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Full text of "Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht"

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1, ii,Cooj?lc 



Math 



t,Googlc 



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B,g,t,7.dt,GOOglC 



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""" Zeitschrift 

für / ,-.--; .■ 

mathematiBclieii und naturwissenschaftlichen 
Unterricht. 



Ein Organ für Methodik, Bildungsgelialt und Oi^anisation 

der exacten Dnterrichtsföcher an Gymnasien, Reslscliulen, 

Lehrerseminarien und gehobenen Bürgerschulen. 

(Zugleich Organ der matbematiscb-iiAturvriBsensahaftlich-didactiachen 
SecUoDen der PhUologea-, Katurforecher- aod angemeinen deutschen 

Lehrer -Versammlnng,) 

unter Uitwirkong 

der Herren Prof. Bopf in Stuttgart, Prof. Dr. Frisohaui' in Graz, 

Direotor Gernesth und Director Dr. Piok in Wien, Prof. Scherlinö 

in Lübeck, Director Dr. Schwarz in Oumbinnen 



herausgegeben 

von ■ 

J. G. T. Hoffioaattn. 

m 

Ffinfter Jahrgai^. 



Leipzig, 

Druck aud Verlag von B. Gr. Teubner. 

1874. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



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InhaltsTerzeidiniss des 5. Bandes. 



I. Abbandlangeo nnd kleinere Mlttheilnngeii: 

A) Orgamsation des mathematüiolieii und natur- 

wisBenAohaftliohen TTnterricbts. 

MüLLBH, Skizze einer neaen Organisation des Untei- 

richtoin d.Natnrlehre an Mittelschulen (A.)*) 218—221 
KoBBB, die Natnrffeachiclite anf dem GyEmasinnp (A.) 1—27 
Mathematische und naturwiaBenBchaitliohe Uni- 
Tersitätsaeminare (oder: Eeranbildnng von Lehiem 
der Mathematik und NaturwiMenBchaftea fQr Mittel- 
Bohulen auf den UniverBitaten). P. Z. 

Berlin ond Basel 89^91 

Bern, Mfinater, Rostock, Prag, Jena, Leiprig, Frei- 
boTg, Marburg, Inabrnck, Peafc, Halle, Wittenberg 169—176 

Qieaaen und WOrzbuig 394—398 

Stiaasbu^ 468 

B) Speoielle Methodik der matheiaatiBOlieii und 

natuTWlssQQSohaftlioIien TTnterrichtefaiOlier (mit 
BQctBicht auf die Bearbeitung von Lehr- und Schul- 
büchern). 
1) HathemtUk. 
a) Arithmetik: 

BäBNEB, das BeweisTerfahien in den inveraen Beohnonge- 

arten. A. (I.) 38-43 

Cn.) 93—100 

UöBB, Bmohrechnung an Lehrerseminarien (Ä.) . . 101 — 111 

Nachträgliche Bemerkung hiersu (k. M._) . . 354—359 
Schwarz, Theorie der abgekürzten Rechnung mitDeci- 

malzahlen. (Ä.) 177—217 

V. Bebbeb, die Proportionen und die Schlnssrechnong (A.) 357 — 262 
BiUBft, Aber eine Art biquadratischer Gleiohangen, 

d. sich mit Hilfe quadratischer Gl. lösen lassen (Ä.) 317 -336 

EoBEB, Bmchdivision (K. M.) GS- 66 

■) AUaunngsD : A. ^ Afatundlniie oder igiUtient) Aofttti. 
K. U. =• Klslnen Mlttheilniic. 
P, Z. K f Sdigogiioba ZsUnim. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Inhalt*veiieichmHB. 



b) Geometrie: 

Freebnivb, die geometrieche Bedentong dea Schwer- 

punkteB (A.) Mit 4 Fig 112-126 

HoFFtuKN, das Capitel der Aebnlichkeit der Figviren 
im propELdentiBch-geometr. unterrichte. I.die 

' Aehiüichkeit der Parallelogramme. Mit4Fig. 347—363 

II. die Äehalicbkeit deiDreiecke. MitsFig. 417—487 

IEbleb, das AntipaTallelogramm, dem ein Kreis ein- 

geBchrieben werden kann. Mit 1 Fig. . . 432—436 

EoBER, über das Wort „Gegenwinkel" .... 56— S6 

HoFFuANN, noohmalB der „Auwinkel" 438 — 440 

e) Allgemeine., 

Bhler, Sollen mathematischen Aufgabeasammlungen 

d. Auflösungen hinzngefügtwerden od.nicht?{A.) 337—346 
EuDELEA, der Begriff des Imaginären, (A.) Mit 7 

Figuren 401—416 

.Meteb, zum Beweisver&hren in der Mathematik. 

MitRücksicht anf{lll,26.167.459.) MitSFig. 44—49 
Rbidt, Beitiftge zd den „Kleinigkeiten ans der 

Schnlatube" 276—280 

Kl HopnuNN, desgl 360—362 

U^ FoBBtuNH, zum Capitel der Incorreotheiten . . . 280 — 282 

Heluunn, zur matnemat. Zeichensprache .... 428 — 431 

„ „ mathem. Miaoellen. Mit 2 Fig 431—432 

„ „ mathem. Sophismen 226—226 

^CuETZK, dsgL 369-360 

2) NatomlsieiiBeliaft. 

a) Astronomische Geographie. Yacat. 

b) Fhjaik und Chemie. 

MoBGENSTEBH, Vorrichtung zur experimentellen Erfor- 
schung der Wirkung einer continuirlich 
wirkenden unTeräcderlichen Kraft anf 
einen durch dieselben bewegten EOrper 
(A.) Mit 4 Figuren- Skizzen im Text und 

1 Taf. 263—275 

MfJLLBB, Skizze etc. (Vrgl, aub A, Organisation etc.) 218-221 
Kbbbs, kleine Versuche, betr. den Heronsball, die 

Feuerspritze und den Winkelheber. Mit G Fig. 127—129 
LoTTBEB, elementarer Beweis eines optischen Gesetzes. 

Mit 12 Fig. (Vgl. Bem. Friteb hierzu. S. 36B.) 129-131 
BooE, zur Berechnung der Bildweite optischer Linsen 

Mit 1 Fig 435—437 

„ „ nochmals die Centripetolkraft, mit Bücksicht 

auf III, 327. Mit 1 Fig 440-441 

o) Naturgeschichte. 

SoBEB, dieNaturgesohichteauf demGTmnasiums.Bnb A. 

d) Geographie: Vaoat. 

e) Allgemeines: 

Zeblano, Naturwissenschaftliches in nicht nalnrw. 

Schulbttchem K, M 131-133 



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InhaltBTeraeiclmias. 



O) WiasenschaftlioIieT, litetariacher tuid kritisoIieT 
Spreohsaal (Rand- und Gegeubemerkungea). 
Mefer u. Scoeblimo, Entgegnungen auf Benders „Neuer 

Beweis, daas 7 — 13" IV, 356 60—51 

Ein Brief an den Herausgeber nebst Antwort darauf 

(betr. II, lia und IV, 373) 66—57 

Brlgr, Bemerkong eu seinem Aufsätze IV 328. . . 91-92 
Baueb, einige Bemerkungen zn dem Aiinatze Diek- 

manns IV, 392 222—225 

DiEKMASN, Entgegnung hierauf 363 — 364 

CuRTzE, die Triaection des Winkels mit Beziehung jiuf 

Iir, 215— 240. rV, 176 und V, 64 226-227 

Pbitei-, Bemerkung zn Lofetners Aufsatz S. 129 . . . 366 
Belovics Eand -Bemerkungen zu früheren Aufsätzen 
dieser Zeitschrift: 

IÄd. II, 514 Behandlung der Lehre von den Kegel- 
schnitten V. G. Hklluans nebst H.'a Entgegnung. 282—384 
„ rV, 415 Betrachtung irrationaler Linienverhäfi- 
nisse Ton Zeblang nebst Z.'s Entgegnnng . . . 284 — 286 
Contra Pick, (betr. dessen Rechenbuch) nebst P.'s 
Entgegnung 365—368 
„ HoFFMANN (IV, 222-327) nebst H. 's Entgegnung 442—445 

I» Beiträge za Sotaüleraofgaben (nebst Auflösungen). 

Pick, zwei Schüleraufgaben 57 — 58 

Repertorinm für Schulaufgaben redig. von 

Vorwort und I. Aufgaben 1—10 386—287 

n. „ „ 11—16 888-369 

m. ÄuflCHöngen der Aufg. 1—10 470-471 

II. Literarische Berichte. 

A) Hathematik. 

Ekotmann, anaföhrlicbes Lehrbuch der Algebra ».*) 135-137 
Feld-Sebf, Uebungsbueh für den Unterr. in der Arith- 
metik □. Algebra an h. Lehranst, b.. . . 137 — 139 

Oeklu, Lehrbuch der Algebra, schw 228—234 

Gauss, 5atel]ige logarithm. n. trignöm. Tafeln hl.. . 236—237 

HeasB ] 

Eattendobf |Lehrh(icher über Determinanten, fb. . . 288 — 389 

DÖLP ) 

EusuANH, zur Sectio aurea. Progr. sch 289—291 

HopuANN, algebr. Aufgabensammlung, ba 370—372 

LiEBSEHANH, Xehrb. d. Arithmetik n. Algebra, sch. . 373 — 376 
b) Geometrie: 

BoniANN, Lehrb. d, Mathematik f. Q^mnasien, Real- 
schulen u. andere h. Lehranstalten II. ebene 
Trigonom. u. Geom. d, Raumes. 3. Afl. scn. 69—62 

aiB AbWranngfln der ReoensBiilen-NaiDan bBdBnlen: 

£. = Iteidt, Schw. >- Schwan. Hl. = H^llmuia, Fr. = FriiobBut, Sch. = 
Scherling, B*. = Bude;, PI. = Flck, Fu, = S'Dnka, Ba. = Bothe, E. = Üagtl- 
hmilt, Ol. = CUr, EKh. — Bioherich. 



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InhaltaverzeichnJBs. 



(die Netze der Poinaotschen Kör-j 
per; über die geometr. Consfaruo- 1 sch. 
tjon der Stereo Bkopenbildet. ) 
SjDLEB TrisectioD eineE Ereiabogena nod die Ereiscon- 

choide. hch 

„ 1 t Fundaiaentalsfi.tee, 2.1 

N"". „ ,. Abth. d. ebenen Geom. 

}aeuei« Qeometnet ^bcb 

W^ TTi p Progr.-Beitrilge Karla- 

( Iruhe 1873 ... .1 

HoFrHAMN, Votgchule der Geometrie I. sch. 
T. MüLLEB, Lehrb. d. ebenen Geom, f. h. Lehranstalten 

2. Äfi. Bearbeitung von Dr. K. L. Bauer. 
KoBBB, Leitfaden der ebenen Geometrie, bch, . 
H. MüLLcB, Leitfaden der ebenen Geometrie mit 

nutzusg neuerer Anschaünngsweisen für die 
Schale bearb. I. Die geradlinigen Figuren 

und der Kreia. «cb 

ScHBHDEL, Elemente der analyt. Geometrie der Ebene 

in trilinearen Coordinaten. 
ScHOOFj Lehrb. der ebenen Trignome 
Betschlg, Elemente der Trignometrie mit Anwendung 
auf die mathem. Geographie. Fi . . . 

B) NaturwisaeiiBOhaft. 

a) Physik (Mechanik, Meteorologie) und Aetr 

Wehmicse, Lehrbuch d. Mechanik I. Th. 2. Aufl. i 

THOMsoN-TiiT, Handbuch der tiieoret. Physik, HL über- 
setzt von Eelmholtz und Werthheii 
I. Bd. I. Th, pu 

Tbapfe, Schnlphjeik. 6. Anfl. bo 

FaiscHA.m', Grundriss der theor. Astronomie, esci 

b) Naturbeschreibung: 

BiBCHiria, Waarenkunde, ho 

MutEMzi, Fragmente über Geologie . . . ~) 
Gkissmakn, die Erdgeschichte oder Geologie > e. . 

Nsmis, eeologiache Elemente J 

p£TGBB, Leitfaden zum ersten Anschaaungaunterricht 
auB der allgemeinen Anorganograpbie. 
0) B«pertorium neuer E&tdeokniigen u. Erf. 

Meteorologie (zugl. Bericht nberl-y, Hfuman'« 
denl.intemationalenMeteorologen- ' "ellmah.'« 

CongresB in Wien 1873). . . . 

Geognoaiel _E^^,^_^^J . . 



Botanik ) 
Zoologie) 



, AckebmahrI 



D) Bit>li(%Taphie. 

Mathem. Bibliographie von 1873 

Mathem. n. naturw. Bibliographie K^?^'' ^^ f^ 
^"^ 18" U-Si ;; Septbr 



376 
446 


-382 
-449 


449 


-464 


154 

13B- 


-467 
-146 


457- 


-460 


146- 


-149 


292- 

293- 
296- 


-293 
-296 

-298 


67- 


-69 


149- 


-166 



249—251 
298—305 

461—465 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Ishalta veri eichniu . 



Progrunmeohau Ton 18T3 386—800 

Nekrologie von 1874 ■ 266—256 

Nekrolog von 0, Heue 466—468 

E) I^hrmittel. 

EnlebeoB geologisclie Bilder TO — 71 

Notdz daEu 400 

Weltansstellungaieitung VI. die Lehnnittel für 

astronomiache (math.) Geographie 166—159 

HI. (SchlnsB) die Lehnnittel für Chemie u. Minera- 
logie B. Jahrg. IV, 378 306—309 

Normalsammlnng phjs. Eabinete OBterr. Mittel- 

BChnlen 72—77 

NormalsammluQg phjB. Eahiaete sächs. Mittel- 

Bchnlen und Seminarien 159-165 

Die zoologischen Präparate von Iundois in 

Mfinater i. W. aus dem Inatitute von R. Kooh ebend. 393—400 

Lebmiittet der berliner OemeindoBchnlen (Notiz) . .' 400 

YrgL anch Abth. I. B. 3) MoBOEHSTGSHa Yorrichtang etc. 203-275 

III..Padagogiselie Zeitung. 

(Berichte über Versammlungen, Auszüge aus Zeit- 
schriften, Scholgeaetzgebung, Schulstatietür etc.) 

A) BeTiohte. 

Bericht über die Verhandlungen der mathem.-natorw. 

Section des XII. deutsch. Lelirertage in Breslan 1874 309—313 
Referate dber Schulgeaetügebung, Schulverwaltung u. 

VeraammluDgen 391-393 

Bericht über den Internat. Meteorologen - Congreaa 

Wien 1873. (b. Abth. II aub C Repertorium) . . . 246-247 
WeltauBBtellongBzeitung b. Lehrmittel, 

B) Schulwesen. (Verordnungen, Schulatotistik etc.) 

Verordnung deBOeaterr. Unterrichta-Minist. betr. die 
Normalsammlnng ph^sikal. Eabinete an Hittel- 
aohnlen. (Vgl. Abth. II eub E.) 72- 



Schulstatiatik. Die PreuaB. Q^mnaeien u. Real- 
schulen. (Alter der Abiturienten 1871) 469 

O) Teraohiedenes. 

Aufsatz- u. Becensionenschan 176—176 

KI. Zeitschriftenschau 315—316 

Notizen: Die NaturforBcher- Verf. 1874 in Breslau betr. 

(„Eine Arbeit der deutachen Naturforaeher-Verfl.") 313—314 

In Sachen Hobksteiks gegen Zänoeble 100 

Preisangaben a. Anh. za Eft. S j 266 

EingeBandte Programme { 400 

„ Bü(ier 471-472 



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Irih^ta veraeichniai . 





H.„ 


Seite dei 


Mejsr, B«wei.Terftilii™ etc. 
Ei«l». klelöe Venache etc. 
Cnclie, msthem. SopUtmea etc. 

Hoffmann, AelmUchkelt dec Figutea «Ic. 
Endelks, Begriff dei Iidb»ui&f»i. 
Hellmilnn, mathem. Uleoellen. 

Bode, Beiedumng d«r BUdwfile. 


(i 




S5fl-360 
ass— £15 

431—438 
«B»-«5 
4»S— 48T 
440—441 ■ 



;hea Vetzeiclmiss der Mitarbeiter an diesem Baode.*) 



Ohne 


NHme 


Wohnort 


N«fflB 


Wohnort 


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Erler 


ZdUichau in * 


Kudelka 




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PrOT.Brandeob 


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EfiDisiberg 




Oberdabling b«i 


































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SchUebuTB in 


•Soberlins 
























■.a 


Kober 


Qrimm. 







• heidobaeten Uitar] 



'. BsrlohtaiilittUr 



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■Die Naturgösehichte auf dem Gymnasium. 

Von J. KOBER. ■-■! 

I. Was BOU'dle Natni^eschicht« uat dem OjmnaHliuu*)! 

Es ist eine b^lagenswerthe Thatsache, dass die Natui^e- 
Bchicbte in manchen Kreisen, zumal auch bei den maassgebenden 
Behörden, nicht in dem Ansehen steht, das sie verdient und das 
ihr Jeder wünschen musa, der durch eingehendes wiasenschafl^ 
liches und didaktisches Studium ein Urtheil erlangt hat. Ist doch 
diese Geringschätzung schroff ausgesprochen in der- Bestimmung, 
dass der Unterricht in Quarta ruhen soll und auch in andern 
Glasseu (V u. VI) ausfallen, wenn kein geeigneter Lehrer vor- 
handen**) ist. 

Die Thatsache, so schmerzlich sie ist, darf, selbst wenn sie 
nicht aus Unkenntniss hervo^eht, nicht Wunder nehmen, so 
lange der Kern des Unterrichts im Vorzeigen und Namensagen 
von Pflanzen, Käfern und Schmetterlingen, allenfalls gewürzt 
mit halb unwahren Erzählungen, lag oder noch liegt; denn zur 
Änekdotenerz^lung ist die Schule nicht da und ob ein Schüler 
100 oder 200 Käfemamen kennt, hat wahrlich nicht viel Werth. 
„I^fersammler, Moosforscher sollen unsre Gymnasiast«n nicht 
werden.". 

Das Selbstbestimmrai von Pflanzen (und Thieren) durch die 
Schüler, das in neuerer Zeit iuehr und mehr üblich geworden 



*) unter denSchrifteii über diesen Gegenstand ist hervorzuheben: Oies, 
im Prc^amm des Oyinnasiuma zu Fulda 1860. — Oefters citirt lia.be ich 

E. Fries, Prof. zu Upaala: Sind die NatnrwiBBenachaften ein Bildaags- 
mittel? Deberaetzt von Hornacbnli. 1344. 

Bossmässter. Der naturwiaaenschaftliche Unterricht. Leipzig 1S60. 

**} D^B eine Bokhe Beetimmong nQtbig wurde, beweist eben, dass 
dag mühevolle Studium zu der Anerkennung, die es im Lehramte findet, 
nicht im richtigen Verh&ltniase steht. 

Zaitacbr. f, nutli, n. naturw. Untere. V. 1 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



2 3. KoBEB. 

ist, bringt in der That der formalen Bildung einen Nutzen, der 
durchaus nicht gering anzuschlagen iat. Es ist eine wahre Gym- 
nastik des Geistes, eine Schule der Selbstthätigkeit (über ileren 
Mangel in unsrer Bildung ja so bft geklagt wird), auf einer Stufe 
anwendbar,*) auf welcher andre Fächer wesentlich nur receptive 
"Thätigkeit fordern. Es ist trefflich geeignet, im Schüler Selbst- 
vertrauen zu wecken und au heben; ,, jede gelungene Bestimmung 
eines Naturkörpers ist ein Sieg, der zu neuen Siegen enauthigt." 
Es ist eine praktische Logik,**) die einen besondem Vorzug darin 
besitzt, dasB Thatsache und Wort zugleich verstanden und dem 
Gedächtniss überliefert, daas Anachauung und Wort immer zur 
Congruenz gebracht werden. Und dennoch wird dies die Gegner 
der Naturgeschichte nicht bekehren: zwischen Ideal und Wirk- 
lichkeit, zwischen Theorie und Anwendung liegt noch ein weites 
Feld. 

Obwohl ich sonach den Nutzen des eignen Bestimmens zumal 
für die formale Bildung nicht gering schätze, so bin ich weit 
entfernt, dasselbe als einzigen oder auch nur als Hauptzweck 
des naturg«scliichtlichen Unterrichts zu betrachten. , 

Den Hauptnutzen der Naturgeschichte finde ich Tielmehr iu 
ihren Beziehungen zur allgemeinen Bildung, und das Gym- 
nasium ist ja für- diese bestimmt. Ohne auf die subtilen Defi- 
nitionen von Bildung eincugehen, kann ich wohl als ausgemacht 
voraussetzen, dass zur Bildung gehört Aufhebung jeder Be- 
schränktheit und Erweiterung des Gesichtskreises. 
Beschränktheit ist es aber, wenn Einer nur sein- Fach versteht, 
wie der Fabrikarbeiter, der zeitlebens nur Stecknadelköpfe macht. 
Erweiterung des Gesichtskreises nach Baum und Zeit, Natur und 
Geist umfassend, ist Ziel der Bildung: sowie der Gebildete in 
fernen Zeiten sich heimisch fühlen muss, wie der Gymnasiast 
im Geiste auf dem Forum zu Rom oder dem Markte zu Athen 
wandeln soll, so muss der Gebildete sowohl in der Heimath zu 
Hause sein, als auch im Geiste in ferne Länder sich versetzen 
und mit dem Leben und Treiben der Menschen auch Land und 
Klima, Thiere und Pflanzen wie mit sinnlichem Auge anzuschauen 



*) Hierin liegt_ die Mahnung, damit mögliehat früh zu beginnen. 
**) Wai wird aber aus dreBer Logik, wenn die Bücher selbst unlogisch 
sind? (11, 293). _ 



i>,Coo<^lc 



ie Naturgeschichte auf dem Gymnasium. 3 

vermögen. Während Geschichte und Philologie den Blick in ferne 
Zeiten lenken, müssen Geographie und Naturgeschichte fürOrien- 
tirung im Baume und in der Gegenwart sorgen. 

Eine verständige Ansicht der Natur als eines geschlossenen 
Organismus ist es, ^as die allgemeine Bildung verlangt, nicht 
bloss Kenntniss einzelner Bruchstücke, wie z. B. der Physik und 
Mechanik. Unare Gymnasien — bis in die neuere Zeit und zum 
Theil noch heute — achten nar die Physik und auch diese viel- 
. leicht nur als Aufgabensammlung für die Mathematik, sie linden 
es nicht uöthig, den Boden zu kennen, auf dem wir stehen, die 
Natur, in der wir leben, die Luft, die wir athmen u. s. w., gleich 
als ob es des wissenschaftlichen Menschen unwUrdig sei, sich mit 
so materiellen Dingen zu beschäftigen. 

lu einseitigem Hochhalten der formalen Bildung, das ^e . 
eine ewige Krankheit von Lehrer auf Schüler forterbt, hält man 
den Gymnasiasten in Gegensatz zu dem praktischen Leben, als 
wäre es nöthig. Um ja die Welt, in der er einst wirken, die et 
einst leiten soll, nicht kennen zu lassen. 

MaJi braucht heutzutage mehr und mehr das Wort „Natur- 
wissenschaft" statt Naturwissenschaften, aber, wie es scheint, 
ohne den Sinn desselben zu verstehen oder zu würdigen: es sollen 
eben Zusammenhang und Wechselbeziehungen der verschiedenen 
Naturwissenschaften klargelegt werden, es soll z. B. die Physik 
mit Meteorologie und physischer tieographie, die Mineralogie mit 
der Chemie, die V^oologie mit der Botanik, letztere wieder mit 
der Chemie und Geognosie und alle wieder unter einander zu 
einem Naturbilde verschmelzen. 

Ist es nicht z. B. eine würdige Aufgabe, den Zögling ahnen 
zu lassen, wie von physikalischen Verhältnissen das Klima des 
Landes und von diesem das Pflanzen- und Thierleben und die 
Kultur und Geschichte des Volkes abhängt? 

Die Hintansetzung der organischen Naturwissenschaft trägt 
mit Schuld wie an dem alten,*) so an dem modernen Abei^lauben. 
Die Mechanik, für sich allein, verführt zu mechanischer Auf- 



*) „Vergebens arbeiteten die Kiithenväter , die ÄufgeklärteBten in dei' 
Eiiche und im Staate, den groben Wahnglauben etc. des Mittelalters auB- 
anrotton; aber als die Naturwissenaohaften das Licht aneteckten, verschwand 
derselbe wie ein NebeL" Fries, S, 19, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



4 J. KOEKE. 

fassung der Natur, sie sieht im Gehirn eine Elektrisirmascl 
etc. Es ist nbthig, den Gymnasiastfin so tief in die Biologie 
zufüliren, dass er von seibat die Hohlheit der Materialisten, 
aus Kraft und StofF die Welt aufzuhauen vermeinen,- zur Gen 
durchschaut, dass er mit Äugen sieht, wie weit wir entfernt i 
vom wirklichen Verstäudniss auch des einfachsten Organisi; 
und wie eine genaue Beobachtung tiberall Thatsachen entdec 
kann, von denen sich die Naturphilosophen nichts träumen lies 

Es wird mehr und mehr Gebrauch, beim philologiac 
Unterrichte die Realien hervorzuheben; man hält es für eine i 
gabß der Gymnasien, Staatsverfassung, Handel, Gewerbe etc. 
Alten kennen zu lehren: sollte es nicht geboten erscheinen, 
Schüler auch mit den Gewerben etc. der Jetztzeit, in der ei 
leben hat, einigermassen bekannt zu machen? Die Schule i 
ihren Zögling der materiellen Welt, in der er lebt, nicht < 
fremden, sie muss das alte Wort „je gelehrter desto verkehrt 
Lügen strafen. In frßheren Zeiten verachtete man die Gewe 
man meinte, dass zu ihrer Ausübung (wie zu der der Mut 
spräche) kein Studium nöthig sei, sondern nur gemeine He 
griffe; allmälig hat sich die Lage geändert: die heutige Indus 
erfordert eine wisaenschaftliche Grundlage, die den Gymnaf 
Studien den Rang streitig maclit. 

Naturbeobaehtung ist, wie im Leben des Individuums, s<: 
der Geschichte der Völker die Hauptquelle der Intelligenz. 
Denken bedarf realer Objecte: an der Natur hat der mensebh 
Geist sich gebildet. Die natürliche Beschaffenheit des Lan 
Gliederung des Bodens, Klima, Landschaftebilder, Produkte ha 
auf die Geiatesrichtung und die Geschichte der Völker gros 
Einfluss geübt. Jedes tiefere Verständnis^ der Welt des Gei: 
setzt daher die Erkenntniss ^er Naturbedingungen voraus, 
denen sie ruht. — 

Ohne Naturken ntniss ist nicht einmal ein rechtes Verslä 
niss der alten Schriftsteller möglich.*) 

Auch der Sittlichkeit leistet die Naturgeschichte ihre go 



•) Der Gymnasiast hört von der Platane des Serses und übet« 
„Platajraaqne caeleba evincet ulmos," aber er weiss nicht, dasa die B&x 
deren Schatten ihn auf dem Schnlwege erquickt, Platanen aind, und 
(philologisclie) Lehrer &^t es ihm nicht, weil er es selbst nicht weiss 



n,g,t,7.dt,'Go.Oglc 



'aturgeachichte auf den! Gymnasium. 5 

leint im Gegensätze zum BQcberstudium als 
3 Freizeiten angenehm aus und schützt daher 
vor Gedankenleere und Langeweile. Aus letzterer entspringen 
nicht nur viele Unsitten , sondern auch die traurige Verflachung 
des Gemfithslebens, jene Leere an Herz und Geist, die man Blasirt- 
heit nennt, die, weil sie an nichts Interesse findet, durch nichts 
erfreut wird. 

Die Naturgeschichte erzeugt Liebe zur Natur, sie lehrt uns 
dieselbe „als unsre schöne mütterliche Heimath" erkennen, sie 
ins Pflanze und Thier als Mifgeschöpfe achten und lieben — 
ne Rückwirkung auf die Gesinnung den Mitmenschen gegen- 
ann nicht ausbleiben.*) „Da man bald einsehen lernt, dass 
sben sich nicht beherrschen lässt ohne die Unterwerfung 
dessen höhere Gesetze, so leitet die Naturgeschichte zu 
r Resignation." (Fr.) Dieses Bewusstsein der Äbhängig- 
lacht ihre Verwandtschaft mit der Religion, 
richtig ist ferner die Schärfung der Sinne, zumal des Auges, 
ihüler, der Interesse an der Natur besitzt, hat auch ausser 
ttiaden, fast auf jedem Schritte, Anlass,. sein Auge im 
sehen zu üben und zumal durch Fixirung entfernterer Gegen- 
der so häufigen Kurzsichtigkeit vorzubeugen. Die Schär- 
les physischen Auges geht aber Hand in Hand mit der des 
en, die man gar oft an atudirten Leuten vermisst 
uch der directe praktische Nutzeif der Naturkenntniss, be- 
B der Anthropologie, ist mindestens nicht zu verschmähen, 
jilt vorzüglich von der Wissenschaft, der das alte Her- 
m noch heute an den meisten Gymnasien den Eingang ver- 
von der Chemie. (Ich verlange nicht, dass im Stunden- 
für chemische Stunden Rath geschafft "werde; man lasse 
Jeder Classe zwei wöchentliche Stunden für Naturwissen- 
und genähre die nöthigen materiellen Hülfamittel, so lässt 
;hon viel erreichen.) 



''ill man das Gymnasium nicht ab allgemeine Bildungsstätte, 
a als Vorbereitungsschule für Berufsstudien ansehen, so 

Friee (8. 15) sagt sogar: „Uralte ErfahitiDg zeigt, dass diejenigea, 
meisten mit der Natur verkehren, zugleich die liebreichBten, ver- 
aieu Charaktere sind." 



,tP<.-jM,Googlc 



3. KOBEH. , 

lan an den Theologen, der durch Naturunken 
dem Bauer lächerlich macht, den Juristen, ■ 
technischen und gewerblichen Dingen zu thuQ hai 
essen Wiesen meist Natur wissen schait s^io soll, od' 
ftigen Lehfer der Naturwissenschaft! Man beachte 
auf die Schüler sehr günstig wirkt, wenn wie der B 
in der Philologie, so der Pbilolog in der Matbemati 
isenschaft nicht als Ignorant erscheint,- 
i meint wohl, der künftige Arzt etc. könne auf dei 
das Versäumte nachholen. Hier gilt das Wort; 
Q nicht lernt u. s. w. Im günstigen Falle wird der ni 
orte!) flüchtig eingelernt und bald vergessen. Gai 
in der Botanik ist es schwer, das im Knabenaltei 
aachzuholen. Fries sagt (S. 24) aus eigner Erfali 
sehe Kenntnisse werden im Examen von solchen ver 
T Jugend keine Anleitung darin gehabt haben. Die 
t wirklich beklagenswerth ; dasjenige, was die Würz« 
sein sollte, wird deren schwerste Plage. Weni 
e Kraft^ welche dazu erfordert wird, das Versäumte e 
alen, die Uebrigen suchen so gut sie können die £ 
zu betrügen." 

ir lässt sich nicht die nöthige Kenntniss später im 
Leben aus Büchern schöpfen? — Der Beruf wird 
ig lassen; wem Sie Vorbildung fehlt, dem wird d 
i'ehlen; und wer nicht von früh auf Naturgeschich 
Anschauung die Hauptrolle spielt, getrieben hat, ve 
her gar nicht. 

I, Stellung' der Naturgescbichl« zn andern Fiebern. 
; einigen Jahrzehnten ertönt der Ruf nach Concentr 
terrichts. Man fand, das Gymnasium treibe zu vit 
tige Ausbildung verlange non multa sed multum, 
plitterung der geistigen Kraft leide die Charakterbi 
enschaftliche Vertiefung und Grfcidlichkeit. Man 
nsität der Hauptfächer erhöhen, dagegen die en 
Nebenfächer aus dem Stundenpläne streichen; 
glaube, diese Concentrationsideen sind schuld ai 
lischen Stunden in jeder Classe und an dem Stri 
Urgeschichte in Quarta. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Natur^Bchi eilte auf dem Gjmnasiiun. 7 

atration des Unterrichte klar aufzufassen, mö<!hte 
t der intellectuelten allgemeinen Bildung nicht 
g (woraus die Benennung hei^enommen ist), 
seh vorstellen. Das Centrum der antiken Gym- 

„ -o- Jn dem einen Breniipmikte, das der modernen 

Kealschule in dem andern: der ,,Seuntni3s und Handhabung der 
Menschheitsgesetze" steht gegenüber die „Kenntniss und Hand- 
habung der Natui^^etze. "*) Aber kein Bogenatück darf der 
Bildung ganz fehlen, sonst wird sie lückenhaft und einseitig. 
Zwar werden die nabegelegenen Theile" das Uebergewicbt be- 
halten, aber auch zu den entfernteren müssen Fäden, Leitstrahlen, 
gezogen sein, die auch mit ihnen die Verbindung offen halten: 
auch nach diesen entfernteren TbeiJen muas dem Geiste der Weg 
gebahnt, das Yerst^dniss eröffnet werden. 

Der Einwurf hegt nahe,'da&s ich das multa befürworte auf 
Kosten des multum. Darauf vorläu^ nur die Gegenfrage, ob 
es rathsam sei , z. B. behufs der Concentration des mathematischen 
Unterrichts nur die Arithmetik auszubauen und die Geometrie 
zu streichen? behufs der Concentration der Naturwissenschaften 
Botanik zu treiben und Zoologie wegzulassen? oder ob man nicht 
vielmehr den einen Zweig durch den andern heben und fördern- 
müsse, die Fäden festigen, die die Zweige unter sich und mit 
dem Brennpunkt verbinden? 

Dec menschliche Geist mit seinen Kräften ist ein wachsender 
Organismus A. h. er entwickelt sich nie sprungweise sondern stetig 
. aus unsichtbaren Anrängen. In einen Tisch kann man, ihm 
grösseren Halt zu geben, ein neues Bein einsetzen, wer aber 
einen Organismus nach seinen Zwecken bilden will, rouss die 
verborgenen Keime aufsuchen und studiren und durch sanft« kaum 
fühlbare Einwirkung zu entwickeln und zu kräftigen suchen: nur 
ai^s' vorhandenen Keimen lassen sich neue Organe hervorbringen. 
Zwar dulden die niedem Organismen, die Pflanzen, und auch 
diese nicht alle, das Einsetzen einer Hemden Knospe (beim Ocu- 
liren und P^opfen), aber auch nur einer solchen, die den schon 



' *) Schmdt, Geschichte der Pädagogik IV, 410. Gbendaeelbet steht 
aoch die Antwort fär diejenigen, Welche die Existenz der Realschule be- 
klagen, die da sprechen von den „Abwegen, die leider in der Gründung 
verschiedeaei Be^Bchnlen zu Tage getreten aind." S. diese Zeitschr, IT, 1. 



n,g,t,..dt,'GoO<^lc 



Idet«n Organen, Säften etc. nahe verwandt ist, die l 
imeii (die Thiere) erlauben selbst das nicht, sondc 
eine durchaus stetige Entwicklung. 
gab eine Zeit, da man den menschlichen (kind 
licht als eiueii Organismus betrachtete, sondern 
, das man mit allen beliebigen Stoffen fallen könne. 
Irrthum ist der Ruf nach Conc^tration gferichtet, 
ler iu den heutigen. Regulativen scheint die alte Auf 
Wurzel geschlagen zu haben. Wir haben als 1 
dem ersten Eindrucke von Lorinsers Auftreten) 
ClassenmitÖ, in Tertia 7 Stunden Lateinisch, miti 
?t. Griechisch -auch das Unsrige gelernt und köc 
auf Vergleiche ankommen- lassen; es ist uns wohl IV 
io oft vorgesagt, manche Uebung nicht so systematii 
tert worden, dafür aber behielten wir frische Krai 
lätige Aufmerksamkeit und Lust und lAebe zur S 
vird der Schüler in den untern Classen übersättigt 
veun er die Schule hinter sich hat und nicht mehr 
jateiniseh" zu denken braucht; und der Lehrer such 
lisches Einpauken, ermüdende Wiederholungen un 
i den Mangel an Interesse auszugleichen. Glau 
h, dass die Fortschritte nach altem Sprichwort (V: 
welches treffend die Eigenthümlichkeit der Orgf 
met, proportional der Stundenzahl sind? 
an pfropft dem jugendlichen Geiste mit dem zehnte 
isch, mit dem elften Französisch, mit dem zwölfti 
auf, treibt mit Gewalt die Reiser in die Höhe und v 
uch später alle Zweige fröhlich gedeihen. Ist der 
igend? Man kann wohl annehmen, dass in Stadt 
dem Gymnasium noch andre höhere Schulen ;hab< 
alle, die ins Gymnasium eintreten, wirklich atudiren 
iel Procent der Quintaner gelangen zum Abgangse 
ät aus den Uebrigen geworden?**) Und dabei kla 



e mich noch, wie wir imsren Lehrer wider seine 
^ haben, una griechiache Esercitien aufzugeben. 
Die übereifrigen Lobredner der Bprach- (Gymnasial-) Bild 
leicht, dasB die geistige Spannltrrafl, die vorausgesetzt wii 
nnaaiast sich boitera Muthee durch j enes Fegfeaer durcharbe 



,t,7rJM,G00glc 



' Die Naturgeschichte auf dem Gymnasiam. 9 

auf den Universitäten (z. B. Halle) über mangelhafte logische 
und sprachliche Vorbildung der Studenten. 

Der pädagogische Grundsatz, dass jeder Unterricht an bereite 
im Schüler vorhandene Vorstellungen etc. anknüpfen müsse, wird 
gegenvfärtig allgemein anerkannt. Diese Anknüpfung ist nun 
bei fremden, zumal alten Sprachen nur in sehr beschränktem 
Masse möglich: der Schüler wird in ein völlig fremdes Gebiet 
geführt, wo er ^eine seiner Jugendbekannten wiederfindet. Man 
lindere also, wenn man den Knaben mit gewaltaamenl Eingriffe 
in das fremde Land hinaasstösst , das Unbehagen der Fremdheit 
dadurch,, dass man ihm seine Jugendfreunde mitgibt, dass man 
die Fächer hegt und pflegt, die durchaus an schon bekannte 
Anschauungen anknüpfen und dem Organismus eine normale ste- 
tige Entwicklung sichern. 

Unter diesen steht die Naturgeschichte obenan. Jeder neun- 
bis zehnjährige Knabe hat schon einen bedeutenden Vorrath von 
Anschauungen und Erfahrungen aus dem Reiche der Natur ge- 
sammelt, die zu sichten, zu verknüpfen und zu erweitem ihm 
eine angenehme, weil gesunde, Beschäftigung ist; die Naturge- 
schichte heimelt ihn an, frischt liebe ßilder_ aus der Kindheit 
wieder auf und bildet den Sprachen gegenüber den Gegensatz 
einer wohlthuenden Erholung. 

Wenn gegen das Gebot der stetigen Entwicklung durch manche 
jacher gefehlt werden muss, so halte man das Gebot wenigstens 
da, w« man bann, man unterbreche nicht den stetigen Gang des 
Daturwissenschafttichen Unterrichts J. h. man gewähre in allen 
* Classen zwei Stunden für denselben. (Vgl. II, 147, Not. 3 u, 4.) 



Die Concentration des Unterrichts würde also darin au 
suchen sein, dass alle Fächer die Verbindung unter einander auf- 
recht erhalten und möglichst zusammenwirken , so wie es bei den 

atleiit achon füi Beine BeiUliigimg za höheren Studien zeugt, dasB diese Be- 
fähigung nicht auBschliesBlich Frucht der GTmnaBiaJ Studien ist: sie ver- 
wechseln Ursache und Wirkung. Weil zur glücklichen Absolvirung des 
Gymna^ialcuTBaa eine höhere geistige £raft Vorbedingung ist, so müssen 
diejenigen, die denselben, während viele ihrer Kameraden unterwegs ver- 
loren 'gehen, glücklieh »bsolvirt haben, relativ geistig tüchtig sein. 



iM,Googlc 



n mehr und mehr üblich wird, dem SchUler statt ki 
ntersuchnngen über Varianten etc. ein möglichst vo 
Bild aller LebeuaverbältnisBe der Alten zu bieten. "W 
lun zwar die Naturgeschichte des Plinius beim Untt 
iht brauchen, dennoch aber gibt es Auknüpfungapunk 
;i es in der Geschichte der Thiere, Culturpäanzea efc 
3h nur in der Namenerklärung. Während so der PI 
urwissenachaftliches, was bei seinem Unterrichte ih 
liommt, nicht als etwas Fremdes von der Hand wei 
»nelen Falls den Natui^eschichtslehrer zu Rathe ziel 
;ekehrt letzterer nicht selten der Unterstützung^des Fl 
edürfen. 

ilter Aberglaube spukt, wie ein mittelalterliches Geapeni 
fielen Köpfen, dasa nämlicji ein in der Mathematik od 
lenschaft tüchtiger iSchüler nicht viel in Philologie leis 
äkehrt. Das ist nur insoweit wahr, als jede einseitij 
!ur Vernachlässigung andrer Zweige führen kann. W 

studirt, wird im Gegentheil auch auf die Alten hing 
lan denke nur an Euklid und an die wisseascfaaftUchi 
d Pflanzennamen. 

deutschen Sprachunterrichte bietet die Naturg 
3in reiches Material zu passenden StilfibuDgen. Beso 
r schliesst sie sich an die Geographie an: za de 
es Landes sind Flora und Fauna unentbehrliche El 
lan würde aber gegen das Gesetz der Anschaulichkt 
Ticbts Verstössen, 'wenn man in der Geographie Thie 
zen aufzählen wollte, von denen sich ein Bild zu macht 
geschichte den echöler nicht befähigt hat. An die ph; 
feographie sei nur erinnert. 

Hauptsache bleibt freilich die Concentration der Natu 
aften unter sich zu einer einzigen Naturwissenschai 
e die' Aufgabe nicht darin, viele Specialitäten (multe 
Iharaktere etc. zu lehren, sondern darin, ein klares, lebe 
1 vom Zusammenwirken aller NaturkrSfte und -körp 

Naturganzen (multum) dem Schüler vor die Seele : 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



e Naturgeachichte auf dem Gyrnuasium. 11 

soll auf dem CijinnaBiiim ^lehrt werden!*) 
Der Lehrstoff, zugleich inseinerVertheilnngauf dieClasaen**) 
des GymiiaBiimis, würde folgender sein: 

Sexta. 

In Sexta im .Sommer Pfla]izeiim6n<^raphieii nach der Üb- 
lichen Weise zur Sehärfuug der Sinne, Uebung im Beschreiben, 
Gewöhnung an die (möglichst vereinfachte) Terminologie etc. 
Bei. Gelegenheit, die sich oft bietet oder auch gesucht werden 
mnss,***) 'besonders auf den möglichst häufigen Excuraionen, Be- 
sprechungen über andre Naturerscheinungen. ■ 

Im Winter das Wichtigste aus der Anthropologie, etwa 
ein Vierteljahr. Theils ist der eigne Körper das Nächstliegende, 
theils erfordert die Bßcksicht auf Gesundheitspflege, insbesondre 
auch auf Jogendsilnden ^ gebieterisch eine möglichst frühe Be- 
lehrung. Einiges aus der Physik und Chemie, f) zumal der Ver- 
brennungsprocesa , ist schon auf dieser Stufe bei Gelegenheit der 
Athmung, Verdauung etc. zu besprechen. • 

Hierauf Monographie möglichst bekannter Thiere aus verschie- 
denen Classen mit besonderer BerQcksichtigung des innerenf-j-) 

*) Ueber da« Wie? eingehend zu aprechen, unterlaBseich, weil theils 
in HellmichB dankenswerthem Aufsatze , wenn derselbe auch vorzugsweiee 
die Keftlschiüe im Auge hat, doch das Meiste auch für Gymnasien an- 
wendbar igt, theils in Eosamässlerg genanntem Buche zumal über Ver- 
knüpfung der einzelnen Diaciplinen urifl über Populariaimng chemischer 
und physikalischer Vorgänge das Nöthige zu finden ist. 

**) Es scheint ala ob an manchen Ort«n in Serta und Quinta nicht 
eine so hohe geistige Helfe vorausgesetzt werden kann, wie ich aus meiner 
Erfahrung angenommen habe. Mau könnte alsdann den Cursua der Sexta 
auch auf Quinta ausdehnen, den der Quinta nach Quarta verlegen u. s. f. 
Doch kann ein Lehrer, der sich den Schülern zu accommodiren versteht. 
Vieles leisten, waa auf den ersten Blick unmöglich scheint. Vgl. Boss- 
mässler S. 116 ff.; 

***) Hierüber ist sehr beachtenswerth der Anfsala von Fresenina im 
ersten Bande dieser Zeitschrift. 

t) Vgl.EoBamä8aler,S. 115—122. — Daes viele Lehrer meinen, dies 
sei für Sexta zu achwer, kann ich mir in der Hauptsache nur daraus er- 
klären, dass es ihnen aus der eignen Schulzeit als Lehrstoff der obersten 
Classen erinnerlich ist; daher wohl auch die Bedenken, Chemie vor der 
Pbfsik zu treiben. 

tt) S. unten 8. 20. 



n,git.7.dt,G00glc 



12 J. Komb. 

Bau^s. Die Beschreibang des Aeusgeni soll nicht etwa vernach- 
lässigt werden, muss aber die Gefahr TenOeiden, durch auafilhr- 
liehe Behandhiug bekannter oder kleinlicher Dinge zu langweilen 
■ und nutzlos das Gedächtniss zu belasten. Ein Besuch beim Flei- 
scher, Zergliederung eines_ Huhnes etc. leistet gute Dienste. Ge- 
rade durch die Vergleichung mit den Tbieren erlangt der Enabe 
die rechte Vorstellung von der Thätigkeit der eigenen Oi^ane. 

Besonders lehrreich ist der Vogelkörper (Gans), der Kiel 
des Brustbeins mit den Flugmuskeln (Wo hätte 'Dädalus zum 
iliegen die Muskelkraft hernehmen sollen !), die Umbildung der 
Hände*), die Lunge, die Luft in den Luftsäcken und Röhrenknochen, 
der Magen, das Auge, der Eierstock mit der Entwicklung der 
Eier etc. 

Die Ringelnatter intereasirt durch Zunge, Zähne, den 
Mangel der GUederknochen, die Verwendung der Rippen zur 
Bewegung, die Verschmelzung der Herzkammern*), das kalte Blut, 
die einzige grosezellige Lunge etc.; der Frosch durch die Ver- 
einfachung des Skelets, das Fehlen der Rippen (das Schlucken 
der Luft); das grosse Schwanzbein als Ueberrest des resorbirten 
Schwanzes der Larve, die Schallblasen, das Laichen, die Ver- 
wandlung etc. 

Die Besprechung irgend eines Fisches bietet Veranlassung, 
die Auflösung des Sauerstoffs im Wasser aus bekannten Anschau- 
ungen (Z ucker was B er, schäumende Getränke) verständlich zu 
machen, die Schwimmbewegungen, die Vereinfachung der Lunge 
oder Luftröhre zur Schwimmblase und der Glieder zu (paarigen) ' 
Flossen, das venöse Herz etc. bieten weiteren bildenden Stoff, 

In ähnlicher Weise, wenn auch etwas einfacher, werden die 
niederen Thierelassen behandelt. Von jedem Thiere werde nicht 
bloss eine Beschreibung, sondern die wirkliche allseitige Geschichte 
gege'ben. 

Wenn hiernach im Vierteljahre wenig über ein Dutzend Thier- 
arten behandelt werden, so wird zwar die Specienkenntniss (we- 
nigstens im eigentlicheji Unterrichte) nicht eben gefördert, aber 
um so inehr das Interesse und die Einsicht in das Treiben und 



*) Später, in Quart», möge man die umgekehrte AiiffaBBung geben; 
hier ist es pädagogiaclt richtiger, den meuBchlichen Körper als das IJr- 
sprüngUche zu hetrachten. 



n,g,i,..dt,G00glc 



Naturgeschichte auf dem Gymnasium. 13 

iir. Die Naturgeschichte spielt sehoü in Sexta 
Jie, des Gymnasiums würdige, in Wahrheit bil- 
I. oben S. 2.) Die Speeienkeiintnisa hat ja Über- 
ä im Gymnasium, nur eine untergeordnete Wich- 
tgedächtniss zu üben, hat der Gymnasiast Ge- 



Botanik in Quinta, 
in Quinta ist wesentlich dem Bestimmen ge- 
widmet und zwar nach einem natürlichen Systeme, wobei das 
Linn^sche*) zur Unterstützung dient. Soll das Beatimmen für 
diese Stufe nicht zu schwer werden, soll insbesondre von An- 
fange an des Schülers Math durch Erfolge gehoben werden, so 
muss man in der Auswahl der Pflanzen sehr vorsichtig sein; man 
muss durchaus den Schülern, falls diese die nöthigen Sxemplsre 
(ßli jeden Schüler wenigstens eins) besorgen, vorsehreiben, welche 
Pflanze sie bringen sollen. Es ist nöthig, das die Blathentheile 
deutlich sichtbar sind , daas die Frucht gleichzeitig zu jsehen oder 
wenigstens bekannt ist, dass die Pflanze im Systeme keine Aus- 
nahmestellung einnimmt u. s. w. Da den Quintanern die nöthige 
Speeienkenntniss mangeln wird, so empfiehlt es sich, Schüler 
höherer Classen zu beauftragen. Vorausgeschickt wird, durch 
m^lichst viele Keimpflanzen, Blätter, Stengel und Blüthen 
illustrirt, die Unterscheidung von Monokotylen und Dikotylen,**) 
Geeignete Pflanzen sind z. B. Veronica triphyllos, Lamium 
album, Daphne Mezereum, Acer platanoides, Prunus Cerasus oder 
Padus, Iris pumi]a,Ribes 'rubrum, Luzula campesttis, Ornitho- 
galum umbellatum oder eine andre Liliacee, Vaccinium Myrtillus, 
Evonymus europaeus, Syringa vulgaris, Sambucus nigra, Ranun- 

*) Ueber die illusorische grössere Verständlichkeit dea Linnöachen 
Systems siehe den Anhang auf S. 26. 

**} Da die gebräuchlichen Ftoreu theils zu umfangreich, theils nicht 
auf die Faaeungakraft der Quintaner berechnet sind, so habe ich selbst 
einen kurzen Leitfaden (zweite Auflage, Dresden 1869) drucken lassen , der 
die Schüler in den Stand setzt, in jedem Falle wenigstens die Familie zu be- 
stimmeu. Die Ordnungen (nach Bartling) und Familien sind eynthetisch 
charakterisirt, doch ist zur Controle und um auch den Werth der ana- 
IjtiBchen Methode zu zeigen, eine (auch alle Ausnahnien berücksichtigende) 
analytische Tabelle (für die mitteldeutschen Dikotylen) beigefügt. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



culus arvensis, Piauui sativuiu, Älisma Flantago, Malva 
Oenotbera bieuuis, Äveua elatior, Geranium pratense, Het 
Sphondylium, Heliantlius annuiis u. 8. w., auch einige Re 
tauten der Krjptugamen , bei denen man jedoch vor. dei 
auf Bestimmung wird verzichten mßasen. 

So erlangt der Schüler neben der Uebung im ßesi 
einige Specien- und Familienkenntniss. Die lateinischen 
werden etymologisch erklärt und fest eingeprägt. 

Zoologie in Quinta, Quarta und Untertertii 
In der Zoologie halte ich ein solches Bestimmen tn de 
nur auf Excursionen für empfehlenswerth. Wer wird 
Schüler in der Stunde einen Frosch oder Sperling in die 
geben wollen? Ja selbst gemeine Gliederthierspecies z. B. 
Florfliege, Bremse, dürften nicht leicht frisch in genügend 
zu beschaffen sein; und hätte man die Bsemplare, so mOsf 
doch, um die Entwicklung anschaulich zu machen, zur 
lung oder zu Abbildungen (Wandtafeln) greifen. Hat m 
e|iu Esemplar, so muss es der Lehrer selbst herumzeige 
das Thier von Hand zu Hand gehen, so sieht der SchDle 
auf die Hauptsachen, zudem ist er noch geneigter, mit ' 
zu spielen als mit. Pflanzen. Was er vollends mit leben 
üliederthieren (z. B. einer Wespe!) anfangen soll, ist 
einzusehen. 

Sonach eignet sich die Zoologie für d^s Winterhalbj 
Ich begreife nicht, 'wie Fahle (IV, 6) sich so misst 
über Schulsammlungen 'aussprechen kann. ÄUerdin 
diese keinen ausgestopften Büren enthalten, aber trol 
lebenden Exemplare ist die Sammlung der wahre Lebensni 
zoologischen Unterrichts. 

Was für die Schulsammlung zu erstreben ist, möch 
' gendes sein: 

Ein menschliches Skelet, ein Schädel. Die plastischer 
bildungen von Herz, Auge etc., wie sie Professor Bock 
tigen las st. 

Wo möglich ein AfFenschädel. Einige Fledermäuse 
skeletirt. Schädel eines Maulwurfs oder Igels. Skelet eines '. 
oder eines anderen Thieres mittlerer Grösse. Schädel von ] 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Die Naturgeschichte auf dem OymnaBiam. 15 

Hund, Katze"), Pfote einer Katze oder noch lieber einer grosseu 
Felia-Art. 

Schädel von .Eichhornchen, Ratte, Wasserratte, Hase. Je 
ein ausgestopftes Exemplar von Mus und Hjpudaeus, ein Hunster. 
Wo möglich ein ausgestopftes Güi;telthier. 

Backenzahn von Elephant, Pferd, Kalb. Schädel von Pferd, 
Schwein, Widder, Reh — , überhaupt sind Schädel sehr brauchbar. 
Fuss von Pferd, Schwein, Kalb, Hirsch. Barte (sei es auch nur 
ein Bruchstück) eines Walfisches, wo möglich auch Stoaszahn 
eines Narwals. Wo möglich eine ausgestopfte Didelphys, ein 
Schnabelthier etc. 

Skelet eines grossen Vogels. Schädel mit Zungenbein eines 
Spechtes. Eine Sammlung ausgestopfter Vögel, die durch nicht« 
zu ersetzen ist.'*"") Auch eine Eiersammlimg ist wünschenswerth.- 

Skelet und Schädel einer Schildkröte, Skelet von Eidechse, 
Schlange, Frosch. Schädel und Klapper einer Klapperschlange. 
' Die einheimischen Schlangen und die Blindschleiche in Spiritus, 
desgleichen die einheimischen Lurche mit Larven in verschiedenen 
Entwicklungsstadien, Eier von Eidechse, Ringelnatter, wo mög- 
lich auch von Krokodil und. Schildkröte. 

Skelet und möglichst grosser Schädel eines Knochenfisches. 
Die wichtigsten (alle wäre 'zu viel verlangt) einheimischen und 
einige Seefische (Dactyloplerus , Pleuronectes, Diodon, Syngna- 
thus, Hippocampus) : ausgestopft und auf Pappe sind die Fische 
brauchbarer als in Spiritus, Gebisse, Eier und Hautetücke von 
Haifisch oder Boche. Ein ganzer (natürlich kleiner, junger) 
Haifisch ist wÜBSchenswerth , zumal $et Kiemen wegen, ebenso 
ein Skelet. Einige Schwimmblasen. Schlundknochen einiger 
• Cyprinoiden. Gebiss von Petromyzon. Wo möglich Gastrobran- 
chus und Äinphioxus. 

*) Man vergleiche mit dem wirklichen Schädel die Beschreibung 
Fahles in IV, 6, um den Nutzen der Sammlung zu würdigen. 

**) Wer kann nicht nnr seltene Vögel (Trappe, Schnepfe), sonderu 
aelhst gemeine (Singdrossel, Wasserhuhn) in der Freiheit genau genug be- 
obachten? Selbst holen kann sie der Schüler nicht, sie Bchiessen zu lassen 
geht nnr in beschränktem Umfange. Nachbildungen aus Papiermaase müssten 
Kunatwerle sein, um den Zweck zu erfüllen. Abbildungen sind weder zum 
Bestimmen noch überhaupt zum Erkennen der Charaktere zu brauchen; 
welche Abbildung zeigt z. B. die Eerbe im Schnabel der Ffriemschnäbler 
oder den Unterschied zwischen Spaltfuas und Wandelfuss? 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



16 J' KoBEB. 

Ein getrockneter Cephälopode (Loligo). Schale toi 
nauta und Nautilus, letztere durchsägt. Einige Sepie 
einige Ainmoniten und Belemniteu. Einige Schneckenhäu 
verschiedenen t'amilien, inabesondre auch Patella und Der 
Clio borealis in Spiritus. Die wichtigsten Muschelschalen. 
navalis in Spiritus. Eine Terebratula und Lingula. Wo i 
Salpa und Ascidia in Spiritus oder Glaänachbildung. 

Die wichtigsten Crustaceen ausgestopft, bz. getrocknet 
Rankenffisaer und Flattfüsser, wo möglich ein Limulus. 

Ein grosser Skorpion und eine grosse (ausläudische) I 
Einige einbeimische Spinnen. Eiersäcke von Spinnen. C 
Phalangium, Ixodes etc. Einige Skolopender und Bant 

Mikroskopische Präparate vonÄugen derlnsecten undl 
■ von Fussklaueu einer Spinne, Tracheen von Insecten, Sc 
der Schmetterlinge, Rüssel uud Stachel von Insecten, 1 
von Schnecken etc. 

Die Insectensammlung darf sich nicht auf Käf 
Schmetterlinge*) beschränken (Einseitige Beschränktheit 
Gegentheil von Bildung). Es muss Grundsatz sein, dem 
die Puppe und wo möglich die Larve, unter Umständen ( 
Spinner, ElorSiege, Mantis) auch das Ei beizufügen. 

Die wichtigsten Käfer, zum Theil mit ausgesj 
Flügeln. Ein grosser Käfer in seine Theile, Ringe, zerleg 
wichtigsten Schmetterlinge mit Puppe und Nahrungspäaj 
Raupe, die praktisch wichtigsten Motten (Wachsmotte). 
Blattwespen nebst Puppen, Holzwespen mit Puppen im 
Gallwespen mit ihren Gallen (Rosenäpfel), Schlupf- unc 
Wespen, insbesondre Puppen von Mikrogaster und Cha! 
nebst ihrem Nahrungsthiere. Raubwespen nebst Nahrungsf 
Ameisen (Männehen, Weibchen und Geschlechtslose nebst P 

*) Man liebt en noch immer, SpecienkenntnJBBVon Käfern und Sol 
lingen aU Ziel des Unterrichts zu betrachten, dagegen die -übrige 1 
weit todt zu schweigen. Man scheint es für bildender zu halten, 
ehia Semele und Phaedra zu unterscheiden, als die Bedeutung der 
im Haushalte der Natur zu kennen. So werden — nur weil es ei 
bracht »st — die.dnrch Lebcneweiae, Entwicklung und Organisa 
tere8sant«n Familien der Cicaden, Schildläuse, Phryganeen, Hen 
u. 8. w. vernachlässigt, um Zeit zu .behalten, dem Schüler den ünt 
von Carabns grnnulatus und cancellatns beizubringen. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Die Hätuigeschicbte aof dem ÖynuiABituu. 17 

mit ihren wichtigeteu Gästen. Wespen mit ihren Neatern, Weibchen, 
Drohnen und Arbeiter der Honigbiene nebst Immenwolf, Wfidis- 
motte. Ungesellige Bienen mit ihren Nestern. 

Die wichtigsten Fliegen {Tipula, Äsilus, ßombyliua, Tabauus, 
Haematopota, Syrphus, Eristalis, etc.) mit ihren Puppen, insbe- 
sondre Puppen Ton Eristahs, Hippöbosca und Melophila, I^arven 
von Oestrns und Gastma, CFallen der Gallmücken. 

Einige Termiten und Eolzläuse, Eintagsfliegen und Libellen 
mit Larven, Florfliege mit Larve und Eiern, Ameisenlöwe mit 
Larve und Pappe, Phryganea mit Larvengehäuse. — Von Orthop- 
teren Acridium, Locusta, Acheta, GrjUotalpa zum Theil mit aus- 
gespannten Flügeln, Pbasma und Mantis, FoAcola (zum Theil 
mit ausgespannten Flügeln). 

Unter den Eeioipteren sind angemesseu Gimes baccanim imd 
dissimilis, Lygaeua apterus, Acanthia, Hydrometi'a, Nepa und 
Notonecta (stets zum Theil mit ausgespannten Flügeln), Cicada 
orni mit Larve, Cefcopis , einige Laternenträger, Gallen der Blatt- 
läuse, Schildläuse (ausländische, zumal Goccns cacti und lacca, 
mit ihren Producten). 

Ein Blutegel mit getrocknetem Eiercocon. Von den Ein- 
gew ei dethi eres besonders Ascaris, Trichina (mikroskopisch), Echi- 
horhynchus, Distoma, Taenia solium imd serrata nebst Finne und 
Qnese. 

Einige Seeigel und Seesterne, wo möglich auch Holothurien 
und Haaisteme. — Einige Quallen nnd Aetinien aus Glas*), 
zumal auch Röhrenguallen , die als schwimmende Golonien so 
lehrreich sind. Korallenstöcke aus verschiedenen Familien. Bade- 
schwämme mit ihren Nadeln (mikroskopisch). Einige Polytha- 
lamienschalen (mikroskopisch). 



}&ag man einzelne der genannten Objecte für unnöthig, 
andre nicht genannte für nothwendig**) halten, in der Haupt- 
sache wird wohl Jeder, der die Naturgeschichte als Bildungs- 
mittel in dem auf Seite 2 angegebenen Sinne auffasst, mir bei- 
stimmen. 

*) Wie sie recht hSbsch von Blaschka in Dresden gefertigt werden 
und' daselbst im königlichen Naturalienkabinet ausgestellt sind. 

**) Ich selbst wüsete noch viel mehr oder minder Nützliches zu nennen. 

ZriMOhf- '. matt- n. mturw. Unterr. V, 2 



n,g,t,7.dt,'GpOglc 



18 3. KoBU. 

Eine solche S&mmluug ist natärlich nicht auf eii 
schaffen , es ist sogar fraglich , ob mata ajle die gerade gewt 
Objecte überhaupt erlangen, kann. Man wird nat^lich 
turalienhändler nicht entbehren können, yieles aber se 
durch die Schüler sammeln und herrichten müssen, an 
häufig Geschenke verwenden' können; aber liierbei ist 
Zuviel zu warnen, zumal haben gar häufig kostbare Gt 
für die Sammlung keinen positiven Werth und fUllen 
Häume: weise Auswahl ist nöthig. Vielleicht wäre es { 
Zeit zu Zeit im Programm drucken zu lassen, welche 
für die Sammlung erwünscht sind: wohl Mancher würde d 
einen höchst nützlichen Gegenstand zukommen lassen, 
von dessen Wichtigkeit eine Äbnung hätte. 

Vor dem Verderben der Sammlung habe ich nich 
Sorge, zumal wenn sie in einem trocknen sonnigen Zim 
bewahrt wird. Der Lehrer .wird zur Erhaltung das Seini 
aber trotzdem wird die Sammlung, wie alles Irdische, 
zu Grunde gehen; man muss eben fleiss^ die verdorbe 
jecte durch neue ersetzen. 

Mit einer solchen Sammlung lässt sich wahrhaft e 
lieber, für Lehrer und Schüler angenehmer Unterricht e 
durch den der Gymnasiast mit der Thierwelt vertraut \ 

Ich muss hier ganz entschieden Fahle widersprecl 
(IV, 4) behauptet, dass „auf den Gymnasien das Substn 
Wissens sich'auf alle Naturkfirper der nächsten 
hung zu erstrecken hat, während die Universität die i 
und Erscheinungen aller Zonen in den Kreis ihrer Ki 
nähme zu ziehen hat." 

Man würde die Bildung des Gymnasiasten schädigei 
man seinen Blick nur auf das Einbeimische, auf die näcl 
gebung beschränken , ihm „ die kleine Heimath als dei 
punkt der Erde oder der Welt erscheinen lassen," als ob 
der Landesgrenze Wüste und Barbarei liege. 

„Man soll vom Nahen auf das Entfernte übergehen, 
es, „darum zuerst das Einheimische." Aber nicht daraul 
es an, was räumlich dem Schüler nahe liegt, sondern 
geistig nahe steht, was in seinem Sinne als geläufige Voi 
vorbanden ist. Die doctrinäre Methodik vergisst, dass i 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Die Natur^achichte auf dem Gymuaüum. 19 

wohl Bchweilicli ein Schüler eintreten wird, der nicht 
z. B. mit dem Bilde eines Elephant«n vertraut wäft, dem nicht 
Elephant, Stranss, Krokodil, Haifisch näher ständen, als Dutzende 
vou Bembidi um- Arten, die er mit dem Fusse zertritt und über 
die ihm auch der Lehrer, nichts weiter zu aagep weiss als die 
Namen. Ist nicht die Bekanntschaft mit Kokospalme, Kaffee- 
baum und Indigo wichtiger und dem Interesse des Schülers näher 
gelegen, als die Unterscheidung der einheimischen Carex-Arten? 
Soll der Gymnasiast die Coschenille für Steine oder Pflanzen- 
samen halten?. Erst durch die organischen Wesen der heissen 
Zone kommt ihm der ßeichthum der Schöpfung zum rechten 
Bewusstsein. 

Die Erforschung der Localfauna und -Flora ist nicht Aufgabe 
des G-ymuasi asten , sondern des Zoologen oder Botanikets. „In- 
secten Sammler" (richtiger Käfersammler), „Moosforscher etc. sollen 
aus unsrer Schuljugend nicht werden. Dass die Lehrer dies in 
der Classe werden und unwillkürlich auch ihre Schüler in ihre 
Lieblingsbahn leiten, ist die ganz natürliche Folge unsrer ver- 
kehrten, nur auf das Beschreiben und Unterscheiden der Natur- 
kßrper gerichteten Unterrichtsmethode." „Die fast aueschlieas- 
lich beschreibende bisherige Unterrichtsweise muss immer zuletzt 
ihren Schwerpunkt in den Namen legen und macht die Schüler 
geradezu namensüchtig." Rossmässler, S. 36. 

Fahle verlangt (IV,7) für das Gymnasium „im Leitfaden 
analytische Tabellen der Ordnungen, Familien, Gattungen und 
Arten aller in der naturhistoriscben Provinz des Schülers vor- 
kommenden Thiere und Pflanzen.. Weiter nichts (!); denn was 
- sonst in den Compendien beigegeben zu werden pflegt, soll der 
Lehrer nur mündlich entwickeln." — In einer solchen Provinz 
mögen vorkommen gegen 1500 Phanerogamen , 3000 Krypto- 
gamen, 1200 Schmetterlinge, 2000 Käfer etc. Was eine wirÜich 
voUstAudige analytische Tabelle zu bedeuten hat, erkennt man 
z. B. aus der Fauna austriaca von Bedtanhacher u. A. So ein 
gewaltiges Werk soll ein Leitfaden sein für die-Unterclassen des 
Gymnasiums! — Ohne Zweifel sind Diatomeen, Infusorien u. s, w. 
nicht'zu den „allen Naturproducten der Provinz" gerechnet, der 
Schüler soll eben nur einzelne Thierordnungen kenneu lernen, 
als ob die Übrigen vom Schöpfer nur aus Versehen erschaffen wären. 

Nach gewohnlicher Auffassung sollen die „ anatomisch-pby- 

I. ■, ii,Coo<^lc 



^ 



20 J- KOBBB. 

siologiecLen" Beziehungen die dritte llnterrichtsstufe bilden. Dies 
ist an sich ein gesundes Princip. Aber will man dasselbe auf 
die Spille treiben und das ÄnatomiBclie und Physiologisclie auf 
den unteren Stufen ausscbliessen , so wird man nicht vom kalten 
und warmen Blute, nicht vom Bau des HerzeDS, nicht vom Blnt- 
umlaufe, nicht von der Verwandlung der Lurche uud Insecten, 
nicht vom Vogelei, nicht vom Unterschiede zwischen Kalbsbrust 
und Gänsebrust etc. reden dürfen, also sich und den Schülern, 
die von Kindheit auf mit dergleichen Dingen vertraut sind, einen 
unnatürlichen Zwang anthun. Auch die „analytische Tabelle" 
möchte sich schwerlich ohne etwas Physiologie herstellen lassen : 
ohne Physiologie sucht der Schüler die Insectenlarven unter den 
Würmern, die Proschiarven unter den Fischen, Cypria unter den 
Musclieln u. s. w. Aber selbst wenn zoologische Bestimmungen 
möglich wären, so würden die ersten Jahrescurse an einer ent- 
setzlichen Monotonie leiden, besser geeignet den Schaler abzu- 
schrecken als ihn zu interessiren, und völlig geeignet, den Gegnern 
des naturgescfaichtlichen Unterrichts die Waffe in die Hand zu 
drücken. 

Will man im Ernst mit dem Naheliegenden beginnen, so 
muss der menschliche Körper den Anfang bilden. Der eigne 
Körper ist offenbar das Nädiste, mit ihm vergleicht schon das 
Kind den thierischen, es vergleicht die Vorderbeine und Flügel 
mit d^n Armen, es hat schon Gänse- und Hühnermagen, auch 
wohl Kälber- und Schweinemt^en gesehen, und fragt, wie der 
menschliche beschaffen sei u. s. w, — kurz es treibt schon ver- 
gleidiende Anatomie und Physiologie, Warum will man diese 
Bildnngaeiemente abweisen? warum den Knaben warten lassen' 
(das Warten ermüdet!) unter dem Vorgeben, dass er das nicht 
verstehe, während sein Bewusstsein ihm das Gegentheil sagt? — ^ 
Darum empfehle ich schon in Sexta Anthropologie und ein ange- 
messenes Eingeben auf Anatomie und Physiologie. (S. obeuS. 11.) 



■Aus dem Gesagten ergibt sich, dass ich regelmässige Be- 
stimmungen von Thieren als besonderen Unterrichtsstoff, einer 
Classe verwerfe*) und gleich auf den für Sexta angegebenen. 



*) Die Synopsis (aowie die kleineren Werke) von Leunia liefert in 
richtigem Takte ausser den Besclireibungen noch reichen brauchharen Stoff 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Die NaWgeBchichte auf dem Gymnasium. 21 

vorbereitenden Cursus eine sicli an die Sammlang ansctdieaaende 
Uebersicht des Thierreiclis*) folgen lasse, am zweckmässig- 
steu fUr Quinta diB wirbellosen, für Quarta die Wirbel- 
thiere. Ich bin völlig überzeugt, dass diese meine Ansicht, wie 
ich sie vor 18 Jahren festgestellt habe, dasa man nämlich mit den 
niederen Thieren beginnen müsse, die richtigeist. In jQngeren 
Jahren ist nämlich das Interesse für die kleineren Thiere stärker 
als später, der Enabe ist geneigter, ohne nach dem Nutzen des 
Thieres zu fragen, seine SpecienkenntnisB zu erweitern. Später 
tritt das -praktische Interesse, die Stellung der Thiere zu dem 
Menschen, kräftiger hervor. Auch ist bei den Wirbelthieren 
eine wissenschaftlichere Behandlung, wie sie mit zunehmendem 
Alter besser durchführbar tvird, lohnender und angemessener, als 
bei den niederen Thieren. Gndlich ist es besser, dass zwischen 
der Anthropologie in Sexta und deren — mit der Uebersicht der 
Wirbelthiere zu verbindender Wiederholung — eine längere Zeit 
zwischenliegt Ich bitte, bei Erörterung dieser Fn^e die Vor- 
schläge, die ich oben für die Schulsammlung gemacht habe, ver- 
gleichend zu prüfen. 

Die Uebersicht der Wirbelthiere in Quarta wird eingeleitet 
mit einer Wiederholung und Erweiterung der Anthropologie, theils 
wegen der hohen Wichtigkeit des Gegenstandes, theils weil einiges 
als für Sexta zu schwer übergangen werden musate, der Schüler 
wohl auch manches vergessen hat. 

Für Untertertia bleibt, auch wenn die Yerhältnisse es , 
nicht nöthig machen, den Cursus der Quinta nach Quarta und 
den der Quarta nach Untertertia zu verschieben, noch genug 
Physiologie, Wiederholung und Erweiterung etc. übrig. 

Eine solche Uebersicht, innig mit Thiergeographie verbunden, 
hat den grossen Vortheil, dass sie dem Schüler ein bestimmt ab- 
geschlossenes Gesammtbijd der Thier- [und Pflanzen-jwelt liefert, 
ihn also -auf einen höheren Standpunkt der Naturanschauung und 
-auffassung erhebt, ihn dem Ziele einer verständigen Ansicht des 
Natui^anzen zuführt und sonach seine allgemeine Bildung wesent- 
lich fördert. 



nnd widerspiicht eo glücklicherweise dem aufgestellten Principe, 
dos Bestimmen die Hauptsache sein soll. 
*) Vgl. I, 207. 



iM,Googlc 



Botanik, ia Quarta und Tertia. 

Die Botaiiik in Quarta und Tertia Iiefert_ in ähnliclier Weise 
eine Uebersicht des Gewächsreiches. Hier ist es freilich nicht 
thunlich, eine bestimmte systematische Ordnung streng einzu- 
halten, Treil man immer von dem zufälligen Vorhandensein frischen 
Materials, das ich in der Botanik nur sehr ungern entbehre, ab- 
hängig ist. Man kann den Schülern aufgeben, Vertreter der zu 
besprechenden Familien mitzubringen, aber Ungunst der Witte- 
rung etc. kann dies yerhindem : für solche Stunden ist Mikroskop 
und Physiologie etc. am Platze. Die Uebersicht wird, wie in der 
Zoologie, auf zwei (Sommer-) Semester vertheilt, und nach meiner 
Ansicht wird man am passendsten in Quarta vorzugsweise die 
Dikotylen, in Tertia die Monokotylen und Kryptogamen behandeln. 

Die Bestimmungen werden daneben fortgesetzt und können 
sich nun über alle Pflanzen erstrecken. Besonderes Gewicht ist 
auf die Verwendung der Gewächse zu legen, zumal bei den aus- 
ländischen. 

Auf eine Sammlung gepresster und aufgeklebter Pflanzen, 
soweit sie nicht etwa an den Wänden des Lehrzimmers auge- 
bracht werden können, lege ich nicht viel Werth-, weil sie bloss 
den Habitus der Pflanzen zur Anschauung bringen und ihre Ver- 
wendung beim Unterrichte unbequem ist. D^egen sind Holz- 
arten, Früchte und Samen (Kokoanuss, Parauuss, Erdeichel, 
Teicbnuss, Kakaobohne, BaumwoLleukapsel, Stechapfel, Krähen- 
■ äuge), die wichtigsten D'roguen, Gewürze etc. sehr am Platze, 
Auch eine Sammlung plastischer Pilznacbbildungen und mikro- 
skopische Präparate sind empfehlens werth. Trotz alledem wird 
man aber Abbildungen nicht entbehren können. 



Sonach werden in den vier untersten Classen des Gymna- 
ä die Sommersemester {in der Hauptsache) auf Botanik, 
die Wintersemester auf Zoologie' verwendet Soll der Unterricht 
als gelungen gelten, so muss der Schüler in der Botanik eine 
ziemlich grosse Specienkenntniss , in der Zoologie wenigstens die 
der wichtigsten Arten*), in beiden eine befriedigende Eenntniss 



intnisa wird in der Zoologie durch die JugendasHchan- 
ungon und das praktiBche Leben mehr gefördert, als in der Botanik; die 
Schule wird also anf letztere mehr bedacht sein müssen. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Die Naturgeschichte auf dem Gymnasium. 23 

der Fatoilien (bez. Ordaungen), vor allem aber eine ancemesseiie 
Einsicht in die Organisation ujid Entwicklungsgeschichte und 
Ueberaicht über das' Ganae*der organischen Schöpfiing erlangt 
haben. Gleichzeitig ist der" Physik und Chemie vorgearbeitet: ■ 
mit d§n Luftarten, mit der Kohle und dem Verbrennungsproeesa, 
mit den Erscheinungeil der Diffusion und Absorption u. b. w. ist 
der Schüler bekannt geworden. Auch der physischen Geographie 
sind zahlreiche AnknüpfimgspuDktc geboten. 

In den folgenden Jahren wird zwar manches, zumal Namen- 
kenntniss wieder verloren gehen, aber die gewonnene Kinsicht 
. bleibt und die vergessenen Einzelheiten treten bei etwaiger Auf- 
frischung sofort wieder vor die Seele. 

Mineralogie etc. 

Für Obertertia verwerfe ich die physische Get^raphie, weil 
sie (als Fach, denn die Elemente gehören in die Geographie) 
zu schwer ist, insbesondre an die mathematische und physikalische 
Vorbildung zu hohe Anforderungen stellt. Wenn dieselbe nicht 
nach Prima verlegt werden kann , so möchte ich sie wenigstens 
fflr ^as Winterhalbjahr der Untersecunda aufsparen, wo sie sich 
in naturgemässer Weise an die Geognosie anschliesst und über- 
dies eine Art Abschluas der Geographie bildet. 

Will man also das Sommersemester nicht auf Botanik ver- 
wenden, so bleiben beide Semester von Obertertia und das Sommer- 
semester der Untersecunda für Mineralogie und Chemie. Die 
Rücksicht auf die für Obertertia offenbar schv^ierige Kryatallo- 
graphie spricht zwar für Verlegung der Mineralogie, in die ober- 
sten Classen, aber übrigens ist dieselbe leicht genug und wegen 
ihrer innigen Verwandtschaft mit ^er Chemie und ihrer Stellung 
als erste umfassende Anwendung derselben kaum von dieser zu 
trennen. Offenbar muss sie aber der Geognosie vorausgehen. 
Und wo soll in Prima die Zeit herkommen? 

Die Mineralogie wird, ohne Vorausschickung eines all- 
gemeinen Theils, eingeleitet durch Monographien hervorragender 
Mineralien; diese sind nach allen Seiten, auch nacB ihrer che- 
mischen Zusammensetzung und technischen Verwendung und Ver- 
arbeitung, zu besprechen. Etwa 12 — 18 gut gewählte Mineralien, 
die in den ersten 3—4 Monaten besprochen werden mögen, ge- 
nügen. Dergleichen sind z. B. Steinsalz, Schwefelkies- (Pyrit), 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



lleiglauz, Houigstein, Ärsenkies, Schwefd, Kalk-_ 
^teieenerz, Eisenspatb, Quarz, Äragonit, Gips, Both- 

iernach a. B. der Pyrit allein (mit deii' aötLigen Re- 
äst drei UnterrichtsstuDden in AuBpruch nimmt, so 
L doch sehr gut angewendet. Die Stoffe, die aus 
«■gestellt werden- (Schwefel,' Eisenvitriol, Schwefel- 
ijn), sind zu besprechen, jedoch nur soweit, wie sie bei 
der Proeesse zur Anschauung kommen und in ihren 
'Wendungen; man hüte sieh aber vor zu grossen Ab- 
I, weil die Gedanken des Schillers sich auf das eine ■ 
eentriren müssen. Das specifische Gewicht wird 
r den Augen der Schüler bestimmt; die Harte erst 
iich mit Glas und Kiesel, dann init der Härtescala; 
m Härte erklären sich die Funken am Stahle und 
ßr Name Kies; Glanz, Farbe und Sti'ieh werden zur 
es Auges ausgebeutet. Aus der Erystallographie sind 
Urfel, Oktaeder und Pent^on -Dodekaeder anschau- 
ndeln, aus einem aus Kartoffel geschnittenen 
)ktaeder oder Pentagon-Dodekaeder herzustellen, -von 
lUsjsteme ist aber noch keine Bede : der Schüler musa 
ürfniss einer Krjstallographie fühlen, ehe man ihm 
;egenbringt. 

sen Vorbereitungscursns folgt dann Krystallographie, 
ersieht des Mineralreichs. Im Wintersemester der 
a Geognosie*) und physische Geographie, 
emie wird wohl am besten in den mineralogischen 
ingeflocbten, zumal in den Vorcursus, wo wegen der 

tach Hellmich IV, S. 88) auf keiner pieusaischen Beal- 
OrduuDg Geognoaie als solche g'etrieben wird, acheint mir 
kenauiig dee Zwecks dieser Schulen erklärlich. (S. Schmidt, 
d. IT, 409 n. 410.) 

) nun nach Hellmichs Zusammenstellung (ib. S. 88) . unter 
n Eealschulen erster Ordnung nicht weniger als 20 in Soita 
Urgeschichte haben, so ist zu begreifen, dass diese Schulen 
ing nicht nach Wunsch erfüllen. Will man über den Werth 
:n als Bildungsanatalten ErfahroDgeu sammeln; so muss man 
turwissenachaften eine einheitliche, stetige und voUstÄndige 
Bwähren. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Die Natnrgeadiichte auf dem Gymnasium. 25 

Beschränkung auf wenige Objecto die Gelegenheit zu chemischen 
Experimenten am günstigsten ist. Z. B. bei Besprechung des 
Steinsakes wird Natrium in Wasser verbrannt, Chlorgas und 
Salzsäure entwickelt, beim Schwefelkies schweflige Säure, Schwe- 
felwasserstoff, Dinte u. s. f. Die Miscbungsgewichte können gleieh 
anfangs Anwendung finden.*) 

Es ist das HauptgewicKt in der Mineralc^e nicht darauf zu 
legen, dass der Schüler viele Mineralien kennen lernt oder auch 
nur sieht, sondern, dass er mit wenigen, aber den wichtigsten, 
genau bekannt wird und dass er einigen Einblick in die chemische 
Technologie erlangt: es ist durchaus nöthig, dass der auf dem 
Gymnasium gebildete junge Mann der die Neuzeit beherrschenden 
technischen Industrie nicht ganz fremd gegenüberstehe. 
Der Unterrichtsplan**) wäre demnach folgender; 



VI. Pflanzemnonographien Anthropolc^e und Thiermonographie. 

T. PflBPzeiibeatironningen Wirbellose Thiere. 

rV. Dikotylen Wirbelthiere. 

III^ Mono- und Aiobjlen Änatomiech-Phygiologisolies. 

III* Hineralogie (Vorschule) Mineralogie 

n*! üGneralogie und Geognosie ■ . . Physische Geographie. 

Ein solcher Unterricht wirkt selbst auf die übrigen Fächer 
günstig ein, weil er zu denselben einen wohlthuenden Gegensatz 
bildet und so die Geisteskräfte erfrischend anregt. 

Anhang. 

Linn^sches oder natürliches System beim Bestimmen? 

Wer von Bestimmung nach dem Linneschen Systeme spricht, 
meint in der ßegel nur die Feststellung der Classe und Ordnung, 
die in der That durch einfache — also präsumtiv leichte — Merk- 
male charakterisirt sind. Mau braucht aber nur eine alte Auf- 
lage ein es- Linneschen Werkes mit späteren zu vergleichen oder 
auch nur die Tabelle in Leunis' Synopsis zu studiren, um zu 
sehen , dass die Einfachheit grosBcntheils nur scheinbar ist. Nichts 
ist dagegen einfacher, als eine Crucifere, Papilionacee, Oomposite, 
Orchidee etc. zu erkennen, was Linse selbst zugibt; erklärt er 

*) Damit soll nicht gesagt eeia , daea nicht ep&ter noch einmal Chraue 
vorkommen .dQrfe, 

•*) S. die zweite Note aut S. 11. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



26 J- KOBBR. . 

doch das natürliche System für das der Zukunft und begnüg 
nur, weil allgemeine, alle Gattungen nmfassende, Merkma 
Zeit noch nicht gefunden und einzelne Gattungen (allei 
ausländische und seltene) echwierig' unterzubringen, mit » 
„-Nothhelfer."-) 

In der That bedeutet bei Linne**) XX, 1 nur Orch 
XIX nur Compositen, XV Cruciferen, XVII, 3 Papilioni 
XIV „Lippen- und Masken blumeu'' etc., auch die Untergehe 
von XII und XIII ist eine Concession an das natürliche Sj 
Der natürlichen Yerwandtschaft zu Liebe stellt man Yiola 
nicht in XIX, Genista u. a. nicht in XVI, Lepidium ru< 
nicht in II, und warum soll der Schüler Oxalis in X, abei 
dium in XVI suchen? Der Schüler wird Bellis und Erigei 
XIX suchen, nicht weil sie fünf verwachsene Antheren 1 
sondern weil sie Compositen sind; er wird — ganz corr« 
Svonymus in IV, Reseda odorata in XIII, Delphinium Consolida 
in XIII, 1, Myosurus in X, XI, Lychnia dioica und Urtica di- 
oica in XXII u. s. w. vergeblich suchen. Ich erinnere mich, wie 
ich als Schüler (ohne Kenntnias des natürlichen Systems) Acer 
campestre erat mittelst des Registers in XXllI fand und finden 
konnte. 

Nun ist es zwar bequem, eine Pflanze zu l>eatimmen, wenn 
mau weiss, dass sie in I, VII***), IX zu suchen ist, aber wie, 
wenn sie in die ungeheure V gehört? Ausser solchen Ausnahme- 
fällen hat man zur Aufsuchung der Gattung ganz dieselbe Be- 
obachtungs- und Gedanfeeureihe durchzumachen, wie bei Bestim- 
mungen nach dem natürlichen Systeme, nur dass man den grossen 
Tortheil der Unterscheidung von Monokotylen und Dikotylen 
preisgibt. 

Es sei z.B. Yeronica zu bestimmen, so hat man nach dem 
Linneschen Systeme (Leunis' Synopsis § 212) folgenden.Gedanfeen- 
gang: 1. Zwitter, 2. 2 Staubfäden, 3. ein Griffel, 4. Kraut, 5. be- 
blättert, 6. Krone einblättrig, 7. ohne Sporn, 8. oberständiger 



' *) Genera, plantarum, Einleitung § 9. 

**) Genera plantatam, Vorwort, zu XIV, XV, XVII, XIX, XX, sowie 
Einleitung imd Aijiatig. 

****) Obendrein zeigen die beiden einzigen Gattungen der VII (Aesculus 
nnd TiientaUs) gai ot% nicht )üeben Stanbfftden. 



i,Coo<^lc 



Die Naturgeschichte auf dem Gymnasium, ' 2'i 

¥rkn,f 9. eine Kapsel 10. Krone radformig. Dagegen nach dem 
nfttflrliehen Systeme (meines Leitfadens): 1. Dikotyle, 2. mono- 
petal, 3. jreniger Staubfäden als Kronen theile, 4. Krone unregel- 
mäsBig, 5. 2fäclirige Kapsel, 6. Änthere doppelt, 7. Krone flach. 

Oder Acer nach Leunis: 1. 8 Staubmden, 2. I (?)•) Griffel, 
3. Blüthe vollständig, 4. beblättert, 5. polypetal, 6. Baum. — 
Dagegen 1. Dikotjle, 2. polypetal, 3. weder Schmarotzer noch 
schwimmend, 4. ein oberständiger Frkn., 5..Frucht mehrfäcbrig, 
6. 2tfaeiligG Spaltfrucht. 

Oder Ribes nach Leunis: V, 1*), Bhlthe vollständig, Krone 
3— Öblättrig, oberständig. Stamm aufrecht. Dagegen: Dikotyle, 
polypetal, Frkn. nnterständig, 5 Staubfäden, Strauch. 

Man sieht, der Unterschied liegt in der HiEuptsache nur in 
der Trennung der Monokotylen und Dikotylen; diese zu unter- 
scheiden, macht aber, von einigen sehr wenigen Pflanzen abge- 
sehen, selbst dem Sextaner keine Mähe, weil diese Unterschei- 
dung unmittelbar der Anschauung zu entnehmen ist, sie gtewährt 
aber dem Knaben Befriedigung,- weil die Verschiedenheit des Kei- 
mens ein so höchst durchgreifender Unterschied ist: man braucht 
nur dem Schüler, ohne ein Wort zu sprechen, einige Keimpflanzen 
vorzulegen, um ihii von der totalen Verschiedenheit der Mono- 
kotylen und Dikotylen zu überzeugen. Hat nun derselbe einige 
Blätter und Blüthen und an einem Stück spanischen Rohres den 
so sehr auffälligen Unterschied in der Holzbildung gesehen, so 
wird er beim Bestimmen nicht leicht fehlgreifen. 

Was sonst noch von Charakteren im natürlichen Systeme 
Verwendung findet, wird, wie jede Bestimmungstabelle und auch 
die aufgeführten Beispiele zeigen, ebensogut im Linneschen Sys- 
teme gefordert, sobald man nicht mit der trivialen und noch dazu 
zum Theil incorrecten Bestimmung der Classe zufrieden ist, son- 
dern die Gattung verlangt. 

*) Nach Hermann Wagner hat Acer zwei Griffel; auch bei einigen 
andern Pflanzen ist es schwer zu entscheiden, ob man einen oder mehrere 
Griffel anEunehnjen hat. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Das Beweisverfahren in den inversen Rechnung» 

Von OberlehTer Dr, Boebneb in Buhrort.*) 

I. 

In den gebräuchlichaten Lehrbüchern der elementaren 
inetik Tverdeu zwei gänzlich verschiedene BeweisrerfahrE 
gewandt. **) Die Beweise für die directen Rechnung 
fuhren ans der Definition der letzteren mit Nothwendigkei 
Resultate, ohne die Bekanntschaft mit demselben vorauazuE 
diejenigen für die indirecten Rechnungsarten dagegen habi 
Resultat zum Ausgangspunkte und boweieon nur seine R 
keit. Der pädagogische Grundsatz von der Einheit der M 
in der Behandlung desselben Gebietes fordert entschied) 
Aufhebung dieses Dualismus und das mit um so mehr ( 
als das zweitgenannte Verfahren ganz und gar unzulängli 

Die Voraussetzuug des Resultates giebt dem Beweii 
Charakter des Gekünstelten und bereitet dem nach heuris 
Methode unterrichtenden Lehrer ein unliebsames und schi 
Überwindendes Hinderniss. Es hebt die Schwierigkeit 
wenn Helmes (T. §. 22) im Änschluss an die Regel für <: 
weise der Subtraction („Prüfe, ob die Summe aus Subtral 
und Differenz gleich ist dem Minuendus") sagt: „Das 
oder der Lehrsatz selbst aber wird ohne Weiteres aus dei 
sprechenden Gesetz oder Lehrsatz der Addition derselben 
form zu entnehmim sein; wie damit in. der Addition ver 

•) Dieser Aufaate iat nach dea Verfasaerg Mittheilung nngereg 
Dl'. Zertauga kleinere Mittheilong „über mathematiBche BeweiefÜ 
(UI. 1. Hft. S, 24—27). Die ] 

**) So bei Eamblj, ÄBChenbom, HetmeB, Wiegand; in dem an v 
Schulen im Westen eingeföhrten Leitfaden; „Fundamentatsätze de: 
meinen Arithmetik in ayetematischer Zngammenatellung (eracbieuen 
bei Vorländer) i in dem an der RealBcliule in Frankfurt a. 0. gebrauchte 
buche Ton Bichtei (erschienen Fianktxirt a. 0. bei Eamecker 1863) 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Dr. BoEBNBE. Das Beweisverfahren in den inTereen Rec}iiiaag8aH«n. 29 

TTiirde, so wird es auch in der Subtraction sein;" denn diese 
Analere kann erst zum Verstäudniss gebracht- werden , nach- 
dem die einzehien Gesetze bewiesen sind. Ist einmal der Yor- 
. Zug der heuristischen Methode im- Unterrichte anerkannt, so ist 
die gerügte Beweisführung zu verwerfen. 0er einzige Umstand, 
der sie den genannten Grründen zum Trotz halten könnte, wäre 
die Unmöglichkeit, eine andere aufzustellen. Diese Unmöglich- 
keit existirt nicht, wie Herr Dr. Zerlang im 1. Hefte des Jahr- 
ganges UI (1872), S. 24—27 dieser Zeitechrift (Kleinere Mit- 
theiliingeu: „Ueber mathematische Beweisföhrnng.") an einem 
Beispiele nachgewiesen hat. - ' 

Gegen die von Herrn Dr. Zerlang vorgeschlagene Beweis- 
flihnmg in den inrersen Operationen und für die bis dahin ge- 
bräuchliche sind im 2. Hefte des Jahrganges einige Herreu auf- 
getreten. Ich glaube, dass die dort angeführten Bedenk'en nicht 
zutreffen und dass die neue Methode vor der alten entschieden 
den Vorzug verdient. 

Darin bin ich mit den Herren einverstanden, dasa die bis- 
herigen- Beweise der wissenschaftlichen Schärfe genügen, bin 
aber ebenso jjberzeugt, daas sie die Anforderungen, welche die 
neuere I^d^ogik an einen Beweis zu stellen berechtigt ist, in 
keiner Weise erfüllen. Zu diesen Anforderungen gehört aber vor 
Allem, dasB der Beweis eine Ableitung des Resultates aus dem 
Gegebenen ermögliche. 

Der Unterechied der beiden Beweisarten scheint mir be- 
deutender zu sein, als Herr Prof. Schröder an^mmtj da er 
schon in der Verschiedenheit des Ausgangspunktes sich kuud 
gibt. Die neue Methode geht von der Definition der Inversen 
Operationen, die alte von der Definition der durch die Operationen 
erzeugten Zahlformen aus. Darum kann die Richtigkeit, der 
Bemerkung Herrn Meyer's, dass die alte Beweisart die Definjtion 
des Quotienten (z. B^) in das rechte Licht setze, in gewissem 
Sinne zugegeben werden; da sie jedoch stillschweigend voraus- 
setzt, dass * die Definition des Quotienten für das betreffende 
Capitel den geeigneten Ausgangspunkt bilde, so hängt die Ent- 
scheidung aber den relativen Werth der einen und der anderen 
Methode von der grösseren oder geringeren Berechtigmig ihres 
Au^angspunktes ab. 

Ich meine, der Definition der Zafalform sei die Definition 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



30 Dr. BOEBHBR. 

der ßechuuiigsart schon aus Gründen der Cousequeiiz voran- 
zusetzea, da man bei den directen Operationen ebenso verfährt. 
Zwingender aber ist der logische Grund: Die Operation ist zunächst 
za d^Sniren, weil sie die Ursache, das Resultat die Wirkung ist. 

Untersucht man nun die Definitionen der inveraen Opera- 
tionen genauer, so .wird mau mit Noth wendigkeit auf die Zer- 
lang'scbe Beweisart hingefQlirt. 

Die Begriffe der inversen Operationen fallen unter den Be- 
griff „Rechnen." Der Begriff „Eechuen" erhellt aus der De- 
finitdon: „Bechnen heisst, aus zwei Zahlen (au.b) eine 
■ neue Zahl bilden." Die möglichen Bildungs weisen zerfallen 
in zwei Abtheilniigen : Die Zahl a kann entweder als ein Ele- 
ment betrachtet werden, durch dessen ftmalige Verwerthung 
nach Torgeschriebenem Gesetz die 'neue Zahl erzeugt wird, oder 
sie kann als ein Complex von nach vorgeschriebenem Gesetze 
vereinigten Elementen betrachtet werden, deren Anzahl oder 
Grösse durch b gegeben ist und deren resp. Grösse oder Anzahl 
die neue Zahl sein soll. Die erstere Bildnngsweiae befolgen die 
directen, die letztere die indireeten Rechnungsarten. Das Gesetz 
für die Vereinigung der Elemente schreibt die jedesmalige 
directe Operation vor. Die Aufgabe der indireeten Rechnungs- 
arten (deren es somit für jede directe Operation streng ge- 
nommen zwei gibt) wird also im Wesentlichen darin bestehen, 
ff in der Zahlform der betrefTenden directen Rechnungsart derart 
darzQstellen, dass b in dieser Zahlform die Anzahl resp. die 
Grösse der Memente bezeichnet 

Zur jedesmaligen Umformung der Zahl a dienen wenige 
einfache Gesetze. Die Beziehung jeder indireeten zu der zu- . 
gehörigen directen Rechnungsart hat einen zweifachen arith- 
metischen Ausdruck, .jenachdem man von der directen zur in- 
direeten Operation oder umgekehrt übergeht. Dadurch ergeben 
sicli 2 Folgerungen (andere Formen derselben Beziehung), die 
das einzige Material bilden, dessen man für die schärfe Ab- 
leitung sämmtlicher Sätze benöthigt ist. Bei der Subtraction, 
Division und Wurzelrechnung leisten noch zwei andere, un- 
mittelbar aus den erwähnten Folgesätzen sich ergebende Lehr- 
sätze (Über Umformung der betreffenden Zahlform ohne ihren 
Werth zu ändern) durch Vereinfachung des Beweisverfahrens 
in vielen Fällen wesentliche Dienste. 



,iP,.-ih,Googlc 



Das Beweiaverfahren in den inveraen Bechnungsarteo. 31. 

Das angegebene Princip ist bei allen indirecten Rechnungs- 
arten durcbfalirbar. • Die folgende Daretellung soll zeigen, -wie 
die durch das bisherige Beweisverfahren nur nothdürftig ge- 
schlossene Lücke in den Lehrbüchern ausgefüllt werden kann' . 
Ich habe die Entwickelnng ausführlich gegeben aus folgenden 
.Gründen: 1) Es ist auffallend, dass gerade die Anfänge der 
Arithmetik in den meisten Lehrbüchern mehr als kurz be- 
, handelt sind*), und dass sie bei dieser Magerheit häufig noch 
die nöthige Gliederung in der Anordnung vermissen lassen^ 
Darüber dürfte aber doch wohl Uebereinstimmung herrschen, . 
dass Beides, VolIsiÄndigkeit und Uebersichtlichkeit, besonders 
in den Anfangsgründen einer Wissenschaft unentbebrlick ist. **) 
Im Interesse der Unmittelbarkeit der Erkenntnies ist jeder Satz 
aus seinen obersten Gründen abgeleitfit worden, '**) Die indirecte 
Ableitung der einen Form durch die andere regt die Denk- 
thätigkeit des Schülers zu wenig an und befördert deshalb die 
Oberflächlichkeit. Mit Nutzen kann eine derartige Umwandlung 
der verschiedenen Formen in einander am Schlüsse eines Ab- 
schnittes, nachdem die Sätze fest eingeprägt worden sind, vor- 
genommen werden, um die Einsicht in den innigen Zusammen- 
hang der bewiesenen Gesetze zu fördern. 

3) Es liess sich bei der Einfachheit und Natürlichkeit des 
angewandten Princips erwarten, dass eine systematische An- 
ordnung der Sätze möglich sei. Die Vermuthung hat sich Überall 
bestätigt und dainit ist der weitere Vorwurf, der dem nenen , 
Verfahren gemacht worden ist, „dass es etwas Willkürliches 
habe," als unbegründet erwiesen. Beachtet man die syste- 
matische Aufeinanderfolge der Sätze, so ßndet man vielmehr, 
dass feste Principieii in der Anwendung der durch die Erklärung 
der betreffenden inversen Operationen und die Eigenschaften 
ihrer Zahlformen gebotenen Hilfsmittel vorhanden sind. 

Die Anordnung selbst ergab sich naturgemäss aus folgender 
Erwägung: Ist die Definition einer nenen Rechnungsart auf- 
gestellt (und sind die Formverwandlungen der neuen Zahlform, 
die möglich sind, ohne ihren Werth zu ändern, entwickelt), so 

*) Helmes n. a. macheD davon eine rühmliche Ausnahme. 
*•) Vergl. die AnaßthTungen von Helmes in seiner Vorrede zur Arith- 
onetik, S. iX^ 



,ti7rJt,G00glc 



32 

muss 1) die neue Bechnungsart der Reibe nach auf die bis 
dahia bekannten Zahlfonnen und müssen - 2} die sämmtlichen 
nun bekannten Beclinungsarten der Beibe nacb auf die neue 
Zahlform angewandt werden. 

Bei der IHvision z. B. würde also das Wesentliche der Auf- 
gabe darin bestehen: 1) einen Quotienten, dessen Beatandtheile 
(beide oder einzeln) a) Summen, b) üififerenzen, c) Producte 
sind, in der Form a) einer Summe, b) einer Differenz, c) eines 
.Productes von einzelnen Quotientenj 2) a) eine Summe, b) eine 
Differenz, e) ein Product von Quotienten in der Form eines 
Quotienten; 3) einen Quotienten, dessen Bestandtheile Quotien- 
ten sind, in der Form eines Quotienten mit veränderten Be- 
standtheilen darzustellen. 

Da das Wesentliche des neuen Verfahrens darin liegt, iass ' 
es die gegebenen Zahlen als Form der entsprechenden directen - 
Bechnungsart darzustellen sucht, so scheint sie mir den Zu- 
sammenhang der inveraen mit den directen Operationen inniger 
zu wahren, als das alte Verfahren, ohne in den Anschein des 
Künstlichen und Willkürlichen zu gerathen. 

Ich kann mir zum Schlüsse die Bemerkung nicht versagen, 
dass ich nicht meine, daas der erst« arithmetische Unterricht 
in streng wissenschaftlicher Weise betrieben werden soll. Ich 
halte es vielmehr für dringend nßthig,' dass der Lehrplan in 
den mathematischen Disciplinen (ich habe vorzugsweise die 
preussischen Schulen im Auge) dahin geändert werde, dass 
sowohl in der Geometrie als auch in der Arithmetik ein be- 
sonderer streng systematisch ertheilter propädeutischer 
Unterricht vorausgehe. In der Arithmetik bat die Schwierigkeit, 
welche die Forderung einer bedeutenden Abstraction bereitet, 
lallst das Bedürfnias klar gelegt, indem die Beweise sehr häufig 
nur sehr nebensächlich und oberflächlich behandelt werden. 
Der propädeutische Cursus soll die Wahrheiten anschaulich 
aber doch streng entwickeln; an ihn schliesst sich der eigent- 
liche wissenschaftliche Unterricht an, der die auf anschauliche 
Weise gewonnenen Wahrheiten in streng wissenschaftlicher Form 
begründet. In der Frogrammabhandlung der Bealscbule in 
IiVankfurt a/0.. Ostern 1873, io welcher ich die 4 Species mit 
absoluten Zahlen nach den weiter oben erörterten Principien 
ausführlich und streng systematisch behandelt babe^ habe ich 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



1 



Das BeveiBTet&hien in den mversen Bechatingaartan. 33 

in fortlaufen)]«! Znaätzen za den einzelneii Lehrsätzm (Über- 
schrieben: Yeranschauliclinng) den Versuch gemacht, zn zeigen, 
wie etwa ein solcher propädeutischer Unterricht in der Arith- 
metik anachaulich (im engsten Sinne des Wortes) betrieben 
werden kSnne. 

L Snbtraction.*) 

A. ErU&mns der Svbtraotlsu ud ohsrakteristlsehe BigensehBlt der 
Differenz. 
Erklärung: 

Wenn a-\-b = s (1) 

so ist s— b^a .' (2) 

Setzt man aus (1) statt des Werthea s die Summe a-\-b 
in (2), und aud (2) statt des Werthes a die Differenz s — b in 
(1) ein, 80 folgt: 



Folgesatz 1 
Folgesatz 3 
Lehrsatz 1 



(B + b) — b = a 

(8 — b) + b = s 



a — b =■ (a + c) — (b + c) 
Bedingung, h < a; folgl h -\- c < a -\- e 
Beweis. Es sei + a — ft = d 
dann ist n. E. a'=b -\- d 

o + c = (fc+d) + c 
a^C'=lb-[-c)-{-d. Erkl. 

* (.a + c ) ~{b + c) = d 

o - 6 = (ö + c) - (& + c) 
Lehrsatz 2: 

a — b = (a — c) — (b — c) 
Bed. b < a; c <b folgl. c <a 

Bew. Es sei *a— b = d 
dann ist n. Erkl. a = b + dF. 2. 

(« _ c) + c = [{& - c) + c] 4- d 

(a~c) + c=[{b-c)-i-d] + c 

a — c^ (& — c) -\- d 

,(a-^e)--(b-ö)-d 

a — h = (a — c) — (6 — c) 

*) Die im Folgenden mit den Beweisen angeführten Lehra&tEe etc., 
stehen immer hinter den Zeilen, aof welche üe angewandt werden Bollen. 



,t,7rJt,G00glc 



34 Dr. BflBBHBii. 

B. Anwendmig der Snbtraetion auf Snmmsii. 
Lehrsatz 3: 

(.+ b)-c 

- 1) (« - c) + 1> 

- S) a + (b - 0.) 
Bed. c<a + b. 
Bew. 1) Ann. c < « 

(o + 5) - c F. 2. 
-{K''-':) + c] + h}-c 
-{l(a-c) + b]+e}-ct'.h 
— (o — c) + i. 
2) Ann. « < 6 

analog Bew. 1. 
Lehrsatz 4: 

a - (I) + c) 
= 1) (a — b) — c 
— 2) (a — c) — b. 
Bed. 6 + c < o, folgl. 6 < o, c < a 
Bew. 1) o — (t + c) L, 2. 

-(.-!.)-[(6 + «)-t]F. 1 
_(„_6)-e 
2) analog Bew. 1. 
Lahrsatz 5: 

(a + b)-(c + a) 

- 1) (a - c) + (b - d) 

- ä) (a - d) + (b - c) 
Bed. oi; + <J< + S. 

Bew. entweder durch Anwendung von L. 4 u. 
unmittelbar, wie folgt: 

1) Ann. c < a; rf < 6. 
(o + 6) - (e + d) F. 2. 

-{[{a^e) + c] + Hb-d) + dl} -Ic + i 
- {[{« -c) + (l-d)] + (c + d))^lc + d 

2) Ann. d < a; c < 6. 
analog. Bew. 1, 

Audi. L. 3 u. L. 4 kSnoen als Folgesätze von L. 6 bewie» 



itiA-jt, Google 



Du BeweiBTeifabren in den iiiTereen Rechonagiarlea. 35 

C. AnweaduDg d«r Addition and Snbtraotioii anf Differenzes. 
Lehrsatz 6: 

(•-») + « 

-l)(a + c)-l> 

— 3) a - (b — e) 
Bed. ■ 6 < a. " 

Bew. 1) (a-h) + c F. 1. 

-{|(a-S) + f] + 6}-S. 

- {[(<■ - *) + »l + <■} - t- P. 2- 

— (a + e) — b. 
2) Ann. c < 6. 

(a — h) + c Bew. 1. 
=- (o + c) — 6 L. 2. 

— [(» + c) - 0] — C» — c) F. I. 

- »-(i-e) 
Lehrsatz 7: 

(a — b) ^ c 
-1) a-(b + i;) 
— 2) (a - c) — b 
Bed. ■ h 'C <^; c < a — &, folgl. c < a 
Bew. 1) (o— S)-c L. 1. 

_[(„_J) + i]_(« + i)F. 2. 

— o -(5 + c) 
2) (o — i) — c Bew. 1. 

— o — (S + c) 

(entweder direct ■— (a — c) — 6 oder nach L. 2.) 

— (o — e) — [(t + c) — c] F. !. 

— (o — c) — 6. 
Lehrsatz 8: 

a + (b - ») 
_ 1) (a + b) - c 
-2)(a-c) + b. 
■ Bed. c < i. 

Bew. 1) entweder nach Yertauschung der Summanden 
durch Anwendung von L. 6 oder unmittelbar, wie folgt: 
a + (6 - c) F. 1. 
• - {[a + (1 ~c)] + e)~e 

-{i + lih-c] +c]}-cF.2. 
~(a + b).-c 



t .„„„„Google 



36 ■ Dr. BOEBHBB. 

3) entweder aus Bew. 1. nach L. 3 oder unmittell 
Ann. e < a 

o + (S — e) P. 2. 
^l(a-e) + c]+{b-c) 

- («-<,) + [« + ((.-«)] F. 2. 

- (o - ») + S. 
Lehrsatz 9: 

a — (b — (!) 

- 1) (. + »)- b 

_ 2) {• - b) + c 
Bed. c<b;b — c<a, folgl. 6 < ö + c 
Bew. 1) o — (S — e) L. 1. 

- (»+(!)-[(!. -») + «] F. 2. 
-(» + «)-!,. 

2) Ann. h < a 

a — (b — c) Bew. 1. 
_ (o -(- c) — i L. 3. 

— (o — 6) + c. 
Lehrsala 10: 

(»-b) + (c-d) 
-(a + c)-(b + d) 
Bed. S <«, (i<e, folgl. t + (i<o+c. . 
Bew. entweder durch Anwendung von L. 8 u. L. 
unmittelbar; 

{a—t) + (e-ct) F. 1. 
_{t(a-t) + Cc-<i)l + (i + Ä)}-(l + <i) 

- {[(» - t) + 6] + [(= - rf) + ,J]} - (i + ,i) F. ,. 

- (« + « ) -(i + 'i) 

Anm. L. 6 u. L. 8 kSonen ab Folgesätze von L. 10 bewieeeti werden. 
Lehrsatz 11;«) 

(•-b)-(c-d) 
-(a + d)-(b + (i) 



*) Der Satz iat aufgeführt, um die VoUstiLndigkeit in der Analogie 
mit deo Sätzen über Division nachzuweiaen. Führt man den Begriff „ent- 
gegengesetzter Werth einer Differenz" hier ein, Bo'überträgt sich 
die Analogie sogar auf den Wortlaut. Lehrsatz 11 lautet dann als Regel: 
Eine Differenz wird von einer Differenz subtrahirt, indem man ihren ent- 
1 Wertb (nach Lebriatz 10) addirt 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



iweisverlahren in den invereen Recbanngsarten. 37 

<a, d <,c; c — d < a — h 
folgl. i + c<a + d. 

atweder durch Anwendung von L, 9 u. L. 7 oder 
unmittelbar: 

(d — S) — (e — d) L. 1. 
_((„+i)_(} + ^]_[(6 + 6)_(d+i,)] 

- |(o + - (i. + d)J - ((S + ») _ {i + d)\ L. 2. 

- (o + tj-0> + c). 

Adiu. L. T u. L. 9 kSnnen als FotgeBätze von L. 11 bewieeen werden. 



A. Erklärung der Division; oharakteristische EÜgenschaR des dootienten. 

(Vergl. I. A.) 

Erklärung: 

Wenn ah = p (!) 

Bo ist T ^ '^ (^) 

■ . Setzt man aus (1) statt des Werthes p das Product ah in 
(2) und aus (2) statt des Werthes a den Quotienten ^ in {I) 
ein, so folgt: 

ab 



Folgesatz 1: 


"^.= 3. 


Folgesatz 2: 


i.b = p. 


Lehrsatz 1: 






T = 5? 


. Bed. & F.«) y 


on a. 


Bew. Es sei 


'f = 2 


dann ist n. Erkl. 


a = h .q 




ae = (bqjc 




ac = {lc)q 




*Vc = 9 




T^Vc 



*) F. bedeutet im Folgenden „Factor," 



iM,Googlc 



38 




Di. Boebbeb. 


Lehrsatz 2: 
Bei b F. y. 


<^, 


a 
a 

c F. ». S, folgl. c F. T. a. 


Bew. B. sei 




•f-3 


dann ist 




« - S . g F. 2. 


LeJirsatz 3: 


a 
a 


— 1. 


Bew. 


1- 


_£_i(P:i)_l 


Lelirsatz 4: 







.?-=^(F.l)-» 



B. Anwendung der Division anf Sanunen, Differenzen, Prodnote. 

a) Summen und Differenzen. 
Lehrsatz 5: 

a±b a ■ b 

c T c — c 
Bed. cF.y.a±h. 
Bew, Ann. c F. v. a n. v. 6. 

, . — . c -{ . c 



,tPrJt,G00glc 



Das Beweisver&hrea in den 



= ^(-)--±^ 



b) Producte. 
Lelitsatz 6: (Vecgl. I L. 3) 

ill_l)Jl.l,_3)a.i 

B«d. cV.v.a.b. 
Bew. 1) Aau. c F. y. a. 



ü-±(F.2)_i^-li 



== ^ ^ ^ - (P. l)=-^.&. . 

2) Ann. c F. y. 6. 
EUiitlog Bew. 1. durch Zerlegung von b in Factoren. 
.Lehrsatz 7: (Vergl. I. L. 4.) 

Bed. Sc F. V. o, folgl. t F. T. o, c F. v. o 
Bew. 1) j^ (L. 2) _ i (F. 1) 



2) analog Bew. 1. 
Lehrsatz 8: (Veigl. I. L. 5.) 



Bed. cd F. v. ab. 

Bew. Entweder durch Anw., v. L. 7 u. L. 6 oder un- 
mittelbar : 

I) Ann.' c F. T. o, d F. v. b. 

y-d (*■ 2) = ^ra 

n,<:,tP<.-jM,G00glc 






2) Ann. c F. v. b, d F. v. a 
aoalog Bew. 1. 

Anm. L. 6 u. L. 7 können als-FolgeaÄtBe von L. 8 hewie 

C. Mwendiiiig der vier Spealea auf QDOtlenteii. 

a) Addition und Subtractioa. 
Lehrsatz 9: 

i -l-^ _ »±^ 

c — c . c 

Bed. c F. V. a u. V. 6; folgl. c F. v a + b 
B«"- -J- + ±(F..l)_ii °J- 



-(F.2)- 



b ac + b 



Lehrsatz 10: 



Bed. c P. V. fr; folgl. c F. V. «&+ fr. 

Bew, „ + -2-(F.l)_i j-ü 

fti: ± -^ ■ f: , ^ 

Lehrsatz 11; 

JL-l- -£. ^^ ^ '"' 
b 3: a =■ b,i . 

Bed. h F. v. a, d ¥. v. e 



Bew. 






. hd F. T. at 



Anm. L.9 u. L. 10 können alBFolgeB&tze vonL. U bewiesen wetden. 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



b) Multiplication und Diviüioii. 
(Vergl. I. C.) 
Lehrsatz 12: 



Bed. .6 F. T, .a, folgl. auch von ac. 
B-. l)^..(F.l)_iL^ 



(t-^) 



(F.2)_i^ 



2) Ann. c F. v. b. 



Lehrsatz 13: 

— ■ — 

Bed. i F. V. a, c F. V. -T-, also auch t. a 



li-^(L.l)^- 



- (P- 2) 



Ann. 6 F. V. — 
-(Bew. 1) — -^(L.2) 



Lehrsatz 14: 

a. A _1) J^ = 2) i.b. 
Bed. c F. T. J, folgl. auch v. a . 6. 



i'ti.rJt/GoOglc 



1) wie L. 12, 1 oder nach Vertauscbung der 
\ Äuweud. T, L. 12. 

2) Ana. c F. v. a. 

aus Beve. 1 nach L. 6 oder onmittelbar; 
a.^ß.2)-(^.c)-^- 
--?-.(»-A)(F.2)-4.i. 
z 15: 

e 

! F. T. ii — F. V. Ol folgl. i F. Y. oe. 

1)-J-(I'-1)--V^ (F.2)-^ 
Ann. ft F. T. a 

= 2)f .c 

s 16: 

a _c a ■ e 

b ■ d ~ b d 
6 F. T. a, d F. T. e; folgl. id P. v. ac. 
Entweder durcli Anwendung von L, 14 u. L. 12 



(Fl, it$l 



iLÜM,F2) 



12 u. L. 14 können als Folgesätze von |L. 16 bewiesen 



b F. y. a; d F. T. c.-j F. t. -|- 

Entweder durch Anwendung von L. 15 a. L. 13 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



Dm BeweiBverfahten in den jnYergen Reclmniigsarfen. ■ 43 

oder Dumittelb&r: 

a a ■ d 

d b ■ d • ■ 

Anm. L. 13 n. L. 16 kSnnen als FolgeBStee von L. IT berieaen 
«erden. 

VorBtehende Sätze sind für die ursprÜDglicheu DefinitioneD 
der beiden inveraen Operationen bewiesen worden; sie ändern 
sieb nach Erweiterung dieser Definitionen nicbt. 

Cn. Hälfte folgt) 



it,G0Gglc 



Kleinere Mittheilungen. 
Zorn BeweiBverfalireii in der Hatbematik. (m, 26. 16 

Von E. Metes in Laodabei^ a/V- 

Hr. Dr. Zerlang batte im 1. Hefte des III. Jahrgang 

behauptet, A&ea der Kambly'sehe Beweis von §. 19 (Aritl: 
keiner Weise der wissenBchaftlichen Schärfe genüge, daas f 
Beweise zwar die Richtigkeit des Qnotienten (besser de 
folge, nicht aber die des Lehrsatzes, ja dass es nur eine 
Beweisführung sei. Diese Behauptung suchte ich im 2. . 
selben Jahrganges pag. IGT zu widerlegen. Im 5. Hefte det 
ganges stellt nun Hr. Zerlang von neuem die Behauptung 
das von Kambly eingeschlagene Beweisv erfahren unrichti) 
bringt gegen meine Ausführungen drei Bedenken vor, ein 
didaktisches und formales. 

l) Ein logisches. Hr. Zerlang findet durch logisch 
tung den Satz; gin richtiges Resultat braucht nicht von i 
ligen AufKsungsmethode herzustammen. Dieser Sata ist 

haft richtig und bleibt bestehen, mag man nach Kambly 

lang beweisen. Ich vermag nicht einzusehen, was dieser Satz mit 
unsrer Frage, ob K.'s Bew;eis richtig sei, zu thnn hat.*) 



*) Hierbei kann, ich jedoch nicht unterlassen zu bemerken, Abbb es den 
Anschein hat, als wolle Hr. Z. diesen logischen Satz erat durch einen Syl- 
logisniuB erl^rten; denn er bringt dreimal einen Schlaas derselben Form, 
und zwar fSr diesen Fall so: 

Jede richtige AnribBungimethode gibt eia riohUgei Beanltal^ 
Aach eiDigs nichtrlclilige AnfiaiunganietliodBii geben ricMi^ie lUieulUte. 
EinTlcMigesBeanltKt biHucliC nicht von ein«! richtigen AuflüeuDgemelhode heranstBaiiiiieD. 
Dies ist wie bekannt die sogenannte zweite Figur; es lässt sich aber 
m diesem Falle da beide Prämissen bejahend sind, wie ebenfalls bekannt, 
gar kern Schluse ziehen Der, welchen Hr. Z. zu ziehen scheint, ist weiter 
mchte als die Conv^rsioa des Untersatzes; 

Emige a smd b Conversion; Einige b sind a. 

Einige darch fslichJ MeChcde «rloDgle Resnltais siod richtige BeenllaU. 
Einige rlQhttge ReanlUte ilnd dnroh fsliche Methode erlangte SeiolUte. 

Doch WOZU tant de brmt pour une omelette? Wer wird erat beweisen, 
was Niemand läugnet? Ei nlij&mi' ßhv ovv ovx iatt ^südos evlloy{iiaa9ai, 
Ix TpBvSaiv S Sativ ie1)]&es Aristot. Analyt. pr. IT. 3. pag. 53 b. 7. Aus 
Wahrem lasst eich nichts Falsches schliessen, aber aus Falschem Wahres. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



Kleinere Mittheilimgen. 45 

2) Ein didaktiaehea. Ein Beweis, der nur die RichtigkeU 
der Formel beweise, genüge vielleicht im günstigsten 'Falle den Mi- 
nimalforderungea an seine Fisirung und Unterbringang im System, 
nicht fUr den Unterricht. Der Verf. nimmt als Beispiel Kambly I, 
Anh. I. §. 16; 2. 

Einen rein periodischen (echten) Decimalbruch verwandelt man' 
in einen gemeinen Bruch, indem man als Zähler die Periode und als 
N'enner sonel Neunen achreibt, als die Periode Ziffern hat, z. B.: 

0,702 . = 12?. 
999 

Warum, fragt er, genügt hier nicht 702 gibt durch 999 divi- 
dirt 0,702 . . . Hier ist die Achillesferse der Z.'schen Auffassung. 
Die Division genügt allerdings (siehe weiter unten), freilich nur fllr 
diese Einzelbefaauptmig. Dass diese Behauptung ihren Lehrsatz nicht 
deckt, darin liegt der Fehler. Mit den Beziehungen aber zwischen 
Lehrsatz und Formel hat der Beweis nichta zn schaffen. Die Sache 
liegt so: 

A) Die Formel ist gegeben; wir kleiden sie in Worte; dann ist 
es unsere Sache, nicht mehr und nicht weniger zu sagen als die 
Formel sagt. Der Verf. meint, der Schüler, wenn er bewiesen slihe 
— _^ ^ X -^ y bilde gern die Eegel: Man dividirt x^ durch x und 
^y* durch — t/, und, da der Beweis stimme(!),30glaubeerrait 
seiner Begel im Becht zu sein. Er ist auch im Becht für alle Fälle 
von der Form ——-2-; er kann aber nicht zu dem Satz gelangen: 
Binome werden dividirt u. s. w,, weil er da ja i 
zwischen Divisor und Dividend ausser Acht liesse,- sondern i 
Satz: Durch die Differenz zweier Zahlen dividirt man die Differenz 
ihrer Quadrate u. s. w. Jene Begründung „da der Beweis stimme" 
zeigt wiederum deutlich die schiefe Auffassung. Was hat der Beweis 
mit dieser Forraelübersetzung zu thnn? 

B) Der Lehrsatz ist gegeben; wir setzen ihn um in die mathe- 
matische Zeichensprache. Hier gilt nun ebenfalls, genau das vrieder- 
zngeben, was der Lehrsatz sagt. Für den angezogenen Fall über- 
sieht nun der Verf., dass durch die Behauptung 0,702 ...= -rr^ 
der Lehrsatz nicht gedeckt wird. , Wer zu dem Satze: „Jeder rein 
petiodiache u. s, w." diese Formel aufstellt, der hat sehr ineorrect 
aus der Wörtersprache in die Zeichensprache Übersetzt, denn die Be- 
hauptung ist nur ein ganz specieller Fall und sagt nur, dass sich 
bei dem Bruche 0,702 . . . die behauptete Eigenschaft findet. Für diese 
Sonderhehaaptung wUrde aber in der That eine ausgeführte Division 
genügen. Die Behauptung zu unaerm Satse mUaste aber heissen: 



n,g,t,7.dt,G00glc ' -^- 



Kleinero Mittheilnngen. 



0,5: 



<h<h ■ 



- ?i_33j. 



Auch hier würde eine auBgefHbrie DiviBion 
leb meine, sie würde uns besser den innem Zui 
lassen als jener böliebte Beweis, der doch m 
'Kunstgriff ist, welcher uns zwar zeigt, dass 
warum es so ist, und der wohl nur deswegen 
ist, weil auf der Stufe, auf welcher dieser S 
Beweis, hergeleitet aus der Eigenschaft der Zab 
Die Allgemeinheit, welche den Bucbatabei 

wirkt, dass — t~" "= 1 sich mit der Bei 

deckt: Eine (beliebige) Summe wird dividirt e 
eben weiter nichts ajs der betreffende Lehrsa 
Zeichenspraebe, und wer sie beweist, bew< 
den Lehrsatz. 3-5 = 5-3 beweist fürs AI 
(cf. 2 ■ 2 = 2^} .wol aber a-b ^h-a. Dass 1 
Verhältntss sehr wohl durchschaut, geht darans 
drOcklich sagt „z. B. 7Ö2". . . = ^■" Ein so 

incorrect, empfahl, aich aus didaktischen örttndi 
hier die bestimmten Zahlen, wie jeder sofort et 
gelten. 

3. Ein formales. Jeder Satz, wie Hr. : 
gäbe aufgefasst werden, also hier: wie dividirt 
Gut! Wül denn nun aber Hr. Z, wirklich lOsei 



6+9 



.1 "T" 



a+i> 



oder nicht vielmehr sofort 

64-9 



Dies zugegeben, so ist doch nichti 
der Beweis weiter nichts nöthig hat 
dass diese Lösung ^±^ = f + | riobt 

Nun will ich durchaus nicht ISugnen, dass 
sant und lehrreich ist, zu erfahren, wie man : 
kommen; und glaubt der Verf., dass sein Weg < 
Entdecker gegangen, so mag er den Schüler im: 
machen, aber verlangen, dass er ebenso löse n 
ÜÖsung enthalte, die sich mit der zunehmendi 
ist unbillig. Noch unbilliger aber ist es, vom ] 
keit einer Lösung zu verlangen, dass er uns zi 
Lösung ge'konunen. üebrigens fUhlt der Verf. 



ih,.Cooglc 



r 



Kleinere Mittheilungee. 



47 



seiner Vermuthung zur Gewisaheit fehlt. Glaubhafter ist mir, ilass 
durch Betrachtung apeeieller Zahlenbeispiele der Satz vorläufig als 
Erfahrungssatz gewonnen wurde und erst später seine wissenschaft- 
liche Begrttndnng gefunden hat Diese war, nachdem der Satz 

c. {— ■\- —\ = a-\-h bekannt war in Verbindung mit c. ^a-\-h 

dann nicht schwer. 

Der Tadel gegen die Verschiebung der Behauptungen in K. II 
§. 68 u. 69 ist durchaus gerecht und auch ich habe beim Unter- 
richte die betreffenden Beweise geändei-t; besonders im §. 69 also: 

Beh. 2: die Halbirungsünie von L B trifft D (Fig. -l). 



Beweis: 
1)1^ = Jg (wie bewiesen) 
Lo =pA %. 51). 




Lx = y{LDGB = DFB = 
Ba = BF{%.5i) d. h.L 



A BFCr ist gleichschenkhg, daher musa BX die Mitte der 
Basis, nSmlich M, treffen und senkrecht auf der Basis stehen (§. 64). 
Die Senkrechte aber aus der Mitte der Basis eines gleichschenkligen 
Dreiecks (DFG) trifft die Spitze (§.65. 3), also trifft BXM den 
Punkt D; q. e. d. 

Von einer solchen Verschiebung des Beweisobjeets könnte in 
unserm Falle nur dann die Rede sein, wenn man wirklich lösen liesse 
6-3 1 9_^ 

— ö — = g = u. 8. w. und einen dementaprechenden Lehr- 
satz aufstellte. 

Der Gedanke, welcher Hm. Z. offenbar geleitet hat, ist der: 
Der Beweis soll nicht bloss darthun, dasa etwas nothwendig so sei, 
sondern er soll uns auch einen Blick ermöghchen in den innem Zu- 
samraenhnng dieses Seins. I^ehmen wir ein Beispiel: 

Dem grösaem Winkel eines Dreiecks Hegt auch die gröasere 
Seite gegenüber (§. 56). 

Vor. i y. > « (Fig. 2). 



c>a 

1. Beweis (indirect) wie 
die Behauptung stattfinden mui 
stattfindet, ersehen wir nicht 



im Kambly. 
s, aber den innem Grund, 



Beweis zeigt, dass 



n,g,t,7i.dtvG00glc 



48 Eleinere Mittbeüangen. 

2. Beweis. Da ^ j- < «, so muss, wenn man den ^ « an CA. 
in C nach rechts antrKgt, der freie Schenkel zwischen CA und CB 
fallen, in die Bichtong CD, nun ist 



DB + BOa 
I}B-'rDA>a 

c> o, q. 




Hier thun vir einen Blick in den innem Zusammenhang, wie 
deswegen, weil Lf1>a ist, seine Gegenseite sich stets so zerlegen 
lassen muss, dass die heiden Theile als Seiten mit der dem L f gegen- 
, überliegenden Seite a ein Dreieck bilden können, mithin grösser sein 
müssen als a. 

Zum Schluss noch einige Bemerkungen, 

l) Ünrerstfindlich ist mir die Schlussbemerkung der Redaciäon 

„der Schüler achUeast einfacher so : — -— = — - — ^ - -j- — • Wer 
so schliessen kann, schliesat offenbar sofort: — r — o™ — -j^ — *) 

Hr. Z. sagt in dem folgenden Beispiele (besser in einer Glasse von 
Aufgaben) führe ein folachea Verfahren stets zu einem richtigen Be- 
snltate. 

5 Gänse kosten 7 Thlr.; was kosten 8 Gänse? 
6 Gänse : 7 Thhr. =" 8 Gänse : x Thlr. 



*) AllerdmgB) Wu: meinten nur daa nächst Einschere im Gegen- 
satz zn dem Complicirten (Geanchten): 

T 3 + 1-3 (1 + I) 3 
3 - ■" i ' 

PBycholoffiBch scheiat uns unsere Bemerktmg (fll, 462) insofern rich- 
tig zn sein, ^a dem Setzen einea TheUa der Ginbeit immer das T heilen 
selbst (= Zerlegen d. E. in gleiche Theile) in der VoTstelhuig Toraus- 

- + - 
gehen mnss. Dieser Denkprocess ist aber angezeigt in: — i-i- — - ^ ^ — %. 

(-y + i)- D. Bed. 

,n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere MittheilnugeD. 49 

Das nennt der Verf. mit Unrecht Mach. Jeder Verkauf (Tausch) 
beruht darauf, dass der Werth der gegebenen Sache dem der em- 
p&ngenen gleich ist und nur auf diese Werthe kommt ea an: 

Werth von 5 GSnsen : (dem ibm gleichen) Werth von 7 Tblr. «= 
Werth von 8 Gänsen : (dem ihm gleichen) Werth von X Thlr. = 1:1. 

üebrigena hätte schon die ErwSgung, dass in jeder Proportion 
die inneren Glieder vertauscht werden dürfen, den Verf. stutzig maoheu 
sollen. Ist 

5 Gänse ■ 8 Gttnaen = 7 Thlr. ■ x Thlr. 
richtig, so musB auch 

5 Gänse • 7 Thlr. = 8 Gfinse ■ s Thlr. 
richtig sein. Und in der That. Im eigentlichen Sinne (wie ihn 
Hr. Z. nimmt) ist die erste Proportion gerade so widersinnig wie die 
zweite"*"); das Verhältniss, in welchem G&nsezu einander stehen, kann 
man gar nicht mit dem Verhältnisse, in welchem Thaler zu einander 
stehen, vergleichen. Aber anf die Gänse und Thaler kommt es hier 
anch gar nicht an, sondern ledigUch auf ihre Werthgrössen. 

3) Die citirte Stelle dea Aristoteles (Analyt. post. I, 27, pag. 86, 
a, 31) ist zwar sowohl vom lat. als auch deutschen Uebersetzer 
(Bekker u. Zell) in dem Zerlang' sehen Sinne genommen; dagegen 
sprechen aber ganz ausdi-UcUich und unzweideutig beide Scholiaaten 
(Themistios imd Philoponoa) und die Lehre des Aristoteles selbst. 
Ein Beweis, der das „warum" zeigt, mnsa stets den des „dasa" mit- 
enihalten. Die Stelle muss heiasen: „Genaner und vorzüglicher ist 
eine Wissenschaft als eine andere, nämlich die, welche zugleich 
Wissenschaft des dass und des warum ist; nicht aber ist besser, 
gesondert genommen, eine Wissenschaft des „dass" als die des 
„warum".-" Hierin liegen die beiden Sätze: 1. die beste Wissen- 
schaft ist die des „dass" u, „warum". 2. die Wiesenschaft des 
„daas" iat geringer als die des „warum". 

*) Das möchten wir — wenn wir uns eine Bemerkung erlauben dürfen 
— entschieden beBfcreiten. Die erstere Proportion ist richtiger, weil 
natörlicher. Es istnatnrgemässerjGleicbartigGS (gleichartige QrOssen) 
in Verhältniss au setzen, als UngleichartigeB. Daher sollte man, — 
soweit man überhaupt noch mit Froportionen, die ja mit Recht immer- 
mehr antiquirt werden, rechnet — nie schreiben lassen: 
6 Pfd, : 20 Gr. = 3 Kd. : s Gr., 
BOndem: 5 Pf. : 3 Pf -- 20 Gr. : i Ör. 
Das Vertauschen der inneren Glieder aber setzt stillschweigend das Fort- 
lassen der Benennung voraue. D. Bed. 



Ziitiohi. t luth. u, DStarw. Untai 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



50 Kleinere Hittheilnngen. 

Zwei Entge^nngen 

auf Dr. Benders „Neuer Beweis, dass 7^13" (IV, 

1. 

Von E. Meieb in Londsberg a. W. 

Gegen den im 5. Hefte dieses Jahrganges Torgel 
weis, dass 7 ^ 13 ist, erwidere ich: 

l) Durch die Auflösung jener Gleichung ist ke 

wiesen, dasa 7 ^ 13 ist Man verwechsle doch ja ni 

atimmungegleichung mit einer identiscfaeu. Was heist 

4 s — 40 



Luflösen ajideres, als einen Werth ' 



13 - 
welcher der gegebenen Bedingung genügt? 

Findet man nun in irgend einer Beatimmimgsgleic 
^13 — X, so folgt doch daraus nicht, dass 7 = 13 
nur, dass 7 ^ 13 sein luüaate, wenn irgend ein eno 
von X der gegebenen Bedingung genügen soll (d. h. 
Worten, dass kein endlicher Werth von s dieser Beding 

2) Obgleich ich die von dem Verf. angefügte W 
kommen billige, so kann ich doch jenem Beispiele ke 
Werth beilegen, da sich deren ja unendlich viele mit 
Leichtigkeit bilden lassen. 



Von 

Im 5. Hefte des IV. Jahrgangs dieser Zeitschrift unterhält uns 
Herr Dr. Bender mit einem alten mathematischen Curiosum, einem 
sog. Beweis, dass 7 = 13 sei, und knüpft daran als Nutzanwendung 
die Mahnung: dass es nothwendig sei, in der Lehre von den qtiadra- 

tischen Gleichungen den Ausdruck x ^ =-^^ zu dis- WL'j 

cutiren. JvK 

Wir haben nicht geglaubt, dass es heut zu Tage noch noth- '1^^ 

wendig sei, eine solche Mahnung an die Lehrer ergehen zu lassen. /.' 

Sodann sehen wir nicht ein, in welcher Beziehung die weiteren Be- ',''; 

*) Obgleich wir bei der Auüiolune der oben citirten Bern. Dr. Benders [■', 

ebenfalb wi^enHchaftliche und didaktische Bedenken hatten, so glaubten 
wir doch, dieselbe nicht zurückweisen zu dürfen, in der Erwar&ng, es 
werde sich hieran eine für Manche truchtbare Discussion knüpfen. 

D. Eed. ,,.;, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheilungen. "51 

merkimgeu zum vorliegenden Beispiele stehen Bollen. Das Resultat 
von X aus der von ihm betrachteten Gleichung — -^^ — 5 ^ ~\3~Z1 — 
soll doch nicht aus der allgemeinen Auflösung der quadratischen 
Gleichungen hergeleitet werden, indem man den Coefficienten von 3* 
gleich setzt? Das wäre jedenfalls „ein grosser Fehler"! Denn 
die vorliegende Gleichung fllhrt auf (4»: — 40) -6^0, ist also 
gar keine quadratische Gleichung. Seihst wenn man bei der Auf- 
lösung dieser Gleichung ganz schablonenmässig verfährt, verschwin- 
det das Glied x^ durch Subtraction; es kann also nicht einmal von 
einer „scfieinbaren quadratischen Gleichung" die Rede sein. Wir 
sind iler Meinung, dass heutzutage jeder Lehrer der Mathematik 
seinen Schillern bei Durchnahme und Einübung der Auflösung der 
Gleichungen von vornherein, schon bei den Gleichungen des ersten 
Grades zweierlei einschärfe: l) mit Auflösung von Klammern nicht 
zu voreilig zu sein, vielmehr so lange, aJs es angeht, durch Abson- 
derung gemeinschaftlicher Factoren Zusammenziehungen von Gliedern, 
vorzunehmen, 2) niemals durch eine Grösse au dividiren, deren Werth 
möglicher Weise ^ sein könnte, vielmehr, wenn sich eine solche 
auf Y)eiden Seiten einer Gleichung als Factor befinden sollte, die 
Gleichung auf ITnll zu reduciren und diesen gemeinschaftlichen Factor 
abzusondern. Bei Bea^ihtung dieser zweiten Regel werden die Schüler 
niemals auf solche falsche Schlüsse, wie 7 ^^^ 13, kommen. 

In einem Punkte aber stimmen wir mit Herrn Dr. B., wiewohl 
mit einer kleinen Abänderung, überein, nSmUch dem, es möchten die 
Verfasser von Lehrbüchern der Algebra oder von Sammlungen al- 
gebraischer Aufgaben die scheinbar einlachen (nicht scheinbar qua- 
dratischen!) Gleichungen nicht unter denen des ersten, sondern unter 
denen des zweiten Grades aufführen. Eine Gleichung, die auf die 
Form führt, wie aa? — a; ^ ist keine einfache, sondern eine qua- 
dratische; denn sie hat zwei Wmrzeln, die sich aus der Umformung 
(ax — 1) ■ x ^ ergeben. Von solchen Beispielen ist selbst die 
sonst so ausgezeichnete Sammlung von Bardey nicht frei; wir fah- 
ren beispielsweise aus den Gleichungen 1. Grades folgende an: 

Nr. 293 führt auf 5x ~ lOa:" = 0, also x == oder = -i 

Ebenso gelten auch Nr. 316, 337—340 fUr x = 0. 

Da ich nun einmal auf die quadratischen Gleichungen gekom- 
men bin, so erlaube ich mir, hier meine Methode der trigonometri- 
schen Auflösung, welche von der gewöhnlichen etwas abweicht, mit- 
zntheilen. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



62 » Kleinere Hittlieiliingen. 

Zar trigonometrisolieii Auflösang qnadraüsclier (}leicliiuigeii. 

Von Demaelben. 

Wir betrachten a und b als absolute Zahlen, die Vorzeichen 
also als die geltenden. 

1) Es sei a;* — ax -{- b = aufeulösen, wenn ö < — - Es ist 



2« = 2 sin «vT— s: 



also 4 sin«* — 4 ■ sin«* = sin 2 «*. 
Multiplicirt man mit der willkürlichen Zahl t 



und ordnet, so 



(2r ain«*)* — 2r (2r sioK*) + r* Bin2 «^ = 0. 
Diese Gleichung mit der gegebenen verglichen, führt auf 



2 r ^ » oder i 

la^ ^b oder - 

also sin 3a = 



81/8 



daher dann a; = a sin o;*. 
Die beiden letzten Gleichungen geben die Auflösung. Da aber 2x 
doppelt bestimmt ist, gibt es zwei Werthe für x. 

2) x^ -^ ax -\- b = 0, wenn 6 < — ist 
Man hat sofort aus voriger Auflösung 

■ o 2 VT -. a 

Sin 2« ^ — ; a; = — a- sin a". 

3) x^ -{- ax — 6 = aufzulösen. 

Man hat fg 2 a = — - — ; also 

1-tg«' 

tga* + 2tga-cot2a— 1 =0 
und (rtga)* + 2rcot2a (rtg«) — r* -= 0. 
Diese Vergleichung führt auf 

»■%<.=a;i r = yT;tg2c< = -^-^ 

also a; ^ fg K ■ ]/&■ 
Durch tg2a ist wiederum 2a doppelt bestimmt, also auch x; 
die in den vorigen Nummern gemachten BesehrSnkungen fallen 
aber weg. 

4) Für x' -— ax — fc = ergibt sich sofort 



tg2 



a/6 



= tg u.yb. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere MittheilnngeD. 53 

5) Wenn in den Formen a;* ^ aa; + fc = 06 > — ist, bo 

sind bekanntlich die Wurzeln von der Form «t + i y», die durch 
die trigonometriBche r (cos 9 + »' sin tp) ersetzt werden kann, indem 
man m ^ r cos tp 

und V» ^ »■ sin q:> 

setzt, so daaa tg cp ^ — bedeutet, und r = wird. 

m cosq» 

Die lirleiclkung, welche diese Wurzeln hat, findet man durch 
Auaflilirung des Producta 

[3: — r (cos <p + i sin ip)] ■ [* — r (cos 9 — i sin 91}] = 0. 
Die AnsfOhmng gibt 

x' — ^r cos ip, 3; -)- r* = 0. 
Diese Gleichung mit der gegebenen verglichen, führt auf 

wodurch g> bestimmt ist, und man erhält nun 
»1 "= + -5- + i. Yb sin ^p. 
a^ ™ + -j — *. yb. sin qp. 



Die BrnolidiTiBwii*). 

Von J. KoBBR. 

In der Recension Bd. I, 423 habe ich tadelnd geäussert: „Die 
Division durch einen Brach wird nur**) nach der ziemlich verrufe- 
nen UmkehmngBmetliode gelehrt. Weder die Begel „Zähler in Zähler, 
Nenner in Nenner," noch das Cesetz, dass man mit dem Zähler di- 
vidirt und mit dem Nenner multiplicirt, noch, dass man mit dem 
einen Factor den Zähler dividirt, mit dem andern den Nenner multi- 
plicirt, sind ausgebeutet." 

Mir gilt die Bruchrechnung nicht blos als ein Handwerkszeug 
für die Ausführung höherer Rechnungen, sondern als selbständiges 
Bildungsmittel. Jeder Unterricht Holl bilden. Dies ihnt er aber am 
besten, wenn er den Gegenstand möglichst vielseitig beleuchtet, alle 
Faden verfolgt, die die Theile unter einander verbinden. Ein gründ- 
liches VerstSndniss, wie es gründlicher Unterricht erstrebt, beflthigt 
den Schüler, statt alle Aufgaben nach einer Schablone zu fertigen, 



•) Zn dicBem Aufsatee vgl. IV, 222—327. bes. S. ! 
**) loh bitte, dieses WOrtchen nicht zu übereehen. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



54 Kleinere MittheilongeD. 

für jeden Fall das pMsendate Verfahren zu erkennen: erst dann be- 
herrscht er den Stoff. 

Daher mnsste es eine Schrift, die, wie die recensirte, Methode 
lehren will, flir geboten erachten, den Gegenstand mehrseitig zu be- 
leuchten, und sich nicht mit einer einzigen (noch dazu mecbiuiiscben) 
Regel begnügen. 

Nach der UmkehmngBmethode wird der Schüler z. B. also 
schreiben und verfethren; 

1) 9^r : iVf = W : H = 'iV X tt = 9. 

' 95 ■ 19 96 12 6" 

-. 22 g'ft'e 11 a'6° 23 a*b'c 3ffV ^ _2£_ 
■* 39p V ' Sp'r "^ 39j)'sr 11«''»'" 139 

In Beispielen, wie Heis §. 25, 2i — 32 schreibt der Schüler, der 
die Brüche erst umkehrt, ganze Seiten voll Nebenrechnungen. Das 
uenne ich Unfug. Dass ein Mathematiker diese Beispiele in der 
angegebenen Weise reebnen würde, ist mir nicht denkbar. 

Nicht die Regel ist praktisch, die sich am einfachsten ausspricht 
und für die meisten Fälle anwendbar ist, sondern diejenige, deren 
Ableitung »us den Begriffen der Gruiidoperationen am anEobaulich- 
eten ist, und die den Schüler mit möglichst grossem Nutzen für die . 
Bildung des Denkens und mit möglichst wenig Mühe, Zeit und 
Schreiberei zum Ziele führt. Wenn nun die Aufgabe des Dividirens 
ist, aus dem Producte und dem einen Factor den andern zu 
finden, so ergibt sieh in st • Tö sebr einlach, daas 12 mit 2 und 
19 mit 5 mnltiplioirt, d. h. 12 in 24 und 19 in 95 dividirt 
werden muss. 

Von dem Schüler der höheren Schule muss man verlangen, dass 
er stets auf den Grundbegriff der Division zurüetzugeben vermag, 
dass er sich stets die Frage yor die Seele hält: Womit muss ich 
den Divisor mulipHciren (oder was muas ich mit dem Divisor 
multiplicireu), um den Dividend zu erbalten? So gelangt er 
auf die Begel; „Zähler in Zähler, Nenner in Nenner," 

Geht eine dieser Divisionen nicht auf, so muss ihm schon aus 
der MultipUcation bekannt sein, dass es einerlei ist, ob mau den 
Zähler dividirt oder den Nenner multiplicirt, ob man den Nenner 
dividirt oder den Zähler multipbcirt, kurz jeder nicht aufgehende 
Factor tritt auf die entgegengesetzte Seite des Bruchstrichs. 

^' ■^' la j» 1 ■ o ' a ji "i orgibt das Resultat sofort, ohne dass der 
Schüler nur eine einzige Ziffer oder einen einzigen Buchstaben als 
Äusrecbnimg oder Nebenrechnung zu schreiben hätte. Man dividirt 
mit 3 in 12, mit dem Factor 5 (aus der 10) in 5, mit 2 geht der 
Zähler nicht zu dividiren, so multiplicirt man den Nenner 4 und er- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



Kleinere Mittheilnngen. 55 

hSlt als Reanttat 8 im Nenner. Die Buchstaben behandelt man ein- 
zeln in alphabetischer Ordnung: a^ in a^ geht einmal, ffillt also weg; 
b^ in I> geht nicht vollständig, et) bleibt mit b^ der Nenner zu mulü- 
pliciren, also kommt b^ in den I^enner, c^ geht nicht im Nenner, 
moltiplicirt also den Zähler u, s. f. 

Daaa der Zähler des Divisors den Dividenden dividirt, der 
Nenner multiplicirt ist nicht eine das Gedächtniss belastende Regel, 
sondern eine, dem Schüler nicht vorzuenthaltende, Einsieht, die 
ihm auch bei der Umkehrungsmethode zum geistigen Eigenthum 
werden muss. 

Der Fall, dass die Nenner gleich sind, z. B. — : ■=-, wird als 
der einfachere vorausgeschickt. Der Schüler frage: Womit muss ich 
;=- multipliciren, um ■=■ zu erhalten ? und wird nicht leicht fehlgreifen. 
Er hat dann ein einfaches Verfohren und eine so einfache Ablei- 
tung, dass er gar keine Regel zu merken braucht 

Die Umkehnmg d. h. die Verwandlung der Division in Multi- 
plication ist nur in zusammengesetzten Quotienten und Producteu 
vortheilhaft z. B. Heis, §. 24, 24—26. 

Nachschrift d. Red. ffli die geneigten Leser. 

Ich darf wohl nur auf meinen Aufsatz IV, 232 — 227 hinweisen, aus 
dem deutLtoh ersichtlich ist, dass auch mir die Bruchrechnung nicht blos 
sie ein ^Eandwerkszeug filr die Äuefflliraiig' höherer Kechnungen" gilt. Die 
ganze dort gegebene Lection fordert vom Schüler schon ein ganz anstSn- 
digea MaaaB von Denken. Ich muss bitten, ia meinem letzten dort (8. 327) 

gesperrt gedruckten Satze: „Eine praktische Regel färdert" die 

Worte „Im Unterricht« klar entwickelt nud vom Schiller vSUlgr ver- 
Btonden'* — nicht lu flberseheul 

Uebrigens berücksichtige auch ich die vom Yerfasser mit B«cht be- 
tonte Regel „Zähler i. Z., Nenner i. N." S. a. a. 0. S. 226, letzte Z. u. — 
Die Forderung, praktische Regeln zu entwickeln, mues ich aber 
entschieden aufrecht erhalten! — 



üeber das Wort „Oegenwinkel." 

Von Demselben. 

Die Benennung der Winkel in der Farallelentheorie ist noch 
ziemlich verchieden. „Wechselwinkel" ist ao ziemlich allgemein im 
Gebrauch und dürfte wol auch keinen Anatoaa erregen. Aber „Gegen- 
vrinkel" hat den grossen Fehler, dass man dieses Wort, analog der 
„Gegenseite," für „gegenüberliegende Winkel" anwenden milchte, so 
dass also Gegenseite und Gegenwinkel einander entsprechen würden. 

Der Name „coi^ugirt« W." ist, wie mancher andere v 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



56 Kleinere Mittteilnngen. 

gene, zu lang, auch wohl nicht recht anschaulich begründet, die Be- 
nennung „innere Winkel" pasBt auch ftir die innem Wechselwinkel. 

Eber möchte ich mich mit Zieglers Vorschlag (HI, 190) ein- 
verstanden erklären, nämlich gleichliegende (corresp.), ungleich- 
liegende (innere Weehaelw.) und halhgleichliegende (innere 
Gegenwinkel und gemischte Weehselw.); aber ohne Bedenken ist dieser 
Vorschlag auch nicht. 

Ich glaube &at, es ist nur durch Bildung eines ganz neuen 
kurzen Wortes zu helfen und erlaube mir, den Collegen die Frage 
vorzulegen, ob ein solches, etwa das Wort „Anwinkel" Zustim- 
mung finden würde.*) 



Ein Brief an den HeransgebeT. 

{Ad n, 212 u. IV, 273.) 

Herr Redacteur! Die Gründe, welche H. Dr. Schwarz dafür 
angibt, den Multiplieator beim Schreiben vor den Moltiplicand zn 
setzen, (welche ja auch Ihnen früher „sehr zutreffend" erschienen,) 
haben mich, schon ehe ich den Aufsatz (II, 112 Ihrer vorzüglichen 
Zeitschrift) des H. Dr. S. gelesen, veranlasst, den Multiplicator 
vor den Multdplicand zu schreiben. Sie haben auch diese Gründe 
in Ihrem Aufsatze (IV, 273) nicht vollständig widerlegt, dagegen 
allerdings einen triftigen Gegengmnd angeführt. 

Erlauben Sie mir nun dem „usus est tyrannus" das „usus est 
optimus mapster"*) (ich übersehe dabei die etwas veränderte Be- 
deutung von usus nicht) gegenüberzustellen und ausserdem darauf 
aufmerksam zu machen, dass schon beim Erlernen des Einmaleins 
(1X7 = 7; 2X7 = 14; 3x7=.21;) der erste Factor als Multi- 
plicator aufgefasst wird, sowie dass in einem Beispiele wie etwa 
3x5827 (od, 5827x3) wohl kein Lehrer anders wird rechnen 
lassen als 3X7, 3X2, 3x8, 3X5. 

Würden Sie vielleicht die Geftlligkeit haben auf diese Ein- 
wendungen (unter Verschweigung meines Namens) etwa im Brief- 
kasten zu antworten, so dürfte dies wohl ausser mii- allen jenen 
Lesern Ihrer vorzüglichen Zeitschrift angenehm sein, die sich etwa 
mit dem Vorschlage des H. Dr. S. befreundet haben. Mit vor- 
züglicher Hochachtung Ihr ergebenster Dr. T. B. 



*) Dieser Ausdruck ist bereits in Oesterreich längst geb^ncfalich. 
Vgl. Gecnerth, Grundlehren der ebenen Geom- Wien 1873. §. 27, S. 10 
n. Moi^nik geom. AnBchanungslehre (Wien 1873) 8. 20. Die Red. 

**) Dieses geflflgelte Wort finde ich allerdings nicht im Bflchmann, da- 
gegen (3, Aufl.) S. 121 „Berum omnimu magister ubds" Caes. b. civ. 2, 8. 
Der Eerausgeber. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheflnngen. 57 

AmtWOrt des Herausgebers: Hochgeschätzter Herr B.! Ich 
habe die Ehre auf Ihren Brief zu erwidern, dass ich zu denen ge- 
höre, welche immer redlich bemüht sind, zu lernen und von den 
Schlacken alter (eingerosteter) Irrthümer sich zu befreien. 80 ist es 
denn gekommen, daas ich nach wiederholter aufinerksamer Leetüre 
des schätzbaren Aufsatzes (II, 112) unsers geehrten Mitarbeiters Dr. ' 
S. n. nach reiflicher üeberlegnng zu dem in IV, 274 ausgesprochenen 
Besultate gelangt bin und ich habe mich nicht gescheut, diese Ueber- 
zeugunga-Metamorphose zu bekennen. Sollt ich irren, — so würde 
ich anch gerne diesen Irrthnm zugestehen. 

"Vorerst muas ich aber dringend bitten, meine Behauptung mit 
schärferen Waffen zu bekämpfen. Denn die gebrauchten sind doch 
gar zu stumpf und verrostet, als da«s es sich der MUhe lohnte, den 
Hieb zu pariren. — Ich habe in meinem Aufsatze IV, 274 meine An- 
sicht hinreichend klar ausgesprochen und ich bitte, erst den dort an- 
gefahrten „triftigen Gegengrund," welcher psychologischer 
Kator ist und daher alle andern Gründe aufwiegen dürfte, reett wir- 
kungsvoll zu bekämpfen, ja — wenn möglich — zu vernichten. 
Ich werde mich freuen, wenn Ihre Gegengründe so kräftig und über- 
zeugungsföhig sind , dass ich durch sie bekehrt werde. TJebrigens bat 
die Sache am Ende nur theoretischen aber wenig praktischen Werth. 
Ihr ergebener H. 



Zwei SchöleraofgiabeiL. 

Von Dr. Pick. 
1. 

In der Walachei bedient man sich hin und wieder der Finger, 
um das Product zweier einzifferiger Zahlen, die grösser als 6 sind, 
zu finden und erspart durch diesen fast possirlichen Vortheil das 
Memoiiren der schwierigeren Hälfte des Ein-mal-Eins. Das Ver- 
fahren ist folgendes: 

Man gibt den Fingern beider Hände der Eeihe nach die Werthe 
6, 7, 8, 9, 10, also dem Daumen 6, Zeigefinger 7 u. a. w. Hat 
man nnn zwei dieser Zahlen z. B, 8x9 zu multipliciren, so legt 
man die betreflenden Finger, hier Mittelfinger der einen und Gold- 
finger der andern Hand, an einander und multiplicirt die Anzahl 
der Übrigbleibenden Pinger der einen, hier 2, mit der der andern, hier 
1, also 2X1 = 2. Zu diesem Producte gibt man so viel Zehner 
zu, als Finger an beiden Händen zu dieser Multiplication nicht 
benatzt worden sind (inclus. der zusammengesetzten) , also 3 -l- 4 = 
7 Zehher. Somit ist das Product 72. 

Es ist zu beweisen, dass dieses Verfahren allgemein richtig ist. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheilungen. 



Hau verallgemeinere das Yer^ren fttr die Grundzalil ' 
aUgemeinen Numeratjonssyteme. 



Bin Kegel mit dem HalbmesBer r der Grundfläche imd der Höhe 
h aus einem Stoffe, dessen Dichte s ist, wird mit der Basis nach abwärts 
m eine Flüssigkeit TOn der Dichte s getaucht. Wie tief taucht er ein ? 
Es ist die Formel auf elementarem Wege lu finden d. h. etwaige 
Gleichungen höheren Grades sind durch Kunstgriffe auf Gleichungen, 
die sich elementar lösen lassen, zurUckzufUhren. Die gefundene 
Endgleiobnng ist zu disoutiren. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



Literarische Berichte. 



BoTUAH,I>r.J.B,,Le}irbucIi der Mathematik fUr G^mnaBien, 
Sealschnlen und andere höhere Lehranstalten. 
Zweiter Theil; Ebene Trigonometrie und Geometrie 
des Baumes, Dritte verbesaerte Auflage. Eölu und 
BeosE 1873. 

Diese dritte Auflage ist „im Wesentlichen ein unveränderter 
Abdruck der (Oatom 18G6 erachienenen) zweiten Aufl^e." Wenn- 
gleich nun das Buch in seiner zweiten Auflage von anderer Seit« 
schon hinlänglich gevriirdigt worden ist, bo fühlen vrir uns doch 
yeranlasst, Einiges über diese neue Auflage zu sagen. 

In der Trigonometrie hielt der Terf., wie er im Vorwort 
zur ersten Auflage sagt, eine ausführliche Betrachtung der sechs 
Punctionen für nothwendig. Ob mm 16 volle Seiten fllr diesen 
Zweck nicht zu viel sind, möchten wir zu bedenken geben. Die 
Betrachtung der Cotangente, welche allein drei Seiten einnimmt, 
konnte wenigstena bedeutend abgekürzt und die der Secanten und 
Cosecanten, da sie als blosse reciproke Werthe der Cosinus und 
Sinns nur selten zur Anwendung kommen, füglich übergangen 
werden. Bei der Betrachtung der Tangente geben wir femer zu 
erwSgen, ob es nicht bedenklich sei, zwei diametral gegenüber- 
liegende Tangenten an dem Kreise einzufUhreu und die Durchschnitte 
des beweglichen Schenkels mit der zweiten in die Betrachtung 
hinein zu ziehen? Wird der AnfHnger nicht geneigt sein, zu glauben, 
die trigonometrischen Tangenten müsaten im zweiten Quadranten 
positiv sein? und muss er es nicht für einen Act der Willkür hal- 
ten, wenn gesagt wird: „man kann (also nicht: man muss) aber 
das TangentenverhSltnisB für diesen Quadranten auch auf die erste 
Tangente zurückführen" u. a. w.? Bei der Darstellung des Ver- 
fassers tritt der Uebergang aus dem Positiven in das Kegative dnrch 
oo hindurch nicht hervor, wie er es doch plausibel machen will 
durch seine Angabe der Grenzwerthe tang O^sbc+O, tang 90"'=+ <x> 
u. s. V- Iti § 12 tritt ganz unvermittelt der Bogen für den 
Winkel ein, indem der Verf. sagt: „wenn sin u =p a ist, so ist 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



60 Literarische Berichte.' 

offenbar -^ ot der Winkel oder der Bogen, dessen 
oder kurz ausgedrückt m ^ arc (sin ^ a). Vorher 
gesagt, dass mtax die Functionen auch auf die Bögen I] 
und in welchem Sinne dies zu geschehen habe. Bass 
der Folge immer sieh dieser in der höheren Mathema 
liehen Ausdrucksweise schon hier bedient, ist nur zu 
Entwickelnug der goniometriscben Gleichungen ist sei 
Kine grössere Reihe von Aufgaben zur Einübung ä 
derselben, mit Angabe der Resultate, ist beigegeben. I 
liehen Trigonometrie müssen wir es als einen Lusu 
dass der Verf. alle Dreiecksgleiehungen doppelt oder dre 
sin ^ = - ist daeselbe, wie sin a = -. Der Schüler n 
fang an daran gewöhnt werden, aus einer vorhegen 
gleichung durch blosse Buchstaben vertauschung neue z 
dieselbe Gleichung mit vertauschten Buchstaben zu 
sie zu schreiben. Aus ähnlichem Grunde ist es in 
metrie auch als ein Luxus anzusehen, wenn aus der . 
einer Seite und zwei Winkeln die übrigen Stücke zu 
Aufgaben gemacht werden; in der Planimeirie hat c 
seine Vorzüge. , Das gleichschenklige Dreieck hätte kü 
und lieber das reguläre Polygon etwas eingehender bi 
den können. Für das schiefwinklige Dreieck gibt d 
den Sinussatz, den Cosinussatz, den wir lieber den all 
thagorSer nennen, und den Tangenten satz. Den Sinnst 

wir lieher in der Form -: = rf (Durchmesser des um 

Kreises) und benutzen dieses d als Hulfsgrösse bei all 
in denen eine Seite mit ihrem Gegenwinkel in Beti 
Bei dem allgemeinen Pyfhagoräer vermissen wir die z\ 
und symmetrische Form 

c^ = (a + by sin iy= + (a— b)= ■'^^r 

Wir vermissen femer die bei vielen Aufgaben 

anzuwendende, von Brockmann so genannte „separin 

forme!," die wir lieber den „Satz von 4 aufeinand 

Stücken" nennen und in folgender Fassung den Schule 

tg c ■ c — sin |i ■ a ^ a ■ cos ß ■ tga 
indem man so zuerst die vier aufeinander folgenden ! 
wandert und nachher wieder rUckwärts mit TJehers; 
mittleren Seite geht. Weiter vermissen wir den Wi 
Satz — -=- u. s. w., und den Tangentendreiecks-Satz, wel 
lation zwischen dem Halbmesser 9 des eingeschrieb 
und den Dreiecksseiten ausdrückt und zu der HUlfsgr 
mit deren Hülfe die Winkel nach der Gleichung tg^« = 



,t,7rJM,G00glc 



r 



Literariedie Berichte. 61 

zu finden sind. Der Verf. berechnet nach alter Weise aus zwei 
Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite entweder 
mittelst des Tangentensatzes und des Sinusaatzes oder mittelst eines 
Hül&winkela tp, der in gar keiner Beziehung zum vorliegenden 
Dreieck steht vind hat in beiden Fällen S Aufschlagungen nöthig; 
auch gibt er in dem beigefügten Musterbeispiele zuerst diesen Hülfs- 
winkel rp seibat an, anstatt sogleich aus dem log sin 91 den log cos <p zu 
bestimmen, wofür noch eine 9. Äufschlagung z\x rechnen wSre. Kach 
unserer vorher angegebenen Gleichung c' ^ [{o -\- 6) sin \ yY 
-f- [(o — b) cos i y]* hat man, wenn man ohne Gauss'sche Logarith- 
men rechnet, nur 7 Aufschlagungen und mit Gauss 'sehen Logarith- 
men nur 5 Aufschlagungen nöthig. Will man mit einem Httlfs- 
winkel rechnen, eo setze man . . . . -. — |-^ ^ tg gj, dann ist 

c ^ — ^^-^ , wo in der ersten Gleichung nicht ■ , incot4y 

zusammengezogen wird, weil man den ganzen Nenner der- ersten 
Gleichung als Zähler für die zweite erhält, den Logarithmus des- 
selben also noeh einmal benutzen kann. Der hier gebrauchte Hlilfs- 
winkel ist aber kein fremdartiger, sondern, wie aus dem Tangenten- 
aatz hervorgeht, ^ ^ (" — ß); und der Anfschlagungen sind nur 6 
nöthig. Nebenbei bemerken wir, dass der Verf. stets schreibt z. B. 
39™ jäiD ^cm gjgj^ ^gg kurzen 39, id™. Warum es verschmäht wurde, 
die wichtige Hülfsgrösse s = \ (a-\-b-\-c) schon bei der Ent- 
wickelung der Functionen der halben Dreieckswinkel einzuführen, 
ist uns unerfindlich. Lobend müssen wir dagegen erwähnen, dass 
der Verf. bei der Aufgabe: aus b, c, ß die Übrigen Stücke zu finden, 
auch die Gleichung 

« = c ■ cos (J + /fei- c* SiJ' 
entwickelt hat, weil wir ans Erfahrung wissen, dass vielen Schülern 
erst durch diese Gleichung das volle Verständniss über die mögliche 
Zweideutigkeit des Resultats aufging. Durch Einführung der Hülfs- 
grösse d = -T— D verwandelt sich übrigens diese Gleichung in die 
bequemere a = c ■ cos (J + ^ («^ + ^-0 ^ 1,6^ deren Gebrauch 

man nur 8 Aufscblagungen nöthig hat, während man bei der ur- 
sprünglichen deren 10 machen muss. — Die Entwickelung der 
Gleichungen für den Flächeninhalt ist mit einer überflüssig grossen 
Breite durchgeführt, der Verf. hat es auch hier für nöthig erachtet, 
c, or, ß und c, a, y als zwei verschiedene Aufgaben zu behandeln. 
Wahrend wir uns also über die Arbeit an und für sich nur lobend 
äussern können, bedauern wir, dass der Verf, mehrere nicht blos 
interessante, sondern praktisch wichtige Relationen übergangen und 
dem Schüler bei der Entwickelung der Grundgleichungen wenig 
oder gar keine Selbstthätigkeit überlassen hat. Als Ersatz für 
letzteren Uebelstand dient nun allerdings die gut geordnete und 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



62 Literarische Berichte. 

mit Geschick ausgewählte Sammluiig von Uehtmgsbeispielen, denen 
der Verf. ganz mit Recht die Resultate beigefllgt hat, damit der 
Schüler erkenne, ob er sein Besultat nicht Überhaupt richtig, son- 
dern anch in der angemessensten und kürzesten Form gefunden 
habe. 

Weit weniger Ausstellungen haben wir Über die Geometrie des 
Baumes zu machen, deren Lehren mit schon oben gerühmter Klar- 
heit und Faaaliehkeit, noch dazu imt«rstätzt durch vortreffliche Fi- 
guren vorgetragen sind. Auch hier sind es die zahlreichen und gnt 
gewählten Uebungaaufgaben, die hinter jedem Hauptabschnitt ein- 
gefügt sind, durch welche sich das Buch vortheilhaft vor manchem 
andern auszeichnet. Es bestehen diese ans a) Aufsuchung geometri- 
scher Oerter, b) Constructionsaufgaben, c) Bechnungsaufgaben. Gern 
hätten wir «s gesehen, wenn aus der darstellenden Geometrie (Pro- 
jectionslehre) wenigstens so viel aufgenommen worden wfire, dass die 
Schüler beiKhigt gemacht würden, den orthogonalen Grund- und 
Aufriss eines Körpers in seiner einfachsten Stellung gegen die 
Projectionaebenen zu zeichnen, was ihnen bei der Lösung von Auf- 
gaben sehr zu statten kommen würde. Aufgefallen ist uns femer, 
dass der Verf. gar keine Notiz von dem Wittstein' sehen Prismatoid 
nimmt, dessen Inhaltsgleichung J^ ^ k \ "T + 2 Ifljyom allge- 
meinsten Gebranch für Körper ist, die parallele EndMchen ohne 
Zwischenecken haben, selbst, wenn sich eine oder beide EndflSchen 
auf eine Gerade oder einen Punkt reduciren, insbesondere also för 
Keile, deren Schneide mit dem Kopf parallel geht, für Pyramiden- 
stumpfe, schräg abgestumpfte dreiseitige Prismen und 4seitige Pa- 
rallelepipeda, Obelisken u. s. w. Pur letztgenannten Körper ent- 
wickelt der Verf. die Gleichung, ohne zu sagen, was man einen 
Obelisken nennt und wodurch sich derselbe vom Pyramidenstumpf 
unterscheidet, üebrigens ist auch der Schluss der Entwickelung 
des Obelisken recht unklar, wie man es sonst bei dem Verf. nicht 
gewöhnt ist. Bei dem sphärischen Dreieck ist der sphSriache Eicess 
unerwähnt geblieben. WerthvoU ist die Beigabe über Masima und 
Minima der Oberflächen und Volumina mit den Uebungsaufgaben. 
Als Anhang zur Stereometrie ist die Entwickelung der nothwendig- 
sten Gleichungen der sphärischen Trigonometrie mit ausgerechneten 
Uebnngsbeispielen aus der mathematischen Geographie beigegeben. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Beriolite. 63 

STEINHAUSES, Anton, die Netze derPoiuBot'schenESrper zum 

Behufe der DarBtellang ibrer Modelle aus Pappe. 

Mit 5 Tafeln. Graz 1871. 
Derselbe, über die geometrische Constructios der Stereo- 

akopbilder*). Ein Beitrag zur oentralen Projection. 

Für Techniker und Physiker bearbeitet. Mit 

22 Figuren. Graz 1870. 

Das erste, nnr 22 Seiten zählende Werk wird denjenigen, welche 
sich mit den Poinsot'scfaen regulären Körpern näher beschäftigen 
■wollen, eine willkommene Gabe sein. Diese Körper sind in der 
2. Aufl. der Stereometrie von Heia und Eachweiler einer auafllhr- 
lieberen Untersuchung unterworfen und im 3. Bande des genannten 
Werkes ist die Berechnimg derselben gegeben worden. Das Ver- 
ständnlas dürfte wesentlich erleichtert werden durch das Selbstai- 
fertigen der Netze und der Modelle, wozu das kleine Werk eine sehr 
gute Anleitung gibt. Ea verdient Anerkennung, dasa der Ver- 
fasser die von Wiener eingeführten deutschen Bezeichnungen: zwölf- 
eckiges Siemzwölfflach , sterneckigea Zwanzigflach und sterneckiges 
ZwSlfBach beibehalten hat. 

Das zweite Werkchen, 52 Seiten Text enthaltend, soll eine Lücke 
in den Lehrbüchern der Perspective, bezüglich der Construction von 
Stereoskopbildem ausfüllen, und den Techniker oder jeden sich mit 
darstellender Geometrie Beschäftigenden befShigen, auf theoretischer 
Basis solche Bilder mit vollstem Verstfindnlsse zu constmiren. Die 
Frage, ob dem Verfasser dies gelungen, müssen wir heja«n. Der 
reine Techniker, der sich über das in Kede stehende Thema mühelos 
Aufklärung verschaffen will, findet dieselbe in dem Buche, wenn er 
nur die die graphische Darstellung besprechenden Partieen überschlägt; 
er verliert dabei den Zusammenhang nicht. Aus diesem Grunde 
kann das Wertchen auch jedem Stereoakopfreunde empfohlen werden. 

Wir geben nur noch eine Ueberaicht des Inhaltes. Nach einer 
Einleitung über das einäugige und zweiäugige Sehen und Über Ste- 
reoakopbilder im Allgemeinen, wird in der 1. Abtheilong die geome- 
trische Conatmction der Stereoskopbilder besprochen und durch gute 
Figuren erläutert. Die 2. Abtbeilung lehrt die Erzeugung der Ste- 
reoskopbilder durch Photographie, die 3. Abtheilang handelt von den 
Hülfamitteln zur Besichtigung der Bilder, Zur Betrachtung der Bilder 
mit gekreuzten Sehasen gibt der Verfasser einen neuen einfachen 
Apparat an. In der 4. Abtheilnng werden noch zwei Maaastabellen 
zur geometrischen Construction von Stereoskopbildern für das ge- 
wöhnliche Brewster'sche Stereoskop gegeben, Chb. Soh. 

•) Vgl. den Auwtellnngabenchi iV, 441. D. Bed, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



64 LitecariEclie Berichte. 

SiDLER, Dr. G. Trisection eines Kreisbogens und djie Kreia- 
conohoide. Besonderer Abdruck aus den Mittheilungen der 
naturforschenden Gesellschaft zu Bern. 1873. 
Dieses 3ö Seiten Test und. 37 Figuren anf 4 Tafeln enthaltende 
höchst interessante Werkchen nimmt seinen Aus^^ng von der Hipp- 
auf sehen Lösung der Trisection, welche im III. Jahrgang dieser 
Zeitschrift S. 216 ff. mitgetheilt wurde und später In einem besondem 
Abdruck bei Teubner in Leipzig erschienen ist. Der Verfasser repro- 
ducirt zunächst in § 1 die Hippauf sehe Lösung ganz kurz und ffihrt 
für die Trisectionscurve den kurzen bezeichnenden Namen Kreiscon- 
choide ein, geht aber dann weiter als Hippauf und liefert eine Toll- 
siSndige Monographie dieser Curve in meist ganz elementarer Weise. 
In § 2 lehrt der Verfasser andere Erzeugnngsarten der Kreiscon- 
ehoide, von denen die eine auf die von Jouanne im Jahre 1870 be- 
kannt gemachte Lösung der Trisection führt, indem aich die EJreis- 
eonchoide als Fusspunkten curve der Perpendikel , die von einem 
Pol auf die variabeln Tangenten eines Kreises, dessen Durchmesser 
gleich der Entfernimg seines Mittelpunkts vom Pol ist, darstellt. 
Dieselbe Curve hat auch C. Albrich in Herrn annstadt , nach seiner 
Mittheilung im IIL Jahrgang d. Zeitschrift S. 537, in einem Programm 
entwickelt, als deren Coordinntengleichung {x"- -\- y^ — 12 euc)'^ 
= a^ (3? -\- y^) angegeben ist,*) wo a die halbe Entfernung 
des festen Pols vom Mittelpunkte des Kreises oder den Radius 
der cireularen Basis (nach Hippauf) ist. Im weitem Verfolg dieser 
Betrachtungen findet unser Verfasser die Kreisconchoide als die 
Curve, die ein mit einem Ereise vom Radius r fest verbundener 
und vom Centrumdesselben um 2 r abstehender Punkt P beschreibt, 
wenn dieser Kreis auf einem gleich grossen Kreise rollt. In § 3 
werden auf elementarem Wege mehrere Constructionen der Normalen 
und die Eigenschaften derselben, die doppelt berührenden Kreise, die 
Masima und Minima der Ordinaten und Abscissen und der Doppel- 
punkt betrachtet. In § 1 wird auf einfache Weise gezeigt, dass die 
Evolute der Kreisconchoide die Brennlinie ist, welche durch Beflesion 
der vom Pole ausgehenden Strahlen von einem mit dem Grund- 
kreke eoneentrischen Kreise von halb so grossem Durchmesser er- 
zeugt wird. Demnächst wird der Krümmungsmittelpunkt für irgend 
einen Punkt der Conchoide aufgesucht und gezeigt, dass dieser der 
andere Brennpunkt eines Kegelschnitts ist, dessen einer der Pol 
ist. In § 5 werden der Flächeninhalt und die Bogenlänge erörtert, 
was allerdings nicht ganz ohne Integralrechnung möglich war. Die 
interessantesten Resultate dieses § sind: 1) die OesammtÜäche der 



*) Wohl durch einen Druckfehler war -j- 2a. 
Denn die Polargleiehung ist " 7" " =" cos qj. 
^ a:> -|. y» ist, BO ergiebt sich leicht x' + y' — a«i; + a ^x^ + y* ■ 
und hieraus die oben angegebene Form. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



LiterariBclie Berichte. 65 

Curve d. h. die Summe der innern und äussern Conchoidenflächen 
ist das Dreifeche der Flöobe des CrundkreiseB, 2. die Kreisconchoide 
hat mit einer Ellipse, deren Halbaxen die Symmetrieaie und der 
darauf senkrechte Eadiuavector sind, gleiohen Flächeninhalt und glei- 
chen umfang. 

Hiemitsei das kleine Werk allenM&thematikembest«nsempfohlen: 
wir sind überzeugt, dass die Leetüre desselben ihnen ebenaoTJel 
Freude machen wird, wie uns selbst. Ch. Soherlinq. 



I. Hagel, Dr. Chr. H. Ebene Geometrie. Zweite Abtheilung. 
Die Fundamentalsätze der neuern Geometrie. Ulm 
1873. 
n. Maieb, ä. Prof. Neuere Geometrie. Für höhere Lehran- 
stalten. Beilage zum Programm des Grossherz. Beal- 
gjmnaaiums zu Karlsruhe. 1873, 
I. Dieses Bttchelcheu ist eine Beigabe zu des Verfassers längst 
bekanntem und geschätztem, im vorigen Jahre in 13. Auflage er- 
schienenem Lehrbuehe der ebenen Geometrie. Der Verfasser glaubte 
die neuere Geometrie, „weil sie eine so bedeutende Ausdehnung und 
auch in praktischer Beziehung, in der zeichnenden Geometrie, so 
vielseitige Anwendung gewonnen habe, nicht mehr ignoriren zu 
dürfen." E!r hält indess dafllr, dass viele Abschnitte derselben, z. B. 
die Lehre von den Involutionen, den Standpunkt der elementaren 
Behandlungs weise, wie sie fllr Gymnasien und Realsdiulen nach der 
Fassungskraft der Schüler erforderlich sei, überschreiten, und ver- 
weist diese in solche Lehranstalten, welche auch die höheren Zweige 
der ebenen Geometrie, Kegelschnitte und andere höhere Curven zu 
ihrem Gebiete rechnen. Daher gibt er in seinem nur 2'/, Bogen 
enthaltenden Werkchen nur die harmonische Theilung und a) ihre 
Anwendung auf geradlinige Figuren, h) ihre Anwendung auf den 
Kreis. — Wenn wir dem geehrten Herrn Verfasser darin beistimmen, 
dass eine weise Beschränkung nöthig sei, sofern eine gründliche 
Vorbildung für höhere Studien erreicht werden soll, so geht er nach 
unserer Ansicht etwas zu weit, wenn er die projectivischen Ptmkt- 
reihen and StrahlenbOschel und was damit zusammenhängt, ganz 
ausechliesst; er traut nach unserer Erfahrung den Eealschülem 1. 0. 
zu wenig Fassungsgabe zu. Aus dem Dargebotenen werden die 
Schüler kaum eine Ahnung von der Methode der neueren Geometrie 
bekommen, um so weniger, als Alles nach der alten Euklidischen 
Methode behandelt wird. — Wir haben aber noch einige sachliche 
Bemerkungen zu machen. Im 9. Satz definirt der Verfasser die 
Transversale als eine Gerade, welche die drei Seiten eines Dreiecks 
schneidet. Die neuere Geometrie fasst den BegrifE der Transversale 
viel allgemeiner auf, Uebrigens sieht sich der Verfasser in einer' 
Anmerkung genöthigt, die früher gegebene, alte Definition einer 

Zril^olT, f. miith. n. naturw. Unten. V. 6 



n,g,t,7rJM,GOOglC 



36 Literarinche Berichte. 

Transversale im Dreieck zu deasvouiren : es wäre be 
wenn er nach dem Vorgänge anderer neuerer Lehr] 
engsten Begriff einer Transversale im Dreieck aufgegel 
das Wort Mittellinie angenommen hätte. In dei 
gebraucht der Verfasser den Ausdruck Linie, wo er S 
mÜBste. Den Satz des Menelaus bietet er in der . 
dar, und findet sich veranlasst, derselben einen geom< 
unterzulegen, nSmlich ,, rechtwinkliges Parallelepiped 
aber gibt er aui:h den Pascalschen Satz u. s. w., wo 
Factoren vorkommen; da muss er natürlich eine Erklt 
bleiben. Es ist besser, wie wir früher schon erklärt 
und die verwandten Sätze als ein Product der Verhäl 
züglichen Strecken darzubieten, wo alles VerfSnglicho 
liehe wegftllig wird, weil Verhältnisse Zahlen sind. 
Verfasser im 20. Satü als ein vollständiges Vie 
nennt die neuere Geometrie vollständiges Vierst 
beiden macht dieselbe einen Unterscbieil. Im Uebrigen 
Werk innerhalb der gesteckten Grenzen vollständig i 
darin die bei dem Herrn Verfasser bekannte Schärfe 

II. Einen ganz andern Eindruck macht Nr. 2. 
steht auf der Höhe der neuem Geometrie und hat au 
Gebiete derselben datgenige, was für die Schüler höher 
— wir meinen die preuasischen Realschulen 1. 0. - 
nicht gerade leicht, doch überhaupt fasslich ist, zu i 
ordneten Ganzen zusammengestellt. Kenntnis s der 
und Stereometrie wird vorausgesetzt. Das Schriftchen en 
Text und 110 Figuren auf 2 Tafeln, denen wir eine 
fUhrung gewünscht hätten. Der 1 . Abschnitt handelt v 
tivischen Punktreihen und Strahlenbüflcheln. In demsi 
Veriftsser A. die Grundbegriffe, nämlich den Begriff 
vischen oder Centralprojection , des unendlich fernen ] 
der unendlich fernen Punkte), den die nenere Geomi 
behrenkannjobgleichmanvei-suchthat, denselben durch e 
angemessenen Witz in dieser Zeitschrift zu beseitigen. 
sich die unendlich ferne Gerade einer Ebene und die i 
Ebene des Raumes; der Begriff einer Punktreihe und < 
bttschels und ihre Beziehungen auf einander in proje< 
perspectivischer Hinsicht, Congmenz und Aehnlichk 
Aufgefallen ist uns, daas der Verfasser die Theile, i 
unbegrenzte Gerade durch einen auf ihr liegenden Puilhi. (jca^>iuoucu 
wird, als zwei verschiedene Strahlen bezeichnet, während sie doch 
nur entgengesetzte Richtungen desselben Strahles sind. Die letztere 
Auffassung scheint uns dem Begriff eines unendlich fernen Punktes 
mehr zu entsprechen. B. bandelt von den Doppel Verhältnissen. 
Nach dem Vorgange anderer Schriftsteller nennt unser Verfasser ein 
' Doppel verbältnisa auch ein anharmonisches. Ein Doppelverbältniss 
kann doch auch harmonisch seinj daher kann ein anharmonisches 



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j 



r 



Literariscbe Berichte. 67 

VerbSltniss erst als Gegensatz zam harmoniaclien seine richtige Be- 
deutuug erhalten. Dm' UnterabBchnitt C. behandelt die harmonischen 
Punktreiben nnd Strahlenbüschel. Der VerfaBser betrachtet nur den 
absoluten Werth des DoppelverhSltnisses, was wir für diese Stufe des 
Unterrichts nicht missbilligen; nur in einer Anmerkung macht er 
darauf aufmerksam, daea der Werth des harmonischen Doppelver- 
hKltnisses bei BerOcksichtigung der Vorzeichen ^ — 1 2u setzen sei. 
Unter Z>. wird das vollständige Vierseit and das vollständige Viereck 
kurz bebandelt. In gedrSngter, aber doch alles Wesentliche um- 
fassender Weise werden aodann die Involutionen vorgetragen. 

Im zweiten Ahschnitt wird der Kreis in seinen projeetiviachen 
und harmonischen Verhaltnissen betrachtet, und zwar Ä. die projec- 
tiviechen Strahl enbüschel im Kreise und die projeetiviachen Punkt- 
reihen seiner Tangenten; B. der Pascalsche und Briancbon'sche Satz, 
G. Pol und Polare, B. Polarisation und Reciprocität. 

Der dritte Abschnitt endUch behandelt die Kegelschnitte A. als 
Kreisprojectionen, B. die Mittelpunkt« und Durchmesser derselben, C. 
die Brennpunkte, D. die Gleichungen der Kegelschnitte und den 
Inhalt der Ellipse. 

Durch strenge Consequenz, SchSrfe und KUrze des Ausdrucks 
ist es dem Verfasser möglich geworden, auf so wenigen Blättern so 
vieles mitzutheilen, was vollkommen ausreichend ist, um einen mit 
Bleistift , Lineal und Zirkel bewafflieten Leser in die neuere Gte- 
ometrie einzuführen; daher können wir das Werkchen Allen, die aich 
einfuhren lassen wollen, insbesondere auch den Lehrern an höheren 
Realschulen als Leitfaden fUr ihre Schüler bestens empfehlen. 
Chr. SoHBKLiNO. 



BiSCHIHO, A. (P»'. d. Kstnrgatchlcht« an der Ob«t-ItBtl.äDbiila Wiedea und der all- 
Scmeiiun Wunnkande mn dei 1. SHSstl. hahem HudelBlehnantll In WienX 

Leitfaden der allgemeinen Waarenkunde zum Ge- 
brauche für Handels- und Gewerbeschulen sowie zum 
Selbstunterrichte. 238 S. gr. 8., mit eingedruckten Holz- 
schnitten. Wien 1873. A. Holder, Becks Üniversitäta-Buoh- 
handlung. Pr. 2 fl. 80 Xr. (ca. 1-| Thk.) 
Das vorliegende Werk ist in seiner Art etwas Neues. Denn 
wenn auch für Waarenkunde bereits grössere Werke vorhanden sind, 
so sind sie doch meist veraltet und nicht fltr den Bedarf einer 
Schule eingerichtet; auch behandeln sie meist nur einen oder den 
andern Theil des gesammten Feldes dieser WiBsensehaft und selten 
stehen sie völlig auf der Höhe des Wissens unserer Zeit. Es ist 
dies auch schwer, da die Waarenkunde so vei^chiedenartige Qegen- 
at&nde umfasst, dass selten ein Gelehrter alle Ihre Theile gleich- 
massig auszufuhren im Staude ist. Dm es dennoch zu erreichen, 
schlug Verf. den einzig dazu fUhrendeu Weg ein, ^r berieth sich in 



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ßS LitenuriBche Berichte. 

allen den Theilen, wo er sich nicht YÖllig zu HauBe fUblte, wo seine 
Quellen ihn im Stiche Uessen, wie bei so manchen neueren Fragen 
der Fall ist, mit denen, welche über die Frage allein ein massgeben- 
des Urtheil &Ilen können, er sucht« die (xescbsftsleute auf, welche 
den Stoff herstellen oder verarbeiten, befragte Fachleute, welche sich 
eingehend damit beaeh&ftigen und suchte in jeder Hinsicht dui-ch 
eingehende Nachforschungen zu eriahren, wie unsere Kenntnisse über 
verschiedene Waaren sich etwa erweitert haben. Eine dem Werke 
vorgesetzte kurze Vorrede vom Prof. des Faches an der Wiener 
technischen Hochschule ISsst uns einen Blick in die geschichtliche 
EntwickeluDg der Waarenkunde thun und weist hin auf ihre Wichtig- 
keit in den Schulen, vorzugsweise den Handelschulen, wo man dem 
Gegenstande noch bei weitem zu wenig Aufmerksamkeit zuwendet, 
sei es nun aus Mangel an Lehrbüchern, Lehrkräften oder aus 
andern umstünden. 

Was nun das Buch selbst betrifft, so gibt Verf. zuerst eine kurze 
Einleitung, in der er den Stoff benennt und die wichtigsten Eigen- 
schaften namhaft macht, auf welche es bei der Kenntniss der Waaren 
ankommt. Verf. konnte sich dabei kurz fassen, da der Cursos der 
Waarenkunde schon eine Summe von naturhistoriechen, physikaliBchen 
und chemischen Kenntnissen voraussetzt. 

Die Anordnung der betrachteten Stoffe ist nach den drei Natur- 
reichen vorgenonmien. Es werden die aus dem Mineralreiche enf> 
nommenen Waaren zuerst betrachtet, die aus dem Pflanzen- und 
Tfaierreiche folgen im zweiten Abschnitt. 

Den Anfang macht Verf mit den Schmucksteinen, die er in 
Edelsteine ersten, zweiten, dritten und vierten Hanges eintheilt, an 
welche er noch Halbedelsteine anreiht Alle Mineralien, welche In 
irgend einer Weise zu Galanteriegegeu ständen benutzt werden, finden 
wir in dieser Aufzählung. Sie werden kurz charatteriairt, es wird 
der Fundort, bei den schon längere Zeit in Gebrauch befindlichen 
einiges Historische, manches über den Ort imd die Art der Ver- 
arbeitung angegeben, sowie über den Werth. 

In ähnlicher Weise, der Wichtigkeit der Sache halber jedoch 
weit eingehender, bebandelt Verf. sodann die Metalle nnd Erze, Hier 
war besondere Veranlassung, auf in neuerer Zeit zur Anwendung ge- 
kommene Legimngen Rücksicht zn nehmen. 

Die Thonwaaren bilden einen weiteren Abschnitt, die Glas- 
waaren den vierten, worauf die Bau-, Verzierungs- und Sculptur- 
materialien folgen, die Schleif- und Polirmittel, Zeichen- und Farbe- 
waaren, Mineralsäuren, Salze, ZOnd- und Brennstoffe. 

Aus den organischen Naturreichen werden zuerst Nahrungs- und Ge- 
nussmittel, einschliesslich der Gewürze, betrachtet. Wir begegnen unter 
dieser Bubrik den mannichfachsten Mehl- und andern Früchten, sowie den 
häufigsten im Haushalte vorkommenden Gewürzen. Die darauf folgenden 



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IiiterariBche Bericlit«, QQ 

Gährungeproducte amfasBen die einschlagenden Getränke und den 
Eaeig. Sehr anslübrlich werden die Spinnstoffe bebandelt, und zwar 
gibt Verf. hier auch eine Uebersichf vieler Sorten von GespiuuBten 
imd Geweben. Er nennt auch die neuesten einschlagen den Stoffe, 
welche zum Theil eine besondere Wichtigkeit zn erlangen reraprechen. 
Das Papier wird hier behandelt. Ein kleiner Abschnitt wird den 
gerbstoffhaltigen Körpern, ein grösserer den Farbstoffen gewidmet. 

Die genannten Gebiete nimmt Verf. mit grosser Ausfllhrlich- 
keit vor, so dasa man in den meisten F&lleu aus dem Buche über 
einen noch fremden, in der Technik verwendeten Stoff sich Baths 
erholen kann. Die Beschreibungen enthalten das Wesentlichste, 
ohne starke Voraussetzungen bezügUch der Vorkenntnisse zu machen. 
Wir können uns deshalb als Grundlage für den Unterricht in der 
Waarenkunde mit Benutzung einer entsprechenden Waarensammlung, 
welche durch die Anschauung das in den Beschreibungen oft nur 
kurz Gegebene erlKntert, kein besseres Eilfsbuch denken. Wir halten 
es indessen auch ^ den Selbstunterricht vorzüglich geeignet flir 
jeden, der in das Wesen der Waarenkunde eindringen will, ohne 
dieselbe gerade zu seinem Hauptstudium zu machen, so insbesondere 
tur den Lehrer an Beal- und Bürgerschulen. Der Lehrer der Eaus- 
haltuDgskunde, der Chemie und Technologie wird viel&ch Neues in 
dem Wei-ke finden und aus dem Fleißse, mit dem Verf. seinen Stoff 
zusammengetragen hat, Nutzen für sich und seinen Unterricht schö- 
pfen können. Durch Hinweisung auf iahlreiche historische Momente 
wird das Werk noch Überdies belebt und belehrend. Recht prak- 
tisch sind auch die Hinweisungen auf die in den k. k. Cabinetten 
verwahrten Seltenheiten bei Besprechung der Edelsteine. Majicher 
Wien künft^ besuchende Lehrer wird es dem Verf. Dank wissen, 
darauf au&nerksam gemacht worden zu sein. 

Wir empfehlen daher in jeder Hinsicht das Werk, obschon es 
sich bescheidener Weise nur Leitfaden nennt, als ein kleines recht 
brauchbares HondbnclL 

Wien. Dr. Cabl Bothb. 



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Pädagogische Zeitung. 
(Berichte über Versammlungen, Auszüge aus Zeitschriften n. dgL) 

Von der UnterriolLt8-Ati8BteUtmg auf der Wiener WeltanssteUan^.*) 

Entleben'a geologische Bilder**), 

Der ÄQBcbaaniigBuatemcht in der Naturgeflchichte det anorgtuUBeben 
NatuTpToducte bat mit einer gröaaeru Bcbwierickeit zu kBjnpfea, als der 
in der Organ ograpbie, nämlicb, dase er sich direct auf die Betracbtaiig 
der NatarkOrper beziehen muBB, nnd in den wenigsten Fällen von Ab- 
bildungen Qebrauch machen kann. Alle auch noch eo sorgftUtig aas- 
geführten Bilder Ton Mineralien etc. weichen weit ab von dem, waa die 
Wirklichkeit bietet; das Gesetz der Aggregation, welches dae IndiTidnnm 
sowohl als die Gruppe derselben oharaiteriairt, die scheinbare Willkürlich- 
keil; und Vielgestaltigkeit an einer und derselben Art lassen keine andere 
Unterlage za, als die der Naturproduote Belbst. Genügen in vielen Fällen 
beim Unterrichte in den Anfangsgründen der Zoologie und Botanik Wand- 
tafeln, so verlangt die Mineralogie schon eine Sommlnng von Mineralien, 
wenn sie mit einigem Erfolge bei den Schalem gelehrt werden »olL 
Daseelbe ist in noch weit grosserem Masastabe der Fall bei der Gesteins- 
lehie nnd Geologie. Wie weit würde ein Lehrer kommen, wenn er eeinen 
Schülern z. B. Granit und Porpbyr beschreiben wollte, ohne ihnen durch 
ein nntereelegtcs Handstflck das deutlich zu machen, was er ihnen vor- 
zutragen nat? 

In der Geologie sollte man freilich glanben, da«e die Abbildnng von 
Petrefacten als organischer Reste leichter zu benutzen sein möchten, allein 
gerade hier macht sich ein ähnlicher Umstand geltend wie bei den Mi- 
neralien; die Abbildnng ist nach einem bestimmten, best erhaltenen Indi- 
viduum genommen, andere Individuell sind in anderer Lage, mehr oder 
weniger gut erhalten, zur Yersteinerung gekommen; kommt nun noch 
dazn, dasa der Zeichner die Abbildung kunstgerecht verbessert, so kommt 
der Lernende zu keiner klaren Vorstellung, wie der Gegenstand in der 
Natur eigentlich aussiebt, er lernt eine fremde Sprache, ohne die Schrift- 
zeichen recht leaen xu kOnnenl Gerade die vorher erwähnte Eigenschaft 
der Petrefacten macht oft selbst Eingeweihten Schwierigkeiten, und wenn 
es Verhältnis e massig leicht ist, Fachschüler in das Verständniss von Mine- 
ralien und Gesteinen einzuführen, so macht die Anleitung zum Bestimmen 
von Petrefacten in den meisten Fällen Schwierigkeiten. Man kann um 
so weniger von einem Erstling in dieser Disciplin verlangen, dass er 
selbst ein etwa vorhandenes Naturproduct mit einer Afabilduig in Ueber- 
einstimmung bringe. Wenn man nnmeglich verlangen kann , dass der 
Schüler mit dem Lehrbuch anch einen Kasten Mineralien , Gesteine etc. 
herumschleppt, so gehört es offenbw dazu, dass der Lehrer ihm doch zu 



') Hw Bericht ttber di« geogisphlBchen <iao1. utiDnDio.-geogT.) LehrmilCel folgt im 

Bit. 

■) Wir bittm die Leier dieier ZeitKhrift (Lehrer nud Fuhlente) um ftbnliahe Hlttbei- 

ui_reap. BemhielbuDgaa neu«c Ii«himit(el. £. Bed. 



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Berichte über VerBammlungen, Auszüge aus Zeitschriften u. dgl. 71 

seiner Abbildung im Buche den Naturkörpet selbst vor die Augen führt. 
Die Lehranstalt muas oder soll weci^tens die betrefiendeii Qegenat&nde 
unter ihren Lehrmitteln besitaen. Die BeachafFung von Mineralien hat 
keine beeonderen Schwierigkeiten, da mau mehr oder weniger nv&ng' 
reiche Samnilungen zu mäaeigein Preise erlangen kann, hinBichUich der 
geologiacben Sanunlungen iät diea aber nicht ho leicht, denn es beacbäf- 
iigen sich weit weniger Leute mit der Zusammen Stellung deraelben, und 
die Anschaffung ist unter Umat&nden auch mit gröBeeren Kosten ver- 
bunden. 

Eine sehr praktische, in jeder BcEiehung empfehlen iwerthe Idee 
scheinen mir daher die von Emil Erileben, Apotheker zu Lands- 
krön in Böhmen, zusammengestellten geoIoglBclien Bilder zu 
besitzen. In 3 Tableans finden wir hier die Hanptformationen der 
£rde in ihrer Aufeinanderfolge dargeatellt, ingleich ist aber jede Forma- 
tion mit den betreffenden Leitfoasilien ausgestattet. Der Grund der 
Tableaux ist nämlich nach Art der Fraas'schen Wandtafeln in bestimm- 
ten Farben, welche zugleich Mächtigkeit und Störung der Lagerung an- 
deuten, in die Formationen eingetheilt. Der jeweilige Raum einer For- 
mation ist mit den ente^echenden Oesteinaarten und charakteriBtischen 
Fetrefacten beklebt, eine Etiquette unter jedem Stficke gibt die Erklärung. 
Als Zugabe enthält der obere Rand 3 nett entspreäende geologiBche 
L andachaftabilder. 

Mit dieser Idee sind folgende praktische Eigenschaften verknöpft. 

1) Die Bilder können zu jedem Leitfaden benutzt werden. 

S) Sie nehmen ala Sammlung, weil sie aufhäogbar sind, weniger 

S) Sie lassen keine Verwechslung der Gegenstände zu, da die- 
selben festgemacht rind. 

4) Sie machen den Schüler nicht nur mit den geognostiscben (palHon- 
tologiachen) Natnryrodncten vertraut, sondern sie veranschanliehen ihm 
auch, wie (verschieden) dieselben in den Formationen wechselten, 
lind wie diese anfeinanderfotgen. 

5) Der Lehrer kann äch auf die Richtigkeit der Bestimmung hin- 
länglich verlassen. 

6) Ist der Preis (15 fl. ö. W.) ein sehr moderirter. 

Letzterer Punkt dflrfte sich für spätere Zeiten noch viel günstiger 
gestalten als es gegenwärtig der Fall ist. Denn je mehr Lehranstalten 
sieh mit den Erileben'schen Bildern versehen, desto niedriger kaJin ihr 
Preis gestellt werden. Je weiter dieselben aber Verwendung finden, desto 
mehr Kinn die Idee dem Bedür&isse des einzelnen Institutes angepasst werden. 

Herr Erziehen, der kein Incrativea Geschäft mit seinen Bildern 
zu machen gedenkt, sondern nur von dem Wunsche geleitet wird, 
sich iminteresse seinesLieblingsstudinrns nützlich zu machen, 
wird gerne jedem praktischen Rathschl^ und erfüllbaren Wunsch nach- 
kommen. 

Ich glaube mit gutem Gewissen die Äufinerksamkeit der Herren Pro- 
fessoren an den Mittelschulen auf vorerwähntes Lehrmittel lenken zu 
sollen und dieses ihnen empfehlen zu dürfen. Das Anerkennmjgs- Diplom, 
welches die Weltausstellnngs-Jury Herrn Enleben für seine geologischMi 
Jilder zuerkannte, spricht dafär, dasa anch andere Fachmänner meine 
Ansicht th eilen. 

Prag. Dr. Gustav C. Laube, 

Piof. ui der T«ohuIk. 



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ber VerBanunlungcn, Ausaflge aiw Zeitschriften u. dgl. 

g des österreicMficlieii MinlBterlnmB fbr Cnltas 
imd Unterrlclit vom 4. Januar 1874 

k. k. I/andeBsclmlbeliöideii , mit welcher ein NomiRl-Ver- 
ihyBikaliachen Sammlnng einer MitteUchule und die zuge- 
hörige Dotation feststellt wird. *) 

ehr als 20 Jahren zur Eiohtschnnr für die Anlage phygi- 
lungen an Mittelschnlea heran^gebene Inventar euteprichi 
dgen Stande der Wissenecbaft in den meisten Stricken 

i Grunde, und weil in Folge dea in den letzten Jabi-en ein- 
rerwechseU an einer und derselhen Anstalt aehr verschie- 
ngen über UnterrichtabedürfnisBe zur Geltung gekommen 
beenden ein neues Verzeichniss aufgeateüt, das den Mittel- 
1 Anschaffungen Maas und Ziel zu geben hat. 
enthaltenen Apparate eind in zwei mit A und B bezeieh- 
;etheilt, von denen die erste schon für den Unterricht in 
issen unentbehrlich ist, die zweite aher für den Unterricht 
Clasaen zu dienen hat, und auch dem Lehrer es ermöglicht, 
re wissenschaftliche Untersuchungen auaznführea, 
)lche Sammlung instandzuhalten, um die Kosten der noth- 
raturen, einiger Nachachaffnng'en und des Eifperimentir- 
streiten, wird eine jährliche Dotation von zweihundert (200) 
e vollständige Mittelschule und von hundert (100) (Jnlden 
standige fes^e setzt. 

ffung einer oder der anderen periodischen Fachachrift (etwa 
.nnalec, Berichte der BerUuer physikaliBChen Gresellschaft) 
(ibliotheka- Verwaltun g. 

isgesetzt werden kann, dass die Anstalten, deren Organisa- 
rer Zeit vollzogen ist, sich im Besitze der oothwendigen 
weder schon befinden, oder hierza nur geringfügiger £r- 
ürfeu, so werden blos jene Anstalten, bezüglich welcher 
;zang bei weitem nicht zutrifft, ihre nunmehr normirten 
abzuweisen haben und zwar durch Vorlage eines Verzeich- 
enden und auch nicht durch vorhandene Apparate erseta- 
Die Mittel zur Vervollständigung sehr lückenhafter Samm- 
in mehreren jährlich anzuweisenden grosseren TheÜBummen 
feeit bewilligt werden; wo es nur immer angeht, iat jedoch 
^ so zu tre^n, dass die allmähliche Deckung in der feste 
gefunden wird. In Folge dieser Anordnungen werden ausser- 
tationen künftig ganz entfallen. 

:che die k, k. Landesschulbehörden das hiemach Erforder- 
ilassen und die Directoren der Mittelschulen auf das bei- 
it einigen Erläuterungen versehene Yerzeichniss aufmerksam 



ErlSntemngeii. 

1 Anlegen des Verzeichnisses musste angesichte der beti^ht- 
n Mittelschulen, für welche die Staatsverwaltung Sorge zu 

Tsik int«nHaut« nnd lehnelche Ultlhsilnngen za bieten, henoudeti da die 
smlch und Baohoen) l<«i(lgl. dec phyrik. Lsfannittel saf der WslUmnel- 
I aDsgeielohitet haben. (Tgl. d. BeHcht IT, 436—444.) Die ■«Dhiizche (Shn- 



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r 



Berichte über Vereammlungen, Änsaage aiia Zeitechnflieii u. dgl. 73 

tragen bat, die gröBBtmÖgliehe Schonung des Aerara angestrebt werden. 
Dieee gebotene Räekaicht bekundet aicb unter Wahmog alles Wichtigen 
■und Nothwendigen vor allem in dem Beseitigen dee Unnöthigen, das zu 
t&ndelnden Veriuchen Änlaaa bietet, ucd in dem Auslassen dea Entbehr- 
licbeu, das durch andere und einfachere Apparate ersetzt werden kann. 

So s. B, ist ein besonderer Influenzapparat nicht eben nothwendig, 
da man alte Influenzerscheinongen mindestens eben so gnt mit zwei 
Elektroskopen demonstriien kann. Ein gewöhnlicher Induction sapparat 
kann leicht ans dem Neerschen Hammer und einer Inductionsspule co 
biuirt werden, man braucht also den Neefschen Hammer blos einm 
Amp&re's rotirenden Strom kann man leicht zur Demonstration der 
dnction verwenden, indem man in den einen Stromkreis das Element, 
den anderen den Uultiplicator einscfaaltet, und beide gegen einander be- 
wegt. Statt tSx jeden einzelnen Fall einen eigenen Rotation eapparat au- 
znrchaffen, richte man die optischen Scheiben, die Sirenenecheibe, den 
Wh eatstone' sehen Spiegel so her, dass jedes auf die eine Centrifngal- 
maachine gesetzt werden kann. Fernrohre sind au mehreren Apparatei 
vorhanden, indessen reichen zwei gute Ahlese-Fernrohre für alle gewöhn 
liehen Zwecke aus. Man kann dieselben zur Spiegelablesung, zu Beugonge- 
versDcben verwenden, aas ihnen mit Hilfe einiger Träger einen Spektnu- 
apparat constrairen, indem man das eine Ocular durch eine Spalte ersetzt, 
man kann mit ihnen das Goniometer justiren u, s. f. 

Ein solches Verfahren bietet für ein geringes Opfer an Bequemlich- 
keit den Vortheil, dass der Schüler den Apparat aus seinen Elementen 
eolsteben sieht and bei der Einfachheit der Zusammenstellung nicht durch 
nebensächliches Beiwerk beirrt wird. Wie gewiea die Geschichte der 
Wissenschaft nachweist, dass mit kleinen und rohen Mitteln Qroaaes ge- 
leistet worden iat, so gewiss ist es, dass mit den grSssten nnd feinsten 
Mitteln selbst nur für Unterrichts zwecke nicht« Rechtes geleistet wird, 
trenn der, dem sie zur Verfügung stehen, aus irgend einem Grunde unt^r- 
^st, eben Vorhandenes zu verwenden und Theile von Apparaten zweck- 
mässig zn combiniren. 

Dem Grundsatz verständigen Sparena entspricht es auch, dass der 
eine Sammlung einrichtende oder ergänzende Lehrer die einfachon Unter- 
richts- und Demonstrations- Apparate nach eigener Angabe von Hand- 
-werkem des Ortes ausfahren läast, um so, höcbstena anf Kosten der Ele- 
ganz, zweckmässige und dauerhafte Vorrichtungen zu gewinnen. 

Es ist zu empfehlen, in der Regel nur jene Apparate, welche nicht 
an Ort und Stelle ausgeführt werden kännen, und bei deren Anfertisnng 
es auf Fräcision und besondere Sachkenntmee ankommt, von Mechanikern, 
u. z. von Specialisten ohne Vermittlung zu beziehen. 

II, SoU ferner der physikaUsche Unterricht gen^s einer der Aufgaben 
der Mittelschulen formell bildend sein, so muas das Ziel, nämlich die Ge- 
danken nach den Dingen einzurichten, stets im Auge behalten werden. 
Der Schaler mnss lernen, in den gewöhnlichsten ihn umsehenden Vor- 
gängen Gesetze zu finden und dieselben deductiv zu begreifen. 

Man wende also Apparate nicht an, wo keine nöthig sind. Was sich 
an einer einseitig verschlossenen Glasröhre, an einem umgekehrten Trink- 

flase zeigen lässt, demonstrire man nicht mit Zaubertrichter und Zauber- 
anne. Alle Apparate seien ao einfach als möglich, damit die Aufmerk- 
samkeit der Schiller auf den Kern der Sache gerichtet bleibe und sollen 
in der Hegel erat dann angewandt werden , wenn es nöthig wird , eine 
qualitativ schon bekannte Erscheinung zum Zwecke des genaueren Studiums 
und der Messung zu isoliren, und befreit von fremden Elementen darzu- 
Btellen. 



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74 Berichte Über Versamralui^en, AuHüflge aus Zeitschriften ii. dgl. 

Werden auch mitunter hübHchere und elegantere Apparate vorgeführt, 
tili] die Freude am Lernen zu erhüben, so soll doch nicht die Unterhaltung 
auf Kosten der Fruchtbarkeit des UnterrichteB die Oberhand gewinnen. 

Bei solchem Verfahren wird die Kluffc zwischen den alltäglichen Ge- 
danken des Schülers und den wisaenachaftlichen Betrachtangen bald kleiner 
werden. Veretcigt sich aber der Unterricht, und wird er mit künstlichen 
Mitteln geführt, so kann es bei weniger regen Köpfen eintreten, das« 
beide Gedankenkreise gar nie mit einander in Berührung kommen. 

Was die materiellen pbjsikaliBchen Kenntnisse be&ifft, welche die 
Schule theils für die Bedürfnisse jedes Gebildeten, theils als Grundlage 
für den hdheren Unterricht zu bieten hat, so werden sich dieselben auf 
das Principielle beschränken müssen. Deshalb sind wohl die wichtig- 
sten Messapparate in dae Noraial-Verzeichnias anfgenommen, solche In- 
strumente aber ausgeschlossen, welche erst durch eine längere compljcirte 
Versuchsreihe ein Resultat liefern, die also nur dort vorgeführt werden 
können, wo der Unterricht schon auf breiterer Grundlage und mit grösserem 
Zeitaufwand ertheilt wird. 



Normal -VerieloIuilsB der physikalisohen Sammhing einer 
Hittelschule. 

, T. . ■ 1 • Mittler« Frei 

I. Utensilien. io GoMen 

6«. W. ■ 

A. 4 einfache Tiachstative aus weichem Roh mit hebbarer 

Platte, 2 von 6', 2 von 2' Höhe fl. 16 - 

S einfache eiserne Trtlger mit Klemmen „ — 

B. Hobelbank „ 20 - 

Drehbank „ 60 - 

Werkzeuge zn beiden „ 40 — 

Glasblaaetisch „so- 
ll. Mechanik. 

A. Metermaaa „ 2 — 

Nonins (linear) „ 1 — 

Quadrant mit Nonius „ 3 — 

Haspel „ 2 - 

Winde „ 2 - 

Hebel , 2 - 

Schraube ohne Ende „ 10 ~ 

Schraube „ 3 - 

Rollen nnd Flaschenzüge „ 16 — 

Kräftenparallelogramra nach Frick ■ , . „ 4 — 

Modell der Waa^e mit allen Correctdonen „ 16 — 

Gewichte zu statiachen Versuchen „ 6 — 

Atwood'sche Fallmaschine „ 60 — 

Fadenpendel (mehrere auf Stativ) „ 2 — 

Stossmaschine mit Holzkiu^eln „ 16 — 

Centrifu^maschiue mit Nebenapparaten „ 60 — 



Fdi dls UnmcbDaDg In Thulsr (Dd. Uu-k) nun ZwMk d« TK^ahniiC wolle m 

•- _ 1 Thip. = 1 fl. 10 It., odw 10 fl. — m. « Thlr, d» Jinu: ßelt, •!• d 

ihiaD', die ValnU v> tu. D. BM. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Benciite Über Versaniinliu^n, Auazüge ans Zeitachriflen n. dgl. 75 

Hlttlsm Fiel! 
in GHldon 

B. Chemische Wage mit Granungewichtsatx fl. 100 — 

Sphärometer „ 15 — 

En&chea Kathetometer ,, 100 — 

Modell des Beversioiispetidels, zugleich sur Demonrtration 

der Trägheitsmomente „ 30 — 

4 Schmidt'Bche Kreise! , 39 — 

m. Hydrostatik wnd Hydrodynamik. 

A. CommimioationsgefilBB „ 2 — 

Haldat'acher Apparat „ 8 — 

Anftriebapparat „ 2 — 

Hohlwtlrfel mit genau hinein passendem Maesiywflrfel für 

hydroatatlBche Vetsnche „ S — 

5 Scalenaräometer sammt Hülse „ 4 — 

Gewichtsarftometer „ 8 — 

Modell der hydrauliachen Presse >. 60 — 

Libelle „ 3 — 

Sesner'acheB Bad n 14 — 

4 Pyknometer „ 2 — 

B. Oeratedt's Compreaaionaapparat , , . „ 80 — 

Weisabach'a AnBflassappaiat mit einfaiAen und verzweig- 
ten Ausflusaanaatiröhreu , 40 — 

Flatean'a Drahtnetze „ 3 -^ 

IV. Aerostatik und Aerodynamik. 

A. Torricelli' scher Apparat „ 1 — 

Apparat für das Mariotte'sche Geeetz . : „ 6 — 

Emfaches Barometer . „ 10 — 

Heronsball „ 2 — 

Heronebnumen ,„ 4 — 

Sangpumpe „ 12 — 

DruCKpnmpe n ' 12 — 

CompresBionBluffcpumpe >. 1* — 

Luf^umpe mit Neben apparaten „ 160 — 

B. Fortm'schea Barometer „80 — 

Apparat für die Spaimkraft der Dämpfe n 3fl — 

Aieroid | „ 30 — 

V. Akustik. 
A. Scbeibensirene mit der diatoaiachen Scala zur Gentri- 

fugalmaschine „ 6 — 

Polychord mit verschiebbarem Steg und mit Gewichts- 



Zeichirangen fflr Wollen ,' „ 4 - 

a Stimmgabeln C, C, C i » 16 - 

Labialpfeifen '. „ 10 - 

Zungenpfeife mit Glaswänden „ 6 - 

Elangfiguren-Apparat „ 36 - 

lnt«r?erenzröhre . . . . ■ „ 3 - 

Wheatstone'scher Spiegel zur Centriftigalmaacbine . . . „ 2 - 

König'scher Brenner „ 1 - 

B. Sirene mit Zahlwerk 30 - 

Orgeltiach h 20 - 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



76 Berichte Aber TerBammlnngen, ADSsflge auB Zeiticbrift 



VI. warme. 

A, Bing und Kugel Mr die AuBdehnung 

Apparat fdr die Augdehnung der Stäbe 

Drahtgitterserie 

FnemnatiHclieB Feuerzeug 

GewOhnlichcB Thermometer 

Siedepunktapparat 

Kryophor 

Heizbares Datnpfniaschineumodell 

Platinachale für Leidenfrost'B Versuch 

Augnst's Psychrometer 

B. 2 feine Thermometer mit arhiti&rer Scala 

Melloni'Bcher Apparat (ohne Uultiplicator) .... 

Dumas' Dampfdichtenapparat 

Depretz's Apparat fOr die Leitun^Bfähiglfeit .... 

VII. Optik. 

A. Schulapparat für Biechnng und Reflexion 

2 groBse Lineen von 3' Brennweite für Projection 

Holzfassung 

2 LinBen, 3" Brennweite von gleicher Adjnetirung . . 
Zeratrennngalinse von 1' Brennweite (gefasst) . . . 
ZerstreuungBlinee von 3 ' Brennweite {gefaaBt) . . . 

3 gute Flintprismen 

Hohlspiegel (Glas) 

Convexspiegel - 

StroboskopiBche Scheiben 

Stereoskop 

3 Cuvetten für Fluorescenz 

Uranglas Würfel 

WeUenmaachine (Fessel) 

Lichteinlassapparat mit Projectionavorrichtung . . , 

Schirm für Projection , 

Spiegel sojrtant 

B. AchromatischeB Prisma auf Stativ 

2 Ablesefemrohre 

Kleineres Hartnack'sches Mikroskop 

Interferenzspiegel 

Beugungsohjecte mit einer Fasaimg für das Femrohi 

Genaue Plaagläser. 2 Paare (Steinheil) 

Qnarzprisma, Axe parallel zur Kante (Steeg) .... 

Qnarzprisma Ase eenkrecht zur Kante 

Nörrembergs Polarisationsapparat 

2 Nikola 

2 Quarzkeile parallel der Axe 

2 Quarzkeile senkrecht zva Ase 

Qnarzplatte, parallel der Axe 

-i-Platte 

Kiratallohjecte für Axenbitder 

4 Quarze senkrecht zur Axe, rechte und linke . . . 

Gekflhite Glaser 

Nevrton'sches ölas ■ . 

Einfaches Spektrometer mit Gansa'Bchem Ocular, zugle 

Goniometer 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



Berichte über Veraammlungea, ÄnszOge aua Zeitachriften n. dgl. 77 

UUtlenr Fn{> 

Vin. Elektricität und Magnetismus. '«t^w" 

A. Elektrisixmascbine (Wintoi) mit Nebenappataten . . . „ 50 — 

Elektrophor „ 10 — 

Duplicaior nach Beaet, bestehend aus zwei Qoldblatt- 

elektroskopen „ 15 — 

Zerlegbare Fnmklintafel „ 2 — 

Uasiflasche „ 2 — 

Plaschenbatterie „ 8 — 

Ober^chenconductoT ,i 10 — 

GeiBBler'scbe BChren „ 2 — 

Volta'ache Sävde „ 10 — 

Fechner's Elektroakop filr die Volta'achen Fnndamental- 

versuohe „ 30 — 

Bnnaen'sclie Batterie, 20 Elemente „ 60 — 

Smee'sche Batterie, 6 Elemente t 2^ — 

Voltameter „ 2 — ■ 

WaaserzereetzongBapparat , 4 — 

Elektromagnet „ 6 — 

Ampöre'B rotjrendet Strom „ 6 — 

AmpSre'B rotirender Magnet „ 6 — 

Ämp^re'a Fimdameiitalapparat „ 16 ~^ 

Enhmkorff „ 100 — 

Magnetetäbe „ 5 — 

Magnetnadel mit horizontaler Aie „ 2- — 

Magnetnadel mit Terticaler Axe „ S — 

4 Spulen fflr Induetion, 2 Haupt- und ä Nebenapulen . „ 8 — 

10 Drahtklenunen „ 2 — 

Neefacher Hammer „ 16 — 

Multiplicatoi- mit kuraem Draht „ 16 — 

Mnltiplicator mit lajigem Draht „ 16 — 

B. TangenteßbonsBole „ 40 — 

Wiedemann'a Spiegeibouasole „ 36 -- 

Wheatatene'a !EUieostat „ 15 — 

Siemena'eche Wideratandaeinheit „ 2 — 

Holtz'ache Maschine „ 40 — 

Diwnagnetiaeber Apparat , 160 — 

Siemena'ache Widerfltandaaäule ii ^ — 

Rheochord „ 20 — 

Der Oeaammtwerth der mit A. bezeichneten Gruppe betr3^ in runder 
Summe 1600 fl., der mit B. bezeichneten 1800 fl. 



Zum Repertoriom neuer Entdeoknngen, ErAndimgeii eto. 
a) Geognoeie. 

(Von Engelhardt.) 

Die Unteranchnngen von Maachke über die Abacheidung von 
krjitallisirter EieaelaHuie aua wäaserigen LOaungen haben ergeben, 
dMa tisi etwa 180° C. und darüber aich &eie Eieaelsänre aus wS^aerigen, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



78 Berichte Ober Tersaininlungen, Auszüge aus Zeitachriftea u. dgl. 

alkaÜBchea Lösungen als Quarz ausBcheide, unterhalb 180° zuerst als 
Tridjmit, dann als krystaUisirteB und endlich als amorphes Eieselsänre- 
hydrat in hintereinanderfotgenden noch zu beatimmenden Temperatur- 
grenzea und dasB als hOohst wahrscheinlich gelten könne, dasa sich Quarz 
unter keinen Umständen bei gewöhnlicher oder wenig erhöhter Tempe- 
ratur nnd bei gleichzeitig vorhandenem gewöhnlichen Druck aas wässeri- 
gen Lösungen zu bilden vermag, (Foggend. Ann, 1872. Hffc, 4.) 

AgassiE hat ca. 4 Meilen östlich vom Cap Frio aus der Tiefe von 
45 Faden eioen Krebs geholt, der zwischen Serolis und Trilobiten steht. 
Er hat ihm den Namen Toroacaris Peirecei gegeben. (Naturf. N. 30.) 
Die Meinungen darüber sind verschieden. Die Darwinianer jubeln, dasa 
Barrande's Ansicht widerlegt sei; andere vermuthen Üb erfläch 11 chkeit der 
Untersuchung Agasaiz'a. Auf der Natnrforscherversaminlung zu Leipzig 
(s. Tageblatt S. 81 f.) z. B. machte Prof, Claus darauf aufmerksam, dass 
die Angaben von Agassiz über den Ban jenes Erebaes vollkommen tuizu- 
reichend seien, um sich eine genauere Yorstellung von demselben zn 
machen, die äussere Formähnlichkeit genflge nicht, um die Yerwandtacbalt 
mit den Trilobiten darzuthun, selbst die genaueste Forschung des- Orga- 
nismus würde es schwer, vielleicht unmöslich machen, die Identit&t mit 
Trilobiten featzustellen , so lange man nichts über die Gliedmaassen der 
petreficirten Ueberreste wisse. Erwäge man auf der andern Seite die 
grosse U n wahrschein hchkeit, dass Organismen der ältesten Formationen, 
die aus allen späteren Formationen verschwunden sind, in der Gegenwart 
noch lebend gefunden würden, ferner die eminente Tragweite einer sol- 
chen Thatsache, so mnaae die Seichtigkeit befremden, mit der Agassiz in 
seiliem für die Oeffeutlichkeit bestimmten Briefe an Perce ohne voraus- 
gegangene genaue wissenachat^liche Feststellung diesen gewiss höchst 
merkwürdigen Organianiua als unzweifelhaften Verwandten der Trilobiten 
in die Welt gesandt habe. Das grosse Publicum, in Erstaunen gesetzt 
durch die Entdeckung eines lebenden Trilobiten, werde gewiss später 
bitter enttäuscht werden. 

Heer in Zürich hatte im. 1. Bande seiner Flora fossilia arctica nach- 
gewiesen, dass die achwarzen Schiefer von Eome auf der Nordseite der 
Halbinsel Nouraoak der Kreide angehören. Damals hatte er wenige 
Arten vor aicb gehabt. Auf der achwediachen Expedition vom Sommer 
1870 sammelte Prof. Nordensciöld mit Dr. Nordström eine grosse Zahl 
von fossilen Pflanzen an den genannten, wie an mehreren andern Orten 
und vertraute sie Heer zur Untersuchung an. Bis jetzt sind davon 45 
Species bestimmt worden (24 Eilices, 2 Rhizocarpeen, 2 Equisetaceen, 
6 Cycadeen, 8 Coniferen, 3 Monocotjledonen, 1 Dicotyledonl. Unter 
den Farren domiairen die Gleichenien durch Arten- wie Individuenzahl, 
unter den BWthenpilanzen die Cycadeen und Nadelhölzer (Zamitea arcticns, 
Pinitea Ciameri, Sequoia Beichenbachi u. a. w.); die Monocotyl, sind 
selten und nur in Fragmeuten vorbanden; von Dicotyled. sind nur ein 
Paar Blattfragmente vorhanden, die una die älteste bis jetzt bekannte 
dicotjiedonische Pflanze zur Eenntnisa bringen (Populus). Die 
Qlora kann als subtropisch bezeichnet werden, wofvlr die zahlreichen 
Fleichenien, Marattiaceen, die Cycadeen und Dietiophyllum sprechen und 
stimmt in klimatischer Beziehung mit der unteren Kreideflora Europas 
überein, was darauf hindeutet, dass damak noch keine zonenweise Ver- 
theilung der Wärme über unsere Erde stattgefunden hat. — Auf der 
SCidseite der Halbinsel NouTsoak kommt eiu ähnlicher schwarzer Schiefer 
vor, deaaen Päanzenreste (4S Spec.) ihn ebenfalls der Kreide, aber einer 
jüngeren Stufe zuweisen (11 Filiees, 1 Cycadee, 7 Coniferen, 3 Monoco- 
tyl^., 24 Dicotyl). Auffallend ist hier, dass die Dicotyl. vorherrschen 
(z. B. Ficns, FopuluB, Myrica, Sassa&as, UagnoUa, Panas, Sapindns, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte über Versammlimgen, Auezflge ans Zeitachriften u. c^l. 79 

Miub). Diese Schichten schlieBBCn sich somit an die obere Kreide Europa« 
an. (Nach Zeitechr. d. d. geol. CFeeellachaft. 16T1. Hft. 1.) 

la der Kreidefonnation Gaglanda aind zwei neue Zapfen (Pinites 
hegagönna und Sequooitea oTalia) gefunden worden. (Zeitschr. f. d. gea, 
Natnrw. 1872 Julih.) 

Nach Dawson und Harrii^tou tritt im NW. und Sndtheile der luBel 
Prinoe Edward Island im Liegenden der Trias sehr charatteristisch das 
Rcthliegende auf, dessen Flora ToUkommen mit der des uutem Bothlie- 
genden in Deotschland übereinatimmt. Es kommen z. B. vor Walchia 
■gTaciiis, W. robuata, Pecopteria arboreacena, P. rigida, Nearopteris pinna- 
tifida, Calamites Suckowii, C. Clsti, C, arenaceue, C. gigaa. „Leider be- 
acliten die nordamerikani scheu FalHoBtologen die europäische Literatur 
za wenig und benennen ihre' Ärtt^n mit neuen Namen, wenn dieselben 
aoch unverkennbar mit europäischen übereinstimmen und fähren damit 
einen der Fortachritte der Wiasens'ohaft hemmenden Ballast in dieselbe 
ein." (Zeitachr. f. gea. Naturw. Julih. 1872.) 

Zx> Nevada ist durch Clayton die Primordialfauna aufgeschlossen 
worden. Hier kommt sie in Kalksteinen vor, während sie in Böhmen an 
die thonigen Schiefer von Giuetz und Skrey und in den Yereinigten Staa- 
ten (zw, New- York u. d, Bocky Mountains) an die sandigen und achief- 
rigen Platten des P otadams and stein s gebunden sind. Clayton beschreibt 
Arten der Gattungen Lingula, Oholella, sowie solche der Trilobitengat- 
tnngen Faradoxites, Conocephalus, Arion, Crepicephalua. (Jahrb. f. Min. 
ond Qeol. 1873. Hft. 6.) 

Die von HeKensburK über Heman nach Nürnberg fahrende Eisenbahn 
durchschneidet hei Undorf ein Braunkohlenlager, deaaen Alter in das 
obere MiocBn &llt und der tortonisehen Stute au entsprechen scheint. 
Ueber dem jurassischen plumpen Felaenkalke liegt zut^hat ein bl&ulicher 
Thon von ziemhch bedeutender Mächtigkeit, dann ein durch Bitumen ge- 
lobter kobliger Thon, in welchem Braunhohlenflötze eingelagert sind. 
Die Braunkohle tritt hier in mannigfachen Modificationen auf und durch- 
läuft von der typischen Braunkohle, vom Liqnit an, alle Stufen bia zum 
harten Oagat oder zur weichen Erdkohle. Von den fossilen Pflanzen 
werden immergrüne Eichen, Gleditachia, Potamogeton genannt, von den 
Thierreeten Mastodon, Bhinoceroa, hirschaitiKe Wiederl^uer, Fische, 
Planorbia, Simnaeus, Helis und Ancylus. (Jahrb. f. Min. 1872. Hft 6.) 

Inmitten der k. k. Hofburg zu Wien iat beim Graben einea Brunnena 
ein StoBszahn von Elephas primigenina gefunden worden. (Verh. d. k. k. 
geot. Rdchsanai 1872. N. 11.) 

b) Zoologie. 

(Von Ackermann.) 

Anwendung der Spektralanalyse zur Bestimmang der Ge- 
ech windigkeit der Blntoirculation. Spritzt man wenige Gran 
eines Lithionsalzes unter die Haut eines Thieres, so ist die Gegenwart 
dieaes Stoffes schon nach 4 Minuten in der Oalle und der Glasflüssigkeit 
des Aoges nachzuweisen; nach 10 Minuten bereits in allen KOrpertheilen, 
selbst, wenn auch nnr apnrweise, in der Krystalllinae. Bei Staarblinden, 
welche vor der Operation 20 Gran kohlensaures Litbion eingenommen 
hatten, ergab sich, dass das Lithium nach 34 Stunden in aJle Theile des 
KOrpers gelangt war und sich in jedem Theile der Kryatalllinse vorfand. 
(BoBCoe, Spektral'Analyse. Anhang. 2. Au6. 1873.) 

Zahl der rothen Blutkörperchen bei verschiedenen Thier- 
olassen. Neue, nach eir^er präcieeren Methode angestellte Zählungen 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



80 Berichte über Versammlungen, Anszfige ans Zeitschriften n, dgl. 

der Blutkörperchen haben ergeben, das» die Zahl der Blutkörperchen bei 
den Säugethieren in eioem Cubikmillimeter Blut zwischen 3^ und 18 Mil- 
lionen schwankt. Bei den VQgelu kommt auf dieselbe Blutmenge ein«; 
kleinere Zahl, nämlich durchschnittlich 3 Millionen , im Maximum 4 Mil- 
lionen, im Minimum IJ Millionen. Bei den Fischen sinkt die Zahl der 
rothen Blntkärperchen tiefer und zwar kommen auf die Enochenfische 
700,000 bis 2 Millionen, hei den Knorpelfischen 140,000 bis 280,000. 
{Nach früheren Zählungen von Prof. Welcber hat der Mensch im Cub.-Mill, 
Blut 6 Mill., das Lama 1S,9 Mill., die Ziege 9, 72 MÜl., der Siebenschläfer 
8, 41 Mill., Buchfink 3,6 MiUionen Blutkörperchen.) (Naturf. VI. 88.) 

Anatomiache Untersuchungen der Gattung Limulns haben 
ergeben, daas dieaelbe weder zu den Äracbniden, noch, wie Ultere Zoologen 
glauben, zu den Crustaceen gerechnet werden darf, HOndern vielmehr ein 
ganz besonderer Typus ist, welcher den Arachnidea durch verschiedene 
Analogien verwandt ist und auch einige Züge der Organisation den 
KrUBtenthieren entlehnt. Das Eigenthümtiche und üeberraschende in der 
Organisation besteht darin, daes das Centrum des Nervensystems im 
Innern der grossen Baucharterie liegt und die meisten Nerven auf 
einer beträchtlichen Strecke ihrer Bahn gleichfalls in verschiedenen Ar- 
terien eingCBchloBsen sind. (Naturf. VI. S. 76—79.) 

Ueber den Ursprung des Guano. Nach Habel und Edwards 
stellt das Guano nicht die Excremente von Vögeln dar, sondern ist das 
Resultat der Anhäufung von KOrpern der Pflanzen und Thiere, die mei- 
Btentheils sehr klein sind und zu der Gruppe gehören, die Häckel Pro- 
tisten nennt. Er ist erst später vom Meeresgrund aufgestiegen und 
chemische Veränderungen haben die ursprüngliche Masse umgewandelt. 
(Ntf V. 7.) 

Einflusa farbiger Lichtstrahlen auf die Respiration von 
Thieren. Setzt man die Kohlensäure, welche ein Hund während einer 
bestimmten Zeit unter weissem Glase auaathmet, ^100, so ist die Menge 
unter schwarzem Glase =82,07, unter violetem ^87,73, unter rothem 
^92, unter blauem ^103,77, unter grünem >« 106,03, unter gelbem 
= 126,83. Noch bedeutender ist der Unterschied bei Vögeln. Die gelben 
Strahlen, welche erwiesenenDaaBsen bei den Pflanzen (vergl. die Mitthei- 
Inng in einem der früheren Hefte) die Aufnahme von Kohlensäure am 
meisten begünstigen, sind also auch bei der Athmung der Thiere, bei der 
Kohlen säure auSEcheidung, die wirksamsten, (Ebda. 16.) 

Bastarde zwischen flasen und Kaninchen sind nach mehr- 
jährigen Beobachtungen von Gayot unter sich wieder fruchtbar und iwar 
ohne daas die Fruchtbarkeit wieder abzunehmen scheint. Bis zur sechaton 
Generation haben ^ich unter diesen Mischhngen 2 Varietäten entwickelt, 
der gewöhnliche Leporide und der langhaarige Leporidc, von denen der 
erBtere in anatomiBcher Beziehung vollständig zum Kaninchen zurückge- 
kehrt war, der zweite sich blos dem Hasen näherte, ohne ihm vollständig 
gleich zu sein, was Tielleicht in dem Umstände begründet ist, dass die 
Bastarde nicht in vollkommener Freiheit sich entwickelten. Eine neue 
SpeciCB, Leporide oder Halbhase, existirt also nicht. (Ebda. S7.) 

Ueber die Lage des Schwerpunkts bei den Insecten hat 
F. Plateau McBsungen vorgenommen, die ihn zu folgenden Besultateo 
führten: Der Schworpunkt eines Insekts liegt in der senkrechten Ueri.- 
dianebene, welche durch die Längsachse des Körpers geht. Er nimmt 
bei derselben Species und unter Voraussetzung desselben Geschlechts 
und gleicher Stellung nahezu eine identische Lage an. Bei verschiedenen 
Geschlechtem ist auch die Lage des Schwerpunkta eine andere, nämlich 
bei den Weibchen weiter zurückgeschoben als bei den Männchen. Beim 
Stehen liegt er ^n der Basis des Bauches oder im hinteren Theile dQr 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r" 



Berichte über Tersaminliuigeii, Aussöge aoB Zeitschriften u. dgl. 81 

Bniet, in der Begel iu der Mitte der Körperlänge, während des Gehens 
yerechiebt er aich, doch um eine immesabare Grösse. Bei deo InBect«n, 
deren Flügel in der Enhe in derselben Stellung sieh befinden, wie wäh- 
rend des FliegenB, beobachtet man keine Verschiebung, bei denen jedoch, 
deren Flügel in der Buhe zusammengefaltet oder gekreuzt sind, stete 
eine merkliche Verschiebung und zwar von bieten nach vorn, wenn die 
Thiere aus der Ruhe in die Stellung beim Fliegen übergehen. Während 
des Flnsea schwankt der Schwerpunkt continuirlich um eine mittlere 
Lage. Bei den Wasserinsecten liegt er näher der unteren EOrperfläche 
als der oberen. (Ntf. V. 14.) 

Das Leuchten der Seefedern. Die L euch torgane der phoaphorea- 
cirenden Pennatuliden bestehen aus acht Fäden, welche der äusseren Ober- 
fläche des Leibes der Polypen und Zooiden (der geschlechtslosen, demsel- 
ben Stocke angehörenden Individuen) anliegen. Diese Fäden bestehen 
Torzuffsweise aus einer in Zellen eingeschlossenen Subetauz, welche alle 
Charaktere der Fette besitzt; sie sind so weich, dass jeder Druck sie zer- 
stJirt und eine anatomische Untersuchung unmöglich ist. Es ist wahr> 
scheiulich, daea das Leuchten hervorgernfen wird darch eine Oxydation 
dieser Fettsubstanz. (Ntf. V. 19.) 

Sonderbare Eigenheit einet Schlange. An einer aua Nordcaro- 
lina (Fort Jtfacon) sttuitmenden Schlange, der Cyclophis aeativus, hat man 
die sonderbare Gewohnheit beobachtet, dasa aie ihren Eopf und S— 3 Zoll 
ihres Eörpera über den Boden warf und sich so in einer fiiirten Stellung 
Standen lang ganz steif hielt. Sie glich in dieser Stellung völlig dem 
SchÖSBling einer grünen, saftigen Pflanze. (Nft. VI.) 

Lebende Tritobiten. Die Nachricht Agaadz'a über den Fund 
eines lebenden Trilobiten (Tomocaris Percei) ist nach Claus verfrüht, in- 
dem die Natur des aufgefundenen Organismus als Trüobit nicht erwiesen 
sei Denn die Angaben Agasaiz's über den Bau jenes Krebses seien voll- 
kommen unzureichend, um sich eine genauere Vorstellung von demselben 
zn machen ; die äussere Formähnlichkeit könne die Verwandtschaft mit 
den Trilobiten nicht darthim; auch wisse man nichts über die Glied- 
maassenderpetreficirtenUeberreste. (Zeitschr.ges.Nat.VI.301.)Vgl.obenS.78. 

Die Einmiether von Eichengallen d, h. solche öaUinseeten, 
welche weder die Galle selbst erzeugt haben, noch Parasiten von den 
gallen erzeugenden Larven sind, kommen nach Beobachtungen von O. Ifayr 
in folgenden verschiedenen Weisen vor; 1) Sie leben in der Larvenkammer 
der gallenerzeugenden Larven, wodurch letztere in der Jugend zu Grunde 
gehen. 2) Die Kammer der letzteren ist zerstört, ebenso ein Theil des nm- 

äebenden Zellengewebes ; an deren Stelle findet sich ein Hohlraum, der 
nrch membranöse Scheidewände in Kammern abgetheilt ist, in deren 
jeder eine Einmietherlarve lebt. 3) Die natürliche Höhlung gewisser Gallen 
wird von Synergen bewohnt and sogar erweitert, in welchem Falle die 
GaUwespe ohne Störung zur Entwickelimg gelangt. 4) Die Kammern der 
Einmiether sind im Parenchym der Galle vertheilt, in welchem Falle die 
Kammer des rechtmüssigen Gallinseets unversehrt bleiben kann; doch geht 
dies auch als Larve zu Grunde nnd dann verschwindet die Kammer, wie 
es scheint, weil viele Einmietherkammern um das Galleneentrum radien- 
artijf gestellt sind. — Im Ganzen wurden von Dr. Mayr 3 Gattungen in 
z^&eichen Arten (darunter 10 neue) erzogen und zwar die Gattungen 
Synergns, Sapholjtus und Ceroptres, (Ebd. 53S— 9.) 

Die Bebenblattlans, Phyllozera vastatrix, kommt nach neuen 
Beobachtungen in zwei verschiedenen Formen vor, nämlich ah ungeflügelte, 
stets au der Wurzel bleibende und als sehr vereinzelte, geflügelte Indivi- 
duen. Die letzteren gleichen in ihrer Gestalt einer Clcade. Die un- 
geflSgelten überwintern an den Wurzeln, legen vom FrOlyahre an Eier 



Z^tgoiu. r. 



iM,Googlc 



82 Berichte Gber Tersanunlungeii, Auszüge aas Zeitschril 

und zwar während eines Zeitraums von G — 7 Monaten. 1 
man noch nicht. Im Sommer Süden sieh in den Colonien 
Larren mit Flügelatümpfen, welche sich zu ge&üge 
wickeln. An einzelnen Orten hat man au den Slättern 
thümliche Gallen beobachtet, in denen Blattläase lebten, ic 
in den Wurzeln lebenden; man glaubt, daen lie aus Eiern 
entstanden seien. — Wba die dnrch dae genannte Inaect ver 
heit betrifft, so wird sie dadurch hervorgerufen, daas d. 
Subnabel in die Wurcel einstechen, nm sich von dem 8al 
Die angestochenen Wcrzeln zeigen sich weich und fauli 
ohne Festigkeit, (Einige Beobaditer schreiben die Kran^ 
oben genannten Insect zu, sondern behaupten, dieses stel 
wenn die Wurzel schon krank sei.) (Zeitschr. ges. Nat. 5 



Mathematisclie Bibliographie des Jahres 1 

(Januar bis Ende März.) 

Adam, geometrische Analysis und Synthesis. Eine Sarai 
Plau-Constructionsautigaben mit einer geom. Lösung, 
l'/a Thlr. 

Bibliothek, polytechnische. Monatl. VerzeichnisB der 
und dem Auslände neu erschienenen Werke ans den Fäc 
matik and Astronomie, der Physik und Chemie, dei 
des Maschinenbaues etc., 12 Ho. Lpz. Quandt und l 

Diesterweg's elementare Geometrie für Volksschulen und 
haupt. Neu bearb. von Langenbei^. 4. Aufl. Frankfi 
12 Sgr. 

Diltschj die hyperbolischen Functionen und deren Bezic 
Ereisfunctionen. Prämiirte Abh. Nürnberg. Ebner. 

Feld und Serf, Leitfaden für geometrischen Unterricht a 
anstalten. Nebst einer Sammlung von Aufgaben, i 
Kunze. 12 Sgr. 

üaudtner, die Elemente der analytischen Geometrie für 

rieht bearb, 3. Aufl. Lpa. Siegiamund und Volkening. 10 Scr. 

Hauck, Lesebuch der Arithmetik für Gewerb-, Handels und liealschnleu. 
1. Tbl. 2. Aufl. Nürnberg. Korn. 7»^ Sgr. 

Helmes, die Elementarmathematik nach den Bedürüiissen des Unter- 
richts streng wissenscb. dai^estellt. 1, Tbl. Die Arithmetik und 
Algebra. 2. Aufl. Hannover. Hahn. 28 Sgr. 

Hofmann, Resultate zu dessen Aufgaben aus der Arithmetik und Alge- 
bra. Bayreuth. Grau. 1% Thh. 

Leroy, die darstellende Geometrie (göomötrie descriplive). Mit 62 Taf. 
Deutsch von Kauflmann. 3, Aufl. Stuttgart, Bach und Kitzinger. 
*'/. Thlr. 

Lieber, geometrische Constructionsaufgaben. Unter Mitwirkung von F. 
T. Lahmann. 2. Ausg. Berlin. Simion. % Thlr. 

LObnitz, Rechenbuch für die unteren Gymnasialclassen, Real- und hSh. 
Büi^erschulen. 7. Aufl. Hildeaheim. Gerstenberg. 8 Sgr. 

Moshammer, constructive Geometrie in der Ebene, als Vorschule zur 
darstellenden Geometrie des Raumes. Wien. Seidel. 16 Sgr. 

Pflanz, Geometrie -Hefte. No. 1. Geometrische Formenlehre und Conatmc- 
tionen. Leipzig. Fönicke. 2*/, Sgr. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Bericilte übet Yeraamniliingeit, Auszüge ans Zeitschriften u. ilgl. 83 

- Bftjdt, Formenlehre oder Vorbereitung anrPlanimetrie. 2. Aufl. Lingen. 
Stavenhagen. 5 Sgr. 
Schrön, Titellige gemeine Logarithmen der Zahlen tou 1 bis 108000 
und der tr^, Functionen etc. 12. Ster.-Au^. Braunschweig. Vie- 
weg. IV, Thlr. 
' Specht, die Formenlehre der Geometrie. 2. Aufl. Dorpat. Gläser. 1 
Sgr. 
Thomae, Ahriss einer Theorie der complesen Functionen und der The- 
tafunctionen einer ünfljiderlichen. 2. Aufl. Halle. Nehert l%Thlr. 
Wenz, Zusammenstellung der wichtigsten arithmetischen Sätze in For- 
■ met, Wort imd Beispiel. München. Ackermann. 4'/, Sgr. 
" Weatermftnn, die Elementar-Mathematik in experimentaler Behandlung. 
Mitan. Behre, 10 Sgr. 
Zirndorfer, Lehrsätze der Stereometrie für den SehulimterricUt ausammen- 
gestellt. 2. Aufl. Frankfurt a/M. Jfiger. 10 Sgr. 

(April bis Juni.) 

Albrich, logarithmisch-trigonometriBche Rechentafeln zur mechanischen 

AuBftthrung aller Arten log. und trig. Eechnimgen. 3 Tafeln. Her- 

mannstadt. MichaeHs. 3 Thlr. 
Bachmann, Lehr- und üehungsbuch der Etementanurithmetik. Nfird- 

lingen. Beck. 28 Sgr. 
Bahnson, Leitfaden für den Unterricht in der Geometrie. 1. Thl. enth. 

A, Erklärungen aus der Geometrie. B. Planimetrie. 2. Aufl. Ham- 

hui^. Rndolphi. 18 Sgr. 
Bothe, Sammlung TOuBechenaufgabcn für höhere Schulen. 1 Heft, Die 

i Species in ganzen Zahlen. Dresden. Kübel. 6 Sgr. 2. Heft. Die 

i Species in gebrochenen Zahlen und die Decimalbrüche. "!'/, Sgr. 
Boymann, Lehrbuch der Mathematik fürGymn., Bealschulen und andere 

höhere Lehranstalten. 2. Thl, Ebene Trig. und Geom, des Baumes. 

3. Aufl. Cöln und Neuss. Schwann. '/, Thlr. 
Brettner, Lehrbuch der Geometrie für Gymu,, Eealsch. und höhere B., 

neubearb. von Prof. Dr. Fiedler. 7. Aufl. Eatibor. Wiohura. 16 Sgr. 
Conradt, genetische Entwickelung der Elemente der Arithmetik. Col- 

berg. Post. 5 Sgr. 
— , über die Relation zw, den Entfernungen einer beweglichen Ebene 

von 4 feeten Punkten. Eine analyt-geom. Untersuchung. Ebda. 

'Vs Sgr. 
Deter, Pormelbuch, enth. die wicht^sten analjt., geom., goniom., trig. 

und stereom. Formeln. Berlin. Weber. 6 Sgr. 
Fischer, Uebungetafeln zum Schulreohnen. Für die Hand der Schüler. 

Stuttgart. Steinkopf. 4 Sgr. 
Gauss, F. G,, 5stellige vollst, logarithm. und trigonometr. Tafeln. Zum 

Gebrauch für Schulen und Praris bearb. 2 Thle. Berlin. Rauh. In- 
halt; 1. Ster. -Druck. 3. Aufi. 20 Sgr. 2. Für Decimaltheilung des 

Quadranten. 2 Tbk. 
— , 48tellige log. trig. Wandtafel. Ebda. 5 Sgr. 
— , dasselbe mit Decimaltheilmw; des Quadranten. 7'/, Sgr. 
Gernerth, Grundlehren der ebenen Geometrie nebst zahlreichen Cou- 

stmctionB- und Rechenaufgaben. Wien. Gerold, 24 Sgr. 
Gruhl. Lehrbuch der analytiBchen Geometrie der Ebene. Mit einem 

Anh.: Aufgaben von J. Töpütz. Berlin. Weidmann, l'/j Thlr. 
Hartmann, genetischer Leitfaden für den Unter, in der Planimetrie in 

Form methodisch geordneter Fragen und Aufgaben. Bautzen. Bühl. 

8 Sgr. 



n,g,t,7rJM,GOOglC 



84 Berichte Über Veraammlungen , ÄuBzüge ana Zeitschi 

Hentsohel, Aufgaben zum Zifferrechnen, Für Volkei 

and nctch onteirichtL OrunäBätzen geordnet. L, ; 

Sgr. — I., 2. 29. Aufl. 2 Sgi. ~ IL, 1. 26. Aufl. 

30. Anfl. 2 Sgr. Lpa. Mereeburger. 
— , lUcheafibel, amfeaaend die Zahlen von 1—100. 

1% Sgr. 
Job. Lehrbnch der Planimetrie. 2. Aufl. Dresden. Ai 
Klein, Elemente der analyt. Geometrie und höberen I 

Berücksicbtigung physiialiBcber Aufg. Dresden, üs 
— , Leitfaden zu den Elementen der Geometrie. Ebda, 
Eentenicb, praktische Rechenachule. T, Anfl. Äuega 

Deutsch- Lotbringen. Köln. Schwann, %'L Sgr. 
Eopetzky, metboduch geordnete Becbenautgaben, '^ 

3% Sgr. 
Largiad^r, Anleitung zum Körpermessen. 2. Anfl. ZQ 

% Thir, 
Loeser, praktiBches Rechenbuch för Schulen, 2. Aufl, '^ 

nuum. 2 Vi Sgr, 
-|- MattbieBsen, Schlflasel zur Sammlung von Beiapielt 

auB der allg. Aritbraetik und Algebra von Dr. Ed, 1 

Leitfaden für Lehrer und Studirende, 2 Bde, Köln 

berg, 4'/, Tblr, Inhalt: 1. Altg. Arithm. Gleiohu 

2, Grad. 2. Gleichungen höh. Grads, Progi'essionei 

und Anwendung der Algebra auf Geometrie, 4"/, T 
Malier, Ohrtmann, Wangeriu, Jahrbuch über di 

Mathematik. 2.Bd, Jahrgang 1869 und 70. BerUn. 
Ohlert, pr^läscher Lehrgang der Geometrie für Mitt* 

Eönigaberg. Bon, T Sgr. 
Pflanz, Handbuch der Geometrie für Lehrer von Fortbi 

1. Äbth, Geometrische Formenlehre und ConstracÜi: 

10 Sgr. 
Qnitzow, Anweisung zum systematischen Rechnen t 

dem prakt. Rechenbuch. 2, Anfl. Gfiatrow, Opitz 
— Kiecke, Uberstudienrath, mathematische Unterhaltunge 

gart. Äne. 10 Sgr, (I— III: 2 Tblr,) 
Salomon, Sammlung von Formeln, Aufgaben und B 

Arithmetik und Algebra. Neu hersg. von Prof. 

Gerold, 1% Tblr, 
Scbleusing, Beitrag zur Integralrechnung, enth, die I 

algebr, und transcendenter Functionen, Berlin, We 
Schrön, Tstelhge gemeine Logarithmen der Zahlen v 

der trig, Funct. aller Winkel von 10 zu 10 Seen; 

13. Ausg. Braunscbweig. Vieweg. 1'/. Tblr. 
Soundorfer, Lehrbuch der Geometrie für die oberen ( 

schulen. 1. Tbl. Geometrie der Ebene. 2, Äufi. 'S 

2 Tbb-. 
— Spitz, Lehrbuch der allg. Arithmetik zum Gebrauche 

anstalten und beim Selbststudium, 2, Thl. Combiae 

Lehrsatz, Wahrscheinlichkeitsrechnung, BechnungsE 

die menschl. Sterblichkeit gründen, höhere Oleichun . 

nanten, nebst 500 BeiBp. und Uebungsanfg. 2. Aul, Lpz. Winter, 

1% Thlr. 
"■ — , Anhang dazu. Die Resultate und Andeutungen zur Aufl. der in dem 

Lehrbuch befind!. Aufgaben, 2. Aufl, Ebda. 8 Sgr. 
Stahl, die MaBsfunctionen der analytischen Geometrie, Berlin. Calvary. 

12 Sgr. 



n,g,t,7.dt,'G00<^lc 



■F'- '" 



Berichte über VerBammlungen, AuBzüge aiis Zeitschriften ii. dgl. 85 

Stolzenburg, Leitfaden für den arithmetischen Unterricht in den mitt- 
leren Claesen höherer Lehranstalten. Potsdam. Gropine. 6 Sgr. 

Suter, Geachichte der mathematischen WiaaenBchaften. 1. Thl, Von deD 
ältesten Zeiten bis Ende des 16. Jahrh. 2. Aufl. Zarich, Orell. 
2% Thlr. 

— Thomae, ebene geometrische Gebilde erster «nd zweiter Ordnnng vom 

Standpnnkt der Geometrie der Lage betrachtet. Halle. Nebert. 
y, Thlr. 
Unglaube, die gemeinen Brüche. Berlin. Wiegandt. '/« Thb. 
■ Vogler, über Ziele und Hilfsmittel geometrischer Präcisions-Nivellemenfa. 
Mönchen. Lit art. Anstalt. 1 Thlr. 

(Juli bis Augnst.) 

— Adam, Lehr- undHandbnch derFl&chen- nnd Köcperrechnung zum Schnl- 

und Seibatunterricht. 3. AuS. Langensalza. 12 Sgr. 

Becker nnd Paul, Aufgaben für denRechennnterricht. Fi'ankfui-t. Auf- 
farth. 28 Sgr. 

Büttner, die Elemente der Buchstabenrechnung und Algebra. Berlin. 
Stnbenranch. 20 Sgr. 

Fischer, die Kegelschnitte nebst einer kurzen Einleitung in die analy- 
tische Geometrie. Halle. Schmidt. 12 Sgr. 
~. Foth, Anfangsgründe der Zahlen- und Bann^össenlehre. Im Auftrage 
der hönipl. General -Inspection der Artillerie zum Gebrauch als Leit- 
faden bei dem math. Unterr. in den Reg.-Schulen der Artillerie verf. 
3. Au£. Hannover. Uejer. 20 Sgr. 

Gasser, kurzer Leitfaden für den Unterricht in der Stereometrie. F(ir 
Seminare. Prankfurt. ^ger. 12'/^ Sgr. 

Grabau, ober die Nanmann'sche Conchoapirale und ihre Bedeutung für 
die Conchyliometrie, Lpz. Engelmann, 2,5 Sgr. 

Grohmann, kleine Geometrie. Wiederholungsbuch für geom. Unterricht 
in Volksschulen. Berlin, Oehmigke. 3 Sgr, 

Grube, Leitfaden für das Rechnen nach den Grundsätzen einer heuristi- 
schen Methode. 5, Aufl. Berlin. Enslin. 18 Bgt. 

Grünfeld, Rechenbuch. 19. Aufl. Schleswig, Bergas. 12 Sgr. 

Günther, Darstellung der K^emngswerthe von Eettenbrüchen in inde- 
pendenter Form, Erlangen. Besold. 28 Sgr. 

Harms, die erste Stufe des mathematischen Unterrichts in einer Reihen- 
folge methodisch geordneter arithm. nnd geom. Autgaben. 1. Abth. 
Anthm. Aufg, 3. Aufl. Oldenburg. Stalling. la'A Sgr. 
- — — Hellwig, Tetraedrometrie und Trigonometrie oder Darstellung der Eigen- 
Bch^ten des Tetraeders mit Berücksichtigung der entsprechenden 
Verhältnisse am^ Dreieck. Erfurt. Villaret. 15 Sgr. 

Jfirgens, zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränder- 
liehen Coefficienten. Heidelberg, Winter, 10 Sgr, 

Junker, Sehnentafel für den Radius ^ 600 von l'^O", Lpz. Scholtze, 
16 Sgr. 

Kehr, Sem, -Dir,, praktische Geometrie für Volke- und Fortbildungsschulen 
sowie für Seminarvorbereitungsan stalten. 4. Aufl. Gotha. Thiene- 
mann. 1 Thlr. 

Köhler, logarithmisch-trigonom. Handbuch enth, die Log. der Zahlen 
1—108000 auf 7. Dec. etc. Lpz. Tanchnitz. 27 Sgr. 
— — Legendre, die Elemente derOeometrie und der ebenen und sphärischen 
Trigonometrie. Aus dem Franz. von A. L, Grelle. 6. Aufl. Berlin. 
Bemhardi, 2 Thlr. 

LOser, praktiaohea Keohenbuoh för Schnlen. Weinheim. Ackermann. 
13 Sgr. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



S6 Berichte über Versanunlaiigen, Auszüge aus Zeite 

Mocnik, Änfangagründe der Geometrie in V erbindang 

16. Aofl. Prag. Tempskj. IB Sgr. 
— , geometr. AnscIiauuiigBlehte. 11. Aufl. Wien, öt 
— , Lebtbncb det Arithmetik. 15. Aufl. Prag. Tem] 
Nagel, ÄufgabeD znm Zifferrechueu. Wien. Lecbne 
Nagel, ebene Geometrie. 2. Abth. Fundamentabatsi 

trie. Ulm. Wohler. 12 Sgr. 
— , Lehrbuch der ebenen Geometrie zum Gebrauch 

Real- und Gymnasialanstaiten. 14. Aufl. Mit de 

ohne dasselbe 20 Sgr. 
— , Materialien zvi Selbstbesebäftigung der Schüler 

in der ebenen Geometrie. 6. Aufl. Ebda. 12 Sg 
Follak, Sammlung algebraischer Aufgaben, i. Aufl. 

2B Sgr. 
Ratz, Geometrie für Künstler und Handwerker oder 

der Geometrie und des geom. Zeichnens auf die 

Aufl. Berlin- Imme. 1% Thlr. 
Rilhlmann, logaritlunisch-tngonometriflche und andei 

liehe Tafeln. Lpz. Arnold. 20 Sgr. 
Schlömilch, Handbuch der algebraischen Analyais. J 

mann. 3 Tbk. 
Schubert, Lehrbuch der Geometrie für Bürgersch 

% Thb-. 
Seeger, die Elemente der Geometrie für den Schulu 

Aufl. Schwerin. Hildebrand. '/, Thlr, 
Stambacb, der topograplmcbe Distanxenmesser nut 

Aarau. Christ. 10 Sgr. 
Stier and Sammlet, Rechenhefte für die Unterclass 

und GymnMien. 3 Hefte. Chemnitz. Focke. 25 
Streiasler, die geometrische Formenlehre inVerbindu 

lehre, dem geom. Orte und dem Liuearzeichnen, 

20 Sgr. 
Tovney, Leitfaden zum Unterricht in der Arithmet 

18 Sgr, 
Wittstein, Lehrbuch der Elementarmatbematik. 1. 

nimetrie. 6. Aufl. Hannover. Hahn. 20 Sgr. 
Worpitzky, mathematische Wandtafel. Berlin. We 

(September bis October.) 

Bachmann, die Lehre von der Kreistheilnng und ihre Beziehungen zur 
Zahlentheorie. Akadem, Vorlesgn. Lpz. Teubner. 2'/, Thlr. 

Batschinaky, Theorie der arithm. und anderer verwandten Reihen. Lpz. 
Schmaler. 16 Sgr. 

Battig, Aufgaben für das Kopfrechnen. 2. Aufl. Berlin. Oppenheim. 
3 Sgr. 

— , Aufgaben für das Zifferrechnen. Ebda. 5 Sgr. 

— , Wegweiser für den gesammten Rechen -Unterricht. Ebda. 15 Sgr. 

BQhm, kleines logarithmisch-trigonometrisches Handbuch. 3. Aufl. Inns- 
bruck. Wagner. 10 Sgr. 

Böhme, Anleitung zum Unterricht im Rechnen. 6. Aufl. Berlin. Müller. 
l'/j Thlr. 

Boymann, Lehrbuch der Mathematik für Gvmnasien, ReaUchulen etc. 
1. ThI. Geometrie der Ebene. 6. Aufl. Köln. Schwann. 20 Sgr. 

Bühring, kritische Geschichte der allgemeinen Priucipien der Mechanik. 
Gekrönte Preisschrift. Berlin. Gneben. 3 Thlx. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



Berichte Qber VerB&imnlmigen , AuezSge ans Zeitschriften n. dgl. 87 

Fort und SchlQmilch, Lehrbuch der analjt. Geometrie. 2. Thl. Ä. 0. 
des Batunes von SohlCmilch. 3. Anfl. Lpz. Teubner. l'/a Thlr. 

Frombeck, Aber Fourier'sche Integrale und Analogien derselben. Wien. 
Gerold. 8 Sgr. 

Harme, das abgekürzte Bechuen und das Rechnen mit abgekürzten Zah- 
len. Oldenburg. Stalling. 5 Sgr. 

Hartmann, genetischer Leitfaden für den Unterricht in der Planimetrie, 
in Form methodisch geordneter Fragen und Aufg. bearb. 1. Heft 
Die L^e gerader Linien. Bautzen. BSht. 6 Sgr. 
I Hesse, die Determinanten elementer behandelt. 2. Anfl. Lpz. Teubner. 
12 Sgr. 

Hippaut, Lösung des Problems der Triaection mitteist der Conchoide 
auf circnlarer Basis. Ebda, 12 Sgr. 

Hfidel, Lehr- und Uebungsbnch fOr den Unterricht in der allg. Arith- 
metik. 1. Thl. Eichatätt. Krüll. 10 Sgr. 

Joachimsthal, Anwendung dar DifFerentiat- nnd Integrabecbnnng anf 
die allg. Theorie der Flächen und der Linien doppelter Erdmmnng. 
Lpz. Tewbner. l'/j Thk. 

Jordan, Taschenbuch der praktischen Geometrie. Eine Sammlung von 
Resnltaten der niederen und höheren Vermeesungsknnde. Stnttgart. 
Metzler. 37,, Thh-. 

Koppe, die Arithmetik und Algebra für den Schul- und Selbstunterricht. 
9. Aufl. Essen. Bädeker. 27 Sgr. 

Ligowski, Sammlung östelliger logaritbm., trig., nautischer und aatron. 
Tafeln nebst Erklärungen and Formeln der Astronomie mit bes. Rück- 
sieht auf die Nautik. Kiel. 2'/, Thlr. 
— MartiuB-Matzdorf, die körperliche Ecke oder der Raumwinkel in ver- 
aJlgemeinerter Auffassung und mit stereosk. Darstellung. Berlin, Sprin- 



ger. 16 E 
ehler. Hau] 



)r, Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauch an Gymn. 

und Realech. Berlin. Reimer. 15 Sgr. 
Moltke, Decimalbruchtabellen zur Verwandlung der gemeinen Brüche in 

Decimalea und umgekehrt, Lpz. Bausch. 20 Sgr. 
( Müller, zeichnende Geometrie. Esslingen. Wejcbardt. 12 Sgr. 

— , DebungBstoff für das geom. Zeichnen. Mit 20 lith. Bl. 2. Aufl. 10 Sgr. 
Neumann, Lehrbuch der allg. Arithm. und Algebra für höhere LehiEtn- 

stalten. Theoret. Leitfaden zu der Anfg. - Sammlung von Heis. Lpz. 

Langewiesche. 2S Sgr. 
Orelli, Lehrbuch -der Algebra für Industrie- und Gewerbeschulen. 2. Aufl. 

Zarich. Schabelitz. 2Va Thlr. 
Kummer, die Buchstabenrechnung und Lehre von den Gleichungen. 4. 

Aufl. Heidelberg, Grooa. 1'/, Thlr. 
Schlegel, Sjatem der Raumlehre. 1. ThL Geometrie. Die Gebiete des 

Punktes, der Geraden, der Ebene. Lpz. Teubner. l'A Thlr. 
~ Schlesinger, die Unterrichtsmethode der darstellenden Geometrie im 

Sinne der neueren Geometrie an Realschulen. Wien, Mayer. 5. Sgr. 
Schrader, Lehrbuch der Planimetrie. Für Realsch., Gymn. und Prov. 

Gewerbeschulen. Halle. SebrÖdel. 1 Thb. 
Sonderhof, ein Beitrag zur höheren Oeoi^sie. Lpz, Teubner. 20 Sgr. 
Spitz, Lehrbuch der ebenen Geometrie nebst einer Sammlung von 730 

Uebungaaufg, 5. Aufl. Lpz. Winter, 26 Sgr. 
— , Anhang dazu. Die Resultate und Andeutungen zur Aufl. 5. Aufl. 

Ebda. 12 Sgr. 
Stegemann, Gmndriss der Differential- und Integralrechnung mit An- 
wendungen. 2. Aufl. Hannover. Helwing, 2'/, Thlr, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



88 Berichte Aber Yereammlungen , Änszüge aus Zeitachriften n. dgl. 

Wlach, die Erfindung der Quadratur des Kreises auf Grundlage des sechs- 
maligen Umgehens des HalbmesBeTS. Prag. Hunger, 24 8gr. 

Wolff, Lehrbach der Geometrie. 2. Thl. Stereometrie und sphiLr. Tri- 
gonometrie. 5. Aufl. Berlin. Reimer. 1 Thb. 

Zehme, Lehrbuch der eheneu Geometrie nebst Kepetitionstafeln 6. Aufl. 
Hagen. Butz. lg Sgr. 

Ziegler, Fundamente der Stereometrie in neuer und verb. Durchführung 
zum heurist. Unterrichte. München. Lindauer. 15 Sgr. 

(Oetober bis Ende 1873.) 

Aachenborn, Lehrbuch der Geometrie mit Einschluss der CoardJuaten' 

Theorie und der Kegelschnitte. 2. Aufl. Berlin. Decker. 2 Thb, 

8 Sgr. 
Barde;, methodisch geordnete Aufgabensammlung, mehr als 7000 Aufg. 

enÜi. über aUe Thejle der. Elementarmathematik. 3, Aufl. Leipzig. 

Tenbner. 27 Sgr. 
Batschinskj, Theorie der arithmetischen und anderer verwandten Rei- 
hen. 2. Heft. Leipzig. Schmaler. 16 Sgr. 
Canitz, Katechismus der niederen Arithmetik. 2. Heft. Gemeine Brüche. 

Bautzen. Rilhl. 4 Sgr. , 
Durfege, Elemente der Theorie der Functionen einer complexen verSnderl. 

Grösse, Mit bes. Berücks. der Schöpfungen RiemannB, 2. Aufl. Leipzig. 

Teubaer. IV, Thlr. 
F öa ns , BuchstabenreohnuDg und Algebi 

Aufl. Paderborn. Schöningh. 20 Sgl 
Fischer, Leitfaden zum Unterricht in di 

euB. 10. Aufl. Leipzig. Mauke. 6 8_ 
Foasler, die Aritmetik in systematisch geordneten Au%aben für Schulen 

und zur Selbstbelehrung, 1. Thl, 2. Aufl, Karlsruhe; Gutsch, 6 Sgr. 
Gauss, C. F., Werke. 4. Bd. Hersg, von der königl. Gesellschaft der 

Wissenschaften zu Göttingen. 6 Thb. 
— , P. G., 6fltellige Tollst, logarithm. und trig. Tafeln. Zum Gebrauch 

far Schulen und Praxia. 4. Aufl, Berlin. Rauh, % Thlr. 
— , dasselbe. Kleine Ausgabe. Ebda, %, Thlr. 
— , A. F, G. Th,, die Hauptaätze der Elementarmathematik. Bunzlau. 

Kreuschner. 1'/, Thlr. 
Orünfeld, Sammlung methodisch geordneter Aufgaben znr Benutzung 

beim Unterricht in der Arithmetik. 1, Thl. Schleswig, Bergas. 15 Sgr. 
Helmes, die Elementarmathematik nach den Bedürfnissen des Unterrichtes 

streng wissenschaftlich dargestellt. 2. Thl. Planimetrie. 2. Anfl. 

Hannover. Hahn. 'L Thlr. 
Immel, die Elemente der Raumlehre in Verbindung mit dem geometr. 

Zeichnen, München. Lindauer. 12 Sgr. 
Jordan, Geometerkalender, Mit astron, Bphemeriden. Stuttoart. Witt- 

wer. 1 Thlr, 
Koppe, die Planimetrie für den Schul- und Selbstunterricht. 12. Aufl. 

Essen, Bädeker. 21 Sgr. 
Krause, zur Transformation der Modulargleichungen der elliptischen Func- 
tionen. Heidelberg. Winter, 10 Sgr, 
Kühn und Euznik, Aufgaben zum Ziflerrechnen. 6 Hefte. Breslau. 

Korn, ä 1 'L Sgr. 
Majer, Leitfaden zum Unterrichte in der elementaren Mathematik. G. 

Aufl. von H. Maller. 2. Abth. Arithmetik. München. 1 Thlr. 
" Niemtschik, über die Construction der einander eingeschriebenen Li- 
nien 2. Ordnung. Wien. Gerold. 6 Sgr. 



i nebst Uebungsaufgaben. 
r Elementargeometrie, 1. C 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte 4ber VerBammlnngen, AuazOge aus Zeitschriften u. dgl. 89 

Ohlert, Lehibnch der PUnimetrie, 2. Aufl. Elbins. Neiunaun. 1 Thlr. 
Ott, der logarithmiache Bechenachieber. Frag, Cuve. 13 Sgi. 
Beidt, die Elemente der MathemEitik. 2. Tbl. Planimetrie. 3. Aufl. 

Berlin. Grote. 16 Sgr. 
Eeuschle, Elemente der Trigonometrie mit ihrer Anwendnog in der 

maäiemat. Oeogr. StattgarL Scbweizerbart. 1 Thlr. 
SasB, Bucbstabenreehnung nnd Algebra nebst einem Anhang enth. die 

brigg. Log. von 1—10000 nnd die Log. der trig. Zahlen. 5. Aufl. 

Altena,. Schlüter. 84 Sgr. 
I Salmon, cmaljtiBche Geometrie der höheren ebenen Curren. Deotsch 
' bearb. von Prof. Fiedler. Leipzig. Tenbner. 3*/, Thk. 

Schellen, An&aben tOx das theoiei und prakt. Rechnen. 10. Aufl. 

Hflnater, Coppenrath. 80 Sgr, 
SchlOmilch, Compendium der höheren Analyais. 2. Anfl. Braunechwrag. 

Vieweg. 3 Thfr. 
— , üebungsbuch zum Stadium der höheren Analjeis. 1. Thl. Aufg. znr 

Differraitialrechnnug. 3. Aufi. Leipzig. Teubner. 2 Thlr. 
gchrSder, Lehrbuch der AiiÜimetik und Algebra für Lehrer nnd Studi- 

rende. 1. Bd. Die 7 olgebraiachen Operationen. Ebda. 8% Thlr. 
Schumann, Lehrbuch der Elementarmathematik in Gymnasien nndReal- 

Bchnlen. 3. Attfl. von Gantzner. Berlin. Weidmann. 20 Sgr. 
Sinram, Angaben aus der Arithmetik und Algebra. 1. Thl. Hambni^. 

Ueissner. 18 Sgr. 
Spieker, Lehrbach der ebenen Geometrie mit Uebungsan%aben für höhere 

Lehranstalten. 8. Anfl. Potsdam. Stein. 26 Sgr. 
Steck nnd Bielmajr, Lehrbuch der Arithmetik. 3.' Aufl. Kempten. 

EOsel. 13 Sgr. 
— , Sammlang von arithm. Aufg. in systemat. Ordnung. Ebda. 8 Sgr. 
I StreckfuBS, Lehrbuch der Perspective zum Schnlgebrauch nnd Selbst- 

miterricht. 2. Aufl. Breslau. Trewendt. 4% Thlr. 
Stubba, Lehrbuch der Geometrie. Leipzig. Kammer. 27 Sgr. 
'^- WeiBsenborn, das Hyperboloid bei Klderwerken. Hit 2 Steint. Eise- 

nach. Boomeister. 1'/, Sgr. 
Winter, der Becfaenachfller. 1. Heft, Die 4 Grundrechnungsarten mit 

gleicbbenumten Zahlen. Leipzig, WoUer, 8 Sgr. 



HathematisDlLe nnd n&tnrw. DniTersit&ts-Seinlnare. *) 

1) Reglement fllr das maQiematlache Seminar an der CnlTerBitkt 
zn Berlin, 

%. 1. Das mathematische Seminar iat ein öffentliches, mit der Uni- 
Yeteit&t verbundenes Institut, welches den Zweck hat, denjenigen Stndi. 
lenden der mathematiBchen Wiasenachaften, die bereits eine gewisse Summe 
von KenntniEsen sich erworben haben, zur selbstthätigen Anwendung der- 
selben Anleitung zu geben und sie durch literarische UnterstOtznng weiter 
auszubilden, damit känftig' durch sie die mathematischen Studien erhal- 
ten, fortgepflanzt nnd gefördert werden mögen. 

§. 2. IKe Directdon des Seminars fähren in der B^el zwei von dem 
Minister der Unterrichts -Angelegenheiten damit beauftragte Professoren 

•j vttgi. IV. II, lüb, ist, S7a— sn, lu— «s. Di« B«d. 



,iP<.-jM,Googlc 



90 Berichte über Versammlnngen, Auszüge ans Zeitschr 



§. 3. Als ordentliche Uitglieder dieses InstitutB aini 
imomtriciilirtea Studirenden zuzulaasen, welche sich vorzn^ 
matik widmen und mindestens schon ein Jahr a,af der hie 
anderen Universitilt stadirt hahen. Ausländer können 
Bedingnngen anfgenonunen werden, als Inl3jider. 

§. 1. Die Änihahine erfolgt aiif Grund eines von dei 
zustellenden Colloquiums und einer von dem Aspiranten 
Bchriftlichen Frohearheit, wodurch zu ermitteln ist, ob e 
BchafUichen Sinn und di^enigen Yorkenntnisse besitzt, we 
nm an den Uebungen dos Seminars mit Nutzen Äntbeil nel 
Die schriftliche Probearbeit kann ansnüimsweise erlassei 
das CoUoquinm hinreichende Gewähr für die wisBenachg 
keit des Aspiranten gibt. 

g. 5. Die Anzahl der ordentlichen Mitglieder darf 
zwClf betragen. Die Directoren sind jedoch befugt, aocb 
hinaus einige Studiieude, welche die nOthige Vorbildui 
ausserordenÜiche Hitglieder an den Hebungen des Semina 
zu lassen. 

§. 6. SoUte ein Mitglied sich der thUtigen Theilnahm 
Ken des Seminars ungeachtet vorgängiger Warnung ente 
aen Directoren das Recht zu, dasselbe von der TheUnahn 
nar anszaschliessen- 

g, 7. Die Versammlungen des Seminars finden w5 
Statt, zu einer Zeit, weiche so zu wUilen ist, da^s sie 
bis auf 2 Stunden und darüber ausgedehnt werden kBune: 

g. g. Die wissenschaftlichen Uebungen der Seminari 
mündliche, theils schriftliche. Die mündlichen Uebun^ 
freier Besprechung über beatinimte mathematische Froblei 
welche von den ^rectoren gestellt, oder von den Seminar 
geworfen werden kOnnen, und in freien Vortragen der Si 
das, was sie selbst gearbeitet, oder über Abhandlungen, w 
stadirt haben. Die schriftlichen Arbeiten bestehen thei 
Ausarbeitungen von S&tzen und Aufgaben, welche von dei 
stellt und in der Regel so gewählt werden, dass sie sich 
Reihenfolge über ein bestimmtes Gebiet der Mathematik ve 
sammen eine genauere Erkenntniss desselben vermitteln; 
Arbeiten, deren Themata ans beliebigen Fächern entno 
Directoren vor^schla^n, oder von den Seminaristen selb 
den. Die schriftlichen Arbeiten sind von den Seminarist« 
toreo abzugeben imd werden von diesen benrtheilt. 

§. 9. Demjenigen Seminaristen, welche sich durch 
TheiLiahme an den mündlichen Uebungen, sowie durch 
schriftlichen Arbeiten besonders auszeichnen, werden auf 
Schlüsse jedes Semesters tou den Directoren einzureiche 
Berichts von dem Minister der geistlichen, Unterrichts- 
Angelcgenheiten Geld - Prämien bewilligt. Li diese halbji 
werden zugleich die Nachrichten über die in dem verfloi 
angestellten Uobimgen, über die eingelieferten Arbeiten u: 
stand des Seminars aufgenommen. 

g. 10. Zum Gebrauch für die mündlichen Uebungen 
wie für die Studien und Arbeiten der Mitglieder wird eint 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



. Berichte über YeiBammlungeii, AtiBzüge ans Zeitschriften u. dgl. 91 

der besten und nützlicheten mathema.tisc)ien Schrifteu angelegt und er- 
halten, deren m&glichat freie Benatzung unter Contiole der Directoren 
den Seminaristen gewährt wird. 

Berlin, den 7. Ootober 1864. 
Der MiniBter der geistlichen, TJntemchta- nnd Medicinal-Angelegenheiten. 



2) Ordnung fflr das matbematlBcli-nBtiirwiHHeBschaftllche Seminar der 
UnlTersltSt in Basel, 

§. 1. Das mathematiach-naturwiBaenschaftlicbe Seminar hat den Zweck; 
Stndirende , welche aich der Mathematik oder den Natnrwissenechaften 
widmen, bei der selbständigen Bearbeitung wiaaenachaftlicher Aufgaben 
tUiEoleiten und zu unterstütze». 

§. 8. An dem Seminar können sich die immatricnlirten Stndirenden 
der philoBophischen und der ntedicinischen Faenltät betheiligen, welche 
-wenigstens ein Semester mehrere mathematiBche oder natuxwissenBchaft- 
Hche Collegien gehört haben. 

§. 3, Sämmtliche Lehrer der Mathematik und der Naturwissenschaf- 
ten an der phüoBophischen und der medicinischen Facultät, welche aich 
dazu TeistSudigen, den Stndirenden bei wiBsenschaftlichen Arbeiten an die 
Hand zu gehen, werden als Lehrer des Seminars betrachtet. 

g. 4. Die Lehrer des Seminars wählen für je zwei Jahre einen Vor- 
steher. 

§. 6. Die Aumeldnng des Studirenden zor Betheiligung an dem Se- 
'minu' geschieht bei den Lehrern, deren Anleitung derseUie wOnscht, oder 
bei dem Vorsteher. 

§. S. Zur Aufmunterung des Fleissea oder zur Erleichterung bei den 
durch die Arbeiten veranlassten Unkosten können für eingelieferte Arbei- 
ten PiUmien in Form von Qeld, Apparaten oder Bfichem ertbeilt werden. 
Dabei sollen nur Bolohe Stndirende berücksichtigt werden, welche eich 
avcli sonst durch Fleiss im Besuche der Vorlesungen und der üebongen 
anszeichnen. 



Bemerkung zu meinem Aoiäatze Kleinigkeiten aas der SohnlBtabe, 

(IV. 328.) 

Soeben werde ich darauf anfmerksam gemacht, dass sich das von mir 
(Jahrg. IV, S. 32g, diener Ztschr.) angegebene BeweiBverfahien für die 
Sätze von den L<^arithmen bereits in &x von mir im J. 1869 in derZeit- 
Bchrift für das Gjmn.-WeBen eingehend lecenBirten Arithmetik von Beidt 
findet. Ich fQge hjnza, dass ich, wie ich jetzt sehe, mir dies Verfahren 
damals als besonders bemerkenswerth angezeichnet, aber auch, dass ich 
es seitdem vüllig vergessen habe, so dass ich erst im vor. Sommer bei 
Gelegenheit der Anzeige des Worpit^kyschen Lehrbuches darauf gekommen 
bin. Aach das Ver&hren für geonietrische ConstructionBanfgaben hat. 



n,g,t,7.dt,'G00glc ' 



92 Berichte tiber VerBammlungen, Ansifige an« Zeitschriften n. dgl. 

wie ich hOre (denn ich selbst habe daa PrOKr^tu noch nicht ^leaeu) 
H. Beidt imvor. OittetproG^ranunebeapiochen. Meine An^be sollte ja anch 
nichts besonders Neues l>iet«n; jeder Lehrer wird bei dieser oder jener 
Aufgabe das Verfahren angewendet haben; so findet es sich, wie ich sehe, 
auch hei Beidt Planimetrie, pag. T2, No. S6, pag. 74, Nr. 1 angedeutet. 
Kur anf die allgemeine Anwendbarkeit glanbte ich hinweisen zu soUen, 
wie ich es im Unterricht wohl seit 10 Jahren gethan, and angehen zu 
dürfen, wie ich mir dies Verfahren immer mehr ausgebildet habe. Uebri- 
gens ist es mir nur angenehm, mit einem so tüchtigen Methodiker, als 
welcher sich H. Beidt durch seine tretlichen Bücher bewährt hat, in dieseit 
Punkten znsammenzatreffen, bedfture es auch nicht, dass er mir in der 
Veröffentlichung zuvorgekommen ist. 

ZUllichan. Dr. Eaus. 

Briefkasten. 

(Alphabet, geordnet.) 

J. B. in L,; „Zur Berechnung der Bildweite optischer Linsen" irelegent- 
lich, da, wie Sie selbst sagen — das Thema bereits „klassisch behan- 
delt" ist von J. M. in IV. 279 (Heft 4). 

Dr. van B. in Kaiserslautern: Anfsatz Aber Proportionen und Schlnsa- 
rechnnug erhalten; ein noch ganz zeitcen^sses Thema. 

Hr. Dt. D. m Wesel: Aufsatz über Aufl. fcub. und biquadr. Gleichungen 
zwar nicht zn Terschmähen, aber — ein so recht gediegner „schul- 
mäasiger" Aufsatz über Determinanten mit Bflckaicht auf Hesse, 
Hattendorf und Dölp w5re viel nöthiger und erwünschter. 

Dr. F. in Altena: Druckfehler notirt. Von Wemicke folgt die 2. Lief. 
Rec. von Thomson-Tait I. erwünscht. 

Hr. Dem. H. in Schässburg (Siebenbürgen); Aufsatz soll nun Anfhahme 
finden. Doch schien uns das Thema schon sehr „ausgetreten" und 
gleichwohl nicht von einer neuen interessanten Seite beleuchtet. Doch 
nehmen wir den Anfsata auf, um dadurch „Seminarlehrem" Qelegen- 
heit zn einer Discnssion zu geben. 

Dr. K. in Wiesbaden: Physik erhalten und an B. befördert. „Kleine 
Versuche" sehr passend nnd angenehm. Fortsetzung des Rep, er- 
wfluscht. 

E. M. in Landsherg a. W: Wie Sie sehen, anfgenommen. Danke für die 
Anrwnng. 

Dir. P. m Landskron (BOlunen): Wie Sie sehen, besorgt. Objekt habe 
ich mir angesehen. 

Hr. Dr. S. in Ghunbinnen: Recens. von S. in 0. erhalten. „Ignorirter 
Brief nicht erinnerlich. Den 1. Tbl. von Sp. allg. Ar. habe ich nicht. 
Besprechung des Bewnssten nnd zwar der 1. Lief. (Bg 1 — 10) schon 
jetzt erwOnscht. Bitte darum. BuchMndler angewiesen Ihnen den 
Best zuzusenden. 

Hr. S., Stndienlehrer in München: Wir bitten um Entechnldigung , dass 
wir Ihre Versetzung nach M. vergessen hatten, nnd die Sendung nach 
E. schickten. 

Dr. W. in Berlin: Ihr in Aussicht gestellter Anfsatz Über gewisse dunkle 
Pnnkte in der allgemeinen Arimmetik, nunentlich Aber die — Defi- 
nition der Null — w^e willkommen zugleich als Grfönterung man- 
cher Stellen Ihres ti«f9ichen Buches. 

Z. in W. : Sehr erwünscht Feldzng gegen verkehrte Fragstellnng nacli 
Analogie von; „Der erste ESn^ von Born hiess wie?" Bitte um Ihre 
fernere Theilnahme. 



,ti7rJt,G00glc 



Das Beweisverfehren in den inversen Eechnungsarten. 

(BohJD»,) 

H. Die inversen OperKtioneii der Potenzrechnuiig.*) 
Vom Oberlehier Dr. Bosbnee in Bnhiort. 

m. Wnrzelrechuang. 

A. BrU&nuig der Wnrzelreolmiiiig; oharakteristiBOlie Eügenaoliaften der 
Wurzel. 

{Vgl. I. Ai n. Ä.) 

Erklärung: 

Wenn o" = 6 (1) 

so ist pV ^ a (2) 

Setzt man aus (1) statt des Werthes b die Potenz a" in (2) 
und aus (2) statt des Werthes a die Wurzel yV in (1) ein, so 
folgt: 

Folgesatz 1: y^ = a 

Folgesatz 2: (^)" = b. 



Lehrsatz 1: 



*y^ = w, 



•) S. I. Hft. 1. S. 28—43. 

Z«llHbi. f. luth. D. utmw. Uutci 



;,ti7.dt,G00glC 



94 l>r- 

Bew, Es sei * j/ö^ = w, 
dann ist a" ^ w" 

Vi" V 



(4)'=(»^' 

f (o^)' - «.' (F. 1.) 



.f. 



a" ^ w 



Lehrsatz 3; 

7ii^ - Q^y 



Be.. fg. - f [W]' 

= f[r^«)T = (/:)■ 

B. AoTendimg der WarzelTecbnnng anf Prodnote, Qnotie 
») Producte. 
(Vgl. 2. L. 5.) 
Lehrsatz 4: 

^a . b ■= ^aT fh' 

Bew. f a . 6 (F. 2.) = /^(/'^y . (i^ 

;^(^ä. ^)"(P. i.) = /a . 
Lehrsatz 5: 

Fa_-. 1) rj!-;" __£)_ fV' 

Bew. 1) ^o (F. 2) — F(^«)° (L. 



) analog Bew. 1) 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Das BewoiBverfahren in den invereeo BeohoaiigBarteii 



b) Quotienten. 
(VgL U. L. 6.) 






/f (F.2)^ 



-ß 



• KM 



■/fj'^-> = f 



- 1) i^«- (L. 3) - 2) iVa) 



c) Potenzen. 
(Vgl. I. L. 3, a L. 6.) 



^a" = a" s. L. 3. 

f a» (L. 2) = VJ- 



C Amreniiag der Mnltiplication, DiTision, Fotenzinmg und Radioimiig 

auf Wnizeln, 

a) Mnltiplication und Division. 

(Vgl. II. C. ft.) 

Lehrsatz 9: {Vgl. iL rjjg.) 

yäT . f^ = /ab 

Bew. f^ . pTC F. 1) = fQ^-f^y 
7* 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



l*- 96 



= fiP^y . Q^^ T (F. 2) = j^ab 
Lehrsatz 10. (Vgl. II. L, 8.) 

b) Potenzirung und Radicirung. 
(Vgl. I. C. n, II. C. b.) 
Lehrastz 11. (Vgl. II. L. u.) 

(^äT =l)f^i^ = 2) a- 

Bew. (jVo)" (L. 3) = ^ (L. 8) 

= d" 
Lehrsatz 12. (Vgl. II. L. 13.) 

ff^ = 1) ;^a = 2) fyÄ' 

Bew. f^ (L .1) = Vif^y (F. 2) ■ 

= l)Ta (L.5) = 2) Vf^ 



rv. LogarithmenrecIiDaDg. 

Die Beweise der LogarithmenrechnnDg sind in allen mir 
bekannten Lehrbüchern der Arithmetik dem Wesen nach scharf, 
der Form nach aber mangelhaft. Indem nämlich das Zeichen log 
möglichst vermieden vird (durch Äusführang der nöthigen Um- 
wandlungen in der Form der Fotenzrechnung), werden sie unzu- 
sammenhängend und für den Schüler zu künstlich. Daher kommt 
es denn, dass in keiner Rechnungsart mehr als in dieser, die 



1 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



DaB Beweisverfahren in den inTeraen Bechtmngsarten. 97 

Gesetze Yom Schüler meist nur noch mechanisch erfaset werden. 
Man kann dem Uebelstande abhelfen, wenn man die Bedeutung 
des ungewohnten Zeichens von vorn herein durch Pormulirung 
der zwei auch hier wieder auftretenden Folgerungen aus der 
Definition fest einzupr^en sucht und das Zeichen selbst in den 
Beweisen conseguent durcbßtbrt. 

A. BrklÄnmg der LoEsrithminiiig und Eigensobaft des Iiogaritbrnns. 

(Vgl. I. A, ir. A, m. A.) 

Erklärung. 

Wenn a" = p (1) 

so ist 'logj) = « (2) 

Setzt man aus (1) statt des Werthes p die Potenz a' in (2) 
und aus (2) statt des Werthes « den Logarithmus 'logp in (1) 
ein, 80 folgt: 

Folgesatz 1: 'log a" = n 

Folgesatz 2: s'^''^'* = p 

Lehrsatz 1: 

'log 1 = 
Bew. 'log 1 = 'log a" (F. 1) — 

Lehrsatz 2: 

"log a = 1 
Bew. 'log a == 'log o' (F. 1) = 1 

Lehrsatz 3: 

'log = — CO 
Bew. »log — "log g^ 

= — oo 
Lehrsatz 4: 

''log p = 'log p . "log a 

Bew. "logp (F. 2) = Mog («*'"«'') (F. 2) 
= ^log[(j^logaf«^] 
= biog(j'logj.. 4oga) (F. 1) 
•= 'log p . ''log a 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



98 ^>^' BOBBNEB. 

B, Anwendung der Logarithmlrang auf Pradnoto, Qnotien 
und Wnrseln. 
a) Producte und Quotienten. 
Lehrsatz 5: 

"log (p - q) = ''og P + 'log « 
Bew. Mog (p . 2) (F. 2) = 'log (o'^*"«*" . «^ 
-=Moga'^» *' + ""«' (P. 1) 
= 'logp + 'logä 
Lehrsatz 6: 

•log -5- — »log p - 'log q 

Bew. Mogf (i.\2)=-log^ 

= «log«*^''»^-"''«3CF.l) 
=- 'It« J» — 'log 3 
b) Potenzen und Wurzeln. 
Lehrsatz 7: 

■log (p") =. n . -log p 

Bew. -log!(i>-)(F.2)=.log[(a*^''8P)"] 

= Moga*^-''^8^(F. l)-«..logp 
Lehrsatz S: 

■log p^ •=■-£■ 'log p 
Bew. -log ^ = Mog (^4-) (L- 7) 

^—'logj»- 

V. Subtrsctlon and Division der algebralscli 

A. SnbtraotioB. 
Nachdem die den Zusammenhang der positive: 
tiven Zahlen ausdrückende Gleichung 

(+») + (-a) = (1 

(die man auch als Definition der entgegengesetzte 
die Spitze des Abschnittes, der von diesen liandelt, s 
L ist und die Begriffe der Addition und Subt 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Das BeweisTerfahreu in den invereen' Rechnungaarten. 99 

erweitert sind, dasB die eiitTrickelten Gesetze anf algebraische 
Zahlen ihre imyeränderte Auweudutig finden, ergeben sich aus (1) 
sofort die beiden Formeln: 

0-(+«) = -a (2) 

- (- fl) = + ff . . . . . . (3) 

Setzt man aus (1) statt die Summe (+ a) + ( — o) in (2) 
und (3) ein, so folgt 

Folgesau. [(+ a) + (- a)] - (+ a) a 

l<+ «) + (-«)]-(-•)- + « 
Die Gleichung (1) und der Folgesatz genügen, um die jedes- 
malige zweckmässige Form-YeiÄnderung des Minnendos vorzu- 
nehmen. 

Lehrsatz 1 : 

(+«)-(+'>) -(+•) + (-») 

Bew. (+ o) - C+ i) 

-[(±«) + 0]-(+6)Gl.(l) 
- [(± ») + (+») + (- »)] - (+ *) F- 
-(+ <•) + (-*) 
Lehrsatz 2: 

(+«)-(-«»-(+ «) + (+!>) 
Bew. (+0) -(— i) 

-[(±«).+ 0]-(-6) Gl. (l) 
-[(+«) + (+»)+(-»))-(-') f- 
-(±«) + (+i>) 

B, DlTisiOB. 

Die Zerlegung des Dividendus geschieht mit Hülfe der Sätze 
aber die Mnltiplication algebraischer Zahlen. 
Wir setzen allgemein 





a-l.c;c^f 


Lehrsatz 1: 




Bew. ±^ = 
Lehrsatz 2; 


+ b - + b 




^-+T 


Be». 51- 


1.' ih.GoosIc 



100 ^f- BoEBMEB. Das Betfeiaverfahren in den invereeii B 
Lehrsatz 3: 



+ b h 

Bew -''_-ic_ (.+ b){-c) 

Waa die Einordnung der negatiren Zahlen 
dürfte es sich empfehlen, dieselben erst einzufiihi 
die 4 Species mit absoluten Zahlen vollständig bei 
Die Lehre von den absoluten Zahlen bildet ein Ga 
nicht zerrissen werden, wenn die Einsicht des Sc 
Gesetze und deren gegenseitige Beziehungen eine 
und ihre Würdigung ihrer Bedeatung gemäss sein s 
Lehrbüchern erscheinen diese Sätze nur als unterge< 
mittel für die Entwickelnng der Regeln über algebi 
(woraus sich die geringe Vollständigkeit in der Behi 
Abschnitte erklärt). Diese Herabsetsung eines wich 
der Elementararithmetik verleiht demselben in di 
Schülers den Schein des Nebensächlichen und ve 
am meisten die richtige Einsicht in die Lehre von 
gesetzten Zahlen. Man vergesse nicht, dass die : 
welche die Äuß'assimg jedes vielgliedrigen Ausdn 
algebraischen Summe ermöglicht, im Grunde nur 
eines die Rechnung verallgemeinemden und deshalb 
Symbols hat, dessen Einführung so lange nicht i 
die Summe der additiven Theile die der subtracti^ 
übertritft. Daraus folgt dann weiter, dass die mei 
beispiele, welche in den Anfgabenbüchern für di 
mit algebraiach'en Zahlen aufgestellt sind, gere 
. können, ohne den Begriff der uegatireu Zahl eins 
also an Uebungsmaterial kein Mangel ist. (Heia 
lieh die gewünschte Anordnung des Materials.) 



*) Helmes hat diese Anordnung. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



Ueber Bruchrechnung*) an Lehrerseminari 

LBlirBr am GymniBiiu 

8, 1. Zerlegung und ZusanunensetBung von Binlii 
Die beiden Gleichungen 

4. 6 = (2. 4). (6: 2) 1) 

4 . 6 = (4 : B) . (2 . 6) 2) 

gestatten eine und dieselbe Deutung: 

Der Werth des Productee zweier Zahlen 
sich gleich, wenn man den einen Factor mit de 
Zahl multiplicirt, durch welche man den ander] 
dividirt. 

Versteht man aber unter 6 eine habere Einheit, 
heit der Grosse „4 Sechser," so 
a). sagt die Gleichung 

4 . 6 = (2 . 4) . (6 : 2) 1) 



•) Wir haben gezögert, dieBen Änfsatz, der ein zierolich am 
Thema behandelt, anfzunehmeo. Die Bebandlang desselben ist 
Lehrereeminare ( — in Oesterreich „ Lehreibildnogsansta 
oannt — ) noch immer zeitgemäsB, da, wie die Erfahronj 
einachlägigeLiteratiir(Tgl. I, 615— 617. U, 121— 122. ID, 42— ' 
404. IV, 222—223.) beweisen, der mathematische Unterricht anf 
. statten hSnfig der Gründlichkeit ermangelt. (Vgl. über das Reche 
Hentschel unsere Anmerkung IV, 223.) Weiss doch jeder Gymi 
B«aIecbDllehrer, wie sehr den aus der Volksschule in die Mittel 
tretenden Schillern ein tieferes Yerständniss selbst der eiufad 
rationen, hei sonst hedentender Rechengeläufigkeit, abgeht. N 
wünschen gewesen, dasa der Herr Verfasser das Thema ersch 
bebandelt bfitt«. Deshalb wollen wir die Seminarlehrer zu einer 
dieser Arbeit hiermit eingeladen, haben. — 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



102 D. HOMB. 

Der Werth der Orösse „4 Sechser" bleibt sich gleich, wenn 
man den Werth jeder ihrer Einheiten in 2 gleiche Theile (2 Dreier) 
theilt und mit Beibehaltung aller dieser Theile eine 2mBl so 
grosse Anzahl halb so grosser fiinheiteu zählt: 
4 Sechser = 8 Dreier. 
Eine derartige Theilung mit Beibehaltung aller daraas herror- 
gehenden Theile heisst ein Zerlegen. Das Dividiren durch einen 
nnbenannten Divisor ist dagegen ein Theilen mit Beibehaltung 
bloss eines Theiles, dessen Grösse der Quotient angibt, 
b) sagt die Gleichung 

4 . 6 = (4 : 2) ■ (2 . 6) 2) 

Der Werth der GrSsse „4 Sechser" bleibt sich gleich, wenn 
man aus den Werthen je zweier ihrer Einheiten den Werth je 
einer hohem Einheit zusammensetzt und somit eine halb 
so grosse Anzahl 2mal so grosser Einheiten zählt: 
4 Sechser = 2 Zwölfer. 



g. a. Zerlegung der Einer einer ZahL 
In jeder Division, durch welche man einen mehrzifferigen 
Quotienten erhalt , sind die aufeinander folgenden Tbeildividendeu 
jedesmal aus Einheiten einer andern, nächst niederen Klasse zu- 
sammengesetzt, deren Rang mit dem Range der entsprechenden 
Quotienten Ziffer übereinstimmt, wenn der Divisor eine von den 

Zahlen der Reihe 2, 3, 4, 5, 6, ist. So dividirt man 

z. B. in der Aufgabe 

2597 : 8 = 324 
19 
37 
5 
erst 25 Hundert durch 8 und erhält 3 Hundert, 
dann 19 Zehner „ 8 „ »2 Zehner, 
dann 37 Einer „ 8 „ »4 Einer. 

Dabei wird der erste Rest 1 Hundert in Einheiten der 
niederen Klasse zerlegt und mit den herabgesetzten 9 Zeh- 
nern Tereinigt zu 19 Zehnern. Ebenso wird der zweite Rest 
3 Zehner in Einheiten der niederen Klasse zerlegt und 
mit den herabgesetzten 7 Einem vereinigt zu 37 Einem. 

Der zuletzt von der Division ausgeschiedene Rest von 5 Einem 
bezeichnet in dieser Form den durch 8 untheilbaren Bestandtheil 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



Ueber Braohrechnung an LehrerBeminorien. 

des Dividenden. Um den Quotienten genau augeben, ] 
Division abscliliessen zu können, ändert man daa bi 
Verfahren der Zerlegung und der damit zusammenhängendi 
vieltaltigung der Anzahl der zu dividirenden Einheiten 1 
letzten Rest ab nach der Regel: 

Jede Einheit des Dividenden wird in so 

gleiche Theile zerlegt (gedacht), als der D 

angibt. 

Selbstverständlich kann der Divisor, wenn er eine A 

von Theilen angeben soll, nur eine von den Zahlen der 

2, 3, 4, 5, 6 sein. 

In dem obigen Beispiel wird mit Rücksicht auf den Di 
j eder Einer des letzten Reates in 8 gleiche Theile zerlegt 

einer (1 : 8) dieser Theile 1 Achtel (-g-) gecannt. Man 
demnach (vgl. §. 1. Gleichung 1) durch Zerlegung eines 

l.l-(8.1).(l;8)_8.1_i 
durch Zerlegung sämmtlicher Einer des Restes 5 
5.1=(8.5).(l:8) = 40.| = f . 
Wird nun in dem obigen Beispiel weiter dividirt, so ergi 
40 Achtel : 8 <=» 5 Achtel 

d. i. 5:8-1 1) 

womit die Division 

2597 : 8 = 324|- 
ihren Abschluss findet. In ähnlicher Weise ergibt sich 

9 : 7 = ly d. i. 1 und 2 Siebentel, 
wenn man nach der obigen Regel bloss den Divisionsrest 
legt, dagegen 

»■■T-r 2) 

wenn man den ganzen Dividenden zerlegt. 

Die Gleichungen 1) 2} zeigen zunächst, dass der Qi 
einer Division auch dann genau angegeben werden kann , 
der unbenannte (oder aus zerlegbaren Einheiten zusami] 
setzte benannte) Dividendus kleiner ist, als der Divisor 
im ent^gengesetzten Falle die Division nicht aufgeht. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



104 D. BOBHB. 

g. 3. BTUOhelttheiten. Brüche. 

Die gleichen Theile (aliquote Theile) . 
halten entweder willkürliche, oder solche Bezeiel 
minder oder mehr bestimmt darauf hindeuten, 
gleiche Theile das „Ganze" zerfällt. 

Dsss „ 1 Zoll" ein aliquoter Theil von „ l P 
man nicht schon durch die (willkürliche) Bezei 

Minder willkürlich ist die Bezeichnung „1 
Rücksicht darauf, dass ,,Deci" aus dem Zahlwo 
gebildet wmrde, in der Zusammensetzung „Decin 
10 Meter, sondern einen von den 10 gleichen The 
bezeichnet. 

Dagegen kann mau von Einheiten, wie 
-l „ 1 Fünftel = 1 Fünf-Theil = einem von 

Theilen; | = 1 Achtel = 1 Acht-Theil — . . 
ausdrücklich als aliquote Theile dargestellte E 
daher erkl^en: 

Eine Grösse, deren Einheit aus 

ein aliquoter Tbeil dargestellt w 

Bruch. 

Beispiel. |- Elle = 7 ■ -|- Elle = 7 . (1 EUe 

Ein Bruch enthält demnach zweierlei Angi 

a) In wie viele gleiche Theile ein Ganzes ( 
Einheit 1) zerlegt wird, gibt der mit der angehät 
gesprochene, unter den Bruchstrich gesetzte 
Bruchs an. 

b) Wie viele solcher Theile (Brueheinheiten) 
gibt der über den Bruchstrich geschriebene „< 

Demnach kann weder Zähler noch Nenner 
Die einem Bruch beigesetzte Benennung ist dif 
bei der Bildung der Brucheinheit durch den Is 
Ganzen. Unbenannte oder gleichbenannte Brüche 
namig, wenn sie gleiche Neoner haben. 

Eme Brucheinneit kann man so oft mal i 
als man überhaupt die Einheit einer Grösse z 
können z. B. auch -^ Elle, -g- Elle . . . also n 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



Ueber Brnchreclmting an LetrerBeminarien. 105 

gezählt werden, als (g-) in einer Elle enthalten sind, wenn 
mau z. B. eine Länge von mehr als einer Elle mit der Länge 
— Elle messen will. ( y Europa's, -^ des Erdhalbmessers. J 

%. 4. O-leiohlieit von Bruch und Quotient. 
Die Gleichungen 1) 2) in §. 2. bezeichnen femer die Regel: 
Der Quotient einer Division ist einem Bruche 
gleich, worin der (nubenannte) Dividend als 
Zähler, der (unbenannte) Divisor als Nenner 
gesetzt wird. 
Rechnungsvortheile. Z. B. in dem Falle 
7 Ellen : 8 = ^ EUe 
statt ausfQhrlich: 1 Elle ■= 8 Achtel E. 
7 Ellen = 56 „ „ 
56 Achtel Ellen : 8 = 7 Achtel E. 
Femer : -i- ■= 24 : 7 = 3-=- . Regel für die Verwandlung eines 
unechten Bruchs in eine gemischte (eventuell ganze) Zahl. 

Anleitung zur Feststellung der Regel für die Verwandlung 
einer ganzen Zahl in einen Bruch mit vorher bestinuntem Nenner 
gibt §. 1. Gleichung 1. Z. ß. 

5_| 

5.1-{!>.6).Cl:9)-45.|-f. 
Haben Dividend und Divisor gleiche Benennung, so ist in 
dem Produete 

Dividend = Quotient X Divisor 
der mit dem Quotienten gleichbedeutende Bruch der (unbenannte) 
Multiplicator des benannten Divisors. 

4 Meter : 5 Meter = 4 : 5 = -|- 
■i . 5 Meter = 4 Meter. (§. 5. Erkl.) 

g. B. Der Bmoh als Multiplloator. 
Zerfällt eine Einheit in eine anderswie bereits bestimmte 
Anzahl aliquoter Theile (1 Dutzend = 12 Stück; 1 Thlr. =30Sgr.), 
so ist bei der Berechnung (Resolution) eines Bruchtheils einer 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



1 



106 D. HOKM. 

solchen Einheit nicht 1, sondern eine Zahl (Resolationszahi) 
dnrch den Nenner des Bruches zn dividiren, mit dessen Zahler 
dann der erhaltene Quotient multiplicirt wird. In derartigen 
Fällen wird zwischen den Bruch und die demselhen (statt der 
Benennung der zn resolvirenden Einheit) beigesetzte Zahl das 
Multiplicationazeichen (§. 4. Schlussgleichong) geschrieben. Z. B. 
[|- Thlr. =2.(1 Thlr. : 3)) 



[I . 30 Sgr. ™ 


2 . (30 Sgr. 


:3)J 








Ebenso ist, wenn eine beliebige 


Zahl 


z.B. 


4 als höh 


ere 


inheit au^efasst wir< 


: 










4.14 = 


3.(14:7)- 


.3.2 


— 6. 






Demnach kann auch 












l™. -f 


ITUr. 










1- Dutzend- 4 


1 Dutzend = 





12 St 


— 10 St. 





gesetzt werden. 

Auch in solchen Fällen ist der Zähler des Braches der 

Multiplicator eines aliquoten Theiles, und wenn man in 

Zahleuverbindangen , wie y ■ 30, -=■ ■ 14 das Product 2 ■ y , 3 ■ -=- 

d. b. den Brach y, y selbst als Multiplicator bezeichnet, so 

geschieht diese Bezeicfannngsweise mit Vorbehalt der Erklärung: 

Ein als Multiplicator gesetzter Bruch dentet 

zwei Bechnnngen an: a) eine Division des Mnl- 

tiplicanden dnrch den Brucbnenner, b) eine 

Multiplication des erhaltenen Quotienten mit 

dem Brucbzäbler. 

Geht die Division dnrch den Brachnenner nicht auf, so deutet 

man dieselbe in Brachform an, z. B. 

und berechnet das Prodact 7 ■ y nach der R«gel a ■ — = ^-^ ■ 

Der obigen Erklärang zufolge ist eine y mal so grosse Zahl 
die Hälfte einer (damit verglichenen) Zahl, eine y mal so grosse 
Zahl 1 Dritttheil einer (damit verglichenen) Zahl . . . 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



Ueber Brachrechnnng an Lehrerseminarien, 107 

%. 6. Division und Uultiplioation der Bmolieinbeit. 
Äu die Besprechung der Reihe 

i X J^ i. i. 
2' 3' i' 5' 6 
knüpft sich die Frage : Wie ändert eich der Werth einer Bruch- 
einheit, wenn der Nenner derselben 
&) mit einer ganzen Zahl multiplicirt, 
b) durch eine ganze Zahl dividirt wird? 

Zieht man (in Ermangelung eines der bekannten Apparate, 
an denen gleiche StabUingen aus verschiedenen aliquoten Theilen 
zusammengesetzt werden k&nnen) auf einem Lineal vom Ende M 
bis zum Ende N mehrere, etwa vier gerade Linien und theilt 
dieselben der Reihe nach in 2, 4, 8, 16 gleiche Theile, so sind 
alle diese Theile Brucheinheiten (aliquote Theile) des nämlichen 
Ganzen d. i. der Länge MN des Lineals. 



1) Die Vergleichnng z. B. von -^ mit ^ zeigt, dasa 

ist. In Worten: y ist einer unter sämmtlichen 3 gleichen Theilen 
eines Ganzen. Wird der Neuner 2 mit 4 multiplicirt, so ist die 
neugebildete Brucheinheit -^ einer unter 4mal so vielen glei- 
chen Theilen, und weil diese 4mal so grosse Anzahl dadurch 
erhalten wird, dass mau jede der früheren Brucheinheiten in 
4 gleiche Theile theilt, so stellt die neugebildete im Vei^leich 
mit der früheren eine -7- mal so grosse (§. 5.) Bmcheinheit dar. 
Durch ähnliche Yergleichungen ergibt sich als gemeinsames 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Regel 1. Eine Brucheinheit wird durch eine ganze 

Zahl dividirt, wenn mau mit dieser Zahl 

den Nenner mnltiplicirt. 

3) Ist der Nenner durch eine ganze Zahl ohne Rest theübar, 

so läBst sich die Brucheinheit ohne Veränderung ihres Zählers 

mit dieser ganzen Zahl multipliciren, Z. B. 



In Worten : -rx ist einer unter slunmtlichen 16 gleichen Theiien 
eines Ganzen. Wird der Nenner 16 durch 8 dividirt^ so ist die 
neugebildete Bmcheinheit — einer unter — malsoTielen(§.5.) 
gleichen Theiien, und weil diese ^malsogrosäe Anzahl dadurch 
erhalten wird, dass man aus je 8 der frUheru Brucheinheit«n je 
eine zusanimenBetzt, so stellt die nengebildete im Vergleich mit 
der früheren eine 8 mal so grosse Brucheinheit dar. 

Aehnliche Vergleichungen fähren zu dem allgemeinen Gesetz 
n — <■= — 
Regel 3. Eine Brucheinheit wird mit einer ganzen 
Zahl mnltiplicirt, wenn man den Nenner 
durch diese Zahl diridirt. — 

%. 7. Zerlegung und Zn«anixneneetKnng von Bmoheinheiten, 
Durch die getheilte I^nge MN in §. 6. wird femer ver- 
anschaulicbt : 

§. 1- Gl. 1. s^. R. 1. 

.)|_f,oderl.|_(8.1).(|:8)_ 8.yi-^_|J 



Regel 1. Der Wertheines Bruches bleibt sich gleich, 
wenn man mit einer und derselben Zahl 
Zähler nnd Nenner multiplicirt. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



üeber Brnchrectiiiuiig an L ehrers eminarien. '109 

g. 1. Gl. 2. §. 6. R. 2. 

b)i_|odsr8.i_(8:8).(8.i)_(8:8i.jJ^_fJ| 

Regel 2. Der Werth eines Bruches bleibt sich gleich, 

wenn man Zähler und Nenner durch eine 

und dieselbe Zahl dividirt. 

Nach Regel 1. werden Brucheinheiten zerlegt insbesondere 

bei der Berechnung des Generalnenners und bei der Division 

eines Bruches durch eine ganze Zahl {^. 9.). Nach Regel 3. 

werden Brucheinheiten zusammengesetzt bei dem sogenannten 

Heben der Brüche. 

%. 8. Mnltiplioation elnea Bruohes mit einer ganzen Zahl. 
Weil bei der Multiplication eines Bruches mit einer ganzen 
Zahl znr Brucheinheit ein zweiter Multiplicator hinzutritt, die 
Ordnung dieser beiden Multiplicationen aber für den Werth des 
Frodnctes gleichgilt^ ist 

2.i_2.3.i_3.2.i, 

so kann, wenn der Multiplicator des Bruches im Nenner aufgeht, 
zuerst die Brucheinheit mit diesem Multiplicator (nach §. 6. R. 3), 
dann das Brgebniss mit dem Zähler des Braches (nach der Hanpt- 

regel a . — = ~-) multiplicirt werden: 



Statt daher nach der Hauptregel zn multipliciren und nachher 
zu heben 

9 Ä hJ = (^ ■ S) ' ^ A 
8^8 8:2 ™4 

wobei mit dem Zähler zwei entgegengesetzte, einander aufhebende 
und daher überflüssige Rechnungen vorgenommen werden, 
rechnet man in derlei Fällen mit Yortheil nach der Regel: 



,ti7rjt,Godglc 



Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multi- 
plicirt, wenn man den Nenner durch diese Zahl 
dividirt. 

8. 6. Division eines Bruches dnrch eine ganae Zahl. 

Wenn bei der Division eines Bruches durch eine ganze Zahl 
der Divisor im Zähler des Dividenden nicht aufgeht, so verfahrt 
man, wie in andern ähnlichen f^len, z. B. 

2 Jahre : 3 = 24 Monate ; 3 = 8 Monate, 
man .zerlegt den Dividenden, den Bruch insbesondere (ßegel 
in §. 2.) in eine so vielmal so grosse Anzahl kleinerer Einheiten, 
als der Divisor anzeigt. Nach §. 7. ßegel 1. geschieht dieses,- 
indem man mit einer dem Divisor gleichen Zahl Zähler und Nenner 
des Dividenden multiplicirt. Z. B. 

3 . 5.3. 

= (5 -3); 6 
6 .4 
, 3 f. 3 3 

kurz ^: 5=^ = ^. 

Will man in solchen fidlen die beiden mit dem Zähler des 
Bruches vorzunehmenden Rechnungen als entgegengesetzte,, ein- 
ander aufhebende und daher überflüssige Rechnangen ver- 
meiden, so dividirt man nach der Regel: 

Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividirt, 
wenn man mit dieser Zahl den Nenner multi- 
plicirt. 

Nachträgliche Bemerkung. Mit Bezug auf die in dem 
vorstehenden Aufsatz gebrauchten. Ausdrücke „-j-mal so gross," 
„ -ä~™^^ ^*^ viele " erlaube ich mir die nachfolgenden Bemerkungen. 
;Hat beim Unterricht die Gleichung 

y . « = o . {« : 6) , 
ihre Erklärung gefunden , so steht fortan nichia mehr im Wege, 
Gleichungen, wie 

36 = 3 . 12 
4 = 4- . 12 



1 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



r 



n 



Uebei: Bruchiechnung aii Lehrerseminarieii. 111 

gleichförmig zn abenetzen mit 

36 ist 3mal so gross; als 12 
4 ist —mal so gross, als 12, 
eine Änsdrucksweise, durch welche (die Erklärung der Mnltipli- 
catiou mit einem Bruch rorausgesetzt) jede den beabsichtigten 
Sinn stSrende Deutung ausgeschlossen wird, während z. B. tob 
den beiden Angaben 

a) 36 ist 3mal so gross, als 12 ... . gross ist 

b) 4 ist 3mal so klein, als 12 ... . klein ist, 

di« letztere eine Deutimg gestattet, derzufolge diese Angabe un- 
wahr ist. Denn: 

Die Zahl „so gross, als 12" stimmt mit der Zahl 12 eben 
so genau Sberein, als die Zahl „so klein, als 12." Hiermit 
wird die Richtigkeit der Gleichung 

Die Zahl „so gross) als 12" •>=■ der Zahl „so klein, als 12" 
und damit die .Möglichkeit zug^eben, dass nach dem Satz: 
„ Gleiches mit Gleichem multipücirt gibt Gleiches " geschlossen 
. werden kenn 

3mal (so gross, fds 12) o- 3mal (so klein, als 12) 
d. i. 3mal 1^ — 3mal 12 
und das ist wohl 36, aber nicht auch 4. 



,ti7rJt,G00glG 



1 



Die geometrische Bedeutung des Schwerpunktes, 

Von F. C. Fbmbnid«. 

(Kit i FiftOTOi Im Tsit] 

Wo iu der Gfeometrie der Schwerpuukt vorkommt, wandert 
man sich stets, dass ein Begriff von so saagespTocheo geome- 
trischer Natnr erst, wie auch sein Name zeigt, durch die Hiiiter- 
thtlr einer physikalischen Betrachtung hereingekommen ist. 

Man muaste erat den Bämmtlicben Punkten eines (^^bildes 
Schwere beilägen und zwar gleiche — dann gab es einen Punkt, 
durch dessen Üriterstatznng das ganze Gebilde vor dem Fallen 
geschützt war. Hier bedurfte es gewissermassen eines Experi- 
ments um zur Definition zu gelangen. 

Oder es hiess wissenachaftlicher: Der Schwerpunkt ist der 
ÄugriSspunkt der Resultirenden aus den parallelen Knifl«n, 
welche auf alle Funkte eines Gebildes wirkend gedacht 
sind. Auch dör gleichfalls physikaliacbe Begriff der Momente 
wird wohl hereingezogen. Aber auch von hier aus 5&et sich kein 
Weg zu einer geometrischen 'Definition. Wenn Kambly (Plani- 
metrie §. 146) sagt; Der Durchschnittspankt der Transversalen 
eines Dreiecks heisst der Schwerpunkt des Dreiecks, weil die 
Fläche um ihn herum gleichmässig vertheilt ist, so 
fragt der Schüler mit Recht, was das beisse: die FUtche ist um 
einen Punkt herum gleiclunässig vertheilt, nud auch die Ver- 
weisung der beistehenden Nummer auf den Satz, dass Dreiecke 
von gleicher Basis und Hohe gleich sind, reicht nicht aus, ihn 
zu befriedigen. Denn, sagt er: wenn uns auch die drei Trans- 
versalen den Gefallen tbun, das Dreieck in je zwei gleiche Tbeile 
zu theilen, tbut es denn auch eine andre Linie durch den Schwer- 
punkt? Eine Linie durch denselben parallel zu einer Seite wird 
vielmehr zwei Flächenstücke liefern, die sich wie 4 zu 5 ver- 
balten. 

Recurrirt man endlich auf einen Satz etwa folgender Art: 
Durch den Schwerpunkt gelegt habe jede Xanie die Eigenschaft, 



,ti7rJt,G00glc 



F. C. EIbbsbniub. Die geometriaclie Bedeutnng des Schwerpunktes. 113 

dass das Mittel der Entfernungen aller Funkte diesseits und 
jeaseits derselben eich aufhebe, so ist dem Än^ger damit noch 
immer wenig geholfen, weil die Auffindung dieser Mittel im 
Allgemeinen seine Klüfte fibersteigen und Integralrechnung in 
Anspruch nehmen wird. 

Im Folgenden ist es mir, glaube ich, gelungen eine auch 
für den Schüler völlig zagänglicha Betrachtungsweise aufzu- 
finden, w'elche, wenn sie auch den Vorwurf des Zerstückelten 
und Unbeholfenen nicht vermeidet, doch von Schritt zu Schritt 
veretändlich sein und nebenher einigen Ertrag an neuen An- 
schauungen liefern mag. 

Dass sich schon Andre auf diesem Wege versucht haben, 
musste ich wohl vermnthen, da er so nahe liegt; dass solche 
von Möbins in seinem „barycentriachen Calcul" (Einleibing) 
genannt sind, habe ich wieder einmal erst gefimden, als ich 
mit der nachfolgenden kleinen Arbeit fertig war. IndesB, ob- 
scbon mir diese Werke nicht zugänglich, sind, kann ich doch 
annehmen, dasa ihre Auseinandersetzungen nicht wohl so elemen- 
tar -gefasst sein werden, und die Darlegung der meinigen in 
dieser Zeitschrift darum doch noch gerechtfertigt sein dürfte. 

In der Stereometrie ist dem Schüler, sobald er die Berech- 
nung des Kegels, des ganzen und parallel abgestumpften, erlernt 
hat, ein Satz zugänglich, welcher lautet: 

Der Körper, welcher durch Rotation eines Dreiecks um eine 
in seiner Ebene und ausser seinen Grenzen liegende Achse 
entsteht, bat den Inhalt eines Prisma, dessen Grundfiäche das 
Dreieck, dessen HBhe die Peripherie des Kreises ist, welchen 
der Traneversalenschneidepankt des Dreiecks während der Rota- 
tion beschreibt. . 

Der Beweis kann bekanntlich so geführt werden, dass zuerst 
dieser Rotationskörper als die Differenz zweier Rotationskörper 
erkannt wird ; den Subtrahend bildet ein abgestumpfter Kegel, den 
Minuend die Summe Zweier andrer. Die dabei vorkoqimenden For- 
meln enthalten nur die Werthe der Perpendikel von den drei Drei- 
ecksecken zur Achse ondStücke der Achse. Mit eben diesen Werthen 
lässt sich der Inhalt des Dreiecks ausdrücken, wenn man es als Diffe- 
renz zweier Flächen betrachtet, deren Minuend vriederum die Summe 
zweier Paralleltrapeze, deren Subtrahend ein drittes Parallel- 
trapez ist. Erkennt man nun noch (aus dem bekannten Ver- 



,t,7rJM,G00g.|c 



114 P. 

hältnüs der TronSTersalenstflcke) , d&sB das Perpendikel aus dem 
TraosTersBlenschneidepuakte zur Achse das arithmetisclie Mittel 
zwiBcben den drei Perpendikeln aus den Dreiecksecken zur Achse 
ist, BO läset 3ich nach einer leichten Änordnniig die Wahrheit 
der These durch Oleichbewetsong der sie ausdrückenden Formeln 
aufseigen. 

Es ist dies bekanntlich ein einfacher Fall der sog«nanuten 
Gnldin'schett Regel. Ein noch einfacherer wäre der gewesen, 
daas ein Rechteck, in welchem 2 Seiten der Achse parallel, am 
diese rotirend einen Körper erzengt h&tten. 

Nehmen wir nun an in diesem Satz, welcher die Lage nnd den 
Ort der Achse in Bezug auf das rotirende Dreieck während des 
Beweises ganz offen liess: die Achse gehe durch den Transver- 
8 alen Schneidepunkt selbst, so ergibt sich, dass der Rotations- 
körper Null wird. Denn die Peripherie eines Kreises als Factor 
des Körperinhalts wird Null, wenn der kreisbeschreibande Pnnkt 
in die Achse fällt 

Wir müssen uns diese Thataache so versinnlichen, dass der 
Theil des körpererzeugenden Dreiecks, welcher in diesem Falle 
jenseits der Axe zu liegen kommt, als mit dem negativen Zeichen 
behaftet, durch Rotation ein Körpergebilde erzengt, welches von 
dem Körper, den das diesseitige Dreieckastilck hervorbringt, in 
Abzug gebracht werden mues. 

Auf diese Betrachtung gestützt, wollen wir einmal unser 
Ziel vorgreifend andeuten: 

Alle Flächenräume, lineare Gebilde oder Ponkt- 
gruppen, welche einer Ebene angehören, besitzen 
einen Punkt, der die Eigenschaft hat, dass für jede 
durch denselben in der Ebene gelegte Achse das 
-Rotationsgebilde Null wird. 

Als Definition des Schwerpunkte lässt zwar dieser Satz auch 
noch zu wünschen übrig: Einmal ist auszustellen, dass er tot- 
läufig nur auf ebne Gebilde beschrüikt ist, zweitens, dass er 
nicht genetisch lautet, sondern der zn definirende Begriff von 
einem aussen liegenden Versuch abhängig gemacht ist. 

Indessen gründet er sich auf rein Geometrisches tmd ist 
relativ einfach. 

Nim zur EinzeldurcbfÜhrung, welche hier nöthig ist, weil 



n,g,t,7.dt,G00glc' 



Die geometrische Bedeutung dee Schwerpunktes. 115 

wir mit den Schülern stets vom Concreten zum AUgemeinen 
fortschreiten wollen. 

1) Punktgruppen. 

Die Lage des Schwerpunkts (wir wollen ihn immer hinfort 
so nennen) für zwei Punkte ist auf der Mitte der Yerbindungs- 
linie derselben. 

So entspricht sie der aufgestellten Regel; denn durch diese 
Mitte gelegt, enthält die Achse entweder beide Punkte selbst — 
dann sind die beiden von ilmeii durch Rotation erzeugten Ereise . 
zugleich Null, — oder die Funkte haben gleiche Entfernungen 
von der Achse, erzeugen also, der eine eine positive, der andre 
eine negative Peripherie von gleicher Grösse, zusammen eia - 
Gebilde = Null. 

Eine Schwierigkeit soll dabei nicht verschwiegen werden.- 
Analog der Erzeugung höherer Gebilde müseten wir hier die 
vom Funkt durch Bewegung erzeugte Linie auch als Froduct 
zweier Factoren auffassen. Wir sind gewohnt, das Froduct 
zweier Linien als ein Flächenhaftes, das Froduct aus Fläche 
und Linie als das Körperliche anznseben. Wenn aber die Linie 
Froduct aus Punkt undLinie erscheinen soll, so darf der Punkt nicht, 
wie er als KaumgrÖsse (lineare, äächeufaafte oder körperliche — 
denn er kommt ja oft als Rudiment aller dieser vor*) — ) ge- 
nommen zu werden pflegt, ab Null gelten, sondern als Eins. 
Diese Eins ist unbertannte Zahl, während die ^ahlenwerthe, 
welche man den Linien beilegt, benannte Zahlen, d. h. mit der 
linearen Eigenschaft behaftete oder die lineare ' Masseinheit 
zählende Zahlen sind. In der That entspricht so der Punkt 
nicht der 1*" sondern der 0*" Potenz der linearen Einheit und 
alle vier Stufen Hessen sich conseqnent durch die 4 Grade des 
Linearen, des Grundmassstabs, ausdrucken: 

Der Punkt ist Lineareinbeit mit dem Exponenten 0. 

Die Linie „ „ „ „ „ 1. 

■ Die Fläche „ „ „ „ „ 2. 

Der Körper „ „ „ „ „ 3. 

Um wieder zum Thema zurückzukehren, ^st sich jetzt die 

, *) Wo die Linie als Budiment der Fläche übtig bleibt, -ist sie ja 
auch. Null, obschon sie als Linie nicht ratimloB ist, z. B. Bingfla^e 
för JB — r. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



116 F. C. Fbbsbmiub. 

Umkehr zur Guldin'schen Regel ohne Weitere 
folgern: Das Rotationsgebilde, welches von : 
Seite einer Achse liegenden Punkten gebildel 
dem Product des erzeugenden Gebildes (hier 
= 1 -(- 1 — 2) mit der vom Schwerpunkt b* 
pherie. 

Seien die Entfemnngen der Punkte von d 
80 ist der Schwerpunkt um °^ ■ von ihr en 

Kreise 2« ä + ^6 « — 2 [2 (^4~^) ''^ ^'°'* ^^ 

Für 3 Paukte liegt der Schwerpunkt (wie tür üie Ureiecka- 
fläche) im Schneidepunkte der Transversalen des Dreiecks. Wie 
schon erwähnt, bildet das Perpendikel aus letzterem Punkt auf 
die Achse das arithmetische Mittel der drei Perpendikel aus den 
Ecken (hier den gegebenen Punkten). 

Das Gebilde heisst hier 14-1 + 1 = 3. Die Entfernungen ' 
seien a, h, c also ist 2o ji+ 26 « + 2c jr = 3 [2. (' °+^'^'' )ai 
das Rotationsgebilde, Für eine Achse durch den Schwerpunkt ist 
" "** /^ - = 0, also auch das Rotationsgebilde Null 

Um überhaupt für mehrere Punkte einer Ebene den Schwer- 
punkt zu suchen, haben wir zwei Mittel: 

. Entweder wir suchen fQr eine irgendwie ausserhalb der 
Funktgruppe liegende Achse (d. h. so liegende, dass kein Punkt 
jenseits zu liegen kommt) die Perpendikel und suchen aus ihnen 
das arithmetische Mittel. Der geometrische Ort des Schwer- 
punktes ist die zur Achse gezogene Parallele, welche um dieses 
Mittel von ihr entfernt ist. Bestimmt man das Mittel aller 
Perpendikel der Punktgruppe noch in Bezug auf eine andre 
äussere Achse, so ergeben die beiden geometrischen Oerter als 
ihren Durchschnitt den Schwerpunkt. 

Oder man sucht den Schwerpunkt zweier Punkte, verbindet 
ihn mit dem 3. Punkt. Auf der Verbindungslinie liegt der 
Hauptschwerpunkt so, dass sich der Theil derselben, welcher, 
dem einzelnen Funkt zugewendet ist, zum andern wie 2 zu 1 
verhält (denn das bedingt die Lage des obengenannten Trans- 
versalschneidepunkts und führt zur richtigen Bestimmung jenes 
Mittelperpendikels). Dann wird der Schwerpunkt der 3 Punkte 
mit einem 4. Punkt verbunden und der Hauptschwerpunkt auf 



,ti7rJt,G00glc 



Die geometrüche Bedeutung des SchverpirnkteB. 117 

der YerbinduDgslinie so gefunden , dass ihr nach dem einzelnen 
Punkt gerichteter Theil sich zum Rest wie 3 zu 1 verhält u. b. w. 
Der Beweis lautet, wenn die Perpendikel der n Punkte a, 
b, e, d . . . sind: 
2aär + 2fc«+ 2c« + 2djt . . . = „r2 f«+ 6 + e + d ._^ 1 

Geht die Aehee durch den Schwerpankt, so ist das Mittel 
der Perpendikel, also auch das Botationsgebilde, d. h. die Summe 
aller Kreisperipherien NnlL Der Debei^ang vou der geometrischen 
Bedeutung zur statischen ist ganz leicht: Setzt man statt des 
Wortes Perpendikel das Wort Moment, so hat man im Schwer- 
punkt den Angriffepunkt der Resultirenden von » gleichen paral- 
lelen Kräften. 

2) Lineare Gebilde. Wenn für Punktgruppen der Weg 
der physikalischen und der rein geometrischen Betrachtungsweise 
des Begriffs „Schwerpunkt" noch erträglich zusammengehen 
konnte, indem doch immer dieser Punkt als Summe aller andern 
Punkte auch im geometrischen Sinne gelten- konnte, so hat eine 
solche Doppelau^assun^ fOr den Schwerpunkt der Linie schon 
wieder eine grössere principielle Schwierigkeit. So einfach es 
zwar lautet, in der geraden Linie lasse sich die Gesammtheit 
aller Punkte in dem Mittelpunkt vereinigt denken, so sträubt 
sich eigentlich doch schon unsre Elementorauschauung dagegen, 
die Linie als Summe von Punkten anzusehen. Es sei daher . 
jener zweite, rein geometrische Weg auch hier gleich versucht: 

Das Gebilde, welches die gerade Linie bei ihrer Rotation 
um eine äussere mit ihr in einer Ebene liegende Axe erzeugt, 
ist im Allgemeinen ein Kegelmantel. Dabei sind die zwei Fälle 
dee Cylinderinantels und der Kreisringääche inbegriffen. Geht 
die Achse durch den Mittelpunkt der Graden , so ist ohne Wei- 
teres evident, dasa die beiden Rotationsgebilde, das positive und 
negative, identisch sind, also das Gesammtgebilde Null. 

Aber es ist auch für den Kegelmantel, der von einer ausser- 
halb der Achse liegenden Graden gebildet wird, bekannt, dass er 
gleichen Fläcbenraum behält, wenn unr die lünge der Seiten- 
linie (eben der e^ugenden Graden) und die' Mittelperipherie 
(d. h. der Kreis mit dem Perpendikel von der Mitte der Erzeu- 
genden zur Achse — als Radius) ihren Werth behalten. Also 
wfirde das Botation^ebilde, welches von einer in der rotirenden 



,i.,-ih,Googlc 



118 F. C. FBBMNiUB. 

Ebene gelegenen . Gradeu erzeugt wird, seineu Werth behalten, 
wenit die Qrade in dieser Ebene irgendwie nm ihren Mittelpunkt 
ohne dessen Ortsvei^nderung gedreht wird, z. B. auch in die 
Richtung parallel zur Achse. Daraus folgt, daea das Rotations- 
gebilde , welches ii^eud eine Gruppe grader Linien , welche einer 
Ebene angeh5ren, durch Drehung um irgend eine Achse dieser 
Ebene bildet, gleich derSumme der Cy linderflächen sein mnss, deren 
Seitenlinien jene Erzeugenden und deren Radien die entsprechenden 
Perpendikel aus den Mitten der Erzeugenden auf die Achse sind. 
Die Rücksicht, ob die erzeugenden Graden vereinzelt oder gruppen- 
weise verbunden, vielleicht den Umfang einer geschlossenen Figur 
bildend Torhanden sind, kommt hier offenbar gar nicht in Frage. 

Damit ist die Aufsuchung des Schwerpunkts fOr Gruppen 
von graden Linien auf die Frage nach dem Schwerpunkt für 
Parallele reducirt. 

Zwei Parallele wGrden durch Rotation um eine gleichfalls 
parallele Achse in dem Fall einNull werdendes Gebilde (2 Cylinder- 
öächen mit entgegengesetztem Zeichen) hervorbringen, wenn die 
Entfernungen der positiven und negativen Erzeugenden von der 
Achse in umgekehrtem Verhältniss mit ihren Längen stünden. 
Denn der Ausdruck des Cylindermantels ist ja nur Product aas 
Seite und Radius und einer Constanten. 

Wie also oben von Punktgruppen, so ist hier von Linien- 
gruppen der Schwerpunkt zu finden: Zuerst werden von den 
Kittelpunkten aller einzelnen Linien Perpendikel zu einer beliebig 
gewählten äussern Achse construirt, jedes mit der Masszahl der 
dasselbe entsendenden Linie multiplicirt ; dann wird die Summe 
dieser Producte durch die Summe aller Linien dividirt und mit dem 
Perpendikel, welches der so gewonnenen Masszahl entspricht, 
der geometrische Ort als zur Achse parallel construirt. Zwei 
geometrische Oerter, von zwei beliebigen Achsen her construirt 
geben den wahren Ort des Schwerpunkts. 

Der. Beweis dieser Regel liegt in folgender Betrachtnng: 
Sind die erzeugenden Linien a, h, c, d . . . 
die entsprechenden Perpendikel m, «, jj, g . . . so ist die - 
Summe der Cylinderäächen •= 2'jc{am -\- in ~\- cp -^ dq . . .) = 

2 M» + * + « + Ä ■ . .) ( TtTt'UI::: ) 



n,giti7.dt,'G00glc 



Die geometruche Bedentang des Schwerpunktes. 119 

Also muss der Werth ""* , . , ■ v ~f ■ " ' '' eiDem ein- 
zLgen Badins eDiaprechen könDen, welcher mit der eiuzigen 
SeitenÜDie a + b -{- c '-i- d . . . einen Cylioder hervorbringt,' 
dessen Mantel gleich der Samme aller jener C;liudermäntel ist. 
Das Nallwerden dieses Quotienten also verwandelt das gesammte 
Bo&tionsgebildc in Null und liefert die Bedingung des Schwer- 
punkts. 

Umgekehrt lässt sich auch zeigen, dass der Ponkt, welcher 
als Achsenptmkt das Gesammtgebilde als Nnll erscheinen lässt, • 
derselbe iat, fUr welchen bei einer ausser ihm liegenden Achse 
die Guldin'sche Regel in Kraft steht, d, b, von welchem stets das- 
jenige Perpendikel zur Achse gezogen wird , welches als Radius mit 
der Summe der Erzeugenden einen C;lindermantel hervorbringt, 
welcher der Summe aller Cylindermäntel oder dem Rotationsgebilde ■ 
gleichwerthig ist. Denn wäre jenes Perpendikel nicht der rich- 
tige Radius des einen stellvertretenden Cylindermautels, so 
hätte (bei gleichbleibendem Werth der Seitenlinie) ein anderes 
Perpendikel die Eigenschaft, als Radius den stellvertretenden 
Cylindermäntel zu erzengen. Dieses andre gleich Null gesetzt 
müsste aber wiederum das Gesammtgebilde in Null verwandeln. 
Demnach wäre zugleich für verschiedene parallele Achsen ein 
Kuliwerden möglich, ein Fall, dessen Ungereimtheit wir sogleicH 
einsehen, wenn wir bedenken, daas sich bei jeder solchen Ver- 
schiebung der Achse die Radien der erzengenden Gebilde der . 
einen Seite zugleich vergrössern, die der anderen verkleinecu 
mfissten und so die Gleichheit der Resultate alterirt würde. 
Dass ein Schwerpunkt, d. h. ein Punkt von der bezeichneten 
geometrischen Eigenschaft für jede Gruppe grader Linien, also 
auch für jede kmmme Linie — die ja stets als Complex auend- 
lich kleiner Geraden betrachtet werden kann — existiren muss, 
wenigstens für die Gebilde der Ebepe, lässt sieb auä der ange- 
führten Methode folgern. Doch wird die wirkliebe Constmction 
natürlich mitunter sehr umstlindlich sein. 

Besonderes Interesse möchte noch der Umfang des Dreiedu 
bieten. 

DasDreieck sei abc ({«"ig. 1), die Punkte f,e,d sollen die Mitten 
seiner S^ten sein. Im Dreieck fed, welches durch Verbindung 
dieser Seitenmitten entstanden ist, seien die drei Winkel halbirt 



,ti7rJt,G00glc 



F. C. Fkuknids. 



120 

und die .Ha^biTungBlinien treffen sich in u. Knn ISsst sich 
zeigen, dass u der Schwerptuikt des Umfongs ab -\- hc + ca ist. 
VW sei die beliebig durch u gelegte 
_. ' Achse. Von f, e, d, q seien die Perpen- 

dikel fm, dn, ej) und qg zur Achse gezogen. 
Nun ist: 

fm — qg: qg — dn == fgigd^MB fe: de 
also fm . de — qg . de = gg ■ fe — dn . fe 



1 




. w — 



fm.de + fe dn 
fe 



1) 



dq:df = de:de + ^ 
als. *, _ ^r_^ 2) 

und qg : pe == qu : ue ^ dq : de und 
statt qg und dq ihre Werthe aus 1) und 2) 
gesetzt : 



fe + de ■ i»« = 
pe . df^fm . de -\- fe . dn 



de.df 



■.de 



also 

»Ddd. dr-f,de-'-^,fe~f, 

SO ist auch ab • ep •= ac ■ fm -i- cb ■ dn 

. Denkt man sich die Linie ac um f, el um d, ab van e ge- 
«h^ht, bis jede parallel der Achse vw ist, so wäre 

2 ab 3t ■ ep = 2 ac 3i ■ fm -\- 2 cb a ■ dn die Gleichung, 
aus welcher folgt, dass das Rotationegebilde um irgend eine Achse 
durch u aus Üjlindermsnteln besteht, deren Summe Null ist. ' 

Der .Umfang des Dreiecks hat also seinen Schwer- 
punkt im Centrum des einem mit halbirten Seiten 
eingezeichneten Dreieck wiederum eingeschriebenen 
Kreises. 

Merkwürdig ist noch, dass der Radius dieses Kreises einen 
Quotienten zum Werth hat, dessen Zähler der Flächeninhalt, 
dessen Nenner der Umfang des Dreiecks ist, für welches sein 
Centrum Schwerpunkt ist. 

3) Flächen.' Für die Dreiecksfläche ist im Eingang schon 
dbr Beweis dafür angedeutet, dass seine Rotation um eine 
äussere Achse in derselben Ebene einen Körper erzeuge, welcher 
als Product aus Dreiecksfläche und Weg des Schwerpunkts (hier 
des Transversalenschneidepnnkts) au&gedrUckt ist 



itiA-jt/GoogIc 



Die geometriache Bedentong des Schwerpnnktea. 



121 



Eb ist) anch dort sclLOn erwähnt, dass die Yerl^pmg der 
Achse in den Schwerpunkt selbst den Werth des ßotations- 
kStpers auf Null reduciren mnss. 

Ep ist nicht .schwer, . direct zu erweisen, dass die beiden 
Rotationskörper, welche von dem positiren und n^ativen Theil 
der Dreiecks^che bei einer beliebig durch den Transversalen- 
Schneidepunkt gezogenen Achse erzengt werden, einander gleich 
sind. Doch ist dieser Beweis durch den erwähnten Schlusa Ton 
dem allgemein gültigen Fall der ' Guldin' sehen Begel auf den 
NiiUfall überflüssig geworden. 

Die Erweiterung zunächst fBr das ^ 

Viereck soll .nun folgen. 

Das Viereck sei ahcd, die Rotations- 
achse sei RRy Die Diagonale ab theilt 
das Viereck in die Dreiecke dhc^M 
und ahd=' N. üf habe den Schwerpunkt 
s. N habe den Schwerpunkt /. 

Verbindet man t mit s und theilt die 
Verbindangslinie in o so, ätaa os:ot = 
N:M und zieht die Perpendikel tg, ou 
und sf zur Achse, ao ist 

ou — sf:tg — ou = os:ot=- N :M 




also 
und 
also 



N=M. 



tg-ou 
tg — sf: tg — ou = ts: to = JV-f M:M 

Nach dem Vorigen erzeugt das Dreieck N durch Rotation 
den K&rper 2 tg a • If= 2 tg x ^ ta — ov 
Aber Dreieck M erzeugt 2 sf n M. 
Also ist der aus N -\- M eneugte Körper 

2 n {N -\- M) OU 
Also ist der Schwerpunkt des Vierecks, da er die Gul- 
din'sche Reget befolgt. 



,ti7rJt,G00glc 



123 F. C. Pbsbebiüs. 

Ganz in derselben Weise lässt sicli der Schwerpunkt eines 
^^fecke, Sechsecks etc. coQstrairen und es wäre damit die 
Göltigkeit der Guldin'scben Regel für alle FläcEenräume, die 
in einer Ebene mit der Achse liegen, erwiesen. Also ^isst sich 
auch in jeder ebenen Fläche ein Funkt angeben, durch welchen 
gelegt die Achse einen auf Nnll reducirten Rotationskörper zur 
Folge hat, i. h. ein Schwerpimkt. 

Als praktische Ergebnisse der Guldin'scben Regel ffir Geo- 
metrie lassen sich hier erwähnen, dass ' 

1) aus einem linearen ebenen Gebilde und seinem Schwer- 
punkt die Complanation der durch Rotation erzeugten Fläche 
ermöglicht ist, 

2) aus dem Schwerpunkt eines linearen ebenen Gebildes 
und der von ihm erzeugten BotationS^che die Rectification 
desselben, , 

S) aus der Rectification und Complanation die Bestimmnng 
des Schwerpunkts. 

Z. B. der Halbkreis = r x. 

Rotationsflache desselben =mi 4 r' «. 

Also r JT . 2 a; 3t — = 4 r* w gibt a? (Entfernung des Halb- 
kreisschwerpunkts vom Durchmesser) = — 

4) aus dem Flächeninhalt eines ebenen Gebildes und seinem 
Flächenschwerpunkt den Oubikinhalt des erzeugten Rotations- 
körpers, 

5) aus dem Cubikinhalt eines solchen und dem Schwerpunkt 
des erzeugenden ebenen Gebüdes die Quadratur des letzteren, 

6) aus Quadratinhalt eines ebenen Gebildes und Guttikinhalt 
des erzengten Rotationskörpers den Schwerpunkt zu finden. 

Z.B. Halbkreiefläche = ^ , Kugel — —. 

Also ^- 2x7t = — g- und »= ~ als Entfernung des 
Halbkrelsflächenschwerpunktes vom Durchmesser. 

Ebenso ist für ein Stück Parabelfläche, da Quadratur und 
Gubatur einfache Resultate liefern, leicht die Lage des Schwer- 
punktes zn bestimmen. 

Wenn man berücksichtigt, dass — noch einmal den Fall 
ins Auge ge^st, wo fQi irgend eins der genannten Gebilde 



,ti7rJt,G00glc 



Die geometrische Bedentang des Schwerpunktea. 



123 



die Achse durch den Schwerpunkt gebt — auch schon bei dem 
geringsten Theil einer ganzen Drehung auf der po^tdven und 
negatiren Seite der Achse gleichwerthige Flächen (resp. Körper) 
erzengt werden und dass diese Flächen (Eötpet) gewissermassen 
als die Wege gelten können, zu welchen alle Punkte des er- 
zeugenden Gebildes in einem kleinen Zeittheil veranlasst werden, 
so ist leicht einzusehen, dass diese Summe der Wege zugleich 
die Summe der Kräfte repräsentiren könne , welche diesseits und' 
jenseits der Achse auf das Gebilde wirken (die Kräfte gleich- 
massig auf. alle Funkte und einander parallel wirkend gedacht). 
Damit ist aber geradezu ausgesprochen, dass jede Achse durdi 
den Schwerpunkt eine Linie ist, welche befestigt das Gleicb- 
gewicht aller parallelen Kräfte garantirt. Damit ist der geo- 
metrisch vermöge der Gnldin'schen Regel definirte Punkt zu- 
gleich Angriffspunkt der Besultirenden aller auf die Punkte des 
Gebildes wirkenden parallelen Kräfte. 

£b möchte die Kräfte des Schülers übersteigen, wollten wir 
unsre Betrachtung nun noch auf die Fälle ausdehnen, wo die 
erzeugenden Gebilde nicht mehr blos derselben rotirenden Ebene 
angehören, eine Erweiterung, welche uns allerdings auch auf 
die Auffindung der Schwerpunkte der Gebilde im Räume führen 
würde. Doch lüögen noch ein paar Blicke über die Torhin ge- 
zogene Grenze das Nachdenken des Anfängers anspornen. 

Liegen z. B. (Fig. 3) die 3 Punkte a, h, c in einer Ebene, die 
senkrecht zur Rotation sachse steht, so sei s, der Transversalen- 
durchschnitt im Dreieck ahc, zugleich die Projection 4er Achse. 
Ziehe durch 5 beliebig fg. Fig. s. 

Nun ist nb-\-pc= 2oe 

oe:am = e8 :so = 1 : 2. 

Also nb-\-pc^atn und 

2 amn = 2 nb« -\- 2 pc ■ n. 

Legt man durch s senkrecht zur Linie 
fg eine Ebene, so sind «6, cp, am ihren 
Projectionen auf diese Ebene gleich und 
Kreise mit solchen als Radius beschrieben t - 

würden abermals ein Rotationg^ebilde = 
Null darstellen. 

Es ändert sich nichts in dieser Sache, wenn auch die Punkte 
a,h,c nicht in der eben senkrecht zur Achsa gedachte^ Sbene 




n,g,t,7rJM,GOOglC 



124 



F. C. FuiEHIDB. 




lägen, sondern z. B. in versehiedenen H&ben über derselben. 
Dann würde die eben beBprochene Figor Projectionsfigur werden, 
die resultirenden Kreise aber vQrden ilire Grösse, also das 
Resultat auch seine Gültigkeit erhalten. Es sind die Frojectionen 
der im früheren bezeichneten Linien, auf irgend eine dnrch den 
Schwerpunkt gelegte Ebene, welche jetzt die Radien der Ro- 
tation bilden müssen. 

Auch noch ein einfacher Fall der Ro- 
tation einer Linie mag hier folgen. Die Linie 
ab^=n (Fig. 4) beschreibt um c (die Pro- 
jection einer senkrecht auf der Fapierebene 
stehenden Achse) die Ereisringfl&che = 
(Ü* — ^')^) wenn R und r die Radien der 
Kreise um c sind, ab sei in e halbirt, ec 
sei =m,bu und ao seien Perpendikel auf oc, 
cd'=Q sei Perpendikel auf ad, bdaei^s, 
ou heisse p 
Nun ist ad^ + (ic'>'= ac' , d. h. (« -|- s)^ + p* = JP 
6d* + <ic* = 6c*, d. h. s*-|-p« = r' 
also »' -j- 2ns + s' + p* = B* 

und w* -j-2ws = 7i* — r' oder s-= ~ ~ — , 

e^^dc^ = ec\ d. h. (" + 5)« + p* = m' 

da aber Q^ = r^ — ( — "~ ~ " ) so ist nach einigen Rednetionen 

tri' im. -i — 3:_i oder »» « cc == ? -. /r . -T . t i: — Z^. 

i ■ 2 . 

Nun ist eu : eh == ed : ec, d. h.^ : ^ •*- s -j-^ : m 

Wird m und s nach ihren Werthen eingesetzt, so ist 

pBB=^=^ -— ■— -= ^== und es ist das von ab bei der Rotation 
*^ y 2fi» + 2r' — o* 

erzeugte Gebilde (Jl' — r') Jt = 2»ur|), d. h. 

Eine Linie erzeugt einen Flächenraum gleich 
dem Froduct aus dem Weg ihres Schwerpunktes und 
aus ihrer Projection anf eine durch Schwerpunkt und 
Achse gelegte Ebene. 

Zum Schluss sei mir noch eine pädagogische Bemerkung 
erlaubt. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



_ Die geometrigche Bedeutung des Schwerpunktes. 125 

Wenn auch zugestanden werden muss, dass Bettachtimgen 
wie die vorstehende im Gang des Unterriclita "keinen Platz finden, 
so niöchte ich ihnen' doch — vielleicht einmal für eine Privat- 
beachäftigung mancher Schüler — das als Empfehlung zufügen, 
dase sie geeignet ^ind, die geometrische Phantasie anzuregen. 
Dass sich hier in den verscbiedeuBten Arten ron Gebilden ein 
Ponkt findet, ein raamloser Ort, welcher in ^^^ug auf Baum- 
erzeugung durch Bewegung die Eigenschaft hat, eine Mehrzahl 
Ton Punkten, ja Linien und gar Flächen zu repräsentiren , d. h. 
ihren gesammten Inhalt in sich zu concentriren , ist ein so 
neuer und seltsamer Gedanke iiir den Schiller, dass gewiss 
darch denselben seine Neugier zu allerlei Weiteren Vermuthungen 
and Tersttchen gelockt wird. Man kann über eine solche Ver- 
suchting verschiedener Meinung sein, kann namentlich fürchten, 
es werde der Faselei oder der leeren Grübelei Vorschub ge- ■ 
leistet, der strengen Zucht der Wissenschaft Eintri^ gethbn 
oder werde der Fortschritt durch Allotria verspätet, wenn es 
dem Schüler erlaubt ist, sich eigne und neue . Gesichtspunkte 
zn suchen. Ich nun pfiege Alles willkommen zu heiasen, was 
zur Selbstständigkeit und Productivität führt. Auf anderen Ge- 
bieten gebe ich zu, dass frühreife Productiön Schaden bringen 
kann. In dem Mathematischen kann sie mir kaum früh genug 
kommen, kaum genug begünstigt werden. Denn gesetzt auch, 
ein leichtfertiger Geist fühlt sich z. B. bei der hier bebandelten 
Materie von seiner Phantasie fortgerissen, er sucht sich neue 
kecke Folgerungen z. B. auch der Körper beschreibe ein Ro- 
tationsgebilde, das sich aus seinem Yolum und dem Wege seines 
Scbwerpimktes als Factoren zusammensetzen liesse oder dergl., 
80 wird er, da er einmal die Fähigkeit zur Lösung solcher 
Fragen auf dieser Stufe haben muss, unmöglich bei seiner 
blossen Vermuthung stehen bleiben können. Es treibt ihn, sie 
nachzuweisen, und wenn er dann mit seinem Versuch scheitert 
und die Grundlosigkeit seiner Hypothese einsieht, wie viel hat 
er gelernt und wie schön, dass er auch einmal ohne die leitende 
Hand des Lehrers einen wissenschaftlichen Spaziergang gemacht! 
Ich wüsste nicht, was irgend dabei für ein Wagniss wäre. 
Jede eigne Entdeckung bleibt ein positiver Gewinn, auch wenn 
sie negativer Natur war. Der Eifer und die selbsterlebte Freude, 
ein Problem von allen Seiten und von neuen Gesichtspunkten 

ZeltKhr. f. math, o. dhIuv. Unt«n. T. 9 



n,g,t,7.dt,'G00'glc 



126 F- C. Fbehmicb: Die geometriaclie Bedentnng dei Schwerpanktes. 

zu erfassen nnd durch alle ConsequeDzen zu verfolgen, ist der 
beste Grewinn, den der Lehrer dem ScbQler mitgeben kann, 
besser als Kenntnisse und Fertigkeiten selbst, denn ea ist die 
Quelle zu denselben. Und gerade in einer Wissenschafli, welcher 
methodische Zucht immanent ist, kennen der Freiheit die Flügel 
gefahrlos unbeschnitten bleiben. 



n,g,t,7.dt,'G00»?lc 



Kleinere Mittheüungen. 



Eletae Vennclie, betreffend denHeronsbiill, die Feneispritze nnd 
den WinkeUieber. 

Von Dr. Ebbbb. 

Ich bin fem davon, behaupten zu wollen, das9 das Arrangement der 
zu beschreibenden Veranche irgend etwas Neues enthalte, darf aber 
doch wohl annehmen, dasa diese Mittheilungen dem Änfiinger im 
Lehramt nicht völlig werthlos erscheinen werden. Es wäre Überhaupt 
recht wUnschenawerth, wenn die Phj^iker ihre kleineu EunatgriSe, 
deren sie sich beim Experimentiren bedienen, pnblicirten; wenn sie 
auch nur eine unbedeutende Erleichterung gewähren oder dem Ver- 
such eine gefälligere Eorm verleihen, vor Allem aber wenn die Ue- 
ihode besonders instnictiv ist, durften derartige Mittheilongen von 
dem praktischen Physiker mit Dauk aufgenommen werden. Es ver- 
schlägt dabei nichts i wenn Viele denken, sie hätten das läiigst ebenso 
gemacht; wenn es nur fdr Einige neu imd anregend iat; gibt es da- 
gegep Fachgenosaen, welche noch bessere, einfachere und instrocti- 
vere Ueiäioden kennen, so finden aie sich vielleicht durch solche 
Mittheilongen veranlaast, dieselben ihreraeita m pahliciren. 

Die hier zu beschreibenden Versuche betreffen den Heronsball, 
die Feuerspritze und den Winkelheber. 

Der einfachste Heronsball besteht aus einem zur Hälfte mit 
"Wasaer gefiillten Eochfläschchen, welches durch einen Gummiatopfen 
venrachlossen ist; durch daa Loch dea Stopfens gebt eine OlasrCbre, 
welche bis beinahe auf den Boden der Eochfloscbe reicht und oben 
in eine Spitze ausgezogen iet (Fig. 1). 

Nun kann man das Wasser in einem Heronsball be- Fig. i. 
kanstermassen zum Springen bringen, indem man entweder 
die innei« Luft verdichtet, oder die Süssere verdünnt. 

Die Verdichtung der Innern Luft erreicht man dadurch 
am ein&chst«u, dass man Luft in die Röhre hineiublSst, ' 
die Verdünnung pflegt man dadurch zu bewirken, dass r 
den Heronsball unter die Luftpumpe stellt und auspumpt /^JL 
Die Lnftverdichtung wird aber in der Praxis — hei derB^~ 
Feuerspritze — : noch auf eine andere Art hergestellt, indem 
man oämlich Waaaet in den Heronsball einpumpt. Man hätte da- 
nach 3 Arten um dm. Waaser des HeronsbaUs zum Springen zu 
veranlassen. 



n,g,t,7.dt,G00glc 



128 



Kleinere Mittheilnngen. 



Die erate Art, durch Einblaaen von Luft, gibt zu keiner weiteren 
Bemerkung Yeranlftssimg.*) Was aber das Einpumpen von Wasser und 
das Verdünnen der äuaaeren Luft angeht, so mSchte ich folgendes Ver- 
&bren empfehlen. Man steckt auf die BChre des Heronsballs noch 
einen Qummiatopfen (Fig. 2') mit seiner breiten Grundfläche nach 
unten und führt ihn in den Hals eines tubulirten Eolbena: ttber deil 





verbindet 
billig zu 



des Kolbens zieht man einen knrzen Gummischlauch und 
kurze GlaarOhre hinein. Zieht man am Ende der Glas- 
g_ Sa röhre die Luft aus dem Kolben mit dam 

Kunde aus, so springt der Heronsball. 
3tstt eines tubulirten Kolbens kann man 
auch eine weitere Glasröhre verwenden, 
wie Fig. 2** zeigt; man ersetzt auf 
diese Art die Luftpumpe , ohwohl es sehr 
angezeigt ist, diesen Versuch mit Benutzung 
der -Luftpumpe zu wiederholen. 

Den in Fig . 2' tubulirten Kolben 
kann man auch gebrauchen um den He- 
ronsball durch Einpumpen von Luft in 
Gang zu setzen. Man fallt den Kolben 
bis an den Tubulua mit Wasser (Fig. 3*) 
spannt ihn in einen Betortenhalter und 
den Gammischlauch g mit dem Steigrohr einer 0etzt so 
habenden glSsemen) Druckpumpe. Es wird gut ?ein, 




*) Und doch] S. unsere Bern, hierflber im nächsten Heft. D. Bed. 



n,g,t,7.dt,'G00glc I 



Kleinere Uittheilangen. 129 

wShreiid der ersten KolbenzUge die Spitze des HeronsbaUs zuzu- 
halten. Man bemerkt dabei zugleich, daas beim Abwärtsgehen des 
Pnmpenkolbens der Strahl allmälig eich höher und höher hebt, beim 
AnfwfirtBgehen aber wieder herabsinkt — ein Hinweis darauf, dasB 
bei einer stetig arbeitenden Feuerspritze zwei Druckpampen mit 
altemirendem Gang nothwendig sind*). 

Statt, eines tnbulirten EolbenB kann 
man auch eine Eochflasche, wie Fig. 3^ zeigt, 
anwenden. 

Um die 3 Falle bei einem Winkel- 
heber, das Ansfliessen, das Stehenbleiben 
und das Zurttckfliessen der Flüssigkeit zu 
zeigen, stelle man das freie Ende eines 
Winkelhebers (gebogene Glasröhre") tiefer / 
als das Niveau der Flüssigkeit im Öefl 
sauge die Luft ans dem Heber und nehme 
den Mund weg — so wird das Wasser ausfliessen; hebt man jetzt das 
Ende des Hebers allmSlig in die Höhe, so wird das Wasser immer 
EchwKcher fliessen und dann stehen bleiben; es tritt diess ein, wenn 
das Ende des Hebers ebenso hoch steht, wie das Nivean der Flüs- 
sigkeit im Geßlss; hebt man noch höher, so üiesst die Flüssigkeit 
zurück. 




Elementarer Beweis, dass, wenn zwei Pnnkte in verecliiedeii 
bredLenden Mitteln lieg^eD, eine LloMwelle von dem einen Punkte 
nacb dem andern In der kürzesten Zeit gelangt, indem 8ie den 
dnroh das Brecliangsgesetz vorgeBolirlebeneD Weg durcbläiift. 

Von Dr. E. Lottneb, Prorector in Lippetadt. 
Es l&sst sich bekanntlich sehr leicht elementar beweisen, dass, 
wenn in einem einfach brechenden Medium zwei Punkte an einer 

. nnd ders^ben Seite einer spiegelnden FlSohe gegeben sind, eine 
von dem einen ausgehende und die Fläche treffende Lichtwelle in 
der kürzesten Zeit zum andern Punkte gelangt, wenn sie den durch 
dos Reflesionsgesetz vorgeschriebenen Weg verfolgt. Stiegen 
scheint ein elementarer Beweis dafür, dass eine das Brechnngsgeaetz 
befolgende Licbtwelle ebenfalls in der kürzesten Zeit von einem 

'Punkte des einen Mediums zu einem des andern gelangt, nicht be- 
kannt zu sein. Dies geht wenigstens ans einer Bemerkung (§ 197) 
des Koppe'schen Lehrbuchs der Physik hervor, wo ansdrtlcklich tun 
Einsendung eines elementaren Beweises gebeten wird. Hierdurch 
veranlasst theilt Obgenannter einen solchen mit. 

1 mit 2 Dtno'kpMQpen 



iM,Googlc 



130 Kleinere UHtheilnngea. 

Sfli DD, die TrennungsflSclie zweier Terschieden brechender 
Mittel, ABÄf der Weg, den eine Lichtwelle einBChlSgt, um von 
einem Punkt« A nach einem Punkte ^j zu gelangen, so dass also 



wo V und Vi die Qe- 
Bchwindigkeiton des 
LichteB in beiden 
Mitteln sind. 

Eb Boll nun bewie- 
sen werden, doss zu 
diesem Wege die kür- 
zeste Zeit gebraucht 
wird. Sei AB=-x, 
AiB'^Xi, AD = a, 
AjDi = a,, BD=y, 
BB^^j/j, sei femer 
C irgend ein anderer 
Funkt der Trennungs- 
fllche, AC—e, ^,C 









. 


' 




^ 


T 










w 


^ 


A 








ff 








" 


>; 


H 


B 1>. 


J ? 


r^^ 


.^ 


Vf. 










jf 




, 



^g,, (7D = 



, OD, 



Behauptet wird also, dass 



vorausgesetzt, dass 

i) ^ _ HJÜ oder ^ _ ^ i,t. 

Man verlängere CD um sich selbst*), so dasB JD ■= DO, errichte 
in J ein Loth, ziehe durch A eine Parallele zu JB und verlängere 
AO und AB bezüglich bis F und G, nenne AG = r. Es muss 
dann, vrie aus der Congruenz der Dreiecke FAB und ABC er- 
sichtlich ist, FA = AC =^e sein. Offenbar ist AF^ AG also 
2 > r. . 

Da das VerhSltniss 

BD BJ , 

:iB = 3rff "'*«'• 

ist, so musB, wenn man im Nenner fttr die kleinere Grösse r die 
! einführt, 

.»±_" 



>" 



: werden; mithin auch 



vix + »-) 



*) let leider in der Fig;nr nicht genau. Man wolle dieB bei der 
Leot^ des Anfsatses berficKsichtigen. 



ih,Googlc 



Kleinere Uittheilnngen. i; 

Ganz anf dioBelbe Weiae läast sich zeigen, dass omgekehrfc 



yi+wi 



ist. 



Es folgt alBO ans der Qleichnng 1), wenn man fOr die linke 
Seite etwas Kleineres, fKr die rechte etwas Grosseres setzt: 

Da 2>i>| =y-|-s(j =« + u, ist, so muss 

y — «—=«, — y, sein. 
Mit dieser Gleichheit mnltipticirt man die Ungleichheit 2) und 
erhSlt 



3)^ 



X + ii -^ V,{Z,^Xy) 

Aus den Dreiecken ADB, ÄtDiB, ADO, AiD^C ergibt 
aich aber 

Deshalb 4) y' — w' — a;'— ^^ Mj' — y,» = «j' — «i*. 
Also verwandelt sich 3) in 



v(,x + z) 



Daraus folgt ^ + 5 < ^ + |t g-, e. (?. 
Sollte C auf- die rechte Seite von B fallen, so würde man 
einfach durch Umkehrmg der Figur dasselbe Resultat ableiten können. 



NatüTwiseeiiBoli^tliches in niditnatarwisseiiBoliaftliolieii Sebtü- 
Mohern. 

Von Dr. ZeBLAsa. 
(Fortgetsmig Ton IV, 282.) 

In dem vielgebrauchten dentßchen Lesebuche Ton C. Olfrogge 
(2. Aufl. Hannover 1866, Hahn'sche ^ofbuchhandlung) findet sich 
in einem von dem Herausgeber herrührenden Aufsatee über das 
"Weltgebäude auf Seite 368 wörtlich folgendes: Da die Sonne Licht 
und WSrme auBStrÖmt, so denkt ihr vielleicht, sie sei eine unge- 
heure Feuerkugel, auf der keine Geschöpfe leben können. Indeasen 
die Sonne erwärmt ans nicht, weil sie selbst beiss ist, — etwa wie 
ein Ofen, der im Winter ein kaltes Zimmer erwSrmt; — denn dann 
mtlsste es um so wärmer auf der Erde werden, je näher sie der 
-Sonne kommt, und die Gegenden, die ihr näher sind, also die 
höchsten Berge, mflssten die meiste Hitze haben. Das ist nun aber 
gerade umgekehrt der Fall; denn bei uns ist es am «ärmsten, wenn 
die Erde am weitesten von der Sonne entfernt ist, und auf den 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



132 Kleinere MittheilniigeD. 

höchsten Bergen iBt es so kalt, dass sie beatfindig mit Eis and 
Schnee bedeckt sind. Es ist demnach am wahrscheinlichBten, dass 
die Sonnenstrahlen nur dadurch die Erde erwärmen, dasa sie die 
Wärme, die in derselben verborgen oder unentwickelt liegt, ent- 
wickeln, indem sie durch die Luft gehen, welche die Erde von 
allen Seiten umgibt, und je dünner diese Luft ist, desto vreniger 
Wärme erzeugen sie, weshalb auf den höchsten Bergen die grösste 
Kalte herrscht, weil dort die Luft am dünnsten ist. Je höher aber 
die Sonne am Horizonte steht, je grader (senkrechter) also ihre 
Strahlen herunterfallen, desto wärmer ist es auf der Erde; die 
Wärme ISsst in demselben Grade nach, in welchem sie schrSger 
fallen. Daher ist es Mittags wärmer, als Abends und Meißens, und 
im Sommer wStmer, als im Winter; denn des Mittags um 13 Uhr 
steht die Sonne iür den Tag am höchsten, und im Sommer kommt 
sie wieder weit höher herauf, als im Winter." 

Seite 369 Zeile 30 findet sich: „Die Sonne steht an ihrem 
Oi-te still und dreht sich nur immer um sich selbst herum" und 
Seite 375 Zeile 29: „Sie bewegt sich nur um ihre Achse, bleibt 
also auf ihrem Platze stehen, und sie hat selbst Liebt und Wärme, 
welche sie nicht für sich behält, sondern freundlich ausspendet." 

Auf Seite 370 und 371 wird der Wechsel der Tag- und 
!NachtlSngen und der Jahreszeiten durch die schief^ oder scfarSge 
Stellung der Erdachse zur Sonne erklärt. 

Einer BerichtiguDg dieser halbwahren und unwahren und sich 
widersprechenden Angaben und Ihrer Begrtlndung bedarf es in 
dieser Zeitschrift nicht. Es genügt an ein paar Beispielen zu zeigen, 
wie wenig verbreitet klare Einsicht in Bezug auf die obigen Gegen- 
stände und sichere Eenntniss derselben ist. Letztere schützt dann 
auch vor solchen Spielen der Phantasie, wie auf Seite 379 Zeile 28: 
„So lehrt ims doch die Vernunft; Auch dort (auf den Sternen) 
werden Geschöpfe sein, ähnlich den Menschen auf der Erde, viel- 
leicht schon viel vollkommener, als vrir, heilige Engel vielleicht." 

Solchen Anschauungen begegnet man wohl in den Dichtungen 
Elopstocks; aber in eine Abhandlung über das ^eltgebäude gehörrä 

Auf Seite 371 Zeile 20 wird ein allerdings recht weit ver- 
breiteter Irrthum wiederholt: „Mit den Jahreszeiten veihHlt es sich 
so, dasB in der mittleren Gegend der Erde nördlich und südlich vom 
Aequator nur zwei, eine heisse Jahreszeit ohne Regen mit einer fast 
ununterbrochenen ■Regenzeit abwechselt. Diese Gegend der Erde 
heisst die heisse Zone." In Wirklichkeit ist nun die Sache grade 
umgekehrt, und die •falsche Ansicht erklärt sich aus den in einem 
gemässigten Klima gewonnenen Anschauungen in Betreff der Ter- 
tbeilung des Regens auf die Jahreszeiten. Heisst doch noch in dem 
ehemals spanischen Amerika die trockene Zeit verano (Sommer, 






n,g,t,7.dt,'G00glc 



Eüeiaere Mittiieiliiogeii. 133 

SpfitfrUhliBg), die Eegenzeit inviemo. (Winter). Die Regenzeit tritt 
Sil einen Ort unter den Tropen aber immer zu der Zeit ein, wenn 
die Sonne in das Zenith desselben kommt. Dann wird der sonst 
regelmSasig wehende Passatwind immer schwäoher, hört endlich 
ganz anf tind macht verBnderliohen Winden und Windstillrai Plak. 
Der Passat fUhrt nun nicht mehr beständig kühlere, trocknere Luft 
herbei; die steigende Hitze und Windstille begünstigen einen auf- 
steigenden Lttft^om, der die feuchte Luft in die Hohe ftihrt, sie 
abkühlt nnd tägliche Nachmittagsgewitter erzeugt, bei welchen die 
heftigsten Piataregen herabstürzen. Die Nßchte und Morgen sind 
aber meist heiter und klar. So wie die Sonne sich wieder vom Ze- 
nith entfernt, fängt der Passatwind wieder an m wehen und bringt 
die trockne Zeit des Jahres, während welcher kaum jemals eine 
Wolke den reinen Glanz des Himmels ix&U. (Yergl. Altgemeine Erd- 
• künde von Hann, Hocbstetter und Pokomy.) 

Selbst die besten geographischen Lehrbücher z. B. das von Da- 
niel ist in diesem Punkte nicht scharf genug nnd verleitet zu Miss- 
Terstündnissen. 

Uögen diese Zeilen dazu beitragen, gangbare Schulbücher in 
Bezug anf ihre naturwissenschaftlichen Bestandtheile einer sorgfälti- 
gen Prüfung zu unterziehen, damit ein Schüler in der Stunde nicht 
dies, in der anderen das grade Gegentheil lerne. 



Zwei KLeinigkeiteE ans der Sclmlstabe. 
Tom Herausgeber. 

1) Es ist jedem Lehrer der Mathematik sattsam bekannt, wie 
häufig in den math. Arbeiten der SchUler ein Fehler durch einen 
andefti verdeckt oder ausgeglichen wird, so dasa der Schüler 
bei doppelt fehlerhafter Auflösung einer Aufgabe dennoch das 
richtige Besultat bringt. Ein solcher eclatanter Fall passirte 
mir unlSngst. Ich gab meinen Schülern (in der i. Classe eines 
Realgymnasiums] die Gleichung Heis § ßZ. No. 39 , welche in 
kürzerer Fassung lantet: „Es soll Jemand eine eincassirte Sa, von 
5206'/2 Thlr. mit der Post senden. Das Postgeld = Vs % "^^ 
sofort bei der Absendung abgezogen. Wie viel ist zu senden?" 

Die Gleichung Ist, wenn x die zu sendende Summe bezeichnet, 

• ■ ,_ 6206V, -i 

oder 

woraus sc = 6200 Thlr. folgt. Mehrere Schüler hätten aber (ver- 
leitet durch eine fehlerhafte Hilfe) angesetzt: 

5206 V2 — 5206 , 6 ■ y^„ = a;. 

5206,6 — 6,6 (08126) = x 



i,Coo<^lc 



134 Kleinere Mittbeilungen. 

.and hatten für den Subtrahenden im linken Tbeile gewonnen (ab- 
gekürzt) 6,6 — was nun ebenfalls x = 5200 gibt. Denu^ge Tor- 
kommniBBQ stellen immer die erneut« Aufforderung, daas die Lehrer 
der Mathematik sich niemals mit dem Beaultat begnügen sollen. 
Lieber .weniger Aufgaben machen lasBen, als viele nnd diese nn- 
controlirt lassen! 

2) In den Wiener Volks- nnd Mittelschulen werden mehrere 
arithmetische Aufgabensammlungen gebraucht, voit' denen die von 
Teirich, Tillicus «nd Schubert die bekanntesten und gebrauchtesten 
sind. Zu diesen Aufgabensammlungen gibt es aber keine Eesultate. 
Auch bei den Bechenau^bea der geometrischen Bücher (z. B. Mo&iik 
und Gemerth fehlen die Auflösungen. Der Lehrer ist also genöthigt, 
die betreffenden Aofgabeu immer auszurechnen, was bekanntlich 
einen nicht geringen Zeitaufwand verursacht. Auf meine ausdrück- 
liche Anfrage bei einer renommirten Wiener Verlagshandlung nach 
Besnltaten zu einer der obgenannten Sammlungen, wurde mir die ' 
Antwort, dass in Oesterreicfa Besultate zu den Aufgaben zu geben, 
gar nicht gehrSuchUch und auch nnnöthig sei, denn — abgesehen 
von ihrer SohSdlichkeit — zeige sieh ja die Eichtigtoit der von 
den Schülern gefundenen Resultate in der Ueberein- 
atimmung derselben, d. h, also: wenn von fUn&ig Schülern 
(so viele sitzen häufig in- einer Klasse der Wiener Mittelschulen) 
30 dasselbe Resultat haben, so ist anzunehmen (oder ist wahrschein- 
lich), dass dieses Resultat richtig sei. Ich frage nun: ist dies 
pädagogisch (methodisch und didaktisch) zulässig? Ich 
meines Theils muss diese Frage mit einem entschiedenen Nein be- 
antworten. Können nicht von den 30 Besultaten 30 abgeschrieben 
sein? Oder ist nicht auch der Fall denkbar, dass alle 30 Schüler 
geirrt haben? Wie nun, wenn 25 dieses und 25 ein imderes Re- 
sultat bringen? Ist es pädagogisch zulässig, dass der Lehren sich 
auf ein so unsicheres Fundament stütze und dass er sich vor . 
den Schülern gewissermassen blosstelle, da er, falls er die Auf- 
gabe nicht selbst gelöst hat, vor den Schülern seine Unwissenheit 
und Unsicherheit zugeben muss? Und wie nun, wenn ihm die 
Kürze der Zeit nicht erlaubt , die Au%aben in der Lehrstunde durch- 
zunehmen? So viel mir bekannt ist, gibt es'zu den meisten Auf- 
gabensammlungen in Deutschland Resultate. Nur sollten dieselben von 
den Verlagshandtungen (oder noch besser von den Verfassern) auf 
ausdrückliche Bitte der betreffenden Lehrer gratis abgegeben wwden^ 
wie dies z, B, in der Verlagsbandlung von B, G. Teubner in Leipzig 
mit den Besultaten zu der Bai'deyachen Sammlung geschieht. \ So 
wird den Schülern die Anschaffung der Resultate unmöglich gemacht 
— man mUsste denn der Meinung sein, dass die Resultat« , wie bei 
Heis, den' Auijgabeu anzuRlgen seien. — Es wfire nicht überflüssig, 
ja sogar recht interessant, wenn sich hierüber die Lehrer in dieser 
Zeitschrift aussprSchen. 



1 



n,g,t,7.dt,'GoOglc 



Literarische Berichte. 



J, Kbotiukk's aueftthrlicheB Lettrbaoh der Algebra*) fdr des 
Unterricht in gehobenen Yolksschalen, hfiheren 
* BUrgerBchulen, BeaUchulen, Gewerbeschuten und 
VorbereitungBanstalten für polytechnische Sohnlen, 
sowie für den Selbstunterricht, beatb.eitet von C. 
Davids, Lehrer in Altena. 7. Auflage. Altona, Johuin 
Friedrich Hanunerich. 1872. 274 S. in gr. 8. Preis 1 Thlr. 

Mit dem Namen Algebra bezeichnet der VerfasBcr oder Be- 
arbeiter dieses Backes nicht bloB die Lehre von den algebraischen 
Bestimmnngsgleichangen, sondern die allgemeine Arithmetik über- 
haupt. Dieselbe steht nach seiner Meinung in Verbindung mit der 
Mathematik, zu deren Untersuchungen sie mit hilft, scbeint also 
B^bst nicht iox einen Zweig derselben gelten zu sollen. In der 
That ist es auch weniger eine mathematische Wissenschaft, als eine 
Kunst, -welche der Verfasser in seinem Buche lehrt, denn er gibt 
vorwiegend nur eine praktische Anleitung zum VerstAndnisB ' der 
betreffenden Lehreii und zur Uebnng in ihrer Anwendung, indem 
er dieselben an bestimmten Beispielen erläutert. Allgemeine Beweise 
und ein wissenschaftliches System in strenger DuichfUhrung darf 
. man also in dem Buche — von einzelnen Ausnahmen abgesehen, — 
nicht suchen; der Verfasser nimmt die Veriflcation der Gesetze durch 
Zahlenbeispiele für eine Begründung derselben, begnügt sich sogar 
bei neuen Begrifl'en mit einer Art von VeranschanUchung und htUt 
sich in sachlicher Beziehung oder doch in der Ausdrucksweise trotz 
der 7. Auflage nicht völlig frei von Fehlem. So wird z. B. der Satz 
rf"- rf* — a" + *■ damit bewiesen, dass a^, «" =■ xx.xxx ^ a^ sei, 
und x' ■= 1 wird mit der Ableitimig af = 3^~ " ■= — abgethan. 
„Da aber — auch -= I, wie eben&Us ^=1, so lehrt dies Beispiel, 



*) Die BeBpiechuDK dieeeB Lehrbuchei, sowie auch des folgenden 
TJebnngebnches von Feld-Serf ist «war verspätet, doch gewigg immer 
noch leluneioh und Dfltalich. D. Bed, 



n,g,t,7rJM,GpOglC 



136 ■ Literarische Berichte. 

daHs eine jede Grösse in der Potenz Null = 1 ist." Dass hier ein 
neaer Begriff eingeführt wird, dessen Berechtigang und Bedeutung 
abzuleiten sei, ^%sb die vorhergegangene Erklärung der Potenz als 
eines Productea aus lauter gleichen Pactoreu die Änwwendung des 
Satzes a;""" = a^ : 3^ überhaupt nur für den Fall gestattet, dass 
»» > K ist, und dass somit hier ein logischer Fehler begangen wird, 
bleibt TÖUig unbeachtet. Wohin ein solches Verfahren ftthren kann, 
zeigt gleich darauf der Zusatz „Äher 0" ^ 0, denn ist keine Grösse." 
Dem Verfasser gegenUher möge hierzu die Bemerkung gestattet sein, 
dasa 0" zu den sogenannten rieldeutigen Symbolen gehört, welche 
alle möglichen Werthe haben können, und deren Werth im bestimmten 
einzelnen Fall die Differentialrechnung vermitteln lehrt. 

Die vorstehenden, einer einzelnen Farthie des Baches entnom- 
menen Beispiele werden hinreichen, den allgemeinen Mangel desselben 
an wissenschaftlichem Werthe zu kennzeichnen; nur dafOx, dass der 
sprachliclie Ausdruck nicht ttberall correct ist, mögen noch ein paar 
Beispiele ^s Beleg angeführt werden. Ich wShle folgende Stellen aus : 

S. 38'. „Die Zahl 9 ist rational, wenn daraus die Kubikwurzel 
gezogen werden soll." S. 45: „Die einzelnen in der Gleichung ent- 
haltenen Grössen heisseu die Glieder." „Dem Werthe nach unter- 
scheidet man analytische und algebraische Gleichungen."' S.55: 
„Man bezeichne die Meilen seines Weges mit x." S. 61: „1 Tag: 
e Meilen ^^ d -^ x Tagen gibt de-^ ex Meilen macht A." Sachlich 
folsch ist z. B. auch die Behauptung auf S. 87, dass die Gleichungen 
. a* -|~ a^ -|- y^ ■= 8 und a^ — xg -{- y^ = 27 einander wider- 
sprechend seien. Es wird darüber weiter gesagt:' „Wenn diese 
Gleichungen keinen inneren Widerspruch enthalten sollen, so muss 
die kleinere Zahl, nämlich 8, wenigstens ^/^ der andern ausmachen," 
Freilich bezeichnet der Verf. die imaginären Grossen auch mit der 
Benennung unmöglich e Grössen, aber an anderen Stellen des Buches 
kennt und erwähnt er doch selbst imaginSre Wurzelwerthe. Erwähnt 
ma^ femer noch der falsche Gebrauch des Divisisionszeichens : werden, 
wie in2a:14a&^7&. In der Einleitung steht „Das Zeichen 
der Division ist : (in oder durch)," 

Auch den Titel eines ausführlichen Lehrbuchs verdient das 
vorliegende Werk seinem Inhalte nach nicht, vielmehr beschränkt 
sich dasselbe meist auf das Nothdürftigste und bebandelt wichtige 
Gebiete nicht .selten, wenn man so sagen darf, fabrikmässig. So umfasst 
z. B. der Abschnitt „die vier Species mit Potenzgrössen, negative 
Exponenten, der Exponent 0" nur etwa 1*/^ Seite, die Lehre von 
den Wurzeln wird, abgesehen von dem praktischen Ausziehen der- 
selben und den Debungsbeispielen auf etwa demselben Baume abgethan, 
die .Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung umfesst 13 Zeilen, 
U.S. w. Die Ausführlichkeit des Werkes bestellt in der Breite der 
Erörterungen, der vollslAndigen Ausführung der erläuternden Beispiele 



n,g,t,7i.dtvG00glc 



Literarische Berichte. 137 

und in der Zugabe eines lun&Bgreichen Uebungematerials. Das Bach 
ist vorwiegend eine Anfgabea-Sammlimg mit, den einzelnen Abschnitten 
veransgeachickten, ausgerechneten Beispielen und Erläuterungen dea 
Yerfahrens. Den nicht ausgerechneten Anfgabea sind die Resultate 
unmittelbar beigefügt. Die Auswahl jst im Ganzen zweckmSssig, 
die Einkleidung jedoch hKufig gekünstelt. 

Die Bearbeitung des Stofiea im Einzelnen zeigt in ihrer Art 
pädagogisches Geschick; exempla docent. Nur ist das, was uns der 
Verfasser bietet, an Schulen weniger die Aufgabe des Lehrbuches, 
als die des Lehrers, und wir mUssen daher bezweifeln, dass die vor- 
liegende Schrift ßlr alle auf dem Titel genannten Anstalten passend 
sei, ganz abgesehen davon, dass diese nicht sSmmtlich auf die Ver- 
mittelung logischer Bildung ihrer Schüler durch eine allgemeinere und 
strengere, kui^ wissenschaftlichere Behandlung des Qegonstandea 
verzichten werden. Am ehesten dürfte das Bach für gehobene Volks- 
schulen, und zwar insbesondere als Anleitung fttr jüngere Lehrer 
derselben zu gebrauchen sein; die „methodischen, Winke" in dem 
Vorwort, mit Anweiam^en, wie z. B, „Beim Unterricht halte man auf 
ungetheilte Aufinerks^keit," geben der Yermuthung Raum, dass der 
Var&sser auch diesen Gebrauch vorzugsweise inr Auge gehabt haBe, 
Auch zum Selbstunterricht solcher, welche die Arithmetik und Algebra 
blos als Instrument für praktische Zwecke benutzen und erlernen 
und auf eine möglichst bequeme und rasche Manier, mit Verzicht 
auf eine wissenschaftliche Einsicht in das System, dazu gelangen 
wollen, kann das Buch mit Erfolg gebraucht werden. 

Zum Schlüsse sei noch erwShnt, dass eine Tafel der briggischeu 
Lc^^thmen der Zahlen von 1 bis 10,000 auf sechs Declmalen 
beigegeben ist. 



A, Feld und V. Sebf, Uebungsbuoh für den Unterrieht in 
der Arithmetik and Algebra"*) an höheren Lehr- 
anstalten. Zweite Auflage. Mainz, C. G. Kunze's Nachfolger. 
1871. 264 S. in 8. Preis 18 Sgr. 

Die ersten zwGif Paragraphen dieser Aufgaben ; Sammlung ent- 
kalten unter der Ueberschrift „Buchstabenrechnung" die Beispiele zu 
den sogenannten vier Species. Die reichhaltige Fülle ,~ auf welche 
die Ver&saer nach der Vorrede neben - der Beschränkung auf das 
unumgänglich Nöthige bedacht gewesen sind, scheint dem Ref. hier 

*) Von dieser Sammlung liegt bereits die 3. Auflage (18T4) vor. Sie 
nnteiBcheidet sich von der 2. (laut Vorrede'vom Novbr. 1873) im Wesent- 
lichen nur durch EiufShnmg des Ma&sjatems an die Stelle des alten 
MänzsTatems. D. Bed. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



138 Lit«raiiaclie Bericlite. 

zu fehlen, nündestena reichen die gegebenen Aufgaben zn einer 
AbwecbHeliing in veracbiedenen Ouraen in keiner Weise hin. Am 
schlechtesten sind die Addition und die Snbtraction weggekommen, 
welche in zwei Fsrn^raphen mit zusammen nur 99 einzelnen Bei- 
spielen abgethan werden. Gerade beim Eintritt in ein bisher fremdes . 
Gebiet ist aber eine reiche Auswahl von üebungsstoff besonders zu 
wünschen. Beispiele iüi das Keohnen mit positiven und negativen 
Zahlen fehlen in diesem ganzen Abschnitt; ebenso wird eine dorch- > 
geführte Bystematische Abtheilung der Aufgaben nach den zu übenden 
Sätzen, wie sie sich z. B. bei Heis findet, vermisst. In einer Aufgaben- 
Sammlung 1^ den Gebrauch der Schule sollte nach Ansicht des 
Ref. besonderes Gewicht auf eine eingehende Gliederung des Stoffes 
im Einzelnen gelegt und der — in dem vorli^enden Werke an sich nicht 
fehlende — Fortschritt von Sats zu Satz auch Susserlich überall 
leicht erkennbar gemacht werden. SpKterhin, in den Abschnitten 
über Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, ist dies auch insofeni 
geschehen, als die Verfasser nicht nur die verschiedenen Bechnnngs- 
regeln verschiedenen Paragraphen zngewiesen, sondern auch durch 
UeberBchriften den Inhalt der letzteren kurz angegeben haben; nur 
in* dem ersten Absiihnitt fehlt diese Einrichtung. Die auf densatben 
folgenden über Theilbarkeit der Zahlen (Zerlegung in Prim&ctoren 
u. s. w.), sowie über das Bechnen mit DecimalbrBchen dürften wohl 
ans methodischen Gründen im Wesentlichen vor die Buchstaben- 
rechnung, in den Rechenunterricht einer früheren Classe zu verlegen 
sein. Auch der nun folgende Abschnitt über Proportionen be&iedlgt 
wenig, da derselbe in seinen zwölf Kümmern nicht viel mehr als 
die betreffenden Lehrsätze in Gestalt von Formeln enthält. Reich- 
haltiger und im Ganzen zweckmässig ansgewählt und zusammen- 
gestellt sind die Aufgaben zu den Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, 
sowie zn den Gleichungen ersten und zweiten Grades ; dass aber von 
den- Beispielen zum Gebrauche der Logarithmen an durch das ganze 
übrige Buch hindurch überall die Resultate unmittelbar beigedrucfct 
sind, ist schwerlich zu loben. Dem Schüler, welcher neben der 
Aufj^be gleichzeitig das Resultat vor Augen hat, dürfte dadurch die 
selbstständige Sicherheit des Arbeitena erschwert werden und jeden- 
fidls würde es, wenn Überhaupt die Resultate beigegeben werden 
BoUen*), besser sein, dieselben in besonderen Paragraphen oder in 

•) In Betreff dleaer Frage eine gelegentliche Bemerkung: Selbst ganz 
gewissenhafte Schüler saehen nach einer falsch gerechneten Aufgabe den 
Fehler gerne dadurch zu beseitdgen, das« sie daq richtige Beaultat an di£ 
Stelle des falschen setien nnd dann rflck'^rts corrigiren, bis ein zweiter 
Fehler die Wirkung des ersten aufhebt. Die bekannte Erscheinung, dass 
man beim raachen Nachrechnen eines fehlerhaften Exempels leicht an der 
falsch«! Stelle denselben Fehler wiederholt, zeiirt, wie die Erwartung 
eines bestimmten Resultats ^sjcbologisch auf den AriDeitenden einzuwirken 
vermag. Der Schüler wird m soldien FUlen — die sich schwerlich duioh 



n,g,t,7.dt,G00glc 



Literarische Bericbte. 139 

eineiu Anhang zusammenzuBtellen, damit dem Schüler wenigstens 
nicht die Kenntniss des Beeultats vor Vollendung seiner Arbeit 
gewiaaermassen aufgezwungen werde. 

Weiterhin enthält das Buch noch ganz brauchbare Beispiele zu 
den diophantischen Aufjgaben ersten Grades, den aritbnt- und geom. 
Prozessionen nebst der Zinses -Zins- und Renten -Rechnung, den 
*Eettenbrüchen, der Combinatdouslehre, der WahrEchelnliohkeits-Bech- 
nung und den Grleichnngen dritten GradeH. Der binomische Lehrsatz 
ist unter der Combinationslehre mit nur fünf, Üieoretische Fniigen 
enthaltenden Nummern bedacht. 

Im Ganzen wird sich das Buch — abgesehen vielleicht Ton den 
ersten Abschnitten — als brauchbar erweisen, ohne sich durch be- 
sondere Vorzüge vor ähnlichen ausauzeichnen. Werke, wie die von 
Heis, Bardey und die neue Auflage von Meier Hirsch (Bertram) 
dürften demseliten meist vorgezogen werden, wenn man uieht etwa 
auf die Aosscheidung aller fUi Gynmasien und Realschulen nicht 
nothwendigen Paiihien und den geringen Preis Gewicht legen tfilL 



ScHOOF, Lud., Lehrbuch der ebenen Trigonometrie mit einer 
Aufgabensammlung nebst Auflösungen. Mit 31 Holz- 
seimitten. 1872. Helwing'sche Hofbuchhandlung in Hannover. 

Vorliegendes Lehrbuch wird in der Vorrede als ein Werk be- 
zeichnet, welches aus der Praxis der vereinigten Bergakademie und 
Bergbauschuie , sowie eines Gymnasiums und einer hohem Bürger- 
aohule hervorgegangen und in dieser Praiis bewährt ist. Die hierin 
niedergelegte Methode soU darauf berechnet sein die Schulen auf den 
Standpunkt der Erfindimg und des Selbstschaffens zu stellen, den 
Unterricht einerseits durch eine deuthehe sinnliche Veransohanlichnng, 
wie auch durch Herbeiführung «ines klaren rationellen Verständnisses, 
recht &Bshar und fruchtbar zu machen, endlich durch zahlreiche, 
vollständig aufgelöste Beispiele die Theorie sofort mit der Anwen- 
dung in Verbindung zu bringen. 

bloaea Abmahnen beBeitigea lassen, — des gnten Q-laubena aeia, das Er- 
forderliche geleistet zu haben, nud nicht selten auch in demselben bleiben, 
da der Lehrer unmöglich jede einzelne Augrechnung einer jeden der 
erforderlichen hau Blichen UebnngBanfgaben vollständig nachrechnen kann, 
will er nicht den Umfang derselben auf ein MinimnTTi reduciren. Den 
Vortheil der Resultate aber, dasB der Schüler das richtig gerechnete 
Ezempel sogleich als solches erkennt, kann man vielleicht auf andere 
Weise erreichen, z. B. durch die Angabe von Quersummen der Besultate 
u. dergl. Bei augesetdien algebraischen Qleichungen aber und in gbnlicben, 
Fällen, wo die Substitution m die Aufgabe eine Probe liefert, ig^ die Bei- 
fOgnng der Resultate für den Schüler wc^l in jedem Falle zu Vel^^^^"- 



i,Coot^lc 



140 LiterariMhe Berichte. 

Eine bedenkliche Unklarheit findet sich freilich schon in 13 vor, 
wo &isch weg definlrt wird; „die gegenseitige Abhängigkeit der 
SeitenVerhältnlBBe (eiiieB Dreiecks) Ton den Winkeln tind umgekriirt 
nennt man Function." Koch dazu ist durch den ganzen Znsammen- 
huig hierbei die Beziehung auf das allgemeine Dreieck geboten. 
Nicht minder hieroglyphisch ist die Specialisinmg des gewonnenen 
Begriffs: ,J!>ie sich hierana (d. h. ans den gleichen äeitenrerhftltniss^ 
im rechtwinkligen Dreiecke, die in einem spitzen Winkel ttberein- 
stimmen) ergebende Abhängigkeit von dem Winkel a und umgekehrt 
nennt man trigodometzische Function." 

Der Sache nach werden, wie ans dem AngeflUirten erhellt, die 
trigonometrischen Functionen als bestinunte SeitenverhSltniase in 
rechtwinkligen Dreiecken definlrt. Wenn diese Definitionen keine 
Erweiterung er&hren, so haben sie nur Sinn fUr spitze Winkel- 
argumente. Dennoch ohne Formulinmg der £rwdt»rung wird zu 
Functionen von Winkeln, die in einem anderen Quadiunten, als in dem 
erstm liegen, Ubergegang'en nnd noch dazu wird die Yorzeichen- 
besümmong nur nebenher mit ein paar korzen Notiicen abgemacht 

— klare Definitionen sind eben nicht die Sache des Herrn Verfassers. 
Wenn man sich nun auch über alles dieses hinwegsetzt und ans der 
eigenen Wissenschaft das Nöthige erg&nzt, so bleibt gleichwohl die 
Missliohkeit, welche in dem Versuche liegt, die Trigonometrie lediglich 
auf die Betrachtung des rechtwinkligen Dreiecks zu gründen. Man 
denke sich nun die Winkel a und 180" — a als Nebenwinkel ver- 
zeichnet, ao ist man nach jener schiefen Theorie gezwungen ein nnd 
dasselbe LinieaverhUtniss ,■ je nachdem ea als cos « oder als cos 
(180" — «) aufgefasst wird, in dem einen Fall als negativ, in dem 
andern als positiv zn betrachten. Ohne Zweifel ist ja diese Schwierig- 
keit zu beseitigen, wenn man näher auf die Natur negativer und 
positiver Strecken eingeht, aber sowohl vorstehendes Lehrbuch, wie 
auch andere, welche die Trigonometrie in ahnlichem Sinne behandeln, 
erachten es nicht der MUhe werth, anf diese Schwierigkeit einEngehen. 

-Der ans drei schmalen Linealen zusunmengesetzte Apparat zur 
Veranschaulich ong des Verhaltens der trigonometrischen Functionen 
kann nützliche Verwendung finden, aber eben so gut auch entbehrt 
werden, ohne dass die Schalen deswegen auf gedElchtniasmSssige 
EinprSgung von Tabellen angewiesen seien. TJebrigens leistet er 
das Verlangte nur unvollkommen und wird z. B. von dem zu gleichen 
Zwecken dienenden Strösser'schen Apparate übertroffen, der ausser 
sin. und cos. anch die Übrigen Fimctionen zur Darstellung bringt. 
Die verpönten Tabellen sind hinterher in zweien besonderen Para- 
graphen dennoch in extenso aufgenommen nnd findet sich überdies 
darin neben der gewiss gerechtfertigten Unterscheidung von -|- oo 
and — OD auch die durchaus schiefe Unterscheidung von -|- und 

— vor. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Berichte. 141 

Die vorhergehende sehr ausgedehnte Untorsnchung (S. 3 — S. 7) 
enthält nichts, weder von der einen noch von der anderen Ünter- 
Bcheidnng. Die eine Notiz, dass jeder der Winkel 0", 90*, 180", 
270° u. s. w., sowohl als Endwinkel eines bestinunten Quadranten, 
wie auch als Aniangswinkel des daiauifolgenden Qnadnmten be- 
trachtet werden kann, hatte vollständig ausgereicht, darauf hinzoleiten 
and billig Ao&ahme gefunden. Auch muss gerUgt - werden, dass das 
Verhalten von tg und ctg nicht unmittelbar, sondern aus dem von 
sin und cos abgeleitet wird. 

Die fundamentale Gleichung sin k^ -|~ ^^^ u^ ^ l wird in be- 
kannter Weise aus dem Pythagoreer hergeleitet, dagegen die ver- 
wandten Gleichungen 

tg tt* -|- 1 = sec «* nnd 1 + ctg «^ = coeec «* 
fehlen, was um so anfikllender ist, da die in demselben Paragraphen 
befindlichen Gleichungen 

tg o* + 1 = i" und 1 -f- ctg K* -= —. — i~ 

am natürlichsten aus jenen hergeleitet werden. Wenn die direissig 
Formeln, welche den Zusammenhang zwischen den Functionen eines 
und desselben Winkelargnments betreffen, sämmtUch aufgeführt sind, 
statt ihre Herleitung der Selbstthätigkeit der Schüler zu aberlassen, 
so ist das wiederum eine Tabelle mehr, allerdings nicht im Ein- 
klänge mit dem RigorlsmoB der Vorrede, welche über derartige 
Hülfsmittel sich verächtlich ausläsab 

Seltsam ist der Ausdruck des Satzes: Wenn sich zwei Winkel 
zu 90" ergänzen, so unterscheiden sich ihre trigonometrischen Functionen 
nur durch die Vorsübe co von einander — ein Schuhneiaterkunst- 
stückchen^ wobei nur vergessen ist, dass die Sätze der Mathematik 
sachliche und nicht etymologische Bestimmungen repräsentiren. Uebri- 
gens sind die betreffenden Formeln nur fOr Winkelargumente des 
ersten Quadranten bewiesen und ein ähnlicher Mangel ist an dem 
Beweise deq'enigen Formeln zu rügen, welche die Winkelpaare a und 
90" + K, R und 180" — a, a nnd — a betreffen. 

In welcher Weise die Bestimmungen , welche einen nnd den- 
selben Satz ansmaohen, auseinandergerissen sind, mCge nur ein Bei- 
spiel zeigen. Der Satz von den supplementären Winkeln wird, wie 
folgt, ausgedrückt: Wenn sich zwei Winkel zu 180" ergänzen, so 
sind die trigonometrischen Functionen — mlisste richtiger heissen 
, je zwei gleichnamige trigonometrische Functionen" — ■ dieser Winkel 
dem absoluten Werthe nach gleich. Dann kommen die betreffenden 
Formeln mit Beweisznbehör nnd hinterher die Notiz: der sin und 
die coaec stimmen also auch dem Vorzeichen nach ttberein. 

Unter den mit dem Additionsprobleme zusammenhängenden 
Formeln fehlen die wichtigen, so hänfig angewandten Formeln 

Zeituhr. f. n»lb. n. nittnnr, I.'iiten. V, 10 



,ti7rJt,G00glc 



142 LitetMJBcte Berichte. 

l+cosa = 2cosi(t*, 1 — cosa = 2sin-itt*, sowie c 
1 + sin « und 1 — smu. 

Desgleichen sind von demjenigen Formelsystem, welclies den ra- 
tionalen Ausdruck der Functionen eines Winkels durch die Tangente 
desselben- Winkels zeigt, gerade die bemerkenawertbest«n Formeln 
Itir sin u und cos a nicht aufgenommen. Der höchst. Überflüssige 
§ 32, welcher die Formeln des vorhergehenden § in etwas verän- 
derter Form reproducirt, hStt« durch Auinahme dieses Formelsystems 
passende Verwendung gefunden. 

Bei Gelegenheit der Bestimmung von Fnnctianea specieller 
Winkel ffillt die Breite der Darstellung recht unangenehm auf. 
Nachdem nämlich auf Seite 29 und 30 die Fanctionen von 30* 
ausfuhrlich ermittelt sind und dabei angegeben ist, dass und warum 
damit auch diejenigen von 60" gefunden seien, wird auf Seite 31 
die Berechnung der letzteren noch besonders ausgeführt und jene 
Bemerkung, dass aie bereits gefunden seien, fest wörtlich wieder- 
holt! Ferner wird sin l" aus sin 3" vermöge einer cnbischen Glei- 
chung berechnet. Jede cubische Gleichung hat aber bekanntlich drei 
Wurzeln: warum gerade die eine Wurzel, welche berechnet ist, sin 
l'' darstelle, ist nicht gesagt. 

Wie es mit der Logik des Herrn Verfassers steht, zeigen be- 
sonders die §§ 52, 56 und 59, auf welche er in der Vorrede als 
anf eine Errungenschaft seiner Methodik hinwies. Der letztere § 
wenigstens möge hier unverkümmert reproducirt nnd kvirz besprochen 
werden ; 

„Das schiefwinklige Dreieck ist durch drei von einander unab- 
hängige Bestandtheile bestimmt, aSmlicb durch 
IJ 1 Seite und 2 Winkel, 

2) 2 Seiten und 1 Winkel, 

3) 3 Seiten. 

Daher müssen die Gleichungen für das schiefwinklige Dreieck 
vier Bestandtheile enthalten (drei gegebene und einen unbekannten 
Bestandtbeil). 

Nun können wir zu 

1) nur noch eine Seite, 

2) eine Seite oder einen Winkel, 

3) nur noch einen Winkel 

hinzunehmen; folglich gibt es für das schiefwinkhge Dreieck nur 

zwei Hauptgleichnngen, nämlich: 

aj eine Gleichung zwischen zwei Seiten und zwei Winkeln, 

b) eine Gleichung zwischen drei Seiten und einem Winkel." 

Zunächst fällt hier auf, dass Seiten und Winkel Bestandtheile 

des Dreieckes genannt werden. Der übliche Ausdruck „Dreiecks- 

stücke" ist freilich auch nicht eben glücklich gewählt, aber er ist 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literaxuche Berichte. 143 

durch den Gebrauch aanctionirt und ea ist nicht einzusehen, warum 
die Anzahl schiefer Wortbezeichuungen ohne Noth Termehrt werden 
soll. Wenn hiervon abgesehen wird, bo iet die allgemeine Aufgabe, 
um welche es sich handelt, doch gewiss nur ao zu fonnuliren: Ans 
dreien von einander unabhängigen DreieckaatUcken die Übrigen zu 
finden. Wie man sich hierbei auch drehen und wenden mSge, In 
allen Fällen sind drei unbekannte vorhanden und zwischen denselben 
drei Bestimmungsgleichungen aufeustellen. Der Herr Verfesser spricht 
von Hauplgleichungen und ala solche kann man sehr wohl die beiden, 
welche er anführt ■ — - Sinuasatz und (trigonometrischer) Pythagoreer — 
gelten laasen: aber der dritte und einfachste, die bekannte Winkel- 
relation 

« + ? + r-i80«, 

bleibt schlechthin unentbehrlich. Keine einzige Aufgabe kann ohne 
dieselben zu Ende geführt werden und die Praxis dea Herrn Ver- 
&saera in diesem Punkte ist besser ala seine Theorie, 

Kunmehr folgt der Sinussatz ohne die Beziehung, welche die 
TerhSltnisse a : sin u^ h : sin ^ und c: sai y zum Badius des umge- 
schriebenen Kreises haben. Naturgemäss erwartet man darauf die 
Hauptaufgaben, welche die LSsung diirch den Sinuasatz gestatten. 
Statt desaen wird die Aufgabe behandelt, ein Dreieck aus seinem 
umfange und den Winkeln zu berechnen. Hierbei wird die Formel 

sin .,4 + sin B + ain C = 4 cos ^ J cos ^ B cos i- C, 
welche bereits S. 26 in der Form 

sin »» + sin M + sin r ^ 4 cos ^ »» cos ^ « cos ^ r 
bewiesen worden ist, noch einmal mit grösster ÜmstSndliohkeit her- 
geleitet. Repetitio est mater studiorum scheint 3er Wahlspruch des 
Herrn Terfassera an dieser, wie an vielen anderen Stellen zu sein, 
eine Maxime, die gewiss den Schülern gegenüber gröaste Beachtung 
hat, aber in einem Lehrbuche ohne Berechtigung sein dürfte. In 
einem zweiten § wird dann dieselbe Aufgabe noch einmal geometrisch- 
trigonometrisch behandelt, aber die Beductiou bezieht sich sonder- 
barer Weise nicht auf die Figur, welche durdi die angemessene 
Construction des Umfanges sich ergibt, sondern auf eine andere 
Figur, in welcher nur die Summe zweier Seiten construirt iat. Der 
Beweis des trigonometrischen Pytbagoreers acbliesst sich an und die 
Fundamentalauigabe, ein Dreieck aus zwei Seiten und dem einge- 
schlosseneu Winkel zu bestimmen, wird angekündigt. Die Auflösung 
derselben mit Hfllfe dea vorausgegangenen Satzes wird auch ange- 
deutet, aber nicht ausge&hrt. Unter dem Titel einer ersten Anf- 
ISanng werden aodann die beiden Mollweideschen Gleichungen geo- 
metrisch entwickelt und wird der Tangentielsatz durch Division der- 
selben erhalten. Als zweite AuäSsung wird endlich die analytische 
Deduction des Tangentialaatzea aus dem Sinuaaatz bezeichnet — aber 
weder die erste noch die zweite sogenannte Aufißsung enthält auch 



,ti7rJt,G00glc 



144 Literarische Berichte. 

nur eine einzige Andeuttmg, wie die betreffenden Sätze behufs 
Lösung der voraugestellten Aufgabe zu verwenden sind. Ueber allen 
Einschiebsebi hat der Herr Yer&sBer die ihn orsprünglich vorBchwe- 
bende Aufgabe völlig vergessen nnd deht mit Befriedigung das Be- 
sümä: „Mit HUlfe der UI:äigen Gleiohnngen kann man aus je drei 
unabhängigen BeBtandtbeilen des schiefwinkligen Dreiecka die Übrigen 
BeBtandtheile berechnen, wozu wir jetzt übergeben wollen." 

Die Entdeckung von den zweien Hauptgleichungen, mit denen 
man in der Trigonometrie ausreiche, erscheint hierdurch modificirt, 
zwar nicht durch Berücksichtigiing der bekannten Winkelrelation, 
aber doch durch Einfügung des Tangentialsatzes und der beiden 
Mollweideschen Gleichungen in den aufgestellten Formen. Letztere 
passen allerdings nicht recht in denselben hinein, da sie Beziehungen 
zwischen allen drei Seiten und zwei Winkeln ausdrücken. Aber eine 
Inconsequenz, welche die Rückkehr zu gesunden Principien darstellt, 
darf nicht bemängelt werden — es müsste denn sein, diese Inconse- 
quenz wiese sich als ein leerer Schein aus und leider ist ea so. 
Offenbar haben nämlicb die Mollweideschen Gleichungen nur eine 
Stelle gefunden um zu dem Tangentialsatz tlberznleitenj denn von 
den zahlreichen praktiBcheu Verwendungen, welche dieselben znlassen, 
finden sich im ganzen Werke nui- zwei (S. 69 Aufg. 13 und Anfg. 15) 
vor, gerade die wichtigste aber, welche sich auf die Aufiösung der 
Fundamentalanfgabe bezieht, ein Dreieck ans zwei Seiten und dem 
eingeschlosseneu Winkel zu berechnen, ist nicht einmal erwKhnt 
worden. 

In der Anmerkung zu S. 45 wird die Gleichung 

betrachtet und die Eigenschaft des unter dem Wurzelzeichen befind- 
lichen Bruches ein achter zu sein daraus erschlossen, dass er weder 
noch grösser als 1 sein könne, indem in dem einen Falle c ^ 
a -\- b und in dem anderen c imaginär sein müsste. Wie kann ein 
geachulter Mathematiker von den Eigenschaften der zu findenden 
Grösse auf die Eigenschaften bekannter Grössen schliessen? Aller- 
dings folgt der richtige Beweis, der sich lediglich auf die Form des 
untersuchten Bruches stützt — aber dadurch wird die vorherige Un- 
gereimtheit nicht gerechtfertigt. 

Die Berechnung von tg i «, tg ^ ^, tg J y aus den drei Seiten 
ist entschieden vortheilhafter als die Berechnung von sin ^ tt, sin | ß, 
sin i^ y oder coa \ a, cos i (3, cos 4 J" — S- 49 wird sie als ebenso 
geeignet wie diese bezeichnet und auch sonst wird die Erspamiss 
an Rechenoperationen nicht ins Auge ge&sst 

Bei Behandlung der Fundamentalaufgaben wenigstens hätten 
sämmtliche unbekannte Stücke vermöge der bekannten Stücke in 
directer Weise ausgedrückt werden sollen — soweit als es irgend 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literatiache Bericht«. 145 

thunlich war ohne überhaupt auf die numerische Berechnung zu ver- 
zichten, ist es anterblieben. 

Der Berechnung von Drei eck Brächen, mit welcher der tbeo- 
retiache Theil schlieest, werden 5^ Seiten gewidmet und dabei fehlt 
aoeb die wichtige, wenn man will, allerdings nur der Planimetrie 
angehötige Formel: 

A-y-,(»-,) (,-!,) (,-.). 

Die dem Werke heigegebene und nach der Vorrede vollständige 
Sammlung von Aufgaben mit ihren LSsungen ist nach der treff- 
lichen Beidt'schen Sammlnng im Bachhandel erschienen. Nach solcher 
Vorarbeit bat etwas UittebnSssiges schlechthin keine Berechtigung 
sich hervorzuwagen — hier aber liegt nicht eiimial MittelmHssiges, 
hier liegt ein leichtfertig und principlos zusammengestelltes Conglo- 
merat von Aufgaben vor. Unter den nur 80 Nummern derselben 
finden eich zimSchst nicht weniger als 14 Aufgaben doppelt, drei 
von diesen sogar dreimal. Es stimmen n&mlich ganz Überein in 
§ 99 die Aufgabe 2 mit 1, in § 100 No. 15 mit 17, 16 mit 18 
und 19, 10 mit 35, 14 mit 40, 27 mit 44, 41 mit 47, 25 mit 
48, 21 mit 66 und 57, 51 mit 52. Femer ist § 99 No. 4 be- 
reits früher als § 94 No. 6 aufgelöst, wobei sogar dasselbe Zahlen- 
beispiel auegereohnet worden, was von dem Herrn Verfasser schwer- 
lich Übersehen ist, da er beim zweiten Mal die sonst beigefügten 
Resultate wegläsat. Sachlich identisch imd nur mit verschiedenen 
Auflösungen versehen sind § 100 No. 9 imd 31, § 90 No. 4 und 
§ 96 No. 7. Das Gleiche gilt von § 100 No. II, 49 und 62. 
Von den somit noch übrigbleibenden verschiedenen, wenn auch oft 
einander sehr verwandten 64 Aufgaben ist eine (§ 100 No. 20 die 
Fläche eines gleichseitigen Dreieckes aus dessen Seite zu berechnen) 
Überhaupt keine trigonometrische, auch 24, 45, 49 und 50 enthalten 
rein plnnimetriscbe Lehrsätze oder Formeln, die allerdings auch auf 
trigonometrischem Wege ableitbar sind, von denen jedoch der Herr 
Verfasser selbst No, 49 und 50 ohne jede Anwendung der Trigono- 
metrie beweist. Sieht man auch noch von den Aufgaben § 99 
No. 1, 3, 4 und § 100 No. 22 ab, welche Beispiele zu Fundamen- 
talanfgaben enthalten, so bleiben nur 54 von 80 Aufgaben übrig. 
Diese gehören mit nur sehr wenigen Ausnahmen einem einzigen 
Gebiete an, nämlich der Berechnung von Dreiecken aus mittelbaren 
Bestünmungsstücken und sind theilweise nur unwesentlich von ein- 
ander abweichend (g 86 und 88, § 100 No. 3 und 4 und andere 
mehr). Dabei sind diese Aufgaben ohne jede specielle Beziehung 
auf die einzelnen Abschnitte des Lehrbuches in grösster Unordnung 
zusanunengesteUt. Kiufache und zusammengesetzte, leicht« und 
schwere Auf^ben bald mit, bald ohne Auflösungen (in letzterem 
Falle sind die Besultate angegeben) sind ohne jedes Frincip bunt 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



146 Literamche Berichte. 

dnrcheinaiider gewürfelt und selbst der einzige Versuch einer Aa- 
ordnang, die Unterscheidung von Aufgaben über rechtwinklige 
und solcher Über achiefwinlilige Dreiecke, ist nicht streng dureh- 
gefOhrt, denn die Aufgaben 55, 59 und 60 der letzteren Bnbrik 
erfordern nur die Anwendung rechtwinkliger oder gleichschenkliger 



Vorstehende Kritik ist streng*), aber sie enthält nor einen 
Theil der za rügenden Punktei im Grunde genommen ist das Werk 
der eingehenden Durchsicht, welches dieselbe erfordert hat, gar 
nicht werth. Wie lange werden noch solche literarische Prodnc- 
tionen das Miasma ihrer seichten Oberflächlichkeit auf unseren Schulen 
. verbreiten? 

Dr. Schwarz, 



Wbknioke, Ad. (KCnigl. Gewerbschuldirector zu öleiwitz). Lehr- 
buch der Mechanik in elementarer Darstellung. In 
2 Theilen. I. Tbeil. Mechanik fester Körper. Mit 405 in 

den Test eingedruckten Holzstichen. Zweite verbesserte 
und vermehrte Auflage. BraunHchweig, Verlag von Fried. 
Vieweg u. Sohn 1871. 

Nach der Vorrede ist die Veranlassung zur Ablassung obigen 
Werkes das vom Verfasser in seinem Amte gefllhlte Bedürfhiss 
nach einem Mittel die Zeitverschwendung zu vermeiden, welche das 
Nachschreiben des Vortrags und das Dictiren der üebnngsaufgaben 
nöthig macht, war femer sein Regulativ die Summe der Ansprüche, 
welche das Minis teria]-Ee Script vom 15. Juni 1850 an die Vorbe- 
reitung zu einer gewerblichen Laufbahn und zum Besuche einer 
höheren polytechnischen Anstalt knüpft, und ist die Ausfahrung des 
Buches eine mathematische. Der Verfasser bemerkt in der Vorrede: 
„Um das Buch für den Schulgebrauch geeignet zu machen, habe ich 
das, was sich für den Vortrag in der Classe eignet, und das, was 



*) Wir Bind dem Herrn Bef. für seine unparteiliche schonungsloae 
Strenge dankbar. Wir liatt«ii das Buch erst von einem andern Beferenten 
besprechen lassen, der, es ebenfalls so Bcharf verurtb eilend, seine Be- 
cension später zurQ-ckzcK, weil er es einer Beiirtbeilung in dieser Zeit- 
schriffc für unwürdig hielt.' Wir halten es ^jedoch für unsere Pflicit, 
auch solche Werke, vor denen zu warnen let, in diesem Organe xar 
Sprache zu bringen. Denn es ist wirklich recht nothwendig, daaa bei 
der täglich sich mehrenden Bflchermasse die Spreu vom Weizen ge- 
sichtet und jedes neue Lehrmittel auf dem Gebiete unseres Unterriehts- 
feldes nach seinem Werthe scharf beurtheilt werdg, damit die Anfänger 
im Lehramte nicht getäuscht werden und die wissenschaftlich heranzubil- 
dende Jugend mit solchen Hilfsmitteln nicht Zeit und Kraft vergeude. — 

D. Bed. 



it,Googlc 



Litei&tiBclie Berichte. 147 

zu bSnalichen Arbeiten fUr die Schüler benutzt werden kann, tob 
einaJider getrennt, so daas hiemach jede Äbtheiliug in einen theo- 
retiBchen und praktiachen Theil zerfallt." 

Um das Werk mit Bücksicht auf den mir verstatteten knappen 
Baum hinreichend charakteriairt zu haben, brauche ich dem Obigen 
nur noch Fönendes hinzuzufügen; „Wenn man wie auf Bealschulen 
I. 0. die Hechanik weaentlich als Mittet für formale Bildung be- 
treibt, eo ist wissenschaftliche Concentration, Strenge des Ausdrucks 
und behutsame Kritik der Hypothesen nnd dessen, was man vom 
Resultate verlangen kann, . wohl mehr wOnacbenswerth als Fülle im 
Einzelnen." Ich möchte für diesen Zweck den Verfasser auf das 
Buffsche Werk*) — die Vorrede nicht zu übergehn — aufinerkaam 
machen**). — Was die Kritik anlangt, erlaub' ich mir auf folgende 
Beispiele hinzuweiaen: 

Dass die Theorie vom stehenden Anti&ictionszapfen nicht 
genau ist, machen Fglle von Erhitzung und Verschweissnog der 
Zapfen und Lager, welche durch den Gang erzeugt wurden, walir- 
Bcheinlich. Bie Voraussetzung von der gleichförmigen Vertheilung 
dea Drucks, nber die Horizontalprojection ist voreilig gemacht. Die 
Vertheilung iat abhängig von der ElasticitSt der Dichtigkeitsände- 
rung des an den berührenden Fl&chen befindhchen Stoffs, also u. a. 
auch von der Form dieser Flächen. Femer ist die zur Abreibung 
der Fläcfaentheile aufgewandte Arbeit abhängig von der Feinheit 
der zerriebenen Theile, also nicht Überall einfach proportional der 
Tiefe der Abnutzung. 

Bei der Abhandlung über rollende Reibung (besser; Rollwider- 
stand) ist die Eippkante in die Höhe der noch unveränderten Ober- 
flache (Fig. 222, S. 283) statt in den völlig niedergewalzten Theil 
gelegt. Der Widerstand in homogener Unterlage besteht im Ab- 
seheeren, Vorhers ohieben und Zusammendrücken eines TheileB der- 
selben und Vertheilung lebendiger Kraft an kleine Theile (Natur- 
forscher V, 5 „Wärmeentw. beim Ausz. von Kautschuk"), wovon das 
abzurechnen ist, was die Unterlage durch annähernde Wiederher- 
stellung ihrer früheren Form hinter dem Rade wieder hergibt. 

In der Theorie der Abscheerung S. 374 wäi'e zu bemerken ge- 
wesen, dass die Spannung von den äussersten noch ungerissenen 
Flachen nach innen abnimmt, so daas bei beträchtlichen Dicken ab- 
zuscheerender Stücke der Widerstand (ich rede von passiver Kraft, 
nicht von deren Arbeit), merklich schwächer wächst als die Dicke: 



•) Recena. Jahi^. IV (1873) S. 153—168. Heft 2. D. Red. 

**) Es ist gut.^dass der Lernende die Formeln für Werkzeuge — 
und zwar in ungeschickter Sand geföhrlicbe — balte, nur für Transfor- 
mationen der Vorauasetiungen und nicht für Orakel und unfehlbare Uni- 
veriwjmittel, deren es keine gehen kann. D. Ref. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



148 Literarische Beriolite. 

Beweis iat Form der Absehe erungaflächea. Die Fig. (319) iat-ver- 
seichnet, iadem der Biegungahebelarm („1") falscli aufgeiaast ist. 

In der Theorie der Blaaticitfit hätte bemerkt werden können, 
dasB die Körper an der Oberfläche andere (dichter) zu seiu pflegen 
als im Innern infolge von Capillarität und Behandlung (Drähte und 
Stäbe), daas die Beanspruchung von der Oberfläche auszugehn und 
nicht rein einem von den theoretdBch unterschiedenen Grenzüillen 
zuzugehören pflegt, dass femer das Elasticitätegesetz für Zug und 
Druck nur eine erste Annäherung ist und eine Grenze Beiner Brauch- 
barkeit nur noch fUi die aog. permanenten Ga^e fehlt. Bei den aus 
der Biegungstheorie angeführten Formeln wäre darauf aufinerkaam 
zu machen geweaen, dass man bei ihrer Herstellung einen un- 
bequemen IKviaor (-l/(l + f;^)) ) vernachlässigt hat, wodurch 

ihre Brauchbarkeit auf sehr geringe Verbiegungen beschränkt wird, 
was dem Techniker allerdings genügt. 

Die Zerknickung stellt Hr. Dr. Wemicke S. 410 wie gebräuch- 
lich statisch dar und gibt die unter Benutzung der obigen Annähe- 
rungen gefundene, bislang wohl noch nicht abgelöate Formel. Dazu 
bemerkt er dann : 

„In dem erhaltenen Wertbe filr die Zerknick angskraft P ist 
die grösste Durchbiegung S nicht enthalten, so dass also bei jeder 
beliebigen Durchbiegung die Belastung P das Zerknicken des Körpers 
veranlassen mttsste. Ausserdem bleibt es auch unerklärlich, wie sich 
der Körper verhalten wird, wenn man auf ihn eine kleinere oder 
grössere Kraft einwirken ISsat.' Es ist dies als ein Mangel...," 

In dieser Bemerkung sind verschiedene Ungerechtigkeiten gegen 
das betreffende Resultat enthalten. Wäre es, wie der Ter&sser still- 
schweigend voraussetzt, unbedingt gültig, so liesse es auf die Frage 
nach dem Verhalten des Körpers unter Einwirkung grösserer oder 
kleinerer Kräfte die Antwort nicht vermisBen, denn P soll ja die- 
jenige Kraft aein, welche dem Spannungsmomente das Gleichgewicht 
hält. Die Anwendung der Zerknickungsformel unterliegt aber den- 
selben Beschränkungen wie die der Formeln für Biegung. Dass das 
Spannungsmoment anfänglich stärker wächat als die grösste Durch- 
biegung, lehrt uns der mit fortachreitender Biegung des Bogens 
steigende Ton der Sehne. Ausser jenen mangelhaften Voraussetzun- 
gen ist hier aber auch noch die gemacht, die Belastung sei so ver- 
theilt, dass sie durch eine Einzelkraft ersetzt werden könne, deren 
mcbtungslinie die Schwerpunkte sSmmtlicher Querschnitte enthalte 
und auch nach der Verbiegung noch im Schwerpunkt des Endqner- 
schnitts angreife. Der Hauptmangel aber ist, daas auf die Veran- 
lassung der Verbiegung keine Bücksicht genommen iat. Diese ist 
eine Erschütterung. Es musa also die maximale Spannung bestimmt 
werden, welche erreicht wird, bis die Arbeit der Elasticitttt gleich 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



IJiterariBche Berichte. 149 

wird der Samme ans der mechanischen Arbeit der durch die Bie- 
gung sinkenden Last und der lebendigen Kraft des Stosaes. Diese 
Bpannnng Wäre mit der Elaaticitätsgrenze za vergleichen. — Ein 
Glück ftr die Brauchbarkeit der gewöhnlichen Formeln ist, dMS sie 
— al^esehen von derbem Stössen — grössere Dimenaionen verlan- 
gen mtlBsen als die wahre Formel. 

Ich moBS noch bemerken, daes ich Verschiedenes, was mir nicht 
gefällt in dem lefeten Werke, nicht apeciell dem Verfasser vorwerfen 
darf, denn er scheint nur ein Bild von dem jetzigen Stande der tech- 
nischen Glementarmechanik gehen zu wollen, 

Ffir die Änsstattung beider Werke bflrgt der Name des Ver- 
legers. Die Illustrationen sind vottrefflich. Sehr zu loben ist die 
Vereinigung des abstract theoretischen Liniengerippes mit der leben- 
digen Bekleidung der concreten Anwendung. 

Altona. Dr. G. H, Funcke. 



Mahenzi, Markgraf Fbanz. Fragmente über Geologie oder 
die Einatnrzhjpothese. 5. sehr vermehrte Auflage. 
1. Theil. Trieat 1872. 8. 8. 188. 4 Thlr. 

Getreu meinem Grundsätze, die Vorrede eines Buches vor deasen 
Hauptinhalte kennen z» lernen, durchlas ich zuerst die vorhandenen 
5 Vorworte, aus welchen ich ersah, dasB der Ver&sser sich als „so- 
genannten Laien," „dem die bisherige geologische Literatur weder 
eine Zwangsjacke, noch eine Bleikammer sein darf," Aaa Detail dei' 
Wissenschaft aber ala „ermüdend und keineswegs nothweudig" be- 
zeichnet, dass er Angriffe wegen seiner Fragmente erfahren, welche 
aber fOr selbe „so wirksame Reclame" gemacht, dass er Zuschriften 
„von Persönlichkeiten eines bedeutend socialen nnd wissenschaftlichen 
Gewichtes" erhielt, die ihm „zugleich die sehr schmeichelhafte üeber- 
zeugung gaben, dass die Fn^^ent« für eine ausserordentliche Zahl 
hochgebildeter Männer eine ganz willkommene Gabe seien" und dass 
er ein Gegner der „blendenden nnd ttberzeugungsbaren Lehren Dar- 
' wins" sei, der sich veranlasst fohlt, „eine bezügliche Klärung der 
Begriffe" zu bieten. 

Ich gestehe, dass ich mit Erwartung an die Leetüre des mir 
von der Bedaction zur Besprechung zugesandten Buches ging, da der 
Verfasser in überaus selbstbewusster und siegesgewisaer Sprache sich 
gleich im Anfange gegen die Geologie der Gegenwart wendet. Wer 
diese auch nur ein wenig kennen gelernt hat, weise ja, dass in ihr 
wie in jeder anderen Er&ihrungswissenschaft es noch mancherlei 
Lücken, mancherlei Streitpunkte, mancherlei noch nicht genug durch 
Thatsachen unterstützte Hypothesen u. s. w. gibt, er wird aber zu- 
gleich anerkennen, dass eine grosse Beihe intelligenter, ja genialer 
Htinuer in überaus kurzer Zeit wahrhaft Grossartiges leisteten, das in 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



150 Liteiariaohe Berichte. 

seiner weiteren Vervollkomminuig mit der weiteren Ausbildung der 
HilfswisBenschafteu der Geologie stetig Schritt hält. Darum muaa 
man einem Manne entgegentreten, der in höchst verSchtUcher 
Weise sich über diese Wissenschaft auf ihrem jetzigen Standpunkte 
ausspricht, ohne etwas Besseres bieten zu kömien; denn was er uns 
reicht, ist so schwach, so laienhaft, so unsinnig, dass wir dnrchans 
keine Veranlassung finden kSnnen, die Nachsicht und Milde im ür- 
theil walten zu lassen, die er wünscht 

Was kann man auch von einem Manne anderes verlangen, der 
da (S. 21) behauptet, dass die Theorieen der Land- und Gebirgser- 
hebnngen, der Leitmuschel, der Eiszeit, der Beactionskraft des Erd- 
innem gegen die Oberfläche u, s. w. „schon lange abgenützt, ver- 
altet und ganz ungerechtfertigt" seien, dass chemisches, mineralogisches 
und paläontologisches Detail „unwesentlich" sei und der im Stande 
ist, folgenden Satz niederzuschreiben: „Diese Thatsachen sind um so 
empfindlicher, als die Geologie ihrer Natur nach mit wichtigen so- 
cialen und religiösen Fragen in engstem Verbände steht, und diese 
nur wirre beantwortet werden können, so lange die Wissenschaft 
selbst in principiellen IrrthUmem, und in einer blos nebelhaften Be- 
grenzung ihres Bereiches befangen ist?" Wenn der Verlasser glaubt, 
mit seinen Blättern die Geologie, die sich nach seiner Meinung bis- 
her nur zu oft in der Beobachtung täuschte, leichtfertig im Urtheile 
war und mit Unwahrheiten in der Darstellung das morsche und be- 
queme Alte au stützen versuchte, in andere Bahnen zu bringen, so 
ist er in einem recht grossen Wahne begrifi^en. 

Ich halte es nicht für die Aufgabe dieser Zeitschrift, auf alle 
schwachen, unlogischen und naturwidrigen Sätze einzugehen, da deren 
soviel sind, dass eine eingehende Widerlegung den Baum sänunüicher 
Hefte eines Jahrgangs einnehmen würde, ich beschranke mich nur 
darauf, den verehrten CoUegen einige Stellen mitzutheilen, über die 
sie sich selbst ein ürtheil bilden mögen. 

Nachdem der Verfasser sich gegen den Werth der Leitmuscheln 
erklärt hat, sagt er S. 29; „Dass bis jetzt nicht einmal Hoffnung i^ 
eine zukünftige Auffindung einer Älterskette der Petrefacten vor- 
handen sei" und S. 32: „Sind nun schon diese weniger . ülgemeinen 
Bemerkungen fUr jeden Unbe&ugenen genügend, um alle bisherigen 
geologischen Hypothesen, welche auf der Lehre einer Alterskette 
der Petrefacten begründet waren, als im höchsten Grade gewagt und 
ganz unerlässlich erscheinen zu lassen, ao sind noch andere beson- 
dere Verhältnisse in der WisHenschaft vorhanden, durch welche die 
gänzliche TJnhaltbarkeit der jetzigen geologischen Systeme erwiesen, 
und namentlich die Eintheilnug der Gebilde nach den angenommenen 
Alters-Formationen gänzlich verworfen wird." Und worin liegen diese 
Verhältnisse? fragt man. Darin, dass die Petrefactenknnde wahr- 
genommen, „dass das Material, ans welchem die Versteinerungen 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



1 



Literarisehe Berichte. 151 

bestehen, keinen Maasstab fUr deren Älter abgeben können." Hier- 
bei sei dem Verfasser gesagt, dasB man nicht achreiben darf: „Dieses 
Beisammenliegen so verscbiedener Species der gleichen Art" (8.31.), 
weil Species und Art ein und dasselbe sind und verschieden und 
gleich sich durchaus -nicht decken, und dass als LeitfoBsilien nicht 
üattungen, sondern Species angenommen werden. (S. 32.) 

S. 33 behauptet der Verfosser, dass die Annahme von „grossen 
und allgemeinen Zerstörungs- und Nenbildungs-Eatastrophen gegen- 
wärtig noch mit Torliebe festgehalten" 'vrerde. Er scheint gar nicht 
zu wissen, welche Anschauungen seit Lyell in der geologischen Welt 
g&ag und gäbe sind und erdreistet sich doch, dergleichen Dinge in 
die Welt zu senden. 

Ganz besonders erbittert ist der Terfesser über die Annahme 
einer Eiszeit und dass man die erratischen Blöcke mit Gletschern 
in Verbindung bringe; S. 60 erklärt er alle Gletseherschliffe, „selbst 
wenn solche in grossen Höhen sich befinden," fUr Wasaersehliffe 
einstiger Ströme und S. 63 die Erhaltung von Schliffen aus der 
Eisperiode als geologisch und physikalisch unmöglich. In welche 
Widereprttche er sich dabei stürzt, wird für jeden leicht ersicht- 
lich sein. 

Eine solche Kohlenbildnngstheorie, wie sie der Ver&sser bietet, 
ist wahrhaft rOhrend kindlich. Es sollen die verschiedenen Kohlen- 
Sötze nur durch Abwärtsbewegungen entstanden sein; „denn keine 
Hebung vermag Seen von Sösswaaser in solche von Meorwasser um- 
zuwandeln." 8. 132. „Es muaste bei der oftmaligen Wiederholung 
dieser Bewegungen bald trocknes Land unter das Ueeresniveau sin- 
ken, bald aber das Meer seinen Wasserspiegel senken und solcher- 
weise Meeresgründe trocken legen." Der ümwandlungsprocess der 
vegetabilischen Substanzen in mineraUsche ist durch im tiefen Innern 
der Erde vorhandene und in alle Spalten, Elflfte und Hohlräume 
gedrängte heisse Luft entstanden. — Was wollen dagegen die Ex- 
perimente Göpperts sagen? * 

Auch ein sehr schwaches Cspitel gegen den Darwinismus, wel- 
cher nach dem Verfasser gar keine reelle Grundlage hat und den 
menschlichen Geist unausweichlich im Unglauben und dem sich 
hieraus ergebenden Aberglauben verwildem lassen muss, enthält das 
Buch. 

Der Kernpunkt ist aber die dem Ver&sser jedenlalls allein an- 
gehörige Einsturztbeorie. Nach ihr sind schon bei der Erkaltung 
der Erdrinde grosse innere Trennungen der einzelnen Schichten von 
einander entstanden. Die überlagernden Schichten vermochten sich 
jedoch nicht zu erhalten und senkten sich deshalb entweder allmäh- 
lich oder stürzten sich plötzlich auf die unteren. In der vorhisto- 
rischen Zeit waren diese Einstürze viel häufiger und gröastentheils 
Katastrophen, welche sieh über Strecken von 50 — 60 und mehr 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



153 Literarische Berichte. 

Meilen ausdehnten. Hierdurch allein erMären doh die Erscheinung 
langer Reihen von Vulkanen und ihr Vorkommen in der Nahe tiefer 
Meeresgründe, die langen ZOge und die Iifin£gen Parallelzäge der 
Gebirge, die Linien der Flnsslänfe, das Hervorragen gewaltiger ße- 
birge in der Nähe von Meeren, die groaaen Beiden der Kohlen und 
der Salze u. s. w. Das ganze MarmMa-Meer, die Meerbusen von 
Lyon, von Genua, die ganze Westküste Südamerikas können durch 
einen Einsturz, der Golf von Mexico durch zwei, das caraibische Meer 
durch drei oder vier Einstürze gebildet sein. Alle Gebirge aller 
Welttheile, die Sandwüsten Asiens und Afrikas u. s. w. sind nicht 
durch Hebung, sondern durch Einsturz der anliegenden Festbildungen 
enstanden; ja selbst den thätlgen Vulkanen kann keine eigene Bil-' 
dungskraft zugeschrieben werden; sie sind nur durch die natnrge- 
mäasen Wirkungen von Einsturzbewegungen zu erklären. Die Biesen 
unserer Alpenwelt sind keine £mpordringliuge jüngerer geologischer 
Tage, sondern die klüftigen Beste ältester Generationen unserer 
Mutter Erde. Der Zug gllütender Luft über Lager brennbarer Stoffe 
wie Bergöl, Naphta, Erdpech, Eohlen, Schwefel muss feurige Er- 
scheinungen hervorrufen. Ist die durch - Einstürfe hervorgerufene 
Erderschütterung dabei zu schwach, so werden nur vulkanische 
Ausbrüche stattfinden, im andern Falle aber neben diesen Erd- 
beben. 

Doch genng hiervon. Mein offenes Schlussurtheil geht dabin, 
dass der Ver&sser recht belesen ist, dass ihm aber eine solide 
wissenschaftliche Grundlage und besonders die Fähigkeit, logisch zu 
denken und die geologischen Tbatsachen richtig au&ufiissen, ab- 
geben. Er ist von einer Idee voreingenommen und zwingt, wie die 
Glieder der naturphilosophischeu Schule, die Erscheinungen, dieser 
sich zu fügen, leb muss den Kern des Buches als falsch und zu 
oberflächlich begründet bezeichnen. 

Dresden. H, Engelkikdt. 



GRASSUAim, R. Die Erdgeschichte oder Geologie. Stettin 
1873. 8. S. 273. Zweiter Theil von; Die Weltwissen- 
Ecbaften oder Physik. 

Referent bat keine Mühe gescheut, dieses neue geolo^sche 
Buch Borgföltig durchzulesen, um ein selbständiges Urtheil über das- 
selbe gewinnen zu können. Wollte derselbe aber alles das erwähnen, 
was ihm als Gutes oder nach seiner Meinung Schwaches auige&llen, 
so würde er die Schranken, die ihm diese Zeitschrift auferlegt, bei 
Weitem überschreiten, weshalb er sich auf eine allgemeine Charakteristik 
beschränken zu müssen glaubt. 

Das Werk Graesmanns bietet manches SchSne tmd zeugt von 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Berichte. 153 

nicht wegznlengnendein Fleiss, zeigt uns aber auch Mancherlei, was 
gewiss von Seiten der meisten jetzt lebenden Geologen bekämpft 
werden dürfte. 

Die 1. Eigenthümlichkeit, auf welche der Yeriasaer im Vorwort 
selbst aufmerksam macht, zeigt sich in dem Bemühen, mögliehst alle 
Fremdwörter zn beseitigen, was In einer Wissenschaft, die Weltwissens- 
chafl: sein soll, gewiss uidit am Orte ist. Referent glaubt, dass es ihm 
damit wie Oken und Volger ergehen wird. Viel&ch erscheint der 
dentsche TSame als ein erzwungener. (Z. B. statt Atom — " Korb; 
statt Prodnct — Zeug; statt Heteoreisen — Himmelsseifen; statt 
Bocän — Beckenkra^; statt Miocän — Elippenkrag; statt brauner 
Jura — Nierenjura; statt weisser Jura — Dmckeijura u. s. w.) 

Die 2. Eigenthümlichkeit besteht darin, dass der Verfesser auf 
die Herleitong von Wörtern grosses Gewicht legt, wobei er selbst 
bis zum Sanskrit zurückgreift. Hierbei vermag ihm Beferent, er ge- 
- steht es ganz offen, nicht zu folgen, vielweniger Richtig- oder Un- 
richtigkeiten zu benrtheilen. Dass man aber doch wohl nicht Alles 
als baare Münze hinnehmen dürfe, scheint daraus hervorzi^ehen, 
dass z. B. Neocomien von Neo-Como am Comersee abgeleitet wird, 
während selbst in populären Schriften richtig zu lesen ist, dass ea 
mit Neocomum (Neufchatel) zusammenhängt. 

Die 3. Eigenthümlichkeit tritt aber ganz besonders hervor in 
den Berechnungen von Temperatur, Datier u. s. w. der verschiedenen 
geologischen Perioden, die, und das sei ausdrücklich hervorgehoben, 
vom Verf. nur als „erste Annäherungen, welche von der Wirklichkeit 
vielleicht nicht unbedeutend abweichen" bezeichnet werden. 

Trotzdem hält Referent dieselben für „verfrüht und unberechtigt," 
einestheils weil die Geologie noch nicht soweit gekommen ist, dass 
sie in dieser Weise sich der Mathematik als Mittel bedienen kann, 
ohne mehr oder weniger geistreiche Spielerei zu treiben, andemtheila 
weil die zum Zwecke der Ableitung der Abkühlungsgesetze der Erde 
angenommene Norm (Bischofs Versuch mit heissen Basaltkugelu) nicht 
durchaus mit den Verhältnissen der Erde während ihrer Temperatur- 
abnahme harmonirt. Sicher ist dieser Theil des Verfessers stärkste, 
aber des Buches schwächste Seite. Eine Menge Tabellen finden sich 
vor, deren Herstellung dem Verfasser jedenfalls viel Zeit und Mühe 
gekostet haben. Hier nur einige, wenig Saum fordernde Proben: 



Die Hügelzeit oder die Oranzeit (üebergangszeit) 7'0399DO JaJire. 

i }2^70060 I 1000. 1 GrundfL (Cambr. Qeb.) [ Lager. | Schwimmer. 

J a'aseSTO lOOO, Wackefl. (Dnt. ail. Geh.) Blatter. Faser. 

i 2'418480. I 1000. | Riffefl. (Ob. bü. Geb.) [ BWher. j Schwinger. 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



LiterariBobe Berichte. 





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1,6697 

3,3aas 
5 


1,8619 
3,8851 




3,0000 

1,I1IS 


2 10 
4 20 
6 20 


90 
220 
280 


4,7277 
15,7608 
28,89M 


1 
2 



Auf Heer'e Art und Weise, das Elima der TertiSrzeit zu be- 
rechnsE (8, Tertiärfl- der Schweiz Bd. IH) sei bei dieser Gelegenheit 
hingewiesen. Obgleich Referent bedauern mass, dass der Yerfaaser 
leider zuviel Fleiss auf solche undankbare Arbeit verwendet hat, so 
muss er ihm doch danken fUr die flbersichtlichen Darstellimgen von 
den chemiBcheu Analysen einer grossen Anzahl Meteorsteine, Meteor- 
silicate und Felsarten, wie örwiit, Porphyr u. s. w. 

Die PalSontologie ist zu sehr in den Hintergrund gedrfingt. 

Ein Anbang versucht, darüber zu belehren, „wie Überraschend 
der Bibelbericht trotz seiner kindlichen Sprache und Ausdrucksweise 
bis in die kleinsten Einzelheiten hinab mit den Ergebnissen 
übereinstimmt, welche eine spSte WiaBenscbaft erst mühsam aus den 
Steindenkmälem der Erdschale entziffert und festgestellt hat." 

Fast nach jedem Hauptabschnitt steht folgender oder ein ihm 
ganz ähnlicher Be&aiu: „Die Sätze dieser Nummer sind, wenn auch 
neu, Bo doch auf die besten wissenachaftlicben Untersuchungen ge- 
gründet und durchaus sicher," — welcher Refrain aber wohl 
vielfach angezweifelt werden dürfte, besonders von denen, welche 
sich nicht in allen Punkten sclaviach der physikalischen und nep- 
tnnischen Schale anschliessen. 

H. Enoblhabdt. 



Kbidie), W., Oeologische Elemente, Für Schulen und zum 
Selbstunterricht 2. Aufl. Heidelberg, Carl Winter's Univer- 
sitStshandlung. 1873. 8. 16 Ngr. 



Neidig's „Geologische Elemente" beateheu aus einer 6^" breiten 
und 4,5^" hohen Tafel, welche am Kopfe einen idealen Durchschnitt 
der Erde und unter diesem einen kurzen tabellarischen AbrisB der 
Erdgeschichte bietet. Was den ersteren anbetrifft, so ist er recht 
bUbach gezeichnet und illuminirt und nicht ein bioser Abklatsch 
schon vorhandener. Der letztere zerffillt in mehrere Abschnitte; der 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



LiterariBche Berichte. 155 

erstere charakterisirt die geolngischen Perioden,- der zweite handelt 
von den in dieaelben fallenden Eruptionen, der dritte von der £!in- 
theilung der Perioden in Systeme und Eonnationen, der vierte cha^ 
rakterieirt die Systeme nnd der letzte gibt uns Abbildungen nnd 
Namen besonders hervorragender Leitfossilien. Die Znsammenstellung 
ist sehr, übersichtlich; die bei ihr verwendeten Farben entsprechen 
genau den anf dem idealen Dorchscbuitt gebrauchten; der Text be- 
schränkt sich auf dafl Wichtigste. Ab Druckfehler ist wohl das ein- 
mal vorkommende „der Genus" anzusehen. Die Abbildungen mnssten 
leider sehr klein ansfalleu und dies verursachte bei einigen ündent- 
tichkeiten, bei einigen Unrichtigkeit; sie sind das Schwächste der 
Arbeil 

Das wohlausgestattete Ganze macht einen guten Eindruck und 
kann für solche, die das Nothdürfbigste' schnell und leicht sich in's 
OedSchtniss einprägen wollen, mit gutem Gewissen empfohlen werden. 
Pur Realschulen aber, Polytechniken n. h. w. vermögen diese „Geolo- 
gischen Elemente" einen guten Leitfaden durchaus nicht zu ersetzen; 
für solche Anstalten halt«u wir sie fUr überflüssig, da einestheils ein 
jeder solcher (vgl. Bach der Natur, Cottas Grundriss der Geognosie 
und Geologie u. a. m.) einen idealen Durchschnitt bietet, wenn auch 
gedrängter dargestellt, andemtheils wohl jede Anstalt einen wegen 
seiner Grösse beim Classenunterricht benutzbaren besitzt. Und was 
die kurze üebersicht über die Erdgeschichte anbetrifft, so ist es 
besser, man veranlasst die Schüler, sieb selbst eine solche zu fertigen, 
wenn der Unterricht 'durchgehends darauf ausgehen will, die Selbst- 
thätigkeit anzuregen. Ich kann das Buch also nicht als Lehrmittel, 
wohl aber als (freilich immerhin in den meisten Fällen entbehrliches) 
Bepetitionsmittel empfehlen. ' 

Dresden. H. Ehqelhabdt. 



',,* ni9Udb/^00<^lc 



Pädagogische Zeitung. 
(Berichte über Yersammlntigen, AaszUge tms Zeitschriften a. dgl.) 

WeltaoBstellaiigszeitang;. *) 
Tl. Die Lebrmitt«! Hr aHtronomlscbe (miitheDiatiBOlie) €)«ographle. 

Mein tunaete wohl darauf gefoset sein, doM trotz der Großartigkeit 
oder vielmehr wegen der OroBiartigkett der WeltauBrtellatig, die Lehr- 
mittel des einen oder des andern ünterrichtszweigeB etwas stiefmütterlich 
bedacht nein werden. Doch geetehen wir, daes dies — wenigstens was die 
Mtronomische Geographie anbelangt — in höherem Grade der PaU war, 
ata zu befürchten stand. Wenn auch der Schulmannn und Schulfreund, 
wie jeder Fortschrittafteund , des Erfreulichen gar Vieles, dea Ucber- 
raschenden Manches finden musste, wenn auch der glückliche Gedanke, 
in abgesonderten Annexen das Schnlleben einzelner Völker vorzuführen, 
unzweifelhaft von den wohlthätigsten Folgen sein mnsste, so konnte sich 
doch denenige, der sich dem vergleichenden Studium der Lehrmittel eines 
Faires bei verschiedenen Nationen hingeben wollte, einer grouen Ent- 
täuschung, ja einer Trauer nicht entziehen. Wir wollen die Schwierig- 
keiten dea Auffinden« und die sonstigen schon vielfach gerügten Mängel 
nidit wieder ventiliren, wir müssen jedoch constatiren, dass die Lehr- 
mittel für astronomische Geographie nur spärlich vertreten waren ond sich 
weit weniger günstig repräsentirten, aU bei der Lehrmittelausatellung der 
XIX. allg. dentschen Lehrer Versammlung in Wien. 

Der üiEcielle flericht über die geographischen Lehrmittel^ verfaset von 
dem um das geographische Lehrfach in Oesterreich hochverdienten kaiser- 
lichen Rathe Ä. Steinhauser, tlieilt diese Lehrmittel in solche für Volks- 
nnd Burgeii^chalen und solche für Mittelschulen. Diese Eintheilung erweist 
sich für LehrmiUel der mathematiBchen Geographie als nicht zweckmSasig. 
Wohl wäre es erwünscht, irgend einmal einer Zusammenstellung zu be- 
gegnen, welche den Gang dea Unterrichtes in der einen nnd der andern 
der bei den Schnlkategorien znr Anschauung brächte , aber von einer sol- 
chen fand sich nirgenda eine Spur. Uebetali waren es nur dis^jecta membra, 
mitnuter an sich trefilich, aber zu einem Ganzen erhob sich weder die 
Anutellung irgend einer Schule, noch die irgend einer geschäftlichen 
Firma. So lässt sich denn das ganze Ergebniss kurz Eusammenfassen. 

Von den Bilderwerken znr Veranschauhchung des Himmels (Stern- 
karten) und der Verhältnisse der gegenseitigen Stellung nnd Beleuchtung 

mag Vieles sich der Beachtung enfeogen haben. Sternkarten mit weir 

schwarzem und blauem Gmnoe fanden sich, wenn auch nicht sehr 

•) VgL JihTK. IV. (18M), ; 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte über Teiaammlnngea, Auszüge ans Zeitschrifteti u. dgl. 157 

mch in den AnMtellungen der Terachiedenen Länder. Zu ihrer Ver- 
gleiobung war keine üelegenlieit geboten. Sternkarten mit beweglichem 
Horizont Zar Eiustellnng nir vertchiedene Zeiten fanden üch TOmehmlich 
in der franEOBiBchen AusateUung. BeBonderea ist um nir?eude aofgefalten. 

UimmetsKlobeu waren am sahlreichsten in der deutschen AusBt^llung 
Tertreten. (D. Reimer [Adami] und Emat Schotte in Berlin, daa geogr. 
Institut in Weimar, C. Adler in Hamburg.) In der Osterr. Schnlausstellang 
waren nur Globen von SchOniiigei assgestelltj im schwedischen Schalhans 
befand sich ein Steraglobns mit blanem Omnde. 

Uhren, welche die Zeit venchiedener Orte der Erde anheben, sowie 
solche, welche den Lauf der Sonne (Erde) und des Mondes anzeigen, 
halten wir für Liebhabereien, die lu den Lehrmitteln nicht zu reebnen smd. 

Von den YersinnlichaDeen der Bewegungen am Himmel fi^nden sich 
die Ton der LehrmittelaoBB^llDng den Lehrer^^ bekannten Tellurien, Ln- 
narien und Armillarsphären; Tellnrien und Planetarien theils mit, theils 
ohne Uhrwerk vomehmhch von Schotte. Armillarsphären waren in der 
Oaterreicbisctiea Anssteünng von Schöninger und Prot, Öitlik (Brunn), in 
der deutschen von Beimer (Berlin) und endlich in der amerikanischen von 
H. Brjart (celestial indicator) auegeetellt. Beimers Armillarsphäre war 
zugleich Planetarium. SchOningers itingkugeln Bcheinen uns noch immer 
die instnictivstea, wenn auch nicht zu verkennen ist, dass die Erzeugnisse 
SchOningers unter dem Mangel an materiellen Mitt«ln leiden. 

unter den biaher aufgeführten Lehrmitteln für astronomische Geo- 
gruihie findet sich demnach nichts, was einen Fortschritt seit der Aus- 
stelluiw der XIX. deutschen Lebrerversamminng bezeichnen würde. Nur 
zweierlei Apparate von denen, die wir gesehen, bekunden eine neue Idee 
and müssen deshalb besonders besprochen werden. Merkwürdiger Weise 
sind beide im officiellen Berichte übergegangen, das eine (J. H. Milberg) 
sogar als angemeldet und nicht ausgestellt aufseführii. Beide befanden 
sich jedoch in der deutseben AnssteUun^. Aus dem Umstände, dass dem 
officiellen Berichterstatter zwei an sich aufRÜlige Apparate entgehen 
konnten, mag man die Schwierigkeit ermessen, die der Berichterstattung 
entgegenstand und dies mag uns eatschaldigen , falls auch uns das eine 
oder das andere entgangen sein sollte. 

Die eine der beiden Arten von Apparaten rühren vom Seminarober- 
lehrer F, A. PÜBChmann in Qrimma (Sachsen) her, der anch Tellurien und 
Planetarien gewOhnlicber Construction ausgestellt hatte, die sich vor 
Bodem durch aosserord entlieh geringen Preis auszeichnen [3—6 ^). Das 
neue Veranschaulich ungs mittel jedoch für hChere Lehranstalten (Setni- 
natim und Mittelschulen) bestimmt, sind die Spiral- Planetarien. Sie sollen 
die „absoluten" Bahnen der Planeten (und Trabanten) zur Anschauung 
bringen. Da nämlich die Sonne nnd mit ihr das ganze Planeteu^stem, 
wie unzweifelhaft, sich im Baume fortbewegt, so sind die (Jahres-) Bohnen 
der Planeten nicht in sich znrflcklaufende Ellipsen, sondern elliptisch ge- 
krümmt« Spiralen. Um dies tu versinnlicben, ist auf einem Gestelle ans 
zwei verticalen Säulen ' hotizont&l ein fast gradliniger Draht gespannt, 
der ein Stück der Sonnenbahn darstellt. Um denselben winden sich spiral- 
fCrmig Drähte, welche die Bahnen der Planeten repi&sentiren. Die Halb- 
messer der Windungen stellen die mittlem Entfernungen der betreffenden 
Planeten von der Sonne dar, die Weite der Windungen ist den Umlauf- 
zeiten proportioDat, so dass man mit einem Blicke übersieht, wieviel Um- 
laufe eiD Planet im Verhältniss zu einem andern macht. Der ausgestellte 
Apparat war für 6 Er^ahis eingerichtet und umfasste die Bahnen von 
Merkur, Venus, Erde sammt Mond, Mars, Jupiter und die des Enke'tchen 
Kometen, mithin 20% 8p jralwin düngen beim Merkur, über B bei Venns, 
6 bei Erde, S% bei Mars, weniger als % Spirale beim Jupiter und etwa 
1^ bei Eomet Enke. Nach demselben Princip war das „J upiter- Spiral- 
Lnnarium" construirt, das die spirtüiSrmtgen Bahnen der ner Jupiter- 
monde nm ihren Hanptplaneten veisinulichte. 

ZettHhi. t Duth. n. patuw. VuUn. T. 11 



n,g,t,7.dt,'G00gIc 



158 Beliebte Aber TenaromlaQgeii , Anuilge kib Zeitscbriften n. dgl. 

Da nnn bei den beBohriebenen Appaiaten die Windongen senkrecht 
Regen den Draht geatellt sind, der die Sonnenbahn vontellt, «o geben sie 
eine faUche Ansicht von der Art. wie diese Bewegungen staÜGoden. Nach 
dem Spiralplanetarium roflsste Hieb ja die Sonne gegen den Pol der Ekliptik 
bewegen, d. b. gegen einen Punkt im Drachen, dessen BectaBoeDsioa ISO* 
und dessen Decnnatdon 4- 66° 3S' wäre, während diese Bewegung gegen 
einen Punkt im Herkules gerichtet ist, dessen Bectaacenuon 160° 33' und 
DecUnation -|- Sl" 30 (Humboldt, EosTnos III, S. 2S0) ist. WoUte ntaa 
den Apparat entsprechend ändern, so müsaton die Windungen eine 
Neigung von 56° gegen den Draht, der die Sonne vorstellt, erhalten. Aehn- 
lioh veiliält es si^ mit der Bahn des Uondes bei den Lunarien. Es mOtste 
ja die Mondbahn, die mit der Ekliptik einen Winkel von nur 6'^ S,V bildet, 
auf derselben senkrecht stehen. Pfischmanu ist die Thatsacbe, dass sich 
die Sonne gegen Herkules zu bewege, nicht etwa unbekannt; wahrscheii)- 
lich haben ihn die Schwierigkeiten den Spiralen die richtige Neigung zu 
geben bewogen, sie aenkreäit zu stellen. Ee ist hieraus zu ersehen, wie 
schwierig es ist, fQr derartige Erscheinungen ganz entsprechende Vetsinn- 
Uchungs mittel zu construiren. Wir kOnnen es nicht verhehlen, dass unserer 
Ansicht nach keiu Tellurium, kein- Planetarium so viel zur Kl&rung der 
Anachanungen über die Torffänge im Weltenraume beitragen kOnne, ale 
die Beobachtang der Hcheinbaren Vorgänge am Himmel. 

Ein ähnlicher Qedanke liegt Milberg's Apparat zu Grunde, entspricht 
aber noch viel weniger der Wirklichkeit. An einem vertical stehenden 
JÜhmen ist von obeu nach unten ein Draht , eiuen Theil der Sonnenbahn 
TOrstellend, gespannt, um den sich SfSnnig Drähte schlingen, welche die 
PlaneteubEdkaeQ re^räsentireu. Auch bei dieser Vorrichtung, die übrigens 
eben9(^t durch eine Zeichnung ersetzt werden kann, da alle Theile in 
einer Ebene liegen, iösst sich mit einem Blicke eriUssen, wie viel Umläufe 
in derselben Zeit ein Planet im Verhältnias zu einem andern macht. Es 
entspricht nämlich je ein (ganzes) S einem Umlauf und man sieht gleich, 
wie viel kleinere S ein grCssere« umfasst. Aber abgesehen davon, doss 
Dach Milberg'a DarsteUune alle Planetenbahnen in einer und derselben 
Ebene liegen nnd mit der Ebene der Ekliptik zusammenfallen mOasten, auch 
die Bahn der Sonne müsste in diese Ebene fallen, Nicht die Sterne des 
Herkules, sondern die eines der zwölf Thierkreisseichen müsat^n ana- 
einanderrücken. Vor Allem aber wären die Bahnen der Planeten nicht 
Ellipsen oder nur wenig offene elliptische Spiralen, sondern je ein üm- 
Uuf würde sich aus zwei Halbellipsen, die aichSfCrmig aneinander fägen, 
zusammensetzen. Dies ist aber auch Milberg's Ansiebt. In einem 
Bchriftchen, doa zur Erläuterung des Apparates verOieUt wurde*), behauptet 
eben Milberg, dass die bisherige Ansicht, als bewegen sich die Planeten 
in Ellipsen, eine unrichtige sei, da sie sich in dem einen Theile ihrer Bi^n 
räckwärts bewegen müssten, während die Sonne vorw&rts gehe. Dieses 
niderapreche den Gesetzen der Natur; die elliptischen Bahnen seien dem- 
nach nur Schein, die wahren haben die Gestalt eines S, das ans zwei 
Halbellipaen beetebt. — Man wird uns füglich erlassen, in eine Kritik dieser 
sonderbaren Ansicht einEUgehen. 

Ziehen wir nun dos Facit der Weitaus Stellung, so weit sie sich auf 
nnaeru Gegenstand bezieht, so zeigt sich leider abermals recht drastiscb, 
dass die aBtroDomiache Geographie noch immer das Stieikind der Schule 
iat, und dsae der unanfechtbare Grundsatz, der Himmel mit seinen Sternen 
liege una näher als der Niagarafall, noch immer nicht zur Anerkennnug 
gelangt ut. Und noch ein anderer beklagenswerther Umstand auf diesem 
wie auf andern Gebieten des naturwisaenscbafüichen Unterrichts wurde 



u W. Hsnk* Sil, lan. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte über Verwnunlongeu, ÄuBzflge ans Zeitschriften n. dgl. 159 

daich' die WeltauiBtellun^ bestätigt. Da« Streben eielt mehr darauf hin, 
das WisaeQ und zwar nicht setten ein bloiaea Wortwiaien, la mehren, 
als den NstuiBinn zu wecken; nnd doch sollte letzteres bie zur Hoch- oder 
Fachechnte die ente Anfgabe des naturwiFsenschafttichen Unteri-ichts sein. 
Wien. Dr. Piok. 



Katalog der phrelkallsDlieii Mormalsanunlimg säcluUcheT O7111- 
nasien, ReaUobTilen and Seminare.*) 

Im Auftrage des k. säclu. Cvdtusinimateriams ffir das k. Ojmnaeinm zn 
Dresden zosanunengesteUt von Dr. B. Buebliunh in Chemnitz. 

Vorbemerkungen des Zuaammenatellera. 

Bei AobteUung des folgenden Entwurfes sind besonders folgende 
GrandsätBe leitend gewesen; 

1) Fßr jedes wichtigere physikBiliaohe Gesetz oder eine bemerkens- 
werüie Folgerung eines solchen, soll wenigstens ein Apparat vorhanden 
sein, welcher genQgt, dasselbe überzeugend eiperimentoil nachzuweisen. 

8) Da der physikahsche Lehrapparat zni^hst nur das Nothwendigste 
enthalten soll, sind alle solche Instxnmente weggelassen worden, welche 
beim Unterrichte keine Verwendung finden, oder deren Verst&ndnias im 
Gymnasial' Cursus nicht in erzielen ist. 

3) Es ist auch von der Beschaffenheit solcher Apparate abgesehen 
worden, welche bei verhältnisemäsBig complicirter Einrichtung nnr zur 
Demonstration von Gesetzen dienen, deren Richtigkeit dem Schüler an 
eich einlenchtend ist. 

4) Die einzelnen Theile der Scunmluiig sind, soweit dies tbnnlich ist, in 
den ein&chsten und billigsten Formen ausgewählt worden, welche dem 
Zwecke noch vollständig entsprecben. 

5) Es ist auch auf Beschaffung der nOthiges Hfll&apparate und Werk- 
zeuge Rücksicht genommen, mit deren Hülfe man im Stende ist, die ein- 
facheren, nicht in der Sammlung mit aufgenommenen Apparate im Arbeits- 
laboratorium selbst herzustellen. 

6) Besondere Rücksicht ist darauf verwendet worden, dass möglichst 
viele Versuche in grossem Haassstabe objectiv dargestellt werden können. 
Als Lichtquelle dient theilweiae eine gewöhnliche Gaalampe mit cjlin- 
drischem, innen blankem Schirme, theilwelse Brnnunonfsches Ealklicht 
(Gasometer, Danietl'scher Hahn). 

T) Dm dem Lehrer der Physik einige Hülfsmittel lür eigene Unter- 
suchungen zu bieten, sind anch solche Messinstnunente, welche gleich- 
zeitig mancherlei Unterricbtszwecken dienen kOnnen, mit in die Sammlung 
aufgenommen worden. (Waage, feiner Gewichtssatz, Spektrometer, Mi- 
kroskop, Mikrometer, Beugungsgitter, Spiegel-Galvanometer, Tangenten- 
bousBOle, Rheochord, Normalthermometer.) 

6) Von den praktischen Anwendungen physikalischer Gesetze ist fast 
gar nichts in dem Eni;wurfe enthalten, da diese dem Gymnasial- Cuisus 
teruer liegen. 

Die mit einem * heseichneten Instrumente sind in den anagestellten 
Formen nnr für den Fall znr Anscbaffong empfohlen, dass anasergewObn- 
lich reiche Mittel zur Verfügung stehen; ist das Letstere nicht der Fall, 



iliuig wu Vit dai Wien« Wslt^iiHtellaiig (1S78) in dar di 

\t HugatMIt. S. dm Bcrlsht IT, M2 — U4. Bi« wu onprOnglliili ti 

lar aui für OrmnuBlBUwatkfl betUmmt, iit aber s«gui ulu« 

ManaalMumolnng dar dial obBemumtaa SebnlgMtnngaD Im Xttalog ba»l<ilm*t noi 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



160 Berichte über Tersammlungen, AuBsOge ana Zeitschriften a. dgl. 

Bo ist dec Apparat in einfachster Oeatalt vom Lehrer setbat anzufertigeD, 
oder er mass eich beim Unterrichte ohne denselben behelfen. 

Die ganze Einrichtimg ist darauf berechnet, da«8 Lenchtgae zur 
Verfagnng ateht, dasa ein besonderes Auditorium für Physik mit Ter- 
dunkelungs-Einrichtung and abstellbarer Gasbeleuchtung vorbanden ist, 
(man aehe den Bauplan des Königlichen Qjnmasiiuas zu Chenmitz nebat 
DetailEeichnnngen, welcher. auf der W. Weltaasstelliuig sich befand), ein 
besonderes Arbeitszimmer für den Lehrer der Phjsik und ein Zugachrauk 
zur Anfbewahrnng der Elemente zur TerfQgung steht, 

I. HilfBapparate und Werkzeuge. 
Regal mit Werkten ^en zur Bearbeitnng der Metalle nnd 
des Hokes (theilveise nach Weinhold's Vorschule der Ex- 
perimentalphysik) 

bestehend ans: 
1 Parallelschrauhstock, 1 Schneidkluppe, 1 Stahl hamm er, 
1 Beiaszange, 1 Eneipzange, 1 Drahtzange, 1 Flachzange, 
1 Feilkloben, 2 engl, Q Feilen, 1 engl. /\& dergl,, 3 mittel- 
giOBBe Feilen, 1 grosse 3 Feüe, 1 Q S Peile, 1 deutache □ Feile, 
1 Q Raspel, 3 Dorcbschläge, 5 Reibahlen, 1 Metallsäge, 
1 Schraubenzieher, 3 Bartmeisel, 1 Ereuzmeisel, 1 Anechlag- 
winkel, 1 Blechacheere, 1 Versenkfräser, 1 Schmelzlöfcl, 
1 Bohrwinder, 6 Centratnbohiet, 1 hölzerner Hammer, 2 engl. 
Stemmeisen, 1 Fache ach wanzsäge, 1 Lochsäge, 1 lange Abte, 
6 Nagelbohrer, 2 Schraubzwingen, 1 Wetzstein, 1 Draht- 
bürste, 1 Tiegelzange, 1 Drillbohrer, 1 Schlichthobel, 
1 ^hnitzer, 1 engl. Scheere, 1 £Oiner, 1 Wasaerbad, 
1 Oelkanne, 1 Schleifstein mit Gehäuse. 
Qlasblasetiach mit Daniell' seh em Hahn (für Gaseinriobtung). 

Gt. Lorenz, Chemnitz 

Bemerkung, Der Tluih wei leiner ümnnglliihkeit hulbei inrlEckggMeUt 

Gasometer von Zinkblech. F. Eugershoff, Leipzig . . . 
üniversalges teile mit einfachem Bunsen'scben Brenner. 

F. Hngershoff, Leipzig 

Dreizngige Gasglühlampe. Gebr. Maate, Iserlohn . . . 
Kleine Weingeistlampe. F. Hngershoff, Leipzig . . . 

Eorkbohrer. G. Lorenz, Chemnitz 

Tarirwage mit Gewichten (50 Qr. bis 1 Kg.) B. Littmaon, 

Chemnitz 

Betottenbalter. G. Lorenz, Chemnitz 

Probirglasgestelle mit Frobii^lBeern. G. Lorenz, Chemnitz 



II. Apparate aus der Kinematik und Dynamik, 

* Apparat zur Erklärung zusanmiengesetzter Bewegungen. 

B. StObrer, Leipzig 

Lose Rolle. G. Lorenz, Chemnitz 

Feste Bolle. G. Lorenz, Chemnitz 

* Hebelapparat E. Stöhrer, Leipzig 

____^_^___ Latus 

■) Vor «inicrBn Appanten fBUt der PhIi im EMalo«. (1 Thii. =, 18« ki.) 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Bericbte Aber Versammlungen, ÄnezQge ans Zeitachriften a. dgl. 161 



Transport 

F]»Bchenzng. C. Oechsle, Pforzheim 

Pendel mit Schlagweck. C, Oecbslä, Pforzheim 

Fallmaschine. O. Lorenz, Chemnitz 

Wellrad, G, Lorenz, Chemnitz 

CentrifngalmaBchine. G. Lorenz, Chemnitz 

Äpplattangaring zn derselben. Q. Lorenz, Chemnitz . . 
Botationsapparat nach Fessel. Stöhrer, Leipzig. . . . 
Waage fär phjsitalische Zwecke. H. Schickert, Dresden 
GewichtsBatz 60 Gramm bis O.oooi Gramm. H. Schickert, 

Dresden 

Apparat zur Demonstration des Falles im Inftloeren Baume. 

G. Lorenz Chemnitz 



Sa. 



III. Statik nnd Dynamllc BQgglfer nnd gasfSrmiger KSrper, 

Glaerohi mit Bodenplatte zum Beweise des Auftriebes der 
Flttssigkeiten. E. StOhrer, Leipzig 

* Haldats Apparat zur Erkmrong des hjdroatatischen Para- 

doxons. B. Stöhrer, LeipÖK 

Sang- nnd Hebepnmpe von Olaa. E. Stöhrer, Leipzig . . 
Sang- und DrnoKpampe von Glas. E. StOhrer, Leipzig . 
NiohoUon's Aräometer. C. Oechsle, Pforzheim .... 

Soalen-Aräometer. C. Oechsle, Pforzheim 

Beactionsrad. G. Lorenz, Chemnitz 

Apparat zdt Demonstration des specifischen Gewichtes. C. 

Oechsle, Pforzheim 

* Heronsbrnnnen. E. Stöhrer, Leipzig 

Hand-Lnftpnmpe mit 2 Becipieuten, G. Lorenz, Chemnitz 

Barometerprobe G. Lorenz, Chemnitz 

Magdeburger Halbkngeln. G. Lorenz, Chemnitz . . . 
Aspirator zur Erlänternng desPrinoipB der Wasserlnftpnmpe. 

Das;meter. O. Lorenz, Chemnitz 

Eöhrenlibelle. E. StOhrer, Leipzig 

Luftballon. E. Stöhrer, Leipzig 

Mariottesohe Flasche 

* Modell eines Anecoidbarometers. E. StOhrer, Leipzig 



IV. KoUkIIlaT•WirkIll^«Il. 

Adh&sionsplatten. E. StOhrer, Leipzig . . 
Haarröhrchenapparat. E. StOhrer, Leipzig 
Plateaus Drahtfigncen. E. Stöhrer, Leipzig 

Endoamometer. StOhrer, Leipzig 

Feilitzsch's Apparat znr Demonstration des Mariotte'echeu 
Gesetzes. G. Lorenz , Chemnitz 



•} Tau BchBlam im Labontorlun gatNügt, nud dtthalb obB« P»l«uigmbe, 





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162 Berichte Über TerBammliingeD, AnazQge ehis Zeitschriften n. dgL 



V. AkDBtlk. 

Sirene nfich C^^aid-Latour. E. Stöhrer, Leipzig .... 

Sirene uBch 8eebeck, aaf die CentrifngalmaBchine ta be- 
festigen. E. StObrer, Leipzig 

Monochord mit Bogen. G. Lorenz, Chemnits 

Zwei Stimmgabeln nebst Spiegeln zn den Liss^on'scben 
Figaren. E. Schadewell, Dresden 

Gebläse fSr akustische Zwecke. E. Stohrer, Leipzig . . . 

Pfeife, um die Lage der Scbwingungaknoten zn zeigen (nacb 
König). E. Stöhrer, Leipzig 

Lippenpfeife mit verstellbaier Tonhöhe. E. Stflhrer, Leipzig 

Znugenpfeife (C. 128) mit 10 Resonatoren (nach' Appnn). 
E. Stöhrer, Leipzig 

* Interferenzpfeifen mit manometrischem Flammenzeiger 

(nach König), E. Stöhrer, Leipzig 

GaBflammenmanometer. G. Lorenz, Chem- 






r Spiegel zur Analyse der Klilnge. E. Stöhrer, 
Leipzig 

* Apparat zu Chladni's Klangfigaren. E. Stöhrer, Leipzig 

* Quinkes Apparat für Inferfetenz der Schallwellen. B. 

Stöhrer, Leipzig 



seitlicher Beleuchtung des FadenkrenzeB. Dr, Uejerstein, 

GOtÜugen 

HelioBtat nebst Spalt- und Bengungsöffnong. E. Schadewell, 

Dresden 

Hohlspiegel, CouTex und Coucav. E. Stöhrer, Leipzig . . 

Planparalletglas. Q. Merz, Manchen 

Linsenarten auf Gestelle. Q, Lorenz, Chemnitz . , . . 
Linse föi objective Darstellungen. E. Stöhrer, Leipzig . . 
Prisma 60° schwerstes Bleiglas. G. Merz, München . . . 
" AchromatischeB Priama. E. Stöhrer, Leipzig .... 
Hohles Prisma in Flaschenform. E. Stöhrer, Leipzig . . 
Farbenscheibe (Mischung der Spektralfarben). E. Btdhrer, 

Leipzig - 

* Pernrohrmodelle (terrestrisches, aatronomisches und gali- 

Uisches Femrohr). E. Stöhrer, Leipzig 

Mikroskop (600 malige Vergrössernng , drehbarer Tisch, 
3 Ocnlar- nnd 3 ObjectiTsysteme, Plan- und Hohlspiegel, 
Probeobject n. s. w.). Nenmann, Freiberg .... 

Ooular und Objectiv-Miktometer. Nobert, Barth . 

* Modell eines Mikroskops. E. Stöhrer, Leipzig . 
PreBnel'B Interferenzapiegel. E. Stöhrer, Leipzig 
Beugungsgitter (doppelt). E. Stöhrer, Leipzig . . 
Newtons Farbenringe, C. Oechsle, Pforzheim . . 



Sa. 124 25 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Btnichte Ober TerBammiungen, Auszüge aos Zeitschriften u, dgL 16$ 



TiaoBport 
Polariaationa-Apparat nach Nörremherg (mit Nicolschetu 

Prisma). E. Neumann, Freiberg 

Turmalin-Zanpe. E. Neimiann, Freiberg 

Vier Polarisations-Präparate (gekühlteB Glas, eioaziges 
. Mineral, zweiaiig^a Mineral, Gypskeil). W. Steeg, Hom- 

bnrg (Bild) 

Spoktral-Präparate. G Lorenz, Chemnitz 

Phosphoroskop. G. Loreni, Chemnitz 

Lorgnoa- Stereoskop (nach Weinhold), G.Lorenz, Chemnitz 
Spektralrohren, Geiaaler'ache. (Siehe Induction) 
Fluoreacenzröhre (deagleichen) 



TU. BeibangB-ElektHcIUt. 

Glassiab und Horugammistab mit Beibzeag (zu den Fud- 
damentalversuchen). G. Lorenz, Chemnitz 

Elektroskop. E. Stöhrer, Leipzig 

SoheibenclektriBirmaBchine. G. Lorenz, Chemnitz . . 

Oondnctorkugeln zu derselben. G. Lorenz, Chemnitz . . 

Inflnenz-EIektrieirmaschine nach Holz. E. StOhi«r, 
Leipzig 

Bemetkiing. Die sugsniOlie Mudilii« be»« twionden oompeiidlDH 
Cotutraalion nnd koiteta 50 TUr. 

* Erreger für + und — Elektrici<ät. E. StÖhrer, Leipzig . 

Elektrophor. G. Lorenz, Chemnitz 

TertbeilnngBapparat nach Biea. C. Oeohsle, Pforzheim 

Lejdner-FIaache. E. Stahrer, Leipzig 

Leydner-Flasobe mit abnehmbarem Beleg. C. Oeohsle, 

Pforzheim 

Hcnley'scher Entlader. 0. Lorenz, Chemnitz .... 

Gabel-Entlader. G. Lorenz, Chemnitz 

Condenaatoi. G. Lorenz, Chemnitz 

* Elektrisches Lnfttbermometer nach Biea. E. StShrer, 

LeipzJK 

BlektriBchea Piatol. E. Stöhrer, Leipzig 

sZ~ 



TUL BerttbnugB-Elefctricittt. 

Fechnerscber Apparat zu den Volta'schen Fundamental- 

VeTBUchen. E. Stfihrei, Leipzig 

Secha Bunsen'ache Elemente. G. Lorenz, Chemnitz . . 

Orove'sobea Element. G. Lorenz, Chemnitz 

Chromsäuie-Taucbelement G. Lorenz, Chemnitz . . . 
Meidinger'schea Element G. Lorenz, Chemnitz . . . 
Commntator. E. BtOhrer, Leipzig 

Latns 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



164 Berichte aber VerBammlungen , Aussäge aaa Zeitacbriften u. dgl. 



Trangport 

Sechs KlemmsohraQben (Rlnrcni 1 

ZweiKlemmHchrauban zor VerbindunK von { rvt„„S!' [ 
von drei Drilhten (Wheastone-sche BrfloEe) . [ ^"^'^'"'^ ) 

V n„™-i-„ I E. Stöhrer, Leipzig ■. 

Voltameter (q. Lorenz, Chemnitz 

Gebogenes Glasrohr mit Platdnelektroden zur Elektrolyse. 
Gr. LorenE, Cbemnita 

Tangenten BouBsole. C. Oechale, Fforaheim 

Spiegel-Oalvanometer nach Wiedemann. E. Schadewell. 
Dresden (mit 2 Paaren von Drahtrollen; das eine Paar för 
Elektrici^t hoher Spancang)*} 

WiderstandsmeaseT. E. Stöhrer, Leipzig 

Bheometei für starke StrCme. C. Oechsle, Pforzheim . . 

Drahtspiraleu (siehe SpiegelgaWänometer). 



IX. KagneUBmaB, 

Maonetstab. C. Oechsle, Pforzheim 

Inolinationsnadel. C. Oechsle, Pforzheim ...... 

Elektromagnet zu den diama^etischen Yersaohen (magne- 
tische Diehong der Potarisationaebene). E. StChrer, Leipzig 



X. IndDotton. 

Kleines Inductorium.**) 6. Lorenz, Chemnitz 

* Grosseres Inductorium. G.Lorenz, Chemnifi 
Vier Geissletsche Rühren (0, N, H, CO, SpektralrChren, 

PluoreBoenzröhre). E. Stöhrer, Leipzig 

* Apparat znr Demonstration der Liductdonsgeaetze. 

ätObrer, Leipzig 

• Elektrisch rotirender Bing. C. Oechsle, Pforzhejm 
Barlow's Ead. C. Oechsle, Pforzheim . . . 

• Elektromotor. E, Stöhrer- Leipzig . . . 
Amp^rsches Stativ. £. StShrer, Lapzig . . 





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Ngr. 




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Sa. 


128 


10 



Therroometei (von 25" bis SW^. Q. Lorenz, Chemnitz 
Thermometer mit drei Scalen. E. Stöhrer, Leipzig . . 



iTiehlBbbM«n Eapfn- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Bericht« aber VersnintiüaiigeD, Anszage aaa Zeitschriften n. dgl. 165 



Trooaport 

Thermoraeter für Demonstrationszwecke (3' lang). F. HngerB- 

hoff, Leipzig 

• NormaUfaermometeT (— 20 bis + 100° C. ia ■/, getheilt. 

J. Greiner, Hfinohen 

• Lealie'B Differentialthermometer. E. Stöhrer, Leipzig 
Apparat nm die AnsdehnnDg der Metalle xu zeigen. E. StOIiffer, 

Leiptig 

CompreasionB-Feaerzeiig Ton.Olas. G. LoreDz, Chemnitz 
Erjophor aad WaBaerhainmer. Q. Lorenz, Chemnitz 

• Gefrierthermometer. E, Stöhrer, Leipzig 

Hohlepiegel fOr Versnche aber strahlende WUrme. E. Schade- 

well, Dreaden 

ThermoelektriaoheB Rechteck. E. Stöhrer, Leipziff . . 
Thermoa&ule (die Elemente linear angeordnet). E. Sonade- 

■well, Dreeden 

Apparat nni die Wirknng des Wasaerdampfea zu zeigen . . 
Dampfieactions-Rad. 0. Lorenz, Chemnitz 



Sa. 



Zum RepertOTinm. 

Botanik. 

EinfluBB des Frierena der Pflanzen anf ihr BpecifiachoB 
Gewicht. Dalibard hat achon vor langer Zeit beobachtet, doaB in Wauer 

S tauchte HOlzer einen bedeutenden Tbeil ibrea Gewichtea verlieren, wenn 
s Wasser bia zam Gefrierpunkt abgekühlt wird. Prillienz hat sich 
nenerdingB wieder mit diesem Gegenstüide beschäftigt, and eine Beihe 
von Veranchen hat ihn zu dem Resultat geführt, dasa die Gewebe beim 
Er&ieren einen Tbeil ihrea Waesera, du aie enthalten, abgeben, und in 
Folge desBen an Gewicht verheren. (Ntf. V. 28.) 

Die TieibhClzer dea nördlichen Polarmeerea. Nach Wieaner 
atammen die Treibhölzer dea Folarmeeres — geaammelt von Weyprecht 
und Pa;er — aämmtlich von Abietinen her und zwar theili von der Fichte 
jAbioB eicelaa), tbeUs von der aibiiiscfaen Lärche (Larix aibirica), welche 
mdeaa nur eine Standortsvarietät von Larix enropaea ist. (Ebda.) 

Eohlenaänrezerlegung der Pflanzen in farbigem Lichte. 
Nach Pfeffer leisten bei der Kohlensäurezeraetzmig die gäben Strahlen 
das Maximum, nicht, wie Lommel und Müller behaupten, die rothen 
Strahlen zwischen JS und C. Setzt man die bei gelbem Licht cefandene 
Gasblasenzahl — 100, ao ergeben eich f3r die übrigen Spektralfarben 
folgende Werthe: 

Violet = 7,1 Eoth — 26,4 

Indigo — 1S,& Grfln — 37,2 

Blau >- 22,1 Orange » 63,0 

(Ebda. 29.) 
Die winterliche F&ibnng immergrüner Gewächse hat nach 
Erans aebi wahrBoheinlich ihren Grand nor in der durch die niedere 
Temperatur verniaachten ZentCrung von Form und Farbe der Chlore- 
phyllkCmer. Die Verf&rbnng fxitt nur an der Oberseite nnd nur an frei 
in die Luft ragenden Zweigen auf; die ünteiwite der Bl&tter nnd auch 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



X66 Berichte tlber VersammlTuigeii , Änezäge aos ZeitHohriften u. dgl. 

die Oberseiten, wenn de nur irgendvie ^deckt aind, u&iuentUcIi aber die 
venteokten Blätter, behalten ihre gtüne Farbe. Braun gewordene Bl&tter 
von Bdzus und Thi^a in's Zimmer gebracht, nehmen nach eiiligeu Tagen 
lediglich durch die höhere Temperatur wieder ihre lebhaft grüne Farbe 
an. Daas das Licht dabei keine Bolle spielt, geht daraus herroi', dass 
das WiedererBCheineu der grünen Farbe auch im Dunkel vor sich ging. 
(Ebda. 27.) 

Die Ursache des Freiwerdens von Wärme beim Keimen ist 
nach Wieaner nicht allein in der dabei auftretenden Koblena&ureent Wicke- 
lung zu anchen, sondern eine weitere Wärmequelle liegt in der Wasser- 
aul'nahme der Samen, Die mit Wasser in Berührnng kommenden Samen 
»erdichten nämlich das in ihr Oewebe eintretende Wasser, wobei Wärme 
frei wird. Die ersten beim Eeimacte frei werdenden Wärmemengen 
werden wahrBcheinlich bloss durch diese Wusserverdichtnng hervorgerDfen, 
indem die EohienBäurebildusg erat später als die Wärmeentwickelnng ein- 
tritt. (Ebda. 16.) 

Biweiss^ehalt der Kartoffel. Bei den Getreidekümem nimmt 
der Gehalt an £leber von ansäen nach innen ab, sodasa bei dem jetzigen 
MahWerfahren gerade der nahrhafteate Theil för das Mehl verloren geht. 
Wäre es mOglich, das Mehl in der Kleie von den Hälsen scharf zn trennen, 
so würde das hierdurch gewonnene Mehl 30% Kleber und Eiweias ent- 
halten, also Dm */> mehr als das gewOhnhche Mehl. Liebig hat schon 
wiederholt auf diesen Umstand aufmerksam gemacht! Etwas Äehnliches 
ist nach A. Yogel bei den Kartoffeln der Fäl. Auch hier nimmt der 
EiweisasehaLt von der änsaeren Schale zum innem Kern ab und zwar ist 
das VerbB,1tniss -^ 131:100. Es geht also, wenn die Kartoffel geschält 
zubereitet wird, hier, wie beim Getreide, der wirksamste BeBtandtheil für 
die menschliche Ernährung verloren. (Ebda. 30.) 

Die Ursache der Hebnng des Waasers in den Pflanzen ist 
nach Müller nicht, wie seit Haies angenommen wird, in dem sogenannten 
„ Wnrzeldruck" zu suchen, sondern die Hebung findet vielmehr ver- 
mittelst der Imbibition oder Diffasion des porOsen Holzkörpers, angeregt 
durch die Verdunstung in den Blättern, statt. (Müller, botan. Unter- 
suchungen 2.) 

Das anstralische Kautschuk, Coorongit, welches neuerdings 
vielfach in den Handel gekommen ist, ist nach Analysen von Bemays 
nicht vegetabilischen Ursprungs, sondern Blinlich wie das Fatroleum, eine 
mineralische Substanz. (iStS. V. 23.) 

Ueber das Leuchten des faulen Holzes. Ludwig beobachtete 
an einem phosphorescirenden faulen Baumstämme, dass gerade die leuch- 
tenden Stellen mit einem feinen, weissen Schimmelgefiecht, anscheinend 
dem MjceUum eines Pilzes ans der Classe der Hymenomyceten, überzogen 
waren. Wo er die Filzfäden entfernte, hörte auch das Phoaphoresoiren 
auf. Es ist daher wahrscheinlich, dass das Leuchten nicht in dem des- 
organisirten Holze, sondern in dem lebenden Mjcel gewisser Pilze seinen 
Sitz hat (Ebda. 29.) 

Organismen in der Pookenlymphe. Nach Prof. Cohn's Unter- 
suchungen sind die mikroskopisch kleinen Körnchen der Pockenlymphe 
wesent^cbe Bestandtheile der Lymphe, keine von anssen hineii^elangten 
fremden Beimengungen. Es sind lebende und selbständige Organismen 
zn der Ciasse der Säiizomyceten gehörig, und es hat einen hohen Grad 
von Wahrscheinlichkeit für sich, dass diese ESrperchen der eigentliche 
Tr^er des Ansteckungsstoffes sind. (Ebda.) 

Entstehung von Organismen aus leblosen Substanzen. 
Bastiao's Versuche , wonach sich aus Salzlösungen in verschlossenen Ge- 
fässen, nachdem durch Erwärmung auf IGO" C, alle oi^anischen Keime 
zerstört worden waren, Organismen entwickelt haben sollten, sind von 
Hartley unter grösseren Vorsichtsmassregeln wiederholt worden, haben 
aber zn einem durchweg negativen Besuitot geftlbrt. (Bealaoh. 4. 6.) 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte über yersammluDgen, ÄuszOge aus Zeitschriften n. dgL 167 

Torkommen des Lithions in Pflanzen. NaoIi Focke kommt 
Lithion regelmässig oder doch häuGg in niobt unbeträchtlicher Menge bei 
folgenden (Datt HD gen tot: Carduus, Cirsinm, Salvia uud Thalictruui. Das 
Vorkommen des Lithiona ist hierbei jedoch nicht allein dnrcb die chemische 
ZiuiammenBetzung des Bodens bedingt, sondern durch die Bpedfische Or- 
ganisation der genannten Gewächse, da andere auf demselben Boden 
gewachsene Pflanzen aus andern Gattungen, auf dieaelbe Weise untec- 
Bucbt, sich aU lithinmfrei heraus atellten. (Ntf. V. 38.) 

Eine pflanzeDgeoeraphische Meikwürdiffkeit. Auf der 
Insel Uainan im Bodensee finden sich mehrere , wohl über tÜO Jahre alte, 
nngeföhr 30—60 Fuss hohe . jpräclitige CTpresseu (Cupressus fastägiata DC, 
C. pervireos MiU.). Die Baume stehen ohue jeden Schutz im freien 
Lande and doch liegt die Insel 3° nördlicher als die nördlichste Grenze 
des Verbreitungsbezirks dieser Pflanze. Auch in Lindau sind seit einigen 
Jahren ähnhche Pflanzungen mit glücklichem Erfolg ausgeführt worden. 
(Oaa VIII. 3.) 

Mykologische Beobachtungen, E. Roze erzog durch Impfung 
von Podisoma clavariaeforme auf Bl&ttem des Weissdorns die Roestelia 
penicillata. 

Ferner macht derselbe Mittheilnngen Über die Vitalität des Sclero- 



tragung anf Triticum und umgekehrt von der Spbacelia des Triticum auf 
Seeale; ebenso von Seeale auf Triticum repensj ferner An steckunc der 
Conidieu auf die Stigmata der BlQthen von Lollnm perenne. Ferner 
operirte derselbe mit Wasser, worin durch Zerdrücken von Claviceps- 
KOpfen deren Sporen suapendirt waren. Nachdem er darein Aehren von 
Boegen oder Weizen getaucht hatte, erschienen 10 Tage später an dem- 
selben einige Sphacelien, ebenso, wenn einige Tropfen dieser Flüsaigkeit 
zwischen die Spelzen von blQhendem Boggen ein^nöaat wurden. In allen 
lUlen entwickelte alch weiterhin daraus Sclerotium. (Hoffmann, myko- 
logische Berichte.) 

Zur Naturgeschichte dea Eartoffelpilzes, Feronospora infes- 
tani. Nach Kühn vermag das Peron. Inf. auch an vötl^ unverletzten Eartoffel- 
knollen selbst in geschlossenem Ackerboden Fruchtäste und zahlreiche 
Sporen zu bilden. 

Es kann demnach die Krankheit anch im Boden um sich greifen, 
selbst wenn der Parasit anf den Blättern nur spärhch aufbritt. Anch im 
Eetler verbreitet sich der Pilz, und damit die Krankheit, auf der Ober- 
fläche unversehrter Enollen weiter; au Augen und utdereu Stellen die 
Korkschale durchbrechend entwickeln sich Fruchfhyphen. (Zeitschr. des 
landw, C.-V. f. Sachsen.) 

Derselbe Beobachter hat die Erfolglosigkeit des Schwefels ab Mittel 
gegen den Kartoffelpilz nachgewiesen und gefunden, dass die Hyphen an 
manchen Stellen die aufgestreuten SchwefeTjiartikelchen beim Wachsen in 
die Höhe hoben und unbehindert Sporen bildeten. 

[Gegen die Traubehkrankheit (Oidium Tücken) wird Schwefel mit 
Erfolg angewandt. Statt der Schwefelbläthe wird mit gutem Erfolg viel- 
fach sicilianische Erde gebraucht, welche ihre WirksMnkeit gewiss dem 
bedeutenden Schwefelgehalt (46%) verdankt.] (Ebda.) 

Zur Seidenrauipenkrankbeit. Liebig ermahnt anf Ornnd che- 
mischer Analysen von Haulbeerblättern ans l'urkestaD, wo die Seidenranpen- 
krankheit nicht vorkommt, die Bäume sor^ltig zu dOngen, wie es im 
Östlichen Asien üblich sei. Die Blätter zeigten einen auffallend hohen 
StickstoffgehEJt. „Ea spricht eine Menge von Gründen dafür, dass die 
PilzkÖipercheUj die man in der Regel als die alleinige Ursache der Erask- 
beit der Banpen ansieht, in maugeUiaft emäbiten Thiereu den eigentlichen 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



168 Borichte über VerBammlungen, ÄUBzüge aus ZeitBohriften u. dgl, 

Boden fQt ihre Entwickelung und Yerbreitun^ finden. Es ist BChon Becht, 
daeH man die Bier mikrOBkoniBch nnteraucht nnd diejenisen von der Zucht 
anBBchlieast, unter denen aich solche befinden, welche cue Anzeichen der 
Krankheit bereits an sich tragen; allein die Ursache des UebeU wird da- 
mit nicht entdeckt, auf deren Eenntnisa znletzt alles ankommt." (Boff- 
mann, myk, Berichte.) 

Zur Abhaltnng des SohimmeU von Gummilösung und Tinte 
empfiehlt Böttcher statt des übelriechenden Creosote den Zusatz einer 
AnflöBUng von nur einigen wenden ErjBtallir^menten des achwefelHanren 
Chinins. (Ebda.) 

Die Salicornien der dentschen NoidseekfiBte von Buchenau 
nnd Fooke. (Zeitschr. ge». N. T. 266 nach Brenner Abh. III., 199—211.) 

Die GefäBBpflanzen Spitzbergens nnd der B&reninael von 
FrieB. (Ebda.) 

Flora des arktischen OstgrOnland von Bachenau. (Tageblatt 
der Vets. d. Naturf. zu Lpz. 1872.) 

Ursprung der Flora Nordamerikas. (Natf. V. 61.) 

TeibreifungBeinriahtungen bei den CompoBiteen von Bilde - 
brand. (Bot. Zeitg. 15. 16.) 

Znr Ernährung der Flechten. (Ntf. V. 87 nach Natnre 143.) 

Ueber Pflanzenelektricität. (Ntf. V. 48.) 

Ueber den HelitropismuB der Pflanzen von Malier. (Ntf. 
V. 26.) 

Eigentliche OmbildnnK des Pollens, ein Beitrag zurEennt- 
nisB des Zellenlebens von Tomaschek. (Zeitechr. ges. N. V. S19.) 

EiferimentalunterBuchungenflber die Keimung der Samen 
von Wiesner. (Centralbl. f. Agricunmchemie. Eft. 3.) 

Die Entwickelung der schwefligen Säure auf die Pflanze 
von Schröder. [Ntf. V. 13.) 

Fungi auBtriaci exsiccati von F. v. Tbümen. Von dieser Exsic- 
catensammlung ist 1S71 die 1. nnd 2. Centnrie, die 3. im Juni 1872 er- 
schienen und vom Herausgeber direct [Teplitz, MühUtrasBe, hohes Haus) 
gegen Baareinsendung des Betrages — 3 Thlr. pr, 100 St. — zu beziehen. 

Zur Beobachtnng der Gefässbändelvertheilung sind die von 
G. Lindemuth, k. Gartengehülfe im botanischen Garten in Berlin augefer- 
;^^en Skeletirnngen zu empfehlen. Die Präparate sind in grosser 
VoUkommenhcit hergestellt und zeigen die feinsten, in den kleinen 
Maschen des Gefässbündel ■ Netzes blind aaslaufenden Verzweigungen 
desselben; auch lassen sie bei verschiedenen Pflanzen z. B. Tneo- 
phrasta erkennen, wie Holz< und Bastbflndel in getrennten und von 
einander abweichend verlaurenden Systemen über einander gelagert sind. 
Der Preis dieser Präparate ist 6 Thlr. für die Serie ä 60 Species. 

Mikroskopische Pr&parate eur Erläuterung der allgemeinen 
Pflanzen- Anatomie mit besonderer Berücksichtigung der in den botanischen 
Lehrbüchern von Sachs und Dippel angefahrten Präparate sind von C. 
01z in Bern angefertigt worden und durch die Dalp'sche Buchhandlang 
in Bern zu bezienen. 

Eine Äbtheilung um&sst die Präparate, welche die Organisation der 
Zelle, bezw. äre Form, GrOsse, Inhalt, Verdickung etc. darstellen, die 
uidere Abtheilung enthält die Organisation der Zellgewebe, Baatgewebe, 
E^broTasalstränge , Milchsaftgeffiase etc. Preis pr. Stück 1 Frc. OollectioQ 
in 12 Präp. 16, za 34 Pi^p. 28, zu 60 Prftp. 60 Free. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte {(bei Versamni langen, AnazQge aoa Zeitachnften u. dgl. 169 



HathematlBolie und natorwlsaeiischaitllolLe UnlversitätssemiDare. 

Wir haben die Statat^D von nun bereits acht UnivendUtMeminarien 
Mr Lehrer der Hathematik nnd NaturwiBaenMhaft mitgetheiJt, nämlich; 
in Jabr?.' IV (1873) S. 77 Allgemeine« 
„ „ „ „ ,, ISO GreitBwalde 
I) .. >t I. II 182 Ghraz proj. 
„ ,, „ „ „ 373—374 Qflttingen, Breilan 
,, „ „ „ „ 444 — U6 Bonn und Tfibingen 
(, „ T (1874) „ 89 BerUn und Basel. 
Weiter emfcegangeD Bud noch folgende Berichte: IJniTeraitataBeminare 

g'bt ea nicht m: 
»rn (Mitth. des Em. Prof. Sidler) 
Mflnster (Uitth. dee Em. Prof. Heia;, doch eiistirt dort ein akademiech- 
wiaseDschaftl. Verein, deuen Statuten gor nicht« Bemerkenswerthes 
für nnsern Zweck bieten. 
Rostock (Mitth. des Em. Gjmn.-Dir. Eraaae] 

Prag (Polyt.) (Mitth. des Em. Prof. Lieblein) 
Jena (Mittli. des Em. Prof. Sohäffer) hat nur eine mathem. Oe- 

Bellacbaft nnter Leittmg dea Prof SchäSer.*) 
Eigentliche Seminare zwar nicht, aber doeh ÄnfÄnge dftau oder Surrogate 

besitzen folgende Univerüt&ten: 
Lelpslg (Hitth. des PriTatdoc. Dr. Weiike, Redactenre der Zeitui« für das 
h. Unterrichtsweaen in Deuschland). Dort sind nnr einzelne frei- 
willige Vorträge der Profeaaoren, welche dae Seminar Üieila er- 
aetzen. theila anatreben sollen, e. B. von 

Prof. Dr. Neum&nn, Besprechung math. ond phyaikal. Aufgaben 
Prof. Dr. Brnhna, CoUoquimn Ober einzelne Aufgaben ana der 

Astronomie 
Prof. Dr. Van d. MQhl, mathem.-phja. Debnngen 
Prof Dr. Wiedemann, phya.-chem. CoUoquia, 
Aach Dr. Weiake hUt „phjs. Vorträge mit praktiachep Üebungen", 
wenn — sich Theilnehmer finden, Sanpthindemiss soll der j,Hangel 
eines genügenden Apparates" sein. Neuerdings haben wir in dem 
VorlesunesreneichnisB der Leipziger Universität auch von phjsikal. Vor- 
ti%en dea Professors (geh. Hofraths) Hankel „für (künftige) Lehrer" 
(Lehramtscandidateu nennt man aie paeeend in üesterreich !) gelesen, doch 
gibt dieser nackte Titel keinerlei Aufschtuss über die Art dieser Vorträge. 
Es dOrfte wohl von der jetzt in Bläthe steLendeu Leipzigez Universität 
zn erwarten sein, da«) sie den andern Universitäten mit gutem Beispiele 
vorangehe und eine derartige Anstalt (Musteranstaltl) ina Leben rufe, 
namentlich an einem Orte, wo Männer, wie der auch um den uatur- 
geschiohti. Unterricht Terdiente Masiue und ein Ziller wirken ; doch ge- 
hört hierzu freilich eine Persönlichkeit im CnltuaministeriTim, welche — nicht 
Jurist, sondern erfahrner nnd b^eisterter Schulmann, sich warm für die 
Sache intereesirt und VersländnieB dafür besitzt. 

In Freibarg i. B. ist nnr ein schwacher Anfang dazu. Herr Prof, 
J. Müller schreibt uns darüber: 

1 Hkiigal 
I h. BflJiulAmti, V 
4 betr. StiAti gsmsflht wi 



du UniTmiUt Ja d h la enrShiun, Ei l»t | — elna «Tant, A«id«nuig 

Diobl «imtul Alna KiftmlnatfonioommiiBioii fOr Gand. dai h. BflJiulAmta, wfllcba doch 

bei dar Bnntniibigkaii der Tbar. Bt»leD nobi natbweiuUg wSis, diB Rimiin» mBH«i (odar 



FUla bakunt, la denen ... 

PtiUaugibahatde nlobt tat Dompsiant blelten, nuib Lelinlg, EkIIs oder 
Pittfong gingen, «uob rslle, wo lohon iltap-'-' ■ .---,__ 



n halb«* Jshrhandart imack I 



,ti7rJt,G00glc 



170 Berichte über Tereammlnngen, Auszüge aug Zeitschriften u. dgl. 

Als ich im Jahre 1B44 nach Freiburg kam. machte ich den Voischlag, 
ein matbematiBch-natundsienachaftlicheB Seminar nach Äit der damala be- 
reits in FreuBaen bestehenden zu begründen. Die Sache fand aber wenig 
UnterBtützung und wurde aamentlich von Seiten des HiniBteriuMS fallen 
gelaBBen. In neuester Zeit nun, nachdem Herr Paul DuboiB-Reymond 
als Profeaaor der Mstliematik berufen wurde, hat derselbe die Nothwen- 
digkeit eines solchen Seminars wenigstens tHr Uathemaük betont und auch 
im Vorlesungskatalog gewisse Vorlesungen als zum mathematischen Seminar 
gehörig bezeichnet, von Statuten irgend einer Art ist mir aber nichts be- 
kannt und Ton einem gemeinschaftlichen Seminare für Mathe- 
matik und Naturwissenschaften nicht weiter die Bede gewesen." 

In Marburg ist ein mathem.-phfs. Institut. Herr Prof Dr. Melde, 
Birector deiselbea schreibt uns darüber: 

,^aB hiesige Tnathem.-phye. Institut ist uat«r der Leitung meines di- 
recten Vorgängers errichtet worden und umfasst neben Bäumen nnd Lehr- 
mitteln für die Physik auch solche für praktische Geometrie und nament- 
lich auch ein astronomisches Olräervatonum mit einer Reibe brauchbarer 
Apparate. Ueber das Ganze habe ich allein zu wachen nnd bin der 
alleinige Vorstand der gesammten Einrichtungen, zu welchem Zwecke mir 
auch freie Dienstwohnung im Qebäude eingenchtet wurde ebenso wie bei 
meinem Vorgänger Prof. Gerling. 

Was nun die Verbindung der Studirenden mit diesem Institute be- 
trifft, so war dieses zu Oerlings Zeiten nur auf eine besondere Henntzung 
des praktisch geometrischen tmd astronomischen Theils gerichtet, dagegen 
in Ptysik — die Hauntaache — so gut wie gar nicht. Ich ücbb es des- 
halb meine erste Pflicht sein, dafür zu sorgen, dass Studitende praküsch- 
physikaliBch arbeiten konnten und habe ich seit sechs Jahren Montags und 
Donnerstags von 2—6 Uhr dieses Prakticum eingerichtet. In ihm werden 
Unterweiaungen in der Handhabung der Instrumente, Bestimmungen phy- 
sikalischer QrCsaen, fieobachtungsreihen mit den Torzüglicbsten Instra- 
raenten nnd auch selbständige I^tersuchungen von Seiten einzelner be- 
gabterer SchOler vorgenommen, welche letEtero an keine Zeit gebanden 
sind: Eine eigentliche Seminareinrieb tu og besteht aber nicht. Treisauf- 
gaben werden nicht gestellt. Die Benutzung der astronomischen Ein- 
richtungen voilüeht sich in derselben Weise und werden die Praktikanten 
insbesondere in den Methoden der Zeitbestimmung, ßeobachtuing von 
Finsternissen etc. unterrichtet. 

Das ist es, waB ich Ihnen zur Zeit mittheilen kann und füge ich dem 
noch hinzu, dass dem Institut ein jährlicher Fond von 800 if zur Dis- 
position steht, aus welchem aber eine Dienerin, Holz nnd Licht im etwaigen 
Betrage von 30O ^ beetritten werden müssen, so dass etwa 600 ^ für 
eigenuicbe Neuanschaffungen, Laboratorium »kosten etc. bestimmt bleiben. 

Auch in Ingbrnck enstirt eine seiche Anstalt, aber nur eine private. 
Herr Prof. Pfaundler schreibt uns darüber; 

Auf Ihre Anüage kann ich Ihnen leider wenig erwidern. Ich bin 
nämlich nicht Director eines mathem. Seminars, da ein solches überhaupt 
an unserer Universität nicht existirt nnd ich nur die Physik vertrete. 
Es haben aber im abgelaufenen Semester Beap rechungen zwischen den 
Professoren der iUathematik Dr. Baumgarten ond^Dr. Stolz, der analytischen 
Physik: Dr. Peche und mir Über die Einrichtung eines Seminars stattge- 
funden, ohne zu einem endgiltigen Ergebnisse zu führen. Es wurde von 
Seiten der Mathematiker nur eine Reihenfolge der za hörenden oder an- 
zurathenden CoUegien eutwori'en. 

Dagegen besteht an dem mir seit 1868 unterstehenden physikalischen 
Cabinete eine Einrichtung, welche mit der eines Seminar« nahe zusammen- 
fällt. Die darauf bezüglidien Bestimmungen sind nicht gedruckt, sondern 
nur im Loeale angeheffet. Ich kann Ihnen leider von hier aus keine ge- 
naue Abschrift schicken. Die Einrichtung ist folgende: 

Den Studirenden der Physik, welche sich hieen melden, wird an drei 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte Sb6x VersammluDgeii, AnaiSge ans ZeitHchrifUn n. dgl. 171 

Wocfaentagen den Tormittng hindurch (den VorgerücVtereD auch alle Tage 
Nachmittei^) das ÄcbeitBlocal geöffnet. Dort erhalten dieeelben die Appa- 
rate, welche m einer Reihe von Arbeiten (30 Nammera) nOthig sind. Diese 
Arbeiten wurden to anagewählt, dau von einfachen L&Dgeum essungen, 
Wiiücelableaangen etc an fortachreitend nach und nach alle die wich- 
tigeren Mesfunethoden, die sich mit den einfacheren Icstramenten darch- 
fSiren lassen, tat Anwendung kommen. Dabei ist auch die Einrichtnng 
getroffen, dass meist die folgende Arbeit die vorherige voraussetzt. So 
E, B. lernt der Stndirende am Babinefschen Qoniometer zuerst den Wiokel- 
noniuB ablesen, dann benutzt er dies Enr Meunng des Kantenninkels eines 
PrismaB, diese Messung benOtbigt er dann, wenn er nach Frauenbofers 
Methode den Brechungeapparat desselben Prismas bestimmt, endlich braucht 
et wieder letetem, indem er nach Wollastons Methode Brechnngapparate 
undurchsichtiger Medien ermittelt. 

Bei der Auswahl der Arbeiten wurde aber aaoh darauf geachtet, dase 
der Stndirende alle jene praktischen Kunstgriffe lerne, die er später 
beim Eiperimentiren als Lehrer nnd als Verwalter eines Cabinete braucht. 
Er be^nnt daher mit Arbeiten an der Glasbläser] ampe, er verfertigt dort 
z. B. eine ManometerrOhre , dieselbe must er sich dann mit der Theil- 
maschine eintheilen, die Theilnng mit liiuBssäure äteen. Dieses Mano- 
meter braucht er dum bei der öraduirong eines Aneroides^ in derselben 
Weise macht er sich Büretten, lernt sie eintheilen, kalibnren und fahrt 
sohliesslich damit eine Titreanaljse uns. Eine Werkstätte für Holz und 
Metallarbeiten ist den Stadirendeu Eng^glich. 

Ali Eohlrausch vor 2 Jahren seine „praktische Fhjsik" veröffentlichte, 
zeigte eich eine i^ppante U eberein Stimmung der von ihm ansgewäbltm 
Aufgaben mit den von mir angewendeten. KGnltig wird auch nach Külp's 
Aiitg^bensammlung vorgegangen werden, 

Deber jede Arbeit (von denen keine überspruogeu werden kann) mnss 
der Studirende ein Protokoll einhefem, in welchem Beobachtongs- and 
Rechnungsreenltate streng geschieden enthalten sind, damit er lernt That- 
sachen und Schlüsse, zu unterscheiden- Eine kurze Theorie der Methode 
ist vorauBEiMCbicken, Diese schriftlichen Arbeiten werden von mir oder 
dem Asmatenten corrieirt und entweder approbirt oder znr Wiederholung 
inrückgegebeo. Durch Ottern Wechsel der fleobachtnngsobjecte wird ver- 
hindert, dass gegenseitiK abgeschrieben werden kann. 

Eine kleine fiandbioliouek , deren Bände im Locale beliebig benutzt 
werden kSnneo, ermöglicht den Studirendeu, sich selbt theoretische Auf- 
Bohlüsae zu suchen, oder etwa eine Zwischenpause lehrreich auszufüllen, 
iu der er auf Apparate warten mnss, die ein Anderer im Gebrauche hat 
Dies die Grundsüge des praktischen Unterrichtes, daneben finden 
wöchentlich einmal Vortragsübungen (Beferate etc.) statt, verbunden mit 
einer £ritik derselben. 

Der Mangel eine« eigenen Arbeitssaales ausser dem Hörsaale macht 
obige Einrichtungen zn sehr mühsamen wegen der täglichen Transporte 
der Bänke, Tisene und Instramente. Ich speculire am Erwerbung eines 
Arbeitssaales, dann kann Alles besser, coDseqnenter und nmiangreicber 
dnrchgefahrt werden," 

Ansser den angeführten gibt es noch Seminare in Zürich ontet Leitung 
der Ueireu Schwarz und Fiedler und das bekannte in Berlin unter Leitung 
des Prof Schellbach, doch nur für bereits approbirte Lebramtscandidaten. 
Wir konnten bislang über diese Anstalten Genaueres nicht erfahren, 
ebensowenig über die Universitäten Hünchen, Strassbnrg, Giessen, Heidel- 
berg, Königeberg, Kiel, Würaburg, Prag, Dorpat, Festh, Wir werden 
an« jedoch bemühen, über diese Univ erg. - Staate Erkundigungen ein- 
anziahen, und bitten hiermit wiederholt die Leset unarer Zeit- 
schrift in den genannten Städten dringend um gef. Mit- 
theilungen fler die etwa dort bentehenden Einrichtungen te«p. 
um die betr. Statnten, ' 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



172 Berichte Aber YersanuuluiigBo, Aufzüge aus ZeitBohriften o. dgL 

Üeber Wien (UniverB. und Poljt.) werden wir Epiter aiu eigaei Än- 
sohanimg berichten. Waa Feeth betrifft, ho acheint diea — wenn man alle 
Nacbriohteti als baare Münze nehmen ddrHe, fast den 1. Platz in dieier 
Hineicht einzonehmen. In einem Aufsätze der „Allgem. Schalzeitaug" 
1873 Ni. 26 betitelt „Ein akademisches Seminar für das höhere 
Lehrfach" heisBt es: 

„Cisleithanien iat in dieeer Hinucht wenigetens von der Gatlichen 
Beichshälfte weit überflügelt worden nod kHnn nach Festh gehen. Dm 
zu lernen, wie man Lehrer für Genomen und Realacholen zu bilden habe. 
Der soeben veröffentlichte and in deutscher Uebereetzong anch uns zq- 
gänglich gemachte Bericht des kgl. ungariBohen ünterrichtsmimsteriomB 
vom 4. September 1872*) enthält auwer vielen böchet werthvoUen Be- 
richten über groesartige, ja, staouenswerthe üroaniaationen auf dem 
Bildungsgebiete — über welche wir uns weitere Mittheilung vorbehalten 
— auch nachstehenden Fa«aas auf Seite 114; „Ihn wesentOcher Mang«l 
in unserem Mittelschnl wegen war bis zum Insl ebentreten des Ministeriums, 
daae wir kein Mittelschullehreraemiiiar besassen. 

Den philosophischen Curs an der Universität ausgenommen, war im 
ganzen Lande kein Institut, in welchem sich der Gvmnaaiallehramtacandidat 
auch nur theoretJBch hätte ausbilden kOnnen und gar kein aolcher Curs, 
in welchem er den seinem künftigen Beruie entsprechenden praktischen 
Unterricht und Unterweisung hätte erhalten können. 

Dieser Mangel ist non beseiÜKt, insofern im Schoos der philosophischen 
Facultät der Universität zu Pestfa für QjmnaHiaUebramtsuondidaten und 
zwar für jedes wiasenschaftliche Fach beBondere Seminarien bestehen, 
nach deren Abeolvirung die Caudidateu behufs Aneignung des theo- 
retischen, wie des piuktischen Unterrichts der Pädagogik und Didaktik in 
das mit einer pädagogischen Uebungsscbule verbundene praktische 
Seminar txeten. Dieses Seminar, in welchem sowohl die Seminarien für 
die einzelnen Wissenschaften, als auch dos zur theoretiechen und prak- 
tischen Erlernung der Pädagogik und Didaktik errichtete Seminar organisch 
vereinigt sind, steht bis jetzt in Europa noch einzig da nnd bat eich die 
Anerkennung der aosgezeichnetsten ausländischen Pädagogen erworben. 
Auch im Bäioosse des Polytechnicums wurde für ^alschnUehrer in 
Bezug auf Mathematik und Naturwissenschaften ein ähnliches Seminar er- 
richtet, dessen ZOglinge dann behufs praktischer Ausbildung in die päda- 
gogische AbtheiluQg des Seminariums an der Universität übertreten kSnnea. 
Ja diesen zwei Seminarien werden jährlich 46 ordenthche Zöglinge der 
Seminarien gebildet, welche, damit sie ihre Zeit gänzlich den Wisaen- 
schaflen widmen kOnnen, ein von der Legislation bewiUigteH Stipendium 
von je 400 fl. nnd für ihre besonderen Arbeiten noch besondere Preise er- 
halten." 

So constatiren wir denn hiermit die drei wichtigsten Momente: 

1) Die Condidaten des höheren Schnlamts nnd zwar sowohl die auf Uni- 
verai^ten, als auf polytechnischen Anstalten gebildeten, treten nach 
Absolviiungder betreffenden Pachseminare in daspädago- 
Rische Seminar der UniversiUlt. 

2) Mit dem pädagogischen Seminar ist eine üebangsschule verbanden. 

3) Von 45 Cuididaten erhalten jeder, um ihrer pädagogischen Aus- 
bildung in Wahrheit leben zu können , das «naehnliche Stipendium 
von 100 fl. 0. W., für ihre besonderen Arbeiten noch besondere Preise. 

Hoffen wir, daea in einem der nächsten Decennien sich ein Gleiches 
von FreuBsen, Boden, Bayern berichten lässtl" 

Der Artikel iat mit St. (Stoy?) unterzeichnet. Wenn das darin Ge- 
sagte wahr wäre ( — wir konnten ans troz der verbältnissm. groaaen 
Nähe Pesth'a bislang nicht davon überzeugen — ), so hätte allerdings 

■) Wli koiiDtsn iitmta Bei 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte über Yeraaiiunlungen, Ansiüge aus ZeitBchriften u. dgl. 173 

Ungarn allen andern Staaten Mitteleoropas hierin den Rang abgelaufen: 
Man muas aber alle Nachrichten, die aus Ungarn kommen, wie die Er- 
fahruDg lehrt, mit der crOssten Toriicht a'afneSmen. *) 

Esmögeunn noch folgen das bez. Reglement für Halle -Wittenberg. 



Torl&n%es**) Regrlement fttr das Semtuar für Matbematlb und die 

gegammten NutarwIsBeDBcli arten anf der UnlTersltAt Halle- 
Wittenberg. 

§, 1. Der ^weck des Seminars für Mathematik und die gesammten 
NatarwissenBchaften ist: Anleitung zum Selbststudium und zum Lehiror- 
ttage der bezeichneten WiBeenscbaften zu geben, nüt besonderer Beziehung 
auf Bildung solcher Lehrer für Gjmnusien und höhere Bürgerachnten, 
welche befähigt seien, nicht bios zur Fortpfianzung. sondern auch zur Er- 
weiterung der Wissenschaft etwas beizutragen. 

§. 2. Dieses Seminar ist als ein Uni versitätg- Institut zu betrachten, 
wird unter den Universitäta-Inatituten im Lections -Kataloge und. amt- 
Ucben Yerzeichnisse angezeigt und genieast alle Rechte, welche die andern 
wiBsenechaftlichen Institute hiesiger Universität geniessen. 

§. 3. Vorsteher sind die jedesmaligen Professoren der einzelnen natiir-- 
wissenschaftlichen und mathematischen Fächer. 

§. 4. Jedem dieser Professoren ist es überlassen, die ihm für seid 
specielles Fach angemeesen scheinende Einrichtung zur Erreichung des im 
g. 1.' ausgesprochenen Hauptzweckes zu trefien und zu diesem Zwecke 
nach Gutdünken auch besondere Bestimmungen festzusetzen, in so fem 
eie den allgemeinen, das ganze Institut umfassenden Anordnungen keinen 
Eintrag thnn. 

§. 6. Zur BeBorguiu[ der auf das Ganze sich beziehenden GescbS.fte 
wählen die Vorsteher der einzelnen Sectionen aus ihrer Mitte jahrlich 
einen Director, welcher geiBeinechaftliohe Berathungen veranlasst und 
leitet und die Mitglieder des Seminars zu allgemeiueG Versammlungen 
einladet. Abgehenden ein allgemeiues Zeugnisb mit Zuziehung der einzel- 
nen Voroteher ausstellt (s. |. 9.) und die nöthigen , seien es SfientÄche 
oder von den vorgesetzten Behörden verlangte Berichte im Namen des 
Seminars erstattet. 

§. 6. Mitglieder des Seminars kOnnen werden: 1) alle fSrmlicb imma- 
triculirte Studenten, welche sich specieller mit Mathematik oder irgend 
einem Zweige der Naturwissenschaft beschäftigen wollen! 2) alle diejenigen, 
welche für ein specielles mathematisches oder naturwissenEchaftlichee Fach, 
blos bei der philosophischen Facultät inscribirt sind, wozu namentlich 
Pharmaceuten und von Realgymnasien oder Gewerbschulen mit guten 
Zeugnissen Entlassene gehären j 3) bereits angestellte oder nach bestan- 
dener Frdtnng einer Anstellune entgegen sehende I^ehrer, welche sich 
noch ia -eiaem speciellen maUiematiechen oder natnrwissenschaftUcbea 
'Fache ausbilden oder auch als Repetenten hülfreich werden wollen. 

g. T. Der vollständige Cursas fCir diejenigen, die sich dem Lebr&che 
widmen, ist, auf drei Jäire berechnet, kann aber in besonderen Fällen 
nach Umständen verkürzt oder verläneert werden. Anderen, namentlich 
bereits angestellten Lehrers, oder solchen, die einer baldigen Anstellung 
entgegen sehen und sich nur in besondem Fächern der Mathematik und 
Naturwissenschaften weiter ausbilden wollen, ist die Theilnahme auf un- 
bestimmte Zeit rerstattet 



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174 Berichte über VerBammluDgen, Auszüge aus Zeitachriften n. dlg. 

g. 8. Diejenigen Stndirenilen, welche eis wirkliche Hitgliedet in das 

Seminar «intieten wollen und die zar Änfnahine in dasadbe erlbrder- 
liehen VorkeDDtnisse besitzen, baben die Obliegenheit, in jedem Semester 
wenigstens in einem Fache ala thätige Theilnehmer zu arbeiten und 
werden in einem besonders daza be^tiicmten Buche verzeichnet. 

§. 9. Nur diejenigen Mitglieder, welche eich vor ihrem Abgange 
einer beBOndern Prüfung unterwerfen wollen, erhalten ein fSrmlicbeB. von 
dem Director und den Yorstehern unterschriebenes und von dem Decan 
der philosophischen Fäcultät beglaubigtes Abgangazeugnias über ihre 
Fortechritte in der Mathematik und in den Natur wiasen Schäften nach den 
einzelnen Fächern und' ihre Befähigung als Lehrer. Den übrigen Mit- 
gliedern steht es frei, eich über ihre Theilnahme und Leistungen Privat- 
aengnisse der einzelnen Lehrer geben zu laaaen. 

§. 10. Die Arbeiten der Mitglieder bei den einzelnen Sectionen kGnnen 
sich entweder auf freie Vorträge über einzelne Materien oder Referate 
über anagezeichnete ältere und neuere Abhandlungen mathematischen und 
naturwiaaenachaftlichen Inhaltes, oder auf Darlegung der Resultate eigen- 
thümlicher Untersuchungen beziehen. Doch soUen darüber geflisaentlich 
keine allgemeinen Bestimmungen gemacht, sondern es jedem Vorateher der 
Section ailein überlassen werden, der Natur dea ihm anvertrauten Faches 
gemäss, diese Arbeiten nach Gutdünken anzuordnen und zu leiten. Zu 
^ittheilungen aber in den allgemeinen Versammlungen, wozu der jedes- 
malige Direetor einzuladen hat, empfehlen sich zunächst aotche Abhand- 
lungen, welche die Theilnahme mehrerer Sectionen in Anspruch nehmen. 

g. II. Das bei der medidniachen Fäcultät begründete pharmaceu- 
tische Institut schliesat sich, seiner Tendenz nach, dem zunächst zum 
Kreiae der philosophischen Fäcultät gebürigen allgemeinen mathematisch- 
naturwissenschaftlichen Seminare an. Beide Anstalten werden aich be- 
streben, sich bülfreiob und förderlich zu aein. 

§. 12, Auch zu technischen, den einzelnen mathematisch«! und 
naturwissenschaftlichen Fächern angemessenen Arbeiten werden die sich 
darbietenden Gelegenheiten benutzt werden und insbeaondere wird im 
Zeichnen naturhistoriacher Gegenstände denjenigen, die es wünschen, 
der akademische naturhistoriscbe Zeichnen lehr er Unterricht ertheilen. 

§. 13. Die äusseren Vortheile (abgeselien von den wissenschaft- 
lichen) welche den ordentlichen Mitgliedern bei dem Seminar zu Theil 
werden, sind; 1) diejenigen Vorrechte, welche die Universitäts- Bibliothek 
allen Theilnehmem an denjen^en Seminaren gewährt, welche ala Uni- 
versitäts-Institute im Leclions -Kataloge angezeigt aind-, 2) druckwurdige 
Abhandlungen der Mitglieder können, so weit es die Fonds gestatten, 
Prämien erhalten, den hierüber von Seiten dea Directoriuma zumachen- 
den Anträgen gemäss; 3) Abhandlungen der Semin ari aten . welche auf 
irgend eine Weise zor Erweiterung der Wissenschaft beitragen, .werden 
von den Vorstehern an irgend eine geeignete Zeitschrift mit einem Vor- 
worte begleitet eingesendet werden; 4) ebenso werden die Vorsteher 
darauf Bücksiebt neumen, dass, wenn Assistenten- Stellen bei den ihrer 
Direction anv'ertrauteu Instituten zu besetzen sind, solche, so weit es 
die Umstände gestatten, vorzugsweise durch Seminaristen besetzt werden; 
5) diejenigen Seminaristen, welche sich bei dem Anstritt aus dem Seminar 
durch eine achriftatellerische Arbeit vortheilhatt , auszeichnen , werden, 
nach dem Vorachlage der Vorsteher, mit Genehmigung des Ministeriums, 
für die Kosten des Druckes dieser Arbeit ala Dissertation bei ihrer Promo- 
tion aus dem Universitäts- Fond, falls dieaer hierzu verwendbare Mittel 
darbietet^ entschädigt werden; 6) demjenigen ordentlichen Mitgliedern, 
welche die Prüfung pro factUtate docendi überstanden haben, und sich 
durch Tbätigkeit am Seminare ausgezeichnet auch ihre Lehri^bigkeit 
durch die ihnen verschaiite Gelegenheit znm Unterricht an Schulanatalten 
in Halle hinreichend bewährt haben, wird nach einem von dem Direc- 
torinm zu machenden Antrage, das bei dem Seminar in dieser Thätigkeit 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte über Versammlungen, Auszüge aus ZrttBchriften n. dgl. 175 

verlebte Jahr eben bo angerechnet, aU ob sie ein Jahr unentgeldlich an 
einer Schule Unterricht ertheilt- hätten, 
ßerhn, dea 27. November 1839. 

MiniBterium der Geistlichen, Unterrichta- und 

Medicina! - An gelegenheiten . 

(gez.) Ältenstein. 



Kleine Literatur-, Anfsatz- and Recensioneschan der Bedaction. 

Ein nenes literttrisebes Unternehmeii betitelt Volkabildung und. 
Schulwesen gibt der Wiener Profeesor am Akudem. Gymnasium und 
Beichstagsabgeordneter D. A. Ecger in Wien bei A. Holder (Beck's 
Univ.- Buchhandlung) heraus, welclie« nach dem Prospect die ,, Verbrei- 
tung allgemein menschlicher Bildung" fördern und in zwanglosen 
Heften erscheinen soll. Das 1. ist. bereits erechieden und enchält ,, Indus- 
trie und Schule in Oesterieich" vom Herausgeber. 

Für unser Lesepublicum dürfte aus den angekündigten weitem Bei- 
trägen besonderes Interesse haben: 

Ficker, dee österr. Realgymnasium.*) 

Uannack, Proseminarien. 

HaTeok, Ausbildung von Lehramtscan didaten für Mittelschulen. 

Wildauer, Heranbildnug tod Lehramtscandidaten für llittel- 

schulen. 

Wretschko, Fachbildung der Lehramtscandidaten, Realgym- 

naeien und caturhistori scher Unterricht, 

also — unser oben ventilirtcs Thema (Lehrerbildung) von mehreren 

KiSften zuglcicli behandelt. Wir werden nach dem Erscheinen jeder in 

das Bereich unserer Zeitschrift fallenden Abhandlung^ darüber weiter be- 

Elne AiiBBt«llour des Vereine zur Förderung des Zeichen-. 
unterriclitB*"'), welcne vergangene Ueterferien (1ST4) nach einem ISTS aus- 
gegebenen Programm in Berlin stattSndenBollte, hatte, wie ihre Vorgänger, 
xam Zweck im Allgemeinen die „Förderung des Z eichen untericbts durch 
Veranschaulicbung der Lehrmittel und LeiatusgeD." Die Anssteilungsobjecte 
waren: Sehüleracoeiten , Lehrmittel und Utensilien. Unter letzteren sind 
nichtgenanntEeisszeuge.Massfltäbe und Bleistifte. Wir -HTiuBchtei;, 
dass gerade über diese Erzeugnisse der verschiedensten Firmen. Erzeug- 
nisse, welche auch für den propädeutisch. geometrischen Unterricht 
höchst wichtig sind, eingehende Untersuchungen geführt und geäaue 
Berichte gelieferi: werden möchten. Das fiele ja gerade and vorzugsweise 
in das Bereich dieses Vereins ! Es werden in dienern Fache so erbärmliche 
Erzeugnisse auf den Markt gebracht, dass es dringend noth thut, die 
Wiukelfirmen einmal an den Frauger zu stellen, dagegen auch solide 
Firmen, deren Bestreben es ist, nur gute und zweckmässige Waare auf 
den Markt zu bringen, bekaunt zu gebeu. Freilich, eine Ausstellung wie 
die in Bede stehende (und wie auch in noch häherem Grade die Wiener 
Weltausstellung) kann streng genommen nicht massgebend sein. Denn 
für einen solchen Fall sucht auch der Stümper und der Unredliche etwas 
Leidliches, der Mittetmässige etwas ßutes zu bieten. Man muss vielmehr 
über diese Leute kommen, wie ein Dieb in der Nacht und ihre „AU- 
tagswaare" (Durchschnitteleistung) uotersnchen. 

Das Schlimme ist, wie bei den meisten Lehrmiteln dass viele Verfer- 
tiger derselben bei ihrem nicht selten niederen Bildung 
bei ihrem geringen Veratäudniss des liir die Schule " " 



d«r Wiener üalTBm.-Pcof. der Pftdagogik 1 
BromhUj« Beschrieben. .deren SoUait Uutetr „nud darum TerdiBnan ein 

**) Wir bitten Leier , welche dl«e AoieteUiuig bauobt Iiabea , am einen Brrii 



,iP,.-iM,Googlc 



176 Berichte über VeMammlungeri, Aneiüge aus Zeitechriften n. dgl. 

Braachbaren nicht einmal der Mühe ea für werth halten , einen 
SachverBtändigen d. h. einen praktiBchan Lehrer über die Z-weckmäamsbeit 
des Lehtmi^teiH nm Rath zn fragen, sondern dasselbe nach ihrem Gut- 
dünlien anfertigen. 

Geographisches — HethodiBchex. 
Langbem-Kranune enthält in XVI, 1. u. A. 
Dr. Eeidt- .(Bemerkungen über geographiechea Unterricht," 
welcher viel Beherzigen 8 werthes bietet und deasen LectOre wir daher den 
FachgenoBBeu empfehlen. Aufmerksam c-emacht wird bei Besprechung 
der geographischen Lehrmittel ant die bekannten (und in Sachsen viel be- 
■ntaten) Elemente der Ueographie nebst Atlas von Stösftner nnd 
auf Voget'B Netzatlas. Wir bedauern, dass der geehrte Herr Verf. 
hier Sydow iguorirt und möchten hiniufögen, daaa wir aus eigener Erfah- 
rung für das Gediegenste irrt Gebiete des planmllBBigen methodischen 
Chartenzeichnega die Sjdow'schen Uebuuga Charten ^-welche weniger be- 
kannt zu sein scheinen, als sie es verdiencB — halten and zwar in fo&ender 
Stofenfolgc: den hydrographischen Ättaa (welcher we^eu seiner Braach- 
barkeit die meisten Auflagen erlebt hat), den orographischen, hjdro- 
topischen, zuletzt den Qradnetz-Atlas. Nimmt mau dazu den 

geogr. Leitfaden desselben Verfassers (1. Abth. des Grundrisses der allgem. 
eographie, eine geogr. Vorschule und Anhalt für Eeimathkunde: Gotha 
bei Perthes 1862), so hat man ein Lehrmittel, wie es wohi wenige geben 
dürfte. Wir wollen hiermit der Stäisner'schen Leistung durchaus nicht 
7.11 nahe treten, zumal da wir die Charten seit langer Zeit nicht wieder 
gesehen haben. Nur gegen die „geogr. Fragen" desselben Verf., die wir 
t'rtiher bei unserm langjährigen geogr. Unterrichte viel beouM haben, 
hätten wir erhebliche Euiwendungen zu machen. 

Eine Stndle. Die »chlOmilchsche Zeitschrift bringt im Jahrg. 19 (1874) 
U. A. eine Abhandlung; „Sieben Vorlesungen von Hesse auB der analyt. 
Geometrie der Kegelschnitte, eine Fortsetzung der 15 Vorlesungen aoe 
der analyt. Geometrie der geraden Linien des Punktes und des Kreises 
(Leipzig, Teubner 1873). Sie setzen ausser Diff.-Recbnung das VersUnd- 
nisB der Determinanten von Hesse (s, dessen Schrift) vorauB. Demjenigen, 
welcher sich mit der Lehre von den Determinanten erst bekannt macuen 
will ( — nnd deren gibt es unter den altern Fachgenosaen gewiss noch 
manche — ) ist zu empfehlen in erster Reihe die Broschüre von DOlp 
in Darmatadt, dann die von Hatte.ndorf und dann erst die von Hesse, 
eine Schrift, welche einen mathematischen Leckerbissen für den bietet, 
der in den Determinateu schon fest ist. So folgen diese Studienmittet 
ihrer Fasslichkeit nach aufeinander. 

Bemerkensnerthe R«cenBloiien. Die Zeitachrift für ästerr. Gymn.- 
Wesen (1874) enthält eine Recension der bekannten und schätzbaren Auf- 
gdbensammlnng von Bardey aus der Feder eines Wiener Gymnasial- 
Bupplenten Schnellinger, welche, die Vorzüge dieser geschätzten Sammlnng 
würdigend, auch manche beherzigenawerthen VerbesBerungsvorBcbläge 
enthälL 

Das Archiv von Grunert-Hoppe (G6. 1. 1874) enthält n. A. auch eine 
Recension der SchlOmi Ichseben „Geometrie des Massea" von Hoppe, in 
welcher dieses Buch arg mitgenommen wird. Der Vorwurf der Unwissen- 
schaftlichkeit einzelner Fartieen ist für einen Autor wie Sciilömilch schwer- 
wiegend. Wir mBohten behaupten, H. habe übersehen, da^a dieses 
Bu(£ zugleich eine propädeutische Seite hat, und bei dieser die rigorosen 
Forderungen der Wissecechaft bekanntlich zurücktreten milsaen. I^cht 
minder scharf zieht Hoppe ^egen Ascbenborn zu Felde, welchen er zu 
' breite Ausführung vorwirft, der SchSler „lerne in keiner Frage 
aelbat entscheiden." Wir empfehlen den Herren Fachgenossen' aie 
LectOre der Becensionen Hoppes , der eine scharfe Feder führt. Sie regen 
sehr zum Nachdenken and Lernen an. 



iM,Googlc 



Theorie der abgekürzten Rechnung mit Decimalzahlen 

Tom Bector Dr. Scowabz in Gnmbinneii. 

Die ßechnung mit abgekürzten DeciiDalzahlen wird freilich 
in den meisten LehrbQchern abgehandelt, ercheint aber deonocb 
sowohl in der Theorie als iu der Praxis vernachlässigt Nur 
wenige Lehrbücher (wie z. B. die Arithmetik von T Müller) 
erschöpfen die Theorie, aber die Regeln, welche fQr das prak- 
tische Recbnc^n hieraus abgeleitet werden, sind nicht ausreichend 
Die Äufgabensamnilungen sind nach dieser Seite tun auch häufig 
genug ohne allen Sinn gearbeitet: sie muthen bei complicirteren 
und mitunter selbst bei ganz einfachen Exempeln der Rechenkraft 
Leistungen zu, welche zu der Genauigkeit des zu erzielenden 
Resultates in dem ungünstigsten Verhältnisse stehen. Was nun 
vollends den wirklichen Unterricht betriftt, so kommt es oft 
genug vor, dass die Lehre von den DecimalbrQchen in ein paar 
Wochen absolvirt wird, und, wo diesem wichtigen Zweige der 
praktischen Rechenkunst auch grossere Sorgfalt zugewandt wird, 
pflegt doch die Beschränkung auf die abgekürzte Multiplication 
und Division einzutreten, ohne dass diese Methode für zusammen- 
geeetztere Rechnungen nutzbar gemacht, d. h. eine solche Ein- 
richtung des Galcüls gelehrt würde, bei welcher die Genauigkeit 
des Endresultates sich bis auf eine bestimmte Decimalbruchstelle 
erstreckt. 

Die wesentlichsten Regeln sind nachstehend zusammengefasst 
und das Nothwendigste über die Art und Weise ihrer Anwen- 
dung hinzugefügt. 

§. l.a) Eine vollständige Decimalzahl wird im wei- 
teren Sinne abgekürzt, indem man eine begrenzt« Menge 

Z*i((obi. f. math. b. Mtamr. Onlerr, V. la 



iM,Googlc 



178 Dr. Schwabs, 

ihrer höchsten Stellen beibehält und die Ziffer in der letzten 
beibehaltenen Stelle entweder unverändert belässt oder um Eins 
erhöht. Die erhaltene unrolUtändige Decimalzahl ist im 
ersten Falle kleiner und im zweiten Falle grösser als die toU- 
ständige Decimalzahl; in beiden Fällen macht der Unterschied 
zwischen beiden noch nicht eine volle Decimaleinheit der nie- 
drigsten beibehaltenen Stelle aus und unterhalb dieser Stelle 
bleibt auch der Fehler, den man begeht, indem man die unvoll- 
ständig^ Decimalzahl an Stelle der vollständigen treten lässt. 

b) Gewöhnlich wird eine vollständige Decimal- 
zahl im engeren Sinne abgekürzt, d. h. die Ziffer in 
der letzten beizubehaltenden Stelle bleibt unverän- 
dert, wenn in der rechts folgenden Stelle weniger als 
5 steht, und wird um Eins erhöht, wenn in der rechts 
folgenden Stelle 5 oder mehr als 5 steht. Der Fehler, 
den man begeht, indem man diese nnvollsi^ndige Decimalzahl 
an Stelle der vollständigen treten lässt, beträgt noch nicht eine 
halbe Decimaleinheit der niedrigsten beibehaltenen Stelle. 

Die Zahlelemente, welche in einer Aufgabe vorkommen, 
werden im Nachfolgenden, sofern nicht ausdrücklich das Gegen- 
theil bemerkt ist, als im engeren Sinne verkürzt angesehen. 

§. 2. Die erste (oder höchste) geltende Stelle einer 
Decimalzahl ist die erste (oder höchste) Stelle rechter Hajid, in 
welcher eine von Null verschiedene Ziffer sich vorfindet. Jede 
links nachfolgende Stelle ohne Unterschied, ob sie durch Null 
oder durch eine von Null verschiedene Ziffer auf^effÜIt wird, 
zählt als eine geltende Stelle mit. 

§. 3, Um eine Summe, welche nicht mehrere als 
10 Summanden hat, bis auf eine bestimmte Stelle aus- 
zurechnen, reicht es hin die einzelnen Summanden 
bis auf die nächst niedrigere Stelle abzakfirzen und 
diese abgekürzten Summanden zu addiren. Wenn die 
Zahl der Summanden zwischen 10 und 100 ist, so muss jeder 
Sutnmandus bis auf die zweitnächste niedrige Stelle abgekürzt 
werden. 

Um z. B. die erste Regel zu beweisen sei n die Anzahl die 
der Summanden und n ^ 10, femer k der Exponent derjenigen 
Potenz von 10, welche die dekadische Einheit der niedrigsten 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie der abgekürzten Il«chniing mit Decimalzoblen. 179 

von den geforderten Stellen ausdrSckt: alsdann iat (§. Ib) der 
Fehler in jedem vertttrzten Sammanden höchstens y ■ 10*-^ 
nnd mithin, auch wenn man den ungünstigsten Fall, d. h. die 
'verkürzten Summanden ohne Ausnahme entweder zu gross oder 
zu klein haben sollte) der Fehler in der Summe höchstens 
^ - lO*-' ^f • 10*-> oder 4 - 10*. 

In allen Fällen, wo die verkürzten Summanden theils zu 
gross, theils zu klein ßind, wird die erzielte Genauigkeit noch 
grösser sein, weil ungleichartige Fehler in der Summe sich gegen- 
seitig, mindestens theilweise, aufheben. 

Vorstehende Regel gilt auch für die Berechnung 
algebraischer Summen. 

Wenn die Verkürzung der Summanden im weiteren Sinne 
erfolgt, so ist schon 5 die höchste Anzahl der Summanden, bei 
welcher die Verkürzung nur bis auf die nächst niedrigere Stelle 
noch als zulässig erscheint. 

Es soll z. B. die Summe 0,6279834 + 9,0513279 + 11,5285591 
+ 3,1790612 + 0,0035847 bis auf 3 Decimalbrachatellen richtig 
berechnet werden. 



0,6279834 


0,6280 


9,0513279 


9,0513 


11,5286591 


11,6286 


3,1790612 


3,1791 


0,0035847 


0,0036 


24,3906163 


24,3906 


Genaue Summe. 


Engere Verkürzung. 




Feuer < A . 10"' oder 0,00026 


Weitere 


Verkürzung 


0,6279 


0,6280 


9,0618 


9,0514 


11,5285 


11,6286. 


33790 


3,1791 


0,0036 


0,0036 


14,3902 


14,3907 


nicht um 6 . 10 


-• Noch nicht um 5. 10-* 


0,0005 zu klein 


— 0,0005 zu gross 



Was die beiden letzten Summiruagen anbetrifft, so sind bei 



i.,Cooglc 



180 Br. ScRwuz. 

der einen Bämmtliche Summanden zu klein and bei der andern 
sämmtliche SummaiideQ zu gross ; zwischen den Iieiden erhaltenen 
Summen muBS demgemasB die Summe der vollständigen Decimal- 
zahlen liegen und in dieser letzteren mUssen die den beiden ersten 
gemeinsamen Stellen vorkommen, d, h. alle drei Summen fangen 
mit 24,390 an. 

Die Summe 0,679 + 109,5802938 + 2,38145 lässt sich, wenn 
alle drei Summanden unvollständige DecimalbrQcfae (Kähenmga' 
werthe) sind, höchstens bis auf 2 Decimalbru(^tellen richtig 
berechnen: das Resultat ist: 112,640. 

§. 4. Um die Differenz zweier Decimalzahlen bis auf eine 
bestimmte Stelle auszurechnen reicht es hin die Glieder der DifTe- 
reuz bis auf die nächst niedrigere Stelle abzukürzen und die Sub- 
tracfcion zwischen den abgekürzten Decimalzahlen auszufahren. 

§. 5. Berechnung der unendlichen Reihe 

-L -I 1 [ ^ L .,... } _|_ 

1.8~l.a.8~1.2.3.4~1.2.3.4.5^" 

bis auf eine bestimmte Anzahl von Decimalbruch- 

stellen. 

Das erste Glied durch 3 dividirt ergibt das zweite, das zweite 

durch 4 dividirt das dritte, das dritte durch 5 dividirt das vierte 

u. s. w. fort. 

Indem man nun die auf einander folgenden Glieder z. B. 

auf 6 Decimalbruchatellen berechnet, erhält man für dieselben 

der Reihe nach: 



0,600000.. 


. . — 0,500 


0,166666 . . 


. . < 0,166 + 0,001 
. . < 0,041 - - 0,001 


0,041666 . . 


0,00833,1 . . 


. . < 0,008 + 0,001 


0,001388 . . 


. . < 0,001 + 0,001 


0,000198 . . 


. . < 0,001 


0,000024 . . 


. . < 0,0001 


0,000002 . . 


. . < 0,00001 


0,000000.. 


. . < 0,000001 



Die Addition schon der 5 ersten Posten, unter einfacher 
Weglassuug aller Stellen, die auf die dritt« Decimalbruchstelle 
folgen, bringt die Zehntelstelle der gesuchten Summe mit Ge- 
nauigkeit hervor: denn die' geltenden Ziffern in jeder folgenden 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



rbeorie der abgekürzten B«clmuiig mit Decimalzahlen. L81 

Stelle sind zur Hervorbringung vou Partialsummen, welche auf 
die Stelle der Zehntel von Eiufluss sein könnteu, nicht zahlreich 
genug. 

Näher ergibt die Addition jener 5 verkürzten Posten die 
Zahl 0,716 und die Addition aller hierbei (sowohl in den 5 Posten 
selbst, wie in den darauf folgenden Posten) we^elassenen Stellen 
weniger, als die Zahl 0,0051111 .... ausmacht. Die genaue 
Summe der unendlichen Keihe liegt daher zwischen den Zahlen 

0,716 und 0,716 + 0,0051111 , oder 0,7211111 .welches 

nur mögUeh ist, wenn sie mit 0,7 anfängt. 

Derjenige Nähenmgswerth, welcher mit der Summe der un- 
endlichen Reihe in den beiden ersten Decimalbmchstellen über- 
einstimmt, wird erhalten, indem man in den sechs ersten Posten 
alle anf die vierte Decimalbruchstelle folgenden Ziffern einfach 
weglässt und die so verkürzten Posten addirt. Denn für die auf 
einander folgenden Glieder der unendlichen ßeibe hat man 



0,600000.. 


. . = 0,0000 


0,166666 . . 


. . < 0,1666 + 0,0001 


0,041666 . . 


: . < 0,0416 + 0,0001 


0,008333 . . 


. . < 0,0083 + 0,0001 


0,001388 . . 


. . < 0,0013 + 0,0001 


0,000198 . . 


. . < 0,0001 + 0,0001 


0,000024 . . 


. . < 0,0000 + 0,0001 


0,000002 . . 


. . < 0,0000 + 0,00001 


0,000000.. 


. . < 0,0000 + 0,000001 



Die Addition jener 6 verkürzten Posten rechter Hand ergibt 
denNähenmg8werth0,5000 + 0,1666 + 0,0416 +0,0083 4-0,0013 
+ p,0001 = 0,7179 und die Addition aller hierbei weggelassenen 
Stellen weniger als die Zahl 0,0006111 .... ausmacht. Die 
genaue Summe der unendlichen Reihe liegt daher zwischen den 
Zahlen 0,7179 und 0,7179 + 0,0006111 .... oder 0,7185111 ..... 
welches nur möglich ist, wenn sie mit 0,71 anfangt. 

Auf analoge Art kann man successive alle folgenden Ziffern 
der Reihensumme s erbalten und dem Calcul, der dieselbe zuletzt 
bis auf 4 Decimalbrnchatellen genau liefert, durch Weglassung 
alles zum Beweise Erforderlichen die folgende übersichtliche , 
Gestalt geben: 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



0,500000 

0,166 6 ■"■ 

0,0416 

0,0083 

0,001 3 

0,716 

1 
0,717 9 

24. 
0,71824 

■ 2. 
0,71827 7 



= 0,7 . . 



= 0,718 . 



s = 0,7] 



Jede unendliche Reihe, deren Glieder nach irgend einem Gesetze 
fortschreitende bestimmte Zahlen sind, kann, wennsie eine bestimnite 
Snmme hat , d. h. convergent ist, in ähnlicher Weise Bunimirt werden 
und wenn sie keine Summe hat, d, h. divergent ist, stellt die Me- 
thode wenigstensdie Unmöglichkeit der Existenzeiner Summe heraus. 

§. 6. a) Die Kegel der abgekürzten Multiplication. 

Man multiplicire mit der höchsten geltenden ZiSer des Mul- 
tipUcators (unteren Factors) den ganzen Multiplicandus (oberen 
Factor), bringe bei der Multiplication mit den folgenden Ziffern 
des Multiplicators die jedesmalige uiedrigste Stelle des Multipli- 
candus in Wegfall und rechne zu jedem Partialprodocte diejenige 
Zehnerzahl hinzu, welche dem Producte der betreffenden Multi- 
plicatorziffer mit der zuletzt w^gelassenen Ziffer des Multipli- 
candus zunächst liegt — hierbei zählt 5 als voller Zehner mit. 
Von dem Producte endlich sind soviele Decimalbruchstellen ab- 
zuschreiben, als die Anzahl der in beiden Kactoren zur Verwen- 
dung gekommenen Decimalbruchstellen um die Anzahl der weg- 
gelassenen Stellen vermindert ausmacht. Sollte diese Differenz 
n^ativ ausfallen, so ist dem Producte linker Hand die Ent- 
sprechende Anzahl von Nullen anzuhängen und dahinter das 
Eomma zu setzen (oder zn denken). 

Mitunterkommt bei Anwendungder Regel der abgekürzten Mnl- 
tipUcation in dem einen oder anderen Falle eine Anzahl ganzer Stellen 
nicht zur Verwendung: diese Anzahl tritt alsdann in die Summe 
der Decimalbruchstellen beider Factoren als eine negative Zahl ein. 

Etwa nicht zur Verwendung gekommene Decimalbruchstellen 
' des unteren Factors sind auch bei der Bestimmung des Kommas 
nicht mit zu zählen. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Tlieorie der abgekfiraten Recturang mit DecimtUzahlen. 



183 



In der Hauptsache besteht die abgekürzte Multiplication in 
der Abwertung der niedrigsten Stellen desjenigen Produetes, 
welches durch die gewöhnliche Maltiplication erhalten wird: 
diese Stellen kommen aber für praktische Zwecke häufg gar 
nicht in Betracht und sind ausserdem, wenn die Factoren abge- 
kSrzte Decimalzahlen sind, in der Begel geradezu unrichtig. Die 
Methode hat also jedenfalls den Vortheil eine Menge völlig zweck- 
loser ßecbnungen zu beseitigen. 

In den nachfolgenden Beispielen sind die sncccssiTen weg- 
gelassenen Stellen des Multiplicandus durch Punkte markirt und 
etwaige nicht zur Verwendung gelangte ganze Stellen in Klammer 
gesefeit 



50,29769 
6,6027 



50,29769 
6,6027 



301 78614 
25148845 
10059 53f 



6 X 6029769 
5x602976. 

2x6029 10069 

7x602.. 



301 78614 
..2614886 



327,07078 
(5 -f- 4) — 4 Decimalbruchst. 



325135 
130054 
685243 
455189 
3 90162 
586243 



502976(9) 
5x65027.. 326135 

2x660 1300 2. 

9x65 586 9. 

7x6 46 7. 



327070|78876,3 



32978000 
9806,78 



32707000000 
(1 — 1) — 5 = — ÖDecimalbrnehst. 
d. h. 6 anzuhängende Nullen. 



197 868 
230846 



323407 990840,00 



32978(000) 
9806,78 



323406000000 
(— 3-f2) — 5 — — 6 
6 anzuhängende Nullen. 



n,g,t,7.dt, Google 



184 Dr- Schwabe. 

b) Fehlergrenze des Productes der unvollständigen 
Decimalzahlen. 

Als Fehlergrenze eines ^NäheriiDgewertheB zu irgend einer 
gegebenen Zahlbestimmtlieit kann man jede Zahl betrachten, 
welche im absoluten Sinne des Wortes die Differenz zwischen 
dem Näherungswerthe und der gegebenen Zahlbeetimmtheit 
äbersteigt. Wenn solche hinlänglich klein i^t, so gestattet sie 
in jedem einzelnen Falle eine bequeme Schätzung des Fehlers, 
den man begeht, indem man an Stelle des genauen Werthes 
den Nälierungswerth setzt. 

Es seien a und b irgend zwei Decimalzahlen, welche Nähe- 
rungawerrhe zu den gegebeneii (der Einfachheit halber als 
absolut vorausgesetzten) Zahlbestimmtheiten A und S dar- 
stellen mögen; a und ß seien die betreffenden Fehlergrenzen; 
alsdann bestehen die Ungleichheiten 

a — a<Ä<,a + a\inAb~ß<B<b-\-ß. 

Durch Multiplication derselben ergibt sich 
ab — ab — aß + aß < AB < ab -\- ab -\- aß -\- aß 
oder, wenn man erwägt, dass in der Praxis das Glied aß im 
Verhältnias zu den anderen hinlänglich klein ist um vernach- 
lässigt werden zu dürfen, etwas einfacher 

ab ~ ab — aß < AB < ab + ab ■{■ aß, 
d. h. der Ausdruck ab -(- aß stellt eine Fehlergrenze des Pro- 
ductes ab dar. Bei Berechnung derselben kann man unbedenklich 
die Methode der abgekürzten Multiplication verwenden und in 
einzelnen Fällen, wo der eine Factor eine sehr kleine Fehler- 
grenze hat, sich auch auf das die andere Fehlergrenze befassende 
Glied der Summe ah -f- oß beschränken. 

Es sei z. B. in dem ersten der unter a) berechneten Beispiele 
0,00083 die Fehlergrenze des obersten und 0,0108 die Fehler- 
grenze des unteren Factors. Alsdann gestaltet sicli die Berech- 
nung der Fehlergrenze des Productes wie folgt: 

a 0,000 83 (3 = 0,0108 0,00540 

b 6, 50(27) o = 50,29(769) 0,543 

498 540 0,5484 

42 2 

ab = 0,00540 \ =ab+aß 

aß ■= 0,543 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie der abgekürzten Bechauog mit Decimalzablen. 1S5 

Die gesuchte Fehlergrenze ist demgemäss nnr wenig grSBser 
als 0,5 und kann geradezu als dieser Zahl gleich angenommen 
werden; auch erkennt man, dass das Glied ech ohne Einfiuss 
auf diesen Betrf^ ist. 

Da die Fehlergrenze 0,5 ist, so können in keinem der beiden 
Producte 

327,070788763 und 327,07078, 
von denen das eine durch die gewöhnliche und das andere durch 
die abgekürzte Multiplication sich ergeben hat, die auf die 
Zehntelstelle folgenden Decimalbruchstellen als zuverlässig be- 
trachtet werden. Wenn man die Überflüssige, auf die Berech- 
nung verwandte Mühe sparen will, so muss eine angemessene 
Verkürzung der beiden Factoren eintreten: der Factor mit der 
Fehlergrenze 0,00083 wird passend auf 3 und der Factor mit 
der Fehlergrenze 0,0108 auf 2 Decimalbmchstellen redncirt. Dies 
gibt, je nach der Stellung, welche die beiden verkürzten Fac- 
toren erhalten, die eine oder die andere der beiden nachfolgenden 
Rechnnngen : 



60,298 


6,50 


6,60 


60,29(8) 


301788 


3250 


26149 


13 


326,937 


6 



f6,8 

Schon eine flüchtige Vergleichnng beider Ansätze lässt es 
sofort heraustreten, dass durch den zweiten Ansatz, bei welchem 
der Factor mit den wenigsten geltenden Stellen oben 
steht, die Berechnung unzuveilässiger Stellen möglichst ver- 
mieden wird. 

§. 7. Der bei der abgekürzten Multiplication zweier 
Tollständiger Oecimalzahlen begangene Fehler be- 
trägt noch nicht halb so viel Einheiten der niedrig- 
sten Stelle, als die um Eins verminderte Anzahl der 
Partialproducte ausmacht. 

Der in dem Producte b^angene Fehler ist die Summe der 
Fehler, welche in den einzelnen Partialproducten sich vorfinden, 
und da er immer auf Decimaleinheiten der niedrigsten Stelle 
bezogen wird, so kommt man ganz von selbst darauf, jene 
Benennung um der Einfachheit des Ausdrucks willen w^zulassen. 



n,g,t,7.dt,G00glc 



186 Dr. ScswAM. 

DemgemäBs soll von jetzt ab, soweit es ohne MiBsverBtändnisB 
geschehen kann, die Fehlergrenze einer unvollständigen Decimal- 
zahl durch den Zähler des sie aosmachenden Bruches markirt 
werden; man schreibt also nur diejenige Zahl hin, welche die 
Menge der darin vorkommenden Decimaleinheiten der niedrigsten 
Stelle angibt. In diesem Sinne ist z. B. -5- die Fehlergrenze 
jeder im engeren Sinne , 1 die Fehlergrenze jeder im weiteren 
Sinne abgekürzten Decimalzahl und, wenn das ganze Product 
eich aus a Partialprodncten zasammeueetzt, so ist zu erweisen, 
daas ^^^ die Fehlergrenze dieses Productes ist. 

Das oberste Partialproduct, welches von der höchsten Stelle 
des Multiplicators herrührt, ist in allen Stellen zuverlässig richtig 
und hat die Fahlergrenze Null. Das nächstfolgende Partial- 
product ist dem Bildungsgesetze seiner niedrigsten Ziffer gemäss 
mit Gewissheit eine im engeren Sinne verkürzte Decimalzahl 
und jedes folgende Partialproduct mit Sicherheit freilich nur eine 
im weiteren Sinne verkürzte Decimalzahl, so jedoch, dass man 
mit sehr grosser Wahrscheinlichkeit die engere Verkürzung auch 
hier als vorhanden annehmen darf. Der Beweis hierfür laast 
sich auf folgende Art führen. 

Die der niedrigsten Stelle hinzuzufügende Zehneranzahl ist 
nach der im vorigen §. angegebenen Kegel nur mit Berücksichti- 
gung der letzten weggelassenen Stelle des Multiplicandns be- 
rechnet und ein etwa vorhandener Einfluas der vorletzten weg- 
gelassenen Stelle unbeachtet geblieben. Nun ist die in Betracht 
kommende Stelle des Multiplicators durch eine der Ziffern von 
1 bis 9 und jede der beiden zuletzt gestrichenen Stellen des 
Mnltiplicandas durch eine der Ziffern von bis 9 angefüllt. 
Mithin sind im Ganzen 9- IO-10>b>900 verschiedene Fälle möglich 
und die Untersuchung derselben zeigt, dass darunter 164 sind, 
iu denen das betreffende Partialproduct nur im weiteren Sinne, 
und 736, in deneu es auch im engeren Sinne verkürzt ist. 
Die Wahrscheinlichkeit für den letzten Fall wird demgemäss 
durch den Bruch ^r-r oder nahezu -r ansgedrQckt, 

Hiernach ist die Fehlei^renze des ersten Pariialproductes 0, 
die Fehlergrenze des zweiten Partialproductes mit Gewissheit ~ 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie dei abgekOrzten Bechnuiig mit Decitnalz&hlen. 187 

und auch jedes der a — 2 folgenden Partialproducte hat mit 
sehr grosser Wahrscheiulichkeit dieselbe Fehlergrenze —. Folg- 
lich ist {a — 1). -^ oder — g~ die wahrscheinliche Fehlergrenze 
des totalen Productes, 

Das Gewicht dieser Wahrscheinlichkeit wird wesentlich 
durch den Umstand erhöht, dass etwa vorhandene entgegen- 
gesetzte Fehler der Partialproducte im totalen Pro- 
ducta sich theilweise aufheben. Dies wirkt auf das totale 
Product gerade so, wie eine durchschnittliche Verkleinerung der 
als gleichartig vorausgesetzten Fehler in den Partialproducten 
und der Betrag der Verkleinerung wird vielfältig hinreichend 
sein, um die weitere Abkürzung eines oder des andern Fartial- 
productes der Abkürzung desselben im engeren Sinne gleich- 
werthig zu machen. 

Die besprochenen auf die einzelnen Partialproducte bezüg- 
lichen Wahrscheinlichkeiten gehen sehr nahe in Gewissheit über, 
wenn man die niedrigsten Stellen derselben mit Rücksicht auf 
den etwa vorhandenen Einäuss auch der vorletzten weggelassenen 
Ziffer berechnet. Jedoch ist die hierdurch in einigen wenigen 
Fällen vermiedene Ungenanigkeit in der Berechnung der zuge- 
hörigen Fehlergrenze von so geringer Erheblichkeit, dass es nicht 
lohnt sich dämm für alle Fälle einen unverhältnissmässigen 
Aufwand an Rechenarbeit aufzulegen. 

§. 8.a) Die (auf Decimaleiuheiten der niedrigsten 
Stelle zu beziehende) Fehlergrenze eines durch ab- 
gekürzteMnltiplication her vorgegangenen Productes 
setzt sich durch Addition zweier Fehlergrenzen zu- 
sammen, von denen die eine aus dem Verfahren der 
abgekürzten Maltiplicatiou and die andere aus den 
in den Factoren vorhandenen Fehlern hervorgeht. Die. 
erste jener Fehlergrenzen ist die Hälfte der um Eins 
verminderten Anzahl von Partialproducten und die 
zweite die Summe derProducte, welche die Multipli- 
cation jedes Factors mit der J'ehlergrenze des andern 
ergibt (cf. §. 7. tmd § 66.)- 

Selbstverständlich wird es bei Ausführung der Multiplication 
der Fehlergrenze jedes Factors mit dem andern Factor nur auf 
die höchste Ziffer oder die höchsten Ziffern dieses andern Factors 



n,g,t,7.dt,G00glc ■ 



188 Dr. SCKWAEB. 

ankommen und dies gilt umsomehr, wenn jede der beiden 
Feblei^enzen unterhalb der Zahl 10 sieb befindet. Diese Annahme 
ist aber im Allgemeinen immer statthaft: denn im Falle des 
GegentheiU ist ja doch eine passende Verkürzung des betreffenden 
Factors zur Vermeidung überftüssiger und fehlerhafter Rechnungen 
geboten. 

b) Bei der abgekürzten Multiplication ist der- 
jenige Factor, der die wenigsten geltenden Ziffern 
hat, als unterer oder oberer Factor zu verwenden, je 
nachdem er eine vollständige oder unvollständige 
Decimalzahl darstellt. Im letztern Falle ist es jedoch 
zweckmässig den untern Factor vor Ausführuug der 
Multiplication soweit zu verkürzen, dass er eine 
geltende Stelle mehr als der obere Factor hat. 

Behufs des Beweises nehme man an, dass jede der beiden 
Multiplicationen AB und Bj4 in abgekürzter Weise vollzogen 
werde. Die geltenden Zitfern von Ä und B seien beziehungs- 
weise a, a, a", ■ ■•• und h, h', b", ■ ■ ■ ■, die Anzahl dieser Ziffern 
sei für die eine Zahl A gleich x und für die andere Zahl gleich 
x-\- }. (wo i. Eins oder eine die Einheit übersteigende Zahl ist) 
die Fehlei^enzeti von A tmd B seien a und ^, endlich sei 10 ~'' 
eine Decimaleinheit von der niedrigsten in dem Producte BA 
vorkommenden Ordnung: so muss 10~''~' eine Decimal- 
einheit von der niedrigsten in dem Producte A B vorkommenden 
Ordnung ausdrücken. Das Product AB wird also A geltende 
Stellen mehr als das Product BA in sich fassen; bei der Be- 
rechnung des niedrigsten zugehörigen Partialproductes sind die 
(x -j- A) — (x — 1 ) = A + 1 höchsten geltenden Stellen des 
Multiplicandus mit der niedrigsten geltenden Ziffer des Multi- 
plicators zu multipliciren. Hingegen bei Berechnung des Pro- 
ductes BA kommen nur die x ~|- 1 ersten geltenden Ziffern des 
Multiplicators B zur Verwendung, die übrigen (x + A) — (x + l) 
^ i. — 1 Ziffern desselben liefern im Allgemeinen der Null 
gleiche Partialproducte und erfolgt im Zusammenhange hiermit 
die Verkürzung der Decimalzahl B von x -{■ A auf x -|- 1 geltende 
Stelleu am passendsten vor Ausführung der Multiplication. 

Dies vorausgesetzt findet man unter weitgehendster Berück- 
sichtigung aller irgendwie in Betracht kommenden Theile der 
Fehlergrense : 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie der at^kQraten Bechnntig mit DecimalzalileQ, 189 
. , b'a ,b~ a , aß , a'ß , 1 



"*" 10"'"l(Kl"'" ""'"iQ'' "'"lP""'"lO^-f-l """a ' IQ-t 

10 f 

oder durch VemachlSssignng der von r^j bis zu —^ folgenden 
Zählerglieder etwas einfacher 



Pgr.Y.AB- :io_:^_I0O_-^)q«-fl0»+. 



Beide Fehlergrenzen haben demgemäss einen gemeinschaft- 
lichen Bestandtheil, der sich auf Decimaleinheiten von dem Range 
10"" '' bezieht und allein von der den Factoren anhaftenden Fehler- 
haftigkeit herrührt: ihr nicht gemeinschaftlicher Bestandtheil be- 
zieht sich für das eineProduct AB auf Einheiten von der Ordnung 
]()-/.-* ujij fßj. das andere Product BA auf Einheiten von der 
Ordnung lO-*". Er ist also im ersten Falle wesentlich kleiner 
als im anderen und zwar um einen Betrag, der, sofern x nicht über 
10 hinausgeht, der Grösse -5-* ■ 10"'' nahe kommt. Aber gegen- 
über dem Vortheile der etwas grösseren Grenauigkeit, welche das 
Product AB vor dem Producte BA voraus hat, fällt ungleich 
schwerer der Nachtheil ins Gewicht, der darin liegt, dass es X 
durchaus unzuverlässige Stellen mehr hat als dieses und dass deren 
Berechnung als eine völlig überflüssige Arbeit zu betrachten ist. 
Folglich empfiehlt es sich im Allgemeinen dem Factor A, der 
die wenigsten geltenden Stellen hat, die obere und dem Factor B 
die untere Stelle zuzuweisen. 

Hierbei ist aber die stillschweigende Voraussetzung gemacht, 
dass die Fehlergrenze a von Null verschieden ausfällt. Wenn 
nun a gleich Null ist oder sehr nahe an Null li^, so erhält 
man etwas einfacher 

°^ I «'P I 1 . 
., „ . 10* ~ lOil + l ~ 2 
tgr. von BA ^ 



n,g,t,7.dt,GoÖglc 



*gr. von AB -^^^:^ , 

d. h. die ersteie Fehlei^enze bezieht sich auf Decimaleinheiten 
Tou dem Range \Q' f uod die zweite auf Decimaleinheiten von 
dem Bange 10~f~^. Mithin ist alsdann die Berechnung des 
Productes Ali der Berechnung des Productes BA entschieden 
vorzuziehen. 

In dem allgemeinen Falle, wo a und (J beide von Null ver- 
schieden ausfeilen, erhält mao eine oberflächUche Schätzung des 
Fehlers, wenn man bemerkt, dass die Ungleichheiten 

» + w + rai + ---<io«"a» + i^ + ^+...<io 

Bestand haben: folglich ist 

Fgr. ,0» BA < ig;; !— 

oder, wenn man bedenkt, dass X allgemein als der Einheit gleich 
angenommen werden darf und«, ß, x in der Praxis nicht leicht 
Qber 10 hinausgehen, noch stärker 

Fgr. von BA < «±!i±-> oder ^, 

d. h. in keinem Falle kann die drittletzte Ziffer d^ verkürzt 
ausgerechneten Productes BA von dem genauen ihr zukommenden 
Werthe nm mehr als eine Einheit abweichen. 

Wenn A und B beide im weiteren Sinne verkQrzt sind, so 
reducirt sich das Maximum der Fehlergrenze auf den lOteu Thei! 
des vorigen Betrf^es, d. h. die vorletzte Ziffer des Productes 
kann um nicht mehr als eine Einheit von ihrem wahren Werthe 
abweichen. 

Wenn A und S beide im engeren Sinne verkürzt sind, so 
reducirt sich die Fehlergrenze noch weiter imd man erhält 

Fgp. von BA - }^. 

d. h. das erhaltene Prodnct darf, so lange a-\- x nicht über 10 
hinausgeht, als im engeren Sinne verkürzt angesehen werden, 
c) Soweit es nötbig ist, moss die abgekürzte Multiplication 
nach der vorigen Hegel vorgenommen werden ; in einzelneu f^len 
ist es aber nicht zu vermeiden, dass beide Factoren gleich viele 
geltende Stellen haben nnd ist alsdann mit Ausnahme des Falles, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie der abgekürzten Rechnung mit Deoimalzatilen. 191 

vo der eine Factor zwischen den. geltenden Stellen mehr Nullen 
hat als der andre, die Ordnung, in welcher man die Factoren 
multiplicirt, ohne SinfluBS auf die Fehlergrenze. 

d) Mitunter, wenn es sieh um die Berechnung eines Pro- 
(luctes bis auf eine beslämmte Anzahl Decimalbruchstellen handelt, 
sind beide Factoren zu verkürzen und ist die Wahl gegeben rück- 
sichtlich der Stellung, welche denselben bei Ausführung der Mul- 
tiplication zu ertheilen ist. Die Umstände, welche dafür sprechen 
einem bestimmten Factor alsdann die untere Stelle zuzuweisen, 
sind das etwaige Vorhandensein von Stellen zwischen den gel- 
tenden Ziffern, ein erheblicher Betrag der ihm zukommenden 
Fehlergrenze und ein niedriger geltender W«rth seiner ersten 
geltenden Ziffer. 

Beispiel 1. Es seien 2,346798 Eubikfuss in Kubjkzoll zu 
verwandeln. 

2,346788 Kbf. 1728 

1728 2,a468 Kbf. 

2346798 3456 

1642759 518 



4045,267 Kbz. 1 

1- i + 2346. + 1 = 0,002 4054 Kbz. 
pgr. ? 1 Fgr.2.0 + 0--l-+| = 2 

2) Es sei das Product der beiden abgekürzten Decimalzahleu 
9,80767 tmd 8,20160927 zu berechnen. 



8,201509 9,80767 



fgr. 



7846136 










73813581 


196153 










6561207 


981 










67411 


490 










4921 


8 










574 


80,43768 


80,437694 


8.i + 0.|- 


+ 


4 


Fgr. 


9 


4+«2-i+i 


100000 








1000000 


6 
100000 




• 




- 


''"■™ 100000 



n,g,t,7.dt,'G00glc 




9,80767 

8,20151 

7846136 

196163 



10 
80,43770 



¥gt. ■ 



■i + s-i + i 



lOOOOO 100000 

3) 78,342956 Frd'or — SS'y^i Thir. auf ganze Pfennige 
genau zu berechnen (1 l'rd'or «= 5 Thlr 20 i^.)- 
1 Pf = ill^ > ^ ^'^''^^ 1 Pf = 1 



1 Frd'or . j^ ^ 1 Thlr. iThlr. . 
10000 ' SÖO -^ 1000 ' 

fo^lich ist äie Genauigkeit bis auf Zehntansendstel eines Frd'ors 
und bis auf Tausendstel eines Thalers für den verlangten Zweck 
ausreichend und um diese Genauigkeit zu verbürgen ist es zweck- 
mässig eine Stelle weiter zu rechnen. 
17 X 78,34296 Frd'or 

5484007 
3 in 1331,8303; Fgr. I x i 4- 1 = 1 
44%9434 Thlr. Fgr. 1:3 = 4 
8m = 83,7579 „ „ | 

360,1855 Tbk. ,. J + ^ < 1. 

— 360 Thh-. 5 Sgr. 7 Pf. 

30 X 0,1855 Thlr. Fgr. 1 

5,565 Sgr. „ 3 

12 X 0,565 „ „ 3 

113 

6,78 Pf. Fgr. 1 . 3 + i = 3i < 4 
Der Fehler des Endresultates macht noch nicht 0,04 Pf, ans 
und die genaue Anzahl der Pfennige liegt zwischen den Grenzen 
6,78 + 0,04 und 6,78 — 0,04 oder 6,82 und 6,74. 

4) Das Product 0,046709825 X 0,009387251 bis auf 6 Deci- 
malbmchstellen zu berechnen. 

Die Multiplication vorläufig unter Verkürzung auf die ersten 
geltenden Stellen auf^fOhrt, wodurch 0,05x0,009 = 0,00045 
erhalten wird, läsat erkennen, das^das Pruduct in den drei ersten 
Decimalbruchstellen mit Nullen beginnt. Mithin hat man nur 



n,g,t,7.dt,G00glc 



Theorie der abgekürzten lUcbimng mit Decimalzahlen, 193 

die drei folgenden geltenden Stellen zu ermitteln, und um diese 
mit einiger Zuverlässigkeit zu erhalten wird man bis auf 4 gel- 
tende Stelleu rechnen.*) Nun erhält zufolge der besonderen Be- 
schaffenheit der Ziffern, welche in der ersten geltenden Stelle 
beider Factoren sich Torfinden, das Product schon 4 geltende 
Stellen, wenn der obere Factor deren nur drei hat : also iat der obere 
Factor auf 3 und der untere auf 4 geltende Stellen zu verkürzen. 

0,00939 0,0467 

0,04671 0,009387 



3756 


4203 


563 


140 


65 


37 


1 


4 



0,0004385 0,0004383 

rgt- 4 -1 + 1-31 Fg,.9.-l-+i-_6 

Die Fehlergrenze des ersten Froductes läsat erkennen, dass 
das genaue Product zwischen den Zahlen 0,0004385 — 0,00000035 
und 0,0004385 -j- 0,00000035 oder zwischen 0,00043815 und 
0,00043885 liegt: also ist es mit Gewiasheit gleich 0,000438 . . . 

5) Der Flächeninhalt eines Kreises, dessen Radius 97,, Deci- 
meter beträgt, soll bis auf Quadratcentimeter genau berechnet 
werden. Resultat 362,17 Quadratdecimeter. 

9V3, =- 9,135135 i ST = 3,141592653 

Der Kreisinhalt vorläufig unter Verkürzung der Zahlelemente auf 
deren höchste geltende Stelle berechnet ist 10^ . 3 ^ 300 Quadrat- 
decimeter. Das Endresultat in Quadratdecimetem ausgedruckt hat 
also drei ganze Stellen. Dazu müssen aber, wenn auch die Quadrat- 
centimeter richtig herauskommen sollen, noch die beiden ersten 
Decimalbruchstellen hinzutreten. Diese zwei Decimalbruchstellen 
und jene zwei ganzen Stellen machen zusammen 5 geltende Stellen 
aus, für deren Zuverlässigkeit man einige Gewähr hat, wenn man 
auf eine geltende Stelle mehr, also auf 6 geltende Stellen rechnet. 
Hierzu ist, da die ersten geltenden Ziffern beider Factoren ein 
zweiziflrigeB Product hervorbringen, die Verkürzung des «bereu 
Factors auf 5 geltende Stellen hinreichend. 



ein. YoQ der vierten Stelle nach dem Komma bis zur siebenten Stelle nach 
dem KommaBind vier Stellen: ^ho ist mit vier geltenden Stellen zurechnen. 

Zdtichr. I. mstb. u. nstmw. unten. V. li 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



9,136i Fgr. 0,35 


9,1351 Fgr. 0,36 


3,14169 „ 0,26 


28,6987 „ 3,8 


274063 


182702 


9136 


73081 


3664 


6481 


91 


822 


46 


73 


8 


6 
262;i65' 


28,6987 


^.3.0,36+»-^' + ! 


Fgr. 2.0,36+ lii« + i 


— 3,8 


-6,6 



Die 5. geltende Stelle des Productes erscheint nicht ganz 
sicher gestellt, da sein genauer Werth zwischen den Zahlen 
262,165 — 0,0066 = 262,1684 und 262,165 + 0,0066 = 262,1716 
enthalten sein muas und hiernach ebensowohl 262,16 .... als 
262,17 .... sein könnte; indessen erhellt doch, dass es im engeren 
Sinne bis auf 5 geltende Stellen abgekürzt jedenfalls die Zahl 
262,17 ergibt. 

6) Die Potenz 0,56132789^ bis auf 3 Decimalbruchstellen zu 
berechnen. 

0,6'' = 0,07 .... Folglich bekommt man die gesuchte Potenz 
bis auf 3 DecimalbruchsteUen richtig, wenn man sie auf 2 gel- 
tende Stellen richtig hat, und rechnet hiemach auf eine geltende 
Stelle mehr, d. h. auf 3 geltende Stellen. 

0,561 Fgr. 0,3 0,56i Fgr. 0,3 

0,5613 ,, 0,3 ""■■" 



0,3150 
1.6.0,3 + 


3 Fgr. 3.0,3 + 
T-3 


0,3i6 

0,1767 

315 

221 

19 

2 


Fgr. 0,3 
,. 3,4 


0.0667 






n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie der abgekärzten ßecbnnng mit Decimalzahlen, 195 

0,0057 



also das Froduct 0,055 . 



0,05598 zu gross i 
0,05542 zu klein / 

6) Die Potenz 38,756098* biß auf die Stelle der Zehntansende 
genau zu berechnen. 

Die Potenz 40^^ = 102400000 hat 9 ganze Stellen und die 
PoteDZ 38^ ersichtlich eine weniger, also nur 8 ganze Stellen: 
die ersten vier Stellen hiervon sind für den verlangten Zweck 
ausreichend. ^Iso wird man bis auf 5 geltende Stellen rechnen, 
Nun gibt die Multiplication der Zahlen 38,76 X 38,756 allerdings 
ein 5sielliges Produet, nämlich 15021 mit der Fehlergrenze 
3 X 0,4 + -|^ = 3,2. Aber die Fehlergrenze für die dritte Potenz 
38,756' = 15021 x 38,756 würde aladann zu bedeutend ausfallen 
tind empfiehlt es sich diesen Uebelstand zu vermeiden, indem man 
die zweite Potenz lieber gleich auf 6 geltende Stellen berechnet. 

Fgr. 0,1 
„ 2,3 



- 


38,766 Fgr. 0,1 

38,7661 „ 0,02 

116268 

31006 

2713 

194 

23 


38,756 

1602,03 

38756 

19378 

77 

1 

58212 


Fgr 


1602,03 Tgr. 1.0,1 + 
3 . 0,1 + -t _ 2,3 

68212 Fgr. 2,3 
1602,03 2,3 
68212 
29106 
116 
2 




87436000 

Fgr. 1.2,3 +ifl + '-#= + i 

87436000 
6 



87430000 zu klem / 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



196 Dr- SCHWABZ. 

Die Ziffer in der Stelle der Zehntausende ist hiernach noch nicht 
genau festgestellt: sie kann 3 und kann auch 4 eeiu. Doch hat 
das Resultat 8743 .... die grössere Wahracheinlichkeit fßr sich. 
Will man Gewissheit haben, so muss die ganze Rechnung noch 
einmal und zwar auf eine geltende Stelle mehr durchgeführt 
werden. 

§. 9. Fehlergrenze des Quotienten zweier unvoll- 
ständiger Decimalzahlen. 

a) Der Divideudos und Divisor seien beziehungsweise a und b 
mit den Fehlergrenzen a und ß, von denen man im Allgemeinen 
annebmen darf, dass sie nicht über 9 hinausgeben; die zuge- 
hörigen vollsiändigen Decimalzahlen seien J. und B, eine Decimal- 
einheit der niedrigsten Stelle des Dividendus 10-« und 10-^ eine 
Decimaleinheit der niedrigsten Stelle des Divisors. Alsdann ist 

1 + — -lO-' I — — .10« 



1-i.lO-» 



Nun ist aber, sofern die Fehlergrenze a und ß im Vergleiche 
zu a und b hinlänglich klein sind, nahezu 

ü^ -1+4 -10-', 

I_^.10-' » 

J ,1-|--10-'. 



1 + i.lO-' 
Folglich erhält man 

oder, wenn man die auf beiden Seiten des Mittelgliedes-^ ange- 
zeigten Multiplicationen ausfährt und das jedesmalige letzte Glied, 
welches das Produet — ■ T" • iiS • iö5 ^^^^'^^'i vernachlässigt: 

\ ^ a 10» T^ 6 lO^J ^ B -^ b {^ a 10« 6 10*^ 



Setzt mau endlich der Kürze halber 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie der abgeküizten Eedtnung mit Decimalzahlen. 
SO folgt hieraus, dass der Ausdruck 






die Fehlergrenze des Quotienten Q darstellt. Dieselbe wird mithin 
gefunden, indem man die Fehlergrenze des Dividendus 
und das Product des Quotienten mit der Fehlergrenze 
des Divisors addirt und diese Summe durch den Di- 
visor dividirt. Jede Fehlergrenze ist hierbei auf Decimalein- 
heiten der niedrigsten Stellen, welche die zugehörige Zahl hat, 
zu beziehen und die angezeigte Division nur bis auf die erste 
geltende Stelle auszuführen. 

b) Bei der Division unvollständiger Decimalzahlen kommt es 
wesentlich auf die Anzahl der zuverlässigen geltenden Stellen 
des Quotienten an. Nun ist diese unabhängig von der Stellung 
des Kommas im Dividendus und Divisor: also darf man nur, um 
die Untersuchung zu vereinfachen, das Komma hinter der niedrig- 
sten Ziffer sowohl des Dividendus, als des Divisors annehmen, 
wodurch 

Fgr. von Q - 5^±^ 
erhalten wird. 

c) Es sei zunächst a > fi, die Anzahl der geltenden Stellen 
von b gleich l, die höchste derselben h', und die durch die zwei 
höchsten Stellen ausgedrückte Zahl b". Ferner möge (i die An- 
zahl der geltenden Stellen des Quotienten vor dem Komma be- 
zeichnen, 80 ist der Dividendus entweder eine fi -j- X oder eine 
(t--\- X-\- Istellige Zahl und, da ft > 1 ist, darf der Ausdruck 

&".10*-ä ^ b" .10»-2 

löi'"'"^, 10 , 1 ^1 



Ä"7iÖJ-2-*' ^ 6". 10*-*— 2 ^ b' . io^+i--3 ^ iQ^-i—2 
als eine, freilich ziemlich hoch gegriffene, Fehlergrenze des 
Quotienten Q betrachtet werden. Also sind auch unter den 
denkbar ungünstigsten Umständen die A — [i ~ 2 ersten Decimal- 
bruchstellen von Q zuverlässig. Dazu kommen noch die [i Stellen 
vor dem Komma: der Quotient Q ist demgemäss bis auf 



,tP<.-jM,Googlc 



198 Dr. ScHWAM. 

l — (i — 2 + (ti=A — 2 geltende Stellen mit Gewissheit geaan, 
ä. h. wenn die Rechnung an dieser Stelle abgebrochen wird, so 
weicht der Quotient noch nicht um eine volle Decimaleinheit der- 
selben von dem genauen Werthe ab. Nun ist die Zahl A — 3 
blos abhängig von der Zahl X der geltenden Stellen des Divisors 
und unabhängig von der Zahl ft oder (i -\- 1, welche angibt, wie- 
viele geltende Stellen der Dividendus mehr hat als der Divisor. 
Folglich ist ee angemessen den Dividendus vor Beginn der Di- 
vision soweit zu verkürzen, daas der ganze verkürzte Dividendus 
bei Berechnung der ersten geltenden Ziffer des Quotienten als 
erster Fartialdividendus erscheint. Denn wenn man auch mehrere 
oder alle überachüssige Ziffern desselben benatzte, so erzielte man 
dadurch keinen wesentlich genaueren Quotienten. 

d) Es sei zweitens a < 6 ; ferner möge die höchste geltende 
ZiSer des Quotienten die ftte Stelle hinter dem Komma einnehmen 
und mit den X ersten Ziffern des Divisors raultiplicirt ein von a 
abziehbares Product hervorbringen: alsdann hat der Divisor X-\- ^ 
und der Dividendus l oder A -|- 1 geltende Stellen und eine Fehler- 
grenze des Quotienten Q ergibt sich, wenn fi > 1 ist, wenigstens 
für diejenigen Werthe von a und ß, die unterhalb der Zahl 10 
aich befinden, und wenn (t ^ 1 ist, fUr alle Werthe von a und ß, 
deren Smnme die Zahl 10 noch nicht erreicht, gleich dem Aus- 
dmcke 



IT 



' + i 



Also dürfen selbst in dem ungünstigsten Falle , sofern a und ß 
zusammen nicht mehr als 10 betragen, die A -|- ft — 2 erste Decimal- 
bmchstellen als genau gelten. Nun sind darunter die fi — 1 ersten 
mit Nullen besetzt: also bleiben nur (A + f* — 2) — (ft — 1) = 
A — 1 geltende Stellen Übrig, welche zuverlässig sind. Die Zahl 
A — 1 ist aber blos abhängig von der Zahl der geltenden Stellen 
des Dividendus und unabhängig von der Zahl \t, der über- 
schiessenden Stellen des Divisors. Folglich ist es angemessen 
vor Beginn der Rechnung alle solche Stellen bis auf die höchste 
abzuwerfen. Denn wenn man auch die übrigen beibehalten wollte, 
der Quotient würde dadurch nicht um ein Wesentliches genauer, 
wohl aber die Recheaarbeit erheblich vergröaserfc werden. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie der abgekfirzten Bechnnng mit Decimakablen. 



199 



e) In jedem der beiden unter c) und d) betrachteten Fälle 
wird, wenn die Fehlergrenzen a und ß sich unterhalb der Einheit 
befinden, die Zahl der sicheren Stellen um eine vermehrt, so dass 
sie, wenn a > 6 ist, auf A — 1 und, wenn o < t' ist, auf X 
Stellen steigt. Wenn der Dividendus and Divisor aber beide im 
engeren Sinne verkürzte Decimalzahlen sind, so wird man in 
beiden Fällen bis auf i. Stellen rechnen können mit der Über- 
wiegendsten Wahrscheinlichkeit dafür, dasa der begangene Fehler 
noch nicht eine Decimaleinheit der niedrigsten St«lle des Quotienten 
erreicht. 

Man betrachte beispielsweise den Quotienten 

15 .16 15 

82 ' 41 32 

oder 
0,182926 82926 82926 : 0,39024 39024 — 0,46875. 



Quot 


0,468 




0,46879 




0,46874 




J)vs. 


3909 Fgr 


7 


3902 Fgr. 


0,4 


39024 For. 


0,4 


Hill, 


1829,2 . . . 


(1,6 


1829,2 . . . 


(1,6 


1829,2.. . 


(1,6 




15636 




16608 




166096 






26660 




26840 




268240 






28454 




Ü3412 




234144 






31060 




84^ 




340960 






81272 




31216 
30640 
27314 
33260 
36118 




812192 
287680 
273168 
145120 
156096 





— 1858 — 10976 

Für alle drei Exempel ist i ■= 4 und in Uebereinstitumung 
mit der Theorie sind die Resultate beziehungsweise in den zwei, 
drei, vier ersten Stellen richtig — ja sie sind noch für eine 
weitere Stelle zuverlässig, wie es sein muss — , da sich die Fehler- 
grenzen genauer, wie folgt, ergeben: 
0,6 + 0,47 . 7 3,9 ^ aqoI 

8909 <39Ö9<^'**^' 

0,6 + 0,47 . 0,4 0,79 

8903 *^ 8902 

0.6 + 0,47 ■ 0,4 ^ 0,79 

89024 *^ 89024 

In Betreff des ersten Exempels verdient bemerkt zu werden, 
dass man den Dividendos um eine beliebige der Zahlen 



■ circa 0,0002. 

i 0,00002. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



200 Dr. ScHwiHZ. 

_L ^ i A If 

10' 10' 10' 10' ■ ' ■• lö 
Termehreii oder vermindern kann, ohne dass die drei ersteu Stellen 
des Quotienten sich änderten. Hieraus erhellt am deutlichsten 
die völlige Einflusslosigkeit eines auf mehrere Stellen genauen 
Dividendus. Ebenso deutlich sieht man in allen dreien Exempeln, 
dass nur die Anfangsstellen des Divisors für die letzten Stellen 
des Quotienten von Bedeutung sind. Dies alles zusammen führt 
auf eine Methode der abgekürzten Division, welche der Methode 
der abgekürzten Muitiplication durchaus analog ist. 
§. 10. Methode der verkürzten Division. 

a) Das Verfahren der abgekürzten Division besteht 
darin, Jdass mau, statt dem Beste die nächstfolgende 
Ziffer des Dividendus (ev. Null) anzuhängen, den Di- 
visor durch Weglassung der Ziffer in seiner nie- 
drigsten Stelle verkürzt: die erhaltene Ziffer des 
Quotienten wird mit dem stehen gebliebenen Theile 
des Divisors mnltiplicirt und diejenige Zehneranzahl 
hinzugerechnet, welche dem Producte jener Ziffer 
des Quotienten mit der letzten weggelassenen Ziffer 
des Divisors zunächst liegt. 

Die um Eins veränderte Anzahl der geltenden 
Stellen des Divisors gibt an, wie viele geltende Zif- 
fern des Quotienten durch die verkürzte Division er- 
halten werden. 

b) Wenn Divisor und Dividendus beide vollständige Decimal- 
zahlen sind, so ist der Beginn der abgekürzten Division durch 
die Anzahl der geltenden Stellen, auf welche man rechnen will, 
bedingt. Wenn nun der Divisor eine vollständige Decimalzahl 
ist und weniger geltende Stellen ab der Dividendus hat, so muss 
die abgekürzte Division spätestens eintreten, nachdem die letzte 
Stelle des Dividendus heruntergezogen ist; wenn der Divisor hin- 
gegen ebensoviele oder mehrere geltende Stellen als der Divi- 
dendus hat, so hat man den Divisor insoweit zn verkürzen, dass 
der Dividendus nach Anhängung einer Null als erster 
vollständiger Partialdividendus erscheint (cf, §, 9 d). 

c) WennDivisor und Dividendus beide abgekürzte 
De ci mal zahlen sind und der Dividendus mehr gel- 
tende Stellen hat als der Divisor, so ist der Dividendus 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie der abgeMnten Rechnnug mit Decimalzohlen. 



201 



insoweit zu verkürzen, dass der verkürzte Dividendus 
(bei Berechnung der ersten geltenden Ziffer des Quotienten) als 
vollständiger erster Partialdiridendus zur Verwen- 
dung gelangt (cf. §. 9c). 

Wenn hingegen der Divisor ebensoviele oder 
mehrere geltende Stellen als der Dividendus hat, so 
ist der Divisor {wenn nöthig) soweit zu verkürzen, dass 
der Dividendus nach Anhängang einer Null als voll- 
ständiger erster Partialdividendus zur Verwendung 
gelangt (cf. §. 9d). 

Die beiden Divisionen 

0,1 82926 82926 : 0,3902 

0,18292 : 0,39024 39024 .... 
im vorigen §. werden hiernach in folgender Weise abgekürzt 
auBgeftlbrt : < 

Quot,_ 0,4688 0,46874 0,46877 



Dvd. 



3902 Fgr. 0,4 


39024 Pgr. 


0,4 


39024 Fgi. 0,4 


1829,3 „ 0,3 


18292,0 „ 


7 


18293,0 „ 3 


15608 


156096 




166096 


2686 


26824 




26834 • 


2341 


23414 




23414 


344 


3410 




3420 


312 


3122 




3122 


~W 


288 




298 ' 


31 


273 




273 


-T 


T5 




26 




16 




27 



Die erhaltenen Kesultate kommen dem genauen Werthe des 
Quotienten ebensonahe wie die Quotienten, welche von den beiden 
vollständigen mit verkürzten Zahlen ausgeführten Divisionen her- 
rühren. 

Die meisten Schriftsteller, wenn sie überhaupt die beiden 
unter c) erörterten Fälle unterscheiden, hängen in dem daselbst 
zuletzt betrachteten Falle dem Dividendus keine Null an, sondern 
verkürzen den Divisor gleich bei Beginn der Rechnung nm eine 
Stelle: sie geben dadurch in den meisten Fällen eine zuverlässige 
Stelle des Quotienten auf. So würde z. B. R, Baltzer (Elemente 
der Mathematik I. S. 53) das letzte Beispiel in folgender Art rechnen : 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



38292: 39024 = 0,468 
15610 



2341 
341 



27 
2 
T. Müller, der die verkürzte Rechnimg ausschliesslich mit 
im engeren Sinne verkürzten Decimalzahlen betrachtet, was für 
die Praxis nicht ausreicht (Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik 
pg. 134 und 135) schreibt das nachfolgende Verfahren vor: 
18293:39024 = 0,46876 . 

156096 1 (niedr igste Decimaleinheit des Bividendus) 

268340 1,46876 : 39024 = 

234144 0,00004 

341960 0,46876 

31^'^ 0,46880 zu gross 

297680 0,46872 zu klein 

273168 aiao 0,468 sicher 

245120 
234144 
10976 
Der Fehler ist nach dem Verfahren Baltzers erheblich grösser 
als bei dem obigen; auch das MflUersche Verfahren gibt ein 
weniger genaues Resultat und mit erheblich grösserem Kecben- 
aufwande. 

§. 11. Eine Fehlergrenze bei der abgekürzten Di- 
vision zweier vollständiger Decimalzahlen wird ge- 
funden, indem man die Summe des ohne Bücksicht auf 
sein Vorzeichen genommenen ßestes und der halben 
Anzahl der verkürzten Partialprodacte auf Decimal- 
. einheiten der niedrigsten beibehaltenen Stelle des 
Dividendus bezieht und diese Zahl durch den Divisor 
dividirt. 

Der Grund erhellt sogleich, wenn man bemerkt, dass jedes 
verkürzte Partialproduct im Allgemeinen (cf, §. 7.) die Fehler- 
grenze -g hat und dass folglich der zuletzt Übrig bleibende Rest 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie der abgekürzten Rechnung mit Decimalzahlen. 203 

noch nicht um die halbe Anzahl der vorhandenen Partialproducte 
von dem genauen bei der vollständigen Division sich ergebenden 
Reste differiren kann. 

Beispiel. ^ = 0,2890625; ^ = 3,459 459 459 ... . 

Folglich ist mit Genauigkeit 1 : 0,2890625 = 3,459459459 

Hingegen die verkürzte Division ergibt: 



Quöl 3,459459 




"•■1 + 3 


Dys. 2890625 


Fgr. 


-r— ^5 : 2890625 


D,ä. 10000000, 




— 0,000002 


8671875 




3,459459 


1328125 




3,459461 zu gross 


1166250 




3,459457 zu klein 


171875 




3,45946 mverlässig 


144531 
27344 




(in engerer Verkürznng) 


26015 






1329 






1)56 






Trä 






146 







Uebrigens stimmt das gefimdene Resultat in allen berech- 
neten Stellen mit dem genauen Quotienten überein. Ueberhaupt 
ist die nach obiger Regel berechnete Fehlergrenze im Allge- 
meinen unverhältnissmässig gross, weil die algebraische Natur 
der sie ausmachenden Posten nur unter der ungünstigsten Voraus- 
setzung berückeichtigt worden ist: in der Regel wird auch die 
letzte Ziffer eines durch verkürzte Division erhaltenen Quotienten 
entweder völlig genau sein oder doch nur um wenige Einheiten 
sich von der genauen Ziffer unterscheiden. Dieselbe Bemerkimg 
gilt auch für die Division unvollständiger Decimalzahlen. 

§. 12. Eine Fehlergrenze bei der verkürzten Division un- 
vollständiger Decimalzahlen resultirt durch die Addition zweier 
Fehlei^renzen , von denen die eine aus dem Verfahren der ab- 
gekürzten Division selbst (§. 11.) und die andere aus der Unge- 
nauigkeit von Divisor und Dividendus (§. 9.) entspringt. Hieraus 
ergiiit sich mit Leichtigkeit die Regel: 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



204 Dr. ScHwA«?. 

Man addire zu dem Producte des Quotienten mit 
der Fehlergrenze des Divisors die Fehlergrenze des 
Dividendua und den um die halbe Anzahl der Partial- 
producte vermehrten Keat: die erhaltene Snmme durch 
den Divisor getheilt stellt eine Fehlergrenze des 
Quotienten dar. 

Auch hier sind alle Fehlergrenzen immer auf Decimaleinheiten 
der niedrigsten Stelle, welche die betreffende Zahl hat, zu be- 
ziehen und der erwähnte Rest stets im absoluten Sinne zu nehmen. 
Selbstverständlich endlich braucht man von dem Producte des 
Quotienten mit der Fehlergrenze des Divisors nur die höchste 
Stelle oder allenfalls die beiden höchsten Stellen zu berechnen. 

Die Fehlergrenzen der in §. 10. unter e) berechneten Quo- 
tienten sind hiernach der Reihe nach 

0,3 + 3. 1 + 1 

7 + 4. i+l 

ÜT + 0,6x0,4 ,, 

3 + 4.1 + 2 

j^^ + 0,5x0,4 

und man erkennt aus ihrer Betrachtung , dass die verkürzte Di- 
vision den Quotienten im Allgemeinen mit derjenigen Genauig- 
keit liefert, welche bei der Rechnung mit verkürzten Zahlen 
überhaupt möglich ist. 

Beispiel. Bekanntlich ist 1 Mtr. = 3,186199 pr. Fuss. 
Man soll die Grösse eines Fusses bis auf die dritte Decimalbruch- 
stelle genau in Metern angeben. 

Folglich sind die dreiDecimalbruchstellen, welche man berechnen 
soll, zugleich lauter geltende Stellen, und um sie mit einiger 
Sicherheit zu erhalten rechne man auf 4 geltende Stellen. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie der abgekürzten Rechnung mit Deoimalzahlen. 205 

0,3139 o + 3.|-+0 

3186 Fgr. 0,2 „ _ lo - + Oj3 . 0,2 

1000,0 *^* ai86 

9558 »„^=0,00006 

442 ä*^» 0,3139 

^Li zn gross 0,31396 

^^1 za klein 0^1384 



28 



0,313 . . . sicher 



%. 13. Abgekürzte ßecfannng bei Qaadrat- unä 
Kubikwurzeln. 

Nachdem « geltende Stellen einer (Quadrat- oder 
Kubik-) Wurzel auf dem gewöhnlichen Wege berechnet 
si nd, wird der neue Divisor (sofern es n&thig ist, was bei 
Alisziehung der Quadratwurzel nicht immer zutrifft) bis auf seine 
n ersten geltenden Stellen verkürzt und werden von 
dem zugehörigen Difidendns ebensoviete seiner nie- 
drigsten Btellen wie vom Divisor abgeworfen: die Me- 
thode der verkürzten Division liefert alsdann die n 
folgenden Ziffern der Wurzel mit einem Fehler, der 
eine einziffrige Anzahl von Decimaleiuheiten der 
letzten Stelle nicht übersteigen kann. 

Behufs des Beweises bemerke man, dass die Stellung des 
Klommas auf die geltenden Ziffern der Wurzel keinen Einfluas 
hat. Folglich darf man das Eomma hinter die n ersten geltenden 
Classen des Kadicanden setzen und hat dann, wenn der ßadicand 
unter der Form a^ -\- r oder a* + ^ gedacht wird , i^lr den Fall 
der Quadratwurzel 

a < ]/a^-i-r < a + 1 
und für den Fall der Kubikwurzel 

a < f'ö»^+« < ff + 1 
Folglich ist die Wurzel in beiden Fällen von der Form a -\- x, 
wo a eine Hstellige ganze Zahl und x einen Decimalbruch ohne 
Ganze ausdrückt, und man kann setzen 

}/a^ + r -= a + 3;, also o' -j- r = o^ + 2ax + 3;', 

/o' -|- r = o + a:, also ö' -j- r — o' + 3»*« 3aa:* + a? 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



3„, — «-t- ^ -r 3„, 

sich ergibt. 

Es sei nun im -Falle der Quadratwurzelberechnung 2a eine 
X stellige Zahl, so ist x entweder gleich n oder gleich »-{-1, 

2a> lO--!, X <1, x'^<l, also £ < JöTirn 
mithin liefert der obige Werth von g- die Ungleichheit 

d. h. der Quotient r— unterscheidet sieh von dem genauen Werthe 
des zweiten Theiles x der zu berechnenden Quadratwurzel um 
weniger als die Decimaleinheit ■ ■ -^ . Folglich liefert der auf 
w Stellen berechnete Quotient r : 2a den fehlenden Theil der 
Wurzel näherungsweise mit einer Fehlergrenze, welche, wenn 
X = M ist, noch nicht eine volle Decimaleinheit der vorletzten 
und, wenn x ^ w + 1 ist, noch nicht eine volle Decimaleinheit 
der letzten Stelle betr^. 

Femer im Fall der Kubikwnrzelberechnung ist, weil a eine 
nstellige Zahl ist, 

« > 10"-», a; < 1, a? < 1, a;' < 1, also 

a ^ lOn-i' So« ^3. 10»"-» ^ tOSo-S' 

das Glied ^-^ kann demgemäss gegen das Glied ~ vernachlässigt 
werden und die obige Gleichheit für ^ liefert die Ungleichheit 

welche besagt, dass man für den noch fehlenden Theil der Wurzel 
den bis auf « Stellen berechneten Quotienten r : 3a* setzen darf 
mit einer Fehlergrenze, welche noch nicht eine Decimaleinheit 
der vorletzten Stelle ausmacht. 

Eine Fehlergrenze, welche weniger als eine Decimaleinheit 
der vorletzten Stelle ausmacht, wird aber jedenfalls durch ein 
einzidriges Vielfache der Decimaleinheit der letzten Stelle ans- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Theorie der abgekürtten Bechnniig mit Decinmlzahlen. 207 

gedrQckt: der ausgesprocheae Satz hat demgemäss sowohl für 
die Kubikwurzel ala auch für die Quadratwurzel Gültigkeit. 

Eine genaue Berechnung der Fehlergrenze ermöglicht die 
Anwendung des binomischen Lehrsatzes, welche für jede beliebige 
Stellung des Kommas im Etadicanden 

/^r:p7 = a / 1 + ^ = a + ^ - ^ + . . . . 
liefert. Hieraus folgen aber die Ungleichheiten 

d. h. die Ausdrücke 

welche beide beziehungsweise die Wurzelgrösaen 

übersteigen, stellen obere Nähernngswerthe zu diesen 
Wurzelgrössen dar, deren Fehlergrenzen beziehungs- 
weise die Brüche 

80' \taj ia' 3a'' \jsa' J 'et 
sind. 

Man wird also, wenn es sieh um die grösstmSgliche Ge- 
nauigkeit handelt, in jedem einzelnen Falle diese Fehlei^enze 
berechnen und bis zu derjenigen Decimalbmchstelle hin, in 
weichet dieselbe beginnt, die Division s- oder j-^ fortführen 
wobei natürlich der Divisor ond der Dividendas nur insoweit zn 
verkürzen sind, dass die Genauigkeit der zu berechnenden Stellen 
des Quotienten gesichert bleibt. 

Die Fehlergrenze wird erhalten, wenn man den gefun- 
denen Quotienten quadrirt und die ersten Stellen des 
Resultates im Falle der Quadrätwurzelausziehang 
durch das Doppelte des ersten Theiles der Wurzel 
und im Falle der Kubikwurzelausziehung unmittelbar 



durch diesen ersten Theil dividirt. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



/I3l39pi36 — e,587 7565 genauer 6,587 76667 

36| Fgr. 0,000 000 044 
12 7319 
625 

130 1148|5 0,00076' 532 

10464 46 .... Fehlergrenze 

1316 1021316 0,000 000 678 : 13,174 _ 0,000 000 044 

92169 62 

13174 9867 ~6 

9222 5 

745 I 

669 131740 in 996700 = 76657 



79 74520 

-^ 65870 

7 8660 

7904 

746 

87 



/0,000|451i724|306 — 0,0766 288 genauer 0,0767 28708 
343 (zu gross) 

147 in 1Ö87|24 Fgr. 0,0000 0001 

T82 
766 
216 
95976 
17328 in 127483|05 
121296 
11172 
343 
12241663 
176J4867 in 5066420 
363 
154 
141 
13 
14 



n,g,t,7..dt, Google 



TlRorie der abgekürzten Rechming mit Decimalzahle 

0,000029» 58 
26 
0,000000000 84 : 0,0767 

0,00000 84 : 767 •= 0,00000001 Fgr. 

17648167 iE 50664120 = 28708 
3529 7 
15367 
14U8 
1249 



14 

§. 14.- Die Menge derjenigen geltenden Ziffern 
des Kadicanden, welche bekannt sein müssen um- die 
betreffende Quadrat- oder Cubikwurzel bis auf eine 
bestimmte Anzahl zu berechnen, ist im Allgemeinen 
dieser Anzahl gleiqh, zuweilen jedoch um eins kleiner als 
diese Anzahl und nur in wenigen Fällen um eins grösser. 

Die Anzahl der zu berechnenden Stellen sei «, so hat man je " 
nachdem n eine gerade oder ungerade Anzahl ist, die ersten ~ ' 
oder -~~ Ziffern auf dem gewöhnlichen Wege und die Übrigen -^ 
oder — ^ Ziffern durch abgekürzte Division zu bestimmen. 

Behufs des Beweises wird es genügen den Fall der Cubik- 
wurzelausziehung bis auf 2« Stellen zu betrachten. Die Menge, 
der hierzu erforderlichen Ziffern des Badicanden beti^gt offenbar 
weniger als die Anzahl der zu n Classen erfordern geltenden 
Ziffern, welche entweder 3» — 2 oder 3 n — 1 oder 3« ist: denn 
' von dem Divisor und Dividendus, die nach Berechnung der 
w ersten Ziffern der Wurzel erhalten werden, kommen ja stets 
einige in Wegfall. 

Die beiden ersten geltenden Ziffern der Wurzel mögen eine 
Zahl darstellen, welche zwischen 10 und |^333 < 19 variirt; als- 
dann hat der Divisor 2n — 1 Ziffern und der Kadicand in den n 
ersten geltenden Classen 3» — 2 Ziffern. Folglich sind von 
dem Divisor die .n — 1 Ziffern, welche gestrichen werden, über- 
flüssig und von dem Beste, sowie von dem Radicanden « — 3 



ZeiUchT. 



;, Google 



210 D'- ScawAM. 

Zifieru. Die, Menge der erforderlichen ZiSem des ß&dicandea 
ergibt sieh mithin gleich (3« — 2) — {« — 2) = 2». 

Die beiden . ersten geltenden Ziffern der Wurzel mögen 
ferner eine Zahl darstellen, weiche zwischen 27 und j/3333 < 58 
variirt: abdann hat der Divisor 2n Ziffern und der Radicand, 
je nachdem eeine beiden ersten geltenden Ziffern zwischen 18 
und ^^lOÖOO < 22 oder zwischen 21 und ^iÖÖÖOÖ < 47 oder 
zwischen 46 und 58 liegen, beziehungsweise 3ä — 2 oder 3« — 1 
oder 3m geltende Ziffern. Folglich sind von dem Divisor n 
Ziffern, welche gestrichen werden, überflüssig und von dem Beste 
sowie von dem Radicanden « — 1 Ziffern. Die Menge der er- 
forderlichen Ziffern des Badicanden ergiebt sich mithin im ersten 
Falle gleich (3w — 2) — (« — 1) = 2« — 1, im zweiten Falle 
gleich (3« — 1) — (m — 1) =2« und im dritten Falle gleich 
3„:^(n_ 1) = 2«+ 1. 

Endlich mögen die beiden ersten geltenden Ziffern der 
Wurzel eine Zahl darstellen, welche über 57. hinausgeht: als- 
dann hat der Divisor 2h-|-1 Ziffern und der Radicand 3n 
.Ziffern, folglich sind von dem Diviaor die « + 1 Ziffern, welche 
gestrichen werden, (Iberflüssig und von dem Beste, sowie von 
dem Radicanden n Ziffern. Die Menge der erforderlichen Ziffern 
des Radicanden ist mitbin 3n — n = 2n. 

Also nur in den 11 Fällen, wo die beiden ersten geltenden 
Ziffern der Wurzel eine der Combinationen 

47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 
darstellen, hat man möglicher Weise die Kenntoiss von 2n -{-1 
Ziffern des Radicanden nötbigrin allen übrigen Fällen, deren 
Anzahl 89 beträgt, reicht man mit der Kenntniss von '2n Zif- 
fern aus. 

§. 15. Die Berechnung der Fehlergrenze ist überall, wo . 
es auf die grösetmögliche Genauigkeit des Rechnens ankommt, 
nicht zu- umgehen, bleibt aber in jedem Falle eine sehr lästige 
Zugabe des numerischen Calcüls. Auch ist in der Praxis, 'wenn 
bis auf eine bestimmte Anzahl von Decimalbruchstellen gerech- 
net werden soll, meistentheils nur die ungefähre Annäherung 
an das bis auf diese Decimalbruclistelle genaue Besultat erforder- 
lich : in allen solchen Fällen kann, wie aus der ganzen vorher- 
gehenden Entwickelung nebst durchgerechneten Beispielen er-" 



rtPrjM,GoOglc 



Theorie der abgekürzten Bechnang mit Decimalsahlen. 211 

hellt, die Feststellung der Fehlergrenze w^irend der Rechnung 
* ganz wegiallen utid die Bechnung nach den beiden nachfolgen- 
den Regeln dvirchgeführt werden: 

a) Die betreffende Aufgabe enthalte bloa MnltipUcationen, 
Divisionen, Potenzerhebungen und Äusziehuugen derQuadrät- oder 
CubikwuTzel: man stelle durch eine Vorrechnung, welche 
sich nur auf die höchste geltende Ziffer oder die höchsten geltenden 
Ziffern der gegebenen Zahlelemente bezieht, die dekadische Be- 

' deutung der höchsten geltenden Ziffer desEndresultates 
fest. Hieraus und aus der Angabe, bis auf welche 
Decimalbrochstelle mit ungefährer Genauigkeit zu 
rechnen ist, kann man die Menge der geltenden Zif- 
fern, welche das Resultat erfordert, mit Leichtigkeit 
bestimmen und rechnet alsdann um deren Zuverlässigkeit 
sicher zu stellen auf eine geltende Stelle weiter. 

b) Die betreffende Aufgabe enthalte anch Additionen oder 
Subtractionen : man berechne nach der Regel unter a) jedes Glied 
für sich und vereinige die Resultate durch Addition oder Sub- 
traction. 

g. 16. Beispiele zu dem vorigen §. 

1) Jemand hat in 3, 5, 7 Jahren jedesmal 560 Thlr. zu 
bezahlen und will sofort mit 5^% Rabatt (auf Hundert) seiner 
Schuld sich entledigen. Wie viel muss er bis auf Pfennige 
genau zahlen? Antwort: 1324 Thlr. 7 Sgr. 0,42 Pf. 
(tOO + 3 ■ 5jt) Thlr. nach 3 Jahren fällig soviel wie 

lOOThlr. sog], u. b. bez. 
1 



100 "t 3 ■ öi 
Ebenso 660 6 560 ■ i5jJ?|-jj _ §2^ Thlr, 



5«o ' Mo-,-jd?^i-?SrTl.ir. 



66000 , 

100 + 7-64 



Die ganze Schuld von 3 - 560 = 1680 Thlr. statt In drei 
Terminen hinter einander kann also auch mit 
-ßrt / 100 , 100 100 \ 

^*^- \mfi + 127,5 "^ mfi) 
BofoH und atf einmal bezahlt werden. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Die Vorrechnung ergibt für alle drei Glieder — j^^ 
= 560 Thlr., also 3 ganze Stellen. Dazu kommen noch drei 
Decimalbmchatellen, welche zuverlässig sein müssen, damit das 
Endresultat aach nocK die Pfennige genau gebe. Also hat man 
jedes Glied auf (3 + 3 + 1) = 7 geltende Stellen zu berechnen. 
480,6867 Thlr. 439,2157 Thk. 404,3321 Thlr. 

lies 



560000,0 Thlr. 


660000,0 Thlr. 


660000,0 TUr 


4660 


5100 


5M0 


9400 


Tööo 


6000 


9320 


3826 


5640 


8000 


11760 , 


4600 


6990 


11476 


. 4156 


IÖI5 


2760 


-4S 


932 


2550 


416 


"78- 


"m 


-m 


70 


128 


28 


"8 


"ra 


~1 


8 ■ 


64 


1 




-f 


~ 


480,6867 TUr. 


0,2346.30 Sgr. 


0,035.1-2 W. 


439,2157 „ 


7,036 Sgr. ■ 


7 


404,3321 „ 




0,42 Pf. 



1324,2345 „ — 1324 Thlr. 7 Sgr.. 0,42 Pf. 

2) Welches ist der Werth eines französischen Zwanzigfrancs- 
Stflches in prenssischen Thalern,, wenn ein Friedricha'dor zu 
5 Thlr. 20 Sgr. gerechnet wird? 

Der Feingehalt dev französischen Goldmünzen ist 900 und 
1 Eilogramm Prägmetall wird zu 155 Zwanzigfrancs-Stücken ausge- 
prägt. Aus einer rauhen Mark 2tf karätigeu Goldes wurden 



35 Friedrichs'dor ä 5 Thhr. 
gleich 233,855 Grammen. 



' Sgr. geprägt und I Mark war 



? Thlr. Cour. 


1 Zwauzigfranca-Stück 


■155 


lOOO Gr. rauh 


lOOO 


900 Gr. f.G. 


233,855 


1 M. f. G. 


2,| 


24 M. rauh. 


36 Prd'oi. 


1 


6} Thlr. Oour. 



5,4548 TUr. — 6 Thlr 13 Sgr. 8 H. 



? 


1 


156 


tmß 


tmß 


900 


233,865 


1 


13(18 


a.24 


1 


a87 


a 


17 


2016..233,856 


2570400 



n,g,t,7.dt,'G00glc * 



Theorie der at^kürzten Rechnnog mit Decimaluihleii. 



213 



Die Vorrechnung ergibt 2000 ■ 200 -= 400000 , 2600000: 
400000 ^ 6, also eine ganze Stelle: dazu kommea, wenn man 
bis auf Pf. genaa rechnen will, 3 DecimalbruchsteUen : also hat 
man auf l-|-3+l = 5 geltende Stellen zu rechnen. 





5,4548 


5,4548 TUr. 


233.855 




0,4548 . 30 Sgl 


2016 


47122 


13,644 Sgr. 


46771 


257040,0 




234 


235610 


0,644 . 12 Pf. 


117 


21430 


129 


471220' 


18849 
2681 
2356 
226 
188 
"37 
38 


7,73 Pf. 



) Eine mit atmosphärischer Luft geftillte Hohlkugel aus 
j (von dem speciüscheu Gewichte 8,395) hat einen äussern 
Durchmesser von 10 Gentimeter Länge und taucht bis zur 
fiälfte in Wasser ein. Wie gross ist die Dicke der Hülle tind 
das Gewicht der Hohlkngel? 

Allgemein bezeichne d Centimeter die Länge des äusseren 
Durchmeasers, x Centimeter die vor der Hand noch unbekannte 
Dicke der HUlle (so dass ^r den inneren Durchmesser sich 
{d — 2x) Centimeter Länge ergibt), s das specifische Gewicht 
des Stoffes, aus welchem die HUlIe angefertigt ist, a das-speci- - 
fische Gewicht des Gases oder der Flüssigkeit, welche die Hohl- 
kugel einachliesst, endlich s' das specifische Gewicht der Flüssig- 
keit, in welche die Hohlkugel eintaucht. Dies vorausgesetzt er- 
gibt sich leicht zufolge des Archimedischen Gesetzes 



also 21 = d 1 - 



In dem vorliegenden Falle ist 

s = 8,395, tf — 0,00130, s' = I, d = 10 Centimeter 
und die Rechnung soll ao genau, als es die Zahlangaben fOr s 
und tf überhaupt gestatten, ausgeführt werden. 




n,g,t,7.dt,'G00glc 



Zunächst niin ist z 
Form 



bemerken, dass der Badicand in der 



8,396 — 0,001 8,3&4 ' 

nur 4 geltende Stellen, dagegen in der Form 

, ^8' — a . _ 0,5 — , 00130 . J_ 0,4987 

g — a "^ 8,396 — 0,001 °^ 8,39i 

= 1 — 0,05941 — 0,94059 
eine geltende Stelle mehr liefert, wodurch ja auch die Gubik- 
wurzel eine geltende Stelle melir erhält. 

Die Rechnung gestaltet sieh hiernach wie folgt: 



0,0ÖS41 

8394 
458?rö~ 


243 

28227 
28716323 


l'0,94069 
729 
2115|9 


— 0, 



41970 
7900 
7556 


1701 
1323 
34 


3 


-sm 


18367 


3 


336 


2791 


70;00 


9 

8 
1- 


2540 
23 


43 
571 
729 


1 

0,05941 

0,94069 


2664|0739 
227 6i261f 
201 3 






26 3 
26 8 

1^ 






1 






0,97979 




21 — 10x0,02021 
2« - 0,2021 
« — 0, 1011 Cenli 
<J— 10 
2x — 0,2021 
d — 2j; = 9i7979 Centii 


»■ 



innerer Durehm. der Hohlk. 
Die Dicke des Messingableches, welches die Hohlkugel um- 
schlieast, ist hiemach 0,1011 Centimeter; das Gewicht der 
Hohlkugel ist gleich dem Gewichte der durch dieselbe Fer- ". 
drängten Waseermenge oder gleich der Zah] 



i>,Googlc 



Theorie der abgekucaten Rechnung mit DecimalBtthlen. 215 
tPiT K 1000-3,1415926 3141,5986 _. „«, -qq, 

12 — 12 •=. 12 — 'fo^'yy*, 

welche auf Gramm« zu beziehen ist, mithin beträgt es ungefähr 
S61,8 Gramme. 

Sehr nahe liegt es eine Probe auf das* erlangte UesnUifri; 
anzustellen, indem man das Gewicht der Hoblbugel vermöge der 
Formel 

berecbnei, wobei natürlich nur ein Näheningswerth dieses Ge- 
wichtes erlaugt werden kann, dessen Genauigkeit von dem Grade 
der Genauigkeit, welche die Werthe von s und o- haben, ab- 
hängt. Zweckmässig ist es, zuerst den Werth des zweiten Glie- 
des festzustellen, d, h. das Gewicht der in der Hohlkugel ent- 
haltenen atmosphärischen Luft, weil dieses die wenigsten gel- 
tenden Stellen ergeben muss. Da o nur auf 3 geltende Stellen 
bekannt ist, so braucht man {d — 2x)^ nur auf höchstens 4 gel- 
tende Stellen zu berechnen. 

d—2x 



9,7979 


96,98 


156,7 


0,00130 


9,798 


9,798 
8638" 


3,1416 
4701 


492,2 


8818 


620 


686 


672 


166 


117 


87 


86 


62 ■ 


3 


7 
95,98 


7 
940,3:6 


2 
1 


0,640 


j-2rr,)» 




492,2 





^156,7 

Also ist das Gewicht der in der Hohlkugel enthaltenen Luft 
0,640 Gramm. 

Das Gewicht der Messingumhüllung beträgt 261,8 — 0,640 
Gramm, hat also jedenfalls drei ganze Stellen, dazu kommenr 
dann noch drei Decimalbruchstellen, auf welche das Luftgewicht 
berechnet ist: mithin wäre auf 6 geltende Stellen zu rechnen. 
Diese Stellenanzahl ist aber nicht zu erzielen, weil das speci- 
frache Gewicht des Messings nur bis auf 4 geltende Stellen an- 
gegeben ist: folglich kann das Bestreben nur darauf gerichtet 
sein 4 bis 5 geltende Stellen zu erhalten. . Die Umformung 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



216 Di-. SCHWABZ. 

ist für dieBen Zweeb passend: denn der Ausdruck 



d' — jd — Zx)' 



direct berechnet würde 166,7' — 156,7 = 10,0 ergeben , also 
nur zwei zuverlässige Stellen: d^egen der gleichgeltende Aus- 
druck rechter Hand schreitet nach Potenzen der kleinen Gr&sse 
3; fort und hefert um desswillea mehr Decimalbruchstellen. Das 
erste Glied der Klammer ist völlig genau, des zweite 2dx er- 
gibt 3 Decimalbruchstellen: also braucht man auch das dritte 
Glied -^x^ nur auf 3 Decimalbruchstellen, d. h. auf 2 geltende 
Stellen zu berechnen. 

d* = 100 • . . 

2dx = 2,0^ 
~2dx =97,979 
0,014 
^■2dx-{-ix^=91,\ 




5_ 

26,374 

0,1011 X 97,993 X 8,395 X 3,14159 = 
(0,1011 X 97,993) . (8,395 x 3,1416) = 



261,07 Gr. Messing. 
0,64 „ Luft 



261,71 „ Hohlkugel. 

Der genaue Werth ist 261,7994 Gr., der Fehler beginnt 
ll«ngemSs8 erst in der zweiten Decimalbruchstelle , was mit 
Bücksicht auf die Genauigkeit der zu Grunde liegenden Zahl- 
elemente ein durchaus befriedigendes Ergebniss ist. 

Die Dicke der Hülle kann auch mit Vernachlässigung des 
Gewichtes der eingeschlossenen Luft berechnet werden. Die 
betreffende Formel geht dann fOr = und / c== 1 über in die 
folgende : 



2a: =- d (1 - ^1 _ ^J\ 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Tbeorie der abgekürateu Becbnnng mit Decimalzahlen. 



i'0,94044 
729 
!43 211414 



1701 
1323 
34 



2640" 
23 



— 0,97974 



70|00 



571 
729 



2564 


0739 


212 


6|2610 


200 


3 


12 


8 


11 


5 



1 

0,97974 
0,02026 X io 
2a: = 0,2026 
X = 0,1013 Dicke der HüUe. 
Wie wenig ia dea übticben Aufgabeusammlnngen der Grad 
der Zuverläaaigkeit, welchen die gegebeaea Zahlelemente besitzen, 
berüaksichtigt werde, zeigt bei Gelegenheit der behandelten 
Aufgaben S. 79 (Nr. 376) die sonst recht zweckmässige Hoff- 
mann'sche Sammlung stereometrischer Aufgaben (Bayreuth 1854)- 
Hier finden sich unter anderen die folgenden Zusammenstellungen 
gegebener Zahlelemente: 

s = 7,207 d = 10 s' = 13,553 a = 0,0013 
8,39 . 12 . 1,0244 0,0013. 

Beide Male ist der Einfluss des Zahlelements <s auf das 
Resultat vollkommen gleich Null — allenfalls bei dem zweiten 
Exempel kann man, wenn man mit Benutzung der Relation 

rechnet, in der letzten Decimalbruchstelle eine Einheit mehr 
erlangen, als ftlr if « sich ergeben würde: aber diese Stelle 
ist ja überhaupt unsicher und folglich jene Einheit ohne allen 
Werth. 



i>,Cooglc 



Skizze einer neuen Organisation des Unterrichte 
in der Naturlehre an .Mittelschulen. 

Von Prof. Dr. J. Muklleb zu Freiburg i. B. 

Kein Zweig des Unterrichts in den Mittelschulen hat wohl 
mehr mit Schwierigkeiten aller Art zu kämpfen als die Natur- 
lehre. Soll dieser Unterricht wahrhaft nutzbringend und geistes- 
bildend sein, so muas er durchaus im Sinne der inductiven 
Methode gehalten werden, er muss von der Erfahrung und von 
der. Anschauung ausgehen, er muss sich also auf Beobachtung 
und Experiment gründen. 

In diesem Sinne zu wirken wird aber dem Lehrer schon 
dadurch erschwert, dass er vielfach mit Lehrstunden in andern 
Fächern überhäuft ist, und dass es ihm, von sonstigen Uebel- 
ständen ganz abgesehen, an Zeit fehlt die Versuche gehörig 
vorzubereiten, 

Jedei: mit der Sache einigermaasen Vertraute wird aber 
wohl wissen, dass die Kunst, gut und sicher zu experimentireu, 
wesentlich darin besteht, dass Alles mit der nöthigen Sorgfalt 
vorbereitet ist. Nur dadurch gewinnt der Lehrer das gerade für 
■den Schulunterricht ao nöthige Gefühl der Sicherheit, nur da; 
durch wird es ihm möglich Z»tverluste und Störungen zu ver- 
meiden, welche ein erfolgloses, auch die Disciplin gefährdendes 
Hin- und Herprobiren mit sich bringt. 

Wenn der Lehrer ftfr die nöthige Vorbereitung der Versuche 
keine Zeit finden kann, so wird er überhaupt dem Experimen- 
tiren möglichst aus dem Wege gehen, er wird sich damit begnügen 
an der Tafel zu demoustriren und seinem ganzen Unterricht eine 
allzu abstracto Form zu geben, wenn er sich nicht gar yerleiten 
lässt, auch die Naturgesetze dogmatisch zu behandeln und sie 
auswendig lernen zu lassen, statt ihr Versl^ndnise zu vermitteln. 



,iP,.-jM,Googlc 



Skizze einer neifen Organisation d. UnterrichtB j. d. Naturlehre. 21Ö 

Eine weitere Schwierigkeit erwächst dem na.turwiBseiischsft- 
liehen Unterricht an Mittelschulen au3 dem Umstand, dass den 
meisten derselben nur geringe Mittel zur Verfügung stehen, 
während gute physikalische Apparate keineswegs immer mit 
geringen Kosten zu bescbalfen sind. Die Knappheit der Mittel 
bedingt nothwendig den Wunsch nach wohlfeilen Apparaten und ' 
diesem ist man von Seiten der entsprechenden Mechaniker viel- 
fach in einer Weise entgegen gekommen, welcher der Fach- 
kundige durchaus keinen Beifall spenden kann. Man hat mimlich 
die Wohlfeilheit auf Kosten der Brauchbarkeit erzielt. 

Allerdings läaat sich durch Vereinfachung bei der Her- 
stellung physikalischer Apparate Vieles ersparen, und namentlich 
ist es die äussere Ausstattung, auf welche weniger Arbeit ver- 
wendet zu werden braucht, wenn nur "der wesentliche Theil des 
Apparates iu genügender Vollkommenheit uiid' Solididät aus- 
■ geführt ist'. Leider aber geschieht häufig das Gegentheil, man 
trifft vielfach Apparate, welche bei äusserlich luxuriöser Her- 
st«llung vollkommen unbrauchbar sind und welche beweisen, 
dass es ihrem Verfertiger gar nicht in den Sinn gekommen ist, 
einen Versuch mit denselben anzustellen.*) 

So kann es denn.nan kommen, dass in einer Stadt, welche 
mehrere Mittelschulen besitzt, etwa Gymnasium, Realschule; 
Foriibildungsschule , höhere Tochterschule u. a. w. vier, fünf, 
sechs Sammlungen physikalischer Apparate voilianden sind, welche 
aämmtlich ihren Zweck nur unvollkommen erfüllen. 

Dieser Umstand deutet nun aber auch- die Mittel an, dutch 
welche ermöglich wird, dem naturwissenschaftlichen Unterricht 
an Mittelschulen einen namhaften Aufschwung zu sichern. Es 
bedarf nämlich nur der Vereinigung aller der Mittel, 
- welche auf Beschaffung mehrerer mangelhafter Sammlungen 
physikalischer Apparate verwendet werden, um ein einziges, den 
BedflrftdsSen entsprechendes und jeder billigen Anforderung ge- 
nügendes physikalisches Kabinet herzustellen. 

Die durch gemeinschaftliche Mittet zusammengebrachte ■ 
Sammlung von Lehrmitteln für den Unterricht in der Naturlehre 
ist in einem Local aufzustellen, welches mit einem kleinen 

*) Nur leider zu wahr, selbst bei renommirten Firmen. 

D. Red. 



,ti7rJt,G00glc 



220 Dr. J. MuELLEa. 

Laboratoriam und einem HiSra&Bl versehen \ai, in welchem 
alle io das Fach einschlagenden Untertichtsstunden 
gehalten werden. 

Bs yerateht sich wohl von selbat, dass die Leitung nnd 
Benutztingeines solchen physikalischen Tustituts der Hand einer 
einzigen tüchtigen Persönlichkeit anvertraut werde, so 
dass er allein den physikalisch -cbemischen Unterricht an den 
contrahirenden Anstalten zu ertheilen hat. 

Dabei versteht es sich wohl ferner von selbst, daas hier 
nicht von einer Combination der Schiller verschiedener Classen 
und verschiedener Anstalten die Rede sein kann. Die Schfiler 
der verschiedenen Abtheilungen haben sich zu verschiedeneu 
Stunden in dem gleichen Locale einzufinden. 

Der Lehrplan der verschiedenen Anstalten wird also durch 
eine solehe Einrichtung nicht im mindesten alterirt, nur der 
Hörsaal wird gewechselt und die gleiche Person fnngirt an Ter- ■ 
schiedenen Anstalten als Lehrer der Physik und Chemie. 

Anf diese Weise ist es dem Lehrer möglich gemacht, die 
n&thigen Versuche genügend vorzubereiten und sich einzig und 
allein seinem Gegenstände zu widmen, wbdufch er dann auch 
Gelegenheit erhält, sich wissenschaftlich \ind pädagogisch besser 
für seinen Beruf auszubilden, als es unter andern Umständen 
möglich wäre. 

Bei einer derartigen Organisation kann natürlich bedeutend 
mehr geleistet werden, als bisher möglich war, ohne dass deshalb 
die geringste Vermehrung der Lehrstuuden för unser Fach nöthig 
wäre. Ich meine damit durchaus nicht, dass man im natur- 
wisBenschaftlichen Unterricht der Hittelschulen weiter_ gehen 
solle, als es bisher zu geschehen pflegt«, dass man aber das in 
den Unterricht hinein zu ziehende Material gründlicher behandele, 
als es bisher möglich war, und dass man strebe, an die Stelle 
oberflächlicher Halbwisserei, ein gründlicheres Verst&ndniss zu 
setzen. 

Es handelt sich nicht darum die Grenzen des zu bebauenden 
Feldes zu erweitem, sondern dessen Cultur zu verbessern. 

In diesem Sinne wird natürlich nur ein Lehrer wirken 
können, welcher neben wissenschaftlicher Bildung auch einen 
richtigen padago^schen Tact besitzt, der die Dinge nicht in 
einer 4^rt behandelt, welche über die Fassungskraft und den 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Skizze einer neuen Organisation d. Unterrichi« i. d. Hatnrlehre. 321 

Standpunkt der Schüler hinausgeht und sie daran gewöhnt, sich 
mit Halb- oder Missverstandenem zu begnügen. 

Wie die hier nur kurz angedeutete Idee in's Leben zu rufen, 

wie sie in der Äusßlhrung zu gestalten sei, muas ich natürlich 

Männern überlassen, welchen bei lebendigem Jnteresäe an der 

' Ausbreitung gediegener Bildung auch praktisch in die Gestaltung 

des Schulwesens einzugreifen gestattet ist. . 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheilungeri, 

Ginige Bemerknngen zu dem Anfäatze Herrn Diekmann's: Zur 
Theoria der fileichnngen zweiten Grades (1?, 392). 

Von Prof. Dr. K, L. Baues in Karlsruhe. 

AusBer dem Yeriasaer dieser Zeilen haben sicherlich noch zahl- 
reiche Collegen mit gleichem Interesse von der Methode Eentitniss 
Genommen, welche Herrn Dlekmsim zu einem durch Allgemeinheit 
ausg6zeichne1«ii Ausdrucke för die Wurzeln einer quadratischen 
gleichung gelangen Hess (diese Zeitsoh., i. Jahrg., S. 392 bis 403). 
Folgende Bemerkungen dürften indessen einigen Anspruch auf Be- 
achtung haben. 

. I. 

Wie man das nSmliche Resultat, ohne geometrischö Interpre- 
tation und auf bedeutend kürzerem Wege, ableiten kann, lehrt 
Bardey in seinen algebraischen Gleichungen (Leipzig, bei Tenb- 
ner, 1868) auf Seite 51 folgendermaassen. 

Hat man fUr eine und die nSmliche Zahl x zwei äusserlich 
verschiedene Ausdrücke gefunden: 



so ISsst sich hieraus immer ein allgemeinerer Ausdruck ableiten, der 
die zwei zuerst gefundenen als besondere Fälle einachliesst. Unter 
der gemachten Toraussetzung ist nämlich : 

B.x=A; B^.x = Äj, 
und wenn w imd m^ zwei ganz beliebige Zahlen bedeuten, so 
erhält man daher: 

iSm±ß,m,)£ _ Am ± A, m, 
^ Em ± B,tn, ~ Bm ± B,m,' 
Vgl. J. H. T. Müller, Arithmetik, HaUe 1855, Seite 86 Nr. 66! 
Diese Formel, welche Bardey den Correspondenzsatz (mit Addi- 
tion, oder mit Subtraction) nennt, ist auch auf den Fall der quadra- 
tischen Gleichungen anwendbar. Aus 



i>,Cooglc 



-ElelDere MittheiluDgeo. 

ox^ + 2!w + C =- 
1 znnSchst auf bekatmte Weise: 



Erweitert maa den Bruch mit - 
zweiter Aiisdruct: 



(Hier dürfte das Doppelzeichea -|- nicht durch + ersetzt werden, 
wie Herr D. immer achreibt.) Nach Anwendung des Coneapondenz- 
aatzes mit Subtractiou wird daher allgemeiner: 

(— 6± yb^~ac) m — cm^ 



am + bm,± m, Vb^ — ac 
Dividirt man noch Zähler und Nenner durch m, und setzt 

* m.iM^ = #, 
so folgt: 

-~b» — c±9yb'~ac 



a» + b± )/6'-.ac 
was mit Herrn Dietmann's Formel genau übereinstimmt (mit Aus- 
nalmie des Vorzeichens von c im ZSblerj S. 401 at«ht dreimal 
nach einander +'^1 statt des richtig^i — c). Die zwei flir a; an- 
tkngs aufgestellten Specialausdrücke ergeben aich aus dem allgemei- 
neren durch die Substitutionen: 

»1=0, & = 00, und *» ^ 0, * = 0. ■ 
II. 
Statt der zwei besonderen Formen, welche Herr D. am Schlüsse 
seines Aufsatzes der quadratischen Gleichung gibt, hKtte man deren 
auch vier aufstellen können: 

l)(ax-^bf — {b^~ac) = 0; 2) (i. t + a)^— ^ (6*— ac) = 0. ' 
'3) (c-^ + ft)" -(6'-ca) = 0i 4) (a:-.6 + c)*— a^(6^— ca) = 0. 
(Herr D. gibt die erste und vierte dieser Formen.) Zwei derselben 
ergeben sich aus den beiden andern, nicht bloa durch Division oder 
Multiplication mit x*, sondern auch durch Yertauschung von a mit c, 
und von x mit — . Die Berechtigung hierzu erhellt schon aus dem 
gleichzeitigen Besteben der zwei Gleichungen: 



n,g,t,7.dt,'G00glc 




Kleinere Mittheitnngen. 

«■(|)'+2;'-;+»-0. 
Diö AunSsungareauMate dar vier Olelcbangea Biad: 



in. 

Die. von Herrn D. gegebene geometriacbe Deutm^ der qua- 
dratischen Gleichungen könnte dnrch folgende kürzere- Daratellung 
arsetzt werden. 

Sind (t und ß die Wurzeln der quadratischen Gleichung 

l(^-«)(^-^)=o!, 

30 bestehen die Beziehung«i: 

}(" + «--^ 'ß-i- 

Die War^eln et, ß laeseu sich nun als die von einem Punkte des 
Prägers (siehe die Figur!) gerechneten Abacisseu der Doppelpunkte 
äiner hyperbolischen Involution 

V p £ 8 

^'— i— '— '-H— 

roQ Puuktpaaren betrachten; dann ist 

f-.i(«+« 

lie Abscisse des Mittelpunkts der Involution. Bedeuten femer 
■ und l' die Abacisseu irgend zweier entsprechenden Punkte beider . 
Reihen, so sind diese Punkte den Doppelpunkten harmonisch zu- 
geordnet, weshalb:' 

i^ + t^-O 

i-ß + r^ "■ 

(|-")(l'-« + (l'-")(l-«-0. 

I «II + 6(1 + 1') + « - 0|. 

lus dieser (ileicliuiig, welche bei der besondeni Aimalime: | = |' ^ :c 
u die uraprünglielie quadratische Gleichung übergeht, ergibt sich; 

,. _ )(« + «{-'■> _ M + c 

* 6-4(« + B "£ + ''■ 

Sam gleichen Besultate führt die bekannte Beziehung; 

(I - rt er -rt -»»-«)■,] 

wsaa man ■> «f=- J (^ + «) setzt Nicht ganz so zweckmässig wäre 



,ti7rJt,G00glc 



Kleinere MittheiluDgen. 

es, Tou einer der folgendea (mit Bückeicht anf die Figur 
Betatioiien auezugehen; 

R _ (S-t^Xr-«) _ (£-a)(r-«) 

^ " +{«-«)+(r-'>)) ~ i«+n-« 
* ^~i((i'~")+<r-p)} £■ -4 («+?)' 

obgleich auch Tdnuittelat dieser ohne lange Becbnung t ^ Function 
von I gefunden werden kann. ' 



Matbeinatiselie SopMemen. 

Yon G. Hglliunn in Berlin. 

Herr Dr. Bender in Speier hat bereits in IV, 357 dieser Zeit- 
schrift auf die Nützlichkeit der „mathematischen Sophismen," wie 
ich jene Ungereimtheiten nennen möchte, hingedeutet und dazu ein 
Beispiel gegeben*). Ich füge daher demselben noch einige bei. 
1, Daa Ganze ist gleich der Hälfte: 

x^ — x^ = UJt- x\ {x — X) 
a: (a; — x) = {x-{- x) (x — x) 

X ^ X -^ X -= 2x folglieh 



2. Das Positive ist gleich dem Negativen: 

y — a ■ y — a = y — a a = y a* •= a «. 

a = — a 

3. Jede positive (ganze oder gebrochene) Zahl ist kleiner als 
Nichts und jede negative (ganze oder gebrochene) grösser als Nichts. 

Wenn « eine ganze positive Zahl ist, gilt 

2« — 1< 2«, multiplicirt mit — a, 
— 2o» + öi< — 2 an 
a<0 
Äehnlich für die negative ganze Zahl. 
Für die positive gebrochene Zahl hat man 



*) S. jedoch die Entgegnnngen von Heier und Scherling da. Jahrg. 
(Hfl. 1) S. &0. Doch hatte wohl Er. Dr. Bender die gute Absicht die Leh- 
rer der Matlieiiiatik {namentlich jüngere) zu ermahnen, aie möchten gelegent- 
lich ihre Schüler aof solche math. „Sophismen" aufmerksam machen. 

D. Red. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



326 Kleioete MittheilnDgen. 

2» — 1 < 2», dividirt ijurch — a (ganze Zahl) 

?<» 

U. B. W. 

Namentlicli die Lehre von den Ungleichheiten ist in den Lebr- 
bQchem dUr^g behandelt und daher das letzte Beispiel um so. be- 
herzigens w erther . 



Noch einmal die Tmectioii des Winkels mittelst der Kreiaconcholde. 

Von M. CüHTZK in Thom. 

In diesen Blättern ist mehifacb*) ansfdhrlicb von der Trisecüon 
des Winkels durch die Kreisconcboide oder die sogenannte Lima9on 
des Pascal die Eede gewesen. Herr Rector Hippauf bat dabei 
wohl, weil er in die ganze Literatur der Geachicbte der Trisection 
- nur einen Streifblick gethan bat, bei seinem Aufsatze sich ein zu 
grosses Verdienst zugemessen, daa auf richtige Grenzen bis jetzt, 
meines Wissens, noch von Niemand zurückgeführt ist. Nun befindet 
sich ein Aufsatz von mir bereits theilweise gedruckt in der Schlö- 
mileh'sohen Zeitschrift**}, der dies an der Hand zum Theil erst- 
malig veröffentlichter Dooumente thut, ich glaube aber nichts ün- 
ntttaes zu thun, wenn ich an dieser Stelle, von wo die Anregung 
die Sache wieder aufeunehmen — wenn auch nicht flir mich — 
ausgegangen ist, wenigstens in Kürze die Resultate der betreffenden 
Ui^ersuchung mittheile, sie werden keinen allzugrosaea Raum dem 
eigentlichen Zwecke dieses Blattes entziehen. 

Die erste Spur der von Herrn Hippanf gegebenen Lösung 
findet sich bestimmt bei Archimedes (Lemma 8), es ist aber 
wahrscheinlich, dass sie noch weiter zurück auf den Erfinder der 
Conehoiden Überhaupt, auf Xikomedes zurücligeht, denn Coper- 
nicus behauptet in einer Notiz**) zu Euklid, dass er sie bei Niko- 
medea gefunden habe. Jetzt sind die Werke dieses Autors be- 
kanntlich bis auf die Fragmente bei Pappos und Eutokios für 
uns verloren. Die Araber, denen wir ja auch die Erhaltung der 
Lemmatsi des Archimedes verdanken, entwickelten die Sache wei- 
ter (siehe Woepcke, l'Algöbre d'Omar Alkayäni Anhang D) 
und die drei Brüder Muhamed, Ahmed und Hasan ben Muaa ben 
Schakdr waren die ersten, welche die Lösung auf das Hippanf sehe 



•) S. Bd. m, 21B— 240 und 637 (Älbrich). — IV, 176. (ürtheile v 
Garthe und Minding). — V, 64 (Sidler). D. Red, 

••) XIX, (1874). I. Heft, Kl. Mitth. p. 81. D. Red. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheilungeu. 227 

Princip zurHckfllhrteii. Ihre Lösung, welche sie für ihre Erfindung 
in Ansproch nehmen, hahe ich aus dem Liber trium fratrum 
nach der Basler HEtndachrift hei SchlQmilch mit abdruclieii lassen. 
Abul Eissan, genannt Albirum, zeigt nun später, dasa die Lösung 
mit der Conchoide auf gerader Basis, und die beiden verschiedenen 
Lösungen durch die Kreisconchoide — - durch den innem Thei! der- 
selben, oder durch den Theil, welcher den Kreis umschliesst — 
auf demselben Princip beruhen und im Grunde nur ein und dieselbe 
sind. Wahrscheinlich aus arabischer Quelle stammt die Lösung, 
welche Campanus seiner Uebersetzuug des Euklid {Venetiia 1482) 
am Ende des 4. Buches beigibt, Sie ist ideutiach mit der der 
drei Brüder und mit der des Herrn Hippauf. Letzterem bliebe 
nach allem Gesagten wohl nur das Verdienst, die besagte leichte 
Constmction wieder in Anregung gebracht zu haben, — sein Curven- 
cirkel ist übrigens nichts als eine leichte Veränderung des Niko- 
medischen Currencirkels, wie die veränderte Basis ihn verlangt — , 
aber anch dieser Buhm ist hinfällig, denn schon 1870 hat in den 
Nouvelles Annales de Mathömatiques Jouanne die Lima^u 
dea Pascal in derselben Weise wie Herr Hippauf zur Triaection ver- 
wendet*). Dass übrigens Herr Hippauf seine Conatruction in dem 
von ihm erwähnten Artikel des Klügel'sehen Wörterbuches nicht hat 
finden können, ist eigenthümlich. Sie ist dort zweimal abgehandelt, 
da der Verfasser jenes Artikels die Identität der Methoden über- 
sehen hat, und die eine dieser Methoden citirt Hippauf in seinem 
sogenannten historischen Uebeiblick. Hat er seine Methode etwa 
nicht kennen wollen? 

Anm, der Redaction; Die vorstehenden Bemerkungen des in 
der GeachicMe der Mathematik rühmlichst bewanderten Herrn Yerfaaeers 
and die darin gegebene ZorückfShruug dea Verdienstes Herrn Dr. Hipp- 
anfa auf das richtige Maaa richten auf's Nene an jeden, der an die Be- 
handlung eines Themas geht, die ernste Mahnung, über die Leistongen 
seiner Vorarbeiter sich genau zu unterrichten. 

") a. dort 8. 40. D. Red. 



n,g,t,7.dt,'G00gIc 



Literaxisclie Berichte. 



A) Recemiioiieii und Anzeigen von Bäohern. 

Okelli, Joh. (Prof. am Eidgenössischen Polytecbnikuin), Lehr- 
buch der Algebra für Industrie- und Gewerbeschn- 
len, sowie zum Selbstunterricht. Zweite umgearbeitete 
and wesentlich vermehrte Auflage. Zürich. Schabelitz'sche 
Buchhandlung 1872. 
Vorstehendes Lehrbuch soll „den Zuhörern des Herrn Verfas- 
sers ein bequemes Hülfsmittel zur Wiederholung der Vorlesungen 
über Algebra an die Hand geben und andrerseits dem Theil der 
studirenden Jugend, der bei seiner Vorbereitung theil weise oder 
ganz auf Selbstunterricht angewiesen ist, den Weg für höhere 
mathematische Studien ebenen." Die Rücksicht auf letztere erklärt 
die behagliche Breite der Darstellung, rechtfertigt es aber keines- 
wegs, wenn die zahlreich eingestreuten, bis in das kleinste Detail 
der Ausführung durchgesprochenen Beispiele jedweden besonderen 
Interesses entbehren und theilweise sogar durch Gleichförmigkeit 
ermüden. So sind pg. 114 und 115 die Beispiele 



litt — 3 _ £ _ 18 — a: 2ai —8 

9 2 3 "^ 13 

der Beibe nach behandelt: das letzte Beispiel allein hätte offenbar 
genügt alles zu zeigen, was aus allen dreien erhellen soll. 

Die Darstellung ist bei aller Breite im Allgemeinen klar und 
zeigt überall die erfolgreiche Bemühung den Stoff mit erschöpfender 
Gründlichkeit zu behandeln. Aber eigenthümlicher Weise unter- 
scheidet der Herr Verfasser zwischen Arithmetik und Algebra und 
indem er die Arithmetik, d. b. die Methoden des gemeinen Eeeh- 
nens mit ganzen und gebrochenen Zahlen, wobei sogar die unend- 
lichen Decimalbrüche nicht ausgeschlossen zu sein scheinen, als be 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Berichte. 229 

kannt voraussetzt, erlaubt er sich die Willkürlich keit einen Theil 
der hierher gehörigen Lehren, nSmlich im Allgemeinen diejenigen, 
welche sieb »uf die Rechnung mit ganzen Zahlen heziehen, in die 
algebraische Theorie hineinzunehmen, dagegen insbesondere alle 
Sätze auszuschüeHBen, welche die eigentliche Theorie des Rechnens 
mit BrUchen aufhellen. 9o findet sieh in dem ganzen Werke nicht 
einmal die Erklärung, was ein gemeiner Brach ist und doch han- 
delt ein ganzer Abschnitt (pg. 52 — 60) 'von den algebraischen 
Brüchen. Viele Sätze der Arithmetik, wdcha für ganze Wählen er- 
wiesen sind, werden ohne Weiteres als giltig aneh für gebrochene 
Zahlen angenommen und der ganze Prooess, vermöge dessen andere 
Sätze in die Algebra einverleibt werden, reducirt sich mitunter auf 
den Ausdruck des Inhalts derselben durch allgemeine Formeln. 

Znm Belege des Gesagten .mSge die Art nSher betrachtet wer- 
den, wie pg. 38 die Formel a : (6cd) = a:b : cid bewiesen oder 
vielmehr besprochen wird. 

„Wenn man a auf einmal durch das Product bcd dividirt, so 
erhält man -^—^ als Quotienten. Das nämliche Resultat erhält man 
aber auch, wenn man a successive durch die Factoren 6,cundd 
dividirt; denn 



nach dem aus der Arithmetik über die Division von BrUchen durch 
ganze Zahlen bekannten Satze. £s ist also hierbei vorläufig noch 
vorausgesetzt, dass fr, c und d positive ganze Zahlen seien. Erst 
ans der Theorie der algebraischen Zahlen ergibt sich dann die 
Gültigkeit dieses Satzes für beliebige Factoren h, c und d." 

Diese Erweiterung ist allerdings (pg. 57 unter-52) eingefügt. 
Aber die vorhergehenden Sätze ans der Theorie der algebraischen 
Brttqhe setzen durchweg voraus, dass der Satz von der Vertausch- 
barkeit der Factoren auch Mr gebrochene Factoren Giltigkeit hat. 
Nun ist derselbe allerdings für ganze Zahlen pg. 26 in aller Strenge 
bewiesen: aber seine Ausdehnung auf gebrochene Zahlen erfolgt nur 
auf Grund der Regel, nach welcher zwei Brüche miteinander mal- 
tiplicirt werden. Was solche Multiplication theoretisch besagt, ist 
vermuthüch voransgesetzt, aber nirgends auch nur angegeben. 

Der entsprechende Multiplicationssatz 

a-(b-c-^ = a-J}-c-d 
findet sich pg. 27 mit einer Art von Beweis vor, wobei wenigstens 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



230 Literarische Berichte. 

I>, c, d als ganze Zahlen vorausgesetzt werden. Hier wird ontersncht, 
wie der Multipüoator hcd aus 1 entsteht, nnd gesagt: „bcd kuia 
aus der Einheit dadurch abgeleitet werden, dasa man entweder die 
positive Einheit auf einmal bcd mal alB Summand setzt, oder dann 
auch dadurch, daas man dieselbe erst 6 mal nimmt, was heraus- 
kommt mit c und dieses Resultat noch mit d multiplicirt." Dies 
ist freilich nur dann richtig, wenn man 

1. (b-c-d) = l-h-c-d 
setzt, d. h. wenn der zu erweisende Satz ohne Weiteres für den 
Multi^dicandoB 1 als richtig angenommen wird. 

Ahgesehen von dem ZirkelschlusBe, der in dem Beweise zum 
Yorachein kommt, spukt darin auch das ganz haltlose Princtp, dass 
„das Prodnct aus dem Multiplieanduä in der gleichen Weise abge- 
leitet wird, wie der Multiphcator aus der positiven Einheit." Bei 
dieser Ableitung soll es, wie ausdrHokhch angegeben wird (pg. lö), 
durchaus nicht erforderlich sein, daaa an das wiederholte Setzen 
von etwas gedacht wind; vielmehr ist das Wort „Ableiten" im all- 
gemeinsten Sinne zu verstehen: „der HultiplicanduB kann sein, was 
er will, der Maltiplioator positiv oder negativ, ganz oder gebrochen." 
Um die HinMligfceit der aufgestellten Definition zu zeigen, gentigt 
es darauf hinzuweisen, dass der Multiplicator stets auf mannigäd- 
tigste Art aus 1 ableitbar ist; jede besondere Art der Ableitung 
wäre zu berücksichtigen, was sieh als unmöglich ausweist und leicht 
genug auf Widerspruche führt. So entsteht o* aus 1, indem man 1 mit 
a multiplicirt und das Product auf die vierte Potenz erhebt: hier- 
nach wäre a^-tt* = (a*-a)*l Oder; 5 entsteht aus 1, indem man 
die Quadratwurzel ans 1 zieht und das Resultat verfünffacht: hier- 
nach wäre 4 • 5 ^ y 4 ■ 5 1 

Die Theorie der algebraischen Zahlen ist auf ungenügender 
Grundlage aufgebaut. Zunächst setzt sie den Satz a — (b -^ e) 
= a — b — C als für beliebige absolute Zahlen gilüg voraus und 
doch kann von demselben in der „Arithmetik" nur die Bede sein, 
wenn a^b -\- c ist. Ihn ohne Beweis für den Fall o < 6 -}- c 
in Anspruch nehmen, wie es thatsSchlich geschieht (pg. 10), achliesst 
den Yerzicht auf die erforderliche mathematische Strenge in sich 
und entbehrt zudem, so lange die Existenz der herauskommenden 
Zahl nicht klar gelegt ist, jedweden bestimmten Sinnes. DieReduction 

12 — 19 =. 12 ~ (12 + 7) = 12 — 12 — 7 = — 7 
sagt am Ende doch weiter nichts, als dass 7 zu subk'aMrende Ein- 
heiten übrig bleiben. Wie diese Subtraction ausführbar ist, wird 
nicht angegeben, daa Resultat aber dennoch als etwas Existirendes 
unter dem Hamen „aubtraetive" und gleich darauf „negative" GErösse 
vorgeführt. 



,t,7rJM,G00glc 



Literarische Berichte. 231 

Der Satz von der Vertauschbarkeit der Sömmaiiden auch in 
dem Falle, wenn dieBelben algebraische bestimmte Zahlen sind, 
wird ohne Beweis voransgeaetzt und (pg. 12) sogar schon zn der 
Herleitung derjenigen Sätie verwandt, welche auf die Berechnung 
zweigliedriger Summen sich beziehen. 

Bei Betrachtung (pg. 45) der nicht aufgehenden Divieion von 
Polynomien werden diejenigen Glieder dea Quotienten, welche durch 
allmählige Äbstreifung der Vielfachen des Divisors vom Dividendus 
entstehen, irrtfaUmlicb als ganzer Quotient bezeichnet, während sie 
solchen erst mit dem Restbmche zusammen darstellen. 

In der Lehre von den Potenzen und Wurzeln fehlt die Formn- 
lirung des In der Gleichung (»")" = (a")" ausgesprochenen Satzes; 
die Lehre von der Quadrat- und Kubikwurzelausziehung (pg. 77 — 
105) ist jedenfeUs ein wahres Muster weitschweifiger Darstellung. 

Nicht minder breit (pg,109 — 195) sind die Gleichungen ersten 
und zweiten Grades mit einer imd mehreren unbekannten abgehan- 
delt; aber die wirklich gründliche und wissenschaftliche Behandlung 
des Lehrstoffes bietet hierfür vollkommene Entschädigung. Ins- 
besondere werden die fundamentalen Operationen, welche zur Um- 
formung der Gleichungen dienen, mit grSsster PrScision ins Auge 
gefasst, die Aequivalenz der imigeformten und der nrsprünglichen 
Gleichung wird in allen Fällen, wo sie stattfindet, streng bewiesen 
und die gleiche Sorgfalt auf die Discussion der allgemeinen in Be- 
tracht kommenden Gleichungsfoi-men verwandt. Ausstellungen sind 
in diesem Abschnitte nur wenige zu machen. Nach Besprechung 
der äubstitutions- und Comparationsmethode fällt der Name „Elimi- 
nationsmethode" für „Additionsmethode" auf. Jene beiden sind doch 
ebensogut wie diese und die gleich dai-auf besprochene Methode von 
Bezout Bliminationsmethoden. — Die Auflösung der Mischungsauf- 
gabe (pg. 137 und 138) durch ein noch dazu sehr weitläufiges 
Baisonnement lässt die nöthige Klarheit sehr vermissen. — Die Be- 
trachtung der Symbole 



wird der Theorie der Gleichungen eingefügt, was dem Referenten 
neu xmd interessaut war. — Von den Gleichungen höherer Grade, 
welche auf quadratische zurUckführbar sind, sind nur solche betrach- 
tet, welche von der Form 

sind: die Betrachtung auch anderer Formen lag nahe genug und 
war wünschenswerth. Endlich iällt die Betrachtung irrationaler 
Gleichungsformen ganz aus. 

Der siebente Abschnitt (pg. 195 — 221) enthält Zablentheore- 
tie(^eB, Sätze über Wurzelgrösseo, die Betrachtung der Werthäode- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



232 Literatische Berioltte, 

rungen, welche die Potenz x' bei allmShliger Variation des Expo- 
nenten y erfSbrt nsd im Anschlüsse hieran die Theorie der in- 
oommensurabeln Zahlen — leider eine völlig verfehlte Theorie. In 
derselben wird nämlich angenommen, dasa die Enstenz incommen- 
surabler Zahlen aus RadicJrungen unzweifelhaft erhelle, und deren 
Grund eigens chaft, von Paaren commenaurabler Zahlen mit beliebiger 
Annäherung eingeschlosEen zu sein, durch Betrachtung der Resultate 
irrationaler Würze laus Ziehungen leicht genug genommen. Da hfttte 
denn aber doch, ehe die Technik dieser Bechnungen auseinander- 
gesetzt wurde, die Vorfrage von der Existenz der Resultate erledigt 
werden sollen. Diese Erörterung fehlt ^nzUeh, ebenso die zugehö- 
rige Betrachtung, wie sich die Potenz x' mit Aenderong der Grund- 
zahl X ändere. 

Der achte und nennte Abschnitt enthält den Üblichen Lehrstoff 
in Bezug auf Logarithmen, Zinseszins- und Bentenrechnung und die 
Lehre von den ftogressionen (pg. 221 — 265). 

Dei' 10. Abschnitt endhch, mit welchem der erste Theil schliesat 
(pg. 265 — 288), handelt von Kettenbrüchen und beschränkt sich 
gleichfalls auf das GewöhnUche: nur ist onzuISssiger Weise hei 
Betrachtung von unendlichen Kettenbrüchen (pg. 278) deren Werth 
von vom herein und ohne Erweis als eine esiatirende Grösse vor- 
ausgesetzt. 

Der zweite Theil gliedert sieh in folgende Abschnitte; Unbe- 
stimmte Analytik pg. 291 — 321, Combinationslehre pg. 321 — 329, 
binomischer und polynomischer Lehrsatz pg. 329 — 353, imaginäre 
und complese Zahlen pg. 353 — 363, allgemeine Auflösung der 
Gleichungen dritten Grades pg. 363 — 376, unendliche Reihen pg, 376 
— 414, höhere Gleichungen pg. 414 — 510. 

Der Abschnitt über unbestimmte Analytik um&sat solche 
lineare Gleichungen, wo die Anzahl der Unbekannten die Anzahl 
der Gleichungen um Eins Übertrifil, und am Schlüsse die ganz- 
zahlige Lösnng einer linearen Gleichung mit dreien Unbekannten. 
Diese ganze Theorie ist mit musterhafter Gründlichkeit abgehandelt, 
die Darstellung allerdings auf das Bedürfniss eines Autodidakten 
berechnet, aber keineswegs überflüssig breit. Nor ist nicht recht 
einzusehen, warum der Anwendung, welche die EettenbrUche hier- 
bei finden, mit keinem Worte gedacht ist. 

Aw^llender Weise werden nur Permutationen , Combinationen 
und Variationen ohne Wiederholung in Betracht gezogen und von 
Complexionen ist nirgends die Rede. 

Der polynomische Lehrsatz vrird durch wiederholte Anwendung 
des binomischen abgeleitet, die Summirung der meisten Potenzen 
einer arithmetischen Reihe und die Berechnung von Kugelhaufen 
sind angeknüpft. 

Die complexeu Zahlen werden, wie pg. 359 ausdrücklich be- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



LiterariBcbe Bericbte, 233 

merkt wird, nicht durch die betreffenden „ZahlÖrter" (Punkte der 
Ebene), sondern durch deren nach Grösse und Richtung genommenen 
Abstände vom Nullpunkte repräsentirt. Mit dieser Auffassung ver- 
tragt sich die Multiplication zweier complexea Zahlen durchaus nicht 
Eine Definition derselben ist gar nicht gegeben und der Stitz von 
der Vertauschbarkeit der Factoren eines Produetes wird ohne Weiteres 
angewandt, wenn gefolgert wird 
{«' + ^ (""+,/' 0*^5 ?' {«öa9>' + 1 sinqo'} . q" (co3(p" + i sin 9.") 

^ 9' e ' ■ (eosgi' + i sin if) ■ (cos gi ' + i sin <p"). 
Was soll hier q • 9" d. h. die Multiplication zweier Strecken bedeuten? 
Gesagt ist es nicht und eben so wenig wird der Sinn, den die 
Multiplication zweier Bichtungafactoren zufolge der S. 358 gegebenen 
Erklärung des Richtungsfactors cos y + j sin ip hat, zur Anwendung 
gebracht um sofort auf das Resultat 

cos {q>' + 9") + » sin (y' + tp") 
zu schliessen, dieses vielmehr durch mechanische Multiplication der 
Ausdrücke cos gi' + i sin <p' und cos gi" -j- * sin q>", sowie durch An- 
wendung trigonometrischer Formeln vermittelt. 

Der 5. Abschnitt, welcher die allgemeine Auflösung cubischer 
Oleichungeu behandelt, enthält alles Erforderliche, ist aber weniger 
ansprechendals die Abschnitte über linearenndquadratischeGleiohuDgen. 

Indem in dem 6. Abschnitt zu den unendlichen Reihen über- 
gegangen wird, sind die Vorbegriffe von constanten und variabeln 
Grössen, von Functionen und deren Arten mit hinlänglicher Klarheit 
definirt, nur hätte der Begriff Grenze auch auf andere als unendlich 
zunehmende Werthe der unabhängig Veränderlichen bezogen werden 
sollen. Gleich aber der erste übrigens in praxi völlig bedeutungs- 
lose Satz, welcher an der Spitze der Theorie von den convergenten 
Reihen steht, entbehrt eines genügenden Beweises. Der Satz lautet: 
„Eine unendliche Reihe mit lauter positiven Gliedern ist stets con- 
vergent, wenn die Summe der n ersten Glieder bei unendlich wachsen- 
den n endlich bleibt.'' Der gegebene Beweis läuft darauf hinaus 
die Eigenschaften, welche die Summe der in Rede stehenden Reihe 
haben mnss, mit etwas anderen Worten, als die Definition enthält, 
zu umschreiben, und auf Grund dieser Umschreibung die zu er- 
weisende Realität der Summe zu folgern. 

Die Reihenentwiekelungen für e', log (l + x), sin », cos x, (1 + x) " 
u. B. w. sind alle durch die Methode der unbestinmiten Coef&cienten 
hergeleitet und ist dabei der Gang eingeschlagen, daas für den näm- 
lichen Ausdruck zwei unendliche Reihen aufgesteUt werden und durch 
deren Identificirung die Coefficientenbe Stimmung erfolgt Wenn hier- 
bei auch a priori die Möglichkeit der Entwickelung einer Function 
in eine Reihe von der bestimmten Form vorrausgeaetzt wird, so 
wird doch hinterher durch eine Convergenzantersuchung die Be- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarisclie Berichte. 

lg nachgewiesen die gegebene Function der gefundenen 
len Reihe gleich zu setzen, und die Grenzen werden angegeben, 
) deren die Reihe den Werth der Function repräsentirt. 
a kann die beschriebene Methode im ÄUgemeinen billigent 
Ansfilbnmg unterliegt schweren Bedenken, Um nämlich 
ReihenauBdrücke, welche schlechthin nicht zu entbehren 
' die betreffende Function zu erhalten, wurden mit unend- 
ihendie mannigfaltigsten Operationen vorgenommen, deren Be- 
ig doch zuvor hätte dargethan werden sollen. Das ist leider 
ben und erscheint um so unwisBenachaftlicher, als z. B. 
ausdrücklich an einem Beispiele dargethan wird, dass die 
iing der Gliederfolge selbst in eiQer unendlichen Reihe eine 
'ung des Snmmenwerthea herbeifllhren kann, 
siebente und letzte Abschnitt (pg. 414 — 610) handelt 
höheren Gleichungen. Hierbei wird, was ja auch durchaus 
ssig ist, der Begriff der Derivationen Lagrauges eingeführt 
Hülfe derselben eine Anzahl einleitender Sätze hergeleitet, 
gerade der fundamentale Satz, dass jede algebraische Gleichung 
13 eine reelle oder complexe Wurzel haben müsse, ohne Be- 
;elassen wird, ist nicht recht einzusehen. Abgesehen hier- 
lles Wesentliche, was zur Auflösung numerischer Gleichungen 
md insbesondere die Horner'sche Auflös ungamethode mit 
Auswahl und klarem Verständnisse zusammengetragen. 
an also auch das Werk als Ganzes hin imd wieder durch 
ISufigkeit der Darstellung ermüdet und eigentlich auch nnr 
Partien, welche von den Gleichungen handeln, den An- 
^en strenger Wissenschaft genUgt, so kann es dennoch 
Lft vorbereiteten oder auf den Selbstunterricht angewiesenen 
len als ein recht brauchbares Hulfsmittel zur Sichtung und 
äudigung ihrer Kenntnisse empfohlen vrerden. 
ser den verzeichneten Druckfehlem finden sich nur wenige 
ager Erheblichkeit vor: Druck und Ausstattung sind dnreh- 
würdig, 
nbinnen. Dr. Schwarz. 



t,Googlc 



Literariache Berichte. 235 

Gavbs, f. G. Fünfstellige Tollstandjge logarithmisehe 
und trigonometrieche Tafeln. Zum Gebrauch für 
Schale nnd Praxis. Stereotypdrucb, Berlin, Bauch 
1872. 2. Aufl. Preis 2 Mark. 

Die meisten logarithmisch- trigonometrischen Tafeln verfolgen 
einen doppelten Zweck, einmal wollen sie dem praktischen Kechner 
die zu jenen BechnuDgen uSthigen Tabellen liefern, dann aber auch 
dem Schüler zur ersten Einführung in den Gebrauch der Logarith- 
men und trigonometri scheu Punetiouen dienen. Es ist dies unarer 
Ansicht nach sehr verfehlt, denn da heide Ziele nur auf sehr ver- 
schiedenen Wegen erreicht werden können, so kommt es, dass alle 
derartigen Sammlungen mehr oder minder ein Conglomerat prak- 
tischer und unpraktischer Tafeln sind, So nehmen, um nur einige 
Beispiele anzuführen, mehrere Autoren die natürlichen Logarithmen 
einiger Zahlen auf, „zwar werden diese Tafeln schon wegen ihrer 
geringen Ausdehnung ein praktisches Hülfsmittel fUr Rechnungen 
kaum darbieten können, dagegen dem Schüler, sowie überhaupt dem- 
jenigen, der sich Über die natürlichen Logarithmen zu unterrichten 
wünscht, bei näherer Betrachtung die Eigenschaften derselben in der 
einfachsten Weise zur Anschauung bringen" {Gauss a. a. o. VI). 
August fUgt seiner Tafel eine vollständige Darstellung der ebenen 
und sphärischen Trigonometrie hinzu, andre die trigonometrischen 
Formeln. 'Waa aollen nun dergleichen Anhänge — die den Schüler 
bei Extemporalien nur zum Abschreiben verleiten — für den Fach- 
mann, der ein möglichst bandliches Buch nnd nur praktische Tafeln 
haben will, was die unendlich laugen Erklärungen der Sammlung, 
die bei Gauss 38, bei August gar 59 (7, des Baches) Seiten aus- 
machen? Die Einleitung kann auf ein Minimum reducirt werden 
und musa der Bequemlichkeit wegen ans Ende des Buches verlegt 
oder noch besser gesondert ausgegeben werden; denn einmal ist der 
Bechner vollkommen mit der Einrichtung dergl. Sammlungen ver- 
traut, so dass es für ihn nur der ErklEirung der dem Buche etwa 
zukommenden Eigenthümlichkeiten bedarf, dann wird aber auch der 
Gebrauch der Tafeln gewöhnlich vom Lehrer erklärt. Der Autodi- 
dakt könnte also höchstens Ausführlicheres verlangen. 

Die vorliegende Gauss'sche Logarithmentafel gehört auch zu 
der oben besprochenen Art von Tabelien werken, welche für , .Schule 
und Praxis" bearbeitet sind; doch ist nie vorwiegend für den Fach- 
mann bestimmt und wird gewiss die von Astronomen und anderen 
praktischen Bechnem bisher vielfach gebrauchten Lalande-Kdhler'schen 
Tafeln (mit 5 Decimalen) verdrängen. 

Sie enthält in der ersten Tafel die gemeinen Logarithmen der 
Zahlen von 1—11000, je 51 Zeilen auf der Seite, an deren unterem 
Ende, ähnlich wie bei Bremiker and SchrOn, die Zahlen S und T 
ZOT Auffindung der Sinus und Tangente kleiner Winkel (in Secnnden 
verwandelt) beigefügt sind. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



236 Literarisclie Berichte. 

Tafel II enthält, Oonatanten (rein mathematische) , die 'wir in 
BO grosser Anzahl bisher nirgends gefunden. 

Die III. Tafel gibt die Logarithmen der trigonometrischen 
Functionen von 0" -^)ia 1" von Secunde zu Secunde und 1" bis 6" 
von zehn zu zehn SecundeH, während Tafel IV die Logarithmen der 
trigonometrischen Functionen von Minute zu Minute gibt. Jede 
Seite cmfasst einen vollen Grad, was den Vortheil gewfihrt, dass 
die gleich bezifferten Minuten auf jeder Seite an derselben Stelle 
wiederkehren; .,daa Auge des Rechneis, hieran einmal gewöhnt, 
wird sich unwillkürlich von selbst nach der gesuchten Stelle richten, 
ohne durch lästiges Umherirren zu ermüden." 

Die Gauss'schen Logarithmen sind in der V. Tafel in derselben 
Anordnung wie bei Wittstein gegeben. Zur grösseren Bequemlich- 
keit sind die der Anwendung ku Grunde liegenden Formeln am 
Kopfe und Fusse jeder Seite angefahrt. 

Tafel VI ist den Napier'schen Logarithmen gewidmet, Über die 
schon oben gesprochen; Vielfache von M und ^ sind hinzngeftigt. 

Die Vn. Tafel enthält die natürlichen Zahlen der goniome- 
trischen Fnnctionen, sowie Sehnen, Bogenhöhen und Bogenlängen 
für den Kadius 1, die KreisumfSnge und Kreisflächen fUr den Ba- 
dius 1 bis 100. Die erste Tafel sehreitet in dem Intervalle von 
10 Minuten fort (TVittatein 15'), gibt aber nur 4 Decimalen. 

Eine Zierde des ganzen Buches ist die Till. Tafel, welche die 
Qnadratzahlen von 0,00 bis 10,00 enthält und mit einem sehr ans- 
führlichen Interpolationsapparat versehen ist, wie überhaupt sämmt- 
liche Tafeln. In dieser Ausführlichkeit findet man sie in anderen 
Tafeln nicht, und werden dieselben gewiss jedem praktischen Rechner, 
der sie bei allen Wahrscheinlichkeitsrechnungen braucht, sehr will- 
kommen sein. 

Die IX. Tafel gibt Oubikzahlen, KiigeloherSächen und Kugel- 
inhalte, die X. die Dimensionen des Erdsphäroids nach Besael. 
Tafel XI beschäftigt sich mit dem metrischen Maass-, Gewichts- und 
MUnzsystem und die XII. dient zur Verwandlung sSmnitlicher 
Maasseinheiten in pariser Zolle und Meter. Die XIII. Tafel endlich 
enthält chemische und physikalische Tabellen, wo wir die Angabe 
der Autoritäten vermissen. 

Alle 13 Tafeln sind auf 112 grossen Octav&eit«n enthalten, mit 
Becht sind altenglische Typen gewählt, welche der Grösse nach die 
Mitte halten zwischen denen in Wittetein und Bremiker (7stellig). 

Die Ziffer 5 in der letzten Stelle ist mit einem horizontalen 
Striche versehen, wenn sie aus 4 durch Abkürzung entstanden ist. 

Um die einzelnen Tafeln besser anfenfinden, sind zwischen die- 
selben bunte Blätter eingeschaltet. 

Man wird nach dem Angeführten obiges Urtheil, dass das Buch 
vornehmlich für den Rechner geeignet ist, gerechtfertigt finden, nnd 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarisclie Berichte 2S7 

will Beferent nur hoffen, dass sich der Verfasser entschliesGen 

möchte, alleB auszumerzen, was für die Praxis überflÜsBig ist. — Die 

Ausstattjiiig ist gut und liegt die Tafel beim Aufschl^en glatt und fest. 

Berlin. Gdbtav Hellmanh. 



HofTUANN, J. C. V., Prof. tmd DirtoWt, GrOj 

Yorscbnle der Geometrie, t 
faden beim Unterricht in der geometrischen Än- 
schauungslehre für die unteren Classen der Gym- 
nasien, Realschulen, Lehrerseminare, sowie zum 
Selbstunterrichte, besonders für Volksschullehrer. 
1. Lieferung; erste Hälfte der Planimetrie, Seite 
1—154 mit 230 Holzschnitten und 2 lithograpbirten 
Figurentafeln. Halle, 1874 bei Louis Nebert. Preis der 
1, Lieferung. 3 Mk.*) 

Im sprachlichen Unterrichte denkt kein vernünftiger Lehrer 
mehr daran mit jungen Knaben sogleich abstracte Sprachwissenschaft 
zu treiben; einfache, coEcrete Uebungen treten Jahre lang in den 
Vordergrand, werden unablässig wiederholt und führen im lang- 
samen Fortschritte zur Beherrschung des grammatischen Lehrstoffes. 
Wohl ist seit Pestalozzi mehr nnd mehr auch für die Mathematik 
die Ifotb wendigkeit erkannt das räumliche Anschau ungs vermögen 
zn entwickeln und der Vortheil gewürdigt worden, welcher hier- 
durch der methodischen EinprSgung des abstracten Lehrstoffes er- 
wöchst. Aber die dem Unterrichte wenigstens in unseren Gym- 
nasien zttgemessene wöchentliche Stundenzahl ist knapp und philolo- 
gische Einseitigkeit arbeitet fortdauernd daran dies knappe Maass wo- 
möglich noch mehr herabzndrücken. So drängt der Unterricht vieler 
Lehrer vorwärts nm nur den vorgeschriebenen Lehrstoff zu bewältigen ; 
zum Theil anch in TJeberschätzung der mittleren Durch Schnitts Wir- 
kung, welche die an sich klare Darstellung einfacher Sätze haben 
müsse, gelangen sie factisch dazu nur für die Begabtem zu arbeiten 
und werden um so weiter auf dieser abschüssigen Bain fortge- 
trieben, je mehr sie darauf angewiesen sind die häusliche Arbeits- 
kraft im Interesse der sprachlichen Leistungen zu schonen. Besei- 
tigung des Uebels ist nur von einem vorbereitenden Unterrichte zu 
erwarten, der neben dem wissenschaftlichen Unterrichte hergeht 

•) Der HerauBgeber dieser Zeitschrift hat Bedeaken getragen, diese 
für ihn Hehr schmeichelhafte Beurtheilung Beines Büchelchens hier autzu- 
nehmen, da sie aatürlich jedem Leser als eine oratio pro domo erscheiuen 
muKs, Dach bat ihn echliesslicb der Umstand, daas ja auch die Mängel 
des Buchea nicht verschwiegen sind, sowie die jedem Menschen auferlegte 
Pflicht der Seibaterhaltung bewogen, die Beeprechung zu veröffentlichen. 
Er knüpft hieran zugleich die Bitte, diejenigen Herrn Lehrer, welche das 
Buch benutzen oder einführen sollten, möchten ihm Druckfehler oder 
sonstige von ihnen aufgefundene Irrnagen und Mängel gütigst mitthetlea. 
Der Heraasgebei. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



238 Literariache Berichte. 

oder besser noch in gesonderten StuEden ihm Torhergeht, der die 
Schüler mit der Auffassung und Benennung i^umlicher Yerfafiltnisae 
bei Zeiten vertraut macht , der das Verstäadnisa der wichtdgeten 
geometrischen Sätze ohne strenge Beweisführnng -durch Zeichnen 
und Messen rermittelt, der endlich auch sonst durch geeignete 
praktisdie Uehungen und Anwendung der reinen Geometrie das 
Interesse für die Wissenschaft selbst hervorruft und befestigt. Derselbe 
lässt sich, wie es hin und wieder geschieht, in den Zeichenunterricht 
einschieben und bedarf für manche Arten von Schulen (als Mädchen-, 
Bürger-, Fortbildungs- und niedere Gewerbeschulen) gar nicht der 
wissenschaftliehen Erweiterung. Für die anzuwendende Methodik 
ist die angezeigte Vorschule der Geometrie ein ganz vortrefflicher 
Wegweiser, welchem Eigenartigkeit der Darstellung und verständige 
Sorgfalt in der Auswahl des Lehrstoffes einen hervorragenden Platz 
in der einschlagenden Literatur sicher stellen. 

Die zweite Lieferung, welche im Laufe dieses Sommers er- 
scheinen soll, wird die Lehre von der Aehnlichkeit, von der Flä- 
chengleichheit (Flfichenberechnnng), das Wichtigste von den Curven 
und einige Aufgaben der Geodäsie enthalten: die erste Lieferung 
beschränkt sich auf Punkt, Gerade, Kreis, Winkel, Parallelen, Dreieck, 
Viereck und Vieleck, 

Indem nach Loreys Vorgange der Würfel zum Ausgangpunkte 
der Betrachtung genommen wird, gelangt die Einleitung (S, 1—7) 
zur Unterscheidung des realen (ph3fsischen) Körpers von dem idea- 
len (mathematischen) Körper, sowie zu den Grundanschanungen von 
FlSche, Linie, Punkt, Die IJnbeweglichkeit des allgemeinen Baumes 
wird hervorgehoben: bei eintretender Bewegung findet in demselben, 
als dem Elemente der Bewegung, nur eine Verschiebung der darin 
gesetzten räumlichen Grenzen statt. Was durch die Bewegung von 
Funkt, Linie und Fläche hervorgeht, wird veranschaulicht. 

Der eigentliche Inhalt gliedert sich, vrie folgt: 

Einleitnn^. — § 1. Der Funkt. — § 2. Die geradeLisIe. A) Die 

Länge, B) Die Lage. C) Die Biohtoiig. § 3. Bewegung der Geraden. 
A) EichtungBÄndernng (Drehen). B) Lagenändenmg fVerschieben). — 
g. 4. Die vier Species mit Strecken. A) Addition und Mnltiplication von 
Strecken (An und Abtragen). B) Subatiactiou und Division von Strecken 
(MeBsen nnd Theilen). 

Der Kreis. §. 5. Der Kreis. — %. 6. Gerade und Kreia. — §. 7. Ereise 
in Verbindung mit einander. — §, 8. Krümmung verschiedener Kreise. — 
g. 9. Kreistheilnng. — g. 10. Figuren aus Kreisbögen. — g. 11. Das Bjm- 
metriBche Bogenzweieck als Qniiidlage wichtiger Constructionen (Centrale, 
Chordale). 

Der Winkel, §. la. Der Winkel. — §. 13. Winkelmeasen. — §. 14. Der 
rechte Winkel inabeaondere. — g. 15. Die vier Speciea mit WinkelgföBBen, 
— g. IS. Winkelpaare (Neben- und Scheitelwinkel). — §. 17. Winkel- 
rechte (Senkrechte) auf die Schenkel eines Winkels. — §, 18. Drehung 
eines Winkels. 

Parallelen. @. 19. Parallele Gerade (Parallelrä). — §. 20. Anwendung 
der Paiallelen. — |, 21. Lagenänderung durch parallele Veraohiebong 



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Literazische Berichte. 239 

(ParallBlen zwischen ParaUelen). — §. 22. Winkelpaare bei darchachnitt- 
nen Parallelen. 

Geschlossene geradlinige Vieren. §. 23. Anwendung der Qeaetse 
in S. 22. A) Zwei Ungleich) auffinde (Geneigte) von einer Seeante ge- 
schnitten. B) Das Dreieck. 

Arten der Dreleek« und Vierecke, §. 24. Das gleichieitige (regu- 
lgj;B oder Eilleeitig-sjinTnetr.) Dreieck. Beatimmnngsstücke deaselben. — 
g. 25. Deckung (Congmonz) gleichseitiger Dreiecke. — §. 26. Das reguläre 
Doppeldreieck oder der Normalrhombns. — 6. 27. Daa gleichschenklige 
(einseitig- symmetrische) Dreieck. — §. 28. Bestimmung satitcke des gleich- 
schenkligen Dreiecks. Congmenz gleichschenkliger Dreiecke. Drehung 
derselben. — §. 29. Das gleichschenklige Doppeldreieck oder der gemeine 
BhomhuB. — g. 30. Construction des Bhombus aus seinen fieatimmnags- 
stflcken. — g. 31. Das rechtwinklige Dreieck. — §. 32. Constraction des 
rechtwinkligen Dreiecks ans aeinen Bestimmungs stücken. CongraeDB. 

Figuren, irekhe ans dem rechtwinkligen Dreiecke entstehen. 
Farallelffgramue. A) Ans dem gleichschenklig-rechtwinkligen. §. 33. 
Daj Quadrat. — B) Ans dem ungleichseitig-rechtwinkligen. §. 34. Das 
Oblongnm (längliches Rechteck). — §. 35. Das ungleichseitige Dreieck. 
Conatruction desselben aus seinen Bestimmnngsstücken. Congruenz. — 
§. 36. Uebersicht i. der Dreiecksbeatiminnngs- Stocke und der Congmeni- 
sätze. U. der Eintheilimg der Dreiecke. — §. 37. Das Rhomboid. — 
§. 38. Uebersicht über die Parallelogramme. A) Eintheilung. B) Ver- 
wand tschaft derselben. 

Die Bbrlgen Tierecke. — §. 39. Da« Trapez. A) Das Bjmmetrische 
oder gleichschenklige. B) Das gemeine. — §. 40. Das Deltoid. — §. 41. 
Das Trapozoid (unregelmässige Viereck). 

Das Vieleck. §. 42. A) Daa gemeine (unregelmäaaige). — §. 43. B) 
Daa reguK,re in Verbindung mit dem Kreiae. a) Das eingeschriebene 
^ehaenvieleck). b) Das umgeschriebene (Tangente ovieleck). — §. 44. 
Uebergang der gebrochenen Linie in die krumme (Curve). — g. 45. Der 
Kreis (Eigänztmg zu den g§ 6 — 10 u. 13). A) Pe riph erie- und Centri- 
winkel. B) Secauteu und die übrigen excentrischen Winkel. 

Was das Werk zui^hst auszeichnet, ist die consequent durch- 
geführte BerDcksichtigung , welche der Bewegung von Figuren 
zu Theil wird: in der mannichfaltigsten Weise werden Fignren um- 
geklappt, gedreht, verBchoben. Im Anschlösse hieran tritt verdienter 
Massen das Zeichnen in den Vordergniud, die genausten Anweisungen, 
Warnungen vor leicht vorkommenden Verstössen oder Üngesehick- 
liehkeiten, Belehrungen über den Gebrauch von Zirkel, Lineal und 
anderen Instrumenten sind reichlich eingestreut. Auch sonstige 
praktische Anwendungen der Geometrie sind, wo immer die Gelegen- 
heit sich bot, mit Geschick eingeflochten. Der Blick weitet sich 
bei solcher Behandlung des Stoffes, der die ihm sonst anklebende 
Trockenheit völlig verliert: Beziehungen auf die nenere namentlich auf 
die discriptive Geometrie fehlen nicht und schärfere Begrifi^-Besüm- 
mungen lassen sich in klarer Weise geben — genug durch die Behand- 
lung des Stoffes erscheint das doppelte Problem glücklich gelöst, so- 
wohl für den wissenschaftlichen Unterricht höherer Lehranstalten die- 
jenige Vorbereitung tu geben, welche mit der kurzen Unterrichtszeit 
anezulcommen g'estattet und doch die Unterrichtserfolge sicher stellt. 



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240 LiterariBche Berichte. 

ah auch filr die erwerbenden Benifaclassen diejenige Summe von 
EenntniBsen, welche sie ohse Schaden nicht mehr entbehren kön- 
nen, in anschauücher Klarheit zusammen zu Btellen. 

Was dae Zeichnen anbetrifft, so Bei es dem Referenten gestat- 
tet auf die Vorachriften Über die mannigfaltigen Arten der Ver- 
sinnlichung von Punkt und gerader Linie [S. 8 und 9), über die 
Verbindung zweier Punkte durch einen geradlinigen Zug, Aber 
Schraffirung, über die Zeichnung toe ParaUeleK und Kreisen hinzu- 
weisen. Hinzuzufügen ist die Verweudong des Bogenzweiecks zn 
Spitzbögen (S. 31), die Conatruction von Schlangenlinien, Rosetten 
and Kleeblatt aus Kreisbögen (S. 33), endlich anch die Benutzung 
von Oblongum, Quadrat und Rhombus fUr das Musterzeichnen 
(S. 111). Alle diese Anwendungen beleben die vielfältigen Zeich- 
nungen, welche die mathematischen Grundwahrheiten dem Bewnsstsein 
ersehliesaen helfen. 

In gleicher Weise sind die übrigen praktischen Anwen- 
dungen der Geometrie betont. — Gesichtslinie, Messschnur und 
Messkette, Schätzungen von Längen und Winkeln, Bestimmung des 
mittleren Beobaehtungsfehlers, der hierbei stattfindet, Täuschungen 
ttbei die genaue Lage einer Geraden, grosse und kleine Längen, 
physikalische uud geographische Ortsbestimmungen (horizontal, ver- 
tical, schräg, Mittagslinie, Himmelsgegenden), Setzwage, Canalwage, 
das Axenkrenz der Krystallographie, das Contact-goniometor, Bestim- 
mung des Winkels an einer Mauerkante, Theodolith, Construction 
von Scalen und Maassstäben — alle diese Punkte sind gehörigen 
Ortes besprochen oder werden zum Gegenstande praktischer Uebun- 
gen gemacht. 

Ganz besonders sind die Aagenmassübungen hervorzuheben, 
welche sich anf die Bestimmung von Längen und Winkeln beziehen. 
In einzelnen gewerblichen Lehranstalten ist deren Wichtigkeit 
längst anerkannt, ihre Einführung in den Unterricht von Gymnasien 
und Realschulen eine nicht länger aufzuschiebende Nothwendigkeit. 
Derartige Uebungen sind hier in ein recht zweckmässig angelegtes 
System gebracht. Das Zeichnen fordert stets die Aufiiahme ganz 
bestimmter Grössen und auf die Controle der Zeichnung soll mit 
Strenge gehalten werden. Dadurch allein wird es möglich die 
mathematischen Sätze als Ergebnisse der Erfahrung zu gewinnen, 
welche eine vollständige Analogie mit den Naturgesetzen zeigen und 
sie werden demgemäss auch geradezu als „Gesetze" bezeichnet. 

Allgemeine wissenschaftliche Beziehungen, insbeson- 
dere solche auf die höhere Geometrie, sind vielfSltig vorhanden und 
verleihen dem propädentischen Curaos ein Interesse, welches der 
Dedncüon der Elemente nach der starren euklidischen Methode ab- 
geht. So finden die Begriffe von Strahlenbüschel und Transversale 
Aufnahme, desgleichen die Auffassung des Berührungspunktes einer 
Tangente als Doppelpunktes, die Theorie der Symmetrie, sowie die 
von Chordale und Centrale. Diese beiden Theorien ziehen sich dorch 



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Iiiterarieche Berichte. 241 

das ganze. Werk Mn v&d tragen wesentlioh dazu bei die Natur der 

Gruncl^bilde in helles Licht bu setzen. Indem z. B. das gleichsei- 
tige Dreieck als allseitig symmetrisches, das gleichschenklige als 
einseitig symmetrisches Dreieck erkannt wird, wie wesentliche 
Sätze und Eigenschaften erschÜessen sich nicht sofort dem Bewusat-. 
sein! Auch sonst den Elementen ferner liegende Funkte finden dan- 
kenswertheste BerückBichtiguug : pythagoreisches Dreieck, Deltoide 
und Trapezoide mit convexem Winkel, Vielecke mit sich kreuzenden 
Seiten, esceatrische Winkel, Figuren, die entweder Kreisen oder 
Figuren derselben Art eingeschrieben, resp. umgeschrieben sind. 
Unter den zahlreichen Construetionen , die mitunter selbst für die 
Fundamentalaufgaben Neues liefern, erregon besonderes Interesse die 
Tiisection von Winkeln, die Conalxuction der wichtigsten reguISren 
Vielecke, wobei auch die bekannte Belation zwischen der Seite von 
FHnfeci, Zehneek unb Sechseck, die -demselben Kreise eingesebrie- 
ben sind, nicht fehlt, endlieh die Eenaldi'sche NSberungsconstmction 
der Seite eines r^ulSren n-Ecks. 

Nicht xa übersehen ist die sorgsame Berücksichtigung,, welehe 
der Begriff des Unendlichen erfährt: bei den verschiectensten 
Gelegenheiten wird bierllber gehandelt und. tiberall findet sich die 
u&Üiige ßtrenge der Auffasänng mit planster Einfachheit vereinig. 

Eid besonderes Verdienst besteht in der Feststellung einer 
vernüaitigeren Nomenclatur, als in eiiiz^luw Punkten die 
übliche ist, und Terdienen die nach dieser Seite hin gemachten Vor- 
schl%e jeden&lls die eingehendste Beachtung aller Fachgenossen. 
Besondere Hervorhebung mächten folgende Einzelheiten verdienen: 
„Winkelrechte" statt ,, senkrechte oder perpendiculfire" Gerade, 
„Winkelrechte" statt „Loth oder Senkrechte oder Perpendikel," 
„Winkelebene" statt „Winkelraum," „Aussen winke!" (an Parallelen) 
statt „äussere" Winkel, femer Benennungen wie „überrechter" Win- 
kel («»■ 270") „überatumpfe" und „überspitze" Winkel (beziehtings- 
weise zwischen 180^ und 270" oder 270* und 360"), „Grundseite" 
(statt „Grundlinie") , „Gipfelwinkel" (Winkel- an der- Spitze ©iaea 
gleichschenkligen Dreäecks), endlich „Normalrbombus" (gieicbsdtiges 
Doppeldreieck). 

Verwandter Art sind' die ' Bemühungen den inathematischte 
Auadniek. von Weiteehweifigkeit oder.-, aprachlioheß Unrichtig- 
keiten zu säubern, welche leiddr in weiten £reisen sich einge- 
schlichen haben und durch den Gebrauch last als sanctlonirt er- 
scheinen. So ist „Kreis" gleichbedeutend mit „Kreislinie" und nicht 
mit „Kreisfläche" — wer denkt z. B. bei dem Worte „Parabel" an 
eine Fläche? — Ansdrüoke, wie „ich setze in ein und beschreibe 
mit der Zirkelweite etc." werden mit Recht als breit bezeichnet, 
WarUm sagt naan nicht: „Ich ziehe (statt des veralteten „ich schlage") 
aus mit einem Radius von 3 Cm. einen Kreis"? „Treffen" und 
„Schneiden" werden in passender Weise unterschieden, der Ausdruck 

ZelMchr, (. nmth. n. nolnrw. UnlBn. V. 17 



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242 Literarische Berichte. 

„einander treffen" etatt des Ausdruckes „sich treffen" empfohlen, 
desgleichen „Gegenseite" statt „entgegengesetzte" Seite, „Cregenpnnkte" 
statt „entgegengesetzte" Pankte, „umgeschrieben" statt „umschrieben." 
Für die AnBdrücke „eine Winkelrechte (in einem Funkte auf einer 
Geraden) errichten oder von einem Pvmkt auf ein Gerade fällen 
wird gefordert zu sagen: Die Winkelrechte etc. Ebenso bei dem 
Ausdrucke „durch einen Punkt die (statt eine) Parallele zu einer 
Geraden ziehen etc. 

Das methodische Verdienst der Arbeit ist sehr bedeutend. Von 
der accnrat und sauber Seitens der Schaler anzufertigenden Zeichnung 
wird ausgegangen; die Besprechung der gezeichneten Figur schliesst 
sich von selbst an und wird alsdann durch geschickt gewählte Fragen 
das geometrische Gesetz, um das sich's handelt, aus der Figur heraus 
entwickelt. Vielfllltige üebungen und Verificationen mit Hülfe an- 
derer Figuren, in passenden Fällen auch ausgeflihrte Beweise in 
strengerer Form — die Vorschule soll auch von solchen einen Vor- 
geschmack geben — erweitem, befestigen und vertiefen die gewonnene 
Krkenntniss, Wie dies unter stufenweisen Fortschritten vom Leichteren 
zum Schwereren geschehen mflsse, ist in knappester, präciser Form 
aaseinauder gesetzt und selbst uner&hrene Lehrer werden sich sehr 
bald in der Methode zurecht finden, 

Nur wenige und meist nicht sehr erhebliche Punkte sind es, in 
denen Referent eine abweichende Meinung geltend nmchen möchte. 

So ist ihm auffällig gewesen, dass die Verschiedenheit der Lage, 
welche zwischen einem gegebenen Punkte und einer gegebenen 
Kreislinie stattfinden kann, nicht besonders erörtert ist. Es lag 
ja ao nahe den Paragraphen „Gerade und Kreis", Kreise in Ver- 
bindung mit einander" den Paragraphen „Punkt und Kreis" vorher- 
gehen zu lassen. 

Ein besonderer Paragraph handelt über die Krümmung ver- 
schiedener Kreise und wird hier sehr gut auseinandergesetzt, wie 
ein Kreisbogen, der zu einer Sehne von bestimmter Grösse gehört, 
um so weniger von dieser zu unterscheiden ist, je grösser sein 
Radius wird. Damit hätte der Absatz schliessen und der Zusatz: 
„Daher Mass der Krümmung = -~- d. h." — wegbleiben aollen: denn 
mit den gegebenen Prämissen würde es sich auch allenialla reimen, 
wenn man irgend einen andern Ausdruck, der mit unbegrenzt zunehmen- 
den Werthen von r unbegrenzt abnimmt, ala Mass der in Bede 
stehenden Krümmung annähme. 

S. 43 und an andern Stellen kommt der Ausdruck „propor- 
tional" vor, indem es heisst, daaa Winkel und Bogen zugleich mit 
einander wachsen und abnehmen, d. h. proportional sind. Hiergegen 
läast sich gewiss nichts einwenden, sofern man das Wort „propor- 
tional" in aemer allgemeinsten Bedeutung nimmt. Gewöhnlich aber. 



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Literwigche Berichte. 343 

wenn mctit ausdrllckliche Zusätze, wie „umgekehrt" oder ),iiach quadra- 
tischem Yerhfiltnisse" den Sinn dea Wortes „proportional" modificiren, 
bezieht sich der Ausdruck proportional nur auf solche Grössenarten, 
die in demEelben Verhältnisse zunehmen oder abnehmen, Dass 
solches mit Winkeln oder Bögen der Fall ist, hätte nicht nur ge- 
sagt, sondern auch durch vielföltige Messungen verificirt werden sollen. 

Das Grundgesetz: „die Summen zweier Dreiecksaeiten ist grösser 
als die dritte" gestattet auch noch den andern Ausdruck, den manche 
Lehrer nngem vermissen werden: „Die Differenz zweier Dreiecks- 
aeiten ist kleiner als die dritte Seite." 

Bei der Besprechung endlich des Verhältnisses zwischen Peri- 
pherie- und Centriwinkeln waren auch convexe Centriwinkel mit in die 
Betrachtung au ziehen.*) Freilich Bubsnmiren sich dieselben dem einen 
Bauptfalle. Aber es ist gut die convexen Winkel in den Elementen 
nicht blo3 zu erklären, sondern auch, wie es übrigens in der Vor- 
schule reichlich geschieht, nach Möglichkeit zu verwenden. 

Die beigefügte Uebersicht der wichtigsten Constructionen und 
das soi^ffBltig ausgeführte Ver2eiclmisB von Druckfehlem und Irrungen 
bildet eine willkommene Zugabe des Werkes. 

Die erste Lieferung soll 3 Mark kosten und mit Sticksiebt anf 
Ausstattung und Umfeng {164 Octavseiten), sowie auf die zahlreichen 
Holzschnitte und die beiden lithographirten Figurentafeln erscheint 
dieser Preis keineswegs hoch bemessen. Dennoch wird er ein Hin- 
demiss für die Einführung an solchen Schulen bilden, welche weniger 
wohlhabenden Städten angehören, imd Beferent möchte der verehr- 
licheu Verlagshandlung zu bedenken geben, ob sie im Interesse der 
Einfilhmng nicht dennoch entweder eine Preis ermSssigung eintreten 
lassen oder wenigstens die erste Lieferung auch fUr sich allein ver- 
kaufen wolle. Mit der letzteren können Gymnasien imd Realschulen 
allenfalls auskommen, während Seminarien, gewerbliche und Bürger- 
schulen unbedingt auf das ganze Werk angewiesen sind. 

Beferent behält sich vor auch die zweite Lieferung seiner Zeit 
eingehend zu besprechen: die erst« Lieferung dürfte den Werth des 
ganzen Werkes verbürgen für Lehrer aller Arten von niederen und 
höheren Schulen als eine Fundgrube gesunder Methodik, für einzelne 
Schüler, wie für ganze Classen als Anhalt zur Repetition imd zur 
Ausführung häuslicher Arbeiten, für Autodidakten endlich als eine 
willkommene Hülfe, um über die ersten Schwierigkeiten der Geometrie 
hin wegzukommen. 

Gumbinnen. Db. H. Schwaez. 



;,ti7.dt,G00glC 



244 Liteiuiactie Benchte.. 

B) Znm BepertOTlttm neoeT Ectdecknngfin und EhrAndntageii*). 

a) Astronomie. 

(Von G. HsLLUiNM m Berlin.) 

Da indem Eepertoriam der Zeitschrift bin Fort aoch die AatTonoüie berdck- 
aicbtigt werden soll, wird et uicbt uaungameBBen erscheinen, einige Be* 
merkangenüber den jetzigen Stand genannter Wissen eoiiaft voransEu schicken. 
■ AI« am Ende des Torigen JahrhnnderU nach dreitau send jähriget Be- 
ohachtimfr das Sonnensystem nacb. allen Seites hin ziemlich erforscht war 
und seine Theorie mit Laplace'a mgcanique Celeste alt ateeaehlessen be* 
trachtet werden konnte, war ee oaturgemisa , dass sich, äie Astronomen 
der Fiisternwelt zuwandten, die man bis dahin fast ganz TernacblÜssigt 
hatte. William Hereohel namentlich war e«, welcher In dieses wüstB €hao« 
einigeaLicht brachte und die Grundlagen der StellarastronoiBie i>^^. 
Seitdem bat dieses Feld astrcmo misch er Fotachung ungeheure Fort»cliritto 
gemacht: die Beobacktuiigen der DoppeUteme haben gezeigt, dass auch. 
IS jenen uaermeselicheo Fernen das altgemeine GrnvitotionagesotE nlt-, man 
bestiDimte, Dank der yervollkommneten Initfumente, die ersten SixstBnir 

farallaxen, registrirte die Nebelflecken und Sternhaufen nud schuf eine 
hotometrie des Himmels. 

Als sich dann mit Eirobbofis und Bansens fflänzender IBctdeckang der 
Spektralanalyse aucb für die Astronomie neue Perspectiven eröffiieten niul 
über die Natur und physische Beachaffenbeit der BunmelikÜrper nie ge- 
ahnte Aofschlfisse erlaugt wurden, konnte man mit Recht von einer Astro- 
physik eprecheu. Immer mehr gewinnt dieser jüngste Forsch ungszwe ig 
EÜo^ng; der Eammerberr TOn.fiütow lifisEi 1871 Btä seinem Gate Rothkamp 
bei Eiel eine diesem sj>eciellen Studium gewidmete Sternwarte erricbteOi 
die unter der ausgezeichneten Leitung Yo^el's schon namhafte Besultatc 
geliefert hat. Die Univerfität Oiford ist jetzt mit dem Baue einer ähn- 
liehea Warte beschättigt und auch der preuasiache Staat- hat die Absicht, 
bei Potsdam eine „ Sonnen warte " zu errichten. 

Ein würdiger Rivale der Spektralanalyse, war die Photographie 
nicht minder berufen, auf die wettere Entwickelung der Hitqmelakunde be- 
frachtend einzuwirken. Wenn Tor etwa 49^ Jahren Beer und Midier die 
{Isratellung der berühmten . Moadkarte oirca 600 Nachtwache^ kost«t9; 
stellen heutzutage Warren de la liue, Eutberford u. a. in wenigen Augen- 
blicken die genauesten Mond Photographien her, denen der AslrOnOm auf 
seiner Stndirstube mit dem Mikroskop alles mSglkbe Detail entnehmen kann^ 

Noch einen Zweig ansrer «mfangreicbea. Wisseaschaft niüebte ich njciii 
unerwähnt lasaeu, da er bia vor wenigen Jahren von gewissen Astronomen 
gleicbaam als nicht zünftig^betracbtet und dessbalb hin tenan gesetzt, erst 
m den loteten Decennien Dank der Bemühungen öehiaparellis, W«isa'8, 
Le Yerrier's u. a.. zu. Ehren sekommes ist, ich. meine die M^ieorastca.? 
nomie. Wir setnen jetzt Meteorateme mit Kometen in Verbindujut. und 
berechnen ihre "Bahnen fast .ebenso sicher, wie die der Planeten. "'Dabei 
blieb -auch die -chemische Dntersuebting der Meteoriten nicht zurück, - Hm' 
dii^er^ opferte ihr sein ganzes Lebgn und Mennier. wagte es schon, einen. 
„ciel g^ologic(ue".in acbreihen. 

Da sind in kurzen TJmrissen die Gebiete der Himmelskunde, welche 
unser Jahrhundert theils neu gescbafTen, theils weiter ausgebildet und 
Totzugsweise gepflegt hat. Dabei bleibt natürlich die weitere Erforschung 
unsrea Sonnensystems nicht zurück. Seit Le Verrier's unvergesalicber Et-. 
rechnung des Neptun bat man die Theorien der Planeten mit vielem Eilet 
zu vervollkommnen gesucht; ist zwar noch nicht entschieden, ob ein intra- 
merkurieller Planet eiistirt, so seigen doch die neuesten Untersuchungen 



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LiterariBcha Berichte. 245 

Neweomb^s Aber den UraunB, iaaa mau Vn jetzt keioea Grund hat, einen 
WandelBtern ienBeits der Neptunsbain aniunehmen. Dagegen wird die 
Anzahl der Planetoiden alle Jahre gröaser und irerdea bo immer mebr 
Bstrmioniiache Bechner erforderlich, nm sie unB durch BahnbeBÜmmimg 
«u Hiohem. Nicht minder eifrig jagt man. den Kometen nach, wesentlich 
aDgeregt durch die Wiener AEademie der Wiasenachaften, wekdie seit 
einigen Jahren die Vermittlung der Kometenentdeckongea übernommen 
und zugleich auch Preise fQr dicBelbe ansgeaetzt hat. 

Vor allem beBchäftigt aber jetzt eine Frame die Astrononiea lebhaft, 
die Beatimmnog der Sonnenparallaxe. Die Venaadurchg^ge bieten be- 
kanntlich hie jetzt die beste Gelegenheit zur Entwicklung dieser wichüceh 
Conatante dar iind stehen uns solche am 8. December 1H71 und am^TTlIe- 
-cember 1S82 bevor. 

Schon 1857 machte der, königliche Astronom von England G. B. Airj 
auf die Wichtigkeit beider Ereignieae aufmerksam und aind seitdem be- 
.deutende Arbeiten über den Gegenstand erschienen. Ich erwähne nament- 
lich Hanaen (Abhdlg, d. math.phjs. Kl. d k. Säcba. Gegellschft. d. Wissen. 
Bd. 9. No. 5), welcher zuerst allgemein die Theorie der Durchzuge be- 
handelt und dann speciell den von 1874 bespricht. Er emofiehlt auch Be- 
obachtungen der küfEesten Distanz der Mittelpunkte beiaer Gestirne zu 
machen; c^zu günatig gelegene Orte sind: Japan, das nordöstliche China 
und die ÄmurlSnder. Auf der Sddhalbkugel sind die Inseln in der N&he 
des bO. Breitengrades weniger gtnstig gelegen. 6. Neumajer plaidirt für 
die antarktische Zone als 6 ecoachtung« Station (Wiener Sitzungsberichte 
1870 März). Th. V. Oppolzer empfiehlt die Beobachtung der Positionswintei 
der Venus g^^ den DeclinatiocBkretB des Sonnenoentrums (Wien. Sitzb. 
1870. April), Kanzleirath Paschen in Schwerin weist nach, wie die Photo- 
graphie zur Fiirrung der Momente dea Durchgänge» geeignet ist (Astro- 
nomische Nachrichten No. 1883 — 85). Ebenso Faye (Com^tes Bendus t. LS) 
und Warren de la Bne (Mouthly Notices t866J. Die beiden französischen 
Astronomen Wolf und Andtä haben das Phänomen des „schwarzen Fadens," 
welche! bei den Contacten so störend wirkt, eingehender experimentell 
nctersucht. Leider hat sich ergeben, daas swischen verschiedenen Be- 
obachtern in der Fisirnng der Contacte eine beinahe constonte und ziemlich 
beträ,chtliche Differenz besteht (Revue Bcientifique 1872 asril 30). — 

Mit Hülfe eines Globas ist ea leicht sich den Verlauf der Erscheinung 
vom 8. Dec. dieses Jahres auf der Erdoberfläche zu veransohau liehen. 

Man stelle denselben .mit einer südlichen Polhöhe von 2S° 49' ein, 
bringe Berlin unter den (Messingjmeridian nnd hierauf den Zeiger des 
StuDdenkreises auf i2>>. Dreht man nun den Globus um U\& nach Osten, 
HO begreift der östliche Theil des Horizont«a am Globua diejenigen Orte, für 
welche die Venus beiSonnenuniergang, der westiiche Theil alle diejenigen, 
für weiche sie bei Sonnenaufgang in die Sonncnacheibe eintritt. Um die 
Pankte kennen zu lernen, für welche der Austritt sichtbar ist, bringe man 
Serlin wieder unter den Meridian und' drehe nun nm t9\6 gegen Osten. 
Der östliche Theil des Horizontes umfasst dann alle diejenigen Orte, fnr 
welche die Venua bei Sonnenuntergang austritt, der westliche diejenigen, 
für welche bei Sonnenanfgasg die Venus die Sonnenscheibe verlässt. 

Das deutsche Beich wird fünf Expeditionen absenden und zwar: nach 
den £ergueleit oder Macdonaldiuseln, nach den Aucklandsinseln , nach 
China (w^rscheinlich Tachifu), nach Mauritius und nach Persien (wahr- 
scheinlich Ispahan). AU hauptsächlichste Beobachtungsmethoddn werden 
heliometriache Meeiungen der Venus auf der Bonnenscheibe, Contaotbe- 
obachtungen und photographieche Aufnahmen in Anwendung kommen. 
Die eugliachen Askonomen gehen nach Aleiandrien. den Kergnelen, Ho- 
drigties. Sandwich- und Aucklandsinceln, BuBsland errichtet zahlreiche 
Stalionou in Sibirien, welche mit den deutechen correspoudiren Bellen und 
Frankreich wird in Yokahama, Mascat, Suez, B^union und der Ineel St. 
Faul beobachten laesea 



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346 Literarische Berichte. 

Sohlieaalich mache ich noch auf einige Schriften anfinetkiam, die den 
Dilettüitan der Aationomie die Wichtigkeit des besprochenen Phänomens 
klar legen wollen. 

Vor allen iat zu enrähneni Dubois, Lee paaeH^CB de Tänna aar le 
dJBque Bolaire, conudäröe an point de vue de la detennination de la digtance 
dn Soleil ä la Terre. Pari» 1873 (3 fr. 60 c.]. Das Buch ist mit grOBiet 
Sachlichkeit geschrieben und kann allen Interessenten, welche mathe- 
matiache Eeuntnisae besitzen, dringend empfohlen werden, Eermann J. 
Klein hat ein kleines Scbriftcben erscheinen lassen: Die Vorüherg&nge der 
Tenus vor der Sonnenscheihe iind ihre Bedeutung für die Astronomie. 
Köln I8T4 (10 Sgr.), welches von matheioatiBchen Deductionen absieht, 
aber Ronit auf 36 Seiten das Wichtigste der Erscheinung behandelt. We- 
niger zu empfehlen ist : Schorr, Der Vorübergang der Venua vor der Sonnen- 
scheihe am 8. Decemher 1874. Brannachweig 1873 (1 Tblr. 10 Sgr.); es 
enthält viel Ungehöriges, ja Faliches; doch ist eine Kart« beigegeben, 
welche den Lauf der Eracheinnng auf der Erdoberfläche TeranBchaollcht. 

b) Meteorologie. 
Von demselben. 

Wir glauben nnsera ersten Bericht über die Fortachritte der 
Meteorologie mit keinem würdigeren Gegenstände beginnen zu können, 
als mit einer kurzen Besprechung des ersten internationalen Meteo- 
rologencongresBCS, welcher vom 2. — 16. September 1873 in Wien 
stattfand. Derselbe war bekanntUch durch die Leipziger Meteorologen- 
cosferenz von 1873, welche als eine neue Section der deutschen Natur- 
forschet- und Aerzte- Versammlung tagte, hervorgerufen worden und hatte 
officielleu Charakter, indem 30 Delegirte, 17 verschiedenen Staaten ange- 
gehärig, erschienen waren. 

Eb ist bei Braumüller in Wien ein ausführhcher „Bericht über die 
Verhandlungen des internationalen Meteorologencongreases " erschienen, 
aus dem wir nur einige Fragen principieller Natur hervorheben. 

Herr General Myer, der Delegirte der V. St. von Nord-Amerika stellte 
den Antrag, der Congresa müge es als wünachenswerth erklären, dass 
mindestens einmal des Tages ^eicbzeitige Beobachtungen an mSchlicst 
vielen Stationen der nördlichen flemiaphäre angestellt werden mögen, um 
auf deren Grundlage aynoptiache meteorologische Karten zu conetmiren. 
Der Congrees bot dem Antragsteller die GeTegenheit', sich mit den Vor- 
ständen andrer Beobachtungssysteme zu verständigen, so daes derselbe in 
der Lage war, schon am 4, Deocmber 1873 ein Kabel -Telegramm an Herrn 
Jelinek, Director des Wiener meteorologischen Instituts, au richten, worin 
er mittheilt«, dass England nnd Buasland die proponirten Modalitäten an- 
genommen haben und um Mitwirkung öaterrejchi scher Seite ersachte. Es 
werden demnach vom 1. Januar 1874 angefangen um l''49"Nm. mittlerer 
Wiener Zeit Beobachtungen in Wien, Gras, Krakau, Kremsmünster, Lemberg 
und Pola angeet^Ilt und zweimal im Monate an Herrn G. Mjer eingesendet 
werden. Auch die ungarische Central anstalt in Ofen wird sich mit einigen 
Stationen betheiligen. (Zeitauh. d. österr, Gesellech. f.MeteoroL IX., No. 2.) 

Einen zweiten überaus wichtigen Antrag stellte Herr Flantamour, 
Director der Genfer Stern warte, betreffend die Gründung einer internationalen 
Centralanstalt für Meteorologie. Es soll dieselbe die Daten, weiche sich 
auf die vergleichende Meteorologie beziehen und von den Stationen der 
verachiedenen Länder eingesendet werden, sammeln, sichten (wo es nOtbig 
iat, teducirenj und veröffentlichen. Diese so schwierige Frage wurde 
einer Comniission von 5 Mitghcdern zur Berathnng überwiesen. 

Nicht minder wichtig ala der Mjer'sche Antrag ist die Organisation 
eines Beobachtungssyetems an den chinesia eben Eüaten. Herr Hart, Geneial- 
inspector des Centralbüreaus für die chinesischen SeezDUe Uess durch den 
Delegitten Campbelle, ersten Secretär, dem Congresse die beiügUchen 



,ti7rJt,G00glc 



Literarische Berichte. 247 

Docnineiita vorlegeo. Hiernach Bollen aji den ohin. Küsten S3 meteorol. 
Stationen errichtet werden, von denen auch telegranhische Wltterungabe- 
richte und Sturmwarnungen ausgehen BoUen. CentralBtation wird Shanghai. 

Unter ajideren igt zn erwühnen, dass hinfort allgemein die engliachen 
Buchstaben zur Angabe der Windrichtunggebraucht werden sollen, also 
N = Nord, E •= Ost, S ^^ Süd, W ^ >7est, und daas sozusagen ein 
ABC der Meteorologie geschaffen wurde, indem gewisse Symbole zur 
Bezeichunng der Ejdrometeore und sonstiger Erscheinungen vorgeschlagen 
wurden. So bedeutet z. B.QBegen und zwar 0° schwachen, Q* starken etc. — 

Eine Einigung über die den Beobachtungen zu Qrunde liegenden Mass- 
einheiten konnte noch nicht eraielt werden; der allgemeinen Emfülirung de« 
Meteraystems steht zni Zeit noch die grosse Yerbreitung der ei^l. Mass- 
einheites entgegen. Als meteorol. Zeiteinheiten wurden gewählt, 1) der 
mittlere Sonnentag von Mittemacht za Mitternacht gerechnet, i) das 
Kalenderjahr, 3) der bürgerliche. Monat, wobei das Monatsmittel als ein 
arithmetiBches Mittel gebildet wird, und soll das Mittel der 12 Monatstnittel 
ah Jahresmittel gelten, 4) Dots'b Pentaden (13 im Jahre). Als grössere 
Zeitabschnitte für die Ableitung Ton Normalwerthen wurden solche von 
6 Jahren (Luetra) vorgeschlagen, so dass das nächste Luatrum mit i. Januar 
1876 beginnt, (In Brüssel besteht diese Einrichtung schon seit 1833.) 

Zur DurchfQhrung der CongressbeschlQsse wurde ein Comite von 7 
MitgUedem unter dem Vorsitz von Buys Ballot in Dtrecht gewänlt, welches 
im Herbste dieses Jahres zusammentreten wird, um Aber einen zweiten 
Meteor ologencongress (IS7fi) 2U beratheiL 

AustüLrliche Berichte über den Wiener Meteorol ogencongress siehe: 

E. (juetelet an die befische Akd. der Wissenschaften und in Les Mondes 
1873 Nov. 13, von M. Grad in der Berue scientifique de France No. 27 (1874 
Januar3„)eineim„Ausland" 1874 Jan. 12. undeinegrössereÄbhandlungvon 
Flantamour in der „Biblioth^que universelle et Eevue suiese" 15. Dec. 1873. 

Absolutes Barometer neonen die Herrn Hans nnd Hermary ein 
TOu Urnen conetmirtea Barometer, welches auf der Tergleiohung eines 
Lufttfaermometers mit einem gewähnlichen Thermometer beruht. Vergleicht 
man nämlich zwei gewähnlicne Thermometer mit einander, so werden die 
Höhenänderungen der Flüjsigkmtssäulen in beiden Instrumenten stets ein- 
ander proportional sein: denkt man sich also eine gerade Linie durch die 
Endpunkte beider Flüssigkeitssäulen gezogen, so wird diese gerade Linie 
bei jeder Temperatur durch einen und denselben Punkt gehen müssen. 
Diese Eigenachail gilt für das Luftthermomet«r nur so lange, als der 
Luftdruck unverändert bleibt; ändert sich der letztere, so wird auch der 
erwähnte Pnnkt seinen Ort ändern. Es ist leicht einzusehen . dass der 
geometrische Ort desselben eine gerade Linie ist, die bloss der Eintbeilung 
bedarf, um unmittelbar den Barometerstand ablesen zu kOnnen. Als In- 
dezfliissigkeit für das Lufttiiermometer schlagen die Herren Hans nnd 
Hermary Schwefelsäure vor und fügen auf der Seite, wo die Flüssigkeit 
mit der freien Luft in Berührung kommt, eine kleine Uuantität Uhrmacneröl 
hinzu. (Comptes fiendus P, 77 p. 131. Ztschrft. d. östr. Ges. f. Met. IX, No. 6.) 

Einfluss der Exposition auf die Erwärmung des Barem eters. 
Herr Prof. Gustav Karsten in Kiel hat den unterschied der Erw^rmnng 
eines frei im Süden und Norden angehängten Thermometers aus den 
16jährigen Beobachtungen des Dr. Neuoer in Apenrade ermittelt. 

Es wurden beide Instrumente täglich 10 mal gleichzeitig abgelesen und 

Sehen diese Beobachtungen im Mittel folgende Deberschüsse des frei auf 
er Südseite angebrachMn Thermometers. 

Südseite — Nordseit«, 
ec. Jan. Febr. März Apr. Mai Jnni Juli Aug. Sep. Oct. Nov. 
Mittet 1,6 1,7 2,7 8,6 4,8 ß,l 6,4 6,0 6,6 &,3 3,6 2,8 

Jabreenüttel 4,3, Mittl. Maximum . . . 16,7 

Mittl. Minimum ... 7,0 
(Beiti^e zur Landeskunde derHerzogthümei Schleswig and HoliteiuHfli. 3.) 



,Coot^lc 



248 r,iterariaohe Berichte, 

Ueber dasselbe Thema hat in einer andern Ricbtang Herr Wild, 

Director dea Peteraburper CenttalinetitutB, UnterHuchnngBn »Dstetien laeien. 
Um deu Einflass der Höhe der BiuOBition auf die Angaben de» Thermo- 
meters zu bestimmen, lieaa er ao dem 34,7°' hohen Keod&tiBcfaen Gerüste 
der Nikolai -Hauptstemwarte in Palkowa in den Höhen von l.B" 16,9" 
und 26, 3" je ein Thermometer antatellen und dieselben gaiiE gleichm^aig 
gegen StrahlungseinflüeBe «ehützen. Die Beobachtungen fanden im Winter 
einmal täglich, um 1 Uhr, in den übrigen JdhresKeiten dreimal, nämlich 
um 7 Uhr oder um 8 ühr Vormittags und um 1 Uhr und Sübr Nachmittags 
statt. Die Beobachtungen ergeben nun. Dank der gleichartigen Aufstellnng 
der Thermometer im Allgemeinen einen viel geringereD EinfluBs der Höhe 
auf die Temperatur, als ihn analoge Beobachtnngen andrer Forscber ergeben 
haben. Die Mittrfwerthe der Temperaturen m verschiedner Höhe eind 
nämlich für die Sommer- wie Wintermonate nur innerhalb Ojl" verenhieden; 
zu dem einzelnen Termine Bteben allerdings durchschnittlich die h^hem 
Thermometer am Morgen niedriger und am Abend höher, als das untere; 
doch erreichen die Differenzen im Jahre bloa einige Mal 2 bis S,6° C. 
(Bericht über die Verb. d. Wiener MeteoroloKencongresses. Wien 1878.) 

Ueber die E-weokmäBsige Grösse undAufstellung der Regen- 
messer sind in England und Schottland zahlreiche Versuche angestellt 
worden. Herr Simons gibt darGber Bericht. Die Anffangefläcne der 
kreisförmigen Regenmesser rarürte von 0.0UO& bis OiSQ!™!!;] und die der 
quadratischen von 0,016 bis O.OöG^n' Wtthrend B Jahren haben diese 
Instrumente an drei Orten functionirt, welche sich durch ihre physikalischen 
und geologischen Eigenschalten wie auch durch den Charakter ihrer Nieder- 
schläge unterHoheiden. Es bat sich nun gezeigt, daas Resenmasser von 
irgend welchen Dimensionen, vorausgesetM , dasa ihr Dnrohmesaer nicht 
unter 3 engl. Zoll ist, ferner, dass sie übereinstimmend conatruirt sind 
und ihre Auffangsflöche in der Höhe von 0,"$ aber dem Boden haben, 
Resultate liefern, die innerhalb ein es Prooentes mit einander übereinstimmen. 
(Bericht ober d. Verb. d. W, Mete orolo gen oongresses pg. 102, Ztsohrft. 
d. östr. Ges. f. Met. IX. No. B.) 

Windatärkemeaser. Da die Leipziger Meteorologen oonferenx als 
allgemeines Mass für Windgeschwindigkeiten Meter pro Seounde empfohlen 
hatte, untersuchte Herr Wild an den bekannten, von ihm conetruirten nnd 
in der Schweiz, London und Busaland eingeführten Windstärkemessern, bis 
zu welchen Winkeln solche Wmde, welche die Geschwindigkeiten I, 3, 3 . . . 
Meter pro Secunde besitzen, die Platte heben würden. Er fand, dass eine 
' 2fiO gr. schwere Bleohtafel, welche 0,30>° hodi nnd 0,15" breit ist, von den 
veracniedenen Winden wie folgt gehoben wird. 

WnideeMhwiDdigkeil HebDngtwink»! 



iinfl» der TiAl 
2,0 



32,7 



!o Msteiu pio SeaaDds d« Tuftl 
42,3 



10 eg,9 

(Bericht über d. Verb, d. Wiener Meteorologencongresaes p. 109.) 
Deber die Wasserabuahme in Quellen, Flüssen und Strömen 
hat Herr Gustav Wex eine werthvolle Arbeit geliefert, welche die Berg- 
hauu'scbe Behauptung von der fortschreitenden Verminderung des Wasser- 
reichthums der grossen deutschen Ströme mit aller Entschiedenheit be- 
stätigt. Das hauptsächlichste Material zu dieser Dntersuehung lieferten 
die 28jährigen Beobachtungen am Rheinpeget von Sonderheim und die 
3ajähngen Beobachtungen am Donaupegel von Alt-Orsova. Der Verfasser 
findet die Ursache der Waeserabnahme der Siessenden Gewässer in 
der fortschreitenden Ausrodung der Wälder, der Austrocknung der Teiche 
and Moore etc. und gibt Verhütungsmassregeln. Die Abhandlung ent- 
hüllt Wasserstandstabellen des Rheines bei Ei^merich, £Oln und OeEmers- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Berichte. 249 

heim, der Elbe bei Mngdebarg, der Oder bei EGstrin, der Weieheel bei 
Karaebraek, der Donau bei Wien (1836 — 71) und ünora (1840 — 71). 
(Zeitschr. d. tiatr. I^enieurvereins 1673.) 

ZasammeiiliangzwiHchen Sannenflecken andCjcIonen. Scbon 
Meldrum bat anf den Zusammenhang der Anzahl der Stmrne im inditcben 
Ocean mitderSonceDfleckenperiode aufmerksam gemacht (NatureS.Oct. 1873, 
Jahrb. d. Erfdg, IX, pg. 183); neuerdings hat A. Poey der Pariser Äkd. 
ebenfalls Hittbeilungen Über den Zaaamtnenhang der Cjcloneu mit den 
Sonuenflecken gemacht. Er fiadet, daHB nicht nnr fQr die Stationen Paria 
und Fdcamp dieser Connex etattfindet, londem auch f^r die Antillen. Die 
Zusammenstellung der Stürme beginnt mit I7S0 und indem er nur immer 
7wei Jabre zuearamennimmt (e. E. IT&O und ITGl), antersucht er, ob die 
Zahlen der in denselben TOrkommendeo Stürme eine ähnliche Periode 
zeigen wie die SonnenfleckeD. Es finden eich eo unter 12 Fällen des 
Maiimns der Sonnenflecken 10 Fälle des Maiimus der Häufigkeit der 
Crclonen, bei II Fällen von Flecken -Mtnima'B ergibt sich jedoch nur 
fünfmal eine Debereinstimmung mit dem Minimum der Cyclonenzahl, Im 
Allgemeinen findet Poey, dass da« Maiimam der Cjclonenanzahl um 1,4 
Jahre später eintritt als das Marimnm der Sonnenfieckenperiode und um- 
gekehrt zeigt Gich beim Minimum der Cfclonenhänfigkeit ein Voreileu vor 
dem Minimum der SonnenÖecken um 0,6 Jahre. 

Wenn man jedoch mit Jelinek die bekannte Auegieichung anwendet, 
indem die Snmme der drei aufeinanderfolgenden Jahren entsprechenden 
Z^len gebildet wird, findet man noch bedeutende ünr^elmäuigkeiten, 
eo das« ein Gesetz schwer erkennbar ist, 

(Compt. Heud. P. 75, pg. 1323; Oestr. Ztsch. f. Met. IS. No. G; Heia 
Wochenschrift 1874 No. 6.). 

Berlin, 26. April 1874. GrsTiv Helliübm. 

C) BibUograpMe. 1874. 

ZuiammeDgestellt von Di, Ackbbxinn in Hersfeld. 

Januar. Februar. März. 
HaUiematIk. 
A) Beine Mathematik, 
a) Aiithraetik. 
I Dölp, die Determinanten nebst Anwendung auf die Läsung algebraischer 
nnd analytisch' geometrischer Anf^aben. Danustadt, Brill. 30 Sgr- 
Eseriky, Multiplicatious- uud Diviaiona Tabellen bis >u jeder beliebige 
GrCeee, 2. Aufl. Dresden, Zahn, IV. Thlr. _ 



Jbigea 

eld und Serf, Uebungsbnch für den Unterricht in der Arithmetik und 
Algebra an häheren Lehranstalten, 3. Aufl. Mainz, Kunze, 20 Sgr, 

Feller und Odeimann, das Ganze der kaufmännischen Arithmetik, 
12. Aufl. Leipzig, Schulz. 2 Thlr. 
f Finger, dirscte Deduetion der Begriffe der algebraischen und ariüirae- 
tischeo Onindoperationen aus dem GrOssen- und ZahlenbegrifiTe. 
Laibach, Kleinmajer, 10 Sgr. 

Hanck, Lehrbuch der Arithmetik für Gewecb-, Handels- und Realschulen, 
3 Thle. 1. ThI. 8. Aufl. Nürnberg, Korn. 16 Sgr. 

Kantor, historische Notizen über die Wahrscheinlichkeilfirecbnung. Halle, 
Schmidt. 6 Sgr. 

Kleinpaul, Aufgaben zum praktischen Rechnen. 8. Aufl. Leipzig, Lange- 
wiesche. 18 Sgr. 

Schiller, die Antbmetik und Algebra in philosophischer Begründnng. 
1. Thl. Die 4 Speoies mit ganzen und gebrochenen positifeu und nega- 
tiven Grössen und die Determinanten, Leipzig, Teabner. 1% Thlr. 

::;GOOg\C 



Literarische Berichte. 



VOckel'B BeiBpiele und Aufgaben zur Algebra für Qjmnamen, Beaboholen 
and zum Selbatuuterrichte. 7. AmS. von Prof. Schröder. Nürnberg, 

Korn. 8 6gr. 

b) Geometrie nod Trigonometrie. 
Kiese ritzkj.Lehrboch der elementaren Geometrie für den Scbulgebranch. 

St. Peterdburg, Deubner. Vf, Thlr. 
Kopiie, die Stereometrie für den Schul- und Selbatunterrioht. 9. Aufl. 

Essen, Bädecker. 16 8gr. 
Liebemann, Tafel der vielfachen Sinus und Cosinus, sonie der einfachen 

Tangenten und Cotangenten. Eisleben, Reichardt. 12'/, Sgr. 
Lieber und Lühmann, geometrieche Constructioni- Aufgaben. 3. Aufl. 

Berlin, Simion. 27 Sgr. 
Lübsen, ausführliches Lehrbuch der analjtisoheu Geometrie. 10, Aufl. 

1'/, Thlr. 
MoDuik, Lehrbach der Geometrie für die oberen Klassen der Mttelachiileii, 

la. Aufl. Wien, Gerold. 1'/, lliir. 
Niemtschik, über die Construction der einem Kreis emgescbriebenen 

Ellipse, vou welcher Mittetpoiikt und eine Tangente gegeben sind. 

Wien, Gerold, i Sgr. 
Rosenow, die Gurren dritter Ordnone mit einem Doppelpunkte, nach 

der Invarianten tbeorie behandelt. Breslau, Manuchke. IS S^. 
Schendel, Elemente dv analjtischen Geometrie der Ebene in tnlinearen 

Coordinaten. Jena, Coetenoble. 2 Thlr. 
Spitz, Lehrbuch der ebenen Trigonometrie nebst einer Sammlung von 

IJebungsauf^aben. Leipzig, Winter. 20 ^r. 
— , dasselbe. Die Aesnltate und Andeutungen der im Lehrbuch bef Anfg. 

Ebda. 10 Sgr. 
Wittstein, Lehrbuch der Elementar-Uathematik. Btereometrio. Hannover, 

Hahn. 3. AuS. 21 Sgr. 
Zetssche, Leitfaden für den Unterricht in der ebenen und t^umlicheu 

Geometrie. 2. Aufl. Chemnitz, Brunner. 1'/, Thlr. 

B) Angewandte Uaihematik. 

Astronomie. Geodäsie. Mechanik. 
Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Physik. Mechanik. Leipzig, 

Teubner. IV, Thlr. 
Mayer, Qrundzüge der praktischen Geometrie. Hit 148 Holzschnitten und 

4 Tafel». Wien, Schmidt. 2'/, Thlr. 
Oppolzer, über den Winnecfce'schen Kometen. 2. Abth, Wien, Gerold. 

8 Sgr. 
PrejrBBinger, astronomischer Bilderatlaa. 12 col. Tafeln. 2. Aufl. SEatt- 

gart, HitzBchke. 3'/, Thlr. 
Rammelsberg, über die Meteoriten und ihre Beziehong znr Erde. Berlin, 

Laderitz. 6 Sgr. 
Schucht, Lehrbuch der Astronomie. Leipzig, Matthes. 16 Sgr. 
Zenker, über die j)hyEikali sehen VerhUtoisse und die Entni^elong der 

Kometen. Berhn, Hempel. 15 Sgr. 
FhfBlk. 
Abbe, neue Amiarate znr Bestimmang des Brechnngs- und Zeratrenungs- 

Vermögens lester und flüssiger Kürper. Jena, Mauke, 28 Sgr. 
Dietlein, Ergebnisse des Unterrichi« in der Natnrlehre in Volks- und 

Bürgerschulen. Ein Wiederholungsbuch für Schüler. 2. Aufl. Braun- 

Bcbweig, Bruhn. 4 Sgr. 
Dorner, Leitfaden der Fh^Bik. Hamburg, Meissner. 1! Sgr. 
— , Orondzüge derPhjBik. 2. Aufl. Ebda. 24 Sgr. 



,ti7rJt,G00glc 



Literarüche Berichte. 251 

Fritaoh, Über diu Btereoekopische Sehen im Mikroekop and die Herstellnng 
atereoakopitcher Mikrotvpen. Hierza Caiton mit 6 Stereoakopplatten. 
Berlin, Dümmler. l'/, Tblr. 

GeiBenheimei, ErdmagnetiemuB und Nordlicht. Berlin, Lüderits. 6 8gr. 

Krebs, Lehrbuch der Physik und Mechanik. FSrBeal- und höhere Bürger- 
schulen, Gewerbeschulen und Seminarien. 2. Aufl. Wiesbaden, Ereidel. 
l'A Thix. 

Eremera, phTBikaliach-chemiache Uatersuchungen. 6. Heft. Wärmeca- 

Eacität und Affinität der Verbindungen erster Ordnung. Wiesbaden, 
imbatth. 12 Sgr, 
Külp, die Schule des Physikers. Experimentell und mathematiscfa durch- 

E »führte Yerauche a,U Leitfaden bei den Arbeiten im phjsikahschen 
aboratorium. Heidelberg, Winter. 2'/j Thlr. 
Uach, physikahsche Veriuche über den Qleichgewichtesinn dea Heuachen. 

Wien, Gerold. 4 Sgr. 
Pfaundler, über einen Apparat lur Demonstration der ZnaammenaetBuog 

beliebiger rechtwinklig auf einander Bta,ttfindender Schwingungen, 

Wien, Gerold. 6 Sgr. 
Recknagel, Compendium der Experimentalphysik nach Jamin's petit 

traitö de pl^aique. 1, Abtb. Schwere. Blastioität Stuttg., Mayer. 

24 Sgr. 
Röntgen, die Grundlehren der mechanischen Warmetheorie. 2, Thl. 

Theorie der Dämpfe und ihre Anwendung auf die Berechnung der 

CoDdensatoren etc. Jena, Costenoble. 3'/, Thlr. 
BÜhlmann, Handbuch der mechanischen Wärmetheorie. Nach E. Verdet't 

thöorie möcaniqne de laehaleur bearbeitet. I.Lieferung. Braunschweig, 

Vieweg. 2% Thlr. 
Schmidt, die Brechimg dea Lichtes in Glä.aerii, inabeaondere die achro- 
matische und aplanatische Objectivlinae. Leipzig, Teabner, l'/g Thlr. 
Thomson und Tait, Handbuch der theoretischen Physik, Autorisirte 

deutsehe üebersetzung v, H, Helmholta und G, Wertheim. 3 Theile. 

Braunschweig, Vieweg. 6V, Thlr. 
Wiedemaan, die Lehre vom Galvanismus und Elektromagnetismns, S,fid. 

Die Lehre von den Wirkungen des galvanischen Stromes in die Feme. 

3. Aufl. Braunschweig, Vieweg, 1% Thlr. 
Winkler, Probleme aus der Wärmelehre. Mit 2 Taf. Wien, Lehmann. 

24 Sgr. 

Chemie. 

Ememann und Damm er, des deutschen Knaben Experimeutirbnch. Prak- 
tische Anleitung zum Eiperimentiren auf dem Gebiete der Chemie und 
Physik. Bielefeld. Velhagen. IV, Thlr. 

Frickhinger, Katechismus der Stöchiometrie. S. AuB. Nördlingen, Beil. 
l'/> Tflr. 

Hinterberger, Lehrbuch der Chemie für TTnferrealschulen, Realgymnasien 
und Gewerbeschulen. 13. Aufl. Wien, BraumQUer. 1 Thlr. 

Liat, Leitfaden für den Unterricht in der Chemie, bes. fdr Real- und Ge- 
werbeschulen, 1. TU.: Anorganische Ch, 4. Aufl. Heidelberg, Winter. 
18 Sgr. 

Pinner, Repetdtorinm der anorganischen Chemie. Berlin, Oppenheim. 
3% Thlr^ 

Poetel, Darstellung der Hauptlehren der Chemie, 5, nach den Anachau- 
ungen der modernen Chemie bearbeitete Aufl. Langensalza, Oressler 
Vjl Thlr, 

Bammelaberg, Leitfaden für die quahtative chemische Analyse für An- 
ßlnger bearbeitet. 6. Aufl. Berlin, Lüderitz. 2S Sgr. 

— , Grundriaa der Chemie gemäss den neueren Ansichten. 8. Aufl. Ebda. 
8% Thlr. 

Sohceiber, Grundrisa det Cbentie, Berlin, Qrote. S, Anfl. 16 Sgr. 



,Coot^lc 



2Ö2 Literariecha Berichte. 

JUneralogle. Oet^noEde. fieologie. 

Bcanna, der obere Jura im nordwestlichen Deutschland von der oberen 

Grenze der OmatenBchichten bis zur Wealdbildane. Brannechweiir, 

Vieweg. 4Vs Thir. 
Cotta, die Öeologie der Gegenwart. 4. Aufl. Leipzig, Weber. 3% Thlr. 
PreoEel, mineralogiBches Lerikon ffir das Köniereidi Sacheen. Leipziir, 

Engelmann. 2 Thlr. 
Frii, geologische Bilder aus der Urzeit Böhmens. Prag, Gregr. 1 Thlr, 
Groth, tab^amohe Ueberaicht der einfachen Mineralien, na«h ihren 

krystallographisch- chemischen Beziehungen geordnet, Brannscbweig, 

¥ieweg. l'A Thlr. 
Helmhaoker, Tafeln zur Bestimmung hBiuSg vorkommender Mineralien 

mitteilt der einfachsten Versnche. Wien , Haider 8 Sgr. 
Kenngott, 60 ErystaÜformnetze zum Anfertigen von ErjB^tmodellen. 

Für Schüler. 23. Aufl. Wien, Lechner. 2U Sgr. 
. Naumann, Elemente der Mineralogie, 9.Aafl. Leipzig, Engelmaoo. 4Tblr. 
Bange, die Mineralogie in der deutschen TolksBchule. Breslau, Morgen- 

stem. 12 Sgr. 
— , IBOEtiguetteBfürMiueralien-Sammlungen; iasbes. für die mineralogische 

Untemchtesammlung der Volkuchule. Ebda. 24 Sgr. 
Sadebeck, Bepetitorium der Mineralogie und Geologie. Berlin, Mittler. 

l'A Thlr. 
Scharff, aber den Quarz. 11. Die üebergangaflachen. Frankfurt, Winter. 

1 Thh-, 
Schilling, Mineralreich. It. Bearbeitang. Breslau, Hirt. 27'/, Sgr. 
Schlotke. Erystallographie. StereoskopiBohe Danitellung einer Reitie der 

wichtigsten ErystaUe, der Combination derselben etc. Hamburg, Fried- 

richsen. l'/i Thlr. 
Sahrauf, Atlaa der Erystallformeu des Mineralreichs. 3 Liefgn. Wien, 

BranmüUer 3 Thlr 
Sefift, analjÜBobe Tabellen zur Besümmung der Cla^sen, Ordnungen, 

Gruppen, Sippen und Arten der Mineralien und Gebirgsarten. Zugleich 

Er^zungsbeft zu Leunie' Schul D&turgeschiehte. Hannover, Hahn. 

le Sgr. 
Winkler, die Gesteinslehre. München, Beck. 1 Thlr. ■ 
2irkel, die mikroskopiache Beschaffenheit der Minerailien und Gesteine. 

Mit 205 Holzschnitten. Leipzig, Engelmann. 3'/, Thlr. 
Botanik. 
Drnde, die Biologie von Monotropa hjpopitjB und Heottia nidus avis 

unter vergleichender Hinzuziehung anderer Orchideen. Mit 4 Tafeln, 

Göttingen, Rente. 1 Thlr. 
G r e B 8 1 e r . Deutschlands Giftpflanzen mit naturgetreuen Abbildungen. 

9. Aufli Langensalza, Dressier. 10 Sgr, 
Ballier, Deutschlands Flora oder Abbildung und Beschreibung der wild- 
wachsenden Pflanzen in der mittel europäischen Flora. Mit 500 Kupfer- 
tafeln. 35 Lfgn. Leipzig, Bänsdi. h 10 Sgr. 
Kummer, der Führer in die Flechtenkunde. Anleitung zum leichten und 

sichern Bestimmen der dentschen Flechten. Berlin, Springer. 28 Sgr. 
Lüben, Anweisung zu einem methodischen Dnt«rrieht in der Pffanzenkunde. 

5. Aufl. Halle, Anton. 3 Thlr. 
Müller und Papst, Kryptogamen- Flora. Enthaltend die Abbildungen und 

BeBchreibnng der vorzüelichBten Krjptogamen Deutschlands. 1, ThL 

Flechten. Mit 520 Abbildungen. Gera, Öriesbach, 2Vi Thlr. 
Seubert, Lehrbuch der gesammten Pflanzenkunde. S. Aufl. Mit vielen 

Holzschnitten. Leipzig, Winter. 2 Thlr. 
— , Grundries der Botanik. Zum Schulgebr. bearb. 3. Aufl. Ebda, 12 Sgr. 
Schwendener, die GeBchichte der Culturpflanzen. 2 Vorträge. Basel, 

Schweighauser. lo Sgr. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



LiterairiBobe B«:ietite. 353 

Tbßmen, herbMinio myoelogiwim. Dia fSr Land-^ forst-und HaUBwirtk- 
Bchaft, den Gartenl^a nud die Itiduetrie schüdlich«] und nützlicheD 
Hke in getrockneten Exemplaren, Berlin, Calvary. 6 Thlr. 

Weberbaur, die Pilze Norddeutaphlands mit besonderer Berücksichtigung 
SchtesienB. Breslau, Eern, 4 Thlr. 

Zabel, synoptische Tabellen zur leichten Beitimmniig der h&ufigeren 
dentscben Pflanzengattungen nach . dem JuBaiea'sahen System. Zorn 
Spinlgebiancii. Maiden, Aoguatin. 17 Bgr^ 

ZoolÄglc 
Bär, dei votKeBchichtlictie -Mensch, Ursprung nnd Entwit^etang deaUen- 

ai^ngeionlp.ehtes. Leipzig, Spamer. H'/, Thlr. 
Büchner, der Menech und seine Stellung in der Natur in Tereangenheit, 

Gegenwart and Zukunft. 2. ^nü. Leipzig. Thomas. 3 TUr. 
— , ÖVorleBungeu über die Darwio'BeheTheorie, 3. Aufl. Ebda. 1% Thlr. 
CaiUB, Oesducbte der Zoologie bü auf Job. Müller and Cfa: Darwin. 

. UQnohen, Oldenbonrg. A'L Thlr. 
ClauB, die Tjpenlehre und E. Häckels.Bog. üaeträa-Tbeorie, Wito,Mana, 

Gegenbaur, Grundrias der Tetgleichen den Anatoroitf, Mit 520 fiolzscbn. 

. Lei^g, Engelmann. 4 Thlr. 
Hese, Bililer aus dem Leben schädlicher nnd nützlieher lueect«!. Die 
.. ^menopteren. Leipzig, Wilfferodt. 20 %r. 
Jäger, Deutechlands Thieiwelt nach ihren Standorten eingetbeilt. Als 

Leitfaden zn Naturbeobachtongen und Führer anf AnsflÜBen und 

Sammelexcursionen, Mit 6 Tafeln in Farbendruck, S Tonbildem und 

zaiblieichen in den Text gedruckten Abbildutigen. 3 Bde. Stuttgart, 

Krfluer. 8 Thlr. 
Eältenbach, die FflanieDMäde aus d«c ClasBe der InBeoten. 2. Abth. 

Stuttgart, THenemann. 1'/, Thlr. 
Körner, im Walde. Bilder aus demNator- oaA Henaehenleben. Leipsdg, 

Oehmiske. SO Sgr. 
LenniB, Schulnatnrgeachichte. l.Thl. Zoiriogie. 7. Aufl. Hannover, Hahn. 

29 Ser. ... 
Lyell, <UB Alter des MenBobengeBchlechteB auf der Erde und der Ursprung 

der. Arten durch Abinderong, nebet einer Eteacbreibung der Eiszst in 

Europa und Amerika. Nach dem Engl. t. L, Büchner, Leipzig, Thomas, 

2»/, Thlr. 
MUler, die Schalthiere des Bodensees. Lindau, Stettner. 10 Sgr. 
Oppel, Thiergeechichten. Erzählungen und Schilderungen aus dem Leben 

der Tlnere. Mit 84 Tafeln in Tondruok. Wiesbaden, Niedner. S T3ilr. 
Prann, Abbildung und BeEchreibnug europftischer SotunetterlingBranpen 

in System. BeSnenfolge mj^ich als Ergänzung von deBsen Abb. und 
. BesäiT. europ. Schmetterlinge herausg, von Dr. E. Hoffmann. 1. Heft. 

Nürabei^, Bimet. 8 Thlr. 
E&t££l, WandeTiagff:aines. Naiarförachers. !■. -Thi. -- Zoologisehe Briefe 

vom Mittelmeer; Briefe aus Süditaiien. Le%)zig, ßroekhaua. I>AThlr. 
Ae.baa's Naturgeschichte für Schule und' Saoa- bs^b. v. Jäger, Wagner 

und Fraas. 20 Lfgn. 7. Aufl. Stuttgart, Thienemann. 4 Thlr. 
Scbinldt,. Oscar, Lei^den äta Zoologie zum Ge'bräuohe an Gymnasien 

nnd Eealscbulen. 8. Aufl. Wien^ Gerold. 1 Thlr. 
Spengel,.die Fortschritte des Darwinismus. Leipzig, Mayer. 16 Sgr. 
Sprocfchoff, HUfsbnch lür den naturkundlichen Unterricht in Volks- u. 

Mittelschal an. i. Abth. 100 lliierbeschieibnngw and da« Wichtigste 

vom Bau dea menachlicben Körpers. 2. Aufl. Berlin, Thiele. '/. Tblr. 
Tascbenberg, forstwirtbachartliche Inaectenkunde oder NatargesODichte 

der . den. deutschen Fönten schädlichen InBocten nebst Angabe der 

Gegenmittel mit Hinweis auf die wichtigsten Waldbeschützer unter dei) 

Thieren. -Leipzig, Kummer. 2% Thlr. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



254 Literarische Berichte. 

Wigand, der Darwinismns und die Natorforachmig Newtons und Cuviera. 
Beiträge zur Methodik der NaturforschuDg uod der Speciesfraga. 1. Bd. 
Biaunschweig, Vieweg. 4 Thlr. 

Geograpble. 
Atlas, topographischer der Schweiz, TeröfFenti. vom eidg. Sfabsbnreau. 

12 Blatt. Bern, Dalp. *,% Thb. 
Anhel, Folarsommer. fteise n^^ Lappland. Leipzig, Brockhans. S'/, Thlr. 
Generalk^rte der Schweiz. 4 Blatt, i : 260000. Bern, Dalp. ä ST Sgr. 
Guthe, Lehrboch der Geographie für die mittleren und oberen Ciasseu 

höherei Bildungsan stalten. Hannover, Hahn. 1*/^ Thlr. 
Heer, die schwediechen Expeditionen zur Erforschung dcB hohen Nordens 

in den Jahren 1870 n 187i. Zürich, SchaÜbesB. 16 Sgr. 
Hopf, Grundhnien der HundelageoKraphie. Leitfaden für Realschulen, 

6, Aufl. Nürnberg, Korn. VU Thlr, 
Keller, Schulkarte von Baden. 2. Aufl. Taub erb iachofsheim. !</, Sgr. 
Elan, Leit&den für den geographischen Unterricht an Mittebchnleu. 

16. Aufl. Wien, Gerold. 28 Sgr. 
KOrner, die Eidtheile. Natur- u. Culturgemälde für Lehrer. Leipzig, 

Oehmigke. 20 Sgr. 
— , Südafrika. Natur- und Cultarbilder mit ausführlicher üebersicht der 

neuereu Reisen. 121 Illustr. u. 28 Tafeln. Leipzig, Hirt. 4 Thlr. 
Eozenn, oro-hjdrographischer Atlas inl2 Karten. 3. Ana. Wieu^ Höliel. 

16 Sgr. 
— , geographischer Schulatlas für Gymnasien, Realschulen etc. 16. Aufl. 

96 Karben. Ebda. iV. Thlr. 
~^, dasB. in 48 Karten. 2'/, Thlr. 
— , Wandkarte der Planigloben. l'/j Thlr. 
LUben, Leitfaden zu einem methodischen Unterrichte in der Geographie. 

Leipzig, Fleischer, 7'/, Sgr. 
Maltzan, Reisen in Arabien. Braunschweig, Tieweg. 6 Thlr. 
Maaiufl, geographisches Lesebuch. Umrisse und Bildet aus derErd- und 

Völkerkunde. 1. Bd. Halle. Waisenhaus. 1% Thlr. 
Meyer, Karte vom IMringer Wald. 1:200000. Berlin, Neum an. 26Sgr. 
Nieberding, Leitfaden bei dem Unterrichte in der Erdkunde für Gym- 
nasien. 16, Aufl. Mitiain den Text gedruckten Kartchen. Paderborn. 8Sgr. 
Petermann, map of the United States of Amerika. 1 : 3700000. Gotha, 

Perthes. 2% Thlr. 
Beymann, topographische Specialkarte von Branntcfaweig, Glogau, 

Flemming. 1% Thb:. 
Bosenthal, Dieaeeite und Jenseits der CordiUeren. Südamerikanische 

Reisebilder. Berlin, Staude. !'/■ Thlr. 
Sohaeffet, der erste Unterricht iu der Geographie, Berlin, Thiele. 6 Sgr. 
Schleideu, das Meer. 2. Aufl. Mit SS Staiilslichen in Farbendruek, 300 

Holzachn. u. 1 Karte. 10 Lfgn. Berlin, Sacco. & 26 Sn. 
Taachenatlas aber alle Theile der Erde. 24 Karten nach Stielers Hand- 
atlas verkleinert. 13. Aufl. Gotha, Perthes. 20 Sgr 
Tuckelt, Hochalpenstadieo. üebera. von Cordes. Leipyg, Liebeskind. 

2 Thh. 

Tambery, Reisen in Mittelasien von Teheran durch die Turkmanoische 
Wüate an der Oatküate dea kasp. Meeres nach Chiwa. Buchara nnd 
Samarkand. 12 Abbild, und 1 Karte. 2. Aufl. Leipzig, BrockhauB. 

3 "EhSi. 

Vogel, Katechismus der Geographie. 3. Aufl. t. 0. Dehtzsch. 24 Karten. 

Leipzig. Weber, 12 Sgr. 
Vogeler, Scbnlatlas über alle Theile der Erde, mit besonderer Rücksicht 

auf den prenss, Staat. 17. Aufl. 20 Karten. Berlin, Abelsdorff. 6 Sgr. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Pädagogische Zeitung*). 

(Berichte über Yeraaninilangen, Auszüge auB ZeitechrifteD n. dergl.) 



Neurologie von 1S74. 

Adolph Lambert Jacqaes Qustelet, geb. am 22. Tebroat 1796 
zu Gent, gest. am 16. Febr. zu BrüsBei. Er machte Beine Studien zu Gent 
und wurde schon mit 18 Jahren Professor der Mathematik am dortigen 
College rojale. 1818 ward er an das Athenäum zu Brüssel versetzt und 
1824 erhielt er von der Eegieruag ein Stipendium, um in Paris aetrono- 
mische Studien zu machen. 1828 vrurde er Director der nach seinen 
Pliuien erbauten Sternwarte in BrÜBsel, 1838 Professor der Astronomie 
und Geodäsie an der dortigen Militärschule , welche beiden Stellen ei bis 
zu seinem Tode bekleidete. Er hat eine grosae Menge von Schriften über 
astronomlBche, mathematische und statistiHche Gegenstände herausgegeben 
und aich durch magnetische nnd pbänolosische Beobachtungen, namentlich 
aber durch Beine UoraUtatiBtik**) einen berühmten Namen erworben, 

Carl Ernot Back, geb. den 21. Febr. 1809 zu Leipzig, gest. den 
19. Febr. in Wiesbaden. Er war der Sohn des Leipziger Prosectors Carl 
Aog. Bock, studirte an den Uuiversitäten Leipzig, Frag und Wien, giue 
183t, nachdem er promovirt hatte, nach Warschau, und wirkte wäbrend 
der polnischen Jnsurrection als Hospitalarzt erst in polnischen, dann in 
russischen Diensten. 1832 habilitirte er sich als Frivatdocent und ward 
1836 Professor der Anatomie zu Leipzig. Von seinen wissenschaftlichen 
Werken erwarben sich sein „Handbuch der Anatomie mit Berücksichtigung 
der Physiologie and chirurg. Anatomie", sowie sein „Lehrbuch der patho- 
logischen Anatomie" die meiste Anerkennung; seinen bekannten populären 
Arbeiten — nicht in letzter Linie seinen drastisch geschriebenen Artikeln 
in der Gartenlaube, worin er gegen den Geheimmittelschwindel loszog, — 
verdankte er seinen ausgebreite^n Buf. Namentlich sei von seinen popu- 
lär- medicinischen Werken das als Schulbuch treffliebe Werkchen „Bau 
und Pflege des menachl. Eürpers" (Leipzig, 5 Sgr.] hier noch ganz beson- 
derB erwähnt. 

Job. Heinrich v. Mädler, geb. am 29. Mai 1794 in Berlin, gest. 
fun 14. M^z nach länserer schwerer Krankheit in Hannover. Er widmete 
lieh anfänghch dem Lehrerstande nnd begann erst Im Jahre 1829 als 
Seminar-Lehrer sich ernstlich mit dem Studium der Astronomie zn be- 
Bchäftigen. Im Jahre 1833 besorgte er auf der Insel Rügen die Zeitbe- 
stimmungen für die russische Chronometer ex pedition, mit Beer lieferte er 
1836 die berühmte Mondkarte und eine genaue Topographie des Mondes, 
nachdem beide schon früher Aufsehen erregende Arbeiten über den Mars 
veröffentlicht hatten. 1840 zum Director der Berliner Sternwarte ernannt, 
folgte er im nächsten Jahre einem Rufe als Professor der Astronomie nach 



r U tUtistiqne mOTale 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



25C Berichte über Versammluiigen, Auazöge ans Zeitschriften u. dergl. 

BDaaUBii und zwar znaäcbet nach Felerabarg, wurde geadelt nnd später 
als Director der Sternwarte zu Dorpat augetttellt, wo er seine berüfaint«ii 
Untersncbungen ther die Fixstern svsteine anstellte und zn dem Resultat 
gelangte, doas die Flejaden den Centralpunkt unseres gaozen Fixstern- 
sjstemeB bildeten. Durch die PopulariBirung seiner wisseoschafl, ir» 
mehreren, in wiederholten Auflagen erschienenen Werken hat er sich einen 
weitbekannten Namen erworb«n. Ein heftigei Augenleiden setzte 1366 
seiner regen Thätigkeit ein Ziel. 

Moritz V. Jacohi, geb. 1804 zu Potsdam, gest. 10. M^rz zu Peters- 
bn^. Der Verstoibene, russischer Geheimer RaÜi nnd Hitglied der kaiser- 
lichen Akademie der Wissenachaftea , war der Erfinder der OalTanoplastik 
und vertrat vor 2 Jahren seine Regierung auf der internationalen Meter- 
confeienz in Paris. 

Peter Andreas Hansen, geb. tun 8. Dec. 1796 zu Tondem in 
Schleswig, gest. am 2S. März zu Gotha. Et war aufaugs Gehülfe Schuh- 
machers auf der Ältonaer Sternwarte uiid warde 1835 Sicke's Nachfolger 
an der Sternwarte Seeberg bei Gotha. Er gilt als die bedeutendste 
Autorität auf dem Gebiete der Mechanik des Himmels und erwarb sii^ den 
gröseten Buhm durch seine bis jetzt an Genauigkeit unerreichten Mond- 
weln, Bowie seine ebenfalls sehr genauen, im Verein mit dem 19B5 als 
Director der Kopenhagener Sternwarte verstorbenen Prof. Otnfien herauB- 
gegebencn Tables du Soleil. 

David Livingatone, der hokannte Afrika-Beisende, geb. 1817 zu 
BlanBjTe Works bei Qlaegow, gesi in Unsyembe im Gebiete des Atb«rt- 
Njanya-See's au der Djssenterie. 



Bei der Bedaotion welter eingegangene Pcogramme. 

(Vgl. 2. Hft. Umschlag, ROckseite.). 

1) Weimar. R: 1. 0. Ost. 1674. Dr. Leidenfrost, Nepera Logarithmen- 

sjstem und dessen Beziehungen zu andern Systemen. 

2) Ciithen. G. Ost. 1874. Dr. Heinze, die prismatischen und pyramidalen 

Drehu ngskCrper. 

3) Aargao. Cantooschnle 1S73. Dr. Erippendorf. Die Photographie 

als TTnteniehtsgagenstand der Gewerbesoaiile. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Beilage zur „Zeitschrift f. mathem. u. natnrw. Unterricht". 

Preisaufgatoen 
der FttrstUcli JablonowBki'sehen Gesellschaft in Leipzig. 

Ans der Uatlieiiiatik and Natarwl^eneclLaft 
1. Für das Jahr 1874. 
Das Problem der elektrischen Vertheiliing auf einem Conductor ' 
Ton gegebener Gestalt ist durch die bisher in Anwendung gebrachten 
Methoden nur in verhältnissmäsBig wenigen £^len zur definitiven Lö- 
sung gelangt oder einer solchen zagänglii^ geworden, um die genann- 
ten Methoden ihres speciellen Charakters zu entkleiden und wo m&glich 
auf ein allgemeineres Niveau zu erheben, scheint es zunächst wilnschens- 
"werth, wesentlich neue Fälle in den Kreis der Untersuchungen hereinzu- 
ziehen. Demgemäss stellt die Gesellschaft folgende Preisaufgabe: 

Auf einem Rotalionskörper , dessen Meri4ian durch die Lemniscate 
(Cassini'sche Curve) 

dargestellt ist, soU die Vertheilung der Elektridtät unter dem Ein- 
flüsse gegebener äusserer Kräfte ermittelt werden. , 
Die Beantwortung des Specialfalles a^b würde durch die Methode 
der reeiproken Badien (Methode der sphärischen Spiegelung) auf. den 
Fall eines Hyperboloids reducirhar, und für die Erlangung des Preises 
umureichend sein. Preis 60 Ducaten. 

2.. Für das Jahr 1875. 
Die Frage nach der Lage der SchwinguUgsebene des polarisirten 
Lichtes ist trotz mannigfacher Bemühungen bis jetzt nicht entschieden 
worden. Die Gesellschaft stellt daher die Aufgabe: 

Es ist durch neue Untersuchungen die Lage der Scktcingungsebene 
des polarisirten Lichtes endgültig festsusteUen. 
Preis 60 Ducaten. 

3. Für das Jahr 1876. 
Trotz der meisterhaften Arbeiten Leverrier's Ober die Bewegung 
des Merkur kann die Theorie dieses Planeten noch nicht als endgültig 
abgeschlossen betrachtet werden. Die Gesellschaft wünscht eine aus- 
führliehe 

. Untersuchung der die Bewegung des Merkur bestimmenden Kräfte, 
mit Rücksicht auf die von Laplace (in der Mecanique Celeste), von 
Leverrier (in den Annales de l'Observatoire und den Comptes rendus ' 
de l'Äcademie dei sciences), von Hansen (in den BerJchteu der Kön, 
Sachs. Gesellsch. der Wiss. vom 15. April 186.'i) und von Wilhelm 



2 Preigaufgaben der Füratlicb JablonowBki'echen GesellBchaft in Leipzig. 

Weber (vergl. Zöllner über die Natur der Kometen S, 333) ange- 
deuteten Einwirkungen. Ausser der vollständigen Berechnung der Stö- 
rungen ist eine Vergleicbung mit den Beobachtangen unerläfislicb, um 
zu zeigen, bis zu welchem G-rade der Genauigkeit sieb die eingebenden 
Constanten bestimmen lassen. Die Constniction von Tafeln zur Orts- 
berechnung behält sich die Gesellschaft vor sum Gegenstand einer 
späteren Preisbewerbung zu machen. Preis 700 Mark. 

4. Für das Jabr 1877. 
Der nach Eucke benannte und von diesem Astronomen während 
des Zeitraumes von 1819—1848 sorgfältig untersuchte Komet I, 1819, 
bat in seiner Bewegung Anomalleen gezeigt, welche zu ihrer Erklä- 
rung auf die Hypothese eines widerstehenden Mittels geführt haben. 
Da indessen eine genauere Untersuchung der Bahn nur über einen 
beschränkten Theil des Zeitraums vorliegt, über welchen die Beobach- 
tungen (seit 1786) sieb erstrecken, so ist eine vollständige Neubearbei- 
tung der Bahn des Encke'scben Kometen um so mehr wünschenswerth, 
als die bisher untersuchten Bewegungen anderer periodischen Kometen 
keinen analogen widerstehenden Ein&oss verratben haben. Die Gesell- 
schaft wünscht eine solche vollständige Neubearbeitung herbeizuführen, 
und stellt deshalb die Aufgabe: 

die Bewegung des Enche'scken Kometen mit Berüclcsichtigtmg aller 
störenden Kräfte, tcelche von Einßuss sein Mnnen, vorläufig wenig- 
stens inn&'halb des seit dem Jahre 1848 verflossenen Zeitraums su 
untersuchen. 
Die ei^änzende Bearbeitung für die frühere Zeit behält sich die 
Gesellschaft vor, eventuell zum Gegenstand einer späteren Pröisbewer- 
bung zu machen. Preis 700 Mark. 



Die Bewerbungsschriften sind, wo nicht die Gesellschaft im beson- 
dern Falle ausdrücklich den Gehrauch einer anderen Sprache gestattet, 
in deutscher, lateinischer oder frangösiseher Sprache zu verfassen, müssen 
deutlich geschrieben und paginirt, ferner mit einem Motto versehen 
und von einem versiegelten Couvert begleitet sein, das auf der Aussen- 
seite das Motto der Arbeit triigt, inwendig den Namen and Wohnort 
des Verfassers angiebt. Die Zeit der Einsendung endet mit dem 30. No- 
vember des angegebenen Jahres und die ZusenduUg ist an den Secretär 
der Gesellsehaft (für das Jahr 1874 Prof. Dr. G. Curtius) zu richten. 
Die Resultate- der Prüfung der eingegangenen Schriften werden dur^h 
die Leipziger Zeitung im März oder April des folgenden Jahres bekannt 
gemacht. 

Die gekrönten Bewerbungsschriften werden Eigenthum der Gesell- 
•-!■»"■ ■ (,'.OO.jlc 



Die Proportionen und die Schlussrechnung. 

Ton Dr. J. \Bca Bbbbeb m KaiBeralantem, 

Wir unterscheiden zweierlei Arten des Bechnena: das me- 
chani6c)ie Bechnen and das Denkrechnen. Das mechanische 
Rechnen erfolgt nach bestimmteD Regeln, wobei der Rechner 
sich des ganzen Verfahrens nicht, oder doch nicht klar bewusst 
ist; dagegen gelangt der Denkrechner durch logische Schlüsse 
zmn Ziele. Der Denkrechner wendet allerdings bestimmte For- 
men an, besonders beim schriftlichen Rechnen, aber nnr solche, 
TOD denen er ein klares VerstÄndniss erlangt hat nnd die aus 
den Gesetzen des Denkens unmittelbar folgen. 

Es ist klar, dass von den Schulen, welche vor Allem die 
Aufgabe haben, die geistigen Fähigkeiten der Schüler zu ent- 
wickeln, alles jene sorgfältig fem gehalten werden muss, wel- 
ches nicht diesem Zv^ecke dient, oder demselben sogar hinder- 
lich sein kann. In dieser Beziehung ist aber nichts schädlicher, 
als ein G-eist und Geschmack tödtender Mechanismus des Rech- 
nens, ein auswendig gelerntes Regelrechnen, wie es in den 
meisten Schulen vorkommt. Statt den denklahigen Menschen 
zu bilden, macht ihn dieses Verfahren zn einer gedankenlosen 
Rechenmaschine. 

Ganz besonders ist das praktische Rechneu ein Fürderungs- 
mittel der Geistesbildung, aber auch nur dann, wenn die Me- 
thode zur Anwendung und zur richtigen Durchführung kommt, 
welche den angestrebten Zweck auch walirhaft fördern kann. 
Der Ausspruch Melanchthons in der Vorrede zu der Arithmetica 
integra von Michael Stiefel: „Mihi si linguae sint centmn oraque 
centum, non possem enumerare, quam multis in rebus usus est 
numeromm" hat nur dann seine volle Berechtigung, wenn das 
Rechnen in jeder Beziehung vernünftig und bildend betrieben 
wird. 

ZdUsbr. f. mUh. a. natar«, UnMtr. V. 18 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



258 Dr. ran Bebbeb. 

AbgeBeheo von den kiiastlichen Ansäkeu, die dieser oder 
Jener Lehrer erfindet und für sein Eigenthum ausgibt, obgleich 
Hie in unzählig yielen Variationen vertreten aind, die aber glück- 
licher Weise bei längerer Praxis der Vergessenheit anheim- 
fallen, zeigen sich hauptsächhch zwei Wege zur Lösung der 
meisten Aufgaben, nämlich die Methode vermittelst der Propor- 
tionen und vermittelst der Schlüsse, die wir einer kurzen Be- 
trachtung unterwerfen wollen. 

Soll eine Aufgabe mittelst einer Proportion gelöst werden, 
so handelt es sich zunächst darum, die Proportion aus den 
Daten der Aufgabe zu bilden, und dann die Unbekannte aus 
der Proportion zu b^timmen. Was zonächst den letzteren 
Theil det Aufgabe betrifft, so ist die Lösung rein mechanischer 
Natur: es kehrt stets ein und dieselbe Form wieder und stets 
erbalten wir nach einer und derselben Schablone das Eesultat. 
Also dieser Theil der Aufgabe kann den Zweck des Unterrichts 
nicht fördern. 

Das Bildungsmoment könnt« nur noch in der Bildung der 
Proportion liegen. Nehmen wir zunächst die einfachen Pro- 
portionen. Damit eine Proportion richtig sei, ist erforderlich, 
daas die einzelnen Grössen in solcher Beziehung zu einander 
stehen, dass das eine Verhältniss durch das andere bestimmt ist. 
Die Grössen können nun im geraden oder umgekehrten Verhältniss 
zu einander stehen. Ist dieses erkannt, so ei^bt sich die Bil- 
dung der Proportion von selbst. In der Aufstellung der Pro- 
portion wäre nun das einzig Bildende, dass der Schüler jedes- 
mal das Abhäugigkeitsverhältniss der einzelnen Grössen erfasst 
nnd darnach jedesmal unterscheidet, ob die Proportion eine ge- 
rade oder ungerade ist. Allein wer längere Zeit den Bechen- 
unterricht gegeben hat find auch einmal den 'Versuch gemacht 
hat, die Proportionen zur Anwendung zu bringen, wird finden, 
dass die Schüler meistens die Bildung der Proportion ohne jeg- 
liches Nachdenken zu Stande bringen und dass nur zu häufig 
die geraden mit den ungeraden Proportionen verwechselt werden. 

Abgesehen davon, dass sehr leicht Veranlassung gegeben 
wird zur Bildung von unrichtigen Proportionen, indem die Ord- 
nung der Glieder in einer Proportion nicht gleichgültig ist, da 
die Glieder eines Verlüiltnisses nur gleichnamig sein können, 
möchten bei der Anwendung der Proportionen leicht falsche Vor- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Die Proportionen und die Schlusarechnung. 259 

Stellungen über Multiplication nnd Division mit benannten Zah- 
len hervorgerufen werden. Es möchte einem Schüler schwer 
fallen einzusehen, warum man bei der Äufauehung der Unbe- 
kannten zwei benannte Zahlen und dazu noch ungleichartige 
mit einander multipliciren darf nnd dann durch Division mit 
einer benannten Zahl eine benannte Zahl erhält. 

Bei den zusammengesetzten Proportionen kann die ganze 
Rechnung nur noch schablonenmässig betrieben werden; oder 
man mfisste mehrere Unbekannte einführen und dann würde die 
Kechuung ebenso einförmig wie umständlich werden. 

Vernachlässigen wir also den sehr geringen Werth, den die 
Bildung der Proportionen auf die Geistesbildung haben kann, 
so muss die Anwendung derselben höchst unzweckmässig und 
verwerflich erscheinen. Es ist ein grosser Missgrifl', wenn man 
durch Kegeln das Urtheil überflüssig machen will, Desshalb 
ist sehr zu wundern, weshalb die Anwendung der Proportionen 
beim Arithmetikunterricht in dem Programm für die technischen 
Anstalten Bayerns vorgeschrieben wird; daher fehlen auch in 
keinem Bechenbuche, so viel mir bekannt ist, die Proportionen. 

Man gibt gewöhnlich an, dase man mit Hilfe der Pro- 
portionen rascher zum Ziele gelangt. Allein die Richtigkeit 
dieses Satzes ist sehr zu bezweifeln, und wäre er wirklich richtig, 
so frage ich, was nützt alles Rechnen, wenn ea dem Erziehungs- 
zwecke nicht dient, wenn ea zu einer mechanischen Handarbeit 
herabgewürdigt wird, bei welcher der Geist durch Unthätigkeit 
erschlafft und ihm der Zugang zu dem höher Liegenden erapart 
wird? Die Proportionen sind aus dem Arithmetikunterricht völlig 
zu bannen, in der Algebra und Geometrie finden sie ihren rich- 
tigen Platz. 

Nichts lähmt die Elasticität und Regsamkeit des jugend- 
lichen Qeistea so aehr, nichta führt ao leicht zur Gedankenlosig- 
keit und Zerstreuung, als wenn das Denken in die Zwangsjacke 
eines starren Mechanismus hineingezwängt wird. Diesem gegen- 
über bietet nun die Methode vermittelst der Schlüsse ein aus- 
gezeichnetes Mittel, das Interesse und die (Tcistestbätigkeit zu 
wecken und zu erhalten. Diese Recbntmgsweise ist allein na- 
türlich und einfach und führt jedesmal am siebersten zum Ziele. 
Während der Schüler durch das Regelrechnen gelangweilt und 
ermüdet wird, ist ihm hier ein Feld g^ebeu, worauf er sich 

18* 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



260 Dr- van Bebbeb. 

frei und selbstthätig bewegen kann; ea ist ihm gestattet auf 
verschiedene Arten zum Ziele xa gelangen. Das Aufeueben 
neuer einfacher AuäÖsungsarten hat für ihn einen ganz beson- 
deren Keiz, er findet, dass nicht jeder Weg gleich rasch zum 
Ziele führt und nach einiger Uebung wird es ihm leicht, auf 
den ersten Bhck zu unterscheiden, welche Auflösungeart im ge- 
gebenen Falle die zweckmässigste und küiseste Bei. 

Ein Beispiel wird die Sache am besten erläutern. Gesetzt 
man hätte die Aufgabe: Eine Waare wird mit l(y/^ Nutzen zu 
20 fl. verkauft, wie hoch mus3 sie verkauft werden, wenn man 
15"/° gewinnen will? 

Würde nun diese Aufgabe mit Hülfe der Proportionen ge- 
löst, so würde man von den Schülern meistens folgende Ijösung 
erhalten 

10 : 15 = 20 : a: 
20-15 .,„ a 

X = -^^ = aO fl. 

Oder ist der Schüler noch besser abgerichtet, so wird er sofort 
das Resultat hinschreiben. Würde nun auch die Proportion 
richtig gebildet werden, so wü säte ich doch nicht, ob hier etwas 
für die Bildung des Geistes geschehen, wäre. 

Lässt man aber die Aufgabe mit Anwendung der Schlüsse 
lösen, so werden die Schüler unge^hr auf folgenden Wegen 
znm Resultate gelangeu. 

I. Man berechnet den Einkaufspreis, etwa auf folgende 
Art: Bei 117o Gewinn ist der Gewinn der 11, Theil des Ver- 
kaufspreises, also ist gewonnen ^^ fl. ^ 1^ fl.; mithin ist 
der Einkaufspreis 30 fl. — 1^^ A- = l^A ö- = W A- -*n 
100 fl. sollen 15 fl. gewonnen werden, an VV A- H ^- '"^'^ 
an If fl. ^ fl. = 2^ fl:, also muss die Waare zu 18^ + 
2^ fl. = 20ff fl. verkauft werden. 

Ebenso kann auch direct der Einkaufspreis und aus diesem 
direct der Verkaufspreis berechnet werden. 

Die Auflösung würde man entweder ganz oder theilneise 
an der Tafel machen lassen. 

II. Was früher für 110 fl. verkauft wurde, soll jetzt für 
115 fl. verkauft werden; was also für 10 fl. verkauft wurde, 
wird jetzt für den U. Theil von 115 fl. verkauft oder für V^ fl. 

.Cookie 



Die Proportionen und die Schlussrechnung. 261 

= lOf^ fi.; was far 20 oder 2. 10 fl. verkauft wurde, kostet 
jetzt zweimal so viel, also 2. 10^ fl. = 20ff fl. 

Diese Lösung ist natürlich ganz im Kopfe zu macheu. 

III. An 110 fl. will mau gewinnen 5 fl. 
an 10 fl. „ „ „ VV fl- 

uud an 20 fl. „ „, „ 2.^ fl. oder ^^ fl. 

Also mnss man die Waare verkaufen 

zu 20 fl. + ^ fl. = 20^ fl. 
uud so könnte m&n vielleicht noch einige Lösungen finden. 
Die letzte ist jedenfalls die einfachste Lösung. 

Ich glaube, wenn der Lejirer auf diese Weise die im ge- 
gebenen Falle zweckmässigste Auflösung von den Schülern selbst 
suchen lässt, und die Antworten wieder zu passenden Zwischen- 
fragen verwendet, kann es nicht fehlen, dass auch der mittel- 
massige Schüler Interesse an der Sache gewinnt und mächtig 
zum selbstständigen Denken angetrieben wird. Der Wetteifer, 
der hierdurch wach gerufen wird, leistet sehr gute Dienste. 
Ausserdem wird auch das sprachliche Element, dem an den 
technischen Anstalten durch die kärgliche Stundenzahl zu wenig 
Aufmerksamkeit gewidmet werden kann, nicht wenig ausgebildet. 

Bei der Schlussrechnung ist vor Allem ein natürlicher 
systematischer Gang Erforderniss. Mit den allereinfachsten 
Rechnungen, bei denen mit einem einzigen Schlüsse das Re- 
sultat gefunden werden kann, mache man den Anfang, dann 
nehme man auf dem Erkannten aufbauend Rechnungen, wobei 
mehrere Schlüsse zum Ziele führen. So führe man die Schüler 
allmählich, ohne Unterbrechung von den einfachsten zu den 
complieirtesten HechnuDgen, stets ihr Entwickluugsstadium vor 
Augen haltend. 

Man hüte sich, starr an bestimmten Formen festzuhalten 
(z. B. stets auf die Einheit zu schliessen, was namentlich für 
das Kopfrechnen durchaus zu verwerfen ist etc.). Einseitiges 
Festhalten an bestimmten Formen kann nur in Mechanismus 
ausarten. Aber Consequenz und Genauigkeit des Ausdrucks 
fordere man unbedingt. Dabei verlange man von den Schülern 
für jeden Schritt genügende Rechenschaft. Der Lehrer soll blos 
die üebungen leiten; desshalb soll der Schüler die Regeln selbst 
finden, er soll durch Zwischenlragen und Nachhülfe von Seiten 
des Lehrers zur Auffindung der Regel geführt werden. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



262 Dr- van Bebbeb. Die Proportionen und die Schlnserechanng. 

Ich kann die Methode Koppes, welche derselbe in seinem 
Leitfaden für den Rechenimterricht angegeben bat, nicht biUigen. 
Er sagt pag. 88 Anm,: 

„Das Verfahren in diesem ÄbschDitt ist folgendes: Der 
Lehrer spricht die Aufgabe aus ond die Schüler schreiben die 
Auflösung (Ausatz) nieder, und lesen dieselbe Tom Lehrer auf- 
gefordert vor; die Geübteren sprechen vor, die Schwächeren 
sprechen dasselbe buchstäblich nach, bis alle die Fähigkeit 
vorzusprechen erlangt haben etc." — Und das soll ein Denk- 
rechnen sein! Dann könnte man auch einige Auflösungen in 
Reime bringen, wodurch man das Memoriren ungemein erleich- 
tern würde. 

Bei der Auswahl der Aufgaben ist Bedacht darauf zu 
uehmen, daas der Stoff so viel wie möglich dem gewöhnhchen 
Leben entnommen werde, und' dass derselbe in grosser Ab- 
wechselung auf einander folge. Einerseits bleibt dann die Auf- 
merksamkeit des Schülers rege, andrerseits aber erlangt er da- 
durch die Fertigkeit aus dem Sachverhalt leicht die Anflösong 
zu finden. Nichts ist ermüdender und unpraktischer als die 
Aufgaben in stofflicher Beziehung zu classificiren. £ine Ab- 
wechselung in den Aufgaben ist auch dämm zweckmässig, weil 
die Schüler sehr geneigt sind, eine Aufgabe mechanisch durch- 
zuführen, wenn sie in jedem Paragraphen auf jede Aufgabe 
dieselben Schlüsse anwenden können. Dabei sind noch häufige 
Einschaltungen von vermischten Aufgaben sehr wünseheuswerth. 
Das Tafelrechnen sehe man nur als das an, was es eigentlich 
ist, es ist nur ein Mittel, Zahlen, die man im Gedächtnisse nicht 
bequem behalten kann, symbolisch darzustellen. Eine Haupt- 
sache bleibe also das Kopfrechnen, Das Kopfrechnen ist (aller- 
dings) eine Kunst, die aber bei einer richtigen Methode und 
einiger Uebung nicht unschwer zu erlernen ist. Ein vorzüg- 
liches Augenmerk hat man darauf zu richten, grosse Zahlen 
auf kleinere zurückzuführen, etwa durch Zerlegung oder durch 
Anwendung der aliquoten Tbeile etc. Fast bei jeder Aufgabe 
wird sich eine solche Keduction anbringen lassen. Dieses lässt. 
sich nicht durch Regeln, sehr gut aber durch einige Uebung 
erlernen. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Vorrichtung zur experimentellen Erforschung der 

Wirkung einer continuirlich wirkenden unveränderlichen 

Kraft auf einen durch dieselbe bewegten Körper.*) 

Von Dr. L. Moikjbnstbbk, Director der höheren Töchterscliule zu Gettingen. 

(Mit 1 T^ [eutb. Fig. 1— 4b] md i Fig. im Text.) 

Zur experimentellen Veranschaulichung des wichtigen Ge- 
setzes über die Bewegung eines Körpers, der durch eine con- 
tinuirliche und unTeränderliche Kraft getrieben wird, dienen — 
30 viel mir bekannt ist — zwei Vorrichtungen: die schiefe 
Ebene von Galilei und die Fallmaschiue von Atwood. 

Erstere besteht aus einer langen Holzleiste mit einer po- 
lirten Rinne, in welcher eine Kugel herabrollt. Ein hörbar 
schlagendes Metronom oder eine Secundenuhr dient als Zeit- 
messer. Von einem bestimmten Punkte lässt man gleichzeitig 
mit einem Fendelschlage die Kngel herabrollen und fängt sie 
weiter unten durch ein vorgehaltenes Brettehen wieder auf. 
Man rQckt nun das Brettchen nach oben oder unten bis zu 
einem Funkte, auf welchem das Anschlagen der Kugel an das 
Brettchen gleichzeitig mit einem Pendelschlage erfolgt, und 
findet durch diesen Versuch einen Zusammenhang zwischen Zeit 
imd Weglänge; und das ist ea, was man von dem Versuche 
erwartet. AVäre diese Einrichtung zweckentsprechend, so könnte 
man sich kaum eine einfachere denken; aber schon der Umstand, 
dass man dieselbe kaum noch irgendwo sieht, spricht für das 



*) Obgleich ältere Aufsätze imd neuere vorzügliche Arbeiten auB dem 
(Gebiete der Schulmatfaemaük vorliegen und der Aufnahme harren, so 
glanbte die Bedaction doch, diesem Aufsatze den Vorrang geben za müs- 
sen, einmal, weil die Physik übertianpt in der Zeitschrift ohnehin wenig 
berflcksichtigt worden ist und dann, weil der Aufsatz ein nenea Lehrmittel 
bietet D. Eod. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



264 L 

GegenÜteil ; und Jeder, der mit solch einer Vorrichtang je ge- 
arbeitet hat, wird die grossen Mängel derselben bald erkannt 
haben. Die ganze Art der Beobachtung ist zu mangelhaft, als 
dass irgend genaue und zuverlässige Ergebnisse zu erwarten 
wären. Die Vorrichtung wird höchstens gebraucht werden kön- 
nen, um die gegebenen Lehrsätze einigermaasen zu erläutern. 
Für die experimentelle Erforschung der betreffenden (besetze da- 
gegen scheint sie mir völlig unbrauchbar. 

Auch die Fallmaschine von Atwood ist für letzteren Zweck 
dem Anfänger gegenüber schwer zu verwerthen; denn für ihn 
ist der Vorgang an derselben nicht einfach, nicht unmittelbar 
genug. Dazu ist diese Vorrichtung, wenn sie vollkommen sein 
soll, so theuer, dass die 'wenigsten Schalen in der Li^^e sind, 
sie anzuschaffen. 

Der Wunsch, das wichtige Gesetz der Bewegung eines 
Körpers durch eine gleichmässig wirkende Kraft experimentell 
entwickeln zu können, veranlasste mich, eine Vorrichtung 
herzustellen, die allmählig immer vollkommener wurde, bis sie 
in der unten durch Zeichnung und Beschreibung erläuterten Ge- 
stalt alles leistet, was mau irgend wünschen kann. 

Die vier hölzernen Säulen A,B,C,D Fig. 1. (Taf. 1} sind 
mittels einiger Schrauben an die achmalen Seiten einer 3 Meter 
langen Schulbank befestigt*). Ihre Länge über der Tischplatte 
beträgt 60—70 cm., ihre Dicke und Breite je 5 cm. Der Raum 
zwischen A und misst 18 cm. 

Die Säulen A und S tragen die eisernen Kahmen G und H, 
deren Gestalt durch die in Fig. 2 (s, Taf. I) gegebene] Neben- 
zeichnnng genügend deutlich erscheint. Der JRahmen G um- 
schliesst die Säule A auf allen Seiten ziemlich genau, dagegen 
ist der Rahmen S von links nach rechts lang genug, um eine 
Verschiebung in dieser Richtung um 3^4 cm. zu ermöglichen. 

Durch die Löcher der vorspringenden Seitentheile des Rahmens 
G ist ein Stahlstift geschoben, welcher die Oesen ,einer starken 
(Piano-) Stahlsaite trägt, während die Schleife der S^te um die 
kleine um einen Stift drehbare Rolle R des Rahmens 3 ge- 
legt ist. 



*) In der Zeichnung erscheinen C imd B der grösseren Deutlichkeit 
wegen auf der Bfickseite der Bank. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Vorrichtung zur experimentellen ErfoHchung etc. 265 

Nachdem die Saite in dieser Weise aufgezogen worden, 
gibt man ihr durch geeignete Stellung der ßahmen eine etwas 
geneigte Lage und durch Anziehen der Schraube 8 eine mög- 
lichst straffe Spannung. Die Neigung betrage beispielsweise 
19 cm. auf die Länge von 2,6 m. Der Durchmesser der Rolle 
R m&ge, abgesehen vom Bande, etwa 12 »im. sein. Eben so 
■weit schiebt man die Oesen der Saite auseinander, um parallele 
Schienen für eine darauf herabrollende Eugel zu gewinnen. 

Da sowohl die Oesen, wie auch der zweifach im rechten 
Winkel gebogene Streifen J, der in seiner Gabelung die ßolle 
trögt, von vorn nach hinten verschoben werden kann, so kann 
man der Bollbahii eine parallele Lage zu der etwa 18 cm. ent- 
fernt hinter ihr liegenden Leiste L geben. Diese letztere ist 6 cm. 
breit und mindestens 2 cm. dick. Man gibt ihr eine der Roll- 
bahn gleiche Neigung. Da diese Neigung später verändert 
weiden soll, so darf L nicht an den Säulen C und D befestigt 
werden. Es sind zu dem Ende die Leisten E und F je durch 
eine Schraube am oberen Ende und einen in die Tischplatte 
eingelassenen Zapfen derartig befestigt, dass zwischen C und E 
und gleicherweise zwischen D und F ein Spalt bleibt, welcher 
die Leiste L aufnimmt. In der vorhin bezeichneten Lage, also 
parallel zur Rollbahn, wird sie dann durch die Schrauben M 
und M festgeklemmt. In denselben Spalten, und zwar parallel 
zu L, liegt auei die Leiste N. Sie ist nicht festgeklemmt, 
sondern freibeweglich auf zweien an L bef^tigten Rollen. Doch 
wird ihre Beweglichkeit von links nach rechts durch die beiden 
auf N befestigten Eorkpolster K und K auf etwa 2 cm, beschränkt. 

Die Verschiebung muss leicht sein. Es darf desshalb die 
Leiste in den Spalten nicht zu viel Reibung erfahren, ebenso- 
wenig darf sie zu viel Spielraum haben. 

Die Höhe der Leiste N über L wird also durch die Rollen 
bestimmt; sie möge etwa 4 cm. betragen. 

Auf der Leiste X befindet sich eine aus hartem Holze her- 
gestellte Klammer 0, die durch eine Schraube festgestellt werden 
kann. Es empfiehlt sich, die der Schraube gegenüberliegende 
Zinke der Klammer auf der inneren Seite etwas auszukehlen, weil 
die scharfen Ränder die Feststellung der Klammer erleichtem. 
An der vorderen Zinke ist ein etwa 45 cm. langer Stab befestigt, 
der in seinem unteren Theile kantig, höher hinauf aber rund 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



266 L- MoiBEHBTEBN, 

sein mag. Durch entsprecbendee Aufsetzen der Klammer erhält 
der Stab eenbrechte Stellung. Er hat auf seinem oberen Theile 
eine eiserne Doppelhülse, die ein wagrecht nach vom gerichtetes 
Rohrstäbchen trägt, welches nahe an seinem vorderen Ende in 
senkrechter Richtung möglichst feiu durchbohrt ist. Durch diese 
Oeffnung wird ein Pferdehaar gezogen, an dessen unterem Ende 
eine kleine Blei- oder Messingkugel hängt, während das andere 
Ende um den im Rohrstäbchen drehbaren Wirbel W gelegt ist, 
so dasa durch Drehung dieses Wirbels der PeBdelfaden verlängert 
oder verkürzt werden kann. 

Wir wollen diese Vorrichtung zur Aufstellung des Pendels 
den Pendelhalter nennen. Die Einstellung des Pendels geschieht 
so, dass die Pendelkugel in der Ruhelage etwa 1 cm. hoch und 
genau über der Mitte der Rollbahn hängt. Die Pendelkugel hat 
seitlich eine kleine OefEhung, in welche ein etwa 1,6 cm. langes, 
am Ende mit einem Knoten versehenes Fädchen eingelassen ist. 
(S. beistehende Fig.) 

-^ Man kann nun die Pen- 

delkugel bei immer gleich- 
massig straffem Faden so 
gegen die Leiste L schie- 
ben, dass das kleine seit^ 
liehe Fädchea sich gegen 
die linke Seite des Holz- 
stabchens P legt und zwi- 
schen diesem und einem 
zweiten Stäbchen Q einer 
auf der beweglichen Leiste 
N befestigten Klammer 
festgeklemmt werden kann. 
Um dies sicherer zu erreichen, sind P und Q an den aufschlies- 
senden Kopfenden mit Korkstreifen belegt. 

Wird nun die Leiste L durch einen sanften Stoss gegen 
das rechte Kopfende bei K nach links verschoben , so wird das 
Pendel frei und beginnt seine Schwingungen rechtwinklig Ober 
die Rollbahn hinweg. 

Am oberen Ende trägt die Leiste L ebenfalls eine Klammer, 
deren Schraube abgekehrt ist, während in die der Sehraube 
gegenüberliegende Zinke etwas unterhalb der Rollbahn ein wage- 



/ 



^ 



iJ" 



i,Coo<^lc 



Vorrichtung zur experimenteUen Erfowchung etc. 267 

recht nach vorn gerichtetes Holzstäbchen eingelassen ist. Die 
auf letzterem befindliche Hülse Z hat der Schraube gegenüber 
eine Spitze, um welche ein cylindrisches Stückchen Holz T 
(Fig. 4* u. 4''*) leicht drehbar ist. In dieses Holz sind drei 
Fischbeinsl^bchen eingelassen. 



nn ^ 



_H^ 



^3J 



V a -^(V - 



3r°i 



5- jr — I 



6 

Es bildet mithin diese Vorrichtung, die wir den Kugelhalter 
nennen wollen, einen dreischenkligen Winkelhebel. Die Schenkel 
liegen in einer Ebene, etwa 1 cm. höher als die BoUbahn. Die 
Länge des linken Schenkels a beträgt 12 cm., die des Schenkels b 
4 cm-, der Schenkel c misst bis zur Gabel des Stabes U eben- 
falls 4 cm. Die Spitze des Schenkels b liegt in der Verlängerung 
der Richtung des Schenkels a und parallel zur BoUbahn. Recht- 
winklig dazu wendet sich der dritte Schenkel nach hinten gegen 
die Leiste N. 

Die Spitze des rechten Schenkels soll die davor gelegte 
Eugel so lange am Herabrollen vei4iindem , bis sie selbst durch 
Drehung des Kugelhalters vor der Kugel zurückweicht und letztere 
frei gibt. 

Diese Drehung soll durch denselben Stoss gegen die Leiste 
N bewirkt werden, durch welchen auch die Pendelkugel — wie 
vorhin erwähnt ist — frei wird. Es ist zu dem Ende auch hier 
auf die verschiebbare Leiste N eine zweite Klammer gesetzt. Sie 
trägt auf dem nach vom gewandten Holzstäbchen eine eiserne 
Hülse mit einem cylindrischf» Ansatz, in welchem das vom in 



*) Fig. ih 1. auf der beig^benen Tafel L 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



268 L. UOBOESBTEBB. 

eine Gabel auslaufende Drahtende ü*) mittels eines Holzkeües 
befestigt ist. Der Zweck dieser Vorrichtung ist nach dem Vor- 
hergehenden und durch die Nebenzeichnuug genügend klar. 

Idi Uebrigen haben die letzterwähnten Klammem dieselbe 
Einrichtung, wie das Klammerpaar, welches am unteren Theile 
der Rollbahn aufgestellt ist. Das Pendel aber, das sie tragen, 
wird erst später gebraucht werden. Wir beseitigen es vorJÄnfig, 
indem wir den Pendelfaden um das Holzstäbchen wickeln. 

um das Anschlagen der auf der Bahn berabrollenden Kugel 
am Ende der BoUbahn zu verhindern, klemmt man hier ein 
Stückchen Korkholz zwischen die Saiten. Ein in dieselbe ein- 
gelassenes FischbeinstÄbchen verhindert gleichzeitig auch das 
Abschnellen der Kugel; denn es ist so gestellt, dass die Kngel 
sich zwischen ihm und der Rollbahn festklemmt. — Man kann 
auch, wie in der Zeichnung geschehen, dieses Fischbeinstäbchen 
mit dem Streifen J verbinden. 

Der obere Rand der Leiste N ist nach Centimetern eingetheilt. 
Den Punkt, welcher senkrecht hinter der Spitze des Kugelhalters 
liegt, bezeichnen wir mit 0. Gleicherweise bringt man an den 
Säulen Ä und S eine Scala an und bezeichnet die in der Ebene 
der Bank liegenden Punkte mit 0. 

Zum Gebrauch muss die Vorrichtung etwa unter Anwendung 
einer auf die Oberfläche der Bank gestellten Cjlinderlibelle oiex 
eines mit einem Lothe versehenen Transporteurs wagerecht und 
vollständig festgestellt werden, so dass der Stoss gegen die 
Leiste N keine Erschütterung bewirkt. Dem Pendel gibt man, 
vom Mittelpunkte der Kugel ab gemessen, beispielsweise eine 
Länge von 37,6 cm., es gebraucht dann zu einer einfachen 
Schwingung Vi Secunde. 

Wenn die Leiste N vollständig gleiche Neigung mit der 
Rollbalin hat, so wird die Pendelkugel, wo immer man den 
Pendelhalter aufsetzen m^, überall die früher bezeichnete Lage 
zur Rollbahn einnehmen. Sollte das jedoch nicht der Fall sein, 
so muss durch geeignete Nachhülfe der Felder beseitigt werden. 
Als Kugel dient eine jener Steinkugeln, die unter dem Namen 
Knippel oder Knicker Knaben zu beliebtem Spiele dienen. Man 



*) leb beaatxte dazu einen Strebestab atu einem BegeuBchirm. 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



VoracMnng zur experimentellen Erforschnng ete. 269 

wähle sorgfältig eine recht runde und glatte von etwa 2 em. 
Durchmesser und lege sie vor die Spitze des Kugelhalters. 

Die Verschiebung der Leiste N will etwas geübt sein. Der 
Stoss muas immer gegen das Ko^^ende der Leiste bei K erfolgen 
und darf nicht zu heftig sein. 

Noch will ich bemerken, dass das linker Hand aufgesetzte 
Ktammerpaar möglichst weit nach links verschoben werden 
möge, damit die ßoUbabn möglichst lang bleibe. In der Zeichnung 
ist das nicht der Fall, weil die Deutlichkeit darunter leiden 
würde. 

Wir schreiten nun zum Versuche. Wir lösen durch Ver- 
schiebung der Leiste N das Pendel / und gleichzeitig die Kugel. 
Da das Pendel seine Schwingungen quer über die Saiten nimmt, 
so kann es geschehen, dasa die Pendelkuget im Augenblick des 
Uebei^^ges über die Bahn mit der rollenden Kugel zusammen- 
triSFt. Wäre das nicht der Fall, so kann ein solcher Zusammen- 
stoBs dnrch Verschiebung des Pendelhalters nach links oder rechts 
aufgesucht werden. Hat man einen solchen Punkt gefunden, so 
wiederholt man den Versuch und zählt die Schwingungen des 
Pendels. Fände z. B., wie das bei der vorhin angegebenen 
Neigung der Fall ist, ein Zusammenstoss statt bei 181, und das 
Pendel hätte filnf Schwingungen vollendet, die sechste aber wäre 
durch den Zusammenstoss unterbrochen, so geschah die Unter- 
brechung, nachdem das Pendel bis zur Ruhelage gekommen war, 
d. h. also, nachdem es die Hälfte der sechsten Schwingung 
zurückgelegt hatte. Wir haben demnach, wenn wir die Zeit- 
einheit mit T und die Weglänge mit s bezeichnen, für 
T= 5%, s=181. 

Da aber die Wahl der Zeiteinheit ganz in nnsrer Hand 
liegt, so können wir ja die Dauer einer halben Schwingung, also 
die Zeit, während welcher die Pendelkugel den Weg »wischen 
der Buhelage und einem der Wendepunkte zurücklegt, als Zeit- 
einheit annehmen. 

Dann vollzieht sich jede ganze Schwingung in zwei Zeit- 
einheiten; f(lr 

T ■= 572 erhielten wir t = 11, 
und wir hätten ilir 

t = 11, die Weglänge s = 181. 

Nun hat aber das Pendel bis zum Zusammenstosse die BoU- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



270 L- MoBaiNBTEB», 

bahn bereits füuftual gekreuzt; ea mQsaeii a\m oberhalb des 
Punktes 181 noch fßnf andere Punkte des Zusammeustosses auf- 
gefunden werden können, wenn man den Pendelhalter ent- 
sprechend rerstellt. 

Diese Funkte suche ich auf, indem ich den Pendelhalter 
anfangs um je 10 cm. oder mehr nach links verschiebe, bis 
ich bei einiger Aufmerksamkeit bemerke, dass die beiden Kugeln 
nahe an einander vorbeigehen. 

Dann schreite ich etwa um je Ö cm. und schliesshch um 
je 1 cm. vorwärts, bis ich für 

( = 9, s ^ 121 erhalt«. 

In derselben Weise erhalte ich für 
f = 7, s = 73 
f = 5, s = 37 
t~'d, s = 13 
[(=1, 8 = 1,495]. 

Da natni^emäss der Zusammenstoss nicht |auf einem Punkte, 
sondern einer Strecke von einiger Ausdehnung erfolgt, so findet 
derselbe beispielsweise für i = ll nicht nur auf 181, sondern 
etwa auch auf 180, 179, sowie auch auf 182, 183 — also auf 
der ganzen Strecke zwischen 179 und 183 statt. Diese Länge 
kann durch genügende Straffheit der Saiten auf etwa 2 cm. 
beschränkt werden. 

Am merklichsten ist dieser Umstand für £ « I ; einerseits, 
weil dieser Fehler nach oben hin etwas wächst, anderseits weil 
für t = 1 der Werth des s an und für sich schon gering ist. 
Doch wird die spätere Betrachtung über den wahren Werth von 
s für ( ^ 1 uns nicht im Zweifel lassen; und wenn wir das Pendel 
etwas höher stellen, so dass nur der tiefste Funkt der Feudel- 
kugel mit der rollenden Engel in Berührung kommen kann, 
oder wenn man — was noch besser ist — in die Pendelkugel 
für diesen Versuch eine senkrecht nach unten gerichtete Nadel- 
spitze einsenken will, so kann man auch diesen Versuch Ter- 
werthen. Der oben angegebene Werth s = 1,495 ist in dieser 
Genauigkeit durch Rechnung bestimmt. 

Dass wir bei der jetzigen Einrichtung nur die Werthe des 
s für ungerade Werthe des ( bestimmen können, ist leicht er- 
klärlich. Es wäre aber ein Mangel, wenn wir nicht auch die 
Bestimmung des s für gerade Zahlwerthe des t möglich machten. 



i,Coo<^lc 



VomchtuDg zur experimentelleii Erforscbting etc. 



271 



Um dies zu bewerkst«lligen, haben wir auch das zweite 
links befindliche Klammerpaar mit einer Vorrichtung zum Fest^ 
klemmen dea Pendels veraehen. Man gibt nun dem Pendel II 
eine dem ersten Pendel gleiche Fadenlänge und überzeugt sich 
durch Versuche, ob beide Pendel ToUkommen gleiche Schwiugungs- 
zeit haben. Ist das der Fall, so stellt man Pendel II so, dass es 
in der Ruhelage die innere Fläche des linken Schenkels des 
Kugelhalters eben sanft berührt (s. Fig. 4), Durch Einklemmen 
des Pendelfädchens bringt man das Pendel in die seitliche Lage, 
legt die Ki^el auf die Rollbahn, stellt auch das Pendel I ein, 
zieht endlich den Stift ä aus der Gabel U und wiederholt den 
Versuch. Die Kugel wird nun nicht mehr unmittelbar durch 
die Verschiebung der Leiste N frei werden, sondern erst dann, 
wenn das Pendel II durch sein Anschl^en gegen den Schenkel 
des Kugelhaltets die Drehung dea letzteren herbeigeführt hat. 
Mithin erfolgt die Auslösung der Kugel um eine Zeiteinheit 
später als die des Pendels, welches letztere bereits die ßoUbahn 
kreuzt, wenn die Kngel ihre Bewegung beginnt. {Vgl. Fig. 4a 
und 4b.) 



üL 



IK 




ilt 



— arnr 



Wir müssen also die Zeittheilchen Ton diesem lezterwähnten 
Zeitpunkte an zählen. Ein Zusammenstoss der beiden Kugeln 
kann mithin nur auf die geraden Zeittheilchen fallen. 

So erhalten wir die Werthe zu ^ = 10, t=-8, * = 6 etc. 

Durch Vergleichung der Zahlwertbe t und s erhalten wir 
dann die bekannte Formel 

s = s'. t^, 
in welcher s die Weg^ge bezeichnet, welche die Kugel im 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



272 L, MOROENBTEBN. 

ersten Zeittbeilchen zurücklegt; im Torliegenden falle ist also 
s = 1,495. 

Durch Veränderung der Neigung der Rollbahn zeigt mau, 
wie allerdings s' für jede Neigung einen andera Werth erhält, 
wie aber der Zusammenhang zwischen den Grössen s, s' und t 
unverändert bleibt. Dadurch erhält das in obiger Formel auf- 
gestellte Gesetz eine allgemeinere Bedeutung. Selbstverständlich 
wird man schon nach der ersten Versuchsreihe nicht wieder den 
ersten Weg des Aufsuchens der Übrigen Funkte des Zasommen- 
stosaes der Kugeln einschlagen. Es muss vielmehr von vorn- 
herein höchst wahrscheinlich sein, daas freilich s' grösser werde, 
aber die Beziehung zwischen s, s' und t ungeändert bleibe. 

Man wird deshalb für irgend eine Zeit die zugehörige Weg- 
lange aufsuchen und — um sich von der Gültigkeit der aus der 
ersten Versuchsreihe gewonnenen Formel zu Überzeugen — andere 
Werthe für andere Zeiten berechnen, ihre Richtigkeit durch den 
Versuch bestätigen und so die Allgemeingültigkeit der Formel 

s = s'. (' 
für jede Neigung nachweisen. Ich brauche kaum zu erwähnen, 
dass man eben so diese Allgemeingültigkeit durch Aenderung 
der PendellUnge, durch, Wechsel der Kugel und durch gleich- 
zeitige Aenderung aller drei Verhältnisse bestätigen kann. 

Es wird nach diesen Versuchen zur grössten Wahrschein- 
lichkeit, dass dasselbe Gesetz auch für den freien Fall gilt, dass 
gleichzeitig für diesen freien Fall s' den grössten Werth haben 
muss. Bezeicbnen wir diesen mit g, so heisst das Gesetz für 
den freien Fall 

s = gt\ 
Es käme nun darauf an, g experimentell zu bestimmen. Diese 
Bestimmung ist nicht Aufgabe der hier vorliegenden Einrichtung. 
Ich werde vielleicht in einer anderen Nummer dieser Zeitschrift 
eine sehr einfache und erprobte Einrichtung auch für diesen 
experimenteUen Nachweis des Werthes g wie überhaupt der 
Uebereinstimmung des Fallgesetzes mit dem soeben entwickelten 
Gesetze beschreiben. 

Ein besonderer Werth der vorliegenden Binrichtung besteht 
nun noch darin, dass durch eine kleine Zugabe unsre Vor- 
richtung tauglich wird zum experimentellen Nachweis der Formel 
c = 2s'( 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Vorrrichtung zur experimentellen ErforBchnng etc. 



273 



u/id damit zum VersiÄndniss des Begriffes der Schnelligkeit bei 
beschleunigter Bewegung, sowie auch des Begriffes der Beharrung 
oder Trägheit. Darüber genügen wenige Worte. 

Auf der ZeichnuDg ist noch eine zweite Rollbahn angedeutet, 
die für die bisher ausgeführten Versuche nicht in Anwendung kam. 
Um nun zu beweisen, dass die Weglänge beispielsweise des 
11. Zeittfaeilchens für sich allein zusammengesetzt sei aus zwei 
Stücken, deren eins eine Folge des BeharrungsTerraögens, deren 
anderes eine Folge der Neigung der Rollbahn auch auf dieser 
Strecke ist, hebt man die Neigung der Bahn dadurch auf, dass 
man zwischen den Rahmen G' und IT eine zweite Rollbahn mit 
Hülfe der Scalen an den Säulen A und B w^erecht in der 
Höhe aufspannt, welche der Punkt 149 der ersten Rollbahn über 
der Tischääche hat. Mithin wird die wagerechte Bahn jene 




sehnte bei 149 kreuzen (vgl. Fig. 5). In dieser Lage gibt man 
ihr durch Anziehen der Schraube die nöthige Spannung , ver- 
bessert nÖthigenfalls ihre Lage so, dass die Kreuzung genau auf 
149 stattfindet, und verschiebt die Oesen und die Schleife dieser 
Rollbahn so, dass sich die Saiten der wagerechten Bahn bei 149 
äusserlich an die der schrägen Bahn sanft anlegen, ohne die- 
selbe ii^end einzuschnüren. 

Gleichzeitig wird die Hülse des Pendelhalt«rs I so weit nach 
oben verschobeü, dass die Pendelkugel jetzt etwa 1 Ctm. über 
der wagerecbten Bahn schwebt; und weil nun das seitliche 
Fädchen des Pendels nicht mehr zwischen P und Q eingeklemmt 
werden kann, so wird in die linke Klammer, die am Kopfende 
ein Zapfenloch hat, ein Stäbchen senkrecht eingefügt, üeber 
dieses und den senkrechten Stab des Pendelhalters streift man 
Korke, deren kreisrunde Flächen aufeinander schliessen und 
das Fädchen des Pendels zwischen sich festklemmen. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



274 L. UoaasKSTEBM. 

Die hetabrollende Eagel wird nun alao am Punkte 149 auf 
die wagerechte Bahn übergehen. Jenei Zuwachs, der in der 
Neigung der Bahnstrecke fllr dae 11. Zeittheilc^an seinen Grund 
bat, wird nun wegfallen, und der Zusanunenstosa mit der Pendel- 
kugel muas demnach statthaben nicht auf dem Ponkte s'P, 
sondern schon auf s'f^ — s'; also nicht auf s'. 121 , sondern 
auf s'. 120. 

Weil aber der Unterschied zwischen beiden Grössen nur 
gering ist, so wird der Nachweis, den man hier liefern wiU, 
mehr in die Augen fallend, wenn man die Werthe fOr einen 
spätem Zeitpunkt auf der einen und anderen Bahn vei^leicht. 
So beträgt fUr t *= 12 der Weg auf der schrägen Bahn 
s — s'. 12^. 

Von der Kreuzungsstelle an legt also die Eugel im 11. und 
12. Zeittheilehen beziehungsweise noch 

(2 a-. 10 + s') + (2 s'. 10 + 2 s: -i- s') = 44 s zurOcfc. 

Auf der TOn 149 an wagerecfaten B^m aber beträgt jener 
Weg nur 2 . s' . 10 + 2, s. 10 also in Summa i= 40. s*. 

Der Unterschied beider Längen beträgt also jetzt 4. s' = 
6 Gtm. FOr jedes folgende Zeittheilehen wird dieser Unt«r8chied 
natürlich noch bedeutender. 

Es zeigt sich also auch, dass die Eugel vom Ereuzungs- 
punkte aus auf der wagerechten Bahn in jedem folgenden Zeit- 
theilehen gleiche I^gen zurücklegt, und dass also die Schnellig- 
keit, welche die Eugel im Augenblick des Uebergangs auf die 
wagerechte Bahn hat, sich nicht mehr ändert. Der Verlust, welchen 
die Kugel allmählig durch die Reibung erfährt, ist zu unbedeutend, 
als dass er diese Beobachtung wesentlich stören konnte. 

Das wicht^e Gesetz der Beharrung in der einmal gewonnenen 
Schnelligkeit und damit die Richtigkeit der Formel 

c=-2s't 
wird dadurch mit Bestimmtheit nachgewiesen. 

Der Rahmen W erscheint in der Zeichnung oben an der 
Säule B, und die '2. Bahn ist, um das Bild möglichst einfach 
zu halten, links nur angedeutet. Es ist indess keineswegs nöthig, 
diese Bahn ganz zu beseitigen, wenn sie nicht gebraucht wird. 
Man mache sie durch Nachlassen der Schraube S' ganz schlaff, 
schiebe S dicht auf den Rahmen der schrägen Bahn, dr&cke 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Vorrichtnng smr eiperimenteUen Erfoischong etc. 275 

an dieser Stelle die Saiten der wagerechtea Bahn unter die der 
schrägen herab und halte sie in dieser Lage durch ein zwiscben- 
gelegtes Stäbchen fest. 

Anhang. 

1) Es erschien zweckmässig, die vorbehandelte Einrichtung 
transportabel zu machen. Deshalb spannten wir die Saiten 
über einer Schulbank aus. Hat man fQr den Unterricht in der 
Physik ein besonderes Lehrzimmer, so ist es gar leicht, 
die ganze Yorrichtung an einer Wand anzubringen. Welche 
Äenderungen in dem Gestelle dadurch nöthig werden, wird jeder- 
mann nach der Art des Orts der Aufstellung leicht selbst be- 
urtheilen. 

2) Herr Universitätsmechanikus Apel in OSttingen ist be- 
reit, die verschiedenen einzelnen StQcke, welche — die Tischler- 
arbeit ausgeschlossen — zu meinem Apparate gehören, anzu- 
fertigen. 



,t,7rJM,G00glc 



Kleinere Mittheilungen. 
Beiträge zu den Eleinigkeiten am der Schnlstube. 

— Von Dr. Beidt in Huam, 

1, In den Beweisen der AehnlichkeitssStze findet man 
nicht selten folgende Schluaafolgeruug: „Zieht man im Dreieck A£C 

fj die Transversale DE parallel zn AB, so 

ist A DEO ~ ABG. folgUeh DC : CE = 
AC-.CB'' (cf. Kambly, § 134.).*) 

ZT- Dieae Folgerung scheint mir einen ver- 

\ steckten logischen Cirkel zu enthalten, demi 
^ die Aehnlichkeit des durch eine parallele 
Transveraale abgeschnitteaen und des ganzen Dreiecks wurde ja 
vorher (Eambly, § 132, Folg. l) mit Hülfe eben derselben Proportion 
bewiesen, welche jetzt aus dieser Aehnlichkeit wieder gefolgert wird. 
Der Cirkel wird nur dadurch versteckt, daea derselbe aus zwei 
räumlich getrennten Theilen besteht. Die Proportion folgt also nicht 
aus der Aehnlichkeit der Dreiecke, sondern aus dem Satae, dass 
jede zu einer Seite parallele Transversale des Dreiecks die anderen 
Seiten in gleichen Verhältnissen theilt. (K. § 132.) 

2. Aus der CoDgruenz zweier Dreiecke, welche in einer Seite 
und den anliegenden Winkeln übereinstimmen, die Oleicheit der 
dritten Winkel als homologer Stttoke zu folgern, wie z. B. 
(Kambly § 72) bei den gegenüberliegenden Winkeln im Parallelo- 
gramm, dürfte ebenfalls nicht ohne Bedenken sein. Die Gleichheit 
der dritten Winkel folgt ja schon aus der Gleichheit der beiden 
anderen Winkelpaare und ist völlig unabhängig von der in gewissem 
Sinn zufUlligen Congruenz der beiden Dreiecke. Der Satz von der 
Gleichheit der dritten Winkel wird sogar zu einem der Beweise der 



•) Dass hier und weiterhin voran^weiBe das Lehrbuch von Eambly 
als Bebpiel benutzt iet, wird durch die weite Verbreitung desselben be- 
gründet eiBcheinen. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheilungen. 277 

Congruenzsätze benutzt, und es ist mJBdestens ein Umweg, nun 
wieder die Congmenz zum Beweise jener Gleichheit zu benutzen. 
Mit noch anderen Worten: Sagt man, die gegenüberliegenden Winkel 
im Parallelogramm sind gleich, weil die beiden Dreiecke (nach dem 
erwähnten Congruenzfall) congruent sind, bo heiset dies so viel, als 
die gegenüberliegenden Winkel eeien gleich in Folge sowohl der 
Gleichheit der beiden anderen Winkelpaare, als auch ausserdem noch 
in Folge der Gleichheit der einen Seite. Das Letztere ist geradezu 
falsch, von der Uebereinstimmnng der beiden Dreiecke in der einen 
Seite ist die Gleichheit der Winkel nicht' abhängig. 

Im vorliegenden Falle, bei dem Parallelogramm, folgt übrigens 
der Satz naturgemSss schon daraus, dass beide Winkel mit dem- 
selben anliegenden Winkel gleiche Summen geben. Auch das Ziehen 
der Diagonale ist ein dem Kern des Satzes fremdes, daher gekünsteltes 
Hülfamittel. 

3. In den mathematischen Lehrbüchern findet sich gewöhnlich 
der Lehrsatz: „Der Flächeninhalt eines regelmässigen Poly- 
gons ist gleich dem halben Prodnct ans seinem Umfang in 
seinen kleinen Badius." (Kambly, § 126, 4.) 

Dieser Satz ist, wie ja bekannt, zu eng, indem die Voraas- 
setzang, dass das Polygon regelmässig sei, mehr verlangt als 
nöthig ist. Derselbe würde besser etwa so lauten: 

„Der Flächeninhalt jeder ebenen geradlinigen Figu r 
welcher sich ein Kreis einbeschreiben lässt, ist gleich 
dem halben Prodttct aus ihrem Umfang in den Badius des 
einbesehriebenen Kreises." 2**= -J- U ■ ^. 

Wenn es nicht logisch richtig ist, unter die Bedingungen der 
Behauptung solche aufzunehmen, welche nicht nur zor Aufstellung 
der letzteren nicht erforderlich sind, sondern auch gar nicht, oder 
doch nur scheinbar im Beweise benutzt werden, so darf der obige 
Satz über daß regelmässige Polygon nur als Zusatz dieses allgemei- 
neren auftreten. Die Besonderheit des Falls kommt dann in der 
Behauptung F^ ^n-S-^ zur Geltung. Als ein anderer Zusatz 
schliesst sich dann auch die Anwendung auf das Dreieck, F = 
^ (a -{- 6 -f- c) ■ p, an, welche als wichtig für manche Berechnungen 
überhaupt nicht fehlen sollte, sowie endlich die auf den Kreis selbst. 
Man kann auch — vielleicht in Form von Uebtmgsaufgaben — die 
Anwendung auf das Tangenten -Viereck {F ^ [a -|- c] ■ p), sowie 
auf den Rhombus machen und zeigen, dass der Satz für die letztere 
Figur auf den andern vom Prodnct der Grundlinie und der Höhe 
zurückführt. Dass sich der Satz ferner auch auf die Fälle aus- 
dehnen lässt, in welchen ein ausserhalb der Figur liegender Punkt 
von den Seiten gleichweit entfernt ist und daher statt des Umfengs 
algebraische Summen der Seiten zu benutzen sind, ist ebenfalls be- 
kannt Endlich haben wir für die Stereometrie den entsprechenden 



n,g,t,7.dt,'G00gIc 



278 Kleioere MittheÜTingen. 

Satz: »Bfts Volumen jedes PolyederB, welobem sich eine Engel 
einbeBchreiben ISsst, iet gleich dem dritten Theile des Producta ans 
seiner Oberfltlche in den Radius der einbeachriebenen Kugel." Der- 
selbe findet dann in seinen Znefitaen Anwendung auf die regel- 
mSseigen Polyeder, die dreiseitigen Pyramiden und auf die Kngel 
als Orenztall. 

Eb könnte scheinen, als ob der vorher ausgesprochene Vorwurf 
des Mangels au logischer Strenge unbegründet sei, da man ja hKufig 
besondere FSlle allgemeinerer Satae besonders beweist. So stellt 
man z. B. den Satz auf, dass Dreiecke mit gleichen Grundlinien 
und gleichen Höhen inhaltsgleioh sind, während doch die speciellen. 
Voraussetzungen zur Richtigkeit der Behauptung ebenfalls nicht 
nothwendig sind, vielmehr hierzu schon die Gleichheit der Prodncte 
aus Grundlinie und Höhe genügt. Aber die Sache steht in solchen 
Fällen doch anders; die Plächen-Crleichheit ist in dem angeMirten 
Beispiel wirklich eine Fo^e der Gleichheit der betreffenden Linien 
und bleibt nicht mehr bestehen, wenn eine der Voraussetzungen 
mit Beibehaltung der anderen verändert wird. Niemand aber würde 
z. B. den Satz beweisen, dass gleichschenklige Dreiecke mit 
gleichen Grundlinien und Höhen Inhalt Sgl eich sind, da er in diesem 
Falle eine Bedingung aufstellen würde, welche mit der Behauptung 
in keinem Causalnexus steht und daher auch zum Beweise derselben 
keine Anwendung findet. Dieser Fall liegt oben vor, sofern neben 
der Bedingung, dass die einzelnen Dreiecke des Polygons gleiche 
Höhen haben, die Überflüssige gestellt ist, dass auch die Grund- 
linien gleich, bezw., dass die Dreiecke congruent sein sollen, die mit 
der Behauptung F^ \JJ-^ \a einem wirklichen causaten Zusammen- 
hang steht, sondern nur im besonderen Fall zu der Bestimmung von 
U = n- 8 dient, 

4. In der Wahrscheinlichkeits-Rechnung findet man zu- 
weilen den Satz: „Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Fall — • 
fttr einen anderen — ist, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer 
der beiden FaUe eintritt, " +^." (Bardey, XXXVl, 21.) 

Dies ist nur dann richtig, wenn die günstigen Ereignisse fllr 
beide Fälle einander ausschliessen. Nimmt man z. B. die von Bardey 
unmittelbar jenem Satze beigegebene Aufgabe: „wie gross ist dar- 
nach die Wahrscheinlichkeit, ans einem Spiel von 52 Karten ent- 
weder ein Bild oder eine rothe Karte zu ziehen," so erscheint der 
Schüler zu folgender Auflösung berechtigt; Unter 52 Karten sind 
4-3^12 Bilder, also ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild zu ziehen, 

— ^ Tj- unter 52 Karten sind 26 rothe, also ist die Wahrschein- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheilungeii. 279 

lichkeit, eine rothe Karte zu ziehen, — ^ ts- Demnach erhält mau 
nach obiger Regel die Antwort ^ + 1- = g^ X 5^ = g|- Diea ist 
aber &l8Ch, denn von den 12 Bildern sind aecha zngleich rothe 
Karten, aleo doppelt gezählt; nnter den 52 Karten gibt es also 
nicht 38, sondern nur 32, welche entweder Bilder oder roth sind. 

5. Das bekannte Exempel von dem Pfennig, der zu Chriati 
Geburt auf ZiuseazinEen ausgeliehen wurde , liefert zwar edn stannen- 
erregendes Besnltat, ist aber streng genommen nicht richtig, da dw 
genannte Pfeunig bis auf den heutigen Tag nur der eine Pfennig 
geblieben sein würde. Aber wenn man auch in der Praxis einzelne 
Pfennige verzinsen wollle, so mOsstea dies doch immer ganze Pfennige 
sein; BJuchtheile einer nicht weiter theilbaren Einheit können in 
Wirklichkeit wohl nicht zum Capital hinzugefügt werden. Ich ver- 
kenne damit übrigens keineswegs den Sinn der Aufgabe und ihren 
Werth zur lUnstration des bis in's Ungeheure beschleunigten Wachs- 
thnms der steigenden geometriscben Reihe; ich meine nur, dass man 
die Schüler auch auf die Grenzen der praktischen Anwendbarkeit 
ihrer Formel aufinerkaam machen soll. Die meisten Beispiele der 
gebräuchlichen Aufgabensammlungen achten diese — wohl kaum in 
einer derselben überhaupt erwähnte — Grenze nicht, sondern be- 
rechnen in der Theorie selbst vom tausendstel Pfenliig die genauen 
Zinsen. Wer sein Geld beispielsweise in einer Sparcasse anlegt, 
die zwar die Zinsen zum Capital schlägt, aber erst die vollen Thaler 
wieder verzinst, erhält andere Resultate, wenngleich dieselben erst 
bei heberen Anzahlen der Jahre erheblich abweichen. 

6. Zu den sprachlichen Ungenauigkeiten in elementar- 
mathematischen Schriften, welche früher in dieser Zeitechrllt Er- 
wähnung gefunden haben '^), füge ich noch einige hinzu, auf die ich 
seitdem zuiWig gestossen bin. 

„Der Radius, nach dem Berührungspunkte einer Tangente ge- 
zogen, steht senkrecht anf ihr," oder ähnlich „die Senkrechte aus 
dem Mittelpunkte eines Kreises, auf eine Tangente geföUt, trifft 
den Berührungspunkt." Warum sagt man nicht, der nach dem Be- 
rührungspunkte einer Tangente gezogene Radius, u. s. w.? Es ist 
zu dieser sprachlich richtigeren Form nur ein Buchstabe mehr nBthig 
und dafUr ein Komma weniger. 

„Linien, welche zwei Winkel verbinden." Gemeint sind natür- 
lich statt der Winkel deren Scheitelpunkte. 

„Eine Senkrechte aus der Mitte einer Sehne trifft den Mittel- 
punkt des Kreises." Hier und in ähnlichen Fällen 'gestattet der 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



280 Kleinere MlUlieiluugeB. 

Wortlaut unter umständen eine Verwechaelimg mit einer aus dem 
Punkte auf irgend eine andere Linie gefällten Senkrechten. Am 
besten sagt mau wohl errichtet in und gefüllt aus dem Funkte. 

In der Arithmetik sind Definitionen, wie „der Factor in Be- 
ziehung auf das Produet heiaat die Wurzel,'' zu vermeiden. Auch 
beim Logarithmus steht der Factor (als Baals) in einer Beziehung 
zum Produet (dem Logarithmand). 



Zum Capltel der Incorreotlieiteii. 

Vom Realachallehrer Fuhbhanh in Eönigabecg i. Fr. 

Herr Eedacteur! Als Einleitung zu dem, was ich mir erlaube, 
Ihnen vorzutragen, gestatten Sie mir, ein Beispiel aus meiner 
Schulpraxis zu bringen. Ich liess einen Schüler (Tertianer) einen 
Funkt ausserhalb eines Kreises mit einem Punkte der Peripherie 
verbinden, und fragte, ob dies eine Tangente aei. Ea erfolgte die 
Antwort, daaa dieae Linie so lange eiae Tangente sei, aJa sie nicht 
verlängert 'werde, da sie ja nur einen Punkt mit dem Kreise ge- 
mein habe. Als Ursache solcher unklaren Vorstellungen — ich be- 
merke, dass der betreffende Schüler sich sonst nicht unföhig zeigte 
— ^glaube ich angeben zu können, dass sowohl in den ErMSrungen, 
als in den Sätzen nicht streng unterschieden ist, ob man von Linien 
der Länge oder der Lage -spricht.*) Man wird manche sonat lobena- 
werthe Kürze einer präcisem Faaaung opfern müssen, loh erwähne 
nur folgende Sätze: „Wenn in einem Viereck die Gegenseiten gleich 
sind, so sind sie auch parallel." Gleich sind hier gewisse Längen,' 
parallel dagegen Linien der Lage nach, also ganz verachiedene 
Gebilde, das Pronomen ist eJbo nicht zn rechtfertigen. Man könnte 
den Satz vielleicht so Ikaaen: „Wenn in einem Viereck die Gegen- 
seiten gleich sind, ao sind die unbegrenzten Linien, zu welchen 
diese Seiten als Stücke gehören, parallel." ,J>ie Tangenten von einem 
Punkte an einen Kreia aind gleich." Statt dessen: „Von den 2 durch 
einen Punkt und einen Kreis bestimmten Tangenten werden durch 
diesen Punkt und den Kreia gleiche Stücke abgeschnitten oder be- 
grennt." — Ich erwähne femer noch verachiedene Sätze, bei denen 
verschiedene Gebilde denselben Namen haben. 

l) Die Summe der Höhen eines Dreiecks ist kleiner ala die 
Smnme der Seiten, 



*) Man vei^l. unsere Bemerkungen Aber „Lage und Richtung" in 
den „Studien über geom. Grundbegriffe" IV, 116. und in uniierer 
„Vorschule d. Geometrie" (Halle 1874) § 2, wo diese Begriffe nebst 
„Länge" schon für den „propädeutisohen" Unterricht streng geschieden 
sind. — Der Herau^ber. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheilnngeu. 281 

2) Die Höhen eines Dreiecks schneidea sich ia einem Punkte. 

Im ersten Falle meint man gewisse Läng'en, im zweiten Linien 
der Lage nach, von welchen jene freilich Stücke sind. Würde man 
im zweiten Falle die begrenzten Stücke darunter verstehen, so würde 
der Satz nicht allgemein richtig sein, nämlich nicht für das stumpf- 
winklige Dreieck. Wenn auch der Sinn des Satzes für einen klaren 
Kopf unzweifelhaft ist, so zeigt daa Beispiel aus der Schulpraxis 
doch, dass das Verständniss nicht sofort üherall vorhanden ist, — 

Man bezeichnet in ganz entsprechender Weise die Länge zwischen 
zwei Punkten A und £ mit AB, ebenso aber auch die Linie der 
Lage nach, welche durch die beiden Punkte bestimmt ist. Es würde 
sieh sicherlich empfehlen, die Entfernung AB conaequent mit AB 
zu bezeichnen, wie es ja auch zu geschehen pflegt, wenn man mit 
der Linie rechnet, wenn man z. B. schreibt AB ■ — Ich halte 
femer die Bezeichnung einer ursprünglich gegebenen Linie durch 2 
Buchstaben, wenn sie als unbegrenzt angesehen werden soll, nicht 
fltr geschickt, wie es noch in allen Lehrbüchern, die mir bekannt 
sind, niit den parallelen Linien geschieht, welche durch eine dritte 
geschnitten werden. Soll die Unbegrenztheit schärfer hervortreten, 
so ist es nöthig, für solche Linien nur einen Buchstaben zu setzen.'*') 

Ebenso kann ich mich nicht mit der gewöhnlichen Winkel' 
bezeichnung durch drei Buchstaben einverstanden erklären. Fast 
jedes Mal hat ein Anfänger, der einen Winkel bezeichnen sollte, 
wenn die Buchstaben auf gewöhnliche Weise hingeschrieben waxen, 
den Scheitelpunkt an den Än&ng gesetzt, was anch ohne Zweifel 
natürlich ist. Man macht dies übrigens so bei der Ecke, man ist 
also ganz ineonsequent, wenn man es beim Winkel nicht thut, ob- 
, gleich doch Ecke und Winkel ganz analoge Grössen sind. Noch 
besser wäre es, wenn man den Scheitelpunkt dadurch hervorheben 
würde, dasB man ihn ausserhalb einer Klammer setzt. Chasles be- 
zeichnet bekanntlich einen Strahlenbüschel so; ein Winkel ist aber 
nichts anderes als ein Strahlenbüschel mit zwei Strahlen. Es würde 
dann auch hervortreten, dass der Winkel wesentlich durch zwei Ge- 
bilde bestimmt ist, was bei der Bezeichnung, wie sie gewöhnlich ist, 
nicht stattfindet. Es würde auch unzweifelhaft oft von Vortheil 
sein, einen Winkel dnrch die zwei Linien zu bezeichnen, die ihn 
bilden, indem man vielleicht noch einen Strich darüber zieht, oder 
eine Klammer darum setzt, entsprechend der Bezeichnung einer 
Länge.**) 

In Einsicht der Bezeichnimg habe ich noch manche Gedanken 
auf dem Herzen, doch möchte ich erst vorstehende Vorschläge der 



*) Könnte man nicht schreiben Aoo iind AiX)? /\ D. Eed. 

**) Meines WiBBens bezeichnen einige den Winkel mit ab. 

D. EemuBgeber. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



283 Kleinere Mittheilnogen. 

Beurtheiltmg vorlegen. Ntir auf eine ErklSnmg mtScbte Ich noch 
eingeben. 

Ufan erklärt eine Secante als eine Linie, welche einen Kreis 
schneidet. SpSter tritt eine eogenannte ideale Secante auf, die 
dorchaus reell ist. und alle Eigenschaften der andern hat, wenn 
man nnr die richtige Deutung versteht. Ich verstehe unter einer 
Secante nichts anderes , als eine Linie , die man zu einem Kreise in 
Beziehung setzt. Dann ist aber eine Tangente oonsequenter Weise 
auch eine Secante; wir wissen ja, dass eine Secante in gewissen 
Fällen in eine Tangente tibergeht, es kann also Tangente und Secante 
nicht als Gegensatz hervorgehoben werden. Wie man nun jedeo 
Begriff durch den nSchst allgemeinem erklärt, so muss man also 
die Tangente nicht als Linie, sondern als Secante erklären, bei der 
die Schnittpunkte mit dem Kreise, seien sie reell oder imaginär, in 
einen zusammenschrumpfen. 



Sprech- und Biscusslons-S&al. 

ßandbemerknngen zu Aufsätzen dieser Zeitechrifb.*) 

Falsche Beweise Im Beitrage „zur Beliandlimg der Lelire von den 
KegelBchnitten" von G. Helhnann. II, 514. 

Ton J. Belovi6 in Esaek. 

Herr Hellmann folgert aus der von ihm aufgestellten Definition 
des Kreises: „der Kreis ist eine EUipse, deren Brennpunkte mit dem 
Centrum coincidiren ," und dem Satze: „l) die Halbmesser eines 
Kreises sind gleich gross," das Gesetz, „die Summe der Entfernungen 
von den Brennpunkten ist für jeden Ellipsenpunkt gleich gross." 
Den Schluss vom Besondem aufs Allgemeine gestattet die formale 
Logik bekanntlich nur bei der vollständigen Induotion; in allen 
Fällen, wo die Induction unvollständig ist, gilt er nnr als Wahr- 
scheinlicbkeitsBchluBS. Hr. H. Übersieht, dass er hätte eben so 
schliessen ktJnnen, die Differenz oder der Quotient der beiden Leit- 
strahlen eines jeden Ellipsenponktes seien constant, weil die Differenz, 



*) Herr Prof. Belovi6 in Esseg a. d. Drau hat eine Reihe von grCssern 
Bandbemerknngen zu frühem Aufsätzen dieser Zeitschrift eingesendet. 
Wir haben dieselben den betr. Verfassern eta Vertheidignng resp. Ent- 
g^anng EDgeBtellt und bringen dieselben im „Disonsalons-Saal" hiennit 
ZOT allgememen BeHprechung, Da ihr Umfong den dafür beBtimmten 
Raum emes Heftea überschreitet, eo werden die flbrigen in den lAchsten 
Heften folgen. Vebrigena Bind wir Hrn. 6. für diese Anregung nur dank- 
bar. — D. Bed. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheilnngeti. 283 

bezüglich der Quotient, der beiden über einander fallenden Halbmesser 
eines jeden Ereispuuttea constant ist. 

Dasselbe gilt von der Ableitung des Satzes: „8) die Winkel, 
welche von den aus den Brennpunkten nach dem Berührungspunkte 
einer Tangente gezogenen Geraden gebildet werden, sind gleich 
gross." Dieser Lehrsatz sollte nach Hr. H. desshalb allgemeine 
Geltung haben, weil der Satz: „2) der Halbmesser bildet mit der 
durch seinen Endpunkt gelegten Tangente gleiche Winkel," gilt. 

Der Satz 8} ist in der That die logische Folge des Satzes 2), 
aber nur dann, wenn man die Begriffe Kreis und Ellipse coordi- 
nirt und per analogiam eiactam achliesst. (Siehe Neue Darstellung 
der Logik von M. W. Drobisch. HI. Aufl. § 149.) 

Ich erlaube mir noch die Bemerkung, dass die Definitionen 
des Kreises und der Parabel, von denen Hr. H. bei der Ableitung 
seiner Lehrsätze ausgeht, eine contradictio in adjecto enthalten. 
„Der Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpnnkte mit dem Centrum 
colncidiren ," kann nichts anderes bedeuten als: der Kreis ist eine 
Kegelschnittslinie mit zwei in endlicher Entfernung von einander 
befindliehen Brennpunkten, welche im Centrum coinddiren. Und 
„die Parabel ist eine Ellipse, in welcher der eine Brennpunkt im 
Unendlichen hegt," kami keinen andern Sinn haben, als diesen: die 
Parabel ist eine Kegelschnittslinie mit zwei in endlicher Entfernung 
von einander befindÜchen Brennpunkten, von denen der eine in der 
Unendlichkeit liegt Li diesen beiden Definitionen wird der Process, 
durch welchen die Coordinatengleichung der Ellipse in die des 
Kreises oder der Parabel übergeführt werden kann (Escentrioität 
gleich Null bezüglich unendhch), unrichtig in die Worteprache 
übertragen. Der Satz: „der Kreis ist eine Ellipse" enthält einen 
Widerspruch, der Satz: „der Kreis entsteht aus der Ellipse" eine 
Metapher. Im unterrichte der Mathematik, der gewiss die Aufgabe 
hat, klare und deutliche Begriffe üu bilden, können Metaphern un- 
möglich irgend eine Berechtigung haben. Es ist wahr, dass Schüler 
an solchen Definitionen keinen Anstoss nehmen, denn die wenigsten 
halten die in der Lehrstunde gewonnenen geometrischen Begriffe in 
der ursprünglichen logischen Klarheit und Deutlichkeit durch eine 
längere Zeit fest. Das psychologische Gebilde des logischen Be- 
griffes sinkt naturgemäas, wenn es nicht durch häufige Auffrischungen 
eine hinlängliche Anzahl Hilfen erhält, die es von den Hemmungen 
befreien können, so oft es im Bewnsstsein steigen soll. Seine St«lle 
nimmt dann das Oemeinbild, in der Geometrie das dunkle An- 
schauungsbild, vollends ein. Ich glaube aber, dass eben der Lehrer 
der Mathematik am meisten berufen ist, bei den Schülern dem 
Denken ' in psychologischen Gemeinbüdem entgegenznwirken. Wird 
er aber diese Aufgabe lösen können, wenn er mit Widersprüchen 
behaftete Begriffe aufstellt oder Lehrsätze in blumige Bedensarten 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



284 Kleinere Mitiheilungen. 

hüllt? Wie viele solcher, die ah GymnasialschUler nie angehaltea 
worden sind, in Begriffen zu denken, werden wohl einem wissen- 
aehaftliohen UmverBitatsvortrage mit Verstandnise folgen können? — 

BegeDbemerbong von 6. Hellmaim. 

1) Aus dem Satze, dasa die Badienvectoren (Halbmesser) eines 
Kreises constanten Werth haben, ISsst sich auf die EUJpse über- 
gehend nicht „ebenso schliessen, dass die Differenz oder der Quotient 
der beiden Leitstrahlen eines jeden Ellipsenpttnktes eonstant seien, 
weil die Differenz, bezüglich der Quotient der beiden ÜbereinsuideT- 
lallenden Halbmesser eines jeden Kreispunktes constant ist," denn 
man würde sich von der Unrichtigkeit der gemachten Schlussfolgemng 
leicht durch die Betraehtimg specieller Punkte überzeugen: so ergibt 
z. B. die Differenz der Leitstrahlen eines Endpunktes der kleinen 
Axe den Werth Null, während die Differenz der Badienvectoren 
eines Endpunktes der grossen Axe die doppelte lineare Escentricitöt 

-HretrSgt, u. 3. w. 

Gleiches gilt vom Vorwurfe gegen Satz y). 

2) Ein Kegelschnitt wird bekanntlich dann Ellipse genannt, 
wenn e ^ — < 1, wo e die numerische, t die lineare Eieen- 
tricitSt und a die halbe grosse Axe bedeuten. Wenn man also bei 
constant bleibendem a die lineare Eicentrieität t in Null übergehen 
lässt, so bleibt obige Bildungsgleichnng noch immer erfüllt, d. h. 
der Kreis kann als Ellipse betrachtet werden; u. s. w. 

üebrigens sind diese Begriffe jetzt so geläufig, dass ich mich 
wundem muss, wie Herr Belovic ihnen eine contradictio in adjecto 
vorwerfen kann; vergl. namentlich Salmon, oonic eeetions p, 228. 



Bemerbimgeii zd der ,3etracIitiuLg irrationaleT LinieBTerhältnlsBe" 
Tom Hrn. Dr. Zerlang 17, 415. 

Von Prof J. Be[.ovi6 in Bssek. 

Der vom Hrn. Zerlang IV, 6. pag. 415 gegebene Beweis des 
Satzes: „Eine Paralleltransversale in einem Dreiecke theilt zwei 
Seiten u. s. w.," scheint mir vom Gesichtspunkte eines methodischen 
Unterrichtes nicht empfehlen s werth. Der übliche Beweisgang, wobei 
die Abschnitte der einen Dreiecksseite dnrch das gem. Mass in m 
' bezüghch n gleiche Theile getheilt werden, ist der natürlichere, 
weil aus der Sache hervorgehende. Das Gleiche gilt von dem Be- 
weise des Satzes: „Gleich hohe in den Winkeln übereinstimmende 
Parallelogramme verhalten sich wie ihre Grundlinien." Gewöhnlich 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Eleinere Uittheilongen. 285 

wird mm au8 diesem Satze abgeleitet: „Gleich hohe Dreiecke ver- 
halten sich etc." Ich halte es jedoch filr methodischer, alle Shn- 
lichen Sätze unmittelbar abzuleiten. Bei diesen Beweisen auf die 
beiden FSUe der Oommensurabüit&t und Incommensnrabilität in ex- 
tenso einzugehen, dünkt mir vollständig überflüssig zu sein, wie 
0. Schloemilch in seiner Geometrie des Masses gezeigt hat. Nach- 
dem er nämlich in den §§, 13. and 14. (2. Aufl.) das rationale 
und irrationale Yerhältniss auseinander geaeüt hat, gibt er füi deu 
Satz: „Die Flächen zweier gleichwinkligen Parallelogramme von 
verschiedenen Grundlinien nnd gleichen N^ebenseiten verhalten sich 
wie die Grundlinien," folgenden eben so kurzen als wissenschaftlich 
strengen Beweis. „Zwei solche Parallelogramme lassen sich eben 
so von einander wegnehmen oder vervielfilltigen , wie ihre Grund- 
linien, es muss daher die Vergleichimg der Flachen der Parallelo- 
gramme dasselbe Verhältniss liefern, wie die Vergleichung der 
Grundlinien." Dieser Sehluss ist bei den Beweisen ^er Sätze an- 
wendbar, welche von der Proportionalität solcher Raumgrössen han- 
deln, die zugleich zu- und abnehmen. Man ist bereits in allen 
Lehrbüchern, glaube ich, davon abgegangen (und zwar aus metho- 
dischen Bücksichten ganz mit Eecht), diese Sätze für den Fall der 
Incommensurabilität durch weitläufige indirecte Beweise zu stützen. 
Dafür pflegt man durch nicht minder weitläufige Betrachtungen dar- 
zuthun, dass sich die Quotienten incommenaurabler Raumgrössen, 
deren Gleichheit bewiesen werden soll, zwischen den nSmlichen ver- 
änderliehen Grenzen einschliesBen lassen. Diese Betrachtung ist bei 
jedem Satze in der Hauptsache die nämliche. Bedeuten nämlich die 
A Raumgrössen irgend einer Art, die B Raumgrössen irgend einer 
andern Art, so wird zuerst für den Fall, dass Ä und A' commen- 
snrabel sind, die Glltigkeit der Proportion A:A'^B:B' bewiesen, 
sodann aber vorausgesetzt, daas B in B', B", u. s. w. übergeht, 
wenn A in A' bezüglich A" u, s. w. übergeht, und dass immer 
einem grossem A ein grösseres B entspricht. Dadurch ist aber 
offenbar alles das vorausgesetzt, was man beweisen will, es wird 
vorausgesetzt, dass 2t in — J?' und in — ^^^ B' übergeht, wenn 
A in — A' und in A' Übergeht, und daas immer 



;b'<«<üü£- 



wenn 



^A' <A<'^^A', 

woraus schliesslich anf die bekannte Weise die Gleichheit der beiden 
Verhältnisse A : A' xmA B : B' (ßx den Fall, dass A und A' in- 
conmiensurabel siqd,) gefolgert wird. 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



286 Eleioere Mittbeilangen. 

Entgegnung auf die voranstebenden Bemerkongen. 

Von Dr. Zeai-Asa. 

Die Änaichten des Heira B. über die Behandlttng incommen- 
Burabler Strecken weichen von den meinigen wenig ab. I>ie Differenz 
scheint mehr in der Anffibssuug meinet kleinen Notiz zu liegen, 
welche weniger einen methodischen, ala einen sachlichen Zweck 
hatte. Eb handelt sich bei ihr nicht darum darzuthun, wie sich 
der fragliche Satz am besten der Betrachtung der CommenBnrabilitSt 
und Incommensnrabilität f(lgt, sondern darum, dasa bei ihm diese 
Betrachtung ganz zu vermeiden iat. (Die beiden Druckfehler werden 
leicht als solche erkanni*)) 



Bepertoritim für Aufgaben. 

Torwort der Bedaction. In dem vorliegenden Hefte dieser 
Zeitschrift soll ein „Kepertorium für Aufgaben" aus der Elemen- 
tarmathematik eröf&iet werden. In demselben sollen in erster Linie 
neue Aufgaben zusammengestellt werden, wie sie in mathematischen 
Zeitschriften oder neu erscheinenden Aufgabensanunlungen zur Ver- 
öffentlichung kommen, dann aber auch interessante altere, na- 
mentlich solche, deren bisherige Bearbeitung noch zu wünschen ttbrig 
lässt. Die Angaben sollen aber, dem Zwecke dieser Zeitschrift 
entsprechend, wirkliche „Aufgaben fllr Schüler" sein; nicht gerade 
solche, welche auch der Durchs chnittsschüler ohne Schwierigkeit 
löst, wohl aber solche, zu deren Lösung die Schüler vom Lehrer 
angeleitet werden können. Eben dadurch ntodich soll diese Sammel- 
arbeit weiter ihre Berechtigung erweisen und dem Unterricht förder- 
licher werden, dasa von den gestellten Aufgaben auch mSglichst 
entsprechende Lösungen — allemal im nächsten, spätestens über- 
nächsten Hefte — in aller Kürze mitgetheilt werden. Dabei werden 
die geometrischen Aufgaben der Natur der Sache nach überwiegen, 
arithmetische aber keineswegs ausgeschlossen sein. 

Die Bearbeitung dieses Abschnittes hat auf unsere Bitte Hr. 
Professor Binder in Schönthal (Würtemberg) übemoromen; wir 
laden aber alle Leser dieser Zeitschrift freundlich ein, durch Ein- 
sendung von entsprechenden Aufgaben oder Losungen, sei es an 
die Eedaction d, Z., sei es unmittelbar an den Herrn Referenten, 
ihre Unterstützung dem Unternehmen zn leihen, für dessen Gedeihen 
die Betbeiligung möglichst Vieler höchst wUnschenswerth ist. — 



*) B. das DruckfehleizeiohKUs Ab. Heftes. D. Bed. 

riigiti.rJt/GoOglc 



Kleinere HitäMilangen. 287 

Selbstverständlich bleibt die Veröffentlich img der Einsendungen dem 
Herrn Befl. und der Redaetion vorbehalten. 

Vorbemerkungen des Beferenten. 

Von jeder Aufgabe wird der Fundort angegeben werden", wo 
mir ein socher bekannt ist ; ich werde aber Prioiitätsnachweise stets 
und namentlich dann dankbu' annehmen, wenn damit zugleich auf 
eine bessere Bearbeitung, als die meinige hingewiesen wird. 

Bei den (planimetrischen nnd stereometrischen) Coustructioiis- 
aufgaben ist in erster Linie eine rein geometrische Lösung in Aue- 
siclit genonomen, ohne dass damit eine wirklich elegante Behandlung 
durch Bechnung ansgeschlossen sein soll 

Geometrische Aufgaben 1 — 9. 
£in Rechteck mit gegebenem Umfang oder gegebener Differenz 
zweier Seiten, oder mit gegebener Diagonale zu zeichnen. 

1. In einen gegebenen Ereissector und zwar 

a) so, dass zwei Ecken auf dem Bogen, 

b) so, dass zwei Ecken auf einem ^Itmiesser liegen. 

2. In ein gegebenes Kreissegment. 

(Die 6 Aufgaben unter 1, a) und b) finden sich bei Lieber 
und T. Ltlhmanu, Geometr. Constructionsaufgaben, 2. Aufl. S. 120; 
aber mit Verweisung auf trigonometrische Lösungen.) 

Geometrische Lehrsätze. 

Wenn zwei Kreise mit den Mittelpmikten A nnd B einander 
von aussen in C, und eine gerade Linie in den Punkten D und E 
berühren; wenn man femer durch C eine beliebige Gerade zieht, 
welche die Kreise zum zweiten Mal in F und ö schneidet, so werden 
sich FD nnd GE in S rechtwinklig, und zwar so schneiden, dass 
FS gleich der Tangente von F an Kreis B, GH gleich der Tan- 
gente von 6^ an Kreis A ist. 

Dieser Satz ist ftlr das Kalfattische Problem von Bedeutung. 

Schönthal. Bdidbb. 



i,Coo<^lc 



Literarisclie Berichte. 



A) Becensionen and Anzeigen von Bnohem. 

Schulbücher Über die Determinaaten. 

1) Hesse, Dr. 0. (ortenU. Piol. u dem kgl. Polrlecboimm an Mflnclien). Die 

Determinanten, elementar behandelt. Zweite Aufl. Leipzig 
1872, Druck und Verlag von B. G. Teubner. 48 S. 

2) Hattendorf, R. (Prof, «m poiyteoimiijiuD KU AMLeD), Einleitung in die 

Lehre von den Determinanten. Hannover 1872. Schmorl 
& Seefeld. XU, 60 S. 

3) DöLP, Dr. H. (ordeDti. Prot, am oroMhera. poijt. au DBrnnudt), Die Deter- 

minanten nebst Anwendung auf die LösaHg alge- 
braischer und analytiach-geometriacher Aufgaben. 
Elementar behandelt. Darmstadt, 1874. Verlag von 
Ludwig Brill. 94 S. 
Von den Partien der „neuem Mathematik" bat keine so schnell 
Eingang in weitere Kreise gefanden als die Theorie der Deter- 
minanten; es ist daher auch daa Erscheinen von Werken, welche 
die Einführang dieser Disdplin in den Elementar -Unterricht be- 
zwecken, ganz erklärlich. Vorliegende drei Schriften verdanken diesem 
Umstände ihre Entstehung. Das Werk Hesse's, auf Veranlassung 
der k. bairischen ünterrichtsbehörde verfasst, dürfte sich, wie der 
Herr Verfasser in der VoiTede selbst erwähnt, mehr für den an- 
gehenden Mathematiker eignen, als fllr die grosse Menge von Schülern, 
die Mathematik nicht als Hauptgegenstand treiben. Denn die ganz 
allgemein und abstract gehaltene Darstellung, die im Grossen und 
Ganzen mit dem vom Herrn Verfesser in den bekannten „Vor- 
lesungen über analytische Geometrie des Baumes" eingeschlagenen 
Gange identisch ist, dürfte beim ersten Unterrichte weniger begabten 
Schülern einige Schwierigkeit bereiten. 

Für Anfänger &sslicher gehalten sind die beiden letzteren Werke, 
die ungefShr dieselben Partien der Determinanten enthalten. Die 
Schrift Hattendorf B entwickelt in einer Einleitung an den Gleichungen 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere MittheilnngeD. ^89 

eraten Grades mit zwei und drei unbekannten den Begriff und die 
Eigenschaften der Determinanten, diese inductir gewonnenen Eigen- 
schaften werden im ersten Abschnitt allgemein begründet. Der 
zweite. Abschnitt enthält die Anwendung auf lineare Functionen und 
Gleichungen. Der dritte Abschnitt enthält die Hultiplication nach 
Jakobi, der vierte die adjungirten Systeme. Die Sätze sind dureh- 
gehends durch passende Uebungsbeispiele erläutert. Die Dölp'sche 
Arbeit enthält die Permutationslehre und das Differenzproduct als 
Einleitung (vgl. Hesse S. 15), führt in einer der Salmon'achen Dar- 
stellung (Vorlesungen zur Einfllhrung in die Algebra der linearen 
Transformationen) analogen Form den BegrifP der Determinanten, 
deren Eigenschalten, die Zerlegung in Unter-Determinanten ein. Das 
Theorem für das Product zweier Determinanten wird nach Jacobi und 
durch zwei Systeme linearer Gleichungen erhalten; letztere Dar- 
stellung ist für Anfänger fibssllcher als erstere. Den adjungirten 
Determinanten folgen sehr schöne Anwendungen auf die Geometrie 
und auf algebraische Entwicklungen (Besultante nnd Bestimmung 
der gleichen Wurzeln einer höheren Gleichung). Die ganz elemeatar 
gehaltene Darstellong mit Erläuterungen an allen schwierigeren Stellen 
durch Beispiele dürfte diese Schrift zum ersten Studium besonders 
geeignet machen. 

Graz, J. Frisobaüp. 



Ehsuakh, D. H., Professor. Zur Sectio aurea. Mateiialien zu elemen- 
taren, namenÜieh durch die Sectio aurea lösliehen Con- 
struotionsaufgaben etc. 

Unter diesem Titel veröffentlicht Hr. Prof. Emamann in Stettin 
eine Abhandlung, die wohl dem Programme der Stettiner Schule von 
Ostern d. J. beigegeben ist, wenigstens spricht dafür, dass una die- 
selbe ohne Titelblatt zugegangen ist. Die Veranlassung dazu war 
einerseits der Umstand, daas die Aufgabenaammlungen keine grosse 
Auswahl bieten und die gebotenen hieher gehörigen Au^ben sich auch 
nicht immer an einer Stelle der betr. Sammlung zusammen befinden, 
andererseits ein neuer Satz, der den Verfasser darauf führte, die 
Au^be der Sectio anrea zu verallgemeinem. Dieser Satz ist, mit 
einer etwas andern una Teratändlicher und kfirzer scheinenden Aus- 
drucksweise, folgender: 

Zieht miai in einem Dreieck eine beliebige Eoktransversale und 
eine zweite, die drei Seiten schneidende, mit der ersten parallel, so 
ist das Product aus der Ecktranaversale, der Seite, nach welcher 
aie gezogen ist nnd dem Stück dieser Seite zwischen den beiden 
Transversalen gleich dem Product aus dem Stück der zweiten Trans- 
versale, zwischen den andern Drei eck sseiten und den beiden Ab- 
schnitten, in welche die Ecktransveraale die Dreiecksseitp theilt. 

Zeilicht f. niilU. n. nttorw. Untetr. V. 20 



n,g,t,7rJM,GOOglC 



^90 Literarücbe Berichte. 

let ABC das Dreieck, AD die EcktransTersale, EGF die mit 
ihr parallele Tranaversale, so daas E auf SC, G auf OjI und fauf 
AB liejft, so ist 

AD .BO . DE BC . DE _ FG 

FG .DB.DC DB . DC~ AD 



DB 

CE 
^ CD 


DO 

ca 
~cZ 


OB 
— AD 



In der Andeutung des Beweises soll ea wohl statt „oder aua 
dem Dreieck ^EF" heissen: „und aus . . . 0EF". 

Wir bemerken zu diesem Satze zugleich noch, dass die so ent- 
stehende vierpnnktdge Beihe auf BC, nämlich B, D, E, C in eine 
harmonische Punktreihe tibergeht, wenn GE ^ GF wird, denn 
wenn man dieselbe als eine harmoniBcbe Funktreihe annimmt, so 
mnsB BC . DE -^ DB . CE sein; dann verwandelt sich die Gleichung 
in folgende: 

DB CE FG ^ CE FG 

F, = -7^ oder -pTri " 

Es ist aber ^^ *= 

1. -FC 
ilso muss auch -j-^ = 

Hieraus ergibt sich eine neue Methode, zu drei Punkten den 
vierten harmonischen zu finden. 

Unser Verfasser verallgemeinert zunächst die Form der Sectio 

a:x = x:(a — x) oder a:x^x:(a-i-x) 
je nachdem der Theüpunkt zwischen den Endpunkten der zu tbeilen- 
den Strecke BC oder auf der "Verlängerung derselben liegt (vom 
Verfasser durch die Namen innere und äussere Sectio unter- 
schieden), indem er auf der Strecke BC ^ a ausser dem Theü- 
punkt D noch einen Punkt E eo annimmt, dass CE ^ — a ist, und 
als allgemeine Form der Sectio aurea e 






für die innere Sectio 
für die äussere Sectio. 



Letztere Form geht aus der ersten hervor, wenn man — x 
statt X setzt; und wiedernm geht die specielle Sectio aurea hervor, 



Jetzt wird die Uebereinstimmnng des obigen Lehrsatzes imd 
der allgemeinen Form der Sectio aurea nachgewiesen, und dann eine 
grosse Ifeihe von Aufgaben angedeutet, nämlich 

l. Aufgaben, die durch die einfache Sectio lösbar sind, und zwar 



n,g,t,7.dt,'G00glc' 



Literarischa Berichte. . 391 

A) Theilung einer Strecke 

a) durch die innere Sectio 

b) durch die BuBsero Sectio 

c) durch die innerere und äuaaere zugleich. 

B) Construction eines Rechtecks, 

C) Construction von Dreiecken. 

a) Relationen, die durch die Sectio aurea bedingt sind, am 
Dreieck überhaupt, 
■ b) wenn die Boktraoisveraale senkrecht auf der G-egen- 
eeite steht, 

c) wenn der Winkel, durch welchen die Ecktransversale 
geht, ein rechter ist nnd diese zugleich die Hypotenusen- 
höhe ist, 

d) wenn die Ecktrausversale den Winkel halbirt, 

e) wenn das Dreieck gleichschenkelig ist 

f) Dreiocksconatructioneu mit Hülfe der vorausgehenden 



D) Construction von Trapezen. 

E) Theilung oder Vergrösserung eines Parallelogramms. 

F) Ereisaufgaben. 

II. Aufgaben, die sich aus der allgemeinen Sectio aurea ergeben, 

** n j 9 1 ■ 1 

wenn — ^ 2 und — = -r- ist, 
p r 2 ' 

mit ähnlichen ÜBterabtheilungen, 

m. Andeutung weiterer Aufgabenreihen , die sich ans der Proportion 

für die allgemeine Sectio aurea ergeben und zur Construction 

der einfachen Sectio führen. 
IV. Andeutung von Au%aben-Beihen, die sich aus der allgemeinen 

Sectio aurea ergeben 

1) für den PaU - = 1 und ^ = ^ 

2) , „ „ j--jand--j 

3) „ „ , i_2„df_i 
l) Allgemeine Anfgaben-Beihen. 

Man erkennt aus dieser Üebersicbt, wie eingehend und um- 
fassend der Herr Verfasser seine Aufgabe behandelt hat. Mehr als 
350 Relationen und Aufgaben sind geliefert Wer also um TJebungs- 
stolT zur Anwendung der Sectio aurea verlegen ist, findet in dieser 
Abhandlung reichlichen Yorrath. 

Lübeck. Chr. Schbeling. 



n,g,t,7.dt,G00glc 



292 Literoriiche Bericht«. 

ThOMSOH & Tait, Handbuch der theoret. Pbyaik. üeberaetzt 
von Helmholtz & Wertheim. Erster Band, erster 
Theil: „einleitende Begriffe" auf XIX und 380 Seiten 
in gr. 8. mit 437 §§. 2 Thlr. 10 Sgr. Vieweg 1871. 

Der vorliegende erste Theil ist eine vollständige theoret. Me- 
chanik mit einem Anbange Über Experiment nebst Ansgleichung und 
Interpolation, über Hypothesen und über Messen, eingetheilt unt«r 
die 3 Titel: „Kinematik, Gesetze und Principien der Dynamik, Er- 
fahrtmg," ausführlich und eindringend in der Sache, knapp in 
Worten, aber verständlich und gut zn lesen. Diese Mechanik nimmt 
BUcksicht auf die Bedflrfnisse nicht blos dessen, was wir im engeren 
Sinne Physik nennen, sondern auch der Astronomie (Störungstheorie) 
und. der Technik. Der einzelne § ist, wo es nlltzÜch erschien, ge- 
trennt in einen gross and einen klein gedruckten Theil. Im We- 
sentlichen gibt der erste die zu behandelnden Begriffe und Thatsachen 
und den allgemeinen Zusammenhang, der zweite mathematisch-ana- 
lytische Ausi^hrungen und Anwendungen. Die Einrichtung ist so 
getroffen, dass der grossgedruckte Theil des Werkes altein ein statt- 
liches wohl zusammenhängendes Lehrbuch „in einer dem nicht mathe- 
matischen Leser veratSndlichen Sprache"*) bildet, während der klein 
gedruckte „denen, welche des Privilegiums tieferer mathematischer 
Kenntnisse theilhaftig sind , einen zusammenhängenden Umriss der 
analytischen Processe" liefert, „durch welche die meisten jener Re- 
sultate auch in Gebiete ausgedehnt worden sind, deren die experi- 
mentelle Untersuchung sich noch nicht hat bemächtigen können."*) — 
Es ist natürlich, dass ein solches Werk bei seinen Lesern die Kenntniss 
der Infinitesim&l-Bechnung und der analytischen Geometrie voraussetzen 
muBB. Jedoch ist hier das Maass der unerlSsalicben Vorkenntnisse 
so gering genommen, wie es ohne Weiterungen und ohne Schaden 
für das Eindringen geschehen konnte. Mancher rein geometrische 
Satz ist im ersten Capitel, mtmche rein an alyiis ch - mathematische 
Theorie (z. B, die der Kngelfunctionen) namentlich in den Zusätzen 
und in den kleingedruckten TheÜen der spätem §§ abgehandelt. 

Voran geht dem T heile ein „Verzeichniss neuer oder in 
deutschen Büchern weniger gebrauchter Benennungen" (nebst eng- 
lischem Orginal- Ausdruck) „mit Angabe des Orts ihrer Erklärung." 

Ueber die Güte des Werks, das selbst zu übBrsetz''n Helm- 
holtz & Wertheim (der eigentliche Üebersetzer) gut befunden haben, 
meinerseits ein Urtbeil drucken zu lassen, scheint mir trotz Ab- 
neigung gegen bequemen Autoritätsglauben unbescheiden: um so 
mehr, als mich maunichfaltige Abhaltungen noch nicht dazu haben 
kommen lassen das Werk so durcbzustudiren, wie es mir durchaus 
wUnschenswerth erscheint. 

Hin und wieder möchte vieUeicht eine grössere Ausführlichkeit 
in — hier zwar nicht nöthigen, aber doch für nützlich gehaltenen — 



•) Worte der Verfauer. 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Berichte. 293 

mathematischen Dedactionen manchem angenehm sein z. B. hStte 
S- 5 der Gedankengang dadurch angedeutet werden können, daes bei 
Formel (3) bemerkt wäre „Länge der Linie LL'", bei (4) und (5) 
„Projeetion des Mittelpunkts der Verbindung zwischen den Einheits- 
punkten der OL und OL' auf die Axen" und bei (6) Dreiecksprojection." 

Für die Güte der üebersetzung bürgt die Sorgfalt der Methode, 
welche auch die Terfasser heranzog; für die Äusstattnng der Name 
des Verlegers, 

Das praktische Motiv fiir die üebersetzung war nach Helmholta, 
ilass bei uns „sich jeder, der ein eingehendes wissenschaftliches Ver- 
ständniss auch nur einzelner Theile dieser Wissenschaft suchte, wie 
es ohne mathematische Behandlung eben nicht zn gewinnen ist, dem 
Studium der einzelnen Original- Abhandlongen zuwenden" musste, 
diese „aber fast alle in akademischen Denkschriften oder anderen 
wenig verbreiteten periodischen Schriften und gewöhnlich nur in 
grösseren Bibliotheken zu finden'' sind, und dass diese „rein ausser- 
liehe Schwierigkeit einen wesentlichen Theil der Schuld davon trägt, 
dass mathematisch-physikahsclie Kenntnisse auch bei uns in Deutsch- 
land nur eine sehr geringe Verbreitung haben." 

Von dem ganzen dreibändigen Werke, wovon hier der erste 
Halbband besprochen wird, sagt H.: „Das Werk arbeitet auf eine 
mdglichst allseitige und eindringende Einsicht in die Wechselbe- 
ziehungen der Naturkräfte hin , wobei es wesentlich die Hervor- 
hebung des physikalischen Zusammenhanges im Gegensatz zu der 
Eleganz der mathematischen Methoden bevorzugt . . . Dieser Rich- 
tung ihrer Arbeit entsprechend haben die Verfasser sich auch be- 
müht, wo es anging, mathematische Methoden zu gebrauchen und 
Begriffe einzuführen, die der Anschauung fShig sind." 

Lucrativ kann ein solches Unternehmen schwerlich sein. Möge 
ihm aber di^enige Anerkeunnng zu Theil werden, welche nöthig ist, 
den Liebhabern nnd Jüngern der Physik den Nutzen des von den 
Verfassern ond üehersetzem erstrebten Zieles zu Gute kommen zu 
la^en, und vielleicht auch dazu, dass die Uebersetzer ihre Arbeit 
nicht als Opfer itlhlen! 
Altona. Dr. Pdmkb. 

Trappe, A, (P™t ™d Ptoreoloi an dm Eealwhal« an Zwlngar im BrMlm.) Schul- 

Physik. Sechste vermehrte und verbesserte Auflage 

mit 256 Abbildungen im Text. Ferdinand Hirt. Breslau. 

1873. 

Ein Buch, das beim Schulgebrauche die sechste Auflage erlebte, 
hat dadurch eine Läuterung erhalten, die es von etwaigen Schlacken 
säuhem musste und man wird unwillkürlich für ein solches Buch 
günstig gestimmt, wenn es noch in geftlligem Gewände, mit deut- 
lichem Druck, gutem Papier und sauberen" Holzschnitten , geboten 
wird. Das war der erste Gedanke, den uns das vorliegende Werk- 
chen erregte und — wir können es gleich sagen, der gute Eindruck 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



294 Literarische Bericht«. 

blieb auch bei näherer DurcbBichl, wenn gleich wir im Bezug auf 
Anordnung des Ganzen, sowie einzelner Theile nicht immer ganz 
gleicher Äneicht mit dem VerfasEer sein IctSnnen. 

Verfasser will ein Scbulbucb achreiben, nicht aber fttr das 
Selbststudium, da beide Zwecke sich Bchlecht vereinigen lassen. In 
dem Unterrichte sollen die wichtigsten physikalischen ErBcheinungen 
und Gesetze gelehrt werden, es soll die geistige Kraft des Schülers 
geübt werden, der Schüler soll beobachten und combiuiren lernen, 
endlieh noch seine Fachgewandtheit üben. Das bezweckt vorliegendes 
Buch. 

Das Stoffliche des Gegenstandes hat Verf. sehr reichlich ausge- 
messen. Er glaubt selbst, dass kaum eine der Anstalten, für die er das 
Buch bestimmte, ihn ganz wird bewältigen können, und das ist 
wohl ein wenig inconsequent. Glaubt Verfasser mit einem Buche 
nicht zweierlei Zwecke zu erreichen, wie die ersten Zeilen seines Vor- 
wortes besagen, warum hält er sich nun nicht auch ganz an das 

Was die Methode anlangt, so will Verfasser den Lehrer, der — 
wie er meint und wir mit ihm, auch ohne jene ausdrückliche Bemer- 
kung — seines Stoffes völlig mächtig sein soll — nicht allzustreng 
binden, nnd daher ihm nicht vorschreiben, ob und wann er das 
Experiment voranstelle. Wann et mit mathematischer Ableitung eines 
Gesetzes beginne ; dennoch gibt Verfasser für jüngere, noch unerfah- 
rene Lehrer im Buche mancherlei Winke. Bei den Abbildungen sind 
unwesentliche Dinge weggelassen, das Ganze soll mehr ein HUIfsmittel 
für das GedächtnisB sein, gewissermassen ein Heft ersetzen, welches 
das Erlernte enthalten soll und dessen Führung durch den Schttler 
als impädagogisch verurtheiU wird. Nur zur Ausffihrung schrift- 
licher Aufgaben darf ein Heft benützt werden. Zur Uebung der 
Schüler im Beobachten und Erklären von Ifaturerscheinnugen dienen 
vielfach eingestreute Fragen und Bemerkungen. Durch besonderen 
Druck sind wichtigere Gesetze hervorgehoben, Anwendungen sind 
■in Ende der Capitel besprochen u. s. w. 

Die Reihenfolge der Capitel sind 1, Buhe nnd Bewegung der 
Körper, 2. Sehall, 3. Licht, 4. Wärme, 5. Magnetismus, Elektricitfit, 
Galvanismus. Als Anhang folgen einige chemische Erscheinungen. 
In einer kurzen Einleitung werden die allgemeinen Eigenschaften 
der Körper betrachtet, so weit sie nicht in den folgenden Capiteln 
vorkommen müssen. Diese Einleitung erscheint wohl sehr kurz, 
was bei der Ausdehnung verschiedener anderer Capitel auffSlIt. So 
wäre bei der Cohäsion wohl einiges über die Festigkeit der Körper 
zu sagen, bei der Härte hätte der Härtescak gedacht werden können, 
sowie der verschiedenartigen Härte eines Körpers nach verschiedener 
Behandlungsweise. Iilit der Adhäsion in Verbindung, als eine Art 
derselben hätte die AuftÖslichkeit genannt werden können. Bei der 
Capillarit&t ist der Ausdruck: „die Flüssigkeit steigt in ihm etwas 
über das Süssere Niveau" wohl genauer mit der Weite in Ver- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



LitorarUche Berichte. 295 

binduiig zu setzen und als Beispiel über die Macht dieser Kraft 
hätte man wohl auch das Aufsteigen des Pflaaxensaftes nennen kSn- 
nen, wenn gleich EndoBmoae ebenfalls mithilft, bei deren Be- 
sprechung übrigens jenes Beispiel ebenfalls fehlt. Bei Besprechung 
der Dichte ziehen wir die in esterreich übliche Trennung des 
Begriffes von dem des speoifi sehen Gewichts (dem Gewichte der 
Baumeinheit) vor. Das Capitel Über ohemische Anziehung, welches 
als Anhang folgt, möchte in der Einleitung — besonders in dieser 
Kürze passender am Platze sein, da ja bei den übrigen Abschnitten, 
besonders in dem Abschnitt „Elettridtät," bei der Besprechung des 
Spettratapparats , bei welcher auch die unter den Elementen nicht 
aufgezählten Elemente Thallium u. a. genannt werden. Chemiker 
acheint Verfasser nicht zu sein, die gegebene Bereitungs weise der 
Kohlensäure ISsst es uns schliessen, indem ein Chemiker die Kreide 
wohl in Stücken, nicht aber als Pulver verwenden würde. Die 
Erklärung der Irrlichter ist ebenfalls eine wohl verlassene Theorie, 
die Explosion des Chlorsäuren Kali setzt Gegenwart brennbarer Stoffe 
Torans. Neuere nchemiscben Anschauungen begegnen wir in dem Über- 
ans kurzen Anhange nicht. Kürzere Fassung bei einzelnen Dingen 
(z. B. Sauerstoffbereitung) hätte Platz für Wichtiges gegeben. Für 
das Hanptcapitel des Bnches haben diese ^Nebensachen keine Gel- 
tung, hier können wir das bereits als günstig geschilderte Urtbeil 
fast ohne Ausnahme gelten lassen, wir sagen fast und müssen das 
begründen. So ist bei der Ableitung der Pallgesetza die Endge- 
schwindigkeit mit dem Fallraume hie und da verwechselt und geht 
das soweit, dass selbst die Wurflinien Fig. 36, 37 und 39 unrich- 
tig gezeichnet sind. Es ist das um so bedauerlicher, als das Buch 
fflr einen Leserkreis bestimmt scheint, der einen solchen Fehler schon 
vollständig zu entdecken im Stande ist. Mehr vermissen wir auch gewisse 
'Verallgemeinerongen, welche auf das einheitliche Wesen aller Katur- 
kräfte sich beziehen, so bei Betrachtung der Wellenbewegung, dag 
Gesetz über Abnahme der Kräfte mit der Entfernung. Bei der Schwere 
vermissten wir die Angabe dieses Gesetzes vollkommen und so fehlt 
hie und da eine ähnliche Versllgemeinerung. Man hätte um so 
mehr darauf rechnen können, als an vielen andern Stellen des Buches 
eine solche Übersichtliche Darstellung verwandter Erscheinungen 
sehr anschaulich und lehrreich gegeben ist. Wir können durch diese 
Wahrnehmungen uns nicht dazu bewogen fühlen, unser oben als 
günstig hingestelltes TJrtheil zarückzone^en, möchten aber wünschen, 
dass bei einer neuen Auflage unsem Anschauungen in etwas Bech- 
nong getn^n würde. Das Buch würde gewiss dadurch gewinnen, 
und bei seinen Übrigen guten Eigenschaften in immer weiteren 
Kreisen öutes wirken können. 

WiMU Dr. C. EoTHB. 



,ti7rJt,G00glc 



296 Liteiariscba Beriahte. 

Peters, Dr. K, F. (Prof, «n dw k. k, tiniven. gmj), Leitftiden zum ersten 
Aiischauniigsi]nterric}it ane der allgemeinen Anorganograpbie 
(Mineralogie). Für MittelBchulen und den Privatunterriclit. 
Mit 58 Holzschnitten und 3 lithogr. Tafeln. Graz 1874, 
Leuaclmer und Lubensky (Unlv.-Buchh.) Preis ? 
Dieses ans der Feder eines Fachgelehrten gefloaaene, nnd zu- 
nächst für dessen zahlreiche an österreichischen Mittelschiilen lehrende 
Schüler bestimmte Büchlein, unterscheidet sich wesentlich von jenen 
Leitffiden, die nichts sind als die Summe der Ueberbleibsel einer 
gewaltsam auf einen kleinen Raum gebrachten Wifisenscbaft, durch 
welche Zubereitung dieselbe an Verdaulichkeit fllr das betreffende 
kindliche Alter gerade nicht gewinnt. Statt eines bunten Strausses, 
der im Gedächtnisse des anreifen Kindes unrettbar verwelken muss, 
bietet die vorliegende Schrift vor allem den Keim eines umfossenden 
Verständnisses der anorganischen Welt, dies aber in so harmonischer 
und allseitiger Verbindung der leitenden Gedanken, dass ein solides 
Geirtlste von Grund vor Stellungen entsteht, dessen weiterer Ausbau 
dem detaillirten Unterricht in den oberen Classen vorbehalten bleibt. 
Pädagogen, welche nicht im alten Schlendrian eingerostet sind, 
sondern aus ihren Universitätsjahren einen echt wissenschaftlichen 
Geist in die Prasis mit hinttbergenommen haben, und welche andem- 
theils erfahren genug sind, um zu wissen, dass sie erst säen müssen, 
ehe sie ernten können, werden den vorgezeichneten Weg freudig be- 
treten und der neuen Methode durch ihre thätige Mitwirkung in 
der eingeschlagenen Richtung Bahn brechen. 

Dr. Conrad Clar. 

Nachschrift der Red. Die Bedactijjn hat sich von der Vortreff- 
tichkeit dieser kleinen Schrift durch die Leetüre ders. äberzeugt und steht 
nicbt an, sie den Lehrern der Naturw. zu ihrer eigenen method, Aub- 
bildung im Vortr^e, sowie zum Ankauf (ur Schulbibliotheken zu em- 
pfehlen. 

Fribchauf, Dr. J. Grundriss der theoretischen Astronomie 

und der Geschichte der Planetentheorien. Graz 1871. 

Lenschner und Lubepsky, h. k. üniversitätsbuchhandlung. 

Eine lange Reihe von Decennien hindurch war ein wirklich 

drückender Mangel in der astronomischen Literatur fühlbar. Denn 

ausser der Astronomie von Littrow gab es kein Buch, das die 

Lehren der theoretischen Astronomie behandelte; dieses aber war 

längst veraltet und man war, so gezwungen, ans den Quellen selbst, 

' aus den Schriften Gauss's, Olbers's, Enke's und den zahlreichen Bänden 

des Berliner astronomischen Jahrbuches "sich Belehrung zu holen. 

Wie fühlbar der Mangel war, zeigt das fast gleiobzeitige Erscheinen 

dreier verwandter Bücher: „des Verfassers Grundriss," „KliakerfueB's 



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Literarische Berichte. 297 

theoretische Astronomie" und „Oppolzers Btthnbestimm wagen." Wäh- 
rend nun die beiden letzteren Werke wesentlich als Handbücher 
für den Astronomen gelten können, verfolgte das erstre weitere 
Ziele. Es stellt sich die Aufgabe, seinen Lesern eine klare Ein- 
sicht in die Theorie der Bahnbestimmung der Planeten und £ometen 
zn eröfiiien und zugleich den künftigen Astronomen zum vollen Ver- 
stSndniss seiner Facbllteratur tmd seiner praktischen Thätigkeit zu 
befUhJgen. Wollte aber der Verfasser dieses ziemlich weitgesteckte 
Ziel erreichen, so konnte er sich nicht etwa, begnügen — wie es 
häufig beliebt wird — den nach Bedarf verkürzten Inhalt der 
Originalschriften in willkärlicher Systematik aneinanderzureihen, son- 
dern er musste die von der Forschung gewonnenen Resultate zu 
einem einheitlichen Ganzen verschmelzen. Einer solchen stets mühe- 
vollep, wissenschaftlich wenig lohnenden, und gewöhnlich auch wenig 
gewürdigten Arbeit unterzog sich der Ver&sser mit anerkanntem 
Geschick. 

Der Herr Verfesser gliedert seinen Stoff in drei Abschnitte, 
von denen die beiden ersten den theoretischen, der dritte den ge- 
schichtlichen Theil des Buches büden. 

Im ersten Abschnitte werden die ,^eziehungen zwischen den 
die Bewegungen der Himmelskörper luu die Sonne bestimmenden 
Grössen" entwickelt. Also unter anderen: die Belation der Anomalie, 
die Lambert' sehe Formol für die Parabel, die Verwandlung der helio- 
nnd geo-centrischen Distanzen in einander , die Bestimmung der heho- 
centrischen Coordiuaten durch die wahre Anomalie und den Badins- 
vector, die Beziehimgen zwischen den Coordinaten und den Drdecks- 
flächen dreier Orte eines Himmelskörpers etc. 

Der zweite Theil behandelt sodann die „Bahnbestimmnng der 
Planeten und Kometen." Im ersten Abschnitt entwickelt der Ver- 
fasser die Bestimmung einer elliptischen Bahn aus drei geometrischen 
Beobachtungen nach Gauss mit Benutzung der Abhandlung Enkes 
im Berliner astronomischen Jahrbuch für 1854. Eine bemerkungs- 
werthe Verbesserung der Gauss'schen Methode hat der Verßtsser bei 
Berechnung der Bahnelement« mittelst der curtirten Distanzen ein- 
geführt. An Stelle äer Gauss'schen Gleichung: 

sin 2° = Ml sin (« -j- «) 
setzt er die Gleichung 

'-'■ + -iS^T^^ 

. Diese Gleichung besitzt vor der Gauss'schen den Vorzug, dasa 
das bekannte Glied x ^ k, unmittelbar ein Näherungswerth ist, dass 
sie in Folge der nahezu gleichen mittleren Entfernung aller Asteroiden 
von der Sonne noch eine weitere Annfiherung bietet, also des oft 
langwierigen Suchens nach der brauchbaren von den möglichen Wurzeln 
der Gauss'schen Gleichung enthebt. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



298 Literariache Berichte. 

Im zweiten Abscbnitt gebt der Verfasser zur „Bestimmung einer 
paraboliBcben Bahn a,aB drei geocentrischen Beobacbtungen nach der 
Methode von Olbers, im dritten zur Besiimniung einer elliptdscbeii 
aus vier geoeentriachen BeobachtuBgen, von denen nur zwei voll- 
ständig Bind" über. Der vierte Abscbnitt liandelt „über die Vor- 
beteitungsrecbnungen bei Bahnbestimmungen," alBO Über die Ver- 
wandlung der Coordinaten, Parallase, Aberration, FrKceBsion etc., 
der fünfte über die „Bahnbestimmungen aus einer grösseren Eeihe 
von Beol)achtungen;'' der secbBte über „Balinbestinunung mit Be- 
rücksichtigungen der Störungen." Die Darstellung ist überall un- 
gemein kkr und bündig; die Theorien durchwegs an gewählten Bei- 
spielen erläutert. 

Eine überaus danbeuswerthe und werth volle Zugabe des 
3. Theils ist die Geschichte der Planetentheorien. Der Veijaseer 
zeichnet hierin zuerst den Stand der astronomischen Kenntnisse in 
der Zeit vor Keppler, geht dann in ausführlicher Weise auf die Bnt- 
deckungsgesehichte der Keppler'schen Gesetze ein und aohliesst mit 
der Geschichte des Problems der Babnbestimmung. 

Die Darstellung ist durchwegs aus den Quellen geschöpft, die 
Entwicklung der einzelnen Theorien stets streng die ihrer Erfinder 
und überall sind zur Beurtbeilung der Genauigkeit die Fehler der 
Methoden im Sinne der heutigen Wissenschaft berechnet. Diese Ge- 
schichte der Keppler'schen Gesetze wird am so willkommener sein, 
als sie die erste wissenschaftliche sein dürfte and bisher jeder, dem 
die abstrusen landläufigen Traditionen nicht genügten, genöthigt war, 
sieh durch die Keppler'schen Schriften hindurchzuarbeiten. Ich 
ächliesse die Anzeige dieses Buches,, die nur annähernd den Beioh- 
thum seiner 159 Seiten schildert, mit dem Wunsche, etwas zu seiner 
Verbreitung beizutragen und der Hoffnung, seine Verwendung am 
Polytechnikum in Aachen werde nicht vereinzelt bleiben. 

Wien. EscHERicH. 



B) BibUosrapIue. 1874. 

April. Mai. Jnni. 

ünterricli'ta- und Erziehungsweaen. 

Bach, Job. Heinr. Deiuhardt. Ein Beitrag zur GeBcbicbte des preuse. 

Gymnoalalwesens. Lpzg., Teabner. 10 Sgr. 
Beiträge zur Statistik deaKÖnigr.Bavem. 27. Heft: Statistik des Unter- 

rit^tea für die 3. 1869 — 72 mit Rückblicken auf die Er^ebniiHe früherer 

Jahre Bearb. t. Dr. Ma;r. 1. Tbl. Das höhere Unterrlohtswesen. 

O'/i Thlr, München, Ackermann. 
BratUBchek, die Philosophie als ohiigatoriBcher Gegenstand der StJml- 

amtsprüfnng. Gieseen, Ferber. 4 Sgr. 



,ti7rJt,G00glc 



Literarische Berichte. 299 

Cohn, die SchulhäuBer und Schultische anf der Wiener Weltauaetellung. 

Gme äuge närstli che Kritik. Erenlau, Hor^enstem. IS Sgr. 
D ieat er weg' H Wegweiser zur Bildung för deutsche Lehrer. 5. Aufl. l. B<' 

Das Allgemeine bearb. t. Budolph. Enbu, Bädeker. V/f Thir. 
GuckeiBen, Aufgabe und Organisation des naturwisseuschafUichen Uotei 

rieht« an höheren Lehranstalten. Lpzg., Majr. 10 8gr. 
Kreyenberg, die höheren Töchterschulen. Lpsg^ Siegismuiid. 8 Sgr. 
Kummer, Geschichte des Schulwesens im Canton Bern. Bern, Dalp. 

20 Sgr. 
Loev, die Stellung der Schule zur Natur wiseenBchaft. Berlin, GüUier. 

10 Sgr. 
MÜDCh, dae Missverhältnis« zwischen geistiger und körperlicher Aub- 

bildnng und seine Folgen naturwiseenschaftlich begründet. Mannheim, 

Schneider. 10 Sgr. 
Oatendorf, die Conferenz zw: Berathuag über daa höhere Schulwesen 

des prensB. Staates. Vortrag geh, im Bürgervereine zu BraunBchweig. 

Düsseldorf, Schaub, 10 Sgr. 

— das höhere Schulwesen nnaeree StaatCB. Ein Bericht, den städt. Be- 

hSrden zu Düsseldorf erstattet. Ebda. 13 Sgr. 
Protocolle über die im tot. Jahre im preuas. UnterrichtBminiateriam 
gepflogenen, das mittlere und höhere Mädchen BchutwcBen betr. Ter- 
häudlnnges. Berlin, Hertz. 10 Sgr. 

— der im vor. Jahre im pieuss. UnterricbtBminiBterium über versohiedene 

Fr^en des höheren Schul weaena gehaltenen Conferenz. Ebda. 

20 Sgr. 
Richter, ^e Beform der Lehrereeminare nach den Forderungen unserer 

Zeit n. der heutigen Pädagogik. Lpzg^ Brandstetter. 1% ThIr. 
Buegg, die Pädagogik in übersichtlicher Darstellung. Ein Huidbuch für 

LehramtBcandidaten , VolksschulLehrer und Erziäier. 1. Aufl. Bern, 

Dalp. IV, Thlr. 
Schaching, der MateriaÜBmuB in der Erziehung und die Revolution. 

Ein Beib'ag zu der Erziehungs- und Schull'rage. Kempten, Söael. 

Vi Thlr. 
Schmelzer, fromme Wünsche. Ein Beitrag zur Schulfrage. 2. Aufi. 

10 Sgr. 
Schumann, Lehrbuch der Pädiwogtk. 
Schulaufsioht u. Lehrerbildang 

6 Sgr. 
Verfugung des Ministeriums betr. die Gesundheitspflege in den Schulen. 

Stuttgart, Grüninger. 5 Sgr. 
Tolkabildung u. Schulwesen. Eine cultur-polit. Studie t. Dr. M. 

Egger. Wien, Holder. 9 Sgr. 

Mathematik. 
A) Beine Mathematik, 
'a) Arithmetik. 
Blancke, üebungsschote im bürgerUchen Jtechnen. 3. Heft. Verhält- 
nisse, Regeldetri, Frocentreclmnng etc. 3. Aufl. Hannover, Schmorl. 
6 Ser. 

. Aufi. Hamburg, 

;£enbuch für Elementar- imd Kreisschulen. Dorpat, GUaer. 

1 büigerL Rechnen. 4 Hefte. Halle, OeseniuB. 

ä 8SCT. 
Dorn, Anleitung zum Unterricht im Bechnen. &. Thl. Dedmalbrüche, 

Worzelausziehen etc. S. Aufl. Oiogau, Handel. 16 Sgr. 
— , Aufgaben dazu. Ebda. 2 Sgr. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



1 



300 Literftrieche Berichte. 

Fix, Rechenbuch für Volksschulen. Münster, Nasse. 3, 

Fölaing, Rechenbuch für Gjmnasien u. Rflalachulen. 11. Aufl. Berlin, 
Enehu. ä 8 Sgr, 

Oallenkamp, die Elemente der Muthematih. 
malh. Unterricht an höheren Lehransl«It«n. 
u. Algebra. Iserlohn, Bädeker. SO Sgr. 

Grober, der arithm. Unterricht nn Gymnasien, höheren BüT^ersch. und 
Realaoh. Für die Schüler bearb. 1. Tbl, 4. Aufl. Carlsrnhe, Grone. 
U Sgr. 

Barms und Kuckuck, Rechenbuch für Realschulen, GjiuDaaieD, Ge- 
werbesoh. u. Seminare. 3. Aufi. Oldenburg, Stalling. 22Vi Sgr. 

Herold, das kaufmänmeuhe Rechnen. Ein leichtfasslich auf Grund der 
neuen Währung bearb. Lehrbuch für Handels-, Gewerb- und Real- 
schulen. 2. Aufl. Hof, Büching. ib Sgr. 

— , der gewandte Rechner. .Lehr- u. Uebungahuch zum Selbstunterrichte. 
5, Hft Ebda. 5 Sgr. 

Heuer, Rechenbuch. 4. Thl. 19. Aufl. Hannover, Helwing. 10 Sgr. 

Henner, Aufgaben zum Kopfrechnen. 3 Hefte. AosbtM^, Sejbold 
ä 2 Sgr. 

Marbaob, arithmetiscbea Bxempetbuch. 4 Hefte. Schleusiugea , Glaaer. 
13'/, Sgr. 

Niepoth, Aufffabeu zum sohrifü. Rechnen für Schulen. 9. Aufl. Giesien, 
Rotli. 13 Sgr. 

Paugger, Lehrbuch der allgemeinen Elementararithmeük oder Algebra 
mr die oberen ClBaaen der Mittetschiilen. Triest, Literariich - art. 
Anstalt, l'/a Thlr. 

— , Logarithmentafeln für die Zahlen v, 1 — 1000 und für die goniomet- 
rischen Fiinctioneu der Winkel im 1. Quadranten V. 10 EU 10 Hin. 
auf 4 Decimalen. Ebda. IS Sgr. 

Eeeb, Rechenbuch für höhere Lehranstnlten. 2. Anfl. 6 Hefte. Qiesaen, 
Roth, ä, 4 Sgr. 

Sohlotterheck, Aufgaben für das Kopfrechnen. Znm Sohulgebrauch. 
2, Hft. 2. Aofi. Schwerin, Hildebr&ud. 13 Sgr. 

Scholz, Lehrbuch der Arithmetik für Handelaachulen. S, Aufl. Wien, 
Braumüller. I Thlr. 3 Sgr. 

Spitz, Lehrbuch der allg. ^thmetik zum Gebrauch an höheren Lehr- 
anstalten. 3. Aufl. Lpzg,, Winter. 2'/, Thbr. 

— . dasB. Anhang. Die Resultate und Andeutungen zor Anfl. der im Lelir- 
bacb eath. lufg. 3. Aufl. Ebda. 16 Sgr. 

Stübba, Aufgaben zum Zifferrechneu. 6. Heft. Regeldetri und Zins- 
rechnung. 7. Aufl. Bunzlau, Appun. 1'/« Sgr. 8. Heft. Die Deci- 
malen u. gem. Brüche. 12. Aufl! l'/j Sgr. 

b) Oeometrie und Trigonometrie, 

Acht erb erg. die Geometrie im Zeichenunterricht. Görlitz, Bemer. 
Vi Tbk. 

Baltzer, die Elemente der Mathemafdk. 2. Sd. Planimetrie, Stereo- 
metrie und Trigonometrie. 4. Aufl. Lpzg., Hirzel. 2 Thlr. 

Qaltenkamp, die Elemente der Mathematik. Ein Leitfaden fQc den 
math. Unterricht an höheren Lehranstalten. 4. Aufl. 1. Abth. Flani> 
metrie. 2. Abth. Stereometrie u. Trigonometrie. Iserlohn, Bädeker. 
20 Sgr, 24 Sgr. 

Hartmaun, genetischer Leitfaden für den Unterricht in der PlMiimetrie 
"in Form methodisch geordneter Fragen und Au fg. 3. Hft. Kreislehre. 
Baatzen, Rühl. 8 Sgr. 

Helwig, die Baumlehre in der Volksschule. 2. Aufl. Lpsg., Feter. 
6 ^. 



n,g,t,7.,dtvG00glc 



Literarische Berichte. 301 

l Hesse, 7 Vorlesungeit aus der aual^tdechen Geometrie der Kegehcbnitte. 
Fortsetzung^ der Yorlesuagen ans der anaJyt. Geometrie der geraden 
Linie, des Fnuktes u, des Kreises. Lp^., Teabner. 16 Sgt. 

Hoffmann. J. C. V., Vorschule der Geometrie. Ein methotUscher Leit- 
faden beim Unterricht ia der geometrischen Anschauungslehre für die 
unteren Classen der Gvmnasien, Realschulen, Lehrersemiaare , sowie 
anm Selbstunterricht bes. für Volks achn Hehrer 1. Lfe. 1. Hälfte 
die Planimetrie. Mit 230 Holzschn. Halle, Nebert. 1 Thir. - 

Knapek, geometr. Formenlehre nebst den wichtigsten Regeln über das 
Änsmesseu der Flächen nnd KSrper für die überclaasen der Volks- 
schulen. I. Abth. 4. Aufl. Znaim, Foumier. 10 8gr. 

Köstler, Leitfaden für den Anfangsunterricht in der Geometrie an höheren 
Lehranstalten, Halle, Nebert. 13% 8gr, 

Leitfaden der Geometrie. Von einem Verein von Lehrern herausgegeben. 
Potsdam, Bentel. 4 Sgr. 
I Moönik, Geometrie in Verbindung mit dem Zeichnen. Frag, Temsky. 
Ift Sgr. 

Mutier, Hab., Leitfaden der ebenen Geometrie mit Benntzung neuerer An- 
seh anungs weisen für die Schule. 1. Die geradlinigen Figuren n. der 
Kreis. LpJg., Teubner. 20 Sgr. 

Ohlert, praktischer Leh:wang der Geometrie für Mittelschnlen. b. Aufl. 
Königsberg, Bon. 7 Sgr. 
( Salmon, analytische Geometrie des ttanmes. Deutsch von Fiedler. 
' 1. Thl. Die Elemente u, die Theorie der Flächen 2. Grades. 2. Aufl. 

Lpag., Teubner. 2"/, Thlr. 

Toselowski, Raumlehre oder Geometrie für Volksschuten. 3. AuB. Berlin, 
Mittler, 6 Sgr. 

Wiegand, Lehrbuch der Mathematik. Für den Schul- und Privatunter- 
richt. 1. Thl. Carsus der Planimetrie. 10 Änfl. 10 Sgr. 4. Thl. Lehr- 
buch der ebenen Trigonometrie. 10 Sgr. 6, Thl. Lehrbuch der 
Stereometrie und sphärischen Trigonometrie. 7. Aofl. Halle, Schmidt. 
16 Sgr. 
I Wittsteiu, der goldene Schnitt und die Anwendung desselben in der 
' Kunst. Ein Stenograph. Vortrag geh. im Hannover' sehen Kün stierverein. 

Hannover, Hahn. IV« Sgr. 

B) Angewandte Mathematik. 

(Astronomie. Oeodftsio. HechimU:.) 

Prel, der Kampf ums Dasein am Himmel. Die Darwinsche Formel 

nachgewiesen in der Mechanik der Sternenwelt. Berlin, Denicke. 

18 Sgr. 
Renter, der nördliche gestimf« Himmel. 4 Seetionen nebst Begleitworten. 

Chromolithogr. Gotha, Perthes, l'AThlr. 
Schmarda, Lehrbuch der praktischen Messkunst. 3. Anfl. Wien, Seidel. 

IV, Thlr, 
Wiegand, Cornelins und SchmCger, Grundriss der mathematischen 

Geographie, Für höhere Lehranstalten entworfen. 8. Anfl. Halle, 

Schmidt. 10 Sgr. 

PhjsU. 
Abend roth, über elektrisirte Flüssigkeitsstrahlen. Nene Versuche nod 

Erklärungen. Dresden, 10 Sgr, 
Arendt, Materialien für den Anschauungsunterricht in der Naturlehre. 

a. Anfl. Lpzg,, Voss. 20 Sgr. 
Crüger, Qmndzüge der Physik, mit Rücksicht auf Chemie als Leitfaden 

für die mittlere physikaUsche Lehrstnfe meth. bearb. 16. Anfl. Lpzg,, 

KCmer. 21 S^. 
— , Lehrbuch der Physik. 2. Aufl. Ebda, l'/t Thlr, 



,ti7rJt,G00glc 



302 Literarische Berichte, 

Decker, Plq^sik nod Chemie fQr die höheren Clsraaen 'der Volkmchulen 

und TSchtenichulen. 4. Anfl. Wien, Qerold. 12 Sgr. 
DelliDgehauBen, Beiträge znr mechaniBchen Wärmetheorie. Heidelbei^, 

Winter. l'AThlr. 
Erni>nn und Peteraen, die Grundlagen der Gauasiechen Theorie und 

diie Erscheinungen dea Erdmagnetdamna im J. 1829. Mit Berficka. der 

SäcuUrrariationen ana alleu vorliegenden Beobachtungen. lA Tab. u. 

6 Karten. HerBg. im Auftrag der kaiseil, Admiralität. Berlin, Reimer. 

2 Thlt. 
.Fahle und Lampe, Physik dea täglichen Lebens. Lpzg., Qaandt u. Handel. 

21/, Thlr. 
Lippich, Tintet, Ditacheiner, Waltenhofen und SchÖnberger, 

ofBciellei Auastellung^bericht der Wiener WeltaustelluDg. 60 Nrn. 

Phjaikaliache und math. Instrumente. Wien, Hof- und Staatsdrnckerei. 

l'/ä Thlr. 
Lorenz und Rothe', Lehrbuch der Klimatologie. Mit Vorwort von Dove. 

Wien . BraumüUer. 5 Thlr. 
Mayer, die Mechanik der Wärme. 2. Aufl. Stuttg,, Cotta. 3»/, Thlt. 
Nuaabaumer, Ton und Farbe. Wien, Braumüller. 10 Sgr. 
Be'cknaget, Compendium der Eiperimentalpbjaik nach Jamin'e traitä 

de pnysiqQe deutsch bearb. 2. Tbl. Wärme. Stuttg,, Meyer. 24 Sgr 
Scherling, Grundriss der Eiperimentalphygik für höhere Lehranstalten. 

3. Aufl. Lpzg., Haeaael. V/s Thlr, 
Schilling, die beatändigen Strömungen in der Luft und im Meere, 

Verauch dieselben auf eine gemeinsame Ursache zuriiokzufflhren. 

Berlin, Beimer, 12 Sgr. 
Schröder, Ergebnisse des physikalischen Unterrichts in der Elementar 

achule, 3, Aufl. Lpzg., Siegiamund, 3 Sgr. 
Werner, die Kosmologie a. Naturlehre des acbolastischen Mittelalters. 

Mit apec, Beziehung auf W, v. Conches. Wien, Gerold, iB Sgr. 
WSllner, Lehrbuch der EiperimentalphyBik. 1. Bd. Mechanik u. Atuatik. 

3. Aufi. Lpzg., Teubner, 3 Thlr. 

Chemie, 

Bunsen, Anleitung zur Analyse der Aschen und Mtneralväsaer. Heidel- 
berg, Winter, 20 Sgr. 

Drechael, Leitfaden für daa Stadium der chemiachen Reactionen. Lpzg., 
Barth. 16 Sgr. 

FreaeniuB, Anleitung zur qualitativen chemiachen .Analyae. 14. Aufl. 
ßraunachweig, Vieweg, 3 Thlr. 

Heppe, die chemischen Beactionen der wichtigsten anorganischen n. 
organischen Stoffe. Tabellen in alphabetischer Anordnung zum Ge- 
brauche im Laboratorium. Lpzg,, Eollmann. l'/t Thlr. 

Langhoff, Chemie für Mittelachulen. Zugleich ein Leitfaden und Rath- 
geber für Lehrer der Chemie an Mittel-, höheren Knabenachnlen u. 
Töchterschulen. 2, Anö. Berlin, Denicke, ly, Thlr. 

Liebig, J, V,, Reden und Abhandlungen, Lpzg., Winter. l'L Thlr. 

Liat, Leitfaden für den Unterricht in der Chemie bea. für Gewerbe- u. 
Bealachnlen. 2 Thle. Ebda. 1% Thlr. 

Regnault-Strecker'a kurzea Lehrbach der Chemie. Bearb. v. Job. 
Wiscilinee. 2. Bd, Organ. Chemie, i. Aufl. Braunschweig, Vieweg. 
1'/, Thlr. 

Schorlemmer, Lehrbuch der EohlenetoffTerbindungen oder der orga- 
nischen Chemie, Zugleich als 2. Bd. zu Roscoe's kurzem Lehrbuch der 
Chemie. 2. Aufl. Ebda. 3 Thlr. 

Schwanert, Hülfsbuch zur Ausführung chemischer Arbeiten. Für Che- 
miker, Pharmaceuten etc. 2. Aufl. Brauuachweig, Schwetacbke. 
IVs Thlr. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Berichte. 



Zoologie. 

Ältam, die Geweihbild lug bei Rothhirsch, Rebbocfr, DammhirBch. Mit 

19 Fü;. Berlin, Springer. 14 Sgr. 
Bach, 8»idien nud Lesefrüchte aus dem Bache der Natur. 3. Bd. 2. Aufl. 

Münster, NasBe. 24 Sgr. 
Bütachli, Beiträge znr Eenntnisa der treilebenden Nematoden. Jena, 

Frommauu. 4 Thlr. 
Eckhel, der Badeechwamm in RQcksicbt auf die Art seiner Gewinnung, 

die geographische Verbreitung und locale Variation. Trieat, Schimpft. 

16 Sgr. 
Fritsoh, normale Zeiten für den Zug der VSgel und verwandte Erschei- 
nungen, Wien, Gerold. 25 Sgr. 
Hayek, Uaudbnch der Zoologie. 2. Lfg. Ebda !'/& Thlr. 
Ealtenbach, die PflanzeDfeinde ans der Clasee der Insecten. 3. AbthL 

Stottg., Thienemann. 1% Thlr. 
Leuckart, Bericht über die wiesenBchaftlichen Leistungen in der Natur- 

geBCbiciite der niederen Thiere während der Jahre 1870 und 1871. 

Berün, Nicolai. 3 Thlr. 
Lüben, NatnigeBchiehte für Kindei- in Volksschulen, Nach unterriehtl. 

Grundsätzen bearbeitet, ]. Thl. Thierkunde. 10. Aufl. Halle, Anton. 

2'/* Sgr. 
Uartent, über vorderasiatische Conch;lieQ nach den Sammlungen des 

Prof. Hausknecht. Casael, Fischer. 12 Thlr. 
Heuser, kur^efasate Anthropologie. Mannheim. Bensheimer. 5 Sgr. 
P 1 anck, Anthropologie und Psychologie auf uaturwiasenschaftlicher Grund- 
lage. Lp^., Fuea. 1 Thlr. 
Riedel, Naturgeschichte für Volk»- und Fortbild ungsschnlea. 1. Thier- 
kuttde. 4. Aufl. Heidelberg, Weiss. 4 Sgr. ' 

Botanik. 

Frank, Pflanzentabellen zur leichten und schnellen und sichern Bestim- 
mung der höheren Gewächse Nord- und Mittel- Deutschlands , nebst 
2 besonderen Tabellen zur Bestimmung der deatechen HolzgewScbse 
nach dem Laube, sowie im blattlosen winterlichen Zustande. 2. Ausg. 
LpEg., Schmidt. 20 Sgr. 

GQppert, Fährer durch den botanischen Garten der Universitit Breslau. 
S. Ausg. Görlitz, Eemer, 2'/, Sgr. 

Gatekunst, Botanik mit besonderer Berücksichtigung der vurttember- 
gischen Flora. Für Lehrer und zum Selbstunterricht. Heilbronn, 
Scheurlen. 18 Sgr. 

Hehn, Culturpflanzen und Hausthiere in ihrem Uebergang aus Asien nach 
Griechenland und Italien, sowie in das übrige Enropa. 2. Aufl. Berlin, 
Bomträger. 10 Sgr. 

Leitgeb, Untersuchungen über die Lebermoose. 1, fleft. Blasia pnsilla. 
Mit ö Taf. Jena, Deistung. 3% Thlr. 

Lüben, Naturgeschichte für VolksBcbulen. Nach unterriehtl. Grund- 
Bäteen bearbeitet. 2. Thl. Pflanzenkunde. 10. Aufl. Halle, Anton. 
6 Sgr. 

Lnersseu, die Fflanzengruppe der Farne. Mit Holzschn. 197. Heft der 
Sammlung gem. Vorträge v. Virchow n. Holtzendortf'. Berlin, Lüde- 
ritE. 7'/, Sgr, 

Murmanu, Beiträge zur Pflanzengeographie der Steiermark mit bes. 
BerücksichtigunK der Glumaceen. Wien, BraiunülLer. l'/j Thlr. 

Prantl, Lehrbuch der Botanik für Mittelschulen. Bearb. nnter Zugrunde- 
legung des Lehrbuchs der Botanik v. Jul. SadiB. Mit 186 Holzschn. 
Lpzg., Engefanann. 1 Thlr, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



304 



LiterariBclie Berichte. 



Babanau, die QeEXaakrj^togamen , G^muo^ermea und mouokotytedo- 
niachen AneioBpertuen der Oberlansitz. GOrlits, TEechsischel. 16 Sgr. 

Redea, VegetaDilieDkrankheiUu. Berlin, Nicolai. 12 Sgr. 

Riedel, NatorKeschichte für Yolka- und FortbUdungaachuleD. S. Thl. 
Pflauzenkande. 3. Aufl, Heidelberg, Weiss. 4 Sgr. 

Sadebeok, lur Wachsihumsge schichte des Fuuwedels. Berlin, Fried- 
länder, 16 Sgr. 

Schneider, GrundzOge der allgemeinen Botanik uebst einer üebersicht 
der wichtigsten PflanzenfamiUen. FQr höhere Schalen und sam Selbst- 
unterricht, Berlin, Springer. 20 Sgr. 

Sprockhoff. Bilfsbnch für den naturkundlichen Unterricht in Volks- nnd 
Mittelschulen. Einzelbilder aus den 3 Reichen, 1. Abth. Pflanzen- 
beschreibungen and das Wichtigste aus der Terminologie. 2. Aufl. 



] 



Th 



Berlin , Thiele. 10 Sgr. 
omä, Lehrbocb der Botamk. 3. Aufl. Braunschweig, 



Vieweg. 1 Thlr. 



Woditachka, die Giftgei^chse der österr.- ungarischen AlpenSnder und 
der Schweiz. 2. Aufl. 1. Lfg. Graz, Cieslar. 14 ^. 

Wünsche, Votaibeiten ed einer Flora von Zwickau, Zwickau, Dominik. 
10 Sgr. 

Mineralogie. 

Benecke, und Cohen, geognostiache Karte der Umgegend von Heidel- 
berg. Strassburg, Tritbner. 2 Thlr. 

Leonhard, Qrundzüge der Qeognosie nnd Geologie. 3. Anfl. 8. Lfg. 
Lpzg., Winter, as Sgr. 

Lftben, Naturgeschichte tiir Yolkascholen. 3. Mineralkunde. Halle, Anton. 
7. Aufl. üV, Sgr. 

Biedel, Naturgeachichte. 3. Mineralogie. Heidelberg, Weiaa. 4 Sgr. 

Tschermak, min eralogiache Mittheilungen. Wien, Braamflller. 2*/, Thlr. 

OeograpUe. 

Amthor und lasleih, Volkaatlaa über alle Theile der Erde. 24 Earten. 
20 Aufl. Gera, Issleib. 10 Sgr. 

Bastian, die dentsche Expedition an der Loango-Eüste, nebat älteren 
Nachrichten aber die zu erforschenden Länder. 1. Bd. Jena, Coste- 
noble. sV, Thk. 

Baur, Schntwandkarte von Oesterreich- Ungarn m 9 Blatt. 1.-800O00. 
Wien, Hölzel. S'/, Thlr. 

Berghans, physikaliache Wandkarte der Erde in Mercatore ProjectioD 
zur üeberaicht von Höhen, Tiefen und SocBtrömungen mit S Neben- 
karten. Gotha, Perthes. 3'/, Thlr. 

Bomadorf, Sohulatlas vom Eönigreich Sachsen. Lpzg., Keclam. 6 Sgr. 

Cook, 3 Beiaen um die Welt. Neu herauag, von Steger. 3. Ansg. 3 Bde. 
Lpzg,, Senf. 1 Thlr. 

Flemmme'a Elementarschulatlas der neueren ErdbeachreibunginlOEarten. 
13. Aul. Qlogau, Flemming. 6 Sgr. 

Graf, das deutsche Reich. 1:4500000. Weimar, Geograph. Institut, 
27, Sgr, 

Handtke, Wandkarte von Australien in 6 Blättern. 2. Aufl. Ologaa, 
Vj Thlr.; anf Leiuw. 2 Thlr. 

— Wandkarte des deutschen Eeichea in 9 Bl. 10. Aufl. 1'/, Thlr,; anf 
Leinw. 2% Thlr. 

Hay, Aechanti und die Goldküste. Aus dem Engl. Berlin, StUke. 12 ^r. 

Hengtin, Reisen nach dem Nordpolarmeer in den J. 1870 □. 1871. In 
8 Thln. 3. Thl. Beiträge zur Fauna, Flora nnd Geologie v. Spitz- 
bergen und NOTSJa-Semlja. Braonschweig , Weatermann. 3 Thlr. 

Eeil, Wandkarte von Thüringen und dem Harz. FQr den Unterriebt 
bearb. 2. Blatt. Kassel, Fischer. 1. Phys. Thl. 4 Sgr. 2. Polit, Thl. 
3 Sgr. 



i,Coo<^lc 



Litera,riacbe äericbt«. 305 

Kiepert, Physikalische Wandkarten v. Amerika. 1:8,000000. Nord.-A. 

5 BI. ay, Tbl, Süd.-A. 4 Bl. 2- Thlr. Berlin, Eeiraer. 
Lange, 3 Schulkarteu vom Königreich Sachsen. ». Aufl. Lpzg., Brock- 
hans. 5 Sgr. 
Leuzinger, Gewfiaser- nnd Oebirgskarte der Sdiweis. S, Ausg. Bern, 

Dalp. 1 Thlr. 
— , neue Karte der Schweiz and der angrenzenden Lander, t ; 400000. 

Ebda, a»/, Thb. 
Livingstone, Nene Minatonsreisen in Südafrica nntemontmeu im Aof- 

trag der engl. Regierang. Ans dem KQgt. v. Martin. Jena, Costenoble. 

i /, Thlr. 
Uattbes, Scbulattas über alle Theüe der Erde. IB Karten nach Reliefs. 

Lpzg., Frieae. SS Sgr. 
Mejer, Handkarte üu Gnthe's Scbnl- Wandkarte von Hannover. 1:180000. 

KaHsel, Fischer. 
Olmsted, Wanderungen durch Texas nnd im meiicaniscben Qrenztande. 

Aus dem Engl. 3. Aufl. 26 Sgr, 
Rachel, Karte von WSrttemberg, Baden nnd HobenzoUem. 1:460000. 

7. Aufl. Stuttg., MOIler. 9 Sgr. 
Radde, 4 Vorträge Qber den Kaukasus. Mit 3 Karten. Gotha, Perthes. 

1'/, Thlr. 
Raucbfuss, Reise nach Califomien im J. 1870. 16 S^. 
Bave, Leitfaden zu einem metbi^iscben Unterrichte m der Geographie. 

3. Aufl. 1. CursuB. Hannover, Hahn. 4 Sgr. 
Renschle, Elementargeographie oder Leitfaden für den ersten zneammen- 

hängenden Cntemcht in der Erdbeschreibung. 4. Aufl. Stuttgart, 

Scbweizerbart. 12 Sgr. 
SieLert, die geographischen Entdeckungen und Kolonisationen in unserem 

Jahrhmidert und unsere jetzige Eenntniss der Erdoberfläche. Kassel, 

Huhn. 10 Sgr. 
Südafrika und Madagaskar geschildert von den nenen Entdeckungs- 

reisenden, namentlich Livingstone und Ellis. 3. Ansg. Lpzg., Senf. 

2B Sm 

. uKarteu. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Pädagogische Zeitung. 

(Berichte aber Veraammlungea, Auezttge aus Zeitschriften u. dgL) 

Die mathem&tisolieii and natnrwiBseiiBeliafttiolieii Lehrmittel auf 
der Weltaasstollimg zu Wien i, J. 1873. 

in. Die Lehrmittel fttr Chemie und Mineralogie. 
(Schlosa — Fortietinng von IV, 878*). 

Wenden wir uns nun eu dem mineralof^lBohen Tbeile nnserer kat- 
gftbe, so kommen vir za einem bereite Ifinger in ÜebauR befindlichen Lehr- 
facbe, einem Unterricht sgegenatande, welcher ziemlich ^Iffemein in Schnleo 
einsefilhrt iat, aber trotzdem nicht überall den EindrncE macht, auf der 
Hohe der Zeit zu stehen. Sich au» dem, was die WeltaoBBtellnng bot, 
ein Bild zu macheo, wie geKenwärtäg die Mineralogie betrieben wird, ge~ 
lang UOB nur nach mant^erlei Krenz- und Querzilgen. Man war behu& 
Er^lnzung des Bildes zu weitem Stadien genOthigt, ja — die Hauptsache 
hatte man anderwärts £n echOpfen, um ^n Nebendingen eine erläuternde 
niastration zu finden. 

Zn diesem Schlüsse kommen wir trotz der ungemein reichen Uineral- 
Bch&tze, welche im Frater ans aller Welt zusammengefiUirt und nnn bereits 
wieder nach allen Bichtunffon der Windrose zerstreut wurden. Man sah 
dort die schönsten and werhyollsten Mineraistoffe von dem neuesten der 
grossem Diamanten an bis zu dem elenden Donauachotter , in welchem 
alle Menschenrassen dort von Bau zu Sau im Ausstellangarajon waden 
mussten. Die O^ale von Czerwenitza glänzten in ihrem Eiosk, die Mala- 
chite aus Kathannenberg lockten häufig die Käufer, die Glimmer aus dem 
Ural nnd die Asbeste aus Yal Malengo erregten durch ihre besondere 
Form die Aufmerkeamfaeit des Laien, besonders in Erstaunen setzten diesen 
aber die massenhaften Pro ducte des Bergbau'a, die mächtigen Schalen mit 
haarförmigem Silber aus Praybram, die Wanne mit 15,0IX) Pfd. Quecksilber 
aus Idria und die SalzblQcke aus dem bereit« als verloren betrachteten 
WielitJ'.ka sowie die Tropfstein aänlen aus Adelsberg. Aber auch dem 
Forscher waren es anregende Stunden, wenn er hier fast wie an Ort und 
Stelle in der Lage war, an einer viele Klafter langen Wand ein Eohlen- 
flOtz von Steierdorf im Banat in seiner ganzen Mächtigkeit mit Hangendem 
und Liegendem zu sehen, die Producte der Staesliirter Salzgmben in solcher 
Answabl und so schOnen Kr^etallen, die Skelette der neuseeländischen 
Biesenstransse u. a. Seltenheiten betrachten xa kOnnen. Doch es wäre 
nnmCgIich, alle die Miaeralschätze des Praters von 1873 anfzozählen, wie 

•) Dntch IjeaondMB üriMliB v«r>piilil. TorgL di« frohtnii Bertoble dl. IttaB. S. IBG, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte Aber Veraammlnngen, Auszöge ans Zeitaohriften n. dgl. 307 

sie meiet als Bohprodacte durch die Be^gewerke u. a. auagestellt wahren. 
Es hätte für hqb auch keinen Zweck, Wir wollen uua nur au das I^da- 
gogische halten und damit Bind wir — leider ~- bald zu Ende. 

Für unBeru Unterricht Lagen ^s Lehrmittel vor; Sammlung von Kry- 
staUmodellen, von Mineralien , Gebirgsarten, Petrei^ten, sowie Lehrbücher 
□od einige Apparate. Da diese letztere übrigens roehrentheilB von den 
Mechanikern mit ihren physikalischen Sammlungen vereint vorgeführt 
wurden, auch in keiner Richtung Bpeciell für den mineralogiachen Unter- 
richt wesentlich neu erscheinen, können wir sie füglich ausser Acht lassen. 

Als historisch interessant dürfen wir indessen doch nicht die Aus- 
Btellung des Realachuldirectors DÖU, Wien. Realschule der Innern Stadt, 
auBser Acht laeaen, welcher neben voraüglieh schönen Stufen, besonders 
Behr werthvoUen Pseudomorp hosen und Meteoriten, einen Theil der On^nal- 
Apparate vorgeführt hatte, welche Mohs und Haidinger bu ihren Unter- 
suoßungen verwendet haben. Wir sahen dort die ersten Krystallmodelle 
von Holz, die diese Forscher anfertigten, das von Mobs construirte und 
verwendete Aräometer, dünn geschliffene Tnrmalinplatten von schwarzer 
Farbe, welche sich in gröBsem Dimeusionen erhalten lassen, als die ge- 
wöhnlich zu Turmalinzajieen verwendeten grünen TormaJine, eine eigen- 
tbümliche Aufstellung dicBroBkopiacher Apparate u. a. 

Da bei der dem Zufall überlaasenen Auswahl bei der Anastellimg 
überhaupt von Vollständigkeit bezüglich unserer Gebersicht keine Bede 
sein kann, wollen wir in Kürze nur die hei den verschiedenen Staaten ans- 
gestellteo Lehrmittel nennen. Wir dürfen dabei wohl mit Oesterreich be- 
ginnen, nicht nur weil dies Land durch das mit der Ausstellung verbundene 
f rosse Geldopfer einen gewiasen Anspruch auf Berücksichtigung hat, son- 
em wohl auch deshalb, weil man hier bemüht war, in einer gewissen 
Art YollBtändigeB zu liefern. Oesterreich und Deutschland hatten, wie in 
den übrigen Unterrichtsfächern, hier das Meiste ^liefert. 

Vor allen glänzte die eealogische Reichsajistalt mit ihren vorzügliclien 
Karten und Sammlungen. Die nutzbaren Minerals chätze der ganzen Mo- 
narchie lagen hier in groesen Stücken, in Würfeln nnd Platten, besondere 
Bausteine, Erze, Brennstoffe, Salz, Gjps, Kalk. Au den Wänden hing die 
Hauer'sche geologische Ueberaichtiarte der österr. Monarchie (1 : 679,000^, 
verschiedene General- und Speciatkart«n , Durchschnitte, insbesondere die 
beim Bau der Wiener Hocbquellenleitung gewonnenen Resultate von Karrer, 
Karten über Vorkommen der Kohlen u. a. 

Die Wiener „Antluropologiscbe Gesellschaft" hatte reiche Sammlungen 
von vorhistorischen Funden ausgestellt. Hauptsächlich durch Prof. Wotdnch 
geordnet, lagen hier Funde der Stein- und Broncezeit, Funde aus Höhlen- 
und Pfahlbauten Schädel unserer Vorfahren mit niedriger Stirn und schiefen 
Zähnen, vielfacher Schmuck und Waffen. Zu dem Interessantesten war 
wohl eine Tafel zu zählen, auf welcher das Gebiss des Höhlenbären in seiner 
Entwickelung dargestellt war , die IBlohzähne nnd die bleibenden Zähne 
in den verschiedenen Stadien der Abnutzung. Das kleine Tableau war 
eine werthvolle Beigabe zu dem von Wantel ausgestellten Skelett des 
Höhlenhären, des ersten voilständie in Oesterreich gefundenen Eiemplares 
dieses in Deutschland so häufigen Thieres. 

Am Anschlüsse daran hatte Prof, Dr. Majr eine Sammlung von In- 
eecien, iu Bernstein eingeschtosseD. aufgoBtellt, aus der die nahe Verwandt- 
Hohaft dieser Faune mit der jetzigen europäischen, sowie mit manchen 
BÜdaaiatischen und neuholländischen Formen eich ergibt. FQr die Pflanzen- 
welt zeigte in noch ausgedehnterer Weise Ettin^hausen durch ve:^leichende 
Zusammenstellung die Verwandtschaft fossiler Formen mit lebenden Pflanzen 
der verschiedenen Zonen tind Continente. 

Sehr instruetive geologische Suiten ans Mähren brachte Prof. Makowskj, 
welche sich auf alle eruptive und sediment&re Gebilde Mährens erstreckten 
nnd besonders auf die technisch verwendbaren Product« des Minerabeiches 
Bficksiobt nahmen, 

31« 



,iP<.-jM,Googlc 



308 Beriebt« Sber VerBammluageii, AusEüge aus Zeüschriften u. dgl. 

Prof. V. EochBtetter legte eine geologische Karte über Reine Foracbungen 
in der Türkei vor und brachte aneaerdem zwei voizüglicb BcbJIne Modelle 
— Miniatur Vulkane ans Schwefel, welcher bei hohem Dampfdruck ge- 
schmolzen, nach dem Erstarren Ertcheiunngen seigt, wie üe die EnteMiang 
der Vulkane vorzüglich illattriren können. 

Prof. Simonj natte eine prächtige Glet^cheransicht gemalt nnd die 
bei Beinen üntereucbungen über die uletacber am Dachstein geiammeUen 
Gesteine (OletBcberschliffe n. a. zeigend) an^eBtellt. 

Eine sehr reiche Sammtong hatte Director Pokom; anagegtellt. Sie 
bestand ane einer nach seinem Lehrbuch anBgewKhlten ganz vorzüglich 
schäneu Sammlung von fi7(J Mineralien, den dazu gehörigen 140 Kr^Aall- 
modellen und einer terminologischen Sammlung sowie einer geologischen 
Saminlnng, unter der eine Abtheiluug, die Gesteine der Umgegend von 
Wien nnd Petrefacten des dortigen TertiärbeckenB besonders instmc- 
tiv war.*) 

Sehr BchGne Mineralien hatten ferner die H&ndler Erber, G^r und 
Lenoir ans Wien, sowie Fric von Prag anigestellt, doch keiner derselben 
hatte eine ^stematiach geordnete Sammlung vorgeföhrt, wie man sie ioch 
bei ihnen allen und anderen Handlungen jetzt so billig and vorzüglich 
bekommt. 

Emil Erxleben ans LaDdskron hatte eigenthClmliche geologische Tableaui 
ausgestellt. Anf den gedruckten Tafeln war oben eine Landschaft der 
bete. Periode, darunter die Schichtenfolge gegeben und an der gehSrigen 
Stelle jedeamai Gestein und Petrefact aufgekittet. För Schulen, welche &m 
Gegenstand nicht viel Zeit widmen können, vewiss ein gutes Lehrmittel.**) 

Ftii hatte noch eine bereits als vorzüglich allgemeiner bekannte Samm- 
lung von ^oanen Gipsmodellen der Foratniniferen auegestellt, eowie Edel- 
ste iuimitationen . die den fraBtÖsiachen nicht nachstehen. Dr. Schar; ans 
Frag hatte eine Husteisammluag von silnrisnhen Versteinerungen aus 
Böhmen vorgeführt, welche durch die klassischen Arbeiten Barrande's welt- 
berühmt geworden sind. 

Endlich hatte der mittlerweile als Professor nach I/emberg bernf^ie 
Sectionsgeologe Niedzwieckj eine Sammlung der m OeBterreich hänfger 
vorkommenden Minerahen zusammen gestellt, um die Lehrer auf diese am 
leichtesten zu beschaETenden Arten auflnerkaam zu machen. Diese Azbeit 
hat ihr besonderes Verdienst, nur dürfte sich der Preis doch etwas höher 
stellen, als der Herr Aussteller annimmt. 

Auch für VolksBcbalen waren einige kleine MineralienaammlnngeB ans- 
gestellt, so durch den Lehrer Grimme ans Baden n. a. 

Wir wollen uns nun zu der Äusstellnng des dentechen Reiches wmden. 
Diese hatte besonders eine grosse Ausstellung der Freiberger Minecalien- 
handlnng aufzuweisen. Sie war wohl die vollständigste der im Ans- 
stellnngsraume vorhandenen syslem^schen Sammlungen, enthielt grosse 
insttuctive Exemplare von MiueraDen and Gebirgsarten. Der Freie er- 
schien wohl nicht gering, doch ist das bei einer zu solchem Zwecke aus- 
gewählten Sammlung erklärlich, im Ganzen dürften die Fraise mSeaiger 
sein. Von den Bonstieen renommirten Mine ralienhandlun gen Deutschlands 
hatte keine ausgestellt. Eine kleine, obschon sehr schOne Samfnlung von 
Pech aas Berlin sahen wir noch in einem netten Glaskasten an der Wand 
hängen. Sie enthielt vorzüglich schöne Erjstaile. 

Aus Baden lagen kleine Hineraliensammtungen für Volksschulen vor, 
ebenso aus Sachsen (Schanfnss in Dresden) für Volks- uBd Realschalen. 

Sehr schön nnd instructdv waren die Erjstal) modelte aus Glasplatten 
mit Papierkanten und durchgezogenen Aien, wie sie von mehrern Seiten, 
u. a. von der Gewerbeschale in Fürth vorlagen, auch Thomas aus Siegea 

. . VorAnlHiiiaDg der PiahlerSchfln VerlAgtliuullunK 

d iit dnnli di*H an den Preii von !1 fl. a. W. la bciieheD. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte ober Vereanualaugen, Auszüge ans Zeitschrifteu n. dgl. 309 

hatte deren, sowie die Bächiisohe üntetrichtBabtheihing. die Freiberger 
Handlong hatte sie auB Pappdeckel in ähBlich groEBem MasBtabe gefertigt.*) 

Noch Sj^mer an heigehörigea Objecten waren die übrigen Theile der 
Ausstellung. In der Schweiz wBxen noch Satutnlungen, meist Vorkomm- 
uisae des uandea, doch ohne beBOndera hervorragende Bedeutung, Bueb- 
land hatte ein paar Mineralien- SammlnQ gen für Schüler suBgestellt — sehr 
unbedeutend. 

In der amerikanischen Abtheilung befand sich eine geologische Karte 
der Erde in Merkatora Projection tou Jnles Maroou, die eine gute Ueber- 
sicht über die bereif» erforschten and die noch nnbeksnnten Theile nneeres 
Planeten gebeu. Ein geotogiacbeB Modell, Durchicbnitte eines Berees auf 
Glasplatten dargestellt, stand in der Schweizer Abtbeilnug. Ea ist buchst 
lehrreich, doch ein wenig zerbrechHcb. Äehnlichen DantellnngeQ von 
Bergwerken begegnete mun in der Ausstellung deB-äitarreichischen Acker- 
banmi nistetiun s . 

Nennen wir nun noch eine Sammlung Ton ungwiachen Tracbyten, 
welche Prof Stabo gesandt hatte, ao dürften wir die mineralogiBch-geo- 
logischen Lehrmittel der Wettauestellung, soweit sie direot für den Unter- 
richt bestimmt waren, genannt haben. 

Was nun die Art und Weise des Unterrichtes anbelangt, bo ist diese 
wohl nicht aus den aufgezählten I«hrmitteln , wohl aber aus verschiedenen 
Schulprogrammen und Lehrbüchern zu erkennen. Aus dieien ist zu ent- 
nehmen, das! man den Unterricht der Uiner^ogie nach zwei Bichtongen 
zu Hadern bestrebt ist. Emerseits wendet man mehr Rücksicht anf die 
häufigsten Minerahen, die dlebirgsarten nämlich, andererseite strebt man 
danach, die mineralogischen BescnTeibungen durch grässere Betonung der 
ohemirKhen Eigenschäten lebendiger und praktischer zu gestalten. Üeber 
diese Aenderungen dürfte indessen an anderer Stelle anafuliTlicber ge- 

S rochen w«rden, daher wir hier unsere Skizze über den mineralogischen 
.eil der Wiener Weltansstellung ichliessen. 
Wien. Dr. Caki. Bothi. 



Behebt ötwT die VertLandlluigen der 
iiiath.-]iatnrv. SeoUoii des XXI. dentsclieii Lelirertages in BreBlau. 

Pfingsten 1874. (Amtlicher Bericht.)**) 
Erste Sitzung (den 28. März). 
Im PrüAingssaale der Bealechule a. Zwinger hatten sich am heutigen 
Tage eine grosse Anzahl***J Theilnehmer des 21. deutschen Lehrertagei 
eingefunden, um den Vortrag des Herrn rir. Löckermann aus Hamburg 
über die von ihm solbstcoostrairts Armillarsphäre (Binskugel) anzuhören. 
Nach 7 Uhr erüfihete Herr Dr. I'fennig die Sitzung, welche mit der Wahl 
eines Vorsitzenden und eines Schriftführers eingeleitet wurde. Als ersteren 
erwählte die Versammlung durch Acclamation Herrn Dr. Pfennig, als 
letzteren Herrn Menzel. Beide Herren erklärten sich zur Annahme der 
auf Bio gefallenen Wahl bereit, worauf Herr Dr. Löckermann der Ver- 
sammlung erklärte, dass in Folge irgend eines MissTerstindniaaeB die 

D. Vgl IV, 4M. D, Erf. 

(Wisn 1870), in. £05 IHunburg 1879.). h. Bed. 

_.gef. Rohfttiaog BoUen ei c>. 100 Znhärsr gcweim Hin. Ei lollte bei 
niB*g*] »in, «Ine Ttasllashmaillite inm Zw«k« der Aobelobnung 



n,g,t,7.dt,'G00gIc 



3 10 Berichte über VersammloDgeri, AnBzSge aus Zeitscliriftea u. dgL 

Eerbeiflch&ffanK des Apparat«« leider unterblieben »ei. Der Vorsitzende 
legte hierauf der Versammlung 2 ihm vom Bnchbändler Nebert in Halle 
tibereandte Bacher; „Vorechule der Geometrie Tora Prof. Dr. Hoff- 
mana, Herauegeber der Zeitchrift f. mathem. und oatw. Unterricht iu Wien" 
und: „AnfansBgrfinde der Geometrie von Oberlehrer KQstler" vor. 
Der Vor»itzenae bedauerte, i&M die beiden Bücher zu spät eingesandt 
worden seien , um sie der Auwtellaug einreiben zu können und theilte 
den Anwesenden mit , daes sie jederzeit an diesem Urte Eineicht von den 
genannten BQchern nehmen kannten. Hierauf begann Herr Dr. Ldckermann 
seinen Vortrag. Da sich, die von ihm gehegte Hoffnung, daea vielleicht 
im Verlaufe eeinea Vortrages der gen: Apparat noch zur Stelle geschaSt 
werden würde, leider nicht erfüllte, so mueste sich der Vortragende 
darauf beschränken, die an dem Apparate zu vecainnlichenden Yeranachau- 
licbungen nur aummariscli anzuführen, die VeranschauUchungen selbst 
hingegen der Sitzung des folgenden Tages zu überweisen. Der Vor- 
tragende begann deshalb damit, der Versammlung in kurzen Umrissen eine 
Beschreibung der von ihm angele rt^^ten Ringkugel zu geben, welche von 
ihm nur deshalb ,, vervollkommneter Apparat" genannt worden sei, 
weil er an demselben mehrere ihm bei Gelegenheit der Hamburger Lehrer- 
versammlung vorgesclüagene Yerilnderuugen — resp. Verbesserungen vor- 
Bmommen habe. Die Vereammlung dürfe sich übrigens anter seiner 
ingkngel keineswegs einen glilnzenden, kostbaren Apparat vorstellen; 
auch sei die Grösse desselben nur seinem Bedürfnisse aDgepaeet, also auf 
eine Claese von nur S0^-S6 Schülern berechnet. EndEcn sei derselbe 
überhaupt noch nicht vollendet, indem die Fixsterne fehlten, welche an 
einem abnehmbaren Netze angebracht werden sollten; doch habe er dnteh 
kleine Blechstückchen einstweilen auch nach dieser Bichtnng hin ^ die 
nSthige Teractchauhchung gesorgt. Der ganze Apparat sei übrigens ge- 
nau nach Di esterweg-' sehen Grundsätzen gearbeitet, so dass ^er Apparat 
zunächst die scheinbaren Bewegungen zeigt, indem die Bingkugel um 
den Horizont bewegt wird, nicht umgekehrt. Durch eine Umstellung des 
Apparats lüsst sich dann zeigen, wie die wirklichen Bewegungen aas 
den scheinbaren herzuleiten sind, und omgekehrt. 

Nach dieser Beschreibung ging dann der Vortragende zn den einzelnen 
Erläuterungen über, welche sich an dem Apparate vornehmen, reap. ver- 
anechaulichen lassen, und theilte dieselben in 6 Gruppen: 

1. Allgemeiner Ueberblick, 

2. die Bewegung der Sonne, 

3. die Bewegung des Mondes, 

4. die Bewegung der Gestirne and 

5. Zusammenstellung der verschiedenen Sphären. 

I. Zu dem ersten Funkte übergehend, theilt der Voctoagende zu- 
nächst mit, dass sich an dem Apparate die einzelnen Cardinalponkte der 
Himmelskngel nachweisen lassen, z. B Zenith, Nadir, Zenithdistanz, 
Polhöhe, geogr. Länge und Breite für jeden Ort der Erde u s. w. Der 
Apparat zeigt also für jeden Ort iu Wirklichkeit, wae sonst avi durch 
Beohnung ermittelt werden kann. Eine genaue Betrachtung ergibt durch 
Anschaaung, dass die Polhühe gleich der geogr. Breite, die Zenitfadistan: 
gleich der Aequatorhöhe ist und dergl. Ebenso lassen sieb die Colnren, 
die Deelinationa-jBectascenBionB- und Meridiankreise , die 3 vergchiedenen 
Horizonte (der scheinbare, wahre und natürliche Horizont] u. s, w. 
nachweisen. 

n. Die Bewegung der Sonne. In Beziehung hierauf tä,SBt sich für 
jeden Ort der Erde der Auf- und Untergang der Sonne nach Zeit und 
Ort genau anschaulich nachweisen. (Die Zahl der Orade ist durch einen 
Massstab angegeben.) Ebenso lässt sich die Mittagali nie, der Mittagskreis, 
die Sonnenhöhe, Deoliuation, BectascenHion , sowie auch der Tag- and 
Nachthogen für jeden Punkt der Erde und für jede Zeit des Jahres an dem 
Apparat ablesen. (Hineichtlich der letzteren Darstellnng erklärt der Vor- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte aber Venammlangeii, AuszQge ans Z^iteckriften n. dgl. 311 

tragende, daea sie ihm salbBt noch nicht hinläi^lich zusage.) Andere 
Erscheinungen, welche eich an dem Apparat ebenfalls nachweisen lassen, 
sind: die grösete nnd geringste Tageslänge für jeden einzelneu Ort der Erde, 
die Dauer der Morgen- und Abend dämmerung, die Zeit der mitternächt- 
lichen Dänunemng, nnd die Bedingung fOr die hellen Kächt«, femer die 
Schiefe der Ekliptik u. b. w. 

in. Die Bahn des Mondes. Dieselbe ist herausnehmbar und es 
IS.B3t sich durch dieselbe veranschaulichen; 

1. ihre Lage, welche gegen die Sonnenbahn um einen Winkel von 5,P 
geneigt ist, woraus sich 

2. die Knoten derselben ergeben. (Änfsteigendei Knoten oder Drachen- 
kopf, absteigender oder Dracheuschwanz.) 

3. Die Abendweite nach Ort und Zeit. 

i. Die durchschnittliche tägliche Verspätung des Mond -Auf- und 
Unterganges um etwa 50 Minnten. 

6. Die Bedingungen fQr die Finsternisse] (centrale, totale nud ring- 
(ttrmige, partiale). 

6. Die verschiedenen Bevolutioueu des Mondes, namentlich die side- 
rische, sjnodische, tropische, und drakonische. Die anomalistische lässt 
sich dageeen, da sie grosse Feinheit und Genauigkeit der Darstellung 
beansprucht, an dem Apparate nicht nachweisen. 

IV. Der Lauf der Gestirne. Wie der Vortragende schon vorher 
bemerkt hatte, ist das abnehmbare Drahtnetz mit den Sternbildern noch 
nicht vollendet. Die wichtigsten Erscheinungen, welche sich an demselben 
vordemonstriren lassen sollen, sind: 

1. Die gleichmässige scheinbare Bewegung der Fixsterne und ihre ver- 
schiedene Geschwindigkeit, welche am Äequator am gröesten, und von 
demselben nach den Polen hin gleichmässig abnehmend , au letzteren selbst 
gleich wird. 

2. Die Bedingung der für uns sichtbaren Sternbilder, welche abhängig 
ist von der geo^. Br. des BeobachtunKBOrtes. 

3. Die Bestimmung der CircumpoUirBterne. Es UUst sich ferner für 
jeden Stern nachweisen 

a. in Beziehung auf den Horizont sein Azimuth und seine Höhej 

b. in Beziehung auf den Äequator seine Declination und seine 

c. in Bezug auf die Ekliptik die Lü,nge und Breite eines Gestirnes. — 
Es folgte hierauf 

V. Die Zusammenstellung der einzelneu Sphären, der senk- 
rechten, parallelen nnd schiefen Sphäre. An dem Apparat lassen sich durch 
Anschauung fblgeude Sätze nachweisen: 

1. in Bezieuung auf die senkrechte Sphäre: 

a. Die Aeqnatorhfihe beti^gt 90°, die PolhOhe 0". 

b. Die Circnmpolaraterne unserer Breiten haben ebenfalls Auf- und 



B Tageskreise sind senkrecht nnd werden durch den Horizont 
in 2 gleiche Hälften zerlegt. 

2. Ja Beziehung anf die parallele Sphäre ergeben sich folgende Sätze : 

a. Die AequatorhOhe betr^ 0°, die PolhShe 90°. 

b. Die Tageskreise gehen mit dem Äequator parallel (daher der Name 
parallele Sphäre). 

3. In Beziehung auf die schiefe Sphäre: 

Die Äequator- und Polhöhe sind abhängig von der Breite, ergänzen 
sich aber zu 90° u. s. vr. 

Durch eine andere Binstellunff, nach welcher das Himmel age wölbe 



fest erscheint, also so, wie es der Wirkhchkeit entspricht, gehen alle 
wirklichen Bewegungen in scheinbare über, nnd nmgelehrt. Es ergibt 
flieh also dadurch die wahrt» Ursache der scheinbaren Bewegungen und 



wirklichen Bewegungen in scheinbare über, nnd nmgelehrt. Es ergibt 
.■,u .._- j.j.__-t ji. — !._.. IT.;..-!.- 3-„ _-t. -;..,. -_,jj Bewegungen und 

n,g,s7.dt,'G00gIc 



313 Berichte Aber TerHammlungeu, Anazüge ans Zeitschriften u. dgL 



Zweite Sitcnng (den 2». Mai 1ST4}. 
Id der hentigeD Sitauog. welche ebenso stark besacht war, wie die 
Kestrige, etlänterte Herr Dr. LOckermann die am gestrigen Tage rorge' 
iragenen Sätze ata Apparate seihst, welcher diesmal zur Stelle war. 
Zunächst wurde die VerBammlung mit den einzelnen Theilen des ÄpparateB 
bekannt gemacht, und an demBelben die Cardin alpunkte vor aJlen Dingen 
l'eatgeBtelTt. H. Dr. L. stellte den Apparat für die Breite von Breslan 
(^ 51°) ein, und zeigte daran, daes die ZenithdiBtanz gleich der Aequator- 
böbe sei, n. a. w. wie in der gestrigen Sitzung dies schon angedeutet 
worden war. — Ferner wurde in Beziehung aui die Sonne der Auf- und 
UntergaiiB anschaulich dargentellt, indem Herr Dr. Löckenuann die Sonne 
für den heutigen Tag, also für den 2S. Mai einstellte, woraus eich in 
Wirklichkeit ergab, daas dieselbe für Breslau am heutigeu Tage nngef^r 
um 4 Uhr (genauer 3 Uhr 43 Min.) aufgehe. Ebenso ergä eich der 
Sonnonuutergang zu 8 Uhr 7 Mio. — Aua der Darstellung der Dechnation 
ergab sich durch Anscbauung, dass die Tageszit- und Abnahme in den 
Aequinoctien am bedeutendsten, in der Nühe der Solstitien am geringsten 
sei. Hierauf wurdea die Sätze anschaulich entwickelt, welche sich aus 
der Rectsscension ergeben. — Leider wurde H. Dr. L. verhindert, dies 
mit der nöthigen Anschaulichkeit klar zu machen, da der Taresbogen 
des Apparates zerbrochen war. Die Darstellung der hellen Nächte, der 
Ekliptik, die Bedingungen für die verschiedenen Jahreszeiten u. s. w. 
waren die femereu Gegenstände der Erläuterungen des Vortragenden, 
worauf derselbe zur Daratellung der Mondbahn überging, und zunächst 
die Lage derselben, ihre Knoten, die Phasen, die regelmässigen Terspät- 
ungen des Auf- und Unterganges, seine verschiedenen Monate oder Üm- 
läu'e, die Bewegung der Knoten ood damit zugleich die Bedingungen ßr 
die Ilnstemisse n. b. w, anachanlich erläuterte. Zu dem Laufe der Gestime 
übergehend, zeigte der Vortragende zunächst die Gleich mäasigkeit ihres 
Laufes , indem er je einen Stern in der Nähe eiues Poles, des Aequators 
und des. einstellte , ferner die Bedingungen für die Circumpolar- nnd nicht 
sichtbaren Sterne daran klar machte. Wegen Mangel an Zeit sah sich der 
Tortri^ende genäthigt, das Capitel über Bectasoension, Azimuth und dgl. 
der Gestirne zu überschlagen und sogleich zur Darstellung der senkrechten 
Sphäre überzugehen, um die daraus sich erg'ebenden wichtigsten Sätze 
zu erläutern, wie dieselben in seinem gestrigen Vortrage bereits namhaft 

femacht worden waren, worauf derselbe noch zur Darstellung der parallelen 
phäre überging und schhesslich noch durch eine andere Einstellung bewies, 
dass alle scheiunaren Bewegungen nur ein Resultat der wirklichen seien. — 
Ta. FFeNNi». B. Mbkcbt,. 

Die Blohtigkmt dei Abichiift dleHa ofRaieUen Sarlchti btgUablgt 
Breilmi, den 30. Jnni ISTl. Dr. Thial, 

•tellT. TonftESF dsa OnianawiliitHM 
a. Ton. d«i B«da(stioiu.<]oinmluiiin ien. 

Nachschrift der Redacti« 
langen dieser Section (vgl, unsere „ _ „ 

dieses Berichts^ die Verhandlungen und Vorträge reichlicher flössen, ge- 
wahren wir diesmal eine grosse Genügsamkeit. Ein einziger Vor- 
trag über ein Lehrmittel füllt zwei Sitzmtgen aus! Von einer Discuaaion 
des Vortrags, von sonstigen Verhandlungen, von naturw. Bicursionen oder 
von einer eingehenden Besichtigung mathem.- naturw. Lehrmittel schweigt 
der Bericht — Uerade in dieser Section ^re der richtige Ort gewesen, 
um einmal die Mängel und nothwendigen Verbesserungen des mathem. - 
oatnrw.SeminaruiiterrichtBzu besprechen. Auch von einer Vorbereitung 
für die nächste Versammlung ist nichts zu hören. Der Herausgeber 
dieser Zeitschrift, welcher diese Section in Hildesheim 1867 gründete, aber 



n,g,t,7.dt,'G00gIc 



Beriebt« Aber VerBaminlungen, Auszüge aus Zeitschriften n. dgL 313 

achoD längst nicht mehr zu den «tändigeii ÄuBBohossmitgÜedem gehSrt, 
wSnacht — gewiss in ÜebereinstimmuDg mit velen Fachgenonen — recht 
Behr, daos diese Section nicht einsoUaFe oder gar 2U Srabe ^ehe, dass viel- 
mehr gerade der inathem.-aaturv. Seminarunterrioht dort, wo der 
richtig Ort daFär ist, behandelt werde. Uaterlt^en dazu dürften Ueten 
diese Zeitochrift I, Gift— 617. H, 181— ISS. III, 42-4» nnd 408—401. IT, 
1122-223 und unsere Anm, V, 101. — 



Die diesjährige NatnrToraelieT-VeisammlTUig in BEeslan betr^md. 

Die Redaction erhielt folgendes Schreiben: 

BiBiUu, du 1. »Iii 1814. 
0nteualohB«ta galinnD dar prcTliorltcheD CommiHton u, weicht iloli in ADfuig 
FahriiH e. tMniti Mldst«, mn dla TathtTeitniigeii fOi di« Frtttime ein» imfBHtalltea wlnin- 
lalwfttiohaL Problfimi aq bnr*Uiva and bedbiicliüeBiL d*dat«]i dla taqs Tlullnrnbou da Ga- 
lebiun -ton N*h und Pem fai T0Tli6geadeii QtHoantvid iraohinitirui. 

Bl( Jstit kGonta wir dai Kllgemslne Inlerciie unr durch [nJisgsaden kunea AiUka! 
«of dla Vorlag« der dlaJUuIgen N»turfortoll«r-VB«»inBanDg licbUn und anucbaD Bia tuSf- 
Ikbit HU d«H*ii AnfUiÜDna. 

HoduahttLOfftroB «dr^bamle 
gu. AdtsI Andairaiohii, eai. E. Frltaob. gai, Di, mad. Maonni, 

Ton. d. K. Frint-Doctnl «i d« Uhi**niltlt. 

a Sahmidi, gu. Dr. nud, Lodwlg Harnsmiinn. 



Eine Arbeit der Deatschon Naturforscher- 
Veraammlung 1874. 

Die heutige Wisaenechaft nimmt bekanntlich Em, dan die Sonne, die 
Planeten und deren Monde gegenseitig unter der Wirknng der Anaiehungs- 
kraft stehen, daaa aber d^egen das direct« Zusammenfallen dieser Himmels- 
körper durch die zweite Kraft aufjgiehalten würde. Diese andere geheime 
EraA, welche der Attraotions-Eraft entgegenwirke, rühre von einem ersten 
Wurf oder ersten Anstoese her, welcher Vorgang von dem menschlichen 
Verstände niemals werde zu erklären sein. 

Demnach scheint der Forschung hier ein „Halt" gebaten und eine 
„Grenze" gezogen lu sein, da keine Möglichkeit vorliegt das 6ehdm- 
niss des VerDindangsbandes der Amiehong, sowie deren Stz oder Wesen 
m arklttren, eben«owen^ eine Kunde aus jener Zeit her zu erhalten, 
wo und wie einem Himmelskörper der erste anstoss zu Thml wurde. 

Einem deutschen Physiker ist es indess gelungen, in dieser Beoehnng 
Liebt zn schaffen, der seit vielen Jahreo die Aufeabe vorfolgte, dem Site 
nnd Wesen der Anziehimg nachinapären , obglei<m er zu einem negativen 
Besaltate gelaugte. 

Den centralen Sitr der Anziehung fand er zwar nickt, sowenig vrie 
alle früheren Forscher, dagegen leitete ihn dos Wesen der Wärme, in 
dem Lichte der neuen WärmeÜieorie als Art einer Bewegung betrachtet, 
auf einen beMedigauden Standpunkt, welchen er der letzten deutschen 
Naturforscher^ Versammlung unter dem Titel: 

„LOaung des Problems über Sitz und Wesen der Anziehung" 
mittheilte. 

Da der Gegenstand vollständig neu war, fand er keine vorbereiteten 
Hitglieder und wurde nicht disoutart, dagegen soll derselbe auf der dies- 
jährigen Versammlung zur genauen Erörternng kommen, weshalb sich 
schon jetzt eine vorbarathende Früfungs Commissiou ausschlieaaliob fOr 
diese wichtige Frage bildete, welche einer weiteren persönlichen Betheili- 
gung von Gelehrten gern entgegensiebt. 

Zeiuchr, für milhem. ii. nutarw. DnUrr. V. Sl" 



,t,7rJM,G00glc 



314 Berichte Über TenamiDluiigei], Aiiesfige ans Zeitachriften u, dgl. 

Der die^&hrige EcIftntcrungB- Bericht enthält bis jetzt folgende Gmnd- 
zöge nach den nenesten wisse DHchaftliehen Grundlagen au^erührt; 



„El wirken allerdingB bisher j 



e Kr&ft« in TeTschiedener Richtong 



__3 Planeten nnd deren Trabanten ein und tieiben dieselben e 

eeitfl von der Sonue her, andererseits in der Richtonff zur Sonne hin 
aneinander ^ aber nicht auf eine fdr immer nnerklärnare Art, Bondera 
glöekliolier Weife jetzt nachweisbar durch 
die Lehre von der Mechanik der Wärme, deren Begründer 
J. B. Mayer in Heitbronn ist. 

Die W&ine, welche einerseits ausstrahlend von der Sonue aoBBtrömt, 
andererseits von allen übrigen entfernteren Sonnen am BinunelsglobnB 
sttablend entgegenstrCmt, diese Wärme, die maa zwar «nnlicfa nnr in 
ihren Folgen wahrnehmen kann , leistet grosse und endlose Arbeit auf 
und in der Materie der kühlen Himmels -Kugeln unseres Sonnen- 
systems. 

Zwischen den ^geführten Richtungen der im All überall, gegen- 
seitig herrschenden Wärmeströmnnsen befinden sich alle Planeten mit 
Zubeoüt, sie beschreiben nach den Keppler'schen Gesetzen in ihrer Be- 
wegung in Bezug auf die Bonne ebene Curven, ihre Bahnen sind Ellip- 
sen, in deren emem Brennpunkte der Mittelpunkt der Sonne ist. Die 
Sonne bewegt sieb wie bekannt mit ihrem ganzen System im Himmele- 
ranme weiter, weshalb auch die Planeten zur Fortbewegung gezwungen 
werden. Dorch die Annahme des mechanischen Wäraie-Aequi ^ente, 
fo^licb durch den Beweis der Umsetzung der Wärme in Arbeit, beson- 
ders aber durch das S. Gesetz der mechanischen Wärmetheorie, das 
Camot'sche Gesetz, weiches lehrt, dass Wärme nur dann zur Herror- 
bringung von Bewegung benutzt werden kann, wenn dieselbe tou einem 
wärmeren auf einen kühleren Körper übergeht, wird die ganze Himmels- 
mechanik nach einem anerkannten ^stem erklärt und es erhält zugleich 
die Einheit und Erhaltang der Kraft im Universum dadurch eine neue 
und glückliche Bestät^ng." 

UeDrigenB hat Newwn selbst schon ausdrücklich auf die Art des an- 
treibenden Mechanismus aus der Feme hingewiesen, nur dass er an 
Stelle des Begriffs „Wärme" sich noch des Ansdrucks bedient«: 

„AuBge schickte GeUter von dem Jenseits könnten auch 
ebensogut die Planeten und deren Trabanten gegenanein- 
ander tou ansBen ber antreiben." 

Diese angeführte Stelle in Newtou's „Mathematische Principien der 
Natur -An Behauung über die Bewegung kugelförmiger Himmelskörper" ist 
überaus wichtig, da dieser grosse Mathematiker selbst darin documentdrt, 
dass die mathematischen Berechnungen des Gravitatjons- Gesetzes in diesem 
Falle ebenso genau zutreffen würden, als bei der von ihm voraosgeaetzten 
aobenannteu Attractiou. 

Der praktische Beweis für die Himmelamechanik durch gegenseitge 
Einwirkung der Sonnen nach dem Gesetz der mechaniscbeD Wärmelehre 
soll auf irgend eine Weise zur Zeit der Versammlung deutscher Natur- 
forscher und Aerzte im nächsten Herbst in Breslau zur ÖfFontlichen An- 
schauung gebracht werden. 



Kleine ZeitscIuriftonBcliaii der Redaotion. 

1} Nouv. Annal. de Matb^mat p. Gerono et Brisse. Von dieser 
bekannten math. Zeitschrift liegen uns mittelst Tausch 4 Bände (9. 10. 11. 
12, Bd. Jahrg. 1670—1873) und einzelne Het^ des Jahrgangs 1871 vor. 
Sie sind , wie für jeden Lehrer der Mathematik auch für die Redaotion 
dieser Zeitschrift zngteich eine Quelle von Scbülerantgaben und deren 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte über VerBammluogen, Auszöge aus ZeitBohriften n. dgl. 315 

LSeungen und haben wir dieselbe dem Herrn Referenten über Schüler- 
anfgaben zugeBtellt. Daa 1. (Januar-) Heft dieses Jahrgangs (1S74) ent- 
h&li die QueatJonB prop. 1126 — 1188 und die BolatiotiB prop. 1098. 1118, 
von verBohiedonen Autoren. 

2) Revue de l'InBtruction publique en Belgique herausgegeben 
Tön den Herren J. Gautrelle, D. Keiffer, L. Roerach, Ä. Wagener. Hier- 
von liegen uns vor: annäe 18. 19. SO. 21. und einige Hefte von 28. Obgleich 
diese Zeitschrift wie die deutschen Ojmnasialzei&chriften z. E. Jahns Jahr- 
buch (Fteckeieen-AIaBiuB) nnd die Berliner Zeitschrift für Gymnasial- Wesen 
mehr sprachliche und pädagogische Abhandlungen enthält, bietet sie doch 
am Schlüsse häaGg auch mathematische Aufsätze iind Aufgaben, So ist 
z. 6. im 22. Jahrg. (1874) 1. Lfg. ein Aufsatz „ApplicationB d'one forme 
particoli^e de l'equalion de la ligne droite" v. C. B. Oaud, Mars 1871. 

3) Pädagog. Archiv v. Langbein-Erumme. Diese bekannte 
Zeitatjirift bietet unter der Redaction von Dir. Erumme tmd unter Bei- 
hilfe von Dr. Reidt lesenswerthe Artikel für den mathematischen und 
naturwissenschaftlichen Lehrer. Das 4, Heft dieses Jahrganges (18T4J ent- 
hält n. A. einen,, Bericht über mathematischen Unterriohf, deren 
1, Thei] enthält: Anzeigen der neuen Auflagen von Schi ümilcha Geometrie 
des Masses, den Elementarmathematiken von Eamb!?, Gaues and 
Helmes, Reuschle, Trigonometrie, Grünfeld, Arithmetik, Colenso, 
Algebra. Diesen „Anzeigen" folgt eine 10 Seiten lange eingehende, zu- 
sammenfassende und übersicbtlicheSeurtheilung dieser Bücher nachGeeiohts- 

Snnkten von Dr. Reidt. Die nur angezeigten Aufgabensamlungen von 
rünfeldu. Sin ram sollen nachCompleurung derselben beurtheilt werden. 

4) Die allgemeine Schulzeitung herausgegeben von Stov, 
bekanntlich auch Zeitungsorgan des (Leipziger) Vereins für wissenschaft- 
licbe Pädagogik, liefert ort auch für den Lehrer der Mathematik und Natiir- 
vissensch^ Tesensweithe Aufsätze; namentlich wendet sie neuerdings dem 
Seminarwesen grössere AufiaerkBamkeit zu, Für den Fachlehrer der 
Mathematik und NaturwiasenBChaft sind von Wertb die vierteljährigen Ab- 
handlnngsverzeichnisBe der pädagogischen Zeitschriften, eine Art Bevue, in 
welcher man auch mathematische und DattirwissenscbafUiche Auisätze 
findet, z. B. in Nr. 7 und 24 dieses Jahrganges. — Nr. 26 enthält einen Bericht 
aber die Hanptversammlnng BächsUcher Bealschulmännet (92) 
in Dresden am 27. Mai d. J., wobei auch im Zeichonsaale der Anneu- 
realschule eine Ausstellung von Thierglaam od eilen aus der Fabrik von 
L. Biaschka (Dresden), eine desgleichen von Skeletten der Wirbelthiere aus 
der Frivata^mlung des Instiu^lehrers Reibisch ebendaBelbst nnd endlich 
von Farnkräutern versnBtaltet w^ 

In derselben Nummer ist ein kurzer Bericht aber die 21. allgemeine 
Lehrerversammluug in Ttreslau, welchem eine kurze Auslaasung eines ans- 
ländischen Pädagogen Aber den Werth und die Resultate der Verhandinngen 
dieser Versammfiuig folgt, die viel Beherngenswerthes enthält und nament- 
lich das Eigenartige dieser Versammlung scharf rügt, wonach sie es 
liebt, in Gemeinpiat,zen sich zu bewegen und nie inm Besondem gelangt, 
sich in der Behandlung der Themen wiederholt und nur bei Wünaoben 
und Resolutionen bleibt. Dem ständigen Ausschüsse jener Versammlung 
dürfte die Lect&re und Beherzigung dieser Bemerkung eines ausländiBchen 
Pädagogen zu empfehlen eeini -^ Diesmal scheint man jedoch eine Aende- 
rong insofern angeuahnt zu haben, als man den ganzen zweiten Ver- 
sammlnngstag zu Sectionssitzungen benutzte, eme Äenderung, die wir 
bereits vor Jahren empfohlen haben! — Wir können uns der Bemerkung 
nicht enthalten, daBs uns nnter allen Volisschnl-Zeitnngen, die wir kennen, 
die allgemeine Sohulzeitnag wegen ihrer wissenBchaftlichen 
Haltung die empfehlen swertheste schemt. 

6) Zeitung für das höhere Unterrichtswesen Deutschlands 
(Leipzig, Siegismnnd nnd Volkening) bietet zwar dem Lehrer der Mathe- 
matik nnd Naturwissenschaft weniger für seine Praxis, doch eotbält sie 



,,Googlc 



316 Berichte über Tergammlimgaii, AniiOge am Zeilvchriften ti. dgL 

mancherlei Aufsätze, welche für denselbeti von InteteBse aiud. Auch daa 
von der Zoitachrift sub S) and 4) ventilirte Thema der Realsoholfrage be- 
handelt 8ie.*J 

6) PetermannB geogr. Mittheilungen. DieBes anei^amnt oberste 
Organ für geagr. Wigiensäiafl ist pliltzUcb auch einmal in die Schiil- 
Btatürtik herabgealiegen. Es enthält nämlich in XX fi874)Heft 6. Taf. 10 
eine (nreprünglich für die pädagogischen Blätter von Kehr beatimnite] 
Charte der YolEBechullehreT - Seminare des deutschen Reichs, die eine werth- 
volle Cnterlage für itatiatiache Derechnungen bietet nnd geeignet ist den 
Orad (die Intenutät) der Volkabüdong dee Landes zu veranBch anheben. 
Wir gedenken die in jener Charte enUialtece geogr. üebereidit zugleich 
mit den Osteir. Lehre rbildungiauBtalten im näciiat«a Hefte tabelLariach 
zu geben. Einstweilen entnehmen wir den erläuternden Bemerkungen znr 
■ Charte (s. dort S. 186) Folgendes: 

Die Statistik des dentsoben SobulwesenB bedarf noch aahr der Pflege. 
Selbst in Bchmidi bekannter Encjclopädie (Artikel : Volksachullehrer- 
Seminar) iat der Btatiatisohe Theil der schwächBte. Die ergiebigste Quelle 
ist noch immer (wiewohl auch noch nnvolUtändigJ Mushackea Scbulkalender 
und daa preuBaiache Centralblatt. Die Statistik der Seminare musa 

6aratlel laufen der Statistik der YolkEschulen. Für PreuBsen ist der letzte 
achweie über den Stand des TolkascbulweBena für die Jahre 1862— M 
im Jahre 1367 enchienen.**} Aus der fraglichen Charte lOast üoh Folgendw 
entnehmen : 
Die Bevölkerung des d. Eeicha ist (n. Behm -Wagner) . 41,06O,6afi B. 

Schulpftioiitige Kinder aind 16 "/o , . . 6,689,711 

Auf 1 Lehrer SO Kinder gerechnet, gibt Lehrer .... 109,495 

der j^rl. Abgang der Lehrer iat ö"/« ....... 6,476 

diese mÜBsen nen rekrutirt werden. Nnn iat aber die 
höchste Zahl von Zilglingen die eine Lehretbildunga- 

austalt jährlich bilden kann 30 

Dies gibt also Seminare in Deutschland ^^— ISS 

So viele Seminare müaete Deutechlaud haben, aber es 

hat deren nur 162 

die jedoch ^eist] weniger als 30 ZOgtinge jährlich liefern. 
Nach obigem Aeiultat (18! S. auf Oeeammt-D^ müBste im 

deutschen Reich ein Seminar kommen auf ca. . . . S35000 E. 

In Sachsen aber kommt ein Seminar echon auf . . . 170000 E. 

und ea hat nicht (wie es nacb Obigem haben müiate) 

nur 11 Seminare, Bondorn deren 15 (167)*") 

Es wäre eine verdienaüiche Arbeit, wenn Lehrer der Mathematik be~ 
rechneten oder (vielleicht als Uebungen för die Frocentrechnong) voa 
Schülern berechnen' und dann controljren Hessen, wie gross der Proceat- 
aatz der Seminare (und der Mittelscholen überhaupt!} für die einzelnen 
Länder ist. Ea liessen sich dann diese Procentsätze in einer Curva gra- 
phiach darstellen and daraus liesse sieb ein Schluss ziehen auf die SUlrke 
^tensilAt) der Volks- und Schulbilduug überhaupt. Der Herausgeber 
dieser Zeitachrift will für jetzt hierzu onr vorläufig eine Anregung geben 
und wild vielleicht in nächster Zeit selbst an einem deutachea Lande die 
AuafUhcung zeigen. — 

•| Die i»u«f*n B*fle aitnt ZdtHhiift lagea du leider noch njsht vor. 
■■) Wir miJen niu Uu m d*r SuMrkaBg gMlnuig*ii, Ana oioh der VCleMr Wtttua- 
■MUnnB if dwtwheD trstarriahtirikTillon id nrth^ea die SshDliMUitlk haKDder«r EOaga 
■ich ca wtnnvti Hh^at in Bklera. TlellBJohl tlnd wir uftobatem In der LaEe, dexttlwr 



dit 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



üeber eine Art biquadratischer Gleichungen, die sich 
mit Hilfe quadratischer Gleichungen lösen lassen. 

Ton Prof. Dr. K. L. Baukb in KatlBrolie. 

§■ 1- 
Yersobiedene Formen der biquadratisohen Gleiobong. 

Gesetzt, eiae vorgelegte biqaadratische Gleichung: 
ax* -f- hx^ -\- cx^ ■{- dx •\- e = a 
habe sich auf folgende Form bringen lassen: 

I') l {px-^ + ja: + r)' + m Cpa;= 4- 3« + r) + w = 0. 
Denkt man sieh jetzt das Trinom px'^ -\- qx -\- r durch das 
Binom (jpa;* + qx) + r ersetzt und entwickelt hierauf I'), so 
geht eine neue Form hervor; 

11') l{px^-\-qxf + {2lr-\-m){px''-\-qx) ■\' {lr''-\'mr-\-n)'=-0. 
Substituirt mau ferner 

in I'): px"^ -\- qx -\- r = {px^ -\- qx -^ s) -^ (»"— s), 
oder in II'): px^ -h qx = [px"^ -\- qx -\- s) — s, 

so verwandeln sich beide Gleichungen in: 

A) l(px^-\-qx-\-sy-i- pl{r~$) + m}{px'>-\-qx-i-s) 
+ {l {r—s}'' + m (r—s) + «} = 0. 
Führt man aber statt der willkfirlichen Zahl s eine andere 
solche Zahl t ein, gemäss der Relation: 

t = t(r—sy-{-m{r — s), 
woraus folgt: 

21 (r — s) + m = + yn^^^fWt, 
so verwandelt sich A) in die Doppelgleichung: 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



B) i {y». + ,» + r.>r + «)^rm' + uiy ^ y^rfiü 

.{,>.' + Sx + JUM^ÄTÜ^^+ät} + (, + „)_ 0, 

worin bei den Doppelzeichen gleichzeitig entweder die oberen 
(Gleichung B'), oder die unteren (Gleichung B") zu benutzen 
sind. 

Weil s in Ä) und t in B) gane willkürliche Zahlen be- 
deuten, BO folgt, dasB wenn eine biquadraÜBche Glei- 
chung überhaupt auf die Form ]') gebracht werden 
kann, dieas auf unzählig viel Arten möglich ist Aus 
B) geht ferner hervor, daaa eine biqu. Gl. von der 
Form A) sich im Allgemeinen durch eine andere 
solche ersetzen läsat, die von der ersten nur in der 
Grösse s und im Vorzeichen des zweiten Gliedes ab- 
weicht. 

Setzen wir speciell: 

f = 0, daher s =» r, oder = - -^ - ■ , 

so erhalten wir aus den allgemeinen Gleichungen A) und B) 
die Gleichung I') als besonderen FaU, ausserdem aber eine sehr 
ähnliche, die jederzeit statt I') benutzt werden dürfte, da ja die 
specielle Wahl von t und s, die Gleichung nur äusserlich 
beeinflussen kann: 

Ist zweitens: 

t=lr^ + »ir, daher s = 0, oder = — '''^- ■, 
so ergibt sich ausser 11') die ähnliche Gleichung: 

n-) i(px-' + qx + ^^p^y 

-{2lr + m)ipx'^+ qx+ ^^^^"^ )-{-(lr^-\-mr-{-n) =0. 

Wählt man indessen t so, dass die . beiden entsprechenden 
Werthe für s einander gleich werden, nämlich: 



so entsteht aus A) und B) nur eine einzige Gleichung III), die 
sich unter den unzähligen in A) und B) enthaltenen Speeial- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Ueber eise Art blqnadratischer Gleichungen, die rieh etc. 319 

gleichungeu durch die grosste Einfachheit auszeichnet, da 
sie in Bezug auf das Trinom (pic^ + 3« + s) rein quadra- 
tisch ist. Nach Division durch l läsat sie sich auf eine der 
folgenden Arten darateUen, wobei q und v zwei leicht zu ver- 
stehende abgekürzte Bezeichnungen sind: 

(px^ -\-SX-\- —^y jp 0. 

III ) Ci»«' + 3« + <>)' - v = 0. 

{p^'-\-a^+[9-i'}^)} {px'^ + qx + {Q~y'v)} = 0. 
px' + gar -f- {(» + /v) = 0. 
Auf dasselbe Resultat fiihrt auch die andere Substitution: 

, = -„, .„ji'iiüiii^siEü". 

obwohl jetzt nämlich in B) die Wurzelgrösse nicht verschwindet, 

und obwohl die zwei in A.) für s zu substituirenJen Werthe 

ungleich sind, erhält man doch nur die einzige Gleichung III), 

weil es bei der resultirenden Doppelgleichung: 

{px' + qx-i-{Q + yv)±2}/i:}{pa^ + qx+is/ + Vv)}=0, 

oder 

{px^ + qx-i-{g± yv)} {px'' -i-qx+(g+ j/v)} = 
lediglich auf eine Factorenvertausehung hinausläuft, wenn man 
bei den zwei Doppelzeichen die unteren, statt der oberen, 
benutzt. 

Wegen der ausgezeichneten Einfachheit der Gleichnng III) 
soll sie auch den weiteren Betrachtungen zu Grunde gelegt 
werden. 

§•2- 

Die Beduoente, von weloher die MÖgliolikeit der direoten 

Bedttotlon einer biquadratisohen Gleichung auf die 

cuigegebeuen Formen abhängt. 

Sobald es gelungen ist, eine biqu. Gl. auf die Form III) zu 
reduciren, lassen sich die vier Wurzeln nach folgendem Schema 
bestimmen : _ 

px'-\-qx-\-iQ+yv)=^0; 



,t,7rJM,G00glc 



K. L. HiuEB. 

px-' + qx + {«f — j/v) = 0; 



Zugleich folgt hieraua, daae zwischen diesen vier Wurzeln eine 
eigeathümliche Beziehung besteht, indem: 

«1 + «s =" als + 3:4 q:p, 

X^ ~~ X^ =2 — (iBj Xf) 

x,-\-x^ — X3 — x^=- 0, 
was an die Relation zwischen den Seiten eines einem Kreise 
umschriebenen Vierseits erinnert (vgl, J. H, T, Möller, ebene 
Geometrie, 2. Auflage, 2. Theil, S. 155). Eine solche Beziehung 
findet immer statt, wenn die vier Wnrzeln eine arithmetische 
Progression bilden, wie etwa die Zahlen 1, 2, 3, 4, doch 
ist diese Eigenschaft keineswegs erforderlich, da die vier Wur- 
zeln nur arithmetisch proportionirt sein müssen, wie bei- 
spielsweise 1, 2, 4, 5. 

Nur also, wenn die Wurzeln einer biqu. Gl. zufallig derart 
beschaffen sind, dass die Summe oder Differenz zweier 
derselben beziehungsweise gleich der Summe oder 
Differenz der beiden andern ist, wird es möglich sein, 
eine directe ßeduction auf die Form III) und damit die Auf- 
lösung nach dem obigen Schema zu bewirken. Daraus folgt 
weiter, dass die Möglichkeit einer aolchen Beduction an eine 
sogenannte Reducente gebunden ist, welche die Coef£cienten 
der biqu. Gl. einer gewissen Bedingung unterwirft, die der 
Bedeutung nach mit dem oben ausgesprochenen Satze 
über die unter den Wnrzeln stattfindende Relation 
identisch sein muss; vgl. Dr. L. Matthiessen; Schlüssel zur 
Aufgabensammlung von Heis, Kßln 1873, Bd. 2, Seite 300.*) 

Die fragliche Reducente ist leicht zu ermitteln. Entwickelt 
man nämlich die linke Seite der Gleichung III) nach fallenden 
Potenzen von x, so wird: 

pH* -\-2jaqx^+ {2pQ + q'') a;^ + 23paj+ (p^— v) = 0. 



*) Diese verdienstvolle Arbeit des bekannten Verfassera möge hiermit 
angelegeutlichet empfohlen nein; wenn sie nur nicht ansBer der beträcht- 
lichen Menge angezeigter Dcnckfehlet deren noch so viel andere enthielte. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



üeber eise Art biqnadratischer Gleichungen, die rieh etc. 321 

Damit nun HarmODie mit der ftllgemeinen biqu. Gl. : 

ax* + ix^ -\- ex'' -\- dx -^ e =0 
stattfinde, müssen gleichzeitig folgende CoefficientenglelcliuiigeD 
bestehen : 

1) p' = o 

2) 2pq = h 

3) 2pQ + 3» = c 
4} 239 ™ d 
5) Qi — v = e. 

Die rier ersten dieser fflnf QleichimgeQ enthalten nun aber 
bloss drei der ans a, b, c, d, e zn bestimmenden Zahlen p, q, 
p, v; nachdem daher aus den beiden ersten Gleichungen p und 
g bestimmt worden, liefern die zwei folgenden Gleichungen 
zwei Werthe für p, durch deren Gleichsetzung die erwähnte 
Beducente erhalten wird: 

1) j) - )/5 

. na 



3) p = 

i) 



, i ac—b' 

an 



,-iJ^iy 



Substituirt man die gefundenen Werthe in IH), und dividirt 
noch beiderseits durch a, so erhält die reducirte biqu. Gl., 
auch kurz die Reducirte genannt (Matthiessen, S. 299), fol- 
gende Formen, von welchen die letzte sich durch grosse Ein- 
fachheit auszeichnet: 



in.) 



{(/« 



■Ht-(^)']'-j 



Oder nach Potenzen von x entwickelt und auf Null reducirt 



n,g,t,7.dt, Google 



Von den Formen, unter welchen sicli die Redncente darstellen 
lässt, dürften diese die bemerkenswertlieateD sein: 





"^ 


So- 
So' (J- 


— 1 

-4alc 


+ (,■ = 


6'— 4 


a(bc- 







Ji. 


- 


(!)■- 


^»(i 


e— arf) 


— 0. 










■n 




4.1 

-H2 


6 c 
40 ■ o 


-o) 


.0. 
— 0. 







Vgl. Matthiessen 8. 301; um unsere Bezeichnung mit der dort 
gebrauchten in Einklang zu bringen, hat man hier a=lf 
b ^ a, c = }}, d = c, e = d 2,M setzen. Behufs Verwandlung 
der Beducente in den sogenannten Wurzeltypns Ü, ^ 
(Matthiessen S. 300 u. 302), macht man in JJ^ = einige Sub- 
.«stitutiouen gemäss der bekannten Beziehungen: 

_. = — (a;^ + x^ — (iCa + x^ 

-^ = 3:13:3+ (a;, + «i) (% + fl;,) + x^Xt 

— XiX^ («3 + X;) - X^Xt {iCi + x^), 

entwickelt und a^pregirt, bis man vier Glieder mit dem ge- 
meinsamen Factor [{Xi-^x^) — (^3 + 3^4)] erhält, nach dessen 
Ausscheidung sich ergibt: 

(Ca'i+»2) -(^3+«4)} {(a^i+iCü)^-C«a+^4)' — 4^:13:2—43^3:4} 
= 0, oder: 
(x,+is,-x,-x,){{:c,-a:,)'-{x,-i:,f} -0, ' 

worauf dann die Beducente lt^ = folgt. Diese Gleichung ist 
nur erfüllt, wenn einer der drei viergliedrigen Factoren den 
Werth Null hat, was in der That mit der schon oben gefun- 
denen Belation zwischen den Wurzeln übereinstimmt. Setzt 
man noch: 



*, + as, — s, ; 


a:, + «,-.«,] 


a!,+»3_s,l 


», + a:, - s,; 


x, + x, — s,; 


x, + x, — s„ 



SO verwandelt sich die Beducente Rg = in : 

n,g,t,7.dt,G00glc 



üeber eine Art 'biqnadratüchei OleichuDgen, die sich etc. 
vgl. Mattrhjessen S. 356. Sekt maa aber: 



so kann jeder der drei Factoreu von Rg auf doppelte Weise 
(als Bamme, oder Differenz zweier z/) ausgedruckt werden, und 
die Gleichung üg = verwandelt sich daher in acht neue 
Gleichungen, von welchen nur zwei augeführt werden mögen: 

B, = (^, +^,) (-=^3-^4) (^6 + ^«) = 0- 

Sfl == (^,+^2) (.^1—^2) i^s+^i) = 0. 
Unsere Beducente enthält daa bekannte Glied e der biqu. 
Gl. gar nicht; in Bezug auf c und d ist sie vom ersten, in 
Bezug auf a vom zweiten, und hinsichtlich b vom dritten 
Grade; die Beschaffenheit des bekannten Gliedes ist also gleich- 
giltig. Hat man aber die Coefficienten a, b, c willkürlich ge- 
wählt, und will, dass die biqu. Gl. auf die Form IIIj) reducir- 
bar sei, so ist auch bereits der Werth von d eindeutig be- 
stimmt, indem: 

Hieraus folgt noch die Relation: 

b a b * W ^2a> t> 

von welcher in g. 5. Gebrauch gemacht wird. Ebenso iat c 
eindeutig bestimmt, wenn von vornherein die Coefficienten 
a, b, d beliebig gewählt wurden, indem: 

Hat man dagegen über die Werthe von b, c, d verfügt, so lässt 
sich für a noch eine zweifache Wahl treffen, weil: 



Aus dem zweiten Ausdrucke für a folgt auch, dass: 

-^ =3 2 {c±}/c^-2bd} , 

eine Relation, die ebenfalls in §. 5. zur Verwendung kommt. 
Nimmt man schliesslich für a, c, d bestimmte Werthe an, so 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



324 ^- ^- Baiwb. 

ist far b noch jede der drei Wurzeln zulässig, welche jier (re^ 
ducirten) cubüchen Gleichung 



§■3. 
Binigd beetinmite Beispiele. 
]) Setzt mao zunächst; 

l^m^n^p = q = r=l, 
so ist eine biqu. Gl. bestimmt, die sich unter einer der fol- 
genden Formen darstellen läset: 

A) {x'+x+sy + (3— 2s) (x'+i+s) + (3-3S + S') = 0. 

B) {i' + I + i (3 + /T+Tf)}' + yV+Tt {,' + X 

I') {3i'+x+l)' + (ä:'+«+l) + l—0i (' — Oi s — :). 
I") (x'+x+2}'—{x'+x+2)+l=0; (t — O; s — 2). 
11') (x'+xy + 3 (i'+i) + 3 — 0; (( — 2; S — O). 
W) {x'+x+3)'—3(x'+x+a) + a~0; (f — 2; s — 3). 
III,) (1= + 3! + 4)' + } — 0; [(_— .J;s— f, oder 

(=-li s_i(3+/=3)]. 
Ordnet man die linke Seite nach fallenden Potenzen von x, so 
verwandelt sich jede dieser Gleichungen in: 

xi + 23;* + 4a:» + 3a; + 3 = 
Betrachtet man diese biqu. Gl. als ursprünglich gegeben, so ist: 

a=l, b = 2, c = 4, d = e = 3. 
Man kann sich nun leicht überzeugen, dass die Beducente 
M,-(^)'-a(^-c-ad)-0 

erfüllt und demnach eine Reduction auf die Form III,) statthaft 
ist, worauf die vier Wurzeln eich leicht ergehen. Oder man 
kann auch (Bardey, Aufgabensammlung, 2. Aufl., S. 179) auf 
die Prüfung der Bedingungsgleichung ij^ <=> verzichten und 
sogleich eine Eeduction auf 11') versuchen, welche Form sieh 
alsdann am meisten eignet; es ist nämlich nur nöthig, die zwei 
ersten Glieder der biqu. Gl. zn einem vollständigen Quadrate 
zu eif^aen: 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



XJeber eine Art biqnadraüactier Gleichungen, die eich etc. 325 

{(x'^y-^2-(x^)-x + x^} +33;« + 3a: + 3 =.0, 
um so gut ^ie am Ziele zu sein. 

Wenn, wie hier, 6 = 2, c = 4, (7=3, so genügen der 
Reduceute zwei Werthe für a, nämlich: 

ffl = ^ (4 + |/4) = +1, oder = ^, 
weehalb aucli die der obigen sehr ähnliche Gleichung: 
ix* + 2a^ + 4«» + 3a: + 3 = 0, oder 
a;4 + 6a:» + 12a;' + 9« + 9 = 
auf die Formen HI,) und IF) reducirbar ist; reducirt: 
(a:* + 3a: + |}'+ V =0, oder 
(iE» + 3a;)^ + 3 (3;^ + Sx) + 9 = 0. 
Wählt man aber von vornherein «•=»!, c ^ 4, d = 3, so er- 
geben sich für den Coefficienten b drei Werthe aus der cubi- 
schen Gleichung 

ft3_ 16J+ 24 = 0. 
Es liegt hier der sog. irreductibeie Fall vor, weshalb die Glei- 
chung drei reelle Wurzeln hat, worunter sich, wie wir wissen, 
ein rationaler Factor +2 des bekannten Gliedes befindet; die 
■ Tolletändige Auflösung ergibt sich daher durch die Zerlegung: 
(fc— 2) (6* + 26 — 12) = 0; 

&i-2; g;}= + /i3--i. 

Jetzt lassen sich noch zwei weitere, der obigen biqu. Gl. sehr 
ähnliche aufstellen, die gleichfalls durch Zerlegung in quadra- 
tische Factoren lösbar sind: 

X* + (f/X3 — 1) «3 + 4d:' + 3a: + 3 = 0, und 
X* — (^^13+ 1) # + 4a:* + 3a: + 3 = 0, 
oder in reducirter Form : 

{3:*+i (/13-1) ic + i (|/13+1)}* + i (17 -/T3) - 0. 
{a:*-l()/13+l)a:-i(f/l3_l)}' + i(17 + /iB)~0. 
2) Ein anderes Beispiel entßteht durch die Substitutionen: 

Wie aus den für t und s der Reihe nach zu machenden Sub- 
stitutionen (§. 1.) hervorgeht, werden jetzt die beiden Formen 
I) mit den beiden Formen II) identisch: 

riigiti.rJt/GoOglc 



irl 

jjlj (x=+i+l)=-(i<+*+l) + l-0- 
III,) (a,^ + x+iy + i-0. 

l" + 2«> + 2a;' + a; + 1 — 0. 
Aus den CoeflicienI«n & = 3, c = 2, d^l bestimmt sich a 
auBnahmsweise bloss eindeutig, indem: 

a-i(2+l/Ö) — l. 
Dagegen findet man ausa="1, c = 2, d^l wieder drei ver- 
Ecbiedene Werthe von 6; 

S' — 8S + 8 — 0; 
C6-2)Ci.' + 2S— 4) —Ol 

Diess führt auf zwei der obigen sehr ähnliche reducirbare 
Gleicbuugen; 

x' + (1/5— 1) x' + 2x' + i!+l —0; 

"' — (VS+ 1) »> + 2«' + I + 1 — 0; 

3] Hierher gehört auch die im vierteo Jahrgange dieser 
Zeitschrift auf S. 136 und S. 285 nach zwei verschiedenen Me- 
thoden gelöste Gleichung: 

a:4_2a:» + 3; — 132 = 0, 
indem die Coefficienten 

a=l, b = —2, c = 0, d=\, e=-132 
der für den gegenwärtigen Fall geltenden Redncente 

^j-(t)' +«''*-<' 
genügen, und mitbin eine Reduction auf die Formen 11') und 
nii) statÜiaft ist: 

{x'^—xy — (x^—x) — 132 = 

wodurch die biqn. Gl. sofort in zwei quadratische Gl. zerfallt: 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Ueber eine Axt biquadratischer Gleichungen, die sich etc. 337 

I a:^ — a; — 12 = I 

\x'^—x + n = 0|. 
Aus b = — 2 Dud <^ = 1 ergeben sich fär a zwei Zahlen , die 
im absoluten Werthe übereinstimmen, dem Vorzeichen nach 
aber entgegeugesetzt sind: 



■/i 



Die Gleichung 

— x* — 2x'^ + x— 132 = 0, 
xi + 2x^~x+ 132 = 
gehört daher ebenfalls zu den reducirbaren. Aus « = 1 und 
d= 1 folgen fßr h drei verschiedene Werthe, von welchen in- 
dessen zwei complex imc^inär sind: 

b = ^— 8o*rf =—2^. 

Aelmlich findet mau aus ii=^X und d = — 1 : 
6 — 2f^ 

womit vier weitere reducirbare und den obigen sehr ähnliche 
Gleichungen bestimmt sind. Vgl. §. 5, III. und IV! 

§.4. 
SpeoieUe FaUe ToUet&ndiger Qleiohungen. 
I. 
Erfüllen die Coefficienten einer biqu. Gl. 

ax* + bx^ + ca:* + da; -|- e = 
gleichzeitig die zwei Bedingungen: 

1) B, - (^)» - K2-i. i-4) _ 0. 

60 wird die linke Seite der auf Null reducirten Form Uli) ein 
vollständiges Quadrat: 



,ti7rJt,G00glc 



328 K. L. BiuBE. 

Unter den vier Wurzeln kommt dann jede Wurzel der quadr. Gl. 

*^+ Ä* + T ^** 
zweimal yor. BeiBpiele: 

X* -I- 2«» + 4«' + 3« + f = 0; 

«* + 2icS + 2«» + a; + ^ -= Oj 

vgl. die Beispiele in §. 3. Wird noch 

3) ilr - i. 

so sind durch die zwei Coefficienten a und b die drei andern 
bestimmt, da: 

Die linke Seite der auf Null redncirten bigu. Gl. ist dann ein 
volls^ndiges Biquadrat: 

('« + Ä)' - "■' 

alle vier Wurzeln sind einander gleich: 

Beispiel: 2x* + 4a;' + 3a:» + a: + -J = 0; (2a;+J)* = 0. 

U. 

Wird in der yollständigen biqu. Gl. d^h, also: 
' ax* -f- 6a:* + cx'^ -^bx -\~ e = 0, 
so verwandeln sich Reducente und Reducirte in: 









B, — 


^i;?^-!-» 








B,- 


8»'— 40C+6' —0 








(«' + 


±.+ lf-l-± 


In 


Bezog 


auf 


i ist 


die Reducente jetzt 


qu 


adratisch: 


^> 






= +2^a(c-2o). 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Ueber eine Art biqnadratisclier Gleichaugen, die dcfa etc. 329 

Setzt man überdiess e=a, waa auf die Beducente weiter keinen 
Eioäuss hat, so wird die biqu. Gl. eiue reciproke (Heis and 
viele andere) oder sjmuie trische (Bardey): 

ax* 4- ää' + cx'^ -{-hx -\- a = 0, 
deren reducirte Form folgende ist: 

Von den sog. reciproken oder symmetrischen biqu. 
Gleichungen gehören demnach nur jene zu d«u auf 
die Form III,) reducirbaren, deren Polynom ein voll- 
etändiges Quadrat ist. 

Zu diesem Resultate gelangt man auch, wenn man eine 
beliebige symmetrläche biqu. Gl. nach bekannter Methode erst 
auf die von HIj) abweichende Form 

brii^^, und dann die Bedingung 

Sa^-iae + 6^ = 0; -^^^ = (^)^ 
hinzutreten lässt, wodurch die Gleichung auf 

{(« + i) + ^P-o 

reducirt wird, worauf nur noch beiderseits mit x'^ zu multipli- 
ciren ist. 

Unter den vier Wurzeln einer solchen biqu. Gl. sind nur 
zwei von einander verschieden, und von diesen ist jede der re- 
ciproke Werth der andern. Beispiel: 

X* + 2x^ -[- 3«^ + 2a; + 1 =0. 
{x'^ + x+ If = 0. 

Die vier Wurzeln der biqu. Gl. stimmen hier mit den beiden 
complezen Cubikwurzeln aus 1 überein, deren Product bekannt- 
lich = 1, weil das Product der drei Werthe für /l , sowie der 
eine reelle Wurzelwerth selbst =1 ist. 
Wird noch 

(A)!„l. 6 = + 4a; c = 2a + -~ =Ga, 
30 ist die linke Seite ein volbtändiges Biquadrat, und alle vier 
Wurzeln werden = -f- 1 : 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



330 K. L. BiEKB. 

»' + ix' + 6«' + 4« + I — 0;_ 
(x' + 2x+ ly —0; 

die zwei einzigen Fälle, id welchen die oben erhaltene Gleichung 
{x -j- T~)* ^ ZU einer symmetrischen wird. 



Fortaetziing, unvollBtändige Glelohnngeu. 
I. 

e = Ä. 

ax* + bx" -\- cx^ -f- da; =; 0. 

Jia-(|)'-«(|-«-<"0-0. 

Beispiel: a:^ — 6*^ + 5^ + 12 = {Bardey, algebr. Gleichun- 
gen S, 78). 

Durch Multiplication mit x verwandelt sich jede cubische 
Gleichung in eine biquadratische , deren bekanntes Glied gleich 
Null ist. Gelingt es nun, die biqu. Gleichung zu lösen, so 
braucht man nur die Wurzel a:^0 zu streichen, um in den 
drei übrigen Werthen die Wurzeln der cubischen Gleichung zu 
haben. Die Coefffcienten : 

a = l, &=— 6, c = 5, d=12 
genügen der Bedingung Ä,^0, und die Reducirte heiast datier: 

«(a;— 3)(a;' — 3a;"4) = 0. 
Zwischen den sich ergebenden Wurzeln der cubischen Glei- 
chung: 

x^ = 3, 3^2 =■ 4, x^ = —1 
besteht die Relation: 

a:j = a^4-a;j} x^ = x^ — x^\ 373 «= «(—«j. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Ueber eine Art biquadratiachet QleichuageD , die Bicb etc. 331 

n. 

d —0. 

aic* -f- 6*^ + cx^ + e ~= 

M~b--ia(r-0; i = (—)•■ 

Fehlt in einer biiju. Gl, das Glied mit x, so iat aie nur dann 
redueirbar, wenn das Aggregat der drei ersten Glieder ein 
Tollständiges Quadrat bildet 

ni, 

c = 0. 

ax* -j- ix^ -^ dx ^ e =0. 

B-(!^)' + a'd-0; |__i(K)' 

Hierher gehört das in g. 3. behandelte Beispiel 3). 
IV. 
h =.'0; o > 0. 

ax* + c«' -\- äx -{- e =0. 
iJ = d = 0; 

x*-\-±x'' + ~ =.0. 
oar* + Cic* + e ^ 0. 
Bei den biquadr. Gl-, in welchen nur die geraden Potenzen 
der Unbekannten vertreten sind, ist demnach die Reducente ! 
jßoaiü immer erfüllt, bei den biqu. Gl., in welchen bloss das 
zweite Glied fehlt, d^egen niemals. Wenn man deshalb 
eine vollständige und auf III,) reducirbare biqu. Gl. 
auf bekannte Art in eine solche mit fehlendem zweiten 
Gliede transformirt, so verschwindet regelmässig 



n,g,t,;.dt,'G00glc 



332 K. L, Bacer. 

auch das vierte Glied; vgl, S. 321 die nach Potenzen von 
3: entwickelte Form IH,), oder auch die vorausgehende entspre- 
chende mit j>, 3, p, v! Deshalb konnte das in §. 3. besprochene 
Beispiel 3) die in dieser Zeitschrift von Herrn Th. Schröder 
gegebene Lösung erfahren, 

V. 

ß = 0; /ä = 0. 

hx^ -\- cx^ -\- dx ^ e =0. 

K = & = 0. 

I = -^ = 2 { e 4: i/c^—2bd } = 2 (c + c). Vgl. S. 323. 

cx'^ -i- dx -\- e =0. 
Setzt man; 2)-^=.0; 7^ ■= *>i -^•t;=cx, 
so wird der zweiten der Gleichungen III,) ebenfalls genagt 
Vgl. auch Fall I. dieses Paragraphen, nach welchem, wenn 
a=0, unter Umständen selbst dann eine Beduction möglich ist, 
wenn h nicht verschwindet. 



Lösung einer nicht direot reduoirbaren blqnadratiaoIieB 
Gleichung durch Ableitung einer direet reducirbaren. 



Wenn die biqu. Gleichung 

ax* + 5a:' + ex' -\- dx -\- e = 
nicht zu den direet reducirbaren gehört, so ist doch zuweilen 
die durch Division mit x* entstehende Gleichung 

e (i)' + <J(i)' + (l-y + J (i) + « _ 
eine reducirbare; die Wurzeln dieser neuen Gleichung sind 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



lieber eine Art biquadratiecher Gleichungen, die eich ete. 333 
denjenigen der ursprünglichen recjprok. Wenn nun auch 
^1 + ^! < ^ + ^41 so kann doch offenbar 
-L + i _ J_ + J_ 

sein; oder, wenn (y)' ~a (— -c— ad)^ 0, so kann doch 

sein. So ist beispielsweise die Gleichung 

24a:^"50ic3 + 35a!' — 10a; +1 = ^ 
nicht direct reducirbar, indem 

{_2ö)ä— 24{{-25).35— 24-(-10)} 385; 

die Gleichung der reciproken Wurzeln: 

y*-10y^ + 35y'-50y + 24 = 
gehört dagegen zu den reducirbaren, weil 

(-5)3-1. {(-5)-35—l. (-50)} =0. 
Man erhält: 

(j,'-5!, + 5)'=l. 
f-bii + 4 -0; 



»,-1 


1,-1 


y,-i 


*,-i 


s,-2 


».-i 


».-3 


».-t 



y^-by + 6 =0; 
Als zweites Beispiel geben wir die Gleichung 

welche nach IV. des vorigen Paragraphen jedenfalls zu den 
nicht reducirbaren gehört, und bilden die Gleichung der re- 
ciproken Wurzeln: 

j,4_2y3-j_j,»_i ==0; 
diese erfüllt die Bedingung 6* — 4ae = (Fall II des vorigen 
§.) und ist mithin reducirbar: 

(y'-yy - 1 
y'-y + i-o. 

Zum gleichen Besultate fahrt flbrigens die Bemerkung, dass die 
Ursprung]. Gl. mit (a:*)' — (a^— 1)^ identisch ist. 

ZsItHhr. f. mmth. o. a-tarwi. Unttn. V. 23 

h. i.,-iM,Googlc 



334 K. L. Bauer. 

II. 
Führt man in der allgemeinen biqu. Gl. eine neue Unbe- 
kannte ein; 

X = y -{-h 
und unterwirft man die variirte Gleichung (Mathiessen S, 288) 

Ay* + £y' + Oj/= 4- Dy 4- £ = 
der Bedingung; 

B^~4Ä{BC~2AD) =0, 
Bo verschwindet h aus dieser Bedingungsgleichung völlig, kann 
also nicht daraus bestimmt werden; man kommt lediglich auf 
die Bedingungsgleichung 

b'—4a(hc—2ad) = 
zurück, wie auch zu erwarten war. 

Anders verhält es sich, wenn man die Bedingungsgleichung 
D^-4:E{DC-2EB) =0 
aufstellt, nach deren ErfQllung die Gleichung mit den reciproken 
Wurzeln der varürten Gleichung reducirbar wäre. Es ver- 
schwinden nur die drei höchsten Potenzen von h, und bleibt 
eine vollständige Gleichung sechsten Grades, die demnach 
zur Bestimmung von h unpassend ist. 

In jedem Falle aber gelingt es, durch folgende Betrachtung 
eine reducirbare Gleichung abzuleiten (Matthiessen S. 369 und 
370). Wenn 

j,4_,. j_y^^Sy^-\- Cy+Z>= (y-y.) (y-y,) (y-j/j) (y-y,) =0, 
so gehörte diese Gleichung zu den reducirbaren, wenn 

^» — 44B + 8C= 
wäre, und zwar könnte man die Gleichung dann unter der Form 

yi ^ Äf -i- Bf/^~iA (A'-iS) y -\- D -0 
darstellen. Lässt man (— y) an die Stelle von^ treten, so wird: 
y*-Ay^-^By^-Cy+-J) =(y+yi)iy-^y,){y+y,)(y+y,) ^0. 
Durch correspondirende Multiplication folgt aus beiden Glei- 
chungen drittens: 
[ü' + B^ + Dy-^Äf+Csy 

- C»'-»,') W-ft') (»'-».') {y'-yfl - 0; 

y>—iA'-2B) »• + {B'—2AC+2I>) y' 

— {C—2BI)) f + V—O. 



itiA-jt, Google 



Üe1>er eine Art biquadratbcher Gleichungen, die Bich etc. 335 

Dieas ist die Gleichang der Worzelquadrate in Bezug auf 
die ursprüngliche Gleichuag; für y^ liefert sie vier, für j/ selbst 
acht Werthe; Matthiessen S. 297. Bestehen demnach gleich- 
zeitig die beiden Gleichungen: 

y* + Äy' + By' -\- Cy -\- B = 0, 
ij* + ai?» + /Jij^ + yij + * —0 
und ist: ■, /- 

so hat man zu setzen: 

Ä^-2B a 

£» — 2^G+2D= ß 

(? — 2BD Y 

D^ = S 
Hieraus folgt, dass: 

(a2_4^j2_64ff = {AiA} — iÄB+9,C)—9I)Y—U]y'. 
Im Falle nun in der zuerst angenommenen Gleichung A? — 
4J.B + 8C=0 war, hat in der Gleichung der Wurzelqnadrate 
die Differenz («'— 4/J)'-64J ebenfalls den Werth Null. Wenn 
umgekehrt in einer biquadratischen Gleichung (a* — 
4jJ)^ — 64tf ■= 0, Bo ist in der Gleichung der Quadrat- 
wurzeln aus den Wurzeln A^ — 4J.£ + 8C^0. 
Die Aufgabe, aus der irreducibeln biqu. Gl. 

f{x) == a;* + ajrä + J«' + c« + d — 
eine reducirbare abzuleiten, kommt mitbin darauf hinaus : 
1) eine solche Transformation vorzunehmen, dass die Bedingung 
(«' — 4^)* — 64Ä = erfüllt wird, falls diess nicht schon der 
Fall ist^ und 2) aus der transformirtea Gleichung die Gleichung 
der Quadratwurzeln ihrer Wurzeln zu bilden. 
Die erste Operation gelingt, indem man 
X = iil-\-h 
setzt, wodurch die biqu. Gl. überseht in: 

V + «i' + /3^^ + ;'^ + 'S-o. 

Damit für diese varürte Gleichung die Reducente 

(ß*~4jJ)* — 64* = 
ereilt sei, ergibt sich für & der einzige Werth: 

h = a'-8tt'&+iey-64d ^ j (g*— 4b)'- '' -■ 



8 (a'— 4o6 + 8c) a. (o'— 46) + So 



,,Googlc 



336 £- L. Bauer: üeber eine Art biqu. Gleichungen, die eich etc. 

Nach dieser Wahl Itlr A ist die erste Umwandlung vollzogen, 
tiod die tranaformirte Gleichung erhalt die Geatalt: 

1' + 'v' + ßv' + rv + i^^y - 0. 

Bildet man jetzt die Gleichung der Quadratwurzeln, so muss 
diese von der Form 

sein. Stellt man umgekehrt aus der letzteren die Gleichung der 
Wurzelquadrate dar, so entsteht eine mit der vorausgebenden 
identische Gleichung, und daraus erhält man nach dem Obigen 
folgende Coefficieniengleichungen: 

A'-2B « 

{Ä'-2B)' + 8D — iß 
- i\A' {A'-iE}'-SBD — -iy 

V-S- i^^f 
Die letzte Gleichung allein gibt fUr D zwei Werthe, von denen 
aber nur einer brauchbar ist, indem aus den beiden ersten Be- 
dingungsgleichuogen folgt, dass 

B--i(a'-ilS). 
Die zwei andern Goefficienten A und B bestimmen sich leicht 
aus den Gleichungen: 

A'-2B « 

A' (A'—iBf + 16 («' — iß)B + Uy — 0, 
welche folgende zwei cubische Resolrenten (Matthiessen 
S. 299 u. 300) Kefern: 

A'+iaA' + 4 (S«= — 8/J| ^' + 8 («'— 4o/J + 8)') — 0. 
U' + io^ + i (7 «'— 32ft B—i («»— 64]-) — 0, 
woraus indessen bloss eine Wurzel A? zu bestimmen ist, indem 

B-H,A' + «). 
Nach Bestimmung der Werthe für A, B, D kann -die reducir- 
bare GleichuDg gelöst werden, wobei sich ergeben wird, dass 
J/i 4* ?! = J/s + !'4t hieraus findet man weiter die r} ^ Jf^, und 
schliesslich die 3; = ij + Ä. 



it,Googlc 



Sollen mathematischen Aufgaheneammlungeu die 
Lösungen hinzugefügt werden, oder nichts 

Von Prof. Dr. Eelbb in Zülliohau. 

In dem 2. Hefte dieser Zeitschrift S. 134 wünscht der Herr 
Heran^eber die Besprechung der Frage, ob die mathematischen 
Aufgaben sammlungeD zugleich die Lösungen enthalten sollen, 
und Herr Reidt geht S. 138 schon von selbst in einer gelegent- 
lichen Bemerkung auf dieee Fr^e ein. Bekanntlich sind den 
früheren Sammlungen von Meier Hirsch, Arndt u. a., ebenso 
den Kechenbüchem TOn Biesterweg, Böhme u. a. die Lösungen 
beigefügt worden. Hais that es nur ganz auanahmaweise bei 
schwereren arithmetischen Aufgaben, gab dagegen sammtliche 
Lösungen der algebraischen in besonderen Paragraphen. Ein 
besonderes Verfahren hatte seiner Zeit der jUngere E. Fischer 
in seiner an das Lehrbuch seines Vaters E. O. Fischer sich eng 
anscbli^senden , aber blos auf die allgemeine Arithmetik be- 
schninkteD, sehr trefflichen, wenn auch wohl wenig verbreiteten 
Aufgabensammlung eingeschlagen. Gewissen leichten und von dem 
Leser unmittelbar controlirbaren Aufgaben fügte er keine Lösung 
hinzu, für andere gab er gewisse Kennzeichen an, z, B. ob 
das Ezempel aufgehe, den Kest, den eine Division, eine Quadrat- 
wnrzelaasziehung lasse, die Coeföcienten gewisser Glieder, eine 
leichte Probe u. a. Bei den reinen Zahlenbeiapielen waren die 
Kommata regelmässig weggelaasen. Kur für wenige schwierige 
Aufgaben waren die Resultate vollständig gegeben. Die scfaöne 
Sammlimg von Martua, welche wohl vorzugsweise in der Hand 
des Lehrers ist und mehr der Privatbeschäftigung einzelner 
Schüler, als der regelmässigen Benutzung in der Classe dient, 
enthält in einem besonderen gleich starken Bande nicht blos 
die Lösungen, sondern auch vielfache werthvolle Andeutungen 
in Betreff der Determination und anderweitige Bemerkungen. 
Die Sammlungen physikalischer Aufgaben von Fliedner, Kahl, 
Emsmsnn geben ebenfalls in besonderen Heften nicht blos die 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



338 Dt. Ebim. 

sultate, sondern deuten, weim die Lösung ii^endwie Schwierig- 
keiten der Entwickelung bietet, auch den einzuschlageudeu Weg 
an. In der neueren Zeit ist bei Gelegenheit der ßeidtscben und 
Bardejechen für die Kände der Bcbüler bestimmten Samm- 
lungen durch die Teubnersche Verlagahandlung der Versuch ge- 
machtworden, sowohl denjenigen Lehrern, welche die Auflösungen 
nicht in den Händen ihrer SchUler wünschen, als auch denen, 
die entgegengesetzter Ansicht sind, dadurch enl^egenzukommen, 
dass die Auflösungen zwar gedruckt worden sind, aber nicht 
durch den gewöhnlichen Buchhandel, Eondem nur direct von 
der Yerlagshandlnng bezogeu werden können und nur an Lehrer 
abgegeben werden sollen. 

Ehe wir nun auf die Frage selbst eingehen , ob die Resul- 
tate wiinschenswerth in den Händen der Schüler sind oder nicht, 
möchten wir auf den wesentlichen Unterschied aufmerksam macheu, 
der zwischen mathematischen Aufgaben und der Forderung einer 
sprachlichen schriftlichen Leistung darin stattfindet, dass die 
Lösung der mathematischen Aufgabe in ein ganz bestimmtes 
Resultat hinausläuft, so dass gewöhnlich ein einziger Fehler im 
Laufe der ganzen Arbeit ein falsches Resultat zur Folge hat, 
während der Tereinzelte Fehler auf die sprachliche Leistung im 
ganzen von geringerem Einfluss ist, jedenfalls sich nach seiner 
speciellen Natur beurtheilen lässt. Ein Versehen geringfügigster 
Art, infolge dessen sich gewisse Glieder heben oder nicht, kann 
den ganzen Charakter einer Aufgabe umgestalten, den Grad einer 
Gleichung erhöhen oder erniedrigen, eine schwere Aufgabe in 
eine ganz leichte umgestalten und umgekehrt. Weil sich nun 
aber die Lösung der ganzen Aufgabe in einem einzigen Resultat« 
darstellt, ist es ganz natürlich, daas jeder, der eine Angabe 
rechnet, auch zu wissen wünscht, ob dieses Resultat richtig ist, 
indem er aus diesem allein schon. mit einiger Sicherheit einen 
Rückschluss auf die Richtigkeit seiner ganzen Arbeit machen kann. 
Und dieser Wunsch wird um so grösser sein, je umfangreicher 
die Rechnung gewesen ist. Zwar kann jene Sicherheit eine sehr 
trügerische sein, da theils einzelne Fehler und oft der schlimmsten 
Art sieh aufgehoben haben können oder für das Endresultat ohne 
Einfluss gewesen sind, theils die mechanische Rechnung zwar 
richtig, die Auseinandersetzung aber sehr mangelhaft sein kann. 
Doch wird sich der Schaler leicht mit der Richtigkeit des R&- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Sollen math. Aufgabenaamml. d. Löaungea hinzi^ef. werden, od. nicht? 339 

sultates begnügen ; xungekeLrt aber hält der Schüler, sobald das 
Eesultat falsch ist, alle seine Mühe für verloren und yragi. nicht, 
mit seiner Arbeit Torzntreten, Em lateinisches, französisches 
£xercitium gibt er bereitwillig ab, wenn er auch vorher weiss, 
der Lehrer werde manche, ja grobe li'ehler darin finden, dagegen 
hat man Mühe, einen Abiturienten zu überreden, die Losung 
einer Anfgabe, deren Resultat den Fehler an der Stime trägt, 
z. B. einen negativen oder imaginären Werth ergibt, ins Beine 
zu schreiben, wenn man ihm auch zum Tröste s^, es sei leicht 
möglich, dass der Fehler ganz unerheblicher Art sei, das Ge- 
gebene zeige doch das, was er zu machen wisse, während der 
völlige Ausfall gar kein ürtheil gestatte. 

Jenem so lebhaften und so natürlichen Wunsche der Schüler, 
die Richtigkeit der Resultate durch Vergleichung oder auf ii^end 
eine Weise zu verificiren, namentlich bei einem irgend umfang- 
reichen Exempel, wird man daher, glauben wir, Rechnung tragen 
müssen, man würde m. E. vergebens versuchen, seine Befrie- 
digung bei häuslichen Arbeiten zu verhindern. Nnn kann aber, 
vrorauf Herr Reidt wiederholt in seinen Aufgaben und auch in 
der oben erwähnten Bemerkung mit Recht aufmerksam macht, 
dem Schuler die Möglichkeit in die Hand gegeben werden, sich 
selbst von der Richtigkeit seiner Rechnung dadurch zu überzeugen, 
dass er die Probe mache. Man vermehrt nur allerdings dadurch 
seine Arbeit oft nicht unerheblich, so daas, wenn es in das Be- 
lieben des Schülers gestellt wird, ob er eine in der Sache selbst 
liegende und daher oft nicht ganz einfache Probe machen will 
oder nicht, vorausgesetzt werden kann, dass gerade der eigent- 
liche Mittelschlag der Schüler diesen Weg nicht einschlagen, 
sondern den der Vergleichung des eignen Resultates mit dem 
seiner Mitschüler vorziehen werde. Wird aber von sämmtlichen 
Schülern die Anstellung der Probe verlangt und also auch con- 
trolirt, so muss man eben berücksichtigen, dass die Arbeit des 
Schülers dadurch theilweise nicht wenig vermehrt wird, so daas 
er in vielen Fallen in derselben Zeit, in der er sonst 3 Exempel 
rechnen kann, mit der Probe nur zwei wird rechnen können. 
Allerdings haben ja die Proben noch ihren besonderen Werth 
und auch ein besonderes Interesse, aber oft wiederholen sich doch 
auch die Operationen in dem eigentlichen Esempel und der Probe, 
so dass die Uebong nur eine gleichförmige ist. Ueberhaupt aber 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



340 Dr. Ebleb. 

aind die Rechnungsproben ein Gapitel, über welches einmal aus- 
führlicher gesprochen werden könnte. Wir macheu hier nur kurz 
auf einige Punkte aufmerkBam. Gewisse Proben gewähren nur 
geringe Sicherheit fUr die Richtigkeit der Resultate, weil sie nicht 
weit zurückgreifen, vielleicht blos den Nachweis liefern, dass 
man sich in den letzten Zeilen nicht verrechnet habe. Und solche 
Proben sind die Schüler am meisten geneigt, anzustellen, weil 
sie die bequemsten zu sein pflegen. Andre Proben sind von der 
Art, daBS, wenn man mit abgekürzten Zahlen rechnet, das Re- 
sultat stimmt, während innerhalb der Rechnung grobe Recbnungs- 
fehler in einflusslosen Ziffern oder Grossen vorgekommen sein 
können. Auch bürgt eine Probe nicht dafür, dass nicht gewisse 
Fehler durch andre entgegengesetzter Art sieh aufgehoben haben. 
Endlich lieben die Schüler, und wohl nicht blos sie, eine Art 
von Proben vorzunehmen, die abgesehen davon, dass sie vor 
Fehlem nicht schützt, weil man in der Probe dieselben Opera- 
tionen vorzunehmen pflegt, wie in der eigentlichen Rechnung) 
auch Bedenken gegen ihre Zulässigkeit erregt. Man setzt nämlich 
den gefundenen Werth in beide Seiten der gegebenen Gleichung 
ein und stellt beide Seiten einander gleich, operirt also mit dieser 
Gleichung, deren Richtigkeit doch erst nachgewiesen werden soll, 
als sei sie schon richtig; man begeht also im Grunde denselben 
Fehler, als wenn man sich ohne weiteres die Umkehrung eines 
richtigen Satzes gestattet. Wenig Sicherheit gewährt die Probe 
dem Schüler namentlich bei denjenigen Aufgaben, die in Worten 
ausgedrückt sind, da er den Fehler, den er infolge einer ver- 
kehrten Auffassung der Aufgabe bei der Entwickelung der Glei- 
chung selbst gemacht hat, bei der Probe wiederholen wird. Immer- 
hin gewährt eine Probe, wie werthlos oder unsicher sie an sich 
betrachtet auch sein mag, dem Schüler eine gewisse Beruhigung. 
Viele Proben geben aber auch Veranlassung den Zusammenhang 
der Resultate unter sieb und mit den gegebenen Grössen von 
andern Seiten zu betrachten, und so sind namentlich die tüch- 
tigen Schüler, die zu ihren Esempeln wenige Zeit brauchen, recht 
sehr dazu aufzufordern, selbst ihre Rechnung einer Probe zu 
unterwerfen, auch habe ich sie gewöhnlich ganz bereit dazu ge- 
funden. Daneben gibt es ganz allgemeine Kennzeichen , die 
keine besondere Zeit kosten, und die nicht blos zeigen, ob ein 
Fehler gemacht ist, sondern auch, was besonders wichtig ist, die 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Sollen math. Aafgabensamml. d. Löaatigen hinzugef. werden, od. nicht? 341 

Stelle augeben, wo derselbe stattgefunden bat. Für gewisse 
Zahlenrechnungeu kann bierber die Neunerprobe gerechnet werden, 
über welche Krönig 1855 ein beachtenswertbes Progtamm (Berlin- 
Kön. Realschule) geschrieben hat, bei den gewöhnlichen Rech- 
nungen mit abgekürzten Zahlen und Logarithmen rersagt sie 
freilich den Dienst. Hierher gehört ferner die Substitution ein- 
facher Zahlenwerthe statt der Buchstaben, namentlich des Wer- 
thes 1, so dass man nur die Coef^eienten mit ihren Vorzeichen 
zu berücksichtigen hat, des Winkels 60" oder 90" u. a. Ganz 
besonders aber rechne ich hierher die Beachtung der Dimensionen 
eines Ausdruckes, ferner der Symmetrie in den dazu geeigneten 
Aufgaben. Auf solche leicht anwendbare, allgemeine Kennzeichen 
sollten die Schüler schon frühzeitig aufmerksam gemacht und 
auch, beim laufenden Unterrichte immer wieder hingewiesen 
werden. 

Kehren wir nun nach diesem kleinen Exeurs über die Proben, 
welcher natürlich den Gegenstand hur andeuten konnte, zu unsrer 
Frage zurück. Wir sahen, der Wunsch der Schüler, eine ge- 
wisse Sicherheit über die Richtigkeit des Resultates einer um- 
fangreichen Rechnung zu erhalten, ist ein sehr natürlicher; die 
Probe gewährt eine solche, aber sie erfordert neue, oft umfang- 
reiche Rechnung und die dadurch gewonnene Sicherheit für die . 
Richtigkeit ist nicht selten eine trügerische. Bietet nun die Auf- 
gabensammlimg selbst die Lösung, so hat der Schüler, falls das ' 
Resultat mit der Lösung übereinstimmt, die gewünschte Beru- 
higung; stimmt es nicht, so wird er veranlasst werden, seine 
Rechnung zu wiederholen und selbst den Fehler aufzusuchen. 
Kann dagegen keine Yergleichung mit der Lösung im Buche 
selbst geschehen, so wird sie mit der Arbeit eines oder mehrerer 
seiner Mitschüler vorgenommen werden, und dann liegt die Ver- 
suchung nahe, dass, statt blos das Resultat zu vergleichen, auch 
schon für diese oder jene bedenkliche Stelle eine ähnliche Yer- 
gleichung stattfände oder schliesslich die ganze Arbeit von vorn- 
herein abgeschrieben werde; gewiss aber wird, wenn das Resultat 
nicht übereinstimmt, nun die Yergleichung auch auf den übrigen 
Theil der Arbeit ausgedehnt und so dieselbe nicht durch eigene 
Rechnung, sondern nach dem andern Hefte berichtigt werden. 
Wir glauben in der That, das Absehreiben, die Unselbständigkeit 
der Rechnung werde befördert, wenn die Resultate complicirter 



n,g,t,7.dt,'G00glc ■ 



342 Dr. Ebleb. 

Exempel dem Schüler Dicht in irgend einer Weiae zur Verglei- 
chung mii^etheilt werden. Dies gilt nun nicht, oder wenigstens 
nicht in gleichem Grade von Exempeln, die, wie ein grosser Theil 
der arithmetiachen , als Beispiele zu einer bestimmten Regel nur 
eine geringe Rechnung erfordern. Das Bedürfniss der Verglei- 
chuDg ist dir den Schüler dann minder erheblich; anderseits 
würde das Resultat, wenn es dem Schüler unmittelbar gegeben 
würde, ihm sehr häufig die Kechnung ganz ersparen, ihm die 
Möglichkeit gewisser häufig vorkommender, lehrreicher Fehler 
verhüllen, ihn von selbständiger Auffindung gewisser Verein- 
fachungen, die er noch vornehmen kann, abhalten. Insofern 
scheint uns das von Heis eingeschlagene Verfahren, seinen arith- 
metischen Aufgaben nur ausnahmsweise die Lösungen hinzu- 
zufägen, ganz zweckmässig und aus klarer Erkenntniss der Be- 
dürfnisse der Schule hervorgegangen. Dasselbe aber müssen wir 
auch in Bezug darauf sagen, dass er die Lösungen der alge- 
braischen Aufgaben in beaonddrn Paragraphen von den Aufgaben 
getrennt hat. In der That wird, wenn das Resultat, wie es bei 
Meier Hirsch geschah, unmittelbar neben der Aufgabe steht,, die 
Eenntoiss desselben dem Schüler vor Vollendung seiner Aufgabe 
gewissermassen aufgezwui^en, und es ist gewiss sehr richtig 
bemerkt, dass dieser Umstaad von vornherein auf den Schüler 
inäuirt, so dass er nicht mit der wünschenswerthen Selbsländig- 
keit und nicht unbefangen genug seine Rechnung zu Ende zu 
führen vermag. Ob nun die Auflösungen, wie bei Heis, in be- 
sonderen Paragraphen, aber in engem Anschluss an die Auf- 
gaben, oder insgesammt am Ende des Buches oder noch mehr 
isolirt in besonderen Heften erscheinen, das wird in der Haupt- 
sache gleichgültig sein, wenn man überhaupt die liösungen den 
Schülern in die Hände geben will. Was eben diese letzteren 
anbetrifft, so halten wir nach dem Gesäten das Yerl'ahren von 
Heis für das zweckmässigste, weil er die Lösungen nur den- 
jenigen Aufgaben hinzufügt, für welche dem Schüler in der That 
die Eenntniss derselben wünschenswerth ist, während bei den 
Bardey'schen Aufgaben der Lehrer genöthigt wird, entweder 
alle Auflösungen oder gar keine dem Schüler in die Hand zq 
gehen, er müsste denn, was ja auch nicht schwer ausführbar wäre, 
die ersten Bogen der Lösungen cassiren. 

Aber neben dem SchUler, dessen Bedürfniss wir bisher allein 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Sollen math. Aufgabe naamml. d. LüHungen hinzugef. werden, od. nicht? 343 

ins Auge gefasst haben, ist auch der Lehrer zu berücksichtigen, 
und so wenden wir uns der Frage zu, ob die Lösungen für 
den Lehrer wünaehenswerth seien. Darüber wird allerdings 
kaum ein Zweifel sein; denn das Äuskunftsmittel, welches der 
Herr Herausgeber a. a. 0. als von einem Wiener Verleger*) ihm 
vorgeschlagen anführt, wonach die Richtigkeit einer Lösung 
gewissermassen durch Majoritätsbeschluss der Schüler ermittelt 
werden soll, hat nur eine spasshafte Seite. Freilieb, das meinen 
wir nicht, dasa dem Lehrer dadurch das Nachrechnen oder viel- 
mehr das Yorherrechnen der Aufgabe erspart werden sollte. 
Wir sind der Ansicht, dass im allgemeinen kein Bxempel von 
dem Lehrer aufgegeben werden sollte, welches er nicht selbst 
vorher gerechnet hat, um danach die Arbeit zu schätzen, die er 
dem Schüler mit demselben zumuthet. Allerdings geben wir zu, 
dass dies Urtheil trügerisch ist, der Schüler kann sich an einem 
einfachen Exempel so oft verrechnen, dass er die dreifache Zeit 
und mehr darauf anwenden musa, als an sich erforderlich wäre; 
er übersieht einen Factor, der sich hebt und der die ganze Rech- 
nung ausserordentlich vereinfacht; er schlägt einen weitläufigen 
Weg ein, während der Lehrer darauf gerechnet, er werde den 
einfachen finden. Ich führe ein Beispiel an, welches mir vor 
wenigen Tagen begegnet ist. Mehrere Schüler hatten als Datum 
einer cubischen Gleichung statt 34689n'" 34,689D" genommen, 
wodurch die Gleichung der cardanischen Formel verfiel, während 
sie bei dem richtigen Zahlenwerthe nach der trigonometrischen 
zu rechnen gewesen wäre. Das sind Missstände, die sich nicht 
vermeiden lassen und die man zwar bemüht sein kann, durch 
vorausgeschickte Warnungen oder Andeutungen auszuschliessen, 
aber nie ganz zu verhindern im Stande sein wird. Der Lehrer 
wird eben nur die normalen Verhältnisse in Rechnung ziehen 
können, aber auf diese muss er auch die Aufgaben, die er stellt, 
berechnet haben, — Wie weit ferner die Durchsicht der Rech- 
nungen der Schüler gehen solle, lässt sich schwer allgemein be- 
stimmen. Sich etwa blos mit der Ck>ntrole der Resultate zu be- 
gnügen, halte ich namentlich in den oberen Classen für ganz 
unzulässig. Ich unterscheide Terminarbeiten, Extemporalien und 

*) Ich fand diese Aneicht auch in Lehreibeisen und diese Praxis in 
Schuld vor. Der Heransgeber. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



344 Dr. Ebleb. 

lanfende Aufgaben von einer Stunde zur andern,*) die erateren 
in der Prima, die letzteren besonders in den andern Classen, 
während Extemporalien in allen Clasaen geschrieben werden. Bei 
den beiden ersten Arten prüfe ich jede einzelne Beehnuug Zeile 
fUr Zeile, und zwar halte ich als Grandsatz fest, dass jede Rech- 
nung, die Ton dem betr. Schüler nicht im Kopfe ausgeführt wird, 
auch in der Reinschrift dem Lehrer vorgelegt werde, daaa also 
keine Nebenrechnung auf besonderem Zettel ausgeführt werde. 
Ich wünsche, dass meine Schüler sich üben, im Kopfe zu rechnen, 
dass also z. B. log. 2a gleich hingeschrieben werde, wenn log. a 

aufgeschlagen ist, dase log. — unmittelbar aus den hingeschrie- 
benen log. o, log. h, log. c berechnet werde, ohne erst log. ah zu 
bilden , dass die Interpolationen bei östelligen Logarithmen oder 
den Bremikerschen Tstelligen Tafeln im Kopfe vollzogen werden 
u. a, m. Wer sich aber diese Rechnung nicht zutraut oder sie 
nicht ausführen kann, der soll auch Alles, was er nicht im Kopfe 
berechnet, hinschreiben; denn nur dann kann ihm genau nach- 
gewiesen werden, nicht blos dass er sich .überhaupt verrechnet 
hat, sondern auch welchen Fehler er gemacht hat Und die 
Art des Fehlers ist mir unendlich wichtiger, als der Fehler als 
solcher. Das verkehrteste Resultat kann Folge eines ganz un- 
erheblichen Versehens sein, ein völHg richtiges Resultat sich trotz 
grober, aber einflussloser Fehler ergeben. Infolge jenes oben er- 
wähnten Irrthums in der Stellung des Komma verschwand (^ \ 
gegen (~\ ; welcher Fehler also auch bei der Berechnung von 
( 4 ) gemacht worden wäre, in dem Resultate selbst hätte er 

nicht erkannt werden können, 

Was nun die laufenden Arbeiten betrifft, so sei es mir er- 
laubt, das von mir befolgte Verfahren kurz anzugeben. Sämmt- 
liche Aufgaben mit den vollständigen Rechnungen in der nach 
dem obigen Grundsätze bestimmten Ausdehnung werden in ein 
Heft reinlich eingetragen (meine Schüler, in den früheren Classen 
vortrefflich gewöhnt, gehen mir in dieser Beziehung eher zu weit, 



*) Dies stimmt so ziemlich mit meinen Forderungen I. 216—227. 
D. Eeransg. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Sollen math. AnfgabeuBamml. d. Lösniigeii hinzngef. weiden, od. nicht? 345 

indem sie z, B, fast alle Bruchstriche mit dem Lineal za ziehen 
pflegen) ; in der Stande, für die sie aufgegeben sind, wird dann 
von einem Schüler das vollständige Exempel aus der Reinschrift 
vorgelesen, die andern haben dabei ihre Bechnungen zq ver- 
gleichen, resp. zu corrigiren. Nach einiger Zeit, etwa alle 
4 Wochen, bisweilen in kürzeren, bisweilen in längeren Zeit- 
räumen, je nachdem sich das Material der Aufgaben angehäuft 
hat, aber völlig unbestimmt, an welchem Tage, werden sofort 
alle Hefte abgenommen und sämmtliche Arbeiten von mir durch- 
gesehen, was freilich bei einer Claase von 40 — 50 Schülern 
eine Zeit von 6, 8, ja 10 Stunden erfordert. Nun will ich nicht 
sagen, dass ich hierbei jede Zeile mit völliger Genauigkeit re- 
vidire, aber die Durchsicht erstreckt sich doch durchaus nicht 
blos auf die Vollständigkeit der Arbeiten, oder auf die Richtig- 
keit der Resultate, sondern sehr wesentlich auch, wie schon aus 
der oben angegebenen Zeit ersichtlich, auf die Art der Rechnung; 
jedenfalls wird bei falschem Resultate die Ursache des Fehlers 
aufgesucht und bezeichnet, daneben werden Mängel der Schreib- 
weise, weggelassene Klammem u. s. w. gerügt. Aus dem Bis- 
herigen "ist wohl ersichtlich, dass ich eine blosse Gontrole der 
Exempel der Schüler nach den gedruckten Auflösungen für un- 
zureichend halte. Dennoch sind die Auflösungen insofern f^ 
den Lehrer von Wichtigkeit, als er sich von der Richtigkeit 
seiner eignen Resultate überzeugen kann. Denn dass der Lehrer 
sich eben&lls verrechnen kann, weiss Jeder. Gerade auch in 
dieser Hinsicht möchte ich von dem Lehrer verlangen, dass er 
die Exempel selbst ausrechne, damit er, indem er sich selbst 
manchmal verrechnet, Nachsicht gegen seine Schüler üben lerne, 
ebenso wie ich die Nothwendigkeit der Correotur stets für ein 
geeignetes Mittel halte, um den Lehrer davor zu bewahren, 
seine Schüler nicht mit zu vielen häuslichen schriftlichen Ar- 
beiten zu Überladen. Ueberdies können die Lösungen theils 
durch ihre Form, theils durch ihre Bemerkungen imd Winke 
dem Iiehrer selbst lehrreich sein, wie dies z. B. ganz besonders 
von der vortrefflichen Aufgabensammlung von Martus gilt. 

Bisher haben wir nur den eigentlichen Classenunterricht 
berücksichtigt, filr den ja manche dieser Sammlungen recht 
eigentlich bestimmt sind. Sie werden aber jedenfalls auch recht 
viel zur Privatbeschäftigung verwendet werden, sei es dass Schüler, 

n,g,t,7.dt,'G00gIc 



346 Dr. Ebleh. 

die zurückgeblieben sind, das Bediirfniss oder die Nothwendigkeit 
fühleuj durch ausserordentliche Arbeiten die Lücken auszufüllea, 
sich grössere Gewandtheit und Sicherheit zu erwerben, sei es 
dass fähigere Schüler grössere Exempel oder schwierigere Partien, 
die im Unterrichte nicht zur Behandlung gekommen sind, zu be- 
arbeiten und zu lösen versuchen. Wie wünschenswerth in diesem 
Falle die Eeuntniss der Resultate dem Schüler sein muss, braucht 
nicht hervorgehoben zu werden; ohne dieselbe hat er keinerlei 
sicheres Urtheil über seine Arbeit und wird daher auch bald ent- 
muthigt solche Privatbeschäftigung aufgeben. Man sage nicht, 
er könne ja dem Lehrer dieselbe vorlegen. Denn zunächst be- 
sitzen viele, und nicht die schlechtesten Schüler eine gewisse 
sehr natürliche Scheu, mit ihrer Privatbeschäftigung hervorzu- 
treten, oder sich dem Lehrer aufzudrängen; femer ist nicht jede 
Arbeit der Art, dass sie sich zum Vorlegen eignet, auch will 
jedes Exempel gleich revidirt sein, wenn es gerechnet ist, und 
der Schüler kann doch nicht immer wegen der kleinen Zahl von 
3, 4 Exempeln den Lehrer anlaufen. Kurz, für diesen gewiss 
nicht seltenen Fall ist die Lösung in der Hand des Schülers 
durchaus nothwendig; und so gehen denn auch diejenigen Samm- 
lungen, die ihrer Natur nach mehr auf solche Privatbeschäfti- 
gung berechnet sind, wie die quadr, Gleichungen von Bardey, 
femer die meisten physikalischen, nicht blos die Lösungen, son- 
dern sogar noch manche Anleitung und Winke für dieselben. 

Fassen wir nun das Gesagte zusammen, so acheint es uns 
wünschenswerth, dass die gewöhnlichen arithmetischen Aufgaben, 
die nur wenig Rechnung veranlassen, ganz ohne Auflösung ge- 
geben werden; für andre Aufgaben wird es genügen, gewisse 
Kennzeichen z. B.' die von Keidi erwähnte Quersumme, die 
Werthe ohne Komma, den Rest, die Coefffcienten u. a. anzu- 
geben; sind die Rechnungen dagegen umfangreicher, so wird es 
der Selbständigkeit der Arbeit der Schüler nach nnsrer Ueber- 
zeugung nur förderhch sein und namentlich auch die Benutzung 
einer solchen Sammlung zur Privatbeschäftigung ermöglichen, 
wenn die richtige Lösung mit dem von ihnen gerechneten Re- 
sultate verglichen werden kann. Es ist aber wünschenswerth, 
dass die Lösungen dann örtlich von den Aufgaben getrennt seien. 
Dass der Lehrer sich der Auflösungen bediene, um sich selbst die 
Mühe des Rechnens zu ersparen, scheint uns nicht gerechtfertigt. 



,ti7rJt,G00glc 



Das Capitel der Aehnlichkeit der Figuren im propä- 
deutisch-geometrischen Unterrichte.*) 

Vom HeraiiBgeb«r. 

Der gewöhnliclie Gang in der Lehre von der Aehnlichkeit 
der Figuren scheint mir — wenigstens für den propädeuti- 
schen Unterricht — nicht didaktisch, weil nicht naturgemäss, 
da die Sätze nicht anschaulich und also auch nicht überzeugung8- 
kräfttg genug und — was die Hauptsache ist — nicht vom rechten 
Punkte aus entwickelt werden. Schon ah Gymnasialschüler 
muthete uns diese Partie der Planimetrie am wenigsten an und 
es blieb auch bei den meisten eine gewisse Unklarheit und Un- 
lust zurück, welche letztere erst verschwand, wenn es zu An- 
wendungen kam. Aber auch in meiner Lehrpra^is hat diese 
Partie mir immer am meisten zu schaffen gemacht. Ich merkte 
es jedesmal den Schülern an, dass die Verdauung dieser Kost 
ihnen schwer werde. In der Entwickelung (Ableitung) der 
Dreiecks- Aebniicbkeitssätze ist eine gewisse Künstelei kaum zu 
verkennen und die Anwendung jener Sätze ist sehr ungleichmSssig. 
Gewiss ist es schon jedem Lehrer der Mathematik aufgefallen, 
dass die Aehnlichkeit von Dreiecken weitaus am meisten durch 
den sogen. „Winkelsatz" (oder durch die Gleichheit der Winkel) 
bewiesen wird, während die andern Aehnliclikeitssätze unver- 
hältnissmässig seltner Anwendung finden und deshalb gewöhn- 
lich der Yergeasenbeit anheimfallen, in den Schülern wohl auch 
die Meinung von ihrer Entbehrlichkeit erzeugen. 

*) Die dieBem Anfsatze zu Omnde liegende Idee, die mir &üher nur 
dankel vorschwelite , ist theÜ9 durch die Bearbeitang meiner „Yorscbule 
der Geometrie" (b. Hft. 3, S, 237), theib durch eine mir mitgetheüte 
ähnliche des Hrn. Dr. Pick aufs Nene angeregt worden. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



348 Vom Heransgeber. 

Der Grund der erwähnten Unklarheit und dadurch erzeug- 
ten Unlust scheint mir darin zu liegen, dass man fodi Dreieck 
ausgeht, während man — wie ja auch im Capitel von der 
Plächengleichheit geschieht — doch das Parallelsgramm an 
den Anfang der Betrachtung stellen sollte. Wie ich mir dies 
denke und wie ich es für den propädeutiach - geometrischen 
Unterricht mir zurecht gelegt habe, möge die folgende Darstel- 
lungzeigen. Ich gehe dabei vom Oblong*)(vulgo: „Rechteck") 
aus und lehre wie folgt: 

1) Zeichne ein Oblong ABCD (Fig. 1) aus der Seite AB 
= 32» (Basis) und AB = 24= (HShe), so verhält sich darin**) 
Basis zur Höhe***) wie 32 zu 24 oder wie 4 zu 3 
in Zeichen 6 : Ä -= 4 : 3 
Ziehe nun im Oblong ASCI) die horizontale und die ver- 
ticale Halbir- (oder Mittel-) Linien EF ( || AB) und GH ( |I AD), 
so wird bekanntlich und wie leicht zu beweisen ist, das gegebene 
Fig. 1. Oblong in vier kleinere unter ein- 

gr ander congruente Oblonge zerlegt, in 
denen sieh verhält b:k^ IG: 12 
oder 

6:Ä = 4:3 
Von diesen vier cougruent«n Ob- 
longen brauchen wir aber für unsern 
Zweck nur eins, nämlich AHqE, 
welches mit dem gegebenen den 
rechten Winkel bei A gemeinsam hat. — Viertelt man Basis und 
Höhe, so erhalt man durch Parallelenziehen, w. o., 16 kleinere sich 
congruente Oblonge, in denen sichverhält6:Ä=8;6 also ebenfalls 

ft:Ä=.4:3 
Auch von diesen 16 brauchen wir nur das eine AlpJ. — Wenn 

•) Ich brauche für „Rechteck" den alten Namen „Oblong," weil 
einige Autoren den ereteren fQt „rechtwinkliges ParaUelogramm" 
verwenden, worunter dann auch das Quadrat gehört Ygl. III, S61 
Anm. tt) 

**) Obgleich der Anadruck „verhält aich" (wie eich auch bei den 
Proportionen zeigt) immer etwas Unklares an eich hat, so ist er doch 
oft nicht zu vermeiden oder zu entbehren. 

*••) Abgekürzter Ausdruck für: ihre Masazahleu oder ihre mit dem- 
selben Maase gemeeeenen L&ngen verhalten rieh bo. 







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7'~«<^^-^-, 


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A 






1 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Das Cftp. d. Aehul. d. Fig. im prop&d.-geomet. Ünterr. ft49 

mau eDdlidi die Seiten dieser letztem Oblonge nochmals halbirt, 
ao erhält man aus dem gegebenen Oblonge 64 kleinere, in denen 
direct & >» 4, % <=> 3 ist. Dnrch fortgesetztes Halbiren wird 
man dasselbe Verhältniss immer wieder finden z. B. zunächst 
& : Ä = 2 : 1 = 4 : 3 u. 8. f. — 

Aber auch, wenn man die Seiten und ihre Hälften nicht 
gerade halbirt, sondern von b nnd k ein Mehrfaches einer 
Hälfte, eines Viertels etc. nimmt, z. B. ^ oder |, so erhält 
man ebenfalls Oblonge mit obigem Seitenverhältnisse. Ein 
solches ist z. B, das Oblong ÄZrIII, worin ^3 = \ AB = 24^ 
und AIII= \ AB = 18= ist; es verhält sieh also AZ : AIII = 
24 : 18 also ebenfalls =4:3 

Uebnngen: a) Construire in ABCD noch Oblonge mit gemeinsamer 
Ecke A, in welchen die Seiteu |, |, } von AB nnd 
AD sind, 
b) Was iat in allen obenerwähnten Oblongen ohnehin 
gleich? 

Solche Oblonge, welche ansser den Winkeln das Seitenver- 
hältniss gleich haben, oder in welchen Basis nnd HShe in 
demselben Yerhältniss stehen, haben gleiche Gestalt (Form) 
und man nennt sie daher gestaltgleich oder kürzer; „ähnlich." 
Das Zeichen der Äehnlichkeit ist (V und wird gelesen: „ist 
ähnlich" z. B. ASqE r>u ABCD. Aehnliche Oblonge haben, 
wie alle andern Oblonge, immer die Winkel gleich, und eben- 
deshalb kommen die Winkel gar nicht in Betracht. 

Satz (Gesetz): Oblonge sind ähnlich, wenn das Ver- 
hältniss ihrer anstossenden (oder Nachbar-) Seiten 
gleich (oder dasselbe) ist. 

2) Wenn du im Oblong ^BCD (Fig. 1) die Diagonale AC 
ziehst, so wirst du bemerken, dass sie dnrch die dem gemeinsamen 
Scheite] A gegenüberliegenden Ecken (m, p, q, r, C) der ähnlichen 
Oblonge gebt. Auch das ist ein Kennzeichen der Äehnlichkeit von 
Oblongen , dass ihre gegenüberliegenden Ecken in ein und dieselbe 
Gerade (Diagonale) fallen, wenn man sie mit ihren gleichnamigen 
Seiten aufeinanderlegt (Basis auf Basis, Höhe auf Höhe). 

Als Gegensatz hierzu und um ähnliche und unähnliche Ob- 
longe recht sicher unterscheiden zu lernen, lege die Oblonge 
mit ihren ungleichnamigen Seiten aufeinander, lege z. B. 
das Oblong AHqE so, dass die Höhe ÄE auf Basis AB und 



,ti7rJt,G00glc 



350 Vom Herausgeber. 

die Basis ÄE (od. Eq) auf Höhe AD liegt. Sodann constmire 
Oblonge, in denen Basis und Höhe nicht in dem oben angege- 
benen Veihältnisse b •.h^=^i3 stehen, sondern in einem an- 
dern z. B. 

ÄBsIIX, worin & : Ä — 16 : 18 = 8 : 9 
A3tE „ &:Ä = 24:l2-=2: 1 

Diese Oblonge sind einander nicht ähnlich, obwohl sie gleich- 
winklig sind. Hieraus erkennst du zugleich, dass die Gleichheit 
der Winkel die Äehnlichkeit der Oblonge nicht allein bewirkt. 
Uebnngeii: a) Geht bei dieaeo Oblongen die Diagonale AC a,aob 
durch die gegenüberliegeudeo Ecken » nnd (? Welcbe 
Lage haben die Diagonalen vielmehii Fonküre swei 
(As, At)'. 

b) Suche mehr Bolcbe Oblonge auft 

c) Zeichne die Figur für 1) and 2) so, dasB Ecke B die 
gemeinsame Ecke wird. 

3] Hiermit hängt zusammen, dass nicht nur Basis (h) und 
Höbe (K) in ähnlichen Oblongen dasselbe Verhältniss haben, 
sondern anch Basis und Diagonale {d), sowie Höhe und 
Diagonale. So verhält sich z. B. in den obigen ähnlichen 
Oblongen, ÄBCD, wo 6 = 32=, Ä = 24= d = 40 ist und 
AMqE, wo"j=16, A=]2, d = 20 ist: 



. , (32:401 . , 
^ = '^"{l6:20|-^ = ^ 
_)24:401 
~\12:20/" 



n..a=\^,t-tUz:^ 



Man kann also obigen Sats (sab 1) erweitem nnd sagen: 

Oblonge sind ähnlich, wenn das Yerhältnias 
ihrer anstossenden Seiten oder wenn das Ver- 
hältniss jedereinzelnen derselben zur Diagonale 
dasselbe ist. Andere Fassung: „in ähnlichen Oblongen 
ist" . . . ete. 
Uebungeu: a] Conitruire Oblocge Ton verschiedenen Seitenverhält- 
niseen s. B. 2:S, 3:1, 2:Ö und il:7 und gib (nach 
dem MasBstab) die Längen der Diagonalen und da« 
VerhältniBs der Seiten zu der Diagonale an! 
b) Läast sich dieeeB Verhältniaa immer in ganzen Zahlen 
darstellen ? 
4) Lasse das Oblong ABCJD übergehen in ein Quadrat, 
indem du entweder .i4 2( bis zu 24= abnehmen oder.:li> bis zu 



n,g,t,7.dt,'G00t^lc 



Daa Cap. d. Aehnl. d. Fig. i. ptopäd.-geomet. Unten. 351 

32°> wachaen lassest. Wie verhält sich dann b : A? Ist 
das in jedem Quadrat so? Wie lautet also der Satz von der 
Aelmlichkeit der Quadrate? ^ 

Safai: Alle Quadrate sind ähnlich; denn alle sind 
gleichwinklig und in allen verhalten sich die (Nachbar-) Seiten, 
wie 1 : 1. 

Uebungen: a) Stelle fUnf Quadrate von den Seiten 5, 10, 16, 20, S6% 
in einander bo, dass sie einen Winkel gemeinBam 
haben! 
b) Fallen bei den Quadraten die Qegenecken von Ä such 
in die Di^onale ACt 

Ea iat leicht zu sehen, dass hier das Verhaltnias jeder Seite zur 
Diagonale dasselbe sein muss. 

5) Uebergang zum Rhombus. Zeichne jetzt einen 
Rhombus von der Seite = SO" mit einem spitzen Winkel von 60" 
(Normalrhombus). (Fig.2a.) Ziehe 

sodann ebenfalls die Halbirlinien n ^ „ 

wie oben, so wirst du Äehnliehes j p/ w J- "/ 

finden wie beim Oblong, nämlich: i^-V- -^h^-^ / 

a) das Yerhältnissder Nachbar- ig j « T - / jb 

Seiten ist immer dasselbe (con- ; >/# P ^ ■ t / 
Btant)undzwarwiebeim Quadrat llg^^^^^ f • / / 

b)die Gegenecken von^ liegen ^ ' ff ^ ' *^ 
in der Di^onale. 

Will man aus derselben Seite andere Rhomben conatruiren, 
deren G^enecken von A nicht in der Di^onale liegen, so muss 
mau den Winkel verändern z. ß. in Fig. 2» das punktirte Rhom- 
boid Alhi oder umgekehrt: verändert man den Winkel, so fällt 
die Gegenecke von A ausserhalb der Diagonale. 

Du siehst hieraus, dass zur Aehnlichkeit von Rhomben nur 
die Winkelgleichheit derselben nöthig ist, detm das Ver- 
hältniss ihrer Nacbbarseiten ist ja ohnehin stets gleich, (1 : 1), 
Auch hier ist, wie beim Quadrat, das Verhältniss jeder Seite zur 
Diagon^e dasselbe. 

Satz: Rhomben sind ähnlich, wenn sie gleiche 
Winkel haben oder: Gleichwinklige Rhomben sind ähnlich. 

Dies gilt auch von gleichwinkligen Rhomben, welche ent- 
gegengesetzt -gewendete Lage haben [rechts- und linksseitige). 



iM,Googlc 



352 



Vom VerfaMer, 



wie z. B. die Rhomben in Fig. 2 b. Denn durch Wendung des 
einen (z. B. des kleinern) läsat er sich jederzeit in die rechte 
Lage (in der Fig. punktirt) bringen. Die Aehnlichkeit von 
Khomben hängt abo nicht von 
der Länge der Seiten ab, sondern 
nur von den Winkeln (also ähn- 
lich wie beim Quadrat). 

Wahrend also beim Oblong 
das gleiche Seitenverhältnies die 
AehnUchkeit erzeugt, tbut dies beim Khombus der*) gleiche 
Winkel. Bei jenem sind die Winkel, bei diesem das Seitenver- 
bältniss, beim Quadrat ist beides constant. Anders aber ver- 
halt sich's beim Rhomboid. 

Uebungeo: a) Suohe in Fig. 2a mittoUt MaaBstabee das Verbältuiss 
der Seite zn deo Diagonalen. Lässt es sich in ganzen 
Zahlen auulrückeD? **) 

b) Zeichne einen Rhombus mit der Seit« — 300 und der 
Diagonale ~= 50m nnd halbire, fünftele und zebntele 
die Seite. Welche Längen ergeben sich für die 
Diagonale nnd folglich welches Verhältnis z-wiachen 
der Seit« nnd der Diagonale ? 

c) Zeichne die Figur auch so, daea die kleinere Dia- 
gonale BD die ähnlichen Bhomben durchschneidet. 

6) üebergang zum Rhomboid, Lasse jetzt in obigem 
Rhombus die Grundseite AB bis zu 36^ wachsen, die Nebenaeite 
MB. 8. {AD=BCr} aber bleibe 

p 30*°, halbire sodann die 
Seiten und construire 
durch Ziehen von (Sei- 
ten-) Parallelen das ähn- 
liche Rhomboid ASqE, 
so ist das Seitenyerhält- 
■^ -«f •» niss desselben genau 

dasselbe, wie jenes des gegebenen Rhomboids, nämlich 18: 15 oder 
6 : 5. Wenn du dann noch jede Seite des letzteren Rhomboids 
drittelst, so ergibt sich das Seitenverhältnias direcb 6:5, so 
dass die Seitenverhältnisse der einzelnen Rhomboide in Fig. 3 sind : 




•) „Der" — weil im Eh. die Winkel durch eir 
**) Die Diagonale wird ca. 52 S sein. 



1 bestimmt siud. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Das. Cap. d. Aehnl. d. Fig. im propäd.-geomet. Unfcetr. 353 

36 : 30] 
30 : 25 

18:151 = 6:5 
12 : 10 
6: 5] 
Das Verhältniss jeder einzelnen Seite zur Diagotiale bleibt 
ebenfalls dasselbe, nämlich, wie die Zahlen in der Sig. angeben. 
Nebenseite ziir Diagonale wie 30 : 60) 
25:50 

15:30j=l:2 

10:20 

5: 10) 

Grtmdseite znr Diagonale wie 36 : 60) 

30:50 

18:30 1=3: 5 
12 : 20 
6: loj 
Sowie man hier das Seitenverhältniss oder die Winkelgleich 
heit, oder beides, ändert, hört auch sofort die Äehnlichkeit der 
Rhomboide auf, wie z. B. in Fig. 3 bei dem punktirten Rhomboid 
Satz: Rhomboide sind ähnlich, wenn sie die Winkel 
und das Verhältniss der Nachbaiseiten oder das Ver 
hältniss der gleichnamigen Seiten zur Diagonale gleich 
haben (Andre Fassung: in den Winkeln und im Verhältniss 

der Nachbarseiten fibereinstimmen). 

Fasst man die für die rier Parallelogramme gewonnenen 
Resultate zusammen, so ergibt sieb der 

Hauptsatz: Parallelogramme sind ähnlich, wenn sie 
gleiche Winkel und gleiches Verhältniss der Nach- 
barseiten oder gleiches Verhältniss der gleichnamigen 
Seiten und der Diagonale haben. 

Wie nun hieraus die Äehnlichkeit der Dreiecke sich 
ergibt, das soll in einem folgenden Aufsatz gezeigt werden. 
(FortBetznng folgt.) ' 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheilungeii. 
Bemerkangen zu meinem Aofeatz aber Bmolirechnimg.*) 

YoD D. HöHB in Schässburg i, Siebenb. 

In der Meinung, eB könne dem Verfasser eines Aofsatses Ubei 
die Behandlunga weise eines Dntsrrichtagegenßtandes, desBon Disoussion 
noch wünschenswertb erscheint, nicht erlassen werden, dasB er sich 
über die bei der Abfassong berücksichtigten Grundsätze und Er- 
wägungen ausspreche, mfichte ich zn meinem im 2. Heft des 
laufenden Jahrgangs dieser Zeitschrift erschienenen Aufsatz nach- 



unter den Bemühungen, die mir in den ersten Jahren meines 
Lehramtes mehr oder weniger missglüctten, stand obenan das Be- 
streben, meinen Schttlem (9 bis 12jShrigen Knaben) einen Einblick 
in die Wahrheit des Satzes 



zu eröffnen. Die Erfolge wurden um so bedenklicher, je getreuer 
ich mein gutes BünTemehmen mit dem damals hier gebrSuchlichen 
Lehrbuch aufrecht erhielt. Das Buch erklärt den obigen Satz: 

„Wenn man den ZShler eines Bruches ungeändert Ifiast, den Nenner 
aber 2, 3, 4raal grösser nimmt, so erhalt man eben so viele, aber 
2, 3, 4mal kleinere Theile, somit wird der neue Brach 2, 3, 4mal 
kleiner, als der frühere. Um daher den 2., 3., 4. Theil eines Bruches 
zu erhalten, darf man nur den Nenner desselben 2, 3, 4mal so gross 
nehmen. Ein Brach wird daher durch eine ganze Zahl auch divi- 
dirt, wenn man die Zähler ungeändert lässt vuid den Nenner mit 
der ganzen Zahl multiplieiri.. Z. B. — ; 4 ^ ~ j = — ," 

In den mir zur Verfügung stehenden Kechenbüchera fend ich 
im Wesentlichen dieselbe ErklHnmg dieses Satzes. TJeberaU wird 



•) Tgl. diesen Jahrg. Hft. 2, Seite 101—111. 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheiluugen. 335 

der Zähler „uageänderti" gelassen und der Bruch für n mal kleiner 
erklärt, nachdem der Nenner desselben « mal so gross gemacht wvirde. 
Diese Erklärung geht über die Fassungskraft von 9 bis 12jährigen 
Knaben hinaus. Gegenüber Schülern dieses Alters — und ganz 
besonders solchen, die sich an einem Lehrerseminar zu Volksschul- 
lehrem heranbilden wollen — mnss die Möglichkeit dargeboten 
sein, dass die theoretische Auseinandersetzung mit der Veranschau- 
lichnng des zu Erklärenden Hand in Hand gehe. Der Versuch 
aber, den Satz -r- : i = j-r zu veranschaulichen, läsat in diesem Satz 
zweifellos eine Lücke erkennen; es fehlt darin eben diejenige Zahlen- 
verbindung, welche zumal den minder begabten Schülern — und 
diese wollen doch auch berücksichtigt werden*) — auch in formeller 
Hinsicht klar zeigt, dass hier thatsächlioh eine Division, eine 
Theilung einer Anzalil von Einheiten vollzogen wird. Zugleich geräth 
dieser Versuch mit der Möglichkeit eines nngeändert Bleibens des 
Zählers des Dividendus geradezu in Widerspruch, wie ans dem 
Nachstehenden hervorgeht. Ich behandle während des Unterrichts 
diesen Fall in folgender Weise. Ich zerschneide ein Stäbchen in 
5 gleiche Theile und- nehme 3 solcher Theile als Dividendus für die 
Bechnung-v- : 4. Ich örage nun: Kann man diese 3 Stabtheile 
(Fünftel), so lange sie der Zahl nach 3 sind und bleiben, in i gleiche 
Theile theUen? — Nein. — Wie hilft man sich in solchen Füllen ? 
Denkt z. B. an die Rechnung 3 Gulden : 4 = ? Was muss hier 
mit dem Dividendus geschehen, damit die Theilung in 4 gleiche 
Theile möglieh werde? — Man macht ans den 3 öniden 300 Kreuzer. 

— Das heisst, man zerlegt jeden Gulden in 100 gleiche Theile. 
In wenigstens wie viele gleiche Theile muss jedes dieser 3 Fünftel 
zerschnitten werden, damit die Zahl der kleineren Einheiten durch 
4 ohne Rest theilbar werde? — In 4 gleiche Theile. — Wenn 
aber jedes Fünftel in 4 gleiche Theile zerlegt wird, so ist ein 
solcher Theil der wievielte Theil von dem ans 5 Fünfteln bestehenden 
Ganzen? — Der 20. — Der Nenner, früher 5, muBS also jetzt wie 
heissen? — 4mal ö =■ 20. — Hiermit zugleich werden aber auch 
aus den 3 Fünfteln des Dividendus wie viel 20stel? — 4mal 3 = 12. 

— Ltdem ich also jedes Fünftel in 4 gleiche Theile zerschneide, 



*) Sehr richtig bemerkt der Oaterr. OrganieatioDsentwurf auf 8eite 163; 
,',Es bt im mathem. üuterricht seht leicht zu erreichen, dass ein Theil der 
Class«, welche man unterrichtet, ia günstigen Fällen vielleicht die Hälfte, 
recht Gutes und Einzelne Ausgezeichnetes leisten, während die Üebrigeu 

hinter den massigsten Forderongen znrückbleiben; es ist dagegen schwer , 

wenn die geeammte Classe, mit Ausnahme der überhaupt fQr die Studien 
nicht tauglichen ludividuen, zu einem guten Mittelmass der Leistungen 
gebracht werden soll." 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



356 Kleinere MittheiluDgeo. 

verwandelt sich der Dividendus i in Ü d, i. eine durch 4 ohne 
Rest dividirbare Einheitßmenge!*) — 

In dem voliegenden Falle sind also geradezu Aeaderangeu 
" ■" "era, ist zunächst eine dem Divisor entsprechende Verviel- 
ag der Einheitsmenge des Dividendus im Wesen der Sache 
it. Diese Aenderungen gibt die Bechnnng 

A . i = *J_? ■ i»1 = (*-s)-4 ^ i. 
5 4 . 5 •' 20 20 

[ig an. Sie macht zugleich ersichtlich, was sonst die Mehr- 
Schüler nickt begreift, dasa hier -^ wirkUch ein durch 
erhaltenes Rechnungsergebniss ist. Sie empfiehlt sich in 
)rm der AnsfUhrung auch im Interesse einer einheitlichen, 
und Uebersicht fdrdei-nden Behandtungs weise einander ahn- 
nfgaben. Hat doch der Knabe schon in der Elementarschule 
in Fällen wo der Dividendus kleiner ist, als der Divisor, 
Rlhrung der Division durch Zerlegung des Dividendus vor- 
in. Mag ihm derselbe Giedanke auch in den Au%aben 
. 88 28 :T _4 

S__. li 13 ; i 3_ 

5 ■ 30 ■ 20 °~ 20 

iahe treten. Einmal vertraut geworden mit dem ausfllhr- 
(leichtfasälichen) Entwicklungsgang derartiger Rechnungen, 
■ Schuler ohne Schwierigkeit den augenscheinlichen Rechnungs- 
erkennen und in Zukunft die dieses Vortheils wegen abge- 
Regeln befolgen, indem er kürzer reebnet 
4:7 = 1 

6 20 

igt man aber derlei Abkürzungen von vornherein in die Er- 
solcher Sfitze, so acceptirt man damit von vornherein 
1 In der Entwicklung dieser Sätze und erschwert dadurch 
lüler unnöthiger Weise das Verständnisa der ganzen Rechnnngs- 
n. 

BÜ femer dem Schüler beim Multipliciren einer beliebigen 
1 Multipliciren der Zahl ihrer Einheiten, beim Dividiren 
eliebigen Zahl ein Dividiren der Zahl ihrer Einheiten 
normale Verfehren znnficbst liegt (wenn im erstem Falle der 
cator, im letzteren der Divisor eine unbenanute ganze Zahl 



fan dürfte dies wohl in anderer Form (als praktische Regel) auch 
rücken: „Erweitere zuvörderst den Dividend durch den Divisor 
:. Der HerauBgeber, 



i,Coo<^lc 



Kleinere Mittheilungen. 357 

iet), so erachte ich es aus didaktisohen GrOnden für angemeseen, 
die SStze 



beide in dieser Form als sogenannte Hanptregeln binzuBtellen. 
Wenn die Rechenbücher die Satzfonn t- ; n == — r für die überall 

anwendbare („H*iptregel") erklären und ■T-;n= —r — nur fUr 
den Fall, dass a durch « ohne Kest theilbar sei, anwendbar finden, 
80 wird dabei ttbersebgn, dass allemal der Zähler dea (gegebenen 
oder erforderlichenfalls des zerlegten) Bruches dnrch den Divisor 
ohne Eest dividirt werden nnd sonach eine der Multiplicationsregel 
analoge Begel anch für die Division als Hauptregel gelten kann. 
Bei Weitem einfiioher Bind die besondem zwei FttUe 



Die Frage: Wie ändert sich der Werth einer Bracheinheit, 
wenn man den Nenner derselben mit einer ganzen Zahl n multiplicirt, 
oder durch n dividirt? wird von den Schülern leicht beantwortet, 
nachdem dieselbe durch einige Beispiele vorbereitet worden: 

a) Weifn ich eine gerade Linie in 2 gleiche Theile, hierauf 
jeden dieser Theile in 3 gleiche Theile zerlege, der wievielte Theil 
der ganzen Linie iat alsdann einer von den zuletzt erhaltenen 
Theilen? — Oder: 

b) der 3. Theil von ^ Apfel igt der wievielte Theil vom ganzen 
Apfel? — Li Zeichen j -. S = ~ 

Aehnliches gilt von dem Satz — . n= —_ — . 

Derlei Fragen aber dürften — statt unter den Divisions- und 
Afultiplicationsanfgahen — passender ihre Stelle finden in der Reihe 
der Untersuchungen Über Ab- und Zunahme des Werthes einer 
Brucbeinbeit, wenn der Nenner derselben beziehungsweise grösser 
(durch Addit. oder Multiplieat) oder kleiner (durch Subtract oder 
Division) gemacht wurde. Indem man durch diese Anordnung die 
Bedingungen der Veränderung des Werthes einer Bmcheinheit, dann 
die hieraus leicht zu erklärenden Sätze über Zerlegung und Zu- 
sammensetzung der Brucheinheiten (§. 7 meines Aufsatzes) den 
vier Species in Brüchen voransscbickt, vermeidet man zugleich den 
— man wird wohl zugeben, anstössigen — Nothbehelf, welchen 
die Rechenbücher nicht entbehren zu kennen scheinen, indem sie 
der Addition und Subtraction ungleichnamig gegebener Brüche zwei 



,ti7rJt,G00glc 



358 Eleinere Mittheüungen. 

Sätzö der Multiplication und Division vorausgehen lassen, nämlidi 



■(»■ 1)=« = 



fblgUdi 

Die Veränderungen der Brucheinlieit an eich nehmen die Auf- 
merksamkeit des Sehölera genügend in Anspruch, ebenso die Rech- 
nungen mit den Zahlen, welche aus solchen Einheiten zusammenge- 
setzt sind. Warum beide, yon einander trennbare Unterrichtsobjeete 
gleichzeitig Tomehmen und dadurch die Aubierksamkeit der Schfiler 
unnSthiger Weise zersplittern? Erleichtert wird dadurch dem Schüler 
die Sache nicht. Lernte er doch im Capitel des Rechnens mit 
„benannten" Zahlen vorher durch Zusammen Setzung und Zerlegung 
der benannten Einheit (l Stunde, 1 Gulden etc.) die höheren und 
niederenEinheiten kennen (z.B. 24Stunden=lTag; 1 Stunde =60 Min. 
u. dgl.), bevor er zu den vier Species mit Zahlen gelangte, deren 
Einheiten auf solche Weise zusammensetzbar und zerlegbar sind. 

In meinem Aufeatz (8. 101 — 111) habe ich die Bedeutung 
des Bruches als Multiplicators im Anschluss an die Erklärung des Be- 
griffs eines Bruches und den darauf folgenden Satz a : Ii = -r er- 
örtert, während iu den Bechenbücbem der Bmchmultiplicator erst in 
dem spätem Capitel der Multiplication zuerst auftritt. Für diese 
Abweichung von der üblichen Anordnung sprechen, vde ich meine, 
folgende Gründe: 

Es ist nach dem Begriff eines Bruchs z. B. 

I einer Grösse -= 3mal (diese Grösse : 4), 
mag nun diese Grösse ebe benannte Einheit (z. B, 1 Dutzend) oder 
eine Zahl (z. B. 12) sein. Die an die beiden Gleichungen 
J Dutzend = 3. (l Dutzend : 4) 
I ■ 12 Stück = 3. (12 Stück : 4) 
im Unterricht geknüpfte Mittheilung, dass, wenn an die Stelle der 
„Benennung" eines Bruches eine Zahl (statt des Wortes) tritt, 
zwischen den Bruch und die als höhere Einheit anzufassende Zahl 
das Multiplicationazeichen geschrieben wird, begründet unter Einweis 
auf den Begriff eines Bruches in einfaeher, ungezwungener Weise 
die Erklärung der Multiplication mit einem Brach. Warum soll 
der Schüler an derselben Stelle, wo er lernt, wieviel Stück ^ Dutzend 
sind, nicht zugleich lernen, wieviel „Einer" ^ der Zahl 12 sind, 
und wie man die Angabe „-^ der ZaU 12" schriftlich darstellt? 
Ich finde in dieser Beziehung bloss in „Heia, Rechenbuch für die 
Gymnasien .... Oesterreichs" eine Ausnahme von der in Rechen- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Eleinere Uittheilnngen. 369 

bücheru üblichen Anordnung. D& steht in §. 19. (überBohrieben: 
Begriff der Brüche) nach Aufg. 11): „Wieviel betragen | Pnss in 
Zoll?" in A'nfg. 12) auch: „Wieviel beträgt ^der Zahl 133?" 

Der AnBchlu88 dieser Au%aben an den Satz a-.b^^-r acheint 
mir sehr geeignet, zu erklären, wie der Brach überhaupt dazu 
kommt, in formeller Hineicht ala Multiplicator zu gelten. Da 
nämlich eine Divisionaaufgabe, worin Dividend und Divisor benannte 
(gleichbenannte) Zahl^i sind, fordert: Aus dem gegebenen, benannten 
Producte und dem gegebenen benannten Multiplicajidus zu berechnen 
den unbenannten Multiplicator, so iat hierdurch, wenn der Quotient 
ein Brach ist, der letztere unzweifelhaft iu der Eigenschaft eines 
MultiplicatorB eingeführt. Z. B. 

6 Pfund : 6 Pfund = (6 : 6) « -^ 
daher |mal 6 Pfund = 5 Pfund. 



HafhemtitiBDlie SopMemen. 

Von H. CuBTzB in Thom. 

Den in diesen Blättern mebr&ch beigebrachten mathematischen 
Sophismen^) will ich noch einige recht interessante beifügen, da bei 
ihnen dem nicht geschalten Mathematiker ernstliche Schwierigkeiten 
entgegentreten. 

1) Alle Zahlen sind einander gleich. Sind die beiden 
Zahlen a und b gegeben, so sind dieselben entweder einander gleich, 
a =• b, oder nicht. In letzterem Palle sei a > &; dann kann 
TT fP i setzen 

a = 6 + c. 
Man multiplicire beiderseitig mit o — 6, so entsteht 
a ■ a — ab '^ ab -\- ac — bb — bc, 
oder, wenn man ac nach links transponii-t, 

aa — ab — ac=^ ab — bb — bc, 
o (o — 6 — c) = 6 (a — Ä — c), 
folgl, a = &. 

2) Es ist n ««H M -f- 1- 
Män hat 

«» — « (2 « + 1) = (« -f- 1)S — (» + 1) (2 »1 + 1). 



3 IT, 36T,n. V, 886. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



360 Kleinere MHiheilungea. 

Beides ist = — «' — «. Also ist auch 

„._„(2„ + l) + (^2±i)- • 

dl _(„+l)'-(„+l)(2»+l) + (ii±4)' 

„ „ ÜL+i _ „ _(_ 1 _ l!L±l 

n = M -f- 1 
3) Alle Kreise haben gleichen umfang. 
Die beiden concentrischen Kreise um Ä seien fest verbunden, 
der gemeinsame Badiua AGB stehe senkrecht auf BE. E^ rolle 





nun der Süssere Kreis auf der Graden BIE so lange, bis der Punkt 
S wieder in diese Grade zu liegen kommt, etwa in E, so dass DE 
wieder senkrecht auf BE steht, dann ist BE gleich dem Umiange 
des Süsseren Kreises. Wahrend der Süssere Kreis auf BE rollt, 
musa der Punkt 0*) auf der zu BE Parallelen CF rollen, und ist 
B in E angeltuLgt, so befindet sich C in F, der innere Kreis hat 
sich dabei auch nur wimal um A gedreht, CF ist also der Um- 
&ng des inneren Kreises, also dieser genau so gross als der des 
Sussem Kreises, da BCFE ein Kechteck ist. 

1) BasB 64 = 65, dass man nämlich ein Quadrat von der 
Seite 8 in ein Rechteck mit den Seiten 5 und 13 verwandeln kann, 
sehe man in SchlSmilch's Zeitschrift f(lr Mathematik, 1868, S. 162. 
„Ein geometrisches Paradaxon." 



Kleinigkeiten aas der ScliTÜstabe. 

Vom Herausgeber. 

l) Zum Capitel der Ineorrectheiten. Ein unbarmherzig über 
Bord zu werfender Ausdruck.'*^) Der immer noch oft gelesene 
und gehörte Ausdruck „2, 3, 4mal grfisser (oder kleiner) als ... ," 



•) Wohl der kl. Kreis? D. Eed. 

**) Tgl. die Capitel von den Ineorrectheiten citirt S.329 im 4.Hft. d. Jabi^. 



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Eleineie MittheiluDgen. 361 

sollte doch endlicli aus der matb. Unteniclitsspracbe ganz rerschwinden. 
Besser sagt man: „2, 3, 4 etc. mal so gross (so klein) als" oder 
noch prSciser: ,J)as 2, 3, i etc. Fache von" etc. und „der 2^ 3,, 4 . . . 
Theil vou." Was kann es denn nur strenggenommen heissen: 
„4 ist dreimal kleiner, als 12? Doch nichts Anderes, als : 4 ist 
dreimal (was denn dreimal? doch wohl nur dreimal 41) d. h. also 
12 kleiner als 12, das wäre aiier 0, also 4 = 011 Oder noch voll- 
atändiger: 
4 ist einmal (näml. Imal sich selbst = 4) kleiner als 12 d. i. 8 
4 - zweimal ( - 2 - - . = 8) - - 12 d. i. 4 

4 - dreilmal ( - 3 - - - = 12) - - - d. i. 
Aehnicb ist's bei dem Ausdruck, 2, 3, 4mal grösser als! 

2) Ein verdächtiger Ausdruck. Ein zwar nicht zu ent- 
behrender, aber cum grano salis anzuwendender und wo irgehd möch- 
lich zu vermeidender Ausdruck ist der mathematische durch das 
Zeichen ; oder -r- dargestellte Ausdruck „verhält sich," Ich be- 
haupte, dass er a priori etwas unklares in sich trägt, . wenigstens, 
macht er auf mich stets diesen Eindruck and wie mir scheint, auch 
auf die Schttler, wamm? weil, er nicht eine anschanliche oder an- 
schauhoh zu machende Bechnungsoperation direct darstellt, sondern 
erst Zwischengedanken erfordert, so zu sagen eine Enthüllung 
oder Entpuppung bedarf, damit man seinen Inhalt er&sse. 4 ver- 
hält sich zu 6 kann sowohl arithmetisch als geometrisch anfgefasst 
werden und dann ist immer noch ein Nachsatz mit „wie" (=—■) nCthig, 
Der Ausdruck ist ähnlich einer Frage, auf die man die Antwort 
erwartet. Diese Antwort aber wird in dieselbe unklare Form ein- 
gekleidet. Denn, wenn ich sage: 4 verhält sich zu 6, wie 2 zu 3, 
so muss ich aufe Neue fragen, wie verhält sich denn 2:3? — 
Becht anfällig ist die- Unklarheit dieses Ausdrucks auch in der 
Hauptproportion der einlachen Zinsrechnung 

100 : k =j> :s 
d. h. nach gewöhnlicher Lesart: Normalcapital 100 verhält sieh zum 
Capital, wie die Procente (^ Zinsen von 100) zu den Zinsen von k. 
Wäre es nicht viel besser, zu schreiben: 

Ji_i? 

100 p 
und ist es nicht weit klarer zu sagen: So oft 100 im Capital ent- 
halten ist, so oft müssen die Procente In den Zinsen enthalten sein? 
Oder: Das wievielfache k von 100 ist, das so vielfache muss 
auch 2 von p sein? — „TielfacheB" und „Theil" sind aber 
klarere arithmet. Begriffe, als der Begriff „sich verhalten". 

3) Ein bedenklicher physikalischer Versuch. Im 3. Hft. 
dieses Jahrg. (8. 127 — 129) gibt unser geschätzter Mitarbeiter Kr. 
Dr. Erebs in Wiesbaden „kleine physikalische Yersnche," zu denen 
ich mir, wie ich dort bereits (S. 128) angezeigt habe, eine kleine 



,iP,.iM,Googlc 



362 Eleinere Mittheilusgeti. 

BemeTkung erlauben mSchte. Hr. Dr. K. sagt: „die erste Art 

(durch Einblaaen von Luft das Wasser springen zu lassen) gibt zu 
teiner weiteren Bemerkung Veranlassung." Mir aber gibt gerade 
diese Axt zu einer Bern. Veranlassung. 

Ich habe hBufig diesen Versuch vor Schülern und Schülerinnen 
gemacht, bemerkte aber immer, wenn bei dem (auch noch so raschen 
und vorsichtigen) Wegziehen des Mundes der Strahl mir ins Gesicht, 
oder wenigstens an die Lippen spritzte, bei den Schülern resp. 
Schülerinnen ein zwar unschuldiges und sehr erklärbares, aber 
immerhin schadenfrohes Lächeln. Dazu kommt, dass nian nicht ein- 
mal erreicht, was man will, nSmlich einen continuirlichen Wasser- 
strahl. Deshalb sollte man diesen primitiven Versuch und ähnliche 
der Art ganz unterlassen, da man ja in der Spritzflasche ein weit 
bequemei-es Mittel hat, um durch den Druck verdichteter Luft einen 
noch dazu continuirlichen verticalen Wassersttahl zu erzengen, 
wenn man die gebogene Bohre mit einer verticalen in eine Spitze 
auslaufende vertauscht oder (besser) einen mit solcher Rühre ver- 
sehenen Kork zu diesem Versuche bereit hftlt. So haben es 3. Müller 
und Weinhold in ihren Vorschulen der Physik. Man müsste denn 
zugleich die in Blasen aufsteigende Luft zeigen wollen, doch kann 
man dies ja bekanntlich auf andere sehr einlache Weise erreichen. 

Die Versuche vor einer Schulelasse sollen zugleich, wenn nicht 
elegant — was wohl nur Meistern der Experimentirkunst möglich 
ist — so doch angemessen, so zn sagen schicklich und anstfindig 
sein. — 



Sprech- und Discnsslons-Saal. 

Znr Theorie der Gleioliiuigeii 2. Grades. 

Gegenbemerkung zta Bern, des Hm. Prof. Bauer (S. 222) zu IV, 398, 
Von Dr. J Dibemanh in Wesel. 

Herr Professor Bauer liefert zn meiner Arbeit obigen Titels 
im 3. Hefte (8. 22->) d. Ztschr. einige beachtenswerthe Bemer- 
kungen, zu denen der Verfasser folgendes hinzuzusetzen sich ver- 
anlasst sieht. 

Es lag Verfasser daran, aus der quadratischen Gleichung selbst 
in strenger Gedankenfolge eine allgemeine Auflösungsform zu er- 
halten, besonders unter Vermeidung jedes algebraischen Knnst- 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Klemere Mittheilungen. 363 

griffes, der nicht vorher genetiacli begründet sei. Dass die TJeber- 
ftthnmg der beiden Snsaerlich verschiedenen Werthe für x in ein- 
-ander algebraisch sofort zu machen sei, ist ISn^t bekannt und 
glaubte Verfasser dies um so mehr bloss erwShnen zu brauchen (S, 401 
d. gedachten Arbeit), als sie Jeder wenn nirgends andei^wo , so doch 
in Elügel's mathem. Wörterbuche schon ausgeführt finden kann. Dass 
dabei das Zeichen -)- im Kenuer nothwendig wird, wenn man im 
Zähler + hat, liegt eben in der Art des algebraischen Kunstgriffes; 
die Lösung der Gleichung sagt darüber nichts. Die Thatsache aber, 
dasB eine Grösse -3, wenn sie unter den Pormen -=-n. ^erscheint, 
dann allgemein in der Form „ ~ ,,' enthalten ist, gehört so sehr 
in die Elemente der Mathematik, speoiell der Substitutionen, dass 
fast kein analytisch-geometrisches Problem ohne sie gelöst wird, und 
es hätte danach wohl des Beweises, zumal in der unhomogenen Form, 
sowie Heranziehung der Lehrbücher für die Leser einer mathe- 
maüachen Zeitschrift nicht bedurft. Welch principieller Werth sonach 
auf das Manöver mit dem ,,Correspondenzsatz" unter Anwendung 
der „ Subtraction" (Addition lag ebenso nahe) zu legen sei, ist um 
so weniger klar, als dadurch nicht nur nichts erklärt wird, sondern 
das Verfahren erst recht als ein gesuchtes erscheinen muss, wenn 
man, wie es häufig geschieht (u. a. Worpitzky) als allgemeine Form 
der quadratischen Gleichung die wählt, in der 1^ mit dem Coeffi- 
cient«n 1 erscheint. £s wird dabei dem unbefangenen Leser die 
Beaultirung der Wurzeln aus dem Ausdrucke: 

— (6& + c)±.»^6' — ttc *) 

durdi Substitution der Werthe # ^ in ^ <= 00, oder wenn man 

fttr * die Bruchform — wälüt, m ^ 0, m, ^ schon mehr eine 

j»i ' ' 

„Hexerei" erscheinen müssen. (Verfasser gebraucht den Ausdruck 
eines Facfacollegen, dem er einst das algebraische Experiment 
mittheilte.) Jeder aber, der mit Auünerksamkeit die Arbeit durch- 
gelesen hat, wird gefunden haben, dass nicht nur durch die ,,spe- 
ciellen" Werthe # ^ und ■? = 00 aus obigem Ausdrucke die Wur- 
zeln erhalten werden. Dem Werthe d ^ entspricht als eonjugirter 

Werth der von # = und dem von # ^ 00 ein anderer 

* = ~-i (vergl. IV. 9. 399 der Arbeit des Verfassers). Auch 
diese Werthe geben für ^ aus obiger Form die gesuchten Wurzeln, 



*} Yerfa«aei glaubt nicht, daes durch die in Folge eines flberaehenen 
Bmckfehlers fortgebliebene Klammer ein ernstliches Miasveistäudniss hat 
entstehen kOnneii, zumal die Gleichung, ans der x resultirt, nnmittelbu 
vorhergeht. 8. 401. 1 u. 3 a. a. 0. 



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364 Kleinere Mittheilangeu. 

wie es sich aus der Theorie strenge und ohne Willkür ergibt Auch 
diese Werthe ergeben aus Gleichung 5 S. 402 a, a. 0. für f{x) auch 
nur die beiden Aequivalente 

(«« + 6)» — (6^ — ac)-=0 
[xi + cf — a^((>' — ac) = 
welche also zunächat als die einzig berechtigten angesehen werden 
mUBsen, während die beiden vom Hm. B. hinzugefügten sich durch 
reciprobe Umformung yon x daraus ergeben, wie eich dieses aus dem 
Zusammenbeatehen der Oleichnngen 

axi^ + 2 hXi Xj -(- c*!* = 

ciFj' 4- 26a;, «j + aaii' = 
ergibt (Verf. wShlt der besseren TJebersicht wegen atatt x die homo- 
gene Form — ^ J. 

Was schliesslich das „kürzer" der geometrischen Interpretation 
des Hm. B. anbetrifft, so sei bemerkt, dass Verfasser bei Anferti- 
gung der Arbeit an eine Yerwerthung für den Unterricht dachte 
(vgl. Einleitung a. a. 0.), also bestrebt sein musste aus der quadra- 
tischen Gleichung selbst, welche a priori mit der Involution nichts 
zu thun hat, zu der harmonischen Lage der Wurzelwertbe zu ge- 
langen. Nachdem diea geschehen, ist ausdrücklich erwähnt (S. 398), 
dass eine derartige Beziehung unter dem Namen Invo- 
lution bekannt sei. Dass die involutorische Lage projectivischer 
Gebilde sich quadratisch durch den Parameter zweier zusammenge- 
höriger Elemente ausdruckt, ist gewiss bekannt und geometrisch and 
analytisch durchgeführt in Fiedler-Salmon „Kegelschnitte" Capitel 16. 
Will man überhaupt bei derartigen Untersuchungen die Principien 
der neueren Geometrie und Algebra zu Grunde legen, so wird man 
nach dem heutigen Stande der Wissenschaft, wohl etwas geschickter 
resp. eleganter verfahren, als es vom Hm. B, geschehen ist. Ver- 
fasser erlaubt sich auf die betreffende Partie in Clebsch; Theorie 
der binären algebraischen Formen §, 17. und 24. hinzuweisen. Gewiss 
wird ea der Wunsch sehr vieler CoUegen sein, soweit es die elemen- 
taren Hilfsmittel zulassen, die Anschauungen der neueren mathe- 
matischen Disoiplinen auch für die Schule zu verwerthen, Dass dabei 
der Ausgangspunkt ein anderer sein muss , als der von Hm, B. sub- 
stituirte, ist wohl zu erwarten, und durch manchen Versuch wird 
man dabei noch lernen müssen. Dass Verfasser mit BUcksicht auf 
den Leserkreis einer didaktisch- mathematischen Zeitschrift bei der 
gedachten Arbeit auch den Schein jeder schulmeisterlichen Anmassung 
vermieden wissen wollte, sei noch ausdrücklich hinzugefügt, um so 
mehr, da er vielleicht Gelegenheit haben wird, die Behandlung der 
cubischen und biquadratischen Gleichungen sammt den dabei auf- 
tretenden imaginären Verhältnissen in ähnlicher Weise behandelt 
mitzutheilen. 



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Eleineie Mittheilnugen. 365 

Bemerkung za Lottners Aa&atz.*) 

Vom Kealschnllehier F&itel in Königsberg. 

Im 2. Heft dieses Jahrganges findet sich auf Seite 129 ein ele- 
mentarer Beweis des Satzes, dass jeder Lichtstrahl bei einer Brechung 
seinen Weg in der kürzesten Zeit zurücklegt. Veranlasst ist die 
kleine Arbeit durch eine Anmerkung in dem Koppeschen Lehrbache 
der Physik (§. 97.). Hierzu ist zu bemerken, dass ein einfecherer 
und ganz elementarer geometrischer Beweis desselben Satzes in dem 
Traitö de la lunw^re von Huyghens (Ausgabe Leiden 1690) 
im 3. Capitel Seite 40 za finden ist. 



fiemerkmigen za Aofsätzen dieser ZeitscliTifl;. 

Von Hm. Prof. Beloviö in Ea^eg a/D. 
(Fortsetzung von S. 286.) 

Das vom Herausgeber dieser Ztschrft. IV, 226 lobend erwähnte 
Bechenbueh von Pick, das auch nach meiner Ansicht gründlicher 
ist, als die mir bekannten an den össterr. Mittelschulen stark ver- 
breiteten Rechenbücher (von Moenik, ViUicus, Teirich), behandelt in 
der That die Multiplication mit einem Bruche und die Division durch 
einen Bruch nicht eben musterhaft. Die Ableitungen 

I X ~ = f^^ im § 22., pag. 186 und 

sind ähnliche Erschleichungen, wie die Ableitungen der beiden 
Divisionsregeln beim Herrn Herausgeber.**) Deberdiess sind inPicks 
Rechenbuch die in den erwähnten §§. 22. und 27. durchgeführten 
Ableitungen der Operationen -1 X ^ bezüglich -§■ : -^ ganz über- 
flüssig, was der Ver&sser selbst sofort bemerkt haben würde, wenn 
er ans den Auseinandersetzungen in den §§ 24., 28. und 29. die 
richtigen Consequenzen gezogen hätte. So aber erscheinen die 
Aufstellungen der Operationen | X 3^ und -| : f als wiUkürliche 
Einfälle, deren Berechtigung erst hinterher in den §§ 23. bezüglich 
28. nnd 29. durch tiefer eingehende Erörterungen (aus denen 
mancher Rechenbücherfabrikant noch manches lernen könnte) plau- 

•) 3. Hft. S. 129. 
**) Herr B. meint unsere Entw. IV, 223—225, gegen die er ebenfalls 
polemiBirt. Wir werden später sehen, ob der Vorwurf des Hrn. B. ge- 
gründet ist. Die Red. 

Zeitaohr. f. mAth. a. Dttarw. Vntin. V, 25 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



366 Kleinere Mittheilungen. 

sibel gemacht wird. Pick abersah, dass er ja durch die Erörterungen 
in den §§ 23. uad 29. den Begriff der Multiplication mit einem 
Bruche bezüglich den Begriff des Theilens durch einen Bruch abzuleiten 
veraiicht, (Vergi Keue Darstellung der Logit von Drobisch. III. Aufl. 
§§ 133. und 134., pag. 155—159.) Ich sage, versucht, denn 
auch diese Ableitung ist nicht ganz gelungen. So stellt er im 
§ 29. die Frage auf, welche Bedeutung die Aufgabe, „eine Zahl 
in -^gleiche Theile zu theilen," haben kCnne, ohne vorher gezeigt 
zu haben, unter welchen Voraussetzungen man auf ein Theilen durch 
einen Bruch geführt werden kann. Aus der Aufgabe, „^ Ellen 
kosten yV fl-, was kostet 1 Elle?" leitet er die Umkehrungaregel 
ab, indem er den eigentlichen Begriff, der in der Gleichung 

ifl.:f-(ifLX4):3 

steckt, bei Seite liegen läast. Dadurch zwingt er den Schüler bei einer 
jeden Aufgabe des Theilens zu einem Umweg im Denken. Der 
Schüler muss, anstatt unmittelbar zu denken, „durch — wird ge- 
theilt, indem das nfiiche des Dividendua durch m getheilt wird," 
sich zuvor die Theilung durch — in eine Multiplication mit — um- 
setzen. Dadurch ISaat er sich aber auch die passende Gelegen- 
heit entgehen, dem Schüler bemerken zu können, dass das Theilen 
durch einen Bruch ebenfalls ein Theilen in gleiche Theile sei, nur 
dass nicht der ursprüngliche Dividend selbst, sondern ein Vielfaches 
desselben in gleiche Theile getheilt werde. 



Oegeubemerkiing des Verfassers. 

Ich danke dem Herrn B. einmal für die trotz der Ausstellungen 
. Bechenbuche gezollte Anerkennung, dann aber weil mir 
selbst hierdui'ch die Gelegenheit geworden, mich über dasselbe 
aussprechen zu können. Leider gestattet der zu einer Gegen- 
bemerkung zugemessene Raum nicht, diess im ausgedehnteren Masse 
zu thun und so muss ich mich begnügen, nur auf ^die gerügten 
Punkte zu erwidern. 

H. B. hält die §§ 22. und 27. für überflüssig, die Beweisführung 
für erschlichen. Mir erscheinen sie auch jetzt noch fUr wesentlich und 
die Beweisführung für eorrect. Es war mir darum zu thun, schon 
im EeebenunteiTiehte zu zeigen, wie sich der stolze Bau der Mathe- 
matik dadurch aufbaut, dass man mathematischen Gesetzen, die aus 
einer engen Definition erschlossen worden, eine Geltung zuschreibt, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Eleinere Mittheilimgeii. 367 

die Über dieBe engen Grenzen hinauageht, dass dieses Ver&hren 
seine volle Berechtigung hat, vorausgesetzt, dass man das so ge- 
fundene Gesetz nicht als leere Form stehen lässt oder ihm 
Giltigkeit zuerkennt, ohne sich um seine Bedeutung weiter 
2a kümmern. Der Schaler weiss, dass er z. B. statt mit 25 zu 
multiplieiren, mit 100 multipliciren und durch 5 divtdiren kann, weil 
25 ■= 100 ; 4; er weiss ferner, dass -^^ = 6 : 11; warum sollte er hier 
nicht- dasselbe thun dürfen? Die Antwort kann nur lauten: du 
darfst es thun, nur musst du dich fragen, was diess bedeute. Ich 
sehe gerade in dieser Art der Ableitung eine Schulung des mathe- 
matischen Geistes, die einerseits zur Erweiterung der Gesetze und 
Definitionen aufmuntert, anderseits aber vor Ausschreitungen ins 
leere, nichtssagende Formelwesen warnt. Das Streben aber bei 
jeder Erweiterung eines Begriffes einer gedanken- und bedeutungs- 
losen Annahme der Folgen entgegenzuarbeiten hat Herr B. wohl 
im ganzen Buche bemerken müssen; ich mache nur auf die Multl- 
plication mit 1 und § 59., S. 51 aufmerksam. 

Es vrird mir nun zum Vorwurfe gemacht, ich hätte nicht 
nachgevdesen, unter welcher Voraussetzung mau auf ein Theüen 
durch einen Bruch geführt wird. Aber eben das citirte Beispiel, 
so wie die (wahrscheinlich von Herrn B. übersehenen) Fragen imter 
A zu demselben Gap. 8. 190 sagen diess ja deutlich. — Ferner 
wird ausgesetzt, dass ich die Gleichung Ä : (m -.n) ^ (Ä ■ n) tm 
ausser Acht gelassen habe. Das ändert ja aber an dem Wesen 
der Sache ganz und gar nichts. Jene Gleichung hat doch wieder 
zunächst nur Giltigkeit, wenn m durch n theilbar ist; wollte man 
sie stillschweigend auch für den Fall, wo m durch n nicht theilbar 
ist, gelten lassen, dann wäre dies eine Erschleichung der allerärgsten 
Art. Anderseits ist die Gleichung A : (m: n) =: (A : m) ■ n etwa 
weniger giltig? Die Sache steht also so: entweder man erklärt die 
Mnltiplication und Division in BrUchen als eine sogenannte Begel- 
de -tri- Aufgabe und dann entMlen diese Rechnungsoperationen gänzlich, 
oder man sieht beziehungsweise den Bruchmultiplicator und Divisor 
als Bechenzahl an d. h. man fügt die Brüche in die Zahlenreihe 
ein, und dann wird man immer auf die beiden alten Eegeln kommen; 
nur dürfen' diese nicht sinnlose Manipulationen bleiben; der Schüler 
muas sich jederzeit bewusst werden können, dass er es hier mit 
einer Zusammenziebung zweier Rechnungen infolge Begriffs erweiterung 
za thun habe. Dass man beim Einüben nicht immer die Umkehrungs- 
regel anwenden solle, musste nach der Haltung des ganzen Abschnittes 
von den Brüchen in meinem Buche (vergl. S. 171 § 4., S. 174 
Beisp. 6) nicht erst bemerkt werden. 

Ganz unbegründet ist der Vorwurf, ich hätte mir entgehen 
lassen, dass auch das Dividiren durch einen Bruch ein Theilen in 
gleiche Theile sei. Ist denn {A:m)-n weniger ein Theilen in 



,iP,.-jM,Googlc 



368 Kleinere MitUteilungen. 

gleiche Theile als (^ ■ n) : «i? Ich inll jedoch zugeben, es hätte 
fa-otz der analogen Bemerkung zur Multiplication S. 188 ausdrücklich 
geaagt werden können. 

Die Beziehung auf Drobiscb I. c. erBcheint mir in der ganzen 
Frage gänzlich irrelevant; ja ich finde sogar darin eher einen zu 
meinen Gunsten als gegen mich zeugenden Ausspruch, Trenn man 
nicht bei den citirten Seiten, sondern noch etwas weiter S. 162 imd 
zimi nächsten Abschnitt „von den heuristischen Formen des Denkens" geht. 

Db. Pick. 



Kepertoriom för Aafisabeii.'*') 

Bedigirt von Prof. Birdbe in ScbQnthal. 
II. 

(Vorbemerkung. Wir wollen der gröaseren Bequemlichkeit halber 
und um Irrthilmer zu vermeiden, von jetzt ab die Aufgaben ohne unter- 
schied der Kategorie mit fortlaufenden Nununem bezeichnen. Da das 
letzte Mal im Gcmzen 10 Nummern (9 Aufgaben und 1 Lehrsatz) gegeben 
sind, so fahren wir mit Nr. 11 fort.) 

11. Zwei Dreiecke 0-i.B und Oab mit gemeinschaftlicher Ecke 
sind nach Gestalt und OrSsse, OÄB ausserdem der Lage nach 
gegeben. Man soll Oab durch Drehung um in eine solche Lage 
bringen, dass Aa und Bb einen gegebenen Winkel mit einander 
bilden. 

(Nouvellea ÄunaJes de Uath^matiquea J. 1869 p. 47. B. Lemoire. 
Trigonometrische Lösung von einem Turiner ßtudirenden ebendaa. 
J. 1871 p. 235 ff. Hübache geometrische Lösung vom Redacteur Gerono 
ebds. p. 237 ff. Es lässt aich aber noch eine einfachere und elegantere 
finden^ 

12. An zwei gegebene Kreise zwei Tangenten zu ziehen, die 
einen gegebenen Winkel mit einander bilden, so dass die Verbindungs- 
linie der Berührungspunkte durch einen gegebenen Punkt gebe. 

(Nouv. Ann. J, 1870 p. 283 ff. Trigonometrische Lösung von Kaher- 
Bey in Cairo. Es gibt eine elegante geometrische Consfniction.) 

13. a) Von den Mittelpunkten der 4 Kreise M, welche die 
Seiten eines Dreiecks berühren, liegen 4mal je drei auf einem Kreise K. 
Diese Kreise sind alle einander gleich und ihre Mittelpunkte liegen 
selbst wieder zu viermal je dreien auf Kreisen K', welche unter sieh 
und jenen Kreisen K gleich sind. Die Mittelpunkte dieser Kreise 
fallen beziehlich mit den Mittelpunkten der Kreise M znaammen. 
Die Mittelpunkte der Kreise K und JT* sind beziehlich zu zweien 
einander zugeordnet und zwar so, dass der Kreis K durch den 
Mittelpunkt des Kreises K nicht geht und umgekehrt E" nicht durch 



■} Vergl. Hft 4. S. 286. Die Red. 

n,g,tP,-ih,C00t^lc 



Kleinere Mittheilangeii. 3g9 

den Mittelpunkt des Kreises K. Die Centralllnie zweier solcher 
Kreise K imd K geht daroh den Mittelpunkt des dem Dreieck um- 
geschriebenen Kreises und wird in diesem Punkte halbirt. 

b) Bestimmt man auf dem umfange irgend eines Sbreises 
4 Punkte Pi, p^, p^, P4, so bestimmen je drei dieser Funkte ein 
Dreieck und wir haben so die Dreiecke d^, d^, d^, d^, wo d, ^ 
Ps Ps Pt etc. ist Fällt man TOn dem Funkte (t auf die Seiten 
dea Dreiecks d^ die Normalen, so liegen die Fusspunkte in der 
Geraden g^ Diese so erhaltenen Geraden ffi, g^, g^, g^ gehen 
durch denselben Funkt j). Bezeichnen wir die Höhenp unkte der Dreiecke 
mit Ä,, fij, A3, ft^, so gehen die Graden p^ A, durch den Fimkt p 
und werden in diesem Punkte halbirt. 
Nimmt maii die zwei SStze hiuzu: 

C) Die Kreise, welche den vier durch je drei von Tier Geraden ge- 
bildeten Dreiecken umschrieben sind, gehen durch denselben Punkt, und 
d) die HShen dieser vier Dreiecke liegen auf einer Geraden, 
so kann man folgende Fragen stellen: In welchem iunem Zusammen- 
haag stehen diese vier Sätze, und wie leiten sich die Eigenschaften 
jeder Figur aus denen der andern ah? 

(Pr. G. Affolter zu Solothnrn. Mit anderen werthvollen BeiWgen, 
die wir in den folgenden Heften bringen werden, von der Eedaotion neuer- 
dingB nna flberwieaen.) 

14. „Wenn eine Primzah!, P, die Summe dreier Quadrate ist, 
so ist im Allgemeinen auch JP" die Summe dreier Quadrate; eine 
Ausnahme könnte nur stattfinden, wenn P in zwei Quadrate zerleg- 
bar wäre. Doch ist ea nicht sicher, ob dieser Ausnahmefall vor- 
kommen kann; z. B. 29 = 16 -j- 9 + 4 = 25 + 4; nichts desto 
weniger 29^ = 34^ + 16' + 3l" 

Diesen Satz stellt Catalan im Januarheft der Honvelles Annales von 
1874, p. ei auf. Ob der sonderbare Irrtbum, der hier dem tüchtigen 
Mathematiker begegnet ist, seither schon seine Bericbtigang gefiinden hat, 
wissen wir nicht, da wir die neueren Hefte nicht zur Hand haben. Der 
Satz gilt aber von jeder Zalil, und ist gar kein Satz der Zablentheorie, 
Bondera lediglich einer der Buchstabenrechnung, weswegen wir ihn hier 
zur Uebung für Schfller in folgender Gestalt geben: 

Wenn eine beliebige Zahl a die Sunmie dreier Quadrate ist, 
so läsat aich auch c? in drei Quadi-ate zerlegen und zwar im All- 
gemeinen auf drei Arten. (Binder.) 

15. Die Gleichung : x* + 4 x' — 20 a^ + 48 a; — 48 = ohne 
cubiseheReaolvente aufzulösen und das Merkmal anzugeben, an welchem 
man bei Gleichungen dieser Art die Auflösbarkeit auf einfacherem 
Wege erkennt. (Binder.) 

16. Eine Gleichung von der Form 

b 6 

* log a! :^ K (etwa aü log a; ^ 3125) 
aufeulösen. S ■= m (Prof. J. BeloviiS in Esseg.) 



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Literarische Berichte. 



Hofmann, Fr. Dr. (Prof. «m Gymn. in B«jmQtii), Sammlnng von Auf- 
gaben aus der Arithmetik and Algebra für Gymnasieii 
und Eealschulen, 3 Theile. [I. Theil 6. Aufl,, 20 Ngr^ 
II. Theil 6. Aufl. 28 Ngr., HL TheÜ 3. Aufl. 29 Ngr.] Grau'ßche 
Buchhandlung, Bayreuth. 
Das Buch, welches mir zur Besprechung zugeschickt ist, bringt 
in drei Theilen, von denen die beiden ersten zu je 224 und 324 
Seiten In der sechsten, das dritte zu 256 Seiten in der dritten Aud. 
vorliegen, Über fast alle Theile des gewöhnlicfaen Bechnens und der 
allgemeinen Arithmetik eine in der That äussere rdenCicb grosse 
Menge von Aufgaben, so dass es in dieser Hinsicht schwerlich von 
einer andern Sammlung übertroffen wird. £)in Lehrer wird viele 
Jahre aus demselben rechnen lassen können , ohne in die Notb- 
wendigkeit versetzt zu sein, ganz dieselbe Aufgabe zweimal aufzu- 
geben. Auch die Mannigfaltigkeit der Aufgaben ist in manchen 
Abschnitten sehr gross, so besonders bei den gemeinen Brüchen und 
den DecimatbrUchen, bei allen Operationen mit Buchstaben und hei 
den Beductionen. Auch finden sich namentlich bei den Reductionen 
und Gleichungen viele sehr hUbscHe und interessante Aufgaben. Da 
es bei den Schülern bald hier, bald da einer Repetition bedarf, bo 
ist für den Lehrer eine sehr grosse Anzahl von Aufgaben wfinschens- 
werth, ja nothwendig. Das Buch eollte daher in den Hfinden eines 
jeden Lehrers der Mathematik sein; er wird in demselben zur Ein- 
übung, Befestigung und Wiederholung der verschiedenen Operationen 
eine nie versiegende Fundgrube haben. Ausserdem hat das Buch 
noch den Vorzug, dass es auch Bechen- Auf gaben fdr die unteren 
Claasen bringt. In den sonst üblichen Sammlungen von Aufgaben 
Über Buchstabenrechnung finden sich solche Aufgaben nicht. 

In einigen Funkten können wir uns jedoch mit den Ansichten 
des Verfassers nicht ganz einverstanden erklären, und es möge hier 
verstattet sein, auf dieselben etwas näher einzugehen. 

Die Uebungen über Operationen mit ZaMen sowohl, als mit 
Buchstaben sind zu sehr als Zweck behandelt; sie können doch nur 
als Mittel zum Zweck angesehen werden. Die Anwendungen treten 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Bericlite. 371 

zu sehr in den Hintergrand. In I finden wir auf den ersten 67 
Seiten, in II gar auf den ersten 21.^, in III auf den ersten 102 
Seiten in den Hebungen kaum ein Wort, nichts als Zahlen und 
Buchstaben. Da kommt una unwillkürlich der Gedanke : Der Buch- 
stabe tödtet, der Geist macht lebendig; und ^in ScbUler wird sich 
gewiss die Frage vorlegen ; wozu nützt eigentlich die Bnchataben- 
rechnung? Ist daß Buch für die Hand der Schüler bestimmt, so ist 
die Zahl der Aufgaben überhaupt zu gross, besonders die Zahl der- 
jenigen, welche nur zur Einübung des Mechanismus des Rechnens 
gegeben sind. Sie sollte in keinem Abschnitt grösser sein, als man 
sie mit den besten Schülern in drei Jahren bewSltigen kann; denn 
dann sind Wiederholungen nicht zu beftlrchten. Eine zn grosse 
Anzahl von Aufgaben macht den schwächeren Schüler muthlos; er 
verliert den leitenden Gedanken und weiss zuletzt nicht mehr, was 
er rechnet. Fast alle wichtigeren Bechnungen der Arithmetik, der 
Geometrie, der Trigonometrie und der Stereometrie hängen lediglich 
von der Auflösung von Gleichungen ab. In den Gleichungen liegt 
also der Knotenpunkt der Arithmetik. Von hier gebt alles Leben 
aus. Wer auf diesen pQnkt nicht ganz besonders seine Aulineik- 
samkeit richtet , ihn nicht gehörig zu besetzen bemüht iat und 
wirklich besetzt, ist machtlos, wird das Gebiet nicht beherrschen. Ein 
Schüler, der die einfachen Operationen recht gut kennt, aber 
in der Auflösung der Gleichungen nicht tüchtig geübt ist, wird 
überall .anstossen; man bemüht sich vergebens, ihn in wUnschens- 
weriber Weise vorwärts zu bringen; und es ist daher auch durch- 
aus nicht zu billigen, dass die Gleichungen erst in den oberen 
Classen vorgenommen werden, wie es ja in manchen Schulen ge- 
schieht. Ueberdies kommen bei den Gleichungen alle möglichen 
Operationen in der verschiedenartigsten Weise zur Anwendung. 
Alles, was daher in den Abschnitten über Addition, Subtraction, 
Multiplication, Division, die Potenzen, die Wurzeln und die Loga- 
rithmen weder zur Einübung der Gesetze oder zu einem praktischen 
Zwecke, noch zur Vorbereitung auf die Gleichungen als wesentlich 
erscheint, iat wohl von sehr zweifelhaftem Werlhe. Ganz ab- 
gesehen von der vorliegenden Sammlung, wozu sind in den Samm- 
lungen überhaupt die langen Multiplicationen und Divisionen, wozu die 
ungeheuerlichen Exempel über das Ausziehen der Wurzeln aus Buch- 
stafaenausdrücken, wozu die Aufgaben mit einer unübersehbaren 
Zahl von Klammem, wozu die endlosen verwickelten Reductionen, 
wozu die mit grosser Mühe zusammengestellten, wunderlichen Auf- 
gaben über Logarithmen? Wirken sie nicht abschreckend, anstatt 
zu ermuntern und einzuladen? Selbst Gleichungen, welche weder 
in ihrer Form, noch in ihrem Eesultat etwas Ansprechendes haben, 
welche die vom Verfasser bei 'ihrer Aufstellung verwendete Mühe 
verrathen, lasse man unbedenklich fallen. Es ist mit einer arith- 
metischen Aufgabe, besonders mit einer Gleichung, wie mit einem 
Gedicht; beide sind nicht mehr sclKin, wenn sie durchblicken lassen. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



372 Literarisehe Berichte. 

dass der Verfasser ea sich hat sauer werden laesen. Nehmen wir 
aber diese Gesichtspunkte als massgebend, so könnte Bwiäx in der Tor- 
tiegenden Sammlung noch manche Aufgabe fallen, ohne den Wertli 
derselben zu vermindern. 

Will man diese Gesichtspunkte nicht als massgebend gelten 
lassen, so muss man sieh doch gewiss bei jeder Aufgabe in einer 
für Schüler bestimmten Sammlung die Frage vorlegen: Ist sie 
wünschenswertli oder nothwendig, oder keines von beiden, sei es für 
die feigsten oder unfähigsten Schüler, sei es fUr praktische oder 
theoretische Zwecke, sei ea endlich um das Interesse der Schüler 
au der Sache zu fördern? Kann man diese Frage nicht bejahen, so 
ist es besser, einfach die Aufgabe zu sti'eichen; ja, die Aufgabe 
musB schon gestrichen werden, wenn sie bei nur geringem prakti- 
schen oder theoretischen Werthe dazu geeignet ist, das Interesse 
der Schüler an der Sache zu vermindern. Nichts dient aber hierzu 
mehr als lange unförmliche Aufgaben. Hierher gehören z. B. 
I S. 24 — 31, 48 — 65, II S. 32 — 33, 94~,115, 182—186, m 
8. 17 — 19, 37 — 42, 96 — 100 u. s. w. Auch selbst in einem nur 
für Lehrer bestimmten Buche würden solche Aufgaben besser fehlen. 

Ausserdem sind die Abschnitte nicht gleicbmSssig behandelt, die 
leichteren Abschnitte sind unverhältnissmässig berücksichtigt, die 
schwierigeren auf wenigen Seiten abgetban. So nebmen die Poten- 
zen mit gajizen positiven Exponenten 77 Seiten ein; die figurirten 
Zahlen, der binomische und der polynomische Satz, die Permutatio- 
nen, Combinationen , Variationen, die Wahrscheinlichkeitsrechnung, 
alles in einem Abschnitt, nur 9 Seiten. Aufgaben über die all- 
gemeine Theorie der Gleichungen und Über cnbische Gleichungen 
sind nicht vorhanden. 

In Btizug auf die eingekleideten Aufgaben hat der Verfasser 
es zwar verständen auf einem verhältnissmässig kleinen Kaum eine 
grosse Anzahl von Aufgaben zusammenzudrängen, und es isi z<i 
loben, dass sieb an die allgemeine Aufgabe in Buchstaben specielle 
Beispiele in Zahlen anscbli essen i aber die Aufgaben machen einen 
zu schematischen Eindruck. Für Schüler ist es wünschenswertb, 
dasa die Aufgaben, wenn sie auch wesentlich kaum verschieden 
sind, in Form und Ausdruck inmier neu erscheinen. Nur so wird 
man ihr Interesse rege erhalten. -:- Dass auch, die gewöhnlichen 
Eechenauf gaben allgemein in Buchstaben behandelt werden, verdient 
Anerkennung. 

Angabe der Art der Aufgaben und der Abschnitte oben auf 
jeder Seite wüi-de zu schnellerer Orientirung beitragen und die 
Brauchbarkeit des Buches erhöhen. 

Ungeachtet der hier gemachten Ausstellungen bat das Buch des 
Guten so viel, dass ich nicht umhin kann, es allen Lehrern der 
Mathematik als eine sehr fleissige und brauchbare Arbeit aufs nach- 
drücklichste zu empfehlen. E. Bakdbt. 



i,Coo<^lc 



Literarische Berichte. 373 

LiEHSEMANN, Dr. Käkl Heinbich, Lehrbuch der Arithmetit und 
Algebra, Leipzig bei Teubner, 1871.*) 
Der Terf. hat eine streng ayetemaüache Anordnung des Stoffes 
erstrebt, um „den Lehrer, welcher dieses Lehrbuch seinem Unter- 
richte zu Grunde legt, Ton den Fesseln frei zu halten, welche eine 
aus pädagogischen Bücksichten hervorgegangene Anordnung anlegt." 
Die in den meisten Lehrbüchern an die Spitze gestellten all- 
gemeinen Grundsatze hat der Verf. übet Bord geworifen, weil sie 
für die Arithmetik unfruchtbar sind. Die Erklärungen ha,t er so 
aufgestellt, wie sie sich unmittelbar ergeben und dem genetischen 
Unterrichte zu dienen im Stande sind und wie sie geeignet erscheinen, 
die Bechnungsregeln zu beweisen. Aufgaben und Beispiele sind 
dem Lehrgebäude hinzugefügt und „mit besonderer Rücksicht auf 
Lehrhaftigkeit" ausgewählt. In dei Terminologie finden sich manche 
Abweichungen, die der Verf. „aus pädagogischen Gi-Ünden vorge^ 
nommen hat, um Verwechselungen zu vermeiden." 

Dem Lehrgebäude sind „einleitende und aUgemeiue Bemerkungen" 
vorausgeschickt, die an geeigneten Stellen in den Unterrieht ein- 
zufleehten sind. Hiernach theilt der Verf. die niede're Arithmetik 
in 3 Hauptgebiete: 

1) natürliche Zahlen und Functionen im Gebiete der natür- 
lichen Zahlen, 

2) Erweiterung des Zahlbegriffar die analytischen Zahlen, 

3) Erweitfirnng des Begriffs der Function: die Algebra, woran 
sich dann als Anwendung schUesst, 

4) die Arithmetik der bestimmten Zahlen. 

Gehen wir nun etwas auf das Einzelne ein, so bemerken wir, 
dass der Verf., wie schon aus der mitgetheilten Uebersicht hervor- 
geht, sieh von vornherein des Ausdrucks „Function" bedient statt 
des üblichen „Form." Das 1. Buch behandelt die Eechnungaarten 
ia 3 Stufen: Unterste Stufe: Addiren und Subtrahireu; mittlere 
Stufe: Multipliciren und Dividiren; oberste Stufe: Potenziren, Radi- 
ciren, Logarithmiren. Er beginnt mit dem Numeriren mit allge- 
meinen Zahlen als Vorübung. Dajm werden die Hauptgesetze der 
Bechnungearten aus den Definitionen naturgemäss abgeleitet, und die 
l'tanaformationen auf jeder der 3 Stufen vollständig behandelt. 
Durchgehends werden die LehrsStze streng bewiesen, die Beweise 
wenigstens ausreichend angedeutet, dann in Worten ausgedrückt und 
schliesalich die praktischen Regeln für die Anwendung angegeben. 
Die Null wird ala Differenz gleicher Zahlen definirt. Bei der 
Multiplication werden sogleich die Primzahlen, Frimfactoren, einge- 
führi Bei .dem Dividiren wird zweckmässig vom Messen auage- 

•) Durch besondere Ursachen verapätet. D. Ked, 

riigiti.rJt/GoOglc 



374 Literatificlie Berichte. 

gangen und das Tbeilen von ihm sorgMtig nuterschiedeii. Bei 
der obersten Stufe nimmt der Verf. von den inveraen Rechnungs- 
arten das Logarithmiren vor dem Badiciren, wir erkennen nicht, 
wanun? um so weniger, als er nachher bei den Transformationen 
dieser Stufe doch die der Wurzelfimctionen vor den logarithmisehen 

nimmt. Statt der Bezeichnimg log a schlägt der Verf. vor — , wo- 
mit wir nns nicht recht befreunden können, wir ziehen die von 
Woipitzky gebrauchte, nur etvms abgeänderte, Bezeichnung i— vor, 

weil sie dem umgekehrten Wurzelzeichen gleichkommt, namentlich, 
wenn man die Basis c nicht unter a, sondern weiter links schreibt, 
also ^— . Als zweite Reihe der Transformationen dritter Stufe wird 

der binomische Lehrsatz gegeben, dem als Lemmata vorausgeschickt 
werden: die Multiplication mehrerer Binome und Poljmome, das 
wichtigste ans der Combiuatiooslehre, mit den abgekürzten Be- 
zeichnungen für die Factoriellen : 

\ — 1.2 fe 

Mit dieser vielfach gebrauchten AbkUrznng haben vrir uns nie 
befreunden können, weil dieselbe Bezeichnung zugleich gebraucht 
wird, um verschiedene gleichartige Zahlen nur durch einen Index 
1 einander zu unterscheiden. Wir ziehen daher die Bezeichnung 



0' 



Im zweiten Buche: die Arithmetik der analytischen Zahlen, 
wird zuerst die negative Zahl behandelt und dieselbe definirt als 
eine Differenz mit dem Miauend 0. Absolute Zahlen nennt der 
Terf. diejenigen, welche das Zeichen — nicht vor sich haben. Wir 
sind der Meinung, dasa auch diejenigen, welche das Zeichen -|- nicht 
vor sieh haben, absolute Zahlen sind. Diese kleine Partie des Buchs will 
uns weniger gelallen. Zuerst sagt der Verf.: Negative und absolute 
Zahlen nennt man entgegengesetzte Zahlen, und bald darauf wie- 
der: „Im Gegensatz zu den negativen Zahlen bat man die positiven 
(oder aetiven) Zahlen eingeführt." Das scheint uns für den An- 
fänger iierwirrend und unklar zu sein. Die Bechnungsregeln werden 
mit gehöriger Gründlichkeit entvrickelt 

Nun fo^ die Betrachtung der gebrochenen Zahl, welche als 
ein Quotient, dessen Divisor kein aliquoter Theü vom Dividendus ist, 
definirt wird. Die Stammbrüche geben dem Verf. Gelegenheit, zu- ■ 
nächst die Regel der Division zweier Potenzen mit gleichen Gnmd- 
zahlen zu erweitern, um den Gebrauch negativer Exponenten zu er- 
läutern. Es wird fei-ner der Begriff der unendlich klemen und 
unendlich grossen Zahl festgestellt und die Bedeutung der Symbole 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Liteiaritche Bericht«. 375 

— und ^ erklärt. Endlicli wird die Entwickelung — x~ "> ^^^ ^■'i" 
endliche Reibe, als ErgKnzuBg der betreffenden DiTisionsaufgaben, 
gelehrt und auf den Unterschied zwischen convergenten und diver- 
genten Beihen kurz au&ierksam gemacht, eowie die Verwandlung 
eines reducurten Bruchs in einen Kettenhruch gezeigt. 

Es folgt nun ein Capitel über Yerhältnisse und Proportionen, die 
in gewohnter Weise behandelt sind. Wir vermisBen die harmonischen 
Proportionen. Die einfachen arithmetischen und geometrischen Beihen 
machen den Schlusa der zweiten Äbtheilung des 2. Buchs. Die 3. Ab- 
theilung handelt von der irrationalen Zahl, die als Badix aas einer Zahl, 
-welche keine Potenz vom Grade des Exponenten ist, aufgefasst wird. 
Es wird gezeigt, wie eine solche in nach und nach immer engere Grenzen 
eingeschlossen werden kann und wie man nach dieser Methode einen 
log. berechnen könnte, and wie irrationale Functionen umzuformen 
sind. In der 4. Äbtheilnng endlich wird die imaginfire Zahl be- 
handelt. Warum der Verf. statt complexe Zahl sagt: complexe 
imiLginäre Zahl, ist uns nicht klar. Eben so wenig wiesen wir zu 
erklären, warum in der trigonometrischen Form der complexen 
Zahl r (cos qo ;^^ « sin 91) der Ifame Modulus mit Norm vertauscht 
worden ist. 

Eine besondere Beachtung verdient das dritte Buch dieses 
Werkes, welches die Algebra behandelt. Ausgehend von dem 
Unterschiede zwischen einer expüciten und impliciten Function und 
einer Aufz&hlung der verschiedenen Arten der Gleichungen wird die 
algebraische Gleichung als die Au^be, den Wertb der Unbekannten 
als explicite Function der Bekannten darzustellen, aofgef^st Dann 
werden zunächst die Gleichungen mit einer Unbekannten in folgender 
Reihenfolge behandelt. 

A) Die Unbekannte kommt einmal vor, ausser ihr noch 2 Bekannte. 
Dabei kann sie in allen möglichen Recbnungsformen erscheinen. 

B) Die Unbekannte kommt einmal vor, ansser Ihr noch mehrere 
Bekannte, wie ax -{- b = c oder a a^ = 6. 

C) Die Unbekannte kommt in der Gleichung mehrmals vor. 
Hier werden die Regeln fttr die Reduction der Gleichung ausführ- 
lich angegeben. 

Es folgen nun die Gleichungen mit mehreren Unbekannten, 
namentlich die Gleichungen „erster Dimension;" und werden die 
Elimination smethoden gelehrt und der Werth derselben geschätzt 
Einer besondem, recht klaren und ausi^liehen Auseinandersetzung 
ist die Auflösung durch Determinanten fOr 2 und 3 Gleichungen 
unterworfen. 

An die Spitze der Auflösung gemischter Gleichungen 2. Grades 
ist das Gesetz der Coeffieienten in Beziehung auf die Wurzeln ge- 
stellt, und daraus sogleich der Schluss gezogen, dass die Wurzeln 

riigiti.rJt/GoOglc 



376 LiterariBohe Bericlite. 

entweder reell oder co^jugirt imaginär sein mUssen. Sodann wixd 
apäter mittelst desselben Gesetzes gezeigt, wie aus zwei CrleiclmngeTi, 
die dieselbe Unbekannte haben, von denen aber die niedere für diese 
Unbekannte Tom 2. Grade ist, diese unbekannte in eleganter Weise 
eliminirt werden könne (§ 116). — Die Anfli5Bung der Gleichungen 
2, Dimension mit mehreren Unbekannten wird sodann gelehrt an 
Gleichungen homogenen Charakters. 

Es folgen nun die gemischten Gleichnngen 3. Grades, wo 
wiederum das Gesetz der Coefhcienten an die Spitze gestellt ist; 
dann werden die emzelnen Fälle in üblicher Aufeinanderfolge be- 
handelt. Den SchlusB bilden die Gleichungen 4. Grades, die ziemlich 
kurz abgefertigt sind. 

Das 4. Buch: Arithmetik der hestdmmten Zahlen, lehrt 1^ die 
DecimalbrQche, 2) die Quadrat- und Cnbikwurzelausziehung, 3) die 
logarlthmischen Bechnnngen xmi 4) die Zinseszinsrechnung, diese 
nicht sehr ausführlich. 

Ans dem oben Gesagten geht hervor, dass das Buch in der 
Schule nicht von § 1. an von der untersten Classe auf(?ärts nach 
und nach durchgenommen werden kann, was auch keineswegs die 
Meinung des Verf ist; derselbe gibt vielmehr in einer Anmerkung 
zur Vorrede das Pensum für jede Classe genau an. Bei der Ab- 
fassung eines Lehrbuchs dUrfen nicht methodische und pädagogifiche 
Bücksichten massgebend sein, sondern Gruppirung des Stoffs; und 
dies hat der Ver&sser streng im Auge behalten. Die Darstellung 
ist eine streng wissenschaftliche, und wenn man im Einzelnen nicht 
überall mit dem Verf. gleicher Meinung sein kann, so weht doch 
aus dem Ganzen ein so frischer und ansprechender Hauch, dass wir 
das Buch nnsem Fachgenosaen mit gutem Gewiesen zur Beachtung 
empfehlen können. Che. Sch. 



Baues, Dr. K. L-, J. N, T. Mflller's Lehrbuch der ebenen 
Geometrie für höhere Lehranstalten. Zweite, gänzlich 
umgearbeitete Auflage, mit vielen dem Text einge- 
druckten Holzschnitten. 1. u. 2. Theih Halle, Buch- 
handlung des Waisenhauses. 1872. 1874. 
Der Hen- Ver&sser der zweiten Auflage hat den Kern der 
ersten Auflage unversehrt zu erhalten gesucht, ist aber bemüht ge- 
wesen, „die muthmassUehen Gründe der unverdient langsamen Ver- 
breitung des Bruches zu beseitigen." Diese muthmasslichen Gründe . 
werden von dem Verf. nicht näher bezeichnet, sie liegen ohne Zweifel 
in der ausserordentlich knappen Ausdrucksweise Müllers, die dem 
Anfänger, theilweise sogar dem Lehrer, Schwierigkeiten bereitet. Das er- 
kannt« der seh Htlller, in welchem auch Bef. seinen hochverdienten 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Litflrarisclie Beriohte. 377 

Lehrer verehrt, selbst. Beyor das Buch fertig war, sagte er, „ich 
fürchte mich yor meinem eigenen Lehrbuche." Diese Knappheit der 
Sprache hat nun allerdings B. vermieden, wir geben ihm indess selbst 
zu bedenken, oh er nicht, wenigstens im ersten Theile, in das andere 
Extrem gerathen sei? Die Baner'scbe Bearbeitung ist so zu sagen 
ein Tollsl£ndiger Commentar zu der MttUer'schen Geometrie, der 
namentlich jüngeren Lehrern die vortrefilichsten Dienste leisten 
wird, zumal da auf die neueren Anachauungen gebührend Rücksicht 
genommen ist und Manchem hie und da etwas Neues geboten wird. 
Die Entwickelungen der Gesetze sind, abweichend von der ersten 
Auflage, grossen Tbeils genetisch, so daes, namentlich im ersten 
Theile, meistens das Gesetz am Knde des § steht. Diese Ent- 
wickelungen selbst aber sind ausserordentlich klar, hie und da 
vielleicht etwas zu sehr ins Detail gehend, so dass dem Lehrer, 
dessen Schüler das Buch in den Händen haben, eigentlich gar nicht» 
weiter hinzuzusetzen bleibt und er höchstens nur zur Illustration und 
Yersinnlichung dienende Manipulationen vorzunehmen hat. 

Mit Ktkcksicbt zuf den mathemischen Lehrplan der badischen 
Realgymnasien (der Verf. ist Professor am Realgymnasium in Carls- 
ruhe) erscheint das Buch in 3 getrennten Abtheilungen, von denen 
die erste schon 1872 erschienen ist; die Herausgabe der zweiten 
Abtheilung verzögerte sich „durch eine seltene Conjunction widriger 
VorlSlIe" bis zu diesem Jahre, die Herstellung der dritten soll möglichst 
gefördert werden. 

Gehen wir näher auf das Einzelne ein, so bemerken wir bald, 
dass, wie schon aus obigen Bemerkungen hervorgeht, nur der Kern 
der ersten Auflage und die massgebenden Principien: l) Gruppirung 
des Stoffes nach sachlicher Verwandtschaft und 2) rationelle 
Bezeichnung durch Buchstaben, beibehalten sind; im TTebrigen 
aber die Darstellung völlig von der ersten Auflage abweicht, so dEiss 
eine genaue Vergleichung beider Auflagen von Seite zu Seite, wie 
sie der Terf. wünscht, sehr zeitraubend, wenn nicht unmöglich 
sein würde. 

Nachdem die räumlichen Gebilde auf dem Wege der Abstraction ' 
vom Körper zur Fläche, zur Linie und zum Punkte und wiederum 
umgekehrt durch Bewegung entwickelt sind, bespricht der Verf. 
die verschiedenen Arten der Linien und Flächen, wobei uns aufge- 
foUen ist, dass er bei der geraden Linie, die er als eine jedermann 
klare Vorstellung hinstellt, plötzlich von Richtnngsver&nderung spricht, 
während er hei der Entstehung der Linie Suroh Bewegung nicht 
auf die Richtung gehörig au&ierksam gemacht hat, was allerdings 
Hüller auch nicht gethan hat. Sodann werden die wichtigsten 
Lagen von Punkten, unbegrenzten Geraden und Ebenen zu je zweien 
betrachtet im engeren Anschluss an die 1. Aufl., nur mit dem unter- 
schiede, dass in letzterer auf 2^ Seiten abgemacht ist, wozu dei* 



n,g,t,7.dt,'G00gIc 



378 Litenuische Berichte. 

Yerf. reichlich 5 Seiten gebraucht. Dies hat hauptsächlich seinen 
Grund darin, dass der Verf. einmal nSher auf die Sestimmung einer 
Ebene eingegangen ist, ein andermal den Begriff des Paralleliamua 
zweier Geraden weitläufig entwickelt hat, indem er die parallele 
Lage zweier Geraden als das Ziel oder die Grenze, welcher zwei 
sich schneidende Gerade beim Fortrücken des Schnittpunktes ohne Ende 
zustreben, darstellt. Er legt Werth darauf, zu sagen: „Wenn 
zwei Gerade einen Punkt gemein haben, so schneiden sie einander, 
oder sind parallel, je nachdem der gemeinschaltliche Funkt in end- 
licher oder unendlicher Entfernung liegt." Ausserdsm entwickelt 
der Verf. gleich hier den Begriff der Convergenz nnd Divergenz 
und Kreuzung. Letztere erklärt er so: „Zwei Gerade können 
auch nichts (im Sinne des Verf.: auch nicht einmal einen unend- 
lich entfernten Punkt) mit einander gemein haben; dann laufen sie 
mehr oder weniger quer über oder neben einander hin." Wir 
rathen, die Worte „oder neben" zu streichen! 

Im Anschluss an die erste Auflage definirt unser Verf. die 
Winkel als Drehungsgrössen. Dies flihrt ihn auf die Entstehung 
der Kreislinie (das Wort Ereisumfang hätte hier wegbleiben 
sollen, weil diqses erst seine Bedeutung erhält, wenn der Kreis ala 
begi-onzte Ebene anfgefaast wird). Hier hStte sollen des Zirkels 
kurz erwähnt werden. Die Betrachtung der Kreislinie fuhrt auf die 
Eigenschaft, dae^ einerseits ein Winkel den Bichtungsunterschied 
zweier Strahlen angibt, andrerseits als Merkmal der Grösse oder als 
Mass eines Winkels der Theil einer Kreislinie dienen kann, 
welcher zwischen den Schenkeln des Winkels liegt. Die am Schluss 
dieser Betrachtung (S. 17) hinzugefügte Illustration ist undeutlich, 
wenn man nicht einen Druckfehler in dem Zwischensatze „bis man 
gleichzeitig p^ und <\i erblickt," vermnthen darf. 

Wenn der Verf. sagt: „Den kleinsten Werth hat der Winkel 
in dem Falle, wo der bewegliche Schenkel b noch gar keine 
Drehung gemacht hat," so meinen wir, dass eben dann noch gex 
kein Winkel esistirt, weil nach der Definition der Winkel eine 
Drehunga grosse ist. Wir würden daher lieber sagen; um diesen 
Fall mit in die Nomenclatur einzureihen, nennen wir die Lage zweier 
Strahlen auf einander und in gleichem Sinne den Kullwinkel. 

Die Fragen in Aufgaben 1) auf S. 24 lassen es zweifelhaft 
erscheinen, ob gemeint sei: wann sind 2 Winkel, die Aussenwinkel 
zu einander sind, gleich? oder: wann sind die Aussenwinkel zweier 
Winkel gleich? Auf die letzte dieser Prägen: wann sind zwei 
Scheitelwinkel einander gleich? wird jeder Schüler antworten; zwei 
Scheitelwinkel sind immer einander gleich; es werden daher diese 
Fragen wohl im zweiten Sinne zu verstehen sein. 

Auf S. 27 liest man; „Lässt man von einem Funkte ausser- 
halb einer Horizontalebene eine möglichst kurze Gerade auf sie 



I 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



LiterariBche Berichte. 379 

hinab n. s. w." Es würde u.E. deutlicher sein, wenn gesagt wtlrde: 
„die kürzeste Gerade, welche möglich ist.* tJebrigens bezweifeln 
wir, dass das, was hier über die lothrechte Stellung einer Geraden 
gegen eine Ebene gesagt wird, von Jedennann als selbstverständlich und 
an sieh klar hingenommen wird. Bei der sonstigen Ausführlichkeit 
des Verfessers hStte man einen Beweis erwartet, oder da ein solcher 
an dieser Stelle wohl nicht möglich ist, so würde es genügt haben, 
den Begriff des Terticalen, worauf es hier blos ankam, aus physi- 
kalischen Gesetzen zu erläutern. 

Auf Seite 29 hätten wir die Sätze: „Alle Winkel über einer 
Geraden betragen zusajnmen einen gestreckten" und „alle Winkel 
um einen Punkt betragen zusammen einen Vollen" ^lieber nicht ge- 
sehen; der Verf^ hatte beide Säfae vorher vollkommen scharf und richtig 
ausgedrückt, und hätte diese mindestens ungenauen, freilich land- 
läufigen Ausdrücke nicht in sein gutes Buch aufiiehm^n sollen. 

Auf S. 31 spricht der Verf. von bohlen Nebenwinkeln. Nach der 
Definition auf S. 23 sollte man erwarten, dass unter Nebenwinkeln 
nur hohle Supplementwinkel verstanden werden. Eben so ist auf 
S. 32 oben pleonastisch von „gleichen rechten" Winkeln die Bede. 

Es folgt nun die Parallelen theorie, welche mit der Erklärung 
der correspondirenden und Weobselwinkel beginnt. Der Verf. sucht 
nach einem bequemen und kurzen Ausdruck für das innere oder 
äussere Paar der Winkel, die auf derselben Seite der schneidenden 
Geraden liegen und führt, offenbar mit Widerstreben, den „üblichsten," 
aber höchst unpassenden Namen „Gegenwinkel" an. ünsers 
Wissens gebrattchen die Oesterreicher den bequemen Ausdruck: 
innere und äussere „Anwinkel," und es wäre zu wünschen, dass 
die Mathematiker sich dieses Namens durchweg bedienten, damit 
endlich einmal die Coniusion ein Ende nehme; denn es gibt noch 
Mathematiker, die sogar die correapondirenden Winkel Gegenwinkel 
nennen. — Der Farallelismus bei Gleichheit der correspondirenden 
Winkel wird aus der gleichen Bicbtungsab weichung von der dnrch- 
aohneidenden Geraden oder der Gonvergenz nach einem unendlich 
entfernten Punkte abgeleitet. Durch Drehung der einen Parallelen 
um ihren Schnittpunkt gelangt der Verf. zur Bestimmung des Con- 
vergenzwiukels als Differenz zweier correspondirenden Winkel 
und somit sogleich zu dem Dreieckswinkelsatz , ohne ihn schon so 
zu nennen. Weiter unterscheidet der Verf. gleichsinnig 'und un- 
gteichsinnig parallele Gerade; erstere bilden den Nullwinkel, 
letztere den gestreckten Winkel. 

Die in der ersten Auflage hier eingeschobene Bestimmung der 
gegenseitigen Lage zweier Ebenen aus den Lagen, welche diese 
gegen eine dritte Ebene haben, die Bestimmung der Lage sich 
kreuzender Geraden, sowie den kleinen Abschnitt über die Ecken hat 
der Verf. mit Recht ausgelassen. 



,ti7rJt,G00glc 



380 ■ Literarisclie Berichte. 

Der zweite Ätsohnitt behaodelt die ebenen Figuren. Ton der 

Entstehung des elnfacAen Vielecks und Vielaeits ansgehend, be- 
trachtet der Verf. genauer das vollständige Viereck und VierBeit, 
als die wichtigsten, die verschiedenen _F.ormen der einiaohen Vielecke 
und Vielseite, den Strahlbüschel und die Transversale, die Zerlegtmg 
der Fläche in Dreiecke, wobei auf den Dualismus gebührend Bück- 
sicht genommen ist. Die Summe der imieren Winkel eines hohl- 
winkeligen Vielecks wird aus der Summe der äusseren abgeleitet, 
nachdem letztere als Summe der Winkel, welche Strahlen mit ein- 
ander bilden, die gleichsinnig parallel mit den gleichsinnig ver- 
längerten Seiten von einem beliebigen Strahlpunkte aus gezogen 
werden, dargestellt ist. Die Bemerkung; „die Summe der ti äusseren 
Polygonwinkel sei keine Function von »" findet jiassender ihren 
Platz weiter unten, nachdem erklärt worden ist, was es heiase: die 
Summe der « innem Winkel sei eine Function von «. 

Es wird nun das Dreieck speeiell betrachtet und zwar mit einer, 
wie uns scheinen will, unaöthigen Weitschweifigkeit. Die Wechsel- 
beziehungen zwischen Seiten und Winkeln des Dreiecks sind auf 
dem Wege der Anschauung durch Umlegen und Wiederaneinander- 
schiebeu erläutert. Daran schliessen sich die besonderen Formen 
der Vierecke. Den Schlnas dieses Abschnitts bildet die Betrachtung 
des Kreises und zwar der Beziehungen zwischen Centri- und Peri- 
pheriewinkeln, Sehnen- und Secantenwinkeln, eingeschriebenen und 
umgeschriebenen Vielecken und Vielseiten. Hier haben mr zu be- 
merken, dasa der Verf. auf S. 74 ausdrücklich sagt, dasa der Name 
Berührende, die er als eine Secante, deren Durchschnitte zusammen- 
gefallen sind, auffasst, statt Tangente gebraucht werden solle, daas 
er aber gleichwohl nachher, wie andere Mathematiker, Tangenten- 
winkel denjenigen nennt, den zwei Berührende mit einander bilden, 
um ihn von demjenigen zu unterscheiden, den eine Berührende mit 
einer durch den Berührungspunkt gezogenen Sehne bildet und den 
er BerUhiungswinkel nennt. Dieser letzt« Name scheint uns 
unpassend, ganz überflüssig und nur zu Missverständnissen Veran- 
lassung gebend zu sein. Er ist und bleibt, wie auch der Verf. 
selbst sagt, nichts anderes als ein Peripherie winkel. Femer bemerken 
wir, dasB der Verf. stets sorgfältig unterscheidet Sehnenviereck 
und Tangentenvierseit Dem entsprechend müsste, wenn ein 
Fremdwort gebraucht werden soll, es auch stets heissen: Sehnen- 
polygon und Tangentenpolypleuron, nicht Tangentenpolygon. 
Man behalte aber doch lieber die Namen Sehneuvieleck und Be- 
rührungsviel seit. 

Erst im dritten Abschnitte wird die Congruenz der ebenen 
Figuren behandelt. Die -CongruenzsStze werden in der Form vorge- 
führt; „Ein Dreieck ist unzweideutig bestimmt durch u, s. w." und 
am Schlüsse jedes Satzes wird erörtert, dass zwei Dreiecke, welche 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literatüche Berichte. 381 

dieselben drei Bestimmungsfittloke enthalten, nur der Lage naoli 
verschieden sind. Becht ansfllhrlich ist die Beatimmnng aus 3 Seiten 
und dem Cegenwinkel der einen durchgenommen. EigenthUmlich 
ist der Pall behandelt, wo 2 Breiecke in 2 Stücken, aber nicht in 
einem dritten Übereinstimmen; deraeibe führte auf die Yergleichtmg 
der Strahlen, die aus einem Punkte einer Kreiaebene an die Peri- 
pherie gezogen werden. Einer besondem Betrachtung ist aodann 
die Gongmenz der Polygone und des Kreises, sowie die Beziehung 
zwischen einem umschlossenen und dem omschlies senden Polygon 
unterzogen. Die Eigenschaften des Antiparallelogranuns, die Mittel' 
linie zwischen begrenzten Parallelen des Dreiecks, die wichtigsten 
andern Transversalen des Dreiecks, der ein- und umgeschriebene 
Kreis und der Schwerpunkt des Dreiecks machen den Beschluas des 
ersten Theils. 

Der zweite Theil beginnt mit einer Anleitung zur Lösung geo- 
metrischer Constructlonsaufgaben. Dieser Abschnitt ISsst an Klarheit 
und VoUstSndigkeit nichts zu wünschen Qbrig, enthält auch viele 
Aufgaben zur Uebung. Er nmfasat 60 Seiten. Der folgende Ab- 
schnitt V handelt von der Gleichheit der ebenen Figuren und be- 
ginnt mit der Projection einer Sti-ecko und eines Perimeters; es 
werden einige stereometrische, leicht zu veranschantichende HUIfs- 
sätze eingeschaltet, woranf die Flftchengleiohheit der Dreiecke mit 
einer gleichen Seite oder mit einem gleichen Winkel behandelt 
werden. Sodann wird die Bedeutung des Schnittpunkts der diago- 
nalen und der nichtparallelen Gegenseiten des Trapezes sowie der 
Schwerlinien und Mittellinien des Dreiecks hervorgehoben, die Flächen- 
gleichheit der Parallelogramme mit einer gleichen Seit« oder einem 
gleichen Winkel und die Flächengleichheit der Trapeze und Polygone 
erörtert. Um zu den Wechselbeziehungen zwischen Dreiecken und 
Parallelogrammen zu gelangen, werden voraus die sechs Paare winkel- 
gleicher Dreiecke im vollständigen Sehnenviereck besprochen und der 
Begri£F des Antipar^elismus festgesetzt; letzterer spielt in den 
folgenden Betrachtungen eine interessante und wichtige B«lle. Lehr- 
sätze Über Bechtecke aus Strecken des rechtwinkeligen Dreiecks, in 
eigenthUmlicher interessanter Weise behandelt, fUhren anf den pytha- 
goräiacbeu Lehrsatz, der in seiner allgemeinen Form dargestellt ist 
und dem die wichtigsten Beweise angereiht werden. Doch wir ver- 
zichten darauf, den reichen Inhalt dieses langen Abschnittes Schritt 
vor Schritt zn verfolgen und bemerken nnr noch, dass eine längere 
Beihe von Paragraphen der Verwandlimg der Dreiecke, Trapeze, 
Parallelogramme und Polygone in andere von gegebener Beschaffen- 
heit, dem goldenen Schnitt, der Theilung des Kreises imd der 
AfQngleichheit gewidmet ist. Der ganze geniale Abschnitt von der 
Flächengleichheit, wie ihn der sei. Müller entworfen, ist von dem 

Ztitaohr. r. mBtb. u. natnr«. UoUrr. V. 80 



n,g,t,7.dt,'G00glc' 



382 Literarigche Berichte. 

neuen Bearbeiter in genialer Weise umgearbeitet tmd so zu sagen 
mundgerecht gemacht 

Werfen wir noch einmal einen Blick auf die ganze rntthevoUe 
Arbeit des Yerfl der neuen Auflage, so müssen wir erkl&ren, dass 
derselbe sich um die Uethode des Unterrichts iu der Geometrie 
wohl verdient gemacht hat. Diese Wissenschaft in der hier vor- 
liegenden Weise vorgetragen, verliert alles Trockene, was ihr sonst, 
wenn sie nach alter gewohnter Weise gelehrt wird, ankleben mag. 
Die von uns gemachten Ausstellungen, welche der Herr Terf. der 
zweiten Auflage freundlich, wie sie unsererseits gemeint sind, hin- 
nehmen m5ge, fallen gar nicht in's Gewicht gegen die Bedeutung 
der ganzen Arbeit. 

Wir wOnschen dem Buche recht viele Leser; auch ab Schulbnch 
in den Uänden der Schttler wird es die besten Dienste thun, wenn nur 
der Lehrer, wie der seL Uttller sagte, „ein ganzer Mann ist, der es 
nicht verschmäht, sich auf die Lehrstnnden gewissenhaft vorzubereiten." 

Es thut uns au&ichtig leid, dass wir nicht zugleich den dritten 
Theil mit haben anzeigen kCnnen und wir hoffen, dasa nicht wiederum 
widerwärtige Umstände das Erscheinen desselben aufhalten. 

Chb. Soh. 



Znm Repertoiium der neuesten Erflndnn^n, Entdeoknn^n etc. 

Geognosie, 

sasammengeBtellt von H. EiiaBLSJ.H>T. 

Der gewiss Allen nuvei^saliche grosae Geolog Dr. C. F. Nanmaun 
hat kurz vor seiDem eu Bchnelleo Tode noch eine treffliche Arbeit ^ber 
die vODihm nachgewieaenen PeUenachliffe der Hohburger Porphyr- 
l>erge beendet, die im N. Jalirb. f. Min. etc. abgedruckt worden ist. 
Deuselbeo droht durch den eaergiBcfaen Stein bruchebetrieb fiber kurz 
oder laug der Untergang, wesbalb es dem besten Keuoei derselben ge- 
dankt werden musB, dass er udb noch den für die NaturgeBcbicbte der 
norddeatachen Ebene »ehr wichtigen Beitrag geliefert bat. Ich theile das 
Wichtif^std in Kürze aas demselben mit. Die Gruppe der kleinen Porph^- 
berge hegt am Südrande der norddeutschen Ebene, auf dem rechten Ufer 
der Mnide zwischen den Städten Würzen, Eilenburg und Scbildau, Fast 
alle Berge haben eine von NW nach SO, oder von W n»ch langgestreckte 
Form. Auf wenig geneigtem und horizontalem Felsgrunde zeigen die 
SchlifiBächen die meiste Aehnlichkeit mit den gewöhnlichen Qlotscher- 
«chliffcin (lein, stetig und geradlinig geritzt), auf stark geneigten oder 
senkrechten Pelswänden erscheinen sie mehr wie Furchen oder conveie 
Falten. Erstere erscheinen bald mehr oder weniger undulirt, bald recht 
eben ausgedehnt, zwar nicht polirt, doch etwaa mehr als natt geschlitten, 
so dass sie im Sonnenlichte bisweilen leuchten; dabei sind sie mit mehr 
oder weniger feinen, weit fortsetzenden, geradlinigen, parallelen Ritzen 
bedeckt, welche zumal bei sehrftger Beleuchtung recht sichtbar werden 
und durcbauB dieselbe Richtung behnupten. Die emailähnliche Oberfläche 
ond der firnisartige Ueberzng geht ihnen völlig ab. Die SchliSBächeu sind 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literariscbe Berichte 383 

von verschiedener GriJase z. B. von 4 EUen Länge nnd Breite, von 5 Ellen 
Länge und 2 Ellen Breite, von 10 Ellen Länge und 5 Ellen Breite u. 8, f. 
Dasa aie nur stellenweiBe zu beobachten, darf Niemand wundem, da zn 
bedenken ist, daBs seit Jahrtausenden die Atmosphäre, Fruat uud Ver- 
witterung an den Bergen genagt und der Mensch elngegriäeii hat. Beide 
Formen gehen in einander über, was darauf hindeuten dürfte, dass anr 
eine Ursache für sie anzunehmen sei. Naumann neigt aich der Ansicht 
Moilots zu, dasa aie wohl von Qletscliern, nicht von schwimmenden Eia- 
schoiien, welche Steine mit sich führen, oder von Brandung und Wellen- 
schlag herrühren kSnnen. 

Im N. Jahrb. f. Min. L874, Uft. 4 gliedert 0. Feistmantel die fossilen 
Gquisetaceen folgendermasaen : 

A, Blätter in Scheiden verwaobten, nach dem Abfallen eine Kette ed- 
sammenhängender Tuberkeln zuriicklaasend. 

a) Bqnisetum. (Equisetitea.) 

B. Blätter frei, nach dem Abfallen oder am Steinkeme getrennte Tuber- 
keln zurücklassend. (Bei den Gattaugen dieser Abtheilung kommt beson- 
Uera neben der Beschaffenheit der Blätter auch die Fruchtähra in Betracht.) 

a) Calamit«s. — Fruchtähre mit fruchtbaren (die Sporangien an eigenen 
Mitte Isäu lohen in der Mitte dea Internodiums] uud unfruchtbaren Wirteln 
{Bracteen) — Huttooia — Calamostachys. 

b) Asterophyllitea. — Die eiförmigen Sporangien wirtelfBrmig in 
dem unteren Braoteenwinkel — Ästerophyllostaohys — Volkmannia; Aatero- 
phjUites daher eine aelbatäudige Gattung. . 

c) Annutaria. — Die kugelrunden Sporangien stehen auch wirteiförmig, 
kommen aber ans dem oberen Bracteenwinkel hervor. 

d) Spherophyllum. -- Hier sind die Blätter hinreichend charakteristisch. 
Noch im Jahre 1ST2 konnte Dr. Jentzsch in seiner Arbeit „über die 

Gliederung und Bildungsweise des Schwemmlandes in der UmKOgend von 
Dresden'' constatiren, das» nur drei Exemplare siluri scher, ver- 
steinerungsführender Geschiebe aus dem gesammten eächsiucfaen 
Diluvium bekannt geworden aeien. Im Jahre 1873 glückte es aber Dr. 
Dathe bei Planirungsarbeiten vor dem Zeitzer Thore in Leipzig eine grosse 
Menge solcher aufzufinden, die so reich an organischen Bjjsten sind, daas 
man viele derselben als zoogene bezeichnen konnte. Sie kSnnen nur aus 
dem Obersilur der Insel Qotland und zwar aus dem dortigen Korallenkalk, 
Crinoidcnkalk und Bejrichienkalk herstammen. 

(Wir nennen von denselben nur Beyrichia tuberculata ElCd,, Caljmene 
Blumeabachii Brocgn., Tentacalitea scalaris Schloth., Bj^nchonella borealis 
Schloth., Calamopora Qothlajidica.] Hierdurch ist eine Lücke in der 
geographischen Verbreitung nordischer Silurgesohiebe aasgelüllt (Jahrb. 
Hft. 4 S. 412 f.) 

Der Geistliche der evangelischen Gemeinde zi Nazareth, Missionar 
Zetler, ein gründlicher Kenner dea Landes jenseits des Jordans, des Ge- 
bietes der ^eien Beduinen (Landschaft Hauran nnd Gebirge Gilead) hat 
Prof. Fraaa in Stuttgart 42 wohlerhaltene Foasilien ans dem Wadi 
Adjlfinund dem Gebirge Osha bei Salt, dem alten Bammoth Gilead, 
einer für die Naturforscher noch völlig unbekanuten Gegend , gesendet, 
die darauf hinweisen, daas das genannt« Gebiet unbedingt Cenoman sei. 
(Z. B. Ostrea Overwegi Buch, O. africana Lmk., Cardium hillanum Sow., 
Cytherea syriaca.) (Jahrb. 1874. Hft. 4.) 

Ansser Stamm- und Rhizomfragmenten von Fsilophyton waren bisher 
keine Beste von Landpflanzen in der Silnrformation von Nordamerica ' 
bekannt. Neuerdings sind 2 Stücke einer Sigilkria in Ohio aufgefunden 
und zwar in einem Gestein, das dem unteren Theile der Trentongruppe 
angehört. (The Am. Jonrn. of sc. a. art«. 1874. N. 87.) 

Die Qattnng Enrypterus tritt schon im Silur aui'. In den Oatsee- 
provinzen fond man z. B. t'. remipes Eichw. Sie umfasst Krebse, welche 

26* 



i.,-iM,Googlc 



384 Liteiarüolie Berichte. 

den Trilobiten in mancher BeziehaoK noch ähulicli amd, aber sich als 
Bchou hoher organiairt zeigeo. F. Homer beschreibt 2 Eiemplare eines 
neuen E., der in vieler Beziehung mit E. Suouleri übereinatinimt, in anderen 
von ihm abweicht. Dieselben atammen aus dem niederschlesischen Kobien- 
gebirge und bifiten ineofem ein bewnderes InteresBe, als sie die jüngste 
Art dieae» Typus darstellen. [Geol, Zeitachr. Bd. XXV. ö6i— 666.) 

Die für den Geologen ebeneo iatereseaute , wie fdr den Bergmann 
wichtige Qenesis der Erzgänge kann weder vom rein geologischen, noch 
vom rein themischen Stancbunkte aus ergrQndet werden. Die Beobachtun^n 
des Oeognoeten und die Erfahrungen des Chemikern müssen hierbei ein- 
ander anterstützen und erg&nzen. Erstere lehren nua in Bezug auf die 
Erzgänge im Allgemeinen: 1) dase Kalkspath, Schwerepath, FluBsspath 
nnd Quarz die häufigsten Begleiter der meist aus geschwefelten Metallen 
bestehenden Gangerze sind; 2) dass Erze und Eizbegleiter durch die Art 
ihres Nebenemandervokoromeaa sich theils als aufeinauderfolgende , theils 
ala gleichzeitige, fast stets aber als gleichartige Gebilde zu erkennen geben, 
sofern wir hierunter Gebilde von verwandter, chemiacher Herkunft ver- 
stehen. Um der Bildungsweise der Erze auf die Spur zu hommcc, erscheint 
ea daher, wie Th. Scbeerer im Jubelband von Poggendorff'e Annalen aua- 
fühit, geratlieu, zuvor die minder schwierig zu cnthülletide Bildung ihrer 
mineraRschen Begleiter in's Auge zu fassen. Wie sind sie in den Gaug- 
räumen krystallinisch abgesetzt worden? Der Kalispath ist durch Kiratal- 
lisation auf nassem Wege gebildet worden, wie bereits sicher featatent. — 
Schwerapath, bei gewöhnlicher Temperatur faat ganz unlöslich im Wasser, 
wird erheblich löslicher bei einer über den Kochpunkt des WaBgers ge- 
steigerten Temperatur, wie durch Ueberhitiung bis auf 246'' C, nachge- 
wiesen wurde. Aber auch vermittelst Einwirkung von Schwefelaäure auf 
ein Barytsalz bilden sich unter gewisaen ümatänden Krjatalle von Schwer- 
spath. [QeberschusB an Schwefelsäure und erhöhte Temperatur deraelben.) 
Es gelang Schcerer ferner, aus saurer Kieaelfluorcalciumlösung durch 
Beihilfe erhöhter Temperatur von 340" Fluaapath in schönen iSygtallen 
darzustellen, ebenso konnte Schwerapath und FluBsapatb, welche in Krystallen 
zusammenvorkommen , künstlich gleichzeitig dargeatellt werden, wenn 
sehr verdünnte Löeungen von Gyps und Fluorharyum bei gewöhnlicher 
Temperatur und sehr langsam mit einander in Berührung gebracht wurden. 
Alle von ihm angestellten Versuche, Quarz, selbst nur tu mikroskopischen 
Krystallen darzustellen, lieferten stets nur wasserhaltige Kieselsäure z. Th. 
Jedoch in oxalartigen Gebilden. S^narmont erhielt jedoch auf diese Weise 
mikroskopiacbe Quarzkrrstalle. Jedenfalls nnterstützen diese Versuche die 
Ansicht von der Ausf^lung der Gänge auf nasaem We^e und lassen 
uns als auflöaendes Agens Waaaer erkennen , zum Theil mit Eohlensäore 
gesättigt und in mehr oder weniger erhitztem Zustande. Das auflöaende 
Waaaer muss natürlich an verschiedenen Orten und zu verschiedenen Zeiten 
ungleiche Temperatur beseasen haben. Dies dürfte sich auch aua den un- 
gleichen Erjetallformen des Fluaaapathea ergeben. Die hei gewöhnlicher 
Temperatur gebildeten Krystalle waren Hexaeder, während die bei höherer 
Temperatur (240°— 260°) erzeugten vorherrschend Oktaederform beaasaen. 
Damit stimmen manche in der Natur vorkommende Terhältniaae Wenn 
aber die Erzbegleiter auf nassem Wege entstanden, so musten es anch 
die Erze auf demselben. (Naturf. 1ST4. N. 21.) 

Engelhardt gibt einen neuen Beweis für die eruptive Katur der 
Porphyre. In einem grossen Poiphyrbruche des Thaies der Freiberger 
Hulde bei Nossen fand er eine l* im Durchmeeser haltende Thonschiel'er- 
messe ungefähr lO** von der Oberfläche und 16*° von dem anstehenden 
Schiefer entfernt mitten im Porphyr eingeschlossen. Dieselbe zeigte sich 
innerlich wenig verändert, war aber am Umfange in hunderte von^leinen 
Stücken zerbrochen, die mit dem Porphyr eine interessante Breccie bildeten. 
(Ifdsber. 1874. Hft. 1.) 



,ti7rjt,Googlc ■ 



Literarische Berichte. 366 

Frogramme&Boliau 1873. 

(ZnaammepgeBtellt von Dr. ÄcKsmuHn in Hersfeld.) 
ErziehuBga- uad Unterrichtewesen. 

Könifrsberff. Ueber die «chtilmElssiKe Pflege des Oed&chtniBBeB. Von 

Obl. Witt. G. 
Danzig. Friedricbs des Gioseen OrundB&tze über Erziehung und Unter- 
richt. Von Dr. Cauer. G. 
Fillau. Veber die Eisen tliümlichkeit und den Wertb der fiaaedowachen 

Ersiebungalehre. Von Bergau. HB. 
Tiegenbof. üeher Schuldiscipbn. Von Dir. Wuttge. FG. 
Berlin. Wie läsat weh der Lebrplan der Bealscbuie Tereinfachen? Von 

Dir. Dr. Kleiber. Dorotbeenstadtische R. 
Frauetadt. Zar Concentration des Unterrichtes anf Realschulen. Von 

Dr. H. Siedler. R. 
StTiegnau. Aus dem Erziebungsleben. Ton Dr. Scbandau. HB. 
Eisleben. Die VergaDsenheit und die Zukunft der deutechen Realschule. 

Von Dir. Dr. 0. Richter, B. 
MQnden. Die allgemeine Bildung und die Schulen der aUgemeinen Bildung. 

Von Conreotor Eape. H B.' 
Barmen. Ueber dieTflichten, welche die Pflege der Geaundbeit unserer 
, SchSlerinnen den Eltern nnd der Schnle auflegt; Von Rector Dr. 

Eleiupaul. T8. 
DftBBeldorf. Mittbeilungen über die Erfolge, die im verflosaeuen Jahre 

für die gesetzliche Normirung der Organiaation und Stellung des 

bflberen MädcbenBcbulweeenB erzielt Bind. Von Dir. Deliner. TS. 
Elberfeld. üebei nationale Bildung, als ein Ornndprincip für Erziehung 

nnd Unterricht, in besonderer Beaiebung auf die weibliche Jugend 

Von Dir, Scbomatein. T S. 

Sacbaen. 
Leipzig. Zur Entwickelung des Bealschulweeens in Sachsen. Von Obl. 

Vr. Oertel. E. 
Hittweida. Ueber die Berechtigungen der Realschulen. Von Dir. 

Geaell. R. 

Württemberg. 
Stuttgart. Flattich'a nsjchologiache Beitrage zur QynmaBialpOdagogik. 

Von Prof. Weitbrecht. G. 

Baden. 
Karlsruhe. Einige Gedanken aus Roger ABchams: „tbe acholemaster," ober 

Erziehoog, beaondera über Behandlang der Schüler. Von Prof. 

Damm HB. 

Hessen. 
Michelstadt. Einige Foiderungen an Scholgebäude vom p&dagogiachen 

Standpunkte. Von Dir. Becker. B. 

Mathematiecbe Abhandlungen. 

Prwine Preuesen. Neustadt. Ueber Radien und Linien der grOssten 
Krümmung der SchtaubenSäche- Von Obl. Barthel. G. 

Conitz. Analoga der ebenen and der «phärischeu Trigonometrie. Von 
Dr. FiUtorios. Q. 



n,g,t,..dt,'G00glc 



386 Kleinere Mittheilungen. 

Denttcb-Orone. Cnteranchung der in rechtwinkligen Coordinaten ge- 
gebenen Cnrve ax* ■+■ (?xy -f- 6y' ^ 0. Von Zieli^h^. 6. 
Onmbinnen. Zur Uethadik des arithmeÜBchen Unterrichts. Von Rector 

Dr. Schwarz. HB. 
Elbing. Der Bechenunterricht der MitteUtufe. Von Kutsch. B. 
Prooiti« Brandev^mrg. Berlin, üeber das Gleichgewicht elMtdscher 

BotationskCrper. Voii Obl. Dr. Wongerin. Sophien-B. 
— Die Theorie der Reate, inibcBOndere derer vom dritten Grude, 

nebst einer Tafel der onbischen Beete aller Primzahlen der Form 

6 « + 1 zwischen den Grenzen 1 und 100. Von Dittmar. KBUniachea G. 
Brandenburg a.d.H. Di^MaBcheroniechenCoUBtTnctionen, YonDr.Hntt G. 
Berlin, üeber die Massfonctionen der analytischen Geometrie. Von Stahl. 

Luieenstädt. G. 
Potzdam. Verallgemeinerung der elementaren Fadenconatruction der 

Ellipse. Von Dr. Frick. G. 
Cottbus. Ueber das zweifächerige Hyperboloid. Von Willert. G. 
Frankfnrta.O. Die 4 Species in allgemeinen Zahlen. Von Dr. Bfirner. B. 
Crossen. Das Maximum und Minimum der oubestinunten Fanction einer 

unabänderlichen Variablen. Vou Dr. Enaner. HB. 
Spremberg. Ergänzungssätze zum arithmetischen Pensum. Von 

Schmidt. R. 
Provint Pommern. Beigard. Genetische Entwicklung der Elemente der 

Arithmetik. Von Dr. Conradt. P G. 
Pntbns. Eine mathematische Abhandlung aus der Theorie der ErSmmungs- 

linien. Von Dr, Schulz. G. 
Stettin. Ueber Losung trigonometrischer Aufgaben, Von Dr. Lieber. G. 
Stralsund, iiewegnng eines Punktes auf einer gemeinen Eettenlinie. 

Von Dr. Glentzen. B. 
Provinii Foien, Rawicz. Die neuere Geometrie und die Schale. Von 

Obl. Dr. Beyer. R. 
Sohrimm. Von der Congrueuz der Zahlen. Von Dr. Saenic. G. 
Provitm Schleswig Holstein. Glfickstadt. Bewegung der Energie in einem 

linearen Punkteystem. Von Dr. Thiele. G. 
Prot>im Schlesiev. Glatz. Geometrische Uehnngssätze und Conatruc 

aufgaben. Von Prof Dr. Wittiber. G. 
GroBB-Glogau, Dreieckstafeln zum Gebranch beim trigonometrischen 

Unterricht. Von Obl. Sachse. 6. 
Oross-Glogau. WisBeuschaftliche Behandlung der Arithmetik. Von Prof. 

Uhdolph. G. 
Eattowitz. Zur Integration einer partiellen Differentialgleichung. Von 

Dr. ProBch. ö. 
Beiohenhach. Pianimetrische Constructionen. Von Dr. Liersem&DD.B. 
Lande ahnt, üeber den mathemaüachen Unterricht. Von Fror. Schwarz- 
kopf, B. 
Provinx Sachgm. Magdeburg. AualvstiBche Bntwickelung von Sätzen 

der ajnthetischen Geometrie, welche Involutionen bei Cnrven 2. Ordnung 

betreffen. Von Dr Silldorf B. I. 0. 
Uagdehurg. üeber die windschiefe Fläche. Z = By^ a. Von Dr. 

Hochheim. R, II. 0. 
Halberstadt. Foiaicurven und Foknrven entsprechender Eegeleohnitte. 

Von Heller. R. 
Eilenbnrg. Ueber die Bewegung eines festen EOrperB in einer nicht zu- 
sammendrückbaren Flüssigkeit. Von Dr. Leiber. E B. 
Naumburg, Eine Bemerkung zu einer ViereckBaufgabe. Von Dr. Neu- 

mOller. HB. 
Seehansen. Üeber Ereiselbewegungen. Vou Franke. G. 
Nordhausen. Studien über EegelschnittbÜBohel und eine gewisse Art 

von Curven 4. Ordnung. Von Dr. Wieaing. G. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Leipzig. 
Die AatlOB 



Literarigche Berichte. 387 

FroviiU Weatfiden. Warendori. Diaputatio de linea curvata, quae 

reepondet aeqoationi x' + ay* -\- b* x =• 0. Ton Zumloh. G. 
HCzter. AnalTtische Beiträge eur Theorie der EegeUchnitte. Von Obl. 

Dr. Feldner. G. 
Bietberg. Behiuidluug der Berühran^aufgaben. Von Pieper. PG. 
flamm. Anleitung zur LöBang planimetr. CoDstinctioDgaiugaben. Von 

Obl Beidt. G. 
Proviws Hegten. Caaael. Ueber die abwickelbaren Normalfiäcben bei 

Hjperboloidea, Erläuterungen zu den in Wien auigestellten Uuter- 

ticutsmod eilen. Von Dir. Wiecke, Gewerbsch, 
Caseel. DnterBuchnngen über die Bewernuii eines ebenen unveränder- 
lichen Sjatems in seiner Ebene. Ton Dr. Eramm. B. 
Sheim>Tomm. Mfihlbeim s. Bh. Znr Methodik des arithmetischen 

Onterrichta. Von Obl. Bode. R. 
Coblenz, Die Seiten- nnd Eoktranaverealen des Dreiecks. Von Dr.Maur, 6. 
Essen. Die Lehre vom Gröasten nnd Kleinsten. Von Dir. Dr. Heilermann. R, 

Barern. 
Hof. Beiträge znr Geschichte der Mathematik. Von Dir. Dr. Priedlein. G. 
Eichstätt. Lehr und- Uebungabuoh für den Unterricht in der aUp. Arith- 
metik und Algebra in der i. Lateindasae. Von Studienlehrer Hfidel. G. 
Sachsen. 
Dresden. Daa Gompertz - Idakehamsche SterblicHkeitsgesetz und seine 

Anwendung bei der Lebenaveraicherungs - und Bentenrechnung. Von 

Dr. Amthor. G. 
Leipzig. Zur Geschichte des mathematischen und nator wissen ach uftlichen 

Unterrichts an Gymnasien, insbesondere an der Thomaaachule in 

' ■ >. Von Obl. Prof. Dr. Heym. G. 

LuOsuns dreigliedriger algebraischer Gleichungen durch Beiheu, 

mii einer Tabelle. Von Dr. A. Gebhardt. Q. 
Crimmitschau. Abriss der Projectionslehre für Realachnlen. Von Dr. 

C. Fritsohe. B^ 

Baden. 
Karleruhe, Nenere Geometrie für höhere Lehranstalt^ bearbeitet. Von 

Prof. Maier. BS. 
OFfeuburg. Mathematische Geographie in erweiterten VolkMcholen. 2. Th). 

Von Stritt. B. 

Hessen. 
Bensbeim. UathematiBoh-physikaliBche MisceUen. Von Dr. Stoll. G, 

Meckleuhuig. 
Güstrow. Ueber die Organisation des Unterrichts im Bechnen nnd in 

der Arithmetik. Von Dir. Seeger. K. 
Nenstrelitz. Ein kleiner Beitrag tum Schnellrechuen. Von Dir. 

Müller. B. 

Oldenburg. 
Jever. Versuch einer elementaren Erkl&raiut der Notation und Piilcession 

der Tag- und Sachtgleicbe. Von Obl. Happach. G. 
Sachsen-Weimar. 
E i B e n a c h. Das Hyperboloid bei BäderwStjten. Von Dr. WeiBsen- 

bom. BG. 

Sachsen- Altenburg. 
Eisenbeig. Ueber die geradlinige Bewegung eines Punktes. Von Obl. 

Dr. Pranke. P G. 

Schwanburg. 
Bndolstadt. Darlegung der haaptfiächlichst«n Bichtungen, weichein der 

geometrischen Formenlehre eingeecbtagen worden sind. Von Mohr. G. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



388 Literarisohe Berichte. 

Oesterreich. 

Wien. Ueber die ZuvecXäesigkeitsgrenze der Resultate bei Recbnungen 
mit nnTollBtSndigen Zahlen. Von Prof. Treichl. G. 

— . Untersuch uD gen über daa Qrundriaa-Isophot«ii-S7etem des eltiptischeu 
und hjperboli sehen Paraboloidg. 

SeitenetetteD. Compendiam der Geschichte der MaUiematik bei den 
Qriecben und Hörnern. You SchliSgelhCfer. G, 

Cilli. Die merkwürdigen Funkte und Linien der dreiaeitigen Pyramide. 
Ton Prof. Dr. Maurer. G. 

Bozen. Ueber das Wurzelziehen aus irrationalen Grössen. Von 
T. Äicbinger. G, 

Brilx. Einige Prinoipien der analytischen Mechanik und ihre Anwendung 
zur Erklärung Terschiedener BewegungB-Erscheinusgen, besonders der- 
jenigen an Gyroskopen. Von Tamchyna. 0. 

Reicheuberg, Untersuchung der Oberflächen und Bauminhalte jener 
Körper, die durch Rotation eines Ercissegmentes um eine in dessen 
Ebene liegende und zu dessen Sehne parallele Äze entstehen. Von 
Prof. Streit. G. 

Laibach. Directe Deduction der Begriffe der algebraischen und arith- 
metischen Grundope ratio nen ane dem Grössen- und Zahlenbegrifte. Von 
Prof. Fhiger. E. 

Leipa. Die schiefe Projection, Von Prof. Walda. R. 

Prag. Theorie und Gebrauch des logarithmischen Rechenstabes. Von T.Ott, R. 

Erems. Ueber die Functionen C* (a;) und D* (x). Von Gegenbaur, R 

Leitmeritz. Ein Beweie des Eulerschen Lehrsatzes über die Polyeder. Von 
Langer. 0, 

Idarbnrg. Ableitung und einige Anwendungen des Begriffs „Rest einer 
discontinnirlichen Function." Ton Wretschko. G. 

Naturwissenschaftliche Abhandlungen. 

Frovins Prewien. Danzig. Bemerkungen zu Laplace's Hypothese aber 

die Entstehung unseres PlanetenByatems. Von Dr. Ohlert. G. 
Tilsit. Ueber den naturwiBsenBchafUichen Unterricht. Von Bartech. 

TUehtersch. 
Rastenburg. Ueber die Schwingungsrichtung der Aethertheilcben im 

polarieiiten Licht. Von Schaewen, O. 
Provinz BTandetihwg. Berlin. Was hat die Naturphilosophie geleistet, 

um die physikalischen Vorstellungen von der Constitution der Materie 

zu bereichern. Von Obl. Dr. le Viaeur. Friedrichs-G. 
Perleberg. Ein Sommerausflug nach Skandivayien. Von Dir. Dr. Laubert. R^ 
Luckenwalde. Flora der Umgegend von Luckenwalde. Von Dt. 

Lichtenberg. HB, 
Lübben. Beitrage zur Geachichte der Gährungetheorien. Von Krause. E. 
Berlin. Ueber Sprengmittel und deren Anwendung auf Torpedos. Von 

Dr. Sehellbacli, Sfralauer H B. 
Provine Pommern. Anklam. Beobachtungen der Sonne. Von Prof. Dr. 

Spörer. G. 
Demmin. Ebbe und Fluth. Von Seltmann. G. 
Oartz. Die Beweise für die Acbsendrehung der Erde in populärer Dar 

stellnng. Von LQhmann. P G. 
Woigast. Beobaohtungen über die Entwickelungszeit der Pflanzen zu 

Wo^ast in den Jahren 1870—72. Von Roth. HB. 
Provinz Posen. Meseritz. ^ Ueber die VetbinduDg elektromotoriacher 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



LiterariBche Berichte. 389 

Bromberg. Der Datum iüBenschaftlicfae Untemcht in der Bü^erachnle. 

Von EVeyer. Bfirgerach. 
Provine SeMeeien. Sprottau. üebei den chemiecheu Unterricht an 

onseier Beahchole. Von Dr. Schieireck, R. 
LOwenberg. Vulkane und Erdbeben mit Räckgicht anf ihre wahrscheiu- 

lichen Ursachen. Von Dr. Meyer. H B, 
Gleiwitz. Die DampfmaBchine auf der Wiener WeltauMtellung. Von Dr. 

Eeesler. Geiverbeaoh, 
Neisse. UeberflüsBige Lamellen. Von Dir. Dr. Sondhansa. B. 
Oels. Ueher Telegraphie. Von Dr. Anton G. 
Görlitz. Ueber LinBensyateme. Von Dr. Putzler. G. 
Benthen. Schiaparellis Entwarf einer aBtronomischen Theorie der Stem- 

Bcbnnppen. Von Dr. Fiebig. G. 
Neustadt. 0. 3. Der Diamant, sein Vorkommen und seine Entstehung. 

Von Obl. Dr. Einer. G. 
Proving Sadiaen wtd Hannover. Halle, Die Theorie der Spiegel fflr den 

Schulunterricht. Von Dr. Sommer. R. 
Harburg. Bemerkangen über Einrichtung und Gebrauch der Aneroidbaro- 

meter. Von Obl. Dr. Schultae. R, 
Provinz Schtemig. Flensburg. Die BstrouomiEche Geographie der 

Griechen bis auf IDratosthenea. Von Dr. Schäfer. G. 
Hadersleben. Ober die Flora der Umgegend ton H. Von Dr. Fischer 

und Steinvorth, G. 
Altena. Der Regenbogen. Von Obl. BrunkborBt. R. 
Kiel. Uebet den Au^uas des Wasaera aus Gefässen in 2 beeonderen 

Fällen nach Eintritt des BeharrungBznstandeB. VonDir, Dr. Mdaael. B. 
Provim WestphaJm. Bochum. Der deuteche Nord- und OBtseeatrand 

von ObL Faber. G. 
Münster. Einigea aus den Elementen der Chronologie. Von Dr. 

Egen. R. 
iBerlohn. Ueber den chemiBcheo Unterricht auf Bealschnlen. Von Dir. 

Dr. Langgutb. R. 
Siegen. Bemerkungen über den Unterricht in der Chemie auf Realschulen. 

Von Dir. Dr. Schnabel. R. 
Hagen. Der Portlaud-Cement. Von Bahls. Oewerbesch, 
Sheinprocinz. Ruhrort. Mikrochemiache Reactionen. Von Dr. Zoainger, R. 
Mayen. Die Lebte Darwins über die Entatehnng der Arten, kritisch be- 
leuchtet. Von Dr. Riegel. H B. 
Aachen. Ueber Athmuug und Ernährung. Von Dr. Lieck. R. 
Barmen. Der naturkundliche Unterricht in HauB und Schale. Von 

Rector HolÜiauBeE. TBchterach. 



Chemnitz. Ueber dio Gelenke der Insecttin. Von Dr. 0. Liebe. G. 
— . Ueber die Meaaung hoher Temperaturen, Von Prof. Dr, Weinbold. 

Gewerbeach. 

Württemberg. 
Heilbronn. Flora der Heilbronaer Stadtmarkung. 4. Beitrag. Von 

Prof. Kehrer. G, 

Baden. 
DonaiieBobiagen. Ueber miktOBkopische Untern chtaobjecte. Von Dr. 

Schneyder. Pg. 
Mannheim. Dichtigkeitsmessungen fester Körper, Von Dir. Scbrdder. B G. 

Hessen. 
Mainz. Der Haazanillo. Von Dir. Dr. SohMler. R. 



n,g,t,7.dt,'G00glc . '-^-*" 



Literariache Berichte. 



fSrmigen ii 

Braunechweig. 
Wolfenbättel. Die gaologiachen AnBchanangen des Fhiloaopheo Seneca. 
Von Dr. Behring. G. 

Sachaen-Cobnrg. 
Coburg^ Beschreibung einiger Versuche über tönende Flammen. Von 

Dr. Mauritius. G. 
Qotha. OrganüialJon des natarwtMenschaftt. Unterrichts im nechBclaBgigen 
Seminar. Von Bnrbach. Seminar. 

Sacheen-Meiningen. 

a Meiningen. II. Tbl. Von 



h 1 e i £. Populäre Darstellune der Entwiokeinng 
W&rmetheorie. Von Dr. A. Westphal, O. 



der mechanischen 



Oeaterreich. 

Baden. Die Fermente. Von Dr. Bersch. RG. 

Salzburg. Da« Gletsoherphänomen. Beitrag zu einer populären Geo- 
graphie der Alpen. Von Prof. Richter. G. 

Brixen. Gartenflora von Brixen. Von Dir. Bachlechner. G. 

Pilsen. Geologische VerhältniBse der Umgebung von Pilsen. Von Prof. 
Jahn. G. 

Prag. Ergebnisse der neueren Unters uchnngen über die Spektra glühender 
Gase. Von Dr. Weisar. G. 

Leitmeritz. Geologische Studien ans BOhmen. Von v. Wolfinau. E. 

Frag. Die Gesetze der Ernährung, als Beitrag zur Beortheüung des 
Preises menschlicher Arbeit. Von Dr. Willigk, R. 

Znaim. Farbenringe in aue einasigen Er^stalfen senkrecht zur Aie ge- 
schnittenen Platten bei Anwendung von hnear und elliptisch polarisirtem 
Lichte. Von Prof. Sohüller. E. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Pädagogische Zeitung. 
(Berichte ttber Veraammlnngen, AnsEflge aus Zeitschriften u. dgl.) 



I. Referate ilber Schnlgesetzgebnng, Solmlverwaltiiiig und über 
VeTsammliuigeii. 

A) Ana dem Regulativ Kt die Elementargchulen in ElBass-LothringeD 
(Altgm. Schulzeitung Nr, 27). 

Obgleich andere ZeitBchrift den YolkBBchaluDteTricht nicht zum 
GegeoBiande der Sehandliin^ hat, bo durfte es doch nicht uninteressant 
Bein, einmal zu hören, wie denn die von ihr Tertretenen Lehrfächer nach 
einer preugs. Verordnung neueren Datums (4, Jan. d. J.) in der Volks- 
schule, auB welcher ja die höheren Lehranatalten sich rekrntireu, behandelt 
werden sollen, namentlich auch deslialb, weil in einer Anmerkung des 
obigen Blattes {von der Eedaction?) gesagt wird: Sollte die VorauB- 
Betzung richtig sein, dass die Grundiüge dieses ReguUtivB sich in dem 
zu erwartenden preuss. Schulgesetze wiederspiegeln werden, so dürfte 
dasselbe die Beachtung der deutschen und namentlich preuseiscbeQ Lehrer 
besonders beanspruchen." Die für unsem Leserkreis etwa wichtigen Be- 
Btimmunffeu sind; 

11. Im Rechnen sollen die Kinder beiUfaigt werden, die im bürger- 
lichen Leben vorkommenden Aufgaben zu lösen. Insbeeondere ist das 
Kopfrechnen zn nhen, wetcheB bei Jeder neuen Rechnungsart dem Tafel- 
reciinen vorangebt. In den 4 ersten Schuljahren bilden die vier Grund- 
rechnungsarten mit ganzen Zahlen das Debuuesfeld. Danach muss die 
Rechnung mit gemeinen und endlich mit deciraalen Brüchen nebet wieder- 
holter Einprägnng des metrischen SjstemB bis zur völligen Gewandtheit 
geführt und mit den gewöhnlichen Preis- und Raumberechnungen veran- 
Bchanlicht werden. 

12. Der Unterricht in der Raumlehre findet auf der Mittelstufe seine 
Grundlegung mittelst des Zeichenunterrichts, welcher sich im Wesentlichen 
aof Darsleilung geometrischer Figuren und Körper, sowie einfach gestalteter 
Gegenstände der täglichen Anschauung beschränkt. Das Pensum der 
Raumlehre für die eiuclassige Schule bilden: die Linien, die Winkel, die 
regelmässigen Figuren, der Kreis und die regelmässigen KBrper. In der 
mehrcIasBigen S^äule kommt die Lehre von der GleicUieit nnd Congruenz 
hinzu. Die Berechnaug des Flächenraums und des Eörperinhalts mr den 
Bedarf im härgerlichen Leben bildet das praktische Ziel. 

13. Der geographische Unterricht seht auf der Mittelstufe von 
der Helmathskuuae aus, nmfaast zunächst Elsaas- Lothringen nnd darauf 
ganz Deutschland, hernach das Hauptsächlichste ans der allgemeinen Welt- 
bünde ; Gestalt nnd Beweenng der Erde, TaecB- nnd Jahreszeiten, Zonen, 
Erdtheile, die grdssten Gebirge und Ströme, die Hanptstaaten und Haupt- 
städte. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



392 Berichte Qber Versammlasgeti, Anszfige aas Zeitschriften u. Ag\. 

16. In der Natargeecbichte bilden, auBser der Belehrung Gber Bau 
und Pflege des lueiiBcnlicheii KGrpers, den Gegenstand des Untemchts: die 
einheimiechen Oeateine, Fflaozen und Thiere; von den ausländischen haupt- 
sächlich nur die hervorragenden Thierge stalten und die bekannten Cultur- 
pflanzen (z. 6. Baumwollen stände, Tbeestiauch, Eaffeebanin, Zuckerrohr^. 
Von den einheimischen treten in den Vordergrund jene, weliäie darch den 
Dienst, den sie dem Menschen leisten (z. B. Bausthiere, Vügel, Seidenraupe, 
Getreide und Geapinnatpflanzen , Obstbäume, daa Satz, die Eohle), oder 
durch den Schaden (Giftpflanzen), oder durch die Eigenthümhchkeiten ihres 
Lebens und ihrer Lebensweise [t. B. Schmetterling, Trichine, Bandwurm, 
Biene, Ameise), besonderea Interesse erregen und zur Belehrung ober Land- 
wirthachaft, Handel und Gewerbe Änlass bieten. In der mebrclassigea 
Schule findet neben Vermehrung der Gegenatände auch eine systematische 
Ordnung derselben und ein näheres Eingehen auf ihre geweroliche Nut«- 
barkeit statt. 

16. IHe Naturlehre beschränkt aich in der einclasaigen Schule auf 
die Oberstufe, und bilden die wichtigsten, im tätlichen Lehen vorkommen- 
den Werkzeuge den Gegenstand einfacher, aui Anschauung gegründeter 
Belehrung. In der mehrclaBBigen Schule ist der Stoff ao za erweitern, dass 
das Wichugste aua der Lehre vom Gleichgewichte und der Bewegung der 
Körper, vom Schall, vom Lichte und von der Wärme, vom Magnetismus 
und der Elektricität gegeben wird, und die Eiudei im Stande sind, die ge- 
wöhnlichen Naturerscheinungen und die gebiäuchlichaten Maschinen zn 
erkliren. 

18. Der Zeichenunterricht soll den Schülern die für daa tUgliche 
Leben erforderliche Geschicklichkeit im Gehrauche des Lineals und des 
Zirkels, aowie die Fertigkeit aneignen, auch ohne diese Hilfsmittel einfache 
Figuren in verjüngtem oder erweitertem Massstahe wiederzugeben. In 
der mehrclassigen Schule wird auf der Oberstufe nach Vorlagen und 
Modellen gezeichnet. Ebendaselbst wird die ceometrische Formemehre zu 
beaonderer Behandlung erweitert und mit der Baumlehre und dem Reohen- 
unterricht in Verbindung gesetzt, 

22. Unterricht in der Obatbaurazucht soll das Interesse lür dieselbe 
wecken und die Handgriffe einüben. 

B. Aus den Verhandlungen der sächs.-thiir. Realsohnlmänner zu Halle 
(6. 7. Jani d. J.) ist zu bemerken ein Vortrag des Bealacbuldir. Koch aus 
Erfurt „über die Unterstützung des naturw. Unterrichts durch 
daa Zeichne n." Der Vortragende vertheilte eine hierüber verfasste 
Broschfire unter die Versammelten*). Die Versammlung erklärte eich mit 
der auf Qiund dieses Vortrage gestellten These einverstanden. Eierauf 
sprach Diiector Schrader über die „Concentration des Unterriohta in der 
Bealachule" und entwickelte dabei in lebhafter Weise die Ansicht, dass, 
um die so sehr wünsch enswerthe Concenttation zu erreichen, nach einander 
einzelne von den Unterrichtsgegenstäuden der Realschule in den Vorder- 
grund treten müssten: 1] in den 3 untern Classen Latein, 2) in den 2 
mittleren die neuem Sprachen, 3) in den obern Mathematik und 
Naturwissenschaften. Diese Ansichten erweckten starken Wideranruch, 
namentlich von Seiten des Directora Dr. Hüser ans Aschersleben, der in 
l&ngerem Vortrage unter dem Beifalle der Versammlung sowohl daa OD- 
zweckmäBsige jeuer aufeinanderfolgenden Bevorzugung nachwies, als anch 
enl«(Äieden betonte, üass die Klage über Zeraplittemng der Kräfte der 
Bealscbüler gar nicht so begrandet sei. Nachdem unter anderen Dr. 
0. Bichter-Eiateben hervorgehoben hatte, doas die Realschule darnach 
trachten müsse, die Gegenstände dadurch mOglicbst in Beziehung zu ein- 
ander zu setzen, dass de dieselben fSr die vaterländische Erziehung nnti- 

■) VTic bittsn d. H. Verf., fklla «i dl« l«t«n aoUt« , am ZuMDdiuie «in« Eiampl^n. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



I 



Berichte Aber Vetaammltingeli, AnezOge ans ZeitsohriftöD o. dgl. 393 

bai mache (namenthch die fremdea Sprachen, Geachichte, Oeoeraphie eto.), 
lehnte die VersajnmluDg die wesentüchaten Punkte der Schrader'fichen 
Tbeeeti ab und sprach sich nur im AllgemeineiL dafdr aus, daea nach Con< 
Centration im Unterrichte der Realschule eh Btreben Bai, und erklarte bo- 
dann, daea die häusliche Arbeit der Schiller im Interesee jener Coocen- 
tration auf eine Anzahl von Haopt^heru möglichst beschränkt werden 
solle (letzte These des Birectors ächrader). (AlLg. Schulz.) 

C. Aus den Verhandlungen des Teieins von Lehrern fQr Unterricbts- 
anstalten der Prov. Schlesien (;i5. 26. Mai d. 3.) entnehmen wir dem 
Vortrage von Zopf-Brieg „über die Stellang der hohen Schulen zu dem 
in Aussicht steheudeu ÜnterriditBgeBetze", folgende nnaere Fächer berührende 
Thesen; 

1) Bealschnlen und Gymnasien 'miisBen als höhere Schulen betrachtet 
werden, welche ihre Zöglinge zu akademischen Studien be^Uiigen. 

SJ In den Bealscbulen ist deshalb der Unterricht im Latein bis nach 
Prima hinein weBentlicb zu verstärken und — sollen die RealBchulen zu 
allen akademischen Studien befähigen — auch daa Qrichiache in4jahTeB- 
onrsen (IV bis IIb incl.) wie auf den Gymnasien zu betreiben, erst in Ober- 
Secunda aber in Wegfall zu bringen und durch die Beschäftigung 
mit dem EngliEchen und durch gesteigerten matbematiach- 
natorwisaenschaftlichen Unterricht zu ersetzen. 

8} Dem Unterricht in der Geographie ist in allen ClaSBen Raum zu 
gewähren. 

4) Der Unterricht in den NatnrwisBenBchaften ist in den Gymnasieu 
duroh alle Classen fortzuführen j er darf weder in IV noch in III ana- 
follen; in den oberen Classen ist er ein wenig (aic!) zu verstärken, damit 
die Schüler auch in der inductiven Forschnngsmethode ao viel Uebung 
erlangen, um naturwisaenschaftlicbe Studien auf den Universitäten mit Er- 
folg betreiben m können. (Allg. Schulz.) 

D. Beorganisation der Unterrichtaabtheitnag dea aächs. 
ColtuB-MinisteriumB. 

Im säcba. Unterrieb t«miniatertum, daa fortan von der Eirohenabtheilung 
(dem „Consistorinm") getrennt ist, sind zu Referenten theils ernannt, theils 
von früher beibehalten worden; 

Geheimrath Dr. Gilbert für die öfmnaaien. 
Oeheimrath Dr SchlÖmilch für die Bealschuleo. 
Geh. Schnlrath Dr, Bornemann für die Seminarien. 
Geh. Schulrath Dr. Eockel für die Volkaachulen. 
Die Bealschull ehrer Sachsena setzen, vrie verlautet, groeae Hoffiinngen 
namentlich auf die obengenannte zweite Peraönlichkeit. 

E. Nach einer Zeitungsnachricht erhalt Jena jetzt (schon?) eine 
Früfnnescommiasion far Candidaten d, h, SchuUmts. Wir haben 
nnsrer Verwandemng über den Mangel einer solchen schon Ausdruck ge- 
geben im 2. Heft d. J. S. 169. Wir werden hoffentlich später Genaueres 
über diese neue Errungenschaft mittheilen können. 



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394 Beliebte Ober VerBUnmlnngen, AuazQge aas Zeitachrifteu n 



II. Mathematisolie and natnrw. UniveTBltäts- Seminare.*) 

Bekanutmaehnng, 

die Errichtang eines physikalischen SeminaTa an der Groas- 
herf oglichen Landea-ÜQiTerBität betreffend. 
Seine Königliche Hoheit der Groasherzog haben die Errichtung eines 
jsikalisohen Seminars an der Grossherzoclichett Landes-Universität 
f den Grund der nachstehenden Statuten AllerhSchBt zu genehmigen 
geruht, was hiermit zur Öffentlichen Eenntniaa gebracht wird. 
Darmstadt, den 29. April 1862. 

Groashenoglicbea Ministerium des Innern. 
In Yeibindemng des Ministers: 

V. Bechtold. Zimmermann. 



liri 



§ I. Das phyalkalische Seminar ist ein üffentlichea, |>raktiaclieB, mit 
der Landea-Univeraität verbundenes Institut, bestimmt: im Allgemeinen, 
um die phvaikaliBche Eildang Studirender zu befördern, und inebesondete, 
um eine Pflanzschnle phjBikaliBch gebildeteter Lehrer für die höheren 
Unterrichtsanstalten zu werden, 

g 2. Die ZD diesem Zwecke angeordneten Hebungen werden bestehen: 
l'J in eiaminatorischer Behandlung der verschiedenen Zweige der Physik 
nnd Mechanik; wo es erl'orderlich ist. verbanden mit experimentellen 
Uebungen und Erklärungen phjsikalie&ber Geräthachaften. 2] In Anleitung 
zur Bearbeitung physikalischer Arbeiten nnd Vorträge. 

^ 3. Die Uebungen im physikalischen Seminar zerMlen in eip er i mental' 
physikalische und nathematiBch-pbyBikaliscbe. Für jede derselben, sowohl 
fOr die ei perimental- phyBikaliscben wie f9r die mathematiBch-physikaliBohen 
Uebungen sind zweimalige ZiiBammenkünfte wöchentlich festgesetzt nnd 
anf BOlche Tage und TagCBzeiten verlegt, an welchen Collision mit andern 
akademiachen Vortragen inöglichBt vermieden wird. 

§ 4. Der Unterricht wird von den daran betheiligten Lehrern insoweit 
gemeinschaftlich geleitet, als dieselben bezüglich der Wahl der Uehungs- 
gegenstände sich mit einander za besprechen und ihre Unterrichtspläne 
zu vergleichen haben. 

g 6. Um die Einheit des Institutes und die mit dieser Einheit verbun- 
denen Vortheile in jeder Beziehung festzuhalten, ist dem einen Lehrer, 
aU Direetor. aasser der Leitung im Allgemeinen, die Ueberwacfaung aller 
deijeniffpn Interessen des Seminars anvertraut, welche sich nicht unmittel- 
bar auf die Anordnung nnd den Stoff des Unterrichts beziehen, wie die 
Verwaltung etwa entstehenden EigButbums und die Vertretung gegenüber 
den UnivereitätsbehOrden und dem Ministerium des Innern. 

g 6. Die Mitglieder dea Seminars aind theils ordentliche, theils auBser- 
ordentliche. Nur die ersteren betheiligen sich selbstthStig an den eiperi- 
mentellen und schriftlichen Uebungen unter Controle der Lehrer. 

§ 7. Die Zahl der ordentlichen Mitglieder soll die von 8 nicht nher- 
steifien. Bedingung der Aufnahme unt«r diese Zahl ist; befHedigender 
Nachweis der erfoderlichen Vorkenntnisse, wozu wenigstens einj^riger 
Besuch mathematischer und physikalischer Vorlesungen auf einer tJniver- 
aiüt als unerläeslich gehurt. Stiidiiende, weldie als ordentliche Mitglieder 
einzutreten wünschen, haben sich rechtzeitig bei dem Director des Instttutea 



') Vefgl. Hft, a d, JnJug. SsUe 169—175. 



n,g,t.7.dt,G00glc 



Beriohte iJber VerBammlnngen, ÄnsiBge ans Zeitschriften n, dgl. 395 

zu melden nnd die Belege für ibre Befähigung; beizubringen. Werden 
diese als gsDQgend gefunden, so geschieht die Aufnahme, soweit erledigte 
Stellen Torbanden sind, dorch den Director. Bei Bonst gleicher Bereä)- 
tigung verscbiedener Bewerber entscheidet die Zeit der Anmeldung. Die 
ordeoUichen Mitglieder verlebten sich an sämmtlichen Uebnngen und 
Verhandlungen im Semin&r Theil zu nehmen, die von ihnen übernommenen 
Arbeiten mit Fleiss nnd Pünktlichkeit auszuführen und im Laufe eines 
Semesters aus dem Seminarium nicht willkürlich anszatreten. 

§ 8. Die Zahl der auteerürdeutlichen Mitglieder bleibt nnbestimmt. 
AU aaaaeror deutliches Uitgtied kann jeder Studirende eintreten, der sich 
zu Anfang des Semesters meldet, indem er seine Absicht ausspricht, ge- 
wissen Uebungsstunden. nach eigner Wahl, regelmtlssig beiwohnen zu 
wollen. Die Anmeldung geschielit in diesem Falle bei dem betreffenden 
Lehrer, 

§ g. Die anaseiordentlichen Mitglieder erhalten durch fleiseigen und 
eifrigen Beaaeh sämmtlicher üebungHatunden des Seminars die Anwart- 
schaft auf erledigte Stellen ordentlicher Mitglieder, wobei ihuen im Falle 
der CoDOurrenz mit solchen Bewerbern, die früher nicht ausserordentliche 
Mitglieder waren, der Vorzug zugestanden wird. 

S 10, Aualänder können auf dieselbe Weise wie Inländer, sowohl unter 
die ausserordentlichen wie die ordentlichen Mitglieder aufgenommen werden. 
, @ 11. Bei der Aufnahme haben die ordentlichen Mitglieder 2 Salden, 
die ausserordentlichen 1 Gulden zu erlegen. Diese Beiträge sollen für die 
Bibliotliek der Universität und zwar zur Anachaffong physikalischer Zeit- 
schriften verwendet werden. Armutbezeugnisäe ertheilen keine Dispensa- 
aation von Erlegung divser beim Anfang Jeden Semesters zu zahlenden 
Eintrittsgelder. 

§ 12. Ordentliche Hitglieder erhalten zu ihrer Legitimation einen vom 
Director ausgestellten Receptionsechein, auf welchem später auch ihre 
KntUsBung, wenn sie mit Ehren ans der Anstalt treten, vom Director be- 
merkt werden muss. Ohne diesen Beieatz hat der Schein, als Zeugniss 
stattgeAindener Theilnahme an der Anstalt, späterhin keine gesetzliche 
Qeltcmg. 

g 13. Um den ordentlichen Mitgliedern die Benutzung der Univer- 
sitätsbibliothek zu erteiclitern , kann jedem derselben eine Generalbörg- 
.„!,=«. CH. j;= gjjj Semester hindurch zu leihenden Bücher vom Director 
len. 

„ -_. -„enigen Seminaristen des 
sittetes Betragen, Fleiss und wirkliche iuiwi;uiii.ic <i,uoi,i;i(;uucu, auueu, 
wenn sie dürftig sind, bei der Vertbeilung von Stipendien berücksichtigt 
werden. Auch sollen ihre Zeugniatie dereinst bei der Staatsprüfung, sowie 
bei der Besetzung entsprechender Lehrerstellen, Berücksichtigung finden. 



Statuten des matb«m«tiBchei 
"Wttri 

% 1. Das Seminar bezweckt zunächst die Ausbildung von Lehrern 
für deu mathematischen Unterricht an höheren Lehranstalten. Zugleich 
soll es den Stodirenden Gelegenheit bieten, sich mit solchen Theilen der 
Mathematik bekannt zr machen, welche in den gewChnlichen akademischen 
Voitrfigen knrz oder gar nicht behandelt werden. Auch «oll die Anstalt 
überhaupt zur Hebung des Studinrns der mathematischen Wissenschaften 
beitragen. 

§2. Das Seminar zerfällt in 2 getrennte Abtheilnngen, in das Unter- 
und Oberseminar. Dem Vorstände des Seminars wird zu Unteretützung ein 
Assistent beigegeben, in Bezug auf welchen dem Vorstände das Fräsenta- 
tionsrecbt zusteht. 



n,g,t,7.dt,'G00gIc 



396 Berichte Aber Tecsammlangen, Auszüge ans Zeitachriften u. dgl. 

S 3. Mitglied des Unteraeminara knon jeder immatiiculirte Stndent 
werden, der die nöthigen Vorkenntoisae aus dem Gebiet der Elementar- 
mathematik nacLwelBt und der £u dieBem Zwecke sich beim Yorstande zn 
melden hat. — Für die Acbeitea des Üotereeminars sind wöchentlich 
2 Stunden bestimmt. En werden Bchriitlich und mündlich zu lOeesde Äaf- 

Saben und Probleme vorgelegt, die den Gebieten der Elomentarmathema,tik, 
er Diffeientialrechnuug und der analjtiBchen Geometrie angeboren, woran 
theoretiache Erörterangen und gegenseitige Besprechungen sich knüpfen. 

§ 4. Mitghed des OberBemmars kann jeaer itnmatrlculirt« Student 
werden, der in einem von dem Vorstände des Seminars abzuhaltenden 
Examen eine genaue Kenntniss der Ditferentialrechnung und der Äußiige 
der Integral rechunng sowie der analytischen Geometrie nachweist. In der 
Kegel ertoljft der Eintritt in's Oberseniinar nicht vor dem fi. Semester, — 
Für die Arbeiten des Oberseminars sind ebenfalls wöchentlich a Stunden 
bestimmt. Die im Oberseminar zu behandelnden Aufgahen und Probleme 
werden den Gebieten der Integralrechnung, der höheren Functionelehre, 
der höheren Geometrie und der analytischen Mechanik entnommen. Än- 
leitnng zu selbständigen wissenschaftlichen Arbeiten und zu Eeferaten über 
ältere und neuere Literatur wird gegeben. Ebenso Gelegenheit zu Tor- 
trägen über Gegenstände der reinen und angewandten Mathematik. 

§ 5, DerUnterrichtimimathematischenSemiaarwird honorarfrei ertheilt. 
Sagegen sind die Mitglieder verpflichtet an allen Stunden der Abtheilang, 
der sie angehören, Theil zu nehiuon und die vom Vorstände ihnen über- 
tragenen Arbeiten zur rechten Zeit zu vollenden. Der Torstand kann 
Bolche Mitglieder, welche ihren Verpflichtungen nicht nachkommen oder 
die uSthige Vorbildung sich zu verschaffen unteilaasen, ans dem Seminare 
auBBchliesBen. 

g 6. Es wird eine Summe von jährlich SOO Fl, ausgesetzt, aas 
welcher gegen das Ende jeden Jahres denjenigen Mitgliedern, welche sich 
in demselben am meisten ausgezeichnet haben, Prämien zu bewilligen - 
sind. Aus dieser Summe dürfen höchstens 6 Prämien gebildet werden. — 
Wird die Summe von SOO Fl. in einem Jahre nicht erschöpft, so wächst 
der Beat dem nächitjähiigen Främienfond zn. Die Voraeliläge über die 
FtAmien-Vertheilung nat der Vorstand des math. Sem. bei der philoaoph. 
Facultät einzureichen. Dieselben gelangen mit der Facultätsäusserung an 
den Senat der k. tTniv. Würzbg., der sie, begleitet mit einem Gutachten, 
dem. k. StaatBministerium vorlegen wird. 

g 7. Zur Gründung und snccessiven Herstellnng einer Seminarbibliothek 
ist eine Summe von jährlich 200 Fl. bestimmt. Die Verwaltung dieser 
Bibliothek und ihrer Bene hat der Vorstand. 

g 6. Es steht dem v erstände frei, Zuhörer zu seinen Vorträgen im 
Seminar zuzulaasen. 

§ 9. Die Üebangen dea math. Seminars weiden in jedem Semester 
neben den sonstigen Vorlesungen im VorleBungskatoloee angekündigt. 

g 10. Der Vorstand führt ein Verzeichniss über die laufenden Arbeiten, 
in welcher zugleich die grösseren Arbeiten der Mitglieder anzugeben und 
zu beurtheilen sind. Dasselbe bildet die Grundlage des aiyährhchen Be- 
richts des Vorstandes über den Zustand des Sem., welcher dem Senate 
der k. Univ. Wzbg. und dem k. Staats-Uinisterium vorzulegen ist. 

NB. Sin iii«li<DiMl(otl-iialu[iBiiieoii]h*ftlfshei SmliiM beitsht ui Mulg«' DdI- 
venltat niotit. 

Wegtn momcDtutT AbweiNihelt dci Decaut d*r philOMphiicbcu Ficult&t. 
■fffll.bnrg, n. Angnat 1874. 

Egl. UnlTsnlMU-SHiieUiriU. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte flbec YerBammlnDgieD, Amaüge ana Zaitecbriften o. dgl. 397 

StatnUn t&r Oas mallieinatigch-phfsifcAlI sehe Seminar in Heidelberg. 

§ 1. DaB m&theinatiBch-phyeikaliBcbe Seminar in Heidelberg hat den 
Zweck, die Stndirendea der Mathematik and Physik 1) zu setbatilnaigeii und 
-wiBBenachaftlichen Arbeiten anzuleiten und 2) aie im Yortrage, sowie in 
der BcbalmäBBisen Behandlung wiseenach&fUicher Qegenstände aus den ge- 
nannten Discipunen zm üben. 

§ 2. Das matbematiBCli-phTBikaliscbe Seminar zerföUt in die Abäieilung 
fQr Mathematik und in die Abtheilnng für Fhjeik. Die Leitung der erateren 
hat der Urdinariua der Mathematik, die Leinmg der letzteren der ordent- 
liche Professor der Physik, 

§ 3. AIb ordentliche Mitglieder einer dieaer ewei Abtheilnngen oder 
beider sind nur diejenigen immatricatirten Studirenden zuzulaewn, welche 
sich TOraugsweise der Mathematik und Physik widmen. 

§ 4. Die Aufnahme in jede der beiden Abtheilungec erfolgt mit dem 
Beginn dea Semesters auf peraSnliche Anmeldung bei dem betreffenden 
Director. — Der Anstritt findet nur mit dem Schlneae des Semeeters statt. 
Die ordnungsma^sig Auatretenden erhalten auf Verlangen ein auf ihre 
ganze Seminarzeit sich beziehendes Seminarzeugnisa, 

§ 6. Alle Mitglieder haben die VerpSichtung an den atLnimtlichen 
Uebungen ihrer Abtheilung regelmä,ssig und selbsttbS,tiK sich zu betheiligen. 
— Mi^lieder, welche ihren Pflichten trotz widerholter Mahnung mcht 
nachkommen, kCnnen durch den betreffen den Director aaage schlössen werden, 

g 6. Hiebt zur Mitgliedschaft beßhiate Stndirende sowie andere hin- 
reichend vorgebildete Personen, insbesondere auKestellte Lehrer und Lehr- 
amtspraktjkanten können in jeder der beiden Abtheilongen ala &eie Zu- 
liOrer_, welche an den Uebungen dea Seminars Tbeil nelunen, jedoch aut 
Fi^nuen (g 10) keinen Anapruch haben, auf erfolgte Anmeldung durch 
den betreSenden Director, nach Bemessen desselben zugelassen werden. 

% 7. Die mathematische Abtheilnng zer^llt wieder m 2 Abtheilungen. 
In cÜe ersten werden die Studirenden, fOr welche die Bestimmung des 
§ 3. zutrifft, auf ihre Meldung bin aufgenommen, in die zweite kSnnen 
sie nur eintreten auf Grund eines von dem Director anznstellenden Collo- 
qniums. — Ausnahmen sind nnr aus besonderen Gründen zulUasig. Die 
Entscheidung hat der Abtheilungsdirigent. 

§ 8. In jeder der beiden mathematischen Abtbeilungen müssen alle 
H Tage Uebungen aageitellt werden. Die schriftlichen Arbeiten sind von 
den Theilnebmein innerhalb der von dem Director zu bestimmenden Zeit 
an diesen abzugeben und werden von demselben beurtbeilt. 

§ 9. Die uebungen der ^bvsikaiischen Abtheilung soUen im Sommer 
stattfinden. In jeder Woche wird eine tbeils experimentelle, theüs Üieore- 
tische Aufgabe gegeben und allen Mitgliedern bezw. Zuhörern zusammen 
in einem Vortrage erläutert. Dann stellen diese die betreffenden Versuche 
einzeln unter Leitung des Directors an, führen zQ Hause die nöthigen 
Betrachtungen und Rechnnngen durch und legen achlieaalich eine schrift- 
liche Darat^llung der ganzen Arbeit vor. 

% 10. Die im Laufe des Semesters eingereichten besten schriftlichen 
Arbeiten erhalten Prilmien, deren Grösse mnerhalb dea bewilligten Be- 
trags von den Dirigenten bestimmt wird. Für solche Prämien, sowie zur 
Bestreitnng etwaiger Kosten der physikalischen Versuche wird dem Seminar 
ein Credit Ton 800 Thlr. aus ünivertitatemitteln bewilligt Die Vertheilung 
dieser Geldmittel ist znn&chst dem Einverständniaa der Directoren anheim 
gegeben. 

§ 11. lieber die verliehenen Prämien erstatten die Directoren durch 
Vermittlung dea engeren Senats jährlich einen Bericht an das gr. Ministe- 
rium des Innern, in diesem Bericht werden zugleich die Nachnditen über 
die in den zunächst vorausgegangen Semestern angestellten Uebungen, über 
die eingelieferten Arbeiten und über den Zustand desSeminare angenommen. 

Ztllubi. f. BWth. D. IlktDrw, Uattn, T. 37 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



398 Bericlite übet VersatniulLingeD, ÄuazGge ans Zeitschriften u. dgl. 

Bei der mathemataach-natorwiBseDBchaftlicben Prfifims der Lehromta- 
candjdaten vird von den Examinatoren aoweit thonlich billige Büokriotili 
auf die Disci^plinen eenommea werden, mit denen aioh der Candidat im 
Seminai speciell bescMftigt nnd in weldien er selbBländige ÜntÄrsadiDngeii 
gemacht bat. 

NachscliTift der Redaction. 

Herr Prof. KOnigeberger in Heidelberg Hebreibt ims hierza.* ,, Durch 
meine BeruAing nach Dresden scheide ich von OaterD 1875 ab aus dem 
Vorstände des Semioari aus, eröffije jedoch an der poljteohniaohen Schule 
za Dresden in Verbindung mit der dortigen früheren Lehrerabtheilnng 
(jetüigenmathem.-^hysikal.Äbtii,) ein Unter Seminar für mathem.Uebungeu 
und ein Oberseminar zur Anfertigung selbständiger Arbeiten." 

Keine der genannten Seminare , deren Statuten im Vorstehenden mit- 
getbeilt wurden, ist eine Bildungsanatalt fdr Lehrer lum Zwecke ihrer 
praktischen Ausbildung für den Unterricht, denn keine hat eine 
Seminar-Uebnngsschule: vielmehr sind es nur sog. wissenschaft- 
licbe Seminare zur Erweiterung und Yertiefang des FachwiBsens. 
In der „AnsbildunR" von Lehrern (Wöriburg §1.) und in der „acfaul- 
mässigen Behandlung" (Heidelberg g 1.) scheint uns daher mehr 
versprochen worden zu sein, als gehalten werden kann. 

4. Aus Kiel schreibt nns Hr. Prof. Himlf, Decan der phüos. Faoult&t: 
„Verfehle nicht auf Ihr Schreiben vom .... zu erwidern, daaa ein matb.- 
naturw. Seminar noch nicht besteht, aber in Auaaicht genommen iat. 
Soviel ala thunlich, wird dasselbe durch Privatiasima ersetzt." 

TJeber das UniverBitäta Seminar in Pesth sowie über die Wiener An- 
stalten der Art wollen wir im nächsten Hefte berichten, namentlich des- 
halb, weil wir über diese Anstalten etwas mehr, als Über «üe andern zu 
sagen haben. 



in. Notizen über Lehrmittel. 

Itutitnt Terkättftioher Booplaatisoher Präparate toh Bndolph 
Eooh in Uünster i/W. 

Tsnlltiut-MedBiU« der Wleimt -WelUniiteUuns 1S7S. Ooldene HedtiUa dar inUnutloiuIiiD 
■ iH-AüMtilluna lu Hwnhnrg. VordieMt-MediiiUo der iniernttiaiuilsn Undwirth- 

> ..11 Ti „ ig^4 2^ai SIABU-Msdaillan des Kaolgl. P "'-' 

^^, ^.,.__ _.... .... 

WMtdUlHb-rheliilacheD Yareliui fUr 
Giitanb 

1) „Wir stehen — so schreibt Herr Prof. Hoffmann in d. offic. Ans- 
stellnneszeitung No. 3B38 (abgedr. in der Zeitschrift für mathematischen 
und nMaiwisaenEchafÜichen Unterricht Band IV, pag. 321} — im deatschen 
Uaterrichts-Pavillon der Wiener Welt-Ausstellung vor jenen eigenthöm- 
lichen Pr&paraten, in denen der Laie ein anziehendes nnd bmehrendes 
Object seiner Schanlust, der Naturfreund einen Gegenstand seiner stillen 
Bewunderung, und vor Altem der Lehrer der Naturgeschichte ein 
vorzäglicbes, fast tnCchten wir sagen — neues Lehrmittel findet, 
das ihm zeigt, wie er in der Schale Naturgegchichte treiben 
soll, ein Lehnnittel, das zugleich beweist, wie man mit ausserordentlich 
geringen Mitteln Bedeutendes zu leisten vermag, wemi sich Beobachtungs- 
gabe mit ausdauerndem Fleisae vereint." 

„Gewiss durch diese Uethode wird der naturgeschichtliche Untenicht 
aus den Fesseln todter Naturbeschreibung erlöst; er erhält neues Leben 
und wird znr wahren Naturgeschichte. " 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Bericiite über Veraammlimfrea, Anazüge aus Zeifachriften u. dgl. 399 

„Deshalb darf die Methode des Herrn Prof. Dr. H. Landoia, die 
TOrüer wobl kaum von Jemandetn in dieser Ausdehnung auch nur versucht 
worden ist, bahnbrechend genannt werden. Wir fühlen uns verpflit^tet, 
im Namen aller Lehrer der Natargeachichte dem Herrn Prof. Dr, H. Landoia 
öSeutUcb hier in diesem Unterrichteorgane, den ihm gebührenden Dank für 
diese Unterrichtsmittel anszuspiechen and wollen diese Präparate, von denen 
Herr Prof. Dr. Landoia verninthlich käufliche Sammlungen zusammen- 
atellen wird, allen Lehrern der Zoologie anfs Wärmste empfohlen haben. 

Dieae ermunternden Worte dea Herrn Prof. Hoffmann wiegen uns 
schwerer als alle Medaillen, welche sich diese Präparate bereits anf den 
internationalen AnaateUungen etc. zulebit noch in Wien erworben haben." 

loh bin nnn angenblicklich in der glücklichen Lage, in dem Herrn 
Budol{>h Koch einen Mann gefunden zn haben, der die von mir zuerst 
augefertiKten Pi^parate mit Meiaterachaft zu vervieli^lligen übernommen 
hat. Und eben damit werden dieae Präparate anch anderen Lehrern der 
Natnrgeachicbte zugängUch. 

Münster i./w:, im Juni 1874, 

Prof. Dr. H. Lujddis. 

YerzeidmlSB imd Freia-Courant der sooplastischen Fiäparate. 

LOtgstlUiTte FiHpusU wardau BeBsnButiih] 
Khan TBnendel. Preii flu- ein SlMok in Reioosrnsrit "- iv 
Analagen berechnet. — AUeg obae VerblndlichkeiC 

Angchaffang kottspieliffBr Sahr&nke. .- 



— war Embiülage werde 
Tr&plut iHl In einem hol 
An der Wand anfsehäef 






d SUab gln4 « 



TöUlg g 



cullien 



SponglM, Schwimme d 

Wa»en und dee Me 

Polipl, PDlTpan . . 

llt«rldi, die SeeeM: 



FDlBeDKt>,Gehliags-i 

■chaecken In Ibrem uenea 
Bclenmlt«), Selemniten (Ddi 



Bnchiui'a, KTabben . 
Scorplanlda , Skorpion 
AncliDlda, Bplnnen . 
Inatonta InieetoraB, Ai 



ApUdlda, BlattUuie . 
Clcadlda, Clbeden . . 
H^FOeorida , Watierwi 
GeDcorlda, LaudwanEei 
Forflenllda, Ohrwnrme 



Aerldlda et toenitlda, Feld- 



■nrftgrlUan, Peldgrjll« 

nnd Heimoheu 

EpheHerlda, Blnlagi91egen . 
LIbellillda, WHgecjangfem . 
FtrlfuMk, FrohUnglOiegen. 



Typen 



Dlptera 

ETolmtloLepIdopteroran, 1 

wlskelung der SobmettetU 
CaraBbfcld», Bockkifer 
Pntlaleonüa, lUminliOTni 
Copiophuia, M 
■«lelODUUa, ] 
Cetonida, BlamenkUer . . . 
NekTopborlda , TodtenErrtber . 
Sllphida , ABsküfer .... 
DräHlda, WaMerklfar . . . 
Carablda, LauftMBr . . . . 
HrvcDOpttra, Tjpeadnlnimen 
Fonilclda, Ameiiea . . . . 
Ftrea nBiUtlUa , FIniebutch 
Salamaadra uaealata, g«fl«ok- 

ler SalamsDder 

Raaa tsnporarla , Landftoich 
Colmber oatrii , Bli^elnalier . 
TtpeiB beras, Kraaiott« . , 
Angall rrwllii, BUndtohleicbe 
Lanrta agllla, Sideehee . . 
Talpa earopaea, übolvBif 
Üorti Tmigarli et araaeai, 

Spltimhuie 

Da naaoalaa et aflTatleaa, 

Hing' nnd 'Waldmaug , . . 



alte beim Ne» 
CTteetufTaneBtarlu,Hami 
" — ■* amphibtaa, Mi 



Uun 
Jrlcet„. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



400 Berichte über YersammlungeD, Auszüge aus ZeitEchtiften u. dgl. 

Ein zweiter Katalog, welcher die von mir zu beziehenden aaBgestopften 
Säugethiere, Vögel, Reptilien uhdFiache enthält, kommt bald zur Versen dimg. 

Gegen billige Koetenberechnung bin ich erbötig . alle mir eijigescuidten 
Thiere (Bowohl im Fleisch, als in Sälgen oder in Spiritus) in ihren natnr- 
gemäasen Lebeneetellungen ausaustop»n. 

Auf frankirte etwaige Anfragen ertheile ich bereitwilligst und umgehend 
Antwort. 

Münster i. W, Eudolp Koch, Präparator. 

2> Notiz Aber Enlebens geolog. Bilder {T, 70); der Preis für dieselben 
ist nicht wie S. 71 ancegeben ist, 16 fl., sondern 76 fl. (c^ ca. 45 Thlr.), 
was Hr. E. hiermit zu beiiehtigen bittet Uns will dieser Pr, doch etwas 
zu hoch erscheinen. 

8) Lehrmittel in den Qemeindeschulen Berlins. Dia allgem. 
Schuheitung Nr. 80 de. Jahrg. enthält folgende Notia: „Für die Lehrer- 
Bibliotheken und fiSr Lehr- und Veranachaulichungsmittel (also für Geo- 
graphie, Physik, Botanik und Zoologie) waren ursprünglich bei jeder 
Schule 714 Thlr. pro Classe anf dem Etat. Diese Summe wurde in den 
Jahren 1870 und 71 nicht verbraucht (unglaublich!); der Etat sank also 
auf 4'^ Thlr. pro Clasae herab. Jettt hat die Schul-Deputatiou, um die 
vorhandenen Lücken auszufüllen und den Anforderungen der Gei^enwart 
zu entsprechen, 10 Thlr. pro Classe beantragt und wird, hoffentlich damit 
sowohl bei den Lehrern, wie bei den Commimal - Behürden ein freudiges 
^tgegenkommen finden," 

In Sachen Homsteins gegen Zängerle. 

Hr. Dr. Homstein in Cassel übersandte der Redaction eine Broschflre 
„Ein letztes Wort io Sachen Zängerle," dessen Inhaltsangabe uns wohl 
erlassen werden darf, da das Schriftchen nach einer Anmerk. auf Seite 2 
diesem Blatte beigegeben werden soll, Hr. Dr. H. legt nns zugleich bei 
zwei Briefe von zwei wissen seh aftl. Autoritäten dat. v. 9. Aug. 1871 n. v. 
11. Oct. 1870, welche Antworten auf wissenscbaftl. Anfragen enthalten u. 
auf die er eich in jener Anmerkung bezieht. 



Bei der Redaction eingegangene Frogramme and BUcber. 

Programme und Monographien. 

1) R. G. Bonn 1873/74 enth. Abb. von G.-Lehrer Sonuenburg: 
„Ueber absolutes Mass und relative Bewegung." 

2) Fünf ungedruckte Briefe v. Gemma Frisius herausgegeben von 
M Curtze in Thom (Abdruck). 

3) Hornstein, ein letztes Wort in Sachen Zängerle (s. o.). 

4) Schweder, Arbeiten des Naturf.- Vereins zu Riga N. F. 6. Hft. 
enth.r „der Hagelstnrm des 10. (22.) Mai 1872 in den Ostseeprovinzen (mit 
6 Taf. und 1 Gh.). 

Schul- und Lehr-BQcher. 
SchlÖmlieh, Comp. d. h. Analyeis L 4. Aufl. Braunsohw. 1874, 

„ ^ Grundzfige einer wissenscbaftl, Darstellung der Geometrie 
des Masses I. Plan. u. ebene Trig. 5, Aufl. 1ST4. II, Geora. des Baumes 
8. Aufl. 

Letzteres Werk ist in Teubners Verlag übergegangen. 
Schweder, Lehrbuch der Planimetrie 2, Anfl, Riga 1874. 
Ziller, Leipziger Seminarbucb (Abdr. aus d. Jahrb. f. Pädag. VI), 
Lpzg. 1878. __^_^^___ 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Der Begriff des Imaginären. 

Von Dr. Jobkp Kudelka, k. k. Lyceal- Professor z 



§ 1. Einleitang. 

Es ist eine Eigenschaft des rechtwinkeligen Dreieckes, dass 
das Perpendikel, welches vom Scheitel des rechten Winkels 
auf die Hypotenuse gefällt wird, die mittlere geometrische 
Proportionale ist zwischen den Abschnitten derselben. 

Da dieser planimetrische Lehrsatz die Grundlage eines neuen 
Theiles der Mathematik, namentlich desjenigen Tbeiles der alge- 
braischen Analjsis, der die Fortbildung des Imaginären anstrebt, 
geworden ist und somit unstreitig ein hohes Interesse erweckt; 
80 dürfte es nicht {iber^üssig erscheinen, durch eine nähere Be- 
leuchtung seine Berechtigung dazu nachzuweisen. 

Eigentlich ist der Satz erst dadurch so wichtig geworden, dass 
man ihn, wiewohl ohne weiteren Nachweis, auch umgekehrt 
gelten lässt, etwa in der Form: Ist eine Gerade das geome- 
trische Mittel von zwei andern, die man sich als Schenkel eines 
geraden Winkels denkt, so steht sie senkrecht auf der Geraden, 
in welcher diese Schenkel liegen. 

Man macht also hier von zwei der Lage noch gegebeneu 
Geraden einen Schluss auf die Lage ihres geometrischen Mittels. 
Unsere Aufgabe wird daher zunächst sein, zu untersuchen, in 
welcher Art und Weise das geometrische Mittel zweier Geraden 
hinsichtlich seiner Li^e abhängig sei von der Lage dieser letzteren 
und an welche Bedingungen diese Abhängigkeit geknOpft ist. 

§ 2. Die charakteristischen Merkmale des in dem 
vorhergehenden Paragraphen erwähnten Lehrsatzes. 
Nun — der Satz folgt zunächst aus der Aehnlichkeit der 
beiden kleineren Dreiecke, in welche das gegebene durch das 

ZeiUoht. f mMh, n. nMarw, TJnMrr. V. 23 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



402 



J, Kddelka. 



Perpendikel getheilt wird; dann haben diese Dreiecke, wenn man 
sich dieselben getrennt von einander vorstellt, ein Paar gleich 
grosse Seiten, von denen bemerkt werden kann, dasa es nicht 
homologe sind; femer, wenn man die Dreiecke wieder in die 
anfängliche Lage zurückversetzt, so decken sich ihre gleichgrossen 
Seiten in der Art, dass sie zu einer einzigen, gemeinschaftlichen 
Seite werden und schliesslich sind diese Dreiecke rechtwinklig. 
Das sind die Merkmale, welche den Lehrsatz als einen 
ziemlich speciellen charakterisiren und die wir nun nach einander 
zur Anwendung bringen wollen, am einen Sinblick zu gewinnen, 
auf welche Art jedes derselben sich geltend macht. 

§ 3, Auf welche Art macht sieh jedes der genannten 
Merkmale geltend? 
Beginnen wir mit dem Merkmale der Aehnlichkeit. Zwei 
Dreiecke sollen ähnlich sein, im Uebrigen aber ganz beliebig. 
Wir können sie an beliebige Orte des Raumes versetzt denken, 
wollen sie jedoch in einer Ebene so zusammenstellen, dass ein 
Eck des einen mit einem Ecke des anderen zusammenfalle and 
dass jene Winkel der Dreiecke, welche dieses gemeinsame Eck 
zum Scheitel haben, auchgleich seien. Der Fall, wo die Dreiecke von 
einander ganz getrennt sind und somit nichts gemeinsames haben, 
scheint mir für die vorliegende Untersuchung ohne Bedeutung. 
Es sei also (Fig. 1) ein Dreieck AOB; zieht man darin 
Fig. 1. CD il AB, so erhält man das zweite 

ihm ähnliche COD, dessen Lage durch 
Drehung um den gemeinschaftlichen 
Punkt in der Ebene der Figur be- 
züglich des ersteren beh'ebig geändert 
werden kann. Man bekommt die Pro- 
portion : 

.OA:OB = OC.OD, 
deren vier Glieder ebensoviele Gerade 
repräsentiren, die von dem Drehungs- 
punkte 0, wie von einem Strahlen- 
pankte aasgehen, aber sie stellen die 
Geraden bloss der Grösse nach vor; 
über ihre relativeLage gibt die Proportionnatürlich keine Auskunft. 
Nor daa Eine wird verlangt, dass jede äussere Gerade mit der 




n,g,t,7.dt,'G00glc 



Der Begriff dea Imaginären. 403 

ihr zugehörigen inneren einen gleich grossen Winkel bilde, 
dass also ^AOB = DOG sei, eine Bedingung, welche un- 
mittelbar aus der Aehnlichkeit der Dreiecke folgt. Wir 
■wollen diesen Winkel, dessen Grösse übrigens ganz beliebig 
ist, mit a bezeichnen. 

Um die obige Proportion, oder was auf das Nämliche hinaus- 
kommt, um mitteilst derselben die ähnlichen Dreiecke plani- 
metrisch zu construiren, müssen ausser drei Gliedern derselben 
auch noch zwei Winkel gegeben sein, nämlich der eben be- 
sprochene Winkel a und dann der Winkel AOD, welchen 
die äusseren Geraden OA und OD mit einander bilden und der 
somit ihre relative Lage angibt. Dieser Winkel, den wir = ta 
Seiten, erhält verschiedene Werthe, wenn wir z. B. das kleinere 
Dreieck COD schranbenrechts um den Punkt drehen und 
somit in verschiedene andere Lagen bringen, während das 
grössere AOB an seinem Platze verbleibt. 

Werden nun aber die inneren Glieder der Proportion als 
gleich gross angenommen: OB = OC, so gebt sie in eine stetige 
Ober. Das geometrische Mittel wii'd in diesem Falle durch zwei 
Gerade repräsentirt, welche gleiche Grösse, aber im Allgemeinen 
verschiedene Lagen haben. Um eine solche Proportion zu con- 
struiren, braucht man ausser den beiden Winkeln o und a, nur 
noch die zwei äusseren Glieder derselben zu kennen. 

Drehen wir ferner das kleinere Dreieck soweit schranben- 
rechts, dass die gleich grossen Seiten OG und OB zusammen- 
fallen, so kommt es in die Lage BOE und bildet mit dem an- 
deren das Viereck ABEO. Jetzt ist die mittlere geometrische 
Proportionale einfach (individuell), eine und dieselbe Gerade, 
nämlich die gemeinschaftliche Seite OB der Dreiecke. Man 
braucht,' um die Proportion zu construiren, ausser den zwei äusseren 
Gliedern OA xmd OE^^OB nur noch den Winkel AOE=ia 
zu kennen, denn der andere a ist = ^. 

Bis nun blieben bei der Aendernug von ci alle Bestondtheile 
der Dreiecke ganz dieselben. Sobald wir aber die Bedingung 
(t -= ^ voraussetzen d. h. sobald wir fordern, dass das geome- 
trische Mittel ein und dieselbe Gerade sei, wird sich mit a zu- 
nächst «, und mit a werden sich auch die beiden anderen Winkel, 

28« 

i,,Googlc 



404 J. El^r>K<-KA. 

flowie auch die dem Winkel a gegenüberliegenden Selten in jedem 
Dreiecke verändern. 

Stellen also die beiden inneren Glieder einer Proportion 
eine individuelle Gerade vor, so halbirt diese den Winkel, den 
die äusseren Geraden einachliessen. 

In diesem Sinne werden wir die Stetigkeit einer Proportion 
im Folgenden immer zu verstehen haben. 

Durch die Gleichung a = „ wird der Winkel a abhängig ge- 
macht von M. Heben wir nun die äussersten Fälle hervor, 
welche bei der Aenderung von w sich ergeben, während die 
drei von ausgehenden, die stetige Proportion bildenden Ge- 
raden OA, OB und OE ihre Grössen dabei unverändert beibehalten. 

Ist also zuerst ro = 0", so ist auch a = O" und alle drei 
Geraden fallen somit zusammen. Man kann sich zu diesem Zwecke 
die Oü; Schraubenlinks und die OÄ scltraubenrechts so lange ge- 
dreht denken, bis das Zusammenfallen mit OB erfolgt. Alle 
drei Geraden liegen alsdann auf der nämlichen Seite von O. 

Dreht man hingegen OE schraubenrechts und OA schrauben- 
links so lange, bis beide in die Verlängerung von BO fallen, so 
wird CO = 360» und somit a = 180». Es Endet also jetzt der 
Unterschied statt, dass die gedachten Geraden und ihr geome- 
trisches Mittel auf entgegengesetzten Seiten von liegen. 

Ist endlich ej = J 90", also a = 90*, so werden die Dreiecke 
AOB und BOE rechtwinklig. Die Seiten OA und OE fallen 
in dieselbe auf OB senkrechte Gerade und haben bezüglich O 
eine entgegengesetzte Lage, Während in den beiden vorher- 
gehenden Fällen das Viereck ABEO zu einer geraden Linie 
zusammenschrumpfte, verwandelt es sich jetzt in ein Dreieck, 
das rechtwinklig ist. Und dies ist nun der specielle Fall, der dem 
in § 1. citirten Lehrsatze zu Grunde liegt. Wir ersehen daraus, 
dass dieser Lcbrsat'/. sich in der That umkehren lasse. Man kann in 
der That behaupten, dass, wenn man eine Gerade in zwei beliebige 
Theile theilt, das geometrische Mittel dieser in ihrer Lage ver- 
harrendenTheile im Theilungspunktesenkrechtdarauf stehen müsse. 

In Betreff des Viereckes ist noch eine Bemerkung zu machen. 
Es sind, wie aus der Aehnlichkeit der Dreiecke folgt, die Winkel 
« = m und p^q, somit auch n -^-p ^ m -f- j oder wenn wir jeden 
Winkel mit dem an seinem Scheitel stehenden Buchstaben 

; , Cookie 



Der ■ßegriS' des Imu-giaärt'n. 405 

bezeichnen : B i^ A -{- £. Da nun die Seiten AB und ES mit ra 
sicli ändern, so kann man die letzte ßelation folgender Massen 
aussprechen: Der Winkel, den die veränderlichen Seiten dieses 
Viereckes einschliessen, ist gleich der Summe seiner beiden 
Nachbarwinkel. 

Die Winkel p und n sijid im Allgemeinen ungleich. Nichts 
hindert uns aber sie auch als gleich anzunehmen. Für dieeea 
speciellen Fall sind dann aber die Dreiecke AOB und EOB 
nicht nur gleichschenklig, sondern auch congruent. Denkt man 
sich also zwei beliebige Radien in einem Kreise, so ist das 
geometrische Mittel derselben jener dritte Badius, der den von 
ihnen eingeschlossenen Winkel halbirt, und zwar nicht nur der 
Grösse sondern auch der Lage nach. 

§ 4. Andere Zusammenstellung der zwei ähnlichen 
Dreiecke. 
Wir haben in dem § 3. die relative Lage der beiden ähn- 
lichen Dreiecke bloss an zwei Bedingungen geknüpft; sie sollen 
ein gemeinschaftliches Eck haben und ihre an diesem Ecke 
liegenden Winkel sollen gleich sein. Aber unter diesen zwei 
Bedingungen ist eine doppelte Anordnung der Dreiecke möglich. 
Die eine davon haben wir bereits durch die Fig. 1 zur An- 
schauung gebracht und uns auch mit den Folgerungen, zu 
denen sie Veranlassung gibt, bekannt gemacht. Die andere er- 
hält man, wenn man dem kleineren Dreiecke DOC iu Bezug 
auf Rechts und Links die umgekehrte Lage zu derjenigen gibt, 
die es in dieser Fig. 1 hat, oder wenn man das identische 
Dreieck BOE am die Gerade OB schraubenlinks dreht, so lange 
bis OE mit OA zuaammen^llt. Diese letzteren Geraden ttind 
aber die äusseren Glieder der stetigen Proportion und da sie 
zusammenfallen, so ist o = 0. Wird also das geometrische 
Mittel bei dieser zweiten Anordnung als individuell betrachtet, 
so ist a ^0; aber a kann natUrlicli beliebige Werthe erhalten, 
so dass also von der Lage der äusseren Geraden einer stetigen 
Proportion in diesem Falle gar kein Schluss auf die Lage ihres 
geometrischen Mittels erlaubt ist, ausser dass auch a gegeben ist. 
Da es nun unsere Aufgabe ist, aus der Lage der äusseren 
Geraden einer stetigen Proportion die Lage ihres geometrischen 
Mittels zu erschliessen und da zu diesem Zwecke der Winke) a 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



406 ^- KVDELKI. 

veränderlich sein mues, so können wir i 
der Dreiecke berückaicbtigen. 

Die geraden Linien, welche irgen< 
Proportion: »t : y -= y : « bilden, kann 
Winkelangabe beigefügt ist, in unzählig 
denken. Ist aber die Bedingung " = f 

geometrische Mittel seiner Lt^e nach abhängig gemacht von 
der Lage der Geraden m und «. Letztere Gerade sind aber sowohl 
ihrer Grösse als Lage nach ganz unserer Willkür anheimgegeben. 

§ 5. Die Begriffe der Richtung und Lage gerader 

Linien. 

Die Schenkel des Winkels ra {Fig. 1) stellen Gerade vor, 

die ihren Anfangspunkt im Scheitel desselben haben und von 

da an zu beliebiger Grösse wachsen können. So haben wir den 

Begriff einer Geraden, die einen Anfang hat und durch diesen 

ist auch die ßichtung gegeben, in welcher sie gewachsen ist. Die 

Richtung einer Geraden ist nicht zu verwechseln mit ihrer Lage. 

Um die Lage einer Geraden zu bestimmen, nehme man 

eine beliebige Gerade Ox (Fig. 2) als Achse und darin einen 

beliebigen Punkt als 

/A Ursprung an. Denkt man 

/ sich nun die eratere zuersl 

so in die Achse gelegt, 

^ y^^ dasa ihr Anfangspunkt in 

^x' deu Ursprung fällt, sokann 

siein dieLageO^aufzwei 

JP A verschiedene Arten gelan- 

gen, entweder indem man 
sie Schraubenlinks oder 
seh raubenrech td um 
dreht. Die Lage der Ge- 
raden kann nun durch den 
einen oder anderen der 
beiden Winkel, die sie bei dieser Drehung beschreibt, bestimmt 
werden. 

Wir werden im Folgenden voraussetzen, dass die Lage im 
durch denjenigen Winkel bestimmt wird, der durch schraul 



i,Cooglc 



Der Begriff dee Imaginären. 407 

Unke Drehung entsteht. Zwei Gerade OJS und OG (Fig. 2), von 
denen jede ihren Anfangspunkt in hat, sind, obgleich jede bloss 
die Verlängerung der anderen ist, als ganz verschieden zu be- 
trachten, denn ihre Lagen unterscheiden sich um 180" und ihre 
Eichtungen sind entgegengesetzt. 

Als Achse kann auch jede zu Ox Parallele und darin wieder 
ein beliebiger Punkt als Ursprung genommen werden, denn 
durch eine solche Annahme wird die Grösse der Winkel nicht 
geändert. Eine solche Achse ist also nicht identisch mit der 
Abscissen-Acbse des Coordinaten-Systems, denn diese ist in der 
That eine fixe Gerade, sowie auch der Ursprung dieses Systems 
fix gedacht wird, denn bringt man die Abscissen-Achse in irgend 
eine andere parallele Lt^e und weiset man dem Ursprünge einen an- 
deren Ort darin an, so werden sofort die Coordinaten geändert. Da 
jedoch die Achse, welche zur Bestimmung der Lage gerader 
Linien dient, sammt ihrem Ursprünge ganz beliebig ist, so ist es 
klar, dass man, ohne eine Begrifisverwirrung zu besolden, auch 
die Abscissen-Achse zu diesem Zwecke verwenden kann und 
man kann auch noch die Ordinaten- Achse hinzunehmen, um 
die Kbene anzudeuten, in welcher alle bezüglich ihrer Lage zu 
vergleichenden Geraden zu liegen haben. 

Die Richtung als solche ist nicht nothwendig an die Vor- 
stellung einer geraden Linie geknüpft. Der Zeiger einer Uhr 
z. B. also auch ein beliebiger Punkt desselben, bewegt sich 
immer in derselben Richtung, obgleich ein solcher Punkt eine 
krumme Bahn beschreibt. 

Ija^e und Richtung stehen in einer sehr innigen Beziehung. 
Wird die Lage einer Geraden direct durch den Winkel gegeben, 
so ist auch schon ihre Richtung bekannt und umgekehrt, wird 
die Richtung einer Geraden KL (Fig. 2) gegeben, wird gesagt, 
sie sei z. B. von K gegen L gewachsen, so ist auch schon ihre 
Lage bekannt. Wird aber bei dieser Geraden KL die Richtung 
nicht angegeben und mau f^gt nach ihrer Lage, so ist die 
Aufgabe unbestimmt, denn der Winkel, den die Gerade mit 
der Achse bildet, wird verschieden ausfallen, jenachdem K 
oder L als Anfangspunkt genommen wird, wie man sich über- 
zeugt, wenn die Gerade parallel zu sich verschoben wird, bis der 
eine oder der andere ihrer Grenzpunkte mit zusammenföllt. 

Am Schlüsse dieses Paragraphen mues ich noch der uns von 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



.iflH J- KUDELKA. 

Altersher Überlieferten Zeichen + und — und der ihuen entsprechen- 
den Epitheta: positiv und negativ, erwähnen. Diese Zeichen be- 
deuten, wie bekannt, bloss einen Gegensatz und da je zwei Gerade, 
deren Lagen - Unterschied 180* beträgt, entgegengesetzte Rich- 
tungen haben, so wird man die eine davon mit -(-, die andere mit — 
bezeichnen. Diese Zeichen sind somit bloss auf die Richtung der 
Geraden zu beziehen, nicht aber auf ihre Grösse, selbst wenn 
sie vor diese gesetzt werden, denn der Grösse als solcher kann 
überhaupt kein Zeichen zuerkannt werden. 

Das doppelte Zeichen in der bekannten Formel, welche die 
analytische Geometrie für die Distanz zweier Punkte aufstellt, 
kann offenbar nicht anders gedeutet werden, als dass man bald 
den einen, bald den anderen der beiden Grenzpunkte dieser Distanz 
zum Anfangspunkte zu nehmen habe. Auch kann man sich dafür 
entscheiden, dass das Zeichen -\- immer derjenigen von den zwei 
entgegengesetzten Geraden zuerkannt wird, die den kleineren 
Winkel mit der Achse bildet. 

Diese Zeichen geben somit keine Auskunft über die Lage; 
wenn man aber der einen von den zwei entgegengesetzten Ge- 
raden eine bestimmte Lage anweist, so wird dadurch sofort 
auch die der anderen ßsirt, — 

% 6. Algebraischer Ausdruck für eine gerade Linie. 

Wird die Lage einer Geraden dadurch bestimmt, dass man 
den Winkel angibt, den sie mit einer anderen einschliesst , so 
gehört diese Methode der Planimetrie an. Nun kann mau aber 
den Winkel durch ein algebraisches Zeichen ersetzen, wodurch 
jedoch schon, indem man Algebraisches mit Geometrischem ver- 
bindet, das Gebiet der analytischen Geometrie betreten wird. 
Die analytische Geometrie wird also im Stande sein, für jede 
Gerade einen einfachen Ausdruck anzugeben, der dieselbe nicht 
nur der Grösse, sondern auch der Lage nach genau repräsentirt. 
Eine Proportion gerader Linien in der analytischen Geometrie wird 
sich also wesentlich unterscheiden von einer Proportion in der 
Planimetrie, denn die erstere reicht schon fUr sich hin, um eine 
Gerade z. B. das geometrische Mittel zu construiren, wenn die 
äusseren Glieder gegeben sind, während der letzteren immer 
noch eine Winkelangabe beigefügt werden muss. 

In der That, die gerade Linie ist als Function ihrer Grösse 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Der Begriff des Iraaginüren. 409 

und ihrer Lage aufzufassen. Setzt man die Grösse ^ r und die 
- Lage = X, so wird das Product rx die Gerade voUstäudig re- 
präseutiren. Das den Winkel vertretende algebraische Zeichen 
erscheint hier in der Form eines Factors. Wir wollen nun jene 
Gerade, für welche dieser Factor x= 1 ist, als Achse annehmen. 
Die Einheit wird also stets das Zeichen sein, dass eine Gerade 
in der Achse liegt. 

§7. Analytische Bestimmung der Lage einer Geraden. 

Nehmen wir an, die äusseren Glieder in der Proportion: 
m ly = y -.n bedeuten gerade Linien, die in der Äbscisseu- Achse 
rechts vom Ursprünge liegen (Fig. 2) und deren Anfangspunkte 
in den Ursprung fallen; setzen wir also: 

w = 0^ ■ + 1 und w = 0£ - + ], 
so erhält man: -\- OÄ: y = y: -{• OE. 

somit y = yOAOE ■ + 1. 

Hier bedeutet nun offenbar }/0A ■ OE die Grösse des geo- 
metrischen Mittels, ferner bedeutet die Einheit, dass' es in der 
Achse liege und das doppelte Zeichen bedeutet, dass es zu beiden 
Seiten des Ursprunges sich erstrecken könne. 

Zu demselben Schlüsse wird man auch gelangen, wenn die 
beiden Geraden links von auf der Achse aufgetragen werden, 
wenn also »i ^ — OA und n = ^ OE gesetzt wird. 

Dieses Resultat stimmt nun ganz mit dem in § 3. erhaltenen 
planimetrischen überein, denn der Winkel, den die Geraden OA 
und OE (Fig. ^) bilden, kann, indem sie zusammenfallen, sowohl 
= 0'' als auch = 360" gesetzt werden und somit wird a= 0" 
und = 180«. 

Denkt man sich unter m und n wiederum zwei Gerade, die 
in der Achse liegen und ihre Anfangspunkte im Ursprünge 
haben, jedoch von entgegengesetzter Richtung, also: 

m f- OJ, und M =. — OE, 

so hat man: + OA\y_=_y : — OE, 

somit: y = yOA-OE-+y — 1. 

Hier wollen wir blos dem Factor y" — 1 unsere Aufmerk- 
samkeit schenken, da das Uebrige durch sich selbst klar ist. 
Um nun die wahre Bedeutung desselben zu erkennen, wollen 
wir uns gegenwärtig halten, dass er das algebraische Zeichen 
(den Werth von x) vorstelle und dass dieses Zeichen für jene 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



410 J. Kdüblha. 

Gerade gelte, welche den Winkel, den die 
Proportion einEchliesseD, halbirt. Da nun 
die den genannten Winkel Ualbirende c 
Mittel, senkrecht stehet auf der Achse, bi 
der Perpendikularität. 

Wir haben daher für x bereits vier 
-f- 1 ^ i", für die positive 

+ V^-i' 

— 1 = **, „ ,, negativ« 

und setzt mau EO = AO = r, wodurch auch ySO -AO = r wird, 
so erhält man für diese Gerade in den vier aufeinander folgenden 
Hauptlagen die folgenden Ausdrücke: 

r-i'^, r-i', r-i\ r-t*. — 
Drehen wir daher eine Gerade von der Grösse r aas der 
positiven x-Achse schrauhenlinks um 1 R, 2 R, 3 E . . 80 ist 
diese Drehung äquivalent einer Multiplicatioa ihrer Grösse mit: 

»', P, »ä 

Die Exponenten dieser Potenzen sind also für die Haupt- 
Fig. 3. lagen ganze Zahlen, fOr intermediäre 

Lagen werden sie aber gebrochene 
Zahlen sein , wie aus folgenden zwei 
~"^,,ff Beispielen zur Genüge erhellt. 

/ \^ Setzt man in der stetigen Pro- 

/ \ portion m -= OB = r ■ i' (Fig. 3} 

,^\ und n = OE ^ r-i", soerhältman: 

^'' \ s-<--+i*- 

— -J _{■ Da in diesem Falle das geo- 

" metrische Mittel ^ ■ R mit der Achse 

bildet; so ist ii das Zeichen für diese Lage. 

Sind ferner in Fig. 3 OG und 03 zwei Halbmesser, welche 
den rechten Winkel SOE in drei gleiche Theile theilen, so ist: 
ÖG* = OE-OH vnd 
ÖH* ^OGOB 
somit OQ^^ÖE''-OB 

und da OE^ri" und OB = ri' ist, so hat man: 

und schliesslich OG = r -i^' 



i,Cooglc 



Der Begrifl ice JmaginSren. 411 

Da nun OG eiue Gerade ist, die ^B mit der Achse bildet, 
so ist also ii da.s Zeichen fDr diese Lage. 

Das Zeichenpaar + 1 und — 1 , womit wir den Anfang ge- 
macht haben, löset sich also in unzählig viele Zeichen auf, die 
den ebeafalls unzähligen von dem Urspnmge des Systems aus- 
gehenden Strahlen zukommen und die alle in dem aligemeinen 
Ausdrucke: i"" enthalten sind, wo m die Anzahl ü bezeichnet, 
welche die Gerade mit der Achse bildet und von Null aufsteigend 
alle möglichen gebrochenen und ganzen Zahlen bedeuten kann. 

Da jede volle Umdrehung 4jR beträgt, ao kann man, wenn 
h die Anzahl der Umdrehungen bezeichnet, dem letzteren Zeichen 
auch das folgende: 

{m + ih 

substituiren, wo h nur eine ganze Zahl sein kann, Null nicht 
ausgenommen. 

Bis jetzt wurde vorausgesetzt, daas die Drehung der Geraden 
echraubenlinks erfolge. Nichts hindert uns aber, diese Drehung 
auch in entgegen gesetzter Richtung d. i. schraubenrechts vor- ■ 
zunehmen. Alsdann muss man aber fßr jeden rechten Winkel, 
um welchen man die Gerade dreht, ihre Grösse durch i^ divi- 
diren, oder da -=i-i ist, mit i~' multipliciren. Das allge- 
meine Zeichen wird also in diesem Falle die Form: i-"' haben, 

§. 8. Das trigonometrische Zeichen für die Lage 
einer Geraden. 
Bewegt sich ein Punkt vom Ursprünge (Fig. 4) ange- 
fangen in der Achse nach S, dann weiter fort nach Ä und 
hierauf zurQck nach S, so ist die Summe dieser Wege gleich: 
OB . i" -\- BÄ . io -\- AB . P. 
Diese Summe ist der genaue Repräsentant des von dem 
Beweglichen im Ganzen zurückgelegten Weges. Behandelt man 
nun aber die beiden Wege BÄ . i" und AB . P, da sie gleich 
und entgegengesetzt sind, nach dem Principe, dass gleiche ent- 
gegengesetzte Grössen sich aufheben, d. h. setzt man: 

BA . i" -\- AB . i'' = 0, 
so kann dies offenbar nnr unter der Voraussetzung geschehen, 
dass es sich blos um den Abstand handelt, den das Bewegliche, 
nachdem es die obigen drei Wege zurückgel^ hat, am Ende 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



seiner Bahn vom üraprange noch hat; denn dieser hier in die jj-Achse 
fallende Abstand OB . i" wird durch die genannten gleichen 

und 




Wege gar nicht beeinflusst. 
Dieser Abstand OB.i" 
wird offenbar auch unge- 
ändert verbleiben, wenn 
das Bewegliche von 3 aus 
irgend einen polygonalen, 
in sich geschlossenen Weg 
besehreibt, also z. B, von B 
nach C, dann nach D, nach 
E, nach A kommt und 
schliesslich nach B zurück- 
kehrt. 

Man muss demnach auch die Stimme dieser ein geschlossenes 
Polygon bildenden Wege gleich Null setzen, also: 

BC.i- + CD.i? +DE.iy + EÄ.i' + ^if.i» = 0. 
Die Exponenten a, ß, y, d sind hier natürlich unbestimmt, 
da die betreffenden Seiten des Polygons beliebige Lagen haben 
können; nur für die letzte Seite AB ist der Exponent bestimmt, 
da sie in der Achse liegt. Addirt man zn dieser Gleichung die 
folgende : 

BÄ.i'> = BÄ.io, 
so erhält man: 

BC.i' -i-CB.i." + DE.ir -j- EÄ.i' = BÄ .i" 
denn AB.P und BA.i" heben sich wiederum auf. 

Man kann ohne eine Neuerung in die Terminologie einzu- 
führen, die letzte Gleichung in folgende Worte kleiden: 

Das Product aus der Grösse einer Seite eines geschlossenen 
Polygons in ihre Lage ist gleich der Summe der Producte aus 
den Grössen aller übrigen Seiten in ihre Lagen. 

Es wird jedoch hier vorausgesetzt, dass die ausgewählte 
Seite und dann der übrige Theil des Polygons als Wege be- 
trachtet, den nämlichen Ausgangspunkt — hier B — haben. 

Als Folge des Gesagten hat man demnach auch, wenn 
(Fig. 5) 'OF = X und MP = »/ die Coordinaten des Punktes M 
sind und OM •= r, ferner der Winkel MOP ^ w» " gesetzt wird : 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Der Begriff des Imaginären. 4 

r . j"" = a; - i" + j/ , i' 
also auch, wenn für x und y die Werthe eingesetzt werden: 

r . i"^ ^ r . i^ cos m^ -^ r ■ i* a\a . m^ 
und somit auch: »"■ = i* cos m ^ + *' sin m — . 

Der zweite Theil dieser Glei- fi«. s. 

cbaug stellt nun das trigono- 
metrische Zeichen fflr die Lage der 
Geraden vor. 

Setzt man m *^ liS, so folgt : 
t« i= cos « s x- + i sin w s J 



und wenn s g- = qo gesetzt wird: 

{i'Y ^ cos « ip -{■ isinn tp. 
d. h. die Multiplication des Winkels 
führt zu demselben Resultate, wie die Potensirung der Lage. 

Schliesslich erhält man, wenn i' mit dem trigonometrischen 
Zeichen vertauscht wird, Moivre's J'ormel: 

(cos (p -\- i sin tp)' = cos « ^j -|- i sin w qi. 

%. 9. Bestimmung der Lage einer Geraden im Baume. 
Es seien Ox, Oy und Ots (b'ig. 6) die drei auf einander 
senkrecht stehenden Achsen und M eiu beliebiger Punkt des 
Raumes. Die Coordinaten 
dieses Punktes sind: OÄ=x, 
AC=y und MC'^z. 

Ist nun i das Zeichen für 
eine in der Ebene der xy 
liegende zur ^- Achse paral- 
lele Gerade, so folgt aus dem 
Dreiecke OCA: 
OCA''= OA.'? + AC.i\ 
wenn die Hypotenuse dieses 
Dreiecks mit der a;- Achse 
einen Winkel von « , ^ bildet. 

Um nnn ferner den analytischen Ausdruck für die Gerade 
OM, welche einen Winkel von m |- mit der Ebene der sy oder 




n,g,t,7.dt,'G00glc 



mit der Geraden OC bildet, aufzustellen; bedenke man, dasB, wenn 
man sich diese Gerade suerst in der ^-Achse liegend denkt 
und sie nun aus dieser Achse schraubenlinks in der Ebene der 
xy um n— dreht, man i&i sie erhält: 
OM.i" . 
Sie hat jetzt dieselbe Lage wie OG. Nun ist sie aber femer 
noch zu drehen in der Ebene COii, welche senkrecht auf der 
Ebene der xy steht, um den Winkel von m ^. 

So wie nun i das Zeichen ist für eine zur y-Äehse Paral- 
lele, so sei j das Zeichen für eine zur ^- Achse Parallele. 

Wir haben folglich für die Gerade OM, sobald sie die ihr 
in der Figur angewiesene Lage erhält, den Ausdruck:. 

OM . i" j™, 
und aus dem Dreiecke MOG folgt: 

OM . i« 3"> = OG . i« / + MC . i' i' 
oder wenn OM = r gesetzt wird : 

ri' j" = (xt^ + yi') ./ + äfi" /. 
also auch: ri" j'" = xi" + yi' -(- si" j'. 

Nun ist OC=r cos m ^ , folglieh : 

X = OG . cos n ^ ^ r cos » ^ cos m ^ 
y = OC . sin « ^ = »■ sin » "l cos m -5 
« ^ »• ■ sin m ^. 
Substituirt man diese Werthe in die letzte Gleichung und 
läast r weg, so erhält man: 

*" i"" ^ cos M - cos m -5 + i sin rt ^ cos »» ^ + i'j'- sin m -5. 
Verzeichnet man sich in der Ebene der xy einen Kreis um 
den Ursprung allenfalls mit dem Halbmesser =. 1, so ist dieser 
dem Azimuthaikreise zu vei^leichen. Der Centriwinkel nR oder 
der entsprechende Bogen n ^ dieses Kreises ist gleichsam das 
Azimuth. Jener Kreis hingegen, den man durch die Achse e 
und die Gerade OM ebenfalls um beschreibt, ist gleichbedeu- 
tend mit dem Höhenkreise. Der Winkel mS oder der äquivalente 
Bogen m -z des Höhenkreises vertritt hier denselben Begriff, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Dec Begriff des Imt^^nUren, 415 

den man in der Astronomie mit Höhe bezeichnet, nur mit dem 
Unterschiede, dasa in der Astronomie dieser Bogen höchstens 
bis zum Zenith gemessen wird, also höchstens die Grosse von 
— erreicht, in welchem Falle j» -= 1 ist, während hier m von 
Null augefangen alle möglichen Werthe annehmen kann, 
wenn man sich nämlich die OM in dem Höhenkreise, immer 
in derselben Richtnng, z. B. schraubenlinks gedreht denkt, — 
und sie somit auch beliebig viele Umläufe machen kann. Für 
den Höhenkreis ist somit die verlängerte OC als Achse zu be- 
trachten ,■ die natOrlicli ihre Lage mit dem Azimuth verändert. 
Der Winkel m ^ ist immer derjenige, den die OM mit der OC 
als Achse bildet. 

§. 10. Das Imaginäre bei der Analyse gewisser 

Curven. 
Da in der stetigen Proportion die äusseren Glieder ganz 
willkürlich sind, so kann man jedes derselben auch abhängig 
machen von einer dritten variablen Geraden = x. 

Es sei demnach eine Gerade AB (tig. 7), deren Grösse 
— => 2a constant ist. Halbirt man sie in 0, so ist AO ^ HO <« a. 
Nehmen wir nun Überdies einen Theilungspunkt P in der 



Geraden an, den wir uns. beweglich denken, so dass sein Ab- 
stand von 0, nämlich OP = x, die gedachte Variable vorstellt. 
Andererseits werden wir die Abstände eben dieses Theilungs- 
punktes P von den beiden Endpunkten A und S der Geraden zu 
äusseren Gliedern der stetigen Proportion machen. Es ist somit: 
m = AP ^a -\- X und 
n^BP-^a — x 
somit : y^ = (a + a;) (a — x) •=a' — x''. . . I. 

Nimmt man aber den Theilungspunkt in der Yerlängerung 
der Geraden, in Q an, so erhalt man für die gedachten Abstände: 
m = QA = IC -f. a 
n = QB-=x~a 
somit: y^ = (a; + a) (x— a)-=-x'^ — a'. . . II. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



416 J- KuDK..Bi. 

Die Gleichung I. gilt also, wenn x <_ a und die Gleichung 
IL, wenn a; > o ist, und es sind beide Gleichungen wesentlich 
verschieden von einander. 

Es geht aber die Gleichung I. in die Gleichung II. aber, 
wenn man in ihr y"^ negativ nimmt, d. h. wenn man setzt: 

y'-- (<•' - «?)■ 

Daraus folgt aber, dass die Bedingung: x'> a so viel bedeutet, 
als dass man y^ negativ zu nehmen habe. 

Wenn man sich also in der Gleichung I. a; > a denkt, so 
muss man diese Bedingung in dieselbe auch wirklich einführen 
und dies geschieht, wenn y^ negativ genommen wird. 

Nimmt man nun Ox als Abscissen- Achse an und Oals Ursprung 
des rechtwinkligen Systems und stellt man überdies die Be- 
dingung, dass y senkrecht stehe auf der Achse, durch welche 
Voraussetzung das geometrische Mittel zur Ordinate wird, so hat 
man zu schreiben: 

y = y^ — a;*. + i und 



y = j/x'^ — ß*. + i 
Bezeichnet man aber den ganzen Coordinatenzug mit « 
M -= a; + y ■ 4; i 
und somit für den Kreis: m ^ a: +; /a^ — x' ■ * 



und für die gleichseitige Hyperbel: m ^ a; + yx' — a' .i 

Es gebt somit f ür a: > n die Gleichung des Kreises in die 
der gleichseitigen Hyperbel über, da in diesem Falle a' — x^ 
in — (a* — x^) übergehet. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Das Capitel von der Aehnlichkeit der Figuren im 
propadentisch-geometrischen Unterrichte. 

(Fortaetaung von S. S5S.) 

Tom Heransgebec. 

n. IHe Aehnlichkeit der Dreiecke. 

Der Uebergaug von den Kennzeichen der Aehnlichkeit der 
P&rallelogramme zu den verwandten Aehnlichkeitsmerkmalen der 
Dreiecke findet eich leicht, wenn man die in Fig. 1 immer einer- 
seits der Dit^ooale AG liegenden Theildreiecke z. B. ABC, 
ABiCi, AB^Cf etc. (a. in Fig. 1. S. 348 die Dreiecke AHq, 
Alp, A3r, ABC) miteinander vei^Ieicht. Dabei ist Folgendes 
zu bemerken : Dreiecke werden, gerade so wie Parallelogramme, 
ähnlich genannt, wenn sie in der Gestalt (Form) überein- 
stimmen. Die Gestalt hangt aber theils von den Winkeln, 
theils von den Seitenverhältnissen ab; denn Dreiecke haben 
gleiche Gestalt, wenn sie gleiche Winkel haben, aber auch, wenn 
sie, gerade so wie ähnliche Parallelogramme, gleiche Seitenver- 
hältnisse haben. Nur ist dabei zu überlegen, ob beide Eigen- 
schaften (Bedingungen) zugleich nothwendig sind, oder ob von 
denselben eine geafigt. Wir wollen dies nun an den einzelnen 
Dreieck^attungen, welche die vorherbetrachteten Parallelogramme 
bilden, untersuchen und b^jinnen mit denTheildreiecken*) ABCund 
ABiCt der Oblonge ÄBCi) und AB^G^B^ (Fig. 1 f. S.). Das Theil- 
dreieck eines Oblonges ist immer ein rechtwinkliges und zwar ein 

1) un gleichschenklig'*) -rechtwinkliges Dreieck. 

*) Diesei Änadmck hoII bezeichnen die congruenten Dreiecke, in welche 
aich ein ParaUelogramm oder ein Vieleck zerlegen l&sst. 

**) Dieser Ausdruck — statt ungleicliBeitig — ist gewählt, um den 
Gegenaati zu gleichBchenklig-rechtwinklig hervortreten zu Ijieei'u. 

ZetlHbr. r. nHtti. D. OBtnm. Ualerr. V. Ü^ 



IMyGOOglC 



418 



Vom Herausgeber 




Die beiden Dreiecke ^BC und^BjC, sind winkelgleich*), weil 
der Winkel BAO (= B^AC^) beiden gemeinsam und die Seite 
B^C^ \\ BC (Ij AB) ist und zwar Btimmen die Dreiecke immer 
cig. 1. in jenen Winkeln überein, welche von 

C den gleichnamigen oder ähnlichliegenden 
Seiten (z. B. der grösseren Kathete und 
der Hypotenuse) eiageschlossen oder ge- 
bildet werden. Diese Winkel mögen 
ähalichliegeude — mit dem JVemd- 
wort „homologe" — heissen. Hin- 
sichtlich der Seiten ei^ibt sich Fol- 
gendes: Bezeichnet man sie, wie es allgemein üblich ist, mit 
denselben gleichnamigen aber kleinen Buchstaben, welche die 
gegenüberliegenden Ecken tragen, also 
AB mit c, AB, mit c' 1 

BC „ n, B,Cf „ a' \ so ist, ganz wie im Oblong 
AC „ h, AC, „ b' J 

e : a = e' : o' = 4 : 3 

n : fc = o' : fc' = 4 : 5 

b:e= &' : c' = 3 : 5 

Diese drei Proporttonen lassen sich bekanntlich in eine einzige 

zusammenfassen 

c : a: b = & i a : b' 
Von diesen drei Proportionen braucht man aber in uuserm Falle 
nur die erste zu kennen, weil die andern beiden aus ihr sich 
ergeben, da ja nach dem Pytlu^oräischen Lehrsatze b = J^c* + ä" 
= j/4' + 3^ = 5 ist. — Da zwei Seiten im Dreieck, welche man 
in VerhUltnias setzt (vergleicht), immer an einander oder be- 

•) Dieser Augdruck „winkelgleicli" (d. h. „in den Winkeln 
gleich") ist absichtlich gewählt zur Bezeichnung der Eigenachafl, daas 
jeder Winkel des einen Dreiecks einzeln genommen einem Winkel des 
andern gleich ist und er ist desshalb wohl zu unterscheiden von „gleich 
winklig", welohea ilhnlieh wie „gleichseitig" die Gleichheit der (drei 
Winkel desselben Dreiecks bezeichnet. Der Ansdruck „winkelgleich' 
bezieht sich also immer auf zwei, der Ausdruck „gleichwinklig" abei 
auf ein nnd dasselbe Dreieck. Uebiigens findet sich der Ausdruck 
„winkelgleieh" z, B. bei Helmes, Plan. II. §. 325, 



,ti7rJt,G00glc 



DaaCap. d, Aehnl. d. Fig. im propäd.-geomet. tJnteix. 419 

aachbart liegen milsseu, so wollen wir sie Nachbarseiten*) 
nennen und zwar mögen diejenigen Naehbaraeiten, welche in den 
beiden Dreiecken gleiche Winkel einschliessen (bilden), ähnlich- 
Hegende — mit dem fremden Worte homologe — Seiten 
heissen**). Homologe (oder gleichnamige) Nachbarseiten sind 
also z. B. 

a, c und ä, c' \ 

h, c „ b', c \ aber nicht a, c und h', c etc. 

a, h „ (i, fc' J 
Nnn ergeben sich leicht als Haupteigenschaften ähnlicher 
ungleichsehenklig-rechtwinkliger Dreiecke folgende: 

a) sie sind winkelgleich (stimmen in den homologen 
Winkeln öberein), 

b) das Yerhältnisa ihrer homologen Naehbar- 
aeiten ist gleich. 

genau, wie beim Oblong, nur dasa die Seite, welche hier Hypo- 
tenuse ist, dort Diagonale war. Die zweite Eigenschaft aber 
(unter b) lässt sich auch noch anders ansdrficken. Da nämlich 
die erste der obigen Proportionen auch geschrieben werden darf 

c : c' = o ; o' 
und ähnlich die andern, ao kann man, diese Proportion in Worte 
übersetzend, auch sagen: In ähnlichen Dreiecken ist das 
VerhältnisB der gleichnamigen (homologen) Seiten 
gleich; oder: eine Seite des einen (z. B. kleineren) Dreiecks 
verhält sich zu der gleichnamigen des andern (grossem) Dreiecks, 
wie eine andere Seite des ersteren (kleineren] Dreiecks zu der 
ihr gleichnamigen Seite im andern (grossem) Dreieck. Man 
nennt diese gleichnamigen Seiten auch, weil sie zwischen den- 
selben (gleichen) Winkeln liegen, ähnlichliegend oder mit 

*} Dieser Name konnte Ella „ÜberflÜBBig" eracheinen, da,ja im Dreieck 
itwei Seiten immer benachbart sind und eeiu mQiisen. Doch sehe ich 
darin ein Schutzmittel gegen die Verwechslung der „homologen Seiten" 
in demselben und jener in verschiedenen Dreiecken. 

**) Dies ist allerdings gegen das Herkommen^ die meisten Autoreu 
nennen diejenigen Seiten „homolog," welche gleichen Winkeln gegen- 
über liegen, S. z. B. Helmes, Planim. II, g. 326. Dann aber liegen die 
Seiten in verschiedenen Di'eiecken. 

29» 



ih,Googlc 



420 Vom Herausgeber. 

dem fremden Worte „homolog."*) Hiemach kannst du obigen 
Satz auch noch anders auEdrücken, wie? Wir wollen ans jedoch 
immer des eraten obenaub b) aogegebenen Ausdrucks „Naehbar- 
seiten" bedienen, weil er sich durch seine Kürze empfiehlt; 
demgemäss wollen wir auch bei der Schreibweise der obigen 
Proportionen bleiben. 

Es fragt sich nun, ob eine der sub a) und b) angegebenen 
Eigenschaften ähnlicher Dreiecke neben der andern und un- 
abhängig TOB ihr bestehen kann oder ob eine von der andern 
abhängt d. h. ob, wenn die eine aufhört, auch die andre zu 
sein aufhört; m. a. W. : ob die eine mit der andern steht und 
fällt. Erinnere dich, wie dies beim Oblong war. Die Oblonge 
AHsIU und A^tE (Fig. 1. S. 348) erhielten die neuen Seiten- 
verhältnisse 8 : 9 und 2 : 1, aber die Gleichwinkligkeit blieb be- 
stehen. Bei den schiefwinkligen Parallelogrammen ist dies nicht 
der Fall und ebensowenig bei den Dreiecken. Denn wenn du 
das Seitenrerhältniss c:a änderst, so tritt sofort der Eckpunkt 
C, aus der Diagonale A C des Oblongs AB CD heraus ; es ändern 
sich auch die andern Seitenverhältnisse und zugleich die spitzen 
Dreiecks Winkel. Umgekehrt: ändert man einen der letztem, so 
ändert sich zugleich der andere und die EckeC, tritt ebenfalls sofort 
aus der Diagonale ^C heraus, die Dreiecke aber erhaltea dadurch 
verschiedene Seitenverhältnisse, wie du an den Dreiecken .45j0j 
und ABnC^ siehst. Eine Äenderung der einen Eigenschaft hat 
also die Äenderung der andern zur nothwendigen Folge oder: 
die beiden Eigenschaften bedingen einander gegenseitig. 
Hieraus folgt aber, dass eine einzige derselben schon hinreicht 
um die Aehnlichkeit der in Rede stehenden Dreiecke zu be- 
gründen oder zu erkennen. Daraus aber ergibt sich der 

Satz: Ungleich sehen kl ig- rechtwinklige Dreiecke 
sind ähnlich, wenn sie entweder in den ho- 
mologen Winkeln übereinstimmen oder: wenn 
das Yerhältniss ihrer homologen Nachbar- 
Seiten gleich ist. 
und zwar braucht nur das Yerhältniss zweier Nachbarseiten 



1 



*) Dieser Aaedcack hat jedoch hier eine andere Bedeatuag, als oben. 
Denn das „Aehnlichliegen" ist hier ein auderea, ale dort. S. die vorige 

Aamerkiiiig. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Das Cap. d. Aehnl. d. Fig. im proj&d.-geomet. ünterr. 421 

bekaout zu sein, weil sich die Verhältnisse der audern daraus 
ergeben. Äehulicbes werden wir bei den audern Dreiecken 
finden. 

Es gibt noch ein anderes aber mehr äusserliches oder ober- 
flächlicbea Eennzeicben der Äehnlichkeit solcher Dreiecke, das 
aber doch erwähnt zu werden Ter- Fig, a. 

dient. Wenn man nämlich (Fig. 2) _ f! 

das kleinere der aufeinanderliegendeu" 
Dreiecke so auf dem grössern ver- 
schiebt, dass immer zwei gleichnamige 
(homologe) Seiten z. B. Hypotenusen h _ 
und V aufeinandei^leiten, dann bleiben "^ 
die beiden andern Seiten a und c, a' und c' parallel, bis 
zuletzt die eine derselben — die znerst freie Seite d mit ihrer 
homologen a coineidirt. 

üebangen. 
a) Zeichne ungleichBchenklig-rechtwinklige Dreiecke in den zuletzt an- 
gegebenen Lagen, indem du dae kleinere Dreieck anch l&ngs Ä B TerBchiebst- 

Fig. a, 

■^ Fig, i. 




b) Coii8teaiTeeiniuigleiclischenklig-rechtwiiikligesDieieok^B(7(Fig.3} 
mit der grossem Kathete AB aie Bana, fälle Ton einem Punkte M über 
der Hjrpotenuse anf AC nnd AB Winkebeclite MD und ME und be- 
zeichne den DnrcliBcbmtt der ÄC und ME mit F*). Welche der ent- 
stehenden Dreiecke sind äbnlich? Beweise es! 

c) CoDBtinire ein angleichachenklig-rechtwinkligea Dreieck ABC mit 
der HypotenTise AC als Baaia (Fig. 4), ÄUe dann vom Scheitel B des 
rechten Winkele auf AC die Wintelrechte BD. Welche dadurch ent- 
stehenden Dreiecke sind unter sich uid dem ganzen (gegebenen) ähnlich? 
Waram! Sind sie es aach nach dem Seitenverhältniss? Miss znm Zwecke 
dieser Antwort die Seiten der (genau gezeichneten!) Fignr mittelst Massstabl 

*) Vergl, meine Vorschule der Geometrie. S. 68. Fig. 61. 

n,g,t,7.dt,'G00glc 



^22 Vom HetaoBgeber. 

d) Eb koDD der Fall sein, dasa die zwei ähnlichen Dreiecke ABC und 

.1 B, C, Terwendet auf eintinder liegen, wie in Fig. 5. Bann miua man des 

Flg. B. eine (kleinere) Dreieck AB^C, eret um- 

g, wenden, so daae es in die Lage AB^C^ 

-ry kommt und dadurch jSi(7, |] jBC wird, 

^ ^- I lim die Äehnlicbkeit anBchaulicher zn 

.-'■ ■ machen. Zeichne beide Lagen! 

e) Verlängere B, C, in Fig. 6 (über C, 
hinaus), und es treffe diese VerlSogerang 
die Verlängerte GB in A^, welche ähn- 
lichen Dreiecke entstehen nun noch? 

f) Ziehe in einem nng]eich»chenklig- 
recbtwinkligen Dreiecke zu jeder Seite 

'< eine Parallele und gib die dadurch ent- 
* stehenden ähnlichen Dreiecke an! 

2) Das gleichschenklig- rechtwinklige Dreieck, 
Dieses Dreieck ist immer die Hälfte (eia Theildreieck) eines 
Quadrats. Solche Dreiecke sind aber alle wiakelgleich und die 
VerbäUniase der homologeu Nachbarseiteu sind in allen dieselben, 
nämlich das Verhältniss der Katheten (Schenkel) ist 1:1, das 
Verhältniss der Katheten (Schenkel) zur Hypotenuse aber ist 
1 ; 1^2. Durch Aeuderung der Seitenverhältnisse ändern sich 
sofort auch die Winkel und umgekehrt; es geht dann dieses 
Dreieck ßber in das ungleichechenklig-rechtwinküge. 3o erlüilt 
man, ähnlich nie beim Quadrat, den 

Satz: Alle gleichschenklig-rechtwinkligen Drei- 
ecke sind ähnlich. 

üebangen. 

a) Construire ein gleichscbenklig-rechtwinkligea Dreieck ABÜ'saA, der 
Hfpotenuse AB als Basis und fUIle von der Spitze (dem Seheitel des 
rechten Winkels) G die Winkelrechte CD! Was fiir Dreiecke entstehen? 
Welche sind einander ähnlich, welche congruent? 

b) Ziehe sodann in einem Dreiecke je eine Parallele zu einer Seite 
und gib die ähnlichen Dreiecke, welche entstehen, an! 

c) Ziehe in einem ajrmmetr. Trapeze beide Diagonalen! Wenn sie ein- 
ander rechtwinklig Hchneiden, welche dadurch entstehenden Dreiecke sind 
ähnlich? Unteracbeide sie von den congmentenl 

3) Das gleichschenklig -schief winklige Dreiecl 
ABC (Fig. 6) ist immer die Hälfte eines Rhombus ABCI 
(b. auch S. 351. Fig. 2a wo AHq = ^ÄHqE). Nun sind abe 
z. B. /\ÄB,C, und AABC -winkelgleich als Hälften winkel 



1 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Das Cap. d. Aehol. d. Fig. im propäd.-geouiet. Unterr. 423 

gleicher Rhomben, also ist die *■'«■*■ 

eine Bedinguug, die Winkel- ,- }^"^ ^ 

gleichheit erfüllt, die andere, das « _^_ C "-^J^/^ 

gleiche Verhältniss der Nach- ■' / J-""'/'''^ /' 

barseiten und zwar hier des /,- ' ^,.^' / ■^ / 

Schenkels zur Basis') ergibt ii^"'''^ / / / 

sich ehenftdis leicht, sie haben -^ ^ ■* 

genau dasselbe Verhältniss wie beim Rhombus (S. 351), nämlich: 

AB:BC = AB, : B, C, — a : o = 1 

AB:AC= AS, : AG, l 
oder BC:AG = BiC,;ACi ] ' 
Auch hier hebt eine Aenderung des Seitenverhältnisses die Winkel- 
gleichheit auf und umgekehrt: die Aenderung eines Winkels hebt 
das Verhältniss der ungleichen Seiten auf, wie man leicht an 
dem Dreiecke AB^C^ (Fig. 6) sieht, worin nur noch ACj zu 
ziehen ist. Man erhält so den 

Satz: Gleichschenklig - schiefwinklige Dreiecke 
sind ähnlich, wenn sie winke Igle ich sind 
oder: wenn das Verhältniss ihrer ungleichen 
Nachbarseiten gleich ist. 
Zur Winkelgleichheit bedarf es aber hier der Uleichbeit nur 
eines Winkels, weil in solchen Dreiecken alle Winkel durch 
einen bestimmt sind. Wie lässt sich sonach der Satz noch aus- 
sprechen? 

Specieller Fall: Wenn die Basis gleich den Schenkeln 
wird {AC= AB= BC), so geht das gleichschenklige Dreieck 
über in ein gleichseitiges. Die Seitenverhältnisse sind dann 
alle <» 1 : 1, die Winkel gleich und man erhält den 

Satz: Alle gleichseitigen Dreiecke sind ähnlich. 



*) weil Aas Verhältniss der Scbenhel (Rhombusseiten) ohnehin immer 
^1:1 ist, BO kann hier nxa gemeint sein dos Verhältniss des Schenkels- 
zur Basis (beim Rhombus: das Verhältniss der Seite zor Diagonale), um 
daher Mireventtändniase zu vermeiden, aoil im Folgenden immer gesagt 
werden: „das Verhältniss der angleichen Seiten." 

**) Bezeichnet man den Ea^iswinkel des gleichschenkligen Dreiecks 
mit T, 'so ist ohiges Verh&ltniss 1 :3cos9. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



424 Vom Herausgeber. 

Uebnagen. 

a) CoDBtraire in einen Kreis ein reguläres Sehnendreieck und um den 
Kreis das zugehürige Tangentendreieck, so erhältst du ähnliche gleich- 
schenklige Dreiecke. Schreibe sie auf! Daeselba thue mit den andern dir 
bereits bekannten Vielecken. 

b) Bei welchem regulären Vieleck werden diese Etbnlicben Dreiecke 
gleichseitig, bei welchem rechtwinklig? 

c) Ziehe in einem gleicbecbenkligen Dreiecke eine Parallele zur Basis 
oder verlängere die Schenkel {geneigten Seiten) eines gleichschenkligen 
(symmetrischen) Trapezes bis zum Treffpunkt, so ergeben sich Blinliche 
Dreiecke. Welche? 

4) Das ungleichseitig*)- achiefwinklige Dreieck 

ABC (Fig. 7), Dieses Dreieck ist immer die Hälfte eiaes Ghom- 

boids. Die Hälften gleichwinkliger Bhomboide aber stimmeiL 

!■'«■ T. immer in den homologeü 

jf Ji...-^^ Winkeln überein wie z.B. 

die Dreiecke ABC und 
AS, Ci (Fig. 7), worin 
Winkel A= A, B = 
^ A £ B„C=C, iat. Sonach 

ist hier die eine Bedingung, die Winkelgleichheit, erfüllt. 
Desshalb gibt auch die Verschiebung des kleinereu Dreiecks 
ABjC, längs AG oder AB dasselbe Resultat, wie in no. 1) 
beim rechtwinkligen Dreieck (s. S. 431). 

Die andere Bedingung aber, die Verhältnissgleichheit det 
homologen Seiten ist ebenfalls erflillt, da diese Yerhälüiisse 
genau dieselben sind, wie beim Rhomboid, nämlicli 

e:c- = a:a'^b:b' 
Auch hier hängt die Gleichwinkligkeit mit der Gleichheit der 
Nachbarseitenrerhältnisse so innig zusammen, dass die eine Eigen- 
schaft als nothwendige Folge der andern betrachtet werden 
kann oder dass beide Eigenschaften einander bedingen oder, 
um die früheren Worte zu gebrauchen — dass die eine Eigen- 
schaft mit der andern steht und fällt. Denn ändert man einen 

*) Uan müBste conseqneut nach dem Frflheren auch hier sagen ,,un- 
gleichsohenklig." Doch wird dieses Dreieck, welches als allge- 
meinstes Dreieck oder als der Typus der Dreiecke gilt, wohl all- 
gemein kurz „nngleicheeitiges" genannt. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



DoB Cap, d. Aelml. d. Fig. im propäd.-geomet. Unterr. 425 

Winkel, z. B. b2g, so föllt, selbst wenn AB^ bleibt, sofort 
die Ecke C^ anaserh&lb der Diagonale AG (z. B. in C^ und 
die Seiten ACf und B,C, erhalten andere Werthe. Äendert man 
aber eine Seite z.B. fjC',, wodurch zugleich die Seitenverhält- 
nisse geändert werden, so ändern sich auch die Winkel Ä und C^ 
und die Dreiecke ^JSC und AB^C^ sind nicht mehr ähnlich. 
Hiemach ergibt sich nun folgender 

Satz: Ungleichseitig-schiefwinklige Dreiecke sind 
ähnlich, wenn sie winkelgleich sind oder 
wenn das Verhältniss ihrer homologen Nach- 
barseiten gleich ist. 
Nennt man, wie oben, die Seiten eines solchen Dreiecks a, h, c 
und die entsprechenden (homologen) des andern a, l', e, so ist 
und aus diesen 
Proportionen folgt; 



6 : c = 6' : 

woraus erhellt, dass von den Dreiecken nur zwei Seitenverhält- 
nisse bekannt zu sein brauchen, das dritte ergibt sich dann aus 
ihnen. Fasst man nun die für die verschiedenen Dreiecke ge- 
fundenen Sätze zusammen, so sieht man leicht, dass sie alle in 
dem letzten enthalten sind und man kann sagen: 

Dreiecke sind ähnlich, wenn sie entweder 
winkelgleich sind oder wenn die Verhältnisse 
ihrer homologen Nachbarseiten gleich sind*) 
oder noch bestimmter: 

Dreiecke sind ähnlich, wenn sie entweder 
in zwei homologen Winkeln oder" in zwei 
homologen Seitenverhältnissen überein- 
stimmen. 

üehnngeiL. 

a) In einem tmgleicliBeitig-BctiiefwiDkligen Dreiecke ABC (Fig. 6), 
(worin ^£ = 16™, BC=2i»>»>, ÄO='36'»^ ist), Terlllngere zwei Seiten 

*) In diesem Satze liegen die Ewei AehnHchkeitBB&tze, die man ge- 
wöhnlich alB den 1. und 4. bezeichnet. S. Helmes, Plan. II. %. 329. „Wenn 
in zwei Dreiecken zwei Winkel gegenseitig gleicli sind, so sind die Drei- 
ecke Ahnlick; and §, 338. „Wenn in zwei Dreiecken alle drei Seiten in 
gleichen Verhältnissen stehen, so und die Dreiecke ähnlich." - 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



i-2G 



Vom Uerausgeber 



jir -g/ 



AB and CB (Aber JB hinaus) und swar CS 

, um eine StrecJce, welche eotweder kleiner oder 

grCwer (^) ist, als CB selbst bis (7, (in 

der Pignr um die Hälfte von CB). Hieraof 

liehe durch C, die Parallele zu AC, welche die 

Terlängerte AB in^, nohneide, eo entstehen 

ahnliche Dreiecke. Welche? Beweise, daassie 

ähnlich sind! Wie gross werden B.I1U.C1.A1 ? 

b) Wiederhole die Constmotion, mache 

^ aber die TerUngerueg BC^ nnd BA, 1— der 

^ BSlfte der veilängerten Seiton. Entstehen 

nun auch ähnliche Dreiecke? Kannst du beweisen, dass sie ee sind? 

c) Wiederhole diese Construction, TertHngere aber die Seiten Aber die 
andern Ecken und zwar um das Drittel, Viertel etc. 

d) Zeichne zu obigem Dreiecke ABC ^n andres mit h^b so langen 
Seiten. Sind die beiden Dreiecke ähnlich nnd warum? 

c) Wiederhole die Construction, nimm aber das Drittel und Viertel 
etc. der Seiten. 

Andere derartige Aufgaben kommen betondere vor beim Feldmessen 
mittelst des Messtisches und beim Gebrauch des sogenannten Storchschnabels 
(Pantographen) zum Verjüngen (Reduciren) der Figuren (Dreiecke). 

Von den Kennzeichen der Äebnlichkeit der Dreiecke wird 
in der geometrisclien Praxis weitaus am meisten jenes der 
Winkelgleichheit gebraucht, weit weniger das der gleichen 
Seitenverhältnisse. Denn die Winkel sind meist bekannt oder 
leicht zu berechnen, während die Seitenverhältnisse weniger (sei- 
teuer) bekannt sind. 

Wenn man endlich die Aehnlichkeit der Dreiecke mit jeuer 
der Parallelogramme vergleicht, so findet man leicht, dass Drei- 
ecke immer ähnlich sind, wenn ihre DoppelGguren, die Parallelo- 
gramme, es sind und es ^sst sich also allgemein Sf^n: 

Wenn zwei Parallelogramme ähnlich sind, 
so sind es auch ihre Hälften, die Dreiecke. 

Da im rechtwinkligen Dreieck durch einen spitzen und im 
gl eich sehe ukligen durch einen beliebigen Winkel die andern be- 
stimmt sind, so bedarf es zur Erkennung der Aehnlichkeit solcher 
Dreiecke nur der Kenntniss eines gleichen (schiefen) Winkels^ 
kennt man einen solchen nicht, dann erst braucht man das 
Merkmal der Seitenverhältuiss-Gleichbeit. 

Beim schiefwinklig - ungleichseitigen (oder allgemeinen) 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Das Cap. d. Aebul. d. Fig. im propäd.-geomet. Unterr. 427 

Dreiecke dagegen braucht man zwei Winkel, um die Winkel- 
gleicbheit und somit die Äebniicbkeit zu zeigen. Kennt man 
nur einen, dann reicht dieses Merkmal nicht aus; man braucht 
vielmehr — falls man nicht zwei gleiche Seitenverbältnisse kennt 
— mindestens noch ein Seitenverhältniss und dieser Fall ist also 
ein solcher, bei welchem die Kennzeichen der Äebniicbkeit ge- 
mischt sind, wir wollen ihn daher kurz den gemischten Fall 
nennen. Aber auch er gibt wieder zwei besondere Fälle, nämlich : 

a) der gleiche Winkel liegt zwischen den homologen Seiten '') 

b) „ „ „ ,, einer Seite gegenüber. 

Diese beiden Fälle aber, welche in der Praxis der Geometrie am 
seltensten vorkommen, gehören streng genommen in die wissen- 
schaftliche Geometrie, Doch wollen wir in einem späteren Aul- 
Satze zeigen, wie sie sich in der propädeutischen mit Frfolg 
behandeln lassen. — 

*) Ein solcher Fall ist z. B. in der Uebung b) bu no. *). 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittbeüungen. 
Zar m&tliematlsolien Zeiotienspraotie. 

Von 6. HiLLMAMs in Berlin. 

Schou mehrfach sind in dieser Zeitschrift*) Beiträge zur Ter- 
bessemng der mathema tischen Ausdrucksweise gegeben worden, wohl 
auch hie und da vereinzelte Bemerkungen, die an der Zeichen- 
sprache zu tadeln hatten. Verfaaaer dieser Notiz möchte nnn be- 
sondere auf letztere aufmerksam machen, da sie nicht weniger Ver- 
kehrtes und ITeberflttBBiges enthält, sie die Sprache der Mathematik 
im Allgemeinen.. — 

Wahrend die Zeichen für die Gleichheit, Ungleichheit oder Aehn- 
lichkeit zweier Grössen wohl allgemein die bekannten (f=, ^, ^ 
sind, begegnet man folgenden verschiedenen Zeichen (^, ^, ^ ^ 
für die Congmenz. Welches ist nun vorzuziehen oder sind aUe vier 
gleich berechtigt? An und für sich ist es gewiss gleichgültig, welches 
Symbol man der Congmenz beilegt ^ wenn man es nur eonsequent 
gebraucht, was leider nicht der Fall ist — aber wenn man einmal 
fOr den Ausdruck der Aehnlichkeit und Gleichheit die Zeichen "^ 
regp. = gewählt hat und Congmenz die Gleichheit und Aehnlichkeit 
zusammen involvirt, ao sind die Zeichen C±, ^, ^ dem vierten ^ 



Bei der nun eintretenden engeren Wahl würde ich vorschlagen, 
sich allgemein fUr das erstere zu entscheiden, denn es verdient im 
Verein mit dem dritten unbedingt vor dem zweiten den Vorzug und 
ist überhaupt das zuerst für die Congmenz (von Leibnitz) eingeführte 
Zeichen. 

Bei der Anwendung genannter Symbole (=, ""i ^) gibt es 
nun viel Ueberflüssiges zu verbannen. Meistens findet man 
■^ABC = -^DEF, ^A = ^B, AA£(7=(~ ~) ADEF 

U. B. W. 

Zunächst ist ersichtlicb, dass hier überall das zweite Zeichen 

*) s. Citate in dies. Jahrg. S. 379. Man vergl. auch Sickenbeiger 
math. Orthographie IV, 379 ff. D. Red. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittheilnngeii. 429 

(-^, A) überßüssig wird; denn es ist von seibat verständlich, dass 
ein Winkel nicht gleich einem Dreiecke, ein Drüeck nicht ähnlich, 
congnient einem Winkel sein kann, Oberhaupt ungleichartige Dinge 
nicht durch die obigen Zeichen verbunden werden können. Demnach 
vräre also zu schreiben 

■^ABC = J)EF, ^Ä = B, AABC=('^,^)DEF; 
aber auch hier steht noch manches Unnöthige. 

Die Bezeichnungsweise ^ABC ==^ DEF kann nicht mehr ver- 
kürzt werden, da ABC ■= DEF auch die Gleichheit der Dreiecke 
ABC, DEF bezeichnen kann; umgekehrt muas also auch geschrieben 
werden AABC = DEF. Aber statt der Bezeichnung AABC 
•^ DEF, AABG^DEF kann man kürzer schreiben 

ABC f^DEF, ABC ^ DEF, 
denn einerseits hat es keinen Sinn, zwei Winkel, die man ja auch 
mit drei Buchstaben zu bezeichnen pflegt, ähnlich zn nennen, andrer- 
seits spricht man wohl nicht von der Congruenz der Winkel. 

Aehnlich wie bei den Symbolen fUr die Congruenz, stCSsst man 
auf folgende Zeichen der Paarallelit&t (||, #, -ft", #), welch' 
letzteres auch für „parallel und gleich" gebraucht wird. Da die 
in den drei letzten Zeichen angedeutet« Transversale nicht zum Be- 
giiff der Parallelität nothwendig ist, so ist das erste zu wählen. 

Dem Zeichen = machte leb zu seinem Rechte verhelfen bei der 
Proportion, aus der es oft verdrängt wird, wenn man schreibt 
a:b : : c:d statt 
a:h ^ c:d. 
Die Proportion sagt doch nichts anderes aus, als daaa der Quotient 
-E- gleich dem Quotienten t- ist; warum also ein neues Zeichen für 
die Gleichheit einfuhren? zumal dasselbe von den englischen Mathe- 
matikern zur Abkürzung för „folglieh, somit u. s. w." gebraucht 
wird. Deutsche Schriftsteller bringen dafUr gewöhnlich einen boii- 
zontalen Strich in Anwendung, dazu ist aber meiner Ansicht nach 
die Zeichensprache nicht geschaffen; siehe aach III, 20. 

Ich gehe nun über zur Bezelcbnongs weise der Figuren. Indem 
ich zunächst das Dreieck InsAnge fasse, behaupt« ich, man soUte 
allgemein nach dem Vorgänge Eulers an die Eckpunkte die grossen 
lateinischen Anfangsbuchstaben setzen, die zugehörigen Winkel 
mit den kleinen griechischen und die Maasszablen der Seiten 
mit den, den gegenüberliegenden Ecken entsprechenden kleinen 
lateinischen Buchstaben bezeichnen. Aber nur zu häuSg findet 
man die Eckpunkte mit kleinen lateinischen Buchataben und in der- 
selben Figur die gegeutlb erliegenden Selten mit denselben kleineu 
lateinischen Buchstaben bezeichnet, so dass ein und derselbe Buch- 
stabe zugleich das Symbol eines Ponktes und einer Linie ist! Zu 
welchen Missverständnissen eine solche Bezeichnung fOhren muss, ist 



n,g,t,7i.dtvG00glc 



430 Kleinere MitUieituugen. 

klar. Die gleichzeitige Verwendung von grossen nnd kleinen Buch- 
staben z. B. bei den Congraenz- oder ÄelmlichkeitB Sätzen ist auch 
zu vermeiden, weil der mündliche Vortrag durch die fortwährende 
Unterscheidung von „klein" und „gross" sehwerffiUig und breit wird. 
Wenn man femer die Congruenz (Äehnlichkeit) zweier Dreiecke eo 
aufuotirt, dass die analogen Eckpunkte gleiche Stellong haben, hat 
man den grossen Vortheil, aas der hingeschriebenen Congruenz die 
gleichen Seiten und Winkel herauszulesen. 

Sowie man die Bezeichnung eines Winkels durch drei Buch- 
staben so wählt, dass man aus der Stellung derselben den Scheitel 
erkennt, sollte man auch in gleicher Weise das gleichschenklige 
Dreieck so bezeichnen, dass der Bachstabe der Spitze in der Mitte 
steht; man ersieht dann sofort ans „BAC ein gleichschenkliges 
Dreieck," dass BA ■= CA ist. 

Aehnlich beider körperlichen Ecke; Tellkampf schreibt {3f)ABC, 
wo M die Ecke selbst bezeichnet; es ist dies gewiss zu empfehlen, 
aber die Klammer vor Jlf kann fortbleiben. 

Im Allgemeinen lässt sich nur sagen, dasa eine gat gewählte 
Bezeichnung das Verständniss sehr erleichtert; man sollte darauf 
mehr Acht geben, als bisher und es nicht als gleichgültig betrachten, 
wie man dieselbe wählt; im Grunde ist es zwar einerlei, wie die 
Figuren bezeichnet werden, aber die Vortheile eines guten Bezeich- 
nungssystemes sind eben viel zu gross, als dass man auch hierin 
nicht rationell verfahren sollte. Ich habe in dieser Beziehung immer 
das Werk Schröters Über die Kegelschnitte bewundert, wo 
wirklich jeder Buchstabe mit Ueberlegung gewählt und beibehalten 
worden ist. 

Vor allem ist darauf zu halten, dass man mit dei" Aufeinander- 
folge der Buchstaben fortschreitet, so z. B. den Fusspunkt der zur 
Seite BC gehörigen Höhe mit D bezeichnet, den zur Seite AC ge- 
hörigen mit E B. B. w., nicht umgekehri. £s scheint dies Pedanterie 
zu sein, hat aber den entschiedensten Nutzen, namentlich beim Unter- 
richt. Dahin rechne ich auch die Sancticmirung gewisser Buchstaben, 
ich meine, dass z. B. für die merkwürdigen Funkte des Dreiecks 
stets dieselben angemessen gewählten Buchstaben gebraucht werden. 
Man hat dann den Vortheil bei weniger complicirten Lehrsätzen und 
Aufgaben ohne Figur im Kopfe operiren zu können — was auch 
sehr wenig geübt wird — ; zugleich können aber auch korzeicbtige 
Schüler, welche von der Tafel entfernt sitzen,, dem Vortragenden 
mit Leichtigkeit folgen, da sie wissen, welche Bedeutung die ange- 
wandten Buchstaben ein- fUr allemal haben. 

In der Algebra hat man nicht minder Acht zu geben auf die 
Wahl der Bachstaben wie in der Geometrie. Das Resultat der Ope- 
ration nimmt bei gut getroffener Wahl gewöhnlich einen symmetrischen 
Charakter an; Symmetrie des Ajisdrucks ist aber in vielen Füllen 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Eleinete MittheUuugen. 431 

ein Zeichen der Richtigkeit, wie Crelle einmal in seinen AufsUtzen 
(Berlin 1821) ea^. 

Es liesBB sich bei genauer Musterung wohl noch manches Un- 
correcte oder wenigstens Vortheilhaftere beibringen, ich erinnere z. B. 
an den Gebmuch der Accente und Indioes, an Schreibweisen, wie 
ÄB^, ÄB\ ÄBq, ABq 11. e. w. Veriasser wollte mit vorstehender 
Notiz nur eine Anregung geben, dass man auch von dieser Seite 
säubere und reinige.*) 



HatliematlsciLe Uiscellen. 

You Ot. Hellhamn in Berlin, 



1. Beweis des Steinerschen Satzes IV, 188 d). 

Mit Bezugnahme auf die Figur 6**) des Affolter'schen Aufsatzes 
beweist man den citirten Satz kürzer, wie folgt: 

Es ist nach dem erweiterten pythagoräi sehen Lehrsatze und 
einer einfachen Hedaction: 

ÄAj^ =Z? -\-A^^ -{-iAiCca^Ac^-^-^ÄiCeÄ^, ebenso 

BB,ä ='B? + B^^ -\- iB^C ^ß ='B? + is^c .7b, , 
somit, da Ac ^ Bc und A^c.cAj = B^c.cB^ 
AAi = BBi, w. z. b. w. 

2) Eine zweistellige Zahl, deren letxte Ziffer 5 ist, hat die Ponn 

»1.10 + 5, 
wo »I eine der Zahlen 0, 1, 2, ... 9 bedeutet. 
Das Quadrat derselben ist 

m(fft+ 1)100+ 25 
oder als dekadische Zahl geschrieb^ 

m(»t+ 1)25, 
daraus ergibt sich fflr die Quadrimng einer solchen Zahl eine prak- 
tische Regel, welche leicht ersichtlich ist; z. B. 
85* = Fr925 = 7225. 

3) In allen mir bekannten Lehrbüchern finde ich die Sstze, 
welche von der Parallelität einer geraden Linie mit einer Ghene 
handeln, nach dem Vorgänge Euklids indirect bewiesen; sie lassen 
sich aber auch direct beweisen. 

*) Mau sehe auch unsere „Anregung zu einer Arbeit" im Brief- 
kasten de» 4. Heftes. D. Bed. 
••) S. IV, Tat 3. P. Eefl. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



432 



Kleinere Mittheilungea. 



El. Eine Gierade AB ist einer Ebene MN 

einer in derselben gezogenen geraden Linie CD pi 

Zieht man in der Ebene JtfJV^noeh^Fll CD, so 

mithin AB der darch die Parallelen CD und EF 

MN parallel. 



n 



iJr 



b. Eine Gerade AB ist einer Ebene COD parallel, wenn 
beide auf derselben Ebene MN senkrecht stehen, (Fig. 2.) 
Errichtet man in der Ebene COD auf CD die beliebige Senk- 
rechte FE, so ist II AB FF, folglich nach (a) AB parallel der 
Ebene COD. 

Kambly und Andre trennen sogar (b) von (a)! 



Das ABtiparaUelogranuQ, dem ein Kreis eingeschrieben 
werden kann. 

Von Dr. Erleb in ZüUichau. 

Besonders reich an einfachen Beziehungen und daher geeignet 

7.U Aufgaben für Schüler ist das Antiparallelogramm, dem ein 
Kreis eingesehrieben werden kann. Einige finden sich mit Bezug 
auf eine andere später zu erwähnende Aufgabe bei J. H. T. MUller. 
Anh. zur Stereom. 117. Sie lassen sich ebenso leicht aus den allge- 
meinen Werthen für die zu betrachtenden (Jrössen, als aus ähnliehen 
Dreiecken ableiten, deren es eine grosse Zahl gibt. Ich theile in 
aller Kürze einige derselben im Nachstehenden mit. 

Es seien (s. Fig. a. f. S.) die Grundlinien AA' = a, BB' = &,die 
Seitenkante AB —> c, die Diagonale AB ■= d, der spitze Winkel 
BAA = «, die Höhe BII = /', die Kudien des um- und des einge- 



n,g,t,7.dt,'G00gIc 



EleineTO Mittiheilniigeii. 



433 



schriebenen Kreises (der groBse and der kleine Radius) MA^=r, 
OC=s> ^^^ Entfemimg der Mittelpvmkte dieser Ereiae MO = e, 
die den Grundlinien parallele BerUbmngssebne , schlechtweg die pa- 
rallele Sehne genannt C(f = s, die beiden andern BerUhrungssehnen, 
welche icb die schlagen Sehnen und Jede der sie treffenden Gnmd- 
linien zugehörig nenne, CK^s,, CL = Sj, der Abstand des Mittel- 
punktes M von der Seitenksnte MF = p. 

Natürlich ist c = ■ 7" ■ , h ^ Vöb, „die Seitenkante ist gleich 
dem arithmetriecben, die Höhe gleich dem geometrisi^en Mittel beider 
Grundlinien;" daher ist „der lilScheninbalt des Antiparallelogramma 
gleich dem Produkte aus dem arithmetischen and geometrischen 

Mittel beider Grundlinien." Hierzu kommt s = — ^, d. b. „die 

a + b' " 

parallele Sehne ist das harmonische Mittel beider Grundlinien." — 
„, a^^ a — b . « ,/ a a -,/ b 

fang \^Y v< "Is" i^t o*^®^' Sinus des Winkels gleich dem Quo- 
tienten des geometrischen und arithmetiRcben Mittels, der CosInuS gleich 
dem Quotienten der Differenz 
und Summe beider Grundlinien 
und das Quadrat der Tangente 
des halben Winkels gleich dem 
Quotienten dieser Grundlinien. 
A 
9-=9' *■ 




t«; d— /c'^-f A'. 
FSllt man von einem End- 
punkte einer Grundlinie ein Lotb 
aaf die andere, so ist der grössere 
dadurch bestimmte jAbscbnitt der 
letzteren ÄH oder B'JV gleich der Seitenkanto c; f.*) SAH cv GAK 
<x, CEC' cv COL und natürlich ebenso ABS oo GBL cv CI.C tv 
COK, i. CK : AK = CL : OL oder s, -.1 = 5,:*, f. S|A -= s,a 
und s,/( ^ s,h, i. - = t/-, d. b. die schrägen Sehnen verhalten 
sich wie die Quadratwurzeln aus den zugehörigen Grundlinien. Femer 
ist CK : CC = C0: CL, oder S, : « = p ; s.^, f. S, s., = qs, d. b. 
„das Rechteck aus den beiden scbrSgen Sehnen gleich dem Ke. bleck 



') Dies eracbeint mir eine ganz angemeeBene Abkürzung iür d:ia 
matheinatiBcben BeweisffihruDg bo oft wiederkehrende: „fo 1 



jt,Googlc 



434 Kleinere MiUbeilnngen. 

ans der parallelen Sehne tmd dem kleinen Radius" 
= CK : AK, oder 5 : s, = Sj : -, f. s,' ■= - Sd, 
Sebne die mittlere Proportionale zwieohen der pai 
der halben zugehörigen Grundlinie." — 

Ferner ist ABH cv MBQ cv OCI cv MFC 
OC : CT oder r : | = p : |, f. ^ = J, d. h. der 
hält sich zum kleinen, wie die Diagonale zur porall 
MO:OF='AH:HB, oder c;| = ^:A,Oi 
oder ^ {= ^\ : j = c : h, {. h* = sc, d. b. „die 
metrische Mittel aus der Seitenkante imd der 
Und AB : BH = MB : BG, oder c : A = r : |' 
AB.BH= MF: FO, oder c : A -= p : |^ c; f. c 
folgt auch aus BHA' -^ AFM. Aus rJi = — cd 
cd, d. h. „das Rechteck aus den Durchmessern 
gleich dem Rechteck aus der Seitenkante und dei 
Es ist auch AOK'^OBL-^ KCIr^KLC 
f. OB II KC. Ferner folgt aus diesen Dreiecken AI 

oder g- = 2^ = 2" "2^' f- 1& ^ A* (s- <>■). Aus sc = ä' 
auch sc ^ ab, f. a:c^s-'ö" °^^^ AA' -.AB^ 
^ CBZ, f. geht BA' durch J, und natürlich isi 
A'C'I. Aus jenen Dreiecken folgt femer Cff : KJ 
s^:h = j ■ s^, f. SjSb = -7(5 = ps (s. 0.). 

L&sst man die ganze Figur um KL als Acl 
steht ein gerader Kegelstumpf, dem eine Kugel elnj 
kann, und von diesem allein handelt Müller a. 
der von AB beschriebene Mantel, sind V, S un 
des Kegelstumpfes der um- und der eingeschi-i ebenen 
Oberflächen dieser drei ECrper, Z die vom Böget 
Kugelschicht; so ist M ^ c'n, also unabb&nj 
M:0o = c^:h\N:0, = h^:^, = 2« (c'—q 
~ Md — ^ £. — Dass ¥=^^0 imd dah* 
sind nur unmittelbare Folgerungen zweier allgc 
welche ich hier noch besonders aufmerksam ms 
jedes Körpers, dessen Oberflüche sich in eine 
ISsst uud dem eine Kugel mit dem Radius ^ ein. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Uittheilimgeu. 435 ' 

^pO, folglich Terbalt«n sich die YoluminB, derartiger Körper, die 
derselben Engel umgeschrieben sind, nnter einander und zu dem der 
Kngel, nie ihre Oberflächen nnter einander nnd zu der Oberfltiche der 
Kugel. Diesen Stttaen entsprechen natflrlicb analoge planimetriache. 



Zur BerecluLtuig der Blldweite optischer Linsen.*) 

Ton J. BoDE in Mühlheim a/Rh. 

Bezeichnet in der nachstehenden, dem Sachkundigen verständ- 
lichen Fignr der Funkt a eine Lichtquelle, so ist bei Vernachläasi- 
gung der Dicke der Linse filr jeden CentralBtrnhl ot; 

ad at.ma (ao -4- r) sin ^ 
sin af -= -g •= — -■ -^ ■ =■ ■ " --^ . 

e£ ee.tma (eo - r) ein a 




_ (*'0| + *i) "0 «1 

.. (« "t + r,) »in «1 {eo + r^)tAaa^ 



•) Siehe des TerfasBera „Nachschrift" am SchhiHse dieses Aufsatzee. 

D. Red. 



n,g,t,7.dt,'G00gIc 



Kleinere MitÜieilungan. 



^ 





■in«, ^ 

Binv, ™ 


n = 


(it., + r,) 


ö. 


1 + ^ 


2. 






to 


AuB 1. 
zunBobst 


and 


2. erhält 

» + 


«ö"~ 


zwecks 


Elimination 


der 


Bildweite 



und nach Multiplicatlon einer jeden dieser Gleiciungen mit — I, 
Tronslocirung des ersten Gliedes nach rechts und Division der so 
entstandenen Gleichungen durch r bezw. r, : 

+ ^_(„_i)i-i, 

deren Addition sofort die bekannte Formel 

ü-(«-i)(i+^)-(i, + i^) 

oder 

liefert. 

Dieselbe Bezeichnung der in Betracht kommenden GrSssen führt 
durch blosses Ablesen von den nach derselben Methode Gonetmirten 
Figuren fOr jede andere Linsen -Art genau in derselben Weise zu 
denselben Gleichungen nnd zwar auch bezüglich der sichtbaren Bech- 
nungszeichen 4~ ^^^ — < wenn von vornherein oder — didaktisch 
richtiger — nachti^lich noch festgestellt wird, dass die Bildweitea 
eo und i'o, , sowie der Badius r'=co der Vorderfiäche mit der 
Gegenstands weite ao gleiche bezw. entgegengesetzte, obwohl un- 
sichtbare Vorzeichen fahren sollen, je nachdem sie — wie in der 
vorstehenden Figur — auf deren Verlängerung oder auf ihr selbst 
Legen, und dass bezüglich des Badins fi = c, o, der HinterflScbe 
das Umgekehrte gelten solle. 

Nach Ausweis d^f gebräuchhchen physikalischen Lehrbttcher 
pflegt das obige Gesetz optischer Linsen zumeist nach Methoden ab 
geleitet zu werden, welche dem Anfänger wenig durchsichtig, häufig 
nicht völlig einleuchtend und nie so ein&ch, leicht fasslich und 
durchgreifend sind, wie die gegebene. Der Schüler sieht nämlicl 
ein, dass die gesuchte Bildweite von den GrOssen ao, n, r nnd r, 
abh&ngen, er also darauf Bedacht nehmen muss, von der bekannten 
GrSsse n bezw. von sin x nnd sin y ausgehend, zu einem n gleich- 



, Coot^lc 



Kleinere Mittheilungen. 437 

werthigen Ausdruck zu gelangen, in welchem ausser jenen GrSssen 
nur noch /o, vorkommt, und, nenn dies nickt sofort gelingt, der 
gefundene Ausdruck vielmehr statt der gesuchten Bildweite tö, jene 
CO enthält, mit Hülfe der Brechung an der Hinterfläche einen 
zweiten Ausdruck Mr n zu entwickeln, der dann aber ausser r, r^ und 
io auch noch eo in sich schliesst. Sobald der Geist diese Direction 
hat, vermag der Schüler unter einiger Nachhilfe des Lehrers auch 
leicht die Figur gleichlaufend mit der Eeohnung, dem Bedürlhiss 
entsprechend selbst zu entwerfen, sowie die erforderlichen Substi- 
tutionen einznlühren. — Indem er hierbei aus Gründen des Rechnunga- 
Zieles für ac die gleichwerthige Summe ao -\- r setzt, sieht er sich 
unmittelbar nachher aus gleichem Grunde veranlasst, für den Ein- 
fallsstrahl ab den einfallenden Hauptstrahl a o zu substituiren und 
ebenso für die ausfallenden Strahlen eh, ig und eg die ausfallenden 
Hauptstrahlen eo, ioy und e6^^. ihm wird eo ersichtlich, dass und 
warum die Scfalussformel nur fUr Centralstrshlen Gültigkeit hat. 
Indem er endlich aus gleicher Veranlassung in der Gleichung für 
sin ^1 an Stelle von eo, schliesslich noch die Bildweite eo ein- 
führt, wird ihm erkenntlich, dass die Schlussformel überdies nur 
bei Vemachlässignng der Dicke der Linee besteht. — Die Ableitung 
der Bildweii« der biconcaven Linse, einmal unter Zugrundelegung 
der absoluten Werthe der in Betracht kommenden Grössen, wie vor- 
her bei der biconvesen Linse, sodann unter Berücksichtigung der 
besprochenen Vorzeichen, und ie Vergleichung der Resultate heider 
Verfahren flösst Vertrauen ein in die Rechnung mit algebraischen 
Grössen, was auf dieser Stufe nicht zu verachten ist. — Die Sym- 
metrie der Operationen und Gleichungen unterstützt endlich das 
GedacbtnisB und wirkt anregend auch auf das Qeflihl für SchCnheit 
mathematischer Entwickelnngen. 

Nachschrift. — Durch die inzwischen mir bekannt gewordene 
dankenswerthe classische Arbeit des Herrn Professors J. Uttller über 
„die Beziehungen der Brennweite und der conjugirten Punkte einer 
Linse"*) ist die seitherige, vorstehend wieder abgeleitete Formel fllr 
die Bildweite optischer Linsen zwar nunmehr mit Recht ausser Cours 
gesetzt, immerhin bleibt dieselbe aber eine Station, um zu der Mflller- 
schen Formel zu gelangen, und es dürfte daher die vorgeführte Methode 
ihrer Ableitung auch jetzt noch einiges Interesse haben. 

•■) Cfr. diese Zeitaehrift, IV., 279 ff. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



438 Kleinere MittheUungen. 

Noch einmal der Auwinkel 

u. d. immer noch bestehende Confnsion d. Winkelnamen i. d. Porallentlieorie. 

Vom HemuBgeber. 

Von mehreren Seiten*) ist der Vorschlag gemacht worden, den 
in Oeaterreich gebräuchlichen**) Ausdruck „Anwinkel" wegen seiner 
KUrze za adoptlren. Verfasser dieses will jedoch dem geehrten 
Leserpublicam dieser Blatter vor der event. allgemeinen Annahme 
dieses Vorschlages seine Bedenken gegen diesen Aasdruck vontu- 
bringen sich erlauben. 

Die Kurze des Wortes „Anwinkel" ist gewiss sehr gewinnend. 
Aach lässt sich gegen die Bildung desselben kaum etwas einwenden. 
Denn wenn man sagen darf Innenwinkel (Ausaenwinkel) ab- 
gekürzt für „Winkel, welche innerhalb oder ausserhalb einer 
Figur oder der Parallelen etc. liegen," so dürfte wohl auch die Zu- 
sammensetzung mit der Fräpoeition an und die dabei stattfindende 
Satzcontraction erlaubt sein. Aber »ie steht es mit dem Sinn des 
fraglichen Wortes? Was kann denn „Anwinkel" eigentlich be- 
deuten? Doch wohl nur einen Winkel, der an einer Seite (Parallele, 
Geraden etc.) liegt! LQsst sich das aber nicht von allen Winkeln, 
welche bei dem Durchschnitt von Parallelen mittebt einer (dritten) 
Geraden entstehen, ja sogar von allen Winkeln Überhaupt sagen? 
Li^en sie denn nicht alle „an," d. h. an einer Parallele oder an 
der Schneidenden oder überhaupt an einer Seite? Ergo ist dieBes„An- 
liegen" gar kein charakteristisches und unterscheidendes Merkmal 
dieser Winkel! Solche Merkmale haben wir vielmehr in der Lage 
der Winkel innerhalb der Flächenraume , in welche die 
Ebene durch die Parallelen und durch die Schneidende 
zerlegt wird, zu suchen. Die su Lage kann aber sein einerseits auf 
derselben oder auf verschiedenen Seiten der Schneidenden, 
andrerseits innerhalb oder ausserhalb der Parallelen. Dieser 
wichtigen und naheliegenden Merkmale aber haben sich schon Snell***) 
und Schlömilchf) in ihren Lehrbüchern der Geometrie zum Zwecke 
einer naturgemSssen Bintheilung dieser Winkel bedient und wir 
haben seiner Zeit diese Eintheilung empfohlen (I., 278/79 Änm.j.+t) 
Wir sind also aus dem angeführten Grunde gegen das Wort An- 

*) a. z. B. von Kober V, 6Ö 1. Hft. und in der Reoenaion von Möller- 
Bauers Geom. durch Hr. Scherling S. 879. 6. Hft. n. de. Hft. S. 447. 

•*) s. meine Bern. V, 66. 1. Hft. 

"•) s. Lehrb. der Osom. I, S. 28—24. 
t) neueste (&.) Aufl. der Geometrie dea Masses 1874. S. 16 ff. 

tt) Wir hatten dort diese Autoren {Sneil, Schtöndlch) „bahn- 
brechend" und die Eintheilung „buchst zweckma,Baig" genannt, waa 
Hr. Rfihle in Heiner Becension des 1. Jahrg. d. Zeitachr. in der ZeitBCbr. 
far GjmnasialweBen (XXV, 2. 3. S. 203) bestreitet (indem er — nebenbei 
bemerkt — das „bahnbrechend" auf die Eintheilung, nicht anf die Ein- 
theiler bezieht). Doch weias er etwas Besgeres auch nicht eq bieten. 



i,Coo<^lc 



Kleinere Hittheiluogen. 



439 



Winkel und wenn es in ganz Europa — statt nUr in Oesterreich — 

gebi^ncfalich wSre ! Wir sehen uns, da immer noch die verBCbiedenst«n 

VorachlBge für diese Benennungen beigebracht werden,*) veranlasst, 

auszurufen: „Warum denn etwas Neues einfflhren, wenn 

man schon etwasBewährtesuiid / 

ZwecbmSssigesbatf " Wennman 

in der SneH'Bcben Terminologie den 

allerdings zu bekämpfenden Ausdruck " 

„Gegenwinkel" streicht (vergl. 

Kober V, 55, 1. H.) und dafür conae- 

quent schreibt „correspondirende 

Winkel" (s. Schlömilch a. a. 0. S. 16), 

so lässti das Üebrige der Snell'schen 

Nomenclatur und Bintheilung kaum 

etwas zu wttnschen abrig; nur mnss 

man dann auch statt „Gegenwechselwinkel" sagen: „correspondirender 

Wechsel Winkel." Hiemach also würde die Nomenclatur, wie folgt, sich 

stellen (vgl. I. 279): 

Winkel, welche bezUgl. der Schneidenden liegen 
B. 




auf derselben Seite 



correspondirende 
Winkel 



Aussen Winkel 



C.9 I 
d,A ] 
d e, 
c, f 
a, h 
hg 



auf 



erachiedenen Seiten 

correspondirende J 
Wechselwinkel 1 



e. h 
\ ^' 9 



Aussen Wechsel Winkel j ?■ ^ 



Dorch diese Eintheilung zieht die scharfe Unterscheidung zwischen 
ausserhalb und innerhalb des durch die Parallele gebildeten 
Streifens (Bandes) und jener zwischen rechts nnd links (ober- 
und unterhalb) von der Schneidenden und dieser letzte Unterschied 
wird in jedem Falle durch das einzige nicht migszuverstehende Wort 
„Wechsel" ausgedrückt (denn einer der beiden Winkel hat mit 
seinemSupplemente auf der andern Seite der Schneidenden die Stelle ge- 
wechselt). Durch die Zusammenselznngmit „Innen" und „Aussen" 
wird übrigens einer Verwechslung mit den „innem" und „äussern" 
Winkeln einer Figur vorgebeugt, welche man ja überdies durch den 
Zusatz „hohl" (concav) und „erhaben" (conves) verhüten könnte. 
Mit dem Begriffe Aussenwinkel (am Dreieck) aber kann diese Be- 
nennung nicht in Collision kommen; denn dieser Aussenwinkel ist 
ja ganz dasselbe, aber — bei geneigten (nn parallelen) Geraden. 



*) Aach in roehreren aus zugesandten, daa 1 
behandelnden, Beitragen ßir diese Zeitachr. 



Capitel der Geometrie 



iM,Googlc 



440 



Kleinere Mittheilangen. 



Wir empfehlen also auf's Neue die Annahme der 
modificirten 9nel1-SchlÖmilch'scben Bezeichnung, nichi 
allein weil sie logisch und naturgemKaa ist, sondern auch, weil sie, wie 
wir aus Erfahrung wiaeen, von den Schülern leicht behalten wird. 



Noch einmal die Oentripetalkraft (bearbeitet für pbysikaliBclie 
Lehrbflober)*). 

Von JuuuB BoDE, Oberlehrer in Mflblheim am Rhein. 

Seit meiner in dieser Zeitschrift m, 327 nach der Newton'gchen 
Uethode des GrenzenQberganges gegebenen ausführlichen Ableitung 
jener Kraft sind wiederholt Lehrbücher der Physik für Schnliwecke 
erschienen, welche die Ursache der krummlinigen Bewegung noch 
immer in der Siteren, durchaus unzulänglichen Weise erörtern. Bei 
der Wichtigkeit der Sache habe ich mich daher bemUht, unbeschadet 
der Strenge und üeberzeugungakraft, in wttnsehenswerther und wo- 
möglich flblicher Kürze mittelst der Leibnit^'schen Methode des Un- 
endlichkleinen zum Ziele zu gelangen. Hier das Ergebnisse 

1. Ist die Bahn eines Beweglichen eine Curre, so wirkt die 
Ursache der stetigen BewegungsSndemng nach jedem unendlich kleinen 
Zeittheilchen r und kann dieselbe in jedem Moment ihrer Wirksam- 
keit in zwei Componenten zerlegt gedacht werden, von welcher die 
eine nur beschleunigend, die andere nur ablenkend wirkt. 

2. Sind daher Ä, B nnd C drei auf einander folgende Punkte 
der Bahn, in welchen die Ursache der Bewegungs Änderung zur Wirk- 
samkeit kommt, so sind die Bahnstrecken AB nnd BC geradlinig. 

„ Ist femer die Summe der Antunfts- 

geschwindigkeit des Beweglichen in 
~ Q B und der hier, selbstrerstfindlich 
in der Richtung AB, eintretenden 
Beschleunigung gleich v, so ist BG 
= VI = der Verlängerung BD 
von ABy welche das Bewegliche in 
derselben Zeit i ohne Einwirkung 
der nur ablenkenden Kraft zurück- 
gelegt haben würde. 

3. Hieraus folgt, dass in dem 
Parallelogramm BDCE die Seite 
BE die Richtung der ablenkenden 
Kraft anzeigt und gleich xx ist, 
wenn x die von der ablenkenden Kraft in B momentan ei'zeugte 
Seitengeschwindigkeit darstellt. TrSgt man nunmehr auf BA, BC = 




*) Vergl. in, 887—836. 



D. Bed. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Mittbeilungen. 4.41 

£F ab und conatruirt man den durch F, B nnd C gehenden Kreia, 
welcher der „Krümnumgstreis" der Curve im Punkte B heiast, weil 
seine Krümmung, also auch sein Radius von der öröaae der Ab- 
lenkung a abhängt und daher umgekehrt dieaer Badius r ein Maass 
der Krümmung der Bahn ist, so erkennt man leicht, daas: 

a) die Kichtung BE der ablenkenden Kraft u durch den Krttm- 
mungsmittelpunkt geht, wovon diese Kraft den Kamen „Centripetalktaft" 
fuhrt, j3) mithin senkrecht steht zur Tangente BG a,a den KrQm- 
mungskreis im Bertlhrungapunkt B, welche Linie zugleich die Tangente 
an die Curve in B ist und den Ablenkungswinkel a halbirt; - 

b) die Verbindungslinie CF den Weg BE m H rechtwinklig 

halbirt und mithin, wenn man den Durchmeaser BEJ zieht und J 

mit C verbindet, der Weg 

SC* »'r 
BE=2BH=2.^'=-^.t 

sich ergibt; 

c) daher die von der Centripetalkraft in B durch einmalige 
Wirkung erzeugte Seitengeachwindigkeit a; = — . i ist, dieselbe also 
nach — Wirkungen d. i, bei continuirlicher Wirkung in der Zeiteinheit 
— betragen würde, wovon letztere Geschwindigkeit den Namen 
„Centripetalbeschleunignng" führt; 

d) die Centripetalkraft demnach a) im Haass der Momentan- 
kräfte gleich m — .t, jS) im Maasa der constanten Kräfte (z.B. der 
Schwere) gleich m — ist, wo »» die Masse des Beweglichen bezeichnet 

Drei Sehluasbemerkungen. — 1. Im mündlichen Unterricht 
lasse man die SchtÜer zu dem Einwurf gelangen, daas, wenn das 
BewegUche unter übrigens gleichen Umständen dieselbe Bahn iu 
umgekehrter Bichtung durchlaufe, der Krümmnngakreia alsdann ja durch 
die Funkte B und A gehen müsse, für die Krümmung der Bahn in 
B alao ein anderer Werth als zuvor sich ergebe, und lasse sie finden, 
daas der bezügliche Unterschied unendlich klein ist, weil der von 
der Geschwindigkeitsfinderuug in B herstammende Unterschied AF 
selbst wieder unendlich klein ist in Bezug auf die unendlich kleine 
Strecke BC. — 2. Die Mängel der üblichen Entwickelungen der 
Centripetalkraft sowohl als des Satzes von der Flächengleichheit 
bei Centralbewegung beruhen In der Nichtbeachtung des oben ad 1. 
Vorausgeschickten, dass nSmIich bei continuirlicher Wirkung einer 
Kraft die Wirkungen doch in Zeitawiachenräumen erfolgend angesehen 
werden müssen, welche gleich dem Differential der Zeit sind. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinere Hittheilungen. 



Randbemerktuigeii za AuMtzen dieser 

Zui' arithmetischen Lection über die ßmcbiechnung 
Ojnmasiams vom Heraasgeber d. Bl. IV, 

Von J. Belotic in Easek. 

Gegen die vom Herrn H. in IV. 3. pag. '. 
Entwickelung der Di Vision er egeln, (wo Z eine % 
brocbene Zahl sein kann) 



1) Z: 



lässt aich vom wisaenschaftlicben Standpunkte mi 
Die erste Begel entwickelt Herr II. an einem 
auf folgende Weise. 

-^ Y- 3 -21 -31 = 15: 14 = 1 

Hen- H. schliesst auf die Gleichheit der Qi 
15 : 14 unter Anwendung des Satzea a:b ^ an 
konnte aber Schülern, denen erst Di-risionaiegt 
entwickelt werden müssen, nur für solche Quotienb 
und Divisoren ganze Zahlen sind, bewiesen wo 
dieser Satz auf den Quotienten — : —^ dessen D 
Bruchzahlen sind, angewendet worden ist, so 
Entwickelqng der ersten Divisionsregel der Bewei 
derselben ei'schlichen. 

Wollte man die erste Divisionsregel nur f 
Theileus gelten lassen, dann könnte man sie xa 
a : h = am : bm etwa folgend ermassen ableib 



sK-fiK 


= 15 Einundzwanzigstelpfund : 14 


ptiind — 16 : 


14. 




DeB Ver&ssers Entge^nng. 


Herr B. 


nennt die Anwendung des Lehrst 


welche ich in 


dem Beispiele 




M-S^S = '^>"(8; 


«) Vgl. Hft. 4. S. 282 u. Hft. 5. (5. 365. 



,tPrJt,G00glc 



Kleinere Mittheilungen. 443 

auch auf BrUcIie anwende, beim unterrichte Ton Schfilem, „denen 
erst Divisionsregeln beigebracht werden sollen," eine Erachleichnng. 
Hierauf habe ich unter ansdrflcUichem Einweis darauf, dass ich für den 
Elementar- also für den propädeutiacheu Unterricht geschrieben 
habe, Folgendes zu erwidern: 

1} Wo in aller Welt ist denn in meiner Entwicklung (IV, 223) 
gesagt, dasa dieser Satz nicht schon vorher als „auch auf Brfiche 
anwendbar" und also „allgemein gOltlg" den Schalem begreiflich 
gemacht worden sei und Überhaupt gemacht werden müsse? Es 
wird doch wohl kein vemOnftiger Lehrer die Diviaicn mit obigem 
Beispiele beginnen! Vielmehr sollte in diesem Beispiele nur die 
allgemeine Kegel als an dem allgemeinsten Falle — gewissermassen 
als Scblnsstein des ganzen Gapitels, — abgeleitet werden. Der ge- 
schickte Lehrer wird zuerst an der Division mit Stammbrtlchen 
zeigen, dass obiger Satz (#), welcher dem Schüler ja als ein „alter 
Bekannter" schon von der gemeinrai Division mit ganzen Zahlen und 
aus derBechnungBoperatdon des „Brweiterns der Brüche" erscheinen 
muss — auch fllr Division mit Brflchen gilt und wird etwa ver- 
fahren wie folgt: Es ist ^ ; ^ —" 2 : 1 ■— 2 

Denn -r in ^ ist enthalten 2 mal 



gerade so wie ein Liter in 13 Litern ISmal enthalten ist, so dass 
also der Käme (z. B. 15tel) betrachtet werden kann, wie eine Sach- 
benennung (Liter, Grroscben etc.)*). Dem Schüler wird dabei bald 
klar werden, dass, sobald es sich nur um Auffindung des Quotienten 
bandelt, man die (gleiche) Benennung bei der Division ganz weglassen 
darf, da 1 Liter in 13 Litern genau so oft enthalten ist, als die 
Einheit in der (reinen) Zahl 13, dass also tt ■ Tg auch geschrieben 
werden kann 

13 Fönfeehntel : 1 Fünfeehntel oder 13:1 ( = y ) = 13 

Nun findet der Schüler aber leicht (und zwar in jedem Falle) 
dass man dasselbe Resultat erhSlt, wenn man Divisor and Dividend 
(N. n. Z.**) mit dem gleichen Nenner multiphcirt und so beide in 
ganze Zahlen verwandelt (nach dem Satze: ein Bruch mit seinem N. 
multiplicirt, gibt den Z.) 



*) Ofiuz ähnlich verfährt Herr B. selbst, indem er als Benennung 
inunt „Einnndzwaniigatelpfimd". 
**) Äbkürznngen t& „Zähler" und „Nenner". 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Kleinero Mittheiliingen. 

das erste Verfehren dem Schttler leicht evident er- 
kann das zweite, da es aufdasselbericbtige Resultat fUhrti 
h sein. Eine genauere Betrachtung zeigt aber, dass beide 

Wesen der Sache anf dasselbe hinauslaufen. Denn 
hge 13 FUnfzehntel statt ~ mache ich die 13, die vorher 
'ar, zu einer ganzen Zahl; dasselbe geschiebt aber mit 

li hier nur die Division des Enthaltenseins heröck- 
; seinen Grund darin, dass die Division des Theilens 
rucbdivisor dem Schüler auf dieser Stufe noch uuver- 
ein und bleiben muss — falls sie Überhaupt einen Sinn 
ir wird wohl begreifen, was es heisst, eine Grösse (und 
!h nur ein Bruchtbeil einer solchen) iu zwei Theile 
jilen, er wird vielleicht auch noch lassen, dass eine 
inen Theil theilen" identisch sei mit ,^r nicht thellen" 
lassen), aber er wird nicht begreifen, was es heissen 
össe „in ^Theile theilen," da sie ja schon bei „einem 
r nicht getheilt" werden darf! — 
ihste Schritt ist nun, dass mau Übergeht zu Beispielen 

- od. T- : — und endlich zu solchen mit ungleich- 
rüchen, wie das oben in (§). 

r selbst wenn man diesen Gang vom Einfachen zum 

setzten nicht einschlüge, sondern gleich mit dem Beispiele 

men wollte, so lässt sich dieses Verfahren doch auch 

denn wenn der Schüler die Brüche als „erweiterte 

auffasst nnd sich durch die Probe 

||xJ|-f{-ßiviJ™d) 

itigkeit des Quotienten überzeugt, so wird er er nicht 
In an der Gültigkeit des fraglichen Satzes für Brüche. 
He vielleicht nicht uninteressant für die Leeer d. Z. sein, 
i den IV, 226 — 227 mitgetheilten Methoden mehrerer 
r- Autoren noch einige hinzufügen. Wir hatten dort 
ck, Schwarz und Hesse erwähnt. Es ist zuvor noch 
dass auch Schwarz in dem dort angeführten Werkehen 
für den Reehenunterrieht Halle 1870. S. 29), wo er die 

dies bei wenig Befähigten nicht sein sollte, so muss man 
Dschaunng zu Bfilfe kommen, indem man ein Ganzes in 
neidet oder sich dazn eines Modells (etwa eines Baukastens) 



t,Googlc 



Eleinere Mittiieilungen. 44& 

AnBcbauungsregel durch die Probe beweist, die zwei andern Beweise 
(die auch Pick hat) „nicht ganz einwendungsfrei" nennt, ohne 
hinzuzufügen, was dagegen einzuwenden sei. £r nimmt das Beispiel 
(S. 30) I : I = -^ ; ^ = et«, w. o. — Helmes (Arithm. %. 179. 
S. 137) wendet (wie Kober) den Satz an: Dividire Zähler durch Z. 
und N. durch N. und schreibt denigeni£as — ; — = — ^ = ■^■ 

Baltzer (Elem. d. M. 3. Aufl. I. S. 30) entwickelt die Eegel 
an dem Beispiele 3 : -r indem er sagt: „Nun ist 3 = — g— und 
g- in — 7 — ist sovielmal enthalten, als 4 in 3 X 6 nämlich — j — mal. 
Es entsteht aber — j — <3adurch aus 3, daas man mit dem Bruche — 
multiplieirt, welcher durch ümkehrung des Bruchs -r gebildet ist." 

T. Müller (Lehrb.d.algem. Arithm. HaUel836. 8.26.Nr.29p) 
schreibt; t- — = — ■ — =" t» hat aber keinen Beweis hinzueeiÜPt, 
sondern deutet ihn nur an für den Satz k~ =• "r" 

Wittstein (Lehrb. d. Elementar -Math. I, §. 102) beweist die 
Umkehrongsregel durch die Probe und schweigt über die andern 
Lösungen. 

Beidt {Elem. d. Math. 2. Aufl. L S. 17) schreibt: 



Beweis durch Multiplicaticn der drei Seiten mit b. 
(Fortaetznug folgt) 

Zur Beachtung. 
Das hierher gahSrige Repertorium für Aufgaben aiebe 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Berichte. 

I. KoBKS, Dr. JcuDS, Leitfaden der ebenen Qeometrie mit 

TOOUebuRgssStzen und -aufgaben. Lpzg, beiB.O.Teubner 
1874. 

II. Müller, Dr. Hubekt, Leitfaden der ebenen Geometrie, 
mit Benutzung neuerer AnBchauungBweisen fUr die 
Schule bearbeitet 1. Thell, die geradlinigen Figuren 
und der Kreis. Leipzig bei B. 6. Teubner 1874. 

Die rühmlichst bekannte Verlagshandlung sorgt unablässig, in 
ausgiebiger Weise und in eleganter Ausstattung für die Bedürfnisse 
der Schule. So hat sie jetat zu gleicher Zeit zwei Schnlbttcber aus- 
gesandt, beide einander bo ähnlich und vdederum so unSbnlich, dass 
wir sie am besten zusammen besprechen. Beide Ver&sser haben sich 
einer rühmlichen Kürze hinsichtlich der Auswahl des Stoffes und hin- 
sichtlich des Ausdrucks befleissigt, die Beweise meistens nur auge- 
deutet und die Zeichnung der Figuren zum grössten Theile den 
Schülern überlassen; beide haben, an geeigneten Stellen in der £nt- 
wickelnng des Sjstemes Halt machend, Aufgaben ohne weitere An- 
leitung zur LOsung eingefügt. Dieselben sind relativ nicht schwer, 
weil sie zu hSualichen Uebungcn der Schüler bestimmt sind. Eober 
sagt ganz richtig: „Uebungen müssen leicht sein: an leichten Auf- 
gaben erstarkt Vertrauen und Kraft. Schwere Au^ben werden 
stets nur wenige Schüler ISsen, die übrigen schädigen durch miss- 
lungene Versuche ihr Selbstvertrauen oder schreiben ab. Uebungen 
müssen möglichst li-Üh beginnen: je weniger Stoff vorausgesetzt 
werden kann, desto weniger kann der Schüler auf Irrwege geratheu; 
je fiHher die Kraft geübt wird, desto gründlicher wird sie gebildet." 

Während sich nun aber Kober auf das alte euklidische System 
beBchi'änkt und nur im letzten Abschnitt das Wesentlichste tlber 
harmonische Theiluugen, da^ Kr eispolar System und die Chordale auf- 
genommen hat, ohngetUhr in dem ümiange, wie Ziegler, nur in an- 
derer Anordnung, ist Hubert Müller bemüht gewesen, von Anfang an 
Anscbauimgsweisen, welche der Geometrie der Lage entnommen sind, 
in den Lehrstoff einzuüechten und hat dualistisch zugeordnete Sätze 
oder solche, die in irgend einem andern Gegensatz stehen, vielfach 
neben einander gestellt. 

Wir gehen nun auf das £inzelne ein, und beginnen mit 

No. I. Der Verfesser geht über die geometrischen Vorbegriffe 



n,g,t,7.dt,G00glc 



Literarische Berichte. 447 

schnell hinweg, ninmit den Begriff der geraden Linie und der 
Richtnng alB an Bich klar an tmd erwähnt kurz des Kreises mit 
dem Wichtigsten aus der Terminologie desselben. Der erste Ab- 
Bcbnitt bandelt von den Linien (worunter der Verf. immer die gerade 
versteht), von den Winkeki und den Parallelen. Die Parallelen werden 
als solche bezeichnet, welche die Bichtiuig gemein haben, der Winkel 
als Bichtungsunterschied, der duich Drehung gemessen wird. 
Hier wBre es am Platze gewesen, sogleich die Grundbegriffe vom 
Kreise einzufügen, weil die GrOsse der Drehung durch Kreisbogen 
am anschaulichaten wird. Sonach wird der rechte Winkel als eine 
Tiertelsdrehung (90°), der gestreckte Winkel als eine halbe Drehung 
betrachtet. Von einer weiteren Drehung wird abgesehen, statt der- 
selben die Bemerkung hinzugefügt: „ von unt«rgeordneter Bedeutung 
ist der unterschied der hohlen und erhabenen Winkel" Wir können 
diese Bemerkung nicht unterschreiben; bei der Vergleicbung der 
Peripherie- und Centriwinkel z. B. hat der conyexe Winkel keine 
untergeordnete Bedeutung. Ebenso können Vierecke mit einem con- 
vexen Winkel nicht umgangen werden. Auch möchten wir hier be- 
merken, dass es doch wohl richtiger ist, die Bezeichnung Neben- 
winkel einzig tmd allein iür die besondere Lage zweier Winkel 
neben einander zu behalten und den Ausdruck Supplement- 
winkel fOr den allgemeinen Fall, wo a -{- ß = ISO'' ist, zu ge- 
brauchen. Hiemach dürfte -sich eine kleine Aenderung in dem §. 6. 
empfelilen. Den Namen Gegenwinkel, bei dem Durchgang zweier 
Linien durch eine dritte, hat der Verf. nnr gebmucht, weil er keinen 
besser bezeichnenden gekannt hat: wir empfehlen ihm den Ausdruck: 
innere und äussere AnwinkeL*) Im zweiten Abschnitt, welcher 
von den geradlinigen Figuren handelt, werden nach einander be- 
trachtet I. die Congruenz, U. der Flächeninhalt, HI. die Aehnlichkeit, 
jede Abtheilung mit den nöthigen Unterabtbeilungen, z. B. I. 1) die 
Winkel des a) Dreiecks, b) Polygons; 2) die Seiten, 3) die Seiten 
und Winkel in Wechselbeziehung und zwar a) das Dreieck, aa) die 
CougmenzaStze, bb) das gleichschenklige Dreieck, cc) Wechselbe- 
rieiung bei ungleichen Elementen, dd) Transversalen im Dreieck; 
dann folgen b) das Parallelogramm, aa) das allgemeine Parallelogramm, 
bb) besondere Fälle; c) das Trapez mit dem Antipai'allelogramm u. s. w. 
Wir fuhren dies nnr an, um zu zeigen, wie der Verf. bemüht ge- 
wesen ist, gehörig zu gruppiren. Die Cougruenzsätze, welche in der 
Form; „ein Dreieck ist bestimmt durch u. s. w." aufgeführt sind, 
scheinen uns allzukur/ behandelt zu sein, auch empfehlen wir eine 
Aenderung des §. 22. derart, dase die Fälle a, h, y und a, b, u 
sbenger auseinander gehalten und lieber in zwei §§. behandelt werden. 
Für die sehr jungen Verstaudeskräfte, mit denen die Congruenzsätze 

*) Siehe jedoch V, 0&— GG u. 436. D. Red. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



448 LitenriBche Berichte. 

zu behandeln Bind, ist uad bleibt dieser Abschnitt immerhin ein recht 
schwieriger, das Lehrbuch oder der Leit&den mnsg dater ihnen etwaa 
mehr, als es hier geschehen ist, zu Hülfe kommen, resp. dem Lehrer 
die Sache erleichtem. 

Mitdem Beweise des Satzes: „Die Transveraale, welche die Mitten 
zweier Dreiecksaeiten verbindet, ist halb ao gross, wie die dritte 
Seite und mit der letzteren parallel," wird sich nicht jeder Lehrer 
be&eonden. Ea wird nUmlich bewiesen, dass die Linien, die man 
von der Mitte einer Seite mit der anderen Seite parallel zieht, die 
Mitten der anderen Seiten ü:e£reu nnd dann liinzugefllgt, dass also 
diese Parallelen mit den Verbindungslinien dieser Mitten znaajnmen- 
fallen. Uns will ea scheinen, als ob auf dieae Weise bei den Schülern der 
Meinung, dass jedeUmkehrung eines Satzea selbatverstandlich wahr sein 
mttsse, und keines Beweises bedürfe, Vorschub geleistet werde. Dass 
nnser Verfiasaer selbt nicht dieser Ansicht ist, beweist er dadurch, dass 
er an andern Orten ausdrücklich zum Beweise der ümkehrung auffordert. 

Dem Antjparallelogramm ist gebührend BUckaicht geschenkt 
worden, was wir lobend erwähnen. Erst in §. 47. werden die 
Pundamental-Conatmctionen der Qeometrie angegeben, wfihrend alle 
Constructionen in den irUheren §§. „in Gedanken" ausgeführt be- 
trachtet werden. Ob dies pädagogisch richtig sei, bezweifeln wir. 
Oei-ade die Aii, wie der Verf. die Congruenzsätze vorführt, erfordert, 
dasB der Schiller die Consti-uction wirklich aoafUhre. Indess hat es 
der Verf. dem Lehrer überlassen, diese Constructionsaufgaben in die 
vorhergehenden Capitel zu vertheilen. Die Bestimmung des Flächen- 
inhalts beginnt mit der directen Aasmessnng des Rechtecks. Hieran 
schliesaen sich die Verwandlungs- und Theilongeau^ben mit zahl- 
reichen Uebungen und der pythagoi^Bche Lehrsatz mit den Verall- 
gemeinerungen. Die Aehnlichkeit wird auf zwei Seiten abgethan. 
Der Aehnlichkeit der Vielecke ist nur ein einziger §. gewidmet, in 
welchem zngleich der Aehnlichkeitspnnkt erklärt wird. Es wird an- 
genommen, dass zwei ähnliche Vielecke ao liegen, dass die homologen 
Seiten parallel sind und die Behauptung aufgestellt, daas die Ver- 
bindungslinien der homologen Ecken im Aehnlicbkeitspunkte zu- 
sammentreffen. Der Beweis ist nur schwach angedeutet. Uns acheint 
es natürlicher imd einfacher zu sein, vom Aehnlicbkeitspunkte aus- 
zugehen und zu zeigen, wie man zwischen einem Strahl enbttschel 
(Aehnlichkeits strahlen) zwei ähnliche Vielecke erbalten könne. Im 
Allgemeinen wird vom Verf. vorausgesetzt, dass die Schüler auf dieser 
Stufe des geometrischen Unterrichts mit den Proportionen hinreichend 
bekannt und vertraut sind, was allerdings durch den gleichzeitigen 
arithmetischen Unterricht zu ermöglichen ist, wenn man von der In- 
commensurabilität abstrahiren will, die unaers Erachtens freilich erst 
durch die geometrischen Anschauungen bei den Schülern zum Ver- 
BtUndniss gebracht werden kann, die aber von dem Verf. in §. 4!), 



,iP<.-jM,Googlc 



Literarische Berichte. 449 

mit der kurzen Bemerkung abgemacht wird: „Sind die Seiten zur 
Haaaseiuheit incommeiisiirabel, so zeigt man, dass man dem Zahlen- 
werthe der Rechtecksfläche so nahe kommen kann, als man wilL" 
Und in der Vorrede sagt der Verfasser hierüber: „die erschöpfende 
Behandlung der IncommensurabilitÄt dürfte nicht vor der Cyclömetrie 
am Platze sein," Dort Bucht maji sie aber Tergeblich! 

Der dritte Abschnitt handelt vom Kreise mit den ünterabth eilungen: 
l) Kreis um eine Gerade, 2) Kreis um mehrere Gerade, 3) Mehrere 
Kreise, 4) Kreiamessung. Wir missbilligen den Namen BerUhrungswinkel 
als demjenigen, den eine Tangente mit einer durch den Berührungspunkt 
gehenden Sehne bildet, und dies um so mehr, als der Verf. sagt, er sei 
halb so gross, wie der zu seiner Sehne gehörige Bogen, indem ja zwei 
Bögen zu der Sehne gehören. Dieser Winkel ist durchaus nichts anderes, 
als ein Feripheriewinkel, der einen Bogen zwischen sich hat, wie jeder 
andere Peripheriewinkel und ist halb so gross wie der zwischen ihm 
liegende Bogen, so dass jede Zweideutigkeit schwindet. Ebenso 
mUssen wii- uns gegen den Namen „BertthruBgstangente" erklären, 
worunter die durch den Berührungspunkt zweier Kreise gehende ge- 
meinschaftliche Tangente verstanden wird. Wir sehen die Nothwendig- 
keit eines besondem noch dazu ganz eigenthttmlich gebildeten Namens 
für diese Tangente nicht ein. Unter den zahlreichen Üebungen wird 
auch der Chordale oder der Linie der gleichen Potenz gedacht. 
Diese hStte wohl im Haupttext einen Platz verdient. 

Der vierte Abschnitt enthält als Anhänge: l) die algebraische 
Lösung geometrischer Aufgaben, 2) OeometriBche Oerter, Polare, 
Chord^e, hai-monische Punkte, 3) Masinta und Minima, 4) das 
Apollonische Tactionsproblem. 

Wenn wir uns auch über Einzelheiten missbilligend geäussert 
haben, so wollen wir damit nicht den Werth des ganzen Buchs 
herabsetzen, vielmehr sind wir überzeugt, dass dasselbe seinem Zweck, 
als ^eitfeden" beim Unterricht zu dienen, für Gymnasien entsprechen 
wiiSl, wozu es sich auch wegen seiner Kürze (es enthält nur 6 Bogen) 
bei einer recht reichhaltigen Sammlung von Üebungsaufgaben empfiehlt. 
Für höhere Bealschnlen würden wir es nicht empfehlen. 

Nr. ä haben wir mit besonderem Interesse gelesen und wir 
wünschen, um es gleich von vornherein zu sagen, diesem Buche 
eine möglichst grosse Verbreitung. Wenn wir daher einzelne Aus- 
stellungen zu machen uns veranlasst fühlen, so geschieht dies nur, um 
unsrerseits etwas zur Vervollkommnung dieses Leit&dens beizutragen. 
" ' '. einander gegenüber gestellt werden 



c) Gleiche Winket können 
auf einander gelegt werden, dass 
sie sich decken. Dann decken sich 
auch ihre Anfangsschenkel und ihre 



y) Gleiche Strecken können so 
auf einander gelegt werden, dass 
sie sich decken. Dann decken sich 
auch ihre Ajifangspunkte und ihre 
Endpunkte, 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



450 Literansohe Berichte. 

dann wieder 

ä) Wenn gleiche Winkel so auf S) Wen 
einander gelegt werden, dass ihre auf eiuandi 
Scheitel und Änfangsschenkel auf ihre Antan 
einander fallen, so decken sich fallen, bo 
auch ihre Endschenkel. Endpunkte, 

so erscheinen uns c) \md y) ganz überflQasig. 

In einer Anmerkung zu §. 3. wird anfmerkeam gemacht auf 
den Gegensatz der Lage zweier Winkel, je nachdem der eine oder 
der andere Schenkel als Anfangs aclienkel betrachtet wird. 

In den §§. 5. G. werden die Grund eigens chaften des Kreises 
und die gegenseitigen Beziehungen zwischen Bogen und Winkeln 
behandelt und damit schon hier die Grundlage zu Constructiouen 
gegeben. In §. 8. wUnschten wir den neben „correspondirende 
Winkel" in Parenthese stehenden Ausdruck „Gegenwinkel" ge- 
strichen; dieser Name ist fUr diese Winkel so unpassend als möglich. 
Die Parallelehtheorie ist in den §§ 9. u. 10. entwickelt. Als Haupt- 
satz ist gewählt: Wenn zwei Wechselwinkel gleich sind, so sind 
die dorchschnittenen Linien parallel. In dem Beweise dürfte es sich 
empfehlen etwas weitläufiger zu sein nnd statt der kahlen Bemerkung: 
„Dann sind die Figuren cahd und fbag vollkommen übereinstim- 
mend," waa dem AnfSnger nicht ohne Weiteres einleuchtend sein 
möchte, ähnlich wie der Verf. später bei der Congruenz ver&hren 
ist, zn sagen: denkt man sich nun die ganze Figur längs der durch- 
schneidenden Linie durchgeschnitten, den einen Theil weggeschoben, 
umgewendet und wieder an den andern herange schoben , so dass 
die zwischen den durchschnittenen Linien liegenden Strecken der 
durchschneidenden sich wiederum decken, so liegen letztere mit 
verwechselten Endpunkten aufeinander. Denkt man sich nnn den 
einen Theil der Figur um die gemeinschaftliche Linie, wie um eine 
Ase gedreht, so müssen noch § 3. d, sich beide Theile einmal 
decken, u. s. w. — Am Schluss dieser Theorie wird anf den nn- 
endlich weit entfernten Ptmkfc aufmerksam gemacht. In den §§. 11 
— 14. wird von den Winkeln geradliniger Figuren gesprochen, und 
zuerst die Entstehung eines Vielecks erklärt. Es wäre wünschens- 
werth, das Epitheton „einfach" zu Vieleck hinzuzufügen, auch hier 
schon auf die verschiedenen Formen der einfechen Vielecke hinzu- 
weisen, dann würde der Anfang des Satzes: „Wenn der Umring 
eines Vielecks sich nicht seihst schneidet" das Befremdende für den 
AnfSnger verlieren, was er jetzt hat. Nun werden die Sätze übei 
die Winkel des Dreiecks, der Vielecke und insbesondere des Parallelo- 
gramms behandelt Von letzteren wird hei der Congruenz de! 
Dreiecke Gebrauch gemacht, deshalb ist wohl diese eine Eigenschafi 
des Parallelogramms abgesondert von den übrigen Eigenschafter 
hier schon eingeschoben. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Berichte. 



451 



Der §. 15. enthalt 24 TTebungsaufgaben, womit der erste Gursua 
endigt. Der zweite' Ciirsus umfasst die Congruenz und ihre An- 
wendung auf die Untersuchung ebener Figuren, in folgenden drei 
Abschnitten: l) Congruenz der Dreiecke und Anwendung derselben, 
2) Parallelogranmie, 3) der Kreia und die regelmäasigen Vielecke. 
Gleichwie Baltzer hat der Verf. den Sinn eongmenter (und später 
auch fihnlicher) Figuren in die Betrachtung hineingezogen. In welcher 
Weise der Verf. die Gegensätze hier neben einander stellt, möge 
folgendes Beispiel zeigen: 



c) Man denke sich zwei con- 
gruente Dreiecke in Deckung. 
Wenn man das eine derselben 
verschiebt ohne es nmzuwenden, 
so erhKlt man neue Lagen der 
beiden Dreiecke. Die Dreiecke 
heissen in allen diesen Lagen 
congraent nnd von gleichem 



y) Man denke sich zwei con- 
gruente Dreiecke in Deckung. 
Wenn man das eine derselben 
umwendet nnd sodann verschiebt, 
so erfaSlt man neue Lagen der 
beiden Dreiecke. Die Dreiecke 
beissen in allen diesen Lagen 
congruent nnd von entgegen- 
gesetztem Sinne. 

6) Wenn man congmente Drei- 
ecke entgegengesetzten Sinnes so 
(aneinander B.) legt, dasa zwei 
entsprechende Seiten mit entsprech- 
enden Endpunkten auf einander 
fallen, so bilden sie ein Deltoid 



entgegen- 
gesetzten Sinnes kann man nicht 
Deckung bringen, wenn man 
nicht das eine derselben umwendet. 



d) Wenn man congmente Drei- 
ecke gleichen Sinnes ao (auf ( 
einander B.) legt, daaa zwei f 
entsprechende Seiten mit entsprech- 
enden Fhidpunkten auf einander < 
fallen , so decken sich die Dreiecke ; 
(denn sie sind wieder in ihre i 
nrsprUngliche Lage znrOckgekom- 
men). 

e) Wenn man congmente Drei- 
ecke gleichen Sinnes so (an ein- | 
ander E.) legt, dass entsprechende 
Seiten mit verwechselten End- 
punkten auf einander &llen, i 
bilden sie ein Parallelogramm. 

Uns würde es mehr zusagen, wenn e) neben d) und 6) neben 
e) gestellt wäre; auch scheinen uns die hier in Parenthese mit B. 
bezeichneten Znsätze nothwendlg zu sein. Oleicherweise ist wohl 
in dem Beweise des dritten und vierten Congmenzfalles (§. 21.) das 
Einschiebsel „mit entsprechenden Endpunkten" hinter ac und a'c' 
nothwendig. Der §. 23-, in welchem der Begriff eines geometrischen 
Orts erklärt wird und einige geometrische Oerter, insbesondere auch 
der gemeinschaftliche Durchschnittspnnkt der drei Mittelaenkreohteu 
der Seiten und der Winkelhalbirenden hinzugefügt werden, könnte 
unbedenklich später mit §. 28. zusammengestellt werden: dann würde 
neben dem gemeinschaftlichen Durchschnitt der 3 Höhen auch der 
Schwerpunkt des Dreiecks eingefügt werden kCnnen, so dass man 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



1 



452 LiterariBche Berichte. 

die 4 wichtigsten merkwürdigen Punkte des Dreiecks beisammen 
hatte. In §. 25. mliaste der Deutlichkeit wegen sowohl bei a) als 
bei a) hinter „von gleichem Siane" eingefügt werden „mit ver- 
wechselten Endpunkten." Unter den Anwendungen dea 2. Abschnitts 
würde das Antiparallelogramm, welches wir ungern vermissen, eine 
passende Stelle gefiinden haben. Die §. 30. anfgestellte Definition 
einer Tangente können wir als solche nicht gelten lassen, a) ist 
ein Lehrsatz, Und demzufolge muss statt „heisst" „ist" gesetzt 
werden. Der von einer Tangente und einer durch den Berührungspunkt 
gezogenen Sehne gebildete Winkel ist ein Peripheriewinkel ; daher 
durfte in §. 36, e nicht von c getrennt werden, vielmehr mussten die 
Fälle so gesondert werden: 1. beide Schenkel des Peripherie winkeis 
sind Sehnen mit den TJnterabtheilungen l) 2) 3); H. der eine Schenkel 
ist eine Taugente. Wäre an passender Stelle schon früher auf den 
Unterschied zwischen Vieleck und Vielseit aufinerksam gemacht 
worden, so würde der Verf. wohl statt „umbeschriebenes Vieleck" das 
richtigere „umbeschriebenes Vielseit" gesetzt haben. Es empfehlen 
sich die kurzen Ausdrücke; Sehnenvieleek und Tangen tenviels ei t. 

In einem Anhange zu dem zweiten Cursus sind entwickelt im 
1. Abschnitt: das Princip der Dualität an den einfachen und voll- 
ständigen Vielecken und Vielseiten; die Beziehungen zwischen Viel- 
ecken und Curven; im 2. Abschnitt; die Congraenz der Figuren, ' 
ausgehend, wie bei den Dreiecken, von den Lagen ähnlicher Figuren 
gegen einander , wobei der Verf. auf die einasig S3'mmetriachen 
und centriscb symmetrischen Figuren kommt und auf die zweiaxig 
symmetrischen Figuren hindeutet. Eine Beihe recht zweckmässiger 
üebungen macht den Beschloss des zweiten Cursus. 

Zweierlei Bemerkungen haben wir noch zu §. 43. dieses Cursus 
zu machen. Die erste betrifft die mit der von J. H. T. Müller 
gegebenen gleichlautende Definition einer krummen Linie (Curve). 
Eine Definition, die nur eine negative Eigenschaft angibt, hat immer etwas 
Bedenkliches. Man gestehe sich nur, daas sich eben so wenig eine 
befriedigende Definition der krummen Linie, wie der geraden geben 
lässt. Koch bedenklicher aber erscheint der Satz: „Eine Curve 
kann als ein Vieleck von unendlich vielen imd unendlich kleinen 
Seiten augesehen werden." So oft man auch diesen Satz unter der 
Kreislehre in verschiedenen Lehrbüchern liest, ist und bleibt er ein 
falscher Satz. Der Satz, wie er hier ausgesprochen ist, könnte, 
wenn er zulässig wäre, überhaupt nur für geschlossene Curven 
gelten (nicht für Parabel oder Hyperbel), andrerseits ist auch die 
geschlossene Curve nichts anderes, als die Grenze, welcher sieh 
der Perimeter eines Sehnenvielecks oder Tangentenvielseits immer 
mehr nähert, wenn die Seitenzahl fort und fort vergrössert wird. — 
Der Satz hat zumal an dieser Stelle nicht die geringst« Bedeutung, 
er bleibe also ganz wegl 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literansclte Berichte. 453 

Der dritte 'Cursas handelt von den Flächen geradliniger Figuren, 
nnd zwar l) von der Gleichheit, 2) von der Berechnung der Flächen. 
Hiebe! wird, allerdings nur in Anmerkungen, aber hinreichend aus- 
führlieh der Fall der Incoramensurabilitfit mit berücksichtigt. Im 
üebrigen ist uns nichts Besonderes aufgefallen. Den SchluBS dieses 
Corsus bildet die Darstellung algebraischer Ausdrücke, mit einer 
Beihe entsprechender Uebungen. 

Im vierten Cursus wird die Proportionalität der Linien behandelt 
und zwar im 1. Abschnitt der „Durchschnitt eines Winkels mit 
Parallelen," wobei nicht nur auf die LSnge, sondern auch anf die 
Richtung der Strecken Rücksicht genommen wird. Der Verf. be- 
urtheilt das Vorzeichen des Verhältnisses oder des Products zweier 
Strecken auf einer Geraden, die einen gemeinschaftlichen Endpunkt 
haben, nach der Sichtung, welche dieselben vom gemeinschaniichen 
Funkte aus haben, wie es sein muss. Wenn also a, b, c drei auf- 
einander folgende Punkte auf einer Geraden sind, so ist — oder -r 
positiv, dagegen r- negativ. Liegt b genau in der Mitte von ac, 
so ist r-^ — 1. Wir wissen ima nicht zu erMären und die Vor- 
rede gibt keinen Aufschluss darüber, warum der Verf. das leichtere 
Capitel über die Aehnlichkeit der Dreiecke und Vielecke nicht hier 
eingeigt und dem schwereren Über harmonische und involntorische 
Pnnktreihen und was sonst damit zusammenhängt, einen spätem 
Platz .angewiesen hat. Diese und die Transversalen des Dreiecks 
mit den Eigenschaften des vollständigen Vierseits bilden den 2. Ab- 
schnitt dieses Corsus. Der Satz des Menelaus wird in seiner richtigen ; 
imd verständlichsten Form -ft ■ -r- ■ -rr- ^ -{- 1 vorgeftlhrt. Der 
damit verwandte Satz des Ceva ist unter die Uebungen verwiesen. 
— Der dritte Abschnitt bandelt von der Ausmessung und Berechnung 



Im fünften Cursus wird l) die Aehnlichkeit der Dreiecke mit 
Anwendungen auf das rechtwinklige Dreieck und den Ereis be- 
trachtet, wobei auch die Potenz eines Punktes in Beziehung auf 
einen Ereis sowie die stetige Tbeilung einer Strecke zur Sprache 
kommt, 2) wird die Aehnlichkeit der Figuren im allgemeineren Sinne 
behandelt; es wii-d die Entstehung ähnlicher Figuren in einem 
Strahlenbüschel (perspectivische Lage) gezeigt, dann werden die 
Eigenschaften ähnhcher Figuren in perspectiviseher und in beliebiger 
Lage erörtert und endlich wird die Bestimmung ähnlicher Systeme 
durch Paare homologer Stücke auseinandergesetzt. Der dritte Ab- 
schnitt handelt von den Potenzlinien zweier und mehrerer Kreise 
und den Büscheln von Kreisen, der vierte Abschnitt von dem Kreis- 
polarsystem, der fünfte Abschnitt endlich von der Aehnlichkeit der 



,ti7rJt,G00glc 



454 Literarische Berichte. 

Kreise und den Kreis berührungen. Die blose 
des 5. CursuB wird genügen, lun auf den reict 
letzten Äbtheilung des Buchs hinzuweisen. D 

grossen Schatz der neueren Geometrie für den Kehulunterricht ist 
keine kleine Arbeit. Der Verf. scheint »ms überall das Rechte ge- 
troffen zu haben, um bei aufgeweckten und strebsamen Schülern 
das Interesse an der Geometrie zu wecken und zu heben, und indem 
wir das vorliegende Werk nochmals der Beachtang der Lehrer der 
Mathematik auf das Wärmste empfehlen, schliessen wir uns dem 
Urtheile des sei. Prof. Clebsch über das Manuscript desselben an, 
der eine Umbildung vieler Theile der in Uea Schulen gelehrten Geometrie 
an der Hand der neuem Geometrie fUr ein BedUr&iss der Zeit er- 
klärte, und den vorliegenden Leitfaden als eine willkommene Gabe für 
die Schule betrachtete, und wünschen, dasa es dem Verf. vergönnt 
sein möge, bald eine neue Auflage seines Buchs bearbeiten zu müssen. 
Lübeck, Chb. Schesling. 



ScHENDEL, Leof., Elemente der analytischen Geometrie der 
Ebene in trilinearen Coordinaten. Für Mathematiker 
und Studirende. Jena. 1874. IV. 184. 
In dieser eigen thümlicben, mit grossem Scharfsinn und aus- 
gezeichneter Combinationsgabe abgefessten Schrift legt der Herr 
Verf. nicht einfach die senkrechten Abstände eines Punktes von den 
Seitenlinien eines Dreiecks, sondern die von ihm niit den Eckpunkten 
desselben bestimmten Dreiecksflächen als Coordinaten zum Grunde, 
wodurch die analytische Geometrie eine sehr allgemeine Gestalt er- 
hält und das Prinoip der Dualität in ganzer Vollständigkeit und 
Allgemeinheit hervortritt. Um nun aber die Darstellung durch: 
sichtig und übersichtlich zu machen, war der Verf. genöthigt, viele 
Beaeichnungen zu andern und neue einzuführen und die in dieser 
Beziehung selbst aufgeworfene Frage, ob er darin glücklich gewesen? 
müssen wir bejaen. 

Um dem Leser, der das Buch selbst noch nicht kennt, eine 
Vorstellung von dieser neuen Methode zu verschaffen, reproduciren 
wir aus dem ersten Capitel , welches den Punkt und die Gerade 
behandelt und das Princip der Dualität klarstellt, die ersten Num- 
mern in möglichster Kürze. 

Die drei Punkte «j, «j, «j bestimmen die drei Geraden ai,»^^»^ 
sowie gegenseitig die 3 Geraden (Fundamentalgerade) die dir'" 
Punkte (Fund amen talpunkte) und das Dreieck, dessen Plächeninha 
J ist (Fundamentaldreieck), bestimmen. Ein in der Ebene dieses Drei 
ecks angenommener Punkt bat von den Fundamentollitiien a^, %, a. 
gewisse Entfernungen OM = ^, ON = H2,0P= n^. Diese Ent 



,ti7rJt,G00glc 




LiterariBohe Berichte. 455 

femungen werden als positiv angenom- 
men, wenn sie, vom Punkte a.ua ge- 
rechnet, so liegen, wie sie gegen die 
betreffende Gerade liegen würden, wenn 
der Punkt innerhalb des Dreiecks läge, 
andernfalls negativ, wie OP, so dass 
also OP ^ — (<g gesetzt werden muss. 
Sind nun «,, s^, Sg die Längen der Sei- 
ten des Fundamentaldreieeks , so sind 
-^ -I ■ ' - ■■ - 1 ' ; absolut genommen, die Flächeninhalte der drei 
Dreiecke, weiche der Punkt mit den Ecken des Fundamental- 
dreiecks bUdet. Sind diese Inhalte bekannt, so ist die Lage des 
Punktes bestimmt; denn wenn — ö" ^^ "^^ ' ~^2 — '^ "^^^ „ " ^ 

— Jg ist, so hat man fi, = 1 fti= ——' f<3 ^ -' es kann 

also die Lage von angegeben werden. Diese Inhalte sind die 
Coordinaten des Punktes 0; der Verfasser bezeichnet sie kurz durch 
Kj, cj, «3, welche Zeichen also nun die Bedeutung von Grössen er- 
kilten, den Punkt 0, der diese Coordinaten hat, bezeichnet er 
symbolisch durch (a^, a^, Oj) und nennt dieses Zeichen die Form 
des Punktes. In unsrer Figur w&re z. B. a^^ — J^; und die 
Form eines Punktes auf der Geraden o,, z. B. des Punktes M, wäre 
nun (O, Ka', Og*); ebenso die Form eines Punktes auf Og ^ (<*,", 0, Kg") 
und die Form eines Punktes auf a^ = (a"\ a^'", O). Die Formen 
der Fundamentalptmkte sind: («,,0, O); (0, Kg, O); {0,0, a^). 

Zwischen den Coordinaten eines Punktes (a^, Cg, k^) bestellt 
hiemach die Relation 

., + ., + .,-/. 

Es ist daher nicht nöthig, unter «i, a^ und ctg die Flächen- 
inhalte der drei Dreiecke zu verstehen, sondern man kann sich unter 
denselben Grössen vorstellen, die mit einer Conatenten c multipÜcirt, 
absolut genommen, jene drei Flächeninhalte geben. Indem man 
dann setzt c («^ + Kj -j- dtj) = J, wird diese Constante c bestimmt, 
welche also auch ^ 1 sein kann. Die Entfernungen des gesuchten 
Punktes von den Fundamentallinien oder die eigentlichen Coordinaten 
desselben sind dann 

ft - .,+.,"+■..'''".,+ »■"+«.' '^~ -. + 'C+< 

Um imsererseits dieses Fundament der neuen Methode an einem 
einfachen Beispiele zu erläutern, sei das Fundamentaldreieck ein 
rechtwinkliges mit den Seiten 3, 4 und 5; und man nehme an, es 
sei «j = — 2, «2 = 3, ffg = i, also «i + «3 -j- «3 = 5 und J=6; 
so l^t man 5. c =■ 6, also c ^ 1,2. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Bericht«. 



7, — ^ — c,«,— 3,6 „ ft— 1,8 

/,-5i_c.„,_ 4,8 „ ^= 1,92. 

fii und (^ bestimmen schon den gesuchten Punkt und (i^ dient 
nur zur Gontrole. 

Auf diesem Fundament weiter bauend entwickelt min der Verf. 
die Gleichung der Geraden: 

Die Grössen a„ %, Og nennt er die Coordinaten der Geraden und 
das Zeichen | a,, 0;, flg | die Form der Geraden. Demgemäsa be- 
steht also flir jeden Punkt («„ «j, ttg) der Geraden | a^, a^, a^ \ die 
homogene Gleichung des ersten Grades 

«1 «1 + fla "^ + «3 «3 = <>■ 
und für jede Gerade H «1,03,05], die dui-ch den Punkt («i, «3, «3) 
geht, besteht dieselbe Gleichung. Sie heiast aber Gleichung der 
Geraden \a„ai,as\, wenn die Coordinaten der Geraden constant 
und die des Punktes variabel sind, und Gleichung des Punktes 
(a^, Kj, ttj), wenn die Coordinaten des Punktes constant und die 
der Geraden variabel sind. 

Dieser Dualismus wird nun weiter nachgewiesen in den Aus- 
drücken für die Verbindungslinie zweier Punkte iind den Dureh- 
schnittspunkt zweier Geraden, Sodann werden die Winkel, die von 
zwei Geraden gebildet werden, und die Entfernung zweier Punkte 
von einander bestimmt. Aus dem Ausdruck für die Tangente dieses 
Winkels wird der Parallelisraus zweier Geraden hergeleitet, d. h. 
wenn der Durchschnitt derselben auf der unendlich fernen Ge- 
raden liegt, deren Symbol | 1, 1, 1 | ist, und auf welchen die un- 
endlich fernen Funkte liegen, welche die Eigenschaft haben, 
dass ihre Coordinatensunune = ist. Die weitere Betrachtung der 
Entfernung zweier Punkte führt den Verf. darauf, einen innern 
und Süssem Mittelpunkt zu nnteracheiden; letzterer ist der un- 
endlich ferne Punkt. Die inneren Mittelpunkte der Fundamen tal- 
linien sind durch die Formen (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0) dargestellt, 
aus welchen geschlossen wird, dass die Terbindungslinien dieser 
Mittelpunkte mit den gegenliberliegenden Fundamentalpunkten durch 
den Punkt (l, 1, l) gehen, welcher der Schwerpunkt des Fun- 
damentaldreiecks ist. Diesen Punkt (l, 1, l), der dieselben 
Coordinaten hat, wie die unendlich ferne Gerade 1 1, 1, 1 1 nennt der 
Verf. vorzugsweise den endlich fernen Punkt und alle durch ihn 
gehenden Geraden die endlich fernen Geraden, deren Coordinaten- 
Bumjne jebenfalls = ist 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literariscbe Berichte. 457 

Siea möge genüges, am dem Leser einen, wenn auch nur 
schwachen, Einblick in die Methode des Verfassera zu verschaffen 
und denselben vielleicht zu veranlassen, das Werk sich anzuschaffen 
und — nicht zu lesen: dazu ist es zu schwierig, — sondern zu stndiren. 

Ch. Sch. 

Eeuschle, Dr. C. G., Prof- »m Gymnasinm la staitgMt. Elemente der 
Trigonometrie mit ihrer Anwendung in der mathema- 
tischen Geographie. Als Lehrbuch für den Unterricht 
und zum Selbststudium. Mit 2 lithogr. Pigurentafeln. 
E. Schweizerbart'sehe VerlagshandL (E. Koch) 1873. XU imd 
147 S. 1 TUr. 

Die vorliegenden Elemente gliedern sich in drei Theile, deren 
jedem ein Anhang, theils strengere Begründungen, theils Eirweit«nirigen 
enthaltend sich anschlieaat. Der erste Theil timfasst die Goniometrie, 
Die goniome Irischen Functionen werden sogleich in grösater All- 
gemeinheit für alle Winkelgrössen u. z. nicht als Verhältnisee von 
Linien des rechtwinkligen Dreiecks sondern ala Relationen zwischen 
den rechtwinkligen und Polarcoordinaten erklärt, ganz in der Weise, 
wie dies Helmes in seinem trefilichen Werke thut; nur schickt 
Helmes aus didaktischen Gründen ein Capitel „die Goniometrie in 
einstweiliger Einschränkung auf spitze Winkel" voraus , wogegen 
Übrigens der Herr Verf. laut Toixede nichts einzuwenden hat. Im 
ersten Paragraphen wird erklärt, was man unter entgegengesetzten 
Strecken und Winkeln zu verstehen habe. Gegen den ersten Satz 
dieses Paragraphen, den ersten des Werkes also überhaupt, haben 
wir ein schwerwiegendes Bedenken, obzwar es sich nur um einen 
Ausdiruck handelt, der ftir das Folgende von keinem EinSuss ist. 
Es hejsst da nämlich: „An und ftlr sich sind alle Masszahlen geo- 
metrischer Grössen wesentlich positiv." An und für sich sind geo- 
metrische Masszahlen, wie Überhaupt alle Grössen weder positiv 
noch negativ. Positiv ist etwas nur im Hinblick auf ein Entgegen- 
gesetztes, ein Negatives. Dieses Nicht- aus-einanderhalten der Begriffe 
des Absoluten und Positiven kann nicht genug gerügt werden. 
Freilich sieht man aus dem Zusammenhange deutlich, dass der 
Verf. die beiden Begriffe wohl unterscheidet und nur im Ausdruck 
liegt die Uneorrectheit; aber uncorrecte Ansdrücke führen zur Un- 
klarheit der Begriffe, vras namentlich in der Lehre entgegengesetzter 
Grössen ao vielfach der Fall ist. Findet man doch in vielen Schul- 
büchern dutzendweise nichtssagende Beweise, weil das Positive ein- 
fach für das Absolute hineineskamotirt wird. — Nachdem der 
zweite Paragraph die Begriffe rechtwinkliger Coordinaten auseinander- 
setzt, beginnt mit dem dritten die eigentliche Goniometrie. Der 
Terfasser steht (s. Vorr.) auf Seite deijenigen, „welche die Trigono- 



,ti7rJt,G00glc 



458 LitemriBche Berichte. 

metrie ah einen recbnendeii Zweig der Oeoa 
sucht, Qacbdem die ei'sten Gnindlag'eii aus der A 
geschöpft sind, alles Uebrige durch Rechnung e 
herzuleiten. Dagegen iat nichts einiuwenden, a 
diesem Grundsatz zu huldigen, nicht zu mehr od« 
Beweisen verleiten lassen. Als ein solcher erseh 
cos (ip -\- ifi) des §. 5. Nachdem die Formel für si 
Weise abgeleitet worden, wird die Formel für 

eos^ (y -|- i/j) ^ 1 — sin^ {g> -\- iJj) durch Ei 

für sin {<p -\- ^) gefunden, woraus sich aber ei 

cos (g) -|- Tfi) ^ 4; cos 9 C03 ij; ^ sir 

Allerdings wird in einer Note an speciellen 
die untern Zeichen zu einem Widerspruch führe 
dass sich cos (ip -\- t(i) aus derselben Figur w 
leiten lasse; wir hätten jedoch die directe Ab!e 
in den Text und jene andere in die Note ge 
werden die vorzüglichsten übrigen goniometr. 
und insbesondere die Proportionaltheile und I 
lieber, als sonst üblich behandelt. Pen Fropori 
damit zusammenhängt sind noch 6 Seiten des 
der übrige Theil des Anhangs enthält die Lös 
Bestlmmungsgleichungen und die goniometrische 
tischen und cubischen Gleichungen. Es muss 
Werk, das einerseits die Wissenschaftlichki 
keit so weit treibt, dass es Lemmen aus d 
(Arithmetik) aufnimmt und beweist, dass es fi 
baren Beweis der Proportionaltheile für die trij 
rithmen durchführt, für die quadratischen und c 
nur Lösungen bei reellen Werthen gibt. 

Der zweite Theil umfasst die Trigonometr 
Ohne jene schöne Uebei'sichtlichkeit, welche die 



1 Will man durchaus nur Eine Formel für dit 
lind Differenz der Winkel aus der Figur ableiten, 
Weg der correcteste r 

Man beweiset aus der Figur, daaa 

— b statt b hat man dann, wie bekannt 

2. sin (o — 6) = sin a cos ö — cos a sin l 

Setzt man in 1. und 2. für a 90— a, so erhält man 

Bin (90 - a + 6) = ein (90 - [a ^ &}) = < 

sin (90 — o) cos 6 + cos (90 -- o) si 



a (90 - o - 6) = Hin (90 - (a + 6)) = 
ein (90 — o) cos b — cos (90 — a) si 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



literarische Berichte. 459 

meine (^ie seme Mathematik überhaupt) so vortheilhaft auszeichnet, 
zu zeigen, enthält doch dieser Theil des Guten so manches, was 
man in andern Lehrbüchern der Trigonometrie nicht findet. Ausser 
mannigfaltigen, meist gut gew&hlten Beispielen, wollen wir hervor- 
heben: eine weitgehende Anwendung auf die Kreisrechnung; Pro- 
jectionen mit Einbeziehung des windschiefen Polygons; Ausführliches 
über die Bestimmung eines unzugänglichen Punktes (Pothenot'sche 
Aufgabe) und einer uumessbaren Strecke (Hansen' sehe Aufgabe) 
n. a. d. — Am Schlüsse dieses Theiles wird (ohne eine sphärische 
Trigonometrie im weitem Sinne zu beabsichtigen) eine Beihe von 
S&tzen Über das sphärische Dreieck entwickelt, um eine weitergehende 
Anwendung der Trigonometrie auf mathematische Geographie zu 
ermöglichen, was wir nur billigen können. I>er Anhang zu diesem 
Theile umfesst Erweiterungen des Vorhergehenden. 

Der dritte Theil, durch den sich das vorliegende Werk von 
andern besonders zu unterscheiden sucht, führt den Titel: „Anwendung 
der Trigonometrie auf die Geographie oder Elemente der mathema- 
tischen Geographie." „Elemente der mathematischen Geographie" 
sagt nun entschieden zu viel. Anschauungen und Begriffe aus der 
mathematischen Geographie werden, wie natürlich , vorausgesetzt und 
nur die Anwendung der Ti'igonometrie auf die Probleme der mathe- 
matischen Geographie gezeigt. Wir wollen den Inhalt dieses Theiles 
ausführlicher angeben. Per erste Paragraph dieses Theiles (§. 22. 
des ganzen Werkes) zeigt wie bei Berechnung einer durchgeführten 
Triangulation zu verfahren sei und wie sich hieraus die Grössen 
eines Meridianbogen 9 und daraus alle auf die Grösse der Erde bezug- 
nehmenden Zahlen ableiten lassen. Sehr zu loben ist, dass hier 
eine wirklich stattgefundene Triangulation (der WUrtemberg' sehen 
Landesvermessung durch Bohnenberger entnommen) als Beispiel 
gewählt und gerechnet wird. Hierauf folgt Bestimmung der LSnge 
der Parallelkreise; des Flächeninhalts der Zonen, ihre Entfernung 
von Punkten der Erdoberfläche, deren Länge und Breite gegeben, mit 
passend gewählten Beispielen (Weite der Oceane etc.); der Zusammen- 
hang der Uhrzeit mit Höhe imd Azimut der Sonne (Morgen- und Abend- 
weite); Tagesdauer, Modification der Tagesdauer durch die (scheinbare) 
Grösse der Sonne und durch Strahlenbrechung und endlich Dämmerung. 

Aus dem Anhang zu diesem Theile wollen wir den Abschnitt 
Ober die Kartenprojeotionen hervorheben. 

Wie man aus der im Vorhergehenden gegebenen Inhaltsübersicht 
des dritten Theiles ersieht, findet man hier die in andern Trigono- 
metrien zerstreuten Beispiele aus der mathematischen Geographie 
in systematischer Zusammenstellung und namhafter Erweiterung 
beisammen. Möchten wir auch Manches gern aufgenommen sehen, 
was übergangen, Manches von einem andern Standpunkte aus be- 
handelt, Manches gekürzt sehen, so unterliegt dies doch zu sehr 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



460 Literarische Bericht«. 

subjectiven ÄnKchauungen, um daraus einen Tadel erheben zu wollen. 
Einige dieser Wünsche wollen wir jedoch andeuten. Bezüglich der 
Piurallelkreiae wäre es gewiss belehrend die Beispiele auch auf die 
Himmelsktigel zu abertragen und zn zeigen, wie sich unter Annahme 
des Ptolomäischen Systems die Geschwindigkeit der Sonne und des 
Mondes bei gleichbleibender Entfernung in Folge ihrer Declinations- 
anderung Kndem müßate. DasB die Aufgabe, aus Beobachtung derselben 
Culmination des Mondes an Orten verschiedener Breite die Entfernung 
desselben zu finden und ebenso die Entfernung der Sonne aus dem 
rechtwinkligen Dreiecke von Sonne -Moud- Erde zur Zeit des eraten 
und letzten Viertels nicht aufgenommen worden, ist ebenso zu ver- 
wundern wie, dass Gnomon- Aufgaben fehlen und der Sonnenuhren 
nicht gedacht wird. Länge der Tag- und Nachtbogen, Morgen- 
nnd Abendweiten hätten füglich allgemein anfgefasst d. h. auf alle 
Gestirne für alle Polhöhen ausgedehnt werden können, woraus sieh 
die Sätze für die Sonne als specielle Fälle ergeben ~ h&tten. Ja statt 
der grossen AusftlhrUchkeit, mit der das Problem der Dämmerung 
behandelt wird, dürfte die Aufgabe interessanter sein, welches die 
grösste und kleinste mögliche Declination des Mondes nach ver- 
schiedener Lage der Knoten sei; auch hätte ein Beispiel von Coor- 
dinaten-Yerwandlung (cölestische Länge und Breite in Bectascension 
und Declination u. d.) Au&ahme finden können. 

Aus den Andeutungen, die wir im Vorhergehenden Über das 
Werk gegeben, ist zu ersehen, dass dasselbe manches Eigenartige, 
manches in andern Lehrbüchern TJebergangene enthält, wodurch 
es sich den bessern Lehrbüchern der Trigonometrie anreiht; dass es 
aber anderseits an einer UngleichmSssigkeit in der Ausführung leidet 
und dass hin und wieder die UebersiehtliohkeJt mangelt, wodurch 
es namentlich dem schon oben angeführten Helmes'schen Werke 
nachsteht. Auch die Ausstattung und typographische Gliederung 
ISsst manches zu wünschen übrig. Die immer mehrere Seiten langen 
Paragraphen, welche doi-oh Nummern untergetheilt sind, die bei 
jedem Paragraphen von eins gezählt werden, erschweren bei Hin- 
weiaungen das Auffinden und vor allem ist es störend, daas dio 
Figuren nicht in den Text aufgenommen, sondern auf zwei Tafela 
zns ammenge stellt sind. Bringt man, auch abgesehen von der Un- 
bequemlichkeit, den Zeitverlust in Anschlag, der durch den lezt- 
erwBbnten Umstand dem Lernenden erwächst, so ist kaum erklärlich, 
was den Herrn Verfasser oder Verleger bewogen habe, bei einem 
auch zum Selbatudium bestimmten Buche, dessen einfache Figuren 
im Holzschnitt leicht ausführbar sind, diese vom Texte zu trennen. 
Trotz der Ausstellungen aber, die wir machen zu müssen glaubten, 
sei das Werk um des Guten willen, das es vielfach enthält, bestens 
empfohlen. Dr. Pick, 



n,g,t,7.dt,G00glc ( 



Literariache Berichte. 



Blbliograpliie. 

Jnll, Allgast, September. 

Unterrichts- and Erziehungswesen. 

Bericht über die erate sächBiBche Bealschuhnänner - Versammlung in 

Dreeden am 26. und 27. Mai 1874. Dresden. Htickner. 5 SRr.. 
Ganfiter, die Gesundheitspflege im AUgemeinen und hinsichtlich der 

Schale im Besonderen. Uebersichtiich dargestellt für Lehrer. Wien. 

Hehler. 1% Thlr. 
Hanachmann, das Strafrecht der Schule. Ein Wort der Terständigung 

zwischen Schule und Haus. 3. Aufl. Lpzg. Theile. B 8gr. 
Lauckhard, Eatediiamus des Unterrichts und der Erziehung. 2. Aufl. 

Lpzg. Weber. 12 Sgr, 
Niemejer, über Lessings Pädagogik. Dreaden. Höckner. 7% Sgr. 
Völker, Gedanken und Vorschläge für eine durchgreifende Volksbildung. 

SchafFhausen. Brodtmann. 6 8gr. 

Mathematik. 
A. Beine Hathematlfc. 

1) Arithmetik. 

Adam, 7 Hefte Aufgaben ffir das elementare Rechnen. 2. Aufl. Potsdam. 
Stein, ä 2» Sgr- 

— , daas. Anflösungen. ö Sgr. 

Bremiker, Tat'el viersteUigei Logarithmen. Berlin. Weidmano, 6 Sgr. 

Dieaterweg-Henser's praktisches Bechenbacli für Elementar- und 
höhere BürgerEchulen. 21. Aufl. Von Langenberg. Gütersloh. Bertels- 
mann, 18 ^r. 

Eserskj, au^efQhrte Multipljcation und Division bis za jeder beliebigen 
Grösse. 6. Ausg. Lpz. Brockhaus. 1^ Thlr. 

Feauz, Eechenbuch, 3. Aufl. Paderborn. SchÖningh. 3 Sgr. 

Foth, Leitfaden fQr den Unterricht im Bödmen. 3. Aufl. Hannover. Me^er. 
16 Sgr. 

Fricbhöffer, Vebungsbuch zum mnndl. und schriftlichen Rechnen. Neu 
bearb. von Wetcker. 2. Aufl, Wiesbaden. Limbartli. 4 Sgr. 

Haberl, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik und Algebra. Znm Ge- 
brauch für Oberrealacbulen und verwandte Lehranstalten. Wien. 
Braumüller. 2 Thln 

Harms, Rechenbuch für Volksschulen nnd die unteren Claasen höherer 
Schulen. 6. Aufl. Oldenburg. Stalling. 15 Sgr. 

Hattendorf, die Starm'aohen Functionen. 2. AuC Hannover. Rümpler. 
20 Sgr. 
I Hermes, Sammlung von Aufgaben aas der Algebra und niederen Analysis. i 
' Berlin. Springer. 20 Sgr. 

Eöstler, Leitfaden fSr den Antkngaunterricht in der Mathematik an 
höheren Lehruistalten. 1. Tbl. Anfangsunterricht in der Arithmetik. 
Halle. Hebert. TA Sgr. 

Kuckuck, die Rechenkunst im 16. Jahrb. Berlin. Weidmann. 8 Sn. 

Eurzbauer, Lehrbuch des kaufmännischen Becbnens. 7. Aufl. Wien. 
, Gerold. 2» Thlr. 

I Ott, die Grnndzüge des graphischen Becbnens und der graphischen Statik. 
3. Aufl. PrftK. Calve. 1 Thlr. 

Paufler, Leitfaden für das Zahlenrecbnen in Bealschulen. Lpz. Block- 
haus. IS Sgr. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Berichte. 



Rulaud, praktische Anleitung zum grüadlichen I 

Btahenrechnitn^;. Aasffibrliche Äiü'lösung der i 

lung von Beispielen euth. Aafff. 1, Tbl. die all 

3. Aufl. Bonn. Cohenn. !>/. Tbk. 
KysBet und Lölirens, Handbuch zu Krancke's a 

Schulen. Hannover. Hahn, i Thlr. 
Salomou, Lehrbuch der Elementararithmetik für 

hrsg. von Sevcik. 1. Thl. die Elemente der A 

Gerold. 1% Thlr. 
SasB, Buchstabenrechnung und Algebra. 1. Tbl. 5. 

Sl Sgr. 
Schlömilch, &stellige togarithmische undtrignome 

plast. Stereotypie. 3. Aufl. Braunachweig. Yi 
Schröder, Abriee der Arithmetik und Algehra, lü 

und Realschulen, 1. Ueft. Die sieben algt 

Lpz. Teuhner. 6 Sgr. 
Walter, Eechenbuch für Mittelschulen. Im Vi 

Knabenachule in Bremerhaven hearb. Bremerk 
Wienhold, Lehrbuch der elementaren Mathemat 

Lehrer. I. Thl. Arithmetik. Lpz. Hahn. i% 

2) Geometrie und Trigonom. 

Feaux, Lehrbuch der elementaren Planimetrie. 

SchäninghT U Sgr. 
Pritsche, Aufgaben und Fragen aus der geometi 

Real- und hshere Bürgerschalen. 2. Aufl. Lp: 
ü u g 1 e r , Lehrbuch der descriptiven Geomewi 

Metzler. 2« Thlr. 
Hartmauu, genetischer Leitfaden für den Unten 

in Fonn methodisch geordneter Frwen und & 

Schüler bestimmt, i. Heft. AebnlichieitBlebre i 

Riehl. 10 Sgr. 
Hochheim, über die DiffentialcurTen der Kegels 

1 Thlr. 
Hoffmann, die Raumlehre in der Elementaraf 

10 Sgr. 
Kieaeritzki, Lehrbuch der elementaren Geometri< 

bearb. 2, Bd. Stereometrie. Petersburg. Den 
Kober, Leitfaden der ebenen Geometrie. Lpz. T 
Koppe, die Planimetrie für den Schul- und Se! 

Essen. Bädeker. 21 Sgr. 
— , die Stereometrie. 9, Aufi. Ebd. IG Sgr. 
Kunze, der geometrische Unterricht in der Obe 

Brandenburg. Müller. 15 Sgr. 
Leitfaden der Geometrie. Herauag. von einem Ver 

Potsdam. Rendel. 5 Sgr. 
Lieraemann, planimetrische Conatructionen. 1. 

Reichenbach i. SchL 10 Sgr. 
Mehler, Hauptaätze der Elementarmathematik ; 

nasien una Realschulen. Berlin. Reimer. 15 
Schweder, Lehrbuch der Planimetrie zum Schu 

Brutzer. 12% Sgr. 
Weyr, die Raumcurven 7. Ordnung. Wien. Gert 
I Wunderlich, die Raumlehre in der Volksschule 
' Schulbuchhandlung. S Sgr. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarieelie Berichte. 463 

B. Angewandte HatkematllE. 

(ABtronomie, Geodäsie und Mechanik.) 

Atlas des südlich gestirnten Bimmeis. Darstellung der zwischen dem 
Südpol und dem 20. Grad sudl. Ahweichuog mit blossen Augen sicht- 
baren Sterne nach ihren wahren, unmittelbar vom Himmel entöommenea 
Grössen. 7 Taf. in Stahlst. Lpz. Brocfchaua. 3% Thlr. 

Grimm, mathematische Geographie für die unteren Classen höherer 
Schulen. Freiburg, Herder. 4 Sgr. 

Haberl, das Orientiren des Meegtisches und Bestimmen von Standpunkten 
mit dem Messtiscbe oder einem Winkelinstrument. 2. Aufl. Wien. 
Seidel. 12 Sgr. 

Jahn, Eatechigmus der Astronomie. Belehrungen über den gestirnten 
Hiiamel, die Erde und den Kalender. 5. Aufl. von Drechsler. 72 Abb. 
Lpa. Weber. 15 Sgr. 

Klein, Fortschritte avt dem Gebiet der Astronomie. 1870—72. Lpz. 
Meyer. 10 Sgr. 

Vogel, Untersuchungen über die Spektra der Planeten. Eine von der 
Eönigl. Gesellschaft der Wiss. zu Kopenhagen gekrOnte Preisschrift. 
Lpz. Bngelmann. 1 Thlr. 

Weiss, 2 Sternkarten. Lithogr. Berlin, ßeimer. 20 Sgr. 

Physik. 
Bänitz, Lehrbuch der Physik in populärer Darstellung. Nach method. 

Grundsätzen für gehobene Lehranst. bearb. 197 Holzschn. 3. Aufl. 

Berlin. Stubenrauch. 20 Sgi^ 
Bezold, die Farbenlehre mit Hinsicht auf Kunst und Kunstgewerbe. 

63 Fig. Braunschweig. Westermann. i% Thlr. 
Franz, neue Untersuchungen über die Identität von Licht und strahlender 

Wärme. BerUn. . Weidmann. 4 Sgr. 
Gerding, populäre Vorlesungen über Naturkräfte und deren Anwendung. 

Schaßtausen. Brodtmann. !'/,„ Thlr. 
Euguenin, über Sinnestäuschungen. Basel. Schweighauser. S Sgr. 
Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische PhysÄ. Mechanik. Lpz. 

Tenbner. 3 Thlr. 
Klein, Fortschritte auf dem Gebiete der Physik und Meteorologie. 

1872—73. Lpz. Mejer. iVs Thlr. 
Koppe, Anfangsgründe der Physik in den oberen Classen der Gymnasien 

und Bealschulen. 345 Holzschn. 12. Aufl. Essen. Bädeker. i'A Thlr. 
Kon Bson, die Physik auf Grundlwe der Erfahrung. 3, Bd. Qalvaniamus. 

291 Fig., 2. Aufl. Zürich. SchultheBs. 2 % Thlr. 
Natnrlehrein der Volks- und Mittelschule. Ein Leitfaden für den Lehrer. 

Bearb. von Schulmännern in Düsseldorf. KiShi. Schwann. 10 Sgr. 
— dass. Aufgabenbüchlein. Ebd. 1% Sgr. 

Schoder, Hülfstafeln zur barometrischen Hühenbestimmung nebst An- 
leitung zur Untersuchang und zum Gebrauch der Feldbarometer. 

2. Aufl. Stuttg. Schweizerbart 20 Sgr. 
Stricker, die Feuerzeuge. Berlin, Liiderita. 7% Sgr. 

Subic, Lehrbuch der Physik für Obergymnasien und Oberrealschulen. 

3. Aufl. Pest. Heckenast. 3 Thlr. 

Tjndall, der Schall, 8 Vorles. Autor, deutsche Ausg. toq Helmholtz 

and Wiedemann. 169 Holzschn. 2. Aufl. Braunschweig. Vieweg. 

2 Thlr. 
Wirth, Wiederholui^a - und Hülfshuch für den Unterricht in der 

Physik. 3. Aufl. Beihn. Wohlgemath, 754 Sgr. 
ZetzEche, karzer Abriss der Geschichte der elektrischen Telegraphie. 

51 Holzschn. Berlin. Springer. 1 Thlr. 



n,g,t,7.dt,'G00g|-C 



464 Literariache Serichte. 

Chemie. 
Fittig, GrundrisB der Chemie. 2. Thl. Wflliler'B 

Dischen Chemie von Prof. Di. Pittig. 9. Aufl. Lpz. I 

2« Thlr. 
Gornp-BeBaaez, Lehrbach der Chemie. 3. Bd. L 

log. Chemie. 3. Aufl. Braunachweig. Tieweg. I 
Handwörterbuch, neues, der Chemie. Anf Orunc 

Foggeudorff, WOhler, Eolbe und Fehling her. 

Febliug. Brairaschweig. Vieweg. 1. Bd. 9'.', ThL 
Klein, Fortschritte auf dem Qebiet der theoreti: 

Majer. 10 Sgr, 
Wagner, GtuucuiBB der chemiBchen Technologie. 2, 

1% Thlr. 

Mineralogie. 
Behrens, die Krystalliten. Mitroskopische Studi 

Krystallbildung. Kiel, Wechmar. 1« Thlr. 
Blnm, Lehrbuch der Mineralogie (OrfktognOEie). 

Fig. Stuttg. Schweizerbart. 4 Thlr. 
HoehBtetter, die Fortschritte der Geologie. Tortr 

Sitz, der k. Äkad. der Wisseusch. am 30. Mai 1974. 
Laubmann, das Yorkommen, die Prodiictiou und Cir 

kohle in Bayern und Umgebung. Uünchen. Lit. 
Müller, das Waohaen der Steine. Basel. Schweighi 
Naumann, die Hohburger Porphyrberge in Sachsen 

hart. 15 Sgr, 
Fezirka, Kryatallnet^e zu den B&mmtlichen einfachen 

einigen Combinationen, 3. AnB. Mit-S Taf. Prag 
Peters, Leitfaden zum ersten Anschanungauntemcht 

Mit G3 HolzBChn. Graz. Leuschner. 18 Sgr. 
Bothe. Kryatallnetze zur Verfertigung der beim e 

vork. wichtigsten KrjatallgestaEen. 2. Aufl. W 

Botanik. 

Gremli, Eicursionsflortt fflr die Schweiz, Nach der 

bearb. 2. Aafl, Aarau. Christen. 1% Thlr. 
Haller, ExcursionBbuch enth, eine praktische Auleit 

der im deutschen Reich heimischen Fhanetogat 

erläutert. Jena. Mauke. 1 Thlr. 
Jerzykiewicz, Botanik für die unteren und mittl< 

Lehranstalten. Mit H5 Holzschn. Posen. Jolow 
Lenz, nfltzhche, schädliche und verdächtige Schwäw 

von Eöse. Mit nach der Natur gemalten Abb. ( 

2 Thlr. 
Möller, Flora von Nordwestthüringen^^ Ein Hand 

2, AuBg, Eiaenach. Baumeister, " "" ' 

" " 'Veisa, 2'A S„ . 

?ÄD 

Ebd, 'A Thlr. 
Schnack, LeitTaden der allgemeinen Botanik fQr h 

Hamburg. Meissner. 8 Sgr. 
Wessel, OrundriBS zur Lippischen Flora. 2. Aufl. 

Gefässkryptogamen. Detmold, Meyer. 10 Sgr. 

Zoologie. 

Altnra, Forstzoologie. Hl. Insecten. 1. Ahth. All 
Mit SS Fig. Berlin. Springer 2% Thlr. 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Literarische Berichte. 465 

Giebel, insecta epizoa. Die auf Säugethieren und Vögeln BchmarotzeD- 

den loeecten nach Chr. L. Nitzch's NftohlagB bearb. Mit 20 Taf. Lpz. 

Wigand, 45 Thlr. 
Hammel, methodiBcher Leitfaden der NaturgeacHchte. 1, Tbl. Thier- 

knnde. 37 HolzBChti. Halle. Anton. 4 Sgr. 
Koch, Gmndriu) der Zoologie. Für Stndiiende bearb. 1. Hälfte. Jena. 

Deistang. 1% Thlr. 
Schlapp, Grundziige der Byetematiachen Zoologie, sowie der vergleichen- 
den Anatomie der Organe der Beweguug, iSnährong und Empfindung. 

Zum Gebrauch an höheren Schulen. 3. Aufl. Erfurt. Villaret. 25 Sgr. 
Spengel, die Fortachritte des Daminiamus. Neuer unveränd. Abdruck 

aus Klein Bevae der Naturw. Lpz. Majer. 16 Sgr. 
Werueburg, der Schmetterling ond sein Leben. Eine naturgescbicht- 

liche Skizze. Berlin. Springer. 24 Sgr. 
Willibald, die Meater und Eier der in Deutecbland und den angrenzen- 
den Ländern bratenden Yögel. In syatemat. Folge beschrieben und 

durch 22B nach der Natur gefertigte Abbild, erl. 2. Aufl. Lpz. Koch. 

24 Sgr. 

Geographie. 
Banr, Blementarschnlatlas. 10 K. Wien. HÖbel. 8 Sgr. 
Beck-Bernard, die argenüniBche Bepublik. 2. Aufl. Mit 3 K. Bern. 

Huber. 18 Sgr. 
Böhm Leitfaden für den Unterricht in der Geographie. Lpz. WOller. 

6 Sgr. 
Elvenapoek und Müller, Wandkarten von Ost- und Westprenaaen. 

9 Blatt Königaherg. Beyer. 2% Thlr. 
Kiepert, compendiöaer allff, Atlas der Erde nnd dea Himmele. In 

36 Karten. 15. Aufl. Nach Dr. Richter und Graef neu beatb. Weimar. 

Qeogr. InBtit. 1« Thlr. 
Kiepert, Schul Wandkarte des deutschen BeichslandeB Blaaaa- Lothringen 

m 6 Blattern. 1 : 180,000. Berlin. Beimer. 2% Thlr., anf Leinw. 

4% Thlr. 
Klein, Fortschritte auf dem Gebiete der Geographie. 1872—73. Lpz. 

Mayer. 24 Sgr, 
Klöden, Kleine Sehnige ographie. Im Anftr(U(e der Bt&dt. Stadtschul- 
deputation zu Berlin verfasBt. Berlin. Weidmann. 3 Sgr. 
Marno, Reisen im Gebiete des blauen und weiaaen Nil, im egypt. Sudan 

und den angrenzenden NegerlSjidem. Wien. Gerold. 6^ Thlr. 
Mundy, Wanderungen in Australien und Tandiemensland. Deutsch von 

GerBtäker. 3. Aufl. Lpz. Senf. 25 Sgr. 
Schacht, Lehrbuch der Geographie. 8. Anfl. von Rohmeder. Mainz. 

Kunze. 2% Thlr. 
Schweinfurt, im Herzen von Afrika. Beisen und Entde<^iingen im 

centralen Aequatorial-Afrika. 2 Thle. Lpz. Brockbans. 10 Thlr. 
Wagner, Wandkarten des deutschen Beicha nnd seiner Nachbarländer. 

Gotha. PertbeB. 3K Thhr. 
Wohlera, Gnmdrisa eines atnfenweis zu erweiternden Unterrichts in der 

Erdbeschreibung. 9. Aufl. Mit 8 Karten. Berlin. Mauck. 12 Sgr. 

Biographie. 
BoBsm&Bsler, mein Leben nnd Streben im Verkehr mit der Natur und 
dem Volke. Nach dem Tode des Verf. heranageg. von Dr. Karl Kuu. 
Hannover. Bümpler. 2% Thi. 
" " ■ ■ cob f ■ 

äon d( 
hanaen. Zürich. Schahelitz, 10 Sgr. 



. nuilh. o. nrntoiw, l 



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BTsammluugen , Auszttge aus 1 



Nekrologe. 

sner, Fiof. der Botanik an derüni 
itz, k. preusB. Hauptmann a. D. 
hm an der von 1828—29 auf dem 
1 der Tuea. Begiernng yeranstolb 
e eool. MittheiluQgen, daa Ergebt 
ken'a laia und in den Abb. der Pi 

Die Beachreibnng deT It«iBe ae 
ntel „Denknflrdigkeiten etc." Ootl 
nd die „21 Vegetationiansiciiten v 
an Ooeans," 

m, Prof. derPhjgik an der Univf 
t. 
T. Droate-HüUhoff, Präsident 

und Director der aool. Section 
;u Münster, geb. auf dem Hauee ] 
1. Nekrolog. B.: „Gefiederte Wel 
Bej (Carl BammerBchmidt) , Pn 

Konstantin Opel j ein geborener 
■ Rechte, gab dies Stodiom anf 
NaturwiaaenBcliaften zn. Im J. 
und entkam in die Türkei, wo i 
' Zool. nnd Mineraloge wirkte. £ 
Idene Medaille fQr KunBt und A 
SBlich seiner Thätigkeit als tSc! 
Qthurkreuz des Franz -Joaepha-C 

Ir. HeBBenberg, bedeutender U 



Otto Hesae. 

tto He«ae ist am 22. April 1811 in 
3n matbematiacben Studien an di 
hCrte in vollem Sinue des Worti 
den bereits als die malbematische 
ein Name, welchen die GeBcbicbte 
iverl&aaig mit Anerkennung und 



it,Googlc 



Berichte über Veraammlimgen, AuEzSge ans Zeitschriften n. dgl. 467 

wählen wird. Eeeae begann Beine Lehrtbätigkeit an derselben ümversität, 
an welcher er unter M^inern wie Beeael, Jacobi , Neumaon gelernt hatte, 
nnd wir dürfen darin das äussere Zeichen der Doppelatellung erkennen, 
welche eine historieche Beteaohtung der Wiaaenschalt ihm anzuweisen hat. 
Hesse war zugleich der grüaste Schüler und, der Zeit aber nicht dem 
inneren Gehalte nach, der letzte Lehrer der alten Eönigaberger Schule. 
Seine dortige Thätigkeit dauerte von 1S40— 1356, ohne dass seine Stellung 
fiber die eines aubserordentlichen Frofeseon sich erhoben hätte. Erst in 



45. Leben^ahr erhielt er eine Berufung als ordentücher Professor 

der Mathematik nach Halle nnd fast gleichzeitig nach Heidelberg, wo er 
im Winter 1856/57 erstmalig, im Sommer 1868 zuletzt einen jährlich 
wachsenden Kreis aufmerksamer Schüler um sich versammelte. Im Herbst 
1868 siedelte er nach München an das Polytechnikum über, dem er bis in 
diesen Sommer angehörte. Er hatte, mit Unterbrechung semer Vorlesungen, 
in Karlsbad Heilung von einem schweren Leberleiden gesucht, Der Erfolg 
rechtfertigte nicht die auf dieses Bdd gesetzten Hoffaungen. Am 4. Aug. 
1874 erlag er in München seinen Leiden. Am 7. Angust wurde et in 
Heidelberg bestattet an der Seite eines geliebten Eindea, welches ihm 1961 
vorausgegangen war. 

Eine Darstellung der wissenschaftlichen Thätigkeit Hesse's im Einzelnen 
aufzunehmen, sind die Spalten einer fachgenüssischen Zeitschrift allein 
berufen. Hier muss es genügen in allgemeinsten Umrissen den Charakter 
seiner Leistungen hervortreten zn lassen. Man kann sie fast inegesanimt 
als algebraisch -geometrische bezeichnen. Seit dem 14. Jahrhundert be- 

fegnen wir den Anlangen eiuer Betrachtungsweise, welche im IT. Jahr- 
undert als Geometrie des Descartes, alii anäytische Geometrie, wie man 
gegenwärtig säet, einen Weg geomelrischer Forschung erkajmte, der dem 
Alterthum durchaus fremd war. Geometrische tlebilde durch ihnen gleich- 
werthice algebraische Formeln darzaetellen, mit diesen Formeln zu rechnen, 
, das ScnluBsereebnies der Rechnung geometrisch su deuten, das sind die 
drei Bestandtheile der analjtisch-geometrischen Methode, Ein doppelter 
Fortschritt kennzeichnet nun die Thätigkeit der deutschen Geometer dar 
ersten vierzig Jahre unseres Jahrhunderts. Die Rechnung nämlich, die 
mittlere für die Geometrie gewissermassen nebensächliche Operation, wird 
auf ein kleinstes Mass zurückgeführt, sowohl durch Benutzung einfacher 
Symbole für ganze Gleichungapolyaome nach dem Vorgänge Plückers 
(vergl. dessen „Analytisch-geometrische Entwickeiungen. Essen 18äS"), 
als auch durch Verweithung der grosaentheils von Jacobi herrührenden 
Sätze über gewisse symmetrische Grüssenverbiadungen, die er Determinanten 
nannte. Es wird den Verdiensten eines Möbiua auf einem immerhin 
andern, wenn auch naheliegenden, Gebiete nichts benommen, wenn wir 
behaupten: weitere Fortschritte seien nach den beiden genannten Bichtungen 
mSglich gewesen, und Hesse's Name sei mit denselben unwiderrufhch 
verknüpft. Aber damit sind seine Verdienste nicht erschöpfL Wie er auf 
der einen Seite die höchste Gewandtheit in dem Rechnen mit Gleichungs- 
symbolen an den Te^ legte, wie er auf der andern Seite mit durchdringen- 
dem Scharfsinn in die geheimen Eigenschaften algebraischer Formen sich 
vertiefte, so liess er auch nie die Wechselbeziehnngen zwischen Algebra 
and Geometrie aus den Augen, so erkannte er, genauer als es vor ihm 
der Fall gewesen, die gegenseitige Förderung, welche jede dieser Discip- 
linen ans der andern ziehen könne und müaae. Er sah in jedem algebraischen 
Lehrsatz zugleich den geometrischen, nnd umgekehrt enthielt ihm Jede 
geometrische Wahrheit eine algebraische mit eingeschlossen — ein Dna- 
usmus neuer Art, welcher wohl Hesse als Entdecker wird zugeschrieben 
bleiben. 

Was die Beihenfolge seiner Arbeiten betrifft, so wird die Eönigsbeiger 
Periode als die erfindungsreichere Zeit seines Lebens bezeichnet werden 
müssen, in welcher er das Crelle'sche Jonmal für reine und angewandte 
Mathematik durch Beiträge von hervorragendem und bleibendem Werth 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



ätnmlungen, AUBZüge auB Zeitschriften u. dgl. 

beTsiedelnng nach Heidelberg war sein BeBtreben 
in von ihm und andern gewonnenen Schätze in 
Leen, in Lehrbücher der Geometrie, wie er aich 
ein, was in Abhandlungen hie und da ungeordnet 
den seine YorleBUDgen über analjtiBcbe Qeometrie 
ir Mialyttsohe Geometrie derEbene — Werke, denen 
achaft ZMT erstea Einführung^ in die Wisseuschatt 
len darf, welche aber für den, dem die Wjesenachaft 
r ist, gewiaa noch Jahrzehnte hindurch ein Muster 
nd methodischer EleKanz sein nnd bleiben werden. 
iesae'B wissenschaftlicher Thätickeit gehören auch 
jrtAge. Der Schreiber dieser Zeilen musB darüber 
tn berichten. Die Liebe und Verehrung aller 
ihingeBchiedenen Meisters bezeugen aber überein- 
Jrdienste er sich auf diesem Feld erworben bat. 
ein Schaler des Verstorbenen auf seinen Sarg 
TBtickten Worte des Abschiedes, die er ihm nach- 
riderlegUcher Natur. Und Hesse wuBste, was seine 
len StXQQlern war. Hatte er doch die Doppelver- 
deren traurige Erfüllung dem gestrigen Tage zur 
II in dem Blumengarten meines Heidelberg ruhen, 
uhOlem." (Beilage sur Allgem. Zeitung Nr. :fS6.) 

tlL-uatnrv. UniversitätB- Seminare. 

StrasBbnrg. 

schreibt uns über (las Univ. Seminar zn Straeabnrg 
ische kann ich leider nicht ganz entsprechen; denn 
BedürlhiBB nach Statuten nicht geltend gemacht., 
Iber Zweck, Hülfsmittel und Leitung onsers üoi- 
ide Mittheilungen machen: 

he Seminar ist bestimmt, den Studirenden zum 
md Forsclien in den verschiedenen Zweigen der 
a geben; es iat demnach vorzngBweiBe für Mathe- 
aestem berechnet. Die Uebungen der Theilnehmer 
rofesBoren der Mathematik, also gegenwärtig von 
', geleitet; nnd zwar wählte Prof Christoffei bisher 
UB der Functionentheorie (elliptische und Abel'HChe 
in solche aus der analytischen und synthetischen 
Unterstützt werden dieae Uebungen, welche Bich 
''orieaungen anzulehnen pflegen, durch eine auaer- 
ibliothek, die wir in den letzten 3 Jahren für etwa 
bracht haben und durch eine meinen Wünschen 
inmluDg geometrischer Modeile. Die Bibliothek 
tudentien der Mathematik, welche an den Uebungen 
Theil nehmen können, fleissig benutzt; wir geben 
Zwecke des Seminars dadurch nicht beeinträchtigt 

auBBer dem math. HürBoal noch ein eigenes, ge- 
'erfügnng, welches von den Studirenden auch ab- 
gen vielfach benutzt wird. 

NaturwiBsenschaften bestehen an unserer Dnivereität 
nai noch sieben „loBtitute" für Physik, Chemie, 
I, Geognosie, Zoologie ond Botanik, die mit Hülfs- 

Sammlungen etc.) sehr reich - ausgestattet sind ; 
: Institute der medicinisoben Facultät, z. B. das 

und dasjenige für Eiperimental-Physiologie. Alle 
im Mai 1872 zugleich mit der Universität erC&et 



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Berichte nber Versammlungen, Auazüge aus Zeitachriften n. dgl. 469 



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ite über VerBammlangeQ, Auszüge aus Zeitschriften n. dgl. 

Repertorlom ffir Aufgaben.*) 

(Hedigirt von Prof. Binbbb in SchSnthal.) 

IIL 

ösuEg der Aufgaben in Heft 4. d. J. p. 287. 

— 3. Der gegebene Kreieaector sei OAB, seine Achse OC. 
das gesuchte Rechteck, von dem die Ecken X. und Tauf den 
I ÜA und OB, ^ und TT auf dem Bogen AB liegen, so 

n der Umfang ^ 2» gegeben ist, zur Analjsia WX nach D 

0. daBBXi> = Xr, also Tri> = sist. Dann liegt der Punkt D 

reil WD naoh Eichtung und ürösae gegeben, auf einet con- 

freialinie, und andererseits, weil die Eichtungen und das Vet- 

XDund Xr gegeben, auf einer bestimmten, durch O gehende», 

laher ist Piinkt I> und damit das Uebrige bestimmt. 

an die DiS'erenz zweier Seiten ^ 2 i gegeben ist, so ist die 

c vorigen vollkommen analog. In beiden Fällen werden Con- 

d Beweis sehr einfach. 

die Disgonale WY = e gegeben, lo achneiden sich WO und 

dem Gegenpunkt von W, und man hat zur Construction des 
rW die Strecken Wir, irrund den Winkel OrTr = BOC. 
ctioQ ce>ta1tet sich einfach ea: Der dnrch 0,B und A' , den 

von A, gehende Kreis werde von einem nua A mit Halbmesser 
ebenen Bogen in £g6ar)initten, so trifft OEAie Peripherie des 
ireises in Z {und ein Kreis aus mit OE die Halbmesser OA 
X und T). 

1 — 6. (I, 60 Ist wieder OAB der Sector, und liegen die 
' OA,X und Z auf OB und 'H'^aui' dem Bogen, so kann man 

umfang := 2$ gegeben ist, WX nach D verlängern, so daes 
. wonaäi die weitere Analysis der zu (1.) vollkommen ähnlich 
ilbe gilt, wenn 

Differenz der Seiten -°3£ gegeben ist. 

die Diagonale =^6 gegeben, so hat man das Trapez OZWX 
, dessen Winkel und Diagonalen gegeben sind, oder auch das 
WX, von dem die "Winkel des Dreieeka OXY, sowie die 
)W und die nicht parallele Seite ¥W bekannt sind. Beide 
tssen sich zwar ohne die Lehre von der Aehnllchkeit ISsen; 
iegenden Anordnung der BestimmunKsetiicke, da der Winkel 
wird es sich aber am meisten empfehlen, in den Winkel O ein 
t OXT ähnliches OXT zu zeichnen, und die darch X" zn 
:ne Parallele durch der^jenigen Kreis in W zu schneiden, f,ur 
tfernunsen seiner Punkte von und ¥ in dem gegebenen 
OW: YW stehen. OW gibt dann den Punkt W. 

'—9. (2.) AB sei die Sehne des Segments, C deren Uitte, 
ibse des Segmentes. Von dem gesuchten Rechteck XYZW 
cken X und r auf AB liegen. Ist nun 
8. der Umfang oder die Differenz der Seiten gegeben, so 

riehen au dienm PUl». Gebflrl auf B. U5. B. die AameikuiiB dortl 



n,g,t,7.dt,'G00glc 



Berichte Über Vergammlnngen, Anazöge aas ZeitachriFten n. dgL 471 

fiitleii, wie Hr. ObetL Dr. Lieber in Stettin bemerkt, die Aufgaben 
Easammen mit den in seiner „Sammlnn^" § 119. 6 nnd 6 (und viefleicbt 
auch sonst ecbon) gestellten: Ein gleich BcbentliKeB Dreieck CWZ ans 
Summe oder Differenz von Grundlinie und Höhe in daa Segment zu zeichnen. 
Ich enthalte midi daher, über die ohnediea leichten und von mir mehr 
nur der Symmetrie halber den tbrigen beigegehenen Aufgaben etwM 
Weiteres zu bemerken. 

9. Ist endlich die Diagonale XZ^e gegeben, »o sieht man leicht, 
dasB ein aus O mit Halbmeuer => e beBchnebener Kreie die verengerte 
WZ (in £,und F) bo schneidet, dass EF=2WZ. Daher ist die ge- 
meinschaftliche Mitte D von WZ und MF ein Pankt, dessen Potenz in 
Bezug auf den Ereis das Vierfache seiner Potenz in Bezug auf den Eieis 
O iBt , und wird somit nach einer bekannten — im vorliegenden Pall 
ziemlich einfachen — Construction leicht gefunden. Die H«cnnung führt 
anf eine ganz almliche Construction. 

lieber den Lehrsatz sind mir Einsendungen von den Herren 



Oberlehrer von Lflhmann in Gaitz, Professor Ueel in Sperer 
und Eealschullehrer Fuhrmann in Königsberg zugegangen. Die 
Beweise dieser Herren sind im WeienÜichen untereinander und dem meinigen 
Hhnlich. Um den Gang des letzteren kura wiederzugeben, so ist, wenn 
die gemeinschaftliche Tangente ED von der durch ü gehenden Potenz- 
linie der Kreise A and B m M geschnitten wird, das Dreieck AMB bei 
M rechtwinklig und dem Dreieck FHQ ähnlich, weshalb auch das 
letztere bei H rechtwinklig ist, wie man ans den Winkeln leicht erkennt. 
Die Hypotenusen beider Dreiecke sind aber in C in demselben Verhälbiisse 
getheilt und da MC auf AS aenkrecht ist, so ist auch HC auf FO eenkrecht, 
woraus sofort der zweite Theil des Satzes folgt. 



Bei der Bedaction gingen eini 

1) Programm des OrossberzogL Gynm. z. Benshaim 1ST3/74 enthalt 
Abb. Ton Stell: „Neue Beiträge zum Problem v. ApoUonins 
L Th. 4. S, 1—32. 

2} Eeliqniae Copernicanae von M. Curtze in Thorn; ßeparat- 
abdruk ans SchlOm, Zeitschrift (kl. Mittheilnngen) Fortsetzung (b. 8. 76 d. J.) 
mit griech. und lat. Text. Man vergl, dort ftber die Trisection von 
Hippauf nnd Albrich die Anm. das. S. 462. 

3) Schulordnung (Eegulativ) für die StndienanBtalten(a- Gymnasien) 
nndBealgymnasien (^>Rea1 schulen) Baiems. Miniaterialhlatt fOr Kirchen- 
und Schulangelegenheiten im EOnigr. Baiem. Nr. 32 n. 33 (1ST4). Nicht 
vom E. B. Üiniet. eingesandt. 

4) EatechismuB des VersicherungsweBenB v. 0. Lemcke (1874) Lpzg. 
bei Weber. 

5) Was ist der Raum? Als Stoff für convecs. Unterricht dem ge- 
sammten Lehreratande, insbesondere aber den Lehrern und LebrerbildungB- 
anstalten gewidmet von Dr. G. Freih. v. Leonhardi, o. Prof. d, Ph. zu Pna. 

6) Ereb«, Einleitung in die mechanische W&nuetheorie , Leipzig 
(Tenbner) 1874. 

Ausserdem wurden neuerdings (Ende November) noch folgende Bücher 
durch die Verlagshandiung eingesendet: 

A) Werke über Mathematik: 

r Diff.- und Int.-Kechnong 2. Aufl. Giessen (Ricker) 



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472 Berichte über Veraammlniigeii, Aoszfige auB Zeitflchrifteii n. dgL 

Hochbeim, Differentialcurven (neu) Halle (Nebert) 1874, 

Wienhold, Lehrb. d. Element. -Math. I. Arithmetik. Leiprig (Haha) 
1874. 

Feaui, Lehrb. d. element. Planimetrie, Fadarborn (SchSoingh) 1874. 

Worpitzky, Elemente der Math. 8. Hft., Planimetrie. Berlin (Weid- 
mann) 1674. 

Gagler, Lehrb. d. desoriptiven Geometrie 8. Änfl. Stuttgart (Metzler) 
1874. 

Spits, Lehrb. d. allgememen Arithmetik 8. Aufl. I. Th. Leipzig — 
Heidelberg (Winter) 1874 nebgt Anhang, enth. Andeutangen und Resultate 
zu den LOBangen. 

Spitz, die ersten Sätze vom Dreieck nnd von den Parallelen (mit 
Bücksicht auf die „abBOinte" Geometrie). 

Gantzer, Schnmanna Lehrb. d. Planimetrie 2. Aufl. Berlin (Weidmann) 
1874. 

Oehler, „die Winkelebene" ans d, Progr. d. Realschule Teschen. 

B) Werke über Naturwissenschaften. 
Schotte, das Eeich der Luft v. Flammarion. Leipzig (Brandstetter), 
1876. 

Oonzj, ElJmatologie des Elsaas. Uarkircher Progr. 1874. 
Zizmann, propädeut. Unterricht in Physik. Prog. Coburg R. 
Die gesammten Natarwissenachaften Lief. 12 — 19. Essen (Bädecker). 
Weiss, zwei Stemtafeln. 



C) Zeitschriften. 
Schldmiich Ztschr. etc. Hft. 5 (19. J. 18741 
Kerne de l'instracrion publiqne XSn, 12 1 
Padagog. Archiv Hft. 7—9 (Jahrg. 1874). 
Nonv. Ann. d. Math. Octobi.-Hft. 1674. 



Notiz, Weinhold'H Yotachule der Geometrie betr. 
Die R«daction macht auf Wunsch der betr. Terlagahandlong bekannt, 
daBs Prof. Weinhold in Chemnitz auf seine YorBchnle der Physik (Leipzig bei 
Quandt nnd !^ndel)*), von der eine neue Aufl. erschienen ist, die Fort- 
schrittsmedaille erhalten hat. 



Der Herausgeber bietet folgende Bände dieser Zeitschrift Schul-An- 
stalten zum Kauf an: Jahrg. I. U. UI. IT., immer 8 Bde. Dabei ist zu 
bemerken, dass Bd. lU gänzlich vergriffen ist nnd selbst von der 
Yerlagahsjidlang gesucht wird. 

•) Vgl. m, 3H. 



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Druckfehler-Verzeichniaa. 
Jahrgang 1¥. 



I. lies ifaaeagtttm at. WausrgrMie. 
„ btidm Bt. bei den, 
„ tteidl lt. Rldte. 
„ dsr AnnDiuug ■!. die Aaflagung, 
„ dlBBffn et- dleaer. 



IT 341 „ 1 T. IL „ ok werthloB et^ irerthlm- 
„ 401 „ T, 9 u. li T. o. moH in den l'ormeln der Aa» 
Klsmmern geeoMogeea weiden. 
„ 41S „ l T. o. Ilai Ortbograp*** irt. Otthogiapie. 



A Knmw (ies4 — jja»; v 



Seite 49 Zolle i 



„ 149 , 



Jahrgang V, 


11 >. o. get» in den Proportionen 




Q. llee 24, S90ä n. 24, 3»07 .t. 14 U 


o. „ 4055,887 et. *M5,S87. 


o. „ 0,0004384 M. 0,0004383. 


o. „ Alktyjma lt. Alksflmi, 


. 0. „ Ahul HMc«. it Ä, Bliun. 


o. „ AlbiniBl R. Albirnm. 






u. „ Cknlor at. Kuitoi. 


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