohen Tafeln verglichen zu haben; aber
ein Yorpostengefecht kann ich doch der Geistesübung halber annehmen.^*
Das Folgende werde ich für den Anhang verwenden , wohin es gehört.
Kepler fährt dann fort^): „Wir wollen jetzt die Ursache dieser Ungleich-
heit aufsuchen. Es giebt drei Himmelskörper, deren Bewegungen für die
Messung der Zeit des Eintrittes der Finsternisse dienen, nämlich: Sonne,
Mond und das Erste Bewegliche (um mich der Ausdrücke der gebrauch-
1) 0. 0. I, 412.
2) Im Kalender nämlich.
3) 0.0. I, 412 flg.
4) „De awniia hac edipsium anomdlia, etsi non est [ante multorum amiorum
labores continiuitos, omnia probe perspecta, omnia calculi ediptici fundamenta ad
amtissim revocata, omnes omnium temporwn edipses ad calculum PnUenicum re-
du€t<is] qtUcquam pronunciandum , ingenii tarnen gratia licebit serio certamini prae-
ludere''.
5) „Et propositum nobis esto, causam reperire ht^us anomaliae. Cum ergo
tria sint corpora, tres motus ad noviluniorum tempora dimetienda concurrentes,
puta Solis, Lunae et primi mobilis [ut terminis usitatarum hypothesium utamur],
singula s-^gidas nobis praebeant suspiciones. Nam dum vemalia novilunia aut
pleniltmia tardius revera veniant, quam in calculo praedicuntur, atUumndlia citius:
»i causa in Solis motu est, oportet Solem vemo tempore longius in consequentia
distare, quam a calcido proditur, autumnäli brevitis''.
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208 Historisok* literarische Abtheilang.
liehen Hypothese zu bedienen)^); jeder von diesen giebt zu einer andern
Conjeetnr Veranlassung. Denn da die Syzjgien im Frühjahr später ein-
treten, als die Berechnung sie angiebt, im Herbst früher^, so muss, wenn
der Lauf der Sonne die Ursache sein soll, die Sonne im Frühjahr dem von
den Tafeln angegebenen Orte der Ekliptik vorausgeeilt, im Herbst zurück-
geblieben sein/^ Dies wird an einer Figur eiiftutert und gezeigt, dass diese
Conjectur eine fast doppelt so grosse Ezcentricität der Sonnenbahn zur
Voraussetzung habe 9 als sie bisher angenommen wurde''). Daftlr kann sich
Kepler nicht entscheiden; denn dann müsste das Kreissegment der Sonnen-
bahn für die Wintermonate noch kleiner und für die Sommermonate noch
grösser ausfallen, als die Beobachtung der Aequinoctien ergiebt; ein Fehler
in dieser sei jedoch nicht' wahrscheinlich. Oder aber man müsste zugeben,
dass der Sonnenlauf nicht gleichförmig, sondern ungleichförmig sei^). Wer
etwa geneigt wäre, dies nicht für absurd zu halten^), dem bringe er ein
anderes Argument, das beweise, dass die Sonne nicht die Schuld trage.
Der Ostervollmond sei zugleich mit Saturn durch den Meridian gegangen,
während er nach den Tafeln vor Saturn den Meridian passiren mosste.
Hier könne von einem Einflüsse des Sonnenlaufes nicht die Bede sein^.
Endlich weist Kepler noch hin auf die Gonsequenzen , die eine solche
Veränderung im Sonnenlaufe habe, und die er nicht tragen wolle.
,,Wir kommen jetzt zum Mond selbst*^), den die Beobachtung des
Ostervollmondes offenbar als den Schuldigen verrSth. Ich nehme daher an.
1) Der Ptolemäischen. Copernicus setzte an Stelle der täglichen Um-
drehung der Fizstemsphäre die Achsendrehung der Erde.
2} Man beachte^ dass Kepler hier bereits richtiger Frühjahr und Herbst
setzt, während im Kalender noch „Winterszeit" und „Sommerszeit'' steht, ohne
Unterscheidung der Ursache von der Wirkung.
3) Genau so gross ist die Wirkung der elliptischen ungleichförmigen Bewegung
(in Be2nig auf Kreisbewegung). Dieselbe würde somit den Fehler der Berechnung
ausgleichen. Hätte also Kepler damals sein I. und II. Gesetz bereits gekannt, so
hätte er diese Mondgleichung wohl nie gefunden!
4) Diese sehr richtige Annahme wurde leider von Kepler nicht verfolgt; sonst
hätte sie ihn wohl zu sehr wichtigen Gonsequenzen geführt, und auch für diesen
Fall mehr genützt als die neue Mondgleichung, welche er allein verfolgt.
5) Die „Vollkommenheit'^ der Kreisbewegung war noch unbestrittenes Axiom,
dem auch Copernicus und Tycho Brahe huldigten. Auch dieses Hindemiss
der Entwicklung der Astronomie wurde erst von Kepler später weggeräumt.
6) Doch wohl. Das beweist höchstens, dass die Sonne nicht allein die Schuld trage.
7) L. c. S. 413: „Sequitwr Luna ipsa, quam huQus ctdpae ream manifeste imet
observatio paschalia, Assumo itaque mensem Mbemum, Sole circa prineipiwn Z
versante, [ceteris parilms] circiter quatttor horas longiorem esse quam aestkmm, Sole
circa Solstitium versante, ceterorum mensium, ut quütbet aeqwinoetio, sie mediocri
[quantum cälculus prodit] propiorem. Hoc pacto eertum est, negotio satisfadtwn
tri. Nam cum a cancro ad Itbram tres breves menses sequantur, sunt breviores dua-
bu8 horis quam tres menses mediocres. Citius igitur Luna pervenit ad Solem, quam
si [remota consideratüme ^jus anomaliae] aequaliter semper moveretur. Contra a
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üeber die Entdeckang der Variation eto. des Mondes. 209
dass eine Lnnation zur Wimterszeit, wenn die Sonne am Anfange
des /S siebt, bei sonst gleiclien umständen nm etwa 4 Standen^)
Iftnger ist als eine Lnnation zur Sommerszeit, wenn die Sonne
beim Solstitium angekommen ist, und dass die übrigen Lnnationen, je nach-
dem sie dem Aeqninoctium näher sind^ auch dem Mittelwerth (wie ihn die
Tafeln angeben) sich nähern. Auf diese Weise wird den Anforderungen
sicher Qenüge geleistet. Denn da vom $9 bis zur ^ drei kürzere Lnna-
tionen auf einander folgen, so werden diese um 2 Stunden kürzer sein als
drei mittlere Lunationen. Der Mond erreicht die Sonne also früher, als
wenn er (ohne Berücksichtigung dieser Ungleichheit) seine mittlere Ge-
schwindigkeit beibehielte. Vom ^ bis zum Y folgen sich dagegen 3 lange
Lunationen, der Mond wird also später, als erwartet, vor die Sonne oder
in den entgegengesetzten Schattenkegel treten. Vom V ^ber bis zum 69
und Ton der s^ bis zum ^ wird ans den entgegengesetzten Ghünden der
üeberschuss oder das Fehlende ausgeglichen, so dass diese Ungleich-
heit im /^ und Q yerschwindet, im Y ^t^^ ^ <lft8 Maximum
erreicht."
„Wie nun') diese Hypothese mit dem Copernicanischen System
harmonire, das lässt sich mit kurzen Worten nicht klarlegen (wie ich auch
im Prognosticum bemerkte^, ja nicht einmal in nicht ferner Zeit.
Capricomo ad Artet em tres tardi seqwmtitr menses, tardius igitur opinione Luna
vd 8uh Solem atU in ei opposüam umhram incurrit Ah Artete vero in O, et a
sh in ^ oppositis rationibt^s defectus vel exeesstu oompensatur, ita ut evanescat
anamalia in ^, O; in T, & aii maxima."
1) Steht; 80 da. An genaue Zeitbestimmungen darf man hier nicht denken,
Kepler zeichnet den Plan erst mit grossen Strichen. Später wird es schon anders.
?) „Qtiomodo vero haec hypothesia cum Copemico concilietur, hoc hrevibus
verbi8 explicari neqtUt [quod in meo prognostico dixi\, sed neque hrevi tempore.
Oportet enim omnia probe exctäere. Nam neque ipse dum mihi satisfacio. Dicam
autem ^eeuUxtioni8 meae fundamentum. In ^ verscmte Terra, videtur 0 M O9
estqtte ibi ^jus apogaeum, in opposito perigaeum. Cum ergo secundum Copemicum
motw omnis et virtus omni8 motoria ex Sole eeu eentro sive corde in circumpositos
orbes ingercUur, dimensis ad propinquitatem modulis, anibiat vero Terram orbis
Lunam vehens: ergo is una cum Terra hieme prope Solem accedit et in fortiorem
virtutem motoriam ingreditur, aestate in imbecilliorem , cum a Sole hmgissime dis-
cedit Hie jam fingenda est quaedam virtutum motoriarum contrarietas, qualem
Aristotdes primum mobile inter et secunda confinxit, Nam Ltma propria virtuie
vehitttr, non ut sex ceteri virtute Solis commtMi, Nam hi Solem cireumambulant,
Luna Terram, [et] cum ad Solem tendit viam ceteris plane contrariam eonficit.
Quare prdbabüe est, impediri illam a virtttte Solari, magis a fortiori, minus ab
imbeciUiori. Hieme igitur, cum propinqua Soli est, multum impeditur et fit tarda,
aestate Itberior in majori spatio celerior evadit."
8) Aber, wie wir gesehen haben, ans ganz andern GriSnden. Es ist inter-
essant zu sehen, wie Kepler sich bemüht, die Entstehungsgeschichte seiner Ver-
legenheitserklämng vor Herwart zu verhüllen, und letztere als yon Anfang an
wohlüberlegt darzustellen, während er seinem Lehrer Mästlin gegenüber keii^
Hehl hat!
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210 Historisch - literarische Abtheilang.
Denn hierbei will Alles wohl erwogen sein, und ich bin selbst noch nicht
mit mir zufrieden. Ich will aber das Princip, worauf sich meine
Speculation stützt, mittheilen. Wenn die Erde sich im /g befindet,
erscheint die Sonne in den Q projicirt, wo ihr Apogaeum liegt, während
das Perigaeum auf der entgegengesetzten Seite sich befindet. Da nun nach
Copernicus jede Bewegung und jede bewegende Kraft*) von der
Sonne als Mittelpunkt, wie von dem Herzen, den sie umgebenden Sphären
mitgetheilt wird, nach Massgabe der grösseren oder geringeren
Nähe, und da die Sphäre, welche den Mond trägt, die Erde umkreist:
so nähert sich der Mond zugleich mit der Erde im Winter der
Sonne, sodass die bewegende Kraft einen grösseren Einfluss
auf ihn gewinnt, während im Sommer der Einfluss geringer
wird, da er sich weit von der Sonne entfernt. Hier muss ich non
die Annahme irgend einer Gegensätzlichkeit zwischen den bewegenden
Kräften zu Hilfe nehmen, wie sie Aristoteles zwischen dem ersten Be-
weglichen und den secundären annahm. Denn der Mond verdankt seine
Bewegung einer besonderen Kraft, nicht wie die sechs übrigen der
gemeinsamen von der Sonne ausgehenden. Diese nämlich bewegen sich um
die Sonne, der Mond um die Erde, und bewegt sich auf der der
Sonne zugekehrten Seite seiner Bahn in entgegengesetzter
Bichtung wie die übrigen'). Daher ist es nicht unwahrscheinlich, dass
derselbe [der Mond] von der bewegenden Ejraft der Sonne in seinem
Laufe gehemmt wird, mehr von einer stärkeren, weniger von
einer schwächeren. Im Winter also, wenn der Mond in Sonnen-
nähe ist, ist die Betardation gross, und er verspätet sich, im
Sommer, wenn er sich ungehinderter in grösserer Entfernung be-
wegt, äussert sich dies als Beschleunigung. ''')
Nach Besprechung einer andern Ungleichheit des Mondlaufes geht dann
Kepler zur dritten möglichen Annahme über^j: „Da vorzüglich
1) Man beachte im Folgenden die zahlreichen Anklänge an die Gravitationstheorie.
2) Ich glaube, es hiesse Eulen nach Athen tragen, wenn ich mich bemühen
wollte^ einen Astronomen von so hervorragendem Talent wie Kepler gegen den
Vorwurf zu vertheidigen, er habe den Mond wirklich fdr retrograd gehalten; dass
dies nicht der Fall i&t, kann ja jeder wissen, der Augen hat. Kepler will her-
vorheben, dass der Mond, wenn man von seiner Bewegung um die Sonne
absieht, und nur seine Bewegung um die Erde berücksichtigt, auf
der innem Seite seiner Bahn eine der Richtung der andern Planeten (heliocebtrisch)
entgegengesetzte Richtung einschlägt, dass somit eine Gegensätzlichkeit und eine
Hemmung durch die Sonne denkbar sei. Wie dies näher zu verstehen ist, wird
später erklärt; ich verweise besonders auf S. 46 Anm. 1.
3) Eine so überraschend richtige Auffassung der mechanischen Ursache der
jährlichen Gleichung, dass man an eine Divinationsgabe Kepler's glauben
könnte. Was hätte ein solches Genie wohl geleistet, hätte es die modernen
Beobachtungs- und Berechnungsmittel zur Verfügung gehabt!
4) L. c. S. 414.
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üeber die Entdeckung der Variation etc. des Mondes. 211
die Behauptung ungereimt erscheint, dass der Mond durch die bewegende
Kraft der Sonne gehemmt wird, indem eher zu erwarten wäre, dass die-
selbe fördernd und beschleunigend wirke, welches immer das Centrum der
Bewegung sei, richtete ich meine Aufmerksamkeit noch auf eine andere
Ursache : ob n&mlich das Zeitmaass der übrigen Bewegungen , d. h. die Be-
wegung des ersten Beweglichen (oder nach Copernicus die tägliche Be-
wegung der Erde) die Schuld trage/^ Kepler erklärt dies ebenfalls durch
eine Abhängigkeit der täglichen Axendrehung von der grösseren oder ge-
ringeren Entfernung von der Sonne, sodass die Rotation im Sommer lang-
samer, im Winter schneller erfolge, und daher im Winter der Mond sich
scheinbar verspäte ; im Sommer scheinbar verfrühe^). Er gesteht zu,
dass auch bei den übrigen Planeten sich so eine Ungleichheit zeigen müsste,
weist aber darauf hin , dass die Beobachtungsfehler sie verdecken. Die ein-
zige Möglichkeit, diese Frage zu entscheiden, sieht er in einer möglichst
genauen Abmessung des Sommer- und Wintertages mittelst Sanduhren^).
„Dies", schliesst er,*) „wollte ich auf den Brief deiner Herrlichkeit er-
widern, bitte aber recht sehr, mir die Unklarheit, die mir sozusagen ange-
boren ist, zu Gute zu halten*'.
Diese Entschuldigung erklärt sich aus Kepler 's Lage; allein der Fort-
schritt in der Klärung seiner nothgedrungen aufgestellten Theorie ist so
bedeutend, dass man über der Bewunderung für seinen Scharfsinn einige
Unklarheiten gern vergisst. So sicher er sich auch stellt, es sind in den
folgenden Briefen Anzeichen^) vorhanden, dass er keineswegs ein fertiges
Urtheil sich gebildet hatte , sondern seinen ersten glücklichen Gedanken nur
von Fall zu Fall im Drange der Umstände erweiterte. Kepler mochte
meinen, mit dieser Erklärung Herwart befriedigt zu haben; dies war
jedoch Herwärts Art nicht. Hatte derselbe einmal einen Gedanken auf-
gegriffen, so verfolgte er ihn mit unglaublicher Zähigkeit^). So auch dies-
mal. Her wart hatte in solchen Fällen die Gewohnheit, einen Gelehrten
gegen den andern auszuspielen, indem er die Ansichten, die er von einem
erforscht hatte, andern mittheilte ohne Nennung des Namens.^) Auch
1) Auf diesen sonderbaren Einfall Kepler 's muss ich später noch zurückkommen.
2) Ein ZeugnisB für den damaligen Stand der Uhrmacherknnst.
3) L. c. S. 415: Haec ad Big. T. literas respondere volui, vehementer autem
orOf uti ohscwritatemhanc, quaemihi guodammodo conncUa est ..., honi consulat/'
4) Besonders im Eingang des Briefes vom 9. und 10. April 1599 (U. W. G S. 10 flg.
VergL S. 77, Anm z Z. 40).
5) Als Beispiel kann vorzüglich die Frage nach der Sonnentinsterniss des
Jahres 38 v.Chr. gelten, mit der Herwart von 1597—1606 Kepler bedrängte,
obwohl derselbe alle möglichen Anstrengungen machte, um Her wart von dem
ihm unangenehmen Thema abzubringen.
6) Einen neuen Fall bieten auch die von mir herausgegebenen Briefe; Kepler
eriiielt das Gutachten eines Jesuiten zur Beurtheilung zugesandt (U. W. C. S. 100,
Anm. zu Z. 1656).
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212 Historisch -literarische Abtheilung.
Eepler's „nicht ftlr die' Gelehrten geschriebene** Hypothese machte so
die Bande. Einige von Herwart 's Correspondenten scheinen schnell da«
mit fertig gewesen zn sein. So schrieb der sonst tflchtige JofaannOeorg
Brengkher^) am 18. Febmar 1599 ans Kaufbenren:^ „Betreffend des,
quod Luna in kyeme tardius maveatur quam aestate^ das ist bei mir gar ein
paradoxum dbsurdissimuimi hab Nichts davon gehOrt oder gelesen/^ Herwart
liess sich aber durch solche Urtheile nicht irre machen. Er suchte an Be-
obachtungsmaterial zusammen, so yiel er konnte, und verglich. Am lO.Mftrs
1599 theilte er einige Beobachtungen, die gegen Eepler's Ansicht zu
sprechen schienen, diesem mit»') Die grossen Mftngel dieser Beobachtungen,
die grösstentheils „mit dem Bauemschuh gemessen*' sein dürften, einzeln
durchzugehen, wttrde zu weit führen; aus den mitgetheilten Daten ergeben
sie sich von selbst Ja es erscheinen solche Differenzen unter den Beob-
achtungen selbst, dass man auch Fehler in der Berechnung annehmen muss,
1) Auch Brengger, Prencker. Brengkher hat er sich hier selbst unter-
zeichnet. Er war Arzt in Eanfbeuren, von seinem Leben ist fast nichts bekannt.
Später war er ein eifriger Correspondent Eepler's (0. 0. E, 87 flg.).
2) Mflnchner Hof- und Staatsbibliothek. Clm. 1607, fol. 96.
8) Dieser Theil des Herwarfschen Briefes findet sich mit den Randglossen
Eepler's hinreichend genau abgedruckt: 0. 0. I, 415. Das Fehlende habe ich in
U. W. C. (S. 78 oben) nachgetragen nach dem Pulkowaer Original. Ich will hier
noch zusammenstellen^ was sich sonst noch für die einzelnen Fälle an Beobachtungs-
material findet^ soweit es damals Kepler bekannt war, damit Jeder, den dies
interessiren sollte, sich überzeugen könne, wie für unsere Begriffe entsetzlich schlecht
und unbrauchbar das Material war, welches Kepler zor Grundlage eines geni-
alen Gedankens diente.
^ Finstemifls vom 29. Decbr. 1591 : Ausser dem an d. a. 0. 0. abgedruckten
(NB! dies ist bei allen zu erg^zen), nichts. — ]) Finstemiss vom 20. Febr. 1598:
Brief Eepler's vom 9. und 10. April 1599 (ü. W. C, Z. 57—62; 806—814). 0. 0. 1,
896; 408. II, 358. III, 582. Beobachtung Tjcho Brahe's im Brief Eepler's
vom 9. und 10. April 1599 (U. W. C, Z. 765-773. Vergl. die Anm. S. 88 zu dieser
Stelle). — ^ Finstemiss vom 9. Febr. 1599: Brief Kepler 's vom 9. und 10. April
1599 (U. W.C., Z. 63—65). 0. 0. II, 286. Vergl. 0. 0. III, 589. - ]) Finstemiss
vom 23. April 1595: Brief Kepler's vom 9. und 10. April 1599 (U. W. C, Z 66 bis
69). 0. 0. III, 578. - 0 Finstemiss vom 7. März 1598: Brief Kepler's vom 9.
und 10. April 1599 (U. W. C, Z. 70 — 73; 815 — 821). 0. 0. I, 896; 408. U, 16;
863 flg.; 388. Vergl. 0. 0. ü, 441, nota 102. III, 538. Beobachtungen Tycho
Brahe's im Brief Kepler's vom 9. und 10. April 1599 (Ü.W. C, Z. 773 — 779).
Vergl. die Correctur, ^reiche Tycho im Briefe vom 9. Decbr. 1599 anbringt (0. 0.
I, 225). — O Finstemiss vom 21. Juli 1590: Brief Eepler's vom 9. und 10. April
1599 (ü W.O., Z. 74—76). 0. 0. II, 374 flg. Vergl. III, 538 — Auch die Meridian-
bestimmung Herwart's (Meridian von München 0. 0. 1, 415) ist derart, dass sie
eine grosse Unsicherheit in der Berechnung bedingt Nach der einen Angabe (Distanz
von Toledo) wäre München unter 36 ^^ 20' 20" Oestl. L. v. F , nach der andern (Distanz
von Königsberg) unter 24« 9' 45" OestL L. v. F. gelegen. In der That ist m^ 16' a"
Oestl. L. V F. richtig.
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üeber die Entdeckung der VMiation etc. des Mondes. 213
was bei Her wart nach seinen eigenen (restSndnissen^) nicht nnwahrecbein-
lieh ist. Jedenfjftlls sind die Beobachtungen derart, dass sogar das Maxi-
mu^m der jährlichen Gleichung von den Beobachtangsfehlern
mehr als Terdeckt wird, und dass man mir Recht geben wird, wenn
ich im Eingange sagte, Kepler sei zu dieser Entdeckung mehr a priori
gelangt. Er hat es jedenfalls nur seinem Qlttcksstem zu danken, dass zu-
fällig der Sinn der Differenzen sich so herausstellt, wie die Theorie
ihn fordert, und dass er daher in seiner Ansicht bestärkt wurde, wenn er
auch Torlänfig (jedenfalls verführt durch diese Beobachtungen) einen Yiel
zu grossen Betrag dieser Ungleichheit annahm. So kam Kepler dazu,
im Brief vom 9. und 10. April 1599 das Princip bereits wieder viel klarer
und präciser zu formuliren. Die Stelle lautet:') „Wer die Prutenischen
Tafeln nach meiner Anweisung verbessert, wird gegen Ende Juni und De-
cember gar keine Aenderung an denselben vornehmen ^ da dann die Sonne
sich im Apogaeum oder Perigaeum befindet. Die Bewegung des Mondes im
December ist zwar am stärksten verschieden von der im Juni, ebenso die
im Januar von der im Juli (unter sonst gleichen umständen), aber die
Wirkung dieser Verschiedenheit zeigt sich am stärksten in den Quadranten,
dem Widder und der Waage. Ich will ein Beispiel anführen. Die tägliche
Bewegung der Sonne ist zwar am grössten im Steinbock, am kleinsten im
Krebs, aber die Differenz zwischen wahrer und mittlerer Länge ist im Stein*
bock und Krebs gleich Null, im Widder und der Waage am grössten.
Gerade so verhält es sich auch mit meiner Conjectur.** Stellen wir diese
Wort« ein klein wenig um, so zeigt sich klar die Definition der jährlichen
Gleichung. Um zu erklären, dass zu Ende Juni und December an einer
aus den Prutenischen Tafeln erhaltenen Berechnung nichts geändert werden
dürfe, bedient sich Kepler eines Beispiels: Die tägliche Bewegung der
Sonne (natürlich in Länge, nicht in Bectascension) ist am grössten im
Steinbock (Ende December, im Perihel der Erde), am kleinsten im Krebs
(Ende Juni, im Aphel der Erde); aber dessenungeachtet ist die Differenz
1) Z. B.: 0. 0. 1, 61: „Dann die diversiiM ooeupationum macht mich im cal-
cuh yeweilen irren'*. III, 691: „Wann mir der Herr mit diesem calculo eine oder
andere demonstration oder auch delineationes geometricas mit zukommen lassen
wollte, wäre mir um so viel mehr gedient, cum, ut fatear quod res est, Davus
potius quam Oedipus in hoc genere cälcüli esse videar/*^ u. s. w.
2) U. W.O., S. 11: tfSi quis eomodo, quem adnwnititmcüla tnea praeivi , cal-
cülum Prutenicum corrigat, is circa finem Jimii et Decembris nihil in PrtUenicis
mutahitj dum scilicet Sol in apogaeo vel perigaeo est Nam etsi maxima differmtia
est inter lAmam Decemhrem et Juniam, vel Januariam et Juliam [caeteris pari-
bus], ^us tarnen differentiae effectus potissimum in quadrantes Ärietem et lAbram
aggeratur. Exemplum hoc cape. Motus diumus Solis etsi maximtts est in Caprv-
corno, minimus in Cancro, differentia tarnen motus veri a medio in Z O nülla
est, in T^ maxima, Eadem ratio est in mea etiam de Lwmc motu suspicione."
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214 Historisch 'literarische Abtheilung.
zwischen wahrer und mittlerer Länge, die ^^Mittelpanktsgleichnng'^ gleich
Null an eben diesen Punkten, dagegen in den Quadranten, im Widder und
in der Wage, ein Maximum. Dasselbe Verhftltniss, sagt Kepler,
finde bei seiner neuen Mondgleichung statt. Es sei zwar die
Ungleichheit in der Bewegung des Mondes am grGssten im De-
cember und Juni, oder im Januar und Juli^ da der Mond im De-
cember und Januar (Umgebung des Perihels der Erde) die stärkste Re*
tardatioif, im Juni und Juli (Umgebung des Aphels der Erde) die
kleinste Betardation erleidet, die in Bezug auf den mittleren Lauf
einer Acceleration gleich kommt ;^) aber trotzdem zeige sich die Wirk-
ung dieser Ungleichheit, die Differenz der wahren und berechneten
Mondörter, am stärksten dann, wenn die Sonne in den Quadranten,
dem Widder und der Wage, steht Damit ist diese Ungleichheit
als eine Function der mittleren Anomalie der Sonne charak-
terisirt.*)
Herwart antwortete den 16. Mai'): „Hab seine Antwort auf die Yon
mir allegierte vngefehrliche Obseruationes sonders gern ▼emommen'\
Kepler hatte ihn auch darauf aufmerksam gemacht, dass diese Ungleich-
heit sich nicht nur in den Finsternissen, sondern überhaupt bei allen
Mondpositionen äussern mttsse^), ebenso darauf, dass die Beobachtungen
Tycho Brahe's^) wegen ihrer viel grösseren Genauigkeit die Frage zur
Entscheidung bringen .könnten. Daher verglich Her wart die Mondposi-
tionen, wie sie Tycho in den „Epistolae astronomicae'^*) und ,,De mnndi
1) Vergl. die S. 210, oben, mitgetheilte Erklärung Eepler's.
2) Diese Stelle gab mir den ersten Anstoss zur genaueren Verfolgaug der
Sache.
3) Diese und die folgenden Stellen aus Her wart 's Briefen sind hier zum
ersten Male publicirt, und zwar nach den Originalen von Pnlkowa. Ich
verdanke dieselben der aasserordentlichen Zuvorkommenheit des Herrn Geheimrath
Otto von Struve.
4) Brief vom 9. und 10. April 1699 (ü. W. C, S. 13, Z. 117 flg): „Eadan
aberratio Lunae cemitur etiam cum ad fioMS atU planetas, non ta/mtum cum ad
Solem et unibram refertur.''
5) Ich will bei dieser Gelegenheit bemerken, dass Kepler damals die Werke
Tjcho 6rahe*s, die bereits erschienen waren, nicht hatte, dass also auch die
Conjectur ausgeschlossen ist, er sei etwa durch den von i rahe probeweise an-
gefahrten ^^circeüus annuae variationis" (vergl. den J. Theil S. 164) auf diese Idee
gekommen. Dieselbe ist vielmehr ganz sein Eigenthum. Es lässt sich positiv nach-
weisen, dass Kepler erst 1600 zwei von Brahe geschriebene Werke erhielt, und
zwar von diesem selbst. Vergl. U. W. C, S. 76 und 108.
6) Von Tjoho Brahe 1696 herausgegeben Es erschien nur ein Band. Der
zweite lag halbvollendet vor, als Tycho starb, wurde aber nie herausgegeben,
obwohl der Druck bereits begonnen hatte (vergl. 0. 0. 1, 191. VII, 226). Frisch
glanbt das Manuscript in Basel entdeckt zu haben (0.0. VIII, 715).
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üeber die Entdeckung der Variation etc. des Mondes. 215
aetherei recentioribns phaenomenis*'^) nach der Beobachtung angab, mit
den aus den Pru tonischen Tafeln berechneten, um die üeberein Stimmung
mit Kepler 's Theorie zu erforschen. Er giebt letzterem hievon Nachricht
in seinem Brief vom 20. Juli^): ;,Als ich neulich sah, in welchen Punkten
seiner Bahn Tycho Brahe den Mond (nach seinem Bericht in den „Briefen*'
S« 56, und „üeber die Kometen*' S. 36) beobachtet hat, und diese Angaben
mit den Resultaten der Berechnung nach den Prntenischen Tafeln verglich,
kam ich vollständig zur Ueberzeugung , dass Tycho Brahe, ganz deiner
Vermuthung entsprechend, die Mondörter zu Anfang der Zeichen $9
und /g nahezu übereinstimmend mit den Prntenischen Tafeln bezeichne; zu
Anfang des V ^^^^ zurück , und zu Anfang der d!^ voraus verlege. Denn
im Jahre 1587 setzt er den wahren Ort des Mondes zu Anfang der \J um
44' zurück; aber zu Anfang des <Q, um 33', und zu Ende des Sl um 56'
voraus. Und im Jahre 1577 föllt der Mondort im /g fast mit dem der
Prntenischen Tafeln zusammen.'* Das wäre ftlr Kepler eine kräftige Auf-
munterung gewesen, seine Theorie beizubehalten und zu vervollkommnen;
allein die nun folgei^ien Detailangaben Herwart's, welche sein ürtheil
motiviren und erklären sollten, sind derart, dass Kepler durch sie ganz
verwirrt werden musste. Her wart fährt fort:*) „Dass der Grund dieser
Differenzen im Laufe des Mondes (nicht der Sonne) zu suchen sei, erhellt
nicht nur daraus , dass die wahren Sonnenörter, nach Tycho und nach
Copernicus, eine immer constant bleibende Differenz zeigen, son-
dern auch aus dem Umstände, dass das Argument der Breite des
Mondes, nach Tycho und Copernicus, in einer Weise differirt,
welche der von dir aufgestellten Correctur proportional ist.*'
Den letzten Satz, der im lateinischen Text im höchsten Grade unklar ist,
fasste Kepler auch in der That im folgenden Briefe im nächstliegenden
Sinne auf. ^) Ich glaube jedoch , dass er so aufgefasst werden muss , wie
1) Der zweite Theil dieses Buches ist eben das von Herwart unten citierte
Werk „De Cometis'* (vergl. 0. 0. 1, 119). Das Buch erschien 1588 (0, 0 I, 190 flg.).
2) y^Cumnuper aminaduerterem, in quibtis loeis Tycho Brahe Lunam obserua-
vü [ut ipse in Epistolis pag.56, et de Cometis pag. 36 refert], atque ea loca cum
calculo Prutenico conferrem, plane descendebam in eam sententiam, tU ptUaremy a
Tyc}iOne Brahe, omnitw juxta tuam opinionem, Lu/nae loca circa initia O et ^
fere ita, tä calculus Frtttenicus exhibßt, poni. At uero circa initia y tardius;
et circa initia ^Sk cituis locari, Siquidem A% Christi 1687 locum Lunae circa in-
itium U M retro collocat; et circa initia Q 33", atque circa finem Q 56' porro.
Et A'i 1577 in ;? fere coinddere facit in locum, quem tahulae Frutenicae ostendwnt*'
3) nHas uero differentias potissimum ex cursu Luncte [non Solis] causari,
non modo inde patet, quia uera loca Solis Tychonis et Copemici constanter aequali
spatio inter se distent, uerum etiam ob id, quod uerus motus latitudinis Lunae
Tychonis et Copemici eadem fere proportione inter se differatj'
4) Brief vom 6. August 1699 (Ü.W.C, S. 74, Z. 2346flg): ,,Biffere iUum
ais aequali et constanti differentiaa Copemico in motu latitudinis. Num
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216
Historisch -literarisclie Abtheilong.
ich ihn ttbersetzt habe. Herwart will sagen: dass der Mond die ürsaelie
der Differenzen sei, gehe daraus hervor, dass bei den SonnenOrtern,
wie sieTjcho und die Pmtenischen Tafeln geben, eine constante Diffe'
renz, dagegen bei den Mondörtem, nach Tycho nnd den Pratenischen
Tafeln, eine variable, aber der durch Eepler's Conjectur auf-
gestellten Gleichung proportionale Differenz sich ergebe. Abge-
sehen davon , dass nur so ein vernünftiger Sinn und ein Zusammenhang in
die Ausführungen Herwärts zu bringen ist, geht dies auch daraus hervor,
dass die Beispiele, welche Her wart sogleich beifCLgt, und welche er mit
„nam" einleitet, absolut sinnlos und nichts beweisend wären, wenn nicht
Her wart seine Worte so aufgefasst wissen wollte. Ich habe diese Bei-
spiele der Baumerspamiss und üebersicht wegen in tabellarische Form
gebracht:
1587.
Janu-
ar.
Tageszeit
(p. merid.).
Argument der Breite nach:
Differenz.
Beobach-
tete
Breite des
Mondes.
Differens
der
])Oerter
inL&nge.
Tyoho'a Beobftoh-
tangen.
9.
14.
15.
6^58°»
13»» 40»
16»» 5»
50» l'49"
3» 28» 42' 1"
(118» 42' 1")
4» 13» 22' 22"
(133» 22' 22")
49» 23' 31"
38 29» 9' 19"
(119» 9' 19")
4» 14» 6' 63"
(134» 6' 63")
-38' 18"
+ 27' 18"
+ 44' 31"
3» 59'
4» 36'
3» 46'
-44'
+ 33'
+ 66'
Die Neigung der Bahn gegen die Ekliptik beobachtete Tycho zu
5^ 15'; der Beobachtungsort wird von Herwart als 36® 45' ö. L, (wohl
nach Mercator) angegeben^).
Ans der letzten Columne sieht man, dass dies dieselben Beobachtungen
sind, welche Her wart vorher bezeichnet hatte mit den Worten: ^-4= 15S7
hcum Lunae circa initium TJ 44' räro coUocat; et circa inüia Sl 33', atque
circa finem Sl 56' porro".
Hieraus ergiebt sich unter der Annahme, dass Her wart das Gesetz
Kepler 's richtig aufgefasst habe, sofort ein Widerspruch zwischen dem
Datum der Beobachtungen und der Bezeichnung des Sternbildes. Den Yer-
^dacht, ob ich vielleicht beim Copiren der Briefe Herwart 's aus Versehen
falsch geschrieben hätte, benahm mir die gütige Mittheilung des Herrn
Geheimrath vonStruve, der diese Stelle mit dem Original übereinstimmend
7u>cpropter anomäliam Lunae, an propter luxationem anomäliae latitudints? Sane
propter hanc, si constans toto anno differentia est."
1) Zu bemerken ist, dass das Argument der Breite (^^motus latitudinis^*) nicht von
Tycho direct beobaclitet, sondern von Her wart aus Tycho^s sonstigen Angaben
berechnet ist Genauer die Zahlen ^u discutiren bat keinen Zweck, da es hier nicht
darauf ankonmit festzustellen, ob in Berechnung oder Beobachtung Mn kleiner Fehler
liege, oder nicht.
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Ueber die Entdeckimg der Variation etc. des Mondes.
217
fand. leh ging nun an die Quelle, die Ton Her wart citirten „Epistolae
astronomicae*', und fand da 8. 56 folgende Beobachtangen des Mondes von
1587:
Jan.
Bora.
Min.
Obseryatio Tychonioa
Copemieaea 1
Longitado
Latitado
Longitado
Latitado |
p.
M.
p.
M.
p.
M.
p.
M.
9.
6
68
1
oitf
4
28 A
1
46 JI
8
60 A
14.
13
40
10
89 Q
6
6A
10
6ö
4
23iA
16.
16
6
26
381Q
4
19 A
24
42Q
8
28 aI
1
unten ist noch eine Tafel angebracht mit Correcturen der beobachteten
Breiten wegen Parallaxe; dieselbe enthttlt folgende berichtigte Werthe: Am
9. Januar: 3^59"; am U.Januar: 4'' 35'; am 15. Januar: 3<'46'.
Diese letzte Tabelle giebt sonach, in uns geläufigere Form gebracht:
Ja
nnar.
Tages-
zeit.
Beobachtete
Berec
hnete
Differenz
d«r
L&ngen.
Lange.
Breite.
L&nge.
Breite.
9.
14.
16.
6'»68-
18»» 40-
16»» 6-
61« 0'80"
180» 89'
146»88'80"
-3» 69'
-4086'
-30 46'
61*46'
180*6'
144*42'
-8*60'
-4* 28' 80"
-8*28'
-44' 30"
+ 83'
+ 66' 30"
Hiermit ist das Bäthsel gelöst: Herwart hat Kepler gar nicht
verstanden; er hat zweideutige Ausdrücke , wie etwa: „Lunaemoius circa
inüia Q cderior esf^y deren sich Kepler der Kürze halber bediente, statt
auf den Ort der Sonne (resp. Erde) unter den Ekliptikzeichen,
auf den Ort des Mondes unter den Ekliptikzeichen bezogen,
und eine sonderbare Laune des Schicksals fügte es, dass die Beobachtungen,
die er in Tycho's Buch fand, gerade für ihn eine scheinbare Bestätigung
der missverstandenen Ansicht Kepler 's bildeten, während sie in der That
mit der wirklichen Ansicht Kepler 's sich nicht zusammenreimen Hessen.
Her wart schliesst deshalb^): „Nach diesen Angaben schien mir der
allgemeine Schluss berechtigt^ dass der Mond zu Anfang von /^ und 69
sich ungeföhr an den Orten befinde, welche die Prutenischen Tafeln an-
geben, zu Anfiing des V Jo<loch, um nur ungefähr die Sache zu bezeichnen,
zurückbleibt, und um die ^ hemm voraus ist, sodass er hier scheinbar
seinen Lauf beschleunigt, dort verlangsamt/' Hier ist in lauter zweideutigen
1) nO^*^^ cum ita sint, uniuersaliter exinde infermdum esse uiddHitur, Lu-
nam circa principia 7^ et Q incidere fere in ea loca, quae ccUciUus Prutenicus
demonstrat Sed h sla'rci drca initia T uersantem Lunam tardiiis, et circa jl
citius progredi, ita ut hie cursum suum uideatur accelerare, et ibi retardare.'*
mrt..Ut Abthlg. d. TMUohx. t. M»th. u. Phyi. XXXI, «. Digitlld by GoOQIc
218 Historisoh -literarische Abtheümig.
Ansdrücken die Ansicht Kepler 's so schön definirt, dass eine beabsichtigte
Komik das Missverstftndniss kaum feiner hätte ausspinnen können. Yer-
muthlich war Her wart an den oft wiederholten Worten Keplers, die Ur-
sache sei im Lanfe des Mondes und nicht der Sonne zu suchen, hängen
geblieben, und hatte darüber die Pointe nicht erfassi
Für Kepler lag die Sache schlimm. Er hatte die „Epistolae astro-
nomicae^ nicht, konnte also auch das Chaos nicht entwirren. Kein Wunder«
dass er ganz confus wurde, und in seiner Antwort an drei Stellen es ent-
schieden ablehnt, ein Urtheil über Tjcho Brahe's Beobachtungen und
Ansichten abzugeben, bevor er das Original gesehen habe^). Indess scheint
Kepler den wahren Sachverhalt doch geahnt zu haben'). Wahrscheinlich
weil er nicht weiss, was er mit den Ausführungen Herwart 's anfangen
solle, thut er dergleichen, als entsinne er sich nicht mehr genau, ob er
H e r w a r t seine Ansicht auseinandergesetzt habe , und als fasse er Herwart 's
Aeusserungen als eine Weiterentwicklung seiner ersten Andeutung im Kalender
für 1599 auf, die allerdings nicht genau gewesen sei und zu Missverständ-
nissen habe Anlass geben können , da er nur beabsichtigt habe, populär zu
schreiben'). So hat er Anlass, seine Hypothese aufs Neue und wiederum
schärfer zu formuliren, ohne Her wart wegen seiner Confusion interpeUiren
zu müssen. „Meine Vermuthungen*", schreibt er^), ,^gingen nach zwei Bich-
1) Brief vom 6. August 1699. ü. W. C, S 72 flg.: Z. 2279 2281; 2330 bis
2835; 2861 — 2868.
2) L. c, S. 72, Z. 2288 flg.: „Conjectura vero mea non respicit ipsa prin-
cipia carcUfuiliwn [zu ergänzen „»gnomm^; nämlich Z T G ^] propter ae
[wie Herwart es in der That auffasste]^ aed vere prppter vieinum apo-
gaeum etc'^
3) L. c, S. 72, Z. 2279 flg.: ^y Judicium vero Mudy non viso lihdlo epi^to-
larum addere neg%keo , «m ut, quae in prognogtico hujua anni scripsi, cum
iUis [den Beobachtungen und Ansichten Tycho's] conferam. Assumis ex illa
mea ad prognosiicum appendice, circa principia cardinaiium signorum
mediocritates et excessus maximos malus Lunae veri supra Cöpemicanos a me re-
poni. Etsi vero meminisse videor, me tibi rationes meas edissererCy
tarnen quia id incertum est, repetam, Quia Solis apogaeum est in Canero,
sive paulo past ^jus principium, ideo sufficere in germanica et populari
lingua sum arhitratus, sententiam meam explicare vocibus aestatis
et hyemis/^ Dass Kepler in einer Sache, die ihm so viele Sorgen machte, so
vergesslich gewesen sei, ist nicht recht glaublich.
4) L. c, S. 72 flg., Z. 2290 flg.: „Et gemina fuit mea speculatiOy ut aut
prosthaphaeresis Solis augeretur, quod scribis facere Tychonem [de eo igitur Judi-
cium, quodpetis, vides me jam pridem tulisse]; aut inaequcdis fieret motus Lunae
et tardior hyeme propterea, quia tum Terra in perigaeo prope fontem virtutis mo-
ventis Lunae caelum secum devehat, cujus cum sit diversum mottu principium a
SolCj acddere, ut impediatur minus a majori , et quo propius accedai caelum Lunae
ad Solem, hoc mc^jus esse impedimentum; vel etiam contraria ratione, ut Lunae
quidem motu semper aequcdi motus Terrae diumus ipse quoque ex Sole fluat, ideo-
que fortior sit et celerior Terrae conversio, si Terra sit in perigaeo prope Soiem;
quo pacta eveniret, ut plures horae, quaies homines computant causa oowoersionia
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üeber die Entdeckung der Variation etc. des Mondes. 219
tungen: entweder sei die Mittelpunktsgleicbnng der Sonne zu Ter-
grossem, was, wie du schreibst^), Tjcho thut; ... oder es sei anzu-
nehmen, dass der Lauf des Mondes ungleichförmig und zwar im
Winter langsamer sei aus dem Grunde, weil dann die Erde im
Perihel') die Sphäre des Mondes mit sich in die Nfibe der Quelle der
bewegenden Kraft führt, und, da infolge des Oegensatzes der den
Mond bewegenden Kraft zu der der Sonne die kleinere Kraft durch
die grössere gehemmt wird, diese Hemmung" um so stärker werde,
je mehr sich die Sphäre des Mondes der Sonne nähere; oder umgekehrt,
es sei die Bewegung des Mondes als gleichförmig zu betrachten, dagegen
anzunehmen, dass auch die tägliche Umdrehung der Erde von der
Sonne bewirkt werde, und dieselbe daher stärker und rascher erfolge,
wenn die Erde im Perihel in Sonnennähe sei ; denn so würde eine grössere
Anzahl Stunden, welche die Menschen ja nach der Umdrehung der Erde
bemessen , im Winter yerfliessen , bis der Mond einen Umlauf vollendet hat,
als im Sommer, obgleich man bei Anwendung eines wirklich gleich-
förmigen Zeitmaasses eine Lunation im Winter eben so lang wie eine
im Sommer finden würde. ** Kepler wiederholt dann die Gründe, die ihn
bestimmt hätten , an der Mittelpunktsgleichung der Sonne nichts zu ändern');
sagt aber, er trete gern Tjcho bei, wenn dieser eine solche Aenderung für
thunlich halte , da derselbe im Stande sei , die entstehenden Schwierigkeiten
zu lösen, was er ohne Instrumente^) und Beobachtungen nicht wagen dürfe.
Terrae, numerentiMr , donec Luna tnensem Meme effieiat, quam aestate, guamtfis
revera, ai adhiberetur aequalis menswra, lunaHo (lestiva hibemae causa temports
aequälis esset futura," — Das Wort „prostMphaeresis" wird im mathematischen
LexLcon von Vitalis (1668) so erklärt: „Prosthaphaeresis Graece, Latine idem
Bonat ac impletio seu adaequatio; estque pars tüa Edipticae, quae aädenda est,
vel miwuenda a motu medio planetarum, ut habeatur verus, au^ a vero, ut habe-
iüur medius" Dies ist genau die Definition der „Mittelpunkisgleichung*'.
1) Herwart hatte nämlich in seinem Brief vom 20. Juli noch viele andere
Aendenmgen der Theorie aus Tycho*s Beobachtungen nachzuweisen versucht, die
dieser vorgenommen habe; da dieselben nicht unmittelbar mit dem uns beschäfügen-
den G^enstande zusammenhängen, und Kepler auf ihre Discussion sich auch
nicht einliessi übergehe ich dieselben.
2) Ich erlaube mir diese Aenderung, weil sie consequenter ist; Kepler spricht
bald im Sinne des Ptolemäischen, bald in dem des Copemicanischen Systems.
3) Als Gründe nennt er: Die Excentricität der Sonnenbahn würde oonsequent
grösser angenommen werden müssen, während Copernicus das Gegentheil be-
wiesen habe; ebenso folge eine längere Dauer des Sommers, was mitden Beobachtungen
im Widerspruch stehe (Ü.W. C, S 73, Z. 2306— 2311); endlich die Consequenzen,
die dies für die Präcession habe, woran ohne genauere Beobachtungen nicht zu
rütteln sei (ü. W. C, S. 78, Z. 2321—2825).
4) Dies ist buchstäblich zu nehmen; Kepler klagt oft darüber.
(Sohlnu folgt.)
DigitiMfby Google
Recensionen.
W. EiLLiNG, Die Niehtenklidischen Eanmfidnnen in aBalytisohor Behand-
Inng. Leipzig. Teubner. 1885. (XII und 264 S.)
Auf zwei verschiedenen Wegen hat die geometrische Forschung das
Gebiet des krümmungslosen dreidimensionalen Baumes verlassen. Einmal
hat sie die Fessel der Dimensionenzahl durchbrochen und die Geometrie
des n-dimensionalen Raumes geschaffen, sodann hat sie, zuerst mit Be-
schränkung auf die Gebiete von zwei un^ drei Dimensionen, nachher aber
allgemeint ideale Raumformen mit positivem oder negativem Erümmungs-
maass aufgestellt und die in diesen Gebieten möglichen Gebilde und deren
Eigenschaften in analoger Weise zu ermitteln gesucht, wie dies die gewöhn-
liche Geometrie in den ihrigen thut* Da von jedem Punkte der eukli-
dischen Geometrie Verallgemeinerungen nach beiden Richtungen hin begonnen
werden können, so zeigt die historische Entwickelung der ,,transcendentalen^
Geometrie (so genannt im Gegensatz zur gewöhnlichen euklidischen) im
Allgemeinen keine gesetzmSssige Ausbildung dieser Disciplin, sondern in der
buntesten Weise wechseln die Gegenstände und Methoden der Untersuchung
mit einander ab, und nur in den Arbeiten jedes einzelnen Forschers ist,
soweit dieselben überhaupt bei dem Gegenstande länger verweilen, jene
stetige Entwickelung wahrzunehmen, die sonst charakteristisch für die Ge-
schichte der ganzen Disciplin zu sein pflegt. — Nachdem nun die beständig
zunehmende Menge von Arbeitskräften auf diesem transcendentalen Gebiet
eine Fülle sachlich, methodisch und räumlich zerstreuten Materials geschaffen,
* Die vielfach ungefochtene Berechtigung solcher Untersuchungen gegenüber
den mit der Erfahrung übereinstimmenden Resultaten der euklidischen Geometrie
ist in dem vorliegenden Buche S. 18 so vortrefflich dargelegt, dase wir uns die
Wiedergabe dieses Passus nicht versagen können. Nachdem gezeigt ist, wie dem
positiven, negativen und unendlichen Werthe einer Grösse k* resp. eine positiv
oder negativ gekrümmte oder ebene (euklidische) Raumform entspricht, heisst es
weiter: „Da alle unsere Messungen nur ein kleines Gebiet umfassen und mit Un-
genauigkeiten verbunden sind, auch keine Thatsache, welche zwischen den ver-
schiedenen Möglichkeiten eine Entscheidung träfe, bekannt ist, so mass es zweifel-
haft bleiben, welchem Werthe von A;' unsere Erfahrung mit vollkommener Ge-
nauigkeit entspricht. Da aber andrerseits keine Erfahrung vorUegt, für welche
die einfachste Annahme it=ao nicht genügt, so ist es am natürlichsten, f3r die
Praxis diesen Werth festzuhalten; das theoretische Intereese für die anderen Raum-
formen bleibt daneben bestehen.** ^ j
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Becensionen. 221
war es sicher an der Zeit, eine Zusammenfassung desselben vorzunehmen,
und wenn, wie wir aus der Vorrede obigen Werkes entnehmen, Herrn
Frischauf der Dank dafür gebührt, diesen Gedanken angeregt und nach-
drücklich empfohlen zu haben, so war Herr Eilling einerseits vermöge
des allgemeinen und umfassenden Charakters seiner eigenen Forschungen
auf dem Gebiete der nichteuklidischen (Geometrie, andrerseits vermöge der
von ihm gehandhabten analytischen Methode, die hier allein in Frage kommen
konnte, gerade die rechte Kraft dazU; diesen Gedanken wirklich auszuführen.
So ist das vorliegende Werk entstanden, welches sich allerdings, wie schon
der Titel sagt, im Wesentlichen auf die nichteuklidischen Baumformen be-
schränkt. Man kann vielleicht bedauern, dass nicht ein die Ergebnisse der
M-dimensionalen euklidischen Geometrie zusammenfassendes Werk aus irgend
welcher berufenen Feder vorher erschienen ist; ein solches würde, schon
seines elementaren Charakters wegen, zum Vorstudium für das vorliegende
Werk gedient haben; indessen darf uns dieser umstand die Genugthunng
über das hier Gebotene um so weniger verkümmern, da der Verfietsser in
umsichtiger Weise dafQr gesorgt hat, durch möglichst elementare und aus-
führliche Darstellung, wie durch Mittheilung aller zum Verständnisse noth-
wendigen Vorkenntnisse aus der n - dimensionalen euklidischen Geometrie
solche Vorstudien entbehrlich zu machen. Auch werden Resultate der
letztem verschiedentlich in der Weise berücksichtigt , dass der Verfasser sie
selbständig auf nichteuklidische Baumförmen ausdehnt, wie denn überhaupt
die Herstellung einer zusammenhängenden Theorie den Verfasser vielfältig
zur Ausfüllung noch vorhandener Lücken veranlasst hat, abgesehen von
Umarbeitungen vorgefundenen Stoffes im Sinne einer einheitlichen analy-
tischen Darstellung. Diese Darstellung ist nun ermöglicht worden durch
principielle Verwendung des Weierstrass'schen Coordinatensjstems, welches
nicht nur den leitenden Faden für eine gemeinsame Darstellung der Geometrie
aller vier Baumformen darbietet (der Euklidischen, Biemann'schen, Lobat-
sch^wsky'schen und der vom Verfasser zuerst untersuchten Polarform des
Biemann'schen Baumes), sondern auch als das für diesen Zweck thatsächUch
einfachste und brauchbarste nachgewiesen wird. Die Gründe, aus denen
der Verfasser die endliche Biemann'sche Baumform überall voranstellt
und vorzugsweise berücksichtigt, sind durchaus zu billigen.
Der Stoff gliedert sich zunächst naturgemäss in drei- und mehrdimen-
sionale Geometrie. Hierdurch wird es möglich, die beiden Fortschritte,
nämlich den in die gekrümmten Gebiete und den ins Mehrdimensionale,
getrennt vorzunehmen. Der erste Abschnitt zeigt , aa Bekanntes anknüpfend,
zunächst, dass in einem unendlich kleinen Gebiete die Sätze der euklidi-
schen Geometrie für jede Baumform , d. h. ohne Voraussetzung des Parallelen-
Axioms gelten, leitet dann eine Function l^ einer Dreieckseite ab, die als
unabhängig von der Länge der letzteren erkannt wird und die Krümmung
der betreffenden Baumform darstellt, und führt sogleich zu den die Grösse
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222 Historisch -literarische Abtheilung.
k^ enthaltenden Formeln der sphSrisohen Trigonometrie, die f&r iksao in
die der Euklidischen, für negatives äc* in diejenigen der Lobatschews-
k 7 'sehen Trigonometrie tibergehen. Analoges findet für die nunmehr ein-
geführten Weierstrass'schen Coordinaten statt (p = cos- 1 x^h. sin- «sin ^,
r
yssft.sin^'cos^). Hier gehen für ftsoo rc und y in die ebenen recht-
winkligen, r und tp in die Polarcoordinaten eines Punktes über, während
p = l wird. y^inQge ihrer Homogenitttt gestatten diese Coordinaten eine
ganz ähnliche Behandlung der Geometrie aller Banmformen, wie sie durch
Hesse für die euklidische mittelst der homogenen Dreieckscoordinaten durch-
geführt ist Diese Analogie tritt denn auch in den weiteren Ausführungen,
welche die (reometrie der Geraden (im allgemeinen Sinne!), des Kreises,
der Kegelschnitte und der Elementargebilde des dreidimensionalen Baumes
umfassen, deutlich hervor. Während die specielle Bestimmung von "^ bei
jedem Besultat ermöglicht, dasselbe gesondert für die drei Hauptraumformen
auszusprechen > ergiebt sich der Ausdruck für die Polarform des Bie mann-
sehen Baumes einfach durch Yertauschung der Begriffe Pol und Polare.
Diese aus dem vom Verfasser Gesagten sich leicht ergebende Bemerkung
hätten wir gleichwohl ihrer principiellen Bedeutung halber am Schluss des
Art. 16 gern nachdrücklicher hervorgehoben gesehen. — Im zweiten, un-
gleich umfangreicheren Abschnitte wird das Weierstrass'sche Coordinaten-
System für den n-dimensionalen Baum verallgemeinert. In der Geometrie
desselben treten uns sodann als einfachste Gebilde Ebenen und Kugelflftchen
(von je n — 1 Dimensionen) entgegen, und an der Hand der verallgemeinerten
Formeln gelangen wir auch zu einer Verallgemeinerung anderer Gebilde
und Beziehungen, wie Mitte von Punkten, Pol und Polare, Abstand, auf
das n-dimensionale Gebiet Als allgemeinstes Besultat ergeben sich die
verschiedenen fWe des Vorkommens einer Baumform in der anderen.
Während hierbei gelegentlich auch metrische Beziehungen auftreten^ ist
eine weitere besondere Untersuchung den projectivischen Eigenschaften des
n-dimensionalen Baumes gewidmet Hier werden ausser den Begriffen Ab-
stand und Doppelverhältniss die quadratischen Gebilde mit ihrer Eintheilnng
ausführlich erörtert, während für höhere Gebilde die Entstehungsweise an-
gegeben, und hinsichtlich der Details auf die schon ziemlich beträchtliche
Literatur verwiesen wird. Hieran schliesst sich naturgemäss die Ableitung
der metrischen Beziehungen in den nichtenklidischen Banmformen aus der
projectivischen Geometrie, wie sie durch Klein gegeben worden ist In-
dem nun für die Zwecice der metrischen Geometrie dem hier zu Grunde
gelegten allgemeinen projectivischen Coordinatensystem die geeignetste
specielle Gestalt gegeben wird, ergiebt sich als Besultat wieder das Weier-
strass'sche System, dessen Bedeutung erst hierdurch in das rechte Licht
gesetzt wird, unter den fundamentalen Voraussetzungen der nichteuklidi-
schen Geometrie kann nun die projectivische Geometrie, sofern sie für sich
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BecensioneiL 223
allem begründet werden soll, diejenigen entbehren, welche die Begriffe des
Kreises, der Bewegung and der Gleichheit enthalten. Diese Art der Be-
gründung bildet den Gegenstand einer weiteren Untersuchung. Hierauf
werden im Einzelnen die quadratischen Gebilde der Biemann 'sehen und
Lobatschewskj*schen Baumformen betrachtet, woran sich Sätze ttber
die gegenseitige Lage zweier Ebenen schliessen. Es folgt endlich in fünf
weiteren Paragraphen eine, die besonders um&ngreiche Literatur auf diesem
Gebiete ausführlich reprftsentirende Darstellung der Erttmmungstheorie. Es
genügt, die Namen Jordan, Eronecker, Lip8chitz,Beez, Ghristoffel
zu nennen, um zu zeigen, welche Fülle schwierigen Materials hier zu be-
wältigen war. unter den vom Verfasser auf diesem Gebiete selbständig
ausgeführten Untersuchungen ist namentlich diejenige, den Schluss des
Werkes bildende, hervorzuheben, welche den Begriff des Erttmmungsmaasses
erweitert. — Der angehängte Literatur -Nachweis dürfte auf dem Gebiete
der nichteuklidischen Geometrie kaum etwas Wesentliches yermissen lassen.
Hier haben auch verschiedene orientirende Bemerkungen eine Stelle ge-
funden. — Das Ganze überblickend, können wir der umsichtigen Auswahl
und Anordnung des weitschichtigen Stoffes ebenso rflckhaltslose Anerkennung
zollen, wie dem Erfolge der mühsamen, diesen Stoff Überall geistig durch-
dringenden Arbeit, welche zur einheitlichen Darstellung der von so vielen
verschiedenen Forschem angestellten Untersuchungen erforderlich war. Das
Werk dürfte nicht nur dem zahlreichen Kreise der auf dem Gebiete der trans-
cendentalen Geometrie arbeitenden Forscher eine willkommene Gabe, sondern
auch wohl geeignet sein, der behandelten Disoiplin neue Freunde zu gewinnen.
Waren, April 1886. V. Sohleobl.
H. Wieneb, Bein geometriiche Theorie der Darstellung binärer Formen
duroh Pnnktgruppen auf einer Geraden. Darmstadt. Brill 1885.
(83 S.)
Die Methoden der Formentheorie haben sich bisher zur systematischen
Aufsuchung projectiver Beziehungen allen anderen überlegen gezeigt, aus
Gründen, die neuerdings in sehr klarer und übersichtlicher Weise von Study
(Habilitationsschrift. Leipzig. S. 12) zusammengestellt worden sind. ' — Wenn
es aber dem Geometer ein Gefühl der Nichtbefriedigung verursachen muss,
erst am Ende eines analytischen Verfahrens aus gegebenen geometrischen
Vorbedingungen ein geometrisches Besultat zu Stande konmien zu sehen,
ohne dass man während der Rechnung die allmälige Bildung dieses Resul-
tates durch geometrische Anschauung verfolgen kann, und wenn es dem-
gemäss als ein anzustrebendes Ideal analytisch -geometrischer Methoden an-
gesehen werden muss , dass jeder Fortschritt der Rechnung auch geometrischer
Deutung und Anschauung fähig sei, so muss zugestanden werden, dass auch
die Formentheorie in ihrer bisherigen änsseren Gestalt trotz aller sonstigen
Vorzüge diesem Ideal noch nicht entspricht, ein Mangel, der auch a^. 0.
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224 Historisch-literarische Abtheilung.
anerkannt wird. Freilich wird dies^ Mangel weniger dem Analytiker zum
Bewnsstsein kommen, der sich durch den inneren nnonterbrochenen Zn-
sanmienhang seiner Arbeit befriedigt fühlt, als dem Geometer, der die
zwischen den gegebenen Bedingungen und dem Resultate klaffende Lücke
der Ansdiauung störend empfinden und nach Ausfüllung derselben streben
wird« Für diesen Mangel der Formentheorie kann nun auf zwei Wegen
Abhilfe gesucht werden. Entweder sucht man ihre Symbolik zweckent-
sprechend umzugestalten, wozu die Ausdehnungslehre mit ihren einfachen
geometrischen Bechnungsoperationen das geeignete Mittel bietet, oder man
sucht, unter vollstSndigem Verzicht auf die von der Formentheorie gebotenen
Mittel, eine rein geometrische Darstellung der durch Gleichungen gegebenen
Gebilde zu finden, um dann weiter, eben&lls rein geometrisch und syste-
matisch, zu den durch Covarianten und Inyarianten ausgedrückten Gebilden
und Eigenschaften zu gelangen.
Letzteren Weg hat der Verfasser obiger Abhandlung (deren erster Theil
als Habilitationsschrift geschrieben wurde) betreten. Formell sucht er seinen
Zweck zu erreichen durch Verallgemeinerung der von y. Stau dt für die
rein geometrische Behandlung der Gebilde zweiter Ordnung benutzten Be-
trachtungsweisen, inhaltlich beschränkt er sich auf das Gebiet bin&rer
Formen. Der Gedankengang jener Verallgemeinerung ist einfach folgender.
Wie Y. Staudt an Stelle des Punktepaars die durch dasselbe bestimmte
Schaar harmonischer Punktepaare (LiYolution, hier: Polarsystem zweiter
Ordnung) setzt, so kann zunftchst für ein gegebenes Punktetripel eine analog
gebildete Doppelschaar Yon Punktetripeln gesucht werden, und allgemein zu
einer n-gliedrigen Punktgruppe eine (n— l)-&che Schaar Yon Punktgmppen.
Ein derartiges „ Polarsystem ** dritter resp. n**' Ordnung lässt sich dann nach
den für die InYolution massgebenden Gesichtspunkten untersuchen. Die
hier stets reellen Punkte der gegebenen Gruppe (Ordnungspunkte) geben
durch ZusammenfaUen Anlass zur Entstehung besonderer Systeme. Für
den üebergang Yom System zweiter zu dem dritter Ordnung, wie für alle
weiteren üebergftnge und die ganze Behandlungs weise der Polarsysteme
sind charakteristisch die beiden neben einander gebrauchten Bezeichnungs-
weisen für die Involution zweier Punktepaare Äi Ä^, Ä^^Ä^^ nftmlicfa:
Aus den Symbolen zweier Polarsysteme zweiter Ordnung
entsteht nun durch „Zuordnung^' des Punktes A^ zu jeder Gruppe des
ersten und des Punktes A^ zu jeder Gruppe des zweiten Systems das Polar-
System dritter Ordnung: ( A^Äi A^
< -^ Ai A
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Beoensionen. 225
Wie jene durch zwei, so ist dieses durch drei seiner Punktgruppen (z. B. die
hier angeschriebenen) vollkommen bestimmt. Es ist ferner { .'^ .^ | die
erste Polare von A^; A^ die „gemischte^ Polare der Punkte A^ und Jl,;
A^ die zweite Polare von A^. Da die gegenseitige Beziehung der fünf
Punkte AiA^A^A^^A^ durch ihre Stellung in den beiden durch sie ge-
bildeten Involutionen bestimmt ist, so ist auch die geometrische Bedeutung
ihrer Zusammenstellung im System dritter Ordnung, und dadurch der Sinn
obiger Zuordnung vollständig festgestellt. Die Analogie dieses Systems mit
der Involution besteht nun darin, dass, wie dort jeder Punkt einer Gruppe
(Horizontalreihe) durch den andern, so auch hier jeder Punkt einer Oruppe
durch die beiden andern eindeutig bestimmt ist. Die oben gegebene Dar-
stellung des Systems dritter Ordnung ist insofern eine specielle, da die
Punkte A^ und A^ darin als Doppelpunkte („Ausgangspunkte^ der Darstel-
lung) erscheinen. Wird nun in entsprechender Weise das Polarsystem
n^' Ordnung aufgestellt, so zeigt sich, dass überhaupt {n + 2) Punkte zur
Bestimmung des Systems genügen, wShrend im Allgemeinen zur Bestimmung
jeder der n-gliedrigen Qmppen (n — 1) Punkte erforderlich sind.
Wenden wir uns nach dieser Darlegung der leitenden Gedanken zu
einer kurzen Uebersicht des Ganzen der Darstellung, so ist voraus zu be-
merken, dass dieselbe streng systematisch gegliedert ist Nach einer über
Bichtung, Voraussetzungen und Inhalt der Arbeit sich ftussemden Einleitung
wird zuerst die Theorie projectiver Punktreihen vorgetragen. Die Begriffe
der harmonischen und cyklischen Beihen, ak deren Grenzpunkte die Doppel-
punkte erscheinen, geben Veranlassung, diese reellen Doppelpunkte in ana-
loger Weise nach dem „Sinn^' der Bdhe zu unterscheiden, wie dies von
V. St au dt und Lüroth hinsichtlich der imaginftren Doppelpunkte geschehen
ist. Dann folgen die Polarsysteme zweiter Ordnung, zunächst einzeln be-
trachtet, dann zu zweien in Verbindung mit der durch sie bestimmten
Projectivitftt und ihrer Jako hinsehen Covariante^ sowie in harmonischer
Beziehung zu einander; endlich als Büschel, welches die Gesammtheit aller
zu einem System harmonischer Systeme repräsentirt und zuletzt projectivisch
auf eine Punktreihe bezogen wird. Analog gestaltet sich die Eintheilung
des Stoffes bei den Systemen dritter und allgemein n*^ Ordnung. Die Auf-
stellung der letzteren wird in strenger Weise durch den Schluss von n auf
n+1 begründet Der letzte Theil der Arbeit behandelt die besonderen
Eigenschaften der cyklischen Polarsysteme dritter und n*^ Ordnung, die mit
der cyklischen Beihe in naher Beziehung stehen. Hier findet auch die
Theorie der Invarianten und Covarianten des Polarsystems dritter Ordnung
ihre einfachste Erledigung.
Die vorstehend skizzirten Untersuchungen gewähren den Ausblick auf
ein weitausgedehntes Forschungsgebiet, namentlich wenn man bedenkt, wie
das Uebertragungsprincip die Darstellung der hier vorkommenden Punkt-
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226 Historisch- literarische Abtheilung.
gebilde auf Corven ermöglicht. In der hier begonnenen Weise weitergeftlhrt,
dürften diese Methoden wohl geeignet sein , dem vom Verfasser bezeichneten
Ziele einer rein geometrischen Behandlung der Formentheorie n&her zu
führen. Doch möchten wir betonen, dass die in der vorliegenden Arbeit
geflissentlich ausser Acht gelassenen Vortheile geometrischer Anschauung
bei einer definitiven G^taltnng des Stoffes eine werthvolle Erg&nzung der
Darstellung bilden und gleichzeitig geeignet sein dürften, den Vorzug zu
ersetzen, den die analytische Behandlung vermöge der Kürze ihrer Operationen
sich stets bewahren wird.
Waren, Mftrz 1886. V. Sohlegbl.
Altfipiben und Lehrsatz« aus der «nalytisehen Geometrie des PnnktM,
der geraden Linie, des Kreises und der Kegelschnitte. Für
Studirende an üniversit&ten und technisohen Hochschulen bearbeitet
von Dr. Fr. Ghabfe, Professor. Leipzig, Verlag von B. 6. Teubner
1885. gr. 8^ 136 Seiten.
Das Buch enthttlt die stattliche Zahl von 1207 Aufgabennummem.
unter der üeberschrift ,^ Punkt ^' finden wir die rechtwinkligen nnd schief-
winkligen Parallel-, sowie die Polarcoordinaten. Auch wird der AnfUnger
schon bei Nr. 19 in die Transfbrmationsaufgaben eingewiesen. Dann folgt
die Gleichung der geraden Linie, deren Normalform (Aufg. 45), diePlücker-
schen Liniencoordinaten (Aufg. 103), es folgen geometrische Oerter, deren
Gleichungen aufgestellt, aber nicht discutirt werden sollen. Eine solche
üebung ist für den Anfänger sehr zweckmSssig und kann in der That nicht
früh genug begonnen werden. Meines Erachtens hätte dieselbe der Coordi-
natentransformation vorausgehen sollen. Mit Aufg. 176 beginnen Discnssionen,
welche projectivischen Eigenschaften gewidmet sind. Es treten daher die
Symbole An =^ ÄuX + Bny + C» in den Vordergrund. Man erhftlt das Prin-
cip der Dualität und behandelt die bekannten Sechsecke, wobei der Anfänger
auf zwei Seiten bis zum Ei rk mann 'sehen Pxinkte vorrückt Die folgenden
Nummern bis 307 behandeln Gleichungen höheren Grades, welche zerlegbar
sind, in ansprechender Auswahl. Hierauf wird der Kreis behandelt Die
Definition der Polare wird aus dem harmonischen Pole gewonnen. Es
erscheint etwas verfrüht, wenn als dritte Aufgabe bezüglich der Linien-
coordinaten diejenige auftritt, welche (Aufg. 343) nach der Bedingung fragt,
unter welcher die allgemeine Gleichung zweiten Grades in Liniencoordinaten
einen Ejreis darstellt Da früher (Aufg. 166) das Paskarsche Sechseck
unabhängig vom Kegelschnitt definirt ist, wird hier (Aufg. 348) der Beweis
verlangt, dass das dem Kreise einbeschriebene Sechseck ein Paskarsches
Sechseck ist. Es folgen Aufgaben über geometrische Oerter, welche im
Ganzen recht zweckmässig sind. Gleiches kann übet die Behandlung der
Systeme von Kreisen gesagt werden. Mit Aufgabe 464 kom|nen wir zu
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Becensionen. 227
den Kegelschnitten, wobei von der allgemeinen Gleichung ausgegangen
wird. Die bekannten Specialgleichungen finden wir in Aufg. 536 zusammen-
gestellt. Mit Aufg. 643 tritt man in Behandlung der Brennpunktseigen-
schaften ein, mit 698 in die der Systeme von Kegelschnitten. Die hier
gegebenen Aufgaben bis 735 enthalten recht schätzbares Material und zeigen
durch ihre Auswahl eine glückliche Hand. Die tlbrigen Aufgaben bis 1025
behandeln die speciellen drei Formen der Kegelschnitte, wobei die Parabel,
nach dem vom Verfasser verfolgten Plane mit Recht, zuletzt kommt. Die
Schlussaufgaben enthalten vermischte Fragen und Sätze aus dem Oebiete der
Kegelschnitte und bieten viel Interessantes.
Es sind dem Referenten einige wenige Druckfehler und sprachliche
Härten aufgefidlen. Auch hofft er, dass der Verfasser bei Veröffentlichung
der Antworten und Andeutung der Lösungen, welche er im Vorworte in
Aussicht stellt^ ein Sachregister beizuftigen nicht yersäümen wird.
Uebrigens sei das Buch ak wissenschaftlich correot, als reich an In-
halt und didaktisch im Oanzen anerkennenswerth hiermit empfohlen.
Coesfeld, Januar 1886. K. Sohwebing.
Onmdriss der Differential- nnd Integralredurnng. II. Theil: Integral-
rechnung. Mit besonderer Bücksicht auf das wissenschaftliche Be-
dür&iiss technischer Hochschulen. Von M. Stegbhann, Dr. phil.,
weil. Professor an der königl. technischen Hochschule zu Hannover.
4. vollständig umgearbeitete und wesentlich vermehrte Auflage mit
86 Figuren im Texte herausgegeben von ***. Hannover, 1886.
Helwing*8che Verlagsbuchhandlung. XII, 446 S.
Dem an sich schon nicht allzukurzen Titel hat die Verlagshandlung
auf dem Deckblatte noch ganz oben beigefügt: Zum Selbststudium und als
Leitfaden für Vorträge. Am Fusse ist des Weiteren bemerkt: Der Leser
wird auf die Formeltabelle, S. 429, besonders aufmerksam gemacht. Refe-
rent bekennt offen, dass ihn nicht leicht ein zweites mathematisches Werk
von vornherein so misstrauisch fand als dieses. Der Ruf geringer Zuver-
lässigkeit und durchaus mangelnder Strenge, der den früheren Auflagen
anhaftete, die Anonymität, in welche der neue Herausgeber sich hüllt, die
erwähnte y dem Mathematiker ungewohnte Empfehlung durch Hinweis auf
eine Formeltabelle, das Alles brachte keinen günstigen Eindruck hervor.
Beferent hätte aber dieses Bekenntniss nicht in so grellen Tönen ausgespro-
chen, wenn er nicht hinzusetzen dürfte, dass beim Lesen des Buches jenes
Misstrauen, jener unangenehme Eindruck von Seite zu Seite schwand , so
dass er vielmehr sich berechtigt fühlte das Buch als wirklich empfehlen»-
werth zu bezeichnen. Natürlich will ja jedes Buch nach den Zwecken be-
urtheüt sein, denen es zu dienen beabsichtigt. Man würde nur mit unrecht
Vergleiche anstellen mit Werken ganz anderer Bestimmung, wem auch
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228 Historiscb-literarisclie Abtheilimg.
fthnlichen Titels. So heisst auch der IL und in. Theil des dnrch Herrn
Harnack übersetzten Serret 'sehen Lehrbuches: Integralrechnung, aber
mit dem heute uns vorliegenden Bande haben sie nur wenig gemein. Am
liebsten möchten wir ihn zu der DOlp 'sehen Aufgabensammlung in Parallele
stellen. Dort sind dem Leser mannigfache Aufgaben zur üebung in den
Lehren des Infinitesimalcalculs geboten, und damit diese Lehren nicht erst
aus anderen Quellen beigeschafft werden müssen ^ sind dieselben eingeschal-
teter Weise kurz , fasslich und doch verhältnissmSssig streng abgeleiteL In
der „Integralrechnung" bilden freilich die Aufgaben die Einschaltungen,
aber es ist auf deren Auswahl ein solches Gewicht gelegt ^ die Auflösung ist
meistens so weitläufig ausgesponnen, dass es uns zweifelhaft ist, ob sie nicht
räumlich die grösste Bogenanzahl erfüllen. Den Ableitungen kann man mit
Recht nachsagen, dass sie, ohne der Strenge zuviel zu vergeben, fasslich
dargestellt sind. Wer also von der Lehre des Complexen Nichts zu wissen
braucht, wer die Feinheiten modemer Betrachtungen entbehren kann, wem
es dagegen darauf ankommt, integriren und auch mit Differentialgleichungen
umgehen zu lernen, wer zugleich wünscht, nicht gerade Falsches mit in den
Kauf nehmen zu müssen , der wird dieses Buch mit Nutzen gebrauchen und
sich auch der Formeltabelle vielleicht erfreuen, wenngleich auf dieselbe
besonders aufmerksam zu machen nicht unentbehrlich war. Caktor
Bibliographie
vom 15, September bis 31. October 1886.
Periodische Sohriften.
Berichte über d. Verhandl. d« k. S. Gesellschaft d. Wissensch. Math.-
phys. GL, 1886, I--IV. Leipzig, Hirzel. 4 Mk.
Sitzungsberichte der kais. Akademie d. Wissensch. in Wien Mathem.-naturw.
Cl., Abth. IL Bd. 93, Heft 1 u. 2.Wien, Gerold. 6 Mk.
Astronomische Beobachtungen auf d. königl. üniversitfttsstemwarte zu Bonn.
8. Bd. Bonner Sternverzeichniss, 4« Sect., herausgeg. v. E. Schönfbij>.
Bonn, Marcus. 20 Mk.
Veröffentlichungen der Grossherzogl. Sternwarte in Karlsruhe, herausgeg. v.
W. Valbmtinbr. 2. Heft Beobachtungen am Meridiankreis. Karls-
ruhe, Braun. 16 Mk.
Yierte^'ahrsschrift der astronom. Gesellschaft, herausgeg. von E. Schönfbld
und H. Sbbliobb. 21. Jahrg. 3. Heft. Leipzig, Engelmann. 2 Mk.
Mathematische Annalen, herausgeg. v. F. KijEIn und A. Maybb. 28. Bd.,
1. Heft. Leipzig, Teubner. compl. 20 Mk.
Tageblatt der 59. Naturforscherversammlung zu Berlin, 1886. Berlin,
Enslin. compl. 9 Mk.
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Bibliographie. 229
Beine Xathematik.
Krause , M. , Die Transformation der h jperelliptischen Functionen I. Ordn.
nebst Anwendungen. Leipzig, Teubner. 10 Mk.
Amesbder, A., Z. Theorie d.Thetacharakteristiken. (Ak.) Wien, Gerold. 20 Pf.
MAin>L, J., Ueber eine Classe algebraisch auflösbarer Gleichungen 5., 6.
und 7. Grades. (Akad.) Ebendas. 25 Pf.
Mertens, f., Ueber die bestimmenden Eigenschaften der Resultante von
n Formen mit n Veränderlichen. (Akad.) Ebendas. 60 Pf.
Kaptbtn, C. und W., Die höheren Sinus. (Akad.) Ebendas. 1 Mk.
Gegbkbaüer, L., Arithmetische Notiz. (Akad.) Ebendas. 20 Pf.
Blater, J., Napiertafel, enth. die 9 Vielfachen aller Zahlen verm. Zu-
sammensetzung d. zugehörigen Stäbchen etc. Mainz, Frey. 1 Mk.
BoBEK, K., üeb. d. veraligemein.Correspondenzprincip. (Ak.) Wien, Gerold. 30 Pf,
Feil, M., Ueber Euler'sche Polyeder. (Akad,) Ebendas. 50 Pf.
Makdl, J., Der Pohlke'sche Satz der Axonometrie und seine Erweiterung.
(Akad.) Ebendas. 60 Pf.
BoBEK, K., Ueber hyperelliptische Curven. (Akad.) Ebendas. 40 Pf.
Bete, Th., D.Geometrie d.Lage. l.Abth. 3. Aufl. Leipzig, Baumgärtner. 9Mk.
Wöci^EL , L , Die Geometrie der Alten in 856 Aufgaben. Neu bearb. u«
verb. V. Th. E. Schröder. 13. Aufl. Nürnberg, Korn. 1 Mk. 80 Pf.
Z RUTHEN, 6., Die Lehre von den Kegelschnitten im Alterthum, deutsch v.
B. V. Fischer -Benzon. Kopenhagen, Host. 13 Kr. 50 De.
WallentiK; f.. Auf lösungen zu den Maturitätsfragen aus der Mathematik.
Wien, Gerold. 3 Mk. 60 Pf.
Gallien, K., Lehrbuch der Mathematik f. höh. Schulen. I. Tbl. Arithm.
u. Alg. 2. Tbl. Geom. Berlin, Weidmann. 2 Mk.
Halphen, Bf., Trait6 des fonctions elliptiques et de leurs applications.
I. partie. Paris, Gauthier-YUlars. 15 Frcs.
Angewandte Kathematik.
Meitzen, A., Gesch., Theorie u. Technik d. Statistik. Berlin, Besser. 4Mk. 60 Pf.
KiHM, C, Die Gewinnsysteme mit steigenden Dividenden bei Lebensver-
sicherungen. Zürich, Orell Füssli & Co. 3 Mk.
Castioliano, A., Theorie des Gleichgewichts elastischer Systeme und deren
Anwendung. Aus d. Franz. v. E. Hauff. Wien , Gerold. 20 Mk.
Hennebero, L. u. 0. Smreker, Lehrbuch der technischen Mechanik. 1. Tbl.
Statik der starren Systeme. Darmstadt, Bergstr&sser. 9 Mk.
KoRTEWEG, J., Ueb.d. Stabilität period.eb. Bahnen. (Ak.) Wien, Gerold. 80 Pf.
LoscHHiBT, J., Schwingungszahlen ein. elast. Hohlkugel. (Ak.) Ebendas. 30 Pf.
ToEPLER, E., Zur Ermittelung des Luftwiderstands nach der kinetischen
Theorie. (Akad.) Ebendas. 1 Mk.
Lange , L. , Die geschichtliche Entwickelung des Bewegungsbegriffs und ihr
voraussichtliches Endergebniss. Leipzig, Engelmann.
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230 Historisch -literarische Ahtheiluog. Bibliographie.
Fennbl, 0., Die Wagner -FennerschenTachjmeter. Berlin, Springer. 2Mk.
SoHüRiGy B., Himmekatlas aller mit blossen Augen sichtbaren Sterne beider
Hemisphären. Leipzig, Oaebler's geogr. Inst. 3 Mk.
ScHÖNFBiiD, E.y Bonner Sternkarten, 2. Serie. Atlas der Himmelszone
zwischen Vn,2Z^ slldl. Declin. f. d Anf. v. 1855. Bonn , Marens. 12 Mk.
BiDSOHOF, F., üeber die Bahn des Planeten Stephania (220). (Akad.)
Wien, Gerold. 30 Pf.
Oppolzbr, Th. t., Bahnbestimmang des Planeten Cöiestina (237). (Akad.)
Ebendas. 30 Pf.
Weiss, £., üeber d. Berechnung d. PrScession m. bes. Bücks. anf d. Beduction
ein. Stemcatalogs anf eine and. Epoche. (Akad.) Ebendas. 1 Mk. 50 Pf.
Oppolzer, Th. y., üeber die astronomische Befraction. (Akad.) Ebendas.
2 Mk. 60 Pf.
BiRKBMMAJER, L., Ucber die durch die Fortpflanzung d. Lichts herror-
gerufenen Ungleichheiten in d. Bewegung physischer Doppelsteme. Ana-
lyse d. Bahn v. £ Ursae m^joris. (Akad.) Ebendas. 1 Mk. 20 Pf.
Sbbliobr, H., üeber den Einfluss dioptrischer Fehler des Auges auf das
Besultat astronom. Messungen. (Akad.) München, Franz. 1 Mk. 20 Pf.
Mbisel, ¥.y Qeomet Optik (d. einfachst. Erscheinungen). Halle, Schmidt. 6 Mk.
Henrich, F., Lehrbuch der Eystallberechnung. Stuttgart, Enke. 8 Mk.
Mascart, E., Handbuch der statischen Elektricität. Deutsch v. G. Wallen-
tin. 2. Bd. 1. Abth. Wien, Pichler. 9 Mk.
Fhyiik und Hetaorologie.
Eelling^ J.; üeber die Zustandsbedingungen der Flüssigkeiten und Gase
sowie über den Aether. Karlsruhe, Braun. 1 Mk. 50 Pf.
Lommel, E., Die Beugungserscheinungen geradliniger begrenzter Schinne.
München, Franz (J. Both). 4 Mk. 50 Pf.
Hering, E., üeber Newton's Gesetz der Farbenmischung. Leipzig, Freytag.
1 Mk. 50 Pf.
PsoHEiDL, W., Bestimmung der Brennweite einer Concavlinse mittelst des
zusammengesetzten Mikroskops. (Akad.) Wien, Gerold. 20 Pf.
Lang, V. y., Bestimmung der Tonhöhe einer Stimmgabel mittelst des
Hipp'schen Chronoskops. (Akad.) Ebendas. 25 Pf.
Klbmemgic, J., üeber das Verhältniss zwischen dem elektrostatischen und
elektromagnetischen Maasssystem. U. (Akad.) Ebendas. 50 Pf.
Hann,J., Bemerkungen z.tSgl.Oscillationd. Barometers. (Ak.) Ebendas. 30 Pf.
FouRNiER,G., Terminologie 61ectrique. Vocabulairefran^ais-anglais-allemand.
Paris, Tignol. 1 Frcs. 50 C.
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Mathematisches Abhandlnngsregister.
1885.
Zweite Hälfte: l. Juli bis 31. December.
Abbildung.
266. Die Abbildung des Aeussern eineB Kreisbogenpolygons auf eine Kreisfläche.
Th. Sanio. önin. Archiv 8. E. III, 1.
266 Zar Theorie der Abbildung mittels gebrochener rationaler Functionen.
0. Biermann. Wien. Akad. Ber. LXXXIX, 84.
267. Ein einfacher Beweis für die Erhaltung des Doppelverhaitnisses von 4 Punkten
der Ebene bei linealer Abbildung. Fr. Hof mann. Grün. Archiv 2.B. III, 446.
268. Sur une mdthode pour traiter les transformations päriodiques univoques.
S. Kantor. Compt. Bend. G, 42, 96, 343.
269. Zur Theorie der Berührunffstraasformationen. Fr. Engel. Math.Annal. XXin,l.
260. Ueber parallel geordnete OrthogonalsTsteme. A. Voss. Math. Annal. XXIV, 48.
Yergi. Mannigfaltigkeiten 660.
Abersehe TraAseendnüen.
261. Sur une dasse de fonctions ab^liennee et sur un groupe hyperfuchsien.
E. Picard. Con^)t. Rand. XCVIII, 289.
262. Sur une nouvelle g^n^ralisation des fonctions ab^liennes. E. Picard. Compt.
Bend. XCVIII, 666.
263. Sur la räduction des integrales ab^liennes. H. Poincar^. Compt. Bend.
XCIX, 868.
264. Sur les fonctions ab^ennes. H. Poincar^. Compt. Bend. C, 786.
266. Sur rinversion des integrales ab^iennes. Appell. Compt. Bend. XCIX , 1010.
Yergl. Zahlentheorie .728.
Aerodynamik.
266. Sur la propagation d'un ebranlement uniforme dans un gaz renferme dans
un tuyan cylindrique. Sebert & Hugoniot. Compt Bend. XCVIII, 607.
Analytis^e Ctoemetrie der Ebene.
267. üeber die Qalois'sche Gruppe der Gleichung 28. Grades, von welcher die
Doppeltangenten einer Curve vierter Ordnung abhängen. H. Weber.
Math. Annal. XXIII, 489.
268. üeber gewisse mechanisch erzeugbare Curven und Flächen höherer Ordnung.
A. Puchta. Wien. Akad. Ber. LXXXVIII, 671.
269. Sur le limacon de Pascal. A. Genocchi. Compt. Bend. XCVIII, 81.
270. üeber oomplementäre Punkte £ Hain. Grün. Archiv 2. B. III, 214.
271. Ein Dreieckssatz. £. Hain. Grün. Archiv 2. B. II, 436.
Vergl. Elliptische Transcendenten 386, 386. Kegelschnitte.
Analytisdie 0eometrie des Baumes.
272. Einige allgemeine Sätze über Baumcurven. A.Hurwitz. Math. Annal. XXV, 287.
273. Zur Theorie der aligemeinen Punktebenensysteme. A. Voss. Math. Annal.
XXIII, 46.
274. Theorie der rationalen algebraischen Punktebenensysteme. A. Voss. Math.
Annal. XXIII. 869.
276. üeber die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades
zwischen laniencoordinaten auf eine canonische Form. F. Klein. Math.
AnnaL XXIII, 639.
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232 Historisoh- literarische Abtheilong«
876. Sor les diff^rentes esp^oes de complexes da 2« deffr^ des droites qui oonpent
hannomqaemend deux sarfBces da seoond or&e. C. Segre & G.Loria.
Math. Annal. XX!!!, 218.
277. Sor les oomplexes qoadratiqaeB dont la sarface Binguli^ eit nne snrfaoe dn
2« degrö double. C Segre. Math. Annal. XXIIL 2S6.
278. Ueber die Haapttangentencarven der Kammer*8chen Fl&che vierten Grades
mit 16 Knotenpunkten. 8. Lie & F. Klein. Mathem. Annal. XXIII, 579.
279. Erweiterung des AouBt'schen Problems der Curventheone. B. Hoppe. Gran.
Archiv 2. B. U, 129. [VergL Bd. XXVII, Nr. 23.]
280. Zum Molins^schen Problem. B. Hoppe. Grün. Archiv 2. B. II, 269.
281. Neue Belationen innerhalb eines OrthogonalcoefficientensyBtems. B. Hoppe.
Grün. Archiv. 2. B. il, 418.
282. Bein analytische Consequenzen der Curventheorie. B. Hoppe. Grün. Archiv
2. B. H, 417.
288. Distance d'un point d'une oourbe gauche ä 1a sphäre osculatrice ao point
infiniment voisin. L. Lecornn. Compt. Bend. C, 1207.
Vergl. Oberfl&chen. Oberflächen zweiten Grades.
Astronomie.
284. Harmonie motion in stellar Systems. PI. E. Chase. Pliil. Masr. 8er. 6,
XVIIl, 200; XIX, 190.
286. Sur un th^or^me de Lambert. E. Vicaire. Compt. Bend. C, 842.
286. Sur la dötermination des orbites par trois observations. B. Bad au. Compt.
Bend. XCIX, 643.
287. De rinfluence des perturbations dans la dätermination des orbites. £. Vicaire.
Compt. Bend. C, 778.
288. Die intermedi&re Bahn des Mondes R, Gylden. Acta math. VII, 125.
289. Methode der directen Bechnung einer wahren Monddistanz aus einer beobach-
teten. F. Zehden. Wien. Akad. Ber. XC, 534.
290. üeber die Schweifaxe des Kometen 1874, III (Coggia). J. v. Hepperger.
Wien. Akad. Ber. LXXXVm, 1053.
291. Ueber Lage und U estalt von Isochronen in Kometenschweifen. J. v. Hep-
perffer. Wien. Akad. Ber. LXXXIX, 741.
292. Sur ks oistances moyennes des planstes dans Pätat primordial da Systeme
soUire. H. Gylden. Compt. Bend. XCVIII, 1363.
298. Sur le changement des excentricit^ des orbites planätairos, du k la concen-
tration de la mati^re dans Tespace. H. Gylden. Compt. Bend. XCIX, 219.
294. Quelques remarques au styet dfe la throne de la figure des planätes.
W. Tisserand. Compt Bend. XCIX, 399, 518, 577.
295. Proc^äs d*observations oes polaires k une grande distance du m^ridien.
Loew^. Compt. Bend. C, 682.
296. Sur la linute d'exactitude des formules diff^rentielles employto dane la r^-
duction des observations m^ridiennes. M. Loewy. Compt Bend. C, 141, 201
297. Inexactitudes commises par Temploi des formales usuelles dans la r^uction
des ^toiles polaires et dans la dätermination de la coliimation astrono
mique. M. Loew^. Compt Bend. C, 401.
298. Sur reffet des erreurs instrumentales dans la d^termination du tour de vis.
M. Loewy. Compt Bend. 0, 1269.
299. Sur les constantes du grand miroir du Sextant. Gruey. Compt. Bend. C, 898, 969
800. Sur an mode d*emploi du sextant, pour obtenir, par une seule Observation,
les hauteurs ou les angles horaires simultanes de deux astres. Gruey
Compt Bend. C, 1448.
301. Sur un Instrument pouvant donner, dans la m^me lunette, les images de deox
astres au moment oü ils ont la m^me hauteur, et, de plus, permettant
de däterminer, par une seule Observation, l'heure siderale du lieu, la
latitude et Torientation exacte, pour le tour d'horizon. Ch. Beuget.
Compt Bend. XCVin, 288.
Vergl. Geod&sie. Geschichte der Mathematik 455. 456. 457. 471. 472. Gno-
monik. Meteorologie. Nautik. Beihen 675.
m.
Bestimmte lafiegrale.
302. Sur les integrales de dififärentielles totales alg^briques. E. Picard. Compr
Bend. XCIX, 961, 1147. C, 843.
803. Sur les integrales de differentielles totales. H. Po incar^. ComptBend.XCIX, lUb
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Abbandlungsregister. 233
304. Sur une g^n^nliBation de lath^rie des qnadratores m^caniques. T. J. Stieltjes
Compt. Rend. XGIX, 850.
305. Ennittelung yon Qrenzen fOr die Werthe beBÜmnLter Integrale. A. Winckler.
Wien. Akad. Ber. XC, 6«8.
306. IMmonBtration de certaines in^galit^ de M. Tch^ychef. A. Markoff.
Math. Annal. XXIV. 172.
307. Sor one integrale d^finie. Laguerre. Compt. Rend. C, 624.
308. Sor one integrale d^finie. S. Pincherle. Acta math. VII, 381.
CD
309. Ueber / ??"-?^.-^. und verwandte Integrale. L.Schi äfli. Acta math.VII,187.
Vergl. Functionen 391. Interpolation 622. Quadratur. Bectification.
ۥ
C«piUmrität.
310. Sur Taccord de rezp^rience et de la thdorie dans IMl^yation de Teau entre des
Plaques verticales, paralleles et mouilMes. Quet. Compt. Bend. XCVIII, 87.
311. Onthesurfaceforoesinfluids. A M.Worthington. Phil. Mag. Ser. 5. XVIII, 334.
Vergl. Elektridtät 374.
Chronologie.
312. Darlegung der in den Hiifstafeln für Chronologie zur Tabulirung der jüdischen
Zeitrechnung angewandten Methode. B. Schräm. Wien. Akad. Ber.
LXXXVm, 168.
Vergl. Qeschichte der Mathematik 465.
Combinatorik.
313. Die Umkehrung des Grundgedankens von Hindenbarg's combinatorischer Anar
lysis. Fr. Both. Gnin. Archiv 2. B. II, 82. [Vergl. Bd. XXX, Nr. 538]
Vergl. Differentialquotient. Zahlentheorie 717.
Oryttallographle.
314. Sur les r^p^titions et la sjm^trie. P. Curie. Compt. Bend C, 1393.
Cubatnr.
315. Zur Cubatur der Malus*8chen Wellenflächen. W. Buchhöft. Grün. Archiv
2. B. III, 225.
316. Körper zwischen zwei Botationsellipsoiden. A Bieler. Grün. Archiv 2.B. II, 439.
CjUnderftmetioiien.
317. Ueber die Besserschen Functionen. S. Gegenbauer. Wien. Akad. Ber.
LXXXVIII. 975.
B.
DotOTmfaantMi.
318. üeber Functionaldeterminanten. L. Kraus. Wien. Akad Ber. XC, 813.
319. Un thäoräme d*alg^bre. T. J. Stieltjes Acta math. VI, 319.
320. Ein Satz über Determinanten. B. Hoppe. Grün. Arohiv 2. B. II, 106.
Vergl. Astronomie 285. Geschichte der Mathematik 477.
DUbreatialgleiehimgOB.
321. Sur un th^orlme de M. Fuchs. H. Poincar^. Compt. Bend. XCIX, 75. —
Acta math. VII, I.
322. Allgemeine Untersuchungen über Differentialgleichungen, die eine continuir-
liche, endliche Gruppe gestatten. S. Lie. Math. Annal. XXV, 71.
323. Un Probleme suUe espressioni differenziali G. TorellL Annali math. Ser. 2,
XIII, 28. Verffl. Nr. 388.
324. Sur un th^rtoie ae M. Darboux reliant rintdgrale g^närale d'^uations du
rnüer ordre & un nombre süffisant de solutions particuli^es sag^riques.
Picard. Compt. Bend. C, 618.
325. Ueber die singul&ren Lösungen eines Systems gewöhnlicher Differential-
gleichungen. 0. Bier mann. Wien. Akad. Ber. XC, 897.
326. Sopra alcuni sistemi di equazioni differenziali. G. Bicci AnnaJi mat. Ser. 2, XII, 42.
327. Zur Theorie der algebraischen Differentialgleichungen erster Ordnung ersten
Grades. A Voss. Math. Annal. XXIII, 157.
Hl.t..Ut. Abthlg. d. Zelt-hr. f. M.tb. n. Phy.. XXXI, «. 18^.^^^^ ^^ GoOglC
234 Historisch -literarische Abtheilung.
328. Sar les xnaltipHcatearB des ^qnations diff^rentielles Unfaires. Halphen.
Compi Rand. XCVIU, 134. [Vergl. Bd. XXX, Nr. 646.J
329. 8ur les ^qaations diffärentielles Unfaires ^ coefficients doublement päriodiques.
G. Floquet Compt Rend. XCVIU, 38, 82.
330. Sulla teoria delle eqaazioni differenziali lineari. F. Brioschi. Annali mat.
Ser. 2, Xni, 1.
331. Sur les integrales alg^briques des ^quations lin^aires. £. Goursat. Compt.
Rend. C, 1329.
332. Sur certains polynömes qui värifient nne ä^uation diffärentielle Unfaire du
second ordre et aur la th^rie des fonctions de Lamö. T. J. Stieltjes.
Acta math. VI, 321.
333. Sur les formes int^grables des ^qnations unfaires du second ordre. R. Liou-
yille. Compt. Rend. C, 235.
334. Sur nne ^quation analogue ä T^quation de Kummer. £. Goursat Compt.
Rend. XCIX, 777, 858. Math. Annal. XXIV, 445.
335. üeber gewisse Differentialgleichungen dritter Ordnung. F. Klein. Math.
Annal. XXIII, 587.
336. Sur une ^quation diffärentieUe du troisiäme ordre. E. Goursat. Compt.
Rend. XCVIII, 419, 609.
337. Sur une ^quation diffärentielle lin^aire du troisieme ordre. Halphen. Math.
Annal. XXIV, 461.
338. Sur un cas de r^duction des ^quations Unfaires du quatrieme ordre. E. G o urs at.
Compt. Rend. C, 233.
339. Sur une Iquation unfaire. E.* Goursat. Compt. Rend. XCVIII, 1248.
340. Sur une äquation diff^rentielle. H. Poincar^. Compt. Rend. XCVIII, 793.
341. Integration von (x — ^f {x + yy) = canst, J o s. S achs. Grün. Archiv 2. R. 111,330.
342. Snl grado e sojpra i aiscriminanti di una equazione algebrico differenziale del
primo ordiue fra quattro variabili e della sua primitiva completa algebrica.
F. A. Arcais. Annali mat Ser. 2, XII, 1.
343. Sur une dasse d^dquations aux d^rivees partielles du premier ordre. E. Picard.
Compt. Rend. C, 231.
344. Theorie der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit zwei un-
abhängigen Variabeln. Jul. König. Math. Annal. XXI V, 465.
345. Ueber eine neue Methode zur Integration der linearen partiellen Differential-
gleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen.
A. Winckler. Wien. Akad. Ber. LXXXVIIl, 7.
346. Ueber eine Methode zur Integration der nicht linearen partiellen Differential-
gleichungen zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen.
A. Winckler. Wien. Akad. Ber. LXXXIX, 614.
cPtt df'tt
347. Zur Intefinration der Gleichung , . + ^— ^ = 0. 0. Ohnesorce. Qrun. Archiv
2.En,63. ***" ^y'
348. Sur les ^quations aux d^riv^es partielles du second ordre, qui contiennent
lin^airement les d^rivees les plus ^levees. R. Liouville. Compt. Rend.
XCVnr, 216, 569.
349. Sur r^quation r = 3*"»^ R. Liouville. Compt. Rend. XCVIII, 723.
350. Sur quel<|ue8 transformations nouvelles des «^quations liueaires aux deriv^es
partielles du second ordre. R. Liouville. Compt. Rend. C, 168.
351. Sur certaines ^quations Unfaires aux d^riv^es partielles du second ordre.
L. Ldvy. Compt Rend. C, 98.
352. Reduction der Bedingungen des Euler'schen Eriteriums der Integrabilität auf
eine einzige Gleichung. A. Winckler. Wien. Akad. Ber. LXXXVIIl, 820.
353. G^näralisation du thäoreme de Jacobi sur les ^quations de Hamilton.
J. Parkas. Compt. Rend. XCVIII, 352.
354. Ueber die Integration der Hamilton*schen Systeme und der partiellen Diffe-
rentialgleichung erster Ordnung. Jul. König. Math. Annal. XXIII, 504.
355. üeber die Integration simultaner Systeme partieller Differentialgleichungen mit
mehreren unbekannten Functionen. Jul. König. Math. Annal. XXUl, 520.
Vergl. Invariantentheorie 526. Kettenruche 536.
Bifferentialqaotientan.
366. Ueber einen Satz der Zahlentheorie. F. Gomes-Teixeira. Gran. Archiv
V 2. R. n, 265. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 561.J
Vergl. Functionen 391.
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Abhandlimgsregisier. 235
0iiEMreiii«iigl«i«lui]ig.
357. On the general equation of differenceB of the second order. Th. Muir.
Phil, Mag. Ser. 6, XVH, 116.
B.
Elasticität.
358. Sur une courbe ^lastique. Halphen. Compt. Rend. XCVni, 422. [Vergl,
Bd. XXX, Nr. 762.] » l e
359. Ueber die Biegung und Drillung eines unendlich dünnen elastischen Stabes,
dessen eines Ende von einem Kräftepaar ansrefirriffen wird. W. Hess.
Math. Annal. XXUI, 181.
360. Ueber die Biegung und Drillung eines unendlich dünnen elastischen Stabes
mit zwei gleichen Widerständen, auf dessen freies Ende eine Kraft und
ein um die Hauptaxe ungleichen Widerstandes drehendes Kräftepaar ein-
wirkt. W. Hess. Math. Annal. XXV, 1.
Elektricitftt.
361. On the structure of mechanical modeis illustrating some properties of the
aether. G. F. Pitzgerald. Phil. Mag. Ser. ö, XIX, 438.
362. Ueber die Energie und den Zwaugszustand im elektrostatischen Felde.
G. Adler. Wien. Akad. Ber. LXXXIX, 594; XC, 1076.
363. Sur Taction r^ciproque de deux spheree ^lectris^es. Mascart. Compt.
Rend. XCVUI, 222.
364. Conditions d'^quilibre d'une lame liquide soumise ä des actions älectromagne-
tiques. G. Lippmann. Compt. Rend. XCIX, 747.
365. G^n^ralisation et d^monstration rigoureusement m^canique de la formule de
Joule. A. Ledieu. Compt. Rend. XCVIII, 69.
366. Sur la d^termination de Tohm par la m^thode de Tamortissement. Masoart.
Compt Rend. C, 309, 701.
367. On the theoir of dynamo-electrical machines. R. Clausius. Phil. Mag
Ser. 5, XVII, 46, 119, 518.
368. On the electromagnetic wave-surface. Ol. Heaviside. Phil. Mag. Ser. 6,
XIX, 897.
369. Sur la thöorie de Tinduotion electrodynamique. P. Duhem. Compt. Rend. C, 44.
370. Electromagnetic induction in conducting sneets and solid bodies. J. Larmor.
Phü. Mag. Ser. 5, XVII, 1, 327. -> F. Himstedt ibid. 326.
371. Ueber die Berechnung der Inductionscoefficienten von Drahtrollen. J. Stefan.
Wien. Akad. Ber. LXXXVDI, 1201.
372. Sur la r^gulation de la vitesse des moteurs ^lectriques. M. Deprez. Compt.
Rend. C, 1128, 1162.
373. De Taction de la chaleur sur les piles, et de la loi de Kopp et de Woestjne.
G. Lippmann. Compt. Rend. XCIX, 895.
374. Sur les relations electrocapiUaires. P. Garbe. Compt. Rend. XCIX, 123.
375. On the quadrant - electrometer. J. Hopkinson. Phil. Mag. sJer. 5, XIX, 291.
Vergl. Differentialgleichungen 347.
Elliptisohe Transcendentan.
376. Sur la theorie des fonctions elliptiques. K. Weierstrass. Acta math. VI,
169. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 647.]
377. Zur Theorie der elliptischen Functionen. H. Weber. Acta math. VI, 329.
378. Sulla teoria delle funzioni ellittiche. F. Brioschi. Annali mat. Ser. 2, XQ, 49.
379. Sur un thdoräme concemant les fonctions elliptiques. E. Phragmän. Acta
math. VU, 33.
.380. Beweis eines Satzes aus der Theorie der elliptischen Functionen. M. Falk.
Acta math. VJI, 197.
381. Ueber die compleze Multiplication der elliptischen Functionen. G. Pick.
Math. Annal. XXV, 433.
382. Ueber einige Bildungsgesetze in der Theorie der Theilnng und der Trans-
formation der elliptischen Functionen. G. Morera. Math. Annal. XXV, 203.
383. Ueber das Umkehrproblem der elliptischen Integrale. M Tiohomandritzky.
Math. Annal. XXV, 197. [Vergl. Bd. XXX, Nr. 464.]
384. On the expression for the complete elliptic integral gf the second kind as a
series proceeding by sines of multiples of &e modular angle. J. W. L.
tilaisher. Phil. Mag. Ser. 5, XIX, 504.
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236 HiBtoriflch-literariflche Abtheilnng.
886. Transformationen der elliptiidhen Integrale und Functionen in Verbindung mit
der Theorie der Kettenlinie. £. Oekin^haus. Grün. Archiv 2. B. II, 138.
886. On the quadriquadric ourve in connezion witii tbe theory of elliptic functiong.
A. Caylej. Math. Annal. XXV, 162.
F.
Z^aetoraifolge.
387. Snr une repräsentation de la fonction ezponentielle par nn produit infini.
B. Li^Bchits. Compt. Bend. XCIX, 701.
VergL Beihen 669.
FormMi.
888. Principii di una teoria delle forme differensiali quadratiche. G. Bicci.
Annali mat. Ser. 2, XII, 186. Vergl. Nr. 328.
389. Untersuchungen fiber quadratische Formen. Bestimmung der Anzahl ver-
schiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält. H. Minkowski.
Acta math. YD, 201.
390. Ueber einige algebraische Formen, welche in der Theorie der Curven vom
Geschlechte p = o auftreten. B. Igel Wi^. Akad. Her. LXXXIX, 218.
Vergl. Invariantentheorie. Oberflächen. Zahlentheorie.
Vuiotioiisn.
891. Die allgemeinen S&tse fiber den Zusammenhang der Functionen einer reellen
Variabein mit ihren Ableitungen. Ax. Harnack. Math. Annal. XXIIl,
244; XXIV, 217.
892. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen. G. Bunge. Acta
math. VI, 229.
898. Zur Theorie der analytischen Functionen. C. Bun^e. Acta math. VI, 246.
394. Sui sistemi di funziom analitiche e le serie formate coi medesimi. S.Pincherle.
Annali mat Ser. 2, XII, 11, 107.
896. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen mehrerer Veränder-
lichen. 0. Biermann. Wien. Akad. Ber. LXXXIX, 266.
896. Sur lee fonotions holomorphes de genre quelconque. E. Cesaro. Compt.
Bend. XCIX, 26. — Hermite ibid. 27.
897. üeber eindeutige Functionen mit mehreren nicht vertauschbaren Perioden.
0. Bansenberger. Math. Annal. XXV, 222.
398. Sur certaines fonctions doublement päriodiques de seconde esp^ce. E.Goursat
Compt Bend. XCVIII, 86.
399. Die vierte Bechnungsstufe. E. Schulze. Grün. Archiv 2. B. III, 302.
400. Ueber den Eisenstein^schen Satz. F.Gomes-Teixeira. Grun.Archiv2. B. 111,316.
401. Sur une g^n^ralisation du ihäoräme d*Abel. H. Poincar^. Compt Bend. C, 40.
402. Sur les valeurs que prend un polynöme entier lorsque la variable varie entre
des limites d^terminöes. Laguerre. Compt Bend. XCVIII, 136.
403. Sur la composition de polynömes .algäbriques qui n'admettent que des divi-
seurs Premiers d*une forme d^termin^. Lef^bure. Compt Bend. XCVill,
293, 413, 667, 613.
404. Sur les diviseurs de certains polynömes et Texistence de certains nombres
Premiers. A. Genocohi. Compt Bend. XCVIII, 411.
406. Sur les integrales de certaines öquations fonctionelles. G. Koenigs. Compt
Bend. XCIX, 1016.
406. Ueber gewisse durch Functionalgleiohungen definirte Functionen. G. Pick.
Math. Annal. XXIV, 690.
407. Sur les groupes hyperfuchsiens. H. Poincar^. Compt. Bend. XCVIII, 603.
408. Sur les fonctions hyperfuchsiennes. E. Picard. Compt Bend. XCVIII, 668.
XCIX, 862.
409. Sur les substitutions Unfaires. H. Poincar^. Compt Bend. XCVIII, 349.
410. Sur certaines substitutions Unfaires. B. Picard. Compt Bend. XCVIII, 416.
411. Ueber ganzzahlige lineare Substitutionen. G. Pick. Math. Annal. XXIV, 688.
412. Ueber die Zusammensetzung ganszahliger linearer Substitutionen von der
Determinante 1 aus einer geringsten Anzahl fundamentaler Substitutionen.
A. Erazer. Annali mat. Ser. 2, XII, 283.
413. Sur les ^oupes d'ordre fini, contenus dans le eroupe des substitutions qua-
drahques. Autonne. Compt. Bend. XCVIII, 666.
414. Becherches sur les groupes d*ordre fini contenus dans le groupe semi-cubique
Cremona. Au tonne. Compt. Bend. XCIX, 646.
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AbhandluQgsregister. 237
415. Proof of Prof. Sjlvester's third law of motion. A. Bnchheim. Phil. Maff.
Ser. 5. XVIII, 469.
416. Determination da ffenre d'ane courbe alffäbrique. L. Raffy. Math. Annal.
XXni, 527.
417. Sar les courbes d^finies par les äqoations diffdrentielles. H. Poincarä.
Compt. Rend. XCVIIJ, 287.
418. Ueber die Begrenzungen von Goutinaa. E. Phragm^n. Acta math. VlI, 43.
419. Snr les conpurea des fonctions. Lagnerre. Compt. Biend. XCIX, 1066.
420. (Jeher verwandte «-Functionen. E. Pappe ritz. Math. Annal. XXV, 212.
Vergl. Abbildung. Abei'sche Transcenoenten. Bestimmt-i) Integrale. Cylinder-
ranctionen. Determinanten. Differentialgleichungen. Differentialqnotienten.
Differenzen^leichungen. Elliptische Trauscendenten. Factorenrolge. For-
men. Gleichungen. Invariantentheorie. Kettenbrüche. Kugelfunctionen.
Mannigfaltigkeiten. Qaatemionen. Reihen. Thetafunctionen. Ultraellip-
tische Transcendenten. Zahlentheorie.
Ctoodlsie.
421. Sur un moyen d*obtenir la longitnde d^un Heu, on Ton connait la latitude et
le temps sid^ral, par Tobseryation de la hanteur vraie de la Lune a an
moment pr^cis connu d^avance. Ch. Rouge t Compt. Rend. XG VIII, 226.
Vergl. Astronomie 294. Hydrodynamik 616, 517, 618.
Geometrie (abilhlende).
422. Ueber Systeme von Plancurven. H. Krey. Acta math. VII, 49.
Geometrie (detoriptive).
423. Ueber den Pohlke*schen Satz. Fr. Schur. Math. Annal. XXV, 696.
424. Zur wissenschaftlichen Behandlung der orthogonalen Axonometrie. C. Pelz.
Wien. Akad. Ber. XC, 1060.
426. Nota sur le lavis d*ane sph^re. J. Cottillon. Compi Rend. XCVOl, 139.
426. Ein Beitrag zur Schattenlehre. J. Prochazka. Grün. Archiv 2. R. U, 101.
Vergl. Geschichte der Mathematik 463.
Geometrie (höhere),
427. Zur Theorie der CoUineation und der Reciprocität. M. Pasch. Math. AnnaL
XXni, 419.
428. Zur Theorie der harmonischen Mittelpunkte. G. Eohn. Wien. Akad. Ber.
LXXXVni, 424.
429. Zur harmonischen Theilung. B. Sporer. Grün. Archiv 2. R II, 111.
430. Ueber Satel]it<!urven und Satellitflächen. G.Kohn. Wien. Akad.Ber.LXXXIX, 144.
431. Ueber das Problem der Glanzpunkte. P. H. Schonte. Wien. Akad. ber. XC, 983.
432. Geometrische Darstellung der Theorie der Polargruppen. E. W aelsch. Wien.
Akad. Ber. LXXXVin, 418.
433. Ueber die Bestimmung von Punktgruppen aus ihren Polaren. E. W aelsch.
Wien. Akad. Ber. LXXXVHI, 1089.
434. Ueber ein Schliessungsproblem. E W aelsch. Wien. Akad. Ber. XC, 160.
486. Ueber einen Satz von Stephanos. G. Kohn. Wien. Akad. Ber. XC, 226.
436. Sur les courbes alg^briques planes de degr^ quelconqne. M. d'Ocagne.
Comijt. Rend. XOIX, 779.
437. Ueber projecüvische Erzeugung von Curven. E. Bobek. Math. Annal. XXV, 448.
438. Ueber die Steiner^schen rolvgone auf einer Carve dritter Ordnung 0* und
damit zusammenhängende Sätze aus der Geometrie der Lage. E. Küpper.
Math. Annal. XXIV, 1.
439. Metrische Eigenschaften der kubischen Parabel (Raumcnrve dritter Ordnung).
H. Schroetter. Math. Annal. XXV, 293.
440. Propiät^s de 9 points d'une courbe gauche du quatri^me ordre, de 7 points
d*ane cubiqne gauche, de 8 pomts assod^s. A. Petot. Compt. Rend.
XCVm, 1246.
441. Ueber die Cfurven vierter Ordnung mit drei Inflexionsknoten. P.H. Schonte.
Grün. Archiv 2. R. H, 113. 111, 113.
442. Sur les courbes du quatri^me ordre. C. Le Paige. Compt. Rend.XCVni, 863.
443. Eine einfache lineare Construction der ebenen rationalen Cunren fünfter Ord-
nung. E. Rohn. Math. Annal. XXV, 698.
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238 Historisch -literarische Abtheilung.
444. Die Raumcurven fünfter Ordnung vom Geschlecht Eins. Em. Wejr. Wien.
Akad. Ber. XC, 206.
445. Ein Beitrag zur Gruppen theorie auf den Curven yom Greschlecht Eins. Em.
Weyr. Wien Akad. Ber. LXXXVUI, 436.
446. Ueber die Aufgabe, alle Elemente einer ^-gliedrigen Gruppe binärer Formen
zu constroiren, wenn q dieser Formen gegeben smd. H. Thieme.
Math. Annal. XXIII, 697.
447. Sur les inyolutions biquadratiques. C. Le Pai^e. Compt. Rend. XCVllI, 285.
448. Le involuzioni di 3* e 4* classe V. Martinetti. Annali mat. 8er. 2, XU, 73.
449. Sopra alcnne trasformazioni involntorie del piano. V. Martinetti. Annali
mat. Ser. 2, XIIl, 63.
450. Sur rinyolution des dimensions supärieures. J. S. Vanecek & M.N.Vanecek.
Compt. Rend. XCIX, 742, 856, 909.
Vergl. Elliptische Transcendenten 885, 386. Formen 390. Functionen 416,
417. Invariantentheorie 525. Kinematik. Lemniscate. Mechanik 555.
Oberflächen. Oberflächen zweiten Grades.
Geometrie der Lage.
451. Ueber eine Reihe neuer Thateachen aus dem Gebiete der Topologie. 0. Si-
mony. Math. Anal. XXIY, 253. Wien. Akad. Ber. LXXXVIII, 939.
[Veryl. Bd, XXVUI, Nr. 171.J
452. Ueber einige allgemeine auf Knoten Verbindungen bezügliche Gesetze. L. K o 1 le r.
Wien. Akad. Ber. LXXXIX, 250.
453. Listing's Topologie. Tait. Phil. Mag. Ser. 5, XVII, 30.
Geschichte der Mathematik.
454« Ueber den sogenannten Seqt der ägyptischen Mathematiker. M. Cantor.
Wien. Akad. Ber. XC, 475.
455. Ueber die Länge des Siriusjahres und der Sothisperiode. Th. v. Oppolzer.
Wien. Akad. Ber. XC. 657.
456. Astronomische Untersuchungen über Finsternisse. F. K. Ginzel. Wien. Akad.
Ber. LXXXVUI, 629. LXXXIX, 491. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 732.J
457. Ueber Kometenerscheinungen in früheren Jahrhimderten. M. Lorsch. Wien.
Akad. Ber. LXXXIX, 767.
458. Sur le Tractatus de geometria de Petrus de Dacia. G.Eneström. Biblioth.
math. 1885, 94. — B. Boncompagni ibid. 196.
459. Die Erfindung des Bacnlus Geometrious. S. Günther. Biblioth. math. 1885, 137.
460. Di tre manoscritti del Maurolicio che si trovano nella Biblioteca Vittorio
Emanuele di Roma. L. de Marchi. Biblioth. math. 1885, 141, 193.
461. Sur un cas singulier de d^formation des images dans les lunettes. Govi.
Compt. Rend. XCIX, 479,
462. Sur les manuscrits de math^matiqaes de la Collection Libri ~- Ashbnmhani
achetäe par le gonvemement Italien. A. Favaro. Biblioth. math. 1885, 44.
463. Sur un traite de perspective publik par Desargues en 1636. G. Eneström.
Biblioth. math. 1885, 89.
464. Sur Toiigine du Symbole x employä comme signe d'une quantitd inconnue.
G. Eneström. Biblioth. math. 1885. 41.
465. Une lettre de M^chain. J. Lefort. Compt. Rend. XCVIII, 607.
466. Sur les premiäres tables de logarithmes publikes en Suede. G. Eneström.
ßibhoth. math. 1884, 121.
467. Sur les versions latines des ^Idmente d'Euclide publikes en Su^de. G. Ene-
ström. Biblioth. math. 1884, 79.
468. Sur les Berits mathämatiques d'auteurs ätrangers publids en Su^de ou traduits
en suädois. G. Eneström. Riblioth. math. 1885, 46, 92.
469. Sur Texposition et Tenvoi aux Enfants-Trouv^s de JeanLeRond d'Alembert.
L. L allem and. Compt. Rend. C, 1443.
470. Sur un memoire de Chr. Goldbacb, relatif ä la sommation des s^ies, publik
ä Stockholm en 1718. G. Eneström. Biblioth. math. 1884, 15.
471. Sur im th^or^me de Kant relatif k la m^canique cöleste. Faye. Compt.
Rend. XCVIII, 948.
472. Sur Torigine du monde. Faye. Compt. Rend. XCIX, 515.
473. Sur une lettre de Gauss ä Olbers. Govi. Compt Rend. XCIX, 607.
474. Sur la machine analytique de Charles Babbage. L. F. Menabrea. Compt
Rend. XCIX, 179. — L. Laianne ibid. 267.
475. Inauguration du monument de Fresnel. Ja min. Compt. Rend. XCIX, 451.
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Abhaiidlungsregisier. 239
476. Sur un.^crit de Condorcet intitul^ Essais d'analyse. 6. Eneström. Biblioth.
math. 1885, 191.
477. Ferd. Schweines discoveries in the theory of determinants. Th. Muir. Phil.
Mag. Ser. 5, XVUI, 416.
478. D^ces de J. A. Serret. Bouley. Gompt ßend. C, 673, — Jordan ibid. 674.
— Oasian Bonnet ibid. 677. — Faye ibid. 680. — Renan ibid. 681.
479. Obsöques de M. Rolland. Phillips. Compt. Rend. C, 947. — Schloesing
ibid. 960.
480. Obseques de M. Desains. Fizeau. Compt. Rend. C, 1257. ~ Troost ibid.
1259. - M^ziires ibid. 1264.
481. Obseques de M. Tresca. M. L^vy. Compt. Rend. C, 1610. — Haton de la
Goapilliere ibid. 1614.
482. Nekrolog Yon Ludwig Scheeffer (1869 ~- 1885). GT. Cantor. Biblioth. math.
1885, 197.
Vergl. Chronologie. Gleichungen 600. Graphisches Rechnen. Hydrodynamik
519. Zahlentheorie 716.
Gleiohnngen.
483. Entwickelung der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in Summen von
rationalen Functionen der Coefficienten. C. Runge. Acta math. VI, 305.
484. Ueber die Factorenzerlegung der Discriminanten algebraischer Gleichungen.
K. Netto. Math. Annal. XXIV, 579.
485. Sur lea polynömes de Jacobi. Stieltjes. Compt. Rend. C, 620.
486. Sur le th^oräme de M. Brioschi, relatif aux fonctions symätriques. Sylvester.
Compt. Rend. XCVÜI, 868.
487. Sur les fonctions symätriques des diff^rences des racines d^une ^quation.
J. Tannery. Compt. Rend. XCVIII, 1420.
488. Sur les ^quations alg^ricjues. Berloty. Compt. Rend. XCIX, 745.
489. Sur les ^quations a^^^briques. De Jonqui^res. Compt. Rend. XCIX, 345,
469, 483.
490. Th^or^mes concemant les polynömes algdbric^ues complets; application k la
r^gle des signes de Descartes. DeJonqui^res. Compt Rend. XCIX, 1143.
491. Sur les ^quations algäbriques; observations au s^jet d^une communication de
M. de Jonquiäres. L. Laianne. Compt. Rend. XCIX, 463.
492. Sur une extension de la loi de Ilarriot Sylvester. Compt. Rend. XCVÜI, 1026.
493. Abaiesement des limites foumies par la r^gle des signes de Descartes.
D. Andrö. Compt Rend. XCVlII, 212, 292, 561. XCIX, 182.
494. Sur la rdgle de Newton pour trouver le nombre des racines imaginaires des
^quations algäbriques num^riqurs. DeJonqui^res. Compt. Rend. XCIX,
62, 111, 165, 269.
495. Sur ime ^quation du degr^ m qui n'a jamais plus de deux racines reelles.
D. Audrä. Compt Rend. XCVIII, 417. — Sylvester ibid. 560.
496. Sur le genre de quelques fonctions enti^res. Laguerre. Compt Rend. XCVIII, 79.
497. Bemerkungen über Gleichungsauflösungen. Th. Sanio. Grün. Archiv 2. R.
II, 332.
498. lieber eine die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades umfassende
Auflösungsmethode. H. am Ende. Grün. Archiv 2. R. III, 103.
499. Zur Theorie der cubischen Gleichungen. E. Oekinghaus. Grün. Archiv
2. R. III, 92.
500. Bemerkung zur Descartes'schen Auflösung der biquadratischen Gleichung.
C. Weltzien. Grün. Archiv 2. R. III, 107.
501. Ueber die auf lösbaren Gleichungen von der Form a^-^ux + v^O, C.Runge.
Acta math. VII, 173.
502. Ueber Gleichungen siebenten Grades mit einer Gruppe von 168 Substitutionen.
P. Gordan. Math. Annal. XXV, 459. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 435.J
503. Sur la correspondance entre deux esp^ces diff^rentes de fonctions de deux
syst^mes de quantit^s, corr^latifs et ^galement nombreux. Sylvester.
Compt Rend. XCVIII, 779.
504. Sur les äquations monoth^tiques. Sylvester. Compt. Rend. XCIX, 13.
605. Sur Täquation en matrices px = xq. Sylvester. Compt. Rend. XCIX, 67, 115.
506. Sur la r^solution g^närale de T^quation Unfaire en matrices d'nn ordre quel-
conque. Sylvester. Compt. Rend. XCIX, 409, 432.
507. Sur r^quation lineaire trinöme en matrices d'un ordre quelconque. Syl-
vester. Compt Rend. XCIX, 527.
508. Sur la thdorie des matrices. Ed. Weyr. Compt Rend. C, 787, 966.
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240 Historisch -literariscbe Abtbeilang«
509. Rationale Aasführang der Operationen in der Theorie der algebraischen
Functionen. M. Noether. Math. Annal. XXIII, 311.
510. Sur une notion qui comprend celle de la divisibiUtä et snr la thäorie g^nä-
rale de T^mination. J. Molk. Acta math. VI, 1.
511. Zar Theorie der Elimination. £. Netto. Acta math. VI, 101.
Verffl. Analytische Geometrie der Ebene 267. Determinanten 319. Geschichte
der Mathematik 464. Qnatemionen. Reihen 675.
Cnm&oiiik«
512. Zur Theorie der Verticalsonnenahr. L. Fodor-May erhoff er. Wien. Akad.
Ber. LXXXIX, 173.
Oraphisohes Reehnea.
513. Sur un point de rhi&torie des m^thodes graphiques. L. Laianne.. Compt
Rend. XCVIII, 1466.
HjdrodTnamik.
514. On a point in the theory of pendent drops. A. M. Worthing ton. Phil.
Mag. 8er. 5» XIX, 46.
515. Thdor^me nouyeau sur la dynamique de fluides. F. Fournier. Compt.
Rend. C, 47.
516. On the ellipticity of planets. L. d*Auria. Phil. Mag. Ser. 5. XVIII, 229.
517. Sur la theorie de la figure des planstes. 0. Callandreau. Compt. Rend.
XCIX. 1060. C, 37, 163, 1204.
518. Sur räquiiibre d*une masse fluide anim^e d'nn mouvement de rotation.
H. Poincar^. Compt. Rend. C, 346, 1068. Acta math. VII, 259.
519. Sur r^quilibre d'un segment homogene de paraboloYde de r^volution flottant
Bur un liquide. Em. Barbier. Compt Rend. XCIX, 703.
520. Sur la r^sistance qn*oppose un liquide indäfini au mouvement d'un corps
immergä. J. Boulssinesq. Compt. Rend. C, 935, 974.
Vergl. Astronomie 294. Capillaritftt.
Intsrpolatloii.
521. Sur des formules trigonom^triquee d*interpolation. G. Fouret Compt. Rend.
XCIX, 963, 1011, 1062.
522. Sur la mäthode de Gkiuss pour le calcul approchä des integrales. A. Mar-
koff. Math. Annal. XXV, 427.
Invaj^satentlLeorie.
523. Ueber das Verschwiuden der harmonischen Invariante zweier Quadratischer
Formen von beliebig vielen Veränderlichen. J. Rosanes. Math. Annal.
XXni, 412.
524. Sur les invariants simultanes de deux form es quadratiques. C. Segre. Math.
AnnaL XXIV. 152.
525. Ueber die Darstellung binärer Formen und ihrer Covarianten durch geome-
trische Gebilde im Raum. F. Lindemann. Math. Annal. XXIIl, 111.
526. Ueber Differentialinvarianten. S. Lie. Math. Annal. XXIV, 537.
527. On Contrariants, a new species of invariants. J. J. Sylvester. Phil. Mag.
Ser. 5, XVIII, 374.
Vergl. Geometrie (höhere) 446. Kegelschnitte 538.
K.
Kegeltolmitts.
528. Neue Constmction von Eegelschnittslinien aus zwei conjugirten Durchmessern.
Fr. Schiff n er. Grün. Archiv 2. R. III, 108.
529. Die CoDstruction des Krümmungsmittelpunktes bei Kegelschnitten. C. Schirek.
Grün. Archiv 2. R. III, 318.
530. Wann stehen die von einem Punkte an eine Keffelschnittlinie gezogenen zwei
Tangenten auf einander senkrecht ? F r. S c h i f f n e r. Grün. Archiv 2. R. II, 442.
531. Zur Theorie der Kegelschnitte. Fr. Schiffner. Grün. Archiv 2. R. III, 223.
532. Ueber Polygone, welche einem Gebilde zweiten Grades umschrieben sind.
A. Voss. Math. Annal. XXV, 39.
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Abhandlnngsregisier. 241
533. üeber Kegelichnitie, die einem Dreiecke^ einbeschrieben siod. B. Sporer.
6mn. Archiv 2. B. II, 437.
&34. Mehrfach coUineare Dreiecke bei KegelBchnitten. J. Valyi. Grün. Archiv
2. R. lU 320.
Vergl. Kreis.
Kettenbrflelie.
536. Sur la convergence d'ane fraction coDtinue alg^brique. Halphen. Compt.
Rend. C, 1451.
536. Sur la r^daction en fraction coniinae d*une fraction qoi satisfait ä une ^qna-
tion Unfaire dupremier ordre ä coefßcients rationnels. Lagnerre.
Compt Rend. XCVIII, 209.
537. Sur un developpement en fraction continae. Stieltjes. Compt. Rend. XCIX, 508.
538. Sur une ff^ndnuisation des fractions continues. H. Poincar^. Compt. Rend.
XCIX, 1014.
XiBematik.
539. Representation plane relative aux d^placements d'ane figure de forme inva-
riable ass^jettie k qnatre conditions. A. Mannheim. Compt Rend. C, 268.
540. Sar le roolement des snrfaces. H. Resal. Compt. Rend. C, 260.
Xreis.
541. Ueber drei geometrische Kreisörter. K. Zelbr. Gran. Archiv 2. R. II, 324.
542. Zwei Ereissättse. Ad. Bejssell. Gran. Archiv 2. R. III, 335.
XngelAmetionen.
543. Snr des developpement« qoi se rapportent ä la distance de denx points et
snr quelqaes proprietäs des fonctions sph^riques. 0. Callendreau.
Compt. Rend. XCIX, 23.
Vergl. Functionen 394.
544. Ueber die Lemniscate. P. H. Schonte. Wien. Akad. Ber. LXXXVIII, 1252.
Logikoalettl.
545. The logical spectram. A. Macfarlane. Phil. Mag. Ser. 5, XIX^ 886.
Xagnetlsmiu.
546. On a determination of the horizontal component of the earth's magnetisme
at Oxford. R. H. M. Bosanquet. Phil. Mag. Ser. 5, XVII, 438.
VergL WSjrmelehre 702.
XaimiglUtigkeiteii.
547. Ueber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. G. Cantor. Math.Annal.
XXllI, 453. [Verrf. Bd. XXIX. Nr. 305.]
548. Ueber verschiedene Theoreme ans der Theorie der Pnnktmengen in einem
nfach ausgedehnten stetigen Räume Gn. G. Cantor. Acta math. VII, 105.
549. Ueber einen zu einer unendlichen Punktmenge gehörigen Grenzwerth. 0. S to 1 z.
Math. Annal. XXIII, 152.
550. Ueber die Abbildung einer stetigen linearen Mannigfaltigkeit auf eine un-
stetige. Ax. Harnack. Math. Annal. XXIII, 285.
551. Ueber den Inhalt von Punktmengen. Ax. Harnack. Math. Annal. XXV, 241.
M^-gfaiia^ und Hl«<i!P%
552. Eine Grappe planimetrisoher Maxima und Minima. J. Lange. Gran. Archiv
2. R. U, 430.
653. Sur quelques th^ordmes d'alg^bre. Stieltjes. Compt. Rend. C, 439.
■eehftDik.
554. Sur Terpolodie de Poinsot De Sparre. Comp! Rend. XCIX, 906. —
A. Mannheim ibid. C, 988, 963. — A. de Saint Germain ibid. 1126. —
G. üarboux ibid. 1555, 1576. - J. N. Pranke ibid. 1573. Vercl. Nr. 16.
565. Suirequilibrio dei poligoni «rticolati in connessione col problema oelle con-
figurazioni. G. Juns. Annali mat Ser. 2, XII, 169.
566. Ueber die Differentialgleicänngen der Mechanik. A. Vo s s. Math. Annal. XXyt^58.
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242 Historisch- literarische Abtheilung.
557. Snr 1a principe de la moindre action. G-. Sabinine. Annaü mat. Ser. 2, XII, 237.
558. Ueber die Bestiminung von Trägheitemomenten mit Hilfe Grassmann^gcfaer
Methoden. B. Mehmke. Math. Annal. XXIII, 143.
559. Sur les effets des forces mutuelles. P. Bert ho t Compt. Rend- XCVIII, 1570.
C, 1070. — De Saint Venaut ibid. XCIX, 6.
560. Sulla teoria dei moti relatiyi. £. Padova. Annali mat« Ser. 2, XII, 2<>5.
561. üeber einige neue Formen der Integrale des Zwei- nnd Dreikörperproblems.
A. Seydler. Wien. Akad. Ber. LXXXIX, 851.
562. Sur un thäoräme de Mr. A Lindstedt concemant le probleme des trois corps.
F. Tis ser and. Compt. Rend. XCVIII, 1207.
563. Bewegung eines senkrecht emporgeworfenen Körpers. R. Hoppe. Gnm.
Archiv 2. R. II, 274.
564. üeber die Gravitetion. A. Jarolinek. Wien. Akad. Ber. LXXXVIII, 897.
[Vergl. Bd. XXIX, Nr. 819.]
565. Ueber den Mechanismus der Femwirkung elektrischer Kräfte. J. Odstrcil.
Wien. Akad. Ber. LXXXVIII, 1212.
566. Üeber den Mechanismus der Gravitation und des Beharrungsvermögens.
J. Odstrcil. Wien. Akad. Ber. LXXXIX, 485.
567. Calcul de Tarc de contact d'une bände m^tallique flexible enroul^e suivant
certaines conditions donn^es, mais quelconques, sur un cylindre circulaire.
H. Läautö. Compt Rend. XCVUI, 41.
568. Relation entre la puissance et la räsistance appliqudes aux deux poinU
d'attache d*un frain a lame, lorsqu*on tient compte de F^lasticit^ de la
lame. H. Läantö. Compt. Rend. XCVHI, 219.
569. Sur la Position ä attribuer a la fibre moyenne dans les piäces courbes.
H. L^autä. Compt. Rend. XCVIII, 1483.
570. Sur la concordance de quelques m^thodes g^n^rales pour d^terminer les ten-
sions dans un Systeme de points r^unis par des liens ^lastiques et solli-
citds par des forces ext^rieures en ^quilibre. L. F. Menabrea. Compt.
Rend. XCVIII, 714.
571. Etüde sur les d^formations g^om^triques , ddtermin^es par Täcrasement d'un
cylindre entre deux plans. Tresca. Compt. Rend. XCIX, 104.
572. Sur les escillations ä longues p^riodes dans les machines actionn^es par des
moteurs hydrauliques et sur les moyens de prävenir ces escillations.
H. L^aut^. Compt. Rend. C, 154. — Phillips ibid. 726.
573. Ueber die Grenze der Stabilität eines longitudinal comprimirten geraden
elastischen Stabes. R. Hoppe. Grün. Archiv 2. R. II, 108.
574. Sur la pouss^e d'une masse de sable, ä surface sup^rieure horizontale, contre
une paroi verticale ou inclin^e, J. Boussinesq. Compt. Rend. XCVIII,
667, 720, 790.
575. Sur le principe du prisme de plus grande pouss^e, posä par Coulomb dans
la thäorie de r^quilibre-iimite des terres. J. Boussinesq. Compt. Rend.
XCVIII, 901, 975.
576. Sur une Evaluation, ou exacte ou d^une tr^s grande approximation , de la
Bouss^e des terres sablonneuses contre un mur destinE ä les soutenir.
>e Saint Venant. Compt. Rend. XCVIII, 850.
577. Formules simples et tr^s approch^es de la ponsa^e des terres, pour les besoios
de la pratique. Fl am an t. Compt. Rend. XCIX, 1151.
578. Les pöles au gyroscope et des solides de r^volution. Henry. Compt, Rend.
C, 627.
579. Conditions d'un Element hälico'idal pour Teffet utile maximum d'un propulseur.
Ch. HauveL Compt. Rend. XCIX, 755.
580. Sur la loi des densit^s ä Tintärieur de la terre. R. Radau. Compt Rend.
C, 972.
Vergl. Aerodynamik. Astronomie. Capillarität. ElasticifÄt. Elektricitat.
Hydrodynamik. Kugelfun ctionen. Magnetismus. Molekularphysik. Optik.
Pendel. Potential. Schwerpunkt. Variationsrechnung 694. Wärmelehre.
■ebrdimensionalQ Geometrie.
581. Regelmässiger linear begrenzter Winkel von vier Dimensionen. R. Hoppe.
Grün. Archiv 2. R. 111, 111.
582. Analytische Bestimmung der regelmässigen oonvexen Körper im Räume von
vier Dimensionen nebst einem allgemeinen Satz aus der Substitutions-
theorie. A. Puchta. Wien. Akad. Ber. LXXXVIII, 806.
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Abhandlnngsregister. 243
583. Analytische BeBÜmmnng der regelmässigen convezen Körper in Räninen von
beliebiger Dimension. A. JPachta. Wien. Akad. Ber. XG, 168.
584. lieber die regelmässigen Körper höherer Dimensionen. 0. Biermann. Wien.
Akad. Ber. XC, 144.
585. Der Cylinder in homogenen Räomen. C. Quensen. Grün. Archiv 2. R. III, 46.
586. Erweiterung einiger Sätze der Flächentheorie auf n Dimensionen. B. Hoppe.
Grün. Archiv 2. R. III, 277.
Vergl. Oberflächen 610.
Xetoorologi«.
587. Sur les mesares en astronomie. A. d'Abbadie. Compt. Rend. XCIX, 359.
■oleknlarphysUc.
588. üeber das Arbeitsqaantnm, welches bei chemischen Verbindungen gewonnen
werden kann. L. Boltzmann. Wien. Akad. Ber. LXXXYIII, 861.
589. Sor un ^nonoä g^n^al des lois des ^quilibres chimiques. H. Le Chatelier.
Compt. Rend. XCIX, 786.
590. Sur les lois de la dissolntion. H. Le Chatelier. Compt. Rend. C, 50, 441.
591. Thäorie gänärale de la dissooiation. Isambert. Comjpt. Rend. XCVIII, 805.
592. On the chemical combination ofgases. J.J.Thomson. Phu.Mag.Ser.5,XVIIJ,233.
593. Sur les mouvements atomiques et moMculaires. M. Langlois. Compt. Rend.
XCIX, 780.
M.
Kantik.
594. Sur la comparaison des navires au point de vue propulsif. A. Ledieu.
Compt. Rend. C, 837.
595. Influence du roulis sur les observations faites ä la mer avec le cercle a uiveau
de mercure de Mr. Renouf. 0. Callandreau. Compt. Rend. C, 1284.
596. On a speed-indicator for ships' propellors Arch. Campbell & W.T.Goolden.
Phil. Mag. Ser. 5. XVlfl, 57.
O.
Oberflishen.
597. Sur le degr^ des surfaces osculatrices. DeJonquiäres. Compt.Rend.XC V III, 1 025.
598. Sur un appareil destin^ ä contröler U courbure des snrraces et la refraction
des lentilles. L. Laurent. Compt. Rend. C, 903.
599. Sopra uua classe di sistemi tripli di superficie ortogonali che conten^ono un
sistema di elicoidi ayenti a comune Tasse ed il passo. L. Bianchi.
Annali mat Ser. 2, XIIl, 39.
600. Sopra i sistemi tripli ortogonali di Weingarten. L. Bianchi. Annali mat.
Ser. 2, Xni, 177
601. Das Verhalten der Hesse'schen Fläche in den vielfachen Punkten und viel-
fachen Curven einer gegebenen Fläche. K. Rohn. Math. Annal.'XXlII, 82.
602. Sur les types canoniques des formes quadratiques ternaires des diff^rentielles
ä discriminant nul; application ä la th^orie des surfaces. G. Koenigs.
Compt. Rend. C, 789, 847.
603. Sur les groupes de points en involution marquäs sur une surface. Le Paige.
Compt. Rend. XCIX, 537.
604. Die Cono-Cunei. C. Pabst. Grün. Archiv 2. R. ü, 281, 387.
605. üeber* die 27 Geraden der cubiscben Fläche. Rud. Sturm. Math. Annal
XXIII, 289, 599.
606. Contribuzione alla teoria delle 27 retta e dei 45 piani tritangenti di una
superficie di 3® ordine. E. Bertini. Annali mat. Ser. 2, XII, 301.
607. Sur les eurfaces du troisiöme ordre. C.Le Paige. Compt. Rend. XCVIII, 971.
608. Beweis, dass auf einer algebraischen Fläche vierter Ordnung mit einer
Doppelgeraden ausser dieser nicht mehr als 16 Gerade liegen können.
A. Leman. Grün. Archiv 2. R. II, 223.
609. Ueber die Flächen vierter Ordnung mit dreifachem Punkte. E. Rohn. Math.
Annal. XXIV, 56.
610. Etüde des diffärentes surfaces du 4. ordre ä coniqne double ou cuspidale
(g^n^rale ou däcompos^e) consid^rdes comme des projections de Unter-
section de denx vari^t^s quadratiques de Tespace ä quatre dimensions.
C. Seere. Math. Annal. XXIV, 813.
611. Ueber Flächen vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitte. E. Bobek.
Wien. Akad. Ber. XG, 928, 1168.
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244 Historisch -literarisclie Abtbeilnng.
612. Sulla snperficie del qaarto ordine avente ana conica doppia. L. BerzoiarL
Annali mat. Ser. 2, XIII, 81.
613. Die Dantellaug der Flächen vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt durch
hyperelliptische Functionen. P. R. D o m s eh. Gmn. Archiv 2. R. II, 193, 225.
614. Die Construction der algebraischen Fl&chen aus der Anzahl sie bestimmender
Punkte. G. v. Escherich. Wien. Akad. Ber. XG, 1036.
615. Sur quelques propriät^s g^n^rales des surfaces alg^riques de degre qnel-
con(|ue. M. d*Ocaffne. Compt. Rend. XCIX, 744.
616. üeber die Construction der Fl&chen n^' Ordnung. Fr. Schur. Math. Annal.
XXUI, 437.
617. Ueber Variation von Geraden, die an eine Fläche geknüpft sind. R. Hoppe.
Gmn. Archiv 2. R. III, 290.
618. Seotion faite dans une surface d^v^eloppable par un de ses plans tangents.
Jamet. Compt. Rend. C, 1332. — Darbouz ibid. 1335.
619. Sur les surfaces k pente uniforme et les röseaux proportionnels. L. Lecornu.
Compt. Rend. XCVIII, 972.
Vergl. Analytische Geometrie der Ebene 268. Bestimmte Integrale 302.
Cubatur. Elektricität 368. Kinematik 540. Optik 633, 634.
Obsrfliohen sweitan Grades.
620. Ueber Flächen zweiten Grades, welche zu sich selbst polar sind. R. Sturm.
Math. Annal. XXV, 236.
621. Sur une extension des thäorämes de Pascal et de Brianchon aus surfaces da
second ordre. A. Petot. Compt. Rend. XCVUI, 726.
Vergl. Analytische Geometrie des Raumes 276, 277, 278. Cubatur 316.
Kegelschnitte 582.
Optik.
622. Der Winkelspieffel. L. Mack. Grün. Archiv 2. R. 11, 1. — K. Mack ibid. 220.
623. Geometrical methods in the theory of refraction at one or more spherical sar-
faces. J. London. Phil. Majf. Ser. 5. XVIIl, 485.
624. Thäor^mes relatifs ä Tactinom^tne des plaques mobiles. Haton de la
Goupi liiere. Compt. Rend. C, 953.
625. Beweis der Giltigkeit des Fermat'schen Satzes für die Lichtbewecnrng in
doppeltbrechenden Medien. H. Pitsch. Wien. Akad. Ber. LXXXIa, 459.
626. Ueber die Brechung des Lichts in crystallinisdien Mitteln. Soph. Eowa-
levski. Acta math. VI, 249.
627. Sur la propagation de la lumiäre dans un milieu cristallis^. Soph. Kowa-
levski. Compt. Rend. XCVIII, 356.
628. Ueber den Gang der Lichtstrahlen durch Glasröhren, die mit Flüssigkeit gefällt
sind, und eine darauf sich gründende Methode, den Brechunffsezponenten
condensirter Gase zu bestimmen. J. Dechant Wien. Akad. Ber. XC, 539.
629. Ueber die durch zahlreiche, unregelmässig vertheilte Körperchen hervor-
gebrachten Beuffungserscheinungen. C Exner. Wien. Akad. Ber. XC, 827.
630. On the amonnt of the atmospheric absorption. S. P. Langley. Phil. Mag.
Ser. 5, XVni, 289.
631. Determination des indices de refraction par des mesures lin^aires. Ch. V.
Zenger. Compt. Rend. XCIX, 377.
632. On the propagation of an arbitrarv electro-magnetic disturbance, on sphe-
rical waves of ligbt and the dynamical Üieory of diffraction. . Rowland.
Phil. Mag. Ser. 5, XVII, 413.
633. Die Deformation der Lichtwellenfläche im magnetischen Felde. E. v. Fleischl.
Wien. Akad Ber. XC, 1151.
634. Sur la forme de la surface de Tonde lumineuse dans un milieu isotrope place
dans un champ magnätique uniforme: existence probable d'une double
refraction particuliere dans une direction normale aux lignes de forcc.
A. Cornu. Compt. Rend. XCIX^ 1046.
VergL Geschichte der Mathematik 461, 475. Oberflächen 598.
P.
P«id«l.
635. Influence de Tattraction luni-solaire sur la marche des pendules. A. Gaillot
Compt. Rend. XCVID, 893.
636. Sur le mouvement d'un oorps grave, de r^volution, snspendu par un poiot
de son axe. Halphen. Compt. Rend. C, 1065.
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Abhandliingsregister. 245
Planimotrie.
es?. The 11868 of a line - divider. Sarah Marks. Phil. Mag. Ser. 5, XIX, 280.
638. Der Feaerbach'sche Satz. J. Lange. Gnin. Archiv 2. B. II, 329.
639. Das Sehnen -Tangentenviereck. J. Schumacher. Grün. Archiv 2. B. ü, 383.
Yergl. Maxima nnd Minima 562.
Potential.
640. La Laplace's eqnation. John H. Jellett PhiL Mag. Ser. 5, XVIII, 400.
641. On the identity of enersy. Ol. J. Lodge. Phil. Mag. Ser. 5, XIX, 482.
642. Potential einer elliptischen Walze, ü. Bigler. Grün. Archiv 2. B. III, 837.
643. Sor la dlstribation da potentiel dans des masses liquides limit^es par des
faces planes. Appell. Compt. Bend. XCVni, 214.
644. Sur la distribution du potaitiel dans une masse liquide ayant la forme d'un
prisme rectangulaire indäfini. Appell &Chervet. Compt. Bend. XCVIII,
368.
645. Distribution du potentiel dans une plaque rectangulaire, travers^e par un
courant ^lectrique dont le regime est permanent. A. Ghervet. Compt.
Bend. XCVIII, 796. XCIX, 78.
646. Sur un dispositif qui permet d'obtenir sans calcul le potentiel magn^tique
du ä un Bjrst^me de bobiues. G. Lippmann. Compt. Bend. C, 1533.
647. Sur le potentiel thermodynamique et la throne de la pile voltaique.
P. Dnhem. Compt Bend. ICIX, 1113.
Vergl. Differentialgleichungen 347.
<lnadratiir.
648. Zur Simpson'schen Methode der mechanischen Quadratur. Fr. Hocevar.
Wien. Akad. Ber. XC, 908.
649. Archimedische Ereisquadratur. B. Hoppe. Grün. Archiv 2. B. n, 447.
Vergl. Bestimmte Integrale 304.
Quatenüonen.
660. Sur les quantitäs formant un groupe de nonions analogues aux quatemions
de Hamilton. J. J. Sylvester. Compt. Bend. XCVÖI, 273, 471. [Vergl.
Bd. XXX, Nr. 846.]
661. Sur la Solution d*une daese tr^s etendue d^^quations en quatemioijb. Syl-
vester. Compt. Bend. XCVHI, 661.
652. Sur la Solution du cas le plus g^n^ral des ^quations Unfaires en quantitäs
binaires, c^est k dire en quatemions ou en matrices du secoud ordre.
Sylvester. Compt. Bend. XCIX, 117.
653. Sur les deux möthodes, celle de Hamilton et celle de Tauteur, pour räsoudre
räquation linöaire en quatemions. Sylvester. Compt. Bend. XCIX, 473.
664. Sur Tach^vement de la nouvelle mäthode pour r^soudre T^quation lin^aire
la plus ^närale en quatemions. Sylvester. Compt Bend. XCIX, 502.
665. Sur la Solution explicite de Täquation quadratique de Hamilton en ^ater-
nions ou en matrices du second ordre. Sylvester. Compt. Bend. XCIX, 565.
656. Sur les conditions de Texistence de radnes ägales dans Tequation'du second
degr^ de Hamilton et sur une m^thode gän^rale pour r^oudre une
^quation unilaterale de n*importe quel degr^ en matrices d*un ordre
quelconque. Sylvester. Compt. Bend. XClX, 621.
657. On the Solution of a dass of equations in quatemions. J. J. Sylvester.
PhiL Mag. Ser. 5, XVH, 392.
658. On Hamilton^s quadratic equation and the general unilateral equation in
matrices. J. J. Sylvester. Phil. Mag. Ser. 5, XVHI, 464.
659. Sur la th^orie de quatemions. Ed. Weyr. Compt. Bend. XCVIII, 906, 1320.
660. Sur les nombres complexee. H. Poincarä. Compt Bend. XCIX, 740.
R.
Beetifioatlon.
661. Ueber den Begriff der L&nge einer Curve. P. de Bois-Beymond. Acta
math. VI, 186. [Vergl. Bd. XXX, Nr. 613.]
662. Constraction einer näherungsweisen Bectification eines Kreises. M. F. Bret-
schneider. Grün. Archiv 2. B. HI, 447.
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246 Eistoriscli* literarische Abtbeilung.
663. Zur Con^ergenz der Reihen. A. Börsch. Gran. Archiv 2. R. II, 446.
664. Ueber die Bedingungen der Gütigkeit der Taylor^echen Reihe. Jui. König.
Math. Annal. XXni, 450. [ Vergl. Bd. XXIX, Nr. 415.J
665. Ueber das Verhalten gewisser Potenzreihen auf dem Convergenzkreise. A.
Pringsheim. Math. AnnaL XXV, 419.
666. Ueber eine Eigenschaft der Potenzreihen. Jul. König. Math. Annal. XXIII, 447.
667. Ueber Multiplication bedingt conyergenter Reihen. A. Voss. Math. Annal.
XXIV, 42.
668. Ueber unendliche Doppelreihen. 0. Stolz. Math. Annal XXIV, 157.
669. Beitrag zur Answerthung unendlicher Producte und Reihen. R. Mildner.
Wien. Aka?l. Ber. LXXXVUl, 591.
670. Sur une notation propre ä repräsenter certains d^veloppement. R. Radau.
Compt. Rend. XCVni, 38.
671. Forme generale du reste dans Texpression d'une fonction au moyen d'autres
fonctions. Ch. Lagrange. Uompt. Rend. XOVIII, 1422.
672. Ueber die Darstellung willkürlicher Functionen. G. Runge. Acta math.
Vn, 387.
673. Zur Theorie der trigonometrischen Reihen. 0. Holder. Math. Annal. XXIV, 181.
674. Sur une sdrie analogue k celle de Lagrange. Amigues. Compt. Rend. XCIX,
1149.
675. Zum Lagrauge*8chen Reversionstheorem und Anwendung auf die Lösung der
Keppler^schen Gleichung. E. Weiss. Wien. Akad Ber. XC, 785.
676. Sur rinyersion de certaines säries. E. Cesaro. Annali mat. Ser. 2, XUI, 339.
677. Applications of Möbius' Theorem on the reversion of certain series. J. W.
L. Glaisher. Phil. Mag. Ser. 5, XVUI, 518.
Vergl. Functionen 394, 400. Geschichte der Mathematik 470. Gleichungen
483. Kugel fuuctionen.
S.
Sehwarpunkt.
678. Ueber den Schwerpunkt der gemeinschaftlichen Punkte zweier Curven. B. S p o -
rer. Grün. Archiv 2. R. III, 84.
Sphärik.
679. Ueber die nur bedingte Richtigkeit eines Satzes TOn Craig. R. Hoppe.
Gran. Archiv 2. R. II, 103.
T.
Tetraader.
680. Ueber einige Eigenschaften des Tetraeders. H. Gellenthin. Grün. Archiv
2. R. III, 52.
681. Zur Lehre vom perspectiven Tetraeder. J. Valyi. Grün. Archiv 2. R. IJI, 441.
Thetaftinctioiien.
682. Zur Transformation der Thetafunctioneu. F. Roh de. Grün. Archiv 2.R. III, 138.
688. Zur Transformation der Thetafunctionen einer Veränderlichen. M. Krause.
Math. Annal. XXV, 319.
684. Zur Transformation der Thetafunctionen zweier Veränderlichen. M.Krause.
Math. Annal. XXV, 323.
685. Ueber die Parameterdarstellungen der Verhältnisse der Thetafunctionen zweier
Vei^nderlichen. 0. Staude. Math. Annal. XXIV, 281.
686. Ueber die algebraischen Charakteristiken der hyperelliptischen Thetafunctionen.
0. Staude.. Math. AnnaL XXV, 363.
687. Anwendung der Thetafunctionen auf geodätische Strecken und Winkel.
R. Hoppe. Grau. Archiv 2. R. III, 75.
Trigonometrie.
688. Trigonometrische Sätze. A. H. Anglin. Grün. Archiv 2. R. II, 407.
689. Einige Sätze, die sich auf reguläre Polygone beziehen, und daraus sich er-
S übende trigonometrische Relationen. B. Sporer. Grün. Archiv 2. R.
I, 217.
Vergl. Sphärik.
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Abhandlungsregister. 247
IJ.
mtraeUiptUche Transeandentaii.
690. Sar an cas de r^docfcion des integrales hyperelliptiqnes du second genre.
E. Goursat. Compt. Rend. C, 622.
691. Les relations alg^briques entre les fonctions hyperelliptiques d'ordre n,
Brioschi. Compt. Rend. XCIX, 889, 951, 1050.
692. Zur Keductiou hyperelliptischer Integrale. L. Eotanyi. Wien. Akad. Ber.
LXXXVm, 401.
Vergl. Oberflächen 613.
T.
Variationsreduinng.
693. Die Maxima und Minima der einfachen Integ^rale zwischen festen Grenzen.
L. Scheeffer. Math. Annal. XXV, 622, 594.
694. Sur la rädaction du probläme des brachistochrones aux dquations canoniques.
Andoyer. Compt. Rend. C, 1577.
Wärmelehre.
695. Ueber die Eigenschaften monocydischer und anderer damit verwandter
Systeme. L. Boltzmann. Wien. Akad. Ber. XC, 231.
696. Der zweite Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und das Verhalten
des Wassers. C. Puschl. Wien. Akad. Ber. LXXXIX, 631.
697. Der Werth der Integrale Ai und A2 der MaxwelUschen Gastheorie unter Zu-
grundelegung eines Krafkgesetzes — -^. P. Czermak. Wien. Akad. Ber.
LXXXIX, 723.
698. Üeber die Möglichkeit der Begründung einer kinetischen Gastheorie auf an-
ziehende Kräfte allein. L Boltzmann. Wien. Akad. Ber. LXXXIX, 714.
699. Zur Theorie der Gasdiflusion. L. Boltzmann. Wien. Akad. Ber. LXXXVDI,
835.
700. Sur les lois de T^vaporation. Houdaille. Compt. Rend. C, 170.
701. Sur Tapplication des proc^d^s d'lngenhouz et de De Senarmont ä la mesure
des conductibilitäs thermiques. £d. Jannett az. Compt. Rend. XCIX, 1019.
702. Ueber die beim Magnetisiren erzeugte Wärme. A. Wassmuth. Wien. Akad.
Ber. LXXXIX, 104.
703. On a slight error in the customary specification of thermo - electric current-
direction and a query wiüi regard to a point in thermodynamics. Ol.
J. Lodge. PhiL Mag. Ser. 6, XIX, 448.
Walincheinliehkeitireehnung.
704. On the reduction of observations. P. Y. Edgeworth. Phil. Mag. Ser. 6.
XVII, 135. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 925, 926, 927.J
705. A priori probabilities. F. Y. Edgeworth. Phil. Mag. Ser. 5, XVUI, 204.
706. On the failure of the attempt to deduce inductive principles from the mathe-
matical theory of probabilities. Sophie Bryant. Phil. Mag. Ser. 5,
XVII, 610.
707. Zur Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeiten. E. Czuber. Wien,
Akad. Ber. XC, 719.
708. Sur la parallaxe soluire d^duite d'äpreuves daguerriennes ; nouveau mode de
discussion. Obrecht. Compt. Rend. C, 227, 341, 1121.
Vergl. Zahlentheorie 720, 721, 722, 723, 724, 725, 726.
K.
Zahlentheorie.
709. Additions au memoire sur les unit^s complexes. L. Kronecker. Compt.
Rend. XCIX, 765. [Vergl. Bd. XXX, Nr. 475.J
710. üeber einige zahlentheoretiscne Pimctionen. L. Oegenbauer. Wien. Akad.
Ber. LXXXIX, 37, 841; XC, 395.
711. Ueber das quadratische Reciprocitätsgesetz. L. Gegenbauer. Wien. Akad.
Ber. XC, 1026.
712. Commentaire arithm^tique sur une formule de Gauss. De Jonquiäres.
Compt. Rend. XCVIII, 1358, 1515. - A. E. Pellet ibid. 1482.
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248 Historisch -literarisohe Abtheüung« Abhandlungsregister.
713. Sur une loi g4n6raXe de la throne de la partition des nombres. N. Bongaieff.
Gompt. ßend. C, IISS, 1159.
714. Sur une g^näralisation de la thäorie des räduites. £m. Barbier.' Gompt.
Rend. XCVIII, 1681.
715. Dädnction arithmätique d*aiie relation due k Jacobi. E. Lipschitz. Acta
math. Vn, 95.
716. Sur le demier thäoräme de Fermat. De Jona niä res. Gompt. Rend. XCVIII, 863.
717. Eine Bemerlning über Divisorensummen. M. A. Stern. Acta math. VI, 327.
718. Sur les sommes des divisears des nombree. Lipschitz. Gompt Rend. C, 845.
719. £tade moyenne da plus grand common divisenr de denx nombres E. Gesaro.
Annali mat. 8er. 2, XlII, 285.
720. Le plas grand diyiseur carrä. E. Gesaro. Annali mat. Ser. 2, XELI, 251.
721. Eventaalitäs de la division arithm^tique. E. Gesaro. Annali mat. Ser. 2,
XUI, 269.
722. Sur le plus grand common diyiseor deplosieors nombres. £. Gesaro. Annali
mat. Ser. 2^ XIII, 291.
723. Sor la distribotion des qoantitäs commensorables. E. Gesaro. Annali mat.
Ser. 2, Xni, 295.
724. Sor le röle arithmätiqoe de sin -^» E. Gesaro. Annali mat. Ser. 2, XIII, 315.
725. Sor la fonction z — [z], £. Gesaro. Annali mat. Ser. 2, XIII, 323.
726. Sor la fonction Z (x), E. Gesaro. Annali mat Ser. 2, XIII, 329.
727. üeber Relationen zwischen Glassenanzahlen bin&rer quadratischer Formen von
negativer Determinante. A. Horwitz. Math. Annal. XXV, 157. [Vergl.
Bd. XXX, Nr. 136.]
728. Sor les formes qoadratiooes qoatemaires et sor lesgroopes hyperabdliens
oorren>ondants. E. Picard. Gompt Rend. XGVUI, 904.
729. Sor on theoräme de Jacobi relatif & La d^composition d*on nombre en qoatre
carrds. M. Weill. Gompt Rend. XGIX, 859.
730. Sor la d^composition des nombres en cinq carr^s. A Horwitz. Gompt.
Rend. XGVHI. 504. -- Stieltjes ibid. 663. [VergL Bd. XXX, Nr. 919.]
731. Sor räqoation inaäterminäe a^-Ky^^g^. M. d*Ocagne. Gompt Rend.
XClX, 1112.
732. üeber einige Fehler der Borckhardt*schen Factorentafeln. M eis sei. Math.
Annal. XXlII, 600; XXV. 251.
733. Zor Analyse sehr grosser Zahlen. P. Seelhoff. Gron. Arch. 2. R. II, 329.
III, 325.
734. üeber vollkommene Zahlen. P. Seelhoff. Gron Arch. 2. R. If, 327.
735. Ueber die Grösse der Periode des Decimalbrochs gleich l:p, fSr p gleich
einer der ersten 1500 Primzahlen. F. Kessler. Gron. Arch. 2.R. III, 99.
Vergl. Differentialqootienten. Formen. Fonctionen 403, 404. Geschichte der
Mathematik 478. Gleichongen 510. Reihen 676.
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TaMS^
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Teufel V.
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Neuer Verlag voa B. Ö. Teubner in Leipzig,
Soeben ist erachieneti:
Dio Ti'aiistbrraation
»ler
liyperelliptischeE Fimctioiieii
erster Ordnung,
N'ebBi AB%\'eiidnngen.
Tod
Martin Kmiisa,
fVn a äTö aj gr 8. gek. Preifl y§ 10.^
In ilotti gUBAnntiäii Worke tai der Tenfiiüh gemacht worden, die l^rimdbiN
mütiQn der byperelliptifli^h«!! Fifülctionßn tirit^r Ordniitig in elementarer und
«^«teroaÜBcHer Wid&o xq nntwicki^ln und bei aar hritmng em»r ^50eren Heihf^
ftUBilamental wicliÜiDfHr Proiileiöe m vorwertou, AU Einli?ituii>f wird eine kurze
Theorie der ' Kitieti zweier ''. itUtm auf
Unmd ließ ri ^ ^ -i hdü im Aji.^' m eimgt;
Arbd£t«ii toh Htirm Webisr vorau^t^iicbickt. Es f(dgi daati die Betrachtung der
ftUgeminneö mtdumilen TnifiifonimtioB n*^ (irtMiüs. Eine genumere DiakusaioTi pr-
ftlkrr^n die FEilJe^ in dtimm n dir. Werto 1, t^ $, f» tuammmi,
l' L,' der DifiV reut ial'i
dw hyf I und Divij^ioii dr^
re*|>* L; M h'nnktumm, dif» AtjU^itunif der Dt IT© reritialgläifhuiigen,
döDOö d^v *-i.^v-L,. x,.,^U(JüCü «liid ihrt> 9Tßt«ü Ab]f''+^^' '^' ■ für die Nuüwerte der
ArguiDSütd tiebüi dra Perktdi«iti&tiiiiodulu ihr, in, die mfLningfacben
Öl' 1 der Tr '«n, und endlicli die
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Oir<yiiaii bt^jiteheti.
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Hennite uml i^iiügon aiidertn il EpHii etc. abffeseliüB « line
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INHALT.
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tainnate. Von J, Vtwjlhti in Mantua ii
XVL Einige B^trllge zur Thcorin det allgemeiaeii müo&iiJtm i|ttA4ntlicls)^
Tran ifonaati Olli Von Fieitk IlorwjwiK i» Münclu^r.
Kleinere Mittheilitngoii«
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sechs emfitf'hen Punkten. Von Rf u . . * IM
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XXIVt Zur Theoria det Hymmeivitiihen Functionen, - yru. *^i.'
in Berlin ..*...,...... . . 116
XXV, Bericliti^ng. Von P. SsKLUOff
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Ücber die Entdö<^tmg dcrVamMon titid der j....i ..^^^^ i^^^v.^^i^,^ ..
Van €. AicscntüTif S, J. ...»., ,
Becensioneur
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HatisrNiiEBüisii^ J, Gi K.^ Die Ben:' hiiuiit; uli inguuuiiii ixmcuc i
mesäuogeii. Von Cajptoii *...,.•,.
LrKUutcjiJii, Caui., Aigebriiitcli« Arndj^ii von Atiiftiitiii Limiji Caü«^!]:
Von Cakt^r »,.,,♦,•*,.,» . .
ßfiBeER, J, vju(, Hundbticli der fiaftQbaiidü& Witienuigtkiuide
F. E«« . . , . ...*,.
KiEsi^LiMo, J . Die Dänim^rui lumof^n im Jabn> Idli
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