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ZEITSCHRIFT
FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK
BEGRÜNDET 1866 DURCH f 0. SCHLÖBilLCH.
FRÜHER HERAÜSOEQEBBM VON 0. SCHLÖMILCH (1866—1896) UND M. CaNTOR (1869—1900).
OBGAN FÜR ANGEWANDTE MATHEMATIK.
OEGENWÄRTia
UNTER MITWIRKUNG VON C. VON BaCH^ G. HaUCK, R. HbLHERT, F. ElEIN,
G. VON Linde, H. A. Lorentz, H. Müller-Breslau, H. Seeliger, H.Webbr
HERAUSGEGEBEN
YOH
B. MEHMKE und C. RTTNGE
nr iTUTTaAmT. nr HJunroTBB.
47. BAND.
Urt 1 DOPPBLTAFEL, 1 TAFBL UMB 70 FIOUlllll DC TBXT.
• • ' • • *. . *. .«
* * J
LEIPZIG,
DBUOK UND VEBLAG VON B. G. TEUBNEB.
. 1902.
Q:
W V
ALLE RBCHTE, EIKSOHLIESSLICH DES ÜBEBSETZUN08BSCHTES, YORBEHALTBK.
Inhalt. in
Inhalt.
Saite
Bobylewy D. und Friegeiidorff, Th. Über das perimetrische Rollen eines
Kreisels, dessen Schwerpunkt unter dem ünterstütznngspiinkte liegt . . 364
BnmeBtery L« Kinematisch-geometrische Theorie der Bewegung der affin-
Ter&nderlichen, ähnlich- veränderlichen und starren räumlichen oder ebenen
Systeme. Zweiter Teil 128
Doleialy Eduard. Das Problem der fünf und drei Strahlen in der Photo-
grammetrie. Mit einer Tafel 29
Fiseher^ 0« Über die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte der
Glieder eines Gelenkmechanismns und ihre Bedeutung for die technische
Meclianik 429
Fisehery Tietor. Analogien zur Thermodynamik 1
Franeke) Adolf« Bogen mit elastisch gebundenen Widerlagern 16
— Der Spitzbogenträger mit elastisch gebundenen, drehbaren Widerlagern . 23
Heniiy KarL Das Verhalten des Yirials und des Momentes eines stationären
Kräftesystems bei der Bewegung des starren KOrpers 104
Honiy J. Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen von Systemen
mit einem Freiheitsgrad 400
Kleiiiy F. Zur Schraubentheorie von Sir Robert Ball 287
Krflgery L« Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten und
6ber die inteiteationale Näherungsformel fOr den mittleren Winkelfehler 167
Kfibler^ J. Noch einmal die richtige Knickformel 367
Mayry Robert. Über Körper von kinetischer Symmetrie. Mit einer Doppel-
tafel 479
Bodeiiberg; C. Über die Schnittkurve zweier kongruenten Bingflächen und
ihr Zerfallen in Kreise 196
— Über die Schnittpunkte einer Ellipse mit einer ihr coazialen Ellipse oder
Hyi>erbel 199
Bndio^ Ferdinand. Zur Kubatur des Rotationsparaboloides 126
Sehnhy Fred. Die Horopterkurve 376
Skntaeli) Bndolf. Über Gleichungswagen 86
Tlmerdlngy H. E. Die Bemoullische Wertetheorie 821
ünger^ 0. Über ein Konstruktionsprinzip und seine Verwertung bei der
Schattenbestimmung an Drehflächen 467
ZermelOy E. Hydrodynamische Untersuchungen über die Wirbelbewegungen
in einer Kugelfläche. Erste Mitteilung 201
Kleinere MitteilTingen.
Druckfehler in den Tables des Logarithmes ä huit d^dmales du Service
G^graphique de TArm^ 266
Der Rechenschieber in Deutschland 489
Mantisse 491
IV Inhalt.
Preisaufgaben für 1908. ^^^
Acad^mie des Sciences, Paris, Prix Foumeyron 491
Acadämie Eoyale de Belgique 492
Auskünfte.
Betreffend: Bezeichnungen ftlr die Umkehrongen der Hyperbelfanktionen . . 266
Dezimale Zeit- und Ereisteilnng 266
Neue Winkelteilnng in der französischen Marine 266, 492
Vorlesungsapparat zur Statik und Dynamik 492
Anfragen.
Betreffend: Verallgemeinerung des Bour- Pro eil sehen Satzes 267
Rechenschieber von Horner 492
Büohersohau.
A. von Oettingen. Elemente des geometrisch-perspektivischen Zeichnens.
Von H. Doehlemsnii 268
A. Föppl. Vorlesungen über technische Mechanik. Von K. Hean .... 270
HeinrichWeber. Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen
Physik. Von Radolf Rofhe 280
F. W. Gedicus. Kinetik, Beiträge zu einer einheitlichen mechanischen
Orundanschauung. Von K. Henn 282
Alois Indra. Die wahre Gestalt der Spannungskurve. Von Hh. 282
Erich Geyger. Die angewandte darstellende Geometrie. Von K« Doelile-
mann 49a
Frederick Slate. The principles of mechanics. Von Paul Stftckel . . . 494
H. A. Roberts. A treatise on elementary dynamics. Von Paul St&ekel . 497
J. J. van Laar. Lehrbuch der mathematischen Chemie. Von P. Brftner . 498
A. Wassili ef. P. L. Tschebyschef und seine wissenschaftlichen Leistungen.
— N. A. Delaunay. Die Tschebyschef sehen Arbeiten in der Theorie der
Qelenkmechanismen. Von Rudolf Rothe 600
Christian Beyel. Darstellende Geometrie. Von K« Doehlemann .... 500
E. Hammer. Der Hammer-Fennelsche Tachymetertheodolit und die Tachy-
meterkippregel zur unmittelbaren Lattenablesung von Horizontaldistanz
und Höhenunterschied. Von A. Galle 502
Neue Bücher 284, 505
Abhandlungsregister 1900—1901. Von E. W51fflng 287
Nachtrag zu dem Verzeichnis von Abhandlungen aus der angewandten Mathe-
matik, welche im Jahre 1900 in technischen Zeitschriften erschienen sind.
Von E, WÄlffing 317
Berichtigung 508
Analogien zur Thermodynamik. Von Victor Fischer.
Analogien znr Thermodynamik.
Von Victor Fischer in Stuttgart.
In seinen „Principien der Statik inonocyklischer Systeme"^) hat
Helmholtz eine Bewegungsart analytisch begründet^ die besonders
wegen ihrer vielfachen Analogien mit den sogenannten yerborgenen Be-
wegungen eine groüse Bedeutung erlangt hat. In der genannten Arbeit
führt Helmholtz vor allem die Analogie der monocyklischen Be-
wegung mit der Wärmebewegung durch. Er zeigt, dals das bei der ersteren
erhaltene Energiedifferential yollkommen mit jenem der Wärme über-
einstimmt ^^ und dals femer durch entsprechende Koppelung, das ist
die kinematische Verbindung zweier monocyklischer Systeme, die er
für den besonderen Fall eines umkehrbaren Vorganges als isomore
Koppelung bezeichnet, die charakteristischen Eigenschafiien eines Wärme-
überganges hervortreten. Weitere Analogien in dieser Richtung sind
Ton Boltzmann ausgeführt worden.')
Meine Aufgabe soll es nun sein, auf einen sehr einfachen der-
artigen monocyklischen Bewegungsvorgang hinzuweisen, durch dessen
Betrachtung wir zu Gleichungen gelangen, die denen der Thermodyna-
mik auch in Bezug auf die besondere Bedeutung der darin vorkommenden
Gröften ziemUch yollkommen analog sind.
Zu diesem Zwecke denken wir uns einen Ring von kreisförmigem
Querschnitt, dessen Querschnittsdimensionen gering gegen die Länge
der Mittellinie sind. Dieser sei rings eingeschlossen von einer Hülle,
unter der wir uns auch eine Flüssigkeit vorstellen können, die auf seine
1) Journal for die reine und angew. Mathematik. Bd. 97.
2) Eine weitere Analogie mit den cyklischen Bewegungen ist bekanntlich
auch in neueren Werken über Elektrodynamik bezüglich den Verhaltens der pon-
deromotoriBchen und besonders der elektromotorischen Ki^ffce durchgeführt worden.
3) L. Boltzmann. Über die Eigenschaften monocyklischer und anderer da-
mit verwandter Systeme. Joum. f. d. reine u. angew. Mathematik. Bd. 98. —
Vorlesungen über Maxwells Theorie der Elektricität und des Lichtes, I. Theil,
2. Vorlesimg. Leipzig 1891.
Zcitachrlft f. Mathematik n. Phyaik. 47. Band. 1909. 1. u. 2. Heft. 1
2 Analogien zur Thennodynamik.
Oberflache einen fiberall gleichmäßigen Dmck ansfibt Der besseren
Änschanlichkeit wegen wollen wir unsere Betrachtungen auf ein scheiben-
förmiges Element beschranken, das wir uns aus dem Ringe heraus-
schneiden, da sich die Ergebnisse für dieses ebenso auf den ganzen
Ring erstrecken, der sich ja aus lauter solchen gleichen Scheiben gleich-
artig zusammensetzt. Die Breite dieser Scheibe setzen wir der Ein-
fachheit halber gleich der Einheit Ihre Masse sei m und die spezi-
fische Masse, also die Masse pro Volumeinheit sei fi.
Der ganze Ring sei nun in gleichmälsiger Rotation um seine
Mittellinie begriffen; mit andern Worten, er bilde das, was wir einen
einfE&chen Wirbel nennen können. FOr die Scheibe als Element des
Ringes können wir dann folgende dynamische Betrachtung anstellen:
Ist (o die Winkelgeschwindigkeit und v = ra die Geschwindigkeit
ii^end eines Punktes in der Entfernung r von der Mittellinie, so können
wir uns für jeden Punkt die Fliehkraft pro Masseneinheit f ^ ra* an-
gegeben denken. Es wird daher die Ghrölse der Fliehkraft dF eines
ringförmigen Scheibenelementes dm gleich sein
dF = fdm = reo* • ii2rxdr = 2nikm^f^dr.
Für die Gesamtgröfse F der Fliehkraft ergiebt sich daraus
R
F^ f2ityL(o^r^dr = f ^r^ra'jB» == \7CikV^B,
0
wobei 12 den ümfangsradius und V die Umfangsgeschwindigkeit der
Scheibe bedeuten. Führen wir in den erhaltenen Ausdruck wieder die
Masse m » ^npL ein, so erhalten wir schliefsUch
(1) F = im<Dȟ-|m5-
Wenn wir uns also \ der Scheibemnasse im ümfangsradius konzentriert
denken, so entspricht deren Fliehkraft der Oesamtfliehkraft der homo-
genen Scheibe.
Ich möchte hier, bevor ich weiter gehe, noch die Bemerkung ein-
schalten, dafs wir derartige Ausdrücke auch noch für beliebige andere
Körper bilden können, die um eine durch ihren Schwerpunkt gehende
Achse rotieren, da die Ableitung derselben nur Yon der geometrischen
Qestalt des Körpers abhängt.
Bilden wir denselben beispielsweise noch für eine KugeL Wir
können uns diese aus lauter Elementarscheiben senkrecht zur ümdrehungs-
achse zusammengesetzt denken. Der Halbmesser einer solchen Elemen-
tarscheibe sei r, ihre Breite dh\ dann ist ihre Masse dm = iixr^db.
Von Victor Fischer. 3
und nach Gleichung (1) ist daher ihr Beitrag zur Oesamtfliehkraft der
Kugel
Durch Integration erhalten wir, wenn R der Halbmesser der
Kugel ist,
Da wir aber für r und & schreiben können
r = jR sin a
h = J2cosa,
so geht unser Integral nach Einführung dieser Beziehung über in
Es ist nun
mithin
/ sin^aäa = -g-
0
Führen wir wieder die Masse m » jB^yeii ein, so erhalten wir
Bchliefslich als Ausdruck für die Gesamtfliehkraft der Kugel
(2) 2^=|fmBa>» = gm;.
Kehren wir wieder zu unserem Wirbel zurück Dieser soU nun
derart beschaflFen sem, dafs der Gesamtbetrag der auftretenden Flieh-
kräfte als gleichmalsig verteilter Druck auf den Wirbelumfang zur
Geltung kommt.
Dals sich eine solche Vorstellung yerwirklichen lafst, wollen wir
uns sofort an einem Modell klar machen, das auch thatsächlich aus-
gef&hrt werden kann.
Zu diesem Zwecke nehmen wir eine hokeme kreisrunde Scheibe,
zerschneiden dieselbe erst in Ringe Yon gleicher Dicke und zerteilen
diese wieder in radialer Richtung. Die auf solche Art gebildeten
Scheibenteile durchbohren wir nun so, wie es durch gestrichelte Linien
in der Zeichnung (Fig. 1) angedeutet isi Auf einer hölzernen Nabe
(Fig. 2) befestigen wir nun in radialer Richtung Messingstabe von
genügendem Widerstände gegen Yerbiegung, die den Bohrlöchern in
Fig. 1 entsprechen müssen.
Analogien zur Thermodynamik.
Auf diese Stabe fädeln wir die einzelnen Scheibenteile auf und
ziehen über den ganzen Scheibenumfang ein geschlossenes elastisches
Band. Die so gebildete Scheibe können wir nun auf eine Welle auf-
keilen, an der eine Kurbel angebracht ist.
Wenn wir nun das Ganze als reibungslos ansehen, so dals also^
wenn das Band entfernt wird, die einzelnen Scheibenteile in radialer
Richtung vollkommen frei beweglich erscheinen^ und die Scheibe in
Umdrehung bringen, so wird in jedem Scheibenteile eine ihm ent-
sprechende Fliehkraft auftreten; und zwar wird dieselbe in unserem
Falle mit dem Quadrate der Schwerpunktradien zunehmen, was leicht
nachzurechnen ist. Jede dieser Fliehkräfte wird sich nun in ihrer
ganzen Gfröfse als Druck auf den nächstfolgenden Teil und von diesem
wieder weiter übertragen, so dafs schliefslich die Summe aller auf-
Fig. 1.
Fig. 2.
tretenden Fliehkräfte Umto^r als Druck, und zwar schon aus blofsen
Symmetriegründen, als gleichmäfsig verteilter Druck auf das elastische
Band zur Geltung kommt.
Wir sehen, dafs wir an den dynamischen Verhältnissen nichts
ändern, wenn wir die angenommenen Scheibenelemente durch solche
von beliebiger symmetrischer Gestalt ersetzen, beispielsweise durch
Kugeln, die gegen den Scheibenumfang hin gröfser werden. Wir können
uns femer die Messingstäbe weggenommen denken, so wird auch dann
nachdem die einzelnen Scheibenelemente zentral auf einander drücken,
die Bewegung ohne Auftreten von tangentiellen Drücken aufrecht er-
halten werden können, wenn nur die Kugeln eine genügend rauhe Oberfläche
haben, und wenn keine allzu heftigen Geschwindigkeitsänderungen statt-
finden. Den Zusammenhang der einzelnen Kugeln können wir uns in
diesem Falle durch elastische Schnüre bewerkstelligt denken, wobei wir
aber voraussetzen, dafs die in tangentieller Richtung auftretenden Zug-
spannungen so gering sind, dafs wir ihre Wirkung vernachlässigen
können. Auch hier können wir an unserer Annahme, dafs sich die
Fliehkräfte ungehindert auf den Scheibenumfang übertragen, festhalten.
Lassen wir die Scheibenelemente in unserer Vorstellung imn^er kleiner
Von Victor Fischer. 5
werden y so geht scUielslich die obige Summe in das früher gebildete
Integral über. Da nun der Gesamtdrack auf den Scheibenumfang
gleich sein wird P «= 2Rütp, wobei p den spezifischen Druck; also den
Druck pro Flacheneinheit bedeutet^ so können wir dem Gesagten zufolge
schreiben:
(3-) JP = farf* Pü = P = 2Rnp
(3) i/*F« = p.
Statt der spezifischen Masse können wir in Gleichung (3) auch
deren reziproken Wert, das spezifische Volumen t; = - einführen und
dieselbe in der Form schreiben:
(3) F« = Spv
Diese Gleichung entspricht gewissermafsen der Grundgleichung der
kinetischen Gkutheorie, und sie möge die Grundlage fOr die folgenden
energetischen Betrachtungen an unserer rotierenden Scheibe bilden.
Aus Analogiegründen wollen wir noch für F* =» T und für \ den
Buchstaben R setzen. Gleichung (3) schreibt sich dann in der Form
(3) BT^pv,
Hätten wir statt der obigen Scheibe ein rotierendes cylindrisches
Grfafs betrachtet^ das von einer unzusammendrückbaren Flüssigkeit er-
füllt ist; so hätten wir an Stelle von (3) für den Druck auf die Mantel-
flache die Gleichung V^ » 2pv erhalten, wovon man sich auf Ghmnd
der Enler sehen Gleichungen oder auch durch Aufistellung der Gleich-
gewichtsbedingnngen für den vorliegenden Fall leicht überzeugen kann.
Es wird dann der Gesamtdruck der Flüssigkeit auf die Mantelfläche
gleich sein mRm^j also ebenso grofs als die Fliehkraft der ganzen
Flüssigkeitsmasse; wenn wir uns dieselbe im Umfangsradius konzentriert
denken. Hier dürften wir im Falle einer Ausdehnung in radialer Rich-
tung den im Innern gebildeten Hohlraum nicht vernachlässigen, da der-
selbe von gleicher Gröfse ist mit der äufsem Volumänderung; während
bei unserer Anordnung für eine geringe Ausdehnung der Scheibe dieser
Hohlraum im Verhältnis zur Ausdehnung noch so klein bleibt; dafs
wir ihn vernachlässigen können.
Der Betrag an kinetischer Energie der Scheibe; welcher uns
gleichzeitig deren Eigenenei^e vorstellt, ist
wenn 9 = —^ das Trägheitsmoment bedeutet Wir erhalten daher
6 Analo(tien zur TLcrmodynamik,
nach EinfBhnmg dieses Wertes und imter BerückHichtigung von Glei-
chung (3)
(4) e = — ^- = |««pt;;
und wenn wir die Masse der Scheibe gleich der Einheit setzen und
aus später sich ergebenden Gründen die Bezeichnung J = c, und
^- = X — 1 einführen, können wir auch schreiben:
(4) e = c,T = :^-
Es ist also die Eigenenei^e der Scheibe sowohl eine Funktion
ihrer Um fangsgeBch windigkeit, als auch vou Druck und Volumen.
Denken wir uns der Scheibe Energie zugeführt. Aus Analogic-
rücksichten nehmen wir an, dies geschehe so, dafs eine zweite Scheibe,
die wir uns auch als starren Körper denken können, von gröiserer
Umfangsgeschwindigkeit mit der ersten in entsprechende Berühr img
komme. Infolge der dadurch bedingten Ausgleichnng der Umfangs-
geschwindigkeiten^) wird kinetische Energie von der einen Scheibe auf
die andere übertragen, die sowohl zur Erhöhung der kinetischen
Energie der letzteren, als auch durch Ausdehnung derselben unter Über-
windimg eines äufaem Druckes zur Arbeitsleistung dienen kann. Da-
bei ist noch zu bemerken, dafs die Scheiben nicht absolut glatt sein
dürfen, sondern eine gewisse Rauhigkeit besitzen müssen, und dafs
während des Ausgleiches der Umfangsgeschwindigkeiten ein unvermeid-
licher Energie Verlust durch Reibung stattfinden wird, was sich mit dem
Satz von der Vermehrung der Entropie in Zusammenhang bringen
läfst. Wir sehen femer, dafs bei einer derartigen Energieübertragung
niemals von selbst Energie vou einer Seheibe mit kleinerer Umfangs-
geschwindigkeit auf eine solche mit gröiserer Umfangsgeschwindigkeit
fibertragen werden kann. Mag die Scheibe mit der gerii^eren Umfangs-
geschwindigkeit und mit ihr auch ihre kinetische Energie noch so grofa
sein im Vergleich zur Scheibe mit der grÖfseren Umfangsgeschwindigkeit,
immer findet die Energieübertragung von der gröfseren zur kleineren
Umfai^sgeschwindigkeit statt; und was von den Umfangsgeschwindigkeiten
gilt, das gilt ebenso von ihren Quadraten. In dieser Beziehung findet
also Analogie mit dem Verhalten der Temperatur statt.
Eines ist dabei noch zu beachten. Bei einem derartigen Energie-
ausgleich zweier Scheiben, beziehungsweise zweier Wirbel spielt deren
1) Der Bich hierliei abapielende dynanuBche Vorgang ist ein Bpeeieller Fall
(tea StolaCB zweier MaBsen , die nur Geschwindigkeiten in Beaug auf ihre Schwer-
punkte begitzeu, während die Geschwindigkeiten der Schwerpankte selbst gleich
Von Victor Fibcukb. 7
ümlaufssiiin eine wesenüiche Rolle. V^ir dürfen aber nicht vergessen^
AaSs wenn wir uns die Wärme unter dem Bilde einer Wirbelbewegung
YOTstellen wollen *), der von uns betrachtete cinzebie Wirbel auch nur
ein Element der ganzen Bewegung vorstellen kann^ die sich aus lauter
solchen Elementen zusammensetzt. Soll diese Bewegung geordnet sein,
so müssen stets Elemente von positivem mit solchen von negativem
ümdrehungssinn zusammenwirken. Es müssen also mindestens soviel
positive als negative Wirbel vorhanden sein.
Bezüglich der Arbeitsleistung unserer Scheibe setzen wir fest, dafs
dieselbe sehr langsam erfolge, dalj9 daher der wirkende Druck stets nur
wenig grofser ist als der zu überwindende, ebenso soll die Differenz
der UmfEUAgsgeschwindigkeiten beider zusammenwirkenden Scheiben
immer gering bleiben, mithin die Änderung der Winkelgeschwindig-
keiten und daher auch der kinetischen Energien sehr langsam erfolgen.
Schlielslich soll auch die Ausdehnung der Scheibe im Verhältnis zu
ihrem Durchmesser gering bleiben, damit wir ihre MassenverteUung
noch als homogen ansehen können. Wir machen also dieselben Vor-
aussetzungen, die in der Thermodynamik gemacht werden, um die
Wärmevorgange als umkehrbar zu betrachten. Wir sehen aber auch,
dafs sich diese Voraussetzungen vollständig mit den Annahmen decken,
die wir machen müssen, um unsem Bewegungsvorgang als einen cyk-
lischen zu bezeichnen, bei dem die Winkelgeschwindigkeit als cyklische
Koordinate, das Volumen als langsam veränderliche Koordinate zu be-
trachten ist
Für den virtuellen, umkehrbaren Prozefs können wir daher schreiben:
(5) dQ ^ de+pdv.
Dabei ist zu beachten, dafs dQ kein Differential im gewöhnlichen Sinne
vorstellt^ denn es ist nach (4)
de = \vdp + jpdVj
daher
dQ = \vdp + ydv,
dp dv
Dieses Resultat stimmt mit der bekannten Hauptgleichung der
Thermodynamik überein. Es wird hier wie dort die Enei^eumwand-
1) Voratellmigen, die von Wirbelbewegungen ausgehen, sind keineswegs neu.
Ich erinnere an die beiden Abhandlungen: W. Thomson, On Vortex Atoms, Phi-
loMphical Magazine 1867. M. Rankine, On the Thermal Energy of Molecular
Vozücee, Trans, of the B. S. of Edinburgh. Vol. XXV. 1869.
8 Analogen zur Thennodynamik.
lung bedingt sein durch die Art und Weise^ wie sich der Druck mit
dem Volumen ändert. '
Wir wollen nun gleich daran gehen ^ die wichtigsten dieser Um-
wandlungen an unserem Beispiele zu betrachten und beginnen mit der
isothermischen^ resp. isodynamischen Zustandsänderung. Bei dieser wird^
wie wir wissen ^ die gesamte zugefiihrte Wärme zur Arbeitsleistung
verwendet^ während die Eigenenergie konstant bleibt.
Übertragen wir dies auf unsem Fall, so können wir nach (4)
schreiben:
e = -j- = ^pv = const.
daher ist
(6) V^ = const; pv =^ const
Gleichung (6) entspricht der Gleichung der Isotherme. Wir wollen
dieselbe, um den dynamischen Zusammenhang in unserer Analogie
besser zu überblicken, noch auf eine andere Weise herleiten. Wir
können V^ » const auch ausdrücken durch
(6a)
B»(ö« = iZJajJ.
Nun ist nach
(3-)
F
= P-
'-\mm^R^2Rnp,
l'\
-Pi
= \mm\B^ = 2Ilynp^,
Daraus
folgt
(7)
und aut
1 m —
nR'»
t ^^
^iB\x ergiebt sich
ft r, B]
/i, V R*
Kühran wir diese beiden Beziehungen in (6a) ein, so bekommen wir
wit>dar
(<i) pv=^Pit\.
Auf einfädle Weise lassen sich noch die weiteren Beziehungen
F _^ P _ w
\\w*k\\r^ ItttMultnl in Worti> gi^fafot, luutot: AXTihrend der spezifische
^^*s^V \\y'^\\\ U^\^^^v^^^ dor NN'inkoljjtV'iohwindigkoit direkt proportional
* »Uv^v k|Mv«(||noht^u Vohuuoii vorkohrt ^M^^port^onÄl ist, erscheint der
Von ViCTOB FiSCHEB. 9
Gesamtdmck der Winkelgeschwindigkeit direkt proportional und der
Wurzel aus dem spezifischen Volumen verkehrt proportional.
Die Arbeitsverhältnisse bei einer solchen Ausdehnung, wo also bei
konstant erhaltener Umfangsgeschwindigkeit Energie zugeführt wird,
^Tverden ebenfalls ganz analog den isothermischen sein. Nennen wir
die von der Scheibe geleistete Arbeit A, so ist nach (6) für die
Masseneinheit
FdS = Jpdv =^ p,vj\
(8) ^=/,.t;,lg;' = ^lg5-üng^.
Die Energieübertragung können wir uns wieder so denken, dafs
auf unserer Scheibe eine zweite rollt, die aber im Vergleich zu jener
so grofs ist, dafs ihre Umfangsgeschwindigkeit, beziehungsweise ihre
kinetische Energie durch die Berührung mit der ersteren nur geringen
Schwankungen unterworfen sein kann. Damit nun zwischen beiden
Scheiben eine umkehrbare und isothermische Energieübertragung statt-
findet, mufs die Differenz zwischen beiden Umfangsgeschwindigkeiten
erstens sehr gering imd zweitens konstant sein. Ein gewisser Unter-
schied mufs aber immer bestehen, da sonst überhaupt keine Energie-
überführung eintreten kann.
Die dauernde Aufrechterhaltung dieses konstanten Unterschiedes
wird eben durch die isothermische Ausdehnung der kleinen Scheibe
bedingt.
Dieses Bild ist, wie ich schon einmal erwähnte, das einfachste,
das wir uns von dem Vorgang machen können. Wollen wir den that-
sächlichen Verhältnissen näher kommen, so müssen wir unsere Analogie
derart verallgemeinem, dafs an Stelle der einzelnen Wirbel ganze
Wirbelsysteme, von denen das eine sehr grofs gegenüber dem andern
ist, in Berührung kommen, so dafs von deren Berührungsflächen sich
Energie von dem einen System auf das andere überträgt. Wir denken
uns dabei einen Körper von durchweg gleicher Temperatur unter dem
Bilde einer stationären Wirbelbewegung derart, dafs alle Wirbel des
Systems mit gleichen Umfangsgeschwindigkeiten ineinander greifen.
Eine Energieübertragung denken wir uns infolge des kontinuierlichen
Zusammenhanges der Bewegung von der Erregungsstelle ausgehend
von einem Wirbel auf den andern fortgepflanzt. Es wird also die
Ausdehnung der Wirbel an der Oberfläche die Ausdehnung aller übrigen
Wirbel bedingen.
10 Analogien zur Thermodynamik.
Die nächste Zustandsändemng, der wir uns nnn zuwenden wollen,
8ßi die adiabatische. Bei derselben wird dem Grase keine Wärme zu-
gef&hrt Dessen Arbeitsleistung geschieht bloHs auf Kosten seiner
Eigenenergia Übertragen wir dies auf unser Beispiel, so müssen wir
sagen: Die Scheibe soll sich Arbeit verrichtend ausdehnen, ohne dals
ihr von aussen Enei^e zugeführt wird. Es mufs sich daher die kine-
tische Energie um den Betrag der geleisteten Arbeit vermindern.
Unsere Energiegleichung (5) schreibt sich demnach:
0^de + pdv
0 = ^vdp + ^pdv,
daraus folgt weiter
0=^ + 1^
(9) pv^ — const.
Diese Gleichung entspricht bis auf den Exponenten | = 1 + j der
Gleichung der adiabatischen Zustandsänderung.
Um den dynamischen Vorgang wieder vor Augen zu haben, wollen
wir auch hier unsere Gleichung noch auf einem zweiten W^e ab-
leiten.
Wir können das Energiedifferential für die Masseneinheit auch in
folgender Weise anschreiben:
- de « FdR
Die Integration eigiebt
y'
B'
Führen wir wieder die Beziehung ^ =■ r- ©in, und setzen F* — T,
so erhalten wir
t:
i - ßy
Auch in dieser Form ist uns die Gleichung aus der Thermodynamik
bekannt, und ihre Zurückführung auf (9) unterliegt keinen Schwierig-
keiten.
Von Victor Fischbb. 11
Beaüglicli des Verlialteiis des Gesamtdruckes zum Volumen er-
ffiebt sieh
Was die von der Scheibe an die Hülle abgegebene Arbeit Ä an-
belangt^ so schreibt sich dieselbe analog wie in der Thermodynamik
(10) ^ = i(F«- F;)-|o,r-ftt,j=;^(i-g)''-'}
Den letzten Ausdruck der Gleichung (10) hätten wir natürlich auch
»I
durch Ausführung von j pdv unter Benutzung von (9) erhalten.
Wir ko-nn.» .«. '.„ Z».»a»nd»u.g b,i ko».»... Vollen.
Bei dieser müssen wir uns denken, daCs die rotierende Scheibe durch
die sie umgebende Hülle an einer Ausdehnung Terhindert wird. Es
wird dann, dem analogen Fall der Thermodynamik entsprechend, von
der Scheibe keine Arbeit abgegeben. Daher wird die ganze ihr zu-
geführte Energie zur Erhöhung ihrer kinetischen Energie verbraucht,
und die Enei^egleichung lautet:
dQ^de,
Durch Integration erhalten wir für die Masseneinheit
(11) Q^(e,^e)^ \{y\ - F«) - \v{p, -^p).
Aus Gleichung (S') ergiebt sich sofort
F> o> p P^F^
Es ist also der spezifische Druck proportional dem Quadrate der
Umfangsgeschwindigkeit, was mit dem Verhalten der Temperatur bei
konstantem Volumen eines vollkommenen Gbuses übereinstimmt.
Wir haben schlielslich noch die Zustandsänderung bei konstantem
Druck zu besprechen. Bei dieser mufs die Energiezufnhr so geleitet
werden, dafs der Druck stets gleich ist einem konstant bleibenden
Gegendruck der Umgebung. Wenn wir dieser Bedingung Rechnung
tragen, so geht die Energiegleichung (5) über in
^Q =■ jpdv + pdv =- ^pdv.
Durch Integration erhalten wir
(12) Q - ipfdv - ipiv, - ») - i,iV\ - F»).
12 Analogien zur Thermodynamik.
Setzen wir fftr ^ =» c,,, so ei^^eben sich zwischen Cp und c» = j die
beiden Beziehungen
Dies sind dieselben Beziehungen, wie sie uns aus der Thermodynamik
geläufig sind.
C9 können wir definieren als jene Energie, die wir der rotierenden
Scheibe zuführen müssen, um das Quadrat ihrer Umfangsgeschwindigkeit
bei konstant bleibendem Volumen um eine Einheit zu erhöhen, und Cp
als jene Energie, die wir zuführen müssen, um das Quadrat der Um-
fangsgeschwindigkeit um eine Einheit zu erhöhen, wenn sich gleich-
zeitig die Scheibe bei konstantem spezifischen Druck ausdehnt. Durch
das Verhältnis dieser beiden Energiebetrage ist x, durch ihre Differenz
ist B, definiert.
Wir wollen die Energiegleichung wieder mit Einführung der
Fliehkraft anschreiben und dabei beachten, dafs o^, da es nach (7) p
direkt proportional ist, ebenfalls konstant bleibt:
Durch Integration zwischen gegebenen Grenzen ergiebt sich
und nach Einführung unserer Analogiebezeichnungen,
Q = c,{I\ - T) + B(Ti - T) = Cp{T, - T).
In dieser Form ist uns der Ausdruck auch aus der Thermodynamik
bekannt
Für das Verhftltnis der Fliehkräfte können wir schreiben:
F
P
B
1
*\°
°P,
"Ik
Bezüglich der dynamischen Verhältnisse ist noch zu bemerken,
dafs während bei der isothermischen Zustandsänderung die Umfangs-
geschwindigkeit konstant bleibt, dies hier für die Winkelgeschwindigkeit
zutrifft.
Wir haben nun in unserer dynamischen Analogie die vier wich-
tigsten umkehrbaren Prozesse der Thermodynamik besprochen, und es
unterliegt keinen Schwierigkeiten mehr, sich jede andere Zustands-
änderung, so z B. die polytropische, bei der die zugeftlhrte Wärme
der Temperaturerhöhung proportional ist, ebenso zu vergegenwärtigen.
Von VlCTOB FUCHKR. 13
Es bleibt uns jetzt nur noch übrig den Carnotschen KreisprozelE
za besprechen. Da die Gleichnngen der Isotherme und Adiabate denen
der Thermodynamik vollkommen analog sind; so werden sich anch hier
dieselben Schlüsse wie dort wiederfinden. Wir wollen daher diesen
Fall nur ganz kurz behandeln und zunächst die Arbeitsgleichungen der
vier Teilprozesse in der Reihe anschreiben, wie sie aufeinander folgen
und dann summieren!
-A, — «,--iFj ig|;
-^=-(e,-e,) i(FJ-F|).
Da nuU; wie sich in bekannter Weise ergiebt,
so erhalten wir durch Addition der angeschriebenen 4 Ausdrücke
Daraus folgt weiter
Ci "vi
r j Tg
Dieses Resultat ist also vollständig analog demjenigen der mecha-
nischen Wärmetheorie. Wir ersehen daraus, dals die bei dem E^reis-
prozeb gewonnene Arbeit proportional ist der Differenz der Quadrate
der gröfsten und kleinsten Umfangsgeschwindigkeit und einem Quo-
tienten von der Form ^; auch hier werden wir daher auf die £in-
f&hrung eines Begriffes geführt, der demjenigen der Entropie in der
Thermodynamik entspricht.
Betrachten wir die Energiegleichung (5) genauer, so sehen wir,
daCs zufolge der Beziehung V^ = äpv das Quadrat der Um&ngs-
geschwindigkeit ein integrierender Faktor derselben ist. Wir erhalten
durch dessen Einführung
^=^.=if+j/;=i(f +!?)•
14 Analogien zur Thennodynamik. Von Victor Fisches.
Das 80 definierte dri ist ein vollständiges Differential und dessen Inte-
gration ergiebt
(13) ij == \igpv^ + const = Cf^gpf^^ + const.
Dies entspricht dem bekannten Ausdruck f&r die Entropie eines voll-
kommenen Gases.
Die unmittelbare Folge dieses Umstandes ist, dafs wir das Diffe-
rential der zugeführten Energie für umkehrbare Vorg&nge auch in der
Form schreiben können
(14) dQ = r^dfi^
Nun haben wir angenommen, daCs die Energieübertragung durch
den Ausgleich der Umfangsgeschwindigkeiten zweier aufeinander rollen-
den Scheiben erfolgt, und Gleichung (14) gilt nur für den Fall, dafs
die Differenz der Umfangsgeschwindigkeiten so gering bleibt, dafs wir
die hierbei auftretenden Enei^everluste durch Reibung vernachlässigen
können. Diese Beschrimkung müssen wir bei nicht umkehrbaren Vor-
ffLagen fallen lassen. Verstehen wir nun, um in Übereinstimmung mit
den ihermodynamischen Bezeichnungen zu bleiben, unter dQ die von
dV*
der zweiten Scheibe aufgenommene Energie, unter ^rfFJ = FJ • 7-^
» T^dfji die von der ersten Scheibe bei konstantem Volumen abge-
gebene kinetische Energie, so ist infolge des unvermeidlichen Ener-
gieverlustes durch Reibung
(15) dQ < V\df,v
Bogen mit elastisch gebundenen Widerlagern. Von Adolf Fiuitcki. 15
Flg. 1.
Bogen mit elasüscli gebundenen Widerlagern.
Von Baurat Adolf Francke in Herzberg a. Harz.
Wir betrachten zunächst, Abb. 1, einen Ereisbogentrager mit dreh-
baren, aber anyerscdiieblichen Endpunkten und setzen in demselben
einen Spannungszustand i^ vorauS;
wobei 1} einen im Bogen in Rich-
tung der Schlulssehne wirkenden
Schub bedeuten möge und positive
Zahlen 17 einem im Scheitel wir-
kenden Drucke, negative einem
Zuge entsprechen mögen.
Der Bogen verbiegt sich nach
Mafsgabe der Gleichungen:
— cos 017 = — K,
wenn K die Langskraft im Bogen bedeutet,
wemi Q die Querkraft bedeutet
T^düT« ^ nK^^^ - cos /J) ^,
wemi HL das Biegungsmoment darstellt,
7räi='»?(8ui® — »cos/J); -^j? = ^cos/J — cos o — «* — /J^-j^jij.
Betrachten wir nun die Veränderung der geometrischen Kurven-
y
Isiige des Bogens f edm und die daraus folgende elastische Achsen-
Schiebung:
Bogen mit elaatiaoh gebuudenen Widerlagern.
H'H
'Krda
'EF
2r^
EJ
[{\ + J^^^\nß- ßco^ß -^l^mß]^
Bo erkennen wir, dafa dieser Wert tc, für ij = ~ 1, den Btets wieder-
kehrenden Nennerwert in den Bestimmuugsgleichnugen der Kräfte-
verteiliing des irgendwie belasteten Bogens mit drehbaren aber nnver-
scbieblicheu Widerlagern darstellen wird. Denn die Belastung P, p
erzeugt ihreraeitB, unter der VoraiiseetRimg i? = 0 , irgend welche
elastiache Äehaenschiebung m>, Wp und es bestellt daher, wegen der
Unmöglichkeit der Verschiebung der Balkenenden in Richtung der
Achse oder, allgemeiner gesagt, wegen des Zwanges der Stetigkeit des
Balkens zwischen seineu beiden eigenen, als solche bestimmt gegebenen
Endflächen, die Gleichung:
— n^-i-\-pwp = 0.
Betrachtet man nun an Stelle eines Bogenträgers mit un verschieblichen,
drehbaren Widerlagern, einen solchen niit drehbaren, aber nicht unver-
schieblichen sondern elastisch, etwa durch eine Zugstange, gebundenen
Enden, so kann man mit geringer Mühe die sämtlichen für den Bogen
mit unverachieb liehen Kampf er gel enken giltigen Formeln der Kräfle-
Terteilung umschreiben in die entsprechenden Formeln für elastische
Bindung.
Man braucht sich nur zu erinnern, dai'a, geometrisch betrachtet, zur
Bogenlänge 2rß stets die Sehnenlänge 2r sin^ zugehört, und man
wird erkennen, dafs eine elastische Achsenschiebung w = — ^-^-s ^
gleichwertig, in Bezug auf die Gestaltung der elastischen Verhältnisse
und der Kräfteverteilung, zu erachten ist mit einer Verlängerung z?
der Bogensehne, indem eine zwangsweise Verringerung der Sehne im
Scheitel Zug, also den Zustand — i; hervorruft. Der, etwa durch
Wärmezunahme, thatsächlich im Zustande + '*} befindliche Bogen der
Abb, 1 von der ursprünglichen Lange 2/-^ geht bei Freigabe der
Enden über in den spanuuugs losen Bogen der Länge (2r -f gjßt w"
die positive Länge a der absoluten Gröfse nach dem Wert u> gleich ist.
Der also freigegebene Bogen liegt genau im Winkel 2^, hat den
Halbmesser »■ + ^- und die Sehne {2r + ^)sin^. Werden die End-
punkte dieser Sehne un verschieblich aber drehbar gehalten, so hat der
Bogeu bei eintretender Abkühlung das Bestreben, wieder ein Kreis-
bogen vom Halbmesser r zu werden und seine natürliche Xiänge 2rß
Von Adolf Fbancke.
17
anzunehmen. Es entsteht der dem ersten Zustande + f^ entgegen-
gesetzte Znstand —fi, heryorgerufen durch die Sehnenänderung -Asin/).
Man kann auch sagen: das richtige Verhältnis zwischen Bogen und
Sehne: - — ß-x wird durch die Bogenlängenänderung a'=^hß und die
Sehnenlängenänderung —bsbiß in genau gleicher Weise abgeändert^
2rß
nicht
weil fftr trenügend kleine Werte b : J^ T ^'^ und j^- . ^ i. • /»
Ton -^(1 + X-) verschieden sind.
8mp\ 2r/
Ist daher ^ die elastische Bindung der beiden Widerlager, d. h«
Terlängert sich die Sehne um ^ bei der in ihr wirkenden Zugkraft
Fig. s.
S = ly SO ist, weil die Zugkraft £> =» 1 der Sehne stets im Scheitel
den Druck i; =» 1 erzeugt, die Gleichung giltig
Wir werden nun in tv , wie überhaupt 'im Folgenden allgemein,
den Werth -pr-i meist nicht augenscheinlich halten, weil derselbe als
yerschwindend keinen rechnerischen Einfluli hat. Setzen wir allge-
mein abkürzend [ß] = sin/J — /)cos/) — g iind teilen Gleichung (I)
durch -gj, so erhalten wir, für ^ = f , b ^ ^® allgemeine Gleichung:
(I«)
2r
p
8 -'
worin also E das ElastizitätsmaTs des Bogens, E^ dasjenige der Zug-
stange, J das Trägheitsmoment des Bogenquerschnittes, f den Quer-
schnitt der Zugstange bedeutet.
Weil nun Abb. 2, der Bogenträger mit unverschieblichen Dreh-
punkten Ay A^j durch die volle Streckenlast g, im Zustande i? = 0,
geometrisch verkürzt wird um das Mafs j^jQf so erzeugt, Abb. 3,
ZciUchriit f. Mathematik a. Physik. 47. Band. 1908. 1. u. 8. Haft. 2
18
Bogen mit elastigch gebondenen Widerlagern.
die Belutong einer Bogenhalfte den Zug S in der Zugstange:
ako bei gleichem Materiale den Zog
S
64
/\.
(m + P^)
Der Bogentrager der Abb. 4 erleidet^ bei onTerschieblichen Dreh-
Kf. 4.
an
n^
i^
pnnkten A^ Ä^, im Zustande S^O eine
mit dem Werte
Achsenschiebnng w
Bogen mit Spannstange ein Zng 8 enengt
^r
m + ß
fr*
nach MaTsgabe de^r Ql^ichong«»:
unter Yoranssetiung lotrechter Auf-
lagerkrafie, also wagerechter Yer-
Schiebung des bewe^chen Lagers.
Der Bogoi der Abb. 5 verbiegt
sich bei unTorschieUichen Drehlagem
KJ 4*»
— - ^sinti f ^l — ooso'^ainci — 1,1 — s^sino —
flin2«
_
Von AooLP Fbavckc.
19
EJd*Z /- \r o \ . C082a)
^<diö^ ^ (1 - ^)(C08^ - CO803) +
EJdz
qr*dm
C082|9 ^
/- v/ ^ • \ . Bin2fl) — 2flDCOB2^
= (1 — rf){a)COBß — smoj) H ^ ~ ;
J ^ = (1 ^. ^) |(fl,« - /j«)5^e + cos© - cos/S) - (cd« - /J«)
C0B2|9
C082/?
8
+
COB2fl9
16
EJ
2r
^ 1 eda = (1 — ''?){(y — ^Y-)coB/S + sino} — cacos/SJ
(»' />9\C082^ , 2a>cOB2^ — Bm2o
T-"^)« + 82
Dem Zustand S ^Oy i^ » 1 — cob/3 entspricht die Achsenschiebong:
2
EJ ^r^T [2/J] / /2/J — 8in2/J\
daher im Bogentrager mit Spannstange, f&r -p-t ^ Yerschwindend, die
Spannung erzeugt wird:
welche negativ ausfallend, Druck bedeutet und beispielsweise für einen
Halbkreis den Wert erhalt
2r
« +
8
9
. w.
"
->
y
w
/ ^
•y
Y
I
te^
n
/
Ih
*\ \
Vv
Selbstverständlich kön-
nen alle derartige Werte
auch gefunden oder be-
stätigt werden durch die
unvermittelte Betrachtung
der elastischen Bewe-
gungen des vollständig
freien, an den Enden
durch die entsprechenden
Kräfte belasteten Bogens.
—w = (cos/J — ^J^) { (y — -f-) cos/S + sin© — ocos/J |
/«' ^.\C082/7 tT' , 2aico82^ — 8in2o
- (t - '^ßr-T- - « • *7v + — T2 —
stellt für den angegebenen Wert S » 6qr die elastische Bewegung des
in Abb. 5a dargestellten, vollkommen freibeweglichen Trägers dar,
2«
20
Bogen mit elasÜBcfa gebundenen Widerlagern.
wobei die, in gewissem Sinne an sich willkürliche Eoordinatenbestim-
mung so gewählt wurde, duls die Sehne sich parallel verschiebt und
in dem Winkel 2ß liegt
Dem Znstand 17 = 2<r entspricht im Bogen der Abb. 5 die zuge-
hörige Achsenschiebnng -^ — ^tc = (1 — 2if)(jJ] — -^^ und weil, beim
Bogen mit festen Drehlagem, einseitigen Belastungen, unter Streichung
der Belastung der einen Seite der vorher symmetrischen Belastung, sowie
auch halben Werten 17 die halbe Wirkung in Bezug auf die Änderung
der Bogenlänge entspricht, so ist bei einseitiger Belastung und Zustand
Fig. Sc
Fig. 6b.
ij » tf in dem Bogen der Abb. 5 die elastische Achsenschiebung
■ 4 w? = ( 2 — <y)[/S] — Lj^ vorhanden und mithin gilt für die Spannung
öqr der Spannstange des Bogens der Abb. 5b die Gleichung:
[2ffl
a-.)M-'i?-<.-Oi .=
m-
32
2([ffl + (»^.)'
nach welcher beispielsweise die Wirkung des Winddruckes bemessen
werden kann.
Im Zustand ly = 2(1 — cos/J) + 2<jr erleidet der Bogen der Abb. 5
die elastische Achsenschiebung w:
EJ
w = (2C0S/S - 1 -2<jr)[/J]
[2ffl
und mithin, für den Zustand: ly = (1 — cos/J) + 6 und einseitige Be-
lastung, folgt der Wert
(2C08/J - l)[p] -
82
|[ffl + ?^j
fr'
für die Spannung 6qr der Spannstange der Abb. 5b, wobei allgemein
negativen Werten 6 Druck entspricht und das Widerlager A lotrechte
Zugleistung zu tragen hat, wenn das Eigengewicht des Bogens nicht
genügt diesen in A entstehenden lotrechten Zug aufzuheben.
Von Adolf Franckb.
21
In ähnlicher Weise finden wir ^ig s
aus der Gleichung der elastischen
Erregong des Bogens der Abb. 6:
+ cos/l — cosa^i + cos« — cos©
und den weiteren Integralen^ durch
Einsetzung des Zustandes ri — 26i,
für die Spannkraft der Zugstange der Abb. 6a den Wert:
2ff, =
[ß] — [«] -^(Bina — acosa)
2
m + ^1^
Fig. 6ft.
Pig. 6 b.
-.^
während durch Einsetzung des Zustandes rj^ 2 + 26^ der ent-
sprechende Wert:
-[ß] + «C08«(l + I* - ^*) - 8ina(l + ^^^)
2<jr,=
[ffl + [«] + "2^(8"^« — «cos«)
1) Diese Gleichung ist so zu verstehen, dals dieselbe für Bogenstrecke I bei
dem Komma abzubrechen ist, mithin für Werte od = 0 bis eo «= « die Formel:
j— 1 = — 11 sin (0 gilt, während die Gesamtformel «— ^ ^r— 4 = — 91 sin 00 + sin (o
f%br Strecke II, also fSr Werte 10 » a bis (o »° |9, gültig ist. Der Gleichungszusatz
+ sin », auf der rechten Seite, zur Formel der Strecke I, entspricht dem unstetigen
Sprang der Querkrafb Qs- ^ ,— , ^ dem Angriffspunkte, cossa, der Einzelkraft jS».
22 Bogen mit elasÜBch gebundenen Widerlagern. Von Adolf Framcke.
gefunden werden kann. Selbstverständlich gehen die Werthe 6^^ ö^^
der eine in den anderen über, durch Vertauschung von a mit — a und
Umsetzung des Vorzeichens des Gesamtwertes, entsprechend der Be-
wegung der stets gleichgerichteten Kraft S von der einen Seite bis
auf die andere Seite der Bogenachse.
Eine lotrechte, zur Sehne senkrechte, Einzellast P » 1 aber er-
zeugt den Spannstangenzug, Abb. 7:
C08/? + (p + Qein^ - (^^-^ + 0^^«« + «"^«(l' - ^' - 0
während ein Drehmoment, Abb. 8, M ^^ Ar den Spannstangenzug öA
erzeugt mit dem Werte:
u
m + p|^ '
die Wirkung aber einer den Bogen mit Hebelarm angreifenden Einxel-
Fig. 8.
Fi . 7.
/U'Ar*
kraft kann als Summe der Wirkung eines Drehmomentes und einer
unmittelbar angreifenden Einzelkraft gegeben werden.
V T
Für grofse Werte f oder E{y verschwindende Werte ^7-1 nähern
sich alle Zustände dem Zustand der ünverschieblichkeit der Wider-
lager, fttr sehr kleine Werte f oder E^ verschwinden alle Werte <f.
Weil fttr Flachbögen y ein sehr kleiner Bruch, fttr Tunnelbogen
ein gröfserer Wert ist, so erkennt man, dafs die Anordnung der
Spannstange, unter sonst gleichen Verhältnissen, sich dem Zustande
unverschioblicher Widerlager beim Tunnelbogen mehr nähert, als beim
Flachbogen.
Spitsbogentr. mit elasÜBch geb., drehbaren Widerlagern. Von Adolf Fbamcks. 23
Der Spitzbogenträger mit elastisch gebimdenen, drehbaren
Widerlagern.
Von Baurat Adolf Fbanckb in Herzberg a. Harz.
Gleichwie bei den Kreisbogen, so kann auch beim Spitzbogen-
trager mit drehbaren nnd etwa durch eine Zugstange elastisch an ein-
ander gebundenen Widerlagern die Erafteyerteilung aus derjenigen des
Bogens mit unYerschieblichen Drehpunkten abgeleitet werden,, so zwar
daCs samtliche f&r den Bogen mit unverschieblichen Endpunkten gültigen
Formeln mit geringer Mühe, durch entsprechende YeryoUstandigung
des Nenners, ffir den Fall der Anordnung einer Zugstange umgeschrieben
werden können.
Wir betrachten zunächst als einfachsten Fall den vollen Spitz-
bogen, bei welchem die Mittelpunkte M^ M^ der Bögen, wie beim
Halbkreis auf der Verbindungsgeraden der Enddrehpunkte, also auf
der Eämpferlinie liegen, während Mj M^ beim übervollen oder Tunnel-
spitzbogen oberhalb, beim nicht vollen oder flachen Spitzbogen unter-
halb dieser Geraden liegen. Beim Zusammenfallen der Punkte M, M^
erhalt man aus diesen drei verschiedenen Formen des Spitzbogens den
Halbkreis, Tunnel- und Flachbogen.
Der Yolle Spitzbogentr&ger.
Betrachten wir, Abb. 1, einen vollen Spitzbogentrager, welcher
irgendwie, durch äufsere oder innere Anregung, also z. B. durch Wärme-
änderung oder äujüsere Lasten, symmetrisch zu seiner Symmetrieachse
CC| beansprucht wird, so wird sich dieser Bogenträger symmetrisch
verbiegen mit, in Richtung des Halbmessers gemessenen, elastischen
Senkungen z.
Nehmen wir die Gerade AA^ als unverschieblichen Ursprung der
Ol Ol
Winkel o, so bedeutet ic ^ i eda — 1 LJ^ die, vom Strahl « = 0
24 Der Spitzbogenträger mit elastisch gebandenen, drehbaren Widerlagern.
wird; der Punkt C um das MaJb w
== I zda
ab gerechnete ; elastische Achsenschiebung, d. h. also der hetre£fende
Punkt bewegt sich elastisch vorwärts über den Strahl cd um das
Mafs w. Insbesondere also würde , unter der Voraussetzung, daljs die
Länge des Bogens nicht durch andere Ursachen, Wärme, geändert
f —^-^ über den
Ö 0
Strahl ß in Richtung des Bogens vorgeschoben erscheinen. Sei also
^ die etwa durch sonstige Gründe veranlaTste Längenänderung der Bogen
achse, so ist
(w+J)siaß+ecosß^O,
für
oder
to + jd + SS ctg ß'^O
die allgemeine Bestim-
mungsgleichung der
Kräfteverteilung bei sym-
metrischer Beanspruch-
ui^ des Bogens, weil
CC^ die Symmetrieachse
bleibt, der Punkt C sich
nur in lotrechter Rich-
tung bewegen kann, die
wagerechte Verschiebung
verschwindet.
Betrachten wir nun den Bogen der Abb. 1, dessen Widerlager
durch eine Zugstange vom Querschnitt f und vom Elastizitötsmafse E^
verbunden sein mögen, im Zustande des wagerechten Schubes rjy so
verbiegt sich der Bogen nach Mafsgabe der Gleichungen:
EJ d*z EJdz r a \
wo
zu setzen ist.
--r^ = i?[(öCos/3
Man erhält daher:
EJ
. T Eo
smo] — -3-;8ro,
^0 YfE^
-^z = iy[cocos^ ^ sincD - ^ . -^^-,J;
Et^ rcö'cosö , , i\/i , «^X E l J -]
Von Adolf Fbahcks.
25
Der Wert ^ri verschwindet stete gegen 1, und wir erhalten, für
Fr
l a
r- = — , aus:
2r r '
-7r[«^ + i^ctg/J]«^^
«4l-^-^-/»cos^ctg/l+A^^.(/J + ctg^)]
in dem Klammerausdruck den allgemeinen Nenner zur Bestimmung
des, durch Belastung oder andere Einflüsse, erzeugten wagerechten
Schubes rj.
Wird abkürzend gesetzt: -B= 1 — ^— g— ^ — /3cos/Sctg/3, so hat
man nur diesen für drehbare aber unverschiebliche Auflagerpunkte
JE a T
gültigen Nenner B umzuschreiben in den Nenner B + ^- ^^(ß + ctgß),
am aus den für feste Drehpunkte gültigen Formeln die für elastische
Bindung gültigen Formeln zu gewinnen. Das nämliche Verfahren
bleibt sinngemäTs anwendbar auch für den allgemeinen Fall des flachen
oder übervollen Spitzbogenträgers.
Fig.S.
Der beliebig geformte Spitzbogenträger.
Abb. 2 zeigt das Bild des flachen Spitzbogenträgers, und um
dieses BUd in das BUd des Tunnelspitzbogenträgers zu verwandeln, hat
man Winkel y negativ zu wählen,
+ y mit — y zu vertauschen.
In gleicher Weise gelten daher
die hier für positive Werte y,
fOr den flachen Spitzbogenträger
aufgestellten Formeln, unter Ver-
tauschung von y mit — y, für
den Tunnelspitzbogen.
Der mit der elastischen
Zugstange des Querschnittes f
▼ersehene Bogen verbiegt sich
im Zustande 17 nach der Glei-
chung:
I Jf
*w
EJd^z , . . .
EJdz
r' dta
V
Q
a
iL
{cosA — cos iD — (flj — A)siny},
indem für a> = A im Symmetriepunkte C die Neigung -^ = 0 ist.
dt
rda
26 Dei^ Spiizbogenträger mit elastisch gebundenen, drehbaren Widerlagern.
Durch nochmalige Integration folgt:
EJ
z
=iy { (cos A + Asiny) (o — y) + si^y ~ »inaj — ~^ ^siny
lEJ
-p- {«7 + jgrctg A}nir « = 2 = — i?[5 + **
2rco8y^/'r"r
und 68 ist also für a> = y : 5, cosy = ~ ^, also gleich der Hälfte
der Yom Zuge r^ yeranlalsten elastischen Verlängerung der Zugstange.
Für l^2aj rcosy -« hj ergiebt sich bei nochmaliger Integration:
— 3- « ri |(cosA + Asmy)^^2^
+ (iD-y)smy + co8(o-cosy~^y |-+yJ8^y^6-:^^«(®-y)}
und es folgt hieraus durch die Betrachtung des Wertes:
wo B den allgemeinen Wert hat:
J5=cosy-2^-siny(/J + ?)-ctgA|/lcosA+(|' + l)8inyj.
Weil, Abb. 3, eine im Bogenpunkt 8 hangende Einzellast P, oder
p
gleichwertig zwei symmetrisch hangende Lasten -, im Bogen
mit unyerschieblidien Dreh-
punkten ÄA^j den wagerechten
Schub erzeugen:
mit dem Werte:
2Z=amy + co«y(^+ |*)
-«cosd(l + ?-^*)
+ ctgl[co6y(l + |*)
- CO« » (1 + ^— ) - e sin *] ,
so eneagt eine Eimdlast P •= 1
in dem, doreh eine elastische Zugstange gebundenen B<^en den wage-
lechten Schub
•i -
Z
• E J~
*+V^/>»^^ + **8^)
Von Adolf Fba&xkb.
27
Zwei symmetriscliey wagerechte Kräfte 5=1 erzeugen im Bogen
mit unyersdiieblichen Drehpunkten AÄ^, im Scheitel den wi^erechten
Schub 2iy, mithin den Wi-
Fig. 4.
derbigerschub 2iy — 1 mit
dem Werte:
(2,-l) = J,
WO
+ eo8*(?^7A*-l)
ß* 008 X
+
2
2^-
+ ctg A f/S COS A — e cos d
ist. Dieser Wert folgt aus der Differentialgleichung:
HÄdiJ ^ (^^ "~ ^) (8^® - 8^^y)i + sin CD - sin*
und den Integralen dieser Fig.$.
Gleichung gemäfs der Be-
dingung:
w + j? ctg A = 0 für o = A.
Im Bogen mit durch
eine Zugstange des Quer-
schnittes f elastisch ge-
bundenen Widerli^em wird
daher durch zwei symme- ^
trisch wirkende wagerechte
Einzelkräfte 5 = 1 im
Scheitel der Schub 2iri^ und also in der Schubstange der Schub 21^
erzeugt mit dem Werte:
21? - 1 = r..-^
-1
»+(?)(|)(p)*+"^'>
Eine einzige wagerechte Kraft 5=1 erzeugt mithin den aus dieser
Torstehenden Gleichung fliefsenden Zug der Schubstange 17 , wenn
Abb. 5 das Widerlager A unverschieblich ist, das Widerlager A^ als
solches keinen Schub aufzunehmen vermag; sondern frei auf der Wage-
rechten gleitet. Im umgekehrten Falle, wenn, Abb. 6, A freiverschieb-
28 D. Spiizbogentr. mit elastisch geb., drehb. Widerlagern. Von Adolf Fbucee.
lichy Ä^ onverBchieblich ist^ so ist der Wert 17 ans der Gleichung zu
nehmen:
wobei der Zahlenwert tj negatiy ausfallt, also Druck bedeutet ftr die
N^ebenstange, wie am einfachsten durch die Betrachtung eines, im Zu-
Fig. 6. Fig. 7.
\\ / ^^
stände des Scheitelschubes ^=» 217 + 2 befindlichen, symmetrisch durch
zwei Einzellasten 5=1 belasteten. Bogens, mit den Eämpferschüben
2iy + 1, hervorgeht.
Für den Tunnelbogen, Abb. 7, ist y mit dem negativen Zeichen in
die vorstehenden Formeln einzufahren, insbesondere gilt daher fär den
Tunnelbogen der allgemeine Wert:
5„ cosy - ^^1^ + ßiny (/J + I*) + ctgA[(l + ^^siny - /JcosA}
D. Problem d. f3nf u. drei Strahlen in d. Photogrammetrie. V. Eduard DoleLll. 29
Das Problem der fOnf nnd drei Strahlen
in der Photogrammetrie.
Von Eduard Dolbzal in Leoben.
Mit einer Tafel.
Einleitimg.
In den letzten drei Jahrzehnten hat die Photogrammetrie vor-
nehmlich durch deutsche Forscher nach allen Richtungen hin eine ver-
tiefte^ wissenschaftliche Durchbildung erfahren. Neben der reinen
Mathematik und darstellenden Geometrie wurde auch die projektive
Geometrie mit Erfolg herangezogen^ und eine Reihe höchst interessanter
photogrammetrischer Probleme fand wissenschaftliche Behandlung und
elegante Lösung.
Gelehrte wie: Finsterwalder^ Jordan^ Hauck, Koppe u. s. w.
stehen neben dem Schöpfer dieser Disziplin Laussedat mit der theo-
retischen Entwicklung der Photogrammetrie in innigstem Zusammen-
hange.
Auch der instrumentelle Teil der Photogrammetrie wurde nicht
Temachlassigt. Typische Instrumente wurden geschaffen; so Prof. Dr.
Anton Schells photogrammetrische Apparate: ein Universal-Photo-
theodolit, ein photogrammetrischer Stereoskop-Apparat und eine Yor-
richtong zur bequemen Ausfuhrung photogrammetrischer Rekonstruk-
tionen^ wovon die beiden letzteren Apparate leider noch nicht zur
Veröffentlichung gelangten; die Koppeschen Konstruktionen: Photo-
theodolite für geodätische^ meteorologische und astronomische Zwecke^
ferner Phototheodolite von Paganini und Baron Hübl für phototopo-
graphische Arbeiten^ der interessante Phototheodolit des Englanders
Bridges Lee u. s. w.^ Apparate^ welche bekunden, dafs man die in-
strumentelle Seite der Photogrammetrie reiflich studiert und vor-
gefafste Ideen in tadellosen Erzeugnissen der Präzisionsmechanik zu
Terwirklichen verstanden hat.
In der Theorie und Praxis der Photogrammetrie bieten besonders
so
Dan Problem der fünf und drei Strablen in der Photogramnietrie.
jene Probleme reges IntereBse, die sich mit der photogrimimetrischea
FestleguBg des Standpiinktes befassen und dadurch nnch erhöhte Be-
deutung gewinnen, dafs sie gleichzeitig auch die Ermittelung der per-
spektivischen Konstanten der photo graphischen Camera und de«
Orientierungs winkele der Bildebene im Räume ermöglichen- Die per-
Bpektivischea Konstanten der Camera sind für den photogram metrischen
Apparat als Individuum und die Kenntnis des Orientieraugswinkela ist
flir eine ausgeführte photogram metrische Aufnahme von ausschlag-
gebender Bedeutung.
In folgender Abhandlung sollen zu zwei Problemen erwähnter Art
neue Lösungen gegeben und an speziellen Beispielen beleuchtet werden;
es sind dies:
1. Das Problem der fünf Strahlen und
2. Das Problem der drei Strahlen.
I.
Das Fünfstrahlen -Problem.
Diese Aufgabe besteht in folgendem: Fünf Punkte P^ P„ P„ P,
und P^ sind der horizontalen und der vertikalen Lage nach bekannt;
gegeben sind ihre rechtwinkligen Koordinaten: (j^, y^), (j^^, y,), (a:„ j/,),
(«g, y^) und (x^, i/J, sowie die absoluten Höhen: H„, H^, H^, H, und S^.
In einem sechsten Punkte, dem Standpunkte, wurde auf einer
vertikalen Ebene eine photo graphische Au&ahme ausgeführt; man soll
aus den Abszissendifferenzen: (/„ d^, tl^ und d^ der Bildpunkte
a) die L^e des Standpunktes,
h) die perspektivischen Konstanten der Camera und
c) den Orientierungs Winkel der Bildebene bezw. der Bilddistanz
bestimmen.
Diese Aufgabe wurde zum erstenmale in den 80er Jahren von
H. iVIüller in Freiburg gelegentlich anderer Untersuchungen aufgestellt
und vom Standpunkte der neueren Geometrie gelöst. Müller ging auf die
praktische Anwendung der Aufgabe nicht ein. Professor dipl. Ingenieur
Franz Steiner von der k. k. deutschen technischen Hochschule in
Prag hat, ohne von der Arbeit Müllers Kenntnis zu haben, eine rech-
nerische und graphische Lösung dieser Aufgabe gegeben'), und Steiner
gebührt auch das Verdienst, diese höchst interessante Aufgabe unter
,Die Pliotographifi im Dienste de* In-
J
Von Eduabd DoLBiAL. 31
dem Namen: „Das Problem der fBnf Punkte^ in die photogrammetrische
Praxis eingef&hrt zu haben.
Der k. und k. Hauptmann J. MandP) zeigte in einer inter-
essanten Arbeit; wie diese Aufgabe^ gestützt auf die Gfrundsätze der
modernen Algebra^ analytisch einfacher gelost werden könne und ent-
wickelte durch eine direkte Konstruktion, welche mit EQIfe von Zirkel
and Lineal allein ausgeführt werden kann, die Lage des Standpunktes
und der Bildebene , sowie die Gröfse der Bildweite , im Gegensätze zu
Steiner, dessen konstruktives Verfahren mühsamer ist, indem es punkt-
weise Konstruktion mehrerer Kegelschnitte erfordert.
Anmerkung: Was die Benennung der Aufgabe betrifft, so möge
nachfolgende Bemerkung und der daran sich knüpfende Vorschlag er-
wogen werden.
Bekanntlich wird in der Geodäsie der Vorgang, wobei die Be-
stimmung der Lage eines Punktes durch blofse Wüikelmessung erfolgt
und ausschliefslich Operationen im Standpunkte erheischt, als Ein-
schneiden bezeichnet. Für das Einschneiden ist die Festlegung von
Strahlen, Visuren, mafsgebend, die vom Standpunkte nach den der
Lage nach gegebenen Punkten gehen; nach deren Anzahl wäre daher
logischerweise das Problem zu bezeichnen.
Die Bestimmung des Standpunktes bei fänf der Lage nach ge-
gebenen Punkten erfolgt durch Festlegung der fünf nach den gegebenen
Punkten gehenden Strahlen, somit wäre diese Aufgabe, wie wir es auch
gethan haben, als „das Problem der fünf Strahlen^' oder „Fünfstrahlen-
Problem^' und folgerichtig das Rückwärtseinschneiden dla „Das Problem
der drei Strahlen'^ oder „Dreistrahlen-Problem" zu benennen.
Nachfolgend soll auf eine trigonometrisch -analytische Losung des
Problems eingegangen werden, die bei überschüssiger Anzahl von ge-
gebenen Punkten eine bequeme Anwendung der Sätze aus der Methode
der kleinsten Quadrate gestattet.
In Tafel I, Fig. 1 bezeichnet B. E. die Horizontabpur der im Räume in
Tertikaler Lage gedachten Bildebene, Platte oder auch des Positivs der
photographischen Aufoahme, p^, p^, ft, p^ und P4 sind Perspektiven
oder Bildpunkte der Originale: Pq, P^, P„ P, und P^; pi, p[, pi, pi
und pi sind Projektionen dieser Bildpunkte auf den angenommenep
Horizont der Perspektive (des Photogrammes) HH]
pipi'^ rfj, Popi = e^, PoPa =- d^ ... pipi, = d„
1) Juliaa Mandl: „Über Yerwertung von photographischen Aufnahmen aas
dem Luftballon'* in den „Mitteilungen über Gegenstände des Artillerie- und Genie-
We»en8'* XXIX. Jahrgang, Wien 1898, S. 166.
32
Da« Problem der fünf mul drei Strahlen in der Pliotograminetiie,
sind die Äbszissendifferenzen der Bildpimkte, welche anbekümiDert um
die Lage des Hauptpunkt«» der Perspektive £1 in der Ricbtong des an-
genommenen Horizontes HH entweder auf dem Negative oder einem
ungetonten Papierpositive mit Schärfe gemessen wiirden.
Die gegebenen Punkte sind durch ihre Koordinaten:
?.(».,».). f,(^„»,), P,(^„9,)...P.(^.,!(.),
ebenso auch der Standpunkt P durch [x, y) gekennzeichnet.
Betrachtet man den Punkt P^ als Pol and eine durch denselben
gezogene zur x- Achse parallele Gerade P^x' als Polanchse, so mögen
bedeuten:
t\, Tj, fj ... r, und r
die EUdienvektoren und
9„ »i, fl, . . . ö, und e
die Richtungswinkel; wird hingegen die Station P ala Pol anfgefabt
bei Annahme einer gleichen Richtung der Polachse, so aollen mit:
die Leilatrahlen und mit:
, a, .
die PolwinkeJ bezeichnet werden.
Der Abstand des Punktes P, welcher sogleich auch das Zentrum
des perspektivischen Bildes. Photognunmea, ist, von der Bildebene BE
stellt die BUdweite f dar, und der Winkel y, den die Richtung dieser
mit dem Strahle PP^ = Po = '' einschliefst, ist der Orientienmgswinkel,
durch welchen die Bilddistanz und damit auch die Bildebene orien-
tiert wird.
Nachdem wir hiermit an der Hand der Tafel I, Fig. 1 einige not-
wendige Erkliningen gemacht haben, schreiten wir rar Lösung nnser^
Aufgabe, wobei wir unterscheiden wollen:
1. „Einehe Ponktbestimmung^. wenn cur Beetimmong der gesuchten
Oröfsen nur so viele Be^stimmungsstücke herangezogen werden, als
gerade erforderlich sind, und
^, „Mehrfache Punktbestimmung^ hingegen, wenn eine überschüssige
Anzahl von Beatimmungsstficken verwertet winL
EinlkdM B«stisBUf .
IVr Standpunkt wird festgelegt sein, sobald man aeine Polarkoor-
düiattfu r und tt kennt, bezogen auf P, ab Pol and P^x' ala Polar-
Von Eduard Dolbzal.
33
achse. Zur Festlegung der Bildebene reicht die Kenntnis der Bildweite
f und des Orientierungswinkels y vollends aus.
Es sind somit vier Unbekannte: r, S, f und y^ zu ermitteln.
Die Richtungswinkel der einzelnen Polstrahlen ergeben sich aus
den gegebenen Koordinaten:
tgö, = y^^=y^
_ Vt — Vo
(1)
tgö,
•C| «Cq
•«^ •*'0
und die Leitstrahlen durch folgende Gleichungen, die erwünschte Kon-
trolen bieten:
(2)
n =
_ yi— yp _ gl— ^0 _
sindj
yt
008 0^
= V(xi - ojo)' + (yi - y.)'
*•*= TS? = ^ - V(^* - ^o)' + (y* - yo)».
Nun kann man an die Aufstellung jener Gleichungen gehen, die
zur Berechnung der Unbekannten fuhren.
Die Tangente des Horizontalwinkels a^ zwischen den Yisuren vom
Standpunkte P nach den gegebenen Punkten P^ und P^ läfst sich, wie
aus Tafel I, Fig. 1 ersichtlich ist, doppelt ausdrücken.
Aus den Dreiecken: FF^P[ und Pp^p'^ erhält man:
tg«i - tg(ai, - o3o) = ^ = ^•
Nun ist aber:
(P'iPi ==^^osy
coty
und
PlP; = »-18111(6-00
TP[ -r-riCos(e — ö),
wdche Ausdrücke, in die Tangente eingesetzt, geben:
(3) tg«, = tg(a»i - Oo) j
d( COB y
— c2i ainy
r — riCO8(0 — 0,)
coBy
Z«itMlirift f. Haihemfttlk a. Fbyiik. 47. Band. 1902. 1. u. 9. Heft.
34 I)&8 Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
Werden hier die trigonometrischen Funktionen der Winkeldi£ferenz
(6^ — S^) entwickelt und die gewonnenen Aasdrücke entsprechend re-
duziert^ so ergiebt sich:
^^^^^^^^ -»^i8möi^^^ + ridiCOsö,cos(ö + y)
+ ridl|Sinöjsin(ö + y) — dircosy = 0
oder, durch r cos y diyidierty auch:
In vorstehendem Polynome stellen die eingeklammerten Quotienten
Unbekannte dar, für welche wir die Symbole einffthren:
(5)
f fmnO
rcoB*/
=
m,
fcoBB
rco8*y
—
n,
008 (0+y)
-
P,
rcosy
8in(ö + y)
=
5,
^ rcos/
die Form a
inr
liinin
(6) Tj cos 6^m — fj sin0^n + >*i^ cos ö^p + r^d^ sin ö^g = d^.
Zur Bestimmung der vier neuen Unbekannten: m, n, p und q reichen
yier Gleichungen aus^ die auf ähnliche Weise erhalten werden wie die
Torstehende Gleichung (6).
Wir erhalten:
(7)
FürdenPunktPj...riCosöim— rjSind4n+ridiCosöiP+ridiSindig=£ii,
P^...r^cose^m-r^mie^n+r^d^cose^+r^d^Hine^q=d^,
„ P^...r^coBO^m—r^wi0^n+r^d^GosOjp+r^d^sm0^q^d^
W ff
ff »
ff
ff
y ff ff
ein Gleichungssystem y aus welchem die yier Unbekannten bestimmt
werden können.
Da sich die Produkte r^ cos S^ und r^ sin 9, nach den Gleichungen
(2) durch Koordinatendifferenzen ausdrücken lassen, so können wir (7)
auch schreiben:
Von Eduakd DoLciAi..
35
(8)
(a;, - x^m- (y» - y^)n + d^ix^ - x^)p + d^iy^ - y^q = d^^
(aj, - x^m - (y, - y^)n + <^(a;, - x^jp + <^(y, - y«)« = ^ty
{xt - «o)m - (y, - yo)« + <^(«j - aJo)^ + fl^(y» - yo)« = <^>
^3^4 - «b)»» - (»4 - yo)» + <^4(a;4 - »o)P + <^4(y4 " Vo)« = ^i>
oder auch:
(9;
dt
m —
m —
ys—yo
Die Unbekannten bestinmien sich durch:
(10)
n
^p
1>--^
l?
worin ^ die DetenninAnte des Systems und ^^^ d^y ^p nnd /l^ jene
der Unbekannten bedeuten , berechnet aus einem der identischen Olei-
chungssysteme (7), (8) oder (9).
Sind auf Orund der Gleichungen (10) die neuen Unbekannten be-
stimmty so ergeben sich nach einjhcher Rechnung aus denGleichungen (5):
^a) Für die Polarkoordinaten des Standpunktes:
jpCOSy
(11) < b) Für den Orientierungswinkel der Bilddistanz:
c) Für die Bildweite der Kamera:
y, mco%y COB {fi + y)
' *" jp Bin 0
Die Torstehenden Gleichungen kann man in eine andere Form
3'
36 Du Problem der fBnf und drei StnUen in der Photogrmmmetrie.
bringen, falla die trigonometrischen Fonktionen dnich die GrS&en m,
n,pxmdq ansgedrfickt werden; es ergiebt sich:
(12)
r =
mq + mp
/•=
mq + np
p' + q*
Nachdem durch die Gleichungen (11) bezw. (12) die yier Unbe-
kannten: r, S,f, und y beetimmt eracheinai, so kann die endgiltige
Losung des Problems gegeben werden:
(13)
a) Die Lage des Standpunktes
(timmt durch die rechtwinkligen Koordinaten:
{X = x^ + r cos d
y = yo + rsine,
die nach EinfBhrung der Polarkoordinaten aus (11
gehen in:
x = Xa + - ^ ^/'
ll)
y = yo +
oder:
pcosy
rin g coe (g + r)
= ^ + i
y = fo +
q + ^P
mq + np'
b) Die Orientierung der Bildebene,
welche durch den Horizontalwinkel y, bezogen auf P als Scheitel oder
Pol und PPq als Radiusvektor, bestimmt erscheint:
nq — mp
(H)
tgy =
mq + np
c) Die perspektivischen Eonstanten der Kamera,
welchen zu rechnen sind:
1) Die Büdweite /",
2) Der Horizont und die Vertikallinie resp. die Lage ihres Schnitt-
punktes, des Hauptpunktes der Perspektive.
Von Eduard Dolezal.
37
Die Lange der Bildweite ist unmittelbar durch die Gleichungen
(11) und (12) gegeben:
. ^ iif cos y COB (0 + y)
\f=p-
(ni)
sin 6
oder
l>' + 5'
Nebenbei sei die interessante Beziehung angefügt^ welche zwischen
der Bildweite^ den Eoordinatendifferenzen x — Xq, y — y^ und den Hilfs-
yariablen: m, n, p und q besteht^ nämlich:
1 n
(14)
« — X, p* + 2*
1 m
y—yoP* + 9,*'
Die Lage des Hauptpunktes der Perspektive Hy durch welchen die
Vertikallinie VV parallel zu den Bildern von vertikalen Linien im Baume
hindurch geht, wird durch die Abszissen der Bildpunkte Po^PifP^fP^
und p^ festgelegt^ nämlich:
6i = So - ^1 = ßgy - ^1
(IV)
S4 = 5o-^4 = /'tgy-rf4-
Ehe die Lage des Horizontes bestimmt werden kann^ ist es er-
forderlich^ noch einige Grölsen zu ermitteln; so die Azimute der von
P ausgehenden Radienvektoren: Qq^ Qd'" 9a ^^^ diese selbst.
Wir erhalten:
(15)
® * X^ — X
\^ * x^ — x'
und die Horizontalwinkel zwischen den einzelnen Leitstrahlen imd der
Polarachse PPq ergeben sich mit:
«1 = ®i — ©0
(16) «.-a».-".
1^4 = ©4 — CDq,
38
Dm Problem der fünf und drei Sirahlen in der Photogrammetrie.
deren Tangenten sich durch die Eoordinatendi£Eerenzen ausdrücken lassen:
f„^ x-/^ ^\_(a\)--g)(yi — y)-(^— g)(yp-y)
*«"«'' *8(^>'"'"^)~(^-«>(^-a^) + (y.-y)(y«-y)
(17)
(«0 — «)^y4 — y) — («4 — ^)(yo — y)
f <T ^ « f *»/'/« «1 ^ = v^o **^/'y4 — yy — v««^4 ~ »^yyyo y;
woraus sich:
Neue Ausdrücke für die Winkel a, die zugleich eine angenehme Bech-
nung und erwünschte Eontrole gestatteten, würden aus den einzelnen Drei-
ecken: PP^P^y PPqP^ ' ' • mit Anwendung des Sinussatzes gewonnen.
Aus dem Dreiecke PP^P^ ergieht sich die Proportion:
r : fj « sin [(0 — 0^) + o^] : sin Oj,
, Tj 8in(ö — ö,)
^^ ™ r — riCÖB(0-^)
und analog:
, r, sin (0 — 0,)
^^ '^ i^- r, coB (ö — 0,)
fcr« « ^™(^ — ^4)
berechnet.
Die Leitstrahlen (>o^ Pi * * * ^4 ergeben sich mit Zuhilfenahme der
Eoordinatendifferenzen und der in Gleichung (15) berechneten Azimut«
derselben mit:
av, — a?_yo — y
(18)
(19)
Po-=
Pi =
COB 10«
008 10,
sinoo
«yL_Tiy
sino).
yö^T^^)* + (y« - y)'
Ip«
C08«a
--S^=>^(*4'-*)* + (y*-y)'-
Andere Ausdrücke hierfür ergeben sich bei Verwendung der polaren
Koordinaten r und 0 durch Anwendung des Sinussatzes auf die Drei-
ecke: PPoPi, PPoPf •und zwar:
^ 8in(0 — gj ^ Bin (0 — OJ _
^1^ Bin«, ^» ~ 8in(0 — Öl + «,)*"
(20)
^2
Binffl — g,)
Bincr,
Bin (0 — 0,)
*"> Bin (0 — 0, -f oc,)
= ™ (^ — ^4) __ Bin (0 — 0 J
.^* Bin «^ *"* "" Bin (0 — 0^ +'a«)^*
Von £duari> Dolb£al.
39
Jetzt kann an die Bestimmung resp. Überprüfung des Horizontes ge-
schritten werden.
Die Abszissendifferenzen:
^ = 5o — ^
(21)
^4 = 60-64;
die unmittelbar auf dem Photogramme oder Positive gemessen werden
können^ beziehen sich auf eine angenommene Richtung des Horizontes.
Wird diese Richtung fienkrecht zu den Bildern von in der Natur ver-
tikalen Linien gewählt und kann die Bildebene als vertikal im Räume
Toransgesetzt werden, was aus dem parallelen Verlauf der Bilder verti-
kaler Geraden mit Sicherheit erkannt wird^ so ist die gewählte Horizont-
richtung die richtige.
Sollte jedoch eine Differenz beider Richtungen, der angenommenen
und wahren^ bestehen ^ so läfst sich diese nachfolgend am einfachsten
feststellen.
Wir berechnen die Abszissen: So? Si * • • 64 nii* Verwendung der
berechneten Bildweite f und der Horizontalwinkel: ^9 «i - - * c^« und
erhalten:
K = ftg{y - «4)
nnd bilden hieraus die Abszissendifferenzen:
(23)
iö-s;=*.
Werden die Differenzen aus (21) und (23) einander gleich, also:
^1 « d|, *2 = <ii • • ., *4 "= ^4;
so fallt die angenommene Li^e des Horizontes mit der wahren Lage
zusammen.
Sollte es sich ereignen, dafs die berechneten Abszissenunterschiede
mit den gemessenen nicht übereinstimmen, so ist dies auf den Einflufs
der nicht richtig angenommenen Horizontalrichtung zurückzuführen,
40 I^M Problem der fönf und drei Strahlen in der Photogranunetrie.
und es müfste die Berechnung der GröÜBen: r, 0, f und y mit Zugrunde^
legung der berechneten Werte: d^y 's * * '^ '4 wiederholt werden. Erst
dann würde man für die Gh-öUsen: tj 6, f, .y und alle aus denselben
abgeleiteten Ausdrücke Werte erhalten^ die als endgiltige Werte zu be-
handeln wären.
Durch das Torstehende Verfifthren wird bloUs die Richtung des
Horizontes geprüft, und es erübrigt nunmehr, seine L^e in Bezug auf
die Bilder der benutzten Objekte festzulegen.
Kennt man die Hohen der benützten Punkte: B^, ^1 * * '9 ^4 ^^^
die Höhe des Instrumenthorizontes über derselben Vergleichungs-
ebene H und sind y^, Vi' ' 'y Va ^^ Ordinaten der Bildpunkte, be-
zogen auf den wahren Horizont des Photogrammes, so ei^ebt sich
unter der Voraussetzung, daCs der Apparathorizont tiefer liegt als die
herangezogenen Punkte, also jEr< iS^, H^' -- H^ ist^ aus den ähnlichen
Dreiecken: CP^Pn und Cpj»' (Tafel I, Fig. 2):
Sf,:(fl.-Ä) = ^
wobei y das Azimut der Bilddistanz, a^ das Azimut des Strahles q^j
bezogen auf den Leitstrahl ^0 =" *" bedeutet Liegen die Bildpunkte
rechts Ton der Vertikallinie, so int y <a^ hingegen, wenn y> On ist,
so befinden sich dieselben links Ton der Vertikallinie, ToraoBgesetzt^
dafs P^ links liegt; in jedem Falle kann in der vorstehenden Proportion
cos {y ~ On) gesetzt werden.
Die richtige Ordinate des Bildpunktes Ton P« wird sein:
^ ^ e, <»« ur — «O
m
Auf Grand dieser Gleiclnmg erhalten wir für die Ordinaten der
Bildpunkte:
{H^-Bf
:?o)
^ ei «>• v7 — «i'
wobei noch bemerkt sei« dafs die Hohe des Instromoithorizontee sieh
tosaamefis^at aus der Hohe de« Standpunktes k und der Hohe des
Hi\nzont«s über dem Standpunkte.« der Instrumenthohe /, abo:
Von Eduaju) DolbSal.
41
Werden nun die berechneten Ordinaten: y^, tfi - ' - ffi von den Bild-
punkten p^, Pt'-'Pi ftus in entsprechendem Sinne in der Richtung der
Vertikallinie aufgetragen^ so ergeben sich die Punkte Pq, p'i - - - p'4, die
als Projektionen der Bildpunkte auf den wahren Horizont zu betrachten
sind und miteinander verbunden die wahre Lage des Horizontes an-
geben.
Aus der Gleichung (24) lalst sich die relative und auch die ab-
solute Höhe eines jeden Punktes ^ bezogen auf ein und dieselbe Ver-
gleichungsebene^ berechnen, vorausgesetzt, dafs die Ordinaten des wahren
Horizontes bekannt sind; es ist nämlich:
(26)
Vnfn
und
VnQf
fl, = ff+cos(y-an)^
Hat man jedoch die Ordinaten der Bildpunkte in Bezug auf den
angenommenen, genäherten Horizont gemessen und zwar: rj^^ Vi' ' * V^y
80 ergeben sich nach Einsetzung dieser Werte statt y in Gleichung (26)
nur Näherungswerte für die Höhen:
(27)
J3; = fl-+co8(y-tfi)'?^^
v*<>*
^ITi =flr+ cos (y-aj'^-
Werden nun diese genäherten Höhenwerte mit den gegebenen
Höhen: Hq, H^,- - * H^ verglichen, so entstehen Differenzen:
(28)
die, wenn sie gröfsere Beträge erreichen, abgesehen von den kleinen
Fehlem in q, f, y und a in erster Linie ihren Grund in den fehler-
haften Ordinaten rj haben und lehren, dais der angenommene Horizont
mit dem wahren sich nicht deckt.
Werden nun die Differenzen aus den gerechneten und gemessenen
Werten der Ordinaten gebildet:
42 ^^ Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
(29)
yo - ^0 = ^Vo
so müssen diese Differenzen in ziemlich gleichem Betrage und, was
besonders wichtig ist, mit gleichem Vorzeichen anftreten.
Eleine Variationen um den Mittelwert:
^y-±
5
wobei ^yo, ' - ''^yi absolut zu nehmen sind, üben keinen EinfluJE auf
die weiteren Schlüsse, nur müssen sich die Schwankungen innerhalb
der statthaften Grenzen bewegen.
Der Mittelwert ^y >fitgt, um welclieiL linearan Beteg der ange-
nommene Horizont zu Terschieben ist und das übereinstimmende Vor-
zeichen giebt die Richtung der Verschiebung, an.
Sollte es sich ereignen, dafis die Höhe des Standpunktes resp. des
Instrumenthorizontes nicht bekannt wäre, so kann man aus d^i Glei-
chungen (27) Näherungswerte für dieselbe gewinnen; wenn man in
denselben statt der Näherungswerte der Hohen: J9^, J?j, • • • J9^ die
bekannten Höhen: H^. H^* - - H^ einsetzt. Es werden sich Betrage er-
geben, die Ton dem wahren Werte H mehr oder weniger abweichen
werden, also:
JI' = S,-cos(y-a,)5L?i
(30) is" = J^-cos(y-«,)'^
ir^=ir^-co8(y-oj5^
f
und ein wahrscheinlicher Wert der Horizonthöhe wird das arithmetische
Mittel sein:
(31)
2f =
2.
MehrflMhe Bestimnung,
Eis seien allgemein n Punkte ihrer horizontiJen und yertikalen Lage
nach gegeben und auf einer yertikalen Ebene photographisch fixiert
Von Eduard Dolszal.
43
worden; auf dem Photogiamme habe man die Abstände der einzelnen
BUdpunkte Po> A - • • !><• ^on einem zum Anfangspunkte gewählten
Punkte, z. B. p^^ mit aller Schärfe gemessen und erhalten: d^, d^ . . .dn,
so handelt es sich, wie bei der einfachen Punktbestimmung:
a) um die FesÜegung des Standpunktes,
b) um die perspektivischen Konstanten der Kamera und
c) um die Orientierung der Bildebene im BAume.
Auch hier werden zuerst vier Unbekannte: r, 0, f und y zu er-
mitteln sein, zu deren Berechnung sich (n — 1) Bestimmungsgleichungen
aufstellen lassen, so dafs (n — 1) — 4»=n — 5 Bestimmungsgleichungen
fiberschüssig erscheinen.
Aus diesem Gh-unde kann man die Sätze der Methode der kleinsten
Quadrate zur Anwendung bringen und die wahrscheinlichsten Werte
der Unbekannten bestimmen.
Vorerst erscheint es geboten, bei Annahme des Punktes Pq als
Pol die Azimute und Badienvektoren der einzelnen Punkte zu er-
mitteln.
Für die Richtungswinkel folgt:
(tffO, =
(1)
Vi —Vo
tge,^
_ yi — y<i
^
X»
^Vn — ya
und f8r die Leitstrahlen ergiebt sich:
(2)
r, =
_ yt — yp «1 — a?,
sin Ol
cobOj
^ yi — y^ ^ a^
— x^
flinO,
008 0,
= 1/(0:, - ^ro)« + (y, - yo)>
v^« sin ft
yn — yp _ «« — /»o
cosO.
^ViXn-X^y + iyn-y^^.
Analog wie bei der „Einfachen Bestimmung^' läfst sich auch hier
eine Bestimmungsgleichung aufstellen von der Form:
(3) Tn cos ö^m — r« sin 0nn + udn cos OnP + r^d» sin B^q = d^ ,
worin m, n, p und q die Bedeutung haben:
44 I^^B Problem der fünf und drei Strahlen in der Phoiogrammetrie.
(5)
l«^
(4)
m =
n =
P
^2
fsmO
r 008*7
fcoBd
rcos'y
rcosy
8in(0+_y)
rcoBy
BestimznungBgleichungen von der Form (3) lassen sich im Ganzen
{n — 1) aoÜBtelleii und zwar:
Pur den Punkt Pj , . . r^ cos O^m — r^ sin 6^1% + r^diCOBd^p + r^diSrnBiq
„ „ ;, P, r^cosO,!» — r, sind,n + r,d^cos0jp + r,rf,8iiiö,3
99
W
91
r„ cos Onfn^Vn 8in0«n + r^dn cos dnP+rndnSm6nq = rf«
oder anchy wenn man Koordinatendifferenzen einführt:
^x, - Xo) m - (y, - yj n + d^ (x^ - a^o) i> + rf, (y.
(«)
^^« - Jro)m - (y. - y«)« + d^(xn - Xo)^ + rf.(y. - y©)? = <i--
>n
Diese Gleichungen führen auf die folgenden vier Normalgleichungen,
deren Bildungsgesetz in der Theorie der kleinsten Quadrate begründet ist:
[(r cos ey] m-[f^ sin 0 cos 0] n + [r^d cos* ff]p + [r»d sin0 cos0] 9 == [rd cosö]
|Hsin«co8»liii - [(rsinO)*]!! + [r*dsin«cosO]/> + [r»rfsin»0]gf « [rdsrnS]
[i^rco8»)*<f]iM~[Hdsin»co8e]ii + [i^rrfcosö)*]p+[(rd)*sin»cose]g==[r«?cosÖl
li^rf8in»cos01iN-[i^isin»)VjM+[(rd>*sin»co80]p+[(rd8in»)^g = ^
Die TOTstehenden Normalgleichungen können mit Bei^cksichtigung
der Form der Gleichungen (6) auch geschrieben werden:
[yx - x^\y - J^^liH^Uy-ÄVJn-u U\T^j^y3f^ff;}]p+[d[jf^fh)^ ?=[d(y-!/o)
[vx - x^^*rfl m - l^vx - x^^ ^y - y,^l m + [iP[x - xj*]p
^ Ic^^x - x^ K9-9.^]q- [d'ix - ^0)
k^ - V Vjr - !h>^f] ^ - l'» vy - ?r<, ^1 H - [*P X - x^ vy - y,)]|>
Di<^ wahrscheinlichsten W^ari« d^
den X\NniiaIgl«ichuttg«ii mit:
neooi ünbekanntm folgen aus
(9)
Von Eduabd DolbSal.
f ^m
<
2),
45
wobei D die Determinante des Systems und Dm, Dn, Dp nnd Dq jene
der Unbekannten bedeuten und sich in bekannter Weise aus (7) oder
(8) bestimmen lassen.
Durch Substitution der vorstehenden wahrscheinlichen Werte von:
m, n, p und 9 in die Gleichungen 1., (11) bezw. (12) resultieren die
wahrscheinlichen Werte der Polarkoordinaten r und 0 des Standpunktes
der Bildweite f und des Orientierungswinkels y.
Die Gleichungen: (1), (I), (ü), (IQ) (IV) geben die wahrschein-
lichen Werte der recht winkligen Koordinaten der Station u. s. w.
Die bei ^^infacher Bestimmung'^ aufgestellten Bestimmungs-
gleichungen f&r die Azimute m, die Horizontal winkel Xy die Badien-
vektoren q lassen sich auf n Punkte ausdehnen.
Die Überprüfung resp. Bestimmung des Horizontes kann in ana-
loger Weise wie unter 1. geführt werden^ ebenso die Höhenermittlung.
Samtliche mit Benutzung der wahrscheinlichen Werte der neuen
Unbekannten aus Gleichung (9) durchgeführten Untersuchungen ergeben
wahrscheinliche Werte.
3.
Genanigkeits - üntersnchiingen.
a) Einfache Bestimmung.
Die rechtwinkligen Koordinaten der gegebenen Punkte können als
fehlerfrei angesehen werden^ somit sind nur die Abszissendifferenzen:
d^, d^, d^ und d^f wenn vorerst die einfache Punktbestimmung ins
Auge gefEifst wird, mit gewissen Fehlem: ^d^j ^d^j ^d^ und ^d^y
behaftet, welche ihren Einflufs in erster Linie auf die neuen Un-
bekannten: my n^ p und g und dann auch auf die gesuchten Gh*öfsen:
r, 0i Xy y sowie fy y und x^y welche als Funktionen derselben er-
scheinen, ausüben.
Nach den Sätzen der Methode der kleinsten Quadrate über den
mittleren Fehler einer Funktion erhalten wir für den mittleren Fehler
der neuen Unbekannten:
46 I^M Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetiie.
(1)
Die partiellen DiJBferentialqaotieiiten in den vorstehenden Gleichnngen
können in einfacher Weise aus den Gleichungen (1) und (10) abgeleitet
und hierin eingef&hrt werden.
Da nun die gesuchten Unbekannten:
(2)
m
'i^(» + y) = f
-__«iCO8yCO8(0 + y)
r =
8in0
pcosy
als Funktionen Ton m, w, p und q auftreten, so lassen sich ihre
mittleren Fehler nach dem bei den Gleichungen (1) angewendeten
SalM der Fehlerrechnung au&tellen.
Der mittlere Fehler Ton 6 wird sein:
(»^
^. - ± ».•.>'C'j«-T^-' + ("?)'^-'.
worin die partiellen Differentialquotienten aus (2) gefunden werden mit:
V dm ) n m
/rftg^V III ig«
imd jiomit winl der mittlere Fehler des Winkels 9:
^i>
oder auch:
■'•-±'^,"]C)'+l-i")'
lu ihnUoh^ W<^9i^ kann ^H^f^rt d^ mitd^f^ Fehler fBr den
ir
Von Eddakd DoLsiAL.
47
(4)
Die aUgemeine Form des mittleren Fehlers der Bildweite /"lautet:
worin die partiellen Differentialquotienten sind:
co8)rco8(0-f* y)
l
m
(d/'\ cos'y m _ 1 ^
psinO
mco8)r co8(0 4~ 7) 1 /*
Bin(0 4- 27)
sinO
m8iii(04-2y)
coByeo8(0-|~y)
/•,
welche, in die Oleichung für z//* eingeführt, geben:
(in)
Der relative Fehler der Bildweite betragt:
/ rVw/'^Vp/"'" \rjp8inÖ/ "*" \co8y co8(Ö + y)/ '
Der mittlere Fehler im Leitstrahle r ist:
(5)
wobei
z/r
y©v+gj)>+©'^»'.
(dr\ sinö m
dy/ pcos'y fp
coa(g + y) 1
C08y p*
sind
r
P
/dr\
und nach ausgeführter Substitution ergiebt sich:
(IV)
^r-±,V'(f)'+(^)V+(|)W
und der relative Fehler:
Die mittleren Fehler der rechtwinkligen Koordinaten des Stand-
pimktes:
^ = ^0 + ''^^^
» = »o + »*8inö,
48 Das Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
worin x^ und y^ als fehlerfrei zu betrachten sind, ei^^ben sich mit:
(6)
jdx
■^>-±V0'^''+®'-^''-
Nun sind die in den vorstehenden Ausdrücken auftretenden partiellen
DifiEerentialquotienten :
(^ = - ^"^^ ^ - (y - '^)
• und
m - »» - '-V'
somit nach ausgeführter Substitution in Gleichung (6):
(V) /— ^-
^y=±y(^^)*^r«+(a:-rro)*^ö*==±y8in>ez/r*+r«co8«ejö*.
Der mittlere Punktfehler des Standpunktes ergiebt sich durch:
JJiP = Jx^ + Jy^^Jr^ + f^' je^
oder mit Heranziehung der Ausdrücke &Lr die mittleren Fehler von r
und 0 auch:
(VI, jM'-r'[(^^\(g)W+(§p>'+^((^)\{m
Was die Genauigkeit betrifft, mit welcher die Vertikallinie bezw.
der Hauptpunkt der Perspektive festgelegt wird, so ist dieselbe, da
ist, von der Schärfe abhangig, mit der f und y das Resultat ^ be-
einflussen.
Der mittlere Fehler ist:
wobei:
(t) - ^
\dy/ ' sinSy'
2
Von Edüabd Dols2al.
49
80 dals man erhält:
^u-±i.y§f
(YU)
+
dy
sin 2 7
2
oder den relativen Felder:
So
>/(fo+ (^) ■■
= ±i/rv-
Würde man die L^e des Hauptpunktes statt von dem Bildpunkte
j\) von py^j p^y p^ oder p^ aus bestimmen, so würden wir nach kurzer
Rechnung für die mittleren Fehler der Abszissen durch Heranziehung
der Oleichungen (1), (22) erhalten:
(vni)
^li = ±
i/[(f)"+ [^J
I« + ^d« = y^6» + jdi
.i,-±Y\WM,
+ Jc[i^YJ^+2^.
Wie aus den Oleichungen (VH) und (VHI) zu ersehen ist, besteht
zwischen den mittleren Fehlem der Abszissen die Beziehung, dals
di^<Ji,<Ji, ....
ist, was besagt, dals der Hauptpunkt resp. die Yertikallinie am ge-
nauesten durch die Abszisse des Bildpunktes p^ d. i. 1^ ermittelt wird.
b) Mehrfache Bestimmung.
Auf Grund der mehrfachen Bestimmung werden die wahrschein-
lichen Werte der Unbekannten r, 0, x, y und /*, y^ £^ erhalten.
Die mitüeren Fehler dieser Grofsen ergeben sich aus den Gleichungen
des Torhergehenden Abschnittes:
(1)
^r
/le
2
vm + m\
^' ' V \n) '^\p) '^Krpamei "^ V cos y cos (« + /)/
-il/{f)"+(^,Y.
^1
ZcHwIirin f. ICftthematik n. Phyiik. 47. Band. 190S. 1. n. 2. Heft.
^^^)
l4)
v*»^
50
Das Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
wenn Iiierin für ädm^ An^ dp^ Aq die mittleren Fehler dieser Un-
bekannten eingesetzt werden.
Bezeichnet (i den mittleren Fehler der Gewichtseinheit, so ist dieser
gegeben durch:
wobei [vv] die Summe der Fehlerqaadrate der Bestimmungsgleichnngen
für m, Hj Py q und n deren Anzahl bedeutet; sind femer 6«, Gn, G^
und G^ die Oewichtszahlen der neuen . Unbekannten, so werden die
mittleren Fehler derselben lauten:
(2)
/In =
7
V»,
Die G^wichtszahlen können in yerschiedenster Art berechnet werden;
am bequemsten werden sie wohl erhalten nach Bessels Vorgange
aus den Normalgleichungen für in, n, p und q dadurch, dafs man die
Gewichtsgleichungen aufstellt und sie nach Q^^. Q^, Q^ und Q^ auf-
löst, nämlich:
l(rooBe)«]Vu
[r*8in»coa«l V« + [r*rfco8*ö] ^^ + [r*rf sin0 cosö] Qu
( (r sin e^»] ^„ + [r»d dn » cos Ö] ^„ + [r»d sin« 0] Qu
[r»rf cos e] ^„ + [»^rdcos«)»] Vu + Ir*«? cos e sin d] Cu
[i^rsindVd]^,, + [r*rf»sin<?cosö] Q„ + [(rdame)']Qu
[\jr cos e»*l <?n - [r» sin Ö 008 «] V« + [r'd cos» 6] ^„ + [f*d sin 6 cos d] Qu
[r* sin « cos »1 ^,1 - [l^r sin 6)*] V« + [Hrf sin ö cos «] Q„ + [r'd sin» 0] Q^
l\^rciw»^»</]^, - [r»«/co8#J^„ + Krrfco8e)»]^„ + [f*rf»8in(?co8e]^M
[r'd sin« ciM«! V« - l^rsintf^»./] Q„ + [r»iP sinÖcos»] Q„ + [(rrf sin«)«] Q^
1,
= 0,
=ü.
=0.
=0,
=1,
=0,
=0.
Kr cos «VI ^ - |r» sin « cos «I Va -r lr*rf cos« «](>„ + [r«dsineco8e] ^„ = Ö,
Ir'sintfctwOlV« lvrsin«VHi^ + [r«rf8in«cos«lV« + [r*rf8in»«]g„ =0,
KriHKs«V|V,, (Hi/ciKsOlVa- i.r./co8««*]^„-i-[r«rf»sin«cosÖ]ÖM=l'
l#J'./ain«ciw«|V», U»'*i«W^*,.'Kl„-r[r*./»8in«iH»s«lV»4-l(,rrfsin«)»]g„ =0.
Von Eduard DolsSai.
51
[(r cosey]Q^i - [r» sinö C08Ö](?^ + [r*rf cos*0]ö^ + [r^rfsin ö cosÖ]^^
[H sin e cos ö] Ö41 - [(^^ sinö)'] ^48 + [r^d sin e cosö] Ö43 + [r«d 8m«0]ö^
[(r cose)«^]^^ - [r^dco8e]Ö42 + [(rdcosdy] Q^ + [r^d^sinö cosö]^^
[r*dsmöcosÖ]Ö4i-[(rsme)»d]Ö42 + [r*d^8meco80]e43 + [(rdsmÖ)«]Ö^
Nach Substitution der aus (3), (4), (5) und (6) bereclineten Werte
der Gewichtszahlen in die Gleichungen (1) ergeben sich die mittleren
Fehler, welche ein Bild von der erreichten Genauigkeit zu bieten im
Stande sind.
Der mittlere Punktfehler wird erhalten aus der Gleichung:
(7) JM^ ^ Jx^ + Jy^ = z^r» + r^JO^,
worin gleichfalls die mittleren Fehler aus (1) einzuführen sind.
Der vorstehenden Genauigkeitsuntersuchung liegt die Voraussetzung
zu Grunde, dafs die neuen Variablen m, n, p und q, als deren Funk-
tionen die gesuchten GröCsen:
= 0,
=0.
(8)
r —
Vm* + n«
np + wg
d^
arcto —
^ n
f =
mq + np
p^ + q*
nq — mp
' mq -{- np
iT = a?Q + 5 = i^Q +
n
mq^+np
u nq — mp
erscheinen, von einander unabhängig sind. Dies trifft jedoch nicht zu,
sondern es besteht eine Abhängigkeit, welche durch die Gleichungen
1. (ö) zum Ausdrucke kommt.
Allgemein kann die gesuchte Unbekannte F
F = q>{m, n, p, q)
gesetzt werden, worin die Argumente von einander abhängig sind.
Bezeichnet man die partiellen Differentialquotienten mit:
A-(S). r.-{^). f.-(^) nnd ^,-(11),
80 erhält man für den mittleren Fehler dieser Fimktion:
(9) ^F* = ± {fm(i\
52
Das Problem der fönf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
worin samtliche Variationen zweiter Klasse der vier Elemente f^^ f^^ f^
und f^ auftreten und die GewichtskoefGzienten Q mit einem Doppel-
index, bestehend ans den Indizes der Elemente /) verbunden erscheineii.
In entwickelter Form hat man:
(10)
+ f%fiQ%i + ftftQn +
+ ftfvQtx + ftMn +
+ fJiQa + f4f»Qu +
+ fifAQu
+ fifAQu
+ fzfAQu
Die Gtewichtskoeffizienten Q ergeben sich hierfür aus den vor-
stehenden Gtewichtsgleichungen (3)^ (4), (5) und (6); die partiellen
Differentialquotienten f^, f^, f^ und /^ haben folgende Werte:
(11)
(12)
as)
vu>
r^
f = r[ ** -
'» L«»* + »»* mq-\-Hp.
+
n
'+n* mq + np.
]
f, r
f.
«•« + HP
«« + *1>
fBr r
f ^1
U
U
tgO
fBr tg0
>0
l/i-o
U
fx
U
U
"•«+**
Mf + np
f
f
f
für/
A--
*' + «•
+ ?
-r«
iT
ftr tgy
— qr*
Von Eduabd DolbSal.
53
(15)
(16)
nnd
(17)
n •
-V
für I resp. x
Li]»* mj '
für 1} resp. y
/i
/i
+
p« + g>
g
!>• + «•
1
für 6c
Beispiel.
Mit einem gewöhnlichen photographischen Apparate^ der durch
einige Zugaben für photogrammetrische Zwecke adjustiert war^ wurde
im Herbste 1899 Ton der Plattform des Observatoriums der k. k. tech-
nischen Hochschule in Wien eine photographische Aufnahme in der
Richtung gegen die ionere Stadt ausgeführt^ so dals auf den Photo-
grammen die markanten Eirchturmspitzen: St. Michael^ Augustiner^
8i Peter, St Stefan, Franziskaner und Umyersitatskirche erhalten wurden.
Auf den ungetonten Kopien wurden die Abstände der Bildpunkte
obiger Objekte, bezogen auf Si Michael als Nullpunkt, gemessen und
erhalten:
d^ » 6.52 mm
rf, = 50.87 „
d^ « 103.68 „
d^ = 161.66 ff
dj = 167.40 „
54 I^As Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
Die rechtwinkligen Koordinaten der genannten Punkte wurden der
amtlichen Publikation des k. k. Finanz-Ministeriums:
Koordinaten und absolute Höhen der triangulierten Punkte Ton
Nieder- Osterreich"
entnommen und zwar:
Koordinaten ' |
Piiiikt
Anmerkmig
X y
m
m
St. Michael
30.592
447.179
Lage des Koordinaten-
Angastiner
311.459
383.379
systems:
St. Peter
+ 129.917
229.508
X-Achse .. Meridian
St. Stefan
0.000
0.000
y-Achse . . Parallel.
Franziskaner
251.773
+ 141.315
Koardinatenanfiing ist
Universitätskirche
+ 73.322
+ 342.487
St. Stefan.
Die Unterlagen fSr die rechnerische DurchfQhrong des FOnfstrahlen-
Problems mit Verwendung der Sätze ans der Methode der kleinsten
Quadrate sowie (Jenauigkeitsuntersuchungen befinden sich in der
nachfolgenden Tabelle I (S. 55) und den sich anschlielsenden Rech-
nungen.
Die Koeffizienten der fünf möglichen Bestimmung^leichungen fOr
«M, tt, p und q ei^ben sich aus Tabelle I Koloime: 4, 5, 11, 12 und 13.
Die Bestinunnngsgleichungen lauten:
1)
/-280-867m
160-509m
30-592m
-221- 181m
+ 103-914m
63-800«- 1
217-671H+ 8
447.179n-f 3
588-494» - 35
789-666« + 17
-83 125p + 0-41 598
-16 500j»-f 1107 290
-17 180|)-f 46-36 350
-75 620/»+ 95.13 670
-39 550P+132.19 400
000 652,
005 087,
0. 10 368,
0-16166,
0-16 740,
aas welchen die Norma^leichnngen mit den Koeffizienten der Unbe-
kannten aus Tabelle I Vertikalrahe 11, 12, 15, 16, 19, 20, 23, 24, 27,
28, 30, 33 und 34 erhalten werden:
^:2^
l<i5-306 - m -f 17-408 6 «+ 11-638-3 p— 4-22707g
17-408-6»!+ 1-221-315«+ 4227 07 p - 183-544 q
11-638 3i«+ 4-227 07 «+ 1-66121 p-865-526 q
4-227 071«- 183 544«- 865'526p+ 28-797-9 g
- 8-85 515
-285 183,
— 2-13 605
+ 42-8824.
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— 383 379
— 229-608
0-000
+ 141316
+ 342-487
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St. Michael 1— 30 692
Augustiner — 311 469
St. Peter +129-917
St. Stefan 0000
Franziskaner !— 261-773
ÜniversitÄt ,'+73-322
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908-72
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lO CO *4 O iH
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t» *H 0» OD Ol
Ol CO th eö CO
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^ *H -r^ CO
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56 I^M Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
(3)
Die unbekannten ei^ben sicli hieraus mit:
m = + 3-93 34210-«,
n 24-80 60 10-»,
p 9906 09 10-»,
q 1160 28 10-».
Die Polarkoordinaten des Standpunktes lauten:
r = 1041 • 29m,
170» 59' 24
und die rechtwinkligen Koordinaten sind:
x = fl5, + rco8Ö 1059 • 180m,
y=yj + rsind = — 284-083m.
Die Bildweite der Camera wird erhalten mit:
^I)
i;:
(H)
- IM COB y 008(9 + r) O.IO AA
f= ^ , \ ^ '' .^ 242 ' 44 nun
' m Bin H
ehkd
und der Orientiemngswinkel der Bilddistanz betragt:
(III) y-15Ml'26".
Die Lage des Hauptpunktes und damit auch jene der Vertikallinie
ergiebt sich durch die Abszisse:
(IV) lo = 68.103 mm.
Die RichtigsteUung des Horizontes wird ermittelt bei dem Bei-
spiele, das sich an das Problem der drei Strahlen anschliefsL
Um ein Bild Ton der Genauigkeit der ermittelten Grofsen za er-
halten, wurden vorerst die mittleren Fehler der neuen Unbekannten:
IM, n, p und q bestimmt
Es ist:
(-*)
^n
±f^^-^VQ.
worin der mittlere Fehler der Gewichtseinheit mit Zuhilfenahme der
Kolumne (ßG) in Tabelle I erhalten wird mit:
^5)
M - ± l//!^ 4 - ± 9 . 3129 . 10-».
Von Edcabd DolkSal. 57
Zar Berechnung der Gewichtszahlen dienen nachstehende Gewichts-
gleichnngen, die nach Bessels Vorgänge in bekannter Weise unmittelbar
ans den Normalgleichungen aufgestellt werden können.
Wir erhalten:
(6)
(7)
165-306 §1,+ 17.408-6 ^„-f 11-638-3 ^„- 4-227-07^14-1,
17-408.6 Qu+ 1-221-31561,+ 4-227-07Qi,-183-544 ^^=0,
11-638-3 Öu+ 4-227-07 6„+ 1-661 -210«- 865 -526 ^^^-O,
-4-227 -07 Öa-183.544 ^«-865-526 ^1«+ 28-797-9 Q^^•=0,
ferner
165-306 (>,!+ 17-406-6 Q„+ 11-628-3 Q„- 4-227-076„=0,
17-408-6 Qn+ l-221-315g„+ 4 227.07g„- 183-544 ^„=1,
11638.3 Ö,i+ 4-22707 Q„+ 1-661 -21 ^„-865-526 ^,^=0,
-4-227.070,1-183-544 ^„-865-526 Q„+ 28-797-9 Öm="0,
weiter
165-306 <?,!+ 17-4086 Q„+ 11-638-3 Q„- 4-227076^=0,
17-408-6 Qn+ 1-221-3156»+ 4- 227 - 07 6»,- 183 -544 6s4=0,
11-638.3 6ji+ 4-227 07 6«,+ 1-661 -21 6»- 865 -526 6^-1,
1 — 4-227-07651-183-544 6s»-865-526 6»+ 28-797-9 6m-0,
and endlicli:
^165306 6«+ 17-408-6 6«+ 11-638-3 6«- 4-227.076u=-0,
17-408-6 6«+ 1-221-3156«+ 4-2270764,-183-544 6«=0,
11-638-3 6«+ 4-227-07 6*,+ l-661-216«-865-526 Q^^^O,
-4.227.07641-183-544 6«-865-526 6«+ 28-797-9 6u=0.
(8)
(9)
Werden die Torstehenden Gewichtsgleichungen 6 — 9 aufgelöst^ so
ergeben sich für die eingeführten Zeichen Q die Werte:
"ii '^ "• 8äß4ß ' Vi« "^ ~ 19 7fl9 Ann f Vis ™ ~ "iTftoi f Vu ~ "~
83.646 ' ^" 12,782.800 ' ^" 11.894 ' ^" 11,927.300
Qn Qsi Qu
Vm "= + M\A7A f VS« = + A7Q11 > Vm =* +
60.474' ^" ' 67 211' ^»* ' 7.882
Qzt Qa
^W =" + 822.96 > V54 = + gIJÖs
1
««- + r
181
58
Das Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
die Gewichtszahlen selbst werden sein:
(10)
G
m
Qu
= 83.645
ö, = ^ = 50.474
G.
P88
= 822-96
6,-^^= 1.181-9
und die mittleren Fehler der Unbekannten: m, n, p und q sind dann:
z^m= 3-220 .10-^
Jn = 4145 .10-^
Jp -32-463 .10-'
/Iq =27089 .10-'.
(11)
(V)
//
rr
Die mittleren Fehler der Unbekannten: 6, y, r und /* werden sein:
z^e = ± 4' 26
z^y = ±9' 6
Jr = ± 3-203m
z//' = ±0-80 mm.
Die relatiyen Fehler der Längen r und f berechnen sich zu:
(VI)
r
( f
325
1_
306
oder in Prozenten ausgedrückt:
0/
f
033
0/
0-
Die mittleren Fehler der rechtwinkligen Koordinaten haben die
Beträge:
r^x-i 3-410 m
\dy^± 1082 m,
was auf einen mittleren Punktfehler fuhrt:
(vn)
Af = ± V^/x» + ^y» = ± 3-50 m.
Der Hauptpunkt der Perspektive reep. des Photogrammes und da-
Von Eduard Dole2al. 59
mit die Lage der Yertikallinie wird bestimmt durch die Abszisse l^y
bezogen auf p^:
[ io = 68103 mm,
(Vm) mit dem mittleren Fehler:
^go=-±0-69 mm,
was den relativen Fehler bedingt:
oder in Prozenten:
So 99
^ - 101 «/o-
n.
Das Dreistr&hlen- Problem.
In der geodätischen Praxis ist diese Aufgabe imter den yerschie-
densten Namen bekannt: ,,Die Aufgabe des Snellius'', „Das Pothenot'sche
Problem'^, „Rückwärtseinschneiden'^ etc. und findet bei trigonometrischen
Punktbestimmimgen ausgedehnte Verwendung.
In der Photogrammetrie läfst sich die Aufgabe in nachfolgender
Weise formulieren:
Drei Punkte: P^, P^ und P^ sind der horizontalen und der
yertikalen Lage nach bekannt durch ihre rechtwinkligen Koor-
dinaten: (Xq, Pq), (x^, y^) und (s^, y^) sowie ihre absoluten Höhen:
Hq, H^ und H^.
In einem vierten Punkte P wird bei vertikaler Lage der Bild-
ebene eines photogrammetrischen Apparates eine Aufnahme aus-
geführt und auf dem Photogramme werden die Abszissendiffe-
renzen: d^, d^ gemessen, ebenso die Horizontalwinkel cc^ und a^
nach den gegebenen Punkten mit einem Winkelmessinstrumente
ermittelt.
Man fragt:
a) nach den Koordinaten des Standpunktes,
b) nach den perspektivischen Konstanten der Kamera, Bildweite
und Lage des Hauptpunktes sowie
c) nach der Orientierung der Bildebene im Räume.
Auch hier kann, wie bei dem Fünfstrahlen- Probleme die Lösung
durch eine einfache oder, wenn mehr als zwei Punkt.e ihrer Läge nach
gegeben sind, durch mehrfache Bestimmung erfolgen.
60
Das Problem der fünf und drei Strahlen in der Phoiogrammetrie.
1.
Einfache Bestimmtmg.
Wenn auch in diesem Falle die Festlegung der Station durch Polar-
koordinaten, bezogen auf Pq^ erfolgen soll; so sind wie früher dieselben
vier Unkannten:
r, 6, f und y
zu bestimmen.
Kennt man einmal die Polarkoodinaten des Standpunktes: r und 0,
so lauten seine rechtwinkligen Koordinaten:
x^ XQ + r cobO
y = yo + rsine.
(1)
Die Polarwinkel der von Pq ausgehenden Polstrahlen r^ und r,
werden durch die Ausdrücke erhalten:
(2)
tgö,
. yi — y«
X^ X^
tgö, = 5^
und die Radienvektoren:
(3)
^ sin 0, COB 9|
sin 9, 008 0,
Aus den Dreiecken: PPqPi und PP^P^ folgen nach dem Sinus-
satze die Proportionen:
^4)
r : Tj = sin [oj — öl + ö] : sin «j
r : fj = sin [oj — ö, + ö] : sin o^ ;
ferner lassen sich f^ die Tangenten der Winkel Oj und a^ aus den
Dreiecken: PP^P^ und Ppifi' sowie PP^P^ und Ppjß^ die Gleichungen
aufetellen:
^ ^ rf, C08 r _ r, sin (Ö — «,)
(5)
cos 7
— d| sin y
r — r, cos (0 — Oj)
L^„ ^ d, cosy r, sin yO ~ 0,)
O- sin y
cos 7 ^
Werden nun die Torstehenden Gleichungen (4) und (5) entwickelt
und die Variablen entsprechend yereinigt^ so gdangen wir zu folgenden
drei Doppd^eichungen:
Von Eddabo DolkSal.
61
1/ A \ COS 0 , / ^ V sin 6
ri sin (oj - öl) -^ + ri cos («^ - ö^) -^ = sin a,
|r, Sin («, - ö,) --- + r, cos («, - 0,) -—
= sinog,
weiter:
(7)
COB'y
U — ^tgy = ^co*gai
COB'y
jT- — «^tgy = djC0tga2
und endlich:
f Bin (g - ^t) _ ^i ^^ ifl - ^i) tffr = 4 — (i C08 (^ - ^i)
coß'y r r ®' r^ ^ r
(8)
/• sin (6 — ^t) _ d, sin {6 — g,) . _ <^« _ ^ coa (0 — ^,)
008*7
Werden fEtr die folgenden Qnotienten neue Unbekannte eingeführt
and zwar:
sin 6 ^
cos 0
femer
cos'y
tgy
gesetzt^
Form:
so erscheinen die Doppelgleichungen (6)^ (7) und (8) in der
(60
weiter:
(70
I
ri cos («1 — öl) 6i + r^ sin (a, — ö^) rj^ = sin a^
r, cos (o^ — ö,) 5i + r, sin («, — öj) ly^ = sin «, ,
und die dritte Doppelgleichnng:
I
^iCotgo^
d^cotga.
(80
rin (g - gl) fc ^ 8in(g-0,)^ d,
;^ 6.-^ r Vf--
8in (Ö — g») fe , Bin (0 — 6.)^ d,
;^ «|-«i Z % = ^
= ?-d.
cos {6 — e,)
r
cos (6 — e,)
AoB (6) folgt das erste ünbekanntenpaar:
(9)
\ii
r, sin tc^ sin (a, — 6,) — fj sin oe, sin (oj — Oj)
n r, sin [(«, — «i) — (6, — 6J]
r^ sin a, cos (a, — ÖJ — r, sin a^ cos (a, — ö,)
»"l»"! BiaK«! — «f)~(Öl — ö,)]
62 I)ft8 Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
und für die Polarkoordinaten von P selbst:
(1)
, ^ Ji r, sin a, sin (a, — 6,) — r^ sin a, sin («i — 6,)
° ij, r^ sin a, cos (ofj — 6,) — r, sin a^ cos (a, — ß^)
j 1 rf sin* a, + r| sin* a^ — ^rjr, sin a, sin a,
(10)
Zufolge (7') lauten die Unbekannten:
y dj d, [cotg ttj — cotg a,] d^ c?, sin (or, — a^)
^ d^ — d^ d, — d, sin ttj sin er,
dl cotg a, — d, cotg ttj
Die Bildweite f und der Orientierongswinkel ;/ werden dann sein:
d, cotg cc, — d, cotg IX,
(H)
tgy = % =
d.-d.
di (2| sin («c, — Cj)
' '* ' a, — ttj sm a, sin o, '
Die Doppelgleichung (8) und (8') yereinigt sämtliclie geforderten
Unbekannten und kann zur Berechnung irgend eines Paares derselben
Ty 0 oder fj y herangezogen werden, wenn bereits ein Paar hievon be-
kannt ist. Ist z. B. r und d aus Gleichung (I) bestimmt worden, so
dient zur Berechnung Ton 5« ^uid % die Gleichung (8'):
sin (ft - e,) ^_^ Bin (0 - e,) 4 _ ^ cos (6 ~ 6,)
sin (6 — ö,) c , sin (ß — 6,) d, , cos (fi -— 6,)
i^ 6a — «» y % = ^^—^ ^ 7
und aus Gleichung (11) folgt dann f und y.
Da mm diese Bestimmimg sicherlich yerwickelter ist als jene, die
sich durch Auflösung der Gleichung (7) für 5« ^i^d rj^ bietet, so dürfte
sich die Heranziehung der Gleichung (8') nicht als praktisch er-
weisen.
Die aufgestellte Doppelgleichung (8^) wird zur Kontrole gute
Dienste leisten und zu diesem Zwecke mit Vorteil herangezogen werden
können.
Kennt man die Polarkoordinaten nach (I), so sind die rechtwink-
ligen Koordinaten gegeben durch:
X = Xa + r cos 6
[y ^yQ + rsmd.
Was die Festlegung des Hauptpunktes bezw. der YertikaUinie, die
Überprüfung des Horizontes , Ermittelung der Höhen etc. betrifit, so
gilt das^ was beim Fünfstrahlenprobleme entwickelt wurde.
Von Eduabd DoleSal. 63
2.
Mehrfache Bestimmung,
Dieser Fall tritt dann ein, wenn mehr als 3, z. B. w + 1 Punkte
der Lage nach gegeben Torliegen und die Horizontal winkel a^a^ - - * a^
gemessen wurden, sowie auch die Abszissendifferenzen d^d^ - - - d„.
Es seien (n + 1) Punkte durch ihre rechtwinkligen Koordinaten
und Höhen:
gegeben; im Standpunkte P seien die Horizontalwinkel: a^, ^S7 * ' ' ^n
mit groüser Schärfe gemessen und die Abstände: ^i;^ - - * ä„ auf den
Pkotogrammen, bezogen auf den Bildpunkt Pq, ermittelt worden.
Es handelt sich:
a) um die Koordinaten der Station,
b) um die perspektiyischen Konstanten der Kamera und
c) um den Orientierungswinkel der Bildebene.
Für die yier Unbekannten: r, d,f und y, die auch bei der mehr-
fachen Bestimmung gesucht werden, lassen sich mit Heranziehung der
neuen Variablen: g^, rj^ und |j, rj^ auf Grund der Gleichungen: 1. (6')
und (7') im ganzen 2n Bestimmungsgleichungen aufstellen, wo-
von 2« — 4 = 2(n — 2) Gleichungen überschüssig erscheinen; es
sind somit die Sätze der Methode der kleinsten Quadrate auf die Be-
stimmungsgleichungen anwendbar. Aus den zwei Gruppen von Be-
stimmnngsgleichungen, und zwar n fQr die neu eingeführten Un-
bekannten li und rii und ebenso viele für ^ und r^^y lassen sich zwei
Gruppen yon je zwei Normalgleichungen bilden, die zur Berechnung
der wahrscheinlichsten Werte der g^, i^^ und ^, % führen.
Für li und rj^ gelten die nach 1, Gleichung (6) gebildeten Be-
stimmungsgleichimgen :
Tj cos («1 — öl) gl -f r^ sin («j — 6^) iji = sin a^
r, cos (oj — e,) 6i + fj sin (a, — 0g) ly^ = sin o,
^n COS («n - Öj Si + r„ sin («„ - ÖJ ly^ = sin a^,
woraus die Normalgleichungen folgen:
1 [r*cos* (a — 0)] li -f [r* sin (a — 0) cos (a — 0)] i^^ = [r sin a cos (a — 0)]
^Ml^sin(a-0)cos(«-0)]6i4-[r«8in«(a-0)]i^i = [rsinasin(a-0)J
nnd die neuen Unbekannten selbst:
64 ^^ Problem der fünf und drei Starahlen in der Photogrammetrie.
(3)
61 =
Vi
[r* sin' (a -— ff)] [r ein a coa (a — ff)] — [r" sin (et ^ ff) cob (a — ff)] [r sin « sin (a - 9]
[r« sin* (« — ö)] [r* cos« (« — 6)] — [r" ain (a — ff) cos (a - 6)]«
[r* cos' (g — g)] [r sin « sin (« — ff)] — [r' sin (a — 0) cos (« — ff)] [r sin c cog (e — ^^
[r« sin* (a — 6] [r« cos« (« — 6)] — [r' sin (« — 6) cos (« — 6)]
Die Polarkoordinaten des Standpunktes lanten
(I)
tge =
»?i
£! + i?I
und weiter die rechtwinkligen Koordinaten:
{x^ Xq + rcosd
Zur Berechnung der Bildweite und des Orientierungawinkels folgen
nach 1. Gleichung (7') die Bestimmungsgleichungen:
(4)
fe-^i% = ^cotgai
5, — d,ijg = e^cotga,
welche die Normalgleicliangen zu bilden gestatten:
*»5t-[<']% = [<icotga]
[rfjfe + [dd]fi, = - [ddcotga];
(5)
{-
die neuen Unbekannten selbst sind dann:
(6)
(1.=
Vt =
__ [dd\ [d cotg tt] — [d][dd cotg a]
n[dd]-W
[d] [d cotg et] — n[dd cotg a]
n[dd]^[d]^
Da nun die gesuchten Unbekannten f und y mit S, und 17, in
einem sehr ein&chen Zusammenhange stehen, so ist:
[d][d cotg a] — n[dd cotg et]
|"6/' ^ '/2 ^
(H)
j. u • [ddirdcotga] — [cTirddcotgal «
/■=£,cos»y = ^ ^rdii-ri'i. ^-^ cos^.
n[dd] — [d]'
Die Festlegung des Hauptpunktes der Photographie und damit
der Yertikallinie erfolgt durch die Abszissen der Bildpunkte p^, p^' • • -yP^)
die sich aus nachstehenden Gleichungen berechnen lassen:
Von Eddabd DolbSal.
65
(III)
5i = /"tg(y-«i)
6i = /"tg(y-a»)
i,-/"tg(y-«J,
wobei noch zar Kontrole die Bezieliaiigeii bestehen mfiasen:
f 60 = 6t + <^
(7)
lo-l» + <^
So -!, + <'«•
Prof. Dr. A. Schell der k. k. technisclien Hochscliule in Wien hat
m Dr. J. M. Eders Handbuch der Photographie I. Bd., 2. Hälfte,
2. Auflage, die Bestimmung der Bildweite f und die Festlegung des
Hauptpunktes der Photographie in analoger Weise mit Anwendung der
Methode der kleinsten Quadrate gelöst.
Was die Überprüfung und etwaige Bestimmung des Horizontes
betrifit, so kann die Untersuchung in ähnlicher Weise geftihrt werden
wie bei dem Probleme der f&nf Strahlen.
a
Oenauigkeits-Üntersuchungen.
*
a) Einfache Bestimmung,
Neben den rechtwinkligen Koordinaten der gegebenen Punkte treten
noch die Winkel: or^ und a^^ sowie die gemessenen Abszissendifferenzen:
di und d^ in den Ausdrücken f&r die neuen Unbekannten: £^, i;^ und
{], 1^1, welche die Berechnung von r, 0, /*, y und ^ yermitteln, auf.
Sind die Fehler der gemessenen Gröfsen: /Id^y dd^ und z/a^,
^a^y so ergeben sich f&r die mittleren Fehler der neuen Unbekannten
^i> ^19 £s ^^^ %' ^^ ^B Funktionen der gemessenen Gh-öfsen erscheinen,
die allgemeinen Ausdrücke:
femer:
(1)
9
ZeitMhrill f. Xsthematik n. Fhyiik. 47. Band. 1903. 1. a. 8. Heft.
u
66 ^9s Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
fär welche die partiellen Differentialquotienten aus Absclmitt 11, 1,
Gleichnng (9) und (10) einfach berechnet werden können.
Sind nun die mittleren Fehler in (1) bestimmt, so kann man
zur Ermittelung der mittleren Fehler von r, 0, x, y, f, y und Ig
schreiten.
Da wir nun haben:
(2)
tgö =
_|.
li
r» =
J! + 'j!
/•=|,C08V-i-^
X
«o + ♦" COS ö = «a +
%.
H + ^I
y = yo + *• sinö = yo + ij-^,
und die gesuchten Grofsen als Funktionen der neuen Variablen li, i^i, §s
und i;, auftreten, so lassen sich nach den Sätzen der Methode der
kleinsten Quadrate die mittleren Fehler unter der Voraussetzung, dafs
die neuen Variablen als von einander unabhängig angesehen werden,
in nachstehender Weise ausdrücken:
(3)
z/r»
-<.-V-[©"^e+©'^'!]'
Werden nun die partiellen Differentialquotienten der vorstehenden
Gleichungen aus (2) abgeleitet, so folgt:
/dtg^ _ i. _ ^ö
Ufc/ 17, fix
femer:
/<*tg^ ^ |i « __ *8^
Von Eduabo DoleSal.
67
dann:
(^ = - 25, COS y Bin y =- - Ig sin 2y
= - 2/-tga = ~ 2fri,
und
Ä') - «
/dtgy\ _ -
Durch Einsetzen der partiellen Differentialquotienten in (3) ergeben
sich die einfachen Ausdrücke f&r die mittleren Fehler der gesuchten
Grölsen:
(D
(H)
im
(IV)
^y« = cos*yz/i2|
die relatiTen Fehler der lÄngen ergeben sich anmittelbar:
^ = + ry8in»öz/S» + co8»ez/ij»]
f - ± l/(^)* + 41^ cos* y^ri^,.
Die mittleren Fehler der rechtwinkligen Koordinaten, der mittleren
Punktfehler und der mittleren Fehler der Abszisse fQr die Festlegung
des Hauptpunktes sind durch entsprechende Ausdrücke bestimmbar^ wie
selbe in I, 3 abgeleitet wurden, nämlich:
,Jx* = cos«ez/r« + r« sin^ Oz/e«
z/y« = sin«öz/r« + r« cos« öz/ . z/Ö*
(V) l ^M^ = z/rc« + z/y* = z/r« + r«z/ö«
^K = ±IJ
'ß^i^l-
ö*
68
Das Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetaie.
b. Mehrfache Bestimmung,
Bei der mehrfiaclien Bestimmung werden statt der mitÜerec Fehler
der Unbekannten auf Grund der überschüssigen Anzahl von Gleichungen^
die zu ihrer Bestimmung vorliegen, die mittleren Fehler in die Rechnung
einzuführen sein.
Die mittleren Fehler der Hilfsgröfsen (j, rj^, |, und 17, ergeben
sich nach Bestimmung der mittleren Fehler der Gewichtseinheiten fi^
und f4y sowie der Gewichtszahlen: G^^, ö,,,, G^ und Gr^ aus den
Gleichungen:
(1)
Vöf.
^..-^- = ±>^^ = ^^
^fe
11
Für den mittleren Fehler der Gewichtseinheit gilt der Ausdruck:
worin \vv\ die Summe der Fehlerquadrate der Bestimmungsgleichungen
n, 2 und n — 2 ihre überschüssige Anzahl bedeutet
Zur Ermittelung von Gt^ und 6,^ dienen die Oewichtsgleichungen,
die sich unmittelbar aus den Normalgleichungen 11, 2 Gl. (2) ergeben,
und zwar hat man für 6^:
[r»co8»(a-e)]C;, + [rrmn(«-e)ooB(«-e)]Öa-l
[rr8in(«-e^oo8(«-e)]^^^+[r»8in«(«-e)]C;,-=0,
woraus dieses selbst sieh ergiebt mit:
• coe* ya — ¥] — [r- ein i« — Ö) coe (a — Ö)]»"
Für die Berechnung Ton Q^ ^ ä ^ ^''^^^^ ^® beidoi Gleichungen:
I [rr cos* 1^« - e^]^,j + [r^sin^« - «) cos (« - tf:]V» « 0
Ur^sin v« - e^ cos V« - «S\Q-^, + [|4sin»(« - «)]^„= 1,
und fOr dieses selbst ist:
I
^*^ ^m" G^ "" [r» sin» («"- r][r
Von Eduard Dolezal. g9
Die gesuchten ^mittleren Fehler von g^ und rj^ werden die Form
annehmen: \
(4)
^t _ . 1/ J^ [r' sin' (tt ^ g)]
^^^ X r (n - 2) [r«8in«(a-.Ö)][r"co8*(a— Ö)]— [r«8iii(a ~ e)co8(a— Ö)]»
_ I/Cpp] ' [r' CÖ8« (g — Ö)]
,^^1 — ± K n — 2 [r«8in«(a— 6)] [r*C08«(a - Ö)]-[r«8in»(a— 6) cos («—«)] « '
In analoger Weise wird die Gewichtseinheit f&r die Unbekannten
I2 und 1^2 erhalten:
wobei [vv] die Summe der Fehlerquadrate der Bestimmungsgleichungen
n, 2 Ol. (4) bedeutet und unter n — 2 die überschüssige Anzahl der-
selben yerstanden wird.
Zur Berechnimg der Gewichtszahlen: G^ und G,;^ gelten die aus
den Normalgleichungen für 1, ^^^ ^s in 11, 2 Gl. (5) leicht aufstell-
baren Doppelgleichungen:
-M«ü + [dd]e;,=o
und
Die Gewichtszahlen selbst lauten:
(5)
ö..= i.- = r ^''^
ö,, =
1 n
Die mitÜeren Fehler der Hilfisgrörsen |, und i}^ können dann
geschrieben vrerden:
(6)
Durch Einsetzen der mittleren Fehler für £]; 17^ und 1,, 17, in
die Gleichungen (I) bis (V) des vorhergehenden Abschnittes erhalten
wir die mittleren Fehler der Ghröfsen: r, ö, o;, y, /*, y und l^.
Von Interesse ist der Zusammenhang, welcher zwischen den mittleren
Fehlem von (^ und 17^ einerseits und jenen der rechtwinkligen Koordinaten
X und y andererseits besteht. Auch hier wird vorausgesetzt; dafs alle
berechneten Fehler als von einander unabhängig angesehen werden.
70 I^M Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
Die neuen unbekannten || und rji sind:
61 =
Vi-
BvnO
r
COB$
und ihre mittleren Fehler berechnen sich hieraus zu:
(8)
Da nun:
(9)
(/d^\ ain $ ^ 6^
(dijA _^ cos 0 __ ^ ijj
(di||\ sin ö ^
ist, so geht nach Einffthrung der Werte Gleichung (8) über in:
sin* ejr^ + f^ cos« flz/ö« = r*z/5«
cos'flz/r* + r*sin«fl^ö* = v^^r^l .
Werden die Gleichungen für die rechtwinkligen Koordinaten:
X ^ x^ + rcosd
y'^yo + rsmO
entsprechend differentiiert und die mittleren Fehler der Koordinaten
aufgesteUt, so folgt:
Da nun die partiellen Differentialquotienten hierin sind:
(J;)-r«.»-(*-xJ
Von Eduabd DoleSal. 71
SO folgt:
^^^^ 1 ^y» - sin« ejf^ + r^ cos« Öz/Ö« .
(") (
Durch Vergleichung der Ausdrücke (9) und (10) ergiebt sich die
bemerkenswerte Beziehung:
z/y« = r*z/6J,
durch deren Verwertung der mittlere Punktfehler die Form annimmt:
(12) Jf « = z/a;» + z/y« = f*(z/Jf + z/i?J)
oder nach Heranziehung der Gleichung (4) auch:
(1S\ 7IP~-M [^!3
Vio; ^ — ^ _ 2 [r« sin» (« — Ö)] [r» cob« (a — Ö)] — [r« sin (a — ö) cos (a~ö)j»
Die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate hat
bei dem benutzten Achsensystem die rechtwinkligen Koordinaten des
Punktes P ergeben mit:
X ± jdx
wobei + jdx imd ± z/y die mittleren Fehler der Koordinaten darstellen.
Der mittlere Punktfehler
ist, wie (12) und (13) lehren, invariant und vom Koordinatensystem
vollends unabhängig; es ist daher klar, dals bei Annahme zweier
anderen Koordinatenrichtungen sich zwei andere mittlere Fehler hätten
ergeben müssen, der mittlere Punktfehler aber konstant bleiben mülste.
Denkt man sich nun das Koordinatensystem allmählich in ver-
schiedene Lagen gebracht, die zugehörigen mittleren Fehler entsprechend
verzeichnet, so werden dieselben auf einer Kurve sich befinden, die als
Kurve der mittleren Fehler bezeichnet wird.
Sämtliche mittleren Koordinatenfehler erfüllen die Bedingung, daTs
die Summe der mittleren Fehlerquadrate:
z/a^J + z/yj = z/a:J + z/^ = . . . = ^o:* + z/y« = HP,
dem Quadrate des mittleren Fehlers gleich ist, d. h. im Bilde müssen
die Abstände der zu den mittleren Fehlem gehörigen Achsenpunkte,
welche mit dem Punkte P(x, y) ein rechtwinkliges Dreieck bestimmen,
einander gleich sein.
Zwei ausgezeichnete Werte dieser mittleren Fehler, deren Extreme,
bilden die Halbachsen der Fehlerellipse und zwar:
72 ^^ Problem der fünf und drei Strahlen in der Photogrammeirie.
Die gFofse HalbacIiBe Ä entspricht dem Maximum^
die kleine Halbachse B entspricht dem Minimum des mittleren
wahrscheinlichen Fehlers.
Nennen wir das Azimnt der grofsen Achse der Fehlerellipse 9,
so hat man nach der Theorie der Fehlerellipse:
(14)
wobei
~ [aa][66] - [06]» ' 2
« [gg] + [bV] - w th.
[gg] U> 6] — [««•]* ' 2
*8^9' - a[d] - \bb]
8in29 CO829
darstellt
Die nach Oaufs bezeichneten Summen haben in Bezug auf die
Normalgleichungen 11, 2 61. (2) die Werte:
|[aa] =:[r« cos* (a-e)]:r*
[ab] -[r«sin(a-ö)cos(a-fl)]:r*
[66] = [r»sin»(a-ö)]:r*.
Denkt man sich das rechtwinklige Koordinatensystem jetzt g^en
das System der Fehlerellipse um den Winkel ^ gedreht, so ergiebt sich:
^«cos** + B»sinV = 1? ,
und weiter statt tp gesetzt ^ + 90^i bo folgt:
^^sin«^ + B«cosV = iJ;.
Beide Gleichungen erfOllen die Bedingung:
also liegen die so erhaltenen Punkte auf der Eurre der mitÜeren
Fehler.
Die Gleichung:
^^cos*^ + 5*sinV = ^
stellt die Polargleichung der Kurre der mittleren Fehler dar, wobei
die grofse Halbachse der Ellipse als Polarachse und der Winkel ^ als
Richtungswinkel auftritt. Auch wäre es nicht schwer darzuthun, dafs
die vorstehende Gleichung die FuTspunktskurye der Fehlerellipse dar-
stellt^ nämlich den geometrischen Ort der Fu&punkte der rom EUipsen-
zentrum auf die Tangenten der Fehlerellipse gefällten Lote.
Von Eduabd Dolezal.
73
Unter der YorauBsetzung^ dafs die schone Beziehung (11) besteht,
erhält man zwar richtige Dimensionen der Fehlerellipse, da z/x^ + ^y^
konstant bleibt, doch weicht das Azimut q> der grofsen Achse vom
richtigen ab.
In diesen behandelten Genauigkeitsuntersuchungen wurde die Ab-
hängigkeit der eingef&hrten Unbekannten S^, i^^ und 1, und i^^, als
deren Funktionen die zu bestimmenden Ghröfsen:
( fl = arctg^
(16)
VTI + ^I
X
a?n +
^1
i\ + n\
«1
y^y^ + ii+ni
y = arctg%
/•=|,cosV
zu betrachten sind, nicht berücksichtigt. Dadurch haben sich nur
Näherungswerte für die mittleren Fehler der gesuchten Uubekannten
ergeben, welche gewisser Korrektionen bedürfen, um die wirklichen
mittleren Fehler zu geben.
Indem wir in ähnlicher Weise wie bei I, 3, h Gleichungen 9 — 17
vorgehen, erhalten wir schlielslich fOr die mittleren Fehler der Un-
bekannten:
(17)
de^±
sin 20
^y - ± 2n\ d« el/(||ö) + ^^J - Ipi.
jy a= ± cos*y • /Iri^
74 I)A8 Problem der fünf und drei Strahlen in der Phoiogrammetrie.
Um auch Ton der Genauigkeit der HoheiiTerlialtiiiaBe eine Vor-
stellung zu erhalten, f&liren wir nachstehende üntersachnng ans.
Angenommen, die Abstände der einzelnen Punkte vom Standpunkte
QQ = ry Q^^, 9i - ' ' seien auf Grund der Gleichungen I 1, GL (19)
bekannt; die Ordinaten y^. Vi »- - gemessen und es sei die Frage nacli
der Genauigkeit der Hohen der fixierten Punkte.
Die Hohe eines Punktes erscheint allgemein in der Form:
(18)
fi« = H+^eos(y-a).
Wird hierin die Höhe des Instrum^ithorizontes H als fehlerfrei
angesehen, irahrend die anderen Groben, als deren Funktion H er-
scheint, mit gewissen Fehlem ^y, /Jq, ^f, ^y und ^a behaftet sind,
so ergiebt sich nach den Sätzen der Methode der kleinsten Quadrate
f&r den mittleren Fehler in der Hohe H der Ausdruck:
fdH>^
dHj\*
fdHJ\*
rdlL\«
^m - C^-) V + ra W + Cfy^r + C^-) V+ ('!•) V,
Werden die partiell^i Differentialquotienten:
cos (y — a) =
(
^-) = ^C08(y-a)
E. — E
H,-H
y
H. — H
fdH.
-!^ sin y — « ) = —r^. r
Xdy) f ^'^ cotgiy — a^
berechnet und in die Gleichung eingeführt, so erhalten wir:
und hieraus doi rdativen Fehler in der Hohe:
>«"^ -H!f^-±l (t') +(tT+(T0'+(=ü^.-)*+(«i7N"
4.
BeispieL
Gelegentlich der photogiaphischen Aufnahme zum Zwecke der
Behandlung des Fünfstrahlen-Problems wurdet auch die Horizontal-
winkri Oj, Oj . . . c%y wdche die StnUan ron dem Staa^mnkte nach
Von Eduabo Dolb^al.
75
den einzelnen Punkten mit einander einschliefsen^ mit einem Theodolite
gemessen; dadurch bietet sich auch Gelegenheit^ das Dreistrahlen-
problem in einem besonderen Falle yorf&hren zu können.
Die gemessenen Horizontalwinkel sind in nachstehendem Protokolle
yeizeichnet.
Winkel
Amnerkimg
Name
GrGfBe
«1
Q 1 >>
1 26 17
11 87 29
24 2 20
36 47 31
37 67 69
Die Winkel beziehen sich auf
St. Michael
als Null -Richtung.
Die erforderlichen Koordinaten der gegebenen Punkte^ die ge-
messenen Abszissendifferenzen d und alle weiteren zur Aufstellung der
für das Dreistrahlenproblem nötigen Daten fUr die Bestimmungs- und
Normalgleichungen finden sich in der Tabelle 11 (S. 76).
Auf Grund der in der nachstehenden Tabelle II zusammengestellten
Daten der Kolonnen 18, 19 und 21 kömien nachfolgende Bestimmungs-
gleichungen f&r li und fj^ angesetzt werden:
(1)
025 096,
201 500,
407 355,
598 913,
615 200,
279- 1751,- 70-827iji = 0
2010761, -180-863i?i = 0
209-990 1, - 395-991 ij, = 0
175 - 388 5, - 603 • 743 ij, = 0
567 - 586 1, - 558 - 625 ij, = 0
welche nachstehende zwei Normalgleichungen geben, deren Koeffizienten
ans den Kolonnen 27, 28, 29, 30 und 31 entnommen werden, nämlich:
I 515 • 365 6, - 522 • 678 17, - 573 • 252,
1- 522 - 678 S, + 871 - 103 ij, - - 904 - 807.
Die Unbekannten werden lauten:
S, = + 1-5044-10-*,
9.4843- 10-*.
Fflr die Polarkoordinaten ergiebt sich dann:
1
(2)
(3)
r =
0)
yiTHj
= 1041 - 330 m,
tgö =^ oder e= 170» 59' 12".
76 ^M Problem der fönf und drei Strahlen in der Photogrammetrie.
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A O ^ X O
X CD CO '<4l «O
« • ■ • *
Von Eddabd DoLBiJo«.
77
Um die mittleren Fehler von 1^ und tj^, d. i.:
(4)
^i = fhV^
(»1
^=r-»
V^n
zu erhalten, berechnet man vorerst den mittleren Fehler der Oewichts-
einheity der sich nach Entnahme der Quadrate der Verbesserungen aus
Kolonne 33 der Tabelle II ergiebt mit:
(5)
^-VB,
1654- 10-«.
Zar Ermittelung der Gewiditszahlen G^^ xmi G ^ dienen die Ge-
wichtsgleichimgen, die sich ans den Normalgleichangen in bekannter
Weise ergeben; sie lauten:
515 . 365 Q[^ - 522 • 678 ^ü = 1,
- 522 • 622 öü + 871 . 103 ^ü - 0
and
515 • 365 ö;, - 522 • 678 Q„ = 0,
- 522 • 622Qn + 871 • 103 ^ä = 1.
{
{
ans welchen die Qewichtszahlen sich ergeben mit:
1
(6)
0,1 =
«1
_1
Qi
201-748,
341008.
11
Die gesachten mittleren Fehler der neuen unbekannten werden
dann:
0)
^5x
»»I
V^i.
± 3-683.10-»,
Jfi. - -p= - ± 2-833.10- ».
Die mittleren Fehler der Polarkoordinaten lassen sich aus den
abgeleiteten Ausdrücken:
BinSd
Vith (^)"- Ä ■ «"
berechnen; es ergiebt sich:
Jr-'± 2-58 m,
je = ± 14' 18"
78 Das Problem der fclnf nnd drei Strahlen in der Photogranunetrie.
Der relatire Fehler des RadiusTektors wird sein:
Die rechtwinkligen Koordinaten dee Standpunktes:
ergeben sieh mit:
(ü)
i::;
x-^ — 1059O9 m,
284-04 DL
Ihre mittleren Fehler werden:
(n-)
(
z/x = ± 3123 m,
^y = ± 3-956 m.
und der mittlere Ponktfehler:
(HI)
Jf = ± V^x* + ^y» = ± 5-04 DL
um die Eurre der mittleren Fehler nnd die Fehlerellipse f&r den
durch das Dreistrahloiproblem festgelegten Punkt graphiach darstellen
lu können, wurden Torerst berechnet:
S^
516-365
L^^J
^
r*
[ot]
--
5» €7»
166]
= +
871 103
Ih
— ±
l-tö410-«.
W
1, 104 131
»g?»
— 333 13$ '
woraus sich nach d«tt allgraieiiien Fonu^ die Bestimmungntocke f&r
die F«Uen4tipoe «ngeh^tt:
IV^
-1 » 4-775 m«
;j?- 1 Ä>< m,
l^ -M* »' 4^
IH^ l\>lar«)ek'hajc« fUr di^
diM^ srutlervs Fehler lautet dann:
4*7T^*t?o»*r ^ l-Ä>!S*
«ia^v
/??
Von EoUABD DoLliAL.
79
oder
Der mittlere Punktfehler wird:
3P«^» + B»«25.38 09 m«
Jlf-±5.04 m.
Auf Tafel I, Fig. 3 sind die Yerhaltiiisse im Mafsstabe 1 : 75
graphisch zur Darstellmig gebracht.
Die Pehlerellipse ist kräftig eingetragen und durch die Endpunkte
ihrer Achsen: H, F, G, Hy sowie durch den Winkel q> besonders her-
Torgehoben.
Die Eurre der mittleren Fehler wurde knlftig gestrichelt einge-
zeichnet; die Punkte A, B, C, Dy in welchen die Kurve die Koor-
dinatenachsen schneidet^ entsprechen den mittleren Koordinatenfehlem:
± Jx und ± ^y.
Die vier Punkte: J, K, L und M sind die auf Grund der Polar-
gleichung für einen gewählten Winkel ^ resp. ^ + 90^ zusammen-
gehörigen Kmrenpunkte.
Tabelle IH.
1 s
f
8
Pankt
Gemeuane
OrOfMii
Logarithmen
»^ Bouieh-
»0 nang
Namo
<"
d
d
cotga
dootga
^
d*ootga
1
S
3
4
6
6
Po
-*•
St. Michael
St. AugustiB
St Peter
St. Stefan
FranzlBkaiier
ünivenit&t
0
000,
146.
2894,
3667.
8784.
mm
000
662
60-87
103 68
161-66
167-40
0-81 426
1-70 646
2-01 670
2-20 860
2-22 376
1-60 042
0-68 672
0-86 068
0 12 617
010 771
241 467
2-39 318
2-36 633
2 83 477
2-38 147
1-62 860
3-41 292
4 08 189
4-41 720
4 44 762
8-22 892
4 09 964
4-38 203
4-64 337
4-66 623
4
6
6
KoefW »tonten der Beitimmonge- und Normalgleicbnngen
V
V»
H
dootga
^
d*cotga
6-62
6087
108-68
16166
167 40
269818
247-276
232460
216167
214-620
4261
26 87-76
10 74931
26 133-63
28 023 83
1 694-04
12 678-8
24 100-6
34 943-8
36 9108
— 0026
+ 0-039
+ 0-006
0014
+ 0 008
0 00 06 26
16 21
36
1 96
64
490-18 1170-226
W [deotga]
67 636-68
109 2280
[d*ootga]
000 24 42
Die Bestimmungsgleichungen ftir Ss und ijg lassen sich mit Zu-
hilfenahme der Daten der Kolonne (4) sofort aufstellen. Sie lauten:
80
Das Problem der fSnf und drei Strahlen in der Photograiometrie.
(9)
I,- 6-52% = 259-818
I,- 50-87% = 247-276
5, -103-68% = 232-450
1,-161-66% = 216-157
1,-167-40% = 214-520
Die Normalgleichungen, für welche die Koeffizienten der Unbekannten
I, und % aus der Kolonne (4) der yorstehenden Tabelle sich ergeben, sind:
5 g,- 49013%= 1170-2,
1-490-131, + 67537 %^ 109228.
Die unbekannten folgen hieraus mit:
1,= 261-627,
%= 0-281 36.
Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit wird:
(10)
(11)
000 24 42
8
(12) ^ = l/J^ - 1/'
Die öewichtsgleichungen lauten:
5«ü-
= + yOOO 0814 = + 0-02 853.
und
woraus sich ergiebt:
(13)
49013e;',-l,
1490-13^;; - 67-536-630« =» 0,
5%- 490130,; = 0,
490-13Ö;; - 67-536-63«?;; - 1,
Qn
= (?^ = 1-44 301,
Q
- = ö^ = 19-491,
tt
und schliefslich die mittleren Fehler:
(14)
^li
(<a
V^U
'= = 0-023 749,
(VI)
^% = -^ = 0000 205.
Die Bildweite und der Orientienmgswinkel der Bildebene werden:
/*= Ig ^s^y^" 242-44 mm.
tgy = 1^, = 0 . 28 135c
oder
y=15« 42' 51"
'9
[
(VI') {
Von Eduahd DoLsiAL. 81
Die mittleren Fehler von y und f werden aus den Gleichungen
berechnet:
welche nach ausgeführter Substitution geben:
^/' = ±39.2",
^/*=± 0-044 mm.
Der relative Fehler der Bildweite ist ein sehr geringer:
J£ _ 0044 _ 1
f ~ 242^ ~ 6-462 '
Die Yertikallinie bezw. der Hauptpunkt wird festgelegt durch
seine Abszisse:
jQ = /-tgy«68.2 mm,
welche mit einem mittleren Fehler behaftet ist:
(Vn) ^So = ± 0-047 mm
und einem relativen Fehler:
^«-^i?- = -l^ oder 007^/
Jo 68. 21 1-430 ^®^ ^ ^^ /o-
Um den angenommenen Horizont zu überprüfen und nötigenfalls
berichtigen zu können, wurden an den Photogrammen Messungen und
Berechnungen ausgeführt^ die sich in der Tabelle lY (S. 82) zusammen-
gestellt vorfinden.
Vorerst wurden die Ordinaten gerechnet nach der Formel:
imd neben den direkt gemessenen in der Kolonne (2) angesetzt; diese
Werte hatten sich auch bei der Messung auf dem Photogramme er-
geben müssen, wenn die Horizontlinie richtig angenommen worden wäre.
Der Vergleich der gemessenen und gerechneten Ordinaten zeigt,
dab der angenommene Horizont mit der wahrscheinlichen Lage des-
selben sich nicht deckt, denn sonst müfsten die OrdinatendifFerenzen
Null sein. Ihr innerhalb der zulässigen Fehlergrenzen liegender Be-
trag, sowie das überall negative Zeichen desselben lehrt, dals der
Horizont auf der Platte zu hoch angenommen wurde und zwar um die
lineare Gh-öfse:
£^^ = 0.712 mm.
n
ZcitMhrift t lUtlMm»tik n. PhjtilL 47. Band. 190S. 1. n. 8. Hell. 6
82
Das Problem der fSnf und drei Strahlen in der Photogranunetrie.
Tabelle IV.
1
8
8
1
4
6
No.
Punkt
OrdloAta
^y
!t
Logarithmen
1
gerechnet
gemeuen
Verheuerte
Ordinaten
e cot(y-e,)
/
ü—k
mm
iwm
mm
mm
1
1
1
A
12-60
1844
— 0-84
12-72,
1 10 476,
3 01 763 9 98 361 1 72 130j
2
P
14-16
14-89
0-74
1417,
1 16 161,
2 87 764
998 644
1-63 099,
8
P
772
7 00,
084 669
3-07 669
999 891
2-38 460 • 1-63 659
4
P
2461
2611,
— 0 61
2440,
1 88 644«
8-04 006
999 639
'20S 628,
6
P
8-46
907
— 0-62
8-86,
0 92 210
2-96 028
9 96 986
il-46 76S
6
P
6-84
7-09
076
t^^^ =-0.712
n
6-37,
080 468
31 1 202
9-96 682
1*49 842
1
6
7
8
9
10
11
Berechnete
Höhe
Korrektionen
wegen
Refraktion nnd
Brhebnng des
■cheinh. Horiaontee
Ab«>late HOhe<)
a
Belatire Höhe
JE
der
Fizponkte
und des
Standpunktes
gegeben
wahr.
gerechnet
m
62-63,
4276,
84-83,
108744
29-36i
31-60,
m
— 0-068
— 0-041
0-096
— 0068
— 0-068
— 0116
m
26073^
242-27j
unbekannt
30883o
228-31,
28000,
m
197044
plus
InBtrument-
höhe
/« 1616
198660
m
6-2-170
43-711
109770
29-762
81440
62-670
42-716
84288
108-676
29-283
31-393
— 0-400
•f 0-996
+ 1094
-j- 0-469
+ 0047
1) Die abBolaten Höhen sind entnommen:
1. Der amtlichen Publikation des k. k. Finanz -Ministerimnd
„Koordinaten nnd Höhencoten der triangolierten Punkte in Nieder-
Osterreich^' nnd
2. Prof. Dr. W. Tinter: ,3^<^l^te ^^^^ einige von ihm Ülr Gradmessun^-
zwecke ausgefiihrten Arbeiten^^ veröffentlicht in den Yerhandlan^fen
der ÖBterreichiBchen GradmeBsungskommission 1899.
Der Horizont hatte auf dem Photogramme eine unrichtige Li^e
und ist um 0-712 mm nach oben zu verschieben.
Werden die zu grofs gemessenen Ordinaten um den Betrag
— 0-712 mm korrigiert ^ so ergiebt sich die Kolonne (4) f&r die ver-
besserten- Ordinatenwerte.
Mit Benutzung dieser verbesserten Ordinaten wurden die relativen
Hohen nach der Formel:
fl.-ff='>-'coB(y-a,)
berechnet, wof&r die Logarithmen der erforderlichen örölsen in der
Von Eduabd DoleSal
83
Vertikalreilie (5) angesetzt sind und
die berechneten Höhen in der Ko-
lonne (6) erscheinen.
Die Korrektion wegen der Refrak-
tion' und der Erhebung des schein-
baren Horizontes über dem wahren
finden sich in der Kolonne (7) und
geben y mit dem notierenden Zeichen
an (6) angebracht^ den gerechneten
Wert der relativen Höhe in der Ver-
tikalrfeihe 9.
In der Kolonne (10) sind die
Fehler in den photogrammetrisch be-
bestimmten Höhen notiert; dieselben
wurden erhalten^ indem die gerech-
neten relativen Höhen von den ander-
weitig aus scharfen geodätischen
Messungen erhaltenen Höhen sub-
trahiert wurden.
Um nun diese absoluten Höhen-
fehler mit den mittleren wahrschein-
lichen Fehlem der Höhen vergleichen
zu können und so ein Bild von der
Güte der photogrammetrischen Höhen-
messung zu gewinnen, wurden die
mittleren wahrscheinlichen Fehler der
Höhen ermittelt nach der Formel:
'^\T) +(cotg(y - «)) "'"(cotgöf-«)) J
Wird in der angeführten Formel
für — ein Mittelwert angenonmien
und zwar — , was bei dieser Fehler-
rechnung vollends genügt^ und wird
^y » 0-1 mm gesetzt^ so können die
Daten zur Berechnung des mittleren
Höhenfehlers in folgender Tabelle Y
zusammengestellt werden.
1
o
•
«0
et
1
•
a
Ck
<0 A O t* A 00
OD CO (M t« 00 iH
^ -^ CO lO CO 00 lO
w o o o o o o
-H+l-H-H-H-H
00
1
1
5,
« O t« <^ OD <^
00 lO t* «O O CO
CO C« lO O O 'Hl
00 CO iH 00 0» iH
CO lO t* 00 lO t*
o o o o o o
««•
lO
1
s
1
1
llllll
IH ^ ^ tH ^ IH
•••••■
-H« b- 06 -^ CO OD
00 CO A 0« O t«
•••••■
CO 0« t* CO O) CO
b* CO OD CO ^ *Q
0?
«
••
1
1
1
1
1^ -r^ y^ T^ -r^ y^
tO lO 'Hl »o -^ c«
»O H< o ^ © ^
O O O O iH ^
ja
OB
lO
••
1 —
1
1
llllll
•r^ 1^ y^ y-i -r^ iH
CO i6 t^ ^ ö ö
CO iH iH t* O CO
0« 09 O O *0 tO
• •••••
o o o o o o
•
^
tl
0
llllll
tH tH tH tH tH tH
O Ä Ö 00 O OD
CO CO «Q lO tO k«
eo 00 t* OD 00 OD
• ••••«
«Q iH C« «Q t* -Hl
«Q -Hl CO iH o) eo
•»
••
•
•
o
M
••
<0
u
•
CO
•Hl
r*
1
e,"«,-»:»:«;«»;
1
•
1
iH e« eo H( *Q CO
6'
4 D. Probl. d. fünf u. drei Strahl, i. d. Photogrammetrie. Von Eduard Dolbzal.
Stellen wir der Übersicht wegen die absoluten oder wirklichen
Fehler in der Höhe aus Tabelle lY und die mittleren Fehler aus
Tabelle V zusammen, so ergiebt sich:
Tabelle VL
Ko.
Punkt
HOhenfehler
Anmerkung
wirklieh
wahnoheinllch
1
2
3
4
6
6
1
m
— 0-400
-f 0-996
unbekannt
-f 1094
+ 0-469
+ 0047
m
+ 0 486
± 0369
+ 0-620
± 0-677
± 0-389
± 0-618
Die Hohe der Turmspitze zu St. Peter konnte in keiner geodäti-
schen Publikation und auch vom Kataster nicht erhalten werden, daher
war es nidit möglich, die Höhe dieses Punktes auf seine Richtigkeit
zu prüfen.
Die Höhe der Turmspitze zu St. Peter ergieht sich zu:
J?,» 34-328 m
und ist auf
^H^ =« + 0 • 520 m genau.
Um einen bequemeren Yei^leich der Resultate, welche nach den
behandelten zwei Methoden,
dem Fünf- und Dreistrahlenproblem,
gewonnen wurden, Yomehmen zu können, sind die gewonnenen Daten
in den nachstehenden zwei Tabellen übersichtlich zusammengestellt
worden.
Tabelle VE.
Qi«fto
n— tifthwiliig
benchttel «»eli d«m PioblMia dar
fttnf Stimhlen diel Stimhlea
1
Radiusrektor r . 104129 m
Polarwinkel 9 ^ 170* 69' 26"
Rechtwinklige KooTdinaten [J 1 Z ^3^4^83 m
Bildw«ite f 242^4 mm
Orienüerangswinkel y 16« 41' 20"
AbniiBse des Hauptpunktes ^ 68 103 mm
1041 330 m
170* 69' 12"
— 1069092 m
^ 284039 m
— 24244 mm
16* 42' 61"
68-212 mm
■
Soleialjdaslrdilanikrfiiifiiiidäl
Tafel 1.
^fnr Tff ftiirnrr MifT'
üfn-ny
^/iUdaiftßrMMaiusuThfsOc
über Gleichungswagen. Von Eudout Skutbch.
Tabelle VIU.
G^enanigkeitB - Daten.
85
•
OröfM
AbaolutttT Fehler
aus dem
BelAtlrer Fehler
»ne dem
Fnnfstnhlen- | Breistrahlen-
1
FOnf Strahlen-
Dreiitrahlen-
Probleme
Probleme
r
e
X
y
f
r
M
± »203 m
±4' 26"
± 3410 m
± 1 082 m
± 0 80 mm
+ 9' 6"
+ 0-69 mm
± 3-60 m
± 2-680 m
±14' 18"
± 210 m
± 468 m
±0044 mjn
± 39 2"
±0-048 mm
± 604 m
1
325
1
306
1
99
%
0-81
0-33
101
1
404
1
5 462
1
1490
7o
0-26
0018
007
Zum Schlüsse erfüllt der YerfsEtsser dieser Arbeit eine angenehme
Pflicht^ wenn er dem Assistenten seiner Lehrkanzel, Herrn Bergingenieur
Florian Lederer, der ihn bei der Ausrechnung der behandelten Bei-
spiele thatkraftig unterstützte, auch an dieser Stelle seinen Dank aus-
spricht.
über Gleichnngswagen.
Von Rudolf Skütsch in Haiensee.
In seinem bekannten Werk ,,Die Konstruktion der Wage^^ definiert
Herr Brauer die Wi^ mit ausdrücklicher Beschrankung als „ein zur
Ausführung yon Oewichtsrergleichungen bestimmtes mechanisches In-
strument'^ Aber zwei Überlegungen, die man in Herrn Brauers Ein-
leitung selbst findet, fordern eine Erweiterung der Definition: erstens
hat bereits der Sprachgebrauch gewisse andere Instrumente, wie
Wasserwi^e und Setzwage, einbezogen, und zweitens kann man Wagen
geeigneter Bauart mit Vorteil als Rechenmaschinen benützen.
Man wird daher — ebenfalls in Verfolg eines bereits von Herrn
Brauer ausgesprochenen Gedankens — als Wage allgemein eine kine-
matische Kette bezeichnen dürfen, welche für den Angriff willkürlich
zu wählender Ki^fke vorgerichtet ist und benützt wird, um Beziehungen
zwischen den Grrölsen und Lagen dieser Kräfte aus der Gleichgewichts-
lage abzuleiten, welche die Kette unter ihrem Einfluis annimmt.
Alsdann umfabt die Definition die drei Fälle, dais es sich um Be-
86 tfbtr Gleichungswagen.
Stimmung der Orofse oder der Richtung einer Kraft handelt oder
endlich^ dafs sämtliche Kräfte nach Richtung und Grofse bekannt
sind und der Endzweck der Wägnng die Aufsuchung des Wertes einer
Koordinate^) ist^ welche eine gewisse Gleichung erfüllt^ deren Koeffi-
zienten durch die bekannten Kräfte und Abmessungen der Kette be-
stimmt sind.
Für Wagen des letzi^enannten Verwendungszweckes bietet sich
von selbst die Bezeichnung Gleichungswagen dar; ihr vorzüghches
Anwendungsgebiet bildet natui^emäls die Losung der algebraischen
Gleichungen oder yielmehr die Ermittelung ihrer reellen Wurzeln. Den
sonstigen ftir diesen Zweck vorgeschlagenen Geräten (vgL z. B. Wehage,
Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure 1877) sind die im Folgenden
betrachteten Wagenanordnungen wenigstens an Einfachheit des Aufbaues
zweifellos überlegen.
Diesen Anordnungen liegen im allgemeinen Ketten von zwei£Eicher
Beweglichkeit zu Grunde. Während die eine der beiden Koordinaten,
von denen hiemach die Li^e der Kette abhängt, durch ein Stellwerk
stetig verändert wird und als Stellwerkskoordinate | bezeichnet werden
soll, nimmt die andere, wenn die Lage und Ghrolse der auf das System
wirkenden Kräfte durch die Parameter Oo, o,, o^ . . . a« bestimmt ist
und stabile Gleichgewichtslagen innerhalb der Beweglichkeitsgrenzen
der Kette vorausgesetzt werden, Werte ti an, welche durch eine Gleich-
gewichtsbedingung
(1) «(S, 1?, ao, Oj,, Oj ...a*) = 0
mit den Werten | zusammenhängen.
Die Systeme sind nun aber so gewählt, dafs bei Erfüllung einer
bestimmten von den Parametern o, unabhängigen Gleichung
(2) 9>(S, 'j)-0
die erste Gleichung die Form annimmt
y sn
(3) ^Ä^x^^O,
y = 0
WO die Ay Funktionen nur der a^ sind, x dagegen nur eine Funktion
von g oder iy ist. Wenn nun der Apparat so eingerichtet ist, dafs die
Parameter a» stetig verändert und die zu einem beliebigen Wertsystem
der Ät gehörigen Werte der a^ berechnet werden können, so ist leicht
zu sehen, dafs der Apparat zur Lösung von Gleichungen höheren
1) Unter Koordinate ist irgend eine Gröfse verstanden, deren Werten die
Lagen der Kette stetig zugeordnet sind.
Von Rudolf Skutsch. 87
Qradee g»iz ähnlich angewendet werden kann, wie man eine sogenannte
Schnellwage handhabt. Ist nämlich eine öleichung ^ Ä^x* = 0 zu
losen y so berechnet man zunächst aus den Ap die a,, belastet darauf
die Kette mit dem durch die a, bestimmten Eräftesystem und ver-
ändert S bis die öleichung 9 (1, v) ^^ erf&llt ist. Nunmehr kann der
gesuchte Wert von x aus | oder 17 berechnet^ am einfachsten aber
unmittelbar an einer Skala abgelesen werden. Die durch öleichung (2)
charakterisierten Lagen bezeichnen wir als entscheidende Lagen.^)
Freilich würde es stets einer besonderen Untersuchung bedürfen, ob
nach (1) für jeden Wert der Koordinate | und jedes Wertsystem der
a, wirklich nur eine einzige Gleichgewichtslage existiert Praktisch
lielse sich aber die hieraus resultierende Unsicherheit, ob die Erfüllung
der öleichung (3) sich auch wirklich durch Eintritt der entscheidenden
Lage anzeigt, etwa dadurch beseitigen, dafs man das Spiel der Wage
durch Anschläge möglichst auf die unmittelbare Umgebung der durch
Gleichung (2) charakterisierten Lagen einschränkt. In ähnlicher Hin-
sicht bietet die in Figur 10 dargestellte öleichungswage Interesse. Sie
besitzt für jeden Wert von | zwei entscheidende Lagen, die sich als
Spiegelbilder entsprechen und reziproke Wurzelwerte x' und x" be-
dingen. Hat abo zufällig die zu lösende öleichung zwei einander
reziproke Wurzeln, so ist klar, dafs der Apparat nur eine der beiden
Wurzeln anzeigen kann, wenn man nicht unter entsprechender Ver-
änderung der erwähnten Spielbegrenzung die Koordinate $ das betreffende
Gebiet wiederholt durchlaufen lassen will.
Als besondere Form der öleichung (2) ist auch diejenige g '^ const.
denkbar. Wenn diese Eintragung zum Ziele fährt, so ist das Stell-
werk überhaupt überflüssig, die zweifache Beweglichkeit fSilt fort und
die Wage wird zu einer Neigungswage. Ein Beispiel hierfOr bieten
die Figuren 3 und 4.
Wir gehen nunmehr zur Betrachtung der einzelnen Öleichungs-
wagen über.
Die hydrostatische öleichungswi^e des Herrn Meslin') besteht
aus einem um eine horizontale Achse drehbaren Wi^ebalken, an
welchem Rotationskörper verschiedener öestalt yerschiebbar aufgehängt
sind and zwar derart, dafs bei Horizontalstellang des Wi^balkens die
Aufhängepunkte in einer durch die Achse gehenden, die tiefsten Punkte
1) Diese Betrachtnngsweifle läfst sich übrigens auch auf die gewöhnlichen
Wagen znr Ausführung von Gewichtsvergleichungen anwenden.
2) Jonmal de phynqne 1900.
gg über GleichungBwagen.
der Körper aber sämtlich in einer zweiten Horizontalebene liegen,
welche von der ersteren den Abstand x' habe. Die einzelnen Korper
sind von solcher Gestalt^ dafs bei dieser Stellung ein in der Höhe x
über der letzteren Ebene geführter Horizontalschnitt die Volmnina
mXj mx^j moi? u. s. w. abschneidet. Hierbei ist in den Figuren 1
bis 4 die Längeneinheit gleich 0^9 cm und die Konstante *^ =^ Tg gewählt
Die Aufhängungspunkte dieser Körper mögen — nach rechts als positiv
gemessen — die Abstände a^; o^, o^ u. s. w. yon der Achse haben;
auTserdem werde noch ein beliebig geformter Körper vom Volmnen m
im Abstand Oq vermittelst eines dünnen Fadens von solcher Länge
aufgehängt^ dafs er sich bei horizontalem Stand des Wagebalkens noch
ein gewisses Stück unterhalb der tiefsten Punkte der übrigen Körper
befindet. Der Apparat wird nun zunächst ausbalanziert und alsdann
allmählich in eine Flüssigkeit getaucht^ deren spezifisches Gewicht
kleiner ist als dasjenige der Körper.
Stellwerkskoordinate ist hier die Höhenlage \ der Achse und zwar
wollen wir die \ abwärts yon einem Punkte aus zählen, welcher in
einer Höhe x' über der Oberfläche der Flüssigkeit liegt; als zweite
Koordinate 17 führen wir den Sinus des Winkels ein, welchen der
Wagebalken mit der Horizontalebene einschliefst und bezeichnen ihn
als positiv, wenn der rechte Arm nach abwärts zeigt Die Eintauch-
tiefen der Rotationskörper sind alsdann bezw.
S + Oi'^i I + Oji?, l + a«.i2,
femer die Flüssigkeitsverdrängung des Körpers vom Volumen m und
der Rotationskörper
Die Momente der Auftriebe in Bezug auf die Achse der Wage sind
also bzw. proportional den Grölsen
und die Gleichgewichtsbedingung lautet
Jede lineare Gleichung zwischen $ und 1} führt diese Gleiehgewichts-
bedingtmg bei Elimination der einen in eine algebraische Gleichung
Uten Grades für die andere der beiden Grölsen | und 1^ über, welche
sich durch Verfügung über die a« mit einer Torgegebenen Gleichung
Uten Qradee identifiiieren l&fst Wollte man aber die entscheidenden
Von Rudolf Sxutbch. 89
Lagen nach einer wiUkürUcb angenommenen aUgemeinen linearen
Gleichung zwischen $ und i^.wählen^ so hätte man für die Auflösung
der gegebenen Crleichung nichts gewonnen^ weil man^ wie leicht zu
yerfolgen, die a^ selbst aus algebraischen Gleichungen zu bestimmen
hätte^ welche sogar den n + Iten örad erreichen.
Auch die spezielle Form der linearen Gleichung
wobei die entscheidenden Lagen dadurch charakterisiert würden, dafs ein
gewisser Punkt des Wagebalkens sich in der unveränderlichen Höhe x'
über dem Flüssigkeitsniveau befände, würde wenig Nutzen versprechen.
Er laJst sich allerdings zeigen, dafs in diesem Falle zur Ermittelung
der a^ dreigliedrige Gleichungen von der Form
AnX"^ + A^x — ^ = 0
benützt werden können, welche ihrerseits auf die in Rede stehende Art
und Weise durch Wägung lösbar sind.
.Viel mehr Interesse bieten die beiden anderen SpeziaUsierungen
der linearen Gleichung ri^p oder S = 9. Im ersten Fall ist ent-
scheidende Lage eine bestimmte feste Richtung des Wagebalkens, im
zweiten erübrigt sich das Stellwerk und die Wage wird zu einer so-
genannten Neigui^^wage. Diese Falle möchte ich kurz betrachten,
obgleich sich zeigen wird, dafs praktisch wohl nur die schon von
Herrn Meslin angegebene Handhabung des Apparates in Frage
kommen kann.
Mit 17 » j!> geht die Gleichung (4) über in
r = «
(5) ^a.{%+.arpy = 0,
y = 0
und, um diese Gleichung mit einer vorgegebenen von der Form (3) zu
identifizieren, hat man die a» aus folgendem Gleichungssystem zu be-
stimmen
a« = A
"» — ''■^n
u. s. w.
Man erhalt dann die Wurzeln der Gleichung als Werte der
Koordinate $.
Sei etwa die Gleichung
(7) 4x»-6a;-3 = 0
90
Über Gleidrangswagen.
anfraloeen und wählt man 17 = 0,05, so ergeben sich die Abstände o,
(Figur 1) der Reihe nach za:
a, = 4; a, = -2,4; aj = -7,056; a^ = -5,4Sl.
Herr Heslin hatte nur Horizontalstellimg des Wagebalkens in
Fig. 1.
Betracht gezogen. Hierbei geht — mit p » 0 — das obige Gleichongs-
System für die a, einfach in die n + 1 Gleichungen
über nnd die Losung der Gleichung (7) wird durch Figur 2 yeran-
schaulicht
Flg. t.
I
I
It I >- 9 geht Gleichung (4) über in
und die Identität mit (3) erfordert
a'*'~A
(9)
U, 8. W.
Man erhält dann die Wurmein der Gleichung als Werte der
Koordinate ^.
Von RuDour Skutsch.
91
Um bei Losung numerischer Gleichungen reelle Werte ftir die a^
zu erhalten, ist auTser geeigneter Wahl der Gröfse q eine Transformar
tion derselben yorzunehmen. Zur Lösung von (7) können wir etwa
setzen q = 1,3 und a; =» 1,5 + y oder
4y»+18y» + 21^+1,5 = 0.
Es ergiebt sich dann als eines der möglichen Wertsysteme
o, = + 1,414; Oj, = + 1,910 ; »j =— 1,173 ; %^- 3,31 .
Die Lösung ist in Figur 3 dargestellt, sie ergiebt sich in der Form
y^ri^- 0,076; also a; =- 1,5 + y - 1,424.
Fig. 5.
Wird insbesondere 9 » 0 gewählt, so geht das obige Oleichungs-
System (9) in die n + 1 Gleichungen
Über. Transformieren wir etwa Gleichung (7) durch die Substitution
x^lß + y in
4y« + 14,4y» + ll,28y - 3,288 = 0
so wird (bei willkürlicher Verfügung über das Vorzeichen der zweiten
und vierten Wurzel), wie in Figur 4 dargestellt:
0^=«+ 1,414; aj-= + 2,433; aj^ = + 3,358; % 3,288.
Ln letzteren Fall ist zwar leicht einzusehen, dafs es stets durch
lineare Transformation der gegebenen Gleichung gelingt, alle a, reell
und alle Wurzeln der Gleichung zu echten Brüchen zu machen. Eine
weitere Einschränkung für die Anwendung der beschriebenen Verfsüiren,
welche wiederum nur das von Herrn Meslin angegebene nicht trifft,
besteht aber darin, daGs keiner der Werte ^ + Gpfj negativ ausfallen
darf Denn wenigstens für die im Anschlufs an Herrn Meslin in den
Figuren 1 bis 4 dargestellten Körper ist der Auftrieb eben nur so lange
der vten Potenz dieser Gröfse proportional, als dieselbe positiv bleibt.
92 ÜLer ( !1 ei ehungs wagen.
und eine Ei^nziing der Körper zur Vermeidimg dieaes Msngels irt
nur für ungerade Werte von v ohne grofee Komplikation denkbar.
Die Rotationskörper des Herrn Meslin sind der Ueihe nach ein
cjlindri scher Stab, ein Paraboloid, ein Kegel, ein Körper mit semi-
knbiaoher und ein solcher mit apolionischer Parabel als Generatrix u. s. C
Herr Meslin macht darauf aufmerksani, dalB zur Lösung einer reduzierten
kubischen Gleichnng nur Kegel und Cylinder erforderlich sind. Wenn
er hierbei den Vorteil in der Vermeidung des schwieriger herzustellenden
Paraboloides sieht, s« mag bemerkt werden, dafs daa letztere anch durch
einen ebenflächigen Keil mit horizontaler unten liegender Schneide er-
setzt werden kann. Da man natürlich auch den Cylinder durch irgend
welches Prisma, den Kegel durch irgend welche Pyramide ersetzen kann,
so sind zur Lösung der allgemeinen Gleichung dritten Grades nur solche
Körper erforderlich, welche von ebenen Fignren begrenzt werden.
Die folgenden Apparate stellen sich ausnahmslos als kinematische
Ketten aus festen Körpern dar. Die Kette von einfacher Beweglichkeit
welche festen Werten der Stellwerkskoordinate | entspricht, ist bei
allen aus Wagebalkeu zusammengesetzt, welche durch KuppelstSbe
oder ähnliche Körper verbimden sind. Man kann sie in drei Gruppen
teilen, je nachdem durch das Stellwerk entweder nur die Angrifi'spnnkte
der Knppelstabe oder nur die UnterstQtzungs punkte an den WagebaUien
verschoben werden oder drittens sowohl Angrifl" der Kuppelstäbe als
Unterstützung in festen Punkten der Wagebalken erfolgt. Die Gleich-
gewichtsbedingung filr die entscheidenden Lagen ist bei allen so leicht
anzusetzen, die allgemeine Form dagegen so kompliziert, dafs wir von
nun an immer gleich die erstere formulieren wollen.
Nach der vorstehenden Einteilung würden die prinzipell fast über-
einstimmenden Gleichungswt^en der Herren Massau'1 und QraDt')
1) Note SM ie« int^graphes, Gand, 1
!) American Macbinist 1B96.
d
Von Rudolf Skutbch.
93
der ersten Qattang angehören. Was zunächst den auf die Ausgestaltung
des Apparates etwas naher eingehenden Vorschlag von Herrn Grant
anbetrifity so benützt derselbe^ wie aus Figur 5 zu ersehen, zur Lösung
TOB Gleichungen nten Grades ein System von n+ 1 gleichgrofsen
gleicharmigen Balkenwagen, von denen jede mit einem Punkt ihres
rechten Armes das rechte Balkenende der folgenden Wage unterstützt.
Der Apparat ist nun so eingerichtet, daCs an sämtlichen Wagebalken
die Entfernung des unterstützenden Punktes vom Drehpunkt stets über-
einstimmt, im übrigen aber dieser gemeinschaftliche Wert durch ein
Stellwerk stetig verändert werden kann. Nennen wir ihn | und die
Fig. 5.
Ärmlinge l, so gehören zu einer Elementardrehung S des ersten Balkens
offenbar Elementardrehungen j S, f ~) d, • • • (jjS der übrigen Balken.
Sind dieselben also durch Momente Mq, M^, M^- - • M^ belastet, so
laatet die Gleichgewichtsbedingung für das System nach dem Prinzip
der virtuellen Yerrflckungen:
(10) M, + M,L + M,(^y + •.. + M,(\y -0.
Um darnach die Gleichung (3)
^Ä,x' « 0
za losen, bringt man Momente üf , von der Grölse der Koeffizienten Ar
auf die einzelnen Wagebalken und vexundert den Wert von £ stetig
▼ermittelst des Stellwerks. Bei Eintritt der entscheidenden Lage, d. h.
bei horizontalem Stand der Balken ist ^ = -f eine Wurzel der Glei-
über GleichungBwt^oti
chung. Wuraelwerte a; > 1 erhält man in der Form ^ = j- wenn mau
Momente M, von der Grölse der Koeffizienten Ä.-, aufbringt, wie
man sich durch Multiplikation der Gleichung (10) mit U j überzeugt.
Macht man M,^ (— lyÄ,, so ergeben eich echte Brüche unter
den negativen Wurzeln der Gleichung in der Form ar = — j ; mit
M, = {— \yAn-r die übrigen negativen Wurzeln in der Form a; = — t.
Wie man erreichen kann, daTa die Länge | für alle Wagebalken
die nämliche bleibt, auf diese Frage geht Herr Maeeau überhaupt
nicht ein. Er verwendet RobervaUche Wagen und stellt dieselben
unveränderlich ao nebeneinander auf, dai'a ihre Drebachaeii in eine ße*
rade fallen. Gekuppelt wird eiu veränderlicher Punkt des in einen
horizontalen Arm auslaufenden Plateaus jeder einzelnen MV&ge mit
einem veränderlichen Punkt des Balkens der vorhergehenden. Da bei
der Robervalschen Wage alle Punkte eines Plateaus gleiche Wege
beschreiben, so ist nur die Verlegung des BalkenpmJttes mafsgebend
und die soeben entwickelte Gleichung gilt auch für Herrn Massaus
Instrument. Die Anbringung eines Stellwerkes zur gleichzeitigen Ver-
änderung der Arme g würde aber bei dieser Anordnung sehr schwierig
sein. Bei Herrn Grants Gleichungswage gestaltet sich dagegen gerade
das Stellwerk sehr einfach. Hier werden die einzelnen Wagens clmei den
durch zwangläufig verbundene Schraubenspindeln mit Geschwindigkeiten
bewegt, welche sich wie die Glieder einer arithmetischen Reihe ver-
halten. Nur ist in Herrn örants Figur die Stützung des einen Balkens
auf dem andern durch oben gelenkig angeschlossene, unten mit Ösen
versehene Stiibe bewirkt und damit natürlich eine stetige Verstellung
doch wieder ausgeschlossen, weil diese Stäbe im belaeteten Zustand
durch die gleitende Eteibimg am untercu Wagebalken mitgenommen
werden und sich schräg stellen würden. Diese Schwierigkeit ist auch
nicht ohne weiteres zu beseitigen; denn wollte man diese Kuppelstäbe
etwa oben steif anschliefsen, so würde zwar stetige Verstellung er-
möglicht sein, dafür aber die Reibung an den unteren Stützenenden
beim Einspielen der Wage sehr störend wirken, allerdings um so
weniger, je näher die sämtlichen reibenden Punkte und Balkendreh-
punkte in eine Horizontalebene fallen. Die letztere geometrische Be-
dingung scheint Herr Massau verwirklichen gewollt zu haben, wobei
dann für unendlich kleine Schwingungen um die entscheidende Lage
die Relativbewegung der reibenden Punkte unendlich klein von höherer
Ordnung würde. Jedenfalls sind beide Gleichungswagen als recht im-
voUkommene Beispiele der ersten Gattung anzusehen.
Von Rudolf Skütsch.
95
Eine bessere Losimg der Aufgabe ist in Figur 6 dargestellt. Der
ganze Apparat ist hier in Zwillingsform ausgeführt, sodaGs die eine
Hälfte nur die positiven, die andere nur die negativen Momente auf-
nimmt. Hierdurch ist der wichtige Zweck erreicht^ da(s die von einer
Wage auf die benachbarte übertragene Kraft stets dieselbe Richtung
behalt. Infolgedessen konnten die Euppelstäbe durch Rollen ersetzt
werden, welche weder ffir eine stetige Verstellung des Apparates durch
das Stellwerk, noch, wenn leicht genug beweglich, für ein empfind-
liches Spiel der Wage ein Hindernis bieten. Das Stellwerk kann wie
Fig. 6.
bei Herrn Orants Apparat in einfachster Weise unter Benützung von
Schraubenspindeln hergestellt werden.
Hit den aus der Figur zu entnehmenden Bezeichnungen entsprechen
einer sehr kleinen Senkung S des linken Balkenendes der untersten
Wage gleichzeitige Senkungen -j S, (t) ^f ' " (t) ^ ^^^ übrigen
Balkenenden der linken Apparathalfte, dagegen gleichzeitige Senkungen
- d, — ^ d , — Ijj d,' ' — lj\ d auf der rechten Seite. Somit ist
die Qleichgewichtsbedingung für das in der Figur angeschriebene Lasten-
system
vss n
(")
2/-iir-2/-&-2,i'-M^--o
Um also eine Gleichung von der Form (3)
V = ll
^AflJ'-O
VbO
Zu lösen, mache man zunächst (P, — P,) « Ä^, um die positiven Wurzeln
> 1 in der Form a: -» y zu erhalten, darauf (P, — P») = -4|,_», um die
positiven Wurzeln < 1 in der Form a^ =- 4 zu erhalten. (Pr — P»)
«(— l)'-4.r ergiebt die negativen Wurzeln > 1 und endlich (Pr — Pr)
«(— l)'il«., die negativen Wurzeln < 1. Selbstverständlich kommt
96 über Gleich ungs wagen.
man mit w Kräften aus: ergiebt sich F, — PI positiv, so nehme man
P'y = 0; ist 1\ — P't negativ, so nehme man P. = 0. Eb wird dann
von den entsprechenden Wageschalen beider Hälften des Apparates
immer nur eine belastet. Dal's die imhelastete W^e im Gleich-
gewicht ist, kann man leicht aus (11) ableiten, wenn man es nicht
unmittelbar aus Syrametriegründeu folgern will. Die Auattihrung
des vorbeBchriebenen Apparates kann konstruktiv kaum auf irgend
welche Schwierigkeiten Btol'sen, an Empfindlichkeit durfte er Herrn
Meslins Wage wohl übertreti'en.
Die Grundform der zweiten Gattung ist womöglich noch einfacher.
B gewichtslose Stabe von der Länge i {die Wagebalken) sind in ihren
Endpunkten gelenkig verbunden und zu einem geraden horizontalen
Stabzug ausgestreckt (Fig. 7). Derselbe
*'''■ ' wird durch n Schneiden unterstützt,
'eiche in gleichen Abständen l auf
einem gemeinschaftlichen Stativ befestigt
sind. Diese Schneiden teilen sämtliche
Stablängen in dem nämlichen Verhältnis
^'■l — t, welchem durch Relativ Verschiebung des Stabzuges gegen
das Stativ jeder positive Wert gegeben werden kann. Eine Ab-
wärtsbewegung des rechten Stabzngendes um eine sehr kleine
Gröl'se 6 ist den Bedingungen des Systems zufolge mit abwechseln-
den Auf- und Abwärtsbewegungen der übrigen Stabenden ver-
P. K P, ^ 'i P.
buaden, welche, wie leicht zu sehen, durch die Gröfsen — ■. -^-^ S ,
+ (rzri) *' "~ ir-Tl} ^ "■ ^- *"■ gemessen werden. Für die Lastenreihe
in Figur 7 und horizontale Lage des Stabzuges liefert also das Prinzip
der virtuellen Verrückungen die Gleichgewichtsbedingung
(12)
2(-^y^-{rHi'=o-
Wendet man nur abwärts gerichtete Kräfte an, so lälst sich (12)
nur mit solchen Gleichungen (3) identifizieren, dereu Glieder keine
Zeichenfolge oder keinen Zeicheu Wechsel haben. Im erster en Fall
die Wurzeln in der Form x =
J_
im zweiten in der
Form (— x) — YZri • I^'^se Beschränkung auf bestimmte Arten von
Gleichungen und der Einäufs des Eigengewichts der W^ebalken
kommen gleichzeitig in Fortfall, wenn man den Apparat wieder in
Zwillingsauordnung ausführt. Mau verbindet hierbei zwei entspreohende
Von Rudolf Skutsch. 97
Enden der beiden Stabzüge durch einen in der Mitte anterstütKt>en
(2n + l)ten Stab und ordnet für beide Schneidensysteme einen gemein-
schaftlichen symmetrischen Antrieb etwa durch rechts- oder links^ngiges
Gtewinde auf derselben Spindel an (Figur 8). Man hat dann auf der
einen Seite die Senkungen + *, - M-g) * , + (r~|)**> * • ' (- 1)" (r=l)"*;
auf der andern die Senkungen — d, + irnij ^f "~ (rzn) '> * ' '
(— 1)""*"^ (rZTfc) '? ^^^ ^® Gleichgewichtsbedingung flbr die Lastenreihe
in Figur 8 lautet:
(13) Jf(- iy(P,-P^(j±-y = 0,
Diese Gleichung zeigt zunächst^ dafs bei symmetrischer AusfOhrung der
Apparat im Gleichgewicht ist, wenn nur sein Eigengewicht wirkt^ dafs
Fig. 8.
^ ^ j? ^ Ji f: p: /j' p: /;'
L
also das letztere die Giltigkeit der Gleichung (13) für die äufsereu
Lasten nicht beeinträchtigt
Um die Gleichung mit der allgemeinen Form (3)
yas«
^A,x' - 0
vsO
zur Übereinstimmung zu bringen, mache man (P, — Py) » A^ um die
negativen und (P^ — Py) = (— 1)* A^ um die positiven Wurzeln der
Gleichung zu erhalten. Die ersteren ergeben sich in der Form rr==— 7-^-7 ;
die letzteren in der Form a; »= ^ . . Wie bei der oben beschriebenen
Zwillingsanordnung der ersten Ghittung kommt man auch hier mit n
positiven Kräften aus, indem man für positive Werte von P, — P^ den
Subtrahenden, f&r negative den Diminuenden gleich Null setzt.
In der vorbeschriebenen Form ist die Gleichungswage noch nicht
brauchbar, da die zugrundeliegende Kette nur unendlich kleine Beweg-
lichkeit besitzt. Um dem abzuhelfen, konnte man die Stäbe anstatt
auf Schneiden auf drehbaren Bollen auflagern, welche durch das Stell-
Z«ilMlirift f. Mathematik a. Physik. 47. Band. 19M. 1. n. S. Heft. 7
98
Über GleichoDgawa^n.
werk ^eicbmälsig bewegt werd^a. Ist nuii Yoraorge getroffen, äals
die Stäbe auf deu Rollen nur wälzen, nicht gleiten können, so ist
bei horizontaler Lage der Stäbe da« Verhältnia | : / — 6 durchweg das-
selbe und die Yerbindong auf einander folgender Stäbe, die etwa ab-
wechselnd höher und tiefer gelegt werden, kann in einfachster Weise
durch gelenkig angeschlossene yertikale Kappelstäbe erfolgen. Der Zwang-
lauf de« Stellwerks und der Horizontalstäbe auf den Rollen kann durch
\ erzahnung oder durch Wicke-
lung von Zugorganeo erreicht
werden; da die Schwierigkeiten
auf konstruktivem Gebiete hegen
würden, möchte eine schema-
tische Skizze ebenso zwecklos
als wohlfeil sein.
Ar / 1 1 / \ Übersichtliche und geome-
-Ci-Vl y^ /\ 1^1, \ trisch nicht uninteressante Appa-
rate der dritten Gattung erhält
man, wenn man die Drehpunkte
der Wageb&lken in gleichen Ab-
ständen auf der Peripherie eines
lüeises anordnet. Die Äu^abe
des Stellwerks kann dann darin
best«hen, nur den Halbmesser
des Kreises oder nur den Ab-
stand der Peripheriepunkte oder
Kach beide nach irgend einem
Gesetz gleichzeitig zu verändern.
Von der sich hier bietenden
grolseu Mannigfaltigkeit der Lö-
sungen sind nächste hend ohne
besondere Auswahl zwei belie-
bige herausgegriffen, für diese
aber gewisse Stablängen und Winkel aus Zweckmäfsigkeitsgründen be-
stimctt worden.
In der Qle ich ungs wage na*h Figur 9 werden die einzelnen Radial-
stäbe eines fächerförmigen Gestells (etwa durch einen Zahnradmecba-
nismusi gleichzeitig n. zw. so verstellt, dals die Winke! zwischen
benachbarten Radialstäben unter einander stets gleich bleiben. Der
Endpunkt eines jeden Radialstabes r dient als Drehpunkt eines zwei-
armigen Wagebalkens II, auf welchen aber die Gewichte nicht in
festen Punkten und in bestimmter Richtung, sondern vemiittelat Rollen
Von Rudolf Skutsch. 99
wirken, an deren umfang sie angreifen.^) Die Endpunkte benach-
barter Wagebalken sind durch Enppelstabe s verbunden; die Buch-
staben r, l und s werden im folgenden zugleich als Mafs für die Längen
der betreffenden Stabe benützt. Werden nun die Wagebalken ver-
mittelst am Rollenumfang angreifender Gewichte durch die Momente
M^, M^, M^j M^j M^ belastet; so hat das System für jeden Wert der
SteUwerkskoordinate | eine bestimmte Gleichgewichtslage. Bezeichnen
wir die Spannkräfte in den vier Kuppelstäben mit S^, S^, S^ und /Sf^,
die Winkel zwischen Wagebalken und Kuppelstäben in der aus der
Figur ersichtlichen Weise, so ergiebt sich successive, wenn Zugspan-
nungen und linksdrehende Momente als positiv eingeführt werden,
Si Bin yi = y
S, sin *i + 5j sin y^ = -j
(14) 5, sin *j + S, sin y, = -^*
iSj sin *3 + S4 sin y^ = y
^4 sin ^4 = -y .
Multipliziert man die zweite dieser Gleichungen mit ^~-~ , die dritte
mit + !^ . !!j5^ , die Tierte mit - ^l^i • ?!2^ • ^ und die fönfle
Bin dj sm o, ' Bin ö^ sin tf. Bin o,
mit -r— ^ • -:-— • -r-— • -r— ^* , SO fallou bcl Addition aller Gleichungen
flin dj sin d. Bin d, sin o^ ' ^
die Stabspannungen 8 heraus und man erhalt bei Weglassung des
gemeinschaftlichen Faktors j:
(15) M.-M'^ + M,'^l'-'^^-M,'^^'^*-^l'
^ ^ ^ * Bin Oj * Bin dj Bin o, ' sin d^ sin 0, Bin d,
4. M ?^ y» . ^yj . 5£_yA . ?^* « o
• * sin ^1 sin tf, sin S^ sin d^
Es ist aber leicht einzusehen, dafs — innerhalb gewisser Grenzen —
für jeden Wert von £ eine Lage des Systems existiert, bei welcher
samtliche Fünfecke rlslr kongruent sind. Für diese Lagen wird also
yi = y, «= y, « y^ und d^ = dj = d, — d^ und, wenn wir infolgedessen
die Indices dieser Winkel als überflüssig fortlassen, so nimmt Gleichung
(15) die einlEU^here Form an
w «.- *. :s-; + ". m' - ■«. (ii)" + 1. m' - »
1) Diese Bollen haben in den Fig^oren 9 und 10 lediglich der Übersichtlichkeit
▼egen sehr kleine Durchmesser erhalten.
100 über GleichungawagexL
oder^ wenn wir die willkürliche Beschränkung auf eine bestimmte An-
zahl Ton Wagebalken aufgeben:
»=B||
(17) 2(-l)'J»f.(l^)=0.
Um also mit diesem Apparat eine Gleichung (3)
t g n
9 = 0
ZU lösen; hatte man die Momente M^ » (— 1)^^, zu machen und die Stell-
werkskoordinate £ zu verändern, bis die Fünfecke rlslr kongruent sind; in
dieser entscheidenden Lage liefert der Quotient -r--~ eine Wurzel der
Gleichung. Die Kongruenz samtlicher Fünfecke folgt zwar schon aas
der Gleichheit z. B. zweier aufeinander folgenden Winkel y oder d;
aber die stetige Veränderung von ( wird illusorisch gemacht, wenn
zwei gleichzeitige Beobachtungen erforderlich sind. Die Feststellung
der entscheidenden Lage wird also besser etwa folgendermalsen ge-
schehen. Die Gesamtheit der entscheidenden Lagen bestimmt nandich
f&r jeden Punkt des Stabes s inbezug auf einen benachbarten Stab r
einen geometrischen Ort, der auf einer mit r yerbundenen Ebene vor-
gezeichnet werden kann. Zu beobachten ist alsdann nur, wann der
betreffende Punkt die vorgezeichnete Kurve passiert In Figur 9 ist
im besondem s ^21 gemacht. Alsdann liegen in allen entscheidenden
Lagen die Mittelpunkte der Stabe s auf dem Kreise 01234. Denn be-
zeichnet man die Scheitel der Winkel d^, y^ und S^ mit Dj, O^ und
D^y so ist wegen Kongruenz der Fünfecke CD^ » CD^, und es sind in
den Dreiecken CD^Q^ und CD^G^ die Seiten paarweise gleich. Diese
Dreiecke sind also kongruent, die die Seiten D^^G^ und D^G^ halbierenden
Transversalen sind gleich und der Mittelpimkt von s hat den Abstand r
von C.
Mit dieser Gleichungswage kann man nur Wurzeln ermitteln, die
sich nicht allzusehr von dem Wert 1 entfernen. Denn offenbar würde
bei sehr spitzen oder sehr stumpfen Winkeln y und d die Reibung in
den Gelenken die Genauigkeit arg beeinträchtigen. Lälst man noch
Winkel von 45^ und 135^ zu, so müssen die Wurzeln jeden&lls zwischen
den Grenzen )/2 und -|^)/2 liegen und auch dieses Gebiet kann nur
dann völlig ausgenützt werden, wenn man die Stablangen so wählt,
dafs in den entscheidenden Lagen für y = 45® S -= 90® und fÖr y « 90**
d ^ 135® wird. Nachdem aus anderen Gründen s ^21 angenommen
war, liefs sich die letztere Bedingung nur noch angenähert erfUlen
Von Rudolf Skdtsch.
101
und zwar durch r = 3,752. JedenMls würde also der Anwendung einer
derartigen Oleichungswage die entsprechende Transformation der Glei-
chung Torhergehen müssen.
Eine andere Gleichungswage der dritten Gattung ist in Figur 10
abgebildet. Als Trager der Wagenschneiden dient wieder ein fächer-
förmiges (bestell Ton Radialstaben; aber diesmal sind die Winkel k
zwischen denselben unyeränderlich und durch das Stellwerk wird der
Halbmesser | des Kreises verändert; auf dessen umfang sich die
Schneiden befinden. Die Wagebalken l sind jetzt nur einarmig, können
aber wie Torhin vermittelst der an ihnen befestigten SchnurroUen durch
positive oder negative Momente M^ bis M^ belastet werden. Die
Gleichgewichtsbedingungen für die an den Enden der Wagebalken an-
greifenden S[rafte lauten
3f.
Si sin yi = y
M,
S, sin yj — 8^ sin d^ = -,
(18)
3f.
iSj sin y, — i^ sin ig = -y
3f,
S^ sin y^ — S, sin *$ = T
- 8^ sin 8^ - ^^
und nach Multiplikation der einzelnen Gleichungen mit
102 tJbcr Gleichiingswagen.
^ sin y, sin y^ sin y, sin Yi Bin y, sin y, sin y, sin y, sin y, sin y^
^ sin d| ' sin dj sin d, ' sin d| sin d, sin ^, ^ sin d^ sin ^, sin d^ sin d^
ergiebt die Addition sämtlicher
^ ^ Sin a, " sin o. Bin o, 'sin a, sm a, sin a,
,jgv 1 11 1 t s
* sin ^1 sin d, sin d, sin d^
Entscheidende Lage ist wiedemm die Eongmenz der Fünfecke. Dabei
geht Gleichung (17)^ wenn zugleich die Beschränkung auf eine bestimmte
Anzahl von Wagebalken aufgegeben wird, über in
Die Kongruenz der Fünfecke ist hier unabhängig von dem Ver-
hältnis der Stablängen s und l daran zu erkennen, dafs die Endpunkte
der Wagebalken auf einem Sjreis vom Halbmesser liegen. Man
2 sin —
2
sieht nämlich leicht ein, dafs die Verbindungslinien der Endpunkte
eines Euppelstabes mit dem Punkt C, da sie gleiche Winkel mit den
zugehörigen Radialstäben bilden, auch denselben Winkel a wie die
letzteren einschliefsen müssen. Übrigens ist auch für jeden mit einem
Stab s fest yerbundenen Punkt der geometrische Ort bei Eintritt der
entscheidenden Lagen ein Kreis um C, insbesondere fallt die Spitze
eines über s mit der Schenkellange — ^ konstruierten gleichschenk-
ligen Dreiecks für jede entscheidende Lage mit C zusammen. Über
die Beschränkung der Wurzelwerte auf das Oebiet y]/2 bis )/2 gilt
das oben Gesagte; um dieses Gebiet auszunützen, d. h. damit hier f&r
y = 45<> * = 90^ und für y - 90^ * = 45^ wird, hat man den Winkel
a » 45^ zu nehmen. Wird dabei, wie dies auch in Figur 10 geschehen
ist, etwa s»0,92 gewählt, so durchläuft die SteUwerkskoordinate S
die Werte von 0,1 8 i bis 0,48 Z, während das Verhältnis -^-~ von 1
' ' ' sin d
auf y2 steigt oder von 1 auf ~ 1/2 fäHt. Wie schon in der Einleitung
erwähnt, hat nämlich die vorliegende Wage die Eigentümlichkeit,
dafs jedem Wert der Stellwerkskoordinate zwei verschiedene entschei-
dende Lagen zugehören, welche durch Vertauschung der Winkel y und
8 als gegenseitige Spiegelbilder auseinander hervorgehen und demzu-
folge reziproke Werte des Quotienten ^— | ergeben.
Von Rudolf Skutsch. 103
Die Aasbalanzierang des Eigengewichts bietet auch bei den Wagen
nach Figur 9 und 10 keine Schwierigkeit, sie kann durch Gegengewichte
an den Stellen erfolgen, welche in den Figuren durch kleine schwarze
Kreise bezeichnet sind.
Bei allen yorbeschriebenen Stabverbindungen wurden die Gleichungs-
koef&zienten durch Momente oder Gewichte dargestellt und infolge-
dessen liefert jeder der Apparate, wenn man ihn zur Auflösung linearer
Gleichungen benützt, das Verhältnis zweier Gewichte. Es steht also
nichts im Wege, ihn wie eine gewöhnliche Wage zu benützen, um
ein unbekanntes Gewicht als Vielfaches eines bekannten auszudrücken.
Geht man so von den Apparaten der ersten Gattung aus, so gelangt
man zu der gewöhnlichen römischen Schnellwage, während die der
zweiten Gattung zu der sogenannten dänischen Schnellwage führen.
Was endlich die Apparate der dritten Gattung anbelangt, so wollen
wir hier Ton einem solchen ausgehen, bei welchem die Abstände der
Peripheriepunkte konstant bleiben und nur der Halbmesser des zugehö-
rigen Kreises yerandert wird. Ein solches Gerät würde bei Beschrän-
kung auf lineare Gleichungen in ein Gelenkviereck übergehen, in welchem
die beiden der festgesteUten benachbarten Seiten gleichlang sind und
durch Momente Mq und M^ belastet werden. Das Verhältnis dieser
Momente ist dann gleich dem Verhältnis der Sinus derjenigen Winkel,
welchen die beiden Siabe in der Gleichgewichtslage mit dem vierten ein-
schließen. Übrigens ist auch das Gelenkyiereck bereits als Wage zur
Bestimmung von Gewichten benützt worden, vgl. Brauer, die Kon-
struktion der Waage S. 47 (Wage von Pfanzeder).
Wir haben bisher immer stillschweigend die Stabilität der in
Betracht kommenden Gleichgewichtslagen angenommen, was im all-
gemeinen'unbegründet scheint. Nun läfst sich zwar durch Hinzufügung
genügend grofser Kräfte, welche auf das System stets im Sinne der
Erreichung einer entscheidenden Lage wirken und in dieser genügende
Stabilität besitzen — im Interesse der Empfindlichkeit freilich eben
nur gerade genügende — jede Labilität beseitigen. Eine vorteilhafte
Verwirklichung gestattet dieser Gedanke aber doch wohl nur bei solchen
Anordnungen, bei welchen sich der Zweck wie bei den gewöhnlichen
Gfewichtswagen durch ein verstellbares, während des Spieles der Wage
aber fest mit einem Teil derselben verbundenes Reguliergewicht er-
reichen läfst imd man würde den Gleichungs wagen nach Figur 5, 6
und 8 ein solches Reguliergewicht hin^ufiigen können.
Indessen bietet sich ein ganz allgemeines und einfaches Mittel,
wenn es sich schlechthin nur um die Vermeidung labiler Gleichgewichts-
lagen handelt imd die Frage der Empfindlichkeit nicht aufgeworfen
104 Das Verhauen d. Yirials u. d. Momentes eines stationären Eräilesystems etc.
wird. Kelirt man nämlich sämtliche Kräfte eines beliebigen Systems
um^ so unterscheiden sich die Arbeiten der beiden Systeme bei einer
imd derselben virtuellen Yerrückung offenbar nur durch das Vorzeichen.
Da nun für labile Gleichgewichtssysteme die rirtueUe Arbeit bis auf
eine positive unendlich kleine Gröfse zweiter Ordnung verschwindet,
so entsteht durch ümkehrung sämtlicher EriLfte eines solchen Systems
ein anderes^ dessen virtuelle Arbeit bis auf eine negative unendlich
kleine Oröfse zweiter Ordnung verschwindet^ d. h. ein stabiles GleieL
gewichtssystem. Wenn man also einen Versuch mit irgend einer Glei-
chungswage unter ümkehrung sämtlicher Erafkrichtungen wiederholt,
so darf man sich auf die Beobachtung stabiler — oder indifferenter —
Gleichgewichtslagen beschiunken.
Das Verhalten des Yirials und des Momentes
eines stationären Eräftesystems
bei der Bewegung des starren Körpers.
Von Eabl Heun in Berlin.
Die Statik beschäftigte sich zunächst mit der Reduktion von
Kräften; welche auf ein Massensystem von bekannter Konstitution in
einer bestimmten Lage desselben wirken und leitete hieraus unmittelbar
die GleichgewicMsbedingungen ab.
An diese Untersuchungen schlofs sich dann die Frage über die
Sicherheit des betrachteten Gleichgewichtszustandes^ wodurch man Ver-
anlassung erhielt^ eine statische Gröfse näher zu verfolgen, deren Ver-
halten bei der Bewegung des Systems geeignet schien, den verlangten
Aufschlufs zu geben.
Diese Gröfse trat — in expliziter Form — in den Untersuchungen
von Lagrange (Mec. anal. 2. ed. t. 1, pag. 65 — 73) auf, ohne einen
besonderen Namen zu erhalten. Auch war die Betrachtung derselben
auf ein KnLftesystem beschränkt, für welches ein Potential existiert
Später wurde sie in allgemeiner Auffassung von Möbius und Min-
ding eingehender untersucht und endlich durch Glausius durch die
Bezeichnung „FinoZ'' als feststehender Begriff der Statik gekennzeichnet
Das Yirial ist definiert als die Summe der Produkte der Abstände
der Massenpunkte des Systems von einem festen Bezugspunkte in die
Projektionen der Krafte auf diese Strecken — oder in der Sprache der
Von Kahl Hbuk. 105
Yektoranalysis^) — als die Summe der inneren Produkte der Vektoren
der Massenpunkte in die Vektoren der zugehörigen äufseren Kräfte.
Bei jeder Bewegung des Systems wird also das Virial in doppelter
Hinsicht eine Änderung erleiden, indem sowohl die Vektoren der An-
griffspunkte andere werden als auch gleichzeitig jede Kraft ihre Gröfse
und Richtung ändert.
Aber schon bei der Formulierung des Prinjsips der virtuellen Ge-
schwindigkeiten hat man nicht die vcüständige Variation des Virials be-
trachtet, sondern eine partieUe, welche durch die Voraussetzung der
Inyarianz des gesamten Kräftesystems gekennzeichnet ist. Nach dieser
Auffassung sind die Oleichgewichtsbedingungen gegeben durch das
Verschwinden der ersten Variation des Virials für ein System mögUcher
Verschiebungen, wobei alle Vektoren, welche die wirkenden Kräfte
darstellen, unverändert bleiben.
^«r Bereich der möglichen Bewegungen des Systems der Angrifb-
punkte ist noch auJüserdem in sofern räumlich beschränkt,^ als im
Allgemeinen nur infinitesimal benachbarte Positionen und Konfigura-
tionen des Systems zulässig sind.
Man erfahrt demgemäis aus dem Ansatz des Prinzips der virtueUen
Geschwindigkeiten unmittelbar nichts über das statische Verhalten des
Systems, sobald die aufgefundene Gleichgewichtslage um endliche Be-
trage überschritten ist.
Bedenkt man aber, dab das Lagrangesche Gleichgewichtsprinzip
— unter Voraussetzung des Systems der möglichen Bewegungen aller
Angriffspunkte der Eüräfte — auch für jede Position, welche nicht
durch das Gleichgewicht ausgezeichnet ist, die Tollständige BeduktUm
des Kräftesystems auszuführen gestattet, so erkennt man, dafs diese
weitergehende Frage nach dem Verlauf der statischen Beziehungen
aufserhalb der Gleichgewichtslagen hiermit ebenfalls prinzipiell erledigt
ist. Auch die Inyarianz des Kräftesystems aulserhalb des infini-
tesimalen Bereiches, für welchen das Prinzip der virtuellen Geschwindig-
keiten zum Ansatz kommt, ist für das allgemeine Beduktionsproblem
nicht erforderlich.
Dexmoch hat die ,jAstatikf', wie sie in den wesentlichen (Jrund-
zügen von Möbius, Minding und Darboux ausgebildet Torliq^ nur
stationäre Kräftesysteme betrachtet, also durchgehends die Annahme
1) Als Anhang ist am SchluBse dieser Arbeit eine kleine Legende der Vek-
torrechnung hinzugefügt, welche die hier gebrauchte Bezeichnungsweise erläutert
und nötigenfalls die Umsetzung der Yektorformeln in die entsprechenden Formeln
der Koordinatengeometrie ohne weiteres ersichtlich macht.
106 Dfts Verhalten d. Virials u. d. Momentes eines stationären Eräftesjstems etc
gemacht, dafs jede Kraft in unveränderlicher Richtung und Oröfse
während der Bewegung an ihrem Angriffspunkte haftet.
Natürlich haben die Sätze der Astatik in Folge dieser einschrän-
kenden Bedingung ein ziemlich eng begrenztes Anwendungsgebiet, aber
sie besitzen auch — aus demselben Grunde — ein so einheitliches nnd
eigenartiges Gepräge, dafs sie in ihrer gegenwärtigen Ausbildung als
eins der schönsten Kapitel der elementaren Mechanik gelten können.
In methodischer Hinsicht macht sich jedoch in den yorhandenen
Darstellungen der Astatik ein deutlich föhlbarer Mangel geltend Man
yermifst nämlich eine einheitliche Quelle, aus welcher die verschiedenen
Resultate ungezwungen abgeleitet werden. Statt dessen begegnet man
einer ganzen Reihe von einander unabhängiger und willkürlicher Auf-
fassungen (astatische Paare), welche den Überblick beim Studium nn-
nützerweise erschweren und auch wohl manche Sätze haben übersehen
lassen, die auf geradem Wege liegen, wenn man nur den Ausgangs-
punkt richtig gewählt hat.
Wir gehen bei den nachfolgenden Untersuchungen von der Frage
aus: Welche Veränderungen erleiden das Yirial und das Moment eines
stationären Kräftesystems in Folge der elementaren endlichen Be-
wegungen eines starren Körpers?
Es ergeben sich dann für die Translation, Rotation und die
Schraubenbewegung äufserst einfache nnd übersichtliche Formeln, deren
Diskussion die Sätze der Astatik als direkte Folgerungen liefert. Hier-
bei treten zwei zu einander konjugierte Vektoren G und F auf, welche
durch das Darbouxsche Centralellipsoid geometrische Deutung finden.
Die Eigenschaften der Gentrallinie, der Centralebene, sowie der
Minding-Darbouxsche Fokalsatz hätten sich eben&lls angliedern
lassen. Doch konnte diese Ausführung unterbleiben, da die allgemeine
Entwickelungen soweit geführt sind, dafs der Zusammenhang dieses
Teils der Astatik mit den hier mitgeteilten Virial- und Momentformebi
leicht herstellbar ist.
PrinzipieU wichtiger wäre eine Ausdehnung der hier dargelegten
Methode auf Gelenksjsteme, welche aus starren Gliedern bestehen, um
dadurch einmal die schon yon SchelP) aufgeworfene Frage zur Ent-
scheidung zu bringen, unter welchen Bedingungen die Verfolgung des
Virials und des Momentes zur Festlegung des statischen Verhaltens
eines stetionären KiÄftesystems in diesem erweiterten FaUe ausreicht.
Vielleicht findet dieses interessante Problem gelegentlich eine Bearbei-
tung im Sinne dw elementaren Astatik.
1) Theorie der Bewegung und der Kiikfte 8. Aufl. Bd. 2 S. 277—278.
Von Kabl HiuH. 107
A. Einflüfs der Translation auf das Virial und das Moment.
1. Einführung des Viridis. Der Vektor Ic bezeichne nach Gröfse
and Richtung eine Elementarkraffc^ die an einem bestimmten Punkte
eines materiellen Systems angreift. Ihren Angriffspunkt beziehen wir
durch den Vektor x auf einen bestimmten Punkt 0 des Raumes und
bilden das innere Produkt
r=xk
Die ßrofse V wird dann das „Virial^' der Elementarkraft k genannt.
Für ein System erhalten wir dann durch Summation über alle Punkte
desselben, an welchen Kräfte angreifen,
V = Uxic,
V wird dann das Virial des betrachteten Systems genannt. Einen
solchen Ausdruck kann man im Besonderen für einen starren Körper,
ein Gelenksysiem von starren Gliedern oder auch für ein elastisches
System aufstellen und im einzelnen untersuchen.
Variieren wir in V alle Vektoren x und lassen die k unverändert,
so erhalten wir
(1) d,F=2;di*,
also die virtuelle Arbeit der Kräfte k in der Auffassung Lagranges.
Das Verschwinden dieser partiellen Variation des Systemvirials V ist
die allgemeine Gleichgewichtsbedingung der Statik. Sie sagt nichts
über den FoHbestand des Gleichgewichts aus, wenn man endliche Be-
wegungen des Systems in Betracht zieht. Wir nennen deshalb das
durch die Gleichung
(2) d,F=0
definierte Gleichgewicht eines Systems das Positionsgleichgewicht des-
selben.
Um die Gleichgewichtsbedingungen einer bestimmten System-
gattung nach Gl. (2) in expliziter Form aufstellen zu können, mufs man
einen analytischen Ausdruck der Variation dx für jeden Angriffspunkt
einer Elementarkraft haben. Für das starre System ist Sx seit Euler
bekannt, nämlich
(3) *i = de — p . de.
Hierin bedeutet d^ die virtuelle Translation aller Systempunkte, rj die
Achse der virtuellen Rotation und Sd die Amplitude der letzteren.
Die Gleich. (2) nimmt jetzt die Form an:
dc-2;* + dö27p* = 0
108 I)m Verhalten d. Viriale u. d. Momentes eines stationären Eräftesystems etc.
oder
dc-Sk + deiJxkri^O.
Hieraus folgt das bekannte Resnltat
£k^0 und Uapk^O,
2. Einführung des Momentes. Wir setzen im Folgenden
2k = ** und Zxk = M.
k* ist der Vektor der ^^Resultantkraft'', M der Vektor des resultieren-
den Momentes aller Kräfte des Systems, oder — wenn man wiü —
auch die Resultante aller ^^lementarmomente^ xk.
Wir bilden nun — nach Analogie der Gleichung (1) — auch die
folgende
(4) iji^ZSxk
und untersuchen die statische Bedeutung derselben fOr das starre
System. Die Berücksichtigung der Gleich. (3) ergiebt sofort:
Nun ist aber
(ijx)Ä = = {xk) • 71 + (lyÄ) • X.
Zur Abkürzung setzen wir:
so dafs wir für die rechtwinkligen Komponenten^) dieses Vektors G
die folgenden Ausdrücke haben
6^1 = Ai% + Atnt + ^18%;
<?s == Ai% + ^t% + -^88%;
(6)
worm
A^yfi «= ^XtKfi
bedeutet.
Die Gleichung für dj^M geht jetzt über in
(7) 8^M+8ck*^\r- Vy+G]8e.
Soll also
(8) 8ji = 0
sein, so müssen die folgenden Komponentengleichungen bestehen
1) Die rechtwinkligen Komponenten beliebiger Vektoren (17, x, A:, Jlf n. s. w.)
sind im Folgenden in derselben Weise bezeichnet, wie oben die Komponeoten
von Q.
Von Kahl Hbtih. 109
ic^kl - ic^kl - r% + öl « 0,
(9) de,*; - dc^h; - Vrit + ö, =- 0,
8cjc\ - 8c^Tc\ - F% + öa - 0.
Damit diese Gleichungen ffir ganz beliebige Verschiebungen {6c) und
beliebige Rotationen (^80) identisch erffillt sind, müssen also die
folgenden Gleichungen bestehen:
(10) x, = 0, J« = 0, ^ = 0, ^, = 0,
x,-0, J«-0, ^,-0, As»0.
Der Körper ist dann ffir ein „stationäres^ Erilfbesystem in jeder Lage
im Gleichgewicht.
Während also die Bedingung S^V ^0 das Positionsgleichgeunckt
des Systems ausdrückt^ ist d,M^O die analoge Bedingung des ctskh
Hschen Gleichgewichts.
Statt der Gleichungen (10) können wir auch kürzer schreiben
(11) t* = 0, G = 0.
Der Ausdruck
nimmt mit Rücksicht auf die statischen Gleichungen
Ml = -4jj — -4„ , Jf, = -4gi — J.13 , Jf, = -4^2 — -4^
die folgende Form an>
öl - Aii?i + ^1% + 4w% + Vt^n - %^t •
Ganz analoge Ausdrücke erhalt man für die beiden anderen Kompo-
nenten G^ und 69 entweder direkt oder durch zyklische Vertauschung
der Indices. Setzen wir nun
80 ist durch die Komponenten eiu neuer Vektor F bestimmt^ der mit G
in der folgenden Beziehung steht
(13) ö-F+Pr.
Wu* nennen F den zu G "konjugierten Vektor.
3. Einflufs der Transkutan des Systems auf das Viriäl. Da wir
das Virial auf einen festen Punkt 0 des Raumes bezogen haben, so
wird im allgemeinen jede Bewegung des Körpers eine Änderung des
^irialwertes zur Folge haben. Für Transkutanen ist dieses Ver-
110 Das Verhalten d. Virials u. d. Momentes eines stationären Kr<esjstemB etc.
halten unmittelbar erkennbar und auch schon von Moebius behandelt
worden ^)y weshalb hier einige kurze Andeutungen genügen.
Der Vektor des Angriffspunktes der Kraft k in der ursprüngUchen
Lage des Körpers sei x. Derselbe gehe durch Translation um die Strecke
c über in 3^^\ Dann gdten für alle Angriffspunkte des Systems
Gleichungen von der Form:
Hieraus folgt durch Multiplikation und Addition
oder
(14) jnc)^r+ c**
wenn wir wieder mit Ä* die Resultante des Kraftesystems bezeichnen.
Steht die Richtung der Translation c auf der Richtung der Resul-
tanten k* (also auch auf der Richtung der Zentralachse) senkrecht^ so
bleibt F^^) unverändert. Fallt dagegen c in die Richtung von k^j
so ist die Yeranderung yon F^^' ein Mailmum, insbesondere wird
F^) => 0 für eine Translation in der Richtung yon k* um die Strecke
(16) c 1.
Hierdurch ist in dem Körper eine Ebene des verschwindenden Virials
bestimmt, die also auf der Zentralachse des Kraftesystems senkrecht
steht. Im allgemeinen Falle wird F^^) >« 0 für die Translation um
die Strecke y
in einer Richtung, welche einen beliebigen Winkel (k* \ c) mit k*
bfldei
4. Änderung des Momentes bei der Translation. Der Gleichung (14)
entspricht für äulsere Produkte die folgende
(140 W^M+ck*
Verschwindet also die Resultante k* oder fallt dieselbe mit der
Richtung der Translation zusammen, so ist diese Bewegung des starren
Korpers ohne Einflufs auf das Moment des stationären Kraftesystems.
Steht dagegen A;* senkrecht auf c, so findet die stärkste Änderung
des Momentes statt. Insbesondere wird Jlf^ » 0 für eine Translation
senkrecht zu k* um die Strecke
1) Man vgl. Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, Bd. 2, S. 273—275,
wo diese Betrachtungen ausführlich dargestellt sind.
Von Eabl Hedm. 111
Man kann also zu jedem festen Körper, auf welchen ein stationäres
TUT
Eraftesystem wirkt, einen Kreiscylinder vom Radius v^ um k* als
Achse konstruieren, so dafs jede Seitenlinie desselben eine Linie yer-
sckwindenden Momentes bildet
Im allgemeinen Falle wird c mit k* einen Winkel einscbliefsen,
welcher von Null yerschieden ist. Alsdann kann nach Gleichung (14')
immer ein yerschwindender Wert des Momentes durch eine Translation
erreicht werden, wenn in der Richtung Yon c die Strecke
M
^^ t*8in(t*|c)
znrQckgelegt wird.
Für jede Translation lassen sich die Komponenten des neuen
Momentes M^ aus den Gleichungen
M\^M^ + c^k\ - c^k\
Jfj « If, + c^k\ - (^k\
M\^M^ + c^k\-c^k\
berechnen.
B. Yer&nderang des Virials und des Momentes infolge einer Rotation
um eine beliebige feste Achse des Systems.
5. Endliche JDrehumgen des starren Systems, Die Rotation des
starren Körpers erfolge um eine feste Achse OÄ. Wir tragen von
einem willkürlichen Anfangspunkte 0 aus auf derselben die Einheits-
strecke OE^ri ab und fallen yon einem beliebigen Punkte X des
SjBtemes auf diese Drehachse das Lot XP » e. Infolge der Rotation
um den Winkel B wird der Punkt X in die Lage X^ übergeführt.
Die entsprechenden Vektoren OX und OJS? mögen durch x und sfi
beseichnet werden. Der Vektor e geht über in e + z/e so dafs
7^ — x^ ^e zu setzen ist. Nun folgt aus der Raumanschauung
omnittelbar
e{e + /li) = e'sind • ^
66 + 2^e = c*cosö
ond hieraus
_ ^
e • z/i -« c*sinö • ^ und i^^c ■= — 2e*sin^-
Benutzt man also die identische Gleichung
e^ ' jde^ (e^e) ' e + (e- jde)e,
Bo erhalt man die Beziehung
_ ö _
z/6 = — 2 sin'— • 6 + sinö • i](i.
112 Das Verhalten d. Virials n. d. Momentes eines stationären Kräftesystemi ek.
Nnn ist in dem rechtwinkligen Dreieck OPX
und infolgedessen
(16)
e
7? — x=^ z/c = sinö • iya: + 2sin*^iy(iya:).
Die Komponenten dieses Ausdrackes finden sich auch f&r schief-
winklige Koordinaten hei G. S. Ohm. Analyt. Geometrie des Baomes.
1849. pag. 123 mit der Bemerkung hegleitet^ daCs diese Formeln sich
heim Ühergang zu rechtwinkligen Koordinaten nicht yerein£Acheiu
sondern dieselbe G^talt heibehalten.
^
V
>y
^ t
2 \
\
^/
\
•/
\«A
/
\
4
Je
!^
6. Die Änderung des Virials eines stationären K
starren Körper, um die Beziehung zwischen
r^JSX'k und r^^Sx^'k
herzuleiten, hrauchen wir nur mit Hilfe der Gleichung
e
3fi ^ x + sinö 'fix + 2 sin* ^ ij (lyx)
das innere Produkt xk zu hilden und die Summation über alle Kräfte k
des Systems zu erstrecken. Dies ergiebt
(17) F» - F+ sin^Ö • Ziixk + 2sin*|2;^^^) • x.
Nun ist aber
Setzen wir also, wie früher
so wird
yxk » xky.
Zxk^Hy
Ztixk » M^,
also gleich dem äuTseren Produkte des resultierenden Momentes aller
Kräfte in Bezug auf den Punkt 0 in den Einheitsvektor ij, welcher
auf der Rotationsachse aufgetragen ist.
Von Karl Heük. 113
Femer wird
iy (fix)k = (tix) k-iq^ — (xk) ^i^ + (^*) Xfi
oder durch Ausf&hrong der Summation mit Rücksicht auf ' die
Gleichung (5) _ _
Ufl (rix)k = - r+ G'fj.
Zur Abkürzung f&hren wir noch die Bezeichnungen
(18)- F=Jäf^, f^-r+G^
ein, wodurch die Gleichung (17) die folgende Form annimmt:
(19) J^^r+ Fsinö + F(l - cosO).
Aus dieser Gleichung erhalt man durch Differentiation nach 0:
und femer
Mithin ist
de
de*
Fcos»+ Fsinö
— Fsin e + Fcos 0.
ev
ae ^
Hier dient das Symbol d nur zur Bezeichnung der betreffenden
Derivierten ffir den speziellen Argumentwert 0^0.
Statt des Ausdruckes 19) können wir also auch schreiben
(22) F« = F+ ^. sin» + 5^. (1 - cosO).
Im Allgemeinen genügt F^ der homogenen, linearen Differential-
gleichung dritter Ordnung
(^) -de^ + -de-'^ ^>
welcher die Gleichung (19) als partikuläres Integral genügt.
7. Die statische Bedeutung der Gröfsen V und F. Aus der
ersten der Gleichungen (18)
erkennt man sofort, dals F verschwindet, wenn M auf rj senkrecht
sieht Alsdann sind die Kräfte in der ursprünglichen Lage des Systems
(9»0) in Bezug auf die Achse ^ im Gleichgewicht Die Gröfse V
Z«itaclirilt f. Mathematik u. Phyiik. 47. Band. 1908. 1. n. 2. H«ft. 8
114 Das Verhalten d. Virials u. d. Momentes eines stationfixen Kräftesjstems etc
ist also die „Gleichgewichtsfxinktion^ ftlr die Achse rj. Dann ist aber
nach Gleich. (21) die Gröfe V die „Sicherheitsfiinktion" des Gleich-
gewichtes für die Achse ^ (cf. Möbius, Statik).
Aus der Gleichung
r — r+G^
geht unmittelbar hervor, dals die Sicherheitsfunktion gleich dem ne-
gativen Yirial wird, sobald der Yecktor G auf der Achse rj senkrecht
steht. In diesem besonderen Falle entscheidet also das Vorzeichen
des Virials über die Sicherheit oder Unsicherheit des etwa eintretenden
Gleichgewichts.
DifiPerentiiert man den Ausdruck f&r die Gleichgewichtsfunktion
nach 0 in dem Sinne, welcher durch das Symbol ö ausgedrückt wird,
so erhalt man eine weitere Darstellungsform fQr die Sicherheitsfunktion,
nämlich
(24) F-^.^-5^,
woraus man sofort erkennt, dafs das Gleichgewicht um die Achse r^
für F =- 0 ,,neutral" ist, wenn der Vektor M auf iy senkrecht steht
Im allgemeinen Falle mufs man V und V nach den*GleicL (18)
direkt bestimmen, welche für rechtwinklige Komponenten der Vektoren
Mf G und ^ die Form annehmen:
(25) V=M,-m + M,-rit + MiVi,
(26) F=-F+ö, .i?, + ö,. % + (?,. ij,.
Mit Rücksicht auf die Gleich. (6) heiät der Ausdruck f&r die
Sicherheitsfunktion such
(.27) F - - {A,, + A^, + A^,) + Ä,,fil + J,, + ,1 + ^,,1
Alle Achsen ^, für welche V verschwindet, li^en auf dem E^l
zweiten Grades
,.28) ( J„ + A,,)fil + (J,, + ^i,)r,| + {A,, + J„)i,J + iAt + Ai)'!.'i.
W^^ der eingehenderen Diskussion vergL m. MSbins, Lehrbuch
der Statik. Bd. 1. Kap. 9. Doch möchte ich ausdrficklich bemerken,
dafs in den früheren Darstellungen der Sicherheitsfunktion V immer
gleichzeitig die Gleichgewichtsbedingung V=^0 berücksichtigt ist, was
Von Eabl Hsuh. 115
bei den obigen Entwicklungen keineswegs geschehen ist. Dement-
sprechend hat hier V eine etwas allgemeinere Bedeutung als in den
bisherigen Lehrbüchern der Statik. Streng genommen hätten wir V
erst dann als „Sicherheitsfunktion'' bezeichnen dürfen^ wenn zugleich
« ** •
F = 0 ist. In der allgemeinen Gleichung (19) ist V von V that-
»tchlich unabhängig.
Nehmen wir nun an, V und V seien ftir eine bestimmte An-
fangsposition des Systems von Null verschieden; so folgt aus der
Gleichung
de
Fcosö+ FsinÖ
dV^
deijenige Wert des Winkels 0, f&r welchen -^^ zunächst gleich Null
wird; nämlich
(29) . tgÖ' = -|.
Ist dieser Winkel 0' erreicht, so geht das System in eine Gleich-
gewichtslage in Bezug auf die feste Drehachse ^ über. Der zugehörige
0
Wert von ^^ ist Vj^+ P.
Insbesondere gelten für diesen Fall die folgenden einfachen Sätze:
Aus einer gegebenen Gleichgewichtslage (F=0) wird eine neue
Gleichgewichtslage immer durch eine Drehung um 180^ erreicht.
Bei jeder solchen XTmwendung ändert V^ sein Vorzeichen.
Die erreichten Gleichgewichtslagen sind also im Allgemeinen ab-
wechselnd stabil und labil in Bezug auf die feste Drehachse.
Ist F = 0 und gleichzeitig F ^ 0, so wird die Gleichgewichtslage
durch eine Drehung um 90® erreicht.
Das Gleichgewicht ist astatisch, wenn F und F zugleich ver-
schwinden. Das Virial bleibt in diesem besonderen Falle in Bezug
auf Drehungen unveränderlich.
Das Vorstehende mag genügen^ um zu zeigen^ wie alle Eigen-
schaften eines stationären Kraftesystems, welches auf einen starren
Körper mit fester Drehachse wirkt; unmittelbar aus der Grundgleichung
(19) folgen.
8. Einflu/s der Botation auf das Moment eines stationären Kräfte-
systems. Führt man in der Gleichung
fÄr ä« den Wert
a^ ^^ X + sind ' fjx + 2 sLn*^iy(iya;)
2
8*
116 Das Verhalten d. Viriab u. d. Momentes eines stationftren Kräftesystems etc.
ein; 80 erhält man zunachBt
^« - M+ sinö . 2;(^^+ 28m«| • 2;[iy(i?a;)]t.
Nun ist nach den Begeki der Vektorrechnung
(tix)k « — {xk) • fi + (r^k) • x,
also nach Ausf&hrung der Summation
(30) JS(rix)k - - F^ + ö = Jlf.
Femer ergiebt sich mit Rücksicht auf die Gleich. (12) der Aus-
druck
^h(^«)l* " JS(fix)fik — Zxk ^r^F- M'^M,
oder, wenn man die. Gleichung (13) benutzt:
JIf=.,ö-,2(ijJ|f)- J|f=,,ff-(^J|f).^-,ff- V^.
Schreibt man also das Resultat in der Form
(31) M* ^M+ Äsin» + ä{\ - cos»),
so ist
(32) 5^„--7.^ + G,
(33) Jlf-- Y-n + riG,
womit alle in Betracht kommenden Gröfsen bestimmt sind.
Den Gleichungen (22) und (23) entsprechen also für Momente
die vollkommen analogen Ausdrücke:
(34) Ä»« Jtf + ^. sin» + ^- (1 - cosö)
und __
^^^ d6» ^ dB ^'
Auiserdem können noch die folgenden Formeln in Anwendang
kommen:
(36) ==5|- =- Jlf cos » + Jlf sin ö,
(37) ^^ - - Jf sin » + Jtf cos ».
9. Die statische BedeiOimg des Vektors M. Aus der Gleich. (32)
schliefst man unmittelbar, dals der Vektor M mit den Vektoren ^ and
G immer in einer Ebene liegt. Man kann also M stets durch eine
Parallelogramm -Konstruktion finden, wenn aufiser der Drehachse noch
Von KiÄL Hbuh. 117
der Vektor G bekannt ist Femer erkennt man, da(s das Verschwinden
des Vektors M das Zusammenfallen der Vektoren G und ij in eine
Bicktung zur Folge hat.
Werden die Vektoren M und M gleichzeitig Null, dann erhält
man die bekannten Bedingungsgleichungen für das astatische Gleich-
gewicht tun eine freie Drehachse, wie sie von Mob ins aufgestellt sind.
Aus der Oleich. (32) folgt nämlich
Die Existenz einer „Gleichgewichtsachse^ ist also sn die bekannte
Bedingung geknüpft:
In Gleichung (33) ist wegen Jf = 0 auch F = 0, und da (r in
der Bichtung von 17 fallt^ wird auch rjG ^0, folglich Jf » 0. Es ist
also in der That M^ für die Achse rj dauernd gleich Null. Wird
di^egen M^O, ohne daüs gleichzeitig M=0 ist, so verschwindet
M nicht mehr, fallt aber in die Bichtung der Drehachse^ wie man
aus Gleich. (33) sofort erkennt.
um den Einflufs der Bedingungen ilf=0, Jlf^O zu erkeimen,
setzen wir in der aUgemeinen Gleichung (31) Jf =» — V-lj und er-
halten
jtf»-fi^-2sin*|F.^.
SoU nun nach einer gewissen Drehung Gleichgewicht erreicht
werden, so mufs
Jtf^-2sin»|F.^«0
werden. M fallt jetzt in die Richtung der Drehachse und die Ampli-
tude der Rotation ist bestimmt durch die Gleichung
sin|- i/^-t/Z=1I=»i/|.
2 r 2V ^ 2McoB(M\fi) y ^
Es wird ako 0 »» 90^. Die neue Position ist charakterisiert durch das
Wertsystem
JP -0, lf»-Jf, M'~0.
118 Das Verhalten d. Virials u. d. Momentes eines stationären Kiäftesystems etc.
Eine weitere Drehung um einen rechten Winkel ergiebt demnach
Jf, Jf = 0, If* = -Jtf
und hieraus
Mt
T?
T^Z.
0, Mt'^^^M, -af«" = o
Berücksichtigt man, dals M -\- M =^0 ist, so lalst sich das Ver-
halten des Eräftesystems durch das folgende Schema darstellen
e
M
ibr
^
0
M
0
»f
2
0
jif
0
X
-M
0
M
8
8*
0
M
0.
Bei einer vollen Umdrehung wird also die Gleichgewichtslage zwei-
mal erreicht.
10. Die Bedeutung der Bedingungsgleichung M^O. Die Definitions-
gleichung
ergiebt fQr M =^0 sofort die Relation
und hieiuus schliefst man
lf^ = 0=F, abo iyff = 0.
Der Vektor G fallt jetzt in die Richtung der Drehachse,
zeichnet man mit L einen skälaren Koeffizienten^ so wird
Be-
oder explizit
6? = Zr.^
Bestimmt man also L aus der kubischen Gleichung
Ai-i
'81
'81
'■88
A,-L
Von Kabl Hbun. 119
SO kennt man drei Rotationsachsen tj', rj", tj'" und die zugehörigen
Vektoren G', G", G'" und kann alsdann nach der Gleichung
Ä^- V'^ + G
• _
auch die zugehörigen Werte von M berechnen^ sodals in der Haupfc-
gleichung _
alle Ghröljsen explizit bekannt sind.
Die Gleichung _
giebt
(38) sin Ö' = ^
M
für die Atnplitude der nächsten Gleichgewichtslage um die freie Achse
ti. Nun ist aber
^«- 7^ + Z^ = (- r+L)ri
also
Die Gleichung (38) geht also über in
(89) 8Üiö' = i-?-F-
Setzt man femer vorauSy dafs sich das System anfangs im Gleich-
gewicht befindet (Jf =» 0), so wird 0' = 180® und man erhält den be-
kannten Satz:
Um jede der drei auf einander senkrecktstekenden Botationsadisen
r{\ r{\ ri'" gewinnt man durch eine Drehung um zwei reckte Winkel eine
neue Gleichgewichtslage.
Der Zusammenhang dieser Überlegungen mit Darbaux' Theorie
des astatischen ZentraleUipsaides, welches unmittelbar aus den Vektoren
F oder G gewonnen wird^ ist ein so naheliegender; dafs hier jede
weitere Ausf&hrung in dieser Richtung überflüssig erscheint.
11. Die Ereidung einer ersten Gleichgewichtslage , wenn das System
ursprünglich nicht im Gleichgeuricht ist. Wir betrachten zunächst noch
die fönende Bedingung:
(40) ^=0.
Setzen wir wieder
80 mols L der kubischen Gleichung
An — L -4ji -dji
120 I)m Verhalten d. YirialB u. d. Momentes eines stationären EiAftesysteiiu etc.
genügen. Diese ergiebt aber dieselben Wnizeln h'y L'\ L"\ wie die
Bedingung t^Q =^Q\ i^Uirend die zugehörigen Achsen r^\ fj'\ iq'" nicht
mit den im Yorigen Falle (M » 0) betrachteten übereinstimmen; da
F mit G nur dann identisch wird, wenn Jl^ = 0 ist
Aus der Oleich. (40) folgt Jf » — Jtf und die allgemeine Glei-
chung wird
(41) M* = Mcos ö + Ssin ö.
Soll also üf ' » 0 werden^ so bestimmt sich der Winkel 0 ans der
Gleichung
(42) tgO--|.
Da jetrt Jf » — M wird, so ist
ir- - F^ + F- (— F+ L)^, also
(43) tgO-;^.
Für Z » F wird die erste Gleichgewichtslage durch eine Drehimg
um einen rechten Winkel erreicht
Besteht keine der Bedingungsgleichungen
#=0 oder 5=-Jtf,
so kann nach der allgemeinen Formel
Jf • = Jf + Jlf + sin » . Jlf — cos » • -M
doch noch eine Gleichgewichtslage erreicht werden, wenn die Vektoren
Mf M und M in einer Ebene liegen. Aus der hierzu notwendigen
Bedingung _ ^ _
0 - jtf + if + sin e . Jlf - cos ö . jtf
folgt nämlich
(44) 0 » irS+ Sjtf- cos e MM
und hieraus
(45) O^mMM,
wonach in der That M, M und M komplanar sein müssen.
Die Gleichung (44) ergiebt. für den Drehwinkel asur Erreichung der
ersten Gleichgewichtslage
/A£i\ c% ' % ^ Jf sin (3f I üf )
(46) 2sm»:g=--:: WM-
Das Resultat wird etwas übersichtlicher, wenn man statt der Gleich.
(44) die folgende bildet:
(47) 0 ^MM + sin 0 • MM.
Von Kabl Hküh. 121
Dann ergiebt sich einfacher:
(48) 8in»--^^^5J*i£),
MsmiM\M)
und man erkennt sofort^ dafs die Bedingung
(49) 5 sin ( J? I -^) > Jf sin (S I Jtf)
bestehen mofs^ damit 0 einen reellen Werth annimmt.
Aus den Gleichungen (46) und (48) folgt noch durch Division
(50) tgO _Arin(Ä|j)
^ ifcf sin (3f I Jlf)
12. Geometrischer Ort der Achsen (^) für die ztmächst erreichbare
GleichgewichfsUige. Der Vektor M ist in Bezug auf rj von der ersten
Dimension, der Vektor M dagegen von der zweiten Dimension, wie
man aus den Definitionsgleichungen (32) und (83) sofort erkennt. Nun
ist aber die Bedingung
gleichbedeutend mit der Determinante
M, M, M,
(51) M, JK, Ji, «0.
M, jf , if.
Setzt man also die Komponenten der drei Vektoren in diesen Aus-
druck ein, so erhalt man eine homogene Gleichung dritten Grades in
Bezug auf die drei Komponenten rj^, i;,, i;,. Jede Achse, welche
zur Herbeif&hrung einer ersten Gleichgewichtslage des Systems dienen
kann, liegt also auf einem Kegel dritten Grades^ welcher durch
die Gleich. (51) dai^estellt wird. Auf demselben Kegel liegen aber
auch die zu einander konjugierten Achsen, die den früher betrachteten
spezieUen Bedingungen 176 « 0 und 17!^»= 0 entsprechen.
13. Verlauf des Vektors M^ im allgemeinen FaHe. um sich yon
der Veränderung des Vektors M^ ein Bild zu verschaffen, wenn die
Vektoren jlf , M und ii nicht in einer Ebene liegen, f&hrt man die
geometrische Addition der Glieder von M^ zeichnerisch durch. In
Fig. 2 ist zunächst die geometrische Summe
S« « sin e . Ä+ (1 - cos ö) . 5
fiir alle Winkel von ö — 0 bis ö = 360«> injntervallen von 20<> graphisch
ÄusgefÖhrt, wobei OB'^M und OC^M angenommen wurde. Die
122 I^fts Verhalten d. Virials u. d. Momentes eines stationären Kräftesystems etc.
Pig. t.
Fig. 8.
Endpunkte von 8^ liegen aof einer Ellipse, welche die eine Koordi-
natenachse im Anfangspunkte 0 berührt. Die ZusammensetEung dieser
Von Karl Hbün. 123
m einer Ebene liegenden Vektoren S^ mit M im Ranme ergiebt dann
Die explizite Darstellung ist in Fig. 3 nach der Methode der schiefen
Parallelprojektion gegeben, um das Resultat für das Auge etwas an-
schaulicher zu gestalten, als es die unmittelbare Verwendung von Qrund-
rifs und Aufrifs ermöglicht hätte. Durch die beigefügten Werte yon
6 tritt die Korrespondenz beider Figuren deutlich hervor. Ohne Wei-
teres erkennt man aus Figur 3, das die Endpunkte von Jtf« auf einer
EUipse liegen^ deren Lage und Gestalt sich auch in einfachster Weise
durch analytische Diskussion der allgemeinen Gleich. (3) ei^iebt.
OB = Jf • för 9 = 0 nimmt in der Figur mit wachsenden Werten von
$ zunächst zu, erreicht ein Maximum und sinkt von da ab bis zu
einem Minimalwerte, der hier natürlich von Null verschieden ist. Ein
Gleichgewichtszustand wird also bei der hier dargestellten Bewegung
des Systems überhaupt nicht erreicht.
C. Verhalten des Virials und des Momentes bei der Schraubenbewegung.
14. Die Virialformd. Wir geben der Schraube die Ganghohe h.
Dann ist die Translation in Folge der Rotation um den Winkel 0 der
Groüse und Richtung nach dargestellt durch den Vektor
- he - ^ ^
Die Verbindung der Formeln (14) und (19) ei^ebt sofort
(52) p« F+ F*.ö+ Fsinö+ F(l-cose),
fbr den durch die Schraubenbewegung resultierenden Wert des Virials,
wobei zur Abkürzung
(53) V*^±i^k*^ek*
gesetzt ist
Als Gleichungsbedingung folgt aus Gleichung (52)
(54) ^ _ 7* + Fcos^ + Fsinö
und hieraus ftlr V* die nicht homogene Differentialgleichung dritter
Ordnung
Nach Gleichung (54) findet das Gleichgewicht der Kräfte für eine
reaktionsfähige ^) Schraubenachse schon in der Nullstellung (ß » 0) des
1) Die Achse moTs Drücke, welche senkrecht gegen sie gerichtet sind, auf-
Behmen kOnnen.
124 Das Verhalten d. Virials a. d. Momentes eines stationären Eräftesystenu etc.
E^raftesystems statt, wenn
ist und kehrt wieder^ sobald eine Rotation um zwei reehte Winkel
erfolgt ist
Um nun aucli die Amplitude zu finden, f&r welche das Oleich-
gewicht eintritt, wenn ursprünglich
F*+ F^O
ist, haben wir nur die Gleichung
0= F*+ FCOSÖ+ Fsinfl
nach 0 aufzulösen. Hieraus ergiebt sich, wenn wir zur Abkünting
V
_==-tg*
setzen:
(56) sin (9 — ^) = -;- sin^
und hieraus erkennt man, dafs die Bedingung
(57) r^KV^+P
erfüllt sein mufs, damit für 0 aus Gleichung (56) ein reeller Wert folgt
Führt man den erhaltenen Wert von 0 in den Ausdruck
^«-sinö. F+cosö- F
ein, so kann man auch die Frage nach der Sicherheit oder Unsicherheit
der betreffenden Gleichgewichtslage beurteilen.
16. Die Formd für das resultierende Moment, Durch die Schranben-
bewegung geht M in M* über, und es besteht die Beziehung
(58) W^M+M*'e + 5sin 6 + M(l - cosö),
wenn wir
(59) Jtf* = ^P*«"^*
setzen.
Bei der Diskussion der Formel (58) kann man im einzelnen alle
die Falle berücksichtigen, die früher in Bezug auf die getrennte Trans-
lations- und Rotationsbewegung unterschieden wurden. Thatsächlich ist
hier der Einflufe beider Bewegungsarten superponiert. Wenn man die
Ganghöhe h als verfügbaren Parameter hat, so bietet die Herbeiführung
der Gleichgewichtslagen einen gewissen Spielraum, woraus man gel^enüicb
einen Vorteil ziehen kann.
Von Kabl Hkuk. 125
Legende smr Vektor- Analysis.
1. Der Vektor ä ist bestimmt durch seine rechtwinkligen Koordi-
naten:
Ol, Ol, Oj.
Betrachten wir diese Koordinaten selbst als Vektoren, so ist
ä-=äi + Äj + öj.
2. Das innere Produkt äx der Vektoren a und x ist definiert durch
die Gleichung
(I) äi « ajO?! + (i^oc^ + OjÄij = aa? cos (ä/i)
3. Das äufsere Produkt äx^ C welches wieder einen Vektor vor-
stellt^ ist definiert durch die Gleichungen:
(H) C^^a^x^ — a^x^y C^^a^x^ - a^x^, C^ --= a^x^ - a^x^ .
C steht abo senkrecht auf ä und x, und es ist C ^ axsm (ä/x). Die
Faktoren von C sind nicht kommutativ. Es ist viehnehr U^-äb,
4 Aus den Definitionen (I) und (11) ergeben sich die temaren
Produkte:
äbc « Ol (6j<i - ft^c,) + Ol (ftjCi - 6iC,) + o, (ftiC^ - b^Cj)
bcä = 6i (cjOj - (^o,) + 6, {c^a^ — ^«3) + 6» (ciOj — (^Oj)
eäb^Ci (0,63 - 0363) + Cj (0361 - Ol 63) + C3 (oift, - 0361) .
Es ist also
äbc =« bcä « ca6 = D,
wo
D« 616,65
zu setzen ist
5. Nach den Gleichungen (U) bilde man das temäre Vektorprodukt
a(bc) ^ H ^ H^ + H^ + H^.
Dann ist
F, « 03 (61 Cj - 63C1) - 03X63^1 - 61 (i) = (äc) . 61 - (ä6)Ci , etc.
Folglich besteht die Gleichung:
(HI) ^c) = (äc) -6 - (56) . c.
6. Wird äbc » 0, so liegen die drei Vektoren ä, 6, c in einer
Ebene. Dies ist auch der FaU, wenn dieselben der Gleichung
(IV) a-ä + ß-b + y-c^O
genügen, worin a, ß, y beliebige skalare Ghröfsen bedeuten.
126
Zur Kabator des RotaÜonsparaboloideB.
Zur Enbatnr des Rotationsparaboloides.
Von Ferdinand Büdio in Züricli.
Es sei ein durch die Parabel y* » 2px erzeugtes Rotationspan-
boloid gegeben. Bezeichnet man die zu den Ordinaten M^P^ und
M^P^ gehörenden Gfrundflächen mit g^ und g^ und die Höhe Jlf^Jlf,
mit h, 80 gilt bekanntlich für das Volumen des so bestimmten Körpers
die Formel:
(1) V^i(ff,+g,)h,
Bei manchen Aufgaben der Praxis kommt es nun vor, .da6 eine
der beiden Ghimdflächen des als Rotationsparaboloid betrachteten
Körpers der Messung nicht zuganglich ist
oder sich aus irgend welchen Gründen f&r
die Messung nicht eignet Nun kann zwar
stets f (^1 + g^) durch den mittleren Quer-
schnitt ersetzt werden, aber unter Um-
standen ist auch dieser nicht verwertbar
und dann mufs man seine Zuflucht zu
irgend welchen anderen Dimensionen
nehmen. Aus allen diesen Verlegenheiten
hilft aber eine sehr nützliche, allgemeine
und praktisch leicht zu handhabende
Formel, die indessen trotz ihres ganz
elementaren Charakters bisher unbeachtet
geblieben zu sein scheint.
Man wähle auf M^M^ einen beliebigen Punkt M und lege durch
ihn den Querschnitt g parallel zu den Gh-undflächen. Teilt dann M die
Strecke M^M^ in dem Verhältnis ^\y « il, so ist die Abszisse x Ton
M mit den Abszissen x^ und x^ von Jf^ und M^ durch die Formel
verbunden
Xi + *^
x
i + x
Von FuoniAifD Rudio. 127
Mit Rücksicht auf die Parabelgleichung folgt aber hieraus für die
zugehörigen Ordinateii:
and folglich für die zugehörigen Querschnitte:
Mit Hilfe dieser einfetchen Belationy die dem Rotationsparaboloide
eigentümlich ist, kann man jetzt etwa g^ durch g^ und g ausdrücken,
wodurch (1) übergeht in:
(3) r^^((l + l)g+(l-l)g,), A-0...«).
Diese Formel gestattet aLso, das Volumen des Botationsparaboloides
durch die Höhe, die eine Grrundfläche und einen beliebigen Querschnitt,
der in jedem einzelnen Falle zwecknuLfsig gewählt wird, zu berechnen.
Reduziert sich g^ auf Null, wird also das Paraboloid vom Scheitel an
gerechnet, so vereinfacht sich (3) zu
(4) F, = i(l + })W*-
Für il » ^, \y 1, 2, 3 erhält man demnach die Formeln:
V~hi2g-9^)
r, - 2gh
V-^iSg-g,)
Vo - yh
V~gh
r.-gh
V-^^iSg + g,)
Vo - yh
y-^(2g + g,)
Vo -= yh
128 Kmematisoh-geomeirische Theorie etc.
Einematisch-geometriBclie Theorie
der Bewegung der affin- veränderlichen, ähnlich-veränder-
lichen nnd starren räumlichen oder ebenen Systeme.
Von L. BuRMESTBR in München.
Zweiter Teil.
Der erste Teil dieser Abhandlung worde vor 23 Jahren in dieser
Zeitschrift 1878, Bd. 23, S. 108 veröffentUcht, und dieser zweiter Teil
bildet nun den dort yersprochenen Schlufs. In diesem zweiten Teil
sollen hauptsachlich die Nullsysteme behandet werden, welche mit der
Bewegung der affin- veränderlichen, ahnüch-veiänderUchen und sütim
raumlichen Systeme im Zusammenhange stehen und zur weiteren Er-
kenntnis der BewegungSYOi^ange dieser Systeme führen. Die Unter-
suchung dieser Bewegungsvorgange erhält auch physikalische Bedeuttmg,
weil die in der Sjystallographie definierte ,,homogene Deformation^ der
SjystaUe^ die durch Wärme oder durch andere Ursachen bewirkt wird,
eine afEbae Veränderung ist, worauf Eng. Blasius zuerst hingewiesen
hai^) Wir wollen zunächst die im ersten Teile dieser Abhandlung
abgeleiteten fundamentalen Beziehungen erörtern, welche für die weiteren
Untersuchungen erforderlich sind.
„Die Endpunkte der Greschwindigkeiten sowie der Beschleunigungen
jeder Ordnung der Systempunkte einer Phase eines beliebig bewegten
affin -yeränderHchen, ähnlich-veränderlichen oder starren räumUchen
Systems bilden ein affines räumliches System.^
Die Bewegung eines affin-yeränderlichen räumUchen Systems S
ist durch die Bewegung von vier nicht in einer Ebene li^jenden System-
punkten Äy By C, D bestimmt; demnach können wir zu diesen vier
Punkten die vier homologen Punkte Ä^, B^, C^, D^ eines affinen lämn-
lichen Systems S^ beliebig annehmen und die Punkte des Systems S,
als die Endpunkte der Geschwindigkeiten oder der Beschleunigungen
n^ Ordnung der Punkte des Systems S betrachteiL Wenn nun das
System 8^ die Endpunkte der Geschwindigkeiten enthalt^ dann repräsen-
tieren die Verbindungsstrecken der homologen Punkte der beiden affinen
Systeme 5, S^ die (Geschwindigkeiten der Punkte des affim- veränder-
lichen räumlichen Systems nach Grolse und Richtung; wenn femer das
1) Eng. Blasins, Die Aiudehnmig der Kiystalle durch W&rme. Poggen-
dorff'8 Annalen der Physik und Chemie, 1884, Bd. 28, S. 628; femer daselbst
1890, Bd. 41, S. 539.
Von L. BüRMKSTBH 129
System S^ die Endpunkte der Beschleunigungen n'^ Ordnung enthält,
dann repräsentieren die Verbindungsstrecken der homologen Punkte
die Beschleunigungen n^ Ordnung nach Ghröfse und Richtung. Ist
das bewegte System S ein ähnlich- veränderliches odör starres räum-
liches System, dann sind die vier Punkte A^, B^, C^, D^ von einander
abhängig, und es können in diesen besonderen Fallen diese vier Punkte
nicht mehr alle beliebig gewählt werden«
,,Zwei affine raumliche Systeme 5, S^ besitzen aufser der unendlich
fernen Ebene drei selbstentsprechende Ebenen, die sich in einem im
Endlichen liegenden selbstentsprechenden Punkt und in drei selbstent-
sprechenden Geraden schneiden; von diesen selbstentsprechenden Ebenen
können jedoch zwei imaginär sein, und dann sind auch zwei der selbst-
entsprechenden Greraden imaginär'^.
„Wenn das System S^ die Endpunkte der Geschwindigkeiten von
den Punkten des affin -veiunderlichen räumlichen Systems S enthält,
dann sind die selbstentsprechenden Elemente der affinen Systeme S^ S^
identisch mit den selbstentsprechenden Elementen der Systemphase S
und einer unendlich nahen Systemphase^^
„Die vierten Eckpunkte der Parallelogramme, welche in gleichem
Sinne durch je drei homologe Punkte von [drei affinen räumlichen
Systemen bestimmt sind, bilden ein viertes affines räumliches System'^
Nehmen wir an, es sei von drei affinen räumUchen Systemen
Sof 5, S^ das eine So zu einem Punkt Or zusammengeschrumpft, und
denken wir uns durch je drei homologe Punkte O^ÄA^, O^BB^,
DtCC,, ... die Parallelogramme OrAA^A^, O^BB^Br, fürCC^Cr be-
stimmt, dann bilden die vierten Eckpunkte ArBrC, *-- ein viertes affibaes
limnliches System 8r- Hiemach erhalten wir den Satz, welchen
Hehmke^) zuerst nach der Grassmannschen Methode der Rechnung
mit geometrischen Grolsen abgeleitet hat:
1. Werden die Venhindu/ngsstrecken der homologen Punkte zweier
affiner räumlicher Systeme S, S^, die auch ähnlich oder hmgruent sein
^nenj von einem Funkt Ot o/us nach Gröfse und RicMung abgetragen,
so baden die Endpunkte dieser (Agetragenen Strecken ein affines räum-
liches System Sr] werden femer umgekehrt die Strecken, welche einen be-
Hdfigen Punkt Oy mit den Punkten eines räumlichen Systems S^ ver-
hinden, nach Ghröfse und Richtung an die homologen Punkte eines ssu Sr
affinen räumlichen Systems S angetragen, so bilden die Endpunkte dieser
Strecken ein affines räumliches System 5».
Das System S^ wollen wir das Abtragsystem und den Punkt Ot
1) Ciyilingenieor 1883, Bd. 89, S. 492.
Zeitichrift f. Mathematik u. Physik. 47. Band. 1908. 1. n. 2. Heft. 9
130 Einematisch-geometrische Theorie etc.
den UrpunJct desselben nennen. Dem Urpunkt Oy im Abtragsystem
8r entspricht der im Endlichen befindliche selbstentsprechende Pnnkt 0
der beiden affinen Systeme S, S^. Verschieben wir das Abtragaystem Sr
parallel zn sich selbst bleibend, sodals der Urpnnkt Ot mit dem selbstent-
sprechenden Punkt 0 der Systeme S^ 8^ zusammenfallt; dann hat das
Abtragsystem 8^ dieselben selbstentsprechenden Elemente der Systeme
Sf 8^ mit diesen gemeinsam. Je nachdem das System 8^ die Endpunkte
der Geschwindigkeiten oder der Beschleunigungen n^ Ordnung des als
affin-yeranderlich betrachteten Systems 8 enÜiält, wollen wir das System
Sr das Abiragsystem der Geschwindigkeiten oder der Beschleunigungen
n^ Ordnung nennen. Der dem Urpunkt Or entsprechende Punkt 0
in dem System 8 wird Geschwindigkeitspol resp. Beschleunigungspol
n*^ Ordnung genannt. Derselbe besitzt also keine Geschwindigkeit^
resp. keine Beschleunigung n^ Ordnung. Die ausdrückliche Unter-
scheidui^ Geschwindigkeit und Beschleunigung n^ Ordnung erscheint
zweckmäfsig; weil die Geschwindigkeit stets in der Bewegungsrichtung
oder in der Tangente der Bahnkurve des betreffenden Punktes li^
was bei der Beschleunigung n*^ Ordnung im Allgemeinen nicht so ist
Wenn aber diese Unterscheidung nicht nötig ist, dann kaim man die
Geschwindigkeit auch als Beschleunigung nuUter Ordnung bezeichnen
und auffassen. Diese angefahrten Beziehungen werden die (Grundlagen
unserer weiteren Betrachtungen bilden.
Nehmen wir in dem räumlichen Systeme 8 ein ebenes System s
in einer Ebene e an, so entspricht demselben in dem affinen raumlichen
System 8^ ein ebenes System s^ in der homologen Ebene e^. Denken
wir uns das ebene System s^ auf die Ebene e senkrecht projiziert, und
bezeichnen wir die Projektion desselben mit s^^ dann sind die beiden
in der Ebene e befindlichen ebenen Systeme Sy s^ a£Bn und besitzen
einen selbstentsprechenden Punkt Ey dem ein homologer Punkt E^ in
der Ebene e^ entspricht; demnach ist in einer Ebene e dieser Punkt E
der einzige Punkt, dessen Yerbindungsgerade mit dem homologen
Punkt E^ auf dieser Ebene e senkrecht steht. Wenn wir von vor-
kommenden singulären Beziehungen absehen, so geht durch jeden Punkt
des Systems 8 eindeutig eine Ebene, die senkrecht steht auf seiner Yer-
bindungsgeraden mit dem homologen Punkt im System 5^, und in
jeder Ebene giebt es im System 8 eindeutig einen Punkt, dessen Ver-
bindungsgerade mit dem homologen Punkt des Systems 8^ auf dieser
Ebene senkrecht ist. Hiemach erhalten wir den Satz:
2. Bei zwei affinen räumlichen 8ystemen büden die Punkte des einen
Systems und die Ebenen^ welche in diesen Punkten senkrecht stehen at^
den zugehörigen Verbindungsgeraden der homologen Punkte, ein Nullsystem.
Von L. BUBMMTEB. 131
Das durch diesen Satz definierte Nullsystem wollen wir ein Richt-
nullstfstem nennen. Je nachdem die Verbindungsstrecken der homologen
Punkte der Systeme Sy S^ Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen
n^ Ordnung darstellen, erhalten wir ein RicMntdlsystem für die Ge-
sAwindigkeiien oder für die Beschleunigungen n^ Ordnung. Nach dem
1. Satz im ersten Teil dieser Abhandlung bilden die Punkte ^ welche
die Verbindungsstrecken der homologen Punkte zweier affiner räum-
hoher Systeme 8^ 8^ in gleiche Verhältnisse teilen, ein affines räumliches
System 8^, welches die selbstentsprechenden Elemente von 8, 8^ mit
diesen gemeinsam hat. Demnach bilden auch die Punkte des Systems
senkrecht stehenden Ebenen ein Richtnullsystem.
Um zu einer anderen Definition des Bichtnullsystems zu gelangen
und eine Bestimmimg desselben abzuleiten, welche keine affinen räum-
hohen Systeme fordert, denken wir uns zu den affinen Systemen 8, 8^
das Abtragsystem 8r konstruiert, indem wir Ton einem Urpunkt Ot
aus die Verbindungsstrecken der homologen Punkte der Systeme 8, 8^
gleich und gleich gerichtet abtragen. Wenn wir nun die Gbrade,
welche einen Punkt Ä des Systems 8 mit seinem homologen Punkte
Ä^ im System 8^ yerbindet, kurz die BidUungsgerade des Punktes A
nennen, so ergiebt sich, dals einer beliebigen Geraden OtI^t im System
Sr eine durch den selbstentsprechenden Punkt 0 der Systeme 8, 8^
gehende Gerade Of) im System 8 eindeutig entspricht, deren Punkte
Richtongsgerade besitzen, die zu der Geraden Oy^ parallel sind.
Nehmen wir umgekehrt im System 8 eine durch den Punkt 0 gehende
beliebige Gerade Of) an, so entspricht derselben eindeutig eine Gerade
Ot|t in dem Abtragsystem 8r und die Richtungsgeraden der Punkte
aof 0^ sind zu dieser Geraden Ot^ paralleL Dies Letztere ergiebt
sich auch, wenn wir beachten, dafs einer Punktreihe auf einer Geraden
0^ im System 8 eine ähnliche Punktreihe auf einer Geraden 01^^ im
System 8^ entspricht; und da der Punkt 0 der selbstentsprechende
Punkt dieser ähnlichen Punktreihen ist, so sind die Verbindungsgeraden
der homologen Punkte derselben paralleL Hiernach sind in dem Rieht-
nnllsystem den Punkten Ä, B, (7 . . ., die auf einer durch den Punkt 0
gehenden Geraden Of) liegen, parallele Nullebenen a,b,Cy... zugeordnet,
die senkrecht auf der Geraden Oy^t stehen; und umgekehrt sind den
parallelen Ebenen a, 6, c, . . . die auf einer (Geraden fDr^r senkrecht
stehen, die Punkte Ä, B, C, . . . auf der Geraden Of) als Nullpunkte
Zugeordnet. Jeder durch den Punkt 0 gehenden Geraden 0^ im System
S entspricht projektiT eine durch den Urpunkt Ot gehende Gerade
Ot^ im Abtn^ystem 8r. Denken wir uns nun durch den Punkt 0
9*
132 EinematiBch-geometriBche Theorie etc.
zu jeder Geraden Or^^ eine Ebene Oh' senkrecht gelegt; so erhalten
wir zwei konjectiye reziproke Bündel, die wir mit 0(\^,j) und 0(h'/\')
bezeichnen, um auszudrücken^ dafs einer Geraden Oi) und einer Ebene
Oj im ersten resp. eine Ebene Oh' und eine Gerade Oj' im zweiten
Bündel entspricht.
um nun yermittelst dieser beiden konjektiven reziproken Bündel
0(J)^j) und 0{h',\') zu einem Punkt Ä die zugehörige Nullebene zu
erhalten, ziehen wir durch OÄ die Gerade Of) des Bündels 0(^,/j,
bestimmen die entsprechende Ebene Oh' in dem reziproken Bündel
Oih'yY) und legen zu dieser Ebene durch den Punkt A die parallele
Ebene a, welche die Nullebene des Punktes A ist. Um femer zu einer
Ebene a den zugehörigen Nullpunkt zu ermitteln, legen wir zu dieser
Ebene durch 0 die parallele Ebene Oh' des Bündels 0(h',\') und bestimmen
die entsprechende Gerade 0^ in dem reziproken Bündel 0(^,j), welche
die Ebene a in ihrem Nullpunkt Ä schneidet. Durch diese beiden kon-
jektiven reziproken Bündel, welche abgeleitet aus den affinen Systemen
Sj S^ sich ergeben haben, ist das Richtnullsjstem auch bestimmt.
Hierbei ist aber behufs der Eindeutigkeit zu beachten, dafs die Null-
punkte sich auf den Geraden 0^ des Bündels 0(l^,j) befinden und die
Nullebenen parallel zu den korrelativen Ebenen Oh' des Bündels
0(Ä',i') sind. Wenn wir dagegen die Nullpunkte auf den Geraden Oj'
des Bündels 0(h'j\') befindlich annehmen und die korrelative Ebene Oj
des Bündels 0(i)yf) bestimmen, dann erhalten wir ein zweites ßidit-
nullsystem. Dieses zweite Richtnullsjstem ist dasjenige, welches von
den Punkten des Systems S^ und den Ebenen gebildet wird, die in
diesen Punkten auf den Verbindungsgeraden der homologen Punkte von
S^, S senkrecht stehen. «
Der selbstentsprechende Punkt 0 der beiden affinen räumlichen
Systeme S, S^, resp. der gemeinsame Mittelpunkt der konjektiven rezi-
proken Bündel 0{f)J), 0(h\\'), der allen durch ihn gehenden Ebenen als
Nullpunkt zugeordnet ist, heifst der Hauptpunkty und die unendlich ferne
selbstentsprechende Ebene o^ dieser Systeme, die allen in ihr liegenden
Punkten als Nullebene zugeordnet ist, heilst die Hauptebene des Richir
nullsystems. Das Charakteristische des RichtnuUsystems ist, dais den
Punkten auf einer durch den Hauptpunkt 0 gehenden Geraden parallele
Nullebenen zugeordnet sind, die sich also in einer Geraden der unend-
lich fernen Hauptebene o„ schneiden, und dafs umgekehrt solchen
Ebenen Nullpunkte zugeordnet sind, die auf einer durch den Haupt-
punkt 0 gehenden Geraden liegen.
Wenn wir durch zwei beliebige konjektive reziproke Bündel 0(^;j)y
0(Ä',i'), die d^rch vier Gerade e, f» g; 1^ und vier reziprok entsprechende
Von L. BuitMESTBB. 133
Ebenen e\ f, g', h' bestimmt sind, in der angegebenen Weise das Null-
system konstmieren, so ist noch zu beweisen , dafs dasselbe ein Richt-
nullsystem ist Zn diesem Zwecke ziehen wir durch einen Punkt Cv
die Tier Geraden Cy, fv, 9t, f)r senkrecht zn den Ebenen e' f g' h']
hierauf bestimmen wir eine Ebene x, welche die vier durch den Punkt
0 gehenden Geraden e, f ^ g, ^ so in vier Punkten E, F, G, H schneidet,
dafs dieselben ein Parallelogramm bilden , und eine Ebene x^^ welche
die Tier durch den Punkt Oy gehenden Greraden Ct, fv, gv, I^t so in
vier Punkten JEr, JV, G^, H^ schneidet, dals dieselben ein Parallelo-
gnunm bilden, dessen Ecken aber gleiche Folge mit den Ecken des
ersten Parallelogramms haben. Zwar giebt es drei verschiedene Ebenen,
die Tier durch einen Punkt gehende Gerade in Parallelogrammen schneiden;
diese Mehrdeutigkeit wird aber dadurch ausgeschlossen, dafs die Ecken
der in Betracht kommenden Parallelogramme gleiche Folge haben
sollen. Wenn wir nun zu den Strecken OrEr, Ot-FV, OrGrr, fOrBr die
Strecken EE^, FF^, CrGp, SS^ gleich und gleich gerichtet konstru-
ieren, so können wir nach dem 1. Satz diese Strecken als die Ver-
bindungsstrecken homologer Punkte zweier affiner raumlicher Systeme
5, S^ betrachten, die den selbstentsprechenden Punkt 0 besitzen. Zwar
können wir jene Ebenen Xy Xy parallel zu sich verlegen, dadurch wird
jedoch nur bewirkt, 'dafs wir homologe Punkte anderer affiner Systeme
erhalten, welche aber dieselben Verbindungsgeraden wie die homologen
Punkte der affinen Systeme 8^ 8^ liefern. Demnach ist das durch
zwei beliebige, konjektive reziproke Bündel bestimmte Nullsystem iden-
tisch mit dem Richtnullsystem, welches durch die Punkte J?, JP, • • •
des Systems 8 und die in demselben auf den Verbindungsgeraden EE^,
FF^, • • ' senkrechten Ebenen gebildet wird.
Hiemach ist das Richtnullsystem auch dadurch definiert, dafs das-
selbe durch zwei konjektive reziproke Bündel 0(^,j), 0(Ä',j') bestimmt
ist, und den Punkten einer Geraden 0^ Nullebenen entsprechen, die
zu der reziproken Ebene Oh' parallel sind, und umgekehrt.
Durch kollineare Transformation des Richtnullsystems erhalten wir
das allgemeine räumliche Nullsystem zweiten Grades, welches Ame-
seder^) zuerst untersucht hat, und welches auch kurz das quadratische
Nullsystem genannt wird. Dasselbe ist durch zwei konjektive reziproke
Bündel, deren Mittelpunkt der Hauptpunkt 0 ist, und durch eine im
Endlichen liegende Hauptebene o bestimmt. Das Charakteristische des
quadratischen Nullsystems ist, dafs den Punkten auf einer durch den
Hauptpunkt 0 gehenden Geraden Nullebenen zugeordnet sind, die einen
1) Ameseder, Das aUgemeine räumliche Nullsystem zweiten Grades. Journal
för reine xmd angewandte Mathematik, 1884, Bd. 97, S. 62. i'
134 KinemaÜBcli-geometriBclie Theorie etc.
Ebenenbüschel bilden^ dessen Achse in der Hauptebene o liegt^ und nm-
gekehrt. Hiemach ergiebt sich der Satz:
3. Das Richintdlsystem ist ein spezielles räumliches NuUsysiem zw&ten
GradeSy dessen Hauptebene im Unendlichen liegt.
Nach diesem Ergebnis könnten wir die Yon Ameseder abgeleiteten
Eigenschaften des allgemeinen räumlichen Nullsystems zweit^i Gfrades
spezialisiert auf das RichtnuUsjstem übertragen. Es ist aber zweck-
mäfsiger, dafs wir zum Verständnis der Beziehungen des Richtnull-
systems zu der Bewegung des affin -veränderlichen, ähnlich-yerander-
liehen, sowie des starren räumlichen Systems die erforderlichen projektiyen
Eigenschaften des Richtnullsystems in Anlehnung an die bisherigen
Darlegungen ableiten.
In zwei konjektiven reziproken Bündeln 0(^jj) und 0(Ä ',}'), die
zur Bestimmung eines Richtnullsystems dienen, erßUlen bekanntlich
die Geraden, welche in den ihnen entsprechenden Ebenen liegen, einen
reellen oder imaginären Kegel OV zweiter Ordnung, der Kemkegd
heilst, und diese Ebenen, welche einen Ebenenbüschel Oh^ zweiter Ord-
nung bilden, umhüllen einen reellen oder imaginären Kegel Ox' zweiter
Ordnung, der EinhülOcegel heüüst, und den Kemkegel in zwei Mantel-
linien berührt. Die unendlich ferne Hauptebene o^ des Richtnullsystems
schneidet diese beiden reziproken Bündel 0(\f,ji), 0(Ä',ji') in zwei rezi-
proken ebenen Systemen s^{^^,j^), s«(A«,3«), in denen einem
Punkt ^„ eine Gerade h'^ und einer Geraden j^ ein Punkt 3« ent-
spricht; sie schneidet femer den Kemkegel Ot* in dem Kemkegel-
schnitt tl den Ebenenbüschel OJc^ in dem Geradenbüschel kl^ zweiter
X OD
Ordnung und den Einhüllkegel Ox' in dem Einhüllkegelschnitt x^ , der
von diesem Geradenbüschel umhüllt wird.
Durch die vermittelst der konjektiven reziproken Bündel erhaltene
Konstruktion des RichtnuUsystems ergeben sich hiemach die singu-
lären Beziehungen: allen Punkten einer Mantellinie des Kemkegels OP
ist die durch dieselbe gehende reziproke Tangentialebene des Einhüll-
kegels Ox* als einzige Nullebene zugeordnet; und allen Ebenen, welche
durch eine Tangente des EinhüUk^elschnittes x^ gehen, also zu einer
Tangentialebene des Einhüllkegels parallel sind, ist der entsprechende inzi-
dente Punkt des Kemkegelschnittes f^ als einziger Nullpunkt zugeordnet.
Da parallele Ebenen sich in einer Geraden und parallele Gerade
sich in einem Punkt der unendlich fernen Hauptebene o^ schneiden,
so wird die Ableitung der projektiven Beziehungen anschaulicher und
allgemeiner, wenn wir uns behufs unserer Betrachtungen die Haupt-
ebene 0^ ins Endliche verlegt denken und uns also das allgemeine
quadratische Nullsystem vorstellen.
Von L. BuBIfBSTSB. 135
Die beiden konjektiven reziproken Bündel 0(f),j)f 0(h\\') seien
gegeben; eine beliebige Gerade j nehmen wir als Achse eines Ebenen-
büschels |(A) an, der die Hanptebene o^ in einem Geradenbüschel
3x (^«) schneidet, und betrachten die Gerade 0\'y die von dem Haupt-
punkt 0 nach dem Punkt Sl der Hauptebene o^ geht, als Achse
eines zu 31(Ä^) Perspektiven Ebenenbüschels 0\'(h'), der zum Bündel
0{h'y\) gehört; dann entspricht diesem Ebenenbüschel und dessen
Achse, resp. ein Geradenbüschel O(l^) und eine Ebene Oj im Bündel
0{kyj). Hiemach sind die Schnittpunkte der Geraden des Büschels
O(^) mit den entsprechenden Ebenen des projektiven Büschels \Qi) die
Nullpunkte dieser Ebenen; und folglich erfüllen dieselben einen Null-
kegelschnitt i^y der durch den Hauptpunkt 0 sowie durch den Punkt
H\ geht, in welchem die Achse \ die Ebene Oj trifft. Da die Ebenen
des Büschels '\{h) zu den Nullpunkten auf dem NuUkegelschnitt per-
spektiy sind, so ist der Punkt H\^ der Nullpunkt der Ebene %j dieses
Büschels, die Ton dem Nullkegelschnitt i^ in diesem Punkt berührt wird.
Den Ebenen \y h^ des Ebenenbüschels |(A), welche durch die Ton
dem Punkt 3^ an den Einhüllkegelschnitt x^ gelegten Tangenten
3lÄ^ji 3«Ä^2 gehen, entsprechen als Nullpunkte resp. die Punkte
^«i; ^«29 ^^ denen die Ebene Oj den Eemkegelschnitt ^ und zu-
gleich diese Tangenten trifft; folglich geht der [Nullkegelschnitt i} auch
durch diese beiden Punkte $^j, $«»2* Hiemach ergiebt sich, dalis für
alle Ebenenbüschel, deren Achsen ) durch einen in der Hauptebene 0^
Übenden Punkt 3^ gehen, die Nullkegelschnitte sich in der zu diesem
Punkt korrelativen Ebene Oj befinden und den Hauptpunkt 0, sowie die
beiden Punkte ^^^y ^^^ gemeinsam haben. Je nachdem die Gerade 03«
aufsen in oder auf dem Einhüllkegel Ox^ liegt, sind die Punkte ^^^, J^^,
reell, imaginär oder fallen zusammen und es sind diese Nullkegelschnitte t^
resp. Hyperbeln, Ellipsen oder Parabeln. Zu einem Nullkegelschnitt t',
der also den Hauptpunkt 0 enthält, ist ein Nullkegel dual, der die un-
endlich ferne Hauptebene 0^ berührt und demnach hier speziell ein
parabolischer Nullcylinder ist. Hiemach erhalten wir die dualen Sätze.
4. In einem BicMnuUsystem er- 4a. In einem RichlnuUsystem umr
fuUen die NuUpwnkte eines Ebenen- hüllen die NtdUbenen einer Ptmkt-
hüschds einen NuUkegdschniU, der reihe einen parabolischen NuUcylin-
dieÄchse dieses Ebenenbüschels trifft; der, der die Gerade dieser Punktreüic
und die NuUkegdschnittey welche den berührt; und die parabolischen NuU-
Ebenenbüscheln entsprechen, deren cylinder, welche den Punktreihen
Achsen durch einen Punkt der Haupt- entsprechen, deren Geraden in einer
Acne gehen, liegen in der zu diesem durdh den Hauptpunkt gehenden
Punkt korretativen, durch den HoMpir Ebene liegen, sind gerichtet nach dem
136 Kinematisch-geometirische Theorie etc.
punkt gehenden Ebene und haben zu dieser Ebene korreHativen in der
den Hauptpunkt sowie die beiden Hawptd)ene befindlichen Tunkt und
Punkte, in welchen diese Ebene den haben die HoMptebene sowie die
Kernkegelschnitt schneidet, als ge- beiden Ebenen, die von diesem PunÜ
meinsdme SchniUpunkte, berührend an den EinhiäUcegd gehen,
als gemeinsame Tangentialebenen.
Nehmen wir ein Ebenenbündel an, dessen Mittelpunkt M sein möge,
so ergiebt sich durch analoge Betrachtungen wie vorhin aus den pro-
jektiven Beziehungen der beiden konjektiven reziproken Bündel O(^j'),
0(hW): dafs die Nullpunkte der Ebenen dieses Bündels eine Nullflache
zweiter Ordnung erfüllen, die durch den Hauptpunkt 0 und durch den
Kemkegelschnitt I^ geht, die femer im Punkt M die Nullebene des-
selben berührt und die Nullkegelschnitte aller Ebenenbüschel tragt,
deren Achsen durch den Punkt M gehen. Hieraus folgt, dais die Null-
flächen aller Ebenenbündel den Kemkegelschnitt V^ gemeinsam haben
und durch den Hauptpunkt 0 gehen. Mit dieser Darlegung eigeben
sich auch die zugehör^en dualen Beziehungen.
Liegt eine Achse ) eines Ebenenbüschels, welche die Hauptebene
0^ in einem Punkt S^ trifft, in einer Tangentialebene 03« ^«i des
Einhüllkegels Ox', welcher der inzidente Punkt ^^^ auf dem Eeni-
kegelschnitt I^ entspricht, so schneidet die zum Punkte 3^ korrelative
Ebene Oj den Kemkegelschnitt in den gepaarten Punkten $«i, $«s
und den Eemkegel OV in den Mantellinien O^^j, 0^^,. Der
Tangentialebene 03^ J^^^^ entsprechen alle Punkte der Mantellinie
O^oot ^^ Nullpunkte; demnach zerfällt der zu diesem. Ebenenbüschel
gehörende Nullkegelschnitt t' in die Gerade 0^^^ und eine in
der Ebene Oj liegende Gerade t, die nach dem zu ^^^ gepaarten
Punkt J^^2 S^h^ ^^d d^^ Nullpunkte aller anderen Ebenen dieses
Ebenenbüschels enthält. Demzufolge ergiebt sich, wenn wir umgekehrt
eine Punktreihe auf einer durch einen Punkt ^^, des Kemkegel-
schnittes gehenden Geraden l annehmen, dann durch den Hauptpunkt
0 und die Gerade t eine Ebene legen, die den Kemkegelschnitt P^ in
dem Punkt J^^j und femer in dem Punkt §^i schneidet, dafs dieser
Punktreihe Nullebenen entsprechen, die einen Ebenenbüschel bilden,
dessen Achse j in der dem Punkt ^^^ zugeordneten Tangentialebene
des Einhüllkegels Ox^ liegt. Diese Tangentialebene schneidet die dem
Punkt ^^2 zugeordnete Tangentialebene in einer (Geraden 031, ^^
die Achse \ geht durch den Punkt 31 in der Hauptebene o^.
Einem in einer Ebene 0^^^^^^ liegenden Büschel von Geraden
£, dessen Mittelptmkt jp^, ^^^f entspricht ein in der Tangentialebene
031 ^aei liegender Büschel von Achsen j, dessen Mittelpunkt 31 ist.
Von L. BUBICBSTEB. 137
Im NnllsyBtem zweiten Orades heilst eine Gerade t, deren Punktreihe
ein Ebenenbüschel erster Ordnung entspricht^ eine Ordnimgslinie und
die Achse | dieses Ebenenbüschels eine Ordnungsdchse,
Verlegen wir den Punkt 3^^ in welchem eine in der Tangential-
ebene 03^^^, befindliche Ordnungsachse i die Hauptebene 0^ trifft,
nach dem zweiten Schnittpnnkt $.n, den diese Tangentialebene aufser
dem Punkt ^^^ mit dem Kemkegelschnitt I|, bildet, dann fällt die
zu dem Punkt 3^ korrelatiye Ebene Oj mit dieser Tangentialebene
zusammen, nnd zu dieser Ordnungsachse i gehört eine OrdnungsUnie t,
die durch den mit 31 identischen Punkt ^^n des Kemkegelschnittes
f^ geht. Wenn aber eine Ordnungsachse und eine Ordnungslinie durch
einen Punkt gehen, dann müssen beide zusammenfallen. Solche Ge-
rade, in denen eine Ordnungsachse und eine zugehörige Ordnungslinie
Tereint sind, heiXsen Leitlinien des Nullsystems. Die Leitlinien gehen
also durch den Kemkegelschnitt I^ und berühren den Einhüllkegel
Ox\ Demnach Uegen in einer Ebene zwei Leitlinien, die sich im
Nullpunkt dieser Ebene schneiden, und durch einen Punkt gehen zwei
Leitlinien, dessen NuUebene die durch diese Leitlinien gelegte Ebene
ist. Hieraus folgen die nach unserer Darlegung auch für das allgemeine
quadratische Nullsystem geltenden Ergebnisse:
6. In einem RichtnuUsystem gehen die Ordnungslinien durch den
Kemkegelschnitt I^ und liegen die Ordnungsachsen in den Ta/ngenHaHebenen
des EinhüUkegels Ox\ Die Ordnungslinien, so wie die Ordnungsachsen bilden
je einen singulären Komplex zweiten Grades; und diese beiden Komplexe
haben die Leitlinien gemeinsam, die eine Kongruenz zweiten Grades bilden.
Betrachten wir wieder die zwei afßnen räumlichen Systeme S,
S^, die ein RichtnuUsystem bestimmen, und nehmen wir eine beliebige
Ebene e im System S an, dann entspricht derselben eine Ebene e^ im
System S^, femer entspricht der Schnittgeraden f^ dieser beiden Ebenen
eine Gerade f in der Ebene c, und dem Schnittpunkt F^ dieser Ge-
nuien der Punkt F auf der Geraden f, die also auch die Verbindungs-
gerade zweier homologen Punkte F, F^ ist Die Verbindungsgeraden
der auf f, f^ befindlichen homologen Punkte, resp. die Richtungsgeraden
der auf der Geraden f befindlichen Punkte, liegen in der Ebene e und
umhüllen eine Parabel, die von der Geraden f im Punkte F berührt
wird. Es giebt denmach in einer Ebene e nur eine einzige Gerade f,
deren Punkte Richtungsgerade besitzen, die in dieser Ebene liegen; und
diese Gerade verbindet zwei homologe Punkte F, F^, Eine solche
Gerade f wird die Charakteristik der Ebene e genannt; und dieselbe
zeichnet sich dadurch aus, dafs ihr parabolischer Nullcylinder auf der
£bene e senkrecht steht.
138 KinemaÜBch-geometrische Theorie etc.
Nehmen wir eine beliebige Oerade f an, die zwei homologe Pankte
Ff F^ yerbindet^ so entspricht derselben eine Gerade f„ die durch den
Punkt F^ geht. Demnach ist jede Verbindungsgerade f zweier homo-
logen Punkte die Charakteristik der durch f f, gelegten Ebene; und die
Charakteristiken sind also identisch mit den Verbindungsgeraden ho-
mologer Punkte.
Da die Verbindungsgeraden der homologen Punkte einen triedralen
Komplex bilden^ dessen Hauptelemente die selbstentsprechenden Elemente
der Systeme S^ S^ sind, so gilt dies auch yon den Charakteristiken.
Wenn eine Charakteristik , resp. eine Verbindungsgerade zweier
homologer Punkte, mit einer Ordnungslinie zusammenfällt, dann ent-
spricht ihr eine Ordnungsachse, die auf der Ebene der Charakteristik
senkecht steht, also auch zu dieser Ordnungslinie senkrecht ist.
Die Verbindungsgeraden homologer Punkte, welche durch einen
Punkt gehen, erfüllen als Gerade des triedralen Komplexes, der Tom
zweiten Grade ist, eine Eegelfiäche zweiter Ordnung. Die Ordnungs-
linien, welche durch einen Punkt gehen, erfüllen als Gerade eines
singulären Komplexes zweiten Grades ebenfaUs einen Kegel zweiter
Ordnung; diese beiden Kegel mit gleicher Spitze haben vier Mantel-
linien gemeinsam. Die Verbindungsgeraden homologer Punkte, welche
in einer Ebene liegen, umhüllen eine Parabel; femer bilden die Ord-
nungslinien, die in einer Ebene liegen, zwei Parallelenbüschel, und in
jedem derselben giebt es eine Ordnungslinie, die eine Tangente dieser
Parabel ist. Hieraus folgt:
6. In einem Richtnullsystem bilden die Ordnungslinien ^ jm wdehen
die entsprechenden Ordnungscichsen senkrecht sindy eine Kongruenz vierter
Ordnung und zweiter Klasse,
Die durch den selbstentsprechenden Punkt 0 gehenden drei selbstent-
sprechenden Ebenen und Geraden der affinen räumlichen Systeme Sj
S^ zeichnen sich in dem Richtnullsystem durch Eigentümlichkeiten
aus und sind die Hauptelemente des von den Verbindungsgeraden der
homologen Punkte gebildeten triedralen Komplexes. Da aber das
Richtnullsystem auch für sich, unabhängig yon diesen affinen Systemen,
zu betrachten ist und durch die beiden konjektiven reziproken Bündel
0(1^, j), 0(Ä', j') bestimmt wird, so wollen wir im Richtnullsystem
jene selbstentsprechenden Ebenen die Normebenen und jene selbst-
entsprechenden Geraden die Normgeraden nennen und in folgender
Weise definieren. Die drei Normebenen eines Richtnullsystems sind
in dem Bündel 0{ff,j) diejenigen Ebenen, die auf den entsprechenden
reziproken Geraden des Bündels 0{h\ }') senkrecht stehen; und die drei
Normgeraden eines Richtnullsystems sind in dem Bündel 0(^,j) die-
Von L. BURMBBTKR. 139
jenigen Greraden, die auf den entsprechenden reziproken Ebenen des
Bündels 0(Ä', j') senkrecht stehen. Von den Normebenen^ sowie yon
den Normgeraden können je zwei imaginär sein.
Jedem Punkt in einer Normebene entspricht eine Nullebene, die
auf derselben senkrecht ist; denn die Richtungsgeraden aller Punkte
einer Normebene befinden sich in derselben. Demnach sind alle in
einer Normebene befindlichen Geraden Charakteristiken derselben, und
zu einer solchen Geraden gehört ein parabolischer Nullcylinder, der
auf dieser Normebene senkrecht steht; femer entspricht jeder in
einer Normebene liegenden Ordnungslinie eine auf dieser Normebene
senkrechte Ordnungsachse. Da einer Parallelen zu einer selbstent-
sprechenden Geraden im System S wieder eine Parallele im System
5, entspricht, so schneiden sich die Verbindungsgeraden der homologen
Punkte der auf diesen Parallelen befindlichen ähnlichen Punktreihen
in einem Punkt. Demnach ist in einem Richtnullsystem jede Gerade,
die zu einer Normgeraden parallel ist, eine Charakteristik, deren
Punkte Richtungsgeraden besitzen, die sich in einem Punkt schneiden;
femer steht der zu einer solchen Charakteristik gehörende parabolische
NuUcylinder senkrecht auf der durch sie und diesen Punkt gelegten
Ebene, und diese Charakteristik berührt den Nullcylinder in einem
Punkt seiner Scheitellinie.
Die Verbindungsgeraden der homologen Punktreihen A, B,C . . ,
nnd Ä^y B^y C7^ • • • auf zwei entsprechenden Geraden )}, p^ der affinen
raomlichen Systeme S, S^ erfüllen ein parabolisches Hyperboloid 77
und sind zu einer Ebene p parallel; femer umhüllen die durch diese
Verbindungsgeraden zu dieser Ebene p senkrecht gelegten Ebenen
einen parabolischen Cylinder pP, Da die Nullebenen a, b, c . . . der
Punkte Ay ByC . . , auf diesen Verbindungsgeraden in diesen Punkten
senkrecht sind, so ergiebt sich auch hieraus, dafs die Nullebenen
aybyC . , . einen parabolischen Nullcylinder p^ umhüllen. Die beiden
parabolischen Cylinder pPy p^ stehen auf der Ebene p senkrecht und
haben eine auf derselben senkrechte, gemeinsame Fokalgerade. Wenn
nun die Gerade p eine Ordnungslinie ist, dann geht der parabolische
Nullcylinder p^ in eine Ebene über, und die Tangentialebenen desselben
bilden einen Ebenenbüschel, dessen Achse die Fokalgerade ist. Diese
Fokalgerade ist demnach die Ordnungsachse der Ordnungslinie )}, und
diese berührt jenen parabolischen Cylinder pP in einem Punkt seiner
Scheitellinie. Wenn die Gerade p eine Leitlinie des Richtnullsystems
ist, dann sind die Verbindungsgeraden der homologen Punkte der Ge-
raden f)y p^ senkrecht auf der Leitlinie und bilden ein gleichseitig-
hyperbolisches Paraboloid 77; wenn femer die Gerade p eine Charak-
140 Kinematisch-geomehiBche Theorie etc.
teristik ist, dann Bchrampft das hyperbolische Paraboloid in der Ebene
dieser Charakteristik zusammen und die Verbindungsgeraden der homo-
logen Punkte umhüllen eine ParabeL
Wenn die beiden konjektiven reziproken Bündel 0(%j)j 0(h%\')
einen polaren Bündel bilden, dann yereinigen sich der Eemk^l und
und der Einhüllkegel in dem Ordnungskegel des polaren Bündels; und
das Richtnullsystem, welches durch einen polaren Bündel bestimmt
ist, wird ein polares Bichtnuüsystem genannt. In dem polaren Bicht-
nullsystem mit einem reellen Ordnungskegel sind die Ordnungslinien,
welche in den Tangentialebenen des Ordnungskegels liegen, identisch mit
ihren zugehörigen Ordnungsachsen, und demnach ergiebt sich der Satz:
7. In einem polaren RicJUnuUsystem sind diejenigen Geraden^ wdche
zu den ManteUinien des OrdnungsTcegds parallel sind und in den Tan-
gentialebenen dessdben liegen^ die Leitlinien.
In einer reellen Normebene eines Richtnullsystems, resp. in einer
reellen selbstentsprechenden Ebene zweier affiner räumlicher Systeme
S, S,y bUden die Punkte und die Spuren der zugehörigen, auf dieser
Normebene senkrechten Nullebenen ein ebenes Ilichtmdlsystem. Dasselbe
ergiebt sich demnach auch, wemi in einer Ebene zwei affine ebene Systeme
gegeben sind, durch die Punkte des einen und durch die Geraden, welche
in diesen Punkten auf den Verbindungsgeraden der homologen Punkte
senkrecht sind. Femer ist das ebene Richtnullsystem auch durch zwei
in einer Ebene liegende konjektiye projektive Strahlenbüschel 00)), 0(h')
bestimmt. Um zu einem Punkt A die Nullgerade zu erhalten, yer-
binden wir A mit 0 durch einen Strahl 0\) und ziehen durch A die
Nullgerade a parallel zu dem entsprechenden Strahl OW. Umgekehrt
ergiebt sich zu einer Geraden a der Nullpunkt, wenn zur Geraden a
der parallele Strahl Oh' gezogen wird; denn dann schneidet der ent-
sprechende Strahl 0^ die Gerade a in dem Nullpunkt A,
Nach der Ableitung der wichtigsten Eigenschaften des Richtnull-
systems, die sich aus den konjektiyen reziproken Bündeln und den
affinen räumlichen Systemen ergeben haben, wollen wir nun die mo-
mentane Bewegung des affin -yeränderlichen, ähnlich - yeranderlichen
und starren räumlichen Systems betrachten.
Nehmen wir an, dafs zu einem bewegten affin-yeränderlichen räum-
lichen System S das affine System S^ die Endpunkte der Geschwindig-
keiten der Systempunkte enthält, dann bilden diese Punkte und die
Ebenen, welche in ihnen auf den Geschwindigkeiten resp. auf den Be-
wegungsrichtungen oder den Tangenten der Bahnen senkrecht sind,
das Richtnullsystem für die Geschwindigkeiten, dessen Hauptpunkt
der selbstentsprechende Punkt 0 der affinen Systeme S, S^ ist. Da
Von L. BüRMSSTBR. 141
jede Mantellinie des EemkegelB Ol' in der reziproken Tangentialebene
des Einhüllkegels Ox' liegt, und da allen Punkten einer Mantellinie die
inzidente reziproke Tangentialebene als Nullebene entspricht, so folgt,
dals die Punkte einer Mantellinie des Kemkegels Geschwindigkeiten
besitzen, die in einer auf der Tangentialebene senkrechten Ebene sich
befinden und auf der Mantellinie senkrecht sind; demnach bleibt eine
Punktreihe auf einer Mantellinie des Kemkegels während einer momentanen
Bewegung des affin- veriLnderlichen räumlichen Systems starr, und dasselbe
gilt von einer Punktreihe auf jeder zu einer Mantellinie parallelen Geraden.
Wir wollen solche Gerade eines affin-yeränderlichen räumlichen Systems,
die nährend einer unendlich kleinen Bewegung desselben starre Punkt
reihen tragen, starre Gerade nennen. Hiemach erhalten wir den Satz:
8. In einem affinr^eränderlichen räumlichen System sind die Mantel-
Unten des Kemkegels und aUe ParaUden ssu ihnen starre Gerade,
Je nachdem der Eemkegel reell oder imaginär ist, sind auch die
starren Geraden reell oder imaginär; und um zu erkennen, unter welchen
Bedingungen reelle oder imaginäre starre Gerade in einem affin -y er-
änderlichen räumlichen System auftreten, betrachten wir eine unendlich
kleine Bewegung desselben, bei welcher eine Systemphase 8 in eine
onendlich nahe Systemphase S' übergeht. Nehmen wir in der System-
phase 8 eine Engel K an, deren Mittelpunkt der selbstentsprechende
Punkt 0 Yon 8 und 8' ist, so entspricht derselben in der Systemphase
S' ein Ellipsoid K' mit demselben Mittelpunkt 0. Wenn sich nun
die Kugel K und das unendlich nahe Ellipsoid K' in eLuer Kurve £'
schneiden, die wir in der Systemphase 8' befindlich annehmen, dann
entspricht dieser Kurve £' eine unendlich nahe Kurve £ in der System-
phase 8 und beide Kurven £, |' liegen auf der Kugel K. Legen wir
hiernach durch die Kurve £ einen Kegel 0|, dessen Spitze der Kugel-
mittelpunkt 0 ist, so verändern die Kugelradien, die auf diesem Kegel
liegen, ihre Länge nicht während der unendlich kleinen Bewegung der
Kurve | nach £'. Demnach ist der Kegel 0£ identisch mit dem Kem-
kegel Ol', dessen Mantellinien starre Gerade sind; denn es können in
einem affin-veränderlichen räumlichen System keine anderen starren Ge-
raden auftreten als die Mantellinien des Kemkegels und die Parallelen
zu ihnen.
Besonderheiten treten auf, wenn das Ellipsoid K' die Kugel K
erstens in einem Kreise berührt, zweitens in zwei diametralen Punkten
berührt und drittens in zwei diametralen Punkten berührt, zugleich
aber auch schneidet. Im ersten Falle geht der Kemkegel in eine Ebene
über, im zweiten schrumpft derselbe in eine Gerade zusammen und im
dritten artet er in zwei Ebenen aus. Hiemach folgt:
142 Kinematisch-geometrische Theoiie etc.
9. In einem affin-veränderlichen räumlichen System gidi es reHt
oder imaginäre starre Gerade, je nachdem das Ellipsoid K die Kugd
K schneidet resp. berührt oder nicht schneidet.
Da eine unendlich kleine Bewegung einer starren Geraden als me
unendlich kleine Drehung derselben um eine zugehörige momentane
Drehachse betrachtet werden kann^ so schneiden sich die Nullebenen
der Punkte einer starren Geraden in der zugehörigen momentanen
Drehachse. Eine Gerade eines affin-yeranderlichen raumlichen Systems,
deren Punkten Nullebenen entsprechen, die einen Ebenenbüschel erster
Ordnung bilden, ist eine starre Gerade, die Achse dieses Ebenenbüschels
ist die zugehörige momentane Drehachse und die Geschwindigkeiten
der Punkte einer solchen Greraden sind proportional den Abstanden
der Punkte yon dieser Drehachse. Eine Ausnahme tritt aber ein,
wenn die Achse des Ebenenbüschels in der Hauptebene o^ liegt und
derselbe also ein Parallelebenenbüschel ist; deim diesem entspricht eme
yeranderliche Reihe von Nullpunkten auf einer durch den Hauptpunkt
0 gehenden Geraden. Bei einer Punktreihe in einer auf dem Kern-
kegel OV befindlichen starren Geraden ÜEdlen die zugehörigen Null-
ebenen in der Ebene zusammen, die durck diese Gerade geht und ihr
reziprok entspricht. Eine unendlich kleine Bewegung einer solchen
starren Geraden kann durch eine unendlich kleine Drehung um jede
in dieser Ebene befindliche, durch 0 gehende Gerade ersetzt werden.
Die starren Geraden auf dem Eemkegel zeichnen sich also dadurch
aus, dals zu einer solchen starren Geraden unendlich yiele durch den
Hauptpunkt 0 gehende momentane Drehachsen gehören, die in der
allen Punkten dieser Geraden zugeordneten, einzigen Nullebene liegen.
Aus diesen Darlegungen ergiebt sich:
10. Die Ordnungslinien und die zugehörigen Ordnungsachsen in dem
RichtnuUsystem für die Geschwindigkeiten sind resp. identisch mit den
starren Geraden und den zugehörigen Drehachsen in dem affinr^veränder-
liehen räumlichen System.
Hiemach gelten alle Beziehungen, welche für die Ordnungslinien,
die Ordnungsachsen und die Leitlinien des Richtnullsystems abgeleitet
wurden, auch für die starren Geraden und deren Drehachsen. Die
senkrechten Projektionen der Geschwindigkeiten der Punkte einer
starren Geraden auf diese Gerade sind gleich; und es treten drei spe-
zielle Fälle yon starren Geraden auf. Erstens die normal starren Oe-
raden, bei welchen die senkrechten Projektionen der Geschwindigkeiten
ihrer Punkte gleich Null sind und die Geschwindigkeiten also senkrecht
auf denselben stehen. Eine normal starre Gerade fallt demnach mit
ihrer zugehörigen Drehachse zusammen und ist im Richtnullsystem
Von L. BUBXXBTKS. 143
for die Öescliwindigkeiten eine Leitünie. Zweitens die starren Cha-
rakteristtken sind solche starre Gerade, deren Punkte Geschwindigkeiten
besitzen, die in einer Ebene liegen. Einer starren Charakteristik ent-
spricht demnach eine zu ihr senkrechte Drehachse und ist im Rieht-
nollsystem für die Geschwindigkeiten eine Ordnungslinie, deren Ord-
nungsachse zu ihr senkrecht ist. Drittens die Mantellinien des Kern-
kegeh sind spezielle starre Charakteristiken oder spezielle normal starre
Gerade, bei welchen die Geschwindigkeiten ihrer Punkte senkrecht auf
denselben sind und sich in einer Ebene befinden. Wir erhalten dem-
nach zu den Sätzen 5 und 6 die analogen Sätze:
11. In einem affin -veränderlichen räumUdien System gehen die
starren Geraden durch den Kemkegetschniti {^ und liegen die Dreh-
achsen in den Tangentiaiebenen des EinhUükegds Ox\ Die starren
Geraden, sowie die Drehachsen bilden je einen singulären Komplex
sueiien Grades; und diese heiden Komplexe haben die normal starren
Geraden gemeinsam, die eine Kongruenz zweiten Grades bilden,
12. In einem affin-veränderlichen räumlichen System bilden die
starren Charakteristiken, m welchen die entsprechenden Drehachsen senk-
reckt sind, eine Kongruenz vierter Ordnung und zweiier Klasse,
Aus dem 7. Satz folgt, dals in einem polaren Richtnullsystem für
die Geschwindigkeiten die normal starren Geraden, resp. die Leitlinien
zu den Mantellinien des Ordnungskegels parallel sind und in den Tan-
gentialebenen desselben liegen. Denken wir uns nun die Schar der
ähnlichen und ähnlich liegenden einschaligen Hyperboloide, d. h. der
coaxialen ähnlichen Hyperboloide gebildet, für welche der Ordnungs-
kegel der gemeinsame Asymptotenkegel ist, so sind die Geraden auf
diesen Hyperboloiden normal starre Gerade während der unendlich
Ueinen Bewegung. Eine durch zwei sich schneidende normal starre
Gferade gelegte Ebene ist eine Tangentialebene an einem dieser Hyper-
boloide und der Berührungspunkt resp. der Schnittpunkt dieser beiden
starren Geraden ist der zugehörige Nullpunkt. Hieraus folgt:
18. Wenn in einem affin- veränderlichen räumlichen System ein
polares BicktnuUsystem für die Geschwindigkeiten auftritt; dann sind die
Geraden, welche zu den ManteUinien des Ordnungskegeis parallel sind
und in den Tangentiaid>enen desselben liegen, normal starre Gerade, und
die coaxialen ähnlichen einschaligen Hyperboloide, für welche der Ord-
mngskegd gemeinsamer Asymptotenkegel ist, werden aus normal starren
Geraden gAUdet, die auf jedem solchen Hyperboloid in ihren Treffpunkten
als drdibar verbunden betrachtet werden können.
Zwei ähnliche raumliche Systeme besitzen als selbstentsprechende
Elemente einen Punkt, eine Gerade und eine Ebene, die in diesem Punkt
144 Kinematisch-geoDiRtrische Theorie etc.
auf einander senkreclit stehen. Da ein ähnlich -veränderlich es räamlicheg
System S uni! das affine räumliche System S, der Eiulpunkte der Ge-
schwindigkeiten die selbsteDtsprechenden Elemente mit den imeiidlii^li
nahen Systemphaseu S, S' gemeinsam haben, so besitzt bei einem ähn-
lich-veränderlichen räumlichen System daa Richtnullsystem eine Norm-
ebene und eine im Hauptpunkt 0 auf derselben senkrechte Nnmi-
gerade. Einer um den selbstentsprechenden Punkt 0 der unendlich
nahen Systemphasen S, S' beschriebenen Kugel in einer dieser System-
phaeen entspricht eine konzentrische Kugel in der anderen, und da
diese Kngeln sich in dem unendlich fernen imaginären Kugelkreis
achneiden, so bt derselbe der Kern kegel schnitt dieses Richtuullsystenis.
Demzufolge sind die Nulltlächeu der Ebeoenbündel Kugeln and die
Nullkegels ehnitte der EbenenbUschel Kreise; und diese Kugeln, sowie
diese Kreise gehen durch den Punkt 0. Dieses Richtnullsystem wollen
wir deshalb ein sphärisches llichtntiüsystem nennen. In dem speziellen
Fall, wenn die Punkte des ähnlich - veränderlichen räumlichen Systems
sich auf Geraden bewegen, die durch einen Pimkt 0 gehen, wird daa
sphärische Richtnull systena aus den Ebenen des Raumes und den Fufs-
puukten der vom Punkte 0 auf dieselben gefällten Senkrechten gebildet.
Wenn das ähnlich - veränderliehe räumliche System in ein starree
räumliclies System übergeht, dann fällt der selbstentsprechende Pnnkt 0
mit dem unendlich fernen Punkt der selbstentsprechenden Oeraden,
resp. der Normgeraden, zusammen; demnach gehen jene Kugeln, die
den Ebeneu bündeln als Nullflächen, und jene Kreise, die den Ebenen-
büscheln als Nullkegelschnitte entsprechen, resp. in Ebenen und Geraden
über. Das sphärische Richtnullsystem für die Geschwindigkeiten bei
dem ähnlich -veränderlichen räumlichen System degeneriert also bei der
Bewegung eines starren räumlichen Systems in das bekannte lineare
NuUsystem. Da eine momentane Bewegung eines starren räumlichen
Systems S durch eine unendlich kleine Scliraubenbewegung um die
selbstentsprechende Gerade zweier unendlich naher Systemlagen S, S'
ersetzt werden kann, so folgt, dafs bei demselben das Äbtn^ystem S,
der Geschwindigkeiten in eine Ebene zusammenschrumpft.
Wenn wir uns die Beschleunigungen n'"" (Ordnung der Pnnhta
einer Systemgeraden auf diese Gerade senkrecht projiziert denken, dann
giebt es analog wie bei den Geschwindigkeiten Gerade, auf denen diese
Projeiitionen je gleiche Grofse besitzen, und femer solche Gerade, auF-
denen diese Projektionen gleich Null sind, also die Beschleunigungen;
n'" Ordnung senkrecht stehen. Hieraus folgt:
li. Die Orcb -nien in dem Ri<^htnullsystetm
für rfic Beschi w e»i«m nffin^veriimlerlirJint^
Von L. BURMKSTBB. 145
ähnlichrveränderlichen oder starren räumlichen System re^. identisch mit
den Geradeny auf denen die senkreckten Projektionen der Beschleunigungen
n*^ Ordnung ihrer Punkte je gleich sind, und mit den Geraden, auf
denen die Beschleunigungen n*^ Ordnung ihrer Punkte senkrecht stehen,
HieniAch ergeben sich für diese Geraden analoge sinngemäXse Be-
ziehungen zu einem affin -yeranderlichen; ähnlich -yeranderlichen oder
starren räumlichen System wie die abgeleiteten Beziehungen der starren
Geraden in einem affin -yeranderlichen raumlichen System.
Denken wir uns zu einer Phase S eines affin-yeränderlichen raum-
lichen Systems, welches auch ähnlich-yeränderlich oder starr sein kann,
f&r den gemeinsamen Urpunkt O^* die beiden affinen Abtragsysteme
S^ S^ der Beschleunigungen m*^ und n^ Ordnung bestimmt, so erfOllen
die durch den Urpunkt gehenden Geraden des Systems S^^ welche die
entsprechenden Geraden des Systems S^ schneiden, einen Kegel zweiter
Ordnung, und diese Schnittpunkte, als Punkte des Systems 8^ be-
trachtety bilden in demselben eine BAumkurye R^ dritter Ordnung, der
im System 8^ eine auf diesem Kegel liegende Raumkurye B^ dritter
Ordnung entspricht; und demnach gehen die Verbindungsgeraden der
homologen Punkte dieser Raumkuryen B^, i2, durch den Urpunkt O^*.
Diese Raumkuryen gehen auch durch den selbstentsprechenden Punkt
G^^ der * Abtragsysteme 8^^ S^, Diesem Punkt entspricht in dem
System 8 ein Punkt £r, dessen Beschleunigungen m^ Ordnung und
n^ Ordnung gleich und gleich gerichtet sind. Wenn wir uns nun zu
diesen beiden Raumkuryen die entsprechende Raumkurye Bmn dritter
Ordnung in der Phase 8 bestimmt denken, so erhalten wir den Satz:
15. Die Punkte eines affin- veränderlichen, ähnlich-veränderlichen
oder starren räuniUchen Systems, für wdche die Beschleunigungen m'^
und n*^ Ordnung in je einer Geraden liegen, erfüllen eine durch die
ieidm Beschleunigungspole m^ und n^ Ordnung gehende Baumkurve
dritter Ordnung, auf welcher sich der Systempunkt befindet, für welchen
diese Beschleunigungen gleich und glüch gerichtet sind.
Da die Geschwindigkeiten die Beschleunigungen nullter Ordnung
sind und in den l^angenten der Bahnkuryen liegen, so er-
füllen die Beschleunigungen n*^ Ordnung, die sich in den Tangenten
der Bahnkuryen befinden, eine durch den Geschwindigkeitspol und den
Beschleunigungspol n^ Ordnung gehende Raumkurye dritter Ordnung;
und wenn insbesondere diese Beschleunigungen erster Ordnung sind,
dann sind diese Punkte Wendepunkte der betreffenden Bahnkunren.
Diese Beziehung wurde zuerst yon Mehmke^) abgeleitet und dabei
1) CiYilingenieur 1888, Bd. 29, S. 680.
/«itMhrift f. Mathematik u. Physik. 47. Band. 1908. 1. u. 2 Heft XO
146 Kinematisch-geometrische Theorie etc.
darauf hingewiesen, dals in dem 43. Satz des ersten Teiles dieser Ab-
handlung diese RÄumkurve dritter Ordnung, die yon den Wendepunkten
gebildet wird, irrtümlich als Raumkuire sechster Ordnung ang^eben
wurde; denn dort ist ein Fehler bei der Abzahlung entstanden.
Nehmen wir in einem Bewegungsmoment zu einem amn-verinder-
liehen, ähnlich -veränderlichen oder starren räumlichen System S das
Abtragsystem S^ der Beschleunigungen n'^ Ordnung an; sind femer e,
e^ zwei homologe Ebenen der afßnen Systeme 5, S^ und fWen wir
Yon dem Urpunkt O, dieses Abtragsystems auf die Ebene e, eine
Senkrechte, deren Fufspunkt E^ ist, so stellt diese Senkrechte 0,£,
die Grölse und Richtung der Beschleunigung n^ Ordnung des ent-
sprechenden Punktes E der Ebene e dar. Demnach besitzt dieser
Punkt E die kleinste Beschleunigung n^ Ordnung yon allen Punkten
der Ebene e. Nehmen wir umgekehrt in dem System S einen be-
liebigen Punkt E an, und bestimmen wir den homologen Punkt E^ in
dem System S^] legen wir femer durch E^ auf fD^E^ die senkrechte
e^f so entspricht derselben eine durch E gehende Ebene e, in welcher
der Punkt E die kleinste Beschleunigung n*^ Ordnung besitzt. Dem-
nach giebt es in jeder Ebene eindeutig einen Punkt mit kleinster Be-
schleunigung n*^ Ordnung, und durch jeden Punkt geht eine eindeutig
bestimmte Ebene, in welcher diesem Punkt die kleinste Beschleunigung
n^ Ordnung angehört. Parallelen Ebenen e im System S entsprechen
parallele Ebenen e^ im System S^] femer entsprechen den Fufspunkten
E^, in welchen diese Ebenen von der durch den Punkt 0^ gehenden
senkrechten Geraden i)^ getroffen werden, die Punkte E der kleinsten
Beschleunigung in den parallelen Ebenen 6; und diese Punkte E liegen
auf der entsprechenden durch den Beschleunigungspol n'^ Ordnung
gehenden Geraden 1^. Hieraus ergiebt sich der Satz:
16. In einem affin-veränderlichen, ähnUchr-veränderlichen oder starren
räumlichen System hüden die Ebenen und die zugehörigen Punkte Ideinster
Beschleunigung n*^ Ordnung in jedem Bewegungsmoment ein Rtchtmäl-
System, dessen Hauptpunkt der jeweilige BescMeunigangspol n^ Ordnung ist
Beschreiben wir um den Urpunkt D^ des Abtragsystems S^ eine
Kugel JTy, so entspricht derselben in dem System S ein Ellipsoid K,
dessen Mittelpunkt der Beschleunigungspol n^ Ordnung ist. Ferner
entspricht einer Schar konzentrischer Kugeln um O^ eine Schar
coaxialer ähnlicher EUipsoide, ftir welche der Beschleunigungspol n^ Ord-
nung der gemeinsame Mittelpunkt, also auch der Ahnlichkeitspunkt ist.
Hieraus ergiebt sich:
17. Der geometrische Ort der Punkte eines affin 'veränderlichen,
ähnlich-veränderlichen oder starren räumlichen Systems, die Beschleunigungen
Von L. BURMBBTEB. 147
M*^ Ordnmig von einer gleidien Grröfse besitzen, ist ein Ellipsoid, dessen
Mittelpunkt der Beschleunigungspol n^ Ordnung ist; und alle solche
Ellipsoide sind coaxial ähnlich,
18. Die TangerUidlebenen an den coaxialen ähnlichen EUipsoideny
deren Tunkte je gleiche Beschleunigung n^ Ordnung besitzen, und die
zugehörigen Berührungspunkte bilden dasselbe RichtnuUsystem, welches
durch die Ebenen und ihre zugehörigen Punkte kleinster Beschleunigung
n^ Ordnung bestimmt ist
In jeder Ebene, welche ein Ellipsoid berührt, dessen Punkte
gleiche Beschleunigungen n*^ Ordnung besitzen, hat also der Berührungs-
punkt die kleinste Beschleunigung n^ Ordnung. Denken wir uns in
diesem RichtnulLsystem diese Berührungspunkte mit dem gemeinsamen
Mittelpunkt der coaxialen ahnlichen Ellipsoide durch Gerade verbunden
und durch denselben Ebenen parallel zu den betreffenden Tangential-
ebenen gelegt, dann bilden diese Geraden und diese Ebenen zusammen
einen polaren Bündel; denmach ist dieses RichtnuUsystem ein spezielles
polares Richtnullsystem, in welchem die gemeinsamen Achsenrichtungen
nnd die gemeinsamen Achsenebenen der coaxialen ähnlichen Ellip-
soide resp. die senkrechten Normgeraden und die senkrechten Norm-
ebenen sind. Dieses spezielle polare RichtnuUsystem, welches auch
auftritt, wenn jeder Ebene des Raumes der Mittelpunkt des Kegel-
schnittes zugeordnet wird, in dem sie eine gegebene zentrische Flache
zweiter Ordnung schneidet, wurde auf Grund dieser allgemeineren De-
finition Yon Timerding^) behandelt, und Sturm^ hat auf dasselbe
zuerst hingewiesen.
Nehmen wir zwei Phasen S, S^ eines affin -yeränderlichen räum-
lichen Systems an, so entspricht einer in der Phase S befindlichen
Engel K, deren Mittelpunkt M ist, ein Ellipsoid K^ mit dem Mittel-
ponkt M^ in der Phase S^, Den drei Halbachsen Mj^A^, ^i^v -^i^i
dieses EUipsoids K^ entsprechen drei zu einander senkrechte Radien
MAy MB, MC der Kugel K. Bezeichnen wir mit r den Radius dieser
Kugel, und ist M^A^> M^B^^ M^C^, so sind die Änderungen des
Radios r in den Achsenrichtungen des EUipsoids a » M^A^ — r,
jS = M^Kj — r, y =^ M^C^ — r. Wenn diese drei Änderungen positiv
sind, dann ist a die gröfste, ß die mittlere und y die kleinste Ver-
längerung, wenn dagegen diese drei Änderungen negativ sind, dann ist
ce die kleinste, ß die mittlere und y die grölste Verkürzung. Sind
zwei dieser Änderungen positiv und ist eine negativ, oder sind zwei
1) Timerding, Über ein quadratisches Nullsy stein. Annali di Matematica
1899, Ser. m. T. U. p. 239.
2) Sturm, Liniengeometrie 1892, 1. T. S. 78.
10*
148 Kinematisch-geometriBche Theorie etc.
negativ und ist eine positiy, dann schneidet die Engel K^ wenn sie
mit ihrem Mittelponkt M nach M^ verlegt wird, das Ellipsoid K^ in
einer Raumkmre x^ vierten Grades, der auf der Kugel K in der Phase 5
eine Raumkurve x vierten Grades entspricht. Alle Eugelradien, die
von dem Mittelpunkt M nach der Raumkurve x gehen und also auf
einem Kegel zweiter Ordnung liegen, haben demnach in der Phase S^
ihre ursprüngliche Länge wieder erhalten.
Sind p^j q^ in einer Phase 5^ die beiden Scharen paralleler Ebenen,
die das Ellipsoid K^ in den beiden Kreisscharen f)^, q^ schneiden und
sind Pj q in der Phase S die beiden entsprechenden Scharen paralleler
Ebenen, so schneiden dieselben die Kugel K in den beiden entsprechen-
den Kreisscharen py q. Wenn nun einem E[reis p in der Ebene p der
Phase S ein Kreis p^ in der homologen Ebene p^ der Phase S^ ent-
spricht, so sind die entsprechenden ebenen Systeme in diesen Ebenen
ähnlich. Hiemach erhalten wir den Satz:
19. Es gid>t in je zwei Phasen eines affinrveränderliclien räunUidien
Systems je zwei entsprechende Scharen paraUder Ebenen^ in denen die
entsprechenden ebenen Systeme ähnlich sind.
Nehmen wir an, dafs die beiden Phasen S, Si unendlich nahe
sind, dann ergiebt sich:
20. In jeder Phase eines affin -veränderlichen räumlichen Systems
giebt es zwei Scharen paralleler Ebenen, in denen die ebenen Systeme
während einer unendlich Meinen Bewegung ähnlichrveränderlüA sind.
Wir wollen die Ebenen in einer Phase eines affin-veranderlichen
nLumlichen Systems, in denen sich ebene Systeme befinden, die während
einer unendlich kleinen Bewegung ähnlich-veränderlich sind, ÄhnUch-
keitsebenen nennen. Die beiden Scharen der parallelen Ahnlichkeits-
ebenen, die stets reell sind, wandern in dem bewegten affin -veränder-
lichen System, und sie vereinen sich zu einer Schar, wenn einer Kugel
in einer Phase ein Rotationsellipsoid in der unendlich nahen Phase
entspricht.
In besonderen Fällen kann eine Schar oder können beide Scharen
der Ähnlichkeitsebenen dem affin -veränderlichen »umlichen System
dauernd als Systemebenen angehöreiL Denken wir uns, um einen
solchen Fall zu betrachten, drei Punkte A, B, C eines affin veränder-
lichen räumlichen Systems auf drei Bahnen so bewegt, dab das Drei-
eck ABC beständig ein ähnlich -veränderliches bleibt und noch einen
vierten Punkt D dieses Systems, der nicht in der durch AB C gehenden
Ebene p liegt, auf einer Bahn bewegt; dann ist diese Ebene p in allen
Phasen des affin-vemnderlichen Systems eine Ähnlichkeitsebene, und
diese Ebene p nebst allen zu ihr parallelen Ebenen bilden eine Schar
Von L. BCBMESTKB. 149
der Ahnlichkeitsebenen^ die bestandig Systemebenen des afBji-veränder-
lieben räumlichen Systems sind; aber die andere Schar der Ahnlich-
keitsebenen wandert in diesem System. Wenn insbesondere das be-
wegte Dreieck ABC bestandig starr bleibt^ dann erhalten wir zwei
Scharen von parallelen Ebenen^ in denen die ebenen Systeme starr
sind und die wir Siarrheitsebenen nennen. Die Starrheitsebenen der
einen Schar sind in diesem Fall Systemebenen, die der anderen Schar
wandern in dem affin -veranderlichen räumlichen System.
Wir wollen nun noch auf einige beachtenswerte spezielle Fälle
der Bew^ungen affin-yeranderlicher räumlicher Systeme hinweisen.
Wenn ein Punkt 0 und drei durch ihn gehende^ nicht in einer Ebene
liegende Gerade Ox, Oy, O0 eines affin -veränderlichen räumlichen
Systems fest sind, dann ist die Bewegung resp. die Veränderung
desselben bestimmt durch die Bewegung eines Systempunktes P auf
einer gegebenen Bahn. Wir können die drei Geraden Ox, Oy, Oz als
Achsen eines schiefwinkligen Koordinatensystems annehmen, auf denen
die Strecken 0X = x, OT^y, OZ =^ js die Koordinaten des Punktes P
sind, und durch die Bewegung des Systempunktes P sind dann auch
die Bewegungen der Systempunkte X, Y, Z auf den festen Koordinateur
achsen Ox, Oy, Oz bestimmt. Femer ist die Bewegung eines solchen
affin -yeränderlichen räumlichen Systems auch bestimmt, wenn die
Koordinaten x, y, z als Funktionen einer yeränderlichen Gröfse, z. B.
der Zeit, bekannt sind. In diesem affin -yeränderlichen räumlichen
System sind aufser dem Punkt 0 auch die unendlich fernen Punkte
^«» ^»> ^00 ^^^ ^®^ festen Geraden Ox, Oy, Oz fest. Von diesen
unendlich fernen Punkten können auch zwei imaginär sein; dann sind
auch die beiden betreffenden festen Geraden imaginär und können als
Koordinatenachsen nicht yerwendet werden. Hiemach ergiebt sich aus
einem f&r koUinear-yeränderliche räumliche Systeme abgeleiteten Satz^)
als spezieller Fall der Satz:
21. Sind in einem affin-veränderlichen räumlidien System ein im
Endlichen liegetider Punkt 0 und drei unendlich ferne Punkte X^, Y^,
Z^ fest; dann vollziehen die Systempunkte affine Bewegungen auf ent-
sprechenden Bahnen in affinen räumlichen Systemen, für welche die vier
Punkte 0, X^, Y^, Z^ selbstentsprechende Punkte sind.
Bei dieser speziellen Bewegung eines affin -yeränderlichen räum-
lichen Systems, die wir eine einförmige Bewegung desselben nennen,
ist aber zu beachten, dals die Bahnen der Systempunkte in den drei
festen Ebenen, yon denen auch zwei imaginär sein können, sich in
1) L. Barmester, Kinematisch -geometrische Untersuchungen gesetzmäfsig-
^^eriUiderlicher Systeme. In dieser Zeitschrift 1876, Bd. 20 S. 897.
150 KinematiBcli-geometriBche Theorie etc.
afßnen ebenen Systemeu entaprechen , für welche der Punkt 0 un3
zwei der unendlich fernen Punkte X^, F^, Z^ fest sind; denn diese
affinen ebenen Systeme sind als Änsartiingen der betreffenden afiin^n
räumlichen Systeme zu betrachten. Die affin-veränderlichen Systeme
in einer festen Ebene volhiehen demnach eine chcne einförmige Be-
wegung.') Bei der einförmigen Bewegung eines affin- veränderlichen
i^umlichen Systems sind die Biihnen der Systenipunkte einer durch
den Punkt 0 gehenden Geraden homothetiseh ähnlich; denn dann gehen
die betreffenden affinen räumlichen Systeme in homothetisch ähnliche
räumliche Systeme über, derrai Ahnl ich keitsp unkt 0 ist.
In der Kry stall« graphie wird als Grundsatz angenommen, dafe
parallele Gerade in Krystallen durch gleiche Ursachen auch gleiche
Veränderungen erleiden, dal's also bei der Veränderung der Krystalle
durch Wärme parallele Gerade in denselben parallel bleiben und ihre
Richtungen im allgemeinen ändern; denmach ist diese Veränderung
eines Krystalls eine affin -veränderliche, imd in der Kryßtallographie
wird dieselbe eine homogene Veränderung genannt. Ein durch Wärme
sich verändernder Krystall bildet also ein affin -veränderliches räumliches
System und in besonderen Fällen auch ein ähnlich - veränderliches
räumliches System. Alle Beziehungen, welche bei den affin-veränder-
lichen resp. ähnlich- veränderlichen räumlichen Systemen auftreten,
finden hiemach slnngeraälse Deutung oder eventuelle Anwendung auf
die Veränderungen der Krystalle durch Wärme.
In denjenigen optisch zweiachsigen Krystallen, in denen die drei anf
einander senkrechten Hauptschwingungsrichtungen des Lichtes fSr alle
Farben zusammenfallen, bleiben diese Richtungen bei der V^eriinderung
dieser Krystalle durch Wärme stets senkrecht auf einander. Wir
können in einem aolnhen Krystall durch einen Piinkt 0 desselben drei
zu diesen Richtungen parallele Gerade Ox, Oy, Oz legen imd diesen
Punkt sowie diese Geraden als fest annehmen. Solche drei feste, auf
einander senkrechte Gerade werden die (Jiermischm ÄcMm des KrystaUs
genannt und können als Koordinatenachsen betrachtet werden.
Nehmen wir auf den thermischen Achsen Ojt, Ot/. Üs, resp. die
Punkte X, Y, Z des KrystaUs an, betrachten wir die Strecken OX'^x
OY = y, OZ = z als die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes i*
des KrystaUs, und sind femer diese Koordinaten als Fimktionen der
Temperahir experimentell ermittelt, dann ist die Bahn des Punktes P
und damit die thermische Veränderung des Krystalls als eine einförmige
Hewegung eines affin-veränderlichen räumlichen Systems bestimmt
1) Vergl L Burmesi-ar, Lehrbudi der Kinematik. 1888, Bd. 1, 8. 9U4.
Dd. 1, ». 9U4. I
Von L. BURMESTER. 151
Bei den optisch einachsigen Erystallen ist die optische Achse zu-
gleich eine thermische Achse, z. B. die Koordinatenachse Oz, und für
die Koordinaten x^ y auf den beiden anderen Koordinatenachsen Ox,
Oy sind die genannten Funktionen gleich. Die thermische Veränderung
in der Koordinatenebene Oxy ist demnach die eines ähnlich-yerander-
lichen ebenen Systems, dessen Punkte sich auf festen Geraden bewegen, die
durch den festen Punkt 0 gehen; und alle diese festen Geraden können
auch als thermische Achsen betrachtet werden. Bei den einfachbrechen-
den Krystallen sind alle drei der genannten Funktionen gleich, und die
thermische Veränderung derselben ist die eines ähnlich -veränderlichen
räumlichen Systems, dessen Punkte sich auf festen Geraden bewegen,
die durch den festen Punkt 0 gehen und als thermische Achsen an-
gesehen werden können.
Die Bahnen der Punkte eines der genannten, optisch zweiachsigen
Erystalle entsprechen sich in affinen räumlichen Systemen, für welche
der Punkt 0 und die unendlich fernen Punkte X^, F^, Z^ der ther-
00 ' 40 ' OD
mischen Achsen Ox, Oy, Oe selbstentsprechende Punkte sind; und die
abwickelbaren Flachen, welche yon den Ebenen dieses Krystalls erzeugt
werden, entsprechen sich ebenfalls in diesen affinen räumlichen Systemen.
Insbesondere entsprechen sich die Bahnen der in den thermischen
Achsenebenen befindlichen Punkte in affinen ebenen Systemen, für
welche der Punkt 0 sowie je zwei der Punkte X^, F^, Z^ selbstent-
sprechende Punkte sind, und die Kuryen, welche die Geraden in diesen
Ebenen im allgemeinen umhüllen, entsprechen sich ebenfalls in diesen
affinen ebenen Systemen. Die Bahnen der Punkte jeder durch den
Punkt 0 gehenden Geraden sind homothetisch ähnlich.
Nehmen wir an, dafs die Koordinaten eines Punktes P durch
Funktionen der Temperatur t bestimmt sind, z. B. durch die linearen
Funktionen x^ a -^ at^ y = b + ßt, z ^ c -\- yt, oder durch die all-
gemeineren Funktionen x = a + ccf{t), y = 6 + ßf{t), z =^ c + yf{t),
dann bewegt sich der Punkt P auf einer Geraden; demzufolge bewegen
sich alle Punkte des KrystaUs auf Geraden und beschreiben auf den-
selben ähnliche Punktreihen, die sich in affinen räumlichen Systemen
entsprechen, für welche die Punkte 0, X^, F^, Z^ selbstentsprechende
Pimkte sind. Femer erzeugen in diesem Fall alle Ebenen des Kry-
stalls, welche die drei Koordinatenachsen, resp. die thermischen Achsen
im Endlichen schneiden, abwickelbare Flächen, die sich in diesen affinen
raumlichen Systemen entsprechen, und yon den drei Koordinatenebenen
in Parabeln geschnitten werden; denn die in diesen Ebenen befindlichen
Geraden, welche je zwei Koordinatenachsen im Endlichen treffen,
umhüllen Parabeln, die yon diesen Koordinatenachsen berührt werden.
152 Einematiscn-geometriBche Theorie etc.
■
Die Ebenen aber^ welche zu einer Koordinatenachse parallel sind, um-
hüllen parabolische Cylinder.
Bei einem optisch einachsigen Erystall, dessen thermische resp.
optische Achse in Oz liegt, ist das ebene System in der festen Elbene
Oxy ein ähnlich -yeranderliches System, dessen Punkte ähnliche Punkt-
reihen auf Geraden beschreiben, die durch den festen Punkt 0 gehen,
und alle zu Oxy parallele resp. auf Oz senkrechte Ebenen sind
dauernde Ahnlichkeitsebenen. Alle durch die optische Achse Oz ge-
legten Ebenen sind |fest und demnach liegen die Bahnen der Punkte
eines solchen Erystalls in diesen Ebenen. Diese ebenen Bahnen ent-
sprechen eich in affinen ranmUchen Systemen, für welche der Punkt 0,
sowie der unendlich ferne Punkt Z^ der optischen Achse Oz und zwei
beliebige unendlich ferne Punkte der Ebene Oxy selbstentsprechende
Punkte sind. Femer entsprechen sich die Bahnen in jeder durch OZ^
gelegten Ebene, welche die Ebene Oxy in einer Geraden OU^
schneidet, in affinen ebenen Systemen, fdr welche die Punkte 0, {7., Z^
selbstentsprechende Punkte sind. Da jede Gerade in der Ebene Oxy
während der Bewegung ihre Richtung nicht ändert, so umhüllen die
Ebenen des Erystalls Gylinderflächen, welche der Ebene Oxy parallel
sind. Einer um den Punkt 0 beschriebenen Engel K entspricht nach
einer unendlich kleinen Änderung ein unendlich nahes Rotationsellip-
soid K\ dessen Mittelpunkt 0 ist und dessen Rotationsachse in Oz
liegt. Wenn nun, wie z. B. bei dem Ealkspath, in dieser Rotations-
achse eine Ausdehnung und senkrecht zu derselben eine Zusammen-
ziehung stattfindet, dann schneidet das Rotationsellipsoid JT' die
Eugel K in zwei Ereisen |', denen die Ereise | entsprechen, und die
Mantellinien des Rotationskegels 0|, sowie die zu denselben parallelen
Geraden sind dann momentan starre Gerade in diesem Erystall.
Hiemach ist es nicht zulässig wie F. Neumann^) folgerte: „Man
könnte aus dem Ealkspath Stäbe schneiden, deren Längen sich mit der
Temperatur nicht ändem; hier löst also eine krystallinische Substanz
ein Problem, dessen Lösung oft sehr gewünscht wird.'^ Denn dauernde
starre Gerade würden nur dann Yorhanden sein, wenn durch Beobach-
tung erkannt würde, dafs auf den thermischen Achsen OXy Oz, resp.
zwei Punkte X, Z in dem Ealkspath bei der thermischen Veränderung
konstanten Abstand haben.
Li denjenigen optisch zweiachsigen Erystallen, in welchen nur eine
Hauptschwingungsrichtung des Lichtes für alle Farben dieselbe ist,
bleiben diese Richtung und eine zu ihr senkrechte Ebene während der
1) F. Neumann, Yorlesnngen über die Theorie der Elasticität etc. 1886, S. 118.
Von L. BUBMBSTKB. 153
thermischen Veränderung beständig senkrecht aufeinander. Wir können
in einem solchen Erystall durch einen Punkt 0 desselben eine Gerade
O2 parallel zu dieser Richtung, femer durch 0 senkrecht zu ihr eine
Ebene e legen, und diese Gerade Ojs sowie diese Ebene e als fest
annehmen. Die feste Gerade Ojs ist dann in diesem Erystall die
einzige thermische Achse; denn in der festen Ebene e desselben
existieren nachweislich keine thermischen Achsen. Man könnte nun
vermuten, die thermische Yeiunderung eines solchen Erystalls sei auch
eine einförmige Bewegung eines afßn-yeränderlichen räumlichen Systems,
in welchem auTser der Geraden Os als reeller thermischer Achse noch
zwei durch den Punkt 0 gehende imaginäre Gerade in der Ebene e
als imaginäre thermische Achsen fest sind. Wenn dies durch experi-
mentelle Beobachtung und rechnerische Bestimmung bestätigt würde,
dann könnte man femer yermuten, dafs die thermische Veränderung
bei den optisch zweiachsigen Ery stallen, in welchen alle drei Haupt-
schwingnngsrichtungen des Lichtes für die yerschiedenen Farben yer-
schieden sind, ebenfalls eine einförmige Bewegung eines af&n-yeränder-
lichen räumlichen Systems sei, in dem eine Gerade sowie eine zu der-
selben nicht senkrechte Ebene und zwei in ihr liegende imaginäre
Gerade fest sind. Wenn die thermische Veränderung dieser beiden
hier zuletzt genannten Abteilungen der Erystalle sich auch dem Ge-
setze der einförmigen Bewegung affin-yeränderlicher räumlicher Systeme
fügte, und dann die Veränderungen yon drei Punkten in Bezug auf
eine feste Ebene, in welcher ein Erystallpunkt und eine durch den-
selben gehende Erystallgerade fest gelegt sind, bestimmt würden, so
wäre damit eine yollständige Einsicht in die thermischen Verände-
rungen gewonnen; denn die Aufhssung, dafs es in einem a£fin-yer-
änderlichen räumlichen System in je zwei unendlich nahen, oder end-
lich getrennten Phasen drei auf einander senkrechte, entsprechende
Gerade giebt, die aber in dem System wandern und als yeränderliche
thermische Achsen zu betrachten seien, kann die Vorstellung dieser
Veiinderungen nicht fordern.
Wir wollen noch solche einförmig bewegte affin -yeränderliche
räumliche Systeme betrachten, in welchen sich dauernde starre Gerade
befinden. In einem affin-yeiunderlichen räumlichen System nehmen wir
wieder drei auf einander senkrechte Gerade Ox, Oy, Ob als feste
Systemgerade und als Eoordinatenachsen an. Wenn nun auf diesen
Koordinatenachsen die Systempunkte X, F, Z sich so bewegen, dafs
die Strecken XZ ^ a, TZ =» h konstant sind, dann ist die Bahn des
Systempunktes P, dessen Eoordinaten OX = a:, OY^y, Oss ^ e sind,
und damit auch die einförmige Bewegung dieses affin-yeränderlichen
154 Kinematisch-geometrische Theorie etc.
räumlichen Systems bestimmt. Bezeichnen wir die Projektionen des
Systempunktes P auf die Eoordinatenebenen Oxy^ Oxjs, Oyz resp.
mit Pj, Pj, Pg, so ergiebt sich, dafs der Punkt Pj in der Ebene Oxtf
sich auf einer durch die Gleichung a^ — y^ = a^ — b* bestimmten gleich-
seitigen Hyperbel bewegt, dafs femer der Punkt P^ in der Ebene Ox:
sich auf einem um 0 mit dem Radius a beschriebenen Kreis, und der
Pimkt P3 in der Ebene Oyz auf einem um 0 mit dem Radius h be-
schriebenen Kreis bewegt. Demnach ist auch die Gerade OP^ eine
starre Gerade in dem afan- veränderlichen ebenen System in der Ebene
0x0 und femer auch die Gerade OP^ eine starre Gerade in dem a£Go-
veränderlichen ebenen System in der Ebene Oye. Denken wir uns
nun in der zu O0 senkrechten Ebene durch den Punkt Z eine EUipse
€ gegeben; deren Halbachsen ZP, — )/a* — z\ ZP^ = 1^6* — ^ sini
dann gehört der Kegel Ob zu dem affin -veränderlichen räumlichen
System und seine Mantellinien sowie alle Parallelen zu denselben sind
dauernde starre Gerade in diesem System.
Nehmen wir nun in dem affin -veränderlichen räumlichen System
die Schar coazialer ähnlicher einschaliger Hyperboloide an, für
welche der Kegel Ob gemeinsamer Asymptotenkegel und somit auch
der feste Punkt 0 gemeinsamer Mittelpunkt ist; dann wird jedes dieser
affin- veränderlichen Hyperboloide aus starren Geraden gebildet^ die
wir uns in ihren Treffpunkten gelenkig verbunden denken können.
Die Achsen dieser coaxialen ähnlichen Hyperboloide li^en in den
Koordinatenachsen Oxy Oy, Ojs] und es sind, wenn k eine Konstante be-
zeichnet, die Halbachsen des betreffenden Hyperboloids resp. gleich
k Ya^ — z^y Äj/fe* ■— z^j kz. Demnach bilden die Phasen eines jeden dieser
affin-veränderlichen Hyperboloide eine Schar konfokaler Hyperboloide.
Bei diesem einförmig bewegten affin-veränderlichen räumlichen
System fällt der Kemkegel Of, wie es die momentane Bewegung er-
giebt, mit dem Ernhüllkegel zusammen, und ist denmach der Ordnungs-
kegel des polaren Richtnullsystems für die Geschwindigkeiten, welches
beständig in allen Phasen dieses veränderlichen Systems auftritt Da jede
Gerade auf einem der coaxialen ähnlichen Hyperboloide auch in einer
Tangentialebene des Ordnungskegels Ob liegt, so sind die Geraden aller
dieser Hyperboloide normal starre Gerade. Die Bewegungsrichtungen
der Punkte einer normal starren Geraden sind senkrecht zu derselben
und die zugehörige Drehachse fallt mit ihr zusammen. Jede Tangen-
tialebene an einem der coaxialen ähnlichen Hyperboloide schneidet
dasselbe in zwei durch den Berührungspunkt gehenden normal starren
Geraden, und folglich bewegt sich der Berührungspunkt stets senk-
recht zu der Tangentialebene. Die Punkte dieser coaxialen ähnlichen
Von L. BrRMBSTBB. 155
Hyperboloide bewegen sich demnach immer auf Normalen derselben.
Diese Beziehungen ergeben sich auch unmittelbar aus dem 13. Satz.
Denken wir uns an beliebiger Stelle in dem affin-veränderlichen räum-
lichen System ein einschaliges Hyperboloid gegeben, dessen Asymptoten-
kegel dem Ordnungskegel Os kongruent und parallel zu demselben ge-
steUt ist, dann wird auch dieses affin-veränderliche Hyperboloid, dessen
bewegte Achsen zu den Koordinatenachsen parallel bleiben, aus ge-
lenkig verbunden gedachten starren Geraden gebildet, und die momen-
tanen Drehachsen dieser starren Geraden liegen in den Tangentialebenen
des jeweiligen Ordnungskegels Oe.
Wenn von jenen konstanten Strecken a > 6 ist, so wird die ver-
änderliche Strecke OZ im Maximum gleich b] dann schrumpfen mit
dem affin-veränderlichen räumlichen System die gelenkigen Hyperboloide
in der Koordinatenebene Oxe zusammen und die starren Geraden
auf denselben gehen in Tangenten an coaxialen ähnlichen Hyperbeln
über. Gelangt der Punkt Z nach 0, wird also die Strecke OZ = 0,
dami schrumpfen mit diesem System auch diese Hyperboloide in der
Koordinatenebene Oxy zusammen, und die starren Geraden gehen in
Tangenten an coaxialen ähnlichen Ellipsen über. Jedes einschalige
Hyperboloid ist hiemach ein affin-veranderliches Gebilde aus starren
Geraden, die in ihren Treffpunkten als gelenkig verbunden betrachtet
werden können.
Wenn jene beiden konstanten Strecken a, h gleich sind, ist das
ebene System in der Koordinatenebene Oxy ein ähnlich-veränderliches,
dessen Punkte sich auf Geraden bewegen, die durch den Punkt 0
gehen, und die Systempimkte, welche nicht in den Koordinatenachsen
liegen, bewegen sich in den durch Oz gelegten Ebenen auf Ellipsen,
deren Mittelpunkt 0 ist und die für die Punkte des Ordnungskegels
Oh in Kreise übergehen. In diesem speziellen Fall sind die gelenkigen
Hyperboloide in dem afifin-veränderlichen räumlichen System ßotations-
byperboloide. In schlichter Ausführung kommt das gelenkige Rotations-
hyperboloid vor als veränderliches Blumentopf- Gitter und als Winde-
fläche bei einer einstellbaren Garnwinde. Das gelenkige Hyperboloid
wurde von 0. Henrici^) erkannt und als ModeU ausgeftihrt, und auf
die affine Veränderung desselben hat F. Schur') hingewiesen.
Werden die Punkte des affin -veränderlichen räumlichen Systems
auf der Koordinatenachse Oz als fest angenommen, dann sind auch die
auf Oz senkrechten Ebenen fest, imd die Bahnen der Systempunkte
1) Katalog mathematiBcher und physikalischer Modelle etc. von W. Dyck.
1892, S. 261.
2) In dieser Zeitschrift 1899, Bd. 44, S. 62.
156 Kinematisch-geometrische Theorie. Von L. Bubmester.
liegen in diesen Ebenen^ in denen die ebenen Systeme gleiche Be-
wegungen vollziehen. Bewegen sich nun zwei Systempunkte X, Tauf
den beiden anderen Koordinatenachsen Ox^ Oy derart^ dafs die Strecke
XF=m konstant ist, dann bewegt sich der Punkt P^, dessen
Koordinaten OX, OY sind; in der Ebene Oxy auf einem am den
Punkt 0 mit dem Radius m beschriebenen Kreis; demnach sind die
Bahnen aller Punkte der Geraden OP^ konzentrische Kreise mit dem
Mittelpunkt 0; und femer sind die Bahnen der anderen Punkte dieses
affin-yeranderlichen ebenen Systems Ellipsen, die für die Punkte aof
den Koordinatenachsen in gerade Strecken fibergehen. Das ebene
System in der Ebene OgP^ ist ein starres , weil die Strecken auf Oz
und OPi konstant sind; und das gleiche gilt von dem ebenen System
in der Ebene OzP[, die mit der Koordinatenebene Oxz oder Oyz
gleiche Winkel bildet, wie die Ebene OzP^, Demnach sind die
Ebenen OzP^y OzP[ und die zu denselben parallelen Ebenen in dem
affin -veranderlichen raumlichen System Starrheitsebenen; und jener
Kegel Ob artet in diesem Fall aus in die beiden Ebenen OeP^y OzP'y
Dies ergiebt sich auch daraus, dafs einer um den Punkt 0 beschriebenen
Kugel in einer Systemphase ein Ellipsoid in einer anderen, oder in
einer unendlich nahen Systemphase entspricht, welches die Kugel in
zwei auf Oz liegenden Punkten berührt und in zwei Kreisen schneidet
Nehmen wir in diesem ähnlich -veränderlichen räumlichen System
ein hyperbolisches Paraboloid an, dessen beide Geradenscharen zu den
Starrheitsebenen OzP^y OzP[ parallel sind und dessen Hauptschnitt-
ebenen parallel zu den Koordinatenebenen oder in denselben liegen;
dann wird dieses affin-veränderliche hyperbolische Paraboloid aus starren
Geraden gebildet, die in ihren Trefi^unkten als gelenkig verbunden
betrachtet werden können. Jedes hyperbolische Paraboloid ist hiernach
ein affin -veränderliches Gebilde aus starren Geraden, die in ihren Treff-
punkten gelenkig verbindbar sind.
In diesem affin -veränderlichen räumlichen System verwandelt sicli
femer jede Fläche zweiter Ordnung, deren Kreisschnitte zu den Starr-
heitsebenen OzP^y OzP[ parallel sind, in eine solche mit denselben
Kreisschnitten. Alle diese affin-veränderlichen Flächen zweiter Ordnung,
die einem solchen affin- veränderlichen räumlichen System angehören,
wurden von A. BrilH) in Karton -Modellen ausgeführt.
1) Verlag von M. Schilling in Halle a. S., früher im Verlag von L. Brill
in Darmstadt.
Zur Ausgleichung von Polygonen u. von Dreiecksketien etc. Von L. £[süoer. 157
Zur Ansgleicliimg von Polygonen nnd von Dreiecksketten
nnd tlber die internationale Nähernngsformel für den
mittleren Winkelfehler.
Von L. Krüger in Potsdam.
Einem Antrage des Herrn A. Ferrero folgend, der durch ein von
den Herren F. R. Helmert und W. Foerster erstattetes Gutachten
unterstützt wurde, hat die Vereinigung der internationalen Erdmessung
zu Nizza 1887 den Beschlufis gefafst, dab den Berichten über den
Stand der Triangulationen der Erdmessung für jedes Dreiecksnetz der
nach der Näherungsformel 1/—^ berechnete mittlere Fehler eines
Winkels, bezw. 1/-^ f&r die Richtung, zugefügt wird, w bedeutet
den Widerspruch zwischen Rechnung und Beobachtung für die Winkel-
samme eines Dreiecks und n ist die Anzahl aller Dreiecke. Indem
man, ohne auf die Bedingungsgleichungen, die Yon den Seitenver-
hältnissen herrühren, Rücksicht zu nehmen, aus sämtlichen Winkel-
gleichungen für den Dreieckswiderspruch einen mittleren Wert her-
stellt, schlielfit man also auf den mittleren Wert der Abweichung eines
Winkels bezw. einer Richtung. Streng richtig ist bekanntlich die
Ferrerosche Formel nur für eine Kette einfach aneinander hängender
Dreiecke, in denen jeder Winkel mit gleichem Gewichte gemessen ist.
Ich werde nun im Folgenden zunächst die Ausgleichung eines
Zentralsystems geben, bei dem die Dreieckswinkel durch Winkelheoh-
achtongen Yon gleicher Genauigkeit erhalten sind; im Anschlufs daran
wird für eine, aus aneinander gereihten Zentralsystemen bestehende
Doppelkette für den mittleren Winkelfehler eine Näherungsformel ent-
wickelt, die ohne yielen Rechnungsaufwand eine etwas gröfsere An-
näherung als die Ferrerosche Formel giebt. Nachdem darauf die
Formeln zur Ausgleichung einer einfach zusammenhängenden Dreiecks-
kette, in der nach BuMungen beobachtet ist, zusammengestellt sind,
wird unter der Annahme gleicher Richtuugsgewichte die Bedingung her-
geleitet, wann die internationale Näherungsformel den mittleren Rich-
tmigsfehler der Ausgleichung genau darstellt. Unter Voraussetzung
gleichwertiger Richtungsbeobachtungen wird sodann wieder die Aus-
gleichung eines Zentralsystems ausgeführt Während hierbei aufser
den Winkelgleichungen auch die Seitengleichung in Betracht gezogen
wird, ist bei der nun folgenden Ausgleichung zweier in zwei Dreiecken
zusammenhängenden Zentralsysteme und femer bei der Ausgleichung
158
Znr Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
eines Poljgones, in dem alle Richtungen zwischen je zwei Punkten be-
obachtet sind, auf die Seitengleichungen keine Rücksicht genommen.
In letzterem Falle, wenn also in einem Polygon aufser den Seiten audi
sämäiche Diagonalen mit gleidien Gewichten beobachtet sind, giebi die
Ferrerosdie Formel genau denselben Wert für den mittleren Bichtkmgs-
fehler wie die Ausgleichung der Winkelgleichungen. Zum Schlufs wird
noch für eine aus Richtungsbeobachtungen hervorgegangene Doppel-
kette, die aus aneinandergefügten Vierecken besteht^ aus den Wiiikel-
gleichungen allein der mittlere Fehler einer Richtung entwickelt
Pig. 1.
1.
Ein Zentralsystem setze sich aus r Dreiecken P^T^P^y P^P^P^...,
P^PrPi zusammen. Fig. 1. Es wird vorausgesetzt, dafs in jedem Dreieck
die 3 Winkel mit gleichem Gewichte, = 1,
g^nessen sind Die beobachteten Winkel-
werte im tten Dreiecke PiPi^iP^ seien
Äff jB,., CJj. Die zugehörigen Winkelver-
besserungen, die die Ausgleichung des
Zentralsystems erfordert, werden durch «,,
ßi? ?{ bezeichnet. Femer sei
+ Exzefs des Dreiecks P,P,-|_iPq,
und
1
cotg A^ = a^y cotg JB^ = 6,.,
Mod
sin ^ sin ^ ... sin ^^
^ sin jB^ sin jB, . . . sin B^
rt
^ arcl"
Mod = 0,434 2945.
206264,8
Die Bedingangsgleichongen des Zentralsystems setzen sich zusammen
aus r Dreieckswinkelgleichnngen, dem Horizontabscfalufs auf P, und
der Seitengleichung um Pq:
«.- + ßi + yi=' Wo
(1)
2^' = *'
1
r
2{.-«i«(+M.-} =1-
1
(i=sl...r)
Von L Kbüokr. 159
Sind Xi, . . ., Xr4.2 die Korrelaten derselben^ so liefert die Aus-
gleichung für die Verbesserungen die nachstehenden Werte:
(2) «,. = X,. — a,.Xr-|-S, A'=X< + Mr4-27 7i^^i + ^r+l> W = l...r)
Setzt man
— a< + hi =« d,,
so hat man zur Bestimmung der x die Normalgleichungen:
r
(3) ^Ki + rXr^-i =Ä (.• = l...r)
1
r r
2'rf,X, + ^(a? + bf) ■ Xr + t = l.
1
Wird
(4)
h — ^£Wi = M, Oj + 6, = s„
r
gesetzt^ wo wie auch weiterhin die Summen von 1 bis r gehen, so er-
geben sich aus (3) die reduzierten Normalgleichungen:
3x^ + Xr + i + di ' Xr + Ä = W?,.
(5) +lrXr + ,-\2drXr + ,'U ^,^, ^,
Löst man die Gleichungen (3) oder (5) auf, so erlmlt mfm
(6) r^ (s? + ID») . X.+, =2 d,.t; + i^ (^^ + '^)-"
Aas (5) folgt f&r das Quadrat des mittleren Winkelfehlers, 3P,
(7) (r + 2).JP - ii;«.? + A «« +-i^pjf •
Ich werde nun die Ausgleichung noch in anderer Form yollziehen,
die besonders in dem Falle übersichtlicher ist, wenn das Zentralsystem
aus Richtungsbeobachtungen hervorgegangen ist. Indem man nämlich
die Seitengleichung auf eine andere Form bringt, kami man es ein-
richten, dafs die Verbesserungen aus 2 getrennten Ausgleichungen er-
halten werden, von denen die erste sich nur auf die Winkelgleichungen
160 Zar Aosgleichiing von Polygonen und von Dreiecksketien etc.
(einschliefslicli des Horizontabschlusses) und die zweite sich nur auf
die umgeformte Seitengleichung bezieht. In derselben Weise hat 6 aufs
die Seitengleichung in einem Viereck aufgestellt.^)
Addiert man die Winkelgleichungen (einschliefslich des Horizont-
abschlusses); nachdem man sie zuvor mit den yorläufig unbestimmten
Faktoren A^, A,, ... Ar+i multipliziert hat, zur Seitengleichung, so geht
diese über in:
r
(8)
1
Sind jetzt k^y k^, . . ,, K^i die Korrelaten der Winkelgleichnngen mid
ist kr^i die Korrelate der Gleichung (8), so erhalt man für die Ver-
besserungen die nachstehenden Ausdrücke:
(9) ßi-K + (b, + X,)kr^,,
y^ = Ä,. + 4^4- 1 + (A, + Ar+i)Är4-«-
Bildet man die Normalgleichungen , die den Winkelgleichungen ent-
sprechen, so erhält man:
3Ä, + tr + i + (SA, + Ar + l + d^kr^t « W^
r r
2*.- + ♦•*r + l + (^ll + rlr + l) kr + t - *,
1 1
wobei wieder
— a, + 6,. = di
ist. Werden die l nun so bestimmt , dafs
1
wird, so hängen die y erstehenden Normalgleichungen gar nicht mit
der Normalgleichung, die aus der Gleichung (8) herrorgeht, zusammen.
Die Gleichungen (10) sind gleichzeitig die Bedingungen dafür, dafs
die Summe der Quadrate der Koeffizienten der Gleichung (8) zum
Minimum wird.
(i = l...r)
1) Die Ausgleichungs-Rechnmigen der praktischen Oeometrie etc. von CU L
Gerling 1848, S. 400 bis zum SchlufB.
Von L. EbOobi. 161
Ans (10) folgt:
r r
(W) kr^,~^^d„ k, H-if^^i-
1 1
Für diese Werte der X wird also
(11) o,- = ä/ + «/', ßi =» ßi + ßi\ Vi — yi + Yif
wo o,' = ^/ = Ä-,- und yl- = l,' + i^r-f-i öÄ«n aus der Auflösung der
(r+ 1) Normalgleichungen:
(12) ^, , ^ (< = l...r)
1
herroi^hen^ während
(11») a;' = (-a, + iU)*rH.», ^;'-(6i + A.)Ä;.+», ^/'-(A, + A.+i)Ä;, + 2
durch Auflösung der der Oleichung (8) entsprechenden Normalgleichung
erhalten werden. Für diese ergiebt sich infolge (10) zunächst, wenn
man für a^j ß^j y^ die Werte aus (9) in (8) einsetzt,
r
1
and da nach (10)
r r r
3 ^^Af + rkUi + 2A,+, ^'a, + ^kidi - 0
1 11
ist:
^{a} + V, + kidiYK+t ^ L.
Führt man noch für A,- den Wert aus (10*) ein, und setzt wieder
wie vorher
j r r r
^1 1 1
so findet man endlich:
r r
(12*) i2'<^+»^>*'+»-*+rr\5''''=-'^-
1 1
r
j^(5f+8'^) ^^^ ^^ Minimum des ursprünglichen Eoeffizieaten
1
Ton Äv-h».
Femer sei bemerkt, daCs, wenn man die Seitengleichung erst auf-
Ztiuchrlft f. Mathematik u. Phyiik. 47. Band. 1908. 1. u. 8. Heft. 11
162 Zur AuBgleichung von Polygonen und von Dreieckaketten etc.
stellt, nachdem die Winkelwidersprüche bereits ausgeglichen sind, die
Konstante der Seitengleichung alsdann gleich L ist.
Die Auflösung der Normalgleichungen (12) und (12*) giebt:
(13)
Ttr + l
l^i
8«
2r
tf
2r
(|-=-l...r)
2L
^{^^+\m
Mit diesen Werten erhalt man aus (9) die von der Ausgleichung
geforderten Winkelverbesserungen.
Wenn man jetzt das mittlere Fehlerquadrat nach der Formel
r
(r + 2)M} = ^wA + Ätr + 1 + LK^t
bildet, so kommt man wieder zur GL (7).
Nimmt man, wie bei der internationalen Naherungsformel, auf die
Seitengleichung keine Rücksicht^ so ist das mittlere Fehlerquadrat einer
Winkelbeobachtung
(14)
Jf'»-
r+l
12«^ + ^«»),
= A-i2«'.»
wahrend die internationale Nähemngsformel
^^ - h2^'
giebt.
Soll die Formel (14) denselben Wert wie die Formel (7) f&r das
mittlere Fehlerquadrat ergeben, so mufs der aus (14) erhaltene Wert
Jf'« =
>^W + i^?)
sein; und soll Jlf' ^ mit dem nach der internationalen Näherungsfonnel
erhaltenen mittleren Fehlerquadrate übereinstimmen, so muÜB
^«^ = i(3*-2'«',y
sem.
Von L. Eaüobii. 163
2.
Es mögen nun 2 Zentralsysteme, von denen das eine aus r^ Drei-
ecken, das andere aus r, Dreiecken besteht, in 2 gemeinschaftlichen Drei-
ecken zusammenhangen. In jedem Dreiecke der Figur seien die 3
Winkel beobachtet. Die Ausgleichung der Winkelyerbesserungen, die
wie vorher samtlich gleiches Gewicht haben sollen, wird unter der
Voraussetzung erfolgen, dals nur die Winkelgleichungen Ar die r^-hr,— 2
Dreiecke und f&r die beiden Horizontabschlüsse, nicht aber die beiden
Seitengleichungen berücksichtigt werden.
Die Widersprüche der gemeinschafüichen Dreiecke seien ir,, «r„
80 dab die Dreieckswidersprüche des ersten Polygons i€i,to^jW^j- - -,Wr^
und die des zweiten ic^,u?i,Wr^^if - - 'jiCr^^r^-^ sind. Die Beobach-
tongswerte der Winkel am ersten Zentrum seien C7i, C,, • • •, Cr^ und
die am zweiten ^, B^y Cr^ + i, * * *, Cr^^r^—s; h^ und A, sind die zu-
gehörigen Horizontabschlüsse. Femer seien im ersten System ÄijB^]
A^y B,; • • •; Är^, Br^ und im zweiten ^, 0,; Ci, -4; -^r, + i, 5r,-|-i; • • •;
Ar^^r^-%y ^n+r,— 8 dic bcobachteteu Winkel an den Polygonseiten.
Die Verbesserungen der Winkel Aj B, C werden wieder durch a, ß, y
mit dem zugehörigen Index bezeichnet Dementsprechend hat man die
nachstehenden (r^ + r,) Winkelgleichungen:
(1) yi + y« H f- yr. =* *i
«i + A + yr.-|-l+ |-yr,+r.-»=-Ä,.
Sind ^i^'-'^iv-A+r, die Korrelaten dieser Bedingungsgleichungen, so ist
«l — ^l +*r,-fr, A "■ *2
«J - A - *3
(2) \ \ \
y> ^ *> + *»'i + ''.- U = (ri-|-l)-(ri + r.-2))
Damit gelangt man zu folgenden Normalgleichungen:
3*1 • +Är.-|.r,-l + Är,-hr. -«W^a
3t^ • • +Ä:r» + r. = M'^ü=(r»4-l)-(rt+rt-«))
*! + *!+ f-*r, +ritr,H-r,-l = Äj
11*
164 Zur Aulgleichung von Polygonen and von Dreieckaketten etc.
Setzt man
(4) K-ii^i + ^f + ^n + " + ^rd -tt,
SO erhalt man aus (3):
oder
(5)
*r.+
Da nun hier das mittlere Fehlerqnadrat eines Winkels, ohne Rücksicht
auf Seitengleichongen:
isty so hat man zunächst nach (3) und (4)
und also nach (5)
Angenähert lalst sich daf&r schreiben:
Hiemach und nach (14), 1 wird man mithin ^ - als Beitrag
eines Polygonschlussee zu der Summe der Fehlerquadrate ansehen
können«
Hat man daher eine, Jß Dreiecke enthaltende Doppelkette, die
aus q Zentndsystemen, die je in 2 Dreiecken zusammenhangen, besteht,
so daüs
*-»'i + »'> + --- + ^-"2(j-"l)
ist, so ist angenähert das Quadrat des mitteren Winkelfehlers (ohne
Rücksicht auf Seitengleichungen):
(7)
WO
*' - IFTlIil""? + Sß + ^ +
+
ai-
• I St
(l«l •«)
Von L. Kröobr. 165
ist. Wi ist die Smnme der r^ Dreieckswidersprüche des tten Zentral-
sjstems^ hi dessen Horizontabschlnls.
Beyor nun znr Ausgleicliung eines Zentralsystems unter Zugrunde-
legung Ton Richtungsb^obachtungen geschritten wird, sollen erst im
Folgenden die Formehi für eine einfach zusammenhängende und nach
Richtungen beobachtete Dreieckskette zusammengestellt werden.
3.
Eine Dreieckskette sei einfach zusammenhängend, sodafs keine
Seitengleichungen bestehen. Wenn sich nun femer die Stationsaus-
gleichungen als Tolle Sätze unabhängiger Richtungsbeobachtungen, sei
es mit gleichem oder sei es mit ungleichem Gewichte, darstellen lassen,
80 fallen die zur Kette gehörigen Normalgleichungen unter die folgende
allgemeine Form (ygL Astr. Nachr. Bd. 138, S. 153 u. f.).
(1) : ; : :
— ar-8.r-l*r-2 + ar—lr-l K — l — Or— 1 r k- ^ «'r-l
— ttr — ir ÄV — 1 + örr K ' ^ Wr -
Die a sind Eonstanten, k^ ist die Korrelate der »ten Winkelgleichung;
iTj bedeutet den Widerspruch zwischen dem berechneten, sphärischen
oder sphäroidischen, Ezzefs und der um 180^ verminderten Summe der
3 Winkel des % ten Dreiecks.
Bestimmt man ein Wertsystem: fti, fis,***, f«r-|- 1 durch die Beziehungen:
(«asl- .r)
wobei arr-\-i willkürlich ist, ebenso wie auch fij, femer fi^ gleich Null
sein soll; und setzt man weiter
80 ergeben sich aus (1) die reduzierten Normalgleichungen:
(4)
ör — 1 . r .": Ar — 1 — Or—l-r Kr
Cr-l ^ ' Mr-l
166 Zur Ansgleichnng von Polygonen und von Dreieckskeiten etc.
Das mittlere Fehlerquadiat der Gewichtseinlieit wird daher:
(5) «« = iV__ZL_.
Will man in dieser Formel nach w\^ w\^ • • • ordnen, so ist es
zunächst yorteühaft, noch ein anderes Wertsystem v^^ v^^ • • *, Vr+i ver-
mittelst der Beziehungen
(6) — ttr— | + i.r-< + 2 V^-l + Är — rf+lr-^ + lV, — Or — ^T — l+l ^, + 1 = 0
(tfaBl...r)
einzuf&hren. Dabei soll Vq ^ ^9 ^1 ^^^ ebenso Ooi willkürlich sein.
Alsdann ist
(<8Bi...r)
Hieraus folgen die Gleichungen:
1 ^ 1 f ?f^±i _ ^_llll\ ,
deren wiederholte Anwendung ergiebt:
1 ^r^JAtX ^ ^ 1
(8) '7'
«0
Mittelst der ersten der Gleichungen (8) erhält man aus (5):
Ywww '~~ ^— ^— — — — ^^— —
.» ^ — [
(9) + ftVr-jWS +- + 2fl,»,W,<fr
• •
oder
# ff* — * < _
(9*) + W8[i*l^r- 2Wi + f*,Vr-i«<^, + figVr- ««^3 + • • ' + ft^'l^'''^
Von L. Kbüoir. 167
Da nun aber aach
r
ist, wo kj^- ' 'kr lineare Funktionen der w sind, deren Olieder sym-
metriBch zu der ersten Diagonalreilie sein müssen, so schliefst man aus
(9*), dals
ao) --+i'*-+iM iti lirti i
ist Wie man sich überzeugt, geben diese k die Auflosung des Glei-
chungssystems (1) bezw. (4), wenn man die Oleicbungen (2); (ß) und
(7) berficksicbtigt Die Gleichung (9) oder (9*) labt sich noch in die
folgenden Formen bringen:
r
''"**°°5 ■ \ ■ , y!WiiVr-i + lWf + Vr-iWi + t)
"rr + tl^r + l^t^l
(11)
wobei Wq = 0 ist. Sie haben, wie auch (9) und (9*) vor (5) den
Vorteil, nur einen und denselben Nenner zu besitzen.
Stellt man das Normalgleichungssystem (1) in umgekehrter Reihen*
folge auf, indem man mit der letzten Gleichung beginnt, und bildet
man darauf mit Hilfe von (6) die reduzierten Normalgleichungen, so
gelangt man zu folgendem Ausdrucke für das mittlere Fehlerquadrat:
^ ^ ^ r^ a . ,^^v,v, '
•*»i
V — r r — rf-f-l^i^i-Hl
den man vermittelst der zweiten der Gleichungen (8) wieder in die
Gleichung (9) umwandeln kann.
Es werde nun im Besonderen angenommen, dafs die Beobachtungen
f&r die Kette derart erfolgt sind, dafs sämtliche Richtungsverbesserungen
Vk.i gleiches Gewicht, nämlich 1, haben.
Bei der einfach zusanmienhängenden Dreieckskette sind 3 Formen
za unterscheiden.
I. Die Dreiecke der Kette sind so aneinander gereiht, dafs in den
Winkelgleichungen, welche zu zwei aufeinander folgenden Dreiecken
gehören, die Verbesserungen Vki und v^a, die sich auf die beiden Drei-
168 Zxur Ausgleichung von Polygonen und von Dreieckskett^i etc.
ecken gemeinscliaftllche Seite beziehen, entgegengesetzte Vorzeichen
haben. Dies findet statt,
wenn man die Seiten
JJ j> ^y^ -pff^ ^ _. der Dreiecke, siehe
Figor 2j in demselben
Sinne dnrchjßaft und
dabei die gemeinschaft-
^ ^ liehen Seiten je zweier
zusammenhangender
Dreiecke entgegengesetzte Bew^pmgsrichtung zeigen. Alsdann ist in
den Normalgleichungen (1)
(13) ar< = 6, a/., + i = + 2
zu setzen. Die Oleichungen (2) und (6) geben damit
(14) l^i = Vi-^i
Für JVj == 1 wird JV, = 3, JV, = 8, N^^ = 21, JVg « 55, N^ = 144 u.8.w.
Die N sind von Dr. Paul Simon eingefOhrt worden bei Oelegenheit
von Gewichtsbestimmungen in einfi^hen Ketten.^)
Die Formeln f&r die Korrelaten k^ und för das mittlere Fehler-
quadrat einer Richtungsbeobachtung ergeben sich sofort aus den 61. (10),
(3), (5), (9) und (11), wenn man statt ft,-, Vr— i+i, Vr— • jetzt JV^,
Nr^i+i, Nr-i schreibt. Ordnet man dann die ÖL (9) nach der Ord-
nung der Koeffizienten, so ergiebt sich hier:
i = l ^ • = ! "^ 1 = 1 ■*"
Setzt man
rm^F^^^wJ,
und wendet man auTserdem wieder die Bezeichnung an
i
1) Gewichtsbestimmtingen fOr Seitenverhältnisse in schematischen Dreiecks-
netzen von Dr. Paul Simon. Veröffentlichung des Eönigl. Preufs. Geodätischeo
Instituts. Berlin. Druck und Verlag von F. Stankiewicz' Buchdruckerei 1889^
Von L. Ebüobb. 169
SO hat man aach
r
1
wobei Wq = 0 ist.
Soll also m)* » m* werden, so mufs
r
(17) ^{ZNiNr-i + l - Nr+l)wi + 6N,Wr-iWr-i+l]'' 0
1
sein. Löst man diese Gleichung nach Wr auf, so findet man, wenn man
berücksichtigt, daJs
r— 1
1
femer
ist:
(18) fr.«- ^-*
r — » r— 2
Z. B. wird m* =» mj- bei r = 2, wenn tr, =« (— 3 ± VS) w, , bei r ^ 3,
wenn Wj = (— 3 ± V?)«^, — fi?i ist.
Der Koeffizient von w^ ist positiv, denn es ist
Soll die Wurzel in dem Ausdruck f&r Wr reell sein, so mufs
r — 2
(19) Nr-tWi-l ^2' { (ß^'^r-i-l - Nr-^)W} + 6JV, Wr-i-,Wr-i-i }
^»1
sein.
Ist mithin diese Ungleichheit ftlr gegebene Werte von «C7i, . . ., Wr^%
erfallt, so kann man f&r jeden beliebigen reellen Wert von tVr^i nach
(18) 2 reelle Werte von tOr bestimmen, so dafs die Ferrerosche
Fonnel genau den mittleren Richtungsfehler bei einer einfach zusammen-
hangenden, aus gleichwertigen Richtungsbeobachtungen hervoigegangenen
Dreieckskette angiebt. Ist die Ungleichheit (19) nicht erfüllt, so ist
dies Ton Tomherein unmöglich. ^_j
Die Ungleichheit (19) hat z. B. statt, wenn Itt'r-i |^ ^tc?,-
ist, wie man leicht Termittelst der independenten Darstellung der N
(S. 171) erkennt; sie ist also auch erfüllt für ^,t€i = 0.
170 ^ar Ansgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
Es sei
r = 6,
dann ist
+ 110 (w^iv^ + w^ftW^e) + 126 (tt?,«;, + tv^w^) + 12iw^w^
+ 16 {wito^ + to^to^) + 18 to^Wf^
oder
6
1
TT,-«',, TTj-SfPj+TTi, TTj - 8 fP, + TT,, Tr4-21«;,+ ir„
SoU
<
werden, so mulis
6m» - i^wi - 6m^
1
±-5Vy{377[55ii;J~(8[frJ+fi;a+17[«7i+fra)-6(Tr,u;,+3ir,^
sein.
Ist nun erstens im besonderen
tc?i = — «?," tc?j «» — u?4 «= «?,
dann ist
u'« « - 3(«;, - » ± ^y {377(55«7j + 70ir«)).
In diesem Falle ist die Bedingung (19) erf&llt; welchen Wert
auch w^ haty es läTst sich stets tv^ so bestimmen, dafs m' « m^ wird.
Ist
so wird
«7
für w, - + 1,7651 IT wird «» = mj - 0,2254 w*
und für f»; - - 6,1288 w wird «»» - mj- - 1,1823 «p*.
Zweitens sei
«>! ■■ W, — tTj — »4 — w
Von L. Kbuoib. 171
akdann ist, wenn m' » !»>)• werden soU^
«;. - - 3(1^5 + » + ^V[m(5bwl - 242 fc^»)).
Um ein reelles w^ zu erhalten, muTs also
55irJ^242i(;* oder | w^ | ^ 2,098u;
sein. Nimmt man
an, so wird
«'e =- (- ¥ ± ^5^377 . 253) u;;
fttr fi?; 5,1848 w ist m* = mj- = 1,1078 «c?^
fÖr «;;-- 16,4152«; ist m« « mjt = 7,8461 irl
Setzt man aber
fOj = — 3«;,
so hat man
«'6-(+f ±^V377.253)tr;
und es ist für < ~ + 12,8152 w m*-~m)^'- 4,9230 tc*,
fBr <=+ 1,5848«» m* - mj- - 0,4309 w».
Macht man bei r — 6 die Yoraassetzung, da(s
2'«'*-o
1
ist, so lälst sich der Ausdruck für das mittlere Fehlerquadrat in die
folgende Form bringen:
6
»•* = ^2«^ - 1^[5 («1 + tri) + 2 (ui + K^) - 7 («;« + «;»)]
1
+ mi 1 25 i^i^i + M'sW'e) + 23 (w^w^ + «^^iTg) + 24 Wj^w^
— 22 (Witr^ + u?^to^) — 27 (t^iU^s + fTgtt^g) — 31 fr,ii?5
— 9 (to^to^ + Witt'e) ~" 16 («;|M^4 + ti?j Wg) — *19 M^iM'e ) .
Es soll nun aus (15) eine Naherungsformel abgeleitet werden.
Setzt man f&r den Augenblick
i(3 + V5) - 2,6180 - ^, 1» 0,1459 -A,
80 ist nach Simon, Oewichtsbest. S. 5
mtida wird
J»W 1 1 i-f{-t{ + f{+'
K+t ■ VE r+^-'-i ■ 1 - ^+>
172 Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreieckaketten etc.
Nun ist aber
/^ = 0,0212, /^« 0,0031, /•}- 0,0005,...;
die Werte des vorstehenden Ausdrucks werden daher fELr i oder 1^2
nicht sehr von einander abweichen. Nur f&r i oder Jl » 1 erhalt man
Werte, die etwa um j kleiner sind als die übrigen. Man wird deshalb
angenähert die EoefiBzienten von icf, WiWi^iy u. s. w. in der GL (15) durch
mittlere Werte ersetzen können. Vernachlässigt man dabei /^ » i^, so
wird
r j^ 2JV,^i 21/6 r r )'
19
r— S
r+1 ~y6 /"
1 ^^iK^i^i __ 1 /;
-8^ jv;
Folglich ergiebt sich aus (15) die Näherungsformel:
r— 1
rm^ = (0,224 - f 0,065)2'«'? + (0,171 - ;^0,050)2'«'-«?.+i
(15*) .-, ^ .-3
+ 0,0652w^.tr.4.2 + 0,025^ fc;,Wi4^ + • • • •
1 1
Haben sämtliche vo dasselbe Vorzeichen, so giebt die Ferrerosche
Formel rw^=^ \ ^,^^ das mittlere Fehlerquadrat zu klein, ebenso
aber auch noch, wenn die Summe der Glieder, die in 2 yersduedene
to multipliziert sind, Null ist. Wenn 2 aufeinander folgende tc ent-
gegengesetztes Vorzeichen haben, so wird die 2. Summe in (15) bezw.
(15*) negativ, die 3. positiv, die 4. negativ u. s. w. In dem besondem
Falle, dafs die w sämtlich + 1, abwechselnd +1,-1, abwechselnd
+ 1, — 1, — 1, + 1 sind, hat Herr Prof. A. Börsch eine Vei^leichung
der Werte von w* = ;r- ^irir*-- niit der Ferreroschen Formel
ausgeführt.*) '*"*
1) Das märkisch-thüringische Dreiecksnetz. Anhang: Zur Berechnang des
mittleren Bichtungsfehlers in einer Kette aneinander hängender Dreiecke. Ver-
öffenüichnng des KOnigl. Preufs. Geodätischen Instituts. Berlin, Verlag von
Julius Springer. 1889.
Von L. Kbüoss.
173
n. Die Dreieckskette kann eine solche Form haben ^ dafs die
Richtongsyerbesserangen Vh.i und Vt-k, die zn einer Seite gehören, mit
der zwei aufeinander folgende Dreiecke
zusammenhangen, sämtlich gleiches Vor-
zeichen haben. Durchlauft man die Drei-
ecksseiten einer solchen Kette in dem-
selben Sinne ; so hat man in den ge-
meinschaftlichen Seiten die gleiche
Bewegongsrichtung.
In diesem Falle ist in den Normal-
gieichungen (1)
(20) a<.f = 6, a,-./+i = — 2
m setzen. Nach den Gleichungen (2) und (6) wird daher, wenn
|ii -= Vi =» ^1 = + 1, fti = Vi « Ni gesetzt wird
(21)
und
Für die Fig. 3 ist z. B. nach Ol. (10)
110*1 = + 21 fTi- SfTj-f 31^3 - f€^,
110*^=-- Sw^ + 2Aw^- 9«, + 3fr4,
110Äi = -f- 3iri~ 9fr, -h24w, - Sw^,
110*4=-- Wi+ 3«;,- 8i€^ + 21w^
*»••== llö{21 («1 + trj) + 24(«7| + wl) - 16(i«;iU?, + w^w^ - ISw^w^
+ 6 (iTi«?, -f- iv^w^) — 2 Wiiv^ )
21 wj«
88
8-21
21-66
l|i^ I (»4 — 8tg»)* I (»4 — 3to, + 8w,)* (tg^— Sto, + 8tg, — 21tgJ«
8-8
8-21
21-55
)•
Haben je zwei auf einander folgende w entgegengesetztes Zeichen ^ so
werden alle Glieder in dem zuerst gegebenen Ausdruck für 4 m' po-
sitiv: die Ferrerosche Formel würde alsdann den mittleren Fehler zu
klein ergeben.
m. Endlich können die Dreiecke der Kette so angeordnet sein,
^ die auf die gemeinsamen Seiten je zweier Dreiecke bezüglichen
Verbesserungen teils entgegengesetztes, teils gleiches Vorzeichen haben,
oder wenn man die Dreiecksseiten in einem bestimmten Sinne durch-
lauft, in den gemeinsamen Seiten teils entgegengesetzte, teils gleiche
Fig. 4.
174 Zur Ausgleichnng von Polygonen und von Dreiecksketien etc.
Bewegangsrichtung stattfindet. Das ist z. B. bei der Fig. 4 der Fall
Stellt man für sie die Normalgleichungen auf^ so lauten diese:
6 i\ — 2 /s^ = «?i
+ 2Ai + 6Ä:,-2i4 = «?5
- 2^8 + 6*4- 2*5 «tr^
+ 2*ß + 6Äg • ^iTg,
worin Jci" -k^ die Korrelaten der Winkelgleichungen der Dreiecke
sind. Aus den Oleichungen (2) und (6) folgt zunächst, wenn /ii = Vi = ^i
gesetzt wird und ctß.i =-2, ao.i=»2 angenommen wird:
^ = +■^1, Ih'^+N^y ih^-N^y f*4=--^4, f*5 = --^5> /*6 = +-Ne, P'^^+Nj
«'i==+-^u ^i—N^f ^i ^Z7 V4=-^4; V5=+JV^; V6 = +-Ni, V7=+JV,.
Mithin ergiebt sich nach (10) als Auflösung der Normal-
gleichungen:
754jki=» + 144^1 + 55m7j— 2lw^— Sw^— Sw^+ Iw^,
754*^«+ 55 w^i + 165 M7, — 63w^, - 2Aw^- 9w^+ 3tr«,
754Ä;8=:- 21«;i- 63 «c;, + 168 fo, + 64m;4+ 24fi?5- 8w«,
754*4=-- S«;!- 24«;,+ 64 m;, + 168 1«;4 + 63fi?5- 21w^,
754*^=:- 3«?i— 9«;,+ 24 k;^ + 63 ir^ + 165 tr^ — öö«;«,
754*5=»+ l«^i+ 3i«72— 8«;,— 21 w^— 55t{;5 + 144«;«;
und daher für das mittlere Fehlerquadrat einer Kichtung:
6m* - ib { 144(fi;f + i€l) + 165(«;| + tc;J) + 168(ii;i + tvj)
+ 110(m;i«;, — w^w^) — 126 (w;,«;, -- tr4«?5) + 128 w,«;^
— 42 (Wi«;, + to^to^) — 48 (f«;2^4 — «'«^s)
— 16 («<;if^4 + u?^f^^) — 18 fi?ji(;ß
— 6 (fi?i«c;5 -«;,«?«)+ 2«;!«;«}.
Die Vorzeichen in den Normalgleichungen^ sowie in den Aus-
drücken f&r die * lassen sich auch leicht aus der Figur erkennen.
Lägen samtliche 6 Dreiecke wie in Fig. 2, so wären in den Ausdrücken
für die * die Koeffizienten der w sämtlich positiv ^ und lägen sie
wie in Fig. 3, so würden die Vorzeichen abwechselnd positiv und
negativ sein, jedoch so, dafs die Qlieder in der ersten Diagonale
positiv sind. Absolut genommen sind die Koeffizienten der w in allen
Von L. Kbüobb. 175
3 Fallen dieselben. Den vorstellenden Ansdruck för 6 m» erhält man
ans dem anf S. 170 angegebenen und für die erste Form der Kette
geltenden Werthe von 6 m», indem man dort «;,, «;^, w^ mit negativen
Zeichen einführt Die internationale Naherungsformel nimmt auf die
3 verschiedenen Formen der Kette keine Rücksicht
Wie verschieden der mittlere Richtungsfehler je nach der Form
der Dreieckskette ausMlen kann, soll an einem Beispiele gezeigt werden.
Es bezeichne für
r=6
m^ das mittlere Fehlerquadrat einer Richtung bei einer Kette der
Form I, Fig. 2, rnfj denselben Wert bei einer Kette, die unter die
Form n fallt, und wfn jenen Wert für die Fig. 4.
Ist dann
+ U;^ = — fi;, = + M;j = — M;^ = + «75 = — «>^ = «;,
SO wird
- 1 . 0,6552 w*
- i • 2,3846 w'
"Tn • »77 •*'
- A • 1,0478 w*
= 0,1092 IT»
-0,3974«;»
- 0,1746 «;»
mi- + 0",330«>
«,n_ + 0",630«;
f»in- + 0",418«7.
^ +»! = + «»,
so wird
— + Wj — — »4 — —
Wi~ — W»^W,
"HB 877'"
-i- 1,6207 w»
m» — ^ • »" «7»
"•n 6 877 *"
-{•0,8462«;»
<i~lm^
- 0,2701 w*
- 0,1410 «>»
M,- + 0",520«;
»iin- + 0",376«;
mjn- + 0",418 w,
Ist |pj_
so wird
W, — W, — «»4 — «'s —
»,-»,
"^-i- m««*
«4r - 6 • 1^«'*
"tH ""6 »77 »^
-A. 1^599«»»
-0,2100«;»
m, _ + 0",630«;
»,jj = + 0",330«;
«Im = + 0",458 «;.
und ist noch
+ tPi — + to,
ao wird
— — «7, — — «>4 — —
«'s - + «'«- w'»
«h - + 0",458 w
"•n « S77 *"
»iin = + 0'',418w
«,j„_ + 0",630«;.
Ffir alle diese Falle giebt die Ferrerosche Formel denselben Wert
ml - ä «;» - 0,1667 w»; mjr - + 0",4O8 «•.
176 Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
4.
Es soll nun zur Ausgleichung eines Zentralsystems P^P^'-Pr
mit dem Zentralpunkt P^ übergegangen werden ; wenn Yoraossetzung
ist; dafs die Beobachtungen so angeordnet sind^ dab die Resultate der
Stationsausgleichungen amtlich vollen Richtungssatzen mit (Reichen
Gewichten äquivalent sind.
Wie bereits unter 1 bei Winkelbeobachtungen gezeigt ist, wird
auch hier der Seitengleichung eine solche Form gegeben werden, isSs
sich die Ausgleichung in 2 getrennten Teilen ausftihren lafsty von d^en
der erste die Widersprüche der Winkelgleichungen, der zweite aber
den Widerspruch der Seitengleichung beseitigt. Zunächst wird nun
nachstehend die Ausgleichung der r Winkelgleichungen des Zentral-
systems erfolgen. Die dazu erforderliche Verbesserung irgend einer
Richtung PiPk werde durch Vik bezeichnet. Die Winkelgleichungen
lauten alsdann:
— Vo« + Vo 5 — W » + vi 0 — t7»'.o + vii = Wj
(1) ....
. . . .
Drückt man die Verbesserungen durch die Korrelaten der Bedingungs-
gleichungen auS; so wird
V^l — — Vi 0 — — *i +kr Vi'. 2 « — Vf'.i = — ii
Vo.2 =-— vio — — Äj 4-*! vis =- — vi.2 = — ir*
(2) ....
Vo-r— 1"" — Vr— lO"* — fc-— l + ^r— 8 t?r— Ir*" — Vr-r — l =» — fc-l
Vor — — V;.o '*»— tr +AV-1 V^i — — f;/ ,. «^ - fc,
mithin ist
Voi — — vio «= Vi'. 2 + vir = — Vii — Vri U. S. W.
Zur Bestimmung der k dienen die Gleichungen:
-2*i + 6Äi-~2A, =«;,
~2Ä| + 6*,-2i^ =«;,
(3) .
• >
— 2ÄV-S + 6ir-l — 2tr =- tfr-l
-2A, -2t,_i + 6*,-«>,.
I
Von L. Krüokb. 177
Multipliziert man die ersten r — 1 Gleichungen der Reihe nach
mit den Faktoren ^ • • * tr^i, die so bestimmt werden^ dafs
-2<i + 6^ — 2fc, =0
(4) ': \
— 2t», + 6t^_x = 2
ist^ und addiert man sie dann zur letzten, so erhält man
(6 — 2^.-1 — 2ti)kr = ^«c?i + t^tv^ H \-tOr'
Die Auflösung des Gleichungssystems (4) ergiebt aber nach (10)
unter 3, wenn man r — 1 für r und fi^ = v,- = iVi, Wj « M?r— i = 2
tt?, = fTj = • • • = fOr- j =» 0, femer ar — i . r = 2 setzt:
/;. = ^(22^,^, + 2JVi) - ^(2\r,«, + JVi), (i-i...(r-i))
wo die ^ an die Bedingung (14), 3: — -Ni+i + 3^^ — ^^-i = 0,
3^0 »0, JVj = 1 geknüpft sind. Der Koeffizient von kr geht damit
über in j^(2iV,H.i - 22V;._i - 4).
r
SteUt man die Gleichungen (3) um, z. B. ^e erste Gleichung an
den SchluJfi, so ändert sich die Form des Gleichungssystenu nicht;
man wird also in derselben Weise wie vorher kr jetzt k^ erhalten:
Setzt man für den Augenblick
(5) Nr+i-Nr-i-2^n,
80 ist die Auflösung des Gleichungssystenu (3):
2nÄ!, - iV,«;, + {Nr-i + JV^)«;, + (Nr-, + i^^to, + • • •
+ (2V, + Nr-i)v)r-l + {Ni + Nr-t)Wr
2nk, = (jyr, + Nr-x)w^ + NrWi + (Nr-l + N^)Wt + • • •
2nfc, - (2V, + iV,_,)w, + (JVi + JV;_i)«7, + JV^tr, + • • •
(6) + (jv^ + Nr-t)ivr-t + (JT, + 2\^,-,)«;,
+ NrWr-X + (Nr-l + N^)Wr
2nkr - (Jy^r_, + N^)tOi + (Jr._, + N,)w, + {Nr-, + J^,)w, +
+ {Ni + Nr-l)tOr-t + NrWr.
ZeitMhrlfl f. Mathematik a. Physik. 47. Band. 1902. 1. u. 8. Heft. 12
178 Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
Die k ergeben sich ans einander dnrch cyclische Yertaaschnng yon
Znr Kontrolle hat man:
r
Für das mittlere Fehlerqoadrat m'* einer Richtung, aus den
Winkelgleichnngen allein, wird hiemach erhalten, wenn man aoüierdem
wieder
1
setzt:
r
(Nr+t - Nr-i - 2)r(m'» - mV) - U^r-t + 1)^«»?
(7)
1
r— 1 r — t
1 1
In gleicher Weise kann man auch verfahren, wenn die Richtongs-
gewichte yerschieden sind.
Sind also samtliche w positiv, so ist in''>ni)-.
Für r =» 6 hat man zom Beispiel:
80*1 =- 18tt;i + 7m?j + 3tr, + 2«?^ + Sw^ + Tir«
80*^= TtTi + lßM?, + 7fr, + 3^4+ 2w^+ Sw^
SOk^ = 3ti7i + 7ir, + 18«?, + Itc^ + ^w^ + 2^,
SOk^ « 2m?i + 3tr, + 7«?, + ISir^ + 7i(;5 + 3«?,
80*5 = 3tt7i + 2irg + SiTj + 7u;4 + 18fr5 + ^w,
SOi, = 7iri + 3w, + 2^, + Sir^ + 7ir5 + 18ir,
and
(7*) + ir^fTg + iTj«;, + M?eii;i) + S(fv^tc^ + w^w^ + w^w^
Wäre im besonderen
so würde
und wäre
+ tt7i = + iTj = + ir, = — ir^ — — ff, =» — tr, = fr,
Von L. Krüoer. 179
SO würde
und wäre
so würde
Für alle diese Falle giebt die Ferrerosche Formel
1
6
Ist, wie bei den ersten beiden Annahmen, ^ tOj =» 0^ so lafst sich
e«*- auf die folgende Fonn bringen:
6
1
Die Formel (7*) sei noch anf das Sechseck um Wurzelberg in
der hannoversch-sächsischen Dreieckskette der Königlich Preuls. Landes-
an&ahme^) angewandt Die Widersprüche für die Dreiecke des
Polygons Wurzetberg — Petersbei^ — Hagelbei^ — Golmberg — Orolsberg —
CoUm— Leipzig— Petersberg sind der Reihe nach + 1",033, - 0",140,
-I- 1",115, + 1",262, + 0",065, - 0",909. Mithin wird, gleiche Rieh-
tungsgewichte voransgesetzt:
m'* = ^{ 18 . 4,7531 + 14 • 0,1903 + 6 • 0,0948 -f 4 • 0,2810) - 0,1873
m'-±0",433.
Nach der Näherungsformel ist mj- =» ^ • 4,7531 = 0,1320; mir - ± 0",363.
Zu einem anderen Ausdruck für das Quadrat des mittleren
Bichtungsfehlers (ohne Rücksicht auf die Seitengleichung) gelangt man,
wemi man aus den Normalgleichungen (3) die reduzierten Normal-
gleichungen bildet. Bekanntlich hat die ite reduzierte Normalgleichung
die Form:
Infolge der GL (14), 3, sowie des Ausdrucks für ir, OL (6), findet
man daher, wenn man wieder
,^. N^tPi + ^|W^f H h N{Wi «• Wi und femer
1) Die Eönigl. Preuls. Landes-Triangolation. Hauptdreiecke. Sechster Teil.
Berlin 1894. Im Selbstverlag. S. 68/69.
12*
180 Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
setzt, die folgenden reduzierten Normalgleichungen:
i i i
JCr
K - N,
Mithin eigiebt sich das mittlere Fehlerquadrat einer Richtang (aas den
Winkelgleichungen allein) aach ans der Gleichung:
(10) rm -22N;N^, + iN,iN,^,-N,_,-ty
Der Unterschied gegen das mittlere Fehlerquadrat einer Richtung, m^,
bei einer aus r Dreiecken bestehenden; einfach zusammenhangenden
DreieckskettO; wie sie Fig. 2 zeigt, ist also nach (6), 3:
(11) rifn-m)^ 2Jr>— " i^^+^-JV^,"^
Beispielsweise wird hiemach fiir r ^ 6 und für
+ 1^1 = — fo, =- + tTj = — w?^ = + «75 =. — Wg =« «;:
6(m» - m'^ = ^^, w^ « 0,055w>, d. i. etwa ^^ • 6m'«;
fllr
fttr
+ M?! — + ti;, « + m;, « — «7^ =. — M^g =» — iTg = fr:
6(w«-i»'«)«^,m;* = 0;221< d. i. etwa i • 6m'«;
6(m« - m'«) « - Ifftc?« = - 0,615117«, d i. etwa - | • 6m'«.
5.
Die Ausgleichung der Beobachtungen fOi das ZentraLsystem
PqPiP^ ' . . Pr wird sich jetzt aufser auf die' Winkelgleichungen auch
auf die Seitengleichung erstrecken. Die Voraussetzungen hierbei sind
die gleichen wie vorher. Die Verbesserung des Beobachtungswertes
fOr die Richtung PiP^ sei v^.*.
Wenn wieder wie unter 1
9"
I sin ii, Bin A^ . , . sin Ä^ -,
Mod. ^ sin B. sin B, . . . sin B^
und
cotg Ai = a„ cotg Bi = bi
gesetzt wird, so lautet die Seitengleichung in Richtungsverbesserungen:
r
Von L. Krüoeb. 181
Die Winkelgleichnngen sind:
(2) — Vi.i^t + t?,-.o — vt^io + Vi^i.i — VQ.i + Voi-i-i — «?,• = 0.
(i = 1 . . . r)
Ffir den Index r -f 1 ist sowohl in der Seitengleichnng als auch
in den Winkelgleichnngen der Index 1 zu setzen.
Wenn man in der üblichen Weise die Normalgleichnngen bildet,
so konnte man ans ihnen, unter Anwendung von (6), 4, die Korrelaten
der Winkelgleichungen eliminieren, und es bliebe alsdann nur die
Korrelate der Seitengleichung aus der letzten reduzierten Normal-
gleichung zu entwickeln. Jedoch dürfte das nachstehende Verfahren
übersichtlicher sein; vergL S. 159 u. f.
Addiert man zu (1) die mit den Faktoren ü^ ... Ar multiplizierten
Winkelgleichungen (2), so wird
r
1
+vi-«(ai — Ai) +t;2.s(a, — A,) H \-Vr.i{ar — Ar)
+ »8.l(6l + Ai) +t;5.2(6, + A,) +... + Vi.r(br + A.).
Die Korrelaten der Bedingungsgleichungen (2) seien k^ . , .kr, und s
die Korrelate der Gleichung (3) sei k] alsdann hat man
voi = + fc-i — ki + (A<_i — ki)k
Vio « — ki^i + ki + (— A,--i + Xi — fc._i — ai)k
Vi.i^i ^--ki +(— Af + ai)i
Vi+i •<=- + *•• +(Ai+6i)*,
(*=»1 . . . r)
wobei k^j k^ durch kr, kr icmd Vr.r+u <^r+ir durch Vr.iy Vi.r zu
ersetzen sind.
Wird nun
— 6r — 2«! + 2fci + 0, = — (^1
— &! — 2a, + 26j + «8 = — <^2
(5)
— 6^_2 — 2ar-i + 26r-i + ar = — tfr-i
— 6r— 1 — 2ar + 2fcr + »i = — ^^r;
2' (-«. + 60 --2'*"
1 1
182 Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
und femer
- 2Ai + 6A, - 2^3 - <y,
(6) -2A, + 6A3-2A, =(r,
• • •
— 2 Ar 8 -|- 6 Ar — 1 — 2 kr = Ör 1
gesetzt, so hängen die aus den Winkelgleichongen folgenden Normal—
gleichungen nicht mehr mit der Normalgleichong, die aus der Seiten.—
gleichung (3) hervorgeht, zusammen. Es wird also
(7) Vi.k=^vi.k+Vi.ky
wo v!.k aus den Oleichungen (2) und (6), 4 erhalten wird, währem^^^
t'o'- i == (^<— 1 — ^)i (<=» 1 . . ^ ^^^
ist.
Die Gl. (6) sind die Bedingungen dafür, dab die Summe
Quadrate der Koeffizienten der Verbesserungen in der Gl. (3)
Minimum wird. Nach (6) unter 4 ist
2(iV,+i~i^,_i-2)A,=
r— »1+1 l—l
(8) V {Nr-X+t + Ni-t)«,+x-i + V W-i + Nr+X-i)Oz (,=.1
-1
311
i = l
• r)
oder, wenn man öi unter 6r^x verstehen will,
r
(8*) 2{Nr^i - 2^._i - 2)Xi =2^ (^-^+1 + N,^^)6,.^^^^ .
i=i
Infolge der Gleichungen (6) erhält man aus der umgeforml
Seitengleichung (3) die Normalgleichung
r
(9) Gk^l+^liWi^L.
Stellt man die Seitengleichung erst auf, nachdem die ^'ulr -^1-
gleichungen bereits ausgeglichen sind, so mufs ihr konstantes GL_:S-W
gleich L sein. Für G hat man zunächst, indem man in der Gl. ^-3)
V durch die Werte von r" nach (4=*=) ersetzt.
Von L. Krüoeb. 183
r r r r
11 11
wobei wie auch weiterhin Xr-^i "* ^ und a^+i = a^ ist.
Nach (6) ist aber
r r r
1 1 1
folglich ist
r r
(10) G = 2^{al + W + 6,a,+, } -^ *'^<- •
1 1
Setzt man fSr A,- den Wert aus (8) ein^ so wird dieser Ausdrack
das Minimum des ursprünglichen, d. i. das Minimum der Summe der
Quadrate der Koeffizienten der t; in der Ol. (3) in bezug auf die L
Ftbr den ersten Teil von G kann man auch schreiben
r r
(11) •
__ j ^ 8 Bin« (A,+^ + BD + sin« (■i<+ . - B^
Der zweite TeU läfst sich, entsprechend der Überfahrung Ton
(7) in (10), 4, wie folgt umformen.
Setzt man
80 ist
(12) y«.A, = V^^-A---..+ ^r+ r-r)
1
4^ 2i^,i^,^, -^ ^N^{N,^, - iV,_i - 2)
Ist nun k aus (9) berechnet; so ergeben sich nach (4*) die Teil-
Terbessenmgen v/'a, die mit den aus (6) und (2), 4 berechneten
Werten von t?/.* zusammen, nach (7) t?^* liefern.
Bezeichnet man das aus sämtlichen Bedingungsgleichungen erhaltene
nütÜere Fehlerquadrat einer Richtung vom Gewicht 1 durch in\ so ist
(r + l)m* == rw'* + -^ ,
^0 rm'^ aus (7) oder (10), 4 zu entnehmen ist.
Fig. 5.
184 Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
6.
Ich nehme nun wieder an, dsJs die nach Richtungen beobachtete
Figur aus 2 Zentralsystemen besteht, die in 2 gemeinschaftlichen Drei-
ecken zusammenhangen. Fig. 5. Die Wider-
sprüche der Winkelgleichungen f&r die ge-
meinschaftlichen Dreiecke seien u^ und u^.
Durchläuft man die Dreiecke in jedem 2ien-
trabystem rechÜäufig, so sollen ihre Winkel-
gleichungen die folgenden Widersprüche
zeigen:
im ersten Zentralsystem:
im zweiten Zentralsystem: u^, ^ly f^iif ^ss^ -", ^2
•e-
Bei der Ausgleichung wird auf die beiden Seitengleichungen keine
Rücksicht genommen werden. Das Gewicht einer Richtui^beobach-
tung sei 1.
Die Korrelaten der Winkelgleichungen, die zu den Widersprüchen
in der angegebenen Reihenfolge gehören, seien
I; ^j ^1 if ^12? •••, ÄiT,
Die Normalgleichungen lassen sich nun wie folgt aufstellen:
,j. 6| - 2iy = ui + 2*1., -f 2*2.1,
- 2| -f 6iy = wj + 2*1.2 + 2*2...
(2)
•
Ghi
— 2*i.,-.«>i., + 2ij
•
6*,.!
-2ife,.,=w,.i+2?
-2t,.i
+6*1.,
2hi.a=u>i.,
-2*,.,
+Ut.t
— 2]c,.3=Wti
-2h.,
+6Äa.,
— 2*1.4-= tCi.»
-2ÄS.,
+6*,.,
— 2*j.4=W»J
— 2*1.^-2+6*1. r-l — 2*1. r« tri. r_l
-2*i.,_i+6*i.r . =«;i.,+ 26
Setzt man
— 2*2.^-2 + 6*2. 9-1 — 2*2.ß=«<'2 p-1
—2*2.^-1+6*2.^ . ^Wi.^-\-h
+ N9Nit€i.r^2Nr+lNiXi.l
JVijNi m-l + N^Ni Wi.2 + NiNi W1.9+" +NrNif€i.r^2Nr^iNiXi.r
Von L. Kbüosb. 185
und ebenso
'^ y • • • • • •
• • ■ • • •
■ • • • • ■
so sind nach (10)^ 3 die Auflösungen der beiden Gleichungssysteme (2),
da hier {i^ = v^^ N^ ist:
Nr^lQCi.i — Xi.i) = -Nil + Nrfl
Nr-^i{hi — xai) = Nil + Nr-ifl
(p)
Nr-^l(kr.i — Xr.i) = Nri + NiTJ Uud
Nq^iQct.^ — jcj.p) = Nil + Na'n-
Infolge dessen ergiebt sich aus (1)^ wenn man
Ml + 2xi.r + 2X2.1= TJl
t48 + 2xi.2 + 2xs.p == Uty femer
(6)
setzt:
(7)
- ^1 + Pij = Oi, oder
(P«-^«)i,-«üi + PDi.
F^hrt man diese Werte von $, 17 in (5) ein, so findet man die Werte
der übrigen Korrelaten.
Bildet man jetzt aus den Winkelgleichungen das mittlere Fehler-
quadrat der Oewichtseinheit, m^, so ist nach (5), (3), (4) und (6)
(2 + r + (>)m* = |ui + lyti, + ^kiiWi.i + ^hiW^i
(8) \ '
186 Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
Nun ist aber
(9) ^ici.iivi.i — rm'* und ^x^.iW^.i = pw"*,
1 1
wenn m'' und m"^ die mittleren Fehlerquadrate der Grewichtseinlieit
für die beiden einÜEU^hen aus r und q Dreiecken bestehenden Eett^i
bezeichnen ; die sich an die gemeinschaftlichen Dreiecke der beiden
Zentralsysteme anschliefsen. Ihre Werte kann man mit (3) und (4)
oder nach einem der unter 3 gegebenen Ausdrücke (5), (9), (11), (12),
(15) für das mittlere Fehlerquadrat berechnen.
Setzt man noch
i^(^!+^l) + g^i^«
so ist also
(8*) (2 + r + p)m« « 2m«* + rm'^ + pm"l
Angenähert ist
P^^Yö g-2
^1 == «*1 + fi^lr + M?2.l) + Ji(t€i.r-1 + t€%.^ ) +•••
f^S = <<» + ^(«^11 + ^i-o) + ^(«^12 + «?J.e-0 +*••
1 _ 3 — ya
In derselben Weise kann man auch verfahren, wenn die Richtongs-
gewichte verschieden sind. Auch wenn das Netz aus einer Anzahl an-
einander hängender Zentralsjsteme besteht, läfst sich das angegebene
VerfiEkhren anwenden.
7.
In einem Falle, abgesehen von einem einzelnen Dreiecke, giebt
bei gleichwertigen Richtimgsbeobachtungen die Ferrerosche Formel
den genauen Wert an; dann nämlich, wenn in einem Polygone sämt-
liche Verbindungslinien zwischen je 2 Punkten beobachtet sind, nnd
wenn bei der Ausgleichung auf die Seitengleichungen keine Rücksicht
genommen wird.
Wenn das Polygon ein (r + l)-Eck, P^P^P^-Pr, ist, so ist
Von L. Kbüosb. 187
die Anzahl der unabhängigen Winkelgleichungen -^ — -. .Führt man
die BeKeidmnng ein
(1) — t^»* + Vki = iikf
worin Vt.k wieder die Yerbesserang der Richtung PiPk bedeutet, so
kann man diese Anzahl wie folgt zusammensetzen
aus (r — - 1) Gleichungen: «o i + «i < — ^oi = t^i^ (<«8...r)
(2) „ (r — 2) „ : «os + fii — «o-- =- ^% (i=8...r)
„ 1 Gleichung: «o.r-i + «r-i.r — «o.r=-trJ?li.^
wf\ bedeutet den Widerspruch zwischen der berechneten und der be-
obachteten Winkelsumme im Dreieck P^PiPt; aUgemein soll ffir das
Dreieck PiP^P^
(3) tcf = tv^\ = <^
^ ' fi'V V-Ä Ä-fi
sein.
Es seien ki.%'"ki.rj ^ 8 *" Aij.r; "*; ir— i r die Korrelaten der
Gleichungen (2). Das Minimum von Uv* mit den Gleichungen (2) als
Nebenbedingungen findet abdann statt f&r:
-COI =VlO =i«0.1 = . +hi +tl.8 +tl 4 H hfcr-l+^'l r
— Co I =t;2.o =1*08 — — fe.2 +^2 8 +Ä!« 4 H h^jr— l + i^2r
IjN— «Oj =»80 =2*0 8 = — ki.z —hi-s . +^84 H h^r— 1 + ^r
* • • • • ■ • •■••
*• • • • • • ••••
— for— l"=Vr— 10 = j*0r— 1«™ — ^Ir— 1 — fer— 1 — ^r— 1 — i4r— 1 • +^.r— 1
*"^0r =t^r-0 "^f^O-r ™* — Mr — wj-r — »8r — *4-r — *" — «V— 1-r
— t^i.f =t;M =jfl.,- =*!< (f = 2...r)
/4«\ — 1;2.< =t?,-.2 =.i*2-.- =A:2i {.—3...
^ ' » m « *
Es ist daher
r = t;r.r-]
L = i^r-
Ir "■
Kr — 1 . r •
(5)
«Ol
fo 2
•
•
«0 r-
=
•
— «12
•
■
— «1 r-
+ «12
•
•
•
1 — *2 r— 1
+ «18
+ «28
•
•
— «8 r— 1
+ ••
+ •-
•
•
• + «lr-
•+ «2.r-
•
•
•
-1 + «Ir
.l+«2 r
•
•
+ «r-lr
und
(6)
£0 r
— «Ir
r
2""
— «8 r
«oa = 0.
— • •
-0.
• — «r-1
r . f
i
188 Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
Aus den Bedingongsgleichungen bilde man jetzt andere, indem man
jedesmal die (r— 1) Gleichungen addiert, die «o i; ^o 29 •• £0 r> positiv
genommen, enthalten. Setzt man hierbei fest, daTs
«< ,• = 0 tVii = 0
sein soll, so ergiebt sich das folgende Oleichungsjstem:
r
(8) reo.i— ^bq.', + ^Ci.x = ^^f\f
(« = l...r)
2»1
Nach (5) und (7) ist aber ^«,a = eo i] daher folgt aus (8),
wenn man aufserdem (6) berücksichtigt:
r
(9) (r+ l)eo.i^y tvf\ (.-1.-)
x^i
Ausführlich geschrieben ist abo:
,ox =-2.0., =2t;,.o -^-^{ . <, +«.r, +•••+<-.+<':
*o., 2ro., =2i>,.o =,-:^{-<, . +<', +-+<,_.+'^^
/Ql|c\ . • • ......
\y J ■ • • - . • . . •
*0r —/Vor =-^»^.0 =^q:^|~«^i.r —«'jr "^^S r **^r-l r *
In derselben Weise gelangt man zu Ausdrücken für
wenn man die Bedingungsgleichungen für diejenigen Dreiecke auf-
stellt, die einen Eckpunkt im Punkte P^, anstatt wie vorher im I\mkte Pq
haben. Diese Bedingungsgleichungen folgen aber aus den Gleichungen
(2) durch cyklische Yertauschung der Indices und Accente 0, 1, 2 ••• r.
Man wird daher auch die £i.,-|.i aus den «o < der Ol. (9*) durch cyk-
lische Yertauschung erhalten, und weiter £2*+9 u. s. f. durch fort-
gesetzte Yertauschung:
.,. — 2«x..-2«,,.^{-<-.r^-<-..- : W^]
Von L. Kbüobr. 189
u. s. f.
,12) «,_,., 2Vr-,.r-=2Vr.r-r = i^^[ . <-») + «,<7" + ... + ,«,('•71) J
Nach (4*) ist aber
wobei immer n > » ist; berücksichtigt man aufserdem 61. (3), so erhält
man ab Auflösimg der in gewöhnlicher Weise ans den Gl. (2) gebil-
deten Normalgleichungen:
2(r+l)t,., ^-w<^\ +tc<i\ +...+„,«_^+«,«)^ +«(0)^
2(r+l)Ä;,., — <>^ _^a,^ _^a)^ — -«-fi,., . +<
(I3)2(r+1)*,., - . «.^^ +< +•-+< +«;f', +<
2(r+l)*,.. — < +«,« +•••+< +< +wZ
2(r+l)t... =-icZ -< -«'^. — • • +<l +<,
U. 8. f.
Die l* lassen sich hiemach darstellen durch die Formel:
(13») 2(r+l)fc..= T'«;«^+2«'^>
wenn fttr n > fi
lind femer
-l". - 0
gesetzt wird.
Die w sind nicht unabhängig von einander; da es im (r + 1)-Eck
190 Zur Ansgleichuiig von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
überhaupt — ^ V g Dreiecke giebt, so giebt es mithin zwischen
den ic
(r+l)r(r— 1) __ r{r — 1) ^ r(r— l)(r — 2)
1.2-8 1-2 "* 12. 8
Bedingongsgleichungen, die man wie folgt darstellen kann:
wobei sieta il< ft < v ist
Da
ist^ so hat man auch unter den angegebenen Bedingungen:
Es sei hier noch bemerkt, daCs die Auflösung der aus (2) her-
gestellten Normalgleichungen die Jcin nicht sofort in der Form (13)
giebt; in den Ausdrücken, die man für ki.n erhält, sind die w^\^ der
Oleichungen (13) durch die Beziehungen (14) ersetzt.
Bildet man nun das mittlere Fehlerquadrat der Gewichtseinheit
vermittelst der Formel
r(r -- 1) • V^ JO) ,
12 ^ ^ 2j *^ ' ""'
SO erhält man aus (13), wenn man die Oleichungen (14) berücksichtigt:
+SiK..y+m'+-+K.rn
A»0
s
{lö) +
r — S
+2'(K-. -r+ K--)')
1^0
r— «
+
oder
(16*)
^Ki.r;
Von L. Kbüobb.
191
i die Summation so zu vollzielien ist, dafs immer
v>ii>X
Die Summe der Fehlerquadrate setzt sich also aus den Quadraten
der Widersprüche der sämtlichen ^ 23"" Dreiecke des (r+ 1)-
£ckB zusammen.
•
BeispielBweise ist fSr das Viereck nach (9*), (4*), (13) und (15):
r-3
_t,o.,-t;..o-i(-<>, + «.<^)
- »0 . j =■ »s . 0 - i (- trf , - wf\)
*!» — — »1.» = »j.i == |(+ u;|'.',
«'^^. + <.)
Diesen Wert bekommt man auch, wenn man nach 3 die mittleren
Fehlerquadrate für die 6 Kombinationen je zweier Dreiecke des Vier-
ecks bildet und dann aus ihnen das Mittel nimmt.
FOr das Fünfeck ist
r-4
m'
— «Ol '^ViO^
— «0 . S =* Vg . 0 ="
— Vo . « = Vs . 0 =^
— VO 4 = «?4 0 =
ÄTi . s = — t?! . 2 =» t?j . 1 =
Äi . 8 = — t?l • S = VS • 1 ■=
Äl 4-= — t?1^4-=t?4.i =
X^.4» — Vj.4"='t'4.f*"
Ä11.4«-» — f?8 4 "=t?4.8 =
fo(+<:
(- <:
(- <:
(+ <
(- <
(- <
0)
:j'+(u;T.,y+«.y+m
+ K..y+H\Y+W+W}-
192 Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
Aus dem Ergebnis der yorstehenden Entwicklung laM sich
schliefsen: Je grofser in einem Dreiecksnetz die Anzahl der Diagouden
ist; um so eher kann man erwarten, daCs die Ferrerosche Formel,
wenn alle Dreieckswidersprüche zu ihrer Ableitung benutzt werden,
den mittleren Fehler einer Richtung Uefert, wie er unter Yoraussetzung
gleicher Bichtungsgewichte und aus den Winkelgleichungen allein sich
ergiebt.
8.
Die Ausgleichung der Dreieckswiderspr£Lche und hier anscUieisend
die Bestimmung des mittleren Fehlerquadrats einer Richtung soll nun
noch für ein Dreiecksnetz
ausgeführt werden, das sich
aus einer Folge von Vier-
ecken zusammensetzt, die
in einer Richtung anein-
andergefügt sind, Fig. 6.
In jedem Viereck seien
aufser den Seiten auch die Diagonalen gegenseitig beobachtet Die Anord-
nung der Messungen sei wieder derart, dais sämtliche Richtungen gleiches
Gewicht haben. Wie vorher soll jedoch bei der Ausgleichung auf die
Seitengleichungen keine Rücksicht genommen werden. Das Netz bestehe
aus r Vierecken; die Anzahl der unabhängigen Winkelgleichungen ist also
3r. Die Widersprüche zwischen Rechnung und Beobachtung seien im
iten Viereck für die Dreiecke Pj.—i Pj,- Psf+i, P«.— i Pu Pti-^u
Pii^i P2.+2 P2i+i, Pf<P2.+sP2f-f 1 der Reihe nach Wii, ir.-s, ic,.»,
fVi.4, wobei fCi.i + Wi,A = Wi.ft + Wi.z ist.
Man konnte glauben, dafs man am leichtesten zu einem Ausdrucke
für das Quadrat des mittleren Richtungsfehlers gelangte, wenn man für
jedes Viereck die Winkelgleichungen in möglichst symmetrischer Form
ansetzte, also für das erste Viereck z. B.:
«1 . 2 + «2 4 — «s . 4 — «1 • s = + «'i • 1 + w'i • 4 = + tri . 2 + «^1 . 8 = Ol . 1
«1-8 — «2-8 + «2-4 — «1-4 =" — «?1 1 + tTi.j = — «;i.8 + «^14 = WiS
«1-4 — «8-4 — «28 — «1-2 = — ^^12 + «^1-4 «= — tTi-i + Wl-8 = W1.5
u. s. f. für die übrigen Vierecke.
Wie früher ist «,-.» = — t;,-. * + t?*.,- und v,-.* die Verbesserung der
Richtungsbeobachtung PiP^.
Indem man alsdann in üblicher Weise die Normalgleichungen und
weiter die reduzierten Noimalgleiehungen bildet, findet man für das
Von L. Krüorr. 193
mittlere Fehlerquadrat einer Richtung (ohne Rücksicht auf die Seiten-
gleichnngen):
3rw*«
I 1 s I 1 s I 1 s
+ni(oi l+CJl.8+4(D,.l)H|G>^2+3l6(■~2a>^.l--2(Dl.s--c^«.l + 7a>2.s)*
* • •
• ■ •
Hierin ist noch zu setzen:
Die Entwicklung scheint jedoch einfacher zu werden, wenn man
die Bedingungsgleichungen wie folgt ansetzt:
(1) ^H — lii + £si-8t-f 8 — «2» — 1.8«-|-2 ^ W'i^ (i«l ...r)
«2«- — 1-2< + 2 — «2rf4-1.8«- + 2 — ^2|-— l«f+l ~ W'i • 8 •
Sind ki.i, kiiy kii die zugehörigen Korrelaten, so lauten die Normal-
gleichungen:
+ 6*1.1 + 2^1.2 +2*1.8 «tTii
+ 2Ai.i +6*1.2 — 2*1.8 • =m;i.2
+ 2*11 —2*12 +6*1.8 — 2*21 —2*2,2 —Wi.s
— 2*^_i. 8 + 6*^.1+ 2*^.2 +2*^.8 =w^,.i
(2) -2*^_«i.8+2*^.i +6*;.. 2- 2*,,. 8 • -w^.t
+ 2kft . 1 — 2*^ .2 + 6*1, . 3 — 2*„ 4-1.1 — 2kf, + 1 . 2 = ti?« . s
— 2*r— 18 + 6*r.i + 2*r.2 +2*^-8 ^W^rl
— 2*r-.i.8+ 2*r.l +6*r.2 — 2*r.8 * =Wr.2
+ 2*r.i —2*^.2 +6*r.8 • • =«^r.S
0i«2...(r~l))
Den Bau dieser Gleichungen erkennt man leicht aus der Figur. Aus
(2) folgt:
12*r.8==-'2tr^.l + 2w,.2 + 4tl?,.8 + W?r+ll + Wr4-l-2
(3) = 2(«;,.s + Wr.4) + W1.+11 + «'r+i 2
ond
(3*) 16*r.8 = — 2W^.1 + 2«?^. 2 + 4m?^.3 = 2(trr.8 + «^ri).
Z«itaehrin f. MatbamaUk u. Phjtik. 47. Band. 1902. 1. u. 2. Heft. 13
194 Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten etc.
Damit erhält man auch leicht die übrigen A;; allgemein ist
(1 = 1 r)
+ 4(Ä;/.i — fc.j) + 4t,.s = Wi.i — Wi 8,
wobei &o.8 = 0 isi Also wird
(4) (i=l r)
16if.2 = — «?M + 3«7,-.2 + 4Ä;,_i.8+ 8^3.
I
Mithin ist, wenn man berücksichtigt, daTs w i.i + Wi.A^' Wi.i + Wi^i^
48A:i.2 = 7(ti?i.2+w^i.4)— (wi-2— «?i.s)+2(M;2.i+ir2.2>
48ft^.i=2(w7^_i.s+M?;,-a.4)+7(w?/i.i— w^O+Ctt'/i.a— WA'0--2(«^i^
"^ 48*^.2=2(w;,_i.s+«;^_i.4)+7(«;^.2+fi?^.4)+(M^^i+tr^.8)+2(w^+i.i+<^^^^
(yu=2-r — 1)
48A:r.l=2(ll7r-l.S + W^r-1.4)+7(Wr.l— M?r.4) + (trr.2 + fl?r.4)
48Ä;r.2=2(M?r-l.S.+ trr_1.4)+7(Wr.2 + W?r.4)!+(Wr.l— «?r.4).
Wenn die k bekannt sind, lassen sich leicht die Yerbessernngen
(die durch die Ausgleichung der Winkelgleichungen erhalten werden)
berechnen, z. B. ist
I
t?2i— 1»« =« +fc_i.3 — - fcrfl — ki.2f t?2i-2f— 1 = — ^ii—lif
V2i — l-2<-|-l = +fcl + fc.s, V%i^l'ii—1 = — t'2t-l-2i-fl'
u. s. w.
I
Für das mittlere Fehlerquadrat der Gewichtseinheit findet man
jetzt zunächst aus der Formel
r
1
wenn man in sie die Werte aus (4) einführt:
r r — 1
3^^' = Ä^CS«'?! + 3w^? 2 -2wi.iwr,i) + S^«., + 4«.5.
1 1
Ersetzt man weiter Kz iind kri durch die Werte aus (3) und
(3*), so ergiebt sich:
r r
(5)
+ iö y^(2wv.3 + 2w?/.4 + fr/+i 1 + «?,+ 12)*
144^
'1
Von L. Ebüqib. 195
oder
r
1
(6) '•^
1
Da aber
ist, so hat man weiter
r
•'"»* = -nr{72'(«^ » + «^ » + «^ » + «^ *)
1
r r — 1
(7) +2^{tCi.iWi.2+i€i.9f€i.4)+4:^{Wij^+Wi.4){wi^i.i+Wi^i.fi)
1 1
Für r « 1 geben die Formeln (5) und (6)
(8) m« - ^{(tTi.i + iTi.«)* + (ti;,.s + m-^y + 2(wi.t - tc^i.OM
oder da iTi.i — trij = Wi-s — tri .4 ist,
wdebe Formel sieb ans (7) unmittelbar ergiebt; vergL aucb S. 191.
Die internationale Näherungsformel nimmt nun für das mittlere
Fehlerquadrat einer Richtung in dem hier vorausgesetzten Netze den
Wert an:
r
1
Es ist mithin
r— 1
^[^^-fnf)'^^^{(Wi.z + Wi.Ay+(Wi^l.i + Wi^l.iy+^Wi.9 + Wi.^
9. »
r— 1
1
Die Formel (9) zeigt ^ dafs, wenn sämtliche w das gleiche Vor-
zeichen haben^ die internationale Näherungsformel zu kleine Werte giebt.
Ist im besonderen
13*
196 ^- d- Schnittknnre zweier kongruenten Ringfl. a. ihr Zerfallen in Kreiee.
so ist
Ist
so wird
Ist
so wird
mjr^'^tv^', m^-mlr^(^--:^fc\
mf =» jw^] w* — ml- = 0.
Und ist eDdlich noch
so ist
mi = |tr«; w^-m^- fj(l - i)tr«.
über die Schnittkarre zweier kongruenten Ringflftchen und
ihr Zerfallen in
Von C. RoDENBERG in Hannover.
Die Ringfläche, d. h. die Flache, welche durch Rotation eines
Kreises am eine beliebige Gerade seiner Ebene entsteht, wird bekanntlich
von jeder sie zweipnnktig berührenden Ebene in zwei Kreisen ge-
schnitten. Die elementaren Beweise dieses Satzes sind nicht einfach,
weshalb hier ein anderer mitgetheilt werden soll, bei dem unmittelbar
die orthogonalen Projektionen der E[reise auf eine zur Rotationsachse
senkrechte Ebene als Ellipsen erkannt werden, deren einer Brennpunkt
die Projektion der Achse ist. Aus der Oleichwertigkeit der Brenn-
punkte schlieüsen wir, dab durch jeden solchen E[reis noch eine zweite,
der ersten kongruente Ringfläche hindurchgeht, deren Achse sich in
den anderen Brennpunkt projiziert. Es ist damit nahe gelegt, die
Schnittkurve zweier kongruenten Ringflächen mit gemeinschaftUcher
mittlerer Parallelkreis -Ebene zu untersuchen und darauf die in Rede
stehende besondere Lage herzustellen.
Die aus der Verbindung beider Flächen bestehende Figur besitzt
drei zu einander senkrecht stehende Symmetrie-Ebenen, parallel zn
denen wir die Projektions- und Koordinaten -Ebenen iler xy, xe, p
stellen. Die Schnittkurve zerfallt in 3 Teile: 1) in den zur ^-Achse
Von G. BODBNBBRO.
197
senkrechten Symmeixie-Schnitt; eine Eorre 4. Ordnnng, 2) in den vier-
fach zahlenden imaginären EngelkreiS; als Doppelkurve jeder Mache,
3) in die uns beschäftigende Bestkurve von der Ordnnng 4*— 4 — 2 • 4]= 4.
Durch diese Kurve gehen drei doppelt projizierende Gylinder 2. Ord-
nung; sie ist folglich Basiskurve eines Flächenbüschels 2. Ordnung,
d^sen Polartetraeder aus den drei Symmetrie-Ebenen und der unendlich
fernen besteht Da die 4 Schnittpunkte dieser Ebene mit der Basis-
kurve auf dem Eugelkreise liegen, so enthält der Büschel eine Kugel,
deren Mittelpunkt der Ursprung 0{0' 0" 0'") ist. Die Durdischnitts-
hwrve id demnach ein sphärischer KegelschniU, welcher im Falle einer stoei-
mdigen Berührung der Flächen (auf der ah Achse) in ewei Kreise sserfaüt
Zur Erbringung eines elementaren Beweises des Erkannten seien
F{FF'F'") und F^ die Mittelpunkte der Flächen im Abstände 26,
sei i der Halbmesser ihrer Meridiane mit den Mittelpunkten K und JT^,
a der Halbmesser FK= F^K^ der Kreise, welche von K und K^ bei
der Erzeugung der Flächen beschrieben werden. — Eine zur Kon-
struktion von Kurvenpunkten in der Höhe e gelegte Ebene schneidet
jede Fläche in zwei Kreisen von den Halbmessern a -f j> und a — p
{j^^V — g*). Die Schnittpunkte gleichgrofser Kreise liegen in der
Symmetrie-Ebene senkrecht zur o;- Achse, sie scheiden aus der Be-
iiachtung aus, aber für die anderen, die Punkte P unserer Kurve ist
P'JF' + P'F;^ ^(a+p) + (a-p) = 2a
d. h. ihr Gfrundrils ist eine Ellipse, welche F'F'^ zu Brennpunkten hat
und deren grofse Achse gleich dem Durchmesser des vom Meridian-
198 Über die Schnittkurve zweier kongruenten Bingfl. etc. Von C. Rodkjcbsbc.
Mittelpankte beschriebenen Kreises, also ganz unabhängig von der
Entfernung der Rotationsachsen ist.
Wir denken hierbei nur an reelle SchnittkurveU; setzen also
voraus, dafs e ^ a ist; ist 6 > a, so wird die Projektion zwar eine reelle
Hyperbel mit der reellen Achse 2a j aber die Raumkurve wird ima-
ginär.
Zur Ermittelung des Abstandes OP ^ q gehen wir aus von der
Länge seiner Horizontalprojektion r= O'P'^ oder besser seines Qua-
drates. Es ist för P'(Xj y):
{x — ey + y^ = (ö — py
{x + ey + y^=(a+py
d. h.
x^ + y* = r^ = d^ — e* + p\
folglich
a:* + y* + ^* = 9* -= a' - c' + k\
Die Kurve liegt also auf einer Kugel vom Halbmesser
p = -j/a« - e* + *»,
und ergiebt sich als deren Durchschnitt mit dem zur GrundriJsebeQe
senkrechten Gylinder
a*^ a*-e* ^'
Wird nun e = Ä, so wird Q == a, die beiden Flächen berühren sich
doppelt und die Kurve zerfallt in zwei Kreise vom Halbmesser a,
die Wechselschnitte des Gylinders. Der Neigungswinkel a ihrer Ebenen
gegen die Horizontale ist gegeben durch cos a = ± ~
Es möge noch der Flächenbüschel
mit seinen vier Kegeln betrachtet werden.
Für A « + «^ ergiebt sich der hyperbolische Cylinder senkrecht
zur Seitenebene yz:
y ^1 9
für il = o* — c* der elliptische Cylinder senkrecht zur Aufrifeebene xs
X* . «•
{ak : «)• + P ^ -^ '
endlich für A = o' — c* + *' der vierte „Kegel" mit dem Scheitel 0:
^1 y' 4- ^« - 0
a»:(e«-Ä;>) (a* — O •' *' ""
über die Schnittpunkte einer Ellipse etc. Von C. Rodenbkro. 199
Wird nun wieder e^Jc, so zerfallen dieser Eegel und der hyper-
bolische Cylinder in das Ebenenpaar
z k ,
welches die oben gefundenen Kreise enthält.
Der Eegel wird andererseits zum Rotationskegel, wenn seine
Gleichung zwei gleiche Koeffizienten aufweist. Sei
a^:(e^-k^ (a» - e«) : *» oder ß*(a*- e* + A;*) = 0.
Das Verschwinden des zweiten Faktors macht den Kegel zur Null-
kugel X* + y' + ^* = 0, die Basiskurve ist imaginär. Für c = 0 rücken
die Flächen einander unendlich nahe, der Kegel wird zum reellen Rota-
tionskegel
a*^ a^ k* ^'
welcher die Berührungskreise der beiden Doppeltangential-Ebenen e===^±k
enthält, und es ist auch leicht zu übersehen, dafs im GrenzfaUe die
Schnittkurre in diese beiden Kreise zerfällt, ebenso, dafs in keinem
anderen Falle ein reeller Rotationskegel durch die Kurve hindurch-
gehen kann.
Über die Schnittpunkte
einer Ellipse mit einer ilir coaxialen Ellipse oder Hyperbel.
Von C. RoDENBERG in Hannover.
Behufs Bestimmung dieser Punkte führt man durch affine Ver-
wandlung der Figur die Ellipse in einen dem bleibenden Kegelschnitt
konzentrischen Kreis über, schneidet beide Kurven mit einander und
kehrt wieder zur ursprünglichen Figur zurück. In der Weise ist die
Au%abe für zwei Ellipsen in den Lehrbüchern der „Darstellenden Greo-
meirie'^ von Wiener Bd. U. S. 279, Peschka Bd. HI. S. 621, Rohn
u. Papperitz Bd. I, erste Auflage, § 29 gelost worden. Die folgende
Losung der reduzierten Aufgabe führt auf die Längen der Radien-
Tektoren aus den Brennpunkten, welche zu den Schnittpunkten
gehören.
In der vorstehenden Note ist für das Quadrat r' der Entfernung
eines Ellipsenpunktes vom Mittelpunkt der Ausdruck
r* = a* — e* + p*
200
Ober die Schnittpunkte einer Ellipse etc. Von C. Rodbnbebg.
gefunden worden, worin a und e wie üblich, die halbe H&uptachse
und Exzentrizität; a + p und a — p die Entfernungen des Punktes von
den Brennpunkten sind. Ist r als Halbmesser des yorli^enden Kreises
gegeben, so folgt
|,« = r» - (a« - e*) = r« - 6«.
Man bilde daher (Fig. 1) aus der halben Nebenachse OC ^ b als
Kathete, und CD = r als Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck, dann
ist dessen zweite Kathete OD =p und femer DB^=a^p, DA = a+p.
Fig. 1.
Flg. 2,
ß' A
0
3 F HB
Die Kreise mit diesen Radien um die Brennpunkte F und Fy^ be-
schrieben, schneiden sich in den gesuchten Punkten; aber es bedarf
nur der Verzeichnung der beiden Kreise mit einem der Radien, da
schon der gegebene Ej-eis um 0 die Punkte dann ausschneidet.
Liegt (Fig. 2) eine Hyperbel vor, so bleibt der Ausdruck für r*
ganz ungeändert, da nur Quadrate auftreten, es ist aber a^ — (? jetzt
negativ. Wir schreiben daher
p^^r^^ (e« - a«) = r« + h\
wo h =^ BG ^ HC die imaginäre Achse der Hyperbel ist. In dem zu
bildenden rechtwinkligen Dreieck OCH sind dann 0H= r und HG^h
Katheten, OC = p= OD ist Hypotenuse geworden und die Kreise
mit den Halbmessern BD = j> — a und ÄD = p + o um F und Fi
beschrieben (einer von ihnen reicht wieder aus) bestimmen die ge-
suchten Punkte.
Hydrodynamische Untersuch, fib. d. Wirbelbewegungen etc. Von E. Zkbmelo. 201
Hydrodynamische üntersiicliimgen
über die Wirbelbewegungen in einer Kngelfläcbe.
Von E. Zermelo in Göttingen.
(Erste Mitteilung.)
Die hier yorliegende Arbeit versucht es, die Strömung einer in-
kompressibeleU; reibungslosen (zweidimensionalen) Flüssigkeit in einer
Eogelfläche einer ebenso systematischen Theorie zu unterwerfen, wie
sie fOr ebene Strömungen bereits existier^ und namentlich in Poin-
car^s ^Th^orie des tourbillons'^ (1893) £emlich vollständig dargestellt
ist. Eine solche Untersuchung ist schon an und für sich von geome-
trischem Interesse, zfänial sich auf der Kugel vieles im Endlichen ab-
spielt, was in der Ebene oft im Unendlichen wenigstens ffir die An-
schauung verloren geht. Sodann ist es nicht unmöglich, dafs es auf
di^m^Wege auch gelmgen könnte, über manche Vorgänge bei der
Fortpflanzung der atmosphärischen Cyklonen, sowie der Meeres-
strömungen, soweit sie das Erdganze betreffen und soweit die
Yertikalkomponente der Strömung ge^J^die Horizontalkomponenten
vemachlässigt werden kann, einigten A^scmu^ zu erhalten. Freilich
ist dieser geophysikalische GresTchtspunkt, der mir die erste Anregung
zu dieser Arbeit gegeben hat, bei der weiteren Durchführung gegenüber
den rein geometrisch -analytischen Problemen und Methoden mehr
in den Hintei^rund getreten. Dabei ist es mein Bestreben gewesen,
die Darstellung möglichst einheitlich und unabhängig von fremS^"^
artiffen^oraussetzungen zu gestalten. Der ganzen Entwickelung liegen
ansscfinelblich die hydrodynamischen Hauptgleichungen in orthogonalen
Flächenkoordinaten zu gründe, die gleich im Anfange eingeführt^w^rden,
und alle von^mir gegebenen litterarischen Gitate dienen lediglich als
Qudlennachweis oder zur Vergleichung.
Unter diesem Gesichtspunkte ist die von Kirchhoff zuerst auf das
Problem angewandte stereographische Abbildung der Kugel auf die Ebene
hier nur beiJ&ufig benutzt worden, obwohl sich mit ihrer! Hufe verschie-
dene E^enschaften der Ebene auf die Kugel übertragen lassen, die bei mir
direkt hergeleitet werden (cf. Lamb Hydrodynamics p. 114, p. 253).
Diese Methode der Abbildung ist hier eben keine prinzipielle, sondern
nur von beschränkter Anwendbarkeit; sie bezieht sich nur auf das je-
weihge momentane Vektorfeld, aber nicht auch auf die Bewegung der
Wirbel, auf den zeitlichen Verlauf der Erscheinung. So ist namentlich
das Problem der stationären Strömung (H § 4) durchaus nicht durch
202 Hydrodyn. Untersuchungen üb. d. Wirbelbewegungen in einer KugeMäche.
^^ Abbildang zu lösen^ und vollends das „Gleichgewiclitsprobleni" der
^ Strudel (K. III §§ 6 u. 7) hat in der Ebene überhaupt kein Analogon.
— Aus demselben Grunde ist auch auf die elektromagnetische Deutung
hier keine Kücksicht genommen. Diese Analogie gilt nur in Bezug
auf mögliche Strömungszustände^ nicht auf ihre zeitliche Veränderung,
die yielmehr der Hydrodynamik ganz charakteristisch ist ^ ^^
Der Kern der hier yerwendeten Methode ist in dem Begriffe des
^^einfachen Strudels" zu suchen (cf. 11 § 2): d. h. eines isolierten
Strudelpunktes bei konstanter (yon 0 verschiedener) Wirbeldichte
(Gurl) auf der ganzen übrigen Kugel, während die früheren Autoren
meines Wissens immer nur Strudelpunkte (unendlich ounne Wirbel) in
sonst wirbelfreier Flüssigkeit betrachtet hatten. Auf diesem B^riffe
rufien fast alle weiteren Entwickelungen ,. und- verdanken ihm ihre
zwangtose Formulierung bei Vermeidung störender Nebenbedingongen.
Das im letzten Kapitel behandelte „Problem der drei Strudel" ab
eine spezielle Anwendung der vorausgehenden allgemeinen Theorie
dürfte namentlich interessieren durch eine gewisse formale Analogie
mit dem Kreiselproblem und eine geometrische mit dem astronomischen
„Dreikörperproblem"
Kapitel I.
Die Flüssigkeitsbewegung auf einer beliebigen Fläche.
§ L Die GrundgXeiohungen in Gaufssohen Koordinaten.
Sind u und t; krummlinige Koordinaten auf einer gegebenen Fläche
und JS, F^ G die bekannten Gaufsschen Fundamentalgrölsen, so ist
der Ausdruck für das Quadrat des Linienelementes
ds^ = Edu} + 2Fdudv + Gdv^
und daher die lebendige £[raft eines Punktes von der Masse m, welcher
sich auf der Flache bewegt:
T= ^2^ _ ""'rEu'^ + 2Fu'v + Gv'%
wenn u\ v' die nach der Zeit t genommenen Ableitungen von w, v be-
deuten. Ist ferner m O das Potential der wirkenden Kräfte, so nehmen
die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen (zweiter Art) für unseren
Fall die Form an
dt^ ' ^ 2\du ^ du ' <7u / du
Von E. Zebmelo. 203
Wählt man orthogonale Koordinaten u, Vy so wird i^^^O und man
kann setzen:
i; = A G = ±
also
Dann werden
- u' , - v'
die wahren Geschwindigkeitskomponenten in der Richtung der Koor-
dinaten Uy V, also:
(a) ti' = ^=I75, t;'=^f= Ft^,
und unsere Bewegungsgleichungen werden:
. d«WJ"^ craw "^ Fa« "■ au'
'^ ^ . ä^(v\,ü*dü.v*dv af
ä«\F/ '^'ü dv ■*" F~at? a»'
Da nun aber
d /Ü\ 1 du Ü /du rrr: i ^ ^ tr-
Tt
d
d
/ü\ 1 du ü/düjj-, dü-f.~\
l /v\ 1 dv V (dV jj- , dV.^\
so kann man den Gleichungen (1) auch die Form geben:
(2) **' ^"
<*« I -TI7- Tr^*
wenn
^ Vdü- üdV-
CZc'ö Fau
gesetzt wird.
Diese Differentialgleichungen gelten zunächst nur fttr einen einzigen
materiellen Punkt m. Sie behalten aber ihre Form^ wenn man zu
einer kontinuierlichen Verteilung von Massenpunkten auf der Fläche^
d. h. zu einer reibungslosen zweidimensionalen Flüssigkeit übergeht.
Nur hat dann an SteUe von m die yariable Flächendichte k zu treten,
und das auf die Flächeneinheit bezogene Potential der Massenkräfte
^^ ist noch um eine Funktion p=l>(t«, i;) des Ortes auf der Fläche
zu TermehreU; welche Ton der gegenseitigen Beeinflussung der materiellen
Punkte herrührt und der Druck der Flüssigkeit genannt wird; pds ist
dann immer die auf das Linienelement ds normal wirkend^ Kraft. Be-
204 Hydrodyn. Untersuchnngeii üb. d. Wirbelbewegungen in einer Kngdfläche.
merkt sei nur noch^ dafs wir gleichfalls zu den aufgestellten Grond-
gleichungen gelangen, wenn wir die Strömung ein^r dreidimensionalen
Flüssigkeit längs eines Systems von Parallelflachen betrachten und
dann die Entfernung der beiden Grenzflächen; also die Dicke der Flüs-
sigkeitsschicht an der Grenze null werden lassen. — Ist nun der Drack,
wie im Folgenden yorausgesetzt werden soll, eine Funktion der Dichte
h allein, so können wir setzen
/
y = P (die „Druckfunktion"),
also
icd^ du^ kdv dv •
und die Differentialgleichungen (1), (2) gelten auch fUr unsere Flüssigkeit
wenn wir setzen:
* = P+*i,
wo Ol die wahre Potentialfunktion der Massenkräfte, bezogen auf die
Masseneinheit, bedeutet.
Bisher haben wir nur die zeitliche Veränderung der Geschwindig-
keitskomponenten ^- , , durch die Potentialverteilung 0 und die Ge-
schwindigkeiten ü, V selbst ausgedrückt Wir können aber auch die 6e-
jk — ^ —
schwindigkeitsveränderung ^ , a- an einer bestimmten Stelle u, v der
Fläche einführen, indem wir die Beziehungen benutzen
(b)
du du , -ri^u , -TT-^t*
dt et du ' ^«^ / i. / NN
dv dv , -rrdv , -frOV ^ ^ ^^'
dt dt du ^ dv
und erhalten so aus (2)
Berücksichtigt man hier, dafs
du ^ du ^ du^ ' ^ * (TM '
und setzt weiter:
W 2,-trr(f.(i)-,l(|))
Von E. Zebmklo. 205
{q ist die Rotation um die Mächennormale, der „Curl^' oder die „Wirbel*
dichte'^ cf. § 2), so kommt schliefslich:
(3)
Satz: Die sseiÜiche Veränderung des Geschwindigkeitsvektors an einer
SteUe der Fläche setzt sich msammen aus zwei Komponenten, deren eine
gleich dem doppelten Produkt aus der Wirbeldichte g und der Geschunn-
digkeit ist und auf der Geschunndigheitsrichtung senkrecht stdvtj und deren
andere an BicUung und GrSfse gleich dem Gefälle der Funktion % ist,
die sich additiv eusammensetet aus dem halben Geschunndigkeitsquadrate
der Druckfunktion P und event. der Potentialfunktion 0^ der wirkenden
Massenkräfte.
(Deu Spezialfall fOr die Ebene (U^l, F» 1) vei^l. bei Lamb,
Hydrodynamics p. 226.)
§ 2. Der MasBenflufa und die Inkompresaibilit&t.
unter dem ^^assenflufs^ K^ durch ein gegebenes Kunrenatück S
Terstehen wir bei stationaa^er Strömung die Gesamtmasse der Flüssigkeit,
welche in der Zeiteinheit das Kurrenstück in einem bestimmten Sinne
durchströmt. Ist die Strömung nicht gerade stationär, so haben wir
die in der Zeit t durchströmende Masse durch t zu dividieren und fflr
r — O zur Ghrenze überzugehen. So erhalten wir den Ausdruck
(») Kd^fkq^ds,
wenn das Integral über das Eurvenstück S mit der variablen Bogen-
länge s erstreckt wird und q^ die Geschwindigkeitskomponente in der
positiv gerechneten Normalen n der Kurve bezeichnet. In unseren or-
thogonalen Koordinaten u, v ist aber
/i \ V du ü dv
^ ^ *" ■" üde "" Vis '
und damit diese Gleichung auch das Vorzeichen von q^ immer richtig
bestimmi^ wollen wir im Folgenden immer als „positive'^ Kurvennormale
diejenige Richtung (in der Tangentialebene der Flache) bezeichnen,
welche zur Fortschreitungsrichtung ds auf der Kurve ebenso liegt^ wie
die r-Richtung zur u-Richtung, also nach links, wenn wir, von einer
bestimmten Seite auf die Fläche blickend, das uv- Koordinatensystem
ebenso zeichnen wollen wie in der Ebene gewöhnlich das a;y- System.
206 Hydrodyn. Untersnchungen üb. d. Wirbelbewegungen in einer KugelflSche.
Es wird also immer:
(«)
(c) Kfg^Jk (-^dt* -ydv),
wobei aber auch der Sinn angegeben werden mofS; in welchem S
durchlaufen werden soll.
Besonders wichtig ist der Fall, wo die Kurve (£ geschlossen ist,
ohne sich selbst zu durchschneiden, und ein endliches Flachenstück C
so einschliefst, dafs die positive (linke) Normale immer nach innen
weist; wir sagen dann, die Begrenzung von C werde „im positiven
Sinne" durchlaufen. Dann ist K =^ K^ der Gesamtbetrag der in der
Zeiteinheit in das Flächenstück C einströmenden Masse, also auf ßrund
des Prinzips der Eonstanz der Materie gleich der gesamten zeitUchen
Massenvermehrung in C, d. h. gleich dem F^<^henintegrale
fdk, _ rdhdudv
J dt^^'^J dt UV
wenn mit d6 das Flachenelement bezeichnet wird.
Nun läfst sich aber das Linienintegral K auch rein formal in ein
Flächenintegral verwandeln:
Setzen wir diesen Ausdruck für K gleich dem eben gefundenen für
die Massenvermehrung, so wird
und zwar für ein ganz beliebiges Flächenstück C, also mufs auch der
Integrandus verschwinden, und wir erhalten die sogen. „Kontinnitats-
bedingung":
welche als dritte Grundgleichung zu jedem der Gleichungspaare (l)?
(2) oder (3) in § 1 hinzuzuziehen ist.
Für eine „homogene und inkompressibele" Flüssigkeit ist nun i
der Definition nach in Baum und Zeit konstant und zwar, wie wir an-
nehmen wollen, = 1, und wir gewinnen aus (2) die „Inkompressibilitats-
bedingung''
p) Ä(v)+,i(a-°-
Von E. Zbrmklo. 207
In diesem Falle ist fSr jede geschlossene Kurve S das Integral
it. -/(s ?„• - 4-) - 0
und daher fQr jedes o/f(9ne Eurvenstück @ =» JLJB der Massenflufs K^
ganz unabhängig von der Gestalt des Verbindungsweges zwischen A
and Bf so data wir ein&ch von dem Massenflufs K= Kab ;;Zwischen
Ä und JB^ oder „von A nach JB'' reden können.
Wählen wir daher einen beliebigen festen Punkt 0 unserer Fläche
zum Anfangspunkt; so hat fär jeden anderen Flächenpunkt P^zP(u, v)
unser Integral
(J)
(la) Kop = / («^ -^ - «* 1^) = t{% t;)
(0)
einen ganz bestimmten nur von den Koordinaten u, v von P abhängigen
Wert, den wir als die yyStromfunktionf^ ^(m, v) im Punkte P bezeichnen
wollen. Bei einer Veränderung des Anfangspunktes 0 ändert sich diese
Funktion offenbar nur um eine additive Konstante. Die partiellen
Ableitungen der Stromfunktion sind dann gegeben durch:
dtff V dip u ,
(4)
du~ü' dv~ V **•**'
5_ F^*-, v-+ul'*
CV ^ du
und daher;
(4a)
dt ^" ^'^dv'
dt" ' ""^^ ^ ' du
Die ganze Geschwindigkeitsverteilung ist also vollständig bestimmt
durch die einzige Funktion ^(u, v)^ wodurch alle Untersuchungen
über inkompressible Flüssigkeiten in der Fläche wesentlich vereinfacht
werden.
Auf den Kurven ^ = const ist nach der Definition (la) von
K=^^(u, t?) überall ff„ = 0, d. h. die Geschwindigkeit tangential ge-
richtet; sie werden als „Stromlinien'' bezeichnet.
Die absolute Eindeutigkeit und Stetigkeit der Stromfunktion ^ ist
die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dafs die Flüssigkeit
auf unserer Fläche inkompressibel und in sich abgeschlossen ist. Die
ninkompressibilitäts- Bedingung'' (3) dagegen bezieht sich nur auf die
regulären Punkte und kann an Stellen, wo die Geschwindigkeit unstetig,
«• B. unendlich wird, oder eine der Gröfsen ?7, V verschwindet, ihre
208 Hydrodyn. Untersuchungen üb. d. Wirbelbewegungen in einer Kngelfläche.
Bedeutung yerlieren. Ist dies etwa in einem einzelnen Punkt P^ der
Fall; während sonst überall die Bedingung (3) erf&llt ist, so hatte
zwar der Massenfiufs Kc, wo C eine beliebige, P^ einschliefsende ge-
schlossene Kurve sein kann, einen bestimmten von der Gestalt Ton C
unabhängigen Wert, dieser könnte aber von Null verschieden sein und
würde dann die Masseneinstromung in diesen Punkt P^ angeben; es
wäre ein „QueUpunkt^' oder ein „Senkpunkf' (oder „Abflufspunkt^, je
nachdem Kc negativ oder positiv wäre, und ein Yerzweigungspankt
der Stromfunktion. Doch wollen wir im Folgenden solche Fälle ans*
schlielBen und uns auf den Fall einer absolut eindeutigen Stromfanktion
beschränken.
§ 3. Die Zirkulation und das Wirbelmoment.
Das GtosohwindigkeitspotentiaL
Ebenso wie im vorigen Paragraphen das Integral K^Jlcq^dsh^-
trachten wir jetzt das Integral
2B^^Jq,ds,
wo qt die Öeschwindigkeitskomponente in der Richtung ds bezeichnet,
und zwar nehmen wir sogleich den Fall, wo @ eine geschlossene, sich
selbst nicht schneidende Kurve ist und in positivem Sinne durchlaufen
wird. Dann wird das Integral die ,yZirkulation in der Kurve S'' ge-
nannt. Es ist aber
.V ü du .V dv
W ?• - CT 51 "•" vTs >
also wird:
(1) 2B, =/«.ds =j-(|rf« + \d^ -jflU^ -Ul)]'-'' -ß''''
wenn C das von S eingeschlossene Flächenstück mit dem Flachen-
Clement d6 bezeichnet und
« 2«-£"'(sl(f):-Ä(l))
gesetzt wird.
B^^fgdö wird auch das „Wirbelmoment von C^ und q die
„Wirbeldichte^ im Punkt u, v genannt, die letztere ist nichts anderes
als die Rotationskomponente des Flüssigkeitsteilchens um die Flächen-
normale als Achse. Der Ausdruck ist bereits im ersten Paragraphen
((c) p. 204) zur Vereinfachung der Gleichungen (3) eingeführt worden.
Aus der Definition (a) und der Relation (1) ergiebt sich ohne weiteres
Von E. Zbrmelo. 209
Satz I. Das Wirheimoment eines Flächenstückes ist gleich der
Summe der Wirbelmomente seiner Teüe,
(Vorausgesetzt ist dabei, dafs in den Teilkurven selbst die Ge-
schwindigkeit keinen Sprung erleidet. Solche Diskontinuitatskurven
müfste man durch Festsetzung entweder ganz zu der einen oder ganz
zu der anderen Seite rechnen.)
Satz II. D(is gesamte Wirheimoment einer geschlossenen. Fläche
ist nuU.
Denn hier kann man die Kurre @ auf einen einzigen (nicht
singularen) Punkt zusammenziehen.
Es kann vorkommen, dafs innerhalb eines einfach zusammen-
hängenden Flachenstückes F die Zirkulation durch jede geschlossene
Kurve, also das Wirbelmoment jedes Flächenstückes in F den Wert
Null hat und demgemäfs auch die Wirbeldichte q allenthalben ver-
schwindet.
In diesem Falle hat das Integral
(c) 2Rop ^jq.ds =J (^ + ^)> (p{u, v) ,
welches längs einer beliebigen, doch ganz innerhalb F verlaufenden
Kurve (£ von einem festen Anfangspunkt 0 nach einem beliebigen
anderen Flachenpunkte P=^P(u, v) erstreckt wird, einen ganz be-
stimmten von der Gestalt des Weges ß unabhängigen Wert q>(uy v),
welcher dem Punkte F(u, v) charakteristisch ist und als das „Ge-
schwindigkeitspotential^' im Punkte P bezeichnet wird. Dann können
die Geschwindigkeitskomponenten ü, v^ ebenso wie im Falle der Inkom-
pressibilität in § 2 (4) durch die Stromfunktion ^, nunmehr durch die
partiellen Ableitungen von q> ausgedrückt werden:
(2) «=f^l^, «=f|^-
Ein solches Geschwindigkeitspotential existiert nach (1) in jedem
einfach zusammenhängenden Flächenstücke F als eindeutige Funktion
des Ortes, wenn innerhalb F die Geschwindigkeit nirgends Sprünge
erleidet und die Wirbeldichte q allenthalben verschwindet:
« ^-Ä(-r)-^(!)-«-
Ist aber diese Bedingung (3) nur in einem mehrfach zusammen-
hangenden Flachenstücke F erfüllt oder enthält F singulare Punkte oder
Unien, in denen q seine Bedeutung verliert und deren Ausschliefsung F
ZeitBchHft f. Mathematik u. Physik. 47. Band. 1. u. 2. Heft. 14
210 Hydrodyn. Untersuchungen üb. d. Wirbelbewegungen in einer Engelflkbe.
jedenfallB mehrfach zusammenhangend machen würde^ so existieTt zwar
auch ein ßeschwindigkeitspotential (p{u, t?); dasselbe braucht dann
aber nicht mehr eindeutig zu sein, sondern ändert sich nach gewisaen
Umläufen (um die ausgeschlossenen Teile) um additive Perioden.
Die Kurven tp = const.^ auf denen nach (c) überall $« = 0 ist^
stehen in jedem ihrer Punkte auf der dort herrschenden Geschwindig-
keitsrichtung senkrecht^ schneiden also alle Stromlinien rechtwinklig
und werden die Niveaulinien genannt
Ist nun die Flüssigkeit zugleich inkompressibel (§ 2), was in
den späteren Untersuchungen immer vorausgesetzt werden soll, so
kann man nach (4) p. 207 die Stromfunktion ^ einführen und erhält
so für die Wirbeldichte aus (b):
Diese Formel gestattet die Berechnung der Wirbeldichte ans der
Stromfunktion durch zweimalige Differentiation und umgekehrt bei
gegebenem q die Berechnung von ^ durch Integration einer partiellen
Differentialgleichung zweiter Ordnung.
In einem „wirbelfreien'' Flächenstücke F^ in welchem übeiall
Q = 0 und daher ein ßeschwindigkeitspotential 9 vorhanden ist, wird
demnach überall
2)^ s= 0, aber zugleich auch: Dip == 0,
welch letztere Gleichung man erhält, wenn man in der Gleichung (3)
§ 2 die Ausdrücke (2) für ü und v einführt.
Es ist nun für ein beliebiges Flächenstück C ohne singulare
Stellen im Innern:
(O ($) (g) ^
—//(«" + ^"^ w +/* {l^^ + >) >
wenn das Linienintegral rechts über die Begrenzung S von C im positiven
Sinne erstreckt wird. Hier kann man aber auch die totale G^eschwindig-
keit 9 und ihre Komponente g« einführen und erhält:
(5') j2Qtl;d6 = —fq^dö+fifq.ds.
Von E. Zbsmklo. 211
Das Linienintegral über S yerschwindei aber, wenn C über eine voU-
gtandige geschlossene Flache (ohne Singularitäten) ausgedehnt wird.
Ist es dagegen nur ein Flächenstück, ein begrenzter Flüssigkeits-
bereich, der von einem festen Bande, bestehend aus einer oder
mehreren Stromlinien ^ » ^ji =» const., begrenzt wird, so zerfallt das
Randintegral in eine Ati7ji.1i1 yon Ausdrücken
Jifiq,ds = ififq.ds = 2^xBx
und yerschwindet wieder fflr jeden Bereich C mit eindeutigem Ge-
schwindigkeitspotential, in welchem ja jede Zirkulation den Wert Null
hat, also namentlich für jedes einfach zusammenhängende wirbelfreie
Flachenstück {g » 0). Dann yerschwindet aber gleichzeitig auch die
linke Seite yon (5), und es bleibt:
Es mufs also überall g^ » 0 und ^ == const. sein im ganzen Innern
Ton C, d. h. die Flüssigkeit muls hier überall in Buhe sein. Wir ge-
winnen also den Satz:
Satz in. In einer vollständig geschossenen Fläche sowie in einem
einfach gusammenhängenden Flächenstücke von fester Berandung (g« ^ 0)
gid>t es keine wirhdfreie Bewegung einer inkompressibeln Flüssigkeity
falls im ganzen Innern ünstetigkeiten der Geschtcindigkeit ausgeschbssen
sind. In einem solchen Bereiche] ist daher die gesamte momentane Ge-
sehwindigkeitsverteüungf der yßtrömu/ngszustandf^ durch die vorhandenen
Wirbd, d. h. durch die Funktion (» » (> (u, v) eindeutig hestimnU.
Wären nämlich t ^ i^i u^d V' » ^^ zwei Lösungen der Differential-
gleichung (4) 2)^ » 2q, welche auf der yorgeschriebenen Bandkurye,
die in dem betrachteten Falle höchstens aus einer einzigen Stromlinie
bestehen kann, konstante Werte $^ und jp^ annehmen, so müfste für
ihre Differenz ^o '"^ ^i ~ ^ä ™ Innern überall D% = D^i — -D^f'j = 0
sein und auf dem Bande ^o ^ ^i ~~ ^s =^ const., was nach dem oben
Bewiesenen nur möglich wäre bei ^q = const., also ^, =» ^s + const
Bei der Herleitung der Beziehung (1)
(«) iC)
-B = ifq^ds =jQd6
hatten wir yorausgesetzt, dafs das Flächenstück C, über das wir inte-
grierten, yon Singularitäten frei sei, die sich auf die Geschwindigkeits-
komponenten und ihre ersten Ableitungen beziehen, dafs yielmehr
überall im Innern ein bestimmter Wert 2 p =» Z)^ existiere. Wir wollen
212 Hydrodjn. üntersachungen üb. cL Wirbelbewegungen in einer Engelfläcbe.
Fig. 1.
nun die Natur der möglichen Singularitäten untersuchen, indem wir
den Fall ausschliefsen, dafs q in einem ganzen endlichen Flachenstück
seine Bedeutung verliere. Es sei nun fi ein singn-
läres Eurvenstücky das sich eyent. auch auf einen
einzelnen Punkt reduzieren kann, und C mit der
Randkurre S ein Flachenstück, welches S nnd
sonst keine weitere Singularität in seinem Innern
enthält Umgeben wir nun S durch eine inner-
halb C beliebig verlaufende geschlossene Emre c
mit positivem Richtungssinn in Bezug auf fi als
Inneres, so können wir auf das zwischen S und c
liegende Gebiet C unseren Satz (I) anwenden und
erhalten:
(C) («) (c)
2R' z j2\Qd6 =fq.ds ^Jqßs.
Dies gilt immer, wie eng auch die Kurve c die Singularität S umgebe,
so dals, wenn wir in der Verengung zur Grenze übergehen, auch
(C) («) (0
lim 2K = ]imj2Qd6 =Jq^ds — Umfq^ds
oder
(«) {CT) (c)
2iJe =fq,ds = lim/2pdtf + Ümfq^ds = 211 + 2R2,
Unser Satz (I) bleibt also richtig, wenn wir nur auf der rechten Seite
zu dem Grenzwerte des Flächenintegrales j2Qd6 bei ausgeschlossener
Singularität fi noch den Grenzwert 2B^ der Zirkulation um fi selbst
hinzufügen, d. h. wenn wir der Kurve S selbst das endliche Wirbel-
moment B^ beilegen. Verfahren wir so bei allen etwa auftretenden
Singularitäten, so behalten alle früheren Sätze, z. B. I und II,
S. 209, m, S. 211 ihre Giltigkeit. Dabei können wir noch alle die Sin-
(c)
gularitäten vollständig ignorieren, für welche 212g » ]xayfq^ds den Wert
0 hat. Dies ist aber immer der Fall, wenn die Geschwindigkeits-
komponenten auch bei fi stetig bleiben, die Singularität sich also nur
auf ihre Ableitungen 0-, 0- etc. bezieht. Denn dann werden bei der
Zusammenziehung der Kurve c auf 2 selbst die einander g^enüber-
liegenden Elemente ds, ds' gleiche und entgegengesetze Beitiäge q,ds
und q'gds' = — q^ds' = — q^ds liefern und einander aufheben. Anders
dagegen, wenn längs der Kurve 2 die Geschwindigkeit unstetig ist, so
dafs die Tangentialkomponenten derselben rechts und links von £ VBf^
zwei verschiedenen Werten gg und gg konvergieren, während ihre
Von £. Zermelo. 213
Iformalkomponenten jedenfalls stetig bleiben müssen, solange unserer
YoranBsetzung (§ 2 fin.) zufolge auch in S keine Quell- oder Senkpunkte
Torhanden sind. In diesem Falle wird einfach
(ß)
d. h. gleich dem Integrale des Geschwindigkeitssprunges über die Dis-
kontinuitatskurve, faUs der Sprung nach der Richtung derjenigen
Normalen von S gerechnet wird, welche zur Fortschrei tungsrichtung
ds ebenso liegt, wie die t;- Richtung zur t«- Richtung. Den erhaltenen
Wert bezeichnen wir als das ,,Wirbelmoment der Diskontinuitäts-
kurre 2"
Ist aber die Singularität fi nur ein einzelner Punkt, so ver-
schwindet iJfi immer, vermöge der unbegrenzten Verkürzung der üm-
lanfskurve c, so lange die Geschwindigkeit in der Umgebung von fi
eine endliche obere Grenze besitzt. Soll also J?ß einen endlichen Wert
amiehmen, der von 0 verschieden ist, so mufs die Geschwindigkeit bei
2 unendlich grols werden, so aber, dafs die Normalkomponente $„
in einem fi umgebenden kleinen Kreise c zugleich mit seinem Radius
verschwindet, weil 2 eben kein Quellpunkt sein soll. Mit anderen
Worten: die Flüssigkeit mufs mit unendlicher Geschwindigkeit um
den singularen Punkt herumströmen, und die benachbarten Strom-
linien werden kleine ihn umgebende Ovale sein, die, je näher an 2,
desto gröDsere Geschwindigkeiten besitzen. Solch einen Punkt be-
zeichnen wir als einen ,yStrudelpankV^ und ■ den endlichen Grenzwert
jRe der halben Zirkulation über einen umgebenden kleinen Kreis c als
das „Strudelmomenf^ dieses Strudelpunktes.
Von den etwa auftretenden Singularitäten sind also besonders zu
berücksichtigen nur die „Strudelpunkte'' und die „Diskontinuitätslinien'',
welch letztere auch „Strudellinien" genannt werden mögen, da sie sich
durch aneinander gereihte Strudelpunkte ersetzen lassen.
§ 4. Das Helmholtzsohe Theorem nnd die Bewegung der Wirbel.
Bisher hatten wir uns nur mit der momentanen Verteilung der
Oeschwindigkeit auf unserer Fläche, mit der Lage der Stromlinien
u. 8. w. in einem einzigen Augenblicke beschäftigt. Nun entsteht aber
die Frage: Wie ändert sich dieser Geschwindigkeitszustand, wie de-
formieren sich die Stromlinien? oder mit anderen Worten: Welches
ist der vollständige zeitliche Verlauf der Flüssigkeitsbewegung? Diese
Frage beantwortet unter den hier gemachten Voraussetzungen das für
unsere zweidimensionale Flüssigkeit auf der Fläche ebenso wie für diQ
214 Hydrodyn. Untersuchungen üb. d. Wirbelbewegungen in einer Kugelfläche.
•
räumliche geltende ^^elmlioltzsclie Theorem" das wir hier so formu-
lieren wollen:
Satz I: Wenn eine zweidimensionale Flüssigkeit auf einer hdidngen
festen Fläche reibungslos tmter dem Einflüsse von Massenkräften slM,
welche ein Potential besagen^ und der Druck eine Funktion der Flächen-
dichte allein ist, so ist die ZirkukUion in einer aus bestimmten materidlen
Punkten bestehenden geschlossenen Kurve S oder das Wirbelmoment eines
maierieUen Flüssigkeitsbereiches C bei aUen Bewegungen in der ZSi
konsta$U.
Schreiben wir nämlich nach (1) § 3:
(«) _
wo das Zeichen ö den Übergang von einem materiellen Flüssigkeits-
punkte zum anderen^ also eine von der Zeit t unabhängige Yerandenmg
ausdrücken soll und daher gegen das Symbol ^- vertauschbar ist, so
wird:
und somit
^w -/lr,(j)'« + tIt)" + ij»C"D + |»(»nl
(«) _
oder auf Gfrund der Bewegungsgleichungen (1) § 1:
wenn das Integral über eine geschlossene Kurve (S ausgedehnt wird.
Es folgt also in der That^ wie behauptet war:
(«) iC)
(1) R = jjq^ds ^fgdö = const.
r
Von E. Zbbmblo. 215
Aus unserem Satze ergeben sich unmittelbar die Folgerungen:
Satz 11: Ist ein Teü der Flüssigkeit zu irgend einer Zeit toirbdfrei
(p ^0\ so ist er es auch 0u allen Zeiten.
Satz III: Ist die Flüssigkeit inkompressibel, so ist die Wirbel-
dichte Q in jedem maierieUen Punkte konstant, d. h. an jeder Stelle
der Fläche, welche ein bestimmter materieller Punkt m einmal erreicht,
hat die Wirbeldichte q in diesem Äugenblicke immer denselben Wert Qm,
wdcher dem Punkte m charakteristisch ist
Denn nach Satz I ist gdö ^ const und der Inkompressibilitat
wegen zugleich auch d6 » const.
Das Helmholtzsche Theorem hätten wir auch aus der Gleichung
(3) von § 1 ableiten können in folgender Weise: Es ist
da U und V von t unabhängig sind. Wenn man hier die zweite
Gleichung nach u, die erste nach v differentiiert und subtrahiert^ so
folgt:
dudi\v) bvct\u)~ ^du\v) ^dv\ur
Hier ist aber die linke Seite nach der Definition (c) S. 204 = ä*(~i7Tr)^
so dais wir die Gleichung gewinnen:
Diese unterscheidet sich von der Gleichung (2) in § 2 nur da-
durch^ dafs hier q an Stelle von k tritt und wie jene^ die ^ontinuitäts-
gleichung^, die Konstanz der Masse kd6 eines materiellen Teilchens
ausdrückt, ebenso diese die Konstanz seines Wirbelmomentes gdö.
Im Falle der Inkompressibilitat ist nun nach (3) § 2
Uy) ^ Ui) - "■
so dafs (2) sich schreiben läfst:
oder
dlip __ gip dg_du ^dv^ /\
dt — dt^ dudt "^ dvdt^ "'
d. h. p = const.
216 Hydrodyn. Untersuchungen üb. d. Wirbelbewegungen in einer Kugelfläclie.
Hier kann man aber auch ü und v durch die Stromfunktion if aus-
drücken [(4) § 2] und erhält:
(4) 1^ = UV(p-^^ - ^^P) •
^ ^ et \dudv dvcuj
oder, wenn man für 2p nach (4) §'ß seinen Wert D^ einsetzt:
W a« ~ ^'^ \dv du du dv r
eine (nicht homogene) partielle Differentialgleichung dritter Ordnung
für ^ = ^(M,t?,^), welche den ganzen zeitlichen Verlauf der Flüssig-
keitsbewegung bestimmt.
Ist nämlich irgend eine Lösung ^ = ^ (w, v, t) dieser Differential-
gleichung gefunden 9 welche den gegebenen Grenz- und Stetigkeits-
bedingungen genügt, so können die beiden Gleichungen (a) nur noch
zur Bestimmung des Druckes dienen. Sie lassen sich nämlich schreiben:
oder, wenn man die Variationen äu, dv einfuhrt:
(6)- ,(* + ..,, - (2p|J + J^^»),»+ (2,|^ _ J|!|.),..
Hier ist auf Grund von (4) die rechte Seite ein vollständiges Diffe-
rential (denn es wurde ja (4) gerade durch Elimination von 0 aas den
Gleichungen (a) oder (5) abgeleitet). Wir können also die Funktion
0 + ^ q* durch Integration finden und brauchen dann nur noch
J?*=J-?7*(^j +2^'(^ ) abzuziehen, um 0, und dann noch das
Potential O^ der Massenkräffce (cf. p. 204), um die Druckfunktion
P = / -jT =* i>; d. h. den Druck selbst als Funktion von u, v unit
zu finden.
Besonders wichtig ist der Fall, wo -^ = 0, d. h, wo die Strömimg
stationär ist. Dann mufs auch 07 = 0 sein, abo nach (4)
(4a) |f|t_|5:|* = 0
^ ■^ du dv dv du
oder integriert:
(4b) 2p = D* = /^(*),
eine Relation, die sich auch geometrisch so ausdrücken laTst:
Von E. Zkrmelo. 217
Satz IV. Bei der staHonären Strömung einer inkompressiblen Flüssig-
keit in einer beliebigen Fläche mufs auf jeder Stromlinie (V^ » const.) die
Wirbddiehte q constant sein.
Dies leuchtet auch unmittelbar ein, weil sich im stationären Falle
die materiellen Punkte mit unverändertem q (Satz m) auf den festen
Stromlinien bewegen und dabei doch q an jeder Stelle ungeändert
bleiben soll.^)
In diesem Falle ist die Bestimmung des Druckes sehr einfach.
Demi hier wird (5)
du ^ du' dv ^ dv '
also:
(6) * + lg» = <I>x +P + |'3* =/2«»(|jdu + Ijrft;) ='f2(fdt;
und auf den Stromlinien ^ =» const, q = const ist gleichzeitig auch
0 = const,
und ÜEÜls keine Massenkräfte wirken, der Druck konstant:
p = const .
§ 5. Die Brhaltong der lebendigen Kraft.
Aus der Form (2) unserer hydrodynamischen Grundgleichungen
in § 1 folgt unmittelbar:
-du , -dv rr-^^ iT-^*
dt ' dt ou dv
d^du d0 dv
du dt Wv dt'
oder im Falle der Inkompressibilität, wenn man nach § 2 u und v durch
^ ausdrückt:
i^-. -du , -dv rrn-ß'^d^ dipd^\
also, wenn man über ein Flächenstück C integriert:
(C) (C)
Da im betrachteten Falle auch das Flächenelement d6 in der Zeit
konstant ist, so ist die linke Seite nichts anderes als der zeitliche
1) Für den Spezialfall der Ebene, wo D'ip ^^ dip ist, findet sich die Bedingong
J^Bs/'('^) der Stationarität bereits bei Lagrange (Oenyres t. 4 p. 720) yergl.
auch Stokes (Math. Phys. Papers y. Ip. 264), Lamb, Hydrod. p. 263).
218 Hydrodyn. Untersuchungen Üb. d. Wirbelbewegungen in einer Kogelfläck.
Differentialquotient der gesamten im Bereich C enthaltenen leben-
digen Kraft
"dtj «'
dt
^)d6.
Die rechte Seite aber läXst sich in ein Randintegral verwandeln^ im
positiven Sinne erstreckt über die B^renzung G von C:
(C) (S)
J \dv du du dv) J \du ov )
wenn ds wieder das Bogenelement von S und g^ die Normalkompo-
nente der Geschwindigkeit bedeutet. Wir haben also:
(^ («)
Dieses ist der Ausdruck des Gesetzes von der Erhaltung der
Energie^ angewendet auf eine inkompressible zweidimensionale Flüssigkeit
Nehmen wir nun an^ dafs die Begrenzung (£ unseres Bereiches C
durch eine Anzahl von Stromlinien tl; = const gebildet werden oder
dafs sie in einen (nicht singulären) Punkt zusammenschrumpft, während
C eine geschlossene Flache vollständig erfüllt, so verschwindet die
rechte Seite, und es wird:
(3) Tc^f I (ü^ + v^dö = const .
Also:
Satz I. Die gesamte lebendige Kraft einer inlc4)mpre$$iblen reSwngs-
losen Flüssigkeit in einer vollständig geschlossenen Fläche oder in einem
tlächenstücke von fester attö Stromlinien gdnldeten Umrandung ist t»
der Zeit l'onstant, vorausgesetzt, dafs die Flüssigkeit keine Qudlpttnkte be-
sitjst wnd dafs die äufseren Kräfte ein Potential haben.
Für den Fall der geschlossenen Fläche köimen wir aber der ge-
samten lebendigen Kraft T noch eine andere Form geben durch Ein-
führung der Stromfunktion ^ und der Wirbeldichte q. Es ist namlicb
nach (4) S. 207:
ü* + !?• ü dtp . V d^
"UV üdv'^ V~du
-d^Kv)" di Kü) - üv ^""'^'^^ ^
Von £. Zebmklo. 219
und daher, wenn man über das Flächenstück C integriert und rechte
das entsprechende Randint^pral über (E einführt:
oder:
iC) («) (C)
Also, wenn (7 die ganze geschlossene Flache F darstellt:
\q^d6 = - fi^gdö - const.^)
Wir haben somit den Satz gewonnen:
Satz n. Bei der Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit in
einer geschlossenen Fläche ist die Summe aUer Wirbddemente Qdö,
jedes muUijpiufiert mit dem jeweiligen Werte der Stromfunktion tl; gleich
der negativen lebendigen Kraft der ganzen Strömung und daher unter
den Voraussetjsungen des Satzes I in der Zeü konstant:
P = / t(fd6 — — T — const .
Kapitel 11.
Anwendung der allgemeinen Theorie auf die Kugel. .
§ 1. Die Ghnmdfonneln in atereographiflohen imd Folarkoordinaten.
Ist die betrachtete Fläche eine Kugel, so empfehlen sich zur
Behandlung der hydrodynamischen Probleme insbesondere die folgenden
\mien. Systeme orthogonaler Koordinaten u, v.
1) Polarkoordinaten ^f a, wo d' den Winkelabstand eines Punktes
P Ton einem festen Anfangspunkt 0 und (o den Neigungswinkel des
Meridianes OPO' gegen einen festen Anfangsmeridian o » 0 bedeutet.
Wir rechnen o nach der Richtung ab zunehmend, welche einer posi-
tiyen Drehung um den Durchmesser 0' CO entspricht (nach links, wenn
der Beobachter sich in die Richtung CO stellt).
2) Stereographische Koordinaien x, y, d. h. die rechtwinkligen Koor-
dinaten des Punktes p, den wir aus P durch stereographische Projektion
▼on einem festen Kugelpunkte 0' (entgegengesetzt 0) aus auf die
1) VergL Poincarä, Th^or. d. TonrbilloiiB, § 78. p. 80/Sl
220 Hjdrodyn. Untersuchungen üb. d. Wirbelbewegungen in einer Kugelfläcbe.
Äquatorebene des Durchmessers 00' gewinnen. Auch hier soll der
Übergang von der x- zur y-Achse einer positiven Drehung nm die
Achse O'O entsprechen. Dieses Koordinaten-
System ist besonders deswegen für Tide
Zwecke wichtige weil die stereographische
Abbildung der Kugel auf die Ebene bekannt-
lich eine konforme oder winkeltreue ist
Wählen wir das Projektionszentnun 0'
dem Punkte 0 des Polarkoordinatensyetems
gerade entgegengesetzt^ und legen die x-
Achse in den Anfsuigsmeridian o = 0, so
bestehen zwischen ^j m\ x, y, wenn wir
den Kugelradius = 1 annehmen, die Be-
ziehungen:
(1)
Also:
Vi?+7
^gö* a; = tg-cosc}, y^tg-sino.
dx^ + dy^ = ^ + tg« 2 d©« = — ^
4C08* -
4 cos* -
Es wird daher, wenn ds wie früher die Länge des Linienelementes
auf der Kugel bezeichnet:
(2)
ds* - d»* + sin» Qdm* = (1 ^ J^ y.), {dx* + dy^ ,
80 daTs, wenn wir für die Chröfsen V,Y in Kap. I bezw. B,Sl\ X, F setzen
nnd die Geschwindigkeitskomponenten durch ft, ä; x, y bezeichnen:
B
dt
1, a = -.
sin^'
dt sin d"
X^Y^\{l + x^ + f).
dx
Tt
s=l
l{l + x'+yyx//^^\-{i+x'+f)y.
Aus den Grundformehi (1), (2) und (H) in Kap. I, § 1 erbalten
wir dann die folgenden:
(4a)
^-cotdī = -||
dt d»
dci . j, a^^L- 1 d^
-VT + cot d 1^(0 = ^-^-Q-
dt sin ^ dm
(4b)
Yon E. Zbrmslo.
221
(4b)'
f- + x(yx-xif)~-\(i + x* + y^^
(«»
'^-2,5-A(« + i«»)
a, = 2(»»-i(l + rc« + y»)^^(« + }-«»)
»»-._2<,S-J-(H-«»+y»)J:(*+fO
ay
(6a)
(6b)
^«»-ri^lÄ^"''^*)-!!)
2p = Kl + ^ + y0t4 (rT^+y) - h (hhS+ip) )
Ferner werden die Komponenten der Geschwindigkeit q =■ ¥%■* + et*
=yi»TF in der Richtung der Tangente und Normale:
(7)
+ x^ + y'
Für eine inkompressible Flüssigkeit kann man noch die Strom-
p
fonktion if '=^ 1 q^ds einführen und erhalt so nach (4) § 2 von Kap. I:
(8)
^^ d^^ i_a^
dt nnd-do)'
X =
2
dx
__i(l+a4 + yi)
= -™»r:-j|. *-rT#T7-'^- K'+«'+»*)||.
(9b)2(» - 2)^ - 1(1 + a:« + y«)« (g + 0) = i(l + a;» + y»)»^*.
8e
^^
(l + x' + yV
8 2. Der einfEtohe Strudel und das Bphftriaohe FotenÜaL
Die Gleichung (9 a) in § 1 suchen wir zunächst zu befriedigen
unter der Bedingung, dafs ^ und q FutücHonen von ^ allein sind, also
nach (8)
i = 0, ö-JJ = *'(*),
sm'&
222 Hydrodyn. Untenuchungen üb. d. Wirbelbewegangen in einer Kngelfläcbe.
und die ganze Sia-ömung symmetrisch um die Achse CO in den Paralld-
kreisen erfolgt. Eine solche Geschwindigkeitsverteilung wollen wir im
Folgenden immer als eine ^^onale'^ oder „axiabymmetrische'' bezeichnen.
Die genannte Gleichung nimmt dann die Form an:
W ■ . Ä(-*g) = 2psi
and ihr wird fOr den besonderen Fall q — const. genügt durch dm
Ansatz:
(2) * 4plg8in|, ö = ^ 2(»cot|
♦ = 0.
Diese spezielle Losung besitzt im Anfangspunkte 0(^ = 0) einen
singularen Punkt^ in welchem ^ und m unendlich werden. Bilden wir
nun die Zirkulation (I § 3) im Parallelkreise d".
in
2Ü^ = J*5sindrfo « 2;rö^Bind = — 49rp(l + cos^),
0
so nimmt diese für <& = 0 den Wert an
also ist
Bq = — -4flrp = m
das Moment des Strudelpunktes 0 (cf. Kap. I^ § 2 S. 213), so dab in
der That gemäfs Satz 11 S. 209 die Summe aller Wirbelmomente anf
der ganzen Kugel = Axq — ü^ « 0 ist
Satz L Jede zonale Strömung in der Kugel, bei welcher, abgesAen
van einem einzigen Strudelpunkte m in 0 die Wirbddichte auf der
ganzen Kugel konstant = — ^ ist, soU als ein „einfacher Strudel^
vom Momente m bezeichnet werden und wird dargestdlt durch die Strom-
funktion
* = -logBm2,
wenn d' den Bogenabstand vom Struddputüde 0, dem „Zentrum" des
Strudels, bedeutet.
Hier strömt die Flüssigkeit gleichförmig auf den ParaUelkreisen
und um so schneller, je näher sie dem Strudelpunkt 0 sind, um diesen
selbst mit unendlicher Geschwindigkeit, wiUirend sie in dem ßegen-
pole 0' ganz in Ruhe bleibt.
Einen solchen „Strudel*' können wir uns in einer physikalischen
Flüssigkeit, welche keine wirkliche Unstetigkeit zuläfst, angenähert rea-
Von E. Zbbmslo. 223
lisiert denken dnrch geeignete Zusammensetzung der betrachteten
Lösung mit irgend einer anderen Losung von (1), z. B.
^ » ^^ = ~ a cos -^j ä = aniad', q ^ a cos 'ö' = — ^i,
welche einer starren Rotation der'^ganzen Flüssigkeit um die Achse O'O
mit der Winkelgeschwindigkeit a entspricht. Wir konnten dann auf
einem beliebigen Parallelkreise d « d^ beide Strömungen ^^ und ^^
stetig zusammenfügen^ indem wir die entsprechenden Geschwindigkeiten
gleich setzten:
tn ^n
ai = asmdo = 2^cot 2%
also:
m 1
Dann wäre die zusammengesetzte Strömung gegeben durch:
imd würde mit der des einfachen Strudels umsomehr übereinstimmen^
je kleiner ^^^ ge^hlt würde^ und doch würde die Geschwindigkeit
überall stetig bleiben^ solange noch d'Q von 0 yerschieden ist.
Nun war aber d«r Anfangspunkt 0 ursprflngUch ein beliebiger
Punkt auf der Kugel, der keine ausgezeichnete Eigenschaft besitzt.
Wir können daher auch jeden beliebigen anderen Punkt Pq zum Mittel-
punkte eines „Strudels^ machen, wenn wir setzen:
^ = -lgsmf = -lg^,
wo unier Öq der sphärische und unter r^ der Sehnenabstand eines
behebigen Kugelpunktes P von Pq verstanden werden solL Dabei
können wir immer noch ein beliebiges Polar- oder stereographisches
Koordinatensystem zu gründe legen, wenn wir nur d^ oder Tq. richtig
durch die Koordinaten <&, o oder x, y von P ausdrücken. Beachten
wir nun weiter, dab unsere Grundgleichung D^ « 2^ in den Variabeln
Qf if und ihren Ableitungen linear und homogen ist, dafs wir also aus
zwei Lösungen if^, q^ und ^2, q^ immer neue Lösungen q^^ + (^i^if
^1(1 + ^9) linear zusammensetzen können, so gelangen wir zu dem Satze:
Satz n. BezeidMen wir mit d^ d,, . . d^ die sphärischen und mit
^v ^v " ^n ^^ Sehnenabstände des vcmablen Punktes P von n festen
Kugdpufücten P^, P„ . . P^ so stellt die Funktion:
(4) ^ = ^IgBinl' +^lg8in^ + -+ ^Igsin*^
224 Hydrodyn. Untersuchungen üb. d. Wirbelbewegungen in einer Kugelflilche.
welche das ,jSphärische Potential" der n Massen m^, Wg, . . m^ genamü
werde, die Stramfmktian einer bestimmten Strömung in der Kugd dar,
in welcher die Funkte Pj, Pg, . . P„ Strudelpunkte mit den Wirhdmomenten
m^, m^, . . m^ sind und welche in jedem anderen Kugdpunkte P äine
konstante Wirbeldickte
besitzt. Jede solche Strömung bezeichnen wir ais ein „StrtKldsystem^,
Die konstante Wirbeldichte p nimmt den Wert 0 an, wenn die
Summe M = 2Jm aller Strudelmomente verscliwindet.
Besteht beispielsweise das System nur aus zwei gleichen und ent-
gegengesetzten Strudeln ± m, so wird seine Stromfunktion:
. dl
Bin — - .
(5a) * = Jlg-^=Sl«V:'
am-' '
2
und die Stromlinien werden gegeben durch:
-*- = const,
d. h. es sind die Eugelkreise, deren Ebenen durch die Schnittlinie der
in P| und P, berührenden Tangentialebenen gehen. ^)
Liegen die beiden Strudel insbesondere in zwei enl^egengesetzten
Punkten 0, 0' (-^ = 0, ^ = x), so wird die Stromfunktion:
(5b) V = Jlgtgf
und die Geschwindigkeit:
m 1
^ = 0, 5 =
n Bind*
Die Strömung erfolgt in den Parallelkreisen mit einer Geschwindigkeit
umgekehrt proportional ihren Radien.
Das sphärische Potential ^ das wir oben für eine endliche Anzahl
von Massenpunkten definiert hatten^ wollen wir jetzt auf den Fall
einer kontinuierlichen Massenverteilung auf der Eugelfläche ausdehnen.
Es sei nämlich k =^k(^, o) eine wenigstens stückweise stetige Funktion
des Ortes auf der Eugel^ und es werde gesetzt:
(6) M^fkdö,
wo die Integration über die ganze Kugel erstreckt wird< Nun zer-
legen wir die Kugelfläche in eine Anzahl von Teilbereichen e^, tf,, tf, . . .
1) Vergl. Lamb, Hydrodynamics, p. 116 und p. 263.
Von E. Zkrmblo. 225
and bezeichnen mit Är^, k^, h^ ... die entsprechenden arithmetischen
Mittelwerte der Funktion k^ so dafs
(7) kl 6^ = fkd6, k^6^^ Jkdö ..,
Femer nehmen wir in jedem der Bereiche e^j 6^,.,, einen festen Punkt
F^y P^ ... an und bezeichnen mit r^, r^, ... die von diesen Punkten
aus gerechneten Sehi^enabstande eines variablen Punktes P. Jetzt be-
trachten wir das Strudelsystem (Satz II, S. 223) mit der Stromfunktion
(8) ^' = ^Ig^+*._«Mg'^ + ...,
för welches die konstante Wirbeldichte , abgesehen von den Strudel-
punkten P^, Pj, .., den Wert hat:
und bilden die halbe Zirkulation
(®) (6)
Ro^iJq.d8 = \ß-^ds
über die Begrenzung @ eines Aggregates 6 solcher Teilgebiete ö^, 6^, . .
Diese wird dann gleich der Summe der im Innern von 6 enthaltenen
Wirbelmomente, also
=-Jkd6 + Jkd6+ [- q'ö
J(a) (a) (o)
^kdö + q'6 - /'(* + Q')d6^f{k - ^) d6.
Lassen wir jetzt die Dimensionen aller Teilgebiete e^y e^ . . unbegrenzt
abnehmen, während ihre Anzahl unbegrenzt wächst, so werden wir
schlie&lich jedes Flächenstück C ab ein solches Aggregat 6 auffassen
können und erhalten so: .^
(10) Bc
d. h. die Wirbeldichte der betrachteten Strömung hat an der Grenze
den Wert:
(11) <, = ft(^,a,)_^.
Gleichzeitig geht aber in (8) die endliche Summe in ein bestimmtes
ktegral über: ^^^ ^^
(12) ^-lim^'«^ / klg^^dö^^ I klgBin^dö^
Zeitfclirin f. Mathematik n. Physik. 47. Band. 1909. 1. n. 2. Heft. 15
226 Hydrodjn. Untersuchungen üb. d. Wirbelbewegrangen in einer Engelflädie.
wo die Integration sich auf die ganze Kugelfläche K bezieht und die
Buchstaben r und 8 den Sehnen- und den Bogenabstand eines yariablen
Punktes P von dem betreffenden Elemente d6 ausdrücken sollen.
So erhalten wir:
Satz ni. Das sphärische Potential
* = - / klgsm-dö
einer hmtiimierlichen Massenverteilung auf der Kugel fläche mit der varia-
blen Dichte k = k(P'f o) und der Gesamtmasse M stellt, als Siramfunktian
betrachtet, eine Flüssigkeitsströmung dar, deren Wirbddichte q an jeder
Stelle den Wert hat
(11) p = t(^,a>)-^.
Ist daher M=^ Jkd6 = 0, so wird p = Ä und somit:
(13) tl,=^^jQ\g^d6=^^jQlgBmld6,
wahrend gleichzeitig nach (4) S. 210
(14) Dtl; = 2q
sein mufs. Die Gleichung (13) stellt also bei vorgeschriebenem
Q =^ Q(d', o) eine Auflösung der Differentialgleichung (14) dar und
zwar (nach Satz III, S. 211) bis auf eine additive Konstante die einzig
mögliche^ falls q überall endlich bleibt. Sind dagegen aufser der kon-
tinuierlichen Wirbelverteilung q noch Stmdelpunkte m^, m^ . . oder
Strudellinien mit den Längendichten y^, y^ . . vorhanden^ so hat man
noch die entsprechenden sphärischen Potentiale hinzuzufügen:
—lg sin ~ + — lg sin ^ + • •
+ / yilgsm^dsi + "-
und erhält so auf jeden Fall die Stromfunktion eindeutig (bis auf eine
additive Konstante)^ wenn nur^ dem Satze 11 § 3 entsprechend, die
Summe aUer Wirbelmomente verschwindei Wir haben also den
weiteren Satz:
Satz in. Ist van einer Strömung einer inkampressiblen Flüssigicit
auf der unbegrenzten Kugelfläche die gesamte Wirbelverteilung gegtben,
so ist die zugehörige Stromfunktion {bis auf eine additive Konstante)
gleich dem sphärischen Potential der entsprechenden Mctssenverteilung-
Das hier betrachtete sphärische Potential verhält sich auf der
Von E. Zermklo. 227
Kugel ganz analog dem gewöhnlichen Newtonschen Potential im
Räume oder dem logarithmischen in der Ebene. Namentlich gilt auch
hier das Theorem:
Satz rV. Das sphärische Potential einer zonalen, d. h. aus homogenen
iomentriscJien Ringen bestehenden Massenverteilung auf einer Kalotte C
bl^t für aUe äufseren Punkte {in der restierenden Kalotte C) bis auf
eine additive Konstante ungeändert, wenn man alle wirkenden Massen M
in ihrem {inneren) Mittelpunkte 0 vereinigt.
Es sei nämlich p = p (^) (^ < a) die Dichte der ursprünglichen
Massenverteilung und ^ » ^ {d') ihr sphärisches Potential, und es sei
femer ^i = — lg sin - = ^i {d) das Potential der in 0 befindlichen Masse M.
Dann wird ^o ^ ^ "^ ^i ^^ sphärische Potential der Massenverteilung
mit der voi^eschriebenen Dichte q in C und dem hinzukommenden
Massenpunkte —Mm 0. Hier ist natürlich die Summe aller Massen
= 0, und wir können sie deshalb auch tds die Wirbel einer Flüssig-
keitsströmung auffassen, welche in 0 den Strudelpunkt r- M, innerhalb
C die variable Wirbeldichte q und in C gar keine Wirbel mehr
besitzt. Diese Strömung ist ebenfalls zonal und hat die Stromfunktion
i'Q = if — il^if und da sie in dem einfach zusammenhängenden und
▼on einer Stromlinie begrenzten Bereiche C wirbelfrei ist, so mufs
nach Satz lU, S. 211 die Stromfunktion in diesem Bereiche konstant
sein, d. h.:
^0 '^ ^ ~" ^1 '^ const., ^ = ^1 + const. (d > a)
q. e. d.
Den Wert der Konstanten bestimmt man, indem man das Potential ^
in 0', dem Mittelpunkte von C, wo iff^ verschwindet, direkt berechnet:
- . . . - ... ^ .^. &
— / gdö lg cos - = 2 i p sin i^^d-^ lg cos
2
Ist z. B. p » const., d. L ist unsere Kalotte C homogen mit Masse
belegt, so wird
M = 2xQ (1 — cos a) = 43rp sin' ^
und
a
tl^o' = 2p I lg cos - sin ^rf^ = 2prcos*^(l ~ Ig^^s'f) ~"l];
0
also ist das Potential im Äufsem {C):
(15) ^a = 4psin*|lgsin- — 2p(sin*| + cos* | lg cos' |) •
15*
228 Hydrodyn. Üntersachuiigen üb. d. Wirbelbewegungen in einer Engelflädie.
Um aber das Potential im Innern von C (<& < a) zu berechnen, denken
wir uns zunächst die ganze Kugel homogen mit q belegt and dann die
Belegung mit der Dichte — p in der Kalotte C hinzugefügt Bei der
ersteren Belegung ist natürlich das Potential überall konstant ^ = ^0
also nach (15) fÖra-='9'«='Ä ^ = — 2p, und bei der zweiten ist C
wieder die äufsere Kalotte, also das Potential:
^'«=_4pcos»|^lgco8 2^+ 2(>(co8*| + sin* I lg sin* I) , (^<a)
und man erhält im Ganzen für das innere Potential:
(16) ^, = V' + *''= — 4pcos'|lgcos- — 2psin*|(l — lgsin*|j-
Am Bande <& « a werden beide Ausdrücke einander gleich:
*a = *< = 2q (sin*|lgsin* ^ — cos*| lgcos*| — ^^^l) '
§ 3. Die Brhaltung des Sohwerpnnktes.
Nach (9a) S. 221 ist für die Kugel:
2(.-D^ = ^-^, + cot^^ + 5^^,
also:
(1) 2,.h»|-:-^(™»|||*)-jf,(.in»(,^)--J-,©-)
= ^ (- sin« t^m) - I ^ (sin ^rä» ~ sin t%^
und somit, wenn man über den Bereich C nach %■ und m integriert^)
und die rechte Seite in ein Bandintegral über S verwandelt:
J(g) («)
]2Q^^d6 = f{\& - ^«)sin'^d^ — ^ösin'^do).
Wird hier der Bereich C über die ganze Kugelfläche K aus-
gedehnt, in welcher sich die Geschwindigkeit überall stetig andern
möge, so verschwindet die rechte Seite und es wird:
(f)
(2a) J2g^^d6^0
oder, da nach (8) S. 221 |^ = - sin^^ = ^^ ist und gleichzeitig
1) Cf. Poincar^ a. a. 0. Nr. 66.
Von £. Zbrmblo. 229
T,ß"
atj "
oder
ZfQ = J Qd6 COB -ö" = const
Nun ist cos^^ gleich der Projektion des zum Punkte P(^; o) ge-
hörenden Radius CP auf die Koordinatenachse (70, die aher willkürlich
ist^ und den Ausdruck Qd6 hatten wir bereits S. 219 als ^^Wirbelelement'^
bezeichnet. Somit haben wir:
Satz I: Die Summe aller Wirbelelemente auf der Kugeln jedes
muUifiijnert mit der Projektion des sfugehörigen Kugelradius auf eine
hdiebige feste Achse ist in der Zeit konsta/nt.
Sind also CX, CYy CZ drei auf einander senkrechte Achsen und
I, rij % die entsprechenden Projektionen von OPj so wird:
Lx =^fl^Qd6 = const
(4) I -Ly = frigdö = const
Zf, ^ Jigdts =» const,
und diese drei Relationen sind von einander unabhängig, während jede
weitere analoge Gleichung durch lineare Kombination aus ihnen hervor-
gehen würde. Die Qröisen Zr«, Ly, L» sind die Komponenten eines
Vektors, dessen Endpunkt (vom Kugelmittelpunkt C an gerechnet) ein
fester Punkt S' im Räume ist, den wir als den „repräsentierenden
Schwerpunkt^ der Wirbelelemente bezeichnen. Wollten wir nämlich
den wahren Schwerpunkt aller Elemente Qd6 bestimmen, so wären
seine Koordinaten Sq, iJq? So gegeben durch:
wo M ^ fQdöy die Summe aUer Wirbelelemente, nach Satz II, S. 209
bekanntlich » 0 ist. Der wahre Schwerpunkt fallt daher ins Unendliehej
doch in eine feste, d. h. in der Zeit unveränderliche Richtung:
nnd dabei würden von den drei unabhängigen Relationen (4) immer
nur zwei zur Qeltung kommen, während die Konstanz z. B. der Gröfse
Ll-{- LI + L\ verloren ginge. Um diesem Übelstande zu entgehen,
ersetzen wir die Massenverteilung mit der Dichte q durch eine andere.
230 Hydrodyn. Unierstichungen üb. d. Wirbelbewegungen in einer Kugelfläcte.
deren Summe nicht mehr = 0^ sondern » 1 ist, indem wir die Dichte
q' r= Q ^ — [annehmen, also eine homogene Massenbel^ung Ton der
Dichte -.- und der Gesamtmasse 1 hinzuf&gen. Der Schwerpunkt dieser
Belegung q' hat dann die Koordinaten:
(J) (*) W CJ)
6d =" Uq'^^ = Ugdä + ^ Ud6 = jigdö = X, = const.
W tiq = I fiQ'd6-= jriQd6 + Y- ffldö = j ijQdö ^ iy = const.
J(jr) (jp (jp cj)
ftQ'dö ^hQdö+ ^ Arf<y = jtQda = X, = const,
fallt also zusammen mit dem oben definierten ^^repräsentierenden
Schwerpunkt". Also:
Satz n. Ist Q die Wirbeldichte einer kontinuierlichen Strömimg
einer inkonipressibten Flüssigkeit auf einer VoUJcugel, und lüdet rmm in
jedem Äugenblick den Schwerpunkt 8' einer Massenbelegung mit der
Dichte ^ + T^ ? ^ ist dieser (immer im Endlichen liegende) „repräsen-
tierende Schwerptmkif^ S' ein fester Punkt im Baume bei aUen Ver-
änderungen der GesdimndigkeitsverteHung. Der wahre Schwerpunkt S
aller Wirbelelemente dagegen faüt in den unendlich fernen Punkt desseRmi
DiATchmessers CS\
§ 4. Stationäre Strömungen.
Nach Satz IV S. 217 ist eine (von singulären Stellen freie)
Strömung auf einer Fläche stationär, wenn auf jeder Stromlinie die
Wirbeldichte konstant ist^ d. h. wenn
eine Funktion der Stromfunktion allein ist. Diese Bedingung schreibt
sich für die Kugel a) in Polarkoordinaten d', m, b) in stereographischen
Koordinaten x, y (cf. 11 § 1) in der Form:
(1)
b) J*^Ü + a^'r,
dx* • dy* (1 + X* + yy
Die Bedingung (1 a) wird sicher befriedigt, wenn ^ = 0, d. h.
wenn ^ == ^ (d) eine Funktion der Poldistanz allein und denmach auf
allen Parallelkreisen konstant ist. Daraus folgt:
. Von E. ZXBMBLO. 231
Satz I. ÄUe y^eonaienf^ Strömungen (welche symmetrisch um einen
Durchmesser als Achse in den ParaUeücreisen erfolgen) sind staManär.
Bei diesem wie bei den folgenden Sätzen wird auch ohne aus-
drückliche Erwähnung yorausgesetzt^ dafs die Flüssigkeit inkompressibel,
auf der Kugel unbegrenzt und von Strudelpunkten etc. frei sei.
Abgesehen von dem zonalen Falle klassifiziert man die statio-
nären Strömungen mit Vorteil nach der BeschajBTenheit der Funktion f.
Hier ergiebt sich zunächst, weil nach S. 209
ist, daÜs die Funktion f jedenfalls kein definiies Vorzeichen haben kann.
So kann nicht auf der ganzen Kugel
Q = const^ Q = c^* oder q = ce^<^)
sein.
Der einfachste Fall, der hier in Betracht kommt, wäre der, wo
f{ii) eine lineare Funktion von ^ oder, was die Allgemeinheit nicht
beschnlnkt sondern nur die additive Konstante von ^ beeinflufst, wo
die Wirbeldichte q der Stromfimktion ^ proportional = Ä^ ist. Wir
erhalten dann für ^ die partielle Differentialgleichung:
(2a) z,^^|^?. + cot*f| + ^1^.-2*^
oder
(2b) ^.^ ^ _ + _ = ^^ ^ ^, ^ y,^,».
Diese Differentialgleichung der y^near-slaiicmären Strömungen*^, wie
wir uns zur Abkürzung ausdrücken wollen, ist identisch mit derjenigen,
welche z. B. die elastischen Schwingungen der Kugelfläche bestimmt,
und spielt auch in der Potentialtheorie eine wichtige Rolle. Ihre
Integration erfolgt durch Kugelfunktionen („Laplacesche Funktionen'^,
,^ugelflächenfunktionen", „Spherical harmonics"), und ihre Theorie ist
vielfach ausführlich behandelt, z. B. bei Lamb a. a. 0., und bei Max-
well, Treatise on Elect. a. Magn. Wir können uns hier darauf be-
schränken, die wichtigsten Ergebnisse dieser Theorie, soweit wir ihrer
bedürfen, kurz anzugeben und auf ihre hydrodynamische Bedeutung
für das hier vorliegende Problem hinzuweisen.
Zunächst ist zu beachten, dafs unsere Differentialgleichung linear
und homogen ist, dals sich also alle ihre Lösungen linear super-
ponieren« Also:
Satz n. Durch additive Übereinwnderlagerung (d, h. durch Ad-
dition der entsprechenden Stromfunktionen oder Geschvnndigkeitsvektoren)
232 Hydrodyn. Unteniuchungen üb. d. Wirbelbewegungen in einer Kngelflache.
van zwei linear-stationären Strömtmgeny die zu demsdben Werte kj wir
woUen dafür sagen: zur selben jjKUissef^j gehör en^ erhält man immer
wieder linear-stationcire Strömungen derselben Klasse.
Unter den Lösungen ^ = ^('9'; o) von (2a) interessieren zunächst
die Funktionen ^ = t(^) von d' allern, welche zonalen ^Strömungen
entsprechen. Sie müssen der gewöhnlichen Differentialgleichung ge-
nügen:
(3) ^. + cot^^-2Ä*-0.
Diese Differentialgleichung besitzt aber nur dann ein zwischen
den Grenzen «^ = 0 und d' = tc stetiges partikuläres Integral, wenn
(4) -2Ä = n(n+l)
und n eine positive ganze ZaM ist, welche die ,,Elasse'^ der linear-
stationären Strömung angiebt. Die Gleichung muls also von der
Form sein
(3') 2^ + cot*g + «(« + l)* = 0,
und die gesuchte stetige Lösung ist dann die ^nte Eugelfnnktion^
(oder ^JiCgendresches Polynom") von cos^:
(5) ^ = Pn(cos <Ö"), 5 = ^ = — sin -9- P; (cos ^),
wo Pn eine ganze Funktion nten Grades.
n = 0 liefert die triviale Lösung ^ = const, d. h. die völlige Buhe
der Flüssigkeit, n = — A* = 1 dagegen die Lösung:
V' = — p = — « cos ^, cä = a sin ^,
welche einer sta>rren Botaüon der gesamten Flüssigkeit um die
Achse 00' mit der Winkelgeschwindigkeit a entspricht. Erst die
höheren Kugelfunktionen P^^P^ . . , liefern eigentliche Strömungen mit
wirklicher Deformation der Flüssigkeit.
Da Pn{^) zwischen den Grenzen — 1 \md + 1 bekanntlich nmal,
Pn{oo) n — Imal verschwindet, so giebt es (unter Ausschlufs der Pole
0 und 0') immer n Parallelkreise, auf welchen die Stromfanktion und
die Wirbeldichte p, imd, von ihnen separiert, n — 1 Parallelkreise,
auf welchen die Geschwindigkeit verschwindet. Beide Ereissysteme ver-
teilen sich symmetrisch um den Äquator fO" = -j (auf welchem selbst
^ = 0 und 9 = 0 oder cd = 0 ist, je nachdem w ungerade oder gerade-
ist), und zerlegen die ganze Kugelfläche in n + 1 , bezw. w Zonen, a
welchen p, bezw. (o abwechselnd positiv und negativ ist. Auf zwft
Von E. Zmtaiv.0.
233
ermmebiBchen ParalleUcreisen oberhalb nnd anterhalb des Äquatiors
sind entweder die Werte der Wirbeldicbte gleich und die der Qe-
echwindigkflit entgegengesetzt (wenn n gerade) oder die der Geschwin-
digkeit gleich nnd die der Wirbeldichte entgegengesetzt (wenn n un-
gerade).
[Auf den beistehenden Figoren für n = 1, 2, 3, 4 (in ortbo-
gnphischer Projektion) eind die Parallelkreise p "■ 0, V) ^ 0 auBgezogen
ud die Kreise rä ^ 0 punktiert gezeichnet, die Geschwindigkeitsrichtung
dnrch Pfeile angedeutet nnd die Gebiet« p > 0 schraffiert].
Da aber der Pol 0 aof der Engel willkürlich angenommen werden
kann nnd die Lösangen ip Ton (2) für jedes 2/: = — n(n + 1) sich ad-
ditiv EQsammensetzen lassen, so erhält man nene nit^t achsial-aymmetriscbe
Strömungen, wenn man mehrere zn rerschiedenen Polen gehörende
tonale zn einander addiert:
(ß) t„ = c,i',(cos*i) + e,P,(cofl*,) + ...,
234 Hydrodyn. UnterBnchuBgen üb. d. Wirbelbewegungen in einer Ktigelflädie.
wo 8t,8ij''' die sphärisclien Absiede yon den Polen Pj^P,,...
bezeichnen.
Nun ist aber bekannt^ dafs auch die partielle Differentialgleichung
(2) nur in dem Falle (4) 2Ä: = — n(n + 1) überhaupt eine eindeutige
und stetige Lösung auf der YoUkugel besitzt, und dalis die aUgemeinste
Lösung von dieser Beschaffenheit eine ganze rationale Funktion nter
Dimension von cos d', cos co und sin co ist, welche sich mittelst 2n + 1
willkürlicher Konstanten in der Form darstellen läfst:
n
(7) ^ = ^, = aoP„(cos-9') +^(arcos(ro) + 6r8in;(riD))8in''-&Pi';^(co8^),
r = 1
WO ÜQy ttj, Ol, . . . 6i, ftg, . . . Konstanten sind und P'n\x) die rte Ab-
leitung yon P^(x) bedeutet. Eine solche Fimktion des Ortes auf der
Kugel wird eine „Laplacesche Funktion^' oder eine ^^ugelflächen-
funktion« genannt.
Wir erkennen somit:
• Satz in. Es giebt keine anderen kontinuierlichen Unear-stcdionärm
Strömungen auf der VoUhugel als solche nter Klasse, (2* = — n(n + l),
n = 1, 2, 3, . . .), und die allgemeinste nter Klasse läfst sicfi aus 2n + 1
von einander unabhängigen Grundströmungen linear ^usammenseUen^
deren Stromfunktionen sämÜich durch die y^Kugdflächenfunktianen^ nten
Grades dargestellt werden.
Die Strömungen 1. Klasse
^ = ^1 = «0 ^^8 ^ + a^ sin 'S" cos o + &i sin -ö* sin o
^öog + Oig + iii?
(wo if ri, i, rechtwinklige Koordinaten mit dem Kugelmittelpunkt als
Anfangspunkt bedeuten) sind lediglich starre Rotationen um beliebige
Durchmesser und lassen sich stets aus drei verschiedenen Rotationen
linear zusammensetzen.
Für höhere Werte von n zerfallt die ganze Kugelflache in eine
Anzahl von Teilgebieten, in deren Innerem Stromfunktion und Wirbel-
dichte abwechselnd positiv und negativ ist und an den durch Strom-
linien gebildeten Orenzen verschwindet. Besonders einfach werden diese
Gebiete für eine „Grundströmung''
(7a) ^ « ^^, ^ = sin''^P[f) (cos d) cos (r coi) (r=o, i. »^
Denn hier verschwinden (abgesehen von dem oben behandelten
zonalen Fall r = 0, ^ =» P„ (cos d)) f und q augenscheinlich
1) auf aUen r Meridianen © - |;., ^, • • • (2r - 1) ^ , für welche
cos (ro) = 0 ist,
Von E. Zbb>1£lo. 335
2) auf allen n — r Parallfllkreiaen & -^ a^^, a,,- • • a„^r, ftii welche
PS.'> (coB &) - 0 ist
Hier zerfällt also die Kugelääche in ein System TOn r(n — r + 1)
rechtwinkligen sphärisclien Vierecken (bezw. Dreiecken bei 0 und 0*),
deren Grenzen von Stromlinien gebildet sind, welche abwechselnd im
positiven und n^ativen Sinne umkreist werden (a ^ OV und in deren
Eckpunkten die Flüssigkeit beständig in Knhe bleibt {& = 0, co = 0).
In Mwkatorscher Projektion erhält maa demnach eine schachbrettartige
t'igur wie die beistehende Fig. 4.
Für andere, zusammengesetzte Kugelflächenfunktionen (6) werden
die Teilbereiche unr^elmälsiger, aber der allgemeine Charakter des
Vorganges bleibt derselbe.
Mittebt der Lam^schen Funk-
tionen würden wir z. B. Eintei-
longen durch konfokale sphä-
rische Kegelschnitte erhalten.
Doch soll darauf nicht weiter
eingegangen werden.
Hätten wir statt der Voll-
kugel nur ein bestimmt um-
randetes G^iet C betrachtet und
nach den dort möglichen statio-
nären Strömungen gefragt so
wären wir auf die Randwertprobleme der DifFerentialgleichang (1)
oder (2) gestofsen. Denn da die Berandung immer seihst eine
Stromlinie sein mnfs, so hätten wir unsere partielle Differential-
gleichung unter der Randbedingung t = ta'^ const zu integrieren ge-
habt Bezüglich der Differentialgleichuag (2) in der Form (2b)
kann dieses Problem als gelöst betrachtet werden durch die Unter-
sachungen von Schwarz (Festechrift „Über ein Problem der Variations-
rechnung etc." 1S85). Die Lösung der Randwertaufgabe für ii^end
ein (lg > 0 ist immer möglich (für beliebiges k), wenn das Gebiet C
nicht zu grofs gewählt wird. D^egen existiert für jedes Gebiet C
immer ein Wert J derart, dafs an dem Rande überall ^'^ ^^ = 0 wird.
Unter analogen Bedingungen ist aber nach Picard (Liouville Joum.,
Ser IV, t. 6, p. 145ff.) die Randwertaufgabe auch lösbar mr die Diffgl.
(Ib), wenn die Funktion f eine nicht lineare Funktion ist; es giebt
>1bo stationäre, aber ni'cA^linear-atatioimre Strömungen wenigstens in
hinreichend kleineu umrandeten Bereichen der Kngelääcbe. Ob aber
lach auf der Vollkugel solche allgemeineren stationären Strömungen
236 Hydrodyn. Unters, üb. d. Wirbelbeweg, in einer Eugelfl. Von £. Zbbmzlo.
möglich sind, diese Frage ist als noch ungelöst zu bezeichnen. Jeden-
falls bedürfte es zu dieser Untersuchung wohl eines wesentlich anderen
Integrationsverfahrens als der Schwarz-Picardschen Approximation-
methode.
Den stationären Strömungen am nächsten stehen die j/oHerend-
stationären^ y d. h. solche Strömungen, bei denen das ganze Bild der
Stromlinien oder die Stromfunktion ^ als Funktion des Ortes auf der
Kugel zwar nicht konstant bleibt, aber doch nur eine gleichförmige
Rotation um eine feste Achse erfahrt, oder m. a. W., die Strömmigen,
welche, auf ein gleichförmig rotierendes Koordinatensystem bezogen,
stationär erscheineiL
Ist ^('9', (o) die wahre Stromfunktion und nach S. 232 ^j « — acos^
die einer Rotation, so wird
die „scheinbare^' oder „relative Stromfunktion^ in Bezug auf die rotierende
Kugel, und auf den ,yBcheinbaren'' Stromlinien ^ — ^^ » const muCs jetzt,
wenn die ,yBcheinbare Strömung^' stationär sein soll, die wahre Wirbel-
dichte Q » gD^ konstant sein (da eben diese jedem materiellen Teil-
chen charakteristisch ist), damit die Wirbelverteiluni;;, auf die rotierende
Kugel bezogen, ungeändert bleibt, d. h. es mufs sein:
(8) Q « |D* = fit - ^i) « f{i, + a cos ^).
Auch hier betrachten wir ebenso wie bei der Difigl. (I) vor allem
den Spezialfall
f(u) = ku ^iÖ^ti)«,
also die Gleichung:
(9) ■ Dil; + n{n + 1)^ = — n{n + 1) a cos ^.
Eine partikuläre Lösung derselben ist die neue Rotation
wie man sich mit Hilfe von D cos & = — 2 cos d' durch AasredmnnS
leicht überzeugt, und die allgemeine Lösung von (9) erMlt man, wenn
man zu dieser partikularen % die allgemeine Lösung ^' der homogenen
DiffgL (2) hinzufügt, also nach (7):
(11) ^ - ^„ + ^' = _ (-^^^^Ü_ « cos * + aoP. (cos »)
n
+ y(ar cos ro + br sin reo) sin''^PJf> (cos d-).
Zur Schraubentheorie von Sir Robert BalL Von F. Klein. 237
So haben wir den Satz:
Satz lY. Aus jeder linear-stationären Strömung 2k =^ — n{n + 1) kann
man eine mit der Winkdgeschmndigkeit a rotierend -stationäre ableiten
durch hlofse Hinssufügung einer Botation von der Winkelgeschwindigkeit
c = , ^T7— ,-^v « um dieselbe Achse, Oder anders ausgedrückt: Eine
(n — 1)(H + 2) ^
linearstationäre Strömung nter Klasse verbunden mit einer beliebigen
Botation c rotiert gleichförmig um dieselbe Achse mit der Winkelgeschwin-
^ «(« + 1)
Die Theorie der rotierend-stationären Strömungen hat ein physi-
kalisches Interesse, insofern sie sich anwenden läfst auf stationäre Lufb-
oder Wasserstromungen anf der rotierenden Erde.
Zur Schranbentheorie von Sir Robert Ball.
Von F. Klein in ööttingen.
Sir Robert Ball hat seine langjährigen Untersuchungen über
Schraubentheorie im vorigen Jahre in einem stattlichen Bande zu-
sammengefafst'), der nicht verfehlen kann, dieser geometrischen Weiter-
bQdung der Mechanik starrer Körper erneut das allgemeine Interesse
zuzuwenden. Zwei Vorzüge sind es insbesondere, die dem Ballschen
Werke von yomherein einen zahbeichen Leserkreis sichern dürften,
nämlich die Anschaulichkeit und der demewtare Charakter seiner grund-
legenden Entwickelungen. Ich wünsche diese Vorzüge lebhaft an-
zuerkennen, will aber andererseits hervorheben, dafs dieselben von
einem gewissen Verzicht auf die Darl^pmg der im weiteren Verfolg
der Theorie notwendig in Betracht kommenden tiefer greifenden Fragen
begleitet werden (wie dies übrigens der Verfasser selbst an verschie-
denen Stellen seines Buches deutlich hervorhebt. *))
1) A t^eatise 6n tbe theory of screws, Cambridge 1900.
2) Man vergl. z. B. die amüsante Auseinandersetzung, die der Verf. 1887
über die Ziele seiner Untersuchungen vor der British Association in Manchester
gab nnd die nun aus den bez. Reports auf pg. 496 — 609 des vorliegenden Buches
wieder abgedruckt ist. Eine Kommission ist niedergesetzt, um die Bewegungen
eines starren Eflrpers zu untersuchen. „Let is suffice for us^S sagt der PriUident
der Kommission gleich zu Anfang, „to experiment upon the dynamics of this body
80 long it remains in or near the position it now occupies. We may leave to
*nne more ambiUoua commiUee the task of foUowing the body in aU conceivable
gyratious throngh the univerBe'\
238 Zur Schranbeniheorie von Sir Robert Ball.
Jedenfalls mochte ich im Folgenden einige Ei^nzungen züid
Bauschen Werke geben, die manchem Leser willkommen sein durften.
Diese Er^nzungen betreffen erstlich die allgemeine Systematik des Ge-
bietes im Sinne modemer inyariantentheoretischer (oder gruppentheoie-
tischer) Prinzipien, zweitens aber die Verwendung der Schraubentheorie
in der Lehre ron den encUicJien Bewegungen starrer Körper (wo ich
übrigena in der Hauptsache nur systematisch zusammenstelle, was zer-
streut in der Litteratur yorliegt). Ich darf vielleicht hinzufugen, dals
ich die betreffenden Überlegungen seit Jahren in Vorlesungen und
gelegentlichen Vorträgen wiederholt zur Geltung gebracht habe; speziell
knüpfe ich mit den Darlegungen der nächstfolgenden Paragraphen an
meine eigenen Beitrage zur Liniengeometrie und Schraubentheorie aas
den Jahren 1869 und 1871^), sowie an die Auseinandersetzung meines
Srlanger Programmes von 1872^) an. Es hat seinen guten Sinn, iah
ick mich dabei von vornherein der Methoden der arndytischen Geometrie
bedi^M; in der That meine ich, dadurch die in Betracht kommenden
BeziehungQA kürzer und präziser bezeichnen zu können, als dies auf
andere Weise möglich wäre.
§ 1. Von der Tationellen Klassifikation geometrischer nnd
mechanischer GrSfsen.
Als Hauptgruppe räamtiAer Änderungen bezeichnete ich in meinem
Erlanger Programme den Inbegriff der Bewegungen des Baumes und seiner
Ähnlichkeitstransformationen. Es möge ein rechtwinkliges Koordinaten-
system zu Grunde gelegt werden; ich deute an, wie die Operationen der
Hauptgruppe auf die zugehörigen Punktkoordinaten wirken. Wir haben
erstlich für Drehungen um den Anfangspunkt Formehi folgender Bauart:
IXi = ax + by + cZy
y^=a x + Vy + c' z,
z^ = a x + o y + c z,
dabei hat man zwischen den ayb^c,- - - - die bekannten Relationen und
insbesondere ist jede dieser Gröfsen gleich der ihr in der Determinante
a b c
a b c
^" I." j'
a 0 c
1) Math. Annalen, Bd. 2 und 4. Vgl. insbeBondere die „Notiz, betreffend den
ZuBammenhang der Liniengeometrie mit der Mechanik Btarrer Körper*^ in Bd. 4
daselbst, pg. 408—416.
2) „Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungeii"
(Erlangen 1872;, abge<lruckt in Bd. 43 der Math. Annalen und anderwärts.
Von F. Klkik. 239
zugehörigen Unterdetenninante. Wir haben femer ftir taraMd'
verschidnmgen des Baumes Formeln, die ich bo bezeichne:
(2) x^=^x + A, yi = y + By a^^z + C,
endlich ftir diejenigen ÄhfdüMeüstrtmsfinincUionen^ die den Koordinaten-
anüangspmikt festlassen:
(3) Xi = lx, yi = Ay, g^^Xe;
anter ihnen mögen wir die Inversionen
(4) 3Ci = -^, Vi-^-y, ^1 = -^
besonders hervorheben. Die Formeln ftir beliebige Transformationen
der Hanptgrappe ergeben sich aus (l), (2), (3) durch Kombination;
wir mögen dementsprechend die (1), (2), (3) als erzeugende Substitutionen
der Hauptgruppe bezeichnen. Es handelt sich dabei zunächst um Baum-
iransformationen bei festem Koordinatensystem. Es steht aber nichts im
Wege, die Formeln auch so zu interpretieren, dafs sie bei festgehaltenem
Ramne den Übergang je zu einem neuen rechtwinkligen Koordinaten-
systeme Torstellen (so dafs es sich bei den Operationen der Hauptgruppe
überhaupt um die allgemeinste Traiisformation der rechtwinkligen
Koordinaten handelt). Wir werden in der Folge diese Auffassung,
die zumal bei den Verallgemeinerungen eine Kleinigkeit bequemer
scheint, beyorzugen. Die Formeln (1) und (2) ergeben dann zu-
sammengenommen die allgemeinste Abänderung des rechtwinkligen
Koordinatensystems durch Bewegung, Formel (4) den Übergang zu
einem inversen Koordinatensystem, Formel (3) für die allein nur noch
in Betracht kommenden positiven Werte von X die allgemeinste Ab-
änderung, welche aus geänderter Wahl der Längeneinheit resultiert.
Wir legen nunmehr nicht blofs Punkte sondern bdidnge andere
geometrische Oebilde hinsichtlich unseres Koordinatensystems durch
^Koordinaten'' fest, wobei wir uns diese Gebilde iu geeigneter Weise
dnrch Punkte definiert denken, so dafs ihre „Koordinaten'' Verbindungen
verschiedener Reihen von Punktkoordinaten sind. Den Inbegriff der
sckhenoeise zur Festlegung eines geometrischen Gdnldes dienenden Koor-
dinaten mögen wir jeweils als „geometrische Gröfse'^ bezeichnen. Und
nun mht die rationelle Klassifikation geometrischer Gröllsen, von der
im folgenden ausgegangen werden soll, einfach darauf, dafs wir zu-
sehen, wie sich die in Betracht kommenden Koordinaten bei den
Operationen (1), (2), (3) bez. (4) (und also überhaupt bei den Operationen
der Hauptgruppe) rerhalten. Wir werden alle diejenigen und nur die-
jenigen geometrischen Gröfsen als gleichartig anseheny deren Koordinaten
iei den Operationen der Hauptgruppe die gleichen Änderungen erleiden.
240 Zur Schraubentheorie von Sir Robert Ball.
Erleiden aber die Koordinaten zweier Gebilde verschiedene Andenmgen,
so ergiebt sich die geometrische Beziehung der beiden Arten geo-
metrischer Grölsen zu einander unmittelbar und in erschöpfender
Weise durch den Vergleich der beiderlei Änderungen. —
Ausf&hrungen zu diesem Prinzip enthält u. a. der neuerdings er-
schienene Artikel yon Abraham über die geometrischen Grundbegriffe
in der Mechanik der deformierbaren Körper, Bd. lY der mathematischen
Encyklopädie, Art. 14. In der Sache hat man selbstverständlich immer
dem Prinzip entsprechend verfahren. Insbesondere ist die in der
Mechanik (und Physik) übliche Unterscheidung der geometrischen
Grofsen nach ihrer Dimension nichts anderes als eine Inbetraditnahme
der Substitutionen (3) im], Sinne unseres Prinzips (wobei man sich still-
schweigend auf positive Werte von X beschrankt). In dieser Bemerbmg
Uegt zugleich, wie unser Prinzip auf allgemeine, mechanische oder
physikalische Groisen auszudehnen ist. Es ist weiterhin bequem
neben der Längeneinheit und ZeiteinheU nicht, wie sonst üblich, eine
Masseneinheit, sondern eine Krafleinh/üt eingeführt zu denken. Man
wird daraufhin den Formeln (3) noch diejenigen zur Seite stellen, die
sich auf die Änderung der 2jeUeinheUy bez. die Änderung der Krcrflehh
heil beziehen:
(5) t,^Qt, (6) Pi = <^P;
man wird dann sagen, dals die Formeln (1) — (6) zusammen die Haupt-
gruppe der Mechanik (bez. der Physik) definieren, und femer die
mechanischen (bez. physikalischen) Gröfsen nach dem Verhauen ein-
teilen, welches ihre Koordinaten bei den Operationen dieser Bmiptgrufpe
zeigen. Übrigens werden wir auf diese erweiterten Festsetzungen nur
bei Gelegenheit zurückkommen; für die laufenden Entwickelungen
genügt uns die Inbetrachtnahme der räumlichen Haupi^pruppe.
§ 2. Koordinaten für die unendlich kleine Bewegung eines starren
Körpers, sowie für die an ihm angreifenden Kraftsysteme.
Eine unendlich kleine Bew^pmg mag durch folgende Formeln
vorgestellt sein:
dx == (— ry + gxf + w) dtj
0) rfy = (— pxf + r« + t;) dt^
de = (— qx-i- py + w)dt
Wir bezeichnen die Gbolsen
(8) j>, g, r, u, t?, w
Von F. Kliw. 241
als die Koordinaten der instantanen Geschwindigkeit, dagegen die Gröilsen
(9) pdt, qdty rdt, udt, vdi, wdt
als die Koordinaten der unendlich Meinen Bewegung selbst.
Kräfte am starren Körper stellen wir in üblicher Weise durch
Strecken dar, welche auf bestimmte gerade Linien aufgetragen und
längs dieser geraden Linien yerschiebbar sind. Dabei werden wir die
I^nge dieser Strecken je der Gröfse der KnLfbe gleich setzen; es ist
gleichgiltigy ob wir uns dabei die Kräfte sämtlich als Stolskräfte oder
als kontinuierlich wirkende Kräfte denken.^) Es seien x, y^ z bez.
Xj y, z' Anfangs- und Endpunkt einer ,,linienflüchtigen'' Strecke.
Bann hat man in üblicher Weise als Koordinaten derselben:
x—x, y'—y, ^'—^7 y^'—y'^f zx' — z'Xy xy'—xy\
dieselben sechs Grofsen werden als Koordinaten der Kraft gelten, sofern
man die Länge l der Strecke gleich der Zahl P gewählt hat, welche
die Grofse der Kraft mifst. Wollen wir die Abhängigkeit von der
WaU der Krafteinheit und der Längeneinheit deutlicher herrorkehren,
so wird es zweckmäCs^er sein, als Koordinaten der Kraft folgende
sechs Grofsen zu bezeichnen:
-i{^-^)y i(y-y)f t(^'-^), -i{y^'-y^\ y.C^^'-^'^X ji^y-^'y)-
Als Kräftesystem bezeichnen wir den Inbegriff beliebig vieler auf
den starren Körper wirkender Einzelkräfte, und wählen als Koordinaten
desselben die Summen der zusammengehörigen Koordinaten dieser Einzel-
kräfte. Soicherweise erhalten wir ais Koordinaten eines Kräftesystems
die sedis Grofsen:
, x=2't (^' - ^')' r=2'^ (y; - y,), z=2't' (.: - .0,
(10) * '^ ' "^^ •
Es wird nunmehr darauf ankommen, zuzusehen, wie sich die Ko-
ordinaten p, q, r, t4, V, w (8) und die jetzt eingeführten X, Y, Z, L,
Jf, N bei den Operationen (1) — (6) der Hauptgruppe verhalten. Ich
stelle hier die Resultate einfach zusammen:
1) Brehung um den Koordinatenanfangspunkt (Formel (1))*
1) Die Unterscheidung tritt erst ein, wenn wir zur Kinetik schreiten, wo dann
die Verabredung sein wird, dafs die Einheit der Stofskraft an irgend einem Massen-
ponkte instantan dieselbe Qeschwindigkeitsänderung hervorbringt, wie die Einheit
der kontinuierlichen Kraft während der Zeiteinheit.
Zeitochriftf. Mathematik n. Physik. 47. Band. 1902. l.n.8. Heft. 16
242 Zur SchranbenÜieorie von Sir Robert Ball.
Die Koordinaten p^ q, r und die u, v, w, andererseits die XyY^Z
und die L, Mj N erleiden je für sich genau dieselbe Substitution wie
die Punktkoordinaten Xy y^ z, (Dies Resultat ruht wesentUch auf dem
oben hervorgehobenen umstände^ dafs die SubstitutionskoefiSzienten o,
b, Cj . . . ihren bez. ünterdeterminanten gleich sind.)
2) Verschidmng (Formel (2)).
Die py q, r, andererseits die X, Y, Z bleiben ungeändert. Dagegen
erleiden die u, t7^ ti? die folgende Substitution:
Ui = M — C« + J5r,
(11) rj = t; -^r+Ci),
w^ = w — Bp+ Äq
und genau entsprechende Formeln ergeben sich für L, M, N:
L^^ L- CY+BZ,
(110 M,==M-ÄZ+CX,
N, = N-BX + äY.
3) JihfdicMceüstransfarmcitian (Formel (3), bez. (4)).
Ist X positiv^ so werden
(12) p^y q^y r^, U|, «1, tt?i bez. gleich p, q, r, lu, Iv, Xw
und genau so
(120 ^i; ^i; ^i; Ai ^u ^i ^^' gleich X, F, Z, AL, A3f, IN.
Dagegen tritt bei negativem k ein unterschied ein, der sich am
einfachsten darin ausprägt^ dafs bei Inversion
(13) Pu «1, ri, «1, v^, w^ gleich p^ «, r, -u^ -v^ - w,
dagegen
(13-) X„ r„ Z„ L,, M„ N, gleich -X,-Y,-Z, L, M, N
werden. -(Dieser Unterschied kommt dadurch hervor, dafs die in den
Formeln (10) auftretenden Längen h absolute Beträge sind, welche als
solche ihr Vorzeichen bei Inversion nicht wechseln.)
4) Änderung der Zeiteinheit (Formel (5)).
(14) A., «1, r^y Wj, Vi, w^ sind bez. gleich ^, -J-, -~, y, -^, J';
die Koordinaten des Eräftesystems bleiben ungeändert
5) Änderung der Krafteinheit (Formel (6)).
Die p, q, r, u, r, w bleiben ungeändert, dagegen werden
(15) X^, Fl, Zi, 4, 3fi, N^ bez. gleich <yX, cxF, öZ, öL, öM, a^^-
Von F. Klkim. 243
Indem wir uns der Kürze halber auf die Hauptgruppe räumlicher
Änderungen beschränken, werden wir zusammenfassend sagen können:
Bei blofser Bewegung des KoardincUensystems, d>en$o auch hei Ahn-
lichkeitstransformaiion von positivem Ähnlichkeitsmodul, transformieren
sich die KrafUcoordinaien
X, r, Z, A M, N
genau wie die Geschwindigkeitskoordinaten
Pf «, r, u, V, w.
Dagegen tritt bei Inversion des Koordinatensystems ein abweichendes
Verhalten ein; während die
p, }, r, u, V, w in p, q, r, —u, -v, -w
übergehen, verwandeln sich die
X, r, Z, A M, Nbejs. in -X, -Y, - Z, L, M, N.
§ 3. Die Analogie der unendlich kleinen Bewegungen und der
Er&ftesysteme (beim starren Körper). Sohraubengröfsen der ersten und
zweiten Art. Ballsche Schrauben.
Durch die Formeln des vorigen Paragraphen ist die Analogie von
unendlich kleinen Bewegungen und Kj^Lfbesystemen, welche die ganze
Mechanik der starren Körper und insbesondere die Ballsche Schrauben-
theorie durchzieht; auf das klarste begründet und gleichzeitig umgrenzt.
Bemerken wir vorab, dals das Oröfsensystem
pdt, qdt, rdt, udt, vdt, wdt
rermöge der Formeln (7) ohne weiteres eine (unendlich kleine) Schraur
hmg des Raumes der x, y, z (von bestimmter Achse, Ganghöhe und
Amplitude) bedeutet, das Ghröfsensystem der
p, q, r, u, V, w
dementsprechend eine Schraubungsgeschunndigkeit, Ich will in diesem
Smne den Inbegriff der p, q, r, u, v, w fortan als eine Schraubengröfse
bezeichnen, genauer, wenn es darauf ankommt, als eine Schraubengröfse
erster Art.
Nunmehr wolle man den Inb^priff der Koordinaten eines Kräfte-
Systems, also die in (10) definierten
X, r, Z, L, M, N
zum Vergleich heranziehen. Wir wollen insbesondere ein Kraftesystem
and eine Schraubengröfse erster Art in Zusammenhang bringen, indem
wir setzen:
X = |), Y=qy Z=r, L=^u, M=v, N=w,
16*
244 Zur Schranbentheorie von Sir Robert Ball.
und uns fragen, wie weit diese Zusammenordnung eine vom Koardmo^-
System unabhängige BedetUung hat (also gegenüber den Operationen der
Hauptgruppe invariant ist). Zunächst ergeben die Formehi (14); (15)
des vorigen Paragraphen, dafs die Zuordnung von der Wahl der Zeit-
einheit und der Krafteinheit abhängig ist. Feiner aber ergeben die
Formeln fllr Drehung, Parallelverschiebung und Ahnlichkeitstransfor-
mation mit positivem Ahnlichkeitsmodul, dafs die Zuordnung von allen
in diese Worte einbegriffenen Änderungen des räumlichen Koordinaten-
systems unabhängig ist. Endlich die Formeln (13), (13^, dafs sich die
Zuordnung bei Inversion in ihr GegevUeü verlcehrt:
(17) Xi = -|?i, Y^ = -q^, Z^^-r^, A = -<*i; ^i^^-'^u N^—^v
Die geometrische Überlegung bestätigt das so formulierte Resultat
natürlich Schritt für Schritt. Ich will, um dies im Detail auszufuhren,
angeben, dafs die Adise der Schraubengeschwindigkeit p, $, r, ü, Vy w
die Linienkoordinaten hat:
(18) p:q:r:u — hp:v — kq:W'—kr
wo der „Parameter*'
(180 * = ^^^t?T^r,
und dafs die Drehgeschtcindigkeit um diese Achse die Komponenten
p, Qj r, die Translaiionsgeschunndigkeit längs dei^ Achse die Komponenten
kp, kq, kr besitzt. Genau entsprechend kann man bei einem Kräfte-
system X, F, Z, L, M, N eine Zentralachse finden, deren Linien-
koordinaten durch
(19) X:Y:Z:L-kX:M-kY:N-kZ
gegeben sind, unter k die Qröfse
verstanden, und das Kräftesystem läfst sich dann auf eine Eimdkraß
mit den Komponenten X, Y, Z entlang dieser Achse und ein Paar
mit den Komponenten kX, kY, kZ in einer zur Achse senkrechten
Ebene reduzieren. Die Zusammenordnung verlangt, der Drehgeschwin-
digkeit um die Achse die längs der Achse wirkende Einzelkraft und
der in Richtung der Achse liegenden Translationsgeschwindigkeit ein
Paar in einer zur Achse senkrechten Ebene gleich zu setzen. Hiemi
ist selbstverständlich eine vorherige Verständigung über die Zeiteinheit
und die Krafteinheit notwendig.' Erst wenn dies geschehen, kann
man sagen, dafs die Intensität eines Kräftesystems (gemessen durch
yX^ + Y^ + Z^) gleich der durch ]/p^ + q^ + ^^ gemessenen IfUensität
Von F. Klkw. 245
einer Geschwindigkeit sei. Darüber hinau$ aber brauchen wir eine
Verabredung, welchen Sinn um die Achse man einem entlang der Achse
tceisenden Sinne zuweisen wiU; — ob denjenigen Sinn nm die Achse, der
beim Entiangblicken längs der Achse in der vorgegebenen Richtung
durch die Bewegung des Uhrzeigers gegeben ist, oder den entgegen-
gesetzten. Erst dorch diese Verabredung wird die Zusammenordnung
Ton Eraftesystem und Geschwindigkeit eindeutig. Jede solche Verabredung
verwandelt sich aber bei Inversion der Figur bekanntlich in ihr Gegenteil,
und dies ist^ was durch Formel (17) ausgedrückt wird. —
Der Inbegriff der (X YZ L M N) steht also zwar dem Inbegriff
der (fiqruvw), d. h. der Schraubengröfse erster Art sehr nahe, ist
aber nicht selbst eine Schraubengröfse erster Art. Wir werden ihn
als Schraubengröfse zweiter Art bezeichnen. Die Zusammenordnung
der beiderlei Gröfsenarten aber werden wir so in Worte fassen, dafs wir
si^en:
Nachdem Zeiteinheit und Krafteinheit festgelegt sind, gekoren zu
einer Schraubengröfse zweiter Art immer noch zwei (entgegengesetzt gleidie)
Schraubengröfsen erster Art, und umgekehrt; die Zusammengehörigkeit
wird erst eine eindeutige, wenn man im angegebenen Sinne eine Ver-
abredung über rechts und links hinzufügt.
Neben die so besprochenen Schraubengröfsen erster und zweiter
Art treten dann drittens als engverwandte geometrische Gebilde die
Ballschen Schrauben selbst. Die Ballsche Schraube ist der Inbegriff der
um eine Axe herumgelegten Schraubenlinien von gegebenem Windungssinn,
die eine bestimmte Ganghöhe haben, oder, wie Ball sagt, der Inbegriff
von Zentralaxe und Parameter (pitch). Die so definierte Ballsche Schraube
ist mit dem Nullsystem, das jedem Punkte die Normalebene der durch ihn
gehenden Schraubenlinien zuordnet, oder auch mit dem linearen Linien-
komplex, der von den Normalen sämtlicher Schraubenlinien gebildet
wird, eineindeutig zusammengeordnet; ob ich von der Balischen
Schraube, dem Nullsystem oder dem linearen Komplex spreche, ist
f%r den hier vertretenen Standpunkt dasselbe. Jedes dieser Gebilde
wird durch die Verhaltnisse X : Y : Z: L: M: N der Koordinaten
einer Schraubengröfse zweiter Art, oder auch durch die Verhaltnisse
p:q:r:u:v:w der Koordinaten oder Schraubengröfse erster Art
festgelegt. In der That verschwindet, wenn man sich auf die Be-
trachtung dieser „Verhältnisse" beschrankt, der Unterschied der beiden
Arten von Schraubengröfsen. Entsprechend giebt es nur eine Art
Bdlscher Schrauben, Zu jeder Ballschen Schraube gehören unendlich
viele Schraubengröfsen erster wie zweiter Art, die sich unter einander
durch Intensität und Sinn unterscheiden.
246
Znr Schrau>>flnUieorio v
Hiermit dürfte der Zuflammenhang der verschiedenen in Betr
kommenden Gebilde so voUständig dargelegt Eein, als maji wUnHchen
mag. Die einzelne „Schraube" ist Trägerin von unendlich vielen
,,Schraubengröfsen erster und zweiter Art". Indem wir die letzteren
sprachlich unterscheiden, dürfte zugleich dem immer wiederkehrenden
Mi fs Verständnisse, als handele es sich bei der ZuBammenordnung der
zweierlei Sehr aubengr Olsen um einen kausalen Zusammenhang, nach
Möglichkeit vorgebeugt sein.')
§ 4. Über die [nvarianteD der Schraubengrörsen und die BegntKdnns
der ArtnnterscUeidBng aas dem Arbeitsbegriff.
Die gegenseitige Beziehung der beiden Arten von Schrauben-
grnfsen findet einen sehr prägnanten Ausdmck, wenn man ihre Invarianim
betrachtet, d. h. diejenigen aus ihren Koordinaten gebildeten rationalen
ganzen Funktionen, welche gegenüber den Operationen der Hauptgruppe
entweder überhaupt ungeändert bleiben oder sieh nur um einen Faktor
ändern. Ich werde mich hier der Kürze wegen auf diejenigen Operationen
der Hauptgmppe beschränken, die entweder Beicegungen vorstellen oder
aus Bewegungen durch Hinzutreten einer Inversion entstehen, und die
ich mit Herrn Study als ünilegungeji bezeichnen will.
Als Invarianten der einzelnen Schraubengröfse ergeben sich bekannt-
lich erstens die Ausdrücke:
(20) pä+^f+r' bez. X^-\-Y^-\-Z\
die bei Bewegungen und Umlegungen gleichmäfsig nngeändert bleiben,
zweitens aber die folgenden:
(21) pu-\-qv + rw bez. XL+YM + ZN;
dieselben bleiben bei beliebigen Bewegungen ungeändert, kehren aber
bei TTmlegxmgen (wie aus ihrem Verhalten bei Inversion hervorgeht)
ihr Zeichen um. Wir werden dementsprechend die (20) als gerade
1) Vergl. die ErBrtemngen in meiner oben genannten Notia, Math. Ann...'
Bd. i pg. 403 ff. Die Hartnäcldgkeit Ate MirsverständniBsea hat offenbar ein«
pfljchologiache Wurzel. Wir sind durch unsere täglielie Beschäftigung gewShi
e Einzelkraft auf einen Körper wirken lassen, diese auf den Schwer-
punkt des Körpers zu richten, worauf sie natürlich Translation des Körpers
zeugt. Von hier ans hat sich zwischen den beiden Dingen (Einzelkraft nn^J
Translation) ein Assozintion gebildet, die sich in unaeren Ül)erlegungen unwili— ,
kürlicb immer wieder geltend macht, wenn man sie nicht durch eine inuavr^
wiederholte Elrklltruug und eine möglichst unzweideutige Sprechweise au sdrück li f^^
ahsclmeidet. 1
Von F. Klkw. 247
Inyarianten bezeichnen^ die (21) als schiefe^ oder auch die (20) als
Skalare der ersten Art, die (21) als Skaiare der zweiten Art,^)
Die hiermit eingefOhrte Unterscheidung übertragt sich selbstver-
ständlich auf diejenigen ^^simultanen'^ Invarianten zweier SchraubengröUsen
derselben Art, die sich aus den (20), bez. (21) durch ,,Polarisieren^
ergeben. Ich will hier nur die Polaren der Ausdrücke (21) betrachten:
Indem dieselben auch ihrerseits Skalare zweiter Art sind, folgt:
Satz I. Die
P, 9,
sind eu den
r,
«,
V, w
U, V,
und ebenso natürlich die
w,
A
Q, r,
X, r,
2u den
L, M,
z,
M, N
T, Z-,
bei Bewegungen direkt Jcontragredient, bei Undegungen kontragredient mit
Zeichentoecksd.
Dem entgegen betrachte man nun den Ausdruck, der sich nach
Analogie von (22) bilinear aus den Koordinaten zweier Schraubengrofsen
verschiedener Art zusammensetzt:
(23) Xu + Yv + Zw+Lp + Mq + Nr.
Es folgt sofort, dafs derselbe nicht nur bei Bewegungen, sondern
(wegen seines Verhaltens bei Inversion) auch bei Umlegungen durchaus
umgeändert bleibt; er ist ein Skalar erster Art Daher kommt:
Satz II. Die
X, r, Z, i, M, N
sind £u den
u, V, w, p, ff, r
sowohl bei Bewegungen wie bei Umlegungen schlechtweg kontragredient.
Durch diesen Satz dürfte die Zusammengehörigkeit der beiden
Arten von Schraubengrofsen in einfachster Weise bezeichnet sein.
Verbinden wir ihn mit Satz I, so fallen wir auf die Analogie der
zweierlei Schraubengrofsen zurück, die der Gegenstand des vorigen
Paragraphen war. Dieselbe mag hier folgendermafsen ausgesprochen
werden:
1) Yergl. den schon genannten Artikel von Abraham in Bd. 4 der math.
Gncyklopädie, Art. 14 (Nr. 11 daselbst).
248 Zur Schranbentheorie von Sir Robert Ball.
Satz HL Die
X, r, Z, L, M, N
sind den
p, qy r, M, t?, w
bei Bewegungen direkt kogredient, hei UnUegungen kogredient mit laden-
wechsd.
Die in Bede stehende Analogie folgt hier also ans dem Umstände,
dafs vermöge des besonderen, durch Satz I festgelegten YerhaltenB der
Schranbenkoordinaten py q, r, Uy v, w die zu ihnen Jcontragreivmten
GfrölBen X, Yy Zy Ly My N zugleich in dem durch Satz m festgelegten
Sinne kogredient sind. Hiermit dürfte der algebraische 6runc^;edanke
dieser Beziehung so klar herausgearbeitet sein^ als überhaupt möglich
ist Wir können diesen Oedanken an die Spitze der Schranbentheorie
rücken, wenn wir uns das invariante Verhalten des Ausdrucks (23), bez. der
Ausdrücke (22), direkt aus ihrer geometrisch-mechanischen Bedeutung
klar machen. Dies ist, was ich in meiner wiederholt genannten Notiz
in Bd. 4 der Math. Annalen im Auge hatte. Im gegenwärtigen Zu-
sammenhange läTst sich die Sache folgendermafsen präzis darstellen:
1) Man interpretiere die X, F, Z, . . . als die Koordinaten eines
Systems kontinuierlich wirkender Kräfte. Dann bedeutet der Aus-
druck (23) multipliziert mit dty also das Produkt:
(24) {Xu + Yv -\' Zw + Lp + Mq + Nr)dt
die Arbeity welche das Kräitesystem bei Eintritt der unendlich kleine
Bewegung udty vdty wdty . . . leistet, und ist eben darum ein Skalar
erster Art. $
2) Dagegen haben die Ausdrücke (22) vermöge ihrer geometrischen
Bedeutung von vorneherein den Charakter von Skalaren jnoeOer Art
Es genügt, dies hier an dem Beispiele zweier Kräftesysteme nachzu-
weisen, die sich auf Einzelkräfte reduzieren lassen. Wir setzen dem-
entsprechend
und amdog ^ ^
Hierdurch verwandelt sich X^L^+Y^M^+Z^N^-^-X^L^ + Y^Mi+Z^Ni
p p , ,
in das Produkt von -yy^ in die Determinante:
«1 »1 «1 1
< yi K 1
X, y, g, 1
' ff-*
X y, », 1
Von F. Klbiw. 249
die einen sechsfachen Tetraederinhalt vorstellt und göwifs ein Skalar
zweiter Art ist.
3) Aus der Nebeneinanderstellung von 1) und 2) ergiebt sich nun
sofort der Satz III; der das zu beweisende Resultat in präziser Form
ausspricht.
§ 5. Oruppentheoretische ClLarakterisierung der verschiedenen Arten
von Schranbentheorie.
Bisher haben wir die Substitutionen, welche die Schraubenkoordi-
naten p, q, Ty Uy Vy w (um nur von diesen zu reden) bei den Be-
wegungen und ümlegungen erfahren, nur erst durch das Verhalten der
|>, g, . . . bei den erzeugenden Operationen (1), (2), (4) definiert. Es
ist von Interesse, den Inbegriff dieser Substitutionen von den In-
varianten
p* + 2* + ^ und pu + qv + rw
aus zu charakterisieren. In dieser Hinsicht stelle ich folgenden Satz auf:
Die p, q, r erleiden äße tertiären linearen Substitutionen von der
Determinante + 1, ivelche p* + 2^ + r'^ ungeändert lassen, die p, q, r,
u, t, w msammen aber alle senären linearen Substitutionen von der Determi-
nante + 1, welche pu -{- qv -{- rw beziehungsweise in + (pu + qv + rw)
überßäiren.
Der erste Teil dieses Satzes (der sich auf die temaren Substitutionen
der p, g, r bezieht) braucht nach den Angaben, die wir über das Ver-
halten der Py q, r bei den erzeugenden Operationen machten, nicht
weiter erläutert zu werden; er bringt nur die bekannte Beziehung der
Drehungen um den Eoordinatenanfangspunkt 0 zu den temären ortho-
gonalen Substitutionen zum Ausdruck. Sei nun irgend eine temäre
orthogonale Substitution der Py q, r von der Determinante -f 1 als
Teil einer senären Substitution der py g, r, Uy Vy w von der Deter-
minante + 1 vorgelegt, welche {pu + ^'t? + rw) bez. in + {pu + qv-\' rw)
verwandelt. Wir kombinieren sie mit einer Drehung um 0, welche die
j), g, r zu ihren Anfangswerten zurückfährt (und übrigens für die
^, Vy w nach den Angaben von § 2 genau dieselbe temäre Substitution
von der Determinante -|- 1 ergiebt, wie für die p, g, r selbst, so dafs
der Wert von pu -\- qv -\- rw und der Wert der senären Substitutions-
determinante dabei ungeändert bleibt). Wir ziehen femer nötigen-
&llfl eine Inversion heran, um zu erreichen, dafs pu •\- qv + rw seinem
Wprünglichen Werte direkt gleich wird; dabei erhalt die senäre Sub-
stitiitionsdeterminante von selbst den Werth -f 1. Die so vereinfachte
250 Zur Schranbeniheorie von Sir Robert Ball.
Substitution hat jetzt (weil pu + qv + rw in sich selbst übeigehen
soll) notwendig die Form
iPi=P? u^ == u—Cq + Br,
Qi = 9j v^ = V — Ar + Cp,
r^^^ Ty tc^^w— Bp + Aq ,
wo einzig die A, B, C noch willkürlich sind. Eine solche Substitution
stellt aber nach (11), § 2, eine Translation dar. Also unsere anfäng-
liche Substitution ergiebt eine Translation, wenn wir sie mit einer ge-
eigneten Rotation und eventuell einer Inversion verbinden, — sieäeOt
daher von Hause aus entweder eine Bewer/ung oder eine ünüegung dar^
was zu beweisen war.
Soviel über die Substitutionen der p, g, r, u, v, w. Die Sub-
stitutionen der X, Yy Z, i, üf, N ergeben sich von da aus sofort, wenn
wir nur festhalten, dafs sie zu den u, v, tP, p, q, r kontragredient sind
Mit dieser Festlegung der beiderlei Substitutionsgruppen ist nach
den Grundsätzen meines Erlanger Programms die zugehörige Schrauben-
theorie vollkommen charakterisiert.
Wir schreiten nach dem oben Gesagten zur Bauschen Schrauben-
theorie im engem Sinne, indem wir nur die VerhaUnisse p:q:r:u:v:tp
beziehungsweise X: Y: Z : L: M : N in Betracht ziehen (wobei der
Unterschied zwischen den Schraubengröfsen der beiden Arten w^fallt).
Die p :q:r :u:v :w (um nur von diesen zu sprechen) erleiden solche
(und alle solche) lineare Substitutionen, bei denen die Glekhungen
p^ + q* + r^ = 0 und pu + qv + rw=^0 in sich übergehen, der Parameter
i^L » T ^r ^^^^ entweder überhaupt ungeändert bleibt oder doch nur
sein Zeichen wechselt. Wollen wir neben Bewegungen und Umlegongen
auch noch Ahnlichkeitstransformationen in Betracht ziehen, so wird sich
^" iL^^ 4r~r ^™ einen beliebigen Faktor ändern können; die auf den
Parameter bezügliche Einschränkung der Substitution kommt dann in
WegfalL
Die so umgrenjste Ballsche Schraubentheorie ist mit derjenigen Linien-
geometrie, welche das NuUsystem (oder, was dasselbe ist, den linearen
Linienkomplex) als Raumelement benutzt, nach dem KlassifikaHonsprimip
des § 1 im Wesen identisch. Aber natürlich ist, wenn wir uns so aus-
drücken, diejenige Liniengeometrie gemeint, welche die Hauptgmppe
räumlicher Änderungen zu Grunde legt; ich möchte sie die konkrete
Liniengeometrie nennen. Statt dessen ist in meinen eigenen alten Arbeiten
(wie auch in der Mehrzahl der seitdem erschienenen deutschen und
italienischen Arbeiten) die Liniengeometrie in mehr abstrakter Form
Von F. Klein. 251
behandelt worden, nämlich unter Zugnindelegang der lögliedrigen
Gruppe, welche einerseits alle projektiven ümformnngeD unseres Baumes,
andererseits aber die dualistischen Umformungen enthält. Für diese
abshrdkte Liniengeometrie (wie ich sie hier des Gegensatzes halber nennen
möchte) gilt dann der Satz, den ich in Bd. 4 der Math. Annalen pg. 356
aufstellte, dafs bei ihr die Gfruppe aller derjenigen linearen Substitu-
tionen der p:q:r :u:v :w zu Grunde liegt, welche die Gleichung
pu + qv + rw = 0 iR sich überführen. Die BeztKfnahme auf die quor
äroHsche Form p^ + q^ + r^ ist einfach weggefallen.
Mit der so gegebenen Entgegenstellung der zugehörigen Gruppe
dürfte die Beziehung meiner eigenen alten Arbeiten und beispielsweise
des Werkes von Sturm über Liniengeometrie ^) zu denjenigen von
Ball mit aller Scharfe gegeben sein. Auf Einzelheiten einzugehen ist
hier nicht der Ort
§ 6. Lineare Schraubensysteme.
Nachdem solcherweise die Grundlagen der Schraubentheorie fest-
gelegt sind, mögen wir mit Ball dazu übergehen, die linearen Systeme
von Schrauben zu studieren, d. h. die Manigfaltigkeiten solcher Schrauben,
deren Koordinaten sich aus den Koordinaten von 2, 3, 4, 5 Schrauben
mit Hilfe einer entsprechenden Zahl veränderlicher Parameter homogen
linear zusammensetzen lassen. Bei der bezüglichen Diskussion beschnlnkt
sich Ball im wesentlichen auf die Besprechung der allgemeinen Fälle
oder zieht doch nur Beispiele von Spezialfällen heran. Es scheint aber
erwünscht, die DiBknBsion systematisch durchzuführen.»)
Ich will dies hier für die zweigliedrige Schar skizzieren, beschränke
mich aber dabei der Kürze halber darauf, nur die Verhaltnisse der
6 Koordinaten in Betracht zu ziehen. Sei dementsprechend:
(25) Qp = ^j)j + Ajft, Qq = l^q^ + ^ft ; qw -= l^w^ + X^w^ ,
imter g einen Proportionalitätsfaktor verstanden. Es erleichtert die
Ausdrucksweise, wenn wir die so definierten p :q: , .:to als homogene
Pimktkoordinaten in einem Baume von ffinf Dimensionen bezeichnen.
Die Formeln (25) repräsentieren dann in diesem Baume eine gerade
Linie, und es wird sich darum handeln, die sämtlichen Geraden, die es
in unserem ffinfdimensionalen Räume giebt, nach ihrer Beziehung zu
1) Die (Gebilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie in synthetischer
Behandlung, 3 Teile, Leipzig 1892—1896.
2) In ähnlichem Sinne äufsert sich Hr. Study auf pg. 226—228 der (bis jetzt
allem erschienenen) ersten Lieferung seiner GeamePrie der Dynamen (Leipzig, 1901)
^d stellt für die demnächst erscheinende zweite Lieferung weitergehende Ent-
^ckelungen in Aussicht.
252 Zur Schranbeniheorie von Sir Robert Ball.
den beiden quadratischen Mannigfaltigkeiten p^ + 9^ + ^ = 0 und
pu + qv + rw = 0 zu studieren, resp. zu klassifizieren. Dabei wird
sich unsere Aufmerksamkeit in erster Linie auf die ScJiniäpufüde richten,
welche unsere Gerade mit diesen Mannigfaltigkeiten gemein hat Die
Schnittpunkte mit jeder der beiden Mannigfaltigkeiten können getrennt
sein, zusammenfallen oder unbestimmt werden. Aufserdem können die
Schnittpunkte, welche die gerade Linie mit der einen MannigÜEdtigkeit
gemein hat, mit denen, die sie mit der anderen Mannigfaltigkeit gemein
hat, teilweise oder ganz koinzidieren. Des Weiteren möge man Reali-
tatsunterschiede heranziehen. Hiemadi ergiebi sich eine von vornherein
übersehbare Heike von Fallunterscheidungen, die nicht ntir mit leichter Mühe
aufgezählt sondern dpensowohl nach ihrer schraubetitheoretischen Bedeuking
diskutiert werden können. Jeder Geometer, der mit algebraischen Betrach-
tungen in mehrdimensionalen Räumen einigermaTsen vertraut ist, wird
dies ohne weiteres ausführen; es scheint unnötig, hierbei noch länger
zu verweilen.
Immerhin wird es gut sein, einen Unterschied hervorzuheben, den
der geschilderte Ansatz den Bai Ischen Entwickelungen gegaiüber zeigt
Ball berücksichtigt prinzipiell nur die reellen Vorkommnisse, hier da-
gegen wird reell und imi^inär zunächst als gleichwertig betrachtet und
die Frage nach den Realitätsverhältnissen erst zum Schlüsse eingeführt
Um an einem Beispiel den Vorteil zu zeigen, den das letztere Verfahren
haben kann, betrachten wir die Regelfläche, welche von den Achsen
der Schrauben (25) gebildet wird, das sogenannte Oylindroid. Nach
Ball ist dasselbe im allgemeinen von der dritten Ordnung; wenn aber
die komponierenden Schrauben p^^ g^, r^ . . . und p^, g,, r^ . , . sich
auf zwei Rotationen reduzieren, deren Achsen sich schneiden, so artet
es in dasjenige ebene Strahlbüschel aus, dem die Achsen angehören.
Statt der Fläche von der dritten Ordnung haben wir dann also eine
von der ersten. Wie kommt diese Ausartung zustande? Wenn wir
das Imaginäre mitnehmen, finden wir zunächst, dafs es Rotationen mit
unbestimmter Achse giebt (es sind diejenigen Schraubenbewegungen,
bei denen der durch Formel (19') gegebene Parameter den Wert - er-
hält). Dieselben lassen nämlich alle Minimallinien fest, welche durch
einen festen Punkt des Eugelkreises in einer festen Tangentenebene des-
selben verlaufen, also ihrerseits ein Strahlbüschel bilden. Solcher Rota-
tionen treten nun im vorliegenden Spezialfälle unter der Schar (25) zwei
auf, entsprechend den beiden Minimallinien, die unter den Strahlen des
Bai Ischen Strahlbüschels enthalten sind. Die Folge ist, dafs sich von
dem Gylindroid zwei imaginäre Ebenen abtrennen, nämlich die beiden
Von F. Klkih. 253
Ebenen^ welche sich durch die Normale zum Bauschen Strahlbüschel
nnd die beiden Minimallinien desselben legen lassen. Der Rest, eben
das Ball sehe Strahlbüschel; ist dann natürlich von der ersten Ordnung.
— Der Leser muls entscheiden, ob der Grewinn an Einsicht, der hier
und in ahnlichen Fallen resultiert, ein Äquivalent für die weitläufigere
Vorbereitung ist, die erforderlich scheint, wenn man in der Geometrie
mit imaginären Elementen bequem und sicher operieren will. —
Übrigens mochte ich nicht minder eine Ausgestaltung der Theorie
der linearen Schraubensysteme nach der eigentlich mechanischen Seite hin
in Anregung bringen. Die Diskussion der linearen Schraubensysteme,
Ton der ich gerade sprach, versieht uns mit einer endlichen Zahl unter-
schiedener Falle der Beweglichkeit eines starren Körpers im Unendlich-
Eleinen; es kann sich dabei der Reihe nach um 2, 3, 4, 5 Ghtule der
Freiheit handeln. Nun findet man in der Natural Philosophy von
Thomson und Tait (2. ed. Bd. I, p. 155 (Nr. 201)) einen einfachen
Mechanismus beschrieben, vermöge dessen man einem starren Körper
fünf Grade der Beweglichkeit im unendlich -Kleinen in allgemeinster
Weise erteilen kann: der Körper ist um eine Schraubenspindel drehbar,
die mit Hülfe zweier aneinander geketteter Hookescher Schlüssel an
ein Postament befestigt ist. Ich stelle die Aufgabe, die sämäichen ge-
mäfs unserer Diskussion eu unterscheidenden reellen Fälle infinitesimaler
Beweglichkeit eines starren Körpers durch möglichst einfache Mechanismen
zu realisieren.
Eine letzte Bemerkung zur Theorie der linearen Schraubensysteme
möge wieder nach Seiten der Oruppentheorie liegen. Gamille Jordan
hat bekanntlich zuerst alle kontinuierlichen und diskontinuierlichen
Grappen aufgestellt^ die sich aus den reellen Bewegungen des Raumes
bilden lassen.^) Unter diesen interessieren uns hier nur die kontinuier-
liehen Gruppen. Man findet dieselben bei Study im 39. Bande der
Math. Annalen, p. 486 — 487, übersichtlich zusammengestellt und geo-
metrisch charakterisiert; eine Tabelle der zugehörigen unendlich kleinen
Bewegungen giebt Lie in Bd. III seiner Theorie der Transformations-
gnippen (Leipzig, 1893), p. 385. Ich nenne hier von diesen Gruppen
nur die ein&chsten, nämlich:
&) die Gesamtheit aller oo' Translationen,
b) die Gesamtheit aller oo^ Bewegungen, die einen unendlich fernen
Punkt (oder, was auf dasselbe hinauskommt, eine unendlich ferne
Gerade) festlassen.
1) Annali di Matematica, ser. 8., t. 2 (1869).
254 Zur Schranbentheorie von Sir Robert Ball
c) die Gesamtheit aller oo' Bewegungen; welche einen im Endlichen
gelegenen Punkt festlassen ,
d) die Gesamtheit aller oo^ Bewegungen^ welche eine im Endlichen ge-
legene Ebene festlassen.
Offenbar empfiehlt es sich, die Mechanik solcher starrer Eörper, welche
die Beweglichkeit einer dieser Untergruppen haben, gesondert zu bear-
beiten (wie dies für den Körper mit im Endlichen gelegenen festen
Punkt von jeher geschehen ist). Die unendlich kleinen Bewegungen
jeder solcher Untergruppe bilden aber ein lineares Schraubensystem und
die so entstehenden linearen Schraubensysteme heben sich also vor
anderen durch ihre Wichtigkeit für die Mechanik hervor; ich verde
sie lineare Schraubensysteme von sdbständiger gruppenthearetischer Be-
deutung nennen. Indem ich das Eoordinatensy^m in geeigneter Weise
wähle, bekomme ich in den Fällen a) bis d) für die Koordinaten
P,
Q,
r,
M,
»,
w
der betreffenden Schrauben
folgende Werte:
»)
0,
0,
0,
K,
^,
h\
b)
0»
0,
^,
^.
^,
K^
c)
k,
K,
h,
0,
0,
o;
d)
0,
0,
^,
^,
^,
0.
Hier sind die A^, k^y . . ., wie in (25), beliebig veiunderliche Parameter.
Man sollte jedes einzelne der so gewonnenen linearen Schraubensysteme
genau so für die Mechanik der ihm zugehörigen endlichen Bewegungen
benutzen, wie dies sofort mit dem System c) für die Drehung eines
Körpers um einen festen Punkt und hernach mit der Gesamtheit
aller Schrauben für den in allgemeinster Weise beweglichen starren
Körper geschehen wird.
§ 7. Obergang zur Kinetik. Unterscheidung holonomer und nicht
holonomer DifferentialansdriLcke, bez. Differentialbedingungen.
DaTs für n ^ 2 nicht jeder Differentialausdruck
(26) 2: q>i (Xj . . . a;») dxi
ein exaktes Differential dF einer Funktion von x^, . . Xn vei, und dab
für n ^ 3 nicht jede Differentialbedingung
(26') i:q>idXi = 0
mit einer Gleichung dF = 0 gleichbedeutend ist, ist bekannt genug;
die Klassifikation der verschiedenen in dieser Hinsicht vorliegenden
Von F. Klein. 255
Mogliehkeiten wird in der Theorie des „Pfaffschen Problems" ent-
wickelt. Wir sprechen nach der Aasdrucksweise von Hertz in allen
den Fallen, wo der Differentialausdruck oder die Differentialbedingung
nicht durch ein einfaches dF ersetzt werden kann, von einem niciht
hohnomen Differentialausdruck, bez. einer nicM hohnamen Differential-
bedingung.
In der Mechanik liegt die Sache, allgemein zu reden, nun merk-
würdigerweise so, dafs man zwar von je Anlals hatte, nicht holonome
Differentialausdrücke und -bedingungen in Betracht zu ziehen, dafs man
aber erst in den letzten Jahren angefangen hat, diesem Umstände be-
sondere Aufinerksamkeit zuzuwenden.^)
Was zunächst nicht holonome IHfferentialausdrücke angeht^ so treten
dieselben in unsere jetzige Betrachtung dadurch ein, dafs bereits die
Koordinaten pdt, qdt, rdt einer unendlich kleinen Drehung um 0, und
umsomehr die SchraübenkoordincUen pdt, qdt . . . tadt einer beliebigen
anendlich kleinen Verrückung eines starren Körpers nicht holonome
Verbindungen der Differentiale der 3 oder 6 endlichen Parameter sind,
durch welche man die Lage des Körpers in den beiden Fallen festlegen
mag; wir werden hierfür sogleich noch explicite Formeln geben.
Was aber nkJU holonome Bedingungsgleichungen betrifft, so bilden
dieselben nicht etwa einen Ausnahmefall, sondern treten bei den me-
chanischen Vorgängen, die wir taglich beobachten, außerordentlich
häufig auf. So macht Hertz in seinem Werke über die Prinzipien
der Mechanik^) darauf aufmerksam, dafs eine Kugel, die auf einer
Ebene rollt, das Beispiel eines mechanischen Systems von 5 Freiheits-
graden abgiebt, das an eine nicht holonome Bedingungsgleichung ge-
bunden ist. Noch einfacher ist yielleicht das Beispiel eines auf hori-
zontaler Ebene beweglichen Wagens oder Schlittens, der (wegen der
Reibung an der Unterlage) immer nur in Richtung seiner Achse fort-
schreiten kann; wir haben hier die nicht holonome Bedingui^gleichung
dy — tang^ * dx ^0, unter %• das Azimut der Achse verstanden. Wir
BchUelsen, dafs die Betrachtung nicht holonomer Bedingungsgleictmngen in
der Mechanik nichts KünsÜiches ist, sondern von vorneherein mit in Be-
^adit gezogen werden mufs, wenn anders wir die Bewegungsvorgänge der
ims Mmgd>enden WirMichkeit verstehen wellen.
Wir werden^ daher die nicht holonomen Bedingungsgleichungen im
Folgenden immer mit erwähnen. ' Bei Ball geschieht dies nicht und
braucht nicht zu geschehen, da Ball seine Betrachtungen yon vorne-
1) Vergl. verschiedene Stellen in Yobb, Die Prinzipien der rcUioneUen Me-
chanik ^Encyclopädie der Math. Wies. IV, 1), insbesondere Nr. 38 daselbst.
2) Einleitung, p. ^3.
256 Zur Schranbentheorie von Sir Robert Ball.
herein in der Weise auf unendlich kleine Ortsanderangen einschrankt,
dafs er nur die ersten Potenzen der Differentiale beibehalt. Infolge dessen
kann Ball auch den starren Körper^ der irgend k Differeutialheziehnngen
vom Typus (26) unterworfen ist^ kurzweg als ein mechanisches System
von (6 — k) Freiheitsgraden bezeichnen. Dies würde im Falle endUcher
Bewegungen nicht richtig sein: die rollende Kugel vermiß trotz der
nicht holonomen Bedingung, der ihre infinitesimalen Bewegungen
imterworfen sind, oo^ Lagen anzunehmen, ehenso der auf der {x, y]
Ebene bewegliche Wagen sämtliche oo' Lagen (x, y, d*).
§ 8. üeber die Verwendung der Oesohwindigkeitskoordinaten p, q, r
in der Kinetik des starren Körpers mit festem Punkt.
Ehe wir zur Verwendung der Schraubenkoordinaten p, q, r, u, r, ir
in der Kinetik beliebiger starrer Körper schreiten, mögen wir die Ver-
wendung der Pf q, r in der Kinetik des starren Körpers mit festem
Punkt betrachten. Es handelt sich dabei zwar im Prinzip um lauter
bekannte Dinge, aber man findet dieselben nicht überall in der ein-
fachen und präzisen Form beisammen, die wir ihnen hier geben woUen
und die sich hernach unmittelbar auf die Schraubenkoordinaten p, q^ r,
u, V, w übertragt. Den einzelnen Angaben Beweise hinzuzufügen wird
kaum nötig sein; ich verweise wegen der etwaigen Ableitung der
Resultate, sofern deutsche Litteratur in Betracht gezogen werden soll,
am liebsten auf die von Sommerfeld und mir herausgegebenen Vor-
lesungen über die Theorie des Kreisels (Teil I, Leipzig 1897); ins-
besondere geschieht dort (pag. 138 ff.) die Herleitung der Eulerschen
Bewegungsgleichungen (im Anschluls an die ursprüngliche Entwickelung
von Hayward) genau so, wie es im Folgenden skizziert wird.
1. Zusammenhang derp^q^r mit den Geschunndigkeitskoordinaten q>'yif\ ^^
Wir nehmen ein im Körper festes Koordinatensystem X YZ und ein
im Räume festes xyz (mit gemeinsamem Anfangspunkt), deren gegenseitige
Beziehung wir durch irgend drei Parameter, für welche wir hier wegen
ihres elementaren Charakters die Eul ersehen Winkel q>, ify %• nehmen
wollen, festlegen (Kreisel, pg. 19). Der Übergang von der Lage
9, ^, ^ zur Lage q> + q>'dty ^ -f ^'d^, -9" -f ^'dt sei äquivalent mit
einer Drehung durch pdt, qdty rdt tun die Achsen des XYZ- Systems
in seiner den Parameterwerten 9, ^, d' entsprechenden Li^e. Die
Nebeneinanderstellung der bezüglichen Formeln ergiebt dann folgenden
Zusammenhang zwischen den p, q, r und den 9, ^, Q'y bez. 9', i>\ 9'
(Kreisel, pg. 45):
Von P. Klein. 257
(27) g = — -9"' sin <jp + ^' sin •O' cos <p ,
r = 9)' + ^'cosO".
Man erkennt^ dals die p, q, r nicht - holonome Verbindungen der
(p\ ^\ <9-' sind. Die Folge ist^ daXs ich in den Bewegungsgleichungen
des starren Körpers zwar die <jp', ^', ^' gern durch die p^ 5, r ersetzen
kann, dafs ich aber daneben zur Lagenbestimmung des Körpers die
(Pf if, ^ festhalten mufs, die dann mit denp, q^ r durch die Gleichungen (27)^
welche ich die kinematischen Gleidiungen nenne^ verbunden sind.
2. Kraftkoordinaten.
Hat man bei irgend einem mechanischen System bestimmte Ge-
schwindigkeitskoordinaten (hier also die p, q, r) ausgewählt^ so hat
man als Koordinaten der kontinuierlich wirkenden Kräfte allgemein
diejenigen Gröfsen zu nehmen, mit denen multipliziert die Koordinaten
der unendlich kleinen Bewegung in den Ausdruck für die Arbeit ein-
gehen. Im vorliegenden Falle haben wir für die Arbeit nach (24) oben
(indem die u, v, w verschwinden):
dÄ = (Lp + Mq + Nr)dt]
wir werden also da. Kräfteeystexn, das am starren Kö;per angreift,
durch seine Drehmofnente L, M, N um die Achsen des im Körper festen
Koordinatensystems festzulegen haben. Genau so werden wir als Koordi-
naten einer Stoüskraft ihre bezüglichen Drehmomente wählen, wie wir
nicht weiter ausfähren.
3. Aufstellung der kinetischen Gleichungen für die p, q^ r.
Die Aufstellung der eigentlichen Bewegungsgleichungen für die
P} i} ^ (A^^ Eulerschen Bewegungsgleichungen) erfolgt nun am
kürzesten folgendermafsen:
a) Man drücke die lebendige Kraft des rotierenden Körpers durch
die p, q, r aus. Als Einheit der Masse ist dabei natürlich, auf Grund
unserer früheren Verabredungen, diejenige zu wählen, die bei Einwirkung
einer kontinuierlichen Kraft von der Gröfse 1 in der Zeiteinheit die
Geschwindigkeit 1 erhält. Da sich die p, q, r auf ein im Körper festes
Koordinatensystem beziehen, erhält man eine quadratische Form der-
selben mit konstanten Koeffizienten
(28) T = \{Ap' + Bq^ + CV« + 2Dqr + 2Erp + 2Fpq) .
b) Hierauf bilde man die Koordinaten £, M, N des sogenannten
^^mpnlses'^, d. h. desjenigen Systems von Stofskräften, welches im
Z«itsehrift f. Mathematik u. Physik. 47. Band. 190S. 1. n. S. Heft 17
258 Zur Schnnbentheorie Ton Sir Robert Ball.
Stande wäre, den in seiner aogenblicklichen Lage ruhend gedacbUn
Eöiper inatantam in den Geschwindigkeitszustand p^ q, r za verseizen.
Nach den Grondgesetzen der Kinetik, die in der sogenannten „entea
Zeile der Lagrangeschen Gleichungen^ ihren Ausdruck finden, erhält
man dieselben aus T durch Differentiation nach den entsprechenden
Geschwindi^eitskoordinaten. Die Formdn sind:
(29) L-If, jf-lf, iyr=|?'.
c) Von hieraus erhalt man nun die gesuchten kinetischen Gleichungen,
indem man überlegt, dab sich die Koordinaten L, M, N des Impulses
wahrend des Zeitelementes dt aus zwei Gründen um unendlich kleine
Betrage abändern.
Erstlich dadurch, dab an unserem Korper von auüsen gegebenen-
falls ein System kontinuierlich wirkender Kräfte angreift. Wir nennen
die Koordinaten dieses Systems (d. h. seine Drehmomente um die
2-, F-, Z-Achse) A, M, N. Die Ton hier aus resultierenden Än-
derungen der Ly My N sind:
(30) d'L^Sdi, d'M^^Nidi, d'N=f4dt.
Zweitens aber andern sich die L, üf, N dadurch, daCb sich das
Koordinatensystem XTZ, auf welches sie bezogen sind, während des
Zeitelementes dt gegen seine ursprüngliche Lage um pdt^ qdt, rdt
gedreht hat. Wir können ebensowohl sagen, dafs wir den Raum (nnd
also den im Räume feststehenden Impulsvektor) gegen das Koordinaten-
system der XYZ um —pdty — qdt^ — rdt gedreht haben. Dies giebt
als AnderoBgen der L, M, N:
(31) d"L = {rM-qN)dt, d"M=(pN-rL)dt, d" N^{qL-pM)dt.
Die G^samtänderung der L, j9f, ^ ist die Summe der Änderungen
(30), (31); daher kommt^ wenn wir noch durch dt dividieren:
^^■^ = (rJf-sJV) + A,
und dieses sind die gesuchten kinetischen Gleichungen. Die A, M, N
werden dabei zunächst als Funktionen der 9, ^, ^ anzusetzen sein.
4. Bemerkungen su den gewonnenen Oleichufigen.
Schliefslich haben wir zur Darstellung der Bew^pmg die Gleichungen
(27), (28), (29), (32), wo wir gern noch die aus (29) folgenden Werte der
(32)
Von F. Kleik. 259
L, M, N in die (32) eintragen können. Wir haben dann 6 Differential-
gleichungen erster Ordnung für die 9, ^, <&, p, g, r. Ist insbesondere
irgend eine (holonome oder nicht holonome) Bedingongsgleichung für
die q>'y i^'^ ^' gegeben^ so wird sich diese in eine lineare Gleichung
f&r die p, q^ r umsetzen lassen (deren Koeffizienten, allgemein zu reden,
Fimktionen der 9, ^, d^ sind):
(33) Pp+Qq + Br = 0.
Es werden dann in den A, M, N neben Gliedern, welche sich auf die
anderweitigen äufseren Kräfte beziehen, Terme folgender Form auftreten:
(34) -XP, -XQ, -XR,
unter A einen Lagrangeschen Multiplikator verstanden, der so zu
bestimmen ist, dafs die Gleichung (33) fortgesetzt erfüllt ist.
§ 9. Fortsetzung. Fälle, wo die p, q, r wie Lagrangesche
Geschwindigkeitskoordinaten gebraucht werden können.
Die Betrachtungen, welche wir im yorigen Paragraphen unter 3.
gaben, sind wesentlich durch den Umstand yeranlafst, dafs die p, q, r
keine Lagrangeschen Geschwindigkeitskoordinaten, d. h. keine holo-
nome Verbindungen der ip\ ^', ^' sind; wir hätten andernfalls nur die
y^eite Zeile^' der allgemeinen Lagrangeschen Bewegungsgleichungen
heranzuziehen brauchen. Es hat daher Interesse, zuzusehen, bei welchen
Ansätzen und Problemen der Unterschied der^, 9, r und der Lagrange-
schen Geschwindigkeitskoordinaten noch nicht hervortritt; wir lösen
dadurch aus der allgemeinen Theorie der Rotation eines starren Körpers
einen relativ elementaren Teil heraus. In dieser Hinsicht ergiebt sich
Zunächst folgende Zusammenstellung:
1. Die Bedingungsgleichungen, welche gegebenenfalls die Beweg-
lichkeit des Körpers im UnendlichrEJeinen einschränken, sind in den
p, q, r ebenso linear, wie in den 9', ^', ^' (vergl. Glch. (33)).
2. Der Unterschied verschwindet femer bei den Fragen der Statik,
insofern bei ihnen die |>, q, r (und also auch die L, M, N) durch-
weg gleich Null zu setzen sind.
3. Er verschwindet endlich in der Stofsfheorie] in der That sind die
Gleichungen (29), die den Zusammenhang des Impulses mit den er-
zeugten Geschwindigkeitskoordinaten p, q, r ergeben, ihrer Form nach
Ton dem Umstände, dals die p, q, r nicht holonome Geschwindigkeits-
koordinaten sind, durchaus unabhängig.
Es sind dies einfach diejenigen Teile der Mechanik, welche der
Aufstellung der auf kontinuierliche Kräfte bezüglichen Bewegungsglei-
chungen vorangehen. Hierzu tritt aber, wenn man approximative Rechnung
17*
260 Znr Schranbentheorie von Sir Robert Ball.
zulassen will, noch ein vierter Punkt, Derselbe liegt vor, trenn nian die
Theorie der kleinen Schwingungen unseres starren Körpers um eine Gleich-
gewichtslage behandelty und dabei die üblichen Vernachlässigungen einireteH
läfst Man nimmt dann nämlich an, dafs man die in (32) rechter Hand
auftretenden „Glieder zweiter Ordnung", also die (rM — qN) etc., gegen
die übrigen Glieder, also die .^ und A, etc., vernachlässigen kann.
Man erhält solcherweise die vereinfachten Formeln:
dL .
di=^>
(35)
dt = ^>
und diese hängen mit dem Ausdruck (28) der lebendigen Kraft in der
That so zusammen, als wenn die p, q, r Lagrangesche Geschwindig-
keitakoordinaten wären.
Es steht überhaupt nichts im Wege, sofern man Glieder höherer
Ordnung vernaddässigen unU, die p, q, r nach der Zeit genonunenen
exakten Differentialquotienten von Funktionen der 9, ^, d' gleichzusetzen.
Wir werden eine unendlich kleine Drehung vor uns haben, wenn wir 9
und <p + tl^ =^ X unendlich klein nehmen. Ersetzen wir dementsprechend
in (27) sin d- durch ^, cos d" durch 1, ^' • <9' durch — y ' . ^ und y' + ^•'
durch x\ so kommt.
d(9'coBtp^
(36)
|) = -ö"' COS <jp — 9)'-'0' sin 9 = , ,
3== — -ö" smy — 9 •<o'COS9= — ^ — -,
dt
, dr
»• = « "-jf
Hier sind «d- cos 9, — ^ sin 9?, jr die unendlich kleinen Winkel, durdi
welche der Körper von seiner Anüangslage aus um die Achsen OXj
0 Y, OZ gedreht ist. —
Die Au&ählung der vorgenannten vier Punkte ist für das Verständnis
der Balischen Schraubenuntersuchungen von unmittelbarster Wichtigkeit.
Wir dürfen vorgreifend erwähnen, dafs die Schraubenkoordinaten f^q^f)
u, V, w (wie überhaupt irgend welche nicht-holonome Geschwindigkeit»
koordinaten) genau in den entsprechenden vier Fällen ebenfalls wie
Lagrangesche Geschwindigkeitskoordinaten behandelt werden können.
Und nun trifft es sich so, dafs Ball in seinen ursprünglichen Unter-
suchungen über die Anwendtmg der Schraubentheorie auf die Mechanik
der starren Körper gerade die vier hiermit bezeichneten Kapitel heraus-
Von F. Kleih. 261
gegriffen hat. Und auch die weitere Frage^ die er später in Angriff
nahm und von der noch genauer weiter unten die Bede sein soll^ die
Frage nach den jeweils vorhandenen permanenten Schrauben^ läfst sich
unter denselben Gesichtspunkt bringen. Dies ist gewifs nicht zufallig
sondern wohlbedacht, entsprechend der Auffassung, dafs es in der Me-
chanik vor allen Dingen darauf ankommt, sich die jeweils einfachsten
Beziehungen und Vorgange klar zu machen. —
§ 10. Verwendung der Schraubenkoordinaten f&r die allgemeine Kinetik
der starren Körper.
Das in § 7 Entwickelte lafst sich nun Schritt fttr Schritt auf die
Frage nach der Verwendung der Schraubenkoordinaten fttr die all-
gemeine Kinetik der starren Körper übertragen.
1) Wir fisderen die jeweilige Ortsänderung des starren Körpers
durch irgend 6 Parameter, etwa so, dafs wir wieder ein im Körper
festes Koordinatensystem XYZ einfQhren und dessen Lage gegen ein
im Räume festes System xys! durch die Verschiebungskomponenten
titj^t des Anfangspunktes und die drei Euler sehen Winkel 9,^,9*
festlegen (was freilich sehr unsymmetrische Formeln ergiebt). Die auf
das Koordinatensystem X YZ bezüglichen Schraubenkoordinaten p, g, r, u,
r, w der instantanen Geschwindigkeit werden sich dann in folgender Weise
als lineare, nicM holonome Verbindungen der |', i]\ ^\ <jp', ^', d-' dar-
stellen:
^p =» ^' cos 9) + V'' sin -ö" sin 9, g = — -ö*' sin 9 + ^' sin ^ cos 9,
r ^ ff' + if' cos^,
u = |'(cos 9 cos ^ — cos «d- sin 9 sin ii)
(37) \ 4. iy'(cos 9 sin ^ + cos <& sin 9 cos ^) + g' sin -^ sin 9,
+ f]'{— sin 9 sin ^ + cos -9" cos 9 cos ^) + g' sin -^ cos 9,
^tt; = I' sin -ö" sin ^ — ly ' sin <9' cos V' + S' cos d.
Wir bezeichnen diese Gleichungen wieder als die kinematiscJien
Gleichungen.
2) Um nunmehr zu den kinetischen Gleichungen zu kommen, drücken
TO erstlich die lebendige Kraft des Körpers durch die p, q, r, u, t?, w
aus; wir erhalten eine quadratische Form mit konstanten Korffisrienten:
(38) T=F(p,3,r,M,t;,tr).
Wir berechnen femer, gemäCs der ersten Zeile der Lagrangeschen
Gleichungen und dem Ausdruck (24) fttr die virtuelle Arbeit eines
Eraftesystems, die Schraubenkoordinaten X, Y, Z, L, Mj N des zum Ge-
262 Zar Schianbentheorie von Sir Robert Ball.
schwmdigkeitBzustaiide p, q, r, u, v, w gehörigen Impulses durch die
Formeln:
(39) X-P", F-P", Z-l^, L-l^, Jlf-^, JV'=t^.
^ ^ du' ov ' oto' dp' dq' er
Wir überlegen endlich, dafs diese Impulskoordinaten wahrend des Zeit-
elementes dt ans zwei Gründen Änderungen erfahren, die sich super-
ponieren, nämlich durch die von aufsen auf den Körper wirkenden
Kräfte, die zusammengenommen die Koordinaten
=, H, Z, A, M, N
ergeben mögen, und durch die Bewegung des im Körper festen Koor-
dinatensystems mit dem Körper. Von hier aus erhalten wir:
(40)
dt ^ ^ ^ • "■' dt
^-((ZX-i>r)+Z, ^-^^(vX^uY) + (qL^pIf)+H,
\dt ^^ 2-*/ ' -> dt
und dies sind die gesuchten kinetischen Gleidhungen,
3) An diese Entwickelung schlieisen sich dann genau dieselben
Bemerkungen, wie in § 7, insbesondere auch, was die Berücksichtigung
ii^end welcher Bedingungsgleichungen angeht
§ 11. Spezielle Ansffilmmgen zu den Entwlokelungen des vorigen
Paragraphen.
Um die Entwickelungen des vorigen Paragraphen durch spezielle
AusfQhrungen zu belegen, ziehen wir zuvörderst den Fall eines isoUerten,
frei beweglichen Körpers heran. Die Sache wird dann eminent einfachj
verliert aber zugleich einen guten Teü ihrer spezifischen Bedeutung, Wir
legen den Anfangspunkt des Koordinatensystems in den Schwerpunkt
des Körpers. Die lebendige Kraft; (38) nimmt dann bekanntlich folgende
einfache Form an:
(41) T- f («« + »' + «;«) + f{p,q,r),
unter f eine quadratische Form der beigesetzten Argumente mit kon-
stanten Koeffizienten verstanden. Die Impulskoordinat^ii (39) «erden
daraufhin
(42) X-m«, r-m», Z-m«;, L-|^, lf-|^, ^^J,-
Es nehmen daher die letzten drei Gleichungen (40) folgende ein&cli^
Form an:
(43)
Von F. Klun. 263
dt
dM
dt
Wollen wir nun noch voranssetzen, dab die A^ M, N nur von den
% ify d' (nicht von den |, r^, () abhängen, so haben wir ersichtlich zur
Bestimmung der p, q, r, d. h. der Drehung um den Schwerpunkt^ genau
denselben Ansatz, den man von jeher benutzt hat. Das Eigenartige
der Schraubeniheorie entschwindet; man wird das Problem am einfachsten
80 weiter behandeln, dafs man nach Bestimmtmg der Drehung um den
Schwerpunkt die fortschreitende Bewegung des letzteren direkt be-
stimmt, d. h. die gewohnlichen Bewegungsgleichungen far die |, 17, i
aufstellt. Die Schraubentheorie erleidet hier also sozusagen einen
Milserfolg. An diesem Mifserfolg mag es liegen, dafs sich die Schrauben-
theorie die grobe Geltung, welche sie zweifellos fOr die Mechanik der
starren Körper besitzt, immer nur erst partiell hat erringen können.
Gabe es in der Mechanik der starren Körper keine anderen Aufgaben,
als die gerade besprochenen, so wäre es überflüssig, eine besondere Schrauben-
iheorie eu enttvickdn.
Es giebt aber andere Aufgaben die Menge. Ich nenne hier die Be-
wegung eines starren Körpers in einem widerstehenden Mittel (wo die
A, M, N gewifs nicht von dem 97, ^, d- allein abhängen), feiner aber
die Bewegung eines starren Körpers, der gezwungen ist, auf anderen
starren Körpern zu rollen oder zu gleiten.
Ich möchte hier insbesondere auf dasjenige Problem hinweisen,
bei welchem die Schraubentheorie bislang die glänzendste Verwendung
gefunden haben dürfte, das Problem von der Bewegung des starren
Körpers in einer reibungslosen inkompressiblen Flüssigkeit^) Die lebendige
Kraft des aus Körper und Flüssigkeit gebildeten Systems kann in
diesem Falle ohne weiteres in der Form (38) angeschrieben werden,
worauf die gesamten Entwickeliugen des vorigen Paragraphen Platz
greifen. Diese Entwickelungen sind in der That nichts anderes als
eine Transskription der Ansätze, welche Lord Kelvin und Kirchhoff
ursprünglich für den Körper in Flüssigkeit gemacht haben; man ver-
1) Leider ist die mathematische Eleganz dieser üntersuchmigen kein Mafs-
sUb für ihre physikalische Wichtigkeit; yielmehr ist das praktische Geltungs-
gebiet derselben wegen der in allen Fällen vorhandenen Flüssigkeitsreibnng und
der bei grOfseren Geschwindigkeiten auftretenden turbulenten Bewegungen ein
sehr geringes.
264 Zur Schraubentheorie von Sir Robert Ball.
gleiche die Darstellung bei Lamb, Hydrodynamics (Cambridge, 1K95;
Kap. 6), der sich direkt an die Ausdrucksweise der Schraubentheohe
anschliefst, sowie das Referat von Love in IV 15 und IV 16 der
mathematischen Encjklopädie. Die verschiedenen Formen, welche die
lebendige Kraft T je nach der Symmetrie des in die Flüssigkeit ge-
tauchten Körpers annimmt, der jeweilige Zusammenhang zwischen der
instantanen Geschwindigkeitsschraube und der Impulsschraube, endlich
die resultierende Bewegung des Körpers selbst sind ebenso viele
Gegenstände, welche sich auch für eine anschaulich -geometrische Dis-
kussion im Sinne der Bauschen Schraubentheorie vorzüglich eignen
dürften. Es würde dies eine direkte und doch nicht triviale Weiter-
bildung von Poinsots berühmten Untersuchungen über die Rotation
eines starren Körpers um einen festen Punkt sein. Hierzu wolle man
insbesondere die Arbeit von Minkowski in den Sitzungsberichten der
Berliner Akademie von 1888 vergleichen.
§ 12. Abschliefsende Bemerkungen über die mechanischen Kapitel
des Ballschen Werkes. — VersJlgemeinerungen des in § 7 ond § 9
gegebenen Ansatzes.
Es wurde bereits in § 8 hervorgehoben, da(s die Untersuchungen
über die Mechanik der starren Körper, welche Ball in seinem Werke
ausführt^), einen übereinstimmenden Charakter zeigen: es handelt sich
bei Ball durchweg um solche Fragen, bei denen die Schraubenkoordi-
naten p, q, r, u, v, w der instcmtanen Geschwindigkeit wie Lagrangesdie
GeschwindigkeüsJcoordinaien henutzt werden können. Ich habe dies hier
nur noch betreffs der letzten Frage, die in § 8 genannt wurde, der
Frage nach den jeweiligen permanenten Schrauben auszuführen. Dies
gelingt in einfachster Weise im Anschlufs an die kinetischen Glei-
chungen (40). Man findet nämlich, dafs es sich bei Ball dabei um die
Aufsuchung solcher Werte der p, q, r, w, v, w bez. % ^, ^, |, i?, t
handelt, für welche die rechten Seiten der kinetischen Gleichungen (40)
versditmnden] es bleiben dann die X, F, Z, i, M, N des Impulses und
also auch die p, q, r, u, v, w wenigstens für ein Zeitelement konstant,
und eben deshalb spricht Ball in einem solchen Falle von einer per-
manenten Schraube. Als einfache Beispiele möchte ich anführen Standes
1) Nnr von diesen mechaniachen Entwickelnngen des Ballschen Werkes ist
im vorliegenden Artikel die Bede, nicht von den anschlielsenden geofnetriscken.
Ich möchte aber nicht unterlassen anzuführen, dafs Herr Ball die geometrischen
Fragen neuerdings in einer besonderen Abhandlung in den Transactions der & Ino^
Academy (vol. 31, post 12, Dublin 1901) weiter verfolgt hat; dieselbe trftgt den
Titel: FwiiMr Developments of the geometrical theory of six screwM,
Von F. Klbim. 265
permanente Drehachsen eines um einen Punkt rotierenden schweren
Körpers (Journal flr Mathematik Bd. 113, 1894), sowie Kirchhof fs
Theorem, dafs bei jedem Körper in einer reibungslosen, inkompressiblen
Flüssigkeit bei Abwesenheit äufserer Kräfte drei zu einander senkrechte
Richtungen gleichförmiger Translation existieren. Die sämtlichen Fälle
stationärer Bewegung, welche in dem genannten Falle bei dem Körper
in Flüssigkeit auftreten können, diskutiert Minkowski 1. c. In diesen
Beispielen sind zugleich die p, q, r, u, v, w nicht nur zeitweise, sondern
dauernd konstant, so dafs man von Perma/nens der bez. Schrauben im
vollen Sinne des Wortes reden kann.
Letzterer umstand hängt ersichtlich mit der Thatsache zusammen,
dafs die Drehungen um einen Punkt, wie andererseits die Bewegungen
eines freien Körpers eine Gruppe bilden: gehört eine unendlich kleine
Bewegung der Gruppe an, so auch die endliche Bewegung, welche aus
ihr durch unendlichmalige Wiederholung entsteht. Dafs dies bei der
Bewegung starrer Körper keineswegs immer der Fall ist, zeigt das ein-
fache Beispiel eines auf einer Ebene rollenden Cylinders. Hier treten
daher die in § 5 genannten Gruppen von Bewegungen (bez. die mit
ihnen verknüpften linearen Schraubensysteme von „selbständiger gruppen-
theoretischer Bedeutung") in charakteristischer Weise in den Vorder-
grund. In der That läfst sich die Kinetik aller dieser Gruppen genau
so in Ansatz bringen wie in § 7 die Kinetik der Drehungen um einen
Punkt und in § 9 diejenige der freien Bewegungen (eines starren
Korpers); man wird sagen können, dafs in allen diesen Fällen die
Methode der Eulerschen Gleichungen eine naturgemäfse Verallgemeine-
rung findet^) Die Gesamtheit der Bewegungen, welche ein starrer
Körper nach der Natur der ihm auferlegten Bedingungen gegebenen-
falls ausführen kann, ist immer in einer kleinsten Gruppe von Be-
wegungen enthalten. Es dürfte sich empfehlen, die kinetischen Glei-
chungen fär den Körper jeweils so aufzustellen, dafs man diese Gruppe
als Ausgangspunkt nimmt, also bei ihr „kinematische Gleichungen^^
und das Analogen der Eulerschen Gleichungen aufstellt.
Göttingen, den 3. September 1901.
1) Diese Bemerkungen stehen in naher Beziehung zn gewissen allgemeineren
Betrachtnngen über dynamische Probleme, die Herr Yolterra in den Jahren 1899
bis 1900 in den Atii di Torino veröffentlichte; siehe insbesondere den Aufsatz:
^opra vma classe di equcusioni dinamiehe in Bd. 33 und den anderen: Sopra una
^tu9e di moti permanenti stabili in Bd. 34 daselbst.
266 Kleinere Mitteilungen.
Kleinere Mitteilungen.
Draekfehler in den Tables des Logaritlimes k hnit deoimales du Serviee
GiogTaplüqne de rArmie (Paris 1891).
Sr. Don J. de Mendizabal Tamborrel, Astronom in Mexico, teilt
in der Beyista Cientifica j Bibliografica de la Sociedad Gientifica „Antonio
Alzate^ i XV (1900 — 1901) p. 21 mit, daCs in den oben genannten
Tafeln bei Log. cot. 34<' 53' 60'' an Stelle von 0.21981237 zu lesen
ist 0.21981257.1)
Anskftnfte.
Fr, M., K, Die auch vom Tascbenbncb der Hütte und nenerdings
von Herrn Kiepert in der 9. Auflage seines Grundrisses der Differential-
nnd Integralrecbnnng für die ümkehrongen der Hjperbelfunktionen an
Stelle der nocb von Günther nnd Ligowski gebrauchten sinnlosen Schreib-
weise Stc ©in, fixe Sof u. s. w. angenonmienen Bezeichnungen 9x @in,
9t Sof u. s. w. (zu sprechen: area sinus u. s. w.) sind unseres Wissens von
J. F. W. Gronau eingeführt worden (eigentlich Ar. Sin, Ar. Cos u. s. w.,
in den Tafeln für die hyperbolischen Sektoren und f&r die Logarithmen
ihrer Sinus und Cosinus, Danzig 1862). M.
E, H., S. Die beachtenswerte Schrift von P. Crueger, Dezimale
Zeit- und Kreisteilung, ein Kultnrfortschritt, Berlin 1900, ist ein Sond^
abdruck aus der Wochenschrift „Prometheus", Jahrg. XI, Nr. 560. M.
H, H., 8. unserer Mitteilung im vorigen Heft S. 485, die in der
französischen Marine mit der neuen Winkelteilung gemachten günstigen
Erfahrungen betreffend, können wir hinzufügen, dais der erwähnte, den
Bericht des Kommandanten Gujou enthaltende Compte rendu sommaire
du Congres international de Chronometrie de 1900 aus der Imprimerie
Nationale stammt, w&hrend der Compte rendu in extenso nnter der Presse
ist und bei Gauthier-Yillars erscheinen wird.
1) Diesen Tafeln liegt bekanntlich die Hnndertteilunff des rechten Winkels
zu Gnmde und die Zeichen °' '" bedeuten beziehentlich Neu- (Centesimal-) Grad,
Neuminute, Neueekunde.
Kleinere Kitteüungen. 267
Anfrage.
In dem „Versuch einer graphischen Dynamik" von R. Pro eil (Leipzig
1874) ist för die geradlinige Bewegung eines Punktes der Satz aufgestellt,
dftfs die Beschleunigung gleich der Subnormale der Geschwindigkeitskurve
ist, unter letzterer die Kurve verstanden, welche von dem Endpunkt der
senkrecht zur Bahn an den bewegten Punkt angetragenen Geschwindigkeit
beschrieben wird. Im Taschenbuch der Hütte, 17. Aufl. (Berlin 1899)
S. 525 ist dieser Satz mit dem Namen Bour in Verbindung gebracht.
Wo und wann hat Bour denselben veröffentlicht? Trägt man bei einer
beliebigen krummlinigen Bewegung eines Punktes die Geschwindigkeit auch
senkrecht zur Bahn von dem Punkt aus ab, so geht die Normale der von
dem Endpunkt beschriebenen Kurve ebenfalls durch den Endpunkt der
nach Gröfse und Richtung von dem bewegten Punkt abgetragenen Be-
schleunigung. Ist diese Verallgemeinerung des Bour-Proell'schen Satzes
bekannt? Es giebt einen ähnlichen Satz, bei welchem die Geschwindigkeit
in ihrer natürlichen Richtung abgetragen, statt um einen rechten Winkel
gedreht, vorkonunt Ist derselbe bekannt? R. Mehmke.
1
268 Bücherschau.
Bttcherschan.
A. Yon Oettingeii. Elemente des geometriBoh-perspektiTiflcheii
Zeiolmenfl. 177 8. Leipzig 1901, Wilhelm Engelmann.
Der Verfasser giebt in diesem Buche eine weitere Ausführung der An-
merkiingen, die er seiner Bearbeitung der „Systematischen Entwicklung der
Abhängigkeit geometrischer Gestalten von Jacob Steiner*^ Ostwalds Klassiker
der exakten Wissenschaften, Nr. 82 und Nr. 83, beigef> hat Von den
drei Teilen des Buches ist der erste „Perspektive der Lage^' betitelt und
enthält zunächst eine kurze Darstellung der synthetischen Geometrie in ge-
nauem AnschluTs an das Steinersche Werk. Daran schlieist sich die Er-
örterung, wie man unter Anwendung des Prozesses der Zentralprojektion
die geometrischen Elemente festlegen kann, wobei aufser der Bildebene noch
eine weitere feste Ebene, die horizontale Grundebene oder wie der Verfasser
sie nennt, die „Fufsebene" eingeführt wird. Die Abbildung der Punkte
dieser Fufsebene heifst das „Terrain'\ Um einen Punkt im Räume zn be-
stimmen, fällen wir von ihm auf die Fufsebene das Lot und markieren
dessen Fufspunkt. Die Zentralprojektionen des Punktes einerseits und des
Fufspunktes andererseits liegen dann auf einer vertikalen Linie und um-
gekehrt können zwei so gelegene Punkte zur Festlegung eines Raumpunktes
verwendet werden, wobei natürlich durch die Bezeichnung angedeutet sein
mufs, welcher der beiden auf der Bild-Tafel gegebenen Punkte dem Terrain
angehört.
Eine Gerade wird femer zu bestimmen sein, indem man sich das Bild
ihres unendlich fernen Punktes, den Fluchtpunkt, giebt und überdies den
„Ten'ainschnitt", d. h. das Bild des Punktes, in welchem sie die Fufsebene
durchsetzt Die Ebene endlich kann in analoger Weise gegeben werden
durch ihre Fluchtlinie, d. h. das Bild der unendlich fernen Geraden, und
ihren „Terrainschnitt", das Bild der Spur in der FuDsebene. Fluchtlinie
und Terrainschnitt einer Ebene begegnen sich stets auf dem Horizont
Nachdem in solcher Weise die Grundelemente graphisch bestimmt
werden können, findet eine Anzahl von Aufgaben der Baumgeometrie ibre
Erledigung. Zu erwähnen sind einige elegante Anwendungen auf Scbatten-
konstruktionen.
Sodann werden die Kegelschnitte eingeführt als ZentralprojektioneD
des Kreises und umgekehrt Kreise der Bildebene als Kegelschnitte der Fuß-
ebene gedeutet. Die Bemerkung auf Seite 70 unten mufs dahin richtig
gestellt werden, dafs ein zur Tafel nicht paralleler Kreis im Bilde wieder
als Kreis erscheinen kann. Es ist ja nur nötig, dafs för den projizierenden
Kegel der gegebene Kreis der einen Kreis-Schaar, der Kreis in der Bild-
ebene aber der anderen Kreis-Schaar des Kegels angehöre.
Im zweiten Teile, der „Mafsperspektive^ überschrieben ist, erledigt der
Verfasser ausführlich die Aufgaben, die sich auf die Ausmessung von Lmien
und Winkeln beziehen; der dritte Teü endlich bringt „Anwendungen aui
Erzeugnisse projektivischer Gebilde im Baume". Es wird das Hyperboloid
I
Bücherschau. 269
dargestellt als Erzeugnis projektiver Punktreihen, wobei sich für die Be-
stimmung eines Punktes der „ümrifskurve^^ eine einfache Konstruktion er-
giebt, femer das hyperbolische Paraboloid und endlich noch die Aufgabe
konstruktiv vollständig durchgeführt die Geraden zu zeichnen, welche vier
gegebenen Geraden begegnen. Was die Darstellung der Flächen betrifft, so
wäre eine grölsere Anschaulichkeit, Klarheit und Übersichtlichkeit der
Figuren zu wünschen. Ein Anhang enthält eine recht nützliche Zu-
sammenstellung von Sätzen über Kegelschnitte, wobei hinsichtlich der Be-
weise auf Fiedlers „Analytische Geometrie der Kegelschnitte'' nach Salmon
verwiesen wird.
Als Leserkreis dachte sich der Verfasser „vor allem Lehrer und Do-
zenten der höheren Mathematik, dann auch Künstler und Laien von tieferer
mathematischer Bildung, am wenigsten Techniker aller Art''.
Li Bezug auf die Darstellung ist der unbedingte Anschlufs an Steiner
in allen Bezeichnungen doch wohl kaum zu rechtfertigen. Dafs der ver-
dienstvolle Redakteur der „Klassiker der exakten Wissenschaften" den
grofsen deutschen Geometer nach Gebühr würdigt, wird jeder begreiflich
finden. Der Verfasser führt als Grund für die Beibehaltung der Steiner-
schen Terminologie den an, dafs der Leser, falls er tiefer einzudringen
wünsche, sich in Steiners klassischem Werke sofort zurecht finde. Aber die
neuere Geometrie hat seit Steiner doch noch Fortschritte gemacht, die nie-
mand ignorieren kann. Sicher ist es doch auch als ein Fortschritt zu be-
trachten, wenn heutzutage wenigstens im Gebiete der reinen Mathematik
die geometrischen Elemente Punkte, Gerade u. s. f. einheitlich bezeichnet
werden. Der Fortschritt ist aber noch wichtiger als historisches Verständ-
nis. Steiner selbst würde in der Gegenwart das Doppelverhältnis von vier
harmonischen Elementen nicht mehr » -f- 1 setzen und es erscheint als ein
aussichtsloser Versuch, die ganz veraltete^ Steinerschen Bezeichnungen zu
neuem Leben erwecken zu wollen.
Prinzipieller und wichtiger aber erscheint folgender zweite Punkt. Der
Verfasser vertritt sehr richtig und im Widerspruch zu Steiner die An-
schauung, dafs die Raumgebilde der neueren Geometrie auch in ent-
sprechender Weise durch mathematisch -exakte Zeichnungen dargestellt und
dafs die Raum-Konstruktionen aus wissenschaftlichen und pädagogischen
Gründen wirklich durchgeführt werden sollen. Er thut dies in der von
ihm entwickelten freien Perspektive und betont deren Vorzüge gegenüber
der andern Form der Darstellung (Peschka), bei der blofs die Tafel ver-
wendet wird. Denn „wir sehen die Dinge auf der Erde stehend und nicht
an Wände befestigt".
Gerade hierin mufs der Referent sich zu einer anderen Meinung be-
kennen. Stellt man sich auf den rein theoretischen, abstrakten Standpunkt,
so mufs zur Darstellung der idealen Gebilde der neueren Geometrie eine
Projektionsart gewählt werden, die mÖgUchsi wenig neue Elemente einführt
und die aus der Erfahrung stammenden Begriffe der vertikalen Linien u. s. f.
nkcM benutzt. Dies leistet die freie Perspektive, bei der man blofs die
Tafel und das Projektionszentrum verwendet. Die Einführung einer weiteren
festen Ebene ist schon eine Konzession an die Praxis. Namentlich die vom
Verfasser benutzt« FuDsebene dient dem Zwecke, eine gröfsere Anschaulich-
keit zu erzielen. Denn durch dieselbe werden ohne weiteres die drei Di-
270 Büchenchaa.
mensionen des Baumes angedeutet. Deswegen eignet sich diese DarsieUung
besonders fCLr architektonische Objekte, wie dies ja auch der aUgemeinen
Übung entspricht.
Yerl&fst man aber den rein abstrakten Standpunkt und verlangt toh
den Darst^lungen der (Gebilde der Baumgeometrie in erster Linie Anschaii-
lichkeit und leichte Herstellbarkeit, so braucht man überhaupt keine Per-
spektive zu zeichnen, sondern kann Parallelprojektionen benutzen. Di^e
einfachere Projektionsart wird in den meisten F&llen genügen. Dom bei
Perspektiven Ansichten mathematischer Objekte wird die gröÜBore Tiefen-
wirkung und die eine Baumvorstellung ausbildende Kraft der PerspekÜTe
in der Begel gar nicht voll zur Geltung kommen.
Soll aber der p&dagogische Faktor betont werden, der in der Aas-
bildimg des Vorstellungsvermögens liegt, so scheint dem Beferenten gerade
die angewandte Perspektive, die in der Grundebene gegebene Bisse benutxt,
also die Darstellung einfEusher architektonischer Objekte, einer Pfeilerreihe,
einer Treppe u. s. f. am geeignetsten, die Baumanschauung auszubilden.
Jede freie Perspektive tr> etwas Abstraktes, ünanschauliches in sich und
dürfte nur den Äbschlufs eines Lehrganges des Perspektiven Zeichnens bilden.
München. Doehlemann.
A. Fopply Vorlesangen über teohniBOhe Meohanik. Verlag von
B. G. Teubner, Leipzig. Bd. I, Einführung in die Mechanik. 2. Aufl.
1900. — Bd. n, Graphische Statik. 1900. — Bd. m, Festigkeitslehre.
2. Aufl. 1900. — Bd. IV, Dynamik. 2. Aufl. 1901.
Graphische Statik und Festigkeitslehre gehören zur technischen Mechanik
im engeren Sinne des Wortes, weil ihre methodische Ausbildung im An-
schlufs an die Architekten- und Ligenieurpraxis erfolgt ist. Immerhin bildet
die allgemeine Mechanik auch die wissenschaftliche Grundlage dieser Dis-
ziplinen, und es folgt aus diesem einfachen Sachverhalt, dats der Studierende
an einer technischen Hochschule sich zunächst mit den Elementen der
theoretischen Mechanik vertraut macht und dann zu den Anwendungen über-
geht In Wirklichkeit wird dieser natürliche Weg auch heute noch ein-
geschlagen. Man hält es nur fOr passend, die systematische Darstellung
der allgemeinen mechanischen Grundlehren — in Bücksicht auf die spezi-
flschen Bedürfnisse der Studierenden — ebenfalls als Teile der „technischen
Mechanik" zu bezeichnen. GröDsere zusammenhängende kinetische Probleme
wie die Theorie der Eurbelmaschinen, des Begulators, der Fahrzeuge, der
Turbinen etc. werden bei dieser Auffassung in das Gebiet der „theoretischen
Maschinenlehre" verwiesen.
Das vorliegende Werk geht zwar weit über das hinaus, was die älteren
Darstellungen der technischen Mechanik über dynamische (und speziell
kinetische) Fragen enthalten, hält sich aber doch im Grofsen und Ganzen
an die durch den technischen ünterrichtsgang auferlegte Abgrenzung. Die
Zentrifngalregulatoren treten demgemäfs als ideale (reibnngs&eie) Systeme
auf, die Bewegung der Kurbelmechanismen ist — ohne vollständige Berfick-
sichtigung der wirklichen Kraftfelder — nur in den allgemeinsten Gnudzügen
angedeutet. Die elastischen Deformationen sowie die Beanspruchung der
einzelnen Maschinenteile werden bei dieser Auffassung des Unterrichtsstoffes
Büchenchau. 271
eben&llfl nicht behandeli Wohl aber sind den Gmndyorstellungen über
Reibung, Luftwiderstand und Stofs einige AusfQhrungen gewidmet.
Die Hilfsmittel der höheren Analjsis hat der Herr Verfasser in allen
Teilen des Werkes möglichst beschränkt — nnd niemand wird ihm des-
wegen einen Vorwurf machen können. Will man aber bei verwickeiteren
mechanischen Problemen der Technik , die aus praktischen Gründen eine
Lösung verlangen, nicht bei nutzlosen allgemeinen Redensarten stehen
bleiben, so ist man genötigt zu passenden Nähenmgstneffioden zu greifen
und auf diese Weise eine Lösung zu erzwingen, die als Ersatz für ein
streng mathematisches Resultat dienen kann und noch aulserdem die Vor-
teile der Einfachheit und Kürze vor diesem voraus hat. Li diesem Sinne
hat schon Poncelet gangbare Wege vorgezeichnet und andere sind ihm
gefolgt. Leider haben diese Bestrebungen in dem vorliegenden Werke keine
genügende Beaditung gefunden. Der Herr Verfasser muTste sich deshalb
öfters entschlieüsen, verwickeitere mechanische Vorgänge durch allgemeine
Beschreibungen zu skizzieren, wodurch greifbare Resultate, die gerade der
Ingenieur so notwendig braucht, nicht gewonnen werden können.
Jedem Leser des vorliegenden Werkes wird der fast vollständige
Mangel an Litteratumachweisen für die Quellen aufgefallen sein, aus denen
die hervorragendsten mechanischen Leistungen entsprungen sind — ein
Mangel, der übrigens in der Fachlitteratur vielfach empfunden wird. Wir
sind überzeugt, dalÜs der Herr Verfasser in seinen mündlichen Vorträgen
den Zuhörern die notwendigsten Mitteilungen Über die Entstehung des
D'Alembertschen Prinzips und des Prinzips der virtuellen Verschiebungen
nicht vorenthält — aber wir sehen nicht ein, weshalb die Leser des
Buches von einem Euler, Lagrange, Poisson, Cauchj nicht mehr als
den Namen erfahren sollen. Die Lehrbücher von Schell, Somoff und
Bouth verdanken ihren allgemein anerkannten Wert zum grofsen Teile den
historischen Notizen, die ja ohnehin keinen übermäfsigen Raum beanspruchen,
aber ausreichen, um manchem Leser einen Fingerzeig zu geben, wo er sein
Wissen gelegentlich vertiefen und erweitem kann. Selbstverständlich wird
niemand von einem Lehrbuch, welches in erster Linie für solche Studierende
hestinunt ist, die auf die Aneignung einer bestimmten Disziplin nur eine
kurze Zeit verwenden können, eine encjklopädische Vollständigkeit der
historischen Nachweise verlangen — es genügt hier durchaus, auf diejenigen
Leistungen aufinerksam zu machen, welche die Grundsteine der heutigen
Mechanik bilden. Das eigentliche Studium der geschichtlichen Entwicklung
dieser Wissenschaft wird immer eine selbständige Aufgabe bleiben.
Der erste Band der Vorlesungen behandelt die elementare Mechanik
des materiellen Punktes, des starren Körpers, der elastischen und flüssigen
Systeme. Er giebt aulserdem eine kurze Übersicht über die Reibungs-
erscheinungen und andere passive Widerstände.
Eine eigentümliche Stellung hat das Prinzip der virtuellen Verschiebungen
(§ 15) in dieser „Einführung^ erhalten. Da es im methodischen Gange des
Unterrichts zunächst für einen einzelnen freien Punkt ausgesprochen wird,
so geht bei dieser Auffassung das eigentliche Wesen dieses Grundgesetzes
der Mechanik ganz verloren. Denn es tritt dem Studierenden als eine ziemlich
nutzlose Formel entgegen, aus welcher er nur den ihm bereits bekannten
Satz vom Parallelogramm der Kräfte ableiten kann. Es fehlt eben an dieser
272 Bucherschau.
Stelle noch der Begriff des Systems and damit aach die Möglichkeit, über
die virtuellen Verschiebungen irgend etwas Bestimmtes auszusagen. In § 18
tritt nun zwar ein mechanisches System in einfachster Form auf^ indein
hier der Fall eines materiellen Punktes betrachtet wird, der gezwungen ist,
auf einer festen Fläche zu bleiben. Allein diese Gelegenheit benutzt der
Herr Verfasser nicht, um dem berühmten Prinzip wenigstens etwas Leben
einzuflöfsen. Erst im § 21 wird es zur Aufstellung der Oleichgewicht»-
bedingungen der Kräfte am starren Körper herangezogen. Es heiüst hier
(p. 143):
„Wir hatten femer bei der Mechanik des materiellen Punktes das
Princip der virtuellen Geschwindigkeiten bewiesen und wollen auch dieses
auf den starren Körper übertragen. Zu diesem Zwecke denken wir uns
dem Körper eine willkürliche (virtuelle) Bewegung ertheilt. Diese Bewegung
kann zwar auch von endlicher Grösse sein; gewöhnlich (1) wird aber das
Princip der virtuellen Geschwindigkeiten am starren Körper nur auf unendlich
kleine Lagenänderungen angewendet, und wir wollen es daher von vornherein für
solche ableiten. Der Uebertragung auf eine Bewegung von endlicher Grosse
steht nachher ohnehin nichts im Wege, da sich jede endliche Bewegung
auf eine Sunmie von unendlich kleinen Lagenänderungen zurückführen l&sst."^
Hier liegt aber offenbar ein Irrtum vor. Denn die Forderung, d&fs
die Arbeit bei einer unendlich kleinen Bewegung verschwinde, ist notwendig
und hinreichend für das Bestehen eines Gleichgewichtszustandes. Die For-
derung, dafs auch bei einer endlichen Bewegung die Arbeit verschwinde, geht
weiter und entspricht einer Spezialisierung des allgemeinen Gleichgewichtes.
Sic giebt nämlich die bekannten Bedingungen des ctsiatisdien Gleichgewichts:
ZPiX^ = 0, ZPiOC^ = 0, 2;Pi;?s = 0,
2;Pj,aJi=0, HF^x^^O, ZP^x^^O,
ZP^x^^O, ZP^x^^O, ZP^x^^O,
deren Ableitung offenbar nicht bezweckt ist.
Das D'Alembertsche Prinzip wird in dem ersten Bande der Vor-
lesungen nur gestreift, da die systematische Darstellung desselben dem
letzten Bande vorbehalten ist. Im § 14 der „Einführung" wird es bei
Gelegenheit einer sehr ausführlichen Erörterung über Centripetal- und
Centrifiigalkraft erwähnt.
Diesen Betrachtungen liegt der einfache Fall zu Grunde, dafs ein mate-
rieller Punkt mit der Masse w sich mit der konstanten Greschwindigkeit *'
in einem Kreise vom Halbmesser r bewegt. Die hierbei auftretende Gröfise
C = m — wird als „Centripetalkraft" bezeichnet. Hieran schliefst sich auf
p. 69 die Bemerkung:
„Im Zusammenhang mit ihr (der Centripetalkraft) steht aber noch der
Begriff der Centrifugalkraft, der noch eine genauere Erwägung erfordert.
Kaum eine andere Betrachtung aus den Elementen der Mechanik hat nämlich
schon zu so vielen Unklarheiten und falschen Deutimgen Veranlassung ge-
geben, als die Einführung des Hilfsbegriffes der Centrifugalkraft. Wie mir
scheint, ist dies vorwiegend darauf zurückzuführen, dass von diesem Begriffe
zu zwei verschiedenen Zwecken Gebrauch gemacht wird, ohne dass diese
stets richtig auseinander gehalten würden.**
Bücherschaa. 273
Hierzu wird noch Hertz (Prinzipien der Mechanik) zitiert mit der
Bemerkung, dais auch er in der Auffassung der Centrifugalkraft geirrt habe.
Der Studierende muTs nun entschieden der Ansicht werden, daXs hier
einer der dunkelsten Punkte der Mechanik vorliegt, dessen Aufklärung den
Bemfihungen der gröüsten Autoritäten milslungen ist Aus den Erörterungen
des Herrn Verfassers erfahren wir, dals der Druck der Bäder eines in einer
Kurve fahrenden Wagens gegen die äufsere Schiene die „CentrifugäUcrafl im
gewöhnUdten Sinne des Wortes^ ist, und daüs diese Kraft „physikalisdi
msUert^, Einen weiteren Aufschlufs erhalten wir auf p. 70:
„An dem Eisenbahnwagen, den wir betrachten, können alle Kräfte, die
an ihm wirken, nicht im Oleichgewicht miteinander stehen, sondern wir
wissen schon, dass sie eine Besultirende ergeben müssen, die die Bichtungs-
ändenmg der Bewegung hervorruft. Trotzdem erscheint es aber erwünscht,
die Aufgabe auf ein Gleichgewichtsproblem zurückzuführen. Das kann
natürlich nur willkürlich oder, wenn man will, gewaltsam geschehen, indem
man sich noch eine Kraft hinzudenkt, die in Wirklichkeit gar nicht vor-
handen ist, ... sie muss die Besultirende aller übrigen Kräfte, also die
Genttipetalkraft, gerade aufheben, also gleich gross und entgegengesetzt
gerichtet mit ihr sein.^
Offenbar ist der Eisenbahnwagen bei dieser Auffassung identisch mit
einem materiellen Punkte, welcher sich auf einem fest<en Kreise mit der
konstanten Greschwindigkeit v bewegt. Aus dem Beispiel auf p. 72 (Be-
rechnung der theoretischen Schienenüberhöhung in Kurven) geht unzwei-
deutig hervor, dafs diese yJmgierU^^ Centrifugalkraft mit der physikalisch
exisUerenden^*^ identisch ist.
Unterscheidet man konsequent zwischen Massenbeschleunigung, ein-
geprägter Kraft und Sjstemreaction — wie es das D'Alembertsche Prinzip
Terlangt — so fallen von vornherein alle Schwierigkeiten, welche die
Gröfse C betreffen, fort, und jede weitere Auseinandersetzung kann eher
verwirrend als aufklärend wirken.
Die Statik, welche im ersten Bande auf den materiellen Punkt und
das einfache starre System beschränkt ist, findet im zweiten Bande eine
weitere Ausgestaltung mit Bücksicht auf die Seilpolygone, die Chasles-
Möbiussche Kräftereduktion, das ebene und räumliche Fachwerk und die
Theorie der Grewölbe. Bei dem grofsen Umfang des Stoffes mufs man dem
Geschick, welches der Herr Verfasser in der Auswahl der Probleme und
der Durchführung derselben bekundet, unbedingte Anerkennung zollen.
Vielleicht hätte das Thema der Initialspannungen — wegen seiner prak-
tischen Bedeutung — eine etwas eingehendere Beachtung verdient, zumal
da dieses Gebiet in den letzten Jahren durch mehrere wertvolle Arbeiten^)
in manchen Punkten gefordert worden ist.
Der dritte Band (Festigkeitslehre) hat in zweiter Auflage mehrere
grölsere Zusätze erhalten, welche als besondere numerierte Paragraphen dem
Texte der ersten Auflage eingefügt wurden.
§ 22 a enthält allgemeine Bemerkungen über Balken aus Qufseisen
und Stein, worin die Giltigkeit der gewöhnlichen Biegungsformeln er-
örtert wird.
1) M. vergl. etwa die Abhandl. von F. H. Cilley. Sill. Joum. [4] 11. 1901.
Zdttebrifl f. MsthemAtik a. Physik. 47. Band. 1908 1. n. 2. Heft. 18
274 Bücherschau.
Die §§ 63a und 63b hat bereits Herr Weingarten^) einer sach-
lichen Kritik unterzogen, so dafs wir uns hier einer weiteren Beurteilimg
enthalten können.
In § 70a wird dem Leser mitgeteilt, dafs Herr Prandtl demnädistsof
Grund der mathematischen Elastizitfitstheorie eine Untersuchung „über die
Biegung eines gekrümmten Stabes, dessen Qnerschnittsabmessungen von gleicher
Gröijsenordnung mit dem Krümmimgshalbmesser sind^\ yeröffentlicheD wiri
Der letzte Zusatz-Paragraph 70 b berichtet kurz tlber die üntersuchimg
der Spannnngsverteilnng in einer durchlochten Blechtafel des Herrn Kirsch
(Ztschr. d. V. D. Ing. 1898).
Eine sachliche Erweiterung hat die zweite Auflage der Festigkeitslehi«
im Vergleich mit der ersten nicht erhalten, da die eingeschalteten
Paragraphen teilweise keinen greifbaren Inhalt besitzen oder wie die
§§ 63 a und 63 b ihren Zweck — die mathematische Sicherstellung der
Gastigli an 0 sehen Sätze — ganz verfehlen.
Wenn auch der Techniker auf mathematisch strenge Lösungen gern
verzichtet und in vielen Fällen, schon wegen der Unzulänglichkeit der
analytischen Methoden, darauf verzichten mufs, so kann man doch keines-
wegs von der Forderung abgehen, dafs in einem Lehrbuch der technischen
Mechanik ungenaue öder gar falsche Lösungen eines bestimmten Problems
als solche scharf gekennzeichnet werden. Hierhin gehört die Berechnung
der Spannungsverteilung in einem rotierenden Schleifsteine. Im § 50
behandelt der Herr Verfasser die Bestimmung der Normal- und Tangen-
tialspannung in einer unendlich langen Röhre, welche einem konstanten
Flächendruck auf der Innenseite ausgesetzt ist, während von körpe^
liehen Kräften abgesehen wird. Eine Anmerkung hierzu (p. 327) beginnt
mit dem Satze: „Ein Schleifstein, der mit grosser Winkelgeschwindigkeit
rotirt, wird in ganz ähnlicher Weise beansprucht, wie ein dickwandiges
Bohr^) durch einen inneren Ueberdruck.^' Dem Studierenden wird hier eine
starke Phantasie zugemutet, um die nahe Verwandtschaft beider Probleme
einzusehen. Jedenfalls müssen beim rotierenden Schleifstein sowohl die
beiden ebenen Seitenflächen als auch die beiden cylindrischen Begrenzungen
entsprechend spannungsfrei sein. Diesen Bedingungen genügt aber die
Partikularlösung für das Böhrenproblem keineswegs. Ihre willkürliche
Übertragung auf den Schleifstein führt auf eine prinzipiell falsche Fonnel.
Auch der Hinweis auf die Versuchsresultate des Herrn Grübler (Ztschr.
d. V. D. Ing. 1897, 1899) trägt hier nicht das Mindeste zur Klarstellung
der Frage bei, da auch die in den Arbeiten des Herrn Grübler benutzten
theoretischen Gleichungen die Grenzbedingungen nicht einmal annähernd
erfüllen. Die einfache Mitteilung an den Leser, dafs das Problem der
rotierenden Scheibe, trotz der mannigfachsten Bemühungen, keine be-
friedigende theoretische Lösung zugelassen hat, wäre hier zweifellos he-
iehrender gewesen, als der oben zitierte Satz und die darauf folgenden
Erörterungen des Herrn Verfassers.
Der vierte Band (Dynamik) giebt uns Veranlassung, einige Bemerkungen
1) Rezension über „Aug. Föppl, Vorlesungen über technische Mechanik^
Archiv d. Math. u. Physik. 3. Reihe. Bd. 1. p. 842—362. 1901. M. vergl aach
die sich unmittelbar daranschliefsende Polemik zwischen Autor und Rezensent
2) Der Zusatz „von unendlicher Länge'^ fehlt im Texte.
Büchersclian. 275
über die in § 11 gegebene Darstellung des D'Alembertschen Prinzips zu
machen, da dieselbe von den bisher üblichen mehrfach abweicht.
Indem der Herr Verfasser den Vektor der äuTseren Kraft, welche auf
einen Punkt des Systems mit der Masse m wirkt durch !ß und die zu-
gehörige Beaktion mit JS^ bezeichnet, nimmt der dem D'Alembertschen
Prinzip eigentümliche Drei- Vektoransatz die Form an:
Darauf wird ein neuer Buchstabe ^ eingefOhrt durch die Gleichung
nnd es folgt die Bemerkung:
,Jn dem Kunstgriffe, das dynamische Problem durch ZufÜgung der
Trägheitskrafte ^ auf ein statisches zurückzufiihren, besteht der Kern des
D'Alembertschen Princips. Freilich wird dieses, wie wir alsbald sehen
werden, häufig oder gewöhnlich in einer analytischen Form ausgesprochen,
die den wirklichen Gehalt des Princips nicht so deutlich hervortreten lässt/'
Die obige Drei -Vektorgleichung heilst jetzt:
?ß + -2:3 + © = 0.
Es ist ganz selbstverständlich, dafs sich die drei Kräfte $, JS^ und ^ am
Massenpunkte m des Systems das GleichgeMricht halten. Ebenso selbst-
verständlich ist es, dais sich auch alle diese Kräfte am ganzen „Haufen"
(System) das Gleichgewicht halten. Ganz unverständlich bleibt es aber,
was diese trivialen Wahrheiten mit dem D'Alembertschen Prinzip zu thun
haben. Leider erfahren vrir dies auch nicht aus dem oben zitierten Satze
des Herrn Verfassers, in welchem der Kern des D'Alembertschen Prinzips
offen gelegt werden soll. Dieser Kern steckt nämlich gar nicht in dem
Kunstgriffe der Einführung eines neuen Buchstabens für die negative Massen-
beschleunigung, sondern in der schlichten Behauptung, dafs die Reaktionen
2^3 ^^ ^0 Massenpunkte genommen an dem gegebenen System im Gleich-
gewicht sind. Diese Bemerkung, welche nur die Reaktionen £^ betrifft,
hat der Herr Verfasser ganz unterlassen imd dadurch den Kern des Prinzips
vollständig verfehlt.
Im weiteren Verlauf der Entwicklung vnrd die geometrische Summe
Über das ganze System gebildet und es ergiebt sich die Gleichung
indem ££^ = 0 gesetzt wird. Diese Gleichungen sind richtig, wenn das
betrachtete System vollständig frei ist, was aber schon in dem ersten Bei-
spiel (Pendel), das der Herr Verfasser in § 12 giebt, nicht zutrifft Aulser-
dem sind dieselben — auch für den Fall des freien Systems — kein
adäquater Ausdruck des D'Alembertschen Prinzips, sondern führen un-
niittelbar zu dem Schwerpunktsatze, dessen Ableitung offenbar an dieser
Stelle nicht bezweckt ist, da derselbe erst im § 13 betrachtet wird.
Nach dieser mifslungenen Einführung des D ' AI embert sehen Prinzips
heifst es weiter (p. 110):
„In den Lehrbüchern der analytischen Mechanik wird das D'Alem-
18*
276 Bfichenclian.
bertsche Princip gewöhnlich durch eine Formel ausgedrflckt, die aus den
vorausgehenden Betrachtungen (?) folgt, wenn man sie in Verbindung mit
dem Princip der virtuellen Geschwindigkeiten bringt/^
Die Verbindung mit dem La grau gesehen Prinzip wird dann auf eme
ganz ungewöhnliche Art hergestellt, da sie ,,aus den vorausgehenden Be-
trachtungen'' — wie wir gesehen haben — gar nicht gefolgert werden
kann. Der Herr Verfasser sagt nämlich weiter:
„Der Weg, den der ins Auge gefasste materielle Punkt hierbei (d. h.
bei der virtuellen Verschiebung) zurücklegt, sei dd; dann ist f&r jedes
willktkrliche «j»^)
(?ß + 2:3 + ^)« = 0,
also bei üebertragung der Betrachtung auf den ganzen Punkthanfen
da sich die Arbeiten der inneren Krftfte im vorliegenden Falle gegeneinander
wegheben/'
Die erste dieser beiden Formeln ist eine nichtssagende Identitftt, die
zweite fOr „willkfirliche" dd unrichtig, da unter dieser allgemeinen Vonos-
Setzung über die Variationselemente die Gleichung
keineswegs bestehen kann, sondern ganz wesentlich an die Bedingung ge-
bunden ist, dafs die dd mögliche, d. h. mit der BewegungsfUiigkeit des
materiellen Systems verträgliche, unendlich kleine Verschiebungen sind.
Auf solche im gegenwärtigen Falle allein brauchbare Variationen wird aber
erst in der weiteren Darstellung des Herrn Verfassers aufinerksam gemacht
Er macht nämlich auf p. 111 mit Bücksicht auf die gewöhnlichen Gleichungen
der analytischen Mechanik
(72) i:[(x-mg)dx+(r-m0)*y+(Z-»^**] = O
die folgende nachträgliche Bemerkung:
„In der analytischen Mechanik denkt man bei der Anwendung von
Gleich. (72) gewöhnlich an solche virtuelle Verschiebungen, für die die
inneren Kräfke keine Arbeit leisten, obschon Gestaltänderungen dabei nicht
ausgeschlossen sein sollen. Man kann dies, weil man die Körper, die das
System oder den Punkthaufen ausmachen, nur in solcher Weise miteinander
in Verbindung gebracht denkt, dass bei den hierdurch zugelassenen Ver-
schiebungen der Theile gegeneinander in der That keine inneren Arbeiten
geleistet werden, um dies zum Ausdruck zu bringen, pflegt man su
sagen, dass unter den in Gleich. (72) auftretenden Verschiebungskomponenten
nur solche zu verstehen seien, die zwar sonst willkürlich, aber dabei mä
den Systemhedingungen verträglich seien. Immer, wenn dieser etwas an-
bestimmte Ausdruck gebraucht wird, thut man gut, in Gedanken dafür zn
setzen, dals JSZ^Sfi gleich Null sein soll.''
Warum hat der Herr Verfasser diese in der analytisdien Mechanik
1) Unter d^ ist offenbar immer dt zu verstehen. Wir haben aber den Text
unverändert wiedergegeben.
Bfichenchau. 277
alleiii üblichen — mit den Systembedingongen verfcr&glichen — dd, deren
Wahl doch keiner zufälligen Konvention entstammt, sondern durch das
Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten in bestimmter analytischer Form
Yollstandig gegeben ist, sobald man überhaupt die Reaktionen {E^ elimi-
nieren, d. h. zu den Betveffungsgleichungen gelangen will, nicht gleich von
vornherein dem Leser mitgeteilt? Er wäre dann nicht ganz am Ende der
Darstellung, sondern — was einem Lehrbuche doch jedenfalls zum Vorteil
gereicht — gleich am Anfange auf den wahren Kern des D'Alembertschen
Prinzips gestofsen, und dem Studierenden würde nicht zugemutet, sich durch
eine ganze Reihe falscher Vorstellungen, welche sich ihm möglicherweise
entgegenstellen können, durchzuarbeiten, ehe er zu der ^^ewöhnlichen^ und
aUein richtigen Auffassung hingefOhrt wird.
D'Alembert selbst kannte — bei der Veröffentlichung seines Trait.e —
das Prinzip der virtuellen Verschiebungen nicht und war deshalb genötigt,
die elementaren Gleichgewichtsgesetze anzuwenden, die — wie der Herr Ver-
fasser passend hervorhebt — in den einfacheren Fallen auch noch heute
üblich sind.
Für den Techniker ist übrigens das D'Alembertsche Prinzip in der
ersten Lagrange'schen Form:
(A) ij(^_«g),j=.0,
welche mit der Gleich. (72) übereinstimmt, nicht bequem, da sie die oft
mühsame Bildung der zweiten Derivierken ^rf verlangt.
Weit handlicher ist die eweiie ebenfalls von Lagrange (Mec. anal.
2. ed. Bd. 1. p. 305 u. f.) gegebene Formulierung:
(B) £^ix = ^^£{mx6x) - 8L,
worin i ==" 71 'onä L die kinetische Energie des Systems bedeutet. Sie
wird gewöhidich nur zur Herleitung des sogenannten Hamilton sehen
Prinzips benutzt, ist aber in der vorstehend angegebenen Differentialform
weit brauchbarer als das Zeitintegral
t
0 = C\8L + E^^X^t
mit seinen — für die Mechanik — nutzlosen Minimaleigenschaffcen, die
aulserdem die Existenz eines Potentials der Kräfte $ voraussetzen. Diese
letztere Bedingung ist gerade bei technischen Problemen häufig nicht eriüllt.
Hatte der Herr Verfasser die Form (B) des D'Alembertschen Prinzips
in seinem Lehrbuche aufgenommen, so würde die weitere Darstellung der
Kinetik an Durchsichtigkeit und Prägnanz ungemein gewonnen haben. Ins-
besondere hätte sich der granze dritte Abschnitt, der in ungewöhnlich weit-
läufiger Form von der relativen Bewegung eines Massenpunktes handelt und
viele seitenlange Rechnungen erforderte, auf einige Zeilen zusammenziehen
lassen. Denn da man schon aus dem ersten Bande (p. 124) die Gröfse
278 Bücherschatu
kennt (wir setzen die Masse t» « l), so ergiebt die Gleich. (B) nach Ans-
führong der Differentiationen nach x^ und x^ sofort das Resultat
i\ + 2 (cögit, — a^x^) — ui^x^ + m^ {m^x^ + to^x^ + a^x^ = Xj, etc.
welches für einen unveränderlichen Wert der Winkelgeschwindigkeit (co) des
rotierenden Bezugssystems die relative Bewegung eines Punktes (X|, ^, 2^)
darstellt.
Bei Gelegenheit der Ausführungen über das D'Alembertsche Prinzip
(p. 109) weist der Herr Verfasser auf ein sehr wichtiges Problem der an-
gewandten Mechanik hin mit den Worten:
^fn der Festigkeitslehre werden nämlich die Spannungen und Form-
änderungen eines elastischen Körpers gewöhnlich nur imter der Voraus-
setzung untersucht, dass alle daran angreifenden äusseren Kräfte im Gleidi-
gewichte sind und dass der Köiper ruht In der Technik muss man aber
öfters auch Festigkeitsaufgaben für bewegte Körper lösen. Hier tritt nun
das D'Alembertsche Prinzip als stets bereites Werkzeug auf, diese Auf-
gaben auf solche an ruhenden Körpern zurückzuf{ihren/^
Ein solches Problem — nämlich die Bestimmung der Schwingungen
von „schnell umlaufenden Hängespindeln^^ — ist im § 28 durchgeÜÜbrt,
aber merkwürdigerweise, ohne dais auf die Gnmdformeln der BelatiT-
bewegung, aus denen doch die Differentialgleichungen (142) auf p. 262 un-
mittelbar — d. h. ohne jede Bechnung — folgen, Bezug genommen ist.
Allerdings beginnen die Entwicklungen über relative Bewegung erst auf
p. 289 des vierten Bandes. Aber eine einfache Umstellung der Reihenfolge
des Stoffes hätte die mühsame Ableitung der Differentialgleichungen für das
elastische ProbleHn erspart.
Im § 32 des vierten Abschnittes (Dynamik zusammengesetzter Systeme)
hat der Herr Verfasser versucht, die allgemeinen Bewegungsgleichungen von
Lagrange
^ ^ dt oq^ oq^
auf einem Wege herzuleiten, der von Herrn Weingarten in der oben an-
geföhrten Rezension (p. 348 — 349) eingehend kritisiert ist, und deshalb in
der vorliegenden Besprochung als erledigt betrachtet werden kann. Wohl
aber werden hier einige Bemerkungen über die Bedeutung der Lagrange-
schen Gleichungen am Platze sein, da die Ausführungen des Herrn Ver-
fassers hierzu Anlafs bieten.
Auf p. 347 heilst es: „Wir haben tms hiermit überzeugt, dass das
Hamütonsdie Prinzip und die Lagrangeschen Gleichimgen im Grunde ge-
nommen dasselbe aussagen. Selbstverständlich müssen för die Gültigkeit des
einen Satzes auch dieselben Bedingungen erfüllt sein, wie für die des anderen.
Diese Behauptungen sind unrichtig, obwohl sie am Schlüsse einer
längeren Deduktion stehen. Denn in Wirklichkeit besteht zwischen dem
sogenannten Hamilton sehen Prinzip
t
(D) 6 C{L- V)dt^O
oder der hiermit gleichwertigen — wenn auch etwas allgemeineren —
Bücherschaa. 279
Foimel (B) und den Lagrangeschen Gleichungen (C) ein ganz prinzipieller
Unterschied, welcher von Lagrange ^) selbst klargestellt ist.
Zunächst ist das Bestehen der Gleichungen (C) an die Bedingungen
6dqt ^ ddqt (p. 344) gebunden, d. h. die Gröfsen q^ müssen unter allen
Umständen Koordinaten sein, welche die Lage des zusammengesetzten
Systems eindeutig bestimmen. Li der That bezeichnet auch der Herr Ver-
fasser auf p. 311 die Gröfsen g« als „allgemeine Koordinaten^ und hätte
nach dieser exakten Bemerkung die auf p. 315 nachträglich mitgeteilte Be-
dingung: „Vor allem müssen die Körper wirklich als starr betrachtet werden
dürfen'^ weglassen können, da sie leicht Mifsverständnisse hervorruft, zu
denen — ohne dieselbe — kein Anlafs vorliegt
Das sogenannte Hamilton sehe Prinzip (D) sowie auch die Grund-
gleichung (B) sind jedoch keineswegs an die Bedingung ddqt = ddqt ge-
bunden und bleiben auch noch für die in der ,.technischen Mechanik^ äufserst
wichtigen Beioegungen mit nickt Jiolonomen Bedingwngen giltig. Ihre Richtigkeit
und Brauchbarkeit bleibt femer bestehen, wenn statt der Gröfsen g« passend
gewählte kinematisdie Oröfsen — wie etwa die Komponenten m. = -?-,- ,
dB dB
fi^ = -j? , «8 ~ ~Ät ^®^ Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden starren
Körpers — genommen werden. Bleiben wir bei dieser speziellen Annahme,
so ist natürlich jetzt nicht mehr ddcO(~ döm^ sondern es bestehen die von
Lagrange aufgestellten Beziehungen:
sdO^ ^ dse^ + do^se^ — dOj^se^
ödo^ = döo^ + de^se^ — do^öe^
ddO^ = ddOQ.-\' dO^öO^ — dO^öO^^
deren Benutzung in den Gleich. (D) oder (B) zu der Euler sehen Gleichung
för die Rotation eines starren Körpers fCQirt
Aus diesen Bemerkungen erkennt man femer, daCs die von dem
Herrn Verfasser im § 35 gegebene Ableitung der Gleich. (D) — also des
sogenannten Hamiltonschen Prinzips — unzulässig ist, da sie das „Prinzip^'
einer Beschränkung {ddqi » ödqt) unterwirft, die den wahren Sachverhalt
verdunkelt und die Gültigkeitsgrenzen unnützerweise verengt
Gerade der Umstand, dafs die Formeln (B) und (D) auf weit all-
gemeinerer Grundlage beruhen als die Lagrangeschen Gleichungen (C)
macht sie dem Physiker und Techniker so aufserordentlich wertvoll.
Die vorstehenden Ausführungen zeigen zur Genüge, dafs der Verfasser
bei dem gewifs berechtigten Versuche, die allgemeinen Prinzipien von der her-
gebrachten abstrakten — und häufig allzu schematischen — Herleitungsweise
unabhängig zu erfassen und unmittelbarer verständlich zu machen, nicht
immer glücklich gewesen ist.
Wir sind aber überzeugt, dafs Herr Föppl es nicht unterlassen wird, die
betreffenden Teile seiner „Vorlesungen über technische Mechanik'^ nach dieser
Richtung hin einer gründlichen Umarbeitung zu unterziehen. Alsdann würde auch
der anerkannte Wert der mannigfachen anregenden Anwendungen, insber
sondere auch der gröfseren Probleme, deren Verständnis eine sichere Kenntnis
der allgemeinen Prinzipien voraussetzt, noch wesentlich erhöht erscheinen.
Berlin. K. Hbun.
1) M^c. anal. 2. ^d. Bd. 2. p 2S8
280 Büchenchan.
Heinrieh Weber^ Die partiellen Differentialgleiohmigen der mBthe-
matiBOhen Pli^ik. Nach Riemann's Vorlesungen in vierter Auflage
neu bearbeitet. Braonscbweig 1901, Fr. Vieweg n. Sohn, XI n. 527 S.
Preis: geh. 10 Mk, geb. 11,60 Mk.
Über die Gesamtanlage dieses klassischen Werkes der mathemaidseben
Physik ist bereits gelegentlich der Besprechung des ersten Bandes berichtet
worden. Der vorliegende zweite Band enthalt gleich dem ersten eine rein
mathematische EinfQhmng, die sich aber hier wesentlich auf die Theorie
der gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen bezieht; die übrigen Bücher,
aufser einem ganz neu hinzugekommenen, welches die elektrischen Schwin-
gungen betrifft, sind auf dem durch die drei letzten Abschnitte der Hatteo-
dorf sehen Ausgabe geschaffenen Boden aufgewachsen. Ein alphabetisdieS)
sich auch auf den ersten Band erstreckendes Sachregister ist am SehluTs des
ganzen Werkes angefügt.
Von den fünf Büchern handelt das erste, betitelt: „Hilfsmittel aas der
Theorie der linearen Differentialgleichungen^, von den linearen gewöhnlichen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Da die neueren fnnktionentheorelischen
Methoden ^ der Physik noch keine Anwendung gefunden haben'', so stützen
sich die mitgeteilten Untersuchungen hauptsächlich auf die alteren Methoden
von Euler, Gauss, Kummer, „auf die man zurückgreifen muls, wenn es
sich um wirkliche zur Berechnung geeignete Darstellungen handelt''. Die
ersten drei Abschnitte dieses Buches sind der Differentialgleichung der hJpe^
geometrischen Reihe und den verwandten Gebieten, der 6 aufs sehen I7-Funldaon
und der Bie mann scheu Funktion
gewidmet. Der vierte Abschnitt, „Oscülationstheoreme" betitelt, untergeht
die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in Bücksicht auf die
Klassifikation der Integrale nach dem Vorzeichen der Invariante, im besonderen
diejenigen Integrale, welche bei positiver Invariante unendlich viele NoU-
stellen besitzen. Doch ist za bemerken, dafs dabei auf die Eigenschaften
der Invariante selbst, wie sie von H. A. Schwarz und A. Cajlej unter-
sucht worden, nicht weiter eingegangen wird.
Das zweite Buch, „Wftrmeleitung", zertällt in drei Abschnitte: ^e
Differentialgleichungen der Wärmeleitung", „Probleme der Wärmeleitnng, die
nur von einer Coordinate abhängig sind", „W&rmeleitung in der KugeP. Es
schliefst sich im allgemeinen an die Hattendorfsche Ausgabe der Bie-
mann sehen Vorlesung an; von den neu hinzugefugten Kapiteln sei erwähnt
das Problem des Vordringens des Frostes, mitgeteilt nach einer Königsberger
Vorlesung von Franz Neumann.
Eine wesentliche Erweiterung gegen die früheren Ausgaben hat das
dritte Buch, „Elasticitats-Theorie", erfahren. Während dort nur die Theorie
der Schwingungen betrachtet wird, findet der Leser hier in sieben Abschnitten
ein Kompendium der Mechanik der elastisch deformierbaren Körper: All-
gemeine Elasticitats-Theorie, statische Probleme, insbesondere die Theorie
von Saint- Venant, Druck auf eine elastische Unterlage; im letzten Ab-
schnitt wird das vor einigen Jahren von Herrn Boussinesq xmi^r-
suchte Problem des Gleichgewichts eines von einer unendlichen Ebene
Bücherschau. 281
begrenzten Körpers und eines schweren Körpers anf einer elastischen Unter-
lage nach der Fouri ersehen Methode der partikularen Lösungen behandelt.
Es folgen drei ausführlicher gehaltene Abschnitte über die Schwingungstheorie,
betitelt: Bewegung der gespannten Saiten, die Bie mann sehe Integrations-
inethode, Schwingungen einer Membran. Die hier mitgeteilte Integrations-
methode ist diejenige, welche Biemann in seiner Abhandlung „Über die
Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite*' angewendet
hat, und die sp&ter wohl wesentlich durch die Forschungen P. du Bois-
Reymonds weiter ausgebaut worden ist (Man vgl. z. B. G. Darboux,
Th^rie generale des Surfaces, liy. 4, chap. 4.) Den Beschlufs des Buches
bildet ein Abschnitt: Allgemeine Theorie der Differentialgleichung der schwin-
genden Membran, welcher zun&chst die Hauptsätze der Theorie des loga-
rithmischen Potentials, sodann die auf die Litegration der Gleichung
Ju + Ä;*M = 0
bezüglichen Sätze, die harmonischen Funktionen, die Entwickelung nach
harmonischen Funktionen giebt.
Das vierte Buch, „elektrische Schwingungen*', ist der Natur der Sache
entsprechend ganz neu hinzugekommen. Es zerflQlt in drei Abschnitte:
elektrische Wellen, lineare elektrische Ströme, Beflexion elektrischer Schwin-
gungen. Die auf den Max well sehen Grundlagen basierten Untersuchungen
krystallisieren sich in den beiden ersten Abschnitten um die Litegration der
sogenannten Telegraphengleichuug
.djü_,dw du
^ 8:c«~" dt* ^^^ dt'
welche fOr die Fortpflanzung ebener gedämpfter Wellen in einem unbegrenzten
Medium gilt. Ln letzten Abschnitt wird zunächst die Beflexion ebener Wellen
behandelt, sodann aber die Integration der Max well sehen Gleichungen in
einem beliebigen Felde für periodische Lösungen und unter bestimmten An-
nahmen über die Leitfähigkeit, die Dielekrizitätskonstante und die Permeabilität
durchgeführt.
Im fünften Buch „Hydrodynamik*' wird nach einer, die allgemeinen
Grundlagen betreffenden Einleitung in zwei Abschnitten die Bewegung eines
starren Körpers in einer Flüssigkeit untersucht. Von den zahlreichen
Erweiterungen, welcher dieser Teil durch die Neubearbeitung erfahren hat,
interessiert besonders die Bewegung eines Binges mit kreisförmigem Quer-
schnitt; eine Andeutung der Lösung dieses Problems hatte Biemann schon
in seinen Vorlesimgen 1860/61 gegeben; partikulare Integrale der Differential-
gleichung der Aufgabe lassen sich durch die P-Funktion von sieben Argu-
menten darstellen. Mechanische Probleme aus diesem Teil der Hydrodynamik
(gedämpftes Pendel, Geschofsbewegung) werden eingehender erörtert. Nach
einem yierten Abschnitt: unstetige Bewegung von Flüssigkeiten, folgt ein
Kapitel über die Fortpflanzung von Stöfsen in einem Gase, in welchem die
Riemannsche Theorie der Yerdichtungsstöfse mitgeteilt wird; bei dieser
Gelegenheit wird auch der von Lord Bayleigh erhobene, die scheinbare
NichterfQllung des Energiegesetzes betreffende Einwand untersucht.
Das Buch beschliefst mit einem Abschnitt über die Luffcschwingungen
mit endlicher Amplitude. Wie bereits oben erwähnt, ist die Biemannsche
282 Bachenchan.
üntersuchang dieses physikalischen Problems der Ausgangspunkt einer wich-
tigen Methode zur Integration linearer partieller Differentialgleichungen
zweiter Ordnung geworden. Biemanns Arbeit selbst scheint weniger
bekannt geblieben zu sein; um so mehr ist es zu begruTsen, daCi ihre Ergebnisse
im Zusammenhang mit anderen Untersuchungen Biemanns auf verwandten
Gebieten dem mathematischen Leser bequem zugänglich gemacht wtarden.
Charlottenburg. Rudolf Bothe.
F. W. Oedicus. Kinetik« Beiträge in einer einlieitliolLen meoha-
nisohen GnmdanaohAuung. Wiesbaden 1901.
In der vorliegenden Schrift wird — im Gegensatz zu den bisherigen
Begriffsbestimmungen der Mechanik — der Ausdruck £mv statt |£mr'
als kinetische Energie bezeichnet. Die Gleichung Zmv == consl, worin fnr
die V ungerichtete Werte zu nehmen sind, tritt als Grundsatz einer neaen
kinetischen Theorie auf. Demnach gilt auch für die Komponentenzerlegung
nach rechtwinkligen Achsen die Erhaltungsgleichung
2mvg-\' £mvy+ 2Jiiir,= const
Der Hr. Yerf. kennzeichnet seine Stellung zur Energetik femer mit
dem Ausspruche: „Es kann gar keine Bede davon sein, dals ^m«;^^ const
der Ausdruck einer wahren, vollkommenen Erhaltung sei. Ohne den Zn-
sammenhang mit dem oben angegebenen Grundgesetz, aus welchem der
Ausdruck hergeleitet (?) ist, vermag er überhaupt keinen mechanischen Vor-
gang eindeutig zu bestimmen.'^
Dagegen stellt Zmv ,4n eindringlichster Weise'^ den wahren Wert der
Energie dar.
Da der gewählte Ausgangspunkt den ganz eigentümlichen Standpunkt
hinreichend kennzeichnet, so kann hier von einem weiteren Eingehen in den
Ideengang des Herrn Verfassers abgesehen werden.
Berlin. K Heüm.
Alois Indra, k. und k. Artillerie -Oberst, Die wahre Gestalt der
Spannungakurve. Wien, Verlag von B. von Waldheim. 1901.
Unter obigem Titel veröffentlicht Indra den Sonderabdruck einer Beihe
von Abhandlungen aus den letzten Jahrgängen der Wiener „Mittheilungen
über Gegenstände des Artillerie- und Geniewesens'^ Er versucht in den-
selben auf Grund zumeist bekannter Versuche von Uchatius, Sebert,
Zabudski u. a. sowie unter Benutzung eigener Ermittelungen Gleichungen
herzuleiten, mittels deren es gelingen soll, den wirklichen Verlauf der Gas-
druckkurven in Geschützen und Gewehren zur Darstellung zu bringen.
Das Werk besteht hierzu aus zwei Hauptteilen. Der erste will den
Nachweis führen, dafs die Gasdruckkurve in Wirklichkeit in periodischen
Schwankungen verläuft imd als solche mit ihren Ableitungen durch
B es sei sehe (Cjlinder-)Fmiktionen zur Darstellung gebracht werden kann.
Der zweite giebt für einen mittleren Verlauf der Druckkurve eine neue
Zustandsgieichung der Pulvergase. Eingeschaltet ist noch eine Unter-
Büchenchau. 283
sachnng über die Zuverlässigkeit der Gasdrackmessongen mit Hilfe des
Meüüsel- und des Staachapparates sowie die Entwickelang einer Theorie
über die Verbrennung des Pulvers, insbesondere über die Abhängigkeit
der Verbrennungsgeschwindigkeit von den verschiedenen sie beeinflussenden
Faktoren.
Vom rein theoretischen Standpunkt aus sind die In draschen Unter-
sudrangen von hohem Interesse, zumal dadurch, dafs sie es zum ersten
Male ermöglichen, eine Reihe von Vorgängen beim SchuTs auch rechnerisch
zu beleuchten. Das Interesse wird dadurch nicht vermindert, dafs es stellen-
weise fraglich erscheint, ob bei den zur Entwickelung und Prüfung der
neuen Theorieen herangezogenen Beispielen die vorhandenen Fehlerquellen
des Versuches gebührend berücksichtigt wurden und ob nicht etwa in An-
betracht dieser Fehlerquellen etwas zu weit gehende Berechnungen angestellt
worden sind. Dies dürfte auch für eine praktische Verwendung der Her-
leitungen zu berücksichtigen bleiben, umsomehr, als ja neuerdings fClr die
Praxis zwar nur empirisch, aber doch mit anscheinend völlig ausreichender
Zuverlässigkeit ermittelte DarsteUungsweisen zur Verfügung stehen, welch
letztere allerdings Indra bei der ersten Veröfifentlichimg seiner Untersuchungen
noch nicht alle bekannt sein konnten.
Wenn daher auch das gestellte Problem nur in soweit gelöst erscheint,
ftls „die wahre Glestalt der Spannungskurve*^ mit einem gröfseren Grade der
Annäherung als bisher zur Darstellung gebracht wird, so bedeuten doch die
In draschen Untersuchungen jedenfalls einen bedeutsamen Schritt vorwärts
in der Lösung der Fragen der inneren Ballistik und dürften auch in Bezug
auf die Mechanik der Gase von nicht zu unterschätzendem Interesse sein.
Hh.
284 Neue Bacher.
Neue Bücher.
InAlygis.
LjLHDB^, Ck)RiiBiLLs L., Mathematiscli - tecluiische Kapitel zur Lebensverricherong.
2. Anfl. gr. 8^ XXTTT, 462 S. Jena, Fischer. H. 10
MüLLBR, £., Aus der Algebra der Logik, n. Das Eliminationsproblem und die
Syllogistik. Progr. Tauberbischofsheim. 8^ 22 8.
ScHouTur, F., Orondbeginselen der leyensveizekeringswiskunde. Met een voor-
word van Corneille L. Landr^. Utrecht, Gebr. van der Post gr. 8^ 8 en 151
F. 1.90.
Astronomie und Oeodftsle.
Brathuhn, 0., Lehrbuch der praktischen Markscheidekunst unter BerückBichtigosg
des Wichtigsten aus der allgemeinen Vermessungskunde. 3. Aufl. gr. 8*.
XII, 408 S. m. 883 Abb. Leipzig 1902, Veit & Co.
M. 10.80; geb. in Leinw. M. 11.80.
Thirioh, J., S. J., L^^Yolution de F Astronomie chez les Grecs. In -12. Fvis,
Gauthier-ViUars. Fr. 2.75.
Dargtellende €N»ometrie.
BsRNBABo, Max, Darstellende Geometrie m. Einschlufs der SchattenkonstarnktioneiL
Als Leitfaden für den Unterricht an techn. Lehranstalten, Oberreabchnlen n.
Bealgynmasien, sowie zum Selbstunterricht hrsg. gr. 8^ Vlll, 195 S. m. 229 Fig.
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ä Tusage de la dasse de math^natiques äldmentaires. 8* Edition, enti^rcmeDt
refondue. In -8«. Paris, Delalain. ^- *
Pappxritz, Erwut, Über die wissenschaftliche Bedeutung der darstellendes Geo-
metrie u. ihre Entwickelung bis zur systematischen Begründung durch Gaspard
Monge. Bektoratsrede. gr. 8®. 24 S. Freiberg, Craz & Gerlach ^ ^
PiLLBT, J. J., Trait^ de perspective Unfaire, pr^c^dö du Trac^ des ombres nsueliM
(rayons k 46 degr^s) et du Bendu dans le dessin d'architecture et dans le
dessin de machines. 3* Edition, revue et considärablement augment^- 1^*^'
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der darstellenden Greometrie. 8. Tl. Lehrstoff der k. u. k. theresian. Milit&r-
Akademie. qu. gr. 4^ 86 Taf. Wien, Seidel & Sohn.
M, 6.40. Text gr. 8«. Vm, 200 S. M. 1.20.
Mechanik.
Bahxdt, W., Über die Bewegung eines Punktes auf einer rauhen Fläche, ins-
besondere auf einem rauhen KreiscyUnder und einem rauhen Kreiskegel.
Diss. Kiel. 8*. 47 S.
Catalu-Lamvbbdi, Rita, Due casi nuovi di moto di flnidi: nota. Milano, tip. Ber-
nardoni di C. Brebeschini e C. 8*. p. 8.
EKCTXLorlDiB der mathematischen Wissenschaften mit Einschlufs ihrer Anwen-
dungen. IT. Bd.: Mechanik. 1. Tl. 1. Hfb. gr. 8^ S. 1—121. Leipzig,
Teubner. M. 8.40.
Fnan, Jos., Elemente der reinen Mechanik. Als Vorstudium f. die analyt. u.
angewandte Mechanik u. f. die mathemat. Physik an UniTersit&ten u. techn.
Hochschulen, sowie zum Selbstunterricht 2. Aufl. gr. 8^ XTII, 797 S. m.
210 Fig. Wien, Holder. M. 20.
PpnAHüBOBi», A., OcHOsauiji KimeiuiTHiai. (GBa^AHnrov, A., Grundzfige der Kinematik.)
GharkoT, Silberberg. 8^ 107 u. 6 Taf.
Kon, AsTH., Abhandlungen zur Potentialtheorie. 8. Hft. Über die zweite und dritte
Randwertaufgabe u. ihre Lteung. gr. 8^ 66 S. Berlin, Dümmler. M. 1.
~ Dasselbe. 4. Hft. Über die Differentialgleichung Jü -\- Jb^' ü ^^ f und die
harmonischen Funktionen Poincaräs. gr. 8^ 66 S. Ebenda. M. 1.
LuraHmscBH, P., Das Potential einer materiellen Kugel, deren Dichtigkeit eine
ganze rationale Funktion der rechtwinkligen Koordinaten ist. Akad. Preis-
Bchrift. gr. 8®. ni, 69 S. m. Fig. Leipzig, Engelmann. M. 1.
Rnon, R., Innere Reibung plastischer und fester Körper. Diss. Erlangen. 8^ 66 S.
ZiLT, R., Untersuchungen Aber die Bahncturen eines schweren Punktes auf einem
elliptischen oder hyperbolischen Paraboloid mit verticaler Hauptachse. Diss.
Halle a. 8. 8*. 67 S. u. 4 Fig.-Taf.
Physik and Geophysik. Krystallographie«
BiDLnoiMAiaE, F., Geometrischer Beitrag zur PiSzoelektrizit&t der Krystalle. Diss.
Oöttingen. 8^ 60 S. m. 1 Fig.-Taf.
BuBosis, GxoBOBs-K., Recherche sur la constante de graritation (thäse). Li -8®.
Paris, Hermann. Fr. 8.
Cusm, J., Mathematische Optik. (Sammlung Schubert Bd. XL.) Mit 62 Fig.
X, 207 S. Leipzig, G<)schen. geb. in Leinw. M. 6.
FoBTscBBiTTB, die, der Physik im J. 1900. Dargestellt v. der physikal. Gesellschaft
zu Berlin. 66. Jahrg. 2. Abi Physik des Aethers. gr. S^. LH, 794 S. Braun-
Bchweig, Vieweg & Sohn. M. 27.
HA», Jul., Lehrbuch der Meteorologie. Mit 11 Abbildgn. im Text, 8 Taf. in
Lichtdr. u. Autotyp., sowie 16 Karten, gr. 8^ XIV, 806 S. Leipzig, Tauchnitz.
M. 80; geb. in Halbfrz. M. 88.
PkuToii, Thomas, The theory of light. 8' edion, edited by Ch. J. Joly. 8to.
pp. XX, 686. London, Macmillan & Co. 16 s.
ScHLümi, W., Schwingungsart u. Weg der Erdbebenwellen. L Tl. : Neigungen. Diss.
gr. 8^ 60 S. m. 1 Taf. GOttingen, Vandenhoeck & Ruprecht. M. 1.60.
ScBüTs, E. H., Die Ausnutzung des Dampfes in den Lavalturbinen. Diss. GK^ttingen.
4*. 81 S. m. Tab. im Text.
Smolas, G., N6kter^ noy^ ülohy matematick^ krystalografie. Progr. Jicine. 8^
42 S. u. 2 Taf.
286 Nene Bücher.
Stallo, J. B., Die Begriffe und Theorieen der modernen Physik. Nach der 5. Aufl.
des engl. Originals fibers. u. hrsg. von Hans Eleinpeter. Mit e. Vorwoit tod
Ernst Mach. 8^ XX, 382 S. m. Bildnis. Leipzig, Barth.
M. 7. — ; geb. in Halbleinw. H. 8.50.
WsursTEui, B., Einleitung in die höhere mathematische Physik, gr. 8^ XYI, 3d9 S.
m. 12 Fig. Berlin, Dümmler. geb. in Leinw. M. 7.
Tafeln. Keehenapparate.
Bbaüu, Ebhst A., Springende Logarithmen. Abgekürzte fSnfstellige LogarithmeD-
tafel mit zunehmenden Grundzahl-Stufen, gr. 4^ 8 S. Karlsruhe, Biuin.
kart M. -.90.
Brsdbiho, Abth.« Kautische Hülfstafeln. 6. Aufl., 2. Ausg. Hrsg. v. C. Schfläng.
gr. 8^ m, 282 S. m. 1 färb. Karte. Leipzig, Heinsius Nachf. geb. H. 6.75
Pbokll, Rzishold, Rechentafel, gr. 16^ 2 Bl. nebst Gebrauchsanweisung (15 S.).
Berlin, Springer. In Leinwand-Futteral H. 1
ScASPnn, Giüs., Tavole numeriche di topografia (quadranti centesimali). Toiino,
Boux e Yiarengo. S^ fig. p. 166. L. S
SoLLmn, A., B^le k calcul de grande approximation. Ck>ni, impr. de Pierre Oggero.
16* fig. p. 9. L. -.60.
Zeiclmeii«
Mbosdb, A. zur. Wie fertigt man technische Zeichnungen? 6. Aufl., bng. v.
A. Hertwig. 8^ YIII, 96 S. Berlin, Seydel. geb. in Leinw. M. 1.50.
AbhandhingsregiBter 1900—1901.
287
AbhandlimgsregiBter 1900—1901.
Von Prof. Dr. E. Wölpping in Stuttgart.
Unter diesem Titel werden die Abhaüdlungen aus dem Gebiet der angewandten
Mathematik verzeichnet, welche in circa 400 der wichtigsten Zeit- und Qesellschafts-
Bebrüten enthalten sind. Als Mitarbeiter sind die Herren Prof. Dr. C. Cranz-
Stattgart (Ballistik) und Dr. C. Wagner-Stuttgart (Yersichemnffsmathematik) ge<
Wonnen worden. Die Mitarbeit weiterer Herren fdr einzelne uebiete oder auch
emzelne Länder wäre sehr erwünscht, um einiffe noch ganz fehlende Zeitschriften
nachtragen und über andere genauer, regelmäisiger und frühzeitiger berichten zu
können. Insbesondere werden die Redaldiionen von Zeitschriften, welche die Auf-
nahme ihrer Abhandlungen aus der aufwandten Mathematik in vorliegendes
Begister wünschen, höflich gebeten, jährlich im April und Oktober die Titel der
hierher gehörigen Abhandlungen aus den seither erschienenen Heften dem Yer-
&88er (Stuttgart, Hackländerstr. 38) mitteilen zu wollen. Die Abhandlungen,
welche dem Verfasser und seinen lüßtarbeitem nicht zugänglich waren, sind mit
* bezeichnet.
Abkfirzungen.
A.A.B. Annales astronomiques, Bru-
xelles 1901.
A.A.E.L Atti dell' associazione elettro-
tecnica italiana, MUano 3.
A.A.N. Atti della Reale Accademia delle
Scienze fisiche e matematiche di Na-
poli 2 Serie 10.
AAN.Y. Annals of the Academy of
Science of New York 12.
A.AP. Atti della B. Accademia di
Scienze, Lottere ed Arti di Palermo 8
■erie 6.
A.A.R, Analele Academiei Romane Bu-
CQiesci 22—88.
A.A.T. Atti della R. Accademia di To-
nne 36.
A.C.N.M. Annaes do club militar naval,
Liiboa 1900.
A.D.M. Annali di Matematica pura ed
applicata, Milano 3 serie 6.
A.K.K. Aniiales de r£cole normale su-
p^eure, Paris 8 s^rie 6.
AF. Comptes Rendus de T Association
fran^aise pour Tavancement des Scien-
ces, Paris 28.
A.F.Q.P. Archiv für die gesamte Phy-
siologie, (Pflüger), Bonn 81—88.
A.F.M. Archiv des Vereins der Freunde
der Naturgeschichte von Mecklenburg,
Rostock 64.
A. F. S. P. Archiv für systematische Philo-
sophie, Berlin 6.
A. €fr. Archiv der Mathematik und Physik,
Leipzig 3. Serie 1.
A.H. Annalen der Hydrooraphie und
maritimen Meteorologie, Hamburg 29.
A. J. B. The Astronomical Journal, Besten
20—21.
A.J.G. The Astrophysical Journal, Chi-
cago 11—18.
A.J.M. American Journal of Mathema-
tics, Baltimore 23.
A.J.S. American Journal of Science
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A.J.W. Assekuranzjahrbuch, Wien 22.
A.M. Acta Mathematica, Stockholm 24.
A. M. T. Archives du Mus^ Teyler, Haar-
lem 2 s^e 7.
A«'N. Archives n^landaises, Haarlem
2 s^e 4.
A.N.R. Astronomische Nachrichten, Kiel
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A.ofll. Annals of Mathematics, Cam-
bridge Mass 2 series 2 — 8.
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A.P.C. Annales de Physique et de Ghi-
mie, Paris 4 aärie 23 — 24.
A.P.L. Annalen der Physik, Leipzig
4. Serie 6 — 6.
A.P.M. Mämoires der K. K. Akademie
zu Petersburg 8. Serie 9—10.
A. P. M. I. Abhandlungen des PreuJürischen
Meteorologischen Sistituts, Berlin 1.
A.S.A. Anales de la Sociedad cientifica
Argentina ^ Buenos Ayres 60 — 61.
A.S.B. Annales de la Soci^tä Scientifique
de Bruzelles 26.
A. S. B. A. Annuaire publik par la Sociätä
beige d^astronomie 6.
A.S.G. Archives des sciences physiques
et naturelles de Gen^ve 4 särie 10—
11.
A.T. Annales de la facultä de Toulouse
2 s^rie 2—3.
A.T.P.B. Annales des travauz publiques
de Belgique, Bruzelles 6.
A.U.G. Aiinales de rUniversitä de Gre-
noble 13.
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de Belgique, Bruzelles 1900.
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B.C. Bolletino di matematiche e di
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B.D. Bulletin des Sciences math^ati-
2ues, Paris 2 s^rie 26.
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demia GioSnia di Catania 66.
B.l.C. Bulletin international de Oraco-
vie 1901.
B.M. Bibliotheca mathematica, Leipzig
3. Serie 2.
B.M.R.J. Boletim mensal do observa*
torio do Rio de Janeiro 1900.
B.R.A.6. Bulletin der Russ. Astrono-
mischen Gesellschaft 8.
B.S.A.F. Bulletin de la Soci^t^ Astro-
nomique de France, Paris 14.
B.S.B. Bulletin de la Sod^tä Sdenti-
iique de Boucareat 9.
B.S.B.A. Bulletin de la Soci^te beige
d' Astronomie, Bruzelles 6.
B. S. C. P. Bulletin de la Soci^^ Chimiqw
de Paris 3 s^rie 26.
B.S.N.F. Bulletin de la Social Mine-
ralogique de France, Paris 1900.
B.S.y. BuUetin de la Soci^t^ Yandoise
des Sciences naturelles de Lausanne 37.
B.S.W. Bulletin of the Phüosophical
Society of Washington 14.
B.Ü.K. Nachrichten der Universität Kiew
1900—1901.
B.y.A.S. Ofversigt af E. Yetoukai»-
Akademiens Förhandlingar, Stock-
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C. Öasopis, Prag 30.
C.A.A. Verslag^ der zittingen der E.
Akad. van Wetenschappen, Aoister-
dam 9.
C.A.E. Centralblatt für Akkumulatoien-
und Elementenkunde, Halle 1.
C.L. La Corrispondenza , Livomo 1900
bis 1901.
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des Säances de FAc. des Sciences,
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D.y . M. Jahresbericht der Deutschen tfa-
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D.y.Z. DeutscheVersicherungszeitschiift,
Berlin 42.
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H.H. Hansa, Hamburg 37.
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Paris 8.
J. F. L Journal of the Franklin Institotion,
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J.H.Ü.C. John Hopkins üniversity Cir-
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J.l. A. Journal of the Institute of aetne-
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J.LE.E. Journal of the lastitate of
electrical enffineers, London 30—32.
J.M. Journal de Math^matiques poreg
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J.P.C. The Journal ofFhysicalGheiiustrj,
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chemiflchen QesellBchaftf Petersborg
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des Seewesens, Pola 28.
M.AT. Memorie della R. Accademia di
Torino 60.
M.C. M^oires de la Soci^ nationale
des Sciences naturelles et mathäma-
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M. Q.B. Mitteilungen der naturforschen-
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M.M. The Messenger of Mathematics 30.
M. M. 6. 1. Mitteilungen des Milit&rgeogra-
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cate, Citta di Gastello 1.
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London 1900.
M.P.L. Mathematikai ^s physikai lapok,
Budapest 9.
M.P.N.M. Abhandlungen der physika-
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wissenschaft, Moskau 1900.
M.P.O. Spaczinskis Bote der Experi-
mentalphysik und elementaren Mathe-
matik 24—26.
X.S.B« M^moiree de la Soci^tä des
Sciences physiques et naturelles de
Bordeaux 6 sMe 6.
X.8.6. KVetenskaps ochVitterhetssam-
hftUes Handlingar, Göteborg 4 Serie 8.
H.S.L. M6noires de la Soci^t^ Boyale
des Sciences de Li^e 8 s^rie 2 — 8.
M.8.Q. Le Moniteur Scientifique, Paris
1900.
M.S.S.I. Memorie della Societä dei
Spet^scopisti italiani, Gatania 28—29.
X.T.E. Mathematikai 6b term^szettudo-
manyi ärtesitO, Budapest 17—18.
X.Ü.K. Denkschriften der Universit&t
Kiew 41.
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M.U.W. Warschauer Universitätsnach-
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ciedad Gientifica „Antonio Alzate*\
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M.Z. Meteorologische Zeitschrift, Wien
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M. Z. P. Marine - Zeitschrift , Petersburg
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N.A. Nouvelles Annales de Math^mati-
ques 4 Särie 1.
N.G.P. II Nuovo Gimento, Pisa 4 serie
11—12; 6 serie 1.
N.J.M. Neues Jahrbuch fOr Mineralogie,
Geologie und Paläontologie, Slutt^ut
1900—1901.
N.L.M. Memorie deU* Accademia Ponti-
ficia de* Nuovi Lincei 16.
N.M.L. Nautical magazine, London 69.
N.M.N. Nyt Map^zin for Naturvidenska-
beme, Ghristiania 1900.
N.R. Naturwissenschaftliche Rundschau,
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0. The Observatoiy, London 28.
O.M.O.ffi. österreichische Monatsschrift
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zeitung, Wien.
P. Prometheus, Berlin 11.
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P.6.M. Petermanns geographische Mit-
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P.L.M.S. Proceedings of the London
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P.M. PhiloBophical Magazine, London
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P.M. J.M. Physiko-mathematisches Jahr-
buch, Moskau 1.
P.M.R. Periodico di Matematica, Roma
2 serie 8.
ZeiUchrifl f. Mathematik n. Physik. 47. Band. 1902. 1. u. 8. Heft.
19
290
Abhandlungsregisier 1900—1901.
P.O.C. Pubblicazioni delF OsBervatorio
privato di Collnrania 2.
PoLN. n Poliiecnico, Milano 1900.
P.P.S.E. Proceedings of the Physical
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Society of London 17.
P.R. The Physical Review 10—13.
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R.W.L.y. Zeitschrift des Rheinisch-Weei*
phälischen Landmesservereiiis 1900.
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S.A.B. Sitzungsberichte der K Akid.,
Berlin 1901.
S.A.M. Sitzungsberichte der K. Bayr.
Akademie München. MatL Phys. G.
1901.
S.A.W. Sitzungsberichte der E. K. Aka-
demie Wien. Math. Nat. Gl. 110.
S.F.P. Sociät^ fran9ai8e de phyBiqne,
Paris 1900.
S.G.B. Sitzungsberichte der EL Böhm.
Gesellsch. der Wiss. Ptag. Math. Nat
a. 1900.
S.O.M. Sitzungsberichte der (Gesellschaft
zur Beförderung der gesamten Matm-
wissenschaften zu Marbuiv 1900.
S.LD. Sitzungsberichte der Natarwisseo-
schaffclichen Gesellschaft Isis zu Dres-
den 1900.
S.L.P. Sitzungsberichte des Deutschen
Naturwissenschaftlichen Vereins „Lo-
tes" Prag 2 Serie 20.
S.M. Bulletin de la Soci^tä Mathäna-
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thematical Society, New York 7—8.
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S.M.M« Sammelschrift der Mathem. Ge-
sellschaft Moskau 82.
S.M.W. Statistische Monatsschrift, Wien
1900.
S.N.G.B. Sitzungsberichte der Nieder-
rheinischen G^ellschaft für Kator-
und Heilkunde, Bonn 1900.
S.P. Bulletin de la Soci^t^ Philomatique
de Paris 9 s^rie 2.
S.P.M. Memoirs and Proceedings of the
Literal and Philosopbical Society of
Manchester 6 series 5.
S.S.N. Sitzungsberichte des siebenbüigi-
schen Museumsvereins Elausenbaig24.
S.y.K. Sitzungsberichte des natorwissen-
schaftlichen Vereins für Schleswig,
Kiel 12.
S.V. N.W. Schriften des Vereins znr
Verbreitung naturwissenschaftlicher
Kenntnisse, Wien 40 — 41.
T.C.R.S. Transactions of the Canada
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T.E. The Electrician, London 44-47.
T.6.C. Arbeiten der topographisch-geo-
dätischen Commission, Moskau.
T.K.L. Tijdschrift voor Kadaster en
Landmeetkunde 1900.
T.M.W. Terrestrial Magnetism, Washing-
ton 4.
T.Q. Technological Quarterly 1900.
Abhandlungsregister 1900—1901.
291
T.R.S.L. FhiloBophical Transaciions of
the Roy. Soc. of London 196.
T.W. Praee matematyznofizjzne, War-
schau 12.
U.M.N. Unterriclitsbl&tter fOr Mathema-
tik nnd Natorwigsenschaften, Berlin 7.
Y.A.R.I. Veröffentlichungen des astrono-
mischen Recheninstitnts, Berlin 1901.
V.E.S. Yerhandlnngen der physikalisch-
medicinischen Societftt, Erlangen 82.
W.W. WszechSwiat, Warschan 19.
Z.6.Y. Zeitacbrift für die gesamte Ver-
sichenmgswissenschaft, Berlin 2.
Z. H. Zeitschrift fOr matiiematischen und
Naturwissenschaftlichen Unterricht,
Leipzig 31 — 32.
Z.K.F.6. Zeitschrift für komprimierte
und flüssige Gkue, Weimar 4.
Z.K.M. Zeitschrift für Erjstallographie
und Mineralogie, Leipzig 32 — 34.
Z.P. Zeitschrift für physikalischen und
chemischen Unterricht, Berlin 14.
Z. P. C. Zeitschrift für physikalische Che-
mie, Berlin 32—35.
Z.S. Zeitschrift für Mathematik und
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Z.y. Zeitscbnft für Vermessungswesen,
Stuttgart 30.
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Allgemeines«
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4. P. 8. Porettky. Quelques lois ult^ri-
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5. A. Padoa. Numeri interi relativi.
R.M. 78.
6. J. Bius y Casas. Teoria formal de
los objetoB complementarios. R.T.M. 16.
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Walmclieinlielikeitsreelinnng.
7. P. A, Nekrasofc. Novyj a osnovan^a
Qienija o yerojatnosljach summ i sred-
nich yeli£in. (Neue Grundlagen fOr die
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men und Mittelwerte.) 11. S.M.M. 1.
B. A.Liapounoff. ünej>ropositiong^nä-
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132. 814.
9. V. C. Wilson. Inverse of a poste-
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rem. N. 63. 164; 466.
10. •Af. Petravic. Über die mathem.
Theorie der Wirksamkeit der Ursachen
(serb.). P.A.B. 188.
11. T. BrocUn. Wahrscheinlichkeits-
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biQchentwicklung reeller Zahlen. B.V.
AS. 239.
12« A.Wiman. Über eine Wahrschein-
lichkeitsaofgabe beiEettenbruchentwick-
longen. B.V.A.S. 829.
18. E. Landau. Sur la probabilit^
qne n nombres aient au moms un fac-
teur Gommun. I.M. 163.
14. L. Barikiewicz. Über den Präci-
lioBBrnd des Divergenzkoefficienten.
M.V.T. 6. 1.
1&« 0. Bonca. ProbabilKä pratiche
di colpire nel tiro dellenavi. C.L. 1900.
619. 1901. 66.
16. H. Delannoy^ Audibert. Sur une
question de probabilit^. I.M. 118.
Siehe auch 276; 283; 649.
Metliode der kleinsten Quadrate.
17. M. F. Bavenshear. The use of
the method of least Squares in physics.
N. 68. 489.
Felilerreelinnng.
18. 8. V. Kobbe. Über ein abgekürztes
Ausgleichungsverfahren. Z.V. 292.
19. F. Galten. Quincunx zur Ver-
anschaulichung des Fehlergesetzes. M.
A.G. 1900. 118.
20. C. Landri. Ausgleichungsrechnung
mittelst der Theorie des Minimums.
A.J.W.
21. *J.Boer. Mechanische vereffening.
T. K. li. 3.
22. *G. de 8andre. Compensazione
degli allineamenti. R.T.C. 13. 113.
28. H. Koller. Graphische Fehler-
verteilung beim Einketten und bei der
Eoordinatenumformnng. Z.V. 336.
19*
292
AbhandlungBregister 1900 — 1901.
24« *C, V. Steeb. Die Ansgleichang
mehrfach gemessener Höhen bei der Mi-
litSjmappierung. M.M.G.I. 1900.
Siehe auch 811; 870.
Politigelie Arithmetik.
25« K. Wcigner. Sterblichkeitswahr-
scheinlichkeit und Sterblichkeitskoeffi-
cient. D.V.Z. 1.
26« F. Seraanoy, Über die Darstellung
der zusammen^setzten Sterbe- und
Lebenswahrscheinlichkeiten fdr mehrere
verbundene Leben durch die einfachen
Wahrscheinlichkeiten fOr einzelne Leben.
M.V.T. 1. 11.
27. H. P. Calderon. Some notes on
Makehams formula for the force of mor-
talitv. J.LA. 167.
28. K Blasckke. Über die Konstruk-
tion einer Absterbeordnung aus den
Beobachtungen an österreichischen Ver-
sicherten. M.V.T. 21.
29« J. ÄUenburger. Zur Untersuchung
der Sterblichkeitsverh<nisse der Ver-
sicherten in Österreich-Ungarn. M.V.T.
2. 21.
80. V. Caitrau. Estudio sobre las
tarifas diferenciales y su aplicacion en
la repüblica. A.S.A. 50. 86.
Siehe auch 86; 47.
Rentenrechnung«
81« C^DizUr. Sofort beginnende Leib-
renten mit BückgewSlir der Bareinlagen
abzüglich der bereits bezogenen Renten.
Ö.V.Z. 166.
82. G. Bosmanith. Qrundzahlen für
Invalidenpensionen, Aktivitfttsrenten und
Witwenpensionen. M.V.T. 4. 6.
88« A, Riedel. Ein Beitrat zur Theorie
der Waisenpensionen. M.V.T. 6. 20.
Mittelwerte«
84« *0, ZanoUi Bianco. Un teorema
sulle medie. R.T.C. 12. 116.
Siehe auch 7, 221.
Statistik.
35. E, Blaschke. Über die analytische
Darstellung von Begelmässigkeiten bei
unverbundenen statistischen Massen-
erscheinungen. M.V.T. 1. 6.
86. M. Beeton and K, Pearson, Data
for the Problem of evolution in man.
A first study of the inheritance of lon-
gevity and the selective death-rate in
man. J.LA. 112; 468.
87« *£ Pearaon. Mathematical con-
tributions to the theory of eToktion.
Vn. T.E.S.L. 1.
88« ^K. Pear9on and A. Lee. Math^
matical contributions to the tiieoiy of
evolution. Vm. T.B.S.L. 79.
89. *K. Pearson, E, Warren, ± Let,
A. Fry^ C. D, Fawcett, Mathematical
contriDutions to the theoiy of evolution.
IX. P.E.S.L. 1.
Siehe auch 649; 723.
TenicIieriuigsiDAtliematik.
40. J, Altenburger. DieZeichensDiacbe
der Lebensversichenmgsmathematik. M.
V.T. 1. 18.
41. E. Czuber, Zu den theoretucben
Grundlagen der Lebensversichemng. M.
V.T. 1. 22.
42. J, Eggenberger. Zur Frage der An-
wendung der Wahrscheinlid&eitsrech-
nung in der Versicherung. Ö.V.Z. 253.
49* E. BUuMce. Die Anwendbarkeit
der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Ver-
sicherungswesen. S.M.W.
44« F. Senawy. Über eine nator-
gemäfse Bezeichnung der Versicherangi-
werte. M.V.T. 2. 10.
45« A. Hauke. Über Vendcherwigen,
die sich durch Verbindungsrenten aos-
drücken lassen. M.V.T. 3. 2.
46. J, H. Peek. Über eine rationelle
Methode der Bestimmung des Zuschlags.
Z 6 V 8
'47.**T. iV'. ThieU. Om dödeUgheda-
tavlers beregning. B.A.Co. 189.
48. F. W. Fulford. On surrender va-
lues and the principles which underlie
their calculation. J.LA. 199.
Spiele.
49. A. Ahrens. Sur un probl^me
d'ächecs. LM. 88.
50. E. Landau. Probl^e des rois
sur r^chiquier. LM. 140.
51. C. L. Bmiton. Nim^ a game witb
a complete mathematical theory. A.of
M. 3. 36.
Sport.
52. D. Andri. De Torganisation des
assauts complets. S.P. 46.
Nnmerisches BechneD.
58. *W.EUx8. Raising figures. 0.95
64. *A. S. FUnt. Interpolation and
raising fig^es. 0. 137.
55. ^Dietze. Über Eechenhilfsmittel.
R.W.L.V. 1900. 222. ~ Abendroth 271.
56. G. Pesd. Sulla ricerca del ^loga-
Abhandlangsregister 1900—1901.
293
ritmoseno** e del ,4ogaritmotangente**
degli ftrchi piceoli. P.M.B. 1.
57. H. Minkoteski, Qaelques nouveaux
th^or^es sor Tapproxiinfttion des quan-
tit^s ä Taide des nombres ratioimelfl.
B.D. 72.
Siehe auch 69.
mj analytlsclie.
58. M. Koppe. Über Huygens' Nähe-
niDgBmeihoden bei EreiB- und Loga-
riÜmienberechnimg. B.M. 224.
69. G. Peaei. Sulla ricerca del loga-
litmoseno e del logaritmotangente degli
arcU piceoli. C.L. 1901. 209.
(M). W. B. Morton, Note on algebraic
equations in which the temiB of hiffher
degrees haye small coef&cients. Q. J.
31. 247.
61. F. P. Patemö. Saggio dl ana
teoria nill^ approssimazione naturale o
variabile delle radici quadrate. P.M.
R.17.
62. *Ä. Lodge. An approximate ez-
pression for the valne of 1 + ^ -f i + " •
+ I = ff (iV M.M. 108.
6$. *Jf. Na89d. Sülle formole di ap-
proMimazione naate in tacheometria per
la misara delle distanze e delle diffe-
renze di livello. E.T.C. 12. 41; 69.
Siehe auch 66.
Glelebnngen, numerische.
64. Ä, PeUet. Snr la formnle d*ap-
proximation de Newton. S.M. 189.
65. W. Heymann, OberWurzelgmppen,
welche dnrch Umläufe auggeschmtten
werden. Z.S. 266.
66. *T. Hayashi, Graphic Solutions
of the cubics and the qnartics. N. 63.
616. — G, Vaeea 609.
67. E. Maiüet. Snr les racines des
^nations transscendantes. C.B. 182. 908.
68« W. Heymann. Die Logarithmen
negativer ZaUen und ihr Auftreten bei
der Auflösung transscendenter Gleichun-
gen. Z.H. 82. 169.
09. B. Gongrijp. Über eine grapho-
metrische Lösung der Keplerschen Glei-
chung. A.N.E. 166. 889.
70* W. Heymann. Berechnung det
Ellipse aus Umfang und Inhalt. Z. S. 286.
Siehe auch 60; 87—88; 106.
Interpolation.
7t, J. D. EvereU. On a new Inter-
polation formula. J.LA. 462.
72. V. D. EvereU. On a central diffe-
rence interpolation formula. R. B. A. 648.
78. V. V. EvereU. On Newtons con-
tributions to central difference inter-
polation. R.B.A. 660.
74. Ä. G. Joa^imeseu. A supra !n-
trebuin|arii tablelor de logaritmi. (Über
das Interpolieren bei Logaritmentueln.)
G. M. B. 6.
75. M. Ernst. 0 novym wzorze inter-
polac^nym dla widma piTzmatyczneffo.
(Über eine neue Interpolationsformel rar
aas Prismenspektrum.) T.W. 220.
Siehe auch 64.
HarmoniBehe Analyse.
76. L. Hermann. Über die Zerlegung
von Kurven in harmonische Partial-
schwingungen. A.F.G.P. 88. 33.
Tafeln, nnmerisehe.
77. V. D. Everett A compact me-
thod of tabulating. N. 68. 846.
78. H Sossna. Über Tafelberichti-
gun«en. Z.V. 826.
79. J. D. EvereU. On the algebra of
difference-tables. Q.J. 31. 867.
80. V. Tennant. On factorisation of
hiffh numbers. Q.J. 32. 822.
81. *H. 0. Croodwin. Spherical tra-
verse tables and their use. N.M.L. 1.
Siehe auch 286; 694.
Logarithmen.
Siehe 68; 68; 74.
0. Gtoometrie«
Nomographie.
82. ^E. Pasquier. De la nomographie.
A.S.B.A. 183.
88. *G. Pesei, Abbachi trigonome-
trici. C.L. 1900. 206.
84. G. Pesei. Genni di nomografia
con molte applicazioni alla balistica.
R.M.R. Febr.
Siehe auch 262; 284.
Graphischer Calenl.
85. M. Krause, über graphischen
Calcul. S.LD. 13.
j
294
Abhandlungsregisier 1900—1901.
86. G. Amoijuo et C. A. Laisant. Ap-
plication! des principea de rarithm^ti-
que graphiqae: congraences; propri^täs
diverses. A.F. 36.
87. C. Alasia, A proposito d*ana
costmzione geometrica dell* equazione
cubica. M.P.A. 107.
88. *T, Haycuhi. Graphic Solutions
of the cnbics and the quartics. N. 63.
616. — G. Vacca 609.
89. V. Massau, Memoire sur Tintä-
gration graphiqae des ^uations par-
tielles. A.T.P.B. 607.
00« H. Broeard. Evaluation graphi-
que « = yi + 1/3. I.M. 268.
Ol. R.A. Lehfeld. Note on graphical
treatment of experimental curves. P.M.
403.
92. D. M. Y. SommerviOe. Two Pro-
blems of geometry. N. 64. 626.
08. ^Lmner. (Jalculo srafico di una
distribuzione trifase a Stella. L. E. No. 4.
94« E. Hammer. Gillmanns Tachy-
meterdiagramm. Z.V. 267.
Siehe auch 66; 68—69; 461; 696; 698;
721; 749; 793.
Winkeltelliing.
Siehe 97.
Kurren.
05« Arhier, Über eine einfache Kon-
struktion der Ellipse und ihrer Fufs-
punktkurven. M.A.G. 1900. 719.
Siehe auch 91.
X&hernngBmethodeii, geometriftclie.
96« H. Broeard. Construction appro-
ch^e des polygones reguliers. LM. 126.
07. D. Carrara. I tre problemi clas-
sic! degli antichi in relazione ai recenti
risultati della scienza. R.F.M. 4. 36;
116; 208.
98. E, Beichenbacher. Angen&herte
Konstruktion des Kreisumfanges aus dem
Durchmesser. Z.H. 32. 276.
99. E. B. Escott. Longueur approchäe
d'un arc de cercle. I.M. 260.
100. L. Heßer. Die Quadratur des
Kreises. S.N.G.B. A. 18.
101. G. Peirce. A curious approxi-
mate construction for n. S. M. Am. 7. 426.
Siehe auch 68; 90.
Inhalte.
102. *G%lUtte. Rapid earthwork cal-
culation. E.N. 44. 419.
Siehe auch 70.
Qnadntar, mechaniselie.
IW. *W, F. Sheppard. Someqoadn-
ture formolae. P.L.M.S. 268.
Siehe auch 738.
Planimeter.
lOI. *G. B. MaffioUi. II planimetro
a scui« di H. Piytz. R.T.C. 11 177;
18. 49.
RechenmMeliiAeB.
105« G. Pesei. Di una nuora machina
per risolvere le equazioni. C. L 1900. 309.
106* PuUer. Bechenscheibe mit Gks-
l&ufer und Loupe. Z.V. 296.
107. P. Weiss. Sur un nouveaa cerde
&]calcuL J.P. 666.
108« •P. Weiss. Nouvean ccrele a
calcul. S.F.P. 168. 4.
Recheiiflcliieber.
109. ^Hassan. Bägle ä calcul donnaot
la diffi^nce entre les hauteura meii-
dienne et circumm^dieime d'un astre.
R.M.M.P. 146. 368.
Siehe auch 762.
6eometri8c1ier Calcnl.
110. F.Vilkureal. C&lculo geometrico.
R. C. L. 189.
111. G. Bonnet. Ensajo de gonio-
metria vectorial plana. R.C.L 159.
IqnipoUemeii.
112. B. Bricard. Sur la similitade
directe dans le plan ; application de la
mäthode des ^uipoÜences. N.A. HS.
Tektorenreehnani^.
118. *G. Farkas. Vektorenlehre (nngl
S.G.M. 1900. 26.
114. W. Voigt. Über die Parameter
der Krystallphysik und über gerichtete
Gröfsen höherer Ordnung. A. P. L. 5. 241.
115. A. Maefarlane. Vector dififeren-
tiation. B.S.W. 73.
Siehe auch 111.
Angdehnnngslehre.
116. — . Application de \a mcthode
de Grassmann £ une d^moDstration de
2 thäor^mes de g^m^trie differentielle.
N.A. 1. 414.
Zeiehenapparate.
Siehe 171
Abhandlongsregister 1900—1901.
295
ZeichBen, i^eometrtoelies.
117« «71 Grünwald. Über das Eon-
Btniieren mit imaginären Punkten, Ge-
raden und Ebenen. Z.S. 823.
Darstellende Geometrie.
118. E. Saifner. Über Drehungen in
der darstellenden Oeometrie. Z. S.
300.
119. A. Adler. Zur sphärischen Ab-
bildung und ihrer Anwendung in der
darsteUenden Geometrie. S.A.W. 50.
120. A. Sueharda. Eterak Ize dokä-
sati vStu o os&ch podobnosti tH kruinic
nütim deskriptivm Geometrie. (Wie kann
man den Sais von den Ähnlichkeitsaxen
dreier Ereise mittelst darstellender Geo-
metrie beweisen?) C. 361.
121. E. Timerding. Eine Aufgabe
aus der darstellenden Geometrie. Z.S.
311.
122. E. Saifner. Eine direkte Lösung
der Aufgabe, ein Dreikant aus den 3
Flächenwinkeln zu konstruieren. Z.S.
307.
128. M. d*Oeagne. Sur la d^termina-
tion des plans tangents aux h^9oides
gauches. M.P.A. 82.
Projektion.
124. *E. V. Fedorov, Zur Theorie'der
kiystallographischen Projektionen. * Z.
K.M. 33. 689.
125. C. E. Strameyer. The represen-
taÜon on a conical mantle of the areas
on a sphere. S.P.M. No. 11.
12^. *H. C.Plummer. The application
of projective geometry to binary star
orbits. M.N.A.S. 485.
Siehe auch 118; 141; 426; 687.
Axonometrie.
127. V. Soboika. Zur rechnerischen
Behandlung der Axonometrie. S.G.B.
No. 32—33.
Perspektire.
128. F. SdUffner. Die stereoscopische
Eeliefperspektive. M.H. 177.
Belenehtiingsknnde.
129. A. Schmidt. Die Auffindung der
Lichtstufen mittels der Bodenbergschen
Skale. Ü.M.N. 85.
Pliotogrammetrie.
180. E, Dolezal. Über Photogram-
metrie. S.V. N.W. 40.
181. *M. Schwarzmann. ZurKrystall-
photogrammetrie. N.J. M. 1900.1; 1901.9.
182. *A. V. Hübl. Die phot<^pramme-
trische Terrainaufhahme. M. M. G . 1. 1900.
188. W. Ldska, Über ein Problem
der photognunmetrischen Küstenauf-
nahme. M.H. 172.
Siehe auch 724.
Krystallographie.
184. *H. Dufet. Notices cristallogra-
phiaues. B.S.M.F. 118.
185. H. M. Goodchtld. Simpler me-
thods in cristallographj. I. P. P. S. E. 323.
186. *V. de Souza Brandäo. über
Erjstallsysteme. N.J.M. 2. 37.
187. *W. Barlow. Die Symmetrie der
Krystalle. Z.E.M. 34. 1.
188. *E. V. Feodorov. Beitrilge zur
zonalen Krystallographie. Z.K.M. 32.
446; 83. 666; 34. 133.
189. V. Beekenkamp. Zur Symmetrie
der Krystalle. Z.K.M. 33. 606.
140. *C. Viola. Zur Besründung der
Krystallsymmetrien. Z.K.M. 84. 363.
141. *F. J. Levinaon-Lessing. Beleh-
rung über den Entwurf der stereogra-
phischen Projektion der Krystalle (russ.).
A.U.J. 1900. No. 4.
142. G. Ceeäro. Perpendiculairement
ä une axe de symätrie existe-il tou-
jours une face possible, c*est ä dire sa-
tisfaisant ä la loi de rationalitä? B.
A.B. 162.
Siehe auch 124; 131; 467.
Modelle.
148. A. Witting. Fadenmodell zur ab-
wickelbaren Schraubenfläche. S.I.D. 14.
144. *W. H. Blythe. On modeis of
cubic surfaces. Q J. 82. 266.
Siehe auch 486—486.
D. Meohanik.
Priniipien der Mechanik.
14&. *G. K. Suelav. Elemente der
snalytischen Mechanik (russ.). B.Ü.K.
1900 e 6—7; 9—11; 1901 e 2. 496.
146. P. Volkmann. Die gewöhnliche
Darstellung der Mechanik und ihre Kritik
durch Hertz. Z.P. 14. 266.
147. ♦TT. P. Ermakov. Die Grund-
gesetze der Mechanik (russ.). B.Ü.K.
1900. 6.
148. G. A. Maggi. B^flezions sur
j
296
AbhandluDgSFegist'er 1900 — 1901.
l*expoBition des principes de la m^ca-
niqne rationnelle. £.M. 240.
149. A. Voss. Bemerkunffen über die
Prinzipien der Mechanik. S.A.M. 167.
150. A. Voss. Über ein enerffetiBches
Grandgeietz der Mechanik. S.A.M. 63.
161. •r. J. PA. Brommch. Notes on
djnamics. M.M. 127.
152. *A. Vasüiev. Raum und Be-
wegung Qmss.). P.M.J.M. 1.
15S. *H. Kkinj^eter. Zur Formolie-
rung des Ti^heitsgesetzes. A.F. S.P.
461.
154« F, Minding. De formae, in qnam
geometra britannicus Hamilton inte^tdia
mechanices analjticae redegit, origine
genoina. M.A. 119.
155. H. Oratner. Über verborgene Be-
wegong. Z.S. 848.
156. *G. K. Suslov. Untersuchung der
Reaktionen. B.U.E. 1901. b. 1.
157« A. V. Obennayer. Zur Behand-
lung der Begriffe Arbeit, Energie und
Effekt im Schulunterricht. Z.P. 14. 207.
Siehe auch 204; 801.
Kinematik.
158. *L. Candida. Aplicaciones de la
geometria cinematica. B.A.C.B.
159. P. Saurel. On a theorem in
Einematics. AofM. 2. 169.
160. B. Bricard. Sur une question
relative au d^placement fini d^une figure
de grandeur invariable. CR. 132. 947.
.. 161. *K. Zorawski. Über gewisse
Änderungsgeschwindigkeiten von Linien-
elementen bei der Bewegung eines kon-
tinuirlichen materiellen Systems. B.I.C.
867.
16t. E. DanieU. Sülle deformazioni
infinitesime delle superficie flessibili ed
estendibüi. M.A.T. 26.
168. *W. Förster. Absolute und re-
lative Bewegung. M.y.A.P. 27; 49; 78.
164. *B. Gem. Das Oesetz von der
Unabhängigkeit der Erafbwirkungen und
das Gesetz der relativen Bewegung. M.
P.O. 24. 197.
165. G. Koenigs. Les syst^mes bi-
naires et les couples d^^ements cinä-
matiques. CR. 183. 483.
166. G. Koenigs. Propri^täs g^n^-
rales des couples d'^l^ments cinämati-
ques. CR. 133. 633.
167. G. Koenigs. Sur les chaines se-
condaires. CR. 133. 621.
168. C. Lecomu. Sur la vis sans fin.
S.M. 149.
169. *Beüuezo. Alcune considerazioni
suffli elementi cinematici e geometrici
delle turbine assiali. Pol.M. 2fasc.
170. *Ovazza. Contributo alla teorU
dei freni ad attrito. PoLM. lOfuc
171. ^2>. Seiliger. Ein ebener Affino-
graph (ruBS.). M.Ü.Ea. 83.
Siehe _auch 194; 880.
Seliranbeiirecluiiing.
172. E. W. Byde. On a snrface of
the 6. Order which is touched by the
azes of all screws reciprocal to 3 given
screws. A.ofM. 2. 179.
Meehanismeii.
178. G. Koenigs. £tude criUqne sur
la throne g^n^rale des m^canismes. C.
R. 183. 880.
174. G. Koenigs. Esquisse d'une th^
rie gänärale des mäcanismes. CR. m.
432.
175. *P. Somow. Über einige An-
wendungen der Kinematik veränderlicher
Körper zu (Jelenkmechanismen. M. U. W.
Heft 7.
176. G, Koenigs. Sur les piincipes
g^neraux des m^canismes. C. R. 133. 385.
177. E. Delassus. Sur les syst^mes
articulds gauches. A.E.N. 17. 445.
178. B. Müller. Die KoTOelkurren
mit sechspunktig berührender Tangente.
Z.S. 380.
Siehe auch 166—167.
Statik.
179. *C. Stephanos. Sur les lektiooB
entre la g^omätrie projective et la m^
canique. R.B.A. 644.
180. D.Negreanu. Determinareapon-
duliu specific al unui cord solid. (Be-
Btimmung des specifischen Qewichts eines
festen Körpers.) A.A.R. 22. A. 72.
181. L. Lecomu. Sur T^uilibre d'nne
enveloppe ellipsoidale soumise a une
pression int^rieure uniforme. A.E.N.
17. 601.
182. J. Hnevhmky. üloha z mecha-
niky. (Aufgabe aus der Medianik.) C. 364.
Sobwerpniikte.
188. A. Bucharda. Eine Au&abe be^
treffend den Schwerpunkt der Mjgone
M.H. 12. 387.
184. A. Verebfjuaov. (Elementarnoe
dokazatelstvo teorem Gildena. (Elemen-
tarer Beweis der 6uldin*schen Regeln.)
M.P.O. 26. 66.
Momente.
185. K Bohiin. Sur Textension d'mie
formule d*Euler et sur le calcul des
AbhandlungsregiBier 1900—1901.
297
momenis d'inextie prindpauz d*an ly-
et^me de points mat^els. G. B. 133. 680.
186« — . Remarques au sfo^ei des
droites de nul moment. N.A. 1. 412.
187* F. Gräfe. Zusammenhang zwi>
sehen Centralellipse und Trägheitekreis.
Z.S. 848.
188, *E. CoUignon, Remarques sur
leg moments d*ineriie des polygones r^-
gnliers et des poly^dres r^guliers. A.F. 1.
189. O, CeMro. Sur les moments
d'inertie des polygones et des poly^dres.
B.A.B. 838.
Kettenllnie.
190« H. Bouasse, Sur les courbes de
d^formation des fils. A.T. 2. 431; 8. 86.
Dynamik 9 AUgemeineg.
191. *H. Bisconeini, Di una classi-
ficazione dei problemi dinamici. N.C.
P. 11. 263.
Siehe auch 161; 240; 482 a.
Dynamik des Fnnkteg.
19Ü. *G. K. Suslao, Über die Be-
wegung eines Punktes in einem defor-
mirbaien Mittel (russ.). B.U.E. 1900.
c. 12. 71.
195. 0. Seidiel. BestiLtigung des Fall-
gesetaes mittelst einer nei fallenden
StimmgabeL Z.P. 14. 198.
Siehe auch 881.
Centralbewegaitg.
194. *P. J. Swhar. Nota asujpra le-
gilor unor forte centrale deduse din con-
lideratixmea hodografuliu. (Bemerkung
über die Gesetze einer Centralkraft, ab-
geleitet aus hodographischen Betrach-
Umgea.) B.S.B. 313.
Pendel.
195* X. Bicombe. Sur le mouvement
d'un pendule en milieu r^sistant. CR.
138 147
196. *N. FiUsMkow. Das Foucault-
sehe Pendel (russA M.P.O. 24; 193.
197. A. de St. Germain. Kote sur la
tension de la tige d*un pendule sph^rique.
B.D. 89.
198. *0. ZanoUi Bianco. Sulla teoria
della flessione del pendolo nelle deter-
minazioni della gravitd». R. T. C. 12. 74. 81.
Siehe auch 791^798; 906.
Dynamik des starren Systems.
199. V. V. Niesiolowski'Ganeu. Über
eben neuen Versuch zur Dynamik. A.
P.L 6. 479.
200. T. Levi'Oivita. Sopra alcuni
Griten di instabiHtä. A.D.M. 221.
201. *C. S. Sliehter. The mechanics
of slow motions. S. 11. 636.
202. D. Scharr. 0 bumerange. (Über
den Bumerang.) M.P.O. 26. 86.
Siehe auch 168—169.
Dynamik des deformierbaren
Systems.
208. E. Ferron. Sur quelques points
de doctrine nouveaux de la ui^ne g^-
n^rale du mouvement d^xm systäme de
con>s. I. L. 41.
204. Gaüian. Demonstration du th^o-
r^me des travaux virtuels. N.A. 20.
205. D. de Frcmceeeo. Alcuni pro-
blemi di meccanioa in uno spazio a 8
dimensioni di curvature costante. A. A. N.
No. 4; No. 9.
DifferentiAlgleiehnngen der Heehanik.
206. P. ÄppeU. Remarques d*ordre
analyüque sur une nouvelle forme des
^quations de la dynamique. J.M. 6.
207. H.Poincare. Novaja forma urav-
nen^ mechaniki. (Neue Form der Diffe-
rentialgleichungen der Mechanik.) S.M.
Ea.B. 67.
208. *E. T. WhiUaker. On the reduc-
tion of the order of the differential
equations of a dynamical problem, by
use of the integral of energy. M.M. 93.
Drehung.
209. *B. Seüi^. Das Poinsotsche
Theorem und seine YeraUgemeinerung
(russ.). M.U.Ea. 78.
210. *G. del Prato. Sul moto di ro-
tazione di un corpo composto di una
garte solida e di ima parte fluida. N.
.P. 1. 41.
211. P. BtOiem. Sur la stabiUt^ d*un
Systeme animä d'un mouvement de ro-
tation. CR. 132. 1021.
212. r. Leoi^Civitä. Sui moti stazio-
nari di un corpo rigido nel caso della
Eowalewsky. R.A.L.R. 10. A. 388; 429;
461.
Kreisel.
218. *Ä. Hau. The motion of a top.
S. 13. 948.
214. C. T. Knifp. The use of the
bicTcle wheel in iDustrating the prin-
ciples of the gyroscope. P.R. 12. 48.
215. *G. K. SwHov. Die pseudoregu-
l&re Präzession (russ.). B.Ü.E. 1900.
c. 12. 103.
Reibung.
216. N. Petrov. Frottement dans les
machines. A.P.M. 10. No. 4.
298
Abhandlongsregister 1900—1901.
217. *G. Fächer e X. Finatzi. SuU
attrito intemo dei liqnidi isolanti in an
campo elettrico costante. N. C. P. 1 1. 290.
2i8. T. Breitenbach. Über die innere
Reibung der Qase und deren Änderung
mit der Temperatur. A.P.L. 5. 166.
219. H.Si^uUte. Die, innere Reibung
von Argon und seine Änderungen mit
der Temperatur. A.P.L. 6. 140.
Siehe auch 170.
Potentüütheorie.
220. H.Petrini. Allgemeine Existenz-
bedingungen für die zweiten Differen-
tialquotienten des Potentials. B.V.A.S.
225.
2i^\m E.B. Neumann. Zur Integration
der Potentialgleichung vermittelst C. Neu-
manns Methode des arithmetischen
Mittels. M.A. 1.
S82« S. Zaremba. Sur rintäm.tion
de r^quation Jw — il^w = o. CK. 132.
1649.
228. L. Königsberger. Über die Pois-
Bon*8che Unstetigkeitsgleichung. S.A.B.
118.
224« F. V. DaJioigk. Über das Poisson-
sche Integral. S.G.M. 59.
225. J. Fredhohn. Sur une nouvelle
m^thode pour la resolution du problfeme
de Diricfalet. B.Y.A.S. 89.
226. *Ä. Petrowdci. Über die Poten-
tialverteüung im inhomogenen Medium
(russ.) J.R.P.C.G. 82. 1.
227. *F. MancineÜi. Sülle derivate
prime delle funzioni potenziali di doppo
Strato. R.I.L. 84. 870.
228. R. Marcolongo. Determinazione
della funzione di Green di grado n nel
caso di una sfera. R.A.L.R. 10. B. 181.
229. B. KoUenbach. Das Potential
einer homogenen Eugelschale auf einen
beliebigen Punkt im Räume. Z. P. 14. 214.
280. H. Petrini £tude sur les däri-
väes premi^res du potentiel d^une couche
simple. B.V.A.S. 867.
281. *0. M. Carbino, Rappresenta- I
zione stereometrica dei potenziali nei
circuiti percorsi da correnti trifasiche.
N.C.P. 11. 182.
282« E. Kasner. On the algebraic
Potential curves. S.M.Am. 7. 392.
Siehe auch 830; 578—575; 594; 616;
626; 627.
GraTltation.
288« *R. A. Fessenden. A determina-
tion of the nature and velocity of gra-
vitation. S. 12. 740.
284. *W. I. FraMin. The electrical
theory of gravitaidon. S. 12. 887.
285. *B. A. Fessendm. The eledncal
theory of gravitation. S. 18. 28.
286. *B. A. Fessenden. Inertia and
gravitation. S. 12. 825.
Siehe auch 804; 740; 782—786.
Hydrostatik.
287. L. E, Bertin. Position d^^qui-
libre des navires sur la houle. M.C. 1.
288. G. SdifOen. Das Schwimmen.
Z.H. 81. 505; 589; 32. 85.
289. J.Biekmann. Über Chruppen von
Aufgaben aus der Greometrie und Physik.
Z.H. 82. 258; 887.
240. BahaJt. Sur un invariant remar-
quable de certaines transformations
rdalis^es par des appareils enr^gistra-
teurs. O.E. 182. 1899.
Hydrodynamik.
241. *V. Bjerhnes. Les actions hydio-
dynamiques ä distance d^apr^s la thöorie
de C. A. Bjerknes. R.C.I.P. 1; 261.
242. E. A. Harris. A few questions
in hydrodynamics. B.S.W. 93.
248. T. Levi'Oivüä. Sulla resiatenza
dei mezzi fluidi. R.A.L.R. 10. B. S.
244. *E. Fontaneau. Du mouvement
stationnaire des liquides. A.F. 133.
245. C. Sautreaux. Mouvement d'nn
liquide soumis k la pesanteur. Detenni-
nation des lignes de courani J.M. 125.
246. P. Duhem, Sur les ondes da 2.
ordre par rapport aux vitesses qne peat
pr^enter un fluide visqueux. CR. 132.
607.
247. P. Dühem. De la propagation
des discontinuit^s dans un fluide ns-
queux. CR. 132. 658; 944.
248. E. Jou^uet. Sur la propagation
des discontinuit^s dans les fluides. C.
R. 182. 673.
249. P. Duhem. Sur les th^r^es
d*Hugoniot, les lemmes de M. Hadamard
et la propagation des ondes dans les
fluides visqueux. CR. 132. 1168.
250. P. Duhem. Des ondes qni pen-
vent persister en un fluide visqueux.
CR. 138. 579.
251. P. Sau/rel. Sur un th^orime de
M. Duhem. J.M. 88.
252. L. Hauser. Über den Einflufc
des Druckes auf die ViscositÄt des
Wassers. A.P.L. 5. 597.
258. E. Maükt. Sur les lois des
mont^es de Beigrand et les formules
du d^it d*un cours d^eau. CR. 132. 1033.
Abhandlungsregister 1000--1901.
299
L F. B. Waston. Surface tension
at the Interface of two liquide deter>
DÜDed experimentally by the method of
ripple wayes. F.R. 12. 862.
Siehe auch 210; 217; 404; 798.
Wirbel.
85o« K.Zorawski. Über die Erhaltung
der Wirbelbewegung. B.I.C. 886.
256. de DonSer. £tude sur les in-
rariants int^grauz. R.C.M.P. 121.
Siehe auch 812; 814—816.
Hydranlik.
2&7. F.Steiner. Erffiebigkeitsmessung
intermittirender Quellen. S.L.P. 202.
258* *F. Stupecky. Zur graphischen
Ermittlung der GeschwincGgkeit aus
direkten Beobachtungen. 0. M. Ö. B. 172.
259. N. ^kowski. Über den hydrau-
lischen Stofs in WasserleitungsrÖhren.
ARM. 9. No. 6.
260. ^E. MaiOet. Sur une m^thode
d^ävaluation du d^it d*une crue extra-
ordinaire. Application aus crues de la
Garonne ^ Toulouse en 1866 et 1876.
A.F. 223.
Aerodynamik.
Siehe 814; 816; 882; 883.
Ballistik, infsere.
361. ^BonUi. Giuoco balistico gra>
fico. R.A.G. 1900. 9 fasc.
868* G. Bonca. Abbachi della ba-
listica. C.L. 1901. 278.
26S. ^8. Burüeanu. Le mouvement
des projectiles sph^riques. B.S.B. 301.
264« — .Über die Anfangsgeschwindig-
keit des Greschosses bei Huiafeuerwaffen.
M.A.a. 1900. 811.
265. MinareÜi-Füegeräld, Neue Me-
thoden zur Bestimmung der Anfangs-
geschwindigkeiten von Gewehrprojektüen
in der Nähe der Mündung. M. A. G. 1 901 .
269.
2<I6. F.Siaeei. Sulla velocitä minima.
R.A.G. 1901. M&rz-Juni.
267. N. Sabudßki. Des pronri^t^s gä-
n^rales de la trajectoire dans rair. G.L.
1900. 293; 1901. 8; 267.
268. Bohne. Der Einflufs der Witte-
ningsYerhältnisse auf die Geschofsbahn.
K.Z. 1900. 129; 201; 1901. 826.
269. A, Baeaani, Sulla legge di re-
lifltenza dell* aria al moto dei proiettili.
C.L. 1900. 299.
270. A. Baseani. SuUe forme di testa
dei proiettili oblunghi che incontrano
da parte dell' aria la minii&a resistenza
al moto. C.L. 1900. 486.
271. Lefivre. Forme th^orique de
rogive de moindre r^sistance d*apr^s
Newton. B.A. Dez.
272. A. V. Obermayer. Versuche zur
Ereiselbewegnng der rotirenden Lauff-
r schösse. Engl, von F. E. Harris. J.U.
A. 1901. Juli-Aug.
278. *Donny. £tude des d^viations
des projectiles cylindro-ogivaux. R. A. B.
Sept.-Okt.
274. A. V. Obermayer. Über den Ein-
flufs der Erdrotation auf die Bewegung
der Geschosse. M.A.G. 1901. 707.
275. Barst. Die Tiefenausdehnxmg
der Geschofsgarbe. E.Z. 1901. 330.
276. Bohne. Die Anwendung der
Wahrscheinlichkeitsrechnung auf das
gesetzmälsige Abteilirngsschiefsen der
bifanterie. E.Z. 1901. 119.
277. A. Baseani. Nuove formule per
il tiro curvo. C.L. 1900. 276.
278. • — . New formulae for curved
fire. J.U. S.A. 1900. Sept.-Okt.
279. *A. G. Greefihül. 11 problema
dei vento nel tiro. J.U. S.A. 1900. Jan.-
Febr.
280. — . Die Wirkung schnellfliegen-
der Geschosse. E.Z. 1900. 279.
281. A. Beliczay. Wirkungsfähigkeit
kleinkalibriger Gewehre. M.A.G. 1900.
147.
282. A. Indra. Das Schiefsen aus
Eüstengeschützen. M.A.G. 1901. 91; 189.
288. B.Sehöffler. Gesetz der zufällifiren
Abweichxmgen, Beiträge zur Wahrschein-
lichkeitsrechnung mit Anwendung auf
die Theorie des Schiefsens. M.A.G.
1900. 429.
284. V. Portenechlag-Ledertnayr. Gra-
phische Schiefstafeln ffir Festungsge-
schfitze. M.A.G. 1900. 796.
285. de Spätre. Sur Temploi des tables
de Siacci pour räsoudre les problämes
du tir dans le cas des grands angles
de projection, et lorsque la vitesse est
sup^rieure k 800 mätres. A.S.B. 204.
286. F. Siacci. Sur un probl^me d'
Alembert. CR. 132. 1176; 133. 381.
287. E. Stmad. Die Verwendung go-
niometrischer Apparate zur indirekten
Erteilung der ersten Seitenrichtung bei
Geschützen. M.A.G. 1900. 169.
288. F. Baekfwrth. Testing on some
ballistic experiments. N. 64. 446.
Siehe auch 16; 84; 672; 903.
Ballistik, innere.
289. G. V. Sur le trac^ des rayures
dans les bouches ä feu. C.L. 1900. 408.
300
Abhandlangsiegister 1900— -1901.
290. *J^attei. Dell' Influenza delle
caratterisüche del grano di polvere solle
velocitä iniziale e snlle preasioni. R.A.
G. 1900. 8 fasc.
291. E. Vallier. Snr la loi des pres-
sions dans les bonches ä fen. CR. 133.
208; 319.
292. E.Eimer. Die Gesetze der Drucke
in den Feuerwaffen. M.A.G. 1900.
118.
298« Heydewrek^. Neue Methoden
zur Berechnung des Verlaufs der Gas-
druckkunren in Geschützrohren. E. Z.
1900. 287; 384; 1901. 292.
294. •G. Vieentinx e G. Früher. £q>e-
rienze sui proiettili gazosi. N. C. P. 1 1. 133.
295. *—. Über den Einflufi toh Yer-
biegungen der Schildzapfenaze auf die
Seitenrichtung des Geschützes. R.A.J.
296. BianM. L*azione degli esploari
nelle armi. B.A.G. 1901. Jan.-M&n.
297. *Delcu;ourt. £tude mathämatique
des effets des foumeaux de mine bssee
sur rinfluence de la coh^sion des tenea.
R.G.M. April-Jan.
298. P. Hefs. Zur Theorie der Sicher-
heitssprengstoffe. M.A.G. 1900. 26.
Siehe auch 809.
E» Mathematiflohe Physik.
Priniipien der mafhematlaeheii
Physik.
299. *H. Poincari. Les relations entre
la physique expärimentale et la phjsique
mathämatique. B.G.O. 11. 1163.
800. V. H. Poyntmg. Consid^rationB
sur les lois de la physique. A. S. G. 1 1. 48.
801. TT. Wien. Über die MögHchkeit
einer elektromagnetischen Begründung
der Mechanik. A.P.L. 6. 601.
808. M. Smoluchawski. 0 nowszych
post^pach na polu teorg' kinetycznych
mateiyi. (Über neue Fortschritte im
Gebiet der kinetischen Theorien der
Materie.] T.W. 112.
808. ^Ä. T. Lincoln, Physical reac-
tions and the mass law. J.P.C. 4. 161.
804. *W. 8. Franklin. The electrical
theory of jpravitation. S. 12. 887.
805. *W. MicheUon. On Dopplers
principle. A.J.C. 13. 192.
806. *B. A. Fessenden. A determina-
tion of the nature of the electric and
maffnetic quantities and of the density
and elasticity of the Ether. P.B. 10. 1 ; 88.
807. E. Sarrau. Sur TappUcation du
principe de T^nerg^e auz ph^om^nes
^ectrodynamiques et^ectromagn^tiques.
CR. 188. 402.
808. *0. M. Corhino. Sülle conse-
guenze del principio della conservazione
deir elettricitä. N.C.P. 11. 136.
809. •Trowhridge. Elektrizitätstheo-
rien. E.P. 1901. 72.
810. E. Lecher. An den Grenzen
unseres Erkennens. S.L.P. 226.
Siehe auch 113; 284; 235; 463.
Messen.
811. *P. Orüger. Die dezimale Ereis-
und Zeiteinteilung. P.806. — Dzioheki^X.
Siehe auch 776; 776.
Mafssjstera, absolutes.
812. *H. Abraham. Les mesoies de
la vitesse. v. R.C.I.P. 2. 247.
818. H. T. Barnes. Note on the re-
lation of the electrical and mechanical
Units. T.C.R.S. 6. C. 71.
Molekularphysik.
814. *A. Speranski. Molekularbewe-
rig in festen Körpern (russ.). P.M.J.
220.
815. ^W. Sprinß. Propri^t^s des so-
lides sous pressions; difiusion de la
mati^re solide; mouvements internes de
la mati^re solide. R.C.I.P. 1. 402.
816. G. DiUner. Sur le mouTement
des ^l^ments d'xme molecule de matieie
ponderable d^apräs la loi de Newton.
B.V.A.S. 1146.
817. CarvdOo. R^scaux mol^cnlaires
et dispersion. S.F.P. 168. 2; J.P. 543.
818. J. d. van der Waals jun. Over
het verband tusschen straling en mole-
kulaire attractie. C.A.A. 47.
818. H. BodeuHÜd. Über Qaellungs-
und Benetzungserscheinungen. Z.P.C.
33 693
820. B. Schenck. Die Dynamik der
KrystaUe. S.G.M. 120.
Siehe auch 114; 297; 646.
Elastisitftt.
821. G. Bakker. Th^rie de V&uä'
cito. J.P. 668.
822. B. LiwfnOe. Sur F^uilibre des
Corps ^astiques. G.R. 133. 434.
828. *W. S. Franklin. Some lecture
room methods in the elementary theory
of elasticity. P.R. 11. 76.
824. *Jorino. Sui metodi pratici per
calcolare alcune strutture elastiche. Pol.
M. 3 fasc.
AbhandlongBregiBter 1900—1901.
301
S26. F. H, CüUy. Some fimdamental
proponüons in the theory of elaetidtj.
A.J.S. 869.
826« G. Bakker. Bnärase tot de
theorie der elaBtiBche stofTen. C. A. A. 620.
827. J, Caulon, Snr les caract^risti-
ques de quelques equations, aux d^-
T^es partielles Unfaires et k coefficients
constantB. P.S.B. 1899—1900. 24.
828. *0. Tedane. Sülle formole che
rappresentano lo spostamento di un
punto di un corpo elastico in equilibrio.
N.C.P. 11. 161.
829* A. Vüerhi, Sui casi di equili-
brio d*im corpo elastico isotropo che
ammettono sistemi isostatid di super*
ficie. R.A.L.R. 101. 408.
880. £, et F. Cosserat. Sur une ap-
plication des fonetions potentielles ä la
theorie de Masticitä. CR. 183. 210.
881. E, et F. Cosaerat. Sur la Solu-
tion des äquations de Tdlastidt^ dans
le cas oü les valenrs des inconnues k
la fironü^re sont donnäes. G.B. 183. 145.
882. B. et F. Cosserat. Sur un point
critique particulier de la Solution des
^quations de F^asticit^ dans le cas ou
les efforts sur la fronti^re sont donnäs.
CR. 133. 382.
888. C. J. Kriemler. Bemerkungen zu
dem Aufsätze des Herrn Baurat Aflbler
über Knick -Elasticität und -Festigkeit.
Z.8. 356. — L. POgrim 862. — J. Kühler
370.
884. F. Pödsds. Über die durch
elastische Deformationen bewirkten Än-
derungen des Brechungsvermögens von
schwerem Flintglas. P.Z. 693.
885« F, Ähnansi. Sopra la defonna-
zione dei dlindri solledtoti lateralmente.
R.A.L.R. 101. 333; 400.
888. *It, Feret. Däformations et ten-
Bions r^manentes pendant le d^chaxge-
ment d*un prisme flächi imparfaitement
^astique. Application aux poutres de
ciment arm^. A.F. 214.
887. *Ä. Mesnager. La däformation
des solides. R.C.I.P. 1. 348.
888. *C. F. Guülaume. Les d^forma-
tions passag^res des solides. R.C.LP.
1. 432.
889* E.LenMe. Contributionär^tude
des d^fonnations permanentes des fils
m^talliques. M. S. B. 261 .
840. G, FennacckieUi. Sugli invari-
ant! nelle deformazioni infinitesime delle
■uperficie elastiche. B.G.G. 26.
841. E. et F, Cosaerat. Sur la däfor-
mation infiniment petit d*un corps ^la-
stique soumis ä des forces donn^es. C.
R. 138. 271.
842. Ä. Lafay, Recherches exp^ri-
mentales sur les d^formations de contact
des corps ^astiques. A.P.C. 28. 241.
848. H. Bouasse. Sur la theorie des
d^formations permanentes de Coulomb.
Son application k la traction, la torsion
et le passage k la filiere. A.P. C. 28. 199.
844. J. M. Michell. The stress in an
aeolotropic elastic solid with an infinite
plane boundary. P.L.M.S. 247.
846. Ä. Damdoghu. Sur Täquation
des vibrations tnmsversales des verges
^stiques. A.E.N. 17. 369; 433.
846. *T. Boggio, SuU* equiUbrio deUe
membrane elastiche piane. N.C.P. 11.
161; 12. 170.
847. J, H, MiehiU, Stress in the web
of a plate «nrder. Q. J. 81. 877.
848. V. M, Micheü. The theoiy of
uniformly loaded beams. Q.J. 82. 28.
849. K. Pearson and L. N, G. Füon.
On the flexure of heavy beams subjected
to continuous Systems ofload. Q.J. 31.66.
850. 3f. FanOti, Sul calcolo delle
vibrazioni transversali di una trave ela-
stica urtata. A.A.T. 6.
851. Mesnager. Sur Tapplication de la
theorie de T^asticitä au (Milcul des pi^ces
rectangulaires fl^chies. CR. 182. 1476.
852. * W. S. Franklm. The problem
of the Stresses and strains in a long,
elastic, hollow cylinder, subjected to in-
ternal and extemal pressure. P. R. 11. 176.
858. F. et F. Casserat. Sur la däfor-
mation infiniment petite d^une enveloppe
sph^rique ^astique. CR. 138. 326.
854. *L.Lecamu. Sur Täquilibre d'une
enveloppe ellipsoidale soxmiise k une
pression int^eure uniforme. A. E. N. 541 .
855. F. et F. Cosserat. Sur la däfor-
mation infiniment petite d'un ellipsoide
^astique, soumis k des efforts donn^s
sur la fronti^re. CR. 133. 361.
856. *Lord Kelvin. On the motion
produced in an infinite elastic solid by
the motion through the space occupied
by it of a body acting on it by attirac-
tion or repulsion. P.K.S.E. 218.
857. *J^d Kelvin. Rapport sur le
mouvement d*un solide ^astique travers^
p«r un corpB agissant <mr Ini par attrac-
tion on par repulsion. R.CLP. 2. 1.
858. W. Voigt. L'£tat actuel de nos
connaissances sur T^lasticit^ des cristaux.
R.CLP. L 271.
Siehe auch 162; 878; 647; 861.
Eiastlsehe Linie.
859. de Martina. La linea elastica
e la sua applicazione aUa trave continua
8U piü Bostegni. R.A.G. 1900. Apr. -Juni.
302
Abhandlnngsregister 1900-<1901.
860« H. AmsUin. Courbes d'^gale Ion-
gaeur. B.S.V. 1.
861. B, Elie. £tade d'une ^lastique
ganche. H^lice sonmise k Taction d*mie
couple. N.A. 1. 292.
FeBtigkeitslehre.
802« F. Vülareal. ResiBtencia de ma-
teriales. R.C.L. 97; 216.
868. C. Gruidi. Prove sui materiali
da coBtruzione. M.A.T. 215.
864« *HoudaüU, Formules Bimplifi^s
applicables ä la r^Bistance des mat^-
riauz. B.G.M. April-Juni.
865« J. B. BenUm. Dependence of
the modnlns of torsion on tension. P.R.
12. 100.
866. V. B. BenUm. Note on the effect
of tension on a permanent torsion of a
wire. P.R. 18. 68.
867« T, Crray. Strength of colnmna
under eccentric loads. P.A.A. 186.
868. *C. H. Cordeiro. Formule pra-
tiqne ponr les murs de grands remblais.
A. F. 281.
869« O. Dziobek, Die Beanspruchung
der Kanonenrohre nach der dynami-
schen Theorie. M.A.G. 1900. 83.
Siehe auch 888.
Krystallstmktar.
870« B. Sehende, Die Dynamik der
Krystalle. S.G.M. 120.
870 a. WaUerant. Sur les variations
d'aimantation dans un cristal cubique.
CR. 188. 680.
Siehe auch 114; 820; 858; 489.
Schwingnngen«
871. H. Burkhardt Die Entwicklung
nach oscillirenden Funktionen. D.Y.M.
10 n.
872. J. Zenneck. Die physikalische
Interpretation von Ausdrücken aus der
Theorie unendlich kleiner Schwingungen.
A.P.L. 5. 707.
878« Bibüre. Sur les vibrations des
poutres encastr^es. CR. 182. 668.
874« F. Kiebitz. Über die elektrischen
Schwingungen eines stabförmigen Leiters.
A.P.L. 6. 872.
875. M. Planck. Vereinfachte Ab-
leitung der Schwingungsgesetze eines
linearen Resonators im stationär durch-
strahlten Felde. P.Z. 680.
870« H. Pellat. Sur un phdnom^ne
d*oscillation ^ectrique. J.P. 471.
877. L. Diconibe. Sur la mesure de
la Periode des oscillations «^lectriques
par le miroir toumant. CR. 131
1087.
Siehe auch 76; 161; 845; 350; 880; 455;
570; 621; 632.
Wellenlelire.
878« H. S. Cartiato. Oblique incidence
of a train of plane waves on a semi-
infinite plane. F.E.M.S. 71.
870« *C. Barus. Certain stroboscopic
phenomena in the End-on projection of
a Bingle wave. S. 18. 128.
880. *H. Lamb. On a pecnlarity of
the wave System due to the firee Tibn-
tions of a nucleus in an extended me-
dium. P.L.M.S. 199.
881« *C. Barua. The projection of
ripples by a grating. S. 13. 297.
882« *A, Bighi. Le onde hertziane.
N.CP. 1. 50.
888« *Ä. Bighi. Les ondes hertziennes.
R.CLP. 2. 801.
884. *lf. M. Maedonald. The eneigy
function of a continuouB medium trans-
mitting transverse waves. P.L.M.S. all.
885« *E. Brafdy. Absorption des ra-
diations hertziennes par les liquides.
S.F.P. 1900. 2.
886. M. E. H. Lave. The integration
of the equations of propagation of electric
waves. P.R.S.L. 19.
887. V. Ä. Fleming. Electrical os-
cillations and electrical waves. T.E.
46. 514; 551; 588; 659; 728; 47. 57.
226; 882; 446.
888. G. Pierce. Note on the double
refraction of electric waves. P.M 548.
889. *E. H. Bartm and X. Lownds.
Reflexion and transnussion by conden-
sers of electric waves along wire^. P.
P.S.L. 273.
800. V. C. Böse. Changement mol^-
culaire produit dans la mati^e par les
ondes ^ectriques. E.R. 449.
801. C. G. Barkla. The velocity of
electric waves along wires. P.M. 652.
892. *Comhet. Essai de repr^sentation
des phdnom^nes magn^tiques et elec-
triques et de la g^näration des ondes
dlectriques. S.F.P. 1900. 1.
808. G. Pierce. Elektrische Brechnngj-
exponenten, gemessen mit einem abge-
Suderten Radiomikrometer. P.Z. 405.
Siehe auch 246; 250; 254; 419; 623;
661; 874.
Strahlen.
9ldi. F. Leininaer. Notiz über Eneijgie-
messungen der Roentgenstrahleo. P-^-
691.
Abhandlungsrcgisier 1900—1901.
303
895. W. SeüM. Beiträge zur Eenniaiis
der Eftthodenstrahleii. A.P.L. 6. 1.
896« /. J. ThofMon. On a kind of
eadlj abeorbed ladiation prodnced by
the impact of slowlj monng cathode
rays. P.M. 861.
897« *A. Turpain. Essai critique sur
les th^ries de la radiocondnction. E.
E. 26. 56.
898. *A. Bighi. Sur les ih^ries de
la radiocondnction. E.E. 27. 878.
Siehe anch 385.
Kaplllaritftt.
899. G. Bakker. Zur Theorie der Ea-
pülarität. Z.P.C. 83. 477.
400. O. Bakker. Bemerkung zur iher-
modynamischen Theorie der läpiUarit&t
von van der Waals. Z.P.C. 84. 168.
401. *G, van der Merubrugghe. Sur
les ph^nom^es capiUaires. K.G.I.P. 1.
487.
408. P. A. Guye et A. Band. Con-
stantes capiUaires de liquides organiques.
CR. 132. 1481; 1558.
408. *A. Guye et F. L. Perrat. £tude
critique sur Temploi du compte-gouttes
ponr la mesure des tensions superficielles.
A.S.G. 11. 225; 346.
404. C. Chrisiiafuen. Versuche über
den EinflulB der CapiUarit&t auf die
Aosflufsgeschwindigkeit der Flüssig-
keiten. A.P.L. 5. 436.
406. G. Bakker. Theorie der Capillar-
schicht zwischen den homogenen Phasen
der Flüssigkeit und des Kampfes. Z.
P.C. 35. 598.
4M. S. W. J. SmUh, Über die Natur
der elektrocapillaren Ph&nomene. Z.P.
C. 32. 433.
407. Gauy. Sur Taction ^ectrocapil-
laire des mol^cules non dissoci^s en ions.
CR. 133. 284.
Siehe auch 573; 898.
Dllhigloii.
408. A. Winkelmann. Ober die Diffn-
lion Ton Wasserstoff durch Palladium.
A.P.L. 6. 104.
409. *M. Brühuin. La diffusion des
gas Sans paroi poreuse d^nd-elle de
la concentration? R.C.I.P. 1. 512.
Siehe auch 315.
Osmose.
410« ^J.Perrin. Osmose. Paroissemi*
penn^bles. R.C.LP. 1. 531.
411. K, Ikeda, Einfache Ableitung
des vant Hoff*schen Gesetzes vom osmo-
tischen Drucke. Z.P.C. 33. 280.
412. A. A. Nayee. The exact relation
between osmotic pressure and vapour
pressure. P.R. 12. 84.
418. 'TT. B. Caaper. The osmotic
pressure theoxy of primary cells. T.E.
44. 852; 896.
Siehe auch 493; 586; 587; C35.
Yigcoslt&t.
414. *C. H. Leea. On the viscosities
of mixtures of liquids and Solutions.
P.P.S.L. 460.
Siehe auch 562.
Aknstlk.
415. V. Viciüe. Sur la vitesse de pro-
pagation du son. R.C.LP. 1. 228.
416. •M. Brülauin. Theorie de la
propagation du son dans un gros tuyau.
R.C.LP. 246.
417. 0. d'Älencar Suva. De Paction
d^une force acc^^ratrice sur la propa-
gation du son. J.S.M. 97.
418. E. W. Scripture. On the nature
of vowels. A.J.S. 302.
419. B.Davis, On a newly discovered
phenomenon produced by stationary
sound waves. P.R. 13. 31.
420. 21 Thomasine. Sur un dlectro-
radiophone ä sons tr^s intenses et sur
la cause qui les produit. CR. 132. 627.
Siehe auch 193; 375.
Optik, geometrische.
421. G. Mannet. Sur les caustiques
par r^flexion. N.A. 120.
422. V. Mad de LMnay. Über die
Form der ordentlichen Wellenfläche im
Quarz. Z.E.M. 34. 280. — C.Viala 281.
428. L. Matthieseen. Beitr&ffe zur
Theorie dergeschweiften Strahlenbüschel
und ihrer Wellenflftchen. A.P.L. 5. 659.
424. A. Comu, Construction ^^om^-
trique des deux Images d'un pomt lu-
mineux produit par r^fraction oblique
sur une surface sph^rique. J.P. 607.
425. *6r. Quesneviüe. Kouvelle diop-
trique des rayons visuelles. M.S.Q. 573.
426. F. Klein. R¨iche Collinea-
tionen bei optischen Instrumenten. Z.
S. 376.
427. Izam. Demonstration ^l^men-
taire du minimum de d^viation dans le
prisme en partant de la construction de
HuYghens. J.P. 494.
428. *A. Kerber. Formeln zur Berech-
nung verkitteter Doppellinsen. D. M. 157.
304
Abhandlungsregiater 1900 — 1901.
420. T. H. Blakedey, On Bome im-
proved fonmilae and methodB connected
with lenses. P.P.S.L. 91.
480. *S. P. Thompson. On obliquely
crossed cjlindrical lenses. P.P.S.L. 81.
481. «71 D. van der Plaats, Über die
subjektiven Bilder von Gylinderlinsen
und astigmatischen Linsen. A. P. L. 6. 7 72.
482« O. Lifpmawn. Mire m^ridienne
a miroir cjlmdrique. CR. 132. 607;
J.P. 416.
488« Ä. Comu. Snr la compensation
m^canique de La rotation da champ op-
tique foumi par le sidärostat et l*h^lio-
stat. CR. 132. 1013.
484. F. Klein. Über das Brons'sche
Eikonal. Z.S. 372.
Optik, physikallgehe.
485« E. V. Oppolzer. Zur Theorie der
Lichtemission. S.L.P. 306.
486« D. A. Goldhammer. 0 davlenii
svetovych lu6ej. (Über den Druck der
Lichtstrahlen.) S. M. Ea. A. 231.
487« *A. Comu. Sur la vitesse de la
lumifere. R.C.LP. 2. 226.
488. *Sagnac. Exposition nouvelle de
la propagation de la lumi^re k travers
des milieux dou^s d'une absorption dlec-
tive. S.F.P. 1900. 8.
489« A. Comu. Determination des 3
param^tres optiques principaux d*un
cristal en grandeur et en direction par
le r^fractom^tre. CR. 133. 126.
440, V. G. Coffin. The reflection of
light in the neighbourhoud of the cri-
tical angle. T.Q. 139.
441« K. Schwarzschüd. Die Beugung
und Polarisation des Lichts durch einen
Spalt. M.A. 177.
442« *J. W. Gordon. An Examination
of the Abbe diffraction theory of the
microscope. J.R.M.S.
448. *N. N. ßchilkr. Note über die
Methodologie der Doppelbrechung (russ.).
B.Ü.K. 1901. b. 1.
444« M. Planck. Über irreversible
Strahlungsvor^nge. S.A.B. 644.
445« S. Navratil. Pfispgvek k inter-
ferenci svetla v deskä^ch tlustych. (Bei-
trag zur Interferenz des Lichts in dicken
Platten.) C 293.
446« V. B. Benton. Determination of
PoisBons ratio by means of an inter-
ference apparatus. P.R. 12. 36.
447« L.Zehnder. Über Gitterbeobach-
tungen. A.P.L. 6. 686.
448. V. C. Shedd. On the forces of
curves presented by the Michelson inter-
ferometer. P.R. 11. 304.
449. *P. Drude. Th^rie de la dit-
persion dans les mätaux fondäe im la
considäration des ^^ments. R.G.LP.S4.
450. *E. CarvdOo. Sur les th^riee
et formules de dispersion. R. C. LP. 2. 175.
451. M. de Gramont. A graphicil
study of refraction and dispersion. A
J.C 13. 208.
452. J7. Trommsdorff. Die Dispersion
Jenaer Gläser im ultravioletten StnUen-
gebiet. P.Z. 676.
458. *A. BelopolUky. On an apparatus
for the laboratory demonstration of the
Doppler-Fizcau principle. A.J.C. 13. 15.
454. *C Crodfrey. On the applicatioo
of Fouriers double integrals to optictl
Problems. T.R.S.L. 329.
455. L. Genovesi. Relauone fra i
numeri delle vibrazioni dei colori deri-
vati e dei loro componenti. B.C. 214.
456. D. B. Brace. The observaüoii
of resolution of light into its ciFcnl&i
components in the Faraday effeci P.
M. 464.
457. *A. Sachs. Erystallographisch-
optische Studien an synthetisch darge-
stellten Verbindungen. Z.K.M. 34. 158.
458. O.Sch&nro^. Über die Abhängig-
keit der specifischen Drehung des Zackers
von der Temperatur. Z.P.C. 34. 87.
459. H. PelkU. Mesure du pouvoir
rotatoire du sucre. Sa Variation atec
la temp^rature et la longueur d*onde.
A.P.C 23. 289.
Siehe auch 76; 306; 334; 678; 730; 794;
848; 884.
Elektrooptlk.
460. *A. J. Sadavsl^. Über die Grenz-
bedingungen in der Frage der pondero-
motorischen Wirkungen der elektromag*
netischen Lichtwellen auf die Kiystalle
(russ.). A.U.J. 1900. Nr. 2.
461. G. Moreau. De Peffet Hall dans
les lames mätalliques infiniment minces.
J.P. 478.
Siehe auch 682; 886—888.
Magnetoptlk.
462. *H. A. Lorentz. Sur la theorie
des ph^nom^nes magn^toptiques recem-
ment d^couverts. R.CLP. 3. 1.
468. N. A. Kent. Notes on the Zee-
man effect. J.H.U.C 82.
464. H. M. Beese. An investigaüon
on ihe Zeeman effect. A.J.C. 11- 1^-
465. M. Bighi. Sul fenomeno dl Zee-
man nel caso generale di un raggio
luminoso comunque inclinato snll^ di-
rezzione della forza magnetica. N.C.Pi
11. 177.
Abhandlnngsregister 1900—1901.
305
Photometrie*
466. V. Vioüe. Photometrie. E.E. 24.
420,
467. C. W. Wirte. Photographisch-
photometrische Untersuchungen. A. N. E.
164. 317.
468. K, BMin. Snr Temploi de la
loi de Lambert dans les probltoes pho-
tom^triques. 6.A. 17. 289.
Wirmelehre.
469. J. DtmgaÜ. Note on the appli-
cation of conduction of heat with special
reference to Dr. Peddie^s problem. P.E.
M.S. 50.
470. ^E. MaMas, Das Geseti des
geradlinigen Durchmessers und die Ge-
setze der korrespondirenden Zustände.
Z.K.F.G. 97.
471. J. Dougaü. Note on the appli-
cation of complex integration to the
equation of conduction of heat with
special reference to Dr. Feddie*B problem.
P.E.M.S. 60.
472. J, Boussinesq. Probleme de la
diflsipation en tout sens de la chaleur
dans un mur ^ais ä face rajonnante.
CR. 183. 497.
478. E. CotUm. Mouvement de la
chaleur sur la surface d'un t^traädre
dont les arrötes oppos^es sont Egales.
AT. 2. 306.
474. G. Eecknagel. Ober Em^ümung
geschlossener Lum&ume. S.A.M. 96.
475. W. Peddie. Note on the cooling
of a sphere in a mass of well stirred
liquid. P.E.M.S. 34.
476. G. Eecknagd. Über Abkühlung
geschlossener LufUume durch Wärme-
leitung. S.A. M. 79.
477. J. Bimssinuq. Sur le pouvoir
refroidissant d*un courant liquide ou
gazeuz. CR. 133. 267.
478. J. Baussinesq. Mise en äquation
des phänom^es de convection calori-
fique et aper^u sur le pouvoir refroi-
dissant des fluides. CR. 132. 1382.
479. J. Dewar. The boiling points
of liquid hjdrogen. A. J.S. 291.
480. A. Pansot. Chaleur sp^cifique
d'un m^lange gazeuz de corps en ^qui-
libre chimique. CR. 182. 769.
481. B. Kueer. 0 fysik&lnich vlast-
nostech hmotj sa velmi nizkjch teploi
(über die physikalischen Eigenschaften
aer Stoffe bei sehr niedriger Temperatur.)
C. 246.
Siehe auch 219; 792; 892; 893.
Z«UfGhrifl f. Mathematik n. Ph^aik. 47. Band. 190S. l.n.i. Heft
Thermodynamik.
482. ^J.E.Trevor. Relationships bet-
ween thermodynamic fundamental func-
tions. J.P.C 4. 670.
482 a. G. H. Buxrow». A class of re-
lations between thermal and dynamic
coefGcients. J.P.C 6. 233.
488. A. Sdigmann-Sui. Suruneinter-
prätation m^anique des principes de la
thermodynamique. CR. 133. 30.
484. *0. Chfx>lson. Über eine Formu-
lirung zweier Sätze der Thermodynamik
(russ.). P.M.J.M. 37.
485. * W. P. BoynUm. Gibbs thermo-
dynamical model. P.R 10. 228.
480. *W,P BoynUm. Gibbs thermo-
dynamical model for a substance foUo-
wing van der Waals' equation. P.R. 11.
291
487. *N. N, Schüler. Experimentelle
Daten und Bestimmungen, welche dem
2. Gesetze der Thermodynamik zu Grunde
liegen (russ.). J.R.P.C.G. 32. 37.
488. *B. Metoes. Der erste imd zweite
Hauptsatz der mechanischen W&rme-
theorie. Z.K.F.G. 171; 182.
489. 0. Wiedeburg. Zum zweiten
Hauptsatz der Thermodynamik. A.P.L.
6. 614.
idO.'LorenM. De theorie der straling
en de tweede wet der thermodynamica.
CA.A. 418.
491. j^. Schüler. Der Begriff des ther-
mischen Verkehrs als Grundlage des
2. thermodynamischen Hauptsatzes. A.
P.L. 6. 813.
492. G. N. Lewis. Eine neue Auf-
fassung vom thermischen Drucke und eine
Theorie der Losungen. Z.P.C 36. 348.
498. A. A. Noyes. Die genaue Be-
ziehung zwischen osmotischem Druck
und Dampfdruck. Z.P.C 36. 707.
494. S. Paaliani. Sul volume speci-
fico dei liquicu a pressione infinitamente
grande. R. A. L. R. 10 B. 69.
495. *N. H. Wiüiams. The verification
of Boyle's law. P.R. 11. 264.
496. *A. Batum. Sulla lernte di Boyle
a pressioni molto bassi. N.CP. 1. 6.
497. *P. Saurel. On a property of a
pressure volum diagram. J.P.C 6. 179.
498. C. M. Goldberg. Das Volum der
Molekel. Z.P.C 82. 116.
499. V. E. Trevor. An ezposition of
the entropy theory. J.P.C 4. 614.
500. V. E. Trevor. Entropy and heat
capacity. J.P.C 4. 629.
501. P. Duhem. Die dauernden Ände-
rungen und die Thermodynamik. V — vn.
Z.P.C 33. 641; 34. 812; 688.
20
306
AbhandlnngBregiBier iM(^1901.
602. •O. Neuhoff, Adiabatischa^ 2u-
standBftiideraii^n feuchter I^lft und
deren redmensche und gMphische Be^
Stimmung. A.P.M.J.
508« * Arnold. Th^adiabatic expansion
of wet steam. 11 P.C. I.E. 140.
504. L. Ma0the8. Sur le diagramme
entropique. C.R. 182. 671.
505« Keffnerlingh Onnes. Over dicht-
heidsYers^hillen in de nab^'heid von
den krifischen toestand tengevolge van
tempertktuurvergchillen. C.A.A. 746.
500« C. Dieterici. Zur Berechnung der
iBotkermen. P.Z. 472.
507« H.H. F. Hyndman. Isothermen
van tweeatomige gassen en hunne bi-
naire mengsels. C.A.A. 668.
508« J. C. SchaXkwijk. Nauwkeurige
isothermen. I. G.A.A. 462; 612.
609. J. S. Arnes, Rapport sur Täqui-
valent m^canique de la chaleur. J.H.
U.C. 18.
510. W. F. Boynton. The two specific
heats of gases. P.B. 12. 863.
511« H Mache. Eine Beziehung zwi-
schen der specifischen Wärme einer
Flüssigkeit und ihres Dampfes. S. A.W.
176.
512« Ponsot. Actions chimiques dans
les sjst^mes dissous ou gazeuz: tension
de vapeur. Hypothese d'Avogadro. G.
R. 132. 166.
518« B, Wbrinaer. Über Dampfspan-
nungen einer Reme von BenzolkOrpem.
Z. F. C. 34. 267.
514« A. Smits. Eenige opmerkingen
over de resultaten verkregen bij de be-
palin^ der dampspanningsvermindering
en vnespuntverlaging van nict-zeer ver-
dunde oplossingen. C.A.A. 604.
515« /. V. Zawidzki. Über die Dampf-
drucke binärer Flüssigkeitsgemische. Z.
P.C. 36. 129. -- Duhem 483.
516« K. Meyer-Bjerrv/m. Über korre-
spondirende 2wtände der Stoffe. Z.P.
C. 32. 1.
517« E. Mathias. La loi du diamfetre
rectiligne et les lois des ^tats correspon-
dants. M.S.L. 2. Nr. 1.
518. *0. Neuhoff. Adiabatische Zu-
standsänderungen feuchter Luft und
deren rechnerische und graphische Be-
stimmung. A.P.M.I. 278.
519. A. Ponsot. Lois de Gaj-Lussac
et dissociation des compos^s gazeuz. G.
R. 132. 1401.
620. N. SchiOer. Die Thermodynamik
gesättigter Lösungen. A.P.L. 6. 326.
521. *P. Saurel. On a theorem of
van der Waals. J.P.C 6. 137.
522. F. SlaU. Force dne to „oontiira-
ous impact". P.R. 12. 863.
528. F. Cohen. Thermodynsmica der
Normalelementen. G.A.A. 116.
524. *H. S. Carhart. Thermodynanics
of the Voltaire cell. P.R. 11. 1.
525» ^P. Saurel. On Glapeyrons equft-
tion. J.P.G. 6. 266.
526. *P. Saurel. On the theorem of
Roozeboom. J.P.G. 6. 281.
527. *P. Saurel On the theorem of
Le Ghatelier. J.P.G. 6. 277.
Siehe auch 262; 298; 400; 412; 528;
678; 812; 813; 820; 839; 860; 867.
Ldsungeii.
528. G. N. Lewis. A new ooneepäon
of thermal pressure and a theory of lo-
lutions. P.A.Bo. Nr. 9.
529. A. CampetH. Sulla relasxone fh
la solubilitä e il calore di soluzione.
R.A.L.R. 10 B. 99.
580. W. F. Magie. The formale for
the depression of the freezing tempers-
ture of Solutions. P.R. 12. 240.
581. J. G. Mac Gregor. On the de-
pression of the freezing point in aqneoui
Solutions of electrolytes. T.G.B.S.C. 8.
582. ^W. D. Baneroft. Isohydric So-
lutions. J.P.G. 4. 274.
Siehe auch 492; 620; 641; 851.
ZnatandsglelchiiBg.
588. H. Hüton. A note on van der
Waals equation. P.M. 679.
584. van der Waals. De toestsnd-
vergel^king en de theorie der cycliiche
beweging. G.A.A. 499; 686.
585. J. D. van der Waals. L'^ostion
d*^tat et la th^rie du mouvement cy-
Clique. A.N. 231.
586. B. HoUmann und G. 2<iflt«aiw.
Zwei Zustandsdiagramme. A.P.L. 6. 74.
587. V. E. VerschaffeU. Beitr&ge zur
Kenntniss der van der Waals'schen FIftche
y. Z.K.F.G. 178.
588. Kamerlingh Onnes. Bydragen
tot de Eennis van het '^-vlak van vu
der Wals I— ü. G.A.A. 199; 218.
589. G.Tammann. ÜberTxipelptmkte.
A.P.L. 6. 65.
540. /. /. van Laar. Sui Tinflnence
des corrections ä la srandenr 5 dans
r^quation d'^tat de M. van der WasU
sur les dates critiques d*un corps simple.
A.M.T. 186.
541. N. J, van der Lee. Der Enflnö
des Druckes auf den kritischen L9>iuigt-
punkt. Z.P.C. 88. 622.
Abhandlungsregister 1900 — 1901.
307
642« C. M, A. Hofrtman. Over de con-
denBatie venchijnBelen bij mengselB in
de nabijheid van den kritischen toestand.
C.A.A. 60.
648« C DieUfiei. Die Berechnung der
Isothermen. A.P.L. 6. 51.
644. *0. TumUrz. L'eqnasione carat-
teristica del vapor dell' acqoa. N.C.P.
11. 5.
546. V. 2>. van der Waals. Statiqne
des fluides (M^langes). R.G.I.P. 1. 58S.
546. *A. J7. ÄnuigtU. Statiome expe-
rimentale des fluides. R.G.Lr. 1. 561.
Siehe auch 405; 506; 516—518.
Gastheorie, kinetlgohe.
547« *(x. Lippmann. La th^orie cin^
tiqne des gaz et le principe de Camot.
R.C.LP. 1. 546.
548. ^N. D. C. Hodaes, Note on the
law of distribution of velocities among
gas molecules. P.K 10. 253.
549. J. D. van der Waals jr. Stati-
stische Strahlongstheorie. P.Z 461.
550. E. PringOieim. Über die Strah-
lung der Gase. A. Gr. 289.
551. •6?. W. Walker. On the distri-
bution of a gas in an electrical field.
P.P.S.L. 171.
Siehe auch 218.
Strahlnng«
b^2.* W.Wien. Die theoretischen Ge-
setze der Strahlung. A.W.P. 205.
558. ^W. Wien. Les lois th^oriques
du rayonnemeni B.C. LP. 2. 28.
hk4* H.A. Lorente. De stralings wetten
Tan Boltzmann en Wien. C.A.A. 572.
556. C.E.Mendenhaü ajid F. A. Soun-
dtrs. The radiation of a black bodj.
AJ.C. 13. 25.
656« 0. Lnmmer und E. Pringtheim.
Kritisches zur schwarzen Strahlung. A.
P.L. 6. 192.
557« ^0. Lummer. Le rajonnement
des Corps noires. B.G.LP. 2. 41.
668. ^D. Goldhammer. Über das Ge-
setz der Energieverteilung im Spektrum
von blankem Platin (russ.). M.U.Ka. 71.
550. *P. Lebedew. Les forces de Max-
well-Bartoli dues ä la pression de la
lomi^. B.C. LP. 138.
560. E, Warburg. Über die Wirkung
der Strahlung auf die Funkenentladung.
AP.L. 5. 811.
561« *E. Prmmhtim. Sur F^mission
des gaz. B.C. LR 2. 100.
Siehe auch 490; 549; 550.
Elektrostatik.
562« ^N. Heseehus. Berührungselektri-
cit&t und H&rte (russ.). J.B.P.G.G. 38. 1.
568. *P. Saeerdote. Sur les d^forma-
tions des diälectriques dans un champs
Aectrostatique. E.E. 26. 332.
564. *E.^outy. Goh^sion di^lectrique
des gaz. S.F.P. 158. 5.
51%. F. Beatdard. Sur lliystäresis
di^lectrique. A.U.G. 191.
566« ^F. J. Boxers. A method of stu-
dying electrostatic lines of force. P.B.
11. 56.
567. A. Qarbfuso. Quelques exp^
riences sur la d^charge ^lecbique dans
les ffaz. A.S.G. 11. 282; 329.
5o8« *K. R. Johnson. Sur les con-
ditions de formation des d^charges dis-
ruptives. E.E. 26. 393.
569« /. H. Jeans. The striated elec-
trical discharge. P.M. 521.
570. K. E. Guthe. Über die Funken-
entladimg bei schnellen Oscillationen.
A.P.L. 5. 818.
571. W. Wien. Untersuchungen über
die elektrische EnÜadung in verdfUmten
Gasen. A.P.L. 5. 421.
b72»*E.Riecke. Über charakteristische
Kurven bei der elektrischen Entladung
durch verdtinnte Ghue. ' N.B. 240.
578. ^N.A.Hesechus. Die gemeinsame
Dimensionalität des elektrischen Poten-
tials und der Oberflächenspannung (ruBB.).
J.B.P.G.G. 32. 115.
574. F. Beaulard. Sur ]a diffi^rence
de potentiel et TamortisBement de T^tin-
celle ^lectrique k caract^re oscillatoire.
C.B. 133. 336.
575. K. B. Johnson. Eonstanz oder
Inkonstanz des Funkenpotentials. A.P.
L. 5. 121.
576. ^Artom. Botazioni elettrostatiche
dei dielettrici liquidi. L.E. Nr. 6.
577. B. B. Turner. Über die Dielek-
tricitätskonstanten reiner Flüssigkeiten.
Z.P. G. 35. 885.
578. J. Könijoberaer, Über die Ab-
hängigkeit der DieleKtricit&ts-, der Mag-
netiBirungskonstante und des Brechungs-
indez von Druck und Temperatur. A. P.
L. 5. 113.
679. D. Negreanu. 0 cestione de drep-
JST— 1
täte relativ la rela|iunea _ , »■ const
Intre constanta dielectrica K bi densi-
tatea d. (Über die Frage der Bichtigkeit
betreffend die Beziehung -=, , = const
zwischen der Dielektricitätskonstanten K
und der Dichtigkeit d.) A. A. B. 22. A. 69.
20*
308
AbhAndlungsregister 1900 — 1901.
580. *Ä. Schuster. On electric inertia
and the inertia of electric convection.
T. E. 46. 892.
581. S. C. M. Cantone e F. Sozzani.
Nnove ricerche intomo alla deformazione
dei condensori. B.LL. 33. 1061.
582« J. de Kotcahki et J. de Modze-
lewski. Sur les indices de r^&action des
liquides. CR. 133. 83.
588. ^E. VülaH. DeU' azione deU*
elettricitä solla virtü scaricatrice dell'
aria ixata. N.C.P. 11. 17.
584. Q. Mao&rana, Snr Teffet Volta
an contact de denz m^ux diff^rents.
A.8.G. 11. 266.
Siehe anch 217; 406; 407; 561; 663; 817.
Elektrodynamik.
685.M..Bat8e^iti«Ä». Znr dynamischen
Theorie der Elektricität. M.P.N.M. 10.
586. RÄ.Lehfeld. Elektromotorische
Kraft xmd osmotischer Druck. Z. P. G. 35.
267.
587. B.A.Lehfdd. Electromotive force
and osmotic pressure. P.M. 377.
588. P. S.Wedeü-WedeJl8barg. Wider-
legung eines sehr allgemeinen und wich-
tigen Satzes der modernen Elektricitäts-
lehre. Z.P.C. 33. 631.
589. G, Mie. Ein Beispiel zum'Poyn-
ting'schen Theorem. Z.P.C. 34. 622. —
P. B.Wedell-WedeUsbora 36. 604.
590. J. Stark. Bemerkungen über das
Ohm'sche Gesetz. A.P.L. 6. 793.
591. A. Petot. Sur T^tat variable des
courants. CR. 133. 610.
592. T. Des Caudres. Umwandlung von
Wechselstrom in Gleichstrom mittelst
des Hall'schen Phftnomens. P.Z. 686.
593. • W. Ignatowski. Über die Wir-
kung von Wechselströmen auf das Elek-
trodynamometer. J.R.P.C.G. 32. 86.
594. *Ä. O. Rossi. Studio teorico di
una coppia di circuiti induttivi in pa-
rallelo su corrente alternativa a Poten-
ziale costante. N.C.P. 11. 321; 393.
595. *Buffa. Trasformazione della cor-
rente altemata in continua. R.A.G.
1900. 3 fasc.
596. A. S. Lanpsdorf. A graphical
method for analyzmg distorted altema-
ting current waves. P.R. 12. 184.
697. ^R. Maiagoli. Sulla polarizza-
zione colle correnti altemanti. N.C.P.
11. 209. — F. Oliveri. 211; 12. 141.
598. BemibOiCh. Elementare Ableitung
einiger wichtiger Formeln über den
Wechselstrom. Z.P. 14. 79.
599. *W. A. Peters. Über die Berech-
nung der Leitungen bei Verteilung elek-
trischer Wechselstromenergie. E.P.19O0.
241.
600. *G» Chrassi. Su alcune proprio
delle correnti altemate. R.T. 146.
eOU ^W. Duddel. On rapid vaziationi
in the current through the direct cozrent
are. J.I.E.E. SO. 282.
602. ^S. Marcucci. Azione eaerdtats
da una corrente a basso potenziale sopia
alcuni coherer quando questi abbUno
acquistata la conducibilitiL N.C.P. 11.
173.
608. W. B. Morton. On the props-
gation of polyphase cuzrents along a
number pf parallel wires. P.M. 6(iS.
604. *0r€usi, Studi ed esperienze solla
trasformazione del corrente trifase in
mono fase. A.A.E.J.
605. E. Base. Untersuchungen über
die elektromotorische Wirksamkeit der
elementaren Gase. Z.P.C. 36. 701.
606. /. Stark. Bemerkunjpen za J. J.
Thomsons Theorie der elektrischen Strö-
mung in Gkksen. P. Z. 664.
607. J. Stark. Beitrag zur Theorie
der elektrischen Strömung in Gasen. A.
P.L. 5. 89.
608. V. Orimieu. Convection ^ectriqoe
et courants ouverts. J.P. 468.
609. •B. Salvadori. Sopra la fona
elettromotrice di alcuni sistemi di pile
a concentrazione e di pile ramezinco oon
solventi organici. N.C.P. 12. 314.
610. *A. BusseÜ. How condenser and
choking coil currents vary with tfae shape
of the wave of the applied £.*M.F.
J.I.E.E. 82. 604.
611. 2>. Negreanu. 0 metoda nona
de mesurä a resistent electrioe a nnni
galvanometru. (Ober eine neue Methode
der Messung des elektrischen Wider-
stands eines Galvanometers.) A.AH.
22 A. 628.
612. 2>. Negreanu. 0 nova metoda
de mesurS a resistent interiöre a nnui
element galvanic. (Ober eine neue Me-
thode der Messung des innem Wider>
Stands eines galvanischen Elemente.) A.
A.R. 22 A. 626.
618. 2>. Negreanu. Observa^uni asnpra
metodei lui Thomson, relativft la deter-
minarea resistentei interiöre a miiii
element galvanic' (Bemerkungen über
die Methode von Thomson zur Bestim-
mung des inneren Widerstandes eines
galvanischen Elements.) A. A B. 22 A. 531.
614. *a n. ChOd. A dissociation theorj
of the electric are. P. B. 10. 461.
^lh.*W.J)udd€ll. Ober schnelle Strom-
veränderungen in einem Gleichstrom-
flammenbogen. T.E. 46. 269; 310; S58.
Abhandlungsregisier 1900—1901.
309
616. N. T. M. WiUtmore. Über Elek-
tarodenpotentiale. Z.P.C. 35. 261.
Wi.A.BartorelU. Über das Verhalten
des AluniniTains als Elektrode. P.Z. 469.
618. ^A. BartoreUi. Snl comportimento
dell' aUnminio come elettrodo. N.G.F.
1. 112.
619. *0. Lodge. On the controveraity
concerning Yolto's contact force. P.P.
S.L. 369.
620. W. Kaufmann. Über eine Ana-
loffie swiflcben dem elektrischen Yer-
hfdten Kemst'scher OlühkÖrper und dem-
jenigen leitender (rase. A.P.L. 6. 767.
621. K B. Johnson. Quelques remar-
ques snr les oscillationB dans 1 excitateur-
Hertz. J. P. 365.
622« M. Turpain. Fonctionnement du
räsonateur de Hertz et du r^sonateur ä
coupore. — Observation de la r^sonance
^ectrique dans Tair rarifi^. J.P. 425.
628. •T. Felix. Über die elektrischen
Wellen (tschech.). M.A.B. Nr. 29.
624. E. Warburg. Über die Polarisa-
tionscapacität des blanken Platins. A.
P.L. 6. 125.
625. P. af BjerJUn. £n för&ndring af
kompensationsmetoden för Kapacitets
m&tininffar. B.Y.A.S. 67.
626. ^8. H. Burbury. On the vector
Potential of electric currents in a field
where disturbances are propagated with
finita velocity. B.B.A. 636.
627. C. E. Ouue. Sur La valeur ab-
solne du potentiel dans les r^seaux isol^s
de conducteurs Präsentant de la capa-
cit^. CR. 133. 388.
628. M. D. Atkins. Polarization and
internal resistance of electrolytic cells.
P.R. 13. 102.
629. E. KM. Über die Stefan'sche
Entwicklung der Maxwell^schen Gleichun-
gen iilr gleidiartige Mittel xmd ihre
Voraussetzungen. M.H. 239.
680. A. varbasso. Supre il valore
massimo della fnnzione Tme di Maxwell.
A.A.T. 489.
681. ^A. Garba980. Sopre il valore
massimo e il significato fisico della fun-
zione Tme di Maxwell. N.C.P. 11. 401.
Siehe auch 98; 231; 234; 236; 307—309;
374; 376; 377; 382; 383; 386—392; 624;
894—904.
Thermoelektrlzlt&t.
•82. F. Harms. Über die Verwendung
des Calorimeters zu Messungen mit
schnellen elektrischen Schwingungen.
A.P.L. 6. 666.
688. H. ChevaUier. Sur les variations
permanentes de resistance ^ectrique des
nls d^alliage platin-argent soumis k des
variations de tempärature. M.S.B. 386.
lonentbeorie.
684. E. Bothi. Sur les forces ^ectro-
motrices de contact et la th^rie des
ions. CK. 132. 1478; J.P. 646.
685. V. V. Türin. Über den Betrag,
um welchen die Wechselwirkxmgen der
lonenladungen den osmotischen Druck
vermindern. Z.P.C. 34. 403.
686. G. VaiOant. Sur la couleur des
ions. CR. 133. 366.
687. C. D. Chüd. The velocity of ions
drawn from a flame. P.R. 12. 66.
688. C. D. Child. The velodty of ions
drawn from the electric arc. P. R. 12. 137.
689. *G. Carrara e 3f. Levi. Sopra
Telettrostrizione degli ioni in solventi
organici. N.CP. 12. 284.
640. J. S. Totonsend. Conductivity pro-
duced in hjdrogen and carbonic acid
gas b 7 the motion of negatively charged
ions. P.M. 630.
641. J. S. Toumsend. Über Leitfähig-
keit in Gasen, erzeugt durch die Be-
wegung negativ geladener Ionen. P.Z.
483.
Siehe auch 818.
Magnetlgmns.
642. •H. S. HeU'Shaw and A. Hau.
Lines of induction in a magnetic field.
T.R.S.L. 303.
648. ^W. Wien. La Polarisation ro-
tatoire magn^tique et Taxiome de Glau-
sius. E.E. 23. 114.
644. *M. BriUouin. Sur la Polarisa-
tion rotatoire magn^tique et Taxiome de
Glausius. £.£. 26. 164.
646. ^Dina, Sulla isteresi magnetica
in un corpo o in un campo rotante. Pol.
M. fasc. 6; 8.
646. K Tangl. Wirkung der Magne-
tisirung auf den Dehnungsmodul. A.P.
L. 6. 34.
647. V. S. Stevens. The effect of mas-
netization on the elasticity of rods. P.
R. 10. 161.
648. E. van Everdingen jr. Over het
versch^'nsel van Hall en den weerstand
in een buiten het magneetfeld b\j bis-
muthkristallen. CA.A. 277; 448.
649. A. de Hemptinne, Le ma^n^tisme
exerce-t-il une influence sur lea r^ac-
tions chimiques? B.A.6. 621.
660. A. de Hemptinne. Beeinflusst der
Magnetismus chemische Reaktionen? Z.
P.C. 34. 669.
310 .
AbhandlongBregisier 1900—1901.
651. Biehardton. The magnetic pro-
perties of the alloys of caat-iron and
aluminium ü. P.M. 601.
652« 0. M. Corbino. Dispenione ro-
tatoria magnetica dei vapori di sodio
nell' iniemo della riga di assorbimento.
R.A.L.R. 10 B. 137.
<(58. B. T. Gldzebrook. Notes on the
practical application of the theory of
magnetic disturbance bj earth currents.
P.M. 482.
654« F. H. Bigdow. The magnetic
theory of the solar Corona. A.J.S. 263.
Siehe auch 870; 892; 608; 786; 786; 794.
Elektromagnetlsiiins.
655« 0. Heaviside, Electromagnetic
theory. T.E. 44. 772; 920; 46. 246; 446;
636; 881; 46. 206; 466; 866; 47. 88.
656« M. P. Grueincov. Die elektro-
magnetische Theorie der Konduktoren
(russ.). A.Ü.Kh. 1.
667. *E. Hagenbach-Bisdiof. L'ezp^-
rience de la rotation ^ectromagnätiqoe
et Finduction unipolaire. A.S.&. 11. 5;
128.
658. L. Graetz. Über eine mecktniBche
Darstellung der elektromagnetischeii Er-
scheinungen in ruhenden Köipem. A
P.L. 6. 876.
659. ^Thompson. Intomo alle imma-
gini magnetiche ed alla loro applicazione
alla teoria dei motori a campo rotante.
A. A* ti. L.
Mf^mCr^mieu. ßechercbessurlecbamp
41ectrique produit par des varifttioiu
magnätiques. A.P.C. 24. 86.
661. O, W. Walker. The scatterisf of
electromagnetic waves by asphere. Q.J.
81. 86; 262.
662. *B. Ä. Fesaendm. Electromag-
netic mechanism with special reference
to telegraphic work. J.F.L 62; 106.
668. A. W. Bücker. On the magnetic
field produced by electric tramways. P.
M. 428.
Siehe auch 801; 304; 307; 377.
F. Gtoodttsie.
Oeodftsiey niedere.
664. *N. Jadanza. La celerimensura.
B.T.G. 12. 129; 146; 161.
665. ^E. Gaüi. Sopra xm nuovo pro-
blema di geometria pratica. B. T. G. 12. 1.
666. *Serdobin8kt. Sada6a Potenota.
T.G.C. 1. — Skricki 4.
667. Halt. Ütilisation des points de
Gollins pour la dätermination d'un qua-
drilat^re. G.R. 132. 697.
668. P. E. Daussy. Partage des ter-
rains. J.G. 182.
669. ^Fergusson. New method of di-
▼iding surveying cirdes. M. P. I. G. E. 142.
67U. H. Laschner. Über eine Erwei-
terung des Rückwärtseinschneidens. Z.
V. 80. 486.
671. Hafferl. Absteckung von Kreis-
bögen aus dem Tangentenschnitt. Z.V. 384.
672. ^Loperfido. Determinazioni geo-
detiche per il tiro dell artigleria. B. A. G.
1900. 4fasc.
678. P. Halt Jonction d*un r^scau
ferme de triangulation. G.B. 138. 607.
674. M. TTekcZer. Bearbeitung des
trigonometrischen Gradmessungsnetzes
für Zwecke der Landesvermessung. M.
M.G.L 1901.
Siehe auch 22—24; 63; 78; 83; 94.
OeodAsle, hOhere.
675. /. F. Hayford. Becent progpress
in geodesy. B.a.w. 1; 139.
676. N. Jadansa. Sul calcolo della
convergenza dei meridiani. A.A.T. 887.
677. P PizzetH. ün principio fonda-
mentale nello studio deUe superficie di
livello terrestri. B.A.L.B. 10 B. 35.
678. •TT. Pnnce. L'hypothäse de la
d^formation t^traädrique de la Terre de
W.L.Ghreen et de ses successeurs. A.AB.
679. C. Ixigranße. Sur le probläme
actuel de la physique du globe et les
lois de Brflck. B.A.B. 1029.
680. *G. H. Darwin. The theory of
the figure of the earth carried to the
2. Order of small quantities. M. N. A S. 82.
681. ^H. Cerri. ün teorema di Dalby.
B.T.G. 18. 17.
Siehe auch 783.
Topographie.
Siehe 132. 133.
Kartenprojektioneii.
682. ^G. B. MaffiotH. I sistemi di
proiezione nei rileyamenti catastalimo-
demi. B.T.G. 12. 184; 13. 1; 23; 37;
67; 76; 97; 138; 161; 161.
686. *Soler. Sopra una certa defor-
mata della sfera. A.A.P.
684. G. HolzmüUer. Elementare Be-
handlung der Mercatorkarte. Z.H. 31.
837.
685. *E. Hammer, ünechtcylindriache
Abhandlongsregister 1900—1901.
311
und unechtkonische flftchengleiche Ab-
büdung. P.G.BL42.
696« *S&ler, Sulla rapprentazione geo-
detica di talnni superficie. A.A.P.
687« J. H. FrafJ^. Koordinaten und
Projektionen. Z.V. 617.
G. Astronomie.
Astronomie 9 theoretische.
688. T. J, J, See. Recent progress'in
theoretical astronomy. B.S.W. 17.
689. H. Wrondd. Reforma de la me-
c^nica Celeste. (Span. Ton F. Yillareal.)
R.C.L. 177. 197.
690. C. F. X. Charlier. On periodic
Orbits. B.y.A.6. 1069.
691. S. 8. Hough. On certain discon-
ünnities connected with periodic orbits.
A.M. 267.
692. Salet. Determination des orbites
au moyen d'observations ^oign^es. B.
A. 18. 97.
69S« H. Toineari, Sur le däterminant
de Hill. B.A. 17. 134.
694. 0. CaUandreau, Sur les tables
auxiliaires de A. Marth pour la r^olution
de la relation de Lambert. B.A. 18. 127.
695. JJ. Bourget, Sur une formule de
Lagrange et le thäor^e de Lambert.
A.T. 3. 67.
69«. ^G. W. H%a. Ptolemys problem.
A.J.B. 21. 33.
697« *A. Maron. Probl^mes relatifs
002 ^clipseB de soleil. B.S.A.F. 226.
998. *F. C. Pewrase. Graphical metiiod
for the determination of tue local times
of contact in a solar eclipse. M.N.A.S. 483.
699« L. 8ehülho/f. Sur le calcul des
limites des latitndes entre lesquelles une
occultation est visible. B.A. 17. 11.
700. Ä. Claude. Demonstration gäo«
m^trique des condusions de M. Sdiulhoff.
B.A. 17. 16.
701. E. F. van de Sande Bakhuygen.
De bewe^ing der aardpool volgens de
waamemingen van de laatste jaren. C.
AA. 169.
792. C. J. L. Charlier. Sur les points
Binguliers des in^^lites s^culaires des
petites planstes. B.A. 17. 209.
708. C. V. L. Charlier. Einure FäUe
von Libtationsbewegung in dem Flaneten-
■yitem. L B.V.A.8. 166.
794. *G. Boccardi. Esposiadone del
metodo di Tietjen per la oorresdone degli
elementi dell' orbitadiunpianeta. P.O.G.
37.
795. A. SiMlke. Berechnung der Pia*
netenerscheinungen. Z.H. 31. 4.
706. O. BacÜund. Sur la question
de« lacunes des petits planstes. B.A.
17. 81.
^ 707. *S. Newcomb. On the distribu-
tion of mean motions of the minor
planets. A.J.B. 20. 166.
798. *C. Moser. Über eine mit der
Umlaufszeit der Planeten zusammen-
hängende Relation. M.G.B. 1.
709. H. Pwneari. Sur le mouvement
du p^rig^e de la lune. B.A. 17. 87.
710. *E. W. Broum. Note on the va-
lues of the coefficients of the terms of
3. Order in the new lunar theorj.
M.N.A.S. 124.
711. F. Folie. Simple recherche tri-
Sonometrique de la nutation eul^rienne
e Taxe instantanä. A.S.B. 262.
712. F. Folie. Sur des termes nou-
veauz de Tacceiäration s^culaire de la
lune. B.A.B. 42.
718. F. Folie. Sur les nutations eu-
lerienne d'apite les latitudes determinäes
ä Poulkovo. B.A.B. 270.
714. F. Folie. Formules correctes de
la nutation eulärienne de Taxe instan-
tane, Buivies des ezpressions complätes
de la nutation de Täcorce solide du globe.
B.A.B. 616.
715. F. Folie. Mon demier mot sur
rincorrection des formules rapport^es
k Taxe instantan^. B A.B. 693.
716. F. Folie. Sur un mode de deter-
mination de la constante de la pr^ces-
sion, ind^pendant du mouTcment syst^-
matique. B.A.B. 811.
717. *K. Graff. Formen und Hilfs-
tafeln zur Reduktion von Mondbeob-
achtungen und Mondphotogiaphien.
V.A.R.L
718. »TT. W. CampbeU. The determi-
nation of the moons theoretical spectro-
graphie velocity. A.JC. 11. 141.
719. H. Poineari. Sur les ^quations
du mouvement de la lune. B.A. 17. 167.
729. F. ViOareaH. £1 cometa. R.G.L.
160.
721. V. ÄlberH. Su la determinazione
de'radianti. R.A.N. 240.
722. *H. Chr^Hen. Le trac^ giaphique
des trajectoires des ^tolles filantes et la
determination des radiants. B. S. A. F.376.
728. *M. Ernst. 0 redukcvach niez-
bednych w statystycmrch badaniach
ffwiazd spad%j%cych. (Über notwendige
Reduktion bei statistischen Erforschun-
gen der Meteoriten.) E.L. 367.
312
Abhandlungsregister 1900—1901.
724. W. C, Kretz. The positions and
proper motions of the principal stars in
the dnster of coma Berenices as dedu-
ced from measurement of the Rüther-
ford photographg. A.A.N.Y. 341.
725. *W. W. CampbeU. A preliminary
determination of the motion of the solar
System. A.J.C. 18. 80.
726. *E. J. YatceU. Note on a method
of determining the solar apex. A.J.6.
20. 187.
727« *A. Marique. Vitesse des ätoiles
dans Tespace. B.S.B.A. 236.
728» S. Suliger. Bemerkungen über
veränderliche Eigenbewegong. A.N.K
164. 66.
729. R. V. Köve8ligethi. Az aUöcsüla-
gok tengeljforg&s&rol. (Über Axen-
drehnng der Fixsterne.) M.T.E. 17. 673.
780. J. E. KapUyn. Over de licht-
kracht, der vaste sterren. G.A.A. 713.
781. A. W. Roberts. Density and
figure of dose binary stars. N. 64. 468.
Siehe anch 69; 93; 126; 216; 664.
Stömngeii.
782. V. Morrison. General pertor-
b^tions and the pertorbative hmction.
P.A. 809.
788« A. Weiler. Die primordialen Stö-
rongen. A.N.K. 164. 17.
7l4« A. Weiler. Die externen StO-
mngen. A.N.K. 164. 97.
786. C. F. L. Charlier. Zur Theorie
der s&knlaren Störungen. B.y.A.S.
1083.
786. JS. W. Hm. Secular pertur-
bations of the planets. A.J.M. 317.
787* A. Idman, Bemerkungen über
einen Satz von Leverrier, die säkularen
Störungen der kleinen Planeten be-
treffend. B.V.A.S. 977.
YielkOrperproblem.
788« E. Strämgren^ Über mechanische
Integration und deren Verwendung für
numerische Rechnungen auf dem Gebiet
des Dreikörperprobiems. B.Y.A.S. 443.
Kosmologie*
789. *F. R. MotdUm. An attempt to
test the nebular hypothesis by an appeal
to the laws of dynamies. A.J.C. 11. 103.
740. — . On the clustering of gravi-
tational matter in any part of the uni-
verse. N. 64. 626.
741. *R. V. Kövesligethi. Az ^gi testek
fejlödäse ei a föld kora. (Entwicklung
der Himmelskörper upd Alter der Erde.)
M.T.E. 18. 361.
742. M. Flamathe. Les ^eigies co»*
miques. B.S.B.A. 239.
748. /. WUsing. Über die Eifasltong
der Energie der Sonnenstrahlen. A.K.K.
164. 429.
744. A. Hustek. Die Entstehung des
Planetensystems. N.W. 663.
Astronomie y splilrigche.
745« *H. H. Turner. Some suggestioni
for the explicit use of direction cosines
or rectangular coordinates in astrono-
mical computations. M.N.A.S. 201.
746. — . Dedufao das fonnulu de
Mr. Guyou para executator os calcnlos
nauticos usando unicamente bb tabuu
de latitudes crescidas. A.C.M.N. Jan.-
747. a W. WirU. Über ein Problem
der sphärischen Astronomie und seine
Bedeutung fQr die Nautik. A.H. 3!3.
467. — E. Wendt 408.
748. *A. Vital. Ein Diagramm nr
graphischen Lösung der astronomischen
Schiffahrtsprobleme. M.A.O.S. 201.
749. *A. Viua. Graphische Methode
für die astronomischen Ortsbestimmun-
gen in See. M.A.G.S. 267.
760. *A. V. Triulzi. Astronomische
Ortsbestimmungen zur See. M.A6.S.
439.
751. *D. Florian. Astronomische Orts-
bestimmungen zur See ohne Redmiing
und Tafebi. M.A.G.S. 698.
752. ^W. Ivanowski. Zyezdniia nahl-
judenija na more. (Stembeobadhtoiigai
zur See.) M.Z.P. 297. 67; 131.
758. ^J.F.Hayford. Determination of
time, longitude, latitnde and azimath.
R.C.G.S.
754. ^Po8t. Methods of detennination
of latitude, longitude and solar time in
reconnaissance surreys. E.N. 43. 168.
755. V. Maurice. Longitude by the
right ascension of the moon. N.M.L.
379.
756. *Radler de Aquino. 0 methodo
de Marcq. Saint-Hilaire. B.M.B. 8.
757. ^H. Heyenga. Ergänzungen sor
Neuen Methode der Ortsbestimmung nnd
der Douweschen Standlinie. H.H. 545.
758. *H. Heyenaa. Neue Methode lur
Bestimmung des Beobachtungsorts aus
2 Höhen. H.H. 162.
769. *E. Wendt Gleiche Sonnenhöhen.
H.H. 186; 198.
780. 'T. Lüning. Das Zweihöhcn-
Sroblem in elementarer Dantellnng.
LH. 280; 291.
761, *H. Heyenga. Kritische Pitifnng
Abhandlungsregister 1900—1901.
313
der beobachteten QestimshÖben auf
offener See. H.H. 880.
768. G. JPesci, Sa di un regolo calcn-
latore della differensa fra Tfutezza me-
ridiana e circninmeridiana di un astro.
C.L. 1900. 679.
768. ^Jewneu. Gritiqüe de la mäthode
de Foenter ponr d^torminer le point
par denz hautenrs d^astres. B.M.M.P.
145. 318.
764. C. W. Wirtz. Zeitbestimmung
und Chronometerkontrolle durch eine
Höhendifferenz. A.H. 342. — A. Wede-
meyer 468.
765« E. (ruy<m. Snr Temploi des cir-
cummeridiennes ä la mer, C. R. 132. 667.
766« V. M. PenUer. Die scheinbare
GrOfse des Himmelsgewölbes und die
scheinbare Gröfse der Oestime. S.V. N.W.
41.
1^T»*M, Ernst. OkszlatciepojomeGie-
<;o sUepienia niebieskiego. (Über die
Gestalt der scheinbaren Himmelskugel.)
W. W. 242.
768. *,,Arctum8.^* Bising and setting
of ihe moon. E.M.W. 64.
769. A. Camu. Sur la loi de rotation
diorae da champ optique foumi par le
Biderostat et Fh^ostat. B.A. 17. 49.
Siehe auch 109.
Aberraiioii.
770. C. Le -Paiae. Sur la r^duction
au Heu apparent. Termes dus k Taber-
ration. M.S.L. 8 Nr. 8.
771. *P. H. CoweU. Note on the for-
mulae for star corrections. M. N. A. S. 607.
Siehe auch 876.
Chronologie.
772. G. HolzmMer. Das Problem der
wahren und mittleren Zeit. Z.H. 81.340.
778. *a T. de Quarenghi. L'uni-
fication des calendriers Ghr^gorien et Ju-
lien. R.G.O. 12. 175.
774. ^AbetH. II numero assoluto dell*
era volgare nel periodo giuliano. M. S. S. I.
29. Nr. 1.
776. ^F. Körfer, Die Frage der Aus-
dehnung dezimaler Zeiteinteilung auf
das WinkelmaTs. N.W. 261.
776. *F. Strauhal. Die Frage der
Dezimalteilung der Zeit und des Winkels
(tschech.). B.A.P. Nr. 8. 167.
Siehe auch 311.
Onomonik.
777. ^Marzoechi. Alcune repfole pra-
tiche per tracciare le orologie solari.
B.A.G. 1900. Fase. 1.
H. Geophysik.
Geophysik«
778. W. A. StdOoff, Memoire sur les
fonctions harmoniques de M. H. Poin-
car^. A.T. 2. 278.
779. C. Lagranpe. Sur le probl^me
actael de la phjsique du glooe et les
lois de Brfick. B.A.B. 1900. 1029.
780. A, NippoUU jun. Ein Satz über
Fouriersche Reihen und seine Anwen-
dung in der Geophysik. P.Z. 863.
781. *A. Gersun, 0 predelenie sred-
nej plotnosti zemli. (Ober die Methode,
die mittlere Dichtigkeit der Erde zu
bestimmen.) B.B.A.G. 16.
782. F. B. Helmert. Der normale
Teil der Schwerkraft im Meeresniveau.
S.A.B. 328.
788. H. Poincari. Les mesures de
gravit^ et la g^od^sie. B.A. 18. 1.
784. *A. Veniuri, Sulla compensazione
dei risultati nelle misure di giavitä re-
lativa terrestre. N.C.P. 11. 83.
786. *E. V. Eötvös, A neh^zs^g ^s a
magneses erö nivotelüteteinek ^s val-
tosl^Bainak meghatarozafiaröl. (Über Be-
stimmung der Niveaufl&chen und der
Variationen der Schwer- und erdmagn.
Kraft.) M.P.L. 361.
786. *B. Eöivos, £tude sur les sur-
faces de niveau et la Variation de la
pesanteur et du champ magn^tique,
R.C.I.P. 2. 371.
787. J. Knett. Über die Eiregungs-
art von Erdbeben und andere die Pro-
pagation betreffende Faktoren. S.L.P.
263.
788. M. H. Naqaoka. Tremblements
de la terre. A.S.ü. 10. 604.
789. E. Wiecheri. Prinzipien fOr die
Wirksamkeit von Seismographen. P.Z.
698; 606.
790« J. Collei. Les corrections topo-
graphiques des observations pendulaires.
A.U.Q. 18. 1.
791. *N. PiUachikow, Das Foucault-
sche Pendel (russ.). M.P.O. 24. 193.
792. J. Sdiubert. Zur Theorie der
W&rmeleitung im Erdboden. M. Z. 377.
798. F. Bjerknea u. J. W. Sandström.
Über die Darstellimg des hydrographi-
schen Beobachtungsmaterials durch
Schnitte, die als Orundlage der theore-
tischen Diskussion der Meerescirkulation
314
AbhandluDgeregister 1900~-1901.
und ihrer Ursachen dienen können.
M.S.G. Nr. 4.
794. 2>. Negreanu. Formnlele carl re-
presintä legeadistribu^uneYcomponentel
orizontale a for^I magnetice terreatre
In Rom&nia. ^ormeln, welche die Ge-
setze derVerteüangdererdma^etischen
Horizontalkomponente darstellen.) A.A.R.
28 A. 114.
Siehe auch 189; 648; 896.
Meteorologie^ mathematlsehe.
795. L. Weber. Versuch einer neuen
Methode der Wetterprognose. S.Y.E. 28.
796. *B. J. Sregnevshy. Möglichkeit
der genauen Vorhersage des Wetters
vom wissenschaftlichen und sozialen
Standpunkt. A.Ü.J. 1901. Nr. 1.
797. ^Dechevrens. Methode simplifl^e
dite des facteurs pour le calcul des sä-
ries de Fourier et de Bessel appliqu^es
ä, la m^t<^orologie. N.L.M.
798. *F. H. BigOow, Line Integrals
in the atmosphere. M.W.R. 685.
799. ^P. Eibhin. Über die Periodizi.
tat der atmosphärischen Erscheinungen.
J.ß.P.C.G. 82. 67.
800. JJ. König. MitOgige Helligkeit
in Mecklenburg. A.F.M. 866.
801. ♦TT. Schramm. Über die Ver-
teilung des Lichts in der Atmosph&re.
S.V.K. 81.
802. J. Maurer. Frank Verys Experi-
mentaluntersuchung über die atmosphSr
rische Strahlung. M.Z. 228.
808. N. E. Dorsey. The colour and
Polarisation of blue skje light. N. 64.
188.
804. B. Peter. Über den Einflufs der
atmosphärischen Dispersion auf die Mes-
sung von Distanzen. A.N.E. 165. 289.
805. G. B. M. Zerr. Atmospheric re-
fraction. M.M.F. 8. 192.
806. — . Üna formula semplice per ü
calcolo delle rifrazioni astronomiche. G. L.
1900. 372.
807. *Cam8tock. Anew method ofcor-
recting the suns declination for refrac-
tion. E.N. 43. 866.
808. M. Loperfido. Contributo allo
studio del coeffidente di rifrazione in
ItaHa. R.T.C. 18. 119; 145.
809. *X. CryäB. Da refracfio Mbo-
nomica. B.M.B.J. 20.
810. *0. Saüa. Sülle ▼ariaziom della
rifirazione astronomica. M.S.8.L 28.
245.
811. M. Morero y Anda. ConedoBM
que deben aplicarse a la media dinna
de la temperatnra dedudda de pocifi
observaciones. M.j.KM. 5.
812. *H. Shaw, Vertical Gizoolatioii
of the atmosphere. Q.J.M.S. 163.
818. Kufue. ZurbarometrischenHöhen-
messung. Z.V. 545.
814. *V. Bjerhnea. Thedynamicpnn-
ciple of the circulatory movemeato in
the atmosphere. M.W.B. 484.
816. *V. Bjerkneg. The drcnlatxny
movements in the atmosphere. M.W.R.
582.
816. H. Brocard. Th^rie math^mz-
matique des cydones. LM. 240.
817. *L. DanOow. Eine neue Theorie
der atmosphärischen Elektrizität (nu8.V
M.P.O. 24. 291.
818. V. Elster und H. Gtitel. Über
die Existenz elektrischer Zonen in der
Atmosph&re. T.M.W. 4. 218.
810. 8. Ärrhenius. Über die ünzche
des Nordlichtes. B.V.A.S. 545.
820. F. Podfcete. Über dieEondensation
an Gebirgen. M.Z. 800.
821. *Artom. La fonnazione della
grandine dovuta a movimenti rotatori.
L.E. Nr. 12.
Ebbe und Uni.
822. *Masai. Teorna prilivov i oÜi>
VOY. (Versuch einer VenroUkornnmang
der Theorie der Gezeiten.) M.Z.P. 899.
48; 800. 98.
828. V. F. EiUhven. The new theoij
ofthetides. N.M.L. 286;579. — /.ÄC.
Moxly. 466; 612; 756. ~ Plumäedd.
549; 691.
824. E. Femm. Memoire analytiqne
sur la th^rie de Laplace relative aa
ph^nom^ne du flux et du refluz de la
mer. LL. 1.
Kantik.
825. * W. Äüingham. Great drde sai-
ling. N.M.L. 51.
Siehe auch 746—748.
I. NatarwiBsensohaften, mathematisohe.
Chemie, mathematisehe.
826. P. Gordan und W. Älexejetc.
Übereinstimmung der Formeln der
Chemie und der Invariantentheorie.
Z.P.C. 85. 610; V.E.S. 107.
827. W. G. AUx^ew. Gmodlagen
einer symbolischen Invariantentheorie
(russ.). J.R.P.C.G. 38 Beilage.
828. *V. G. Alexeev. Graphische Auf-
stellung des simultamen Systems einer
Abhandlüngsregister 1900—1901.
315
knbisehen und einer biqnadratischen
Form, wodurch die Übereinatinrninng
der atomistischen Theorie und der sjm-
bolischen Inyariantentheorie dargestellt
ißt A.Ü.J. 1900. Nr. 3.
829. G. Helm, Über Mathematik und
Chemie. S.I.D. 89.
830. ^P. T. MMer. La mäthode des
Tolmnes mol^culaires. B.S.C.P. (3) 23.
325.
881. *0. Boudouard. Loia nmn^riqnes
des ^qoilibres chimiques. B.S.C.P. {9)
23. 187.
8S2. ^P. Saureh On the equilibrium
of chemical Systems. J.P.C. 6. 21.
883. *W. D. Bcmcroft, Beaction ve-
locity and equilibrium. J.P.C. 4. 705.
8S4. *0. Boudawird. Influence de la
pression dans les ph^nomänes d*^qui-
libres chimiques. B.S.C.P. 26. 227.
886. G. N. Lewis. Entwicklung und
Anwendung einer allgemeinen Gleichung
fOr die freie Energie und das physiko-
chemische Gleichgewicht. Z. P. C. 32. 364.
886. Le Marchis. Sur les fausses äqui-
libres chimiques. J.P. 526.
887. ^T. W. Richards. The driving
energy of physico- chemical reaotion
and its temperature-coefficient. J.P.C.
4. 383.
8S8. F. A. H. Sehreinemakers. Gleich-
gewicht im System: Wasser, Phenol und
Aceton. Z.P.C. 33. 78.
889. F. A, H. Schreinemakers. Dampf-
drücke binärer und tem&rer Gemische.
Z.P.C. 35. 959.
840. H. Pilabim. Sur la v^rification
exp^rimentale d*une loi de m^canique
chimique. CR. 132. 1411.
841. H. Danneel. Chemische Kine-
tik und freie Energie der Reaktion
2HJ+2Ag^2AgJ+H^. Z.PC. 33.
415.
842. B. Wegseheider, Über die all-
gemeinste Form der Gesetze der che-
mischen Kinetik homogener Systeme.
Z.P.C. 35. 513.
848. K. Ikeda. Ableitung der Reak-
tionsisotherme und Reaktionsisochore für
Dissociationsgemische. Z.P.C. 33. 287.
844. F, A. H, Schreinemakers, lets over
evenichten in temaire stelsels. C.A.A.
676.
845. F. Haber, Über die Autoxy-
dation. Z.P.C. 34. 513.
846. F, Haber. Über die elektrische
Reduktion von Nichtelektrolyten. Z. P. C.
32. 193.
847. M. Ddipine. Recherches sux les
acdtales. A.P.C.J3. 378. 482.
848. Yukichi Osaka, Über die Biro-
tation der d-Glukose. Z.P.C. 35. 661.
849. W. Duane. On the velocity of
chemical reactions. A.J.S. 349.
Siehe auch 480; 511; 649; 650.
Thermochemie.
850. B. Gahl. Studien zur Theorie
der Dampfdrucke. Z.P.C. 33. 178.
851. J. J. vanLaar. Die Beziehungen
zwischen Lösungswärme xmd LOshch-
keit bei Elektrolyten. Z.P.C. 35. 11.
Elektrochemie.
852. E. Straneo. I fondamenti scienti-
fic dell' elettrochimica. B.T. 158.
Elektrolyse.
858. B, B, Bamsay. The effect of
gravity and pressure on electrolytic
action. P.R. 13. 1.
854. *G, di Ciommo, Sulla polarizza-
zione elettrolittica di speciali elettrodi.
N.C.P. 12. 268.
855. H.Jahn. Über den Dissociations-
grad und das Dissociationsgleichgewicht
stark dissocürter Elektrolyte. Z.P.C.
38. 545; 85. 1.
Siehe auch 531; 846; 851.
Biologie, mathematische.
856. *jr. Fearson, Mathematics and
Biology. N. 63. 274.
85f. A. GaUardo. Las matem&ticas y
la biologia. A.S.A. 51. 112.
858. A, GaUardo, Matematika i bio-
log\ja. (Mathematik und Biologie.) M. P. 0.
26. 1.
EL Technik.
Mechanik, teclinische.
859. F. Vittareal. Flekso da Ftraboj.
ßiegung des Balkens.) R.C.L. 101.
Fachwerk.
860. A. Sd^me. Die Behandlung von
Dach- und Brfickenkonstruktionen im
Unterricht. Z.P. 14. 18.
GewOlhe.
861. G.Poisson. Surlavoute^lastique.
CR. 138. 470.
862. •C. H Cordeiro, Formule ra-
tionnelle pour la d^termination de
r^paisseur des voutes circulaires. A.F.
260.
316
Abhandlungsregister 1900—1901.
Erddmek.
868. ^Baratta. Stilla stabilitä delle
diffhe. R.A.6. 1900. 10 fasc.
864. F. Auerbach. DieGleichgewichU-
figuren pidrerfSniiiger Massen. A.P.L.
6. 170.
Masehinenlehre.
869. *Gr(U8%. Sul calcolo delle di-
mensioni dell* indotto nelle dinamo.
L.E. Nr. 7.
866. Bordier. Theorie de la macliine
de Wimsliurst sans recteurs. C.B. 182.
761
867. O. Wüson and JS. Noble, On the
consianction of entropj diagiams from
steam engine indicator diagrams. S. P. M.
Nr. 10.
868. Ä. Petot Sur le mode de
fonctionnement des freins dans les auto-
mobiles. C.B. 188. 410.
869. *Ä Brancher. Trac^ dn profil
des encoches d^endiquetages ä gidets
cjlmdriqnes. A.F. 247.
Uhmiaelierknngt.
870. C. E. OutOatme. Procäd^ pra-
tique poor la correcüon de Teirenr
secondaire des chronom^tres. CR. 182.
1106.
Strafgenban.
871. J. Pyro. Galcnl de la valeur des
rddnctions de pente des chemins. I.L.
108.
ElsenbahnweBen.
872. *C H. Cordeiro. Distribution des
rails Courts et longs dans les courbes.
A.F. 292.
878. ^Glover. Transition cnrves for
railways. M.P.LC.E. 140.
Siehe auch 668; 879.
Telegraphenwesen.
874. Ä, C. Crehore. Currents and Po-
tentials on submarine cables produced
by sinewave electromotive forces. P.R.
12. 841.
Siehe auch 662.
Photographie.
875. *M. V. Bohr. Über graphische
Darstellung von sphärischen Aberrati-
onen. A.W.P. 78.
876. 0. Bergstrand. Sur la d^for-
mation des couches sensibles des plaques
photographiques. 6.y.A.S. 187.
Siehe auch 467.
Elektroteehnik.
877. ^Preeoe. The relations between
electricitj and engineering. M.P.LC.E.
142.
878. *Ponxio. Üna trasmissione per
piccoli motori elettrici. PoLM. fuc.
11.
879. L, Marini. Effetti dannosi pro-
dotti dalle correnti delle tramvie elet-
triebe. R.F.M. 8. 508.
Instnimeiiteiikniide.
880. •Brown. The viagraph. E.K.
48. 271.
881. •B. Malagoli. Le macchins di
Atwood e la sua applicasione alla deter-
minazione di g. N.C.P. 11. 88.
882. Ä. Smits. Über einen Manostai
Z.P.G. 88. 39.
888. — . Grasspannungsmesser von
Holden - Woolwich. M.A.6. 1900. 814.
884. W. Elsässer. Ein Apparat znr
Erläuterung des Dopplerschen Princips.
Z.P. 14. 16.
885. *N. Jadanga. U teleobiettivo e
la sua storia. R.T.C. 12. 17; 88.
886. A. Claude. Sur Femploi d*ün
Srisme de reflezion dans les lonettoe.
.A. 17. 19.
887. *Young. Note on theoiy of tfae
anallatio telescope. M.P.I.C.E. 189.
888. M. üpdegraff. On the erron of
a transit insbnment due to elliptidtj
of pivots. A.N.K. 166. 241.
889. G. lAppmann. Sur un appareil
destin^ ä enfrainer la plaque photo-
graphique qui recoit Timage loumie par
un sid^rostat. Cf.R. 182. 981.
890. *M. A. Comu, On the law of
diumal rotation of the optical field of
the siderostat and heliostai A.J.C. 11.
148.
891. *A. Mewes. Gmndformel fSr das
Eohlrauschsche Petrol&ther- und fSr du
Quecksilberthermometer. D.M. 78.
892. A. W. Kapp. Studien über das
Luftthermometer. A.P.L. 6. 905.
898. L. Holbom und F. KurJbam.
Über ein neues optisches Pyrometer.
S.A.B. 712.
894. E. Perreau. £tude g^m^triqae
du condensateur transformateur. E.£-
27. 186.
895. * W.Jäger. Über Normalelemente.
C.A.E. 8; 28; 51; 78; 89.
896. O. lAppmann. Sur un galvano-
metre a statique. J.P. 476.
897. P. Weiss. Sur un nouveau Sy-
steme d'amp^rem^tres et de voltm^tres.
CR. 182. 957.
Nachtrag zu dem Verzeidmis von Abhandlungen.
317
898. *X. Hermann u. M. Gildemeister.
Untersuchung fiber die Eigenschaft und
die Theorie des Eapülarelektrometers.
A.F.G.P. 81. 491.
899. G, lAon, Sur un grisoumätre
flectrique CR. 182. 1408.
900. C. FoG/ak, Sur un voltam^tre
disjoncteur des courants. G.B. 182. 1405.
901. lAppmann. Sur un galvanom^tre
parfaitement astatique. G.K. 182. 1161.
902. Y. Crimieu. Sur une balance
tres sensible pouvant servir de galvano-
m^tre, d'electrodynamom^tre etcTelectro-
m^tre absolu. G.B. 182. 1267.
908. *D. Bobertaon. The apparent
resistance of a ballistic galvanometer
of the movinff coil type and a method
of allowing for the damping current.
T.E. 46. 901; 47. 17.
904. *V. W. JEkman. On an new
curreni-meter invented bei F. Nansen.
N.M.N.
906. H.Hdaer. Schichtensucher. Z.V.
878
906. C. Viola. Über den Vertikal-
pendelseismograph. N.J.M. 1. 146.
Siehe auch 240 ; 442 ; 446 ; 448 ; 611 ; 669 ;
789.
Nachtrag zu dem Verzeidmis von Abhandlungen ans der
angewandten Mathematik, welche im Jahre 1900 in tech-
nischen Zeitschriften erschienen sind.
Von E. WöLFFiKG in Stuttgart.
Abkürzungen :
A1I1.M. Annales des Mines 9* s^e
17-18.
B.S.E. Bulletin de la Soci^t^ pour
rencoura^ment de Tindustrie natio-
nale, Pans 6* s^e 6.
£. The Engineer 89—90.
E.Z. Elektrotechnische Zeitschrift 21.
N.A.C. Nouvelles Annales de la Oon-
sioruction 46.
Z.I. Zeitschrift fOr Instrumentenkunde 20.
Z.y. Zeitschrift für Veimessungswesen
29.
Abbildungen.
!• Ä. Schreiber. Zur konformen Doppel-
Projektion der PreuTsischen Landesauf-
nahme. Z.V. 29. 267; 289.
Aerodynamik.
2* H. 8. Greenough. Note on ^oaring
flight. £. 90. 499.
Dynamik.
8. L.Lecomu. Sur le volant ^lastique.
BSE. 6. 281.
4. J. Hetibaeh. Zur Theorie der Asyn-
chronmotoren. E.Z. 21. 78; 97.
5« E. Lefer. £tude du fonctionnement
des moteurs ä plusieurs cylindres. B. S. E.
6. 58.
8. R. H. Smiih. A new measure of
good quality in govemors. E. 89. 629.
7. F. Niethammer. Beiträge zur Be-
rechnung und Beurteilung von Dynamo-
maschinen und Motoren. E.Z. 21. 628;
549.
8. Ä. Grau. Ein elektrisches Brems-
dynamometer. E.Z. 21. 1(66.
9. H. Görges. Über das Verhalten
parallel geschalteter Wechselstrom-
maschinen. E.Z. 21. 188.
10. J. Hervieu. Le chemin de fer
m^tropolitain de Paris. N.A.C. 46. 103;
121; 141; 161.
li. Ä. Maüock. Measurement of the
attractive force, resistance and accele-
ration of trains. E. 90. 828.
12. L. Bochet. Les automobiles ä
p^trole. Ann.M. 17. 6.
18. B. Maneel. On the mechanical
theory of steamship propulsion. E. 89.
243; 90. 179.
Elastizit&t nnd FestigkeitBlehre.
14. J. Batereon. Testing cement by
the modulus of rupture for transverse
strain. £. 90. 127. — C. L. Smith 162.
15. — . The strengÜi of spars and
rigging of sailing vessels. E. 89. 2;
80; 66.
318
Nachtrag zu dem VereeichniB von Abhandlungen.
16. Ä. Lafay. Snr les d^fonnationfl
de contact des corps ^astiqnes. B.S.E.
6. 413.
17. Ä, S, YotMger. On the corrosion
and failure of propellar shaft». £. 89. 415
18. A. Bcu^heüerv. L*attelage anto-
matiqne des v^ciues sur les cheminB
de fer amäricains. Ann.M. 17. 816.
19« X. Champ^. La Ventilation des
tunnels et le Systeme Saccardo. Ann.M.
17. 167.
Siehe auch 8.
ElektriziUt.
20. E. Dick. Neuer selbstth&tiger
Spannungsregulator. E.Z. 21. 80.
21« C. Ä. Mossander und E. A. Fors-
herg. Ober die Yorausbestimmung der
erforderlichen Kapazität von Akkumu-
latorenbatterien. £.Z. 21. 881.
22. A. LötDtt. Berechnung des Draht-
durchmessers bei gegebener Zahl der
Ampärewindungen , der Spulendimen-
sionen und der Spannimg. E. Z. 21. 881.
— F. Claussen 1066.
25. E. ÖlsMäger. Die Berechnung
von Widerständen, Motoren und dergl.
für aussetzende Betriebe. E.Z. 21. 1058.
24. /. Herzog und C. P. Feldmann.
Über widerstandstreue Umgestaltung
elektrischer Leitungsnetze. E.Z. 21. 167.
25« A. Sengel. Spannungsteilung an
Gleichstrommaschinen mittels Drossel-
spulen. E.Z. 21. 387; 410.
26. M. Vogdsang. Ober die Steuerung
elektrischer Uleichstromkrahne. E. Z. 21 .
635.
27« JB. Krause, Die Stufung von An-
lassem für Gleichstrommotoren. E.Z.
21. 328.
28. /. Fischer- Hinnen. Elektrische
Bremse für Wechselströme. E.Z. 21.
767. — A. Kolben 854.
29. F. Breisig. Ober die graphische
Darstellung des Verlaufs von Wechsel-
strömen läiigs langer Leitungen. E.Z.
21. 87.
80. H, Görges. Ober den Parallel-
betrieb mit Wechselstrommaschinen.
E.Z. 21. 29.
81« C. Feldmann und J. Herzog. Ober
den Widerstand eiserner Wechselstrom-
leiter. E.Z. 21. 844.
82« F. Des Coudres. Eine direkte
Methode für Wechselstromanaljse. E.Z.
21. 752; 770.
88. O. S. Bragstad. Ober die Wellen-
form des Drehstroms. E.Z. 21. 252.
84. B. Goldschmidt, Ober den Leer-
lauf von Drehstromtransformatoren. E.
Z. 21. 991.
86. J. A. Möüinger. Ober Drehsbom-
zähler. E.Z. 21. 573. — J. Stern 666.
86. W. Beiehd. Versuche über Ver-
wendung des hochgespannten Drehstzoma
für den Betrieb elektrischer Bahnen.
E.Z. 21. 453.
87. M. Breslauer. Ober Entwürfe uid
Prüfung von Drehstrommotoren mit Hilfe
des Diagramms der Mehiphasenmotoren.
E.Z. 21. 469.
88. F. Eichberg. Ober die Zeilegong
des oscillierenden Feldes des ELnphaaen-
motors in Drehfelder. E.Z. 21. 484.
89. G. Osatma. Theorie der aijn-
chronen Mehrphasenmotoren. E.Z. 21.
712. -:- F. Emde 782; 854; 941. — /.
Heubadi 815; 1089. — B. KMwam
895. — B. A. Behrend 875; 1090. -
J. K Sumec 1008. — S. W. Schmidt 1081.
40. J. Wg. Günstigste Verteüung der
Verluste in Transformatoren. E. Z. 21. 745.
41. W. Thiermann. Spiegelgalvano-
meter mit weitem Messbereich. E.Z.
21. 211.
42. F. Spielmann. Eupfemspanus
bei Kraftübertraffungen. E.Z. 21. 1O07.
48. C. Michd&e und O. Martienssen,
Femstromzeiffer. E.Z. 21. 461.
44. J. Edler. Untersuchungen des
Einflusses der vagabundierenden Ströme
elektrischer Strassenbahnen auf erdmag-
netische Messungen. E.Z. 21. 193.
45. C. Liebenow. Ober tellunsche
Elektrizität. E.Z. 21. 962.
46. K. Bichter. Beiträge zur Fehler-
bestinmiung in Dynamomaschinen. E.Z
21. 38.
.47. B. Goldschmidt. Diagramme für
Induktionsmotoren. E.Z. 21. 693.
48. E.. Stadelmann,, Beitrag tm Be-
rechnung von Lichtleitungsregolatoren.
E.Z. 21. 285.
49. G. Dettmar, Die günstigste Di-
mensionierung der Stromabnehmer bei
Schleifringen und Kollektoren. E.Z. 21.
429.
50. K. Wükens. Ober die Erwärmung
unterirdischer elektrischer Leitongen.
E.Z. 21. 418.
51. (r Basch. Ober Stromversorgong
längerer Bahnlinien. E.Z. 21. 1063; 1080.
52. G. Kapp, Zugkraftmeaser für
elektrische Bahnwagen. E.Z. 21. 579.
58. W. Kummer, Formeln zur Be-
rechnung und Prüfung von Automobilen.
E.Z. 21. 346.
&4. F. Breysig. Ober die Dantellimg
des Verlaufs teletgraphischer Zeichen in
langen Kabeln. E.Z. 21. 1046.
Siehe auch 8—9; 61; 62; 70; 76-78;
80; 93; 98—99.
Nachtrag zv^dem Veizeichnis von Abhandlimgeiu
319
FeUerreeluinng.
M* E. Sammer. Beitrag zur 6e-
ichichte der Aasgleichungsrechiiiuig.
Z. V. 29. 618.
56. W. Laska^ Über den Einflnsa der
Ungenauigkeit gegebener Pankte auf
du Beanltat des Voremsclmeidens. Z.Y.
29. 667.
Geodftsie.
67. 0. Eggert. Yergleicbimff der Er-
gebniBse des geometrischen nnd des tri-
gonometriflchen NivellementB nach den
dnrch Yon Banemfeind im Jahre 1881
aoBgefOhiten Beobachtongen. Z.V. 89.
113.
Siehe auch 66; 59; 60; 81; 82; 91.
Graphisches Sechnen.
S8* PüOer. Zxa Quadratur des Kreises.
Z.V. S9. 588.
59. C Bunge. Graphische Ausgleichung
beiin Rückv^rtseinschneiden. Z.V. 89.
681.
60« A. Klingatsdi. Zur graphischen
Anigleichung von Polygonzügen. Z.\.
29. 640.
61* E. Hunke. Über graphische Be-
rechnung Ton Widerstandsregulatoren.
E.Z. 21. 801.
62* F. Blane. Eine ffraphische Me-
thode zur Bestimmung der Strom- und
Spannungswerte in verketteten Mehr-
phaaensystemen. E.Z. 21. 788; 749.
Hydrodynamik.
8S. H. S. Hde-Shaw. The distribu-
tion of pressure due to flow round sub-
merged surfaces with special reference
to balanced mdders. E. 89. 418.
04* G. Bu880. The rolling of ships
OS waves. £. 89. 858.
65« — . The speed of transports. E.
89. 109.
M« BaUau. Theorie des h^ces pro-
pTÜsives. B.S.E. 5. 497.
Interpolation.
67. W. Ldska. Über das arithme-
tUche Mittel. Z.V. 29. 598.
Kinematik.
tö. E. Vieairt. Note'sur la repr^-
leatation de Teffet des freins ä Faide
d'nn frein fictiTe ä serrage instantan^
et ä force retardatrice cons&mte. Ann.M.
18. 104.
Knrren.
69. K. Sieber. Übergangskurven bei
elektritchenStrafsenbahnen. E. Z. 21. 863.
70. G. BentBchke. Über den soge-
nawiten Formfaktor der Wechselstrom-
kurvem E.Z. 21. 674; 765. — B. Biehter
746.
71. J^. Hammer. Über den aus zwei
Kreisbögen besteb^den Korbbooen zur
Verbindung zweier gegebenen Tangen-
tialpunkte. Z.V. 29. 286k
Siehe auch 10.
MagnetiBmus.
72. K. Erogh. Über magnetische
Trägheit. E. Z. 21. 1088.
78. C. FeJdmann und J. Hertog. Über
die Schirmwirkung von EisenrOhren.
B.Z. 21. 861.
74. A. CcTfiu. Action du champ
magn^que terrestre sur le marchä d'un
chronomStre aimant^. B.S.E. 6. 880.
75. H. du Boia. Magnetische Pr&ci-
sionswage. Z.I. 20. 97; 129.
76. C. Westphai. Die Gesetze der
Krafklinienverteilung über den umfang
der Dynamomaschinen. E.Z. 21. 747.
77. G. Dettmar. Die Verteilung der
Kraftlinien bei Nuthenankem, von
Qleich- und Wechselstrommaschinen.
E.Z. 21. 944.
78. C. Westphal. Die Gesetze der
Kraftlinienverteilung über den Umfang
derWechselstrommaschinen. E.Z. 21.878.
Mefsapparate.
79. H. Keüner. Über einige Methoden
und Apparate zur Bestimmung der Kon-
stanten des Femrohrs. Z.I. 20. 1; 88.
80. /. KoUert. Elektrodynamometer
mit Spiegelablesung für technische
Zwecke. E.Z. 21. 788.
81. A. Schreiber. Besondere Centri-
runffsverh<nisse. Z.V. 29. 821.
82. J. Schnoeckel Die Flftchenberech-
nung mittelst eines neuen antilogarith-
misdien Grundsteuer-KartenmaTsstabes.
Z.V. 29. 413.
Nantik.
88. B. Wanach. Eine Methode
Schtschotkins von gleichzeitiffer Zeit-
und Breitebestinmxung aus Beobach-
tungen von Stempaaren in gleichen
Höhen. Z.V. 29. 209.
Optik.
84. B. SirM. Zonenfehler und Wel-
lenfl&chen. Z.I. 20. 266.
85. B. Wanach. Über L. v. Seidels
Formeln zur Durchrechnung von Strahlen
durch ein centrirtes Linsensystem nebst
Anwendung auf photographische Ob-
320
Nachtrag zn dem YeneichniB von Abhandlungen.
jekte. Z.I. 80. 161. — H. Harting
284.
86. E, Ulbricht. Die Bestimmung der
mittleren räumlichen Lichtintensit&t
durch nur eine Messung. E. Z. 21.
696.
87. J. Hartmann, Bemerkxmgen über
den Bau und die Justirung von Spek-
trographen. Z.L 20. 17: 47.
SS. H, Lehmann. Über Spektral-
apparate mit drehbarem Gitter. Z.I.
20. 193.
Siehe auch 79.
Planimeter.
89* — . Le planim^tre Lippincott.
B.S.E. 6. 126.
Siehe auch 82.
Beehenapparate.
90. J, Carpentier, Rapport sur la
r^gle dactylio^aphique universelle de
M. Bessat. B.S.B). 6. 626.
91. F. Schuster, Vereinfachung der
Methode zur Berechnung des Messungs-
liniennetzes mittelst Rechenmaschine.
Z.V. 29. 488.
92. C, Laüemand. Zweiteiliger loga-
rithmischer Rechenschieber. \Y. 29.
283.
Reibnng.
98. F. Blane. Über die Leerliof.
reibung bei Induktionsmotoren. E.Z.
21. 181.
SUtIk.
94. J. D. Moraan. The effidoicj of
Westen pulley blocks. E. 89. 154.
Tafeln, graphiaelie.
95* A. Sehletuinger. Graphische
Farametertafeln zur Bestimmang von
« = y^a*-)-^o* — ^a+p. Z.V. 29
661.
Wftrme.
96. E. H, Äma^. Sur les lois des
chaleurs sp^cifiques des fluides. B.S.E.
6. 989.
97. /. K. Orindley. An experimenUl
investigation of the thezmodyntmical
properties of superheated steam. E.
89. 291.
98* R. Apt. Über Erwftnnmig nnts-
irdisch verlegter Kabel. E.Z. 21. 613
99. J. Herzog und C. Feiimann. Über
die Erwärmung elektrischer Leitnngi
kabel. E.Z. 21. 788.
100* F. Odagiri. Navy boilen. £
89. 628.
Siehe auch 60.
Die Bemonllische Wertetheorie. Von H. E. TixssDiNa. 321
Die BernonUische Wertetheorie.
Von H. E. TiHERDiNG in Strafsburg.
I.
In den ersten An^gen der Wahrscheinliclikeitsreclinang ist der
Begriff der Walirscheinlichkeit eng yerschmolzen mit einem verwandten
Begriffe, der ursprünglich als Chance (mensura sortis) und später, nicht
gerade glücklich als mathematische Hoffnung bezeichnet wurde. Seine
Festlegung ist bei den Glücksspielen sehr einfach, und da sich
auf diese die Wahrscheinlichkeitsrechnung in den ersten Zeiten aus-
BchheJslich beschränkte, wurde zu Beginn sogar der Begriff der Wahr-
scheinlichkeit auf den Begriff der mathematischen Hofhung gegründet.
Denken wir uns, da ein Beispiel typisch für alle ähnlichen Fälle ist, dafs
ein Unternehmer eine Lotterie veranstaltet, in der er n Lose zu dem
gleichen Preise verausgabt und daftlr einen einzigen Gewinn von dem
Betrage G aussetzt. Beansprucht er dann für sich keinen Nutzen aus
der Lotterie, so wird er für jedes einzelne Los den Betrag — O ein-
fordern, und soviel darf jeder Spieler auf sein Los w^en, ohne dem
Unternehmer etwas zuzuwenden. SchlieMich wird ja ein Spieler ge-
winnen und die anderen werden alle verlieren, aber vor der Ziehung
kann, wenn es lediglich vom Zufalle abhängt, wen das Los trifft,
keiner als begünstigt gelten. Die Aussicht zu gewinnen ist für alle
dieselbe, sie kann in bestimmter Weise gewertet werden und ist eben
durch die Zahl
^G
n
gegeben. Dies ist die mathematische Hoffiiung für einen Spieler, und
würde derselbe nicht blofs ein, sondern m Lose genommen haben, so
Ware sie
n
Der Faktor w = —, mit dem in diesem Ausdrucke der Gewinn G
multipliziert erscheint, ist ein echter Bruch, der nur dann der Einheit
Z«iUQhxift f. MAthematik a. Fbyiik. 47. Band. 1909. S.u. 4. Heft. 21
322 Die Beraonllisclie Wertetheorie.
gleich wird, wenn der Gewinn YoUkommen sicher, und gleich Null ist,
wenn der Gewinn unmöglich. Je gröfser er ist, um so naher kommt
die Aussicht auf diesen Gewinn der GewÜBheit^ und deshalb ist dieser
Bruch als die Wahrscheinlichkeit des Gewinnes bezeichnet worden, ob-
wohl der landläufige Sprachgebrauch dieses Wort nur dann rechtfertigt,
wenn der Bruch w von der Einheit nicht sehr abweicht Nachdem
die Lehre von der Wahrscheinlichkeit weiter entwickelt war, hat mau
umgekehrt den Begriff der mathematischen Hoffiiung aus dem Begriff
der Wahrscheinlichkeit abgeleitet und als das Produkt aus einem zu
erhoffenden Gewinne und der Wahrscheinlichkeit, mit der er zu er-
warten steht, definiert Entsprechend ist der Begriff der mathe-
matischen Befürchtung, der sich auf einen möglichen Verlust bezieht,
festgelegt worden.
Ist so der Begriff der mathematischen Hoffnung vorläufig nur für
die Glücksspiele bestimmt, bei denen sich die Chancen der einzelnen
Spieler genau gegen einander abwägen lassen, so lafst sich für seine
Erweiterung gewifs geltend machen, daJjs so gut wie diese Spielgewinne
aUe künftigen Einnahmen mehr oder weniger ungewifi sind. Aber
wir haben deswegen doch fast in keinem einzigen Falle eine genaue
Schätzung dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit dieselben zu erwarten
sind, ja wir können nicht einmal sagen, ob wir ihnen überhaupt eine
bestimmte Wahrscheinlichkeit zuschreiben dürfen. Es will uns viel-
mehr scheinen, als ob dieser Begriff der Wahrscheinlichkeit für alle
jene Fälle des wirklicheii Lebens seine Bedeutung verliert, und wenn
wir ein künftiges Ereignis als mehr oder minder wahrscheinlich be-
zeichnen, so ist dies der Ausdruck eines subjektiven Ermessens und
von der objektiven zahlenmäfcigen Peeüegung nach einer bestimmten
Methode durchaus verschieden. Es ist nun interessant, dafs, wenn
auch nicht die Ansicht einer einzelnen Person, doch von einer
gröüseren Menge die Durchschnittsansicht betreffs Sicherheit oder Un-
sicherheit eines künftigen Gewinnes in gewissen Fallen sich aus ihrer
v^en Verschwommenheit zu einer genauen Fixierung des vermeint-
lichen Grades der Sicherheit oder Unsicherheit verdichten kann, sofern
sich diese Ansicht nämlich in dem Kurse der Wertpapiere, die eine
in Aussicht gestellte bestimmte Zahlung repräsentieren, kundgiebt Zn
jeder Zeit läfst sich ein gewisser Zinsfub, der in Prozenten e^ betrage,
als ZinsfuTs der vollkommen sicheren Kapitalanlagen ziemlich genau
feststellen. Es habe nun ein Papier, das einen bestimmten anderen Zins-
fuTs 0 liefert oder verspricht, zu einer gewissen Zeit den Kurs c, indem
die durch das Papier nominell vorgestellte Summe s in Wirklichkeit zu
dem Betrage es gewertet wird. Hierdurch wird dann ausgedrücU^ dafs
Von H. £. TnoEBDnra. 323
die g Prozent der Summe s nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit w
fortdauernd zu erwarten und infolge dessen nur ebensoviel wert sind
wie die sicher zur Auszahlung gelangenden e^ Prozent der Summe es.
Es wird also sein müssen
und mithin ist
W ' 0=^C ' gf^y
^6
SO daCs die Sicherheit eines Papieres dem Kurse direkt^ dem ver-
sprochenen Zinsfulse umgekehrt proportional wäre, wie es auch glaubhaft;
scheint. Da w nicht gröfser als 1 sein kann, so muls immer e > cZq
sein. Dies leuchtet aus der Natur der Sache ein, denn wäre e < C0q^
so wäre die sichere Anlage des zum Ankauf des Papieres verwendeten
Kapitals auf jeden Fall vorzuziehen, indem der Zinsertrag grölser wird
als er überhaupt durch das Papier, noch dazu mit einer gewissen Un-
sicherheit, in Aussicht gestellt wird.
Man hat es hier aber mit einer ganz rohen Schätzung der Sicher-
heit einer Kapitalanlage zu thun, denn nicht blofs sind die Befürch-
tong^i und Erwartungen, welche den Kurs bestimmen, äulserst
schwankend und unsicher, es ist auch eine solche Einführung des Be-
griffes der Wahrscheinlichkeit von mathematischer Strenge und Genauig-
keit weit entfernt. Man nimmt nämlich die Auszahlungen aller Jahre
ak gleich wahrscheinlich an, wahrend doch der Zinsbezug an einem
naher gelegenen Termine gegenüber den späteren Bezügen eine grofsere
Wahrscheinlichkeit für sich hat. Es giebt mm aber andere, einmalige
oder wiederholte, Zahlungen, deren Wahrscheinlichkeit in gewissem Sinne
sich aus statistischen Erhebungen empirisch festlegen läfst. EUerzu ge-
hören die wichtigsten Arten der Versicherung und vor aUem die so-
genannte Lebensversicherung in ihren verschiedenen Formen. Fassen wir,
um ein Beispiel zu haben, eine jährliche Leibrente von dem Betrage s
ins Auge, so wird der Wert derselben für eine Person des Alters a
dadurch fixiert, dafs man unter der Voraussetzung einer unverändert
bleibenden Sterblichkeit aus den Sterblichkeitstabellen die Wahrschein-
lichkeit Aa, s dafür zu ermitteln sucht, daJjs diese Person nach x Jahren
noch lebt, w sei das höchste vorkommende Alter. Nimmt man femer
an, dals ein Kapital Sq durch Zinsbildung in x Jahren zu Sq • e*' an-
wachst, dann ist der gesuchte Ankaufswert der Leibrente
w — g
S'Ra-=^Xa,xSer''.
Dies wäre also der Betrag, zu dem die a Jahre alte Person die Leib-
21*
f
Die Bemoulliache Worteüieorie.
reute unter ihren Aktiven in Rechnimg stellen dürft«. Ee bat aber echon
Condorcet^) darauf aufmerksam gemacht, dafs der Wert einer solchen
von allerband Zufällen abhängenden Zahlung mit einem sicheren Besitz
keineswegs, auch nicht bei entsprechender Reduktion, zu identifizieren
ist. Ein Gläubiger wird eine bestimmte Forderung durchaus nicht
immer durch eine an das Leben des Schuldners geknüpfte Leibrente,
deren Ankaufs wert der Höhe dieser Forderung entsprechen würde,
ablösen lassen, indem er sich sagt, dafs, wenn sein Schuldner iiL
der allernächsten Zeit stirbt, er der ganzen geschuldeten Summe ver-
lustig gehen würde, und dieser Verlust iiir ihn durch die Möglichkeit,
bei langem Leben des Schuldners mehr zu erbalten, als er zu bean-
spruchen bat, nicht aufgewogen wird. Ein solcher Ausgleich würde
erst eintreten, wenn der Gläubiger von einer grofsen Anzahl Schuldner
auf die gleiche Weise entschädigt würde, und demgemäfs setzen die
Versicherungsgesellschaften die Prämienein nahmen, die eine solche, von
der Lehensdauer der Versicherten abhängige Einnahme repräsentieren,
wie einen festen jährlichen Bezug in Rechnung. Die mathematische
Hoffnung, meint Coodorcet, stellt einen Durchschnittswert dar, der
erst dann eine bestimmte Bedeutung erlangt, wenn von einem Durch-
schnitte die Rede sein kann, nämlich dann, wenn bei genügender
Häufung der Einzelfälle die Abweichung von dem in Rechnung ge-
stellten Gesamtbeträge voraussichtlich einen gewissen kleinen Bruchteil
des letzteren nicht überschreiten wird,
H.
Wenn nun die mathematische Hoffnung einen Durchschnittswert
darstellt, der sich erst bei sehr häufiger Wiederholung desselben ge- ~
winnbringenden Ereignisses ergiebt, so fragt es sich, wie in einem ein —
zelnen Falle die Aussicht einer Person auf einen gewissen Gewinn zik^
werten ist. Handelt es sich lediglich darum, zu entscheiden, ob die
Person für eine bestimmte Gewinnanssicht den richtigen Preis gezahlt
hat, ob sie beispielsweise ein Lotterielos oder eine Versicherung nicht
zu teuer erkauft hat, so kann bierAlr nur die mathematische Hoffnung
den richtigen Mafsstab abgeben. Etwas ganz anderes ist es aber, wenn
es sich, wie Daniel Bernoulli sagt, nicht um ein Urteil, sondern
um einen Rat handelt, wenn die Frage lautet, ob für die betreffende
Person nach Mafsgabe ihrer besonderen Verhältnisse die eine oder
andere Möglichkeit eines Gewinnes die günstigere ist. Die Gesamtheit
1) RMexioDB 1
Aan^ 1T81.
la rtgle generale et«. Hiatoire de TAcademie de Paria.
ß
i
Von H. E. TnoEBDiKO. 325
aller besonderen Verhältnisse einer Person lafst sich nicht in Rechnung
ziehen, es giebt für dieselben nur einen zahlmäfsigen Ausdruck^ nämlich
das Yermögen, und wenigstens dieses kann man zu berücksichtigen
suchen. Dies hat zuerst D. Bernoulli gethan, und er hat der achtzig
Jahre vorher erschienenen Schrift von Hujghens De Batiociniis in
Ludo Aleae, in der die Lehre von der mathematischen Hofiäiung ent-
wickelt ist^ eine Theoria nova de mensura sortis^) gegenübergestellt,
diese giebt statt der objektiven diejenige subjektive Wertung einer be-
stimmten Gewinnaussicht, für welche später die Bezeichnung als mora-
lische Hoffiiung allgemein üblich geworden ist. Bernoulli geht aus von
dem Oedanken, auf den auch Buffon^) unabhängig von ihm gekommen
sein will, da& eine bestimmte Ausgabe oder Einnahme von jemandem
um 80 weniger empfunden wird, je mehr er besitzt, und macht dem-
gemäß folgenden Ansatz. Ist dv der Wert, den eine kleine Geldsumme
dx für eine Person mit dem Vermögen x besitzt, so wird
dv==h—
X
gesetzt, also dem Vermögen umgekehrt proportional. Gewinne sind
hierbei positiv, Verluste negativ zu rechnen, wenn der Wert dv sich
auf eine Vermögensändemng vom absoluten Betr^e dx beziehen soll.
Ein positives dv bedeutet demgemäfs einen Vorteil, ein negatives einen
Nachteil
Wollte man einen analogen Ansatz nun auch für eine beliebige
endliche Zunahme js des Vermögens x machen, so würde man den
Wert V dieser Zunahme folgendermalsen auszudrücken haben:
V -=
x + g^
indem man ihn der Zunahme e direkt, dem Vermögen hingegen, das
sich mit Hinzurechnung dieser Zunahme ei^iebt, umgekehrt proportional
setzt. Denkt man sich nun aber die ganze Zunahme g in zwei Teile
sSi und e^ zerlegt und sind v^ und v^ die Werte dieser Teilgewinne, so
mülste
t; =« Vj + v,
Bein. Andererseits ist aber
1) Commentarii Academiae Petropolitanae, Vol. Y. 1788. Deutsch mit An-
merkungen hrBg. von A. Pringsheim 1896.
2} EsBai d'Aritbm^tiqae Morale.
326 Die BernouUische Wertetheorie.
indem man annimmt, dafs erst die Summe 0^ nnd dann die Sammei^
yereinnahmt wird. Da nun
Z g M.
mithin
X + Z^ X + Zi +z^
ist; mülste notwendig
V < Vj + t?,
sein, was mit der vorigen Gleichung in Widerspruch steht In der
That kann der Wert einer Einnahme nicht dadurch erhöht werden,
dals man sich die Geldsumme statt in Zwanzigmarkstücken in einzeheo
Pfennigen auszahlen lafst. Der Bernoullische Ansatz gilt also nat
wendigerweise nur f&r sehr kleine Gewinne oder Verluste, welche d«
Vermögen der betreffenden Person nicht merkbar yerandeni; und de
Wert V einer betrachtlicheren Vermögensänderung g kann nur so ge
fanden werden, daüs man diese Vermögensänderung in sehr riele, seh
kleine Teile dt zerlegt und die Werte dieser einzehien Teilanderangen
addiert. Man wird mit anderen Worten zu einer Integration gef&bri,
und zwar ergiebt sich
»4* •
■ßi
oder
V = ilog— i— •
Es scheint sehr überflüssig, über alles das viel Worte zu machen.
Indessen ist teils durch Nachlässigkeit^ teils durch Irrtum die Meinimg
entstanden, als ob auüser der BernouUischen noch eine andere, Ter-
wandte Wertung der Vermögensänderungen existierte, die auf den oben
angegebenen, unmittelbaren Ansatz f&r endliche Ändenrngen kinaos-
muft.
Diese Ansicht labt sich bis auf eine allerdings sehr flüchtige Be-
merkung Buffons zurückrerfolgen, die in das bekannte Lehrbach
von Lacroix^) überg^;angen ist Genauer formuliert haben eie fast
gleichzeitig Fries') und Oettinger.^) Beide kommen daneben auch
1) Trait^ ^^mentaire du calcol des probabilit^. 1806 n. 0.
8) Veraach einer Kritik der Prinnpien der Wahrscheinlichkeitsrechniuig. ISiS-
8) Die WahrscheinlichkeitBlehre. 1858. Auch im 86. Bande des Joanab f3r
Mathematik. Es ist la beachten, dab Oettinger, wie Lacroiz, ßr dnen
Verluet einen anderen Ansati macht als fSr einen Gewinn, indem er seine
pfindlichkeit dem wrKerigtn YennOgen umgekehrt proportional Betet.
Von H. £. TmxBDiHa. 327
das Bernoullische Verfahren zu sprechen, Fries allerdings nur,
diese ganze Lehre von der moralischen Hoffiiung als unhaltbar zu
erfen. Er sowohl wie 0 et tinger scheint aber eigentümlicher-
e zu glauben, die Anwendung der Buffonschen oder Bernoulli-
a Methode hange davon ab, ob die Änderung des Vermögens
lieh oder allmählich erfolge. Nach diesen Vorgängern hat ein
rer, sehr angesehener Autor über die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Buffonschen Ansatz vor dem BernouUischen als den einfacheren
naturgemaJseren empfohlen.
Den Widerspruch, den wir oben in dieser Annahme fanden, indem
nach ihr der Wert eines Gewinnes um so gröfser ergiebt, in je
reicheren und je kleineren Raten er ausgezahlt wird, kann man
versuchen dadurch zu heben, dafs man den Bruch
lern Buffonschen Ansätze nicht als unmittelbaren Ausdruck des
ektiven Wertes ansieht, sondern nur als eine Gröise, aus welcher
elbe sich ergiebt. Noch allgemeiner kann man fOr den subjektiven
i einer bestimmten Einnahme zunächst nur die Voraussetzung ein-
en, dals er durch den Betrag des Vermögens vor und nach dieser
lahme gegeben wird, ihn also in der allgemeinen Form annehmen
n f eine noch unbekannte Funktion der beiden eingeklammerten
'sen bedeutet Zur Festlegung dieser Funktion kann man die
ere Annahme benutzen, dafs eine bestimmte Summe a fiir eine
on, deren Vermögen x beträgt, ebensoviel wert sein soll, wie die
me r0 f&r eine andere Person, deren Vermögen rx ist. Es mufs
i die identische Relation bestehen
f(r(x + e\ rx) = f{x + z, x).
derselben folgt aber, indem man r = 1 voraussetzt,
f(x + s,x)^f(^, l).
Das f(x + 0, x) ist demnach eine Funktion der einen Gröfse
X + 8
^^— ^— •
X
Dieser Bruch reicht also in der That unter der gemachten Annahme
zur Festlegung des subjektiven Wertes aus und kann als die charak-
teristische Zahl fär diesen Wert bezeichnet werden.
Die Benioniliache Wert^theorie.
Zerlegt man nun die Summe z in zwei Teile z^ und e^, so wird
die charakteristisclie Zahl für den Wert dieser Summe
^+z
x+i
man findet sie also aus den charakteristischen Zahlen für die beidi
Teile durch Multiplikation. Da aber der Wert der ganten Summ^
selbst sich aus den Werten der Teile durch Addition ergelien mnrsfc—^
so wird man von den charakteristischen Zahlen zu den Werten selb^ ^J
abergehen, indem man von ihnen den Logarithmus nimmt und dies^^
noch mit einer konstanten Zahl h multipliziert, welche die von '^otj^~^^^
herein willkürlich bleibende Werteinheit bestimmt, indem diese ^er^^^
einfaeit dann der chatakteristischen Zahl
entspricht.
So gelangt man wieder zn der BernouUischen Annahme, dafs ^^^
subjektive Wert v einer Summe z ffir eine Person, deren Verm&o^jj
ohne dieee Summe x ist, durch die Gleichung
= ilog-
+ ^
bestimmt wird. Hieraus ergiebt sich dann leicht der Wert eiaer ^^-.n.
gewissen Vermögen sänderung, wenn deren Wahrscheinlichkeit ic SKe-
kannt ist. Man mufs nur die einfache Hvpothese zu HOIfe zieli^^ «^
dofs eine Änderung in dem Vermögen mehrerer Personen fßr diese - « ~''"-
sammeu genommen denselben Wert besitzt, als wenn man die Wer" -**•!
welche die Änderungen im Vermögen der einzelnen Personen für die--»'*'
getrennt besitzen, zusammenfegt Ist nun w — - die Wabracheinlichk^^ ~^^^'
eines Ungewissen Gewinnes z, so denke man sich vrieder n Persone^^"^
die alle dieselbe Aussicht auf einen solchen tiewinu haben. Man denC -'^
sich nämlich an die » Personen n Lose verteilt, dann liegt die SacBT^^^*
genau so, als ob m unter diesen n Personen den Gewinn z sicher, d^^^*
übrigen hingegen nichts zu erwarten hätten. Die moralische HofEnn^^Ki'-S
der n Personen zusammen ist demnach, wenn alle daa gleiche V^^^»
mögen x besitzen,
m.Arlog^--
Da andererseits die Gewinnaussicht für alle Personen dieselbe ist " '^ ""J
iie demgemäfs, infolge der Gleichheit ihres Vermögens, auch alle cLW je-
selbe moralische HofEnung E haben, so mufs der soeben angesohriebezKi^nfi ,
Ausdruck anch
= nE
«-1-
i
Von H. E. TnasBDDro. 329
sein^ -woraus
folgt ^ oder auch
£=.*.iog(^7.
so daCs
als die charakteristische Zahl ftir den Wert des nngewissen Gewinnes
anzusehen ist. Dieser Gewinn ist einem Gewinne Zy welchem die
Wahrscheinlichkeit w' zukommt^ vorzuziehen^ wenn
ist, weil dann auch
wird, umgekehrt ist ein Verlust — z, der die Wahrscheinlichkeit w
besitzt^ einem Verluste — / von der Wahrscheinlichkeit w' vorzuziehen,
wenn
Eine charakteristische Zahl, die > 1, bedeutet einen Vorteil, eine Zahl
< 1 einen Nachteil.
Nach diesen Prinzipien lassen sich in einer Reihe von Fällen
Vorteil und Nachteil beurteilen und so einige interessante Folgerungen
aus dem Bernoullischen Ansätze ziehen. Zum Teile rühren dieselben
schon von Bernoulli selbst her, mit gröfserer AusftLhrlichkeit und
Strenge hat sie Laplace gegeben.^) Die Hülfsmittel, deren er sich
bedient, sind aber so verwickelt und schwierig, dafs es geboten scheint,
diese Sätze auch in einfacherer Weise auf Grund ganz elementarer
Formeln herzuleiten.^
HL
Wir gehen aus von der Ungleichung:
('+s)"<('+ir;-Tr'' «f«^'^-
«
deren Richtigkeit leicht nachzuweisen ist, indem man die Potenzen auf
der linken und rechten Seite nach dem binomischen Lehrsatze ent-
1) Th^rie analytiqne des Probabilitäs. Chapitre X.
2) Eine Yereinfachang der Laplace sehen Beweismethoden hat schon
Crofton in dem Artikel Probabilitj der Encjclopaedia Britannica gegeben.
330 Die Bernonllische Wertetheorie.
wickelt and in den beiden Entwickelnngen die Glieder Tergleidit, die
gleich weit vom ersten entfernt sind. Die rechte Seite enthalt ein
Glied mehr als die linke Seite, welches die Ungleichheit noch Terstarkk,
wenn nachgewiesen ist, dafis jedes Glied auf der linken Seite klemer
ist als das ebensovielte Glied auf der rechten Seite.. Nun ist aUgemein
das fite Glied der linken Seite
m'{m — 1) - " (iw — fi 4* ^^) ^*^
nnd das fite Glied der rechten Seite
(m + 1) Hl • • • (m — fi + 2) *"
Soll jenes ako kleiner als dieses sein, so mufs
(m + iy*-i < mf'im — fi + l)
oder
(> + ä'
< m(m — H+ 1)
sein. Nnn ist jedenfalls fi < m + 1, die vorstehende Ungleichung wird
also sicher allgemein erfüllt sein, wenn
(1 + i)'<
m
,fli+i
ist^ denn indem man von dieser zu der vorigen Ungleichung^ übo^lzi}
verkleinert man die linke Seite und vergröüsert man die rechte Seite.
Die neue Ungleichung ist aber deswegen immer erfOUt, weil auf ihrer
linken Seite die Summe von m Gröfsen steht, die alle kleiner als
Eins sind, bis auf die erste, die « 1 ist. Die somit nachgewiesene
Ungleichung
(> + IT < (> + JTTl)'
zieht sofort die allgemeine nach sich
(') ('+ir<('+j)".
wenn
Setzt man u = mnt und nimmt von der linken und rechten Seite
dieser Ungleichung die mnte Wurzel, so findet man
(2) (1 + nO " < (1 + *»<)"• (w < »).
Schreibt man femer die selbstverständliche Ungleichung
(1 - mt)(l + mt)<l
Von H. E. TnixBDina. 331
in der Fonn i i
so kann man, indem immer m < n sein soll; an die Stelle von
(1 + w<)"» den kleineren Wert (1 + n<)" setzen und erhalt so:
(^) (1 - mO^(l + nO" < 1 (w<n).
Der Ungleichung (1) lafst sich die Gestalt geben
oder
(sr+s) '^w+^)
Hierf5r kann man weiter, indem man die linke nnd die rechte Seite
in die 2te Potenz erhebt^ setzen:
/ Im ym / In yn
\l(m + u)) <\l{n + u))
Nun schreibe man
m ffir l(m + u), » för l(n + u), ti ftbr Zu,
so wird
oder
(4) (, _ i)- < (1 _ ;)■ („^.,
Hieraus ergiebt sich, analog wie (2) und (3) aus (1) folgte:
(^) (1 - nf) • < (1 - mty^ (m < n).
und
(^) (l + mfr(l- nty< 1 (m< n).
Ans diesen Ungleichungen lassen sich die Laplaceschen Satze
mit Leichtigkeit beweisen.
1. Der Vorteil eines möglichen Gewinnes wiegt niemals den NadUeü
eines gleich grofsen und gleich wahrscheinlichen Verlustes auf,
Ist nämlich x das Vermögen der betreffenden Person, z der Ge-
winn oder Verlust, w seine Wahrscheinlichkeit, so ist die charakteris-
tische Zahl f&r den subjektiven Wert des enteren
und f&r den Wert des letzteren
(' - 0
332 I>ie Bernonlluche Werietheorie.
Das Produkt dieser beiden AuBdrücke ist aber inun^ < 1, deon ei ist
2. Jedes reine Glücksspiel zwischen etcei Spidern ist, wenn es naek
den Hegeln der Billigkeit geordnet ist, für beide Spieler nadUeiUg, Mem
ihr möglicher Gewinn ihren möglichen Verlust niemals aufwiegt
Ist nämlich z das Vermögen irgend eines der beiden Spieler, t
die Summe^ die er ron dem anderen erhalt, wenn er gewinnt^ z die
Summe, die er zu zahlen hat, wenn er verliert, w die Wahrscheinlicb-
keit für den enteren, w' diejenige für den letzteren Ausgang, so muls
nach den Regeln der Billigkeit
also weil «; + w' « 1:
WZ = w' s\
W =— r--7. W
sein. Der subjektive Wert des Spieles wird für diesen Spieler durch
die charakteristische Zahl
(i+j)"('-r
bestimmt. Diese Zahl ist < 1, wenn es die Zahl
('+j)"('-a*
ist. Wählen wir in diesem Ausdrucke den willkürlichen Wert r bo^
dab rz und rz' ganze Zahlen werden, so gelangen wir f&r -^ "= ^ ^
der Ungleichung (3) oder (6), jenachdem
rz = w, rz' = m oder rz = m, rz' = n
gesetzt wird, was davon abhangt, ob z> z' oder z <z' ist In beiden
Fallen ist der angeschriebene Ausdruck < 1, und da sonach die chsrak-
teristische Zahl för den Wert des Spieles immer < 1 ist, bedeutet das
Spiel für den Spieler stets einen Nachteil.
3. Jedes Spid, nach wdchen Begdn es auch geordnet sein magt ist
wenigstens für einen Spider nachteilig.
Nehmen wir der Einfachheit halber nur zwei Spieler an, sind t
und z' wieder die Gewinne, w und w' ihre Wahrscheinlichkeiten, dann
mufs, wenn das Spiel für den ersten Spieler, dessen Vermögen x ^h
nicht nachteilig sein soll,
(1 +!)'(' -9"' si
Von H. £. Tdcxbdiko. 333
aeixL. DarauB folgt nach dem Vorigen aber, dab
ist. Soll nun das Spiel auch für den zweiten Spieler, dessen Vermögen
y sei, nicht nachteilig sein, so müfste auch
(i+r('-j)"ä'
sein, und daraus würde sich
u)' z' > U)Z
ergeben, was nach der vorhergehenden Ungleichung unmöglich ist.
Wenigstens bei einem der beiden möglichen Ausgange des Spieles
wiegt der Gewinn des einen Spielers den Verlust des anderen nicht
aa£ Ist nämlich
damit, wenn der erste Spieler verliert, sein Verlust durch den Gewinn
des anderen aufgehoben werde, so ist notwendig a; > y, der erste
Spieler hat also das gröüsere Vermögen. Dann läist sich aber die Un-
gleichung
nicht erfüllen, da aus ihr j/ > a; folgen würde. Wenn der Reichere ge*
winnt, so wiegt sein Gewinn den Verlust des Armeren niemals auf.
4. TJfder äUen möglichen Qemnnen, welche denselben cibjektiven Wert
hesiteen, ist immer dem subjektiven Werte nach der sicherste den anderen
vorgugiehen, obwohl sein Betrag am kleinsten ist, und ebenso ist unter
allen möglichen Verlusten von demselben objektiven Werte derjenige am
ehesten zu ertragen^ dessen Bebrag am geringsten ist, wenn auch seine
Wahrscheinlichkeit die gröfste ist.
Ist X das Vermögen der betreffenden Person, z und z' zwei mög-
liche Gewinne, w und w' ihre Wahrscheinlichkeiten und wz » w'z,
80 ist der Gewinn z vorzuziehen, wenn
(> + ?)• > (> + s"
oder
I^iese Ungleichung ist nach (2) immer erfOUt, wenn z<,z', woraus
dum w>w' folgt. Die linke Seite überwiegt um so mehr die rechte
Seite, je grofser z' ist z nimmt den kleinstmöglichen Wert an,
[
^
334 Du BenumlHtche Werteiheorie.
'Mo*
wenn u; » 1 wird. Man kann dann fftr e auch einen um einen ziem-
lich betiaclitlichen Brachteil 6 erhöhten Wert (1 + 6)ß setzen, es wird
trotzdem
bleiben. Hierin liegt die Begründung für den folgenden Sais:
5. Eine Versicherung ist um so mehr angdfracki, je weniger wahr-
scheinlich, aber auch je empfindlicher der versicherte Verlust fihr die be-
treffende Person sein würde,
6. WiJH ein Kaufmann eine bestimmte Menge Waren über See
schicken, so ist es für ihn vorteilhafter^ diese Waren auf gwei gleid see-
tüchtige Schiffe gu verteilen, ais sie einem einsigen Schiffe anzuvertrauen,
Ist nämlich w die Wahrscheinlichkeit, daCs das Schiff den Be-
stimmungsort erreicht, x das Vermögen des Kaufmannes ohne die
Waren, u deren Gesamtwert, so ist für den subjektiven Wert denelbeD,
wenn sie auf ein Schiff geladen sind, die charakteristische Zahl
0 + .-)■
Sind sie aber in zwei Teilen s und t auf zwei Schiffe verteilt^ so wiid
für ihren Wert die charakteristische Zahl
Der erste Faktor dieses Produktes entspricht dem Falle, dafs beide
Schiffe den Hafen erreichen, wofür w^ die Wahrscheinlichkeit ist, der
zweite Faktor dem Falle, dafs nur das eine oder andere Schiff anlangt^
wofür die Wahrscheinlichkeit beidemal w(l — w). Es ist nun leicht
zu zeigen, daCs
(»+^ri('+ä(>+ör"'"'>(>+^r-
Denn es ist
((i+i)(i+i)r"-'>('+^r"".
weil
(i+i)(i+i)>i.+i±..
IV.
Der erste und nächstliegende Einwand, der sich gegen den
Bernoullischen Ansatz erhebt, ist der, dals sich keine hinreichende
Begründung für die Annahme finden lafst, es sei der Wert eines selir
J
Von H. E. Tdcxbdxvo. 335
kleinen Oewinnes oder Verlostes dem Yermögen proportional^ auf das
er sich bezieht. Es ist nur die einfachste Annahme, die man machen
kann, um der Ansicht gerecht zu werden, dals ein Gewinn oder Verlust
mn so weniger empfanden wird, je gröfser das Vermögen ist, das von
ihm betroffen wird.
Eine Schwierigkeit, zu der schon der blofse Begriff Vermögen An-
lals giebt, hat Bernoulli bereits hervorgehoben. Ein Bettler, der
nur Ton den ihm gereichten Gaben lebt, wird sich nicht gegen eine
maisige Geldsumme dazu verstehen, das Betteln au&ugeben, und ein
Mensch, der sich nur von geliehenem Gelde erhalt, wird nicht darauf
eingehen, wenn ihm seine Schulden bezahlt und überdies ein kleiner
Baarbetrag verabreicht werden soll unter der Bedingung, dals er keine
neuen Schulden macht. Und doch besitzt der Bettler nichts und der
Schuldenmacher, wie Bernoulli sagt, noch weniger als nichts. Die
Existenzfahigkeit eines jeden Individuums ist aber nach dem Einkommen
zu bemessen, welches es geniefst^ gleichgültig aus welcher Quelle dieses
Einkommen flielst^ wenn nur kein baldiges Versiegen der Quelle droht.
So erfreut sich auch der Bettler einer gewissen standigen Einnahme
und der Schuldenmacher glaubt wenigstens, wenn auch an immer anderen
Orten, sein Leben noch geraume Zeit in der gleichen Weise fortsetzen
zu können. Es muls demnach auch ein Gewinn oder Verlust in Ver^
haltnis zu dem Einkommen gesetzt werden, indem er sich durch eine
Vermehrung oder Schmälerung desselben bemerkbar macht Ob man
Gewinn und Verlust im Verhältnis zu einem oder mehreren Jahresein-
kommen oder auch im Verhältnis zu dem Kapital rechnet, dessen
Zinsen gerade dieses Einkommen repräsentieren würden, ist fOr die
Vergleichung des Wertes, den eine bestimmte Summe für verschiedene
Personen besitzt, gleichgültig, wenn nur die Rechnung für alle diese
Personen in der gleichen Weise erfolgt, denn die Zinsen sind dem
Kapital, das sie trilgt, im allgemeinen proportional Wesentlich ist
nur, dafs man zum Mafsstabe des Vermögens das Einkonunen ledigUch
dum macht, wenn es ein sicheres ist, das heilst der Voraussicht nach
anf absehbare Zeit andauert. Es ist aber dabei nicht zu verkennen,
dals ein Einkommen verschieden gewertet werden muTs, jenachdem es
aoB den Zinsen eines Vermögens oder von der Erwerbsthätigkeit einer
Person herrührt. Das Kapitalist beliebig verwendbar und übertragbar
tmd verzinst sich auf unbegrenzte Zeit, die Erwerbsfähigkeit einer
Person aber hat ihre bestimmte Grenze und ist beständig durch Krank-
heit oder Tod bedroht. Diesem umstände muls wenigstens dadurch
Rechnung getragen werden, dals man an Stelle des jährlichen, er-
worbenen Einkommens den Baarwert einer gleich groüsen Leibrente
I
336 I^ie Bemonllische Wertetheorie.
dem zinstragenden Ejipitale gegenüberstellt oder dals man umgekehrt
an die Stelle des letzteren den Betrag der Leibrente setzt, welche die
betreffende Person dafür erkaufen könnte.
Vergleicht man nun jährliche Einnahmen oder Ausgaben mit dm
ganzen jährlichen Einkommen , so ist immer noch nicht einzasehen,
wanun der Wert der ersteren dem Betrage des letzteren einfach um-
gekehrt proportional sein soIL Plausibel ist nur, dab der Wert des
Geldes mit dem steigenden Einkommen sinkt^ und es will uns scheineii,
als ob für jemanden, der auch bei der üppigsten Lebensweise nicht
mehr imstande ist, sein Einkommen aufisubrauchen, eine weitere Ein-
nahme überhaupt keinen Wert mehr hai Wenn trotzdem solche
Männer darnach trachten, immer mehr Reichtümer au&uhäufen, so
thun sie es nicht, weil sie für sie einen Wei;jb in dem Sinne der
Bernoullischen Theorie, nämlich einen wirklichen Gebrauchswert
haben. Man kann die blolse Freude am Besitze für den Grand
halten, viel mehr ist es aber das Streben nach Macht, und
dieses Streben giebt sich in den Unternehmungen der groisen
Milliardäre genugsam kund. Auf der anderen Seite leuchtet ein,
dafs jemand, der gerade so viel hat, dafs er leben kann, nichts
weiter zu entbehren vermag, ohne zu darben und zu Grimde za
gehen, und dafs demnach eine Ausgabe schon dann einen unendlich
grolsen (negativen) Wert bekommt, wenn sie das Einkommen noch
nicht völlig au£cehrt.
Was vorläufig unbedingt angenommen werden soll, ist, dab sich
überhaupt für jedes Einkommen x ein bestimmter Wert f(x)dx finden
läfst, welcher die relative Bedeutung einer kleinen Geldsumme äx for
eine Person von diesem Einkommen angiebt. Von der Funktion fix)
wissen wir dann zunächst nur, dafs sie mit steigendem x immer ab
oder wenigstens niemals zunimmt, dafs sie fQr sehr kleine x unendlich
oder wenigstens sehr grols, för sehr grofse x di^^en Null oder
wenigstens sehr klein wird.
Aus dieser Wertefunktion lälst sich, wenn sie bekannt ist^ leicht
der Wert einer beliebig grofsen Yermögensänderung für eine Person,
deren Einkommen irgend einen Betrag x hat, berechnen. Wenn man
nämlich diese Yermögensänderung e in sehr viele, sehr kleine Teile df
zerlegt, die einzeln die Werte f{x)dx haben, indem x in den Inter-
vallen dx von X bis rr + i^r anwächst, so findet man für die yermögens-
änderung e den Wert
V «. If(x)dx.
Von H. E. TiMSHDiNo. 337
Bezeichnen wir nun mit F(x) das Integral
Fix) =fnx)dx,
onbestinimt ansgefQhrt, das heifst von einer bestimmten^ aber beliebigen
unteren Grenze bis zu dem veränderlichen x erstreckt^ so wird
v^F(x + z)-F(x),
und wir haben eine neue Funktion F (x) gewonnen^ mit deren Hülfe
sich der Wert einer helüing grofsen Yermögensänderung angeben lafst.
Diese Funktion F(x) hat dann die Eigenschaft, dafs ihre Deririerte
dF{x)
fip)
dx
bestandig ab oder wenigstens nie zunimmt. Stellen wir sie also durch
eine Eurre (die Wertlinie) dar, indem wir x als Abszisse, F{pc) als
Ordinate abtragen, so muls diese Kurve wohl fortwährend ansteigen,
ihre Steigung aber immer geringer werden.
Es sind nun zwei Falle denkbar. Entweder wächst F{x) mit zu-
nehmendem X über alle Grenzen, oder es nähert sich einem bestimmten
Maximalwerte. Das erstere würde beispielsweise aus der Bernoulli-
sehen Annahme folgen, das letztere aber ausdrücken, dafs auch das
grobte Einkommen nur einen begrenzten Wert besitzt.^) Da dem Wesen
1) Ein sehr einfacher Ansatz, welcher zu einer solchen Wertefunktion F{pi^
fährt, besteht darin, dafs man den Wert einer sehr kleinen (Geldsumme dem
Quadrate des Einkommens o;, von dem man noch einen bestimmten Betrag a ab-
ziehen kann, proportional setzt. Dann wird JP(«} von der Form
X — a
indem j^ k Konstanten bezeichnen, und zwar ist j der grOlste Wert, den F{x) an-
nehmen kann und dem es sich fOr unendlich anwachsendes x n&hert. Für x^^a
wird es negativ unendlich. Der Wert einer bestimmten Einnahme iP, die zu einem
Einkommen x=»x'-{-a hinzukommt, ist nun
Dies ist ein Ansatz fOr endliche Betrftge, der ganz an den Buffonschen
erinnert, der aber im Gegensatze zu diesem wirklich die Eigenschaft hat, dafs der
Wert zweier nacheinander vereinnahmten Betr&ge dem Werte ihrer Smnme gleich
ist. Um eine Anwendung dieses Ansatzes zu geben, denken wir uns eine Yer-
sicherong gegen einen mit der Wahrscheinlichkeit w drohenden Verlust g und
fragen nach der Prämie p, die dafür der Versicherungnehmer, wenn x sein Ein-
kommen ist, zahlen kann, ohne nach diesem Werteansatze einen Verlust zu er-
leiden. Es ergiebt sich dann
ioe p
Zeitachrifl f. Mathemfttik n. Physik. 47. Band. 1901 3. n. 4. Heft. 22
338 I>ie BernonlliBche Wertetheorie.
der Sache nach von einem unendlich hohen Einkommen nicht die
Rede sein kann^ iat es eine nicht weiter zu erörternde Geschmacksache,
ob man das eine oder andere annehmen will. Dagegen lafst sich der
Verlauf der Wertlinie nach der Ordinatenachse hin genau feststellen.
Eine Abnahme des Einkommens, die so grols ist, dafs sie dasselbe
unter das Existenzminimum hinabdrückt, bedeutet jedenfalls einen sdtr
grofsen Nachteil, und deshalb hat
F(e) - F(€ + xr),
wenn e das Existenzminimum bedeutet, einen sehr grofsen negatiTen
Wert. F(x) mufs daher einen sehr gro&en negativen Wert annehmen,
wenn x sich dem Existenzminimum nähert, und kann schließlich für
eine positive Gböise, die gleich oder etwas kleiner als 6 ist, negatir
unendlich angenommen werden.
Es ist nun die Frage, ob die Sätze, die oben aus der Bernonlli-
sehen Annahme hergeleitet sind und deren Übereinstimmung mit der ge-
sunden Vernunft zeigen sollen, nicht dazu dienen können, um die
Wertefunktion F{x) näher festzulegen, oder ob sie schon aus den
erwähnten allgemeinen Eigenschaften dieser Funktion folgen. Es ist
nicht schwer nachzuweisen, dafii dies letztere der Fall ist.
V.
Daraus, dafs die Funktion f(x) niemals zunimmt, folgt, da(s in
dem bestimmten Integrale
[x)dx = F(xo + M)-F{x^)
ff^^
der gröfste Wert, den die Funktion unter dem Integralzeichen annimmt,
fQr die untere Grenze Xq und der kleinste fELr die obere Grenze (^o+')
stattfindet. Das Integral wird also rergröfsert, wenn man f{xQ) for
Hieraus berechnet sich der ÜberschuijB dieser Maximalpr&mie p über die Netto-
prämie p^^toZj die nach dem Prinzipe der Gleichheit von Leistung und Gegen-
leistung resultieren würde
Dieser Ausdruck ist bei konstantem p^ um so gröJEer, je gröfser e ist. Die Yer-
sicherung ist demnach um so wertvoller, je unwahrscheinlicher und bedeutender
der drohende Verlust ist, und besitzt jedenfalls einen sehr grofsen Wert, wenn
X — a — z sehr klein ist, also der Verlust das Einkommen des Versicherten soweit
aufzehren würde, dafs es zu seinem Lebensunterhalte nicht mehr ausreicht, Torans-
gesetzt nämlich, dafs man mit a die hierzu erforderliche oder eine noch kleinere
Summe bezeichnet hat.
Von H. E. Tdcsrdxno. 339
fix) setzt, und verkleinert, wenn man dafür f{xQ + s) setzt. Daraus
folgt, indem man wieder x statt Xq schreibt, dafs stets
(I) f^^)>llE±±zIM>f^^ + ,)
ist, und es ist um so mehr
wenn t eine beliebige positive Gh'ölse bedeutet. So ei^iebt sich aber
weiter, dals man das Integral
ff(x)dx ^Jf{x)dx +ff{x + 8 + t)dt
X X 0
vergröfsert, wenn man in seinem zweiten Teile
f{x + e + 1) durch ^ ^ ^ ^
ersetzt. Es wird somit
ff{x)dx<{l + l)[F{x + z)^F{x)]
X
oder
/in F{x + z + t)-F{x) F(x + z)-F{x)
Dagegen verkleinert man das Integral
ff{x)dx ^Jf{x)dx +Jf(x)dx,
X X X-{-9
wenn man in dem ersten Teile
f^:c) durch F(. + s + t)-F^a> + s)
ersetzt. So findet man
und, indem man noch x füi x + e + t schreibt,
mn F(x)-F(x^t--z) F{x)^F{x-t)
Wenn man ferner in dem Integral
ff{x)dx
2«*
340 1^0 BemoulliBche Wertetheorie.
f{x) durch f{x — e) ersetzt, so wird dasselbe yergrolserty es ist also,
indem man wieder x für Xq und x' fär Xq — £ schreibi^ so dab
x> x'
anzunehmen ist:
ff{x)dx <Jf(x)dx
X ^
oder
Macht man insbesondere
x' ^x — Xj
so findet man:
nj\ F(x + g)^Fix) ^ J-(g)-F(a?-jg)
Diese letzte Formel lälst sich sofort dahin interpretieren, dab ein
Gewinn immer weniger empfunden wird als ein gleich grolser Verlust
Ist ein Gewinn g ungewüs und w seine Wahrscheinlichkeit, so
wird sein Wert durch den Ausdruck gemessen
w{F{x + g)-'F(x)).
Setzt man nun in der Formel (11)
g + t^g^ e^ wg,
indem w einen echten Bruch bezeichnet, so ergiebt sich
F{x + wg) - F{x) > w \F{x + jf) - F{^x)\.
Setzt man dagegen in der Formel (IQ)
i->^fS^g\ t^ w'g\
so wird
F(x) - F(x - wy) < f€'{F(x) - F(x - ^') } •
Soll also
(a) w[F{x + g)^F(x)]>w'[F(x)^F(x^g^]
sein, so mufs um so mehr
F(x + wg) - F(x) > F(x) - F{x ~ w'g")
sein. Hieraus folgt, dab
(b) wg > wY
ist, denn wäre wg ^ w'g\ so würde nach (Y)
F(x + wg) - F(x) < F(x) - F(x - w'g")
sein, und wäre wg < w'g', so würde diese Ungleichung noch ▼«f*
. Von H. E. TnnBDiira. 341
stärkt. Die UngleichuDg (a) drückt aber aus^ da&, wenn zwei Spieler
mit einander spielen und der erste Spieler den Gewinn g mit der
Walirscheinliclikeit Wy der zweite den Gewinn g' mit der Wahrschein-
lichkeit i/o' zn erwarten hat^ das Spiel fOr den ersten Spieler vorteilhaft
ist. Die Ungleichung (b) zeigt dann^ dafs dasselbe Spiel für den
zweiten Spieler notwendig nachteilig ist^ denn sonst müfste ans den-
selben Gründen iv'g'<Cfvg sein, was durch die erste Ungleichong aus-
geschlossen ist.
Nehmen wir nun an, es sei
(c) wg =« wY, w > w\
dann wird
(d) w\F{x + g)^F{x)]>w'{F{x + g')^F{x)],
denn wenn man entsprechend der Gleichung (c) g ^ aw\ g' ^ aw setzt
und die linke und rechte Seite der vorstehenden Ungleichung durch
ttww' dividiert, so folgt
F(x + g)^F(x) F{x + g')--F{x)
und diese Ungleichung ist nach (ü) erfüllt, wenn g<g' ist, woraus
w>t€' folgt. Die Ungleichung (d) sagt aber aus, dafs, wenn sich
mit der gleichen Einlage E =^ wg ^ w'g' die Anwartschaft auf zwei
verschiedene Gewinne g und g'y deren Wahrscheinlichkeiten w und w'
sind, erkaufen läfst, diejenige Verwendung der Einlage die vorteil-
hafteste ist, bei welcher der Gewinn g mit der gröfseren Wahrschein-
lichkeit w zu erwarten steht, wenn er auch kleiner ist als der andere
Gewinn g'.
Endlich ist wiederum der Vorteil nachzuweisen, der in der Ver-
teilung des Risikos liegt. Ist bei einem in Gefahr schwebenden
Kapital u die Wahrscheinlichkeit, dafs es verloren geht, 1 — w und
somit w die Wahrscheinlichkeit, dafs es erhalten bleibt, so ist der
Wert, den es für eine Person von dem Vermögen oder Einkommen x
^'*^ w[F{x + u)-F{x)].
Lafst sich nun das Kapital u in zwei Teile n und t zerlegen, so
dals der Verlust des einen Teiles von dem Verluste des anderen Teiles
unabhängig ist, dann ist, dafs beide Teile eingebracht werden, mit
der Wahrscheinlichkeit w^ zu erwarten, dafs ein Teil verloren geht und
der andere erhalten bleibt, mit der Wahrscheinlichkeit w{\ — tc), und
der Wert, welchen das so verteilte Kapital repräsentiert, ist
w^{F{x+e+t)-F{x)]+w{l^w)]F{x + s)'-^F{x)\+F{x+()-F{^^^
£b ist zu zeigen, dafs dieser Ausdruck grölser ist als der vorige.
342 I>ie BenoaüiMiie Weiieiheorie.
Nim folgt ans der tarmA (IV), indem man x' durch x nnd x
durch j; + ^ enetzt
F(x + / + z) - F(x + <) < ^(^ + ^) - -F(^)
öder
F(x + ^ + 0 - -F(^) < F(x + ier) - F(x) + F{x + t) - F(x).
Multipliziert man beide Seiten dieser Ungleichung mit tr(l -— u;), so
kann man tie sdireiben
w[F(x + ß+()-F{x)]
<w^F(x+js+()-F(x))+u:(l^w){F(x+z)'-F{x)+F(x+t)-F(x)],
womit der Terlangte Nachweis geliefert ist.
Werden die beiden Teile g und t noch weiter zerlegt, so wird der
gesamte Wert noch weiter Tergrolsert^ und so fort, in je mehr und je
kleinere Teile das Ejipital aufgelost wird. Man gelangt so schlielslich zn
einem Grenzwerte, über den hinaus man den Wert des Kapitals auch
bei noch so weit gehender Verteilung der Risiken nicht erhohen kann.
Um diesen Grenzwert festzustellen, nehme man an, das Kapital sei in
eine sehr grolse Anzahl n von gleichen Teilen zerlegt. Dann ist die
Wahrscheinlichkeit, dafs gerade n — ^ von diesen Teilen verloren gehen
und dieser Ausdruck wird nach dem Bernoullischen Theorem, wenn
n sehr grofs ist, angenähert gleich dem folgenden:
ds
t — *9
indem
— 9
« = 1/5 — TT r(- — «^)> rf^ =
f 2tt7 (1 — to) \n /'
y2w(l— tr)n
gesetzt wird. Sei femer
n==«>
so wird
, i/2tr (1 — tr)
5,
und der Ausdruck für den subjektiven Wert des in sehr viele, sehr
kleine Teile zerlegten Kapitals wird angenähert durch das Integral
dargestellt
([F{x+qu)^F(x)]e-»»-^,
— CO
Von H. E. TiMEBDiNa. 343
indem die Grenzen — oo und + ^x) f&r die sehr grofsen Zahlwerte
y 2 1— 117 r 2 w
genommen sind. Ist nun F{x) nicht (negativ) unendlich, was der Fall
wäre, wenn das Einkommen der betreffenden Person, abgesehen von
dem in Gefahr schwebenden E^apital, das Existenzminimum unterschritte,
so hat das vorstehende Integral immer einen endlichen angebbaren
Wert. Dieser Wert ist positiv und jedenfalls kleiner als
F{x + u)-F{x).
Schreiben wir demgemäfs den Wert des Integrals in der Form
F{x+pu)-^F{x),
wo p einen echten Bruch bedeutet, so wird
(«) F{x-^ pu) - 2Jf{x + wu +]/!iI^s„) e-" ^ ■
0
Nun läfst sich eine Zahl 6 so bestimmen, dafs
ds
fF{^ + u,u+y^^^su)
a
wird, indem b eine beliebig kleine vorgegebene Gröfse bezeichnet. Wird
dann das linksstehende Integral
_ go
d»
^F{x + u>u+y^^^^ft'u)fe-
ii
a
yü
gesetzt, so ist 6' nur wenig gröfser als tf, und es läfst sich n so grols
wählen, dafs
wird, wenn b eine neue, sehr kleine Grofse ist. Ersetzt man dann in
der Gleichung (a)
durch den zu kleinen Wert
F (a; + (u; + «0 <*) ;
80 wird der Wert des ganzen Integrales verkleinert, es wird also, da
oo
2 A-.. -^ = 1
344 I^i® Bemoullische Wertetheorie,
ist; die Ungleicliimg bestehen
(ß) F(x + pu)>F(x + (f€ + €') u) .
Ersetzt man andererseits
durch den zn grofsen Wert
F{X + WU)y
so sieht man, dafs
(y) F{x + pu) < F{x + wu)
ist. Der Wert
F{x + wu) - F{x)
bildet nach diesen Ungleichungen (ß) und (7) also für den Wert des
in Gefahr schwebenden Kapitals eine obere Grenze, die derselbe niemals
äberschreiten, der er sich aber bei genügender Verteilung des Kapitals
beliebig nahem kann, so dals er einem sicheren Besitze, welcher den
gleichen objektiren Wert hat, beliebig nahe gebracht werden kann.
VI.
Wie nunmehr nachgewiesen ist, ergeben sich in der That aus der
Annahme einer allgemeinen Wertefunktion wieder die Laplacescben
Sätze, und es scheinen somit zur Begründung dieser Sätze nur solche
Voraussetzungen herangezogen zu sein, deren Richtigkeit unmittelbar
einleuchtet. Es erhebt sich indessen gegen alle derartigen Überlegungen
ein Bedenken, das ihre Möglichkeit überhaupt in Frage stellt Es
handelt sich nämlich um die Berechtigung, von dem subjektiven Werte
einer Geldsumme zu reden, der sich nur nach der Grofse des Ein-
kommens richten soll. In Wirklichkeit sind für den unterschied, der
zwischen dem Werte derselben Menge Geldes für zwei yerschiedene
Personen besteht, so viele und so mannigfaltige umstände ma&gebend,
dafs es unmöglich ist, auf sie eine Berechnung dieses Wertunterschiedes
oder Wertverhältnisses zu gründen,, und dals jedes schliefslich ana-
gesprochene ITrteil nur den Charakter einer willkürlichen xmd nn-
zuverlässigen Schätzung hat. Es wird nur der allgemeine Satz bestehen
bleiben, dafs für den Reicheren dieselbe Summe einen geringeren Weit
hat als fSr den Ärmeren. Wohl kann es AusnahmeverhSltnisse geben,
unter denen ein kleiner Geldbetrag fQr einen Armeren leichter eni-
behrlich ist als für einen Reicheren, dieser braucht nur z. B. eine
zahlreichere und mehr Kosten verursachende Familie oder grolsere
gesellschaftliche Verpflichtungen zu haben, aber im Durchschnitt wird
Von H. E. TmsBDiNO. 345
doch der Wert des Geldes mit wachsendem Vermögen sinken. Damit
wäre die Ahleitung der Laplaceschen Sätze vollkommen gesichert^
wenn sich nur wenigstens die Möglichkeit einsehen liefse^ die Werte-
funktion empirisch zu ermitteln. Eine solche Möglichkeit ist aher
nicht zu finden. Denn weder Versuche noch Beobachtungen können
je zu einer Skala führen^ welche die relativen Werte der Geldeinheit
f&r die einzelnen Einkommenklassen liefert.
Man könnte daran denken; diese Skala so aufzustellen , dafs man
die Werte den Beträgen umgekehrt proportional setzt, welche eine
Anzahl Personen der verschiedenen Vermögensklassen für denselben,
zum unmittelbaren Genuis oder Gebrauch dienenden Gegenstand zu
zahlen bereit sind, und den Irrtum des Einzelnen durch die Menge
der herangezogenen Personen auszugleichen suchen. Aber es be-
darf kaum einer Erwähnung, wie wenig zweckdienlich ein solches
Verfahren wäre. Denn es giebt kaum einen Gegenstand, der f&r
eine gröüsere Anzahl von Personen genau denselben Wert hat, und
abgesehen davon, wäre die Feststellung dieses Wertes nach dem Ur-
teile der betrefiFenden Personen eine faktische ünmöglichkeii Denken
wir uns z. B., es handle sich um eine gemeinnützige Unternehmung,
die in gleichem Mafse das Interesse aller Bürger trifft Dann sollte
man nach den Regeln der Billigkeit erwarten, es würden alle Bürger
gleiche Äquivalente beitragen, nämlich soviel, wie sie alle mit der
gleichen Leichtigkeit entbehren können, der Arme wenig, der Reiche
viel, und hiemach hätte man sofort einen Mafsstab dafür, welche
Summen in den verschiedenen Vermögensverhältnissen denselben Wert
besitzen. Aber ein solches Verfahren würde bei allen Menschen die
gleiche Freigebigkeit und Opferwilligkeit voraussetzen, was der Wirk-
lichkeit durchaus widerspricht. Im Gegenteile würde ein armer Hand-
werker von seinem mühsam ersparten Gelde vielleicht mehr hergeben
als ein geiziger Millioiuir von seinem Überflusse.
Eine andere und zuverlässigere Methode würde sich aus einer
Menge gut und gleichmäisig geführter Haushaltungsbücher von Familien
aller möglichen Lebenslagen herleiten. Vergleicht man nämlich die
Aasgaben eines Hausstandes mit denen eines anderen, der über ein etwas
höheres Einkommen verfügi^ so kann man leicht feststellen, was dieser
letztere Haushalt entbehren müfste, wenn er auf das Einkommen des
ersteren herabgedrückt würde, und was somit für ihn diese Einbufse
zu bedeuten hat. Würde man nun eine bestimmte Werteskala bereits
besitzen, so könnte man wenigstens bemessen, inwieweit sie den wirk-
Uchen Verhältnissen entspräche. Man müfste nämlich die einzelnen
Ausgaben ordnen nach dem Grade, in welchem sie erforderlich oder
346 Die fiemoullische Wertetheorie.
überflüssig sind^ indem man den notwendigsten Ausgaben die niedrigste
Ordnung giebt. Dieses Ordnen geschieht sehr einfach, indem man dae
durchschnittliche Einkommen feststellt, bei welchem jede der Aasgaben
zuerst bemerkbar wird. Zu jeder Ausgabe gehörte dann ein bestimmtes
Gewicht, nach welchem sich der Grad ihrer Dringlichkeit bemilst,
und dieses Gewicht wäre dem Werte der Geldeinheit für diejenige
Einkommensklasse proportional zu setzen, bei welcher die betreffoide
Ausgabe zuerst auftritt. Die Bedingung daf&r, dafs die Werteskala
richtig bemessen ist, wäre dann die, dafs mit der steigenden Ordnung
das Gewicht der Ausgaben stetig abnehmen müfste.^)
Es ist jedoch schwer einzusehen, wie man auf diesem Wege eine
Werteskala erst herleiten und einen genauen Ansatz der Wertefimktion
finden könnte. Diese läfst sich in keiner Weise festlegen. Die Un-
möglichkeit des Operierens mit einer undefinierbaren Funktion würde
aber der Bernoullischen Theorie auch in ihrer erweiterten Fassung
den Boden entziehen. Da kommt ihr nun merkwürdigerweise mitten
aus dem wirtschaftlichen Leben heraus eine unerwartete Hülfe. Die
Umlegung der Einkommensteuer^), die bekanntlich in dem modernen
Steuerwesen eine sehr grolse Rolle spielt, erfordert nämlich die Fest-
stellung der Beträge, welche für die yerschiedenen Staatsangehörigen
nach Mafsgabe ihres Einkommens als äquivalent anzusehen sind.
Nach der heutigen Anschauung ist die Steuer als ein Beitrag m
betrachten, den der Einzelne für die Befriedigung eines kollektiYen
Bedürfnisses leistet, sie ist sonach ebensogut eine zweckmafsige Ausgabe
wie jede andere und keineswegs ein Opfer, das der Einzebie der All-
gemeinheit bringt. Wenn ein solches kollektives Bedürfnis f&r jeden
gleich dringlich ist, so müssen, könnte man sagen, billigerweise auch
alle ihren Verhältnissen entsprechend gleich viel beisteuern, das hei^
was ein jeder infolge dieser Ausgabe an seinen anderen Ausgaben
kürzt und deswegen entbehrt, darf für keinen empfindlicher als für
einen anderen sein. Somit hätte man die in den Steuersätzen an-
gegebenen Beträge als äquivalente Summen für die einzelnen Ein-
kommensklassen anzusehen und dürfte die Wertefunktion ihnen nm-
1) Die hier gestreiften Überlegungen haben durch die Theorie des Grenznutsens,
wie sie von Jevons und Menger begründet ist, einen breiten Baum Inder
Nationalökonomie eingenommen. Für die folgenden Ausfahrungen möge man
etwa die kritischen Bemerkungen von Sax, Die Progressivsteuer, in der Zeitsdirift
fär Volkswirtschaft, Band 1, vergleichen, wo auch holländische, in Deutschliuid
wenig gekannte Litteratur herangezogen ist.
2) Die nmfangreiche Litteratur über den hiermit berührten Gregenstand findet
man in dem Handwörterbuche der Staatswissenschaften unter Einkommensteuer
und Grenznutzen zasammengestellt.
Von H. E. TnfBBDnro. 347
gekeliit proportional annehmen. Es ist nun nicht zu yerkennen, dafs
jede wirklich bestehende Steuer im besten Falle der Ausdruck einer
augenblicklich allgemein herrschenden Empfindung ist, und es ist
deswegen keineswegs anzunehmen, dafs diese Empfindung das Richtige
trifft^ das heiTst, das nicht doch eine Yermögensklasse durch die Steuer
starker als eine andere belastet ist. Aber man könnte sich doch
wenigstens an die Hofi&iung halten, dafs sich eine solche Ungerechtig-
keit in der Steuerverteilung doch im Laufe der Zeit bemerkbar machen
und beseitigt werden würde und man sich so dem Ideale der ge-
rechtesten Steuenrerteilung schliefslich immer mehr imhem wird, wenn
dieses Ideal auch niemals ganz erreicht wird, weU es selbst mit den
wirtschaftlichen Verhältnissen sich verändert und daher immer neue
Reformen in der Steuergesetzgebung fordert. Es würde sich aber,
wenn erst einmal ein vollkommener Ausgleich der Leistungen ver-
wirklicht ist, doch nur um geringe und ganz allmahlig nötig werdende
Modifikationen handeln, die sich den XJnterhaltungsarbeiten an einem
einmal aufgeführten Bau vergleichen lassen. Nur heftige wirtschaft-
liche Umwälzungen würden wie ein zerstörendes Naturereignis eine
Erneuerung der ganzen Anlage erfordern. Im übrigen aber wäre gerade
die Solidität der einzige Mafsstab für die Yortrefflichkeit eines Steuer^
Systems. Es ist indessen nicht abzusehen, wie diese Solidität darüber
entscheiden soll, ob dieses System auch von allen gleiche Äquivalente
an Werten fordert.
Die Frage der Steuerbelastung ist durchaus nicht so persönlich,
wie es der Bernoullische Gedankengang erfordern würde. Es kommt
bei ihr nicht blofs die Person des Steuerzahlers in Betracht^ sondern
auch der Charakter seiner Unternehmungen, aus denen er sein Ein-
kommen schöpft und welche somit die Steuer trifft. Die Steuer
lastet nach der alteren Ansicht geradezu auf der Unternehmung und
berührt den Unternehmer erst mittelbar. Wenn nun auch der grofse
Fortschritt der neueren Auffassungen eben darauf beruht^ dafs sie
das persönliche Element mehr in den Vordergrund stellen, so hat dies
doch seine bestimmte Grenze. Der Staat ist, wenigstens unter unseren
heutigen Verhältnissen, zu einer ziemlich weitgehenden Bücksicht auf
das Kapital genötigt. Er hat ein Interesse, industrielle und kommer-
zielle Unternehmungen zu begünstigen, statt sie durch zu grofse Be-
steuerung zu drücken. Es ist eine bekannte Thatsache, dafs Steuern,
welche das Kapital stark belasten, zu einer Auswanderung desselben
und vor allen Dingen zu Steuerhinterziehung führen. DaHs die grofsen
Kapitalien sich, wie es scheint, leichter verbergen lassen als der Zehr-
pfennig des armen Mannes, verschiebt die Steuer stark zu Ungunsten
348 Die Bemoulliache Werietheorie.
des letzteren, und doch läTst sich hierfür keine Remedor dadurch schaffen,
dalB man die Steuersätze für die hohen Einkommensklassen noch weiter
erhöht, denn dadurch würde das Übel noch yerschlimmeri So giebt
es sehr wichtige Momente, welche dem Ideal der Steuerrerteilung, dab
Alle gleiche Aquiralente zahlen, genau entgegenwirken.
Bei alledem ist es sehr merkwürdig, dafs die BernouUische An-
nahme, es seien die Wertaquiralente dem Einkommen proportional, zn
einer gleichmäfsigen Einkommensteuer führt, wonach jeder gleich ml
in Prozenten seines Einkommens zu entrichten hat. Dies nämlich ist
der gelindeste Ansatz, der je für die Vermögens- und Einkommensteuer
gemacht ist^ indem alle anderen die höheren Einkommen noch stärker
belasten. Die heutigen Steuersysteme befolgen der Mehrzahl nach eine
gelinde Progression in der Steuerquote. Die Berechtigung einer solchen
Progression ist allerdings lange Zeit heftig umstritten worden, nnd
viele Autoritäten, an der Spitze Adam Smith, der freilich auch ron
der Zulässigkeit einer schwachen Progression spricht, haben sich ent-
schieden der gleichmäfsigen Steuer zugewandt. Mit ihrer Ansicht wm
der BernouUische Ansatz in Einklang. Wenn er aber abzuändern
ist, so ist er es in der Richtung, welche den Werl des (Feldes noch
schneller als dem Vermögen proportional sinken läfst. Es mag nicht
uninteressant sein, einen solchen Ansatz zu versuchen.
vn.
Zuvörderst ist aufs neue zu betonen, dafs nicht, wie Bernonlli
meinte, erst dann, wenn das Einkommen Null wird, der Wert einer
kleinen Geldsumme ins Unendliche steigt, sondern schon dann, wenn
das Einkommen zur Bestreitung des notwendigsten Lebensunterhaltes
nicht mehr ausreicht. Es ist deswegen von dem Einkommen x ein
gewisser Betrag a abzuziehen, den man mit dem Existenzminimum
zusammenfallen lassen kaim, und statt einfach des reziproken Wertes
von X ist für die Wertefunktion
anzusetzen. Das würde für die Steuer einen Betrag
S{x) =» (i(x — a)
ergeben, indem [i die absolute Höhe der Steuer festlegt Das
Existenzminimum würde also steuerfrei bleiben, und der Hehr-
betrag des Einkommens wäre einer gleichmaisigen Besteuerung ante^
werfen.
Von H. E. TmBBiNo. 349
Es ist leicht za sehen, wie schon dieser Ansatz eine Progression
der Einkommensteuer bedingt. Rechnen wir nämlich die Steuer im
Verhältnis zu dem ganzen Einkommen, so haben wir zu setzen
s(x)-m(i-|>,
mid die Steuerquote ist sonach
Sie ist für sehr grofses Einkommen so gut wie konstant, nämUch
gleich ^, f&r kleinere Einkommen nimmt sie ab und wird schliefslich
gleich Null ffir x ^ a. Dieser Ansatz kann aber f&r praktische Zwecke
noch ungenügend sein. Man fasse i^mlich einmal den Steuertarif,
der aus ihm resultieren würde, näher ins Auge. Wählt man für
das Maximum (i, welchem die Steuerquote q für ein sehr hohes Ein-
kommen sich annähert, 5 7o ^^^ setzt a = 1000 Mark, so wird die
Quote für ein Einkommen von 2000 Mark bereits 2\% fOr 5000 Mark
ist sie 47o, für 10000 Mark 4|7o- ^^^ ^^^ demnach yielleicht die
niedrigeren Einkommen fQr nicht genügend entlastet halten, besonders
da die Personen, die diesen Einkommensklassen, etwa von 1000 bis
3000 Mark, angehören, z. B. Yolksschullehrer, ünterbeamte, Buchhalter
TL a., oft schwer mit materiellen Sorgen zu kämpfen haben, indem
sie grofsenteils zu einer nach auTsen hin würdigen und anständigen
Lebenshaltung gezwungen sind. Da man ihnen diese auch zu ermög-
lichen suchen muTs, ist es nicht gerade angebracht, die Steuerquote
von dem niedrigsten besteuerten Einkommen an sehr rasch wachsen zu
lassen, und es ist auch beispielsweise nach dem preulsischen Systeme
nicht der Fall. Um dem entsprechend den vorigen Ansatz zu modi-
fizieren, kann man der Wertefanktion
k
X — a
ein Zusatzglied Ton der Form
{x+hy
hinzufügen, so dafs sie sich, wenn noch j,^ ^ gesetzt wird, in folgender
Oestalt schreiben läTst
1} HierauB folgt f&r die Funktion F{x) durch Integration
F(ar)«i+Ä:[log(a:-a)~^).
Der Wert einer Einnahme jer, am die das Einkommen x veimehrt wird, ist sonach
350 Die Bemoollische Wertetheorie.
Der eingeklammerte Faktor nimmt; wenn x von a bis 2a + 6 wädist^
Ton 1 bis
zu, sinkt dann aber wieder, wenn x weiter wächst, um, wenn x sein
grofs ist, sehr angenähert gleich Eins zu werden.
Der Bruch
bestimmt so die Begünstigung, die das Einkommen x gegenüber dem
ursprüngUchen Ansätze erfährt. Sein Maximalwert tritt für
c — 2a + 6
ein, und wir wollen
setzen. Dann wird der Steuersatz für dieses relatiy am meisten be-
günstigte Einkommen
wenn er für ein beliebiges Einkommen x
aj~a 1
X
ist. Der Steuersatz für ein sehr hohes Einkommen o wird dagegen
und es ergiebt sich
oder
S((D)-S(a:)«ft? + 9(a;)S(4
Die Entlastung, die ein niedrigeres Einkommen x gegenüber
einem sehr hohen Einkommen w erfahrt, zerlegt sich so in zwei Teile.
Der erste Teil
a
rührt daron her, dafs nicht das ganze Einkommen, sondern nnr sein
ÜberschuTs über das Existenzminimum zur Besteuerung herangezogen
wird, und würde der auf Grund einer Wertefunktion
k
Von H. E. Tdobdino. 351
berechneten Steuer entsprechen. Der zweite Teil
9 (x) • 8{x)
stellt dann die Vergünstigung gegenüber diesem Ansätze dar. Man
bemerke endlich, dafs man
setzen kann, und dafs somit der Steuersatz 8(x) durch die Grröfsen a,
c, C und II ToUkommen bestimmt ist.
Diese Formeln, welche die Abhängigkeit des Wertes von dem
Vermögen oder Einkommen darzustellen versuchen, zeigen eine gewisse
Analogie mit der sogenannten Zustandsgieichung der Thermodynamik,
nämlich der Gleichung, die zwischen dem Drucke und dem Volumen
eines Gases bei einer bestimmten Temperatur aufgestellt wird. Zunächst
nämlich wird angenommen, dafs der Druck p dem Volumen v umgekehrt
proportional sei, also ^
Da diese Formel aber bei gewöhnlicher Temperatur nur für wenige
Gase mit hinlänglicher Annäherung richtig ist, hat man sich genötigt
gesehen, sie abzuändern. Es wird zunächst ein gewisses Volumen a
eingeführt, unter das sich das Gas auch durch den stärksten Druck
nicht komprimieren läTst, und demgemäTs
— O
gesetzt. Der äulsere Druck p ist aber weiter nur ein Teü. des wirklich
Torhandenen Druckes, und es ist der Eohäsionsdruck «, der von der
gegenseitigen Anziehung der Teilchen des Gases herrührt, noch hinzu-
zufügen, so dals die vorige Formel die Gestalt
p + Ä =
anninmit, in der sie van der Waals zuerst angestellt hat. Dieser
nimmt aber den Eohäsionsdruck immer dem Quadrate des spezifischen
Volumens umgekehrt proportional an, was mit der Erfahrung nicht
recht in Einklang zu bringen ist. Glausius versuchte daher eine
Verbesserung, indem er den Eohäsionsdruck einer Grölse
1
(t; + 6)«
proportional setzte, und er gelangte so zu einer Formel
a ß
in der noch a der absoluten Temperatur direkt und ß ihr umgekehrt
352 I^ic Bemonlliflclie Wertetheorie.
proportional sein solL Diese Formeln scheinen den oben gegebenen
Ansätzen ffir die Wertefonktion ganz analog, nur ist in der
Glausiusscben Formel das zweite Glied wesentlich negativ, wahrend
wir es in der Werteformel positiv annehmen muTsten. Dafs es sich
indessen um eine ganz zufällige Analogie handelt^ der keinerlei kausaler
Zusammenhang zu Ghrunde liegt, braucht wohl nicht betont zu werdoL
Ebensowenig wird es nötig sein, noch besonders hervorzoheben,
dafs der für die Wertefunktion von uns gegebene Ansatz ein durchaus
willkürlicher ist und nicht wie eine physikalische Formel richtig oder
falsch, sondern nur zweckmäTsig oder unzweckmä&ig sein kann. Er
hat nur gewissen allgemeinen Forderungen zu genügen, und die in
ihm enthaltenen Eonstanten sind lediglich nach einer ungeßbren
Schätzung so zu bestimmen, dafs den praktischen Bedürfioissen genügend
Bechnung getragen ist. Es handelt sich also gewissermaßen um einen
probeweisen Ansatz, der von der empirischen Bestimmung der Werte-
fiinktion, wenn sie möglich wäre, durchaus verschieden bleibt Das,
was die Formel für eine solche wirtschaftliche Aufgabe wie die Fest-
legung einer Einkommensteuer nützlich machen könnte, ist allein der
Umstand, dafs, nachdem ihre Übereinstimmung mit den Prinzipien der
beabsichtigten Steuerverteilung einmal zugegeben, die Bestimmung der
Eonstanten in ihr viel weniger umständlich und schwierig ist als die
Feststellung der Steuerquote für alle einzelnen Einkonunenklassen, die
eine weit gröfsere Willkür und Unsicherheit involviert. Diese Eon-
stanten sind aus folgenden Daten herzuleiten. Erstens muTs die Zahl a
festgelegt werden. Wir liefsen sie oben mit dem Existenzminimum e
zusammenfallen. Es ist aber angebracht, sie in der Steuerformel groiser
anzunehmen. So werden die im allgemeinen sehr zahlreichen Personen
mit ganz kleinem Einkommen (zwischen e und d) völlig von der Steuer
befreit. Als das durchschnittliche Existenzminimum sieht man in
Deutschland gegenwärtig etwa 600 Mark jährlich an, die preufsische
Einkommensteuer besteuert dagegen erst ein Einkommen von 900 Hark.
Zweitens ist das Einkommen c^2a + b zu bestimmen. EQerf&r sind
allerdings Erwägungen mafsgebend, welche die besondere Lage und
Bedeutung der einzelnen Einkommensklassen betreffen und sich nicht
in Form von einfachen Kegeln aussprechen lassen. Man könnte aber
daran denken, versuchsweise für c einfach das mittlere Einkommen
überhaupt zu wählen.^) Soll dann drittens durch die Grölse C dss
1) Es läuft dies unter den gegenwärtig herrschenden Verhältnissen ungefähr
darauf hinaus, dafs man c==^Ze setzt. Ist also a^sy^e, so wäre 6asO sn machen.
Die preufsische Einkommensteuer würde, wenigstens fQr Einkommen bis za
10000 Mark, etwa einem Werte 5=»2a»3e entsprechen.
Von H. E. Tdiebdivo. 353
MaTs der Abweicliimg von dem ursprünglichen Ansätze einer gleich-
förmigen Besteuerung des Überschusses über das Existenzminimum
angegeben werden, so ist dies wiederum reine Sache des persönlichen
Ermessens oder durch den Zug der Zeit gegeben. In wieweit die
Annahme das Richtige getroffen hat, kann erst die Zukunft lehren.
Was vteriens noch nötig ist, die Bestimmimg der Maximalquote /i für
sehr hohe Einkommen, ergiebt sich aus den Zensuslisten dadurch, dafs
die durch die Steuer insgesamt erhobene Summe die erforderliche Höhe
erreichen soU.
Wünscht man ein rascheres Ansteigen der Steuerquote, als es der
von uns gegebene Ansatz liefert, so kann man diesen durch einen
anderen
ersetzen, in dem n = 3 oder noch gröfser angenommen wird. Die
Grölse b ist nur an die Bedingung gebunden, dafs a + b positiv sein
solL Man könnte auch andere Ansätze versuchen, deren äufsere Gestalt
ganz verschieden ist. Das ganze Verfahren läfst sich passend mit der
Aufstellung empirischer Formeln in der Technik, beispielsweise in der
Hydraulik für die Geschwindigkeit und Geschwindigkeitsänderungen des
m Röhren oder Kanälen strömenden Wassers, vergleichen. Was aber
die hier erörterte Art der Verwendung von Formeln davon durchaus
unterscheidet, ist die Unmöglichkeit, die Tauglichkeit des Ansatzes em-
pirisch zu prüfen. Allgemeine Erfahrungen können wohl das Vor-
handensein und die Richtung eines Fehlers, nicht aber seine Gröfse
ergeben. Deshalb müssen die auf eine solche Wertefunktion aufgebauten
wirtschaftlichen Wertlehren der sicheren Begründung entbehren, auch
wenn sie nicht den analytischen Ausdruck, sondern nur allgemeine
Eigenschafben dieser Funktion als bekannt voraussetzen. Denn wenn
nicht wenigstens die Möglichkeit^ gesichert ist, die Funktion nötigenfalls
zn bestimmen, ist sie als empirische Funktion nicht definiert und kann
mit ihr schlechterdings nicht operiert werden, ohne dafs alle diese
Operationen einen gewissen hypothetischen Charakter tragen, der es
unmöglich macht, aus ihnen auf die Wirklichkeit zu schlieisen.
Die Laplaceschen Sätze sind deswegen so merkwürdig, weil sie
in der That zu dem Glauben Anlafs geben können, es lasse sich die
Mathematik auf das praktische Leben, ja, was den Männern der Auf-
Uarong besonders wichtig war, auf das moralische Gebiet anwenden.
So fest scheinen sie begründet, und so einleuchtend und vernünftig
sind die Maximen, die sie ergeben und die sich andererseits aus der
ein&chen Voraussetzung, dafs der Wert des Geldes mit dem wachsenden
Zeitachrin f. Matliematik n. Physik. 47. Band. 190S. S.u. 4. Heft. 23
354 Ober das perimetriBche Rollen eines Kreisels etc.
Besitze sinke, durch rein logische Schlüsse kaum ableiten liefsen. Es
ist aber aus diesen Sätzen, wenn sie nur auf jene Voraussetzung und
die blofse Existenz einer Wertefunktion gegründet werden, nicht zu
ersehen, wieviel z. B. jemand für eine bestimmte Versicherung bezahlen
darf, ohne dafs sie für ihn „moralisch unvorteilhaft^^ wird, es la&t sidi
überhaupt nicht für jeden einzelnen Fall nach diesen Maximen be-
stimmen, was zu empfehlen oder zu widerraten ist. Jeder einzelne Fall
erfordert vielmehr doch wieder die Erwägung aller besonderen Um-
stände und die schliefsliche Entscheidung entspringt ganz anderen ab
mathematischen Überlegungen. Der Gedanke eines zahlmäiflig angeb-
baren Wertes, der sich nur nach dem Vermögen der betreffenden Person
richten soll, ist eben eine blofse Fiktion.
über das perimetrisclie Rollen eines Kreisels,
dessen Schwerpunkt nnter dem üntersttltznngspnnkte liegt.
Von D. BoBYLBW in St. Petersburg,
bearbeitet von Th. Friesendobff in St. Petersburg.
Der Apparat, dessen Bewegung hier behandelt werden soll, ähnelt
einem gewöhnlichen Kreisel, der aus einem cylindrischen Stabe mit
konischen Spitzen und aus einem darauf befestigten Drehungskorper
besteht; er unterscheidet sich vom gewohnlichen Kreisel dadurch, dab
der Drehungskörper die Gestalt einer Glocke besitzt und dieselbe auf
dem Stabe so befestigt ist, dafs die eine der Spitzen des Stabes inner-
halb der Glocke sich befindet und bei vertikaler Aufstellung mit nacb
oben gerichtetem freien Ende der Schwerpunkt des ganzen Ejreisek,
der ja auf der Figurenachse liegen mufs, noch unterhalb der zweiten
Spitze, also auf die Verlängerung des Stabes, zu liegen konunt. Um
die Bewegung eines solchen Kreisels zu beobachten, wird auf einem
Gestell eine Pfanne angebracht, in welche die untere Spitze des Stabes
hineingestellt wird. Wenn der Kreisel ruht, nimmt seine Figurenachse
eine vertikale Stellung an. Lenkt man den Kreisel aus dieser Gleich-
gewichtslage ab und erteilt man ihm dabei eine starke Drehung am
seine Achse und lafst man ihn darauf, ohne ihm einen seitlichen An-
stoLs erteilt zu haben, frei, so wird es uns scheinen, dals seine Achse
einen Kreiskegel um die Senkrechte beschreibt und dafs die freie
Spitze sich auf einem horizontalen Kreise, dessen Mittelpunkt auf der
Von D. BoBTLxw.
355
Senkrecliten gelegen ist^ bewegt. In Wirkliclikeit aber wird die Bahn-
kmre der freien Spitze kein Kreis sein, sondern eine sphärische Cy-
cloide mit sehr vielen sehr kleinen Zacken (yergl. F. Klein und A.
Sommerfeld — Über die Theorie des Kreisels T. I, Kap. IV und V)
Befestigt man aber über dem Kreisel eine horizontale Scheibe
mit Rändern beliebiger Gestalt nnd wird die Entfemnng der
Scheibe vom ünterstützungspunkte des Kreisels so gewählt^ dafs
die obere Spitze nie unter die Scheibe gelangen kann^ sondern
sich siandig auf den Hand stützen muTs, dann wird der rotierende
Ej^isel längs des ganzen Randes der Scheibe rollen. (Yergl. Abbild.)
Eine derartige Bewegung wurde von dem franzosischen Physiker
Sire beobachtet und perimetrische Rotation (rotation p^rimetrique) ge-
nannt. Eine allgemeine Behandlung dieser Frt^ findet man in dem
Werke Ton Resal ,,Traite de cinematique pure, 1862'^^ wo gezeigt
wird, dab, wenn das Rollen mit einem Gleiten verbunden ist^ die Inte-
gration der Differentialgleichungen nur in dem Falle ausführbar ist,
dab der Rand der Scheibe ein horizontaler Kreis mit dem Mittelpunkte
auf der Senkrechten durch den XJnterstützuugspunkt ist.
In dem Lehrbuche der analytischen Mechanik von D. Bobylew
(Bd. n, S. 656—673; 1888) wird das Problem des perimetrischen
Rollens ohne Gleiten, welches sich für beliebige Gestalten der Rand-
knrve lösen laust, behandelt. Hier soll dasselbe Problem einfacher
dargestellt werden und dabei werden für den Fall eines kreisförmigen
28 •
356
Über das perimetrische Bollen eines Kreisels etc.
Randes die Bedingungen aufgestellt, unter denen die freie Spitze des
Kreisels den Rand nicht verlassen und nicht zu gleiten anfangen wird,
sowie auch die Bewegungen betrachtet, die dann eintreten, wenn die
freie Spitze den Rand verlafst und ihn wieder berührt Für beliebige
Gestalten des Randes wird das Problem analog behandelt und es wird
gezeigt, dab die Formeln, die den Druck des Kreisels auf den Band
ausdrücken, ein von der geodätischen Krümmung der Randkorye ab-
hangiges Glied enthalten —
§ 1.
Den TJnterstützungspunkt 0 der unteren Spitze wählen wir zum
Koordinatenanfang der Achsen OX, OY, OZj die fest mit dem Kreisel
yerbunden sind, so wie auch der im Räume unbeweglichen Achsen
OX^, OY^, 0Z^\ dabei ist die Achse OZ^ lotrecht nach oben nnd
die Achse OZ nach der oberen freien Spitze hin gerichtet. Die Koor-
dinaten irgend eines Punktes, bezogen auf die ersten Koordinaten-
achsen seien x, y, z, bezogen auf die zweiten — x^, y^, b^. Der Schwer-
punkt des Kreisels befindet sich auf dem negativen Teile der O^Achse
in der Entfernung l von 0.
Die unbewegliche Randkurve auf der das Rollen stattfindet, be-
findet sich auf der Kugel mit dem Mittelpunkte in 0 und vom Radios
JS, so dafs der Abstand eines Punktes
des Randes von 0 gleich jR ist. Der
Schnittkreis des Stabes, der auf dem
Rande rollt, hat dann den Radins
a = JS sin £ und sein Mittelpunkt bat
von 0 auf der OZ- Achse die Ent-
femung c ^ R cos £; e ist also der
Winkel, unter welchem von 0 aus der
Radius des Schnittkreises erscheint Der
Berührungspunkt n des rollenden Kreises
mit dem unbeweglichen Rande hat in
Bezug auf die X, Y, Z-Achsen die Ko-
ordinaten X, y, c = JB cos f (vergL Kg. 1).
Der normale Gegendruck l des nn-
0^ beweglichen Randes ist immer nach
aufsen gerichtet, d. h. dorthin wo sich
der rollende Kreis befindet, und mufs immer positiv sein. Die Momente
dieses Gegendrucks um die Achsen OX, OY, OZ sind resp. Xy, — Aa;, 0.
Die Reibungskraft F hat die Richtung der gemeinsamen Tangente
der beiden auf einander rollenden Kurven, und wenn wir ihre Eom-
Flg. 1.
z.
Von D. BOBTLEW. 357
ponenten nach der X- und F-Achse mit F^ und F^ bezeichnen^ so
sind ihre Momente um die X-, T- und Z-Achse resp. —cF^, cF^, aF^
so dals die Kraft F dann positiv ist^ wenn ihr Moment um die Z- Achse
positiv ist
Die Momente der Schwerkraft um die beweglichen Achsen sind
resp. — Mgly\ Mgly, 0, wobei M die Masse des Kreisels, g die Be-
schleunigung der Schwerkraft und yy y', y" die Richtungscosinus
zwischen der positiven Richtung der Z^-Achse und denen der X-, T-,
^Achse bedeuten; in den Eulerschen Winkeln Oj q), ^ drücken sich
^^ y? y\ y'y bekanntlich folgendermaJsen aus:
y = sin 0 • sin 9), y ' = sin 0 • cos q>y y " = cos 0.
Femer haben die Komponenten p, q, r der Winkelgeschwindigkeit Sl
nach den beweglichen Achsen folgende Ausdrücke in den Eulerschen
Winkeln und ihren Ableitungen nach der Zeit:
p = ^ smO • sin 9> + ^ cos 9
dib . ^ de .
q = ^smö'cosy — -^smy
dip ^ , dqp
Die Trägheitsmomente des Kreisels sind: um die Symmetrieachse Cy
um die äquatoriale Achse Ä,
Hiemach können wir für das Rollen des Kreisels auf dem Rande
folgende Differentialgleichungen aufstellen:
(1)
Ä^^(Ä- qqr - Mgly' + ly - el,
^g = (C7 - Ä)rp + Mgly - Xx -V cF,
C^ = aF, oder auch: G^^^-xF^- yF^
Beim Bollen ohne Gleiten fallt die augenblickliche Drehongsachse
mit der Richtung Ott, oder mit der ihr entgegengesetzten, zusammen,
und deshalb haben wir folgende Gleichungen:
(2) ?«« = !: = ?! = 5
Dabei bedeutet o = + Yp^ + q^ die Projektion der Winkelge-
schwindigkeit Sl auf die XF-Ebene oder, was dasselbe ist, auf die
Richtung des vom Mittelpunkte des Kreises zum Punkte n geführten
Radius a; das obere Vorzeichen + bezieht sich auf die Fälle, wo diese
Projektion positiv ist.
358 T^rter da« {>eiimetrische Rollen eines Kreisels etc.
Wir mnltiplizieren die erste der Gleichnngen (1) mit p, die zweite
mit q, die dritte mit r, addieren ond erhalten
(Z, iM(^'^* + Cr')] = Mgl^-^,
denn in Folge der Gleichung (2) ist der Eoe£Bzient (jfp — xq) von X
gleich Xoll nnd die Reibmigsglieder — cpF^ + cqF^ + xrF^ — yrF^
heben sich weg; anCserdem ist bekanntlich qy — py' = —^ —
Die 90 erhaltene Differentialgleichung (3) besitzt ein Integral,
welches das Gesetz der Erhaltung der vollen Energie des rotierenden
Kreisels ansdrfickt Dieses Integral kann auf Grand der Gleichung (2)
so geschrieben werden:
o* = -^ {Mgl • cosO + Ä),
wo J^^ Afon^s + CcoB^s das Trägheitsmoment des Kreisels um die
augenblickliche Drehungsachse bedeutet. Die Konstante h wird durch
den Wert o^ der Winkelgeschwindigkeit für den Wert 0q des Winkels S
bestimmt^ und so erhalten wir:
(4) cö* = cöj + \%f (cos ö — cos 0^.
Das Integral (4) bestimmt das Rollen des Kreisels auf dem ge-
gebenen Rande ^ wenn der rollende Kreis nirgends den Rand verlaust.
Das Verlassen kann nur in den Punkten des Randes stattfinden^ wo A,
welches bis dahin positiv war, zu Null wird und bei weiterem Rollen
negative Werte annimmt. Um über das Vorzeichen von k urteilen zn
können, mufs man aus den ersten zwei Gleichungen (1) den Ausdruck
fibr k ableiten; zu diesem Zwecke multiplizieren wir die erste Glei-
chung mit y, die zweite mit — x und addieren sie, dann erhalten wir:
ka'^A[yf^-x^^^ + {C-Ä)r(px + qy) + Mgl{xy + yy')
+ ciyF^ + xF,),
In dieser Gleichung sind:
i>-P + 32/ = öto, xy + yy' = z^^ — cy" und xF^ + yF^ = 0,
jb die Reibungskraft F senkrecht zum Radius a gerichtet ist. Was die
lüftirnr V -^ ~ ^-r: anbetrifft, so läfst sie sich folgendermafsen be-
: aus der Gleichung yp — xq = ^ folgt, dafs für jeden
dp (fq _ dx dy
^Tt "^dt^^Tt^^li
Von D. BOBTLBW. 359
ist; zur Bestimmung von ^ und -^ betrachten wir den Berührungs-
punkt des rollenden Kreises mit dem festen Rande: -^ und -^ sind
die X' und F- Komponenten seiner relativen Geschwindigkeit gegen
den KreiseL Der Berührungspunkt ändert stetig seine Lage auf dem
Rande, so wie auch auf dem rollenden Kreise. Die absolute Ge-
schwindigkeit der Bewegung dieses Punktes auf dem Rande wollen
wir mit v bezeichnen. Die Geschwindigkeit der relativen Bewegung
ist bekanntlich gleich der geometrischen Differenz der absoluten Ge-
schwindigkeit und der Geschwindigkeit des bewegten Systems; die
X, F- Komponenten der letzteren Geschwindigkeit sind hier gleich:
iqc — ry) und (rx — pc), also haben wir:
^ = t;cos(t;, X) - (qc - ry)
^ = t;cos ((t?, F) - {rx -pc)
und so ist:
q-^ —p-^ = v{qco8(v, Z)— jJCOs(t;, F)) — co* + rao.
Man kann sich leicht überzeugen , dafs für jede Richtung der
Drehung und des Rollens die Richtung von o zur Richtung von v so
gelegen ist, wie die positive Richtung der FAchse zur positiven
Richtung der X-Achse, d. h.
cos (v, X) = cos (cd, • F), cos (t;, F) == — cos (©, X),
folglich ist:
f;(jcos(t?, X) --pcoB^Vf F)) = t;-(D.
Infolge des Gesagten erhalt also der Ausdruck fUx Xd^ folgende
Gestalt:
(5) ia* ^Avg) + (C — ä)g)*c+ Mgl{z^ — c • cos ff).
Die Grofse und das Vorzeichen der Reibungskraft F kann aus der
dritten der Gleichungen (1) bestimmt werden:
und da
jP e dr pC dm C ^c__ da>*
adt d^ dt 2 «a* dt
da* _ 2a*MgldcoBd
"dt "" B*J W
ist, so erhalten wir:
//»N jp CMglcd coB$
E*J(o dt
J
360
über das perimetriöche Rollen f
Damit auf dem Rande nirgends Gleiten etattfindet, mufs die kiV^^
Bolute örÖfBe der Reibungskraft kleiner als xX sein (x ist der R«ibun^^_^
koeffizient),
« 2.
Als Beispiel wollen wir zur Randkurvo irgend einen Kreis ^^
Kugel vom Radius K wählen. Es ttei li sin ß der Radius dieeea Kreja^^
und sein Mittelpunkt habe folgende sphürische Koordinaten: die Eti^t-
fernung vom Punkte 0 ist gleich Rcosß, der Winkel, den dies, -^r
Radiusvektor mit der 0^,-ÄcLse bildet, ist a (üuf die Länge des Ue^^i-
dians dieses Radiusvektors kommt es nicht an). Wir beschreiben ei^^ne
Kugel vom Radius Eins, konzentrisch zur Kugel vom Radiaa R, u^^dd
zwei Kegelflächen mit den Spitzen in 0 und deren Leitlinien der Ra^^d
und der rollende Kreis bilden. Der Durchschnitt dieser Kegelfläche
mit der Einheitskuge! besteht aus; einem Kreis vom sphäriBchei-*
Radius ß, dessen Mittelpunkt sich im Pole P mit der sphariachef'^*^
Koordinate « befindet, und einem rollenden Kreis vom sphärische«-*^'®
Radius £, dessen Pol wir mit Z bezeichnen. Der Beröhrungspunk:^»-'
dieser beiden Kreise sei mit n bezeichnet, der Durehschnittspunkt de:^*-*^*^'
positiven OZi-Achse mit der Einheitskugel sei mit Z^ bezeichnet. Da-^*^'
Rollen kann von auTsen oder von imien, aufserdem nach zwei en*-***"
gegengesetzten Richtungen stattfinden.
Auf Fig. 2 und 3 sind Fälle de.s äufseren und des inneren Rollec»'^^-'^
dargestellt, wobei die Richtung des Rollens durch Pfeile angegeben i^-^ ^
Die Formeln, die wir für diese Fälle ableiten werden, gelten auch f^ 1
die Fälle des Rollens in entgegengesetzter Richtung.
Wir bezeichnen mit ij den aphäriaehen Winkel Z^Pfi, mit F c
aphärischen Winkel Z,ZP. Der Bogen ZjP ist gleich a, der Bo«
Von D. BOBYLEW. 361
ZjZ gleich 0, der Bogen PZ gleich (/J + s) im Falle des äufsereiiy
gleich {ft — b) im Falle des imieren Rollens. Im sphärischen Dreiecke
PZ^Z haben wir:
(7) cos 0 = cos a • cos (/J + f) + sin a • 8in(/J + f) • cos rj.
Wenn wir mit d6 das von dem Punkte (i auf dem festen Kreise
zurückgelegte Bogenelement bezeichnen, so beschreibt der Punkt n auf
der Kugel vom Radius B ein Element Bd6. In den Torliegenden
Fallen ist df<f =» sin/3 • ärj^ also haben wir:
Bekanntlich drückt sich die Winkelgeschwindigkeit m, die gleich
iV^M"? ist, durch die Ableitungen von 0 und ^ folgender-
maTsen aus:
-±VQ'+-°'«(3-r)'-
Andererseits kann die Differentialgleichung der Bahn des Punktes Z
folgendermafsen dargestellt werden:
dfl^d^.gine.tgr,
also haben wir
de . „
^^-cD.smr,
oder wenn wir beide Teile dieser Gleichung mit sin0 multiplizieren:
/o\ d cos $ • n • Ä
(8) jr- »= CD • Sin r« sm 0.
Femer finden wir aus dem sphärischen Dreiecke PZ^Z:
sinJ* - sind » sina • sinij,
also haben wir folgenden Ausdruck für die Ableitung von cos0:
//v\ d cos 6
(9) ,. » (D • sm a • sm 1}.
Schlielslich folgt aus der Gleichung (7):
dcosO . • //> I \ • dri
, == — sma'Sin(p + f)-smi2- -jj-
Aus diesen beiden Ausdrücken für '-^ und aus dem Zusanunen-
hange zwischen v und -^ ergiebt sich dann:
(10) V ■•
dt
mR sin ß
8iS(p±ö
362 Über das perimetriBche Bollen eines Kreisels etc.
In der Formel (5) fftr Aa* findet sich noch die Differenz (jeTj — c^cosfl).
Wenn wir den Bogen Z^fi mit q> bezeichnen, so ist
jPj = J? • cos 9, jPj — c • cos Ö = JB (cos q> — cos e • cos ff).
Aus dem sphärischen Dreiecke ZZ^fi finden wir:
cos if «= cos € • cos 6 + sin s • sin ö • cos P,
wobei das obere Zeichen auf das äofsere, das untere Zeichen auf das
innere Rollen sich bezieht.
Aus dem Dreiecke PZ^Z finden wir ebenso:
sin 0 • cos r = cos a • sin (/3 + f ) — sin a • cos (/J + t) • cos ij.
Infolge dessen kann also Xa* folgendermafsen dargestellt werden:
la* = D • o* + MglR • sin e [cos a'Qm(ß + 6) — Bma- co8(/S + e) • cosrjl
wo
D - 4-4SrT + (C ^ ^)E.cos6
immer positiy ist; solange s < ß ist.
Für OD* wollen wir seinen Ausdruck (4) einsetzen, wobei die
Differenz (cos 6 — cos Oq) nach der Formel (7) durch
28ina.8in05 + £)(sin»J-sin«-5-)
ersetzt werden kann, und tjq hier sich auf den Anfangspunkti wo
CO = ©0 ist, bezieht. Wir setzen zur Vereinfachung rj^ = 0, d. L wir
setzen voraus, dafs in der An&ngslage (i auf der Verbindungslinie
Z^P liegt, dann lafst sich Aa' so ausdrücken:
Xa* = DcdJ R*j~~ ®^^ a • sin (/J + £)sin* -|-
+ Mgla (sin(/3 + fi - a) cos«| + Bm{ß±B + a) sin«|)
oder auch:
Aa«-PcoB«^+^Bin»5,
wo
P = Dra* + Mglaam iß + e-a)
Q = P± 2Mglasmtt- co8(/}± «) - ^^J— 8in«Bm(^ + f).
Wir können auch
(11) Q = P-2GMglaBina
schreiben, wobei
G = -5.7«üi (/J ± c) + cos 0* + «)
Von D. BOBYLKW. 363
ist (Die oberen 2^iclien beziehen sieb auf das äoJsere; die unteren
anf das innere Bollen.)
Diese Formeln zeigen uns folgendes: damit die Achse des Kreisels
sich vom Bande im oberen Punkte nicht trennt, mufs P>0 sein. Falls
beim äuTseren Bollen (/J + f) > a und beim inneren Bollen (/3 — f) < a
ist, wird P > 0 sogar für Oq = 0. Jedenfalls aber kann P immer
positiv gemacht werden, wenn man nur dem cDq eine entsprechende
Gröfse erteilt. Damit auch Q> 0 wird, muTs P> 2 GMgla • sin a sein.
Wenn P und Q beide positiv sind, so wird der rollende Kreis
sich nirgends vom Bande trennen.
Wenn bei positivem P die Gröfse ^ < 0 ist, so wird sich die
Achse des Kreisels vom Bande an der Stelle trennen, wo 17 =^ i^i
= 2 arct^ yZTn '^^' ^on diesem Punkte an bis zur nächsten Be-
rührung mit dem Bande wird die Spitze der Achse auf einem horizon-
talen Kreise fortschreiten. Wenn die Bewegung des Kreisels wider-
standslos vor sich ginge, so müfste die nächste Berührung an der
Stelle 17 = — 1J1 eintreten. Von da an wird dann der roUende Kreis
weiter längs des Bandes nach oben rollen und zwar von der Stelle
— 1^1 durch die Stelle iy = 0 hindurch bis zur Stelle i^j, wo wieder
eine Trennung vom Bande stattfinden wird. In Wirklichkeit aber
werden, infolge des Widerstandes (durch Beibung in der Pfanne,
Widerstand der Lufk)^ den die Bewegung findet, die Berührungs- und
Trennungs- Stellen sich allmählich verschieben und zwar so, dafs bei
der ersten Berührung 17 = i^^ < ijj, bei der folgenden ij = ly^' < ij^ u. s. w.
wird. —
Nach den Formeln (6) und (9) läfst sich die Beibungskrafb in
der Form cMglc .
ausdrücken. Damit nun kein Gleiten stattfindet, mufs F<iXx sein
und deshalb die Differenz
^^ "" ^ JgVx smasm-^ . cosg'
längs des ganzen Bandes positiv bleiben.
Wir bezeichnen mit H die Gh-öfse — ^t-^ und stellen die
Differenz
P cos»| + Q sin»| - 258ina • sin^ . cos^
in der Gestalt
T>r/ n S . • ^\* , QP—H^Bin^u . ,«1
P[(cos^-^sm«.smg + -^ ^-, sm»JJ
364 t!'ber das perimetrische Rollen eines Kreisels etc.
dar. Damit dieser Ansdnick^ bei positiyem P nicht negativ wird,
mufs die Differenz (^P — -EPsin*«) > 0 sein. Auf Gnmd ron (11)
kann man schreiben :
P» - 2PMglaG'Bma - fl^sin^a
= (P ~ MglaGsin «)» - liPgH^a^ sin« a ((?• + -^^) '
Wir finden also:
P — MglaG'Sina mnss > MglaG-^ina 1/1 + j>*jtQt t
sein.
Aus dem Gesagten kann man folgendes ersehen:
Beim Rollen des Stabes des Kreisels aufserhalb oder innerkall)
eines kreisförmigen exzentrischen Randes (a ist die Exzentrizität) wird
weder eine Trennung des Stabes vom Rande noch ein Gleiten eintreten,
wenn P eine positive Grofse gröfser als
2MglaG-Bma[l + ^{]/l+ ^^, - l))
ist.
§3.
Auf analogem Wege können die Bedingungen des Rollens ohne
Gleiten längs beliebiger sphärischer d. h. ganz auf der Kugel gel^ener
Randkurven aufgestellt und behandelt werden; natOrUch werden dieae
Bedingungen je nach der Gestalt der Randkurve eine mehr oder minder
verwickelte Form annehmen.
Zu allererst stellt sich die Frage nach dem Zusammenhange
zwischen v und m, folglich auch nach der Gestalt desjenigen Glied»
in dem Ausdrucke Dj welches von dem Gliede AvfB herrührt. Man
kann eine allgemeine Bemerkung über den Ausdruck von v in o
machen, nämlich: dieser Ausdruck hängt von drei Grofsen ab: vom
sphärischen Radius b des rollenden Sj-eises, von der geodätischen
Krümmung der sphärischen Randkurve im Berührungspunkte und Tom
Radius ü.
Bei der Bildung dieses Ausdruckes werden wir ebenso verfahren
wie im FaUe des Kreisrandes. Auf der Kugel vom Radius 1, die ihren
Mittelpunkt im ünterstützungspunkte hat, denken wir uns die Durch-
Schnittslinien mit Kegelflächen, die ihre Spitzen im Unterstützuigs-
punkte besitzen und als Leitlinien die sphärische Randkurve und den
rollenden Kreis haben.
In den Fig. 4 und 5 sind zwei Winkel F und % markiert;
der Punkt fi hat die sphärischen Koordinaten 9) und ^. Nach
Von D. BOBTLBW.
36Ö
bekannten
schreiben:
(12)
(13)
Formeln der sphärischen Trigonometrie können wir
sin F • sin 0 » sin 2 * sin 9
cos 6 » cos B ' cos 9 4^ sin £ • sin 9 • cos %,
Fig. 6.
Fig. 4.
wobei sich das obere Zeichen auf die Fig. 4^ das untere auf die Fig. 5
bezieht.
Ans der bekannten Differentialgleichung der sphärischen Kurve
sin 9 • d^
tgz
folgt:
(14)
dtp
(15)
008 jr
sin 9 • ^
dtf .
wo dö = y(d(py + sin* q> (d^y und dabei v = Rji ist.
Aus den Formeln (8); (12) und (14) ergiebt sich:
(16)
d COB B dtp
dt ^ de
Andererseits erhalten wir aus den Gleichungen (13) und (15):
cos ö =» cos c • cos 9 -f sin £ ^ — -
dtp
366 Über das perimetrlsche Rollen eines EztiselB etc. Von D. Bobtlew.
und indem wir beide Seiten nach t differe&tiieren, finden wir einen
zweiten Ausdruck für
dt
dcoiß
''~di~
dtp dö
de dt
(17)
dt/>
Sin cp -T-^ a ( «in qp • -r-
, . ^ dcp , . \ ^ dtf I
co8£ • Sin g? + sinf cos tp — ^ — - + sin £ • sin g? —
dtp
dtp
Durch Vergleich beider Ausdrücke (16) und (17) folgt:
(18)
(O =
dt
djp
, . . ^ dtp . d ^
dtp
d^r
da
dtp
Man kann sich übeizeugen, dals der Ausdruck in den geschweifien
Klammem { } gleich
ist. Das ist aber gerade die geodätische Krümmung der Projektion
der Bandkmre auf die Kugel vom Radius 1; wenn wir mit - die geo-
dätische Krümmung der Randkunre im entsprechenden Punkte der
Kugel vom Radius R bezeichnen, so ist der betreffende Ausdruck gleicb
— , und wir erhalten also:
und
(19)
d6 f , . jR\
CD — -^ (cos « + sm 6 • — j
^da
dt G08€
CD
+
Bine
Ä — P
Um die Richtigkeit der abgeleiteten Formeln zu prüfen, wenden
wir sie auf den Kreis vom sphärischen Radius /3 an. In diesem Falle hat
der Radius der geodätischen Krümmung die konstante Grö&e ü-tgp
folglich ist
V =
CD 12 sin |3
was gerade mit unserer früheren Formel (10) übereinstimmt.
Für jede Randkurre lafst sich die Gfröfse D folgendermafsen aus-
drücken:
D
coB e , Bin e
+ (0- -4)1? cos f.
Noch einmal die richtige Knickformel. Von J. Eüblsb. 367
Falls sich auf dem Bande eine Ausbuchtung befindet, in die der
rollende Kreis gerade bequem hineinpafst (dazu ist es nötig, dafs der
Radius der geodätischen Krümmung in dieser Ausbuchtung wenig ver-
cos fi
schieden von Rtg s ist), so haben die beiden Ausdrücke -^ und
+ verschiedene Vorzeichen und das erste Olied des Ausdruckes D
wird daher einen sehr grofsen positiven Wert annehmen. Hieraus
folgt, dals bei beliebiger Winkelgeschwindigkeit, mag sie noch so klein
sein, der Kreisel in den Ausbuchtungen sich vom Bande nicht trennen
wird, da hier die Gröfse Id^ sicher positiv sein wird.
Wenn sich aber auf dem Bande Spitzen mit unendlich kleinen
Radien der geodätischen Krümmung befinden, so wird das erste Olied
des Ausdruckes D zu Null (da q gleich Null gesetzt werden kann)
und D nimmt die Gröfse (C —■ Ä)Rco8e an.
Wenn dabei der Kreisel so beschaffen ist^ dafs C ^ Ä ist, so wird
Do* gleich Null. Unter diesen Bedingungen kann leicht der Stab
des Kreisels an den Spitzen von dem Bande abspringen, da hier die
Drehungsbewegnng zum Drucke des Stabes auf den Band nichts bei-
tragt
Noch einmal die riclitige Enickformell
Von J. KüBLEB in Efslingen.
Die verschiedenen Einwendungen gegen meine Knickungstheorie
veranlassen mich, auf diesen Gegenstand hier noch einmal zurückzu-
kommen, teils um durch neue Gesichtspunkte dergleichen Einwendungen
überhaupt den Boden zu entziehen, teils aber auch um ein Übersehen
richtig zu stellen, welches mir bei der Berechnung des Biegungspfeils
f und bei der Anwendung meiner Theorie der vollkommen elastischen
Stäbe auf die nicht vollkommen elastischen Baustoffe der Technik
unterlaufen ist. Weil ich dabei mich vollständig auf die früher ge-
gebene Entwickelung beziehe und überall dieselben Bezeichnungen bei-
behalten habe, so kann ich — zu Gunsten der gröfstmöglichen Über-
sichtlichkeit — mich kurz fassen, wie folgt:
Wenn der ursprünglich gerade, elastische Stab vom Querschnitt
F und der freien Knicklänge l in seiner Längsrichtung zentrisch mit P
P
gedrückt wird, so erfahrt er unter allen Umständen die Pressung „
und infolgedessen die Zusammendrückung ^y, = Sq, die unter Beibe-
368 Noch einmal die richtige Enickformel.
haltung meiner früheren Bezeichnungen auch = -^ -^ = n^i^ gesetzt
werden kann. Wird dieser Druck grofs genug, so erleidet der Stab
erfahrungsmäfsig auch noch eine Biegung Tom Pfeil f. Eine solche
Biegung mufs notwendiger Weise angenommen werden, wenn
man es nicht mit dem besonderen Fall eines nur labilen Gleichgewichts-
zustandes zu thun haben will. Denn selbst, wenn es auch praktisch
möglich wäre, durch alle Sorgfalt und künstliche Mittel alles fernzu-
halten, was eine Biegung irgendwie begünstigen könnte, so würde ein
solcher Zustand in der Technik doch nicht weiter in Betracht kommen,
weil durch irgend einen Zufall, also beim geringfügigsten Anlab, der
Stab aus diesem künstlich herbeigeführten, labilen Gleichgewichtszustand
überspringen würde in den stabilen Gleichgewichtszustand, mit dem in
der Praxis immer gerechnet werden mufs. Ja es mufs, im Hinbhck
auf diesen stabilen Gleichgewichtszustand, diese Biegung mit dem
gröfsten Wert, den sie überhaupt annehmen kann, in Rechnung gestellt
werden, weil nur dann die gröfstmögliche Wirkung mit dem geringsten
Aufwand von Krafb erzielt wird. Es ist deshalb diese Biegung in der-
jenigen Ebene anzunehmen, für welche der Stabquerschnitt den gering- |
sten Widerstand entgegensetzt, d. i. die kleinste Steifigkeit besitzt; denn !
diese gröfste Biegung erzeugt alsdann im Bruchquerschnitt, d. L im
vorliegenden Fall in der Stabmitte, auch die gröfstmögliche Biegungs-
M Pf
Spannung ± ^ =» ± ^, wenn unter W das kleinste Widerstands-
moment des Stabquerschnitts verstanden wird, und diese gröIstmögUche '
Biegungsspannung giebt addiert zu der obengenannten Preesong ^
die gröfetmogliche Kantenpresanng beziehnngeweise Kantenspumong
h ^-p ± ^, welche vom Druck P herbeigeführt werden kann. Wird ,
also unter k insbesondere der Enick-Eoeffizient des betreffenden Bau-
P Pf P i tf\
Stoffes verstanden, so hat man aus Gleichung A;=p±^==^(ld:^)
ab Jcleinsien Druck P, welcher die Knickung des Stabes herbeiführen
ka/nn und im allgemeinen amh herbeiführen wird:
Was den Biegungspfeil f betrifft, so ist derselbe rechnungsmäfsig Ge-
stimmt, insbesondere, wenn es sich um Baustoffe handelt, die imierhalb
der Belastungsgrenzen beim Enickvorgang als vollkommen elastisch
angesehen werden dürfen. Obgleich kein Baustoff streng genommen
diese Eigenschaft besitzt, umsomehr als die Belastung beim Enickvor-
Von J. EÖBLBB. 369
gang bis zum Bruch hinaufreicht, so soll doch — aber mit dem Vor-
behalt späterer Richtigstellung — zunächst angenommen werden, dals
im Bereiche des Enickrorganges die Dehnungen proportional seien den
Spannungen^ durch welche sie hervoi^ebracht werden.
Unter dieser Annahme eines vollkommen elastischen Stabes findet
sLcjfi, dais die im allgemeinen gebogene Mittellinie des zentrisch ge-
drückten Stabes nach der Gleichung
y = f(l — coswsy) = 2/*sin^ yV
geformt ist. Diese Gleichung giebt wohl Aufschlufs über die geo-
metrische Form der gebogenen Mittellinie^ nicht aber auch über den
statischen Zustand des gedrückten Stabes, denn sie würde ebenso
heilsen, wenn von der Druckspannung -^ überhaupt abgesehen worden
wäre. Im letzteren Fall würde sie aber auch den statischen Zustand
im Stab richtig zum Ausdruck bringen, weil jetzt nur noch Biegung
vorhanden wäre, die sich ohne weiteres geometrisch darstellt. Für
diesen Sonderfall, der aber in Wirklichkeit nicht möglich ist, weil
gerade der darin fehlende Druck P und damit auch die Druckspannung
P
pdoch unter allen Umständen auftreten müfste, ich wiederhole: für diesen
Sonderfall wäre y =/'(l — coswsy) nicht nur die geometrische Glei-
chung, sondern sie würde auch den statischen Zustand dieses Sonder-
P
falls ^ == 0 richtig ergeben und müfste deshalb für jedes Wertsystem
Sj y erfüllt sein. Insbesondere würde sich für die zusammengehörigen
Koordinaten ^ == ö* ^^^ V '^ f ^^^ Stab-Enden aus ihr die Bedingung:
f — fyl — cos Yyj ei^eben, die hiemach für jedes f und also unab-
hangig von f erfüllt wäre mit cos -r- V = 0-
Weil l die freie Ejiicklänge sein soll, so würde sich daraus un-
zweideutig für yV =* ö^ ergeben und weil femer für kleine /*, um die
es sich bei den hier in Bede stehenden, nicht stark federnden Stäben
allein handelt, die Wurzelgröfse y von 1 nicht merklich verschieden
ist, 80 hätte man für diesen Sonderfall also einfach: — =^ —^ ^. \, die
Eulersche Gleichung: -P = ^ EJ.
Zur Eulerschen Gleichung kommt man hiemach also nur mit der
ganz willkürlichen und statisch unmöglichen Annahme, dals von der
Druckspannung ^ abgesehen wird. Dabei wäre - der einzige, aber
ZtitMhrift f. Mathematik a.Fhy«lk. 47. Band. 190S. S.a. 4. Heft. 24
370 Noch einmal die richtige Enickformel.
zugleich auch der gröfsie Wert, den -r-V überhaupt annehmen kum,
d. h. P = 'n^J wäre der kleinste Druck^ welcher die Knickung herbei-
führen würde (thatsächlich muTs er aber noch entsprechend kleiner
ausfallen y durch das Hinzukommen der hier aufser Acht gelassenen
DrackspannungJ).
Für einen kleineren Druck^ als diese Enickkraft P, wäre die Be-
dingung aber nur erfÜUt mit /'=0; daraus folgt, da(s ein kleinerer
Druck als die Ejiickkraft überhaupt keine Biegung hervorrufen würde,
wenn es möglich wäre, alle ümsiinde mit mathematischer Genauigkeit
vom Stab fernzuhalten, die irgendwie eine Biegung begünstigen könnten;
damit hängt die fast plötzliche Knickung der steifen Stäbe zusammen.
Immer noch, wie bisher, einen Tollkommen elastischen Stab Tor-
ausgesetzty habe ich weiter gefunden, dafs in ähnlicher Weise wie vorhin:
Vi = /i(l — cos wsy) « 2^1 sin« yV
die Gleichung der Mittellinie des künstlich mit dem Moment
M^ = P(/*j — yj) =« P/'j cos nsy gebogenen Stabes ist, den ich in dieaem
Zustand mit gestrichelter Linie dargestellt habe und dafs der so vor-
bereitete Stab vollkommen in den thatsächlichen Zustand des zentrisch
mit P gedrückten Stabes übergeht, wenn er in seinen Enden gelenk-
artig festgehalten, im übrigen aber ganz sich selbst überlassen wird.
Denn alsdann wird der Stab in dem Bestreben, seine ursprünghch ge-
rade Form wieder anzunehmen, durch die Konstanz seiner Bogensehne
2 a gehindert, indem er sich gegen die so gebildeten Widerlag^
stemmt und die Kämpferdrücke P hervorruft. Durch diesen Druck P,
der somit jetzt und zwar zentrisch im Stab herrscht, wird seine Mittel-
linie aber kürzer und nimmt infolgedessen, bei gleichbleibender Sehne
2 a, den Pfeil f an, vorausgesetzt, dafs für den Pfeil f^ der künstlidien
Biegung die Gröfse /i «= Y^ + P^) gewählt worden ist. Hiervon wird
man sich leicht überzeugen, wenn man im Auge behält, dafs, wie schon
oben betont, bei den nicht stark federnden SüLben, auf die es hier
allein ankommt^ die Biegung und damit auch der Biegungspfeil f immer
nur verhältnismälsig gering sind.
Die Gleichung:
Vi = V^+P (1 -coswsy) - 2l/?T7^8in«y y,
1) nicht 1/21*+/"", wie früher irrtümlich angegeben, weil der Druck all-
mählich von 0 bis P geht und deshalb die ZuBammendrückong nur mit der Hälfte
in Rechnung kommt.
Von J. KüBLXH. 371
welche man damit erhalt, ist aber jetzt nicht mehr nur die geometrische
Gleichung der gebogenen MitfceUinie des Stabes im gestrichelt ange-
gebenen Zustand; sondern weil es dabei sich allein um Biegung handelt,
so giebt sie auch diesen gestrichelt dargestellten Zustand des Stabes
statisch richtig an. Letzterer ist aber nicht der Zustand, in dem der
zentrisch gedrückte Stab sich thatsächlich befindet, sondern er wird in
diesen erst versetzt durch die Erteilung der Druckspannung ^ , was in
obiger Oleichung dadurch zum Ausdruck gebracht wird, dafs die Ordi-
naten y^ übei^ehen in die Ordinaten y des gedrückten Stabes. Nebenbei
gesagt nimmt also der zentrisch gedrückte Stab vom Biegungspfeil f
P
durch die Befreiung seiner Mittellinie von der Druckspannung ^
unter sonst gleichen Umstanden den Pfeil "j/i* + f^ an; dabei wird die ,
Mittellinie des Stabes yon der Länge l um n^i^l verlängert.
Nach Vorstehendem ist also
die Gleichung, welche den statischen Zustand des zentrisch gedrückten
Stabes richtig angiebt Sie ist erfüllt für jedes Wertsystem der Koor-
dinaten s und y und mufs insbesondere auch erfüllt sein für die Koor-
dinaten 5 ==> ö ^^^ y ^ f ^^^ Stab-Enden. Hieraus ergiebt sich die Be-
dingungsgleichxmg: /*= 2yr+7*sin* — y, aus welcher rechnungs-
mälsig der Biegungspfeil als
2 8in«^V
f^i , =:^itg»
hervorgeht, wenn wie firüher zur Abkürzung für
2sin* — y = 1 — cos y}/ = sin^
gesetzt wird.
Die vorstehenden, bereits früher ausführlicher gegebenen Ent-
wickelungen beruhen, wie nochmals betont wird, auf der Voraussetzung
— die stillschweigend auch bei Herleitung der Eulerschen Gleichung
gemacht worden ist — ^ dafs nämlich der Stab vollkommen elastisch
sei. Nun sind aber die Baustoffe, um die es in der Technik sich
luindelty durchaus nicht vollkommen elastisch, sondern es wachsen die
Dehnungen, beziehungsweise Zusammendrückungen, mehr oder weniger
nttcher an als die Spannungen bezw. Pressungen, durch welche sie her-
vorgerufen werden und zwar nach Gesetzen, die jedem Baustoff eigen-
24*
372 Noch einmal die richtige Knickformel.
tümlich Bind und die sich selbst beim gleichen Baustoff ändern, je
nach den yerschiedenen Belastungsgrenzen, die jeweils in Betracht
kommen.
So verschieden aber und so verwickelt auch immer diese Gesetse
fQr die verschiedenen Baustoffe sein mögen, so lalst sich doch f&r alle
gemeinsam behaupten, dafs durch das raschere Anwachsen der Dehnungen,
worin auch die bleibenden Dehnungen inbegriffen sind, jeden&Us die
Biegung besonders in der Qegend der Stabmitte, wesentlich grober
ausfallt. Der Biegungspfeil wird also dementsprechend gleichfalls
mehr oder weniger grölser ausfallen, je nach den diesbezüglichen
Eigenschaften des betreffenden Baustoffes, während der Tragheitsradins
i=«T/^, der mit seinem Werte i dem Werte von f (in der Bedin-
gungsgleichung für f) gegenübersteht, als nur vom Querschnitt ab-
hängig, derselbe bleibt wie beim vollkommen elastischen Stab. Beachtet
man noch, dais es sich überhaupt nur um geringe Biegungen handelt
und es deshalb auch — besonders im Hinblick auf alle die verwickelten
und anders nicht besser zu fassenden Nebenumstände — von wenig
Belang sein kann, ob für die bei Annahme der Proportionalität giltige
Cosinuslinie, eine etwas andere Form fßr die gebogene Stabmittellinie
gesetzt wird oder nicht, so wird es richtig genug erscheinen, dafs in
der Bedingungsgleichung für den Pfeil einfach ein entsprechend grolserer
Pfeü. eingestellt wird, der aus den besonderen Eigenschaften des nicht
vollkommen elastischen Stabes entwickelt worden ist. Was diese £nt-
wickelung anbelangt, so kann dieser grofsere Gesamtpfeil f nämlich
zusammengesetzt gedacht werden aus 2 Teilen, wovon der eine Teil/',
der elastische und der andere f^ der unelastische Bestandteil sein soll.
Der Effekt beim Enickvorgang ist aladaTin derselbe, wie wenn der Stab
ursprünglich schon mit dem kleinen Anfangspfeil f^ gleich dem an-
elastischen Bestandteil gebogen gewesen wäre und zwar, nach dem Oben-
gesagten, nahezu nach der Form:
Vu = /L (1 - cos nsy) = 2/-„sin* y y.
Der elastische Teil, der sich an diesen letzteren aufbaut, hat dann
ebenso, hier aber genau, die Form:
Ve = /i (1 - cos n$y) « 2f, sin« y y,
so dafs also die Mittellinie des zentrisch gedrückten Stabes geformt
ist nach der Summe von beiden, mit y == y„ + y« ^^ f^fu'^ fef ^^
nach: ^^
y = f{l — cos wsy) =» 2 /'sin* y^.
Von J. KÜBLKB. S73
Man bringt nun diesen Stab, ähnlich wie oben, in den gestrichelten
Zustand, indem man also seine Mittellinie von der Druckspannung ^
befreit Beim vollkommen elastischen Stab geschieht das, wie wir ge-
sehen haben, einfach durch Umsetzung der Verlängerung n^i^l seiner
Mittellinie in den dadurch bedingten grofseren Pfeil, der infolgedessen
von f auf y?Hh7* vergrofsert wird. Beim unvollkommen elastischen
Stab wird die StabmitteUinie, bei der hier ähnlich vorzunehmenden
Prozedur, durch ihre Befreiung von der Druckspannung, gleichfalls um
n*i^l verlängert; da aber im vorliegenden Fall der Stab angesehen
werden kann, wie wenn er mit dem Anfangspfeil f^ = dem Überschufs
des Oesamtpfeils f über den als vollkommen elastisch gedachten Be-
standteil f^ behaftet wäre, so verl^t er sich von da ab genau wie der
vollkommen elastische Stab, d. h. dieser vollkommen elastische Teil f^
wird durch die Verlängerung n^iH auf "j/i* + /"f vergrofsert, so dafs der
Gesamtpfeil f^ + f^ auf f^^f^ + yj^^fj vergrofsert wird. Die Glei-
chung der Stabmittellinie im gestrichelt angedeuteten Zustand heifst
abohier: y^ =/; (1 - cosn^y)
und mithin die Gleichung, welche den Zustand im gedrückten Stab
richtig angiebt:
y = /i (1 - cos nsy) = 2[f, + V^'+ff] sin« ^y.
Mit den Koordinaten 8^=^ -^ und y =^f erhält man also hieraus, ähnlich
wie oben, als Bedingungsgleichung für den Gesamtpfeil /*:
/'=2[/"„ + y?+7?]sin«^V
fe
Setzt man y » |L(, wo alsdann fi ein ächter Bruch ist, der den
Elastizitätsgrad des betreffenden Baustoffs angiebt, so ist f^ » i^f und
al8o/',= (l-^)/:
Damit erhält man, indem man nach f auf lost, fCbr den Gesamtpfeil
beim unvollkommen elastischen Stab:
f^i — ■ =*tg^i,
yU _ 2(1 — ^) sin« ^y? — 4|i« sin* ^y
wo aber jetzt, beim unvollkommen elastischen Stab, im Gegensatz zu
früher, für „..«',
"|/[l — 2 (1 — ft) Bin« ~ yT - 4 ft» Bin* ^y
374 Noch einmal die richtige Enickfonnel. Von J.
ZQ setzen ist. Mit fi — 1^ d. i. yoUIkommener Elastizität^ ergeben sich
daraus natürlicli die für den yollkonunen elastischen Stab giltigeii
Werte von tg^ und f.
[i ist ebenso wie E und JcQ^mk Materialkoeffizient. Diese Material-
koeffizienten beziehen sich speziell auf die Knickung und sind also
durch sachgemäbe Enickrersuche zu bestimmen. Erst wenn diese Enick-
koeffizienten als Durchschnittswerte festgestellt sind, kann man den Ab-
minderungskoeffizienten a für die verschiedenen Baustoffe als Funktion
von — berechnen und die Werte tabellarisch zusammenstellen.
Zu dieser Berechnung dienen die bereits früher hierfür gegebenen
Formeln, nachdem sie den obigen Ausfährungen entsprechend richtig
gestellt sind, wie folgt:
Es ist jetzt ]^
a = bezw.
7^^1 + 1 j^^i-i
und
1 - ^T^m-
16 Jg
zu setzen.
Dabei liegt — für die verschiedenen Querschnittsformen zwischen
den Gh^nzen \ß und 2,4 und -^y kann alle Werte zwischen 0 ond
^ annehmen.
Mit Vorstehendem glaube ich den Beweis erbracht zu haben, dab
der Biegungspfeil bei der Knickung rechnungsmalsig bestimmt ist, nnd
zwar mit seinem mathematisch genauen Wert für vollkommen elastische
Stabe. Aber auch für unvollkommen elastische Stöbe muJs der rech-
nungsmäfsig hierfür gefundene Biegungspfeil als vollkommen genau
genug für alle praktischen Aufgaben angesehen werden, wenn die
Durchschnittswerte der Enickkoeffizienten fi, E und Tc^ ^mk dnrch
sachgemäfse Versuche mit den verschiedenen Baustoffen ebenso bestimmt
sind, wie es derartige Materialkoeffizienten für andere Belastungsarten
auch sein müssen.
Efslingen, im September 1901.
Die Horopterkurve. Von Fbbd. Schuh. 375
Die Horopterkurve.
Von Fbed. Schuh in Amsterdam.
Einleltmig.
Das Auge entwirft yon der Auüsenwelt auf die Netzhaut eine
eigentliche Perspektive, deren 2^trum der Knoten^nkt K des Auges
genannt wird. Wir nehmen jedenfalls als mathematische Idealisierung
an, dafs dies in strengem Sinne der Fall sei, indem wir von allen
störenden Einflüssen (sphärischer und chromatischer Aberration) absehen.
Auch nehmen wir an', dafs das Auge sich als starrer Körper bewegen
kann und dabei der Knotenpunkt fest bleibt (in Wirklichkeit liegt der
Knotenpunkt etwa 2 mm vor dem Augendrehpunkt). Dafs die Netz-
haut keine Ebene ist, kommt nicht in Betracht, weil wir nicht mit
Netzhautpunkten, sondern yielmehr mit Strahlen durch den Sjiotenpunkt
operieren werden, und der Netzhautpunkt uns nur als äufserer Orien-
tierungspunkt des betreffenden Strahles dient.
Unter allen Augenstellungen ist eine bestimmte bevorzugt, die wir
nach Listing die primäre Augenstellung nennen werden, während die
übrigen Stellungen sekundär heifsen. Beide Augen nehmen ihre primäre
Stellung ein, wenn wir, aufrecht stehend, horizontal geradeaus blicken,
die beiden Gesichtslinien also horizontal und senkrecht auf K^K^ ver-
laufen (£', und K^ sind die Knotenpunkte des link^i und des rechten
Auges).
Zwischen den Netzhautpunkten beider Augen, somit auch zwischen
den Strahlen durch JT, und JT^, besteht eine Korrespondenz. Nwr
lAchteindrückey die auf korrespondierende NetzhautsteUen faUen, werden
ds ein einstiger Eindruck wahrgenommen. Wir werden annehmen, dafs,
wenn beide Gesichtslinien parallel sind, auch die korrespondierenden
Strahlen durch K^ und K^ parallel sind, also die beiden Strahlenbündel
£j nnd K^ kongruent auf einander bezogen sind. Dafs dies aber nicht
genau der Fall ist^ hat Recklinghausen entdeckt; vielmehr gilt das
folgende Gesetz: Haben beide Augen ihre primäre Stellung, so liegen
korrespondierende Strahlen in derselben Ebene durch K^ und JT^,
während die Meridiane (Ebenen durch die Gesichtslinien) der korre-
spondierenden Strahlen gleiche Winkel mit den scheinbar vertikalen
Meridianen bilden; die scheinbar vertikalen Meridiane (die wir als
vertikal zu sehen glauben) weichen nach Helmholtz von den wirklich
vertikalen Meridianen um den Winkel P13' nach oben divergierend
ab. Die Beziehung zwischen den korrespondierenden Strahlen ist also
376 I^ie HoropterküTve.
nicht mehr kongruent; noch immer aber projektiv. Wir werden jedodi
in dem Folgenden an der kongruenten Beziehung festhalten.
Fixieren wir (ohne den Kopf zu bewegen) einen Punkt Fy den
wir FixoMonspunkt nennen, so richten wir die beiden Gesichtslinien auf F.
Donders und Meifsner haben gefunden, dafs, wenn dieselbe Lage der
Gesichtslinie zurückkehrt, immer das Auge dieselbe Stellung wieder
einnimmt. Bei festbleibender Gesicktslinie ist also eine Drehung um diex
Linie nicht imglich. Dieses Gesetz macht eine leichte Orientierung im
Gesichtsfelde möglich. Welche Stellung das einzelne Auge bei be-
stimmter Gesichtslinie einnimmt, wird durch das folgende von Listing
aufgestellte Gesetz angegeben: ,JHe Stellung des Auges in einer Sekundär-
Stellung unrd gefunden, wenn dasselbe aus der Primärsteüung in die
Sekundärstellung übergefUhrt wird, durch Drehung um eine Achse, wdcke
auf der primären und sekundären Richtung der Gesichtditne sevk-
reckt steht.^
Die Versuche von Donders und Meifsner hatten schon gezeigt^
dafs bei den Augenbewegungen die Literessen des binokularen Sehens
(möglichst viele Punkte einfach zu sehen) vielfältig verletzt sind.
Deshalb haben Fick und Wundt gemeint, dais das Gesetz der Augen-
drehungen gamicht von einem optischen Prinzipe, sondern nur von der
Bequemlichkeit der Augenmuskeln abhängen soll. Helmholtz dagegen
hat nachgewiesen, dafs andere optische Literessen den Ausschlag geben,
wie er sofort aus der Bildsamkeit des Muskelsystems vermutete; er bat
gezeigt, dafs das Listingsche Gesetz am meisten dazu geeignet ist, die
Orientierung möglichst sicher zu behalten, während der Fixationspnnkt
im Gesichtsfelde sich verschiebt, sodaüs wir, trotz des Wechsels der
Lichteindrücke auf die Netzhäute, die Objekte als ruhend anerkennen
(Prinzip der leichtesten Orientierung). Wir verweisen hierüber auf
Bd. II seiner Wissensch. Abb., worin er eingehend die Augenbewegungen
und seine Versuche zur Bestätigung des Listingschen Gesetzes bespricht
Durch den Fixationspunkt F ist die Lage beider Augen festgelegt
Die Raumpunkte, deren beide Bilder in korrespondierende Netzhant-
stellen fallen, liegen auf einer Kurve, die Horopter genannt wird. Ikr
Horopter ist also der Ort der Rcmmpunkte, die einfach gesehen toerdff^
Zu jedem Fixationspunkt gehört ein Horopter, Als Ort der Schnittpunkte
korrespondierender Strahlen der beiden projektiven Bündel £j und £r
ist der Horopter eine Baumkurve dritter Ordnung durch K^ und K^)
auch wenn man das Eorrespondenzgesetz von Recklinghausen kq
Grunde legt.
Wir werden die Beziehung der Strahlenbündel als kongruent an-
nehmen, und uns die Gestalt (Windungssinn) des Horopters klar n
Von Fbbd. Schuh. 377
machen versuchen. Es wird sich herausstellen, dafs im allgemeinen
der Horopter eine auf einem Kreiscylinder aufgerollte Tangenslinie ist
Wir werden hierbei sowohl mit elementar projektiv-geometrischen
Hilfsmitteln operieren, wie mit dem mehr abstrakten imaginären Eugel-
kreis. Doch können für das Verständnis die auf den Kugelkreis be-
züglichen Paragraphen 2 imd 5 des ersten Kapitels übergangen werden,
T^hrend in den anderen Paragraphen von diesen Dingen nur ganz bei-
ßufig die Bede sein wird.
Es ist klar, dafs der Horopter nur von der relativen Stellung
beider Augen gegen einander abhängt, also von der relaMven Drehung.
Darunter verstehe ich die Drehung des rechten Auges, die korre-
spondierende Strahlen parallel stellt. Nun giebt es oo' Fixationspunkte,
also oo' verschiedene relative Drehungen, wahrend im ganzen auch nur
oo' relative Drehungen möglich sind. Hiermit ist natürlich nicht
bewiesen, dals auch zu jeder relativen Drehimg ein Fixationspunkt
gehört, aber jedenfalls braucht diese Drehung dazu keinen Oleichheits-
bedingungen zu genügen, höchstens Ungleichheitsbedingungen.
Wir werden in dem ersten Kapitel annehmen, dafs alle relativen
Drehmigen möglich sind, und dann von dem Fixationspunkt vollständig
abstrahieren. In dem zweiten Kapitel werden wir dann die Frage be-
handeln, ob und wie aus dieser Drehung der Punkt F bestimmt werden
kann. Wir werden dabei unser Problem noch insofern idealisieren,
dafs wir auch hinter dem Kopf gelegene Fixationspunkte zulassen,
immer an dem Listingschen Gesetze festhaltend; hauptsächlich in den
beiden letzten Paragraphen wird von dieser Idealisierung die Bede sein.
Erstes Kapitel.
Beziehung des Horopters zur relativen Augenstellung.
8 L Braengping duroh kongruente Strahlenbündel.
Der Horopter ist bestimmt durch die relative Drehung, und diese
wieder durch die relative Drehungsachse a, und den relativen Drehungs-
winkel ß. Die beiden kongruenten Strahlenbündel betrachte ich als
zwei kongruente Ebenenbüschel, deren Trägerinnen ai und ar parallel
zu a durch Ki und Kr verlaufen, während jede Ebene dieser Büschel
einen Strahlenbüschel trägt. Die korrespondierenden Ebenen der
Büschel ai und ary die den Winkel ß einschliefsen, schneiden einander
in den Erzeugenden eines Kreiscylinders durch a< und ar> Der Horopter
ist also ein hubischer Kreis, d. h. er liegt auf einem Kreiscylinder. Die
Ebene E durch 0, den Halbierungspunkt der Strecke KiKr, senkrecht
378 I^ie Horopterkurve.
auf a, schneidet Oj und ar in Kl bzw. Kr, und den Ereiscylinder in
einem E^reise R durch Kl und f^; durch diese beiden Punkte wird der
Kreis B in zwei Segmente geteilt, einen eigentlichen Teil, der den
Winkel ß, und einen uneigentlichen Teil, der den Winkel x-ß
enthalt.
Fassen wir nun zwei entsprechende Ebenen ins Auge, die einander
in der Gylindererzeugenden k schneiden, wahrend k den Kreis R in F
schneidet. In diesen beiden Ebenen li^en zwei kongruente Strahlen-
büschel, die auf der Linie k zwei ähnliche Punktreihen ausschneiden,
und zwar mit positiver oder negativer Ahnlichkeitskonstante c, je
nachdem P' auf dem eigentlichen oder auf dem uneigenÜichen Teil
des Kreises R liegt. Beide Punktreihen haben im Endlichen ein^
Punkt P gemeinsam (aufserdem noch den unendlich fernen Punkt P^),
der auf der Horopterkurve liegt. In P schneiden sich zwei korre-
spondierende Halbstrahlen, oder ein Halbstrahl und die Verlängerung
des korrespondierenden, je nachdem c positiv oder negativ ist Dem-
entsprechend unterscheiden wir den eigentlichen und den uneig^Üichen
Teil des Horopters, die sich auf die Ebene E in den eigentlichen und
den uneigentlichen Teil des Kreises jR projiziereiL Die Schnittpunkte
der Medianebene, der Ebene, die KiKr senkrecht halbiert, mit dem
eigentlichen und dem uneigentlichen Teil des Kreises wollen wir mit
Ä und B bezeichnen.
Damit P ein Horopterpunkt sei, müssen KiP und KrP dieselbe
Neigung gegen E haben, also (Fig. 1):
P'P^KIK^ pp — k;k^
wobei die Vorzeichen von P'P, KlKt und Kr Kr zu beachten sind.
Projizieren wir jetzt P\ Kl und Ki. von Ä aus auf die Kreistangente
in B in die Punkte P", Kl' und Kr (Fig. 2), so folgt aus der Ähn-
lichkeit der Dreiecke AKIP' und AP"Ki einerseits, und der Dreiecke
AKP' und AP"Kr andrerseits:
KIP' : Kl'P" = KP' : K'r'P".
Die Bedingung für P wird also, wenn man beachtet, dab
KKr KlKi ist:
P'P{KrP" - Z/P") = KlKiiKrP" + Kl'P")
oiLer,d&Ki: P" ^KiB+BP" xmAKr P^KrB + BP''^^Kl'B+BP"
bW' ~ BK" ™ Constans .
Von Fbed. Schuh.
379
HierauB sieht man, dafs die Kurve durch B geht, und die Linie l durch
Ä senkrecht auf der Ebene E Asymptote ist. Die obige Formel drückt
aas, dafs die Projektion der Soropterkurve auf eine Ebene durch B senk-
rechi auf BA mittdst der Asymptote l eine Gerade ist^ und snoar die
Kurventangente in B. Unter dem Projizieren mittelst l ist verstanden,
daTs man das Lot, yon P aus auf l geföUt, mit der betreffenden Ebene
zum Schnitt bringt. Auch auf eine beliebige Ebene senkrecht auf BA
projiziert sich die Kurve mittelst l in eine Gerade, die Sekante der Kurve
ist; speziell in KiKrj weim man die Ebene durch KiKr hindurchlegt (Fig. 1).
Wenn von der Kurve der Kreiscylinder, der Punkt B und die
Tangente in JS, die willkürlich angenommen werden können, bekannt
Fig. 1.
Flg. S.
sind, so kann man ihre Punkte konstruieren. Man bestimmt erst den
Punkt A (al4 Oegenpxmkt von B)^ also die Asymptote {; aus einem
Punkte der Tangente in B fallt man das Lot auf Z, das den Kreis-
cylinder in einem Kurvenpunkt schneidet. Hieraus folgt, dafs die Ge-
stalt des Horopters nur von dem Winkel y abhängt, den die Tangente in
B mit der Ebene E (senkreckt OMf l) bildet; wir werden y die Steilkeit
des Horopters neimen. Seine absoluten Dimensionen sind dann weiter
dem Badius r des Kreiscylinders proportional. Ist y =» 0 d. h. KlKi «0,
80 zerfallt der Horopter in den Kreis jR und die Oerade {.
Die Hohe P'P des Punktes P über die Ebene E lalst sich leicht
durch den Winkel P'AB = q> ausdrücken, nämlich:
P'P = 2r.tg9>.tgy.
Hieraus folgt, dafs^ wenn man den Cylinder dburickeU, der Horopter, von
380
Die Horopierkurve.
Pig. s.
konstanten Faktaren abgesehen, eine Tangenslinie wird. Von B ab neigt
sich di^ Kurve immer starker gegen E.
Aus dem Vorhergehenden sieht man: Die Linie AB durch 0
senkrecht auf KiKr und auf der rdaÜven Drehungsachse ist eine sm-
zählige Symmetrieachse der Kurve, Dies geht auch sofort daraus herror^
dafs, wenn ich beide Strahlenbändel durch den Winkel ä um Bi
drehe, ihre relative Stellung sich nicht ändert.
Es ist klar, dafs Ki und Kr keine aus-
gezeichneten Punkte der Horopteikurve sind.
WähU man zwei andere^ zu BA sgmmeirisd
gelegene, KurvenpunJUe als Scheitel zweier
StrcMenbündd, so sind diese Bündel dwrch
die Kurve immer noch kongruent auf ein-
ander bezogen. Unsere Kurve ist also oo*
Mal als Horopter aufzufassen.
Hieraus ist leicht die Tangente in
einem Punkte P der Kurve zu bestimmen.
Dazu wähle ich P und den symmetrisch
gelegenen Punkt Q als Scheitel der er-
zeugenden StrahlenbündeL Mit QP, ab
Strahl des Bündels Q, korrespondiert die
Tangente in P als Strahl des Bündels P,
also haben QP und die Tangente in P die-
selbe Neigung gegen die Ebene E. Die
Tangente mufs auch noch den Kreiscjlinder
berühren, und ist damit also festgel^
Man kann die Konstruktion der Kurven-
punkte und -tangenten in eine Konstrat
tion vereinigen. Durch Ki ziehe ich die
Crerade h, die die Asymptote l senkrecht
schneidet, und durch einen Punkt C von BA
eine h schneidende Gerade, senkrecht auf
BA; diese Gerade schneidet den Cylinder
in zwei Kurvenpuhkten P und Q, während die Tangenten in P md Q
dieselbe Neigung gegen E haben wie CP. (Fig. 3.)
In Fig. 3 ist die Horopterkurve gezc^ichnet. Ki ist oberhalb, Kr
unterhalb der Ebene E angenommen, und dementsprechend ist die Kurve
links geumnden (wie eine linkshändige Schraube); liegt Ki unterhalb E,
so ist die Kurve rechts gewunden. Das Kurvenstück KiBKr ist der
uneigentliche Teil des Horopters.
Von Frbd. Schuh. 381
8 2« Besiehnng des Horopters sum Kngelkreis.
Der Horopter zeiclinet sich von der aUgemeinen Baumknrye dritter
Ordnunir (7. aus durch die Lacre seiner unendlich fernen Punkte firesren
d» ^^ K^ft». C;^,,. K™^ ta d», j* K.g.1 d J. die
unendlich ferne Ebene E^ geschnitten wird. Die beiden kongruenten
Strahlenbündel schneiden E^ in zwei kongruenten Punktfeldem, deren
drei gemeinschaftliche Punkte die Schnittpunkte des Horopters mit E^
sind. Diese kongruenten Punktfelder sind aufzufassen als projektive
Ponktfelder^ bei denen der Eugelkreis C^ sich selbst entspricht.
Aulserdem ist dasselbe der Fall mit dem unendlich fernen Punkt P^
00
der relativen Drehungsachse a. Die Tangenten Ton C^ *durch P^ ent-
sprechen entweder sich selbst, oder einander gegenseitig. Das letzte ist
aber ausgeschlossen, weil man durch eine Drehung um a beide Punkt-
felder stetig in einander überführen kann, und also nicht plötzUch das
gegenseitige Entsprechen der Tangenten durch P^ auftreten kann.
(Das gegenseitige Entsprechen hat man, wenn die Punktfelder nicht
kongruent, sondern symmetrisch sind.) Also entsprechen P^ und die
beiden Berührungspunkte 2\ und T^ der Tangenten durch P^ an C^
sich selbst und sind deshalb die Schnittpunkte des Horopters mit E^.
Xün ist aber T^T^ die Polare yon P„ in Bezug auf C,, liegt also in
einer Ebene senkrecht auf der relativen Drehungsachse a. Da nun
7i und T^ die beiden Ereispunkte dieser Ebene sind, so hat man:
Der Horopter geht durch die beiden Kreispunkte der Ebene, die
senkrecht steht auf der eimigen reellen Asymptote.
Wir werden sofort seh^i, dafs auch umgekehrt jede C,, die E^
in den genannten Punkten schneidet, als Horopter aufzufassen ist.
Wir werden unser Resultat reell zu interpretieren yersuchen. Wenn
man durch die Horopterpunkte parallel zu a Geraden zieht, bekommt
man einen Cylinder zweiter Ordnung, und zwar einen Ereiscylinder,
da die unendlich ferne Gerade einer Ebene senkrecht auf a den
Cylinder in den beiden Ereispunkten dieser Ebene schneidet. Wir
finden also wie früher, dafs der Horopter auf einem Ereiscylinder ge-
legen ist. Das sagt aber nicht so viel aus wie die Bedingung, dals
der Horopter durch die Ereispunkte der zu a senkrechten Ebene geht.
Wenn ich nun aber noch die Bedingung hinzufüge, dafs die unendlidi
ferne Gerade m einer Ebene senkrecht auf a Sekante der Kurve ist, so
muls die Eurve notwendig durch die Ereispunkte dieser Ebene hin-
durchgehen. Wir müssen also die reelle Bedeutung dayon suchen, dafs
eine reelle Gerade m Verbindungslinie zweier konjugiert -imaginären
Punkte einer. C, ist. Das werden wir erst für eine beliebige C^ thun.
382 ^e Horopterknire.
Wir konstroieren dazu mit dem Eurvenpunkt S ab Spitze den
Kegel zweiter Ordnung durch die C,; die Eegelerzeugende l ist dann
Sekante der Kurve. Weiter konstruieren wir die geradlinige Flicke F
durch C^, l und m, die Linie, von der untersucht werden soll, ob sie
Sekante Ton C^ ist. Nur wenn m Sekante ist, ist die Flache F zweiter
Ordnung {F^). (Sind l und m keine Sekanten, so ist F sechster
Ordnung; jeder Schnittpunkt Ton l oder m mit C, erniedrigt ihre
Ordnung um eins.) Sei nun m eine Sekante; F^ entsteht, wenn man
durch jeden Kurvenpunkt P die Gerade g zieht, die l und m schneidet
Ist g^ eine dieser Linien durch P^, und legt man durch g^ eine be-
liebige Ebene^ so schneidet diese die Flache JP2 in einer zweiten
Geraden n. Weil nun der yollstandige Schnitt von F^ mit dem Kegel
die Gerade l und unsere Kurve (7, ist, so schneidet n den Kegel in
zwei Punkten von C^. Ich kann also n definieren als die Yerbindongs-
gerade der beiden Punkte Q^ und Q^^ die die Ebene durch g^ auCaer P^
noch mit C^ gemeinsam hat. Die Flache F^ ist durch die Erzeugenden
Z, m und n desselben Systems bestimmt; sie enthalt die Kurve C|.
Liegt nun umgekehrt (7, auf der Fläche zweiter Ordnung durch I, m
und n (n als Yerbindungsgerade von Q^ und Q^ aufgefaCst), so ist im eine
Sekante von C,; denn jede Erzeugende von F^ schneidet den voll-
standigen Schnitt (l und Cg) von K^el und F^ in zwei Punkten; da
nun die Erzeugenden des Systems Z, m, n die Gerade l nicht schneiden,
schneiden sie C^ zweimal. Die Insndme von C^ mit der Fläche mveUer
Ordnung durch l, m und n ist also das Kriterium dafUry dafs m etn^
Sekante (mü reeäen oder Tconjugiertrimaginären Schnittpunkten) von C, ist
Wir wenden das Gefondene auf unsere Horopterkurve an. Als
Spitze des Kegels wählen wir den reellen unendlich fernen Punkt P^
des Horopters, als Sekante l die reelle Asymptote; die Linie i», für
die die Bedingung gesucht wird, dalis sie Sekante ist, ist die unendheh
ferne Gerade der Ebene senkrecht auf Z. Die Geraden g sind die
Lote aus Kurvenpunkten P auf die Ajsymptote Z; lassen wir P dem
unendlich fernen Punkt P^ sich nähern, so wird die Gerade die unendlich
ferne Gerade g^ einer Ebene E^j die den Kreiscylinder längs Z berahri.
Durch g^ legen wir eine Ebene, die C, in zwei Punkten schneidet,
deren Verbindungslinie n ist; n ist also eine Sekante, parallel zu £1-
Die Fläche zweiter Ordnung durch Z, m, n (die entsteht, wenn man
aus den Punkten von n die Lote auf Z fällt) enthält die Kurve (7,, d. h.
C^ projiziert sich mittelst Z auf eine Ebene parallel zu jE| in eine
Gerade, die C, in P und Q schneidet. Die Gerade, die PQ senkrecht
halbiert und Z senkrecht schneidet, ist eine Symmetrieachse der Karre.
Wir haben früher gesehen, dals (7, zwei Strahlenbfindel, deren Scheitd
Von Fbbd. Schuh. 383
symmetrifich zn dieser Achse liegen^ kongruent auf einander bezieht.
Also finden wir
Jede C^^ die durch die beiden Kreispunkte einer Ebene senkrecht auf
der reellen Asymptote geht^ ist auf oo^ Weisen als Horopter zu betrachten.
Die Tangenten in den beiden Ereispunkten schneiden die Achse
des Ereiscylinders in zwei symmetrisch zu E gelegenen Punkten^ die
von E eine Entfernung + » • 2rtgy = + ^/-^ • ♦ ' c*gi/ä haben; E
ist die im ersten Paragraphen betrachtete Ebene.
t 8. Versohiedene FKUe bei der Brsengung nach t 1.
Wir werden in diesem Paragraphen die verschiedenen besonderen
Fälle, die möglich sind, au&ahlen; diese zeichnen sich aus durch den
relativen Drehungswinkel ß^ und die Lage ^er relativen Drehungsachse.
Der Winkel ß kann sein;
A ß von Null und tc verschieden.
B. ß^O.
C. /J = Ä.
Die relative Drehungsachse a kann zu KiKr die folgenden Lagen
haben:
I. a nicht senkrecht oder parallel zu KiKr.
U. a senkrecht auf KiKr.
in. a parallel zu KiKr^
Die Fälle A, B und G sind mit jedem der Fälle I, II und III zu
kombinieren. Nur ist zu bemerken, dafs in dem Falle B die relative
Drehungsachse unbestimmt ist, und also BI, BII und BUI identisch
sind; deshalb schreiben wir dann nur B. Die verschiedenen FäUe
sind nun:
AI. Der allgemeine Fall (in den beiden ersten Paragraphen be-
handelt).
An. Der Horopter zerfallt in einen Kreis durch Ki und Kr in
einer Ebene senkrecht auf a, und eine zu a parallele Gerade, die den
Kreis in dem Punkte A der Medianebene trifft. Das Segment K^BK^
{B ist der Gtegenpunkt von A) ist der uneigentliche Teil des Horopters.
Am Die Kurve zerfallt in die Gerade KiKr und zwei auf KiKr
senkrecht stehende Geraden in Ebenen durch KiKry die den Kugelkreis
berühren (Minimalebenen). Diese Geraden schneiden KiKr in zwei zu
0 (dem Halbierungspunkt von KiK,) symmetrisch gelegenen Punkten,
die von 0 den Abstand ± i • OKi • c\^\ß haben. Die Strecke KiKr
ist der uneigentliche Horopterteil.
384 I)io Horopterkurve.
B. Der Horopter zerfallt in die ganze unendlich ferne Ebene und
die Gerade KiKr, die Strecke KiKr als uneigentlichen Teil
CL Die Kur7e zerfallt in die unendlich ferne Gerade einer zu
a senkrechten Ebene^ und eine gleichseitige Hyperbel in der Ebene
durch Kl Kr parallel zu a. Beide Asymptoten der Hyperbel gehen durch
0, die eine parallel zu a, die andere senkrecht darauf. Nur die Stücke
der Hyperbel zwischen den Knotenpunkten und dem unendUch fernen
Punkt von a gehören zu dem eigentlichen Teil des Horopters.
GH. Dieser Fall ist als Spezial&U; sowohl yon AH als von CI
anzusehen. Der Kreis des Falles AH artet in die Gerade KiKr und
die unendlich ferne Gerade der Kreisebene aus-, die zu a parallele
Gerade geht nun durch 0. Andrerseits artet* die Hyperbel des Fallea
Gl in die Gerade KiKr und die zu a parallele Gerade durch 0 ans.
Die Kurve zerfallt also jetzt in drei Oeraden^ die weder durch einen
Punkt gehen, noch in einer Ebene liegen, wahrend eine dieser Geraden,
nämlich KiKry die beiden anderen schneidet. Der eigentliche Teil des
Horopters ist die Strecke KiKr, und die Gerade durch O parallel zu a.
CHI. Nun ist vollständige Symmetrie um KiKr herum vorhanden.
Der Horopter zerföllt in die Gerade KiKr und die ganze Medianebene;
der eigentliche Teil ist die Strecke KiKr,
i 4« BrBGUgung durch Strahlenbündel von beliebigen
Kurvenpnnkten ans.
Wir koimen den Horopter auch als Ort der Schnittpunkte zweier
projektiven Strahlenbündel auffassen^ deren Scheitel beliebige Knrfen-
punkte Pi und P^ sind. Die Frage ist, wie diese Projektivi1»fc be-
schaffen sein muTs. Ich behaupte, dafs die Umformung, die die Strahlen
des Bündels P^ parallel zu den entsprechenden Strahlen des Bündek
Pi stellt, aus folgenden zwei Operationen zusanmiengesetzt ist:
1. Einer Drehung durch den Winkel ß um die Achse a,
2. Einer Dilatation mit der Konstanten a und dersdben Achse a.
Unter einer Dilatation mit der Konstanten a und der AAse a
verstehe ich die affine Transformation mit P, als Fixpunkt, die (wenn
wir P, als Koordinatenanfangspunkt und a als Z-Achse annehmen)
durch
x'^x, y'^y, z'-^ag
dargestellt wird.
Diese Drehung und Dilatation sind vertauschbar. Weiter ist zu
bemerken, dafs, wenn wir nur Yollstrahlen in Betracht ziehen; eine
Drehung durch den Winkel 7t und eine Dilatation mit derselben Achse
Von Fbbd. Schuh. 385
und der Konstanten — 1 identisch sind, sodaTs man a positiv an-
nehmen kann.
um nnsere Behauptung za beweisen, werden wir zeigen, dafs die
Kurve, die als Schnitt der beiden projektiven Strahlenbündel heraus-
kommt, identisch mit dem Horopter ist. Dazu betrachten wir wieder
das Strahlenbündel als bestehend aus einem Ebenenbüschel mit einer
Achse parallel zu a, in dessen Ebenen Strahlenbüschel gelegen sind.
Die Schnittlinien entsprechender Ebenen büden einen Ereiscylinder
durch die Geraden a^ und a^, durch P^ bzw. P, parallel zu a. Wir
bringen senkrecht auf a eine Ebene E' an, die cl^ und Oj^ in Pi und
Ps, den Kreiscylinder in einem Kreise i2', durch F'x und Pg, schneidet,
der ß als Peripheriewinkel über T[F% enthält. Sei nun P ein Kurven-
pnnkt, P' seine Projektion auf E'y so hat man vermöge der projektiven
Beziehung der beiden Strahlenbündel
P'P^PjP^ P'P—PjP'
P[P* "" " P^P*
d.h.
^.^ a PjP, ^ PjP' - PjP, PjP'
^ ^ — a . p^p' — p^p' f
wenn P' auf dem Kreissegment liegt, das den Winkel ß selbst enthält
(sonst mufs man a durch — a ersetzen). Die Vorzeichen von P'P,
P'^P^ und P^P^ sind genau zu beachten.
Liegt P' auf dem Kreissegment mit dem Winkel /}, und ist
P'P'
p.pi^^Uj so wird P'P =00. Wir konstruieren also die Asymptote,
indem wir auf diesem Kreissegment den Punkt Ä so bestimmen, dafs
P' Ä'
-prj» = c wird. Weiter suchen wir auf dem Kreise JB' den Gegenpunkt
B' von A' und projizieren P', P[ und P^ von A' aus auf die Kreis-
tangente in f in die Punkte P", P[, und P^' . Aus der Ähnlichkeit
von Dreiecken folgt nun:
H H =» ^ ' -O- JTi ^ "P' jy -^g -^ ' ^ Xg
-tj-t A' P** ' 2 A' P**
also, wenn man beachtet, dafs a - P[A' = P'^A' ist,
p'T>^ P«fi ' PiP" - ^1 A P2^P"
Man überzeugt sich leicht, dafs diese Formel giltig bleibt, wenn P'
auf dem Kreissegment liegt, dals den Winkel n — ß enthält. Nun ist
aber weiter P;P" ^ B'P" - B'P^ und P'^F' - B'P" - B'P'; also:
P' P -- W P" . '^«•^« — Pifi I -PiPj • ^'Pj' — -Pj-P» • B'Pl'
ZttiUehiifi f. Mathematik n. Pbytik. 47. Band. IM». 8. n. 4. Heft. 26
386 ^^ Horopterkarve.
d. L
worin p tind q Ton der Lage von P unabhängige Eonstanten bedeuten.
Nimmt man P' in JB', also P in JP, so ist B'F" = 0, also B'B = q.
Legt man die Ebene E durch jB, so wird g » 0; ich nenne die Ebene
E' dann £^ und die Punkte Ä' und jB' entsprechend A und £. Ans
g = 0 folgt p!-p* = „-^, also:
P'P
BP
r* = Constans == -^pÄ = ^pr, ;
hieraus liest man ab, dals die Eur^e sich mittelst der Asymptote auf
eine Ebene durch B senkrecht auf ^jB als eine Gerade projiziert,
womit die Identität mit der Horopterkurre nachgewiesen ist
Sind P^ und P, beliebig auf der Emre angenommen, so ist die
Achse der Drehung und der Dilatation parallel zur Asymptote, der
Drehungswinkel ß ist der Winkel des Ereiss^ments P^AP^, und die
ÄP'
Dilatationskonstante a ist gleich -7^*
g 5. Bestimmniig der Frojektivität des 8 4 mit Hilfe des
Kngelkreises.
Man kann die projektive Beziehung, die die Eurve zwischen den
beiden Strahlenbündebi P^ und P, festlegt (P^ und P, beliebige
Eurvenpunkte) auch aus der Betrachtung des Eugelkreises finden. Denn
beide Strahlenbündel schneiden die unendlich weite Ebene E^ in zwei
OD
projektiven Punktfeldem, deren sich selbst entsprechende Punkte die
Schnittpunkte der Eurve mit E^ sind, also der reelle unendlich
ferne Punkt P^ , und die Berührungspunkte T^ und T^ der Tangenten
durch P^ an den Eugelkreis C^. Bei der projektiven Umformung geht
C^ in einen Eegelschnitt C^ durch 2\ und T^ über, der ebenfalls P^T^
und P^ T^ zu Tangenten hat, aber im allgemeinen von C, verschieden
ist. Man kann nun die Umformung in E^ aus zwei Teiloperationen
zusammensetzen, nämlich aus:
1. Einer Umformung, bei der P^ und der Eugelkreis in sich selbst
übergeführt werden, nicht aber alle Geraden in E^ durch P^ ; dies ist
eine Drehung um eine Achse durch P^.
2. Einer Umformung bei der alle Geraden in E^ durch P^ und
auljBerdem die beiden Punkte 2\ und T^ in sich selbst übergeführt
werden, also auch sämtliche Punkte der Geraden T^T^] der Eugelkreis
C^ wird aber in C^ umgeformt.
Von Fksd. Schuh. 387
Diese zweite Projektivitat ist aber nichts anderes als die in § 4
betrachtete Dilatation. Denn man sieht leicht ein, dafs beide Teil-
operationen vertanschbar sind, woraus sofort folgt, dafs die zweite
ümfonnong symmetrisch nm eine Achse a durch P„ ist; weiter gehen
Geraden senkrecht und parallel zu a in sich selbst über, woraus unsere
Behauptung leicht abzuleiten ist.
Umgekehrt sieht man auch sofort ein, dafs, wenn die Projektiyitat
zwischen zwei Strahlenbündeln aus einer Drehung und einer Dilatation
mit derselben Achse besteht, der Ort der Schnittpunkte entsprechender
Strahlen als Horopter au&ufassen ist. Denn dieser Ort sdmeidet E^
in P^ und den Berührungspunkten 7\ und T^ der Tangenten durch
P^ an Q; dann ist die Emre aber, wie in § 2 gezeigt worden ist,
eine Horopterkurve.
8 6. Einer der beiden Scheitel ist ins XXnendliohe gerüokt.
Die Horopterkurve kann auch erzeugt werden durch ein Strahlen-
btlndel P^ mit einem im Endlichen gelegenen Scheitel, und ein Bündel
P^, dessen Scheitel ins Unendliche gerückt ist. Die projektive Be-
ziehung kann man entweder selbständig ableiten, oder durch einen
geeigneten Ghrenzübergang aus dem Falle beliebiger Scheitel finden,
indem man gleichzeitig P, ins Unendliche rücken, und a gleich Null
werden labt. Das Resultat ist, dafs die Projektivitat sich aus den drei
folgenden, mit einander vertauschbaren Teiloperationen zusammensetzt:
1. Einer Translation, die P^ auf die Asymptote l fährt.
2. Einer Drehung des Bündels P^ durch den Winkel ß um die
Asymptote l,
3. Einer Perspektivitat mit einer Perspektivitatsebene senkrecht
auf {, die eine Entfernung d von P^ hat.
Die Projektivitat ändert sich nicht, wenn man gleichzeitig ß durch
Ä + /8 und ä durch — d ersetzt.
Umgekehrt ist auch der Ort der Schnittpunkte entsprechender
Strahlen bei zwei Bündeln, zwischen denen die geschilderte Beziehung
besteht^ als Horopter aufzufassen.
Es läfst sich auch leicht angeben, wie ß und d aus der Kurve zu
entnehmen sind. Sei P^ die Projektion von P^ auf die öfters be-
trachtete Ebene E, die die Asymptote in Ä, den Ereiscylinder in dem
Kreise R schneidet. Der Winkel ß wird sofort aus dem Kreissegment
P^A entnommen. Für d findet man:
» ® ' COS ß
26 •
388 I)ie Horopterknrve.
Hierin ist y die Steilheit des Horopters, und P," die Projektion von Pj
Ton A aus auf die Kreistangente in H, Die Vorzeichen Ton i und
T<^T[ sind zu beachten.
§ 7. Besondere Fälle bei den Eneiigungsweisen der H ^ und 6.
Wir haben gesehen, dafs die Horopterknrve entsteht als Ort der
Schnittpunkte entsprechender Strahlen zweier Strahlenbündel, zwischen
denen die in § 4 geschilderte projektive Beziehung besteht Für den
Fall, dals P^ und P^ beide im Endlichen gelegen sind, könnten wir
wieder eine ähnliche Au&ählung der verschiedenen Fälle machen, wie
wir dies in § 3 f£lr den Fall zweier kongruenter Strahlenbündel gethan
haben. Insbesondere ist zu beachten, dals wir auch die Ausartungsfalle
a = 0 und a = oo betrachten können; wir haben es daim mit einer
ausgearteten Dilatation zu thun, bei der es Strahlen des einen Böndels
giebt, denen unendlich viele Strahlen des anderen Bündels entsprechen.
Die Fälle a « 0 und a = oo gehen durch Yertauschung von P^ und Pj
in einander über, sind also als identisch zu betrachten.
Die Au&ählung liefert dieselben Fälle, die wir in § 3 bekommen
haben, nur nicht den Fall J?; aufserdem bekommen wir noch um in
§ S nicht vorkommenden Fally dafs a = 0, ^ von NuU und x verschieden
und die Drehungsachse a paraJlel zu PiP^ ist. In diesem letzten Falle,
den wir mit (AIII)' bezeichnen wollen, besteht die Kurve aus der
Geraden PiPj, und den beiden Minimalgeraden durch P^ in einer
Ebene senkrecht auf PiPj.
Auch könnten wir dieselbe Au&ählung machen für den in § 6
betrachteten Fall, dafs P^ ins Unendliche gerückt ist. Die besondere
FäUe bestehen jetzt darin, dafs ß gleich Null oder gleich ä wird, dafs
Pi auf der Asymtote l (der Strahl des Bündels P^, der parallel zn
seinem entsprechenden Strahle des Bündels P^ ist) liegt, und schliefslich,
dafs d » 0 oder ä =» cx> wird; in den beiden letzten Fallen, die nicht
mit einander identisch sind, artet die dritte Teiloperation des § 6, die
Perspektivität, aus. Wir bekommen wieder die in § 3 aufgezählten
Fälle, nur nicht den Fall AIH. Aufserdem bekommen wir noch den
oben betrachteten FaU (AIH)' (wenn P^ auf l Uegt, ß von NuU und
3t verschieden, und d^ oo ist), und den hier zuerst auftretenden FaUy
dafs d = (x> und ß von Null und % verschieden ist. In diesem letzten
Falle, den wir mit (Aul)" bezeichnen werden, ist von l nur die
Richtung bestimmt, sodafs es gleichgültig ist, ob wir P^ auf { annehmen
oder nicht; die Kurve besteht aus der Geraden durch P^ parallel zu /,
und den unendlich fernen Geraden der beiden Minimalebenen durch / (den
Tangenten durch P^ an den Kugelkreis), also aus drei Geraden durch P^.
Von Fred. Schuh. 389
§ 8. ZuBammenfasBnng aller versohiedenen Fälle.
Zusammenfassend haben wir bei den drei Erzeugungsarten Ton
§ 2, 4 und 6 die folgenden 9 Falle bekommen:
AI, AH, Ain, B, CI, Cn, cm, (AIII)' und (Ain)",
die wir wie folgt einteüen können:
1. Nicht ausgeartete C,. Dies ist der Fall AI.
2. Ausartungen in einen Kegelschnitt C^, und eine den Kegelschnitt
schneidende Gerade, die senkrecht auf der Ebene Ton C^ steht.
Das ist der FaU All ((7, ist ein Kreis) und der FaU CI (C^ ist
eine gleichseitige Hyperbel, und die Gerade die unendlich ferne Ge-
rade einer Ebene senkrecht auf einer ihrer Asymptoten).
3. Ausartungen in drei Gerade, von denen nur eine die beiden anderen
schneidet, und zwar senkrecht. Das ist der Fall CII (zwei senk-
recht auf einander stehende Gerade und die unendlich ferne Gerade
der auf einer dieser Geraden senkrecht stehenden Ebene) und der
FaU AIII (eine reelle Gerade l und zwei auf l senkrecht stehende
Minimalgeraden, die l in zwei konjugiert-imaginären Punkten schneiden).
4. Ausartungen in drei durch einen Punkt gehende Gerade, Ton denen
zwei kongugiert-imaginar sind in einer Ebene senkrecht auf der
dritten Geraden. Das ist der Fall (AIII)' (eine reelle Gerade l und
die beiden Minimalgeraden durch einen Punkt yon Z, in einer
Ebene senkrecht auf t) und der Fall (AIII)" (eine reelle Gerade
und die Tangenten aus dem unendlich fernen Punkt dieser Geraden
an den Kugelkreis).
5. Ausartungen in eine Gerade und eine senkrecht darauf stehende
Ebene. Das ist der Fall CIII (Ebene und Gerade sind beide im
Endlichen gelegen) und der Fall B (eine im Endlichen gelegene
Gerade und die unendlich weite Ebene).
Zweites Kapitel.
Beziehung zwischen dem Fixationspunkt und der relativen
Augenstellnng.
§ 1. Bestinunung der relativen AugenBtelliing
auB dem Fixationspunkt.
Während wir in dem vorhergehenden Kapitel den Fixationspunkt F
gar nicht in Betracht gezogen, vielmehr jede relative Augenstellung als
möglich angenommen haben, werden wir jetzt die Frage beantworten,
wie aus F diese relative Augenstellung zu bestimmen ist. Dazu werden
390 I^ie Horopterkmre.
wir erst die Achse a und den Winkel ß der Drehung bestimmen, die
das einzehie Auge aus der Stellung I in die Stellung 11 bringt Die
SteUungen I und H mögen durch die Drehungen ß^ und ft um die
Achsen a^ und a^ aus der primären Augenstellung herroi^^egangen sein;
diese Drehungen stellen wir symbolisch durch (ct^, ß^) und (a^ ß^) dar.
Die Drehung (a, ß) aus der Stellung I in die Stellung IE kann ich so
ausführen, dafs ich erst das Auge in seine primäre Stellung drehe, und
dann weiter in die Stellung IE; also wird diese Drehung
(a, /8)«(a^ A)-'-(«^, A).
Es ist aber leicht, das Produkt beider Drehungen durch eine einzige
Drehung zu ersetzen, und so a und ^ zu bestimmen. Man findet dann
als direkte Folgerung des Listingschen Gesetzes:
Sind n^ und n, die beiden Gesichtslinien in den Stellungen I und 11,
n die primäre GresidUdinie, aUe durch den Knotenpunkt K gehend, und
sind KDi und KD^ die Halbierungslinien der Winkel etmschen n und
n^ bezw. n und n^ (n, n^ und n, cds Halbstrahlen betrachtet), so städ
die Achse a senkrecht auf der Ebene durch KD^ und KD^, und der
Winkel ß ist der doppelte Winkel D^KD^, im Sinne einer Drehmg
von KB^ nach KD^.
Diese selbe Regel kann man auch benutzen, um zu finden, wieriel
beide Augen gegen einander gedreht sind, wenn ein Punkt F fixiert
wird. Man hat dann erst durch eine Translation beide Knotenpunkte
in einen Punkt zu bringen, für den wir den Halbierungspunkt 0 der
Strecke KiKr 'v^hlen. Man findet dann die relative Drehungsachse a
und den relativen Drehungswinkel ß folgendermaTsen aus dem Fixations-
punkt F:
Durch F ziehe man eine zu KiKr parallele Gerade^ auf der man
die Punkte Fi und Fr so konstruiert, dafs (auch was das Vorzeidien an-
geht): FFi ^KiO und FFr « KrO, Ist ON eine zur primären Gt-
sichtsUnie parallele Gerade du/rch 0, und sind OHi und OEr die
Halbierungslinien der Winkel zwischen ON und OFi bezw. OFr (ONj
OFi und OFr als Halbstrahlen aufgefafst), so steht die Ebene HiOEr
senkrecht auf der relativen Drehungsachse a (sie ist also die öfters he-
trachtete Ebene E)j und der relative Drehungswinkel ß ist gleich 2^HrOH\
{von OHr nach OHt) (Fig. 4).
Der Kreis R durch J?", Kl und JC, die Projektionen von Fy Ki
und Kr auf E, bestimmt den Kreiscylinder, auf dem der Horopter
liegt. Die Punkte A und B konstruieren wir daraus, dafs A OB ein
Durchmesser des Kreises B ist; A^ auf dem Segment KlF'Ki- gelegen,
bestimmt die Asymptote.
Von Fbbd. Schuh.
391
Fig. 4.
Stehen wir aufrecht^ so wird unser Gesichtsfeld durch die
Hori0ontai^)ene (die horizontale Ebene durch Ki und Kr), und die
Mediand)ene (die Halbierungsebene der Strecke KiKr) in yier Qua-
dranten geteilt, die wir durch die Worte links-oben, links-unten, rechts-
oben und rechts-unten unterscheiden.
Die primäre Gesichtslinie beider
Augen lauft zu der Schnittlinie ON
Ton Horizontal- und Medianebene
paraUeL Liegt nun F links- oben,
so ist OFi<OFr, und, wenn N, Hi
und Hr in einer Ebene durch F
senkrecht auf der primären Oesichts-
linie liegen (Fig. 4):
NHr.HiFi^ON.OFi
und
NHrlHrFr^ONlOFr.
also ^'
>
Wf
r r
woraus man sieht, dafs Ki oberhalb. Kr unterhalb E liegt. Wir haben
in § 1, Eap. 1 aber gesehen, dafs die Kurve dann links gewunden
ist, also:
Liegt der Fixationsptmkt links oben, so ist der Horopter links ge-
wunden.
Welchen Windungssinn der Horopter bei anderen Lagen von F
hat, sieht man sofort aus Symmetriebetrachtungen. Liegen zwei
Fixationspunkte F^ und F^ symmetrisch zu der Horizontalebene, zu
der Medianebene, oder. zu der Schnittlinie dieser beiden Ebenen, so ist
dasselbe auch der Fall mit den zugehörigen Horopterkurven; diese
haben also in den beiden ersten Fallen verschiedenen, in dem letzten
Falle denselben Windungssinn.
8 2. Bestünmnng des FixationspunkteB aus der relativen
Augenstelliing.
In diesem Paragraphen werden wir die umgekehrte Aufgabe lösen,
nämlich den Fixationspunkt F aus der relativen Augenstellung zu be-
bestinunen. Die Ebene E durch 0 senkrecht auf der relativen Drehungs-
^hse a ist dann bekannt; die Linien OHt und OHr i^ E aber nicht
(ich weils vorläufig nur, dafs sie den Winkel \ß mit einander bilden).
Nimmt man OHi irgend wie in E an, so findet man OFi durch eine
392 Die Horopterkiurve.
Drehung % um OH, (ON und OF, sind Halbsia-ahlen). Läfst man OHi
die Ebene E durcklauferiy so durchläuft OFi einen RoicUionskegd 1 durch
ONy der die durch 0 gehende Normale a von E zur Achse hat; denn
bei der Drehung durch x um OHi geht a in sich selbst^ ON in OFi
über; der Winkel zwischen OFi und a ist also gleich dem Winkel
zwischen ON und a, also konstant. Dieser Kegel 1 mufs ab Halb-
strahlenkegel aufgefafst werden; er enthalt die Verlängerung von OH
(nicht den Halbstrahl ON selbst).
OFr liegt auf demselben Halbkegel, und wird durch eine Drehung
um a durch ß (den relativen Drehungswinkel) in OFt übergef&lut.
Legt man eine Ebene f durch OF, und OFr, niid laDrt OFi den
Kegel 1 durchlaufen (wobei ^ durch die Beziehung zwischen OFi and
OFr, auch OFr mitgeführt wird), so umhüllen alle diese Ebenen f
einen zweiten Rotationskegel 2, der innerhalb des Kegels 1 gelegen
ist, und gleichfalls a zur Achse hat. Der Winkel des Kegels 1 (Winkel
zwischen Achse und Erzeugenden) ist S, der spitze Winkel zwischen
ON und a; der Winkel e des Kegels 2 wird gefunden aus:
tg . a = tgd • cos l^/J.
Die Ebene durch 0, Fi und Fr, oder durch Ki, Kr und F berührt
den Kegel 2, und schneidet den Halbkegel 1 in OJPi und OFr. Die
Konstruktion der beiden Gesichtslinien ist also die folgende:
Durch KiKr lege man an den Kegel 2 eine Tangentiald)ene, die
den Kegel 1 in zwei Haibstrahlen OFi und OFr schneidet. Die Gesidds-
linien heider Augen verla/ufen dann parallel zu OFi und OFr.
Man kann jede der beiden Tangentialebenen an den Kegel 2 in
Betracht ziehen. Hat man darüber eine Wahl getroffen, so mulB man
aus dem Sinne der relativen Drehung bestimmen, welche der beiden
Schnittlinien mit dem Kegel 1 als OFi aufzufassen ist.
Die Geraden durch Ki und Kr parallel zu OFi und OFr schneiden
einander in F] aber nur falls sie als Halbstrahlen (Gesichtslinien) auf-
gefafst einander auch noch schneiden, ist F ein gewöhnlicher Fixations-
punkt (abgekürzt Fix.p.). Schneiden aber die Verlängerungen der
beiden Gesichtslinien einander, so nennen wir ihren Schnittpunkt F
einen Pseudofixalianspunkt (abgekürzt Ps.fix.p.). Schneidet die rechte
Gesichtslinie die Verlängerung der linken, so sprechen wir von einem
Unken Pseudofixationspu^kt (abgekürzt 1. Ps.fix.p.), und ebenso von
einem rechten Pseudofixalionspunkt (r. Ps.fix.p.).
Wir haben die drei folgenden Falle:
a. Kl Kr liegt innerhalb des Kegels 2. Dies ist der Fall, wenn
Von Febd. Schuh. 393
unter g den spitzen Winkel zwischen der relativen Drehungsachse a
und KiKr verstanden. Dies ist nur möglich für £ < d.
Die beiden Tangentialebenen durch KiKr an den Eegel 2 sind
imaginär, und ebenso die Gesichtslinien.
b. Kl Kr liegt aufserhalb des Kegels 2, und innerhalb des Kegels 1.
Die Bedingung daför ist:
t<S und cosJ/J<^.
Jetzt kann ich durch KiKr zwei (reelle) Tangentialebenen an den
Eegel 2 legen. Eine dieser fasse ich ins Auge; sie schneidet den
Halbkegel 1 in OFi und OFr- KiKr liegt teilweise in dem Winkel
Fl OFry etwa mit dem Teile OKr. Zieht man durch Ki und Kr Halb-
strahlen parallel zu OFi bezw. OFrj so schneidet der Halbstrahl durch
Kl die Verlängerung des Halbstrahles durch Ki in einem Punkte Fy
der ein r. Ps.fix.p. ist. Wählt man die andere Tangentialebene an den
Kegel 2y so bekommt man einen zweiten Punkt F^ der gleichfalls
r. Ps.fix.p. ist. F und F' liegen symmetrisch zur Symmetrieachse OA
der Kurve, beide auf dem uneigentlichen Teil des Horopters. Ein
gewöhnlicher Fix.p. existiert nicht.
c. KiKr liegt aufserhalb beider Kegel 1 und 2. Dies ist der
Fall, wenn J > d.
Legt man durch KiKr eine Tangentialebene an den Kegel 2, die
den Kegel 1 in den Halbstrahlen OFi und OFr schneidet, so liegt
weder Ki noch Kr in dem Winkel FiOFr^ Die Halbstrahlen durch
Kl und Kr parallel zu OFi bezw. OFr schneiden sich entweder direkt
oder rückwärts verlängert. Ist das erste der Fall, so existiert ein
Fix.p. F, aber dann liefert die andere Tangentialebene einen Ps.fix.p. F,
der mit F symmetrisch zur Symmetrieachse der Kurve liegt. F und F'
liegen beide auf dem eigentlichen Horopterteil.
Nur in dem FaUe, dafs t> ^t o^o die relative Drehungsachse mit
der primären Gesichtslinie einen Heineren Winkd bildet , als mit KiKry
existiert ein und nur ein gewöhnlicher Fixationspunkt.
Es ist aber noch immer möglich, dafs in diesem Falle der Fixations-
punkt hinter die primäre Äquatorialebene, die Ebene durch 0 senk-
recht auf der primären Gesichtslinie, fällt, d. h. hinter den Kopf. Wir
nemien den Fixationspunkt dann nicht realisierbar. Soll der Fix.p.
redlisierbar sein, so mufs der Halbkegel 2 die primäre Äquatorial-
ebene schneiden, und der Sinn der relativen Drehung ein bestimmter
sein. Der Winkel € des Kegels 2 mufs also gröfeer sein als der
Winkel \it — d zwischen a und der primären Äquatorialebene, d. h.
cos ^/S > cot* d; das kann nur der Fall sein, wenn d> J^jr. Man be-
394 Die Horopterktirve.
kommt also einen realisierbaren Fix.p., wenn die folgenden drei Be-
dingungen erfüllt sind:
(1) S>«>iÄ
(2) cos ^/S> cot»*
(3) ß hat ein bestimmtes Vorzeichen.
Hieraus sieht man weiter, dafs, wenn F vor der primären Aqualmci-
ebene liegt, ß niemals zu % werden kann.
In dem Ubergangsfall zwischen a und h fallen die beiden Punkte F
in B zusammen; in dem Übergangsfall zwischen h und c fallen die beiden
Punkte F in die Knotenpunkte.
Aus unserer Konstruktion für F folgt, dafs, wenn wir den Sinn
der relativen Drehung umkehren (aber Winkel und Achse beibehalten)^
nicht nur der Horopter gespiegelt wird zur Ebene durch KiKr und o,
sondern auch der Punkt F^ dessen Art ungeandert bleibt (so geht z. 6.
ein r. P8.fix.p. wieder in einen solchen über).
% 8. Fälle der Unbestimmtlieit des Fizationspnnktefl.
Wir köimen fragen, ob es relative Augenstellungen giebt, die den
Punkt F unbestimmt lassen. Um diese Frage zu beantworten, haben
wir systematisch zu untersuchen, wann bei der Konstruktion von T
eine Unbestimmtheit auftritt Wir finden dann die folgenden MIe:
1. /} » 0. Jeder unendlich ferne Punkt, und alle Punkte von KiKr
aufserhalb Ki und Kr können Fix.p. oder Ps.fix.p. sein (die Punkte der
Strecke KiKr aber 1. oder r. Ps.fix.p.).
2. Die relative Drehungsachse a liegt in der primären Äquatorial-
ebene und ß ^it. Die Kurve besteht aus einer Hyperbel in der
primären Äquatorialebene und der unendlich fernen Geraden einer
Ebene senkrecht auf a; alle Punkte dieser Greraden können 1. oder r.
Ps.fix.p. sein.
3. a verlauft vertikal und /J =4= ^- ^^^ Kurve zerfällt in einen
horizontalen Kreis und eine vertikale Grerade; der Kreis wird durch
Kl und Kr in zwei Segmente geteilt; alle Punkte des Segments, das
durch die Gerade geschnitten wird, können Fix.p. oder Ps.fixp. sein^
alle Punkte der anderen Segmente 1. oder r. P8.fix.p.
4. a verläuft vertikal und /J « ;r. Der Kreis des vorigen Falles
artet in KiKr und die imendlich ferne horizontale Gerade ans, und
zwar das erst genannte Segment in die Strecke KiKr*
Die Fälle, dafs unendlich viele Punkte des Horopters realiflierbare
Fixationspunkte sein können, sind 1 und 3; nur bei 3 liegen diese
Fixationspunkte im Endlichen.
Von Fbed. Schuh. 395
S 4. Venohiedene FUle bei einem realisierbaren Fizationspankt.
Wir werden untersuchen^ welche besonderen Falle Torkommen
können, bei denen ein realisierbarer Fixationspnnkt existiert. Es ist
leicht za zeigen, dafs der Fall III des § 3, Kap. 1 (a parallel zu KiKf)
nicht Yorkommen kann. Weiter haben wir in § 2, Kap. 2 gesehen,
dafs, wenn der Fixationspunkt vor der primären Äquatorialebene liegt^
also realisierbar ist, ß nicht zu % werden, also der Fall G nicht Tor-
kommen kann.
Untersuchen wir jetzt, wann der Fall II (a senkrecht auf KiKr)
zutrifft. Steht a nicht Tertikai, so bekommen wir einen Fixationspunkt
in der Medianebene. Ist aber a Tertikai, so liegt, wie wir im Torigen
Paragraphen gesehen haben, der Fixationspunkt irgend wo auf einem
Kreissegment in der Horizontalebene. Wir haben also nur den Fall U,
wenn der Fixationspunkt in der Horizontal- oder in der Medianebene liegt.
Die realisierbaren Falle sind also die folgenden:
AI. Der allgemeine Fall. Der Fixationspunkt liegt im Endlichen,
nicht auf der Horizontal- oder auf der Medianebene.
a. Der Fixationspunkt liegt links-oben oder rechts-unten. Der Horopter
ist links gewunden.
b. Der Fixationspunkt liegt rechts-oben oder links-unten. Der Horopter
ist rechts gewunden.
A n. Der Horopter zerfällt in einen Kreis und eine in der Median-
ebene gelegene Gerade, senkrecht auf der Ebene des Kreises, und den
Kreis schneidend.
a. Der Fixationspunkt liegt in der Horizontalebene und im Endlichen.
Der Kreis geht durch Kiy Kr und F.
b. Der Fixationspunkt liegt in der Medianebene. Die Ebene E des
Ej-eises geht durch Ki und Kry aber nicht durch F (falls F nicht
auch in der Horizontalebene liegt). Die Gerade geht durch F und
steht senkrecht auf E-^ der Kreis geht durch JTi, Kr und F\ die
Projektion Ton F auf E.
B. Der Fixationspunkt liegt im Unendlichen. Die ganze unend-
lich ferne Ebene ist Horopter.
i 6. Ort der Fizationsptinkte« deren Horopter in eine Hyperbel
und eine (Gerade ausartet.
Wir werden in diesem Paragraphen auch hinter der primären
Aquatorialebene gelegene Fixationspunkte in Betracht ziehen, und unter-
suchen, wann der Fall G (Ausartung in eine gleichseitige Hyperbel
und eine unendlich ferne Gerade) eintritt, d. h. ß^% ist.
396 Die Horopterkurve.
Wir nehmen ein rechtwinkliges Koordinatenkreuz an, mit OKr als
X-Achse, der Vertikalen durch 0 als Z-Achse, und der T-Achse
parallel zur primären Gesichtslinie, die, wenn wir den Kopf aufrecht
halten, horizontal verläuft. Es büde ferner die relative Drehungsadisc
einen Winkel g mit der X-Achse, d mit der F- Achse und 17 mit der
i^ Achse. Der Halbkegel 1 des § 2, Kap. 2 entsteht durch eine Rotation
der negativen F-Achse um die Linie a durch 0 parallel zur relativen
Drehungsachse; fQr ß^n ist der Kegel 2 als Klassenkegel ia die
Doppellinie a ausgeartet. Die beiden Tangentialebenen durch KiKr an
den Kegel 2 fallen zusammen, und zwar in die Ebene
Z = ypy
worin
cos 11
Diese Ebene, die wir mit V bezeichnen wollen, schneidet den
Kegel 1 in zwei Halbstrahlen OF^ und OjPj, die beide den Winkel d
mit a bilden. OF^ ist sowohl als OFi wie als OFr aufzufassen. Man
konstruiert daraus zwei Punkte F xmA.F' (die Pix.p., Ps.fiip., L oder
r. Ps.fix.p. sein können), die symmetrisch zu 0 liegen. Läfst man a
alle Richtungen durchlaufen, so beschreiben t und F' eine Flache;
die Schnittkurve dieser Fläche mit einer Ebene V durch KiKr bekommt
man, wenn man a nur diese Ebene V durchlaufen läfst. Diese Eunre
woUen wir jetzt bestimmen.
Als Koordinaten in der Ebene V nehmen wir x und 9, den Ab-
stand eines Punktes P von KiKry positiv gerechnet, wenn P hinter
der X-Z- Ebene liegt. Zieht man durch Ki eine Linie parallel zu OF^
(bezw. OPg) und durch Kr eine Linie parallel zu OP, (bezw. 01\)^
so findet man für die Koordinaten 2:, q des Schnittpunktes F (bezw. J),
wenn OKr = ^ ist,
^ = Tp{ctg(S-*) + ctg(g+*)}
P { Ctg (5 - *) - Ctg (5 + *) } = ± 2 * ,
unter d immer den spitzen Winkel verstanden, während ^ der Winkel
zwischen dem hinter der X-Z-Ebene gelegenen Teil von a und der
positiven X-Achse, auch stumpf sein kann. Nach x und q auflösend
findet man:
x^±Tc
Bin 2^
8in2d
cos 2^ — C08 22;
^ 8m2d
Nun ist cos* i + cos* ö + cos* i? = 1, also weil cos iy = |? cos d ist:
cos* % + {l +p*)cos**=l.
Von Fbsd. Schuh.
397
Hieraus^ und aus den Formeln f&r x und q die Gröfsen g und d
eliminierend, findet man für die gesuchte Schnittkurre:
.8
l+p« (ife« — a?«)«
p« *« (1 + p«) — a:"
Flg. 6.
.-''"T*^-^
Diese in Fig. 5 abgebildete Kurve vierter Ordnung ist symmetrisch
zur X- und (»-Achse; sie hat in Ki, Kr und dem unendlich fernen
Punkt der q - Achse
Doppelpunkte, in denen
die sechs in der Figur
numerierten Teile der
Kurve zusammenhängen.
Die gewohnlichen Fixa-
tionspunkte Uegen auf
dem Teil 1, die P8.fix.p.
auf dem Teil 2; auf den
Teilen 3 und 4 liegen
die. r. Ps.fix.p., und auf
den Teilen 5 und 6 die
1. Ps.fi^p.
Für die zur (»-Achse
parallelen Asymptoten ist
a: = ± JfcyTTP; für die
Schnittpunkte mit der
k
p-Achse: p « ± — •
Hieraus sieht man
leicht, wie die Kurve
sich abändert, wenn p
von Null bis oo an-
wächst, d. h. die Ebene
V sich aus der horizon-
talen in die vertikale Lage aufrichtet. Für p » 0 zerfällt die Kurve in die
beiden doppeltzählenden Geraden durch Ki und Kr senkrecht auf der
X-Achse, für p = oo in die X-Achse und die unendlich ferne Gerade,
beide doppeltgezählt. In beiden Fällen fallen verschieden numerierte
Teile der Kurve zusammen, was bedeutet, dafs ihre Punkte auf zwei
Weisen (entsprechend den beiden zugehörigen Nummern) als Punkte F
au&ofassen sind.
Dreht sich die Ebene V um KiKr, so beschreiben die
sechs Teile unserer Kurve sechs entsprechend numerierte Teile einer
398
Die Horopterkurve.
Fläche, deren Gleichung man bekommt durch Elimination Ton q und
p aus:
^ p* *«(! +!>«) — ar«
^« = y« + xr«
B^-=-yp
Dies liefert:
y» (Jfc* - a:») (t» - rr« - ;?«) « *V.
Fig. 6.
Das ist eine Fläche sechster Ordnung, die die Koordinatenebenen
zu Symmetrieebenen hat.
Wenn wir nur gewöhnliche Fixationspunkte in Betracht ziehen^
interessiert uns nur der zur X-F- und
Y-^-Ebene symmetrisch gelegene Teil 1
unserer Fläche (abgekürzt Fl.teil 1). Dieser
wird durch eine Ebene y-y^ in einer
Ellipse geschnitten, deren grofse (horizon-
tale) Achse konstant ist, und zwar gleich it,
während ihre kleine (yertikale) Achse Ton
Null bis Ä; wächst, wemi y^ von Null bia
oo läuft In grofser Entfernung ycmi der
X-Z-Ebene hat der FLteil 1 also ungeßhr
die Gestalt des Ereiscylinders ac^ + jj'^F;
längs der Strecke KiKr und der Linien
KiUi und Krl^r durch K^ bezw. Jr
parallel zur positiven F-Achse steht seine
Tangentialebene vertikal. In den Knoten-
punkten Kl und Kr hat er Ecken; die
Tangenten in Ki etwa bilden einen
Ereiskegel (mit dem Winkel \%) durch
KiKr und -Ki^,; der Fl.teil 1 liegt inner-
halb dieses Kegels. In Fig. 6 ist dieser Fl.teil, der mit Ausnahme
der Strecke KiKr hinter der primären Äquatorialebene liegt, abgebildet.
8 6. Windungaflinn des Horopters bei yeraohiedenen Lagen des
Fizationspunktea.
Lassen wir aUe Punkte im Räume als gewöhnliche Fixationspunkte
F zu, so zerfallt der Horopter, wenn JF entweder im unendlichen; w
der Horizontalebene, in der Yertikalebene, oder auf dem Fl.teil 1 ü^
(Liegt t in der primären Äquatorialebene, so zerfällt im allgemeinen
der Horopter nicht.) Aus Kontinuitätsbetrachtungen ist es klar;
Von Frkd. Schuh. 399
der Horopter seinen Windungssinn ändert, wenn F eine und nur eine
dieser im ifndliclien gelegenen Flächen passiert. (Für die Horizontal-
ond die Medianebene sieht man dasselbe noch strenger aus der Sym-
metrie.) Für die unendlich weite Ebene E^ kann man denselben
SchluTs nicht ziehen; denn wenn F diese Ebene passiert, und gewöhn-
lieber Fixationspnnkt bleibt, hat man es nicht mit einer kleinen Ände-
rung der GesichtsUnien, als Halbstrahlen aufgefa&t^ zu thun. Vielmehr
bleibt beim Passieren von JE^ der Windungssinn des Horopters ui^-
geändert, wie aus dem Verhalten seiner Windung in den verschiedenen
Teüen des Raumes hervorgeht. Man findet nämlich:
Liegt F aufserhaJb des Flächenteüs 1, so ist der Horopter links ge-
tounden, faüs F links-oben oder reckts-unten; rechts gewunden, faüs F
rechts-cben oder links-unten liegt; liegt F innerhalb des Fl,teüs 1, so ist
es gerade umgehört.
Liegt F auf dem Fl.teil 1, so haben wir es im allgemeinen mit
dem Fall G I zu thun (Ausartung in eine Hyperbel und eine unendlich
ferne Gerade). Liegt F aber gleichzeitig in der Medianebene, so be-
kommen wir den Fall GH (die Hyperbel artet in zwei Gerade aus).
Li^ F gleichzeitig in dem Fl.teil 1 und in der Horizontalebene,
etwa auf der Linie KiNi, so wird der Horopter unbestimmt. Das
Listingsche Gesetz bestimmt die Stellung des linken Auges dann
nicht^ wohl aber die Stellung des rechten Auges, faUs F im Endlichen
liegt. Bei der Konstruktion der relativen Augenstellung liegt OHr in
der Horizontalebene und ist bestinunt; OHi liegt in der X-Z- Ebene,
ist übrigens aber beliebig. Von der relativen Drehungsachse a ist
also nur zu sagen, dafs sie senkrecht auf OHr steht; wählt man sie,
so ist der relative Drehungswinkel ß bestimmt (und zwar 2'^HiOHr)]
dieser Winkel ist am kleinsten, wenn man a vertikal, am gröfsten
(und zwar gleich x), wenn man a horizontal annimmt. Wählt man a
weder horizontal noch vertikal, so zerfällt der Horopter nicht; wählt
man a vertikal, so ist /3 =f" ;r, und man hat es mit dem Falle A U
(AuBartung in einen Kreis und eine Gerade) zu thun; ninunt man
schliefslich a horizontal an, so ist ß = yt, und man hat den Fall G I,
wie in dem Falle, dafs F beliebig auf dem Flächenteil 1 liegt.
Göttingen, JuK 1901.
400 Zar Theorie der kleinen endlichen Schwingungen etc.
Znr Theorie der kleinen endlichen Schwingungen von
Systemen mit einem Freiheitsgrad.
Von J. HoRN in Clausthal.
In der Theorie der kleinen Schwingungen von Systemen mit einer
endlichen Anzahl von Freiheit^praden pflegt man sich bei der Auf*
Stellung der Differentialgleichungen der Bewegung auf diejenigen
Glieder zu beschranken, welche linear in den Koordinaten und Ge-
schwindigkeiten sind. So wird die Theorie der kleinen Schwingungen
auf die Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten zurückgeführt; in diesem Sinne hat sie z.B.
in der Dynamik der Systeme starrer Korper von Routh (deutsch Ton
Schepp) eine eingehende Darstellung gefunden.
Dabei bleibt allerdings die Frage unbeantwortet, wie weit die
durch die linearen Differentialgleichungen definierte Bewegung ab an-
genäherte Darstellung derjenigen Bewegung gelten kann, welche den
nicht linearen Differentialgleichungen der Dynamik in ihrer unver-
änderten Gestalt entspricht. So giebt es Falle, in welchen schon bei
der Entscheidung der Frage, ob eine Gleichgewichtslage stabil oder in-
stabil ist, die Beschränkung auf die linearen Glieder nicht zulässig isi^)
Aber auch in solchen f^en, in welchen über die Stabiliiät einer
Gleichgewichtslage kein Zweifel besteht, kann es wünschenswert sein,
die in der Nähe dieser Gleichgewichtsli^e erfolgende Bewegung
genauer darzustellen, als es durch die Integration der linearen Differenidid-
gleichungen geschieht. Ansätze zu einer solchen genaueren Darsiellnng
kleiner Schwingungen finden sich schon in dem erwähnten Werke von
Routh^, wo die Bewegungsgleichungen vermittelst einer Methode
fortgesetzter Annäherungen integriert werden und auiser der durch die
linearen Differentialgleichungen dargestellten ersten Annäherung noch
eine zweite Annäherung berechnet wird. Weitere Untersuchungen in
1) Vgl. die Kritik der Methode der kleinen Schwingungen in der „Theorie
des Kreisela'' von Klein und Sommerfeld (S. 364—874), femer die UntersuchongeD
über Stabilität von Liapunoff, welche leider, abgesehen von einem in Lionr.
Joum. 1897 erschienenen Aufsatz, in russischer Sprache erschienen sind und worüber
im Jahrbuch der Fortschritte der Math, für 1892 (S. 876) und 189.V4 (S. 189S) be-
richtet ist.
2) Bd. n, S. 268 ff. unter der Oberschrift „Zweite Annäherungen''. Vgl. auch
Routh, Stability of motion, 1877. — Auf einige andere Arbeiten wird in einem
späteren Aufsatz über Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Bezug zu nehmen sein.
Von J. Hob». 401
diesef Bichtting sind allerdings erforderlich; ein wichtiges HiKsmittel
zur exakten Durchführung derselben bilden neuere Untersuchungen
über Differentialgleichungen^ wie sie von Poincare^) in der Mechanik
des Himmels angewandt worden sind und wie man sie znm Teil im
dritten Bande des Traite d'Analyse von Picard dargestellt findet.
Im vorUegenden Anftatz, welcher als Einleitang in aUgemeinere
Untersuchungen zu betrachten ist, beschranke ich mich auf Systeme
mit einem Freiheitsgrad unter der Einwirkung von Kräften, welche von
den Koordinaten und Geschwindigkeiten abhängen, aber nicht als lineare
Funktionen betrachtet werden. Ich mache über die Kräfte, sowie über
die Anfangslagen und Anfangsgeschwindigkeiten solche Yoraussetzimgen,
dals kleine (ungedämpfte oder gedämpfte) Schwingungen um eine Lage
stabilen Gleichgewichts entstehen, unter der üblichen Beschrankung
auf die linearen Glieder findet man die im Folgenden behandelten
Gegenst&ide z. B. in der ,,Dynamik diskreter Massenpunkte'' von
Helmholtz (herausgegeben von 0. Krigar-Menzel) elementar und
ausführlich dargestellt. Unter den allgemeinen Annahmen über die
Kräfte, welche der folgenden Untersuchung zu Ghninde liegen, ergeben
sich unendliche Reihen zur Darstellung der Schwingungen; mit deren
Hilfe werden dieselben Fragen untersucht, welche unter einfEkcheren
Voraussetzungen in der erwähnten elementaren Bearbeitung behandelt
sind. *)
Erster Abschnitt.
§1-
Wir betrachten ein System, dessen Lage durch eine einzige
Koordinate x bestimmt ist und dessen Verbindungen nicht Ton der
Zeit t abhängen. Bei passender Wahl von x erscheint die lebendige
Kraft in der Form /d'r\%
^=i(©')
1) Les m^thodea nonvelles de la M^canique eheste.
2} Von Kräften, welche die Zeit explizite enthalten (erzwungene Schwingungen),
wird im Folgenden abgesehen.
^ I , wo i^ eine positive Funktion von x ist. Durch
die Substitution i=^fVE{pc)dx erhalt man T=|(j^ . Ist
o
in eine fOr hinreichend kleine Werte von \x\ konvergente Potenzreihe entwickelbar,
so gilt dasselbe für {:
Ztftochrift f. Mathematik n. Phyiik. 47. Band. 190S. S.a. 4. Heft 26
ix
402 Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen etc.
Die von den Kräften bei der Yerrückmig dx geleistete Ar^it sei
Qdx, 1^0 Q^a,x + a^'+a^ + ..r, a,<0
in eine Potenzreihe entwickelbar sei, welche f&r hinreichend UeiBe
Werte von \x\ konvergiert. Dann ist die Lage x ^0 eine stabile Gleich-
gewichtslage. Das Prinzip der lebendigen Kraft
dT^Qdx
ergiebt die Differentialgleichung
dt* V'
welche die Form der Differentialgleichung für die gradlinige Bewegung
eines einzelnen Massenpunktes hat und welche wir, indem wir a^ = - 1
annehmen^), in der Form schreiben:
(A) ^^ + x^F(x) « a^x*+ (H^ + ^ . ..
Durch Integration erhalt man
wobei c'^ic'^ 0) die Integrationskonstante ist. Hieiaos folgt
Die Safsersten Lagen X'=c{c>Q) und :c-'c(c<0), in welchen
^ » 0 isty ergeben sich als Potenzreihen von c'y welche für hinreiclieiid
kleine Werte Ton c konvergieren:
Wir stellen auch c' und c als Potenzreihen der Amplitude c iaXy
welche ffir hinreichend kleine Werte von c konvergent sind:
c^ — c + lojC^ — i^tjc* + . . . .
Wir nehmen an, für ^ = 0 sei X'^ c, ^ = 0. Die diytjh dieee
Anfangsbedingungen definierte Lösung x der Gleichung (Ä) bleibt bei
1) Man erreicht dies dadurch, dafs man ty — Oi mit t bezeichnei
Von J. Hohn: 403
einem Zeicfaenwechsel tob t ungeandert, da sowohl die Differential-
gleichung als auch die Anfangsbedingongen ungeandert bleiben, wenQ
man ^ in — ^ verwandelt. Denmacb erscheint x als gerade, -jr als un-
gerade Funktion von t Die Lage x =^0 werde zur Zeit t^m^ zum
ersten Hai erreicht, und zwar mit der Greschwindigkeit -ji "^ " ^''
Bezeichnet man die zum Übergang aus dieser Lage in die äufserste
Lage x^c erforderliche Zeit mit a>,, so hat man rr » c , ^^0
f&r t^» (0^+ m^^ (o. Setzt man t — cd =^t\ so geht die Gleichung {Ä)
über in
% + x^ F(x);
die durch die Anfangsbedingungen f^O, x^c, 577 =^0 definierte
Losung bleibt bei einem Zeichenwechsel von t' ungeandert Denmach
hat unsere Lösung x Ton (Ä) för ^ = 0 + t(0<t^Q) denselben Wert
dx
wie für ^ s= o — t, während -^ für diese beiden Werte von t entgegen-
gesetzt gleiche Werte annimmt. Für t= m + <o^ hat man also x = 0,
dx dx
iT = c\ und für < = 2(0 ist a; =» c, ^ = 0. Da man für ^ » 2a> die-
selben Werte von x und ^ hat wie ^ t^Oj so ist die Bewegung
periodisch; die Dauer einer Schwingung ist 2a>.^)
§2-
Wir wollen sowohl den Wert der Koordinate x zur Zeit t, als auch
die halbe Sckwingungsdauer m ais Funktion der als klein vorausgesägten
Amplitude c darstellen.
Die durch die Anfangswerte
<-0, x^c, ^-0
bestimmte Losung x der Grleichung (Ä) lälst sich nach einem Satze
von Poincar^*) in eine Potenzreihe von c
X = cq>i{t) + c*9,(0 + (^9i(f) + • • •
1) Beschränkt man sich auf das lineare Glied in der Entwicklung der
Kraft Q^ setzt man also F{x)=:0^ so ist rcsaccost, also o^bbo, »»-,
• «s^r, 80 dafs die Schwingnngsdaner gleich 2« ist.
2) Poincar^, M^. cäl. Bd. I, S. 68. — Picard, Traitä d^Analyse Bd. DI,
8. 167.
26*
404 ^QT Theorie ier kleinen endlichen Schwingungen eic.
entwickeln^ welche nach Festlegung einer beliebigen oberen Orenze t^
ffir die Zeit t konvei^ert^ wenn \c\ unterhalb einer (von io abhangigen)
Grenze r bleibt. Setzt man nämlich
so geht die Oleichung (A) Aber in das System
Tt-V, |?--c-| + i^(| + c)
mit den Anfangsbedingungen
^ = 0, 6 = 0, i? = 0,
auf welches sich der Poincar^sche Satz unmittelbar anwenden mst;
aus dem von Poincare a. a. 0. gegebenen Eonvergenzbeweis laGst sich
auch ein Wert fBr r entnehmen.^)
Für ^ = 0 hat man
9>i = 1; 9i = 0, 9j =- 0, . . .
q>{ ^0, q>i^O, 9» == 0,
Durch Einsetzung der für x angeschriebenen Reihe in die
Grleichung {Ä) und durch Vergleichung der Koeffizienten der yer-
schiedenen Potenzen von c erhalt man zur Bestimmung von 9^, 9)«,
93, ... die Differentialgleichungen
9'i + 9i = 0,
9'i + 92 = a,9j,
9>8 + 9>s = 2a,9i9, + «j^J,
1) Die Konvergenz ist gleichm&fsig f&r O^t^t^und fOr |c|<<r. — Nach
Poincar^, a. a. 0. S. 60 ist unsere Reihe für x sicher konvergent, wenn die
dort mit S bezeichnete Gröfse als Potenzreihe von c konvergiert. 8 wird durch
Auflösung einer quadratischen Gleichung zunächst als Potenzreihe von
"" ,€»^*
(1 + c)
gefunden, welche konvergiert, wenn der absolute Betrag dieser Gröfse kleiner als
^ ist. Hieraus ist ersichtlich, dafs r um so kleiner wird, je grOfser man
t^ annimmt.
Von J. HoRM. 405
unter Berücksichtigung der obigen Anfiangsbedingungen findet man
9>2 = eosty
9>s = i<*i(3 — 2 cos ^ — cos 2^),
9>s = - i«J + (m«J + ^jO,) cos / + iaj cos 2t + {-^a\ - ^a,) cos 3<
9>i = — sin <,
9>t = yO, (sin ^ + sin 2^),
93 = (m^l + riO 8i^^ - I«j8in2^ - (^aj - ^o^) sin3^
+ (n«J + |a,)^cos^,
Zar Berechnung von a> beachten wir^ dafs f&r t =* od -^ ^ 0, also
9>f (cd) + cq>i{a}) + c*9)i(a)) + . . . = 0
sein muls. Setzt man w = x -{- €, so wird
q>i{(o) = sin «,= £ + (>•«* + ...,
9«(«>) = iö,(— sin a + sin 2e) = loj« + . . .,
9i(a))«-;r(^,aJ + faB) + ...
u. B. w. Aus der Gleichung
€ + \a^C€ - x{^al + |a,)c» + . . . = 0
berechnet man e als Potenzreihe von c, welche für hinreichend kleine
Werte Ton { c \ konvergiert. Man findet für die halbe Schtvingtmgsdauer
die Beihenentwicklung
Ahnlich findet man
indem man beachtet, dafs fBr ^ =» cd^ x » 0 ist. Aus o, ->« o — cd^ folgt
406 Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen etc.
§3.
Führt man an Stelle von t die neue Yeränderliclie
u = -t
ein, 80 wird x eine periodische Funktion Ton u mit der Periode 2x,
Die Differentialgleichung (A) geht über in
es besteht eine konvergente Entwicklung von der Form
deren Koeffizienten X^^ X^, , . . im Folgenden berechnet werden, ohne
dals die in § 2 hergeleitete Beihe für a> benutzt wird. Die durch die
Anfangsbedingungen ^ ^x ^
ti = 0, x^c, 5^ = 0
definierte Losung x von (Ä') ist nach dem bereits benutzten Satze tod
Poincar^ in eine Potenzreihe von c
entwickelbar, welche für hinreichend kleine Werte von \c\ konvergiert
Wegen der Periodizität von x ist
^c^Mu + 2%) ^^e^,{u)
oder
^c\t,{u + 271) - ^,(u)) = 0;
da der Koeffizient von c" in dieser Potenzreihe verschwinden mofs,
d. h. ^1, ^2, ^s; • • • haben die Periode 2^.
Durch Einsetzen der obigen Beihe in die Gleichung (J.') und
Vergleichen der Koeffizienten von c, c*, c*, . . . erhält man für ^j, ^j, ♦j . • •
die Differentialgleichungen^)
^1 + ^1 = 0,
^i' + *i = «,^J,
^8 + *a Aj^i + 2a,^iV'i + a,*H 2 0^*1*1 + «s*? + i,*i,
1) Darin ist ^'=^,^"-0
Von J. HoBM. 407
und zwar ist für u » 0
ti'^h *s = 0, ^5=0,...
^1 = 0, ^ = 0, ^8=0,....
Man findet zunächst
^1 = cos M,
^, = |ii8(3 — 2 cos u — cos 2u).
Die dritte Differentialgleichung lautet nun
^3 + ^8 iaJ + (^+faJ + |a8)cosw-|aJcos2M + (ja8-|aJ)co8 3i«;
damit ^3 eine periodische Funktion wird, mufs der Koeffizient von cosu
Terschwinden, woraud sich
^ - - (f «; + \<h)
ergiebt; nunmehr erhält man
^8 = — yöj + (mfl^l + MÖ8)cos u + ja| cos 2m + {^a\ - ^a,) cos 3u.
Allgemein ist
i^x = -4q2 + -4^2 ^08 ^ + -^2 cös 2i« + . . . + A^ cos Att.
Zum Beweise nehmen wir an, ^1, . . . ^y_i seien in dieser Form
berechnet, und es seien A,, ... Ay_, gefunden. Die zur Bestimmung
Ton iff^ dienende Differentialgleichung ist von der Form
Mit Benutzung der Formel
cos mu cos nw = j cos (w — n) u + y cos (m + n)u
erhalt man für^ ^'^a'^a • • • ®"^® Summe von Gliedern von der Form
ulcosfiu(/t^i/); f&r ^'_s hat man eine Summe von Gliedern von
der Form A cos fiw (/t ^ v — 2) u. s. w. Wir schreiben unsere Differential-
gleichung
^i+ *^= 2[o,+ (A^i + äiJcosM + 3l,,cos2u+ . . . + 31^ cos vt«,
worin älo,, ^^ . . . bekannt sind. Damit ^^ periodisch wird, mufs
sein. Man erhält nun
^y = -4^^ + -i^y cos M + . . . + J.yy cos VUj
wo
A)y ^ ^0»> -^r 3^> • • • -^w ™ ■" iirZl
408
Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen etc.
ist; die Bedingung ^»r(0) = 0 ist von selbst erfüllt, die Bedingung
^^(0) « 0 ergiebt
Insbesondere ist auf Grund der Ausdrücke f&r tj;^, ^^^ ^^z
A^ = 0, J-n = — 1",
Demnach ist die Koordinate x in eine Potensreihe der Jdeinen
Amplitude c eniwickdt, welche periodische Funktionen von u =^^t mU der
Beriode 2x sfu Koeffizienten hat.
§4.
Als gerade periodische analytische Funktion von u mit der Periode
2n läfst sich x, falls \c\ unter einer gewissen Ghrenze bleibt^ in eine
trigonometrische Reihe
X = jA^ +^A^ cos nu
entwickeln, welche für alle Werte von u unbedingt und gleichmälsig
konvergent ist.*) Man hat
A^^- Ix cosnudu'y
-¥'
wenn man für a; die in § 3 hergeleitete Reihe
y=al
setzt, welche, wenn \c\ unterhalb einer gewissen Grenze r liegt, för
aUe u gleichmäfsig konvergiert, so hat man für
00 *
in « a ' '"!<*■ konvergente Potenzreihe von c. Setzt man für f, den
» ** aufgesteUten Ausdruck
m=rO
^«1- Poincarö a. a. 0. S. 64.
Von J. HoRH. 409
ein und beachtet man, dafs
- f cos'
isty so erhält man
2 r , , fl för n>0
- I cos'nuat« =»{„ ^ ^
« J 1 2 far n « 0
0
0
Demnach ist
2 A / N j \^ny ^ v>n
- l^,(w)cosnttaw ==< y' ~
4.-2^c^ (n>0),
f^H
und folglich
a; = (|a,c*-|ajc*+...)
+ (c — {ac*+ (^aj + sia8)c*+ . . .) cosm
Hiermit ist x in eine nach Kosinus der Vielfachen von u^-t fort-
schreitende Beihe entwickelt, welche Potenereihen der kleinen Amplitude c
SU Koeffisfienten hat. Diese trigonometrische Reihe geht aus der in § 3
aufgestellten Reihe ^ y
durch Umstellung der Glieder hervor. *)
1) Korteweg (Arch. näerl., Ser 2, Bd. 1) zeigt ohne Konvergenzuntersnchung,
wie sich eine Beihe von dieser Fonn ans der Differentialgleichung herleiten Ifiüst
(auch för mehrere Freiheitsgrade).
2) Als einfaches Beispiel zum ersten Abschnitt kann das nach der Differential-
schwingende Pendel dienen, welches zwar Termittelst elliptischer Funktionen be-
handelt werden kann, auf welches aber auch die oben hergeleiteten Formeln
ttnmittelbar Anwendung finden, wenn man die Pendelgleichung in der Form schreibt:
d^x . «• ^ «' ,
(VI-)
410 Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen etc.
Zweiter Abschnitt.
§5.
Wir gehen znr Betrachtung gedämpfter Schwingungen über. Die
dx
Kraft Q hänge nicht nur von x, sondern auch von ^' = -ji ^^j ^ sei
Ö - - x«x — 2 Ax' + F{x, x^j
wo
Fix, X') ^SlF,{x, x-)
in eine für hinreichend kleine Werte von {2i;|,|x'{ konvergente Potenz-
reihe entwickelbar ist und unter F^{Xj o;') die Gesamtheit der Glieder
nter Dimension verstanden wird; wir setzen
F^^ax^ + 2pxx''\-yx'\
Die Bewegungsgleichung
(B) % + 2^S + «'- - F[x, %
steUty wie wir sehen werden^ gedämpfte Schwingungen um die Gleich-
gewichtslage X » 0 dar, wenn wir x und X reell positiv und x> l
annehmen. ^)
Unter Vernachlässigung der Funktion F haben wir die lineare
Differentialgleichung
welche, wenn x* — JL* «= ft* gesetzt und die An£emgsbedingungen
vorgeschrieben werden, die Losung
X =» cc"^' (cos iit+- sinfi^j
besitzt. Die äufsersten Lagen (^ « o) werden zu den Zeiten
<s= (*«0, 1, 2 . . .)
erreicht; die Ausschläge
1) Der Fall x<ä wird in § 8 behandelt.
»
Von J. HoRN. 411
bilden eine fidlende geometrische Reihe. Setzt man s^^» |(^.i| + ^»1;
80 ist
^ 8k ® C* X
das logarithmische Dekrement. Durch die Lage o; » 0 geht das System
zu den Zeiten
WO r diejenige Wnrzel der Qleichong
tg fir = 5
ist^ welche der Bedingung
0<fir<|
genügt. Die Geschwindigkeiten in der Lage x^O, d. h. die Werte
<fk Ton -jr f&r ^ = r H sind dargestellt durch
sie büden ebenfalls eine fallende geometrische Reihe.
Um mm die Bewegungsgleichung (E) ohne Vernachlässigungen
zu integrieren, benutzen wir einen ebenfalls von Poincare herrührenden
Satz.^) Die quadratische Gleichung
hat die beiden konjugiert komplexen Wurzeln
1»! = — iL + ifi, w, = — A — ifi.
Durch die Substitution
geht das System
Xi =<c — m^x x^^^ X — miX
-f-=^x
dt
dx
dt
d^
dt
über in
= - x"a; - 2Xx+ F(x, x')
^^^m,x, + F
1) Foincar^, Th^e (Paris 1S79). — Picard, Tnüi^ d*AnalyBe, Bd. m,
Kap. 1.
412 Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingongen etc.
wo i^ als Potenzreihe von x^, x^ darzustellen ist, in welcher die Glieder
von geringerer als der zweiten Dimension fehlen. Nach dem erwähnten
Satze bestehen die Entwicklungen
wo A^y A^ Integrationskonstante und ^^ ^ Potenzreihen der beigefügten
Argumente mit Gliedern von mindestens zweiter Dimension sind, welche
konvergieren, wenn die absoluten Beträge Ton ^x^S A^<^ gewisse
Grenzen nicht überschreiten. Setzt man
•^1 -^i ri -^ -^ n
m^ — fn, 2tfi ^ iHj — «4 2tfi *'
SO hat man
wo ^ und ^ Potenzreihen mit Gliedern von mindestens zweiter
Dimension sind.
Wir betrachten die durch die Anfangsbedingungen
bestimmte Lösung der Differentialgleichung (JB). Aus den Gleichungen
0-miQ + m,C, + ^(C„ (7,)
ergeben sich C^, C, als Potenzreihen Ton c (ohne konstantes Glied),
welche fOr hinreichend kleine Werte von \c\ konvergieren:
C, - p (c) = ^?!s— c + • • •,
Die Reihe
liUit sich als Potenzreihe der Argumente c, c"*', c^' auffassen:
da I f«**' I - I e-H' I =.e-i< för »Ue positiyen Werte von t Heiner als 1
ist, 10 ist diese Reihe für ^ ^ 0 konvergent, wenn man | c \ hinieichend
klein annimmt.
Von J. HoRw. 413
Die Entwickelnng nach Potenzen von c ergiebt
VbI
wo g>^ eine ganze Funktion t/ten Grades von 6^>'^ e^' ohne konstantes
Glied bedeutet. Insbesondere ist
9i =
— «,«^' + mi«"^'
C"~^'(C08fi^ -| — Bm(ii\ .
iiii — ffi|
Der Funktion q)^ können wir die Form geben:
worin A und B reelle Zahlen sind.
Zunächst ist nämlich 9, eine Summe von Gliedern
mit konstanten Koeffizienten. Ein solches Glied zerfallt^ wenn man
v^ — v^ =^ p — 2v^ ^ q setzty in die beiden mit konstanten Koeffizienten
multiplizierten Ausdrücke c""'^'cosgfi^ und c""'^*singfi^. W. z. b. w.
In der oben für x aufgestellten Potenzreihe von Cy ^^*, ^'
setzen wir
f^* = C""^'cosfi< — ie"^'sinft^.
Dadurch wird x eine Poienzreihe van c, e'^^'cos/t/, 6~'^'sinfi^^ welche,
wenn \ c \ hinreichend Mein ist, für f^O konvergiert:
X = c(e—^'cosfi< + — c""^'sinfi^j +
Man kann diese Reihe unmittelbar aus (B) nach der Methode der
unbestimmten Koeffizienten herleiten.
§6.
Durch Einsetzung der Reihe
X = api + c*9, + • • •
in die Differentialgleichung (B) und Vergleichen der Koeffizienten von
c, c^, , . , erhält man die zur Bestimmung von q>i{t), tp^it), . . . dienenden
Differentialgleichungen
414 Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen etc.
mit den AnfiEuigsbedingangen
9>i(0)«l, 9>,(0)«0, ...
g>;(0)-o, g>;(o) = o, ...
Zunächst ist
Setzt man
« « «(f*' - ^') + gp«'^ + y»* ^ _ «^ - <^«' g _ «'(g-gpi + rO
80 lautet die zweite Differentialgleichung
g); + 2A9j' + «V, =. 6-"'(«co82ft< + »sin2fi< + 6);
ihr aUgemeines Integral ist
^ - c-"'(^co82ft^+ iS8in2fi^+ C) + c-^'(AcoBfi^+ Bsin^iO
mit den Koeffizienten
die Bedingungen %(0) = 0, 9)^(0) « 0 ergeben fttr die Integration»-
konstanten A, B die Werte
So fortfahrend, findet man q>^, tp^, ...
Damit ist x als Potenereihe der anfanglichen Amplikuk c dargesiMf
deren Koeffurienten aus trigonometrischen und ExponentUdfunkticnen der
Zeit t »HSammengesetjgt sind. Diese Reihe ist für alle f^O konTeigent,
wenn | c | unterhalb einer gewissen Gh-enze liegt
Wir Buchen die Zeiten
t'^tj^, (» = 1,J,8,..)
dX A
SU welchen das System eine äufserste Lage erreicht^ f£lr welche ^ "" ^
ist Die Gleichung
Viik) + cq>^(t^ + 0
wird, wenn man
«etat und die Gleichungen
bemihtot,
**9>;' (*^) + C9>; (*^) + 0.
Von J. HoBH.
415
Daraas berechnet man t^ und somit auch t^ ab Potenzreihe Ton c:
kn '«
<»-«-
•(^)
hierin ist
<r)
c +
vi'©=-(-l)*+*''*«
Für die aufeinander folgenden Amplituden c^ (i=>o, i, s . . .) d. h.
für die zu ^ = ^^ gehörigen Werte von x, hat man
und, wenn man
setzt. , ,
dann ist
9>i © = (- 1)*«
— *jr
M .
Für ^ = <j ist X = Cjt, ^ == 0. Durch die Substitution ^ — /^ =. t
wird in (B) nur die unabhängige Veränderliche t durch t ersetzt. Die
Lösung mit den A nfangsbedingungen t == 0, ^ ^ ^k} ~di^^ erreicht das
nächste Extremum x ^ Ct+i zur Zeit t^tt^i^tk. Ersetzt man also
in den obigen Formeln Cq^ c durch c^, so geht c^ in Ck^i und ^ in
4+1 — ti über; man hat also
. 'i©
Wir geben schliefelich noch die Zeiten
t — T,.
Ct +
(*=i,i, «,...)
an, za welchen das System durch die Lage a: • 0 geht, und die zu-
gehörigen Werte c* von -^:
c;-C9;(r + *^) + c»
+
416 Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen etc.
dabei ist t die in § 5 eingefölirte Qrölse und
§7.
Die bisherigen Entwickelnngen bedürfen f£Lr gewisse physikalische
Anwendungen^) der folgenden Abänderung.
Von den beiden Differentialgleichangen
(B) g + 2A^ + x»a; - F{x, ^ - «ar» + 2ßxx' + yx'* + ■■-,
(5) ^ + 2X^^ + x'x^F(x,^^äx» + 2ßxx' + rx" + --
gelte die erste bei abnehmendem x (-jr < 0 j , die zweite bei zu-
nehmendem X (-^ > Oj . Die Losnng von (B) mit den Anfimg»-
bedingongen ,
sei
X =
die den Anfengsbedingungen
<-0, «-Ö, |f-=0
dt
entsprechende Lösung von (E) sei
X
<^<i = - rTe +
Die anfängliche Amplitude c sei positiv. Dann wird die Be-
wegung für
durch
dargesteUt; f&r ^ = ^ ist
X - cj = c 9i (^) + c« 9?8 ( J) + . . - .
1) Vgl. das Beispiel des Pendels mit Berflcksichtignng eines Yon der Ge-
schwindigkeit abhängigen Widerstandes am Schlüsse von § 7.
Von J. HoBH. 417
Die Lösmig you {ff) mit den Anfangsbedingungen
nämlich
X = c^qp.it - t^) + cl^i(t - ^) + . . .,
stellt die Bewegung für t^'^t^t^ dar; man hat
und fOr t^t^ ist
So fortfahrend, findet man nach Angabe der anfangHchen posi-
tiven Amplitude c die aufeinander folgenden Ausschlage c^, c^, c^, ...
und die Zeiten t^, ^, ^, . . ,, zu welchen sie erreicht werden. Der
Zusammenhang zwischen d^i, tk+i und a, h wird auf Grund der
Formeln Ton § 6 aus {B) oder aus (E) berechnet, je nachdem k gerade
(Cj > 0) oder ui^erade (c^ < 0) ist.
Als Beispiel diene das physische Pendel mit Berücksichtigung eines
Yon der Geschwindigkeit abhängenden Widerstandes. Ein schwerer
Körper schwinge um eine wagerechte Achse. Das vom Schwerpunkt
auf die Drehachse gefällte Lot von der Länge l bilde zur Zeit ^ mit
der Vertikalen den Winkel x. Das Moment des Widerstandes in Bezug
auf die Drehachse sei als Funktion der Winkelgeschwindigkeit o durch
die Reihe
Jf = aco + 6aj* + • • • (a>o)
dargestellt. Die Bewegungsgleichung lautet^)
qd*x 7 . dx — T /dx\^ ,
d X
WO die geraden Potenzen von -^ mit dem Zeichen — oder + versehen
werden, je nachdem -jr positiv oder negativ ist. Setzen wir f&r sinrr
die Reihe und führen wir die Bezeichnung
x« = ^' 2A = -- V- ^
wip*' '^ i»p*
1) Die Masse des Körpers sei m, der Trägheitsradins in Bezug auf die
Drehachse 9.
Ztitichrift f. Mathematik u. Physik. 47. Band. t90S. S. a. 4. Heft. 27
418 Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen etc.
ein, 80 haben wir die Differentialgleicliimg
worin das Zeichen + oder — gilt, je nachdem ^ negativ oder positiT
ist. Wenn wir noch a so klein Toranssetzen, dafs x > il wird, so gelten
die allgemeinen Formeln mit den Werten
a-O, /J-0, y = y; S = 0, ^=0, y = -y.
§8.
Es sei jetzt x < A (Fall der sog. aperiodischen Bewegung). Die
Oleichnnff
w* + 2Aw + X* = 0
hat jetzt zwei reelle negative Wurzeln
Wi A + yx^ - X«, iiij A - }/A«-«*.
Durch dieselben Rechnungen wie in § 5 findet man als Losung
von (B)
wo $ und $ Potenzreihen mit Gliedern von mindestens zweiter
Dimension sind, welche f&r hinreichend kleine Werte von | C^ \ ^*\
\C^\^' konvergieren.
Sind die Anfangsbedingungen
vorgeschrieben, so erhalt man aus den Qleichungen
c-Ci + Q + ¥(Ci, C,)
C^ und Q als Potenzreihen von Cj c':
n — ^' •" ^^ \ n fn^c — c'
* OTi — »»1 * iWj — m, '
Nimmt man | <^ |; | c' | hinreichend klein, so ist die obige Reihe
für X fQr ^ ^ 0 konvergent. Man kann x als Potenzreihe von c, c
mit von t abhängigen Koeffizienten oder auch als Potenzreihe ?on
c, c' c*"»^, e^' auffassen:
(c' — m,c)c'"«' — (c' — mjC)«"**' ,
3/ = — ^^— — ^-^^^-^— — — — — — — -4- . . . .
Von J. HoRM. 419
Man hat Um x = 0, lim o;' » 0 für lim ^ =- oo; es findet
asymptotische Annäherung an die Gleichgewichtslage ohne Schwin-
gongen statt.
Wir betrachten scMiefslich noch den FaU x^ X, in welchem die
quadratische Oleichung w* + 2ilm + x* = 0 die Doppelwurzel m = — A
besitzt. Durch die Substitution
geht (B) über in das System
-^ Aarj + F{Xi, a:, - Aa?,)
welches eine Lösung von der Fonn^)
X, = C,e-'< + % (C,c-", {CJ + C,)e-^'),
besitzt, wo Cj, C, Eonstante nnd ^, ^ Potenzreihen mit Gliedern von
mindestens zweiter Dimension sind, welche konvergieren, wenn die
absoluten Betrage der Argumente hinreichend klein sind. Daraus folgt
x' = (C^ - AC, - XCit)e-^' + ^(0,e-^', (C,< + Qe-*') .
Die Anfangsbedingungen
^ = 0, x^Cy x'^c'
ergeben
woraus man
Cg = c + ..., Ci-c' + Ac + -.-
als Potenzreihen von c^ c' erhält. Hiemach ist
rr = (c + (c' + Ac)0 c"^' + • • •
eine Potenzreihe der vier Argumente c, c', c~^', ic^\ welche bei
hinreichend kleinen Werten von | c | , | c' | für ^ ^ 0 konvergiert. Auch
jetzt hat man asymptotische Annäherung an die Oleichgewichtslage
ohne Schwingungen.
1) Vgl. die Arbeit des Verf. Crelle'e Jonm. Bd. 117, S. 104 ff. u. S. 261 ff.
27*
420 Zur Theorie der kleinen endlichen Sohwingong^n etc.
Dritter Abschnitt.
§9.
In der im zweiten Abschnitt behandelten Differentiaigleichnng {B)
sei jetzt A «= 0. Nehmen wir, was keine Beschränkung der Allgemein-
heit bedeutet^), x » 1 an, so haben wir die Bewegongsgleichung
(C) ^^ + ..j.(.,^),
worin
F(x, x") = ax^ + 2ßxx' + yx'^ + • • •
wie früher eine Potenzreihe mit Oliedem von mindestens zweiter
Dimension ist. Hier hängt, wie tvir sehen werden^ der Charakter der
Bewegung wesentlich von der Funktion F ab, die Beschränkung auf dk
linearen Glieder giebt im allgemeinen kein angenähertes BesuUat mehr.
Die durch die Anfangsbedingungen
bestimmte Lösung x von c kann in eine Potenzreihe von c
x^cq>i(t) + €^q>^{t) + ...
entwickelt werden , welche, wenn der Zeit t positive Werte unterhalb
einer irgendwie yorgeschriebenen Gh*enze ^q beigelegt werden, für hin-
reichend kleine Werte von | c \ konvergiert*) Aus den Differential-
gleichungen
Vi + 9>s =- «9? + ^ßvivi + yvi*
mit den Anfangsbedingungen
9,,(0)-0, 9,(0) = 0,
ergiebt sich
9i = cos t,
^^ = ^-t-^.^coat-^Bmt-'^^coB2t + ^8m2t,
wobei zu beachten ist^ dafs 9g, 9^, . . . auTserhalb der trigonometrischen
Funktionen t enthalten.
1) Man führt 71t als unabhängige Veränderliche ein.
2) Poincare, Möc. c^l. I, S. 68—61.
Von J. HoRN. 421
Wie in § 6 findet man die Ansschläge c^y c^ und die Zeiten ^ t^,
zu welchen sie erreicht werden:
q « — c + (PiiTcjc^-] , (VjW = « + y)
Ct = c + 9)a(2ar)c*H ;
^ = 2ä + 9)i(2Ä)c^ H
als Potenzreihen von e, welche konvergieren, wenn | c \ hinreichend
klein ist. Ersetzt man c, c^, c^ durch c$ny <^n + i, ^s» + st nnd be-
achtet man, dafs | Cj« | = Cj«, | c^n + i \ = — Cjn+i, | Cj^ + j \^Cfn + t ist,
wenn c positiv angenommen wird, so hat man
I C^n + l I = I Cin I — g>f(x) I C,n |* H ,
I Cin + % I = I Csn I + 98(2ä) | Cji, |'+---,
wo die Potenzreihen auf der rechten Seite für hinreichend kleine Werte
von \ Cin \ konvergent sind.
Wir setzen
und schreiben
wo
08-9,(2;r)
ist
§ 10.
Die notwendige und hinreichende Bedingung daßr, dafs die Be-
icegung hei hinreichend Meiner Amplitude c periodisch ist, besteht in dem
Verschwinden sämtlicher Gröfsen a^, a^y ...
Denn ist diese Bedingung erfüllt, so ist c, » c; man hat fOr t^t^
dieselben Werte von x xmd x' wie fQr ^ = 0. Soll umgekehrt x eine
periodische Funktion von t sein, so muTs eine der Gröfsen Cs» mit c
übereinstimmen; ax sei die erste der Gröfsen o,, a^ . . ., welche nicht
verschwindet; aus Cg = c + ax(^ -f . . . folgt C2« = c + nnxc^ + • • •, und
die Übereinstimmung von c^n niit c erfordert das Verschwinden von ax]
es müssen also sämtliche Gh'öfsen a,, a^, . . . verschwinden.
Die Periode ist
T= ^ = 2ä + q>'^{23t)c^ + '"7
die Ausschlage sind c und c ^ c^^
c = — c + 92(«)c* + • • • ,
und die zum Übergang aus der Lage x ^c in die Lage x^c er-
forderUche Zeit ^^ =- sc — 9^ W^ * ' ' •
422 Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingongen etc.
Wir setzen^)
27tt
sodafs X als periodisclie Funktion von u mit der Periode 2% erscheint:
WO ^r eine Funktion von u mit der Periode 2jr isi Um imter
YorauBsetzung der Periodizität ^^^ ^2; * * * ^ Verbindung mit T zu
berechnen, benutzen wir die Differentialgleichung
r« d
worm
ist. Man findet
^' = 1 + A,c« + A,c' + ...
^1 = cos u
und allgemein
flfx = Äu + ^ucosu + h -4^2 cos Au + J5iisinu H + ÄisinAi«.
Nach Berechnung von !(^i;... ^v->i und A,, ... kr^% hat man
nämlich fiir ^r eine Differentialgleichung von der Form
^r' + ^r + A,^y'__2 -\ h Ar _ l^r = ZCiJa''^a'' • • • ^/i'^/J" • • •
(a'-f-o"H \.ß'^ß"^ <r)
deren rechte Seite ^1;... ^r~i enthält, aber von Ar^i unabhängig
ist. Ist die oben angegebene Form von ^i ftir l<Cv nachgewiesen, so
hat unsere Differentialgleichung die Gestalt
^r' + ^, = Slor + (Ar _ 1 + Äi ,) cos w + h Ä», cos vu
+ 83i, Sinti H h SB,., sini/M.
Die Periodizität von ^^ erfordert Ay_i = — Äir, wahrend 81 » von
selbst verschwinden muTs. Aus der Differentialgleichung mit den
Anfangsbedingungen ^y(0) = 0, ^v(0) = 0 erhält man för ^^ einen Aus-
druck von der oben angegebenen Form.
Ahnlich wie in § 4 lälst sich x in eine nach cos und sin der
Vielfachen von u fortschreitende Reihe umwandeln^ deren Koeffizienten
Potenzreihen von c sind.
Es giebt besondere Fälle^ in welchen die Existenz periodischer
Lösungen von (C) sich sofort erkennen Ulfst. Wenn F{Xj x') bei einer
Zeichenänderung von x' ungeändert bleibt^ d. h. wenn die Reihen-
1) Vgl. § 3.
Von J. Hohn. 423
entwickelung von F{Xy z') nur gerade Potenzen von x' enthält (z. B.
F{x^ x')^yx'^)y 80 erkennt man, wie in § 1, dafs x und x für
' =* ^ + t dieselben Werte annehmen wie für < = ^^ — t. Die Werte
o: «= c, a;' = 0, welche wir für f = 0 hatten, treten also för t^2t^^
wieder auf, d. h. die Bewegung ist periodisch.
§ 11.
Es seien jetzt a,, a^, ... nicht sämtlich gleich Null, und zwar
sei ax {k ^ 3) die erste dieser Gröfsen, welche nicht verschwindet. Dann
ist unter Beibehaltung der am Ende von § 9 eingeführten Bezeichnung
%tl = 1 + a.Q-i + ai + iQ + . • .,
wo die Reihe rechts far hinreichend kleine Werte der positiven*)
Grofse Cn konvergent ist. Wir können zwei positive Gröfsen r und g
so angeben, dafs fOr Cn<r
ist. Nun sind zwei Fälle möglich.
1) Ist ai > 0, so ist fftr C ^ r
^ » 1 + a, C5 - 1 (l + ^-ti (7n + . . .) > 1 + (7 a, Q - 1 > 1 .
Man hat also
C^<C^<-'<Cn<Cn + u
falls C« < r ist, femer
Cn>C^{l+9aiCl-^Y, a + i>C»(l +gaxOi-').
Man kann mithin, so klein auch C^ angenommen war, die Zahl
m so wählen, dafs C^'^r^ Cm + 1 > r wird. Mit anderen Worten, wenn
auch die anfängliche positive Amplitude c noch so klein ist, so kann
man doch eine Zahl m so angeben, dafs Ctmy d. i. der Wert von x für
i^Um} gröfser als r ist. D. h. die Gleichgewichtslage x ^Q ist in-
stabil Dabei ist die folgende Definition der Stabilität zu Grunde
gelegt: Das Gleichgewicht ist stabil, wenn nach Angabe einer beliebig
kleinen positiven Gröfse s eine positive Gröfse 17 so gewählt werden
kann, dafs, wenn die Werte x^^ Xq von x und a?' fftr < = 0 die Be-
dingung
\^o\<Vf \^o\<V
1) In § 9 ist c positiv angenommen.
424 ^^^ Theorie der kleinen endlichen Schwingungen etc.
erföUen, für alle Werte von ^^0
\x\<€y \x'\<6
bleibt.
2) Ist ai < 0, etwa a^ = — «i, ax > 0, so ist für C« ^ r
£!L+i = 1 _ axCi,-'[l + ^+iC7. + .-•)< 1 -ffaxCi-' < 1.
folglich Cn+i<C». Die abnehmenden Gröfsen
^0? ^1} ^99 • • •
besitzen einen positiven oder verschwindenden Grenzwert P. Wäre
r> 0, so hätte man wegen Cn> F
^<l-i7a,r^-i
folglich
und demnach
C„<Co(l-sr«,r^-x)
lim C, = 0,
«SS OB
falls Cq^t war. Bei hinreichend kleiner Anfangsamplitude c ist
limc8,==0;
nasQD
aus
folgt limcjn+i = 0. Das System nähert sich für < = oo der Gleich-
II SS) OD
gewichtslage x =^0, indem es um .dieselbe schwingt.
Wir haben folgendes Ergebnis:
Wenn die Bewegungsgleichung (G) besteht, ist x ^0 dann und nur
dann eine stabile Gleichgewichtslage^ wenn entweder säfnüiche Oröfsen %,
«4, . . . verschwinden oder wenn die erste dieser Oröfsen, wdAe nicU
verschunndety negativ ist Bei hinreichend Meiner Amplitude c finden im
ersten Falle periodische, im zweiten FaUe gedämpfte Schwingungen um
die Gleichgewichtslage x = 0 staM.
Nachdem man im Falle der gedämpften Schwingungen die aufein-
ander folgenden Ausschläge c^, c^ , . . vermittelst der Beku^ionsfonnel
berechnet hat, erhält man die Zeiten t^j t^, . . ., zu welchen dieselben
erreicht werden, aus
tk^i — <* = Ä — q>i(7t)Ck + • • •;
Von J. HoRH. 425
zur Darstellung der Bewegung im Zeitinterrall tjt^t^tk^i dient die
Gleichung
^ =• c*9i(^ - ^*) + ^9i(^ -'*) + •• --O
§ 12.
Zum Zwecke gewisser physikalischer Anwendungen bedürfen die
bisherigen Entwickelungen einer ähnlichen Modifikation wie in § 8.
Es gelte die Gleichung
oder die Gleichung
(C) ä^ + ,^F(.,ä^),
je nachdem x abnimmt oder zunimmt; es sei
F{Xy x') =» ax^ + 2ßxx' + yx'^ + • • •,
F[x, x') ^ax^ + 2ßxx' + yx'^ + • • •.
Die Losung von (C) mit den Anbngsbedingungen ^ » 0, x '^ c,
dx ^
y = l
die Losung yon (C) mit den Anfangsbedingungen ^ =» 0, x ^ c,
dx ^
dabei ist 9>i » 7i ^ cos ^.
Für t^t^, wo
i8i> hat man
OB
X ^^c^q>,(t)
mit der äulkersten Lage für ^ =» t^
a? = Cj — — c + q>^(^)c^ H
1) Übrigens konvergiert diese Beihe auch fOr tj^j^^<i t < (^, und swar ist
'o 1U& so grOfser, je kleiner \ck\ ist. (Vgl. die zweite FoTsnote zu § 2.)
426 Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen etc.
Für t^^t^t^ ist
.T-^cI^.C^-O
mit der äursersten Lage
ic — c, = — Cj + 92(3r)cJ -\ .
Usw. Dabei ist die A nfangsamplitade c als positiv yoraiugesetzt.
Es sei c, = c + a,c« + a,c» + . . •
mit
Allgemein ist
und
C211 + I =» — C2« + 9i(^)^n H .
Ahnlich wie in § 10 und § 11 findet man^ dafs die Gleichgewichtslage
o: « 0 dann und nur dann stabil ist, wenn entweder sämtliche OroÜBen
(hf ^} ' ' ' verschwinden oder wenn die erste dieser Grofsen, welche
nicht verschwindet, negativ ist. Im ersten Falle finden periodische, im
zweiten gedämpfte Schwingungen um die Gleichgewichtslage x=^0 statt
Als Beispiel betrachten wir das physische Pendel unter einem dem
Quadrat der Geschwindigkeit proportionalen Widerstand. Setzt man in
dem Beispiel von § 7 a = 0, so erhält man die Bewegungsgleichmig
und zwar gilt im letzten Glied das Zeichen — oder +; je nachdem
WT- positiv oder negativ ist Diese Gleichung schreibt sich
d
d^x __ — h / dx \*i ^*__
in den obigen Formeln hat man
zu setzen und ^^ t statt t zu schreiben. Wegen o^ ■= — • 2y < 0 treten
gedämpfte Schwingungen auf.
§ 13.
Der dritte Abschnitt lä&t sich zu den Untersuchungen Ton
Poincare über die durch Differentialgleichungen definierten Karren^)
in Beziehung setzen. Wenn wir auch von dieser Beziehung keinen
1) Poincar^, Liouv. Joum. 1886. — Picard, Tiait^ Bd. m. S. 207-227.
Von J. HoBH. 427
Gebrauch gemacht haben^ so ist doch ein kurzer Hinweis darauf von
Interesse.
Aus dem System
(a) -Si^^^'^-Ji^^^'^ ^^^' ^')'
durch welches die Differentialgleichung (C) in § 9 ersetzt werden kann^
erhalt man durch Elimination von dt die Gleichung
^v dx dx
welche den singularen Punkt a: = 0, a;' = 0 besitzt. Ist * eine Funk-
tion Ton X und x\ welche der partiellen Differentialgleichung
*'||-(x-F(.;,a:'))|| = 0
genügi^ so ist 9 » const. ein Integral von (&). Setzt man fflr 9 eine
Potenzreihe von Xj x',
worin 0^ = x* + x'^ und O^ eine ganze homogene Funktion iten
Grades ist^ so erhalt man för O^ eine Differentialgleichung
deren rechte Seite ^- von den 0^(n<,i) abluLngt. Hat man für
0,(n < i) eine ganze homogene Funktion nten Grades gefunden, so
ergiebt sich fElr O^ im Falle eines ungeraden i eine ganze homogene
Funktion tten (Grades, im Falle eines geraden i ^ 4 jedoch nur dann,
wenn eine gewisse Eonstante C^ verschwindet.^)
Sind alle Eonstanten C^ (^»4,8,8...) gleich Null, so erhalt man
fEbr 4> eine Potenzreihe von x, x\ welche f&r hinreichend kleine Werte
von I o; I , \x' \ konvergent ist; in diesem Falle wird der singulare
Punkt a? = 0, a;' = 0 der Differentialgleichung (6) von Poincare als
centre bezeichnet. Das System (a) wird durch periodische Funktionen
X, x' von t befriedigt^ falls die Werte x^ x^ von a?, a;' fttr ^ = 0 dem
absoluten Betrage nach hinreichend klein sind.
Sind die unendlich vielen Bedingungen für das Vorhandensein
eines centre nicht erfüllt und ist die erste nicht verschwindende Eon-
staute C^^ negativ, so tritt der Punkt (a;, x'), welcher sich für < = 0
m beliebiger Nähe von 0 (a; =» 0, a:' = 0) befiEmd, mit wachsendem t
aus einer den Anfangspunkt 0 umgebenden geschlossenen Eurve heraus;
1) Picard, a. a. 0. S. 210.
428 Znr Theorie der kleinen unendlichen Schwingungen etc. Von J. Hoia.
wenn sich t der Grenze — oo nähert^ nähert sich (x, x') auf einer
Spirale der Lage 0. Ist die erste nicht verschwindende Konstante 0$
positiv, so hat man in dem soeben ausgesprochenen Satze nnr das Vor-
zeichen von t zu vertanschen.
Faust man x, x* als Koordinaten eines Punktes P in der Ebene
auf, der sich den Gleichungen (a) zufolge bewegt, so sind die in der
Nähe Ton 0 verlaufenden Bahnkurven von P in allgemeinen Spiralen
mit dem asymptotischen Punkt 0 (welcher entweder für < = — oo oder
fOr t=^ + (x> erreicht wird), im Falle des centre jedoch geschlossene
Kurven, welche 0 umgeben. Es ist also stets ein Schnittpunkt
a? =« c(c > 0), a;' = 0 der Bahnkurve mit der o^Achse vorhanden; wir
können annehmen, dafs diesem Schnittpunkt die Zeit ^ = 0 entspricbt
Damit ist die in § 9 eingeführte Form der Anfangsbedingungen
i « 0, a; = c, ^ = 0
gerechtfertigt. Ohne Bezugnahme auf die soeben kurz zusammen-
gefaüsten Resultate von Poincar^ erreicht man dieses Ziel auf folgen-
dem Wege.
Die Differentialgleichung Q)) geht durch Einfahrung von Polar-
koordinaten, d. L durch die Substitution
x^QCosOy x'^Qsindy
über in
WO A, B ganze Funktionen von cos0, sin0 sind.^) Die durch den
Punkt
gehende Integralkurve wird durch die Gleichung
dargestellt, deren rechte Seite eine Potenzreihe von Qq mit von 6 ab-
hängigen Koeffizienten dargestellt wird, welche fOr Werte von Qq unter
einer gewissen Grenze konvergiert^ wenn 0 auf das Intervall 0 > • > 2x
beschrankt wird. Setzt man darin 0 = 0 oder = 2;r, so erhält man
för Q einen gewissen Wert c. So ergiebt sich a? = c, a?' = 0 ab
Schnittpunkt der Integralkurve mit der o;- Achse, welchem wir die Zeit
^ = 0 zuordnen können.
1) Picard, a. a. 0. 8. 2U.
über die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc. Von 0. Fischbr. 429
über die reduzierten Systeme
und die Hauptpunkte der Glieder eines Oelenkmeclianismus
und ihre Bedeutung für die technische Mechanik.
Von 0. Fischer in Leipzig.
Bei meinen Untersuchungen über die Mechanik des menschlichen
Körpers^) bin ich darauf gefOhrt worden^ gewisse Massensysteme und
feste Punkte innerhalb der einzelnen Glieder in die Betrachtung herein-
zuziehen, welche sowohl in kinematischer, als auch in kinetischer Hin-
sicht eine wesentliche Vereinfachung und auch zugleich gröüsere An-
schaulichkeit der Untersuchung bedingen. Die an dem speziellen
Beispiel des menschlichen Körpers gewonnenen Gesichtspunkte lassen
sich leicht fOr jeden beliebigen Gelenkmechanismus verwerten. Ich
entspreche daher gern der an mich ergangenen Aufforderung, dieselben
im folgenden auseinander zu setzen, und ihre Anwendbarkeit auf die
in der Technik verwendeten Gelenkmechanismen an einigen speziellen
Beispielen darzulegen.
A. Das dreigliedrige Geleuksystem.
1. Voraussetzungen und Definitionen.
Es möge zunächst ein System von drei Körpern in Betracht ge-
zogen werden, bei welchem sowohl der erste und zweite, als auch der
zweite und dritte Körper durch je ein Chamiergelenk mit einander in
Verbindung stehen. Die beiden Gelenkachsen seien gleich gerichtet,
und der Schwerpunkt des mittleren Körpers liege mit denselben in
einer Ebene. Femer möge die Ebene, welche man in irgend einer
beliebigen SteUung des Systems durch die Schwerpunkte der drei
Korper hindurch gelegt denkt, auf der gemeinsamen Richtung der
Gelenkachsen senkrecht stehen; dann wird dies in allen anderen
Stellungen der Körper zu einander auch der Fall sein. Macht man
noch die Voraussetzung, dafs die durch die drei Schwerpunkte be-
stimmte Ebene im Raum fest bleibt, so vermag das System der drei
Korper nur ebene Bewegungen auszuführen. Es genügt daher in diesem
Falle, die Projektion der Bewegung auf die feste Ebene zu untersuchen.
1) veröffentlicht in den Abhandlungen der mathematisch-phyBiBchen Klasse
der Königlich S&chsischen Gesellschaft der Wissenschaften Band XX, XXII, XXIIT,
XXV und XXVI.
430
Über die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc.
Es sollen nun folgende Bezeichnungen eingefahrt werden. Die
Massen der drei Körper seien m^, m^, m, und die Schwerpunkte der-
selben S^, 8^, 5,. Die Dnrchschnittspnnkte der beiden Oelenkachsen
mit der festen Ebene mögen die Mittelpunkte der beiden Gelenke
heifsen und mit (ri, 2 resp. Crg,» bezeichnet sein (vgL Fig. 1). Die
Verbindungslinien ÄiGi, 2, Gi^gtra,» und Ga, »/Sj, bezüglich deren Ver-
längerungeUy welche nach der gemachten Voraussetzung immer in die
feste Ebene hineinfallen^ sollen die Langsachsen der drei Körper ge-
nannt sein; die Langsachse des zweiten Körpers wird dann gleichzeitig
Fig. 1.
den Schwerpunkt 8^ enthalten. Es ist nun noch nötig, auf jeder der
drei Längsachsen eine positive und eine negative Richtung zu unter-
scheiden. Die positive Bichtung soll diejenige sein, in welcher die
Längsachse durchlaufen wird, wenn man von 8^ aus den gebrochenen
Linienzug Ä 01,26^2,8^8 beschreibt. Endlich soll vorausgesetzt werden;
dafs die Längsachse eines jeden der drei Körper eine Haupttriigheits-
achse für seinen Schwerpunkt darstellt, und dafs die Trägheitsmom^te
für alle zur Längsachse senkrechten Achsen durch einen Schwerpunkt
gleich grofs sind. Dann stellt auch die zu den Gelenkachsen parallele
Schwerpunktsachse eines jeden der drei Körper eine Hauptia^heita-
achse dar; der zu der letzteren gehörige Tiügheitsradius, welcher zu-
Von 0. FiscHEB. 431
nacliBt aUein in Frage kommt, sei für die drei Körper des Systems
bezüglich mit x^, x^j x, bezeichnet.
Das Eorpersystem besitzt nun im allgemeinsten Falle ebener Be-
wegung 5 Ghrade der Freiheit; es mofs daher seine Lage im Ranme
durch 5 allgemeine Koordinaten eindeutig bestimmt werden können.
Ist insbesondere die ebene Bewegung noch in der Weise beschrankt,
dalE dabei ein Punkt des Körpersystems in der festen Ebene seine
Lage beibehält, so bleiben dem Gelenkmechanismus nur 3 Grade von
Bew^ungsfreiheit, so dafs also die Anzahl der allgemeinen Koordinaten
sich noch um 2 verringert. In diesem speziellen Falle, der gerade in
der Technik oft vorkommt, wählt man als allgemeine Koordinaten
zweckmatsiger Weise die Winkel q>i, (p^, q>^ (Fig. 1), welche die
positiven Richtungen der drei Längsachsen mit einer bestimmten
Richtung in der festen Ebene bilden. Auch im allgemeinen Falle kann
man diese Winkel als drei Koordinaten für das Körpersystem auffassen;
man hat denselben dann nur noch zwei Koordinaten hinzuzufügen,
welche die Lage irgend eines, etwa in der Ebene der drei Schwerpunkte
hegenden Punktes des Systems in dieser festen Ebene eindeutig be-
stimmen. Dieser Punkt kann beliebig in irgend einem der drei Körper
angenommen werden, es genügt aber auch, wenn er eine bestimmt
definierte Lage zu den drei Körpern für jede Stellung derselben be-
sitzt. Das letztere trifft z. B. für den Gesamtschwerpunkt S^ des
Körpersystems zu.
Der auf der Längsachse des ersten Körpers liegende Schwerpunkt
S^ besitze vom Gelenkmittelpunkt (ri, a die Entfernung s^, der auf der
Längsachse des zweiten Körpers liegende Schwerpunkt 8^ von den
beiden Gelenkmittelpunkten 6ri, % und Gi, s bezüglich die Entfernungen
t*s und s^y und der auf der Längsachse des dritten Körpers liegende
Schwerpunkt S^ endlich vom Gelenkmittelpunkt 6rs, s die Entfernung r^.
Bedeutet 2| den Abstand der beiden Gelenkmittelpunkte von einander,
80 hat man dann noch die Beziehung r^ + $a =" U- -^^ diese Strecken
BoUen in derselben Richtung wie die Längsachsen selbst, auf denen sie
liegen, positiv gerechnet werden.
Ich denke mir nun im Punkte 6ri, s die Massen m, und m, kon-
zentriert und dem ersten Körper hinzugefügt, femer für den zweiten
Körper im Punkte Cri^j die Masse m^ imd im Punkte (t2, s die Masse
^8 konzentriert und ihm hinzugefügt, und endlich im Punkte G^^ s die
Massen m^ und m, konzentriert und dem dritten Körper hinzugefügt.
Dabei ist natürlich sowohl Gi^i als auch 6r2,8 das eine Mal als fester
Punkt des einen, das andere Mal als fester Punkt des andern der
beiden durch das betreffende Gelenk verbundenen Körper aufgefafst
432
Ober die redozieiteii Systeme und die Hauptpunkte etc.
Auf diese Weise entstehen drei Massensysteme von der (Gesamtmasse
m^ » m^ -f ^ + ^8 ^^ ganzen Eörpersystems. Ich bezeichne sie als
y^redturierie Systenuf', nnd zwar im vorliegenden Falle als erstes^ zweites
oder drittes redoziertes System, je nachdem es sich dabei um den
durch die beiden anderen Massen belasteten ersten, zweiten oder dritten
Körper des gegebenen Systems handelt Es lälst sich nun oline
weiteres einsehen, dals der Schwerpunkt eines jeden der drei reduzierten
Systeme einen unveränderlichen Punkt des zu Grunde gelegten Körpers
darstellt, der unter den getroffenen Voraussetzungen über die gegen-
seitige Lage der Gelenkmittelpunkte der drei Körper auf der Langs-
achse des betreffenden Körpers liegt. Diese Schwerpunkte der drei
reduzierten Systeme nenne ich die y^Hauptpunkt^^ der drei Körper; sie
mögen durch JET^, JS,, H^ bezeichnet sein.
In der folgenden Figur 2 sind die drei Hauptpunkte auf den
Längsachsen eingezeichnet worden. Die genaue Lage derselben richtet
Fig. j.
sich natürlich nach dem Gröfsenverhältnis der drei Massen und der Lage
der Schwerpunkte /S^, Sg, 8^, Führt man folgende Bezeichnungen ein:
^8-^»
's;
Von 0. FisoHBB. 433
wobei wieder die einzelnen Sirecken in derselben Richtung wie die
Längsaclifien selbst positiv gerechnet werden sollen, so folgen aus der
Bedeutung der Hauptpunkte als Schwerpunkte der drei reduzierten
Systeme bei der in Figur 2 angenommenen Lage von H^ ohne weiteres
zwischen diesen Gröfsen die Relationen:
— m^e^ + (wg + w,)^! = 0
(1) — mjCj — WjCj + w^d^ = 0
— (mi + Wg) c, + WjC, = 0.
Die Strecken d^^ c^, d^ und c^, durch welche die Lage der drei
Hauptpunkte zu den beiden Oelenkmittelpunkten bestimmt wird, sollen
kurz ab Hauptstrecken bezeichnet sein. Die Gröfse derselben gewiont
man mit Hülfe der leicht abzuleitenden Relationen:
(2) WoCj ^m^r^ + m^l^
m^d^ = mj^ + WjS,
Für die Entfernung der Hauptpimkte von den zugehörigen Einzel-
schwerpunkten hat man endlich noch die Relationen:
(3) m^e^ = — Wi rj + ^,5,
Wo^s = (% + ^2)^8 •
Aus allen Relationen geht übereinstimmend hervor; dafs die Lage
des Hauptpunktes eines Gliedes nicht von den absoluten Gröisen der
Massen der drei Glieder des GelenkmechanismuS; sondern nur von
deren VerhÖtnissen abhängt.
Die Hauptpunkte der Glieder eines Gelenkmechanismus spielen
nun, wie wir sehen werden, für die Kinetik desselben eine ähnliche
Rolle, wie der Schwerpunkt bei einem einzigen starren Körper.
Es wird sich weiterhin zeigen, dafs auch die Trägheitsmomente
der reduzierten Systeme in Bezug auf ihre Schwerpunktsachsen, d. h.
also die durch den Hauptpunkt der einzelnen Glieder gehenden Achsen,
för die Bewegung des ganzen Körpersystems eine ähnliche Bedeutung
erlangen, wie die Trl^heitsmomente eines einzigen starren Körpers.
Bei den das Problem vereinfachenden Voraussetzungen über die
Massenverteilung und die Lage des Schwerpunktes in den einzelnen
Qliedem ergiebt sich zunächst, dafs die Längsachse eines jeden Gliedes
auch für das entsprechende reduzierte System eine Hauptträgheitsachse
darstellt, und dafs auch hier das Trogheitsellipsoid ein Rotations-
Ztltfchriit f. ICathereatik Q. Physik. 47. Band. 1902. S.u. 4. Heft. 28
434 Über die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc.
ellipsoid mit der Längsachse des Gliedes als Rotationsachse ist Da-
her stellt auch die zu den Gelenkachsen parallele Hauptpunktsachse
eine Hauptträgheitsachse des reduzierten Systems dar. Bezeichnet man
den zu letzterer gehörenden Trägheitsradius für die drei Glieder be-
züglich mit k^f k^, k^ und beachtet^ dafs jedes reduzierte System die
Gesamtmasse niQ besitzt^ so ergeben sich aus der Zusammensetzung
der drei reduzierten Systeme folgende Werte der entsprechenden Träg-
heitsmomente:
(4) Wo*^ = m^{xl + 4) + ^1^ + ^9^
2. Zusammenhang der Hauptpunkte mit dem
Gesamtschwerpunki
Zieht man von einem beliebigen Punkte 0 aus die YerbindungB-
Vektoren nach den drei Einzelschwerpunkten Sk und dem Gtesamtr
Schwerpunkt Sq, so findet bekanntlich die Yon Leibniz herstammende
Relation statt
[OSo^'-^^m.WS.l
wobei die eckige Klammer die Strecken als Vektoren kennzeichnen,
und daher das Summenzeichen die geometrische Addition andeuten soll.
Läfst man nun den Punkt 0 der Reihe nach mit H^, \B^ und H^ zu-
sammenfallen und ersetzt dabei im ersten Falle die Strecken \S^S^
und [jB^S,] durch die Yektorsummen d^ + r^ und öE^ + ^ + ^j» i^i
zweiten Falle [jB^SJ und [H^S^ durch die Yektorsummen —\—\
und d^ + r^ und im dritten Falle \H^8^ und [-ffjSg] durch die Yektor-
summen — Cj — ^ — 5i und —c^ — ^ij wobei die nur durch einen
einzigen Buchstaben dargestellten Vektoren einfach mit einem über
dem Buchstaben befindlichen Strich bezeichnet sind^ so erhalt man
unter Berücksichtigung der Relationen (1) und (2) die einfachen
Formein:
(5) [Si^o] = Ca + c«; [SjiSo] = -^ + c, und [^3^0] = -^-^-
Es gilt also der
Satz: Man gelangt stets bu dem Gesamtsdmerpunkte Sq des KSrpef"
Systems, wenn man von irgend einem HoMptpankte H^ der drei Körp^
am die geometrische Summe der m den beiden anderen Körpern gdämr
den Hauptstrecken bildet, welche innerhalb des gebrochenen lAnieius^
Von 0. FxBCHEB.
435
der drei Längsachsen dem jten Körper am nädisten liegen, und dabei
diese Hauptstrecken in einer t)on Hj abgewendeten Richtung verwendet
Führt man die hierdurch gegebene Eonstmktion des Gesamt-
Schwerpunktes auf verschiedene Weise aus, wie es in Fig. 3 geschehen
ist, so erkennt man auch leicht die Möglichkeit, sich auf automatischem
Wege die Lage des Gesamtschwerpunktes für jede Stellung der drei
Körper zu einander abzuleiten. Man braucht nur die in Figur 3 ein-
gezeichneten sechs Hauptstrecken ; welche von den Hauptpunkten aus
zu Sq hinführen, als starre Stabe ausgeführt zu denken, die zum Teil
in den Hauptpunkten, zum Teil in den Punkten J7i, s; S^^z ^^d Sq
Fig. 8.
durch Ghamiergelenke mit den drei Körpern, bezüglich untereinander
gelenkig verbunden sind, und der Mechanismus für die automatische
Einstellung des Gesamtschwerpunktes ist fertig. Natürlich müssen
dabei die Achsen der verschiedenen Ghamiergelenke zu den Achsen
der beiden, die drei Körper untereinander verbindenden Gelenke parallel
gerichtet sein.
Hätte man ein System von nur zwei Körpern, die durch ein Ge-
lenk mit dem Mittelpunkt O verbunden sind, so würde sich die Kon-
struktion des Gesamtschwerpunktes mit Hülfe der Hauptpunkte noch
ein£EU5her stellen. Unter den Hauptpunkten der beiden Körper sind
dabei wieder die Schwerpunkte der beiden reduzierten Systeme zu ver-
stehen, welche man dadurch erhalt, dafs man jedem der beiden Körper
die im Gelenkmittelpunkt G konzentriert angenonmiene Masse des
28*
436 Über die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc.
anderen Körpers hinzngefägt denkt. Daraus geht aber hervor, dab der
Hauptpunkt H^ die Strecke S^ G auf der Längsachse des ersten EörpeiB
(vgl. Figur 4); und der Hauptpunkt H^ die Strecke GS^ auf der
Längsachse des zweiten Körpers im gleichen Verhältnis, nämUch im Ver-
hältnis der beiden Massen m, und m^ teilt.
Da nun auch der Gtesamtschwerpunkt 8^ des Systems der zwei
Körper die Verbindungsstrecke S^S^ der beiden Einzehschwerpunkte in dem-
selben Verhältnis teilt, so ist aus Figur 4 ohne weiteres zu erkennen, dab
die vier Punkte £>o, H^ G und H^ die Ecken eines ParallelogrammB dar-
stellen. Bezeichnet man wieder die Hauptstrecke H^G mit d^ und
Fig.i.
die Hauptstrecke GH^ mit c^ und rechnet dieselben in der Ricktnng;
in welcher sie von 8^ über G nach 8^ durchlaufen werden, positiy, so
ist denmach
(6) VS^S^^^+c^ lind [fl,So]--rfi.
Es gilt also fiir das zweigliedrige System der
Satz: Man gelangt zu dem Gesamtschwerpunkt 8q des Systems
zweier Körper ^ wenn* man von einem der beiden Sduptpunkte aus die
zum anderen Körper gehörende Hauptstrecke in der van ihm abgewendek»
Richtung abträgt.
Mit Hülfe dieses Satzes über das System zweier Körper kann
man sich nun leicht Bechenschaft über die Bedeutung der beim drei-
gliedrigen System in Figur 3 mit fli, % und H%^ 3 bezeichneten Kreu-
zungspunkte je dreier Hauptstrecken geben.
Denkt man sich nämlich beim dreigliedrigen System einmal die
beiden ersten Körper gegen einander festgestellt, so hat man nur
Von 0. FiBCREB. 437
ein Gelenksystem von zwei Körpern mit den Massen (m^ + m,) und
Hl, vor sich. Die Hauptpunkte H^ und H^ verlieren dann ihre Be-
deutung^ und an ihre Stelle tritt ein einziger Hauptpunkt des aus
den Wden ersten Körpern zusammengeaetzten starren Systems. Dieser
Hauptpunkt ist nun gerade der in Figur 3 mit ^i, t bezeichnete
Punkt. Davon kann man sich leicht auf folgende Weise überzeugen.
Zunächst ist ersichtlich, dafs ^3 nach wie vor seine Bedeutung
als Hauptpunkt eines der beiden Körper des nunmehr zweigliedrigen
Systems beibehält; denn seine Lage hing ja auch beim dreigliedrigen
System nur von der Gesamtmasse m^ + m, der beiden anderen Körper,
nicht aber von der gegenseitigen Stellung derselben ab. Da femer
Gs, 3 der Mittelpunkt des einzigen Yerbindungsgelenks darstellt, so
stellt auch c^ die eine der beiden Hauptstrecken dar. Der Hauptpunkt
des aus den ersten beiden Körpern zusammengesetzten starren Systems
mufs daher nach dem obigen Satze über das zweigliedrige System mit
dem Endpunkt des vom Gesamtschwerpunkt 8^ aus in umgekehrter
Richtung abgetragenen Vektors Cg, d. h. also mit dem Punkte H\^ %
zusanunenfEkUen. Gleichzeitig folgt hieraus, dafs die zum ersten der
beiden Glieder gehörende Hauptstrecke mit der Yerbindungsstrecke
^1, s^s, s identisch ist, und dafs deren Verlängerung durch den Gesamt-
schwerpunkt 5i, s des ersten und zweiten Körpers hindurchgeht, wobei
Ä, tSi, s : Ä, sog, 8 = m, : (mj + m,).
In der That stellt sich auch heraus, dab die Strecke \H^S^ gleich der
Strecke [Gs, s ^1, s] ist, wie es nach dem obigen Satze der Fall sein mufs.
So lange die beiden ersten der drei Körper gegeneinander fest-
gestellt sind, ist auch Hi^ % ein fester Punkt in diesem starren System.
Wenn dagegen den beiden ersten Körpern wieder Beweglichkeit gegen
einander verliehen wird, so ändert der Punkt Ht^ 2 bei der Bewegung
im ersten Zwischengelenk {Gi^ %) fortwährend seine Lage relativ zu
den beiden Körpern, wie ja auch der gemeinsame Schwerpunkt 5i, ,
dieser beiden Körper nicht festliegt. Auch in dem Falle freier Beweg-
lichkeit soll für den Punkt ^1, % die Bezeichnung als f^Hauptpunkt des
Systems der beiden ersten Körpe/' beibehalten werden.
Man erkennt nun ohne weiteres, dais der in Figur 3 mit H^^ 3
bezeichnete Punkt den in seiner Lage veränderlichen Hauptpimkt des
aus dem zweiten und dritten Körper bestehenden Gelenksystems dar-
stellt Die zugehörige veränderliche Hauptstrecke ist (71, $ Ht^ s; auf
ihrer Verlängerung liegt der veränderliche Gesamtschwerpunkt 8%^ s des
zweiten und dritten Körpers, und zwar so, dafs
Gl, 2 -ffj, 8 • Ä, 8 &, 8 = (wi, -f- mj) : m^.
438 fiber die reduzierten Sjaleme imd die Hanptpunkt« etc.
Die beiden veränderlichen Syatemliauptp unkte Si_ % und Ht, >
lassen sicli für jede tielenkstellung leicht mit Hülfe der Hauptponkt«
und Hauptstrecken der drei Körper bestimmen. Um zu fli, • zu ge-
langen, braucht man nur entweder von iJ, aus den Vektor -f Cj oder
von Sf aus den Vektor — rf, zu ziehen. In entsprechender Weise
stellt sich Hs, s als Endpunkt des von H^ aus gezogenen Vektors + c^
oder des von H^ aus gezogenen Vektors — rfj dar. Mau gewinnt also
den veränderlichen Hauptpimlct eines Systems zweier durch ein Gelenk
verbundenen Körper auf ganz entsprechende Weise wie den Gesamt-
Bchwerpunkt dieses zweigliedrigen Systems. Man hat dabei nur nicht
anXser Acht zu lassen, dafa die dem System der drei Körper angehören-
den Hauptpunkte H, und H^ natürlich nicht mit den Hauptpunkten
zusammenfallen, welche man für die beiden ersten Körper erhält, wenn
man den dritten Körper ganz vom System abgelöst denkt. Die letzteren
sind es aber, welche der Konstruktion des Gesamtschwerpunktes 5i. i
der beiden ersten Körper zu Grunde gelegt werden müssen. Ebenso
wenig darf man bei der Konstruktion des Gesaintschwerpunktes Sj, i
des zweiten und dritten Körpers von den dem System der drei Körper
angehörenden Hauptpunkten H, und /T, ausgehen, sondern von den
Hauptpunkten, die man nach Abtrennen des ersten Körpers erhält.
Man hat eben immer im Auge zu behalten, dafa der Hauptpunkt eines
Körpers nicht allein durch die Massen Verteilung innerhalb desselben,
sondern auch durch den Zusammenhang dieses Körpers mit allen
anderen Körpern des Gelenksystems bestimmt wird. Scheidet ein
Körper aus dem System aus, so verlieren die sämtlichen Haaptpun3[te
ihre Bedeutung und sind durch andere, den abgeänderten Verbältnisfen
entsprechende, zu ersetzen.
3. Bestimmung der Bewegung des Geaamtscbwerpunktes mit
Htilfe der Hauptpunkte und Hauptstrecken.
Der enge Zusammenhang zwischen dem Gesamtschwerpunkt und
den Hauptpunkten ermöglicht nun eine sehr einfache Ableitung sowohl
der Bahnkurve, als auch der Geschwindigkeiten und BeschleunigUDgen
des Gesamtschwerpunttes, Die Bewegung des letzteren kann nach den
Erörterungen des vorigen Abschnittes (vgl. Figur 3) z. B. aufgeiafsl
werden als die Resultante, aus der Bewegung des Hauptpunktes ff,,
der Bewegung des System hauptpunktes H,, g relativ zu ff, und der
Bewegung des Gesamtschwerpunktes Sg relativ zu i/j, s- Natürhch
könnte man auch von der Bewegimg des zweiten oder dritten Haupt
punktes ausgeben und würde dann zu ganz entsprechenden Ergebniaseu
Von 0. FiBCHEB. 439
gelangen. Die Bewegung von Hi^ s relativ zu H^ findet auf einem
Kreise mit dem Radius c^y und die Bewegung von S^ relativ zu ^i, 2
auf einem Kreise mit dem Radius c^ statt. Dabei besitzt Hi^ % relativ
zu J3^ dieselbe Winkelgeschwind^keit und Winkelbeschleunigung, mit
der die Längsachse des zweiten Körpers im Räume ihre Richtung
ändert. Desgleichen dreht sich 8^ und ^1, % mit der gleichen Winkel-
geschwindigkeit und Winkelbeschleunigungy mit welcher die Längsachse
des dritten Körpers im Räume ihre Richtung verändert. Dies eigiebt
sich einfach aus dem Umstände^ dafs während irgend einer Bewegung
des Körpersystems stets H^ Ht, 2 || Gri, a S^ ^uid Hi^ s Sq || G%^ $ H^ (vgl.
Figur 3) bleiben muTs.
Macht man nun noch die bei Problemen der Technik vielfach ver-
wirklichte Annahme, dais ein Punkt 0 der Längsachse des ersten
Körpers festbleibt, und also der erste Körper nur Drehungen um eine
za den übrigen beiden Gelenkachsen parallele Achse durch 0 auszufahren
vermag, so ist auch der Hauptpunkt H^ auf einen Kreis um 0 ge-
zwungen.
Die auf der Längsachse des ersten Körpers liegende Strecke [0^^]
sei kurz durch \ bezeichnet und ebenfalls eine Hauptstrecke des
ersten Körpers genannt. Dann hat man zunächt f[b- den veränder-
lichen Vektor Cq zwischen 0 und dem 6esamtschwerpnnkt S^
(7) c- =2^».
Femer ergeben sich ohne weiteres fär die Geschwindigkeit v^ und
die Beschleunigung h^ des Gesamtschwerpunktes die Formeln
s
(8) \ ^^c^h
1
und
(9) &o -=^* [ph (fh ' + CikV*'] ,
1
unter g>k nnd g>h die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung
der Drehung des hten Körpers verstanden. Dabei ist zu beachten, dafs
jede lineare Geschwindigkeit Ca^a ebenso wie jede Tangentialbeschleu-
nigung Ckq>h senkrecht zu Ck, dagegen jede Normalbeschleunigung Chq>h*
entgegengesetzt wie diese Hauptstrecke gerichtet ist.
Es möge nun 0 zum Anfangspunkt eines rechtwinkligen Koordi-
natensystems {XY) innerhalb der im Räume festen Ebene der drei
440
Über die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc.
Schwerpunkte gewählt werden (vgl. Flg. 5). Die positiye X-Achse boU
dabei die Richtung besitzen^ von der aus die Winkel <pk gemessen
werden. Dann hat man ftlr die Koordinaten Xq, y^ des ßesamtsdiwer-
^T-Axe
Fig. 5.
^tJ-Axt
Punktes Sq und die in die Richtung der Achsen fallenden Oeschwindig-
keits- und Beschleunigungskomponenten x'^j y^ und x'^y y^ desselben
die Werte
(70
(80
(90
9
Xq = ^h Ch cos fpk
Vo = ^* Ch sin 9a
1
8
x'q = — ^* Ch sin 9* • yi
1
s
yo = ^CaCOs q>H fpi
i
5
Xq = —^^ [^Ä ^^^ Vh ' 9a* + Ch sin y* • 9*]
1
s
y'o = ■~^* L^A sin q)H ' v'h^ — Ch cos 9* • ipi].
1
Von 0. FiscHEE. 441
Mit Hülfe des Ausdruckes (9) fQr die Beschleunigung von Sq läTst
sich nun in verhältnismäfsig einfacher Weise der resultierende Druck D
zur Darstellung bringen, welcher ausschliefslich infolge der Massen-
bewegung der drei Körper des Systems auf die Achse in 0, bezüglich
auf das Fundament^ mit welchem das System in 0 drehbar verbunden
ist, ausgeübt wird. Dieser „totale Massendnickf', wie man ihn in der
Technik nennt, wird durch das Produkt aus der Gesamtmasse m^ des
Systems in die Beschleunigung b^ des Gesamtschwerpunktes gemessen
und besitzt eine dieser Beschleunigung entgegengesetzte Richtung.
Man hat daher für denselben
8
(10) D = — m^bQ = - Wq^ [Ck^h* + Ck(fh]
1
und für seine Komponenten X, F in der Richtung der Koordinaten-
achsen
8
^ = ^o!^ [ca cos 5Pa • ffk^ + Ck sin ^k - 9*1
(loo
r= w^ JV [ca sin q>H ' 9a* — Ck cos (pk • 9>*].
1
Es ist bemerkenswert, dafs in diesen Ausdrücken die Einzel-
massen ntk gar nicht aufbreten^ sondern nur die Gesamtmasse m^. Der
Einfluffl, welchen die Einzelmassen auf die Gröfse des Massendruckes
ausüben, kommt ausschliefslich in der Gröfse der Hauptstrecken Ck zur
Geltung.
4. Der resultierende Massendruck am Schubkurbelgetriebe.
Die in der Technik verwendeten ebenen dreigliedrigen Gelenk-
mechanismen unterscheiden sich von dem bisher in Betracht gezogenen
System von drei Körpern im wesentlichen nur dadurch, dafs ihre Be-
wegungsfreiheit auf einen Grad beschrankt ist. Die Stellung des
Systems mufs daher schon durch eine einzige Koordinate eindeutig
bestimmt werden können. Im übrigen lassen sich aber die bisher
erhaltenen Resultate ohne weiteres auf jeden derartigen speziellen
Mechanismus anwenden.
Als Beispiel möge das Schuhkurbelgehriebe in Betracht gezogen
werden, da über die Kinetik desselben sehr eingehende Arbeiten*) vor-
Uegen, und man daher besser in der Lage ist, sich über die Bedeutung
1) Man vergl. insbesondere H. Lorenz, Dynamik der Kurbelgetriebe. Zeit-
schrift fär Mathematik und Physik, 44. Band, 1899 and 46. Band 1900.
442 Über die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc.
der Hauptpunkte und Hauptstrecken für derartige Untersuchungen ein
Urteü zu bilden.
Figur 6 stelle ein Schema dieses Schubkurbelgetriebes dar. Der
erste der drei Körper des Gelenkmechanismus wird hier durch das ans
Schwungrad, Welle, Kurbel und Kurbelzapfen bestehende starre System
gebildet. Wenn nun auch die Berücksichtigung der Massen des
Schwungrades und der Welle die Untersuchung in keiner Weise kom-
plizieren würde, so sollen dieselben doch zunächst, wie bei R Lorenz,
aufser Betracht bleiben, da sie auf den resultierenden Massendruck
keinen Einflufs ausüben. Es wird sich später zeigen, inwieweit die
Formeln sich ändern, wenn man dem ersten Körper die Massen des
Fig. 6.
k-fT'Axe
Schwungrades und der Welle hinzufügt. Vorläufig soll also unter %^
nur die Masse der Kurbel mit dem Kurbelzapfen verstanden sein. Der
zweite Körper des dreigliedrigen Gelenksystems wird durch die so-
genannte Schubstange, und der dritte durch das aus Ej*euzkopf, Kolben-
stange und Kolben bestehende Gleitstück gebüdet.
Der Drehpunkt 0 der Kurbel liege in der Verlängerung der Gleit-
bahn und die letztere stelle die X-Achse des Koordinatensystems dar.
Dann nimmt in diesem speziellen Falle des Schubkurbelgetriebes der
früher mit 93 bezeichnete Winkel den Wert Null an. Zwischen fi
und 9, (vgl. Fig. 6) besteht dagegen die Beziehung
sin qpi : — sin 9^t =" 2| : 2^,
wo unter \ die zwischen den Gelenkpunkten 0 und G\^% gemessene
Von 0. FiscHEB. 443
Länge der Kurbel und unter l^, wie früher, der Abstand der beiden
ßelenkmittelpunkte (ri, s niid 0%^$ verstanden werden soll. Nimmt
man qp^ als Koordinate für die Stellung des ganzen Mechanismus, so
hat man also in den bisher aufgestellten Formeln zu setzen
(11) sin 9?j = — ^ sin ^pj und cos ?P 1^1 — w sin* qpj,
wozn noch konmit
(11 ') sin 9>s = 0 und cos 9?, = 1.
Unter dem Hauptpunkt H^ der Kurbel hat man im Falle der
Nichtberücksichtigung der Massen von Schwungrad und Welle den
Schwerpunkt des Massensystems zu verstehen, welches man dadurch
erhält, dafs man die Massen m^ der Schubstange und m^ des Gleit-
stücks im Punkt Gi^% der Kurbel hinzugefügt denkt. Die zwischen
0 nnd H^ sich hinziehende Hauptstrecke der Kurbel sei, wie früher,
mit c^ bezeichnet. Den Hauptpunkt H^ der Schuhstange erhält man
als Schwerpunkt des aus der Schubstange durch Hinzuffigen der
Masse m^ von Kurbel und Kurbelzapfen im Punkte Gi^% und der
Masse m, des Gleitstücks im Punkte 0%^ s entstehenden Massensjstems.
Die Hauptstrecke [ßi^ % Hi\ sei wieder durch ^ bezeichnet. Endlich
erhält man den Ha/uptpunkt H^ des Gleitstücks, indem man in (?s, s die
Massen m^ und m, dem Gleitstück hinzugefügt denkt tmd von diesem
fingierten Massensystem den Schwerpunkt aufsucht. Die Haupt-
strecke [G^ s ^3] des Gleitstücks sei ^.
Die geometrische Addition der drei Hauptstrecken q, c^ und c,
von 0 aus führt sofort zu dem Gesamtschwerpunkt Sq des Schub-
kurbelgetriebes (mit Ausnahme von Schwimgrad und Welle). Soweit
sind die Verhältnisse wie beim allgemeinen Gelenksystem von drei
Körpern. Geht man nun aber zu den Koordinaten Xq und y^ des
Gesamtschwerpunktes über, so stellen sich doch wesentliche Yerein-
ÜAchungen gegenüber dem allgemeinen Falle ein. Verlängert man
nämlich die zur X- Achse parallele Verbindungsstrecke jSq^i, a über
jBTi, s hinaus bis zum Schnittpunkt Ji mit 0 Gi^ 2 (^gl- Fig* 6), so läTst
sich leicht einsehen, dafs dieser Punkt J^ infolge der Ähnlichkeit der
Dreiecke JiHiHi^^ und OGi^%G%^^ eine feste Lage auf der Längsachse
der Kurbel besitzt. Sein Abstand von H^ ist ~ c,, und daher der von
0 gleich ^ — f- C|; der letztere möge kurz durch i^ bezeichnet sein«
Der Punkt J^ besitzt nun stets dieselbe Ordinate, und infolgedessen
auch dieselben ^-Komponenten der Geschwindigkeit und Beschleunigung
444 t)l>er die reduzierten Sjateme und die Hauptpunkte etc.
wie der Gesamtschwerpunkt S^, Es ei^ebt sich daher ohne weiteres
für die letzteren
yo = h sin Vi
yi' = — *i sin 9)1 • 9i* + ij cos y^ • 9^' .
Infolgedessen erhält man für die Komponente des totalen Massen-
dmcks in der Richtung der positiven F- Achse den Wert:
(13) F= m^i^ [sin (p^ • ^p^' — cos y^ • ^p^']
wobei ij = Cj — y^ c^ ist, und q>[ die Winkelgeschwindigkeit^ dagegen
9J' die Winkelbeschleunigung darstellt, mit denen sich die Kurbel am
0 dreht.
In der Richtung der X-Achse gestalten sich die Verhältnisse zwar
nicht ganz so einfach wie in der F- Richtung, aber doch auch wesent-
lich einfacher als beim allgemeinen dreigliedrigen Gelenksystem. Da r,
bei allen Bewegungen der X-Achse parallel bleibt, so muTs der
Hauptpunkt Hi^ t der ersten beiden Körper in jeder Beziehung genau
die gleiche Bewegung ausführen wie der Gesamtschwerpunkt S^ Die
Bahnkurve des letzteren ist nur um den Vektor c^ gegen die Ton
JETi, 8 verschoben. Dagegen sind die Geschwindigkeiten und Beschleuni-
gung f&r den ganzen Ablauf der Bewegung bei beiden Punkten gleich.
Man kann daher der Bestimmung der X- Komponente des totalen
Massendrucks den Punkt Hi^ s zu Grunde l^en. Führt man im Inter-
esse der Einfachheit der Darstellung zunächst noch den von tp^ ab-
hängigen Winkel 9|, sowie auch die Winkelgeschwindigkeit tp'^ und
die Winkelbeschleunigung (p'^ in die Formeln ein, so erhält man für
den Gesamtschwerpunkt Sq
Xq = Ci cos qpi + Cj cos <p^ -f c^
(14) Xq = - q sin fpi - q>[ — c, sin qp, • g?,
Xq = — Cj cos g?i • 9j' — c, cos (p^ • qp,* — c^ sin qp^ -fp^ — Cj sin %'(f]
tmd daraus fUr den totalen Massendruck in der Richtung der positiTen
X-Achse
X = m^Ci (cos (p^ ' 9j' -f sin qpi • fp'[) + m^c, (cos 9>, • 9/ + sin ^g • 9J)
Hierbei sind nun noch der Winkel q>^ und seine Aoleii
vermöge der Relation 2, sin 9>| » — {^ sin tp^ durch den Winkel ipy he-
zügHch dessen Ableitungen, auszudrücken.
Von 0. FiscHBE. 445
Durch wiederholte Differentiation dieser Relation und g^ignete
Zusammenfassung erhält man schliefslich als Wert der X- Komponente
des totalen Massendrucks beim Schubkurbelgetriebe:
X = WojciCOS9?i+Ci^(^l --^8in>9>ij . (cos2yi+-^8in>ij jg?;-
(15) ' ' ^3.
+ Wo[cisin9i+c,^(l~-^sin>9^ij . sin29^i}9';.
Nach Angabe von H. Lorenz^) besitzt bei den in der Praxis Tor-
kommenden Getrieben das Verhältnis 2^ : 7, in der Regel einen so
kleinen Wert^ dafs die höheren Potenzen dieses Verhältnisses nur einen
sehr geringen Einflufs auf die Gröfse des Massendrucks ausüben. Denkt
man sich daher in dem Ausdruck für die X- Komponente des totalen
Massendrucks die beiden Potenzen mit gebrochenen Exponenten nach
dem Vorgange von H. Lorenz in Reihen entwickelt^ die angedeuteten
Multiplikationen ausgeführt, darauf nach Potenzen von -f- geordnet, und
schlie&lich alle Glieder, welche eine höhere als die zweite Potenz
dieses Verhältnisses enthalten, vernachlässigt, so erhält man die An^
näherungsformel
Dieser steht zur Seite die absolut genaue Formel für die Y- Kom-
ponente des totalen Massendrucks
(130 ^=" »»0 (^ — r ^) (sin 9>i • 9>i* — cos 9?i • ^l).
Diese beiden Formeln stimmen natürlich mit den von H. Lorenz
auf weniger einfachem Wege gewonnenen Formeln (23) und (24) auf
Seite 9 der zitierten Arbeit genau überein. Man kann sich leicht unter
Berücksichtigung der Bedeutung der Hauptpunkte davon überzeugen,
dafs die in der letzteren auftretenden Ausdrücke
J [JTs" + (ff + P) r], i[öO-0 + Pq "Bd ^g[Ks" + G}s']
bezüglich mit den Gröfsen tn^c^, m^c^ und pIq^ identisch sind.
Mit Hülfe der Hauptpunkte kann man nun auch in einfacher und
vor allen Dingen sehr anschaulicher Weise, ohne alle Rechnung, die
Bedingungen für den Ausgleich der Massendrücke darstellen.
1) a. a. 0. Seite 5.
446 Über die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc.
Der totale Massendruck verschwindet im vorliegenden FaDe nur
dann, wenn der Gesamtschwerpunkt Sq bei allen Bewegungen des
Systems seinen Ort im Räume beibehält. Dazu ist keineswegs un-
bedingt erforderlich, dafs Sq bei allen Stellungen des Systems mit dem
festen Drehpunkte 0^ zusammenfällt. Es wird nach den obigen Dar-
legungen 8q auch dann im Räume fest bleiben, wenn der Hauptpunkt
JSi, 2 des Systems von Kurbel und Schubstange (vgl. Fig. 6) nach 0
fällt und während des Ablaufs der Bewegung diesen Ort unverändert
beibehält. Hierfür ist aber die notwendige und hinreichende Bedingung
die, dufs der Hauptptmkt H^ der Kurbel mit dem Drdtpunkt 0. und
der Hauptpunkt H^ der Schübstange mit dem GdenkmMdpwM Gi^i
zusammenfattt, d. h. also mit anderen Worten, dafs die beiden Haupt-
strecken c^ und c, die Länge NuU besitzen. Die Erfällung dieser
Bedingung ist theoretisch wohl möglich, sie erfordert nach dem Zu-
sammenhang der Hauptpunkte mit den Massen, Dimensionen und der
Lage der Schwerpunkte der einzelnen Glieder nur, dafs
und
ist, unter r^ den Abstand des Schwerpunktes der Kurbel (incl. Kurbel-
zapfen) von 0 und unter r^ den Abstand des Schwerpunktes der Schub-
stange von öl, j verstanden.
Die erste Bedingung wird erfiillt, wenn der Sehwerpunkt S^ der
Kurbel nicht auf dem Kurbelradius OOi^i selbst, sondern auf dessen
Rückwärtsverlängerung über 0 hinaus, und zwar in der Entfemmig
* ?i liegt. Die zweite Bedingungsgleichung verlangt dagegen, dafs
der Schwerpunkt 5, der Schubstange nicht zwischen Gt,i und Gi,i,
sondern auf der Rückwärtsver^ngerung der Längsachse der Schub-
Stange über 6ri, 2 hinaus, und zwar in der Entfernung —l^ liegt Um
diese Forderung zu realisieren, müfste sich also sowohl die Kurbel
weit über 0 hinaus als auch die Schubstange weit über Gi^i hinaus
fortsetzen. Es müfste auch der grofsere Teü der Masse der Kurbel
einerseits und der Schubstange andrerseits auf diesen, der Funktion der
beiden Glieder des Mechanismus nicht zugute kommenden, Fortsätzen
verteilt sein. Sollen dabei die für die Energieübertragung in erster
Linie in Frage kommenden Teile OGi^i und Gi^%Gi^i von Kurbel
und Schubstange nicht an Festigkeit einbüfsen, so folgt aus einer
derartigen Massenverteilung, dafs sowohl das Gewicht m^g der Kurbel
incl. Fortsatz als auch das Gewicht m^g der Schubstange ind. Fortsatz
verhältnismäfsig grofs sein müssen«
Von 0. Fischer. 447
Es mag dahingestellt beiben, ob eine derartige Umgestaltung der
Kurbel nnd der Schubstange in der Praxis ausführbar ist, und nicht
etwa betiachtliche Nachteile anderer Art für die Maschine im Gefolge
hat. So viel geht aber aus den bisherigen Erörterungen hervor^ dafs
rein {heoretisch betrachtet ein vollkommener Ausgleich des totalen Massen-
drucks schon hei einem einzigen Schubkurbelbetriebe sehr wohl möglich ist
Allerdings laJGst sich die ToUständige Ausgleichung nicht dadurch er-
zielen, dafs man nur der Kurbel gegenüber auf der Welle eine Masse
anbringt, und dadurch gewissermafsen die Kurbel über die Welle hinaus
fortsetzt, sondern man mufs auch gleichzeitig die Schubstange über
den Knrbelzapfen hinaus bedeutend verlängem und durch betrachtliche
Massen beschweren. Eine so starke einseitige Belastung der Schub-
stange würde aber wohl aufsergewöhnlich hohe Anforderungen an die
Festigkeit derselben stellen, da es sich ja hier im Wesentlichen um
hin* and hergehende Bewegungen der einzelnen Massenteilchen, und
nicht blofs um fortlaufende Rotation handelt.
Wäre es praktisch durchführbar, auf die beschriebene Weise den
totalen Massendruck zum Verschwinden zu bringen, so würde der
ßesamtschwerpunkt Sq bei der Bewegung einen festen Ort auf der
Verlängerung der Gleitbahn zwischen 0 und G%^$ einnehmen. Seine
Entfemui^ von 0 wäre dann gerade c^,
SchlieMich ist es theoretisch möglich, wenn auch für die Praxis
kaum Ton grolsem Wert^ den Gesamtschwerpunkt S^ nach der Wellen-
achse 0 selbst zu yerlegen. Dazu wäre nur nötig, dafs der Schwer-
punkt S>8 des Gleitstücks im Mittelpunkt G^^z des Kreuzkopfzapfens
liegt, eine Forderung, welche durch VerULngerung der Kolbenstange
über den Kreuzkop&apfen hinaus und Anbringung neuer Massen auf
dieser Verlängerung yerwirklicht werden könnte. Dann würde auch der
Hauptpunkt H^ des Gleitstücks nach (rs, s fallen, und die Hauptstrecke
c^, d. h....^o die Entfernung des Gesamtschwerpunktes Sq von 0, wäre
in der That auf Null gebracht.
In gleich anschaulicher Weise wie für den ToUkommenen Aus-
gleich kann man auch Bedingungen der nur teilweise stattfindenden
Ausgleichung der Massendrücke aufstellen. Soll z. B. nur die Kom-
ponente des totalen Massendrucks in der Richtung der F- Achse ver-
schwinden, so ist die hierfür notwendige und hinreichende Bedingung,
dafs der Punkt J^ auf dem Kurbelradius (vgl. Fig. 6) mit dem Dreh-
punkt 0 zusammenfällt. Dies ist der Fall, wenn
*i = <i - -^^ = 0
wird. Damit befindet sich aber die Forderung von H. Lorenz (a. a. 0.
448 Über die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc.
Seite 10); der Kurbel gegenüber anf der Welle eine Masse vom Moment
Gjs'+ K"s" anzubringen^ in genauem Einklang. Die Erf&llung dieser
Bedingung bewirkt nun im allgemeinen nicht auch gleichzeitig das
Verschwinden der X-Eompone^te des totalen Massendrucks. Die für
letztere auf Seite 445 angegebene Näherungsformel (lö') erhalt aber jetzt
die einfachere Form
(15") X = WoCi { (cos 9i + ^ cos 2<pi'^<p[ > + (sin 9>i + -^ sin 2<p^<p'^ } •
Bei allen bisherigen Erörterungen über das Schubkurbelgetriebe
waren die Massen der Welle und des Schwungrades aufser Betracht
gelassen worden. Die Untersuchung gestaltet sich nun in keiner Weise
dadurch komplizierter, dafs man diese mit der Kurbel starr verbundenen
Massen hinzunimmt. Es möge dabei nur die Voraussetzung gemacht
werden, dafs der in die Wellenachse fallende gemeinsame Schwerpunkt
von Welle und Schwimgrad in der Ebene der Schwerpunkte der übrigen
Teile des Mechanismus, d. h. also direkt im Punkte 0 angenommen
werden darf. Diese Voraussetzung liefse sich beispielsweise dnrch
zwei symmetrisch zu 0 verteilte Schwungrader und gekröpfte Achse
streng verwirkUchen.
Das Hinzufügen der neuen Massen bewirkt zimächst eine Änderung
in^der Lage der Hauptpunkte aller drei Glieder des Mechanismus; denn
dieselben hängen ja nicht nur von der Verteilung der Masse innerhalb
des Gliedes ab, dem sie angehören, sondern sie werden auch durch die
Verteilung der Gesamtmasse des ganzen Systems auf die drei Glieder
beeinflufst; die letztere ist aber sofort geändert, wenn nur einem der
drei Glieder neue Masse hinzugefügt wird. Es ist auch leicht em-
zusehen, dafs jetzt alle Hauptpunkte innerhalb des gebrochenen Linien-
zuges der drei Längsachsen der Glieder dem Drehpunkt 0 näher
rücken; denn für alle drei reduzierten Systeme tritt in dem 0 am
nächsten liegenden Gelenkmittelpunkt des zu Grunde liegenden Gliedes
die Masse der Welle mit dem Schwungrad hinzu. Man braucht nun
nicht erst wieder auf die Einzelschwerpunkte der drei Glieder zuröck-
zugreifen, um die Lage der neuen Hauptptmkte zu bestimmen. Uui
kann vielmehr gleich von den alten Hauptpunkten H^, j5^, J% ao^'
gehen. Bezeichnet man die neuen Hauptpunkte mit j9/, H^f H^
(vgl. Fig. 7), und die Masse der Welle mit dem Schwungrad durch tn^
so stellt sich H^ dar als Schwerpunkt der in 0 und H^ konzentriert
gedachten Massen m^ und m^y Desgleichen bildet H^ den Schwerpunkt
der in (ri, 2 und H^ konzentriert angenommenen Massen m^ und 0();
und endlich H^ den Schwerpunkt der in Gi^z und H^ konzentriert
Von 0. FiBGBSR. 449
gedachten Maasen m^ und m^. Die drei neuen Hauptpunkte sind daher
auch wieder auf den Längsachsen der drei Glieder des Mechanismus
zu suchen.
Bedeuten c\^ c^^ c^ die neuen Hauptstrecken OH^j Gi^sS^ und
6r9,3-^3 ^ind m'^ die Summe der Massen m^ und m^j d. h. also die
Gesamtmasse des Systems der drei Körper nach Hinzufagen der Massen
der Welle und Ües Schwimgrades, so hat man demnach die Relationen
(16) fn^c^ -=- m^c^] w^c^ « iw^jC, und m^c^^m^Cj^.
Beachtet man nun^ dafs man unter Zugrundelegung der neuen Haupt-
strecken und der neuen Gesamtmasse natürlich zu Formeln für die
Fig. 7.
t
SS.
Komponenten des totalen Massendrucks gelangt^ welche sich von den
Formeln (13), (15), (IS^, (150 und (15") nur dadurch unterscheiden,
dals an Stelle der Gröfsen «n^, C|, c^, c^ die neuen Grofsen m^, c[, c^, c^ ge-
treten sind, so erhalt man in Rücksicht auf (16) das Resultat, dafs der
totale Massendruck durch das Hinzutreten der Massen der Welle und
des Schwungrades in seiner Gröfse nicht geändert wird. Daher war
es erlaubt, zum Zwecke der Ableitung des Massendrucks zunächst ganz
Ton der Welle und dem Schwungrad abzusehen.
Während der totale Massendmck Ton diesen beiden Teilen des
Gelenkmechanismus unabhängig ist, wird natürlich die Lage des Ge-
samtschwerpunktes des Systems sehr wesentlich durch dieselben beein-
flubt. Der neue Gesamtschwerpunkt Sq wird mit Hülfe der neuen Haupt-
punkte auf dieselbe Art gefandeu, wie Sq unter Zugrundelegung der
Z«itaobrifl £. Mathematik n. Physik. 47. Band. 1908. S.u. 4. Heft. 29
460 tiher die reduzierten Sjateme und die Hauptpunkte etc.
alten Hsaptptmkte (ygl. Fig. 7). Gleichzeitig wird man bei der Kon-
struktion desselben auf den neuen Hauptpunkt Si^% des Systems der
ersten beiden Glieder gef&hrt Da nach (16)
so erkennt man aus Figur. 1, daGs H^^ auf OHi^^ und So auf OS»
liegen mufs, und zwar so^ dals auch
Zu diesem Resultat gelangt man noch auf einfachere Weise, wenn man
beachtet, dalB infolge der Bedeutung von Si^^ und H^^ der Ift^re
Punkt den Schwerpunkt der in 0 und Hi^% konzentriert g^^ten
Massen m^ und m^, und femer auch S^ den Schwerpunkt der in 0 und
Sq konzentrierten Massen m^ und m^ bilden mulis. Man erkennt hieraus
auch, dals die Punkte H^% und So bei der Bewegung des Systems
Bahnen beschreiben, welche den Bahnen der Punkte Hi^% und 8q ähn-
lich, tmd zTvar im Verhältnis iHq : m^ verkleinert, sind.
Endlich soll noch auf eine Thatsache hingewiesen werden, welche
unter umstanden eine praktische Bedeutung gewinnen kann. Denkt
man sich nämlich die Verbindungslinie OjET/^s-Bi,» Aber JEfi,« hinaus
verlängert bis zum Schnittpunkt jR mit der Längsachse £ri,s6rs,s ^^
Schubstange (vgL Fig. 7), so läCat sich leicht einsehen, dals die Lage
dieses Punktes von der jeweiligen Gelenkstellung des Mechanismus ganz
unabhängig ist^ und dafs sein Abstand von 0 in einem ganz bestimmten
Verhältnis zu OHi^ bezüglich 0^l^i steht Man hat nänüich einÜBUsh
(17) OB-i.OÄ;«--^Oflx.,.
Da nun die Bewegung Ton Si,i genau mit der von So und die Be-
wegung von ^1,2 genau mit der von Sq übereinstimmty so folgt hieraus;
dafs die Bewegung des Punktes R sowohl ähnlich der Bewegung des
Gesamtschwerpunktes So des ganzen Systems incL Welle und Schwung-
rad, als auch ähnlich der Bewegung des Gtesamtschwerpunktes So des
Systems ohne Welle und Schwungrad ist. Man kann also an der
Bewegung des a^rf der Längsachse der Schubstange festen Punktes R, ßr
den ich bei einer anderen Crdegenheit den Namen jyBiMpmkf^ emgefvM
habe, direkt die Bewegung des Otsamtschtoerpunktes des Systems, wid
sfwar sogar in vergröfsertem Mafsstabe, erkennen. Die Bahnkurve von
R erscheint nämlich im Verhältnis l^ : c[ grolser als die von 5^, und
im Verhältnis l^ : c^ grö&er ab die von S^.
Die praktische Bedeutung, welche dieses Ergebnis gewinnen kann,
scheint mir darin zu liegen^ dals man dadurch in den Stand gesetst
Von 0. FiBOBSB. 451
wird, die Bewegung des GesamtBchwerpanktes bei irgend einem Schub-
knrbelgetriebe auf graphischem oder auch auf photographischem Wege
zu registrieren. Man konnte z. B. an der Stelle R der Schubstange
in sehr kurzen aber genau abgemessenen Zeitintenrallen kleine elektrische
Fanken erzeugen, oder ein kleines Geifslersches Böhrchen mtermittierend
aufleuchten lassen , und würde dann beim Photographieren im ver-
dunkelten Räume mit offenstehender Camera die Bewegung Ton R auf
der lichtempfindlichen Platte in einer grofsen Anzahl von Bewegungs-
phasen aufgezeichnet finden. Diese Methode, welche wir seiner Zeit
fOr die photographische Biegistrierung des menschlichen Ganges^) ver-
wendet haben, giebt sehr genaue Resultate. Sie liefert nicht nur die
Bahnkurve des Punktes, sondern sie ermogUcht sogar eine ziemlich
genaue Bestimmung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen des-
selben für den ganzen Ablauf der Bewegung. Vorbedingung hierfür
ist nur ein äufserst genaues Regulieren der Unterbrechungen am
Induktionsapparat. Dies laXst sich aber durch Anwendung eines
Stinungabelunterbrechers erreichen. Hat man auf diese Weise die zu
jedem Moment gehörende Beschleunigung des Gesamtschwerpunktes
abgeleitet, so hat man damit auch ein MaTs für den totalen Massen-
druck im ganzen Verlaufe der Bewegung gewonnen.
5. Die lebendige Kraft des Systems.
Wenn das in den Abseimitten 1. bis 3. betrachtete allgemeine
System von drei Körpern in beliebiger Bewegung begriffen ist, so
kann die lebendige Kraft desselben als Summe zweier Bestandteile auf-
ge£Ed!st werden. Der eine Teil ist gleich der lebendigen Kraft der im
Gesamtschwerpunkt Sq vereinigt gedachten Gesamtmasse; bezeichnet Vq
die Geschwindigkeit von Sq, so hat dieser Beitrag zur lebendigen Krafk
die GroCse ^m^v^. Der andere Teil stellt sich als Summe der leben-
digen Kräfte dar, welche den auf den Gbsamtschwerpunkt bezogenen
relativen Bewegungen der einzelnen Körper des Systems entsprechen.
Wie die Gesch^nndigkeit Vq des Gesamtschwerpunktes, und damit
der eine Bestandteil der gesamten lebendigen Kraft, auf verhältnismaJsig
ein&che Weise mit Hülfe der Hauptpunkte gewonnen werden kann, so
stellt sich nun auch heraus, dafs die Hauptpunkte sehr wesentliche
Dienste bei der Bestimmung des zweiten Bestandteiles der lebendigen
Kraft leisten.
1) Abhandlnngen der mathematiscli-phjBischen KLaase der Königlich Sächsi-
flchen GesellBchaf t der WisBenschafben. Bd. JLVll Nr. IL nnd Bd. XXI Nr. IV.
29*
452 Über die reduzierten Systeme und die HanpipuBlrte etc.
Die Bewegung, welche jeder der drei Körper des Systems rdatir
zum Gesamtschwerpunkt Sq besitzt, kami man zerlegt denken in eine
Translation von der Geschwindigkeit Vk seines Einzelschwerpunktes Sk
relativ zu Sq und eine Rotation um eine zu den Gelenkachsen parallele
Achse durch Ss yon der Winkelgeschwindigkeit ^i Die lebendige
Kraft jedes einzelnen Körpers relativ zum Gesamtschwerpunkt stellt
sich infolgedessen ebenfalls als Summe zweier Bestandteile dar. . Der
eine Bestandteil ist die lebendige Kraft, welche die Masse mk des
Körpers besitzt, wenn sie sich mit der Geschwindigkeit Vk bewegt^ die
der Einzelschwerpunkt 8k relativ zum Gesamtschwerpunkt S^ besitzt^
der andere Bestandteil ist die lebendige Krafi^ welche aus der Winkel-
geschwindigkeit 9>A des Körpers um die Achse durch 8h resultiert
Nimmt man vorläufig an, dals der Gesamtschwerpimkt fest bleibt^
so ist eine beliebige unendlich kleine Yerrückung des Systems dadurch
eindeutig charakterisiert, dafs die drei Winkel 9>^, 9),, 9)3 bestimmte
unendlich kleine Änderungen äqp^, dg)^, dq>^ erfahren. . Eine solche
Yerrückung kann man sich in drei Schritte zerlegt denken. Bei dem
einen soll nur der Winkel qp^ der Änderung dip^ unterworfen werden,
während die beiden anderen Winkel q>^ und q>^ konstant bleiben, beim
zweiten und dritten Schritte soll die Yerrückung nur in einer Änderong
von q>^ bezüglich q>^ um die Gröfse dq>^ bezüglich dg>^ bestehen,
während jedesmal die beiden anderen Winkel ihren Wert beibehalten.
Es kommt also jeder der drei Schritte darauf hinaus, einem der drei
Körper eine unendlich kleine Rotation zu erteilen, während die beiden
anderen, welche infolge des Zusammenhangs der Körper dabei nicht in
Ruhe bleiben können, gleichzeitig nur Translationen ausfahren dürfen.
Die Translation jedes der anderen beiden Körper ist gegeben durch
die Translation desjenigen Gelenkpunktes, welcher die unmittelbare
oder mittelbare Yerbindung des betreffenden Körpers mit dem in Ro-
tation begriffenen darstellt.
Soll nun bei der unendlich kleinen Rotation dq>h eines der drei
Körper, verbunden mit Translationen der beiden anderen Körper, der
G^samtschwerpunkt 8q des Systems seinen Ort im Räume beibehalten^
so mufs diese Botation um die ea den Odenkachsen paraUde Achse
durch den Hauptpunkt des beireffenden Körpers stattfinden. Dies lehit
ein BUck auf Figur 3 (Seite 435). Dreht man beispielsweise das gam»
System um eine zu den Gelenkachsen parallele Achse durch J9^ in der
Weise, dafs dabei der zweite und dritte ^örper nur Translationen bxxbt
führen, so behalten die Längsachsen der letzteren beiden Körper bei
der Bewegung ihre Richtung im Räume bei, und der gebrochene
Linienzug H^Hi^ %Sq nimmt infolgedessen an der Bewegung nicht teil
Von 0. FucHB. 453
Drelxt man dagegen am die zu den Qelenkaohsen parallele Achse durch
H^ bezüglich H^ und lafst dabei den ersten und dritten bezüglich
ersten und zweiten ESiper nur Translationen ausführen^ so bleibt dabei
der gebrochene Linienzng J^J^i, siSfo bezüglich H^Ht^zS^ fest liegen.
Es behalt abo in allen drei Falloa der Oesamtschwerpnnkt S^ seine
Lage im Baume bei. Es ist dabei auch ganz gleichgültig, ob die
Botaiion um einen unendlich kleinen oder um einen beliebigen end-
lichen Winkel stattfindet.
Man hat daher den
Satz: Jede Verrüekung des Systems der drei Körper rdativ gwn
Gesamtschioerpunkt 8^ aus der Lage q)^ tp^y q>^ in die unendlich benachr
harte q?^ + dq>^, 9>, + dg>^, 9)9 + dq)^ kann BerUgt werden in drei tm-
endUek kleine BotaMonen .um Achsen durch die drei Hauptpunkte ver-
bunden mit Translationen der beiden anderen Körper^ welchen der be-
treffende Hauptpunkt nicht angehört.
Infolge dieser drei Yerrückungen des Systems, welche bezüglich
einer alleinigen Änderung eines der drei Winkel q>^ ^g, qp, entsprechen,
erleidet jeder der Einzelschwerpxmkte drei unendlich kleine Verschie-
bungen, deren geometrische Summe die Oesamtverschiebung des be-
treffenden Einzelschwerpunktes relativ zum Gesamtschwerpunkt 8q
darstellt. Beachtet man, dab die Abstände von den Hauptpunkten
positiv oder negativ zu rechnen sind, je nachdem sie in positiver oder
negativer Bichtung auf den Längsachsen verlaufen, so ergiebt sich
demnach bei der in Figur 2 (Seite 432) angenommenen Lage der
Hauptpunkte gegenüber den Einzelschwerpunkten für die
Verschiebung von 5^ relativ zu S^: — e^-dtpi — c^'d(p^ — ^'^9$
(18) „ fy 8f „ ,7 So'- +di'dq,^'-e^'ä(p^-c^'d(p^
ff 79 S^ n }} ^0- +ä^'äfp^ + d^'dq>^+e^'dtp^
wobei wieder die Striche über den Buchstaben die geometrische
Addition andeuten soUen. Dabei sind alle von der unendlich kleinen
Rotation dq)^ herrührenden Verschiebungskomponenten senkrecht zur
Längsachse des ersten Körpers, die mit dq>^ bezüglich dq>^ zusammen-
hangenden Verschiebungskomponenten senkrecht zur Längsachse des
zweiten bezüglich dritten Körpers gerichtet Die drei Komponenten
der Verschiebimg eines Einzelschwerpunktes besitzen daher dieselben
Riehtungsnnterschiede wie die drei Längsachsen. Es bilden abo die
erste und zweite den Winkel q>x — q>%j die erste und dritte den
Winkel q>^ — q)^ und die zweite und dritte den Winkel q>^ ^ q>^ mit
ebander.
454 t3l)er die reduzierten Systeme and die Hauptpunkte etc.
Indem man dnrch Division der in einem bestimmten Moment
fin^saden nnendlich kleinen Verschiebungen der Einzelschwerpunkte
relativ zum Oesamtschwerpnnkt mit dem Zeitdifferential dt za den Ge-
schwindigkeiten t;* der Pimkte 8h relativ zu 8q übergeht, kann man
leicht den Beitn^ angeben, welchen jeder Schwerpunkt infolge seiner
Geschwindigkeit i;^ zu dem Ausdruck fOr die lebendige E[raft des
Systems relativ zum Gesamtschwerpunkt liefert. Derselbe besiizst die
Grofse ^nikvl. Aufserdem hat man nur noch den Einfluls zu berfick-
sichtigen, den die Rotation eines jeden der drei Körper um seinen
Schwerpunkt 8k auf die Grofse der lebendigen Kraft ausQbi Be-
zeichnet man allgemein mit xa den Tragheitsradius des hten Körpers
in Bezug auf die zu den Gelenkachsen parallele Achse durch seinen
Schwerpunkt 8k, so ist der von der Winkelgeschwindigkeit 9>a des Aten
Korpers herrührende Beitrag zur lebendigen Kraft
Bezeichnet man die lebendige Kraft des ganzen Systems relatir
zum Gesamtschwerpunkt mit Tr, so hat man demnach
9
Berechnet man auf Grund von (18) die Werte von t?!, so ergiebt sich
nach einiger Umformung unter Berücksichtigung der Relationen (1)
und (4) f£Lr die lebendige Kraft des ganzen Systems relativ zum Oesamt-
Bchwerpunkt 8q der verhältnismäfsig einfache Wert
(19) Tr = imo*; . g>[^ + \m,Jci • q>^^ + \m,^ • 9^;«
+ m^d^c^ cos (q>^ — tp^) 'q>[(p^ + m^d^c^ cos (9?, — 9?,) • q>[ y,
+ Wo^iCg cos (9?j, — 95)9?; 9>;.
Es ist zu beachten, dafs auch hierbei die einzelnen Massen mh ff^
nicht explizit auftreten. Dies ist wieder der Einfahrung der reduzierten
Systeme und Hauptpunkte zu verdanken. Denn die Grofsen der Trig-
heitsradien kk und der Hauptstrecken Ck und dk hangen ja hauptäcli-
lich von der Masse und Massenverteilung der einzelnen Körper ab,
und der Einflufs, den die einzelnen Massen auf den Wert der lebendigen
Kraft ausüben, macht sich allein in der Länge dieser Strecken geltend.
Bisher war nur die lebendige Kraft relativ zum Gesamtschwer-
punkt 8q in Betracht gezogen worden. Bleibt nun der letztere nickt
fest; sondern bewegt er sich mit der Geschwindigkeit Vq im Baome
fort, so kommt bekanntlich zu der relativoa lebendigen Kraft noch die
Von 0. F18CHBB. 455
lebendige Kraft yitiovj der Bewegong des (Jesamtschwerpnnktes liiiizu.
Bezeichnet man die totale lebendige Kraft mit Ty so hat man demnach
Für den schon im dritten Abschnitt in Betracht gezogenen
speziellen Fall, dals bei der ebenen Bewegung des Systems ein Punkt 0
der Langsachse des ersten Korpers (Figur 5) festbleibt, läist sich nach (8)
Vq leicht durch die drei Winkelgeschwindigkeiten ausdrücken. Berück-
sichtigt man, dafs die drei in Formel (8) auf der rechten Seite auf-
tretenden Geschwindigkeitskomponenten wieder senkrecht zu den drei
Längsachsen gerichtet sind, so erhalt man
(20) t;; « cj • qp;* + cj^i* + cj^^i* + 2c^c^ cos (^^ - 92)9>i
+ 2ci^cos(9?i - 9^8)9i>s + 2ciCiCos(9?, - 95)9^^9^
Setzt man diesen Wert und den aus (19) sich ei^ebenden Wert
von Tr in den Ausdruck für T ein, so lafst sich der letztere wieder
durch geeignete Zusammenfassung auf sechs Glieder reduzieren. Das
ist natürlich immer der Fall, denn die lebendige Kraft ist ja eine
homogene Funktion zweiten Grades der drei Winkelgeschwindigkeiten.
Die jetzt auftretenden Klammerausdrücke haben nun auch wieder sehr
bemerkenswerte Bedeutung. Der erste ist, wie man leicht sieht,
{tn^T^ + ^0^)' Dei^dhe drückt nichts anderes als das Trl^heitsmoment
des «^en reduzierten Systems in Bezug auf die durch 0 gehende zu
den Gelenkachsen parallele Achse aus; denn J7^ ist ja der Schwerpunkt
des eristen reduzierten Systems und e^ der Abstand des Punktes 0 von
H^ (Figur 5). Bezeichnet man den auf die Achse durch 0 bezogenen
Tragheitsradius mit A^, so laust sich also der Klammerausdruck durch
m^X\ ersetzen. Die beiden mUshsten Khunmerausdrücke sind
{m^^ + mocj) und (mo*J + mocj).
Di^elben sind die Trägheitsmomente des zweiten und dritten redu-
zierten Systems in Bezug auf die Gelenkachsen 6ri, s und 6r2, 9. Man
kann für dieselben daher auch m^itj und inQk\ schreiben, unter A,, A,
die zugehörigen Tragheitsradien rerstanden. Beachtet man noch, dafs
q + ^ durch l^ und c^ + d^ durch 4 ersetzt werden können, so hat
man für die totale lebendige Kraft in dem speziellen Falle bedingter
Beweglichkeit von drei Graden der Freiheit
(21) T^\m^k\ . 9;» + >oAi . 9;« + \m,X\ • 9^«
+ moZiC,co8(9i - 9,)sp>i + WoZiC8Cos(9?i - g>8)9^j>i
+ m^hc^ cos (9, - g?j) qp.V,.
Iwo
456 tfhet die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc.
Bei einem System von nur zwei durch ein Ghamiergeleiik mit
einander verbundenen Körpern nimmt die lebendige Kraft reUtiy zum
OesamtBchwerpunkt; wie man leicht erkennt, die ein£Etchere Form an
Ist insbesondere ein Punkt 0 der ersten Längsachse fest, so hat
man fOr die totale lebendige Kraft
(21') r- |moAj • 9,'" + ImoA* • q>^^ + m^k<^<M8{q>^ - Vi)9i9i
Die vorstehende Gleichung (21^) liefert z. 6. sofort den Ansdiuck
fBr die lebendige Kraft eines Doppelpendels, d. 1l eines durch ein
Zwischengelenk mit zur Auf hängungsachse paralleler Achse gegliederten
Pendels. Sie erfordert nur die Bestimmung der Tragheitsradien k^
und A, der beiden reduzierten Systeme und der Hauptstrecke e^ des
zweiten Körpers. Die Formel behalt auch dann ihre Richtigkeit, wenn
der Schwerpunkt des ersten Korpers nicht auf der Ungsachse des-
selben, sondern auf deren Verlängerung üher das Zwischengelenk
hinaus liegt, wie es z. B. in dem System Olocke mit Klöppel der M
ist. Endlich giebt auch die Formel (21 ') direkt die lebendige Kraft
für das 8chji!tikufhdgetrid>e an, trotzdem es sich hier um ein dre^lie-
driges System handelt. Denn in dem speziellen Fall des Schubknrbel-
getriebes ist ja die Winkelgeschwindigkeit q>'^ des Gleitstücks konstant
gleich Null. Infolgedessen geht aber die hier eigentlich anzuwendende
Formel (21) in die einfiachere Formel (21") über. Man darf dabei nur
nicht aufiser Acht lassen, daGs die reduzierten Systeme, deren Tnigheit»*
radien A^ und A, hier allein in Frage kommen^ sich auf das dreiglie-
drige System mit der Gesamtmasse m^ und nicht etwa auf das nack
Lostrennen des Gleitstücks übrig bleibende zweigliedrige System be-
ziehen. Das Gleiche gilt für die Hauptstrecke ^. Der Einflnfii, weichen
die Bewegung des Gleitstücks auf die lebendige Kraft T ausübt^ kommt
dann eben in den Werten für il^, A, und c^ und dem Umstand, dab in
m^ auch die Masse des Gleitstücks enthalt^i ist, zur Gettong.
Natürlich mufs sich beim Schubkurbelgetriebe die lebendige EnS
auch allein als Funktion von q>[\ d. h. des Quadrates der Kolbenge-
schwindigkeit darstellen lassen. Dies la(st sich leicht auf Gnmd der
schon früher verwendeten Relationen (11) zwischen doi beiden Winkeh
q>^ und 9^ erreichen. Man erhalt dann zunächst den genauoi Wert
(22) T =
i
Von 0. FucHBB. 457
Denkt man sicli in diesem etwas unbequemen Ausdruck die
Potenzen _ i
(l-^8in»9i) md (l-i-sinVi)
w
I
in Beulen entwickelt; darauf nach Potenzen yon j- geordnet, imd
schlielslich in Rücksicht auf den kleinen Wert des Verhältnisses 2^:2|
wieder alle höheren ab die zweite Potenz von j- remachlässigt, so
(220 r=
T^\}\ + 4cos»^(>ia|--2|(cos«9i--^8in9^8in29i)iiC,j9?;*.
A. Das allgemeine Glelenksystem.
Die an dem speziellen Beispiel eines dreigliedrigoa Qelenkmechanis-
mus abgeleiteten Resultate lassen sich nun leicht für jedes beliebige
System von Eörpem, welche in irgend einer Weise durch Drehgelenke
Yon 1, 2 oder 3 Graden der Freiheit mit Mittelpunkt verbunden sind,
verallgemeinam. Es ist dabei nicht einmal nötig; dafs die Glieder des
Mechanismus in einer Reihe hintereinander geschaltet sind; sodafs sich
jeder Körper mit höchstens zwei anderen in Gelenkverbindung befindet;
solidem es dürfen an einem Körper beliebig viele andere eingelenkt
sein. Ein solches allgemeineres Gelenksystem stellt z. B. der mensch-
liche Körper dar, wo der Rumpf mit vier Extremitäten und mit
dem Kopf durch Gelenke verbunden ist; wenn man von den innerhalb
des Rumpfes selbst liegenden Gelenken zwischen Wirbeln und Rippen
ganz absieht. Femer liefern auch die mehrkurbeligen Maschinen ein
hierher gehörendes Beispiel; denn das aus Welle, Schwungrad und
Kurbel zusammengesetzte starre System (Kurbelsystem) , welches hier
nur ein Glied des ganzen Mechanismus repräsentiert; ist mit so viel
Schubstangen gelenkig verbunden; ab Kurbeln vorhanden sind.
Nur eine einzige Voraussetzung mufs im Interesse der Eindeutig-
keit der Untersuchung fQr das System gemacht werden. Bilden näm-
lich mehrere Körper des Systems eine geschlossene Kette; so muls
man sich an einem Gelenk innerhalb dieser Kette die Verbindung ge-
löst denken; und die Sache so aufhssen; ab ob bei den Bewegungen
des ganzen Systems die dieses Gelenk bildenden Enden der beiden in
Frage kommenden Körper immer gerade identische Bewegungen aus-
fBhrten; ohne mit einander in direktem Zusamm^kihange zu stehen.
Durch diese Annahme wird erreicht; dafs man von irgend einem Glied
\
458 tlher die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc.
des Systems zn irgend einem anderen immer nur anf einem einzigen
Wege im Innein des Systems gelangen kann, nnd dals, wenn maa die
sämtlichen Gelenkrerbindungen eines bestimmten Eorpeni gelost denkty
die einzelnen Teile , in wcjlche der Mechanismus dann zerfallt, und
welche im allgemeinen immer noch Ideinere Gelenksysteme darateUen,
nicht mehr mit einander in Zusammenhang stehen. Diese Bedingung
findet man z. B. im Bau des menschlichen Körpers ohne weitere Yor-
anssetznng erf&Ut; denn zertrennt man etwa die fünf Hanptgelenke des
Bnmpfes, so lost man dadurch den Kopf und die '^er Extremisten
vom Rumpfe, imd es zeigt sich dann, dafs diese abgetrennten fBnf
Korperteüe anch nTfcht mehr mit eimmder im Zusammenhang stAen.
Auch bei den mehrkurbligen Maschinen trifft, wie man leicht sieht^
im allgemeinen, wenn man von kleineren mehr accessorischen Teilen
absieht, diese Yoraussetung zu. Natürlich darf man dabei nicht, wie
es Reuleaux aus rein kinematischen Rücksichten thut, das Maschinen-
bett als Glied des Gelenkmechanismus auffassen.
Zu jedem ÖUed eines derartigen allgemeinen Gelenkeystems kann man
nun wieder in ganz entsprechender Weise wie beim dreigliedrigen System
ein reduziertes System konstruieren. Man braucht sich zu diesem
Zwecke nur im Mittelpunkt eines jeden Gelenk^ des betreffenden Ghedes
die Masse des Teilsystems konzentriert zu denken, welches sich beim
Trennen dieser GeliBukrerbindung vom ganzen Mechanismus ablösen
würde. So erhält man z. B. beim menschlichen Körper das ,predazierte
Rumpfsystem'^, wenn man im Mittelpunkt des Eopfgelenks die Masse
des Kopfes, im Mittelpunkte eines jeden Schultergelenks die Masse
eines ganzen Armes und im Mittelpunkt eines jeden Hüftgelenks die
Masse eines ganzen Beins konzentriert denkt und dem Rumpfe hinza-
fügt. Oder man gelangt zu dem rechten „reduzierten Oberschenkel-
System^, wenn man im Mittelpunkt des rechten Ejiiegelenks die Massen
des rechten Unterschenkels und rechten Fufses, dagegen im Mittelpnnki
des rechten Hüftgelenks die ganze Masse, welche dem mensdüichen
Körper nach Amputation des rechten Beins im Hüftgelenk noch bleiben
würde, konzentriert annimmt und dem rechten Oberschenkel hinzoftgi
Beim Mehrkurbelgetriebe erhält man das yp^eduzierte Kurbelsystem^
wie ich es kurz nennen will, indem man im Mittelpunkte eines jeden
Kurbelzapfens die Massen der zugehörigen Schubstange und des zQ-
gehörigen Gleitstücks konzentriert denkt, und dem aus Welle, Schwung-
rad und Kurbeln bestehenden starren System hinzufügt.
Es ist ersichtlich, dafs auch die reduzierten Systeme des allgemeinen
Gelenksystems stets ab Masse die Gesamtmasse des ganzen bewachen.
Systems besitzen.
Von 0. F18CHKB. 459
Der Schwerpunkt eines jeden reduzierten Systems stellt nun wieder,
wie man ohne Weiteres einsieht^ einen festen Punlii des dem reduzierten
System zu Grunde liegenden Gliedes des Mechanismus dar. Derselbe
soll auch beim allgemeinen Gelenksystem den Namen HoMplpwnkt des
betreffenden Gliedes führen. Femer mögen wieder alle Strecken, welche.
den Hauptpunkt eines Gliedes mit den Mittelpunkten der an dem Glied
befindlichen Gelenke yerbinden, als HcMptstrecken bezeichnet sein. Man
hat demnach im allgemeinen Falle unter XJmständei^ mehr, als zwei
Hauptstrecken in einem Glied. Der Rumpf besitzt z. B. ftinf Haupt-
strecken, das aus Welle, Schwungrad und Kurbeln bestehende Glied
eines Mehrkurbelgetriebes so viele, als Kurbeln yorhanden sind.
Die reduzierten Systeme und Hauptpunkte spielen nun für die
Kinetik der aUgemeineren Gelenksyeteme die entsprechende RoUe wie
beim dreigliedrigen System. Den Beweis hierAr im einzelnen Falle
zu erbringen,, unterliegt nach den, yielleicht mehr als unbedingt notig,
ausführlichen Darl^ungen der Verhältnisse beim dreigliedrigen System
keinen prinzipiellen Schwierigkeiten. Es sollen daher im folgenden
nur rein historisch die wesentlichsten Verallgemeinerungen der beim
dreigliedrigen System erlangten Resultate kurz angefQhrt, und im
übrigen auf meine Abhandlung: „Die Arbeit der Muskeln und die
lebendige Kraft des menschlichen Korpers ^)^^ verwiesen werden; in
letzterer sind die erforderlichen Beweise für das yerhaltnismäfsig kom-
plizierte System des menschlichen Körpers erbracht. Ich kann mich
bei der vorliegenden Schrift um so mehr mit einigen kurzen An-
deutungen begnügen, als ich mit derselben vorlaufig nur den Zweck
verbinde, auf die Bedeutung aufinerksam zu machen, welche die Ein-
führung der reduzierten Systeme und Hauptpunkte für zahlreiche Unter-
suchungen der technischen Mechanik, insbesondere die kinetische Unter-
suchung der Kurbelgetriebe hat.
Es ergiebt sich nun zunächst, dafs auch beim allgemeinen Gelenk-
system die Hauptpunkte der einzelnen Glieder in sehr engem Zu-
sammenhang mit dem Gksamtschwerpunkt S^ des Systems stehen.
Man kann die Beziehungen zwischen den ecsteren und dem letzteren
in den ganz allgemein giltigen Satz zusammenfassen:
Satz: Man gelangt hei jedem Gelenksystem immer zu dem Gesamt-
Schwerpunkte 8^, wenn man von dem Hauptpunkte Hj des belielng eu
wählenden jten Gliedes aus die geometrische Summe der eu den übrigen
Gliedern gehörenden Hauptstrecken bildet, auf welche man in jedem
1) Abhandl. der inath.-phy8. Klasse der Eönigl. S&chs. Gresellsch. d. W.
Bd. XX, Nr. I.
460 tlher die reduzierten Systeme and die Hauptpunkte etc.
Giiede mnerst stöfst, wetm man van Bj aus nach den versdtiedehm Bidh
tungen hm je einen Ober die Hauptpunkte der betreffenden Glieder Jlwh
weggehenden gebrodienen Liniensmg jedesmal bis ans Ende fuhrt
Legt man beispielsweise beim Mebrkurbelgetriebe f&r die Eon-
straktion des Oesamtschwerptmktes den Hauptpunkt des EurbebyBiems
zu Orunde, so hat man von diesem ans nur die der Welle innerhalb
des ganzen Systems am nächsten liegenden Hauptstrecken der sämt-
lichen Schubstangen und Gleitstücke in irgend einer Reihenfolge
geometrisch zu addieren, um den Oesamtschwerpunkt als Endpunkt
dieses Streckenzuges zu erhalten. Es kommen abo dabei irgend weiche
Hauptstrecken des Eurbelsystems, d. h. also des aus Welle, Sdiwnng-
rad und Kurbeln bestehenden starren Systems, gar nicht zur Verwen-
dung. Besteht nun das Mehrkurbelgetriebe aus lauter Schubkorbel-
getrieben, welche sich in parallelen Ebenen bewegen, die alle znr
Wellenachse senkrecht stehen, so erkennt man ohne weiteres, dafs der
zum öesamtschwerpunkt fBhrende Zug der Hauptstrecken von Schub-
stangen und Gleitstücken auch vollständig in eine Ebene hineinfaDi
Diese Ebene geht durch den Schwerpunkt des Eurbelsystems nnd
steht ebenfalls auf der Wellenachse in einem Punkte 0 derselben
senkrecht; sie soll der Kürze der Darstellung halber die Haujti>eiiie
des in Betracht gezogenen Mehrkurbelgetriebes genannt werden.
Numeriert man die n Schubkurbelgetriebe, welche den mehr-
kurbligen Mechanismus zusammensetzen, fortlaufend von 1 bis m, und
giebt den Hauptstrecken c^ und ^ der Schubstange und des Gleitstöcb
eines jeden Schubkurbelgetriebes noch die Nummer des letzteren als
zweiten Index hinzu, bezeichnet man femer die in der Hauptebene
liegende kürzeste Yerbindungsstrecke OH^ zwischen der Wellenachse
und dem Hauptpunkt H^ mit q, so hat man für die ebenfeJls in der
Hauptebene liegende kürzeste Yerbindungsstrecke OS^ zwischen der
Wellenachse und dem Oesamtschwerpuukt iS^, welche mit Cq bezeichnet
sein soll, die geometrische Summe
(23) ^ = ^ +2^» +2^-
1 1
Dabei ist zu beachten, dafs die Hauptstrecken e^^^ und c^^ dee
Aten Schubkurbelgetriebes nicht identisch mit den entsprechenden
Hauptstrecken csa und c^h des isoliert in Betracht gezogenen Schnb-
kurbelgetriebes sind-, sie besitzen kleinere, aber proportionale Langen
und gleiche Richtung wie diese. Das YerUeinerungsyerhaltiiiB ist f&r
die beiden Hauptstrecken eines Getriebes dasselbe, und z¥rar gleich
Von 0. F18CHKB. 461
^oA • ^'^o 9 dabei bedeutet mo» die Masse des Aten Schnbkurbelgetriebes
(ohne die Massen yon Welle und Schwungrad) und m^ die Gesamt-
masse des ganzen Mehrkurbelgetriebes, die Massen der Welle und des
Schwungrades, bezüglich der Schwungräder, mit einbegriffen.
Die Hauptstrecke c^ des aus Welle, Schwungrad xmd den n Kurbeln
bestehenden starren Systems hängt in sehr einfacher Weise mit den
Hauptstrecken Cih der Kurbeln sämtlicher isoliert in Betracht gezogenen
Schnbkurbelgetriebe (mit Hinweglassung der Welle und des Schwung-
rades) zusammen. Denkt man sich eine jede dieser Hauptstrecken
ebenfalls im Verhältnis moh : m^ rerkleinert, so stellt c^, wie man
nach den firüheren Auseinandersetzungen beim dreigliedrigen System
leicht einsehen wird, einfach die vom Punkte 0 der Wellenachse aus
genommene geometrische Summe dieser n im Verhältnis 9I»oa : ^0 ^®^"
kleinerten Hauptstrecken Cih dar. Denkt man sich einmal die sämt-
lichen Kurbeln nicht fest, sondern drehbar mit der Welle verbunden,
so hätte man dieselben ab selbständige Glieder des ganzen Mechanis-
mus mit besonderen Hauptpunkten Hik au&ufassen. Die Hauptstrecken
Cikf welche den auf der Wellenachse und in der Ebene des betreffen-
den Schubkurbelgetriebes liegenden Drehpunkt Ok einer jeden Kurbel
mit ihrem Hauptpunkt Hin verbinden, wären dann aber gerade die im
Verhältnis moh : ^o verkleinerten Hauptstrecken Cik der isolierten Schub-
kurbelgetriebe. Man erhält daher c^ auch als geometrische Summe
dieser fingierten n Hauptstrecken Cn.
Mit Hülfe des obigen Satzes über die Gewinnung des Gesamt-
schwerpunktes kann man in ganz entsprechender Weise wie beim
dreigliedrigen System die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
des Gesamtschwerpunktes, bezüglich deren Projektionen auf die
drei Achsen eines rechtwinkligen räumlichen Koordinatensystems, ab-
leiten.
Beim Mehrkurbelgetriebe vereiniGEkcht sich insbesondere diese Unter-
suchung einerseits dadurch, dafs die Bewegungen aller Punkte parallel
einer zur Wellenachse senkrechten Ebene, z. B. der Hauptebene, statt-
finden, und andererseits durch den Umstand, dafs die Hauptstrecken
Ctk sämtlicher Gleitstücke auch bei diesem allgemeineren Getriebe keinen
Einflufis auf die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen des Gesamt-
schwerpunktes ausüben. Dies gilt auch dann, wenn die einzelnen Gleit-
bahnen ganz verschiedene Richtungen besitzen. Denn denkt man sich
die Konstruktion des Gesamtschwerpunktes mit Hilfe der Hauptstrecken
in der durch Formel (23) angedeuteten Reihenfolge ausgeführt, so ist der
aus den letzten n Hauptstrecken cH gebildete Vektor konstant. Denkt
man sich daher rückwärts vom Gesamtschwerpunkte 8q aus den ent-
462 Über die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc.
n
gegengesetzt gleichen Vektor — ^J c^i abgetragen^ so gelangt man zu
1
einem Punkte, welcher in Bezug auf Geschwindigkeiten und BescUeo-
nigungen genau die gleiche Belegung auafährt, wie der G^esamtschwer-
punkt Sq selbst. Man kann daher jenen an Stelle von diesem zur
Untersuchung des Bewegungszustandes verwenden. Femer erkennt man
fiuch leicht, dafs jener Punkt den veränderlichen Hauptpunkt des ans
dem Eurbelsystem und den sämtlichen Schubstangen bestehenden Teiles
des ganzen Gelenkmechanismus darstellt. Er entspricht also dem
Punkte Si^t (Figg- 3, 5 und 6) beim dreigliedrigen System.
Itlan hat denmach für die Geschwindigkeit v^ des Gesamtschwer-
ptmktes Sq beim Mehrkurbe^etriebe die aus n + 1 Gliedern bestehende
geometrische Summe:
(24) ^o-^iVi+^^c^kVik-
1
Dabei bedeutet 9^1 die Drehungsgeschwindigkeit der Welle und
allgemein tpik die Winkelgeschwindigkeit ^ mit der die Längsachse der
Aten Schubstange ihre Richtung im Räume ändert. Die linearen Ge-
schwindigkeiten c^tp^ und c^g>%k sind natürlich stets senkrecht zu d^
Hauptstrecken c^ und c^h gerichtet. Da das ganze System nur einen
Grad von Bewegungsfreiheit besitzt^ so müssen sich die samtliehe])
Winkelgeschwindigkeiten (pik durch die Drehungsgeschwindigkeit ip[
der Welle ausdrücken lassen. Dies kann man nach dem Früheren auch
leicht erreichen; man darf nur nicht auiiger Acht lassen, dafs die Längs-
achsen der Kurbeln und die verschiedenen Gleitbahnen zwar alle parallel
der Hauptebene verlaufen sollen, im übrigen aber im allgemeinen ihre
Richtung ganz beliebig sein darf. Bezeichnet man die Winkel, welche
die Längsachsen der Kurbeln mit einer bestimmten zur Hauptebene
parallelen Richtung bilden, mit 91 « tmd die entsprechenden Winkel für
die Schubstangen mit tpik, so werden die Beziehungen zwischen den-
selben und zwischen ihren, die Winkelgeschwindigkeiten und Winkel-
beschleunigungen messenden ersten und zweiten Differentialquotienten
auch die Winkel enthalten, welche die Richtungen der Gleitbahnen
bestimmen. Femer werden die qpi« sich untereinander nur durch kon-
stante Winkel unterscheiden, so dafs man leicht alle q>ik und dadurdi
alle (fik und ihre Differentialquotienten durch den Richtungswinkel (pi
einer bestimmten Kurbel ausdrücken kann. Insbesondere erkeimt ihad,
dafs die Wüikelgeschwindigkeiten tpih der einzelnen Kurbeln alle gleich
der Winkelgeschwindigkeit (p^ sind. Es lassen sich daher die in Frage
stehenden Relationen nach dem Früheren leicht aufistellen«
Von 0. FisoHXR. 463
Endlich erhalt man in Yerallgemeinening der fQr das dreigliedrige
System angestellten Betrachtungen als Beschleunigung b^ des Gesamt-
schwerpunktes Sq beim Mehrkurbelgetriebe die aus 2n + 2 Gliedern
bestehende geometrische Summe
(25) 6o - ^9? + ^^?? + ^ t^^^*^* + "^^^
1
rind hieraus fClr den totalen, in Wirklichkeit auf yerschiedene Stellen
der WeUenachse verteilten Massendruck des Mehrkurbelgetriebes
(26) D - ~ mo [^9? + ^^'] - '»o^[^27^+ "^ii^].
1
Man ist weiterhin auch imstande, ohne alle Rechnung die Be-
dingungen anzugeben, unter denen der totale Massendruck die Gröfse
Null erhalt. Dazu ist offenbar hinreichend und notwendig, dafs einer-
seits der Hauptpunkt des aus Welle, Schwungrad und Kurbeln be-
stehenden starren Systems in die Wellenachse, und andererseits die
Hauptpunkte sämtlicher Schubstangen in die Achsen der entsprechenden
Kurbelzapfen hineinfallen.
Damit der Hauptpunkt des ersteren Systems in die Wellenachse
fallt, ist nun keineswegs erforderlich, dafs auch die weiter oben mit
JETi« bezeichneten Hauptpunkte der einzehien Kurbeln fär den Fall, daJs
die letzteren mit der Welle nicht fest, sondern gelenkig verbunden
wären, in die Wellenachse hineinfallen. Oder mit anderen Worten:
Für das Verschwinden des totalen Massendrucks ist nicht erforderlich,
dals die MassendrQcke der einzelnen Schubkurbelgetriebe fär sich zu
Null werden. Es läCst sich . daher die erste Bedingung, dals Si in die
Achse fallt, leicht durch geeignete Stellung der Kurbeln erreichen.
Man hat dieselben nur so gegen einander zu richten, daCa die oben mit
Cik bezeichneten Strecken die Vektorsumme Null ergeben, also ein
geschlossenes Polygon zusammensetzen. Bei drei Schubkurbelgetrieben
liUflt sich dies immer erreichen, Mls die Summe der absoluten Langen
je zweier Cxk nicht kleiner als die Länge der dritten Strecke ist. Bei
vier und mehr Schubkurbelgetrieben kann man dagegen im allgemeinen
auf sehr yerschiedene Arten den Hauptpunkt H^ nach der Wellenachse
bringen
Die zweite Bedingung, dab der Hanplpnnkt einer jeden Schub-
Stange in den Mittelpunkt des Kurbelzapfens fällt, liebe sich auf die
schon froher beim dreigliedrigen System angegebene Weise im Prinzip
auch erreichen. Ob dies praktisch ausführbar ist, soll vollständig
dahingestellt bleiben, jedenfalls ist auch beim Mehrkurbdgeiriebe eine
ÄiAsg^eichung der Gröfsen der einsfdnen Massendräcke iheareUsch möglich.
464 t)l}er die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc.
Hat man die Grölse des totalen Massendrucks zum Yerschwindeii
gebracht^ so werden nun im allgemeinen damit noch nicht die Drehungs-
momente für Achsen^ welche der Hauptebene parallel laufen, yermieden
sein. Es werden sich dann in der Regel die von den yerschiedenen
Schubkurbelgetrieben hervoi^emfenen Massendrücke zu einem einzigen
Eraftepaar zusammensetzen, dessen Achse aber auf der Wellenachse
senkrecht steht. Zur Bestimmung des Momentes dieses Ejaftepaares
mufs man sich daher zunächst fBr jedes Schubkurbelgetriebe mit Hülfe
der beiden Hauptstrecken Cik und es» in der früher beschriebenen Weise
den Massendruck aufsuchen. Dazm lafst sich unter Berücksichtigimg
der Abstände der einzelnen Getriebeebenen leicht das Moment
resultierenden Eraftepaares berechnen. Dadurch wird man aber in
Stand gesetzt^ die Bedingungen anzugeben, unter denen auch noch
dieses Eraftepaar zum Verschwinden gebracht werden kann, und Bomit
ein yoUstimdiger Ausgleich aUer Massenwirkungen erreicht ist
Handelt es sich um eine f&r die Praxis genügend genaue An-
näherung an den vollkommenen Ausgleich der Massendrücke^ fSr welche
die Bedingungen von H. Lorenz in der zitierten Arbeit au%e8t6llt
worden sind, so gestatten die Hauptpunkte in viden Fallen eine geo-
metrische Interpretation. So sagen beispielsweise die oberen beiden
Bedingung^leichungen (I) und (H) von H. Lorenz (Seite 16), welche
die Gröüsen a nicht enthalten, in ihrer Vereinigung nichts anderes ans,
ab dals das Polygon amtlicher Hauptstrecken Cik geschlossen im,
d. h. also, dals der Hauptpunkt H^ auf die Welloiachse Sfidlen mub xl s. w.
Die Ableitung des Ausdruckes für die lebendige Eraft kann mit
Hülfe der Hauptpunkte und Hauptstrecken auch beim allgemeinai
Oelenksystem im Prinzip auf ganz dieselbe Weise wie beim dreiglied-
rigen System geschehen. Es gestalten sich nur die V^haltnisse da-
durch Terwickelter, dals die Glieder des Systems unter ümständeD
durch Gelenke von zwei oder drei Graden der Freiheit yerbunden sein
können, und infolgedessen die Bewegongsfreiheit des ganzen Systems
eine viel groisere ist, ab wenn zwei benachbarte Eorper immer nur
durch ein Ghamiergelenk mit einander verbunden waren. Hat mim
ti Glieder, und besitzen alle Yerbindungsgelenke drei Ghade der Frei-
heit, so hat das ganze System selbst 3ti + 3 Grade der Freiheit Man
braucht dann ebensoTiel allgemeine Eoordinaien sor eindentigen Be-
stimmung der Stellung des Systems im Baume, nämlich drffl liomliche
Eoordinaten f&r einen Punkt^ etwa den Gesamtschwerpunkt des System^
und je 3 Winkel tpp d^ Qj zur Bestimmung der Orioitienmg im Baome
fBr einen jeden der ii Eöiper, welche das System aussmmensetBen.
Man kann dann bei festgehaltenem Ctesamtadiwerpunkt das ffOK
Von 0. FucHXR. 465
äystem aus einer Stellung in eine unendlich benachbarte dadurch über-
führen, dafs man demselben successire imendlich kleine Yerrückungen
erteilt, bei welchen jeweilig nur die drei Winkel fp^j d'j, qj des jten
Gliedes geändert werden, während die zu den übrigen Gliedern ge-
hörenden Winkel konstant bleiben. Es gut nun der folgende
ScUe: Für eine solche Verrückung mufs das j*' Glied bei gleichsfeitiger
Translation aüer vorigen eine unendlich Meine, durch dtpj, dd'j, dgj
charakterisierte Botatian um eine Achse durch seinen Hawptpunkt Hj er-
fahreny wenn der Gesamtschwerpunkt des Systems während der Ver-
riiekung an seiner Stelle bleiben soU.
Dieser Satz ist die direkte Yerallgemeinemng des Satzes vom
Dreikorpersystem für eine gröfsere Anzahl durch Gelenke verbundeno-
Eorper , gröDsere Freiheit von Gelenken und beliebige Richtung der
Botationsachse. Er ermöglicht es, die Verschiebung des Schwerpxmktes
eines jeden Gliedes relativ zum Gesamtschwerpunkt f&r jede beliebige
Yerrückung des ganzen Systems festzustellen. Zieht man dami noch
die Rotation eines jeden Gliedes um eine Achse durch seinen Schweiz
punkt in Betracht, so hat man alle Mittel, um die lebendige Kraft T^
des ganzen Systems relativ zum Gesamtschwerpunkt ableiten zu können.
Man erhält auf diese Weise wieder den Ausdruck für T^ in der
knappsten Form. Trotzdem enthält er natürlich sehr viel Glieder, denn
T^ muJb sich ja als eine homogene Fimktion zweiten Grades der
Winkelgeschwindigkeiten qp^, ^j, q) darstellen. Aufser den Quadraten
und 'Produkten dieser Winkelgeschwindigkeiten und den Winkeln 9>^-,
Oy, Qj selbst treten in dem fertigen Ausdruck nur noch die Trägheits-
radien der sämtlichen reduzierten Systeme in Bezug auf Achsen durch
die Hauptpunkte, femer Hauptstrecken der einzehien Glieder und die
Gesamtmasse m^ des Systems auf. Die Massen m^ der einzelnen Glieder
und Strecken, welche sich auf die Lage des Schwerpunktes innerhalb
eines einzehien Gliedes beziehen, kommen in dem auf die beschriebene
Weise gewonnenen Ausdruck für T^* nicht vor; denn sie sind nur inso-
weit bestimmend für die Grölse von Tr, als sie einen Einflufs auf die
Trägheitsradien der reduzierten Systeme und die Schwerpunkte der
letzteren, dL h. aber die Hauptpunkte der^ Glieder besitzen.
Für die gesamte lebendige Kraft T des Systems kommt zu Tr noch
die lebendige Ejraft i-m^t^, welche aus der Bewegung des Gesamt-
schwerpunktes resultiert, hinzu.
Bleibt ein Punkt irgend eines Gliedes bei der Bewegung des
Systems fest, so hat dasselbe im allgemeinsten Falle nur noch 3n Ghiide
der Freiheit^ und es genügen die 3n Winkel 9?/, ^/, py zur eindeutigen
Charakterisierung der Stellung des ganzen Systems. Dies kommt bei
Z^ltwhrlit f. M«thematik Q. Physik. 47. Band. 1908. S.a. 4. Heft. 30
r Techmke
4GG Über die reduzierten Systeme und die Hauptpunkte etc. Von O. Fircuek.
der Ableitung der lebendigen Kraft dadurcli zum Ausdruck, dafs die
Koordinaten x^, y^, z^ des Gesamtaehwerpunktes sich ala Fnnktionen
der Winkel <fij, &j, p/ nut«r Verwendung der Hauptatrecken darstellen,
und also durch dieselben ersetzen lassen. In dem fertigen Ausdruck
für die totale lebendige Kraft T Sndet man jetzt nicht melir die Tiäg-
heitsradien der reduzierten Systeme auf Achsen durch die Hauptpunkte,
sondern auf Geienkachsen bezogen, wie sich das schon beim drei-
gliedrigen Systeme [Formel (21 )J herausgestellt hatte.
Beim Mebrkurbelgetriebe gestaltet sich das Problem der Ableitung
der lebendigen Kraft infolge des Umstandes, daTs alle Glieder durch
Gelenke von 1 Grad der Freiheit mit parallelen Achsen verbunden smd,
viel einfacher. Es fallen die Winkel 9) und p( vollständig bei der
Untersuchung fort, und man hat nur Verrückungen in Betracht zu
ziehen, welche einer unendlich kleinen Veränderung eines Winkels qrj
entsprechen. Trotzdem besitzt der Ausdruck für die lebendige Kraft
auch in diesem Falle eine ziemlich ausgedehnte Form. Es m^ der-
selbe daher hier nicht herges ehr i eben, sondern auf meine schon oben
angeführte Abhandlung: „Über die Arbeit der Muskeln und die lebendige
Kraft des menschlichen Körpers" verwiesen werden. Daselbst findet sich
für ein ganz übjiliches System, nämlich den menschlichen Körper, für
den Fall, dafa derselbe nur ebene, zur Medianebene des Körpers parallele
Bew^ungeu ausführt, der Ausdruck für die lebendige Kraft in extenso
aufgeführt (Seite 71 und 75).
Schtiefslicb sei noch erwähnt, dafs man aus dem Werte der lebendigen
Kraft nun ohne weiteres die Lagrangeschen Bew^ungsgleicbungen
der zweiten Form ableiten kaim, Die letzteren finden sich in jener
Abhandlung ebenfalls augegeben (Seite 54, 80 — 83), so dafs auch in dieser
Hinsicht auf dieselbe venvieaen werden kann. Es zeigt sich auch bei
den Bewegungsgleichungen recht deutlich, wie viel die Formeln bei
Anwendung der Trägheitsradien der reduzierten Systeme und der
Hauptstrecken an Ausdehnung verlieren, dafür aber an Klarheit und
Anschaulichkeit gewinnen. Dies tritt um so mehr hervor, je grÖfser die
Anzahl der Glieder ist, welche den Mechanismus zusammensetzen.
Diese kurzen Andeutungen Über den Nutzen der reduzierten
Systeme und ihrer Schwerpunkte für die Kinetik der Qelenkmechamsmen
allgemeinster Art mögen genügen. Es kam mir dabei weniger darauf
an, ausgedehnte Formeln mitzuteilen, als vielmehr die Methode zu ihrer
Ableitung anzugeben, und dadurch vielleicht auch das Interesse der
Techniker für die reduzierten Systeme zu erwecken.
über ein EonatmktioiiBprinzip und seine Verweitnng etc. Von 0. ümoeb. 467
Über ein Eonstrnktionsprinzip und seine Verwertung bei
der Schattenbestimmnng an Drehflftchen.
Von 0. ÜNGER in Breslau.
Monge, der geniale Begründer der „g^om^trie descriptire« weist
seiner Wissenschaft einen zweifachen Zweck zn: Erstens soll sie die
Methoden liefern, um auf einem Zeichenblatte alle Raumgebilde abzu-
bilden, vorausgesetzt, dafs diese Gebilde streng definiert werden können,
und zweitens soll sie das Verfahren lehren, um aus einer genauen
Zeichnung die Gestalt der Raumgebilde erkennen und alle Sätze, welche
aus der Gestalt und der gegenseitigen Lage der Raumgebilde folgen,
ableiten zu können.^)
Prüft man an der Hand dieses Programms den Weg, den die
Entwicklung der darstellenden Geometrie in den hundert Jahren ihres
Bestehens genommen hat, so zeigt sich, dafs besonders jener Teil,
welcher die zweite der Mongeschen Forderungen in sich begreift, in
ganz hervorragender Weise weiter entwickelt worden ist.
Weniger intensiv erscheint mir, — mindestens so weit die verofifent-
lichte Litteratur darüber Auskunft giebt — , dasjenige Gebiet bearbeitet
zu sein, welches uns die Methoden liefern soll, um die Konstruktionen
des Raumes auf dem Zeichenblatte toirklichy d. h. mit dem Zirkel und
Bleistift in der Hand, zur Darstellung zu bringen, insbesondere wenn
dabei Genauigkeit und Einfachheit als unerläfsliche Bedingungen hin-
gestellt werden.*)
1) Siehe: ,^ar8tellende Geometrie von Gaspard Monge" (1798), über-
setzt nnd herausgegeben von B. Haussner, (Ostwalds Elassiker), Leipzig 1900,
Seite 3.
2) Wie hoch selbst Mathematiker von dem Bange eines Steiner diese reelle
Seite des Eonstroierens bewerten, darüber vergleiche man dessen Bemerkung in
der Abhandlung: „Die geometrischen Konstruktionen, ausgeführt mittelst der
geraden Linie und eines festen Kreises^*, wo er im § 19 unter anderem sagt:
„ dals es eine ganz andere Sache sei, die Konstruktionen in der That,
d. h. mit den Instrumenten in der Hand, oder blofs mittelst der Zunge
auszuführen. Es läfst sich gar leicht sagen: ich thue das, und dann das, und
dann jenes; allein die Schwierigkeit, und man kann in gewissen F&llen sagen,
die Unmöglichkeit, Konstruktionen, welche in einem hohen Grade zusammenge-
setzt sind, wirklich zu vollenden, verlangt, dals man bei einer vorgelegten Aufgabe
genau erwäge, welches von den verschiedenen Verfahren bei der gänzlichen Aus-
führung das einfachste, oder welches unter besonderen Umständen das zweck-
mäfsigste sei, und wie viel von dem, was die Zunge etwas leichtfertig ausfahrt,
zu umgehen sei, wenn es darauf ankommt, alle überflüssige Mühe zu sparen, oder
80*
468 Über ein Eonstniktionsprinzip und seine Verwertung etc.
Abgesehen dayon, dafs eine Anzahl wertvoller Eonstraktionen
existieren mag, welche nicht die ihnen gebührende allgemeine Yer-
breitnng gefunden haben , so dürfte auch manche der gebranchlichen
Darstellungsmethoden noch nicht bis zu jenem Grade der Yerfeinerang
fortentwickelt worden sein, die sie befähigt, sich all den yielgestaltigeii
Anforderungen des modernen technischen Zeichnens ungezwungen an-
zupassen. Auch soUten wir nicht darauf verzichten, immer wieder Ton
neuem die uns im Laufe der Zeit bekannt werdenden Eonstruktions-
yerfahren darauf hin zu prüfen, ob sie sich durch Herrorheben gemein-
samer Hauptgedanken zu allgemeinen Zeichenmethoden zusammenfassen
lassen, oder zu untersuchen, wie weit es möglich ist, einzelne, der
stillen Arbeit am R^üibrette entsprungene Zeichenvorteüe und Kmist-
griffe zu allgemein verwertbaren Eonstruktionsprinzipien zu erweitem.
Auf einen derartigen Zeichenvorteil, der meiner Meinung nach es
verdient, zu einem bewufst angewandten Eonstniktionsprinzip erhoben
zu werden, möchten auch die nachfolgenden Zeilen aufinerksam machen.
Es sei gestattet^ die Entstehung und Verwendbarkeit des Prinzipes an
jenen Aufgaben zu erläutern, die mich zu dessen Aufstellung f&hrten.
1« Das im technischen Zeichnen am häufigsten verwendete ortiio-
gonale Gfrund- und Aufrifsverfahren arbeitet mit zwei, auf dem Zeichen-
blatte raumlich getrennten Projektionen. Für den Theoretiker sind
beide Projektionen vollständig gleichwertig; dem praktischen Eonstrok-
teur hingegen ist es nicht selten um die Erlangung nur einer Ansicht
(meist des Aufrisses) des darzustellenden Gegenstandes zu thun. Die
andere Projektion (der Gmndriss) wird in diesem Falle zu einer Hilis-
figur, die man am liebsten ganz umgehen möchte.^)
Eine nahe liegende Lösung für diese, zunächst einem Bedfirfiiisse
des praktischen Zeichnens entsprungene Aufgabe wird dadurch er-
halten, dafs man die Konstruktionslinien des Grundrisses an passender
Stelle in den Äufrifs einzeichnet.
Um zu zeigen, worin die Vorteile bestehen, die durch diese Ab-
änderung eines gebräuchlichen Eonstruktionsverfahrens erzielt werden^
soll die Aufgabe gelöst werden: Für den Parallelkreis p einer Dieh-
die grölstö Genauigkeit zu erreichen, oder den Plan (das Papier), worauf gezeichnet
wird, möglichst zu schonen, u. s. w. . .^ —
J. Steiners Gesammelte Werke, Berlin 1881, Bd. I, Seite 510. —
1) Vergleiche z. B. diese Zeitschrift 46 (1901), S. 244: Eine Schattenkon-
struktion, von R. Mehmke. Daselbst wird in einer Anmerkung darauf hin-
gewiesen, dafs J. Pillet in seinem mir leider unzugänglichen „Trait^ de Per-
spektive . . /* Schattenkonstruktionen für Drehungsflächen angiebt, die eben-
falls allein im Aufrifs ausführbar sind.
Von 0. ÜNOEB.
469
tt
»/
//
fläche A sind die Selbstschattenpunkte P und Qy insbesondere deren
yertilcale Projektionen zn ermitteln.')
Figur 1 enthalt die Losung nach dem sogenannten Eugelyerfahren
in der üblichen Form.') — C ist der Mittelpunkt der Berührungs-
kngel. Von C ausgehend
sind an Konstruktionslinien
zn ziehen: Durch C eine
Normale fs, zu V\ giebt D
in p'\ B ist nach D' in x
zu projizieren; durch D' eine
Normale n^ zu l\ giebt mit
p' zum Schnitt gebracht P'
und Q') durch Loten nach p
erhalt man schliefslich P
und Q''. —
Die Punkte P" und Q
würden wir auch erhalten
haben, wenn wir gleich von
der Stelle aus^ wo wir mit
dem Zirkel einsetzen mufsten,
um den Radius für Kreis p'
abzugreifen (also yon M aus)
den Kreis Pq geschlagen, und
durch D (statt durch D") die
Normale (n^ zu V gezogen
hätten. Dieser Vorgang ist
aber gleichbedeutend mit
einer Verschiebung der Kon-
struktionslinien des Gh-und-
risses in die, in Figur 1
durch Striche ( ) be-
zeichnete Lage des Aufrisses, oder, den Vorgang raumlich aufgefafst:
mit einer Verlegung der horizontalen Projektionsebene 77^ in die Ebene
des Parallelkreises p.
1) Das Bedürfnis, nur mit einer Projektion zu arbeiten, tritt hauptsächlich
bei solchen Darstellungen auf, bei denen die, durch das Fehlen einer zweiten
und dritten Projektion erschwerte Verständlichkeit der Abbildung durch andere
Mittel ergänzt wird, also bei Abbildungen mit Schattengebnng, Eontour-
bestimmungen etc.
2) S. z. B. B. Müller, Leitfaden für die Vorlesungen über darstellende Geo-
metrie . . ., Braunschweig 1899, Seite 62.
470 Über ein EonstroktionBprmzip und seine Yerweitong etc.
Der Wert dieses Konstruktionsgedankens beschränkt sich nicht
darauf, dafs damit die Möglichkeit gegeben ist, Konstruktionen (scheinbar!)
ohne Benutzung einer zweiten Projektion durchzufOhren. Für die Ton
mir befürwortete allgemeinere Verwendung^) kommt vielmehr in Be-
tracht, dafs durch das Ineinanderschieben der Eonstruktionslinien die
Länge der Ordinaten (z. B. P' P*' in Fig. 1) zumeist bedeutend redu-
ziert und so die Genauigkeit der Zeichnung erhöht wird, und dafs es
in vielen Fällen gelingt, durch Ausnützung des Zusammenfallens von
Punkten und Linien die Zeichenarbeit bedeutend zu vereinfachen.^ Ge-
nauigkeit und Einfachheit in der Durchfuhrung sind aber, wie schon
eingangs erwähnt, zwei Anforderungen, auf die der zeichnende Tech-
niker keinesfalls verzichten kann. — Auch ist es möglich auf Grund
der einfachen Lagebeziehungen Konstruktionen abzuleiten, denen eine
gewisse Selbständigkeit inne wohnt, so dafs sich damit unser Eon-
struktionsgedanke — , wenn es erlaubt ist, sich dieses Ausdruckes zu
bedienen — , als Methode bildender Faktor erweist. —
2. Die Entfernung der durch die angef&hrte Konstruktion erhaltenen
Punkte Pq und P" ist gleich dem Abstände des Punktes P von der
Hauptmeridianebene. Von jedem Punkte P, welcher zur Ermittelung
der Selbstschattengrenze c bestimmt wird, erhalt man also die vertikale
Projektion P" und unmittelbar daran angetragen die Ordinate P"F^
Diese Lage der Punkte P" und P^ erweist sich als besonders geeignet,
um daraus eine schiefe Projektion abzuleiten.^) Wird nämlich mit
A^A" A^ (Fig. 2) das Projektionsdreieck der schiefen Projektion be-
zeichnet, so hat man nur durch P" eine Parallele zu A" A^y und durch
Pq eine Parallele zu A^A^ zu ziehen; der Schnittpunkt P^ dieser Ge-
raden ist die schiefe Projektion des Punktes P Wird das Projektions-
1) Auch mein Studien- und Fachgenosse E. Müller in Königsberg i. Fr.
hat anläfslich der Besprechung des „Lehrbuches der darst. Geometrie Ton Bohfl
und Papperitz'* die Verwendung dieses Eonstroktionspmudpes empfohlen. — Ver-
gleiche Zeitschrift für Math, und Physik, Band 44, Histor. -litterarische Abteilung,
Seite 177.
2) Bei Monge, a. a. 0. Seite 67., finde ich folgende Stelle: „Die Lösiuig
hätten wir viel eleganter gestalten können, wenn wir die Projektionsebenen durch
den Kugelmittelpunkt gelegt hätten. Dann würden die beiden Projektionen der
Kugel in ein und denselben Kreis gefallen und die geraden Linien weniger lang
zu ziehen gewesen sein.** — Daraus geht hervor: Das Ineinanderlegen der Projek-
tionen mit seinen Folgen — , kurze Ordinatenlinien und zusammenfallende Zeichen-
elemente — , hat auch Monge schon gekannt; for uns eine um so grdJsere Ver-
pflichtung, seine Anregungen auch zu verwerten.
3) Yergl. Schlesinger, die darstellende Geometrie im Sinne der neueren
Geometrie (Wien 1870), Seite 223.
Von 0. Umobk.
471
dreieck fOr VI" als Richtung der Sehstrahlen abgeleitet, so ist c^ (die
schiefe Projektion von c) der scheinbare ümrifs der Drehfläche jd.
In Figur 2 ist die Bestimmung des scheinbaren Umrisses einer
Dreliflache nach dieser Methode durchgefiihrt. Bemerkt sei hierzu,
daCs man nicht nötig haty all die Eonstruktionslinien, die das Verfahren
erläutern sollen, bei der Anwendung auf dem Reüsbrette zu zeichnen.
£b dürfte genügen, für jeden benutzten Parallelkreis die Linie der
Punkte PqQq zu ziehen; alle übrigen Punkte lassen sich durch Ein-
schneiden fixieren. In der Figur sind die entbehrlichen Linien durch
Striche ( ) angedeutet.
3. Der scheinbare ümrifs c^ in schiefer Projektion ist identisch
mit dem Schlagschatten der Drehfläche auf die Hauptmeridianebene M,
fOr V'V als Richtimg der Lichtstrahlen. Figur 2 kann also auch auf-
gefafst werden als orthogonale Projektion einer Drehfläche, für welche
die Schattenkonstruktion durchgefiihrt wurde. Figur 3 bringt diese
Auffassung zur Anschauung. Zum yollsföndigen Abschlufs der
Schattenkonstruktion fehlt noch der Schlagschatten 8, den die Selbst-
schattengrenze c des Wulstes auf den darunter befindlichen Teil des
Rotationskörpers wirft. Die Frage liegt nahe, ob es nicht möglich
472
Über ein KonstroktionBprmzip nnd seine Yerweiiang etc.
ist, den Schatten s im Anschlofs an die TorUegende Konstruktion
zu finden.
Nach dem allgemein gebrauchlichen Verfahren ^ wurde man s er-
halten durch ^urückf&hren'^ der Schnittpunkte, welche der Sdiatten
Yon c und die Schatten einer Anzahl Ton Parallelkreisen auf einer
(horizontalen) Ebene bestimmen. Der Schatten Ton c auf eine (aller-
dings vertikale) Ebene M ist in unserem Beispiele bereits yorhanden.
Wir hätten also noch die Schatten p^ der in Betracht kommenden
Parallelkreise — , im vorliegenden Falle Ellipsen! — , zu konstmiereQ
und dann wie oben angegeben zu verfahren. Ein solches Verfahren
Fig. 8.
ist möglich und wurde in Figur 3 zur Bestinmiung des Punktes S"
angewandt. Indes: das Verzeichnen einer Anzahl von Ellipsen erfordert
verhältnismäfsig viel Zeit, die Schattenpunkte St ei^ben sich als
Schnittpunkte zweier punktweise bestimmten und freihändig gezeich-
neten Kurven y unsicher imd ungenau. Das Verfahren erweist sich
mithin in dieser Form als wenig konstruktionsmalsig. — Es ist aber
möglich, es derart abzuändern, dafs das Zeichnen der Schattenellips^
umgangen wird.
Wir gehen dabei von der Bemerkung aus, dafs die Schattenellipse
Pt zum Kreise p^ affin ist und perspektivisch liegt^ för xx («==/?")•'*
Affinitätsachse und A^Aq als Richtung der Affinitätsstrahlen. Di^
führt darauf, St nicht direkt als Schnitt von pt mit c« zu bestimm^
1) S. Z.B.Wiener: Lehrbuch der darstellenden Geometrie (Leipäg 1884— ^•
Band H, Seite 177.
Von 0. ÜNOKB.
473
sondern Sty bezw. S", abzuleiten aus S^^, dem Schnittpunkte von p^ mit
der zu c« affinen Kurve c^ Da die Schlagschatten aller Parallelkreise
Ellipsen sind; die ein Paar konjugierte Durchmesser parallel zu p",
bezw. Ä''At habeU; so werden denselben im System der Kurve c^ (27^.)
durchweg Kreise entsprechen. Die Konstruktion ist damit zurück-
gef&hrt auf die Ermittelung der Schnittpunkte von Kreisen mit einer
Kurve c^ — Im folgenden soU dieses abgeänderte Verfahren noch
näher erläutert und dabei gezeigt werden; wie man c, direkt erhalten
kanii; ohne c« darstellen zu müssen.
4. Die affine Beziehung zwischen dem direkten Schattensystem 27
und dem System 27^ ist nach 3. dadurch hergestellt worden, dafs wir
Fig. 4.
A^ und Af^ als zwei entsprechende Punkte erkannten (Fig. 3 und
Nebenfigur von Fig. 4). Es entspricht also der Richtung Ä^Ä" (|| l")
in 27, die Richtung Ä^Ä" (|| eis) in 27,, imd ebenso Ä^V (I| ge) in 27,
die Richtung Ä^V (|| O in 27^
Sind P'^Pq (Fig. 4) die beiden zusammengehörigen Punkte, wie
sie sich nach 1 ergeben, und ist P« der Schatten von P auf die Haupt-
meridianebene M, so sind die Seiten des Dreiecks P^P'^P^ parallel den
Seiten des Projektionsdreiecks Ä^A^A^. Daraus folgt unter Berück-
sichtigung der oben angeführten affinen Beziehungen, dafs wir den
Punkt P, der Kurve c, erhalten können, wenn wir durch U, den
Schnittpunkt der Geraden P^P, mit der Affinitatsachse xx^) eine
1) Die Achse xx ist horizontal, im übrigen aber beliebig anzunehmen.
A
474
Über ein Konstruktionspriiizip und seine Verwertong etc.
Parallele zu P^P** ziehen und diese Parallele mit P^Pt (in PJ zum
Schnitt bringen. Wir ersehen zugleich , dafs man durch Ziehen der
Linien r'U\\V'y üPJ\s!e und PoP, || ^^ den Punkt P, dirdd
aus Pq und P" ableiten kann, also auch die Kurve c^ erhalt, ohne c,
zeichnen zu müssen.
Um die Kreise p^, welche bei unserem Verfahren die Schatten-
ellipsen der Fig. 3 ersetzen sollen, möglichst einfach zu erlangen, be-
achten wir, dafs die Mittelpunkte der Ellipsen in der Drehachse z
liegen. Die Mittelpunkte der affinen Kreise liegen daher in der
Geraden 0^, welcher g in £ entspricht, und die nach früherem paraUel
zu V ist. Ziehen wir also durch den Schnittpunkt 0 Yon x und z
eine Parallele zu T, so ist dies die Gerade der Kreismittelpunkte. Den
Mittelpunkt M^ eines bestimmten Schattenkreises p^ erhalt man als
Schnitt Yon 0^ mit dem durch M gezogenen AfiBnitatsstrahl.
Die Punkte S^, in welchen der aus M^ mit dem Radius r ge-
zeichnete Schattenkreis jp, die Kurve c^ schneidet, entsprechen jenen
Deckpunkten Sg des direkten Schattensystems 2J, aus welchen man
durch das sogenannte Zurückführen die Punkte S'' ermittelt Ziehen
wir durch S^ eine Parallele zu 0 his R in x, und weiter durch B eine
Parallele zu V\ bis diese p" in S" schneidet, so ist S" ein Punkt des
gesuchten Schlagschattens. — Die Gerade durch RS" ist nämlich in
S die entsprechende Gerade zu RS^ in £^] sie geht also durch S,,
und da sie auch parallel zu V\ so fallt sie zusammen mit der vertikalen
Projektion des Lichtstrahls, welcher, von 8, zurückgeführt, S" be-
stimmen würde. Sg selbst braucht nicht ermittelt werden. —
6. Beachtenswert sind die Ver-
einfachungen, welche sich ergeben,
wenn man diese Konstruktion f&r
den gebrauchlichen Lichtstrahl
'^',}45® ausführt.
Zunächst mochte ich hier
darauf hinweisen, dafs bei dieser
Annahme des Lichtstrahles das
unter 1. gegebene Verfiduren zur
Bestimmung der ^ßdbstsdioMeH'
grerufef' noch eine weitere Verein-
fachung zulaCst. P" und C" (vergL
Fig. 1) leitet man in diesem Falle
nicht aus P^ und Q^ ab, sondern aus jenen Punkten P, und Q^ welche
sich ergeben als Schnitte des Kreises p^ mit einer durch C, senkrecht
Yon 0. ÜNOKB.
475
zn l" gezogenen Geraden n^. Die Richtigkeit des Verfahrens erkennt
man ohne weiteres aus den Symmetrieyerhaltnissen der Fig. 5 bezüglich
der Geraden p\
Wir könnten den Beweis aber auch so führen: Denken wir die
horizontale Ebene U^ des Parallelkreises p, zusammen mit der horizon-
talen Projektion V des Lichtstrahls ^ entgegen dem gewohnlichen Ge-
brauch, dadurch mit der Zeichenebene vereinigt^ dafs wir den vorderen
Teil Ton 77^ nach oben umklappen, so stimmt die Richtung von V
überein mit V, und es fallt mithin die durch C gezogene Normale n^
(-L l"\ zusammen mit der durch D zu ziehenden Normalen n^ (X O
Die Vereinfachungen fElr die ScMagschaMenkonsiruktion (Fig. 6) er-
geben sich aus folgenden speziellen Lagen von Zeichenelementen:
a) Die Richtung der Affinitatsstrahlen (A^Ät) wird parallel zu
XX] die Geraden PqP^ lassen sich mithin bequem mit der Reiüsschiene
ziehen. Da P"XU ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck
bildet, kann P^ auch erhalten werden, indem man die Strecke XP"
von Pq aus bis P^ auftragt.
b) Aus der horizontalen Richtung der Affinitatsstrahlen folgt
weiter, dafs M^ in die Gerade p" fällt, sich also als Schnitt Ton g^
mit der Tertikaien Projektion p" des zugehörigen Parallelkreises ergiebt
Fassen wir den EonstruktionsYorgang, soweit er sich auf den
Schlagschatten s bezieht, noch einmal kurz zusammen (Fig. 6):
Wir ziehen die Achse x horizontal, aber sonst beliebig und legen
durch deren Schnitt 0 mit e eine Parallele jer. zu T.
476 Über ein Konstruktionsprinzip und seine Verwertang etc.
Die KuMTve Cg erlialteii wir, indem wir für jeden nach 1 bestimmten
Selbstschattenpunkt P" Pq durch P^ eine Parallele zu x ziehen und
PoP, = XP" machen.
Sind 0x und Cx gezeichnet, so erhalt man den SchaümpunU 8",
den c auf einen beliebigen Parallelkreis p wirft^ wie folgt: Kreisbogen
aus Mx(^ Zx X jP'O ^^^ Radius r schneidet Cx in 5«; durch 5« ein
Lot bis 22 in ^; durch R eine Parallele zu l" giebt S'* in p'\ —
6. Ist, wie dies häufig yorkommt, die schattenwerfende Eurre ein
ParaUdkreis (Bandkreis) h der Drehfläche; so tritt an Stelle der Kurve
Cx ein Kreis hx. In diesem Falle läfst man zweckmäfsig die Achse x
mit der vertikalen Projektion yon k zusammenfallen und erhalt dami
die Konstruktion so, wie in Fig. 7 angegeben.*) Einer besonderen Er-
klärung bedarf dieselbe nach dem yorhergesagten wohl nicht.
Jedoch kann unter Umstanden das Ergebnis folgender Betrachtung
für den Zeichner yon Wert sein.
Wenn V und l" mit der Projektiosachse Winkel yon 45^ ein-
schliefseU; so liegen die Punkte 1 und 2 in einer Horizontalen, und es
ist MS'' = Jfx3. — S" können wir demnach auch durch wiederhoUes
Abgreifen mit dem Zirkel wie folgt erhalten: Radius r in den Zirkel
nehmen; yon Mx nach Sx in kx stechen; yon Sx die Entfernung bis f
abgreifen; mit dieser ZirkelofEhung yon M bis 3 stechen und sofort
SMx abgreifen; endlich diese Strecke yon M nach S" abtn^en. Wemi
man auf diese Weise S" ermittelt^ brauchen also nur kx, Zx und die
einzelnen p" gezeichnet werden.^)
Nicht imterlassen mochte ich es^ noch darauf hinzuweisen, dals
bei Schattenkonstruktionen, wie sie Figur 6 zeigt, jener Teil der
schattenwerfenden Selbstschattengrenze c, welcher den sichtbaren
Schlagschatten s yeranlalst, sich häufig nur über sehr nahe liegende
Parallelkreise erstreckt (yergleiche z. B. das flache Kuryenstück ab in
Fig. 6).
Dann ist es in Fällen, wo es nicht auf yoUständige Genauigkeit
ankommt, möglich, anstatt der Kuire Cx den Schatten kx jenes Par
rallelkreises zu yerwenden, der in unmittelbarer Nähe des, für die
Schattenkonstruktion in Betracht kommenden Teiles yon c" yerläuft.
Ob und wann diese NäherungskonstruJction zulässig erscheint, wird der
Zeichner in jedem besonderen Falle leicht beurteilen können.
*) Bei dieser Figur sind die Konstraktionslinien, welche bei der AusfSluruii^
durch Einschnitte ersetzt werden können, punktiert gezeichnet.
1) Das gleiche Verfahren kann auch bei dem allgemeineren Fall (Fig. 6)
angewandt werden ; da ja auch dort die Bedingung, dafs y 1 45^ erföllt ist.
Von 0. ÜNGES.
477
7. Die unter 6 gegebene Eonstraktion (Fig. 7) hat sich als Spezial-
fall Yon 4 (Fig. 4) ergeben. Damach mufste der Eonstroktionsrorgang
so aufgefafst werden: Wir bestimmten den Schlagschatten A;« der
schattenwerfenden Enrve und die Schatten p, eimsehier Parallelkreise
auf die Hanptmeridianebene M, ermittelten die Schnittpunkte S, zwischen
kg und p, und erhielten durch Zurückführen die gesuchten Prmkte 8"]
dabei wurden die Schattenellipsen k, und p, nicht direkt benützt, sondern
dieselben vorerst durch eine affine Transformation in Ereise yerwandelt.
Das in Figur 7 enthaltene Yer&hren lafst aber noch eine andere
Deutung zu. Fassen wir die Hauptmeridianebene M — , wie wir dies
bis jetzt ohnehin stillschweigend gethan — , als vertikale Projektions-
ebene n^f und die Ebene des Randkreises k als horizontale Projektions-
ebene n^ auf, so daüs xx thatsachlich die Projektionsachse wird. Dann
ist kx die horizontale Projektion von k und zugleich der Schatten auf
n^ und die Ereise p^ sind die Schlagschatten der p, gleichfalls auf iJ^.
Von letzterem überzeugen wir uns, wenn wir durch Jf (= M'^ und
0(» M') Parallele zu l", bezw. V ziehen; der horizontale Spurpunkt
dieses Lichtstrahls fallt nach Mg. In dieser Auffassung erkennen wir das
gebräuchliche Verfahren^), allerdings mit YereinfiBichungen, welche sich in
letzter Linie als Fo^e des ,ylneinanderlegens der PrqjekHonen'^ ergaben.
8* Es ist nicht schwer zu zeigen, dafs auch der unter 4 gegebene,
allgemeine Fall eine Erklärung zulafst^ welche nicht von dem Schatten
auf die Meridianebene ausgeht.
1) Yergl. die Anmerkg. auf Seite 472. —
478 über ein EonBtniktioiuprmzip und seine Verwertong etc. Von 0. Usgee.
Denken wir uns in Figor 4, bezw. deren Nebenfigur, die Strecke
P"Pq von X aus auf der Yerlangemng der XP^ über P^^ hinaofi auf-
geiragen, so erbalten wir einen Punkt, den wir in Hinblick auf die
AchBe X als horizontale Projektion Ton P aufibssen können und daher
mit P' bezeicbnen wollen. Ziehen wir durch P" und P' die Projek-
tionen des Lichtstrahles und suchen den Schnitt mit der durch xx
gelegten horizontalen Ebene 77^ so würden wir ebenfalls zu P« gelangt
sein. Cg ist demnach identisch mit dem Schatten von c auf ü^, und
ebenso sind die Kreise p^ die Schatten der p auf diese Ebene. Der
Übergang vom Schattensystem U auf IJg stellt sich nach dieser Auf-
fassung dar als eine Ableitung der Schatten auf die IJ^ aus den
Schatten auf 77,.
Die Bemerkung, daJs P« als Schatten yon P auf eine, durch die
(in den Aufrifs Terlegte) Achse x bestimmte horizontale Ebene 77| aof-
gefafst werden kann, fOhrt im Zusammenhang mit den unter 4 ge-
gebenen Beziehungen der Punkte P^P^Pg zu einem Ergebnis, das sich
allgemein so aussprechen lafst:
(Figur 8): Bestinunt man von einem durch Aufrüs P" und
GrundriTs P' gegebenen Punkt P den Schatten P, auf die Aufnlsebene
und den Schatten P« auf die Grand-
rifsebene, so liegt in der Geraden
PxP, auch Pq, der um P" in die
Gerade P' P" umgelegte Punkt P
(also P"Po - XP'y) — Die Rich-
tung der Geraden P^P^P, (Affini-
tatsstrahlen!) ist dabei nur ab-
hängig Yon der Richtung der
Lichtstrahlen, nicht aber Ton der
Lage des Punktes P. —
Diese geometrische Thatsache^
die sich uns ab Folge ergeben hat^
laXst sich auch unabMngig von
allem vorangegangenen, unmittel-
bar aus Figur 8, bezw. deren räumlicher Deutung ableiten und konnte
dann benutzt werden, um aus dem durch P"P^ gegebenen Selbst-
schattenpimkt den Schatten auf 77^ (also Punkt P«) zu bestinunen.
Man würde dabei genau dieselben Linien zu ziehen haben, wie bei der
unter 4 gegebenen Konstruktion; zur Erklärung würden wir aber
Fig. 8.
1) Pj> ist auch der um P in die Gerade PP" umgele^ Punkt P
{rp^ - xp").
Ober Körper von kinetisclier Symmetrie. Von Robebt Mayb. 479
^v^eder die Schatten auf die Hauptmeridianebene; noch deren affine
Transformation benötigt haben.
Es mag unentschieden bleiben ^ welcher von den beiden Auf-
fassungen^) man den Vorzug geben soll. Jedenfalls ist ersichtlich,
dafs im einen wie im anderen Falle, der Eonstruktionsgedanke vom
y^neinanderlegen der Projektionen^' die Methode wesentlich bedingt und
die Einfachheit und Genauigkeit der Zeichenarbeit erhöht hat; dals
somit dieser Eonstruktionsgedanke, dessen Ursprung wir nach der An-
merkung 2 auf Seite 470 bis auf Monge zurückfahren können, der
Beachtung nicht unwert erscheint, die wir ihm durch diese Zeilen ver-
schaffen wollten. —
über Körper von kmetisclier Symmetrie.
Von Robert Mayr in München.
(Auszug aus des Verfassers Inaugural- Dissertation.)
Mit einer Doppeltafel (VI).
L Einf&hrung.
Mit dem Problem, Körper zu bestimmen, welche für dtte Axen
durch den Schwerpunkt gleiche Trägheitsmomente besitzen, haben sich
gegen Ende des 18. Jahrhunderts Laplace und Legendre*) beschäf-
tigt Die Yon diesen beiden Mathematikern gefundenen, aber noch
nicht untersuchten Resultate sollen im Folgenden einer Untersuchung
unterzogen werden.
Körper der eben definierten Art nennt man ,, Körper von kine-
tischer Symmetrie^', Siehe theoretische Physik von Thomson u. Tait.
Einfache Körper dieser Art sind aUe Körper, welche in Bezug
auf drei zu einander senkrechte Ebenen in yollkommen gleicher Weise
symmetrisch gebaut sind, so z. B. Würfel, Kugel, reguläres Oktaeder,
1) Da es in der vorliegenden Abhandlung nicht so sehr daranf ankam, auf
möglichst kurzem Wege Konstraktionen für die Schattenbestimmung an Drehflächen
abzuleiten, sondern yielmehr gezeigt werden sollte, wie der Oedanke yom „Inein-
anderlegen der Projektionen** als Grundlage zur Ausgestaltong von Zeichenmethoden
verwertet werden kann, so habe ich nicht Anstand genommen, auf beide Auf-
fassungen ein- und desselben Konstruktionsvorganges hinzuweisen.
2) Laplace: „Memoire sur la figure de la terre" in den M^m. der Pariser
Akademie för 1783, p. 17—46. Legendre: „Suite des Becherches sur la figure
des planstes par M. Le Gendre** in den Mdm. der Pariser Akademie für 1789
(publ. 1798), p. 872—466.
480 Über Körper von kinetdacher Symmetrie.
Pynunidenwürfel n. 8. w., Yoraosgesetzt, dafe sie aus homogener Masse
bestehen.
Laplace nnd Legendre haben nun, beide in prinzipiell g^cher
Weise, eine sehr allgemeine Gleichung abgeleitet, welche eine nnend-
liehe Reihe Yon Flachen darstellt, die homogene Körper Yon kinetischer
Symmetrie nmschlielsen. Die Idee der Ableitung ist, wenn man sich
auf homogene Körper beschrankt, kurz folgende:
Die Koordinatenachsen xyts seien die durch den Anfangspunkt der
Koordinaten laufenden Tragheitsachsen des Körpers. Dann müssen be-
kanntlich die Gleichungen bestehen:
(1) fxydM=0, fxzdM^O, fyzdM^O.
dM bedeutet das Massenelement Da femer der Körper kinetische
Symmetrie besitzen soll, so müssen auch folgende Gleichungen gelten:
(2) fxHM = fy^dM = fe^dM,
In diese Bedingungsgleichungen sind nun Polarkoordinaten einzuführen:
a; = r-cos^, y = r • sin^ cos^, jer » r • sin^ sin^.
Sodann ist der Radius Vektor r der Oberfläche, welcher als obere
Grenze in den Integralen erscheint und als Funktion Yon den Winkeh
^ und d aufzufassen ist, auszudrücken durch die Reihe
r* = Fo + Fl + r, + r, + . . .,
wobei die Y die Kugelfdnktionen der zwei Variablen ^ und ^ sind.
Mit Hilfe der Sätze über Kugelfunktionen ergiebt sich dann ans den
Bedingungen 1 und 2, dafs in der Reihe das Glied Y^ Yerschwinden
muis, so dafs man folgende Gleichung erhalt:
r^ = o + 6-Xi + ^ sin*(6'co8d+ fc"8in^)
+ c . Xj + ^ sin * (c' cos d + c"sina')
+ ^ Bin« ^ (c'" cos 2^ + c"" sin 2^)
+ ^ 8inV(c^co8 3^ + c^sinS^)
+ d . X^ + ^~* 8in^(d'co8^ + d"sin^)
+
In dieser Gleichung, welche die gesuchten Oberflächen darstellt, sind
a,b,b' etc. willkürliche Konstanten. Xn ist die Kugelfunktion n. Grades
Yon einer Variablen.
Von BoBSRT Mats.
481
Also:
T — 1 • B ' 6 - " (2n — 1) r __ n(n->l) __
^ 123. .n L "" 2(2n— i) ^
^ n(n--l)(n^2j(n-~J)^,..^
2.i(2n — l)(2n — 8)
^wobei die Reihe bis ofi oder rr^ länfb; tmd x = cos ^ zu nehmen ist ^
bedeutet (nach Legendre) den Winkel des Radius Vektor gegen die
o:- Achse, % den Winkel der Ebene rx gegen die Ebene xy.
Bei obiger Gleichung ist nun noch nicht beachtet, dals der An-
fangspunkt der Koordinaten auch Schwerpunkt sein solL Man sieht
aber leicht ein, dals dies eintritt, sobald jede durch den Anfangspunkt
laufende Gerade die Flache in zwei vom Anfangspunkt gleich weit ent-
fernten Punkten triffl, und dafs diese Bedingung wiederum erfüllt ist,
sobald alle Glieder, welche Eugelfunktionen mit ungeradem Index ent-
halten, wegfaUen. Man erhalt dann
r^^a + d-X^-F^ sin*(d'cos^ + rf"sind)
+ ^ sinV (rf" cos 2^ + d"" sin 2^)
+ ^ sin* V» (d^ cos 4d + «r™8Üi4d)
+ /"-^+
Legendre giebt aber schlielslich nicht diese Gleichung an, sondern
folgende speziellere:
f* = ^ -F BX^ -F B'^sinVcos2d
0 Qu
+ B''^8mVco8 4*
CK «C
+ CZ, + C'^ sin»^ cos 2 *
Cv ^
• •
+
Das Fehlen der Glieder mit sinn^ und der Glieder mit ungeraden
Potenzen von sin^ bewirkt, dafs die durch jB dargestellten Flachen
orthogonal symmetrisch werden in Bezug auf die drei Koordinaten-
ebenen.
Wir wollen A die „oOgemeine Legendresche Gleichung nennen
und B die j^pezieUe Legendresche GUichungt^.
Jede dieser Gleichungen stellt eine unendliche Reihe yon Flachen
dar. Jeder von einer solchen Fläche umschlossene homogene Körper
hat kinetische Symmetrie. Er hat für jede Achse durch seinen Schwer-
ZeltMhrift f. MAthenutUk n. Physik. 47. Band. 190S. S.u. 4. Heft.
81
4g2 tibei Körper von kinetiBcher Symmetrie.
pnnkfc das Trägheitsmoment p • tt • « bezw. q ' —Ä, wenn q seine
spez. Dichte ist Das Trägheitsmoment hangt somit nur vom ersten
(konstanten) Glied ab nnd ist gleich dem einer Kugel vom Badins
yä bezw. YÄ. und gleicher Dichte.
n. Diskussion der in den Legendresclien Oleicliungen enfhaltenen
ein&chsten Formen.
Der Badius Vektor darf nie sein Zeichen ändern. Liefse man
dies nämlich zu, was a priori wohl denkbar ist, so würden die Integrale
falsche Tragheitsmomente liefern, da statt Addition aller Elementar-
tragheitsmomente eine teilweise Subtraktion einträte. Die Konstanten
in den Gleichungen müssen also so bestimmt werden, dals r stets
positiv oder stets negativ bleibt.
Femer soU nur eine endliche Anzahl von Gliedern in Betracht ge-
zogen werden. Die Gleichung hat dann die Form r* = G-\-F{ify #),
wobei C eine Eonstante und i^(^, %) eine ganze rationale Funktion
von sin^, cos^, sinn#', cosn^ ist. Man beachte auch, dafs gemäls
der Ableitung ^ von 0 bis 2;r, ^ von 0 bis tc variieren muls.
Zur Untersuchung der Gestalt der Flächen legen wir ebene Schnitte
durch die ]r- Achse. Einen solchen Schnitt erhält man, wenn man dem
%" einen konstanten Wert giebt. Seine Gleichung hat die Form
r'= C + f{t)' Man findet, dafs eine solche Kurve an Singularitäten
nur Spitzen und Doppelpunkte im Anfangspunkt aufweisen kann.
Wir wollen nun die einfachsten der Flächen in der angegebenen
Weise untersuchen.
Ä. Die allgemeine Legendresche Gleichung,
Läfst man in Gleichung A alle Koeffizienten gleich Null werden
bis auf a, so hat man ,f^ = a, Djas ist eine KugeL Als einhchsten
Körper von kinetischer Symmetrie erhält man somit hier die Engel
Trägheitsmoment = P^öi = pjgr^.
Die nächst einfache Fläche ergiebt sich, wenn man nur die ersten
beiden Koeffizienten von 0 verschieden wählt. Die erhaltene Gleicknng
v^ ^a + dX^ stellt eine BotaHonsfläche dar, da r von ^ unabhängig
ist. Botationsachse ist die a;-Achse. Da die Form der Flache nnr
vom Verhältnis d : a abhängt, kann man ohne Spezialisierung d = l
setzen und a allein willkürlich lassen. Setzt man a + | = ^
so lautet die Gleichung r* = c + 7 cos* ^ — 6 cos* if. Den Ve^
Von BoBBKi Matb.
483
i>
m)
0
0-22«
1 (Max.)
0
/t = 49«>
«/2
3t — H
-9/7 (Min.)
0
- 9/7 (Min.)
« — a
0
«
1 (Max.)
Tab. I.
lauf der Funktion /*(*) = 7 cos* ^ — 6 cos* ^ stellt Tabelle I dar.
Die Flache bezw. ihre Meridiankurve erscheint in 4 Typen ^ je
nach dem Wert von c. Sie seien dar-
gestellt far c = 3, c = 9/7, c = — 1,
e - - 2. Fig. 1-4 zeigen diese vier
Typen der Meridiankurve. Der mit ein-
gezeiclmete Ej*eis hat den Radius yc»
Statt der halben Kurve (^ variiert nur
Ton O bis ;rl) ist die ganze gezeichnet
L&fst man die Kurven um die o;- Achse
rotieren, so erhalt man die Flächen.
Das Trägheitsmoment des Körpers ist
Um die nächst einfache Form zu erhalten, nehmen wir in unserer
Gleichung den ersten und dritten Koeffizienten von Null verschieden
an. Die Gleichung lautet dann: f^ ^ a + d' • -^sin^cos^. Wir
setzen wieder ohne Spezialisierung d' =^ \ und bekommen r^ « a
+ (7 cos* ^ — 3) cos ^ sin ^ cos ^. Den Verlauf der Funktion 9 (^)
= (7 cos'^ — 3) cos^ sin^ giebt Tabelle U.
Schreibt man die Gleichung in der Form
r = ya + cos %' • tp (^), so sieht man
leicht, dals auf der Fläche vier Kreise
liegen, welche von der a^jer-Ebene, der
i/xr- Ebene und dem Kreiskesel mit der
oft.,«« 2. - d., .-Aob/. d. Aeh»
aus der Fläche ausgesclmitten werden.
Diese 4 Kreise liegen gleichzeitig auf
der konzentrischen Kugel vom Radius
Va und schneiden sich in 6 Punkten.
In diesen 6 Punkten berühren sich Fläche
und Kugd.
Die Form der Fläche hängt noch von a ab. Damit r stets
positiv oder stets negativ sei, mufs a ^ 1,056 oder a ^ — - 1,056 sein.
Für negative a erhält man hier dieselben Flächen, wie für positive.
Daher hat man nur zwei Typen, welche durch die Werte a = 1,5 und
a » 1,056 dargestellt seien.
Wir legen durch die a:- Achse die Schnittebenen für ^ = 0, j.
Je zwei solche Halbschnitte setzen sich zu
*
9>W
0
,4 = 24»
a-49«>
11' - 69»
«/2
« — /t'
jr — a
3t — (l
3t
0
1,056 (Max.)
0
0,703 (Min.)
0
0,703 (Max.)
0
1,056 (Min).
0
Tab. n.
n 3n
2' ^
4 f ^9 "4"' ~2~'
7«
4
einer stetigen Kurve zusammen.
81
484
Über Körper Yon kinetiBcher Symmetrie.
1. a = 1;5. — Fig. 5 giebt den Schnitt mit Ebene xy (#• = 0 und
Fig. 6 giebt den Schnitt für d' = -r und #• = — , gleichzeitig aber
auch fftr #"=-7- und ^ = — - wenn man rechts und links yertanschi
Bei beiden Figuren ist der Schnittkreis mit der sechs&ch berührenden
Kugel mitgezeichnei Der Schnitt mit Ebene xz (^ *= f * ^ = -^ ^
wie schon erwähnt^ ein Kreis.
Fig. 7 giebt eine Ansicht des ganzen Körpers (Parallelprojektion).
Die Kurven 1^ 3, 4 und 5 sind die 4 Kreise.
2. a = 1,056. — Fig. 8 giebt den Schnitt mit Ebene xy. Man
erkennt aus ihm, dafs sich die FJache för eine in der Ebene xy von
der a;-Achse um 24^ abweichende Richtung trichterförmig zum An-
fangspunkt hineinzieht. Im übrigen unterscheidet sie sich von der vorigen
Fläche nur durch sförkere Aus- und Einbuchtungen.
B, Die spezielle Legendresche Gleichung.
Zunächst erhält man auch hier die Kugel r^ == Ä und die Rotations-
fläche r^ = Ä + BX^, Erst, wenn man den ersten und dritten Koef-
fizienten von Null verschieden wählt, erhält man eine neue Fläche,
nämlich: ^tir
f^ = A + B'^ sin»^cos2^.
Ohne weitere Spezialisierung kann man B' = ^^ setzen und erhält somit
die ßleichung:
f^ = A + (7cosV — 1) sin* 9 cos 2 0".
Die Funktion % (t) = (7 cos* ^ - 1) sin* ^ ist durch Tabelle ffl
dargestellt. Schreibt man die Gleichung
in der Form r = ^Ä + x (♦) " cos 2 ^,
so erkennt man leicht, dafs auf der
Fläche 4 Kreise liegen, welche von den
und
t
xit)
0
^-41»
cc 68»
0 (Min.)
9/7 (Max.)
0
n/2
1 (Min.)
X — a
0
X — [l
3C
9/7 (Max.)
0 (Min.)
TT
Ebenen -ö* = j , -- und d- =
7«
4 4 ' 4
und von dem Kreiskegel mit der Öff-
nung 2 a imd der x- Achse als Achse
aus der Fläche ausgeschnitten werden.
Diese vier Kreise liegen gleichzeitig auf
Tab. in. ^®^ konzentrischen Kugel vom Radius
yÄ und schneiden sich in 10 Punkten,
von welchem zwei in die Endpunkte der 2; -Achse fallen. In diesen
10 Punkten berühren sich Fläche und Kugel,
Von RoBBRT BIayb. 485
Die Form der Flache hangt von A ab. Es muTs A ^ 9/7 oder
^ ^ — 9/7 sein. Im 2. Fall kommen dieselben Flachen^ wie im ersten
Fall. Wir betrachten die Fläche fttr ^ = 1^ und ^ = 9/7.
1. JL » 1,5. — Fig. 9 giebt den Schnitt mit Ebene xy^ Fig. 10
den Schnitt mit Ebene xZy Fig. 11 den Schnitt mit Ebene yz.
Fig. 12 giebt eine Ansicht des ganzen Körpers. Die Karben 4, 5, 6
sind drei Kreise, der vierte fallt zum Teil mit der Kontar zusammen.
2. JL « 9/7. — Fig. 13 giebt den Schnitt mit Ebene xe. Man
sieht daraus, dals sich diese Flache längs der zwei in der Xje;-Ebene
gegen die o;- Achse um 41^ geneigten Richtungen trichterförmig zum
Anfangspunkt hineinzieht. Sonst unterscheidet sie sich von der vorigen
wieder nur durch stärkeres Hervortreten der charakteristischen Form.
Fig. 14 giebt eine Ansicht dieses Körpers. Die 4 Kreise liegen
wie bei Figur 12.
Zum Schlüsse sei noch bemerkt, dafs die Legendreschen Glei-
chungen noch unendlich viele Rotationsflächen enthalten. Läfst man
nämlich alle Glieder mit ^ weg, so bleibt die Gleichung!^ = A + BX^
-f CX^ + BX^-\ , welche nur Rotationsflächen darstellt
m. Körper von kinetlseher Symmetrie in Bezug auf eine Achse.
Körper von kinetischer Symmetrie in Bezug auf eine Achse nennt
man solche Körper, bei welchen eine Achse in der Weise ausgezeichnet
ist, dals fär alle Achsen, welche durch einen Punkt der ausgezeichneten
Achse laufen und zu ihr senkrecht stehen, die Trägheitsmomente gleich
grolB sind. Einfache Beispiele solcher Körper sind gerade Prismen mit
r^pilärem Viereck, Achteck, Zwölfeck u. s. f. als Basis und aUe* Ro-
tationsffichen.
Läuft die ausgezeichnete Achse durch den Schwerpunkf, was bei
den augegebenen Beispielen der Fall ist, so mufs man den Körper so
abstutzen können, dals das Trägheitsmoment fllr die ausgezeichnete
Achse gleich wird dem Trägkeitsmoment für die Achsen, welche im
Schwerpunkt auf ihr senkrecht stehen, d. h. dals der Körper kinetische
Symmetrie fär den Schwerpunkt bekommt. Dieses Problem soll für
Botationskörper durchgeführt werden.
Die Hauptträgheitsachsen eines Rotationskörpers sind die Rotations-
achse und zwei zu ihr im Schwerpunkt senkrechte Achsen. Diese Haupt-
trägheitsachsen seien unsere Koordinatenachsen, und zwar die Rotations-
achse die xr-Achse. r sei der senkrechte Abstand von ihr, gemessen in
irgend einer Richtung, r = g> (e) sei die Gleichung der (halben)
Meridiankurve, #* der Winkel der Meridianebene g^en die a;^- Ebene.
486 tJhei Körper von kinetischer Syimnetrie.
Damit der Anfangspunkt auch wirklich Schwerpunkt ist; setzen
wir fest; dafs die Meridiankurve orthogonal symmetrisch zur r-Achse
sei, dafs also g)(js) eine gerade Funktion von s sei.
Durch das Abstutzen darf die schon vorhandene Symmetrie nicht
zerstört werden. Daher muCs mit einer Rotationsfläche^ welche dieselbe
Rotationsachse hat^ abgestutzt werden. Damit auch der Schwerpunkt
unverrückt bleibt , muTs die abstutzende Flache auch orthogonal -sym-
metrisch zur a;y-Ebene sein. Als die einfachsten Flachen kommen so-
mit in Betracht: 1. Zwei zur Rotationsachse senkrechte, vom An&ngs-
punkt gleich weit entfernte Ebenen, 2. eine Rotationscylinderfiäche.
Beide FäUe sollen behandelt werden.
a. AbsMsen durch zwei Ebenen.
Die beiden Ebenen sollen vom Anfangspunkt den Abstand d haben
Es mufs dann, da das Trägheitsmoment des abgestutzten Körpers für
die Rotationsachse gleich sein mufs seinem Trägheitsmoment f&r die
d;- Achse (oder y- Achse, was gleich ist), folgende Gleichung bestdien
(homogene Körper vorausgesetzt):
ff ff^drdzd» ^ff J (^* + r'Bin^ d')rdrd2:dd- (s. F^. 15),
0 — d 0 0 — d u
odert
C C fe^rdrdedd' ^ f f ff^cos^d'drdsd^.
0 — d 0 0 — d 0
Integriert man über r und ^, so kommt:
# 4 J [9 (ss)y 'Z^dg ^f[<p (z)f dz.
— d — d
Da g>{z) eine gerade Funktion von z ist, kann man auch schreiben
d d
4/[9 W]' ^' dz ^f\tp {z)y^ dz.
0 0
Diese Bedingung mufs erfüllt sein, damit der abgestutzte Körper kin^
tische Symmetrie beeitet.
Beispiele: 1. Rotationsellipsoid:
^' + y' , ^',1
Hier ist
Von RoBKBT Mayb. 487
Setzt man dies in die Bedingungsgleichung ein; so bekommt man eine
Gleichung zur Berechnung von d und es ergiebt sich:
Die zwei letzten Werte von d sind nur reell, wenn 6 > a ist, das heilst
^wenn das Rotationsellipsoid ein gestrecktes ist.
2. Kreiscylinder. •
Die Bedingnngsgleichung wird:
d d
Hieraus
4 ic^js^ dz = Cef' dz.
d = ±|)/3. Siehe Figur 16.
3. KreiskegeL
Man findet
r^^{z)=^Z'tg.a (Fig. 17).
Atg«a.d^ = itg*a.cP.
d fällt hinaus und es muls tg a = ± 2 sein. D. h. man kann
nur einen Kegel von der halben Öfibung a» 63^26^6'" durch zwei
zur Achse senkrechte Ebenen so abstutzen, dafs man einen Körper von
kinetischer Symmetrie erhalt. Bei diesem Kegel ist aber dann gleich-
giltig, in welchem Abstand d vom Anfangspunkt die Ebenen liegen.
h. Abstutzen dwrch einen Kreiscylinder.
Die Gleichung der Meridiankurve habe die Form z » x{r). Diese
Gleichung stelle nur den oberhalb der r-Achse gelegenen Teil der
Kurve dar. Der unterhalb gelegene Teil hat dann die Gleichung
JET = — jT (r), da die Kurve orthogonal symmetrisch zur r- Achse sein
soll. Das Trägheitsmoment f&r die a;-Achse mufs wieder dem für die
jEf-Achse gleich sein. Man hat also, wenn c der Badiitö des schneidenden
Cylinders ist, die Bedingungsgleichung
CC jz*rdzdrd^'=-JJ ff^coB^d'dzdrd^,
0 0 -/(r) 0 0 -xir)
oder nach Integration über z und d".
if[x(r)frdr--fz(r)'r»dr.
488 Über Körper von kmetigcher Symmetrie. Von Bobbrt Matb.
Beispiele: 1. Rotationsellipsoid (abgeplattet). Man erhält zur Be-
stimmung von c eine allgemein nicht lösbare Gleichung 5. Grades.
2. Der durch 2 parallele^ zur jer-Achse senkrechte, im gleichen
Abstand d vom Anfangspunkt liegende Ebenen begrenzte Baum soll
durch den Gylinder so abgeschnitten werden, daTs ein Körper (Cylinder)
von kinetischer Symmetrie entsteht. — Man hat hier % (r) ^ d. Dann
eigiebt sich c » jdY^, was mit dem Resultat unter 0^2 übereinstimmt.
3. Der von einer Ereiskegelfläche begrenzte, nach aufsen sieh er-
streckende, d. h. auTserhalb des Eegelkörpers gelegene Baum soll ebenso
abgeschnitten werden.
Man hat jer » r • ctga (Fig. 18). Daraus ergiebt sich
^(^ctg»a«|(r^ctga.
c fäUt hinaus und es mufs ctg a = ]/| sein. Der Kegel mufs also die
bestimmte halbe Offiiung a ^ 39® 13' 55 '^ haben. Dann kann man aber
mit beliebigem Cylinder abschneiden. Das erhaltene Stück hat die
Form eines Kreiscylinders, aus welchem die beiden von den Grenz-
kreisen zum Mittelpunkt sich hineinziehenden Kreiskegel herausge-
bohrt sind.
Kleinere Mitteilungen. 489
Kleinere Mitteilimgen.
Der Beclieiiscliieber in DeutscUand.
Man begegnet häufig der Meinung, der logarithmiscbe Becbenscbieber
sei in Deutscbland noch nicht lange bekannt. So steht in der Schrift von
A. Göring, Der Rechenstab aus dem mechanisch -mathematischen Institut
▼on Dennert & Pape, Altona 1873, auf S. 31: „Die erste Hinweisung auf
den Rechenstab dürfte in Deutschland durch die Beschreibung desselben
von Redlich in der Zeitschrift fftr Bauwesen, 1859, erfolgt sein". Femer
ist dort gesagt, der Bechenschieber habe, bevor die Firma Dennert & Pape
seine Herstellung in Deutschland übernahm (1871), nur aus Frankreich be-
zogen werden können. Andere verfolgen das Auftreten des Bechenschiebers in
Deutschland nicht einmal so weit zurück. Deshalb erscheint es nicht über-
flüssig, hier einige Thatsachen zusammenzustellen, die aufs deutlichste
zeigen, wie irrig die obige Meinung ist. Sehen wir auch davon ab, dafs
der deutsche Doktor der Bechte J. M. Biler 1696 wahrscheinlich zuerst
gegen einander drehbare kreisförmige logarithmische Skalen angewendet hat
— W. Oughtred scheint 1627 blofs eine feste kreisförmige Skala mit zwei
drehbaren Zeigern benützt zu haben — , dafs in des Leipziger Mathematikers
J. Leupold bekanntem Theatrum arithmetico-geometricimi von 1727 nicht
nur Bilers Instrument, sondern auch ein unseren heutigen schon sehr ähn-
licher Bechenschieber beschrieben und abgebildet ist, dafs femer des be-
rühmten J. H. Lambert „Beschreibung und Gebrauch der logarithmischen
BechenstSbe . . }^ von 1761 (neue Auflage 1772) heute noch eine der
besten Anleitungen bildet imd Lambert in dem Vorbericht zu dieser
Schrift mitteilt, der Mechanikus G. F. Brander in Augsburg fertige
Bechenstabe von vier Schuh Länge nach seiner Angabe aus Holz oder
Metall an^), so ist doch aus der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts fol-
gendes zu berichten. In den ältesten Bänden des 1820 von J. G. Dingler be-
gründeten Polytechnischen Journals finden sich zahlreiche Mitteilungen über
in England gemachte Fortschritte auf dem Gebiete der Bechenschieber —
wir können nicht unterlassen, auf die köstliche, den damaligen tiefen Stand
des technischen Unterrichts kennzeichnende Anmerkung der Bedaktion in
1) Diesen Ursprungs könnte der als vortrefflich bezeichnete, aus zwei ge-
trennt^ MessingstäDen von SSV^ Wiener Zoll Länge bestehende Bechenschieber
sein, den Schulz yon Strassnicki unter Nr. XI auf S. 197 seiner „Anweisung*^
(s. unten) beschreibt und der aus dem Nachlafs eines Wiener Baritätensanunlers
,4m Preise eines alten Messings^* für die Werkzeugsammlung des Polytechnischen
Instituts in Wien erstanden worden war.
490 Kleinere Mitteümigeii.
Band 32 von 1829, S. 173 hinzuweisen, die mit dem Satze beginnt: „Wir
haben von der Notwendigkeit der Verbreitung des Bechenmalsstabes unter
unseren Baumeistern, Zimmerleuten u. s. w. schon so oft gesprochen, da(s
wir uns selbst über unseren unermüdeten Eifer wundem könnten, wenn wir
uns nicht noch mehr darüber wundem müi^ten, dafs nur wenige unserer
Baumeister u. s. w. wissen, was ein Logarithmus ist'S Als freie Bearbeitung
einer schwedischen Schrift aus dem Jahre 1824 ist in Berlin 1825 eine
„Anweisung zum Gebrauch eines Rechenstabes für Forstmänner, Technologen
und angehende Mathematiker^' von Fr. W. Schneider erschienen.^) Auf
dem Umschlag ist ein Berliner Mechaniker, F. Dübler, genannt, bei welchem
Bechenschieber aus Buchsbaum (zu 5 Bthlr. 5 Sgr. = 9 FL 18 Kr.) sowie
von Messing (versilbert, zu 8 Rthlr. 5 Sgi\ = 14 Fl. 42 Kr.) zu haben
seien und in dem Vorwort zur „Anleitung zum Gebrauch des BechHen-
schiebers (!)" von C. Hoffmann, Berlin 1847 — aus Vorträgen des Ver-
fassers in der PolTtechnischen Gesellschaft zu Berlin entstanden — ist von
drei Mechanikern in Berlin, Th. Baumann, C. T. Dorf fei und C. G. Grunow,
ausdrücklich gesagt, daijs sie Bechenschieber anfertigen, nicht nur verkaufen
(zu 2 Thlr. das Stück). Handelte es sich bei Biler und Lambert um
selbständige Leistungen, bei Schneider wahrscheinlich um englische, über
Schweden gekommene Einflüsse, so weist uns Hoff mann auf Wien. Eier
hatte A. Burg mit dem Bechenschieber bekannt gemacht, für dessen Ver-
breitung dann hauptsächlich L. C. Schulz von Strassnicki (Strassnitzld)
mit gröfstem Eifer wirkte, besonders durch Veröffentlichung der sehr aus-
führlichen „Anweisung zum Gebrauche des englischen Rechenschiebers . . .^^
Wien 1843, und durch Vorlesungen, die er als Professor der Mathematik
am Polytechnischen Listitut (der jetzigen technischen Hochschule) in Wien
seit 1843 lange Jahre hindurch (imentgeltlich und an Sonntagen, um sie
jedermann zugänglich zu machen) hielt. Schulz von Strassnicki be-
nützte bei seinen Vorträgen schon zur Erklärung einen gewaltigen Bechen-
schieber von 8 Schuh Länge, wie ähnliche aus späterer Zeit und wohl
infolge französischer Anregungen — die Firma Tavemier-Gravet in Paris
föhrt solche von 2 m Länge ab „Begles pour demonstration^^ noch jetzt —
die Sammlungen unserer technischen Hochschulen aufweisen. Auf den nn-
mittelbaren EinfluDs desselben Gelehrten sind auüiser der oben genannten
Schrift von Ho ff mann noch einige in Wien erschienene zurückzofohreo,
nämlich die , Jjeicht falsliche Anleitung zum Gebrauch des Bechenstabes . . ."
von F. von Schwind, 1844, die Beschreibung eines von Schulz von
Strassnicki selbst konstruierten, dem österreichischen Mafs- und Münz-
sjstem angepafsten besonderen Bechenschiebers für Bauberechnungen von
A. Schefczik, 1845, imd die „Anleitung zum Gebrauch einiger logarith-
misch geteilter Bechenschieber . . .% 1851, deren Verfasser E. Sedlaczek
Vorträge über den Bechenschieber im Verein der „Freunde der Natiff-
Wissenschaften^^ zu Wien hielt und verschiedene Aufsätze über denselben in
Zeitschriften veröffentlichte. Es wurden damals in Wien Bechenschieber —
abgesehen von solchen für besondere Zwecke — in drei Formen hergestellt,
1) Es scheinen englische Vorbilder benützt zu sein, da z. B. die aus EngUod
stammende Bezeichnung der vier Skalen der Vorderseite des Recheoscfaieben
durch die Buchstaben A, B, C, D angewendet ist.
Kleinere Mitteilungen. 491
die eine mit in Kupferstioh ausgeführten Skalen, die der Technologe Prof.
G. Altmütter selbst auf Pappe aufzog — sie kosteten mit Futteral nur
2 Fl. Silbermünze, waren aber nach Sedlaczeks Angabe 1851 schon längst
yei^^riffen^) — femer zwei andere aus Buchsbaumholz in der Werkstätte
von F. Werner, die 3 Fl. bezw. 5 Fl. Konventionsmünze kosteten. Sed-
laczek giebt femer eine Wiener Firma an, von der echte englische Rechen-
schieber bezogen werden konnten. Der erwähnte Prof. Altmütter suchte
auch durch Anschaffung hauptsächlich englischer und französischer Bechen-
Schieber verschiedener Arten, soviel ihrer aufzutreiben waren, für die
Werkzeugsammlimg des Polytechnischen Instituts die Bestrebungen Schulz
von Strassnickis zu unterstützen; im Anhang I zu des letzteren Schrift
sind dieselben (rund ein Dutzend) beschrieben. Wenn wir schliefslich noch
erwähnen, dals Schulz von Strassnicki in der im Juli 1842 geschriebenen
Vorrede zu seiner „Anweisung'^ die Lehrer an technischen Schulen und
Realschulen bittet, sich des Bechenschiebers anzunehmen und denselben in
ihren Kreisen zu verbreiten, so glauben wir hinlänglich gezeigt zu haben,
dafs schon in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts viel, sehr viel ge-
schehen ist, um dem Bechenschieber in Deutschland die verdiente Geltung
zu verschaffen. M.
MantiBse. In seiner „Notiz zur Geschichte der Logarithmentafeln''
in den Mitteilungen der Hamburger Mathematischen Gesellschaft;, Bd. 4
(1901), S. 52 — 56, giebt Herr E. Hoppe an, das Wort Mantisse als Be-
zeichnung für den dezimalen Teil eines Logarithmus komme blofs in
Deutschland vor, und' er wirft die Frage auf, ob es nicht besser wäre,
dieses Wort wieder fallen zu lassen. Dem gegenüber sei bemerkt, dals in
der Schrift von Gros de Perrodil, Theorie de la regle logarithmique . . .,
Paris 1885, p. 27, von dem Gebrauch „de consacrer un nom particulier
(mantisse) a la partie d^cimale d'un logarithme^^ als einem solchen ge-
sprochen wird, „qui tend a se generaliser'^ M.
Preisanfgaben für 1903.
Aoad^mie des SoienoeB, Faiis. Prix Foumeyron: Etüde theorique
et experimentale des turbines a vapeur. Die Arbeiten müssen, gedruckte
in zwei Abdrücken, vor dem 1. Juni 1903 bei dem Secretariat de l'Listitut
eingereicht werden.
1) Dieser Versuch zur Herstellung billiger Bechenschieber durch Verwendung
von auf Papier gedruckten Skalen ist also iQter, als der in Frankreich von L. La-
ianne unternommene („R^le ä enveloppe de verre**), der in den Anfang der
50er Jahre fällt. Der auf Kaxton gedruckte TaschenrechenBchieber von Prof A. Wüst
in Halle stammt aus dem Jahre 1880. Vor einigen Jahren hat bekanntlich die
Firma Gebr. Wichmann in Berlin wieder Rechenschieber mit Papierskalen (auf
Holzunterlage) in den Handel gebracht. Übrigens waren schon die Eechenscheiben
(„Cadrans logarithmiques*') von A. S. Leblond, 1796, auf Papier gedruckt.
492 Kleinere Mitteilongen.
Boyale de Bel^que. Tronver la forme des teimes
prindpanz introdnitB, par Telasticite de Täcorce terrestre, dans les fonniües
de la natation en obliqoite et en longitude. — Preis 800 Frs. (8. auch
diese Zeitschrift Bd. 46, S. 382.)
Aoskfinfte.
H, H,, S. Zur Ergänzung unserer Angaben auf S. 266 dieses Bandes
bemerken wir, dafs ein Aufeatz von dem Kommandanten E. Oujou ^m
Tapplication de la diyision d^imale du quart de cercle a la pratique de Is
navigation" sich unter C, p. 1 — 15, im Anhang des Annuaire pour l'an 1902,
publik par le Bureau des Longitudes, findet, sowie dafs der Compte rendn du
Gongr^ international de Chronometrie de 1900 jetzt erschienen ist. M.
D. S., J. Sehr zu empfehlen ist A. Töplers Vorlesungsapparat zur
Statik und Dynamik starrer Körper (yergl. Djcks Katalog mathematischer
Modelle u. s. w., Nachtrag, München 1893, 8. 83). Die Kr&fte können
beliebig im Räume liegen. Preis allerdings 500 — 600 Mark. M.
Anfrage.
•
In der Geschichte der Astronomie von B. Wolf, München^ 1877, ist anf
S. 354 bemerkt, Homer habe (in der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts)
vorgeschlagen, beim Bec^ensc^ieher den geraden Stab durch eine Kombination
kürzerer und auf einander drehbarer (?) Stäbe zu ersetzen. Kann jemand
den Ursprung dieser schwer yerständlichen Mitteilung angeben? Handelt
es sich yielleicht um das Urbild der Bechenschieber mit gebrochenen Skalen
von Mannheim, Everett, Hannjngton, Thacher u. s. w.?
B. Mkhmke.
Bücherschau. 493
Bttcherochan.
£rtch Oeyger. Die angewandte darstellende (Geometrie. Leipzig 1902.
Verlag yon Bemh. Friedr. Voigt. 266 S. Preis: geh. 5, geb. 6 M.
Dieses Werk, Bd. XI des yon Hans Issel herausgegebenen ,,Handbachs
des Bantechnikers^^, ist in erster Linie fiELr Studierende der Baugewerkschulen,
dann aber auch &a Bautechniker überhaupt geschrieben und mag nach der
Absicht des Verfassers auch als Nachschlagebuch auf dem Bauplatz oder im
Konstruktionsbureau von dem Techniker zu Bäte gezogen werden. Diesem
Standpunkte entsprechend verzichtet der Verfasser auf die Durchführung der
mathematischen Beweise und theoretischen Untersuchungen und legt das
Hauptgewicht auf anschauliche und praktische Methoden. Er beginnt mit
einer Zusammenstellung der wichtigsten Sätze der Elementargeometrie; daran
schlieüsen sich die Aufgaben des geometrischen Zeichnens, femer eine gut
und übersichtlich gehaltene Darstellung der Eigenschaften und Konstruktionen
der Kegelschnitte. Den Mathematiker werden interessieren die näherungs-
weise Konstruktion eines regulären n-Eckes über einer gegeben Seite sowie
die Konstruktion verschiedener Gewölbebogen. Der Referent vermifst in
diesem nicht engherzig begrenzten Abriss der für den Bautechniker nötigen
geometrischen Kenntnisse ungern einige allgemeine Bemerkungen über Flächen,
in Sonderheit über die abwickelbaren imd Begel-Flächen und deren Tangential-
ebenen, wobei das hyperbolische Paraboloid als Beispiel sich von selbst dar-
bietet. Vielleicht wäre es auch von Vorteil, den unterschied zwischen
dem Umdrehungs-Kegel und Umdrehungs-Cjlinder einerseits imd zwischen
dem allgemeinen Kegel 2. Ordnung und dem elliptischen Cjlinder 2. Ordnung
andererseits zu erwähnen, nachdem durch die nicht mehr auszumerzenden
Ausdrücke „gerader und schiefer KreiskegeP, „gerader und schiefer Kreis-
Cylinder" mancherlei Verwirrung angerichtet wird.
Der zweite Teil des Buches enthält die Projektionslehre mit Ausschlufs
des rein Theoretischen und in einer Anordnung, wie sie sich für den ge-
nannten Zweck empfehlen mag. Auch die schiefe und orthogonale axono-
metrische Projektion werden in einer für den Praktiker durchaus genügenden
Weise erörtert. Von den zahlreichen Beispielen sind viele der Praxis ent-
nommen, was einen Vorzug dieses Buches vorstellt. Der Abschnitt über
Durchdringungen dürfte bei Besprechung des „Kanten- Verfahrens'^ vielleicht
auch eine Belehrung darüber enthalten, wie man in diesem Falle auf mechanische
Weise die Streckenzüge ableiten kann, aus denen sich eine Durchdringung
zweier Vielflache im Allgemeinen zusanomensetzt. Die letzten Kapitel be-
handeln endlich noch: Dachausmittelungen, Schraubenlinien und Schrauben-
flächen und Schiftungen. Das rein Technische in diesen AusfQhrungen ent-
494 Bücherschau«
zieht sich dem Urteil des Berichterstatters. Den Abschnitt über Dacbaus-
mittelungen d. h. über die Ermittelung der Horizontalprojektion eines Daches
wird auch der Mathematiker mit Interesse lesen und ebenso den über die
Darstellung und Austragung eines Erümlings d. L des Stückes, das zur Yer^
bindung der inneren Wangen einer Treppe dient.
Von den zahlreichen (439) Figuren sind manche (z. B. 303, 323, 324,
325) durch allzuviel Linien unübersichtlich geworden. Sie würden an An-
schaulichkeit und plastischer Wirkung gewinnen, wenn die EonstruktioDslinien,
(Kantenlote, Spursenkrechte) durch Punktierung gegenüber den Haupthnien
der Figur zurückgedrängt würden. Auch ein Register könnte dem Buche
sehr zum Vorteil gereichen. Endlich sind dem Referenten noch folgende
Ungenauigkeiten aufgefallen, die bei einer neuen Auflage zu yenneiden
wären:
S. 104: „Sind die Flächen eines Yielüachs sämtlich imter sich kongruent
und treffen in einer Ecke immer gleich viel Kanten zusammen, so heiTst es
regulär.^' Es wäre die charakteristische Eigenschaft der regulären Polyeder
zu erwähnen, dafs die Flächen imd die Ecken reguläre Gebilde sind.
S. 122 ff. Wählt man bei einer schief-axonometrischen Projektion die
Richtungen der Achsen und die Mafsstäbe beUebig und überträgt die Koor-
dinaten, so erhält man nicht eine Parallelperspektire des Objektes selbst^
sondern blos eines dazu ähnlichen. Dies wäre ausdrücklich zu betonen,
zumal der Pohlkesche Satz vorausgeschickt wurde.
S. 172: „Die Schnittfigur einer Ebene, welche einen geraden (oder
schiefen) Kreiskegel schneidet, ist eine Parabel, wenn die Schnittebene
einer Kegelkante parallel, eine Hyperbel, wenn sie der Achse des Kegels
parallel liegt.^' Dafür müsste es heifsen: die Schnittfigur ist eine Parabel
oder Hyperbel, je nachdem die durch die Kegelspitze gelegte Parallel-Ebene
zur schneidenden Ebene den Kegel berührt oder ihn in zwei reellen Mantel-
linien schneidet
München, Febr. 1902. Karl Doehlemamk.
Frederiek Slate. The prinoiples of meohanios. An elementaiy
ezpoaition for students of physios. Part I. New -York 1900.
X und 299 Seiten.
Das vorliegende Werk ist der erste Teil einer Einführung in die
Mechanik, die für Studenten der Physik bestimmt ist. „Studenten dringen
selten in das Herz dieser Wissenschaft ein", meint der Verfasser; der Grund
liege, wie Prof. Klein mit gesundem Urteil bemerkt habe, darin, dafs sie
ihre Aufmerksamkeit zu sehr auf die analytische Herleitung der Gleichungen
richten, während sie nicht blofs Kenntnis der Mechanik, sondern auch ein
Gefühl fOr ihre Wahrheiten verraten sollten. Um diesem Mangel abzuhelfen,
sollten sie sich dem Gegenstände nahem vermöge seiner genetischen Be-
ziehung zur Physik, nicht vermöge seiner äuiserlichen Ähnlichkeit mit der
Mathematik; sie sollten die Mühe nicht scheuen, die Elemente gründlich zu
studieren, bevor sie zu hochstrebenden Verallgemeinerungen übei^gehen.
Hiemach läfst sich das Ziel, das Herrn Slate vorgeschwebt hat, so
bezeichnen, dals er eine ausführliche und strenge Grundlegung der Mechanä
geben wollte^ vom Standpunkt eines Physikers aufgefafst und für Physiker
BüchenchatL 495
bestiinint. Ist es seinen angestrengten und scharfsinnigen Bemühungen ge-
lungen, dies Ziel zu erreichen? Gewifs besitzt das Werk eigenartige Vor-
züge und verdient die Beachtung aller derer, die eine bessere Orundlegung
der Mechanik för notwendig halten, allein der Eef. hält es ftlr seine Pflicht,
den Bedenken Ausdruck zu geben, die ihn hindern, den von Herrn Slate
eingeschlagenen Weg für den richtigen zu halten.
Daifl die Lehre von der Oeschunndigkeit und Beschleunigung^ insofern
sicli diese Begriffe auf Punkte, nicht auf Körper beziehen, als ein Teil der
Mathematik angesehen werden darf, ja dais es blofse Konvention ist, wenn
sie in Verbindung mit der eigentlichen Mechanik abgehandelt wird, das
wird man dem Verfasser gern zugeben und ihm auch beistimmen, wenn er
in den beiden ersten Kapiteln die Kinematik des Punktes und des starren
Systems (rigid solid, im (regensatz zu rigid body, starrer Körper) in einer
Weise behandelt, die von der üblichen nicht wesentlich abweicht.
Der Unterschied von der üblichen Auffassung tritt erst in der Dyna-
mik hervor. Anstatt die allgemeinen Gesetze der Bewegung der Körper
zu gewinnen, indem nach einem in der theoretischen Physik vielfach an-
gewandten Verfahren zunächst die Bewegung eines möglichst einfachen
Gebildes, des materiellen Punktes, betrachtet wird und daraus die Gesetze
för die Bewegung von Systemen von Punkten und schliefslich durch einen
allerdings ausdrücklich zu rechtfertigenden Grenzübergang die Gesetze für
die Bewegung von Körpern abgeleitet werden, beginnt Herr Slate die
Dynamik in § 39 mit der Untersuchung der Bewegung eines Körpers. Der
materielle Punkt (particle) wird erat viel später, in § 61, einge-
führt. Dort heilst es: „Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich
so, als ob die Gesamtmasse in ihm konzentriert wäre und als ob auf ihn
äulsere Kräfte einwirkten, die man auf diesen Punkt übertragen, aber bis auf
die Lage unverändert gelassen hat. Die Annahme endlicher Masse und
endlicher Kraft in einem Punkte ist selbstverständlich nur eine mathe-
matische Fiktion, die jedoch zweckmäfsig angewandt wird, wenn es aus-
reicht, die Gröfsen zu kennzeichnen, die sich auf die Bewegung des Massen-
mittelpunktes beziehen und die anderen Details zu vernachlässigen, iilsdann
wird der Körper als a particle behandelt, indem man unter diesem Aus-
druck eine endliche Masse versteht, deren Ausdehnung vernachlässigt werden
darf. Für die Behandlung als a partide ist der Massenmittelpunkt der
repräsentative Funkt, in den man sich die endliche Masse befindlich
denkt"
Ohne Zweifel wird durch diese Ausführungen, die wohl auf Gedanken
von Herrn Boltzmann zurückgehen, der Begriff des materiellen Punktes
viel schärfer erfafst, als das in anderen Lehrbüchern geschieht; z. B. sagt
Herr Appell (M^canique, 1. 1, S. 78) weiter nichts als: „Materieller Punkt
heilst ein Stück Materie von solcher Kleinheit, daüs man ohne merklichen
Irrtum seine Lage wie die eines geometrischen Punktes bestimmen kann."
Man wird aber auch bedenken müssen, dals es durchaus zulässig ist, den
Begriff des materiellen Punktes zunädist mit Vorbehalt einzuführen und
erst hinterher, bei dem Satze von der Bewegung des Massenmittelpunktes
eines Systems, weiter auszugestalten, sodafs hier vorliegt, was Herr Yolk-
mann als „rückwirkende Verfestigung" der einzelnen Teile des Systems der
Mechanik bezeichnet.
496
Bilüherscliau.
st ÜM
Herr Slate beginnt die Begründung der Mechanik mit der EinfBhrang
des Begriffes der Trägheil. Körper äufsera ihre Trägheit in dem MaTse,
als es schwieriger ist, sie in Bewegung y.n setzon. Um zu dem Begriffe
der Srafl zu gelangen, betrachtet er die Traust ationsbewegung eines starren
KOrpers, bei der man von einer tie seh windigkeit nnd einer Beschleonigmig
des Körpers reden kann. „Kraft wirkt immer, wenn die physiksüschen
BcdinguQgen so beschaffen sind, dafs Geschwindigkeit nach lÜchtung oder
Gröfse geändert wird; die Veränderung der Geschwindigkeit bezogen auf die
Zeit milGt die BescJileunigung." Zwei Systeme physikalischer Bedingungen
bringen gleiche Kräfte ins Spiel, wenn sie einem gegebenen Körper die
gleiche Beschleuniguag erteilen. Kraft hat Richtung und Gröfae, die Rich-
tung ist dieselbe wie die der verursachten Beschleuniguag. Femer ist
Mtmse das MaXs der Trägheit. Das Massenverhältnis zweier Körper ist das
umgekehrte Verhültnia ihrer Besclüeunigungen, die durch gleiche
hervorgebracht werden. Hieraus folgt endlich, dafs Kraft proportional
Produkt von Masse und Beschleunigung ist.
Es wäre nicht angebracht, an dieser Stelle Einwendungen gegen
vorstehenden Ausführungen zu machen, da es sich hier um prinzipielle Fragen
handelt, die nicht mit einigen Zeilen erledigt werden können. Stellen wir
uns daher auf den Standpunkt des Herrn Verfassers und fragen wir, wie
er von dieser Grundlage aus weiter geht Zunächst stellt er sieb in § 45
die Aufgabe, die Beschränkung auf Translationsbewegnngen aufzuheben.
Wenn ein starrer Körper eine Rotationsbewegung hat, so sagt er, gebe es
nicht mehr einen gemeinschaft liehen Beschleunigungsfaktor, mit dem man
die Gesamtmasse des Körpers zu multiplizieren hat, um den Ansdnick der
Kraft zu erbalten, denn die gleichzeitigen Beschleunigungen der verschiedenen
Punkte onterseheiden sich im allgemeinen nach Richtung und Gröfse. Man
müsse daher eine Gruppe von Differentialkräften als wirkend annehmen, von
denen eine jede auf ihre Differentialmasse wirkt, und zwar in der Richtung
der daselbst stattlindenden Beschleunigung. Ist also x" die Komponente
der Beschleunigung von dm nach der x-Achse, so sei die auf dm wirkend
Differwitialkraft
dP, = x"dm
und hieraus ergebe sich für die „Gesamtkraft" (total force) parallel I
ai-Achse der Ausdruck:
=fi'
wofBr man, indem x, y, Z die
zeichnen, auch schreiben dürfe:
Koordinaten des Massenmittelpunktes 1
-fi
dm ■
' Diese Gleichung, in der an Stelle der gemeinschaftlichen Beschleunig
eine „mittlere" Beschleunigung steht, sei in alleu Fällen anwendbar.
ähnliche Weise gehöre zu jedem Typus von Beschleunigung eine
sprechende Kraft, und man gelange so z. B. zu den Begriffen von Tangential-
und Normalkraft. Damit aber seien die Mittel gewonnen, um eine
der Bewegung eines starren Körpers zu entwickeln.
Bücherschau. 497
In diesen Darlegungen vermifst man eine Definition der ,3eschleunigung
der Differentialmasse dw!^. Was von dem ganzen Körper gesagt wurde,
gilt doch auch für jeden noch so kleinen Teil; solange man also das
Massendifferenlial dm als Körper ansieht , kann von seiner Beschleunigung
nicht die Bede sein. Sieht man aher dm als materiellen Punkt von un-
endlich kleiner Masse an, auf den eine unendlich kleine Kraft wirkt, so ist
das nur eine „mathematische Fiktion^^, ja noch weniger, denn der Mathe-
matiker wird, wenn er Strenge lieht, den Differentialen keine seihständige
Existenz zuerkennen. Die Durchführung des Gedankens, die Mechanik allein
auf die Betrachtung von Körpern unter Vermeidung des Begriffes eines
materiellen Punktes zu hegründen, führt mithin auf Schwierigkeiten, deren
Überwindung von Herrn Slate nicht geleistet, ja nicht einmal ernsthaft
▼ersucht worden ist (yergl. dazu G. A. Maggi, Principü deHa teoria fnate-
matica dd movimento dei corpi, Milano 1895).
Auf der anderen Seite soll durchaus nicht geleugnet werden, dafs es
für das Verständnis mechanischer Vorgänge sehr nützlich ist, wenn man
sich stets daran erinnert, dafs es sich dabei um die Bewegung von Körpern,
nicht von fingierten Punkten handelt, und die Durchführung, die dieser
Gedanke in den Kapiteln 6, 7 und 8 gefunden hat, wo es sich um har-
monische Bewegung, Pendel, Planetenproblem und ähnliche Aufgaben handelt,
kann nur als zweckmäfsig, anregend und aufklärend bezeichnet werden.
Nicht nur jeder Student der Physik wird diese Kapitel mit Nutzen durch-
arheiten, sondern sie werden auch in weiteren Kreisen gern gelesen werden.
KieL Paul Stäckel.
H. A. Roberts. A treatise on elementazy dynamios. Dealing with
relative motion mainly in two dimensions. London. 1900. Xu
und 258 Seiten.
Lehrbücher aus einem fremden Lande haben den Vorzug, nicht nur
wegen des darin behandelten Gegenstandes zu interessieren, sondern auch
zum Vergleiche zwischen dem Zustande des ünterrichtsbetriebes in der be-
treffenden Disziplin daheim und auswärts anzureizen. Das Buch von Herrn
Roberts ist ein Zeichen, dafs der Unterricht in der Mechanik in England
sich infolge einer langen, sorgfältigen und einsichtigen Pflege auf einer
Höhe befindet, die in Deutschland auch nicht entfernt erreicht wird. Ich
habe vielmehr den Eindruck, dafs die Ausbildung der deutschen Studenten
gerade in der Mechanik sehr viel zu wünschen übrig läfst. Der Grund
hierfür scheint zum Teil in dem eigentümlichen Charakter dieser Wissen-
schaft zu liegen, die teils der Mathematik, teils der Physik angehört, und
da bedauerlicher Weise an den deutschen Universitäten keine besonderen
Professuren für Mechanik bestehen, während das in England, Frankreich
und Bufsland der Fall ist, so findet die Mechanik häufig nicht die genügende
Vertretung. Es wäre höchst verkehrt, wenn entweder der Mathematiker
oder der Physiker die Mechanik für sich allein beanspruchen wollten, wie
das gelegentlich geschehen ist. Vielmehr sollte der Student in die Mechanik
eingeführt werden durch die Vorlesung eines Physikers, der imstande ist,
in ihm das Gefühl für das physikalisch Wertvolle in der Mechanik zu er-
wecken. Auf Grund der so erworbenen Kenntnisse und Fertigkeiten sollte
Zeltiohrift f. MathemAtik u. Fhyaik. 47. Band. 1908. 3. u. 4. Heft. 32
498 BüchenchatL
dann der Mathematiker in einer Vorlesung über analytische Mechanik weiter
bauen, denn ohne ein Verständnis der analytischen Mechanik ist es nicht
möglich, die Entwickelung der modernen Theorie der Differentialgleichungen
und der Differentialgeometrie zu würdigen; damit ist selbstverständlich
nicht ausgeschlossen, dafs seitens der Physiker die Einleitungsvorlesnng nach
speziellen Richtungen im Interesse der physikalischen Ausbildung der
Studenten weiter geführt wird.
Eine ausgezeichnete, knappe und doch klare Darstellung der Gegen-
stände, die in einer solchen Einleitimgsvorlesung vorzutragen wären, giebt
das vorliegende Werk, in dem der Reihe nach Messung und Einheiten,
Kinematik, Newtons Gesetze der Bewegung, Arbeit und Energie, StoCs,
Ballistik, harmonische Bewegung und Pendel behandelt werden. Besonders
zu rühmen sind die zahlreichen, sorgfältig ausgewählten und feinsinnig ge-
stellten Aufgaben; in der Kunst, solche Aufgaben zu stellen, steht England
sehr hoch. Es wäre zu wünschen, dafs das treffliche Werk des Herrn
Roberts ins Deutsche übersetzt würde; allerdings müTsten dabei mancherlei
auf englische Verhältnisse berechnete Ausführungen umgearbeitet sowie
einige Versehen berichtigt werden.
Kiel. Paul Stackel.
J. J. Tan Laar. Lehrbuoh der mathematiflolien Ohemie. Leipzig,
Barth, 1901. Preis M. 7, geb. M. 8.
Der durch zahlreiche Veröffentlichungen in der Zeitschrift für phjs.
Chemie bekannte Verfasser hat sich in vorliegender Schrift die Aufgabe ge-
stellt, die Anwendungen der Thermodynamik auf die Chemie in systema-
tischer Weise anzuordnen. Es ist dieses zwar nicht der erste Versuch
dieser Art, da ein ähnliches Werk bereits in den von Helm veröffentlichten
„Grundzügen der mathematischen Chemie^ (1894, Leipzig, Engelmann) vor-
liegt, doch bietet das Buch von van Laar insofern etwas ganz Neues, als
hier zum ersten Male eine vollständige Behandlung der chemischen Gleich-
gewichtszustände mit Erfolg durchgeführt worden ist, allerdings mit Yer-
zichtleistung auf die Behandlung der Elektrochemie, welche der Verfasser
dem Werke später hinzuzufügen beabsichtigt. Ausgeschlossen ist femer die
ganze Lehre von den Beaktionsgeschwindigkeiten, die auf rein thermo-
dynamischer Grundlage ohne Zuhilfenahme kinetischer Begriffe bis jetzt
nicht gegeben werden konnte. Das Werk zerfällt in zwei Abschnitte, einen
theoretischen und einen solchen, welcher die Anwendungen auf konkrete
Fälle enthält. Beide sind im sprachlichen Ausdruck klar und korrekt ge-
schrieben, die mathematische Behandlung ist möglichst einfach gehalten bei
grofser Allgemeinheit, auch finden sich darin zahlreiche, bisher nidit ver-
öffentlichte Entwickelungen und Ergebnisse. Im ersten Teile (Buch I) werden
aus dem ersten und dem zweiten Hauptsatze die von Gibbs zuerst auf-
gestellten Fundamentalgleichungen abgeleitet, doch wird bei der Aufstellnng
der allgemeinen Gleichgewichtsbedingung das zuerst von Planck ein-
geführte Potential y? = 8 — ^ {E + pV)^) benutzt Die Ausdrücke ßr
1) T ist die absolute Temperatur.
Bücherschau. 499
die Entropie und die Energie werden nicht allein für Mischongen idealer
Gase und verdünnte Lösungen, sondern f&r beliebige Eörpermischungen auf-
gestellt und in der letzteren Form zur Berechnung von ^ verwendet. Die
hierdxtrdi erlangte Allgemeingiltigkeit aller Formeln ist ein besonderer Vor-
zug dieses Lehrbuches, immerhin würde es vielleicht mit Bücksicht auf
solche Lieser, welche in erster Linie Chemiker sind, recht nützlich gewesen
sein, die für Mischungen idealer Gase gültigen Gleichungen nicht nur als
spezielle Fälle der allgemeinen Ausdrücke abzuleiten, sondern, wo es mög-
lich ist, sie direkt mit Benutzung der Zustandsgieichung pV == Bv auf-
zustellen. Da in diesem Falle t (-^) — Ä = 0 ist, so l&fst sich beispiels-
weise Gleichung (21) auf etwas einfacherem Wege erreichen. Im weiteren
Verlauf dieses einleitenden Teils werden die Eigenschafken der Funktion W
sowie ihrer partiellen Differentialquotienten nach den Molekelanzahlen — die
molekularen Potentiale — entwickelt. Da diese letzteren ebenso wie die
Punktion W homogene Funktionen ersten Grades der Molekelanzahlen sind,
so ergeben sich für die Differentialquotienten nach r und p einige Verein-
fachungen, besonders wichtig aber ist der Umstand, daTs für den Fall des
Dissoziationsgleichgewichtes, obgleich dann die Dissoziationsgrade noch als
neue Variabele hinzutreten -r- = -o— und —^ = -~=- iresetzt werden darf.
dt dt dt dt °
Die theoretischen Erörterungen des ersten Teils sind bis zur Herleitung der
Reaktionsisochore sowie zur Berechnung der molekularen Änderung des
Volumens und der aufgenommenen molekularen Wärme durchgefCLhrt. Hier-
bei ist zu bemerken, dais die zweite der Gleichungen (43) nicht von
▼ an't Hoff, sondern zuerst von Planck hergeleitet worden ist.
Der zweite, umfangreichere Abschnitt des Buches ist den Anwendungen
der Theorie auf konkrete Fälle gewidmet. Sie betreffen zunächst Reaktionen
in Mischungen idealer Gase, in flüssigen Gemischen und auch in festen
Körpern — den festen Lösungen — , sodann werden auch die Gleich-
gewichtszustände in Mischungen von je zwei Komponenten aus den drei
Aggregatzuständen, sowie der Gleichgewichtszustand einer festen, einer
flüssigen und einer luffcförmigen Phase behandelt. In einer Anzahl von
Fällen sind die theoretisch gefundenen Resultate mit Erfahrungsthatsachen
verglichen. Von besonderem Interesse und häufig ziemlich verwickelt ist
die Behandlung der Lösungen. Da die Erfahrung gelehrt hat, dafs die
Molekeln des Lösungsmittels häufig teilweise assoziiert sind — die Dissozia-
tion ist meist äufserst gering — und die Molekeln des gelösten Stoffes,
falls er ein Elektrolyt ist, zum Teil in Jonen zerfallen, so ist für jeden
dieser Zustände die bezügliche Konzentration zu berechnen und in die Gleich-
gewichtsbedingung einzusetzen. Die sogenannten Gleichgewichtskonstanten
enthalten dann auch noch die Dissoziationsgrade, deren totale Differential-
quotienten nach <j(=— ) nur für den Fall verdünnter Lösungen — wenn
also <s ein sehr kleiner Bruch ist — eine nicht zu komplizierte Form
haben, da in diesem Falle die Glieder von der Ordnung ifi gegen die-
jenigen von der Ordnung a"^ bezw. a^ gegen ifl zu vernachlässigen sind.
Übrigens würde es erwünscht gewesen sein, wenn der Verfasser die Aus-
drücke für die Gröfsen X^, Xr etc., aus denen sich ihre Gröfsenordnung
32*
500 BüclierBcliaa.
ergiebt, angegeben hätte, da ohne diese Angabe der Leser auch nicht im-
stande isti die Oröfsenordnung der Gröfsen Xn etc. zu bestimmen. Von
denjenigen Oleichgewichtsznstanden , welche rein chemischer Natur sind,
finden die Neutralisaüonsvorgänge zwischen starken und schwachen Sänren
und Basen, die Hydrolyse, femer die für die analytische Chemie wichtige
Beeinflussung der Löslichkeit bei Elektrolyten mit gemeinsamem Jon ein-
gehende Berücksichtigung. Die Grundlage für solche Vorgänge bildet das
Verteilungstheorem Ton Arrhenius, sowie die beiden LöslichkeitsprinzipieQ.
Im letzten Abschnitt des 2. Teils ist auf Grund der Gibbs sehen Phasen-
regel und der Freiheitsgrade die Einteilung aller möglichen Systeme ge-
geben. Dem Verfasser ist es gelungen, in seiner Arbeit den Beweis zu 1
liefern, dafs der mathematischen Chemie gegenüber der reinen und der
physikalischen Chemie eine ähnliche selbständige Stellung gebührt, wie sie
die mathematische Physik längst inne hat. Das Buch wird gewüs dazu
beitragen, das Literesse für die Probleme der neueren Chemie auch in solche
Kreise zu tragen, die ihr bislang fremd gegenüberstanden.
Hannover. P. Brauer.
A. Wassilief^ F. L. Tschobyschef und seine wissenaohaftliehen
LeiBtongen. — N. Delaunay, Die Tsohabyschef sehen Arbeiten
in der Theorie der G^elenkmeohanismen. Leipzig, B. G. Teubner,
1900. 70 S. Preis ungeb. 4 Mark.
Diese beiden Arbeiten sind in einem, mit dem Bilde Tschebyschefs
geschmückten Bändchen vereinigt. Die erste, allgemeiner gehaltene Ab-
handlung erscheint besonders geeignet, dem aufserrussischen Publikum die
Leistungen des hervorragenden Mathematikers näher zu führen. An eine
kurze Biographie schliefst sich eine mit zahlreichen Litteratumachweisen
versehene, sich auch auf die Untersuchungen anderer Mathematiker be-
ziehende kritische Besprechung der Probleme, welche den Gegenstand der
Tschebyschef sehen Arbeiten bilden, und der Besultate, die Tschebyscbef
selbst gefunden hat. Von seinen Beweismethoden wird nur der Kern mit-
geteilt, sodafs der Zusammenhang der historischen Darstellung nirgends
unterbrochen wird. Ein Verzeichnis der sämtlichen Arbeiten Tschebyschefs
wird am Schluls gegeben.
Die zweite Abhandlung beschäfkigt sich im Besonderen mit denjenigen
Untersuchungen Tschebyschefs, welche sich auf die mechanischen
Gliedersysteme beziehen. Der Verfasser hat sich die Aufgabe gestellt:
„Erstens auf möglichst elementarem Wege die technische Bedeutung der
Gelenkmechanismen Tschebyschefs und seiner auf diesen Gegenstand be-
züglichen Ideen darzulegen; und zweitens die fOr Mathematiker interessanten
Seiten dieser Art in den Arbeiten des russischen Geometers hervorzuheben.^
Charlottenburg. Budolf Bothe.
Christian Beyel« Darstellende G^eometrie. Mit einer Sammlung Ton
1800 Dispositionen zu Aufgaben aus der darstellenden Geometrie.
Leipzig. B. G. Teubner, 1901. 189 S. Preis geb. n. 3,60 M.
Wenn in den mathematischen Disziplinen überhaupt die wirkliebe
Durchführung von Aufgaben ein unentbehrliches Hilfsmittel vorstellt, am
Büchenchan. 501
in das Verständnis der allgemeinen Theorien und Methoden vollständig ein-
zudringen, so sieht die darstellende Geometrie in der konstruktiven Er-
ledigung von Aufgaben der Baumgeometrie geradezu ihren Endzweck und
ihr eigentliches Ziel. Trotzdem besteht kein Überflufs an Büchern, welche
viele und gute Aufgaben bieten. Vorteilhaft zeichnet sich in dieser
Hinsicht das Lehrbuch von Marx aus, von dem freilich infolge des frühen
Todes dieses in Bezug auf die Stellung von Aufgaben so ungemein pro-
duktiven Mannes nur der erste Abschnitt erschienen ist. — In dem hier
zu besprechenden Buche bilden die Aufgaben den wesentlichsten Bestandteil.
Dieselben sind mit Dispositionen versehen, indem die Punkte, Geraden oder
Ebenen, welche als Datum dienen sollen, durch ihre (ganzzahligen) Koordi-
naten in Bezug auf die 3 Tafeln gegeben werden. Diese Methode erweist
sich nicht blofs beim Elementarunterricht als nützlich. Vielmehr führt der
Betrieb der darstellenden Geometrie auch an höheren Schulen bald zu fol-
gender Erfahrung. Giebt man blofs den Text der Aufgabe^ so fallen bei
den meisten Bearbeitungen die Figuren so ungünstig aus, dafs sie nicht zu
Ende geführt werden können. Die halbfertige Zeichnung wird weggeworfen
und damit Zeit und Lust verloren. Nur ein kleiner Bruchteil der Stu-
dierenden giebt sich die Mühe, die gegebenen Elemente so lange zu ändern,
bis eine Figur zu stände kommt, welche das Wesentliche der betreffenden
Aufgabe auch wirklich zur Anschauung bringt. Um diesem Mifsstand zu
begegnen — und wohl auch um die so unangenehmen zu kleinen Figuren
zu vermeiden — hat der Verfasser die Aufgaben so disponiert, dafs der
Raum, welchen eine Zeichnung einnimmt, 20 Quadratzentimeter nicht über-
schreitet und dafs ein Bogen von 50 auf 33 cm für zwei bezw. drei Auf-
gaben ausreicht.
Das vorliegende Buch, nach der Absicht des Verfassers nicht zum
Sebststudium eingerichtet, besteht aus drei Teilen. Der erste, ,Jjehrtext^
betitelt, giebt eine kurze, aber sehr gute Darstellung des Grund- und Auf-
rifsverfahrens. Die Herstellung axonometrischer Bilder wird wenigstens
besprochen. Die Anführung des P o hl ke sehen Satzes wäre wohl nicht
überflüssig gewesen. Ln übrigen finden die mathematischen Beziehungen
eine richtige Würdigung. Ungern vennifst der Referent in diesem Teile
die Aufgabe, die vier Schnittlinien zweier konzentrischer Kreiskegel zu kon-
struieren, welche im § 40 naturgemäis einen Platz finden würde. Denn
die Konstruktion eines Dreikants aus den drei Kantenwinkeln gewinnt erst
von dieser Seite her die wünschenswerte Klarheit. Wie man hierbei die
möglichen Lösungen zählt, ist Sache des Übereinkommens. Die Zahl der
Geraden aber, welche zwei gegebene Gerade g und h unter gegebenen
Winkeln cc und ß schneiden, beträgt jedenfalls 4 und nicht 2, wie Seite 3 6 f.
angegeben wird. ^
Der zweite Teil enthält 190 verschiedene Aufgaben und für jede der-
selben wieder eiae ganze Anzahl verschiedener Dispositionen, so dafs wir
im ganzen 1800 Dispositionen vorfinden. Die Aufgaben sind mit ganz ge-
ringen Ausnahmen leichter Natur, so dafs sie von einem mit der Stereo-
metrie Vertrauten ohne besondere Kunstgriffe, dem Gedanken nach, gelöst
werden können. Sie beziehen sich auf die „Methodenlehre^^, d. h. auf die
einfachsten gegenseitigen Beziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
sowie auf die Darstellung ganz einfacher Körper. Der Begriff der Schatten-
502 Bfichenchan.
bildong in seiner primitivsten Form wird hereinbezogen, Dnrcbdringimgen
bleiben ausgeschlossen. Verbesserungsbedürftig erschienen dem Referenten
folgende Aufgaben: I. Kap. G und H (Definition des Oktaeders?); YL Kap.
H (Ä und B sollen auf a und h liegen); IX. Kap. B (Das Quadrat soll
in der Ebene liegen); XI. Kap. I (Überbestimmt), N (Druckfehler). Der
Jleferent hat eine Beihe der gegebenen Aufgaben durchgezeichnet, die sich
sämtlich als gut disponiert erwiesen.
Der dritte Teil des Buches enth< „Proben und Bemerkungen zu den
vorhergehenden Aufgaben^'. Die Proben sind entweder cUlgememer Natur,
so dafs sie fär jede Disposition Geltimg haben oder sie beziehen sich
speziell auf die betreffende Disposition. Beispielsweise wird der Aufgabe
(I. Kap. S):
„Man zeichne eine vierseitige Pyramide, deren Grundfläche ein Parallelo-
gramm AB CD ist. Gegeben sind drei auf einander folgende Ecken Ä, By C
des Parallelogramms und die Spitze M der Pyramide" beigegeben die
folgende
Allgemeine Probe: Die zwei Projektionen der gleichnamigen Seiten des
Parallelogramms AB CD schneiden sich in vier Punkten einer Geraden i.
Die zwei Projektionen der gleichnamigen Kanten MA, MB, MC^ MD
schneiden sich in vier Punkten T^, T^, T^, T^. Dann gehen T^T^ und
die Geraden A'B\ A' B"' durch einen Punkt. Ebenso Tf^T^ und B'C\
B" C" u. s. f. Für die vierte Ecke D des Parallelogramms ist
i»a — ^6 + «0 — «d =" 0.
Der Verfasser wird sich ein Verdienst und den Dank vieler im Lehr-
amt Stehenden erwerben, wenn er seinen Vorsatz ausftlhrt und seiner brauch-
baren und schönen Sammlung, in der ein groFser Aufwand von Zeit und
Mühe aufgespeichert liegt, eine weitere Reihe von Aufgaben folgen iBist,
die sich auf die Behandlung der Körper, auf Durchdringungen und vielleicht
auch auf die Schnittkurven von Flächen 2. Ordnung, in Sonderheit der
Kegel- und Zylinderflächen, beziehen.
München, 30. Mai 1902. Kabl Doehlbmakn.
£• Hanuner. Der Hammer-Fennelsche Taohymetertheodolit und
die Taohymeterkippregel siir tuimittelbaren LattenableBong von
HorizontaldiBtanB und Höhenuntersohied. (D. B. P. Nr. 122 901).
Beschreibung und Anleitung zum Gebrauch des Instruments. Ent«
Genauigkeitsversuche. Mit 16 Figuren im Text und 2 lithographierten
Tafeln. 4^ 52 S. Stuttgart 1901. Konrad Wittwer.
An Bestrebungen ; die tachymetrische Methode durch instmmentelle
Einrichtungen oder durch rechnerische und graphische Hilfsmittel zu er-
leichtem, hat es nicht gefehlt. Der Verf. bespricht sie kurz in der Ein-
leitung. Es ist ihm aber nach mehrjährigen Versuchen gelungen, eine
Konstruktion zu finden, die durch einmaliges Anzielen der Latte sowohl
die Horizontaldistanz, als auch den Höhenunterschied abzulesen gestattet
Die Vorteile gegenüber anderen Konstruktionen sind einleuchtend: Es sind
besondere Einstellungen etwa durch Fadenmikrometer oder Verschiebung
eiD6S Mefskeils unnötig, die Ablesungen geschehen nicht an verschiedenen
Bücherschaa. 503
Insixnmentteilen, wie bei Benutzung eines Höhenkreises, die schiefe (zur
Femrohrrichtung senkrechte) Stellung der Latte, wie bei den Projeküonstachj-
metem, ist umgangen. Die Bechnung wird im vorliegenden Falle auf die
Multiplikation mit 100 und 20 beschränkt. Dabei ist nicht die höchste
erreichbare Genauigkeit angestrebt worden, sondern es sollte dem Bedürfnis
der Praxis in Bezug auf die Schnelligkeit der Messung in erster Linie ge-
nügt werden.
Das gewünschte Ziel liefs sich am einfachsten durch eine rein optische
'Einrichtung erreichen. In dem Gesichtsfelde des geraden, nicht durch-
Bcblagbaren Femrohrs erscheint neben dem Lattenbilde in der linken Hälfte,
die durch die senkrechte Kante eines Prismas begrenzt ist, das Bild eines
Diagramms. Dieses Diagramm ist aus einer genauen Zeichnung durch
20malige Verkleinerung photographisch auf eine ebene Glasplatte über-
tragen worden und befindet sich in fester Verbindung mit dem Unterteil
des Instruments. Die Platte ist der Visierebene parallel seitlich der Mitte
des Femrohrs aufgestellt. Ein im Innern des an dieser Stelle mit einer
Of&iung versehenen Femrohrs angebrachtes Prisma reflektiert das Bild des
Diagranmies in der Richtung nach dem Okular zu. Eine Linse, die zwischen
dieses Prisma und das Okular geschaltet ist, und sich zur Regulierung der
Bildgröfse etwas verschieben läfst, entwirft in der Fadenebene des Okulars
ein reelles Bild des Diagranmis, das noch durch eine zweite, hier angebrachte
Prismeneinrichtung seitlich verschoben wird, damit es die gewünschte Lage
in der linken, durch die vertikale Prismenkante begrenzten Hälfte des
Gesichtsfeldes einnimmt. Beim Kippen des Femrohrs verschiebt sich das
Bild des Diagramms in der Weise, dafs ein hineingezeichneter Kreisbogen,
dessen Zentrum (auTserhalb des Diagranmis) in der Kippachse liegt, den
Horizontalfaden im Gesichtsfelde stets berührt, wenn dieser bei Horizontal-
richtung des Femrohrs Tangente des Kreises war. Bei horizontalem Fem-
rohr fallen gleichzeitig zwei Marken, deren Verbindungslinie durch den
Mittelpunkt des Kreises (also durch die Kippachse) geht, in die vertikale
Prismenkante, neben der rechts im Gesichtsfeld die Latte, parallel dazu,
eingestellt wird. Bei der Kippung des Femrohrs fallt ein anderer Badius
des Kreisbogens mit der Prismenkante zusammen, der mit dem markierten
Radius den Kippungswinkel (oc) einschliefst. Nun ist das Femrohr ein
Porrosches und die Abmessungen sind so gewählt, dafs der anallaktische Punkt
in die Kippachse flQlt. Wenn daher die Radien des Kreisbogens um Stücke
dr ^l ' cos'a verlängert werden, wo l konstant ist, so wird das neben dem,
bei Kippung um a, senkrecht stehenden Radius liegende Lattenstück von
der Länge dr der horizontalen Entfernung der Latte proportional sein.
Die Länge dr kann aber an der Latte direkt abgelesen werden, wenn der
Horizontalfaden (demnach auch der ihn berührende Kreisbogen) mit der in
Instrumenthöhe auf der Latte angebrachten Nullmarke zur Deckung ge-
bracht wird, indem dann eine die Endpunkte der verlängerten Radien ver-
bindende Kurve das Lattenbild in einem Punkte trifft, dessen Ablesung mit
einer Konstanten (hier 100) multipliziert der Horizontaldistanz e gleich ist.
Da e • tg a der Höhendifferenz proportional ist, so liefert offenbar die Ver-
längerung der Kreisradien um iga - dr die Punkte einer zweiten Kurve
(Höhenkurve), deren Schnittpunkt mit dem Lattenbild die Höhe bis auf
einen konstanten Faktor (hier 20) unmittelbar ablesen läfst. Die beiden
504 BüchenchaiL
Äste dieser Kurve sind durch Vorzeichen unterschieden, welche den Höhen-
und Tiefenwinkeln entsprechen. Die (im 5 fachen Maüsstahe der Entfernimgs-
kunre gezeichnete) Höhenkurve üherschreitet wegen des Wachstums von
tga schnell das (Gesichtsfeld. Um daher noch Eippungswinkel bis 30® ver-
wenden zu können, mufste der Horizontalfaden in die obere Hälfte des
Gesichtsfeldes verlegt werden. Hierdurch wird die Gestalt der Karren
etwas verändert und die symmetrische Form der beiden Aste ffir Höhen-
und Tiefenwinkel aufgehoben.
Über die Prüfung und die Korrektionsvorrichtungen des Instruments
sind ausführliche Angaben gemacht, der Kollimationsfehler vnrd durch Ver-
schiebung des Objektivs beseitigt, da in der Fadenebene die senkrechte
Prismenkante den Vertikalfaden des Fadenkreuzes vertritt und ohne Stönmg
des Diagrammbildes nicht verändert werden kann.
Von besonderem Interesse sind die allerdings noch nicht am endgültig
hergestellten Instrument beobachteten Versuchsreihen. Bis auf Entfernungen
von 250 m wurde in der Horizontaldistanz nur ausnahmsweise eine Ab-
weichung von 1 m erhalten, bei den Höhen kommt noch die Abweidmng
von 0,3 m bei einer Messungsreihe vor, bei der ein gewöhnlicher kleiner
Tachjmetertheodolit die Höhen lieferte, meist überschreitet der Fehler nicht
0,1 m.
Dieselbe Einrichtung läfst sich ebenso auch an einer Kippregel anbringen.
Der Tachjmetertheodolit kann noch durch einen Höhenkreis, eine Bussole
u. a. vervollständigt werden. Für die Konstruktion geeigneter Latten macht
der Verf. verschiedene Vorschläge.
Die Ausführung der Ideen des Verf. ist durch die bekannte FinoA
0. Fennel Söhne in Kassel geschehen, die auch die Konstruktionsaeich-
nungen zur Ergänzung der beigegebenen photographischen Abbildungen ge-
liefert hat
Potsdam. A. Galle.
Neue Bücher. 505
Nene BtLclier.
AnaLysis.
Baohi, Tullio, Saggio di tina nnova teoria matematica delle principali operazioni
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608
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Berichtigung.
In der Besprechung toh: E. Hmmmer, Afltnmoiniadies
Zeitschrift Band 46, molk es anf S.495, Z.19 t.il,
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