Zeitschrift für Mathematik und Physik

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SEP 5 1907

l^avbarli College liörarg

TROM THE BEQJJBST OF

HORACE APPLETON HAVEN,
OF PORTSMOUTH, N. H.

(GlaM of 1S4».)

SCIENCE CENTER LIBRARY

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ZEITSCHRIFT
FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK.

BEGRÜNDET 1866 DURCH f 0. SCHLÖMILCH.
FBÜHER HERAUSGEGEBEN VON 0. SCHLÖMILCH (1856—1896) UND M. CaNTOR (1869—1900).

OBGAN FÜR ANGEWANDTE MATHEMATIK.

OEGENWARTIO
DKTER MITWIRKUNG VON C. VON BaCH, R. HbLMERT, F. KlEIN, C. VON LiNDB,

H. A. LoRENTz, H. Müller -Breslau, H. Seeliger, H.Weber

HERAUSGEGEBEN VON

R. MEHMKE UND C. RUNOE

IN 8TÜTTOABT IV OÖTTIHOaK.

53. BAND.

MIT TIER TAPELM UND 110 FIGURKN IM TEXT.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1906.

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AliLB B£GHTi£, EINSOHLIESSLIGH DES OBEBSBTZUKGSBBOHTS , VOBBEHALTKK.

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Inhalt

Seit©

Biermann^ Otto, über die dichteste Lagerang gleicher Kreise in einem

Kreise 428

Biske^ F. Reflexion de la Inmi^re sur Teau ^ranläe 419

Delaunay, N. Graphische Berechnung der elliptischen Funktionen, mit

einigen Anwendungen 40S

Ernst 9 PauL Zur Addition und Subtraktion mit Hilfe des logarithmischen

Rechenschiebers 60

Gang 9 B« Das Potential einer leitenden Kreisscheibe 484

Girtler, B. Über die kubische Dilatation und ihre Beziehung zur Bean-
spruchung isotroper elastischer KGrper 181

Hom, J« Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen .... 370
Leon, Alfons. Spannungen und Formänderungen rotierender Kugelschalen 144
Lereh) M« Über die Berechnung der Summen diskontierter Zahlen für eine

nach dem Makehamschen Gesetz fortschreitende Sterbetafel 168

Linsenmann 9 Hans« Die elastische Linie der Gehäuse von Drehstrom-
maschinen mit grofien Durchmessern 246

Mie, Gustay« Über die Kurzschlußstromkurven eines Gleichstromankers . . 87
Nitz, Konrad. Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometrischen Kon-
struktionen 1

BadakoriiS, M. Über die theoretische Behandlung des Problems der störenden

Lokomotivbewegungen 225

Biebesell, Panl. Über die Kommutation des Stromes in Gleichstromgeneratoren 387
Wellisch, S. Die Gewölbetheorie im Lichte der Methode der kleinsten

Produkte 176

Wieghardt, £• Über die Nebenspannungen gewisser hochgradig statisch

unbestimmter Fachwerke 113

Wittenbauer, Ferdinand« Dynamische Kraftpläne 274

Kleinere Mitteilungen.

Logarithmisches Papier 185

Anfrage, betr. Entwicklung nach Zylinderfunktionen 185

Anfrage, betr. Tafeln der natürlichen Logarithmen von Z. Dase 287

Auskunft auf die vorhergehende Anfrage 438

Preisanfgaben ans der angewandten Mathematik und Physik.

Acad^mie des Sciences de Paris 65

Acad^mie Royale de Belgique 438

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IV Inhalt.

Büchersohau. g^^^^

P. Stephan. Die technische Mechanik. Von R. Skutsch 65

J. F. Enke. Über die Bestimmung einer elliptiflchen Bahn aus drei voll-
ständigen Beobachtungen. — P. A. Hansen, über die Bestimmung der
Bahn eines Himmelskörpers aus drei Beobachtungen. Hrsg. v. J. Bauschinger.
Von C. W. Wlrtz 185

O. W. Littlehales. A new and abridged method of finding the locus of
geographica! position and the compass error. Von C. W* Wirtz .... 186

W. Förster. Astrometrie oder die Lehre von der Ortsbestimmung im
Himmelsraume, zugleich als Grundlage aller Zeit- und Raummessung. Von
C. W. Wirtz 438

Neue Bücher 69, 186, 439

Eingelaufene Schriften 71, 288, 442

Abhandlungsregister 1904—1905. Von E. Wölfflng 73, 189, 288

Verzeichnis der in technischen Zeitschriften 1908—1904 sich vorfindenden
mathematischen Abhandlungen. Von E. Wölfftng 304

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ZEITSCHRIFT
FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK.

BEGBÜNDiST 1$6$ DTTRCff f 0. SCHLÖMILCH.
F&DhBB HERAUBQSaBBn YOH O. fiOHLÖMILOH (1866—18)^) UKD IL CaSTOB (1869—1900).

ORGAN FÜR ANGEWANDTE MATHEMATIK.

GBGENWABTIO
UHTBB MITWIBKUNG VON G. VON BAGH, B. HeLMEBT, F. ELBÜ^y G. VON LlNBE,

H. A. LoBENTZ, H. Müll^b-Bbeslau, H. Seblioeb, H. Webeb

HEBAÜSOEOEBEN TON

B. TW KH M K K UND C. RUNGE

63. BAND. 1. HEFT.

KIT S8 FiaüBBT Df TSXT.

Ansgegeben am 18. März 1906.

LEIPZia,

DBUOK UND VEBLAO VON B. Q. TEUBNBB.

1906.

pv Soeliei ersehieB: CleBeralre^ter zu Band 1—60 der Zeitsehrift für Mathematik
BBd FliyBik. Bearbeitet tob Professor Dr. £. WölffiBg-Stuttgart. [XII u. 308 S.] gt. 8.
geh, B, Mk. 15.—, in Leinwand geh. b. Mk. 16.—

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I
ZEITSCHRIFT FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK.

HUSH/LtrsasaBBSOr von FSOV. DB. B. MinHMKTl THSm FBOr. DB. G. BUNGS.
BBXJCK UJNi> VSBIiAG VON B. G. TEUBNSB IN XJSIFZia, F08T8TBA8B1D 8.

B^ Alle f&r die Bedaktion bestimmten Bendimcen (Briefe, Maaoakxipte» Be-
BeneionsezemplAre usw.) sind an den geeohfiftsführenden Bedekteur:

Prof. Dr. B. Mehmke, Btuttgrart, Weißenburgstraße 29

in richten. Se nimmt aber auch Prof. Dr. C. Bunge, Gtöttingen, Gtoldgraben 20,
Sendungen for die Bedaktion an.

B^ Die Heizen Verfiu»er erhalten unentgeltlioh von gröAeren Anfli&taen 80
mit Dmichlag reraehene Sonderabdraoke, ron kleineren Beltrfigen, Mitteilongen,
Beaenaionen naw. 10 Absfige der betr. Seiten; eine gr60ere Anaahl dagegen, ala die
genannte, an den HerateUnngskoaten.

B^ Jeder Band der Zeitachrift mnfikfit 28 Drookbogen in 4 Heften ond kostet
20 Mark; ea werden Jfihrlioh etwa 6 Hefte aioagegeben. Alle Baohhandlongen und
Foatanatalten nehmen Beatmungen an.

INHAI.T DBS VORLISGSNDBK HBJmS.

8«it»

Beiträge tu wmt FeMetiheorie der geometriechen KanstrukUonen. Von Kourad

Niti in Königsberg i. Pr. Mit 21 Figuen im Text 1

Über die Kvrsschiufigtromkurtfe eines GkitharanuMkers, Von diistay Mie in

Greifswald. Mit 7 Figozen im Text 87

Zur Addition und Subtraktion mit Hufe des loga/rifhmieehen BecheneMebers*

Von Ptil £niBt| stad. phiL et mech. in Wien 60

Kleinere Mitteilungen 66

BüchereduM 65

Stephan, IMe Teohnisehe Meehanik. Ton K. 8kvtMh| 66

Neue Büt^^ 69

Eingelaufene Schriften 1%

Ahhandhmgmregieter 1901—1905. Von Einst WSlffing in Stattgart 78

ocr Zum Abdruck in den nftohsten Heften gelange BeitiAge der Herren:

0. BleraaBB, V. Btlaaaay, B. Gaaiy B. eirtter, A. erlawaU» J. Bora» A. Leoa, B. Ltreh»
H. LlBMamaaB, B. Bakaik«, B. BadakOTl«, 0. Buge, B. SkatMh» 1. SoauierfM«, P. Stick«!,
k.nmyby S.WelUMky K.Wlegkai4t9 €. W.Wlrti, F. Wltteabaaer, A.WlaMewy B. WSlfftag.

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Beiiar&ge zn einer Fehlerthmfe d. geometr. Eonstniinbneii. Von Eohilad Kitz 1

MAR ?r ]9'"?

Beiträge zn einer FeMertheorie der geometrischen
Konstruktionen.')

Von EoNBAD NiTZ in Königsberg i. Pr.

Inhaltsüberaioht. g^^^

§ 1. 0«8cfaichtliche Einleitang 1

§ 1. Die Yoraussetzongeii der Theorie 8

§ 8. Die Fehlerellipsen 11

§ 4. Die Fehlerhypeibeln 14

§ 6. NmneriBche Angaben 16

§ 6. Anwendung dei Theorie auf Elementarkonstraktionen 22

•§ 7. Untersuchung einiger anderer EonstrulEiionen 34

i 1. Ge&ohiehtliche Binleitung.

Die ersten Betrachtungen über die Genauigkeit geometrischer
Operationen beim Feldmessen nnd beim Zeichnen dürften im 17. Jahr-
himdert angestellt worden sein.') Bei R. Cotes') finden wir schon
eine ganze Reihe von Sätzen über die Fehler bei Dreiecksbestimmnngen
{mit besonderer Rücksicht auf die Astronomie). In einfacherer Fomi
nnd mit mehr Anwendungen stellte Chr. y. Wolf dieselben Unter-
flnchnngen an^); bei ihm beanspruchen nicht nur die verschiedenen für
•die Praxis des Zeichnens bestimmten Vorschriften über die Zeichen-
instmmente^) ein historisches Interesse^ sondern auch besonders die

1) Diese Arbeit steht in Zusammenhang mit der auf Anregung meines hoch-
yerehrten Lehrers, Herrn Prof. W. Franz Meyer, von mir verfaßten Dissertation
über „Anwendungen der Theorie der Fehler in der Ebene auf Eonstruktionen
mit Zirkel und Lineal'* (Eönigsberg 1906), indem sie neben andern Ergänzungen
vor allem eine Reihe von Anwendungen der dort ausgeführten Theorie gibt; sie
ist aber in der Hauptsache selbständig und nimmt nur an wenigen unwesent-
lichen Stellen auf jene Dissertation Bezug.

2) Eaestner, Gesch. d. Math.; verschiedene Stellen in Bd. 1 und 3.

8) Aestimatio errorum in mixta mathesi per variationes partium trianguli
plani et sphaerici. 1709.

4) Elementa Matheseos, 1713; z. T. schon vorher in den Anfangsgr. d.
Math. 1710.

6) Elementa Geometriae, Cap. n.

Zeitoohrifl f. Mathematik a. Physik. 68. Band. 1906. 1. Heft. 1

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2 Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometriechen Konstruktionen.

Frage nach dem VerJuiUnis der Genauigkeiten bei geometrischer Kern-
struktion einerseits und Berechnung andrerseits,^) Wolf scheint also
der erste gewesen zu sein^ der sich mit der Genauigkeit geometrischer
Zeichnungen im engeren Sinne beschäftigt hat.

Nach einer zweiten Seite hin läßt sich der Gegenstand yorliegender
Abhandlung ebenfalls bis in den Anfang des 18. Jahrhunderts zurück-
verfolgen: es war wieder Cotes, der am Schlüsse der zitierten Aestim.
err. etc. den Grund zu einer Theorie der Fehler in der Ebene und im
Raum gelegt hat in dem später nach ihm benannten ^^Prinzip des
Schwerpunkts'^ (die wahrscheinlichste Lage eines gesuchten Punktes im
Raum ist der Schwerpunkt der beobachteten Punkte).*)

Besonders bemerkenswert sind dann weiter die Arbeiten von
Lambert*) sowohl über die Theorie der Fehler in der Ebene, als
auch über die Fehler bei einer Zeichenoperation. Die Betrachtungen
über Fehler in der Lage eines Punktes G^Der Fehler besteht in dem
Abstände des gefundenen Punktes von seinem wahren Orte, und dieser
Abstand ist also dem Grade der Zuverlässigkeit umgekehrt proportional^
(§ 395)) werden angeknüpft an geodätische Operationen, speziell an das
Yorwärtseinschneiden mit zwei Strahlen. Als Spielfläche für den wahren
Punkt erhalt Lambert dann richtig ein Parallelogramm] die günstigste
Punktlage für das Einschneiden sucht er nach dem Prinzip zu er-

1) Elementa Trigonometriae planae, §§ 68 ff.

2) Auf dieses Prinzip haben bekanntlich Schols (1875) nnd unabhängige
von ihm Bertrand (1888) eine Ableitung des Gesetzes für Fehler im Baum
gestützt.

3) Beyträge zum Gehraviche der Mathematik ttnd deren Äntoendung, 1. Teil^
Berlin 1765; Abschnitt I „Anmerkungen und Zusätze zur praktischen Geometrie'^
Die fehlertheoretischen Arbeiten Lamberts scheinen unyerdienterweise g&nzlich
in Vergessenheit geraten zu sein; es mOge deshalb an dieser Stelle darauf hin-
gewiesen werden, daß schon in seiner Photometria (1760) ein ganzer Abschnitt
(§§ 271 — 306) über die Methoden zur Fehlerabschätzung handelt, und daß die zu
§ 296 gehörige Figur 31 die erste gut getroffene Zeichnung einer Fehlerwahrschein-
lichkeitskurve gibt (das bei Simpson, 1755, als Fehlerkurve auftretende gleich-
schenklige Dreieck entspricht zu wenig dem wirklichen Sachverhalt). Auch ein
Halbkreis erscheint als Fehlerkurve schon vor D. Bernoulli (1778) bei Lambert.
Die „Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche'' behandelt
die Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen nach einem Prinzip, das schon
sehr an die Methode der kleinsten Quadrate erinnert, nämlich: „Die Summe der
Abweichungen auf beiden Seiten soll einander gleich sein.*^ Auf das von Lambert
angewandte einfache Eechnungsverfahren ist man wiederholt zurückgekommen
(s. z. B. Weinstein, Handb. d. physik. Maßbest. 1, S. 462). Femer hat Lambert,
auch die „Theorie der Fehler im Triangel"' zum ersten Male systematisch ent-
wickelt und an einigen Beispie^|n ausführlich diskutiert (Kap. XI— -XTV der An-
merk. u. Zusätze).

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Von KoiTBAD NiTZ. 3

mitteln^ daß der größte Fehler (die längere der beiden Diagonalen des
Fehlerparallelogramms) relativ klein zn machen ist, was freilich zu
keiner bestimmten Lösung führt. ^)

Lambert scheint auch der erste — und beinahe einzige — ge-
wesen zu sein, der eine Versuchsreihe über die Genauigkeit einer Zeichen-
Operation angestellt hat, nämlich über den Fehler beim Abgreifen einer
gegebenen Strecke mit dem Zirkel (§ 435 ff.); dieselbe ist so geschickt
und sorgfältig ausgeführt, daß sie später (in § 5) genauer erörtert
werden soll.

unter besonderen geometrischen Gesichtspunkten handelt es sich
um die Genauigkeit von Konstruktionen in der „Geomeiria dd compasso^
von Mascheroni.^) Der ursprüngliche Plan dieses Werkes war zwar
ein rein theoretischer (wie ich mir entgegen der Darstellung von Klein*)
zu bemerken erlaube), nämlich Rückkehr zu der elementaren Geometrie
und Neubelebung ihrer Aufgaben durch „Spaltung des mathematischen
Elements (Zirkel und Lineal) in seine beiden Bestandteile^'; bei der
Ausarbeitung aber trat eine praktische Absicht in den Vordergrund,
nämlich die Ereiehmg größerer Genauigkeit durch Verwendung des Zirkds
aUein; das Lineal wird als ungeeignet für exakte Konstruktionen be-
zeichnet. Neben diesem Grundgedanken ziehen sich durch das ganze
Buch Bemerkungen über die Genauigkeit einzelner Konstruktionen; so
werden vor allem Schnitte von Kreisbögen unter spitzem Winkel zu
vermeiden gesucht, und in einigen Fällen werden besondere Hilfs-
konstruktionen zur Erhöhung der Genauigkeit angegeben; es wird
auch die Verwendung mehrerer Zirkel empfohlen, welche ihre Öffnung
während derselben Konstruktion unverändert beibehalten. Nähere Aus-
führungen über die Art und Größe der zu erwartenden Fehler sind
freilich nirgends zu finden.

Die aus der Theorie der geometrischen Konstruktionen bekannten
Werkchen von Servois (1804) und Brianchon (1818) bieten hin-
sichtlich der Genauigkeit der geometrischen Operationen nur wenig*),

1) ünteiBuchungen dieser Ait sind meines Wissens erst wieder von Jordan
in Angriff genommen worden (Über die Genauigkeit einfacher geodätischer Punkt-
bestimmungen, diese Ztschr. 16, 1871).

2) Pavia, 1797; es existieren verschiedene Übersetzungen, z. B. von Carette,
2. ädit, Paris 1828.

8) Ausgewählte Fragen der Elementarmathematik, S. 26.

4) Es sei aber bei dieser Gelegenheit darauf hingewiesen, daß besonders
Brianchon bei vielen Konstruktionen schon darauf aufmerksam macht, daß sie
allein mit Lineal und Streckenübertrager (Meßkette) ausführbar sind. Die Parallelen'
konstruktian bei Brianchon (§20, Fig. 5) ist identisch mit der von Hilbert
(Grundl. d. Geom., 2. Aufl., S. 74) angegebenen.

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4 Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometrischen Eonstraktionen.

ebenso die Steinersche Abhandlang yon 1833^ aus welcher hier nur
bemerkenswert ist, daB sie ein umfassendes Programm ftlr eine Weiter-
entwicklung der elementaren Greometrie^ auch mit Rücksicht auf die
Genauigkeit der Konstruktionen^ aufstellt.^)

Aus den nächsten Jahrzehnten ist hier nur zu erwähnen die Ent-
wicklung der Theorie der Fehler in der Ebene durch Bravais (1846)
Andrae (1858), Helmert (1868) u. a.^

Über die Genauigkeit von Zeichnungen aber kann ich erst aus dem
Jahre 1871 eine Arbeit von Chr. Wiener anführen*), welche ebenfalls
in § 5 besprochen werden soll. In etwas yeränderter Darstellung findet
man diese Abhandlung in Wieners Lehrbuch der darstdlenden Geo-
metrie wiederholt.*) Diese Untersuchung hat wahrscheinlich die Ver-
anlassung zu den Ausfahrungen des dort folgenden Abschnittes ge-
geben, überschrieben: Einige Begeln über genaues Konstruieren, Hier
tritt wohl zum ersten Male der Gedanke an eine raUoneUe Feklerffiearie
der geometrischen Konstruktionen in bestimmter Form auf (S. 190 „Die
Aufgaben des genauesten Eonstruierens müßten in der Weise der Auf-
gaben der höheren Geodäsie mittels der Methode der kleinsten Quadrate
behandelt werden'^. Wiener begnügt sich mit der Angabe yon einigen
„mehr oder weniger sicheren Sätzen, welche auf Erfahrung, Anschauung
und Abschätzung gegründet sind^^ (z. B. Satz 2: „Der Schnittpunkt
zweier Geraden ist um so sicherer bestimmt, je näher diejenigen
Punkte, welche jede Gerade bestimmen, bei dem Schnittpunkt liegen'^.

Auf Grundlage dieser Sätze (im ganzen 5) werden dann für drei
einfache Aufgaben die Regeln für das genaueste Konstruieren abgeleitet,
nämlich: 1) Errichten einer Senkrechten, 2) Halbieren einer Strecke,
3) Fällen einer Senkrechten. Diese elementare Methode empfiehlt sich
natürlich sehr durch ihre Einfachheit. Sie zeigt aber ihre ünvoU-
kommenheit schon darin, daß die Bedingungen für die genaueste Kon-
struktion nicht immer richtig erhalten werden, und vor allem auch
darin, daß sie keine Anhaltspunkte für die Größe der zu erwartenden
Fehler Uefert.

Es scheint, als ob derartige Betrachtungen keine weite Verbreitung
gefunden haben. Ich kann hier nur das Lehrbuch der igeichnenden Geo-

1) Ges. Werke 1, S. 609; Ostw. Klass. Nr. 60, S. 64.

2) Darstellung dieser Theorie nebst LiteraturÜbersicht bei Cznber, Theorie
der Beobachtongsfehler, 3. Teil, Lpz. 1891 und Referat in Deutsche Math.-Yer. 7,
1897/98, S. 217—224. S. auch meine Dissertation S. 6/7.

3) Über die möglichst genaue mechanische Rektifikation eines verzeichneten
Kurvenbogens usw., diese Ztschr. 16 (1871), S. 112—124.

4) Bd. 1 (1884), S. 184 ff.

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Von EOITKAD NXTZ. 5

meirie von Gr. Müller anführen*), welches sich, wahrscheinlich im An-
schluß an Wiener, ausführlicher mit solchen Regeln über genauestes
Konstruieren befaßt. U. a. wird darin auch folgender Grundsatz auf-
gestellt (§ 2, 7): ,^us je weniger Elementargeschäften sich die Lösung
einer Aufgabe zusammensetzt, um so genauer wird (im allgemeinen)
die Zeichnung^^ usw.

Dies ist genau der Gedanke, den Lemoinein seiner Geometroffraphie
(seit 1888) für die Beurteilung der Genauigkeit einer Eonstruktions-
methode angewendet hat. Er stellt bekanntlich jede Konstruktion mit
Zirkel und Lineal durch ein Symbol von der Form: Op. {liR^ + 1^11^
+ m^C^ + m,C7, + m,(7,) dar und bezeichnet die Zahl l^ + m^ + m^ bIb
Maß der Genauigkeit (coefficient d'exactitude). Wie schon aus dieser
Festsetzung hervorgeht und wie Lemoine auch ausdrücklich hervor-
hebt, wird dabei auf die Praxis des Zeichnens insofern gar keine Bück-
sicht genommen, als z. B. ein sehr spitzwinkliger Schnittpunkt gleich-
berechtigt mit einem rechtwinkligen erscheint. Ein geometrographisches
Genauigkeitsmaß kann also immer nur eine ganz summarische, an-
genäherte Beurteilung der Genauigkeit gestatten und kann höchstens
als ein vorläufiger Ansatz zu einem rationellen Genauigkeitsmaß be-
zeichnet werden.^) Aber selbst so ist die Berechtigung der von Le-
moine gebrauchten Genauigkeitszahl noch einem erheblichen Einwand
ausgesetzt, der vor einiger Zeit von Mehmke') auch hinsichtlich der
Einfachheitszahl geltend gemacht worden ist: muß nicht das Einsetzen
der Zirkelspitze in den Schnittpunkt zweier Geraden mit 20^ bezeichnet
werden, entsprechend der Zählung 212^ für das Anlegen des Lineals
an zwei Punkte? Dadurch würde natürlich die Genauigkeitszahl in
vielen Fällen bedeutend größer werden (indem C^ « 2 (7, gesetzt wird),
und die Yergleichung verschiedener Lösungen derselben Aufgabe würde
zu ganz anderen Resultaten führen. Die von mir nach der hier ^u
entwickelnden genaueren Fehlertheorie durchgerechneten Beispiele er-
laubten noch keine bindenden Schlüsse in dieser Richtung, weil das
Verhältnis zwischen der wirklichen und der durch die Genauigkeitszahl
angegebenen Genauigkeit durch die Abänderung der Zählung ebenso
oft verbessert, wie verschlechtert wurde (3:3).*) Zu Gunsten der

1) 6. Aufl., Stuttgart 1901; ich wurde auf dasselbe aufmerksam durch die
Rezension in dieser Ztschr., 48 (1908), S. 823.

2) Vgl. Klein, Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geo-
metrie. Vorlesungen, Sommer 1901. S. 860.

8) Bemerkungen zur Geometrographie von M. E. Lemoine. Deutsche Math.-
Ver. 12 (1908), S. 118-116.

4) Da sich die verschiedenen Lösungen einer Aufgabe hinsichtlich ihrer
wirklichen Genauigkeit nur selten in allgemeiner Weise vergleichen lassen, so

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6 Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometrischen Konstruktionen.

Änderung von Op. C^ in Op. 2C^ möchte ich hier aber anf den auf-
fallenden Dualismus hinweisen^ der sich in den Formeln f&r die Gre-
nauigkeit von Op. C^ und Op. 2It^ herausgestellt hat.^)

Weiter ist hier, wenn auch nur kurz, eine Programmabhandlung
von Witting*) zu erwähnen, welche, an die Problemstellung von
Steiner anknüpfend, in ihrem ersten Teile eine Reihe interessanter
Bemerkungen über die Ungenauigkeiten beim Zeichnen, über Konstruk-
tionen zur Erhöhung der Genauigkeit usw. enthält; dieselben scheinen
mir aber nicht immer einwandfrei zu sein.

In besonders nachdrücklicher Form findet sich der Gedanke an
eine rationelle Fehlertheorie der zeichnenden Geometrie in den schon
angeführten Vorlesungen von Klein über Differentialgeometrie aus-
gesprochen (S. 358 ff.); es wird darin auf die mustergültige Ausbildung
der Fehlerrechnung in der Geodäsie hingewiesen, der gegenüber die
üblichen unbestimmten Anschauungen über die Genauigkeit geo-
metrischer Zeichnungen höchst mangelhaft erscheinen müssen, und es
wird auch an dem Beispiele des Pascalschen Satzes gezeigt, wie eine
solche Fehleruntersuchung etwa anzufangen wäre.

Vom Standpunkt der Ausgleichungsrechnung aus hat F. Geuer')
einen Beitrag zu diesem Problem geliefert. Er behandelt die konstruk-
tive Äusgleichtmg einer durch mehr als zwei Punkte bestimmten Geigen
und eines durch mehr als zwei Geraden bestimmten Punktes; dabei
mufi also vorausgesetzt werden, daß man bei einer Zeichnung zur Er-
höhung der Genauigkeit und zur Beurteilung der Größe der Fehler
mehrfache Überbestimmungen vorgenommen hat. Es kann zugegeben
werden, daß dies bisweilen angebracht ist, vielleicht auch noch, daß
man in ganz seltenen FäUen eine exakte konstruktive Ausgleichung
wirklich vornehmen wird (meistens wird man sich ja auf das zeichne-
rische Gefühl allein verlassen können); im allgemeinen aber liegen
Überbestimmungen nicht im Wesen der zeichnenden Geometrie (anders
bei der Geodäsie); und Geuer selbst ist zu dem Resultat geführt
worden (S. 27), daß es „eine mühsame und mißliche Sache ist, den

wird eine große Anzahl von Beispielen nötig sein, um über den Grad der Zn-
yerlässigkeit eines geometrographischen Grenauigkeitsmaßes einigermaßen sicher
entscheiden zu können.

1) Da ich anf diesen Dualismus hier nicht weiter einzugehen brauche, so
verweise ich auf die Ausführungen in meiner Dissertation, §§ 6 und 7.

2) Geometrische Konstruktionen, insbesondere in begrenzter Ebene. Progr.
d. Gymn. z. heil. Kreuz, Dresden, 1899.

3) Die Genauigkeit geometrischer Zeichnungen behandelt nach dem Gau fi-
schen Ausgleichungsverfahren. Diss. Freiburg 1902, auch Progr. d« Progynm. in
Durlach, 1902.

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Von Eonbad Nitz. 7

Ghrad der abeolaten Genauigkeit einer Zeichnung durch zahlreiche
Überbestimmungen zu heben". Auch die wenigen durchgeführten An-
wendungen auf einzelne Eonstruktionsaufgaben sprechen nicht f£b: die
Fruchtbarkeit dieser Methode; vor allem erhalt man auch hier nur die
Bedingungen fQr die maximale Genauigkeit, während Angaben über
die numerische Größe der Fehler weder gemacht werden, noch über-
haupt möglich erscheinen.

Die Ton Klein 1. c. ausgesprochenen Gedanken hat P. Böhmer
in seiner Dissertation ^) auszuführen unternommen, aber, was wesentlich
ist^ ohne Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Fehlertheorie.
Die verwendeten Methoden (es kommt hier hauptsächlich das 1. Kapitel
der Diss. in Betracht) sind daher ganz elementargeometrisch und voll-
ständig im Sinne der älteren Genauigkeitsuntersuchungen (vor Gauß
und Laplace) gehalten. Dies zeigt sich besonders an dem Auftreten
eines Parallelogramms als „Spielfläche^ für das Einsetzen der Zirkel-
spitze in den Schnittpunkt zweier Geraden und in der Ali} der Fehler-
Zusammensetzung*^ beides findet sich in fast genau derselben Form schon
bei Lambert vor. In diesen beiden Punkten (Begriff des Spielraumes
und Zusammensetzung der Spielräume) liegt aber die Schwäche und
streng genommen sogar ünhaltbarkeit dieser elementaren Methoden.
Denn ein Spielraum für den wahren Wert einer beobachteten Größe
oder, was doch nur darunter verstanden werden kann, eine Fehlergrenze
(Maximalfehler) läßt sich nicht einmal streng definieren und noch
weniger mit genügender Schärfe experimentell bestimmen; und bei der
Fehlerzusammensetzung ergibt die einfache Addition der Partialspiel-
räume schon bei zwei Fehlem einen zu hohen Wert für den Maximal-
fehler, der in Wirklichkeit nicht erreicht wird und daher nicht mehr
als Fehlergrenze im eigentlichen Sinne bezeichnet werden kann.^) Trotz-
dem aber ist die Arbeit von Böhmer als ein erster Versuch zu einer
Fehlertheorie der geometrischen Konstruktionen anzusehen, weil es mit
Hilfe der yJHfferenHdlformehf^ wohl in den meisten Fällen möglich
sein wird, die Bedingungen für die größte relative Genauigkeit richtig
festzustellen, und weil man wenigstens Anhaltspunkte für die nume-
rischen Werte der Fehler erhält.

Endlich habe ich vor kurzem in meiner schon zitierten Disser-
tation den Versuch gemacht, im engen Anschluß an die Theorie der

1) Über geometrische Approximationen. Diss. Gröttingen 1904.

2) Für die Schwierigkeiten, welche bei dem Rechnen mit Maximalfehlern
anftxeten, findet man bei Lambert interessante Belege; insbesondere wird ein
FehlschluB, der ihm bei der Zusammensetzung von Fehlem begegnet ist, in § 6
auseinandergesetzt werden.

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g Beiträge zu einer Fehleiiheorie der geometrischen Konstruktionen.

FeMer in der Ebene, insbesondere an eine Arbeit von Helmert^), die
fär die Fehleruntersuchnng der Eonstraktionen mit Zirkel und Lineal
nötigen Formehi anzugeben. Während es mir dort nur auf die rein
mathematische Seite des Gegenstandes ankam, ist das Hauptziel vor-
liegender Arbeit die Anwendung der Theorie auf eine gröfiere Anzahl
von Konstruktionen (§§ 6 u. 7). Jedoch sollen vorher (§§ 3 u. 4) die
wichtigsten Formeln der Theorie noch einmal zusammengestellt werden,
sowie auch die Voraussetzungen der Theorie (§ 2) und die numerische
Größe der Fehler (§ 5) ausführlicher erörtert werden.

8 2. Die Voraussetsungeix der Theorie.

Man kann bei den Fehlem der geometrischen Zeichnungen im
wesentlichen zwei Arten unterscheiden: 1. solche, die von den TJnvoU-
kommenheiten der Zeichenapparate herrühren und daher als yjtechnische
Fehler^' bezeichnet werden können (Unebenheiten des Beißbretts, un-
gleichmäßige Breite und unscharfe Begrenzung der Striche; Federn der
ZLrkelschenkel und Schlottern in den Gelenken; Mangelhaftigkeit des
Lineals, schwankende Führung der Beißfeder beim Ziehen von Geraden;
ünkorrektheiten von Dreiecken, Maßstäben usw.), 2. Fehler, welche
allein in der Person des Zeichners ihren Grund haben (z. B. Ungenauig-
keiten beim Einsetzen der Zirkelspitze, beim Anlegen des Lineals,
beim Abmessen von Entfernungen) und daher vielleicht als j^subjektive
FMer^^ zu bezeichnen wären; ihre Größe hängt natürlich ab von der
Geschicklichkeit, Übung und Aufmerksamkeit des Zeichnenden, außer-
dem von äußeren Umständen, wie Beleuchtung usw.

Es ist klar, daß bei einer Fehlertheorie der geometrischen Kon-
struktionen im allgemeinen nur die Fehler der 2. Art Berücksichtigung
finden können, denn die der ersten Art sind zum größten TeUe kon-
stante Fehler, welche in jedem einzelnen Falle besonders behandelt
werden müßten. Nur ganz summarisch läßt sich aussagen, daß die
technischen Fehler im allgemeinen dahin wirken, die subjektiven Fehler
zu vergrößern, und daß man sie daher vielleicht implizite berücksichtigen
kann, wenn man die Größe der subjektiven Fehler aus Konstruktionen
ermittelt, die mit einer Beihe verschiedener Zeichenapparate ausgeführt
worden sind.

Wir setzen nun von diesen subjektiven Fehlern voraus, daß ihre
Ghröße nur abhängig sei von der Individualität des Zeichners, unabhängig
dagegen von besonderen Umständen, wie der Lage der Zeichnung in
der Zeichenebene und der Stellung des Zeichners zu ihr. Wir erhalten

1) Studien über rationelle Vermessungen usw., diese Ztschr. 18 (1868).

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Von £oHBAD Kits. 9

damit^ unabhängig von einer speziellen Form des Fehlergesetzes ; so-
gleich folgende Aussagen über einige einfache Arten von Fehler-

Beim Einsetgen der Zirkelspitze in einen beliebigen Punkt einer
gegebenen Geraden liegen alle Tre%unkte gleicher Wahrscheinlichkeit
auf einer aus der Schar von Parallelen zu dieser Geraden.

Beim Einstechen in einen gegebenen kreisrunden Bleistiftpankt^)
liegen alle Punkte gleicher Wahrscheinlichkeit auf einem aus der Schar
konzentrischer Kreist um diesen Punkt.

Beim Anlegen des Lineals an einen gegebenen kreisförmigen Punkt
in beliebiger Richtung umhüllen alle Geraden gleicher Wahrscheinlich-
keit einen aus der Schar konzentrischer Kreise um diesen Punkt.

Femer setzen wir die Criiltigkeit des Oaussischen FeMergesetsses
für die subjektiven Fehler voraus. Es erscheint zweifellos^ daß die»
mit nicht viel geringerer Annäherung richtig sein wird^ als es von den
gewöhnlichen Beobachtungsfehlem bekannt ist. Immerhin aber möchte
ich darauf hinweisen, daß gerade bei den geometrischen Konstruktionen
die Erfahrung wahrscheinlich etwas größere Abweichungen vom Gauss -
ischen Fehlergesetz zeigen wird, weil die endliche Breite der Striche
besondere Sichtbarkeitsbedingungen mit sich bringt.^) Wie sich die
folgenden Betrachtungen dann etwa ändern würden, läßt sich ungefähr
übersehen; jedoch scheint es vorläufig nicht lohnend, näher darauf ein-
zugehen.

Den Entwicklungen der beiden nächsten Paragraphen voraus-
greifend wollen wir hier gleich die Frage nach der ümibhängigkeit
gewisser Operationen voneinander streifen, weil wir auch hierbei eine
für die ganze Theorie sehr wesentliche Annahme machen müssen. Es
handelt sich darum, ob z. B. beim Anlegen des Lineals an zwei
gegebene Punkte die Fehler des Anlegens in beiden Punkten als un-
abhängig voneinander angesehen werden können. Lemoine fordert
dies ausdrücklich, und nur so hat er das Recht, diese Operation mit
212| zu bezeichnen. Auch wir werden im Interesse einer möglichst
einfachen Theorie die gleiche Voraussetzung treffen; dieselbe wird wohl

1) Beim Eineetzen der Ziikelspitze in ein schon vorhandenes Stichlooh ent-
steht, wie Böhmer (S. 10 u. 19) richtig bemerkt hat, gewöhnlich kein neuer
Fehler; jedoch ist daraus nur selten Vorteil zu ziehen.

2) Die physiologische Grenze des Sehvermögens, welche hier eine wichtige
Bolle spielt (s. weiteres in § 6) tritt mehr oder weniger wohl bei allen Beobachtungs-
fehlem in Erscheinung; vielleicht ist hierin der Grund zu suchen für die eigen-
tümliche Art der Abweichungen vom Gauss ischen Fehlergesetz in größeren Be-
obachtungsreihen.

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10 BeitiHige zu einer Fehlertheorie der geometriflchen Eonstraktionen.

im allgemeinen ungefähr richtig sein; nur wenn die beiden Punkte
sehr nahe aneinander liegen, so faßt das Auge sie als ein Ganzes auf
und bewirkt dadurch, daß die Yerbindungsgerade etwas genauer gezogen
werden kann, als es nach der Theorie der Fall sein sollte. Noch
deutlicher tritt dies hervor an dem Einsetzen der Zirkelspitze in den
Schnittpunkt zweier Geraden: bei aufmerksamer Selbstbeobachtung
wird man finden, daß besonders bei sehr spitzen Schnittwinkeln nicht
nur die beiden Geraden als bestimmende Elemente des Schnittpunkts
aufgefaßt werden, sondern daß es noch andre Anhaltspunkte f&r das

pjg j Auge zur genaueren Erfassung des wahren

I Schnittpunkts gibt, nämlich in erster Lim'e

! ^ ; die Spitzen der keilförmigen weißen Flachen

! 4 zwischen den schwarzen Strichen; genau in

der Mitte zwischen ihnen muß ja der ideale
Schnittpunkt liegen (Fig. 1); außerdem richtet man sich auch nach der
Stelle der kleinsten Breite, indem man die Figur der beiden Geraden
wieder als ein Ganzes betrachtet.^) Die Fehler des Einstechens inbezug
auf beide Geraden sind also nicht unabhängig voneinander, und infolge-
dessen wird ein sehr spitzwinkliger Schnittpunkt in Wirklichkeit nicht
als so ungünstig empfunden, wie es nach der Theorie sein müßte. Es
würde aber sehr um&ngreicher experimenteller Untersuchimgen bedürfen,
um die Große der Abweichungen von Theorie imd Praxis festzustellen,
und eine solche verfeinerte Theorie würde voraussichtlich gleich erheb-
lich verwickelter werden.

Zum Schluß dieser einleitenden Bemerkungen möchte ich noch^
besonders in Anknüpfung an die zitierte Arbeit von Böhmer, auf die

Definition und Bedeutung der geome-

^^' ^' irischen BealgebUde eingehen. Indem

wir bei den empirisch darstellbaren

Strichen und Punkten absehen von

der physikalischen Beschaffenheit, von

der unscharfen Begrenzung der Ränder,

von der ungleichmäßigen Breite der

Striche und unregelmäßigen Gestalt

der Punkte usw., können wir folgende einfachen Festsetzungen trefien:

Unter Realgeraden verstehen wir schmale, von zwei parallelen

Idealgeraden begrenzte Streifen („Crercidenstreifen^'), (Fig. 2.)

1) Zur Bestätigung möchte ich eine Stelle aus Culmanns Graphischer
Statik anführen (Vorrede S. V): „der Ingenieur ist vermöge seiner topographisch-
geodätischen Bildung mehr als der Architekt und der Mechaniker gewohnt, die
Genauigkeit von Schnitten zu beurteilen und Linien und Punkte scharf zu bestinimen^^

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Von EOHBAD NiTZ. 11

Als BecdpunJUe nehmen wir kleine, genau kreisförmige Flächen
an; sie mögen „Punktkreise^^ heißen.^) (Fig. 2.)

BecUkreise (Fig. 2) und andere Bealkurven sind analog den Geraden-
streifen zu definieren („Kurvenstreifen^^).

Jedes Realgebilde repräsentiert uns genau ein und nur ein Ideal-
gebilde, nämlich ein Eurvenstreifen die ideale Mittellinie und ein Punkt-
kreis den idealen Mittelpunkt.') Mit den in dieser Weise idealisierten
Bealgebilden werden wir im folgenden operieren und sie in den Figuren
in etwa 20facher Vergrößerung wiedergeben (vgl. die Angaben in § 5).

8 8. Die Fehlerellipsen.

Als Aufgabe einer rationellen Fehlertheorie der zeichnenden Geo-
metrie ist anzusehen: die Berechnung des in dem Resultat einer be-
liebigen Konstruktion zu erwartenden Fehlers aus den Fehlem einer
beschrankten Anzahl Ton Grundoperationen. Indem wir uns fortan auf
die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal beschränken, haben wir es
bekanntlich mit 5 solchen Grundkonstruktionen zu tun; demnach sind
nur folgende 5 Grundfehler zu berücksichtigen:

I. Fehler beim Einsetzen der Zirkelspitze in den Schnittpunkt

a) zweier Geraden \

b) einer Geraden und eines Kreises > (§ 3).

c) zweier Kreise J

n. Fehler beim Anlegen des Lineals an zwei gegebene Punkte (§ 4).

in. Fehler beim Konstruieren eines Kreises, der durch Mittelpunkt

und Radius gegeben ist (§ 4).

Wir können die beim Einsetzen der Zirkelspitze in einen gegebenen

Schnittpunkt auftretende Fehlerrerteilung leicht mit einer andern, aus

1) Vgl. Lambert, Anm. u. Zus. § 429: ,,Wii gebrauchen hierzu eine Circul-
flache, weil kein Grund da ist, warum man sich einen Punkt, den das Auge nicht
mehr unterscheidet, als eckicht vorstellen sollte/'

2) Es scheint vielfach die Ansicht zu bestehen (z* B. bei Klein, Witting
und Böhmer), als ob die Bealgebilde schon an und für sich wegen ihrer endlich
großen Dimensionen den repr&sentierten Idealgebilden einen gewissen Spielraum
ließen und als ob z. B. die Genauigkeit der Lage eines Schnittpunktes auch ab-
hängig wäre von der Breite der sich schneidenden Geraden. Dementgegen meine
ich, daß jeder Strich, sei er noch so breit, einen ganz bestimmten Idealstrich
(die Mittellinie) festlegt, daß aber auch in praxi die Bestimmtheit eines Real-
gebildes nur von der Schärfe der Begrenzimg, nicht von der Größe der Abmessungen
abhängt. Als Bestätigung möchte ich anfuhren, daß die internationalen Meter-
prototype bei einer Breite der Endstriche von 0,006 — 0,008 mm bis auf 0,0001 mm
genau bestimmt gelten. Die ideale Mittellinie einer sauber auf Papier gezeichneten
Geraden Ton etwa 0,1 — 0,2 mm Breite kann mikroskopisch mit leichter Mühe bis
auf etwa 0,006 mm genau festgestellt werden.

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Pig. S.

12 Beitt&ge zn einer Fehlertheorie der geometrischen Eonstroktionen.

der Geodäsie her bekannten, identifizieren, indem wir uns vorstellen, daß
der wahre Schnittpunkt der beiden geometrischen Örter immer genau
getroffen wird, daß aber diese selbst mit einer Unsicherheit in ihrer
Lage behaftet sind. Wir können dann sofort auf Grund der Theorie
der yjGenauigJceü von Punkübestimmungenf^ folgenden Satz aussprechen:

Die Genauigkeit des Einstechens
in den Schnittpunkt zweier Geraden
ist in der Art durch eine Schar von
Iconzentrischen, homotheMschen Ellipsen
um den gegebenen Schnittpunkt cha-
rakterisiert, daß alle Tre%unkte
gleicher Wahrscheinlichkeit auf einer
dieser Ellipsen liegen. (Fig. 3.)

Werden die gegebenen Geraden
als Achsen eines schiefwinkligen
Koordinatensystems genommen (Schnittwinkel g?), sind femer tn^ und
m^ die mittleren Fehler des Einsetzens der Zirkelspitze in bezug auf
die erste resp. zweite Gerade, so ist

w| tn\ sin' to

die Gleichung dieser ,JFehlerdlipsen^ (x* willkürliche Konstante). Vor-
ausgesetzt ist dabei also die Gültigkeit des Gaussischen Fehlergesetzes

und die Unabhängigkeit der Fehler
in bezug auf die erste und zweite
Gerade voneinander.*)

Bei den hier beabsichtigten An-
wendungen handelt es sich gewöhnlich
nur um die Kenntnis der mittleren
Fehlerkomponente in einer bestimmten
Richtung, d. h. des mittleren Wertes
der Quadrate aller Projektionen der Fehler auf diese Richtung. Be-
zeichnet man die Fehler (senkrechten Abstände) eines beliebigen Punktes
in bezug auf beide Geraden mit e^ und 6^, so erhält man als Pro*
jektion s dieses fehlerhaften Punktes auf die Richtung, welche mit der
ersten Geraden den Winkel ^ bildet (Fig, 4):

Fig. i.

6 —

€, C08 {tl> — o) + fi, COS 'tf)

Bin CD

1) In meiner Dissertation habe ich auf S. 8/9 eine ausführlichere direkte
Ableitung gegeben; ich habe dort auch gezeigt, wie man mittels der von Bravais
gegebenen Formeln zum Ziele gelangen kann.

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Von Eonrad Nit«. 13

Durch Bildung des Mittelwertes der Quadrate dieser Projektionen
erhalt man dann die wichtige Formel:

mf cos' (i^ — ö) + ml coB* a/>

E^

Bin'cD

wobei K^ die Fehlerkomponente in der Richtung ^ gegen die erste
Gerade bedeutet.

Die Anschauung über Lage und Gröfie der Fehlerellipsen und
Fehlerkomponenten wird am einfachsten durch die beiden folgenden
Sätze gegeben:

Die mitäere FehiereUipse (x* = \) ist dem Parallelogramm ein-
beschrieben ^ welches Ton den Parallelen zu den sich schneidenden Ge-
raden im Abstände ± m^ bezw. ± m, gebildet wird.

Die Fehlerkomponente in irgend einer Richtung ist gleich der
Lange des in dieser Richtung gezogenen Radiusvektors der FußptAnkt-
Jcurve zu der mittleren Fehlerellipse.

Li dem Spezialfälle m^^m^^m sind die Längen der halben
Hauptachsen:

a — , & —

OD
Bin — COB —

2 2

Der Ausdruck für die große Hauptachse a (wenn o < 90®) ist
die Präzisienmg der gewöhnlichen Anschauung; wonach der Fehler des
Einstechens gerade in der Richtung der Halbierungslinie ron o um so
gröfier ist^ je kleiner der Schnittwinkel a> ist.

Für m^^m^^m und o — « 90° gehen die Fehlerellipsen in FMer-
kreise über. Ln Sinne unserer Theorie sind also Schnittpunkte von
Geraden unter rechtem Winkel und isoliert markierte Punkte gleich-
wertig. Es erweist sich daher in vieler Hinsicht als vorteilhaft, beide
mit demselben Namen zu bezeichnen, also auch rechtwinMige Schnitt-
punkte „Punkikreisef^ zu nennen. Allgemein könnte man überhaupt die
verschiedenen Arten von Schnittpunkten nach der Form der zu ihnen
gehörigen Fehlerflächen unterscheiden, also beliebige Schnittpunkte von
Geraden als f,PunktelUpsen^\ Schnittpunkte von Kreisen, wie wir gleich
sehen werden, als „Punktoväle^' bezeichnen. Die Benennung nach der
durch die Realgebilde gegebenen Figur (Punktquadrate, -rhomben,
-Parallelogramme) wäre hier wenigstens unangebracht; bei den Schnitt-
punkten von Kreisen würde es anscheinend sogar an einer passenden
Bezeichnung fehlen.

Handelt es sich nun femer um das Einsetzen der Zirkelspitze in
den Schnittpunkt einer Geraden und eines Kreises oder zweier Kreise,
so wird man sich ja meistens damit behelfen können, die Kreise durch

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14 Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometriBchen Eonstmktioiien.

ihre Tangenten in den Schnittpunkten zu ersetzen. Ich möchte hier
aber wenigstens kurz darauf hinweisen^); daß es möglich ist^ diese
Fehlerflächen genauer (unter Berücksichtigung der Kjämmung) zu be-
stimmen. Man erhält für die Schnittpunkte von Gerade und EJreis an
Stelle der Ellipsen ovalßrmige Kurven 4, Ordnung^ für die Schnitt-
punkte zweier Kreise Ovale 8. Ordnung. Es ist auch nicht schwer^ die
Breite und Höhe dieser Fehlerovale angenähert zu bestimmen, besonders
in den Fällen yon Berührung ^ die hierbei ja am meisten interessieren.
Jedoch bedarf diese Theorie der Fehlerovale noch einer eingehenderen
Untersuchung und soll hier daher ganz bei Seite gelassen werden.

8 4. Die Fehlerhyperbeln. ^)

Beim Anlegen des Lineals an zwei gegebene Punkte 0^ und 0,,
die wir Torläufig als Punktkreise Toraussetzen^ sind die Fehler als senk-
rechte Abstände der ge-
^^' ^' zogenen Geraden von den

y-y . y -; ,. ^. ^:'^^^;,^>.--^/-|^ ..........^ beiden Punkten zu rech-

— — @J nen (Fig. 6). Bezeichnen

^ "" '^ ^ T wir sie mit q^ und q^

(bipolare Linienkoordi-
naten), femer die mittleren Fehler des Linealanlegens in 0^ und 0,
mit fij resp. fi|; so ergibt eine ähnliche Berechnung, wie bei den Fehler-
ellipsen, daß alle Geraden gleicher Wahrscheinlichkeit der Gleichung

genügen. Durch Übergang zu rechtwinkligen Gartesischen Punkt-
koordinaten findet man zunächst, daß die umhüllten Kurven Kegel-
schnitte sind, deren Mittelpunkt auf der Strecke 0^0^ im Abstände

-y-jf^jVon Ol liegt (die Entfernung 0^0^ werde mit o bezeichnet),

und deren eine Hauptachse in die Richtung 0^0^ fällt. Auf den
Mittelpunkt und die Hauptachsen bezogen lautet dann die Gleichung:

^"^^

2fil^|x ^!ri[o«-2x«(,iJ + ^«)]

= 1.

Die Kegelschnitte sind also konfokal, es treten Hyperbeln und
Ellipsen au£ Jedoch ist es klar, daß unter gewöhnlichen Verhältnissen
nur die Hyperbeln in Betracht kommen, deren beide Züge sich von

1) Einige weitere AngfOlmmgen über die Fehlerovale irncl Fehlerhyperbeln
findet man in den §§ 4 — 8 meiner Dissertation.

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Von EoNBAD Nira.

16

der idealen Yerbindungsgeraden nicht weit entfernen (letztere ist die
imaginäre Achse aller Hyperbeln). Wir erhalten also den Satz:

Die Genauigkeit der Yerbindungsgeraden zweier Punktkreise ist in
der Art durch eine Schar konfokäler Hyperbeln gekennzeichnet, daß alle
Geraden gleicher
Wahrscheinlich-
keit eine dieser
Hyperbeln um-
hüUen (Fig. 6).

Wenn die zu verbindenden Punkte, wie es ja meistens der Fall
ist, als Punktellipsen (oder Punktovale) gegeben sind, so muß man
sich, weil eine genaue Theorie hier große Schwierigkeiten machen
würde, damit begnügen, gi^ und ft, als Fehlerkomponenten des Lineal-
anlegens allein in der Bichtung senkreckt zur idealen Yerbindungs-
geraden anzusehen. Dann sind alle Betrachtungen sofort auch auf
diesen allgemeineren Fall ausdehnbar.

Yon besonderer Wichtigkeit für die Anwendungen sind die mitt-
leren Fehler der Geradenbestimmung ^ welche in folgender Weise zu de-
finieren sind:

Aus dem Winkelfehler irgend einer Geraden mit den Koordinaten

pi und Q^: Bin^^— — - erhält man durch Bildung der Mittelwerte
den yymittlerefi RicMungsfehler der Geraden^^

Flg. 7.

^

"^

Aus dem senkrechten Abstände q eines auf 0^ 0^ im Abstände p
von Oj gelegenen Punktes von der Geraden (pjPj) (Fig. 7):

findet man durch Berechnung
des Mittelwertes den „mittleren
Abstandsfehler in dem beireffenden Punktef^

*,■-"!(' -9' + "!•(?)'•

Die geometrische Bedeutung dieser Formeln liegt in den folgenden
beiden Sätzen:

Der mittlere Richtungs-(Winkel-)fehler einer durch zwei Punkte
gelegten Geraden ist gleich dem Komplementwinkel des Asymptoten-
toinkels der miiÜeren Fehlerhyperbel (x* = \).

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J

16 Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometrischen Konstruktionen.

Schlägt man um jeden Punkt der wahren Yerbindungsgeraden
einen Ereis mit dem mittleren Abstandsfehler fdr diesen Punkt, so ist
die Hüllkurve aller dieser Kreise die mittlere Fehlerhyperbel selbst.

Bei dem letzten der in § 3 aufgezählten Grundfehler handelt es
«ich ebenfalls um Hüll-Fehlerflächen; er möge deshalb hier anhangsweise
kurz erledigt werden. Man erkennt sofort die Richtigkeit des folgenden
Satzes:

Alle mit gegebenem (oder einfacher: beliebigem) Radius um einen
gegebenen Mittelpunkt gezogenen EJreise gleicher Wahrscheinlichkeit
umhüllen eine sog. ParaUdkurve zu einer Fehlerellipse (oder einem
Fehleroyal) des Mittelpunkts.

Da gewöhnlich nur kleine Teile yon Kreislinien zur Bestimmung
Ton Schnittpunkten gebraucht werden, so ist die Charakterisierung der
Genauigkeit durch yollst^ndige fyFehlerioroiden^' nur selten nötig, bietet
übrigens auch keine besonderen Schwierigkeiten. Im folgenden bleiben
die Fehlertoroiden gänzlich außer Betracht.

t 6« Ntuneriflohe Angaben.
A. Breite von Strichen nnd Durclmiesser von Punkten.

Die einzigen Angaben hierüber habe ich bei Böhmer (S. 7) vor-
gefunden; die kleinste für das Zeichnen zulässige Strichbreite soll
demnach 0,08 mm, der kleinste zulässige Punktdurchmesser 0,10 mm
betragen.

Ich stellte an Strichen verschiedener Dicke, mit Bleistift oder Reiß-
feder auf verschiedenem Papier gezogen, mikroskopische Messungen an
und fand folgende Werte:

Dicke Striche sind etwa 0,25 — 0,40 mm breit

Mittlere „ „ „ 0,15 — 0,25 mm „

Feinere „ „ „ 0,05 — 0,15 mm „

Ganz feine „ „ „ 0,03 — 0,05 mm „

Als am häufigsten vorkommende Strichbreite beim Zeichnen kann
wohl 0,10 — 0,15 mm angenommen werden.

Zum Vergleich führe ich noch an, daß die Teilstriche auf gewöhn-
lichen Millimetermaßstäben aus Holz 0,08 — 0,13 mm breit sind, und
daß feine Teilungen auf Metall eine Strichbreite von etwa 0,025 mm
haben.

Bleistifkpunkte sind fast immer so unregelmäßig, daß sie bei
feineren Zeichnungen nicht verwendet werden dürfen. Dagegen geben
Zirkelspitzen und Nadeln meistens ganz genaue Punkäcreise. Bei

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Von KoN]u.D NiT«. 17

gröberen Spitzen betragt der Durchmesser 0^15 — 0^5 mni; bei feineren
zyL'ndrischen Nadelspitzen 0,10 — 0^3 mm. Bei ganz feinen Stichen
von 0,05 — 0,10 mm Durchmesser, welche ich durch die Spitze eines
Nullfallenzirkels erhielt, hörte oft schon die Sichtbarkeit fdr das bloße
Auge auf.

B. Größe der subjektiven Fehler.

Die Fehler von Op. C^ und üj sind an kleinen Zeichnungen ein-
fachster Art mikroskopisch leicht auszumessen. Op. C^ macht selbst
bei rechtwinkligen Schnittpunkten schon mehr Schwierigkeiten; eine
größere Reihe von Versuchen darüber ist so wenig befriedigend aus-
gefallen^ daß mir die Angabe der Resultate nicht angebracht erscheint,
bevor ich weitere Bestätigungen derselben erhalten haben werde.

Ich beschranke mich also auf die beiden fiir unsre Theorie wich-
tigsten Fälle: Fehler beim Einsetzen der Zirkelq)itze in einen be-
liebigen Punkt einer Geraden, und beim Anlegen des Lineals an
gegebene Punktkreise; als solche nahm ich nicht nur Zirkelstichpunkte,
sondern auch rechtwinklige Schnittpunkte von Geraden, wobei ich das
Lineal etwa in der Halbierungslinie anlegte.

Als besondere Aufgabe bei diesen Messungen stellte ich mir die
Untersuchung des Einflusses der Strichbreiten (die Durchmesser der
Stichpunkte konnte ich nur schlecht variieren) auf die Größe der sub-
jektiven Fehler. Ich fährte also an Geraden verschiedener Breite die
Gmndoperationen zu je 10 an der Zahl aus und maß die Ghröße der
Fehler und die Strichbreiten bezw. Punktdurchmesser; aus den Werten
jeder Gruppe berechnete ich dann die mittleren zu fürchtenden
Fehler. Zur Probe gebe ich ein paar Werte fOr Op. C, an, wobei 2ß
die Breite der Geraden und m den mitÜeren FMer von Op. C^
inbezng auf dieselbe bedeutet (die letzten Stellen sind um einige Ein-
iieiten unsicher.*)

ß

m

0,048 mm

0,043 mm

0,053 „

0,053 „

0,074 „

0,054 „

0,101 „

0,064 „

Es zeigte sich deutlich eine, wenn auch nur langsame Zunahme
der Fehler mit wcuihsender Strichbreite. Ich setzte dieselbe zunächst

1) Ich möchte zu diesen Zahlenangaben noch bemerken, daß ich kein guter
Zeichner bin, and daß andre vielleicht erheblich geringere Werte finden werden.

Zeltsohrifl f. M»them»tlk a. Physik. 68. Band. 1906. 1. Heft. 2

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18 Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometrischen Eonstraktionen.

als lineare Relation an und fand nach der Methode der kleinsten Quadrate
ungeföhr folgende Werte:

Op. Cg . . . m = 0,042 mm + 0,12 • ß mm
Op. iJ^ . . . fi = 0,025 „ + 0,20 • /J „ .

Die aufTällige Verschiedenheit in dem konstanten und yariabeln.
Fehleranteil bei m und fi kann bei mir 'nicht zufallig gewesen sein;
solange jedoch keine anderen bestätigenden Beobachtungen vorliegen
mochte ich von dem Versuch einer Erklärung dieser Tatsache absehen.

Für die üblichen Strichbreiten folgt hieraus:

m = 0,045 bis 0,050 mm
II = 0,035 bis 0,046 mm.

Der Fehler von Op. üj für ein gegebenes Punktloch fiel merklich
gröfier aus, nämlich fi » ca. 0,060 mm.

Die nähere Überlegung zeigte nun aber, daß die Annahme einer
linearen Beziehung zwischen m bezw. ft und ß theoretisch nicht halt-
bar ist (für praktische Zwecke würde sie nicht nur zulässig, sondern
sogar vorzuziehen sein). Da nämlich jeder einzelne Fehler s aus einem
konstanten Anteil V (der Volkmann sehen Konstanten^)) und einem
proportional*) der Strichbreite wachsenden Anteil W'ß {W: die
Webersche Variable^)) zusammengesetzt ist:

B^r+ TT./},

so muß der berechnete mittlere Fehler in folgendem Zusammenhang
mit ß stehen: m* =» F* + TPß\

Die genaue Berechnung von V und W nach der Methode der
kleinsten Quadrate wäre sehr mühsam; es genügte für vorliegenden

1) Nach G. Th. Fechner, Elemente der PsychophyBik (1860) 8. 220 ff.

2) Die Annahme der Proportionalität ist freilich auch nur ein Ansatz, der
jedoch sehr plausibel ist und in dem Web er sehen psychophysischen GesetB
seinen allgemeinen Ausdruck findet. Die angenäherte Richtigkeit bei Halbierung
von Strecken ist durch Fechner und A. W. Yolkmann experimentell nach-
gewiesen worden. Wenn die neuesten Versuche von Pearson über Bisektions-
fehler (Phil. Trans. (A) 198 (1902) S. 236—299) ein anscheinend widersprechendes
Resultat ergaben (der Halbierungsfehler war nahezu konstant), so ist das wohl
dadurch zu erklären, daß sich die Versuche auf ein ziemlich kleines Intervall
(Strecken von 4 — 10 cm Länge) beschränkten, und daß in diesem Bereich zufäUig^
keine Proportionalität stattfand. Es ist ja ohnehin wahrscheinlich, daß die Hal-
bierungsfehlerkurre nicht genau eine gerade Linie ist, wie das Webersche
Gesetz es verlangt, sondern daß sie bald mehr, bald weniger von derselben
abweicht.

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Von Eon^D Nrrz. 19

Zweck, die AnBgleichung für F* und W^ als lineare Größen vorzu-
znnelmien.^) Ich erhielt so für Op. (7, (Op. R^ lohnte die Berechnung
nicht) die abgerundeten Werte:

F« 0,040 mm Tr=0,20.

Wenngleich meine Versuche manche Berührungspunkte mit den
unten angeführten yon Fechner hatten, so war eine wirkliche Yer-
gleichung der Zahlen werte doch nicht möglich; es bleibt daher abzu-
warten, wieweit meine Messungsergebnisse durch solche yon andrer
Seite Bestätigung finden werden.

C. Sichtbarkeitsgrensen.

Kleinste erkennbare Größen.

Unter guten Beleuchtungsyerhaltnissen können mit bloßem Auge
noch Linien yon 0,002 mm Breite wahrgenommen werden. Denmach
dürfte die Strichbreite beim Zeichnen ruhig bis auf ca. 0,005 mm
sinken, was freilich mit gewöhnlichen Hil&mitteln nicht erreichbar
zu sein scheint.

Wenn aber die Länge der Striche weniger als etwa 0,04 mm
betragt, so sind sie um so schlechter zu sehen, je kürzer sie
sind. Ich fand als Verhältnis der Sichtbarkeitsgrenzen für Punktkreise
und längere Geradenstreifen gleicher Dimension 1 : 15, was auch mit
anderen Angaben über die Gesichtswinkelgrenze (20'' bis 60") zur
Genüge übereinstimmt. Da die Stichpunkte auf Papier sich yerluült-
nismäßig schlecht abheben, so darf demnach ihr Durchmesser keinesfaUs
unter 0,06 mm sinken (ygL Seite 16/17).

Kleinste erkennbare Distanzen.
Die Ungenauigkeiten yon Op. C^ und Op. R^ rühren in erster
Linie dayon her, daß das ünterscheidungsyermögen des menschlichen
Auges nur bis zu einer bestimmten, relatiy hohen unteren Grenze
reicht; Böhmer spricht in diesem Sinne yon „physiologischer Inzidemf^
yon Punkt und Strich. Obwohl die Sichtbarkeitsbedingungen bei den
Zeichenoperationen noch wieder besonderer Natur sind, so werden die
Koinzidenzgrenzen doch ungefähr mit denen für gleichartige Elemente
übereinstimmen, also z. B. fiir schwarze Punkte und Striche auf weißem
Grunde. Diese kleinsten erkennbaren Distanzen sind annähernd die-
selben für zwei Punkte (Auflösung yon Doppelstemen), zwei parallele
Geraden und Gerade und Punkt; sie betragen sicher nicht unter 0,06 mm

1) Zur näheren Rechtfertignng verweise ich anf Fechner, 1. c, S. 226 — 227.

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20 Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometrischen Eonstraktionen.

(in der kleinsten normalen Sehweite von etwa 20 cm); als Durchschnitt
wird angegeben 0,08 — 0,10 mm, häufig sogar 0,12 mm.

Hiemach könnte also bei Ausfohning von Op. C^ für eine feine
Linie ein Fehler von etwa 0,10 mm erst grade bemerkt werden. Rechnet
man aber noch die Unsicherheit der Hand und kleine Nachlässigkeiten
dazu, so kann man wohl 0,12—0^5 mm als oberste Fehlergrenge an-
nehmen. Schließen wir uns nun der vielfach üblichen Annahme an,
daß bei Beobachtungsreihen gewöhnlichen Umfangs als Maximalfehler
etwa das Dreifache des mittleren Fehlers zu erwarten ist, so können
wir umgekehrt aus einem Maximalfehler von 0,12 — 0,15 mm auf einen
mitäeren Fehler von 0,04 — 0,05 mm schließen, was ganz gut mit den
Angaben unter B übereinstimmt.

D. Die Versuehsreilie von Lambert.

Die schönste Bestätigung meiner Werte für den mittleren Fehler
von Op. Cj erhielt ich aus der schon in § 1 erwähnten Versuchsreihe
von Lambert über den Fehler heim Abgreifen einer gegebenen Strecke
mit dem Hcmdzirkd, Lambert vergrößerte den beim Abgreifen von
AB (s. Fig. 8 in halber natürlicher Größe) gemachten Fehler dadurch,

daß er die Zir-

^**^-®- , kelöffnung auf

~^ c\)E der Strecke AD

20 mal weiter-
trug; zwischen C und E stellte er sich eine Teilung her, auf der er die
bei verschiedenen Versuchen erhaltenen Endpunkte ablas. Er wiederholte
das Abgreifen 80 mal; die Resultate mit Berechnung des arithmetischen
Mittels sind von ihm 1. c. angegeben. Ich benutzte sie zur Berechnung
des mittleren Fehlers des Einsetzens der Zirkelspitze in einen der Punkte
A oder B (die Rechnung ist ganz leicht, da es sich nur um lineare
Fehler handelt) und erhielt:

m = Ofi47 mm.

Wegen einiger zweifelhafter Beobachtungen und wegen der Maßreduk-
tionen ist die letzte SteUe (7) um 1 — 2 Einheiten unsicher; doch
ändert das nichts an der auffallend guten Übereinstimmung mit den
von mir gefundenen Werten (m == 0,045 — 0,050 mm).

Lambert bezweckte mit diesem Versuch eine Bestimmung der
Grenze des Sehwinkds, Er fand, daß (nach Streichung einer sehr stark
abweichenden Beobachtimg) die größte Abweichung der Zirkelöffiiung
AB vom arithmetischen Mittel auf einen Gesichtswinkel von 2' (in
Sexagesimalteilung) schließen ließ. Daraus folgerte er weiter, daß ia

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Von £oNiuj> Nrrz. 21

jedem der Punkte A und B ein Fehler ron höchstens 1' begangen
sei^ so daß ^der scheinbare Diameter eines Punktes zwo Minuten seyn mag/^
Auf diesen Fehlschluß habe ich auf S. 7 hinweisen wollen. Da es
sich nämlich nur höchst selten ereignet^ daß große Abweichungen in
den Punkten A und B zugleich auftreten, so erhalt man durch diesen
Schluß m Ideine Werte für die Fehlergrenzen in A und B, Der richtige
Wert far die Sehwinkelgrenze würde etwa 1,4' sein (2 ist durch y2f
nicht durch 2 zu dividieren). Übrigens möchte ich hier noch bemerken
daß die ganze Methode keine zuverlässige Bestimmung erlaubt, weil
eben der gesuchte Maximalfehler, auf den alles ankommt, im all-
gemeinen eine Funktion der Anzahl der Beobachtu/ngen ist. Bei nur 20
Beobachtungen hätte Lambert voraussichtlich statt 2' den Wert 1,6'
erhalten, bei 500 Beobachtungen dagegen rund 2,4', bei 5000 2,9' usw.*)

E. Das Zeichenezperiment von Chr. Wiener.

In der auf S. 4 angeführten Arbeit Wieners handelt es sich um
die Ermittelung eines technischen Zeichenfehlers, nämlich des zufälligen
Fehlers beim Weitertragen einer beliebigen Zirkelöffntmg (Handzirkel)
auf einer vorgezogenen Geraden. Die hierbei wirkenden Fehlerquellen
sind: Einstechen unter wechselnder Neigung, Rauhigkeit des Papiers usw.
Durch hinreichende Wiederholung werden die Fehler mit bloßem Auge
meßbar gemacht; es ergibt sich als mittlerer zu fürchtender Fehler bei
einmaligem Weitertragen (Umschlagen) einer beliebigen Zirkelöfhung
von etwa 1 — 7 mm der Wert: ± OfilS mm. Aus zwei Versuchsreihen,
die ich zur Kontrolle ausführte^ erhielt ich in guter Übereinstimmung
± 0,020 mm.

Diese technische Fehlerquelle beeinflußt etwas die Lambertsche
Versuchsreihe, wie er selbst schon vermutet hat; ich überzeugte mich
aber durch direkte Ausrechnung, daß der hierdurch entstehende Fehler
ruhig vernachlässigt werden kann. Übrigens habe ich auch durch eine
eingehendere Untersuchung gefunden, daß durch das Einstechen seit-
lich der Linie, welches Wiener auch als Fehlerquelle angibt, ein für
gewöhnlich so geringfügiger Fehler im Endresultat entsteht, daß er
überhaupt nicht gemessen werden kann (die mittlere zu fürchtende

Verkürzung beträgt bei der Zirkelöfl&iung a: — ]/3; es käme aber erst

auf die Schwankungen dieser Verkürzung an).

Es ist nicht schwer, nach dem Prinzip der Wiederholung gleicher
Operationen weitere Versuchsanordnungen zu ersinnen, durch welche

1) Nach der Tabelle in Czuber, Theorie der Beobachtungsfehler, S. 207.

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22 Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometrischen Eonstniktionen.

die Fehler von Op. C^ und Op. R^ mit den einfachsten HilÜBmitteln
gemessen werden können. Ich möchte hier aber nur anführen, daß ich
durch einen einfachen Versuch dieser Art bei Geraden gewöhnlicher
Breite fttr Op. C, den Wert m = 0,048 mm erhalten habe, wiederum
in sehr guter Übereinstimmung mit den früheren Werten.

§ 6. Anwendung der Theorie auf Elementarkonstrnktionen.

Vorbemerkungen,

Die Zusammensetzung von Fehlem in der Ebene läßt sich in den
hier yorkommenden Fallen immer leicht auf die Zusammensetzung
linearer Fehler zurückführen, wie die weiter unten ausgeführten Bei-
spiele des näheren zeigen werden. Somit steht der Fehleruntersuchung
ganz beliebiger Konstruktionen mit Zirkel und Lineal nichts mehr
im Wege.

Was die Bechnung im einzelnen betrifft, so muß sie Schritt für
Schritt dem Oange der Konstruktion nachfolgen und die Bestimmungs-
elemente der mittleren Fehlerellipse für jeden Schnittpunkt, sowie der
mittleren Fehlerhyperbel für jede Verbindungsgerade ableiten. Es
müssen also für jeden Punkt zunächst die drei Größen m^, m^ und o
angegeben werden, und zwar, wenn die Konstruktion weiter fortschreitet,
gleich in solcher Form, daß die Unsicherheit des Schnittpunkts (Parallel-
yerschiebungen der Schnittgeraden) mit dem Fehler von Op. G^ oder
Op. jR^ für denselben zusammengesetzt wird. Die Orientierung über
die Bezeichnungen (1. und 2. Gerade, Winkel m und ^) erfolgt am
besten durch eine beigefügte kleine Figur in den LageverhaltniBsen
der Hauptfigur.^) Dann ist die Richtung für die Fehlerkomponente,
welche bei der weiteren Konstruktion in Betracht kommt, durch den
Winkel ^ gegen die 1. Gerade anzugeben und die Fehlerkomponente
selbst nach der Formel (vgl. S. 13)

j^ m\ coB* (fj) — od) + ml cos* i/;

^ sin' 00

ZU berechnen.*) Für jede Verbindungsgerade sind die Fehlerkompo-
nenten von Op. R^ (senkrecht zur idealen Yerbiadungsgeraden) in den
beiden gegebenen Punkten zu ermitteln; sie mögen mit f^ und fi^
bezeichnet werden (wobei alsdann eine Nebenfigur nötig ist), oder, wo
das genügt, durch ft mit der als Index angehängten Bezeichnung des

1) Häufig erlaubt der Zusammenhang eine leichte Rekonstruktion der Be-
zeichnungen und macht die Nebenfigur unnötig.

2) Die Fehlerzusammensetzung könnte auch erst nach Berechnung der Fehler-
komponenten erfolgen, was sich jedoch weniger empfiehlt.

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Von Eonrad Nitz. 23

Punktes y z. 6. fiA, i^s- Außerdem ist immer die Eemitnis der Ent-

femimg o der zu verbindenden Punkte nötig. Dann handelt es sich

entweder um den mittleren Richtungsfehlec, der nach der Formel
(Tgl. S. 16)

zu berechnen ist^)^ oder um den mittleren Abstandsfehler in einem
Punkte^ der von dem ersten der gegebenen Punkte um p entfernt ist
(vgl. S. 15):

*;-<.!(!- f)"+.!(|)*

Auf diesen drei Formeln beruhen alle Anwendungen der Theorie.

Es kommt manchmal vor, daß mehrere Linien durch einen Punkt
gezogen werden müssen. Dieser Fall (Überbestimmung) läßt sich nach
unserer Theorie nicht behandeln; er kann aber meistens leicht dadurch
vermieden werden, daß die Geraden nicht vollständig ausgezogen werden,
wie es ja besonders beim technischen Zeichnen vielfach üblich ist

Es mußte vorläufig darauf verzichtet werden, für die Fehler von
Op. C^ und von Op. i2^ zwei verschiedene Konstanten zu gebrauchen,
weil dadurch alle Formeln gleich erheblich verwickelter wurden. Es
ist also, wie es ja auch in Wirklichkeit annähernd der Fall zu sein
scheint, m — ^ gesetzt worden, und diese einzige Konstante ist mit d
hezeichnet.

In den ZcMenbeispielen ist für d ein ziemlich kleiner Wert ge-
nommen, nämlich d « 0,040 mm, einerseits weil gute Zeichner solche
Genauigkeit noch bequem erreichen dürften, andrerseits weil bei dieser
Wahl die Abweichungen der Theorie von der Wirklichkeit (bei kleinen
Schnittwinkeln usw.) numerisch weniger bedeutend werden, was ftir
Vergleichungen mit den Leistungen andrer Zeichenapparate wichtig ist.
Bei einigen Eonstruktionsaufgaben habe ich z. 6. die Frage zu lösen
gesucht, ob sie genauer durch geometrische Konstruktion mit Zirkel
und Lineal, oder durch Rechnung und Verwendung von Maßstab und
Transporteur ausführbar sind. Als mittleren Fehler für Ablesungen
an einem in MOlimeter geteilten Maßstab habe ich dabei ebenfalls
d » 0,040 mm angenommen. Mit großen Transporteuren kann man
noch Winkeldifferenzen von 1' feststellen; jedoch ist im allgemeinen
ein mittlerer Fehler von 1' — 2' auch bei guten Instrumenten (mit
Alhidade und Nonius) zu befürchten.

1) Bei der Kleinheit dieser Winkel genügt es meistens, den Bogen 9 statt
des Sinns zn nehmen.

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24 Beiträge za einer Fefalertheorie der geometxiflchen Konstanktionen.

Schließlich f&hre ich hier noch an, daß ich als größte mu venetrh-
lichende Zirkdoffwungen die folgenden ennittelte:

bei einÜEtchen (Schnl*-)Zirkeln rond 10 cm,

bei größeren Zirkeln mit Schenkelgelenken 20 cm,

mit YerlangemngBstange 30 cm.

Anf die Begrenztheit der Zeichenebene und dee Lineale habe ich
keine Rücksicht genommen.

A. Konstruktion der Hittolsenkieohten.

Losung. (Fig. 9.) Gegeben AB^a. Kreise A{r) nnd B{r). Ver-
bindnngsgerade CD; Mittelpunkt E,

Fehlenmtersuehimg.

Die Strecke AB sei der Einfachheit halber durch senkrechte End-
striche gegeben (was in solchen Fällen immer angenommen werden

soll); dann haben wir för Op. Cj^ in A nnd B
mittlere Fehlerkreise mit dem Radius d.

Fehlerellipsen in C und D (Fig. 9a).
Wegen des Fehlers von Op. C^iel A hat die
1. Gerade in (7 die mittlere Parallelyerschie-
bung dy dazu kommt die Fehlerkomponente d
far den subjektiven Fehler in G (Op. JB^ oder
^ Op. C^); also zusammen (nach der Regel

\ über die Zusammensetzung linearer Fehler):

Fig. 9.

jL

w

1S~ »»» = d» + d»-2d«, ebenflo »i| = 2d». Schnitt-

winkel: cos a> •= 1 — ^-i •
2r*

Fefderhyperbd für CD. (kc und ftj) sind
die Halbachsen der mitÜeren Fehlerellipsen in

C bezw. D, also (da ^ — "- istj :

/»^

/»!.-

Fig. 9».

2 8111'

Wegen sin = r- wird also:

2r
f*c = /tt/) = —

C2) = o=l/4r«-a*.

Wir haben nun zu untersuchen

1) den Fehler des Mittelpunkts E in der Richtung J.J?, d. h. den

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Von KoMBAo NiTS. 25

mitÜeren Abstandsfehler der Geraden CD in ihrem Mittelpunkte E\
derselbe ist^ wie man leicht findet (ftlr JP ^ ^) :

^c , ^ r.

2) den mitÜeren Winkdfehler der Senkrechten CD:

Jlf- 0,028 mm

r = }/2o, M- 0,080 mm

Jlf- 0,040 „

r- 2'a, Jlf- 0,113 „

Jf= 0,057 „

r- 3-0, Jlf- 0,170 „

Diskussion.

1) Ans dem Ansdmck für M folgt:

Der Halbienmgspunkt wird am genauesten erhalten, wenn der
Badius des Hilfskreises möglichst klein, also nur wenig größer als die
halbe Strecke ist.^)

Das Anwachsen des Fehlers bei größer werdendem r zeigen folgende
Werte för * - 0,040 mm

a
♦•-2'
a

r^a,

2) Die Formel fCb: sin ^ ergibt folgende Regel:

Der rechte Winkel wird um so genauer erhalten, je größer r ist;
es gibt aber eine untere Grenze des Fehlers (für r « co), die umgekehrt
proportional der Strecke a ist; die erreichbare Genauigkeit ist also
nicht beliebig groß.

Die Grenze ist: sin ® = ± —V^'t dies gibt fiir d =» 0,040 mm und

a — 1 mm, 10 mm, 50 mm, 100 mm,
««) - 3,240, o,324<>, 0,065<>, 0,032<>.

Die Fehler sind also bei kleinem a recht erheblich (der unter-
schied zwischen Fehlerellipsen imd Fehlerovalen macht hierbei nur
wenig aus). Da in yielen FäUen ein mittlerer Fehler von 0,1® und
darüber als unzulässig zu bezeichnen ist, so muß bei kleinen Strecken
(etwa unter 30 mm) unbedingt eine Hilfskonstruktion zur Erhöhung
der Genauigkeit angewendet werden (ygl. § 7).

1) Dieses wichtige Aesultat ist zuerst yon Wiener (Daist. Geom. 1, S. 191)
gefänden; vgl. G. Müller, S. 29 und Gener, S. 36.

2) Die Winkel sind nach der 6 -stell. Logarithmentafel von Bremiker in
Dezimdtteikmg des alten Grades berechnet. — Zu bemerken ist noch, daß a >> «^j/i,
also >• 0,07 mm sein mufi.

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26 Beiträge zn einer Fehleitheorie der geometriBchen Konstraktionen.

Von der Abnalime des Winkelfehlers bei wachsendem r gibt folgende
Tabelle für a = 50 mm eine Vorstellung.

r «= 30 mm, 50 mm, 100 mm, 200 mm, oo
® -= 0,1170, 0,075«, 0,067^ 0,066^ 0,065«.

Das auffälligste Resultat dieser Untersuchung ist, daß man bei
der Konstruktion der Mittelsenkrechten die Wahl hat, entweder den
Mittelpunkt oder den rechten Winkel möglichst genau herzustellen, daß
aber beides zugleich nicht möglich ist, weil eine Änderung Ton r ent-
gegengesetzte Wirkung auf M und & ausübt. Will man trotzdem
beides zu vereinigen suchen, so ist zu beachten, daß der Winkelfehler
bei Vergrößerung von r nur langsam abnimmt, während der Fehler
des Mittelpunkts bald sehr schnell wächst. Es ist daher noch am
vorteilhaftesten, einen nicht zu großen Radius zu nehmen. Unter
gewöhnlichen Verhältnissen fand ich r ^ a am geeignetsten.^)

Übrigens dürfte es in den Anwendungen nur sehr selten vorkommen,
daß von einer Mittelsenkrechten zugleich der Mittelpunkt und der rechte
Winkel gebraucht werden; denn meistens handelt es sich nur um eine
kleine Anzahl von Punkten auf der Mittelsenkrechten; für diese lassen
sich die Bedingungen der größten Genauigkeit immer eindeutig fest-
stellen. Außerdem gibt es noch den, wie ich glaube, sehr empfehlens-
werten Ausweg^ zwei Paare von Kreisen um Ä und B zu Schlagen,
eines mit kleinem, eines mit möglichst großem Radius, und die Gerade
durch vier Schnittpunkte zu legen.

B. Errichten der Senkrechten in einem gegebenen Punkt einer Geraden.

1. Lösung. (Fig. 10.) Kreis mit r um den gegebenen Punkt C;
Kreise um Ä und B mit r'; Verbindungsgerade CD.

Fehleruntersuchung.
^** ^^' In C Fehlerkreis mit Radius d. In Ä

und B Fehlerellipsen mit den Bestimmungs-
stücken (Unsicherheit des Schnittpunkts +
subjektiver Fehler von Op. C^):

^ DÄC wird als Hilfswinkel (p eingeführt:
cos 9 — ^ • Für die Fehlerkomponenten in
Ä und B nach D hin ist ^ » 9, also

^iA.D) - ^B^D) - »»!9in> + mfcosV -- «*(1 + cosV).
1) übereinstimmend mit G. Müller, S. 29, jedoch aus andern Gründen.

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?i

/ f

Von KOHBAD NiTZ. 27

Fehlerellipse in D: wf - w| = **(2 + cosV); « = 180 - 2(p.
Fehlerhyperbel für CD: f*c=-*^); fin ist die Halbachse der mitt-
leren Fehlerellipse in Dvtl; = ^j, also

«2 = »*? ^ d'(2 + C0 B«y)
'^^ « . • fl> *" 2 cos* qp

Da = CD «r'siny, so ist der gesnchte mittlere Richtungs-
fehler von CD:

c^«« A ^^ + '^^ ^"(2 + 8 cos« qp)

Bin Cr ^ 5 = - — j-9—. — ä « — •

0* 2r * Bin* qp CO8* qp '

2d

sin ö = . . ^ l/l + 1,5 cos* op,
r 8in2qp ^ ' ' ^'

oder, in r und r' ausgedrückt

sm® = -

r

woraus die Abnahme yon 9 bei wachsendem r' und r zu erkennen ist.
Wegen der Begrenztheit der KonstruMonsparamder r und r gilt es,
dasjenige Verhältnis r:r oder denjenigen Winkel 9 zu ermitteln, für
den B ein Minimum wird. Man findet darch Differentiation des Aus-
drucks . ^^ ^ die quadratische Gleichung für 9?:
cos« 29 + ^^ cos 29 + 1 = 0,

xind als deren Losung 9? = rund 51,6®, folglich r = 0,63 • r'J) Nehmen

wir der Einfachheit halber 45® als günstigsten Winkel an (Dreieck ADD

rechtwinklig-gleichschenklig), so erhalten wir als kleinsten erreichbaren

Fehler ^ - >

sinÖ=»^y7==^.2,65,

also z. B. fttr * =- 0,040 mm und r' =» 200 mm:

© « 0,030®.

2. Läsvmg, (Fig. 11.) Kreis um den beliebigen Punkt mit
OC^r] die Verbindungsgerade ÄO gibt den Punkt B, der senkrecht
über C liegt.

1) Wenn der den Punkt C markierende Strich genau senkrecht auf AB
flieht und einigermaßen lang ist, so wird der Fehler von Op. jB^ in C in Wirk-
lichkeit verschwindend klein (die umhüllten Fehlerkreise haben hier eine Diskon-
tinuit&tsstelle); wir schließen das natürlich aus.

2) Wiener und G. Müller (S. 82) geben r = 0,6 r' an.

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28

Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometriBchen Konstniktionen.

FMermUersuchung.

Der Radius OC hat den mittleren Fehler ± d. Daher ist für
Punkt A:

mt

2*«, w| = **, CD = 90 - 9,

wenn ^ OCA mit q) bezeichnet wird. Für
Op. JBi in J. ist ^ = 0, also:

pi

ml cos* 09 + m} _ ^' (1 -{- 2 sin' y)
sin' OD 008*9

JKJ - /ii + 4f*S
Pehlerellipse in B (Fig. IIa):

wJ = 2*^ wJ-JfJ + d«
Für Op. JB, in B ist ^ « 90 — 9, also

Es ist fil » d^y folglieh ist der Abstandsfehler
der Verbindungsgeraden AO in. B:

3 + 2 cos" ff

008*9

S''-

COS* 9 '

= 90^.

Zo • • , , 9 ' 9 »«2 + sin* 9 (1 + cos* 9)
« = ^1 « wj cosV + m\ sm*<)p - d^^^ ^^ ^.

Pig. IIa.

Wegen fil — S* und BC = 2r sin 9? wird schließ-
lich der mittlere Winkelfehler von BC:

COS* 9 -4^*8111* 9

sin* © =

r sin 2 9

l/3 + |sm*29.

Das relative Minimum von inbezug auf q) tritt; wie ohne weiteres
ersichtlich, für 9? = 45® ein, d. h. der Punkt muß in der Halbierungs-
linie von -^AGB gewählt werden, und zwar möglichst entfernt von Cy
weil sin ® umgekehrt proportional zu r ist Da för 9 -= 45*^ sin O

= 1,80 • — wird, so ist diese Konstruktion unter sonst gleichen Um-
standen um etwa 307o genauer als die vorige, und daher immer vorzu-
ziehen. Man erhält für d = 0,040 mm und

r = 100 mm, 200 mm, 300 mm
®= 0,041^ 0,022^ 0,013«

Es ließe sich also mit einem sehr guten Transporteur oder rechten
Winkel kaum ein besseres Resultat erzielen; freilich ist hier die ün-
voUkommenheit der Lineale unberücksichtigt geblieben»

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Yon EoNBAD Nrrz.

29

Fig. 1%.

C. Weitere Eonstroktionen von rechten Winkeln.

Zur Entscheidung der Frage, auf welche Weise überhaupt zwei
sich rechtwinklig schneidende Geraden am genauesten konstruiert werden
können, untersuchte ich noch folgende ein-
fache Konstruktionen.^)

1) Beliebige Gerade ÄC] beliebiger
Kreis 0(r); Verbindungsgeraden ÄO und
BC. (Fig. 12.)

Die Fehlerberechnung ist ganz ähnlich,
wie bei der yorigen Konstruktion; man er-
halt far den Fehler des rechten Winkels

sind —

r8in2qp

|/3 — cos29 + |sin«29,

Dann wird

worin tp wieder den Winkel OCÄ be-
deutet. Sein günstigster Wert ergibt sich aus der Gleichung

cos* q) — 6cos 29 + 1 ="

zu rund 40®, wofür wir wieder |JR annehmen können,
sinö— 1,94-.

la) Modifikation von 1), indem erst ein beliebiger Kreis 0(r) und
in ihm ein beliebiger Durchmesser AB gezogen wird. Die Genauigkeits-
formel (deren Ableitung an einer Stelle eine
besondere Überlegung erfordert) ist die gleiche,
wenn die Voraussetzung: m -« ft zutrifft; ist
aber etwa m < /i, so ist Konstruktion 1) die
genauere^ und umgekehrt.

2) Bjreise 0(r) und 0'(r) um beliebige
Punkte einer Geraden; Verbindungsgerade JLJ.".
(Fig. 13.)

Der Unterschied gegen die Konstruktion
der Mittelsenkrechten besteht nur in den Fehler-
komponenten Ton Op. Cj in und 0', die
hier nicht — d, sondern nur «dsin^ sind,
wenn ^ -4 0' — 9? gesetzt wird. Man findet
als Winkelfehler von ÄÄ':

r/

Flg. 1«.

X

>i

0^

sin©=»

r Bin 2 qp

yiT

sin* 9,

1) Z. T. nach Lemoine, G^om^trographie (Scientia, Nr. 20), S. 19.

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30 Beitr&ge zu einer Fehlertiieorie der geometrischen Eonstroktionen.
oder unter Einführung der Strecke 00' ^ a

sin®

-'^'i

Der Gfrenzwert för r = <x> bei festem a: sinö = — 1/2 ist also

a ^

genau derselbe wie bei der Mittelsenkrechten. Bei beschranktem r ist der

.— — Ä

günstigste Wert yon q) wieder angenähert 45^; dafür ist sin 9 = 1^2 — -

2 a) Noch einfacher für die Fehleruntersuc];iung ist es^ zuerst zwei
beliebige Bieise 0{r) und 0'{r)y dann die Verbindungsgeraden 00*^
und AA' zu ziehen. In denselben Bezeichnungen wie oben ist der
mittlere Richtungsfehler von 00': y2-, von AA': — ^—s—; ^^^ ^
der Fehler des rechten Winkels:

sin ® = dl/ , .\^ +\'

»2qp

Für den günstigsten Winkel q) » 45® folgt daraus

sin ©=y2-= 1,41-.
r r ' r

Die folgende Zusammenstellung der Winkelfehler bei bester Wahl
der Eonstruktionsparameter (überall q) = rund 45^

A. 1,41-^

B. 1)2,65.^, 2) 1,80.^,

C. 1) und la) 1,94 *-, 2) 1,22 J, 2a) 1,41 • J

zeigt nun, daß die Konstruktion C 2) im allgemeinen die genauesie sein
dürfte; ihr mittlerer Fehler beträgt für d = 0,040 mm und r = 200mm
nur ± 0,014**. Ein solcher rechter Winkel könnte also schon zur
Kontrolle von Transporteuren und Winkelscheiten benutzt werden.

Das Fäüen einer Senkrechten von einem gegebenen Punkt auf eine
gegebene Gerade möge hier übergangen werden, weil die Fehlerformel
dafür ziemlich verwickelt ist.

D. Antragen eines Winkels.

Wird der gegebene Winkel mit a und der Radius des Hilfskreises
mit r bezeichnet, so ist der mittlere Richtungsfehler des angetragenen
Schenkels

sin©^ l_"|/o,5 + 5<

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► COS'

rcos'' —

Von Eoir&AD Nitz.

31

Das Versagen dieser Formel f ür a = 180® ist eine Folge des Setzens
der Ereistangenten fär die Bogen. Trotzdem aber werden die Fehler
auch schon bei mäßig stumpfen Winkeln so bedeutend^ daß man immer
besser tut^ sich auf das Antragen spitzer Winkel (unter Umständen also^
der Nebenwinkel) zu beschränken. Folgende Tabelle zeigt dies an
einigen Zahlenwerten für r = 200 mm.

«= 0<> 20® 40® 60® 90® 120®

Ö« 0,027® 0,027® 0,029® 0,031® 0,040® 0,061®.

Ob sich mit einem Transporteur beim Übertragen von Winkeln
eine solche Genauigkeit erzielen läßt, ist wohl zweifelhaft. Wenn es
sich dagegen um die Ermittlung der numerischen Größe eines Winkels
handelt, wozu ja die Ausmessung einer Sehne in einem Kreise mit.
ebenfalls ausgemessenem Radius dienen kann, so ist, wie eine der obigen
ähnliche Rechnung zeigt, der Transporteur etwas im Vorteil (bei
r« 200 mm).

£. Halbienmg eines Winkels.

Da die Untersuchung dieser Konstruktion etwas schwieriger ist
und zu einem bemerkenswerten Resultate fährt, so soll die Rechnung
einigermaßen ausführlich wieder-
gegeben werden.

Bezeichnungen (Fig. 14):
^CAB^a-, AB^AC^r-,
BD ^ CD ^ r'; Hilfswinkel
DBE = g>.

Für die Fehlerkomponente
in A nach B resp. C ist ^ =
resp. = «5 folglich ist

jl -fcos'a
sin'a

lig. 14.

d^'

In Funkt B ist also

ij«*^ mj = d*

(D

= 90®.

Für die Komponente in B nach D (wobei wir natürlich den yon
A entfernteren Schnittpunkt nehmen) ist ^ === 9, demnach

K^B, D) « K^c, D) = wj sin* 9 + w| cos* 9

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32 Beiträge zn einer Fehlertheorie der geometrischen Eonstraktionen.
EUipse in D:

io » 180 — (29? — a). Für Op. Bj in 2) (Verbindungsgerade AD) ist

2C08*qp>

f*!>

2 COS*

"2

= ■

*"

2<J>

sin'

1«
2

\ ' ^ ' Bin'a /

2 sin

in«(g,~f)

Ferner: i*i — =- — ^-= ; = J.2) « ^ — ^-—

^ « , a sin" a ' • / « \

2 cos«- »"^(*P-2J

Darans ergibt sich der mittlere WinkelfeUer von AD:

d 1/ sin" « (1 + sin" qp) + 2 cos* qp + 4sin" — sin* (9 — — J

sin © = —

ry 2 sin« sin 9

Die Bestimmung des Minimums durch Differentiation yon 9 führt
auf folgende Oleichungen:

28in* 9> cos 9) — 2sm 9? sin* |- sin (2^) — a) + cos 9> sin* « + 2co8' 9

+ 2cos9 sin* |- sin* (9? — |^j — 0.
cos (9 — a) 8 — cos a + sin" a

««"' 28iD'-^-

schließlich:

l + 2gin'J
sin a sin —

Zahlenwerte:

«- 0»

30»

60» 90» 120»

150»

180»

9) -90«

88,3»

81,8» 76,0« 75,4»

80,8»

90».

Das Minimum yon 9? liegt bei u =» 116,7® und betragt Ih^.

Geuer (S. 38) und O. Müller (S. 27) geben, wenigstens für spitze
Winkel, als Regel zur möglichst genauen Halbierung an, daß der
Radius r' des zweiten Hilfskreises {BD » CD) nur wenig langer als
die Hälfte der Ereissehne BC sein soll. Dementgegen sagt obige
Formel und Zahlenreihe aus, daß r' um so größer gegen die Sehne SC
zu wählen ist, je großer der zu halbierende Winkel ist; bezeichnen wir
BC mit 5, so können wir folgende, für wirkliche Verwendung yielleicht
noch besser geeignete Tabelle aufstellen.

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Von EoHBAo Nrrz. 33

« _ 00 r' - 0.50 . s a = 90» r' - 1,40 • »

« = 30» r' = 0,62« a = 120» r'=l,89s

a = 60» r' = 0,64-8 a - 150» r' = 4,95 • s

a=.180» r' = oo.

Wenn wir fOr tp den konstanten Wert 90" annehmen, so erhalten
wir noch das merkwürdige Resultat, daß die Genauigkeit der Winkel-

halbierenden unabhängig von a wird, nämlich sin 9 » V^ö • — = 1,22 • — ;

der Fehler ist also yerhältnismäßig recht klein.

F. Eonstmktlon von Parallelen.

Es gibt in der Hauptsache 4 Lösungen (vgl. Lemoine, Scientia^
S. 25). Die in Deutschland üblichste Konstruktion (Fig. 15) beruht
auf der Gleichheit der Wechsdwinhel
(oder Gegenwinkel) bei Parallelen;
sie gehört zu den verwickeltst-en und
lohnt schon aus diesem Grunde kaum

eine Fehleruntersuchung; ich gebe nur -___^.,,_

an, daß die beliebige Gerade durch C^

A unter möglichst spitzem Winkel gegen BC gezogen werden muß.

Die klassische französische Konstruktion (nach L.), auf der Her-
stellung eines Parallelogramms beruhend, ist etwas einfacher, fClhrt aber
zu einer verwickelten Fehlerformel.

1. geometrographische Konstruktion: Bhombusprinzip. (Fig. 16.)
Ausführung: Bieise -4(r), B{r), C'(r); Verbindungsgerade AD, Wird
der Abstand des Punktes A von der
Geraden BC mit d bezeichnet, so er- ^«' ^^^

gibt sich für den mittleren Richtungs- ^ ^

fehler der Parallelen die höchst ein- [ -^ ^ /T\

fache Formel (wenn A als Punktkreis
gegeben ist):

8in«-|/6. 1-2,45. J.

'r

■*

Daß der Fehler sich als unabhängig von r, außerdem als umgekehrt
proportional zu d herausstellt, ist zuerst vielleicht befremdend Eine
aufmerksame Betrachtung der Änderungen der verschiedenen Schnitt-
punkte usw. zeigt aber auch anschaulich die Richtigkeit dieses Resultats.

J2. geometrographische Konstruktion: Parallelirapezprinzip. (Fig. 17.)
Ausführung: Kreis um beliebigen Punkt mit OA = r; Kreis um C
mit BA\ Verbindungsgerade AD,

ZeiUchrilt f. Mathematik u. Physik. 53. Band. 1906 1. Heft. 8

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34 Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometrischen Eonstruktionen.

Die Behandlung fQr ganz beliebige Lage Ton macht minötige

Schwierigkeiten; man erkennt nam-

^ ^^^' ^^' YD 1^^^ leicht, daß bei gleichem r die

-.^^^ " \^^ günstigste Lage Ton die sein mnB^
""^--..^^ I bei der das Paralleltrapez ABGD ein

] Bechteck wird, was bei der Ausführung
-\ — . X — durch das Augenmaß genügend ver-
wirklicht werden kann. Li diesem
Falle {Becktecksprinzip) ist der Winkelfehler von AB:

«"®=*l/4H^.-

Er ninamt also bei konstantem d unbegrenzt ab mit wachsendem r.
Eigentümlich ist aber, daß S hier um so großer ist, je größer d.
Zahlenwerte für * = 0,040 mm und r = 200 mm.

1. geometr. Konstruktion:

d = 10 mm 50 mm 100 mm
®=0,562<> 0,112« 0,056«

2. geometr. Konstruktion

@« 0,013« 0,013« 0,014«

Die im allgemeinen bedeutend größere Genauigkeit der 2. Konstruktion
hat ihren Ghnind darin, daß bei derselben die Zirkelöffiiung nach Mög-
lichkeit ausgenutzt wird. Li Anbetracht der Wichtigkeit der Parallelen-
konstruktionen und der anscheinend wenig verbreiteten Kenntnis der
Lösung 2) hebe ich hiemach als besonders bemerkenswertes Resultat
hervor, daß die Konstruktion nach dem Bechtecksprinjsip wegen ihrer
Einfachheit und Genauigkeit gewohnlich allen andern ParaUelenkonstruk'
Honen vorzuziehen ist.

% 7. Untersuchung einiger anderer Eonstroktionen.
A. Konstruktion eines Dreiecks aus den drei Seiten«

Böhmer hat auf S. 13 — 15 seiner Dissertation die Differential-
formeln hierfür aufgestellt (es ist dies die einzige Anwendung bei ikm
und somit wohl überhaupt dos erste und einzige Beispiel einer derartigen
Untersuchung) und folgendes interessante Resultat gefunden:

Wenn es darauf ankommt, daß der Spielraum des letzten Punktes
möglichst klein wird, so muß man die Konstruktion mit der größten
Seite beginnen und die kleinste daran anschließen.

An Stelle des „Spielraums^^ nahm ich zur Beurteilung der 6enauig>

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Von KONRAJ) NiTZ. 35

keit den „mitÜeren Fehler'^ nacli der Definition von Jordan: M^ = -\—,— -
^ Bin* flo

Ich erhielt so bei der Konstruktionsreihenfolge c^ b, a für den mittleren

Fehler des Punktes C den Ausdruck:

^(c, b, a) ^ ,i^yV5 + sin^« + cos«^.

Durch Nachrechnung an einem Zahlenbeispiel (a = 6, 6 = 5, c = 4)
fand ich das von Böhmer erhaltene Resultat bestätigt und konnte auch
noch feststellen, daß sich die Differenz zwischen der besten und
schlechtesten Konstruktionsreihenfolge (in obigem Beispiele etwa 1,4 d)
auch in Wirklichkeit sehr wohl bemerkbar machen kann.

B. Konstruktion eines regulären Sechsecks.

Wird der Ausgangspunkt B auf der Kreisperipherie durch den
Biadius BÄ markiert gedacht (Fig. 18), so sind die Fehlerkomponenten
von Op. Cj in den einzelnen Punkten der Reihe nach folgende:

BC CD DE EF FG GB

±d dys sYö dyi *]/9 d]/ii.

Die numerische Größe des Schließungsfehlers in B sollte demnach
etwa 0,13 mm betragen. Bei einigen Versuchen, die ich anstellte, er-
gab sich ein so hoher Wert nicht; wahr-
scheinlich machten sich schon hier, bei ^^^- ^^•
Schnittwinkeln von 60*^, die Abweichungen -ß^ "^H^
der Theorie von der Wirklicheit bemerkbar. // v\

Natürlich erhalt man die Eckpunkte //' '\\

des Sechsecks viel genauer, wenn man zuerst ^1/^ ^A

von B aus die Punkte C und G^ dann D ^\\ ^^jf^

und JP, schließlich E konstruiert. Aber y\ /'/

auch dann läßt die gesamte Genauigkeit der \\ //

Sechseckfigur y wie ich durch ausführlichere ffT^^^IZlIIIIZ^f^

Rechnungen feststellte, noch soviel zu

wünschen übrig, daß es durchaus nicht angebracht erscheint, sie zur
Grundlage einer Kreisteilung zu machen, wie Mascheroni es getan
hat. So interessant es daher auch wäre, die Kreisteilung nach den An-
gaben Mascheronis vollständig auf ihre Fehler bei der wirklichen
Ausführung zu untersuchen^), so dürfte es doch nicht der Mühe

1) Über die Yierteilnng des Kreises nach Mascheroni habe ich noch er-
mittelt^ daß sie, falls dem Zirkel nicht ganz besondere Vorzüge gegenüber dem
Lineal einzuräumen sind, bedeutend ungenauer ausfällt, als eine der gewöhnlichen
Konstruktionen von rechten Winkeln.

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36 Beiträge zn einer Fehlertheorie d. geometr. Konstraktionen. Yon Kohrad Kitz.

lohnen, weil diese Eonstmktionsmethode meines Wissens nur noch ein
historisches Interesse besitzt.

Die Fehlerontersuchnng verwickelterer Konstruktionen beanspracht
zu ihrer Darstellung zu viel Raum, als daß ich in dieser Arbeit noch
darauf eingehen könnte.^) Ich möchte daher zum Schluß nur ein
paar Worte über die

Fig. 19.

- X ...

C. Hilfskonstruktionen zur Erhöhung der Genauigkeit

hinzufügen. Der Gedanke an solche Konstruktionen findet sich^ wie
schon in § 1 erwähnt, wohl zuerst bei Mascheroni. 6. Müller weist
an verschiedenen Stellen darauf hin; Witting hat sich 1. c. S. YII
etwas eingehender mit ihnen beschäftigt.')

Bei der Behandlung der MittdsenkrecMen wurde schon darauf auf-
merksam gemacht, daß man die Strecke AB zur Vermeidung zu großer
Winkelfehler künstlich vergrößern kann, in welcher Weise, braucht
wohl nicht weiter auseinandergesetzt zu werden. Auch das Halbieren
sehr stumpfer Winkel läßt sich dadurch umgehen, daß man von dem

zu großen Kreisbogen auf beiden Seiten
gleiche Stücke abschneidet. Daß in
diesen beiden Fällen der gewünschte
Erfolg wirklich erzielt wird, ist un-
zweifelhaft, wenn auch die Untersuchung
über die Größe der Verbesserung und
die beste Wahl der Hilfsgrößen etwas
schwierig ist.

Strittiger dagegen ist der Erfolg
der bekannten Konstruktion ßur Ver-
besserung eines sehr spitzwinkligen Schnitt-
Punktes (Fig. 19): man schneidet die
beiden Geraden durch zwei Parallelen in geeigneter Lage, trägt die
ausgeschnittenen Strecken nmal weiter und verbindet die Endpunkte
durch eine Gerade. Nach Witting sollte es unmöglich sein, auf diese
Weise eine Verbesserung des Schnittpunktes zu erreichen. Durch eine
ausführliche Untersuchung der Fehler bei dieser Konstruktion habe
ich aber gefanden, daß dies doch immer möglich ist, meistens sogar

1) Ich habe die nötigen Rechnungen bereits für verschiedene Beispiele durch-
gefohrt, z. B. für 2 KomUukHonen des goldenen Schnittes und für 2 Naherungs-
kongtrtiktionen für n.

2) Dabei möchte ich emrähnen, daß mir die von Witting angegebene
Kongtruktion evr Halbierung sehr kleiner Winkel beachtenswert scheint, und daß
die von ihm selbst dagegen erhobenen Einwände größtenteils nichtig sind.

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über die KnrzBchlußfitromkurve eines Gleichstromankers. Von Oustav Mie. 37

schon durch eine ganz Meine WiederholungsjsaM n des Weitertragens
der Strecke. Ich will aber hierauf nicht naher eingehen, weil die
Untersuchung ziemlich umständlich ist; außerdem ist auch noch zu be-
denken, daß gerade bei dieser Frage (sehr spitze Schnittwinkel) die
mutmaßlichen Abweichungen unserer Theorie yon der Erfahrung stark
ins Gewicht fallen werden, sodaß eine endgültige Entscheidung hierüber
doch noch nicht möglich ist.

Königsberg, im März 1905.

Über die EnrzschlnAstromknrve eines Gleichstromankers.

Von Gustav Mie in Greifswald.

In seiner kürzlich erschienenen Eaeler Dissertation^) macht Herr
P. Eiebesell eine vor einigen Jahren von E. Arnold und mir ver-
öffentlichte Untersuchung^) zum Gegenstande seiner Kritik. Obwohl
es jedesmal höchst erfreulich ist, wenn ein. durchgebildeter Mathe-
matiker sich mit den oft so interessanten technischen Problemen
befaßt, so glaube ich doch, daß jeder, der diese Arbeit mit Aufmerk-
samkeit liest, nicht viel von dieser Freude empfinden wird. Leider ist
Herr Riebeseil über die Elemente der Funktionenlehre noch so im
Unklaren, daß man nicht viel von seiner Arbeit erhoffen kann. Nun
ist aber seine Schrift als Doktordissertation angenommen, und dies
nötigt uns, seine Trugschlüsse mit einigen Worten aufzudecken, damit
nicht diese scheinbare Billigung seiner Irrtümer von berufener Seite
Zweifel an der Richtigkeit unserer Resultate erwecken möge. Ich er-
laube mir deswegen, zugleich auch im Namen von Herrn Professor
E. Arnold, zu zeigen, auf welchen falschen Voraussetzungen Herr
Rieb es eil seine Schlüsse aufbaut. Zugleich möchte ich diese Ge-
legenheit benützen, um einige Überlegungen und Rechnungen hinzuzu-
fügen, die unsere eben zitierte Arbeit vielleicht noch etwas erganzen.

1. Es handelt sich um die Integration der Differentialgleichung,
welche für den Fall gilt, daß die Bürstenbreite gleich oder kleiner ist
aLs eine Lamellenbreite:

(1)

dx * ' \x * l—xj \1 — a: x/ *

T T«

1) P. Rieb es eil, Über den Kurzschluß der Spulen und die Vorgftnge bei der
Kommutation des Stromes eines Gleichstromankers. Kiel, 1905.

2) Elektrotechnische Zeitschrift, 1899, S. 97.

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38 Über die Eurzschlnßstromkurye eines GleichBtromankers.

Hier bedeutet i die Stromstarke in der kurzgeschlossenen Spule,

rr = -=v die Zeit Tom Beginn des Kurzschlusses an, wobei die Dauer des

Kurzschlusses T als Zeiteinheit genommen ist. Alle andern Größen
sind Konstanten: I die Stromstärke eines Armaturzweiges, L die Selbst-
induktion der Spule, r' = B- T/L xmd z = R^- T/L, wo R, R^ die Wider-
stände der Spule und der Übergangsschicht Bürste-Kommutator^) be-
deuten. Endlich soll e = E + H - 1 die bei der Drehung des Ankers
durch das Magnetfeld in der Spule induzierte Spannung sein, die wir
in erster Näherung als lineare Funktion der Zeit ansehen.

Es ist klar, daß das Integral der Gleichung (1) nur in drei
Punkten der rc-Ebene singulare Stellen haben kann: in a; « 0, ic = 1,
X => <x>. Nun läßt sich zeigen, daß die Anfangsbedingung des Prob-
lems a; = 0, i = / nur für eine Lösung bestehen kann, die um x ^
herum in eine Potenzreihe entwickelbar ist, die also hier keine Singu-
larität hat. Das erkennt auch Herr Riebesell an. Es bleiben dem-
nach nur noch rc =» 0, rr = oo. Wir behaupten nun, daß (abgesehen
von einem Spezialfall) der Punkt a: » 1 ein singulärer Punkt sei. In
seiner Umgebung läßt sich dann das Verhalten der Funktion i nur
durch einen Ausdruck von der Form:

(2) i = 5ß(y) + C.-5^,.e''^

wiedergeben, wo y = (1 — x), $ eine Potenzreihe, C eine, im all-
gemeinen von Null Terschiedene, Konstante bedeuten. Wenn x eine
ganze Zahl ist (t » m), so ist der Ausdruck (2) etwas zu modifizieren;
es tritt dann an die Stelle der durch y^ charakterisierten Singulariiät
eine logarithmische: y"' • Iny.

2. Da ist nun Herr Riebesell anderer Meinung. Er behauptet:
G müsse unter allen Umstanden gleich Null sein; mit anderen Worten:
i müsse auch um o: — 1 in eine Potenzreihe zu entwickeln sein. Nach
Herrn Riebesell wäre demnach die einzige Singularitöt der Funktion
rr » (X), sie hätte dann den Charakter einer ganzen Funktion. Die
einzige Stelle, wo Herr Riebesell diese Behauptung, mit der er alle
unsere weiteren Schlüsse umstoßen will, begründet, habe ich nach
langem Suchen auf Seite 34 gefunden. Die Begründung ist ungefähr
diese: „In der Nähe des Punktes rc = gilt das holomorphe Integral,
Also muß auch in der Umgehung des Punktes x = 1 das holomorphe

1} Dieser Widerstand i?^ wird in unserer Theorie zunächst als konstant betrachtet.
Über das Unzutreffende dieser Annahme siehe: E. Arnold. Die GleichBtrom«
maschine Bd. I. S. 864.

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YoD Gustav Mik. 39

Integral genommen werden, rf. ä. C=0".^) Herr Riebesell nimmt
liier offenbar einen Satz an, der allerdings die ganze Mathematik
wimderbar vereinfachen würde^ und der wohl ungefähr so lauten müßte:
y^Wenn eine Funktion um irgend einen Punkt der Ebene als Potenz-
reihe zu entwickeln ist^ so ist sie es auch um jeden anderen.'^ Darum
stört es ihn denn auch nicht weiter, daß die Potenzreihe ^{y), die ja
eine ganze transzendente Funktion darstellen müßte, im Punkte y = 1
(d. h. X = 0) divergiert. Er bemerkt dazu auf S. 19 ganz kurz: ,^s
erscheint für diese Entwickelung y = 1, d,h.x = 0, f = i als singulärer
PunJdf^, Ich glaube, daß nach diesen Proben niemand mein im Anfang
ausgesprochenes Urteil über die Riebe sei Ische Arbeit zu scharf
finden wird.

3. Man kann das Integral der Gleichung (1), das der Bedingung
j; =» 0, i =» J genügt, auch durch eine Quadratur ausdrücken. Es ist
nämlich:

w ••— --(^T ■/'■■■■ (ri.r

Der Ausdruck unter dem bitegralzeichen läßt sich in einen Faktor
x*—^ und in einen nach positiven, ganzen Potenzen entwickelbaren
Faktor zerlegen. Die Ausfuhrung der Quadratur liefert also eine
Potenzreihe, multipliziert mit a?*, es ergibt sich somit für i eine Potenz-
reihe. Wenn man in (3) statt x die Variable y =« 1 — ic einführt, so
bekommt der Ausdruck die Form:

y

Herr Riebesell behauptet ohne Beweis, daß die Ausführung der Qua-
dratur auch in diesem Falle ganz analog, wie in (3) zu einer Potenz-
reihe $(y) führe. Sicher beruht diese Behauptung auf irgend einem
Tragschluß, denn sie ist zweifellos falsch.

1) Wortwörtlich heifit es auf S. 84 so: ,,l8t a negativ, so existiert nur das
holomorphe Integral. Dies trifft fOr die Gleichung (28) zu. Also mufi auch im
Falle 1) das holomorphe Integral genommen werden, d. h. C" bezw. C* =« 0."
Gl. (23) ist unsere Differentialgleichung (1), aus dem Zusammenhang geht klar
hervor, dafi unter dem holomorphen Integral die Potenzreihe um x^^O herum zu
verstehen ist. Der „Fall 1)^' ist die Entwickelung der Funktion um den Punkt
jCssO herum. Unsere Eonstante C bezeichnet Herr Riebesell mit C*.

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40 Über die EuizBcliliiBstromkurve eines Gleichstromankers.

4. Einen einfachen Beweis dafür^ daß in der Tat i durch den
Ausdruck (3) wiedergegeben werden müsse, gibt Professor Arnold in
seinem Werk ,yDie Gleichstrommaschine". Er geht ungefähr so:
Das allgemeine Integral der Gleichung (1) läßt sich folgendermaßen
schreiben:

* = er*

[■

x'x

fe)''(^'a-i^x)-^-f-^-?-)'"+«

wo c eine willkürliche Eonstante sein soll. Durch Herübermultiplizieren
bekommt man:

Läßt man nun x gegen Null konvergieren^ so wird die linke Seite Nnll^
ebenso das bestimmte Integral Daraus folgt c » 0. Dieser einfache
Schluß ist Herrn Riebesell so unTerständlich^ daß er ihn meint mit
der kurzen Bemerkung abtun zu können: ^^Das Unzulässige dieser Be-
stimmung ist ersichtlich.^' Er yermutet^ einen ^^ähnlichen Fehler'' hätten
wir auch bei der Berechnung der in Formel (2) vorkommenden Eon-
stanten C gemacht. Soweit ich seine, an dieser Stelle sehr ver-
worrenen, Auseinandersetzungen verstehen kann, traut er uns aber
allerdings einen wirklich erstaunlichen Fehler zu. Wir sollen nämlich
eine Größe:

«.°[*«-«-'-(-7')l

(wo $(y) die in (2) angeführte Potenzreihe ist), als Null gerechnet
haben, während sie in Wirklichkeit unendlich wird (^(0) ist von Null
verschieden). Daß Herr Riebeseil so etwas für möglich hält, kann
ich mir nur dadurch erklären, daß er selber in mathematischen
Schlüssen äußerst unsicher ist, und daher offenbar ein solches Ver-
sehen für nichts Ungewöhnliches hält. Zum Beispiel sagt er gerade an
der Stelle, wo er unseren vermeintlichen Fehler bespricht (Seite 25),
in einem Atemzuge, daß das Integral:

X

„natürlich" divergent sei, und^ daß dasselbe Integral mit den Grenzen
bis 1 einen bestimmten endlichen Wert C* habe, den er ausrechnet,
und der dann mit unserer Konstanten C übereinstimmt.

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Von GKjbtav Mib.

41

5. Die Potenzreihe fOr i um den Punkt rr = herum konvergiert
(was übrigens auch Herr Riebesell weiß) im allgemeinen nur bis
X ^1. Daraus folgt ohne weiteres, daß auf dem Einheitskreise ein
singulärer Punkt liegt. Dieser Punkt muß, wie aus der Form der
Differentialgleichung (1) zu ersehen ist, rr » 1 sein. Es ist also eigent-
lich selbstrerständlich, daß in der Formel (2) die Eonstante C im all-
gemeinen nicht Null ist, wie Herr Riebesell im Gegensatz zu uns
festzustellen wähnt. ^)

Das einzige, was etwas umständlicher ist, ist: den Wert yon C
zahlenmäßig festzustellen. Indem ich nun dazu übergehe, die Beihenenir
wickelungen für i und für (7 zu berechnen, bringe ich zunächst die Glei-
chung (1) auf eine bequemere Form.

Setzt man nämlich:

(5) i^I-{l-^2x) + i„

80 bedeutet i^ die Abweichung der
Kurschlußstromkurve Ton dem ge-
radlinigen Verlauf (Fig. 1) und ge-
nügt der Differentialgleichung:

Pig. 1.

dx

+ E' + H''X'-0

wo:

E'^E-^-I-(2-t')

H'

L

21-

Wir können diese Gleichung noch etwas symmetrischer folgender-
maSen schreiben:

(6)

(7)

S + v(-'+^T(i^))-a-^-6-(l-^)-0.

a = I-(2 + t')-±-iE+HT)
6-/.(2-r')-f E.

Diese beiden Koeffizienten a und b haben eine sehr einfache Be-
deutung, wenn -^ sowohl für a: = 0, tvie für x ^ 1 endlich bleibt Als-

1) Vgl. E. Arnold, Die Gleichstrommaachine. S. 284.

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(9)

42 Über die Kurzschlnßstromkurve eines Gleichstromankers.

dann ist nämlich^ wie aus (6) durch Grenzübergang folgt; wenn man
beachtet, daß (ii)x«o = und (ii)x^i =*- 0:

Wir wollen nun die folgenden drei DiflFerentialgleichungen be-
trachten:

Die 3 Integrale dieser Gleichungen, die um den Pimkt ^ = herum in
eine Potenzreihe entwickelbar sind, wollen wir bezeichnen mit:

Es ist alsdann:

(10) ij « a • 910 (^; x\x) + h' ^oi {h '^\ ^)-

Aus (8) folgt, daß a » 0, {> = gleichbedeutend ist mit:

Demnach ist die hinreichende und notwendige Bedingung dafür, daß
die Kurzschlußstromkurve nirgends von einer Geraden abweicht, die: daß
sowohl im Anfang als auch am Ende der Stromkurve der Differential-
quotient -.- den Wert — 2/ hat

Für das Magnetfeld, in dem dies gerade eintritt, ergeben sich aus
(7) die beiden Bedingungen:

(11) E.^-^I. {2-t'), (i? + fi.r).J-J.(2 + 0.

Für die Lösungen der Gleichungen (9) haben wir femer die fol-
gende Beziehung:

(12) (p^(r, t', x) - 9?io(r, r', x) + fp^^{x, z\ x).

Setzt man in der dritten Gleichung:

, 1— Ä

X

so ergibt eine einfache Rechnung für z' die Gleichung:

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Von Gustav Mr. 43

Daraus folgt die Beziehung:
(13) (pn(r, x\ x) = i^ . tp^^ix - 1, x\ x).

Damit ist das ganze Problem auf die Berechnung der Funktion
<p^Q reduziert.

Wenn wir in den Differentialgleichungen (9) statt x die Variable
y = (1 — a?) einfahren, so bekommen wir:

dz

<14)

dy

<15)

Daraas folgt:
ipaaix, x', x) - Zoo(t, x") ■ " l_ -, • e*'» - ip^{- x, - x', y)

V*

sPioC«» ^', *) = ^oi-'y ^0 • (j _^ • «*'" - <p«i(- ■f» - f '> y)

wo die £ Konstanten sind, die wir noch bestimmen müssen. Die Aas-
drficke (15) rechts stellen die Entwickelungen der Fonktionen am
4en Fonkt a; — 1 dar. Wir können gleich eine Reihe von Be-
ziehungen fOr die f aufstellen. Zunächst folgt aus (12) und (13)
ohne weiteres:
<16) K^(x,x^ = K^,{x,x') + K^,{x,x')

(11) Äo,(T,r')-ir,„(r-l, r').

Wenn wir femer nach (15) für die fp{y) die Entwickelungen um
y ^1 berechnen und diese in (15) einsetzen, so hebt sich auf beiden
Seiten die Potenzreihe (p{x) weg und wir bekommen:

.iEoo(- T, - r') - e»' • K^{r, x')

(18) \k^,{-x,-x')^^--K,,{x,x')

yK,,{-x,-x')~e--.K,,{x,x').

6. Wir wollen uns zunächst einmal mit der Reihenentwickelung
in der Umgebung Ton a; = beschäftigen. In der oben zitierten Ar-
beit sind sehr bequeme Rekursionsformeln zur Berechnung der Koeffi-
zienten gegeben (Formel (18)). Wir können aber auch explizite Aus-

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44 Über die EurzsclilTißstroinkiiTye eines Gleichstromankers.

drücke gewinnen^ wenn wir die Darstellung durch das bestimmte Integral
zugrunde legen. Es ist nämlicli:

sc

(19) ip,,(r, r\ X) = e-^'' • ^^^^ Je^'' • ^

Der Ausdruck unter dem Integralzeichen läßt sich leicht in eine
Reihe entwickeln:

8

Ebenso ist:

00 y V— 1

1

1 '^

Wir können auch noch (1 — xy in eine Reihe entwickeln und aus-
multiplizieren. So ergibt sich:

8

Nun läßt sich der Faktor von — j— mit Hilfe der bekannten Be-
rn

Ziehungen zwischen Binomialkoeffi^ienten noch etwas einfacher ans-

drücken. Man bekommt nämlich, wenn m > 0:

U

T Wm-1

Ist aber m => 0, so ist die entsprechende Gh*öße, wie man ohne
weiteres sieht:

Setzen wir nun für m den Wert v — n'—2 ein, so bekommen wir fftr
die gesuchte Reihe:

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(21)

Von Gustav Mie.

i

45

Jn+i

(22)

(2S)

^

Ebenso ei^bt sich:

7. Um die Entwicklrmg unserer Funktionen um den Punkt x^l
zu Haben, müßten wir in den Formeln (15) nur noch die Qrößen Kq^,
K^^ K^^ als Funktionen Ton x und %' kennen.

Wir wollen sie zunächst in dem Bereich < -r < 1 suchen. Da
9^009 Vi9> 901 Potenzreihen sind, die mit der ersten oder zweiten Potenz
beginnen, so ist in allen drei Fallen:

lixn [ftzli^^:±yl\ « 0, soknge x < l.

Daraus folgt:

^' ' ,=-il (1-«)* I
Wir bekommen alao ans (20):

Wir wollen den Ausdruck in der geschweiften Klammer, der eine
Summe von lauter positiven Gliedern ist, nach Potenzen Ton x' um-
ordnen. Wir bekommen so:

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46 Über die EurzBchlnßBtromknrve eines Gleichstromanken.

wo F eine hypergeometrische Funktion bedeutet. Da nun für alle diese
hypergeometrischen Funktionen:

a + 6-c = r— 1<0,
so haben alle für a; = 1 einen endlichen Wert, und zwar ist er für das
n^ Glied: h c V\ ^ r(c)- r{e-a^b)

_ r(r + n+8).r(l- T) (r + n + 2){t + n + l)..t. „,. „.. .

" r(n+3).r(l) "* 1.2..(n+2) • 1 W • i^,! — r;

«(^ + w + 2).(r + n + l)„+2 ""

BlllTSC

Setzen wir dies ein^ so bekommen wir:

(24) K,,{r, rO = ^, • e"*' • J^^ •(- + »» + !)»+.•

Diese Formel ist zunächst nur für die Werte < r < 1 als richtig
erwiesen. Wir müssen nun die analytische Fortsetzung außerhalb
dieses Bereiches suchen. Diese ist aber ohne weiteres ebenfalls schon
durch (24) gegeben. Denn die rechte Seite von (24) stellt den Quo-
tienten eiuer ganzen transzendenten Funktion von x und %' durch
sin ;r r dar. Die einzigen Siagularitäten von E^^{zj x') im Endlichen
sind also da, wo x eine positive oder negative ganze Zahl (einschließlich
der Null) ist.

Nach (16) und (17) ergibt sich nun sofort:

(25) K,,{t,r') -jJl-.e-''.j3£:.(^ + „),^,.

(26) K^{r, O = ^ • e-- -J? ;'" • (r + »).,,

Vergleicht man diese Werte von K^ imd K^^ mit den in der
zitierten Arbeit \ und Tc^ benannten Zahlen , die mit ihnen identisch
sein müssen^ so findet man in der Tat völlige Übereinstimmung.

Wenn man die Beziehungen (18) benutzt, so bekommt man aus
(24); (25), (26) die folgenden, manchmal etwas bequemeren Formeln:

(27)

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Von Gustav Mik. 47

8. Wir haben nun die Entwicklung unserer drei Funktionen q>
um den Punkt x ^ 1 herum nach Formel (16) vollständig gefunden,
wenn r keine ganze Zahl ist. Ist aber r « m eine ganze Zahl, so
werden sowohl die Größen K unendlich groß, als auch gewisse Koeffi-
zienten in den in Formel (15) vorkommenden Potenzreihen. Man er-
kennt dies letztere am leichtesten an Formel (20). Setzt man hier
fftr T den Wert — w ein, so sieht man sofort, daß der Nenner des
Gliedes mit af^ Null wird. Alle andern Glieder bleiben endlich. WoUen
wir die Entwicklung um x ^ l für ein ganzzahliges r finden, so
müssen wir zunächst r =^ m + s setzen, wo s eine sehr kleine Größe
bedeutet, und nun die Summe der Glieder, die für £ » unendlich

werden, untersuchen. Wir bekommen so in dem Falle:

t

fpioih ^', x) = K^^{t, x') • -^[zrj ' **' ~ f'>^^~ ^' ~ ^'' y)

die beiden Glieder:

-6^>.(l-y)-(-l)-?^.^»-;,-.(m + . + l).

'n+«

Wenn wir diese beiden Summanden nach Potenzen von € entwickeln
und gleich nur die beiden ersten Glieder stehen lassen, gegen die alle
Glieder höherer Ordnung später doch wegfallen werden, so bekommen wir:

im— 1
(i+..ii.!/)-^-^(«+i)„,a+....^,-.<.„,)

m
"^ r'" 1

WO ffesetzt ist: i

l+i + i + -- + i = *„ *o=0.

Der Grenzwert der Summe der beiden Glieder für s =• iet also:

<- ^)'" ■ ^'' ' iibr ■ ^"^ -^-nv • (»» + 1)-+«

m — l

+ e^'". (1 - y)-» • jr • ((- 1)™ ■%'„} ■ {m + 1).+, • (tf„_,_, -ffn+»)

4. 52 r- n« . ^ . ('» + l)!(>'- «»)'\
-i-^'K '■J nl (n + 2)i r

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48

Über die EurzBchlaßsiromkarre eines Gleichstromanken.

Dieselbe ReclinTing läßt sich auch für q)^^ und q>QQ leicht durch-
führen, und man bekommt so die folgenden Entwicklungen fOr die drei
Funktionen um den Punkt x =^1:

(28)

<|Pio(»t, t', x) - *;„(»», r') ■ e*'»- -^— „ • In y - Zoi(-»»» -^', V)

9oi (»», ^', a^) - *ö, (»», tO • c*'» • z-z~y • ^ y - zioi.- ♦»» - »'» y)

wo zu setzen ist:

*ioK ^') - (- 1)'" • 2^ ^ • (»» + 1)-+.

(29)

m — 1

m— 2

Ä,,(^,o--(-i)"'. 2^ •(«»)-+»

*;,(«», o -(-!)"• -5"^ •('")-+^

und die Funktionen % mit den Reihen (20) zu berechnen sind, nachdem
man fOr das m^ Glied, dessen Nenner Null werden würde, das folgende
substituiert hat:

*■■((- ')-*J^"-("+i)...(..+.-..-.-.)-^c-i)-s • '-V+V" !

lo Zio:

(30) !r-((-l)"+^-^'^V(m),+,.(<.,+,-..„,,-,)-2i(-l)"-iif '"'V+%i

^ m— 1

\ m /

Es ist zu bemerken, daß die Werte k' in dem besonderen Fall
r — alle drei Null werden. Das heißt nichts anderes, als daß ia
diesem Fall alle drei Funktionen 9 in o; — > 1 keine Singularität haben,
sie sind dann ganze Transzendente. Daß dies so sein muß, erkennt
man auch sofort aus den Differentialgleichungen (9), wenn man in
ihnen r = setzt.

Interessanter ist es, daß auch in dem Falle ir » 1 das eine der

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Von QvBTAv Mds. 49

Je' Null wird^ nämlich Jc'q^, Es ist also auch die Funktion: q)Q^(lft',x)
eine ganze Transzendente, In der Tat: Die Lösung der GJ-leichung:

ll + -(-'+i(r^)-(i-^)-o,

die um x^O ia eine Potenzreihe entwickelbar ist, lautet:

9«(l,r',^)-^;^•(l + ^=^)•

In allen andern Fällen haben die Funktionen 9 in o; » 1 eine
Singularität, gleichgültig ob r eine ganze oder eine gebrochene
Zahl ist.

9. Wir haben gesehen ^ daß sich die Abweichung \ yon einem
gleichmäßig kommutierten Strom nach (10) und (7) berechnet als:

1*1 = a • 9jo(^; ^'> ^) + 6 • 9oi(^> ^'> ^)

6- J.(2 + r')-^•^•
Die Bedingung dafür, daß i^ im Punkte x = 1 keine Singularität
hat, ist also:
(31) a . K,,(t, r + 6 • ü;i(r, r ') -- , . .

In diesem speziellen Falle muß i^ eine ganze Transzendente sein,
und man kann es in der Tat auch durch einen Ausdruck

ii = a . a>io(^; ^'; ^) + ^ • *ai(^; ^'; ^)

wiedergeben, wo die 9 ganze transzendente Funktionen yon x sind.
Wir wollen nämlich einmal der Kürze wegen einführen:

(32)

Dann können wir die Bedingung (31) auch schreiben:
(33) a'k,,{t,t') + b' Äoi ih r') - 0,

und zwar gilt sie in dieser Form nicht nur für gebrochene Werte
T, sondern, wie wb (28) und (29) zu sehen ist, auch für ganze
Zahlen r.

Zeitschrift f. Mathematik n. Physik. 68. Band. I90ff. I.Heft. 4

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50 Über die EnizschlaßstroinkaiTe eines GleichstromaiikerB.

Wir definieren nun:

(34)

(36)

*lo(^; ^', X) =■ fpwi-f, ^\ «) + hoih ^0 • «"*'* • 2 v.(t-\.i>)

Dann ist offenbar, wenn (33) gilt:

»1 ■= o • 9,0 + 6 • 9)01 = o • *io + ^ • *M-
Andererseits folgen ans (21) und (22) die Reihenentwicklangen:

1 l ^~^

1

J^(t+»'),+ ^i^-((r + »'+l),H.i-(r+»'-l),_,)+2^^-(T+»).J

Aus diesen Entwiekelungen sieht man ohne weiteres, daß O^^ und
9^^ ganze transzendente Funktionen yon x sind.

Sehr einfach wird die Bedingung (33), wenn der Widerstand der
Spule, also auch t', unendlich klein ist. Dann ist nämlich:

*io(^, 0) = (r + 1\ k,,{t, 0) - - (r),.

Die Bedingung (33) wird in diesem Fall:

g b

oder, wenn wir die Bedeutung von a und h nach Formel (8) beachten

Die beiden Funktionen O^^ und ^^i ^^^^ ^ diesem Falle nicht
mehr transzendent, sondern ganze Funktionen zweiten Grrades. Setzt

man ^^-^ « ^^-^ = a, so ergibt sich:

ii -= a • X • (1 — rc);

ij hat überall dasselbe Vorzeichen wie a, erreicht bei a; = |^ seinen (ab-
solut genommen) größten Wert j und verläuft zu beiden Seiten
dieses Maximums ganz symmetrisch.

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Von Gustav Mib.

51

Es sei noch ein anderer Spezialfall erwähnt^ nämlieh r » 1. Da
alsdann Ä:^^ » 0^ so wird die Bedingung (33) in diesem FaU:

Der Wert (-^j berechnet sich nun, indem man setzt:
h = 6 . qp^(l, r', x)^b' "V- • (^1 + — T^— j

(SL— .-•'-'■-'+''^— »■&-^+'^'-+-)-

Im allgemeinen kann man aus (32) nur so viel sehen, daß k^^
stets positiv ist, während Ä;^^ positiv ist, wenn t < 1, dagegen negativ

Fig. Sa (a>0).

wenn t > 1. Setzen wir nun für a und b die in (8) angegebenen Werte
ein, so können wir die Bedingung (33) auch schreiben:

Daraus folgt, daß, wenn i^ in o; »- 1 keine Singularität haben soll^

die beiden Differ^tialquotienten yj^j und (-^j stets entgegengesetztes

Vorzeichen haben. Die i^- Kurve verläuft also wie die Kurve Fig. 2 a
oder Fig. 2b, ohne an einer Zwischenstelle die a:-Achse zu schneiden^
nur daß sie, wenn r' + 0, nicht mehr symmetrisch zu a? = y ist.

um eine Vorstellung von der möglichen ünsymmetrie der Kurve
zu bekommen, nehme ich das in unserer oben zitierten Arbeit gewählte
Zahlenbeispiel:

T ^ 0,001 sec; L « 10" « Henry; B = 0,001 ß; B^ = 0,002 ß.

Es ist dann:

r«2, r'=l.

Aus (32) ergibt sich:

*io = 4 . e

-1

ICm *"^ C

'^01

Aus (33) folgt dann:

* Wo"

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52

Über die Earzschlaßstromkurve eines GleichBtiomankeiB.

10, In der oben zitierten Arbeit haben wir darauf hingewiesen,
daß der Wert:

(£).-. -"+(S)„.

besonders charakteristisch für die Natur der Eurzschlußkurye ist.
Ist nämlich ß die Größe der Berührungsfläche Bürste - Kollektor,
so ist:

ß UW,«i

die Stromdichte an einem Eommutatorsegment in dem Moment, wo

die Bürste das Segment yerläßi

Ist dieser Differentialquotient unendlich, so wird demnach die

Stromdichte in diesem Moment unendlich groß, die Maschine muß also

funken. Das tritt, wie aus (15)
sofort zu erkennen ist, im all-
gemeinen dann ein, wenn:

Pig. 8.

Und zwar sieht man leicht:
1) Wenn:

ist:

w3.-i7

OO.

Fig. 4.

In diesem Falle wird der Strom, wie wir sagen können, während
der Eurzschlußperiode nicht ganz fertig kommutiert, und es muß des-
wegen im letzten Moment noch ein
sehr rascher Abfall der Stromkurve
erfolgen.

2) Wenn:

a • iio + 6 • Ä^oi < 0,

so ist:

Dann wird der Strom während
der Eurzschlußperiode überkommu-
tiert, und deswegen muß im letzten
Moment die Stromkurve noch einmal sehr rasch ansteigen.

Nur bei einer einzigen von der Stromstärke I abhängigen Bürsten-
stellung kann in dem Falle r ^ 1 die Kommutation einigermaßen

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Von Gustav Mn. 53

gleiclunäßig erfolgen and die Maschine fdnkenfrei laufen^ nämlich wenn
das Magnetfeld gerade die Bedingung erfüllt:

(Die Bedeutung von a und b ist aus Formel (7), die von k^^y k^ aus
(32) zu ersehen.).

11. Wirklich günstige Verhältnisse für den funkenfreien Ghmg der
Maschine können wir aber nur dann erwarten^ wenn

(36) ^ = ^i:>l.

Es ist dies also die erste Bedingung für den fwnkenfreien Gang
der Maschine, Immerhin können aber auch dann noch, wenn i^
sich weit von Null entfernt^ betriLchtliche Hitzegrade unter der
Bürste entstehen. Die Stromstärken i' und i" von den beiden
Kollektorsegmenten zur Bürste sind (vgl. Fig. 5):
»' = / + i=.2.i(l-a?) + ii

ferner sind die beiden Übergangswiderstände:

Die in dem Moment dt entwickelte Stromwärme
ist also:

^ ^

s^:

^ | (2i.(i^rc)+H)« I (2J'a?-o' | ^^ ^ j ^ ^ j y

Man sieht hieraus zunächst, daß auf dem einen der beiden Segmente
sicher höhere Temperaturen entstehen müssen, wenn i^ (positiv oder
n^ativ) von Null verschieden ist, als wenn es stets Null ist. Da nun
hohe Temperaturen am EoUektor vermieden werden müssen, so ist der
Fall t\ *— in dieser Hinsicht jedenfalls der günstigste. Die Summe
der Strom wärmen auf beiden EoUektor Segmenten ergibt:

Man sieht, daß dieser Betrag am kleinsten ist, wenn t\ = 0.

Die geringste WärmeenttoicMung am Kollektor und zugleich die
kleinsten Temperatursteigerwngen an ihm bekommt man in dem FaU der
gleichmäßigen Kommutation i^ » 0.

In diesem FaUe erföhrt die Stromdichte unter der Bürste über-
haupt gar keine Änderung, der Strom ist auf die beiden Kommutator-
Segmente immer im Verhältnis der aufliegenden Bürstenfläche verteilt.

Die Bedingung für die gleichmäßige Kommutation ist: a =» & => 0.

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54 Über die EmzBchlnßfltromkQrve eines Gleichstromankeis.

Setzt man hier f£b- a und b die Werte nach (7) ein, so berechnet sich
dctö Magne^dd, das gerade gleichmäßige KamnmUMon bewirkt, so:

(38) JE? = /.(2^-B), H^I^^^

Die ErfQllnng der Bedingungen (38) ist aber nicht im allgemeinen
dnrch bloße Bürstenverstellong zn erreichen, weU es zwei Gleichungen
sind, beim Verstellen der Bürste aber nur ein Parameter geändert wird,
Yon dem E und H abhangen.

Wir können nun noch allgemein die Frage auf werfen, bei welcher
Bfirstenstellung am Kollektor die kleinste Wärme entwickelt wird, wenn
das Magnetfeld eine gleichmäßige Eommutation nicht zuläßt. Die
ganze Wärmeentwicklung während einer Eurzschlußperiode ist:

^-•^Ji^P + ir^yy-

Da wir die Stromstärke I als gegeben ansehen, und B^ und T Eon-
stanten sind, so haben wir einfach das Integral:

I.

,J»'-^ . dx

X • (1 — x)

darauf hin zu untersuchen, wo es seinen kleinsten Wert annimmt. Wir
denken uns, daß, wenn die Bürste in der Nähe des Maximums hin
und her yerstellt wird, die in der kurzgeschlossenen Spule induzierte
Spannung als lineare Funktion der Bürstenverschiebung variiere, oder,
was auf dasselbe hinauskommt: daß in dem Ausdruck E + Ht für die
induzierte Spannimg H in erster Näherung als konstant anzusehen ist,
während E variiert.

Die gesuchte Bedingung ist dann:

1

(39) Ä/^

-T • da; - 0.

X)

Setzen wir nun (vgL oben vor Formel (6)):

so ist:

«1 =■ ö • 9io + * • 9oi ^ — E'tp^ — H'' qpio

diy^ T

dE" L' ^^'

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Von Gustav Mib. 65

und die Bedingang (39) wird nun:

1 1

(40) E'^ f-^TT^, + ^'- r^^^;^^'^ ,- « 0.

Wir können diesem Ausdruck noch eine etwas übersichtlichere Form
geben. Wenn wir die Differentialgleichung für <p^ mit tp^ multipli-
zieren, so ergibt sich:

Also da: 9oo(^^ ^^ 0) — 9oo(^? ^'; 1) = 0:

j 1 1

Ebenso ergibt sich, wenn man die Gi-leichung für tp^ mit 97^0, die
für 9^0 mit gp^Q multipliziert xmd beide addiert:

5^(^00 ' SPio) + 2 • Voo • fPio • (^' + x^{l^x)) ~ (^10 + ^ • <)Poo) - 0.
Also:

Weiter wollen wir nun beachten, daß diese bestimmten Integrale,
insbesondere:

1 1

I (Poo'dx und / (qpi^ + ^ • 9^oo) ' ^^

analytische Funktionen Ton r darstellen. Man kann durch Integration
der Reihen (21) und (23) konvergente Ausdrücke für sie gewinnen, die
längs der ganzen positiven r-Achse (0 < r < + c») eindeutig und end-
lich bleiben. Wir wollen diese Ausdrücke zunächst einmal in dem
Bereich < r < 1 ins Auge fassen.

Wir haben die beiden Gleichungen:

^VioC^, ^\ ^) + 9io(^7 ^^ ^) • (^' + x^il-x) - ^ =-

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^j:.^::.-^ i^^ii- ^»^>

^^ V 9-v]^»sL ju«*r um. ^uiiiisaaBL.: j^-»I. »m: 1 = i^- W«nt wir

i

Ä^'

.^-^

-^ 1 *

?'-

-ÄW

♦?i*';»..«;t iUÄit 1^ . J[^ — T, — t' « <^ ' - Ä^ T. t' • so beiwmfn wir:

a 1

1

i

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Von GüÄTAv MiB. 57

Diese Beziehung ist zunächst nur für den Bereich < r < 1 be*
wiesen. Aber, wenn zwei eindeutige Funktionen längs einer, noch so
kleinen, Linie mit einander übereinstimmen, so sind sie überhaupt
identisch. Also gilt (43) auch für r > 1.

Mit Rücksicht auf (41), (42), (43) bekommt (40) die Form:
1 / 1 1

dx

-0.

{2E' + H") 'Jq>^dx - 2r''': E' • /Vjo ' dx + H' ^L^ • q>,, •

Wenn wir endlich noch beachten, daß: i?' -= — 6, ST '^h — a, so
können wir auch schreiben:

(44) a.( jq)^'dx—2r''lq>f^'(p^Q'dx\+b'lJg>Qfi'dx—2t^

Man sieht, daß diese Bedingung, wenn r' zu vernachlässigen wäre,

einfach lautete: , , ^

a + 6 — 0.

Aber auch dann, wenn t' wenigstens kleiner ist als r, wird sie

nicht yiel anders. Da nämlich fp^^ in dem ganzen Bereich von bis 1

positiv ist, so ist:

1 1

J Vw'Vio'dX'^fn J q)^ • drr,

wo m einen Mittelwert von (p^^ bedeutet. Nun ist der kleinste Wert
von 9i0 Null, für den größten ist dfp^^jdx *— 0, also:

^y'o)M..(^' + «-(l-a;) )"^-

■ Nun ist der kleinste Wert, den l/a?(l — x) annehmen kann: 4, der
größte von x: 1, also ist sicher:

Folglich:

Ö<w< ^

X +4r
1

Ganz dasselbe gilt für das Integral: / 9>oo ' 9oi ' dx.

Folglich wird Formel (44):
(45) a . (1 - (J) + 6(1 - fi) =

* ^ 2t' ^ 2r'

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58

Über die Earzschlußstromknrve eines Gleichstromankers.

oder^ wenn wir an die Bedeutung von x und x' denken:

2 i? ^ 2Ä

<

^<x.

WO jB, jBi die Widerstände der Spule und der Übergangsschicht Bürste-
Kollektor sind. Wird der Widerstand R der Spule sehr klein, so kann
man 8 und s weg lassen.

In dem Zahlenbeispiel in der zitierten Arbeit ist R = 0,001 Ä,
R^ « 0,002 Sl angenommen, also sind 8 und b kleiner als 0,22.

Außerdem sind S und s jedenfalls nur wenig von einander ver-
schieden.

Um diejenige Bü/rstensteUung zu finden, hei der die am Kollektor
entwickelte Wärme am Kleinsten ist^ genügt es prcJctischj wenn man setzt:

(45a) a + 6 = 0.

Wir können diese Formel folgendermaßen anschaulich machen.
Wenn das kommutierende Feld die Gi-leichung erfüllt:

a =
oder:

E = J. 1.(2-0,

SO berührt die Eurzschlußstromkurve im Beginn des Kurzschlusses die
gerade Linie i =» / • (1 — 2x). (Fig. 61). Wenn man nun die Bürste

um ein irewisses Stück verschiebt.

Flg. 6. , / *^ -^T rf

SO kommt man (wenn H von Null
verschieden ist) an eine Stelle,
wo das kommutierende Feld die
Bedingung:

6«0
oder:

E+HT^^'I-iS + x")

erfüllt. Hier berührt die Kurzschluß-
stromkurve am Ende der Kurz-
schlußperiode die Gerade * =» I •
(1 - 2x). (Fig. 611).
Genau mitten zwischen diesen beiden Bürstenstellungen liegt die,
bei der das Magnetfeld unsere Bedingung:

a + b^O
oder:

T L

(45b)

E+H-

21

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Von GKjstav Mib. 59

erfilllt. Die genaue Bedingung (44) oder (45) fölirt zn einer Bürsten-
steUung, die von dieser nur um wenige Prozent der ganzen Ver-
schiebung I bis n abweicht. Man kann das an unserm Zahlenbeispiel
leicht nachrechnen. Die Eurzschlußstromkurve^ die zu dieser mittleren
Stellung gehört (Fig. GUT) verläuft zum Teil über, zum Teil unter der
Geraden i » i • (1 — 2]x). Es folgt das daraus, daß die Differential-
quotienten von i'i am Anfang und am Ende des Kurzschlusses:

(;

beide dasselbe Vorzeichen haben.

In der zitierten Abhandlung ist unter anderem eine Eurzschluß-
stromkurve (ii) gezeichnet, die offenbar recht ungünstig ist. Der
Strom wird überkommutiert, d. h. die Stromkurve geht weit unter die
Linie i =- — • 2 herunter und der Differentialquotient (di/dx)x^i ist
recht betrachtlich. Die zugehörigen Zahlen sind:

T-0,001sec, JB-0,001Ä, i2i-0,002a, L=10-«Henry, 2-100 A.,

E^0;2Y, fl'-lOOO.

Ich frage, wie man in diesem Falle die Bürste verschieben muß,
um möglichst geringe Erwärmung am Kollektor zu haben. Setzen
wir in 45b die Zahlen, außer für E ein und rechnen wir E aus, so
bekommen wir: J^ — — 0,3. Der Unterschied zwischen diesem E und
dem in der Abhandlung angenommenen ist:

_0,5--fl.f

Wir müssen die Bürsten also nur um die halbe Breite einer
Kollektorlamelle verschieben, um die gewünschte Stromkurve zu be-
kommen, und zwar in derselben Richtung, in der der Kollektor sich
bewegt. Die Bedingungen a — und 6 =« würden ergeben: Ei « 0,1;
Eu = — 0,7. Der Unterschied zwischen beiden entspricht einer Ver-
schiebung der Bürsten um 0,8 der Lamellenbreite.

Wenn wir nun die Stromkurve zeichnen, die in diesem Falle die
geringste Erhitzung am KoUektor gibt, so finden wir, daß sie doch
nach beiden Seiten sehr stark von der Geraden i =- J(l —2x) abgeht.
Die Differentialquotienten des Kurzschlußstromes am Anfang und am
Ende der Periode sind:

©. — 2^ + 7TT = -2^+133

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60 Zur Addition und Subtraktion mit Hilfe des logarithmischen BechenschieberB.

Sie weichen also sehr stark yon dem iiormalen Wert — 200 ab,
ja es wird, wie das positive Vorzeichen des Wertes {di/dx\ «= + 200
beweist, der Strom sogar in diesem günstigen Fall noch überkommutierL

Als zweite Bedingung für das Zustandekommen einer möglichst
gleichmäßigen Kommutierung, die gleichbedeutend ist mit einer möglichst
geringen Erhitmng des Kollektors, ist eu nennen: Es muß das Magnet-
feld der Maschine gerade an der Stelle, wo:

a + 6 = oder: E + H-^ '^^' 21 ist,

so beschaffen sein, daß a und b verschwindend klein gegen I sind.

Man kann die Bedingung anch so aussprechen: Es muß an der
genannten Stelle a — b klein gegen 21 sein, d. h.:

klein gegen 2J.

Diese Bedingung ist offenbar in dem so eben besprochenen Zahlen-
beispiel nicht erfüllt, und deswegen konnten wir keine gute Kurzschluß-
stromkurve bekommen. Das Magnetfeld wäre in dem Zahlenbeispiel
dagegen außerordentlich günstig für die Kommutation, wenn unter
sonst gleichen Verhältnissen H nahe an 200 läge.

Zur Addition und Subtraktion
mit Hilfe des logaritlunischen Rechenschiebers.

Von Paul Eenst, stud. phiL et mech. in Wien.

I.
Subtrahiert man die GJ-leichungen

lg(~)-lga -lg& -c

von einander, so ergibt sich:

Iga — lga' = lg& — lg6'
oder:

(2) a:a' = 6:6'

was in Worten heißt:

(1)

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Von Paul Ernst. 61

Verschiebt man zwei kongruente logarithmische Skalen aneinander,
80 sind in jeder Lage der Skalen die übereinanderstehenden Zahlen
proportional, wie bekannt.

Setzt man in (2) eine der G^rößen, z. B. a\ gleich 1, so ergibt
sich die gewöhnliche Multiplikations- bezw. Divisionsregel für den
logarithmischen Rechenschieber:
(2*) a : 1 = 6 : fc'

Durch Umformung von (2*) erhält man a : 6 =» 1 : 6' und weiter

f(a + 6):a-(l + 6'):l

(3)

^ ^ l(a-6):a = (1-60:1

Die Gleichungen (3) geben in der Form

.„♦s ja:l = (a + 6):(l + 6')

^ ^ U:l=-(a-6):(l-6'),

W. Ritters^) Methode der Addition und Subtraktion mit Hilfe des
logarithmischen Rechenschiebers:

,,Man stellt die Zahl 1 des Schiebers unter die Zahl a der oberen
Skala, liest unter der Zahl h ab, yergrößert die Ablesimg h' um eine
Einheit und findet über der neuen Ablesung das Ergebnis a + 6/^
(Analog für a — 6.)

Mittels dieser Methode erhält Ritter durch eine Verschiebung und
zwei Ablesungen den Wert von Ausdrücken der Form: a ± 6,

Ich möchte mm zeigen, Wie sich durch Anbringung einer Kubik-
skala^ analoge und noch verwickeltere Ausdrücke, in denen Kuben
und Kubikwurzeln vorkommen, rasch und bequem, wiederum durch
bloß eine Verschiebung und zwei Ablesungen, berechnen lassen; außer-
dem will ich unter Benützung einer bekannten Regel das Ritt er sehe

Additionsverfahren auch auf Ausdrücke von der Form — | — anwenden,

wobei rc = a, a*, Vä, ^, y =^ 6, 6*, "j/ft, V&.

n.

Um mit Hilfe der Kubikteilung Ausdrücke, wie ya^ + 6' aus-
zurechnen, verfährt man in folgender Weise:

1) Schweizerische Baozeitung 1894, Bd. 23, S. 39.

2) Wie an den Rechenschiebern „System Bietz'S D. B. G. M. 164886 n. 181 110.

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62 Zur Addition und Subtraktion mit Hilfe des logarithmiBchen BechenBcliieben.

1. Man stellt a auf der einfEich-logarithinischeii Teilung der Zunge
unter 1 der Kubikteilung, liest auf dieser die über b der benützten
Zungenteilung stehende Zahl ab, vermehrt sie um 1 und findet
unter der neuen Zahl der Eubikskala auf der benützten Zungen-
teilung das Ergebnis.

2. Die entsprechende Zahl auf der oberen Zungenteilung gibt (a* + 6')*/».

3. Durch eine weitere Ablesung erhält man a' + b^, wenn man nämlich
das zuerst gefundene Resultat \^a^ + &* kubiert.

4. Verwendet man in (1) statt der unteren die obere Zungenteilung^ so
erhält man die Ausdrücke:

Gi-anz analog verfährt man bei Subtraktion.

Durch eine weitere Verschiebung und Ablesung lassen sich Aus-
drücke wie: Va'+b^, VöM^, Va*^' + 6'/., V^vT+l^^ (a'/« + ftV.)» usw.
berechnen.

Ein ähnliches Verfahren ergibt f^ + Yb .

5. Man stellt 1 der unteren Zungenteilung unter a der Eubikskala^
liest auf der zuerst benützten Skala die Zahl unter b der Eubikteilang
ab; vermehrt um eine Einheit und findet unter der neuen Zahl der
verwendeten unteren Zungenteilung auf der kongruenten Teilung des
Stabes das Ergebnis j/a + Yb .

6. Auf der oberen Skala des Stabes steht als entsprechende Zahl

7. Auf der Eubikskala steht als entsprechende Zahl (Va + Vb)\

8. Benützt man in (5) die obere Zungenteilung^ so erhalt man die
Ausdrücke y^ + Wy bezw. (aV. + 6V.)V, und (aV. + ftV.)'/.. Auch
hier gilt das ganz analoge Verfahren für die Subtraktion und dnicli
eine weitere Ablesung ergeben sich noch viel verwickeitere Ausdrücker

Wa+Vby VVä + Vh usw.

m.

Die Erweiterung des Ritterschen Verfahrens auf Ausdrücke der
Form — I — beruht auf der bekannten Regel, bei Berechnung von

reziproken Werten -, — ^, -j die Zunge verkehrt einzuschieben.

X yx ^

(Skalenfolge: A, C, B, D,)

Es ist nahezu selbstverständlich , wie sich Ausdrücke -, und x —

^ yx

finden lassen:

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Von Paul Esnbt. 68

a. Man schiebe die Zange verkehrt ein^ stelle x auf C ein, so erhält
man auf der Eubikteilnng -^ •

b. Man schiebe die Zunge verkehrt ein, stelle auf der Eubikteilung x
ein, so erhält man auf C -s —

Es ist:

^^> a^ b ab

Aus (2*), nämlich:

a: 1-6:6' folgt 6-a6'.

Dividieren wir (3) in der Form a : 1 =- (a ± 6) : (1 ± ft') durch (2*),
so eigibt sich:

ab * ab' '
woraus wegen (4)

(6) i±i-(l±f)i

1. Es ergibt sich somit für — h t^ folgende Regel:

Man stellt a auf Ä ein, schiebt die Zunge verkehrt ein und Bl
unter a, liest unter 6 auf Ä ^ auf B^ bildet /3 = 1 + ^ , stellt ß auf
Ä ein, schiebt Bl darunter und findet auf B unter a der Skala Ä
- + y (Auch aui Ä über a der Skala B.)

2. Nimmt man die letzte Ablesung auf C vor, so erhält man y — h t^
(bezw. auf D).

3. Auf der Eubikskala findet sich bei der 2. Art der Ablesung

e+r-

Führt man L statt mit Ä imd B, mit C und D aus und liest nach
der 2. Art ab, so findet sich — ^ -r m D, darüber in Ä ( — h t^)

und in der Kubikskala ( — ^ t) -

Man stellt auf D unter a der Skala Ä ein, schiebt Gl darüber
liest unter 6 der Skala Ä auf C ab, addiert 1, stellt auf D die
gefundene Zahl ein, schiebt 1 darüber und liest unter a der Skala B

auf D schon ( — = + - _ ) ab.

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64 Zur Addition und Subtraktion usw. Von Faul Ebvbt.

6. Nimmt man die letzte Ablesung auf A vor^ so findet man

7. Liest man auf der Enbikskala ab, ergibt sich ( — + -y=r\ .

8. Um -j + p zu finden, stellt man auf D a ein, schiebt B^ darüber,

liest in B über b von D ab, vermehrt um 1, stellt die neue Zahl
auf Ä ein, darunter 1 von B und findet über a von C das Resultat

i + p a^ ^•

9. Nimmt man die Ablesung auf D vor, so erhält man y—i + p •

10. Auf der Kubikteilung entspricht dem die Ablesung f-i + Tt) •

11. Man stelle (71 unter a der Kubikteilung, lese die Zahl unter b der
Kubikteilung auf C ab, vermehre um 1, stelle auf D die neue Zahl
ein, schiebe (71 darüber. Auf C steht unter a der Kubikteilung

das gesuchte (i^ + ^).

12. Nimmt man die letzte Ablesung auf B vor, so ei^bt sich

(vs

ä'^Vb)-

Ganz analog hätte man zu verfahren, um die entsprechenden Diffe-
renzen zu berechnen.

Durch eine weitere Verschiebung und Ablesung ließen sich Aus-
drücke von weit verwickelterem Baue auswerten.

Wenn auch in der Praxis Ausdrücke von der oben behandelten
oder einer ähnlichen Form verhältnismäßig selten vorkommen werden,
so scheint es mir doch theoretisch von Interesse zu sein, daß mittels
des Rechenschiebers auf so kurze Art so verwickelt gebaute Ausdrücke
sich auswerten lassen.

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Kleinere Müteilungen. — Bücherschau. 65

Eleinere Mitteilnngen.

Prelsanfisabeii der Aeadimie des Sciences de Paris ans der angewandten
Mathematik nnd Physik.

Für 1907. »)

Prix VaiUant (4000 fr.): Perfectionner an nn point important le
Probleme d 'Analyse relatif a l'^quilibre des plaques älastiques encastr4es,
c'est-a-dire le problime de Tintegration de T^quation

ayec les conditions qae la fonction u et sa d^riy^ suivant la normale an
contour de la plaque soient nulles. Examiner plus sp^cialement le cas d'un
contour rectangulaire. — Les Memoires devront etre envoj^s au Secr^tariat
ayant le l** janvier 1907.

Fflr 1908.

Prix Foumeyron (lOOO fr.)*)- Becherches th^oriques ou experimentales
sur les turbines a yapeur.

Prix Damoiseau (2000 fr.): Theorie de la planete basee sur toutes les
obseryations connues. — Schluß der Bewerbungen am 31. Dezember 1907.

Ffir 1909.

Prix VaUkmt (4000 fr.): Perfectionner, en un point important, l'ap-
plication des prindpes de la dynamique des fluides a la th^orie de llielice.
— Schluß der Bewerbungen am 31. Dezember 1908.

Büchersclian.

P. Stephan^ Die Teohnisohe Mechanik. Elementares Lehrbuch fGoc

mittlere maschinentechnische Fachschulen und Hilfsbuch fiir Studierende

höherer technischer Lehranstalten. Erster Teil: Mechanik starrer Körper.

Verlag yon B. G. Teubner 1904.

Da ein kurzgefaßtes, die besonderen BedCLrfriisse des angehenden

Maschinenbauers berCLcksichtigendes Lehrbuch bisher yermißt wurde, so darf

wohl bei einem Unternehmen, die Lücke auszufüllen, die Frage ungestellt

bleiben, ob die Anlehnung an die bekannten Werke nicht teilweise etwas

1) Vgl. diese Zeitschrift Bd. 61 (1906), S. 436.

2) Vgl. diese Zeitschrift Bd. 60 (1904), S. 167.

Zdtsohrifk f. MathMn*tUr u. Physik. 6S. Band. 1906. I.Heft. 6

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66 Bücherschan.

weit geht. Auch daß die Differentialrechnung nur „verkappt" auftritt, was
ja freilich die Kürze nicht fordert, könnte m. E. das Interesse för die
Erscheinung nicht wesentlich beeinträchtigen. An Stoff enthält das Buch
tatsächlich „etwa das Minimum dessen, was ein Student im Yorexamen
wissen muß." Daß es sich nur an den Maschinenbauer wendet, hätte noch
augenfälliger und eindringlicher im Titel zum Ausdruck kommen sollen,
etwa mit den Worten: „Die Technische Mechanik des Maschinenbauers"
oder „Die Maschinenmechanik." Die Schreibweise ist im ganzen klar und
einfach; die zahlreichen Beispiele sind gut gewählt und sogar teilweise neu.

Man könnte sich also über das Erscheinen des Werkchens nur freuen,
wenn es nicht durch eine Menge von schlinamen Fehlem aller Art so ent-
stellt wäre, daß die aus dem Buch zu schöpfende Belehrung denn doch
recht fragwürdiger Art ist. Davon einige Proben.

S. 18 ist als Beispiel für räumliche Eräftezerlegimg die Aufhängung
einer Last Q an einem Bock gewählt, der aus drei gegen den Horizont
gleich geneigten Streben gebildet wird. „Da alle Streben mit Q denselben
Winkel bilden, sind die Druckkräfte in ihnen gleich." (I) Dabei kann nicht
etwa angenommen werden, daß vielleicht nur vergessen sei, die selbstver-
ständliche Voraussetzung voranzuschicken: die Horizontalprojektionen schließen
miteinander Winkel von je 120® ein. Nein, diese Orientierung wird
schließlich gerade als Folgerung aus der Gleichheit der Strebendrucke ab-
geleitet I Zum Überfluß enthält die Skizze noch eine Querverbindung
zwischen zwei Streben, die der angestellten Betrachtung über die Krafbver-
teilung jegliche Berechtigung nimmt.

S. 34 „Ein Eräftepaar hat das Bestreben, eine Drehbewegung des
Körpers hervorzurufen, während Einzelkräfte eine fortschreitende Bewegung
herbeizuführen bezw. zu ändern suchen." Und mit derselben Leichtigkeit
S. 46 (nach Reduktion eines Eräftesystems auf Kraft B imd Kräftepaar (r^
senkrecht dazu): „Ist der Körper frei beweglich, so wird er sich unter dem
Einfluß der Kraft B in ihrer Richtung, die auch die der Zentralachse ist,
geradlinig fortbewegen und gleichzeitig infolge des Kräftepaares G^ eine
Drehung um diese Zentralachse ausführen." Dann wieder auf S. 321, nach-
dem die Gleichung ^ = i jfc» + i /«,»

für das Arbeitsvermögen des starren Körpers abgeleitet ist: „Als Voraus-
setzung gilt dabei (I), daß die durch den Schwerpunkt gehende, einzige (?)
Drehachse ihre Richtung im Raum nicht ändert, daß also eine wirbelnde
Bewegung des Körpers nicht eintritt. Wirkt auf den Schwerpunkt eines
Körpers von der Masse M die konstante Kraft P und besteht außerdem

ein nach Größe \ind Drehebene konstantes Drehmoment JfeT, so er-

p
zeugt erstere die fortschreitende Beschleunigung i> = "ir ^^^ letzteres die

M
Winkelbeschleunigung € = -^". Alle diese Sätze sind so verkehrt, daß man

vielleicht in kürzerer Zeit einen Abriß des ganzen Gebietes liefern, als
aus Herrn Stephans Aufstellungen die einzelnen Irrtümer herausschälen und
widerlegen könnte.

S. 95 ist ein Körper in zwei Punkten Ä und B gestützt, und unter
dem Einfluß einer Kraft G betrachtet, welche die Reaktionen Nj^ und If^

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Bücheischau. 67

in Ä und B hervorruft. ,^amit Gleichgewicht besteht, müssen diese drei
Kräfte in einer Ebene liegen und sich in einem Punkt schneiden. Diese
beiden Bedingungen sind notwendig und hinreichend (I). Die Figur zeigt
nun, daß die zweite auf unendlich viele verschiedene Weisen erfüllt werden
kann, denn wenn die Größe und Richtung von N^ beliebig angenommen
ist(I), kann stets eine Kraft ^2 gefunden werden, die mit N^ und G im
Gleichgewicht steht usw/' Die Bedingungen sind nicht hinreichend, sondern
es muß auch noch das Kräftedreieck geschlossen sein; von N^ d&ri nur die
Bichtung oder (in gewissen Grenzen) die Grröße angenommen werden, sonst
kann keine durch B gehende Kraft N^ gefunden werden.

Die Abbildungen zum Kapitel „Keil'^ S. 125 sind mehr als bedenklich.
Von den früheren Darstellungen „ländlicher Vorrichtungen zum Spalten
roher Stämme^^, wie sie Beuleaux vorfand, ist man wohl ziemlich allgemein
zur „Prismenkette^^ übergegangen. Bleibt man indessen dabei, das zu
Trennende als einen einzigen, zusammenMngenden Körper zu zeichnen, so
darf man ihn doch nicht von dem Keil völlig ausfüllen lassen, wobei die
Natur der widerstehenden Kräfte ganz rätselhaft bleibt. Herr Stephan
stellt aber an Hand dieses Bildes sogar Betrachtungen über den Bückwärts-
gang des Keiles an.

Verfehlt ist auch die Behandlung der Diflferentialbandbremse auf S. 175.
Sind Pi und P^ > P^ die Spannkräfte in den beiden Trümern, b^ und h^
ihre Hebelarme in bezug auf den festen Punkt des Hebels und ist U die
Umfangskraft an der Bremsscheibe, so ist — solange Gleitung stattfindet —
das Moment von P^ und Pj iiil>ezug auf diesen Punkt:

oder mit c = ft^ : 6,

6^" — C

M = Uh. •

Da über das Verhältnis b^ : b^ keinerlei Voraussetzung gemacht wurde,
so gibt die Gleichung auch ganz allgemein die Größe eines am Bremshebel
auszuübenden Momentes Da an, welches am ümfiBLng der noch gleitenden
Scheibe einer Kraft U das Gleichgewicht halten soll. Praktische Bedeutung
hat sie aber nur, sofern der Gleichgewichtszustand ein stabiler ist.

unterscheidet man 3 Gebiete, jenachdem

Lc<l n. e'*«>c>l m. c>e^«,

80 ist Stabilität nur in L und HL vorhanden. In H. führt eine Bewegung
des Hebels im Sinne von Da ein Abheben des Bremsbandes, dagegen
jedes Sinken von Da unter einen bisher Gleichgewicht haltenden Wert
ein „Festbremsen^^ herbei

Die festgebremste Scheibe übt eine ganz bestunmte Umfangskraft Umax
aus, und da jetzt P, «PjC*''*', wo s ein positiver echter Bruch oder Eins
ist, so lautet die neue Gleichgewichtsbedingung:

t^^^ — c

Da = Umax &9

^nuix ^2

6*

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gg Bücherschau

Der Tatbestand, daß bei einem und demselben Da sowohl Festbrem-
sung mit Umax'i ^ Gleitong bei kleinerem U eintreten kann, ist also an
die Bedingung e^^ —c e*^" — c

gebunden, die ihrerseits nur mit e^ * > c > 1 erfüllbar ist Der Tatbestand
ist danach nur dem Gebiet 11 eigentümlich; im I. imd m. tritt bei
kleinem Da Gleiten, bei großem aber Festbremsen auf, und zwar liegt die
Grenze bei «a

Die Werte für die Trumkräfte P, und P^ bei festgebremster Scheibe
sind natürlich mit Pj — Pj = Umax aus der Momentengleichung am Hebel
leicht abzuleiten.

Es erscheint nun zwar nicht unmöglich auf Grund dieser Verhältnisse
im Gebiet n eine Art „selbstsperrender Lüftungsbremse^^ anzuordnen, sofern
nur zunächst durch eine geringe Kraft für Anliegen des Bremsbandes ge-
sorgt wird. Da aber Gleiten des Bandes hierbei nur außerordentlich kurze
Zeit auftreten kann, so müßte ein heftiger Stoß erfolgen, der nur etwa
durch Einschaltung besonders nachgiebiger Verbindungen unschädlich gemacht
werden könnte. Eiue Ausführung dieser Art dürfte also kaum existieren.

Gebiet I und m unterscheiden sich zunächst durch das entgegen-
gesetzte Vorzeichen von Ba^ dann aber viel wesentlicher noch durch fol-
genden Umstand: während in I. Da dem Absolutwert nach über ü\ bleibt,
liefern in m wenigstens die vorstehenden Betrachtungen keine untere
Grenze für Da, Es scheidet danach auch I für die Anwendung aus, die
ja auf kleine Werte Da abzielt. Daß praktisch nur das Gebiet III iu Be-
tracht kommt, ist denn auch allgemein bekannt, vgl. z. B. die älteren
Auflagen des Taschenbuchs der Hütte. In dasselbe Gebiet fallen natürlich
auch die Lüftungsbremsen üblicher Bauart, deren Eigenart nur darin be-
steht, daß das Moment Da durch ein Gewicht dauernd ausgeübt wird, daß
also zum Niedergang der Last „gelüftet^' werden muß.

Herr Stephan behauptet dementgegen: „In der Praxis (I) wird \ stets
kleiner als \€f*^ ausgeführt, außer bei den Lüftungsbremsen, die ein Herab-
gehen der Last erst beim Anheben des Bremshebels zulassen." Er empfiehlt
also gerade Gebiet I. und H. für die gewöhnliche Bremswirkung, während
in Wirklichkeit I keinen Vorteil vor der einfachen Bremse bietet und II
die unbrauchbaren labilen Fälle bezw. die wohl nie ausgeführte selbst-
sperrende Bremse umfaßt. Angesichts der Ziele des Stephanschen Buches
scheint mir aber gerade ein Verstoß gegen die unmittelbare praktische
Anwendung besonders schlimm. Zudem übernimmt Herr Stephan durch
doppelte Beispielrechnung (95) aus dem labilen Gebiet H noch einmal
ausdrücklich die Verantwortung für seine falschen Aufstellungen.

In einer zweiten Auflage, die , einem Buch von so erwünschter Rich-
tung gewiß bald bevorsteht, werden hoffentlich die besprochenen Fehler
mit den vielen andern, die vorzubringen der Raum fehlte, verschwunden sein.

Braunschweig. B. Seutsch.

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Nene Bücher. 69

Nene Bücher.

Analysig.

1. Bruhs, H., Wahrscheinlichkeitsrechnung nnd Eollektivmaßlehre. (Teubners
Sammlung Bd. XYII.) Leipzig 1906, Tenbner. geb. in Leinw. M. 8.40.

2. Lbathem, J. G., Yolume and snrface integrals nsed in Physics. (Cambridge
Tracts in Mathematics and Mathematical Physics Nr. 1.) Cambridge 1905,
University Press. 2 s. 6 d.

Astronomie.

S« Bbendbl, Mastbi, Theorie des Mondes. (Abhandinngen der £. Gresellsch. der
Wissenschaften zu Göttingen, mathem.-physikal. Klasse, neue Folge Bd. m
Nr. 4.) Berlin 1906, Weidmann. M, 7.

4» EszTKLOPADn der mathem. Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen.
Bd. YI, 2. Astronomie. Red. v. £. Schwarzschild. 1. Heft. Leipzig 1905,
Teubner. M. 6.80.

5« Fbischauf, Jobs., Die (jauß-Gibbssche Methode der Bahnbestimmung eines
Himmelskörpers aus drei Beobachtungen. Mit einem Anhang zum „Grundriß
der theoret. Astronomie*'. Leipzig 1905, Engelmann. M. 1.20.

6« Kobold, Hsbicank, Der Bau des Fizstemhimmels , mit besonderer Berück-
sichtigung der photometrischen Resultate. (,4^ie Wissenschaft" Heft 11.)
Braunschweig 1906, Yieweg & Sohn.

S. auch Nr. 8, 28.

Darstellende Geometrie.

7« YoNDSBLnoi, J., ParallelperspektiTe, rechtwinklige und schiefwinklige Axono-
metrie. (Sammlung Göschen Nr. 260.) Leipzig 1905, Gtöschen.

geb. in Leinw« M. —.80.
Geschichte*

8« Ebstxu, Erich, Aus G. C. Lichtenbergs Correspondenz. Stuttgart 1906, Enke.

9« BousE Ball, W.-W., Histoire des Math^matiques. Edition fran9aise revue et
augmentäe, traduite sur la troisi^me Edition anglaise par L. Freund. I. Les
Math^matiques dans Tantiquitä. Les Math^atiques an moyen-age et pen-
dant la renaissance. Les Mathämatiques modernes de Descartes ä Huygens.
Notes compl^mentaires. Paris 1906, Hermann.

S. auch Nr. 22.

Logikrechiiiuig.

10. ScHBÖDBB, Ebnst, Vorlcsungen über die Algebra der Logik (Exakte Logik),
n. Bd. 2. Abtlg. Hrsg. im Auftrag der Deutschen Mathematiker- Vereinigung
y. Eugen Müller. Mit einem Bildnis Ernst Schröders. Leipzig 1905, Teubner.

M. 8.
Mechanik« «

11. MsHBTERs, GsoBG Chbistoph, VorloBungen über Statik der Baukonstruktionen
und Festigkeitslehre. 3. Bd. Formänderungen und statisch unbestimmte
Träger. Nebst Sach- und Namenverzeichnis über das ganze Werk. Leipzig
1906, Engelmann. M. 20. — ; geb. in Leinw. M. 21.

12. MoHB, Otto, Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik.
Berlin 1906, Ernst & Sohn. M. 16. — ; geb. M. 16.60.

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70 Neue Bücher.

18. Vabb, f. J., Graphostatica. I. Samenstellen en ontbinden van krachten met
toepaBsingen en uitgewerkte vraagstokken. Deventer 1905, Kluwer. Fl. 1 . 60.

14. Zech, F., Aufgabensanmilang zur theoretischen Mechanik nebst Auflösungen.
In dritter Auflage hrsg. v. C. Cranz unter Mithilfe v. Ritter von Eberhard.
Stuttgart 1906, Metzler. M. 4.60; geb. in Leinw. M. 6.20.

Physik.

16. Flemiko, J. A., Elektrische Wellentelegraphie, vier Vorlesungen. Autorisierte
deutsche Ausgabe von E. Aschkinaß. Leipzig und Berlin 1906, Teubner.

M. 4.20.

16. FoKTscHsiTTE, dic, der Physik im Jahre 1904. Dargestellt von der deutschen
physikal. Gesellschaft. 60. Jahrg. 3. Abtlg. Kosmische Physik. Braun-
Bchweig 1905, Vieweg & Sohn. M. 28.

17. Fbaunhofek, Joseph, Bestimmung des Brechungs- und Farbenzerstreunngs-
Vermögens verschiedener Glasarten in bezug auf die Vervollkommnung achro-
matischer Femröhre. Hrsg. v. A. von öttingen. (Ostwalds Klassiker Nr. 160.)
Leipzig 1906, Engelmann. geb. M. 1.20.

18. Gbjletz, L., Kurzer Abriß der Elektrizität. 4. verm. Aufl. Stuttgart 1906,
Engelhom. geb. in Leinw. M. 3.

19. Geosse, W., Ionen u. Elektronen. Eine kurze Darstellung der Entwicklung
u. Begründung neuerer Anschauungen insbesondere der lonentheorie. Leipzig
1906, Quandt & HändeL M. 2.25.

20. Hallo, H. S., u. Lahd, H. W., Elektrische u. magnetische Messungen u. Meß-
instrumente. Freie Bearbeitung u. Er^lnzung des Holländischen Werkes
Magnetische en Elektrische Metingen von G. J. van Swaay. Berlin 1906,
Sprinj^er. geb. M. 15.

21. Hat, Alfbed, Altemating currents : Theirtheory, generation, and transfoimation.
London 1905, Harper. 6 s.

22. La Coub, Paul, und Appel, Jacob, Die Physik auf Grund ihrer geschichtlichen
Entwicklung für weitere Bjreise in Wort und Bild dargestellt. Autorisierte
Übersetzimg v. G. Siebert. Braunschweig 1906, Vieweg & Sohn.

28. LisTiNÖ, Johann Benedikt, Beitrag zur physiologischen Optik. Hrsg. r.
0. Schwarz. (Ostwalds Klassiker Nr. 147.) Leipzig 1906, Engelmann.

geb. M. 1.40.

24. LoDOE, Sir Olivee, Sur les ^ectrons, Conference, falte k Tlnstitution of Elec-
trical Engineers le 6 novembre 1902. Traduite de TAnglais par E. Nugfues
et L P^ridier. Paris 1906, Gauthier-Villars. Frs. 2.75.

25. Peaeson, f. R., Problems in practical Physics. London 1906, Oliver & Boyd.

6 d.

26. Pellat, H., The new state of matter. An adress delivered April 3, 1906.
Eomance of science. London 1906. 1 s.

27. Schusteb, Abthur, Advanced exercises in practical Physics. 2nd ed., revised.
Cambridge 1905, üniversity Press. 8 s.

28. ScHWARzsGHiLD , K. , üntcrsuchungen zur geometrischen Optik. HL Über die
astro-photographischen Objektive. (Abhandlgn. der K. Gesellsch. d. Wiss. zu
Göttingen, mathem.-physikal. Klasse, neue Folge, Bd. IV, Nr. 3.) Berlin 1906,
Weidmann. M. 4.

29. WiNCKELUANN, A. , Haudbuch der Physik. 2. Aufl. Leipzig 1906, Barth.

m. Bd. Wärme. 1. Hälfte. M. 16. VI. Bd. Optik. 2. Hälfte. M. 30.
(VI. Bd. vollständig M. 44; geb. in Halbleinw. M. 46.)
80. Witte, Hans, Über den gegenwärtigen Stand der Frage nach einer mecha-
nischen Erklärung der elektrischen Erscheinungen. (Naturwissenschaftl. Studien
Heft 1.) Berlin 1906, Ebering.

S. auch Nr. 2.

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Nene Bücher. — Eingelaufene Schriften. 71

Tafeln.

81. Albbbcht, Th., Logarithmisch-trigonometriBche Tafeln mit fanf Dezimalstellen.
9. Stereotyp -Auflage. Berlin 1906, Stankiewicz.

82. Abnaudeau, A., Tables des int^r^ts composäs, annoitäs et amortissements pour
des tanx variant de dixi^mes en dixi^mes et des ^poqnes yariant de 100 ä
400 sniyant les tanx. Paris 1906, Granthier -Yillars. Frs. 10.

Tersehiedenes.

88. Dyck, Waltheb von, Über die Errichtung eines Museums von Meisterwerken
der Naturwissenschaften und Technik in München. Festrede zur Übernahme
des ersten Wahlrektorates bei der Jahresfeier der technischen Hochschule zu
München, gehalten am 12. Dezember 1903. Leipzig u. Berlin 1906, Teubner.

M. 2.

84. ZsrrscHBiFT f. Mathematik u. Physik. Generalregister zu Bd. 1 — 60. Bearb.
V. E. Wölffing. Leipzig 1905, Teubner. M. 16.

Eingelaufene Schriften.

[Li dieser Abteilung werden alle eingelaufenen Schriften regelmäßig aufgeführt.
Die Besprechung geeigneter Schriften bleibt vorbehalten. Bücksendung findet

nicht statt.]

Abhahdlungbn der Fries sehen Schule. Neue Folge, hrsg. v. Gerhard Hessenberg,
Karl Kaiser u. Leonard Nelson. 3. Heft. IX. Bemerkungen über die Nicht-
Euklidische Geometrie und den Ursprung der mathematischen Gewißheit.
X. Vier Briefe von Gkkuß u. Wilhelm Weber an Fries. XI. Wissenschaftliche
und religiöse Weltansicht. Göttingen 1906, Yandenhoeck & Ruprecht.

M. 2.40; Subskr. Preis M. 2.

AxBBECHT, Th., Logarithmisch -trigonometrische Tafeln, s. N. B. („Neue Bücher")
Nr. 81.

Amodeo, Fsderico, Lezioni di geometria projettiva, dettate nella B. üniversitä> di
Napoli. 3' edizione (1* ed. tipografica) migliorata e aumentata. Napoli 1906, Pierro.

AaNAm>KAu,A., Tables des intär^ts composäs, annuitäs et amortissements, s. N. B. 32.

AiiTBONOMiscHEB Ealcuder für 1906. Hrsg. v. der k. k. Sternwarte zu Wien. Wien,
Gerolds Sohn. M. 2.40.

Astronomisch -geodätische Arbeiten I. Ordnung: Bestimmung der Längendifferenz
Potsdam — Borkum und der Polhöhe auf Station Borkum im Jahre 1904. (Ver-
öffentlichung des k. preußischen geodätischen Institutes, neue Folge Nr. 24.)
Berlin 1906, Stankiewicz.

BoBBAs, E., Relative Bestimmungen der Intensität der Schwerkraft auf den Stationen
Bukarest, Tiglina bei Galatz, Wien, Charlottenburg und Pulkowa im Anschluß
an Potsdam. (Veröffentlichung des k. preußischen geodätischen Institutes,
neue Folge Nr. 23.)

Bbendel, M., Theorie des Mondes, s. N. B. 8.

Bburs, H., Wahrscheinlichkeitsrechnung und Eollektivmaßlehre, s. N. B. 1.

BüBKLBH, 0. Th., Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene.
(Sammlxmg Göschen Nr. 266.) Leipzig 1905. geb. in Leinw. M. —.80.

Dyck, W. von, Über die Errichtung eines Museums von Meisterwerken der Natur-
wissenschaften und Technik in München, s. N. B. 33.

Ebstein, E., Aus G. C. Lichtenbergs Correspondenz, s. N. B. 8.

Elsassxb, W., Leitfaden der Stereometrie. Ein Hilfsbuch zum Gebrauch beim
Unterricht an höheren Lehranstalten. Stuttgart u. Berlin 1906, Grub.

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72 Eingelaufene Schriften.

Fnns, HsNRY Bubchabd, A College Algebra. Boston 1905, Ginn & Co.

cloth. 6 8. 6 d.

FuDONO, J. A., Elektrische Wellentelegraphie, s. N. B. 16.

Fbaünhofbb, J., Bestimmung des Brechungs- und FarbenzerstreuungsrermOgenB
verschiedener Glasarten, s. N. B. 17.

GuTZMEB, A., ßeformvorschläge für den mathematischen und naturwissenschaft-
lichen Unterricht, entworfen von der ünterrichtskommission der Gesellschaft
Deutscher Naturforscher und Ärzte, nebst einem allgemeinen Bericht über die
bisherige Tätigkeit der Kommission. Leipzig u. Berlin 1905, Teubner. M. 1.

Hallo u. Land, Elektrische u. magnetische Messungen u. Meßinstrumente, s.
N. B. 20.

HoRN, J., Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. (Sammlung
Schubert L.) Leipzig 1905, (Aschen. geb. in Leinw. M. 10.

Kobold, H., Der Bau des Fixstemhimmels, s. N. B. 6.

La Coub u. Appkl, Die Physik auf Grund ihrer geschichtlichen Entwicklung . . .,
s. N. B. 22.

Lagrange, Jossph Louis, Über die Lösung der unbestimmten Probleme zweiten
Grades (1768). Aus dem Französischen übersetzt und hrsg. von E. Netto.
(Ostwalds Klassiker Nr. 146.) Leipzig 1904, Engelmann. kart. M. 2.20.

Leathsm, J. G., Volume and surface Integrals used in Physics, s. N. B. 2.

Lshbiottsl-Katalog, Illustrierter. Auswahl der bewährtesten Lehrmittel f. Yolks-
und Bürgerschulen, Gymnasien, B«alschulen und verwandte Anstalten. Wien
1906, Pichlers Witwe & Sohn.

LisTniG, J. B., Beitrag zur physiologischen Optik, s. N. B. 23.

LoDGB, Snt Olivbb, Les ^lectrons, s. N. B. 24.

Mahbs, A., Grundzüge des Versicherungswesens. („Aus Natur und Geisteswelt*%
105. Bändchen.) Leipzig 1906, Teubner. M. 1; geb. M. 1.25.

MüLLXB, Fbanz Joe., Ein neuer Netzentwurf für topographische Karten. (Sonder-
abdruck aus: „Süddeutsche Techniker- Zeitung*^) München 1905, Verlag:
Bayerischer Techniker -Verband.

Nbikibk, Lbwis Ibving, Groups of Order p^ which contain cyclic subgroups of order
^m— s (i>ublications of the university of Pennsylvania, series in Mathematics
No. 8.) Phüadelphia 1905, The John C. Winston Co.

Niblsbn, N., Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Leipzig 1906, Teubner.

geb. in Leinw. M. 12.

BiATDT, H., Spielnachmiitage. Leipzig u. Berlin 1905, Teubner.

BousE Ball, W.-W., Histoire des Math^matiques , s. N. B. 9.

ScHBÖDEB, E., Algebra der Logik, II 2, s. N. B. 10.

Sohubebt, Hebmanm, Auslese aus meiner Unterrichts- und Vorlesungspraxis. IL
Leipzig 1905, Göschen. geb. in Leinw. M. 4.

ScBWABZBCHiLD , K. , Untersuchungen zur geometrischen Optik, III, s. N. B. 28.

VrvAMTi, G., Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen. Umarbeitung, unter
Mitwirkung des Verfassers deutsch hrsg. v. A. Gutzmer. Leipzig 1906, Teubner.

geb. in Leinw. M. 12.

VoNDEBLiKN, J. , Parallclperspektive , s. Nr. B. 7.

Wbbbb, H., u. Wellsteuv, J., Encyklopädie der Elementar-Mathematik. I: Ele-
mentare Algebra u. Analysis. 2. Aufl. Leipzig 1906, Teubner.

geb. in Leinw. M. 9.60.

Wilson, J. Cook, On the traversing of geometrical figures. Addendum to the Note
upon the most general form of the construction of reciprocal figures. Oxford
1905, Clarendon Press. 6 d.

Witte, H., Mechanische Erklärung der elektrischen Erscheinungen, s. N. B. 80.

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Abhandltmgsregiflier 1904—1906.

73

Abhandlnngsregister 1904—1905.

Von Ernst Wölfping in Stattgart.

(Die Zahlen über 2604 beziehen sich auf das im nächsten Heft erscheinende
Technische Abhandlnngsregister 1903—1904).

Abkürzungen.

A. A.B.L Atti dell* Associazione Elettrica

Italiana, Torino 9 (1904).
A.A.M. Abh. d. E. Bayr. Akademie,

München 22.
A.A.N.Y. Annais of the Academy of

Science, New York 16.
A.A. e.V. Atti deir Accademia Olimpica,

Vicenza 33 (1901—02).
A.A.P. Atti della B. Accademia di

Scienze, Lettere ed Arti, Palermo 6.
A.A. P.M. Atti della B. Accademia Pe-

loritana, Messina 1902—03.
A.A.P.N. Atti dell* Accademia Ponta-

niana, Napoli (2) 9.
AA.T. Atti della B. Accademia di

Scienze, Torino 89—40.
A.A.W. Anzeiger der K. K. Akademie,

Wien 1904—05.
A.B. Atmosphaera, Budapest 7 — 8.
A.C.J. American Chemical Journal,

Baltimore 34.
A.C.P. Annales de Chimie et de Phy-

sique, Paris (8) 8 — 6.
A.D M. Annali di Matematica pura ed

applicata, Milano (3) 9—12.
AD.P.N. Abhandlungen zur Didaktik

und Philosophie der Naturwissen-
schaft 2.
A.D.S.H. Aus dem Archiv der Deutschen

Seewarte, Hamburg 26—27.
A.E.N. Annales de TEcole Normale

Sup^rieure, Paris (8) 21.
A.F. Comptes Bendus de TAssociation

Francaise pour TA vancement des Scien-
ces, Paris 1903—04.
A.F.6.P. Archiv für die gesamte Phy-
siologie, Bonn 87; 101; 105.
A.F.M. Archiv des Vereins der Freunde

der Naturgeschichte von Mecklenburg,

Bostock 59.

A.F.S.6. Abhandlungen der Friesschen

Schule, Göttinnen 1.
A.6.C. Atti dell' Accademia Gioönia

di Scienze Naturali, Catania (4)

16—17.
I A.O.E.R. Abhandlungen aus dem Ge-
I biet der Elektrotherapie und Badio-
I loffie 1.

I A.6.L. Abhandlungen der K. Sachs.
I Gesellsch. der Wissensch., Leipzig

27; 29.
A.Gr. Archiv der Mathematik und

Physik, Leipziff (3) 6—8.
A.H. Annalen der Hydrographie und

maritimen Meteorologie , Hamburg

82—38.
A.I. American Inventor 12.
A.I.V. Atti del B. Istituto Veneto di
I Scienze, Lettere ed Arti, Venezia
' 61—63.
' A.J.B. Astronomical Journal, Boston

23—24.
A.J.C. Astrophysical Journal, Chicago

16—17; 19—21.
A.J.S. American Journal of Science,

New Haven (6) 19.
A.J.W. Assekuranzjahrbuch, Wien 24.
A.L.M. Memorie della B. Accademia

dei Lincei, Boma (5) 4.
A.M. Acta Mathematica, Stockholm

28—29.
A. M. A. F. Arkif fSr Mathematik, Astro-

nomi och Fysik, Stockholm 1.
A. M. G. Archiv for Mathematik og Natur-

videnskab, Christiania 25.
A.M.T. Archives du Musde Teyler,

Haarlem (2) 8—9.
A.N. Archives Näerlandaises , Haarlem

(2) 8—10.
A.N.J. Aeronautical Journal 8.

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74

Abhandlungsregister 1904—1905.

A.N.K. Astronomische Nachrichten, Kiel

165—169.
A.N.L. Annalen der Naturphilosophie,

Leipzig 3 — 4.
A.ofM. Annais of Mathematics, Cam-
bridge (MasB.J (2) 6.
A.O.P. Annales de TObservatoire,

Paris 24.
A.P.B. Bulletin der K. K. Akademie,

Petersburg (5) 19—20.
A.P.L* Annalen der Physik, Leipzig

^4) 14—17.
A.P.N. Mämoires der K. K. Akademie,

Petersburg (8) 14—16.
A.P.T.R. Wissenschaftliche Abhand-
lungen der Physikalisch -Technischen

Reichsanstalt 4.
A.R.L. Astronomische Bundschau,

Lussinpiccolo 5 — 6.
A.R.U.6. Atti della B. Universitä,

Genova 11.
A.S.A. Anales de la Sociedad Cientifica

Arjzentina 57; 59.
A. S. 6. Annales de la Soci^tä Seien tifique

de Bruxelles, Louvain 28 — 29.
A.S.C.M. Annali della Societä Chimica,

Milano 11.
A.S.6. Archives des Sciences Physique

et Naturelles, Genöve (4) 16—20.
A.S.M.F. Annales de la Soci^t^ m^-

t^orologique de France, Paris 52 — 53.
A.S.P. Annali della Scuola Normale

Superiore, Pisa 9.
A.S.T.P. Atti della Societä Toscana

delle Scienze, Pisa 14.
A.S.U.J. Annales Scientifiques de

l'üniversit^, Jassy 3.
A.T. Annales de la Faculte, Toulouse

(2) 5—6.
A. U. 6. Annales de TUniversitä,

Grenoble 16.
A.U.J. Acta et Commentationes Imp.

üniversitatis, Jurjew 1903 — 05.
A. ü. T. Annali delle üniversita Toscane,

Pisa 24.
A.V.N. Allgemeine Vermessungsnach-
richten 1908 — 04.
B.A. Bulletin astronomique, Paris

21—22.
B.A.B. Bulletin de TAcad^mie Boy.

des Sciences, des Lettres et des Beaux

Arts, Bruxelles 1904—05.
B.A.Co. Oversigt der K. Videnskabs

Selskabet, Kjöbenhavn 1903; 1905.
B.A.O.S. Bulletin of the American

Geographical Society, New York 36.
B.A.M.T. Bolletino dell' Associazione

Matesis, Torino 8.
ß.B.L. Bolletino di Bibliografia e di

Storia delle Scienze Matematiche,

Genova 7.

B.B.S.W. Bulletin of tne Bureau of
Standards, Washington 1.

B.C. Bolletino di Matematica e di
Scienze Fisiche e Naturali, Bologna 5.

ß.D. Bulletin des Sciences Math^-
matiques, Paris (2) 28—29.

ß.D.M. Bolletino di Matematica, Bo-
logna 8—4.

B.E. Bulletin des £lectriciens (2) 4.

B.F.F. Of^ersigt af Finska Vetenskaps
Societetens Förhandlingar, Helsingfors
44; 46.

B.6. Beitr&ge zur Geophysik, Leipzig
5—7.

B.6.C. Bolletino delle Sedute dell'Acca-
demia 'Gio&nia, Catania 80; 84 — 85.

B.6.L. Berichte der K. Sachs. Gesell-
schaft der Wissensch., Leipzig 55 — 56.

BL Biometrica, Cambridge 2 — 4.

B.LC. Bulletin Litemational de TAca-
d^mie, Erakau 1903—04.

B.LP. Bulletin International de TAca-
d^mie des Sciences, Prae 9.

B.K.N.B. Berichte und ^handlungen
des Klubs fiir Naturkunde, Brunn 6.

B.M. Bibliotheca mathematica, Leipzig
(3) 4—5.

B.M.E. Bulletin des Sciences Math^m.
et Physiques £l^mentaires, Paris 9.

B.M.N. Mathematische und Natur-
wissensch. Berichte aus Ungarn, Bu-
dapest 17; 19—20.

B.P.A. Beiträge zur Physik der freien
Atmosphäre, Straßburg 1.

B. S. A. F. Bulletin de la Societä Astrono-
mique de France, Paris 17 — 18.

B.S.B.A. Bulletin de la Societä Beige
d' Astronomie, Bruxelles 8 — 9.

B.S.C.P. Bulletin de la Societä Chimi-
que de France, Paris (3) 38-

B.S.LE. Bulletin de la Societä Jntet-
nationale des Electriciens, Paris (2) 4.

B.S.N.N. Bolletino deUa Societä Natu-
rale, Napoli 17.

B.S.R.A. Bulletin de la Societä Busse
d'Astronomie, Petersburg 10.

B.S.S.N. Bulletin des Sciences de la
Societä des Sciences, Nancy (8) 1; 5.

B.S.S.O. Bulletin de la Societä Seien-
tifique de TOuest, Bennos 12.

B.S.y. Bulletin de la Societä YaudoiBe
des Sciences Naturelles, Lausanne 80.

B.S.W. Bulletin of the Philosophical
Society, Washington 14.

B.U.K. Nachrichten der K. K. Univer-
sität, Kiev 1904-.05.

B.U.K.L. Bulletin of the Univereity of
Kansas, Lawrence 2.

B.W. Bibliotheka Warszawska, War-
schau 1903.

C. Casopis, Prag 83—34.

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Abhandlungsregißter 1904—1905.

75

C.A.A. Verslagen der Zittingen der K.
Akademie van WetenschappeD, Amster-
dam 12—18.

€.B. Chemische Berichte 87—38.

CCS. Colorado College Studies, Colo-
rado Springs 2.

CM. 6. Zentralblatt für Mineralogie und
Geologie, Stuttgart 1905.

CN. The Chemical News, New York
89—90.

Co. Cosmos, Paris (2) 50 — 51.

CP.L. Communicationa from the Phy-
sical Laboratory at the üniversity,
Leiden.

CR. Comptes Bendus hebdomadaires
des S^ances de TAcad^mie des Sciences,
Paris 138—141.

Cr. Journal für reine und angewandte
Mathematik, Berlin 127—128.

CT.L. Czasopismo techniczne, Lemberg
22.

CZ. Chemische Zeitung, Coethen 28.

D.A.W. Denkschriften der K. K. Aka-
demie Wien 77.

D.I. 6. De Ingenieur, 's Gravenhage 18.

D.M. Der Mechaniker, BerUn 12—13.

D.M.Z. Deutsche Mechanikerzeitung,
Berlin 1905.

D.U.Z. Deutsche ührmacherzeitung,
Berlin 27.

D.V.M. Jahresberichte der Deutschen
Mathematikervereinigung, Leipzig 13
bis 14.

D.V.N. Verhandlungen der Deutschen
Naturforscherversammlung, Leipzig 76.

D.W.B. Das Weltall, Berlin 3—5.

D.Z.R. De Zee, Rotterdam 25—26.

E.CZ. Elektrochemische Zeitschrift,
Berlin 12.

E.L Electrochemical Industry 2.

E.M. L'enseignement Math^matique,
Paris 5—7.

E.M.W. The English Mechanic and
World of Science, London 77; 79; 80.

E.R. Electrical Review, London 45.

E.W. The Electrical World, New York
48.

F. C Forstwissenschaftliches Zentral-
blatt, Berlin 24.

P.T. M^moires de PAcad^mie des Sci-
ences, Toulouse (10) 3 — 4.

€.B. Giomale di Matematiche, Napoli42.

€.L. Gaea, Leipzig 41.

6.M.B. Gazeta Matematica, Bukarest
10—11.

€I.Z. Geographische Zeitschrift, Leipzig
1904.

H.E.B. Himmel und Erde, Berlin 16— 17.

H.E.D. Hemel en Dampkring, Amster-
dam 2.

H.H. Hansa, Hamburg 40.

LA.M. Illustrierte ASronautische Mit-
teilungen, Straßburg 8—9.
LL. Publications de rinstitut, Luxem-

bourg 27.
J.B.A.A. Journal of the British Astro-

nomical Association, London 18 — 14.
J.€.E.T. Journal of the College of

Engineers, Tokyo 2.
J.CP. Journal de Chimie et de Phy-

sique 2 — 3.
J.CS. Journal of the Chemical Society,

London 85; 87.
J.D.S. Journal des Savants, Paris

1904—05.
J. E. P. Journal de Tficole Polytechnique,

Paris (2) 9.
J. F. L Journal of the Franklin Listitution,
. Philadelphia 155; 156; 158-160.
J.F.P.C Journal für praktische Chemie,

Leipzig (2) 70.
J.[H. U.C. John Hopkins' Üniversity

Circulars, Baltimore 167; 174; 1905.
J.H.W.A. Jahrbuch der Hamburgischen

wissenschaftlichen Anstalten , Ham-
burg 21.
J.M. Journal de Mathämatiques pures

et appliqu^es, Paris (5) 10; (6) 1.
J.M.S.J. Journal of the Meteorological

Society of Japan, Tokyo 23.
J.N.K. Jahresbericht des Naturwiss.

Vereins, Krefeld 1903—06.
J. P. Journal de Physique, Paris (4) 2—4.
J.P.C The Journal ofPhysicalChemistry,

Ithaca 8—9.
J.R.E. Jahrbuch der Radioaktivität

und Elektronik, Leipzig 1—2.
J. R. M. S. Journal of the Royal Microsco-

pical Society, London 1905.
J. K.P. CG. Journal der Russ. Physiko-
chemischen Gesellschaft, Petersburg

.35-36.
J.8.G. Jahresbericht der Schlesischen

Gesellschaft für vaterländische Kultur,

Breslau 82.
J S.M. Jornal de Sciencias Mathematicas

e Astronomicas , Porto 15.
J. U. T. Journal of the CoUeffC of Science,

Imperial Üniversity, Tokyo 14; 19;

20.
J.V.S.G. Jahreshefte des Vereins der

Schweizerischen Gymnasiallehrer 28.
J.Z.N E. Jahrbücher der Zentralanstalt

für Meteorologie und Erdmagnetismus,

Wien (2) 40.
K.L. Kosmos, Lemberg 29.
Kd.L. Knowledge, London 26, 27; (2) 1.
K.T. Der Kulturtechniker, Breslau 1904.
L.A.M. L^Astrofilo, Milano 11.
L.E.M. L'Elettricitä, Milano (2) 3.
L.R. Le Radium, Paris 1.
M. Mathesis, Gand (3) 4—5.

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76

Abhandlungaregister 1904 — 1906.

M.A. Mathematische Annalen, Leipzig

68—60.
M.A.G.B. Memorias de la Real Aca-

demia de Ciencias y Artes, Barcelona

(8) 4—6.
M.A. 6. Mitteilungen über Gegenstände

des Artillerie- und Geniewesens, Wien

1902.
H.A.6.S. Mitteilungen aus dem Gebiete

des Seewesens f Pola 31—33.
M.A.Ly. Mämoires de TAcadämie des

Sciences, Lyon (8) 7.
H.A.M.F. Mitteilungen aus dem Gebiet

des Markscheiderwesens, Freiburg 1904.
M.A.S. Memoirs of the Royal Astro-

nomical Society, Loodon 64.
M.A.T. Memorie della R. Accademia

di Scienze, Torino (2) 68—64.
M.A.T.P. Abhandlungen der K. K."

Tschechischen Franz - Joseph - Aka-
demie, Prag 1903—04.
M.B. Mathematisch-Naturwissenschaffc-

liehe Mitteilungen, Stuttgart (2) 6 — 7.
M.B.H. Marineblad, Helder 19.
M.G.K. Memoirs of College of Science

and Engineering, Kyoto 1.
M.€.S.L Miscellaneous CoUections of

the Smithsonian Institution, Washing-
ton 45; 47.
M. C. W. Monatshefte für Chemie, Wien 26.
M.P.L Mitteilungen über Arbeiten auf

dem Gebiet des mgenieurwesens, Berlin

19; 21; 22; 24.
M.O.S. Mathematical Gazette, Stroud

2—3.
M.H. Monatshefte für Mathematik und

Physik, Wien 15—16.
M.LB. Memorie della R. Accademia di

Scienze del Istituto, Bologna (6) 9 — 10;

(6) 1-2.
M.K. Meer und Küste. 1904.
M. L. A. 0. Meddelander frän Lunds Astro-

nomiska Observatorium, Lund 20 — 24.
M.M. Messenger of Mathematics, London

(2) 33—34.
M.M. F. The American Math. Monthly,

Springfield 11—12.
M.M.6.L Mitteilungen des Militärgeo-

graphischen Instituts, Wien 1903.
M.N.A.S. Monthly Notices of the Royal

Astronomical Society, London 63 — 65.
Mon. The Monist, New York 14.
M.P.6.Z. Mitteilungen der Physika-
lischen Gesellschaft, Zürich 8.
M.P.L. Mathematikai 6z physikai Lapok,

Budapest 12—13.
M.R.B. Marine - Rundschau , Berlin 16.
M. S. B. M^moires de la Soci^t^ Physique

et Naturelle, Bordeaux (6) 2—8.
M.S.H. Mitteilungen der Großh. Stern-
warte, Heidelberg 4.

M.S.L. M^moires de la Sociätä Royale

des Sciences, Li^ge (3) 6.
M.S.O. Denkschriften der Math. Ab-
teilung der NeuruBB. (jesellschafb,

Odessa 21; 26; 27.
M. 8. P. A. Miscellaneous Scientific Papers

of the Alleghany Observatory, Alle-

ghany 10; 14; 16.
M.S.S.I. Memorie della Societä dei

Spettroscopisti Italiani, Catania81 — 33.
M.T.E. Mathematikai ^s termäszettudo-

mknji ^rtesitö, Budapest 21—22.
M.U.O. Denkschriften der K. K. NeuroBS.

Universität, Odessa 96.
M.y.A.P. Mitteilungen von Freunden

der Astronomie und Kosmischen Physik,

Berlin 13—16; 19.
M.y.6. Mitteilungen des Naturwissen-
schaftlichen Yereins for Neuvorpom-

mem und Rügen, Greif swald 86.
M.W.R. Monthly Weather Review,

Washington 32—88.
M.yR.M. Memorias y Revista de la

Sociedad Cientifica „Antonio Alzate^**

Mejico 13; 19—20.
M.Z. Meteorologische Zeitschrift, Wien

21—22.
M.Z.P. Marine -Zeitschrift, Petersborg

818; 817; 319; 822; 328.
N. Nature, London 69—72.
N.A. Nouvelles Annales de Mathäma-

tiques, Paris (4) 8—5.
N. A.ti. Nova Acta der K. K. Leopoldino-

Carolinischen Akademie, Halle 81.
N.A.R. The North -American Review.

New York 79.
N.A.U. Nova Acta Regiae Societaüs

Scientiarum, Üpsala (8) 20.
N.A.W. Nieuw Archief voor Wiskunde

Amsterdam (2) 6—7.
N.C.P. D Nuovo Cimento, Pisa (6) 7—9.
N.6.6. Nachrichten der K. Gesellschaft

der Wissenschaften, Göttingen 1904.
N.J.M. Neues Jahrbuch far Mineralogie,

Geologie und Palaeontologie , Stntt-

gart 20.
.A. Atti dell' Accademia Pontificia
de' Nuovi Lincei, Roma 67.

N.L.M. Memorie deir Accademia Ponti-
ficia de* Nuovi Lincei, Roma 21.

N.M. A.B. Mämoires de TAcad^mie
Royale des Sciences, des Lettres et
des Beaux-Arts, Bruzelles 64.

N.M.L. Nautical Magazine, London
72—73.

N.O. Natur und Offenbarung, Münster
49—50.

N.P.L. The National Physical Labora-
tory Collected Researches 1.

N.R. Naturwissenschaftliche Rundschau,
Braunschweig 19—20.

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Abhandlungsregister 1904 — 1905.

7?

N. T. N. I. Natuurkundig Tijdschrift voor

Nederland. Indig, Batavia 63.
N.W. NatnrwiBBenschaffcliche Wochen-
schrift, Jena (2) 3.
0. The Observatory, London 26—27.
Ö. W. i>. B. OsterreichiBche Wochenschrift

fOr den öffentlichen Bandienst

1908—04.
ö. Z. B. H. OsterreichiBche Zeitschrift für

Berg- n. Hüttenwesen, Wien 1903.
Ö.Z.V. Österreich. Zeitschrift für Ver-

messnngswesen, Wien 1903 — 04.
P. Prometheus, Berlin 16.
F. Am Popnlar Astronomy, Northfield

11—12.
P.A.B. Veröffentlichungen der K. Serb.

Akademie, Bel^ad 67.
P.A.Bo. Proceedings of the American

Academj of Arts and Sciences, Boston

89—41.
P.A.O.H. Publikationen des Astrophj-

sikalischen Observatoriums, Heidel-
berg 1.
P.A.O.P. Publikationen des Astrophy-

sikalischen Obserratoriums, Potsdam.
P.A.S.P, Publications of the Astrono-

mical Society for the Pacific, San

Francisco 14—16.
P.C. P.S. Proceedings of the Cambridge

Fhilosophical Society, Cambri^e

12—13.
P. £• M. S. Proceedings of the Edinburgh

Mathematical Society, Edinburgh 22.
P. 6. M. Petermanns Geographische Mit-
teilungen, GK)tha 49; 51.
P.I.A.S. Proceedings of the Indiana

Academy of Science , Indianapolis

1898' 1902
Fit. n Pitagora, Palermo 10—11.
P.J.6. Preisschrifben der Jablonowski-

schen Gesellschaft, Leipzig 37.
P.L.M.S. Proceedings of the London

Mathematical Society, London (2) 1—2.
P.M. Fhilosophical Magazine, London

(6) 6—9.
F.M.R. Periodico di Matematica, Roma

(3) 1; SuppL 8.
F.N.I. Proceedings of the United States

Naval Institution, Annapolis M. D. 29.
PdLX. n Politecnico, Milano 1903—04.
F. P.S. Proceedings of the American

Fhilosophical Society, Philadelphia 44.
F. F. S. G« Proceedings of the Fhilosophical

Society, Glasgow 36.
F.F.S.L. Proceedings of the Physical

Society, London 19.
F.B. The Physical Review, New York

18-21.
F.R.A.S.C. Selected Papers and Pro-
ceedings of the Royal Astron omical

Society of Ganada, Toronto.

P.R.I. Proceedings of the Royal In-
stitution of Great Britain, London 17.
P.R.I.A. Procedings of the Royal Irish

Academy, Dublin 24.
P.R.S.E. Proceedings of the Royal

Society, Edinburgh 25.
P.R.S.L. Proceedings of the Royal

Society, London 72 — 74.
P.R.S.V. Proceedings of the Royal

Society of Victoria, Melbourne 17.
P.S.B. Procös-verbaux de la Soci^t^

des Sciences, Bordeaux 1902—03.
P.S.D. Scientific Proceedings of the

Royal Dublin Society, Dublin (2) 10.
P.S.T.P. Processi Verbali delle Societä

Toscana di Scienze Naturali, Pisa 14.
P.T.M. Summary of the Proceedings

of the Tokyo Mathematicophysic»!

Society, Tokyo.
P.T.R.S.G. Proceedings and Trans-

actions of the Royal Society of Canada,

Montreal (2) 9—10.
P.Z. Physikalische Zeitschrift, Göttingen

5—6.
Q. J. Quarterly Journal of Mathematics,

London 34 — 86.
Q. J. M. S. Quarterly Journal of the Meteo-

rolog^cal Society, London 31.
R.A.A. Reports of the Australasian

Association for the Advancement of

Science, Melbourne 1.
R.A.6. Rivista di Artigleria e Genio,

Roma 1903—04.
R.A.L.R. Rendiconti della Reale Acca-

demia dei Lincei, Roma (6) 13—14.
R.A.M. Revista de la Reale Academia

de Ciencias exactas, fisicas y naturales,

Madrid 1.
R.A.N. Rendiconti della Reale Acca-

demia delle Scienze, Napoli(3) 10 — 11.
R.B.A. Reports of the British Asso-
ciation for the Advancement of Science

78—74.
R.G.L. Revista de Ciencias, Lima 7 — 8.
R.G.M.P. Rendiconti del Circolo Mate-

matico, Palermo 18—20.
R.F.M. Rivista di Fisica, Matematica

e Scienze Naturali, Pavia 4 — 6.
R.O.M.M. Revista General de Marina,

Madrid 52.
R.0.0. Revue G^n^rale des Sciences,

Paris 14—16.
R.I.B. Rendiconti delle Sessioni dell'

Accademia delle Scienze dell^ Istituto,

Bologna (2) 6—8.
R.I.L. Rendiconti del Reale lotituto

Lombarde delle Scienze e Lettere,

Milano (2) 36—38.
R.M. Rivista di Matematica, Torino 8.
R.M.B. Revista Maritima Brazileira,

Rio de Janeiro 41—42.

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?8

Abhandlungsregister 1904—1905.

R.H.M. Bevne de M^taphysiqne et de
Moiale, Paris 11—12.

R.M.M.P. Revue Maritime, Paris 147.

R.1I.P. Sanunelschrift der Math. Ge-
sellschaft, Prag 9.

R. H. R. Bivista Marittima, Borna 36—37.

B.M.S. Beyue de Math^atiqaes Spe-
ciales, Paris 14 — 15.

R.S. Bevne Scientifique, Paris (5) 1; 3.

R. S. L Rivista Scientifico-Indostriale 37.

R. S. M. Sammelschrift der Sewtschenko-
gesellschaft, Lemberg 9—10.

B.T.C. Biviflta di Topografia e Gatasto,
Torino 16—17.

R. T.N. Revista Trimestral de Mate-
matica, Valencia 4 — 5.

R.ü. J. Riecneil de la Soci^t^ Scientifique
et Lit^raire de rUniversit^, Jnrjev
ö; 7.

S. Science, New York (2) 17-19; 21.

S.A.B. Sitzungsberichte der K. Prenß.
Akad. der Wissensch., Berlin 1904—05.

S.A.M. Sitzungsberichte der Math. Phys.
Klasse der K. Bajr. Akademie der
Wissenschaften, München 33 — 34.

S.A.W. SitzuD^ber der Math. Naturw.
Klasse der K. K. Akad. der Wissen-
schaften, Wien 112—114.

S.E. M^oires Pr^sent^s par divers
savants ä TAcad^mie, Paris 22.

S.E.D. M^moires couronn<§s et Mä-
moires de savants ^trangers publi^s
par TAcad^mie Boyale des Sciences,
Bruxelles en 4® 62.

S.P.P. Society Fran^aise de Physique,
Paris 214—216; 219; 220; 222—225;
229; 230.

S.6.B. Sitzungsberichte der K. Böhm.
Gesellsch. der Wissenschaften, Prag
1903—04.

S. 6. M. Sitzungsberichte der Gesellschaft
zur Beförderung der gesamten Natur-
wissenschaft, Marburg 1903—04.

S.I.D. Sitzungsberichte der Naturwissen-
schaftlichen Gesellschaft Isis, Dresden
1904.

S.L. Sirius, Leipzig 36—37.

S.M. Bulletin de la Soci^tä Math^-
matique de France, Paris 31 — 33.

S.M. Am. Bulletin of the American
Math. Society, New York (2) 11; 12.

S.M.B. Sitzungsber. der Berliner Math.
Gesellschaft, Berlin 1904.

S.M.H. Mitteilungen der Math. Gesell-
schaft Hamburg 4.

S.M.Ka. Bulletin der Physikomathema-
tischen Gesellschaft, Kasan (2) 13—14.

S.M.Kh. Mitteilungen der math. Gesell-
schaft, Charkow (2) 8.

S.M.M. Sammelschriit der Math. Ge-
sellschaft, Moskau 24.

S. N. C Mdmoires de la Social Nationale
des Sciences Naturelles et Math^
matiques, Cherbourg (4) 1.

S.N.6.B. Sitzungsberichte der Nieder-
rhein. Ge8ell8<£aft für Natur- und
Heilkunde, Bonn 1904—06.

S.P. BuUetin de la Soci^t^ Phüo-
matique, Paris (9) 4—5.

S.P.M. Memoirs and Proceedings of
the Literarj and Phüosophical Society,
Manchester 48—49.

S.P.N.E. Sitzungsberichte der Physi-
kalisch - Medizinischen Gesellschaft
Erlangen 36 — 37.

S.V.K. Schriften des naturwiss. Vereins
ftur Schleswig, Kiel 13.

T.A.A. Acta der Südslavischen Aka-
demie, Agram.

T.A.E.S. Transactions of the American
Electrochemical Society 5.

T.A.W. Transactions of the Wisconsin
Academy of Science, Madison 13 — 14.

T. C. P. S. Transactions of the Cambridge
Philosophical Society, Cambridge 19.

T.C.R.S. Transactions of the Canada
Boyal Society, Ottawa (2) 9.

T.P.S. Transactions of the Paraday
Society 1.

T.6.C. Arbeiten der Topographisch-
Geodätischen Kommisson, Moskau 18.

T.K.L. Tijdschrift voor Kadaster en
Landmeetkunde, Utrecht 20 (1904).

T.M. Nyt Tidskrift for Mathematik,
Kjöbenhavn 14—16.

T.M.W. TerrestrialMagnetism, Washing-
ton 9.

T.N.J. Schriften der Naturforscher-

r Seilschaft, Juijev 13 — 14.
Z.I. Transactions and Proceedings
of the New Zeeland Institute, Welling-
ton 36.

T.O.N. Tidskrift for Opmaalings- ogp
Matrikulsväsen, Kjöbenhavn 3.

T.R.I.A. Transactions of the Boyal
Irish Academy, Dublin 32.

T.R.S.E. Transactions of the Boyal
Society, Edinburgh 40—41.

T.R.S.L. Philosophical Transactions of
the Royal Society, London 201— 20S.

T.S.D. Scientific Transactions of the
Royal Dublin Society, Dublin (2) 8.

T. S. M. Am. Transactions of the American
Math. Society, New York 5.

T S. U.R. Travaux Scientifiques de TUni-
versitz, Bennes 2—3.

T.W. Prace matematyczno fizyczne,
Warschau 16.

Ü.B. Urania, Budapest 8—4.

Ü.M.N. Unterrichtsblatter für Mathe-
matik u. Naturwissenschaften, Berlin
10—11.

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Abhandlungsregister 1904 — 1905.

79

V.A.6. VierteljahrsBchrifl der Astrono-
mischen Gesellschaft, Leipzig 38—39.

y.A.R.I. Veröffentlichungen des Astro-
nomischen Becheninstituts, Berlin 23.

y.D.P.6. Verhandlungen der Deutschen
Physikalischen Gesellschaft, Berlin
6—7.

y.O.H. Verhandlungen des Natur-
historisch - Medizinischen Vereins,
Heidelberg (2) 8.

V.I.G.C. Verhandlungen des internatio-
nalen Geographenkongresses, Berlin 7.

y.I.M.C. Verhandlungen des Inter-
nationalen Mathem atikerkongresses,
Heidelberg 3.

V.L.V. Verbandszeitschrift der Land-
messervereine in Schlesien, Posen,
Preußen und Brandenburg 1904.

V.N.B. Verhandlungen der Naturfor-
schenden Gesellschaft, Basel 16 — 17.

V.S.H. Veröffentlichungen der Groß-
herzoglichen Sternwarte^ Heidelberg 3.

V.S.N.G. Verhandlungen der Schweize-
rischen Naturforschenden Gesellschaft,
Bern 86; 87.

V. V. P. ü. W. Vierteljahrsberichte des
Vereins zur Förderung des Unter-
richts, Wien 9.

V.V.N.T. Verhandlungen des Vereins
für Natur- und HeilEunde, Preßburg
1903.

V.W.A. De Vried der Wiskunde, Am-
hem 20.

W.E. Western Electrician 86.

W.N. Wiadomosci Matematyczne, War-
schau 6 — 8.

W.W. Wszechfiwiat, Warschau 22 ; 23 ; 28.

Y.G. Tachting Gazette, Paris 297.

Z A. C. Zeitschrift für anorganische
Chemie, Hamburg 40; 42.

Z.B.G.V. Zeitschnft des Bayrischen
Geometervereins , München 1903 — 04.

Z.E. Zeitschrift far Elektrochemie,
Halle 10—11.

Z.G.K. Zeitschrift für die gesamte
Kälteindustrie, München 11.

Z.G.V. Zeitschrift für die Gesamte Ver-
sicherungswissenschaft, Stuttgart 4.

Z.H. Zeitschrift für mathematischen und
naturwissenschaftlichen Unterricht,
Leipzig 34—36.

Z.K.M. Zeitschrift für Kristallographie
und Mineralogie, Leipzig 39 — 41.

Z.L.L. Zeitschrift für Lehrmittelwesen
und pädagogische Literatur, Wien 1.

Z.P. Zeitschrift für physikalischen und
chemischen Unterricht, Berlin 17 — 18.

Z.P.Z. Zeitschrift für physikalische
Chemie, Leipzig 40^-44.

Z.R. Zeitschrift für Realschulwesen^
Wien 29.

Z.R.W.L. Zeitschr. des Rheinisch-West-
fälischen Landmesservereins, Kassel
1903—04.

Z.S. Zeitschrift für Mathematik und
Physik, Leipzig 51 — 62.

Z.W.P. Zeitschrift für wissenschaftliche
Photographie, Leipzig 8.

Angewandte Mathematik«

1* R. Bettazzi. Le applicazioni della
matematica. B.A.M.T. 8. 40.

2. Piezetti, Matematica e sperimenti.
A.R.Ü.G. 11.

Gesehichte der angewandten Mathe-
matik.

8. P. Harzer. Die exakten Wissen-
schaften im alten Japan. D. V. M. 14. 812.

Pliilosophie der angewandten
Mathematik.

4. E. F. Äpelt. Über Begriff und Auf-
gabe der Naturphilosophie. A.F.S. 1.

5. A. Höfler, Zur geffenwUrtigen Na-
turphilosophie. A.D.P.N. 2.

Pftdagogik der angewandten
Mathematik.

6. F. Klein. Bemerkungen zum mathe-
matischen und physikalischen Unterricht.
D.V.N. 76. A. 180.

7. F. Klein. Über die Aufgabe der
angewandten Mathematik, besonders über
die pädagogische Seite. V.LM.C. 3. »96.

8. P. Staeckel Angewandte Mathe-
matik und Physik an den deutschen
Universitäten. D.V.M. 13. 813.

9. F. Klein. Mathematik, Physik, As-
tronomie an den deutschen Universitäten
in den Jahren 1893—1903. D.V.M. 13.
467.

10. Ä. Gutztner. Über die auf die
Anwendungen gerichteten Bestrebungen
im mathematischen Unterricht der deut-
schen Universitäten. D.V.M. 13. 617.

11. G. Holzmüller. Bemerkungen über
den Unterricht und die Lehramtsprüfung
in der angewandten Mathematik. D.V.M.
14. 249; 396; F. Ebner 339.

Logikkalkul.

12. G. Vacca. La logica di Leibniz.
B.M. 8. 64.

13. H, Mac Coli, La logique symbo-
lique. E.M. 6. 416; 6. 372.

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80

Abhandlongsregister 1904—1905.

14t. E. V. Huntinaton. Sets of inde-
pendent postulates tor the algebra of
logic. T.S.M.Am. 6. 288.

15. P. Poretzky. Theorie des non-^a-
lit^B logiqnes. S.M.Ea. (2) 13. 80. 127;
14. 118.

Siehe auch 319; 427; 685; 686.

WahrBcheinlichkeitgrechnung*

16. M. Dehdlu. üne värification ^1^-
mentaire de la loi des probabilitös.
B.S.B.A. 9. 54.

17. P. Mansion. Sur la port^e ob-
jective du caicul des probabilit^s. M.
(8) 4. Suppl. 3.

18. B. E. Moritz. A general theorem
in local probability. M.M.F. 12. 59.

19. P Mansion. Sur la loi des grands
nombres des Poisson. A.S.B. 28 A. 72;
M (8) 4. Suppl. 2.

20. E. de Montessits. La loi des grands
nombies. E.M. 7. 122.

21. C. Lagrcmge. Le principe de la
limite conduit, dans des probl^mes das-
siques aux relations absurdes 1 =» ^ et
1=0. B.A.B. 1904. 923.

22. F. W. Helmert. Über die Genau-
igkeit der Kriterien des Zufalles bei Be-
obachtungsreihen. S.A.B. 1905. 594.

28. P Mansion. Sur une integrale
considäräe en caicul des probabmt^s.
B.A.B. 1904. 239; 538; M. (3) 4 Suppl.
6 . g

'24. L. K. Lachtin. metodach Pir-
sona y prilozenijach teorii veroiatnostej
k zada6am statistiki i biologii (Über die
Methoden Pearsons zur Heranziehung der
"Wahrscheinlichkeitsrechnung für Auf-

r.ben der Statistik und der Biologie).
M.M. 24. 481.

25. D. F. Mancinelli. Problema dei
dadi. R.F.M. 5. B. 361.

26. P Mansion. Sur une sommation
d'integrales consid^r^es en caicul des
probabilitös. B.A.B. 1904. 638; A.S.B.
28. A. 166.

27. K. Pearson. The problem of the
random walk. N. 72. 294. -— Rayleigh. 818.

Siehe auch 66.

Fehlerrechnong.

28. W. E. Story. A new general
theory of errors. P.A.Bo 40. 167

29. K. Pearson. Das Fehlergesetz und
seine Verallgemeinerungen durch Fechner
und Pearson. Bi. 4. Nr. 1—2.

80. 17. Obermayer. Ein Apparat zur
Veranschaulichung des Fehlergesetzes.
M.A.G. 1902. 130.

81 . M. Nähauer. Mittlerer und durch-
schnittlicher Fehler. Z.ß.G.V. 1903. 56.

82. F. E. Helmert. Zur Ableitung der
Formel von C. F. Gauß für den mitUeren
Beobachtungsfehler und ihrer Genauig-
keit. S.A.B. 1904. 960.

88. G. L. Landri. Yergleichung von
Mittelwerten. A.J.W. 24. 81

84. S. Fitisterwalder. Bemerkungen
zur Analogie zwischen Aufgaben der Aus-
gleichungsrechnung und solchen der Sta-
tik. S.A.M. 33. 683.

86. J. Midztihara. New formulas for
finding the mean error of an Obser-
vation and Bome likely errors of the most
probable values of the unknown quanti-
ties in indirect observations. A. J. B. 23. 75.

86. S. A. Saunder. Note on the use
of Peirce's Criterion for the rejection of
doubtfol observations. M.N.A.S. 63. 438.

87. Harksen. unsere Beobachtungen
und die dabei begangenen Fehler. A
V.N. 1903. 187; 186.

88. E. Cott-on. Sur T^valuation des er-
reurs dans Tintägration approch^e des
^quations diff^rentielles. C.R. 141. 177.

89. E. LindeUff. Zur Frage von der
Bedeutung der Fehlerrechnung bei der
harmonischen Analyse von Kurven. A.
F.G.P. 87. 597.

40. L. Hermann. Eurvenanaljse und
Fehlerrechnung. A. F.G.P. 89. 600.

41. Zachariae. Sur Terreur mojenne
de la mesure relative de pendules avec
rappareil Schneider. B.A.Co. 1908. 849.

4^. P. Pizzetti. Die alcuni casi di sim-
plificazione sulla compensazione delle
reti flreodetiche e in particolare in quella
di Etonsen. R.T.C. 16.177.

48. G. de Sandre. Tavola grafica per
la ricerca dei coefficienti delle equazioni
degli errori nella compensazione ango-
lare degli allineamenti. B.T.G. 17. 129.

44. C. Jorio. Dell' error medio nel
calcolo di una distanza e di un azimnt.
R.T.C. 17. 30; 76; 81.

45. C. Jorio. Süll' influenza delF errore
di verticalitä neilivelli. R.T.C. 16. 113;
138.

46. Harksen. Unsere Beobachtungen
und die dabei begangenen Fehler. Das
Feinnivellement. A.V.N. 1904. 2.

47. G. de Sandre. Compensazione di
un punto determinato per intersezione
inversa. R.T.C. 17. 113.

48. G. de Sandre. L'errore lineare
nelle poligonali. R.T.C. 16. 11; 25; 40.

49. F. SchtUze. Zur Ausgleichung der
Polygonzüge. A.V.N. 1904. 93.

bO.G.PoUer. Graphische Ausgleichung
bei der trigonometrischen Punktbestim.-

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Abfaandlnngsregister 1904—1906.

81

mang durch Einschneiden. Ö.Z.Y. 1903.
206; 1904. 3; 117; 326.

51« M. Näbauer. Genauigkeit ver-
schiedener Arten des Pnn]d»nftrages
durch recht¥rinklige Koordinaten. Z.B.
G.V. 1903. 110.

52. M. Komd, Graphische Eoordi-
natenauBgleichung trigonometrisch be-
stimmter Punkte. Ö.Z.V. 1903. 178.

58* J. Sutter. Genauigkeitsunter-
Buchung und die Uniyersalzeichen- und
Bechenausdrücke. A.Y.N. 1903. 281.

54. E. PuUer, Bestimmung des Mi-
nimumpunktes einer fehlerzeigenden Fi-
gur. Z.R.W.L. 1904. 66.

5&« ü. Barbiert. Della compensazione
nel problema di Marek. B.T.C. 17. 146.

56. B. Seifert. Überschätzung der
Fehlergrenzen bei trigonometrischen Be-
rechnungen. V.L.V. 1904. 296.

57. B. Seyfert. Maßstab zur Bestim-
mung der Richtungskoeffizienten a und b.
V.L.V. 1904. 194.

58. 7. Bann. Regenfall zu Greenwich
1816—1908. M.Z. 22. 30.

o9* B. Wonach. Ober die Ausglei-
chung von ührgängen. A.N.E. 167. 16.
Siehe auch 291; 796: 2112—14; 2674;
3230; 2232—86; 3237; 3288; 3241—44.

Methode der kleinsten Quadrate«

00. F. P. Ermakov. Methode der
kleinsten Quadrate (russ.). B.U.E. 1906
b, e.

6t« W. Ivanovsky. sposob naim^n-
sich kvadratov. (Über die Rechnungen
nach der Methode der kleinsten Quadrate).
M.Z.P. 317. 86.

62* F. StreMow. Über das arithme-
tische Mittel und die Begründung der
Methode der kleinsten Quadrate. A.V.
N. 1903. 257; 266.

((8. W. loanovsky. sposob naimen-
fiich kradratov. (£ine vereinfachte Art
der parabolischen Interpolation nach der
Methode der kleinsten Quadrate). M. Z. F.
S13. 103; 181.

64. R. d'Emüio. Illustrazioni geome-
triche e meccaniche del principio dei
minimi quadrati. A.LV. 62. 364.

65. F. Schlesinger. Some common
inaccuracies in the application of the
method of least Squares. F. A. S. F. 16. 224.

66* J. Midguhara. On an application
of the method of least Squares for com-
paring the probabilities of naturalness
of 2 different sets of series of hjpothe-
tical Observation equations both derived
firom the same observations. A. J.B. 24.
186.

Z«itsoluift f. lUthematik u. Physik. 53. Band.

67* G. H. Bryan. Note on the method
of the arithmetic mean as applied to
rates of increase M.G.S. 3. 97. —
F. J. W. Whipple. 178.

68« S. Wigert. Sur un probl^me de
la m^thode des moindres carres. A.M.
A.F. 1. 719.

69. 8. WeUisch. Über das natürliche
Erhaltungsprinzip. Z.S. 62. 202.

70. G. Förster. Über die Gewichte
der Beobachtungen auf den 6 interna-
tionalen FohlhOhenstationen. A.N.E.
169. 193.

71. E. Engel. Die Koeffizienten för
die Bedingungs- und Normalgleichungen
beim Ausgleiche trigonometriscner
Punkte nach der Methode der kleinsten
Quadrate. Ö.Z.V. 1908. 101; 1904. 81; 97.

PoUttsclie Arltlunetik.

72. A. Meyer. La th^orie des ^lections
et la repr^sentation proportioneile. R.
G.O. 16. 111; 168.

78. G. B. M. Zerr. The sinking-fund
of the United States. M.M.F. 11. 202.
Siehe auch 2666; 2660; 2662; 2666; 2668;
2669; 2672; 2673.

Kanftaiftnnigche Arithmetik.

74. 8. Johnsen. Middelforfalstid. T.
M. 14. A. 106.

Siehe auch 176; 2668; 2669; 2661; 2666;
2667; 2670; 2671.

Bentenrechnnng.

75. F. Mortara. ün quesito compa-
rativo circa le annualitä. B.D.M. 4. 38.

76. W. Reichardt Näherungsformeln
aus der Rentenrechnung. S.I.D. 1904.
A. 25.

77. J. F. Steffensen og N. B. BerteU
sen. T.M. 14. B. 82.

Statistik.

78. H. Wiechel. Volksdichte-Schich-
tenkarten in neuer mathematisch be-
gründeter Entwurfsart. S.I.D. 1904. 36.

79. K. Pearsan. Math. Contributions
to the theory of evolution. P.R.S.L.
72. 606. T.R.S.L. 203. 53.

80. F. Gallon. Everage number of
kinsfolk in eaeh degree. N. 70. 629; 71.
30. — G. H. Bryan. N. 71. 9; 248.

81. K. Pearsan. On a criterion which
may serve to test variouR theories of
inheritance. P.R.S.L. 78. 262.

Siehe auch 24; 91; 2894.

1906. I.Heft. 6

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82

Abhandlungsregister 1904—1905.

Biometrie.

82. F. Ludwig. Neue Literatur über
das Grenzgebiet der Biometrie. Z.S.
52. 106.

88. F. Ludwig. Weitere Absclinitte
ans der Biometrie. Z.H. 36. 105. 175; 266.

84. Lexis, Ober die Messung der
menschlicben Fruchtbarkeit. Z.G.V. 4.
155.

86. A, D. Darbishire. On the sup-
posed antagonism of Mendelian to bio-
metric theories of heredity. S.P.M. 49.
No. 6.

86. B. Chodat La biom^tre et les
m^thodes de statistique appliqu^es ä la
botanique. V. S. N. G. 87. 85.

87. P. Ludwig. Die biometrische Ana-
lyse einer Pflanzenspezies. Z.S. 51. 277.

88. F. de Helguero. Sui massimi
delle curve dimornche. Bi. 3. Nr. 1.

89. £. Gain. £tude biom^trique sur
les yariations de la fleur et sur Thäte-
rostylie de Pulmonaria officinalis. Bi.
Nr. 4.

Siehe auch 24; 2395; 2396.

SterbUchkeit.

90. Czuher. Zum Problem der Sterbe
lichkeitsmessunff. Z.G.Y. 4. 160.

91. Lowenthm. Essai sur les rapports
entre la natalit^ et la mortalit^ B.S.
(6) 8. 1; 38.

Tersichernngsmathematik.

92. Ziegel. Zur Bewertung der redu-
zierten Polize in der Lebensversicherung.
Z.G.V. 4. 241.

98. Eggenberger. Über die Beziehungen
zwischen den Irmdamentalgrößen in der
Invalidenversicherung. Z.G.V. 4. 129. —
Meyer. 181.

Siehe auch 2664.

Spiele.

94. H. M. Taylor. On a paper-fol-
ding puzzle. M.M. 34. 142.

96. W, J. Wisselink. Een vraagstuk
met oploBsing over een spellet je met
speelkarten. V.W.A. 20. 250.

96. P. A. Mac Mahon. Magic Squares
and other problems on a chess-board.
P.R.L 17. 50.

97. N. J. Lennes. Motion of a ball
on a billiard table. M.M. F. 12. 152.

Sport.

98. F. Waliher. Mechanik und Turnen.
U.M.N. 11. 1.

99. H. W. Segar. A note on drawing
for competitions. T.N.Z.L 36. 501.

Numerisches Bechnen.

100. £. Borel. Les exercises prati-
ques de math^matiques dans Tenseigne-
ment secondaire. B.G.O. 15. 431.

101. 0. Biermann. Zwei dem nume-
rischen Bechnen angehörende Betrach-
tungen. M.H. 15. 825.

102. Bwrkhardt. Wie man vor Zeiten
rechnete. Z.H. 36. 9.

108. G. Lasseri. I calcoli numerici
degli antichi Greci. P.M.R. Suppl. 8. 33.

104. V. V. Bohynin. Sur les fifccult^
particuliäres aux math^maticiens et auz
calculateurs extraordinaires. E.M. 6. 362.

105. H. Boamans. La m^thode d'Adrien
Romain pour effectuer les calculs des
grands nombres. A.S.B. 28 B. 411.

106. J. Biu8 y Casas. Extraccion de
raices por sustraciones sucesivas. R.T.
M. 5. 92.

107. H. Schubert. Elementare Be-
rechnung der Logarithmen. Z.H. 35.
278.

108. F. G. Teixeira. Sur une for-
mule pour le calcul numärique des lo-
garithmes. N.A. (4) 5. 36.

109. J. A. C. Oudemans. An easj
method to compute a logarithm. 0. 26.
416.

110. C. Bremiker. On the errors with
which logarithmic computations are
affected. T.A.W. 13. 427.

111. N. P. Berielsen. Om den nöjag-
tighed der opnaas ved tabelopslaff i firci-
frede logaritme — og antilogantme —
tabeller. T.M. 16 A. 65.

112. P. Barbarin. Calculs abr^g^s des
sinus et cosinus circulaires ou hyperbo-
liques. M.S B. (6) 2. 163.

113. E. Zogbom. Genauigkeit der Be-
rechnungen mit der EQothschen Hyper-
beltafel. V.L.V. 1904. 244.

114. C, Bunge. Numerische Berech-
nung der Hauptachsen einer F^. Z.S.
52. 108.

115. E. Lampe. Einige Übungsanf-
gaben zur Integralrechnung. D.Y.N.
76 B. 4.

Siehe auch 3597—8600.

Bechenproben.

116. Christiani. Die Siebener-, Achter-,
Neuner-, Elfer-, Siehenunddreißiger- und
Hunderteinerprobe zur Vermeidung und
Auffindung von Rechenfehlern. A.V.N.
1903. 169.

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AbhandluiigBregister 1904—1906.

83

AnalytifM^he IfUiemiiggmethodeii«

117. G. Fcuszari Errori asBoluti nei
calcoli approssimati. Fit. 11. 66.

118» L. KoUros. Snr Tapproximation
p^riodique des irrationelles cnbiques.
B.D. (2) 29. 21.

119. G. H. Hardy, The asymptotic
Solution of certain transcenden&l eqna-
tiona. Q.J. 36. 261.

120. F, L. 0. Wadsworth. On con-
yei^ente and arithmetical series, the
ratio of whose terms approximate snc-
cessivelj the yalue of n and on theix
application to the constraction of Com-
puting machines. J.F.I. 166; M.S.P.A.

121. P. Mangion, Sur le calcul ap-
proch^ de quelques integrales. A.S.B.
29 A. 62.

122. F, Ritnondini. Sul colcolo ap-
prossimato degli integrali doppi a limiti
costanti. A.A.T. 40. 146.

123. F. Bimondini. Sul calcolo ap-
prossimato degli integrali doppi. A.A.
T. 40. 168.

124. G, dal Pozzo. Sulla duplicitä
del cubo. R.F.M. 6B. 324.

125. W. Goering. Zur Berechnung
der Zahl n. Z.H. 36. 609.

126. a Stengel Über den Näherungs-
wert 3r~yIÖ. Z.H. 36. 608.

127. W. Koch. Weitere Untersuchun-
gen über N&herungsformeln zur Berech-
nung der Ludolf sehen Zahl. U.M.N. 10.
83; 106; 188. — T. Adrian. 11. 31.

128. G. N. Watson. Mathematical
note. M.G.S. 2. 361.

Siehe auch 76; 112; 119; 8684.

Hnmerigehe Glelehimgeii.

129. R. de MontessuB. La r^solution
num^que des ^quations. S.M. 83. 26.

ISO. C. Michel. Sur les m^thodes
d'approzimation. B.M.S. 16. 89; 118.

181. P. Werkmeister. Graphisch-nu-
merische Methode zur beliebig genauen
Bestimmung der Wurzeln einer nume-
rischen Gleichung. Z.S. 61. 104.

182. J. Richard. Sur la mäthode d'ap-
proximation de Newton. B.M. S. 16.
137.

188. M. Lerch. Sur une am^oration
de la m^thode d*approzimation de New-
ton. E.M. 6. 292.

184. F. Giudice. Metodo di Newton
perfezionato e nuovo metodo pel calcolo
assintotico delle radici reali d'equazioni.
A.A.T. 40. 83; 106.

186« 0. NiceoleUi, Su alcone appli-
cazioni del teorema di Sturm. A.A.T.
39. 466.

Siehe auch 110; 166—171; 276; 3362;
3868.

Empirisdie Formeln«

186. F. Hensen. Das graphische Ver-
fahren zur Entwicklung korrekter Kurven
aus Beobachtungsresultaten. N. G. G.
1904. 181.

Siehe auch 147.

Interpolatioii.

187. S. Bernstein. Sur Tinterpolation.
S.M. 83. 88.

188. 0. Biermann. Ein Problem der
Interpolationsrechnung. M.H. 16. 49.

189. H. ZempUn. Über graphisches
Interpolieren (ung). M.P.L, 12. 96.

140. F. E. Boss. An application of
Stirlings interpolation formula. M.M.F.
12. 48.

141« F, G. Teixevra. Sur une for-
mule trigonomi^trique d'interpolation.
E.M. 6. 214.

142. M. Krause. Sur Tinterpolation
des fonctions continues par des polj-
nomes. CR. 40. 1442.

148. E. Borel. Sur Tinterpolation
des fonctions continues par les polyno-
mes. V.LM.C. 3. 229.

144. E. Zempl6n. fitude sur Tinter-
polation et la d^composition des fonctions
rationelles en fractions partielles. A.
Gr. (8) 8. 214.

145. Ä. A. Markoff. Becherches sur
les yaleurs extremes des integrales et
sur rinterpolation. A.M. 28. 243.

Siehe auch 68; 1770.

Harmonigelie Analyge«

146. 8. P. Thompson. Note on an op-
proximate rapid method of harmonic
analysis. P.P.S.L. 19. 448.

147« C. Bunge. Über die Zerlegung
einer empirischen Funktion in Sinus-
wellen. Z.S. 62. 117.

148. L. Steiner. Der tägliche Gang
der erdmagnetischen Elemente im Kin-
gua-Fjord. A.D.S.H. 27. 8.

149. J. Schneider. Die tagliche Luft-
bewegung über Hamburg in den einzel-
nen Monaten des Jahres ermittelt durch
Anwendung der doppelten harmonischen
Analyse. A.D.S.H. 27. 4.

Siehe auch 39; 40 266

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84

Abhandlungsregister 1904—1906.

Mathemaüsehe Tafeln.

160. j. de Mendizabal Tamborrel.
Tables nnm^riques d'apr^s la division
d^cimale de la circonf^rence et du jour.
M.yB.M. 13 Suppl.

161. W. T, Elderton. Tables of powers
of natural numbers and of the sums of
natural numbers from 1 — 100. Bi 2. No. 9.

162. A. Cunningham. Factor tables.
M.M. 39. 24.

168. A. Cunningham. Corrigenda in
Mr. W. Shanks tables: On the number
of figures in the reciprocal of a prime.
T.R.S.E. 73. 359.

164. A. Cunningham. On hauptexpo-
nent tables. M.M. (2) 33. 146.

166. W. H. Bussey. Galois field tables
for p".<169. S.M.Am. 12. 22.

166.' A. 8. Verehrjusov. Tablica dlja
razlo£enJja kradratnych komej iz celych
6i8el V nepreryvnyja drobi (Tabelle zur
Ausziebunff der Quadratwurzeln aus
ganzen Z^len mittels Kettenbrüchen).
8. M.M. 24. 601.

167. P. J. Wo findet man Tafebi
des Integrallogarithmus? Z.S. 62. 222.

168. W. L. MiUer and T. E, Rosehrugh.
Numerical yalues of certain functions
involving e-*. P.T.R.8.C. {2) 9. 73.

169. G. Witt. Tafeln zur bequemen
Berechnung der vollständigen elliptischen
Integrale 1. und 2. Gattung. A.N.K.
166. 33.

1«0. J. G. Isherwood. Tables of the
Bessel functions of pure imaginary values
of the argument. S.P.M. 48 No. 19.
Siehe auch 294; 2019; 2076; 2077; 2119;
2137; 8766; 8760; 3784; 3856.

Nomographie.

161. M. d'Ocagne. Coup d*oeil sur
la th^orie la plus g^n^rale de la nomo-
graphie. A.F. 1903. ISO.

162. C. G. KnoU. Polar plotting paper.
N. 71. 296.

168. M. d'Ocagne. Sur la räsolution
nomo^aphique g^n^rale des triangles
sphönques. S.M. 32. 196.
Siehe auch 43; 113; 179; 2128; 3480; \
3489; 359U— yC. i

Graphischer Kalkttl.

164. /. lonescu. Practica construc-
tiunilor grafice sau geometria aplicata.
G.M.B. 10. 200.

166. W. 0. Hemming. A graphical
Solution of the typical quadratic equation
ax^±hx±c=-0. M.G.S. 3. 86.

166. D. Gafnbidti, Nota sopra nna
costrozione geometrica delle radici di
un' equazione di 2. grado. Pit. 10.
102.

167. A. Padoa. Esposizione elemen-
tare del metodo di Stemer per la risolu-
zione grafica delle equazione di 2. grado.
B.D.M. 3. 1.

168. M. Pelndr. Pfispgvek ku ^-
fickemü r^^Seni rovnic kyadratickych..
(Beitrag zur graphischen Lösung der
quadratischen Gleichungen.) C. 83. 315.

169. J. Sobotka. Zur konstruktiyeii
Auflösung der Gleichungen 2., 3. und
4. Grades. S.G.B. 1904. Nr. 83.

170. J. Sobotka. PfispSvek kn grafic-
k^mu fedeni rovnic 2., 3. a 4. stapnö.
^Beitrag zur graphischen Lösung der
Gleichungen 2., 3. und 4. Grades.) G.
8. 1; 97.

171. H. J. Thomsen Graphical Solu-
tion of cubic and quartic equation. N.
72. 296.

1 72. X. E. Dickson. Graphical methods
in trigonometry. M.M.P. 12. 129.

178. /. A. Harris. On the use of a
drawing board and scales in trigono-
metry and navigation. S. (2) 18. 108.

174. It, M. Milne, A. P. Trotter, S.
J. Crookes, W. Larden, W, J. Dobbs.
Graphic methods in an educational
course of mechanics. N. 70. 6; 81;
103; 125.

176. L. Bauch. Die graphische Er-
mittelung des Papiereinganges. O.Z.Y.
1904. 361.

176. P. Ayne. Nouvelle application
des mdthodes graphiques ä F^tude des
Operations financilres. B.G.O. 16. 733.

177. G. Kummer. Die Genauigkeit
graphischer Flächeninhaltsberech-
nungen. V.L.V. 1904. 290.

178. F. Stupecky. Ein Beitrag zur
graphischen Behandlung hydrometrischer
Aufgaben. Ö.W.Ö.B. 1903. 860.

179. W. Koppen. Tafel zur graphi-
schen Ableitung der Höhen aus den
Meteorogrammen bei Drachenaufstiegen.
A.H. 32. 270.

Siehe auch 60; 62; 131; 136; 189; 274;
293; 303; 614; 1196; 1382; 1627; 1Ö34;
2029; 2030; 2047; 2138; 3364—60; 3699,

Oeometrigche Nfthernngsmethodeii.

180. F. Viüareah Inscripcion de
poligonos. R.C.L. 8. 168

181. G. Bratu. Asupra eneagonului
regulat. (Über das reguläre Neuneck.)
G.M.B. 11. 81.

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Abhandlungsregister 1904—1906.

85

182. r. Harmtäh, Näherungsweise
Konstraktion des TFinkels von 1*^. U.
M.N. 11. 14.

ISB, U. Ceretti. Sopra una costruzione
approsBimata del quadrato equivalente ad
nn dato cerchio. Pit. 11. 1.^6.

184. C. Stengel Über den Näherungs-
wert 3r = }/iÖ. Z.H. 36. 608.

185. F. BUneke. Konstruktion eines

Näherungswertes för ^ ■ U.M.N. 10. 89.

186. L. Pilgrim. Binomische und tri-
nomische Näherungsflächen algebraischer
Flächen. M.B. (2; 7. 19, 33.

Siehe auch 3240; 8637; 3685.

Wlnkelteilniig.

187. Bertling. Stereometrische Winkel-
teilung. U.M.N. 11. 84-

188. P. Carrara. I 8 problemi classici
de^li antichi in relazione ai recenti risul-
tati della scienza. B.F.M. 6. 399.

189. P. Elementare Winkelteilung.
U.M.N. 11. 60.

190. JB. T. AUy. Note on Angela me-
thod of inscribing regulär polygons.
P.I.AS. 1898. 92.

191. J. D. Ewrett. Note on Borgnet's
method of dividing an angle in an arbi-
trary ratio. P.M. (6) 7. 79.

192. J. N. Miller. A method of divi-
ding the circumference of a circle into
360 equal parts. P.E.M.S. 23. 68.

198. Große. Die Dreiteilung des
Bogens. Z.H. 36. 307.

194. J^. Vülaredl. Trisecciön del ä,n-
gulo. Befutacion. R.C.L. 7. 29.

196. O. Sehneider. Planimetrische Ab-
leitung der kubischen Gleichung -fiir die
Winkeltrisektion. U.M.N. 10. 17.
Siehe auch 181 ; 182; 268; 382 ; 3360; 3921.

Korbbogenknrren.

196. JE. Teller. Über Minimumauf-
gaben bei zweifachen Korbbögen. Z.R.
W.L. 1908. 130.

197. W. Heyder. Das Abstecken von
Dreibogenkurven ohne Längenmessung.
F.C. 24. 266.

198. B. V. Lichtenfels. Der Korbboffen
und die Übergangskurve im Eisenbahn-
geleise. Ö.W.Ö.B. 1903. 679.

Siehe auch 199; 3686; 3686; 3688

YerbindmigskarTeii.

199. C Jorio. Sülle curve di raccordo
a 2 centri. Studio grafico. R.T.C. 10. 2.

200. G, Pigoezi. Raccordo di 2 rettifili
stradali con curva paraboUca. R.T.C.
16. 129.

Siehe auch 2787; 3629; 3682; 3639;
3641; 3642; 3786.

Nfthemiigswelse Quadratur.

201. S.O.äatunovsky. Über genäherte
Quadraturen (russ.) M.S.O. 26. YIL

202. B. W. K. Eduards. On certain
modifications in the coefficients used in
Simpson's rule, when either of the out-
side Ordinate is a tangent to the cur-
ved boundary of the figure. M M. 34.
121.

Siehe auch 434; 1966; 3349; 8369; 3480.

Planimeter.

208. J. Barmk. Studie über Polar-
planimeter (tschech.). M.A.T.P. 1903.
Nr. 34.

204. A. Kriloff. On the hatched
planimeter. A.P.B. (6) 19. 221.

205. A. N, Krilov. planimetre to-

ririke. (Über das Beilplanimeter.) M.
P. 323. 6; 113.

206. B. W. K. Edwards. A radial
areal scale. P.R.S.L. 78. 292.

Siehe auch 3496; 8663.

Beehenapparate.

207 • E. Selling. Neue Rechenmasch ine.
Z.S. 62. 86.

208. F. Marre. La plus simple des
machines ä calculer. Co. (2) 61. 426.

209. JB. P. Baker. A balance for the
Solution of algebraic equations. M.M.
F. 11. 22.

210. B. E. Marite. Some physical
Solutions of the general equation of the
n*"» degree. A. of M. (2) 6. 64.

211. P. Seyfert. Trigonometrische Be-
rechnimgen mit der Rechenmaschine.
V.L.V. 1904. 317.

212. J. E. Murray. A dififerentiating
machine. P.R.S.E. 26. 277.

2 ] 8. J.. Kriloff. Über einen Integrator
von Differentialgleichungen (russ.) A.
P.B. (6) 20. 17.

214. N. V. Bervi. Kinematideskie
vy^islitcli funkc^. (Kinematische Be-
rechnungen von Funktionen.) S.M.M.
24. 623.

215. V. Lebeau. Sur un nouveau
curvigraphe. M.S.L. (3) 6. No. 7.

Siehe auch 120; 3666; 3671; 3678.

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86

Abhandlungsregister 1904 — 1905.

Beehenschieber.

216. C, S. J. Extract from an old
Pamphlet on the slide rule. M. G. S. 8. 137.

217. E, Leray. Comparaison de la
i^le ä calculs Beghin avec la r^gle
Mannheim. B.S.A.F. 17. 191.

218. S. E, Woodhury, The slide rule
Position of the decünal point. E.M.W.
80. 474.

219. A. Beghin. De Tapprozimation
dans les Operations avec les rögles ä
calcnl. B.S.A.F. 17. 452.

220. W, Hall The slide rule in navi-
gation. N.M.L. 72. 215. — EOenbarough.
563.

221« Bimbcuih. Chemischer Rechen-
schieber aus alter Zeit. S. N. G. B. 1905. 1.
Siehe auch 3852; 3664; 3665; 3667—70;
3672.

Tektoranalysis.

222. G. Hessenberg. Über einen geo-
metrischen Kalkül. A.M. 29. 1.

228. J. Frischauf. Das Rechnen mit
Vektoren. Z.H. 35. 249.

224. E, Waelsch. Über Binäranalyse.
S.A.W. 113. 645. 1091.

225. E. Waelsch. Über die lineare
Yektorfunktion als bin&re doppeltqua-
dratische Form. S.A. W. 113. 1081.

226. W. Voigt. Etwas Über Tensor-
analysis. N.G.G. 1904. 495.

227. E. B. WUson. On products in
additive fields. V.I.M.C. 3. 202.

228. G. Kolossoff. Über eine Formel
analoff der von Herrn J. J. Somow für
die Ableitung des geometrischen Pro-
dukts (russ.). A.U.J. 1905. Nr. 1—2.

229. H. Taher. The scalar fonctions
of hypercomplex numbers. P. A. Bo. 41. 59.

280. E. Genty. Note de gäom^trie
vectorielle sur les systämes orthogonaux.
S.M. 32. 211.

281. C. E. Brooks. A note on the
orthio cubic curve. J.H.U.C. 167. 47.

282. 0. Lesser. i-Kurven und Evo-
luten. Z.H. 36. 241.

288. L. Bonati. Sülle variazioni de-
terminate dal movimento in un campo
vettoriale. R.I.B. (2) 8. 22.

284. J. Mestres. Relacion entre les
velocidades de las cantidades vectoriales
7 las de los roteres o ejes materiales de
rotacion. M.A.C.B. (8) 6. No. 8.

285. 0. Henrici. On the use of vec-
torial methods in physics. R.B.A. 78.
61. — /. Svinbivme 569.

286. L. Prandtl. Über die physika-
lische Richtung in der Vektoranalysis.
D.V.M. 13. 436.

287. E. Waelsch. Über die höheren
Yectorgrößen der Eristallphysik als
binäre Formen. S.A.W. 118. 1107.

Siehe auch 427; 1669.

IquipoUenzen.

288. /. lonescu. aplica^unea
metoadei echipolentelor. (Über eine
Anwendung der Methode der Äquipol-
lenzen.) G.M.B. 10. 230.

Aasdehmingslehre.

289. B. W. Genese. On the develope-
ment of the „Ausdehnungslehre^^ accor-
ding to the principles of statics. V.J.
M.C. 3. 433.

240. J. V. Collins. üses of the special
triple product a5' of extensive quantities.
M.M.F. 12. 38.

Qnatemioiieii.

241. J. B. Shaw. Quatemions. S.M.
Am. (2) 11. 548.

242. C. J. Joly. A method of estab-
lishing the principles of tbe calculus of
quatemions. P.M. (6) 6. 653.

248. C. G. KnoU. Hamiltons qua-
temion vector analysis. D.V.M. 14. 167.

244. H. E. Hawkes. Enumeration of
non-quatemion nnmber Systems. M.A.
58. 361.

245. J. M. Peirce, On certain complete
Systems of quatemion expressions and on
the removal of metric limitations from
the calculus of quatemions. T.M.Am.
5. 411.

246. /. Stringham. A geometric con-
struction for quatemion products. S.M.
Am. (2) 11. 437.

247. P. A. Mac Mdhon. On the ap-
plication of quateamions to the orthogonal
transformation and invariant theoiy. P.
L.M.S. (2) 1. 210.

248. J. H. Maclagan Wedd^bum. On
the applications of quatemions in the
theory of differential equations. T.B.
S.E. 40. 709.

249. H. B. Philipps. Application of
quatemions to 4 dimensions. J.H.U.O.
174. 9.

Oeometrisehes Zeiclmeii.

250. G. M. Minchin. Mathematical
drawing. N. 71. 211.

251. S. M. Basurco. La ensefianca
del dibigo. R.C.L. 8. 25.

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Abhandlungsregister 1904—1906.

87

252. L. Crelier. Le dessin de projec-
tion dans renseignement secondaire. E.
M. 6. 300.

Siehe auch 100; 302; 3240; 3907.

KlirTeiiKeicIliien.

Siehe 3619; 3628; 3631; 3640; 8911.

TeehnlBehes Zeichiieii.

Siehe 8240.

Zeichenwerkzenge.

258. C. Baviso. ün naovo apparecchio
americano da disegno. B.T.C. 16. 166.

254. Palatini. Per la raccolta di no-
tizie lelativi a stminenti di disegno. B.
A.M.T, 8. 68.

255. H, Maurer, Transporteur und
Dreieck. A.H. 33. 278.

256. P. Geometrische Dreiecke. U.
M.N. 10. 41.

257. Berau, Abschiebedreiecke. 0.
Z.V. 1904. 390.

258* A. de Campos Bodrigues. Un
tiisettore d'angoli. Pit. 10. 82.

259. J. J. Quinn. A linkage for de-
Bcribing the conic sections by continuous
motdon. M.M.P. 11. 12.

260* Z. E. Homickij. Proekt elipso-

rifn. (Modell eines Ellipsenzirkels.)
S.M. 10 No. 4.

261. J. B. Cotter. An instrument for
drawing conics. P.M. (6) 7. 274; 608.
262* C. Älasia. Un conicografo di
facile costruzione. Pit. 10. 139.

268. E. Estanave. Un hyperbolo-

rphe k liquide. R.S. (6) 1. 696; S.
32. 68.

264. E. Estanave. Un sinusotdographe
ä liquide. R.S. (6) 3. 183.

265. T.B.Lyle. Preliminaiy account
of a wave tracer and analjser. P.M.
(6) 6. 649.

266. B. Pearson. On a naval instru-
ment for drawing parabolas. P.M. (6)
7. 200.

Siehe auch 63; 216; 383; 2606; 2817;
8648; 3908—22.

Darstellende Geometrie«

267. V, HÜbner. Poznamka ku ses-
trojeni stop roviny ux6en^ odchjlkami
a, ßoä prumMen. (Bemerkung über
die Herstellung der Spuren einer Ebene,
welche durch ihre Winkel a, J3 gegen
die Grundebenen bestimmt ist.) C;. 33. 381 .

268. G. Bordiga. I metodi della
geometriadescrittiva. A.I.Y.61.389; 609.

269. W. Fiedler. Meine Mitarbeit an
der Beform der darstellenden Geometrie
in neuerer Zeit. D.Y.M. 14. 498.

270. Ä del Be. Intomo ai metodi di
rappresentazione nella geometria descrit-
tiva. A.A.P.N (2) 9 Nr. 10.

271» G. Loria. Osservazioni sopra un
problema di geometria descrittiva. P.
M.B. (3) 1. 143.

272. D. Adamczik. Konstruktion der
Achsen bezw. koi^ugierten Durchmesser
der Projektionen des Schnittkreises
zweier Eugelfl&chen. Z.H. 36. 188.

278« C. Heuman. Zur Theorie der
Krümmung nach den Methoden der dar-
stellenden Geometrie. A.Gr. (3) 6. 283.

274. B. Mehmke. Über die dar-
stellende Geometrie der Räume von 4
und mehr Dimensionen, mit Anwendungen
auf die graphische Mechanik, die gra-
phische Lösung von Systemen nume-
rischer Gleichungen und auf Chemie.
M.B. (2) 6. 41.

Projektioii»

276. G. Tognoli. Sopre alcune co-
struzione nel metodo deUe proiezioni
ortogonali. B.F.M. 6. A. 826.

276. T. Sekmid. Uneigentliche Pro-
jektion und Pillet'sche Konstruktion.
M.H. 16. 26.

277. G. Majcen. Über Beliefprojek-
tionen deB Kreises. M.H. 16. 829.

278. 0, Btchter. Zur Orthogonal-
projektion des Würfels. Z.H. 86. 338.

279« T. Schmid. Kontourbestimmung
der F,. S.A.W. 118. 1423.

280« Ä. Sykora. Sikmy prumgt srou-
bovice. (Schiefe Projektion der Schrau-
benlinie.) C. 84. 91.

Siehe auch 262; 304.

StereographlBche Projektion.

281. P. Cassoni. Sulla proiezione
stereoscopica. A.I.V. 62. 36.

282. H. Hilton. To find the relation
between 2 maps of the same contour on
the Stereographic projection. M.G.S.
8. 33.

288. G. Cesäro. Un lieu g^omätrique
sph^rique d^montr^ par les projections
stär^ographiques. M.S.L. (3) 6 Nr. 4.

Perspekttre.

284« K. DoMemann. Baumkunst und
Illusionsmalerei. D.Y.M. 14. 47.

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88

Abhandlongsregister 1904—1906.

286. G. Hauch. Theorie der parallel-
proj ektiv - trilinearen Verwandtschaft
ebener Systeme Cr. 128. 91.

286. L. Klug. Konstruktion der Per-
spektivamrisse nnl der ebenen Schnitte
der F,. S.A.W. 118. 1317.

Siehe auch 8666.

Axonometrie.

Siehe 286.

Schattenkonstmktioiieii*

287. W. Bennett. Notes on nonhomo-
centric pencils and the shadow produced
by them. P.M. (6) 7. 700.

Siehe auch 983.

Belenehtiingskiinde.

288. F. Hübner. Osvgtieni centralne
a geometraln^ koule. (Zentrale und

geometrische Beleuchtung der Kugel.)
. 34. 173.

289. A. Sucharda. Über die Licht-
gleichen der Rotationsflächen bei Pa-
rallelbeleuchtung. B.I.P. 7. 237.

Fhotogrammetrie.

290. S. Fimterwalder. Eine Grund-
aufgabe der Photogrammetrie und ihre
Anwendung auf Ballonaufnahmen. A.
A.M. 22. 226.

291. Ä. Ferand. £]tude de quelques-
unes des erreurs qui entachent les mesures
faites sur les images photographi^es des
astres. B.A. 21. 306; 887; 22. 6.

292. V. CeruUi. Sul iavoro di ridu-
zione delle lastre delle fotografie stellare.
M.S.S.L 33. 19. — A. Bemporad 120.

298. X. Mendola. Un nuovo grafico
per la prima reduzione delle misure
stellari fotografiche. M.S.S.L 32. 272.

294. S. Morano. Tavole matematiche
pei calcoli di riduzione delle fotografie
stellari per la zona Yaticana. N.L.A.
67. 72; 96; 127; 161; 191.

296. L. Camera. Vermessung photo-

Sraphischer Aufnahmen des Planeten (433)
ros. P.A.O.H. 1. 120.

296. E. V. Hübl Die stereophoto-
firammetrische Terrainaufnahme. M.M.
G.L 1908. 182.

297. S. Finsterwalder. Flüchtige Auf-
nahmen mittels Photogrammetrie. V.l.
M.C. 3. 476.

298. S. Finsterwalder. Eine neue Art,
die Photogrammetrie bei flüchtigen Auf-
nahmen zu verwenden. S.A.M. 34. 108.

299. A. LeIUe. La photogrammetrie
en hydrographie. R.S. (6) 1. 330.
Siehe auch 34; 3672; 3666—68.

Kristallograpliie.

800. H. Marshall. CrystallographicÄl
notes. P.R.S.E. 26. 383.

801. Grattarola. Cristallografia. A.
S.T.P. 14.

802. 8. L. Penfield. On crystal drar-
wing. A.J.S. (6) 19. 39.

808. G. Cesäro. Resolution graphique
des cristaux. N.M. A.B. 54 Nr. 1; 4.

804. H. Hüton. On crystaUographic
projections. P.M. (6) 9. 86.

305. C. Viola. Über das Grundgesetz
der Kristalle. C.M.G. 1906. 225.

806. F. Goldschmied. Flachen oder
Zonen als Ausgang der Formenentwick-
lung. Z.K.M. 40. 386.

807. C. Viola. Zwei Sätze aus der
Zonenlehre. Z.E.M. 40. 496.

W%. E.Sommer feldt. Eine Erweiterung
der Komplikationsregel. C.M.G. 1905.427.

809. G. Tschermak. Einheitliche Ab-
leitung der KristalUsations- und Zwil-
lingsgesetze. Z.K.M. 39. 483.

810. E. V. Fedorow. Theorie der
Kristallstruktur. Z.K.M. 40. 621).

811. F. Haag. Zu E. v. Fedorowa
Notiz betreffend ein Minimumproblem
in der Gestaltenlehre. Z.K M 40. 497.

812. E. V. Fedorow. Einige Folge-
rungen aus demSyngonieellipBOidgese^e.
Z.K.M. 40. 332.

818. L. Borgström u. V. Goldsdimidt.
Kristallberechnung im triklinen System,
illustriert am Anorthit. Z.K.M. 41. 68.

Modelle.

814. Weist. Zur stereometrischen Ver-
anschaulichung. Z.H. 36. 336.

815. L. Klug. Konstruktion des
Reliefs einer F,. S.A.W. 114. 66.

816. P. Stachel Über das Modell
einer F, die das Verhalten einer krummen
Fläche in der Nähe eines parabolischen
Punktes darstellt. Z.S.^61. 98.

817. F. Schilling, über neue kine-
matische Modelle zurVerzahnungstheorie
nebst einer geometrischen Einfanmng in
dieses Gebiet. Z. S. 62. 1.

Siehe auch 880; 600; 1286; 1862; 1625.

Mechanik«

818. P. Duhem. Die Entwicklung der
i Mechanik (poln). W.M. 8. 1; 191.

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Abhandlnngsregister 1904—1905.

89

819. A. GouiUy. Enseignement älä-
mentaire de la mäcanique. E.M. 6. 219;
R.S. (5) 1. 768.

Siehe anch 174.

Gegehichte der Mechanik«

Siehe 380.

Prinzipien der Meehanik«

820. E. Picard. Les principes de la
m^canique. K.G 0. 16. 1063; J.D.S.
1905. 42.

821. R. de Saussure. Les bases phy-
siques et logiques de la m^canique.
R.S. (5) 8. 577.

822. H. Padi. Barr^ de Saint Yenant
et les principes de la m^caniqne. R. G. 0.
16. 761.

828. M. Bethy. Über das Grund-

Srinzip der analytischen Mechanik (ung.)
[.P.L. 18. 204.

824. G. Sorel. Sur divers aspects de
la m^canique. R.M.M. 11. 716.

325. G. H. Bryan. Dynamical and
granulär media. N. 69. 260.

826. H. Kieinpeter. Zur Einführung
der Grundbegriffe der Mechanik. Z.R.
29; Z.P. 17. 800.

827. R. de Saussure. Sur les ^n-
deurs fondamentales de la mäcanique.
A.S.G.(4) 18. 267. 616.

828. J. Krkoika. sfle. (Über Kräfte).
C. 84. 21.

829. R. de Saussure, Le temps, Veffort
et Tespace. A S. G. (4) 18. 221.

880. T. Kömer. Der Begriff des
materiellen Punktes in der Mechanik
des 18. Jahrhunderts. B.M.(3) 6. 16.

881. F. Sictcci. Snl principio dei la-
vori virtuali. R. A.N. (3) 11. 46.

882. G. Hamel. Über die virtuellen
Verschiebungen in der Mechanik. M. A.
59. 416.

888. P. Duhem. Sur les origines du
principe des d^placements virtueU. CA.
141. 625.

884. F. Lindemann. Über das d'Alem-
bertsche Prinzip. S.A.M. 34. 77.

885. H. Kleinpeter. Die Relativitöt
aller Bewegung und das Trägheitsgesetz.
A.N.L. 3. 381

886. Clariana y Ricart. Importancia
de ciertas fiinciones para obtener directe
j facilmente muchas integrales de apli-
cacion a la mecanica racional. M. A. C. B.
(8) 4 Nr. 37.

887. J, Lem-Civitä. Sulla integrazione
della equazione di Hamilton-Jacobi per
separazione di variabili. M.A. 69. 388.

888. M. Rähy. Ostwalds Prinzip
über den Energieumsatz (ung). M.T.E.
21. 459; M.P.L. 12. 111.

889. G. Zempien, Über das Prinzip
des größten Energieumsatzes (ung.). M.
P.L. 12. 872.

840. C. S. Hubert. Über das Prinzip
der kleinsten Wirkung. S. AM. 34. 125.

841. M. Retky. Über das Prinzip der
Aktion u. über die Klasse mathematischer
Prinzipien, der es angehört. B.M.N. 20.
289; M.A. 68. 169.

842. E. Cominotto. L'n apparecchio
per la dimostrazione del principio dell'
azione e della reazione. N. C. P. (5) 9. 295.

848. B. Wolff. Demonstrationen zu
der Drehmomentengleichung und der
dynamischen Grundgleichung, der Be-
ziehung zwischen der Krait, Masse und
Beschleunigung M.B. (2) 6. 86.

844. Ä. BriU. Über zyklische Be-
wegung. M.A. 68. 469.

845. Juppont. Critique de la mäcani-
que classique et essai de m^canique
naturelle. F.T. (10) 8. 177.

846. Juppont. La m^canique „de
r^cole du fil" et Tönergie. F. T. (10). 4. 33.
Siehe auch 69; 463; 479; 621; 664; 2721.

Kinematik.

847. W. V. Dücker. Eine Aufgabe
aus der Kinematik. A.G. (3) 8. 161.

848. R. Magini. Sülle accelerazioni
d'ordine superiore. A.LV. 62. 1063.

849« J. van de Griendjr. Snellheids-
assen. N.A.W.(2) 6. 284.

850. E. Cotton. G^näralisation de la
th^orie du triödre mobile. S.M. 38. 42.

851« J. RuiZ'Castieo Asriza. Algunas
förmulas para el empleo de ejes coordena-
des oblicuos en ]a mecanica analftica.
R.T.M. 4. 20; 72.

852. R. Bevard. Sur le d^placement
d'une figure de forme invariable. B.MG.
9. 166.

858. L. E, J. Brouwer. Over een
splitaing van de continue beweging om
een vast punt van R^ in 2 continue
bewegingen om van R^\ C.A.A. 12.
819. 941. — E. Jahnke. 940.

854« G. Darboux. Sur la sph^re de
rayon nul et sur la thäorie du d^place-
ment d'une figure invariable. B.D. (2)
29. 34.

855. L. Levy. Sur les d^placements
d'une figure invariable dans lesquels les
diff^rents points de la figure d^crivent
des lignes sph^riques. S.M. 32. 203.

866. J. Le Roux. Sur certains mouve-
I ments des plans d*un systäme invariable

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90

Abhandlungsregister 1904—1906.

et les inonvements ä trajectoiies sph^-
riqueB. T.S.Ü.R. 8. 189.

857. L. Leeornu. Sur le rendement
du Joint universel. CR. 138. 1830.

858. A. Bitnayme. Essai sur le dö-
placement d'un madxier sur 2 rouleaux
non parallMes. N. A. (4) 3. 485.

859« E. J. Coker. Note on the appli-
cation of Fourier's series to the deter-
mination of the form of cams to falfil
given conditions of displacement , velo-
city and acceleration. P.T.R.S.C. (2)
9. 53.

860. de Guiche et H. Gilardonu Sur
un nouvel embrayage. CR. 140. 1182.

861. L. Lecomu. Sur uue Variante
du Joint universel. CR. 188. 1405.
Siehe auch 288; 284; 8507; 3508; 8510;

3582.

Kinematische Geometrie.

862. Ä. Mannheim, Note de g^om^trie
cin^matique. A.F. 1903. 128.

868. J, J. Quiwn. On kinematic geo-
metry. — A new inversor. . M. M. P. 12. 105.

864. H. Hilton. An extension of the
theory of groups of movements. M.M.
84. 157.

865. J. Diekmann. Bewegung und
Umformung. Z.H. 84. 97.

866. J. Diekmann. Bewegung und
Umformung. Z.H. 36. 97.

867. R. Bricard. Sur le däplacement
d'une figure de grandeur invariable asu-
jettie ä 3 conditions. N.A. (4) 3. 448.

868. C. E. WasteeU. Sur Faire Unfaire
de la surface engendr^e par une figure
invariable. M. (8) 5. 34.

869. E. V. Weher. Die komplexen
Bewegungen. B.G.L. 55. 884.

870. R. Mehmke. Die kinematische
Grundlage von Chr. Wieners Tangenten-
methode und ihr Verhältnis zu Robervals
Tangentenmethode. M. B. (2) 6. 54.

871. E. Meyer. Über das in der
kinematischen Geometrie auftretende
Nullsystem. M.A. 60. 242.

872. R. V. Mises. Zur konstruktiven
Infinitesimalgeometrie der ebenen Kurven.
Z.S. 52. 44.

Siehe auch 214; 8582.

Relatire Bewegung.

878. Ä. Foeppl. Über absolute und
relative Bewegung. S.A.M. 34. 388.

874. S, Zaremba. Le principe des
mouvements relatifs et les äquations de
la m^canique physique. B.I.C 1903.
614.

875. Ä. Denieot Theorie der relativen
Bewegung mit einer Anwendung auf das
Problem der Bewegung eines Eörpers
an der Oberfläche der rotierenden Erde
Sowie auf den Foucaultschen Pendel-
versuch. B.I.C 1904. 449.
Siehe auch 885; 1782; 1798; 1825; 1826;
1984.

Mechanlgmeii.

876. G. FontenS. Sur le systöme arti-
culä de M. Eempe. N.A. (4) 8. 529;
4. 8.

877. G. Fontene. Sur un Systeme arti-
culä gauche. N.A. (4) 4. 105.

878. 0. Mohr. Zur Kinematik ebener
Getriebe. Z.S. 51. 29.

879. 0. B. Zimmermann. A treatment
of instant angular and linear velocities
in complex mechanisms. T. A.W. 14. 513.

880. G. Holzmiäler. Vorschlag zum
kinematischen Modell eines besonderen
Gelenkvierecks. U.M.N. 11. 13.

881. F. J. Vaes. Een vraagstuk be-
treffende Stangen vierhoeken. N.A.W. (2)

6. 177.

882. A. Kempe. Ein Gelenkmechanis-
mus zur Teilung des Winkels. V. I. M. C. 3.
492.

888. R, Bricard. Sur une certaine
classe de cubiques gauches et sur des
syst^mes articul^s qui s^y rattachent.
S.M. 82. 269.

884. E. G. Coker. Note on the appli-
cation of Fouriers series to the deter-
mination of the forms of cams to fulfil
given conditions of di»placement^velocity,
and acceleration. P.T.R.S.C (2) 9. 63.

885. F. Eber. Die Schubkurbel. U. M. N.
10. 6.

Siehe auch 259; 3497; 3498; 3504; 8509;
3522; 8528.

Schranbenrechniiiig.

886. E. Rath. Zur Theorie der
Schraubenbewegungen. M.B. (2) 6. 85;

7. 9.

ZS7 m Portuondo y Bareelö. Movimentos
helizoidales R.A.M. 1. Nr. 7—8.

888. R. S. Ball. Some extensions of
the theory of screws. T.R.I.A. 82. 299.

889. C. J. Joly. Some new relations
in the theory of screws. T.R.I. A. 24. 69.

890. C. J. Joly. The geometiy of a
three system of screws. T.R.I.A. 32.
289.

891. C. J. Joly. The quadratic screw
System; a study of a family of quadratic
complexes. T.R.I.A. 82. 155.

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Abhandlungsregister 1904—1905.

91

892. M. Disteli. Über instantane
Schranbengeschwindigkeiten und die
Verzahnang der Hjperboloidräder. Z.S.
61. 61.

Dynamen.

898. F. Hausdarff. Eine neue Sirahlen-
geomeirie. Z.H. 36. 470.

Statik.

894. 3f . Bäcker. A pioblem in statics
and its relation to ceitain algebraic in-
variants. P.A.Bo 40. 469.

895« A, Tresse. Sur T^quilibre du corps
Bolide. N.A.(4) 6. 163.

896. /. Bichard, Un principe de
Btatique ätabli par la mäthode de La-
gzange. B.M.S. 14. 441.

897. T, PainUv4. Sur la stabilitä de
räquilibre. CR. 138. 1565.

898. P. Stäckel. Mindings Beweis für
die Stabilitöt des Gleichgewichts bei
einem Maximum der Kräftefunktion.
D.V.M. 14. 604.

899. E, Ferron. Note ezposant un
essai de Solution compldte de problämes
de r^quilibre d*un corps solide qui ne
peut que toumer autour de la droite
joignant 2 points fixes du corps. IL.
27. 72.

400. £. Gn'msehl Das Eräftepaar.
Z.P. 17. 821.

401. G. H. Bryan. Graphic construc-
tion for the cen&al axis of 2 noninter-
secting forces. M.G S. 8. 109.

402* B. Mehmke. Nachtrag zu der
Mitteilung: Statische Eigenschaft eines
Systems von Punkten für die eine be-
liebige Funktion ihrer Lage ein Mini-
mum ist. (Z.S. 60. 156.) Z.S. 51. 168.

408. G. VaücUi. La dimostrazione
del principio della leva data da Archi-
mede nel libro I sull^ equilibrio delle
figure piane. B.B.L. 7. »3

404. J. Demng&r. £lu Apparat zur
Darstellung des Hebelgesetzes. Z.L.L.
1. 126.
Siehe auch 34; 239; 2905; 3354; 3693;

3697; 8706; 8711; 3723; 3784; 3745.

Oraphische Statik.

406. «7. Sohotka. Über n-Ecke und
«-Seite in perspektiver Lage und über
die Konfiguration eines im Gleich-
gewicht befindlichen Eräflesystems.
B.I.P. 7. 59.

Siehe auch 274; 401; 3524; 3691; 3695;
3712; 3756.

ZagammenBetiiuig ron Krftften.

406. P. Duhem. Leonard de Vinci et
la composition des forces concurrentes.
B.M.(:^) 4. 338.

407. E.Grimsehl. Das Parallelogramm
der Bewegungen, das Parallelogramm
der Büräfte und der Projektionssatz. Z.P.
17. 257.

408. G. B. M. Zerr. To find the eqna-
tion to the straight line which is the
resultant of a system of forces acting
in one plane. M.M.F. 12. 176.

Siehe auch 3715; 3716.

Schwerpunkte.

409. S. DatUhevüle. Sur quelques
sommations que Ton rencontre en mä-
canique. E.M. 6. 437.

410. A. B. Sui teoremi generalmente
attribuiti a Guldino. P.M.R. Suppl, 8. 81.

411. F. Castellano. Baricentro di un
sistema piano di punti con masse iioa-
ginarie. P.M.R. (.S) 1. 163.

412. J. Tuppu. Über den Schwer-
punkt des eigentlichen Ovals und seines
Rotationskörpers. B.K.N.B. 6. 39.

418. B. Gräber. Inhaltsberechnung
und Schwerpunktsbestimmung von Kör-
perstümpfen. Z.H. 35. 193.

Siehe auch 434; 8584.

Momente.

414. J. Schnöckd. Verwandlung der
Polygone in Dreiecke gleichen Moments
beliebigen Grades. Z.S. 51. 41.

415. L. Kann. Apparat zur mecha-
nischen Bestimmung von Trägheits-
momenten. V.V. F.U.W. 9. 92.

416. E. Behfeld. Reduktion der
Trägheitsmomente einfacher Körper auf
die Trägheitsmomente einzelner Massen-
punkte, die auf ihrer Oberfläche liegen.
AGr. (3) 6. 237.

417. P. H. Schonte. Le moment d'in-
ertie d'un simplexe S{n + 1) de Tespace
EJ^ par rapport a un E„_^ de cet E„.
R.C.M.P. 19. 156. — A. Berry. 314.

418. B. Mehmke. Über Trägheits-
momente und Momente beliebiger Ord-
nung in Räumen beliebig hoher Stufe.
C.A.A. 13. 530.

419. P. Pizzetti. Relazioni fra i
momenti di inerzia di un corpo del quäle
la funzione Potenziale e simmetrica in-
tomo ad un asse. R. A.L.R. (5) 14 A 357.

420. C. SpeUa. Sulla sezioni principali
degli elissoidi d'inerzia relativi a punti
di un asse principale centrale d 'inerzia.
G.B. 42. 81; 229.

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92

Abhandlongsregiflter 1904—1906.

421« C. S. Jctcksofi. A contrivance
for showing bending moment diagrams.
M.G.S. 2. 360.

Siehe auch 409; 1583; 1080; 3678-81;
3683; 3684; 3687.

KettenllnieD.

422« C. Neumann. Über die Hervor-
bringang einer Eettenlinie dnrch Biegung
einer Kreisfläche. B.G.L. 66. 13.

428. S. Composto. Sulla configurazione
d'equüibrio d'un filo sottoposte a force
centrali. B.F.M. 6 A. 411.
Siehe auch 2864; 2867; 3698; 3703; 3710;
3729; 3748.

Dynamik.

Siehe 2683; 2686; 2796; 3624.

DUferentialgleiclinngeii der Dynamik.

424. P. E. B. Jourdain. On the
general equationa of mechanics. Q.J.
34. 61.

425* L. Koenigsherger. Über die aus
der Variation der mehrfachen Integrale
entspringenden partiellen Differential-
gleichungen der allgemeinen Mechanik.
S.A.B. lüOö. 250.

426. X. Rothmann. On the form of
Lagrange's equations for non holonomic
Systems. B.B.A. 73. 669.

Siehe auch 374; 430; 474; 484; 485; 623.

Dynamik des Punktes.

427. A. GouilJy. Sur Venseignement
äl^mentaire de la m^canique. E.M. 6.
12; R.S.(Ö) 1. 379.

428. E. et F. Cosserat. Sur la dyna-
mique du point et du corps invariable
dans le Systeme änergetique. CR. 140.
932.

429. F. Bicci. Un teorema di mecca-
nica che fa seguito ad un ben noto di
Galileo. R.F.M. 6B. 220.

480. B. Lehmann- FilMa. Über die
Verwendung unvollständiger Integrale
der Hamilton - Jacobischen partiellen
Differentialgleichung. A.N.K. 166. 209.

481. V. Amato. Sugl' integrali delle
equazioni del moto d^un punto materiale.
A.G.C. (4) 17 No. 13.

482. L. Orlando. Sulla velocitä mini-
ma nella trajettoria di un grave. A.A.
P.M. 1902—03.

488. A. B. Cigala. Sopra un criterio
di instabilita. A.D.M.(3) 11. 67.

484. G. Pennachietti. Sopra una classe
di problemi di meccanica reducibili a
quadrature. A.G.C. (4) 17. No. 19.

485. A. M. miUbreitel Note on a
Problem in mechanics. S.M.Amt(2) 11.
432.

486. E. Collignon. Probleme de geo-
m^trie. A.F. 1903. 1.

487. G. BardelH. Sul moviment di
un punto in un piano. R.I.M. (2) 38. 663.

488. F. Schufi. Over de beweging van
een materieel deeltje in een vlak een-
parig roteerend krachtenveld. N.A.W,
(2) 6. 123.

489. F. Nobile. SuUo studio intrin-
seco delle curve di caccia. R.C.M.P.
20. 73.

440. B. Kottenbach. Apparat zum.
Nachweis des Fallgesetzes und zur Be-
stinmiung der Schwerebeschleunigung.
Z.P. 18. 79.

441. M, T. Edelmann. Zeitbestimmung
für kleine Fallräume nach der Methode
von Radacovi6. P. 26. 461.

442. C. Stephanos. Sur les forces
donnant Heu ä. des tr^'ectoires coniques.
CR 140. 1318.

Zentralbewegrong.

448. C. T.Whitmell Orbits. J.B.A.A.
14. 321.

444. G. W. Hill. Exemples of peri-
plegmatic orbits. A. J. B. 24. 9. —
E. 0. Lovett 75.

Siehe auch 1900; 2727.

Oezwungene Bewegung.

445. L. Lecomu. Sur le mouvement
d'un point pesant guidä par une courb»
rigide. S. M. 32. 60.

446. F. J. Vaes. Opmerkingen om-
trent de beweging in een plat ylak.
N.A.W. (2) 6. 249.

447. 0. Olsson. Om den materiella
Punktes rörelse pä en rotationsyta. T.M.
16 B. 49.

Siehe auch 438; 466.

Brachistochronen.

448. 0. Foi-menti. Su alcuni classi
di linee brachistocrone. R.I.L. (2) 36.
1079.

Pendel.

449. W. Lorey. Das Gesetz des mathe-
matischen Pendels auf dem Gymnasium»
Z.H. 36. 24.

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Abhandlungsregister 1904—1906.

93

450. A. G. GreenhiU. Le pendnle
■imple Bans approxunations. N.A. (4)
4. 97.

451. E. GrimseM. Demonstration
eines Pendels mit direkt meßbarer Pendel-
Iftnge. V.D.P.a 6. »84.

4&2« A. Emo. Sol pendelo conico.
E.S.I. 87.

45ft. A, Filippino. Sopra an parti-
colare sistema di pendoli che rappresenta
le molecole dei corpi composti. A.A.T.
39. 662.

454, A Frey. Über eine Vorrichtung
zur Vetmeidung des Mitschwingens des
Statives beim Doppelpendel. A.AW.
1906. 219.

4&6. H, Rebetistarff. Abgleichong
der Ltlnge von Fadenpendeln. Z.P. 18.
224.

456. A. Füippini. Sopra un parti-
colare sistema di pendoli che rappre-
senta le molecole dei corpi composti.
A.A.T. 39. 502.

457. J. Mascart. Pendnle en acier-
nickel entretenu ^lectriquement. CR.
139. 1026.

458« (\ Fery. Pendnle älectrique ä.
dchappement libre. CR. 140. 262.
Siehe auch 41; 553.

Dynamik des Körpers.

459. R. de Saussure. Theorie g^o-
m^trique du mouvement des corps solides
et fluides. A.S.G. (4) 18. 26.

460« E. Ferron. Contribution ä la
th^orie g^n^rale du mouvement des corps
solides naturels. l.L. 27. 1.

461. B. de Saussure. Theorie g^n^rale
du mouvement des corps. A.S.G. (4)
18. 25.

462. F. Jung. Bemerkung zur Ab-
leitung der Eulerschen Bewegungs-
gleichungen. A.Grr. (3) 6. 206.

468. G. Kolossoff. Über Behandlung
zyklischer Systeme mit Variationsprin-
zipien, mit Aiiwendungen auf die Mecha-
nik starrer Körper. M.A. 60. 232.

464. de Sparte. Remarques au siget
de la question de m^canique posäe au
concours d'agr^gation en 1903. N.A. (4)
4. 38.

465« A. R. CigcUa. Sopra un criterio
di instabilita. A.D.M. (3) 11. 67.

466* R. de Saussure, Mouvements
infiniment petits d*un corps solide qui
possdde plusieurs degr^s de libeii^.
A.S.G. (4) 18. 612.

467« /. Andrade. Determination des
mouvements ii de solides auz trajectoires
sph^riques. V.l.M.C. 3. 366.

468« C, Alasia. Sul movimento di
una sfera de rotola in un piano mobile
non orizzontale. R.F.M. 6A. 18.

469. J. H. 3f. Falkenhagen. Die
rollende Lage eines beliebigen schweren
UmdrehungskOrpers über eine horizon-
tale Ebene. N.A.W. (2) 6. 104.

470. G. E. Bryan and W. E. Winiams.
The longitudinal stability of aerial
gliders. P.R.S.L. 73. 100.

471. M. Krause. Anwendung der
elliptischen Funktionen auf die Theorie
der Kurbelbewegung. B.G.L. 56. 273.

472. G. Floquet. Sur le „looping the
loop". B.S.S.N. (3) 0. 31.

478. A. Schoenfiies. Über den wissen-
schaftlichen Nachlaß Plückers. M. A. 58.
385.

Siehe auch 428; 481; 2684.

Dynamik des Systems.

474. G. K. Suslov. Über die Bewe-
gungsgleichungen der materiellen Sy-
steme (russ.V B.Ü.K. 1904 d 10. 59.

475. J. RuiZ'Castizo, Algünas for-
mulas para el empleo de ejes coordenados
oblicuos en la mecänica analitica. R.T. M.
4. 69.

476. F. Wittenbauer. Die Beweguncrg-
gesetze der veränderlichen Masse. Z.S.
52. 150.

477. E. Kanner. A geometric pro-
periy of the trajectories of dynamics.
S.M.Am. (2) 12. 71.

478. G. Fubini. Sülle traiettorie di
un problema dinamico. R.C.M.P. 18.
301.

479. P. Poinlevi. Sur le thöorfeme
des aires et les systämes conservatifs.
CR. 139. 1170.

480. P. Bohl Über die Bewegung
eines mechanischen Systems in der
Nähe einer Gleichgewichtslage. Cr. 127.
179.

481. J. Gehrke. Om en anvendelse

af ligningen fix, y^\ •-= paa et ufo-

randerligt, plan punktsystems bevaegelse.
T.M. 15. A. 5.

482. G. Floquet. Sur le mouvement
d'un fil dans un cas oü il präsente par-
tout ^gale Chance ä la rupture. B. S. S. N.
(3) 1. 167.

483. H. Nagaoka. Kinetics of a System
illustrating the line and band spectrum
and the phenomena of radioactivity.
P.M. (6) 7. 445. — H. A. SchoU 8. 384.

Siehe auch 427; 520; 698; 1047; 1049;
2712.

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94

Abhandlungsiegister 1904— 1906.

Drehung«

484. G. Fennacchietti. Sulle equa-
zioni difFerenziali del moto di tm corpo
solido intomo a un punto fisso. A. G. G.
(4) 16 No. 4.

485. P. A. Siff. Ob nravnenijach
dyizenija tjaielago tverdago tela ime-
jus^ago nepodviznujti to61ni. (Über die
Bewegungsgleichungen eines schweren
festen Körpers, der einen unbeweglichen
Punkt besitzt.) S.M.M. 24. 169.

486. E. Husson. Recherche des inte-
grales alg^briques dans le mouvement
d'un Corps solide pesant autour d^un
point fixe. CR. 141. 100.

487. G. Dumas. Sur le mouvement
d*un Corps pesant autour d^un point
fixe dans le cas de Mme. Eowalewski.
N.A. (4) 4. 366.

488. G, Kolossow. Bahn des End-
punktes des Hauptmoments der Be-
wegungsgrößen im Kowalewskischen
Problem der Drehung eines festen
Körpers (russ.). A.U.J. 1904. No. 4b.

489. F. P. Buffini, Delle accelera-
zioni di alcuni punti nel moto di un
sistema rigido con un punto fisso. R. I. B.
(2) 7. 11.

Siehe auch 2791; 2866.

Kreisel.

490. Ä. G. Greenhül The mathe-
matical theory of the top considered
historically. V.I.M.C. 3. 100.

491. W. H. Pickering. A little known
property of the gyroscope. N. 71. 608.

492. E. G. Gallop. On the rise of
a spinning top. T.C.P.S. 19. 366.

493. C. Alasia. Alcune osservazione
sul politropio di Sire e sul giroscopio
di Foucault. R.P.M. 4. n. 628.

494. H. E. J. G. du Bois. Hystere-
tische oriSntatieverschijnselen. C A.A.
13. 763.

Siehe auch 1806; 2793.

Schwingungen.

496. Ä. Korn. Le probl^me mathä-
matique des vibrations universelles.
S.M.Kh. (2) 8. 68.

496. J. Hom. Weitere Beiträge zur
Theorie der kleinen Schwingungen.
Z.S. 62. 1.

497. Guillet. Entretien des corps
vibrants. S.F.P. No. 223. 2.

498. Ä, E. H. Love. Some illustra-
strations of modes of decay of vibratory
motioDS. P.L.M.S. (2) 2. 88.

499. M. Badakome. Über die Be-
rechnung der erzwungenen Schwingungen
eines materiellen Systems. A. A.W. 1906.
237; S.A.W. 114. 877.

600. T. Terada. Lissajous* figuies
by tank oscillation. N. 71. 296.

601. S. Kinski. drganiach po-
przecznych pr§t6w spr^iysfych. (Über
die Querechwingungen der elastischen
Saiten.) T.W. 16. 71.

602. ,/. J. a Müller. Über schwin-
gende Federn und deren Verwendung
zur Frequenzmessung. Z.P. 18. 220.

608. S. Mikola. Resonanz und Inter-
ferenzerscheinungen mit schwingenden
Platten und Membranen. Z.P. 17. 209.

604. F. A. Schulze. Bemerkung zu
meiner Arbeit: Über drehende Schwin-
gungen von dünnen Stäben mit
rechteckigem Querschnitt und über Ver-
wendung zur Messung der Elastizit&tB-
konstanten. A.P.L. (4) 14. 848.

606. J. Morron. On the lateral
Vibration of bars of uniform and varying
sectional area. P.P.S.L. 19. 688.

606. C. Chee. The whirling and
transverse vibrations of rotating shafts.
P.P.S.L. 19. 114; P.M. (6) 7. 604.

607. A. G. Kerkhoven-Wijthoff. On
the small oscillations of a System of
2 hemispheres of which one is resting
with its spherical surface on the plane
face of the other, both rotating with
finite velocity about their verticiS azes.
N.A.W. (2) 7. 48.

608. 8. Guggenheimer. Über die uni-
versellen Schwingungen eines ELreisringes.
S.A.M. 84. 41.

609. 0. Hecker. Ergebnisse der
Messung von Bodenbewegungen bei
einer Sprengung. B.G. 6. 87.

610. S. Gugaenheimer. Über die An-
wendung der Theorie der universellen
Schwingungen auf das Gleichgewichts-
problem des Saturn imd seiner Ringe.
P.Z. 6. 207.

Siehe auch 684; 616; 719; 720; 82S;
824; 826; 917; 2416—17; 2739; 2786.

BollbeweguBg.

Siehe 97; 468; 469; 2746.

Stoß.

611. J. Hadamard. Sur un point de
la thäorie des percussions. N.A. (4) 4.
633.

612. E. Henning. Vorrichtung seu
Versuchen über den elastischen zen^len
Stoß. Z.P. 18. 223.

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AbhandlungsregiBter 1904—1905.

95

618. K. V. Szihf. Der Stoß rauher
EOiper bei ebener Bewegung. B.M.N.
19. 283.

514« C. H. Lees, On a simple gra-
phical method of treating the impact
of Bmooth elastic spheres. P. M. (6) 8. 215.

515* K. BöhUn. Sur le choc consid^r^
comme fon dement des th^ories de la
pression des gaz et de la gravitation
universelle. A.M.A.P. 1. 529.

Siebe aucb 657; 3271; 8764.

Beibung.

516* L. Lecomu. Sur le frottement
de gliBsement. CR. 140. 685.

617. P. Painleve. Sur les lois du
frottement de glissement. CR. 140. 702;
141. 401; 546.

618. de Spätre. Sur le frottement de
glissement. CR. 141. 310.

619. E. Daniele. Sulla rappresen-
tazione parametrica deUe forze d'attrito.
N.CP. (5)9. 289.

620. E. Daniele. Forze d'attrito ed
equazioni del movirnento nei sistemi
liberi. N.CP. (6) 9. 266.

621. G. ZempUn. Anwendung der
mechanischen Prinzipien auf Bewegung
mit Reibung (ung.). M.P.L. 12. 275.

622. L. Lecomu. Sur la loi de Cou-
lomb. CR. 140. 847.

628. E. Gieseler. Die ersten Versuche
über Reibung, Wirkungsgrade und Fall-
geschwindigkeit. Z.P. 18. 146.

624. Ä. G. M. Miehell. The lubrifi-
cation of plane surfaces. Z.S. 52. 123.
Siehe auch 2859; 8674; 3680.

Seibnng fester K5rper.

626. E. Daniele. L'attrito nel mo-
yimento di un solide in contatto con un
piano. N.CP. (5) 9. 174.

626. B. Weinberg. Einige Methoden
zur Bestimmung des Koeffizienten der
innem Reibung fester Körper (russ.).
J.R.P.CG. 86. 47.

Siehe auch 3675—78; 3681.

Potentialtheorie.

627. G. K. Sousloff. Theorie des
Potentials und der Hydrodynamik (mss.).
B.U.K. 1904 e No. 6—9; 10. 129.

628. A. C. Dixan. On the Newtonian
Potential. Q.J. 35. 283.

629. A. C. Dixan. On many-yalued
Newtonian potentials. P.L.M.S. (2) 1.
415.

680. F. Graf. vlastnostech New-
tonoTa a logarithmic käho potencialu a
jeho pronich derivaci v nökterych jedno-
duchjch sing^larit&ch hmotnych ploch
a kfivek. (OTer die Eigenschaften des
Newtonschen und des logarithmischen
Potentials und seiner ersten Ableitungen
in einigen einfachen Singularitäten der
materiellen Flächen und Kurven.) C. 34.
5; 130.

681. L. Koenigsberaer. Das Energie-
prinzip für kinetiscne Potentiale be-
liebiger Ordnung und einer beliebigen
Anzanl abhängiger und unabhängiger
Variabein. S.A.B. 1904. 1342.

682. T. Boggio. Sülle funzioni di
Green d'ordine m. R.CM.P. 20. 97.

688. L. Orlando. Sulla funzione n-ma
di Green par la sfera. G.B. 42. 292.

684. C. W. Oseen. Oni konjugerade
Potential funktioner af 8 variabler.
A.M.A.F. 1. 651.

686. E. Boggio -Lera. Sopra una
nuova forma della fanzione Potenziale.
A.G.C (4) 16. No. 6.

680. L. Orlando. Sopra alcune frin-
zioni ausiliari. R.A.L.R. (5) 14. A. 138.

687. C. W. Oseen. Zur Theorie der
verzweigten Potentialfdnktionen. A. M.
A.F. 1. 703.

688. T. Boggio. Sülle funzioni asso-
ciate e suUe linee di forza di un elissoide
di rotazione eterogeneo. R.I.L. (2) 38.
454.

689. fV. A. Steklow. Über einige all-
gemeine Gleichungen, welche mehreren
in der Analysis gebräuchlichen Funk-
tionenreihen gemeinsam sind (russ.).
A.P.M. (8) 16 No. 7. 1.

640. 0. D. Kellogg. Unstetigkeiten
in den linearen Litegralgleichungen.
M.A. 58. 441.

641. D. HilbeH. Über eine Anwendung
der Integralgleichungen auf ein Prob-
lem der Funktionentheorie. V.I.M.C8.
283.

642. K. Stojanowüsch. Widerstands-
potential (serb.). P.A.B. 67. 82.

648. X. Fejer. Über 2 Randwertauf-
gaben. B.M.N. 19. 329.

644. G. Lauricella. Sülle derivate
della funzione Potenziale di doppio
Strato. R.A.L.R. (6) 14. A. 70.

646. S. Zaremba. Les fonctions fon-
damentales de M. Poincare et la mä-
thode de Neumann pour une frontiöre
compos^e de polygones curvilignes.
J.M. (5) 10. 395.

640. J. Plemelj. Über lineare Rand-
wertaufgaben der Potentialtheorie. M. H.
15. 337.

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96

Abhandlungsre^ster 1904—1906.

547. E. JB. Neumann. Studien über
die Methoden von C. Neumann und G.
Bobin zur Lösung der beiden Randwert-
aufgaben der Potentialtheorie. P. J.G. 37.

548. Paci. Derivate terze della fun-
zione potenziale di euperficie. A.R.Ü.G.
11.

• 549. G. Picciati. Sülle funzioni poten-
ziali elicoidali. B.A.L.B. (5) 13. B. 696.

550. L. Koenigsberger. Das Energie-
prinzip für kinetißcne Potentiale be-
liebiger Ordnung und einer beliebigen
Anzahl abhängiger und unabhängiger
Variabein. S.A.B. 1904. 1342.

551. S. Zaremba. Contribution ä. la
thäorie d^une ^quation fonctionnelle de
la physique. B.C.M.P. 19. 140.

Siehe auch 396; 419; 794.

Attraktion.

552. E. Hoffmann. Die Entwicklung
der verschiedenen Probleme der Maxima
der Anziehung. B.M. (3) 6. 366.

553* Ä. Favaro. Una critica di
Giovanni Plana ai dialoghi Galileiani
delle nuove scienzi. A.A.T. 39. 493.

554. G. W. Walker and A. Gray,
Attraction between concentric hemi-
spherical shells. N. 69. 660.

555. G. Morera. Suli' attrazione di

un elisBoide eterogeneo. A. A. T. 39. 262 ;

258.

Siehe auch 2676.

Gravitation.

556. E. W. Brown. On the verifi-
cation of the Newtonian law. M. N. A. S.
63. 396.

557. J. E. Bydberg. Einige Bemer-
kungen über das Gravitationsgesetz.
V.A.G. 39. 190.

558. A. Korn. tJber eine mögliche
Erweiterung des Gravitationsgesetzes.
S.A.M. 33. 383; 663.

559. A. P. Panoff. L'attraction newto-
nienne considäröe comme une fonction
du temps. A.N.K. 167. 273.

560. A. Despaux. Cause de la gra-
vitation et de la coh^sion. B.S. (6) 1.
611.

561. E, Bandl. Das elektrodynami-
sche Prinzip in seiner Anwendung auf
die Erscheinung der Massenanziehung.
N.B. 20. 273.

562« W. P. Dreaper. Note on gravity
and chemical action. C.N. 90. 63.

568. W. Sutherland. The electric
origin of gravitation and terrestrial
magnetism. P.M. (6) 8. 686.

664. E, V. Scheidler. Über das Ver-
hältnis der Gravitationskonstante zur
absoluten Ladung des Elektrons. P.Z.
6. 237.

565. E. Take. Ober etwaige Kor-
rektionen an der von Bicharz und Krigar
Menzel ausgeführten Gravitationsbestim-
mung. A.P.L. (4) 16. 1010.

566* B. Davis. A suggestive relation
between the gravitationtS constant and
the constants of the ether. S. (2^ 19. 928.

567. £^ E. Koch. Ül)er Beobacntungen,
welche eine zeitliche Änderung der Größe
der Schwerkraft wahrscheinlich machen.
A.P.L. (4) 16. 146.

568. J. M. Schaeberle. On certain
evidence indicating the existence in
the solar sjstem of streams of gravita-
ting matter ejected from the sun. A. N. K.
169. 131.

Siehe auch 616; 696; 696; 1986; 3667.

Hydrostatik.

569* C. M. van Bevenier. Over de
hydrostatika van Archimedes. N.T.N.L
63. 313.

570. G. Heinrich. Hydrostatisdier
oder hydrodynamischer Auftrieb. Z.P.
17. 221. — H. Kuhfahl 318.

571. B. W. H T. Hudson. The sur-
face of flotation. M.M. (2) 33. 60.

Siehe auch 816; 1681; 2442.

Gleichge?rioht Ton K5rpeni
in Fiaasigkeit

572. Maihy. B^sistance de Tellipsoide
immergä dans un fluide parfait incom-
pressible. Integration des formulee.
Expressions des valeurs approchäes. Gas
du disque plat et de Taiguille. N.A.
(4) 6. 170.

Siehe auch 671; 690.

Hydrodynamik*

578. P. Buhein. Becherches sur lliy-
drodynamique. A.T. (2) 5. 197; 863.

574. U. Grassi. Studii d'idrodinamica.
A.S.P. 9. No. 3.

575. Finzi e Soldati. Dinamica dei
fluidi. Pol.M. 1903 Dez., 1904 Febr.

576* Bernardi. Paradosso idrodina-
mico. Pol.M. 1904 Nov.

577* M. A. E. Stephansen. Von der
Bewegung eines Eontinaums mit einem
Buhepunkte. A.M.C. 26. No. 3.

578. S. Kondia, nul-ngeetima
gibax^ja teku6ine. (Über die SteUen, an

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Abhandlongsregister 1904—1906.

97

denen die Geschwindigkeit einer Flüssig-
keit Null ist.) T.A.A. 164. 132.

579. J. Weingarten, Ein einfaches
Reispiel einer stationären und rotations-
losen Bewegung einer tropfbaren schwe-
ren Flüssigkeit mit freier Begrenzung.
V.I.M.C. 8. 409.

h^m F.Sehönhtüs. DruckTermindemng
in einem Wasserstrom. Z.P. 17. 221.

581. P. E. Belas. On the structure
of water -jets and the e£Pect of sound
thereon. P.S.D. (2) 10. 203.

682. Jouguet. Sor la similitude dans
le mouvement des floides. CR. 141. 396.

588. P. Duhem. Sur les conditions
näcessaires pour la stabilit^ initiale d'un
milieu vitreux. P.S.B. 1902—03. 62.

584. P. Duhem. Effets des petites
OBcillations des conditions ext^rieures
sur un Systeme däpendant de 2 variables.
CR. 138. 1313.

585» S. Zaremba. Sur une forme
perfectionn^e de la thäorie de la ro-
laxation. B.I.C. 1903. 694.

586» Jouguet. Remarques sur la loi
adiabatique d'Hugoniot. CR. 139. 786.

587. E. Estanave. Note sur le tract^
des sections planes des surfaces au mojen
de la surface libre d'un liquide. J.P.
(4) 3. 706.

588. P. Duhem. Consid^rations sur
la stabilitä et particuli^rement sur la
stabilit^ des corps älastiques. P.S.B.
1902—03. 98.

589. P. Duhem. Influence exerc^e
par de petites variations des actions
ext^rieures sur un Systeme que d^-
finissent 2 variables affect^es d'hysteräsis.
CR. 138. 1471.

690. J. Baussinesq. Pouvoir refroi-
dissant dW courant fluide sur un
ellipsoide a axes inägaux immergä dans
ce courant. CR. 140. 16.

591. J. Baussinesq. .^quation de 2.
approximation pour T^coulement des
nappes d'eau infilträes dans le sol et ä,
faibles pentes. CR. 139. 417.

592. J. Boiissinesq. ^quations g^n^-
rales du mouvement des nappes d'eau
infilträs dans le sol. CR. 139. 387.

598. J. Boussinesq. Petites denivella-
tions d^une masse aqueuse infiltr^e dans
le sol, de profondeurs quelconques, avec
ou Sans äcoulement au dehors. CR.
139. 441.

594. E. MatOet. Sur les mouvements
d'une nappesouterraine, particuli^rement
dans les terrains permeables, spongieux
et fissur^s. S.M. 33. 2.

595. L. Maillard. Sur Texpärience
de Perrot. CR. 139. 662.

Zeitschrift f. Mathematik n. Physik. 5S. Band.

596. W. Schmidt. Über eine Methode
zur Bestimmung des adiabatischen
Eompressionsmoduls von Flüssigkeiten.
A.A.W. 1906. 238.

597. E. Penzold. Über die Druck-
verhältnisse im Saugheber. Z.P. 18. 166.

598. G. A. Zanan. Sulla supposta
causa della cayitä generata daU' elica
nell* acqua: teoriche e applicazioni pra-
tiche. A.LV. (8) 6. 6.

599. G. Sehe/fers. Über ein Problem,
das mit der Theorie der Turbinen zu-
sammenhängt. Z.S. 61. 88.

Siehe auch 344; 469; 627; 670; 797;

1111; 1964; 2206; 2213; 2434; 3363;

3376; 3388; 3389; 3401; 8406; 3423;

3428; 3438; 3447.

Wellenlehre«

600. K. Honda. A simple model for
iUustrating wave-motion. N. 71. 296.

601. P. Forchheimer. Wasserbe-
wegung in Wanderwellen. S. A.W. 112.
1697.

602. N. Kapzov. Über die Druck-
kräfte der Wellen, welche sich auf einer
Flüssigkeitsoberfläche ausbreiten. A.P.L.
(4) 17. 64.

608. H. Bateman. The Solution of
partial differential equations by means
of definite integrals. P.L.M S. (2) 1. 461.

604. /. Hadamard. Sur les Solutions
fondamentales des equations lint^aires
aux d^rivees partielles. V.I.M.C 3. 266.

605. H. Lamb. On group velocity.
P.L.M.S. (2) 1. 473.

606. H. C. Pocklinaton. Growth of
a wave- group when the group - velocity
is negative. N. 71. 607.

607. Lord Kelvin. Deep water ship-
waves. P.R.S.E. 25. 662.

608. Lord Kelvin. On the front and
rear of a free procession of waves in
deep water. P.R.S.E. 26. 811; P.M. (6)
8. 464.

609. Lord Kelvin. On deep water
two-dimensional waves produced by any
given initiating disturbance. P.R.S.E.
26. 186; P.M. (6) 7. 609.

610. T. H. Havelock. Mathematical
analysis of wave propagation in iso-
tropic Space of p dimensions. P.L.M.S.
(2) 2. 122.

611. TT. H. Fry. Ocean waves.
N.M.L. 1905. 592.

612. Ä. E. H. Love. The propagation
of wave motion in an isotropic elastic
solid medium. P.L.M.S. (2) 1. 291.

613. J. Bousinesq. Propagation des
ondes le long d'une colonne liquide com-

1906. t. HefU 7

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98

AbhandlungsregiBter 1904—1906.

presflible se composant de filets d. yi-
tesBes iuägales et remplisBant im tuyau
^Btique horizontale saxui tension longi-
tudinale. CR. 141. 8.

614. J, Bousainesq. Sxa xm cas simple
oü se calculent ais^ment Taction matuelle
des amieauz juxtaposes constituant un
tuyau et Tinfluence de cette action mu-
tuelle sur la propagation des ondes li-
quides dans te tuyau. CR. 141. 284.

615. A. Fuiearello. Oscillazioni iso-
crone del mercurio in tubi communi-
canti. N.CP. (5) 9. 376.

616. jE. Jotiguet, Sur Tonde explosive.
CR. 139. 121.

617 . L, PrandÜ. Über die stationären
Wellen in einem Gasstrahl. P.Z. 6. 698.
Siehe auch 266; 728; 1416; 2169—72;

3392.

Bewegung der Flftggigkeiten
in KanUen.

618. E. Hahn, G. Herglotz und
K. Schwarzschüd. Über * das Strömen
des Wassers in Röhren und Kanälen.
Z.S. 61. 411.

619. J. Boussinesq. Calcul, pour les
diverses contextures et dpaisseurs de pa-
roi possibles, de la rösistance ^lastique
qu*un tuyau sans tension longitudinale
oppose au gonflement de la colonne li-
quide le remplissant. CR. 141. 81.

620. Lüdecke. Berechnung der Ge-
schwindigkeit des in Wässerungsgraben
fließenden Wassers und Wassermessung
mittels des Überfalls von Cipoletti. E.
T. 1904. 237; V.L.V. 1904. 270; 273.
Siehe auch 680; 613—16; 902; 2441;
3364; 3379; 3380; 3426; 3427; 3440;

3446; 3466; 3466.

Ansflufi Ton Flügslgkeiten.

621. J. Boussinesq. Compl^ment au
memoire intitul^ ,,Recherches th^oriques
sur r^coulement des nappes d'eau infil-
tr^s dans le sol et sur le döbit des sources.
J.M. (6) 10. 863.

622. J. Hermanell Theorie des freien
Ausflusses von Flüssigkeiten an Mün-
dungen und ÜberfäUen. S. A. W. 11 8. 879.
Siehe auch 681; 690; 691; 693; 771;

961; 3393; 3421.

Gleichgewicht
rotierender Flflssigkeiten.

628. Ä. Liapownoff. Sur la stabiÜt^
des flgures eUipsoidales dMquilibre d^un
liquide anim^ d^un mouvement de rota-
tion. A.T. (2) 6. 6.

Wirbel.

624. W. Büehel. Zur Topolo^e der
durch eine gewöhnliche Differentialglei-
chung 1. Oänung und 1. Grades defi-
nierten Kurvenschar. S.M.H. 4. 188.

62h.F.Ählbom. Die Wirbelbildung im
Widerstandsmechanismus des Wassers.
M.K. 1904. Nr. 23.

626. F. Bjerknes. Über Wirbel-
bildung in reibungslosen Flüssigkeiten
mit Anwendung auf die Analogie der
hydrodynamischen Erscheinungen mit
den elektrostatischen. A.M.A.F. 1. 226.

627. E. Laura. Sülle equazioni dif-
ferenziali canoniche del moto di un eis-
tema di vortici elementari, rettilinei e
paralleli in un fluido incompressibile
mdefinito. A.A.T. 40. 262; 296.

Siehe auch 661; 3408.

Beibang Ton Flflggigkeitcn.

628. Lord Bayleigh. Fluid friction
on even surfaces. P.M. (6) 8. 66.

629. L. Prandtl Über Flüssigkeita-
bewegung bei sehr kleiner Reibung. V.
LM.C. 3. 484.

680. L. Naianson. Über die Fort-
pflanzung einer kleinen Bewegung in
einer Flüssigkeit mit innerer Reibung.
Z.P.C. 40. 681.

681. H. Rudorf. Über die innere
Reibung von Lösungen. Z.E. 10. 478.

682. E. Grüneisen. Über die innere
Reibung wäßriger Salzlösungen und
ihren Zusammenhang mit der elektroly-
tischen Leitung. A.P.T.R. 4. 237.
Siehe auch 686; 1606; 3414; 8418; 8679.

Yiskosit&t.

688. X. Naianson. Sur Tapproxima-
tion de certaines ^quations de la th^orie
de la viscosit^. B.LG. 1908. 283.

684. L. NatcMson. Sur Tapplication
des ^quations de Lamnge dans la
thäorie de la viscositö. B.LC. 1908. 268.

685. S. Zaremba. Sur une g^n^rali-
sation de la thäorie classique de la
viscosit^. B.LG. 1908. 380.

686. P. Duhem. Sur la viscosit^ et
le frottement au contact de deux fiuidee.
P.S.B. 1902—03. 27.

687. P. Duhem. Stabilitä et viscosit^.
M.S.B. (6) 3. 121.

688. Ä. E. Dunstan. The viscosity
of liquid mixtures. L J.G.S. 86. 817;
87. 11.

689. L. Naianson, Über die Disaipa-
tionsfnnktion einer zähen FlüssigTOit.
Z.P.C. 43. 179.

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Abhandlungsreg^ter 1904—1906.

99

640. L. Natanson. Remarques swc la
th^oriedelarelazation. B. LG. 1908. 767.

641. P. Duhem. Effet des petites oe-
cillationB de la temp^iatare sur tm ^s-
töme affect^ dliystäx^sis et de viscosit^.
C.B. 188. 1196.

642. P. Duhem. Modifications per-
manentes. Surles propri^t^H des syst^mes
affect^s d. la foi d'hysiSräsiB et de vis-
coßit^. CR. 138. 942.

64S. L. Natanson. Über die Defor-
mation einer plastisch-yiskOsen Scheibe.
Z.P.C. 43. 186.

B44. W. N. Taylor. Note on the
Standard of relative viscosity and on
negative viecoBiiy. P.R.S.E. 26. 227.
Siehe auch 374; 1466; 1466.

Bewe^ng fester Körper in
FlÜBslgkelteii.

645. 0. Ohson. Über die Bewegung
fester Körper in Flüssigkeiten. A.M.A.
F. 1. 641.

646* ü. Cisotti. Sul paradosso di
d'Alembert. A.LV. 63. 423.

647. V. Fischer, Eine Analogie zur
Thermodynamik. Z.S. 61. 426.

648. E. Lenzt. Solla ricerca di nn
qnarto integrale di 2. grado del sistema
di equazioni differenziali del moto di
nn corpo solido in nn liqnido indefinito.
A.D.M. (3) 10. 227.

649. A. Vüerbi. Sni moti spontanei
stazionari d'on solido immerso in nn li-
qnido indefinito. A.LV. (8) 6. 6.

650. A. Viterhi. Formole ellittiche
per i moti spontanei stazionari d*nn so-
Udo immerso in nn liqnido indefinito.
A.I.V. 68. 873.

651* W. Koppen. Yersnche Aber den
Stau und. Sog an den Oberflächen halb
eingetauchter schr&g durch das Wasser

geführter drachenähnlicher Körper. A.
l.S.H. 27. 1.

652* G. Bonfantini. Movimento di
un Uquido indefinito in cui si muove un
disco circolare infinitamente sottile. R.
I.L. r2) 37. 776.

658. A. B. Basset. On the motion of
bicircular quartic cylinders in a liquid.
Q.J. 84. 267.

Siehe auch 463; 2628; 8411; 3436.

Aerodynamik.

654. H. SmoJuchowski'Smolan. On the
principlee of aerodynamics and their ap-
plication, by the method of dynamical
similarity, to some special problems.
P.M. (6) 7. 667.

655. A. Saikemtsch. Über die Ab-
teilung der Differentialgleichungen der
Bewegung eines Gases (russ.). J. B. P. G. G.
86. 426.

666. P. Lanaevin. Sur une formule
fondamentale de la th^rie cin^tique.
C.B. 140. 36.

657* E. Jouguet. Remarques sur la
propagation des percusaions dans les gaz.
C.B. 188. 1686.

658. W. Minkowski. Über das Gesets
von Boyle und Mariotte (russ.). E.L.
29. 802.

669. J. Boussinesq. Bationalit^ d'une
loi exp^rimentale de M. Pareniy pour
l'äcoulement des gaz par les orinces.
J.M. (6) 10. 79

mi^. M. F. Gutermulh. Versuche über
den Ausfiuß des Wasserdampfes. M.F.
19. 46.

661. F. J. B. Cordeiro. Vortex rings
as revolving solids. M.W.R. 32. 416.

662. A. F. Zahm. The measurement
of air velocity and pressure in aerody-
namic experiments and the balloon ane-
mometer. A.N.J. 8. 74.

668. F. G. Bcynolds. The viscosity
coefficient of air, with an inquiry into
the effect of Roentgen rays thereon. P.
B. 18. 419.

664. A. V. ÖUinaen und F. Blumbach.
Räumliche Darstellungen des zeitlichen
Vorganges von Schwefelkohlen stoffexplo-
sionen im Eudiometerrohre mittels des
durch rotierenden Planspiegel mit Stein-
heil-Aplanat erhaltenen Bildes. V.D.P.
G. 7. 44.

Siehe auch 616; 617; 729; 2440; 2608;

2610; 2613; 2614; 2616; 2618— 20; 2622;

2628; 2629; 2632—38; 2643; 2647—60;

2662; 2663; 3699; 3801.

Flngbewegnng.

Siehe 2611; 2621; 2623.

Lattwiderstand.

665. 0. Eenard. Bäsistance de Tair.
Comparaison des r^sistances de diverses
car^nes aäriennes. Bäsultats num^riques.
C.B. 138. 1264.

666. A. Frank. Versuche zur Ermitt-
lung des Luftwiderstandes, dessen Ab-
hängigkeit von der Geschwindigkeit und
der Gestalt der Körper. A. P. L. (4) 16. 464.

667. F. E. Stanton. On the resistance
of plane surfaces in a uniform current
of air. N.P.L. 1. 246.

668. M. Frichet. Sur la surface de
la moindre räsistance. N.A. (4) 4. 160.

Siehe auch 2607.

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100

Abhandlungsregiflter 1904—1905.

Beibang Ton Gasen.

069. Ä. F. Zahm. Athmospheric fric-
tion with special reference to aeronau-
tics. B.S.W. 14. 247.

670. F, Kleint. Über innere Reibung
binärer Mischungen zwischen H, 0, N.
V.D.P.G. 7. 146.

671. H. Markowski. Die innere Rei-
bung von 0, H, chemischem und atmo-
sphärischem N und ihre Änderung mit
der Temperatur. A.P.L. (4) 14. 742.

672. S. Chdla. Su di un apparecchio
per la misura assoluta del coefficiente
di attrito interne dei gas. R.A.L.R.
14 B. 28.

Siehe auch 668; 2640.

inßere Ballistik.

678. G. Forbes. Exterior ballistics.
P.R.S.L. 74. 392.

674. F, Güman. The ballistic prob-
lem. A. of M. (2) 6. 79.

676. S. A. Corey, The ballistic Prob-
lem. M.M.F. 12. 121.

676. E. Oekinghaus. Das ballistische
Problem auf hyperbolisch - lemniska-
tischer Grundlage. M.H. 15. 11; 189.

«77. K. Stojanovitch. Fall der Integra-
bilität einer ballistischen Gleichung
(serb). P.A.B. 67. 190.

678. ^ Sparre. Sur le mouvement
des projectiles oblongs antour de leur
centre de gravit^. A.M.A.F. 1. 281.
Siehe auch 2676; 2677.

Innere Ballistik.

679. E. Coradin. Les ondes a^riennes.
R.G.O. 16. 182.

Siehe auch 1417; 2850.

Physiologische Mechanik.

. 680. O.Fischer. Physiologische Mecha-
nik. A.Gr. (3) 7. 110.

681. G. Weiss. Les travaux de
W. Braune et 0. Fischer sur la möca-
nique animale. R.G.O. 14. 1206.

682. E. Solvay. Sur le problfeme dit
du travail statique; essai de dissociation
des ^nergies mises en jeu. CR. 140.
1362.

683. J. Joteyko. Les lois de Ter-
gographie. B.A.B. 1904. 567.

684. J. K. A. Weiiheim. Salomonson
Eennieuweprikkelingswet. C. A. A. 12.41.

Siehe auch 2796.

Mathematische Physik.

685. F. Klein. Probleme des mathe-
matisch-physikalischen Hochschulunter-
richts D.V.M. 14. 477.

686. A. Höfler. Das Mathematische
im physikalischen Unterricht. Z.P. 18. 1.

687. H. Poincare. L'^tat actuel et
ravenir de la physique math^matique.
B.D. (2) 28. 302.

688. A. Kneser. Untersuchungen über
die Darstellung willkürlicher Funktionen
in der mathematischen Physik. M.A.
68. 81.

689. W. A. Steckloff. Theorie gene-
rale des fonctiouR fondamentales. A.T.
(2) 6. 356.
Dlfferentlalglelchnngen der Physik.

690. A. W. Contcay. The partial dif-
ferential equations of mathematical phj-
sics. T.S.D. (2) 8. 187.

691. J. Hadamard. Sur les donn^s
aux limites dans les equations anx d^ri-
v^es partielles de la physique mathä-
matique. V. L M. C. 3. 414.

Geschichte der Physik.

Siehe 687.

Prinzipien der Physik.

692. A. Bey. La philosophie scien-
tifique de M. Duhem. R.M.M. 12. 699.

698. B. de Saussure. Le temps, Tef-
fort et Tespace. A.S.G. (4) 18.

694. E. Mach. Space and geometry
from the point of view of physical in-
quiry. Mon. 14. 1.

696. V. Fischer. Eine Bemerkung über
Gravitations- und elektrische Masse. P.
Z. 6. 106. — H. Beissfiei' 287.

H9^. B.Davis. Das Verhältnis zwischen
elektrischer und Gravitationskraft. P.
Z. 6. 276.

697. W. Sutherland. The electric
origin of rigidity. P.M. (6) 7. 417.

698. H. Nagaoka. Über ein die Linien
und Bandenspektren, sowie die Erschei-
nxmgen der Radioaktivität veranschau-
lichendes dynamisches System. P. Z. 6. 51 7.

699. H. Nagaoka. Mutual actione of
electrou atoms. P.T.M. 2 No. 20.

700. T. Tomnuisina. Solution theo
rique de 2 questions de physique cin^-
matique. A.S.G. (4) 17. 661.

701. J. de Boissoudy, Les hypoth^see
cinetiques et la loi de Tövolution. R.
G.O. 16. 815.

702. W. Hoüenkamp. Astronomische
Chemie. H.E.B. 16. 116; 452.

Siehe auch 719; 3101; 3201.

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AbhandlungBregister 1904— 190&.

101

Materie.

708. H. C. Pocklington. Of the kine-
tic of matter. P.C. P.S. 12. 283.

704. L. Mottee. La mati^re, T^ther
et les forces physiqaes. S.N.C. (4) 1. 1.

705. G, Berndt. Moderne Anschau-
ungen über die Eonstitiition der Materie.
D.W.B. 6. 867; 386.

700. C. E. Cruye. Les hypothfeses
modernes sur la Constitution ^ectrique
de la matiäre. Rayons cathodiques et
Corps radioactifs. J.C.P. 2. 549; 3. 188.

707. F. Soddy. The evolution of
matter. S.P.M. 48. No. 8.

708. F. BasenÖhrl. Über die Verän-
derung der Dimensionen der Materie in-
folge ihrer Bewegung durch den Äther.
S.A.W. 118. 469.

709. J. Larmor. On the ascertained
absence of e£fects of motion through the
aether in relation to the Constitution of
matter and on the Fitz Gerald-Lorentz
hypothesis. P.M. (6) 7. 621.

710. A. E. Outerhridge. The mole-
cule, the atom and the new theory of
matter. J.P.L 168. 411.

711. C. B. Wind. Elektronen und
Materie. P.Z. 6. 485.

Siehe auch 727; 780; 883; 3669; 3661;
3662.

Kraft.

712. L.Hartmann. Definition physique
de la force. E.M. 6. 425. R.M.M. 12.
936; 1056.

Siehe auch 328; 704; 730; 3662.

Energie.

718. G. Meslin. Conservation et uti-
lisation de T^nergie. K.G.O. 16. 584.

714. M. Rethy. Das Ostwaldsche Prin-
zip vom Energieumsatz in der Mechanik.
M.A. 69. 664.

716. V. V. Vürin. Über die wechsel-
seitigen Beziehungen der Bewegungsener-
gie und der Strahlenenergie. A.N.L.
3. 270.

Siehe auch 338; 389; 631; 550; 717;
1216—20; 2840; 2347—49.

Atomtheorie.

710. O. Aschan. Laeran om atomema.
B.F.F. 46. No.20.

717. F. Be. L*energia intraatomica.
R.F.M. 6A. 430.

718. /. Travhe. über den Raum der
Atome. Die Theorien von T. W. Richards
und mir. V.D.P.G. 7. 199.

710. J. J. Thomson. On the structure
of the atom : an investigation of the sta-
bility and periods of oscillation of a
number of corpuscles arranged at equal
intervals around the circumference of
a circle; with application of the theory
of atomic structure. P.M. (6) 7. 237.

720. /. J. Thomson. On the vibrations
of atoms containing 4, 5, 6, 7 and 8
corpuscles and on uie effect of a mag-
netic field on such vibrations. P.C.P.
S. 13. 39.

721. ^. NagaoJca. Motion of particles
in an ideal atom illustrating the line
and bond spectra and the phenomena
of radioactivity. P.T.M. 2. 92.

722. H. Nagaoka. The structure of
an atom. P.T.M. 2. 240.

Siehe auch 699; 710; 886; 1047; 1426;
1462; 1693; 1630; 2869.

Ither.

728. B. de Saussure. Constitution
g^om^trique de T^ther. A. S. G. (4) 16. 763.

724. W. Wien. Über einen Versuch
zur Entscheidung der Frage, ob sich der
Lichtather mit der Erde bewegt oder
nicht. P.Z. 6. 686.

725. W. Wien. Experiments to de-
cide whether the ether moves with the
Earth. R.B.A. 74. 433.

726. A. Schweitzer. tJber die experi-
mentelle Entscheidung der Frage, ob sich
der Lichtäther mit der Erde bewegt oder
nicht. P.Z. 5. 800,

727. /. Larmor. On the ascertained
absence of effects of motion through the
aether in relation to the Constitution of
matter and on the Fitz Gerald-Lorentz
hypothesis. P.P.S.L. 19.263.

728. L. d'Auria. A relation between
the mean speed of stellar motion and
the velocity of wave propagation in a
universal gaseous medium bearing upon
the question of the nature of the ether.
J.P.L 166. 207 ; P.A. 11. 264; S. (2) 17. HO.
Siehe auch 666; 704; 708; 709; 1104;

1797; 1798; 1853.

Absolutes Maßsystem.

729. F. A. Wölff. The so-called in-
ternational unitfi. B. B.S.W. 1. 39.

780. K. Schreber. Kraft, Gewicht,
Masse, Stoff, Substanz. D.V.N. 76 B. 52.

781. A. E. Haas. Über ein Maßsys-
tem, das die Längeneinheit und die Licht-
geschwindigkeit als Grundeinheiten ent-
hält. P.Z. 6. 204.

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102

•Abhandlongsregister 1904—1906.

782» K. B. Johnson. Eine Bemerkung
zn den DimensionfiBystemen der Physik.
P.Z. 6. 686.

7B3. J. Gasca. Nomenclatora mnemo-
nica intemacional de las nnidades teo-
ricaB C.G.S. M.yR.M. 19. 203.
Siehe auch 1667; 1668; 2991; 2560—62.

KompreggiOB.

734. P. Comazzi. Dilatazione e com-
pressibiiitä delle miscele. N.C.P. (5)
9. 161.
Siehe auch 696; 1130; 2302; 2306; 2642.

Speslflgcheg Gewicht.

7B5. E. Mathias. Sur le coefficient
k des diam^tres rectilignes. C. B. 139. 369.

786. A. Bestelmeyer und S. Valentiner.
Über die Dichte des N und deren Ab-
hängigkeit vom Druck bei der Tempe-
ratur der flüssigen Luft. A.P.L. (4) 16. 61.

787. L. Zdinder. Ein Yolumometer
für große Temperaturintervalle. A.P.L.
(4) 16. 828.

Siehe auch 463; 1122; 1123; 1128; 1208;
1209.

AggregatzQgtftiide.

788. A. SchOkaretD. Untersuchungen
über den Zustand: gasförmigflüssig. Z.
P.C. 44. 648.

Siehe auch 697; 1818; 1314.

Indemng der Aggregatzugtftnde.

789. J. E. Trevor. The slope of the
vaporization neutral curve. J.P.G. 8.841.

740. i^. Caubet. Die Verflüssigung von
Gasgemischen. Z.P.C. 40. 267. — J. P.
Kneser 41. 48.

741 . J. J. von Laar. Over de gedaante
von smeltlijnen b\j binaire mengsels,
wanneer de mengwarmte in de beide
phasen zeer gering of=»0 is. C.A.A.
18. 716.

742. J. J. van Laar. De smeltlijnen
von legeeringen. C.A.A. 12. 26.

748. /. /. van Laar. De mogelijke
vormen der smeltlijn bij binaire mengsels
von isomorphe Stoffen. C.A.A. 12. 169.

744. A. Hess. Methode zur Bestim-
mung der Volumänderung beim Schmel-
zen. P.Z. 6. 186.

746. M. WUdermann, Über die wahren
und scheinbaren Gefrieztemperaturen und
die Gefriermethoden. A.P.L. (4) 16. 410.

746. 1". Osaka. Über den Gefrierpunkt
verdünnter Lösungen von Gemengen. Z.
P.C. 41. 660.

747. A. A. Both. Gefrierpunktsemie-
drigung durch Nichtelektrolyte in kon-
zentrierten wässrigen Lösungen. Z.P.C.
43. 639.

Siehe auch 931; 1228; 1826; 1326; 1847;
1403; 2868; 3788.

Molekularphysik.

748. X. Deconibe. Sur une nouvelle
d^termination de Tintervalle mol^culaire
dans les solides et les liquides. A.S.G.
(4) 17. 133.

749. B. Ma^ini. Influence de la con-
figuration et des liaisons mol^culaires
sur les spectres ultraviolets d^absorption.
J.C.P. 2. 403

750. L. Traube. Die Eigenschaften
der Stoffe als Funktion der Atom- und
Molekularräume und Gedanken über die
Systematik der Elemente. Z. A. C. 40. 872.
Siehe auch 463; 466: 626; 710; 719;

1203; 1204; 1801; 2869.

Innere Straktnr der Körper.

761. W. Campbell. Change of struc-
utre in the solid state. J.F L 168. 161.

Molekalargröfie.

Siehe 1870.

Molekularanziehung.

752. E. MiUs. Molecularattraction
n— IV. J.P.C. 8. 883; 698; 9. 402.

Kohftgion.

758. E. BotOy. Coh^sion di^lectrique
des mälanges. J.P. (4) 8. 489; 698.

754. E. BotUy. Coh^sion di^lectrique
de la vapeur de mercure, de Targon et
de leur mdlanges. S.F.P. 216. 1.

Siehe auch 660; 1466; 8101.

AbgorptiOB.

755. L. Quennesen. Contribution k
r^tude de Tabsorption comparative de
TH par le Bh et le Pd. B.S.C.P. (8)
SB. 191.

756. A. Winkelmann. Zu der Abhand-
long des Herrn G. N. St. Schmidt: „Über
den Einfluß der Temperatur und des
Druckes auf die Absorption und Diffusion
des H durch Pd." A.P.L. (4) 16. 778.

Siehe auch 1067.

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Abhandlungsregister 1904'>1906.

108

Elastizlt&t.

757. J. A. VoUffraff. Zur Elaitizitäts-
theorie. A.P.L. (4) 14. 620.

758. F.Du?iem. Becherchea sturr^lag-
ticitä. A.E.N. (8) 21. 99; 876; 22. 148.

759. C. Schäfer. Neuere Arbeiten
über Elastizität. J.S.G. 82. 2.

760. K. E. Guthe. On fibers resemb-
ling quartz in their elaatic properties.
B. B.S.W. 1. 101.

461. F. VoUerra, ün teorema sulla
teoria delF elasticita. R.A.L.B. (6) 14
A. 127.

762* G. ErcoUni. Bicercbe intomo
alle proprieta elastiche dei fili di Pd.
N.C.F.(6)9. 5.

76S, F. Beaulard, Sur les propri^täs
^astiques des fils de soie. A.U.G. 16. 1.

764. H. Beismer, Über die Stabilit&t
der Biegung. S.M.B. 1904. 68.

765« C. Chree. The bending of magne-
tometer deflexion-basis. P.M. (6) 7. 39.

766« C. Lagrange. LHnfiniment petit
absolu et le probleme de la flezion debout.
B.A.B. 1904, 907.

767. i. N. G. Filon, On a appro-
ximate Solution for the bending of a
beam of rectangular cross-section under
any system of load. P.R.S.L. 72. 891;
T.R.S.L. 201. 63.

768. Lord Rayleigh. Note on the
application of Poisson's formula to dis-
continuous disturbances. P.L.M.S. (2)
2. 266.

769. F. Volterra. Sülle distorsioni dei
corpi elastici simmetrici. B.A.L.B. (6)
14 A. 481.

770. F. VoUerra. Sülle distorsioni dei
solidi elastici piü volte connessi. B.A.
L.B. (6) 14 A. 861.

771. G. von der Mensbrugphe. Sur
V^asticit^ d^veloppöe dans les jets d'eau.
B.A.B. 1904. 401.

772. P. Duhem. Sur certains milieux
elastiques consid^r^s par M. J. Boussi-
nesq. P.8.B. 1902—08. 105.

778. M. PanetH. Una risoluzione
diretta dei problema della sezioue rea-
gente. A.A.T. 89. 185.

774. H. Morris- Airey. On the rigiditj
of gelatine. S.P.M. 49. Nr. 4.

Siehe auch 512; 613; 2482; 2886.

Elastisit&tomodid.

775. F. A, Schuhe. Über eine ein-
fache Methode zur Bestimmung der
Elastizit&tskonstanten. S.G.M. 1903.
80. 94.

776. C. A. Bell. Determination of
Tomiff modulus (adiabatic) for glass.
P.P.S.L. 19. 611; P.M. (6) 9. 418.

777. H. Bouasse. Sur les modules
d'^sticit^ de traction du caoutchouc
vulcanis^. A.T (2) 6. 177.

778. /. (7. Shedd and B. L. Ingersol.
The elastic modulus and elastic limit
of rubber and their relation to change
of temperature. P.B. 19. 107.

770. S. Kusakäbe. On a kinetic me-
thod of measuring the modulus of elas-
ticity of rocks. P.T.M. 2. 197.

780. A. MaUoek. On a direct me-
thod of measuring the coefficient of
volume elasticity of metals. P.B.S.L.
74. 50.

781. C. Chree, Note on the deter-
mination of the volume elasticity of
elastic solids. P.B.S.L. 74. 618.

Siehe auch 604; 880; 2881; 2862; 2888.

Gleichgewicht elastisetaer Kttrper«

782. L. Orlando. Sopra alcuni prob-
lemi di equilibrio elastico. N.C.r. (2)
7. 161.

788. E. Morandi. Sopra alcuni prob-
lemi di statica elastica. A.D.M. (3) 9.
161.

784. G. LauriceUa. Suir integrazione
delle equazioni d*equilibrio dei corpi
elastici isotropi. A.D.M. (3) 11. 269.

785. P. Duhem. Gonsiddrations sur
la stabilit^ et particuli^rement sur la
stabilit^ des corps Elastiques. P.S.B.
1902—03. 98.

786. 0. Tedone. Sag^o di una teoria
generale delle equazioni dell' equilibrio
elastico per ud corpo isotrope. A.D.M.
(3) 10. 13.

787. J. Dougäll. An analytical theory
of the equilibrium of an isotropic elastic
plate. T.R.S.E. 41. 129.

788. L. Orlando. Süll' equilibrio
elastico di una lastra indefinita. G.B.
42. 239.

789. 0. Tedone. SuU' equilibrio di
una piastra elastica isotropa indefinita.
B.G.M.P. 18. 368.

790. 0. Tedftne. Süll' equilibrio elastico
di im corpo limitato da un cono di rota-
zione. B. A. L. B. (6) 14 A 316.

791. 0. Tedone. Sul problema dell'
equilibrio elastico di un* elissoide di
rotazione. B.A.L.B. (6) 14 A. 76.

792. F. Volterra. Süll* equilibrio dei
corpi elastici piü volte connessi. B. A. L. B.
(6) 14 A. 193.

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104

Abhandlungsregister 1904—1906.

798« C. Somigliana. Le deformazioni
außiliarie nei problemi altemi d'eqni-
librio elastico. R.A.C.R. (6) 13B. 129.

794. L. Orlando. Sopra alcune fan-
zioni analoffhe alla fanzione di Green
per nn parallelepipedo rettangolo. R.C.
M.P. 19. 62.

795. S. WelUsch. FehlerauBgleichung
nach der Theorie des Gleichgewichts
elastischer Systeme. Ö.Z.V. 1904. 181.
197. 213. 229. 246.

Siehe auch 84; 688; 2409.

Elastisehe Spannnng.

796. JP. Klein n. K. Wieghardt. Über
Spannungsflächen und reziproke Dia-
gramme, mit besondererBerücksichtigung
der Maxwellschen Arbeiten. A.Gr. (3)
8. 1. 96.

797. V. Bjerknes. On Mazwells stress
theory. P.M. (6) 9. 491.

798. A. V. Leon. Spannungen und
Formänderungen einer rotierenden Hohl-
und Vollkugel. Z. S. 62. 164.

799. L. Henneberg. Über einige Folge-
rungen, welche sich aus dem Satz von
Green för die Torsion von Stäben er-
geben. Z.S. 61. 242.

800. B. Hopkinson. The effects of
momentarj stresses in metald. P. R. S. L.
74. 498.

801. W. C. Poplewell. Experiments
on the relation between uniform com-
pressive stress and permanent strain in
wrought iron and steel. S.P.M. 49.
Nr. 7.

802. E. G. CoJcer. On the measure-
ment of stress bj thermal methods with
an account of some experiments on the
influence of stress on the thermal ex-
pansion of metals. T.R.S.E. 41. 229.
Siehe auch 808; 827; 828; 833; 1064
2819; 2826; 2828; 2829; 2836; 2840—42
2844; 2860; 2863; 2864; 2867; 2866
2870; 2874; 2884; 2890; 2901; 2904

2906; 3713; 3717; 3733; 3736.

Elastische Defonnatioii.

803. H. BotKiSse. Sur les däformations
des solides. R.G.0. 16. 116. — P. Duhem
217.

804« H. Bouasse. A propos de la
däformation des solides. R.G.Ü. 16.
326.

805. M. Gehbia. Le deformazioni
tipiche dei corpi solidi elastici. A.D.M.
(3) 10. 167.

806. J. Weingarten. Über die Lehr-
sätze Castiglianos. A.Gr. (3) 8. 183.

807. B. Marcolongo. Le formole del
St. Yenant per le deformazioni finite.
R.C.M.P. 19. 161.

808. M. Huber. Die spezifische Arbeit
der Deformation tmd ihre Verwendung
als Maß der Spannung. Beitrag zur
Theorie der Festigkeitslehre (poln.). G.T.L.
22. 38; 49; 61; 80.

809. 0. Manville. Sur la d^formation
finie d*un milieu continu. M.S.B. (6)
2. 83.

810. L. Maurer, Über die Defor-
mation gekrümmter elastischer Ketten«
A.Gr. (3) 6. 260.

811. L. Orlando. Sulla deformazione
del suolo elastico isotrope. R.C.M.P.
18. 311.

812. L. Orlando. Sulla deformazione
di un solide isotropo limitato da due
piane paralleli. N.C.P. (6) 7. 421.

818. L, Orlando. Sulla defoimazione
di un solide isotrope limitato da 2 piani
paralleli per tensioni superficiali date.
R.C. M.P. 19. 66

814. T. Boggio. Sulla deformazione
deUe piastre elastiche cilindriche di
grossezza qualunque. R.A.L.R. 13 B 419.

815. G. LauriceUa, Sülle equazioni
della deformazione dei piastri elastiche
cilindriche. R.A.L.R. (6) 14 A. ß06.

Sia» G. Bunge. Über die Formänderung
eines zylindrischen Wasserbehälters durch
den Wasserdruck. Z.S. 61. 264.

817. G. LauriceUa. Sülle formole
che danno la deformazione di una sfera
elastica isotropa. R.A.L.R. 13B. 683.

818. V.Volteira. Contributo allo studio
delle distorsioni dei solidi elastici. R.A.
L.R. (6) 14 A. 641.

819. V. Volterra. Sulla distorsioni dei
solidi elastici piü völte connessi. R. A. L. R.
(6) 14 A. 861.

820. P. Ganiba. Influenza del modo
di procedere nella deformazione sulle
proprietä elastiche nel marmo. N.C.P.
(6) 8. 446.

821. F. Foster. On phenomena due
to repetitions of stress and on a new
testing machine. S.P.M. 48. No. 7.
Siehe auch 643; 793; 798; 801; 827;
829; 1108; 2818; 2823; 2830; 2832; 2869;

2868; 2871; 2876; 2877; 2878; 2887.

Biegnngs- nnd Knickmigselastlsltilt.

Siehe 3263; 3292; 8297; 3310; 3835.

TorsionselastiziUlt.

Siehe 2863.

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AbhandlungsregiBter 1904 — 1905.

105

Elastische Nachwirkangr*

822. E, Bosenthal. Über die elastische
Nachwirkung bei Aneroidbarographen.
A.P.B. (5) 19. Nr. 3. 116; 20. Nr. 3. 113.
Bewegung elastischer Körper.

828. C. A. B. Garrett. On the lateral
Yibrations ot bars. P.M. (6) 8. 581. —
C. Chree 9. 184.

824. V. VoUerra. Note on the appli-
cation of the method of images to Pro-
blems of vibrations. P. L. M. S. (2) 2. 327.

825. A. Kneser. Ein Beitrag zur
Theorie der schnell umlaufenden elasti-
schen Welle. Z.S. 61. 264.

Siehe auch 619; 2169—73; 2623.

Elastische Kurven.

Siehe 602; 762; 763; 2766; 2899.

Elastische Membranen.

826. G. Bisconcini. Sülle vibrazioni
di nna membrana che si possono far
dippendere da due soll parametri. M.
A.T. (2) 54. 51.

Siehe anch 602; 508; 787—90; 810; 814;
816; 829; 966.

Thermoelastizitat.

827. A. V. Leon. Spannringen und
Formänderungen eines Hohlzylinders
und einer Hohlkugel, die von innen er-
wärmt werden unter der Annahme eines
linearen Temperaturverteilungsgesetzes.
Z.S. 52. 174.

828. G, Coker and C. M. Mc. Kergow.
The relation of thermal change to tension
and compression stress with an account
of some ezperiments on impulsive stress.
RT.R.S.C. (2) 10. 6.

829. T. Boagio. Sulla deformazione
delle piastre elastiche sogette al calore.
A A.T. 40. 197; 219.

Siehe auch 778; 802; 3235.

Elektroelastizitat.

Siehe 1670.

Magnetoelastizit&t.

880. K. Honda und T. Terada. Über
die Veränderung der Elastizitätskon-
stanten durch Magnetisierung. P. Z. 6. 622.

881. H. Bensing. Über magneto-
elastische Wechselbeziehungen in para-
magnetischen Substanzen. A.P.L. (^4)
14. 363.

832. N. Peezini. Magnetizzazione e
trazione. R.I.L. (2) 38. 463.

888. G. W. Walker. On stresses in
a magnetostatic field. P.P.S.L. 19. 110.
Siehe auch 1570; 1643; 3553.

Festigkeit.

884. E. Ferron. Memoire sur la
fiexion et la torsion des solides et son
application aux constructions. I. L. 27. 79.

886. Considere. Influence des pressions
laterales sur la räsistance des solides k
rtoasement. CR. 138. 945.

88ö. L. Henneberg. Zur Torsions-
festigkeit. Z S. 51. 225. — C. Bunge ^Sl.

837. Trouton and A. 0. Bankine. On
the stretching and torsion of lead wire
beyond the elastic limit. P.M. (6) 8. 638.

888. M. Panetti. Teoria della resis-
tenza delle piastre tronco-coniche e sui
applicazioni al calcolo di alcxmi organi
meccanici e dei serbatoi cilindrici. A. A.T.
40. 349.

889. F. Villaieal. Resistencia de las
columnas de fierro. (span. u. esperanto.)
R.C.L. 7. 241; 265; 8, 9; 33; 61; 89; 100.

840. Pigeaud. Ares associ^s ä des
longueurs par les montants verticaux
asBOci^s. CR. UO. 1091.

841. C. Lagranae. L'infiniment petit
absolu et le probl^me de la flexion de-
bout. B.A.B. 11104. 907.

842. E. S. Shepherd and G. B. üpton.
The tensile strength of copper-tin alloys.
J.P.C 9. 441.

848. S. Kusakabe. Modulus of rigi-
dity of rocks and velocities of seismic
waves: with a hint to the frequency of
aftershocks. P. T. M. 2. 142.

844. C. Bach. Versuche über die
Festigkeitseigenschaften von Stahlguß
bei gewöhnlicher und höherer Temperatur.
M.F.I. 24. 39.

846. M. Baroni. Untersuchung der
Festigkeit von Eisenbetonbauten. Z.S.
61. 113.

84«. H Bebenstorff. Prüfung von
Gefäßen auf Druckfestigkeit. Z. P. 17. 290.
Siehe auch 421; 482; 808; 2483; 2613
2878; 3247—49; 3253; 3254; 3259—62
3264; 3266; 3269; 3272—74; 3280; 3283
3286 ; 3289 ; 3293 ; 3298 ; 3301 ; 3303 ; 3309
3311; 3312; 3314—23; 3327; 3329; 3330
3332—36; 3341; 3346; 3578; 3692; 3727

Kristallbildmig.

847. D. Pavloic. Über die Abhängig-
keit der Eristallform von dem Zustand
der Lösung. Z.K.M. 40. 555.

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106

Abhandlungsregietier 1904—1906.

KristaUpbysik.

848. A. Nold. Grundlagen einer neuen
Theorie der Eristallstruktur. Z.E.M. 40.
18; 483.

849. P. Pavloff, Thermodynamisclie
KristalleigenBchaften. (russ.) M. S. 0.
21. 88.

850. P. Pavlow. Über einige Eigen-
schaften der Kristalle vom Standpunkt
der Thermodynamik. Z.K.M. 40. 189.

861. T. Tamaru. Bestimmung der

Eiezoelektrischen Konstanten von kxistal-
sierter Weinsäure. P.Z. 6. 879.
Siehe auch 287; 810; 1651.

KrlstaUoptik.

862. A. Osihoff. Über die Reflexion u.
Brechung des Lichtes an Zwillingsebenen
Yollkommen durchsichtiger maktiver
einachsiger Kristalle. N. J. M. 20. Beilage.

868. S. Kaemmerer. Über die Refle-
xion tmd Brechung des Lichtes an inak-
tiven durchsichtigen Kristallplatten. N.J.
M. 20. Beilage. 169.

864. A. Pochettino. Sulla catodolu-
mineszenza dei cristalli. N. C. P. (5) 8. 488.

866. A. Pochettino. ülteriori ricerche
sulla luminescenza catodica nei cristalli.
R.A.L.R. (6) 14 B. 220.

Siehe auch 1068; 1097; 1109.

Xtherschidngangen.

866. Herkless Vibrations. J.B.A.A.
14. 198. gj^jjg ^^^^ 2489.

itherwellen.

867. A. Broca. Sur le pouvoir in-
ducteur sp^cifique des m^taux dans le
cas des ondes calorifiques et lumineuses.
CR. 141. 29.

StraUen.

868. T, Ewers. Über die Geschwindig-
keit der Kanalstrahlenteilchen. P. Z. 6. 600.

869. E, Saivioni. Fenomeni subbiettivi
nelle experienze sui raggi N. R.A.L.R.
(6) 13A. 703.

860. M. Otta. Blondlotovy paprsky.
(BlondloVsche Strahlen.) C. 84. 198.
Siehe auch 716; 861; 868; 887; 888;

1281; 1640.

Böntgengtrahleii.

861. i2. Blondlot. Rayons o; et rayonsfi.
A.S.G. (4) 17. 478.

862. A. Bighi. Sülle cariohe elettriche
dai raggi x sui metalli nel vuoto. M.
LB. (6) 10.

868. P. Cardani. Sulla dispersione
elettrica prodotta dai raggi del Roentgen.
N C.P. (6) 7. 241.

864. C. G. Barkla. Energy of secon-
dary Roentgen radiation. P.M. (6) 7. 648.
Siehe auch 663; 867; 868; 1093.

Kathodenstralileii.

866. P. Viüard. Sur les rayons

cathodiques. S.F.P. Nr. 224. 7.

866. B. Beiger. Über das Verhältnis
s/pb bei Kathodenstrahlen verschiedenen
Ursprungs. V.D.P.G. 7. 122.

867. /. Stark. Das Wesen der Ka-
thoden- und Rön^enstrahlen. A. G. £. R. 1 .

868. BothS. Rayons cathodiques, X,
N^ substances radioactives. A.Ü.G. 16.
163; 201.

869. F. Pouchen. Über die Kathoden-
strahlen des Radiums. A.P.L. (4) 14. 389.

870. A. Becker. Messungen an Ka-
thodenstrahlen. A.P.L. (4) 17. 881.

871. N. Heil. On the dimensions of
the cathode images. P.M. (6) 9. 614.

872. E. Warhur g. Über die Reflexion
der Kathodenstrahlen an dünnen Metall-
blättchen. S.A.B. 1906. 468.

878. H. Pdlat. Sur les rayons catho-
diques etlamagn^totriction. C. R. 189. 124.

874. Fortini. Sur la d Aviation ^lectro-
statique des rayons magnetocathodiques.
S.F.P. 216. 1.

Siehe auch 706; 864; 866; 1612; 3626;
8682.

RadioakÜTitat.

876. B. H. Bradbury. Radium and
Radioactivity in general. J.P.1. 169. 225.

876. E. Butherfbrd. Les problteiee
actuels de la radioactivity. A.S.G. (4)
19. 81 ; 126.

877. P. Curie. Recherches räcentes
sur la radioactivity. A. S. G. (4} 17. 241 ; 861.

878. J. Stark. Gesetz und Konstanten
der radioaktiven Umwandlung. J.R.E.
1. 1.

879. S. Petir. Radioaktivni l&tky, jich
vlastnosti a ü6inky die dosavadnich
vysledkü bad&ni. (Radioaktive Stoffe, ihre
Exgenschaffcen und Wirkungen nach den
bisherigen Ergebnissen der Forschung.)
C. 33. 38.

880. J. A. Mc (Mland. On the ema-
nation given off by Radium. P.M, (6)
7. 355.

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AbhandlungaregiBter 1904—1906.

107

. 881. J. A. Mc CkUand. Über die
Tom Radium ansgesandte Emanation.
P.Z. 6. 638.

882. E. Eutherfard und F. Soddy. Die
Ursache and Natur der Radioaktivität.
Z.P.C. 42. 81; 174.

888. a Winkler. Radioctivity and
matter. C.N. 89. 289.

884. H. Brooks. The decay of excited
radioactiviiy from Thorium, Radium and
Actinium. P.M. (6) 8. 373.

886. Lord Kelvin, Plan of a combi-
nation of atoms to have the properties
of Polonium or Radium. P.M. (6) 8.
628.

886. E. Base. Zur Kenntnis der Atom-
energie, eine Beziehung zwischen Idne-
tischeiTheorie und Radioaktivität. J.R.E.
1. 183.

887. H, Becqud-el. Sur quelques pro-
priät^s des rajons a du radium. U.R.
141. 486.

888. TT. H. Braggs. On the absorp*
tion of a rays and on the Classification
of the a rays from Radium. P.M. (6)
8. 719.

889. W. Buane. Sur Tionisation due
ä r^manation du radium. CR. 140. ö81.

890. W. Ihtane. Sur Tionisation pro-
duite entre des plateauz paralleles par
r^manation du radium. C R. 140. 786.

891. L. Matt'Ut. Le rayonnement du
Badium. L.R 1. 6.

892. A. BatielH und F. Maccarrone.
Sind radioaktive Emanationen elektrisch?
P.Z. 6. 161.

898. £. Eutherfard. Der Unterschied
zwischen radioaktiver und chemischer
Verwandlung. J.R.E. 1. 103.

894. H, TT. Schmidt. Über eine ein-
fache Methode zur Messung des Emana-
tionsgehalts von Flüssigkeiten. P.Z. 6.
661.

895. H. Mache. Über die im Gasteiner
Wasser enthaltene radioaktive Emanation.
P.Z. 6. 441.

Siehe auch 482; 698; 706; 721; 868;

1049; 1191; 1867; 1462; 1617; 1686;

9878; 2279; 2862; 2983; 2967; 2987;

3170; 3183; 3660.

KapiUaritftt.

896. G. Bakker. Zur Theorie der
Kapülanchioht. A.P.L. (4) 17. 471.

897. G. Bakker. Theorie derEapillar-
Bchicht zwischen den homogenen Phasen
der Flüssigkeiten des Dampfes. Z.P.C.
42. 68.

898. G. van der Menabrtigghe. Note.
B.A.B. 1906. 13.

899. F. Goppelsröder. Studien über
die Anwendung der Kapillaranalyse.
V.N.B. 17. 1.

900. G. van der Menshrugghe. Con-
tribution ä, la th^orie des m^nisques
capillairea. B.A.B. IViOo. 121.

901. Pow^ot. Volume sp^cifique d'un
fluide dans las espaces capiUaires. C. R.
140. 1236.

902. E. Giiineisen. Über die Gültig-
keitsgrenzen des Poiseuill eschen Gesetzes
bei Bewegung tropfbarer Flüssigkeiten
durch gerade und gewundene Kapillaren.
A.P.T.R. 4. 161.

903. G, Bakker. L'^paisseur de la
couche capillaire. J.P. (4) 3. 927; 4. 96.

904. H. Devaux Sur T^paisseur cri-
tique des solides et des Uquides, re-
duits en lames träs-minces. J.P. (4) 3.
460.

905. E. Feustel Über die Kapillari-
tätskonstanten und ihre Bestimmung
nach der Methode des Maximaldruckes
kleiner Blasen. A.P.L. (4) 16. 61. —
G. Kucera 789.

906. T. Terada. On the capUlary
ripple on mercury produced by a jet
tube. P.T.M. 2. 133.

Oberflächenspaimuiig.

907. G. Bakker. Bemerkung über die
Theorie der Oberflächenspannung von
H. Hulshof. A.P.L. (4) 14. 609; 17. 684.
— H. Hulshof 16. 188.

908. /. Traube. Der Oberflächendruck
und seine Bedeutung im Organismus.
A.F.G.P. 106. 659.

909. B. Kucera. Beitrag zur Kali-
brierung sehr enger Kapillare und zur
Messung der Oberflächenspannung mittels
der Tropfenwägung (tschech.). M. A. T. P.
1903. No. 32.

910. J. Traube. Über die Bedeutung
der Oberflächenspannung im Organismus.
V.D.P.G. 6. 326.

911. C. Forch. Die Oberflächenspan-
nimg von auorganischen Salzlösungen.
A.P.L. (4) 17. 744.

912. J. Bolle et P. A. Guye. Ten-
sions superficielles de quelques liquides
organiques. J.C.P. 3. 38.

913. L G^'unmach. Experimentelle
Bestimmung der Oberflächenspannung
und des Molekulargewichts von ver-
flüssigtem Stickstoffoxydul. P. Z. 5. 677 ;
S.A.B. 1904. 1198; D.V.N. 76. B. 33;
A.P.L. (4) 16. 401.

914. van dtr Mensbrugghe. Les corps
solides sont-ils douäs d*une tension
superficielle efficace. A.S.B. 29 A. 206.

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108

Abhandlungsregister 1904—1906.

915. G. Quincke. Über Ausbreitung
und Expansionskraft. A.P.L. (4) 16. 56.
— G. van der Mensbrugghe 1048.

916. E. Almansi. Sopra una delle
esperienze del Plateau. A.D.M. (3) 12. 1.

Siehe auch 813; 926; 939; 941.

Tropfen.

917. P. G. Gundry. Über erzwungene
Schwingungen eines polarisierbaren
Quecksilbertropfens. A.P.L. (4) 14. 690.

Siehe auch 937; 2269.

Diffaslon.

918« S. Nakamura. On the difPusion
of liquids. J.U.T. 19. No. 8.

919. 0. W. Bichardson. The solubi-
lity and diffusion in Solution of disso-
ciated gases. P.M. (6) 7. 266.

920. B. Schmidt Über die Diffusion
von Argon und Helium. A.P.L. (4) 14.
801.

921. Ä. Winkelmann. Über die Dif-
fusion naszierenden H durch Fe. A.P.L.
(4) 17. 589.

922. 0. W. Bichardson. Note on the
diffusion of H through Pd. P.C. P.S.
13. 27.

Siehe auch 756; 1531.

Osmose.

928. C. Steinbrinck. Versuch einer
elementaren Einführung in die elemen-
tare Theorie der Osmose. Z.P. 18. 82.

924. E. Äries. Sur la loi fundamen-
tale des phänom^nes de Tosmose. CR.
139. 196.

926, F. Kaufler. Über die Verschie-
bung des osmotischen Gleichgewichts
durch Oberflächenkräfte. Z.P.C. 43.
686.

926. A. BatteUi e A. Stefanini. Sulla
natura della pressione osmotica. R.A.
L.R. 14. B. 8.

927. i)f. Planck. Über den osmotischen
Druck einer Lösung von merklich variab-
ler Dichte. Z P.C. 42. 584.

928. F. Kohnstamm. Kinetische aflei-
ding van van 't Hoff*s wet voor den
osmotischen druk in een verdunde op-
lossing. C.A.A. 18. 788.

929. P. Kohnstamm. Een formule
voor den osmotischen druk in gecon-
centreerde oplossingen wier damp de
gaswetten volgt. C.A.A. 13. 781.

980. S. Sknitts. Der osmotische Druck
im Meerwasser. B.F.F. 46. No. 6.

9B1, H. N. Morse and J. C. W. Frazer.
The osmotic pressure and freezing points
of Solution of cane-sugar. A.C.J. 84.

982« G. A. Hulett. Beziehung zwischen
negativem Druck und osmotischem Druck.
Z.P.C. 42. 863.

988. P. Kohnstamm. Osmotische druk
of thermodynamische potentiaal. C. A. A.
13. 800. g.gj^g ^^^ 2jg^

ThennokapillAritftt.

934. Potisot. Chaleur dans le d^place-
ment de Täquilibre d'un systäme ca-
pillaire. CR. 140. 1176.

985. H. Bebenstorff. Abnahme der
kapillaren Steighöhe von Wasser bei
steigender Temperatur. Z.P. 17. 223.

ElektrokapiUaritat.

986. J. Biüitzer. Zur Theorie der
kapillarelektrischen Erscheinungen. S. A.
W. 113. 637.

987. F. Krüger. Zur Theorie der
Elektrokapillarität und der Tropfelek-
troden. KG.(i. 1904. 83.

988. J. J. van Laar. Über die Asym-
metrie der Elektrokapillarkurve. Z.P.C.
41. 386.

939. C. Christiansen. Über den Zu-
sammenhang zwischen Oberflächenspan-
nung und Potentialdifferenz. A.P.L. (4)
16. 382.

940. Bothe. Le cation et les ph^-
nom^nes ^lectrocapiUaires. A.U.G. 16.
671.

941. C. Fortin. Tension superficielle
d'un diälectrique dans le champ ^ec-
trique. CR. 140. 676.

Akustik.

942. T. Terada. Acoustical notes.
P.T.M. 2. No. 20.

948. H. Sieveking und A. Behm.
Akustische Untersuchungen. A.P.L. (4)
16. 793.

944« Lord Bayleigh. On the acoustie
shadow of a sphere. P.R.S.L. 73. 66.
T.R.S.L. 208. 88.

946. P. Ostmann. Über Schwingungs-
zahlen und Schwellenwerte. S.G.M.
1908. 11.

946. H. J. Scfiarp. On the reflection
of sound at a paraboloid. P.C. P.S. 18.
183.

947. 0. Nairz. Mechanische Resonans
und ihre Verwertung. P. 16. 292.

948. T. Terada. A note on a reso-
nance box. P.T.M. 2. 211.

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Abhandlungsregister 1904— 1906,

109

. 949. T. Miztmo. Electric resonance.
M.C.K 1. 33.

950. M. T. Edelmann. Einexuatische
Stndie über die longitudinalen Bewe-

fungen des Stieles einer tönenden
timmgabel. P.Z. 6. 445.

951. B. W. Wood. Apparatus to il-
liLfl träte the pressure of sound waves.
P.R. 20. 113.

952. F. Noväk. Interference zvuku.
(Interferenz des Schalles.) C. 34. 179.

958. /. VioUe et T. Vautier. Pro-
pagation des sons musicanx dans nn
tujan de 3» de diam^tre. CR. 140.
1292.

964. C. Krediet. Sur un cas de pro-
pagation de vibrations sonores. N. A.W.
(2) 6. 81.

965. F. Mensen. Über die Umwand-
lung periodischer Massenanhäufungen in
akustisch wirksame Bewegungen. A.P.L.
(4) 16. 838.

956. Lord BayUigh. On the open
organ-pipe problem in 2 dimensions.
P.M. (6) 8. 481.

%hl* 0. Krigar- Menzel. Zur Theorie
der Rubensschen Schallröhre. V.D.P.G.
6. 356.

958. H. Ruhens. Demonstration stehen-
der Schallröhren durch Manometer flam-
men. V.D.P.G 6. 355.

959. H. Rubens und 0. Krigar- Menzel.
Flammenröhre für akustische Beobach-
tungen. A.P.L. (4) 17. 149.

960. G. Jäger. Theorie der Exner-
PoUakschen Versuche. S.A.W. 113. 814.

961. P. E. Belas. Effect on sound
on water jets. N. 70. 238.

962. /. Violle et T. Vautier. Exp^-
riences sur la propagation du son dans
un tuyan cylindnque de 3 m^tres de
diametre. A.C.P. (8) 5. 208.

968. R. Wachsmuth. Neuer Apparat
zur akustischen Bestimmung der Dichte
von Gasen und Dämpfen. C.Z. 28. 896.
Siehe auch 581; 1455.

Saitensehwingangeii.

964. W. B. Morton and T. B. Ving-
comb. On the yibrations of strings ex-
cited by plucking and by resonance.
P.M. (6) 8. 673.

965. H. Weber. Bemerkungen aus
der Theorie der partiellen Dinerential-
gleichongen. V.I.M.C. 3. 446.

Siehe auch 501.

Luftschwingnngeii.

Siehe 951.

Klangrflgiireii.

966. K. Antolik. Ober Klangfiguren
gespannter Membranen und Glasplatten.
V.V.N.P. 1903. 71.

Schallgeschwindigkeit.

967. T. C. Hebb. The velocity of
sound. P.R. 20. 89.

968. /. Sturm. Die Kirchhoffsche
Formel über Schallgeschwindigkeit in
Röhren. A.P.L. (4) 14. 822.

969. F. A. Schulze. Über die Schall-
geschwindigkeit in sehr engen Röhren.
8.G.M. 1903. 59.

Singende Flammen.

Siehe 959.

Musikalische Instrumente.

Siehe 956.

Architektonische Akustik.

Siehe 2655.

Physiologische Akustik.

970. E. W. Scripture. Über das Stu-
dium der Sprachkurven. A.N.L. 4. 28.

Mathematische Musik.

971. G. Zamhiasi. Un capitolo di
acustica musicale. N.C.P. (5) 9. 241.

972. R. C. Phillips. Mean tones,
equal tempered tones and the harmonic
tetrachords of Claudius Ptolemy. S.P.M.
48. No. 13.

978. L. Ermenyi. Petzyals Theorie
der Tonsysteme. Z.S. 51. 281.

974. K. V. Wesendonk. Über die Ur-
sachen der Dissonanzen. N.R. 20. 301.

975. G Eneström. Der Briefwechsel
zwischen Leonhard Euler und Johann
Bernoulli. B.M. (3) 4. 344.

Geometrische Optik.

976. E. Study. Über Hamiltons geo-
metrische Optik und deren Beziehung
zur Theorie der Berührungstransforma-
tionen. D.V.M. 14. 424.

977. P. Mori, Sulla riflessione e la
rifrazione luminosa. Applicazioni geo-
metriche. R.T.C. 16. 154.

978. /. /. Thaudin Chabot. Reflexion
und Refraktion mittels einer natürlich

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110

Abhandlnngsregister 1904 — 1905.

gekrümmten FlUche zwecks Demonstra-
tion geometrisch-optischer Gmnderschei-
nungen. P.Z. 6. 828.

979, G. de Sandte. Effetti di rifles-
sione e di rifrazione di luce nelle letture
di stadia. R.T.C. 17. 1; 18.

980, Gerloff. Stereoskopische Dar-
stellungen. P. 16. 1; 19.

981. V. Beina. SnUa definizione delle
inmagini fomite dai riflettori e dai re-
frattori. R.T.C. 16. 75.

982. K. Strehl Über eine angeblich
normale Fortpflanzung des Lichtes im
Brennraum. P.Z. 6. 513.

988. W. Bennet. Notes on nonhomo-
centric pencils and the shadows pro-
duced by them. P.P.S.L. 19. 205; 213.
Siehe auch 3606; 8621; 3626; 3686; 8637.

Katoptrik.

984. F. Kühnemann. Totalreflexion
des Lichtes. Z.P. 18. 224.

985. E. und L. Mach. Versuche über
Totalreflexion und deren Anwendung.
S.A.W. 113. 1219.

986. B. Ä. Houston. Über die Wir-
kung einer Oberflachenschicht bei Total-
reflexion. P.Z. 6. 208.

987. A. Älvarado. Los espejos planos
pueden dar imägenes reales? B.Ö.L. 7.
235.

988. E. Jdhnke. Elementare Her-
leitung der Formeln für die Reflexion
und Brechung des Lichtes an der Grenze
durchsichtiger isotroper Körper. A.Gr.
(3) 7. 278.

989. K. Prytz. Mikroskopische Be-
stimmung der Lage einer spiegelnden
Fläche. A.P.L. (4) 16. 735.

990. M. de Monieheuil. Separation
analjtique d'un systäme de rayons in-
cidents et r^fl^chis. S.M. 81. 283; 82.
162.

991. A. Emch. The theory of optical
Squares. M.M.F. 11. 38.

992. W. J. Hussey. The longitudinal
aberration of a parabolic mirror. P.A.
S.F. 14. 179.

998. F. Büke. Eorrektioosspiegel zu
parabolischen Reflektoren. Z.S. 62. 191.

994. L. Matthtessen. Mathematische
Theorie der Spiegelung in abwickelbaren
Flächen. Z.S. 52. 138.

995. F. KommereU. Eine optische
Eigenschaft des Paraboloids. M.B. (2)
6. 79.

996. C. K. Edmimds. The reflecting
power of selenium as determined by a
spectrophotometer. P.R. 18. 386.

997. C. Seotti, Su la risonanza clettrica.
N.C.P. (5) 7. 834.

Siehe auch 852; 859; 872; 946; 1067;
1094; 1106; 2511.

Dioptrik.

998. C. de Ward, Descartes en de
brekingswet. N.A.W. (2) 7. 64.

999. W, Grimm. Eine energetische
Darstellung des Brechungsquotienteiu
A.KL. 4. 226.

1000. L. F. Drysdale. On the cnr-
vature method of teaching optics. P.M.
(6) 9. 467.

1001. A. Danckwortt, Ableitung eines
Satzes über die Lichtbrechung. Z.P.
17. 303.

1002. A. Schulter. Über die richtige
Unterscheidung der kollektiven und diB-
pansiven optischen Systeme. B.M.N.
17. 88.

1003. C. Maltezoa. L'^quation da
prisme optique. E.M. 5. 454.

1004. K. F. MuWhead, Minimum
deviation through a prism. P.E.M.8.
22. 76.

1005. T. L. Bennett. Minimum de-
viation through a prism. P.M. (6) 6.
697.

1006. E. Gatti. Proprietä dei seg-
menti ad una base di uno cilindro retto
rifrangente. A.A.T. 39. 839.

1007. E. Gatti, Particolaritä della
ri&azione dovuta ad una Corona cilin-
drica retta. A.A.T. 40. 782.

1008. A. SeheU. Die Bestimmung der
optischen Eonstanten eines zentrierten
sphärischen Systems mit dem Präzisiona-
fokometer. S.A.W. 112. 1057.

1009. H. PeUat. Formation des images
par les räseaux. J.P. (4) 3. 611.

1010. S. Trozeuntsch. Über das apla-
natische System. Z.S. 51. 100.

Siehe auch 858; 988; 1944; 3639; 3642.

LinseB.

1011. F. Meisd. Über die übliche
Erklärung der Brennweite einer Linse.
Z.H. 86. 102.

1012. G. A. Hin. A method of ob-
taining the focal point of a less of long
focus. P.A. 11. 879.

1018. S. B. Chcdmers. The theory
of symmetrical optical objectives, P.B.
S.L. 72. 267; 74. 396.

1014. G. J. Barch. Some uses of
cylindrical lens- Systems, induding ro-
tation of images. P.R. S.L. 73. 281.

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Abhandlnngsregister 1904—1905.

111

1015. A. Kerber. SystematiBche Be-
rechnung sphärischer korrigierter Ana-
stigmathnsen. D.M. 12. 171.

1016. 2>. Kerher, Bequeme Formeln
zur Brechnng von Anastigmatlinsen.
D.M. 12. 181.

101 7. W.Pscheidl. Nene Berechnung
einer aplanatischen Brenn- und Be-
leuchtungslinse. P.Z. 6. 511. — J. Petri
682.

1018. JS. Berger, Über das bei meiner
binokularen Lupe verwendete Linsen-
system. D.M.Z. 1905. 155.

Siehe auch 3638.

Brennlinien«

1019. J, J. Deschamps. Caustiques
et anticaustiques. S.P. (9) 5. 275.

Physikaligebe Optik.

1020. M. Laue. Über die Fortpflan-
zung der Strahlung in dispergierenden
und absorbierenden Medien. N.G.G.
1904. 480.

1021. /. Boussinesq, Construction
dans un milieu opaque homogene des
rayoos lumineux qui y p^nätrent par
une face plane. CR. 140. 825.

1022. A, B. Porter. Doppler's prin-
dple and light-leats. 8. (2) 21. 814.

1028. A. Americo. Nuove ricerche
suUa legge di Draper. N.C.P. (6) 8.
818

1024. P. Drude. Zur Theorie des
Lichtes für aktive Körper. N. G. G. 1904. 1.

1025« L. HouUeviane. Proprio t^s op-
tiques du fer ionoplastique. CR. 140.
1098.

Siehe auch 3640.

liohtwellen«

1026« J. S. S. Cooper. An experiment
bearing on the wave theory of light.
T.N.Z.L 36. 487.

1027. H. LehtMinn. Superposition
stehender Lichtwellen verschiedener
Schwingungsdauer. P.Z. 6. 553.

1028. T, H. Havelock. Wave fronts
considered as the characteristics of
partial difiFerential equations. P.L.M.S.
(2) 2. 297.

1029. G. J. Stoney. Flat-wavelet reso-
lution. P.M. (6) 9. 577.

lOIM), F. Ehrenhaft. Über optische
Resonanz. P.Z. 5. 387. ~ F. Packeis 460.
Siehe auch 857; 1086.

Liohtdrnck.

1081. J. H. Poynttng. Radiation
pressure. P.M. (6) 9. 39.S; P.P.S.L. 19.
475.

1082, T. H. Havelock. The pressure
of radiation on a dear glass vane. N. 72.
269.

1088. G. F. Hall. The elimination
of action in experiments on light pres-
sure. T.R. 20. 292.
Siehe auch 1400; 1401; 1948; 1949; 2567.

Dispersion.

1084. V. de Souza-Brandäo. Über
eine Dispersionsformel der Doppel-
brechung im Quarz und deren Verwen-
dung beim Babinetschen Eompensator.
C.F.M. 1905. 23.
I 1085. H. Kagaoka. Dispersion of
i light due to electron-atoms. P.T.M. 2.
I 280.

I 1086. /. Larmor. On the dynamical

I significance of Kundt's law of selective

' dispersion in connexion with the trans-

mission of the energy of trains of

dispersive waves. P.C. P.S. 18. 21.

1087. M. Planck. Normale und ano-
male Dispersion in nichtleitenden Metal*
len von variabler Dichte. S.A.B. 1905.
382

1088. R. W. Wood. A quantitative
determination of the anomalous disper-
sion of sodium vapour in the visible
and ultraviolet regions. P. A.Bo. 40. 365.

108». E. W. Wood Eine quantitative
Bestimmung der anomalen Dispersion
des Na-dampfes im sichtbaren und ultra-
violetten Spektralgebiet. P.Z. 5. 751.

1040. F. Ehrenhaß. Die diflFuse Zer-
streuung des Lichtes an kleinen Kugeln.
A.A.W. 1905. 213.

Siehe auch 1911; 1988; 1940; 1941; 2231;
3610.

Farben.

1041. F. Grünberg. Farbengleichung
mit Zuhilfenahme der 8 Grundempfin-
dungen im Toung-Helmholtzschen Far-
bensystem. S.A.W. 118. 627.

1042. J. C. M. GameU. Colours in
metal glasses and in metallic films.
P.R.S.L. 78. 443. T.R.S.L. 208. 386.

1048. F. Kirchner und R. Zsigmondy.
Über die Ursachen der Farbenänderungen
von Gold -Gelatinepräparaten. A.P.L.
(4) 15. 578.

1044. F. Monpillard. Methode pour
ätablir des heraus coloräs destinäs k

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112

Abhandlungaregister 1904—1905.

isoler certains groupes de radiations
sp^cialed. CR. 141. 81.

Siehe anch 1178; 1179.

Spektrum*

1046. T. H. Havelock. On the con-
tinuous spectrum. P.C. P.S. 12. 175.

1046. P. G. Nutting. On the tran-
sition from primarj io secondary spectra.
A.J.C. 20. 131.

lOil.H.N"gaoka. A djnamical System
illustrating the spectram liues. N. 70.
124. — G. Ä. Schott 176.

1048. 0. M, Corbino. Süll' osser-
yazione spettroscopica della luce di
intensitä periodicamente variabile. R.A.
L.R. (5) 14 A. 332.

1049. H. Ncigaoka. On a dynamical
System illastrating the spectrum lines
and the phenomene of radioactivity.
N. 69. 392. — G. A. Schott 437.

1050. J. Bheinberg. The influence
of images of gratings on phase diffe-
rences amongst their spectra. J.R.M.S.
1905. No. 2.

1061. K. Angström. Energie dans le
spectre visible de Totalen Hefner. N. A.ü.
(3) 20.

1062. H. Nagaöka. Extension of
Delandres's formida for band spectram.
P.T.M. 2. 129.

1058. A. Schuster. A simple ex-
planation of Talbots bands. P.M. (6)
7. 1.

1054. H. Hermann. Messung der
Wellenlängen roter Linien in einigen
Bogenspektren. A.P L. (4) 16. 684.

1065. X. Pfaundler. Über die dunklen
Streifen, welche sich auf den nach
Lippmanns Verfahren hergestellten
Photographien sich überdeckender Spek-
tren zeigen. S.A.W. 113. 888.

1066. J. W. Brühl. The development
of speotrochemistry. N. 72. 158.
Siehe auch 483; 698; 721; 1090; 1092;

1138; 1142; 1158; 1553; 1715; 1854.

Ultrarote Strahlen.

1067. F, E. Fowle. The absorption
of water vapour in the infra-red solar
spectrum. M.C.S.L 47. 1.

(Fortsetzung folgt.)

1068. M. Ikle. Sullo spettro d' assor-
bimento ultrarosso di alconi liquidi
organici. N.C.P. (5) 8. 42.

Siehe auch 1124.

Ultrariolette Strahlen.

1069. B. Morris -Airey, On the
determination of wave-lengths in tlie
extrem ultraviolet portion of the spec-
trum. S.P.M. 49. No. 3.
Siehe auch 749; 1038; 1039; 8622; 3624;

3625.

Absorption des Lichtes.

1060. W. Gorczynski. sposobach
waprowadzenia prawa Eirchhoffa. (Über
die Herleitungsmethoden des Eirchhoff-
schen Gesetzes.) T.W. 16. 113.

1061. T. Bidlobrjevsky. Über die Ab-
sorption des Lichts in den gefärbten
Mitteln (russ.). R.Ü.K. 1904. 10. 11.

1062. J. Boussinesq. Formule ration-
nelle du coefficient d'absorption de la
lumi^re par un corps translucide quel-
conque. CA. 140. 622.

1068. J. Boussinesq. Sur Texistence
d*une ellipsoide d'absorption dans tont
cristal tnmslucide meme sans plan de
symtoie ni axe prinoipale. CR. 140. 401.

1064. /. H. Poynting. Note on the
tangential stress due to light incident
obliquely on an absorbent surface. P.
M. (6) 9. 169; D.R.A. 74. 434.

1066. E. Ferrero e M. Noeari. Sullo
spettro di assorbimento delle soluzioni di
allume di cromo. A.A.T. 40. 458.

1066. A. BefHporad. ü coefficiente
di absorbimento delFaria h propozionale
alla quarta potenza deUa densitä. B.
G.C 84. 25.

1067. J. J, Kossonogoff. Optische
Resonanz als Ursache der auswählenden
Reflexion und Absorption des Lichtes
(russ.). B.U.K. 1904. Nr. 2. 4b.
Siehe auch 749; 1020; 1159; 1931; 1951;

2229; 2259.

Szintillatlon.

1068. K. Exner und W. ViUiger.
Über das Newtonsche Phänomen der
SzintiUation E. S.A.W. 113, 1019.

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Verlag von B. S. TEUBNER in LEIPZIB.

Vorlesungen über die Vektorenrechnung.

Mit Anwendungen auf Geometrie, Meclianilc und mathematlsclie Pliysilc.

Von Dr. E. Jahnkep

Professor an der KönigL Bergakademie zu Berlin.
Mit 82 Figoren ün Text [Xu n. 23ö S.] gr. 8. 1906. In Leinwand geb. n. JC 6.^0.

Die Yorlestingen sollen dem Techniker wie dem Physiker eine leichte Ein-
fahrong in die Vektermethoden bieten, wobei anf eine Einsicht in den Zusammenhang
der Begriffe nnd Definitionen Wert gelegt wird. Die vielseitige Verwendbarkeit des
Vektorbegriffs, wie er von Graßmann. ffeschaffen worden ist, nnd der vektoriellen
Differentialoperatoren wird an der Hand eines reichen Übungsmaterials sowie in
Verbindung mit zahlreichen Anwendungen auf die Statüc und Kinematik des starren
Körpers, auf Probleme der Graphosiatik^ der Elastizität^ der Optik und insbesondere
der Ellektrizität erläutert.

Auch dem Mathematiker will das Buch Neues bieten. Die neuere Dreiecks-
und Tetraedergeometrie findet ausgedehnte Berücksichtigung, unter den Tetraeder-
konfigxurationen werden vor allem die Konfigurationen der Möbiusschen und der
vierfEMsh hyperboloid gelegenen Tetraeder erörtert, welche zur Theorie der hyper-
elliptischen Thetas in einem einfachen Zusammenhang stehen. Die kinematisch-
ffeometristhe Erzeugung der ebenen Kurven, der Kaumkurven und der Flächen bietet
dankbaren Stoff für velrtorielle Behandlung. Die geometrische Größe zweiter Stufe wird
— in weiterem Verfolg eines zuerst von Herrn P. Klein dargrelegten Gedankenganges —
einmal in ihrer Bedeutung für die Statik und Kinematik des starren Körpers^ sodann
als Bindeglied zwischen der Mechanik des starren Körpers einerseita und dem Stand t-
sehen NuLUsystem und dem Plück ersehen Linienkomplex andrerseits untersucht.

Analytische Geometrie --

des Punl(tes, der geraden Linie und der Ebene.

Ein Handbuch zu den Vorlesungen und Übungen über analytische Geometrie.

Von Dr. Otto Staudep

Profenor an der Unirersit&t Bostock.

Mit 887 Figuren im Text [Vm u. 447 S.] gr. 8. 1906. In Leinwand geb. n. JCU.—

Das Buch soll in erster Linie ein Lehrbuch sein, das nicht nnr als eine Ein-
leitung in die analytische Geometrie der Ebene und des Baumes, sondern auch als
ein Handbuch zum Gebrauche neben den akademischen Vorlesungen über dieses Ge-
biet dient. Daher legt es Gewicht auf die ausführliche Fassung der Definitionen
und Lehrsätze, die vollständige Aufstellung häufig gebrauchter Formelgruppen, die
Versleichun^ analoger EntwicMungen auseinanderliegender Kapitel. — Der Inhalt des
Bncnee ist in systematischer Sturonfolge angeordnet, dabei aber der Charakter der
Monographie bis in die kleinsten Abschnitte durchgeführt, die unter besonderer
Übersclinft jedesmal einen bestimmten Gegenstand behandeln. Diese Anordnung soll
es dem Leser ermöglichen, die einzelnen Artikel auch aus dem Zusammenhange heraus
EU benutzen. Dem gleichen Zwecke dienen die^ zahlreichen einfachen Figuren, die,
meist nur für einen Artikel bestimmt, die schnelle Orientierung über dessen Inhalt
und flber die benutzten Bezeichnungen unterstützen sollen. Neben dem Text enthält
das Buch in der Form von Anmerkungen eine Einführung in die Quellen-
schriften, wobei zugleich auf die neueren historischen Werke und die Encyklopädie
vie^fBfCh. verwiesen werden konnte. Auch auf die bereits erschienenen Bände der
Teubnerschen Sammlung ist, wo angängig, Bezug genommen. Besondere Vorkennt-
nisse setzt das Buch nicht voraus. Die benutzten Sätze über Determinanten und
lineare Gleichungen sind in gedrängter Übersicht und dem Gebrauche angepaßt in
xwei besonderen Anmerkungen beigegeben.

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VariftD von B. 6. TEUBNER in LEIPZI6.

Encyklopädie der Elementar Mathematik.

Ein Handbuch fOr Lehrer und Stutiieretide von
Heinrich WebePf tmO Joaeph Wellsteifii

In drei Bü^ndeia.
I. Elemfifttar» Algebra mü Airatyifi,
S Auf). Mit SS T«3itfi|pit«tL prVIIla689SJ gr. ^. 100«. In Lobw&iid gt

Bcmrlieitot ▼on H. Wrbrr. L Wiilftti»In und W. hiOttllitlla).

Mit %m iCxtfiKUrm. (XII a. «iOI S.| f^r, ». 1"^ " '

III. ÄnwRii(lünt;öii üer Elpm*^nl:ir-M j^
,,pÄß oju f*r Ton d*>r I

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Reform Vorschläge Tur den niatnematischen und
naturwissenschaftlichen Unterricht.

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i*ix»l^«or IL itittsmer in Hall« a. &.

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57

*tx misi di;f BisiLclituug lui*«^:

ZEITSCHRIFT
FÜR MTnEMATIK UND PFl^STK.

BBORflKDrj ..^u aURCH f 0. SCHLÖMILCH-

ORGAii FÜB ANGEWANDTE MATHEMATIK.

QSQENWABTfa

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nERAÜfiGEQBBKM VOM

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LEIPZIG,

DBÜCK UND VBBLAO VON B. 0. TBUBKEB.

1906.

(iBiktrnWfritiKT ab Rhu« I— &4) d«r Zcltoekrift fUr lfat]i«nutik nA Pbjrvtk.

•'if""«- Stuttgart pm %,Mb^C?^^^eK^'

ZEITSCHRIFT FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK.

HBBAUSaJDGBBBUSr YQj^ $B01>, ifau 4- MBBaC PP ipTD teov. Dm. O. BUVGB.
DBUOK VJSm VOBIiAG VÖIT &. G-i TICXTBinDB IH IiBiPZIG, F08T81*BA88S 8.

BenBioniiezeiiiplare nsw.i sind aa den gesobfiftofE^enden äedaktenr:

Prof. Br. B. Kebxnke^ 8tatt|rarti WeiAenbuxifstraBe 29

wn, rioliton. . Bs.iüinnit Aber auch Prof. Dr. O. Bunge, Göttingan, Goidgraben HO,
Sendmigen fGr die Bedaktion an.

B^ Die Harren Verfiuiaar erlialten nnentgelflioh von gröAeren AafidLtaan 30
mit Umaolüag ▼araahana Sonderabdrucka, yon kleineren Baitragen ^^ ICLttoütmgen,
Basanaiqinen ^aw. ,10 Abiiäge .der bätr. Seiten; eine größere Anaalü dagegen, ala die
genannte, au den HersteilungakoBten.

■^ Jeder Band der Zeitachrlft mnftAt 28 Dmokbogan in 4 Heften und koatat
20 ICark; aa werden JUirlicb. etwa 6 Hefte anagegeban. Alle Bachhandlongan und
Poatanatalten nahmen Beeteliangen an.

INHALT DES YORUSGENDSN HSFTBS.

über die Neibenspcmntmgen gewisser hochgradig dcdtgch unbestimmter Fach-
werke. Von K. Wieghardt in Aachen. Mit 4 Tafeln und 28 Fignren im
Text ; : • .,......,...,, .113

Spannimgen imd Formanderungen rotierender Kugelschalen. Von Alfons Leon

in Wien. Mit 7 Figuren im Text 144

Über die Berechnung der Summen diskontierter Zahlen für eine niach dem
Makehamsehen Gesetz fortschreitende Sterbetafel Yon M. Lereh in Freibuig
(Schweiz) . i : 168

Die Gewölbetheorie im Lichte der Methode der kleinsten Produkte. Von

S. Welliseli in Wien 176

Über die kiibische Dtlatoition und ihre Beziehung zur Beanspruchung isotroper

elastischer Körper. Von R. Girtiep in Wien ..:... .^ 181

Kleinere Mitteilungen 186

Btkihersehau 186

Enoke, Über die Bestimmang einer elliptischen Bahn aua drei ToUstAndigen
Beobachtangen. — Hansen, Über d|e 3e8timmang der Bahn eine« Himmela-

kOipers aas drei Beobachtnngen. Ton €. W. Wirts . ; 185

Litlehales, A new and abridged rn^thoc^ of flnding the locus of geographica! .

Position and the compass error. Yon G. W. Wirts 186

Neue Bücher 186

Eingelaufene Schriften 188

^&^fi^tm^«r6^i9teriP0^—i^5. Von Ernst Wnffing in Stattgart. (Forteetzung) 189

aar Zum Abdruck in den n&chsten Heften gelangen Beiträge der Herren:

. - - . • . , • v^ , •, < f »r Jt ^

0. Bleraanii, F. Biske, H. Delaaaay^ F. Dingeldeyj E. Dolesal, B. Gans, i. Grünwaid, J. Hera,
A. Kalfthae, H. LlBseamaBa« B. HehiBke, K. Ba^oTlö, P. Biebesell, 0. Baage, Fr. SeUfl^er,
IL Skvtseli, ^ Sommerfeld^ P. StSekel, E. Stobler, P. Werkmeister, 0. W. Wirts, F. Wlttealbaaery

l.Wlassow, K. WolfHag.

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über die Nebenspannungen usw. Von K. WisaHAROT. 113

über die Nebenspannimgen
gewisser hochgradig statisch unbestimmter Fachwerke.

Von K. WiEGHARDT in Aachen.
(Mit 4 Tafeln.)

Inhalt.

I. Manderlasober Ansatz fOr Nebenspannnngen, ttbliehes Nihernngsrerfaliren
und Airyscbe Spannungsfunktionen für elastisch -isotrope Fach werke.

Seit«

1. Knizer Abriß des Mandeilaschen Ansatzes für Nebenspannungen .... 116

2. Spezialisierung auf elastisch -isotrope Fach werke 119

3. Das übliche Näherungsverfahren 120

4. Bedingung für die Genauigkeit des Üblichen Näherungsyerfahrens .... 121

5. Zusammenhang mit der Airjschen Spannungsfunktion 122

II. Über die Nebenspannungen eines bocbgradig statisch nnbestimmten
elastisch - isotropen Fachwerkbalkens.

6. Allgemeine Erläuterungen zu den Tafeln I bis IV 129

7. Einzelbesprechung der Tafeln I bis IV 183

a) Der auf gleichförmige Dehnung beanspruchte Fachwerkbalken .... 183

b) Der auf gleichförmige Biegung beanspruchte Fachwerkbalken .... 135

c) Der quasi -eingespannte und am freien Ende transversal belastete Fach-
werkbalken 186

d) Der Fach wer kbalken unter gleichförmigem Normaldruck auf eine Gurtung 137

e) Gesamtergebnis 138

8. Die Unstimmigkeiten am Bande des Fachwerkbalkens 138

Von den mancherlei Nebenspannungen^ die in Fachwerken auftreten
können^ werden im folgenden nur diejenigen betrachtet, welche ihren
Ursprang der sogenannten Steifigkeit der Knoten verdanken; also dem
Umstände, daß die Stäbe an den Knotenpunkten nicht durch reibungs-
lose Scharniere verbunden, sondern fest miteinander vernietet sind. Der
erforderliche mathematische Ansatz rührt bekanntlich von Manderla
her\) und ist seitdem vielfach Gegenstand weiterer Verarbeitung ge-

1) H. Manderla. Die Berechnung der Sekundärspannungen, welche im
einfachen Fachwerk infolge starrer Enotenverbindungen auftreten. Allgemeine
Bauzeitung. Wien 1880. S. 34 ff.

Zeitschrift f. Mathematik u. Physik. AS.Band. 1906 S.Heft. 8

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114 Über die Nebenspannungen gewisser hochgradig statisch unbest. Fach werke.

wesen, welche meistens den Zweck hatte ^ die Anflosnng desjenigen
Systemes linearer Gleichungen — auf welche nach Manderla im
letzten Gfrunde die Lösung der gestellten Aufgabe hinausläuft —
irgendwie zu vereinfachen. Granz interessant ist in dieser Hinsicht ein
schon von Manderla angegebenes und seitdem in der Literatur häufiger
wiederkehrendes Näherungsverfahren wegen seiner ungemeinen Ein-
fachheit. Zu jedem Knotenpunkte gehört nämlich eine der oben er-
wähnten linearen Gleichungen; das erwähnte Verfahren — wir wollen
es künftig das übliche Näherungsverfahrm nennen — besteht nun darin,
daß man bei der Bildung einer jeden solchen Gleichung immer nur
den mgehörigen Enotenpxmkt als steif, alle anderen aber als gelenkig
ansieht. Man erreicht damit , daß jede Gleichung von vornherein nur
eine einzige Unbekannte enthält, sodaß man also ohne weitere Rechnung
die Werte aller Unbekannten ai^eben kann, natürlich im allgemeinen
nur mit einer gewissen ersten Näherung.

Wie dem auch sei, jedenfalls ist es eine unter allen Umständen
notwendige Voraussetzung ftir die Lösung der Nebenspannungsaufgabe,
daß man die betre£fende Grundspannungs Verteilung kennt, wie sie bei
Vorhandensein reibungsloser Scharniere in den Knotenpunkten herrschen
würde. Deshalb vermag man über die Nebenspannungen hochgradig,,
d. h. etwa hundert- und mehrfach statisch unbestimmter Fachwerke im
allgemeinen nichts auszusagen. Es gibt aber besondere Klassen dieser
Fachwerke, die durch eine regelmäßige Struktur ausgezeichnet sind
und deren Grundspannungen aus diesem Grunde bei gewissen Be-
lastungen einer Berechnung durchaus zugänglich werden, wie dies in
meiner Habilitationsschrift^) des näheren ausgeführt ist. Auf eine
dieser Klassen von Fachwerken beziehen sich denn auch die vorliegenden
Untersuchungen.

Das Problem der Grundspannungen sowohl wie das der Neben-
spannungen tritt dabei zunächst in der Form einer Bandweniaufgabe
für eine BifferenzengUichmig auf, also in einer Form, die von vornherein
nur wenig Aussicht auf erfolgreiche Behandlung bietet. Indessen,
konnte ich in meiner Habilitationsschrift zeigen, daß die Randwert-
au%abe für die Grundspannungen in den wichtigsten Belastungsfällen
sich sehr glatt erledigen läßt, so enthält die vorliegende Abhandlung
den Nachweis, daß ganz Entsprechendes fOLr die Randwertaufgabe der
Nebenspannungen zutrifft; ihre Lösung gestaltet sich sehr einfach, falls

1) E. Wieghaidt. Ober einen Grenzübergang der ElastizitiltBlehre und
seine Anwendung auf die Statik hochgradig statisch unbestimmter Fachwerke
Yerhandl. d. Ver. zur Beförd. d. Gewerbefleißes (im Druck).

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Von K. WlEOHAHDT. 115

man von gewissen kleinen Unstimmigkeiten am Rande des Fachwerkes
absieht. Es besteht noch eine weitere Verwandtschaft zwischen beiden
Abhandinngen: Hier wie dort hängt alles an einem Begriff^ nämlich
dem Begriffe der Airy sehen SpannnDgsfdnktion. Ich möchte aber
ausdrücklich erwähnen^ daß die Kenntnis jener Abhandlung für das
Verständnis der Yorliegenden keine notwendige Voraussetzung ist.

Vergleicht man nxm die angestdlte Untersuchung mit der Literatur,
80 hat man die Überraschung, daß sie znm Teil einfach eine Anwendimg
des üblichen Näherungsverfahrens bedeutet, sodaß das Hauptergebnis
der yorliegenden Abhandlung etwa so zu kennzeichnen ist: In den yon
uns betrachteten Fällen führt das übliche Näh^rungsYertsin&D. seinen
Namen zu Unrecht; es ist ein genaues Verfahren, denn es löst das er-
wähnte System linearer Gleichungen völlig genau auf, mit alleiniger
Ausnahme der Gleichungen für die Randknotenpunkte. In anderen
PäUen als den betrachteten aber liefert unsere Untersuchung ein gewisses
Maß für die Größe des Fehlers, den man dabei mit der Anwendung
des üblichen Näherungsverfahrens begeht.

Daß die erwähnten Unstimmigkeiten am Rande unser Ergebnis
nur unwesentlich beeinflussen, bedarf einer näheren Untersuchung,
welcher ein eigener Abschnitt gewidmet ist. Mathematisch handelt es
sich dabei wesentlich um die Anwendung bekannter Sätze über ge-
wöhnliche lineare Differenzengleichungen.

Die im zweiten Teile der Abhandlung auf Grrund obigen Ergeb-
nisses angestellten wirklichen Berechnungen von Nebenspannungen
(Taf. I bis IV) können ein unmittelbar praktisches Interesse wohl nicht
beanspruchen, und zwar vielleicht weniger deshalb, weil die in Wirk-
lichkeit ausgeführten hochgradig statisch unbestimmten Fachwerke von
den hier behandelten abweichen, als deshalb, weil neuerdings überhaupt
solche Fachwerke nicht mehr konstruiert werden. Den Fachwerk-
theoretiker wird es aber immerhin interessieren, daß man in einigen,
zwar speziellen, aber nicht trivialen Fällen einen vollständigen Einblick
in die Wirkungsweise eines hochgradig statisch unbestimmten und
gleichzeitig fest vernieteten Fachwerkes gewinnen kann, was im all-
gemeinen wegen der ungemeinen rechnerischen Schwierigkeiten als aus-
geschlossen gelten kann.

Als allgemeines Ergebnis der numerischen Rechnungen kann zum
Schlüsse bezeichnet werden, daß das Spannungsbild unserer Fach-
werke durch Bei-ücksichtigung der Knotensteifigkeit wesentlich be-
einflußt wird.

8*
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116 t)ber die Nebenspannongen gewisser hochgradig statisch unbest. Fachwerke.

Fig. 1.

iX

I. Manderlascher Ansatz für Nebenspannnngeii, übliches NälLenm8;8-
verfaliren nnd Atrysclie Spannnngsfimktionen für elastisch isotrope

Fachwerke.

!• Kurzer Abriß des Manderlaschen Ansatzes für Nebenspannunge^i.
— In seiner einfachsten Gestalt nnd damit so^ wie er allein für unsere
Rechnungen in Betracht kommen kann, läßt sich der Manderlasche
Ansatz für Nebenspannungen in Fach werken kurz etwa so darstellen:

a) Bei alleiniger Berücksichtigung der Gh-undspannungen des Pro-
blems erfahren infolge der Stabverlängerungen alle Knotenpunkte ge-
wisse Verrückungen. Man nimmt an, daß diese Knotenpunktverrückmigen
genau dieselben sind, wenn die Stäbe in den Knotenpunkten nicht
gelenkig verbunden, sondern fest miteinander vernietet sind.

b) Wenn die Wirkung der
Vernietung annähernd so aufzufassen
ist, daß sie in den Knotenpunkten
eine Änderung der gegenseitigen
Winkel, unter denen dort die Stabe
zusammenstoßen, unter allen um-
ständen verhindert, so folgt hieraus
in Verbindung mit der Annahme

i unter a) unmittelbar, daß bei fester

Vernietung die Stäbe im allgemeinen
nicht geradlinig bleiben können^
sondern sich S-formig oder C-formig
(Fig. 1) verbiegen werden.

c) Eben diese Verbiegung der
Stäbe gibt Anlaß zu den Neben-
spannungen, welche somit als Bie-
gungsspannungen aufzufassen sind.

d) Ist an irgend einer Stelle
X das an dem Stücke links von x
wirkende, im Uhrzeigersinne positiv

gerechnete Biegungsmoment gleich Mx und herrschen speziell an den
beiden Stabenden die Biegungsmomente M[ und -äfg, so ist zunächst
klar, daß vermöge dieser Biegungsmomente auf die beiden Knoten 1
und 2 im Uhrzeigersinne positiv gerechnete Drehmomente M^ und M^
so übertragen werden, daß:

M^=^M[ und M^^-M'^

ist. Damit nun der einzelne Knoten im endgültigen Zustande des
Fachwerkes gegen Drehung im Gleichgewichte ist, müssen sich die an

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Von K. WiEOHABDT. 117

ihm angreifenden Drehmomente gegenseitig aufheben; wir bekommen
also für jeden Knotenpunkt eine Gleichung, die Knotenpunktgleichung,
von der Form:

(1) ZM^O,

e) Durch Einführung der Knotendrehtvinkel q> als derjenigen Winkel,
um den sich ein Knoten im Uhrzeigersinne dreht, wenn an dem vorher
unbelasteten Fachwerke die betrachtete Belastung angebracht wird
(vergl. Fig. 2), wird die Zahl der Unbekannten in den Knotenpunkt-
gleichungen auf die Zahl dieser Gleichungen zurückgeführt. Der zu
diesem Zwecke herzustellende Zusammenhang zwischen den Knoten-
drehwinkeln (p und den Drehmomenten M ergibt sich — falls das
Grrundspannungsproblem bereits gelöst ist — durch Berücksichtigung
der Gleichung des verbogenen Stabes:

(2) ^J.g Mi,

(wo E der Elastizitätsmodul des Stabmateriales, J das'^in Betracht
kommende Trägheitsmoment des Stabquerschnittes Q ist) wenn wir
uns statisch überlegen, wie das Biegungsmoment M^ mit der Grund-
spannung S (als Zugspannung positiv gerechnet) unseres Stabes zu-
sammenhängt. Man stellt sich das Kräfbespiel im Fachwerke so vor,
daß die Grundspannkraft SQ exzentrisch, wie Fig. 1 zeigt, an dem
Stabe angreift^}, dadurch einerseits in dem Stabe die Grundspannung /Si
erzeugt, anderseits an jeder Stelle x ein Biegungsmoment Mx entstehen
läßt. Von diesem Biegungsmomente ist dann klar, daß es eine lineare
Funktion von x ist, vermehrt um das Glied --SQ-y. Dieses letzte
Glied wird unter der Voraussetzung, daß die Durchbiegung y des Stabes
nur klein ist, gegen die übrigen Glieder vernachlässigt; man bekommt
so als Integral von (2) das Polynom dritten Grades (kubische Parabel)

y^c^ + c^x + c^x^ + c^x^y

mit den noch näher zu bestimmenden Konstanten c^c^c^c^.

Nun gilt das Grundspannungsproblem als gelöst; man kennt also
nach der Annahme unter a) sämtliche Knotenpunktverrückungen und
damit auch sämtliche Stabdrehwinlcd cd, nämlich diejenigen Winkel, um
welche sich bei Vorhandensein reibungsloser Scharniere der einzelne
Stab bei Anbringen der Belastung im Uhrzeigersinne drehen würde.
Man kann also die Tangenten der beiden kleinen Verdrehungen des

1) Daß in nnserer Fig. 1 die Kräfte SQ bo symmetrisch liegen, ist natürlich
speziell. Man vergleiche die allgemeineren Figuren 6 bis 11 der Man de riaschen
Abhandlung.

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118 über die Nebengpannungen gewisser hochgradig statisch unbest. Fachwerke.

Terbogenen Stabes gegen die Yerbindoi^sgerade seiner Knotenpunkte
in den Knotenpunkten dnrch die beiden unbekannten EiiotendrehwinlEel

(fi und (ff und den be-
^* *■ kannten Stabdrehwinkel

o,j ausdrücken:

*»,

»^1 Damit drücken sich aber

auch die 4 Konstanten c
dnrch 9 und o aus, wenn man noch bedenkt^ daß für x = und
X = s (€ Lange des Stabes) y =^0 werden muß; man hat dann die
vier Gleichungen aufzulösen:

Co-0

und bekommt:

C^B = 29?i + ^2 — 30i2, ^3«^ = — ^1 — ^2 + 2öi2 •

Da nun nach Gleichung (2)

Jf; = - 2EJ(c^ + €,x)
ist; so ergeben sich die Drehmomente zu:

(3) Jf, « _ !^ (2(p, + <p, - 30)^) , Jtf, = - ' f ^ (9i + 29>, - 3a,,,).

Diese Gleichungen (3) repräsentieren den gesuchten Zusammenhang.
Stoßen nun an einem Knotenpunkte h die Stäbe 1 bis n zusammen;
die zu den Knotenpunkten 1 bis n hinführen mögen, so gehen ver-
möge dieses Zusammenhanges unsere Knotenpunktgleichungen (1) ^
die Gleichungen über:

(4) 2n . (f, +^(fj = ^^(o^,

eine Anzahl linearer Gleichungen mit ebensoviel Unbekannten. Sind
daraus die Knotendrehwinkel cp ermittelt, so liefern die Gleichung'cn (3)
hinterher die Drehmomente M.

f\ Aus diesen sind dann endlich noch die Nebenspannungen selbst
zu bestimmen. Rechnen wir (Fig. 3) eine Ordinate z senkrecht ^ur

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Von K. WiKGHARDT. 119

Mittellinie des Stabes^ so ist die Biegungsspannung an der SteUe x, z
gegeben durch:

<y = ±-/-.^.

An jedem Stabe interessiert aber wesentlich die größte Nebenspannung;

man findet sie, wenn man erstens die größte Nebenspannung über den

Querschnitt des Stabes nimmt^

nämlich die Spannungen in den Y\ i*igs.

äußersten Fasern: i

wo ß die Breite des Stabes ist, — tt — -- — ^--=r_rT=r^=4^JILS,^5--^-
und dann denjenigen Querschnitt |

aufsucht y dem das größte Bie-

gungsmoment M^ zukommt. Dies ist aber stets einer der beiden Quer-
schnitte an den Stabenden^ da ja Mg eine lineare Funktion yon x ist.
Man bekommt also als die größte Nebenspannung eines Stabes (pm$^)
•den größeren der beiden Ausdrücke:

\M,\ p \_M,\ ß

mit dem positiven und dem negativen Vorzeichen^ jenachdem man die
Spannui^ an der konvexen oder der konkaven Seite des Stabes im
Auge hat. Die größte Gesamtspannung des Stabes ist dann der größere
•der beiden Ausdrücke:

mit dem positiven oder negativen Vorzeichen, jenachdem 8 ein Zug
oder ein Druck ist. —

Den so skizzierten Ansatz nennen wir künftig der Kürze halber
^den Manderlaschen Ansatz", obwohl bei Manderla selbst die Unter-
suchung sehr viel weiter geführt ist.

2. Spezialisierung auf elastisch -isotrope Fachwerke. — Wir be-
schranken jetzt die Untersuchung auf diejenigen Fachwerke, deren
Nebenspannungen im folgenden wirklich berechnet werden sollen (Fig. 4).
Die Stabe sind durch Seiten gleichseitiger Dreiecke repräsentiert; ihre
Länge sei £, ihre Breite /?, ihr Elastizitätsmodul E, ihr Querschnitt Q,
^iessen in Betracht kommendes Trägheitsmoment J, Wir nennen diese
Fachwerke „elastisch - isotrope Fachwer1ce^% weil sie, wie in meiner
Habilitationsschrift ausgeführt ist, mit der elastisch- isotropen Platte
«ng verwandt sind. Denken wir uns nun einstweilen unser Fachwerk

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Fig. 4.

120 Über die Nebenspannungen gewisser hochgradig statisch unbest. Fachwerke.

nach allen Richtungen hin unbegrenzt^ so haben wir lauter ganz gleich-
artige Knotenpunkte^ an denen immer sechs Stäbe zusammenstoßen.
Durch Einführung des schiefwinkligen 5 7^ -Koordinatensystems der Fig. 4
und entsprechender Eixiführung ganzzahliger Indizes i und k können
wir jeden Knotenpunkt in einfachster Weise charakterisieren. Das

System der Knotenpunkt-
gleichungen (4) nimmt dann
hier die spezielle Form an:
(5) 129..^i,4.^.i-f 9,.^i,t

WO wir die bequeme Ab-
kürzung :

O.]^ = Summe der Drehwin-
kel (0 der sechs vom Knoten-
punkte i, k auslaufenden
Stäbe

eingeführt haben. Brechen wir nachher das Fachwerk im Endlichen
irgendwie ab, sodaß es einen Band bekommt, so ist für die Rand-
knotenpunkte natürlich nicht die Gleichung (5), sondern die allgemeinere
Gleichung (4) gültig.

3. Das üblicJie Nätierungsverfahren, — Die Knotenpunktgleichungen
(5) bezw. (4) sind außerordentlich verwickelt, wie der bloße Augen-
schein lehrt; ist das Fach werk hochgradig statisch unbestimmt, sodaß
hundert und mehr Knotenpunkte vorhanden sind, so ist an ihre
numerische Auflösung auf Grund irgend eines Eliminationsverfahrens
im allgemeinen garnicht zu denken. Man wird sich daher nach einem
Näherungsverfahren umsehen müssen. Obwohl man nun auf eine
denkbar natürliche Weise auf das im vorigen so genannte übliche
Näherungs verfahren geführt wird, wenn man das System der Glei-
chungen (5) als eine Diffei'enzengleichung mit den unabhängigen Ver-
änderlichen I und ri (Koordinatensystem der Fig. 4) betrachtet, so soll
doch der vielseitigeren Beleuchtung wegen jenes Verfahren zunächst so
abgeleitet werden, wie es verschiedentlich in der Literatur geschieht.
Das Verfahren ist folgendes: Man nimmt an, daß für das Gleichgewicht
der Drehmomente an irgend einem Knotenpunkte vorwiegend die
Steifigkeit eben dieses Knotenpunktes maßgebend ist und nimmt dem-
nach bei der Bildung der betreffenden Knotenpunktgleichung die übrigen

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Von K. WiEGHABDT.

121

Knotenpunkte als gelenkig an. Ist dann in Gleichung (3) 1 der steife,
2 der gelenkige Knotenpunkt^ so haben wir statt (3):

Jfj = 0, daraus: ip^ — jcoj^^ ~ \^i ; demnach:
^1 = ,-• ät'^i^'^iäl-

Hieraus resultiert dann in Verbindung mit (1) für unsere Knotenpunkte
mit sechs Stäben an Stelle der Gleichung (5) die folgende:

(6) 9>.*-i^.* = 0.

Allgemeiner haben wir an Stelle der Gleichung (4) das Ergebnis:
Nach dem iMidmi NäJierungsverfahren ist der einzelne Knotendrehwinlcd
einfach das aritlimetische Mittel avs den von ihm auslaufenden Stab-
drehtvinkeln.

Diese Ableitung ist anschaulich^ läßt aber keine Abschätzung des
begangenen Fehlers zu und läßt insbesondere nicht erkennen, wodurch
die eventuell existierenden Fälle charakterisiert sind, in denen das
Näherungsverfahren ein genaues Verfahren ist. Mit der im folgenden
Abschnitte gegebenen Ableitung verhält es sich umgekehrt; sie ist
zwar wem'g anschaulich, liefert aber ein Kriterium für die Genauigkeit.

4. Bedingung für die Genauigkeit des üblichen Näherungsverfahrens,
— Um die Gleichung (5) als Differenzengleichung in den unabhängigen
Veränderlichen | und ri schreiben zu können, führen wir die in Be-
tracht kommenden Differenzen einer Größe G^j^ an der Stelle ik durch
folgendes Gleichungsschema ein:

Gik

ö'+i.*

^.•,* + l

^.■+«,*

^.-|-i.*+i

ö/.

k+f <^.

1
1

+ 2,*+l ö^i+l,* + 2

»a

1 !

i

'

----- -

^i^ik

_ii 1

i

^n^ik

-ii

1 ' i
1

1

— —

^i'Gii

1| -2

^ ^ !

^U^ik

— 1

-^ ;

1 1

1

^tf^ik

i 1 -2 !

1 1 ;

1

1 '

^^n^ik

-ll 2 1 1

-1 ' -2

1

-1 ;

1

1

^i^G,,

— 1

1 ^

2

-2

1

welches so zu lesen ist, daß beispielsweise die zweimal nach ^ ge-
nommene Differenz der Größe G gleich

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122 Über die Nebenspannongen gewisser hochgradig statisch nnbest. Fachwerke,
ist. Denken wir uns nun hier alle Größen:

^ik y ^« + 1, * ; ""/, ifc + l • • •

umgekehrt durch die Größen:

ausgedrückt^ so bekommen wir ein neues Gleichungsschema; dieses
leitet sich aus dem obigen bekanntlich in einfacher Weise dadurch ab,
daß man alle Minuszeichen durch Pluszeichen ersetzt und dann

gegenseitig vertauscht^ sodaß man beispielsweise bekommt:

Man fähre nim vermöge dieses Schemas in der Gleichung (5) alle
Größen ^>i^m,k-^ny ^•+«»,ii+« *^^ ^tky ^ik ^^^ deren Differenzen zurück,
so erhält man folgende Differenzengleichung:

(7) 18(gP,, - i«,») + 18z/j(y„ - i«,,) + 18zf/<iP„ - i«„)

+ {2J^ + 16zfj, + 2z/,; + ^j., + z/j,.)g,,t - 3z/j„<P„ = 0.

Hier ist nun der eigentliche Witz des üblichen Nähenmgsverfahrens
deutlich zu erkennen; er besteht in der Tatsache, daß mit Einfuhrung
der Annahme (6) nicht nur das erste, differenzlose Glied in Gleichung (7)
verschwindet, sondern auch die beiden folgenden Glieder, welche erste
Differenzen enthalten. Die übrigen Glieder mit den zweiten und dritten
Differenzen aber bilden ein Maß für den Fehler, den man beim üblichen
Näherungsverfahren begeht. Sucht man nun weiter das Kriterium
dafür, daß bei einer gegebenen Grundspannungsverteilung, also ge-
gebenem Oj das Näherungsverfahren ein genaues Verfahren wird, so
hat man mit der Annahme (6) und den daraus durch DifferenzbilduBg
folgenden:

^t^ik == \^e^ik, ^^,j(Pik = i-^^;^a• • • • ^8w.

in die Gleichung (7) hineinzugehen und kommt so zu dem Ergebnis:
SoU das übliche Nähemngsverfahren ein genaues Verfahren sein^ so muß
die Sumtne der Stabdrehwinkel am einzelnen Knotenpunkte, die Funktion
O^j^y der Bifferenzengleicimng:

(8) (^j. - ^j, + ^„, + i^^, + \J^,f)Q> = .

genügen.

5. Zusammenhang mit der Airyschen Spannungsfunktion, — In
meiner Habilitationsschrift ist gezeigt, wie man die Grundspannangen

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Von K. WiEOHABDT.

123

FI«. 5.

eines genügend engiiiASchigen elastisch-isotropen Fachwerkes in jedem
Falle dnrdi eine Airysehe SpannungsftmJction mehr oder .weniger an-
genähert; wie folgt^ darstellen kann:

Bezeichnen wir unter Zugrundelegung eines rechtwinkligen Koor-
dinatensjstems (Fig. 5) mit S(xy) eine Spannung in denjenigen pandlel
zur X-Achse laufenden Stahe^ dessen linker Endpunkt die Koordinaten
4?, p hat, femer mit T(xy)
eine Spannung in dem vom
Punkte (xy) nach rechts oben
ansteigenden Stabe, mit V(xy)
endlich eine Spannung in dem-
jenigen Stabe, der die beiden
Torigen zu einem gleich-
seitigen Dreieck ergänzt, so
ist klar, daß man den Grund-
spannungszustand eines elas-
tisch - isotropen Fach Werkes
vollständig kennt, wenn man
die drei Größen S, T, F als '

Funktionen von x und y kennt.

Es sei nun F{x, y) eine Funktion, welche in unserem rechtwink-
ligen System der Differentialgleichung:

VV^='J + 2,'"-

cx^dy^ + dy' ~ ^

genügt. Alsdann gewinnt man die — im allgemeinen nur angenähert
richtige — Darstellung einer möglichen Grundspannungsverteilimg in
einem elastisch-isotropen Fachwerke, wenn man aus F(xy) die Funktionen
Sy T, V nach folgendem Schema bestimmt:

C-S{xy)==F{x+ |, y + Q) +f(x+ * , y-p) -F{x + b, y)-F{x!,)

(9) C ■ T{xy) = F{x ^b, y) +F{x - \e, y + Q)-F[x+\, y-V q) -F(xy)

C . V{xy) = F[x+^, y + ^)-.F{x + B, y)-F(x+ \, y + p) +F{xy),

WO C eine willkürliche Konstante und q eine Abkürzung für \ ]/3 • s
bedeutet

Ist überdies F ein Polynom vofi nicht höherem als dem fünften
Grade, so ist diese Darstellung nicht angenähert richtig, sondern genau
richtig.

Dabei hat man sich zunächst das Fachwerk als nach allen Seiten^
tuibegrenzt zu denken. Hinterher führt man die gewollte Begrenzung

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124 über die Nebenspammiigeii gewisser hochgradig statisch unbest. Fachwerke.

ein, indem man alle überflüssigen Stabe enifemt. Um dabei das
Gleichgewickt des Facbwerks nirgends zn stören, muß man dann die
Spannungen in denjenigen fortgenonunenen Stäben, welche einen Rand-
knotenpunkt enthalten, durch entsprechende äußere Kräfte ersetzen,
deren Gesamtheit dann diejenige Belastung Torstellt, welche in unserem
begrenzten Fachwerke die Grundspannungsrerteilung (9) hervorruft.
Diese Sätze, bezüglich deren Nachweises ich auf meine Habilitations-
schrift verweisen muß, betrachten wir im folgenden als Tatsachen.

Kann man nun so den Grundspannungszustand eines elasüsch-
isotropen Fachwerkes durch eine einzige Funktion F{xy) beschreiben,
so natürlich auch die damit gegebenen Stabdrehwinkel und insbesondere
deren Summen am einzelnen Knotenpunkte, 0,.^^. Vermöge dieses Zu-
sammenhanges geht die BediDgungsgleichimg (8) für die Genauigkeit
des üblichen Näherungsverfahrens in eine Bedingungsgleichung f&r
die Funktion F über. Die Frage nach ihrer Gestalt wollen wir so
präzisieren: Das Gmndspannmigsprohlem eifies dastisdi-isotropen FcLch-
Werkes sei von der Art, daß es durch ein Polynom F(xy) von nicht
höherem als dem fünften Grade als Spannungsfunktion in der durch
Gleichung (9) gegebenen Weise gelöst uHrd. Welche weitere Bedingung
muß das Polynom F{xy) erfüllen, damit das üUidie yäherungsverfahren
ein genaues Verfahren wird? Wir werden sehen, daß F eine weitere
Bedingung überhaupt nicht zu erfallen braucht.

Um dies zu beweisen, beziehen wir zunächst alles auf unser schief-
winkliges Koordinatensystem von Fig. 4 mit Hilfe der Umformungs-
gleichungen:

x = i + U, y^n-v, 5 = ^-^3, n-^^-

Unser Polynom F(xy) gehe dabei in das Polynom P(lirf) über, welches
natürlich keinen höheren Grad als F hat; die Differentialgleichung

W2^=«0 geht in eine andere über, beiläufig in

folgende:

Unsere Aufgabe ist, die Funktion O.^ oder besser
ihre in der Differenzengleichung (8) vorkommenden
Differenzen durch Differenzen unseres Polynoms P
auszudrücken.

Erteilen wir vorübergehend den Stäben, die um den Knotenpunkt
i + ly k + 1 herumliegen, die Indizes 1 bis 12 (Fig. 6) und sind:

^1^8 ... #12

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Von K. WiKGHARDT. 125

die kleinen elastischen Dehnungen^ die diese Stäbe bei unserer Grund-
spannungsverteilung erfahren^ sind entsprechend:

die zugehörigen Stabdreh winkel^ ist also:

^< + l,t + l =- Ol + ^2 + Oj + CD^ + O5 + CJ«,

so ist es zunächst Sache einer kleinen elementaren Rechnung, die
Richtigkeit folgender Rekursionsgleichungen nachzuweisen, wobei wir
uns der Abkürzung: ^

'-Vi

bedient haben:

fi)i = ©i ,

©2 = CJi — «1 — 5, + 2^7,
(0^ = (02 — 3^ — 8^ + 2^8,

(11) 0^ = 08-85-54 + 259,
<Ö6=-0)4 — 54 — 55 + 25^0»

06==G>5 — % — «6 + 25n5

0^8 == «'s — «3 — ^8 + 2^2 •

Hieraus folgen dann die Gleichungen:

+ 8^8 + 6S9 + 4sio + 2*11

(12) {und:

04 — «»1 = — *i — 2^2 — 2ss — s^ + 2{s^ + Sg + s»),

c^s — <»i = — *i -^ 258 + 2(57 + Sg) .

Die erste Gleichung (12) wollen wir noch einmal hinschreiben, aber in
einer mehr graphischen Gestalt, nämlich als Fig. 7. Diese Figur ist
aufzufassen als die algebraische Summe p^^ 7

aller derjenigen Produkte, welche man be-
kommt, wenn man jede an einem Stabe
stehende Zahl mit der zu diesem Stabe

gehörigen Größe s multipliziert; die Figur i*f,h^i
repräsentiert dann in der Tat die erste
Gleichung (12). Der Zweck dieser Art Dar-
stellung ist der, die folgenden Untersuchungen übersichtlich zu gestalten.
Bilden wir uns die ersten Differenzen von O^^^ ^^^j, nämlich die

Größen: ^ ^ _ ^ ^

^€®<+i,*+i - ®.+2,*+i — «^<+i,*+i;

^,j^<+i,*+i = ^i+i.t+s - ^.•+i,»+i.

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126 Über die Nebenspannungen gewisser hochgradig statisch nnbest. Fachwerke.

und machen sie mit Hilfe der zweiten und dritten Gleidinng (12) von
den o frei, so bekommen wir folgende „Figarengleichnngen^', die nach
obiger ErkUirung nicht mehr mißzuverstehen sind, wobei nur noch zn
bemerken ist, daß die Figuren sich noch nicht nnmittelbar so ergeben,

sondern erst dann^ wenn man in den zunächst entstehend^i Figuren wieder-
holt die für jedes Stabgebilde nach Art von Fig. 6 und 7 gäUige Gleichung:

^1 + ^J + ^, + ^4 + ^6 + ^6 = ^7 + ^8 + ^9 + ^10 + ^11 + -^12,

bez. die Figurengleichung Fig. 9 berücksichtigt. Diese Gleichung ist
cler Ausdruck der Tatsache^ daß unsere Grundspannungsverteilung das
Hookesche Elastizitätsgesetz:

erfüllt; diese Tatsache wiederum steht in einem ur-
sächlichen Zusammenhange zu dem Bestehen der Diffe-
rentialgleichung (10) für unser Polynom P(Si?). Für
Leser, die meine Habilitationsschrift nicht kennen, muß

dies ausdrücklich betont werden, da es sonst scheinen könnte, als würde

die Voraussetzung, daß P der Differentialgleichung (10) genügt, gamicht

benutzt.

An Stelle der Dehnungen ^ oder der Größen s wollen wir jetzt

in unsere Figurengleichungen die Werte P,.^ unseres Polynoms P(|i^)

^ ^ Flg. 10. js / S Z

-2— =5

in den Knotenpunkten des Fachwerkes vermöge des durch die Qlei-
chung (9) gegebenen Zusammenhanges einführen. Verfügen wir dabei
über die dort willkürliche Eonstante C so, daß

1

EyH

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Von K. WiEOHARDT.

127

Fig. 11.

ist^ 80 sparen wir das lästige Mitführen eines konstanten Faktors und

erhalten aus der Fig. 8 die Fig. 10, in welcher der Knotenpunkt i + 1,

k + l durch den um ihn gezogenen Kreis markiert

ist — wie im folgenden immer — und wo im übrigen

wiederholt die aus der Fig. 9 entstehende Gleichung

der Fig. 11 berücksichtigt worden ist, die naturgemäß

für einen jeden solchen „Sechszack'^ gültig ist.

Natürlich sind diese Figuren, ganz analog der
Fig. 8, aufzufassen als die algebraische Summe aus
denjenigen Produkten, welche man erhält, wenn man die am einzelnen
Knotenpunkte stehende Zahl mit dem Werte P^;^ multipliziert, den das
Polynom in diesem Punkte hat.

cS^O

Fig. 12.

.♦-

c f- J i

/\/\/\/

— »7—-»« \

A'**

i*irk+1

"W "'

Um schließlich zu dem Diiferenzausdrucke der Gleichung (8) zu
gelangen, müssen wir weitere höhere Differenzen von O^^^ j^^^ bilden und

Fig. IS.

^,* = \Aaa/\A
ifV/^*7\y<:7\/\/\/

r — J — ml — 5 — ^'
"t — l

t 3

7- ZT-^l-^-^t

, /\/\/\/\

2 .-J— m/5— i=/5 /J ^ 2

V-V

eben deshalb ist hier das Verfahren der Figurengleichungen von Nutzen
Denn so lästig und unübersichtlich wegen der nicht zu Yermeidenden

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128 Über die Nebenspannongen gewiflser hochgradig statisch unbest. Fachwerke.

doppelten Indizes das Differenzbilden ist; wenn man analytisch zu Werke
gbht, so einfach und klar gestaltet es sich an den Figuren. Man

hat immer nur in geeigneter Weise
solche Figuren zu überlagern. Eine
genauere Schilderung dürfte sich er-
übrigen; es möge genügen ^ noch die
Zwischenresultate Fig. 12 und 13, und
endlich noch das Schlußresultat 14
anzugeben.

Hier sind nun endlich noch

Fig. u.

o—^nf — ^ — p

/ \ / \ / \ / \.
_% — /o — ö — » iw — %

f^l*''^7'-^f?'^JWHf')***^f ^® ^®^® ^^^ ^.•+m,*+n durch den

Wert P.t und dessen Differenzen

■ik

zu ersetzen,

was mit Hilfe des folgenden

Schemas zu

geschehen hat:

1 (lO)-(Ol)

(20)-(02)

(80)-(08)

121H12) (40H04)'(»1H18) (50)-(05) (41)-(U)

(32)-(28) v5lHl6)|(42)-(J4)

[10]-[01]l

1

; 1

1

1

[20]-[02]

2

1

i

[21]-[12]

1

1

1

1

[40]-[04]

4

6

4

1

1

[31]-[13]

2

3

1

3

1

[60]-[06]

6

10

10

6

1

1

[32]-[23]

1

2

1

3

2

1

-— -

[61]-[15]

4

10

10

10

6

10

1

5

1

£42]-[24]

2

6

4

8

1

8

2

4

1

1

ist.

was so zu verstehen ist: Es ist:

[wn] eine Abkürzung für P^+^^t+n
(mn) eine Abkürzung für ^^^nP^^^

«odaß also beispielsweise:

P — P ==

= {4(^j - z/,) + 6(^^ - ^,.) + 4(^j. - zf,.) + (J^ - z/,,) } P,,

]!lfit Hilfe dieses Schemas bekommen wir, wie man leicht nachrechnet^
«US der Figurengleichung Fig. 14 die definitive Gleichung:

<13) (^j. + z/,, - z/j, + iz/j., + i^f ,.)*.+i.*+i =

Diese Gleichung beweist aber unsere Behauptung; denn nach Voraus-
Setzung ist P ein Polynom von nicht höherem als dem fünften Grade

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Von K. WlBGHARDT. 129

in S und i^; die sechsten und höheren Differenzen von P und damit
die rechte Seite der Gleichung (13) sind also gleich Null, also ist auch
die linke Seite gleich NuU, d. h. die Bedingung dafür, daß das übliche
Näherungsverfahren die genauen Werte der Knotendrehwinkel liefert,
wird durch unsere Spannungsfunktion P tatsächlich erfüllt. Zusammen-
fassend haben wir nun folgendes Ergebnis:

Setzt man in das Gleichungssystem (9) die Spannungsfunktion F als
ein Polynom in x, y von nicht Jiöherem Grade als dem fünften an, welches
zugleich der Differentialgleichung "^\jF = genügt, so definiert dieses
Gleichungssystem völlig genau eine in einem elastisch-isotropen Fachwerke
mögliche Grundspannungsverteilung. Die zugehörige Nebenspannungs-
Verteilung bekommt man, ebenfalls völlig genau, wenn man das übliche
y älter ungs verfahren zur Bestimmung der Knotoidrehivinkel benutzt.

IL Über die Nebenspannongen eines hochgradig statisch unbestimmten
elastisch-isotropen Fachwerkbalkens.

6. Allgemeine Erläuterungen zu den Tafeln I bis IV. — Wir be-
trachten jetzt immer ein in der Weise der Fig. 15 abgegrenztes elastisch-
isotropes Fachwerk, welches wir passend einen Fa^hwerkbalken nennen
können. Das hin-
zugezeichnete , y Fig. 15.
rechtwinklige Ko- '
ordinatensystem
dient zur Orien-
tierung der ver-
schiedenen Span-
nungsfanktionen ,
als welche wir

nacheinander ein

Polynom zweiten, |

dritten, vierten

und fünften Grades in x und y wählen, sodaß wir nach den vorigen Ent-
wicklungen in allen Fällen in der Lage sind, die Man der laschen Neben-
spannungen mit Hilfe des üblichen Näherungsverfahrens genau zu ermitteln.
Die vier verschiedenen Belastungen, die sich so mit Berücksichtigung der
Bemerkung von Seite 123 für unsern Balken ergeben, kann man, wie in
nieiner Habilitationsschrift näher ausgeführt ist, mit sehr guter An-
näherung, wie folgt, charakterisieren:

Polynom 2. Gr.: Beanspruchung auf gleichförmige Dehnung; Taf I
3. Gr.: „ „ „ Biegung; Taf. H

Zeit«chrift f. Mathematik u. Physik. 63. Band. 190G. 2. Heft. 9

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130 Über die Nebenspannungen gewisser hochgradig statisch unbest. Fach werke.

Polynom 4. Gr.: Quajsi-eingespannter Balken mit transversaler Last am
freien Ende; Tat III
;^ 5. Gr.: Beanspruchung einer Längskante durch gleichförmigen
Normaldruck; Taf. IV.

Bei Berechnung der Nebenspannungen sind die Randknotenpunkte
zimächst genau so zu behandeln wie die andern, damit das übliche
Näherungsverfahren an allen inneren Knotenpunkten des Balkens die
genauen Werte liefert, und erst nachdem alle Nebenspannungen be-
rechnet sind, hat man die überzähligen Stäbe zu entfernen. Man stört
dabei dann nur das Gleichgewicht der Biegungsmomente an den Rand-
knotenpunkten , während im Innern alles in Ordnung bleibt. Die mit
den überzähligen Stäben fortgenommenen Biegungsmomente muß man
sich, um das Gleichgewicht wieder herzustellen, als von außen auf den
betreffenden Randknotenpunkt wirkende Biegungsmomente vorstellen
und die später zu beantwortende Fr^e ist: Was machen diese störenden
Biegungsmomente, diese „Unstimmigkeiten am Rande des Balkens^^ hin-
sichtlich unserer numerischen Ergebnisse aus, inwiefern werden diese
durch sie modifiziert?

Einstweilen tun wir so, als sei diese Fri^e in dem Sinne erledigt^
daß wir uns um die Unstimmigkeiten gamicht zu bekümmern brauchen
(was auch nahezu stimmt) und gehen demgemäß zu einer Besehreibung
der Tafeln I bis IV über, wobei wir zweckmäßig das voranstellen, was
sich gleichmäßig auf alle vier Tafeln bezieht.

An die Bedeutung der Größen E, J, e, ß werde eben erinnert.
Es ist:

E der Elastizitätsmodul der Stäbe (in kg : cm*)

J das in Betracht kommende Trägheitsmoment des Stabquerschnittes

(in cm*)
£ die Länge der Stäbe (in cm)
ß „ Breite „ „ (in cm)
Q der Querschnitt der Stäbe (in cm*);

außerdem seien: E\ J\ s' usw. die Zahlen werte obiger Ghrößen, sodaß:
E = E' kg : cm* usw.

Jede der vier Tafeln zerfällt wesentlich in die Figuren A, B und G.
In diese Figuren sind Zahlen hineingeschrieben, von denen einige nnter-
strichen sind, andere nicht. Dieser Unterschied bedeutet nichts weiter
als daß die unterstrichenen Zahlen negativ zu iiehmen sind, die andern
positiv. Im übrigen macht man sich die Bedeutung der Zahlen am
besten an einigen Musterbeispielen klar.

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f

^ Von K. WlKGHABDT. 131

Auf Taf. n, Fig. A, finden wir (mehr als) einen Stab, an dem:

stellt. Die Zahl 30 bedeutet zunächst folgendes: Ist unser Balken auf
gleichförmige Biegung beansprucht, d. h. so, wie es die kleine Figur
auf Taf n erkennen läßt, so ist bei geeigneter Wahl der Größe der
Belastung die Grundspannung dieses Stabes eine Druckspannung vom
Betrage 30 kg: cm*: ,

S==-30 ^^,.
cm*

Was die Zahl 1 bedeutet, sagen wir nachher.

Auf Taf II , Fig. B, bietet ein Stab mit seinen beiden Knoten-
punkten beispielsweise folgendes Bild:

Das bedeutet: Dem Grundspannungssystem der Fig. A entspricht für
diesen Stab der im Uhrzeigersinne positiv gerechnete Stabdreh winkel:

, 140

(^v-äre die 140 unterstrichen, so wäre w negativ). Am linken Knoten-
pixnfete steht die Zahl 780; das bedeutet: Der Knotendrehwinkel des
'iziken Eoiotenpunktes betragt:

780

Auf Taf. II, Fig. C, stehen beispielsweise an einem Stabe die
2^i».X«n o und 4:

Das bedeutet: Bei Zugrundel^pmg des Grimdspannungssystemes
^«*" :e^ig. A findet folgendes statt:

1) Unser Stab übertr^ auf den unteren, bez. oberen Knotenpunkt
®^^ XDrehmoment vom Betrage:

UM ^00 J' - , ,^ 100 J' , ,

2) Diesen Drehmomenten entsprechen folgende größte Neben-
''P^^^^^Ä^Äungen an den Stabenden:

Konten ^.^^X.h^^ (jo^- « ^. *^ . -^^ . 4 ^« .

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\

132 Über die Nebenspannungen gewisser hochgradig statisch unbest. Fach werke.

3) Die größere der beiden Zahlen liefert natürlich die größte in
dem Stabe auftretende Nebenspannong zu:

Eben diese größten Nebenspannungen sind dann auch in Fig. A
eingetn^en und zwar mit demjenigen Vorzeichen, welches der Grund-
spannung dieses Stabes zukommt. Damit ergibt sich endlich die Be-
deutung der Zahl 1 im Zusammenhange mit der Zahl 30 in Fig. A:
Die größte Gesamtspannung eines in Fig. A durch den ZaMenkomplex:

30 + 1
gekennzeichneten Stabes ist eine Druckspannung vom Betrage:

\ 6>/3 « /cm»

Selbstverständlich hat es seinen besonderen Grund, daß hier gerade
der Koeffizient — — • —, Torkommt. Bei wirklich ausgeführten hochgradig

statisch unbestimmten Fachwerken ist nämlich das Verhältnis von Stab-
breite zu Stablänge etwa 1 : 10, der Koeffizient also etwa gleich Eins.
Für diesen Fall bedeuten dann die Zahlen der Figuren C unmittelbar
die größten Nebenspannungen an den Stabenden in kg: cm' und die
Figuren A gestatten ohne weiteres eine klare Übersicht über das gegen-
seitige Verhältnis yon Grundspannungen, größten Nebenspannungen und
größten Gesamtspannungen.

Die Figuren C geben einigermaßen ein Bild von der Verbiegung
der Stäbe. Haben beide Zahlen eines Stabes gleiches Vorzeichen, so
ist der Stab /S-förmig verbogen, andernfalls C-förmig. Sind speziell
beide Zahlen gleich, so liegt der Wendepunkt des S in der Mitte des
Stabes.

Da die Randknotenpunkte im Sinne der Bemerkungen von Seite 130
zunächst genau wie alle andern Knotenpunkte zu behandeln waren,
zeigen die Figuren A Grundspannungen und die Figuren B Stabdreh-
winkel auch für solche Stäbe, die nicht zum Balken gehören. In den
Figuren C endlich bedeuten die Zahlen, die sich außerhalb des Balkens
befinden, die weiter oben erwähnten störenden Biegungsmomente, die
man von außen am Balken angreifen lassen muß, um auch am Rande
Gleichgewicht herzustellen.

Leser, welche die Zahlen der Tafeln nachprüfen wollen, etwa
daraufhin, ob die algebraische Summe der Biegungsmomente an den
Knotenpunkten wirklich Null ist, werden hier vielfach kleine Un-

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Von K. WiEGHAÄDT. 133

stimmigkeiten entdecken; diese rühren daher^ daß alle Zahlen im Inter-
esse der Übersichtlichkeit und größeren Einfachheit der Figuren stark
abgerundet sind^ nachdem zuvor — mit Rechenmaschine — alles genau
gerechnet wurde. Obwohl so die einzelne Zahl einmal um ± \ falsch
sein kann^ geht durch die Abrundung das Wesen der Sache wohl nicht
verloren.

Nachdem gesagt ist^ wie die Tafeln zu lesen sind, bleibt vielleicht
übrig, noch einmal im Zusammenhange ihre Entstehung zu erklären.
Zunächst wird die betreffende Spannungsfunktion aufgestellt. Sie heiße
hier einfach F(xy)\ ihre Werte im einzelnen geben wir nachher an.
Aus der Spannungsfunktion bekommt man die Grundspannungen durch
die Gleichungen (9)^ Seite 123^ daraus und aus:

Spannung == E • Dehnung, Dehnung ^ = 1/3 • s

und den Gleichungen (11), (12), Seite 125, die Stabdrehwinkel und ihre
Summen am einzelnen Knotenpunkte, daraus nach der Gleichung (6),
Seite 121, die Knotendrehwinkel; daraus nach Gleichung (3), Seite 118,
die Drehmomente und daraus endlich nach den Erklärungen unter f ),
Seite 118, die Nebenspannungen. —

7. Einzelbesprediu'ng der Tafeln I bis IV. — a) Der auf gleich-
förmige Dehnung beanspruchte Fachtverkbalken. Tat I. Dieser Fall
liegt sehr einfach; um hier die Nebenspannungen zu finden, bedarf
man kaum des Begriffes der Airy sehen Spannungsfunktion und der
Ergebnisse der vorliegenden Abhandlung. Empfiehlt es sich aber schon
des Zusammenhanges wegen, ihn hier zu behandeln, so noch mehr aus
einem andern Grunde. Es tritt uns nämlich hier in besonders ein-
facher Gestalt eine gewisse Eigentümlichkeit des Manderlaschen An-
satzes entgegen, der wir auch nachher begegnen und welche, wenn
auch nur kurz, erörtert werden muß.

Als Spannungsfunktion kommt das Polynom 2. Grades:

F{xy) = /

in Betracht. Die Gleichungen (9) liefern also bei geeigneter Verfügung
über die Konstante C die Spannungs Verteilung:

S(^y) = 10, T(xy) = 0, r{xy)^0.
In allen horizontalen Stäben herrscht also ein und dieselbe Grund-
spannung (10 —^j, alle anderen Stäbe sind spannungsfrei. Bestimmen

wir jetzt die Stabdrehwinkel, so sind diese für alle horizontalen Stäbe
gleich Null, für die andern gleich einer, positiv oder negativ genom-
menen Konstanten, jenachdem die Stäbe nach rechts steigen oder fallen.

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134 Über die Nebenspannungen gewisser hochgradig statisch unbest. Fachwerke.

Die Summen der Stabdrehwinkel am einzelnen Knotenpunkt sind dem-
nach Null, und so ergibt der M anderlasche Ansatz folgendes Bild Ton
Nebenspannungen: In allen horizontalen Stäben herrscht keine Neben-
spannung; alle andern Stäbe sind in derselben Weise iS-formig so ver-
bogen, daß der Wendepunkt der S in der Stabmitte liegt, an den

beiden Enden also gleiche Dreh-
momente auf die Knoten über-
tr^en werden (Fig. 16).

Die erwähnte Eigentümlichkeit
desManderlaschenAnsatzes zeigt
sich nun im vorliegenden Falle da-
rin, daß er für die schrägliegenden
Stabe Nebenspannungen liefert, welche die örundspannungen dieser
Stäbe (Null) beträchtlich überragen, und daß dieses Ergebnis Vertrauen
verdient, obwohl anderseits der Manderlasche Ansatz im allgemeinen die
Annahme enthält, daß die Nebenspannung eines Stabes im Verhältnis
zu seiner Grundspannung klein ist. Ist nämlich dieses Verhältnis nicht
klein, so hat es zumchst gar keinen Sinn, die an einem Stabe an-
greifenden resultierenden Kräfte K (Fig. 17) nach Größe
^^' ^'* und Richtung näherungsweise mit der Grundspannkraft des
Stabes zu identifizieren, da die Komponenten p, welche
senkrecht zur Stabachse wirken, dann im Vergleich zu den
in der Stabachse liegenden Komponenten nicht mehr klein
sind. Verfährt man dennoch so, so bleiben an den be-
treffenden Knotenpimkten Kräfte p unberücksichtigt, die ge-
rade so groß sind wie die dort berücksichtigten Kräfte und
welche also, als äußere Kräfte am Knotenpunkte gedacht, in
den Stäben des P'achwerkes unberücksichtigte Längsspan-
nungen erzeugen würden, die wenigstens teilweise neben den
berücksichtigten Längsspannungen — den Grundspannungen —
keineswegs zurückträten. Trotzdem gibt es verschiedene Mög-
lichkeiten, den M an derla sehen Ansatz auch für solche Fälle
zu retten; einmal die allgemeine Möglichkeit eines sukzessiven Näherungs-
verfahrens, worauf wir aber hier nicht einzugehen brauchen, und dann
besondere Möglichkeiten, die in den besonderen Umständen des einzelnen
Falles begründet liegen. Auf diese können wir uns nun in allen vier Fällen
stützen. So schneidet z. B. im vorliegenden Falle der gleichförmigen
Dehnung der Manderlasche Ansatz sehr gut ab, weil wenigstens an
allen inneren Knotenpunkten des Balkens die Kräfte p sich gegenseitig
vollständig aufheben, also auch keine störenden Längsspannungen er-
zeugen können. An den Randknotenp unkten ist dies freilich nicht der

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Von K. WlEGHAHDT. 135

Fall; hier ist aber zu bedenken, daß, unter G eine größere örund-
spannung verstanden, sich die Größenordnung der Längsspannungen,
die durch Kräfte p erzeugt werden können, auf einen Bruchteil von

(^^' G, etwa auf 0,002 G bis 0,005 G abschätzen läßt; da nun an allen

Stellen unseres Balkens solche größere Grundspannungen vorhanden
sind (wenn auch nur in den horizontalen Stäben), wird auch an allen
Stellen des Balkens der M anderlasche Ansatz zuverlässige Ergebnisse
liefern.

Wie sieht es nun mit den Unstimmigkeiten der Biegungsmomente am
Rande aus? Es sind keine vorhanden, denn die bei der Abgrenzung des
Balkens am Rande fortgenommenen Stäbe enthalten Biegungsmomente,
welche teils an sich verschwinden, teils sich gegenseitig aufheben, so-
daß sich auch die übrig bleibenden Biegungsmomente gegenseitig auf-
heben müssen.

b) Der auf gleichförmige Biegung beanspruchte Faehwerlxbalken,
Taf. n.

Die Art der Belastung ist aus der kleinen Figur von Taf. 11 zu
erkennen; ihr entspricht als Spannungsfunktion das Polynom dritten
Grades:

F{xy) ^{y- &Qf, wo p == }>/3 . £

und, bei geeigneter Verfügung über die Konstante C der Gleichung (9),
die Spannungsverteilung:

die Grundspannungen in den schräg liegenden Stäben verschwinden
also wieder, die andern sind linear in y, in der horizontalen Symmetrie-
achse des Balkens ist die Grundspannimg Null (neutrale Linie), von
dort aus nimmt sie proportional dem Abstände von der Symmetrie-
achse zu, in der oberen Hälfte herrscht Zug, in der unteren Druck.
Die Stabdrehwinkel und die Knotendrehwinkel findet man als lineare
Funktionen in x und y\ die Biegungsmomente an den Knotenpunkten,
bzw. die Nebenspannungen an den Stabenden hängen nur von y ab;
es brauchte daher in Fig. C (und Fig. A) nur ein schmaler Vertikal-
streifen des Fachwerkes abgebildet zu werden.

Die horizontalen Stäbe verbiegen sich alle C- förmig, alle anderen
Stäbe S-förmig.

Bezüglich der unter a) erwähnten Eigentümlichkeit des Mand erla-
schen Ansatzes gilt hier dasselbe wie dort, etwa mit folgender Modifi-
kation: Die Kräfte p heben sich hier auch an den inneren Kiioten-

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136 Cl>er die NebenspftimiiiigeD gewuier hochgradig statuch onbest. Fachwerke.

ptmkten nicht TollBtandig aof^ aber doch nahezu; anßerdem kommt
noch als gfinstiges Moment in Betracht, daß größere Grondspannongen
ab dort rorhanden sind.

Unstimmigkeiten der Bi^ongamomente am Rande sind hier Tor-
handen, freilich nicht an den horizontalen, wohl aber an den zackigen
Rändern^ und zwar zeigen die störenden Biegungsmomente folgendes
Bild TFig. 18); wo sich die größeren zu den kleineren Biegungsmomenten
wie 3 : 1 Terhalten, wie auch die Fig. C auf Taf. IE erkennen laßt
Wir werden nachher zeigen , daß diese Störungen ganz unbedenklich

sind, obwohl die stö-
^^^ ** renden Momente keines-

wegs klein sind gegen
die für das Balkeninnere
errechneten Biegungs-
momente.

c) Der quasi -ein-
gespannte und am freien
Ende transversal belastete
Faehtceribaücen. Taf. III.
,,Quasi- eingespannt'^ nennen wir diesen Balken, weil er am linken
Ende zwar nicht wirklich eingespannt ist, weil aber die Eraftverteilung
dort etwa so ist, wie sie bei einer Einspannung sein würde, faUs am
rechten Ende die in der kleinen Figur von Taf. III angegebene resul-
tierende Kraft angreift.

Die Spannungsfunktion ist hier das Polynom vierten Grades:

F(xy)^y^{20E-x)(j,-18Q), wo p = il/3 • f.

Die Gleichungen (9) liefern bei geeigneter Wahl von C die Grund-
spannungsverteilung :

n.y) = - n.y) = - A . ^i^y^o-y^,

sie ist in meiner Habilitationsschrift eingehender beschrieben.

Aus Symmetriegründen brauchte in den Zeichnungen nur eine
Hälfte des Balkens bezüglich seiner horizontalen Symmetrieachse be-
rücksichtigt zu werden. Bei der Spiegelimg an dieser sind in Fig. A
alle Vorzeichen zu vertauschen, während sie in den Figuren B imd C
beizubehalten sind.

Fast alle Stäbe werden /S-förmig verbogen.

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Von K. WiEOHARDT. 137

Bezüglicli der Eräffce p an den Knotenpunkten gilt das unter b)

Die Unstimmigkeiten am Rande sind von der Art der Fig. 19.
Die Werte — | an den horizontalen Rändern, die hier angegeben sind,,
sind in der Fig. C der starken Abrundung der Zahlen zum Opfer ge-
fallen. Daß die störenden Momente sich in ihrer Gesamtheit nicht gegen-
seitig aufheben, liegt nur daran, daß die von den Kräften p herrühi-enden
Momente vernachlässigt werden; bei den früheren Fällen konnte diese-
Unstimmigkeit nicht in Erscheinung treten, weil sich dort aus Symmetrie-
gründen die störenden

Momente und die Mo- ^^ ^^'
mente der p für sich ge- ^ ''^'^^'^ t^r^^n^tf-^ -^^-<->g

nommen aufheben muß-
ten. Mit diesen Dingen '^(
haben wir uns nachher //
irgendwie abzufinden.

d) Der FachwerJcbalr
ken unter gleichförmigem -^<f \

Normaldruck auf eine -«-^-1--^^»*^*«-;% -*-;5f-.^

Gurtung, Taf. IV.

Die Art der Belastung ist aus den kleinen Figuren auf Taf. IV
zu erkennen; die Kräfte an den Zickzackrändem sind einfach in ihr»
Resultante zusammengezogen.

Die Spannungsfunktion ist (frei nach Maxwell) folgendes Polynon
fünften Grades:

F{xy) = y^\\0x(20a - x) (18(> - t/) - 480(>«y -f m^f - 2y«],

z

f) <2

WO

= \n

selbstverständlich bezogen auf das Koordinatensystem der Fig. 15.

Die Ausdrücke für S{xy), T{xy) und V(xy)y welche man hieraus
vermöge der Gleichungen (9) ableiten kann, sind wenig übersichtlich,,
ihre Aufstellung mag daher unterbleiben. Für die numerische Rechnung
ist es zweckmäßig, zunächst für alle Knotenpunkte die Werte von F
numerisch nach obiger Gleichung zu bestimmen und dann die Operationen
der Gleichungen (9) gleich mit den so gewonnenen Zahlen vorzunehmen.
Man findet dann die Grundspannungs Verteilung verhältnismäßig schnell;
erwähnt sei, daß sie in meiner Habilitationsschrifb in einem Kräfte-
plane anschaulich niedergelegt ist.

Die Symmetrie des Falles ist so, daß in den Zeichnimgen nur die
eine Hälfte des Balkens hinsichtlich seiner vertikalen Symmetrieachse

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138 Über die Nebenspanuangen gewisser hochgradig statisch imbest. Fach werke.

zu berücksichtigen war; bei der Spiegelung an dieser sind in Fig. A
alle Vorzeichen beizubehalten, während sie in Fig. B und C zu ver-
tauschen sind.

Auch hier bemerken wir wieder fast durchweg ein S-förmiges
Verbiegen der Stäbe.

Bezüglich der Kräfte p vergleiche man das unter b) Gesagte.

Die störenden Momente am Rande sind in Fig. 20 wiedergegeben;
infolge der Symmetrie des Falles heben sie sich gegenseitig auf. Ob-
wohl sie teilweise die

Fig. 20.

... - «v.i.^0.,. für das Balkeninnere

,f errechneten Momente
-^ zehnfach übertreffen,
sind sie, wie sich nach-
her zeigen wird, ganz
unbedenklicher Natur.
e) Gesamtergebnis.

, , Wollen wir schließ-

et -«-«-^-y-/-/-/ OOOii-tiZZZ^S ,. , , ,

lieh noch versuchen, in

knapper Foim ein Gesamtergebnis der ganzen Untersuchung an-
zugeben, so werden wir vielleicht so sagen können:

Beträgt in einem hochgradig statisch unbestimmten Fachtverkbalken
der betrachteten Art das Verhältnis von Stabbreite jsu Stablänge etwa 1 : 10,
wie es in Wirhliclikeit zutrifft, so ist damit zu rechnen^ daß die durdh
KnotensteiflgJceit entstehenden Nebenspannungen etwa 10 bis 20 v. H, der
größten Grundspannungen ausmachen können und femer damit, daß viel-
fach gerade auf diejenigen Stäbe die stärkeren Nebenspannungen kommen,
welche durch Grundspannungen weniger stark in Anspruch genommen
sind. Die feste Vernietung dieser Faehwcrke hat also die Wirkung, daß
die Spannungen über das Fachwerk gleichmäßiger verteilt sind ais hei
Vorhandensein reibungsloser Scharniere in den Knotenpunkten.

8. Die Unstimmigkeiten am Bande des Fachwerkbalkens, — Zum
Schlüsse der ganzen Untersuchung müssen wir uns nun noch über die
Wirkung jener störenden Momente klar werden, welche von außen an
den Randknotenpunkten des Balkens angreifen imd durchaus keine un-
beträchtlichen Werte besitzen. Wenn wir nachweisen können, daß die
störenden Momente nur in den dem Rande zunächst gelegenen Stäben
nennenswerte Biegungsspannungen erzeugen, ihre Wirkung aber stark
abflaut, sowie wir uns ins Innere des Balkens begeben, so dürfen "wir
sagen: Unsere errechneten Nebenspannungen sind im wesentlichen
richtig, nur in nächster Nähe des Randes stimmen sie nicht. Wenn
es dann weiterhin noch gelingen sollte, wenigstens schätzungsweise an-

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Von K. WiEGHAEDT. 139

zugeben, wie die errechneten Werte in nächster Nähe des Randes ab-
zuändern sind, so hätten wir damit ein TÖllig befriedigendes Ergebnis
gewonnen.

Demgemäß hätten wir uns jetzt der Frage zuzuwenden: Welche
Biegungsmomente werden in unserm fest vernieteten Fachwerkbalken
erzeugt, wenn an seinen Randknotenpunkten keine äußeren Kräfte
(Belastung) angreifen, sondern nur äußere Drehmomente, Drehmomente
nach Art der Fig. 18, 19, 20? Dabei sieht man sofort, daß diese
Frage hinsichtlich der Drehmomente der Fig. 19 verfehlt ist, da die-
selben gar kein Gleichgewichtssystem bilden; hier müßte man eigentlich
das System der damals vernachlässigten Kräfte p noch als äußere
Kräfte hinzufügen, um zu einer vernünftigen Fragestellung zu kommen.
Wenn wir aber zur Lösung der obigen Fragen den Mand erlaschen
Ansatz benutzen wollen, so können wir den Widerspruch ruhig stehen
lassen, da der Mand erlasche Ansatz ohnehin alle Kräfte p vernach-
lässigt, ein daraus resultierender Widerspruch also nicht stören kann.
Wir haben dann, genauer zu reden, folgenden Ansatz zu machen:

Eine Belastung greift nicht an; mithin sind alle Grundspannungen
gleich Null, also auch alle Stabdrehwinkel und Funktionen O. Der
durch die Gleichung (3) gegebene Zusammenhang zwischen Dreh-
momenten, Knotendrehwinkeln und Stabdrehwinkeln nimmt also hier
die einfachere Gestalt an:

(14) Jtf, = _?^l^ (2,,, + ,,,), M,^-''-f-{^, + 2^,),

die unbekannten Knotendrehwinkel tp bestimmen sich dann aus der
Bedingung, daß die Summe der Drehmomente an allen inneren Knoten-
punkten Null sein muß, an allen Randknoteupimkten das dort an-
greifende störende Moment zu Null ergänzen muß. Die damit gestellte
Aufgabe kennzeichnet sich als eine Randwertaufgabe für eine Differenzen-
gleichung mit zwei unabhängigen Veränderlichen, welche durchaus
keinen inneren Widerspruch enthält, wenn die störenden Momente sich
nicht gegenseitig aufheben.

Ob aber dieser Ansatz überhaupt geeigüet ist, unsere oben ge-
stellten Fr^en richtig zu beantworten, ist eine andere Frage; wenn
alle Grundspannungen Null sind, möchte die konsequente Vernachlässigung
der Kräfte p — solche Kräfte werden sich ja natürlich wieder ein-
stellen — bedenklich scheinen; sie ist es sicher auch insofern, als die
berechneten Werte nicht genau die richtigen sein werden. Das aber
dürfen wir annehmen, daß die Größenordnung der Drehmomente M bei
unserm Ansätze richtig herauskommt, daß also insbesondere die Wirkung

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140 Über die NebenBpannaiigen gewisser hochgradig statisch nnbest. Fach werke.

eines äußeren Drehmomentes nach dem Inneren des Balkens zn icirk-
lieh stark abflauen wird, £Edls dies hei unserm Ansätze herauskommen
sollte.

Aber es ist uns noch eine weitere Vereinfachung vonnöten, wenn
wir zu einem Ziele gelangen woUen. Bei dem heutigen Stande der
Differenzenrechnung dürfte es nicht möglich sein, die oben gekenn-
zeichnete Randwertaufgabe befriedigend zu lösen. Wir müssen viel-
mehr durchaus unsere Differenzengleichung irgendwie auf eine oder
mehrere solche zurückführen, die eine einzige unabhängige Veränder-
liche enthalten. Dies dürfte sich auf folgende Art bewerkstelligen
lassen.

Wenn in den Fällen a und 6 der Fig. 21 die Wirkung der äußeren
Drehmomente M und -- M sich nicht merklich in das Innere des
Fachwerkes fortpflanzt, so wird dasselbe der Fall sein für
die äußeren Drehmomente, welche in den Fig. 18 bis 20
links und rechts an unserm Balken angreifen; es dürfte wohl
gestattet sein, in dieser Hinsicht den Balken einfach so
aufzufassen, als wenn er aus lauter solchen horizontalen Fach-
werkstreifen , wie unsere Fig. a imd b sie zeigen, zusammen-
gesetzt wäre. Analoges dürfte für den Vertikalstreifen der
Fig. c gelten, in
welcher die oben **« *i- \^!7^

gehoben werden; J

wir setzen lauter

solche Vertikalstreifen nebeneinander imd bekommen damit — wollen

wir annehmen — den Balken von Fig. 19 (und 20) hinsichtlich der

Wirkimgsweise der an der oberen Gurtung angreifenden störenden

Momente.

Nun wollen wir endlich noch annehmen, es genüge, von den drei
Fällen der Fig. 21 einen einzigen zu untersuchen, etwa den Fall (i,
und stellen ims demnach folgende Aufgabe: An den Knoten-
punkten A und B des Fachwerkes der Fig. 22 (mit 2w inneren
Ejiotenpunkten) wirken die äußeren Drehmomente M und — JUi
welche Drehmomente werden dabei nach unserm modifizierten Man-
derlaschen Ansätze von den einzelnen Stäben auf die Knotenpunkte
übertragen?

Wir können von vornherein die zutreffende Annahme einführen.

irgendwie durch ein
Moment — 2M auf- -AT

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Von K. WlBQHABDT. 141

daß an der oberen und unteren Gurtung die gleichen Knotendrehwinkel
vorkommen. Nennen wir diese dann:

diejenigen der Knotenpunkte auf der horizontalen Mittellinie des
Fach Werks:

rechnen wir femer eine Koordinate x von den Knotenpunkten aus
nach rechts^ sodaß, wenn die Stablänge Eins ist; x im Knotenpunkte h
den Wert h hat, so gehen unsere Gleichungen (4) und (5), welche das

Fig. 82.

Gleichgewicht der Biegungsmomente ausdrücken, über in folgende zwei
simultane Differenzengleichungen zweiter Ordnung zur Bestimmimg der
Funktionen q)(x) und ^(x):

9a + 1+9a + 2 +^a +8^^4 + 1 +*A + 2 =0

mit den Randbedinguugen:

6<)Po + <Pi + 2^0 - ^>

(15)

^n = 0,

Um diese Differenzengleichungen zu integrieren, eliminieren wir zu-
nächst aus ihnen eine der beiden Unbekannten, einerlei welche; für die
andere bleibt dann die Differenzengleichung vierter Ordnung übrig:

Z» + 18z»+i + 94z,+, + 18x,+, + Z»+4 = 0,

WO X ftlsö nach Belieben g? oder V bedeutet. Das mit yier willkürlichen
Konstanten behaftete aUgemeine Integral dieser Gleichung können

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142 tlTber die Nebenspaimungen gewisser hochgradig statisch unbesi Fachwerke.

wir bekanntlicli^) hinschreiben, sobald wir die vier Wurzeln der
Gleichung:

^ + 18^ + Mz' + 18;? + 1 «

kennen. Diese sind aber:

(>(co8'9' + « sin-O"), (»(cos-Ö" — i sin-Ö"), (cos^ + /sin ^),

(cos -O" — i sin d),

wo:

p = I [1/48 + 1/1980 - Vu + 1/198Ö ] = 0,105,

l/48+yi980

ist. Wir haben damit die Funktionen fp und ^ in der Form:

(p{x) = \ ag"" + b (^Y] cos ^x + [ tt V + b' (-Y] sin -Ö-a;,

rl;{x) = [^p* + ■B(^)'] cos^a; + [^V + B' (-)*] sin^o;,

wo die Eonstanten ABA'B' so durch die Konstanten ab ab' aus-
zudrücken sind, daß unsere beiden ursprünglichen simultanen Dififerenzen-
gleichungen befriedigt werden, und die Konstanten ab ab' alsdann aus
den Randbedingungen sich ergeben. Wir brauchen diese umständlichen
Rechnungen hier nicht durchzuführen, sondern können uns mit folgender
Abschätzung begnügen. Aus den letzten beiden Randbedingungen (15)

folgt, daß aQ", ay, Aq", ä'q" mit b^)", bfj, B('J, 5'(|)"voii

derselben Größenordnung sind. Da nun ungefähr (> = 1 : 10, so ergibt
sich damit, daß links von der vertikalen Symmetrieachse unseres Fach-
werkes die Funktionen ilf{x) und (p(x) wesentlich durch die Glieder

mit dem Faktor q', rechts davon wesentlich durch die mit Faktor ( j
bestimmt sind, sodaß für die Reihenfolgen der:

*o*i •••*«, V'n + i . . . *2„ und der <p^q>^ . . . 9„, (p„^^ . . . (p^„^^
die Reihenfolgen der Größenordnungen etwa die folgenden werden:

1 Jl ^ 1 1 1 JL _L 1

' Tö' IOC • • • lo'^-i' 10" ' lO"-^!' • • • föö' 10'
und

.11 1 11 1 1 1 .

' iö' 100' • • • io"-i' 10" ' 10" ' io"-i' • • • 100' 10'

1) Für das folgende vergl. A. A. Mark off: Differenzenrechnung. Aut. deutsche
CberB. von Th. Priesendorff und E. Prümm. Leipzig 1896, S. 164ff.

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Tafel IL

'

y

0X,

^^^

achwerks.

eSpannungs-
en ist.

Fach Werks.

g. A besser
rennen.

Fig. A: Darste
Fig. B: Darste
Fig. C: Darste!

1, betreffend die Gr^"

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r

V

\x

V

•V

^ nonii

tern

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Googl

Tafel III.

T^v r;/. "r.^ >. r^^ t-

V^ yr V^ V^ y^ V

•V, r.y, V. I.v'i r^y, .V j

tX- v^ NT yr yr yt
X"V ^v ^v ^V ^v ^

r#^ tm^t tm^z t.%h i^^x im
yr VT ^ V^ V"*^ ^

V. ^v ^y ^v ^v ^y •
y^ v-\ y^ yv^ yt-

•/•V /%^ yift rmi ¥Xf

V- V- v^ y> »^^

•^ -/•V /'•'i^ /«r ••> /%

niomente daselbst.

Koordinatenachsen, aufweiche die Spannungs-
funktion bezogen ist.

Symmetrieachse des Fachwerks.

terungen auf S. 186.

Vbalken, welcher an einem Ende

"st.

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Tafel IV.

i y.«i •* V»

^ *• ^ /f I .
"^^ Jli \t ^

und der Knotendjh die Biegungsmomente

1 eines elastisch
n Normaldrucke

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Von K. WlKOHARDT. 143

Hierin liegt aber der gewünschte Nachweis dafür, daß die äußeren
Momente M nur in nächster Nähe des linken und rechten Randes
merkliche Biegungsmomente an den Stabenden erzeugen. Ein Zahlen-
beispiel mit Jf =- 1 und n == 5 möge dies noch besser illustrieren
(Fig. 23). Die Zahlen an den Stabenden bedeuten direkt die von den
Stabenden auf die Knoten-

Flg. 23.

punkte übertragenen Dreh-

momente; unterstrichene &p i^^

Zahlen sind negativ zu neh- / *k

men. Die in der Figur nicht Af-f/^^^ *

angegebenen Drehmomente f ^i£^ — 2a£^,o£i

sind bereits so klein, daß sie Niiltei ,ö* \

bei der gewählten Zahl von ^ y V

Dezimalstellen mit Null ganz ^Ä«- o.^^Jksie-

oder nahezu zusammenfallen.

Schätzungsweise können wir der Figur noch entnehmen, wie man in

den Tafeln I bis lY die Drehmomente in nächster Nähe des Randes etwa

abzuändern hat: Man verteile jedes störende Moment gleichmäßig auf die

in dem betreflfenden Knotenpunkte zusammenstoßenden Stabenden und

erteile dann noch die Hälfte des einzelnen Anteiles den anderen Enden

der betreffenden Stäbe.

Aachen, den 11. September 1905.

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444

Spannungen und Formänderungen rotierender Kugelschalen.

Spannungen nnd Formändernngen rotierender Engelsclialen.

Von Alfons Leon in Wien.

Im Anschluß an eine frühere Untersuchung (diese Zeitschrifk,
52. Bd. S. 164) soll nun eine Hohlkugel als Zahlenbeispiel berechnet
werden.

Aus den Oberflächenbedingnngen erhielten wir die Gleichungen

(I)
.(II)

(m)

— +

dH

'dr "•■ 2Ä"(1 + ©)

e

M+j^

0yw*

iKil + e)g

r» =

r = r,

j2fi+rJ^-J-=0

mit deren Hilfe sich die folgenden entwickeln ließen:

n'\ : i + ae ^ aP (3 + 6e)yM.' ._^
'^ '' i 2Ä:"(i + ©) . r» lOÄ'Cl -{■ e)g

(in

7 + 19©

168ä:(1 +

' ^^ (8 + 7e)yM>' . (l + 2e)g ^ r=r,-

<^ixi;,jr 2JS:(l + 0)'^'^ ^4Ä'(l + O)^*^ ^

(54)
(55)

6JJ:(1 + ©)r«
Aus der Doppelgleichung (I') ergeben sich die Werte für C und D:

r = (8 + 6e )(rS-*-f)y"''

5(l + 3 0)(r»-r»)i,'

D =

(8 + 6©)(r;-_^r»r?r,f'
20 Ufa + ©)(r« - ri)g

Eliminiert man aus den Gleichungen (11') und (III') E und F, so
bekommt man:

= 2(7 + 19®)(rl-rJ)^+3(3 + 7®)(rI-rJ)?^- + 84(l + 2®)(;i-r?)£,

= 6(1+ 2@)(r2-»f)4-3(3+2@)(r2-»f)^+ 2(7+9«)

1) In dieser Gleichung wurde im oben erwähnten Aufsatze der Koeffizient
von A verdruckt.

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(7 + 9 e)B I
3r| j '

Von Alfons Lboh. 145

Somit sind die Konstanten Ä und B gegeben durch die Gleichungen:

/Rßx A (3 + 7e )(7 + 9e )(r;- r.T)(r|-rf) + 42(8+2e)(l + 8e)(r»-tf )f;rf Syic'

W"; ^ (7_|.9 0)(7 + i98)(f7_r7)(r«-,f)-126(l + 2©)'(r«-r»)'r'r? ■ 29 '

/Rfi^t B^ 16(3 + 8e)(l + e)( i-^ - r?)( f» -r?)r»<f y^

W"; -o (7 + 9e)(7 + 19e)(rJ-rJ)(r»-r»)-126(l + 2©)'(>«-r>)«r»»t* 9

Hat man Jl und B bestimmt^ so kann man E and F in einfacher
Weise finden; aus (H') und (EI') folgt:

(58) i; = ^^f^— .{g[2(7 + 19®M + 3(3 + 7®)?£| + (l + 2ö)B),

und in diesen beiden Gleichungen sind nur mehr E und F unbekannte
Grrößen. Zur Überprüfung der Rechnung dienen dann die den vor-
stehenden analogen Gleichungen:

(580 E-^^^^- |*[2(7 + 19e)A + 3(S + 7«)!^'] + (l + 2«)B),

Nun lösen wir die Gleichungen (26), (27) und (28) nach G, H
und J auf und erhalten:

(a,r.>. f, ED (5 + 6ö)Jg _£__.__^ I

^"^>' ^ 6r* 12jSr(l-|-Ö)r*^ ö^ 7i:(l + 0) ^ ^ Uä:(1 + Ö)^^'
i"^; ^ 5^4 6 j-(l _|_ (9)^1 + 5 ^ 42 j^(l _^. 0)^ "T- 28 Ji:(l + Ö)^^ '

Daher ist

^^ dr 5r^ 3r' 18Z(1 + 0)r» "*" 6Z-(1 -j- 0) 15 "^

j ^ ^2 ^yj^!__^i

'^lK{l-\-@y SöK(l + 9)g '
^^ dr 6r* "*"6jfir(l + 0)r»"^6 7ir(l -f 0)^ + 14ä:(1 + Ö)^^ '

^^ '^ dr 6r'^"^3Ä:(l + 0)r»"^6 i4Z'(l + Ö)^ "*" 28^(1 -fö)^^ '

Somit lauten die Formeln für die radiale und tangentiale Ver-
Tückung wie folgt:

Zeitachrift f. Mathematik u. Physik. 58. Band. 1906. 2. Heft. 10 ^^ ^

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146 Spannungen und Foimänderungen rotierender Kugelschalen.
rßt>\ A _ ^ D (6 + 6 e)B C _^ ,

^ ^_r» ^-^ r«4-

^ 21 Ä'(l + B) 36JK:(1 + e)g

^LöH 12^(1 + e)r«^ 5 '^ 7ä:(1+0)^^14J8:(1 + 0)^^J^"^ ^'

//^Ä\ ^^ r 2J& JB , JP (7 + 100)^ o , yw» .-] .

(64) ^^ = |_-_---^-^^^^.,+ -r-;^J-^-^^rH28^(, + ^)^^

Man kann nun auch die Art der Kurven angeben, nach denen sich
die Spannungen verteilen. Bezeichnen a, b, c . . . Koeffizienten^ die ab-
häi^g sind von den Dimensionen , den Elastizitätskonstanten , der
Dichte und Winkelgeschwindigkeit der Kugelschale, so gehorchen die
Normalspannungen dem Gesetze

bspannung die Form

^ = (^ + ;:» + '*» + wr*) sin q) cos q>

während die Schubspannung die Form

k

annimmt.

Setzt man in die Gleichung (14) die Werte aus (17) und (19)
ein, so bekommt man:

sodaß man mit Hilfe der Gleichung (11) die kubische Dilatation erhalt:

Schreiben wir allgemein

(66) 0i/ = ^ + PsinV,

wobei Q und P Funktionen von r sind, deren Bedeutung aus der
Gleichung (65) hervorgeht, und setzen wir sowohl diesen Wert, als
auch die in den Gleichungen (21) und (22) stehenden Ausdrücke, in
die vier ersten Gleichungen (1), (2), (3) und (4) ein, so kommt:

(67) 6, 27ir[^f + ö+(4f+P)8inV],

(68) 6, 2ür[^ +Q + (^^+P) sm>],

(69) tf^ = _2ii:[.f + (? + (^7-+P)sm«9],

(70) T g p ~ +^^]8m9C08y.

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Von Alfons Leon. 147

Es liege eine Hohlkugel vor, deren äußerer Radius r^ — 20 (cm)
und deren innerer r^ ^ 10 (cm) sei. Der Elastizitätsmodul E sei
2400000 (kgcm"^) und das mit m bezeichnete Verhältnis zwischen
Längsdilatation und Querkontraktion gleich 3. Diesen Werten ent-
spricht Jr= 900000 (kgcm-*) und ©= 1, weil bekanntlich

^^ 2{m + l) 2(1 + 3<9)

und

m — 2
ist.

Die Werte für die sechs Konstanten Äy B, C, D, E und F sind
in diesem Falle die folgenden:

fC = ^^^•^'(kgcm-) = 17714 ...'';' (kgcm-),

^ = -.5lS% = -^0006679...f.
Daher ist:

' ^ = 681 [- '? + *' r'""" + 00354r - (KX)00333r»] ?^',
^ = 5«! [T - ''T - O-O^e»- + 0-00006Hlr»] '';*,
«^- 6ii[- T - 'T - 00776r + 0000139 r-J'-j',
f " 6^1 [-r^ - ^'-' + 0O354 - 0-OOOlOOr«] "'';',
'S'U- 'T + '-^ - ^0776 + O000214^]f ,
^ = 4-[-"" + 'T - 00776 + 0000417r]^^',

V = 64 889 60Ö OOÖ L r'~ + ^ ^^^ o20 - 3143 r'j ^^ ,

V _ r8 286 500 000_ß^Q,^-ly«,«

Iß'gitizedby Google

p X re 286 500 000 j,,o„,-l:

^ 64 839 600 0ÖoL r' - »OÖ-^r-J ^

148 Spannungen und Formänderungen rotierender Kugelschalen.

Nun entwickeln wir die folgende Tabelle:

Tabelle L^)

r

10

12

14

16

18

20

1

cm

G

000111

000107

000104

000102

00009901

0-000961

1 cm
1 cm
1 cm

■ 9 -

1

J

dG
dr
dB
dr

— 000214

-0-00222

— 000223

— 0-00222

— 000137

— 000218

— 0-00212

— 000198

— 00000120

— 000169

— 000153

— 00000132

— 0-00116

— 0-000871

—00000160

— 00000186

—0-0000177

—0-0000258

— 00000837

— 00000113

000000620

0-0000152

00000288

0-0000408

dJ
dr

0000230

00000985

00000729

00000878

0000122

0000169

_Q
p

jdr

V

00000120
00000887

000111
00000120

00000285
00000370

0-00107
0-0000285

00000279
000000939

000104

0-0000289

0-0000279

00000268

— 00000102

9) = 0<>
0-00102
0-0000289

— 00000263

0000990
00000279

— 0-0000408

-

0000951
00000268

cm

00000279

7 «7*

a

___o

1850
— 221

— 13-6
50-7

— 203

— 26-5

12-8

— 184

- 27-7

— 18-4

kgcm'*

— 126

— 167
<p = 450

— 33-2

— 58-6

1 kgcm'*

— 149

— 132

^r

0-000040

— 0000040

— 0000075

— 0000090

— 0-000100

— 0000109

9

cm
cm

kgcm"-
kgcm--

^t

— 000099

— 0-000846
00000420

-0000765
0-0000326

— 0-000685

— 0000580

— 0000435

V

00000538

00000238

0-0000148

00000054

0/

— 36-6

— 39-6

— 32-2

-20-6

— 104

— 69-6

— 196

58-8

— 490

— 147

61-4

— 32-7

-16-6

009

Cp

— 282

— 110

-74-6

— 39-1

j kgcm""

X

L. ^ __

46-8
^ = 90« ~

261

kgcm--

^r

V

— 000103
00000957

— 000116
00000605

— 59-8

— 190

— 000119

— 000120

-0-00119

— 0-00117

.y«^ kgcm--
^ ikgcm--

0-0000373

— 52-7

— 111

0-0000187

0-0000016

— 00000150

^r

— 36-7

— 22-9

^t

-343

— Ö2-8

013

53-8

öp

1 —343

— 190

— 111

— 62-8

0-18

53-8

kgcm-5]

dG

Es ist merkwürdig, daß -j- zunächst sinkt^ dann steigt, um wieder
zu fallen. Alle "Werte in der Tabelle sind noch mit ^- — zu multi-

1) Znr Auswertung der Zahlen wurde ein Rechenschieber benutzt.

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Von AifONS Leon.

149

pikieren. Nehmen wir an, die Kugel mache in der Sekunde 20 Um-
drehungen, so ist to = 20 • 23t = 125*7 (cm~^); ist femer y = 0*0078

Flg. 1. (m = S.)

(kgcm-») und i>-980(cmBec-*), so ist ?'-- = 0-1229 (kgcm-*). Somit
ist für 9 = 0° und r — r^,

^r= 0000136 (cm) bezw. 0000117 (cm),
v= 000000147 „ 0-00000317,

ff, = 16-6 (kgcm-*) „ — 6-59 (kgcm-*),
ff, 27-2 (kgcm- ») „ - 162 (kgcm" *) .

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150

Spannungen nnd Fonnänderongen rotierender Kugelschalen.

Für 9> = 90® bekommt man hingegen:
^r = - 0-000127 (cm) bezw.
00000118

V =

6,^6^=^ — 41-2 (kgcm-«)

0-000144 (cm),
0-00000184,
6-61 (kgcm-«),

Die in Tabelle I enthaltenen Werte sind in Fig. 1 zeichneriscli
dargestellt. Zu jedem r kann man die dazu gehörigen Spannungen
und Yerrückungen abgreifen. Außerdem ist die Lage der Oberfläclie
der Hohlkugel nach der Formänderung gezeichnet Die kubiscJie Aus-
dehnung erreicht bei diesem Beispiele an den Polen der inneren Be-
grenzungsfläche den größten Wert, Die reduzierte Spannung ist am
inneren Äquaior am größten. Es ist daher zu erwarten, daß bei genügend
großer Tourenzahl an diesen Stellen Neigung zum Bruch auftritt.

Für i;== 2400000 (kgcm-«) und w - 4, also fttr Jf- 960000
(kgcm~^ imd ®==^\ nehmen die Eonstanten die folgenden Werte an:

-^»;* . '':'(kgcm-«) = 194-8571?^:' (kgcm-*),

G

D = J^ . y •"' (cm») - 0065476 5""- (cm«) ,

■r, 45.16.12 700 000 7«»-, ^ 0/.0 coj y^'/i \

■» 95 219 -■ g (^g*"") = 362 584 ?-- (kgcm) .

A =

E'^

F~

25 219
_ 61 797
~~ 2 . 25 219
810 000
26 219

_ 452 756 r ,r« _ _ 0.00062337 r-^-

3.9600.25 219 g ^^"v^vw «« ^

■ ^ (kgcm-*) = - 1-02694 ?^'- (kgcm"*) ,
'' "'^ (cm») = 12-2923 ?^ ' - (cm») ,

IL
Es sollen nun auch die Formeln entwickelt werden, wenn die
Werte für r^ und r^ sich wenig voneinander unterscheiden. Für eine
dünne elastische Schale ist r = r^'^r^ = R zu setzen. Man erhält:

(71)

C =

D =

A

(3j- be)R*-f%v*

3(1 +8©)^ '
8 + 5e)JB'y»r'
30iC(l + S)g~ '
3(9 + 19©)yir»
10(1 + 3»)^ '

^ - 5(1 + 3©)<7 '

„ _ (1 + 2e)(ß_+ 8ö)iJ'y«''

^ ~ ' iiK{i:'+ e)li + ie)g '

^ (7 + 99){3 + Se)B'yrc^

^ - 6A'(1+ e){l+i9yg

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Von Alfons Leon.

151

Aus den Gleichungen (26), (27) und (28) ergeben sich die Werte
für (?, H und J.

{12)

G

H

J «-

(1 + 2Ö)Ä»ytt7«

2JS:(1 + 3©)^ '
(2 + be)R^yw^
2jSr(l + 3 0)^ '

Aus den Gleichungen (17), (18) und (19) folgt:

<73) - N '■

L «
Die Gleichungsgruppe (25) gibt die folgenden Ausdrücke:

(8 + 6<9)E»yio«

2{1 + Se)g >

(3+ 7 6»)je»ytg*
K(l + S0)g '

{3 + be)R^yw^
2{l + se)g

(74)

dH

dr ''
dj
{dr "

2K{1 + S9)g'

'2K{1 + Se)g'
(8 + ie)R*yw*

2K{1 + S9)g

Aus (14) und (15) erhält man: '
(8 + 6 9)R^yic*

v =

ß

2{1 + B0)g
(3 + 19)R*yw*

(l-sinVj,

i^(r+3-0)r''''^^^'^'

<75) V

Somit ist

Ä*ytr«

2K{l + -6e)g

Die kubische Dilatation ist somit proportional dem Quadrate des
Kosinus der geographischen Breite. Für q>^0 erreicht sie den größten

Wert gleich - ^ .^ ^ ^> « An den Polen ist sie Null; da außerdem

an diesen Stellen 6^ =» ö^ ist, so sind diese Punkte spannungslos.
Wir erhalten femer:

(76)
<77)

yMJ»Ä»

^^ - 2^(1 + 86^)^[(^ + ^®) ~ (^ + ^®) '^^'^1'

Jt ^ — Vg^ ^^'^ 9> COS 9 .

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152

Spannnngen und Fonnänderongen rotierender KngelBchalen.

Fi«. 2

War der ursprüngliche Abstand eines Ponktes der Membran Yon
der Drehungsachse gleich p, so ist er jetzt q + ^g, (siehe Fig. 2), wobei

(78) ^Q == ^r cos fp-- ^tsinq)

Somit ist die Verrückung in der zur
Drehungsachse normalen Bichtung pro-
portional der dritten Potenz der ur-
sprünglichen Entfernung und verkehrt
proportional dem Elastizitätsmodul E;
von der sogenafinten Poissonschen Kon-
stanten m ist diese Crröße nicht abhängig.
Aus (21), (22) und (74) folgt:

d{dr) BB^yto^ ,- ...

dr

d(Jr)

<Jq>

(2 + 6e)Ä»yw« .

- ^(1 + 3^)^ sinycosy,

didJl ^ (3 + 19)R*yw*

dr

d(^t)
d(p

iK{l + se)g

sin (p cos 9> ,

Somit erhalten wir auch die- Formehi fär die Spannimgen:

(79)

Or

= 0,

<l.

= 0,

<'P

= -

B'yw*
9

(1 - sin« 9) = - ^-^ cos« 9 = - ^-'- 9« (Fig. 2) ,

Die Verrückungen und Spannungen sind proportional der Dichte
und dem Quadrate der Winkelgeschwindigkeit; erstere wachsen mit
dem Kubus, letztere mit dem Quadrate des Radius der Membran. Die

radiale Verrückung ist Null, wenn sin 9 =- ± r 24-^ 5 © ^^*' ^^ ^ == 1
ist sing? = ± ]/| und y === ± 40® 54'. Für = | ist sin9? = ± f und
9 — ± 41® 49'. An den Polen ist ^r = — ^^- R^ und am Äquator

erhat man ^^ - YE{i^-f\-9^^ ^^^ Differenz zwischen

der Lange der Drehungsachse und der eines Äquatordurchmessers ist
während der Drehung gleich f^±^^^ii» = '^^A^^R'- Die

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Von Alfons Leon. 155

Verschiebung gegen die Pole erreicht für q> = 45^ den größten Wert
gleich — £g^ ü' und ist gerade halb so groß, wie die radiale Bewegung

der Pole.

In der Richtung des Meridians treten überhaupt keine elastischen
Kräfte auf^); somit sind die Pole spannungslos, wie wir an anderer
Stelle schon ersehen konnten. Die Pa/raUdkreisspannung ist proportional
dem QtMdrate des Kosinus der geographischen Breite. Der Äquator ist
somit am stärksten beansprucht. Die Spannungen sind uvwihhängig von
den Elastijntätskonstanten.

Nun ist die Form der Membran nach der Formänderung zu unter-
suchen. Der Punkt M kommt nach M^, Aus der Fig. 2 ergeben sich
die Gleichungen:

g == (J? + Jr) cos (p — Jtsin <p,

fj ^ (R -{- Jr) sin (p -\- JtcoBip .
Somit ist

(1 + 2©)JB«ytc«C08*9)-]

fc Txj I (1 + 2©)JB' ytc= cos* qp-1

Dies ist die parametrische Darstellung der gesuchten Fläche, fp ist
der Parameter, dessen Elimination keine grundsätzlichen Schwierigkeiten
verursachen würde. Schon jetzt ist aber klar, daß die Membran während
der Drehung kein Rotationsellipsoid sein kann. Auf ähnliche Weise
ließe sich auch die Oberfläche einer Vollkugel darstellen; die durch
die Formeln (53) gegebenen Verrückungen sind ja ähnlich den durch
die Gleichungen (76) und (77) dargestellten.

1) Denkt man sich einen Schnitt durch die Eugelschale normal znr Achse,
so kann man die meiidionale (tangentiale) Spannung zerlegt denken in eine in
der Richtung der Achse wirkende, und eine, die normal darauf gerichtet ist. Da
aber jeder Teil eines Körpers wieder als ein Körper zu betrachten ist, auf welchen
sich die aUgemeinen Sätze des Gleichgewichts anwenden lassen, so muß, da keine
äußeren und keine Massenkräfte in axialer Richtung wirksam sind, die Summe
aller axialen Komponenten über den ganzen Querschnitt genommen, Null sein,
also auch die Spannung selbst. Bei der Behandlung des elastischen Gleich-
gewichtes einer dünnen Kugelschale, in welcher die Temperatur in besonderer
Weise von zwei Variablen abhängig ist, hat J. Stefan die tangentiale Spannung'
als konstant längs des ganzen Meridians bezeichnet. Diese Konstante muß aber
nach dem soeben Gesagten den Wert Null haben. (Sitzungsber. d. Kais. Akad. in
Wien, 1882. S. 666.)

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IM

rfpaB£T2x^«Ki aiid ¥€^TmjkaöesMz.gtm zrMtnmägi Kug^baAMjem^

R»JL

Sokcge die F<^nDändeni]^cn going sbid. ist die F<Hna des ur-
sprün^ch nm einer Kugeläi^he begre mt en Köipeis Tim eiBem EDip-
£oid wenig Tersehieden. Mit zunehmender Drehnngsg e e cli windi^eit
nimmt er aber die Form der Fig: 3 an. Man
darf aUerdii^ niefat Teigenen, daS den Gnmd-
formeln der HaslizitilBtheorie die Vontdhni^ ni-
gnmde liegt, daB die GestaboüidenD^cn kkiii
sein sollen im Yei^ich m 6en Abmeasm^en des
Körpers.
L Zat^letAeispid. — Es sei B=^20cmK E ^24^0000 (kgcvr\
,» = 3, JS:= 900000 (kgcm-^) nnd ö = 1.
Somit wird

^r^^J^ — lsiir^]

7«"

900

(cmi

9
Jt ^ — ^^ siny cosy '-^ (cmi,

.7^'

7 IT*

tf^ 400 (1 - sin» y) ' (kgcm" *) .

Ffir Tenchiedene Werte von tf erhalten wir die folgende Tabelle:

Tabelle H

<f 0»

30»

45*

60»

90^

Dimension

^r '0-003333

Jt 1
V I0-00005556"
6p \ —400

0001389
-0-001924
000004167 '
— 300

—0-0005555
— 0-002222

— 0002500 i-
— 0-001924

-0-004444

cm

yic*. cm
' 9 \ —

1 l^cm-^

0-000027781
— 200

0-000013891

— 100

Irt 7"^* = 0-1229 (kgcm-*), so erhalt man ffir 9 = 0», 45» und 90»:

z/r -0-0004096 (cm) bezw. - 000006827 (cm) und -0^)005461 (cm),
Jt^- 0(cm) „ - 0-0002731 (cm) „ 0(cm),

V- 0-000006827 „ 0000003414 „ 0,

6, 49-16 (kgcm-*) „ -24-58 (kgcm"») „ 0(kgcm-')

2. Zaldenbeispid. — Es sei i? - 20 (cm), E = 2400000 (kgcm-*),
fft =■ 4, ÜL- 960000 (kgcm-») und B = \. Dann ist

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Von Alfons Leon.

155

1

1200 '

^^ ^ 1200 [4-9 sin^ y] ?y- (cm) ,
ytr*

Jt =

V =

2^^ sin 9? cos 9>^ (cm),

12 000

(l-sm>J^^ ,
, y «'*

(J, = - 400(1 - sin^ (py- (kgcm-2) .

— sind für versc
9
Tabelle zusammengestellt.

Die Faktoren von -— sind für verschiedene 9? in der folgenden

Tabelle lU.

tp 1 0«

30®

4Ö»

eo'^

90®

Dimension

^r| 0003333

0001468

— 00004167

— 0-002292

— 0-004167

9

cm

Jt 1

— 0001804

— 0002088

— 0001804

cm

V 1 0-00008333

0-00006249

000004167

000002083

—

öp

-400

— 300

— 200

— 100

kgcm"'

Flg. 4.

Nimmt man, wie in den früheren Fällen, ^^ gleich 01229 (kgcm~*)
an, so erhält man für 9? =- 0®, 45® und 90® die folgenden Werte:

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156 Spannungen und Formänderungen rotierender Eugelschalen.

z/r = 00004096 (cm) bezw. -000005121 (cm) und -00005121 (cm),
Jt^ 0(cm) „ -00002560 (cm) „ (cm),

v== 0-00001024 „ 0000005121 „ 0.

Die Fig. 4 gibt die hier gefandenen Resultate graphisch wieder.
Die beiden stark ausgezogenen Linien geben die Lage der Membran
vor und während der Drehung an. Die für = 1 gültigen Linien
sind Yoll, die für & =^ \ gültigen hingegen gestrichelt ausgezogen.
Trl^ man von aus den Winkel 9 auf, so kann man die zu diesem
Winkel gehörigen Spannungen und Formänderungen abgreifen. Die
negativen Größen sind zwischen dem Mittelpunkte und dem Kreis-
bogen aufgetragen, die positiven auf der entgegengesetzten Seite.

III.

Es liege eine Vollkugel vor, deren Radius iJ = 20 (cm) sei. Der
Elastizitätsmodul sei mit 2400000 (kgcm"^) und m mit 3 angenommen.
Es ist also, wie im ersten Zahlenbeispiele Ä" -= 900 000 (kgcm" *) und
@ == 1. Durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichungen (43) bis (49)
bekommt man:

^^ = 23400-000^1080 - 1-lr* + 2(r» - 1100) ^m^vV-f (cm),
^^ = 46WÖÖ0 (- ^^ + 7»-«)r sin 9 cos 9 ^-^- (cm) ,
- = 3-6öL-öö[l60-i(4 + 8in»r»]7',
tf^ = _ JL (10-6 - 11 Bin» 9)(400 - r«) '' "'- (kgcm" *) ,
ff, = - 2^6 [0-8 (r« - 200) + 1 1 (400 - r») sin» 9] ^-f (kgcm" ») ,
ff^ > (2120 - 3- 1 r» - 2 r« sin« 9) ^- '"' (kgcm" ») ,

11

^-26

(400 — r*) sin 9? cos 9 ^ - (kgcm" -) .

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Von Alfons Lboh. 157

Für yerschiedene r erhält man die folgende Zusammenstellung:

Tabelle IV.

r 1

4

8

12

16

20

1 cm 1

9=-0<»

1

Jr,

00001816

0-0003452

0-0004726

0-0005459

00006470

%

cm

kgcm~3
kgcm~2
kgcm""-

r 000004444

000004308

000003898
-136-98
4-19
— 147-8

000008214

000002256

000001026

tf^ —163-07
ö, 615
6p . —1631

— 156-65

5-66

— 159-3

— 104-37

1-72

— 128-7
9 = 45<>

— 58-71

— 1-72

— 615 ,

— 67-7 1

— 1020

Jr,

— 0-00000369

— 0-00000908

— 0-0000176

— 00000812

— 0-0000513

cm
cm

At .

— 0000183

— 0000388
0-00003829

— 65-91

— 66-89

— 0-000435
000008059
— 50-22

— 0000446

— 0000342

V 000004444
6^ — 78-46
6, \ — 78-46
6p 1 —1631
r . 84-62

000004291
— 75-40

0-00001984

0-000005983

•W«7*

— 28-28

— 615

— 615

~-|kgcm-2
kgcm-2
! kgcm~ ^

— 75-67

— 156-8

— 6012

— 32-18

— 1380

— 106-6

-62-65

81-23

71-08

54-08

30-46

kgcm"*-

9 = 90^

1

Jri

— 00001890

— 0-0003632

— 0-000508

— 00006079

—00006496

* 9

cm

kgcm- ^
kgcm"-
kgcm--

f 1000004444

000004274

0-00008761

0-00002906

0-00001704

0-000001794

<y^ 616

5-91

5-16
— 138

3-94

221

tf, 1 —1631
6p —1631

— 156-8

— 106-6

-62-5

— 616

— 156-8

— 1380

— 106-6

— 626

— 6-16

Ist ^ = Ol 229 (kgcm~*), so bekommt man für 9>=«0 und r = 0,
beziehungsweise r = J? = 20 (cm):

Jr =- (cm), bezw.

1/ = 000000546,

tf, = -20K)(kgcm-«), „

ff, =0-76 (kgcm-»),

ff, = -200 (kgcm-«), „

Für 9 - 90» und r - iJ ist

Ar 00000798 (cm).

»= 00000022,
ff, »= ff, = — 0-76 (kgcm- ») .

00000672 (cm),

0-00000126,

0(kgcm-«),

-0-76 (kgcm-*),

— 8-32 (kgcm-*).

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158

Spannungen and Foimäiidenuigen rotierender KogeUchalen.

X..

Ist faing^en £^ => 2 400 000 (kgcm~ ^ und m = 4, so kann man
die folgende Tabelle entwickeln:

Tabelle V.

r
Jr

V

- ^.-1

4

0000250
0-0000594
— 1490

' 8 1

12

16 1

20

cm

0000480 1

<p = 0»
0000674 !

0000810 1
00000341 1
— 55-6

0000870

cm

1 1
1 00000611 1
1— 154-3 1

00000543 1

000005051
— 98-8 1

00000190

kgcm"*
kgcm;2
,kgcm-s

-129-6 1

Jr
Jt

V

t
Jr

V

V

L 15-85 1

t -i54;_8 1

1 1 i, J

0-0000611 i

1413
— 1520

0^000219
— 0000172

10-44 1
— 141-8 1

00000400 1
— 0-000317 1

4-30 1

— 4-30 !

— 104-2 1

0-0000545 1

-0-000416 1-

0-0000301 1

-25-02 1

— 34-84 1

— 84-8 1

— 15-35
— 760

00000328
-0000316
0-0000127

— 126-1 1
9 = 45«
0-0000504 1
-0000407 i

9

cm
cm

0-0000590

0-0000530 1

00000436 j

kgcm'-
kgcm"-

1 — 6p-49 1

— 69-49 1

— 154-8 1

84-85 1

1 !

0-0000611,
15-35 1

— 154-3 1

— 154-3

— 66-67

— 67 33

— 149 9

81-45

— 0-000152

— 58-38

— 60-83 1

— 1370 1

71-27' 1

— 0000293 1

— 44-48 .

— 5000 1

— 115-2 1

54-30 j
<p = 90^
— 0000411 I-

— 15-35

— 45-7

30-54 1
-0-000496 1-

-0000527

9

cm

0.0000589
14-74

0-0000503 1
11-90 1

0-0000414 i
9-83 1

00000261 j
5-53 i
-65-4 1
— 65-4

000000639

1 kgcm"'
:kgcm--
1 kgcm""

— 148-8

— 148-8

— 132 1 1

— 1321

-104-3 1
— 104-8

— 15-35

— 15-35 ,

Die Fig. 5 und 6 geben die Tabellen IV und V zeichnerisch wieder.
Man kann mit Hilfe der Kurven für Jr und Jt die Oberfläche des
Körpers während der Drehung, sowie die Lage ursprünglich kon-
zentrischer Kugelschalen konstruieren. Vergleicht man die beiden Ab-
bildungen untereinander, so kann man sich ein Urteil über den Einfluß
der Größe m verschaffen.

Der Mittelpunkt der Kugd wird am stärksten heatisprucht'^ dort ist
eine reduzierte Spannung und auch die kubische Ausdehnung am größten.

Alle Punkte mit gleicher kubischer Ausdehnung liegen auf Scharen
homothetischer, an den Polen abgeplatteter Rotationsellipsoide, deren

Meridianellipsen die Gleichung C

y'

haben (in

3 -J- 7© ^ 2(1 + 3 0)

rechtwinkligen Koordinaten), wobei r* == ar* + y^ und C eine Konstante

_ / Ol fT O

ist. Das Achsenverhältnis ist 1/ ^^^r-T§\ y ^^^i* ^^ ö = 1

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Yon Alfons Leoh.

159

]/l-25 « 11180, und für ® = I VlSÖ - M402. Die Flächen

mit konstanter Parallelkreisspannung 6^ sind ebenfalls konzentrische

Kotationsellipsoide. Die Gleichung C(x^ + y^) = [JR* — {x^ + y^)]xif
kennzeichnet die Art der Meridiankurve des Drehungskörpers, dessen
Punkte gleiche Schubspannungen besitzen.

IV.

„II faut penser ä cote.'^ (Sourian.)

Wir wollen die hier erhaltenen Formeln yei^leichen mit denjenigen^
welche für den Zylinder gültig sind. Der Untersuchung liege ein

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160

Spannungen und Fonnänderungen rotierender Eugelschalen.

halbpolares Koordinatensystem zagrunde (Fig. 7). Die Yerrückungen
«ines Punktes M in radialer und axialer Richtung seien mit z/r und /ix

Mg. 6. (m = 4.)

bezeichnet^ entsprechend seinen Koordinaten r und x.
lauten dann die Formeln für die Spannungen wie folgt:

Bekanntlich

(«.

<80)

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Von Alvonb Lxoh.

161

wobei V die kabische Dilatation ist, welche, ausgedrückt durch die
Yerrückungen, gegeben ist durch den Aus-
druck

diJr) Jr d{Jx)
^ "" dr ■ "^ r "^ dx '

Es ist 6^ die radiale, 6^ die axiale, 6^ die
normal zu diesen Richtungen wirkende Span-
nung.

Die Gleichgewichtsbedingungen lauten:

(81)

rOr r ^ dx g '

^1

rSr

?+-.V:^ = 0.

Für einen unendlich langen Hohlzylinder

ist - K — - =» CJj und r = zu setzen. Die Spannungen und relativen

Längenänderungen sind nur Ton r abhängig, sodafi die folgenden Be-
ziehungen gelten:

<., = -2ir[(n.©)^g^ + 6^f: + ©Co],
, = -2z[®^ + (i + ©)4r-höcJ,

(82)

rdr

9

Setzt man diese Werte für 6^ und 6^ in die Gleichung (82) ein,
so bekommt man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren
Integration den folgenden Ausdruck liefert:

Jr

yw*

c\

i6js:(i + e)g^ -t- w^-t- ,,

Cj und C^ sind die Integrationskonstanten. Somit ist

Jr

r

y^ ^A^r . ?«

16^(1

V^''+''.+

dr 1QK{1 + e)g^ ^ ^^ r«

Z«iUchrift f. Mftthemfttik n. Physik. 53. Bftnd. 1906. S.Heft.

11

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162 Spannungen und Formänderungen rotierender Eugelschalen.

Die Formeln för die Spannungen lauten nun:

4eyM7*

3, = -2K[-

1%K(\ +

^^r» + 2©(7, + (l + ®)C„].

Aus den Bedingungen, dafi einerseits die radiale Spannung an der
inneren und äußeren Mantelfläche den Wert Null annehmen, andrerseits
ein Querschnitt des Hohlzylinders im Gleichgewichte sich befinden muß,

somit j2nr0^dr = O ist, erhalt man die Konstanten C^, C^ und C,. Es ist

p _ (8 + 9)(l + 26>)(r« + r?) yt6^«

r _ (3 j^40)rjrjytr*

'"2 i6jc(i + e)p^^

9r ^ r - (^ Hh^^)W + ^')r«L'

Diese Werte sind nun in die obenstehenden Gleichungen für die
radiale Yerrückung und für die Spannungen einzusetzen:

(Jr=^

yw*

,[-^+

r

(84)

tf.

1SK{1 + «)pL ^ 1 + 8«

].

(8 + 4©)y«?'r

■[-r« + (rj + ,f)-^«^r'-],

8(1 + e)g

(8 + 4©)/,c'

V««

Die Spannungen sind somit unabhängig vom Schubmodul. Für
r, = 20 (cm), r, = 10 (cm), Z = 900 000 (kgcm- ») und ® = 1 erhält man:

TabeUe VI.

r

10

20

cm

0001458

0001260
000001389
— 137-6
37-6

ytc^
9

cm

kgcm «
kgcm"*

000006666

— 362-5

— 37-6

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Von Alfüns Lbon. 163

Vergleichen wir diese Werte mit den für 9? =- 0, also für die
Äqnatorebene einer Hohlkugel gültigen (Tabelle I), so bemerken wir^
daß für den Hohlzylinder die Yerrückungen größer sind^ was auch zu
erwarten war. Hier wie dort ist die Verrückung für r = r^ größer als
für r =- r^. Die Ursache dieser Erscheinung ist klar; die Spannungen 6^
bewirken beträchtliche Querkontraktionen. Es ist 6^ am Außenmantel
sehr wenig verschieden von der bei der Hohlkugel erhaltenen Größe;
6^ hingegen, welchem bei der Eugelschale dem Werte ti^ entspricht,
zeigt in beiden Fällen ein entgegengesetztes Verhalten.

Die größte Beanspruchung eines langen rotierenden Hohlzylinders
findet längs der Erzeugenden des Innenmantels statt.

Etwas einfacher ist die Ableitung für eine dünne rotierende Scheibe,
da in diesem Falle <^^»t»0 zu setzen ist, sodaß man schreiben kann:

dx " 1 + eL dr' "^ r J*
Es wird hiermit

Setzt man diese Werte in die Gleichgewichtsbedingung ein, so
erhält man durch zweimalige Integration die radiale Verrückung

C'i and Cj sind die Int^rationskonstauten. Somit gehen die
Gleichungen f&r die Spannungen in die folgenden über:

«»r - - r-T» \r le-s-d + 2 »), - - »^ + (1 + -^ *») t'i - (1 + ®) TiJ »

«i. = - 1 + «L i6jr(i + 2e)ir '^ + <>^ + ^**^^' + Ci + ») ^.J-

Soll die radiale Spannung 9^ am inneren und äußeren Um&nge
Terschwinden, so müssen die Konstanten die folgenden Werte annehmen:

*^'- ~ 1 + ©

(83a)

11»

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164 Spannangen und Fomdliideniiigen rotierender Eugelschalen.

Somit erhalten wir:

(Jr

(84a)

(1 + e) (3 + 7e)yti:«

i6ir(i + 2e)flf

ytr*

[-

3 + 70 ^ 1 + 3Ö ^ (1 +

8jr(i + 20)^1 ^^ + 1 + 30^^« + *"•■)]'

^^" 8(1 + 20)^1 ^ +ya + ^i) r^ \j

^^ = -

(3_+J7e)ytt:*
8(1 + 2 0)^

[-U-vl'' + « + t)+-J^]-

Die Spannuugen sind wieder unabhängig vom Schabmodul K, In
diesen Formeln^ sowie in den Gleichungen (84) ist die Form Ton 6^
eine eigentümliche^ Ton 6^ yerschiedene. Für r ^r^ und r ^^r^ be-
kommen wir sowohl aus der Formel (84 a), als auch aus der Formel (84)
denselben Wert für z/r, nämlich

^^a = 8^inr3^Kl + ^M + (3 + 7^)^ bezw.
[(l + (9)r? + (3 + 7ö)r2].

Man kann also sagen: Die beiden Mantelflächen rotierender Höhlzylinder,
die denselben Querschnitt haben, kommen während der Drelmng in die-
selben Lagen, mag der Körper sehr kurz oder sehr lang sein.

Wir wollen auch für diesen Fall die Spannungen und Verrückungen
für r ^r^ und ^ = r^ rechnen, wobei wieder r^ = 20 (cm), r^ «= 10 (cm),
ir= 900000 (kgcm~*) und ®=1 gesetzt werden solL Man erhalt:

Tabelle VH

r

10

20

cm

Jr

0-001458

0001260
000002083

' 9

cm

V

000004861

—

^P

— 350

— 160

kgcm-«

Wenn r,- und r^ wenig Toneinander verschieden sind, so gehen die
Formeln (84) und (84a) in die folgenden über:

(84,)

(jdr

V =
6^ =»

(1 + 2e ) y«?*r»

2.fi:(i + 3ö)öf

TKii + JWg'
0,

ytt7*r*
~Eg~'

^ 9 '

<y.= o.

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Von Alfons Leon.

165

Diese Formeln stimmen überein mit den mit (78) und (79) be-
zeichneten. Somit kann man sagen: Jedes Element einer Jcugdfömiigen
Membran ist gerade so heanspruchty wie ein Element einer eylindrischen^
die mit derseüben WinTcdgeschrnndigkeit sich dreht und deren Halbmesser
so groß isty wie der des du/rch diesen Punkt gelegten PardUetkreises.
Jeder ParaMdkreis deformiert sich gerade so, wie der Qu>€rschnitt einer
zylindrischen Membran vom gleichen Bctdius, Diese Sätze folgen übrigens
schon aus der Tatsache ^ daß in der Richtung eines Meridians einer
dünnen Eugelschale keine Spannung auftritt.

Man kann die Formel für die Spannung 0^ aus der Gleichgewichts-
bedingung

dr P g

sofort erhalten y wenn man <y^ = setzt.

Wenn r,. = ist, so nehmen die Formeln (84) und (84 a) die
folgenden Gestalten an:

(84,)

Jr

yw*

16^(1 + e)g

r_ ^ , (1 + 8e)(8 + «)r; -]

L "^ 1 + 3» J*^'

V =

tf.

tf- =■ —

8ir(l + 0)g
(3 + 4«)7ic*

+
i-^ + rl),

8(1 + S)g

8(i'irV^[- (1 + ^^y' + (3 + A@y^,

« 4(1 +«)p^ ^^J-

(84%)

^r = ^^;,:^-7--.-[-r«+ ^V^]»-'

ji +_e)rfo'

16;ff(l + 2e)sf|

'"' [-«'^+!j-:ii].

<y, = —

rf = —

%K{1 + ^B)g
(3 + ie)yw^

8(1 + 2Ö)<^

(-^' + 0.

sirf^^.t- (1 + '^^y + (3 + 7®)-2]-

Für r^ = 20 (cm), iT- 900000 (kgcm"*) und © = 1, erhalten wir
die folgenden Tabellen.

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166

Spannnngen und Formändernngen rotierender EugelRchalen.
TabeUe Vm.

r

10

20

cm

Jr 1

00003820 1 0-0005666

9

cm

V 000006566

0-00004167 1

—

6^ 1 -176

— 131-25 1

— 143-75 1 —60

kgcm"*

^P

— 175

kgcm~2

^a

— 60 1 — 26 60

kgcm~*

Die axialen Spannungen sind nicht unbeträchtlicli.

TabeUe IX.

r

1 10 j 20

cm

Jr \ 1 00004167 0-0006655

9

cm

kgcm~*
kgcm-2

V 1 0-00004680 0-00003704 | 000000926
ö^ 1 -166-7 1—125 1
<fp 1 —166-7 , —141-7 —66-7

Der Unterschied zwischen den Spannungen 6^ und 6^ in einem
sehr kurzen und einem unendlich langen sich gleichmäßig drehenden
Zylinder ist nicht bedeutend. Vergleicht man die hier erhaltenen
Werte mit den in Tabelle IV stehenden, so ergibt sich die folgende
interessante Zusammenstellung:

Tabelle X.

Kugel
Äquator-
ebene

Unendlich

langer

Zylinder

1
Scheibe

1

Jr

0-0006470

00006656

0000Ö655

für r =

V
V

0-00004444

000001026

— 16307

0-00005656

— 17500

000004630

0-00000926

- - -' yw^
— 166-67 1 • ^ —

för r = r^

für r =

Of bezw. ö„

— 67-7

615

— 615

— 60

— 50

— 66-7 1 ^

fSr r =

' \

6f bezw. 0^

50

1

für r-r^

Der Zeichenwechsel in den beiden letzten Reihen ist beachtenswert ^)

1) Es gibt ein oblonges Drehungsellipsoid, dessen Achsen sich verhalten wie
(für 0=1 wie 1 : 1118) bei welchem die Normal-

■V?.

»(1 + 3»)

+ »)(8 + 7e)

Spannung a^ parallel zur Drehungsachse für aUe Punkte gleich Null ist. (Sur
Täquilibre d'^lasticit^ d*un corps toumant. Note de M. L. Lecornu, C. R. 183,

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Von Alfoms Leoh. 167

Die Aufgabe, die Spannungen und Formänderungen einer rotieren-
den Hohlkugel zu finden, ist ein Sonderfall des viel allgemeineren
Problems der Beanspruchung einer Hohlkugel durch beliebige Massen-
und Oberflächenkräfte, welches durch Entwicklung in unendliche Reihen
nach trigonometrischen oder Kugelfimktionen gelöst werden kann.
Schon Lame bestimmte die Lösung für beliebige Kräfte, die auf die
Oberfläche wirken, und änderte sie sodann dahin ab, daß sie auch be-
nützt werden kann, wenn gewisse Massenkräfte wirksam sind. (Sur
requilibre d'^sticite des enyeloppes spheriques, LiouTÜIes Journal XIX,
1854, S. 69fiF.) Auf einem von dem Lameschen yerschiedenen Wege,
ohne 'Benutzung von Polarkoordinaten, hat Thomson die Lösungen
angegeben. (W. Thomson und P. G. Tait, Handbuch der theore-
tischen Physik, deutsch Ton Helmholtz und Wertheim.) Beide
verwendeten Kugelfunktionen^ ersterer doppelt unendliche, letzterer ein-
fach unendliche Reihen. Für das allgemeine Wärmespannungsproblem
einer vollen Kugel hat Borchardt die Lösung in endlicher Form ge-
geben. (Abh. d. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1873, Unter-
suchungen über die Elastizität fester isotroper Körper unter Berück-
sichtigung der Wärme, S. 9fif.) Eine neue Lösung der allgemeinen
Aufgabe durch bestimmte Litegrale hat V. Cerrutti gegeben. (Sulla
deformazione di una sfera omogenea isotropa per date forze applicate
sulla superficie. II nuovo Cimento, 1892, JH. 32. S. 231 ff.)

Li unserem Sonderfalle wurden die Funktionen, durch welche die
Formänderungen dargestellt sind, zum Teil angenommen. Erst die
Möglichkeit die Konstanten zu bestimmen, ergab die Zulässigkeit der
Annahmen. Somit ist diese Aufgabe zum Teile eine umgekehrte, denn
gewöhnlich sind die Kräfte gegeben und daraus direkt die Spannungen
und Formänderungen zu bestimmen.

Wien, den 1. Oktober 1905.

1896, S. 96 — 99.) Dieser Körper scheidet die Drehongsellipsoide, welche man sich
zwischen Kugel und unendlich langem Zylinder vorstellen kann, in zwei Teile.
Bei den stärker oblongen erscheinen die axialen Spannungen der Äquatorebene
in der Nähe des Kugelmittelpunktes negativ und in der Nähe der Oberfläche
positiv; bei minder oblongen ist es umgekehrt, und für das erwähnte Ellipsoid
«ind sie üherall Null.

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168 tjber die Berechnung der Summen diskontierter Zahlen usw.

Über die Beredmung der Snmmen diskontierter Zahlen
für eine nach dem Hakehamschen Gesetz fortschreitende

Sterbetafel.

Von M. Lerch in Freiburg (Schweiz).

Bedeutet l^ die Anzahl der Lebenden zum Alter x einer Sterbe-
tafel^ oder vielmehr eine jener Zahl proportionale Größe, so lafit sich
zufolge eines Satzes von Makeham l^ in der Gestalt

(1) l^^s'^ ^s'e-r^

darstellen, wobei die Eonstanten s^ g, c den Bedingungen genügen

0<5f<l, 0<s<l, c>l; y = -log^>0.
Namentlich gibt es eine Sterbetafel mit den Werten^)

'-imr^' i7=^ 0,999052, c= 1,09648.

Die Schreibweise log bedeutet immer die natürlichen Logarithmen,
dagegen werden die Dezimallogarithmen durch Log angedeutet. Li den
Formeln der Yersicherungstheorie kommen die sogenannten diskontierten
Zahlen der Lebenden, d. h. die Zahlen

** = 7 '-s~r^ , (p = Prozentsatz) ,

(^+ifö)
und ihre Summen vor.

Bedient man sicli der Bezeichnung

(2) Q * (sodaß also < p < 1) ,

^ + 100

80 sind die uns interessierenden Größen nach (1)

(3) d.= (»V, 'S<. = *a + *a + l + "-=2'«''-^"i/^^",

wobei noch ausdrücklich bemerkt werden mag, daß die Versicherungs-
technik nicht mit den Summen S^ selbst, sondern mit Differenzen

1) Entnommen dem Werke Dormoy, Theorie math. des assurances sur la
vie. Paria, 1878; p. 128.

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Von M. Lbbch. 16^

S^ — S^ (r — 1 die letzte in der Sterbetafel verti-etene Zahl) ,
operiert.

Für die oben erwähnte Sterbetafel und wohl auch für die anderen
ist^ solange p ^ 10^ das Produkt cg größer als Eins. Dies hat^ wie
sogleich gezeigt werden soll^ die Konvergenz der Beihe

(4) «(a)-^p— (l-i^-)

1=1

zur Folge. In der Tat folgt aus dem Mittelwertsatz

1 — e^' ^ xe-^'y (o<^<i)^

für rc=:yc«-^

1 - (^""^ = 1 - e-y^"" = ycfe-^^y^^'^
und folglich

woraus die Konvergenz von (4) wegen cp > 1 ersichtlich ist.

Die Reihe spalten wir nun in zwei Teile, jenachdem a — v^O
oder a — V < ist. In dem ersten endlichen Teil setze ich a — i/ = ji,
im zweiten Teile dagegen v ^ a -{- fi, sodaß die Voraussetzung gemacht
wird, daß a eine ganze Zahl ist. So kommt

a—l 00

0{a) =2<^(i - ^) +2'r "(1 - r')'

Der erste Teil läßt sich nun schreiben

und unsere Gleichung nimmt nach Addition der Gfröße

« nO^

folgende Gestalt an:

Führt man daher die Bezeichnung

(5) K = i4-, -2'«"'^' - J^r ^(^"' - 1)

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170 t;l>er die Berechnung der Summen diskontierter Zahlen usw.

ein^ so folgt die ' Beziehung

(6) S„ =2^"/* - 1 - , + *(°) - ^'

H^a

in welcher die Größe K Tom Alter a unabhängig ist. Die hier auf
der rechten Seite auftretende Gfröfie ^(a) ist zwar durch die Reihe (4)
Tollstandig definiert^ jedoch nur im Sinne der Logik^ da die Reihe nur
schwach konvergiert. Wir müssen uns daher eine andere Darstellung
Ton ^(a) Ter8cha£fen. Dies gelingt in äußerst einfacher Weise ver-
mittels der elefhentaren Formel

Setzt man darin x = — y<f'^ und summiert über i/ = 1, 2, 3, . . ., so
kommt

Die Doppelreihe auf der rechten Seite ist nun absolut konvergent, da
die Summe der absoluten Beträge ihrer Glieder den Wert

^Q'-^iey^-' - l)

hat; dadurch ist die Umkehrbarkeit der Summationsordnung dargetan,
und wir erhalten durch Ausführung der Summation in Bezug auf r
die gewünschte Entwicklung

(7) *(„)., ._|(_,).-._fe?:t^..

Die Größen yif sind für jüngere Jahrringe ziemlich klein, z. B. im
Falle der eingangs erwähnten Sterbetafel

Y = 0,000948, Logy = 0,97681 - 4, Loge = 0,04,

also für a = 30 und a « 50

y<^ « 0,015002, yd^ = 0,0948,

und die Größe 0{a) läßt sich mit Hilfe von (7) mit seltener Bequem-
lichkeit herstellen.

Für a = 75 haben wir dagegen

yc'5 = 0,948,

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Von M. Leech. 171

die Benatzung von (7) ist also nicht mehr so bequem wie für kleinere
Alterszahlen, immerhin aber noch möglich.

Handelt es sich um die Berechnung Ton temporaren Leibrenten,
so kommen bloß die Diflferenzen S^ — S^ in Betracht; die Formel (6)
liefert dann

S„-S,^'l--f+0ia)-0{b),

und man kann diesbezügliche Rechnungen lediglich mit Hilfe der Ent-
wicklung (7) ausführen, falls b ^ 75, und die Kenntnis der Eonstanten K
ist nicht erforderlich.

Die Yorhergehenden Betrachtungen bewegen sich in den elemen-
tarsten Ghrenzen und sind auch denjenigen zuganglich, die nur mit
allereinfachsten Vorkenntnissen versehen sind. Die nachfolgenden Aus-
führungen setzen dagegen die Kenntnis der Gammafunktion voraus,
welche die Berechnung der Größe K in überraschend bequemer Weise
ermöglicht.

Bevor wir dazu übergehen, wollen wir jedoch zeigen, wie man sich
mit Hilfe des Zahl wertes K die Größe 0(r) verschaflFen kann, wobei r
die erste in der Sterbetafel nicht mehr vertretene Alterszahl bedeutet.

Man verschafft sich zunächst durch direkte Rechnung den Wert

Ä,-2'<^'^'

was durch Benutzung einer nur geringen Zahl von Gliedern bewerk-
stelligt werden kann. Nachher bedient man sich der aus (6) folgenden
Formel

0(t)^Sr + K- ^'

zur Berechnung von 0{r),

Zur Bestimmung der Größe K führt eine Relation, die ich im
ersten Bande der Abhandlungen (Rozpravy) der Prager Akademie auf
S. 147 aufgestellt habe und die sich leicht verifizieren läßt; sie lautet

(8) ^ns + nti)^""" - 2« j7^/r<— ";:"(.-«.

«=! 00

Wir bedürfen derselben für reelle u und für reeUe positive t] der reelle
Teil von s muß positiv sein, wenn die rechte Seite konvergieren soll.
Da diese Voraussetzung zur Konvergenz der linken Seite nicht er-
forderlich ist, so erhalten wir eine auch für negative s gültige Gleichung,

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172 Über die Berechnung der Sammen diskontierter Zahlen usw.

wenn wir die rechte Seite passend umformen. Derjenige Teil der un-
endlichen Reihe rechts, der von den Werten w = — 1, — 2, — 3, ...
stammt, d. h.

6~* e * ,

m=l

kann in der Tat wie folgt geschrieben werden

m = l

C ' -1

und dieser letzte Ausdruck konvergiert, sobald nur der reelle Teil von
s + 1 positiv bleibt.

Wir haben alsdann die Relation

(8*)

« =s m = 1

%9n

(5 ' -1 « = -•

(reeller Teil von s + 1 > 0).

Machen wir nun die Annahmen

BQ wird

2s« , 2« T log 7

— = logp, -y=logc, «-=-i^,

. 7(s + l) = log(cp)>0,

also die Bedingung erfüllt, und da alsdann
so nimmt unsere Beziehung (8*) die Form

log y p w

log C • p^

. ßlogc

.n = «1 = 1

jLJ Vlogc logc/

ji = — ao

ogc ^ logc

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Von M. Lerch. ^^s

an. Der in eckigen Klammem auf der linken Seite stehende Ausdruck
ist nun aber genau — K, und wir erhalten

(9) ir=

logy
g logc

logc

wenn mit % ^^^ Größe

r

(logc) +31;

_logy

(10) - ^2 ^(logc + -logc-)« "" '" = ±'' ±'' ± '•••■>

n

angedeutet wird. Nun ist aber in unserem Beispiel

_;«?J: = 75,58,

log c ' '

und nehmen wir

^ = i;ö4

an, so kommt

p76,58

<1,

logc
ein umstand; der den Schluß gestattet ^ daß der Faktor

logc

die Einheit nicht stark übertreffen wird. Wenn wir daher beachten^
daß die Beihe (10) so stark wie eine geometrische konvergiert, so wird
es hinreichen zu zeigen, daß die Größen

/ 2nnt\

r(s + ^"-^^ - _i_7_l^»lZ

\ ' logc/ 2nni

logc -

so klein sind wie e"**", also die Vernachlässigung von x die ersten
vierzig Stellen des Resultats nicht beeinträchtigen kann. Man hat nun

r(«) = ir(« + i), u = ;«^^,

also

_logy
logc

(»•) '— ^('s^r-

log c / log p '

und dies ist positiv. Das Argument der F- Funktion ist hier nun
positiv und kleiner als Eins, und der Logarithmus derselben ist den
bekannten Tafeln zu entnehmen. ^

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174 über die Berechnung der Summen diskontierter Zahlen ubw.

Mit den vorliegenden Ausführungen ist der eigentliche Zweck der
Abhandlung erreicht. Wir wollen jedoch den aus denselben folgenden
Kaufwert der praenumerando zu beziehenden mit dem Alter a be-
ginnenden Leibrente Tom jährlichen Betrage Eins mit dem Eaufwert
der sogenannten stetigen Leibrente

K-lpJ--J^ps^äx

vergleichen. Diese Leibrente wird zwar postnumerando bezogen, jedoch
werden die Raten verzinst. Indem wir die bisherige Bezeichnung

beibehalten, setzen wir in dem Integral

y<f ^ Zj X logc = logier — logy,
und erhalten

» _ log y /^

^^M — 1

yc«

Bedienen wir uns der durch die Arbeiten von Prym, Hermite und
Bourguet eingebürgerten Bezeichnung

(11) Q{s, (o) = Ce^^x'-^dx,

/+« ^

(110 P(''-)=2^-'r^is + ny

sodaß

(11») • P(s) + (?(«)-r(s)

ist, so läßt sich unser Resultat schreiben

(12) /^^,.J...,^7«g.,,^)

a

und die stetige Leibrente R^ wird durch folgende Gleichung be-
stimmt sein:

_logy

(12.) S.,-e-r^ - '^^[«(g-:, r^) - <•, rf)l

Bis zum Alter a = 75 ist y(f kleiner als Eins, und hier wird für

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Von M. Lebch. 175

5 = j^-^ , o ^ y(f die Reihe P(s, cj) schnell konvergieren. Die Be-
rechnung von Q(s, a) also auf r{s) — P(Sy (o) reduziert.

Dagegen ist yc^^ = 9,48 und die Bestimmung der Größe Q(s, yc*)
wird auf anderem Wege bewerkstelligt werden müssen. Dazu eignet
sich z. B. die halbkonvergente Entwicklung^)

QU -.,.)- «2k+7). - h' - V 2(- 1)'-' (2,)r Gi^> sX,

m = y = l,2,8...

in welcher die Hilfsgroße u gleich Eins gesetzt werden kann, und wobei
G(., *X - 1 + • , G(., .). = 1 + ^' + ^'-V+ ^) + »('-±^(1+1),

a —

Im vorliegenden Falle begeht man ungefähr den Fehler j^, wenn
man in der halbkonvergenten Reihe bloß die zwei Glieder v = 1 und
V ^ 2 berücksichtigt. Schreibt man hier also das Resultat mit dieser
Annäherung, so kommt

z' U2 720/'

ond man wird die unendliche Reihe bloß auf zwei, drei Stelleu zu
bestimmen haben, um sieben Dezimalstellen zu bekommen.

Übrigens liefert eine bekannte Eulersche Formel die Entwicklung

» = 1 7» « 1

mit welcher sich die Rechnung schnell vollzieht.

Noch bequemer wäre die konvergente Entwicklung^)

q{\ - S, OJ) = e--(^^, + q-^CD- + CiZ/^O- + ...), (^0, = !).
Cq =• Cj = 1 , C, = ^ , Cb '^ 8 7 ^4 ~ 6 > ^5 ™* 60 ? • • •

Nach diesen Bemerkungen über die Bestimmung der stetigen Leibrente
gehen wir über zu der gewöhnlichen vom Alter a an beginnenden
Leibrente 2i-, deren Kauf wert

1) Yergl. meinen Aufsatz im Crelleschen Jonmal Bd. 180, S. 04.

2) Vergl. Crellefl Journal, Bd. 128, S. 218.

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176 1^6 Gewölbetheorie im Lichte der Methode der kliwiwten Prodokte.

laotet Wendet man die Maclanrinsche Sammenfonnel an, um den

Zahler, d. L

«—1

2^

err'

za ermitteln y so gelangt man nach ziemlich omstimdlichen Betrach-
tangen zur naherongsweisen Abschatznng der Differenz R^ — R^, welche
anf sechs bis sieben Stellen genan ist:

— {^(y logc ' c^ — logp)^^-«e-y<^'-^)

+ 7» l^y log^ • ^ - logp/ — ^(y \^c • if — logp)y<- log»c

+ y<-log»r].

Sie yerdient jedoch wenig Beachtong, indem die oben mitgeteilten
Ausdrücke f&r R^ nnd R^ diese Größe mit viel höherer Genanigk^t
zu bestimmen gestatten.

Freiburg (Schweiz), den 5. Juli 1905.

Die Oewölbetheorie im Lichte der Methode der kleinsten

Produkte.

Von S. Wellisch in Wien.

Bezeichnet in einem Gewölbe von einem Meter Breite und recht-
eckigem Querschnitte

2 5 die Bogenlänge^
2ß das Scheitelmoment,
^ den Horizentalschub,
JPqJPiF, . . . die Flächen der Querschnitte 0, 1, 2, 3, . . . beziehungs-
weise deren Höhen,
M^M^M^ ... die Biegungsmomente
F^V^T^ . , , die Normalpressimgen
J^JxJ^ ... die Trägheitsmomente
jBJjjBijB, . . . die Belastungen
«o^^2 • • • ^ö Neigungswinkel der Querschnitte mit der Vertikalen
%a^a^ ... die Hebelarme des Horizontalschubes und
h^bib^ ... die von der Belastung herrührenden statischen Momente
für die einzelnen Querschnitte^

in bezug auf die einzelnen
Querschnitte

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Von S. WEujgCH.

177

so siud die Biegungsmomente nnd Normalpressungen, ausgedrückt in
Funktionen von 3ft und $:

Jfo - 9» - «0$ + h

(1)

Po

i

= co8ao.$ + 8inao- jBo

(2)

Pi = cos «1 • § + sin «1 • jB,

Pg = cos «j • $ + sin a, • B^

oder wenn

cos «Q « a^ und sin Oq • JS^ = 6^

cos «1 = a[ sin «^ • B^ — 6 j

cos

«2-

= ttj sin o, • ^ » &2

gesetzt wird; in allgemeiner Form:

M^Tl-a^ + b
P« a^ + b\

Es lautet bei Vernachlässigung der Schubkräfte die zur Berechnung
der beiden Unbekannten 331 und $ dienende Minimumsbedingung:

(3)

j¥^lds+f?^ds

mm;

M

die Quotienten -p =« v stellen die Entfernungen der Druckmittelpunkte

von den Querschnittsmittelpunkten dar, und es berechnen sich die
Kantenpressungen mit Hilfe der Formel:

'-U'±';).

worin das obere Zeichen für die innere Leibung, das untere Zeichen
für den Grewölberücken gilt.

Unter gegebenen Belastungsverhältnissen tritt die günstigste Material-
beanspruchung dann ein, wenn die Form und Dimensionierung des
Gewölbes so gewählt ist, daß 6^ für die innere Leibung und ö^ für die
äußere Leibung einander gleich werden. Es triflFt dies dann zu, wenn
für jeden Querschnitt t; = ist, d. h. wenn die Mittellinie des Druckes
mit der Gewölbeachse zusammenfällt. Da in diesem idealen Falle die
Normalpressungen in den Schwerpunkten der Querschnitte, also ohne

Zeitschrift f. Mathematik u. Physik. 6S. Band. 1906. S.Heft.

12

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178 Die Gewölbetheorie im Lichte der Methode der kleinsten Produkte.

einen Hebelarm angreifen^ so kann in keinem Querschnitte ein Biegongs-
moment auftreten, sodaß fär jeden beliebigen Quersclmitt die statische
Beziehung besteht:

Für ein zu konstruierendes Gewölbe kann das Pfeilverhältnis,
sowie das Verhältnis der Scheitelstärke zur Kämpferstärke durch wieder-
holtes Probieren den dem idealen Falle entsprechenden .Verhältnissen
beliebig nahe gebracht werden; da man aber in der Praxis bei diesen
umständlichen und zeitraubenden Versuchen gewöhnlich mit einer an-
nähernden Erreichung des idealen Falles sich begnügt, so wird die
Mittellinie des Druckes je nach dem Grade dieser Annäherung mehr
oder weniger von der Gewölbeachse abweichen, und es werden sich in
den einzelnen Querschnitten Biegungsmomente einstellen, die wohl
seltep einen beträchtlichen, im allgemeinen aber einen von Null ver-
schiedenen Wert erlangen werden. Hierbei wird sich nach dem „Prinzip
des kleinsten Widerstandes" im Zustande des Gleichgewichtes die
Drucklinie der Gewölbeachse so nahe als möglich anschmiegen, sodaß
die Biegungsmomente in ihrer Gesamtheit zu einem Minimum werden.
Man kann daher zur Berechnung der beiden Unbekannten 9ß und ^
aus der überschüssigen Anzahl von Bedingungsgleichungen (1) bei
konstantem äogenquerschnitt ohne weiteres die „Methode der kleinsten
Quadrate" heranziehen.

Hat man aber bei Tconsiardem Querschnitte einfach die Summe der
Quadrate der Momente zu einem Minimum zu machen, so ist bei
variablem Querschnitte vorerst die Reduktion auf eine einheitliche
Querschnittsfläche vorzunehmen, was bei Betrachtung einer unendlichen
Anzahl von Querschnitten theoretisch dadurch geschieht, daß die
Quadrate der statischen Momente durch die entsprechenden Trägheits-
momente dividiert werden. Da aber in der Praxis die Unterteilung
des zu untersuchenden Gewölbeschenkels in eine endliche Anzahl von
Abschnitten erfolgt, so hat man nicht die reinen reziproken Werte
der Trägheitsmomente, sondern in Gemäßheit der Simpsonschen
Näherungsformel die mit dem Koeffizienten c der Simpsonschen
Regel multiplizierten reziproken Werte der Trägheitsmomente J za
nehmen und diese wie gewöhnliche Gewichte p zu behandebi.
Während es sohin bei konstanter Bogenstärke genügt, die einfache
Summe der Quadrate der Biegungsmomente zu einem Minimum zu
machen, ist bei veränderlicher Bogenstärke die Summe der mit be-
stimmten Gewichtszahlen P =^ j multiplizierten Quadrate dieser Mo-
mente auf ein kleinstes Maß zu bringen.

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Von S. Wellisch. 179

Wird allgemein die Summe der mit den Reduktionsgewichten y
multiplizierten Quadrate der Biegungsmomente (1)^ nämlich

[; mm] = [J (2ä - a$ + hf]

nach den beiden Unbekannten differenziert^ und werden beide Differential-
quotienten gleich Null gesetzt^ so erhalt man die Normalgleichungen:

|[.«.3f]-[i]».-[-~-]S + [^'] =

woraus die Unbekannten 9Ä und ^ durch Eliminieren sich berechnen
lassen.

Sollen zur Bestimmung von 9)i und ^ auch die Normalpressungen
Berücksichtigung finden*, so hat man die Minimumsbedingang mit Zu-
ziehung der Bedingungsgleichungen (2), sowie der Reduktionsfaktoren

p ^^ jp entsprechend zu ergänzen und erhält auf diese Weise als

gleichwertig mit (3):

Da die Gleichungen (2) die Unbekannte SR nicht enthalten, so
erleidet nur die zweite Gleichung von (4) eine Abänderung, sodaß zur
Bestimmung der beiden Unbekannten die Normalgleichungen sich er-
geben :

^l-jj^-lj +' F }'^ + [-J— F J = ^-

Diese Normalgleichungen gehen aber auch unmittelbar hervor aus
den von Gastigliano aufgestellten Sätzen von den Differentialquotienten
der Arbeit, womit dargetan ist, daß das „Prinzip der kleinsten Arbeit"
oder das mechanische Minimuimprinzip im engsten Zusammenhange
steht mit dem geometrischen Minimumsprineip des Ausgleichungs-
problems, daß somit für die geometrische Auffassung von Natur-
Yorgangen den Fundamentalregeln der Methode der kleinsten Quadrate
eine allgemeine Bedeutung zuzusprechen ist.

Die geschichtliche Entwicklung des „Drucklinienproblems", auf das
Coulomb im Jahre 1773 [zum ersten Male aufmerksam machte, hat
ntm folgenden Verlauf genommen:

12*

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180 Gewölbetheorie im Lichte d. Methode d. kleinsten Produkte. Von S. Wblluch.

Moseley bezeiclinet (1837) in einem stabilen Gewölbe unter allen
statisch möglichen Stützlinien diejenige als die tatsächlich eintretende,
welche den kleinsten Horizontalschub in der Scheitelfuge erzengt.

Hagen behauptet (1844), daß bei der günstigsten Beanspruchung
diejenige Stützlinie sich einstellt, bei welcher an allen gefährlichen
Stellen die Vertikalprojektion ihres kleinsten Abstandes von der inneren
oder äußeren Leibung die gleiche wird.

Culmann findet (1866) diejenige Drucklinie als die wirkliche,
welche sich der Gewölbeachse in der Art am meisten nähert, daß der
Druck in den am stärksten beanspruchten Fugenkanten ein Mini-
mum wird.

Winkler erklärt (1867) bei konstanter Gewölbedicke diejenige
Stützlinie nahezu als die richtige, für welche die Summe der Quadrate
der Abweichungen von der Mittellinie ein Minimum ist.

Föppl bezeichnet (1880) den Winklerschen Satz — abgesehen
von den zu seiner Beweisführung erforderlichen Vernachlässigungen,
die ihn bei sehr flachen und verhältnismäßig starken Gewölben nicht
anwendbar erscheinen lassen — als den interessantesten und elegantesten
Satz, der bisher über das Gleichgewicht der Gewölbe aufgestellt wurde.

Tolkmitt faßt (1899) die Untersuchungen dahin zusammen, daß
diejenige Stützlinie, welche die Mittellinie des Gewölbes nach der
Methode der kleinsten Quadrate ausgleicht, um so richtiger erscheint,
je größer das Pfeilverhältnis und je kleiner die Dicke des Gewölbes ist.

Das Endergebnis unserer eigenen Betrachtungen kann in folgendem
formuliert werden:

In einem Gewölbe von konstantem Querschnitt nimmt die StiUzlinie
zur Bogena^hse jene Lage ein, welche sie im Sinne der einfachen Methode
der Ideinsten Quadrate ausgleicht, in einem Gewölbe von variablem Quer-
schnitt folgt sie jedoch den veraügemeinerten liegdn der erweiterten
ileihode der Meinsten Quadrate oder der sogenannten „Methode der
Meinsten Produkte", wie sie vom Verfasser in dem Buche: „Fehleraus-
gleichung nach der Theorie des Gleichgewichtes elastischer Systeme**,
Wien 1904, ausführlich behandelt worden ist. (Siehe auch des Ver-
fassers Abhandlungen: „Der Fundamentalsatz der Methode der kleinsten
Produkte" in der „Osterr. Zeitschr. f. Vermessungswesen", Wien 1905
und „Über das natürliche Erhaltungsprinzip" in dieser Zeitschrift Bd. 52,
1905, S. 202.)

Wien, im Oktober 1905.

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über die kabische Dilatation und ihre Beziebnng nsw. Von R. Gibtleb. 181

Über die kubische Dilatation und ihre Beziehnng zur Be-
ansprnchnng isotroper elastischer Körper.

Von Dr. R. Girtler in Wien.

Die kubische Dilation v befolgt, wie Lame in seinen „Le9ons
sur la theorie de Felasticite'^ zuerst nachgewiesen hat, die La place sehe
Gleichung:

unter den Voraussetzungen, daß erstens ein isotroper Körper vorliegt,
zweitens die auf ihn wirkenden Massenkrafte dem Newtonschen
Qrayitationsgesetze folgen und schließlich elastisches Gleichgewicht
herrscht. Die Oberflächenkräfte können also beliebiger Art und in
beliebiger Weise über die Oberfläche des Körpers verteilt sein. Sind
M, t7, m; die Komponenten der Verrückung eines beliebig gewählten
Punktes unseres Körpers für die Längeneinheit parallel zu den Achsen
eines rechtwinkeligen Koordinatensystemes, so wird, wenn dieselben
samt ihren ersten Ableitungen endliche und stetige Funktionen der
Koordinaten x, y, z des betrachteten Punktes sind, auch v eine samt
ihren ersten Ableitungen endliche und stetige Funktion bedeuten, denn

V = U + V + W]

trifft letzteres zu, so muß unter den Voraussetzungen der Gültigkeit der
Gleichung (1) folgender Satz bestehen:

Dcis Extrem der htbischen Dilatation kann bei einer beliebigen An-
griffsweise der Oberfläclienkräfte nur an der Oberfläche des Körpers
auftreten.

Um das zu beweisen, bedürfen wir zweier Sätze aus der Potential-
theorie, in der ja die La place sehe Gleichung auch eine bedeutsame
Rolle spielt; denn sie ist es, die auch für das Potential von Kräften
zwischen ponderablen, magnetischen und elektrischen Massen, für das
Geschwindigkeitspotential bei stationär strömenden Flüssigkeiten, für
die Temperaturverteilung bei einem stationären Wärmezustand eines
isotropen Körpers und für die Verteilung galvanischer Ströme in einem
Leiter charakteristisch ist.

Die fraglichen zwei Sätze lauten:

1. Jede Funktion <)p, welche der Laplaceschen Gleichung genügt
und in einem bestimmten Raumbereiche samt ihren ersten Ableitungen

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182 Über die knbbche Dilataidon nnd ihre Beziehang usw.

endlich und stetig ist^ kann als das Potential einer anf der Begrenzongs-
fläche dieses Raumes liegenden^ nach einem bestimmten Gesetze Ter-
teilten unendlich dünnen Schichte wägbarer Masse vorgestellt werden;
die Verteilung dieser unendlich dünnen Schichte ist auf der Oberflache
nur auf eine einzige Weise möglich , wenn die Werte q) ftr die Ober-
fläche gegeben sind.^)

2. Das Potential Ton Massen kann nur innerhalb dieser Massen
einen extremen Wert annehmen.^)

Die kubische Dilatation v kann nun als solche Funktion tp be-
trachtet werden, wie sie im Satz 1 erwähnt wird; für v sind nämlich
alle Voraussetzungen erfüllt wie sie dieser Satz fordert, denn wir haben
eingangs dieselben Beschränkungen fiir v namhaft gemacht, die für tp
verlangt werden. Es ist nur noch notwendig zu erwähnen, daß die
der Funktion v entsprechende Massenverteilimg an der Oberfläche des
in Betracht gezogenen Körpers deswegen nur auf eine Art möglich
ist, weil jedes elastische Problem bei gegebenen Massen- und Ober-
flächenkräften eindeutige Lösungen für die Dilatationen u, v, w eines
jeden Punktes besitzt; es sind also die linearen Dilatationen, somit
auch die kubischen Dilatationen an der Oberfläche des Körpers in
jedem Punkte eindeutig gegeben.

Nach Satz 2 kann das Extrem der Funktion q) nur innerhalb
der Massen, das ist in unserem Falle nur an der Oberfläche statt-
finden. Daher kann auch die kubische Dilatation nur an der Ober-
fläche extreme Werte erlangen. Damit ist der vorangestellte Satz
bewiesen.

Was also die Oberflächenkräfte für Größen imd Angrifbpunkte
besitzen mögen, stets tritt im Gleichgewichtszustande bei einem iso-
tropen Körper das Maximum der kubischen Dilatation an der Ober-
fläche auf, wenn nur u, v, tv samt ihren ersten Ableitungen endlich
und stetig sind und die Massenkräfte ein Potential haben. Die beiden
letzten Bedingungen sind aber insbesondere bei technischen Problemen
immer erfüllt, denn bei ihnen ist die Massenkraft für gewöhnlich die
Schwerkraft. Es tritt also wenigstens theoretisch bei technischen
Konstruktionen ein Maximum von v stets an der Oberfläche auf.

Sind die den Körper angreifenden Kräfte gegeben, so kann man
sich die einzelnen Angriffspunkte der Oberflächenkräfte solange auf der
Oberfläche gegenseitig vei-schoben denken, bis die für die Dimen-
sionierung höchst wichtige sogenannte ungünstigste Laststellung ein-
tritt, das ist jene, für die im Bereich des Körpers das Maximum der

1) Mathieu, Theorie des Potentiales.

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Von R. GlRTLEB. 183

Beanspruchung sich zeigt. Als Maß dieser Beanspruchung gilt in
Deutschland jetzt allgemein die größte Hauptdilatation X^, obwohl
durch Experimente festgestellt vnirde, daß diese Anschauung falsch ist.
Man könnte durch den Satz vom Maximum der kubischen Dilatation
verführt werden^ zu glauben, daß das Maßgebende für die Beurteilung
der Bruchgefahr die kubische Dilatation selbst sei, besonders weil der
Bruch des Materiales bei den Festigkeitsversuchen ^nierst an der Ober-
fläche aufzutreten und sich erst später in das Innere des Körpers fort-
zupflanzen scheint Es gibt Belastungsfälle (z. B. Fall der reinen
Biegung), bei welchen der Bruch wirklich zuerst an der Oberfläche
beginnt. Wenn man das aber bei einfachen Druckproben zu beobachten
glaubt, so liegt der Grund darin, daß eine einfache Druckbelastung, derzuf olge
alle Spannungen normal zum Querschnitt gleich groß sind und der Bruch
daher längs eines ganzen Querschnittes auf einmal auftreten sollte, schwer
zu Terwirklichen ist. Die Vermutung, daß die kubische Dilatation allein
schon zur Beurteilung der Bruchgefahr hinreiche, wird aber völlig da-
durch hinfällig, daß nach ihr bei einer reinen Schubbeanspruchung,
bei welcher die zwei auftretenden Hauptdilatationen entgegengesetzt
gleich sind, bei keiner noch so großen Belastung ein Bruch eintreten
könnte, da die kubische Dilatation in diesem Falle im ganzen Bereiche
des Körpers Null ist. Als allgemeines Kriterium der Beanspruchung
ist die kubische Dilatation also nicht zu brauchen. In neuerer Zeit
glaubt man aus Versuchen den Schluß ziehen zu dürfen, daß die Summe
aus der größten und kleinsten, also von zwei Hauptdilatationen X^ -f A,,
als dieses Kriterium zu betrachten sei. Ich bin dem entgegen der An-
sicht, daß die kubische Dilatation in dem mathematischen Ausdrucke
für die Beanspruchung enthalten sein sollte, weil in ihr erstens alle
drei Hauptdilatationen (r = A^ -|- A^ + Aj) vertreten sind, und weil
zweitens jene Belastungsfälle, bei welchen der Bruch auch theoretisch
an der Oberfläche beginnen muß (z. B. zusammengesetzte Festigkeit aus
Biegung und Zug) und die Beanspruchung wirklich dort an der Ober-
fläche ihren Höchstwert besitzt, wo die kubische Dilatation ihn hat,
auf ein allgemeines Gesetz hinzuweisen scheinen, in welchem außer der
kubischen Dilatation auch noch andere von der Deformation abhängige
Glieder eine Rolle spielen. Ich halte daher imter allen bisher ge-
machten Annahmen die von E. Beltrami^), welcher das Potential der
elastischen Kräfte für die Volumeinheit in einem Punkt als dieses Ge-

1) SuUe condizioni di resistenza dei corpi elastici, Lomb. Ist. Bend. (2) XYIII
(1886), p. 704—714; vgl. auch Beiblätter zu den Annalen der Physik, Jahrg. 1886,
S. 666.

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184 Über die kubische Dilatation nnd ihre Beziehung usw. Yon R. Gibtlbb.

Betz in Vorschlag brachte^ för die riclitigste. Das Potential der ela-
stischen Kräfte kann in der Form

(2) f^-x(Xl + kl + Xl + @i^')

geschrieben werden^ worin x, die Kirchhoffschen Elastizitäts-
konstanten, A^, Ag, A3 die Hauptdilatationen vorstellen. In der Glei-
chung (2) kommt die kubische Dilatation neben den oben erwähnten
anderen Gliedern AJ + A| + A| vor; Beltramis Ansicht hat aber außer-
dem den Vorzug, daB man ihr deswegen von vornherein leicht beistimmen
wird, weil es sehr glaubhaft ist zu sagen, ein Eörperelement ist umso
mehr angestrengt, je mehr Arbeit verbraucht wurde, um es zu defor-
mieren.

Zum Schlüsse möchte ich noch hervorheben, daß der Satz über
das Maximum der kubischen Dilatation Analoga auf anderen Gebieten
der Physik besitzt. So kann man sagen, daß bei einer stationären
Wärmeströmung in einem isotropen Körper die Temperatur nur an
der Oberfläche des Körpers extreme Werte haben kann, wenn sie samt
ihren ersten Ableitungen endlich und stetig im Bereiche des Körpers ist.

Wien, am 2. Oktober 1905.

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Kleinere Miiteilimgen. — Bucherschan. 18&

Kleinere Mitteilungen.

LogaritlunisclLes Papier.

Für Zeichenpapier, das mit einem Liniennetz logarithmischer Einteilung
bedruckt ist, wurde in dieser Zeitschrift Bd. 46 (1901), S. 254 eine belgische
Bezugsquelle angegeben. Neuerdings habe ich durch die Freundlichkeit des
Herrn F. Paschen in Tübingen ein ähnliches, aus England stammendes
Papier kennen gelernt, das die Bezeichnung „Human's Patent Logarithmie
Coordinate Sheets" führt und von der Firma S. C. & P. Harding, 2 & 3 Hind
Court, Fleet Street, London, bezogen werden kann. Die Längeneinheit be-
tragt 1 2,5 cm, wie bei den oberen Skalen eines gewöhnlichen Bechenschieber»
französischer oder deutscher Herkunft. Rechts auf dem Rande stehen er-
läuternde Bemerkungen über den Gebrauch des Papiers. Der Preis ist auf-
faUeud hoch, Jt 2,60 für den Bogen (nach Mitteilung von Herrn Paschen)»
Warum entschließt sich keine deutsche Firma, logarithmisches Papier in den
Handel zu bringen? An Gelegenheit zu seiner Verwendung würde es dem
Ingenieur, dem Physiker, dem Mathematiker nicht fehlen. R. Mehmke.

Anfrage.

F. S.f H. Wie lassen sich bei einer graphisch gegebenen Funktion aus
der darstellenden Kurve graphisch (oder mechanisch) die ersten Koeffizienten
der EntwicJUung nach Zylinderfunktionen bestimmen?

BtlcherscliaTi.

J. F. Eneke^ über die BestimmTing einer elliptiBOhen Bahn aus drei
vollBtändigen Beobachtungen. — P. A. Hansen^ Über die Be-
stinmiiing der Bahn eines Himmelskörpers aus drei Beobachtungen.

Herausgegeben von J. Bauschinge r. Ostwalds Klassiker der exakten
Wissenschaften. Nr. 141. kl. 8^ 162 S. Leipzig 1903. Pr. 2,50 M.
In diesem Buche setzt Herr Bauschinger die von ihm mit J. H. Lamberts
Abhandlungen zur Bahnbestimmung der Kometen (vgl. diese Ztschr. Bd. 49,
S. 388) begonnene Herausgabe der für die Bahnbestimmung der Himmels-
körper wichtigen Quellenschriften fort und dehnt sie auf zwei Arbeiten
aus, die eine neue Darstellung und Herlei tung der Gaußschen Methode
versuchen und namentlich nach der praktischen rechnerischen Seite hin Ver-
besserungen einführen. Insbesondere gilt letztere Bemerkung von der
Enckeschen Abhandlung, die zuerst 1851 im Berliner Jahrbuch für 1854
erschien und das Resultat aller Untersuchungen und Erfahrungen Enckes

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186 Bücherschau, — Neue Bücher,

bietet. Weniger durch enge Anlehnung an die Praxis als vielmehr durch
meisterhafte Analyse zeichnet sich die Schrift Hansens [in den Verhdl. d.
K. S. Ges. d. Wiss., math.-phys. Kl., Bd. 15 (1863)] aus. Eine vergleichende
Würdigung läßt Bauschinger beiden Arbeiten in den wertvollen „Anmerkungen"
angedeihen. Insbesondere aber wird es der Astronom begrüßen, daß der
Herausgeber in einem „Anhang^^ das aus Tietjens Aufsatz im Berliner Jahr-
buch für 1879 hervorgegangene übersichtliche imd rechenflüchtige Formel-
schema zur Bahnbestimmung mitteilt, das man , Jetzt alis das sicherste und
kaum mehr verbesserungsfähige wird anerkennen müssen."

Straßburg i. E. C. W. Wirtz.

G. W. Littlehales, A new and abridged method of flnding the loous
of geographioal position and the oompass error. Phil. soc. of
Washington, Bull., Vol. 14. S^ 14 S. u. 3 Tafeln. Washington 1903.

Die Ortsbestimmungen auf See, die heutigen Tages vielfach nach der
von Marcq St. Hilaire ausgearbeiteten Höhenmethode ausgewertet werden,
erfordern die für den Seemann immerhin lästige Berechnung der Gestimshöhe
aus geographischer Breite, Stundenwinkel und Deklination. Zur Umgehung
dieser Rechnung sind schon zahlreiche Vorschläge aufgetaucht, die teils eine
Tabulierung anstreben, teils das Problem graphisch lösen wollen. Auf
graphische Tafeln läuft auch der hier von Littlehales gemachte Vorschlag
hinaus, der übrigens einige Ähnlichkeit mit dem 1873 von C. Braun kon-
struierten „Trigonometer" aufweist (vgl. Berichte von dem erzbiscböflichen
Haynaldschen Observat. zu Kalocsa, p. 142, Münster i. W. 1886). Littlehales
verlangt einfach die Ablesung der gesuchten Zenitdistanz und des Azimutes
in einer stereographischen Projektion der Himmelssphäre. Zur Erzielung
der erforderlichen Genauigkeit muß er indes die Karte so groß wählen, daß
er sie in 340 Blätter zu zerlegen hätte, um auf ein handliches Format zu
kommen. Für besonders zweckmäßig hält der Verf. sein Verfahren zur
raschen Berechnung der von Wirtz behandelten „kimmfreien" Standlinie
(A. d. Arch. d. D. Seewarte, 25. Jahrg., 1902). Die beigegebenen Probe-
tafeln legen indes nicht den Gedanken nahe, daß sich mit ihrer Hilfe die
verlangten Höhen schnell und sicher entnehmen ließen.

Straßburg i. E. C. W. Wirtz.

Neue Bücher.

Astrouomie und Geodäsie.

!• Gauss, F. G., Die trigonometrischen und polygonometrischen Rechnungen in
der Feldmeßkunst. 8. Aufl. (In 9 Hefben.) 1. Heft. Halle, Strien.

Subskr.-Pr. M. 8.60.

2. Heoemann, E., Lehrbuch der Landesvermessung. Berlin, Parey.

geb. in Leinw. M. 12.

3. Tapla, Theodor, Grundzüge der niederen Geodäsie. III. Kartierung. Leipzig

und Wien, Deuticke. « , ^^ M. 8.60.

' S. auch Nr. 4.

1) Wo kein Erscheinungsjahr angegeben, ist es 1906.

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Neue Bücher. 187

Geschichte.

4. Dreykb, J. L. E., History of the planetary sYstems from Thaies to Kepler.
Cambridge, University Press. 10 s. 6 d.

5. Leibnizens nachgelassene Schriften physikalischen, mechanischen und tech-
nischen Inhalts. Hrsg. und mit erläuternden Anmerkimgen yersehen von Ernst
Gerland. (Abh. zur Gesch. der mathem. Wiss., XXI. Heft.) Leipzig, Teubner.

M. 10.

6. MüLLSB, Felu, Karl Schellbach. Bückblick auf sein wissenschafbl. Leben
nebst zwei Schriften aus seinem Nachlaß und Briefen von Jacobi, Joachims-
thal und Weierstraß. Mit einem Bildnis Karl Schellbachs. (Abh. zur Gesch.
der mathem. Wiss. XX. Heft, 1. Stück.) Leipzig 1905, Teubner. M. 2.80.

Physik.

7. Aalst, J. W. van. Theoretische beschouwingen over het warmteproces in
stoomturbines, petroleum- en gasmotoren en verkoelings-machines, met
körte beschrijving van enkele soorten dier machines. Helder, de Boer Jr.

Fl. 1.60.

8« Chwolson, 0. D., Trait^ de physique. Traduit sur les äditions russe et alle-

mande par E. Davaux. Edition revue et consid^rablement augmentäe par

Tanteur, suivie de notes sur la physique thäorique par E. et F. Cosserat. T. I,

fasc. I et T. H, fasc. L (Aura 4 volumes.) Paris 1905. Frs. 22.

8. DoNATi, L., Lezioni di fisica matematica, raccolte a cura di R. Bonola e R. Yiti.
Bologna. L. 10.

10. Garbasso, A., Vorlesungen über theoretische Spektroskopie. Leipzig, Barth.

M. 7. — ; geb. in Leinw. M. 8.

11. LoRENTz, H. A., Lehrbuch der Physik. Zum Gebrauche bei akadem. Vor-
lesungen. Nach der 4., von H. A. Lorentz und L. H. Siertsema.bearb. Aufl.
und unter Mitwirkung des Verf. aus dem Holländischen übers, v. G. Siebert.

1. Bd. Leipzig, Barth. M. 8; geb. in Leinw. M. 9.

12. LoRENTz, H. A., Ergebnisse und Probleme der Elektronentheorie. Vortrag.

2. durchgesehene Aufl. Berlin, Springer. M. 1.50.
18. MuLLKB-PouiLLBT, Lehrbuch der Physik und Meteorologie in 4 Bänden:

10. umgearb. und vermehrte Aufl. hrsg. von Leop. Pfaundler. I. Bd. Mechanik
und Akustik. 2. Abtlg. (Schluß des I. Bandes.) Braunschweig 1906, Vieweg
& Sohn. M. 3.50.

14. PocKBLs, F., Lehrbuch der Kristalloptik. (Teubners Sammlung Bd. XIX.)
Leipzig u. Berlin, Teubner. geb. M. 16.

S. auch Nr. 5.

.Statistik und Yersioherimgsmathematih.

15. Brocket, Uoo, Matematica attuariale. Teoria statistica della mortalitä. Mate-
matica delle assicurazioni suUa vita. (Manuali Hoepli.) Milano, Hoepli.

L. 3.50.

Tafeln.

16. Hbnselin, Adolf, Bechentafel. 2. Stereotypauflage. Berlin, Regenhardt.

geb. M. 6.

Verschiedenes.

17. Meixob, I. W., Höhere Mathematik für Studierende der Chemie und Physik
und verwandte Wissensgebiete. In freier Bearbeitung der 2. englischen Aus-
gabe hrsg. von Alfred Wogrinz und Arthur Szarvassi. Berlin, Springer. M. 8.

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188 Eingelaufene Schriften.

Eingelaufene Schriften.

[In dieser Abteilung werden alle eingelaufenen Schriften regelmäßig aufgefahri
Die Besprechung geeigneter Schriften bleibt vorbehalten. Bücksendung findet

nicht statt.]

Bhoooi, Uoo, Matematica attuariale, s. N. B. („Neue Bücher"*), Nr. 16.

CzuBER, Emanuel, Vorlesungeu über Differential- und Integralrechnung. 1. Bd.
2., sorgfältig durchgesehene Auflage. Leipzig, Teubner. geb. M. 12.

DoKHLEMANN, Karl, Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung. 3., lei-
mehrte imd verb. Aufl. (Sammlung Göschen Nr. 72.) Leipzig 1905, Göschen.

geb. in Leinw. M. —.80.

Gast, Paul, Ein Beitrag zur Polhöhenbestimmung. (Sonderabdruck aus der Zeit-
schrift f. Yermessungswesen Bd. 35, 1906.)

Gerland, E., Leibnizens nachgelassene Schriften physikalischen, mechanischen u.
technischen Inhalts, s. N. B. 5.

Goldschmidt, Ludwig, Baumanns Anti-Kant. Eine Widerlegung. Gotha, Thiene-
mann. M. 2.80.

Haobk, Johann G., Synopsis der höheren Mathematik. 3. Bd., Differential- und
Integralrechnung. Lfgn. 5, 6 u. 7 (Schluß). Berlin, 1900/1906.

Hardy, G. H., The integration of functions of a single Tariable. (Cambridge TiacU
in Mathematics and mathematical Physics Nr. 2.) Cambridge 1906, üniversity
Press. 2 s. 6 d.

Hensblin, A., Rechentafel, s. N. B. 16.

Ibsaly, l'Abb£, Principes fondamentaux de la th^orie des pseudo-surfaces. Paris
1902, Hermann. Frs. 4.

Laisant, C. A., Initiation math^matique. Ouyrage ^tranger ä tout progranune,
d^did aux amis de Tenfance. Genfeve, Georg & Co.

LiTTLBHALBs, G. W. , The progress of science as exemplified in terrestrial magne-
tism. Annual presidential address. (Phil. Soc. Washington Bull., vol. XIV.'
Washington 1905.

Mahlbr, G., Ebene Geometrie. 4. verbesserte Aufl. (Sammlung Göschen Nr. 41.)
Leipzig 1905, Göschen. geb. in Leinw. M. —.80.

Mayer, J. W. u. Czap, E., Die praktische Wartung der Dampfkessel und Dampf-
maschinen. Ein Lehrbuch für Dampfkessel- und Dampfmaschinenwärter, sowie
für Fabrikbeamte ohne technische Vorbildung. 3. sehr vermehrte und er-
weiterte Aufl. Leipzig, Teubner. M. 3.50.

Mellob, J. W., Höhere Mathematik, s. N. B. 17.

Müller, F., Karl Schellbach, s. N. B. 6.

Müller -PouiLLET, Lehrbuch der Physik und Meteorologie, I. Bd., 2. AbÜg., s.
N. B. 13.

Osgood, W, F., Lehrbuch der Funktionentheorie. In 2 Bänden. 1. Bd., 1. H&lfte.
Leipzig u. Berlin, Teubner. M. 7.

Peale, Albbet C, Titian R. Peale 1800—1885. Read before the Phil. Soc. Washington
March 80, 1901. (Phil. Soc. Wash. Bull., vol. XIV.) Washington 1906.

Pockels, f., Lehrbuch der Kristalloptik, s. N. B. 14.

Tapla, Th., Grundzüge der niederen Geodäsie, III., s. N. B. 3.

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Abhandlongsreg^ter 1904—1905.

189

Abhandlungsregister 1904—1905.

Von Ernst Wölfping in Stuttgart.

(Die Zahlen über 2604 beziehen sich auf das im nächsten Heft erscheinende
Technische Abhandlungsregister 1903—1904).

(Fortsetzung.)

Lumineszenz.

1069. J. Guinchant Sur les ph^no-
m^nes de luminescence. J.P. (4) 4. 413.

1070. C L. Nichols and E. Merritt
Studies in luminescence. IL P.B. 18. 403;
19. 18; 382.

1071. M. Trautz. Über neue Lumi-
neszenzerscheinungen. Z.E. 10. 593.

Siehe auch 854; 855.

Phosphoreszenz.

Siehe 8632.

Fluoreszenz.

1072. F, Kehr mann. Über Fluoreszenz.
C.B. 37. 8581.

1078. C. Camich^L Sur la fluorescence.
CR. 140. 139; 141. 185; 249.

1074. E, L. Nichols. Die neuere
Forschung über die Physik der Fluores-
zenz. J.B.E. 2. 149.

1075« X. Pitccianti. Sulla fluorescenza
del vapore di sodio. R. A. L. R. 13. B. 438.

1076. H, Kauffmann und Ä. Beiß-
wenger. Über P'luoreszenz Unter-
suchungen über das Ringsystem des
Benzols. C.B. 87. 2612.

Irradiation.

1077. A. Gttebhard. Sur Tirradiation
tangentielle. CR. 140. 1446.

Interferenz.

1078. B.W. Wood. Some new cases
of interference and diffraction. P.P.S.
L. 19. 86.

1079. P. Staeckel Über ein in der
I Optik auftretendes bestimmtes IntegraL

A.Gr. (3) 8. 245.

1080. E. Gehrcke. Über Interferenz-
punkte. V.D.P.a. 7. 236.

1081. B. W. Wood. The achromati-
zation of approximately monochromatic
interference fringes by a highly dispersive
medium and the consequent in a case in
the allowable path difterence. P.M. (6)
8. 324. — Lord Bayleigh. 380.

1082. W. Feußner. Über ein Ver-
fahren zur Dickenbestimmung keilför-
miger Schichten durch Interferenzstreifen.
S.G.M. 1903. 76.

1083. M. Laue. Die Erünmiung der
Interferenzstreifen beim Stufengitter.
P.Z. 6. 283.

1084. G. Sagnac. Sur la propagation
de la phase des vibrations et sur les
interf^rences au voisinage d*une ligne
focale. S.F.P. 216. 3.

Siehe auch 952; 2482.

Diffraktion.

1085. A. A. Michelson. A reciprocal
relation in diflraction. P.M. (6) 9. 506.

1086. J. Kießling und E. Barkow,
Über die Entstehung von Beugungsringen
in künstlich durch die Einwirkimg elek-
trischer Kräfte erzeugtem NebeL V.D.
P.G. 7. 11.

1087. /. A. Moore. The loss of light
by diffraction at a narrow slit. A.J.C
20. 285.

lOSS. F.H.Jackson. On the diffraction
of light produced by on opaque prism
of finite angle. P.L.M.S. (2) 1. 898.

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190

Abhandlungsregister 1904—1905.

1089. Ä. W. Porter. On the diflbictioii
Images fonned by a plane diffraction
grating. P.M. (6) 8. 174.

1090. Ä. E. Conrady. An experimental
proof of phase-reverBal in difiiraction
spectara. J.R.M.S. 1906. Nr. 2.

1091. F. Balsamo. Su i fenomeni di
dififrasione di alcuni corpi organizzati in
rapporto alle esperienze di Abbe. B.S.
N.N. 17.

1092. L. Pfaundler, Über die dunklen
Streifen, welche sich auf den nach
Lippmanns Verfahren hergestellten
Photographien sich überdeckender Spek-
tren zeigen. A.P.L. (4) 15. 871.

1098. H. Haga, P. G. Tiddetis et C.
IL Wind. La diflEraction des rayons
Roentgen. A.N. (2) 8. 211.
Siehe auch 1060; 1098; 2507; 3637; 3649.

Polarisation des Lichtes.

1094. F. Zdvlska Über die Polari-
sation von Grenzlinien der Totalreflexion,
(tschech.) M A.T.P. 1903. Nr. 16.

1095. F. Braun. Über mathematische
Gitterpolarisation, insbesondere ihre An-
wendung zur Deutung mikroskopischer
Präparate. A.P.L. (4) 16. 238.

1096. W,Biemacli. Analizator pölcie-
niowy so zastosowaniu do badania Swiatla
spolarizowanego eliptycznie. (Über einen
HflJbschattenanalysator und seine An-
wendung bei der Untersuchung des
elliptisch polarisierten Lichtes.) T.W.
16. 161.

Siehe auch 2489.

' sciolta in miscugli di acqua e di alcool

I etiHco. N.C.P. (6) 8. 365.

I Siehe auch 1110; 1160; 1161; 1164—66.

Einfache Brechung.

1 Siehe 852; 863.

Drehung der Folarisationsebene.

1097. JET. Dufet. Recherches expäri-
mentales sur Texistence de la polarisation
rotatoire dans les cristaux biaxes. J. P.
(4) 3. 757.

1098. M. F. Mc Dowell. Circular
dichroism in natural rotatory Solutions.
P.R. 20. 163.

1099. 0. Schönrock. Über den Ein-
fluß der Beleuchtung auf die Angaben
von Saccharimetern mitKeilkomplasation.
A.P.L. (4) 14. 406.

1 100. E. Biske. Quarzkeilkolorimeter.
A.P.L. (4) 16. 406.

1101. C. Winther. Die Rotations-
dispersion der spontan aktiven Körper.
Z,P.C. 41. 161.

1102. C. S. Hudson. Über die Multi-
rotation des Milchzuckers. Z. P. C. 44. 487.

1108. r. Ghtiesotto e G. Crestani. Sul
potere rotatorio specific© della nicotina

Doppelbrechung.

1104. D. B. Brace. On double re-
fraction in matter moving through the
' aether. P.M. (8) 7. 317.

1106. 0. Wiener. Lamellare Doppel-
brechung. P.Z. 5. 332.
1106. F. Kaempf, Größe und Ursache
1 der Doppelbrechung in Kundtschen
Spiegeln und Erzeugung von Doppel-
' brechung in Metallspiegeln durch Zug.

A.P.L. (4) 16. 308.
I 1107. J. Betff. Die Herstellung dop-
' pelt brechender Körper aus isotropen
. Bestandteilen. D.M. 12. 137.
! llOS.L.N.G.Filon. On the Variation
; with the wave-length of the dooble
I refraction in strained glase. P.C. P.S.

12. 313.
I 1109. F, Zdviska. Verifikation der
j Fresnelschen Gesetze der Doppelbrechmijr
I bei zweiachsigen Kristallen (tschech.,.

M.A.T.P. 1902. Nr. 26.

I 1110. C. Kraft et C. Zakrzeicski. Cne

, m^thode pour ddterminer les directions

I principales et les constantes optiques

dans le cas de la biräfrigence combinee

I avec le pouvoir rotatoire. ß.I.C. 1904. 508.

1 1111. S. Zaremba. Sur un problfeme

d'hydrodynamique li^ ä un cas de dooble

I räfraction accidentelle dans les liquides

et sur les consid^rations th^oriques de

I M. Natanson relatives ä ce ph^nomöne.

, B.LC. 1903. 403.

1112. L. Natanson. Sur une parti-
cularit^ de la double räfraction acci-
dentelle dans les liquides. J.P. (4) 4.
183.

1118. L. Natanson. Sur une parti-
cularit^ de la double räfraction acci-
dentelle dans les liquides pouvant servir
ä la determination de leur tempe de
relaxation. B.LC. 1904. 1; 103. - S.
Zaremba 97.

1114. C. Zakrewsky. Sur la position
des axes optques dans les liquides d^
form^s. B.LC. 1904. 50.

1115. S. Zaremba. Note sur la double
räfraction accidentelle de la Imni^
dans les liquides. J.P. (4) 3. 606; 4. 514.

1116. C. Chefieveau. Sur les ponvoin
r^fringents des corps diasous. ho^
approch^es. CR. 138. 1578.

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Abhandlungsregister 1904—1905.

191

1117, G. Quincke. Doppelbrechuiiff
der Gallerte beim Aufquellen und
Schrumpfen. A.P.L. (4) 14. 849; 15. 1.

1118. J. James. Die Abraham-Le-
moinesche Methode zur Messung sehr
kleiner Zeitintervalle und ihre Anwen-
dung zur Bestimmung der Richtung
und Geschwindigkeit der Entladung in
Entladungsröhren. A.P.L. (4) 15. 954.
Siehe auch 473; 10S4; 1148; 1144;

1161—68; 8148.

Breehnngsindex.

lllö. C. Cheneveau. Sur Tindice de
r^&action des Solutions. C.B. 188. 1488;
139. 361.

1120. Z. ZaninL Süll' indice di
rifrazione delle soluzioni. R.F.M. 6. A.
3: 118; 198; 501.

1121. F, Heß. Über das Brechun^s-
vermögen von Mischungen zweier Flüssig-
keiten unter Berücksichtigung der beim
Mischen eintretenden Volumänderung.
A.A.W. 1905. 312.

1122. H. Nakaoka. Relation between
the index of refraction and density. P.
T.M. 2. 298.

1128. P. Pantanelli. Peso specifico
e indice di refrazione del quarzo fuso.
P.S.T.P. 14. 67.

1124. J. Koch. BestimmuUj^ des
Brechungsindezes des H, der CO, und
des O im Ultrarot. A.P.L. (4) 17. 658.
Siehe auch 999; 1127; 1128; 1130; 2493.

Thermooptik.

1125. B. V. Bevan. The temperature
effect in the combination of Hydrogen
and Chlorine undßr the influence of light.
P.C. P.S. 12. 898.

1126. U. Panichi. Influenza della
variazione della temperatura e piü
specialmente dei forti raffireddamenti
sul comportamento ottico di alcuni mi-
nerali. A.L.M. (5) 4. 389.

1127. L. de BaU. On the influence
of vapour pressure on refraction. M.N.
A.S. 66. 750.

1128. F. F. Härtens und F. J. Micheli.
(jber den Einfluß von Temperatur und
Dichte auf Brechungsexponenten nach
Beobachtungen an Flußspat. V.D.P.G.
6. 308.

1129. B. Lmccls. Bemerkungen zu
dem Gesetz der Helligkeitszunahme eines
glühenden Körpers mit der Temperatur.
P Z 6 19

1130. F. F. Martern ^i F. J. Micheli.
Influence de la temperature et de la di-

latation sur les indices de refraction
d^apr^s les observations sur le spath
fluor et le quartz. A.S. Gr. (4) 19. 585.

1181. F. Hasenöhrl. Über die Rezi-
prozität des Strahlungsganges in be-
wegten Körpern. Thermodynamische Ab-
leitungen des Fresnelschen Fortführungs-
koeffizienten. S.A.W. 118. 493.

1182. M. IkU. Optische Methoden
zur Messung hoher Temperaturen. P.Z.
6. 450.

1188. Le Bei. Sur l'^quilibre ther-
mique. S.F.P. 229. 7.

Siehe auch 1408; 8611.

Elektrooptik.

1184. M. Beinganum. Bemerkung zur
Elektrooptik der Metalle. A.P.L. (4)
16. 958; 17. 196.

1186. F. Haqen and H, Bubens. On
some relations between the optical and
the electrical qualities of metals. P.M.
(6) 7. 157.

1 1 86. H. Kochan. Die lichtelektrischen
Erscheinungen an Metallen in Elektro-
lyten. J.R.E. 2. 186.

1187. B. Gi'oselj. Einige Messungen
betrefi^end die spezifische Jonenffesch win-
digkeit bei lichtelektrischen Entladungen.
S.A.W. 118. 1131.

1188. E. Goldstein. Über elektrische
Entladungserscheinungen und ihre
Spektra. V.D.P.G. 8. 315.

1189. H. Scholl Photoelektrische Er-
scheinungen an feuchtem Jodsilber. A.
P.L. (4) 16. 193; 417.

llAO. F. B. V. Schiveidlei'. Zur Theorie
des photoelektrischen Stromes. A.A.W.
1904. 253; S.A.W. 113. 1120.

1141. iT. Pribram. Über das Leuchten
verdünnter Gase im Teslafeld. S.A.W.
113. 4«9.

1142. J. Stark. Über die Entstehung
der elektrischen Gasspektra. A.P.L. (4)
14. 506.

1148. G. W. Ehnen. Über elektrische
Doppelbrechung in SchwefelkohlensteflT
bei niedrigem Potential. A.P.L. (4) 16. 350.

1144. G. W. Elniin. Electric double
refraction in carbon disulphide at low
Potentials. P.R. 20. 54.

1145. W. Voigt. An effect of elec-
trical vibrations in an optically active
medium. B.B.A. 74. 466.

1146. P. Drude. Optische Eigen-
schaften und Elektronentheorie. A.P.
L. (4) 14. 677. 936.

Siehe auch 1161; 1552; 1553; 8128;
3163; 3605.

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192

AbhandluDgRregister 1904—1905.

Elektrisches Licht.

1147. a D. Child. The electric arc.
P.R. 19. 117.

1148. W. S. Weedon. A contribatioD '
to the study of the electric arc. T.A.
ES. 6. 171. '

1149. H. T. Simon. Über die Dynamik .
der Lichtbogenvorgänge und über Licht- .
boffenbysteresi«. P.Z. 6. 297.

1150. E. Bosch. Gasentladungen und i
Lichtbögen mit glühenden Leitern •
2. Klasse als Strombasis. P.Z. 6. 375. |
Siehe auch 1157; 1600; 1607; 3021;

3601; 3633.

Magnetoptik. |

1151. 31. Otta. Ncktere nov^ magneto- .
optick^ pokusy. (Einige neue magneto- '
optische Versuche.) C. 83. 146.

115t{. A. Sella. AJla ricerca di un
fenomeno ottico-magnetico. R.A.L.R.
(6) 13 B. 148.

1158. F. Be. I fenomeni magneto-
ottici Majorana. B.F.M. 5A. 534. ;

1164. L. HoülUvigne et H. Passa. '
Propriät^s magn^to-optiques du fer iono- '
plastique. CR. 141. 29.

1155. P. Zeemann. Strahlung des
Lichtes in magnetischem Felde. N.R.
20. 837. ;

115«. C. D. Child. The arc in a
magnetic field. P.R. 20. 100.

1157. E. Martin. Wirkung magne-
tischer Querkräfte auf einen Gleichstrom-
lichtbogen mit geradliniger Strombahn.
V.D.P.G 6. 199.

1158. P. Zonta. Su lo spettro emesso
dai tubi di Geissler nel campo magnetico.
N.C.P. (5) 7. 321.

1159. J. J. Hallo. La rotation magn^-
tique du plan de polarisation dans le
voisinage dWe bände d'absorption. A.
N. (2) 10 148.

1160. F. Agerer. Über magnetische
Drehung der Polarisationsebene des
Lichtes in Salzlösungen und Bestimmung
der absoluten magnetooptischen Kon-
stanten für Wasser. A.A.W. 1905. 142;
S.A.W. 114. 803.

1161. S. Kah'nowski. dzialaniu
nastfpozem przy podwöjnem zalamaniu
6wiatla w cieczach electryznie odksztal-
eonych i przy magnetycznem skrtcaniu
plaszczyzny polaryzacyi w cieczach.
(Über die Verzögerungserscheinung bei
der elektrischen Doppelbrechung und
bei der magnetischen Drehung der
Polarisationseoene bei denFlüssiffkeiten.)
T.W. 16. 1.

1162. /. Geest, über die Doppel-
brechung von Na-Dampf im magnetischen
Felde. P.Z. 6. 166.

116S. J. Geest. La double r^&action
de la vapeur de sodium. A.N. (2) 10.
291.

1164. B. W. Wood and H. W. Spring-
steen. The magnetic rotation of sodium
vapor. P.R. 21. 41.

1165. P. Zeemann. Dabbele breking
in een magnetisch veld in the nabijheid
van magnetisch gesplitste absozptiel^jnexi.
C.A.A. 13. 516.

1166. L. H. Siertsema. Onderzoek van
eene foutenbron bij het meten van mag-
netische draaiingen van het polarisatiev-
lak in absorbeerende oplossinger. C. A.A.
12. 749.

Zeemansehes Ph&nomen.

3 zur Theorie
. (4) 15. 107.

1167.^.^.i?o66. Beitrag
des Zeemaneifektes. A.P.

Elektromagnetisehe Liehttheorie.

1168. A. Garbasso. Teoria elettro-
magnetica della luce. M. A. T. (2) 58. 127.

1169. Gray. Electromagnetic theory
of light. P.P.S.G. 35.

1170. H. T. Eddy. The electro-
magnetic theory and the velocity of
light. P.R. 20. 193.

1171. A. Einstein. Über einen die
Erzeugung und Verwandlung des Lichtes
betreuenden heuristischen Gesichtspunkt.
A.P.L. (4) 17. 132.

1172. A. Garbasso. Le scariche os-
cillanti nei sistemi di conduttori com-
plessi e la teoria elettromagnetica dell'
analisi spettrale. N.C.P. (5) 8. 344.

1178. A. Garbasso. Le scariche os-
cillanti nei sistemi di conduttori com-
plessi e teoria elettromagnetica dell*
analisi spettrale. N.C.P. (5) 8. 344; 393;
9. 31.

Siehe auch 1496; 1695; 3648.

Photometrie.

1174. A. Schmidt. Beschränkung und
Erweiterung meines Helligkeitsgesetzes.
P.Z. 5. 528.

1175. G. F. Eyde. On the theory of
the Matthews and the Russel-Ldonard
photometers for the measurement of
mean spherical and mean hemispherical
intensities. B. B.S.W. 1. 255.

11 7 V. A. Vaillant. Sur la compaia-
bilite des d^terminations spectrophoto-
mätriques. CR. 138. 1088.

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Abhandlangsregister 1904—1906.

193

im* A. W. Roberts. Ä coneideration
of close binary Systems in relation to
light yariations. B.A.A. 1. 110.
Siehe auch 1178; 1404; 8602; 3608; 3613;
3620; 3623; 3634; 3646.

Physiologische Optik.

1178. D. A. Goldhamm&r. Die Farben-
empfindlichkeit des Auges imd die photo-
metrische Helligkeit der leuchtenden
Körper. A.P.L. (4) 16. 621.

1179. V. Grünbera. Farbengleichung
mit Zuhilfenahme aer 3 Grundempfin-
dungen im Young-Helmholtzschen Far-
bensystem. A.P.L. (4) 17. 166.

Siehe auch 1041; 2606.

Optische Tftnschung.

1180. P. Czermdk. Eine virtuelle
stereoskopische Täuschung. Z.P. 17. 341.

Scheinbare Gestalt des Himmels-
gewölbes.

1181. R. Mawr. Die scheinbare Ver-
größerung von Sonne, Mond und Stern-
bildern am Horizont. A. F. G. P. 101. 349.

1182. A. C. Jouffray. Sur l'agrandis-
sement des astres ä Ihorizont. B.S.A.
F. 17. 448.

1188. N. Die Vergrößerung der Ge-
stirne am Horizont. D.W.B. 3. 126.

1184. L. Weber. Die scheinbare
Größe des Mondes am Horizont. W.T.
H.A. 8.

Wftrmelehre.

1185. E, Ferron. Contribution ä la
th^rie mathämatique de la chaleur.
IL. 27. 27.

1186. H. A Wilson. On convection
of heat. P.C. P.S. 12. 406.

1187. W. P. Bradley and 0. F. Haie.
The distribution of temperature in an
air liquefier of the single-circuit type.
RR. 19. 387.

1188. J. Boussinesq^. Sur Tunicit^ de
la Solution simple fondamentale et de
Texpression asymptotique des tempä-
ratures dans le probl^me de refroidisse-
ment. B. D. (2) 28. 46.

1189. /. Perry. »tp lines of total
heat. N. 70. 100-

1190. T. Martini. SuUe varie ipotesi
intese a spiegare Teffetto Pouillet (calore
Bvolto nel bagnare le polveri e i corpi
porosi). A.J.V. (8) 6.

Siehe auch 690; 671; 3807; 3810; 3816;
8843; 3862; 3867.

Wftrmequellen.

Siehe 3848.

WMrmefortpflanznng.

Siehe 3809.

Undnlationstheorie der Wärme.

Siehe 876; 3860.

Wftrmekapasitit.

Siehe 8866.

Temperatur.

Siehe 641; 1187.

Thermostatik.

1191. P. JDuhem. Sur T^quilibre de
temperature d'un corps invariable et la
stabilite de cet <Squilibre. J.M. (8) 1. 77.

1192. E. Jouguet. Sur la stabilitä
de r^quilibre. P.S.B. 1902—8. 116.

1198. P. Duhem. Sur les conditions
n^cessaires pour la stabilit^ initiale d'un
milieu vitreux. P.S.B. 1902—3. 62.

Thermodynamik.

1194. K. V. Wesendonk. Zur Thermo-
dynamik. A.P.L. (4) 16. 568; P.Z. 6. 60.

1196. H. N. Davis. A PQ plane for
thermodynamic analysis. P. A. Bo. 40. 629.

1196. G. Belluzzo. Principi di termo-
dinamica grafica. N.G P. (8) 8. 196; 241.

1197. H. Diemer. Thermal diagrams.
B.Ü.K.L. 2 No. 6.

1198. E. Buckingham. On certain dif-
ficulties which are encountered in the
study of therroodynamics. P. M. (6) 9. 208.

1199. A. H. Bucherer. Zur Thermo-
dynamik der radioaktiven Vorgänge.
P.Z. 6. 780.

1200. P. N. Pavlov. Über eine Eigen-
schaft des thermodynamischen Potentials
des kristallinischen Mittels (russ.). M. S. 0.
26. 165.

1201 . P. N. Pavlov. Über das thermo-
dynamische Potential der chemischen
Elemente und ihrer Verbindungen.
M.S.0 27.

1202. W P. Botmton. Thermodyna-
mical Potentials. P.B. 20. 259.

1208. A. Einstein. Zur allgemeiuen
molekularen Theorie der Wärme. A.P.L.
(4) 14. 364.

1204. A. Einstein. Über die von
der molekularkinetischen Theorie der

Zeitaehrift f. Mathematik u. Physik. 63. Band. 1906. S.Heft.

13

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194

AbhandlungBregister 1904 — 1905.

Wärme geforderten Bewegung yon in
Tobenden FlüsBigkeiten suspendierten
Theilchen. A.P.L. (4) 17. 549.

1205. J, Boussiyiesq. Pouvoir refroi-
dissant d*un courant flnide, faiblement
condacteur sor un corps limit^ en tont
Bens. CR. 138. 1189.

1206. J. Boussinesq, Pouvoir refroi-
dissant d^un courant fluide, faiblement
conducteur, sur un cylindre ind^fini
de section droite quelconque et dont
Taxe est normale au courant. CR. 138.
1134.

1207* J. Boussinesq. Conductibilit^
ext^rieure ou superficielle repr^entative
pour un Corps donn^ du pouvoir refroi-
dissant d'un courant fluide. C R. 140. 65.

1208* C. Forch. Bemerkung zu einer
Arbeit des Herrn E. Scbaposchnikow
über: eine empirische Beziehung zwischen
den Dichten zweier Flüssigkeiten. P. Z.
6. 683.

1209* J, Fitsch, über den Zusammen-
hang der spezifischen Volumina einer
Flüssiffkeit und ihres gesättigten
Dampfes. S.A.W. 113. 849; A.A.W.
1904. 218.

1210. Lord Bayleigh. On the pres-
sure of gases and the equation of virial.
P.M. (6) 9. 494.

1211. C. Dieterici. Über die kalori-
metrischen Eigenschaften des Wassers
und seines Dampfes bei hohen Tempe-
raturen. D.V.N. 76 B. 28.

1212. M. Beinganutn. Zur Dampf-
dichtebestimmun^ nach der Gay-Lnssac-
Hofimannschen Methode. V. D. P. G. 7. 75.

1218. 0. Bemer. Die Fortleitung des
überhitzten Wasserdampfes. M.F.I. 21. 1.

1214. Ä. A. Bacon. The equilibrium
pressure of a vapour at a curved sur-
face. P.R. 20. 1.

1215. P. Dükern. Sur une g^n^rali-
sation du thdoröme de Reech. P.S.B.
1902—03. 65.

1216. C. Dieterici. Über die Enerpe
des Wassers und seines Dampfes bei
hohen Temperaturen. V.D.P.G. 6. 228;
P.Z. 5. 660.

1217. JST. V. Wesendofik. Über freie
Energie. P.Z. 6. 545.

1218. J. E. Trevor. The dependence
of free energy upon temperature. J. P. C
9. 299.

1219. C. Dieterici. Die Enermeiso-
thermen des Wassers bei hohen Tempe-
raturen. A.P.L. (4) 16. 907.

1220. P. Duhetn. Sur T^nergie uti-
lisable d'un systäme dont la sunace est
maintenue ä une temperature invariable.
P.S.B. 1902—03. 121.

1221. J. J. van LcMr. Over de ver-
schillende vormen en overgangen der
grenslijnen bij gedeeltelijke mengbaar-
heid van twee vloeisto£Een. C A. A. 13. 685.

1222. P. Duhem. Sur les d^ormations
permanentes de Hiyst^r^sis. S.E.B. 4^
62. No. 1.

1228. r. M. Gard/ner. Determination
of exponents of adiabatics. J.F.I. 159.
199.

1224. Ä. Batschifiski. Erweiterung
des Begriffs der kritischen Größen.
Z.P.C 40. 629.

1226. G. BaJcker. Untersuchungen
über kritische Dichte und die Theorie
von Andrews -van der Waals. A.P.L.
(4) 15. 548.

.. 1226. P. Duhem. Die dauernden
Änderungen und die Thermodynamik IX.
Z.P.C 43. 695.

1227. A. A. Noyes und G. V. Samniet.
Experimentelle Prüfung der thermo-
dynamischen Beziehung zwischen der
Lösungswärme und der Änderung der Löa-
lichkeit mit der Temperatur im Falle
dissoziierter Substanzen. Z.P.C 43. 513.

1228. M. Wildermann. Über den Zu-
sammenhang zwischen Gefrierpunkten,
Siedepunkten und Löslichkeit. Z.P.C.
42. 481.

122». S. Scharbe. Über die Bestim-
mung der Kurve fest -heterogen binärer
Gemische durch kalorimetrische Mess-
ungen. A.P.L. (4) 15. 1046.

1280. J. J. van Laar, Over eenige
verschijnselen , welke kunnen optreden
by de beperkte mengbaarheid van 2
vloeistoffen waarvan de eene anomaal,
speciaal water, is. CA.A. 13. 573.

1281. J. J. van Laar. Sur quelques
phänomenes remarquables chez la mis-
cibilite partielle d'un m^ange de 2 li-
quides dont Tun des deux est anomale.
A.M.T. (2) 9. 369.

1282. /. Perry. A useful empirical
formula. N. 69. 102. — J. D. Everett 151.

1288. A, Batschinski. Beziehungen
für die thermischen Eigenschaften der
Stoffe. A.P.L. (l) 14. 288.

1284. D. A. Goldhammer. prirode
zidkago vozducha. (über die Natur der
flüssigen Luft.) S.M.Ea. (2) 14. 99.

1285. G. Meslin, Sur la constante
de la loi de Mariotte et Gay-Lussac.
J.P. (4) 4. 252.

1286. K. HälUten. Eine Bemerkung
zu der Clapeyron-Clausiusschen Gleichung
für die latente Wärme. Z.P.C 42. 869.

1287. F. Richarz. Einige Folgerungen
der Theorie des Gesetzes von Dolong
und Petit. S.G.M. 1904. 61.

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AbhandlungBregiBter 1904—- 1905.

195

1288. F, E, Kester. Der Joule-Thom-
aoneffekt in CO^ P.Z. 6. 44.

1289. P. Dtinem, Sor une g^närali-
•ation du th^or^me de Reech. P.S.B.
1902—08. 66.

Siehe auch 686; 647; 7S6; 772; 849;

860; 9SS; 1181; 1361; 3796; 8818; 8886;

8864; 3866; 3878; 3888.

Zweiter Hanptsats der Thermo-
dynamik.

1240. Scheye. Über die Ableitung des
IntensilAtsgesetzes der Energetik aus
dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
Z.P.C. 44. 496. — G. Helm 498.

Entropie.

1241. J. Stcinhume, J. Perry. Entropy.
N. 70. 64.

1242. 8. H, Burbury. On the theory
of diminishing entropy. P.M. (6) 8. 43.

1248. H. A. Bumstead. On the
yaiiation of entropy as treated by Prof.
WiUard Gibbs. P.M. (6) 7. 8.
Siehe auch 1246; 3841; 8898.

Kreisprozesse.

1244. S. VdlenHner, Über den maxi-
malen Wirkungsgrad umkehrbarer Kreis-
prozesse. A.P.L. (4) 16. 829.

1245. W, MeF. Orr. On Clausius'
theorem for irreversible cycles and on
the increase of entropy. P.M. (6) 8.
609. — M. Planck 9. 167.

1246. H. Hort, Über die Beurteilung
von Dämpfen, die in Heiß-, Abwärme- und
Kaltdampftnaschinen die Kreisprozesse
▼ermitteln. Z.G.K. 11. 201.

Dämpfe.

Siehe 1212; 1216; 8797— 99; 8803; 8808;

3819; 8824; 3829; 3884; 3889; 8844; 8846;

8849; 8868; 3872; 3877; 3897.

Yerd«mpfting8wärme.

1247. Ä, J. BaUchinski. Über die
.Besiehung zwischen der Yerdampfungs-
-w^rme und den kritischen Größen.
Ä.P.C. 43. 869.

1248. E. Mathias. Sur la chaleur de
Vaporisation des gaz liqu^fi^s. CR.
140. 1174.

1249. E. C. Fetmer and F. K. Eicht-
^nuyr. The heat of Vaporisation of liquid
aJr. P.R. 20. 77.

1250. W. Kwrhatoff, Über die Ver-
dampfungswärme des Hg. Z. P. C. 48. 104.

Siehe auch 1608.

Misehungswärme.

1251. B, M. Clarke. Bestimmung
einieer Mischungswäcmen. P.Z. 6. 164.

1252. /. J. van Laar. Over meng-
wärmten bij associeerende oplosmiddelen.
C.A.A. 13. 121.

1258. E. Base, Bemerkungen über
Julius Thomsons Messungen der
Mischungswärmen von Säuren. P.Z. 6.
648.

Siehe auch 741.

Kftltemischungen.

Siehe 8811; 3812; 3832; 3891; 3905.

Mechanisches Wärmeäquivalent.

1254. H. T. Barnes. Mechanical
eqnivalent of heat. W. E. 35. 297.

1255. U, Behn. Über das Verhältnis
der mittleren (Bunsenschen) Kalorie zur
16* Kalorie. S.A.B. 1906. 72.

1256. C. Dieterici. Über die Plüssig-
keitswärme des Wassers und das mecha-
nische Wärmeäquivalent. A.P.L. (4) 16.
693.

Siehe auch 2344; 2479; 3813.

Spezifische Wärme.

1257. Ä. 2). Bogo^avlenskij, Ob iz-
menenii teploemkoste kristalliceskich
veS6estv s temperaturoju. T.N.J. 18.

1258. N. Stücker. Neuere Bestim-
mungen der spezifischen Wärme einiger
Metalle bei höheren Temperaturen.
S.A.W. 114. 667.

1259. L. Holborn und L. ÄusHn.
Über die spezifisdie Wärme der Gase
bei höherer Temperatur. A.P.T.R. 4.
131; S.A.B. 1906. 175.

1260. H. Lorenz. Die spezifische
Wärme des überhitzten Wasserdampfes.
P.Z. 5. 883; M.F.I. 21. 93.

1261. F. Eicharz. Bestimmung des
Verhältnisses K der beiden spezifischen
Wärmen Cp : c» von Ozon. S.G.M.
1904. 57.

1262. S. Valentiner. Über die Ab-
hängigkeit des Verhältnisses Cp : c. der
speziächen Wärmen des N vom Druck
bei der Temperatur der flüssigen Luft.
A.P.L. (4) 15. 74.

1268. E. Mathias. Remarques au
sujet du memoire de M. Dieterici inti-

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196

AbhandlunggregiBter 1904—1906.

tul^ leB chaleurs sp^cifiqnes de Tacide
cAibonique et de risopentane. J.P. (4)
3 939

Siehe auch 1303; 3894; 3896.

L9sttngeii.

1261. /. Traube. A theory of solntions.
P.M. (6) 8. 168.

1266. E. Äri^. Theorie des solntions
dilu^es, bas^ sni la loi de Van^t Hoif.
CR. 139. 401.

1266. G, Martin. A contribution to
the theory of Solution. J.P.C. 9. 149.

1267. /. B. Goebel Zahlenbeispiel
zur neueren Theorie der Lösungen.
Z.P.C. 42. 59.

1268. H. Jahn. Entwurf einer er-
weiterten Theorie der verdünnten
Lösungen. Z.P.C. 41. 267.

126». F. Rothmwid und N. T. M.
Wüsniore. Die Gegenseitigkeit der Lös-
lichkeitsbeeinflussung. Z.P.C. 40. 611.

1270. W. Meyerhoffer. Über den
Entdecker der Knicke und Löslichkeits-
kurven. Z.P.C. 42. 601. — W. Ostwäld
603.

1271. G. Bruni e Ä. Callepari. Sul
congelamento delle soluzioni in solventi
dimorfi. R.A.L.R. (6) 13A. 481.

1272. E. Brunner. Zur Theorie der
elektrolytischen Lösungstensionen. Z.E.
11. 416.

1278. F. Kohlrausch. Über gesättigte
wäßrige Lösungen schwerlöslicher Salze.
Z.P.C. 44. 197.

1274. P. Vaillant Sur la density
des solntions salines aqueuses considär^e
comme propri^tö additive des ions et
sur Texistence de quelques ions hydrates.
CR. 138. 1210.

1275. J. Schurr. Recherches sur la
vitesse de dissolution des sels dans leurs
Solutions aqueuses. J.C.P. 2. 246; J.P.
(4) 4. 17:

1276. B. Ahegg und H. Biesenfeld.
Über das Lösungsvermögen von Salz-
lösungen für N H^ nach Messungen
seines Partialdruckes I. Z.P.C. 40. 84.

1277. J. Billitzer. Über die saure
Natur des Acetylens. Z.P.C 40. 536.
Siehe auch 631; 632; 746; 747; 911;
919; 927—29; 1112; 1118; 1227; 1309;

2364—66.

lonentheorie.

127S. Hübler. Die lonentheorie. J.N.
K. 1904 06. 27.

1279. J. S. Towmend. The genesis
of ions by the motion of positive ions

in a gas and a theory of the sparking
Potential. P.M. (6) 6. 698.

1280. E. Meyer und E. Müüer. Über
die Ursache der Ionisation der P-Luft
V.D.P.G. 6. 382.

1281. C. Böhm-Wendt. Über die
Ionisation verschiedener Gase und
Dämpfe durch Poloniumstrahlen. P.Z.
6. 609.

1282. Ä. Beychler. Quelques con-
sid^rations ä. Tappui de la throne des
„ions mobiles". J.CP. 2. 307.

1288. E. Bloch. Sur la mesure de
la mobilitä des ions dans les gaz par
une m^thode de zero. CR. 188. 1492.

1284. B. Megg und W. Gaus. Bei-
träge zur Theorie der direkten Bestim-
mungsmethode von lonenbeweglich-
keiten. Z.P.C. 10. 737.

1285. F. H. Getman. A model illos-
trating Hittorfs' Theory of the migration
velocities of ions. S. (2) 21. 163.

1286. P Fei'chland. Über einseitige
lonenwanderung und über nicht parallele
Wanderung von Anion und Kation. C Z,
28. 864.

1287. A. Wehnelt Über den Aus-
tritt negativer Ionen aus glühenden
Metallverbindungen und damit zusam-
menhängende Erscheinungen. A.P.L. (4)
14. 426.

1288. S, Tijmstra. Notiz über lonan-
geschwindigkeit. Z.E. 11. 249. — H.
Danneel 249.

1289. E. B. V. Schweidler. Über die
spezifische Geschwindigkeit der Ionen
in schlecht leitenden Flüssigkeiten.
A.A.W. 1904. 198.

1290. E. V. Schweidler. Über die
spezifische Geschwindigkeit der Ionen
in schlecht leitenden Flüssigkeiten.
S.A.W. 118. 881.

1291. B. D. Steele. Die Messung
von lonengeschwindigkeiten in wäßrigen
Lösungen und die Existenz komplexer
Ionen. Z.P.C 40. 689.

1292. L. A. Parsons. The energy
of ions. T.A.E.S. 6. 181.

1293. S. Townsend. The charges on
ions. P.M. (6) 7. 276.

1294. C. Nordmann. Methode pour
Tenr^gistrement continu de l'^tat d'ioni-
sation des gaz. lonographe. CR. 138.
1418.

1296. T. Betschinsky. Über die
Wiedervereinigung der Ionen in Luft.
A.P.L. (4) 17. 618.

1296. Langevin. Recombinaison et
diffusion des ions gazeux. J. P. (4) 4. 322.

1297. B. K. Mc Clung. The rela-
tion between the rate of recombination

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Abhandltinggregister 1904—1906.

197

of ions in air and the temperatore of
the air. P.M (6) 6. 656.

1208. J. J. Thomson. The rate of
recombination and the size of gazeous
ione. P.C.P.S. 13. 170.

1299. G. W. Walker, On the rate
of recombination of ions in gases. P.M.
(6) 8. 211.

1800. 0. W. Eiehardaon. The theory
of the rate of recombination of ions in
gases. P.C.P.S. 12. 144.

1801. E. H. Riesenfeld. Über den
Moleknlarzustand von Jodkalium in Phe-
nol. Z.P.C. 41. 346.

1802. Ä, Thiel. Die Löslichkeit
homogener Mischungen und die ge-
mischten Depolarisatoren. Z.P.C 43.641.
Siehe auch 889; 1137; 1274; 1490; 1501;
1611; 1580; 1609; 1685; 2273— 77; 2368;

2370; 2600; 2601; 2791; 3203; 3669.

Thermische Ausdehnung.

I. B. A. Behrend, J. Perry. Ex-
pansion curves. N. 69. 66.

1804. H. D. Ayres. Coefficients of
linear expansion at low temperature.
P.R. 20. 38.

1805. /. S. Shearer. Note on Coeffi-
cients of expansion at low temperature
P.R. 20. 52.

1806. JT. F. Slotte. Über die ther-
mische Ausdehnung und die spezifische
Wärme einfacher fester Körper. B. F. F.
44. 121.

1807. H. Mc Ällister Bandall On
the coefficient of expansion of quartz.
RR. 20. 10.

1808. P. Chappius. Determination
de la dilatation du mercure. J. P. (4) 4. 12.

1309. G. Landezen. Izoledovanija
teplovogo rassirenija vodnych rastvorov.
(Untersuchungen über die Wärmeaus-
dehnnng wässriger Lösungen.) T. N. J. 14.

1810. A. Jaquerod et F. L. Perrot.
Sur le point de fusion de Tor et la
dilatation de quelques gaz ä haute tem-
perature. A.S.G. (4) 20. 28; 128.

1811. H. M. Randatt. The coefficient
of expansion of Ni at its critical tem-
perature. P.R. 20. 85.

1812. 0. Tundirz. Die innere Arbeit
bei der isothermen Ausdehnung des
trocken gesättigten Wasserdampfes.
S.A.W. 113. 380.

Zustandsgleiehung.

1818. J. D. van der Waals. De vloei
gtoftoestand en de toestandsvergelijking.
C.A.A. 12. 82.

1814. J. B. van der Wacds. L'^tat
liquide et T^quation d'^tat. J. C.P. 2. 7 ;
A.N. (2) 9. 1.

1815. P. Kohnstamm. Sur F^quation
d'etat de van der Waals. J.C. P. 3. 170.

1816. J. J. van Laar, Quelques re-
marques sur r^quation d^^tat. A.M.T.
(2) 9. 413.

1817. J. L. Verscheffelt Bijdrage tot
de kennis van het t^-rlak van van der
Waals. VII— VIII. C.A.A. 12. 69; 623.

1818. H. Kamerlingh Onnes en C.
Zakrzewski. B\jdragen tot de kennis
van het '^-ylak van van der Waals.
C.A.A. 12. 838; 885.

1819. P. Kohnstam. Over de toestands-
vergelijkingen van van der Waalsv
C.A.A. 12. 948.

1820. P. Ehrenfest Zur Berechnung
der Voiumkorrektion in der Zustands-
gleiehung von van der Waals. S.A.W.
112. 1107.

1821. E. Mathias. La constante a
des diam^tres rectilignes et les lois des
^tats correspondants. J.P. (4) 4. 77.

1822. E. Haentzschel. Ober die Be-
rechnung der Konstanten a und b der
van der Waalsschen Gleichung aus den
kritischen Werten. A.P.L. (4) 16. 565.
— J. P. Kuenen 17. 189.

1828. E. Haentzschel Über die Be
rechnung der Eonstanten a und b der
van der Waalsschen Grleichung aus den
kritischen Werten. V.D.P.G. 7. 61.

1824. J. D. van der Wacds. La
Variation de la grandeur b de Täquation
d^^tat consid^räe comme une diminution
apparente de la mol^cule. A.N. (2) 9.
381.

1825. H. Kamerlingh Onnes en H,
Happel. De voorstellmg van de con-
tinuiteit van den vloeibaren en gas-
vormigen toestand eenerzijds en de
verschillende vaste aggregaattoestanden
anderzijds door het en&opie-volume-
energievlak van Gibbs. C.A.A. 12.228.

1826. H. Kamerlingh Onnes et H.
Happel. La räpr^sentation de la con-
tinuit^ des ätats liquide et ffazeux d'une
part et des divers ätats solides d'autre
part par la surface entropie-volume-
Energie de Gibbs. A.N. (2) 10. 62.

1827. P. Kohnstamm. Sur les ^qua-
tions de Clausius et de van der Waals
pour la trajectoire libre mojenne et le
nombre des chocs. J.C.P. 3. 161.

1828. G, Carrara e A. Coppadoro.
Sul comportamento e sul punto di fu-
sione di alcune sostanze organiche a
bassissima temperature. A.L.M. (5) 4.
318.

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198

AbhAndlmigsreguier 1904—1905.

1829* A. Srnüs. Het beloop der op-
losbaarheidskromme in het gebied der
kriÜBche temperaturen yan binaire meng-
selB. C.A.A. 12. 669.

1880. J. D. van der WaaU. De
transfonuatie van een zigplooi in een
hoofdplooi en omgekeerd. C. A. A. 1 3. 626.

1881. /. D. van der WaaU. Sor la
trangformation d^m pli latäral en pli
pnncipal et inversement. A.N. (2) 10.
284.

1882. A. Smits. Over de verBchyn-
selen die optreden, wanneer by een
binair stelBel de plooipuntBkromme de
oplosbaarheidslijn ontmoet. C. A. A 13. 90.

1888* /. /. van Laar. Een nauw-
keorige uitdmkking voor het verloop
der spinodale lijnen en van hunne
plooi pnnten voor alle temperaturen in
net geval van mengsels van normale
Stoffen. C.A.A. 13. 685.

1884. H. Happel. Das Gesetz der
korrespondierenden Zustände. P.Z. 6.
889.

1885* A. Batschinski. Bemerkung
über das Gesetz der geraden Mittellinie.
Z.P.C. 41. 741.

1886. H. W. BakhuiS'Roozeboom en
A. H. W. Aten. Abnormale oplosbaar-
heidsl^nen bij binaire mengsels tenge-
volge ven het bestaan van verbindingen
in de oplossing. G.A.A. 12. 651.

1887. J. P. Kmnen. Over het kri-
tisch mengpunt van 2 vloeistoffen. O.A.
A. 12. 468.

1888. /. D. van der Waals. Het
evenwicht van een vast lichaam met een
fluide phase vomamelijk in de nabij-
heid van den kritiHchen toestand. C. A. A.
12. 439. 606.

1889. J. D, van der Wacd^. L'öqui-
libre d^un solide avec une phase fluide
principalement au voisinage du point
eritique. A.N. (2) 9. 168.

18iO. A. Smits. Het beloop de oplos-
baarheidskromme in het gebied der
kritische temperaturen van binaire
mengsels C.A.A. 12. 659.

1841. J. E. Verschaffelt. Sur Fallure
des isothermes et de la courbe limite au
voisinage du point eritique. A.N. (2)
9. 125.

1842. P. A. Guye. Nouveau mode
de calcul des poids moläculaires ezacts
des gaz liqu^fiables ä partir de leurs
densitäs, poids atomiques des ^l^ments
constituants : H^ N, Argon, Cl, S, C.
CR. 140. 1241.

1848. 0, Tumtirz. Die stabilen und
labilen Zustände der Flüssigkeiten und
Dämpfe. S.A.W. 114. 167.

1844. L. Marchis. Sur le diagramme
I entropique d*nn sjsttee form^ d^nn
, liquide et de sa vapeur satui^e. J.P. (4)
I 4. 609.

184o. P A. Meerburg. Beitoag zur
Eenntnis der Gleichgewichte in Sys-
temen dreier Komponenten, wobei 2 flüs-
sige Schichten aartreten können. Z.P.C.
40. 641.

1846. J. J. van Laar. Sur quelques
phdnomänes remarquables chez la mis-
cibilit^ partielle d*un mälange de 2 li-
quides dont Tun des deux est anomale.
A.M.T. (2) 9. 869.

1847. J. J. van Laar. Over de ge-
daante van het realizeerbare gededte
der smeltl^n bij binaire mengsels van
isomorphe Stoffen. H— IE. C.A.A. 12.
494; 716.

1848. H. W. BakhuiS'RoozdHHm. De
sublimatielijnen van binaire mengsels.
C.A.A. 12. 591.

1849. J. J. van Laar. V^rifications
d'une formule r<$cente de van der Waals.
A.N. (2) 9. 389.

Siehe auch 739; 741—43; 1221; 1229;
1270; 3888.

Dampfspaimiiiig.

18&0. H. Behenstorff. Demonstration
der Änderungen des Dampfdruckes mit
der Temperatur. Z.P. 17. 213.

1851. C. Dieterici. tJher den Dampf-
druck des Wassers bei hohen Tempera-
turen. A.P.L. (4) 15. 860.

1852. F. A. H. Schreinemakers. Ten-
sions des vapeurs de mälang^ temaires.
A.N. (2) 8. 396; 9. 279.

1858. F. A. H. Schreinemakers. Einige
Bemerkungen über Dampfdrucke temärer
Gemische. Z.P.C. 43. 671.

1854. F.A.H. Schreinemakers. Dampf-
drucke im System: Wasser, Aceton und
Phenol. Z.P.C. 40. 440; 41. 831.

1355. E. P. Berman. Vapour pressure
by air bubbling. J.P.C. 9. 36.

1856. A. Gebhardt. Über den Dampf-
druck von Hg und Na. V.D.P.G. 7.
184.

1857. P. Bogdan. L*influence des
substances non-^lectrolytiques sur la
tension de vapeurs de Taeide ac^tique
dissous dans un milieu dissolvent. A.S.
U.J. 3. 36.

1858. /. BenetH. II calcolo dei ca^
mini par i generatori di vapore. M.I.IL
(5) 9. 435.

Siehe auch 1127; 8896.

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Abhandlungsregister 1904— -1905.

199

Gagtheorie.

1859. J. H. Jeans. The cinetic theory
of gases. P.M. (6) 6. 720; S, H. Burbury

7. 467.

1860. Lord Bayleigh. The djnamical
theory of gasea. N. 71. 669. — J. H,
Jeans, 607.

1861* H. A. Lorentz, La thermody-
namiqne et les thäories cinätiqaee. J.P.
(4) 4. 533.

1862. F. B. Kenrik. A mechanical
model to illustrate the gas laws. J.P.C.

8. 861.

1868. J. H. Jeans. A general dyna-
mical theoxem and its application to
the kinetic theory of gases. Q.J. 85. 209.

1864. P. Langevin. Une formule fon-
damentale de thäorie cin^tique. A.O.P.
(8) 5. 246.

1865. J. M. Bell and /. E, Trevor.
The fiindamantal fdnctions of one-com-
ponent ideal -constitaent gases. J.P.C.

9. 179.

1866. Bayleigh. The dynamical
theory of gases and of radiaton. N. 72.
64; J. H.Jeans 101.

1867. E. Böse. Einetische Theorie
und Badioaktiyität. P.Z. 5. 856; 781.

1868. /. H. Jeans. The resistence
of molecular velocities in the kinetic
theory of gases. P.M. (6) 8. 700.

1869. G. H. Meeker. On the distri-
bution of yelocity among the members
of a group of gasmolecules. J. F. 1. 169. 388.

1870. J. H. Jeans. The determination
of the size of molecnles from the kinetic
theory of gases. P.M. W ö. 692.

1871. D. Berthelot, über den wahr-
scheinlichsten Wert der für den Znstand
vollkommener Grase charakteristischen
Eonstante R. Z.E. 10. 621.

1872. E. Böse. Über die verallge-
meinerte Anffassnng einer Formel der
kinetischen (lastheorie. A.P. L. (4) 16. 166.

1878. H. Nagaoka. On 2 Constants
A^ and^ in the kinetic theory of gases.
IS. 69. 79.

1874. P. Kohnstam. Over de ver-
jpeljjkingen yan Clansins en yan der
Waals voor de gemiddelde weglengde
<en het aantal botsingen. CA. A. 12. 961.

1875. Lord Bayleigh. Über das Gas-
druckgesetz zwischen 75 und 160 mm
^eksilber. Z.P.C. 41. 71.

1876. JP. j^mtc/t. Über die Bestimmung
von Grasdichten bei hohen Temperaturen.
S.A.W. 112. 981.

1877. G.Jäger. Zur kinetischen Theorie
-der Abhängigkeit der Gasdichte von
den äußeren Eräften. S.A.W. 113. 1289.

1878. G. Jäger. Über die Abh9ji|
keit der Gasdichte yon äußeren .
A.A.W 1904. 840.

1879. G. Jäger. Zur Theorie des
MaxweU-Boltzmannschen Gesetzes. A.P.
L. (4) 16. 46.

1880. /. H. Jeans. On the partition
of energy in a System of loaded spheres.
Q.J. 86. 224.

1881. V. Sehaffers. Neuer Apparat
zu den Versuchen über die Gesetee der
Gase und Dämpfe. Z.P. 18. 217.

Siehe auch 666; 886; 1327; 8860.

Wärmeleitimg..

1882. H. Diesselhorst. Berechnung
yon Wärmeleitnngsyersuchen nach einer
graphischen Methode. A.P.T.B. 4. 186.

1888. H. Hecht. F. E. Neumanns
Methode zur Bestimmung der Wärme-
leitungsfähigkeit schlecht leitender Eör-
per in Engel- und Würfelform und ihre
Durchführang an Marmor, Glas, Sand-
stein, Gips, sowie an Serpentin, Basalt.
Schwefel, Steinkohle. A.P.L. (4) 14. 1008.
I 1884. F. L, Perrot. ConductibiUt^
thermique du Bi cristaUis^. A.S.G. (4)
18. 445.

1886. L. W. Austin and C. W. Eastman,
On the relation between heat conduc-
tiyity and density in some of the com-
mon noods. T.A.W. 13. 689.

1886. G Mie. Das Problem der Wärme-
leitung in einem yerseilten elektrischen
Eabel. M.V.G. 86. 166.

1887. A. Wassüiewa. Wärmeleitung
in Ghisgemischen P.Z. 6. 787.

1888. G. Feliciani. Über die Wärme-
leitfähigkeit des Stickstoffdiozyds sowie
einige Bemerkungen zu einer Arbeit des
Herrn Nemst. F.Z. 6. 20.

1889. C, Feliciani. Sul comporta-
mento della conduttiritä termica dei
yapori di pentacloruro di fosforo. B.A.
L.R. (5) 14A. 371.

1890. A. Schmidt. Die Wärmeleitung
der Atmosphäre. B.G. 6. 166.

Siehe auch 643; 1205; 1206; 1607; 1726;
1726; 2189; 3831.

Wärmestrahlnng.

1891. F. Zdvüka. tepelnäm zäfeni.
(Über Wärmestrahlung.) C. 34. 814; 877.

1892. J. H, Jeans. A comparison
between 2 theories of radiation. N. 72.
298.

1898. F. Hasenöhrl. Zur Theorie
der Strahlung bewegter Eörper. S. A.W.

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200

Abhandlimgisregister 1904—1905.

IIS. 1039; A.P.L. (4) 16. 344; 16. Ö89;
A.A.W. 1904. 226.

1394. J. Larmor. On the intenflity
of the natural radiation from moving
bodies and its mechanical reaction. P.M.
(6) 7. 678.

1895. W. Wien. Poyntingscher Satz
und Strahlung. A.P.L. (4) 16. 412.

1896. E. Pringaheim. Über die Strah-
Itingsgesetze. A.Gr. (3) 7. 286; 296.

1^97. E. Böse. Anwendung des Radiums
zur Prüfung des Strahlungsgesetzes für
niedrige Temperaturen. r.Z. 6. 5.

1808. A. L. JDay and C. E. van Orst-
rand. The black body and the measu-
rement of extreme temperatures. A.J.C.
19. 1.

1899. 0. Lummer. Das Gesetz der
schwarzen Strahlung und ihre Verwen-
dung. A.Gr. (3) 8. 227.

1400. M. Abraham. Theorie der
Strahlung und des Strahlungsdruckes.
A.P.L. (4) 14. 236; 1039. — TT. Trien635.

1401. 0. Heaviside. The pressure of
radiation. N. 71. 489.

1402. E. Aschkinafi. Die Wärme-
strahlung der MetaUe. V.D.P.G. 7. 261.

1408. L. Holborn und F. Henning.
Über die Lichtemission und den Schmelz-
punkt einiger Metalle. S.A.B. 1906.
311.

1404. R, Lucas. Über den Temperatur-
unterschied von glühendem Pt und
schwarzem Körper bei gleicher photo-
metrischer HeUigkeit. P.Z. 6. 418.

1406. S. Meyer und E. von Schtceidler.
Über die Strahlung des Uran. S.A.W.
113. 1057.

140«. W. Nemst. Beitrag zur Strah-
lung der Gase. P.Z. 5. 777.

1407. W. Kernst. Beitrag zur Strah-
lung glühender Gase. D.V.N 76 B. 46.

1408. 0. Tumlirz. DieWärmestrahlung
der JET-Flamme. S.A.W. 113. 501.

1409. K. Angström. Die Strahlung
der He&ierlampe. P.Z. 6. 466.

1410. E. Hertzsprung. Zur Strahlung
der Hefherlampe. P.Z. 6. 634.

1411. 0. Tumlirz. Die Gesamtstrahlung
der Hefnerlampe. S.A.W. 112. 1382.

1412. L. W. Hartmann. Über die
Wärmeabgabe glühender Fäden durch
Leitung und Konvektion. P.Z. 6. 579.

1418. S. Tereschin, Die Wärmeabgabe

flühender Fäden und die Lorenzsche
ormel. P.Z. 6. 217.
1414. H. Pellat. Demonstration de
la loi de Maxwell-Bartoli. J.P. (4) 2. 484.
Siehe auch 1023; 1156; 1171; 1366; 1640;
1695; 1901; 1948—50; 2467; 3667; 3800.

Flammen.

Siehe 1499; 1500; 1644; 3826.

Explosion.

1415. H. Mache. (}ber die Explosions-
geschwindigkeit in homogenen Knall-
gasen. S.A.W. 113. 841.

1416. E, Jouguet. Sur Tonde explo-
sive. CR. 140. 709.

1417. B Liouvüle. Sur les pressions
dävelopp^es ä, chaque instant en vase
clos par des poudres coUoidales de
diverses formes. CR. 140. 708.

Siehe auch 509; 616; 664; 2428; 2771;
3260; 3835; 3837; 3866.

Wärmemessung.

1418. A, Herlitzka. Su un nuovo
metodo di registrazione grafica della
temperatura. R.A.L.R. 13B. 447.

1419. H Edwards. Notes on resis-
tance measuremenf in platinum thermo-
metry. P.A.Bo. 40 549.

1420. B. Meilink. On the measurement
of very low temperatures. CP.L. 93.

1421. U. Behn. Über das Verhältnis
der mittleren (Bunsenschen) Kalorie zur
15^ Kalorie. A.P.L. (4) 16. 663.

Siehe auch 1182; 1211; 1229; 1398; 1622;
8838.

Elektrizität.

1422. S. Kolacek, Elektrina a magno-
tismns. (Elektrizität und Magnetismus.)
R.M.P. 9.

1428. P. de Heen. Prodrome de la
th^orie mäcanique de Tälectricit^. M. S. L.
(8) 5. No. 2,

1424. E, Biecke, Neuere Anschau-
ungen der Elektriztätslehre mit beson-
derer Beziehung auf Probleme der Luft-
elektrizität. A.Gr. (3) 8. 29.

1425. /. Fräser. Suggestions towards
a theory of electricity based on the
bubble atom. P.R.S.E. 25. 680.

1426. G. Crola. Analogie fra idraulica
ed elettricita. Applicazione alla prote-
zione dei impianti elettrici. A.A.E.1.
9. 86.

1427. A. Lanner. Die einheitliche
Behandlung der elektrischen Pemwir-
kungen. Z.H. 86. 177.

Siehe auch 457; 468; 696—67; 706; 851;
862; 997; 1086; 3699.

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Abhandlungsregister 1904—1906.

201

Elektrizitfttserregung.

1428. G. MartineUi. Elettrizzazione
di alcuni dielettrici amorfl mediante
compressione. N.C.P. (6) 7. 212.

1429* Lord Kelvin. On electric in-
sulation in „vacuum". P.M. (6) 8. 634.
Siebe 2963.

Elektrostatik.

1430. V. Posejpal. Fokus z elektro-
statiky. (Versuch aus der Elektrostatik.)
C 84 189

1481. W, Feußner. Zwei elektro-
statische Sätze. S.G.M. 1903. 66.

1482. F. Massardi. Sul problema
generale dell* elettrostatica. A.LY. (8) 6.

1488. T. Levi-Civitä, Sopra un pro-
blema di elettrostatica che si h presen-
tato nella costruzione dei cavi. R. C. M. F.
20. 173.

1484. T. Levi'Civitä. Sopra un pro-
blema di elettrostatica che interessa la
costruzione dei cavi. N.C.F. (5) 8. 187.

1485. Schaff ers. Fression älectro-
statique, pouvoir des pointes et yent
electrique. A.S.B. 29 B. 417.

148G. K. Boesen. Ein elektrostatisches
Induktionsgesetz und seine Anwendung
auf die Erklärung der Wirkungsweise
des Thomsonschen Tropfenkollektors und
der Holtzschen Maschine. Z F. 18. 93.

1487. M. Seddig. Über Faradays Vor-
stellung der elektrischen Vorgänge im
Nichtleiter und Darstellung elektro-
statischer Kraftlinien. N.R. 19. 389.

1488. L. Bevilliod. Mäthode de deter-
mination de capacit^s ^lectrostatiques
par mesures de duräes d'oscillations et
de d^crements logarithmiques. S. E.Z.
2. 3* 23.

1489. K B. Rosa and F. W, Grover.
The absolute measurement of capacity.
B. B.S.W. 1. 163.

144!>. D. König. Die Kapazitöt des
Elektrometers. M.F.G.Z. 8. 10.
Siehe auch 626; 874; 3017.

Elektrische Kraftlinien.

Siehe 1437.

Elektrizitätsentladnng.

1441. H. M. Macdonald. Electric
radiation from conductors. F.L.M.S. (2)
1. 469.

1442. P. Ewers. Die Spitzenentladung
in 1- und 2-atomigen Gasen. P.Z. 6. 138.

1448. E. Warburg. Bemerkung über
die Spitzenentladung. V.D.F.G 6. 209.

1444. K Przibram. Über Büschel-
entladung. S.A.W. 113. 1491.

1445. M. Toepler. Zur Kenntnis der
negativen Streifenentladung. A.F.L. (4)
14. 962.

1446. J. Jatnes. Die Abraham-Lemoine-
sche Methode zur Messung sehr kleiner
Zeitintervalle und ihre Anwendung zur
Bestimmung der Richtung und Ge-
schwindigkeit der Entladung in Ent-
ladungsröhren. S.F.M.E. 36. 1.

Siehe auch 863; 1111; 1187; 1138; 1172;
1178; 1535.

Konduktoren.

1447. E. Älmansi. Sopra i conduttori
cavi. R.A.L.R. (5) 18 B. 12.

1448. 0. M. Corbino. Coppie destale
SU una sfera conduttrice da un campo
rotante. N.C.F. (6) 9. 204.

Siehe auch 1172; 1173; 1441; 1666; 1689.

Elektrisclier Funke.

1440. /. Semenov. Recherches exp^ri-
mentales sur Tetincelle Electrique. A. C. F.
(8) 2. 845.

1450. /. Koch. Einige Untersuchungen
über den elektrischen Funken, besonders
über die physikalischen Bedingungen
für sein Erlöschen. A.F.L. (4) 15. 865.

1451. Ä. Hagenbach, Sur l'efiFet de
Doppler dans T^tincelle Electrique. V. S.
N.G. 86. 16.

14')2. A. Stefanini e L. Ma^. Azione

dei radio sulla scintilla elettnca. N. C. F.
(5) 7. 170.

Siehe auch 1279; 1490; 2492; 3208.

Kondensatoren.

1458. R. F. Earhardt. The absorption
of energy in condensers. F.R. 19. 8.

1454. P. Drude. Die Dämpfung von
Eondensatorkreisen mit Funkenstrecke.
A.F.L. (4) 16. 709.

1455. A. Righi. Sui fenomeni accustici
dei condensatori. R.l.B. C2) 6. 188.

1456. 0. M. Corbino. Sulla viscositä,
dielettrica dei condensatori. N.C F. (6)
9. 81.

1457. If. Morris- Airey and E.D. Spen-
cer. On a suitable arrangement for
determining the capacity of a condenser
by the method of successive discharges.
S.P.M. 48. No. 11.

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202

Abhandlungsregister 1904—1906.

1458. J, G. Coffin. Edge corrections
in the calculation of the absolute capa-
city of condensers by the schwarzian
transformation. P.A.Bo. 39. 416.

1459. N. Bulgakow. Berechnung der
elektrischen Kapazität eines ebenen Kon-
densators von endlichen Dimensionen.
A.P.M. (8) 16. Nr. 3. 1.

1460. E, Hensing. Nachweis der
Oszillationen bei Kondensatorentladun-
gen. Z.P. 18. lo9.

1461. H. C. Parker. Experiments
conceming very brief electrical contacts.
A.A.N.Y. 16. 161.

Siehe auch 1489; 1667; 2961; 2984; 3069;
8090; 3106; 3186; 3196.

Bielektrizität.

1462. W. Sutherlatid. The dielectric
capacity of atoms. P.M. (6) 7. 402.

1468. P. Gouri de Villemantee. Con-
tribution ä Tätude des di^lectriques
liquides. CR. 141. 179.

1464. A. Heydweiller. Über die
dielektrische Festigkeit leitender Flüssig-
keiten. A.P.L. (4) 17. 346.

1465. O. M. Corbino. Über die
dielektrische Viskosität der Dielektrika.
P.Z. 6. 138.

1466. E. Bouty. Goh^sion diälectrique
de la vapeur de Hg et de ses melanges.
J.P. (4) 4. 317.

1407. W, Sutherland. The Cr^mieu-
Pender discovery. P.M. (6) 7. 406.

1469. J. C. FhiJip and 1). Haynes.
The dielectric constants of phenols and
their ethers dissolved in benzene and
m-xylene. J.C.S. 87. 998.

Siehe auch 763; 764; 941; 1428; 1456;
1660; 2280; 2930.

Elektrodynamik.

1469. R. Gans. Die Grundgleichungen
der Elektrodynamik. V.G.H. (2) 8. 208.

1470. W. Wim. über die DifFerential-
^eichungen der Elektrodynamik des
Herrn E. Cohn. A.P.L. (4) 14. 632.

1471. A. W. Conway. A new founda-
tion of electrodynamics. T. S. D. (2) 8. 63.

1472. R. Garn. Zur Elektrodynamik
in bewegten Medien. A.P.L. (4) 16. 616.

1478. E. Cohn. Zur Elektrodynamik
bewegter Systeme. S.A.B. 1904. 1294;
1404.

1474. R. H. Weber. Die Gleichungen
der Elektrod3mamik für bewegte Medien,
abgeleitet aus einer Erweiterung des
Faradayschen Gesetzes. V.G.H. (2)8. 201.

1475. 0. M. Corhino. Über Kräfte-
paare, welche durch ein rotierendes Feld
auf einer leitenden Kugel hervorgerufen
werden. P.Z. 6. 227.

1476. E. Koppe. Berichtigung und
Er^nzung meiner letzten Arbeit über
rotierende Kraftfelder. S.M.H. 4. 171.

1477. E. Bouty. Propagation de
r^lectricit^ ä. travers les couches gazeuses
de grande ^paisseur. CR. 141. 312.

1478. J. J. Hiomsan. On momentum
in electric field. P.M. (6) 8. 331.

1479. G. Piceiati. Sulla teoria del
solenoide elettrodinamico R.A.L.R. (o)
14. A 448.

1480. P. J. Kirkhy. The effect of
the passage of electricity through a
mixture of oxygen and hydrogen at
low pressures. P.M. (6) 7. 223.

1481. P. J. Kirkhy. The union of H
and O at low pressures through the
passage of electricity. P.M. (6) 9. 181.

1482. B. Davis. The electrical con-
ductivity and absorption of energy in
the electrodeless discharge. A.A.N.Y.
16. 198.

Siehe auch 661.

Maxwellsche Gleiehnngen.

148B. C. Neuntaun, über die Maxwell-
Hertzsche Theorie. A.G.L. 27. 211; 763.

1484. F. Richarz. Herleitung des
einen Tripels der Maxwellschen Diffe>
rentialgleichungen aus dem andern mit
Hilfe des Energieprinzips. S.G.M. 1904.
138.

Siehe auch 797.

Elektromotorische Kraft«

1485. G. Carrara e L. d'Agostini.
Sülle forze elettromotrici fra alcuni me-
talli et soluzioni dei loro sali in acqua
e alcool metilico. A.S.C.M. 11.

Siehe auch 1623; 1611; 2840; 2873; 2464;
8096.

Ohmsches Gesetz.

Siehe 3007.

Elektrisches Potential.

1486. L. Guiganino. Sopra ü Poten-
ziale elettrodinamico. N.C.P. (6) 8. 278.

1487. J. S. Townsend. Note on the
Potential required to maintain a current
in a gas. P.M. (6) 8 760.

1488. J, S. Townsend. A theory of
the Variation of the potential required

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Abhandlnngaregiater X904— 1906.

203

to maintain a current in a gas. P.M.
(6) 9. 289.

1489. E. Schuscik. Elektrische Kapa-
zität und elektrisches Potential auf der
Unterstufe des physikalischenünterrichts.
V.V. P.U.W. 9. 66.

1490. /. S. Toioisend and H, E. Hurst,
The genesis of ions bj the motion of
positive ions and a theory of the sparking
Potential. P.M. (6) 8. 788.

1491. H. J. S. Scmd. The measurement
of the Potential of the electrode in statio-
nary iiquids. The determination of
concentration at the cathode during
electrolysis. T.F.S. 1. 1.

1492. G. HerJdotz. über die Berech-
nung retardierter Potentiale. N.G.G.
1904. 549.

1498. K. R. Johnson. Zur Nemst-
Planckschen Theorie über die Potential-
differenz zwischen verdünnten Lösungen.
A.P.L. (4) 14. 996.

1494. H. Greinacher, Über die Ur-
sache des Voltaeffekts, A.P.L. (4) 16. 708.
Siehe auch 939; 1143; 1144; 1279; 1702;
2326; 2368.

Elektrigehe Leitffthigkeit.

1496. jR. V. HafiUnger. Über elektro-
lytische und metallische Leitföhigkeit.
A.A.W. 1906. 318.

1496. A. Philippini. Sopra il feno-
meno della luce. N.C.P. (6) 8. 264.

1497. A. Fisch. Beiträge zur Kenntnis
loser Kontakte. M. P. G. Z. 8. 1 .

1498. P. G. Xutting. Some new recti-
fying effects in conducting gases. B.P.
S.W. 1. 96.

1499. F. Moreau. Recherches sur
la conductibilit<^ ^lectrique des flammes.
B.S.S.O. 12. 666; T.S.U.R. 8. 6.

1500. P. Langeoin et E. Bloch. Sur
la conductibilt^ des gaz issus d'une
flamme. CR. 139. 792.

1501. C. Nordmann. Mesure de la
conductibilit^ des diälectriques au moyen
des gas ionis^:^. CR. 140. 88.

1502. H. Wolff. Beitrag zur Kennt-
nis der Leitfähigkeit gemischter Lösungen
in Elektrolyten. Z.P.C 40. 222.

1508. B. Sahat. Über das Leitver-
mögen der Gemische von Elektrolyten.
Z.P.C 41. 224.

1504. P. C. Nutting. Some new rec-
tifying effects in conductive gases. P.
B. 19. 1.

1505. E. Bloch. Recherches sur la
conductibilitä ^lectrique de Tair pro-
4uite par le P et sur les gaz r^cemment
pr^par^s. A.CP. (8) 4. 25.

1506. G. Budorf. Zur Kenntnis der
Leitfähigkeiten und inneren Reibungen
von Lösungen. Z.P.C 48. 267.

1507. H. W. Goodwin and B. Has-
kell. The electrical conductivity of very
dissolute hydrochloric and nitric acid
Solutions. P.R. 19. 369; P. A. Bo. 40.
399.

1508. W.HeMer, Fluidität und Leit-
föhigkeit einiger konzentrierter wäßriger
Salzlösungen unter 0<». A.P.L. (4) 15.
157.

1509. W. A. Roth. Elektrisches Leit-
vermögen von Kaliumchlorid in Wasser-
ÄthylsOkoholgemischen. Z.P.C. 42. 209.

1510. P. Dutoit et A. Lavier. Con-
ductibilit^s limites de quelques ^ectro-
lytes binaires dans Tacetone. J.C.P. 8.
436.

1511. F. Kohlrausch und E. Ghüneisen.
Das Leitvermögen wäßriger Lösungen
von Elektrolyten mit zweiwertigen Ionen.
S.A.B. 1904. 1216.

1512. H. Muraoka und T. Tamaru.
Über die Veränderung der elektrischen
Leitungsfähigkeit eines Pulvers durch In-
duktion. M.CR. 1. 20.

1518. E.Lohr, Bestimmung der elek-
trischen Leitfähigkeit des Na mit der
Wienschen In duktionswage. A.A.W.
1904. 198.

1514. H. Pellat. Du röle des corpus-
cules dans la formation de la colonne
anodique. Loi g^närale de la magpi^to-
friction. J.P. (4) 3. 434.

Siehe auch 632; 1289; 1290; 1482; 1614;
1624; 2366; 3003.

ElektriBoher Widerstand.

1515. A. Blayik. Resistance au con-
tact. A.CP. (8) 6. 433.

1516. Blanc. Sur la r^sistanee au
contact de 2 m^taux. S.F.P. 229. 4.

1517. A. Righi. Sulla diminuzione
della resistenza prodotta nei cattivi con-
duttori dei raggi del radio. R.A.L.R.
(5) 14 B. 207.

1518. A. Broca et Turchini. Sur la
r^sistance des fils m^talliques pour les
courants ^lectriques de haute fr^quence.
CR. 140. 1238.

1519. Brocca e Turchini. Exp^riences
sur la räsistance des fils mätalliques
pour les courants de haute fr^quence.
S.F.P. 230. 6.

1520. C Benedicks. Der elektrische
Leitungswiderstand des Stahles und des
reinen Fe. Z.P.C 10. 645.

1521. H. Bausrath. Eine allgemein
verwendbare Diiferentialmethode zur Mes-

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204

^bhandlungsregister 1904—1905.

sung kleiner Widerstände. A.P.L. (4)
16. 184.

Siehe anch 1639; 1698; 1694; 1724; 2464;

29Ö7 ; 2984 ; 2900 ; 3019 ; 3060 ; 3095 ; 3106 ;

3124; 3163; 3217.

Elektriseher Strom«

1622. B. Weinstein. Neueste For-
schungen über den elektrischen Strom.
H.E.B. 16. 537.

1523« de Madariaga. Fuerza electro-
tromotoria y intensidad da una corriente
altema. R.A.M. 1.

1524. H. Fallqvist. Über einige ape-
riodische Stromvorgänge. A.P.L. (4)14.
602.

1625« A. Flemifig. A model illustra-
ting the propagation of a periodic elec-
tric current in a telephone cable and
the simple theory of its Operation. P.
P.S.L. 19. 310. P.M. (6) 8. 221.

1526. W. Feussner. Zur Berechnung
der Stromstärke in netzförmigen Leitern.
A.P.L. (4) 16. 385; S.G.M. 1904.83.

1527« W, Rogowski. Ein Beitrag zur
graphischen Behandlung eines Stemsys-
temes. P.Z. 6. 628.

1528. Willame. La capacitt^ unifor-
mtoent repartie. A. S. B. 28 A. 86 ; ß. 351.

152^. M. Grassi. Zur Theorie des
Restßtromes. Z.P.C. 44. 460.

1530. G. W. Walker On Saturation
currents in ionization. P.M. (6) 8. 600.

1581. F. G. CoUrell. Der Reststrom
bei galvanischer Polarisation betrachtet
als ein Diffusionsproblem. Z. P. C. 42. 385.
Siehe auch 1140; 1487; 1488; 1544; 1696
1611—13; 1616—18; 1661; 1696; 1700
1701; 1703; 2619; 2922; 2984;3019;3020
3068; 3086; 3120; 3142; 3144; 3164; 3189;

3196; 3213; 3667.

Gleiehstroni.

1582. Espu/rz. Campos de fuerza en
los hilos recorridos por corrientes con-
tinuas. R.A.M. 1.

1583. Espurz, Coexistenzia de 2 cam-
pos de fuerza en los hilos recorridos por
corrientes continuas. R.A.M. 2. Nr. 2—3.

Siehe auch 1626; 1697—99; 3074.

Wechselstrom. !

1534. V. Noväk. Graficke studium stfi- 1

daveho proudu (Graphisches Studium des i

Wechselstroms). C. 38. 230; 348. I

1636. W. Lessing. Über Wechsel- |
Stromentladungen. V.D.P.G. 6. 340.

1533. G. E. Leühäuser. über eine
Methode zur Analyse von Wechselströmen.
V.D.P.G. 7. 72.

1537. JRevessi. Oscillazioni nelle cor-
renti altemate. A.A.E.L 1904; L.E.R.
(2) 3. Nr. 13—16.

1638. L. Donati. Di una disposizione
per graduare la tensione di correnti al-
ternative. R.LB. (2^ 7. 168.

163». A. Sommerfeld. Über das Wech-
selfeld und den Wechselstrom widerstand
von Spulen und Rollen. A.P.L (4) 15.
673.

1540. W. Mc. F. Orr. Note on the
radiation from an altemating circular
electric current. P.M. (6) 7. 836.

1641. H. T. Simon und M. Beich.
Einige Demonstrationsversuche mit
Wechselstrom höherer Frequenz. P.Z.
6. 369.

1642. W. Duddell. Mesure des petits
courants altematifs. J.P. (4) 4. 5.

1643. DuddeU. Mesure des petits cou-
rants altematifs de haute fräquence. S.
F.P. Nr. 220. 6.

Siehe auch 1523; 1698; 2380—83; 2465;
2628; 2984; 8123; 3125; 3136; 3186; 822 ..

Galyanische Polarisatioii.

1544. A. Schmedts. Recherches sur
la Polarisation produite par le passage
du courant ^lectrique dans la flamme.
B.A.B. 1905. 333.

1646. E. Boihe. Sur la polarisation
des ^lectrodes. S.F.P. 214. 3; J.P. [4>
3. 661.

1646. 2>. B. Brace. Note on the errors
in the half-shade elliptical polarizer. P.
R. 19. 218.

1647. H. Womnielsdorf. Einfluß der
Polarisationsstellung auf die Stromleis-
tung der Influenzmaschinen mit Doppel-
drehung. A.P.L. (4) 15. 842.

Siehe auch 1531; 2682; 2992; 3648.

Elektrisehe Schwingnngeii.

164 5. 0. V. Baeyer. Absorption elek-
trischer Schwingungen von 70 cm. Wellen-
länge. A.P.L. (4) 17. 80.

1549. S. Maisei. Zur Theorie unge-»
dämpiler elektrischer Schwingungen. P.
Z. 6. 38.

166U. W. Mc. F. Orr. The impossi-
bility of undamped vibrations in an un-
bounded dielectric. P.M. (6) G. 672.

1561. B. V. Picou. Oscillations ^iec-
triques et suröl^vations de tension cor-
respondantes. B.S.I.E. (2) 4. 267.

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Abhandltingsregister 1904—1906.

205

. 1552. W, Voigt. Wirkung elektrischer '
Schwingungen in optisch aktiven Körpern.
N.G.G. 1004. 467.

1553. K Gehrcke. Über den Einfluß
elektrischer Schwingungen auf die Breite
der feinsten Spektrallinien. V.D.P.G.
6. 344.

1554. W. Lebedinski. Sur la diminu-
tion de la periode des oscillations ^lec-
triques qui accompagne la diminution du
rayonnement. J.P. (4) 4. 92.

1555* Lord Bayleigh, On the electrical
vibiations associated with thinterminated
conducting rods. P.M. (6) 8. 106.

1556. H. M. Macdonald. On the
electric vibrations associated with thin
terminated conducting rods P.M. (6)
8. 276.

1557. H. Starke. Demonstration von
Kondensatorschwingungen mit dem Sum-
mer. V.D.P.G. 7. 20.

1558* N. Papalexi. Ein Dynamometer

für schnelle elektrische Schwingungen,

Theorie und Versuche. A.P.L. (4) 14. 766.

Siehe auch 498; 1145; 1172; 1178; 1460;

1537; 1704; 8066; 3176; 3209.

Elektrische Wellen.

1559. Arno, Onde hertziane a campo
Ferraris. A.A.E.I. 1904. Nr. 3—4.

1560* B. Arno. Bivelatore di onde
hertziane a campo Ferraris. N.C.P. (5)
8. 118.

1561* E. Castelli. Ricerche sperimen-
tali sugli armonici delle onde elettriche
fltazionarie. N.C.P. (5) 8. 161.

1662. A. E. H. Love. The advancing
front of the train of waves emitted by a
theoretical Hertzian oscillator. P.R.S.
L. 74. 78.

1568. W. S. Franklin. Electrical
-waves and the behaviour of long-distance
transmission in lines. J.F.I. 160. 61.

1564. W. Seitz. Die Wirkung eines
unendlich langen Metallzylinders auf
Hertzsche Weflen. A.P.L. (4) 16. 746.

1565. J. A. Fleming. The propaga-
sion of electric waves along spiral wires
and an appliance formeasuringthelenffth
of waves used in wireless telegraphy.
P.M. (6) 8. 417.

1566. A. W. Conway. On the reflec-
tion of electric waves by a moving plane
conductor. T.S.D. (2) 8. 96.

1567. He^ising. Einfache Versuchs-
anordnung zum Nachweis der Zurück-
werfung elektrischer Wellen und zur Er-
klärung der Fritterwirkung. Z.P. 17.
222.

1568. O. Ber^. Zur Messung der Ab-
sorption elektrischer Wellen. A.P.L.
(4) 16. 307.

1569. V. Buscemi. Trasparenza dei
liquidi per le onde hertziane. N.C.P.
(6) 9. 106.

1570. G. P. Grivialdi e G. Accolla.
Influenza delle onde elettriche e del mag-
netismo sull' isteresi elastico del ferro.
N.C.P. (6) 7. 204.

157 2. C. Garibaldi. Influenza delle
onde hertziane snlla magnetizzazionedell'
acciaio. A.A.E.I. 9. 23.

1572. a Schaefer. Über die elektri-
schen Eigenschaften von Resonatoren-
gittern. A.P.L. (4) 16. 106.

1578. 2is«ot Bolomätres utilisäs com-
me detecteurs d' ondes electriques. J.
P. (4) 3. 624.

Siehe auch 1619; 1661; 1698; 2283;
2626; 2969; 2970; 8048; 3179; 8648.

Elektronentheorie.

1574. M. Abraham. Die Grundhypo-
thesen der Elektronentheorie. P.Z. 5.
676.

1575. W. S. F. The electron theory.
ER. 46. 18.

1576. A. Sommerfeld. Zur Elektronen-
theorie I— U. N.G.G. 1904. 99. 368.

1577. A. Wilkens. Zur Elektronen-
theorie. V.A.G. 39. 209.

1678. W. Wien. Zur Elektronentheorie.
P.Z. 6. 393.

1579. ff. J. Beiff. Die Elektronen-
theorie der Elektrizität. D.M. 13. 189;
158; 167; 177.

1680. A. Sommerfeld. Über die Me-
chanik der Elektronen. V.I.M.C. 8. 417.

1581. H. Foincare. Sur la dynamique
de rälectron. CR. 140. 1604.

1582. S. ff. Burbury. On the electric
inertia. P.M. (6) 9. 243.

15S3. 0. ffeaviside. The transverse
momentum of an electron. N. 72. 429.

1584. A. Sommerfeld. Vereenvoudigde
afleiding van het veld van en de krachten
werkende op een electron bij willekeu-
rige beweging. C.A.A. 13. 481.

1585. M. AbrcJham. Sopra un* appli-
cazione del metodo di Riemann alla in-
tegrazione delle equazioni di£Ferenziali
della teoria degli elettroni. R.A.L.R.
14A. 7.

1586. ff. Lorentz. De beweging der
electronen in de metalen. C.A.A. 13.
493; 665; 710.

1587. ff. A. Lorentz. Le mouvement
des ^lectrons dans les m^taux. A.N.
(2) 10. 336.

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206

AbhandlungsregiBter 1904—1905.

1588. A. W. Conway. The field of
force due to a moving electron. P.L.
M.S. (2) 1. 154.

1589. Ä. H. Bucherer. Die Theorie
der Elektronenbewegung. S.N.G. B. 1905.
84.

1590« Ä. H. Bucherer. Das Feld eines
rotierenden Elektrons. P.Z. 6. 225.

1591» Ä. H, Bucherer. Die Rotation
eines Elektrons mit Yolumladung. P. Z.
6. 269.

1592. 0, Heaviside. The radiation
from an electron describing a circular or
elliptic orbit. N. 09. 293; 342.

1598* -ff. Nagaoka. Mutual action of
electron atoms. P.T.M. 2. 316.

1694. P. Drude. Optische Eigenschaf-
ten und Elektronentheorie. Z. W.P. 3. 1.

1595. M. Äbrctham. The reaction of
the radiation on a moving electron. R.
B.A. 74. 436.

1596. A. Schulter. On the number
of electrons conveying the conduction
currents in metals. P.M. (6) 7. 151.

1597. P. Langevin. Magn^tisme et
th^orie des Electrons. A.C.P. (8) 5. 70.

1598. E. Kohl. Über die elektromag-
netische Energie der Elektronenbewe-
gung. A.P.L. (4) 15. 531.

Siehe auch 564; 69U; 711; 1035; 1146;

1702; 2971; 2987; 3086; 3141; 3170;

3201; 3659.

Thermoelektrizität.

1599. G, de Metz. L^inversion ther-
mo^lectriqne et le point neutre. CR.
139. 447.

1600. Ponsot. Pouvoir thermo^lectri-
que et effet Thomson. CR. 140. 1585.

1601. E. Lecher. Über den Thomson-
effekt. A.A.W. 1905. 278.

1602. E. H. Hall Measurement of
yariouB thermal and electrical effects,
especially the Thomson effect, in soft
iron. P.A.Bo. 41. 28.

1608. S. C. LaiL'8. Experiments on
the Thomson effect in alloys of Bi and
Sn. P.CP.S. 12. 179.

1804. M. La Bosa. 11 flenomeno
Peltier al pimto neutro di una coppia t
termoelettrica. R.A.L.R. (5) 13 B. 167.

1605. E. G. Bausenwein. Änderung
des Peltiereffektes mit der Temperatur. '
S.A.W. 113. 663.

1606. C. W. Waidner and G. K. Bur- '
g€88. On the temperature of the arc. i
B. B.S.W. 1. 109. ,

1607. G. Granqvist. Über die Bedeu- ,
tung des Wärmeleitungsvermögens der

Elektroden bei dem elektrischen Licht-
bogen. N.A.U. (3) 20.

1608. S. Sana. An extension of Fon-
tains theory of the heat of vaporization
of a liquid charged with electricity. P.
T.M.2. 277.

1609. J. Badakovits. Ionisierung der
Gase durch galvanisch glühende Drähte.
S.A.W. 114. 759.

1610. A. Aht Thermoelektrische Kraft
einiger Metalloxyde und Sulfide in Ver-
bindung mit einander und mit ein£Eu;hen
Metallen bei 100^ Temperaturunterschied
der Berührungsstellen. B.M.N. 17. 292.

1611. A. Szarvassi. Über elektromo-
torische Kräfte und die reversibeln Wär-
mestörungen des elektrischen Stromkrei-
ses. A.P.L. /;4) 17. 248.

1612. A. (jrrme. über die elektrische
Kataphorese des destillierten Wassers
durch poröse Tondiaphragmen (Pukall-
masse) insbesondere ihre Abhängigkeit
von Temperatur und Stromdichte. P.
Z. 6. 201.

1618. M. V. Smoluchowski. Zur Theorie
der elektrischen Kataphorese und der
Oberflächenleitung. P.Z. 6. 529.

1614. A. Bemini. Süll' infiuenza della
temperatura nella conducibilitä elettrica
del litio. N.CP. (5) 8. 269.

1616. L. W. Hartmann. The con-
duction losses from carbon filaments
when heated to incandescence in various
gases. P.R 20. 322.

1616. J^. Schneidet. Courant thermo-
^lectrique d^velopp^ par T^chauffement
d*un fil. A.S.G. (4) 18. 59.

1617. C. E. Guye et A. Bemoud. Sur
une nouvelle m^thode ^lectrothermique
pour mesurer la puissance moyenne des
courants de fr^quence ^ev^e. A.S.G.
(4) 17. 51.

1618. H E. Schmitz. Der thermo-
elektrische Stromkreis dreier Metalle. P.
Z. 6. 443.

1619. A. D. Cole. The tuning of
thermoelectric receivers for electric wa-
ves. P.R. 20. 268.

1620. W. Moldenbauer. Über Be-
ziehungen zwischen elektrolytischen Vor-
gängen und der Elektrodentemperatur.
Z.E. 11. 307.

1621. D. Berthelot Sur le point de
fusion de Tor. CR. 188. 1153.

1622. A. de Forest Palmer. Thermo-
electric determination of temperatores
between and 200® centigrade. P.R.
21. 65.

Siehe auch 1272; 1705; 2920; 2990;

3043; 3045; 3171; 3173; 3197; 8219;

3813; 3833; 3657.

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Abhandlungsregister 1904—1905.

207

ElektrizitfttsmesBiuig.

1628. W. Einthoven, üne nouvelle
zD^thode d'amoTÜssement des oscillations
dans les indications galvanomätriques. A.
N. (2) 10. 137.

1624« E. Loht. Bestimmimg der elek-
trischen Leitfähigkeit des Na mit der
Induktionswage. S.A.W. 113. 911.

1625. M. V. Firanu Die Verwertung
des Telephons bei Gleichstrommessungen.
D.M. 12. 263.

1626. TT. E. Sumpner. The measure-
ment of small differences of phase. P.
M. (6) 9. 165; P.P.S.L. 19. 416.

1627. H. Ho. The use of differenti-
ally wonnd telephone receiver in elec-
trica! measurements. J.C.E.T. 2. 75.
Siehe anch 3028; 3080; 3099; 3127;

3128; 3184.

Magnetismus.

1628. P. Langevin. Sur la th^orie
dn magn^tisme. CR. 139. 1204; S.F.P.
Nr. 222. 8.

1629. H. du Boia. Magnetokinetische
Untersuchungen. A.P.L. (4) 4. 209.

1680. /. «/. Thomson. The magnetic
properties of Systems of corpuscles des-
cribing circular orbits. P.M. (6) 6. 678.

1681. W. Trenkle. Über das magne-
tische Verhalten von Fe-pulver verschie-
dener Dichte. S.P.M.E. 37.361.

1662. P. Weiss. Les propri^t^s mag-
n^tiques de la pyrrhotine. A.S.G. (4)
19. 537; J.P. (4) 4. 469.

1688. P. Weiss. Propriet^s magn^-
tiques de Täl^ment simple de la pyrrho-
tine. CR. 140. 1582.

1684. P. Weiss. La pyrrhotine ferro-
magn^tique dans le plan magn^tique et
paramagn^tique perpendiculairement ä
ce plan. CR. 140. 1587.

1685« E. Hoppe. Zur Konstitution
der Mamete. D.V.N. 76 B. 20; P.Z. ö.
660; V.D.P.G. 6. 234.

1686. B. Gans und B. H Weher. Was
bleibt in einem permanenten Magneten
konstant? A.P.L. (4) 16. 172.

1687. A, Anderson. On the force of
a magnetic particle in a magnetic field.
P.M. (6) 8. 38.

1688. A. Hay. Über die Stromlinien-
methode bei der Untersuchung zweidi-
mensionaler magnetischer Pole. P. Z. 6.
290.

1689. G. W. Walker. On tresses in
a maffuetostatic field. P.M. (6) 7. 399.

16^. J. Becquerel. Action du champ
magn^tique sur les rayons N et N^. C.
Br. 138. 1586.

1641. S. Sano. On the equilibrium
of a fluid consisting of only one inde-
pendent constituent and in one place
when placed in a magnetic field. P.T.
M. 2. 248.

1642. S. Sano. On the equilibrium
of a liquid with its vapour in a magne-
tic field. P.T.M. 2. 265.

1648. F. Bidlingmaier. Influence of
torsion in suspended magnets. T.M.W.
9. 157.

1644. H. Graziadei. Über die durch
die Entfernungen der Oxydschichte be-
wirkten Änderungen magnetischer Eigen-
schaften von Fe^ Ni imd Co-blechen. S.
A.W. 114- 843.

1645. P. VaülanU De Tinfluence de
la concentration sur les propri^t^s uii^-
nätiques des Solutions de cobalt. CR.
140. 1632.

1646. P. E. Shaw. The magnetic
expansion of some of the less magnetic
metals. P.R.S.L. 72. 370.

1647. D. Mazzotto. Variazioni mag-
netiche del ferro stagionato per nuove
stagionature e ricotture. N.C.P. (6) 9.
813.

1648. B. Jouast. Recherches effectu^es
au laboratoire central d*^ectricit^ sur
les ph^nom^nes de viscosit^ magn^tique
dans les aciers doux industriels et leur
influence sur les m^thodes de mesure.
B.E. (2) 4. 716.

Siehe auch 720; 873; 874; 1422; 3547;
3552; 3554; 3558; 3559.

Magnetisiemng.

1649. A. Bemini. Über die Magne-
tisierung einiger Alkalimetalle. P.zf. 6.
109.

1650. N. Pezzini. Magnetizzazione
e trazione. R.LL. (2) 38. 463.

1651. Brillouin. Aimantation au con-
tact et structure cristalline. A.CP. (8)
3. 305.

I 1652. W. M. Thomton. The magne-
I tization of iron in bulk. P.M. (6) 8.

620; P.P.S.L. 19. 343.
I 1658. K. Honda and S. Shimizu. On
the magnetization and the magnetic
change in length in ferromagnetic metals
and alloys at temperatures ranging from
— 186^0 to -f 1200^0. J.U.T. 20.Nr. 6.
1654. G. Meslin. Sur le coefficient
d'aimantation sp^cifique et la suscepti-
bilit^ magn^tique des sels. CR. 140.
782.

Siehe auch 832; 1571; 1666; 1724; 1725;
1727; 1729; 3550; 8555.

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508

Abhandlongsregistei 1904—1905.

Magnetischer Strom.

Siehe 3546.

Magnetisehe Kraftlinien.

Siehe 8557.

Magnetisehe Hjsteresis.

1655. P. Duhem, De l'hyst^resis
magn^tique produite par un champ os-
kulant Buperpose ä un champ constant.
CR. 140. 1216; 1370.

1656. C. Maurain, fitude et compa-
xaison des proc^d^s de r^duction de
rhysteresis magnötique. J.P. (4) 3. 417.

1667. T.E.Lyle. Investigation of the
yariations of magnetic hjsteresis with
frequency. T.M. (6) 9. 102; P.P.S.L. 19.
370.

1668. P. Weiß, L'hystdr^se d'aiman-
tation de la pyrrhotine. C.E. 141 245.

1659. C. E. Guye et A. Schidlof,
L^hyst^r^Bis magnätique aux fr^qaences
älev^es dans le Fe, le Ni et les aciers au
Ni. A.S.G. (4) 18. 576; 19. 60. 159.

1660. H. E. J. G. du Bois. Hyateretißche
origntatie-verschijnselen. C.A.A. 12. 753.

1661. B. Arno. Sulla variazione di
isteresi nei corpi magnetici in campo
Ferraris sotto Tazione di correnti continue
interrotte ed altemate e di onde
Hertziane. N.C.P. (5) 9. 476.

Siehe auch 1698; 1701; 3084; 3557.

Magnetogtriktion.

1662* F. Kolacek. Magnetostriktion.
P.Z. 6. 143. — S. Sano. 506.

Hi63. B. Gans. Zur Heydweillerschen
Kritik meiner Formeln betreffend „Mag-
netostriktion ferromagnetischer Körper*'.
A.P.L. (4) 14. 638; 15. 418. — A, Heyd-
weiller. 14. 1086.

1664. S. Sano. Note on Heydweiller's,
Gans's and Kola6ek^s papers on mag-
netostriction. P.T.M. 2. 184. 207.

1665. S. Sano. Bemerkung zu den
Arbeiten von F. Kola6ek, A. Heyd weiller
und R. Gans über Magnetostriktion. P.
Z. 5. 812.

1666. H. Nagaoka et K. Honda.
Sur Taimantation et la magnätostriction
des aciers au nickel. J.P. (4) 3. 613. —
E. GuiUaume. 621.

Elektromagnetismus.

1667. L. Bonati. Sui sistemi di unitä.
elettromagnetiche. R.I.B. (2) 6. 71.

1668. A, Sommerfeld. Bezeichnung
und Benennung der elektromagnetischen
Größen in der Enzyklopädie der math.
Wissenschaften. P.Z. 5. 467.

1669. L. Donati. Sui vettori elettro-
magnetici. M.I.B. (5) 9. 477.

1670. A. Bighi. Ancora sulla quea-
tione del campo magnetico generato
dalla convezione elettrica. R. LB. (2)6.
47; M.I.B. (6) 2. 47.

1671. C. Chree. The law of action
between magnets and its bearing on the
determination of the horizontal compo-
nent of the Earth's magnetic force with
unifilar magnetometers. P. P. S. L. 19. 278.

1672. F. Ehrenhaft. Die elektromag-
netischen Schwingungen des Rotations-
ellipsoides. S.A.W. 118. 273.

1678. H. Zahn. Über die galyano-
magnetischen und thermomagnetischen
Effekte in verschiedenen Meteillen. A
P.L. (4) 14. 886.

1674. H. Zahn. Über die transversalen
galvanomagnetischen und thermomagne-
tischen Effektein verschiedenen Metimen.
A.P.L. (4) 16. 148.

1676. H. A. Lorentz. Electromagne-
tische verschijnselen in een stelsel dat
zieh met vdllekeurige snelheid kleiner
dan die von het licht beweegt. G.A.A.
13. 986.

1676. J. B. Whitehead. Magnetic
effect of electric displacement. P.R.
21. 111.

1677. A. Bighi. Sui campi elettro-
magnetici e particolarmente su quelli
creati da cariche elettriche o da poli
magnetici in movimento. M. I. B. (5) 9. 151.

1678. J. B. Whitehead. über den
magnetischen Effekt der elektrischen
Verschiebung. P.Z. 6. 474.

1679. H. PeUat. Champ magn^tique
auquel est soumis un corps en mouve-
ment dans un champ älectrique. C.B.
140. 229.

1680. Axmann. Ein eigentümliches
Drehmoment im wellenförmigen magne-
tischen Felde. H.E.B. 17. 39.

1681. S, Sano. Über das Gleichge-
wicht von Flüssigkeiten in einem elek-
tromagnetischen Felde. P.Z. 6. 566.

1682. C. Fortin. Sur la däviation
^lectrostatique des rayons magn^to-
cathodiques. CR. 188. 1594.

1688. G. Picciati. Flusso di energia
e radiazione nel campo elettromagnetico
generato dalla convezione elettrica. N.
C.P. (6) 7. 874.

1684. S. J. BameU. Energiedichte,
Spannung und Druck im Magnetfelde.
P.Z. 6. 8.

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AbhandlnngBregister 1904—1905.

209

1685, G. W. Walker. On the driffc
produced in ions bj electroxnagnetic dis-
tnrbances and a theory of radioactiyity.
P.R.S L. 74. 414.

1686. P. Langevin. Sur Torigine des
radiations et Tinertie älectromagnetiqne.
J.P. (4)4. 165.

1687. G. Sehenden. Einfloß des elek-
trischen Feldes anf aaskristallisierende
wässerige Salzlösungen. N.W. (2) 3.
910.

1688, B. S. Waiows. Action of a
magnetic field on the discharge through
a gas. P.P.S.L. 19. 453.

168». K, Ogawa. On the elektro-
magnetic screenixig effect of metallic
conductors. M.C.K. 1. 140.

1690. G, Picdati. SolP inflnenza dei
dielettrici solidi snl campo magnetico
generato dalla convezione elettrica. N.
C.P. (5) 7. 267.

1691. 0. Heaviside. Electromagnetics
in a moving dielectric. N. 71 606.

1692« E. Kohxcek. Die ponderomoto-
richen Kräfte, welchen ein homogenes
Dielektrikum in einem elektromagne-
tischen Felde unterworfen ist. P.Z. 5.
455. — B. Gans. 627.

1698. C. Carpini. . Sulla variazione di
resistenza del bismuto in un debole
campo magnetico. N.G.P. (5) 8. 171; B.
A.L.R. (6) 13 B. 159.

1694. C. Carpini. Über die Wider-
standsänderunfif des Bi durch kleine
magnetische £:ät1te. P.Z. 5. 819.

1695* B. Hargreaves. Radiation and
electromagnetic theory. P.M. (6) 9. 313.
425.

1696» P. V. Bevan. A lecture experi-
ment to illustrate the e£Fect of a straight
corrent on a magnetic pole. P.G.P. S.
12. 212.

1697. B. Ämö. Snl comportamento
dei corpi magnetici in campi Ferraris
sotto Tazione di correnti continue. R.
IL. (2) 38. 438.

1698. B, Arno. Su gli effetti di
correnti continue interrotto ed altemate
e di onde hertziane sul ritardo di mag-
netizzazione nei corpi magnetici in campi
Ferraris. B. A.L.R. (5) 14 A. 368.

1699. G. Picdati. Campo elettro-
magnetico dovuto ad una corrente cos-
tante elicoidale. R. A.L.R. (5) 14 A. 323.

llW^m 0. M. Corhino. Sulla produzione
di campi rotanti per mezzo di correnti
di scarica sinusoidale o smorzate. N.G.
P. (6) 7. 176.

1701« G. Crrassi. Sulla energia dis-
flipata per isteresi e per correnti parassite.
».A.N. (3) 10. 151.

Zeitschrift f. M»them«tik n. Physik. 68. Band.

1702. E. T. WhittaJcer. On an ex-
pression of the electromagnetic field due
to electrons by means of 2 scalar potentiid
functions. P. L. M. S. (2) 1. 367.

1703. G. Owen. On the magnetic
deflezion of the negative current of
electricity from a hot platinum wire at
low pressure«. P.C. P.S. 12. 493.

1704. F. Hack. Das elektroma^e-
tische Feld in der Umgebung emes
linearen Oszillators. A.P.L. (4) 14. 539.
Siehe auch 866; 1514; 1571; 1597; 1598;

1648; 1706; 1709; 1796; 3553; 3556.

Hallsehes PUnomen.

1705. -ff. Bausch v. Traübenberp. Über
den Halleffekt des Wismuts bei hohen
Temperaturen. A.P.L. (4) 17. 78.

Indnktioii«

1706. J. A. VoUgraff. Considärations
sur rinduction unipolaire et les ^quations
fondamentales de Tälectromagn^tisme.
A.N. (2) 9. 340. — Lorentz. 380b.

1707. A. H. Taylor. The comparison
of inductances with great precision.
P.R. 20. 151.

1708. E. B. Boaa and F. W. Graver.
The absolute measurement of induction.
B. B.S.W. 1. 125.

1709. E. Almansi. Litomo ai pro-
blemi deir equilibrio elettrico e dell*
induzionemagnetica. R. A.L.R. (4) 13B. 72.

1710. F. a Frisbie. The effect of
pressure on magnetic induction. P.R.
18. 482.

1711. A. Broca. Sur le pouvoir in-
ducteur späcifique des inätauz. CR. 140.
1677.

1712. T. Boggio. Induzione prodotta
da un campo magnetico qualunque sopra
una sfera isotropa. R.LL. (2) 37. 128.

1718. G. F. a SearU. fin the cal-
culation of capacities in terms of the
coefficients of electrostatic induction.
P.C.P.S. 12. 378.

1714. W. J. Baymond. The measure-
ment of inductance and capacitj by
means of the differential ballistic galvano-
meter. P.R. 21. 90.

17X5. G. W. MiddUkauff. The effect
of capacity and selfinduction upon
wavelength in the spark spectrum. A.
J.C. 21. 116.

1716. L. Hermann. Über die Effekte
gewisser Kombinationen Ton Kapazitäten
und Selbstinduktionen. A.P.L. (4) 17.
501; 779.
1906. 8. Heft. 14

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210

Abhandlangsregister 1904—1906.

1717« Ä. Heydweüler. Zur Bestim-
mung der Selbstinduktion von Draht-
gpulen. A.P.L. (4) 16. 179.

1718, B. Strasser. Über die Bestim-
mung des Selbstinduktionskoe^ienten
vonSolenoiden. A.P.L. (4) 17. 768.

1719. lliovici. Sur une m^thode
propre ä mesurer les coefficients de
selfinduction. CR. 188. 1411.

1720« M, La Bosa. Sulla misura di
piccoli coefficienti d'autoinduzione. R.
A.L.R. (6) 14A. 621.

1721. H. Nagaoka, The coefficient
of mutual induction of 2 cooxal circular
coils. P.T.M. 2. 288.

1722« E. Grimsehl Induktion in
parallelen Leitern. Z.P. 17. 291.
Siehe auch 867; 1436; 1612; 2466; 2662
2923; 2962; 2972; 2977; 2984; 2989
3018; 3014; 8018; 3088; 8046; 8066
8084; 8096; 3106; 8126; 8186; 3187
8546.

Thermomagnetlsmas.

n29. 0. Mcuzotto. Stagionatura mag-
netica del ferro a temperature superiori
alla ordinaria. N.C.P. (6) 7. 898; 8. 6.

1724. C. G. KnoU. Magnetization
and resistance of Ni wire at high tempe-
ratures. T.R.S.E. 41. 39.

1726. G. Schmaltz. Über den Ein-
fluß der Magnetisierung auf die ther-
mische Leit&higkeit des Ni. A.P.L.
(4) 16. 398; 792.

1726. D. Koida. Einfluß des Magne-
tismus auf die Wärmeleitungsföhigkeit
des Fe. B.M.N. 17. 318.

Siehe auch 1663; 1678; 1674; 1706.

Magnetisehe Meggnngen.

1727. G, Meslin, Mesure des coeffi-
cients d'aimantation et ^tude du champ
magn^tique« CR. 141. 102.

1728. H. T. Simon und E. Madelung.
Über ein neues magnetometrisches Ver-
fahren zur Messung magnetischer Mo-
mente. P.Z. 6. 410.

1729. G. Ghiarini. Apparat zur Mes-
sung der Magnetisierung schwach mag-
netischer Körper. D.M. 18. 3.

1780. F. Pasehen. Apparat zur Mes-
sung magnetischer Feldst&rken. P.Z. 6.
871.

Geschichte der ABtronomie.

1781. J, Klug. Simon Marius aus
Gunzenhausen und Galileo Galilei. A.
A. M. 22. 387.

Theoretigehe Astronomie.

1782. F. Bistenpart. Gibt es einen
Punkt der Ruhe im Weltall? H.E B.
17. 180.

1788. T. J. J. See. Repulsive forces
in nature. P.A. 10. 606. — J. A. Hard-
casOe. 0. 26. 177.

1784. L. Bourget. Note sur la m^thode
de la Variation des constantes arbitraires.
B.A. 21. 219.

1785. A.HaU. Note on elliptic motion.
M.N.A.S. 64. 640.

1786. C. V. L. CharlUr. On the Sin-
gular curve of elliptic motion. M.L.A.
0. Nr. 22.

1787. H. G, Block. Die singulare
Kurve der hyperbolischen Bewegung.
A.M.A.F. 1. 467; M.L.A.O. Nr. 28.

1788. H. Bourget. Sur les nombres
de Cauchj. B. A. 22. 226.

Siehe auch 2727.

Bewegnng der Himmelskdrper.

Siehe 1786; 1786.

Baluibestimmiingen.

1789. A. 0, Leusckner. A method of
Computing orbits in rectangular coordi-
nates. S. (2) 17. 881.

1740. D. A. Bio. Short method for
the calculation of the orbit« of celestial
Dodies. M.N.A.S. 64. 134.

1741. A. 0. Leusckner. Note on the
Short method of determining orbits &om
8 observations. S. (2) 17, 881.

1742. A. 0. Leusckner. The Solution
of on orbit, irrespective of parallaz and
abenation. S. (2) 17. 382.

1748. J. Sterha. Elementare Bahnbe-
stimmung eines Planeten. Z.H. 36. 821.

1744. G. Gruß. Ein Beitrag zum
algebraischen Teile des Problems der
Bahnbestimmung eines Planeten aus
8 Beobachtungen. B.I.P. 9. 87; M.A.T.
P. 1904. Nr. 6.

1745. L. Weinek. Graphische Nach-
weise zur Olbersschen Methode der Ko-
metenbahnbestimmuDg, zum Satz der
konstanten Flächengeschwindigkeit und
zur Ephemeridenrechnung. S.A.W. 113.
987

1746. J. Bauschinger, Über das Pro-
blem der Bahnverbesserung. Y . A. R. 1. 23.

1747. A. Orloff. Sur la dätermination
des corrections des ^l^ments d*une orbite.
B.A. 22. 291.

1748. B. Badau. R^flexions sur les
mäthodes de correction des orbitea. B.
A. 21. 401.

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Abhandlungsregister 1904—1905.

211

1749. TT. A, Hamüton. On the con-
Tergence of the series used in the deter-
mination of the elements of parabolic
Orbits. A.J.B. 28. 49.

1750. J. Weeder. Nauwkeuriffe be-
naderingsformnles voor de verhondingen
der driehoeken in de berekening von
eene elliptische baan uit 3 waame-
mingen. C.A.A. 18. 811.

1751. F. Ä, MauUon. The tme radii
of conTergence of the ezpression for the
ratios of the triangles when developed
as power series in the time-intervalB.
A.J.B. 28. 93.

Siehe auch 1758; 1896; 1903.

Keplergches Problem.

1752. T. Lefn-Oivitä, Sopra la equa-
zione di Kepler. A.N.E. 166. 818.

1758. H. C. Plummer. Note on the
nse of Mr. Aldis tables of the fonction
4<^ -f ^^ ^) i^ determining the elements
of an orbit. M.N.A.S. 63. 147.

Stöningen.

1754. H. Bouraet Sur le th^or^me
de Poisson.. A.'T (2) 6. 167.

1756. G. Morera. Snlle eqnazioni
dinamiche di Hamilton. A.A.T. 39. 262.

1756. BaMumd. Snr la mäthode
horistiqne de Gyld^n. B.A. 21. 289. —
JET. Poincare, 292.

1757. H. Poincare. Snr la möthode
horistiqne de Gyld^n. A.M. 29. 235.

1758. H. Poincari. Über die horis-
tische Methode Gylddns. P.Z. 5. 385.

175». R. T. A. Innes. Some deve-
lopements in terms of the mean ano-
maly. M.A.S. 54. 187.

1760. A. Wilkens. Zur Berechnnnff
der Transzendenten von Laplace. A.N.
K 166. 209.

1761. G. W, Hill. Developement of
functions in power series from special
valnes. A.J.B. 24. 128.

1762. F. Folie. Snr de nonveaux
termes du 2. ordre provenant du mouve-
ment systämatiqne. B.A.B. 1904. 809.

1768. E. Sirömffren. Analytische
StOrungsansdrücke für parabolische
Bahnen. A.N.E. 169. 1.

1764. E. W. Brown. On the smaller
pertorbations of the Innar arguments.
T.S.M.Am. 5. 279.

1766. J, N. Stockweü. Theory of the
mntnal perturbation of planets moving at
the same mean distance from the sun
and its beaiing on the Constitution of
Satom's ring and the cosmogony of
Laplace. A.J.B. 24. 35.

1766. A. Hau. Note on the secnlar
perturbation of the planets. A.J.B.
23. 10; S. (2) 17. 108.

1767. R. BoMin. Formeln und Tafeln
zur graphischen Berechnung der allffe-
meinen Störungen benachbarter Pla-
neten. N.A.Ü. (8) 17. Nr. 4.

1768. E. DooliUle. The secular per-
turbation of the Earth arising from the
action of Saturn. A.J.B. 24. 104.

1769. /. Park Mc Collie. An example
in periodic orbits, the second order
perturbations of Jupiter and Saturn in-
dependent of the eccentricities and of
the mutual inclination. A.J.B. 23. 138.

1770. A, Gaülot. Addition ä la
th^orie du mouvement de Satnme de
Le Verrier. — Application integrale de
la m^thode d^interpolation, recherches
compl^mentaires^ tables rectifi^es du
mouTcment de Satume. A.O.P. 24.

1771. E. DooliUle. Secular pertur-
bations of the Earth from the a<Äion of
Uranus. A.J.B. 24. 130.

1772. R. A. Sampson. A description
of Adam's manuscripts on the pertur-
bations of Uranus. M. A. S. 54. 143.

1778. Simonin. Perturbations s^cu-
laires de la longitude moyenne; cas parti-
culier d'Hecube. B.A. 22. 228.

1774. E. SPrömgien. Über die gegen-
seitigen Störungen zweier einander nahe-
kommenden kleinen Planeten. A.N.E.
166. 17.

1775. G. Norin. Über die sekularen
Perihelstörungen der kleinen Planeten.
M.L.A.O. 20.

1776. A. Wilkens. über die Stö-
rungen der Planetoiden und Kometen
durch Anziehung des Planetoidenringes.
A.N.K. 169. 49.

1777. A. C. Plummer, On Jacobi's
method of facilitating the numerical
Solution of equations arising in the
theory of secular perturbations. M.N.
A.S. 63. 90.

Siehe auch 1577; 1784; 1861; 1864; 1908.

Tielkörperproblem.

1778. N. Delaunay. Sur le probl^me
des 3 Corps. V.I.liLC. 3. 398.

1779. C. V. L. Charlier, Über die
trigonometrische Form der Integrale des
Problems der 3 Körper. A.M.A.P. 1.
449; M.L.A.O. Nr. 24.

1780. H. V. Zeipel. Recherches sur
les Solutions p^riodiques de la 3. sorte
dans le probl^me des 3 corps. N.A.U.
(3) 20.

14*

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212

AbhandlungsregiBter 1904—1906.

1781. G. Cantor. Ein Brief von Carl
Weierstraß über das Dreikörperproblem.
R.C.M.P. 19. 805.

1782. H. Poincare. Sur la mäthode
horistique de Gyldän. CR. 188. 983.

1788. H. Buchhoh. Die Gyld^nßche
horistische Integrationsmethode des
Problems der drei Körper und ihre
Konvergenz. N.A.H. 81. 129.

1784. H. Buchhoh. Fortgesetzte Un-
tersuchung der Bewegung vom Typus •/.
im Problem der 3 Körper auf Grund
der Gyld^nschen Störungstheorie. D.A.
W. 77. 1.

1786. H. Buchholz. Portgesetzte Un-
tersuchung der Bewegung vom Typus V,
im Problem der 8 Körper A.A.W. 41. 93.

1786. E. Strömgren. Ein asympto-
tischer Fall im Dreikörperproblem. A.
N.K. 168. 105.

1 787. T. Levi'Civitä. Sur la räsolution
qualitative du probl^me restreint des
3 Corps. V.I.M.C. 3. 402.

1788. T. Levi'Civitä. Traiettorie sin-
golari ed urti nel problema ristretto dei

3 corpi. A.D.M. (8) 9. 1.

1789. E, 0. Lovett The problems
of 8 or more bodies with prescribed
Orbits. S. (2) 17. 108.

1790. E, 0. LoveU. Singular tra-
jectories in the restricted problem of

4 bodies. A.D.M. (3) 11. 1.

1791. G. DiUner. Memoire sur la
Solution analytique du probläme des
n Corps. N.A.U. (3) 20.

1792. T. L. Bennet. On the reduction
of the problem of n bodies. M.M. 34.
113.

1798. E. 0. Lovett. Special periodic
Solutions of the problem of n bodies.
S. (2) 17. 107.

1794. P. PizzeUi. Sur le problfeme
des n Corps alignäs. M.yR.M. 19. 169.

Erdbewegung.

1795. C. Flammarion. Le mouvement
de la Terre. B.S.A.F. 18. 116.

1796. P. Langevin. Sur Timpossibilitd
physique de mettre en ^vidence le mou-
vement de translation de la terre. C.
R. 140. 1171.

1797. F. Biske. Die Erdbewegung
und der Äther. A.N.K. 165. 299; A.P.
L. (4) 14. 1004.

1798. A. A. Michelson. Relative
motion of Earth and aether. P.M. (6)
8. 716.

1799. M. BriUouin. Le mouvement
de la terre et la vitesse de la lumi^re.
CR. 140. 1674.

1800. F. Folie. Premiäre d^ter-
mination des constantes de la libration
terrestre. B.A.B. 1904. 1193.

1801. F. Folie, Preuve physique de
la libration terrestre. B.A.B. 1904. 941.

Siehe auch 724—26; 1768; 1771.

Erddrehung.

1802. H. Poincare. La terre toume-
t-elle? B.S.A.F. 18. 216.

1808. A, Pcmsiot. Sur le jour sid^ral.
CR. 141. 842.

1804. J. B. Button. A possible periodic
Variation in the Earth^s rotation. 0. 26.
360.

1805. N. N. Un appareil pour mesurer
la vitesse de rotation de Ja Terre. R.
G.O. 15. 881.

1806. A. Föppl Über einen Kreisel-
versuch zur Messung der Umdrehung
der Erde. P.Z. 5. 416; S.A.M. 84. 8.

Siehe auch 1885—87; 1892.

PräzeBsion.

1807. Herhless. Precession. J.B.A.
A. 18. 285.

1808. A. B. Sandemann. Die Prft-
zession der Nachtgleichen und Hipparch.
A.R.L. 5. 31.

1809. H, S, Davis. Secular Variation
of precession from Besselian star con-
stants. A.N.K. 166. 78.

Xutation.

1810. F. Folie. Expression correctes
de l*heure et des coordonn^es des dtoiles
dans le Systeme de Taxe instantan^.
M.N.A.S. 63. 444.

1811. F. Folie. Demiöre r^plique ä
M. Gh. Lagrange. B.A.B. 1904. 71.

1812. Folie» Preuve purement
sique de la nutation diume. A.
28 A. 70.

Aberration.

1818. L, Weinek. Die Lehre von der
Aberration der Gestirne. D.A.W. 77.
145.

1814. X. Weinek. Über die Erschei-
nung der Fixstern- Aberration. D.W.B.
3. 129.

1815. F. Schlesinger. The difficulty
of determining the constant of aberra-
tion. P.A.S.F. 15. 46.

1816. S. C. Chandler. The probable
value of the constant of aberration.
A.J.B. 23. 1.

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Abhandlnngsregister 1904—1905.

213

1817. H. Benan et W. Ehert. Sur
une d^termination de la constante
d'aberratioii au moyen des observationB
de 8 ätoiles tr^s Toisines du pole. CR.
140. 1669.

1818. F. Schlesinger. The constant
of aberration and the solar parallax.
P.A.S.F. 15. 45.

Siehe auch 992; 1742; 1853; 1912.

BewegruncT ^on KSrpem anf der Erde.

1819. de Sparre. Note au sujet des
mouvements k la surface de la terre.
S.M. 38. 65.

1820. H, de la Fresnaye. Sur la
chute des corps. B.S.A.P. 17. 176; 179.

1821. M. Fouche. Sur la d^yiation
des graves. CR. 140. 427.

1822. de Sparre. Au sujet de la
däviation des corps dans la chute libre.
CR. 140; 88; 863.

1828. M. Fauche. Sur la däTiation
des corps vers le sud et sur la courbure
des lignes de force. CR. 140. 226.

1824. C. Flammarion. Ezp^riences
sur la d^viation de la chute des corps
faites au Panthäon. B.S.A.F. 17. 329.

1825. Ä. Denizot. Zur Theorie der
relativen Bewegung und des Foucault-
Bchen Pendelversuchs. P.Z. 6. 342.

1826. L. Tesar. Die Theorie der
relativen Bewegung und ihre Anwendung
auf Bewegungen auf der Erdoberfläche.
P.Z. 6. 556.

Siehe auch 375; 2215; 2224; 2708.

Foueaultscher PendelTersuch.

1827. G. Schilling. Der Foucaultsche
Pendelversuch. V.V.F.U.W. 9. 22.

1828. N. N, Der Foucaultsche Pendel-
versuch. A.R.L. 5. 270; 293.

1829. F. de Coninck. Le pendule de
Foucault. B.S.A.F. 17. 405; 461.

1880. M. de Sparre. Sur le pendule
de Foucault. M.A.Ly. (8) 7. 313.

1881. E. Pasquier. X propos du
pendule de Foucault. B.S.B.A. 8 178.

— A. Flamache 226. — M. Dehalu
242. — C. Flammarion B.S. A F. 17. 357.

1882. E. K. Adams. Foucault pen-
dulum Systems. E.W. 43. 1190.

1888« M. Pelnär. Kterak pohybige
se rovina kyvu pH pokuse Foucaultove.
(Wie bewegt sich die Schwingungsebene
beim Foucaultschen Versuch.) C 38. 241.

1884. L. Weinhold. Zur Technik des
Foucaultschen Pendelversuches. Z.P. 17.
198.

1885. N. N. La terra gira. L.A.M.
11. 171.

1886. N. N. Visible proof of the
Earths rotation. P.A. 12. 71.

1887. N. N. Le pendule de Foucault
prouve-t-il quelque chose? B.S.A.F.
17. 29. — H. ChrÜien 83.

1888. F. Folie. P^riodicit^ semi-
diume des mouvements apparents d^un
pendule libre dans le premier vertical.
B.A.B. 1904. 1138.

1889. A. Bam/ry. Le pendule de
Foucault et les ezp^riences actuelles
au palais de justice de Bruxelles. B. S.
B.A. 8. 129.

Siehe auch 375; 1826; 2773.

PoUiShensehwankimgen.

1840. N. N. Die Schwankung der
Erdachse. D.W.B. 5. 250.

1841. W. Förster. Über die Beob-
achtung der Bewegungen der Drehungs-
achse im Erdkörper. M.V.A.P. 13. 51.

1842. H. G. van de Sande BcMuysen.
Einige Bemerkungen über die Änderung
der Polhöhe. A.N.K. 165. 1.

1848» M. H. H. Ruchy bieguna ziemi.
(Die Schwankungen des Erdpols.) W. W.
23. 337.

1844. T. H. Asibury. The Variation
of latitude. J.B.A.A. 13. 320; 359.

1846. W. W. Payne. Variation of
latitude. P.A. 12. 662.

1846. W. G. T. Latitude Variation
M.N.A.S. 63. 269.

1847. W. Förster. Neues in betreff
der Beobachtungen über die Verände-
rung der geographischen Breiten. M.V.
A.P. 15. 9.

1848. B. Spitaler. Periodische Ver-
schiebungen des Schwerpunktes der Erde.
S.A.W. 114. 695.

1849. S. KiMin. Polschwankungen
und Erdbeben. D.W.B. 4. 338; 5. 331.

1850. L. Courvoisier. Eimuras Phä-
nomen und die „jährliche Refraktion^*
der Fixsterne. A.N.K. 167. 81.

Siehe auch 70; 2154.

Sonnenparallaxe.

1851. Bouqviet de la Grye. Sur la
parallaxe du soleil. CR. 188. 1869.

1852. W. Heaih. Parallax in decli-
nation. 0. 26. 105.

1858; B. Weinberg. Endgültige Aus-
gleichung der wahrscheinlichsten Werte
der Sonnenparallaxe, der Aberrations-
konstante, der Lichtgleichung und der
Verbreitungsgeschwindigkeit der Störun-

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214

Abhandlungsregister 1904—1906.

Sin im Äther nach den bisherigen
eesnngen. A.N.E. 166. 1S3.
1854. F, Küstner. Eine spektrogra-
phische Bestimmung der Sonnenparall-
axe. A.N.E. 169. 241.

Siehe auch 1818.

Sonnenrotatioii.

Siehe 1892.

Mondbewegiui^*
1866. A. C. B. Crommelin. The path
of the moon. Eii.L. 26. 32; 69.

1866. A. Hau. The lunar theory.
S. (2) 19. 150.

1867. E. W. Brown. Theory of the
motion of the moon; containing a new
calculation of the ezpressions for the
coordinates of the moon in terms of the
time. M.A.S. 54. 1.

1868. E. W. Brown. On the com-
plexion of the Solution of the main
Problem in the new lunar theory. M.N.
A.S. 65. 104.

1869. E. W. Brown. On the degree
of accuracy of the new lunar theory
and on the final values of the mean
motions of the perigee and node. M.N.
A.S. 64. 524.

1860. S. Newcomh. On the desirab-
leness of a reinvestigation of the prob-
lemes growing out of the mean motion
of the moon. M.N. A.S. 68. 316.

ISei. P. H. Cowell. On the secular
acceleration of the moons mean ano-
maly. 0. 26. 405.

1862. P. H. Cowell. Analysis of the
errors of the moon. 0. 26. 347.

1868. P. H. Cowell. Methods of
analysis of moons errors and someresults.
M.N.A.S. 64. 412; 585; 679; 684.

1864. P. H. Cowell llie parallactic
inequality. M.N. A.S. 64. 694.

1866. P H. Cowell. A discussion of
the long-period terms in the moon^s
longitudes. M.N. A.S. 65. 34.

1866. P. H. Cowell Methods of
correcting moon's tabular longitude.
M.N.A.S. 64. 571.

1867. P. H. Cowell New empirical
term in the moons longitude. M.N. A.S.
64. 838.

1868. F. Hayn. Selenographische
Koordinaten. A.G.L. 29. No. 1.

1869. R. A. Hermcm. A derivation
of Hill* equation by a direct Substitution.
M.N.A.S. 63. 671.

1870. F. Hayn. Die Rotationsele-
mente des Mondes und der Ort von
Mösting A. A.N.K. 165. 306.

1871. L. Schülhof. Snr an nouvel
arrangement des tables de la lune.
B.A. 21. 369.

1872. E. F, van de Sande- Bakhuyzen.
Onderzoek omtrent de fouten der maans-
tafels van Hansen-Newcomb in de jaren
1896—1902. G.A.A. 12. 131; 881; 586.

Siehe auch 1764; 1868; 2288—91.

Libration.

1876. J. Franz. Friedrich Hayn,
Selenographische Koordinaten. Y.A.G.
38. 186.

Siehe auch 1800; 1801; 1872.

Finstemlgge.

1874. A, C. D. Crommelin. Cycles
of eclipses. Kn. 26. 202; 224.
Siehe auch 2086.

Sonnenflnstemlgge.

1876. C. B. Terrine. Some total
solar eclipse problems. A.J.C. 20. 881.

1876. G. Floquet. Sur Töclipse du
soleü du 28 V 00. B.S.S.N. (8) 1. 68.

SatellitenflnstenLisBe.

1877. K. Stoyanoff. Ezpos^e de la
m^thode de M. C. Glasenapp pour la
r^duction des obseryations des ^dipses
des satellites de Jupiter. A.T. (2) 5. 157.

Planetendnrchgftiige.

1878. L, Weinek. Zur Theorie der
PlanetenvorQbergänge vor der Sonnen-
Scheibe. S.A.W. 112. 1762.

Planetenbewegung.

1879. L. Lecomu. Sur les mouvements
plan^taires. A.F. 1903. 115.

1880. F. R. Moulton. On the motion
of the planets. P.A. 11. 284.

1881. A. G. Greenhill ißtude g^-
m^trique du mouvement plan^taire.
N.A. (4) 4. 837.

1882. E. Le Grand Bay. SimpliE-
cation du calcul du rayon vectec^ et
de r^quation du centre. A.S.G. (4) 19.
493.

1888. ,J. H. Jeans. On the vibrations
and stability of a gravitating planet.
T.R.S.L. 201. 157.

1884. C. A. Laisant. Une propri^t^
particuli^re des orbites plan^taires.
B.S.A.F. 18. 177. — S. VaUet 289.

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Abhandlungsregister 1904—1905.

215

1985. H. Zeipel Ett bidrag tiU känne-
dornen om de periodiska pktnetbanoma.
A.M.A.F. 1. 267.

1886. G. W. HuU. The theorems of
Lagrange and Foisson on the invaria-
bilitj of the greater axes in an oidinary
planetary system. A.J.B. 24. 27.

1887. B. Spariosu. ' Die Rotation der
Planeten. D.W.B. 4. 846.

1888. A. Sinram. Berechnung der
Planetenabstände. A.R.L. 6. 64.

1889. W. E. Thomas. Law of the
athmospheric strata. Height of the
athmosphere. P.A. 11. 196.

1890. P. lAyvcell. La rotation de
Vönus. CR. 189. 663.

1891. P. Lowell. La rotation de Mars.
CR. 189. 664.

1892. W. Maunder. The rotations
of the Sun, Jupiter and the Earth and
their effects. Kn. 26. 126.

Siehe auch 610; 1748; 1744; 1766—67;
1769; 1770; 1772.

Satellitenbewegnng.

1898. H. C. Plummer. On oscillating
satellites. M.N.A.S. 68. 436; 64. 98.

1894. 0. Bergstrand. Ober die Bahn
des ersten Uranussatelliten Ariel. N. A. U.
(8) 20.

Planetoidenbewegnng.

1896. a V. L. Charlier. Über die
intermediäre Bahn der kleinen Planeten.
M.L.A.O. 21.

1896. G. Gruss. Einige Bemerkungen
zur Berechnung der Kreisbahn eines
Planetoiden aus 2 geozentrischen Posi-
tionen (tschech.). S.G.B. 1903 No. 47.
Siehe auch 1773—76.

Kometenbewegung.

1897. E. Hohnes. How I try to rea-
lise a comets orbit. J.B.A.A. 13. 361.

1898. /. Biem. Kometensjsteme.
fl.E.B. 15. 648.

1899. L. Picart. Sur Tacc^läration
apparente du mouvement de quelques
comötes pdriodiques. B.A. 21. 139.

1900. A. Lanner. Die mechanische
Ursache der Eometenschweifstellung
xtnd ihre Bedeutung für die Zentral-
bewegung. S.L. 86. 78; 100.

1901. H. C. Plummer. On the pos-
sible effects of radiation on the motion
of comets with special reference to
Encke's comet. M.N.A.S. 66. 229.

1902. 0. BacJdund. Yergleichung der
Theorie des Enckeschen Kometen mit
den Beobachtungen 1894—96. A.P.M.
(8) 16 No. 3. 1.

Siehe auch 1746; 1776.

Meteoritenbewegnng.

1908. jff. Bosenberg. Ober eine Me-
thode zur Bestimmung von Meteorbahnen.
A.N.K. 167. 49.

1904. H. ChrÜien. Determination
des trajectoires reelles des steiles filantes.
B.S.A.F. 17. 322.

1905. G. Barone. Forme et dis-
position des radiants des steiles filantes.
B.S.B.A. 9. 226; 292.

1906. E. Weise. Höhenberechnung
der Sternschnuppen. A.A.W. 41. 266;
D.A.W. 77. 266.

1907. H. Chretien. L'dtude syst^-
matique des steiles filantes et les travaux
de la commission des m^täores de la
Sociät^ astronomique de France. A.F.
1903. 189.

1908. J. B. Henry. The Leonid
Meteors and the Moon. E.M.W. 77.
124; 166.

1909. G. V. Niessl. Über die Frage

Semeinsamer kosmischer Abkunft der
[eteoriten von Stannem, Jonzac und
Juvenas. S.A.W. 118. 1861.

Stemparallaxen.

1910. C. W. Wirtz. Kritische Be-
merkungen über neuere Methoden der
Entfernungsbestimmung der Fixsterne.
N.R. 19. 106.

1911. ö. Bergstrand. Über die Wir-
kung der athmosphärischen Dispersion
auf die Bestinmiung der jälurlichen
Parallaxen der Fixsterne. A.N.E. 167.
241.

1912. S. C. ChandUr. Questions rela-
ting to stellar parallax, aberration and
Kimura^s phenomenon. A.J.B. 23. 12.

1918. Ö. Bergstrand. Determination
de la parallaxe annuelle de T^toile.
B.D-f 87. 4131. N.A.U. (8) 20.

Doppelsternbewegiuig.

1914. W. S. Adams. The orbit of
the spectroscopic binary ij Orionis.
A.J.C 17. 68.

1915. A. W. Boh&rts. On the rela-
tion existing between the light changes
and the orbital Clements of a close
binary System. M.N.A.S. 68. 627.

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216

Abhandlimgsregister 1904—1906.

1916. J. E. Gore. Stellar satellites.
Kn.L. 26. 199; 257; 278.

1917. H. C. Vogel. Untersnchungen
über das spektroskopische Doppelstem-
Bjstem |3 Aurigae. A.N.E. 166. 118.

Eigenbewegnng der Fixsterne.

1918. R. V. Kövesltgeihy. Über die
Achsendrebung der Fizsteme. B.M.N.
17. 166.

1919. G. J. Bums. The proper
motioDs of ihe Stars. A.J.C. 17. 63.

1920. L. Boss. On the fandamental
elements of computation in tbeir relation
to systematic stellar motion. A.J.ß.
28. 116.

1921. H. Kobold. Resultate der
üntersuchnng von 144 starken Eigen-
bewegungen. A.N.E. 166. 1.

Siehe auch 728.

Sonnenapex.

1922. P. Harzer. Über die Bestim-
mung des Apex. A.N.E. 167. 226.

1928. J. A. Paterson. The apex of
the suns way. P. R. A. S. C. 1902—03. 66.

1924. F. W. n. Determination of
the solar motion. M.N.A S. 63. 262.

1926. M. W. Whitney. The deter-
miuation of solar motion. P.A. 12. 226;
311.

1926. T. W. Badchouse, W. H. S.
Monde. The suns motion in space.
J.B.A.A. 14. 169; 248; 286; 824; 396.

1927. W. T. Carrigan. A method
for determining the direction of the
sun's motion in space. A.J.B. 24. 107.

1928. W. H. S. Monck. The suns
velocity in space. P.A.S.F. 16. 189.

1929. W. H. S. Monck. Systematic
motions of the fixed stars. 0. 27. 278.

1980. S. Wellisch. Der dynamische
Mittelpunkt der Welt. D.W.B. 3. 278.

Astrophysik.

1981. /. Plassmann. Interplanetare
Absorption des Lichtes. M. V.A.P. 16. 6.

Siehe auch 702; 724—26; 1986.

Kosmische Spektralanalyse.

1982. B. V. Kövesligethy. Über das
Spektrum der Himmelskörper. B.M.N.
17. 127.

Siehe auch 1067; 1917; 1946.

Weltrauni.

1988. A. Stentzel Über die soge-
nannte Temperatur des Weltraumes.
M.Z. 21. 871.

Gestalt der Himmelskörper.

1984. A. Liapunaw. Untersuchungen
über die Theorie derCrestalt der Himmels-
körper (russ.). A.P.M. (8) 14. No. 7. 1.

1985. A. Liapunaw. Über die Glairant-
sche Gleichung und die allgemeineren
Gleichungen aus der Theorie der Gestalt
der Planeten (russ.). A.P.M. (8) 16.
No. 10. 1.

Astrophotographie.

Siehe 291—96.

Sonne.

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1987. N. N, The sun a binary star.
E.M.W. 79. 802.

1988. W. H. Julius. Les th^ories
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16. 480.

1989. M. M. H. Hypoteza przyrodzie
wyskoköw slonecznych. W.W. 22. 686.

1940. W. H. Julius. De periodidteit
der zonneverschijnselen en ae daannede
samenhangende periodiciteit in de varia-
ties van meteorologische en aardmagne-
tische dementen verklaard mit dispersie
van het licht. C.A.A. 12. 300.

1941. W. H. Julius. Sur rexplication,
par la dispersion anomale de la lumiäre,
de la p^riodicit^ des phänom^nes solaires
et de la p^riodicit^ correspondante dans
les yariations des äldments m^orolo-
giques et magn^tiques de la terre. A.N.
(2) 9. 211.

1942. E. Przybyihk. Die Juliussche
Sonnentheorie in ihrer neueren Ent-
wicklung. P.Z. 6. 664.

1948. S. A. Mitchell The pressure
of sunlight and some of its bearings
on astronomy and meteorology. M.W.B.
82 217

1944! A. Schmidt. Die Gesetze der
Lichtbrechung wogewendet auf die Physik
der Sonne. D.W.B. 6. 216; 240.

1945. S. P. Langley. The solar con-
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1946. J. Fenyi. De noya quadam
ezplicatione transpositionis lineamm
spectralium in sole obseryatae. N.'L.M.
21. 249.

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Abhandlungsregister 1904-— 1905.

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1948. F, Hopfner. Theorie der solaren
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1949« J. H. Poynting. Radiation in
the solar sjstem: its e£Pect on tempe-
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T.R.S.L. 202. 525; M. A.S. 55. Append. 1.

i960. F. E. Fowle. The discrepancy
between solar radiation measurements
by the actinometer and by the spectro-
meter. M.C.S J. 47. 399.

1951. F. W. Vary. The absorption
of radiation by the solar athmosphere
and the intrinsic radiation of that ath-
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1952. Ä. Schuster. The solar ath-
mosphere. A.J.C. 16. 320.

1958. C. Nordmann. La stmcture de
la conronne solaire. R.G.O. 15. 103.

1954. F. Biske. Pröba zastasowania
bad4n hydrodynamicznych do protu-
berancyi slonecznych. (Versuch einer
Anwendung der Hydrodynamik auf die
Protuberanzen der Sonne.) W.M. 6. 147.

1955. /. Scheiner. Die Eirchhoffsche
Funktion. H.E.B. 16. 386.

Siehe auch 668; 2213.

Sonnenflecken.

E. Chritien. La quadrature
m^canique des taches solaires. A.F.
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Siehe auch 2284.

Mond.

1957. /. Fei-nique. La forme tätraö-
drique de la lune. B.S.A.F. 18. 43.

1958. F. Hayn. Abweichung des
Mondrandes von der Ereisform. A.N.E.
168. 1.

1959. Folie. Sur la dätermination
physique de la masse de la lune. A. S. B.
28 A. 59.

1960. E. PrzyhyUök. Über Positions-
bestimmung Yon Mondkratem nach der
Methode der Quereinstellung. A.N.E.
168. 309.

1961. J. Mooser. Die Entstehung der
Ringgebirge des Mondes. J.Y. S. 6. 23. 38.

Siehe auch 1868; 1870; 1873.

Planeten.

1962. Du Ligond^. Les atmosphäres
des planstes. B.S.A.F. 17. 291.
Siehe auch 295; 1765.

Zodiakallieht.

1968. E. Parrey. The zodiacal light.
J.B.A.A. 13. 199.

Fixsterne.

1964. J. E. Gore. Giant and minia-
tnre suns. En. (2) 1. 4.

1965. L. d'Auria. The relation of
the mass of the üniyerse to stellar dy-
namics. P.A. 12. 20.

1966. A. lass. Az ällöczillagok höm^r-
säklet^nek meghatäroz^sa. (Bestimmung
der Temperatur der Fixsterne.) Ü.B. 4.
229.

Doppelgterne.

1967. J. E. Gore. On the suns stellar
magnitude and the parallax of binary
Stars. M.N.A.S. 63. 164.

1968. S. M. Hadley. Masses of binary
Stars. P.A. 11. 240.

Xebelflecke.

1969. J. L. E. Dreyer. A survey of
the Spiral nebula Messier 33 by means
of photographs taken by Dr. Isaac Roberts.
P.R.LA. 25. 3.

Astronomische Beobachtnngsknnde.

1970. L. Courvoisier. Über einige
Registerversuche nach dem Eoinzidenz-
verfahren. A.N.E. 167. 211.

Persönliehe (i^leiehnng.

1971. S. P. Langley. A method oi
avoiding personal equation in transit
observations. M.C.S.L 45. 225.

1972. F. Schlesinger. Personal scale.
P. A. S. F. 16. 207 ; 228. — R. G. Athen 220.

Distanzen.

1978. Knipping. Maansafstanden.
D.Z.R. 26. 13.

1974. E. Knipping. Die Zukunft der
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1975. de Cafiete del Pinar. De c6mo
se han de observar las distancias lunares.
R.G.M.M. 52. 635; 697.

1976. C. Borgen. Über die Berech-
nung von Monddistanzen mit Hilfe der
Mercatorschen Funktionen. A.D.S.H.
26. Nr. 1.

1977. P. G. Sul calcolo della for-
mola proposta dal Magnaghi per la ridu-
zione delle distanze lunari. R.M.R. 37 c.
104.

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218

Abhandlungsregister 1904—1905.

1978. Ä. Wedetneyer. Die Anwendung
von Stemdistanzen in der nautischen
Astronomie. A.H. 83. 868.

1979. A, Wedemeyer. Die Anwendung
von Stemdistanzen in der nautischen
Astronomie. A.H. 33. 416.

KoBmologie.

1980. F. Bistenpart. Der Aufbau
des Weltgebäudes. H.E.B. 17. 15.

1981. E. J. Oheury. Note sur la con-
figuration de rUnivers. B. S. B. A. 9. 284.

1982. K. Geißler. Betrachtungen
über die Unendlichkeit des Weltäls.
D.W.B. 5. 335

1988. J. D. Everett. On normal piling
as connected with Osbome Beynolds^s
theory of the üniverse. P.M. (6) 8. 80;
P.P.S.L. 19. 228.

1984. F. Ristenpart. Gibt es einen
Punkt der Ruhe im Weltall? H.E.B.
17. 180.

1985. F. Gessert. Eine Hypothese
über die Ersetzung der Gestirnswärme
durch die Schwerkraft. D.W.B. 4. 232.

1986. G, Johnstone Stoney. Escape
of gases from athmospheres. P.M. (6)
7. 690; 9. 510. — S. R. Cook. 9. 508.

Siehe auch 721; 1965.

Sonnengystem.

1987. T. J. J. Se^ Researches on the
internal densities, pressures and moments
of inertia of the principal bodies of
the planetary system. A.N.E. 167. 118.

1988. C. J. Schuhmacher. Stabilität
unseres Sonnensystems. N.O. 50. 287.

1989. H. Chretien. Distances moyennes
dans le systäme solaire. A.F. 1904. 52.

Siehe auch 1888.

Kogmogonie.

1990. C. Braun, über Eosmogonie.
N.O. 49. 366.

1991. Ä. M. Clerke. Modem cos-
mogonies. En.L. 26. 67; 104; 158; 196;
251; 27. 6; (2) 1. 30; 80; 178; 211; 256;
2. 24.

1992. M. Ernst. Wspölczesne pog-
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nischen Ansiditen der Gegenwart.) B. W .
1908. ni487; IV 41; 275.

1998. R. Lieckfeldt. Die Entstehung
nnd Entwickung der Weltkörper. D.W.
B. 5. 159; 188; 204.

1994. R. V. Kövesligeihy. Über die
Entwicklung der Himmelskörper und
das Alter der Erde. B.M.N. 19. 204.

1995. L. N. Voku. Application des
lois g^n^rales de la formation des mondes
ä la g^n^ration speciale du nötre. J.S.
M. 15. 88.

Kant-Laplacesche Theorie.

1996. J. Friedel. Zur Eant-Laplace-
sehen Theorie. P.G.M. 51. 43.

1997. HolzmüUer. Kritik der Eant-
Laplaceschen Hypothese. U. M. N. 1 0. 40.

1998. G. Holzmüller. DieEant-Laplace-
sehe Eosmogonie und ihre Eritik. S.L.
87. 78.

1999. A. Studnicka. Über die La-
placesche Theorie. A.R.L. 6. 160.

2000. A. Hall. The nebular hypo-
thesis of Laplace. A.J.B. 24. 54.

2001. E. Holmes. The aspects of the
nebular hyhothesis. J.B.A.A. 14. 163
— G. J. Bums 209.

2002. J. Halm. Some suggestions on
the nebular hypothesis. P. R. S. E. 26. 663.

Siehe auch 1766.

MathemaÜBche Geographie.

2008. L. S.dela Campa. Nota sobre
el primer meridiano geogr&fico. R.T.M.
4. 145.

2004. N. N. Tafeln zur genäherten
Berechnung der Zeitgleichung. 1904 — 07.
M.V.A.P. 14.21.

Sphärische Astronomie.

2005. H. Hilton. Some simple Pro-
blems in astronomy. M.G.S. 2. 884.

2006. A. Rust. Trirectanffular coor-
dinates for the Solution of spherical
trianffles. P.N.I. 29. 707.

2007. D. Mars. Eenige opmerkingen
over circummeridians — breedte en
azimuth. D.Z.R. 25. 101; 198.

2008. M. A. Ainslie. Sun's altitude
and azimuth. E.M.W. 77. 52.

Siehe auch 2026; 2028; 2029; 2031;
2058; 3772.

Nantik.

2009. J. E. R. Stephens. The history
of navigation. N.M.L. 78. 503.

2010. H Heyenga. Nautische Unter-
suchungen. H.H. 40. 384; 401.

2011. J. de Ray-Pailhade. Appli-
cation pratique du Systeme dreimal k
la navigation. Y.G. 297. 57.

2012. R. Weizner. Lösung einiger
nautischer Aufgaben mit Hilfe der Azimut-
tafeln von Dr. Holte. A.H. 32. 244.

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Abhandlongaiegister 1904—1905.

219

2018. D. Mars. 'Nauwkeurigheid in
de berekening bij de sTunner-metbode.
P.Z.B. 25. 633.

2014« H. Herman. Is de sumnerlijn
een koorde of een raaklijn der boogte-
parallel. D.Z.B. 26. 20.

2015. G. Cevasco, Ä. Alessio e'L. Tonta.
Sulla costmzione delle tavole Martelli

ril calcolo dell' angolo orario. B.M.
37 a. 101.

2016« J, PosihumiM. Azimutb zonder
booffte. D.Z.B. 26. 494.

2017. P. W, Sachse. Het punt in
den ffelijken boogtecirkel verkregen
door breedtebepaling in verband met
bet reglement der stuurliedenexamens.
D.Z.B. 26. 7.

2018« E. Knipping. Vereinfacbunff
der nantiscb-astronomlscben Tafeln und
Becbnnngen. A.H. 33. 216.

2019. B. B. Goodtoin. A kinematic
exmeridian table. N.M.L. 72. 264.

2020« Köster. Über trigonometriscbe
Lösung des ungleichseitigen Vierecks,
dessen Winkel und zwei einandergegen-
überliegende Seiten bekannt sind. A.H.
38. 230.
Siebe auch 173; 220; 1978; 1979; 2261.

Zeitbegtimmang.

2021« J. Fosthumus. Vereenvoudiging
in bet uitrekenen van zeevartkundige
vraaggtukken. D.Z.B. 26. 194. — F. B. 406.

2022« O. Lippmann. Les unit^s ab-
solues et la mesure absolue du temps.
B.S.A.F. 17. 484.

2028« E. Jafnes. Einfache Methoden
der Zeitbestimmung. D.U.Z. 27. 129.

2024. E. Massanyi. A pontos idö.
(Über die Bestimmung der genauen Zeit.)
A.B. 7. 326.

2026. Weid^feld. Zur Genauigkeit der
Zeitbestimmungen am Sonnenlot. D.U. Z.
27. 819.

202«. G. C. Comstock. The deter-
mination of time and latitude from equal
altitudes of stars. P.A. 11. 238.

2027. W. E. Cooke. On a new and
accurate method of determining time,
latitude and azimutb with a theodo-
lite. M.N.A.S. 63. 166; 64. 70; P.A.
11. 160.

2028. E. B. H. Wade. Bemarks on
a paper by Mr. Cook on a New method
of determining time, latitude and azi-
mutb. M.N.A.S. 64. 107.

2020. E. Dolelal Über graphische
Sestimmung der Zeit, des Azimuths und
des Meridians. O.Z.B.H. 1903. 2; 17;
38; 49.

2080. H. H. Turnet'. On grapbical
methods of determining the local or
Greenwich time of sunset at different
places within a given region. M.N.A.S.
64 193.

2081. A. Bust. Notes on a diagram
for Unding the azimutb and hour angle
&om the latitude of the observer and
the declination and altitude of the ob<
served celestial body. P.N.I. 29. 726.

2082. A. Alessio. Sulla determina-
zione dell' ora di bordo con osservazioni
stellari. B.M.B. 37 b. 262.

2038. N. N, Über eine vom Ingenieur
F. Tami vorgeschlagene Methode für
die nautische Bestimmimg der Ortszeit
aus Stembeobachtungen. M.A.G.S. 32.
317.

Siehe auch 2048; 2079; 2662.

Onomonik.

2084. L. Weineck. Zur Theorie der
Sonnenuhren. S.A.W. 114. 831.

2085. 0. TTet^e/eZd. Über die Leistungs-
fähigkeit von Sonnenuhren. M.V.A.P.
18. 24.

2086.i\r.iV^. Cadranssolaires. B.S.A.F.
17. 208.

2087. A. Damry. Le cadran solaire
de Dijon. B.S.B.A. 8. 97.

2088. B. Cozza. Un nouveau cadran
solaire ä. temps mojen, ä courbes ho-
raires Egales et ^quidistantes. B.S.A.F.
17. 122.

2089. H. WicheUo. An improved sun-
dial. E.M.W. 80. 210; 300.

2040. N. N. An improved sun-dial.
0. 27. 141.

2041. W. Godden. A cheap and reli-
able time finder. E.M.W. 79. 67; 146.

Ortsbestbnmiing.

2042. E. Havinga. Nog iets over
plaatsbepaling. D.Z.B. 26. 339.

2048. Badler de Aquino. Sobre o
calculo relativo de posicao segundo o
methodo de Marcq St. Hilaire. B.M.B.
42. 1111.

2044. A. de la Baume-Pluvinel, La
d^termination du point en ballon. B.S.
A.F. 18. 77.

2045. H. A. de Wijn. Opmerkingen
over de astronomische plaats bepaling
aan boord. D.Z.B. 26. 399.

2046. Pfarriits. Zur Geometrie der
Aufgaben des Auffindens auf See. M.
B.B. 16. 178.

2047. Bömmei-t. Grafi6eskoe resenie
poljarnaga treugolnika. (Graphische

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220

Abhandlnngsregister 1904—1905.

Lösung des Poldreieckes.) M.Z.P. 319.
11; 89.

2048. Ä. Tas8. Mtiszer ndlkül veae-
theaö idomeghat&rotäs. (Methode der
Orts- und Zeitsbestinunong ohne Instru-
mente.) A.B. 8. 146.

2041^ G. W. LiUlehales. A new and
abridged method of finding the locus
of geographica! position and the compass
error. B.S.W. 14. 283.

2050« N. Bodcevib. Opredelenie siroty
i dolgoty. (Breiten und Längenbestim-
mungen auf dem Meere aus Beobach-
tungen der Azimuthdifferenzen von zwei
Sternen.) M.Z.P. 322. 4.

2051. H. E. Timerding, Die Genauig-
keit der Ortsbestimmung aus 2 Stand-
linien. A.V.K. 168. 17.

2062. H. Baum und C. Fesenfeld.
Berechnung des Schiffsorts aus 2 Gestims-
höhen nach der Höhenmethode. A.H.
32. 28. — T. Küster 170.

2058. C. Decante. Determination de
Position du navire quand l*horizon n'est
pas visible. B.M.M.P. 147. 491.

2054. G. W. LiUlehales. Conceming
Sextant observations for determining
gegraphical positions. B. A. G. S. 36.
188

2055. E. B. E. Wade. Preliminary
note on the effect of the direction of
flfravitj on lunar observatories. M. N. A. S.
64. 106.

2056. W. Hall. A caution on ex-
meridians. N.M.L. 73. 419.

Breitenbegtimmung.

2057. S. Alcmdn. Observaciones de
latitud en Apam. M.jB.M. 20. 78.

2058. A. Pannekoek en PosthumtM
Heyes. Ovor breedte— en azimuth bepa-
liMer. C.A.A. 13. 520.

2059. F. B. Bredten by den meri-
diaen. D.Z.R. 26. 242; 471. —W. Noor-
duiin 311. — P. Bossen 358. — E. Ha-
vinga 541.

2060. H. Renan. £tude de linfluence
de la d^viation instrumentale d'un cercle
de m^ridien sur les mesures de latitudes.
B.A. 22. 129.

2061. L. Volta. Le determinazioni
fotografiche di latitudine e le ricerchi
recenti del prof. Schwarzschild. R.T.C.
17. 97; 125; 186; 152.

2062. H. B. Goodmn. On reduction
to the prime vertical. N. M. L. 73.
611.

2068. P. Bossen. Hoe moet men de
circummeridiaens breedten berekenen.
D.Z.R. 25. 422.

2064. J. PosOiumus. Breedte bepaling
door circummeridiaans hoogte. D.Z.B.
25. 203.

2065. H. Herman. De grootste hoogte.
D.Z.R. 25. 255. — TT. Carnelis 304.

Siehe auch 2017; 2026-28.

Ungenbestimmuig.

2066. J. A. C. Oudemans. Kort bericht
omtrent de bepaling der lengte van
St. Denis uitgevoerd in 1874. C.A.A.
13. 616.

2067. Eieart y Giralt Calculo de
la longitud geografica por medio de las
distancias lunares. M. A. G. B. (3) 5. No. 1.

2068. A. Alessio. Determinazione
speditiva deUa longitudine con osserra-
zioni del cratere „Mösting A". R. M. R.
86 c. Suppl.

2069. R. Weisner. Berechnung von
Längen- und Standlinien unabhängig
vom Chronometer. A.H. 32. 497.

2070. D. Mars. Nanwkeurigheid in
de berekening bij de Sumner-methode.
DZ.R. 26. 69.

H5henprobleme.

2071. Preuß. Über Höhenprobleme.
A.H. 33. 78. — Timerding 232.

2072. G. W. Litaehales. The Sumner
line. N.M.L. 78. 827.

2078. J. W. Froley. Mr. G. W. Littie-
hales' graphic Solution of the astronomical
triangle and some of its varied appli-
cations to the problems of navigation.
B.A.G.S. 36. 299.

2074. A.d.V. Constructie van hoogte-
lijnen volgens Villarceau. M.B.H. 19.
226. — G. L. Goedhart 859.

2075. Radler deAquino. Taboas para
achar alturas e azimuths facilitando e
emprego do methodo de Marcq Saint-
Hilaire no mar. R.M.B. 41. 504.

2076. G. Pesci. Sul calcalo relative
alle rette d'altezza secondi il methodo
di Marcq St. Hilaire. R.M.B. 86 a. 5;
37b. 87.

2077. E. B. Simpson- Baikie. Tables
to facilitate the working of combined
altitudes by Saint-Hilaire's Method. M.
N.A.S. 64. 198.

2078. A. Roth. Nochmals das Ver-
fahren von Marcq de St. Hilaire und
die Höhentafeln. M.A.G.S. 31. 956.

2079. G. Santasilia. Circa un metodo
breve e facile per il calcolo dell' angolo
orario e della retta d' altezza Marcq
de St. Hilaire. R.M.R. 36 d. 349.

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AbhandlungsregiBter 1904—1906

221

2080« Caspar, Ein neues und abge-
kürztes Verfahren, um die Standlinie
und die Eompaßmifiweisung zu finden.
Siehe auch 2026; 2062; 2066.

Dftmmeriuigsprobleme.

Siehe 2292.

Großkreisschiffalirt«

2081. A, Both. Studie über die
Schiffahrt im größten E[rei8e. A.H. 82. 376.

2082. F. B. Stoomschepen en groot-
cirkels. D.Z.R. 26. 200.

2088. H, B. Goodwin. Talks on
Towson. N.M.L. 72. 728; 73. 1; 92.

Chronologie.

2084. L. Zimmermann. Zeitrechnung.
A.y.N. 1908. 161; 289; 306; 313; 846; 363.

2085. M. C. B. Omelas. Nociones
de cronologia practica. M.jB.M. 19.
17; 66.

2086. TT. H, S. Manch. Ancient
chronology and eclipses. P.A. 11. 242.

Kalender.

2087. (y MaUey. Three Calenders.
E.M.W. 77. 260.

2088. L. F. J. Gardia. Calendrier
perp^tuel. A.F. 1903. 214.

2080. /. E. Nunes Cardoso. Calen-
dario perpetuo. B.T.M. 4. 66.

2090. C. H. Genung, The reform of
the calendar. N.A.R. 79. 669.

2091. B. Munzky-Bunzlau. Math.
Formel zur rechnerischen Bestimmung
des Wochentages beliebiger Daten im
alten und neuen Kalender. D.W.B. 4. 68.

Ephemeriden.

2092. M. Bajna. Nuovo calcolo dell'
effemeride del sole e dei crepuscoli per
Torizzonte di Bologna. M.I.B. (6) 1. 61;
E.I.B. (2) 8. 26.

Osterdatnm.

2098. N. N. Gaußsche Osterformel.
A.V.N. 1904. 163.

2094. P. Puiseux. Sur la date et la
föte de Pftques. B.S.A.F. 17. 281.

2095. L. F. J. Gardis. La date de
Pftques. A.F. 1903. 94.

2096. N. N. Vraag over den paasch-
datum. V.W.A. 20. 160.

2097. M. C La vraie date de P&ques
en Tan 1903. Co. (2) 60. 180.

Geschichte der Oeodftsie.

2098. B. Bourgeois. L'^tat actuel de
la g^od^sie. R.a.O. 16. 876.

2099. N. N. The present position
of geodesy. N. 70. 104.

Siehe auch 3361.

2100.

niedere Oeodisie.

W. Große. Über eine prak-

tische Bechnungsaufgrabe der Feldmeß-
kunst. Z.H. 34. 33.

2101. H. F. van Biel. Bepaling der
der richtingscogfficienten big vereffening
in gevalvanpuntbepaling. T.K.L.20.116.

Siehe auch 66; 3782.

Messen.

2102. J. P. LomhoU, Prove of laengde
maalingsredskaber. T.O.M. 3. 166.

Siehe auch 979; 2676; 2678.

Distanzmessnng.

Siehe 44.

TrianguUerung.

2108. N. N. Geometrische und trigono-
metrische Netzbestimmung. Z.B.G.Y.
1904. 33.

2104. G. Poleer. Zentrieren der
Winkel. Ö.Z.V. 1904. 125.

2105. Seyfert. Aus der trigonometri-
schen Praxis. M.A.M.F. 1904. 60.
Siehe auch 42; 48; 49; 71; 2120; 8241;

3778; 3786.

Einsclineiden.

2106. S. Finsterwalder und W. Scheu-
feie. Das Bückwärtseinschneiden im
Baum. S.A.M. 33. 691.

2107. N.Herz. Eine Verallgemeinerung
des Problems des Bückwärtseinschnei-
dens: Problem der 8 Punkte. S.A.W.
118. 366.

2108. C. de Sandre. Compensazione
di im punto intersecato coUe distanze.
B.T.C. 16. 109; 117.

Siehe auch 47; 60; 8774.

Pothenotsches Problem.

2109. Ä. de Campos Bodriaues. Le
Probleme de Pothenot. B.T.C. 16. 100.

2110. S. GünOier. Das Pothenotsche
Problem auf der Kngelfläche. S.A.M.
84. 116.

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222

Abhandfamgsreguter 1904—1905.

PolygOBometrie.

2111. Pavlov. Obchod poligona. (Die
GeDanigkeit von Poljgonmessimgen
mitteb der Bonssole and des Winkel-
meSinstmmentes.) B.S.B.A. 10. 115.

2112. W. Sedasev. üvjazka koordinat.
(Ober die Metiioden der Ausgleichung
der Abweichungen in Poljgonkoordina-
ten.) T.G.C. 18. 26.

2118. N. Roidestvenskij Izmerenie
aglov i linij. (Zur Frage über die Ge-
nauigkeit der Linien und Winkelmes-
Bungen in der pol ygonometriechen Auf-
nahme.) T.G.C. 18. 12.

2114* N. Itozd€8tv€nskij. Ob idmerenie
plod^adej. (Einfluß der Fehler der Linien-
und Winkelmessungen eines Polygons
auf seine Fläche.) T.G.C. 18. 20.

2115. T. Vspenskij Vycislenie plos-
cadej. (Notiz über die Flächenberech-
nungen der Polygone.) T.G.C. 18. 47.

Kurrenabstecken.

211«. F. Lorenz. Die Absteckung
Ton Kurven in koupiertem Terrain. Ö.W.
O.B. 1904. 161.

FlSchenmesgiuig.

Siehe 3231; 3481.

GnudBtfickgteilwig.

2117. L. Zimmermann, Teilung des
Vierecks aus einem gegebenen Punkte.
A.V.N. 1908. 88. 124.

2118« H. Zimmermann. Teilung an
einem gesuchten Punkte. A.V.N. 1903. 4.

2119. H. Ehrhardt. Die Teilung der
Grundstücke durch einfaches Addieren
und Subtrahieren, unter Verwendung
einer Tafel von Achtelquadraten, ge-
nannt Planimetrische Tafel. A.Y.N.
1904. 306; 313.

Siehe auch 3769; 3780; 3781; 3783.

GeoditUehe Koordinaten«

2120. T. Krasovskij. Formulü Örej-
bera (Notiz über die Schreibersche Formel
für die Berechnung der geographischen
Koordinaten der Punkte im trigonome-
trischen Netze). T.G.C. 18. 1.

2121« P. Manljev. Vydislenie azimu-
toT (Über die Berechnung des wahren
Azimut mittels der Tabelkn für die Be-
rechnung der rechtwinkligen Koordina-
ten). T.G.C. 18.48.
Siehe auch 61; 62; 2112; 2186—87; 3773;
3778.

TaehyMetrle.

Siehe 8767.

IViTollement.

Siehe 46; 46; 2246; 2679; 2680; 8771;

Bnrometriflehe HShenmeasnng.

2122. (jhrü89mann. Die barometrische
Höhenformel und ihre Anwendung. A
H. 38. 261.

212S. A. de Quervain. Tafeln zur
barometrischen Höhenberechnung nach
A. Angot. B.P.A. 1. 68.

21 2l« J. Hann. Bemerkungen über
die Schwerekorrektion bei den barome-
trischen Höhenmessungen. P.G.M. 49.
168.

Topognpliie.

Siehe 296; 2682; 2683; 2689; 8719.

LnndegTermesgwig.

2125. S. Blök. De aansluiting van
het driehoeksnet der eerste orde van
Zuid- Sumatra aan dat van Sumatra's
Westkust. C.A.A. 13. 471.

Siehe auch 3242; 3656; 3667.

Kartenprojektionen.

2126. E. Haentzsehel Neuer Beweis
einer Grunertschen Formel aus der Kar-
tenentwurfslehre. Z.S. 61. 166.

2127. E. Soler. Sopra una nuova
prolezione geografica compensatiYa. A.
A.P. 6.

2128. H, Maurer. Eine neue grtk-
phische Azimut- und Kurstafel und eine
winkeltreue Kartenprojektion. A.H. 83.
125.

2129. C. E. Stromeyer. Surface equi-
valent projections. V.I.G.C. 7. 99.

2130. H. Maurer. Über Auflösung
von Poldreiecksaufgaben durch Diagram-
me, die auf zenitalen Kartenprojektionen
beruhen. A.H. 33. 356.

2181. A. J. van der Grinten. Dar-
stellung der ganzen Erdoberfläche auf
einer kreisförmigen Projektionsebene. P.
G.M. 1904. 156.

2182. H. Hüton. A note on the gno-
monic projection. M.G.S. 8. 108.

2188. H. Hilton. To find the relaüon
between 2 maps of the same oontour
on the gnomonic projection. M.G.S. 3.
107.

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AbhandlnngBregiBter 1904—1905.

223

2184. E. Hammer. Zwei praktische
Beispiele schiefochsiger zylindrischer
Karteimetzentwürfe. P.G.M. 60. 277.

2185. C. Paston. Tabelle sassidiarie
pel calcolo di ima triangolazione in co-
Ordinate piane Soldner o per la trasfor-
mazione delle coordinate rra due centri
Soldner contigui. R.T.C. 17. 8; 24; 38.

2186. G. B. MaffioUi. Sopra alcune
questioni relative al calcolo delle coor-
dinate sferiche rettangolari nel sistema
di proiezione di Soldner. R.T.C. 17.
49; 66. — Pastori 96.

Siehe auch 282; 2606.

Flftchenbereehnniigr.

2187. M. Ehrhardt Flächen- und Ko-
ordinatenberechnung durch Addieren und
Subtrahieren unter Yerwendunff einer
Tafel von Achtelquadraten. A. Y.N. 1903.
168.

Siehe auch 177; 2114; 2116; 3367; 3480;
3482; 3484; 3490; 3491.

Erdmasgenberecbming.

2188* L. Hess. Zur graphischen Mas-
senbestimmung von Erdkörpem. ö W.
O.B. 1903. 663.

2189. X. Schleiermacher. Zur Massen-
berechnung im Wegbau. Z.S. 62. 208.
Siehe auch 3474; 3476; 3438; 3479;
3486—88.

Metrologie«

2140« G. di Dia. H sistema metrico.
Pit 10. 14.

2141. O. ZanoUi' Bianca. 11 metro
e il minuto e il secondo nella geofisica
modema. R.T.C. 17. 104; 119.

Höhere Geodftsie.

2142. 0. H. TiUmann. Der gegen-
wärtige Stand der Geodäsie. K R. 20. 169.

2148. F, Guarducci. Sulla risoluzione
dei triangoli formati da 3 geodetiche
siill* eUissoide di rotazione a piccolo
sciacciamento. M.I.B. (6) 1. 99; R.LB.
(2) 8. 69.

2144« A. A. Wassüiew. Nachweis
einiger systematischer Mängel des Basis-
messungsapparats von Jädevin. A.P.B.
(6) 19. Nr. 3. 93.

Siehe auch 2161.

GradmesBaiigen«

2145. Laperfido. Misura di un arco
teirestre. R.A.G. 1904. Okt.

2146. Canete del Pinar. Sobre un
arco de paralelo. R.G.M.M. 62. 304; 426.

ErdgestAlt.

2147. 0. Zanotti'Bianco. I concetti
modemi sulla figura matematica della
Terra. A.A.T. 39. 589; 689; 40. 18.

2148. A, Börsch. Die Grundlagen der
Bestimmung der Erdgestalt. y!.I.M.C.
3. 469.

2149. S. Mdkay. A föld alakja (Die
Gestalt der Erde). U.B. 3. 306.

2150. T. Arldt. Die Gestalt der Erde.
B.G. 7. 283.

2161. P. Trzcinskt. Ksztall i wymiari
ziemi. Uklav tetradrycznj (Größe und
Gestalt der Erde. Die Tetraederform).
W.W. 28. 81.

2152. S. Heilig. Is the Earth a py-
ramid and not a sphere? E.M.W. 77. 169.

2158. P. Bvdzki. Sur la d^termina-
tion de la fi^ure de la terre d'apr^s les
mesures de la gravit^. B.A. 22. 49.

2164. W. Foerster. Der Fortgang der
Untersuchungen inbetreff der Bestim-
mung der Erdgestalt und der Verände-
rungen der Breiten. M.V.A.P. 16. 36.
Siehe auch 2177.

Lotabweichungeii.

2155. Näbauer. Neigung der Lote in
Punkten verschiedener Niveauflächen,
welche derselben Lotlinie angehören. Z.
B.G.V. 1903. 174.

2156. W. Schweydar. Untersuchungen
der Oszillationen der Lotlinie auf dem
Astrometr. Listitut der Großh. Sternwarte
zu Heidelberg. B.G. 7. 33.

2157. 0. Fisher. On deflexions of
the plumb line in India. P.M. (6) 7. 14.

2158. N. Herz. Über den Einfluß der
Lotablenkungen auf die Ergebnisse der
Schwerebestimmungen. A.N.K. 166. 97.

Siehe auch 2066.

Geophysik.

2159. P. Puisetuß, Ce qu'on sait de
la Constitution interne du globe terrestre.
J.D.S. 1904. 620.

2160. D. S. Rudntekij. Fizi6na geo-
grafija pri kinci 19. stolita (Die physi-
kalische Geographie am Ende des 19. Jahr-
hunderts). R.S.M. 9. Nr. 4.

Siehe auch 276.

Schweremessmigeii.

2161. A. Prey. Über die die Reduk-
tion der Schwerebeobachtungen auf das
Meeresniveau. S.A.W. 113. 1231.

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224

Abhandlungsregister 1904—1906.

2162. 0. ZanotH'Bicmco. Helmert's
formale for gravity. N. 72. 684.
Siehe anch 440; 2163; 2168; 2676; 3769.

Erddlebte.

2168. 0, Füher. Densities of the
Earths crust beneath continents and
oceans compared. P.C. P.S. 13. 106.

Erdbeben.

2164. B. V. Kövesligethy. Die Berech-
nung seiamlscher Elemente. B.M.N. 28.
42.

2165. F. Omori. Seismolog^cal notes.
P.T.M. 2. Nr. 16.

21M.F.deMonte8sus de Bellare. Non-
ezistence et inutilit^ des courbes iso-
sphjgmes ou d'^gale fr^quence des trem-
blements de terre. E.G. 6. 467.

2167. B. V. Kövesligeihy, A nagy
földreng^sek energiaja (Über die Ener-
gie großer Erdbeben). M.T.E. 32.
146.

2168. Ä. Imamura. Note on the transit
velocitj of the earthquake motion ori-
ffinating at a near distance. P.T.M. 2.
Nr. 12.

2169. E. G. Harboe. Die Fortpflan-
zungsgeschwindigkeiten der Erdbeben-
wellen. B.G. 7. 379.

2170« 0. Fisher. On the transmission
of Earthqnake waves trough the earth.
P.C. P.S. 12. 864.

2171. W. Schlüter. Schwingungsarfc
und Weg der Erbebenwellen. B.&. 6.
814; 401.

2172. M. Seddig. Beobachtung elas-
tischer Wellen im Erdboden. N.R. 19.
641.

2178. H. Lamb. On the propagation
of tremors over the surface of an elastic
solid. T.R.S.L. 208. 1.

2174. A. Imamwra. Note on the
seismic triangulation in Tokyo. P.T.M
2. Nr. i2.

2176. TT. LaSka. Über die Verwen-
dung der Erdbebenbeobachtungen zur
Erforschung des Erdinnem. S. A. W. 118.
789.

2176. Hioya. On the correction bet-
ween earthquakes and atmospheric pres-
sure. J.M.S.J. 28. 9.

2177. C. Lallemand. Belations des
Tolcans et tremblements de terre avec
la figure du globe. A.F. 1908. 167.
Siehe auch 609; 843; 1849; 2284; 2418;

2691; 2692.

(Schluß

Erdwftrme.

2178. J. F. Hoffmann. Über die Be-
einflussung der geothermischen Tiefen-
stufe und einige Folgerungen. B.G. 5.
667; 6. 349.

Ynlkanismag.

Siehe 2177.

Eis.

Siehe 2193.

Eiszeit.

2179. E.Geinü2. Wesen und Ursache
der Eiszeit. A.F.M. 69. 1.

Erdströme.

2180. E. Guarini. Les couzants tel-
luriques. B.S.B.A. 9. 194.

ErdmagnetismaB.

2181. Ä. Pflüger. Zur Deutung des
Erdmagnetismus. P.Z. 6. 416.

2182. E. Lagrange, Ampere et rori-
gine du champ magn^tique terrestre.
B.S.B.A. 9. 239.

2188. X. A. Bauer. On the present
shrinkage of the earths magnetism. P.
E. 20. 126.

2184. W.vanBenunelen, Hetkrachta-
veld van de dagelijksche schommeling
der magnetische storingskracht. C.AA
12. 466.

2185. ö. Chree. The law of action
between magnet and its bearing on the
determination of the horizontal compo-
nent of the Earths magnetic force with
unifilar magnetometers. P.M. (6) 8. US.

2186. G. Lippmann, Action du mag-
nätisme terrestre sur une tige d*acier
„invar*^ destin^e ä un pendule gäod^-
que. CR. 188. 1073.

2187. F. Lauff'er, Die Deviation und
deren Kompensation geometrisch dar-
gestellt und analysiert auf Grand des
magnetischen Kraftfeldes. A.H. 33. 66.

2188. A. TanakadaU. A magnetic
survey of Japan reduced to the epoch
1896, and to sea level. J.Ü.T. 14.
Siehe auch 148; 663; 1671; 1940; 1941;

2284; 3649.

Deklinatioii.

Siehe 2080.

Erdmagnetisclie YariattoneB.

Siehe 2184.
folgt.)

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Vertag von B. 8. TEUBNER in LEIPZIG.

Lehrbuch der analytischen Geometrie.

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ZEITSCHRIFT
FÜR MATHEMATIK MD PHYSIK

BBGBÜND2T 1866 DÜBCH f 0. SCHLÖMILGH.
FEtaXE RERAIWOaaBBSN VOM 0. SoBLÜlflLOH (1856-1S96) tJNP M. CaHTOB (1869-1900). t

ORGAN FOB MeEWAM)T£ MATHEMATIK.

GB6BNWABTIG

mrTSB MITWIEKUNG TOK G. VON BaGH^ B. HeLMBET, F. KLBIKy C. TON JjSDM^

E/A. LoBBNTZy H. Müllsb-Bbsslau, H. SsBLiGfiBy H. Wbbsb

HBBAU80EQEBEN VON

^ THKHIIIKK UND C. RÜNOB

53. BAKD, 3. HEFT.

urt w norm m tut.
Amg^gobeo am 6. Juni 1906.

j

LEIPZIG,

DBÜOI UMB YIBLAG "VOlK B. 6. TEUBNIB.

1906.

n Bas« 1-M «w MtudoUl fir ItfMutik vi fkfgk.
»wiltHt« T« F Mi iii to Sr. S. Wllffiag-Stettpit [XU ». SOS 8.J gr. S. f*.
■. Ik. U—, b Lttawni fA. 1. Ik. U.->

ZEITSCHRIFT FÜB MATHEMATIK UND PHYSIK.

HBBAtrSOBOBBBN VON P&OV.DB. K. 'MWHMKP. UKp Fbov. BB. G. BUKaS.

BBUOK xnsm tebXmAQ vo^ b. g. tbubnbb m unpzxq» poststbassb s.

l

B^ Alle für die BedekÜon bestiimnten Sendaageii (Briefie, SCannskiipte, Be-
Benatonsexempli^e usw.) fdnd an den gesohfilUfOhrenden Bedaktenr:

Prof. Dr. iu Mehmke, Btattgart, Waidtaburgstrafte 29

SU riohten. Bs ninunt aber auoh Prof. Dr. C. Bunge, Qdttinffcn, Ooldgraben 90,
Sanduncan f&r die Bedaktion an.

M^ Bia Heiran Verfasser erhalten unöntgeltlioh; Ton «röBeren Auflifttaen 80
mit Umsohlaff Tersehene SonderabdrtLoke, von kleineren Beiträgen, Mitteilungen,
Besensionen usw. 10 Absfige der betr. Seiten; eine grfifiere Ansah! dagegen, als die
genannte, su den HerstellungskoBten.

■V Jeder Band der Zeitschrift umfaßt 28 Druckbogen in 4 Heften und kostot'
ao ICaxk; es werden Jährlich etwa 6 Hefte ausgegeben. Alle Buchhandlungen und
Postanstatton nehmen BestoUungen an.

INHALT DBS VOBLXEGBNDBK HBnTBS.

Seite

Über die theoreüache Behandlung des Problems der störenden Loh^motiv-

bewegungen. Von M. RftdAkovli in Lmsbrack. Mit 8 Figuren im Text 226

Die elasHse^ Linie der Gehäuse von Drehstrommaschinen mit großen Dturch-
messem. Von DipL-Ing. Eaas Linsennaiili in München. Mit 10 Figoien
im Text 246

Dynamische Kraftpläne. Von Ferdüiand Witteabatter in Graz. Mit 16 Figoien

im Text 274

Anfrage 287

Abhandlungsregister 1904^1905, Von £ni9t Wdlffing in Stattgart. (Schluß) 288
Verzeichnis der in technischen Zeitechriften 190S—1904 sieh vorfindenden

mathematischen Abhandlungen. Yen Ernst Wölffing in Stuttgart ... 304

aar Zum Abdruck in den nächsten Heften gelangen Beiträge der Herren:

0. BisnaaBB, F. Bitke, K. Bcissaafy F. Biageldef» B. DoUisl, B. Gaaty 1« firftawald, J. Heniy
A. Blallluie, W. L&ska, B. Meluak«, F. BUbeseU» C. Buge, Fr. S^hiflker» Fr. SehlUiag»
IL^Skvtfcli, A. 80flifli«rf«ld, F. SOek^, B.SttMer» Fr.tlkowsU» F. WtrkvsUttr» O.W.Wirts,

A.Wlaitewy B. WSlflBf.

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über die theoretische Behandlung des Problems usw. Yon M. Badakoyi<5. 225

4^ _ ^ ">

^ JUN 231906 ^,

über die theoretische Behandlimg des Problems der
störenden LokomotiYbewegnngen.

Von M. Radakovic in Innsbruck.

Die unter den Namen „Wanken" „Wogen" und „Nicken" be-
kannten störenden Bewegungen der Lokomotive sind -erzwungene
Schwingungen des auf Federn ruhenden Baues unter dem Einfluß
periodisch veränderlicher Kräfte, welche den regelmäßig wiederkehrenden
Einwirkungen des Qeleises und dem Mechanismus des Antriebes ent-
springen, Sie gehören daher zu jenen technisch wichtigen Fällen von
Resonanz^); denen sich in neuerer Zeit die Aufinerksamkeit zuwandte.

Derartige Erscheinungen des Mitschwingens lassen sich durch rein
statische Betrachtungen nicht erschöpfend behandeln, da ein schwingendes
System unter der Einwirkung periodisch yeränderlicher Kräfte ganz
andere Ausweichungen erhält, also auch ganz andere äußere Verhält-
nisse und Beanspruchungen aufweist, als der rein statischen Wirkung
der Kräfte entsprechen würde.

Die Darstellung der störenden Lokomotivbewegungen als er-
zwungener Schwingungen geht auf Redte nb acher ^) zurück, dessen in
der allgemeinen Auffassung des Problemes bewunderungswürdige Dar-
stellung bekanntlich in ihrer Ausführung durch einen sinnstörenden
Irrtum entstellt ist. Die späteren Untersuchungen der Lokomotiv-
bewegung von Zeuner^, Einbeck*) und Fliegner^) leiden etwas
an der den Überblick erschwerenden Form der mathematischen Ent-

1) Eine Zusammenstellung dieser Fälle findet sich in dem Vortrage von
Sommerfeld (Physik. Zeitschr. III, Heft 12). Die Literatur des vorliegenden Pro-
blemes ist in dem Referate von Heun ,,Die kinetischen Probleme der wissenschaft-
lichen Technik^^ (Jahresber. der Deutschen Mathematiker-Vereinigung Bd. 9) be-
sprochen.

2) Bedtenbacher, Die Gesetze des Lokomotivbaues (1855).

3) Zeuner, Programm der eidgen. polytechn. Schule. Zürich 1861/1862.

4) Einbeck, Theoret. Untersuch, der Konstruktionssyst. des Unterbaues von
Lokomotiven (1876).

5) Fliegner, Vierteljahrsschrift d. naturforsch. Ges. Zürich, 42, Heft 1 (1897).

Zeiteofarifl f. Mathematik u. Physik. 53. Band. 1906. S. Heft. 15

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226 IHe theoretische Behandlung d. Problems d. störenden Lokomotivbewegongen.

Wicklungen. Eine größere Klarheit kann man dadurch gewinnen, daß
man als Grundlage der Darstellung die auf Lagrange zurückgehende
Theorie der unendlich kleinen Schwingungen materieller Systeme wählt^
welche besonders für akustische Zwecke ausgebildet worden ist.

Die folgenden Zeilen beschäftigen sich mit der Übertragung dieser
Theorie auf das vorliegende Problem und geben ein Beispiel fttr dieselbe
durch die Ausführung der Rechnung für den Fall einer störenden
Ursache, des periodisch yeranderlichen Druckes der Schubstange auf
den Führungskörper, bis zur Gewinnung übersichtlicher, graphisch
leicht konstruierbarer Formeln. Die Ausdehnung auf andere störende
Ursachen dürfte keine Schwierigkeiten haben.

Das zur Beschreibung der Lokomotivschwingungen verwendete
Koordinatensystem.

Die sogenannten „gaukelnden^^ Bewegungen der Lokomotive sind:
1. Hebungen und Senkungen des Schwerpunktes in vertikaler Richtung,
das Wogen] 2. Drehungen um eine durch den Schwerpunkt gehende,
auf der Längsachse senkrechten horizontalen Querachse, das Nicken]
3. Drehungen um die horizontale Längsachse der Lokomotive, das
Wanken. Die in gaukelnder Bewegung begriffene Lokomotive kann
daher als System von drei Freiheitsgraden aufgefaßt werden, zu dessen
Bestimmung die Angabe von drei allgemeinen Koordinaten genügt.

Es seien x, y, z die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes der
Lokomotive bezogen auf ein Koordinatensystem, dessen j?- Achse vertikal
nach aufwärts gerichtet ist, dessen a;-Achse mit der Richtung des G^
leises parallel und dessen j^-Achse senkrecht zu dem Geleise liegt. Der
■Anfangspunkt dieses Systemes falle bei ruhender Lokomotive mit
dem Schwerpunkte derselben zusammen und das Koordinatensystem
möge an der Vorwärtsbewegung der Lokomotive in der Weise teil-
nehmen, daß sein Anfangspunkt immer in die Senkrechte durch den
Schwerpunkt zu liegen kommt.

Mit ^\ y\ fs' seien die rechtwinkligen Koordinaten desselben
Punktes der Lokomotive, aber bezogen auf ein mit ihr festverbundenes
Achsensystem bezeichnet, dessen Anfangspunkt 0' im Schwerpunkt
liegt und dessen Achsen bei ruhender Lokomotive den entsprechenden
Achsen des Koordinatensystemes der x, y, ss parallel sind, bei in
gcmkdnder Bewegung begriffener Lokomotive aber ihre Lage in derselben
nicht verändern.

Als die allgemeinen Koordinaten, welche zu der Bestimmung der
Lage der schwingenden Lokomotive dienen, kann man wählen: 1. die

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Von M. Radakovi^.

227

Hebung des Schwerpunktes 00' = g in yertikaler Richtung; 2. den
Winkel g> der Drehung um eine horizontale der y-Achse parallele Achse
durch den Schwer-
punkt; 3. den Winkel ^
der Drehung um die
x'-Achse, also um die
Längsachse der Loko-
motive.

Es entsprechen
dann die Änderungen
der Koordinate g dem
Wogen, die Änderungen
der Koordinate (p dem
Nicken und die Ände-
rungen der Koordi-
nate ^ dem Wanken
der Lokomotive.

Die Gleichungen
für die Transformation
der rechtwinkligen Ko-
ordinaten X, y^ m die
allgemeinen Koordina-
ten ^ % ^ gewinnt man
durch Aufstellung von
Beziehungen zwischen
den Koordinaten x, y, z
und x'y y\ z\ Hierzu benotigt man die Kichtungskosinus der Achsen
des einen Sjstemes bezogen auf die des anderen. Sie ergeben sich aus
sphärischen Dreiecken und sind in der folgenden Tabelle verzeichnet:

^X

x'

X

y

z

cos 9)

sin 9

y

sin ^ • sin 9)

cos^

— sin^ • cosy

z

— cos^ • sin 9

sin^

cos ^ • cos 9

(1)

Man erhält demnach die Transformationsgleichungen:
a; = x' cos 9) ■— y' sin ^ sin 9) — jgr' cos ^ sin 9)
y =■ y'cos^ +jef'sin^

^ = S + ^' siii 9 — y' sin ^ cos 9? -f z' cos ^ cos 9.

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228 I^e theoretische Behandlong d. Problems d. störenden LokomoÜTbewegangen.

Diese Gleichungen nehmen eine ein£achere Gestalt an^ wenn man,
wie dies üblich ist^ sich auf die Untersuchung jener Bewegungen be-
schrankt^ bei welchen sich das System nur sehr wenig aus seiner
Buhelage entfernt. Indem man sodann nur die Glieder erster Ordnung
in den allgemeinen Koordinaten i, q>, ^ beibehält^ ersetast man begrifflich
das Torliegende verwickelte System durch ein wesentlich einfeiehereB.
Man weiß, dafi die Untersuchung dieses einfacheren Systemes den all-
gemeinen Typus der Bewegung des ursprünglichen Systemes umso ge-
nauer liefert^ je kleiner die eintretenden Bewegungen sind.

Die Transformationsgleichungen^ welche zu dem gewählten ein-
facheren Systeme führen^ sind demnach

(10 y= y' +^>

Die Ausdrücke für die lebendige Kraft und das Potential der Lokomotive.

Den Ausdruck für die lebendige Kraft des schwingenden Systems
in den allgemeinen Koordinaten q>j ^ und g gewinnt man am einfachsten,
indem man die lebendige Kraft in den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z

berechnet und an Stelle der Geschwindigkeiten ^^ -^y jr, mit Hilfe

der Gleichungen (l^ die Geschwindigkeiten in allgemeinen Koordinaten

f„ %, ä .toBtot.

Man hat hierbei zu beachten, dafi der Anfangspunkt 0' des Ko-
ordinatensystems x\ y\ z' im Schwerpunkte liegt und dafi die Achsen
X* y y\ z* als Hauptträgheitsachsen angesehen werden können. Hieraus
erschliefit man das Verschwinden der Schwerpunktskoordinaten und des
Deyiationsmomentes Um - x'y und erhält die lebendige Kraft L des
schwingenden Systems in der Form

hierbei bedeuten M die Masse, A und H die Hauptträgheitsmomente
bezogen auf die Achsen x' und y\

Den Ausdruck für das Potential des schwingenden Systems erhält
man durch die Berechnung der Arbeit, welche man gegen die elastischen
Kräfte der Federn, auf denen die Lokomotive ruht, leisten muß, um sie
aus der Ruhelage in eine verschobene, durch die Werte der allgemeinen
Koordinaten g, ^>y ^ bestimmte Lage zu bringen.

Es möge zur Fixierung der Vorstellungen die auch von Redten-

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Von M. Badakovic.

229

bacher gewählte Lokomotive mit imieren Zylindern und sechs nicht ge-
kuppelten Bädern gewählt werden. Allgemeinere Typen lassen sich
ersichtlich in gleicher Weise behandeln.

Die Federn seien an den Stellen A^, A^ . . . Ä^ angebracht Die
Koordinaten der Angriffspunkte der elastischen Kräfte der Federn be-

Flg. %.

zogen auf das mit der Lokomotive festverbundene Koordinatensystem
der x\ y\ z' sind:

\{-A\ «; <); ^sC-^j; «; ^0; AK; «; <)•

Der durch die Transformationsgleichungen (1') bestimmten ver-
schobenen Lage des Systems entsprechen in dem Koordinatensysteme
der x'^ y\ z' die folgenden ^er-Koordinaten der Punkte A\

A • • • ^1 = ^1 + S — ^i^> + ^*; A . . . -2f, « ^3 + f — /l^^> + 6^;

ulj, . . . ^j — jeTj + g + ^89^ + «*5 ^4 . . . ;e?4 = -0^ + g — ^^,9? — £^;

A . . . ^5 = ^5 + s - Av - «^7 A ••• ^6 =•< + ?; + ^^9 — «^•

Dehnt man eine^ etwa die t/te Feder, indem man sie aus der durch
das Gewicht der Lokomotive zusammengedrückten Lage um den Be-
trag Ay entfernt, so widerstrebt sie der Verschiebung mit der Kraft

p^ = — /; • h^.

Die Arbeit, welche man leisten muß, um diese eine Feder aus ihrer
Buhelage um den Betrag z^, — zl zu verschieben, ist

■ä\-\f^-{z,-z';)K

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230 I^e theoretische Behandlnng d. Problems d. störenden Lokomotivbeiregungen.

Somit ist die gesamte Arbeit^ welche zu der Verschiebung der ganzen
Lokomotive aus ihrer Ruhelage in die durch die Koordinaten i, q>, t
bestimmten Lage benötigt wird^ oder das Potential V durch die Summe

gegeben.

Setzt man voraus^ daß die Federn einer Achse von gleicher Si»rke
sind, daß also

/i '^ M ? fi"^ h 5 h ™ H

isty und wählt man die abkürzenden Bezeichnungen

A+h + U-Fy

so erhält man nach einfachen Redaktionen

(3) F= j; . f> + f, . 9>» + j; . sV» - 2J; -19.

Der Ausdruck ftir das Potential wird noch einfacher in dem besonderen
Falle einer solchen Konstruktion der Lokomotive^ daß die Federn
durch das Gewicht^ welches sie tragen^ in der Ruhelage um gleiche
Beträge zusammengedrückt sind.

Die Bedingung für das Eintreten dieses speziellen Falles, in
welchem sich zugleich mit dem Ausdruck für das Potential die Dar-
stellung des ganzen Problems wesentlich vereinfacht, ist aus den Oleich-
gewichtsbedingungen eines starren Systems zu entnehmen und ist

so daß in diesem Falle

wird.

Die Eigenschwingungen der Lokomotive.

Mit Hilfe der entwickelten Ausdrücke für die lebendige Kraft
und das Potential des Systemes kann man unter Benutzung der
Differentialgleichungen von Lagrange (fie Differentialgleichungen der
Eigenschwingungen des Systemes angeben.

Wählt man die allgemeineren Annahmen, welche durch die Aus-
drücke (2) und (3) dargestellt sind, so werden diese Gleichungen:

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Von M. Radakovic. 231

Entsprechend den drei Freiheitsgraden des Systemes gibt es bekannt-
lich drei Eigenschwingongen. Jede derselben ist vom harmonischen
Typus. Man erhält sie, indem man eine freie Bewegung voraussetzt,
bei welcher die drei Koordinaten S, (p, ^ ein und derselben Ereisfunktion
der Zeit proportional sind, und sodann aus den Differentialgleichungen
die Bedingungen sucht, welchen die Konstanten dieser Bewegung ge-
nügen müssen.

Man setzt also

g =- a • cos {nt + *) ; 9 = 6 cos (nt + d)] ^ — c • cos (nt + d)

und erhält für die Konstanten a, b, c und n (die Phase d bleibt will-
kürlich) die Gleichungen

(- Jf . n» + 2i?\) . a - 2i?; . 6 =
(4) ^2F^a + (-Bn' + 2F^)h^

(^ An^ + 2F^ 'S^'C - 0.

Mögliche Schwingungen von dem verlangten Typus ergeben sich
daher nur durch die Annahmen

a = 6 = , c willkürlich
nnd

oder durch die Annahme

und n gleich einer Wurzel der Gleichung

2J;-Jlfw^ -2F, I ^

- 2 Fj ; 2F, - JBn« i ^ '

während das Verhältnis der beiden Konstanten a und b durch die
erste oder die zweite der Gleichungen (4) bestimmt ist.

Man erhält für die Schwingungszahlen n^ und n^ dieser beiden
Anderen Eigenschwingungen die Werte

r M^B^VKm b) ^ MB

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232 Die theoretische Behandlung d. Problems d. störenden Lokomotivbewegungen.

wobei es genügt, sämtliche Quadratwurzeln durch ihren absoluten
Betrag zu ersetzen.

Bezeichnen Wy^, w^, w^ drei willkürliche Konstante, so erhält man
für die drei Eigenschwingungen, welche den Werten der Schwingunga-
zahlen n^, n^, n^ und den aus den Gleichungen (4) sich ergebenden Yer-
hältnissen der Konstanten a, &, c entsprechen, die folgenden Ausdrücke:

Erste Eigenschwingung:

5 - 2JF; . Wj •co8(ni^+ dl) ; q> = {2I\ — MnX)'W^ co8(V + *i); * -0.

Zweite Eigenschwingung:

6 - 2Fj,'W^ C08(n,^+d8); tp « (2 j; — J^nf) w?, co8(f4^ + d,); i/f = 0.

Dritte Eigenschwingung:

g«0; 9^ — 0; ^ = t«?3 cos (nj^ + d,).

Eine wesentliche Vereinfachung gewinnt die Darstellung des Problems
in dem behandelten allgemeineren Falle durch die Einführung neuer
Veränderlicher an Stelle der generellen Koordinaten 9, ^ und g. Nennt
man diese neuen Variablen x^j x%j Xz ^^^ definiert man ihre Beziehung
zu den alten Veränderlichen durch die Transformationsgleichungen

, S=^2F,Xi + 2F,x2

(5) <p^ {2F, - Mnf)^xi + (2i^i - Mn^^x,

SO gehen die Ausdrücke für die lebendige Kraft und das Potential des
Systemes bei der Durchführung der Transformation (5) in die Summe
von lauter Quadraten über. Es sind die durch die Gleichungen (5)
bestimmten neuen Variablen Xif Xi? Xz ^^® sogenannten Normal"
koordinaten des Systemes. Bezeichnet man

4MFI + B(2F, - MnlY - Ä^

4MFI + B(2F, ~ Mniy - Ä^,

so erhält man durch die Einführung der Transformation (5) in die
Gleichungen (2) und (3)

Diese einfachen Ausdrücke von L und V in den Koordinaten x kann
man entwedei^ unmittelbar aus der Eigenschaft dieser Koordinaten, die
Normalkoordinaten des Systemes zu sein, erschließen oder durch direkte»
Ausrechnen als richtig erweisen.

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Von M. RADAKOYid. 23S

Die Differentialgleichungen nehmen für die Normalkoordinaten x
die Form

an^ und die drei Eigenschwingungen des Systemes sind:

1) Xi-WiC08(fH^ + <Ji) X2 = Zb-O

2) Xi'-O X2-«^tC08(n,^ + <J,) Xs-'O

Sind die Werte der Normalkoordinaten bekannt^ so kann man natür-
lich mit Hilfe der Transformation (5) die Werte der generellen Koordi-
naten ij (f, ^ berechnen.

Eine Vereinfachung anderer Art ist jene, welche das Problem
durch die Annahme

erfährt. — Sie beruht darauf, daß unter dieser Annahme, entsprechend
den Ausdrücken (2) und (3^) für lebendige Kraft und Potential die
generellen Koordinaten i, q>, if; selbst eu den Narmalkoordinaien des
Systemes werden. In diesem Falle sind die Differentialgleichungen

M^ + 2F,i -0
Die Schwingungszahlen der drei Eigenschwingungen sind:

l/2^ lA^ l/2^

^l-=Kltf5 ^2-KV' ^8=-*K-Z^^

und die Eigenschwingungen selbst ergeben sich in der Form

1) t^w^coB(yJ + d^) 9 = ^ —

2) S — 9 — «?j C09 (v^t + d^) t^O

3) g-=0 9«0 * = w?jCos(v8^ + *s).

Unter der Annahme F^^^O nehmen die Differentialgleichungen der
freien Schwingungen in den Variablen i, (p, if selbst jene einfache

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234 Die theoretische Behandlnng (L Problems d. störenden LokomotiTbew^^ungen.

Form an, welche in dem allgemeineren Falle erst durch die Einführung
der Normalkoordinaten x ™i^ Hilfe der Gleichungen (5) erreicht
werden kann.

Die Differentialgleichungen der erzwungenen Schwingungen.

Es mögen auf das System Erafbe einwirken, deren Intensität sieh
periodisch mit der Zeit verändert und deren Komponenten nach den
generellen Koordinaten ^, (p, ^ mit Z, 9, ^ bezeichnet sein sollen.

Um die Vorteile zu genießen, welche die Einfuhrung der Normal-
koordinaten % in der Darstellung bedingt, wird man zunadist die
Komponenten X^X^X^ der gegebenen Kräfte nach den Koordinaten XiZsZs
aufistellen. Man erhalt unter Benutzung der Transformation (5) hierf&r

die Werte

Ai - 2i?; . Z + (2 Fl - Jf»») *

X^^2F^'Z + (2F^ - Mnl) *

x,^w.

Die Differentialgleichungen der erzwungenen Schwingungen des
Sjstemes nehmen sodann unter Benutzung der Normalkoordinaten die
Form an:

Würde man sich jedoch auf die Behandlung des Spezialfalles F^^O
beschränken^ so würden die Differentialgleichungen der erzwungenen
Schwingungen in der Form

dt*

+

vi

■t

=

z

d*v
dt*

+

vi

9

-

1

B

erscheinen.

Die Krafbkomponenten X^, X^, X^ sind linear aus den Kom-
ponenten Zy 0, V zusammengesetzt. Die Differentialgleichungen (I)
führen daher bei ihrer Integration in letzter Linie auf die Lösung
formal ganz gleicher Aufgaben zurück^ welche die Litegration der
Gleichungen (I") bietet. Hat man die den Gleichungen (I') bei einem

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Von M. RadakovkS. 235

gegebenen Systeme der Z^ Oj W entsprechenden erzwungenen Schwin-
gungen entwickelt, so kann man aus diesem Vorräte von Funktionen
die Lösung im allgemeineren Falle linear zusammensetzen. Die folgen-
den Betrachtungen schließen sich daher nur an den Spezialfall der
Gleichungen (F) oder, was dasselbe bedeutet, an die Annahme F^^O
an, ohne daß die Verwendbarkeit der Überlegungen für den allgemei-
neren Fall hierdurch eine Einbuße erfährt.

Die Komponenten Z, 0, w der periodischen Kr&fte.

Eine noch weitergehende Vereinfachung des Problems läßt sich
dadurch erzielen, daß man die Wirkung jeder einzelnen der periodischen
Kräfte, welche die störende Bewegung der Lokomotive erzeugen, für
sich untersucht. Man weiß aus dem Bernoullischen Satze von der
Koexistenz der kleinen Bewegungen, daß man aus der berechneten
Wirkung der einzelnen Kräfte die tatsächlich infolge des gleichzeitigen
Einflusses aller Kräfte eintretende Bewegung in einfacher Weise zu-
sammensetzen kann.

Es möge daher in den folgenden Untersuchungen'zunächst vorausgesetzt
werden, daß auf die Lokomotive nur eine störende Kraft, der periodisch
veränderliche Druck der Schubstange auf den Führungskörper einwirke.

Fig. 8.

p

-«-

r sei die Länge der Kurbel, L die der Schubstange, a und X seien
die Winkel, welche die erste, beziehungsweise die zweite dieser (Geraden
in einem bestimmten Zeitmomente t mit der Richtung der Kolben-
stange einschließen. Die Kraft, mit welcher die letztere hin- und her-
bewegt wird, heiße P. Es ist dann der Druck N^, welchen der be-
trachtete Führungskörper nach aufwärts, also in der Richtung der
jer'-Achse erfährt, gegeben durch die Beziehung

Nimmt man an, daß die Länge der Kurbel r im Verhältnis zur
Schubstange L so klein sei, daß man höhere Potenzen des Verhältnisses ^
unterdrücken darf, so kann man

N^ =» P- , sina
setzen.

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236 I^e theoretische Behandlnng d. Problems d. störenden Lokomotivbewegungen.

Dieser Auedrack gilt zunächst fftr Werte des Winkels a, die
kleiner als 180^ sind. Für größere Werte dieses Winkels wird sina
negativ; zugleich wechselt aber auch die treibende Kraft P ihre Richtung,
so daß das Produkt P sin a stets positiv und die Kraft N^ immer nach
aufwärts gerichtet ist Am einfachsten drQckt man dies formal da-
durch aus^ daß man unter P eine beständig positive Zahl versteht
und sina durch seinen absoluten Betrag ersetzt, was in der üblichen
Weise durch Einschließen zwischen vertikale Striche bezeichnet wird.

Es ist dann der Ausdruck

.Y,-P.^

L

\sma\

für jeden Wert des a zeichenrichtig. Der Winkel a wird hierbei im
Sinne des Uhrzeigers positiv angenommen, und die Formel möge sich
beziehen auf jene Kurbel, welche auf der Seite der positiven y'-Achse
gelegen ist.

Die zweite Kurbel der Lokomotive ist gegen die erste um 90^
verdreht angebracht. Die Kraft ^2; mit welcher der zweite Führungs-
körper nach aufwärts beansprucht wird, ist daher in demselben Zeit-
momente t durch den Ausdruck

N^ == P- j-|cosa|
gegeben.

Die Angriffspunkte dieser Kräfte haben in dem Systeme x', y', z\
welches mit der Lokomotive fest verbunden ist^ die Koordinaten^):

ix[^L + r cos a — -^2 (x^^ L + r siaa — ^^2

Hierbei ist bereits auf jene Vernachlässigung Rücksicht genommen^
die bei der Berechnung der Größe der Kräfte verwendet wurde, und
es ist die Annahme gemacht^ daß die zweite Kurbel der ersten nachläuft.
Die allgemeinen Kraftkomponenten Z, O, ^, welche aus den beiden
Biäften N^ und -^2 entspringen, erhält man durch Berechnung der
Arbeitswerte bei jenen Verschiebungen des Systemes, bei welchen nur
je eine allgemeine Koordinate verändert wird. Versteht man unter
dx^j dy^f dz^ eine Verschiebung des Systemes, bei welchem nur die
{[-Koordinate um dt, zunimmt, (p und ^ aber ungeändert bleiben, so
ist die hierbei geleistete Arbeit

Zdl = N^ cos {z'x) • rfa?!^^ + N^ cos {z'y) dy^^^ + N^ cos (js'e) de^^

+ iVj cos (z'x) dx^i- + N^ cos {z'y) dy^^^ + N^ cos {z'e) de^^^.

1) Vgl. die Figuren 2 und 8.

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Von M. Radakovi<5. 237

Es beziehen sich hierbei dx^^^ . . und dx^^^ . . auf die Änderungen der
Koordinaten des Angriffspunktes der ersten^ beziehungsweise der zweiten
SjrafL Mit Hilfe der Transformationsgleichungen (1) und unter Berück-
sichtigung der gewählten Vereinfachung des Systems erhält man hieraus:

Z =- N^ + N^ ^ ~'{\Bma\ + icosa|}.
In gleicher Weise findet man

^ N^-x[ + N^- x^ = —j^ • { I sin a I • cos a + I cos a | • sin a }

+ -y-.(I, — ^3).{|sina| + |cosa|}

und

V^-N,.y^-N,-y^-^-{\cosa\-\BULa\}.

Bewegt sich die Lokomotive mit konstanter Geschwindigkeit vor-
wärts^ so ist die Winkelgeschwindigkeit m der Raddrehung konstant^
und man kann

setzen. Die Differentialgleichungen I' nehmen sodann die Form an:

(H)

-^ + vlq) = -g^ • { I sin {(ot) \ • cos {mf) + \ cos {mt) | • sin (ot) }

P ' r

+ j^^ {L — ^2) { I sin {(ot) I + I cos {pt) \ }

Es entspricht die erste dieser Gleichungen dem ^^Wogen^^^ die zweite
dem ,^icken" und die dritte dem „Wanken" der Lokomotive.

Die Differentialgleichungen (ü) beziehen sich entsprechend der
aus dem Bernoullischen Satze gewonnenen Vereinfachung auf jene
störenden Bewegungen, welche der Einwirkung nur eines ümstandes,
des periodisch veränderlichen Druckes der Schubstange auf den Führungs-
körper, entspringen. Auf die Behandlung der anderen störenden Kräfte^
welche bei der Untersuchung der Lokomotivbewegungen zu berück-
sichtigen sind, wird an einer späteren Stelle eingegangen werden.

Integration der Differentialgleichungen (II).

Die Integration der drei Differentialgleichungen (11) läßt sich ge-
meinsam nach dem folgenden Schema durchführen. In der Differential-
gleichung der erzwungenen Schwingung eines Systemes

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238 1^6 theoretische Behandlung d. Problems d. störenden Lokomotivbewegongen.

sei der Verlauf der periodisch veränderlichen Kraft F(t) in einem
Periodenintervall ^t ^2p durch einen einfachen Ausdrack f(t) ge-
geben. Es sei also für Werte

0£t£2p

F(t)^f(t),

Die erregte Bewegung des Sjstemes erscheint bekanntlich in der Form

s^E{t) + Ä cos (nt) + Bsm (nt) ,

in welcher E(t) eine Funktion von der Periode der Kraft, also 2p,
ist und die vollkommen bestimmte erzwungene Schwingung des Sjstemes
darstellt, während J.cos(n^) + Bsin(n^) eine freie Schwingung vor-
stellt, deren willkürliche Konstante Ä und B zur Erfüllung vorgegebener
Anfangsbedingungen dienen. Die erzwungene Schwingung E(t) ist
vermöge ihrer Periodizität für jeden Wert der Zeit gegeben, wenn der
Verlauf in einem Periodenintervall bekannt ist Die Werte von E(t)
in dem ersten Periodenintervall sind aber durch die Formel

(6) e(t) = \Jf{a)sm{n{t - cc))da + ^,^(^)fm<^B {n{t+p-a))da

0^t£2p

bestimmt.^) Kennt man daher den Verlauf der periodischen Kraft in
einem Periodenintervall, also die Funktion f{t\ so kann man aus der
Formel (6) den Verlauf der erzwungenen Schwingung E(() in dem
ersten Periodenintervall, also die Funktion e{t), berechnen. Man hat
sodann diesen Verlauf von Intervall zu Intervall zu wiederholen, um
ein Bild von dem Verhalten der Funktion E(t) für jeden Wert der
Zeit zu gewinnen.

1. Die Differentialgleichung des Wogens.

Um das angegebene Verfahren zur Integration der Differential-
gleichungen (II) zunächst auf die Gleichung des Wogens anzuwenden,
setzt man die Kraft

1) Sitz.-Ber. der K. Akademie der Wissensch. Wien Bd. CXIV Abt, IIa.
S. 877 nnd flF.

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Von M. RADAKovid. 239

Die Periode dieser Funktion ist jr-'t es ist also

ZU wählen. Der Verlauf der Kraft in einem Periodenintervall, also für
Werte

0^*^2«.

ist

A(t)--^{Bin(a,t) + co»imt)}~ljI^Bm(<ot+?^.

Setzt man dies in die Formel (6) ein, so erhält man fttr den Verlauf
der erzwungenen Schwingung des Wogens in dem Gebiete der ersten
Periode, also für die Funktion e^if) den Ausdruck

a»0

2LMv,

asO

welcher för die Werte

2ca

^'' — - . / sin ( ©a + ^ ) COS ( Vi (t + :^ — «))<*«,

0^^^^

gut.

Nach AoBfOhmng der Integrationen ei^bt sich

Pr-<

i-üfv, (,-!-«,•) sin (51)

Jener Anteil an dem Wogen der Lokomotire, der durch den Druck
der Schubstange auf den Fühmngskörper erzeugt wird, ist demnach
dargestellt durch die Überlagerung zweier Funktionen

Die erste derselben, die erzwungene Schwingung E^if), ist eine perio-
dische Funktion von der Periode ^— , deren Verlauf in dem ersten

2a) '

Periodenintervall durch den Ausdruck e^(t) gegeben ist. Die zweite,

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240 I)ie theoretisohe Behandlung d. Problems d. stOienden Lokomoidybewegongen.

die freie Schwingung S^ (() ist eine periodische Funktion von der Periode
— , deren Verlauf in dem ersten Periodenintervall durch

5i (t) = Ä cos (y^t) + JB sin (v^t) ,

für

0^^:^ —
— — Vi

bestimmt ist und zwei willkürliche Eonstante besitzt^ die zur Erfüllung
vorgegebener Anfangsbedingungen dienen. Beide Funktionen, E^ (t)
und 8^(t), lassen sich graphisch konstruieren und gestatten unschwer
eine Untersuchung über die maximalen Werte von iy welche sich im
Verlaufe der Zeit t ergeben.

Aus dem Verlaufe der Funktion E^(f) in dem ersten Perioden-
intervall , also aus dem Ausdrucke e^(t)y erkennt man, daß für Werte
von (D, welche Wurzeln der Gleichung

sind, also für die Werte

wobei n eine ganze Zahl bedeutet, die Fimktion ^(^) eine unmögliche
Form annimmt. In diesem Falle wird die Bewegung eine exzessive
und die BeibungsknLfte müssen in Rechnung gezogen werden, wie klein
sie auch sein mögen.

Die Wahl cj « t/j liefert für e^ (t) die unbestimmte Form §, deren
Wert sich nach bekannten Methoden leicht ermitteln laßt und keine
exzessive Bewegung darstellt.

2. Die Differentialgleichung des Nickens.

Der Ausdruck für die periodische Kraft ist in diesem Falle aus
zwei Summanden zusammengesetzt. Unter Anwendung des Bernoulli-
schen Satzes kann man daher die erzwungene Bewegung E^ (f) in zwei
Teile spalten, indem man

setzt. Es entspricht hierbei E^ (t) der erzwungenen Bewegung unter
der Einwirkung der Erafb
p. f«
F'^ (t) =» 27rg ' { I ^^ (^0 I ^^^ (^0 + I ^^^ (® I sin (cD^) } ,

während E^' {f) die erzwungene Bewegung unter dem Einflüsse der Kraft
darstellt.

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Von M. RadakovkS. 241

F'^\t) ist jedoch ein Ausdruck von demselben Typus, wie F^(t),
f&r welchen die erzwungene Schwingung bereits berechnet ist. Man
kann daher unmittelbar aus dem Werte yon E^if) erschließen^ daß

K^'if) eine periodische Funktion von der Periode ^ ist, deren Ver-
lauf in dem ersten Periodenintervalle durch den Ausdruck

dargestellt wird, und es erübrigt nurmehr die Berechnung der erzwungenen
Schwingung -BjCO? ^©l<^he unter der Einwirkung der Kraft F^ (t) eintritt.
Der Verlauf der periodischen Kraft F^(t) in einem Periodeninter-
valle sei durch den Ausdruck fl(f) gegeben. Man erhalt hierfdr:

im Gebiete ^t^^

/i(0 = ^-8üi(2<»0

f.^^^l

/;(o=o

l^^^r.

n(t) — J^ -8111(20,0

1^^*^^

r.co-o.

Entsprechend der Tatsache, daß der Verlauf von F^ (t) in einem Peri-
odenintervalle nicht durch einen einzigen Ausdruck, sondern in jedem
der vier angegebenen Teilgebiete durch einen anderen gegeben ist, liefert
auch die Formel (6) für den Verlauf der periodischen Funktion E^ (f)

in dem ersten Periodengebiete 0^^^ — , also für e'^(t), nicht einen,

sondern den vier Teilgebieten entsprechend vier Ausdrücke, die sich zu
dem stetigen Verlaufe von e'^ (t) zusammenschließen. Man erhält durch
die Auswertung der Formel (6)

für Werte des Teilgebietes ^ ^ ^ ^

för Werte des Teilgebietes ^ ^ < ^ J

«« (0 = - * • cos (}^ sin [v,t - ^) ,
fttr Werte des Teilgebietes ^£t^l^

< (*) — L.sli-i^ -^ • '^ (^"'') - * «^ (t£) '^^ ("** - TJr) '

Zeitoohrift f. Mftthemfttik n. Physik. 5S.Band. 1906. S.Heft. 16

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242 I^ie theoretische Behandlung d. PioblemB d. störenden Lokomotivbewegangen.
für Werte des Teilgebietes ^ ^ ^ ^ —

^3(0 = *co8(J^)8in(v-^,
wobei zur Vereinfachung

gesetzt wurde.

Es ergibt sich daher für die Koordinate <p die Überlagerung yon
drei periodischen Schwingungen

Yon welchen die erste und zweite zusammengenommen die erzwungene
Schwingung darstellen, deren Verlauf iu einem Periodenintervalle durch
die Überlagerung der Funktionen e^ {t) und e^' (t) gegeben ist, während
die dritte, S^ (t), eine freie Schwingung des Systemes von der Periode

— darstellt, deren Verlauf in einem Periodenintervalle

^£i£^ «sCO =- ^cos (v^t) + Bsmiy^t)

ist und welche die zur Erfüllung der Anfangsbedingungen nötigen Kon-
stanten Ä und B besitzt. Es genügt, wie man sieht, das Verhalten der
erzwungenen Schwingung in dem Bereich einer Periode, also den Ver-

lauf der Summe e^ (t) + e^' {t) zwischen und — , zu untersuchen, wenn

man über das Verhalten von q> für jeden Wert der Zeit orientiert sein
will. Auch in diesem Falle ist eine graphische Konstruktion der peri-
odischen Funktionen leicht möglich.

Aus der Form von e^ (t) und e^' (t) erkennt man das Auftreten
kritischer Geschwindigkeiten. Es nehmen für Werte von o, welche
Wurzeln der Gleichungen

cos(j„^)=0 und sin(j|) =
sind, also für alle Zahlen (o der Formen

OJ =.

oder (o

2m-|-l 4m

(m eine ganze Zahl), e^ (t) beziehungsweise e (t) unmögliche Werte an.
In diesen Fällen ist stets die Reibung zu berücksichtigen.

Für die Werte cj = Vj und o ^ ~ nehmen ei(t) beziehungsweise
e'^(t) die unbestimmte Form an, deren Wert sich leicht bestimmen laßt.

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Von M. Radakovi<5. 243

3. Die Differentialgleicliimg des Wankens.
Die Kraft F^{t) ist in diesem Falle durch eine periodische Funk-
tion von der Periode — dargestellt, deren Verlauf in einem Perioden-

intervaUe durch den Ausdruck f^(t) gegeben ist.
Es ist

fürO^^^^ /3(0 = i'->^cos((D^ + f)

für^^^^l m fc'.)/2cos(cD^-J)

wobei

Pre j,

gesetzt wurde.

Die Entwicklung der Formel (6) liefert daher in diesem Falle für
den Verlauf der erzwungenen Schwingung E^{t) in einem Perioden-
intervalle den Ausdruck:

e.(t) = ' '^ i cos ((ot + t) -{ -^^ — r sin (v^t — ^)

för ~<.t<-

2 a) — =^ CD
... k'Y^ / * ^\ *'•« • / ^ 8v,5u\

Die Koordinate ^ wird daher durch die Superposition zweier perio-
discher Funktionen ausgedrückt. Es ist

t = i:,it) + 5,(0,

wobei die erzwungene Schwingung E^{t) eine Funktion von der Periode
— ist, deren Verlauf in einem Periodenintervall durch den Ausdruck e^(t)
gegeben ist, während die hinzutretende freie Schwingung S^^t) die
Periode — besitzt und in ihrem ersten Periodenintersralle durch

s^(t) ^ Ä' sm(v^t) + B cos (y^t)

gegeben, ist, wobei Ä und jBzur Erfüllung der Anfangsbedingung dienende
willkürliche Konstante sind.

Die Funktion .£^3(0 läßt sich leicht graphisch konstruieren. Aus
ihrer Form erkennt man, daß für die Werte

® 2(2m + l)

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244 Über die theoretische Behandlnng des Problems usw. Von M. Radakovic.

(m eine ganze Zahl) kritisclie Verhälinisse auftreten^ welche die Be-
rücksichtigung der Reibung erfordern.

Die Annahme o » 1/3 liefert die unbestimmte Form ^ und stellt
keinen Ausnahmefall vor.

Die Yorstehenden Entwicklungen dienten zur Übertragung der
Theorie der kleinen Schwingungen auf das Problem der störenden Lo-
komotivbewegungen. Sie schließen sich an die Behandlung nur einer
störenden Ursache, des periodisch wechselnden Druckes auf den Führungs-
körper an. Nach demselben Schema lassen sich jedoch auch jene Be-
wegungen der Lokomotive entwickeln, welche anderen periodisch ver-
änderlichen Kräften entspringen, wenn deren Verlauf in einem
Periodenintervall bekannt und damit die Anwendung der Formel (6)
ermöglicht ist. Unter diesen die Lokomotivbewegung beeinflussenden
Störungen bietet die Berücksichtigung der Einwirkung des Geleises
eine besondere Schwierigkeit dar. Fliegner hat für die Entstehung
der von den Schienenstößen herrührenden Kräfte eine anschauliche
Überlegung geliefert und sie durch eine Fouriersche Reihe dargestellt
Wollte man die Deformation des Geleises und deren Bückwirkung auf
die Lokomotivbewegung auch in der früher entwickelten Art darstellen,
so müßte man in erster Linie für den Verlauf dieser Deformationen
in einem Periodenintervalle eine einfache Darstellung besitzen. Man
kann das Geleise als einen Stab unter der Einwirkung einer Kraft mit
wanderndem Angriffspunkte betrachten. Die in diesem Falle auf-
tretenden Deformationen lassen sich durch eine unendliche Reihe dar-
stellen^), welche nach den Normalfunktionen des Stabes fortschreitet.
Diese Reihe selbst würde keine für den vorliegenden Zweck brauchbare
Form besitzen; allein sie ist so gebaut, daß ihre ersten Glieder als
Näherungsformeln benützt werden können, so daß es möglich erscheint
aus ihr einen näherungsweisen Ausdruck fdr die auftretenden Defor-
mationen des Geleises während eines Periodenintervalles und damit
die Grundlage für die Übertragung der vorliegenden Untersuchungen
auch auf diesen Fall zu gewinnen.^)

1) Sitznngeber. der k. Akademie der Wissenschaften Wien. Bd. CYIIl
Abt. IIa. p. 611.

2) Yergl. hierzu A. Eriloff : ,,Über die erzwungenen Schwingongen von gleich-
förmigen elastischen Stäben.'' Math. Annal. Bd. 61. S. 211.

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Die elast. Linie d. Gehäuse y. Drehstroininaschinen usw. Von Hans Linbenmanh. 245

Die elastische Linie der Oehänse von DrehstrommascMnen
mit großen Dnrchmessern.

Von Dipl.-Ing. Hans Linsenmann in München.

Die deformierenden E^räfie in elektrischen Maschinen sind teils
mechanische^ durch die Eigenschwere nnd das Drehmoment der Leistung
gegeben; teils bedingt durch das Bestreben der Kraftlinien ^ den Luft-
raum zwischen Anker und Magnetrad ^ induziertem und induzierendem
System zu verkürzen.

Das Eigengewicht und das am Umfang der Gehäusebohrung
wirkende Drehmoment sind stabil elastische Kräfte^ d. h. die Ver-
größerung ihres deformierenden Einflusses durch die Deformation selbst
ist zu vernachlässigen.

Ein labiles elastisches Gleichgewicht dag^en bilden die mag-
netischen Zugkräfte. Bei genauer £[reisform sind sie latent; erst
durch eine vorhandene Deformation kommen sie zur Wirkung,
verstärken sie und sich bis zur Bildung eines neuen Gleich-
gewichtszustandes, der aber jenseits der erlaubten Gestaltsänderung
liegen kann.

Diese Wandlimgen sollen im Nachfolgenden untersucht werden.
Zunächst wollen wir uns mit den Ejräften selbst befassen, Ab-
schnitt I; dann soll der allgemeine mathematische Zusammenhang
zwischen deren Biegungsmoment und der radialen Deformation auf-
gestellt und dessen Anwendung ohne Zuziehung magnetischer Zug-
kräfte erläutert werden, Abschnitt U; hierauf sollen auch diese
eingeführt, die allgemeinste Gleichung unseres Problems gelöst und
die praktisch wichtigen Fälle spezifiziert werden; es folgt die Durch-
rechnung an ausgeführten Maschinen, Abschnitt III; zum Schluß, in
Teil rV, soll die Dynamik des Problems skizziert werden.

L

Um die magnetischen Zugkräfte analytisch zu fassen, bedürfen wir
der Magnetisierungskurve, d. i. der E. M. K. der Maschine als Funktion
des Erreger Stromes bei Leerlauf (Fig. 1).

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246 I^e elast. Linie d. Gehäuse v. Drehstrommascliinen mit großen Durchmessern.

Ist H^ die Bjraftliniendichte pro Quadratzentimeter an ii^end einer
Stelle X der Polteilung im Luftraum^ so ist der magnetische Zug nach
der Formel von Maxwell:

Ist die Kurve der H^ über die Polteilung t gegeben, dann ist,
wenn H^^^ den effektiven Mittelwert der fi'^- Kurve bedeutet, der mittlere
Zug Z' pro qcm Gehäusebohrung:

T

Z' = C^'^A^ ^ ,- fwdx kff/qcm.

\6000/ 6000* rj ^x^"^ '»^»/H^"^-

Die Abhängigkeit dieser mittleren Kraffclinienspannung vom Luft-
raum ist gegeben durch die Entstehung der Magnetisierungskurve (Fig. 1).

r

nu

Fij

\. 1.

Hftßn

i

^

^

-*■

A

-6

A

^

^

"f

M

o

Z200

.«

\ ■

c

*i?

1

■«*^'

/

^A

1

/

1

1

7600

1

f

/

i

■x-

f&

/

/

\

1

1

\

y

\

\

■ /

/

'800

\
\

/

\

/

■ \

i

Hm

\
\

/

—

\

/

/

\

\

/

f

4

T^

^

t

>0

6

^

lO

J:

Xtnp.

Die Tangente im Nullpunkt, die sogenannte Scherungslinie, trennt die
Ampere Windungen für Luft und Eisen. ^) Eine Parallele zur Scherungs-
linie durch den Abszissenpunkt des normalen Erregerstromes gibt die
Spannung und die damit proportionale Kraffcliniendichte H^^^ für den
Luftraum » 0, eine symmetrisch dazu liegende Gerade die gleichen
Größen für den doppelten Luftraum an. Sinngemäß sind dazwischen-

1) Falls auf die Vermehrung der primären Streuung mit der zunehmenden
Sättigung des Eisens keine Bücksicht genommen wird.

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Von Hans Linseicmanv.

247

liegende Punkte zu konstruieren. Mit der so bestimmten effektiven
E[raftliniendichten H^^^ werden die zugehörigen mittleren magnetischen

Züge Z' = \ ßooo/ ^K/^^™ "^ Luftraum berechnet und graphisch in
Abhängigkeit vom Luftraum aufgetragen. (Fig. 2).

Wäre diese Kraftkurve beliebig gekrümmt, so würde es für unsre
Untersuchungen voUauf genügen^ eine Tangente im Normalpunkte zu
ziehen und diese als Ejraftgesetz anzunehmen, da wir ja nur kleine
Deformationen zulassen; durch die bei modernen Maschinen gebotene
Sättigung des Eisens sind wir aber in
der günstigen Li^e, als Satz aufzustellen:

Die Krafikurve ist mit genügender
Genauigkeit weit über die zvlässige De-
formation liinaus durch eine gerade Linie
darstellbar,

oder analytisch formuliert:
Z'==Zi-e>kg/qcm,

Flg. 2.

z

^

^

^

V

N

s^

^

S

S

V

S

"\

N

N

0,6

i.2

an

wobei p die radiale Deformation in cm ist, positiv, wenn nach außen
gerichtet. Die Größen Z^ ^ erklären sich von selbst durch Betrachtung
der Figur 2; es ist da für die mittlere Kurve:

Z' = l,5-l,22|) kg/qcm.

Im Normalpimkt der Magnetisierungskurve ist für 2200 V 50 A
und einseitigen Luftraum A = 6 mm, ^e// ^ 6150 Kraftlinien
pro qcm.

Die beiden andern eingezeichneten Kurven zeigen, wie wenig der
Charakter der geraden Linie durch einen anderen Sättigungszustand
des Eisens beeinflußt wird.^) Der Faktor {;' tritt in den nachfolgenden
Rechnungen vorwiegend auf, weil er die Änderung der magnetischen
Zugkraft mit dem Luftraum angibt. Wir stellen die Resultate der
drei Kurven zusammen:

Ampere

Kurve

g'(kgcm-»)

80

obere

0,8

50

mittlere

1,22

30

imtere

1,22.

Ähnliche Verhältnisse gelten für alle Magnetisierungskurven gleichen
Charakters.

1) Vergl. Arnold, WechBelßtromtechiiik, Bd. IV, S. 262 ff.

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248 I^ie elast. Linie d. Gebänse y. DrebBtrommaBchinen mit großen DnicbmeBsem.

Da wir alle Kräfte auf 1 cm Umfang zxLrQckfiÜiren, haben wir den
mittleren magnetischen Zug Z' noch mit der Blechpaketbreite 2 cm zu
multiplizieren:

(2) Z^Z'l^ Z',l ~ qi'l ^Z,-pt kg/cm.

Nun sind noch das Eigengewicht und die Torsionskraft in kg
pro cm Umfang auszudrücken.

Es sei y -« Eigengewicht in kg pro cm Umfang, Q Gewicht des
gesaniten Gehäusebogens in kg, D Schwerpunktsdurchmesser in cm,
so ist:

oder genau genug, wenn F in qcm der mittlere Querschnitt (Eisen;
Bleche, Kupfer eingerechnet):

(3) Q^D^F 1,8 10-^ kg;

y«JF.7,8 10-» kg/cm.

Ähnlich gilt, wenn t die Tangentialkraft in kg/cm, Kw die Leistung
der Maschine in Kilowatt und rj der Wirkungsgrad ist:

,.. Ä^M? 716,2 • 100- * ^,. Kw , /
W ^ = —j) 6,2 —j^ kg/cm.

D in m = 2),^ ; n «= Umlaufe/min./ min.

Damit haben wir alle auf Biegung wirkenden Kräfte in Kilogramm pro
Zentimeter Umfang ausgedrückt.

II.
Es sei:

Qj^ = Krümmungsradius der deformierten Kurve in cm,

r = Schwerpunktsradius des Gehäusequerschnitts in cm = y,

= Trägheitsmoment des Gehäusequerschnitts in cm^,

JF' = tragfähiger Gehäusequerschnitt in qcm,

M » Biegungsmoment der äußeren Kräfte rechts vom Schnitt in kg cm,
und zwar positiv, wenn rechtsdrehend,

st « spezifische Dehnung durch Erwärmung, e = ^^ = Ausdehnungs-
koeffizient des Gußeisens, t^O dessen Temperaturzunahme,

E « Elastizitätsmodul des Gehäusequerschnitts in kg/qcm.

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Von Hams Limsenmann. 249

80 ist nach einem Satz der Festigkeitslehre über gekrümmte stab-
formige Körper

^^) Q^ r^ ES r ^

Es seien q und 9 die Polarkoordinaten eines Punktes der de-
formierten Kurve; auf das Mittel des ursprünglichen Kreises als Null-
punkt bezogen, p die radiale Deformation in cm, positiv^ wenn nach
außen gerichtet, so ist:

Wenn q'^^, q" ^ —9^ die erste und zweite Ableitung von

Q nach 9 bedeuten; so gilt nach einem bekannten Satz der Kurven-
geometrie die Beziehung:

Genau wie bei der Theorie der elastischen Linie gerader Stäbe
werden die Formänderungen so klein vorausgesetzt; daß die höheren
Potenzen der radialen Deformation p und deren Ableitungen; sowie
ihre Produkte miteinander gegenüber den linearen Größen zu vernach-
lässigen sind; dann haben wir; da:

, f , dp „ ,, d*p

Q^r+p, p=p=»jj, Q ^p ^j^,,

p^ '^ r + p r* " r'^ E9 ^*^'

1) Die Fonnel soll hier kurz abgeleitet werden. Es ist nach neben-
stehender Figur 3, wenn a die Spannung in kg/qcm:
c yddfp My [^ My Biegungsmomenten-^

Md8
EG
Femer ist:

ddfp My / My BiegungsmomentenA
dT"^ EG' V'^~9~ fonnel /

Jd(p^='-

^+^^?„±; ^,?=i (Kreis).
de Qj^ ds r ^ '

c?9+J

dtp + Jdtp 1 1 . M .^uAMß — ^^
55 Tk^T^ES' ^ *^

Infolge der Erwärmung der Maschine werden die Strecken auf das l-|-£< fache
vergrößert, ohne daß die Winkel sich ändern; also muß die rechte Seite der
letzten Gleichung noch mit 1 -f- ef dividiert oder unter Yemachlässigung sehr
kleiner Größen zweiter Ordnung mit 1 — z% multipliziert werden; die wahre
Krümmung ist dann: \ \ M t

was zu beweisen war.

qj, r ^ ES r '

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250 I)ie elast. Linie d. Gehäuse v. Drehstrominascliinen mit großen Durchmessern,
oder da:

r + p r r* '

(6) p+i>" = --J;' + rff (cm).

Dies ist die Fundamentalgleichung unserer Aufgabe.

Die Länge der deformierten Linie darf sich nur um die Aus-
dehnung durch die Erwärmung vom ursprünglichen Ereisum&ng unter-
scheiden; daher ist als zusätzliche Bedingung zu erfüllen (dl =» Bogen-
Clement):

(7) jdl —jrd<p =j(r + p)dq> —Cr dtp ^Cpdip =jr8td(p.

Lassen wir infolge ungenauer Montage eine kleine vertikale
Senkung gleich s zu, so lautet die Ereisgleichung nicht mehr Q ^r,
sondern q ^ r — s cos 9 , und aus Gleichung (7) wird bei Symmetrie
der deformierten Kurve zur Nullachse:

22 2

(7a) I dl — I {r — s CO8 (p)dq) = f pdq) + s === ret

Bevor wir diese Gleichungen anwenden^ müssen wir über die Auf-
lagerungsbedingungen der oberen Gehäusehälfte entscheiden, die ja haupt-
sächlich gefährdet ist, ferner welche Normalkrafte senkrecht zum Querschnitt
wir berücksichtigen wollen. Bezüglich letzterer tragen wir nach, da&
die Ausdehnung infolge Erwärmung durch die elektrischen Verluste die
Wirkung aller anderen Normalkräfte um ein Vielfaches überwiegt, die
Normalkomponenten der Schwere und magnetischen Zugkräfte erreichen
nur wenige Prozente der Formänderung durch Erwärmung. Da es
sich bei den Normalkräften ohnehin nur um eine Korrektur handelt,
haben wir von vornherein nur die Erwärmung in Betracht gezogen.

Bezüglich der Auflagerungsbedingungen unterscheiden wir folgende
vier Fälle:
L Gleiten und Drehen ist möglich, d. i. die Auflagerflächen können

sich horizontal frei verschieben imd außerdem um einen beliebigen

Winkel drehen.
IL Gleiten möglich. Drehen unmöglich, die freie Verschiebbarkeit

der Enden ist gewahrt, die freie Drehung der Enden ist auf-
gehoben,
in. Gleiten unmöglich, Drehen möglich, die Enden sind fest, können

sich aber wie in Gelenken drehen.

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Von Hams Linsenmann.

251

Fig. 4.

+iW"

IV. Gleiten und Drehen unmöglich, die Enden sind starr eingespannt.

Wie können nun diese Auflagerbedingungen^), insbesondere die
Eräftepaare, die das Drehen in
Fall n und IV verhindern, ver-
wirklicht werden? Die Momente
können, wenigstens solange sie ne-
gativ oder linksdrehend sind, stets
durch das Fundament eingeleitet
werden, wenn man das Gehäuse
außerhalb des Schwerpunktes der
Auflagerfläche im Abstand ± u; cm
lagert; dadurch wird ein Moment
^ wP erzeugt, wenn P der Druck
auf die Stützfläche in kg ist.

Wir betrachten die obere Gehäusehälfte zunächst nur unter dem
Einfluß des Eigengewichts und der Erwärmung und rechnen hierfür alle
vier Fälle durch. Das Moment der Schwere rechts vom Schnitt ist (Fig. 4):

Moment der Bogenelemente = M^ .

M^ «= r^yjdv (sin t? — sin 9) = r^y (— cos t; — v sin 9)

M^ = r^Y (cos q) — (^ — 9?) sin qA kg cm.

Moment des Auflagerdruckes = Jtfg.

Jtfg = — r^y — (1 — sin 9) kg cm .

Das resultierende Moment der ^Schwere ist:

(8) -My — r^y [cos qp — fy — 9) sin qp — y (1 — sin 9] kg cm.

Unsere Gleichung für den Fall I, vollkommene Freiheit der Enden,
lautet nun:

l>+i)"--^J-[(y-9) siny-cosy-f y(l -sin9)]-f r£^

und deren Lösung nach einigem Probieren^):

p = —^^^ (9^ cos 9 — 39 sin 9 -f 27t) + rat + a cos (9 + «)•

1) Vergl. Dr. Ing. Julius Schenk, Festigkeitsberechnung größerer Drehstrom-
maschinen. Teubner 1908.

2) Kann wie alle Integrale von Differentialgleichungen durch Einsetzen in
die Grundbeziehung geprüft werden.

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252 IHe elast. Linie d. Gehäiue y. Drehstromiiiaschinen mit großen Durchmefssem.

a und a sind die beiden Integraiionskonstanten. Wir setzen den

Wert ^^ künftig immer gleich k.

Die elastische Linie ist offenbar symmetrisch^ d. h. p, die radiale
Deformation, besitzt for den gleichen aber positiven oder n^tiveu
Wert des Winkels 9 dieselbe Grroße; deshalb muß sein für

9 = 0; 1>' = 0; a — 0;
Femer ist nach Gleichung (7):

n

I pdq) =» {- (9* sin 9 + 69 cos 9 — 5 sin 9 + 2;r9) + ^ sin 9 }

Folglich muß der Elammerausdruck zwischen den Grenzen und ^
gleich null sein; daraus bestimmt sich die Integrationskonstante:

« |(^-5 + ««) = -|7,34(cm).

Damit lautet die Schlußgleichung:

k
(9) p — ^ (9' cos 9 — 89 sin 9 + 23t — 7,34 cos 9) + ret (cm)

Die Einsenkung e am höchsten Punkt des Gehäuses ist, wenn
9 = gesetzt wird:

e = — 0,25 h + rat (cm).

Im zweiten Fall, auf dessen Berechnung wir nun eingehen, können
sich die Auflagerpunkte horizontal frei verschieben, der rechte Winkel
mit der Horizontalen bleibt jedoch erhalten. Dazu muß das Funda-
ment auf die Stützflächen ein Eräftepaar M' übertragen, das der Be-
dingung:

P-%-^ für ^=1
ZU genügen hat. Unsere Gleichungen lauten nunmehr:
P+P" = *[(y — 9) sin 9 - cos 9 -hy (1 - sin 9)] — ^^ + ret,

p == ^ (9* COS 9 — 89 sin 9 + 2x) — -^-^ + r a^ + a cos (9 + «) ,

a « der Symmetrie wegen, wie vorhin.

k %

y = — — (9* sin 9 + 9 cos 9 -f- 3 sin 9) — a sin 9 = für 9 — -- ^

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Von Hans Linsemicann. 253

hieraus :

.__J.6,47--i(? + 8),
1 pdfp «= jj (qp* sin g? + 5y cos 9 — 5 sin g) + 2;r9) + a sin g? ^^

Hieraus folgt; wenn der Klammerausdruck zwischen den Grenzen
und - gleich null gesetzt wird,

M' - 0,3 rV tg cm.
Nach Einsetzung aller Werte ist:

(10) p ^ -T (9* cos qp — 3qp sin 9 — 5,47 cos qp + 5,09) + rst (cm) ,

hieraus für g? =-

e = — 0,09Ä + r«^ (cm).

Im Falle III sind die Enden fest, jedoch drehbar. Durch das
Fundament muß ein Horizontalschub H übertragen werden, der die
freie Yerschieblichkeit der Auflagerflächen aufhebt; zum Moment der
Schwere kommt daher + Hr cos q> hinzu und an Stelle von ret tritt

in Gleichung (6) und (7) r£<— ^^cosy und in (7a) ^^^Y ~ EF''
Setzen wir -ö" «X^w; gleich dem Trägheitsradius des Gehäusequer-
schnitts, so lautet die Lösung des Falles IE:

1>=* 4(9*^089 — 39 sin 9 + 2ä) — ^^^^^(1 +^ +ra^ + a C0S9.

Nun ist der Trägheitsradius # gegenüber dem Schwerpunktsradius r bei

großen Maschinen stets eine sehr kleine Zahl, umsomehr (— j , so daß

wir es gegen Zahlen gleich oder größer als Eins yemachlässigen dürfen;
dann erhalten wir für den Horizontalschub H und die Integrations-
konstante a folgende Gleichungen:

1) g) = -— ^ p«=0 (die Enden sind fest);
hieraus

2) jpdq>^rBt~-l%,

EF'

Digitized byVjOOSlC

254 I^ie elast. Linie d. Gehäuse y. DrehBtrommaBchinen mit großen Darchmessem.

hieraas

a J 6,3370 + -r^^

Nach allen Vereinfachungen erscheint:

(11)

k
p ^ - (qp* cos q) — Afp sin 9 + 23t — 6,3370 cos q>)

— rst l- (q> sin <p — cos 9) — 1 j

und die Einsenkung e für 9 == wird:

e 0,0135 k + 1,637 ret (cm).

Im Falle lY sind die Enden starr eingespannt; durch das Funda-
ment wird ein Eräftepaar M' und ein Horizontalschub H übertragen,
die jedes Drehen und Gleiten verhindern; die Fälle II und III über-
lagern sich. Zur Bestimmung der Unbekannten haben wir drei
Gleichungen:

1) g> =- ^ ^ jj = (Enden fest), 2) 9 = ^ , p' = (Enden nicht drehbar),

7t

2

rH

3) Jpdip^rBtY —

EF'

Die genauere Durchführung der Rechnung ist nach Behandlung der
Fälle I — in nicht mehr nötig; wir geben das Resultat:

(12)

p - I (9,» cos 9 - 4,2790 9 sin 9) - 6,7464 cos 9 + 6,7214)
+ r«< (5,2788 - 3,3607 (9 sin 9 + cos 9)) (cm),

M' rV 0,1095 + ^' rEF'st 4,2788 (kg cm),

R^ry 0,6395 + ^| EF'at (kg) ,

l 0,0063 Ä + 1,918 rat (cm).

Zum Schluß wollen wir noch den Fall Fig. 5 behandeln; in der
horizontalen Querstange tritt ein solcher Zug auf, daß die Einsenkung
am höchsten Punkt zu null wird. Die Auflagerstellen können sich
wie im Fall I horizontal frei bewegen und um einen beliebigen Winkel
drehen. Für diesen ungünstigsten Fall soU die Rechnung durchgeführt
werden. Die Spannung in der Zugstange sei Tkg.

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Von Hans Linsenuann.

255

Vig. 6.

Die elastische Linie zerfällt in zwei Äste, die ohne Knick in-
einander übergehen; der erste Ast reicht von 0^ bis 60^, der zweite
von 60® bis 90®. Wir haben pro Ast zwei
Integrationskonstanten und außerdem die
Stabspannung T^ im ganzen also fünf Un-
bekannte. Hierfür haben wir auch fünf
Gleichungen, nämlich:
I. Ast: 1) für 9 = 0, p' = 0, weU die Sym-
metrie zur Nullachse erhalten
bleibt,
2) für 9 = 0, j9 =- nach Voraus-
setzung.
I. und IL Ast: fQr 9- J,

S) pi^Pii, ^) Pi=^Piiy weil beide Äste kontinuierlich in-
einander übergehen.

Femer gilt die allgemeine Gleichung:

Tt rt jt

Y 3 2"

5) / pd(p =^Jpid(p +Jpud(p = ret ■

n

Y

Unsere Gleichungen lauten:

I p + 1?" =- + ä;[(y — 9J sin 9 — cos 9 +^ (1 — sin 9]
— Tr (cos 9 — 0,5) + rst
für 0<9<|,

n |) -^ p'' = -f Ä M 2 -- g?j sin 9 — cos 9 -f Y (1 -- sin qp] -f r £^

Hieraus folgen fQr beide Äste folgende Beziehungen:
I. Ast: i? = 7 [9?* cos g) — 89 sin 9 4- 2n] — -^^ (9 sin 9 — 1)

(13)

/.

+ ret + a cos (9 -|- cc) (cm),

4- 9 cos 9 -f 3 sii

— a sin (9 -f a) ,

^' « - - (9« sin 9 4- 9 cos 9 -f 3 sin 9) -I- -^ (9 cos 9 4- sin 9)

pdg> = j (9* sin 9 -f- 59 cos 9 — 5sin 9 4- 2;r9)
Tr»

"^ 2E&

(9 cos 9 — sin 9 4- 9) 4- rst(p -^ a sin (9 4- a) .

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256 I)ie elast. Linie d. Gehäuse y. Drehstzonunaschinen mit großen Dnrclimeflsein.

Die Oleichimgen fftr den zweiten Ast entwickeln sieh aus der ge-
gegebenen dorch Weglassung des Ausdruckes mit der Stabspannung T;
an die Stelle von a und a treten die Integrationskonstanten hj ß.

Damit sind alle Vorarbeiten zur Aufstellung der obigen fänf Be-
dingungsgleichungen erledigt. Wir lassen diese rein rechnerischen
Operationen weg und geben die Resultate der Elimination der fiinf
Unbekannten aus den fünf Gleichungen.

1) Stabspannung T ^ 1,22 ry - 4,54 y, EF'st (kg),

2) a = 0, 3) a « - 2,18 Ä; + 1,27 ret,

4) 6 cos /3 = - 1,41 Je — 1,59 rst, 5) 6 sin /3 « + 0,36 k — 1,41 rst

Auf die zweite Dezimale sind die Rechnungen nicht mehr genau.
Es folgt eine Zusammenstellung der bisher erhaltenen Resultate.
M' bedeutet das Moment an den Auflagerflächen, Mq das Moment im
Scheitel der oberen Gehäusehälfte.

Y^l^ 1 j Drehen möglich, jj Drehen unmöglich,
1 Gleiten möglich Gleiten möglich

e

M'
H

- 0,2635 It-^rst

- 0,5708 r«y

— 0,0936 * + ret

- 0,2732 rV
+ 0,2976 r»y

Fall

jjr Drehen mOglich, jy Drehen unmöglich,
Gleiten unmöglich Gleiten unmöglich

e

Mo

M'
R

- 0,0135 * + 1,6366 r6<

- 0,071 rV + *! EF'ret ■ 1,273

+ 0,5 ry + 1^1 ^,EF' et

- 0,0063 * + 1,9181 ret

- 0,041 rV - ~ EF'ret • 4,28

- 0,1095 r*r - 5 EF'ret • 4,28
+ 0,04 ry + 6,12 ^,EF' et

Die Tabelle besagt, daß die Einsenkungen durch die Schwere sehr
rasch abnehmen, wenn das Gehäuse gut fundamentiert wird. Im
Falle in mit festen, jedoch drehbaren Enden beträgt sie nur 5% der
Durchsenkung im Falle I mit frei verschieblichen und drehbaren Enden. ^)

1) Immerhin muß der Eonstrakteur auf den ungünstigsten Fall I Rücksicht
nehmen, denn die provisorische Aufstellung einer Maschine im Prüffeld ist jeden-
falls weit entfernt von der Solidität der stationären Aufstellung.

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Von Hans Linsenmann. 257

Bei einer 1200 Ew Maschine f&r 125 ümläufe/min. war r » 232 cm
ö = 20 . 10* cm* y — 10^ kg/cm E = 10« kg/qcm, hieraus folgt

Je =« -^ — 0,16 cm und für « = g^ (AusdehnungskoeflE. von Gußeisen)

t =« 35^ G ist rst'^ 0,1 cm. Mit diesen Zahlen ergibt sich im Fall III
eine Durchsenkung c =- - 0,0135 • 0,16 + 1,64 • 0,1 = + 0,16 cm, d. k
sogar eine Hebung des Scheitels infolge der Erwärmung. Doch be-
steht diese Zahl nur zum Teil zu recht; denn das Polrad dehnt sich
durch Erwärmung und Fliehkraft ebenfalls aus imd sucht diesen Zu-
wachs einzuholen. Auch wird man niemals eine Luftraumdifferenz
von 1,6 mm zulassen, sondern das Gehäuse im warmen Zustande ein-
stellen; dadurch fallen aber die Temperatur Spannungen während des
Betriebes fort, und die Schwere und die magnetischen Zugkräfte, zu
denen wir jetzt übergehen, treten in den Vordergrund.

m.

Die Tangential- und die magnetischen Zugkräfte sind nunmehr in
die Gleichung einzuführen.

Das Biegungsmoment der an den Bogenelementen angreifenden
Tangentialkräfte rechts vom Schnitt ist (vgl. Fig. 4):

n
Y

Jf j = + r*r j dv {1 — cos {v — q>)) ^r^ti^ — tp — cos qA ,

des Auf Überdruckes a:

a • 2r = r • rnr

Jtf, --r« ytCl-sing)),

des Horizontalschubes h:

1

h^rt j cos q)d(Pf

Jtf 3 = -f- r^t cos 9 .

Das resultierende Moment M^ ^ M^ + M^ + M^ der Tangentialkräfte

lautet:

(14) M^^±rH{~%mq) — ip^ (kg cm).

Das -[--Zeichen gilt für Rechtslauf, das —-Zeichen für Linkslauf
des Magnetrades.

ZeiUohrift f. Mathematik u. Phyiik. 63. Band. 1906. 8. Heft. 17

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258 I^e elast. Linie d. Gehäuse y. Drehstrommaschinen mit großen Durckmessein.

Das Moment der an den einzelnen Bogenelementen angreifenden
magnetischen Zugkräfte ist unter Yemachlässigung der Vergrößerung
des Hebelarmes durch die Deformation p mit demselben Becht, wie
wir dies für die Schwere und Torsion getan haben (vergl. Fig. 4):

n n

T Y

M^^r^ t dvZsiD. (i? — g?) = r* j Zq(1 — sin 9) — t j psm(v — q>)dv j-
tp \ *p /

Moment des Auflagerdruckes a:

n

a.2r

= / Zcos (pdip .

-T

a~rlz^-\ijp cos (pdtp \ (kg).
~ i
Wir setzen das konstante Integral:

\ t p COS 9^9 "— /x

n

und haben

a = r(Zo-g#t); Jlf, = ~ r«(l - sin 9)(2o - g^).
Moment des Horizontalschubes h:

n n

h^~ I ZHmg)d(p = ^^tlp smq>dq> == — rft/,

_ TT Jt^

y T

wenn das konstante Integral

I /|) sin 9^9 -= V

TT

gesetzt wird; das Moment M^ selbst ist dann:

Jf j = — r*gt/ cos 9.

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;

Von Hans Limsenmamn. 259

Ist die elastische Linie symmetriscli zur Nullachse^ d. k. hat p für
denselben positiven oder negativen Winkel 9 den gleichen Wert, so wird

2

} p cos q)dq)

und

2

Das resultierende Moment Jf^ = Jlf ^ + ^2 + ^z ^^^ magnetischen
Zugkräfte ergibt sich zu:

7t

(15) 3/, -= r'd — / p sin (v — 9) dt; + fi (1 — sin tp) — v cos <p

Aus diesem Ausdruck folgt für p = 0, d. h. wenn die Kreisform
erhalten bliebe, daß die magnetischen Zugkräfte gar keinen deformieren-
den Einfluß ausüben. Dies wurde schon eingangs erwähnt.

Der aufgestellte Ausdruck für das Biegungsmoment der magneti-
schen Zugkräfte ist in dieser Form analytisch unzugänglich^ weil er
die gesuchte Größe p unter dem Integralzeichen enthält; wir müssen
vom Moment auf die Einzelkräfte übergehen, die es zusammensetzen,
oder mathematisch formuliert sowohl die Funktion als die Grenzen
des Integrals nach (p differentiieren. Wird diese Operation zweimal
wiederholt, so erhält man:

M" — -y— , '=^ r^ty — p + I p &ia (v — q)) dv + (i sin q) + V C09 (f

dq>^

Die Summe M + M" beträgt:

Jf+Jf"-r«e(-p + /t).

Dieselbe Summe ist für die Biegungsmomente der Schwere und
Torsion zu bilden:

Jlfy+ Jf;==rV(2cos<p-y),

M, + M;^z^r^xfp.

Für das resultierende Moment aller Kräfte gilt:

(16) Jf + Jf " = rn{-p + ^) + r^y (2 cos 9 -|) q: r^xip.

Andererseits ist nach der Fundamentalformel:

—^{M + M") =. p + 2|>" +!>"" ^TBt,

17 ♦

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260 IHe elast. Linie d. Oeh&use v. Drehstarommaschinen mit großen DorchmesBem.
Damit laatet die Differentialgleichniig unseres Problems:

oder^ wenn wir setzen

(17a) p + 2p" + p"" =» m{p - ft) — X' (2 cos q>—~)±wq> + rat

und deren Lösung mit den vier Integrationskonstanten A, üj B, b,
wobei a -^VT+Ym, ß ^Vl —Ym bedeutet:

1> — ^ cos (afp + a) + B cos (ß(p + b) — ^^ H ^^

(18)

, 2 ww . rec- r N

+ ^i — ^±T~ *^ + i — ;;i (^°^)-

1 — w~^l — m 1 — 1»^ '^

Dieser Ausdruck ist die allgemeinste und umfassendste Losung
unserer Aufgabe fOr ein freitragendes Gehäuse auf Roll- und Kipp-
lager. Er umfaßt die durch die Torsionskräfte hervorgerufene Un-
symmetrie ebenso wie die Verzerrung der elastischen Linie infolge
ungenauer einseitiger Montage.

Wie werden die Litegrationskonstanten bestimmt? Hierfür können
wir zunächst zwei Gleichungen angeben. Die erste, schon oft benützte,
bezieht sich auf die Läoge der elastischen Linie und lautet:

(7) fpdip =

rstTtf

n

die zweite drückt das Gleichgewicht gegen horizontale Verschiebung
aus. Ist E.^ (Fig. 4, S. 251) der Horizontalschub am rechten Ende,
E^ der am linken Ende und H' der Horizontalschub der äußeren
EjiLfte (Torsion, einseitige magnetische Züge), so ist die Gleichgewichts-
bedingung:

Nun ist sehr nahe am rechten Ende das Moment M^^ -^ r cos 9^1
und -^ — — r sin 9? S"! — — rfl^ für 9 « -f ^ , analog findet man für

9"— f> ^ = + '-^- hieraus folgt:^ + ^,f-r(ff,-^,)-r^.
Substituiert man für die Biegungsmomente i(f^, M^ nach der Funda-

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Von HaM8 LiNSENlKANN. 261

mentalgleichung die Deformationen jj^, j>, für 9 = + -^, — -J, so wird
die zweite Bedingungsgleichnng tHr die Integrationskonstanten:

(19) -^(p,+p'^'+p,+p;)--^'^(l + ^H'~-^'^H',

da, wie schon erwähnt, -, ein sehr kleiner Bruch ist

Bei Symmetrie der elastischen Linie existiert kein Horizontal-
schub H' der äußeren Kräfte, und die vom Fundament übertragenen
statisch unbestimmten Horizontalschöbe H^, H^ werden einander gleich;
obige Gleichung wird dann:

(20) /,(P + 1>") ^H^r^^±^;H,^H,^H.

Für die beiden noch übrigen Integrationskonstanten ergeben sich
Gleichungen aus den Auflagerungsbedingungen Fall I bis IV, wie im
zweiten Abschnitt.

Im nachfolgenden werden wir nur die leerlaufende Maschine be-
trachten d. h. T » setzen-, auch bei Vollbelastung ist t immer wesent-
lich kleiner als y. Femer nehmen wir an, das Gehäuse sei symmetrisch
montiert in bezug auf die Nullachse^ so daß die Verzerrungen durch
einseitige magnetische Züge verschwinden. In einem Fall werden wir
eine kleine vertikale Senkung des Gehäuses zulassen, so daß durch die
ungenaue Montage die magnetischen Zugkräfte an der gerährlichsten
Stelle noch verstärkt werden. Noch allgemeinere Annahmen vermögen
die Endresultate unserer Betrachtungen nicht wesentlich zu ändern.

Dann wird die elastische Linie symmetrisch zur Nullachse, d. h.
die radiale Deformation p besitzt für denselben positiven oder nega-
tiven Wert von q> die gleiche Größe; dies ist aber nur möglich, wenn

a = und 6 =

ist, so daß unsere Gleichung lautet:

k-

71

T
Da iir^ j p cos ifdip , 1/ = ist, folgt für ^l der Wert

n
i

(^^JiA cos aq, + BcoBßq,)d<p-^- + ^ + ^| +^

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262 Die elast. Linie d. Gehänse v. Drehstrommaschinen mit großen DnrchmessenL

oder

rst

T^-i^(-^^'«T+^«-^T) + .-(l4

fw) 1 — m

Setzt man diesen Wert in die obige Gleichung ein^ so erscheint die
engere Lösung:

Ip = Ä (cos «9? + Ym cos a YJ + jB (cos ßtp — Ym cos ß * j
+ — ;;r" +***^ (^°')'

die uns weiterhin dienen wird.

Um aus ihr den Fall I^ vollkommene Freiheit der Enden^ herzu-
stellen, verfQgen wir über die Integrationskonstanten Ä und B so, daß
kein Horizontalschub auftritt (s. Gleichung (20)):

d^O + P'O'-O far (p«y ; Aasma^-^Bßsmß^^O'
Femer besteht die Bedingungsgleichung (7 a):

Jpd(p[+s]^r€tY],

Durch diese beiden Gleichungen sind die Integrationskonstanten Ä
und B bestimmt. Als Endresultat folgt fQr den Fall I, Yollkommene
Freiheit der Enden, wenn wir den Nenner:

(22) . '^^"i '^^^-i

A

" ß «>/»»(»» — 1)

setzen:

(22a) p=^

1 / cosacp . cosßfp ^^*»"2 ^^^2
COS Op — -7- ( ^-^

' yV^na ^sma ^ Ymß—smß— a— ß— j

+ rst (cm).

Bei verschwindenden magnetischen Zugkräften wird w = xmd
aus obiger Gleichung bei genauer Durchrechnung:

(9) |> « — (<p« cos gj — Sq) Hin <p — 7,34 cos <p + 2ä) + rst (cm).

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Von Hans LiNssmcANN.

263

Dieses Resultat ist nan schon bekannt als Gleichung (9); es war
indessen nötig, den organischen Zusammenhang mit den früheren
Entwicklungen zu zeigen.

Für eine vertikale Sen- ^*» •

kung 8 ist in Gleichung (22 a)

noch —8 - -rO") dem Aus-

druck unter runden Klam-
mem bezw. für w =
— 8 cos q) hinzuzufügen.

Nun zur Diskussion un-
serer Gleichung. Es inter-
essiert nur die Einsenkung
des Scheitels der oberen Ge-
häusehälfte. Diese ist er-
sichtlich aus den Kurven I
Fig. 6. Als Abszisse ist auf-
getragen Ym = y^-^ , als

positive Ordinate ist aufge-
tragen der stets positive Fak-
tor fcir die Ausdehnung durch
Erwärmung, als negative Or-
dinate der entsprechendeFak-
tor für die Schwere, so daß
die gesamte Einsenkung ist:

e=^(—c)Jc + {+c') rat (cm).

Im Falle I und 11 wird (-f c') = 1, weil das Gehäuse der Ausdehnung
frei folgen kann. Anders verhält es sich mit der Durchbiegung in-
folge der Schwere.

Für |/w — 1 wird hier (— • c) « — 0,4 — dem Werte der Kurve;
für Ym > 1 wird ß ima^ginAr und an Stelle der trigonometrischen
Funktionen treten die hyperbolischen, also:

statt + ßsmßtp tritt ein — ß' ©in /8>, wobei ß' -^Vyni — 1,

«

i

^ *f0

Ü

1

Im

1

i

1

\

tt

x

\\

v"

■ ji

!

i

^

J

'i

/

J

>

^

f

'i

^■^

i

n~

1

k

^

^

Xß^

-

uL

«

i "

-^^•

■— ^

"^

[^^

\

N ^

"N

\.

1

\

1

\ 1

i

\

i

\

1

iBiff

\!

\

\

1

^^

't

^

\

1

\

1

i

-

_\

1

11

1

' 1

^z

^

1

rtl '

-^itO

:fll

dJ —

iJ

X

statt +^-^-

P

tritt ein ^^- ^ wobei ß' - VVm'-^ 1 .

ß'

Wir sehen, wie für steigendes V^^yw^f also für größere
magnetische Zugkräfte oder auch schwächere Konstruktion die Ein-

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264 1^16 elast. Linie d. Gehäuse ▼. Drehstrommaschinen mit großen Durcfamesaem.

senkimg rascli wächst; ja sie wird unendlich für |/m » 1,7, m » 2,9
oder genauer, wenn der Nenner:

cotga-^ coighß'^

J^^- *-+ ^ —^

^ « ? 3ryw(m— 1)

wird. Gleichzeitig wird aber auch die zusätzliche Durchbiegung infolge
der ungenauen Montage + s unendlich. Denn dieses Zusatzglied

8 I cos «9 \

hat, wie schon oben gezeigt wurde, denselben Nenner ^j.

Die Eigenschwere y mag so klein sein, wie nur möglich; ledig-
lich infolge ungenauer Montage kann das Gehäuse bei ungenügender
Steifheit zusammenbrechen. Es wäre verkehrt, eine Konstruktion nur
wegen ihrer größeren Leichtigkeit als stabiler zu betrachten; denn die
Ungenauigkeiten der Montage werden ihr viel gefährlicher ab die nur
Bruchteile von Millimetern betragenden Durchsenkungen infolge der
Eigenschwere. Jedoch ist die kritische Grenze für beide Fälle dieselbe^
da es für die magnetischen Zugkräfte gleichgültig ist, auf welchem
Wege die sie weckende ursprüngliche Deformation zustande kommt
Deshalb genügt es dem Sinne nach, die Schwerkräfte allein zu be-
handeln.

Wir wenden uns nun dem Fall 11 zu; das Gehäuse ist frei ver-
schiebbar, jedoch nicht drehbar gelagert. Die Bestimmungsgleichungen
sind genau wie im Abschnitt U. Nach einigen Reduktionen ist:

p = A (cos afp + Ym cos a^j + B (cos ßg) — Ym cos ß yj

, 2A;co8qp M'r* , .
+ -m ES +»•*<'

TT
2

a) p'«0 far 9 = y, b) Jpdip=^rst^,

a) Äa sin a -*- + ^/8 sin /3 ~ 4- -- = 0,
sina— 8in/J ,

Ee2 ^'

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Von Hans Linsbnmakn. 265

Femer ist angeändert

c) Aa sin a Y — J? /J ein /8 Y = •

Nach Elimination der Unbekannten A B M' aus den Gleichungen a) b) c)
und einigen Reduktionen ist:

(23)i>«-- cos9-i/-— ^+— ^^^

I \a8inaY Psin/J - ^J\

Für w — wird:

p =* - (9* cos 9 — 89? sin 9 — 5,47 cos tp + 5,09) + rat (cm),

also Gleichung (10) in Abschnitt II.

Kurve II in Fig. 6 (S. 263) gibt den Verlauf der Einsenkung
durch die Eigenschwere als Funktion von l/w. Für l/w — l wird der
Biegungspfeil c = — 0,llA;; das schon Gesagte wiederholt sich; für

(23a) z:/, = a sin a Y = 0,

was bei « = 2 , |/w = 3 , m = 9 eintritt, wird die kritische Grenze
erreicht.

Jenseits Ym = 1,7 im Fall I und Yrn = 3 im Fall II beginnen
die praktisch belanglosen labilen Gleichgewichtszustande; sie finden
ihr Analogen in der Knickbelastung gerader Stäbe mit frei drehbaren
Enden, deren Knicklange auch ?, 7, 7 der maximalen »- Stablange
sein kann. Daß die in beiden Fällen unendlichen Durchbiegungen
mathematisch abstrahiert sind und einen labilen Zustand bezeichnen,
braucht wohl nicht hervorgehoben zu werden.

Um die kritischen Belastungen, dargestellt durch )/m — 1,7, m = 2,9
und |/m = 3, 1» = 9 auf elementarem Wege zu kontrollieren, nimmt
man an, daß der ursprüngliche E^reis infolge der Deformation in eine
horizontal ausgeweitete und vertikal abgeplattete Ellipse von der sehr
kleinen Exzentrizität » £ übergeht, und zwar ist dann:

^ = — £ cos 2<p; Einsenkung e = — £; Ausweitung m; = + £;

Für diese angenommene Gleichung der elastischen Linie berechnet man

das Biegungsmoment der magnetischen Zugkräfte nach dem bekannten

Kraftgesetz:

(2) Z=Zo-pe kg/cm.

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266 I^ie elast. Linie d. Geh&ose v. Drehstrommaschinen mit großen Dorchmessem.

Die Einsenkung e und Aus Weitung w wird bestimmt nach den be-
kannten Formeln der Festigkeitslehre:

7t n

"2 2

e = — / ~^J- ; w ^ + I ^ Jfß-* (x u. y Koord. von Bogenelement (fe);

diese Gleichungen enthalten die Exzentrizität £ der Ellipse. Wenn
diese angenommene Exzentrizität aber gleich wird der entstehenden,

d. i. £ = ^— , so ist der labile Zustand oder die kritische Belastung

vorhanden, s hebt sich auf beiden Seiten weg, und man erhält för das
minimale Trägheitsmoment:

Annäherungsrechnung I ® > 0,37 ^, 11 @ > 0,11 ^,

genaue Rechnung I ö > 0,35 ^, 11 ö > 0,11 ^ •

Die Übereinstimmung beider Methoden ist der Beweis für die
Richtigkeit des Annäherungsverfahrens, der aber von vornherein ohne
die genaue Rechnung nicht zu ftthren war.

Die Behandlung der Fälle III und IV schließt sich eng an die
vorhergehenden Ausführungen und an die entsprechenden Lösungen im
Abschnitt U an, die Bedingungsgleichungen far die Integrationskonstanten
sind dieselben wie dort. Wir ersparen ims die detaillierte Durchführung
der Rechnungen und geben gleich die Resultate zunächst für:

Fall in, Enden fest, jedoch drehbar gelagert:

(24)

+ ret

t —
(24a) ^, = i!-l(^_i) +

-iij = für Ym =« 7,58 ; m *= 57,55 gibt die Jcritische Grenze,

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Von Hams Linsenmann. 267

Fall lY, Enden starr eingespannt gegen Gleiten und Drehen:

(25)

2k
P-Tn

, / COS ttcp — cos a -— / ,/- cotff ß— \

\ 2 2

cos |?<p — cosp— -

(25a) ^, = -^- A ._«- _ _il^_ .

^4 = far ]/m = 10,42; m = 108,5 gibt die kritische Grenze.

Nun zur Diskussion der Fälle III und IV. Die Einsenkungen e
sind in Fig. 6 als Kurven III und IV dargestellt, bei der Schwere der
zehnfache Betrag, weil die Ordinaten, verglichen mit e^ und e^y sonst
zu klein würden. Der allgemeine Charakter der Kurven bleibt erhalten;
die kritischen Grenzen, dargestellt durch jd^^O, ^^»0, treten für
m = 57,55, Ym - 7,58 bezw. m - 108,5, y~m = 10,42 ein. Die Aus-
dehnung durch Erwärmung ist in den Fällen III und IV nicht mehr
frei, weil die Enden festgehalten werden. Daher tritt eine Hebung des
Scheitels der oberen Gehäusehälfte ein; die magnetischen Zugkräfte
verstärken jede Abweichung von der Kreisform im positiven oder nega-
tiven Sinn. Bei den angegebenen Belastungsgrenzen )/m = 7,58 und 10,42
kann eine stabile Gehäuseform überhaupt nicht mehr aufrecht erhalten
werden.

Die Ausführungen am SchluB des Abschnitts II sind zu wieder-
holen; gestattet man den Auflagerpunkten, der Ausdehnung durch Er-
wärmung bei Dauerbetrieb und nur dieser zu folgen, so verschwinden
die Temperaturspannungen, und der Einfluß der Schwere und magneti-
schen Zugkräfte hat die Vorherrschaft bei der Deformation.

Um bei Anwendungen die Berechnung der komplizierten Funktionen
in den Formeln zu vermeiden, haben wir in den Kurven Fig. 7 die
Biegungsmomente M^ im Scheitel und M' an den Auflagerflächen,
femer die Horizontalschübe H abhängig von )/m graphisch dargestellt,
jedoch nur für die Schwere. Es ist:

M = r^y • c kg cm , if = ryc kg ;

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268 I^ie elast. Linie d. GehäuBe ▼. DrehBtrommaschinen mit großen DurchmesBenL

die Faktoren c sind den Eurren zu entnehmen; die Scheitelmomente
Mq III und Mq IV sind zehnfach vergrößert gezeichnet. Die unteren

Grenzen für die Trägheit»-
^^' '' momente wollen wir noch

zahlenmäßig angeben:

FaU I

n

m = 2,9

9

S > 0,35

0,11

m

IV

57,56

108,5

0,018

0,009^^

Es sollen die bisherigen
Rechnungen an drei Maschinen
a), b), c), deren Oehäusequer-
schnitte in Fig. 8—10 (S. 269)
im Maßstab 1 : 10 da^estellt
sind, zahlenmäßig durchgeführt
werden. Daß die Charakteristik
sehen Werte für drei irgendwie
herausgegriffene Maschinen ver-
schiedener Firmen und Kon-
strukteure in eine Reihe passen,
kann nicht erwartet werden.
Ein Konstrukteur bestimmt den
Oehäusequerschnittauf zulassige
Durchbiegung, ein andrer auf zulässige Spannung im Gußeisen, fast alle
nach mehr oder weniger bestimmten Erfahrungen mit Hilfe empirischer
Faustformeln; ein ausgeprägt einheitliches Prinzip liegt nicht zugrunde.
Die Magnetisierungskurve für Maschine a) wurde bereits in Fig. 1
(S. 246), die Kurve der magnetischen Zugkräfte in Fig. 2 (S. 247) gezeichnet.

a) b) c)

Leistung in Kilowatt induktionsfrei 1200 800 3000 Kw.

Umläufe in der Minute 125 79 71,5

Durchmesser der Gehäusebohrung 414 600 802,4 cm

1

27

0,7

29 + 4 • 1,0 cm
1,2 cm.

Blechpsketbreite + Luftschlitze 28 + 3
Luftraum einseitig 0,6

Welche Rolle spielt das aus einzelnen Segmenten geschichtete
Blechpaket bei Berechnung des Trägheitsmoments? Wenn die Stoß-

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Von Hans Linsenmann.

269

fuge durch das ganze Blechpaket geht^ wie man bei älteren Maschinen
noch sehen kann, tragt der Anker überhaupt nichts, weil ein solcher
Ring, seines Haltes beraubt, zusammenstürzt. Wenn die Segmente

rig. 8. (Maschine a.)

sich abwechselnd überdecken und wie eine starre Kette um den ganzen
Ring herum sich fortsetzen, so trägt mindestens ein Teü bei dem hohen
Druck, unter dem das Paket steht und bleibt, auch wenn die Isolation
schwindet. Der durchlochte Nutenrand trägt natürlich gar nicht. In

Flg. 9. (Matohlne b.)

Flg. 10. (ICaBohine o.)

den nachfolgenden Angaben ist das Blechpaket halb, also wie ein guß-
eiserner Querschnitt gerechnet, da Schmiedeisen den doppelten Elastizi-
tätsmodul besitzt. Am besten wird das Produkt E@ durch einen Ver-
such für eine Type bestimmt; zieht man etwa die Enden der horizontal
liegenden Gehäusehälfke durch eine bekannte Kraft P möglichst reibungs-
frei zusammen, so ist die Durchmesserdifferenz

D-D'==

n r*P

2 Ee

cm (P in kg).

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270 Die elast. Linie d. Gehäuse v. Drehstrommaschinen mit großen Darchmessem.

Als totales Gewicht des ganzen GehäusenmfangB, einBcUießlich
Blechpaket mit Wicklung ergibt sich:

ö= a) 16500 b) 32000 c) 32000 kg
Schwerpunktsradius r = 232 332 428 cm

Schwere pro cm Umfang y = 11,3 15,3 12 kg/cm

Torsion pro cm Umfang r = 2,9 1,5 3,7 kg/cm

MittL Trägheitsmoment ) ^ _^ ^^^^ ^^^^ ^^ _ ^^ ^^,
über die PoUeitung J

Wir sehen, daß bei der Maschine b) (Fig. 9) mit 600 cm Gfehäuse-
bohrung an Material vergleichsweise mit den andern nicht sehr gespart
wurde. Die Zahlen sind Annäherungswerte. Mit E = 10® kg/qcm
Elastizitätsmodul fiir Gußeisen ergibt sich:

" *>" 20 10"

= 0,16

b) 0,41

cm

c)

1,12 cm

g-a)38

b) 33

43 kg/cm

m = 0,55

0,88

4,0

m- 0,74

0,94

2,0

Bei der Maschine c) (Fig. 10) mit 802,4 cm Bohnmg ist also die
kritische Grenze für Fall I mit vollkommener Freiheit der Enden über-
schritten.

Die Durchsenkungen infolge des Eigengewichts sind im FaQe I
nach Kurve I (Fig. 6, S. 263):

ej « a) — 0,32 • 0,16 = — 0,05 cm, b) ^ 0,37 ■ 0,41 = — 0,15 cm,

c)

So ungenügend ist keine Fundamentierung, wie sie Fall I voraus-
setzt; den tatsächlichen Verhältnissen wird Fall m mit festen, jedoch
noch drehbaren Enden weit mehr entsprechen. Hierfür ist:

ö, = a) - 0,013 . 0,16 = - 0,002, b) 0,013 • 0,41 0,006 cm,

c) ^ 0,014 . 1,12 - ~ 0,016 cm.

Die magnetischen Zugkräfte, welche im Falle I die Maschine c) wahr-
scheinlich zum Bruche geführt hätten, sind bei der Auflagerungs-
bedingung III kaum merkbar, wie aus dem Charakter der Kurve m
(Fig. 6) hervorgeht, und die Durchbiegung selbst verschwindend.

Die größte Spannung im Gußeisen pflegt einzutreten, wenn die
obere Gehäusehälfte bei der Montage am Kranhacken hängt und etwa
in der Mitte durch ein Seil befestigt ist; das zugehörige Moment ist r^y;

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Von Haivs LiNSENHAim. 271

W sei das Widerstandsmoment des Querschnitts in cm*, dann wird,
wenn:

rV = a) 61 • 10*, b) 169 • lOS c) 220 • 10* kgcm,

TT» a) 8000, b) 12000, c) 9000 cm»,

tf = a) 75, b) 140 c) 250 kg/qcm,

während 6 » 300 kg/qcm als zulässige Spannung für Gußeisen bei
ruhender Belastung gewöhnlich angenommen wird. Die Spannungen
werden übrigens sehr herabgemindert, wenn das Gehäuse in seitlichen
Ösen hangt, und es kann dann möglicher Weise eines der Momente M^
und Jf ', die wir in den Kurven Fig. 7 aufgetragen haben, den Aus-
schlag für die zulassige Spannung geben.

IV.

Der statischen Berechnung folgt eine mehr qualitative Betrachtung
der dynamischen Vorgänge. Bei Kurzschluß und plötzlichen Be-
lastungsstößen werden durch die Störung des Gleichgewichts elastische
Schwingungen ausgelöst. Wir bestimmen zunächst die Eigenschwingungs-
zahl des Gehäusebogens unter dem Einfluß der magnetischen Zugkräfte;
die stabil elastischen Kräfte üben keinen Einfluß auf sie aus. Der
Gedankengang erfolgt nach dem Prinzip von d'Alembert: die Be-
schleunigungskräfte müssen durch die Resultierende der äußeren und
inneren statischen Kräfte aufgebracht werden. Die Lösung ist in
unserer allgemeinen Gleichung (17) bereits enthalten, wir haben nur

die radial gerichteten Beschleimigungskräffce — — j^ als neues Glied
hinzuzufügen: ^

Dieser partiellen Differentialgleichung genügen unendlich viele
Sinusschwingungen usin — t als Einzellösungen, da außer dem Grund-
ton noch unendlich viele Obertöne erregt werden können; durch die
Lage und Geschwindigkeit, die jeder Punkt bei Anfang der Bew^ung
besaß, ist jedoch die Lösung eindeutig bestimmt. Setzen wir, um die
Schwingungszahlen a;/min zu erhalten, obige periodische Lösung fürp
ein, so wird ^

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272 I^ie elast. Linie d. Geh&nse v- DrehstrommaBchinen mit großen Doichmeflsem.

Setzen wir x-m + ^'^(|g*. a-Vr+Vx, /J=Kl-]^,
dann ist die Lösung mit den Integrationskonstanten Ä und B

(26) u^ Ä (cos agj +Yx cos Uy) + B (cos /J^^ — }/« cos /} yj ,

wenn wir gleich Symmetrie der Schwingungslinie zur Nnllachse an-
nehmen. Für die Integrationskonstanten A und B und die Eigen-
schwingungszahlen X ergeben sich aus der Eigenart der Auflagerang
Fall I — IV weitere Bedingungsgleichungen. Zunächst muß stets

Y

/

ud^ » sein, denn die dynamischen Rpadialschwingungen können die

Länge der elastischen Linie nicht ändern^ femer ist bei YÖlliger Frei-
heit der Enden, sich zu verschieben und zu drehen (Fall I), ein

Horizontalschub H nicht vorhanden, also j^ (<* + w") *" fftr 9? = y •

a)/pd<|p«0;^\^— /- + f>^cosafj + B!^-^-fl/iJ

b) Ä= 0; Äa sin ay - Bß sin /J -J - 0-

Diese beiden Gleichungen sind offenbar nur dann mit einander

vertraglich, wenn sie ffir das Verhältnis -j den gleichen Wert ergeben,

d. i. wenn die sogenannte Resultante der beiden linearen Gleichungen
gleich Null ist. Dies ergibt nach einigen Vereinfachungen den uns
aus Gleichung (22) bekannten Ausdruck:

cotga^ cotgß^

^ « ? « Vx (x — 1)

Diese Gleichung wird erfüllt durch unendlich viele Werte x^ x^ x, • . .,
uns interessiert nur die Schwingungszahl des Gh-undtons, gegeben durch

Xq«2,9; x^ == 300 T/ *^ "7^ volle Schwingungen/min.

Das vollständige Integral würde sein:

X — Xq Xj • • Xyi

Läuft das Magnetrad exzentrisch, so verdichten sich dort die
Kraftlinien, der magnetische Zug wächst dort und wandert mit dem

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Von Hans Linsenmann. 273

Magnetrad herum. Trifft der tiefste Schwingungsausschlag räumlich
und zeitlich jedesmal mit dem eben vorbeipassierenden Maximum der
verdichteten magnetischen Zugkräfte zusammen, so ist elastische Reso-
nanz vorhanden^ und die dynamischen Deformationen werden sehr groß.
Bedingung ist jedoch hierfür, daß die Schwingungszahl x^ des Gh-und-
tones der elastischen Eigenoszillation mit der Betriebstourenzahl überein-
stimmt. Bei Maschine c) könnte dies eintreten, wenn etwa im Prüf-
raum die provisorische Aufstellung zu wenig solide ist. Eine solche
Resonanz wurde bei einer Maschine beobachtet, deren Oehause imter-
halb des Schwerpunktes gestützt war; bei einer bestimmten Tourenzahl
schwankte der Gehausebogen sichtbar, jenseits bei normaler Tourenzahl
trat wieder ruhiger Gang ein. Dennoch wurden vorsichtshalber die
Stützen durch solche in der horizontalen Trennungslinie ersetzt, die ja
zugleich durch den Schwerpunkt geht.

Bezüglich der Auflagerungsbedingungen Fall U — lY geben wir
an, daß analog Fall I die Gleichungen:

tg cc — tg ß —

^.-«sinay-O; J, --i(^x _ l) + __l(|/i + l)_«>^_0;

^, ^ ~ - ^ « 0, erfüUt durch Xo - 9; 57,55; 108,5,

die entsprechenden Schwingungszahlen des Grundtons ergeben. Da die
Lösungen für u und die Bedingungsgleichungen für die Eonstanten A
und B dieselben sind, wie im statischen Fall, so ist dies leicht ein-
zusehen.

In letzterer Zeit sind durch direkte Kupplung mit Dampfturbinen
schnelllaufende Generatoren mit großen Leistungen in Anwendung ge-
kommen. Die Durchmesser der Gehäuse werden hierbei klein, so daß
sie als praktisch starr zu betrachten sind. Inwieweit werden nun die
Erscheinungen an Wellen hoher Umlaufszahl, wie sie besonders durch
die De Laval- Turbine charakterisiert werden, durch das Hinzutreten der
magnetischen Zugkräfte beeinflußt? Es gibt bekanntlich für jede Welle
eine kritische Tourenzahl, bei welcher ein heftiges Schleudern infolge
der unvermeidlichen Exzentrizität des Schwerpunktes eintritt: die
elastische Resonanz entsteht, wenn die Eigenschwingungszahl der Welle
gleich ist ihrer Betriebstourenzahl. A. Föppl hat zuerst die Be-
wegungsgleichungen für diese Erscheinungen aufgestellt (s. Technische
Mechanik IV. T. Dynamik). Die gewöhnlichen Wellen des Maschinen-
baues laufen möglichst weit unter dieser Grenze, die Wellen nach De
Laval möglichst weit jenseits, wo ja wieder ruhiger Gang infolge

Z«iUohrift f. Mathematik n. Physik. 5S. Band. 1906. S.Heft. IS

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274 Dynamische Eraftpläne.

Rotation um den Schwerpunkt eintritt. Die Form der Gleichungen
bleibt unter Zuziehung der mi^etischen Zugkräfte dieselbe , nur die
auftretenden Konstanten ändern sich^), xmd zwar wird durch die
magnetischen Züge die kritische Tourenzahl herabgesetzt.

Dem Maschineningenieur ist im allgemeinen die höchste Ökonomie
weniger erreichbar als dem Elektriker, der sein Material hinreichend
kennt, um Gewicht pro Voltampere und Polteilung, Nutzeffekt und
Spannungsabfall auf Prozente genau voraus zu bestimmen; es laufen zu
viele praktische Nebenrücksichten mit unter, die nicht minder ausschlag-
gebend sind.

Aufgabe einer das Wesentliche voll beachtenden und auf die Er-
fahrung gegründeten Untersuchung soll es sein, die Unterlagen zur
Bestimmung der Grenzen der Konstruktion zu liefern, wozu das Ge-
gebene ein Beitrag sein soll.

Dynamische Eraftpläne.

Von Ferdinand Wittenbauer in (Jraz.

Von einem eben bewegten Getriebe seien die treibenden und wider-
stehenden Eräfke sowie die Massenverteilung des Getriebes bekannt; es
sind die Spannungen der einzelnen Stabe des Getriebes sowie die Drücke
in den Gelenken während der Bewegung zu finden.

Diese wenig behandelte Frage der technischen Mechanik ist von
nicht zu unterschätzender Bedeutung; sie wurde bisher in Ermanglung
bestimmter Methoden meist durch Annäherung gelöst. In Wirklichkeit
bildet sie das dynamische Analogon zu der graphischen Spannungs-
ermittlung eines Stabwerks und gestattet wie diese eine übersichtliche
zeichnerische Behandlung, die als Beitrag zur graphischen Dynamik
betrachtet werden möge. Die Lösung der eingangs genannten Frage
erfordert folgende vier Arbeiten:

1) Nach Föppl ist die kritische Umdrehungszahl n der Welle: n = SOOl/^

üml/min, wenn G das Gewicht des Schwungköq)er8 (hier der Anker) in kg ist
und cc in kg/ cm die Kraft angibt, die die Welle um 1 cm durchbiegt. Wie
leicht einzusehen, wird durch die Exzentrizität e der Welle eine Resultierende J^
den magnetischen Zugkräfte geweckt, die im Sinne der Durchbiegung e wirkt;

B « 2 fz cos 9 (2<p • r , i? = 2 /(Z,, — - e cos qp • J) cos (p7td(p «= erf « kg . (r = Radius

der Bohrung). Die Kraft, die die Welle um e cm durchbiegt, ist danp
P = ac — crt« = (a — r J«)c kg und die kritische Tourenzahl n «= 300 T/ ^^^ -

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Von Febdinand Wittenbauk». 275

1. Zunächst müßte man sämtliche Kräfte und Massen des Getriebes
auf graphischem Wege nach einem ausgezeichneten Punkt des Getriebes
reduzieren und sodann die Beschleunigung und Geschwindigkeit dieses
Punktes konstruieren. Diesen ersten Teil der Aufgabe habe ich in
meiner Abhandlung: Graphische Dynamik der Getriebe (diese Zeit-
schrift^ Band 50) ausführlich behandelt.

2. Aus der Beschleunigung und Geschwindigkeit des Reduktions-
punktes sind sodann die Beschleunigungs- und Geschwindigkeitspläne
des Getriebes zu entwerfen, was wohl am besten nach dem von

0. Mohr gegebenen Verfahren (diese Zeitchrift, Band 49, Seite 393
auch: 0. Mohr, Abhandlungen aus dem Gebiete der techn. Mechanik,
Berlin 1906) geschehen wird.

3. Sodann hat man in jedem bewegten Punkte des Getriebes die Träg-
heitskraft dieses Punktes (entgegengesetzt dem Beschleunigungsdrucke) an-
zubringen und aus der Gesamtheit dieser Trägheitskräfte und der gegebenen
Eräfbe ein Gleichgewichtssystem zu büden (D'Alembertsches Prinzip).

4. Endlich hat man mit Hilfe von Knotenschnitten, die man durch
dieses Gleichgewichtssystem fuhrt, die Stabspanuungen und die Gelenk-
drücke des Getriebes zn bestimmen.

Mit der Durchführung der dritten und vierten dieser Arbeiten
soll sich vorliegende Abhandlung beschäftigen. (Vgl. 0. Mohr: Beitrag
zur Kinetik ebener Getriebe, diese Zeitschrift, Band 51, S. 29, auch im
obengen. Werke).

Die BescUeunigmigsdriicke eines ebenen Systems und ihr Ersatz durch
die Beschleunigungsdräcke von Punkten.
1. Die Beschleunigungsdrücke eines ebenen Systems lassen sich
bekanntlich auf folgende zwei Wirkungen zurückführen (Fig. 1):

1. auf den Beschleunigungsdruck Mys der im
Schwerpunkte S des Systems vereinigten Masse *" ^*
M des Systems, wenn ys die Beschleunigung
dieses Punktes ist;

2. auf ein Kraftpaar vom Momente MTc^X^ worin
Tc der Trägheitshalbmesser des Systems in be-
zug auf den Schwerpunkt und X die Winkel-
beschleunigung des Systems ist; der Drehungs-
sinn des E[raftpaares stimmt mit X überein.

Die Projektion der Beschleunigungsdrücke des Systems auf eine
beliebige Achse ist demnach Mysx, das Moment der Beschleunigungs-
drücke um einen beliebigen Punkt der Ebene
(1) Mys'S-Mhn ....

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276

Dynamische Eraftpl&ne.

Es soll nun gezeigt werden, daß man die BescUeunigungsdrücke
des Systems in bequemer Weise durch die BescUeunigungsdrücke
dreier beliebig gewählter Punkte ersetzen kann.

Es seien (Fig. 2) Ä, B, C drei beliebig gewählte Punkte des
ebenen Systems, PtP^Ps ^^^^ Abstände vom Schwerpunkt £>; ajO^a,
die Winkel zwischen diesen Abstanden, yAyByc die Beschleunigungen
der drei Punkte.

Die Masse M des Systems werde nach dem Schwerpunktsgesetze
in die drei Punkte ABC derart verteilt, daß

M^ntA + fna + mc

ist; es sind dann diese in ABC liegenden

Punktmassen

Md .
niA = sm «1 ,

Fig. s.

niB

Pi

smo,;

Md .
Wc — -— smos,

Pi

worm

(2)

Sin ttj sm a, sm or,
Pi ~Sr ~Pz

bezeichnet.

Man bringe nun in den Punkten ABC die neuen Beschleunigungen
SaSbSc normsd zu beziehungsweise PiP^Ps derart an, daß sie um S im
Gegensinn von X drehen; die Größen dieser Beschleunigungen seien

(3) ÖA^nkpi, ÖB^nlp^, dc^nXp^

Hierin bezeichnet

(4) n=l-

Id

worin d durch Gleichimg (2) festgelegt und

(5) l =|>i sin«! +JP2 sinoj +p^ sinoj

bezeichnet wurde.

Es kann nun behauptet werden, daß die drei Massenpunkte mAmBfnc
zusammengenommen dieselben Beschleunigungsdrücke besitzen wie das
ganze System.

2. Bevor hierfür der Beweis erbracht wird, soll daran erinnert
werden, daß eine eben bewegte Masse sich hinsichtlich ihres Trägheits-
momentes um jeden beliebigen Punkt der Ebene ebenfalls durch drei
beliebig gewählte Pimkte ABC ersetzen läßt, wenn in ihnen bestinunte
Massen MaMbMc und im Schwerpunkt 8 überdies eine Masse M^ an-
gebracht werden, derart daß

M=M, + Ma + Mb + Mc

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Von Fehdinamd Wittenbaüer.

277

und S auch der Schwerpunkt dieser yier Massen ist. Ich habe in der
genannten Abhandlung: Graphische Dynamik der Getriebe, S. 70 diese
Massen bestimmt und mit Hinweis auf Fig. 2 gefanden:

Ma

-3fj— sin«!,

Jffi =» Jf j— sinoa, Mc--
M-{Ma + Mb + Mc).

M

iPt

Buia^

Fig.S.

Die in Gleichung (4) festgelegte Eonstante n kann dann geschrieben
werden

und das Trägheitsmoment der Masse M um ihren Schwerpunkt nimmt
die Form an: ^

Mh^ = MapI + MbpI + McpI = (1 - n) (w^i>f + mspl + mcpf)

oder

(6) Mk^=^(l-n)2:mp^.

3. Nim kann der Beweis für die am Schlüsse von (1) aufgestellte
Behauptung erbracht werden.

Bilden wir die Projektionen der Beschleunigungsdrücke der drei
Massenpunkte m (mit den Beschleunigungen y - und d) auf irgend
eine Achse X, so ist sie (Fig. 3):

£m.yx + 21mä. sin 9?

und mit Rücksicht auf die Gleichimgen (3)

^w>yx + nXl>mp sing?
oder

^ysx + nX2Jmrj.

Da 2Jmrj verschwindet, so bleibt als
Summe der Projektionen der Beschleuni-
gungsdrücke Mysx, d. i. die Projektion des
wirklichen Beschleunigungsdruckes, übrig.

Bilden wir hingegen die Summe der Momente der Beschleunigungs-
drücke der drei Punkte ABC um irgend einen Pimkt der Ebene,
so ist sie nach Fig. 3

(7) -2:m(y,y — y^x) + 2Jmd(p + Xq cos fp+y^sin 9?).
Der zweite Teü dieses Ausdruckes wird

wA [£mp* + Xq^m^ + yQ^mrj]

Ilml = 0, Umri = 0,

und da

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278 Dynamische Erafbpläne.

80 bleibt

Der erste Teil des Ausdruckes (7) wird

2:m{y^y - y^x) = 2:m[y,(yo + v) - Vyi^o + öl

Nun ist

|=l>cos9, i^^^sing?,

also

dt* '

Setzt man noch , ., = A, so wird

Zm{y^y - y^a?) = Miy^ysx - aJo^^y) - 2;w(i?» + |«)-^

Das Moment der Beschleunigungsdrücke der drei Punkte ABC
um wird also nach (7)

Mys • s — AZmß* + nXUmp^
oder mit Benutzung yon Gleichung (6)

Mys ' s - Mkn,

welcher Ausdruck aber nach 1. das Moment des wirklichen Beschleunigungs-
druckes des Systems um ist. Damit ist bewiesen, daß die drei
Massenpunkte ABC das System hinsichtlich des Beschleunigungs-
druckes vollständig ersetzen, wenn in ihnen außer ihren wirklichen
Beschleimigungen y noch die Beschleunigungen d angebracht werden.
4. Wählt man die Punkte ABC auf einem mit dem Tragheits-
halbmesser k um den Schwerpunkt S beschriebenen Kreise, so ist

Pi =1>2 = p, = ÄJ, Smp^ = Mk^
und nach den Gleichungen (2), (5), (4)

^ =» , (sin Oj + sin «2 + sin ttg) , l = k (sin o^ + sin «2 + sin «,)

w =
imd somit

Öa^ Sb=^ dc^ 0,

d. h.: VerteiU man die Masse M des Systems nach dem Schwerjmnkts-
gesetze in drei hdiänge Produkte des mit dem Trägheitshalhnesser k

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Von Ferdinand Wittbnbaükr. 279

um den SchwerpunU beschriebenen Kreises, so ersetzen diese Punkte das
System hinsichtlich der Besddeunigungsdrücke vollständig.

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes auf beliebig viele Punkte
des Kreises k ist gestattet.

5. Der Ersatz der Systemmasse hinsichtlich der Bescbleunigungs-
drücke kann auch durch zwei Punkte Ä und B geschehen; nur müssen
diese so gewählt werden, daß der Systemschwerpunkt S auf ihrer Ver-
bindungslinie liegt (Fig. 4).

Die Massen der Punkte Ä und B sind dann

mA^M^, ms-M,^

und ihre Beschleunigungen außer y^y^; den Beschleunigungen der
Systempunkte, noch

diesen letzteren Beschleunigungen entsprechen die Beschleunigungsdrücke
niAÖA = ntBÖB = MnX^'^^ • rig. 4.

Sie bilden also ein Kraftpaar vom ^\ / x y^^s

Momente ,,. ,

MnXp^p^.

Px „

'^ ^Yb

^^--ä

Um die Konstante n zu bestimmen, !• l

die gleich -^ ermittelt wurde, ver-
teile man die Systemmasse üf in die drei Punkte ABS derart, daß
das Trägheitsmoment dieser drei Massen für jeden Pimkt der Ebene
ebenso groß ist wie jenes des Systems. Hierfür fand ich in der
Graphischen Dynamik S. 71

es ist also

n= 1

und das Kraftpaar der Beschleunigungsdrücke d

Sein Drehungssinn ist jenem von X entgegengesetzt (Vgl. H. Lorenz,
Techn. Mechanik starrer Systeme S. 343.)

6. Die Glieder eines Getriebes bestehen meistens aus Stangen,
deren Enden Gelenke sind. Um in diesen Fällen die Masse der Stange
durch Punkte zu ersetzen,. empfehlen sich zwei Wege. Man wählt die

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280 Dynamische Eraftpläne.

Punkte A und B entweder zu beiden Seiten des Schwerpunktes S in
der Entfernung gleich dem Tmgheitshalbmesser X; (Fig. 5) und bringt
in ihnen die halbe Masse der Stange an; sind yAyn die System-
beschleunigungen Yon A und B^ so ersetzen
die beiden Kräfte \MyA nnd \MyB die
Beschleunigungsdrücke des Systems yoll-
ständig.

Oder man wählt die Punkte A und B

in den Endpunkten (Gelenken) der Stange

und verteilt die Masse M nach dem Schwerpunktsgesetze dorthin (Fig. 6).

Dann ersetzen die Kräfte w^y^ und m^yÄ, sowie das Kraftpaar m^*^

"= ms^B mit dem Arme l die Beschleunigungsdrücke der Stange vollständig.

Wenn die Bewegung der Stange

n^^ eine dauernde Drehung um ihren

"^/ / Endpunkt A ist (Kurbel), so wird

Y" ^ "^ """"ix^J^ y^ = 0, die Kraft w^y^ entfallt.

^ ^ 5y In diesem Falle also genügt die An-

I bringung der Kraft mBys und des

in^,^ Momentes

Von diesen beiden letzten Arten, die Masse der Stange zu ersetzen,
soll im folgenden ausschließlich Gebrauch gemacht werden.

Die Ermittlung der Stabspannungen und Gelenkdriicke eines bewegten

Getriebes.

7. Das bewegte Getriebe ist ein Körper, der unter dem Einflüsse
seiner äußeren Kräfte und seiner Trägheitskräfte (den entgegengesetzten
der Beschleunigungsdrücke) im Gleichgewicht bleibt.

Die äußeren Kräfte wollen wir uns ausschließlich in den Gelenken
wirkend denken. Sollten Kräfte vorkommen, die in irgend einem
Punkte G der Stange AB angreifen, so hindert nichts, C als Gelenk
des dreieckigen Gliedes ABC zu behandeln. Auch die Gewichte der
Glieder denken wir uns immer auf die Gelenke verteilt. Die Be-
schleunigungsdrücke der einzelnen Glieder werden nach dem bisher
Mitgeteilten ersetzt durch die Beschleunigungsdrücke der in die Gelenke
verteilten Massen der Glieder.

Da die in der Praxis verwendeten Getriebe meistens aus Gelenk-
vierecken zusammengesetzt sind, soll an einem solchen in allgemeinster
Art die graphische Ermittlung der Stabspannungen und Gelenkdrücke
gezeigt werden.

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Von FiERDiNAin) Wittens aukb.

281

Flg. 7.

Es sei AB CD ein aus vier gelenkig verbundenen Stäben 1, 2, 3, 4
bestehendes Viereck, von dem kein Glied festgelegt ist (Fig. 7.) Der
Oeschwindigkeits- und Be-
schleunigungszustand dieses
Gelenkvierecks sei als ge-
geben vorausgesetzt. Fig. 7 a
gibt den Geschwindigkeits-
plan; er ist nach dem Ver-
fahren Mohrs konstruiert.
(Vgl. dessen Arbeit: Bei-
träge zur Geometrie der
Bewegung ebener Getriebe,
diese Zeitschrift 49. Bd.,
S. 398.) Sein Zusammen-
hang mit dem Bilde des

Getriebes besteht darin, daß die Seiten des Geschwindigkeits-
planes senkrecht stehen zu den entsprechenden des Getriebes, z. B.
A'B' ±AB.

Der Geschwindigkeitspol wurde als unwesentlich fortgelassen; es
bedeutet v^ = A'B' die Geschwindigkeit des Punktes B bezüglich A

Fig. 7 a.

und v^=«B'C' die Geschwindigkeit des Punktes C bezüglich B. Die
Seiten des Geschwindigkeitsplanes bedeuten also die relativen Ge-
schwindigkeiten der Gelenke gegeneinander.

In Fig. 7 b wurde ebenfalls nach Mohr (a. a. 0. S. 405) der Be-
schleunigungsplan des Gelenkviereckes gezeichnet. Q'\ der Pol des
Beschleunigungsplanes wurde beliebig angenommen; es sind dann

ya-Q"A'\ yb--Q"B'\ yc--Q"C'\ n--Q"D''

die Beschleunigungen der vier Gelenke.

Femer bedeutet A"B'' die relative Beschleunigung von B gegen A]

sie besteht aus der relativen Normalbeschleunigung -4"a = ^ = -j-g-

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282 Dynamische Eraftplftne.

mit der Richtung von B nach A und der relativen Tangential-
beschleunigung:

worin k^ die Winkelbeschleunigung des Stabes AB (Glied 1) ist

In gleicherweise bedeutet B"C die relative Beschleunigung von
C gegen jB; sie besteht aus der relativen Normalbeschleunigung

B''h ^ ,^ ^ »77" ^1* ^®^ Richtung von G nach B und der relativen

Tangentialbeschleunigung 6C" = ZgAj = SC • A,, worin X, die Winkel-
beschleunigung des Stabes BC (Glied 2) ist.

Aus dem Beschleunigungsplan sind also die Winkelbeschleunigungen
der vier Glieder in folgender Weise zu entnehmen:

8. Um die Trägheitskräfte eines dieser Glieder zu büden, hat man
zuerst (nach 5) die Masse dieses Gliedes in die Gelenke zu verteilen
z. B. für den Stab AB (Glied 1) in die Gelenke A und 5; diese Teile
seien miA, tni^; die Trägheitskräffce dieser Massenpunkte sind

d. h. sie sind den Beschleunigungen yAj ya entgegengesetzt anzubringen.
Da in jedes Gelenk die Massen aller angrenzenden Glieder zu ver-
teilen sind, so besteht auch die Trägheitskraft jeder Gelenkmasse aus
mehreren Teilen, die aber dieselbe Richtung besitzen. So fallt z. B.
in das Gelenk B die Masse miß des Gliedes 1 und die Masse m^B des
Gliedes 2; also ist die Trägheitskraft des Gelenkes B

Tb — TiB + ^25 = — (wiB + mas) • y«.

Sodann sind noch an allen Gliedern die Tiilgheitskräfbe K derart
anzubringen, daß sie den in Abschnitt 5 entwickelten Beschleunigungs-
drücken niASA und mßdB entgegengesetzt sind; ihr Moment ist also

sein Drehungssinn stimmt mit jenem von k überein. Diese Kräfte K
wirken am Ende jeder Stange des Viereckes und sind mit dem Stellen-
zeiger des zugehörigen Gliedes bezeichnet worden; so z. B. wirken die
beiden Kräfte K^ K^ in den Gelenken des Gliedes 1. Ihr Drehungssinn
stimmt mit jenem von k^ überein, der aus dem Beschleunigungsplan
zu entnehmen ist; so ist z. B. die Tangentialbeschleunigung von B
gegen A nach früher k^l^ ^ aB'\ dreht also, wenn sie in B angesetzt

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Von Fbbdutand Wittexbaubr.

283

wirdy um Ä gegen den Sinn des Uhrzeigers; in gleichem Sinne ist das
Eraftpaar K^ K^ am Gliede 1 anzubringen.

Die Tragheitskrafte des Eurbelvierecks bestehen also aus den vier
Gelenkkraften T^, Tb^ Tc, Tj) und den vier Kraftpaaren KJ^^, ^hf
K,k, K,k (Fig. 7).

9. Außerdem wirken in den Gelenken jedes Gliedes die äußeren
Kräfte; sie sind übereinstimmend mit den Gelenken bezeichnet und
tragen als Stellenzeiger die Ziffern des Stabes; so wirken z. B. in den
Gelenken A und B des Stabes 1 die äußeren E[räfte Ä^ und B^,

10. Nachdem alle Trägheitskräfte und äußern Kräfte (zu denen
auch die Gewichte der Stangen gefügt werden können) angebracht sind^
kann nun die Konstruktion des dynamischen Kraftplanes vorgenommen
werden. Da alle Kräfte ein Gleichgewichtssystem bilden, muß der
Kraftzug sich schließen, was in Fig. 8 ersichtlich gemacht wurde.
Hierbei können die Kräfte K nach Belieben weggelassen werden, da
sie ohne dies nur im Kraftpaar auftreten.

Diese Kräftie K dürfen aber nicht weggelassen werden, wenn es
sieb um die Ermittlung der Stabspannungen und der Gelenkdrücke
handelt. Zu diesem Zwecke wollen wir jedes Gelenk ftir sich auf sein
Gleichgewicht prüfen. Um z. B. die Stabspannungen 1 und 4 zu finden,
setzen wir sie ins Gleichgewicht mit den übrigen Kräften des Gelenkes A,
nämlich den äußeren Kräften A^A^ und den Trägheitskräften Ta, -£"1, jK^;

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284 Dynamische Eiaftpläne.

man ziehe also im Eraftplan durch I und lY die Parallelen zu 1 und 4;
dann sind 1 und IV die gesuchten Stabspannungen.

Dies führt zu folgendem Resultat: Zieht man durch die Punkte I
n III lY des Kraftplanes die Parallelen zu den Stäben 1 2 3 4, so
müssen sich diese Parallelen in einem Punkt treffen^ der die Oroße
der vier Stabspannungen bestimmt.

Um den Gelenkdruck z. B. fiir das Gelenk Ä zu bestimmen, be-
denken wir, daß hier die äußere Kraft J^, die Trägheitskräfte Tia und
K^ und endlich die Stabspannung 1 Gleichgewicht halten mit der äußeren
Kraft Ä^, den Trägheitskräften T«^ und K^ und der Stabspannung 4*
sowohl die erste Gruppe von Kräften wie auch die zweite muß als
Mittelkraft den Gelenkdruck G^^ in -4 ergeben, wie dies Pig. 8 deutlich
zeigt. Hieraus ergibt sich folgende Konstruktion der Gelenkdrücke:
Man verbinde den Punkt mit den vier Teilungspunkten der Trägheits-
kräfte TaTbTcTd'^ diese Verbindimgslinien sind bereits nach (Jröße
und Richtung die vier Gelenkdrücke. Man kann dieses Ergebnis auch
anders darstellen. Betrachten wir nicht das Gleichgewicht eines Gelenkes,
sondern jenes einer Stange, z. B. der Stange 4. Die auf diese wirkenden
B[räfte: die äußeren Kräfte Ä^ und D^, die Trägheitskräffce T^a mid
Tii), sowie das KJraftpaar KJ^ halten Gleichgewicht mit den Gelenk-
drücken Ga und Gß, welche die benachbarten Glieder 1 und 3 ausüben;
der Kraftzug dieser acht Kräfte muß sich also schließen; dabei können
die Kräfte K^ des Ejraftpaares weggelassen werden, wie Fig. 8 lehrt.

11. Der bisher besprochene Kraftplan Fig. 8 liefert jedoch nicht
die wirklichen Spannungen in den Stäben des Kurbelvierecks. Die
wirklichen Spannungen werden von dem einen Ende des Stabes zum
anderen wachsen oder abnehmen infolge des Einflusses des toirklidien
Beschleunigungsdruckes; der bisher benützte Kraftplan liefert in den
Strecken Ol, OII, Olli, OIV nur eine Annäherung an die wahre
Spannimg der Stäbe; es ist dies eine Folge davon, daß die Massen der
Stäbe nach dem Schwerpunktsgesetze auf die Enden derselben yerteilt
wurden, wodurch auch die Beschleimigsdrücke bez. Trägheitskräfte auf
die Enden verteilt wurden. Zulässig erscheint dies nur für die normal
zur Stabrichtung fallenden Teile dieser Kräfte; die in die Stabrichtnng
selbst fallenden Teile hingegen wachsen oder nehmen ab, je weiter der
Querschnitt des Stabes Yorschreitet und verändern hierdurch die Spannung
im Stabe.

Man kann aber leicht zu den wirklichen Spannungen an den Enden
jedes Stabes gelangen, wenn man den Kraftplan Fig. 8, der uns die
Gelenkdrücke geliefert hat, in anderer Anordnung zeichnet. Dies ist
in Fig. 9 geschehen. Hier sind die an demselben Gelenke wirkenden

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/

Von Ferdinand Wittbnbaueb.

285

äafieren Kräfte z. B. C^ und C^ zusammengerückt^ die Trägheitskräfte
hingegen in ihre Teile aufgelöst und auseinandergerückt z. B. Tc in

Vig. 9.

seine Teile T^c und T^c Auf diese Weise rücken die Trägheitskräfte
eines Gliedes z. B. Tzc und T^d zusammen und zwar an den Endpunkt
von K^, so daß alle Trägheitskräfte eines Gliedes, z. B. die Trägheits-
kräfte T^C} T^dj + J^, — K^ des
Gliedes 3, in einem imunter- ^ *"

brochenen Zuge erscheinen. Der
größeren Deutlichkeit wegen wurde
der zwischen OII und Olli lie-
gende Teil des Kraftplanes in
Fig. 10 herausgezeichnet und die
Zerlegung von T^c und T^c in ihre
achsialen und transversalen Teile

vorgenommen; die letzteren sind mit tsc und Uc bezeichnet. Der Kraftzug
^tj hcf C^j C^9 Ucy ^ schneidet jetzt auf den Strahlen Olli und OII die
wirklichen Stabspannungen Szc und S%c der Sföbe 3 und 2 im Gelenke C ab.
Im Kraftplan Fig. 9 wurde dies fQr alle acht Stabspannungen des
Gelenkvierecks durchgeführt. Man entnimmt auch deutlich, daß sich
die Spannungen desselben Stabes an dessen Enden nur um die achsialen
Teile der Trägheitskräfte unterscheiden, so z. B. Szd und Sso um die
Projektionen von Tzd und T^c auf die Stabrichtung.

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286

Dynamische Kraftpläne.

Flg. 11.

12. Der dynamische Kraftplan des öelenkvierecks vereinfacht sich
wesentlich; wenn ein Glied desselben festgelegt und die Anzahl der
äußeren Kräfte vermindert wird. Da dieses bei den in der Anwendung

vorkommenden Fällen mei-
A^ stens zutrifft, soll in Fig. 11

und 12 dieser Kraftplan näher
erörtert werden.

Fig. 11 zeigt das Kurbel-
viereck von früher, jedoch
mit festgelegtem öliede 4;
seine Gelenke A imd D
haben keine Beschleuni-
gung, die Tiügheitskräfbe
TaTü und K^ sind NulL
Wir wollen das Gelenk B
verschiebbar annehmen; infolgedessen ist die äußere Kraft D^ (Wider-
stand des Auflagers) normal zur Unterlage; hingegen ist die Richtung
des Widerstandes Ä^ noch unbestimmt. Von den übrigen äußeren
Kräften wollen wir nur die treibende Kraft B^ der Kurbel 1, normal
zu ABy und den Widerstand Cj der Kurbel 3, normal zu CD, als
vorhanden annehmen. Die Trägheitskräffce Tb und Tc der in die Gte-
lenke B und G verteilten Massen werden wie früher ermittelt, ebenso
die Trägheitskräfte K^K^K^.

Fig. IIa und IIb zeigen den Geschwindigkeits- und Beschleunigungs-
plan dieses Gelenkvierecks; sie wurden wieder nach dem Mohrschen

Fig. IIa.

Fig. IIb.

Verfahren entwickelt. Im Geschwindigkeitsplan fallen jetzt A' und D'
mit dem Geschwindigkeitspol zusammen, da die Geschwindigkeiten der
Punkte A und D Null sind; im Beschleunigungsplan fallen ebenso A"
und D'' mit dem Beschleunigungspol Q" zusammen, da die Be-
schleunigungen der Punkte A und D Null sind.

Der dynamische Kraftplan Fig. 12 wurde wie jener in Fig. 9 ent-
wickelt, nur fallen die äußeren Kräfte A^B^C^D^ und die Trägheits-

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Von FERDiMAin) Wittenbaueb.

287

kräfte TaTdK^ fort. Mit Hilfe des Kraftzuges K^T^^cC^TtcK^ erhielt
man die Pnnkte III und ü; die Parallelen zu den Sföben 3 und 2
lieferten den Punkt 0; die Parallele zum Stabe 4 durch die
Spannung S^ und die Auflagerdrücke D^y A^,

Die strichpunktierten^ von ausgehenden Linien geben die Gelenk-
drücke GaGbGcGdj während die vollen; von ausgehenden Linien

Fig. 11.

die Stabspannungen bedeuten^ und zwar liegen in jeder Linie zwei
Stabspannungen^ entsprechend den beiden Enden jedes Stabes. So sind
z. B. OSzc luid OS^D die Spannungen des Stabes 3 an den Gelenken G
und D. Der in Ruhe befindliche Stab 4 hingegen hat an beiden Enden
die Spannung 08^,

Anfrage.

V. B., B. Auf welcher deutschen öffentlichen Bibliothek findet man die
Tafeln der natürlichen Logarithmen von Z. Dase, Wien 1850?

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288

Abhandlungsregister 1904—1906.

Abhandlungsregister 1904—1905.

Von Ernst Wölfping in Stuttgart.

(Die Zahlen über 2604 beziehen sich auf das Technische Abhandlungsregister

1903—1904.)

(Schluß.)

Ozeanographie.

2189« G. Wegemcmn. Ursachen der
vertikalen Temperaturverteilung im Welt-
meere unter besonderer Berücksichtigung
der Wärmeleitung. A.H. 83. 206.

2190. L, Farch. Der osmotische Druck
im Meerwasser. A.H. 32. 836.

Meeresströme.

2191« F. Nansen. Die Ursache der
Meeresströmungen P.G.M. 61. 1; 26; 82.

2192. C. Foreh. Ober die Berech-
nungen von Meeresströmungen. A.H.
82. 433.

2198. B.Lütgen8. 0. Pettersons Unter-
suchungen über den Einfluß der Eis-
schmelze auf die Meeresströmungen. A.
H, 88. 160.

Siehe auch 611; 930.

Ebbe nnd Flnt.

2194. A. K. BaHleU. Origin of the
tides. P.A. 11. 494.

2196. A, Müller. Zur Theorie von
Ebbe und Flut. N.O. 49. 617.

2196. Baum, Zur Theorie von Ebbe
und Flut. N. 0. 60. 240; 670. — A. Muller
867.

2197. J. F. BiUhren. Moxly*s new
theory of the tides. N.M.L. 72. 228.
— J, H. S. Moxly 286.

2198. K. Honda, F. Yoshida and
T.Terada. On thesecondaryundnlations
of oceanic tide. P.T.M. 2. 222.

2199. K. Honda, Y. Yoshida und
T. Terada. Über die sekundären Wel-
lenbewegungen der Meeresgezeiten. P.
Z. 6. 116.

2200. K. Htmda, T. Yof^ida et
jT. Terada, Des ondulations secondai-
res de la mar^e oc^nique. A.S.G. (4)
19. 472.

Siehe auch 2698; 2694.

Hydrologie.

2201. E. Maulet. Sur les d^crues des
riviäres. C.E. 138. 1030.

2202. K Honda and T. Terada. On
the geyser in Atami. P.T.M. 2. Nr. 12.

2208. P. Schreiber. Über die Be-
ziehungen zwischen dem Niederschlag
und der Wasserführung der Flüsse in
Mitteleuropa. M.Z. 21. 441. — W. Ule
22. 282.

2204. G. Chrystal Some results in
the mathematictu theory of seiches. P.
R.S.G. 26. 328; 637.

Siehe auch 178; 299; 3872; 3396.

Seen.

Siehe 3402; 3469.

Flflsse.

Siehe 8877; 3386; 3422; 3437.

Hoehwagger.

Siehe 3381; 8448.

Quellen.

2205. E. Maulet. Sur les nappes sou-
terraines et les sources. F.T. (10) 4. 1-

2206. J. Boussinesq. Becherches th^
riques sur T^coulement des nappes d*eau

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Abhandlungsregister 1904—1906.

289

infiltr^es dans le sol et sur le d^bit des
flonrces. J.M. (6) 10. 1.

Siehe auch 3446.

Mathematische Meteorologie.

2207. F. H, Bigelow. Application of
mathematics . in meteorology. M.W.R.
SS. 90.

Geschichte der Meteorologie.

Siehe 2249; 2272.

Höhere Laftschichten. |

Siehe 179.

H5he der Atmosphäre.

Siehe 1889.

Luftdruck.

2208. W, N. Shaw and W. H, Dines.
The study of the minor fluctuations of
athmospheric pressure. Q.J.M.S. 31.39.

Siehe auch 2176; 2276.

Dynamische Meteorologie.

2209. S. Mars. De algemeene circu-
latie van den dampkring. H. E. D. 2. 118 ;
184.

2210. G, Greim. Über die allgemeine
Zirkulation der Atmosphäre. Q.Z. 1904. 39.

2211. Ä, Woeikof, Remarks on ßige-
low's studies on the circulation of the
atmosphere. M.W.R. 32. 118.

2212. W. N. Shaw. On the general
circulation of the athmosphere in middle
and higher latitudes. M.W.R. 32. 264. i

2218. F. H. Bigelow. Studies on the {

circulation of the athmosphere of the .
Bxm and of the earth. M.W.R. 32. 166.

2214. IL V. Hasenkamp. F. Ahlboms I

Untersuchungen über den Mechanismus 1

des hydrodynamischen Widerstandes. A. |

H. 82. 604. I

2216. M. Gorodensky. Über die Frage

nach dem Einflüsse der Erdrotation auf I

die atmosphärischen Störungen (russ). i

A.P.M. (8) 16. Nr. 9. 1. i

2216. W. Meinardus. Die Schwan- I
kungen der nordatlantiscben Zirkulation I
und ihre Folgen. G.L. 41. 20. |

Siehe auch 2160. |

Lnftbewegung.

2217. E. Herrmann. Zur Gültigkeit
der Ferrelschen allgemeinen Zirkulation
der Athmosphäre. M.Z. 21. 412. ',

2218. L. de Marehi. La circolazione
atmosferica negli strati inferiori. R.A.
L.R. (6) 13 A. 619.

2219. Wsgemann. Erweiterung des
barischen Windgesetzes nebst Anwen-
dungen. A.H. 32. 408.

2220. M. Dechevrens. The vertical
component of the wind. M.W. R. 32. 118.

2221. W. A. Eddy. Perpendicular cold
air movements as related to cloud velo-
city. M.W.R. 32. 669.

Siehe auch 149; 2268.

Zyklonen.

2222. W. Krebs. Tornados. D.W.B.
6. 177.

2228. M. Margules. Über die Ener-
gie der Stürme. J.Z.M.E. (2) 40.

2224. B. Brunhes. Sur le röle de la
force centrifage compos^e dans la d^-
termination du sens de rotation des cy-
clones et tourbillons. CR. 138. 1093.

2225. S. Hanslik. Some relations bet-
ween direction and velocity of moyements
and pressure at the center of ellipsoi-
dical cyclones. M.W.R. 32. 662,

222«. H H. Clayton. Various re-
searches on the temperature in cyclones
and anticyclones in temperate latitudes.
B.P.A. 1. 93.

2227. E. Rosenthal Über den verti-
kalen Temperaturgradienten in Zyklonen.
I.A.M. 9. 117.

Siehe auch 2260.

Meteorologische Optik.

2228. A. Bemporad. Sulla teoria della
estinzione atmosferica. M.S.S.I. 32. 49;
97.

2229. A. Bemporad. Sul vero ammon-
tore dell' assorbimento esercitato dall'
atmosfera suUa luce degli astri. B.G.C.
80. 8.

2280. A. Bemporad. Zur Theorie der
Extinktion des Lichts in der Erdatmo-
sphäre. M.S.H. 4.

2281. A. A. Nijland, Der Einfluß der
atmosphärischen Dispersion auf die pho-
tographische Messung gleichfarbiger Ster-
ne. A.N.K. 168. 333.

2282. C. Jensen. Die blaue Himmels-
farbe. D.W.B. 6. 66.

2288. E. Marchand. Las lueurs cre-
pusculaires et phänom^nes connexes. A.
S.M.F. 63. 40.

2284. G. Hacker. Untersuchungen
über Nebeltransparenz. S.V.K. 13. 76.
Siehe auch 1911; 3614.

Zeitschrift f. Mathematik u. Physik. 53. Band. 1906. 3. Heft.

19

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290

AbhandlungHregister 1904—1905.

Refraktion.

2885« Ä. Bemporad, Una osservazione
alla teoria di rifrazione di Besael. M.
8.S.I. 31. 278.

2886. Loewy. Nouvelles m^thodespour
la d^termmation directe de la r^fraction
ä toutes les hanteurs. C.B. 141. 157.

2287. Loewy. £tnde de la r^&acüon
ä toutes les hauteurs. Formtdes relatives
ä la dätermination des coordonn^es des
astres. C.B. 141. 289.

2288. L. Gawrvamer. Erwiderung auf
Herrn Pannekoeks Bemerkungen znr
,Oäbrlichen Refraktion." A.N.K. 168.
51; 367. — A, Pannekoek 257.

2289. L. de BaU. Nene Refraktions-
tafeln. A.N.K. 166. 353.

2240. L. de Bau. Eine zweite neue
Form von Reiraktionstafeln. A.N.E. 168.
245.

2241. L. de Bau. Über eine Tafel
zur logarithmischen Berechnung der Re-
fraktion. A.N.K. 169. 209.

2242. L. de Ball. Über den Einfluß
des Dampfdruckes auf die Refraktion.
A.N.K. 169. 179.

2248. R. T. Orawford. The constant
of refraction. F.A.S. F. 16. 78.

2244. G. A. Hill An untried method
of determining the constant of refraction.
S. (2) 17. 108.

2245. M. d'Oca^ne. Sur la d^pression
de rhorizon de la mer et le nivellement
geod^sique. N.A. (4) 4. 197.

2246. P. Harzer. Über die kosmische
Strahlenbrechung. A.N.K. 168. 261.

2247. L. Courvoisier. Untersuchungen
über die astronomische Refraktion. V.
S.H. 3.

2248. 0. Wiedefeld. Die Größe der
astronomischen Refraktion am Horizont.
M.V.A.P. 14. 69.

2249. J. Maurer. Zur Geschichte der
terrestrischen Refraktion. M.Z. 22. 262.

2250. J. Maurer. Beobachtungen über
die irdische Strahlenbrechung bei ty-
pischen Formen der Luftdruckverteilung.
M.Z. 22. 50.

2251. F. V. Schrötter. Der Einfluß der
irdischen Strahlenbrechung auf die Navi-
gierung. A.H. 33. 158.

Siehe auch 1850; 3604.

Regenbogen.

2252. D. Hammer. Airy's theory of
the rainbow. M.W.R. 32. 503.

2258. N. N. Pemter's theory of the
rainbow. M.W.R. 38. 61.

2254. N. N. The primary and secon-
dary rainbow. M.W.R. 32. 371.

2255. K. Aichi and T. Tanakadaie.
Theory of the rainbow due to a circular
source of light. P.M. (6) 8. 598.

2256. K. Aichi and P. PanakadaU.
Extension of Aiyr*8 theory on the rain-
bow to that do to a circular source. P.
T.M. 2. 79.

2267. J. M. Pemter. Zur Theoriedes
von einer kreisförmigen Lichtquelle er-
zeugten Regenbogens. S.A.W. 114. 785.

Lnfttemperatar.

22^S. J, Schubert. Der jahrHche Wär-
meaustausch in der Atmosphäre und an
der Erdoberfläche und die Stärke der
Luft- und Dampfströmung in der Atmo-
sphäre. I.A.M. 8. 213.

2259. A. Bemporad. La teoria della
estinzione atmosferica nella ipotesi di
im dicresimento uniforme della tempe-
ratura dell' aria coli' altezza. M.S.S.L
33. 31.

2260. A. L. Rotch. Temperature in
cyclones and anticyclones. S. (2) 20. 890.

2261. P. David. Inversions de tem-
pärature en altitnde. A.S.M.F. 52. 216.

2262. F. Eredia Sulla differenza di
temperatura fra Rocca e Monte Cavo.
R.A.L.R 13B. 261.

Thermostatik der Atmosphäre.

2268. M. Moreno y Anda. El decre-
cimiento de la temperatura con la alti-
tud. M.yR.M. 19. 137.

2264. J, Hann. Über die Tempera-
turabnahme mit der HOhe bis zu 10 km
nach den Ergebnissen der internationalen
Ballonaufstiege. S.A.W. 113.571.

2265. A. Schmidt Labile Gleichge-
wichtszustände in der Atmosphäre. B.
G. 5. 389.

Siehe auch 1390; 2261.

Thermodynamik der Atmosphäre.

2266. J. F. Hoffmann. Einige Ur-
sachen und Folgen senkrechter Luftbe-
wegungen. B.G. 6. 543.

Siehe auch 2226; 2227.

Luftfeuchtigkeit*

Siehe 2242.

Bewölkung.

2267. W. Foerster. Über die Bestim-
mungen von Wolkenhöhen und Wolken-
geschwindigkeiten. M.V.A,?. 15. 40,

Siehe auch 2221; 3659.

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AbhandlungsregiBter 1904—1905.

291

Nebel.

2268. Haecker. UnterBuchungen über
Nebeltransparenz. M.Z. 22. 843.
Siehe auch 2234.

Niedersehlftge.

2269. A. Defant Gesetzmäeigkeiten
in der Verteilung der verschiedenen
Tropfengrößen bei Regenfällen. S.A.W.
114. 585.

Siehe auch 2203; 2289.

Hagel.

2270. G. Kessler. Grandine e anello
vorticoso. A.A.O.V. 33.

Hagelschießen.

2271, J. VioUe. Sur Taction des ca-
nons paragrele. CR. 140« 342.

Siehe auch 2270.

Luftelektrizität.

2272. a Negro. Antichi studi di
elettricitä atmoBferica. B.C. 5. 13.

2278. P. Longevin. Sur les ions de
rathmosphfere. CR 140. 282; S.F.P.
230. 4.

2274. Ä. JRighi, Suir ionizzazione
dell' aria prodotta da una punta elettriz-
zata. M.I.B. (5) 10. 871 ; R.I.B. (2) 7. 68.

2275. A. Gockel. Über den lonen-
gehalt der Atmosphäre und dessen Zu-
sammenhang mit Luftdruckänderungen.
M Z 22 97

2276. A. Schuster. On the rate at
which ions are generated in the athmos-
phere. S.P.M. 48. No. 12.

2277. H. Mache und E. v. Schweidler.
über die spezifische Geschwindigkeit
der Ionen in der Atmosphäre. P. Z. 6. 71.

2278. H. Gerdien. Über die spezi-
fische Geschwindigkeit der positiv ge-
ladenen Träger der athmosphärischen
radioaktiven Induktionen. P.Z. 6. 465.

2279. H. A. BumsUad. Athmosphä-
rische Radioaktivität. P.Z. 5. 604.

2280. A. Occhialini. Relazione fra
la costante dielettrica e la densita dell'
aria. R.A.L.R. (ö) 14 A. 613.

Siehe auch 1424; 2600; 2601.

Gewitter.

2281. C. Negro,
61. 323.

Fulmine. R.F.M.

Polarlichter.

2282. a Negro. Suir altezza deir
aurora polare. R.F.M. 6B. 266.

2288. N N. The Aurora borealis
and Hertzian waves. A.I. 12. 296.

Kosmiselie Oeophysik und Meteoro-
logie.

2284. W. Foerster. Über dieBeziehun-
gen der Stellungen der Himmelskörper zu
dem Eintritt von Erderschütterungen.
M.V.A.P. 19. 76.

2285. J. lAener, Über die Abhängig-
keit des töglichen Ganges der erdmagne-
tischen Elemente in Batavia vom Sonnen-
fleckenstande. S.A.W. 113. 791.

2286. P. Langley. On a possible Varia-
tion of the solar radiation and its pro-
bable effect on terrestrial temperatures.
A.J.C. 19. 806.

2287. B. Merechi, Wplyw zmiennej
dzialalnoSci slo^ca na nieokresowe
ruchy atmosferj ziemskiej. (Der Einfluß
der veränderlichen Sonnentätigkeit auf
die unperiodischen Bewegungen der Erd-
athmosphäre.) T.W. 16. 233.

2288. A, W. Klossowsky, Prüfung
der Wettervorhersagungsmethode des
Herrn Demtschinsky (russ.). M.Ü.O.
96. 63.

2289. X. Besson. Influence de la lune
BOT les pr^cipitations. A.S.M.F. 63. 26.

2290. MöUer. t^er die atmosphä-
rische Flut- und insbesondere über die
Ebbebewegung der Luft. M.Z. 21. 311.

2291. Seisan. On lunar phases and
weather. J.M.S.J. 23. 9.

Siehe auch 1940; 1941.

Matliematisclie Chemie.

2292. W. G. Alex^eff. Die Mathe-
matik als Grundlage der Kritik wissen-
schaftlich-philosophischer Weltanschau-
unff. A.Ü.J. 1903. 6—6. 1; R.Ü.J. 7. 37.

2298. W. G. AUxeoeff. Über die
Entwicklung des Begriffes der höheren
arithmetischen Gesetzmäßigkeit inNatur-
ond GeisteswiBsenschaften. A.Ü.J. 1904.
Nr. 2.

2294. W. G. Alexejeff. Sur la nöcessitö
pour les naturalistes d'apprendre les
mathämatiques. B.U.J. 6. 1.

2295. A. Werner. Beitrag zum Aus-
bau des periodischen Systems. C.B,
38. 914.

2296. de Forcrand. Sur la possibilit^
des reactions chimiques. CR. 139. 906.

2297. de Forcrand. Sur la prevision
des reactions chimiques. CR. 139. 908.

19*

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292

Abhandlongsregister 1904 — 1905.

2298. H. EuUr. Zur Theorie der
chemischen Reaktionsgeschwindigkeit.
Z.P.C. 40. 498. — R. Wegseheider. 41. 62.

2299. H. 0. Jones and 0. W, Btchard-
8on, Irreversible simultaneous linear
reactions. P.C.P.S. 12. 215.

2800. /. K, Clement Ober die Bildung
des Ozons bei hoher Temperatur. A.r.
L. (4) 14. 884.

2801. P. Landrieu. ilqmllhre entre
Tac^tone et le chlorhydrate dehydro-
zylamine. CR. 140. 1392.

2801a. TT. Federlin, Die Reaktion
zwischen Kalium persulfat, Jodwasserstoff
und phosphoriger Säure. Z. F. C. 41. 565.

2801b. J.Scohai, Über die Zersetzung
des Ealiumchlorats nebst einigen Be-
obachtunffen über die Zersetzung des
Natriumcnlorats und des Natriumper-
chlorats. Z.P.C. 44. 319.

2801c. G.N.Lewis. Autocatalyptic de-
composition of Silver oxide. P.A.Bo.40.719.

2801 d. F. G. Daman. On the reac-
tivity of alkyl iodides. P. S. D. (2) 10. 196.

28016. Ä. A. Blanchard. Über die
Zersetzung des Ammoniuninitrits. Z. P.
C. 41. 681.

Z^Olf. L. Bruner. Chemische Dynamik
der Bromsubstitution. Z.P.C. 41. 513.

2801g. S. Bugarseky. Über die Ge-
schwindigkeit der Einwirkung von Bi
auf C.HjO-. ü. Z.P.C. 42. 645.

2801h. V. Müller. Über die Zer-
setzungsgeschwindigkeit der Brombem-
steinsäure in wässeriger Lösung. Z.P.
C. 41. 483.

28011. G. E. FawsiU. Zersetzung des
Harnstoffs. Z.P.C. 41. 601.

2801J. J. Walker. Das Gleichgewicht
zwischen Harnstoff und Ammonium-
cyanat. Z.P.C. 42. 207.

2801 k. A TTo^nVMf. Über die Hydro-
lyse der Trisaccharide durch verdünnte
Säuren. Z.P.C. 44. 571.

28011. R. Wegseheider. Über die Ver-
seifang von Carbon- und Sulfonsäure-
estem. Z.P.C. 41. 52.

2801in. Lenormand. NouveUe m^thode
pour doser les matieres organiques dans
les eaux et plus particuliärement dans
Celles qui contiennent des chlorures et
des bromures. T.S.U.R. 2. 376.

2801 n. M.Niclovx. fitude deTaction
lipolytique du cytoplasma de la graine
de ricin. CR. 188. 1288.

28010. B. 0. Herzog. Over the wor-
king van emulsine. C.A.A. 12. 486.

2801p. /. Sldboszewicz. tiber die
Oxydation von Alkohol und Aldehyd.
Z.P.C. 42. 343.
Siehe auch 221; 662; 750; 893; 2678.

PhysikaUsehe Chemie.

2801 q. W.D.Bancroft. Future deve-
lopments in physical chemistiy. J.P.C.
9. 216.

2801 r. W.Fischer. Physikalisch-che-
mische Studien an Metallhydroxyden.
J.S.G. 82. 146.

2801 8. M.S.Sherül Über die Eomplex-
bildung und einige physikochemische
Konstanten der Hg-haloide. Z.P.C. 43.
705.

2801 1. F. Hoher. ZeitgrOßen der Kom-
plexbildung, Komplexkonstanten und
atomistischer Dimensionen. Z.E. 10.
433. — G. Bodländer. 604; H. Danneel
609.

2802. W. Vaubel. Über die Be-
ziehungen zwischen den Größen der
Molekularkomplexe und der Ausdeh-
nungskoeffizienten in den verschiedenen
Aggregatzuständen. J. F. P. C. (2) 70. 503.

2808. P. A. Guye. NouveUe m^thode
pour la d^termination exacte du poids
mol^culaire des gaz permanents; poids
atomiques de V H, du C et V N. CR.
138. 1213.

2804. P. A. Guye. Poids atomique
dell' azote däduit du rapport des densit^s
de N et de 0. CR. 140. 1386.

2805. A. Jaquerod et 0. Scheuer. Sur
la compressibiUt^ des diffdrents gaz au-
dessous de 1 atm. et la d^termmation
de leur poids moläculaire. CR. 140. 1384.

2806. a Marie. Recherches ^ulli-
oscopiques sur les m langes de liquides
volatils. CR. 139. 596.

2807. H. Kamerlingh-Onnes and C.
Zakrzewshy. The validity of the law
of corresponding states for mixtures of
methyl chloride and carbon dioxide.
CP.L. 92. 13.

2808. G. G. Longinescu. NouveUes
donn^es sur la polymärisation des moM-
cules ä Tätat liquide et k F^tat solide.
A.S.Ü.J. 3. 26.

2809. A. Mittasch. Über die chemische
Dynamik des Ni (CO),. Z.P.C 40. 1.

Siehe auch 2681.

Phasenlehre.

2810. B. Wegseheider. Zur Kenntnis
der Phasenregel. Z.P.C 43. 93; 376. —
W. Nemst. 113; /. /. vofi, Laer. 741.

2311. a H Wind. NouveUe d^mon-
stration de la r^gle des phases. R.S.
(5) 346.

2812. F. Wald. Neue Ableitung der
Gibbscheu Phasenregel. A.N.L. 8. 283.

2813. /. Hirnjak. Ro^'a staloi, plin-
noi i gasovoi fazi v chemi6n\j rivnovazi.

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Abhandlungsregister 1904^1906.

293

(Die Bedeutung der festen, flüssigen und
gasförmigen Phase im chemischen Gleich-
gewicht.) R.S.M. 9 Nr. 2.

2814. J. B. van der Waals. De aflei-
ding der formule welke de betrekking
aangeft tuschen de samenstelling van
coßxisteerende phasen bij binaire meng-
sels. C.A.A. 13. 145.

2815* /. D, van der Waals, D^duction
de la formule qui fait connaitre la relation
entre les compositions des phases coexis-
tantes d*un m^lange binaire. A.N. (2)
10. 111.

2816* /. J. von Laar, Sur les allures
possibles de la courbe de fusion de
m^anges binaires de substances iso-
morphes. A.M.T. (2) 8. 617.

2817. IT. Kamerlmgh-Onnes and C.
Zahrzewsky. The determination of the
conditions of coexistence of vapour and
liquid phases of miztures of gases at
low temperatures. C.P.L. 92. 8.

2818. C. L, Jtmgius. Theoretische
beschouwing omtrentgressreacties welke
verlopen in 2 of meer achtereenvolgende
phasen. C.A.A. 12. 928.

)i819. P. Saurel On the stability of
the equilibrium of a homogeneous phase.
J.P.C. 8. 826.

2820. P. Saurel On the stability of
the equilibrium of bivariant Systems.
J.P.C. 8. 436.

2821. P. Saurel On the stability of
the equilibrium of multivariant Systems.
JPG 8 488

2822. J?. if. van Dalfsen. Over de

functie ^ bij meervoudige mengsels.

C.A.A. 18. 167.

2828. Bakhuis JRoozeboom. Über die
Anwendung der Phasenlehre auf die
Gemische von Fe und C. Z.E. 10. 489.

2824. E. Heyn, Labile und metasta-
bile Gleichgewichte in Fe-C-legierungen.
Z.E. 10. 491.

2825. Ä, Smitß. Sur Tallure de la
courbe de solubilit^ dans le voisinage
de la temp^rature critique de mdlanges
binaires. A.N. (2) 9. 261.

2826. W, Eeinders. Die Phasenlehre
und der Potentialsprung zwischen einer
Elektrode, welche aus 2 Metallen be-
steht, und einem Elektrolyt, der die
Salze dieser Metalle enthält. Z.P.C.
42. 226. gj^^g ^^^^ 276.

Photoehemie.

2827. P. Villard. Sur les actions
chimiques de la lumiäre. S. F. P. Nr. 2 1 9 ;
J.P. (4) 4. 619.

2828. G. Ciamician e P. Silber, Azioni
chimiche della luce. M.I.B. (6) 1.

2829. M. WHdermann. Über die
chemische Dynamik und über das che-
mische Gleichgewicht unter dem Einflüsse
von Licht. Z.P.C. 41. 87.

2880. M. Wildermann. Über che-
mische Dynamik und Statik imter dem
Einfluß des Lichtes. Z.P.C. 42. 267.

2881. E. Goldberg, Beitrag zur Ki-
netik photochemischer Reaktionen. Z.
P.C. 41. 1.

2882. B, Luiher und F, Weigert.
Über umkehrbare photochemische RciJe-
tionen im homogenen System I. S.A.B.
1904. 828.

2888. F, Weigert, Über umkehrbare
photochemische Reaktionen im homo-
genen System. D.V.N. 76 B. 103.

2884. Berthelot, Effets chimiques de
la lumi^re: action de Tacide chlorhy-
drique sur le Pt et sur TAu. A. C. P. (8) 8.
295.

Thermoehemie.

2885. Quartaroli. Termochimica. A.
Ü.T. 24.

2886. K, von Wesendonk, Über die
thermodynamische Herleitnng der physi-
kalisch-chemischen Gleich^wichtsbe-
dingungen. P.Z. 6. 621.

2887. M. Planck. Zur Thermodynamik
und Dissoziationstheorie binärer Elektro-
lyte. Z.P.C. 41. 212.

2888. C, J, Beed, The thermoche-
mistry of electrolytic dissociation. T.
A.E.C. 6. 266.

2889. /. Plotnikow. Über die Be-
ziehung zwischen der logarithmischen
Temperaturkonstante und der Wärme-
tönung. Z.K 11. 889; 484.

2840. 2>. Tommaei. The tronsformation
of thermochemical energy into voltaic
energy or electromotive force. C.N.
90. 41.

2841. G. Bredig. Adiabatische Re-
aktionsgeschwindigkeit chemischer Sy-
steme. D.V.N. 76 B. 96; P.Z. 6. 698.

2842. F, Auerbach. Reaktionsge-
schwindigkeit und Temperatur. Z.E.
11. 296.

2848. F. Auerbach, Reaktionsge-
schwindigkeit, Gleichgewicht und Tem-
peratur. Z.E. 11. 438.

2844. M, Cantor, Über das mecha-
nische Äquivalent chemischer Reaktionen
und die Arbeitsleistung von Wärme-
motoren. P.Z. 5. 879.

2845. C, KuUgren. Die Änderung
der Inversionsgeschwindigkeit mit der
Temperatur. Z.P.C. 48. 701.

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294

Abhandlungsregister 1904—1905.

2846. C. Puschl Ober das Geeetz
von Dulongnnd Petit. S.A.W. 112. 1280.

2847. T. W. Richards. Die Beziehung
zwischen Änderung der Wärmekapazität \
und Änderungen der freien Energie, I
Reaktionswärme, Volumänderung und |
chemischer Affinität. Z.P.C. 42. 129.

2848. /. M. BeU, Free energy and
heat capacity. J.P.C. 9. 381.

2849. H, von Jüptner. Zur Kenntnis <
der freien Bildungsenergien. Z.A.C.
42. 235.

2850. B. LiouviUe, Sur la relation '
qui existe entre la yitesse de combustion i
des poudres et la pression. CR. 140. 1089.

28&1. A. Bouzat. Courbes de pression
des syst^mes univariants qui compren- i
nent une phase gazeuze. A.C. P. (8) 4. 145.

2852. E, Ärih. Sur les formules de
la tonomötrie et de la cryoscopie. C.
R. 139. 462.

2858. J. E. Trevor, On certain heats |
of dilution. J.P.C. 9. 90.

2854. B. Wegscheider, Lösungs- und
Verdünnungswärmen. M.C.W. 26. 647; i
A.A.W. 1905. 128.

2865. E, von Stackeiberg. Die Me- :
thoden zur Bestimmung der LöJtungs- |
wärme beim Sättigungspunkt. Z.P.C.
41. 96.

2866. A. Findlay. Vorläufige Mit-
teilung über eine Methode zur Berech- i
nung Yon Löslichkeiten und Gleichge- I
wichtskonstanten chemischer Reaktionen
und eine Formel für die latente Ver- I
dampfungswärme. Z.P.C. 41. 28; 42. 110. 1

2857. G. Preuner. Die Isotherme der '
Schwefeid isfloziation bei 448®. Z.P.C. j
44. 738.

2868. V. SsohoUwa. Über die Extra- |
polation des Schmelzpunktes für den |
chemisch homogenen Stoff aus Messungen
an der Isobare der Volume in der Nähe '
des Schmelzpunktes. Z.P.C. 42. 75. i

2859. L. J. Henderson. The laws of \
combustion of atoms and molecules. J.P.
C. 9. 49. '

2860. B. Hollmann. Physikalisches
und natürliches Gleichgewicht zwischen
den Modifikationen des Acetaldehyds I. '
Z.P.C. 43. 129.

2861. H. KuM. Beiträge zur Kinetik
des Eohlenoxydknallgases. Z.P.C. 44. |
385.

2862. P. LemouU. Relations gän^- i
rales entre la chaleur de combustion |
des compos<^ä organiques et leur formule
de Constitution. Calcul des chaleurs de
combustion. A.C.P. (8) 5. 5.
Siehe auch 1201; 2679; 3805; 3814;

8846; 3851; 3883; 3904.

Elektrochemie.

2868. G. Carrara. Teorie nuove e
applicazioni recenti nel campo dell*
elettrochimica. A.S.C.M. 11.

2864. K. Elba. Über die stereoche-
mische Hinderung bei elektrochemischen
Reaktionen. Z.E. 10. 579.

2866. J. Ferrin. Mdcanique d'^ectri-
sation de contact et Solutions colloidales.
J.C.P. 2. 601; 8. 50.

2866. G. J. Beed. Molecular con-
ductivity. T.A.E.S. 5. 108.

2867. B. Büß. Über Reaktionsbe-
schleunigungen und -hemmungen bei elek-
trischen Reduktionen und Oxydationen.
Z.P.C. 44. 641.

2868. B. Abegg. Elektrodenvorgänge
und Potentialbildung bei minimalen
Jonenkonzentrationen. Z.E. 10. 607.

2869. 0. Nagel. Structuie and tension.
E.I. 2. 97.

2870. E. Bloch. L'ionisation par le
phosphore et par les actions chimiques.
J.P. (4) 8 913.

2871. G. W. van Dijk. Determination
de räquivalent älectrochimique de Tar-
gent. A.N. (2) 9. 442.

2872. F. Haber. Eine Bemerkung
über die Amalgampotentiale und über
die Einatomigkeit in Hg gelöster Me-
talle. Z.P.C. 41. 399.

2878. G. Preuner. Über die Disso-
ziationskonstante des Wassers und die
elektromotorische Kraft der Enallgas-
kette. Z.P.C. 42. 50.

2874. H. E. Medway. Material und
Form der rotierenden Kathode. Z.A.C.
42. 110; 114.

Siehe auch 3151.

Elektrolyse.

2875. C. Fredenhagen. Grundlagen
einer allgemeinen Theorie der elektro-
ly tischen Lösungstensionen einzelner
Stoffe gegen beliebige Lösungsmittel.
Z.E. 11. 496.

2876. C. Fredenhagen. Entwurf einer
allgemeinen Theorie elektrolytischer
Lösungskonstanten und Spannungsrei-
hen, sowie der Löslichkeit und Disso-
ziation von Säuren und Basen. A. P.L
(4) 17. 285.

2877. L. Kdhlenberg. Recent in-
vestigations bearing on the theory of
electrolytic dissociation. T.P.S. 1. 42.

2878. B. Mewes. Einige Bemerkungen
über den 2. Hauptsatz mit besonderer
Berücksichtigung seiner Beziehungen
zur Theorie der Elektrolyse. E.C.Z.
12. 74.

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Abhandlungsregister 1904—1905.

295

2879. W. Moldenhauer. Beziehungen
zwischen elektrolytischen Vorgängen
und der Elektrodentemperatur. Z.£.
11. 307.

2880. A. Brocket et J. Petit, Con-
tribution k T^tude de Tälectrolyse par
courant altematif. A.C.P. (8) 3. 483;
b. 387.

29Sl.A,Brochet et J, Petit. Elekti-olyse
mit Wechselstrom. Z.E. 11. 102.

2882. Ä. Brocket et /. Petit. Beiträge
zu unsem Kenntnissen über die Elektro-
lyse mit Wechselströmen. Z.E. 10. 909;
11. 445.

2888. N. N. Der Einfluß der Strom-
dichte auf Wechselstromelektrolyse. E.
Z. 11. 149.

2884. T. Godlewski. Sur la dissociation
des ^lectrolytes dans les Solutions alcoo-
liques. J.C.P. 3. 893.

2885. L. Kahlefiberg. Becent investi-
gations bearing on the theory of electro-
lytic dissociation. P.M. (6) 9. 214.

2886. C, Liebenow. Zur Frage der
Dissoziation der Elektrolyte. Z.E. 11. 301.

2887. B. Drucker. Die Dissoziations-
verhältnisse temärer Elektrolyte. Z.E.
11. 211. — G. Kümmel 341..

2888. W. Biemacki. Zwierciadelka
ielazne otrzymane przcz rozpylanie ielaza
prüdem. (Über die Eisenspiegel, welche
bei der galvanischen Zerstäubung des
Eisens entstehen.) T.W. 16. 133.

288». S. B. Cook. On the theory of
the electrolytic rectifier. P.R 20. 812.

2890. TT. Nemst und F. von Lerck.
Über die Verwendui^ des elektrolytischen
Detektors in der Brückenkombination.
N.G.G. 1904. 166.

2891. Y. Osaka. On the equilibrium
of the electrolytic dissociation of parti-
ally neutralised acids and bases. M. C.
K. 1. 103.

2892. A. Nod&n. Recherches exp^ri-
mentales sur les clapets ^lectrolytiques.
A.T. (2) 6. 145.

Siehe auch 632; 1491; 1620; 2337; 2888;
2680; 3101; 3219.

Mathematische Biologie.

2898. /. /. Desckamps. Principes de
la biologie rationelle. S.P. (9) 4. 127.

2894. C. Henry, Sur une möthode de
d^composition des ensembles statistiques
complexes en ensembles irräducibles. C.
R. 139. 1033.

2895. C. Henry et L. Bastian. Sur
la croissance de Thomme et sur la
croissance des etres vivants en g^n^ral.
€.R. 139. 811.

2896. M, SUfanouska. Sur la loi de
Variation de poids du pencillium glaucum
en fonction de Tage. CR. 139. 879.

Mathematische Physiologie.

2897. /. Joteyko. Sur les modifications
des constantes ergographiques dans les
diverses conditions expärimentales. C.
R. 138. 1292.

2898. a Henry. Sur les lois des
travaux dits atatiques du muscle. CR.
138. 1731.

2899. C. Henry. Sur la mesure de
ränergie disponible par im dynamom^tre
totaliseur enr^gistreur. CR. 140. 809.

2400. K. N. Sur la mesure et sur les
lois des variations de T^nergie disponible
ä Tergo^aphe suivant la fr^quence des
contractions et le poids soulevä CR.
189. 876.

Siehe auch 908; 2556; 3868.

Mathematische Botanik.

Siehe 86; 89.

Technische Mechanik.

2401. A. Sommerfeld, The scientific
methods and aims of modern applied
mechanics. M.G^S. 3. 26.

2402. C. A. WaUo, The relation of
mathematics to engineering. N. 69. 600.

2408. P. Fournel. Proced^ de tractions
des fils mdtalliques. J. P. (4) 4. 26.
Siehe auch 2727; 2747; 2794; 2813;
2814; 3566; 3688.

Stäbe.

Siehe 2901; 2902; 3707; 3736.

Balken.

2404. M. Greco. Sul calcolo della
sezione e delle armature di una trave
in cemento armato sottoposta a flessione
retta semplice. A.A.T. 40. 395; 507.

2405. Levi. Travi soggette a flessione
semplice. R.A.6. 1904. Mai.

Siehe auch 2823; 2824; 2826; 2834;

2839; 2843; 2856; 2886; 2907; 3282;

3299; 3305; 3326; 3750; 3763.

Träger.

2406. A. Khemdl Beiträge zur gra-
phischen Theorie der Gelenkträger mit

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296

AbhandlnngsregiBter 1904—1905.

statisch unbestimmten Auflagerdrücken. 1
(ung.) M.T.E. 22. 61. |

Siehe auch 2820; 2846; 2850; 2861
2881; 2882; 2890; 2894; 2897; 2908
8267; 8304; 3842; 8694; 3696; 3704
3709; 8787; 8747; 3752; 8765; 3768.

Bogentrftger.

2407, J. Solin, Neue Konstruktion
der Kämpferdrucklinie eines vollwan-
digen Bogenträgers mit 2 Gelenken
(tschech.). M.A.T.P. 1903. Nr. 3.
Siehe auch 2837; 2838; 3788; 8739; 8749.

Bogen und Gewölbe.

2408. Figeaud. Sur le calcul des
arcs encastrds. CR. 140. 774.

2409. BeUeckL Sur requilibre d'älas-
ticit^ des voütes en arc de cercle. C.
R. 140. 1060.

Siehe auch 840; 2819; 2830; 2872; 2879
2883; 2892; 3268; 3284; 8294; 8302
3477; 8683; 3684; 3689; 3702; 3724
3728; 3781; 3732; 3785; 3740; 8744.

Erdball.

Siehe 3483.

Festnngsbaa.

Siehe 2822.

Tnnnelbau.

Siehe 2674; 3234; 3256; 3295.

Straßenban.

2410. Gamann, Berechnung der Licht-
weite eines Straßendurchlasses. R.T.
1904. 168.

Siehe auch 2139; 2768; 2821; 3255; 3348.

Brückenbau.

2411. Conaidh'e. Calcul des ponts en
arc et des ponts suspendus. C. R. 140. 202.
Siehe auch 2827; 2847; 2864; 28G5
2891; 2900; 2908; 2909; 3249; 3296
3304; 3458; 3682; 3686; 3687; 3690
3700; 8701; 3712; 3719; 3720; 3722

8726; 8754.

Baustatik.

2412. A. G. M. Mitchell The limits
of economy of material in frame-struc-
tures. P.M. (6) 8. 589.

2418. de Mantemes de BäOore. L'art
de construire dans les pays ä tremble-
ments de terre. B.G. 7. 187.
Siehe auch 834; 845; 2833; 2856; 2896;
8258; 8307; 3328; 3489; 3714; 8717.

Baumaterialien.

2414. A. T. Pizarro, Argamazas,
Morteros 6 mezclas. M.yKM. 19. 289.
Siehe auch 2844; 2862; 2913; 3252;
3270; 3271; 3275; 3276; 8278; 8291;
3800; 3306; 3313; 3339; 3340; 3886.

Fahrzeuge.

2415. G. Marie. Oscillation des y^i-
cules de chemin de fer sur leurs ressorts
de Suspension. CR. 140. 637.

2416. G. Marie. Oscillations des y^-
cules de chemin de fer ä Tentree en
courbe et ä la sortie. CR. 140. 1222.

2417. 6r. Marii. Oscillations des
locomotives sous Taction de diverses
forces pertorbatrices. CR. 140. 1435.

2418. F. Kötter. Die Ereiselwirkung
der Räderpaare bei regelmäßiger Be-
wegung des Wagens in kreisförmigen
Bahnen. S.M.B. 1904. 36.

2419. A. Petol. Sur le mode de
fonctionnement du diff^rentiel des auto-
mobiles. CR. 140. 497.

Siehe auch 2706; 2713; 2752; 2779; 3215.

Fahrrad.

2420. 0. E. Glenn. Motion of a
bicjcle on a helix track. F. I. A. S. 1902. 75.

Eisenbahnwesen.

2421. P. AppeU. Machine ä d^ter-
miner les balourds. J.E.P. (2) 9. 151.
Siehe auch 2415; 2416; 2657; 2674;
2686; 2696; 2700; 2708; 2707; 2720;
2725; 2729; 2742—45; 2749; 2754; 2765;
2775; 2776; 2781—83; 2789; 2811; 2886;
2876; 3488; 8671; 3676; 3678; 3730;

3746; 3751.

LokomotiTen.

Siehe 2417; 2691; 2696; 2704; 2708;

2716—19; 2724; 2731; 2732; 2784; 2761;

2769; 2790; 2802; 2868; 3251; 3681;

3790; 3794; 3884—86; 3906.

Masehinenlehre.

2422. A. Emch. Theory of Compound
curves in field engineering. C C S. 2. 135.

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Abhandlungsregister 1904—1906.

297

2423. F. J. Vaes. Erukbeweging.
N.A.W. (2) 6. 387.

2424. M. Briüouin. Ind^termination
de la tanjectoire limite des planears
rigides. CR. 140. 670.

2425* L. lUmer. A pioposed modi-
ficatdon of the perfect heat-engine for-
mula. J.F.I. 168. 867.

2426. E. Meyer. Die Bedeutung der
Verbrennungskraftmaschinen für die Er-
zeugung motorischer Kraft. D.V.N. 76.
A. 64.

Siehe auch 1246; 2344; 2477; 2618
2619; 2687; 2699; 2702; 2716; 2722
2733; 2771; 2778; 2810; 2812; 2816—17
3274; 3664; 3690; 3796; 3796; 3804
3806; 3817; 3842; 3869; 3879; 8904

Masehinenelemente.

Siehe 2688; 2698; 2701; 2709; 2723

2736; 2763; 2768b; 2760; 2770; 2772

2780; 2788; 2792; 2807; 2808; 2826

2848; 3624; 3666.

Dampfkessel.

t^27. P. Fuchs. Der Wärmeüberganff
und seine Verschiedenheiten innernalb
einer Dampf kesselheizfläche. M.F.1. 22. 69.

2428. X. Lecomu. Snr les explosions
des chaudiäres. CR. 139. 724.

Siehe auch 2628; 3281; 3286; 3343—46;
3789; 8821; 3828; 3887; 3902; 3903.

Danipftnasehinen.

2429. V. GrazioU. Delle macchine
a vapore Compound. R.F.M. 61. 213.
Siehe auch 2609; 2616; 2680; 2631
2644; 2726; 2869; 3036; 8061; 3277
3441; 3787; 3792; 3793; 3802; 3827
3840; 3842; 8866; 3868; 3869; 3861

3866; 3881; 3882; 3900; 3901.

Schiffsmasehinen.

Siehe 2682; 3390; 3429; 3431 ; 3432; 3473.

Stenerangen.

Siehe 2738; 3826.

Indikatoren.

Siehe 2761; 2796; 3670; 3880.

Begnlatoren.

Siehe 2712; 2740; 2767; 3008; 3069; 3140.

Gasmasehinen.

2480. K. Schreber. Zur Theorie der
Turbinengasmaschinen. Z.G.T. 1. 177.
Siehe auch 2608; 2636—38; 2646; 2769;
2763; 3616; 8791; 3830; 3842; 3870;

3893; 3901.

Hydraulik.

2481. E. Fontaneau. Pr^liminaires
d*hydraulique. A.F. 1903. 32; 1904. 1.

2482. A. Ciappi, Utilizacion de las
fuerzas hidr&ulicas. A.S.A. 67. 208.

2488. H. Bellet. Nouveau mode
d'application du tube de Pitot-Darcy k
la mesure de la vitesse des conduites
d^eau sons pression. CR. 140. 1631.

2484. E. Maulet. Sur les mouvements
d*ane nappe souterraine, particuli^rement
dans les souterrains permeables, spon-
gieux et fissurds. S.M. 33. 2.

2485. Lauda. Der normal- und schief-
gestellte hydrometrisohe Flügel. O.W.
O.B. 1903. 698; 616.

2486. E. Maillet Sur la vidange
des systämes de reservoirs. CR. 140. 712.
Siehe auch 1426; 3866; 3367; 3406; 3412
—14; 3439; 3449; 3460; 3467; 3468; 3865.

Hydranlische Presse«

Siehe 3434.

Hydraulische Hebemaschine.

Siehe 8407; 8410; 3466.

Wassermotoren.

Siehe 3871; 3460.

Hydraulische Sehneeke«

Siehe 698.

Wasserleitung.

Siehe 8419; 3426; 3686.

Wasserbau.

2487. C. Wauiers. El dique de em-
balse del Gadillal. A.S.A. 67. 49; 113;
241; 306.

Siehe auch 2912; 8279; 3288; 3362; 3376

8382; 3383; 3387; 8398; 3407; 3414

3420; 3426; 3480; 3437; 3444; 8468

3463; 3464; 3471.

Wehre.

Siehe 3416; 3462.

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298

Abhandlungsregister 1904—1905.

Wasserrüder.

Siehe 8396; 3397; 3400.

Tnrbinen*

2488. J. Benetti. Teoria fundamen-
tale delle turbine idrauliche. M.I.B. (6)
10. 149.

2489« /. Benetti. Alcune nuove equa-
zioni per la teoria generale delle turbine
idrauliche motrici od operatrici. M.I.B.
(5) 10. 479; R.I.B. (2) 7. 126.

2440. /. Benetti. I principi scientifici
per le turbine a vapore. M.I.B. (6) 1
179; R.I.B. (2) 8. 75.

2441. H.Lorenz. Die Wasserströmung
in rotierenden Kanälen. P.Z. 6. 82; 206.
Siehe auch 699; 2608; 2609; 2612; 2615
2630; 2631; 2635—38; 2644; 2646; 2689
2764; 3361; 3368; 3874; 3378; 3384
8441; 3442; 3457; 3470; 3787; 3792
3793; 3827; 3840; 3866; 3869^ 3881; 8882.

Kanalban.

Siehe 3891 ; 3408 ; 3416 ; 34S14 ; 3453 ; 3459.

Schiffsban*

Siehe 2793; 2829; 2898; 3257; 3324;
3337; 3366; 3409; 3443; 3461; 3462; 8584.

Sehlffsbewegimg.

2442. L. E. BeHon. Position d'öqui-
libre des navires sur la houle. S.N.C.
(4) 1. 1.

2443. G. A. Crocco. Su im modo di
ottenere la verticale a bordo delle navi.
N.C.P. (5) 9.224.

2444. Fournier. Resistance de Teau
ä la translation des navires. Car^nes
de moindre r^sistances. CR. 140. 48.

2445. E. Bertin. Sur la giration des
navires. CR. 140. 337.

2446. Fournier. Crit^rium des navires
ä grandes vitesses. CR. 189. 964.
Siehe auch 607; 2756; 2756; 3265; 3373;
8382; 3385; 3390; 3399; 3429; 3433;

3435; 3451; 3455; 3472.

Pumpen.

Siehe 2606; 2696; 3369; 3370; 3394; 3417.

Teutilation.

Siehe 2626; 2627; 2639; 2646; 3875.

Luftschiffahrt.

2447. G. A. Crocco. Sur la stabilitä
des dirigeables. CR. 139. 1195.

2448. G. A. Crocco. Sulla stabilitä
dei dirigibili. R.A.L.R. 18B. 427.

2449. C Benard. Ballons dirigeables.
Stabilitä longitudinale. CR. 139. 183.

2460. L. Torres. Sur la stabilitä
longitudinale des ballons dirigeables.
CR. 140. 1019.

2451. P. Renard. Sur la mesure in-
directe, de la vitesse propre des navires
aöriens. CR. 139. 358.

2452. C. Renard. Sur la vitesse cri-
tique des ballons dirigeables. CR. 138
1405.

2458. C. Benard. Sur Tempennage
des caränes des ballons dirigeables. C R.
188. 1576.

2454. E. Taff'oureau. Sur les häices
sustentatrices. CR. 139. 856.

2455. C. Renard. Sur un nouveau
mode de construction des h^ces adriennes.
CR. 139. 721.

Siehe auch 290; 662; 665; 669; 2044;
2617; 2651; 2654; 2805.

Beleuchtung.

Siehe 3607; 3609; 3615; 3629; 3630;
3650; 3651; 3867.

Photographie.

2456. /. Thovert. Sur la profondeur
de champ et de foyer des objectives
photographiques. CR. 139. 500.

2457. /. Fiecht und E. Stetiger. Unt-er-
suchungen über die Grundlagen der Drei-
farbenphotographie. P.Z. 6. 329.

Siehe auch 1056; 1092; 2569; 362*2.

Spektralanalyse.

2458. R. A. Hot^toim. Some spectro-
scopic notes. P.M. (6) 7. 456.

2459. P. M. Corbino. SulF osservazione
spettroscopica della luce di intensita
periodicamente variabile. R.A.L.R. (5)
14 A. 332.

2460. J. Barnes. On the analysis
of bright spectrum lines. P. M. (6) 7. 485.

2461. J. E. Lilienfeld, über eine all-
gemeine und hervorragend empfindliche
Methode zur spektralen qualitativen
Elementaranalyse von Gasgemischen.
A.P.L. (4) 16. 931.

Siehe auch 1048; 1056; 1172; 1178; 1176.

Heizung.

Siehe 3454; 3814; 3828; 3862; 3867;
3871; 3874; 3876; 3890.

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Abhandlungsregieter 1904—1905.

299

Belenchtniig*

2462. M, F. Älvarez. Estudio sobre
luces 7 vistas en las habitaciones y al-
tura de estas en calles y patioe. M.y
R.M. 20. 291.

Elektrotechnik.

Siehe 2711; 2737; 3053; 3137; 3194;
3562; 3605; 3889.

Elektrische Leitungen.

Siehe 2917; 2938; 2981; 2982; 2984

2997; 2998; 3005; 3022; 3061; 3067

3081; 3083; 3107—10; 3158; 3167; 3186

3188; 3189; 3207; 3218; 3599.

Elektrische Kraftflbertragungen.

Siehe 2758 a; 3040; 3058; 3059; 3091.

Elektrische Eisenbahnen.

Siehe 2798; 2800; 2934; 2965; 2985;
2994; 3093; 3103; 3182; 3210.

Dynamomaschinen.

2468. Caldarera. Generatrici asincrone
R.A.G. 1908. Dez.

2404. Steinmann. Determination ra-
pide de la force ^ectromotrice et de
la r^sistance ^lectrique d'an g^n^ratenr
eiectrique. V.S.N.G. 87. 76.

2465. D. J. PulQUJ. Erugova diagrama
generaioriv dlja pereminiich pnidiv. (Über
das Ereisdiagramm der Wechselstrom-
generatoren.) R.S.M. 10. No. 2.
Siehe auch 2690; 2784; 2799; 2842; 2875
2926; 2927; 2935; 2943; 2956; 2958
2959; 2961; 2966; 2972; 2976; 2999
3012; 3029; 3035; 3036; 3039; 3075
3088; 3094; 3096; 3097; 3111; 3117
3121; 3122; 3140; 3148; 3150; 3160
3162; 3169; 3178; 3200; 3202; 3212; 3220

Elektromotore.

2466. /. K. Sumec. Der einphasige
Induktionsmotor. A.Gr. (8) 8. 306.
Siehe auch 2693; 2695; 2697; 2705; 2748;
2751; 2804; 2916; 2928; 2936; 2941;
2942; 2945—47; 2949; 2950; 2965;1'968;
2979; 2986; 2995; 3009; 3011; 3022 —
24; 3030—32; 3069—76; 3078; 3100;
3113—16; 3118; 3129—33, 3140; 8164;
«155; 3159; 3190—93; 3199; 3204; 3214;
3221; 3545; 3546; 3561; 3677.

Elektrische Beleuchtung

2467. W. Voege. Untersuchungen über
die Strahlungseigenschaft der neueren
Glühlampen. J.H.W.A. 21.

Siehe auch 1410; 1411; 2521; 3087;
3157; 3608; 3613; 3646.

Telephon.

2468. S. Petera. Pupinove telefoni.
(Über Pupins Telephonie.) C. 34. 301.
Siehe auch 1525; 1626; 1627; 2914; 2974;

2975; 2978; 3028; 3205; 3222; 3245.

Telegraphenwesen.

Siehe 3062,

Drahtlose Tdegraphie.

2469. /, Zenneck. Theorie und Praxis
in der drahtlosen Telegraphie. P.Z. 5.
686; 6. 196. — E. F. Huth 378.

2470. F. Fletsch. systömech tele-
grafie bez drätu pred Marconim. (tTber
Systeme drahtloser Telegraphie nach
Marconi.) C. 84. 72.

2471. G, Seiht Über den Zusammen-
hang zwischen dem direkt und dem in-
duktiv gekoppelten Sendersystem für
drahtlose Telegraphie. P.Z. 6. 462; 627.
— /. Zenneck 575; 811.

2472. T. Mizuno. On the Filings
coherer and wireless telegraphy M. G. K.
1. 28.

Siehe auch 1565; 2921; 2993; 3006;

3063—65; 3079; 3146; 3176; 3177; 3179;

3180; 8223; 3224.

Kabel.

2478. DevatuC'Charbonnel. La capacite
des longs cS.bleB sousmarins. S.F.P.
Nr. 225. 9.

Siehe auch 2918—20; 2948; 2973; 3000;
3001; 3004; 3041-43; 3045; 3056; 3057:
3081; 3084; 3142; 3197; 3211; 3217; 3290.

Technologie.

2474. T. Oliver. The diameters of
twisted threads with an account of the
history of the mathematical setting ot
cloths. P.R.S.E. 25 481.

Siehe auch 2663; 2710; 2714; 2735;
2774; 2803; 2809; 3347; 3616; 3505.

Instrumentenkunde.

2475. G. Mülochau. Sur un nouveau
Systeme de microm^tre. CR. 139. 690.

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300

Abhandlimgsregiflter 1904—1905.

2476. G. MiBo^au. Sor an nonveau
microm^ire. Historique de la questioii.
CR. 139. 665.

2477. C. Benard. Sor nn nonvel
appareil destine ä la mesnre de la puis-
Bance des moteurs. CR. 138. 1083.
Siehe auch 342; 848; 403; 404; 440;
697; 672; 2694; 2728; 2730; 2767; 2785;
2797; 2804; 2937; 8568; 3574; 3762.

Fallnagcliine.

2478. Gieseler. Apparat zur Messimg
der Fallzeit eines freifallenden Körpers.
S.N.G.B. 1904. 38.

Phygikaliselie Instnunente«

2479. Gieseler. Apparat znr Be-
stimmung des mechanischen Äquivalents
der Wärme. S.N.G.B. 1904. 49.

2480. G. P. Grimcddi e A. Aecotta.
Sopra un apparecchio per la misura di
piccoli aUungamenti. N.C.P. (2) 7. 222;
B.G.C. 80. 32.

2481. C. H. Brinkman. De bepaling
van den druk met een gesloten lucht-
manometer. C.A.A. 12. 758.

2482. A. E. H. Tutton. Das Elas-
mometer, ein neuer Interferenz-Elastizi-
tätsapparat. Z.K.M. 89. 321.

2488. E. F. Coker. A laboratory
apparatus for applying bending and
torsional moments simultaneously. T. C.
R.S. (2) 9. 59.

Siehe auch 737; 3864.

Wagen.

2484. V. Cremten. Sensibilitä de la
balance azimutale. CR. 138. 1090.

2485. P. Johanneson. Eine Radwage
als schiefe Ebene. V.D.P.G. 7. 43.

Siehe auch 209; 3759.

Wellenmagchineii.

2486. F. J. Hillig. Ein neuer sehr
einfacher Wellenapparat. Z.P. 17. 329

2487. A. BoUzmann. Apparate von
L. Boltzmann zur Demonstration stehen-
der und interferierender Wellen. S.A.W.
113. 1509.

2488. W. Schmidt. Vorführung eines
Apparats zur Demonstration stehender
und interferierender Wellen. V.D.P.G.
6. 249; D.V.N. 76 B. 89.

2489. R Ernecke. Ein Wellenapparat
zur Demonstration der Ätherschwingun-
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Akvstlselie faistriiiiieEte.

2490. G. Laudet et L. Gaumant. Sur
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Siehe auch 950; 957; 958.

Optisehe Insimveiite«

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der achromatischen optischen Systeme.
N.W. (2) 3, 72.

2492. A. Turpain. Sur une mäthode
propre ä T^tude d*un ph^nom^ne lumi-
neuz d'intensit^ variable avec le temps.
Application ä la d^termination de la
vitesse instantan^ d*un miroir toumant
et ä r^tude de T^tincelle de Hertz. CR.
141. 422.

2498. E. B. V. Nardroff. A new
interferometer method for measuring
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2494. W. Stahlberg, über den Zeiß-
sehen Veranten und die Möglichkeit des
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2495. F. KudMrzewM. Das Diopter
des Heron und der Versuch seiner Re-
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2496. T. Thorp. Solar eyepiece. E.M.
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Siehe auch 664; 981; 996; 1008—05;
1013; 1034; 2456; 3603; 8617; 8619;
3624; 3681; 3685; 3641—43; 3647; 8653.

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Siehe auch 281; 980; 1180; 2494; 3573.

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astronomical photographes. M.N.A.S.
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Siehe auch 1018; S622; 8637; 3649.

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et mikroskop og en spejleude flade. I.
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Siehe auch 2566; 3618; 8627; 3628.

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2514. J. A, Groshans. Absoluter NuU-
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2515. L. Marchis. Sur le d<§placement
du z^ro des thermomätres. M.S.B. (6)
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2516. J. Maurer. Experimentelle
Untersuchiugen über das Verhalten des
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Thermometer unter variablem Druck
des aspirierenden Mediums. M. Z. 21. 489 ;
B.P.A. 1. 55.

2517. C. Fery. Thermomätre int<§-
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2518. H. Edwards. A manometer
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251 9. C. W. Waidner and i. A. Fischer.
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B. B.S.W. 1. 276.

Siehe auch 2683; 3863.

Pyrometer.

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Siehe auch 3822; 3873.

I

Elektrische Instrumente.

2521. G. W. Pierce. Über die Cooper-
Hewittsche Hg-Bogenlampe als Funken-
strecke. P.Z. 6. 426.

2522. J. Novi. ün nuovo apparecchio
che segna le frazioni di secondo fino al
centesimo e i multipli fino al terzo se-
condo e contemporaneamente permette
di regolare a volontä la durata di un
contatto elettrico. M.I.B. (5) 9. 457.

2528. jß. Weber. Appareil montrant
les modifications du courant alternatif.
B.S.V. 30. 368.

2524. K. B. Johnson. Sur un inte-
rupteur k vapeur. CR. 139. 477.

2525. M. Dieckmann. Über den
Schlömilch- Wellendetektor. P.Z. 5. 529.

2526. F. Hodson. Resonanzversuche
über das Verhalten eines einfachen
Koherers. A.P.L. (4) 14. 973.

Siehe auch 1513; 1558; 2924; 2940;
3046; 3102; 3104; 3216; 3225.

Elektrisiermascliinen.

2527. ^TT. HoUz. Meine erste Influenz-
maschine und eine ähnliche Yorlesungs-
maschine zur Erläuterung der Theorie.
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2528. F. Schaffers. Nouvelle th^orie
des machines d. influence. A.S.B. 29B. 1.

Siehe auch 1436; 1547.

Oeißlersche Bohren.

2529. E. Biecke. Über Evakuation
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schen Strom. A.P.L. (4) 15. 1008.

2530. E. Biecke. Untersuchungen
über Entladungserscheinungen in Greiß-
lerschen Röhren. A.P.L. (4) 16. 282.

Siehe auch 1158.

GalTAnische Elemente.

2531. A. Denizot. Beitrag zur Theorie
der umkehrbaren galvanischen Elemente,
(poln.) W.M. 8. 47.

2582. W. Jaeger. Die Polarisation
galvanischer Elemente bei Gegenwart
von festem Salz. A.P.L. (4) 14. 726.

Siehe auch 2373; 3152; 3161; 3:i68.

GalTanische Batterien.

Siehe 3124.

Transformatoren.

A. Trowhridge. On the diffe-
rential transformer. F.R. 20. 65.

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Abhandlangaregisier 1904—1906

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misura ed applicazioni. M. A. T. (2) 53. 47.

25S5. Dina. Transtbrmatori ad alta
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2536. T B.Lyle. The alternate corrent
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parallel. P.M. (C) 9. 309.

2538* P. BriAde, Rationelle Kon-
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P.L. (4) 16. 116.

Siehe auch 2750; 2944; 2964; 2960; 2962;
2964; 2988; 3016; 3016; 3026; 3027;
3037; 3038; 3040; 3054; 3060; 3082;
3089; 3092; 3112; 3138; 3139; 3143;
3149; 3181; 8204; 3206; 3226—28.

4kkaiiiiilatoreii.

2639. /. PoWoik. Theoretisches Arbeits-
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Z.P. 18. 211.

Siehe auch 2929; 3056; 3076; 3077;
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2541. F, Lauffer. Die Deviation und
und deren Kompensation. A.U. 33. 66.

2542. K. Koldewey, Über die An-
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Kompensation der Kompasse. A.H. 33. 122.

2548. H. Meldau. Zur Theorie der
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Siehe auch 2049.

Elektrische Meßiustrumente.

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2546. H. G. Sfiook. An Amperemeter
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2547. V. Arcioni. A.A.E.I. 9. 120.

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Siehe auch 2915; 2925; 2931; 2932; 2989;
2958; 2969; 2970; 2980; 2996; 8010;
3051 ; 3090; 316G; 3168; 3179; 3187; 3229.

Elektrometer.

2549. Guinchant. Electrom^tre ä sex-
tants et ä aiguille neutre. CR. 140. 861.

2550. T. Tamaru. Eine Beobachtungs-
methode mit gedämpften Schwingungen
bei fortrückender Buhelage. P.Z. 6. 285.

2551. A. Sprtmg. Über eine auto-
matisch wirkende Vorrichtung zur Er-
weiterung desMeßgebietes der Eegistrier-
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2552. H. Gerdien. Ein Elektrometer
zur Untersuchung radioaktiver Induk-
tionen. P.Z. 6. 433.

Siehe auch 1440.

GatTanometer.

2553. M. Ikle. Über die Bezeichnungs-
weise der Empfindlichkeit eines Gralvano-
meters. P.Z. 6. 43.

2554. P. IL Poweü. Consideration
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2555. W. Einthoven. De snaargalva-
nometer en hei menschelijk electrocardio-
gram. C.A.A. 12. 122; 876.

Siehe auch 1623; 1714; 8038; 3047—49;
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Magnetometer.

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mit astatischen Torsionsmagnetometern.
A.P.L. (4) 16.815.

Siehe auch 766; 1671; 2186.

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2558. H. Grubh. A new form of di-
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2559. F. NuSl und J. J. Fric. Über
das Diazenital. A.N.K. 166. 226.

2560. C. Chistoni. Sul pireliometro
a compensazione elettrica dell* Angström.
R.A.L.R. (6) 14 A. 340.

2561. F. Facdn. Nuovo planisfero.
R.F.M. 6A. 113.

2562. G. GugUelmo. Intomo ad al-
cuni semplici strumenti per V esatta
verificazione dell' ora. R.A.L.R, 18 B.
608; 14 A. 10.

Siehe auch 8612.

Fernrohre«

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Abhandlnngaiegiater 1904—1905.

303

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25ee, F, L. O. Wadsworth. On the
optical conditions reqnired to secure
mazimum accuracy of measurement in
the use of the telescope and spectroscope.
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der BphäriBchen Abweichungen der
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2569* A. Ricco. II grande obiettivo
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B.G.C. 85. 2.

2570. N. Jadanza. Nuovo metodo per
determinare il rapporto diastimometnco
in un cannocchiale distanziometro. A.
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Siehe auch 2504; 3616; 3623; 3637; 3652.

Uhrmacherkiuist*

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der Pendeluhr. B.M. (3) 5. 234.

2572. J. Andrade. Recherches chro-
nomötriques. V.I.M.C. 3. 451.

257$. J. Andrade. La th^orie de la
Synchronisation des horloges. A. S. G. (4)
17. 139.

2574. E. Anding. Zur Ausgleichung
von Uhrgängen. A.N.K. 168. 357.

2676. A. Wanach. Über den Einfluß
der Temperaturschichtung auf verschie-
dene Chrenpendel. A.N.K. 166. 97.
Siehe auch 59; 2692.

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las cintas metalicad ernpleadas como Ion-
gimetros en la medida de las bases geo-
desicas. M.yR.M. 13. 297.

2677. Hoecken. Zur Theorie des Win-
kelprismas. A.V^N. 1903. 201.

2678. E. Morrone, Algunas observa-
ciones sobre las distancias determinadas
mediante la eätadia. A.S.A. 59. 124.

2679. A. Petrelius. Über die Verän-
derungen der Empfindlichkeit der Li-
bellen. B.P.F. 44. 20.

2580. Goedseels. Sur le niveau 9, bulle.
A.S.B. 28 A. 170.

2681. C. Klein. Über Theodolithgo-
niometer. S.A.B. 1906. 93.

2682. T.Ferguson. De pedograaf Fer-
guson, een automatisch toestel voor glo-
bale terreinopname. D.l.G. 18. 672.

2688. T. Ferguson. De cyclo^raaf
Ferguson, een toestel voor automatische
opname von een door een voertuig af-
gelegden weg. D.LG. 18. 787; T.R.L.
20. 43.

2684. H. Grubb. A new circumfe-
rentor. P.S.D. (2) 10. 143.
Siehe auch 2144.

Taehymeter.

2686. Waue. Flächen-Schnelbnesser
und -teuer A.V.N. 1904. 353.

2686. H. Loeschner. Nuovo modello
di tacheometro. R.T.C. 16. 172.

2687. C. Jorio. n tacheometro ridut-
tore Chamot. R.T.C. 17. 141.

Siehe auch 3571; 8575—77; 3777.

Theodolith.

Siehe 3571; 8654.

Distanzmesser.

2688. G. Poten. Theoretische Betrach-
tung über Distanzmesser. O.Z.V. 1904.
286; 298.

2689. Gemeimer. Der Tangentialdis-
tanzmesser und der Feldtachygraph für
Gebietsvermessungen und Terrainauf-
nahmen von Ingenieur J. Steinbach und
Mechaniker E. Schneider. M.A.G.S. 38.
312.

2690. J. Kozdk, Zur Theorie der Kfis-
tendistanzmesser mit vertikaler Basis.
M.A.G.S. 33. 237.

Siehe auch 8236; 3569; 3776.

Oeophysikalisehe Instrumente.

2691. M. P. Rudzki. über die Bewe-
gung des Horizontalpendels. B. G. 6. 138.

2592. A. Schmidt. Über die mit dem
Trifilargravimeter zu lösenden Probleme.
B.G. 5. 239.

2698. K. Honda. A portable aSro-
mercurial tide - gauge. P. T. M. 2. 302.

2694. K. Honda. Ein tragbarer Ge-
zeitenmesser mit Luft und Hg. P.Z.
6. 508.

2696. Buchanan. Sur \m nouveau type
de pi^zometre. CR. 139. 538.
Siehe auch 3759.

Seismometer.

2696. F. Omari. A duplex horizontal
pendulum apparatus. P.T.M. 2. Nr. 8.

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^' ^^^' Siehe auch 2591.

TAriometer.

2598. A. V. Büky. Ein neues Verti-
kal -Intensitätsvariometer. P.Z. 6. 536.

Meterologisehe Instrumente«

2599« P. Vatidrey. Sur les appareils
indicateurs et enr^gistreors dans leurs
applications auz sciences et ä Tindustrie.
A.F. 1908. 220.

2600. P. Langevin et M. Moulm. Sur
an enr^gistreur des ions de Tatmosph^re.
CR. 140. 305.

2601. C. Norämann. Enrdgifltreor ä
^coulement liquide de rioniaation ath-
mosph^rique. CR. 140. 430.

2602. H. Herffeseü und K Klem-
si^midt. Über (üe Kompensation von
Aneroidbarometem gegen Temperatnr-
einwirkungen. B.P.A. 1. 108.

Siehe auch 822.

Hygrometer.

26<^. W. Krebs. Yerdunstangsmes-
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klimatoloffische und hydrographische
Zwecke. M.Z. 22. 211.

2604. LooMT. Ein neuer Apparat zur
Bestimmung des Taupunktes. J.N.K.
1903—04. 52.

Yerzeiclmis der in teclmischeii Zeitschriften 1903 — 1904
sich Torflndenden mathematischen Abhandlungen.

Von Ernst Wölffing in Stuttgart.

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8—6.

A.E.R.J. American Engineer and Rail-
road Journal, New York 77 — 78.

A.6.B. Annalen für Gewerbe und Bau-
wesen, Berlin 52 - 56.

Am.M. American Machinist, New York
1903—04.

A. F. Gh. Annales des Fonts et des Chaus-
säes, Paris (8) 9—16.

B.S.E. Bulletin de la Soci^t^ d'Encou-
ragement pour l'Industrie Nationale,
Farifl 104—105.

€.B.B. Zentralblatt der Bauverwaltung,
Berlin 23—24.

C.Z.O.M. Zentralzeitung für Optik und
Mechanik, Berlin 24—25.

D.B.Z. Deutsche Bauzeitung, Berlin 37
bis 38.

D.M.Z. Deutsche Mechanikerzeitung, Ber-
lin 1903—1904.

£. The Engineer, London 95—98.

E. E. L'£claira^e ^lectrique, Paris 33 — 40.

Eg. Engineering, London 76 — 78.

E.N. Engineering News, New York 50; 62.

E.W. The Electric World, New York
41—42.

E.Z. Elektrotechnische Zeitschrift, Ber-
lin 24—25.

G.G. Le G^nie Civil, Paris 41; 43—46.

G.L Gtosundheitsingenieur, München 26
bis 27.

J. G. Journal des G^om^tres, Paris 46 — 47.

J. G. W. Journal für Gasbeleuchtung und
Wasserversorgung, Leipzig 46—47.

J.S.G.B. Jahrbuch der Schiffsbautech-
nischen Gesellschaft, Berlin 4 — 5.

L.G.M. La Constmction Moderne, Paris
18—20.

M.L€. M^moires et Comptes Bendus
de laSociät^ des Ingenieurs Civils, Paris
56—67.

M.F.L Mitteilungen aus der Preßluftin-
dustrie, Weimar 1.

M.F.l.C.E. Minutes of Froceedings of
the Institution of Civil Engineers, Lon-
don 151—153.

M. T.G.W. Mitteilungen des Technolo-
gischen Gewerbemuseums, Wien (2)
18—14.

M.Z.B.E. Mitteilungen über Zement-,
Beton- und Eisenbetonbau, Berlin 1.

N. A. G. Nouvelles Annales de la Constmc-
tion, Paris (5) 10; (6) 1.

O.F.E. Organ für die Fortschritte des
Eisenbahnwesens,Wiesbaden^2)40— 41.

F. E.N. Portefeuille äcononuque des
Machines, Paris (5) 2—3.

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Technisches Abhandlun^sregister 1903—1904.

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P. J« Polytechnisches Journal, Berlin 318
bis 319.

P.M.C. Der praktische Maschinenkon-
strukteur, Leipzig 86 — 37.

R.D.M. Bevue de M^canique, Paris 14
bis 16.

R.e. Bailroad Gazette, New York 63-64.

S.B. Schiffbau, Berlin 4—6.

S. B. Z. Schweizerische Bauzeitung, Zürich
41—44.

S.D.B. Süddeutsche Bauzeitung, Mün-
chen 18—14.

S«E.D. Stahl und £isen, Düsseldorf 23
bis 24.

S.T.Z. Süddeutsche Technikerzeitung,
München 2.

T. The Technologist, New York 8—9.

T.B. Technische Blätter, Prag 84—86.

T.E. The Electrician, London 60—62.

T. 6. Technisches Gemeindeblatt, Berlin
6—7.

y . y . 6. y erhandlungen des y ereins zur Be-
förderung des Gewerbfleißes in Preußen,
Berlin 82—88.

W. A. B. Z. Wiener Allgemeine Bauzeitung,
Wien 68—69.

W.B.S. Württembergische Bauzeitung,
Stuttgart 1.

Z.A.1. Zeitschrift für Architektur und
Inffonieurwesen, Hannover (2) 8 — 9.

Z.B.D. Zeitschrift des Bayrischen
Dampfkesselrevisionsvereins, München
7—8.

Z.B.W. Zeitschrift für Bauwesen, Berlin
63—54.

Z.E.W. Zeitschrift fär Elektrotechnik,
Wien 21-22.

Z. G. Zeitschrift für Gewässerkunde, Leip-
zig 6 — 6.

Z.G.K. Zeitschrift für die gesamte Kälte-
industrie, München 10 — 11.

Z.G.T. Zeitschrift für das gesamte Tur-
binenwesen, Berlin 1.

Z.I. Zeitschrift für Instrumentenkunde,
Berlin 23—24.

Z.R.F.6. Zeitschrift für komprimierte
Qnd flüssige Gase, Weimar 6—7.

Z. 0. 1. A. y. Zeitschrift des österreichischen
Ingenieur- und Architektenvereins,
Wien 66—66.

Z.y. Zeitschrift für yermessungawesen,
Stut^art 32—33.

Z.y.D.1. Zeitschrift des yereins Deut-
scher Ingenieure, Berlin 47—48.

Z.W. Zeitschrift für Werkzeugmaschinen,
Berlin 6—8.

Abbildung«

2605. C. Ptdfrich. Über eine neue
Art der Herstellung topographischer Kar-
ten und über einen hiefür bestimmten
Stereoplanigraphen. Z.J. 23. 133.

Aerodynamik.

2606. Ä. S. E. Ackettnann. Air lift
pumps. Eg. 77. 602.

2607. Barbet Sur les exp^riences de
M. Canovetti relation ä la r^sistence op-
posöe par Fair aux corps en mouvement.
B.S.E. 104. 166.

2608. A. Barbeeat La turbine ä. gaz
et son rendement. S.B.Z. 44. 100.

2609. W. Boveri. Die Dampfturbinen
und ihre Anwendung mit besonderer Be-
rücksichtigung der Parsonsturbine. S.E.
D. 24. 787.

2610. E. B. Briggs. The air buffer.
Am.M. 1903. 616.

2611. A, Budan. Die mechanischen
Grundgesetze der Flugtechnik. Z.O.I.
A.V. 66. 639; 661.

2612. K. Büchner. Zur Frage der
Lavalschen Turbinendüsen. Z. y. D. I. 48.
1029; 1097.

2613. Claußen. Die Größe des Wind-
drucks bei der Berechnung der Stand-
Bicherheit von Schornsteinen. A.G.B.
63. 139.

2614. B. H. Collingham. The air com-
pressor. E. 97. 638; 627.

2615. F. Faster, The design of steam
turbine discs. E. 97. 34. — M, F. Fitz-
Gerald 481.

2616. Geiger, tyber Exhaustoranlagen,
insbesondere zur Beseitigung von Sp£ien
und Staub. Z.y. D.I. 48. 1389.

2617. F. Gerstner. Über dieyersuche
zur Lösung des Problemes der Luftschiff-
fahrt. Z.Ö.LA.y. 66. 229.

2618. W. Geutsch. Die Windkraft-
maschinen und ihre wirtschaftliche Be-
deutung. y.y.G. 82. 363; 83. 1.

2619. W. Geutsch. Les moteurs ä vent
et leur importance au point de yue ^co-
nomique. B.S.E. 106. 283; 364; 479; 649;
610.

2620. W. Gilbert. Centrifngal fans.
Eg. 76. 610.

2621. Gostkowski. Die Schwebearbeit
in der Flugtechnik. Z.Ö.LA.y. 66. 476.
— A. Budan 476.

2622. M. F. Gutermuih. yersuche
über den Ausfluß des Wasserdampfes.
Z.y.D.L 48. 75.

2628. r.Hänisdi. Konstruktion zur Er-
möglichung der intermittierenden Kraft-
ausnützung bei Fortbewegung von Massen
in elastischen Mitteln unter spezieller Be-
rücksichtigung des dynamischen Fluges.
Z.Ö.LA.Y. 66. 629.

Z«ttoehrift f. Mathwnatik a. Physik. SS. Band. 1906. S. Heft.

20

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306

Technisches Abhandlongsregister 1908—1904.

2624. G. Hetnel Die Preßlufterzeu-
gung. M.P.I, 1. 4; 12; 19; 88; 41.

2625. C. Heinel Die Preßlufterzeu-
gung. Z.K.F.G. 6. 8; 44; 74; 85.

2626. B, Hofmann, Überdrucklüf-
tungsanlagen. G.L 27. 529. — E, Büt
677.

2627. C. H. Innes, Moderne Venti-
latoren. P.M.C. 86. 23; 89; 48.

2628. L. Klein. Dinickverluste in Ge-
blaseventilen. Z.V. D.I. 48. 1781.

2629. E. W. Koester, Luftkompres-
soren. Z.V. D.I. 48. 109.

2680. Ä. Koöb. Die Strömungserschei-
nungen in den Düsen der Dampmubinen.
Z.V. D.I. 48. 276. — Pranda 848. —
JB. Froeü 849.

2631. A. Koöb. Die Berechnung der
Dampfturbinen auf zeichnerischer Grund-
lage. Z.V. D.I. 48. 660; 764.

2682. H. Lorenz. Die stationäre Strö-
mung von Gasen und Dämpfen durch
Bohre von veränderlichem Querschnitt.
Z.V.P.I. 47. 1600. — Ä. Stodola 1787.

2688. A. Marx. Über die Messung
von Lufkgeschwindigkeiten. G.L 27. 369;
886; 420; 487.

2684. K. Mattem. Ermittlung des
Gasverlustes im Straßenrohmetz aus dem
festgestellten Luftdruckverlust. J.G.W.
47. 419.

2685. F. Meincire. über ein Verfahren
sum Betrieb von Gasturbinen. P.J. 819.
687.

2686. B. M. Neilson. A scientific in-
vestigation into the possibilities of gas
turbines. E. 98. 429.

2687. B. M. Netlson. A scientific in-
vestigation into the possibilities of gas-
turbines. Eg. 78. 690.

2688. B. M. Neilson. Les turbines
k gaz. B..D.M. 16. 490.

2689. Ä. F. Norrie. Recent tests of
centrifogal mine ventilating fans. E.N.
62. 410.

2640. W. Odeü. Preliminary expe-
riments on air friction. Eg. 77. 80.

2641. B. Bietet. Die Theorie der Ap-
parate zur Herstellung flüssiger Luft mit
Entspannung. Z.K.F.G. 7. 1; 17; 37; 62.

2642. B. Bietet Beitrag zur Kompres-
sion und der Entspannung von Gasen.
Z.K.F.G. 7. 168; 176.

2648. B. Proeü. Beitrag zur Theorie
der stationären Strömung von Gasen und
Dämpfen. Z.G.T. 1. 161.

2644. A. BcUeau. Elementartheorie
der Dampfturbinen in analytischer und
graphischer Entwicklung. Z.G.T. 1. 17.

2645. K. Sehreher. Zur Theorie der
Turbinengasmaschinen. Z.G.T. 1. 177.

2646. D. TT. Taylor. Some experi
ments with ventilatingfans. E.N. 62. 387.

2647. B. Ihrelfaü. The motion of gasee
in pipes and the use of gauges to deter-
mine the delivery. Eg. 77. 292; 310; 842.

2648. B. ThrelfaU. Mouvement des
gaz dans les tuyauz, emploi des jauges
pour sa determination. H.D.M. 14. 862.

2649. r. M. Einflüsse beim Bewegen
von Gasen in heißer Luft. G.L 26. 617.

2650. W. C. Unwin. Die Bewegung
von Gasen in Rohrleitungen und die
Verteilung unter hohem Dnick. J.G.W.
47. 1068.

2651. Vaüier. Notes sur la dynamique
de ra^roplane. R.D.M. 16. 6; 101; 842.

2652. Velde. Verallgemeinerung der
Poleschen Formel zur Ermittlung des
Druckverlusts in Leitungen. J.G.W.47.898.

2658. Wedemeyer. Düsenquerschnitte
der Kupolöfen. S.E.D. 24. 404.

2654. N. N Mesure indirecte de la
vitesse propre des navires a^riens. G. C.
46. 261.

Akustik.

2655. P. Planat L'acoustique des
salles publiques. L.C.M. 18. 289; 826.

Arithmetik.

2656. Bl, Das Prämiensystem bei der
Lohnzahlung. D.M.Z. 1903. 287.

2657. Blum, Beibungsbahnen und
Bahnen gemischten Systems. Z.B.W.
68. 617; 661.

2658. E. Kr. Zur Tariffrage der Elek-
trizitätswerke. Z.E.W. 22. 671.

2659. (Tr(^. Über den wirtschaftlicben
Einfluß einer Verzögerung der Schi&hzt
durch die Wartezeit an den Schleusen.
Z.B.W. 64. 866.

2660. H. Hess. Premium plan applied
in the drawiog office. Am.M. 1908. 412.

2661. F. Hoppe. Zur Tariffrage der
Elektrizitätswerke E.Z. 26. 788.

2662. P. LecUr. £tude de diffäients
modes de r^mun^ration du travail. P.
E.M. (6) 2. 64; 74; 88.

2668. P. Machavoine. Consid^rations
g^n^rales sur \b, pr^paration m^canique
des minerais. M.LC. 66 B. 136.

2664. F. Pichler. Die deutsche Ar-
beiterversichemng. T. 8. 193.

2665. F. iVeu^s. Das Prämiensystem
der Arbeiterlöhnung. Z.V.D.L 47. 172.

2666. S. S. Biesei. Über Kalkulati-
onsmethoden im Maschinenbau. Z.O.L
A.V. 66. 421; 429.

2657. S. S. B^csei. Einige Erwägungen
in der Frage der Selbstkostenbestimmung.
Z.E.W. 22. 868.

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I

TechniBcheB Abhandlungsregisier 1908—1904.

307

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der Lohnberechnimg. Z.V. D.I. 47. 1207.

2669. B. SchiOer, A german yiew of
ihe piemium plan. Am.M. 1904. 246.

2670. M. Schwabach. Zur Tarif&age
der Elektrizitätswerke. E.Z. 24. 495.

2671. \S. H. Smith. The economics
of electric tramwars in Britain. E. 98. 461 .

2672. iSitrae^. Über ArbeitsauBfühnrng
im steigenden Zeitlohn. Z.V. D.I. 48.1825.

i^n.K,Wütgen8Uin. Freihandel und
Schutzzoll. Z.ai.A.V. 55. 181.

2674. N. N. Chemin de fer de TEn-
gadine. Tunnel de l'Albula. G.G. 48. 188.

Attraktion.

2675. ^. Haerpfer. Notiz zur Bouguel-
sehen Reduktionsformel. Z.V. 82. 449.

BaUistik.

2676. 0. Kretschmer. Gefechtswerte
von Kriegsschiffen. S.B. 5. 869; 917;
978; 1028.

2677. N. N. The theory and practice
of armour attack. E. 96. 57.

Chemie.

2678. K. Arndt. Die Entwicklung der
Begriffe „Atomgewicht" und „Molelralar-
gewicht". V.V.G. 82. 59.

2679. E. Brause, Brennstoffanalyse
und Bauchgasanaljse. Z.G.E. 10. 170.

2680. Ä. Hollard. Some applications
of the theory of electroljsis to the Sepa-
ration of metals from one another. T.
E. 52. 818.

2681. P. Bohland. über den Einfluß
der physikalisch-chemischen Gesetze auf
einige Aufgaben und Probleme der an-
organischen Chemie. B.M.E. 8. 307; 825.

Dynamik.

2682. Ä. Achenbach, Die Theorie des
Massenausgleichs in ihrer Anwendung auf
Radschiffsmaschinen. S.B. 4. 619; 769.

2688. P. W. d'AUon and/. Mannheim.
Some notes on acceleration: electric v.
steam. E. 96. 448.

2684. Ba^mann. Versuche mit der
Bewegung von BoUschützen unter hohem
Druck. C.B.B. 24. 228.

2685. L. BacU. Le poin9onnage envi-
sag^ comme m^thode d essai. B. S. E. 105.
BOl.

2686. /. Bäcker. Der Einfluß von Aus-
rnndungen imNeigungsmtsch bei Schnell-
bahnen. O.F.E. (2) 41. 212.

2687. BarhiUion. Sur la pr^determi-
nation des rendements des moteurs k
traction. E.E. 85. 253.

2688. C. O. Barth. Estimating length
of driving belts. Axn.M. 1903. 378.

2689. W. Bauersfeld. Begnliergetriebe
für Francisturbinen mit Fmkschen Leit-
Bchaufeln. P.J. 818. 401.

2690. G. Benischke. Das Pendeln pa-
rallel-geschalteter Wechselstrommaschi-
nen. E. Z. 24. 195 ; 891 ; 1095. — H. Görges
378. 1028.

2691. L. L, BenÜey. Chart for tractive
power of locomotives. A.E.R.J. 77.289.

2692. Berrier — Fontaine. De Fadop-
tion d'une s^rie reguliere de filetages
pour les vishorlog^s. B.S.E. 105. 154.

2698. J. Berthenod. Diagramme des
moteurs polyphas^s asynchrones. E.E.
40. 253; 281.

2694. W. W. Bird and H. P Fairfield.
A twit drill dynamometer. Am.M. 1904.
1629.

2695. A. J. Boole. Electric motors
for centrifugal pumpd and fans. E.N.
50. 802.

2696. von Borries. Die Bewegungs-
widerstände der Eisenbahnfahrzeuge und
die Leistungsftiiigkeit der Lokomotiven
Z.V. D.I. 48. 810.

2697. L. Breguet, Notes sur les dia-

rmmes des moteurs asynchrones. E.
39. 281; 488.

2698. K B. Briggs. Piston rods and
high speeds. An.M. 1904. 1097.

2699. H, BriUU. £quilibre des ma-
chines. G.C. 43. 50; 69; 85.

2700. L. Buckle. Beitrag zur Berech-
nung von Weichen und Gleisbogen. 0.
F.E. (2) 41. 295.

2701. S. H. Bumell. The length of
rocker arms. Am.M. 1908. 847.

2702. Chdron. Exp^riences sur le
travail des machines-outils. B.S.E.
104. 29; 588; 790; 105. 695; 816.

2703. G' W. CoUs. Influence of the
Earths rotation on raU wear. E.N. 52. 335.

2704. E. L. Coster. Maximum pressure
on cross-head pins of Compound loco-
motives. A.E.R.J. 78. 61.

2706. W. Oramp. On single-phase re-
pulsion motors. T.E. 51. 928; Eg. 76. 506.

2706. H. Darwin. Side-slip in motor-
cars. Eg. 78. 852. — A. 466.

2707. G. Deuehars. Mountain rail-
ways. M.P.I.C.E. 158. 229.

2708. H. Diepen. Die störenden Be-
wegungen der Dampflokomotive. A.G.
B. 54. 45.

2709. E. E. Douglas. The Jack-in-
the-Boz speed-changing device. Am.M.
1904. 1270. — G. W. Hart, 1370.

2710. 0. Dusfour. £tude gdom^trique
des versoirs ä surface r^gl^e. G.C. 45. 41.

20*

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308

Technisches Abhandlungsregisier 1903—1904.

2711. E. E. Electric lifb gear. Eg.
76. 801.

2711, 0. Engbo. Über Pendelregn-
lieiungen mit Feder- und Gewichts-
belastimg. P.M.C. 87. 50; 68; 69; 76;
83; 98.

2713. G. EspitaUier. Automobiles ä,
3 essieuz. Suspension Systeme Lindecker.
G.G. 46. 133.

2714. F- D. Mesure den effects dd-
velopp^s pour le toumage de la fönte et
de racier. G.G. 46. 338.

2715. H. FöUinaer. Effektive Ma-
Bchinenleistung und effektives Drehmo-
ment. J.S.G.B. 4. 441.

2716. A. Frank. Neue Erhebungen
über die Widerstände der Lokomotiven
und Bahnzüge bei besonderer Berück-
sichtigung hoher Fahrgeschwindigeiten.
Z.V.D.L 47. 460.

2717. A. Frank. Die Gestaltung der
Lokomotiven und Einzelfahrzeuge zur
Erreichung hoher Fahrgeschwindig-
keiten. Z.V.D.L 48. 46.

2718. L. H. Fry. The proportions of
modern locomotives. R.G. 53. 687.

2719. W. F. M. Goß. Recent progress
in the design of locomotive front ends.
E.N. 50. 457.

2720. R. Gosikowski. Die günstigste
Geschwindigkeit der Eisenbahnzüge. 0.
F.E. (2) 40. 160.

2721. A, Gouüly. Definition des ph^-
nom^nes. Application de la m^canique
des syst^mes mat^riels. M.LC. 56 A. 280.

2722. G. Hagemann. Drop-valve
engines. Eg. 78. 749.

2728. F. A. Hdlsey. Spiral gears of
equal diameters on shafts at right angles.
Am.M. 1903. 264.

2724. A. Herdner. The Compound
locomotive and its development in France.
A.E.R.J. 77. 2.

2725. 0. Hönigsberg. Messung der
zwischen Rad und Schiene auftretenden
Kräfte durch Fließbüder. O.F.E. (2)
41. 109; 130; 156.

2726. H. Hoffmann. Untersuchungen
an Dampffördermaschinen. Z.V.D.L
48. 149; 192.

2727. HolzmüUer. Die Zentrifugal-
kräfte und ihre Anwendung in der kos-
mischen und technischen Mechanik Z.
V.D.L 47. 1633; 1706.

2728. E. Hospitalier. Sur Tobservation
et l'enregistrement de phänomenes p^rio-
dequement et rapidement variables. M.
I.e. Ö6A. 314.

27 ^d. Jahn. Die günstigste Geschwin-
digkeit der Güterzüge. O.F.E. (2) 41.
143. — R. Gostkowski. 145.

27SO. K. Ein neues Brenndjnamo-
meter. P.J. 319. 560.

2731. K. Keller. Vorrichtungen zur
zeitweiligen Erhöhung des Tnebrad-
druckes bei Lokomotiven. Z.V.D.L 47.
877.

2782. J. Kempf, Die Berechnung der
Gegengewichte bei Zwei-, Drei- und
Vierzylinderlokomotiven, sowie deren
Einfluß auf die störenden Bewegungen.
A.G.B. 54. 174; 188. — B. Baum. 242.

2788. C. F. Keer. The potential
efGciency of prime movers. Eg. 78. 256;
E. 98.. 68.

2784. A. T. J. Kersey. Distribution
of loads on locomotive azles. E. 97. 260.

2785. F. Kick. Eraftverbrauch und
Schnittgeschwindigkeit von Arbeitsstäh-
len. Z.W. 6. 37.

2786. B. Kirchberg. Die Kalibrierung
der Walzen im Walzwerkbetriebe. S.
E.D. 23. 1141.

2787. H Koch und H. Sehmiede. Be-
rechnung elektrisch betriebener Förder-
maschinen. E.Z. 25. 827.

2788. G. W. Koehler. Die Elsner-
Ventilsteuerung. A.G.B. 52. 110; 149; 160,

2789. B. Kohfahl. Auflagerdruck der
schwingenden Glocke. Z.V.D. 48. 93.

2740. A. Koob. Das Regulierproblem
in vorwiegend graphischer Behandlung.
Z.V.D.L 48. 296; 373; 409.

2741. B. Krause. Zeichnerische Be-
stimmung von Anlassem. Z.E.W. 21. 566.

2742. F. KruU. Bewegung eines
Wagenzuges auf gleisloser Bafaji nach
Renard. O.F.E. (2) 41. 125.

2748. F. Kruü. Der Renardsche
Wagenzug auf geleisloser Bahn. Z.O.
LA.V. 56. 549.

2744. W. Kummer. Rechnerische Be-
stimmung der Anfahrlinien der Motor-
wagen elektrischer Bahnen für verschie-
dene Motertypen. S.B. 244. 14; 28.

2745. W. Kummer. Rechnerische Be-
stimmung der Anfahrlinien elektrischer
Vollbahnen. S.B.Z. 44. 287.

2746. L. Lecomu. Sur les roulements
ä billes. R.D.M. 14. 465.

21 A7.H Lehmann. Geschwindigkeits-
messungen an Momentverschlüssen. Z.
L 24. 74.

2748. T. Lehmann. Diagramme ri-
goureux du moteur asynchrone poly-
phase. E.E. 36. 281.

2749. Leitzmann. Die Ermittelung
des Eigenvriderstandes von Eisenbahn-
fahrzeugen. V.V.G. 82. 187.

2750. A. M. Levin. Weight of fly
wheels for engines driving direct con-
nected altemators. Am.M. 1903. 588.

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Technisches Abhandlongaregister 1903 — 1904.

309

2751 • H. Linsenmann. Belastungsaas-
gleich von Asynchronmotoren für stoß-
weise Betriebe. E.Z. 24. 951.

2752« L, von Low. Ruhiger Gang
von Automobilmotoren. P.J. 319. 298.

2758. C. C. Longridge. House power
computation for petiol motors. E. 98. 340.

2754« C. F. JD. Marshall Some notes
on train resistance. £. 96. 321.

2755. G. W. Melvtüe, The Vibration
of steamships. Eg. 75. 1; 33; 78; 134;
199; 231; 267; 302; 337; 378; 416; 547;
571; 643.

275«. G. W. MehnUe. Die Vibrationen
der Dampfschiffe. S.B. 4. 707; 757;
802; 849; 903; 954; 1007; 1058; 1133;
5. 60; 110; 157; 209; 269.

2757. G. Meyersherg. Über die An-
wenduuj^ von Schwungmassen zum Aus-
gleich in elektrischen Betrieben. J.G.
W. 46. 869.

2758« G. Meyersberg, Ober den Aus-
gleich von Belastungsschwankungen in
RraMbertragungsanlagen. E. Z. 24. 261.

2758b. E. Mollier, Der Beschleu-
nigungsdruck der Schubstange. Z.V.
D.I. 47. 1638.

2759. B. Mollier. Der UngleichfÖr-
migkeitsgrad von Gasmotoren mit Aus-
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310

Technisches Abhandlnngsregister 1908—1904.

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'(»-c-7> ^•««•**-

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2811. N. N- Einiges über die Zen-
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2812. N. N. Appareil pour la mesure
de la puissance des moteurs grande
vitesse. G.C. 45. 28.

2813. N. N. Transmissionslastenauf-
zug. P.M.C. 36. 128; 187.

2814. N. N.^ Elektrisch betriebener
Lastenaufzug mit eisernem Fördergerüst.
P.M.C. 36. 5.

2815. N. N. Methode de comparaison
des moteurs de diff^rentes puissances.
G.C. 41. 128.

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des Satzes der kleinsten ,|rorm&ndenmg8-
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2822. C, BtraüU, Flexion des parois
dans les tuyauz de conduites de grand
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2824. F. Boulad. NouveUe däter-
mination g^om^trique des e£Fet8 dans
les poutres droites ä trav^es continues.
G.C. 46. 879.

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dgl. Z.G.K. 10. 187.

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of beams when unsynmietrically loaded.
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2827. F, Brunner. Beitrag zur Be-
rechnung der Querrahmen eiserner
Brücken. Z.Ö.I.A.V. 56. 696.

2828. S. K, Brach. Graphische Er-
mittelung der Einflußlinien mr die Stab-
spannung^n im Ständerfach werk. Z.O.
I.A.V. 56. 748.

2829. S. Dunkerley. Spannungswir-
kuDgen auf die verschiedenen Teile einer
Kurbelwelle an einem wirklichen Fall
einer Vierkurbel-Schiffswelle beleuchtet.
S.B. 4. 223; 276; 880; 393; 441; 495.

2830. F. Engesser. Über den Einfluß
der Formänderungen auf den Eräfteplan
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dere der Dreigelenkbogen. Z.A.L (2)
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2881. M. Ensslin. Studien und Ver-
suche über die Eiastizitöt kreisrunder
Platten aus Flußeisen. P.J. 818. 705;
721; 785; 801.

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Beanspruchung und Formänderung kreis-
förmiger Platten. P.J. 819. 609; 629;
649; 666; 677.

2838. Ewerbeck. Die Oberdeckung
mittlerer Spannweiten bei untergeord-
neten oder provisorichen Bauwerken.
D.B.Z. 87. 580. — W. Thiel. 555. — E.
Dietrich. 677.

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TeohnischeB Abhandlung^register 1903 — 1904.

311

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2887. A. Franeke, Beitrag znr Be-
rechnung der Bogenträger bei sprang-
weiser Veränderlichkeit des Trägheite-
momentes. W.A.B.Z. 68. 28.

2888. A, Francke. Gekuppelte Bogen-
träger mit Gleitfläehen auf den Mittel-
stützen. W.A.B.Z. 69. 112.

2889. A, Francke. Betrachtungen über
die Ermittelung des elastischen Ver-
hidtens und der Beanspruchung gerader
kontinuierlicher Balken. Z.A.I. (2) 8. 869.

2840. A. Francke. Die Abhängigkeit
der inneren Längsspannungen eines
Querschnitts Ton der angreifenden Längs-
kn^ mit besonderer Bezugnahme auf
Zement- und Betonkörper. Z.A.I. (2)
9. 39.

2841. A. Francke. Die inneren Längs-
spannungen im Querschnitt eines Ver-
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Z.A.L (2) 8. 13.

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auftretenden Zugspannungen bei der
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rücksichtig werden? Z.A.L (2) 9. 347.

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2855. M. T. Huher. Zur Biegungs-
theorie des rechteckigen Balkens auf
Grund des Potenzgesetzes. Z.O.LA.V.
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2856. K. Jdray. Zellendecke System
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2857. F. Jung. Zusammenhang ver-
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2858. J. Kempf. Die Verankerung
des Feuerkastens bei Lokomotiykesseln.
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nung des Durchhanges in der Spannung
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22 728

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der Dampfmaschinen. Z. B. D. 8. 83 ; 101 ;
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206; 214; 228.

2870. K. G. Meldahl Materialspan-
nungen in ausgeschnittenen und ver-
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312

TedmiBches Abhandlungsregister 1903—1904.

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J.A.V. 56. 590.

2875. F. Niethammer. Die Dnrch.
biegang von Dynamogehäusen. Z.E.W.
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2877. W. Plenkner. Beitiag zur Be-
stimmung der Deformation eines Bogen-
fachwerkes. W.A.B.Z. 68. 62. !

2878. Bamisch. Angenäherte Be-
stimmung der Querschnitte von ar-
mierten Setonplatten mit Rücksicht auf
die mit Sicherheit mögliche Zugspannung.
S.D.B. 18. 277; 868.

2879. Bamisch. Elementare Unter-
suchung eines elastischen Bogens in Ver-
bindung mit einer auf Pfeilern ruhenden
Kette. S.D.B. 14. 98.

2880. JRamisch. Technische Mitteilung.
S.D.B. 14. 247.

2881. G. Bamisch. Elementare Unter-
suchung eines an einem Ende frei auf-
liegenden und am anderen Ende schief
eingespannten Trägers. V.V.G. 82. 44.

2882. G. Bamisch. Bestimmung des
rechteckigen Querschnittes eines armier-
ten Betontr&i^ers mit Rücksicht auf das
allgemeine Gesetz. Z.O.I.A.y. 55. 679.

2888. G. Bamisch. Einematisch-stati-
Bche Untersuchung des eingemauerten
flachen Kreisbogen-Gewölbes. P.J. 319.
358; 369; 489.

2884. C. Beimann. Die Spannungen
in einer rotierenden Scheibe. A.G.B.
56. 56.

2885. H. Beifiner. Flexure of long
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2886. A. Bejtö. Bestimmung der
charakteristischen Eigenschafken durch
Scherversuche mit parallelen Schneiden
und rechtwinkligen Schneidewinkeln,
(d. f. u. e.) B.M. K. 9. 289; 305: 821 ; 387.

2887. Besal. Note sur la comparaison
des calculs th^oriques aux r^sultats d'ex-
p^rience relatifs ä. la flexion d*un anneau
circulaire. A.P.Ch. (8) 16. 181; 201. —
Mesnager 193.

2888. H. Salier. Stoß-Elastizität und
Fertigkeit. O.P.E. (2) 40. 168.

2889. L. H. Sckenck. Stay bolts.
A.E.R.J. 78. 354.

2890. W. Schlifüc. StabiUtäts- und
Spannungsuntersuchungen von speziellen

Fachwerksträgem mittels des erweiterten
Systems. Z.A.I. (2) 8. 897.

2891. W. Schnidtmann. Berechnung
der ScheitelstUf ke steinerner Dreigelenk-
brflcken. D.B.Z. 38. 656.

2892. J. Schreier, Graphostatische
Untersuchung des elastischen Kreisbogen-
gewölbes. Z.Ö.I.A.V. 65. 81.

2893. H, Studte, Die IheoretiBchen
Grundlagen der Rollen- und Kugellager.
P.J. 318. 469; 473.

2894. /. Stwtz. Zur Theorie der halb-
ringförmigen BalkentiAger. Z.O.IA.V.
56. 682.

2895. E. V. Teimajer. Erklärung.
Z.Ö.I.A.V. 55. 606.

2896. W. Thiel Über hölzerne Turm-
helme. D.B.Z. 37. 358.

2897. J. Thieme. Zur Berechnunj^
von kontinuierlichen Trägem über 3 (m-
nungen. D.B.Z. 87. 101.

2898. F. Thienemann. Berechnung
eines Gittermastes. P.M.C. 37. 207.

2899. A. Thompson. Graphical Solu-
tions for Spiral gears. Am.M. 1904. 112.

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37 196

2901. M. Tolle, Zur Ermittlu^ der
Spannungen krummer Stäbe. Z.V.D.L
47. 884.

2902. L. VianeUo, Die Konstruktion
der Biegungslinie gerader Stäbe und
ihre Anwendung in der Statik. Z.V.D.L
47. 92.

2908. L. Vianello, Der durchgehende
Träger auf elastisch senkbaren Stutsen.
Z.V.D.L 48. 128; 161.

2904. A. T. Weston. Stresses in thin
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£. 98. 298.

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2911. N. N. Becherches sur la con-
struction des silos. L.G.M. 80. 523;
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L.C.M. 19. 45.

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Technisches Abhandlungsregister 1908—1904.

313

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static Wattmeter. T.E. 51. 811; 845.

2916. H. Alexander und L. Fleisch-
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2917. H, Andriesgen. Über die Defini-
tionen der elektrischen Eigenschaften von
Mehrfach-Leitangssystemen. E.Z. 24. 67.

2918. H. Andriessen. Eapazii^tsyer-
hältnisse in Kabeln. E.Z. 24. 829.

2919. B, Apt und C. Mauritius. Ar- ;
beitsverluste in Hochspannungskabeln.
E.Z. 24. 879.

2920. B. Apt und 0. Mauritius. Die
Erwärmung unterirdisch verlegter Dreh-
stromkabel. E.Z. 25. 1008.

2921. V. Arco. Über ein neues Ver-
fahren zur Abstimmung fiinkentelegra-
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position d*un caract^ristique ä Tide re-
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la räalisation d'un champ ^lectrostatique
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spritzen stromdurchßossener Drähte zu
sagen. E.Z. 24. 478.

3021. C. Heinke. Untersuchungen am
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trischen Leitungsnetzen. E.Z. 24. 172.
— J. Teichmüller 338.

8028. A. Heyland. Asynchronmaschi-
nen mit Eompensierung und Eompoun-
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E.Z 24. 51; 72; 96. — W. Kehse 358.

8024. A. Heyland. Asynchronmaschi-
nen mit kurzgeschlossenem Kommutator
ohne in sich ge^chloäsene Lamellenver-
bindung. E.Z. 24. 213.

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des kompensierten Motors. E.Z. 24. 584.

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E.Z. 25. 340.

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schen Hysteresisverlust u. d. Eapazität von
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3048. W. Jaeger. Die Empfindlichkeit
des Drehspulengalvanometerd im aperio-
dischen Grenzfall. Z.I. 23. 353.

3049* W. Jaeger, Zur Anwendung des
Differentialgalvanometers bei genauen
Widerstan£messungen. Z.I. 24. 288.

3050. W. Jäger, S. Lindeck, H Biessel-
horst. Präzisionsmessungen an kleinen
Widerständen in der Thomsonschen
Brücke. Z.I. 23. 33; 65.

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power measurements. E.W. 42. 696.

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42. 797.

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von Druckluft bei elektrisch betriebenen
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formatorblechen. E.Z. 24. 93.

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50. 822.

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Kabeln. E.Z. 24. 38.

3057. H Kath. Die Durchschlagsspan-
nung in Kabeln. E.Z. 26. 668.

3058. Ä. E, Kennelly. On the mecha-
nism of electric power transmission. E.
W. 42. 672.

3059. 0. Knapp. Spannungsregulie-
rung in ausgedehnten Kraftübertragungs-
anlagen mittels Tyrrellregulatoren und
dynamischen Kondensatoren. E. Z. 26. 923.

3060. A. König. Graphische Methode
zur Ermittlung der Strom- und Span-
nungswerte von ungleichmäßig belasteten
Drehstromtransformatoren. E.Z. 24. 21;
246. — W. Karapetoff 193.

3061. G. Könia. Der mehrpolige Pol-
plan in der zeichnerischen Leitungsbe-
rechnung. E.Z. 24. 69.

3062. A. Koepsel. Versuch zu einer
Erklärung der Erscheinungen des un-
vollkommenen Kontaktes. P.J. 2l8. 193.

3063. A. Koepsel. Bemerkungen zu
Marconis Ozeantelegraphie. P.J. S18. 331.

3064. A. KoejMd. Spielt die Erde bei
der drahtlosen Telegraphie eine wesent-
liche Bolle. P.J. 318. 886.

3065. A. Koepsel. Über Resonanz-
schwierigkeiten bei der drahtlosen Tele-
graphie. P.J. 318. 626; 646.

3066. A. Koepsel. Berechnung von
Kapazität und Selbstinduktion vermittels
sehr schneller elektrischer Schwingungen.
P J. 319. 209.

3067. E. Kronstein. Über die Berech-
nung von Leitungen ohne Knotenpunkte.
Z.E.W. 22. 419.

3068. /. X. Za Cour, uirbeitsdiammm
eines elektrischen Stromkreises. Z.E.W.
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E.Z. 24. 463.

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des Bepulsionsmotors und des kompen-
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307 1 • M. Latour. The repulsion motor.
T.E. 61. 490.

3072. Jf. Latour. Einphasenmotoren
ohne Phasenverschiebung. E.Z. 24. 877.

8073. M. Latour. Moteurs k courants
alternatifs ä vitesse variable sans alt^ra-
tion du rendement. E.E. 38. 346.

3074. M. Latour. Traktion mit Ein-
phasenstrom. Regelung der Geschwin-
digkeit und Wiedergewinnung von Arbeit.
E.Z. 24. 1027.

3075. M, Latour. Chute ohmique dans
les balais des dynamos ä courant con-
tinu. E.E. 36. 296.

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la telegraphie sans fil. E.E. 39. 361.

3080. P. Letheule. Accurate measure-
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I 3082. L. Lichtenstein. Versuch mit
einem Transformator hoher Eigenkapa-
zität. E.Z. 26. 869; 1066.
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I und experimentellen Bestimmung der

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Techmschefl Abhandlungsregister 1908—1904.

317

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318

Technisches Abhandlungsregisier 1903—1904.

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Technisches Abhandlimgsiegister 1903— I90i.

319

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Eompensator naeh Prof. W. Thiermann-
Hannover. E.Z. 26. 849.

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E.Z. 24. 105.

3176. G: Seibt. Über Resonanzinduk-
torien und deren Anwendung in der
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494. — B. H. Bendahl 394; 641. —
V. Area 641.

8177. G. Seibt Läßt sich in der draht-
losen Telegraphie der Empß.nger auf
die beiden Wellen des Senders ab-
sthnmen. E.Z. 25. 1111.

3178. Ä.Sengel. Formeln z. Entwerfen
elektrischer Maschinen. E.Z. 24. 900.

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stab, ein Wellenmesser für die Funken-
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446; 494; 521; 574; 614; 645.

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metrische Bestimmung der Verlustziffer
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von Wechselströmen ohne Annahme kon-
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E.W. 22. 471.

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trische Zeitschalter. E.Z. 24. 862.

3187. G. Stern. Über den Einfluß der
Kurvenform auf Induktionszähler. E.Z.
24. 581.

3188. G. Stern. Zählerschaltungen für
Drehstromnetze m. Nullleiter. E. Z. 24.776.

3189. K. Sterzel. Gleichstrom aus
Wechselstromnetzen. E.Z. 24. 841.

3190. J. K. Sumec. Kreisdiagramm des
Drehstrommotors bei Berücksichtigung
des primären Spannungs- und Eisenver-
lustes. Z.E.W. 21. 1.

3191. «/. K. Sumec. Polumschaltung
von Drahtstrommotoren. Z.E.W. 22. 379.

3192. J. K. Sumec. Der einphasige
Induktionsmotor in graphisch - analy-
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des ^lectrons et la corrälation des forces
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82(]ä. T. Tarda. Die Klemmenspannung
der Wechselstromgeneratoren unter ver-
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3204. F. Townsend, H. P. Freund,
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impedance to the impedance at stand-
stifi. E.W. 41. 13.

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rative de la Variation du tension du fil
t^l^phonique. E.E. 33. 14,

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rie des commutateurs. E E. 35. 241.

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tische und graphische Methode zur Be-
rechnung von geschlossenen Leitungs-
netzen. Z.E.W. 22. 293; 307.

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gasförmigen, flüssigen und festen Körpern.
E.Z. 25. 1033.

3209. W. Wagner. Beitrag zur Theorie
elektrischer Schwin^ngen. P. J. 319. 33.

8210.12. TTaAZ«. Die Kurvenabspannung
des Fahrdrahtes bei elektrischen Straßen-
bahnen mit Rollenkontakt. E.Z. 25. 755;
949. — W. Hüa 867. 1004.

8211. C. E. Walsöe. Über Femsprech-
kabel mit Eisendrahtumwicklung. E.Z.
24. 746. — F. Dolezalek und A. Ebeling 875.

3212. P. Wangemann. Die Ursachen
der Deformationen von Spannungskurven
in Wechselstrommaschinen. E.Z. 25. 780;
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320

Technischee Abhandlungsregister 1908—1904.

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E.Z. 26. 901.

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triqne entre la plage et la ville de Biarritz.
G.G. 44. 81.

321«. F. WiUmann. Einige Anwen-
dungen des Oszillographen. E. Z. 26. 886.

3217. J. E. Young. The ratio of re-
sistance to capacitj in long submarine
cables and some related quantities. T.
C. 60. 813; 847.

3218. N. N. Testing the insulation
of a 3-wire network. T.E. 60. 1070.

3219. N. N. Fabrication electrique
de l'acier. E.E. 38. 48.

3220. N. N. Der Spannunffsabfall in
Wechselstromgeneratoren. P. J. 319. 736.

3221. N. N. Single phase motor. T.
E. 62. 990; 1014.

3222. iV.i\r. Transpositionoftelephone
lines: cross-talk and induction. E.W.
42 888.

3223. N. N. Die Versuche von
H. Th. Simon und M. Reich zur Erzeu-
gung hochfrequenter Wechselströme und
deren Verwertung zur drahtlosen Tele-
graphie. P.J. 318. 776.

3224. K. N. Professor J. A. Flemings
Vorträge über drahtlose Telegraphie. P.
J. 319. 380; 396.

3226. N. N, Das Induktorium von
J. Ed. Ives. P.J. 318. 411.

3220. N. N, A general diagram for
altemators. T.E. 52. 1029.

3227« N. N. Leblanc rectif jing trans-
former. E.W. 42. 299.

3228. N. N. Synchrone Umformer.
P.J. 819. 657.

3229. N, N. Compteur de Tälec-
tricit^, Systeme Frank Holder. G.G.
41. 176.

Fehlerrechnung.

3230. B, Degener. Über einige Nälie-
rungsformeln der Ausgleichungarechnnng.
G.B.B. 28. 46.

3231. Deubel Die Verteilung der
linearen Differenzen bei Flächenab-
steckungen. Z.V. 83. 878. — £umtit«r 694.

3232. Eggert. Sukzessive Ausgleichung
eines Punktepaares. Z.V. 82, 241.

3233. J. H. Franke. Einige Bemer-
kungen über Fehlergrenzen. Z.V. 88. 8.

3234. F. Hauer. Über den Genauig-
keitsgrad der Messungen für Anlage und
Bau von Tunneln. S.B.Z. 42. 219.

3236. F. B. Helnurt. Zur Ableitung
der Formel von C. F. Gauß für den mitt-
leren Beobachtungsfehler und ihre Ge-
nauigkeit. Z.V. 33. 577.

3236. Ä. Klingatsch. Zur konstanten

Bestimmung der Fadendistanzmesser.
Z.V. 32. 481.

3237. W. Läska. Näherungsmethode
für die Genauigkeitsbestimmungen. Z.V.
82. 426.

3238. W. Ldska. Über die Berechnung
des arithmetischen Mittels und des mitt-
leren Fehlers. Z.V. 32. 468.

3239. H. Lösdiner. Eine neue Vor-
richtung für Präzisionsstahlbandmes-
sung und Messimgsergebnisse. Z.V. 32.
165. — Beinherte 176.

3240. /. Schnöckel Über die Kon-
struktion des rechten Winkels zur An-
fertigung des Quadratnetzes. Z.V. 32. 491.

3241. F. Schuhe, über die Genauigkeit
trigonometrischer Punktbestimmungen
im Dreiecksnetz der Preuß. Landesauf-
nahme und die Anwendimg mecha-
nischer Rechnungshilfsmittel bei Aus-
gleichungsrechnungen. Z.V. 33. 20; 38.

3242. S. Truck. Ausgleichung der
russischenGradmessnncpsnetze für Landes-
vermessungszwecke. Z.V. 38. 273; 806.

3243. C. A. Vogler. Didaktisches
zur Ausgleichungsrechnung. Z.V. 33.
894; 609.

3244. S. WelUseh. Die mechanische
Begründung des mittleren Fehlers als
Genauigkeitsmaß. Z.O.LA.V. 66. 621.

Festigkeitslehre.

3245. A. V. Abbott. The constniction
of aerial telephone lines. E.W. 41. 128;
166; 274; 321; 369; 400; 621; 663; 617.

3246. a Bach. Zum Begriff „Streck-
grenze." Z.V D.L 48. 1040.

3247. C. Bach. Versuche über die
Festigkeitseigenschafben von Stahlguß
bei ge wöhnlicner und höherer Temperatur.
Z.V. D.L 47. 1762; 1812; 48. 886.

3248. C. Bach. Versuche über die
Festigkeitseigenschaften von Flußeisen-
blechen bei gewöhnlicher und höherer
Temperatur. Z.V. D.L 48. 1300; 1842.

3249. C. Bach. Versuche mit Granit-
quadern zu Brückengelenken. Z.V. D.I.
47. 1439.

3250. C. Bach. Einige Hauptlehren
aus Dampf kesselexplosionen der jüngsten
Zeit. Z.V. D.L 47. 160.

3251. H. BartUtt. Drawbar and buffer
attachments for use between engine and
tender. R.G. 53. 470.

3252. E. Bazin. Les ciments de laitier.
N. A. G. (6) 1. 38 ; 68 ; 71 ; 87 ; 102 ; 124 ; 164.

3253. A. J. Beck. Vernietungen. S.T.
Z. 2. 17.

3354. H. Benndorf. Beiträge zur
Theorie der Drahtseile. Z.O.LA.V. 66.
438; 449.

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Technisches AbhandluBgsregister 1908—1904.

321

8255. E, Bindeuxüd. Die Straßen-
deckinatenalien der Bheinpfalz. T.G.

7. 99; 828. — Feil 176.

8256. C. BirauU, Les tunnels tabu-
laires en terrains aqtdföres. Etade des
flezions dans les parois sons Taction
des pressions ext^iieures. G.G. 46. 121.

3257. J. Bruhn, Querfestigkeit von
Schiffen. S.B. 6. 163; 196; 297; 860;
488; 473; 619.

8258. E, Carlipp. Über Bereoimongen
von Beton- nnd Betoneisenkonstruktionen.
S.D.B. 13. 826; 836; 842; 847; 867; 864.

8259. A. Cappillerie. Graphische Er-
mittlting der Pronlnummer eines Z-Eisens,
das als Pfette dient. W.B.S. 1. 318.

8260. P. Chenevier. Calcnl rapide
des r^sistances. L.G.M. 20. 237.

8261. C, Codron. Conditions de räsis-
tance des pistons des machines k vapeur.
R.D.M. 14. 817; 16. 238; 489.

8262. Considh'e. Influence des pres-
sions laterales sor la r^sistance des solides
k r^crasement. A.P.Ch. (8) 14. 26d.

8268. A. GoiUmas. ^ Darstellnng der
Knickungsformel von Bankine und
Schwarz in Form von zeicherischen
Rechentafeln. Z. ö. I. A.V. 66. 668.

8264. A. Banz. Theorie der mehrfach
gekröpften und zwei- und mehrfach ge-
lagerten Kurbelwellen. Z.W. 8. 499.

8265. A, Dietzius Einfluß der Stampf-
bewegnngen bei Stapellauf auf die Be-
anspruchung des Schiffes. S.B. 6. 287.

8266. B. W. DuU. Some formulas
and tables for bin designing. E.N. 62. 62.

8267. G. Eder. Breitflanschige I-
TrÄger (System Grey). S.D.B. 13. 228;
282; 246; 268.

8268.. F. V. Emperger. Über die Druck-
festigkeit von Steinpfeilemund Gewölben.
Z.Ö,I.A.V. 66. 188.

8:S69. B. Escher. Graphische Tabelle
zur Bestimmung der Riemenbreite. S.B.
48. 146.

8270. F. D. Resistance des meules
d'^meri et de carborundum. G. C. 43. 201.

8271. F. D. Essai de mat^nauz k la
traction par choc. G.G. 46. 392.

8272. A. Föppl Ein Satz aber die
Festigkeit von Kesselböden. B.M.K.

8. 69; G.B.B. 28. 141.

8278. P. Forchheimer. Zur Festigkeit
weiter Rohre. Z.Ö.I.A.V. 66. 133; 149.

8274. H. V. GUnski. Anwendung der
neueren Methoden der Festigkeitslehre
auf einige Beispiele aus dem Maschinen-
bau. V.V.G. 88. 76.

8275. M. Grübler. Versuche über die
Festigkeit von Schmiergel- und Karbo-
rundumscheiben. Z.V. D.I. 47. 196.

8276. M. Grtlbler. Essais pour d^ter-
miner la r^sistance des meules en ^meri
et en carborundum. B.S.E. 104. 484.

8277. F. Gulhemu(h, Recherches sur
les dimensions ä donner aux canauz de
distribution des machines k vapeur.
R.D.M. 14. 469.

8278. K. HaberkaU. Über Versuche
m. Verbundkörpern u. deren wissenschaft-
liche Verwertung. D.B.Z. 87. 841; 860.

8279. Haesler. Die Erneuerung der
Uferbefestigungen am Spreekanal in
Berlin mit eisernen Ständern und Monier-
platten. Z.B.W. 64. 610.

8280. H. A. H. The Strength of plank
floors. Am.M. 1904. 192.

8281. B. S. Haie. Staybolts, braces
and flat surfaces in boilers. E.N. 62. 633.

8282. W. K. Hott. Flexure of rein-
forced concreto beams. R.G. 64. 804.

8288. W. K. Hau. Tensil impact
tests of metals. E.N. 62. 206.

8284. M. Heinecken. Über die Be-
rechnung von elliptischen Kuppelböden
fOr Gasbehälterbassins. J.G.W. 47. 27.
— Forchheimer 222.

8285. H. L. Festigkeit eines Wasser-
rohrkessels. S.B. 6. 666.

8286. J. Krabäck, A. Werner. Die
Drahtseile. Z.Ö.I.A.V. 56. 27; 44; 188.

8287. J. T. Hochbehälter mit 176 cbm
Wasserinhalt. P.M.C. 36. 7.

8288. J. T. Hochwasserbehälter von
28,6 resp. 19 cbm Inhalt. P.M.G.86. 94.

8289. J. T. Prüfung eines Schorn-
steins auf Standsicherheit. P. M. G. 87. 182.

8290. H Kath. Belastungstabelle fOr
einfache Gleichstromkabel. E. Z. 26. 969.

8291. B. Kirsch. Über neuere Kon-
struktionsmaterialien des Bauwesens. M.
T.G.W. (2) 14. 199.

8292. B. Kirsch. Studien über das
Problem der Zerknickung. M. T.G.W.
(2) 14. 258.

8298. F. B. Kleinhans. The strength
and Proportion of hydraulic cjlinders.
Am.M. 1903. 440.

8294. Kneisler. Günstigste Neigung
der Dachräume. G.B.B. 24. 189; 298.

8295. F. Kretzschmar. Festigkeit von
Wellentunneln. S.B. 4. 49; 116; 161;
6. 608; 567; 621; 677; 784; 786; 830.

8296. ZWemZer. Über die Untersuchung
der Quersteifigkeit oben offener eiserner
Tragbrucken. Z.A.I. (2) 8. 78.

8297. Kriemler. Ein Fall von Knickung
durch eine Zugkraft. D.B.Z. 37. 246.

8298. E. Kühne. Betrachtungen über
Dampfrohrleitungen. S.B. 6. 637.

8299. B. B. Leffler. Formulas for
concrete-steel beams. E.N. 60. 820.

Zeitsobrift f. Mathematik n. Physik. 68. Band. 1906. 3. Heft.

21

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322

Technisclies AbhandluBgsregister 1903—1904.

8800. TT. Linse, Der eiBenveratftrkte
Beton. S.E.D. 28. 42; 188; 190; 266;
818; 891.

8801. L. Lossier. Note snr la parti-
dpation da hourdiB ä. la r^sistance des
nervnres danB les constractionB en bäton
arm^. 8.B.Z. 44. 146.

8802. E, Low, A fonnula foi ciown
thicknesB of maBoniy arches. E.N. 62.
248; 406. — J. P. Snow 406.

3808. P. Ludwik. Zogyersnche mit
Flnßeisen. T.B. 86. 1.

8804. J. MeUm und E. 8f€ohoda, Der
Bau der Erzherzog Ludwig-Yiktor-Brflcke
tiber die Salzach in Salzburg. W. A.B.Z.
69 1

88Ö6. K. G. MeldaM. Einfluß der
Btegdicke auf die Tragfähigkeit eines
[-Balkens. J. 8. G. B. 4. 406.

8806. M(k9ch, Schub- und Scher-
festigkeit des Betons. S. B. Z. 44. 296 ; 807.

8807. E, Mör9ch. Theorie der Beton-
eisenkonstruktionen. D.B.Z. 87. 210;
223* 281

8808. B. Neumann. Die Verstärkung
Ton Trägem aus Schweißeisen durch
Aufiiieten von Platten aus Flußeisen.
C.B.B. 28. 176.

8809. /. Fayet. Einführung einheit-
licher Schraubengewinde für G^sapparate.
J.G.W. 47. 498.

8810. H. Pilarim. Die Enickungs-
berechnung nacn den Yersuchsergeb-
nissen. Z.A.I. (2) 9. 241.

8811. PlaU. Die Erhöhung der Bahn-
steiffe der Stadt- und Ringbahn Berlin.
M.Z.B.E. 1. 64; 68.

8812. P. P Expäriences de Rodelet
sur la r^sistance des mat^riaux. L.C.M.
18. 477; 489.

8818. P. P Emploi du bdton arm^.
L.C.M. 19. 808; 820; 882; 846; 866; 880.

8814. P. P Conduites et räservoires
en eiment arm^. L.C.M. 19. 428; 489.

8815. G, Bamisch. Ermittlung der
Wandstärke von Durchlaßröhren aus
Stampfbeton. Z. ö. I. A. V. 65. 106.

8816. K, Rudolf, Berechnung eines
Hochofengebläses. P.M.C. 86. 44; 57;
65; 72.

8817. B. Sdliger. Über den Einfluß
der Schubfestigkeit und der Armierung
auf die Bruchgefahr in gedrückten Stein-
prismen. Z.A.L (2) 9. 525.

8818. B, Saliaer, Berechnung von
Stützen aus Eisenbeton mit Berücksichti-
gung der Eigenspannungen infolge
Schwindens. S.D.B. 14. 258.

8819. (7. Schmid. Betongründungen
mit Fallbohrer und Fallstümpfel. S.D.B.
14. 406.

I 8890. A. 8<^fHÜM. üniersuchunffen
übet Zugfestiffkeit, Dehnung und eiaa-
tisches Verhalten von Fe- und Stahl-
stäben. y.Y.G. 82. 243.

8821. A. E. Seaton. Impact teste.
Eg. 78. 728.

8822. A. Sie. Calcul des parois des
Silos ä grains. G.G. 46. 877.

8828. H. SeUentin, Die Beanspruchung
schnell laufender Schubstangen. S.£
4. 869; 429.

M^i, H. SeUenUn. Die Beanspruchung
ebener Schiffsbodenbleche. S.B. 5. 8 ; 67.

8825. H. SeUentin. Die Leitnummem
des Germanischen Lloyd. S.B. 6. 602.

8826. 8. E, Shcum. Rational formulas
for the strength of a concrete steel beam.
E.N. 60. 107. — W. K. Hott 144.

8827. S, E. Shcum. The strengtii
of flat platins with an apcdication to
concrete-steel floor panels. E.N. 62. 22.

8828. 8. Sor. Beitrag zur Berechnung
vonEisenbetonbauten. M.Z.B.E. 1. 86; 44.

8829. J. Stieghorst. Beitrag zur Kon-
struktion von Bootekränen. S.B. 4.206;
261; 824; 888.

8880. B. Stribeck. WaimzeireißTer-
suche mit Durana -Gußmetall. Z.Y.D.L
48. 897.

8881. W. C. ünwin. On testing maie-
rials. Am.M. 1904. 971.

SU2. L.Vogel Granhische Berechnung
der Transmissionswefien. P.J. 819. 669.

8888. G. 8. Walker. An chart for
calculating the strength of shafts and
pins. Am.M. 1908. 1649.

8884. M. Westph^a. Praktische Er-
fahrungen und Mitteilungen über Rohr-
leitungen, insbesondere über Dampirohr-
leitungen. Z.V.D.L 48. 688.

8885. TT. M. Wilson. Proof of gra-
phical methods for determining the out-
line of rollers for miüdng rotary con-
veyors. Am.M. 1908. 1188.

8880. a H. Wingfield. Gast iron for
piston rings. Eg. 76. 400.

8887. E. Witt. Festigkeitsberechnung
eines wasserdichten Schotts. S.B. 6. 106.

8888. F. Wütenbauer. Die Yerall-
gemeinerung der Eulerschen Enicklast.
Z.V.D.L 47. 246.

8889. B. Zschokke. üntersuchiuigen
über die Plastizität der Tone. (d.u. fr.)
B.M.K. 8. 1; 26; 53.

8840. N. N. Influence des pressions
laterales sur la r^sistance du b^ton et
du eiment k T^crasement. G.G. 44.415.

8841. N. N. Poteaux et piliers en
eiment armä. L.C.M. 20. 696; 621.

8842. N. N. Plate girder webs. E. 98.
257. — W. E. LiUy 806.— S. Mansfield 875.

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Technisches Abhandlnngsregister 1908 — 1904.

323

8848. N. N. Ein Beitrag zur kon-
struktiven AnsfOhrang des Flammrohr-
Dampfkessels. P.M.G. 86. 116.

8844. N. N. A boUer-flne problem.
Eg. 76. 706.

8845. N. N. The accident on HMS
,^nllfinch". Eg. 77. 179.

8846. N. N. Petroleumtank von
6200 cbm Inhalt. P.M.C. 87. 180.

Flftelientheorie.

8847. F. TMmayer. Hyperbolische
Paraboloidfl&che als Pflugstreichbrett.
P.J. 819. 682.

Geometrie.

8848. E. P. Verschneidung zweier
Neigungen. Z.Ö.LA.V. 56. 222.

8849. J. B. Everett, On the mathe-
matics of bees cells. Eg. 75. 701.

8850. F. V. Handorff. Die AusfOlming
▼on Kreisteilungen in der Maschinen-
technik. Z.W. 7. 361 ; 879; 898; 407; 421.

Oescbielite der
angewandten Mathematik

8861. E, Hammer. Die Schriften des
Heron von Alezandrien über Y ermessungs-
lehre und seine geodätischen Instrumente.
Z.V 82. 666. — Peteoldt 691.

Oleieliungen.

8862. H. Elias. Die Lösung von
Gleichungen 8. Grades auf dem Eechen-
schieber. C.B.B. 28. 569.

8858. P. L. Ezample d'^quation r^ci-
proque du 4. d^gr^. J.G. 46. 87.

Oraphiseher Kalkül.

8864. JP. Busset' SchtOer. Nouveau
proc^dä graphique de balancement des
marches d^escalier. G.C. 46. 18.

8855. Oniischke. Neues Verfahren
zur zeichnerischen Auswertung schwie-
riger Funktionen für technische und
praktische Zwecke. Z.B.W. 54. 694.

8856. J. Harrison. ülustrations of
graphical analysis. Eg. 76. 408.

8857. Reinhardt. Graphische Flächen-
berechnung. C.B.B. 28. 76.

8858. F. Rutsch. Die Steigungsver-
hältnisse der Treppen. S.D.B. 13. 117.

8859. /. Schnöckel. Graphische Inte-
grationen. Z.Y. 82. 129.

8880. L. Vogel. Calcul graphique
des arbres detransmission. B.S.E. 106. 975.

Hydrostatik und Hydrodynamik.

8861. J Adam. Über Schaufelun^n
von Francisturbinen. P.J. 818. 449.

8862. H. Adolf. Erfahrungen bei An-
ordnxmg von Wasserleitungsreservoiren.
Z.ÖI.A.V. 66. 72.

8868. F. Ahlbom. Hydrodynamische
Experimentaluntersuchungen. J. S. G. B.
6. 417.

8864. C. Allievi. Sur la th^orie g^n^-
rale du mouvement vari^ de Teau dans
les tuyaux de conduite. R. D. M. 14. 10 ; 230.

8865. J. Amsler-Laffon. Die Theorie
der Frankschen Röhre. W.B.S. 1. 174;
P.J. 319. 141.

8866. M. H. Bauer. Internationale
MotorbootausstelluDg Berlin -Wannsee
1902. S.B. 4. 211.

8867. jBaum und ITo/fifiann. Versuche
an Wasserhaltungen. Z.V. D.I. 48. 1829;
1905; 1967.

8868. R. Baumann. Beitrag zur
Untersuchung des Verhaltens von Francis-
turbinen bei veränderlicher Wassermenge,
Umdrehungszahl und Gefällshöhe. P.J.
819; 629; 547.

8869. H, Berg. Die Wirkungsweise
federbelasteter Pumpenventile und ihre
Berechnung. Z.V.D.1. 48. 1098; 1184 ; 1183.

8870. Berg. £tude sur le fonctione-
ment des soupapes des pompes charg^es
par des ressorts. R.D.M. 16. 450; 544.

3871. W. Bucerius. Das Umschalt-
Ventil fObr Flügelrad -Wassermesserver-
bindungen. J. G.W. 46. 61 ; 86. — W. Eis-
ner 247.

8872. O. Cadart et L. Barbet. Des
äl^ments coustitutifs d*une voie navi-
geable. A.P.Ch. (8) 9A. 212.

8878. C. A. E. B. Beitrag zur Theorie
der Konstanten Frondes zur Bestimmung
des Schiffswiderstanded. S.B. 6. 67.

8874. Camerer. Beiträge zur Bestim-
mung der Ein- und Austrittsgrößen von
Turbinenlaufrädern auf Grund experimen-
teller Untersuchung. P.J. 319. 817.

8875. J. H. Cardew. Burraga dam
and water supply for the Lloyd Copper
Company 's mine New South Wales. M. P.
LC.E. 152. 237.

8876. T. Christen. Neue Belege zu
der GeBchwindigkeiteparabel 8. Ordnung.
Z.G. 6. 176.

8877. G. Crugnola. Zur Dynamik
des Flußbettes. Z G. 6. 241.

8878. Danckwerts. Die Grundlagen
der Turbinenberechnung. Z. A.I. (2) 9. 141.

3879. Danckwerts. Tabelle zur Berech-
nung der Stauweiten in offenen Wasser-
läufen. Z.A.I. (2) 8. 267.

8880. Dari^. ^tude comparative des
diverses fonnules de Täcoulement de
Teau dans les tuyaux de conduites. N.A C.
(6) 1. 182.

21*
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324

Technisches Abhandlongsregister 1903—1904.

8881. Delemer. £tade sur les crues
de TArdfeche. A.P.Ch. (8) 14. 180.

8882. A. Dietzius. Bestimmung der
Höhenlage des Sjstemschwerpxmktes
doich einen Dockversnch. S.B. 6. 1169.

8888. A. Dietzius. Über Schwimm-
dockanlagen. S.B. 6. 421.

8884. B. Escher. Die Schaufelnng
der Francistorbine. S.B.Z. 41. 26; 43.

8885. M. Esser. Untersnchung über
die Stabilität eines modernen Schnell-
dampfers beim Leckwerden des Steuer-
bordmaschinenraumes. S.B. 4. 1043;
1089; 1129.

8886. Fargue. V^rification th^orique
des lois empiriques relatives ä la forme
du lit des riviSres navigeables ä fond
mobile. A.P.Ch. (8) 10. 179.

8887. Ferchland. Zur Theorie der
Flußbettbefestigungen. Z.A.I. (2) 9. 896.

8888. A. Fliegner. Ein neuer Weg
zur Berechnung der Staukurve. S.B.Z.
42. 89.

8889. A. Flie^jner. Die größte Aus-
strömungsgeschwindigkeit elastischer
Flüssigkeiten. S.B.Z. 43. 104; 140.

8890. A. Foeppl Die Theorie des
Schlickschen Schiffskreisels. Z.V. D.I.
48. 478; 983. — F. Berger 982.

8891. Forhdt Bestimmung der ab-
zuführenden Größtwassermengen bei Be-
rechnung des Kanalnetzes von Mailand.
G.I. 27. 289.

8892. P. Fordiheimer. Wasserbewe-
gung in Wanderwellen. Z.G. 6. 321.

8898. J. Chodman. The construction
of jets. Eg. 77. 350.

8894. /. Goodman. Hydraulic ex-
periments on an Plunger pump. E. 95.
214; Eg.lb.S2ß. — „Geitnanengineef" 4:94^.

8895. J. Goodman. The governing of
impulse water- wheels. Eg. 78. 597.

8896. P. Greiner. Ermittlung der Was-
sermengen fließender Gewässer. S.A.Z.
2. 65; 76.

8897. B. F. Groat Experiments and
formula for the efflciency of tangential
water wheels. E.N. 52. 430.

8898. Gröhe. Bestimmung des Was-
serverbrauchs bei Schleußungen. C.B.B.
24. 170.

8899. B. Uaack. Die Wasserbewegung
wälu-end der Fahrt von Schiffen und ihr
Einfluß auf den Schiffswiderstand. Z.V.
D.I. 47. 693; 786.

8400. E. P. Hahn. Governing impulse
water-wheels. Eg. 78. 832.

8401. S. Hajos. Neues Verfahren zur
Messung kleiner Wassergeschwindig-
keiten. C.B.B. 24. 281.

8402. W. Halbfass. Stehende See-

spiegelschwankungren im Madüsee in
Pommern. Z.G. 5. 15; 6. 65.

8408. B. Hartmann. Beitrag zur Kennt-
nis der Wirbelbewegung. Z.G. 6. 106.

8404. H. Heimann. Die Energieum-
wandlung durch Reibung und ihr Nutz-
effekt. P.J. 318. 113.

8405. G. J. Henry and J. N. Le CkmUe.
An efficient high-pressure water-power
plant. E.N. 50. 311.

8406. J. Hermanek. Zur Frage der
Bestimmung der Stau weite. Z.G. 6. 186.
— JB. Tolmann. 298.

8407. Herzog. Notice sur les siphons
du Tröport, A.P.Ch. (8) 13. 10.

8408. A. Hirschinann. Die Kanalisa-
tion von Neustadt a. d. H. S.D.B. IS. 28.

8409. W. Hovaaard. Water-tight sub-
division of warships. E. 98. 45.

8410. J. A. W. Raising water bj
compressed air. Eg. 77. 58. — C. C. Mason
135; 223; 340.

8411. A. W.Johns. The normal pres-
sures of thin moving plates. E. 97. 396.

8412. Khr. Erfahrungen bei Anord-
nung von Wasserleitungsreservoiren. J.
G.W. 46. 355.

8418. F. B. Kleinhaus. Diagrams for
estimating hydraulic machinery. E.N.
50. 362.

8414. A. Klir. Winkelschutz mit Was-
serdruckbetrieb. W.A.B.Z. 69. 138.

8415. M. Knauff. Die Kanalisation
von Neustadt a. H. T.G. 6. 52. — ^. Hirsdi'
mann 349. — A. Träbling 7. 191.

8419. B. Koechlin. Barragea mobiles
cylindriques ä. grandes port^e. Barrages
de Schweinfurt. G.C. 44. 261.

8817. G. W. Koehler. Raschlanf-
pumpen fflr Elektromotorantrieb. V. V. G.
82. 197.

8418. C. Kömer. Berechnung der in-
neren Beibungskomponenten bei Flüssig-
keiten längs gegebener Bahn. T.B. 36. 154.

8419. P Kresnik. Zur günstigsten An-
leitung städtischer Wasserleitungen. Z.
Ö.I.A.V. 55. 154.

8420. P. Kresnik. Das kleinstmögliche
Profil der Thalsperremauem. Z . ö. LA. V.
56. 534.

8421. F. Kretz. Versuch über den
Verlauf eines wagrechten Wasserstrahles
unter Wasser. D.B.Z. 37. 523.

8422. F. Kreuter. Untersuchung über
die natürliche Gleichgewichtsform beweg-
licher Flußbetten tmd die naturgemäße
Herstellimg kunstlicher Flußbetten. Z.
Ö.I.A.V. 56. 670.

8428. H. Krey. Wasserstoß und stoß-
freie Bewegung des Wassers. Z.A.L (2^
9. 533; 549. — Danhwerts 547. 549.

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, Technisches AbhandlungBiegister 1908—1904.

325

8424. B. Kühn, Die TrasBen der
Osterreichischen Kanäle. Z.O.LA.Y. 66.
467.

8425. H. Ku88. Note snr les princi-
paux appareils destin^s ä pr^venir Fenvoi
des cases aux molettes et lenrs chocs
contre les taquets dn fond. A.D.M.P.
(10) 3. 479.

8426. J. Lobes, Unterhaltung der
Röhrenwasserleitang vom Sieberflnß zum
Bahnhof Herzberg a. H. Z. A.L (2) 9. 367.

8427. G. M, Lawford. The flow of
water in long pipes. M.P.I.G.E. 163.297.

8428. Lieckfeldt Von der Bewegung
des Wassers. G.B.B. 28. 497. — H. Frey
24. 625.

8429. Z, V, Lifnbeck, Der Fischpro-
peller. W.A.B.Z. 69. 81.

8480. M. Ltixenherg, Talsperren als
Kraftanlagen fCir Elektrizitätswerke. E.
Z. 24. 429.

8481. B. Hansel. Steamship propul-
sion. E. 96. 626.

8482. B, Mansel. Note on the ste-
amship propulsion. E. 96. 882.

8488. B. Mansel Trial of the Impe-
rial Russian transport vessel Ocean. E.
96. 831.

8484. W. E. Morey. Design of a
4000-ton hjdraudic press. Am.M. 1904.
1626; 1664.

8485. N. A, On the heeling and rol-
ling of ships of small initial stability. Eg.
78. 241.

8486. B. Ä. Niven. B^moving grease
from work-spiral gearing. Am.M.1903. 306.

8487. B. Fhilippe. La Loire navigable.
Q.Q. 41. 49; 68; 92.

8488. F. Fräsü. Über Flüssigkeits-
bewegungen in Rotationshohlräumen. S.
B.Z. 41. 207; 233; 249; 282; 297.

8439. W, H. Baebum, Calculations
for hjdraulic punching and shearing
machines. Finding the moment of inertia.
Am.M. 1904. 128. — Ä. H. Jackson 381.
— C. Herzberg 562.

8440. A. Bateau. Note ä propos du
travaU de M. Allievi: Sur la thdorie gä-
närale du mouvement vari^ de Teau dans
les tuyaux de conduite. R.D.M. 14. 6.

8441. J. Bey. La turbine ä vapeur
du Systeme Rateau et ses applications.
M.LC. 57 A. 497.

8442. L. Bibourt. La r^gulation des
turbines hydrauliques. M.LC. 57 B. 41.

8448. 0. Bichter. Beitrag zur Geo-
metrie der Schiffsform S.B. 6. 698; 640;
684; 738.

8444. Bintelen. Wassererspamis bei
Schiffsschleußen mit hohem Gefälle. A.
G.B. 64. 161.

8445. M, Bother. Die Ergiebigkeit
unvoUkonmiener Brunnen. J.G.W. 47.
937; 967.

8446. K. Budolf. Bemerkungen über
die Ermittlung des Reaktionsdruckes, des
Bahndruckes und des spezifischen inneren
Druckes von Flüssigkeiten, die in krum-
men Röhren strömen. Z.G.T. 1. 10; 36.

8447. C. Budolf. Über nichtstationäre
Strömung von Flüssigkeiten. Z.G.T. 1.103.

8448. BuUmann. Die Abflußverhält-
nisse bei Durchlässen im Überschwem-
mungsgebiet. S.D.B. 14. 147.

8£L9. N. Schmidt, Untersuchungen
über die Umlaufbeweg^ung hydrome-
trischer Flügel. Z.V.D.L 47. 1698; 1783.

8450. A. Schmoll v. Eisenwerih. Bei-
trag zur Theorie und Berechnung der
hy&aulischen Regulatoren für Wasser-
kraftmaschinen. P.J. 819. 267; 278; 291;
306; 326; 341.

8451. J. Schütte. Einfluß der Schlinger-
kiele auf den Widerstand und die KoU-
bewegung der Schiffe in ruhigem Wasser.
J.S.G.B. 4. 341.

8452. W. Schule. ÜberfaUwehr. S.
D.B. 14. 87.

8458. W. Schulz. Dimensionierung
trapezförmiger Kanalquerschnitte. S.D.
B. 14. 46.

8454. W, Schweer. Graphische Me-
thode der Rohrbestimmung für Wasser-
heizungen. G.I. 27. 117.

8455. A, Scribanti. On the heeling
and rolling of ships of small initial sta-
bility. Eg. 77. 763; 801. — ^. W. Johns
860. — G. B. Verrina 78. 16; 194.

8456. B. Siedek. Sudie über eine neue
Formel zur Ermittlung der Geschwindig-
keit des Wassers in Bächen und künst-
lichen Gewässern. Z.Ö.LA.V.56.98; 117.

8457. B, H. Smith. Dynamic and
commercial energy in turbines. E. 97.
640; 678; 608.

8458. G. Soukup. Die Versicherung
der Fundamente bei der Karlsbrücke in
Praff. W.A.B.Z. 69. 91.

8459. Steuernagel. Zur Kanalisation
der Stadt Köln. T.G. 6. 141.

8460. O.V.P.Stout. Notes on the com-
putation of stream gagings. E.N. 62. 621.

8461. 2>. W. Taylor, über die Ent-
wicklung von Schiffsformen mit Hilfe
von Formeln. S.B. 6. 686; 737; 788.

8462. A, Tellier Als. Note sur les
canots automobiles ä grande vitesse. M.
I.e. 67 B. 483.

3468. N. Tjapkin. Bestimmung der
Fülldauer der Schleußenkammer auf dem
Ssewernij Donez bei wirksamer Stau-
oberfläche. Z.G. 6. 145.

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326

Technisches Abhandlungsiegister 1903 — 1904«

S464. P. Tolman. Stadie über die
AbfloßTerhältnisse an der Floßschleuse
bei der Stanstnfe Nr. 1 bei Troja an der
Moldan. W.A.B.Z. 69. 108.

8465. G, Veüut. The flow of liqnids
in glazed stoneware pipes. M.P.I.C.E.
161. 482.

S4M. C. WcMcenaer. Snr les ascen-
senra ätablis par M. M. Samain et Cie.
B.S E. 106. 186.

8467. jBT. WaUer. Nenes analytisch-
graphisches VerfiGthren zur Bestimmung
der Stauweite. Z.G. 6. 66.

8468. W. Wodieka. Über den hydrau-
lischen Stoßheber. Z.Ö.I.A.y. 66. 76.

8469. A. J. Wqj^kow. Einige Prob-
leme der Seenkunde. Z.G. 6. 1.

8470. F, Yankowsky, Sur la r^ver-
sibilitä des turbo-machines hydrauliques.
B.D.M. 14. 417.

8471. A, W. Toung. The design of
a dry dock. Eg. 78. 448.

8472. E, Zetzmann. Die Gleichge-
wichtslage des unverletzten und des
lecken Schiffes. S.B. 4. 712; 761; 807;
858; 908.

8478. N. N. Patent Leux. Anord-
nung der Betriebskessel für die Propeller
bei Schiffen. S.B. 4. 98; 146.

Inhalte.

8474. Barkhatisen. Erdmassenermitt-
lung. D.B.Z. 87. 686.

8475. Briegleb. Zur Berechnung von
Erdmassen. C.B.B. 24. 566.

8476. W, Ccmtelo. Measuring eztemal
screw thread diameters. Am.M. 1908.
904; 988; 1226.

8477. J. Clark. Developing the sur-
face of spherical roofs by calculation.
Am.M. 1904. 822.

8478. A. Coulmas. Beitrag zur Be-
stinmiung von Querschnittsinhalten von
Bahnkörpern. C.B.B. 23. 249.

8479. V. A. Kauffman, A method of
calculating theorie of cross section. E.
N. 62. 576.

8480. Kummer. Genauigkeit der
Flächeninhaltsberechnung mittels der
Elothschen Hyperbeltafel. Z.V. H2. 686.

3481. Kummer. Wie ist die Differenz
der zum Zwecke der Flächenabsteckung
berechneten Strecken in ihrer Summe
gegen eine bereits feststehende Gesamt-
länge zu verteilen. Z.V. 33. 11.

4482. K. Lademann. Inhaltsbestim-
mung von Parallelogrammen. C.B.B.
24. 290.

8488. E. Maener. Einrechnen der
Schnittpunkte projektierter Erdwerke in
Querprofile. D.B.Z. 38. 323.

8484. Puüer. Zur FUchenberechnmig.
C.B.B. 28. 6. — Spangenberg 99.

8486. PuOer. Beitrag zur Ermitthing des
BaundnhaltesvonEörpem. C.B.B. 24.342.

8486. PuUer. Besiunmung der Banm-
und Oberfl&cheninhalte eines Zylinders.
Z.V. 88. 869.

8487. PuUer. Inhaltsbestimmung von
Weserampen. C.B.B. 24. 698.

MSS.Pulier. Die Massenberechnungen
f3r die Kunstbauten der Eisenbahnen.
Z.A.I. (2) 9. 661.

8489. G. Bauter. Die Beaktionstürme
und ihre Anwendung in der chemischen
Technik. P.J. 818. 179; 219.

8490. J. Sehnöekel Beitrage sur
Flächenberechnung mit der Hyperbel-
glastafeL Z.V. S2. 869.

8491. B. Sdwnhöfer. Genaue zeich-
nerische Ermittlung des Flächenprofiles
und des Grunderwerbes mit Bücksicht
auf Quemeigung ohne Zeichnung von
Querprofilen. Z.O.I.A.V. 56.184; 247.
— i. Szarvaa 246.

8492. A. T. 8i88on. Finding the di»-
meter of a ball cup. Am.M. 1908. 162.

8498. S, Sor, Die Oberfläche des el-
liptischen E^;els. Z.A.L (2) 9. 208.

8494. G. f. Summers. The weight of
solids of revolution. Am.M. 1908. 91.

8496. Zimmermann. Der Rauminhalt
einer Blechmulde. C.B.B. 24. 296.

8496. N. N. The calculation of the
weight of Castings with the aid of the
planimeter. E. 96. 695.

Kinematik.

8497. C. Bach und E. Böser. Unter-
suchung eines dreigängigen Schnecken-
getriebes. Z.V.D.L 47. 221.

8498. G. T. BenkeU. A new mecha-
nism. Eg. 76. 777.

8499. B. A. Bruce. Bevel gears with
Short teeth. Am.M. 1904. 549.

8500. W. Bucerius. Graphisches Be-
rechnen vonWechselrädernzumGrewinde-
schneiden auf Drehbänken. Z.W. 8. 878.

8601. H. A. Coombs. The art of ge-
nerating gear teeth. Am.M. 1903. 986.

8B02. G. F. Dodge. Gears for vari-
able center distance. Chordal pitch. Am.
M. 1904. 207.

8&08. E. Dubosc. Note sur les engre-
nages coniques. B.D.M. 14. 181.

8504. S. Edelstein. Das Eettenschalt-
getriebe am mechanischen Webstuhle,
P.J. 319. 212; 228; 262; 277; 294; 818;
330; 346; 361; 404; 473; 492; 620; 689;
564; 585.

8606. S. Edelstein. P.J. 819. 602; 619;
669; 691.

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Teobnisches Abhandlnngsregister 1903—1904.

S27

S506. B. E. Flandera. Gonstant of
depth for gear teeih. Am.M. 1904. 827.

8507. L. Ä. Freudenberger. Plotting
of speed time curve &om the accelera-
tion Bpeed cunre. E.W. 42. 96.

8508. L. A. Freudenberger, Plotting of
speed time and speed distaace curres from
tne acceleration speed cnrve. E. W. 42. 219.

8609. W, Frick. Grisson-Getriebe. T.
8. 126.

8610. JET. V. Glintki. Eonsioniktion der
FrofilloteeinerSchnecke. Z.V. D.I. 47. 368.

8511. TT. E, Jewnings. Fonnnlas for
Spiral gears. Am.M. 1908. 1369.

8512. J. W. Berecbnung der Teilkegel-,
Dreh- und Fräswinkel Ton Kegelrädem.
Z.W. 8. 189.

8518. H. Kratzert. Zur Erzengnnff
der Eoppelkürve durch 8 Doppelknrbef
getriebe. Z.OLA.Y. 66. 408.

9&U* E.Latoreng, Etwas über die Kon-
struktion und Anwendung von „Garns**.
T. 9. 266.

8516. a M. Marshda. Gas engine
cams. Am.M. 1904. 1408.

8516. E, Marx, Eonstante Schnitt-
geschwindigkeit beim Plandrehen und
die richtige Schnittgeschwindigkeit beim
Ungsdrehen. Z.W. 7. 116.

8517. G. Nardin. Tours verticaux
constmits par les ateliers Dacommon.
B.S.E. 104. 693.

8518. E. C. OUver. The solntion of Pro-
blems in Spiral gearing. Am.M. 1904. 1218.

8519. A. Schaifer. Über Zahnr&der.
Z.Ö.I.AV. 66. 71; 81.

8580. A. SehieM. Die Eingriffsver-
hfiltnisse der Zahnr&der mit besonderer
Berflcksichtigang der Schneckengetriebe.
T.B. 34. 1.

8521. W.SchladUz, Vereinfachte Über-
tragung der Kreisbeweg^ung in eine mehr-
fach seradlinige. P.M.G. 37. 169.

85&. A. Steiner. Über Gewinde, deren
Herstellung und Untersuchung. Z.W.
7. 208; 436.

8528. J. Tarka. Die Kegelschnitte im
Kurbelgetriebe. Y.V.G. 83. 226.

8524. «/. Wastrowsky. Grundssüge einer
graphostatischen Berechnung bewegter
Maschinenteile. Z.O.I.A.V. 66. 36; 49;
207. — F. Wütenbauer 207.

8525. B. A. Wright The Nordberg
reversing gear. Am.M. 1904. 761.

Kreis.

8528. E. H. Lockwood. A circle to
enclose a given number of smaller circles.
Am.M. 1903. 240. — E. H. Loekwood 442.

8527. N. N. Dali bearings with 4 points |
contact. Am.M. 1904. 226. — 5a/far 861. |

Kurren.

8528. F. BouXard. Note sur un trac^
g^om^trique des paraboles cubiques e tses
applications aux lignes d'influence dans
les poutres continues. A.P.Gh.(8)12.100.

8629. BüMe. Verbindung zweier Ge-
raden durch eine Gegenkurve mit
Zwischentangente. Z.V. 38. 691.

8580. A. Smch. Two problems in field
engineering. E.N. 60. 601.

8581. W. E. Ooldsworthy. Drawing
an ellipse. Am.M. 1908.1298. — O.EUpen
1741.

8582. H. KraUfert. Ist die Perizykloide
eine besondere Art der Zykloiden? Z.
Ö.I.A.V. 66. 614.

8588. L. Krüger. Verbindung zweier
Greraden durch 2 Kreisbogen und deren
gemeinschaftliche innere Tangente. Z.
T 88 688

8584. C. M. Kurtz. A problem in
locating tumouts. E.N. 62. 177; 221.

8585. M. d'Ocagne. Note sur le tracä des
intrados en anse. A.P.Gh. 10. 296; 12. 208.

8586. H. Parenty. Jaugeage des con-
duites d'eau en service. G.G. 46. 269.

8587. T. F. Powers. The approximate
ellipse. Am.M. 1908. 886. — F. L. White
668.

8588. Ptdler. Zur Kreisbogenbedek-
kung. Z.V. 88. 168.

8589. F. Schulze. Verbindung zweier
Geraden durch eine Gegenkurve. Z.V.
88. 186. — PuUer 687.

8540. H. Szlapka. A simple method
of consiaiicting a_^uiibole. Ef.N. 60.204.

8541. B. 8. Webster. Fonnulas for
transition curve. E.N. 60. 14.

8542. N. N. A geometrical problem.
Am.M. 1908. 138.

8548. N. N. Ellipsendrehbank, System
G. Montreuil. P.M.G. 87. 117.

Logarithmen.

8544. P. E. Baussy. Notes relatives
aux logarithmes. J.G. 46. 226.

Magnetismus.

8545. H. Behn-Esthenburg. On the
magnetic dispersion in induction motors
and its influence on the desigpn of these
machines. T.E. 62. 626 ; 647 ; 741 ; 821 ; 964.

8546. G. Benischke. Die Berechnung
der Streuung und des Magnetisierungs-
stromes von Drehstrommotoren. E.Z.
26. 834.

8547. G. Benischke. Der magnetische
Widerstand von Luftstrecken. E.Z. 26. 810.

8548. P. David. Anomalies de la com-
posante horizontale du magn^tisme ter-
restre sur le Puy de Döme. E.E. 33. 188.

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328

TechoiBchM AbhftndlimgsregiBier 1903 — 1904.

S549. I. Diky, Beehnerische Ennitte-
lung der MagnetinemngskiUTe. Z.E.W.
21. 185.

85^. F. Emde. Permanente Magnete.
E.Z. 84. 949. — B. Hiecke 25. 35; 205.
— M. Kamdörfer 101.

S5&1. (7. F. Guübert. Dispersion mag-
n^tiqne dans les moteors asynchrones.
E.E. 39. 241; 331.

S552. B. Hdlmund. Beitrag znr Eon-
stroktion von Mantelmagneten für Brems-
zwecke. E.Z. 24. 713.

8558. B, Jouaust. Sur Teffet Wiede-
mann : torsion des fils sons Taction d*im
champ magn^tiqne. E.E. 34. 185.

8554. C. Mourain. Progr^s r^cents
dansr^tndedumagnätisme. E.E.37. 1 ; 41.

8555. C. Maurain. Sur les propri^t^
magn^tiques des poudres de fer et Tai-
mantation sp^ifiqne a Saturation. E.E.
34. 465.

8556. F. G. P^. Über Solenoidkeme.
Z.E.W, 22. 579.

8557. B.Bichter. Der Einfloß der Kraft-
linienverteilnng in einem Eisenring auf die
Yerlnste dnrch Hysteresis und Wirbel-
ströme. E.Z. 24. 710; 874. — G.StemSSS.

8558. J. K. Sumec. Berechnung des
einseitigen magnetischen Zuges bei Ex-
zentrizität. Z.E.W. 22. 727

8559. L. Zischck, Berechnung der
Wicklungshöhe der Magnetspulen bei ge-
gebener Ampereänderungszahl und bei ge-
gebenem Widerstand des Spulendrahtes.
Z.E.W. 21. 471. — 0. F. Schiefil 632.

Maßsysteme.

8560« G. Dampieri. Über eine Änderung
des absoluten Maßsystems. Z.E.W. 21. 137.

8561. F. Emde. Das Giorgische Maß-
system. Z.E.W. 21. 341.

8562. F. Kronstein. Über elektro-
technische Maßsysteme. Z.E.W. 22. 670.

Maxima und Minima.
8568. E, D. Pieree. A proof of the
law for grouping ceUs to obtain mazi-
mum current. E.W. 42. 559. — W. J.
Humph/reys 674. — K. E. Guihe 955.

8564. B. Büdenberg. Die günstigsten
Eurbelwinkel för stationäre Mehrkiurbel-
maschinen. P.J. 319. 417.; 487; 456.

8565. N. N. Der Schneidwinkel der
Drehstöhle. P.J. 318. 456.

Mechanik.

8566. A. Sommerfeld. Naturwissen-
schaftliche Ergebnisse der neueren tech-
nischen Mechanik. Z.V. D.I. 48. 631.

8567. N. N. Neueste Studien aber die
Schwerkraft. C. Z. 0. M. 24. 167 ; 167 ; 180.

Meßinstremente.
85€8. P. BaiUze. Genanigkeitsgrad
der anzeichnenden Geschwindigkeits-
messer mit zwangläufiger Bewegung,
Patent Hanßhälter. O.F.E. (2) 40. 145;
181; 199; 221.

8569. G. Butenadion. Mikrometer-
Femrohr- Entfernungsmesser. C. Z. 0. M.
25. 217.

8570. E. Forster. Beitrag zur Be-
stimmung der Maßstäbe Yon indikator-
fedem. Z.V. D.I. 47. 319.

8571* Hammer. Neue Genauigkeits-
▼ersuche mit einem Hammer-Fennelschen
Tachymetertheodolith. Z.V. 32. 691.

8572. A. V. Hübl. Das stereoskopische
Meßverfahren. Z.O.I.A.V. 56. 661.

8578. A. Mayer und E. Wiesmann.
üniversalwinkelinstrument. S.B.Z.44. 186.

8574. Pflücke. Ein trockener Zug-
nnd Druckmesser. J.G.W. 47. 480.

8575. PuUer. Schnellmesser, ein
Schiebetacheometer fOr lotrechte Latten-
stellung, Z.Ö.I.A.V. 55. 322.

8576. PMer. Schnellmesser IE, ein
Schiebetachyroeter fSr lotrechte Latten-
stellung. Z.V. 32. 649.

8577. PuUer. Beschreibung eines
neuen Tachymeterschiebers. Z.V. 33. 53.

Momente.

8578. J.. L. Bell. Curves of maximuni
bending moment. E. 95. 469.

8579. H. H. Bowack. Moment of in-
ertie. E. 97. 644.

8580. C. Fabry, Methode pour la
mesure du moment d'inertie d'un induit
de dynamo. E.E. 35. 321.

8581. L. Heß. Studie über Quer-
schnittsmomente. Z.O.I.A.y. 55. 515.

8582. A. Ludin, Vereinigung zweier
Trägheitsellipsen. S.B.Z. 41. 272.

8588. N. V. SeObs. Die Bestimmung*
des Trägheitsmomentes paralleler in der-
selben Ebene liegender Er&fto in bezug
auf eine in der Ebene der Er&fte liegemle
und zu der Bichtenjg derselben paraUele
Achse durch den Tr&gheitshalbmesaer.
Z.Ö.I.A.V. 56.546.

NUierongsmefhoden.

8584. M. H. Bauer. Annähemngä-
formehi im Schiffsbau. S.B. 4. 375; 435; 482.

8585. W. H. Croker. Approzimating the
ellipse by arcs of circles. Am. M. 1904. 528.

8586. L. Herzka. Über Korbbögen.
Z.Ö.I.A.V. 55. 209.

8587. H. Sellefitin. Bemerkung su
einigen Näherungsformeln. S.B. 5. 928.

8588. J, Winter. Der Korbbogen als
Ersatz fOr die Ellipse. Z. 0. 1. A.y. 55. 434.

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Technisches Abhandlungsregister 1908—1904.

329

Xoniograpbie«

8589. P. S. BushneU. Diaffram for
finding the diameier of ball bearings.
Am.M. 1908. 1892.

3590. A, Cotitureau. Abaque Pellat.
Trouver la snrface d'un triangle dont
on connait 2 cöt^s et Tangle compris,
Sans calcul et en 26 seoondes. J. G. 47. 160.

8691. B. Escher. Tableau graphique
ponr d^terminer la largenr des courroies.
kS.E. 106. 688.

8592« Flamant. Abaqne ponr faciliter
les calculs relatifs aux distributions d'ean.
A.P.Ch. (8) 16. 219.

8598. J, H. Franke, Geodätisch-
graphische Tafeln. Z.V. 88. 665.

8594. M. E. Graphical representation
of loffarithms. Am.M. 1908. 1836.

8595. F. Prasil. Graphische Rechen-
tafel fOr Bremsversnche. S.B.Z. 41. 69.

8596. B. Stetefeld, Graphische Tabellen
nnd Diagramme zum Gebrauch bei Berech-
nungen und Untersuchungen von Kälte-
maschinen und Kühlanlagen. Z.G.K. 10. 10.

Numerisches Rechnen.

8597. S. 0. BartleU. Fractional in-
dexing. Am.M. 1903. 296.

8598. A. G. Collins. Subtracting
fractions. Am.M. 1908. 66.

859». P. M. Verhoeckx. üne mäthode
analjtique et graphique pour le calcul
des r^seaux ferm^s. E.E. 39. 81; 121.

8600. N. N. Le nombre des d^cimales.
J.G. 47. 112.

Optik.

8601. A. Blondel. Sur le m^canisme
de Tarc älectrique entre charbons d'apr^s
un memoire de M"« Hertha Ayrton. E. E.
38. 16; 41.

8602. M. Boehtn. Verfahren zur Photo-
metrie von Gasglühlicht. J.G.W. 47. 411.

8608. K. Bohlan. Der Hypergon-
Doppel-AnastigmatvonGoerz. Z.V. 83. 99.

8604. H. J. Christiansen. Einige Be-
merkungen über die terrestrische Re-
fraktion. Z.V. 32. 306.

8605. J. H. Cobhjn. La vision k dis-
tance par mectricit^. E.E. 88. 488.

8606. 0. Dietrichkeit. Die geometri-
sche Durchzeichnung eines optischen
Systems. C.Z.O.M. 26. 122.

8607. G, Bimmer. Die Ziele der
Leuchttechnik. Z.E.W. 22. 489.

8608. J. Döny. Photometrie elek-
trischer Lampen. Z.E.W. 21. 236.

8609. E. A. Neues Zugbeleuchtungs-
system. Z.E.W. 21. 66.

8610. G. Eberhard. t)ber die Be-
stimmung der Farbenkurve von Objek-
tiven mittlerer Brennweite. ZI. 28. 82.

8611. H. Eisler. Über den Zusammen-
hang zwischen Lichtstärke und Tempe-
ratur. E.Z. 25. 188 ; 448. —F. Jahlonski^l^.

8012, B. Etzold. Über Verbesserunffen
an astronomischen Instrumenten. D. M. Z.
1904. 63; 61; 93.

M\^. J. A. Fleming. The photometry
of electric lamps. T.E. 60. 488; 481;
663; 699; 688; 689; Eg. 76. 128; 161); 198.

8614. P. Gast. Über die Luftspiege-
lungen im Simplontunnel. Z.V. 88. 241.

8615. M. Gruber. Die Versorgung der
Schulzimmer mit Tageslicht. G.L 27. 286.

8616. H. Harting. Zur Theorie der
zweiteiligen astronomischen Femrohr-
objektive. Z.I. 24. 79.

8617. J. Hartmann. Objektivunter-
suchungen. Z.L 24. 1; 38; 97.

1618. /. Harlmann. Über ein neues
Eameraobjektiv für Spektrographen. Z. I.
24. 267.

3619. C. Henry. Sur le rendement
des foyers lumineux et sur un dispositif
tr^s simple permettant d*augmenter le
rendement lumineux des foyers ä, flamme
et des lampes ä p^trole en particulier.
B.S.E. 104. 782.

8620. A. Kauer. Kombinations- und
Mischungsphotometer. J.G.W. 47. 1087.

8621. A. Kerber. Beitrag zur Be-
stimmung der sagittalen und meridio-
nalen Bilder. Z.L 24. 230.

8622. A. Köhler und M. v. Bohr.
Eine mikrophotographische Einrichtung
für ultraviolettes Licht. Z.I. 24. 341.

8628. H.Krüß. Die Messung der Hellig-
keit von Prismenfemrohren. Z.I. 28. 8.

8624. H. A. Krüß. Die Durchlässig-
keit einer Anzahl Jenaer optischer Gläser
fOr ultraviolette Strahlen. Z.L 23. 197; 229.

8625. M. Lamotte. Production des
rayons cathodiques par les rayons ultra-
violets. E.E. 38. 166.

8626. H. Lehmann. Optische Unter-
suchungen nach Hartmanns extrafokaler
Blendenmethode. Z.L 28. 289.

8627. H. Lehmann. Über einen ein-
fachen Spektralapparat für Kopien von
Bewegungsgittern. Z.L 23. 168.

2628. H. Lehmann, Großes Quarz-
spektrograph. Z.L 24. 280.

8629. C. Leonard. Sur la mesure du
flux lumineux des lampes ä incandes-
cence. E.E. 40. 128.

8680. 0. Lummer. Die Ziele der
Leuchttechnik. J.G.W 46. 281; 807;
326; 346; 370; 386; 406.

8631. K Martin. Über eine einfache Art
d. Zonenfelderkorrektion. C.Z.O.M. 26. 169.

8682. M. L. Rayons catiiodiques ä
faible vitesse; leur ^tude k l'aide de la

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330

Technisches Abhandlongsregister 1908—1904.

phosphorescence; ämission secondaiie de
rajons cathodiqnes. E.E. 87. 291.

8688. B. Monaseh et C. E, Guye.
Recherches snr Farc altematif de träs
faible intensit^ jaillissaiit eniare ^ectro-
des m^talliqnes. E.E. 84. 806; 86. 18.

8684. L. V. Fhillips. Photometrie
und Photometer. C. Z. 0. M. 26. 1 10 ; 148 ;
169 ; 178.

8685. H, Schmidt Die graphische
Darstellung des Eoirektionszustandes
eines Objektivs. C.Z.O.M. 24. 78.

8686. K. StreM. Im Bann der geo-
metrischen Optik. C.Z.O.M. 26. 86.

8687. K. S^ehl Widersprach von
Bengimgstheorie und geometrischer Optik
in wirkBchen Fällen von Femrohr- und
Mikroskopobjektiven. C.Z.O.M. 26. 266.

8688. K. StrM. Über den Aplana-
tismos einzelner dünner Linsen mit
Blende im Scheitel. C.Z.O.M. 24. 179; 191.

8689. K. StreM. Eomabedingong und
SinusbedinfiTong. C. Z. 0. M. 26. 60.

8640. K. StreM. Baumstudien. C.Z.
O.M. 24. 182; 198.

8641. K. StreM. Zonenfehler und
Anastiffmatismus. Z.I. 23. 6.

8642. K. StrM. Zonen und Leistung
der Refraktoren. Z.L 24. 822.

8648. K. Strahl Theorie des Ablese-
objektives. Z.L 28. 806.

8644. K. StreM. Bildgfite und Glas-
sorteu. Z.L 23. 210.

8645. A. Wingen. Die verschiedenen Me-
thoden d.Helli^keit6prüfung. G.L 27. 168.

8646« K. Ztpemowski. Methoden zur
Herabminderunff der Kosten der Beleuch-
tung mittels elektrischer Glühlampen.
Z.E.W. 21. 61.

8647. W. Zschokke. Doppelanastigmat
für Reproduktionen mit vermindertem
sekundärem Spektrum. D.M.Z. 1908.
229; 289; C.Z.O.M. 24. 249.

8648. N. N. Zwei Versuche zur
elektromagnetischen Theorie des Lichtes.
C.Z. O.M. 26. 121; 188; 147; 170.

8649. N. N. Über die Grenzen der
mikroskopischen Abbildung und die
Sichtbarmachung ultramilooskopischer
Teilchen. C.Z.O.M. 25. 61.

8650. N. N. De Taugmentation du
rendement lumineuz des lampes k p^trole.
G.C. 43. 284.

8651. N. N. Radiation and illu-
mination. Eg. 76. 686; 761.

8652. N.N. Untersuchung des Spiegels
von Reflexionsfemrohren. C. Z. 0. M. 26. 14.

8658. N. N. Ein neuer zusammen-
legbarer Visierapparat. C. Z. 0. M. 26. 53.

3654. N. N, Fergu8on*s percentage
theodolite. Eg. 76. 769.

PenpektlTe«

WM. A.Oetbert. Lam^thodegraphique
positiviste de Leonard de YincL L. C. M. 19.
218; 221.

Pliotogrammetrie.

8656. C. PuJfriih. Über einen Ver-
such zur praktischen Erprobung der
Stereophotogxammetrie für die Zwecke
der Topographie. Z.L 23. 817.

8657. C. Pulfrüh, Über die Eonstruk-
tion von Höhenkurven u. Plänen auf Grund
stereophotogiammetrischer Messungen
mit Hilfe d. Stereokomparators. Z. L 28. 48.

8658. Ä. Sprung. Über die Justiening
und Benutzung des photogrammetiischen
Wolkenautomaten. Z.L 24. 206.

Fhysik.

8659. Ä. Berthier. Les thäories mo-
dernes de la mati^re. La th^rie des
ions et la th^rie des ^ectrons. La
tzansmutation des corps. G.C. 44. 848 ; 862.

8660. 0. Eisensihina. Radioaktive
Substanzen. T. 9. 123.

8661. 0. Lodge. Note on the pro-
bable occasional mstability of all matter.
T.E. 61. 418.

8662. K. Schreher. Kraft, Gewicht,
Masse, Stoff, Substanz. P.L 819. 673.

Planimeter.
8668. W. J, Tennant. The planimeter
explained simplj, without mathematics.
E. 96. 76.

Beebenapparate.

8664. C. G. Barth. Slide rules for
the machine shop as a partof the Taylor
System of management E.N. 50. 512.

8665. B. A. Bruce. Calculating oone
Steps and back gearing ratios bj the
slide rule. Am.M. 1904. 1090.

8666. A. Coutureau. Machine ä cal-
culer „Dactyle". J.G. 47. 212.

. 8667. ITamm^r. Neuer Rechenschieber
von Peter. Z.V. 82. 121.

8668. E. Hammer. Der Rechenschieber
von Frank und 2 andere neue Rechen-
schieber. Z.V. 32. 401.

8669. E. HerUsw-ung. Rechenschieber
zur Ermittlung der Mhrendurchmesser
von Gasleitungen. J.G.W. 47. 826.

8670. „Maschinisff*. Addition and sub-
traction by the slide rule. Am.M.1904. 1676.

8671. MiOer. Rechenscheibe zur Er-
leichterung der Aufistellung der Dienst-
pläne für das Lokomotiv- und Zug-
personaL A.G.B. 63. 287.

8672. TT. Owen. Calculating oone
Steps and backgearing ratios by the
slide rule. Am.M. 1904. 1899.

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Technisches Abhandlungsiegister 1908—1904.

331

8678. B&Gter. Die pythagoiäische
Bechenscheibe und ihre Anwendung.
Z.V. 82. 698.

Beibnngr*

8674. Ä, Böttcher. Über den Reibungs-
koeffizienten für keilförmiges Profil der
Beibungsfl&che. Y.Y.G. 88. 349.

8675. W, T. S. ButUn. Friction of
sliding keywajs. Eg. 78. 467.

8676. F. Drouin. Le frottement des
eoussinets ä^grande yitesse. E.E. 84. 862.

8677. L. Finei. Die Trennung der
Reibungsverluste bei elektrischen Ma-
schinen. E.Z. 24. 686. — G. Dettmar 682.

8678« 0. Lasche, Frottement des pa-
liers k grande vitesse. B.S.E. 104. 268.

8679. H. F. Moore. Esneriments,
formulas and constants of luDrification
of bearings. Am. M. 1908. 1281 ; 1816 ; 1860.

8680. Ä. B^tö, Der Wert der inneren
Reibung (d. fr. u. e.). B.M.K. 9. 267 ; 272.

8681. K, Wolters. Die störenden Be-
wegungen der Lokomotive unter Berück-
sichtigung der auftretenden Reibungs-
widerst&nde. P. J. 818. 641 ; 667 ; 673 ; 742.

Statik.

8682. F. Amodin. Le point ä trans-
bordeur de Nantes. N.A.C. (6) 1. 17.

8688. M. Astier. Essai d*une th^orie
des voütes d'^gale räsistance. N.A.O.
(6) 10. 88; 110; 120.

8684. E. Atzrott. Berechnung der
StephanschenBogenbrücke. P.M.C. 87. 14.

8685. A. BacheUery. Note sur un
exemple de Tinsuffisance d'un ^idage
diametral convergent comme dispositif
^vite-molettes. A.D.M.P. (10) 4. 289.

8686. G. Beutel Größere Betonge-
wölbebrücken mit Gelenken und ihre
Lehrgerüste. S.D.B. 18. 410; 14. 2.

8687. B Bonnin. The Viaur viaduct
on the railway line from Carmaux to
Rodez. E.N. 60. 216.

8688. Brctbandt. Über die ungünstijnte
Laststellung der parabelförmigen Einnuß-
linien. C.B.B. 28. 422.

8689. Bräbandt. Über die Berechnung
von Zweigelenkeblechbogen. C.B.B. 24.
661. — H. MüUer- Breslau 664

8690. BrabandL Über die Ausbildung
der Widerlager für eiserne Bogenbrücken.
Z A.L (2) 9. 21.

8691. A. CappiOert. Graphische Er-
mittlung der Promnummer eines Z-Eisens,
das als Pfette dient. C.B.B. 24. 69.

8692. C. Christiansen. Zur Festlegung d.
Stelle d. größten Biegungsmomentes für d.
nn verankerten Bohlwerke. C. B. B. 24. 140.

8698. J. Clark. Balancing a valve
and diafragm. Am.M. 1904. 1427.

8694. A. CouJmas. Geometrische Be-
rechnung des Parallelträgers. C.B.B
24. 616. — F. Bohny 656.

8695. 8, K Drach. Graphisches Yer-
fiahren zur Ermittlung der Einflußlinien
für die Horizontalkomponenten der Dia-
gonalenspannungen imStiUiderfachwerke.
Z.Ö.LA.V. 66. 488; 667.

8696. J. Bwwe. Die Ermittlung der
Biegunfismomente eines einfachenTiägers
auf 2 Stützen durch das A- Polygon.
C.B.B. 28. 684.

8697. J7. Engels. Die Berechnung
der Bohlwerke. C.B.B. 28. 278; 649.

8698. A. Foeppl. Eine Näherungs-
formel für die Berechnung von Ketten-
linien. C.B.B. 28. 882.

8699. E. Förster. Winddruck auf
Dacher. P.M.C. 87. 102.

8700. W. Franck. Straßenbrücke über
die Staatsbahn bei Reutlingen. W.B.S.
1. 60; 68; 76.

8701. W. Franck, Neue Straßen-
brücke über die Staatsstraße Nr. 42
Stuttgart -Ulm, die Bahnhofsgleise und
den Neckar bei Plochingen. S.D.B. 14.
880; 888; 848; 870; 879.

%70^*Gehler. Berechnung von Zwischen-
werten für Gewölbestärken. C. B.B. 24. 880.

8708. H. V. GUnski. Zur Bestimmung
des Durchhanges und der Spannung in
Drähten. E.Z. 24. 264.

8704. F. Graefe. Graphische Berech-
nung der Lagerloräfte für durchlaufende
Träger überaU gleichen Querschnitts auf
beliebig vielen Stützen. C.B.B. 23. 163.

8705. G. Griffel Die Berechnung
der Lasthaken und die sich daraus er-
gebenden Hakenformen bester Material-
ausnutzung. P. J. 819. 129; 146; 161; 177.

8706. L, Henneberg. Über die Bildungs-
gesetze der Fach werke und deren Verwen-
dung bei der Bestimmung der Spannungen.
Z. A. I. (2) 8. 667. — J3. MüUer-Breslau 9. 38.

8707. L. Henneberg. Die sog. Methode
des Ersatzstabes. C.B.B. 23. 377.

8708. L. Henwberg und TT. Schlink.
Die Theorie der statisch bestimmten
Fachwerkstrfiger. Z.A.L (2) 8. 167.

8709. B. Hevn. Die Gitterträger im
Dienst d. Schubübertragung. Z. A. I. (2) 9. 7.

8710. /. L. Hodgon. The brake horse-
power of haulage plant. Eg. 78. 466.

8711. E. Horowitz. Beitrag zur prak-
tischen und einfachen Berechnung der
Häng- und Sprengwerkskonstruktionen.
T.B. 36. 41.

8712. Jacquier. Note sur le calcul
gxaphique des ponts en arc ä triple
articulation par la m^thode des ligpes
d'influence. A.P.Ch. (8) 9. 266.

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332

Technisches AbhandlungBregister 1908—1904.

8718. A. Jöhrena. Beitrag zur Berech-
nung von Querschnittspannnngen in
Schornsteinen. Z.A.I. (2) 8. 413.

8714. Q. Kersten. Der Glockenstnhl
für die St. Paulskirche in München.
Z.V. D.I. 47. 1710.

8715. A. Kiefer. Notiz zur Er&ftezu-
sammensetzungin der EbcDC. S.B. Z. 48. 68.

971%. A. Kiefer. Über Eräftezerlegnng.
S.B.Z. 48. 247.

8717* L. Landmann. Die Bestimnmng
der Rnndqpannungen von Fabrikschozn-
steinen. Z.A.I. (2) 9. 268; 441.

8718. T. Landsberg. Beitrag znr
Theorie des räumlichen Fachwerks.
C.B.B. 28. 221; 861.

8719. M. Leibbrand. Die Neckar-
brücke bei Neckarhausen. Z. B.W. 63. 467.

8720« G. Leinekugel Le Cocq. Fonts
ä transbordeur. G.C. 44. 88; 49.

8721. W. Lindemann. Der Lokomotiv-
rahmen als starrer Balken auf federnden
Stützen. A.G.B. 66. 227.

8722. Morsch. Die Isarbrücke bei
Grünwald. S.B.Z. 44. 263; 279.

8728. H. Müller 'Breslau. Über die
Messung der Größe und La^e unbe-
kannter Kräfte, die auf ruhende Körper
wirken. S.B.B 24. 866.

8724. H. Müüer-Breslau. Über parabel-
förmige Einflußlinien und die Berechnung
des Zweigelenkbogens. C.B.B. 23. 118.

8725. H. MüUer-Breslau. Bemerkungen
zu der Berechnung des Raumfachwerks. C.
B.B. 23. 66; 298; 609; 623. — 3fo^r 237.
402; 641.

8726. H. Müüer-Breslau. Beiträge
zur Theorie der Windverbände eiserner
Brücken. Z.B.W. 64. 117.

8727. Natorp. Beitrag zur Berechnung
der Eisenbetonstützen bei einseitiger Be-
lastung. C.B.B. 24. 637.

8728. H. Nitzsche. Die Einflußlinie
für den £[ämpferdruck des Dreigelenk-
boeens. C.B.B. 24. 363; 488.

8729. K Otto. Berechnung des Draht-
durchhanges. E.Z. 24. 87. — K. Krohne 109.

8780. Flau. Die Erhöhung der Bahn-
steige der Stadt- und Ringbahn in Berlin.
O.F.E. (2) 41. 51; 76.

8781. P. P. Voutes surcharg^es. L.
CM. 18. 46.

8782. P.P. Voutes en mat^riauxl^gers.
L.C.M. 18. 189.

8788. Preckwinckel. Die Druckver-
teilung im rechtwinkligen Mauerquer-
schnitte bei Ausschluß yon Zugspan-
nungen. Z.A.I. (2) 9. 47.

8784. /. Pohl, Praktische Berechnungs-
beispiele eiserner Dachbinder. P.M.C.
36. 191; 199; 208.

8786. Puller. Zeichnerische Darstel-
lung der Spannungen einer Kreiskappel.
C.B.B. 23. 172.

8786. G. Samisch. Statische Unter-
suchung einfach gekrümmter Stäbe. Z.
Ö.I.A.V. 66. 2.

8787. G. Bamisch. Kinematisch -sta-
tische Untersuchung eines Balkonträgen.
Z.Ö.LA.V. 66. 636.

S19». Bamisch. Von denEinflußflä^^hen
eines BogentrSgers mit 2 an den Kämpfern
gelegenen Gelenken. P.J. 818. 661.

8789. G. Bamisch. Beitrag zur Unter-
suchung des halbkreisförmigen Bogen-
trägers mit 2 an den Kämpfern gelegeoen
Gelenken. Z.O.I.A.y. 66. 865.

8740. G. Bamisch. Untersuchung eines
Spitzbogens auf 2 festen Kämpfergelenken.
Z.Ö.I.A.V. 66. 241.

8741. G. Bamisch. Kinematische Un-
tersuchung eines durch 2 Zugstangen
und eine Strebe Tcrstärkten Fachwerks.
V.V.G. 82. 49.

8742. W. Schlink. Über räumliche
Dachfachwerke. Z.A.I. (2) 9. 183.

8748. TT. Schlink. Über Kuppel- und
räumliche Dachfachwerke. V.V.G. 83. 181.

8744. 0. Schmiedel. Berechnung eines
4 fach statisch xmbestimmten pyramiden-
förmigen Daches. P.M.C. 36. 97; 105;
113; 120.

8745. 0. Schmiedel. Berechnung eines
dreifach statisch unbestimmten Böhmens.
P.M.C. 86. 178.

3740. 0. Schmiedel Über die Berech-
nung yon Eisenbahnhochbauten bezüglich
der horizontalen Windki&fte. Z. A. I. (2^
8. 37; 207. — A. Francke 276; 278.

8747. B. Schorlemmer. Zeichnerische
Ermittlung des A- Polygons für Träger
auf 2 Stützen mit Hilfe eines einzigen
A-Polygons. C.B.B. 24. 100.

8 7 48. A. Sengel. Berechnung des Durch-
hanges und der Spannung in frei ge-
spannten DHLhten. E.Z. 24. 802.

8749. F. Stark. Graphische Bestim-
mung der Schutzlinie eines gelenklosen,
tangential eingespannten Bogenträgen.
T.B. 84. 76.

8750. H. Steinmann. Bestimmung der
günstigsten Auflagerpunkte eines Bal-
kens auf 2 Stützen. S.T.Z. 2. 11.

8751. Stephan. Die Drahtseilbahnen.
P.J. 319. 420; 468; 502; 638; 680; 696;
726.

8752. N. V. Szüts. Grundlage für eine
analytische Theorie der äußern Kräfte
der kontinuierlichen Träger beliebigen
Querschnitts mit Bücksicht auf den Ein-
fluß eines Widerstandes gegen Drehung
an den Stützen. Z.Ö.LA.V. 66. 424.

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Technisches Abhandlnngsiegister 1908—1904.

333

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ä poutres et poutrelles associäes. N.A.
C. (6) 1. 90.

8754* Virard, Note snr la constraction
dn viaduc des Fades. A.P.Ch. (8) 11. 99.

8756« C. VUuhos. Zur zeichnerischen
Berechnung der durchgehenden Ti^ger
bei Belastung mehrerer Offnungen. C.
B.B. 24. 86.

8756. P. Weiske. Die Anwendung von
Kraft- und Seileck auf die Berechnung
der Beton- und Betoneisenkonstruktionen.
P.J. 818. 769; 795.

3757. K. Wkghardt. Zur Statik der
Fachwerke mit schlaffen Diagonalen. C.
B.B. 24. 890. — J. Labes 666.
. 8768. N. N. Erleichterung in der
Momentenbestimmung fiir Eisenbahn-
briickenträger. P.J. 318. 642.

8769. N. N. Eine neue Gravitations-
wage. C.Z.O.M. 24. 269.

8760. i^.i^. KugeUager. Z.W. 6. 252.

8761. N, N. Schraubstock mit Grob-
und Feingewinde. Z.W. 8. 176.

8762. N, N. Dynamom^tre de trans-
mission. G.G. 43. 882.

Stereometrie.

8768. jP. Bramwell, Geometrical prob-
lem. E. 96. 248.

Stoß.

8764. 0. Kapach. Über die Stoßdeckung
zusammengesetzter Stäbe in Eisenkon-
struktionen. Z.A.I. (2) 9. 405.

Tafeln.
3766. B. A, Lachmann. Table of
epares obtainable from round stock. Am.
M. 1904. 989.

8766. A. Schleussinger. Zahlentafeln
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V. 32. 405.

Trigonometrie.

8767 . A. L. Bell. Notes on tacheometiy :
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91^S. M.Fischl. Die Berechnung von
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Z.V. 38. 97.

8770. A. Llano. The 8 point problem
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8771. W. Müller. Das Seibtsche Ni-
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8772. J. Pellat Sur le calcul de la
märidienne. J.G. 47. 68; 89.

8778. E. Puller. Zur Aufgabe des
Gegenschnittes. Z.V. 82. 432.

8774. Puller. Zur Aufeabe des Rück-
wärtseinschneidens. Z.V. 83. 194.

3776. Puller. Zur Berechnung der
Aufgabe des Rückwärtseinschneidens. Z.
V. 83. 697.

8776. Puller, Näherungsformel für
den Distanzstab. ZV. 82. 119.

8777. PüUer. Schnellmesser 11, ein
Schiebetachymeter für lotrechte Latten-
stellung. Z.A.L (2) 9. 899.

8778. Bothkegel. Über Verschiebungen
von trigonomeMschen und polygonome-
trischen Punkten im Ruhrkohlengebiet.
Z.V. 82. 217.

8779. J. L. Sanguet Topographie.
J.G. 46. 38.

8780. /. Schnöckel. Teilung eines Drei-
ecks. Z.V. 83. 121.

8781. Schuster. Eine Teilungsaufgabe
der Praxis. Z.V. 82. 378.

8782. H. Sosona. Beziehung zwischen
Scheiteldreiecken und zugehörigen Eon-
vergenzdreiecken sowie deren Anwendung
bei Grenzregulierungsaufgaben unter Be-
rücksichtigung von Bonitäten. Z.V 83.689.

8783. Wildt Zur Proportionalteilung
an Grundstücken. Z.V. 83. 665.

8784. H. Wolff. Zusammenstellung
der trigonometrischen Funktionen 0^, 80^,
46^ 60^ 90«. Z.V. 83. 699.

8786. L. Zimmermann. Schematische
Anordnung der Teilungsrechnungen. Z.V.
38. 402.

Verbindnngsknrven.

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lettering points on transitiou curves. E.
N. 50. 246.

Wärmelehre.

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von Schmelzpunkten bei hohen Tempe-
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des chemin^es et des ^chappements de
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rechnung der Gasmaschine. Zf. V. D. 1. 47 .
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8793. L. Battu. Utilisation of exhaust
steam in steam turbines. E. 98. 455.

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Oberflächenkondensation mit getrennter

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334

Technisches Abhandlongsregisier 1908—1904.

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überhitzten Wasserdampfes. Z. v . DTl. 47.
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8799. 0. Bemer. Die ForÜeitung des
überhitzten Wasserdampfes Z. V. D. 1. 48.
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einer Sauggasanlage. Z.V. D.I. 47. 1617.

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rechnung ausgeführter NH, -Eompres-
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Technisches AbhandlimgBregister 1908—1904.

335

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I. 48. 1418.

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der gesättigten Wasserdämpfe. P.J. 818.
366; 369; 388.

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schritte in der Messung hoher Tempera-
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336

Technieches Abhandlungsreglster 1908—1904.

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105. 206.

88{)C. H.W.Wübe. Die Spannung des
Wasserdampfes über 100". Z.V.D.I 48. 315.

8807. Ä, Witz. Sur la surchauffe de
la vapeur. E.E. 35. 441.

8898. N. N. Rankines' thermodyna-
mic function and entropy. E. 95. 210.

8899. N. N. Commercial possibilities
of liquid air. E. 98. 612.

8900. N. N. Ausnutzung des Auspuff-
dampfes von Dampfmaschinen in einer
mit einem Wärmespeicher verbundenen
Niederdruckturbine. P.J 318. 660.

8901. K. N. Blast-fumace gas engines
and steam engines. Eg. 76. 694.

8902. N. N. Bei Dampfkesselanlagen
in Betracht kommende ökonomische Fra-
gen. P.M.a 87. 21.

8908. N, N. Bedingungen, die an die
Armaturen der Dampfkessel gestellt wer-
den, sowie Bestimmungen über die Größen-
verhältnisse derselben und für die erforder-
lichen Speiseapparate. P.M.C. 87. 45.

8904. N. N. Neuere Versuche an Spi-
ritusmotoren. P.J. 318. 805; 819. 388.

8905. N. N. Superheat durinffcompres-
sion in refrigeration machines E. 96. 251.

8906. N. N. The steaming capacities
of locomotives. R.G. 53. 440.

Zeichnen.

8907. B. B. S. Scribing an arc of
large radius. Am.M. 1904. 499.

Zeichenwerkzenge.

8908. W. H. Bradley, Draftmans spe-
cial angle. Am.M. 1904. 764.

8909. E. A, Chamberlin. A draftsmans
triangle. Am.M. 1904. 87.

8910. T. Haas. Zahnkurvenzeichen-
maschine. Z.V.D.I 47. 718.

8911. Hammer. Kurvenpalette. Z.V.
32. 315.

8912. Koller. Zwei neue Quadrat- und
Liniennetzzeichner. Z.V. 32. 569.

8918. Mahon. Rapport sur le dessi-
nateur universel Little. B.S.E. 106. 61.

8914. Ä. W. Mc. Alpine. A drafts-
mans adjustable triangle. Am. M. 1904. 89.

8915. G. PeUehn. Der Pantograph.
D.M.Z. 1903. 86; 93; 106; 113; 126.

8916. Puller. Ein neues Zeichenyier-
eck. C.B.B. 24. 108.

Z917.E. Puller. Weichenviereck 1:10,
1 : 9 und 1 : 7. Z. V. 32. 414.

8918. E. PuUer. Zeichenviereck mit
verschiedenen Neigungen. Z.V. 88. 22d.

8919. Tibbab. An isometric triangle.
Am.M. 1908. 208.

8920. J. C. WiUmore. A triangle for
constructinfi^ equivalent geometrical figu-
res. Am.M. 1904. 412. — M.E, 937.

8921. N, N. Galibre pour le trace
des hexagones. G.G. 45. 881.

8922. N. N. A graduated curve. Am.
M. 1904. 1210. — H.I 1376.

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Verlag von B, G. TEUBMEB in LEIPZIG,

Vorlesungen über Technische Mechanik.

Ton Dp. Hugust F5ppl|

ProfBMor der UMbanlk o. Tontaad dM MMhaiL-Teehii. fiaboMtorlumi lu d. Teohn. Hoohsohule in Hfinohra.

L Band. Einführung in die MechanflL 8. Anflage. Mit 108 Figaien im Text. [XVI

a. 428 8.] gr. 8. 1905. In Leinw. geb. n. UK 10.—
IL BimcL Graphische Statik. 2. Anflage. Mit 176 Fignien im Text. [XII n. 471 8.]

gr. 8. 1908. In Leinw. geb. n. «^ 10.-^
m. Band. Festigiceitslehre. 8. Anfl^. Mit 88 Figuren im Text [XVI u. 484 8.]

gr. 8. 1906. In Leinw. geb. n. UK 10.—
IV. Band. Dynamiic, 2. Anflage. ifit 69 Fignien im Text. [XY a. 506 8.] gr. 8.
1901. hi Leinnr. geb. n. .>«: 12.—

Preis des ganzen Werices in vier eieganten Leinwand-Bänden n.JCAl.—

Herr Oeheimr»t Profeaeor Laiap« ron der Teehnlsohen Hooheolrale In Berlin lehreibC:
^Wle bei der Anseige des anent ereoMenesen dritten Bandet bemerkt wurde, iet die Fftpidiobe
Bearbeitiing der MeohMiik dadwroh anegemiobnet, daS die Baretellang Ton groier Rinfaehbeit und KUr>
beit iet, dae Haoptgowiebt in die BegrifbbUdnng gelegt wird; dnrcb Vermeidong rerwiokelter aBalytieoher
Betraobtnng wird der Banm gewonnen snr eingebenden Erörterung und Vertleftmg der Orandansehanongen
saf pbTsiluilieober Baei«. Dleee Eigeneobaften fallen natOrliob bei dem Torliegenden ersten Bande am
»eilten in die Angen. ....**

,fAl» eigenartiges Snteugnie eines selbständig schaffenden Oeistes rerdient das Bnoh. welebes
dsroh seine grofe Verbreitung in tecbnisehen Kreisen gewiS einen bedeutenden BinflnS ansaoen wird,
jedenfalls auch von wissensobafUiober Seite Tolle Beaobtung und genaue Prflihng der Binselheiten.'*

Theorie der Elektrizität

Von Dp. M. Äbpahanii

Priratdosent an der UnlTorsitltt GOttingen.

I. Band. EinfOhrang in die üaxweiische Theorie der Eiel^trizität Mit einem ein-
leitenden Abschnitte über das Rechnen mit Yektorgroßen in der Physik^
Von Dr. A. F öffl. Zweite, nmgearb. Aufl. von Dr. M. ABiuHAif. Mit 11 Fig.
im Text. [XVm u. 448 8.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. JC 12.—
n. Band. Eiektromagiietisehe Theorie der Strahinng. Von Dr. M. Abbabam. Mit 5 Figuren
im Text. [X u. 405 8.] gr. 8. 1905. In Leinw. geb. n. oä: 10.—
Auch in der neuen Auflage des ersten Bandes wird die allgemeine Theorie der
Vektoren und der Vektorfelder vorangestellt , ids die mathematische (Grundlage aller
Theorien der Elektmitftt und des Magnetismus. Die physikalischen Grundlagen der
Maxwellschen Theorie werden in synthetischer Weise entwickelt, indem zunächst d^
elektrostatische Feld und das magnetische Feld stationärer Ströme vom Standpunkte
der Nahewirkung aus betrachtet tmd dann zu den allgemeinen Feldsleichunffen und
deren wichtigsten Anwendungen übergegangen wird. Den neueren Fortschritten der
Elektrizitätslehre wird durchweg Beclmung getragen. Der zweite Band seht von der
atomistischen Weiterbildung der Maxwellschen Theorie aus, die man als „Elektronen-
theorie** bezeiolmet. Diese Theorie ist die einzige, die alle bekannten elektromasne-
tischen Strahlungsvorgänge umfaßt, sowohl die Lichtstrahlung, als auch die Eathoden-
und Badiumstrahlung. Während die Kathodenstrahlung und die ^* Strahlung des
Radiums als „Konvektionsstrahlun^* fortgeschleuderter negativer Elektronen betrachtet
wird, soll das Licht, und ebenso die BOntgenstrahlen, eine „Wellenstrahlung*' sein, die
von den Elektronen in den Raum entsandt wird. Die Dynamik der Elektronen, die in
dem zweiten Bande ausführlich entwickelt wird, gibt die Grundlage für die Theorie
beider Arten elektromagnetischer Strahlung. Bei der Behandlung der Dispersion, der
Ma^eioptik und der Optik bewegter Körper schließt der Verfasser sich im wesentlichen
an H. A. Lorentz an. Er löst am Grund der Lorentzschen Theorie das Problem der
Reflexion des Lichts durch einen bewegten Spiegel und leitet so das thermodynamische
Gesetz der strahlenden Wärme ab. Gewisse för die drahtlose Telegraphie fundamentale
Sätze über die Strahlung, die von hochfrequenten Strömen in finearen Leitern, ins-
besondere in Sendeanteimen, ausgeht, haben im zweiten Bande ihren Platz gefunden.
Beide Bände zusammen vermitteln eine umfassende Kenntnis des gegenwärtigen
Standes der Elektrizitätstheorie.

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Vflriag von B. B. TEUBNER in LEIPZIG.

Vorlesungen über Differential- und Integral -Rechnung.

Ym Emaiiiiel Cziibep,

I BftDd S., »oxgfkllig durchfiiwli^&e AnfUgo. Kit HA Figormt im T«^

a Biiad. Mit 7S Figmeo im Text. [JX «, 4^8 8J p-. 8. imh. In LbSöw. k

Bei der Abfäisong dieset Werken tiiit sicli div VeifiuKer Ab
vlne D&raielluog der iiieoretiiciieQ Orundtiu^ii df^r !nimt€iiroain*ebtiQQ|j :
V<irbi£idimg mit deren ADfrendungeii^ inttbetondefe - . - 'Hciuin, tna FM.iii.rn

Um&agG Em geben, t^M ej einerfeita flr doj ^ttidiui:. :mdteit I>i«ii]di£;'?n,

in denen die M^thetmatik den Qntnd ^u l^- - »^ '^: • -.«icii tit, tiiir^ •:'- f

fcndererjitjitB di« Vorbereitung für dfta E' ilgcbtele der

tOT^imseUt Er hatte in unter i^^'^'*» 'i^*^ ...»t^»%, «.. iWniii«d»en Uo^^^i^^^

im Auge, wo ob« m ge&rtoia IV >» Qt^vtandea ilbin ua PUli« iac,

glftUbt ftber. '^>^^ auch SlndierHf^i^' 'l'ili i»u «fiirnrafi ^tRii«i f MI dffQ BoctlU»

asit Niitx€» Gebrftücb Bedac h toabip» »uf

die AnwißU'r : - r tbeoretir a. du liiiisf«»4> äiv

d^n Gegenjitiindf», d&H i. ruai^geKit^t werdi^n muß, w:. 1uüt«is, tV'

Tielmebr ff«!*jign«?t^ das ^ ^ ihm disr Tbtion« äii ft^rdera utj riicÜm, —

def Auffw^i and jjeb&ndhmif ibar ßmiptelo wurd« dar QruntlAftU fbdyhmltgn. d^t
i0 aicb d&nini handelt, die theoreüftcben Bätce an dmiidben %n mMtttiigfmthm, imth-
■i«b%^r x'^^ duteh tie B^b*r tr Vefn«liittJig^ d«« Winen^

ptoffe« bei' ; cxtflgureii unt^ don Voi1x«g.

daa ist die '^^ iirhl nnd die kl^ lirfcheti« vum ^ ,.

T0lljg nt^Tit ! <% V4 eiche namentlich *iio gco . • i ^ der Mitiiu4«n

isilJliitt^fTi ; . h dieaei liiebtiing kann ntii i i<*.n Mlid9 dtta

TtHshnikem memaU xü viel geboten werden, Vür mt* mt i^ncb ' :ji« Kapital

über Maeseoannehung ^nd Potenttal Im 4 Abichnitt«} des U. : titondcsuED

Werte^ mym% Üb Anwendimgen der Dürerentiftlgiei^^btini.^ - tsae in
gedjrängtem Babsu»! wohl kaiun irgendwo beefvex daigeei

(A, Th Bni«afiilltil in Avm BlSttirra fttr aM l^j :..... i.^. . ,j :..i.^,.^.-Uu i n *mw m.'i

Graphisclie Tatiellen und graphisch dargestellte Formeln

l«r auf ortige n Olmeitslonlerunf^ von OtfabetanPlatteailaeltAii retp.
M betlff^lg_6r, aber wirtBohaftIkti-ratJoiitller Aai«iit»iM

■nd Bitoti, hinsicbttloi ilftr lauBiprattailMia auf Zof

Anfg««teUt in vollkommenor ÜbttrasBitimiiiitiig mit d0D praoAtsebezi Mini^ierial>
bestinijBUitgiQ tqh 16, April IdOl top

EiiMMS«! Halmovioly

DIplofTi-LDgciiLieuf La htfipmi^f.

Hienn 5 LichtdracktaMn anf tnilümetnettem Qmnd 4%^ cäk. ,

[&» 8] L©][,-J^. 1900. ^ Leinwarid geK n Ut la,--

YDtliegende Arbeit besEwtekt anf graphiicLem Wege eine leiclile;, ftbaEddilliebe,
rwche und genaue QnenchnittadimfinBioniCkruiig von anf Biegung btampni/dileB 'ßn^
konitroktioaen in Baienbeton — (?]atteiidocken v^gp. FlAÜtäbaSkaa) • bei euer b«-
li^l^en. aber wirta^ijllieb mtioncllen AuHnntxung der Materialien, l^aen tmd Baloe,
kiniu»htlicb ihrer tniuiipruchn&hme unf Zng reif». Drock, Ihtr l Abiciuaiü liilblll
einfd kl&r«^ Wicbtfafiliülib ÜL^briLticbHanwmvnng der graphiiehcn Taleln xn dera d Sf et lwi
B<^nntsu&g, nebat aahkeicben HiKrbnanflHoBetapiideti nnd Kontndl-Keelmtmrai nkcb den
ivren&iiches Ba^t^mmuogen. Im % AbtohmtA bringt derTerfafaer eine Belke tnterMaatitv,
allgemein gtOttger Formeln f*nv Bnnittlang detr Qu^rschnittdimenidoneii ttnd 8{iani»niMa
für Eliimbeton - Decken heim, Balken mit einfacber^ iowiü mit dt^^Her Armam.

Bieisn Beilagen ton B. CI« Ti^iibner in ljelpilg| die wir dei Beaditanf

Leaer beatem empfeibkit.

Digr

ZElJLlfcitJjmiFT
FÜE MTHEMATTK UND PHYSIK.

BEORtiKBET ilt^ti I>imCH f 0. ScitLÖllILCH*
ritOnKft HKIU 1^3(1 RHEBJBH VON 0, ScrULÖMCLOil mti^UU) UNI> M* f -üNTOÄ fll^&iHl^öÖjL

ORGM FÜB ANGEWANDTE ÄIATflEMATIK-

gegenwabtio

ÜKTKR MlTWlKKt'NO VON 0. VOK BaCH, It HeLJIEET, F. KlKIN, G. VON llNDK^

H, A. LoßENTz, R Mli^lkk-Brk8i A' K Skeugke, H, Weber

UERAOSQEGSBpi VON

53 BAm). 4. UEFT

VIT n rmriMEi» tu tkit.

Atug^geben iktn 14. Aüguii UOd.

LElPZia,

DRÜCK UND VBBLAO VOM B. G. TEOBNBB.

1906.

mr Qwn\nf\tttr n tmi 1—60 der ZeitMkriR fltr Hnlti^iulik od njal
ItoatMtct van l*rnf«osor Ur. E. WS 1 ff ine, Stittgart. [XI! ©O^ot'e ^

B. Mk. IB.— , ia LwBwanil geh. d, Mk. IG — o

ZEIT3CHBIPT FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK.

mjlAUSOSOfiBBtSr von FBOr. X3m. B. HOlHlTEtE tHTB WWQW. D& (X mimClB.
DfiVGK WStf» VlSEX»AO VON B. Q. TEUBiaiJB ü? I#BIP2ta, POSTeTRASHB 1*

Bir AUc* rur cii« BsdAkMcm b«»tleQtate«i Sa&duxicen (BrlafA. Mäj^aftkript«, B*«

Prof. Dr* B. Mehmko^ Stuttgart p W^iÜenbtu^Blraße 29

•ti Hohldti. Ihi »fnimt ft|}#r Atteh Ptol Bt* C. Bunge. GdtUo^eii. OoId|T^«& 90,
B«adtiBc«n Tut die B^dyttion 4ll<

mit 0ttiAe1U4C v«irflftliend Soixdeffrbdrüolro * ^oo klelatrai B«itT4««^i WlMlxcaffana
Baawirtooep usw. 10 Äbsöga der toetr. Saiten; ein« ■rdAer» AtUfthl dacegaar *i« di*
f «OAtmi«» STQ den HefAteUungikoBteti.

pi9~ Jöder Bsuid dor Zelta^lxtift umfftat 30 Druolcbo£«il tu iH^fWn tma iLJ^«trt
ftO M^rk: ei w«rdon Jihrlioli otwä 3 Heft« ütufvecobim. All« Buoliliftiidlatifl«ii uivil

INHALT DBB YOHUBGIXNBBK UBWTMB,

Über äk Kommutation degStroma in Oleichtftromarrtrrahireji. Von TatiT Ri^^^Mell

m E^imhiirg. Mit 6 Fi^otimi im Text . ^«17

%Ft$ierf Bat'' ■ '"'■■ ■ ^^ "' ' um ;h i-Uui-

thal, (i. • .... .. . -.- .ii, S, 1 — 13 N 5T0

GtaphMie B9rechifUfi§ dtr MptinGkfn J^^upü^iwmnf mütini^en Antcendunr

Ton N» Ddaniift? in Warscbüu. &üt Id Figuren im Text lu»

ürflcxitm d€ ta Utmütri mit Vmu tlimnye Viu P. Blicke ^ ?yfrx^nhoiXTu MÜ

l Figur im Toirt
tjhtr du didfkst^ La^tTutfif guucfft:f Kmse in nncm Arfi^ir, ytm IjUi* tJltTWÄön

tii Brüim- Mit l Figur im Text , €UB

Dm Fotenüal einer Idicnd^^K Krei$fit^eibe Von R. 6ui4 Id TObing<m 4S4

Kkinem MiUtitun^^i i$%

B4chtr$chtm ... 484

Foaittaif A«tromfltfi« odiir dl« Übt« fon d«r OrUb«»tiiuimmtf Im fiisim«l&r«Rtii«

lailekh ils Qrunilkgd aJl^ Z^lt* tiad RjitimiQ«itfQii|;, Too C, W, Wim ""^

Ä5me B^khn , , . ,

efW ^um ALdniok in den näohitexi Hefteo g«lAii|f0D Beitrftge dar Hest«ni

F. BohJ, F. Il«krit» r. Btefulilirr, IL OolMlt ll* !}•«•» 4« OrJiBWtld, 1. KMikfee, W. t4Al*^
4. UmmmftUf F* &U«i4l, £. HtffbUr, fr. IFIkviri^l, F* Vr«Tk«i«ltt«ry 0. W. tllfUf 4« Wliiiaw,

Digi

über die Kommutation des Stg o me a - U (w g ,^.^VQn Paul Biebbsell. 337

\:-

AUG 29 1906

über die Eomnintation des Stromes in
Gleichstromgeneratoren.

Von Paul Riebesell in Hamburg.

§1.
Einleitung.

„Die dynamoelektrischen Maschinen sind in ihrer praktischen Ent-
wicklung der theoretischen Behandlung vorausgeeilt, und erst nachträg-
lich hat man versucht, die in ihnen stattfindenden Vorgänge durch
mathematische Formeln darzustellen." Dieser Satz, den Clausius 1883
seiner für die Theorie der Dynamomaschine grundlegenden Arbeit
(Wiedemanns Annalen Bd. 20) voransetzte, ist, wenn auch in ein-
geschränktem Maße, noch heute auf den Dynamobau anzuwenden. Die
Abhängigkeit der Klemmenspannung K einer Maschine von dem 6e-
samtstrom 2/, vom Erregerstrom «7, von der Tourenzahl n, vom Bürsten-
verschiebungswinkel q) und dem Kurzschlußstrom i, d. h. also die Funk-
tion K='F(Iy Jy n, q>y i)y ist immer noch nicht genügend bekannt, um eine
exakte Vorausberechnung der Maschine zu ermöglichen oder mit Sicher-
heit Konstruktionsregeln aufzustellen. Vor allem sind es die Vorginge
bei der Kommutation, die diese Unsicherheit bewirken, sodaß man bei
der Einstellung der Maschinen auf Funkenlosigkeit lange Zeit nur auf
Probieren angewiesen war. So liegen den älteren Arbeiten, der zitierten
von Clausius und ihrer Fortsetzung von Stern (Wiedemanns An-
nalen Bd. 26) falsche Vorstellungen über die Kommutation zugrunde. Erst
im letzten Jahrzehnt hat sich eine große elektrotechnische Literatur
mit der Aufstellung einer ein wandsfreien Kommutationstheorie beschäftigt,
so besonders die Abhandlungen der Herren Fischer-Hinnen (Elektro-
technische Zeitschrift (E. T. Z.) 1896 und E. T. Z. 1898, Die Gleichstrom-
maschine, 1899), Thorburn Reid (The Electrician 1898), Arnold
und Mie (E. T. Z. 1899), Arnold (Die Gleichstrommaschine I, 1902),
Kapp, Isler (E. T. Z. 1899), Prenzlin (E. T. Z. 1902) und Niet-
hammer (Berechnung imd Entwurf elektrischer Apparate imd Maschinen I,
1904).

Zeitschrift f. Mathematik u. Physik. 53. Band. ir>06. 4. Heft. 22

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338 tTbei die Eommutation des Stromes in GleichBtromgeneratoren.

In meiner Dissertation (Über den Kurzschluß der Spulen und die
Vorgänge bei der Eommutation des Stromes eines Gleichstromankers.
Ein Beitrag zur Theorie der Dynamomaschine. Kiel 1905) habe ich
diese älteren Arbeiten einer Kritik unterzogen. Auf einen dabei von
mir begangenen Fehler habe ich in der E. T. Z. 1906, Heft 3, hin-
gewiesen. Die Integrationskonstante der Kurzschlußdifferentialgleichung
ist nämlich nicht gleich Nülly wie ich glaubte, sondern im allgemeinen
von Null verschieden. Wie ich bereits dort angezeigt habe, hat mich
dieser Umstand veranlaßt, neue Methoden zur Auflösung der Kurz-
Schlußdifferentialgleichung auszuarbeiten. Aber schon in meiner Disser-
tation bildete die Untersuchung der Kurzschlußstromkurve nur einen
Teil der Betrachtungen, und die ganze Frage wurde von einem viel aü-
gemeineren Gesichtspunkt aus behandelt. Das ist auch unbedingt nötig;
denn die neueren Arbeiten der Herren Fischer-Hinnen und Arnold,
zu denen auch noch die Dissertation von Herrn R. Pohl (Über mag-
netische Wirkungen der Kurzschlußströme in Gleichstromankem. Dis-
sertation Hannover. Stuttgart 1905) imd die Abhandlungen der Herren
Benischke (E. T. Z. 1903 und 1904) und Hahnemann (E. T. Z. 1906)
gekommen sind, haben gezeigt, daß die Resultate, welche aus der
früher, besonders von den Herren Arnold und Mie (a. a. 0.), zu-
grunde gelegten Kurzschlußdifferentialgleichung gefolgert sind, in
Widerspruch mit den Tatsachen der Elektrotechnik stehen^ und diese
Gleichung daher vielfach nicht einmal aJs erste Annäherung an die
in der Praxis bestehendeti Verhältnisse gelten kann. Im folgenden
soll nun fOr einen einfachen Fall eine möglichst alle neueren Re-
sultate berücksichtigende Theorie des Gleichstromgenerators geliefert
werden.

Inzwischen ist in dieser Zeitschrift (53. Band, 1. Heft, S. 37 — 60)
eine Kritik meiner Dissertation von Herrn Mie erschienen, die ich
nicht unbeantwortet lassen kann. Auf die gehässigen persönlichen
Bemerkungen werde ich nicht eingehen, sondern nach der Darlegung
meiner eigenen, schon vor dem Erscheinen der Mieschen Arbeit in
der E. T. Z. angekündigten Lösungsmethoden in § 6 in streng sach-
licher Weise meine Entgegnung auf die größtenteils völlig unberechtigten
Angriffe dieses Herrn bringen.

§2.

Die Vorgänge bei der Eommutation.

Den Betrachtungen soll ein zweipoliger Gleichstromgenerator zu-
grunde gelegt werden, wie er in Fig. 1 schematisiert ist.

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Von Paul Rebbesbll.

339

Fig. 1.

Es sind N und 8 die beiden Feldmagnete ^ Ä ein glatter Ring-
anker mit einfacher, fortlaufender Wicklung, der sich in der Pfeil-
richtung drehen möge. B^ und jB^
sind die Bürsten, die der Einfach-
heit halber direkt auf dem Anker
schleifend gedacht sind. Um den
Bürstenverschiebungswinkel <p seien
sie gegen die ursprüngliche neutrale
Zone (u. n. Z.) verschoben. Die
Bürstenbreite sei gleich der Breite
einer Kollektorlamelle. Dann wird
ein Moment des Kurzschlusses bei
der Kommutation durch Fig. 2 yer-

anschaulicht, wo die Bürste B, den tatsächlichen Verhältnissen ent-
sprechend, auf dem Kollektor K schleift. Ist dann:

I die Stärke des in jeder Armaturhälfte fließenden Stroms, die
Yorläufig als konstant angesehen wird;

i die Stärke des Stromes in der kurzgeschlossenen Spule zur Zeit
tf wenn t eine beliebige Zeit, vom Beginn des Kurzschlusses an gerechnet,
bedeutet;

j -• j:^ qj Piff. «.

^ ^^

B-BBiiim ß

t'i und ij die Strom-
stärken in den Verbin-
dungen zu den Lamellen
1 und 2;

JB, der Widerstand
der kurzgeschlossenen
Spule ;

R^ der Widerstand
von je einer Verbindung
zwischen Armatur und
Kollektor;

B^ der Übergangswiderstand vom Kollektor zur Bürste, wenn diese
ganz aufliegt;

Tz die Zahl der KoUektorlamellen;

T die Zeit, während welcher der Kurzschluß auhält, vom Beginn
des Kurzschlusses an gerechnet;

so ist die Gleichimg der Kuraschlußsiromkurve:
di

_^yAyvVN/^v/V\^

(1)

L, .-. + iJ' + B.,i + i2,t, - i?,z, + ^ Ji - ^i, = ,

wo h, der scheinbare Selbstiuduktionskoeffizieiit, d. h. der durch Selbst-

22*

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340 Über die Kommutation des Stromes in Gleichstromgeneratoren.

Induktion und gegenseitige Induktion hervorgerufene, E' die kommu-
tierende EMK'^ Ä^ und A^ die variablen Übergangswiderstande von
den Kollektorlamellen zur Bürste; i^ = i + i und i^^^ I — i.

Die Kenntnis des Verlaufs der i- Kurve hat für die Technik eine
große Bedeutung. Nicht nur ist jede exakte Vorausberechnung der
Maschine ohne ihre Kenntnis unmöglich, sondern vor allem gibt sie
uns Aufschluß über die Ursachen der Erwärmung und Funkenbildung
an der Bürste. Da es sich für die Technik darum handelt, eine Theorie
der funkenlosen Kommutierung zu schaffen, so werden wir aus der obigen
Gleichung die Bedingungen für einen funkenfreien Gang aufzustellen
suchen.

Die Ursachen der Funkenbildung führte man früher allein darauf
zurück, daß infolge der Selbstinduktion der Strom i zur Zeit T noch
nicht zu — i kommutiert wäre, und daher am Schluß der Kurzschluß-
periode eine Unterbrechung des Stromes stattfände. Herr Thorburn
Reid hat zuerst die Ansicht ausgesprochen, daß die Funken von
einer zu großen Stromdichte unter der Bürste herrühren, und Herr
Fischer-Hinnen hat dann gezeigt, wie aus Gleichung (1) hervorgeht,
daß zur Zeit t^Tii immer gleich — / ist, die Funken daher nur
durch die große Spannungsdifferenz oder Stromdichte erzeugt werden
können. Aber auch zu Anfang und während der Kurzschlußperiode
muß ein zu starkes Anwachsen der Potentialdifferenz unter der Bürste
vermieden werden, kurz i muß für Funkenfreiheit ganz bestimmten
Bedingungen genügen. Die Gleichung (1) liefert dann für ein vor-
geschriebenes i ein bestimmtes J?', d. h. eine bestimmte Stelle des Feldes
oder einen bestimmten Bürstenverschiebungswinkel. Die so entwickelten
günstigen Bedingungen sind mit der Hauptgleichung des Generators
für die Klemmenspannung: K => F(I, J, n, ip, i) zu vergleichen, wo-
durch eine Vorausberechnung ermöglicht wird. Wird andrerseits, wie
dies neuerdings häufig der Fall ist, von Leerlauf bis VoUast eine kon-
stante Bürstenstellung verlangt, so sind die Grenzen zu ermitteln, in
denen dies zulässig ist.

§3.

Die Lösung der Eurzsclilußdiffereiitialgleicliuiig.

Wird in (1) die gegenseitige Liduktion vernachlässigt, der Selbst-
induktionskoeffizient L und der Übergangswiderstand zwischen Bürste

und Kollektor R^ als konstant angenommen, ^ = a; gesetzt, und, da
die Bürstenbreite b gleich der Lamellenbreite /3 : -4^ = y^ > -^ "*" * y

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Von Paul Risbbsell.

341

= t

außerdem iJ =- JB, + 2 JB^, und die kommutierende EMK: JE' als lineare
Funktion von t gleich E -{■ Rt gesetzt, sodann -l- -= r und
so nimmt (1) die Gestalt der Miescfaen Gleichung an:

+'(''+-:+r:-,)+^(fi-.-i)+4+-5-

(2)

dt
dx

H
L

0.

Hierzu tritt die Anfangsbedingung: ar = 0, i == /. r sei > 0, aber nicht
ganzzahlig. ^)

(2) gehört zu einem Typus von Gleichungen, bei denen der Diffe-
rentialquotient für die Anfangsbedingung in der Form ^ auftritt. Eben-
so wird für x^ 1, wo, wie später noch gezeigt wird, immer i =* — /
wird, ^ = - . Nach den Unter-
suchungen von Briot und
Bouquet (Journal de TEcole
Polytechnique, cah. 36), und
Poincare (Journal de l'Ecole
Polytechnique, cah. 45) ergibt
sich ic =» 0, i =« / als „Sattel-
punkt", durch den nur eine
Integralkurve, und zwar eine
in seiner Umgebung holo-
morphe, hindurchgeht, während
ic = 1 , i =^ — I ein „Knoten-
punkf ^ ist, durch den sämtliche
Integralkurven des allgemeinen
Integrals hindurchgehen. Fig. 3
möge die durch das allgemeine
Integral dargestellte Kurven-
schar veranschaulichen.*)

K^ stelle das gesuchte partikuläre Integral dar
übrigen etwa den Verlauf von K^ und K^ nehmen.

während die
Aus (2) ergibt

1) Der Fall eines ganzzahligen t soll, da er in der Praxifl nur zufallig ein-
treten kann, hier unberücksichtigt bleiben.

2) Auf die übrigen aingulären Punkte, beeonders auf die Eigentümlichkeit
des Punktes a; = 0, t «= oo und der durch ihn gehenden Kurven kann an dieser
Stelle nicht näher eingegangen werden. Der vorliegende Fall, bei dem die
Singularitatenlinien Kurven dritter und zweiter bezw. erster Ordnung sind, ist
aberhaupt noch nicht genauer untersucht worden. Für die zweite Ordnung findet
sich eine Diskussion aus den allgemeinen Säteen Poincar^s bei W. Büchel,
Dissertation, Jena 1903.

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342 Über die Kommutation des Stromes in Gleichstromgeneratoren,

sich nämlich:

WO

i = If, (x) + E^f, {X) + J?^ /i {x) + Ce-^'' (j4^) ^

/; {x) = ao + «iX + ajo:* H

/i W = ^^ + *2^* H

Die Koeffizienten y^ sind allgemein bestimmt durch die Gleichmig:

n

v + r

Die /'(a;) sind konvergent für | rc | < 1, divergent fftr | j; | > 1. Für
X ^1 ergibt sich Konvergenz, i wird = — /. Damit die Anfangs-
bedingung erfüllt ist, muß daher C ^0 sein, und das gesuchte parti-
kuläre Integral lautet:

(3) i = I/i {x) + eIu (^) + B'^ft (^^

oder, wenn (2) durch Quadraturen gelöst wird:

(3) stellt also das den Anfangsbedingungen genügende partikulare
Integral in dem ganzen Bereich, von x ^0 bis x =^1 einschließlich,
eindeutig, endlich und stetig dar. Auf dem Konvergenzkreise muß nun
aber mindestens eine singulare Stelle x ^ a von i liegen, wo also t
sich nicht nach steigenden ganzen Potenzen von x — a entwickeln läßt
Da die Differentialgleichung zeigt, daß i im Endlichen sich nur für
x ^0 und X ^\ Singular verhalten kann, so ist x ^1 der singulare
Punkt. Für unser gesuchtes partikuläres Integral ist also a; = regu-
lärer Punkt und x = \ Verzweigungspunkt, während für die übrigen,
d. h. wenn C" + 0, x^l Verzweigungspunkt und a; = algebraische
Unendlichkeitsstelle ist.

Um nun i in der Umgebung von a? « 1 darzustellen, setzen wir
1 — X ^y und erhalten die Differentialgleichung:

mit den Anfangsbedingungen y «= 1 , i = / und y = 0, i =» — 2. Als
allgemeines Integral ergibt sich:

(5) i - IF, {y) + {eI+ H'^^F.iy) + H^F,{y) + C"e»>(^)'

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Von Paul Rikbbsell. 343

oder

Da alle Integrale durch den Knotenpunkt hindurchgehen , so handelt
es sich daruniy durch Bestimmung von C" denjenigen Funktionszweig
zu ermitteln^ der auch durch den Sattelpunkt 7^ = 1 geht. Die Reihen
jP(v) konvergieren nur für |y|< 1, (7" = würde also eine der Inte-
gralkurven jB^, -Kj ... liefern, daher nicht das gesuchte Integral dar-
stellen. Führen wir aber in (3 a) die Substition l — x = y ein, so er-
gibt sich:

«')*-«-(.i,)'/-"(fi,r'Kl^-3-K+^3+s?*-

y
Der Vergleich mit (5a) zeigt, daß:

(')''"=[/-"'(ri:-,)-U'(r^-^K+HS)+«?»IH=.-

§4.
Berechnung der Integrationskonstanten durch unbestimmte Integration.
Da (4) als lineare Differentialgleichung erster Ordnung von der
Form ^ — {- Pi^ Q ist, so wird sie gelöst durch die Substitution i =» uv,

wo u bestimmt ist durch die Gleichung: j + Pu = und v durch die

Gleichung: ^ * t" = ö- ^ ^^ ^ unserm Fall: ^^^(tv"") • ^^^^ ^^*
w ^ —V bestimmt durch die Gleichung:

Unsre Konstante C" ist also w^^v

Am einfachsten erhalten wir diesen Wert, wenn wir in (7) un-
bestimmt integrieren und dann y =» 1 setzen. Dies ist aber nur erlaubt,
wenn die entstehenden Reihen für y = 1 konvergent sind. Nun liegt
y — 1, wie sich zeigt, auf ihrem Konvergenzkreise, und die Konvergenz
oder Divergenz hängt daher von dem analytischen Charakter der durch
die Reihen definierten Funktionen in der Umgebung von y « 1 ab,
also von Wy=i. Nachdem Herr Thome (Grelles Journal Bd. 100) ein
Konvergenzkriterium für gewöhnliche Potenzreihen auf dem Konver-
genzkreise aufgestellt hatte, hat Herr Schlesinger (Handbuch der

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344 Über die Kommatation des Stromes in Gleichstromgeneratoren.

Theorie der linearen Differentialgleichungen I, S. 230 ff.) gezeigt , daß
dieser Satz auch auf die gewöhnlichen Potenzreihen, welche in der Ent-
wicklung eines Elementes des zu einem singulären Punkte einer Diffe-
rentialgleichung der Fuchs sehen Klasse gehörigen kanonischen Funda-
mentalsystems auftreten, übertragbar ist. Um dies nachzuweisen, ist
nur zu zeigen, daß jede solche Potenzreihe einen Funktionszweig defi-
niert, der in der Umgebung jede^ Punktes des Konvergenzkreises, wo
er sich nicht regulär verhält, den Charakter eines sich bestimmt ver-
haltenden Integrals einer linearen Differentialgleichung besitzt. Dies
läßt sich in unserm FaU leicht beweisen. Andererseits genügt aber
die Funktion w, wie wir sehen werden, einer Differentialgleichung der
Fuchs sehen Klasse, bzw. w ist in Summanden zu zerlegen, deren jeder
durch eine Differentialgleichung der Fuchs sehen Klasse definiert ist;
die Konvergenz der BeiJien steht also fest.
Setzen wir:

(9) C" = Itff,(T, t') - Ey,{r, rO -H^g,(t, r'),

SO lassen sich die Funktionen g durch Reihenentwicklung und glied-
weise Integration ermitteln. Das ist erlaubt, da die Reihen konvergent
sind. (Vgl. Stolz, Math. Annalen Bd. 24, Encyklopädie I, A, 3).
Man erhält:

(10)

+«J

..(...■)-ii.-(-i)-+"i;U4-.^n-^.B

III

Ordnet man in diesen Doppelsummen nach Potenzen von r', so treten
als Koeffizienten hypergeometrische Funktionen auf, vom Typus:

jP(~ t + 1, — r -f 1 + w, - T + 2 -t- w, 1), die für jedes x>0 kon-
vergent sind.

Durch Benutzung der Formeln:

und

^ ^ ^ ^ sinrjr

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Von Paul Riebesell. 345

erhalten wir:

Wir erhalten also für G" denselben Wert wie Herr Mie, wenn noch
berücksichtigt wird, daß:

(12) rg,(r, rO = (2 - x')g,(r, r') + 2t'g,{t, r').

Weshalb jedoch diese Bestimmungsmethode der Mieschen vorzuziehen ist,
wird später ersichtlich.

Zu denselben Resultaten kommen wir auch, wenn wir die Integrale

benutzen; so ist:

1

9i(r,t')^fe-''yr'ii-yy.

Falls < r < 1, können wir setzen:

1

und erhalten durch Benutzung der ^-Funktionen das vorige Resultat.
Streng genommen, gilt dies nun aber nur für 0<r<l; denn nur
dann hat das Integral einen Sinn. Die ^-Funktion läßt sich ja aller-
dings durch die Formel, die B(a + m, b + n) mit -B(a, 6) verbiudet,
auch für negative Werte der Argumente analytisch fortsetzen, aber

die Eul er sehen Integrale sind dann sinnlos, die ^-Funktionen lassen

1

sich nicht mehr als / darstellen. Daß wir nun aber in dem Falle r > 1

für die bestimmten Integrale einen Ersatz finden können, dem die
(/-Funktionen genügen, und dem dann die 5- Funktionen entsprechen,
zeigt die folgende Überlegung. (Vgl. Jordan, Cours d'Annalyse III;
Pochhammer, Math. Annalen Bd. 35 — 37, Grelles Journal Bd. 102;
Schlesinger, Einführung in die Theorie der Differentialgleichungen,
Kap. IV, V).

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346 V^bei die Kommutation des Stromes in Gleichstromgeneratoren.

§5.
Berechnung der Integrationskonstanten durcli bestimmte Integration.

T
Betrachten wir in (8) nur den Faktor von — E y und entwickeb

e~^'v in eine Reihe, so läßt sich die Gleichung zerlegen in:
';;J=y-(l-y)^ ^.=-.V-x(i_y),^ ...

Jede dieser Differentialgleichungen erster Ordnung ist gleichbedeutend
mit einer der zweiten Ordnung. So geht aus der ersten durch Diffe-
renzieren die folgende hervor:

/ -x d*w, dw. ^

y(y-i)rfy-i'-T-^^ = o.

Dies ist aber ein Spezialfall der Gau fischen Differentialgleichung der
hjpergeometrischen Reihe zweiter Ordnung^ die allgemein lautet:

In unserm Fall ist also y = T, a = — 1, /3 = 0. Als das für unsem
Zweck allein brauchbare Hauptintegral in der Umgebung von y «=
ergibt sich: ^^ „ c,,/-^Fi- r, - r + 1, - r + 2, y).

c^ bestimmt sich^ da w^ auch der Gleichung (8) genügen muß, als:

— ^py • Ahnliches gilt für w^, w^, . . ., und wir erhalten wieder die

Resultate von (11).

Anstatt durch Reihen kann man die G au ß sehe Differentialgleichang
auch durch bestimmte Integrale lösen. Man setzt:

h

•j

und bestimmt g, h und U. Das für unsem Zweck in Betracht kommende
Hauptintegral wird:

w^ =J*u^-r{u — l)y-«-i(w — y)-^du,

wo den a, /3, y gewisse Bedingungen auferlegt sind. Indem wir u^vy

1
setzen, erhalten wir ein /; setzen wir dann y = 1, so vermitteln be-

kanntlich die Eulerschen Integrale (Vgl. Pochhammer a. a. 0.) die
Darstellung durch jF- Reihen mit der durch bestimmte Integrale. In

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Ton Paul Biebesbll. 347

unserm Fall ist die Konstante ji?(— r + 1, 1), was gleich ^:^ri ist.

Die Integration durch bestimmte Integrale liefert also direkt die Aus-
drücke von (11). Natürlich gelten wieder die Integrale streng nur
für < r < 1, und für g^ir, r') läßt sich direkt überhaupt kein kon-
vergentes Integral aufstellen^ außer durch die Relation (12). Wir suchen
daher einen Ersatz für die Integrale. Dies gelingt durch Einführung
von gewissen Doppelundcmfintegralen in der komplexen Ebene, (Jordan,
Pochhammer, Schlesinger a. a. 0.)

Ist allgemein /*(w) = (w — p)^""^(u — g')*-^g?(w), wo q){u) eine in
der Umgebung von p und q eindeutige Funktion von u ist, so werde
als Integrationsweg ein Doppelumlauf um die beiden Verzweigungs-
punkte p und q der zu integrierenden Funktion f(u) gewählt, und
zwar so, daß die Punkte p und q abwechselnd umkreist werden, jeder
zuerst im positiven, dann im negativen Sinne. Es gilt dann, nach
Zusammenziehung des Integrationsweges, die Gleichung:

ff(u)du ^ (e^'*' ^ - 1) (^-'^'^ - i)ff(u)du + {e^''*' - 1)«^ - {e""'' - 1)«^;
WO Sp bezw. s^ die einfachen kleinen Schleifenintegrale um p und q

darstellen. Ist nun das gradlinige Integral j f(u)du konvergent,

p
verschwinden die Schleifenintegrale s^^ und s^, also bleibt:

ßXu)du - {e^""'^ - l)(g»''»^ - l)ff{u)du.

so

{q,p)

„Genügt also das Integral j f(u)du, wenn es konvergent ist, einer

p
linearen homogenen Differentialgleichung, in welcher 6 und r als
Konstante vorkommen, während eine der Größen p und q^ bezw. ein in
<p(u) enthaltener Parameter die unabhängige Variable der Dijfferential-
gleichung darstellt, so liefert das hier definierte Integral mit Doppel-
umlauf einen Ersatz für das partikuläre Integral j f(u)du in denjenigen

p
Fällen, wo das letztere, wegen der Art der in m = jp oder u^ q ein-
tretenden Unstetigkeiten von f(u) keinen bestimmten Sinn behält."

(Pochhammer, Math. Annalen Bd. 35.) Ich kann also für das Inte-
1 —

gral w^=^jU-"^{\ —uydu das Integral ju-^{\ —uydu als Ersatz

(1,0)

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348 t^ber die Kommutation des Stromes in Gleichstromgeneratoren.

nehmen. Dies genügt nun aber wieder einer Differentialgleichnng
der hypergeometrischen Reihe, durch deren Auflösung sich wieder
?(?! = c • F(— ir, —r+1, — r + 2, 1) ergibt, wo c passend bestimmt
wird. Andrerseits kann ich aber auch direkt das Doppelumlaufintegral
als Definition der jB- Funktionen für beliebige Argumente benutzen.
Es ist:

/w^-\l -- ?0'"' = (1 - e^'^'OCl - e"'')B{6, r).
(i'o)

In unserm Fall also:

/tr '(1 ~ m)^ = (2 — 2 cos 2;rr) • w^.

(1,0)

Wir können daher die Doppelumlaufintegrale wählen, müssen aber das
Resultat durch (2 — 2cos2:tt) dividieren.

Eine noch einfachere Methode der Konstantenbestimmung wird
erhalten, weim wir, anstatt die Teilintegrale w^y w^ . . . durch Doppel-
umlaufintegrale zu ersetzen, direkt für C" ein bestimmtes Integral auf-

T
stellen. So ergibt sich z. B. für den Faktor von — E^j also für

^2(r, r'), daß er, abgesehen von der Konstanten: 2 — 2cos23rr mit
folgendem Integral übereinstimmt:

fe-''vy-'{l-yydy.

(1,0)

Dies Doppelumlaufintegral genügt aber einer Laplac eschen Differential-
gleichung 2. Ordnung, nämlich der Gleichung:

Durch die Auswertung dieser Gleichungen ergeben sich wieder die
Werte (11), die wir nach der bei der Laplaceschen Gleichung üblichen
Schreibweise folgendermaßen schreiben können:

9^(r> t') = „:„-~[F{- t + 1, 1, - r') + F(- r, 1, - r')]

(13)

AT

Die Funktionen F sind ganze transzendente Funktionen von r\ die fiir
jedes r' konvergieren, und zwar für kleine r', auf die es ja in der

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Von Paul Riebeskll. 349

Praxis allein ankommt, sehr gut konvergieren. Die Gleichungen (10),
(11) nnd (13) liefern iins dso die Konstante C" für alle nicht ganzzaliligm
positiven -r.

Ist nun C" von Null verschieden, so ergibt sich i aus (5) als
mehrdeutige Funktion von y. Da nun aber i in der Umgebung von
a; = 0, bis a;= 1, eindeutig sein soll, so muß in (5) derjenige Zweig
fixiert werden, der durch a: == 0, i =« i hindurchgeht, d. h. wir haben

einen ganz bestimmten Wert für \yzij ^^ wählen. Da nur die

reellen Integi-alkurven in Betracht kommen, so handelt es sich um die
Bestimmung des Vorzeichens. Nun hängen, wie (5a) zeigt, auch die

Potenzreihen von demselben Faktor yrzTj ^f ^°^ damit sie der

Anfangsbedingung genügen, muß der positive Wert des Faktors ge-
nommen werden. Dasselbe folgt aus der obigen Bestimmungsmethode
von C". Diese notwendige Festsetzung fehlt auch in der neuen Ab-
handlung des Herrn Mie. Ebenso fehlt ein strenger Konvergenzbeweis
für die bei der Bestimmung der Eonstanten benutzten mehrfachen Reihen.

§6.

Die Abhandlung des Herrn Mie.

Ich komme nun zu meiner Entgegnung auf die neue Abhandlung
des Herrn Mie. Daß zu einer Kritik seiner alten Abhandlung vom
Jahre 1899 sehr wohl Veranlassung vorlag, verschweigt Herr Mie,
denn diese Abhandlung ist Iceinestvegs fehlerfrei geivesen. Um nur das
Wichtigste zu nennen, behauptet er dort, daß die Entivickhing von i
nach Potenzen von x für a: == 1 divergent seiy und daß aus dies&tn Grunde
die weiteren Rechnungen nötig seien. Femer gibt er für den Fall,
daß r eine ganze Zahl ist, in seiner Formel (24) ein falsches Integral
für i. Wenn Herr Mie weiter in der Einleitung seiner neuen Ab-
handlung sagt, daß er jetzt einige Überlegungen und Rechnungen hinzu-
füge, die die alte „vielleicht noch etwas ergänzen^', so ist hierzu zu be-
merken, daß die alte Arbeit in Wahrheit gar heilte Konstantenbestimmung
enthält, sondern nur die folgende Andeutung: „i ist mit Hilfe der drei
Potenzreihen /^(a;), f^ioc), f^{x) zu berechnen, welche für a: =• 1 (d. h
t^T) divergent werden. Wir müssen also für die Berechnung von i
gegen Ende des Kurzschlusses eine andere Reihenentwicklung suchen.
Es gelingt dies, wenn man die Reihen umwandelt in Reihen, welche
anstatt nach Potenzen, nach hypergeometrischen Funktionen fortschreiten.
Da man die Grenzwerte der hyper geometrischen Funktionen fftr ic = 1
kennt, so gelangt man dadurch zu einer Reihenentwicklung der drei

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350 Xlher die Kommutation des Sixomes in Gleichstromgeneratoren.

Funktionen f^, /"g, /j nach Potenzen von y = 1 — x". Dann folgt gleich
das Endresultat. Hieraus läßt sich nicht deutlich entnehmen, wie Herr
Mie zu seinen Resultaten gelangt ist. Es wird kein Wort von dem
Zusalestrom i', kein Wort üher die Integraldarstellung von i gesagt,
auf deren Einführung die Methode beruht, die Herr Mie jetzt anwendet
Ob er schon 1899 im Besitze dieser Methode gewesen ist, oder sich
nicht vielmehr der falschen Herleitung bedient hat, die ich in meiner
Dissertation auf Grund jener Andeutungen vermutungsvoeise als die
seinige bezeichnet habe, möge dahingestellt bleiben. JedenfaUs fuhrt
auch die neue Methode des Herrn Mie, sobald sie ohne Einführung
des Zusatzstroms augewandt wird, auf den von mir bezeictineten Fehler ^

daß linij ^-^ fälschlich = gesetzt wird, oder auf eine Rechnung

mit divergenten hypergeometrischen Beihen. Sodann steht das Ergebnis,
daß r unbedingt > 1 sein muß, mit den Talsaclven der Elektrotechnik
in Widerspruch. Trotzdem bezeichnet Herr Mie in seiner neuen Ab-
handlung r > 1 abermals als erste Bedingung für den funkenfreien Gang
der Maschinen. Endlich hat Herr Mie bei Aufstellung seiner Gleichung
Kräfte vernachlässigt, die erwiesenermaßen einen großen Einfluß auf
den Verlauf des Eurzschlußstroms ausüben, so daß seine Besultate für
die Francis nicht als erste Annäherung gelten können.

Weun meine Dissertation auch das genannte Versehen enthält,
welches ich, wie erwähnt, schon vor dem Erscheinen der neuen Mi eschen
Abhandlung öflfentHch bekannt gegeben habe (E. T. Z. 1906, Heft 3),
so bin ich in ihr doch über die alte Abhandlung des Herrn Mie er-
heblich hinausgegangen, denn ich habe auf Grund der Untersuchungen
von Briot und Bouquet die Differentialgleichung {2) klassifiziert und
die Punkte x ^0 und x ^ 1 bezw. als Sattel- und Knotenpunkte erkannt
Herr Mie spricht dagegen nur von dem Integral t, während doch, da

ic = singulärer Punkt der Differentialgleichung ist und l^j in

der Form § erscheint, durch die Anfangsbedingung rc = 0, i = /, nur
für r > ein bestimmtes partikuläres Integral definiert wird.

In der alten Abhandlung fehlte auch die Bestimmung der Kon-
stanten C, die ohne Beweis gleich Null gesetzt wird. In der neuen
Arbeit verfährt Herr Mie nun unter Berufung auf „Die Gleichstrom-
maschine'^ von Arnold in folgender Weise (S. 40): „Das allgemeine
Integral der Gleichung läßt sich folgendermaßen schreiben:

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Von Paul Biebesell. 351

WO c eine willkürliche Konstante sein soll. Durch Herübermultiplizieren
bekommt man: x

i . gr'x ^^ = I . . . 4. c.

Läßt man nun x gegen Null konvergieren, so wird die linke Seite
Null, ebenso das bestimmte Integral. Daraus folgt »= 0. Dieser
einfache Schluß ist Herrn Riebesell so unverständlich, daß er ihn
meint mit der kurzen Bemerkung abtun zu können: Das Unzulässige
dieser Bestimmung ist ersichtlich.'^

Ich gebe zu, daß ich mich kurz ausgedrückt habe; ich rechnete
eben auf das entgegenkommende Verständnis des aufmerksamen Lesers.
Herrn Mie will ich aber ausführlich zeigen, warum sein „einfacher
Schluß'^ unzulässig und fehlerhaft ist. Er beruht auf zwei Voraus-
setzungen. Daß die linke Seite gegen Null konvergiert, setzt voraus,
daß erstens i für a; = einen bestimmten endlichen Wert hat, und
zweitens, daß t größer als NuU ist. Was das zweite betrifft, so rechnet
Herr Mie wiederholt mit negativen Werten von r. Was das erste an-
geht, so ist der Punkt a; == ein singulärer Funkt der Differential-
gleichung, und daß es überhaupt ein Integral gibt, bei dem i für o; =
eiiven endlichen Wert hat, ist keineswegs selbstverständlich, muß viel-
mehr erst bewiesen werden. Der „einfache Schluß" ist nichts anderes
als ein Zirkelschluß, da bei ihm die zu beweisende Existenz des Inte-
grals bereits stillschweigend vorausgesetzt wird. Das Fehlerhafte der
Schlußweise sieht man am einfachsten ein, wenn man bedenkt, daß
genau mit denselben Worten bewiesen werden könnte, daß C =■ ist
bei einem Integrale, das für rr » irgend einen gegebenen endlichen
Anfangswert besitzt, während doch nur ein einziges Integral mit dem
endlichen Anfangswerte / für x =^ vorhanden ist, wie ich dies ja
auch in der Dissertation ausdrücJclich hervorhebe.

Daß ich unter diesen Umständen vermutete, Herr Mie möchte bei
der Bestimmung der Konstanten C", über die er nur Andeutungen
gemacht hatte, in ähnlicher unzulässiger Weise wie bei C (bzw. c)
vorgegangen sein, wird man hiernach erklärlich finden. Bei Einführung
des Zusatzstroms fällt mein Bedenken allerdings fort, allein von diesem
Zusatzstrom war in der Abhandlung des Herrn Mie von 1899 mit
keinem Wort die Rede. Bei dieser Gelegenheit behauptet Herr Mie,
daß ich „in einem Atemzuge sage, daß das Integral:

X

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352 Über die Kommutation des Stromee in Gleichätromgeneratoreu.

natürlich divergent sei, und, daß dasselbe Integral mit den Grenzen
bis 1 einen bestimmten endlichen Wert habe, der mit der gesuchten
Konstanten übereinstimmt/' Diese Behauptung widerspricht dem
wirklichen Sachverhalt. Ich sage im Gegenteil an dieser Stelle aus-
drücklich, daß das Integral von bis 1 „keinen bestimmten Sinn" hat,
daß aber, wenn man es trotzdem durch formale Anwendung der
J5- Funktionen auswertet, ohne also auf die Divergenz Rücksicht zu
nehmen, allerdings die Konstante des Herrn Mie herauskomme, deren
Bestimmung auf diesem Wege eben unzulässig sei. Herr Mie scheint
diese einfache Überlegung nicht verstanden zu haben. Ebenso wenig
hält dieser Herr es für nötig, eine Fixierung des Vorzeichens in (5)
vorzunehmen, um den durch den Sattelpunkt gehenden Zweig des In-
tegrals zu erhalten. Sodann widerspricht auch die Anmerkung auf
S. 39 dem tvahren Sachverhalt; denn der Fall (1) ist nicfit „die Ent-
wicklung der Funktion um den Punkt herum/' Ich kann deshalb
nicht umhin, meine Verwunderung darüber auszusprechen, daß Herr
Mie sich für berechtigt hielt, über eine Arbeit zu urteilen, die er so
flüchtig durchgelesen hatte.

Die übrigen Ausführungen des Herrn Mie sind wesentlich physi-
kalisch-technischer Art und werden weiter unten ihre Erledigung finden.

Zum Schluß möchte ich noch hervorheben, daß die Kritik 'der
alten Mie sehen Abhandlung nur einen Teil meiner Dissertation büdet.
Da die Bedingung r > 1 für Funkenfreiheit nicht „unerläßlich" ist, wie
Herr Mie glaubt, also auch die Mie sehe Gleichung, aus der t>1
hergeleitet wird, nicht immer der Wirklichkeit entspricht, habe ich
dort auf den letzten 20 Seiten alle Kräfte festzustellen versucht, die
auf eine kurzgeschlossene Spule wirken. Auf diese Ausführungen, die
allerdings den Wert der Mie sehen Dijfferentialgleichung beeinträchtigen,
ist Herr Mie in seiner neuen Abhandlung mit keinem Worte eingegangefi.
Wer nur diese Abhandlung liest, muß daher ein ganz falsches Bild von
dem Inhalt meiner Dissertation bekommen

§7.

Die giinstigen Bedingungen.

Die technischen Folgerungen aus der Kurzschlußstromkurve be-
ziehen sich, wie gesagt, auf die Ursachen und das Auftreten von
Funken zwischen Bürste und Kollektor. Da für x ^0 : i ^ I ist und
auch für a; =« 1 : i = — /, so kann eine eigentliche Unterbrechung des
Stroms nicht eintreten. Die Stromdichte und die Potentialdifferenz
sind daher ausschlaggebend. Wie die Praxis lehrt, ist der Moment

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Von Paül Riebbsbll. 353

am Schluß der Kurzschlußperiode der gefährlichste für die Funken-
bildung. Da die Stromdichte an der ablaufenden Lamelle gleich jrfz!^.< y

WO /S als '^Flache aufgefaßt ist, und die PotentialdiflFerenz ' y_^. ,
80 sind die betreffenden Werte f ür o; — 1 : — ^ l~\ _ (nicht ^ (^t) •
wie Herr Mie in der neuen Abhandlung S.52 schreibt) und: —R^ ^\dl) — >
also proportional (^ _ . Nun zeigt (5), daß, da C" im allgemeinen

+ 0, (^^Y y=-«> ist för T^l, während (^*)^_y endlich für r > 1.

Letztere Bedingung tritt also als unerläßlich für Funkenfreiheit auf.^)
Das günstigste Verhältnis tritt natürlich ein, wenn die Stromdichte

zum Schluß gleich Null ist, d. h. K*) =0 ist. Der günstigste Ver-
lauf der Eurzschlußstromkurre würde also etwa durch K^ in Fig. 3
dargestellt werden, während K^ kein funken&eies Arbeiten der Maschine
liefern könnte. Aber nicht nur das Ende der Kurzschlußperiode ist
für das Funkengeben maßgebend, sondern der ganze Verlauf des Eurz-
schlußstroms. Vor allen Dingen darf es nicht eintreten, daß der Strom
überkomm utiert wird, d. h. daß, bevor < =« T ist, i schon kleinere Werte
als — 1 annimmt. Ein Verlauf wie K^ in Fig. 3 darf also nicht
eintreten; denn sonst würde die Bürste an gewissen Stellen zu stark
in Anspruch genommen werden, was zu einer Funkenbildung unter
der Bürste führen könnte. Wenn auch nicht sichtbar, so würden diese
Funken doch die Bürste an bestimmten Stellen stark abnutzen oder
erhebliche Wärmeentwicklung am Kollektor yerursachen. Mau kann
diese Abnutzung auch an gebrauchten Bürsten vielfach wahrnehmen.
Man wird nun einigermaßen sicher vor Überkommutierung sein, wenn

Außer der bisher betrachteten lokalen Wärmeentwicklung unter
der ablaufenden Bürstenkante ist der während der ganzen Kurzschluß-
periode durch die Wärmeentwicklung unter der Bürste bedingte
Effektverlust in Betracht zu ziehen. Führen wir den zusätzlichen
Kurzschlußstrom T =- i — /(l — 2x) ein, so wird die während einer
Kurzschlußperiode erzeugte Wärme:

(14) ^TJ[,J'+^\-:;^dx.

1) Die ZufalUbedingang C" = bleibt hierbei unberücksichtigt.

Zeitschrift f. Mathematik n. PhyBÜc. 5S. Band. 1906. 4. Heft 23

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354 Über die Eommatation des Stromes in Gleichstromgeneratoren.

Diese wird am kleinsten, wenn «"=»0 ist, d.h. wenn i^ 1(1 — 2x),
wenn also der Strom ganz gleichmäßig kommutiert wird. Dann ist
die Potentialdifferenz unter der ablaufenden Lamelle wie auch unter
der auflaufenden Lamelle konstant « 2ijBi, die /-Kurve verlauft wie
die Gerade K^, Diesen Verlauf bei der konstanten Stromdichte unter

der Bürste (-^ ) hatte Herr Thorburn Reid für den günstigsten ge-
halten. Durch die Untersuchungen, besonders der Herren Fischer-
Hinnen und Arnold, hat sich jedoch gezeigt, daß, wie dies ja auch
physikalisch klar ist,

d. h.: zum Schluß keine Potentialdifferenz und Stromdichte, die
günstigste Bedingung angibt. In zweiter Linie kommt erst die gesamte
Strom wärme in Betracht. Da schon i' = nicht den günstigsten Ver-
lauf liefert, so hat die Untersuchung, wann (14) für T+O ein Mini-
mum hat, die Herr Mie im 11. Abschnitt seiner neuen Abhandlung
durchführt, keine praktische Bedeutung, zumal die physikalisch unzu-
reichende Eurzschlußdifferentialgleichung (2) zugrunde gelegt ist und
hier überdies noch die völlig willkürliche Bedingung eingeführt wird,
daß die kommutierende EMK eine lineare Funktion der Zeit und des
Bürstenverschiebungswinkels sei. Außerdem unterläßt Herr Mie es,
zu untersuchen, ob seine Bedingung (45) tatsäddich ein Minimum des
Effektverlusts liefert. Jedenfalls zeigen seine Formeln (39) bis (41),
daß die zweite Ableitung negativ sein kann, so daß also die angeführte
Bedingung ein Maximum der Wärmeentwicklung Kefem könnte. Es
muß daher der Bedingung (45) unbedingt eine zweite Gleichung hirnu-
gefügt werden, die eine Beziehung zwischen x und x' für das Eintreten
eines Minimums angibt. Eine exakte Herleitung dieser Beziehungs-
gleichung ist nur mit Hilfe komplizierter Reihenentwicklungen möglich
und soll hier nicht gegeben werden. Denn obgleich in dem von
Hen-n Mie angeführten Zahlenbeispiel die Bedingung für ein Minimum
erfüllt ist, so zeigt das Resultat, wonach für diesen angeblich günstigen
Fall starkes Üherkommutieren auftritt, zur Genüge, daß die gange Bech-
nutig praktisdi wertlos ist. Wie genauer das Minimum der Wänne-
entwicklung als Funktion des Bürstenverschiebungswinkels zu bestimmen
ist, wird aus den später abzuleitenden Formeln ersichtlich sein, soll
hier jedoch der geringen technischen Bedeutung wegen nicht weiter
ausgeführt werden.

Im allgemeinen kann man nur sagen, daß der Effektverlust keine
erheblichen Dimensionen annehmen wird, solange die t-Eurve nicht

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Von Paul Riebesell. 355

allzusehr von der geraden Linie abweicht. Nun zeigt die Praxis ^ daß
außer dem Endmoment der Eurzschlußperiode auch der Beginn für
die Funkenbildung gefährlich sein kann. Solange r > ist^ kann zwar

(si) — ^^^^ ^^ werden, aber es kann erhebliche endliche Werte an-

nehmen, so daß wir als günstige Bedingung verlangen können, daß sich
in diesem Moment die t-Eurve der gradlinigen Kommutierungskurve K^
nähert, d. h. daß:

W (tL.— t

ist; dann wird Unter- wnd Überkonimuüerung möglichst vermieden
werden.

§8.

Die gegenseitige Induktion und die kommutierende EMK,

Die aus der bisher zugrunde gelegten Differentialgleichung (2)
folgenden Resultate stehen, wie mehrfach erwähnt, im Widerspruch
mit den Tatsachen der Praxis. Schon die erste unerläßliche Bedingung:

TD Ji

— l— > 1 wird zwar bei Kohlebürsten, für die R^ relativ groß ist, meist

eben erreicht, für Metallbürsten jedoch ist bei durchaus gut funktio-
nierenden Maschinen t fast immer außerordentlich viel Meiner als 1,
wie die Herren Fischer-Hinnen, Arnold und Isler (a. a. 0.) fest-
gestellt haben. ^) Es kann dies nur daran liegen, daß bei der Aufstel-
lung der Differentialgleichung (2) magnetische oder elektrische Wir-
kungen vernachlässigt worden sind, die tatsächlich einen größeren
Einfluß ausüben. Dies ist nun der Fall, nicht nur für die in r vor-
kommenden Orößen 12^ und L, sondern auch für mehrere andere
Parameter der Gleichung, während wieder andere Wirkungen ganz außer
Acht geblieben sind.

Zunächst ist der SelbstinduJctionsJcoeffizient L von t abhängig; da
die Spulen sich den Polschuhen nähern, wird er im allgemeinen mit t
wachsen. Wie noch gezeigt wird, können wir jedoch in der Nähe der
neutralen Zone, um die es sich ja immer handelt, zumal in unserm
einfachen Fall, das Feld als homogen ansehen, und so auch L kon-
stant nehmen. Außerdem wirkt nun aber die gegenseitige Induktion
und zwar einerseits zwischen den Spulen, welche gleichzeitig kurz-
geschlossen sind und andrerseits zwischen der betrachteten Spule und

1) Daß Herr Arnold den Ansführongen des Herrn Mie (S. 53—60) zu-
BÜmmt, ist mir nnverständlich, da diese znm Teil seinen früheren üntersachungen
widersprechen.

2S*

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356 Über die Eommatation des Stromes in Gleichstromgeneratoren.

doD sie amgebenden Armaturteilen. Können wir die letztere Wirkung
im allgemeinen yemaclilässigen, so setzt sich die erstere zusammen aus
der Wirkung der unter der selben Bürste gleichzeitig kurzgeschlossenen
Spulen (bei 6 >./3) und aus derjenigen der unter den andern Bürsten
geschlossenen Spulen. Für den einfachen Fall der Fig. 1 und Fig. 2
ist außer der betrachteten immer noch eine Spule, nämlich die unter
der andern Bürste, dauernd im Kurzschluß. Da wir eine vollkommen
symmetrisch konstruierte und laufende Maschine Yoraussetzen, so wird
der Kurzschlußstrom unter der zweiten Bürste dieselbe Phase haben
wie unter der ersten. Ist der Koeffizient der gegenseitigen Induktion ilf,

so erhalten wir demnach einfach eine additive EMKiM i^X Ist nun

b> ßj so kommen außerdem noch die EMKg der andern unter der-
selben Bürste befindlichen Spulen hinzu, in denen der Kurzschlußstrom
allerdings verschiedene Phase haben wird. Im allgemeinen können
wir sagen, daß die Gesamtwirkung der gegenseitigen Induktion durch

den Ausdruck L^ ^- gegeben wird, wo der „scheinbare Selbstindoktions-

koeffizient'* L^^ L + 2JM ist. UM kann hierin positiv und negativ
sein. Die Arbeiten des Herrn Benischke haben gezeigt, daß meistens
die gegenseitige Induktion eine schwächende Wirkung ausübt, SM also
negativ zu nehmen ist

Eine zweite willkürliche Annahme in der Gleichung (2) ist die der
kommutierenden EMK: E' als lineare Funktion der Zeit: E' = E + Et.
Dieser Bedingung wird im allgemeinen nur genügt, wenn * gradlinig
verläuft. Da nun aber in der Praxis die gleichmäßige Kommutiemngs-
kurve fast nie eintritt, auch nicht, wie wir sahen, den günstigsten
Verlauf darstellt, so wird E' eine kompliziertere Funktion von t sein-
(Vgl. Pohl a. a. 0.). Aus den Daten der Praxis ist die Form dieser
Funktion nicht mit Sicherheit zu ermitteln, es wird daher unsre Auf-
gabe sein, für den zugrunde gelegten einfachen Fall E' aus der Gestalt

dN
und den Dimensionen des Feldes nach der Formel: E' ^ — -j^ zu be-
rechnen, wo N die Zahl der durch die Spule gehenden Kraftlinien
bezeichnet. Wie das Fixieren der Kraftfelder gezeigt hat, ist in der
Umgebung der (allerdings verschobenen) neutralen Zone das Feld als
homogen anzusehen. Das Gesamtfeld setzt sich nun aus zwei Kom-
ponenten zusammen, erstens aus der durch die Feldmagnete erzeugten
Feldintensität F und zweitens aus der infolge des Ankerstroms erzeug-
ten Ankerintensität A. Denn haben wir eine zweipolige Maschine, so
entsteht zwischen den Polen zunächst ein homogenes Feld, welches
aber durch die „Ankerrückwirkung^* verzerrt wird. Die neutrale Zone

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Von Paul Bixbesxll.

357

liegt daher nicht mehr in der Mitte zwischen den beiden Polen^ wie es
in der Ruhelage der Maschine der Fall sein würde, sondern sie ist
theoretisch als Senkrechte zur Richtung des resultierenden Magnetismus
zu deuten. Die Richtung des Erregermagnetismus ist durch die Linie
NS in Figur 1 gegeben. Die des Ankermagnetismus hängt natürlich
ganz von der Stellung der Bürsten ab; denn da in den beiden Anker-
hälften der Strom in verschiedener Richtung fließt, so werden die
Stellen, an denen die Bürsten aufliegen (bei B^ und B^ in Fig. 1) zu
Polen. Sollen nun die Bürsten in der resultierenden neutralen Zone
stehen, d. h. soll die Resultante senkrecht zur Bürstenstellung sein
(damit auch zu A), so ist offenbar der Bürstenverschiebungswinkel (p
gegeben durch:

sin g)

A
F'

Diese Formel ist die in den elektrotechnischen Lehrbüchern angegebene
zur Berechnung des Bürstenverschiebungswinkels. (Vgl. E. Kittler,
Handbuch der Elektrotechnik; S. P. Thompson, Die dynamoelektrische
Maschine). Ihre Voraussetzung, nämlich die Stellung der Bürsten in
der resultierenden neutralen Zone, trifft aber in der Praxis nicht zu;
vielmehr müssen die Bürsten noch weiter vorwärts geschoben werden,
damit die kommutierende EMK wirken kann. Sehen wir die ur-
sprüngliche neutrale Zone als Anfangslage an, und nennen den
Winkel, um den die Bürsten verschoben sind, 97, so gilt allgemein
die Fig. 4.

Die Resultante B gibt hier die Intensität des resultierenden Feldes
nach Oröße und Richtung an. Sehen wir das Feld als homogen an,
so müssen wir die Zahl der
Kraftlinien bestimmen, die zur
Zeit t (vom Beginn des Kurz-
schlusses gerechnet) durch die
Windungsfläche der kurzge-
schlossenen Spule des Ring-
ankers hindurchgehen. Der Win-
kel, um den die kurzgeschlossene
Spule sich zur Zeit t von der
ursprünglichen neutralen Zone
entfernt hat, ist dann in Bogen-
maß: g? + 2nnt, da 9 den
Winkel beim Beginn des Kurz-
schlusses angeben soll. Die Zahl der Kraftlinien, die zur Zeit t die
Spule durchsetzen, ist dann gegeben durch die Komponente von U,

Flg. 4.

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358 t^ber die Kommutation des Stromes in Gleichstromgeneratoren.

die senkrecht zur Windungsfläche der Spule, "d. h. in Fig. 4 zur
Linie Xy steht. Es ist daher:

(17) ^^'=-f[F cos {(p + 2nnt) - Ä sin 2xn{],

wenn 2f einen durch die Dimensionen der Polschuhe, des Ankereisens
und des Luftabstandes zwischen Anker und Feldmagneten bedingter
Faktor ist, der die Dimension des Gesamtfeldes angibt, und etwa als
Maschinenkonstante zu bezeichnen ist.^) Damit wird:

(18) E' « 2xnflF8m ((p + 2xnt) — A cos 2%n{\.

Wir haben hierbei vorausgesetzt, daß das resultierende Feld homogen
sei, daß also auch F und A von der Zeit unabhängig sind, öenau
genommen wird jedoch durch die Vei-zerrung des Feldes infolge der
Ankerrückwirkung dasselbe etwas inhomogen. Nach der austretenden
Polkante zu werden die Kraftlinien allmählich dichter zusammengedrängt,
wie sich durch Fixieren der Kraftfelder gezeigt hat. Man müßte daher
genauer F und A als lineare Funktionen der Zeit ansehen. Für die Kurz-
schlußstromkurye, für die es sich immer nur um das Feld in der Nähe
der neutralen Zone handelt, gilt jedoch mit genügender Annäherung
die Gleichung (18), und auch für das Gesamtfeld sei der Einfachheit
halber das Feld als homogen angesehen, also (18) als gültig ange-
nommen. Die schwachen Verluste durch Wirbelströme, Hysteresis,
Ausstrahlung und Streuung der Kraftlinien sollen nicht berücksichtigt
werden, ebensowenig die Kapazität der kurzgeschlossenen Spule.

§9.

Die magnetische Wirkung des EurzschluBstroms und der Obergangs-
widerstand.

Die bisher als Ankermagnetismus oder Ankerrückwirkung bezeich-
nete Größe A setzt sich zusammen aus den Amperewindungen des
Ankerstroms I und den Amperewindungen des Kurzschlußstroms t.
Überdeckt die Bürste mehrere Lamellen, so wird offenbar i beträchtliche
Wirkungen ausüben können. Herr Pohl hat (a. a. 0.) zuerst genauer
diese magnetischen Wirkungen der Kurzschlußströme untersucht, und
er gelangt zu dem Resultat, daß „diese Einflüsse der Kurzschlußströme
auf die Gesamtzahl der wirksamen Linien von keineswegs zu yemach-
lässigender, unter Umständen sogar die andern Ursachen der Anker-

1) Die infolge eines bestimmten zugrunde gelegten Maßsystems in den
Gleichungen auftretenden Eonstanten sollen im folgenden nicht berücksichtigt
werden.

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Von Paul Riebesell. 359

rückwirknng weit überwiegender Bedeutung sein können". Wenn ich
auch diesem Resultat aus weiter unten zu erörternden Gründen nicht
unbedingt zustimmen kann, so verdient doch der Einfluß der Kurz-
schlußströme auf die Feldgestaltung näher untersucht zu werden. Wie
Herr Pohl hervorhebt^ ist eine zweifache Wirkung der von den Kurz-
schlußströmen hervorgerufenen Kraftlinien zu unterscheiden. Ein Teil
wird durch Pol und Joch geschlossen werden, und so für das Gesamt-
feld in Betracht kommen, ein andrer wird sich direkt um die Drähte
der kurzgeschlossenen Spule durch die Luft schließen, und so nur für
das Kommutierungsfeld in Betracht kommen. Wir werden also einen
Einfluß auf die nutzbare EMK der Maschine und eine Wirkung auf
die in Betracht kommende kommutierende EMK zu unterscheiden
haben. Daß das Feld in der Umgebung der Bürsten periodische
Schwankungen von der Frequenz der Kommutierung durchmacht, ist
mehrfach beobachtet worden. Wollen wir diese Wirkung in unsrer
DLfferentialgleichimg berücksichtigen, so müssen wir bedenken, daß sie
mit der richtig gemessenen Wirkung der Selbstinduktion und gegen-
seitigen Induktion identisch ist, da diese ja durch dieselbe Kraftlinien-
zahl definiert wird. Ist also E' praktisch an einer Maschine durch
Intensitätsmessung des Kommutationsfeldes bestimmt, so darf, wenn
dieser Wert in die Dififereutialgleichung eingesetzt wird, die Wirkung
der Selbstinduktion in derselben nicht mehr berücksichtigt werden, das

Glied L^ , hat also zu fehlen. Ist andrerseits L^ nicht genau unter

den bei der betrachteten Maschine vorhandenen Permeabilitätsver-
hältnissen und der Gestaltung des Feldes bei Belastung bestimmt
worden, was ja praktisch kaum durchführbar sein wird, so ist Z, noch
um einen konstanten Betrag zu vermehren oder zu vermindern, wenn
fär E' nur die aus Feld- und Ankerintensität resultierende Wirkung
genommen wird. Ist nämlich unter A nur die Rückwirkung des
Ankerstroms / verstanden, so ist -N" in Gleichung (17) noch um pfi
zu vermindern, wenn p ein von der Permeabilität des betreffenden
magnetischen Kreises der Kraftlinien abhängiger, als konstant anzuse-
hender Faktor ist. Während der Kurzschlußperiode können die Kraft-
linien als dauernd senkrecht zur Linie X in Fig. 4 angesehen werden.
Aus (17) wird dann:

(19) N'^ f[F cos (g? -f 27tnt) + Ä sin 2nnt — pi]
also:

(20) E' =^f^2jtn[Fsm ((p + 2jtnt) — Ä cos 27cnt} +p ^-*].

Verstehen wir unter E' die EMK der ganzen kurzgeschlos.senen Spule,

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360 Über die Kommntation des Stromes in Gleichstromgeneratoren.

SO ist E' in (20), welche Gleichung nur für eine Windung gilt, noch
mit w^ zu multiplizieren, wenn w^ die Auzahl der Windungen der
kurzgeschlossenen Spule bezeichnet. Hierbei ist die Entfernung der
Windungen voneinander vernachlässigt. Der Wert von E\ der in
die Eurzschlußdifferentialgleichung einzusetzen ist, lautet demnach:

(21) E' =- w^f^2jtn{FQm ((p + 2%nt) — A cos 2%nt] +P^{].

Ist also E' in der Differentialgleichung nur durch jP und A definiert
und ist i, nicht '^w^fpy d. h. nicht unter den tatsächlichen Feldver-
hältnissen bestimmt, so ist zu L, noch die Differenz tv^fp — L, zu
addieren. Wir wollen nun im folgenden annehmen, daß unter E' als
kommutierender EMK nur die durch Feld- und Ankerintensität defi-
nierte verstanden sein soll, wir setzen also in der Differentialgleichung:

(22) E' - wj . 27tn [F sin ((p + 2%nt) - A cos 2^ntl

Dann haben wir außerdem die Selbstinduktion zu berücksichtigen und
setzen:

Lj^^w^fPy also als erstes Glied: L^^ jry

Eine weitere, bei der Aufstellung der Kurzschlußgleichung bisher
gemachte Voraussetzung war die, daß der tJhergangswiderstand iJ,
zwischen Bürsten und Kolleitor Iconstant sein sollte. Wie die Praxis
zeigt, ist er aber abhängig von der Stromdichte unter der Bürste, von
dem Auflagedruck und der Tourenzahl, abgesehen natürlich von dem
Material der Bürsten und des Kollektors. Die Untersuchungen des
Hern Arnold (zusammengefaßt in der „Gleichstrommaschine") lassen
nun erkennen, daß von diesen Einflüssen derjenige der Stromdichte
der weitaus größte ist, während die Tourenzahl nur geringe Wirkimg
ausübt, und der Auflagedruck für unsre Berechnungen konstant ge-
halten wird. Die genaue Abhängigkeit des Übergangswiderstandes von
der Stromdichte ist nun durch die Praxis bisher nicht festgestellt
Herr Arnold faßt seine Resultate dahin zusammen, daß:

(23) ^=*-+«

U

gesetzt werden kann, wo s^ die Übergangsstromdichte, und d, £ positive
Konstante sind. Unter dieser Bedingung: d, £ positiv und nicht gleich
Null, berücksichtigt Herr Arnold auch üj in der Differentialgleichung
der Kurzschlußstromkurve, und er zeigt, daß dann, wie leicht ersieht*
lieh, überall e an Stelle von R^ tritt. Die Annahme des Herrn Arnold
würde auch mit der von Herrn Pohl gemachten Angabe überein-

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Von Paul Biebesell. 361

stimmen^ daß der Übergangswiderstand ,^ast nach einer Hyperbel^^ mit
zunehmender Stromdichte abnehmen soll. Andererseits zeigen die
Untersuchungen der Herren Niethammer (a. a. 0.) und Dettmar
(E. T. Z. 1900), daß s auch negativ sein kann; und Herr Arnold weist
darauf hin, daß s meist verschmndend Mein ist. Alle diese Fälle sind
daher in der Differentialgleichung zu berücksichtigen und die Eonse-
quenzen in bezug auf die günstigen Bedingungen zu ziehen.

§10.

Die erweiterte EurzscUußdifferentialgleichung.

Nach diesen Annahmen lautet die Differentialgleichung der Kurz-
schlußstromkurve :

[F sin {(p + 2xnTx)-'A cos 2%nTx\ = 0,

BT S'T t

wo <y = -j^ , 6 « -jT-, X = Y'

Zur Berechnung von i würden wieder am geeignetsten die Reihen-
entwicklungen für i sein, die wir nach Entwicklung von sin (ip + 2%nTx)
und cos 2KnTx mit beliebiger Annäherung erhalten würden. Für die
praktischen Folgerungen können wir uns jedoch mit einer qualitativen
Diskussion von (24) begnügen, und, da der Typus der Gleichung sich
nicht wesentlich geändert hat, so bleiben die günstigen Bedingungen,
wie sie in § 7 hergeleitet sind^ anwendbar.

Zunächst sei £ > 0, also <y > 0.

Dann erhalten wir als unerläßliche Bedingung:

(25) i?>l

*

(^was auch sehr wohl der Fall sein kann, wenn r < 1). Die günstigste
Bedingung: L^j _ = liefert:

(26) I{B + 2e)^ 2%nfu\ \F sin (9 + \^) - A cos ?^] ,

da T = — r ist, wo jfe die Anzahl der KollektorlameUen bezeichnet.^) So

läßt sich auch (25) als Bedingung für die zulässigen Tourenzahlen oder
Lamellenzahlen deuten.

1) Bemerkenswert ist, daß in dieser günstigsten Bedingung h scheinbar
niclit vorkommt. Wie sich später zeigt, sind jedoch auch ¥ und A von den-
jenigen Größen abhängig, die im wesentlichen X bestimmen.

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362 Über die Kommutation des StromeB in Gleichstromgeneratoren.

(26) liefert ffir einen bestimmten BürstenYerschiebnngswinkel 9
diejenige Stromstärke I, die am günstigsten ohne Fenem der Maschine
kommatiert werden kann^ wenn n als konstant gilt; ebenso ist die
maximale Stromstärke, die die Maschine funkenlos zn kommntieren ver-
mag, berechenbar. Nun sind i, n und q> nicht unabhängig Yoneinander,
wie noch ausführlich gezeigt wird, so daß (26) nicht von Leerlauf bis
YoUlast für konstante Bürstenstellung zu erfüllen ist. Hierf&r ist offenbar

nur die Bedingung K*) < erfüllbar, welche aussagte, daß kein

Überkommutieren eintritt. Sie liefert:

(27) I{R + 2a) > 2it nfw^ \_F sin (9 + '^^) - A cos -^""J.

Ist außerdem die Bedingung i^A = — rf erfüllt, so wird die

Maschine auch zu Beginn nicht feuern und wenig Wärme am Kollektor

entwickeln, d. h. es muß sein:

/OQ\ i(Ä + 2t) + ^nnfw, [F ein 9 — ^] _ 2 J

(j«) i;+Tr r-

Gelingt es bei einer Maschine nicht, den günstigen Bedingungen
zu genügen, so ist durch Anbringen von Hilfspolen (Kommutierungs-
magnetenj oder Kompensationswicklungen die erforderliche kommu-
tierende EMK herzustellen, so daß auch für konstante BürstensteUung
die günstigste Bedingung für variable Belastung erfüllbar wird. Andrer-
seits sind die obigen Formeln noch auf eine etwas andere Form zu bringen,
wenn man sich die Feldmagnete N und S als Elektromagnete denkt
Sei J die Intensität des Erregerstroms und die Zahl der Windungen
pro Pol W7g, so ist die Intensität: F =^ fi tv^ » J, wo fi ein Faktor ist,
der von der Permeabilität des magnetischen Kraftlinienkreises des Qe-
samtfeldes abhängig ist. Falls die Belastung nicht allzusehr schwankt,
ist /ü in erster Annäherung als konstant anzusehen. In weiterer An-
näherung wäre -F = jFq + fiw^ J zu setzen, doch soll im folgenden der
Einfachheit halber die erste Form beibehalten werden. Ebenso ergibt sich:

A^li{h-- 2)u\ ' I.

Die günstigste Bedingung (26) lautet dann:

(29) /(E + 2e)^ 2jtnfwiii[w^ J sin (9+x) - '^* "" 2) u\ I cob^I

Wir haben jetzt die vier Größen /, J, n und 9 als Variable, und
da dieselben noch durch eine weitere, später abzuleitende Gleichung
verbunden sind, so ist auch bei Konstanz einer der Variablen die
günstigste Bedingung zu erfüllen.

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Von Paul Biebesell.

363

Haben wir jedoch eine Hauptstrommaschine; so fällt unter diesen
einfachen Annahmen I aus der Gleichung heraus^ da dann J=2 1 ist,
während f£lr Nebenschluß- und Kompound-Maschinen durch eine einfache
Rechnung sich die betreffenden Stromstärken aus den äußeren Wider-
ständen ergeben. Der Einfachheit halber sei die in Fig. 1 zugrunde
gelegte Maschine als fremderregte gedacht.

Ist /zweitens a < 0, d. h. tf < 0, so ändert die Differentialgleichung (24)
ihre Eigenschaften dahin, daß die Punkte rc = und a? = 1 sich in
ihrer Bedeutung fUr die Kurzschlußstromkurve vertauschen. Setzen
wir c^i =» — tf , wo also 6^ positiv ist, so ergibt sich als Lösung von (24)
in der Umgebung von o? = 0:

(30) t = I<p, (x) + F<p, {X) + Afp, {x) + C*e-''"(j^-)''',

WO die 9? {x) Reihen sind, die fär | a; < 1 konvergieren, aber für x^l
divergieren und die für a; = den Wert i =» / liefern. Damit die
Anfangsbedingung rc = 0, i ==/ er-
füllt ist, bleibt also C* ganz be-
liebig, alle Integralkurven genügen
ihr. Es sind also Kurven wie S^
tmd Sj in Pig. 5 durch diese Be-
dingung dllein nicht ausgeschlossen.
Der Fall s <0 würde dem-
nach vollkommen den Anschau-
ungen entsprechen, die man früher
über die Kommutierungsvorgänge
hatte, daß nämlich die Funken
dorch ein zu starkes Anwachsen
der Stromstärke hervorgerufen
würden. Nun zeigt aber (24), daß
alle Kurven, die nicht auch durch
a; = 1, i = — I gehen, in a; =« 1
eine ünstetigkeitsstelle haben, sie
würden also für a; = 1 ; i « + cx)
oder i = — cx) liefern. Derartige
abnorme Stromstärken werden natürlich, wenn die Maschinen über-
haupt brauchbar sein sollen, nicht auftreten, und falls nur endliche
Stromstärken zuzulassen sind, haben wir wieder die Bedingung: x = 1
i^ — L i ist dann dargestellt durch:

(31) i = i *! (y) + FO, (y) + A9,(y),

WO die O (y) zwischen y = und y = 1 einschließlich konvergent sind.

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364 übei die Kommutation des Stromes in Gleichstromgeneratoren.

Daraus läßt sich C* ähnlich wie früher C" ermitteln. (Dem entspricht
etwa die Kurve S^ der Fig. 5). Die günstigen Bedingungen würden
ganz ähnlich wie früher abzuleiten sein^ nur daß jetzt der Beginn des
Kurzschlusses der gefährliche Moment für die Funkenbildung ist. So
tritt, wie aus (30) ersichtlich: (^i > 1 als unerläßliche Bedingung auf,

und man wird mehr Gewicht auf die Bedingung ( ,*) =* ^ legen

Es kommt demnach bei der Vorausberechnung der Kurzschlußkurve
einer Maschine sehr viel auf die genaue Bestimmung des Übergangs-
toidersiandes zwischen Bürste und Kollektor an. Die UnvoUkommenheit,
mit welcher dies bisher in der Praxis geschehen, ist entschieden als
ein Mangel zu bezeichnen. Außerdem ist natürlich nicht zu vergessen,
daß der Bürstenübergangswiderstand von ZuMligkeiten abhängig ist,
die im Betriebe häufig wechseln und die in die Rechnung nicht ein-
geführt werden können.

Herr Arnold weist, wie erwähnt, darauf hin, daß e stets sehr
klein ist. Wir erhalten daher als 3. Fall: £ = 0, d. h. tf = 0. Dami
wird (24):

(32) -^* +^V + -^ '2nnfw^ [Fsin (9+ 2ia;wTa;)- J.cos2;rnra:] = 0.

Das Integral läßt sich in geschlossener Form darstellen; es ergibt sich:

(33) i =

- Ce-"'',

T
wo 31^ = ^-. 2x7ifw\,

Die obigen Gleichungen zeigen, daß weder a; = noch a: — 1 sin-
gulare Punkte sind, i ergibt sich als ganze transzendente Funktion.
Nun ist aber zu bemerken, daß nicht mehr alle Integralkurven durch
X = 1 , i^ — 1 gehen. Bestimme ich also C aus (33) durch die An-
fangsbedingung a; « 0, i = J, so ist für a; == 1 im allgemeinen i + — J.
In diesem Fall würde demnach eine wirkliche Stromunterbrechung ein-
treten, und die günstige Bedingung müßte lauten i^^j « — J. Wir
haben in diesem Fall gleiche Potentialdifferenz zwischen den beiden
Lamellen und der Bürste (vsde (32) zeigt), ohne jedoch geradlinige
Kommutierung zu erhalten. In der Praxis wird dieser Fall wohl nie
eintreten; denn 8 wird, wenn auch klein, doch nicht vernachlässigt
werden dürfen.

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Von Paul Biebbsell. 365

§11.

Die Generatortlieorie.

Es handelt eich jetzt darum , die Hauptgleichung des Generators
zwischen 7, J, fp und n aufzustellen. Clausius und Stern (a. a. 0.)
erreichten dies^ indem sie die Arbeit des Stroms bei bestimmter Anker-
geschwindigkeit berechneten. Ihren Ausführungen liegen jedoch viele
veraltete Vorstellungen zugrunde. (Vgl. meine Dissertation). Es soll
daher im folgenden ein Ausdruck für die Klemmenspannung berechnet
werden.

Die Anzahl der Kraftlinien, die durch eine Windung des Ankers
hindurchgehen, ist zur Zeit U

N ^fli [w^Jqob (if + 27tnt) + w^ (h — 2) /sin 2nnt\,

solange die beiden kurzgeschlossenen Spulen außer Acht bleiben. Die
Gesamtzahl der Kraftlinien, die in Folge der magnetischen Wirkung

L
von i durch eine Windung hindurchgehen, ist: — i. Sämtlich kommen

sie nun aber nicht, wie schon erwähnt, für das Hauptfeld zur Wirkung,
sondern, je nach der Permeabilität des durch Pol und Joch geschlossenen

Kreises, etwa der c*® TeiL also — * • i. Da diese sich dem vorhandenen

Felde superponieren, so ist mit einiger Annäherung: —^^^^ffiy welches

wir als konstant ansehen wollen. Die Wirkung des Kurzschlußstroms
auf das Oesamtfeld ist somit auf die Selbstinduktion und gegenseitige
Induktion der kurzgeschlossenen Spulen zurückzuführen. Die eigent-
liche Ankerrückwirkimg wird noch vermehrt oder vermindert um die
magnetische Wirkung der Kurzschlußströme. Eine derartige Wirkung
ist häufig festgestellt worden. Man hat sie früher auch auf die Selbst-
induktion zurückgeführt, indem man annahm, daß i zur Zeit T nicht
= — 2 sei, so daß in der wirksamen Armatur die Umkehr des Stromes
zum Teü erfolgen müsse. Dies ist, wie wir sahen, wenigstens für £ > 0,
nicht der Fall; die Wirkung der Selbstinduktion auf den Gesamtstrom
wird durch die magnetische Verkettung der Spulen bewirkt und nicht
durch die elektrische. Herr Pohl hat zuerst diesen Zusammenhang
erkannt und versucht, quantitativ die magnetische Wirkung der Kurz-
schlußströme zu messen, also zunächst sie von der übrigen Ankerrück-
wirkung zu trennen. Bei konstantem Anker- und Erregerstrom ist nun
die übrige Ankerrückwirkung von der Tourenzahl unabhängig; nur die
Kurzschlußströme, die ja von der Tourenzahl abhängen, können daher,
wenn wir von den Wirbelströmen absehen, die Linienzahl eines Generators

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366 Über die Eommntation des Stromes in Gleichstromgeneratoren.

bei konstanten I und J ändern, ^^aher sind auch die EMK und die
Klemmenspannung keine gradlinigen Funktionen der Tourenzahlen; sondern
schwach gekrümmte Kurven. Aus der Abweichung der jBJf JE'-Kurve
von der Proportionalität mit der Tourenzahl läßt sich mit Hilfe der
Leerlaufcharakteristik der Anteil der Kurzschlußströme an der Anker-
rückwirkung bestimmen^ wodurch eine Analyse einer gemessenen Anker-
rückwirkung ermöglicht wird." (Pohl S. 51). Weshalb ich hierin
keine exakte Methode zur Bestimmung der durch Schenkelampere-
Windungen ausdrückbaren magnetischen Rückwirkung der Kurzschluß-
ströme sehe^ wird aus folgenden Betrachtungen ersichtlich.

Die totale Anzahl der durch eine Windung gehenden Linien ist
zur Zeit U

(34) N ^ fyi [w;, JcoB (9 -f 27cni) + w^Qc — 2)/8in 2nnt — i\ .
Also:

(35) E' = /"ft[2jrn{w;,Jsin(9) + 2%nt) -w^^k — 2)7cos23tn^}-t- ^|],

so lange die Windung nicht weit von der Bürste entfernt ist. Die in
einer Windung während der Umdrehung, also in beliebiger Lage^ be-
findlichen Kraftlinien zur Zeit t sind dann:

(36) N ^ fii,\w^jQOB{tp + 2nn€) + w^Qc — 2)2sin23tw^ — $co8 23rn(|.

Demnach:

E' ^ fiL\27cn[w^J%m{w -f 2nn£) — w^üc — 2)Jcos23tn^}

(37) ^ ^.

+ cos2;rn^^ — 2ytniBixi2n;nt],

Die in einer Windung nach Schluß des Kurzschlusses bis zum Wieder-
beginn desselben unter der andern Bürste während der Umdrehung er-
zeugte mittlere EMK ist nun:

_L

2n

T

jE'di

2n

dN
Da aber £' = — -^ war, so ergibt sich, wenn man berücksichtigt, daß

T-L^^

^1 rr|^"r/> [w;, /jcos (9 + 3r) - 003.(9 + ^) j

j_

2n

— w^Qc — 2)Jsin-^ — j d(icos23rw^)1.

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Von Paul Biebbsell. 367

Da i während jeder Kurzschlußperiode Schwankungen von + J zu — I
ausführt, so ist das letzte Integral in Teilintegrale zu zerlegen, von
denen jedes immer die Zeit T umfaßt. Da die Maschine Yollkommen
symmetrisch laufen soU, so heben sich jedoch alle Teilintegrale bis auf

das letzte weg, und es wird, da — den Moment des Kurzschlusses

unter der andern Bürste bezeichnet:

^1 ^ "~ r^n~ff^[^^A^^^^^ + ^) - cos(y + y) ]~ w?i (Je - 2)
• -?sin-^ + /— Icos-jH-

Da Q— Ijie^i Windungen für die Gesamt--B jJf Z" : ü^ der Maschine in
Betracht kommen, so ist:

(39) E^-^nw^ffilw^jl cos9J+cos(9+-j^j } +«?i(ä— 2)Jsin-^— 7+Jcos-^

oder:

(40) E^^nwJii[2Jw^cos^^--oosl + l[w,{k-2)Bm^-2Bm'^

Die bei diesem einfachen Fall durch die magnetische Wirkung der
Kurzschlußströme hervorgebrachte Änderung der Gesamt - ^JfJBT : ^i

besteht demnach in einer Verminderung um den Betrag: 2nw^fiil sin^ -jr,

ist also Yon n linear abhängig. Nun werden aber im allgemeinen, wie
Herr Pohl ausführt, die dem Hauptwege folgenden durch Schenkel
und Joch sich schließenden Kraftlinien, auf die es ja für die Gesamt-
wirkung allein ankommt, wegen der „Schirmwirkung des massiven
Eisens und der Transformatorwirkung der Magnetspulen^^ den Schwan-
kungen des Kurzschlußstroms nicht in meßbarer Weise folgen können.
Es wird sich also eine von der Stärke des Kurzschlußstroms abhängige
Vergrößerung oder Verkleinerung von E^ ergeben, und da i im wesent-
lichen durch I und n gegeben wird, so können wir die magnetische
Wirkung der Kurzschlußströme durch eine Funktion: M^^l^n) in Rech-
nung bringen. Es wird dann:

(41) E,=^nwJ^[2Jw^(iOB^^^^'Cos'l + Iw^{k^2)Bm^ +

Andrerseits ist E^ durch die Widerstände und Stromstärken der einzelnen
Zweige des Gesamtstromverlaufs auszudrücken.

Nach dem Kirchhoff sehen Satz ergibt sich aus Fig. 6, wenn
der äußere (durch die Belastung gegebene) Widerstand W^ ist und der

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368 über die Kommutation des Stromes in Gleichstromgeneratoren.

gesamte Widerstand des betreffenden Ankerzweiges: 2R^+liJ~l\ = W^
gesetzt wird:

E, ^ 2IW, + iw, + 2db + *4?jr + '-^^- •

Führen wir hier den zusätzlichen Kurzschlußstrom, der durch die
Gleichung: i^I (l—2j\ + V gegeben ist, ein, so wird:

(42) E, ^2IW,+ IW, + 2db + e[U--'-[^^l^}

2IW^ ist gleich der Klemmenspannung K.
Mit (41) kombinierend, erhalten wir:

(43)

K+IW,+ 2db + 8[4I^'--[l~]^]^n

• [2Jw^ cos -^-Y~ * ^^ 1 + ^^1 (i' — 2) sin -j^ + ^ (/, n)J .

Dies ist die Hauptgleidnmg des
Generators, die in der Einleitung als:

K=F{I,J,n,g>,i)

bezeichnet wurde. Aus ihr ergeben
sich die verschiedenen Charakteristi-
ken der Maschine und, damit Funken-
freiheit existiert, muß sie mit den
abgeleiteten günstigen Bedingungen
in Verbindung gebracht werden.
Wir sehen, daß die Gesamt-jBl/Ä^ : E^ eine lineare Funktion von
n ist, falls ^ (i, n) konstant oder NuU ist, d. h. nur die magnetischen
Wirkungen der Kurzschlußströme können eine Abweichung von der
Proportionalität mit der Tourenzahl bewirken, wie dies auch Herr Pohl
annahm. Praktisch ist nun aber die £^- Kurve nur nach Kenntnis
der iff-Kurve auf theoretischem Wege zu bestimmen. So nimmt Herr
Pohl die -BT-Kurve als Funktion von n für konstante I und J auf und
addiert den Spannungsabfall im Anker und den Bürsten. Die Ab-
weichung der 80 entstehenden ^^ -Kurve von der geraden Linie läßt
sich mit Hilfe der Leerlaufcharakteristik bestimmen und in Schenkel-
amperewindungen ausdrücken. Nun ist aber der Spannungsabfall
unter der Bürste nur konstant, falls T = ist, wie (43) zeigt. Durch
Addition des Spannungsabfalls, den Herr Pohl als konstant annimmt,
ist somit die elektrische Verkettung der Kurzschlußspule mit dem äußeren

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Von Paul Biebesell. 369

Stromkreis nicht berücksichtigt^ und die Abweichung der ^^-Eurre yon
der geraden Linie ist nicht nur durch die magnetische Wirkung der
Eurzschlußströme gegeben sondern auch durch die elektrische. So ist
diese Abweichung zwar ein Mittel^ um die Gesamtwirkung der Eurz-
schlußströme zu untersuchen^ aber sie liefert nicht die magnetische
allein, ist demnach nicht ohne weiteres in Schenkelamperewindungen
umzurechnen. Daß diese ,ydekiri8che Wirkung der Kurisschlußs^öme
auf deih Gesamtsüromf' oder dieser ^/fusäUsliche Spannungsabfall infolge
der Kurjsscfdußsiröme^ , wie ich die beschriebene Einwirkung nennen
möchte, nun die Hauptwirkung bei der Abweichung der E^-Kuxve von
der geraden Linie ausübt, ist für unsem einfachen Fall bewiesen, da
tlf{I, n) von n unabhängig war. Ob dies auch in praktischen Fällen
eintritt, läßt sich natürlich nur entscheiden, wenn es gelingt, die mag-
netische und elektrische Wirkung zu trennen und jede quantitativ zu
messen. Außerdem ist zu bemerken, daß die Abweichimg von der ge-
raden Linie keineswegs immer die gesamte magnetische Wirkung der
Eurzschlußströme liefert, sondern nur den Teil, der nicht proportional
mit n wächst. Jedenfalls kann (43) richtige Aufschlüsse geben, sobald
in ihr alle praktisch existierenden Verhältnisse berücksichtigt werden.
Offenbar ist die elektrische Wirkung gleich Null, wenn T =» 0; das
stimmt auch mit den Angaben des Herrn Pohl überein, daß nur die
zusätzlichen Eurzschlußströme Abweichungen von E^ mit n ergeben.

Die elektrische Wirkung ist nun außerdem von Herrn Pohl un-
berücksichtigt gelassen bei der Ermittlung der gesamten Änkerrückwir-
Jcungy d. h. der Ankerrückwirkung samt Eurzschlußstromwirkung, da
dann die Mehrerregung sich aus der Lehrlaufcharakteristik nach Abzug
desjenigen Erregerstroms ergibt, der für den (als konstant angesehenen)
Spannongsfall im Anker und Bürsten erforderlich ist. Auch hier werden,
wie (43) zeigt, die Eurzschlußströme störende Einflüsse ausüben, deren
Oröße erst weitere praktische Untersuchungen bestimmen müssen. Nun
war 6 fast immer klein, so daß auch die elektrische Wirkung meist
klein sein wird. So sagt Herr Pohl (S. 37 Anm.): „daß der Bürsten-
widerstand mit der Stromdichte variabel ist, läßt sich hier vernach-
lässigen, da er im vorliegenden Falle gegenüber dem Ankerwiderstand
klein ist.^'

Aus (43) geht nun auch hervor, daß 7, welches wir bisher als
konstant angesehen haben, von t abhängt, daß also im äußeren Strom-
kreis Schwankungen sowohl der Spannung als auch der Stromstärke
stattfinden müssen. Wenn wir diese in unserer Theorie bisher nicht
berücksichtigt haben, so geschah dies unter der Voraussetzung, daß
alle Untersuchungen für eine möglichst funkenlos laufende Maschine

ZeitMhrift f. Mathematik u. Physik. 58. Band. 1906. 4. Heft. 24

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370 Weitere Beitrilge zur Theorie der kleinen Schwingungen.

gelten sollten. Wir haben daher mit der Haaptgleichung (43) die
günstigen Bedingungen kombiniert^ und sind so za einer befriedigen-
den Übereinstimmung mit der Praxis gelangt. Zugleich hat sich jedoch
gezeigt^ daß eine exakte Eommutationstheorie nur aus der Kombination
der Kurzschlußdifferentialgleichung mit der Hauptgleichung hergeleitet
werden kann.

Die beiden Grundgleichungen ^ die sich aus den geschlossenen
Stromkreisen der Fig. 6 ergeben^ sind demnach:

1. die Haiiptgleichung:

(44) 2IW, + lw, + 2Sb + s[u - ^Jl4|^| - -E^i - 0;
;^. die Kurzschlußdifferentialgleichung:

(«) £ + •■('■ +:+.-:.)+ '(t---. - .-) + ^ - »1

WO in der Gesamt--BJf^: E^ und der kommutierenden EMK: E' die
Variabilität von 1 zu beröcksichtigen ist. Die sich ergebenden simul-
tanen Differentialgleichungen für i und / geben dann die Grundlage
für die günstigen Bedingungen.

Hamburg, im März 1906.

Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen.

(Fortsetzimg der Arbeit im 62. Bd. dieser Zeitschrift, S. 1—48.)
Von J. HoRN in Clausthal.

Die gegenwärtige Arbeit schließt sich an die Aufsätze „Beiträge
zur Theorie der kleinen Schwingungen'^ im 48. Bd. dieser Zeitschrift,
S. 400 — 434 (künftig mit A. zitiert) und „Weitere Beiträge zur Theorie
der kleinen Schwingungen" im 52. Bd., S. 1 — 43 (künftig mit B.
zitiert) an.

Die in A. §§ 2 — 4 und B. §§ 5 — 8 enthaltenen mathematischen
Untersuchungen über die periodischen Lösungen gewisser Systeme von
Differentialgleichungen wurden in den übrigen Paragraphen von A.
und B. zur Untersuchung periodischer kleiner Schwingungen benutzt^
d. h. periodischer Bewegungen eines mechanischen Systems mit einer
endlichen Anzahl von Freiheitsgraden in der Nähe einer Gleichgewichts-
lage oder in der Nähe einer stationären Bewegung, wobei jedoch die
übliche Beschränkung auf die linearen Glieder der Differentialgleichungen
der Bewegung nicht gemacht wird.

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Von J. HoRN. 371

In A. § 1 und § 5 werden die periodischen Bewegungen eines all-
gemeinen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage untersucht^
während in A. §§ 6—8 spezielle Fälle behandelt werden. In B. §§ 1 — 4
und §§ 8 — 12 finden sich vier spezielle Aufgaben^ wobei es sich teil-
weise um Bewegungen in der Nähe einer Gleichgewichtslage handelt,
teilweise um Bewegungen, welche einer stationären Bewegung be-
nachbart sind.

In der vorliegenden Arbeit werden Yon den früheren mathematischen
Untersuchungen weitere Anwendungen auf periodische Schwingungen
gemacht; in §§ 13 — 15 und in §§ 20 — 22 werden zwei allgemeinere
mechanische Systeme behandelt, welche frühere spezielle Aufgaben
umfassen; die §§ 16 — 19 beziehen sich auf ein anderes allgemeines
System mit einer früher nicht behandelten speziellen Aufgabe.

§13

Die in B. § 3 imd § 11 behandelte Aufgabe UI (Periodische Be-
wegungen eines um einen festen Punkt drehbaren schweren starren
Körpers in der Nahe einer Gleichgewichtslage unter Benutzung der
Lagrangeschen Gleichungen) ist ein besonderer Fall des folgenden all-
gemeineren Problems.

Ein System von n Freiheitsgraden, dessen Verbindungen von der
Zeit t nicht abhängen, sei durch die n Koordinaten x^, . . ., x^ be-
stimmt. Die lebendige Kraft

sei eine positive definite quadratische Form von

^^^ dt ' ' ^" dt '

deren Koeffizienten Ä^^ welche jetzt von derT Koordinaten x^^^y • • -^ ^n
nicht abhängen soUen, als analytische, in der Nähe der Stelle x^ ^ 0,
. . ., a?^ = reguBlre Funktionen von x^ - - -, x^ vorausgesetzt werden.
Es sei eine nur von deti m Koordinaten x^, . . ., x^ abhängige Kräfte^

vorhanden, welche in eine mit den angeschriebenen quadratischen
Gliedern beginnende Potenzreihe von x^, . . ., x^ entwickelbar sein
möge.*)

1) Der Fall m = n ist in A. § 1 und § 5 behandelt. — Gegenwärtig sind
^m4-i ^n zyklische Koordinaten.

24*

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372 Weitere Beitiäge zur Theorie der kleinoi Schwingungen.

Die Bewegnng unseres Systems wird dnrdi die LagrangescheiL
Oleichiingen

dargestellt. Die Integration der n — m letzten Gleichungen
ergibt

dtcx-

wa C^^if . . .; C^ Integrationskonstante sind. Anflerdem ist die Energie-
gleichung

2(7- U)^C

mit der Integrationskonstanten C vorhanden.

Znr YereinfEM^hnng der Bewegangsgleichongen nehmen wir eine
lineare Transformation der Koordinaten x^, . . ., x^ vor.

Wir setzen

und betrachten die beiden quadratischen Formen der Veränderlichen

ik

die Form P ist definit positiv. Wie in § 15 gezeigt wird, lassen sich
die beiden Formen P, Q durch eine lineare Substitution

Vi « Ä„tti + • • . + Ä,^w« 0=1. ..n«)

^y="*/i**i "I l-*jn^ii; C^»«+l...,ii)

worin h^^, , , ., h^ reelle Eonstante sind, in

P = t;f + . . . + vj, + vl+i + . . . + t;! ,

überfahren, wo Sj, . . ., s^ reelle Größen darstellen.

Führt man an Stelle von x^, • • ^ ^n ^^nnittels der Gleichungen

Vi - *a^i + • • • + Km^n.7 0=1, ....«.)

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Von J. HoBif. 373

die neuen Koordinaten y^, . . ., y^ ein, so wird

2^aß^aX^ = y;» + . . . + y^«,

afi

2\k^i^k = «lyf H V Smyin .

1*

Wenn wir die nenen Koordinaten wieder mit x^y • • v ^n bezeichnen,
so können wir

«aa="l (« = 1»-."), 0,aß-^ (« ^ /*)

Yoraussetzen. Es gelten die Formeln von A. § 1 (Bd. 48, S. 403), wenn
man darin 5^+i =- 0, . . ., 5„ = setzt. Die Lagrangeschen Glei-
chungen lassen sich also auf die Form bringen (Bd. 48, S. 404):

dx^
Ti

dx\
~dt
dxj

^^ = Xa\ (a«=l, ...,n)

= s^Xi + Fi(xi, . . ., Xn] a?i, . . ., Xm) + O^ix^, . . ., a:J ; («= i, ..,«)

' - F/Xl, . . ., Xnj X^y . . ., Xj + G^{X^, . . ., O; = m + l,...,«)

JP^ ist eine quadratische Form Yon x[y . . ., a;n> deren Koeffizienten
Potenzreihen von x^j . . ., x^ sind, und (t„ eine Potenzreihe von x^^
V- 'i ^m> ^^Iche mit quadratischen Gliedern beginnt.
Indem wir die n — m Differentialgleichungen

dXj ,

vorläufig außer acht lassen, betrachten wir die folgenden m + n Diffe-
rentialgleichungen mit den m + n abhängigen Veränderlichen x^^ • • •; ^m;

Xiy . . ., Xnl

dxt f

-j^ = Xi y (< = l,...,m)

dx'.

da;/

^ == F/rri', . . ., xi] x,y . . ., xj + Gj{x^y . . ., xj, a=m+i,..,i,)

Nach Einführung der neuen Koordinaten ist die Energiegleichung
von der Form

(BJ xi' + '-' + X:^- S,xl SmXfn + '^-^Cy

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374 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen.

WO die weggelassenen Glieder von höherer als der zweiten Dimension
sind. Die Integralgleichungen

-^ -^ AjiXi H h ÄjnXn = Gj = "» + l.-.")

haben, da für ar^ =- 0, . . ., a;^ «=
ist, die Form

(B,) Xj +Wj^ Cjy OF«m + l...,.)

WO Wj eine lineare homogene Funktion von xi, . . ., x'n darstellt, deren
Koeffizienten Potenzreihen von x^y . . ., x^ ohne konstante Glieder sind.

§ 14

Das Dijfferentialgleichungssjstem (A) mit den Integralen (BJ
und (B,) ist von derselben Form wie das in B. §§ 6—8 (Bd. 52,
S. 23 ff.) behandelte Differentialgleichungssystem (A) mit den Inte-
gralen (B).

Die charakteristische Gleichung unseres jetzigen Systems (A)

r = 1

hat die Wurzeln

und die (n — m) fache Wurzel s = 0. Wir nehmen an, 5^, . . ., s^ seien
von einander und von Null verschieden, s^ = — A' sei negativ, und es

sei keiner der Quotienten - , . . . , — gleich dem Quadrat einer ganzen
Zahl. Dann hat die charakteristische Gleichung neben den beiden rein
imaginären Wurzeln ± Y^i = i X]/— I keine Wurzel ± pk Y---1
(p ganze Zahl); außer der (n — w) fachen Wurzel s = sind alle
Wurzeln einfach und von Null verschieden. Es sind also alle in B. § 6
gemachten Voraussetzungen erfttllt.

Nach dem in B. § 7 bewiesenen Satze besitzt das jetzige Diffe-
rentialgleichungssystem (A) eine periodische Lösung

*,=a;|" + «?' + •..,

('=1 "«)

a5;-yi?'+yi?' + -.-

(« = !,..,.)

mit der Periode

T=i^-+2xi)+2\») + ...;

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Von J. HoRN. 375

^"^ (v ^ 2) ist eine ganze homogene Funktion v ten Grades der Inte-
grationskonstanten Ci, dy cln+if . . ., Cn,^) während I^*) eine lineare
homogene Funktion von (4+i, . . ., Cn ist. Setzt man

2nt

«^= j 7

SO ist

Xi^ « Ci cos 10 + ^ sinw, x'i^ ^0, . . ., ic5,V = 0,

yi" = — Cil sin«? + cI cos w, «/?' = 0, . . ., ySi^ = 0,

x^*\ y^^^ (y =-2y 3, . . .) sind ganze homogene Funktionen vten Grades
von Ci, ci, c^+i, . . ., Cn und lineare Funktionen von eo^pw, sinjpte^
O = 0, 1, . . ., v).

Die beschriebene periodische Lösung kann nach B. § 8 berechnet
werden.

Zur Berechnung von Xj (j =^ m + 1, . . ., n) bildet man den
Ausdruck

dxj
dw

-s-/-a+s^+s+-)«-'+»i"+-).

welcher als periodische Funktion von w mit der Periode 2x in eine
nach Kosinus und Sinus der Vielfachen von w fortschreitende Reihe
entwickelbar ist. Das konstante Glied dieser Entwickelung, der Mittel-
wert der periodischen Funktion j-\

ist eine Potenzreihe von Ci, ci, c^ + i, . . ., Cn, welche außer dem an-
geschriebenen Glied nur Glieder zweiten und höheren Gh^des enthält.
Dann ist ,

wo Ä''^ (v = 2, 3, . . .) eine ganze homogene Funktion v ten Grades der
Integrationskonstanten und eine lineare homogene Funktion von cosjpu;,
sin^M; (p = 1, . . ., v) ist. Wenn der Wert von Xj für t = mit Cj
bezeichnet wird, erhalt man durch Integration

Xj = Cj + HjW + Xf + Xf -\ ; 0' = m + l. ..., n)

a^p (v ^2, S, . . .) ist eine ganze homogene Funktion v ten Grades von
1) Es ißtx^^c^, xi^ci, aj;+i = c;^j, ..., < = < für « = ü.

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376

Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen.

Ci, Ci, cin+iy . . •, Cn nnd eüie lineare Funktion von cospw, sinjpu?
(/) = 0, 1, . . ., v), welche für m? = verschwindet.

Die hier dargestellte Methode ist eine Yerallgemeinening der-
jenigen, welche in B. § 3 nnd § 11 auf die (am An&ng von § 13 noch
einmal ausgesprochene) Aufgabe III angewandt wurde.

§15

Die in § 13 aufgestellten Behauptungen über die Transformation
der beiden quadratischen Formen

sind noch zu begründen.^)

Die Gleichung nten Grades

z/ =

sa.

m + lfin + lf

sa^u

S(^n,n>

sa.

'»,m + l'

mit der Unbekannten s hat, da die Form P definit ist, lauter reelle
Wurzeln s^, . . ., s^, 0, . . ., 0, welchen einfache Elementarteiler der
Determinante z/ entsprechen. Folglich gehen die beiden quadratischen
Formen P, Q durch eine reelle lineare Transformation in

P = ^^l, Q-^s^v?

a = l

t = l

Über.

Um diese Transformation auszuführen, schlagen wir den folgenden
Weg ein.*)

Setzt man in der positiven definiten quadratischen Form P die
Veränderlichen u^, • • •, w^ gleich Null, so erhält man die positive defi-
nite quadratische Foim

der Veränderlichen Wm-fi, . • ., w„, welche sich durch eine reelle lineare
Substitution

^J - A>,m + l«*m + l + • • • + K^n C/ = m + l...,.)

1) Vgl. Weierstraß, Werke, Bd. I, S. 233 flF., Bd. II, S. i9flr.

2) Vgl. Bd. 62, S. 11—13.

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Von J. Hob». 377

auf eine Summe von Quadraten

tCf 1 H h wi*

bringen läßt. Dann ist^ wenn unter i, h Zahlen der Reihe 1^ . . ., niy
unter j, l Zahlen der Reihe w + 1, . . ., w verstanden werden,

Setzt man
so wird

ik J

während

ik

ungeändert geblieben ist.

Die beiden quadratischen Formen

ik ik

deren erste definit positiv ist, gehen durch eine reelle lineare Sub-
stitution

^i =" *a«*l H 1- Km^m (« = i,..n«)

in

i I

über. Die reellen Größen s^, . . ., s^ sind die Wurzeln der Gleichung
mten Ghrades

. ; I « 0.

Die beiden ursprünglichen quadratischen Formen P, Q lassen sich
also durch die Substitution

^i = *.1«1 + • • • + Kn^^n^y (. = 1....,«)

V^ « A^-lUi + • . • + h^^U^ + A^.„ + iW„.+i + • . . + Ä^,W^, a«m + l,...,*)

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378 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen.

worin

hjt = aji
ist^ in

p = t;f + . . . + t; * + vÜ, _^i + . . . + t;i ,

ö = SiViH hs^vl

überführen.

§16

Die Bewegung eines Systems von n Freiheitsgraden werde durch
die Lagrangeschen Gleichungen

d dL dL f.

dt ox' dx V » -» /

dargestellt^ wo L (das kinetische Potentialj eine gegebene Funktion ron

In A. § 1 handelte es sich um den speziellen Fall, daß L^T-^-U
ist; wo T (die lebendige Eraft^ die kinetische Energie) eine quadra-
tische Form von x[, . . ., Xn ist, deren Koeffizienten von x^, - - -, ^n ^^
hängen^ während U (die Eräftefunktion^ die negativ genommene
potentielle Energie) eine Funktion von x^, - - *f x^ ist. Jetzt wird je-
doch die Voraussetzung; daB L eine Zerlegung in zwei Bestandteile
T und U von der früheren Beschaffenheit gestattet, nicht mehr gemacht. \)

Wir nehmen an, Z sei in eine Potenzreihe von x^, . . ., x^] x[j . . ., x,
entwickelbar, welche mit quadratischen Gliedern beginnt:

1) Als Beispiel dient Aufgabe Y in § 19. — Ein anderes Beispiel erhält man
durch andere Behandlung der in § 13 gestellten Aufgabe. Wir eliminieren x^,^^
. . . , x^ vermittels der Integralgleichungen

d T

(unter Einfuhrung der Integrationskonstanten Cm+i, ..., Cn) nnd behalten nur
die Koordinaten x^, . . ., Xm bei. Drückt man

durch Elimination von x^.j, . .., ^n *^ Funktion von iCj, . . ., x^\ x[^ . . ., ä^ aus,
so wird die Bewegung durch die Gleichungen

dt dsfi dx^

dargestellt. Vgl. Bouth, Dynamik, Bd. I, S. 378; Whittaker, Analytical Dyna-
mics, S. 68 ff.

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Von J. HoRN. 379

dabei ist

^tia^^^a^if ^fia^^Oi-if ^{ia'^^a^

Die quadratische Form

von xi, . . ., x'n wird als definit positiv vorausgesetzt.
Dann sind

dL
dL

T-2<^aß<i+^aii^ti +

a P P

Potenzreihen der x, x\ welche mit den angeschriebenen linearen Gliedern
beginnen;

« P P

ist eine lineare Funktion von x'i, . . ., x'n, in welcher der Koeffizient
von x'^ eine mit a^^ beginnende und das von den zweiten Ableitungen
freie Glied eine mit Sb^^x'^ beginnende Potenzreihe der x^ x' ist.

Die Lagrangeschen Gleichungen schreiben sich demnach

dabei ist
also

9aa "^ ^} 9ßa ™' 9a^i7

der Koeffizient von x'^ ist eine Potenzreihe von x^, . . ., x^] x'i, . : ., Xn,
welche mit a„^ die rechte Seite eine eben solche Potenzreihe^ welche
mit den angeschriebenen linearen Gliedern beginnt.

Da die quadratische Form ^a^^u^u^ von u^, • • •; ^n ^^ definit
vorausgesetzt wurde, hat die Gleichung nten Grades

I =0

V^Än*-^!

nn

mit der Unbekannten s n reelle (nicht notwendig verschiedene) Wur-
zeln C|, . . ., c^^ welchen einfache Elementarteiler der Determinante
entsprechen. Die beiden quadratischen Formen

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380 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen,

gehen also durch eine reelle lineare Substitution

m

J^vS, ^i

c„v^

über. Wenn man
setzt^ wird

ya-Pal^ + '"+PanXn

(a = l,...«)

(« = 1,.-^«)

Wenn wir die neuen Koordinaten yj, - - y Vn wieder mit x^y.,^x^
bezeichnen y können wir

voraussetzen.

Die Lagrang eschen Differentialgleichungen in den neuen Ko-
ordinaten

worin der Koeffizient von x'^ eine fOr iCi =«••• = a?^ «= 0, a;i «=•••«= a;i =
verschwindende Potenzreihe ist^ lassen sich nach Xty . . ., 2:» auflösen:

f$^ ist eine mit quadratischen Gliedern beginnende Potenzreihe von
X\, . . ., x'n'^ x^, . . ., x^. Um die Sätze von A. §§ 2—4 anzuwenden,
stellen wir ein System von 2n Differentialgleichungen erster Ordnung
mit den abhängigen Veränderlichen x^^ . . ., x^\ x[y . . ., x'n her:

dx

a

'dt

= Xa

dx^
dt

<^a^a + -^^a/*^i^ + ^^a^^''^^ ' ' '' ^»5 ^1? ' ' V ^J-

(o«!,....«)

Die charakteristische Gleichung dieses Systems ist

- s, . . ., 0, 1, . . .,

0, . . ., - «, 0, . . ., 1

<i> •••7 0, ^u — »>•••> Pl«

-0.

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Von J. HoRN.

381

Die Determinante ^ geht, wenn man zur aten Kolonne (a— l,..,n)
die mit s multiplizierte (n + tt)te Kolonne addiert, über in

0,

- (- 1)-

0,1,

0,0,
S9i„ 9u-s,

,
., 1

•» C„ + S9nn-S'> 9nV

-Ä»

V 9ln

., 9nn — S

S9n, <^-«S •

89in

■')

Sgnlf Sgn2, . . ., Cn — S*

Als Determinante nten Grades geschrieben, bleibt z/ unverändert,
wenn man s durch — s ersetzt und gleichzeitig die Zeilen und Ko-
lonnen vertauscht. Daher ist ^ eine ganze Funktion nten Gh^des
von 8^. Die Wurzeln s der charakteristischen Gleichung sind paar-
weise entgegengesetzt gleich; wir nehmen an, es sei ein Paar rein
imaginärer Wurzeln ± »A vorhanden, aber daneben keine Wurzel ±ipX
(j> ganze Zahl) und keine Wurzel 0.

Die Lagrangeschen Gleichungen besitzen die Integralgleichung

oder

2*«ä<--^

Const.

asl

Const.,

wo die nicht angeschriebenen Glieder von mindestens der dritten Di-
mension in den x, x sind. Nach Einführung der neuen Koordinaten
schreibt sich die Integralgleichung

(Xi\^ ha;;* — c^A c«4 + . . . = Const.,

§ 17

Wir setzen die Wurzeln 5^, 5,, . . ., s,^ der charakteristischen
Gleichung, welche die oben angegebenen Bedingungen erfüllen, überdies
der bequemeren Schreibweise halber als einfach voraus.

Dann lassen sich die auf die linearen Glieder reduzierten Differential-
gleichungen

Xa

~dt
dt

,^« +29aß^ii

(a«l, ...,n>

1) Dabei ist g^^ ^ . . . =» ^^^ = o gesetzt.

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382 Weitere Beitrige rar Theorie der klenea SdivingimgeB.

durch eme lineare Substitation

auf die Form bringen:

^-5^.7.. ^ =

dZ,

Wir netzen, in den obigen linearen Differentialgleichnngen

und yergleichen die Koeffizienten von Z^. Wir erhalten so fibr y = 1,
..., 2»

Kay =* ^y^'ay

und

wodurch die Verhältnisse der Großen \^y k^^, . . ., k^^ bestimmt sind.
Wenn s^ = il, «j = — ii konjugiert imaginär sind, können wir
k^^ und k^2 ^ konjugiert komplex annehmen. Setzt man

wo Ä^i und h^2 ^^^ ™^? ^^d

so gehen die Differentialgleichungen

m

d< -^^2^ dt " ^^^

über, und es ist

k,,Z, + k„,Z, - h,,(Z, + Z,) + iK,{Z, - Z,) == Ä„,;^, + K,z^ ,

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Von J. Hob». 383

Sind Äj und 5^ — — s^ reell, so setzt man

sind S3 und s^ konjugiert imaginär, so setzt man

usw.

Die in § 16 aufgestellten Lagrangeschen Gleichungen lassen sich
also durch eine reelle lineare Substitution

(a=l,...,n)

worin

ist, auf die Form bringen:

-^ = A^j + Fi(^i, . . ., ^j J,

WO JFi, l^j, ... Potenzreihen mit Gliedern zweiten und höheren
Grades sind.

Die Integralgleichung

2{^a — c^xl) H = Const.

a

geht über in*)

^(^f + 4) + • • • = Const.,
wo

^=^(A«A»2-c>»,)-^(A»A»i-c„Ä»',),

a a

also auch

ist.

Sind Ci, . . ., c^ sämtlich negativ, so wird die Gleichung ^ »
durch n negative reelle Werte von s^ befriedigt.*) Es sei — A* einer
dieser Werte und

1) Nach Bd. 62, S. 80 haben g\ und zl denselben Koeffizienten, während der
Koeffizient von z^g^ verschwindet.

2) Vgl Eouth, Dynamik, ßd. ü, S. 93.

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384 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingongen.

die zugehörigen DifPerentialgleichimgen. Der entsprechende Wert Ton Ä
ist positiv, da die w Größen A*--c„ positiv sind und die 2n Oroßen A^^
%^2 laicht gleichzeitig verschwinden können.

Wir verstehen unter q, . . ., c^ wieder beliebige reelle Großen, wir
setzen aber voraus, daß A von Nvil verschieden ist Dann besitzt das
Differentialgleichungssystem mit den abhängigen Veränderlichen ^^ . . ., üf,
nach A. § 4 eine periodische Lösung mit einer Periode

WO c den Wert von z^ füi* den Wert ^ = darstellt, fOr welchen z^
verschwindet. Wenn man

setzt, ist

^y — C^rii^) + cVyf(w^) H ; (y«l,..^2«)

hierin ist

V'n = cos Wy ^ji sin w;, ^,i = 0, . . ., *,^i -« 0;

^yy ist eine lineare Funktion von cos^w, %mpw{p = 0, 1, 2, . . ., v),

§1«
Wir gehen etwas naher auf den Fall n = 2 ein.
Das DifferentialgleichungSBystem

WO 5^1, =» — ^3i ist, hat die charakteristische Gleichung

9w ^-^'

=- 5* - (q + c, - ijrf ,) s« + c, (^ -

oder, wenn
gesetzt wird,

die Auflösung ergibt

2

Es ist /■(— oo) = + oo, /*(0)=CiC„ /■(+oo) = + oo, ferner
/•(0-Cii7?., /■(c,)-ci^?,. Für

^0- 2

1) Vgl. Thomson-Tait, Natural Philoiophy, 2. ed., vol. I, part I, S. 89Ö.

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Von J. HoBN. 385

nimmt f{6) den Minimalwert

an.

Sind Ci und c^ beide negatir^ etwa Cj ^ c^ < 0, so liegt eine
Wurzel 6 zwischen — cx> und c^; die andere zwischen c^ und 0; die
Tier Wurzeln s der charakteristischen Gleichung sind rein imaginär.

Ist von den beiden Größen c^^ c^ die eine positiv^ die andere
negativ, etwa c, < 0, c^ < 0, so liegt eine Wurzel ts zwischen — oo
und Cj, die andere zwischen und c^; zwei Wurzeln s sind rein imaginär,
zwei reell.

Sind q und c^ beide positiv, etwa < c^ < Cj, so ist der Minimal-
wert f{(S^ nur dann negativ, wenn g^<^ entweder kleiner als j/c^ — "[/^
oder größer als "j/ci + "j/cj ist. Im Falle

ist Gq > 0; die Gleichung f{6) = besitzt zwei positive Wurzeln, von
denen die eine zwischen und 6^ liegt, die andere größer als 6^ ist.
Im Falle

9ii > v^i + y^

(in welchem auch c^ =» c^ sein darf) ist 6q<0] die beiden Wurzeln
der Gleichung /"(d) = sind negativ, und zwar ist die eine kleiner, die
andere größer als 0q.

Periodische Bewegungen sind nur möglich, wenn die charakteristische
Gleichung rein imaginäre Wurzeln besitzt, d. h. wenn mindestens eine
der Größen Cj, c^ negativ ist oder wenn beide Größen q, c^ positiv sind,

aber 5^12 > V^ + V^ ist.

Sind Syfy « 1, . . ., 4) die Wurzeln der charakteristischen Gleichung,
so hat man nach § 17

(Ci-S?)^iy + Sy«7isA-jy = 0,

also z. B.

Sr9nhr + (<^ - 4)^»r = 0,

Sind

s, = iX, Sj — — iX

rein imaginär

und setzt man

Zeltiahrtft f. lUthematlk n. Phyilk. 63. Band. 19M. 4. HefL

26

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386 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Scbwingnngen.

SO ist

femer

*u«l, fhx-0, Ä,,=»0, Ä„ = Ä.

Die Substitutionsgleichangen von § 17 lauten

^1-^1 + "'7

^2 = *^i H f

x'^ « XhZi + . • •,

wo die weggelassenen Glieder nnr js^ nnd js^ enthalten.
Man hat die Integralgleichung

^i* + ^i* -<^xl-(^xl + -'^ A{gl + j?|) + . . . = Const.,
worin

A ^ l^h* -- cj = A* - c^V

ist. Wenn mindestens eine der Größen c^, e^ negativ ist^ ist J. positiv.
Wir haben noch zu zeigen, daß auch im Falle

Ä von Null verschieden ist.
Soll in diesem Falle

Ä « A* A« - q - (^L+A)! - c. =
sein, so muß

oder, wenn man

2
setzt,

Durch Quadrieren dieser Gleichung und Weglassen der den beiden
Seiten gemeinsamen Faktoren erhalt man

was nicht möglich ist, wenn g^^ ^^^ ^i ^^^ ^^ verschieden sind.

Demnach können auf jedes Paar rein imaginärer Wurzeln ±il
der charakteristischen Gleichung die Sätze über periodische Bewegungen
am Schluß von § 17 angewandt werden.

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Von J. HoRN. 387

§19

Wir wenden die Sätze von §§ 16 — 18 auf die folgende Aufgabe an.

Aufgabe V. Eine Fläche rotiere mit konstanter Winkelgeschwindig-
keit CD um eine lotrechte Achse, weiche durch eine Stelle der Fläche
mit wagerechter Tangentialebene geht. Wir untersuchen die periodischen
Bewegungen eines an die Fläche gebundenen schweren Punktes in der
Nähe der Stelle 0.

Wir fübren ein mit der rotierenden Fläche fest verbundenes Ko-
ordinatensystem mit dem Anfangspunkt so ein^ daß die jer-Acbse mit
der Rotationsachse zusammenfällt (nach oben positiv)^ wahrend die
Achsen x und y die Tangenten der Erümmungslinien der Fläche im
Punkte sind. Die Gleichung der Fläche ist dann

''~«&'+^') + ^(^'ä'>'

wo (p{Xyy) eine mit Gliedern dritten Grades beginnende Potenzreihe
von Xy y darstellt.

Die absolute Geschwindigkeit des an der Stelle x, y, z befindlichen
Punktes^ dessen Masse wir gleich 1 setzen, hat die Komponenten

x' — yco, y' + xc3j z\
daher ist die lebendige Kraft

die Ejräftefiinktion ist

Nach Einführung des Wertes von z ist

i_r+<7-j|(i+g+...y.+(?^»+...)xy+(i+g+...y.

+ 2a)(a;y' - yicO)- i<7(|* + ^^ - ^g>(^, y),

wo die Koeffizienten von a;'*, ic'y', y"^ Potenzreihen von rc, y sind, welche
außer den angeschriebenen Gliedern nur solche dritten und höheren
Grades enthalten, oder

i == |{^'' + y'^ + 20) (rp/ - ya?0 + («3« - ^)a;« + (co« - ^y +

wo die weggelassenen Glieder von mindestens der dritten Dimension
in bezug auf x^y^x'^y' sind.

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388 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen.

Die Lagrangeschen Gleichungen

dtdx' dx '

dtcy' dy
schreiben sich hier

'"['+c-+ii)"]+'-CT+i9a+i)-^«"'+c^-°')'

-'•C'+ll)S+ll)+»"['+a+l|)']+^-'+a— V

wo 5i> S2 gaiizß homogene Funktionen zweiten Grades von x', y dar-
stelleU; deren Koeffizienten Potenzreihen von x, y sind, welche für
x^O, y =* verschwinden. Die auf die linearen Glieder reduzierten
Differentialgleichungen sind

a;"-2(öy'rf (^-o*)a; = 0,

Die Sätze von §18 lassen sich hier anwenden, wenn man
setzt. Die charakteristische Gleichung

hat im Falle

-^ > ^ > o«
und im Falle

lauter rein imaginäre Wurzeln, während im FaUe

9t 9i

nur ein Paar konjugiert rein imaginärer Wurzeln vorhanden ist,

1) Diese Bedingung igt von selbst erfüllt, wenn g^ und 9, beide positiv sind.

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Von J. HoRN. 389

Jedem Paar konjugiert rein imaginärer Wurzeln entsprechen nach
§18 periodische Bewegungen.

§20

Die in B. § 1 und § 9 behandelte Aufgabe I (Bewegung eines
schweren Punktes auf einer Rotationsfläche mit lotrechter Achse in der
Nähe eines Parallelkreises mit nahezu konstanter Geschwindigkeit) ist
als besonderer Fall in der folgenden allgemeineren Aufgabe enthalten.

Der Ausdruck

eine positive definite quadratische Form von x[, . . ., Xn^ stelle wie in
§13 die lebendige Kraft eines Systems von n Freiheitsgraden dar; die
Koeffizienten A^^ und die Kräftefanktion

Z7= U{x^,.,,,x^)

werden als analytische Funktionen der m<w Koordinaten x^y,,.,x^
vorausgesetzt.

Wir haben wieder die Lagrang eschen Gleichungen

±dT _ dT _ du
mit den Integralen

j^ = ÄjiX[ + ••• + ÄjnXn = Cj, 0=='n+l,.--,«)

Es seien

^1 "= ^1? • • -y ^m"^ ^my
^1 = U, . . .^ Xni =^ " ; ^m+1 *=* ^m'\- 1; • • «j ^n *^ ^n

reelle Werte, welche die wi Gleichungen

CX^ ' dx.'^ (1 = 1,. ..,m)

befriedigen; es ist also

Icx,^ 8 ji ex, J '1.^^^,...,

(i=:l, ...,m),

WO sich die Summation über die Werte j, ? = m + 1, . . ., n erstreckt.
Die Gleichungen

x^ = a^f («=1, •.,*»)

Xj == Uj + bjt, C;=w»+i,-.-,»»)

wo (im-\-iy'"y% willkürliche Konstante sind, stellen eine stationäre Be-
wegung dar. Wir untersuchen die benachbarten Bewegungen und zwar
zunächst die periodischen Bewegungen.

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390 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen.

Wir können a^^O, .,,, a^^O annehmen; wir brauchen nns nur
x^ — a^ (i = 1, .,,^m) an Stelle von x^ als Koordinaten eingef&hrt zu
denken. Wir setzen

und betrachten die positive definite Form

von Ulf . . ., Uny welche sich als Summe von Quadraten

o = l

darstellen läßt, indem man eine reelle lineare Substitution von folgender
Gestalt anwendet:

hierbei hängen v^, . . ., ^m ^^^ von w^, . . ., ^m; *^^r nicht von w,„+i, . • ., w„
ab. Setzt man demnach

Va^-Pal^l +Päi^2 + "'+Paa^ay («=1,-..«)

sodaß x^j • • •; ^TO lineare homogene Funktionen von y^, . . ., y^ sind, so wird

n

Indem wir die neuen Koordinaten statt mit yi;...,y^ wieder mit
^v '"f^n bezeichnen, können wir voraussetzen, daß

ist.

Die Lagrange sehen Gleichungen lassen sich durch ein System von
2n Differentialgleichungen erster Ordnung ersetzen:

dx

a r

^1 dt +- + A« at +^ dx^ ^"** »a dx, ^"^^ Zx-> <—*••-">

dabei durchlaufen die Indizes a, ß die Werte 1; . . ., n, der Index X; die
Werte 1, . . ., w. Wir scheiden die w— w Differentialgleichungen

(If

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Von J. HoRN.

391

Yorläiifig aus und führen in die n + m übrigen Gleichungen die n + m
abhängigen Veränderlichen ein:

Unter Beschränkung auf die Glieder, welche in den neuen Ver-
änderlichen und ihren Differentialquotienten linear sind, lauten die
Differentialgleichungen :

dy.

Dabei ist

-ji -9^191 + - •+9imym-

0=»»n+l,...,n)

iy Je durchlaufen die Werte 1, . . ., m und j, l die Werte w + 1? . • •; **• ^^ ^^t

^ki =* ^ik y
9u=-^y 9ki^-9ik} 9ji^ — 9ij'
Unser Differentialgleichungssystem hat die charakteristische Glei-
chung (n + w)ten Grades

^(s)-0,
wenn man setzt

-s, ..., 0, 1, . . ., 0, 0, . . .,

^(s) =

0, .

..,-S, 0, .

1,

0, .

..,

<'ll> •

• •> "im» 5'll *> •

• •> i/lm»

9l,m+l> •

••, 5-1»

Cml> •

• •> ^mmf 9mlt •

• •, S-mm-S,

9m,m + t> •

••> ?m»

0, .

• ■> 0, 9„+t,i> •

• •> i'm + l.m»

-S, .

..,

0, •••, 0, g„i, ..., </,„, 0, ..., -s

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392

Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingongen.

Wenn man die mit s multiplizierte {ni + Jc)te Kolonne (Ä = 1, . . ., m)
zur Ä-ten Kolonne addiert und beachtet, daß ^r^j = 0, . . ., gr^^ «= ist,
erkennt man^ daß

± ^(s) =

Cn '

m + lftHJ

mm ^ > 9m,m + lf

— 5,

0,

,

i)(.)=

9m + l,l J ' ' *y

ist, d. i. gleich
wenn man setzt:

^mm ~~ ^ y 9m,m-i-lf ' ' '> 9mn

9m + lfm> "I7 • • •; ^

' ' 1

I 9nly ••; 9nmy 0, . . ., — 1 I

Die Determinante D(s) bleibt ungeändert, wenn man s durch —s
ersetzt und gleichzeitig die Zeilen und Kolonnen yertauscht, sie ist
also eine ganze Funktion m-ten Grades von s^. Wir formen die Deter-
minante D(s) um, indem wir zur t-ten Kolonne (ä;= 1, . . ., m) die
mit g^^i ji multiplizierte (m + 1)*©? • • •> diö niit g^^ multiplizierte »te
Kolonne addieren. Man findet so

I

±D{s)^

(^n-s^+^9ij9jif

<^m + S9lm+^9lj9jm '

^ml + S9ml +^9mj9n, ' ' •, <^mm - ^ +^9mj9jn
i=m4-l >=»/. + !

Die charakteristische Gleichung -^(s) = hat die (n + w) fache
Wurzel 5 = und die 2 m paarweise entgegengesetzt gleichen Wurzeb
der Gleichung D{s) = 0.

Beschrankt man sich nicht auf die linearen Glieder, so haben die
Bewegungsgleichungen die Form

dx.

-jt-^V" ('=1. ■■-.».

dt + "«1 dt ^ + ''« dt

- Cu^l + • • • + Cim^m + SnVi + ■■•+ 9i,yn + %, (.-1.....»;
l?> + f l«^ + ...+f ^

= ^yi!/i + • • •+9jmym + %j] 0=».+i, '

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Von J. HoRN. 393

hierin sind die f Potenzreihen von x^, . . ., x^, welche für rCi =* 0, . . .,
x^ = verschwinden, während die ^ Potenzreihen von x^, . . ., x^,
Vi} ' ' '} Vn, ^^'^j welche mit quadratischen Gliedern beginnen. Wenn
man die n letzten Gleichungen nach

dt ^ '"' dt

auflöst, erhält man die Differentialgleichungen der Bewegung in der
folgenden Form:

7/7 = ^n^l + • • • + ^m^m + 9ayv + • • • + QinVn + ®i> = 1,. ..,m)

-^7= 9nyi + "'+9smym + ®S\ ü = m + l,...,n)

®i; • • •> ®n ^"^^ Potenzreihen von x^, . . ., x^, y^, . . ,, ifn, welche mit
quadratischen Gliedern beginnen.
Die Integralgleichung

J^Äjj^yj^ +^Äjj{b^ + y^ = C^ c; = m-fi....,«)

schreibt sich

WO ^j eine Potenzreihe von x^^ . . ., a;^ mit Gliedern zweiten und
höheren Grades ist, oder

Vj + ?1>1 + • • • + Srnj^m + ^J = ^Ij C;-m + 1, ....n) .

Die Eneririeirleichuni?

* ^ ^ 2(T- Cr)-Const.

ersetzen wir durch

2(T-Ü)- 2^6,1^ - Const.
oder .-^n+i'^^^

^Aa^XaXß — 2U— 2^ÄjahjXa
afi aj

^^AkViVk +^^ji (Pj + yj)(Pi + Vi)

ik jl

r du dĄ -1

aii Jl i L ' jl ' Jari=0,...,ar„, =

a

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394 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen SchwinguDgen.

wo <D eine mit Gliedern dritten Grades beginnende Potenzreihe von
^1} ' ' '7 Vn ^^^- Beachtet man, daß der Koeffizient von x^ yersckwindet,
and bringt man die konstanten Glieder anf die rechte Seite, so hat
man die Integralgleichung in der Form

oder

^yl —^Cik^i^k + * = Const.

iJb

§ 21

Wir nehmen an^ die charakteristische Gleichung zl{s) =^0 habe
die einfachen konjugiert imaginären Wurzeln + A]/— 1, — A"|/— 1, sie
habe daneben keine Wurzel ±i>A"|/— 1 {p ganze Zahl) und keine
mehrfache und keine verschwindende Wurzel außer der (n — w) fachen
Wurzel s = 0.

Wir bezeichnen die von Null verschiedenen (paarweise entgegen-
gesetzt gleichen) Wurzeln der charakteristischen Gleichung, d. h. die
Wurzeln der Gleichung D(5) =» mit «i, Sj? • • •? ^sm- ^i® *^^ ^®
linearen Glieder reduzierten Differentialgleichungen

dX'

-jt-Vo u=i....,«)

dt

- Ca^x + • • • + c,^x^ + 5r.,y, + • • • + g,^y^, o = i....,m)

lassen sich, indem man geeignete lineare Funktionen -^Tj, . . ., Z^^„

von o?!, . . ., x^, Vij " 'iVn einführt, auf die Form bringen:

dt -^1^1' • ••' dt

^l^V > fit ^2m^2mf

dt ^^' '"' dt ~^'

Wenn die n — m letzten Gleichungen wirklich die angegebene Form
haben, entsprechen der (w — m) fachen Wurzel s == der charakteristi-
schen Gleichung n — m einfache Elementarteiler der Determinante ^{s).
Man sieht aber sofort, daß der nach t genommene Differentialquotient
des Ausdracks

gleich

9iyi + '-'+ 9jmyjm + 9ijyi + • • • + 9mjym =-

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Von J. HoBKT.

395

ist; daß also n — m unabhängige lineare Verbindungen der Xjy einen
yerschwindenden Differentialqnotienten besitzen.
Die Koeffizienten der Substitution

X^ = JCiiZ^ H h \m-\-n^fn + nf

ffi = hi\Z\ + • • • + T^^m-^-nZm-^-n)
Vi =" ^Vl-^l + • • • + ^J,m + nZm + n

müssen die folgenden Bedingungen erfüllen, in welchen unter y eine
der Zahlen 1, . . ., 2w, unter d eine der Zahlen 2w + 1, . . ., w + n
zu verstehen ist:

Ä/y =» SyfCiy f ICi$ == U J

SyÄ/y — Ciikiy + ' ' " + CimKiY + 5^« 1 ^'l / H h fi^'n^'n/,

=- Ciihd -I h C/,„A;,„rf + QnKe -I + ginKe^

SyJCjY = 9j\klY + • • • + gjmkmy y

Durch Elimination der Größen Tc'iyy , . .jk'ny erhält man zur Bestimmung
der Verhältnisse der Größen ij^, . . ., Ä^y die Gleichungen

\ iam + 1 / \ ; = m + l /

\ ; = m + l / \ / = r/i + l /

Hiemach ist

kiy =a Sykf^f

Femer hat man nach Nullsetzen von his und beliebiger Annahme von
kji die Gleichungen

CiihiS H + CimJCmS + 9i,m + lKi + l,6 + • • • + 9inKd ==0 (i = 1, ...,«a) ,

aus welchen sich die Größen \^, . . ., h^^ berechnen lassen, wenn die
Determinante

^ml?

von Null verschieden ist. Setzt man z.B. A:/,to+^"»1, alle übrigen
Größen kjs gleich Null, so hat man

^•A,«+/ + • • • + C<m*m,m + i + 9iJ ^^ a = m + l....,n)

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396 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingimgen.

So erhält man die SubstitutioDBgleichungen

Vi - hhi^x + • • • + s^j^^^^z^^ ,

Sind 5^ = A}/— 1 und s, = — A)/— 1 konjugiert imaginär^ so können
wir

annehmen, wo Ä^j, Ä,^ ^®®^ 's^^- Setzt man

z,^z, + z,, z, ^y~i{z, - Z,),

so gehen die Gleichungen

dt ^1^1' dt ^^^^
in

dt ^^2' d« ~ '^^i
über; es ist

*»i-^i+*.-2^2 =*n^i + *»2^2;
S^l'i^Z^ + S^JC^^Z^ == — ^Ä^2^1 + ^*il^2;
(^yi*ll + • • • + 9jfnKl)^l + (Sjlhi + ••'+ 9jmKi)^»
= (^ilÄii + • • • + 9jmKl)^l + i9jlhi + '"+ 9jn.K%)^-

Sind Sj und 5^ = — 53 reell, so setzt man

sind ^3 und 8^ konjugiert imaginär, so setzt man

USW. Schließlich setzt man

^2m + l "^ ^2m + l; ''J ^m + n'^ ^tn + n^

schreibt man

und nimmt man hj^m-\'j=^ 1, die übrigen Größen hjs gleich Null an,
so ist

<^ilKfn + J + •" + CiJlm,m + J + 9iJ - 0. C;=« + l. -.-^

Unsere auf die linearen Glieder reduzierten Differentialgleichungen
gehen also durch eine lineare Substitution mit reellen Koeffizienten

t/i ■= h'iiZi + h h!^2m^2m ,

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Von J. Hoiur.

397

worin Ä/i = — >LÄ,-2, A/2 = ^hi ist, über in

dt

dZr^

dt -^^^ •••^ d^

Die nicht linearen Differentialgleichnngen haben dann die Form

dz^

dt ''

lz^ + F^{z^, . .., B^^^j

dZi

Im +J __.
dt

^im + i\^iy • • •; ^m+n)?

dt

-^m + n(^l7 • • •; ^m + n)y

WO 2^1, . . ., F^+n Potenzreihen der beigefügten Argumente mit Gliedern
zweiten und höheren Grades sind.

Bezeichnet man die von Null verschiedene Determinante

^ml;

mit G und die Unterdeterminante von c^j = c^^ mit (7^;^ = C^^, so ist

h =.'V^*fl

* = i
Hiernach wird

t t I

WO

Qsi -^SiiK^i -2-^3is9ik

ik

E^

ist. Da, wie wir unten sehen werden, die Determinante

1 + VfB + l,»n + i; - • -y ^m + l.n

unter den jfrüher gemachten Voraussetzungen von Null verschieden ist,
so lassen sich die n — m Integralgleichungen

Vi +^9ij^i + • • = Const.

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398 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen.

durch AuflÖBimg nach e^^+if . . ., ^^^.^ auf die Form bringen:

^«+^ + . . . = Conet.,
wo die weggelassenen Glieder mindestens vom zweiten Grade in e^

^m^n sind.

Die Integralgleichung

2yi —2<^ik^i^k + • • = Const.
geht über in

ik

Ä{s^^ + gX) +

Const.,

wo

A - i}2h\ +^(ßnK + ■•■ + 9i„Kiy -2cnKKi

ik

= ^*2K\ +2i9n^ + • • • + 9i„K%y -2c{khiKt

i J ik

ist. Wir machen die Voraussetzung, daß A von NuU verscfiieden ist.
Wir zeigen noch, daß die Determinante E von Null yerschieden
ist, wenn die Gleichung D(s) = keine verschwindende Wurzel besitzt,
wenn also

D(0)-

^11?

^mli

^mm7 fftn,m-\-lf

9.

m + 1,1?

•; yin + l,m;

9mn

9nU ' • '> 9nm>

von Null verschieden ist. Wir setzen

-1, •

0, .., -1

9n> ■'■> 9tm>
Dann ist nach dem Detenninantensatz von Sylvester

■^nn-l,m + l» • • •} -^m + l,»

I -^»m+lJ

•, I>n

(7"-'»-*D(0),

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Von J. HoRN. 399

also ist unter den oben gemachten Voraussetzungen die Determinante
auf der linken Seite dieser Gleichung von Null verschieden. Diese
Determinante ist aber wegen

gleich

also ist auch die Determinante E von Null verschieden, w. z. b. w.

Das Differentialgleichungssystem mit den abhängigen Veränderlichen
^v - ' y ^m+n hesitzt unter den bisher gemachten Voraussetzungen nach
B. § 7 eine Lösung von der Form

^a =" ^a^ + ^J^ H H ^a^ + ' "• (« = 1, •.., m + n)

Hierbei ist

g^^^ = Ci cos m; + c^ sin w; , iz^^^ = — c^ sin m? + c^ cos m? ,

*8m + l ^'Äm + l' ' ' 'f rii + n ^m + n^

jgfO') (i; = 2, 3, . . .) ist eine ganze homogene Funktion vter Dimension
von Cj, c^y c^m+if ' ' •} ^m+n ^^^ ®i^® lineare Funktion von cos^m?,
sin|?M? (p = 0; 1; • • .; v), Es ist

2nt

und

w? = ^

T — — + T(^) + T(*) + h T(^) +

wo T^^^ eine lineare homogene Funktion von c^m-\-v • • •; ^m+« ^^^ ^^^^
eine ganze homogene Funktion i/ten Grades von Cj, c^, ^m+i? • • -^ ^m+n
ist. Dabei stellen c^^, Cj, Cg^^.!, . . ., c^^.^ die willkürlich, aber klein
anzunehmenden Werte von jer^, 0^^ ^«m+i? • • •; ^ib+h ^^ ^ = dar.

Auf Grund der obigen Substitutionsformeln sind auch a^, . . ., x^
Vv • ' '} Vn Potenzreihen der Integrationskonstanten c^, c^, ^««i+i; • • •; ^m+n
und periodische Funktionen von w mit der Periode 2n. Dasselbe
gilt für Xi == yi und xj-^bj + yj.

Wir haben noch x^^^, . . ., a?„ zu berechnen. Für j = w + 1,

. . ., n ist

da;. dt dxj f

d^ '^ d^lÜ ^ ^^i ^ y^
eine periodische Funktion von w mit dem Mittelwert

Ä. = ^" + .

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400 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen.

der als Potenzreihe der Integrationskonstanten erscheint. Soll für ^ =
Xj — xf^ Bein, so erhält man dnrch Int^p^tion

Xj — Xf = SljW + Xf + Xf + • • •, (; = m + l, .... n)

wo xf^r^ eine ganze homogene Funktion t^ten Grades der Integrations-
konstanten und eine lineare Funktion von cos pWySmpw {p^O, 1; - • -^ ^)
ist, welche fttr w « verschwindet.

§22

Der Fall, daß w = 1, w aber beliebig ist, möge etwas genauer be-
handelt werden.

Wir haben die Differentialgleichungen

dt ^ ^1^1 + ^l«yi + • • ' + PlnVn + • • •,

dt

-ffnyi +

mit den Integralen

y\ + '-+yl — c^x\-\ Const.,

y% + 9i%^\ H = Const.,

Vn+ym^i-^ Const.

Die Gleichui^

B(s) = c,-s'-g\, g\,-0

hat, wenn

positiv ist, die rein imaginären Wurzeln Sj =» iA, 5, = — iL Durch die
Substitution

yi-^h7

y% == 9n^i + h^

yn^9nl^l + ^n + l

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Von J. HoRir. 401

gehen die Differentialgleichungen in

dir
-dl ~

A0, + • ■ .

dz.

St —

-Xg,+---

dz,
dt

+ ■■•

''*«+t _

J

U = 2,...,«)

dt
und die Integrale in

^*(^! + 4) + ^9uhh + • • • + (l - f ) ^J + • • — Const.,

über. Die n — 1 letzten Integralgleichungen erhalten durch Auflösung
nach jeTj, . . ., jer^^j die Form

jgTj -(-... = Const., . . ., jer^^i -f . . . « Const.

Die Anwendung der jetzigen allgemeinen Methode auf die in
B. § 1 und § 9 behandelte Aufgabe I (deren Wortlaut am Anfang von
§ 20 wiederholt ist) gestaltet sich folgendermaßen.

Unter Beibehaltung der in B. § 1 eingeführten Bezeichnung ist
^=i(l+r*(r))r'» + lr>9,'%
U=-gf{r),
SO daß T und U von 9 unabhängig sind. Die Gleichung

ar "+■ ar "~ ^
oder

nr)r{ry> + rfp''-gr{r)=.0

wird, wenn ^(»"0) > ist, durch

r = r„ r' = 0, <p' = ^, = "[/^
befriedigt] Setzt man

80 wird

T=i(i + ...K»+ 1(1 + •••>;%

wo an Stelle von . . . Potenzreihen von x^ stehen, welche für rCi =
verschwinden. Setzt man weiter

Zeitschrift f. Mathematik Q. Physik. SS.Band. 1906. 4. Heft. 26

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402 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen. Von J. Hobk.
und

80 hat man die Differentialgleichmigen

Die Gleichung
hat; wenn

Cy s y sg^^ I

X « V^5"3V - 1/ W7Vr,) + ror(ro))

reell ist, die rein imaginären Wurzeln + t A und — iL Durch die
Substitution -

^1 -- -8^1 + ^f ^8;

erhält man die Differentialgleichungen

dt ^^^ ^ '

dt t-"'

Die Integrale

j-\ = Const. , 2{T-U)^ Const.

ersetzen wir durch

y2 + 9ii^i H «Const.,

Vi + Vi — ^i^J H C<>^s*-

oder

— - ^3 H = Const. ,

A^(^ + 4)+---«Con8t.

Die weitere Behandlung vollzieht sich wie in B. § 9.

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Graph. Berechnung d. ellipt. Punkt., m. einigen Anwendungen. Von N. Delaunay. 403

Graplüsche Berechnimg der eUiptischen Funktionen, mit
einigen Anwendungen.

Von K Delaunay in Warschau.

§1.

Die im Laufe des 19. Jahrhunderts entwickelte Theorie der
elliptischen Funktionen nahm^ nach den Arbeiten von Weierstraß,
eine so schöne und abgerundete Form an, daß wir jetzt Lehrbücher
über elliptische Funktionen, wie das yon Appell und Lacour, be-
sitzen, deren leichtfaßlicher Inhalt sich mit einem Lehrbuch der Trigo-
nometrie vergleichen läßt. Aber diese schöne und wichtige Theorie
hat bisher in die Kreise der Ingenieure noch keinen Eingang gefunden.
Die Ursache hiervon liegt nach meiner Meinung erstens darin, daß die
Theorie der elliptischen Funktionen verhältnismäßig neu ist, zweitens
in dem Fehlen graphischer Methoden, mittels deren man die unter der
Form der elliptischen Funktionen sich darbietenden Resultate veran-
schaulichen könnte. In Ingenieurkreisen wendet man gern trigonome-
trische Funktionen an, nicht nur weil man ihre numerischen Beträge
in den Tafeln finden kann, sondern auch weil jede trigonometrische
Funktion sich leicht zeichnerisch bestimmen läßt.

Tafeln für elliptische Funktionen hat bereits Legendre ausgerechnet,
es fehlt aber noch an graphischen Methoden zur Berechnung der ellip-
tischen Funktionen. Der Zweck dieser Abhandlung soll ein Versuch
sein, die elliptischen Funktionen graphisch zu bestimmen, und mit
Hilfe dieser graphischen Methode die Lösung einiger mechanischer und
geometrischer Aufgaben vorzuführen. Auf die Möglichkeit, die reellen
Werte der elliptischen Funktionen mit hinreichender Genauigkeit gra-
phisch zu bestimmen, habe ich in der Abhandlung „sur le calcul gra-
phique des fonctions elliptiques et de quelques fonctions ultraelliptiques^'
(Bullet, de la Societe Math, de France, XXX, 1902) hingewiesen. In
der vorliegenden Abhandlung wende ich diese graphische Methode auf
folgende Probleme an: 1. Rotierendes Seil, 2. einfaches Pendel, 3. elas-
tische Kurve, 4. Kettenlinie und 5. geodätische Kurven auf einem Katenoid.

§2.

Die ganze Methode beruht auf folgender Eigenschaft des Haupt-
mechanismus der Dampfmaschine, also des Schubkurbelgetriebes:

26 •

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404 Graphische Berechnung der elliptischen Funktionen, mit einigen Anwendungen.

Fundamentalsatz: Der Kosinus des ÄUenkungswinkds Oder Schub-
stange m ist eine elliptische Funktion dn u von einem solchen Argument u,
für das der Kurbelwinkd tp gleich amu und der Modul k gleich dem

Verhältnisse — der Kurid a zu der Schubstange m ist. — Denn aus

dem Dreiecke ABG (Fig. 1), das aus der Kurbel a, der Schubstange m

und dem Stege BC besteht, haben wir:

(1)

und

sind
sinqp

a
m

(2) cos ö =» )/l — Ä* sin* fp = ^€p = dn w

wenn

(3)

"-k

Aus (2)

und (3) erhalten wir:

(4)

" -J^-e

und dann

(5)

^«-äi-

Diese Beziehung (5) ist die Grundlage unserer graphischen Kon-
struktionen.

§ 3. Graphische Konstruktion von 8u für gegebenes 9.

Wir zeichnen (Fig. 1) mit einem Halbmesser a eine Kreislinie.
Wenn wir die Kurbel a als Längeneinheit betrachten, so haben wir:

1

(6)

a==l, A =

m

Wenn der Kurbelwinkel fp eine kleine Änderung dy anninmit, so
ändert sich der Bogen DA auch um dtp, weil der Halbmesser gleich 1 isi
Nehmen wir irgendwo auf der Geraden BC die Länge

pp' = S(p

an und führen aus den Punkten p und p' zwei z\x BC senkrechte
Geraden pq und p'q. Diese Geraden werden aus der Verlängerung der
Schubstange die Länge

(7) sa' =. :^ = öu

ausschneiden.

cosö

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Von N. Deläunat.

405

Fi«. 2.

§ 4. Konstruktion des Hanptgitters.

Wenn der Modal k gegeben ist, so bestimmen wir die Länge m
der Schubstange aus (6). Dann beschreiben wir (Fig. 2) mit der Längen-
einheit als Radius den Fundamentalkreis, teilen den Quadranten MN
in n gleiche Teile ein^) und bestimmen, indem wir mit der Schub-
stangenlänge als Radius um die Teilpunkte des Quadranten Kreisbögen
beschreiben, deren n Schnittpunkte mit dem Durchmesser CM. Die
von diesen Schnittpunkten nach den Teilpunkten des
Quadranten gezogenen Geraden stellen die n Lagen der
Schubstange vor. Auf diesen Geraden erhalten wir, wie
oben gezeigt, die Änderungen

indem wir in den im Abstände 8(p voneinander liegenden
Punkten p und p' des Durchmessers CP zwei Senk-
rechte auf CP errichten.

Jetzt tragen wir auf einer Abszissenachse OK
(Fig. 3) die in der Fig. 2 erhaltenen Ände-
rungen 8u^y 8u^y ... 8u^ eine nach der
anderen auf. Dann erhalten wir auf
der Abszissenachse n Punkte.
Die durch diese w Punkte
geführten senk-

rechten Ge-
raden

geben den auf das Intervall . , .K bezüglichen Teil des Hauptgitters.
Um das ganze Hauptgitter zu erhalten, müssen wir weiter die Änderungen
des ' Argumentes u in umgekehrter Folge, also der Reihe nach dw«,
8n-i . . . dt<2, dtti, auf der Abszissenachse, dann dMj, dwj, . . . 8u^ usw.
abtragen und die zur Ordinatenachse symmetrische Konstruktion
auf der negativen Seite der Abszissenachse ausfähren und dann die
zur Abszissenachse senkrechten Geraden durch die Punkte des Zu-
sammentreflFens von je zwei benachbarten Änderungen ziehen. Die

1) Je größer n iat, desto genauer wird unsere Konstruktion sein. Die Unter-
Buchung der Genauigkeit der Konstruktion ist in meiner oben zitierten Abhand-
lung angegeben.

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406 Graphische Berechnung der elliptischen Funktionen, mit einigen Anwendungen.

Abszissen anf diesem Hauptgitter sind u, die Ordinaten wollen wir y
nennen.

Man sieht leicht, daß wir die Punkte der Kurven y^sn« er-

halten werden, wenn wir auf den senkrechten Geraden des Gitters die
sehr leicht aus der Fig. 2 zu erhaltenden Längen

sn Wi =» sin g?i ; sn ti^ = sin 9j . . .

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Von N. Delaunat. 407

aufkragen und daß wir in derselben Weise auch die Punkte der Kurven
y = cn w und y = dn w finden können.

Aber alle auf diese Art erhaltenen Konstruktionen werden ungenau
sein. Wir müssen noch einige Verbesserungen einführen. In meiner
erwähnten Abhandlung habe ich mit Hilfe der berühmten Eulerschen
Formel

b

/'

-?^2 «'(«») -f '(«)];

gezeigt, daß wir für genaue Konstruktion noch zwei Korrektionen

1.^ —

i,=

4n

r^__-l

'"■"[■ -»■*•■(';)]•

berücksichtigen müssen.

Ich habe dort auch gezeigt, daß man für k ^ 0,9 die Korrektion ^
Temachlässigen kann. Was aber die Korrektion |^ anbetrifft;, so sehen
wir, daß sie in der Form

ti = -£[secÖ-l]

ausgedrückt werden kann. Dieser Wert ist aber sehr leicht konstru-
ierbar wie folgt.

Aus dem Mittelpunkt C des Fundamentalkreises (Fig. 2) ziehen
wir eine Gerade parallel zur entsprechenden Schubstange bis zu dem
Schnittpunkte s dieser Geraden mit der durch den Punkt P geführten
Tangente. Dann haben wir:

Cs = sec

Ds = sec — 1 .

Der aus dem Punkte D mit dem Halbmesser D$ beschriebene und
dem Zentriwinkel — entsprechende Bogen st gibt also

(8) gl = st

Wir werden jetzt in einem konkreten Beispiele sehen, wie man
diese Korrektion in unsere Konstruktionen einführen kann.

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408 Graphische Berechnung der elliptiBchen Funktionen, mit einigen Anwendungen.

§ 5. Die Konstruktion der elliptisclien Funktionen y^snu; y^cnu

für Jfc - 0,9; n - 12.

Wir teilen den Quadranten des Fundamentalkreises (Fig. 2) in
12 Teile ein. Die aus den Teilpunkten des Quadranten mit dem Halb-
messer ^ =* 1. ==* -q" beschriebenen Kreisbögen geben auf dem Durch-
messer PC 12 Schnittpunkte, und auf den 12 durch diese Schnitt-
punkte und durch die entsprechenden Teilpunkte geführten Geraden
erhalten wir 12 Strecken du^, Su^ . . . dwi,; Wir tragen diese Strecken,
eine nach der anderen, auf einer durch den Anfang der Koordinaten
(Fig. 3) geführten Hilfsgeraden OL ab. Dann tragen wir die auf der Qt-

raden OL erhaltene Summe ^^ 8un auf der Abszissenachse vom An-

fangspunkte ab und subtrahieren davon die aus der Fig. 2 vorher-
bestimmte Korrektion 1^^^ st So erhalten wir 0K= K (Fig. 2), also

die halbe Periode, weil 9 =» — , oder der ganze Quadrant, dem die halbe
Periode K entspricht, ist auf diese Weise -^ =^ BjnK.

Wir mußten für jedes n der Summe ^ dUn eine solche Korrektion

n=l

vornehmen, aber die Geraden, welche die so auf der Abszissenachse er-
haltenen Teilpunkte mit den Teilpunkten auf der Geraden OL ver-
binden, sind praktisch einander parallel. Diese Bemerkung gibt eine
Vereinfachung unserer Konstruktionen: wir ziehen eine Gerade durch
die Punkte L und K und führen dann durch die Teilpunkte der OL
Geraden parallel zu KL, Aus den Schnittpunkten dieser Geraden mit
der Abszissenachse ziehen wir zu dieser Achse senkrechte Geraden und
erweitem unsere Konstruktion im Sinne der positiven und negativen u.
Wir haben so das Hauptgitter (Fig. 3) konstruiert.

Jetzt tragen wir auf den senkrechten Geraden des Hauptgitters,
die aus der Fig. 2 leicht zu findenden Strecken sin 9^, sin 9s9 - - - ^^ Vw
sin y 11, sin^io ... sing^j ... ab und verbinden die auf dem Haupt-
gitter erhaltenen Punkte miteinander durch Gerade. So bekommen wir
ein Polygon, welches angenähert die Kurve y = sn m darstellt.

Ebenso einfach konstruieren wir auf dem Hauptgitter die Kurve
y= cnw mit Hilfe der cosgpj, cosg^j . . ., welche man leicht aus der
Fig. 2 finden kann.

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Von N. Dblaünay. 409

§ 6. Die Konstruktion des elliptisclien Integrals.

Tragt man anf den senkrechten Geraden 1, 2, 3 ... des Haupt-
gitters die entsprechenden Längen dtp, 2d% 3Sg) . , , auf und verbindet
die so erhaltenen Punkte miteinander, so erhält man die Kurve

y = 9? = amw,
die wellenförmig in der Richtung der Geraden

aufsteigt.

Diese Kurve stellt das elliptische Integral erster Gattung dar, weil
seine Gleichung in die Form

J yx^lc* sin» (p

gebracht werden kann.

§ 7. Die Konstruktion der elliptischen Funktion P(u),

Für die mit den Perioden 2K und 2iK' konstruierte Funktion
P(ii) haben wir^) die Beziehung;

^(»)-s-^-i(*^+l)
welche für unsere Bezeichnungen die Form

P (w) = cosec V -!(**+ 1)
annimmt.

Wir finden leicht aus der Fig. 2 die Längen cosecgp^, cosec^j,
cosec 93 . . . und dann auch cosec* y^, cosec* 9?, .... Wir tragen die ge-
fundenen Längen cosec* y^, cosec* qp, ... im Hauptgitter auf (Fig. 3)
und subtrahieren von den erhaltenen Ordinaten eine und dieselbe leicht

k*
bestimmbare Länge —

die Punkte der Kurve

bestimmbare Länge — ~-. Dann erhalten wir auf dem Hauptgitter

y = P(«).

Die Zweige dieser Kurve wiederholen sich periodisch in den In-
tervallen: ... 2K:, 2K . . . AK . . ..

1) Appell et Lacour, loc. cit., p. 140.

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410 Graphische Berechnnng der elliptischen Funktionen, mit einigen Anwendungen.

§ 8. Die Konstruktion der elliptisclien Funktion V (u).
Für die Eonstraktion der Kurve y = P' (m) haben wir^) die Formel:

■n//x 2sntt-cnU'dntt 2cnu*dnii

p (m) = = = =

V / sn'u sn'i*

Die Länge , » cosec'g? haben wir schon in dem letzten Paragraphen

konstruiert. Wir multiplizieren — , durch cn ti, indem wir die Lange

, auf den entsprechenden Kurbeln (Fig. 2) auftragen und sie auf
den Durchmesser projizieren. Wir multiplizieren die gefundene Länge
, mit dnu\ indem wir sie auf der entsprechenden Schubstange auf-

cn u

sn'u

tragen und dann auf den Durchmesser CP projizieren. Endlich be-
kommen wir die Ordinaten der gesuchten Kurve, indem wir die ge-
fundene Länge - ,- — verdoppeln und im Hauptgitter auftragen.

Die erhaltene Kurve y = P' (w) ist in (Fig. 3) durch eine gestrichelte
Linie dargestellt. Die Ordinate dieser Kurve nimmt in jeder Periode
alle reellen Betrage von — oo bis + oo an, indem die den Abs-
zissen • • — 2jBr, 0, 2Ä, 4-2" . . . entsprechenden Ordinaten die Asymp-
toten dieser Kurve sind.

Die Anwendungen.

§ 9. Rotierendes Seil.

Das in zwei Punkten der Abszissenachse befestigte und um diese
Achse gleichförmig rotierende Seil nimmt*) die Gestalt einer Kurve

an. Unsere, in der Fig. 3 gezeichnete Kurve y == snu stellt ako die
Form des rotierenden Seils für 6* — a^ = 1; alz' ^Y^ dar. Wie diese
Kurve, kann auch das rotierende Seil aus vielen Wellen bestehen.

§ 10. Das einfache Pendel

Erster Fall. Das Pendel wird aus seiner unteren Gleichgewichts-
lage mit einer Anfangsgeschwindigkeit in Bewegung gebracht, welche
nicht ausreicht, um das Pendel bis in die obere Gleichgewichtslage zu

1) Appell et Lacour, loc. cit., p. 140.

2) Appell et Laconr, loc. cit., p. 191.

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Von N. Delaunay. 411

führen, so daß der größte Ablenkungswinkel des Pendels gleich a ist.
Dieselbe Bewegung nimmt das Pendel an, wenn es um den Winkel a
von der Lotrechten abgelenkt wird und sich dann unter dem Einfluß
der Schwere bewegt. Für diese Pendelbewegimg geben Appell und
Lacour (loc. cit., p. 181) die Gleichungen an:

(9)

A-« = sin»Q)

(10)

« = sn(.y;)

(11)

sin(|) = sin(|).sn(.|/f).

In diesen Formeln sind: l die Länge des Pendels, g die Be-
schleunigung der Schwere, t die Zeit, welche von dem Zeitpunkt eines
Durchganges des Pendels durch die untere Gleichgewichtslage gerechnet ist.

Wir werden nun eine solche Bewegung des Pendels für Z = (7,
also für
(12) sin(|)-Ä.snf

untersuchen. Dann werden wir für die halbe Schwingungsdauer die
Formel T^2K haben.

Wir können nunmehr an die Lösung folgender Aufgabe herantreten:

Alle Lagen, welche das Pendel nach gleichen Zeiträumen - ein-
nimmt, zu zeichnen, wenn /c = 0,9 ist.

Für li = 0,9, also für sin(|j = 0,9, haben wir schon das Haupt-
gitter in Fig. 3 fertig. Wir teilen die Abszisse -ff" in 8 gleiche Teile
und tragen in den gefundenen 8 Teilpunkten die Ordinaten der Kurve
y = snw auf. Wir finden so: snu^, snWj ... snw^ und snwg = sn JSr= 1.
Wir multiplizieren diese Ordinaten mit fc, indem wir sie in dem Ver-
hältnisse verkürzen. So haben wir, wie es in der Formel (12) an-
gedeutet ist, die Längen: sin( M, sinf^j--- mit welchen wir leicht
die Winkel: ^ , * • • • und dann durch Verdopplung die Winkel ö^, ög .. .

und also die gesuchten Lagen des Pendels (Fig. 4) konstruieren.

Es wird etwas bequemer sein, die Sinus nur für die Abszissen

IT . . JE" . .

M < X- , für die Abszissen m > ^ aber die Kosinus zu konstruieren,

weil für w > „ die Kosinus sich schneller ändern als die Sinus. Man
kann die Sinus auf dem horizontalen und die Kosinus auf dem ver-

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412 Graphische Berechnung der elliptischen Funktionen, mit einigen Anwendungen .

tikalen Halbmesser, wie es in Fig. 9 angedeutet ist, abtragen. Dann
ziehen wir durch die erhaltenen Punkte des Halbmessers die zum anderen
Halbmesser parallelen Geraden, welche den Ereis in den Enden der

n ß

Bogen -^ , 2* * ' ' schneiden. Die Verdopplung der diesen Bogen ent-
sprechenden Winkel gibt die gesuchten Lagen des Pendels.

Fig. 4.

¥ig. ö.

Fig. 13 stellt die yerschiedenen
Lagen des Pendels für die Zeitinter-
valle — , für a = o7 ö-lso ffir t = -^,

dar. Diese Figur ist natürlich mit Hilfe
eines anderen Hauptgitters gezeichnet.
Zweiter Fall. Das Pendel bekommt in seiner unteren Gleich-
gewichtslage einen Impuls, der ausreicht, um das Pendel über seine
obere Gleichgewichtslage zu werfen; dann wird das Pendel ganze Um-
drehungen um den Punkt in derselben Richtung ausfuhren. Für diesen
Fall finden wir bei Appell und Lacour (loc. cit., p. 183) die Gleichung

(13) 8m(|)-8n(A0.

Diese Gleichung, für A =» 1, gibt eine noch einfachere Konstruktion,
als in dem ersten Falle, weil wir hier nicht mit k zu multiplizieren

K

brauchen. Die Lagen, welche das Pendel in den Zeitinterrallen ^
k =« 0,9 einnimmt, sind in Fig. 11 gezeichnet.
Der dritte Fall ist in § 16 untersucht.

für

§ 11. Kettenlinie.
Die Gleichung der Kettenlinie ist:

y = 9 U + e V

(14) . 2
oder, wenn ä = 1 ist:

(15) y-Ke^ + c-«).

Man kann hier die Variable y einer Secans gleich setzen und man
erhält dann, wenn man

(16) y = sec gp

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Von N. Delacnay.

413

annimmt:
(17)

(18)
(19)

(20)

cosg? =

e« + c-

6" + e"

Sing? =

du => dg) ' sec^
J COB g?

Pig. 6.

Die Gleichungen (5) und (4) gehen in die Gleichungen (19) und
(20) über, falls = 9, also falls i = 1, d. h. wenn das Schubkurbel-
getriebe in ein gleich-
schenkliges Schub-
kurbelgetriebe über-
geht. DieFormeln(16)
und (19) fahren zur
folgenden Konstruk-
tion der Eettenlinie.

Wir teilen den
Quadranten des mit
dem Halbmesser 1 be-
schriebenen Funda-
mentalkreises (Fig. 6)
in n gleiche Teile.
Die aus den Teil-
punkten mit dem Halb-
messer 1 beschriebenen
Kreisbogen geben auf dem Durchmesser OH n Schnittpunkte. Auf den
n durch diese Schnittpunkte und die n Teilpunkte des Quadranten ge-
zogenen Geraden (Lagen der Schubstange) erhalten wir die Änderungen
dti^f du^ . . ., indem wir aus den Endpunkten p und p' der auf dem
Durchmesser abgetragenen Länge d(p zwei Lote auf diesem errichten,
welche die Änderungen du^^y du^ . . . aus den Lagen der Schubstange
ausschneiden. In Fig. 6 haben wir n =» 12 angenommen. Die Summe
^Su der aus Fig. 6 erhaltenen Strecken übertragen wir auf eine Hilfs-
gerade OL (Fig. 7). Wir ziehen durch C (Fig. 6) eine Gerade parallel
mit der letzten betrachteten Lage der Schubstange, z. B. mit der 10.,
bis an den Schnittpunkt s mit der in H' an den Fundamentalkreis ge-
legten Tangente. Die Gerade Os schneidet den Fundamentalkreis in einem

Punkt 2). Den, dem Winkel — -^ entsprechenden Bogen st des aus dem

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Pig. 7.

r

\

TTt

l

/

/

^^^^m^^".

414 Graphische Berechnung der elliptischen Funktionen, mit einigen Anwendungen.

Punkte D mit dem Halbmesser Ds beschriebenen Kreises snbstrabiereD wir^

als eine Korrektion von ^6u, und tri^en die Lange OP =^(Jw — st

auf der Abszissenaclise (Fig. 7)
auf. Dann ziehen wir durch
die Teilpunkte der Greraden
OL die zu LP parallelen
Geraden bis zu ihren Schnitt-
punkten mit der Abszissen-
achse^ und aus den auf der
Abszissenachse erhaltenen 10
Schnittpunkten ziehen wir
Ordinatenlinien, auf welchen
wir, wie die Formel (16)
lehrt, die Längen sec q>^,
sec 9^2 .. . sec ^^^^ auf kragen.
So erhalten wir 10 Punkte
der gesuchten Kettenlinie
und dann die 10 ihnen
in bezug anf die Ordinaten-

achse symmetrischen Punkte. Die Kettenlinie wird gezeichnet, indem

wir diese 20 Punkte miteinander verbinden.

§ 12. Ausartungen der elliptischen Funktionen bei h=-l.

Das Hauptgitter für die Kettenlinie, welche wir bei der Annahme
i = 1 konstruiert haben, kann natürlich dazu dienen, um die Ausar-
tungen der elliptischen Funktionen zu zeichnen. Diese Konstruktionen
werden wir in der (Fig. 8) vornehmen.

Die elliptische Sinuslinie y == snw artet hier in die Kurve

(21) « = " "

und die elliptische EosinuBÜnie y = cn m in die Kurre

(22) y
ans.

Die Kurve (21) hat die Gerade y = l, die Kurve [^) hat die
Abszissenachse zur Asymptote.

§ 13. Die Kurven y = e" und y = e"".

Aus (17) und (18) folgt:

(23) e" + e-« = 2sec9?

(24) e" — e-« «= sin9i2sec9 = 2tg9.

6^* + «-

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Von N. Delaunay. 415

Aus (23) und (24) haben wir:

(25) e" = sec gp + tg 9?

(26) e"~ " = sec 9 — tg (jp.

Man kann leicht die Längen sec q> und tg 9 aus Fig. 6 iSnden.
Wir werden die Kurve y = e" erhalten^ wenn wir auf den Ordinaten des
Hauptgitters (Fig. 8) die Summen sec^^ + *g9i5 secy, + tg^g ... auf-
tragen^ ebenso die Kurve y «= ß"", wenn wir die Differenzen sec 9^ — tg ^^j
sec 9?2 — tg qpj ... auftragen.

§ 14. Konstruktion der Kettenlinie in dem Falle, daß die Länge der

Kette und der Abstand zwischen ihren zwei auf einer Horizontalen

sich befindenden Endpunkten gegeben sind.

In § 11 haben wir eine Kettenlinie für gegebenes Ä, welches wir
als Längeneinheit betrachten; gezeichnet. Aber in technischen Auf-
gaben sind meistenteils die Länge s der Kette und der Abstand 2p
zwischen zwei auf einer Horizontalen sich befindenden Punkten ge-
geben. Betrachten wir nun, wie man die Kettenlinie bei solchen An-
gaben konstruieren kann.

Zu diesem Zwecke kon- ^^' ^

struieren wir von vorn-
herein das Hauptgitter
(Fig. 8) und die Kurven
y = 6" und y = e~". Dann
gibt uns die bekannte
Formel

s = -J(e»-e-)
die Größe h in der Form

(27)A=

2«

2g

e^ — c"

Man kann leicht den
Nenner der rechten Seite
dieser Gleichung mit Hilfe

der Kurven y «= e" und y^e~" finden. Wir werden dann aus (27)
die Länge h erhalten. Wir zeichnen mit Hilfe des mit dem Halb-
messer h beschriebenen Fundamentalkreises ein neues Gitter und folgen
dann der in § 11 gezeigten Konstruktion.

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416 Graphische Berechnung der elliptischen Funktionen, mit einigen Anwendungen .

§ 15. Die elastisclie Enrve.

Für die Konstroktion der elastischen Eurre haben wir den be-
rühmten Eirchhoffschen Satz:

Es gibt stets einen schweren starren, um einen festen Punkt rotierendeti
Körper, der dem (elastischen) Stabe in der Art entspricht^ daß die durch

den festen Funkt und

Fig. 10. '

den Schwerpunkt gehaxde
Linie immer der Tan-
gente des Stabes paraM
ist, wenn s = t ange-
nommen teird. (Eirch-
h ff, Vorlesungen über
mathematische Physik.
1877, S. 422).

Nach diesem Satze

entspricht der ebenen elastischen Kurve ein

ein&ches Pendel, und wenn bereits in den

Figuren 4, 9, 11 und 13 die verschiedenen Lagen gegeben sind, welche

das Pendel in aufeinander folgenden gleichen Zeiträumen einnimmt, so

brauchen wir nur das gleich-
^^ "• ^^- **• seitige Polygon zu zeichnen,

— ^ * f^ -O *. dessen Seiten parallel den ge-

zeichneten Pendellagen sind^
um eine angenäherte elastische
Eurve zu haben.

Für das Pendel Fig. 4
mit Ablenkungswinkel
a = 2 aresin (0,9)
erhalten wir die elastische Eurve Fig. 5, deren
Schleifen von beiden Seiten einer Geraden sich
ausbreiten und deren Wendepunkte auf dieser
Geraden liegen.
Dem Pendel Fig. 11, welches bei Je — 0,9 gauze Umdrehungen aus-
führt, entspricht die elastische Eurve Fig. 12 ohne Wendepunkte und
mit Schleifen, welche auf einer Seite einer Tangente liegen.

Dem Pendel Fig. 13 mit Ablenkungswinkel 90® und i- = — ent-
spricht die elastische Eurve Fig. 14.

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Von N. Delaünay.

417

Für k'

§ 16. Asymptotlsclies PendeL
1 haben wir nach den Formeln (9), (11), (17) vmd (18):

(28)
(29)

Bin

cos

(I)

2

Der Tatsache entsprechend, daß die Enrre y ~

«" — e

„ , _„8ichasymp-

totisch der Geraden ^ « 1 nähert, erheht sich das Pendel bei Je ^1
Ton der unteren Gleichgewichtslage und nähert sich immer mehr der
oberen Gleichgewichts-
lage, kommt aber in ^^' ^* ^^ i*-
diese letzte Lage erst
nach unendlich langer
Zeit (Fig. 9). Dieselbe
Bewegung wird nach
dem Durchgang durch
die untere Gleichge-
wichtslage ein Pendel
hervorbringen, wenn
man ihm aus der
oberen Gleichgewichts-
lage eine unendlich kleine Ablenkung gibt und
es dann unter der Wirkung der Schwere sich be-
wegen läßt.

Wir haben nur 21 Ton den unendlich yielen Lagen, welche ein
solches Pendel nach gleichen endlichen Zeiträumen einnimmt, in Fig. 9
gezeichnet.

§ 17. Die dem asymptotischen Pendel entsprechende elastische Kurve.
Diese Kurve (Fig. 10) hat nur eine Schleife und nähert sich asymp-
totisch der Geraden, welche der oberen Gleichgewichtslage entspricht.

§ 18. Die geodätischen Kurven auf einem Katenoid«
Für die geodätischen Linien auf dem Eatenoid

(30) r^^{e^ + e'^)

geben Appell und Lacour (loc. cit., p. 209) die Gleichung:
(31) r = — — -. — a= b ' cosec qp ,

^ ^ fln u flin m ^ '

27

an tt am 9

ZeiUohrift f. lUthematik a. Fhyiik. 68. Band. 1906. 4. Heft.

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418 Graph. Berechnmig d. ellipi Funkt., m. einigen Anwendungen. YonN. Dbi^uvat.

WO r und u Polarkoordinaten und b eine Eonstante sind. Zeichnen
wir nun die geodätisch^i Linien auf dem Katenoid

(32) r- 1(6* + «"*); Ä'-O^g.

Diese Gleichung gibt r i» 1 fiir jer » 0. Der Halbmesser des Eatenoids
ist also gleich 1. Wir zeichnen (Fig. 15) den Kreis , der die Ungen-
einheit als Radius hat^ und tragen auf diesem Kreis Tom Punkte Ä

Flg. 16.

nacheinander Bögengleich|0Z(Pig.3)auf. DerBogen-4JB=8(|0Z)=0Jr
wird gleich der halben Periode sein. Wir ziehen Halbmesser durch
die erhaltenen Teilpunkte des Kreises. Um die geodätische Linie for
6 » 1 zu zeichnen; übertragen wir auf den Halbmesser OA (Fig. 15)
die Strecken snu^, snu^ . . ., welche wir aus Fig. 3 bestimmen können.
Auf den Halbmesser OC (Fig. 15) übertragen wir die Strecken enu^,
cnuj ... Durch die auf dem Halbmesser OA erhaltenen Punkte ziehen
wir Geraden parallel dem Halbmesser OCy und durch die auf dem
Halbmesser 00 erhaltenen Punkte ziehen wir ebenso Geraden paralld
dem Halbmesser OA, Durch die Schnittpxmkte dieser Geraden mit
dem Kreise ziehen wir die Halbmesser, welche uns die den Argumenten

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Bäfiezion de la lumi^re siir Teau ^branl^e. Von F. Biskb. 419

^v ^y ^ entsprechenden Winkel y^, y^, ^s • • • göben. Wenn wir jetzt
aus Fig. 15 die Strecken cosec q>^ cosec q>^, cosec ^s * * • bestimmen und
sie auf den Halbmessern 1, 2, 3 . . . auftragen, so daß oa =» oa^
ob' ^ oh . . ., dann erhalten wir, der Gleichung (31) entsprechend, die
Punkte der gesuchten geodätischen Linie.

Um die geodätische Linie p'q' fQr ein anderes h zu zeichnen, muß
man dieselbe Konstruktion, nur vom Kreise mit dem Halbmesser h
ausgehend, durchführen.

§19.

Natürlich kann man alle dieser Abhandlung beigefügten Zeich-
nungen mit Hilfe der aus den Legendreschen Tafeln ausgerechneten
Längen, und yielleicht mit größerer Genauigkeit, ausfuhren. Doch
glaube ich, daß die hier gezeigte Methode schneller zum Ziele führen
wird. Man kann auch die elliptischen Funktionen je in eine trigono-
metrische Reihe entwickeln, sich mit den beiden ersten Gliedern dieser
Reihe begnügen und diese Glieder graphisch bestimmen. Ich glaube
aber, daß diese letzte Methode nur dann schneller als die in dieser Ab-
handlung gelehrte zum Ziele führen wird, wenn es sich nur um eine
einzige Funktion handelt, weil in letzterer nur die Konstruktion des
Hauptgitters etwas langwierig ist; wenn aber das Hauptgitter fertig
ist, so geht die Konstruktion außerordentlich schnell von statten.

Reflexion de la Inmiöre snr Tean öbranlöe.

Par F. BiSKE ä Strassbourg.

Etant donnes un point d^observation et un point lumineux au-des-
sus d'une surface d'eau, on obserre sur Teau absolument tranquille en
general im point de reflexion, tandis qu'avec quelque ebranlement de
Teau on obserre une surface de reflexion, qui augmente ä für et ä mesure
de Tebranlement.

Je me propose: Etant donnees les positions des points d'observa-
tion et lumineux au-dessus d'une plane surface d'eau, ainsi que l'angle
lequel atteignent en maximum les ^branlements de Teau, de determiner
la figure de la surface de reflexion, et inyersement des dimensions ob-
servees de cette figure de trouver l'angle maximal lequel atteignent les
ebranlements de Teau.

Soient (Fig. 1) ÄP=-h la hauteur d'un point Ä, BM-=H celle

27»

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420

Reflexion de la lumi^re sur Teau ^ranl^.

d*im autre point B, PM ^ d Ia distance de ces points sur la surface
de TeaU; on a pour Eq Felement reflechissant avec rebranlement ^o ^ ^

et pour E±, l'^ement arec l'^ranlement ± s, en diatances angnlaires
E^AE+. - ± « et E^BE+. = ± /»

±.-±•4-'.

parce que si Ton construit ä en £+« les rajons paralleles E^^Ä
et E^B il faut d'abord toumer Telement £+• de l'angle :J2 ö^ P^^^

faire coincider le premier rayon avec -E+.-4 et apr^s de l'angle ± «
pour faire coincider le deuxieme rayon avec JE+«JB*, enfin pour Telement

^ £.

>£

M*

Eq soient ^ PÄE^^ ^ MBE^ = i et äEq=- hseci =- a, BE^ = S^sect - b.
Dans ce cas on reyoit des triangles äEqE^^ et BE^E^^ Uequation

a sin a & sin |?

cos (f + a) "^ cos {% — ß)'

ou puisque /J — 2« — «,

6(co8tctga — sini) = a[costctg(26 — a) + sint],
ou

.— - .-7^-^ N = (a + 6) tg t

tg« tg(2fi — a) V -r y«6

et enfin

(1) [(a + 6)tgt-atg2f]tg«a-(H-a)(l+tgitg2£)tga + 6tg2£ = 0,

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Von F. BiflKK. 421

ou en resolyant par rapport ä s

(2) ctg2.^ ^-^-;t^* + "> ;

en fonction de /) on a en substitoant an lieu de a, b, + a, + e resp.

6> «, - A - «

(1') [{b + a)igi + htg2s]ig'ß + {a + b){l-tgitg2s)igß-atg2€-.0,

et

(2-) ctg2e- '"'^<^+^^<*-<^ .

De requation (1) resp. (1') on trouve pour rebranlement + € aussi que

— € deux yaleurs distinctes de a resp. /3 et inyersement de T^quation

(2) resp. (2') pour Tangle de vision + a aussi que — a resp. + /S et

— ß deux valeurs distinctes de €, dont les unes correspondent h la
reflexion reelle, comme pour Telement JS+, et jB_,, tandis que les
autres correspondent ä la Prolongation d'un des rayons.

A) d defini a) h, H definis a) Point d'obserration en Ä^ lumineux
en J? et A < JJ.

I) D^terminer la figure de la surface de reflexion.

1) Dans le plan BTM perpendiculaire ä la surface de Teau on
a de Tequation (1)

Si Tebranlement est £ =» 0, Telement reflechissant est visible en Tangle
a = 0,

si rfl)ranlement atteind 5^0, les elements reflechissants sont visibles
jusqu'ä a ^ 0,

si Tebranlement atteind £ » ± 90®, les elements reflechissants sont vi-
sibles jusqu'ä a == ± 90 — i.

2) Dans le plan BTM' de Tun ou de Tautre cote de la ligne
T Jf en Taugle azimutale donne MTM soient ^F J. FM et BM± FM
on a du triangle spherique en T

(3) ctg^P'P-ctgBJf' Jf = sinPTP'ctg^rP, oü tg^TP-— ^;

alors ÄP' - A' = Acosec^ P'P, BM' == JI' = -ffcosecJS-Sf Jf et P'Jf'
« d'« dsec Jfrjf'. L'^lement reflechissant E^ avec Tebranlement
minimum €Q^9(fi -- ÄP'P se trouve en Tangle P^AE^^i', deter-
mine analogiquement comme pour E^, Pour Telement E±t avec Tebran-
lement ± e soit ± e' Tangle entre la normale ä Telöment et ceUe ä.
P' M\ on a du triangle spherique en JE+,

(4) sin(90ö if: «') = sin(90ö if: e) • cosec^P'P.

Ces elements se trouvent en Tangle ± a determine comme pour E+,
de Tequation (1) en substituant les nouvelles valeurs a', &', i', ± «'.

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422 B^flexion de la lumi^re sur Teau ^ranl^e.

Parce qae «'<« il est anssi «'<«. Dans un plan avec J.P'P= 90®— «
ü est a = 0.

n) De la fignre de refiexion trouver Tangle maximom de l'ebran-
lement

1) Dans le plan BTM on trouve pour Tangle observe PÄE±,
— PÄEq -= ± a Tebranlement ± £ de Tequation (2).

2) Dans le plan BTM' soit Telement refiechissant observe en
Fangle azimutal JfPjB4:, -= y+, et en Tangle nadiral PJ.E+, = d+,.

D'abord on determine Tangle FTE'±. du triangle PTE±, par
r^quation

oü

PT-^et Pi;;. = Ätg(j;.;

anssi que Tangle AP'P par requatian (3).
AprfeSy parce que

E^M' ^ H'^ H^ EqM'

il est E^Eq ± P'M\ d'oü on determine

TjE; =- TEqCosEqTE'q, oü TEq =- JP+ Atgt.
Alors on determine du triangle PTE^

PE'^t _ PT« + TE'^^ - 2Pr . TE'^ cos P J-Bo,

d'oü

et

d'oü

\^PAK^iiS',^?^',

smTPE',^^^'BmPTE;,,

^oP^o = yo = i8(y>-TPi:^.

Enfin on determine du triangle spherique en Ä:

cosE^ÄE'^t — cos± «' =- cosd^ • cos*+e + BiRd^Brnd^t' coB (jy^ — y+t)-

De ± a' on trouve ± f' par Tequation (1) avec nouvelles valeurs a\
b', i\ ± a\ L'Aranlement de Telement jE+, est egal ä ± « trouve
par r^quation (4). Si Tibranlement est £ ^ 90® — ATP^ il existe im plan
BTM' n'ajant qu'un seul el^ment refiechissant E'^. Parce que les
Clements Eq, Eq . . . se trouvent sur un cercle decrit avec E^T
comme diam^tre, on peut calculer pour des valeurs successives de PTE^^

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Von F. BisKB. 423

les Yaleors correspondantes de y^ et d^ de ces valeurs afin de trouver
Moment E^ par robservation. Alors f = 90-^ P'P, ot ÄP'P on
dftermine de PTE^.

ß) Point d'observation en B, lumineux en Ä, H>h.

I) La figore de refiezion reste la mdme comme en a). On deter-
mine Tangle ß de requation (1') analogiquement comme en a).

II) L'^branlement s se trouve: 1) Dans le plan BTM de T^qu. (2').
2) Dans le plan BTM' analogiquement comme en a) en determinant
d'abord des donn^es d'observation ^C PME± . = i?f , et ^ MBE± , = g+ ,
du triangle PME±,:

ÄHg^;. = P^?. - ME'4. + cP-2ME'+. . dcosi?;.
et

siny;. - sinjfcfPjE;. « sini?;. • p^, oü jfi;;. - fftgs;..

Dans certains cas on peut aussi trouver par Fobserration relement E^,
en calculant pour valeurs saccessiyes de MTE^ des ralenrs TME'q =• %
et MBE'^ = 6^ du triangle TJWi;,':

fi»tg> So' = 3f£^» = Jf T» + TE^ -2MT- TE;,- coB MTE'^
et

nmrt',^smMTE',^,.

Alors on trouve £ comme en u).

y) Point d'observation en A^ lumineux en P, Ä =» fi

I) On determine la figure de reflexion: 1) Dans le plan BTM et

2) Dans un autre plan, donne ici par Tangle AP"Py comme en a).
n) L'fl)ranlement f se trouve: 1) Dans le plan BTM comme

en «) 2) Dans un autre plan avec P"W # PM et EEq±PM

aussi comme en a), en determinant d'abord des donnees d'observation

^ MPE'i. = /;. et ^ PÄE^.^ (j;.

i^oK-Atgd+.siny;.,
apres

tgy;-tgjifPK=.§J, Atg<r;=p<=.Pi;o-8ocy;

et

tg^P"P = ^,.

On peut ici aussi trouver Tel^ment Eq, en calculant pour des y^ les
Öq et enfin on determine € = 90® — ÄP"P ou AP"P comme ci-dessus.

b) Une hauteur ou toutes les deui = 0.

a) Point d'observation en P, lumineux en P, Ä =» 0.

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424 B^flezion de U Imniere rar Teaa ^bianl^.

I) Tronyer la figure de reflexion.

1) Dans le plan BPM on tronye de l'eqa. {!'), en sabstitoant
a-0

(5) (tgi + tg2£)tg«/l + (l-tgtig2e)%/l-0;

donc

tgft-O, i«A = -ctg(i + 2£), d'oü A = 0, /J,-:p90» + (f + 2f)

En comptant les angles /3 de la bgne BP avec tglf^P» tgi = ^^

on trouve:

Si FAranlement est £-»0, Telement r^flechissant est visible en l'angle ß^ ^0,

fli r^ranlement atteind c < H ö — ; l'element reflechiseant est visible

en Tangle /^ —

90 — 1

et si r^ranlement atteind e > — ^ — , Ffl^ment reflechissant est

yisible en l'angle ß^ -» 0,
si r^ranlement atteind £ > H ö — ; l^^ ä^ments reflecbissants soni

visibles jusqu'a ßf>0

90' -4- f
et si Tebranlement atteind €< ^^—^ les elements reflecbissants sont

yisibles jusqu'ä ft < 0,
si r^ranlement atteind £ -» ± 90^, les elements reflecbissants sont
visibles jnsqu'ä /S, — ± 90® + i,

2) Dans un plan .BP Jf' la recherche est identique, en determinant
premi^rement s' analogiquement comme en a) a).

Parce que e' <.€, il est aussi ß' <ß. Dans un plan avec BM'M
=-90®-£ ü est /S'-O.

U) L'ebranlement 6 on trouve 1) Dans Ip plan BPM de Fangle
donn^ ß de T^qu. (5)

^■" 2

Si Tel^ment r^flecbissant est yisible en Tangle ß ^=0, Tebranlement 6
peut 6tre de jusqu'ä — r — .

2) Dans un plan BPM' on determine d'abord Tangle ß' des
donnöes d'observation ^C PME±^ = ^±» et MBE±, =• 5±« du triangle
spb^rique en B par Tequation

cos/J' -= cos JfBP- cosgj-, + BmMBP * sing+, • cosi^+,,
aussi que ^MPE'^, du triangle MPE'^, par Tequ.

et d', H' comme en a) a).

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Von F. B18KB. 425

Apres on trouve ± e' comme ci-dessns avec la nouvelle valeur i\
L'ebranlement ± £ se trouve de ± £' comme en a) a),

Si £' ^ 90^ - BPM il y a un plan BPM' tangente ä la figure
de r^flexion avec nn element reflechissant P, mais la determination de
la direction de ce plan n'est pas exacte.

ß) Point d'observation en P, lumineni en J5, A =» 0.

I) La figure de r^fiexion reste la meme comme en a); on ne la
definit pas par Fangle constante a » 90^ — iy mais par la distance de
Tel^ment refl^chissante

PE±.^d-^mg(i^ß).

II) L^ebranlement ± e se trouve comme en a), en determinant ß,
si Ton connait PE^, par Tobservation, comme ci-dessus.

Dans certains cas on peut determiner Tangle MPE'+t du plan tan-
gente ä la figure de reflexion avec un element reflechissant P; alors
on trouve ± f' en substituant /3' « et enfin e, comme en a),

y) Point d'observations en Jf, lumineux en P, H^O^ A = 0.

1) Pour determiner la figure de reflexion: 1) Dans le plan vertical
on substitue % = 90«^ dans Tequ. (5); alors /Si = 0, ft «» if: 90 + (90® + 2 b),
Si r^branlement est £ » 0, les elements reflechissants sont visibles sur

toute la ligne MP,

si Tebranlement atteind £ ^ 0^ les elements reflechissants sont visibles
sur toute la ligne MPj et surtout en M et Py

si Vebranlement atteind £ = ± 90^, les elements reflechissants sont vi-
sibles sur toute la ligne MP, et surtout en Jf -|- 00, P — 00.

2) Dans le plan de la surface de Teau les elements reflechissants
sont visibles partout seulement si Tebranlement est £ = ± 90®.

II) n est possible de determiner seulement Tebranlement £ «= ± 90®
inversement de la figure de reflexion.

B) d = a) A, JJ definis; A ^ -ff, point d'observation en A^ lumi-
neux en B.

I) On determine la figure de refiexion identiquement dans tous
les plans passants par ^ et jB de Tequ. (1) en substituant i = 0, a^hy

(6) Atg2£tg«a + (fl'+A)tga- fftg2£«0.

Si rebranlement est £ » 0, Telement reflechissant est visible en Tangle
«- 0,

si Tebranlement atteind £ ^ 0; les Clements reflechissants sont visibles
jusqu*ä a ^ 0,

si rebranlement atteind £ »» ± 90®, les elements reflechissants sont vi-
sibles jusqu'ä a =» ± 90®.

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426 - Reflexion de la lomi^re snr Teau ^lanläe.

11) On trouve rfl)ranlement ± £ de Tequ. (2)

^Sf ^ h + H

b) üne hanteur ou toutes les deux » 0. a) Point d'obseryation
«n Äy lumineuz en P, JT « 0.

I) On trouve la figore de r^flexion de T^qn. (6)

tgai«-0, tga, = -ctg26,
d^oü

Si Tebranlement est £ » 0, Telement r^flechissant est visible en Fangle

si Tebranlement atteind € ^ ± 45^^ l'element refiechissant est visible

en l'angle « =» 0,
si Tebranlement atteind £ ^ ± 45^, les elements refleohissants sont vi-

sibles jusqu'ä a ^ 0,
si Tebranlement atteind £ » ± 90^, les elements r^flechissants sont yi-

sibles jusqu'ä a = ± 90®.

II) L'^branlement ± £ se trouve inversement de Tequation

Si a «= 0, Tebranlement € peut etre de 0*^ jusqu'ä ± 45®.

ß) Point d'observation en P, lumineux en -4, JT «= 0. I) La figure

de reflexion reste la meme; on la definit par la distance de l'element

refiechissant

Pi;+. = Atga.

11) L'ebranlement ± £ se trouve comme en a), si Ton connait
PJS+. par Tobservation.

y) Point d'observation en P, lumineux aussi en P, ä =» 0, JT == 0.

I) La figure de refiexion se determine de Tequation en a).

Si Tebranlement est s -=^ 0, Telement refiechissant est visible en P,
si Febranlement atteind e^O, Telement refiechissant est visible en P,
si Tebranlement atteind £ *» ± 90®, les elements refiechissants sont vi-
sibles sur les lignes P ± oo.

II) II est possible de trouver seulement Tebranlement £ = ± 90®.
C) d = oo a) Ä defini, JT^ oo; point d'observation en A^ lumineux

en Tangle zenital i, dans la direction QÄ,

I) Determiner la figure de refiexion. 1) Dans le plan normal on

trouve de Tequ. (1) en la divisant par b et faisant t^ = 0:
tgag«a-(l + tgttg2£)tga + tg2£=-0;

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Von F. BisKB. 427

donc

tg «1 «= tg 2« et tg Oj = ctg i, d'oü «1 = 2^, a^ =» ± 90^ — i.

Si rebranlement est £ » 0^ Telement r^flechissant est yisible en Tangle

«1-0,
si rebranlement atteind s ^ — - — , les elements refl^chissants sont vi-

sibles jusqu'ä a^^OO^ — i
et si rebranlement atteind « ^ -^ , les elements reflechissants

sont visibles jusqu'ä «^ ^ — (90^ + t),

_

~2~

900 ^

si rebranlement atteind s > — ^ — , les elements reflechissants sont

visibles jusqu'ä cc^ -= 90® — i

90® -4- 1
et si lebranlement atteind £ < ^— , les elements reflechissants sont

visibles jusqu'ä a^ = — (90® + i),
si rebranlement atteind £ =» ± 90®, les elements reflechissants sont
visibles jusqu'ä a^ =^± 90® — i.

2) Dans un plan quelconque ÄQP' Ia recherche est identique, en
determinant premiärement i' et e' comme en A) a).

II) L'ebranlement ± £ se trouve: 1) Dans le plan normal de Tangle
observe « par Teqn.

±a
2-

Si les elements reflechissants sont visibles en Tangle « = 90® — i

2~

9Q0 ^

QU a = — (90® + i), rebranlement £ peut etre de — r — jusqu'ä + 90®

ou de ^^ jusqn'ä — 90®.

2) Dans un plan quelconque AQP\ ou tangente ä la figure de
reflexioU; la recherche est identique, en determinant premiörement a
et finalement £ comme en A) a).

Les cas particuliers i = 90® et i = 0® peuvent 6tre consideres par
la meme recherche.

b) Ä = 0, JT« oo; point d'observation en Q, lumineux en Fangle
zenital t.

I) Determiner la figure de reflexion: 1) Dans le plan normal on
a comme en a)

«1 = 2£, a, =. ± 90® - f.

Si rebranlement est £ » 0, l'eiement reflechissant est visible en Q,

9qo i'

si rebranlement atteind e < — ^ — ; Teiement reflechissant est visible en Q

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428 über die dichteste Lagenmg gleicher Kreise in einem Kreise.

90* -4- %

et si rebranlement atteind c > ^ , Telement reflechiBsant est yi-

sible en Q,

900 ^

si rebranlement atteind a ^ — - — , les elements reflechissants sont yi-

sibles sur toute la ligne Q + cx>

et si rebranlement atteind s"^ ^^ , les elements reflechissants sont

visibles sur toute la ligne ^ — oo,
si rebranlement atteind c »« ± 90^^ les elements refleclüssants sont yi-
sibles sur toute la ligne Q± oo.

2) Dans un plan quelconque ÄQP' la recherche est identique, en
determinant premierement i' et a' comme en A) a).

II) Pour trouver Tebranlement ± £ on a: 1) Dans le plan normal

900 i"

il est possible de determiner seulement Tebranlement a » — ^ — et

900 _L f' .

f s=» ^^ inversement de la figure de refiexion.

2) Dans le plan ÄQP' limitant la figure de reflerion on trouve
a' de i' comme ci-dessus, en determinant premierement i' et finalement
a comme en A) a). Les cas particuliers i = 0® et i = 90® peuvent etre
aussi consid^res par la meme recherche.

n semble qu'il serait possible au bord de la mer dans certains
cas par Fobseryation de la figure de reflexioU; proyenant d'une source
de lumiere^ teile qu'une lanteme marine eloignee, ou immediatement'
prochc; ou aussi du soleil et dW autre astre^ de trouyer le degre
d'ebranlement des ondes en pleine mer, et d'ajouter par cela un element,
interessant pour la Nayigation, aux autres, donnes par les obseryations
en Meteorologie.

Odessa 1902.

Über die dichteste Lagerung gleicher Kreise in
einem Kreise.

Von Otto Biermann in Brunn.

Den Anlaß zu folgenden Erörtenmgen hat die Frage gegeben,
welcher Raum yon regelmäßig yerteilten Poren eingenommen wird.^)

Es sei die Aufgabe gestellt, in einem endlichen kreisförmigen Be-
reich B eine bestimmte vorgegebene Anzahl n (n > 2) gleichgroßer
Ereisfiächen so zu legen^ daß sie einander berühren^ aber die Be-

1) Vgl. Darapsky, Über die Enteisennng von Grondwasser, Leipzig 1906.

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Von Otto Bikbicann. 429

grenzung keiner Fläche die einer anderen oder die Begrenzung von B
schneidet und so daß ein möglichst kleiner Teil von B unbedeckt bleibt.
Der Bereich B sei die Kreisfläche vom Radius R und durch den
Mittelpunkt lege man zwei rechtwinklige Koordinatenachsen, eine x-
iind y-Achse, so daß die Gleichung der Begrenzung von B heißt:

x^ + y^^ R\

Legt man femer um einen beliebigen Punkt (p^, q^) des Bereiches B,
so daß i>i + sf < -K^ ist; einen Kreis r, doch so, daß auch

ist, und wählt auf diesem einen Punkt (a^, a'{), so ist

(Pi-oi)*+(2i-»i')*-»^-0-

Macht man aber den Punkt (a^ a^ zum Berührungspunkt des um
(Pi) 9i) gelegten Kreises r und eines gleichgroßen zweiten Kreises um
die Stelle (p„ jg); deren Koordinaten wieder die Beziehung erfüllen
sollen

Pl + ül<(R-ry,
so ist auch

und die Subtraktion der letzten von der drittletzten Gleichung liefert:

(ft -i>i)(2a; -Ä -i>i) + (ft - 2i)(2a;' - j, - q,) = 0.
Hier schließt man, daß jedesmal, wenn

ist, auch

2ai' = gi + ft

gelten müsse, weil der Berührungspunkt der beiden Kreise in die Mitte
ihrer Zentren fällt.

In der Tat, wäre nämlich 3^2 — 3i = 0, so müßte der Berührungs-
punkt der beiden Kreise die Ordinate

haben, und es wäre auch jetzt

2ar-ffi-ft = 0,
was behauptet war.

Zugleich mit p^ « p^ ist auch

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430 Über die dichteste Lagemng gleicher Kreise in einem Kreise.

und danach besteht entsprechend dem Vorkommen des Beröhrangs-
punktes (ai, ai) außer den früheren zwei Gleichungen noch die dritte

2ai— A— A = 0.

Machen wir auf dem zweiten Ej-eise um (p^, q^) eine Stelle
(aif ai) zum Berührungspunkt dieses Kreises und eines dritten r um
die Stelle {p^, q^), deren Koordinaten die Bedingung erfüllen

SO findet diese Aussage wieder in dem Bestände der folgenden drei
Gleichungen ihren Ausdruck:

(«.'-A)' + (ai'-2,)'-'^-0,
(ai-A)» + (a?-3,)'-r»-0,

So gehen wir (n — l)-mal weiter and schließlich lassen wir entsprechend
der Minimumsaofgabe einen Eovis r, dessen Mittelpunktskoordinaten
Pt,} in ^^ Bedingung erfOllen

pl + ^n^iB-ry,

mit dem ersten Bereise um (pi, gj an der Stelle (a«, a^ in Berührung
treten^ setzen also die drei Gleichungen fest:

(«i-pJ' + («»-?.)'-r«-.0,
(«;-P,)' + («'»-«i)*-r»-0,

^a'n-Pn-Pl-0;

und so haben wir, was rascher auszusagen gewesen wäre, 3n Glei-
chungen und n Forderungen

pl + ql£{B--ry, (.=M......)

deren erste den Bestand der Ungleichung

pl + ql<R'

mit sich bringt, so daß diese nicht besonders genannt werden muß.

Nun wähle man den von den Mittelpunktskoordinaten und denen
der Berührungspunkte der Kreise abhängig zu setzenden Radius r
derart, daß

B^x — nr^x
ein Minimum wird.

Zur Behandlung dieser Aufgabe ist nun aber noch abzuzählen,
wie viel Bedingungen au die 3 n die n Ej-eise bestimmenden Stücke zu

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Von Otto Biebmamn. 431

knüpfen sind, damit jeder Kreis mindestens zwei andere berühre, aber
keiner einen anderen schneide und dem Bereiche B angehöre.

Wenn man beachtet, daß ein £jreis höchstens von sechs ihm
gleichen einander nur berührenden Kreisen berührt werden kann, so
ist die letzte Aufgabe einfach zu erledigen, sobald man die Anzahl
der in den Bereich B zu legenden Kreise in der besonderen Form
wählt:

n=l + 1.6 + 2.6 + h(v— 1)6 = 1+ 3i/(v — 1).

Denn nun kann man die n gleichen Ej-eise so anordnen, daß jeder,
abgesehen von den äußersten, von sechsen umgeben wird, keiner einen
anderen oder den Kreis R schneidet, wenn der erste und diejenigen
sechs, deren Mittelpunkte von dem des ersten gleich weit und am
weitesten entfernt sind,
innerhalb B liegen oder
die Begrenzung von B
nur berühren.

In der Tat (siehe
Figur) kann man zunächst
einen ersten Kreis mit
einem noch unbestimmt
gelassenen Radius r um
die innerhalb B befind-
liche Stelle (pi, gj) mit
sechs gleichen und unter-
einander in Berühnmg
stehenden Kreisen um-
geben. Dazu sind 3 • 6
Bedingungen erforderlich.

Soll femer jeder dieser sechs Ej-eise von je sechs gleichen einander
berührenden umgeben werden, so hat man auf den Seiten eines um
die früheren 1+6 Kreiae gelegten regelmäßigen Sechseckes, dessen
Seiten den Verbindungslinien der Mittelpunkte aufeinander folgender
der letzten sechs Kreise parallel sind, zweimal sechs Kreise r so anzu-
bringen, daß sechs je zwei und sechs je einen der letzten sechs Kreise
berühren. Hierzu sind 3-2-6 neue Bedingungen zu erfüllen.

Man kann sie so treffen, daß jeder von den den ersten Kreis be-
rührenden sechsen von sechs Ej-eisen umgeben wird, unter den neuen
Ejreisen nur einander berührende vorkommen und kein neuer Kreis
und um so weniger ein früherer den £jreis R schneidet, wenn der
Mittelpunkt (pj, q^) des ersten Kreises und wenn die Mittelpunkte der

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432 tJhei die dichteste Lagerang gleicher Kreise in einem Exeise.

sechs von (p^, q^) gleich weiten und entferntesten Kreise dem Bereich
angehören, wo

3^ + y'^iR-ry

ist.

Damit ebenso jeder der (v — 2)6 Kreise, deren Mittelpunkte
auf den früheren Sechseckseiten parallelen Seiten eines (v — 2)ten
regelmäßigen Sechseckes liegen, von je sechs E^reisen umgeben werde,
hat man noch 3 (i^ — 2) 6 neue Bedingungen gelten zu lassen. Und
man sieht, daß die 6(1/ — 1) Kreise, deren Mittelpunkte auf dem
äußersten (v — l)sten Sechsecke liegen, und gar keiner der n Kreise
den Kreis R schneidet, wenn die sechs Kreise, deren Mittelpunkte
gleiche und die größten Entfernungen von der Stelle (p^, q^) besitzen,
dem Bereiche B angehören oder die Begrenzung nur berühren.

Man hat also

l + 6 + 3.6.(l+2 + ... + v-2) = l + 6 + 9(v- l)(i; - 2)

an die Koordinaten der Mittelpunkte und der Berührungspunkte zu
knüpfende Fordenmgen und hat

3w = 3 + 9v(v - 1)

die n Kreise bestimmende Konstante. Doch weil die zweite Zahl
größer ist als die erste, wenn, was wir yoraussetzen, v > 1 ist, d. h.
weil nicht zu yiele Forderungen gestellt sind, so kann man wirklich n
gleiche Kreise den Forderungen entsprechend anbringen und hat die
Möglichkeit die Lagrangesche Vorschrift zur Ermittelung des Mini-
mums von

anzuwenden, wo zu bemerken ist, daß die Rechnung zur Bildung eines
extremen Wertes einer Funktion jetzt, wo Ungleichungen statt, wie in
dem Falle von Lagrange, Gleichungen als Nebenbedingungen vorge-
geben sind, gerade so durchzuführen ist, denn die Differentiation der
Ungleichungen liefert Beziehungen, wie sie anschließend an Gleichungen
in dem Lagrangeschen Schema vorkommen.

Beachtet man endlich, daß von einer Kreisfläche R durch sieben gleiche
eingeschriebene ICreisfiächen dann am meisten bedeckt wird, wenn
sechs derselben die siebente um den Mittelpunkt des Kreises B um-
geben und die Begrenzung des letzten von innen berühren, so daß

der Radius jeder der sieben Kreisflächen -r- ist, so wird man im all-
gemeinen Falle die Stelle (p^, q^) in den Mittelpunkt des Kreises B
legen und

i? = (1 + 2 (v - l))r - (2 V - l)r

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Von Otto Bibbxakn.

433

Betzeii; also weil
ist^

r —

2^ — 1 y4n — 1

Drei einander berührende unserer gleichen Kreise r, deren Mittel-
punkte in den Ecken eines gleichseitigen Dreieckes von der Seitenlänge
2V liegen^ umschließen einen Zwickel von der Größe

und von den n Kreisen werden

6[1 + (2 . 1 + 1) + • . . + ((v - 2) . 2 + 1)] = 6(1; - 1)»

Zwickel umschlossen.

Endlich die Größe des unseren n Kreisen umschriebenen regel-
mäßigen Sechseckes wird, wenn die vom Mittelpunkte (p^, q^) entfern-
testen Punkte die Entfernung d besitzen,

Nunmehr lassen wir v unendlich werden und suchen das Verhältnis
der von den unendlich vielen einander berührenden gleichen Kreis-
flächen r bedeckten Fläche zu der unendlichen Ebene, die wir aus dem
den n Kreisen umschriebenen regelmäßigen Sechsecke hervorgehen lassen.

Dieses Verhältnis wird, weil d = JR zu setzen ist:

41/3 jf2«

4

11/3,

also näherungsweise 7852 : 8660 = 0,90, und eben dieses Verhältnis
findet man in der Arbeit von Minkowski über die dichteste gitter-
formige Lagerung kongruenter Körper, denn in unserem Falle der dich-
testen Lagerung von gleichen Kreisen in der Ebene bilden die Mittel-
punkte ein parallelogrammatisches Punktsystem.^)

Es ließe sich nun auch eine unserer Forderung entsprechende An-
ordnung von n Kreisen geben, wenn n= l + 3v{v — 1) + fi ist, wo
^ eine von null verschiedene ganze Zahl bedeutet. Doch in diesem
Falle wird die Stelle (p^, q^) nicht in den Mittelpunkt des Bereiches
JB zu legen sein, und femer ist die Lösung darum nicht bestimmt, weil

1) Göttinger Nachrichten 1904, S. 331.
Zeitochrift f. Mathematik n. Phyiik. 63. Band. 1906. 4. Heft.

28

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434 Das Potential einer leitenden Ereisscheibe.

alle gegenüber den verschiedenen Seiten des Sechseckes symmetrischen
Lösungen gleichberechtigt sind.

Die Drehung um den Mittelpunkt des Kreises 22 ist jetzt wie
im früheren Falle gestattet.

Es wäre femer auch naheliegend, das Verhältnis des von gleichen
einander berührenden Kugeln umschlossenen Baumes, in dem zwölf
Kugeln um jede einzelne gelegt werden können, zu dem unendlichen
Räume zu suchen. Doch man findet in der genannten Arbeit dieses

Verhältnis gleich

n 1

d. i. näherun^weise 6235 : 7071 « 0.88.

Diese Angabe ist wegen der eingangs erwähnten Frage nach dem
Räume, der von regelmäßig verteilten Poren eingenommen wird, von
Bedeutung.

Das Potential einer leitenden Kreisscheibe^).

Von R. Gans in Tübingen.

Um das Potential einer leitenden, elektrisch geladenen Kreisscheibe
zu bestimmen, kann man zwei verschiedene Wege einschlagen:

1. Man bestimme das Potential eines abgeplatteten Rotationsellip-
soids und lasse die Rotationsachse unendlich klein werden. Zu diesem
Zwecke führe man die krummlinigen Koordinaten ein

X = a]/<y* + 1 )/l — |ü^ cos q>
(1) y = a)/<y» +1 yi — iL^ sin (p

6 läuft von bis cx>, ^ von — 1 bis + 1, <p von bis 2x.
ö = const ist eine Schar konfokaler Rotationsellipsoide mit der Exzen-
trizität a, [i == const. ist die hierzu orthogonale Schar konfokaler Rota-
tionshyperboloide, (p = const die Schai* der Meridianebenen.

Führt man ö, [i, q> als unabhängige Variable in die Laplacesche

1) Gelegentlich der Besprechung der früheren Arbeit des Herrn Gans
(Zeitflchr. f. Math. u. Physik, Bd. 49, S. 298) in den Fortschritten der Mathematik
hatte Herr Wanger in die Richtigkeit eines dort abgeleiteten Resultats beanstandet.
Wie Herr Wangerin der Redaktion mitteilt^ beruht diese Beanstandung auf
einem Versehn. Herr Wangerin hat sich inzwischen auf einem von der Gans-
sehen Ableitung ganz yerschiedenen Wege von der Richtigkeit jenes R«8ultatä
überzeugt. Die Redaktion.

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Von R. Gans. 436

Gleichung ein, berücksichtigt^ daß das Potential V aus Symmetriegründen
Yon (p unabhängig ist und benutzt die Methode der Partikularlösungen,
so ergibt sich, daß V die Form haben muß

(2) V~^Ä,P,(f.)Q,(ia).

n=0

Hier bedeutet P„ (ft) die Eugelfunktion erster Art n. Ordnung vom
Argument /t, Q^ (iö) die Kugelfimktion zweiter Art n. Ordnung vom
Ai^ument iö. Die Abhängigkeit von c muß durch die Kugelfunktion
zweiter Art ausgedrückt werden, damit V im Unendlichen verschwindet
wie \jR.

Da nun V auf der leitenden Oberfläche, d. h. für a ^ 6^ nicht mehr
von /[* abhängen soll, so müssen alle ^^ =» sein außer A^. Es ist
aber P^W" 1? i§o(^^) ^ 2arcctg<y, wo arcctg<y < ;r/2^), also ist

(3) F=2^o*arcctg<y.

Für ^ = oo folgt 6 = m/a, arc ctg 6 = afR, wenn R den Abstand
vom Koordinatenursprung bedeutet. Ist die Ladung M auf der Scheibe,

so wird F = -^ im Unendlichen, also muß

(4) 2Ai-f
sein. Damit folgt aus (3)

(5) F=» — arcctg<y .

Aus (1) drückt sich 6 durch z und r* = a;* + y^ aus, und wir haben

(6) F«~arcctgK-^2^r- +y(-^^^^ +5^<ä2>

wo beide Wurzeln mit dem + Zeichen verstanden sind.

Diese Formel gab ich gelegentlich bei der Untersuchung einer
Frage über Nobilische Farbenringe*) an und stellte sie einem Aus-
druck gegenüber, der von H. Weber") abgeleitet worden ist. Man findet
ihn folgendermaßen:

2. Man gehe direkt von der Kreisscheibe vom Radius a aus, fähre
Zylinderkoordinaten r, jer, 9? in die Gleichung z/ F = ein und berück-
sichtige, daß F von qp unabhängig ist. Dann erhält man

00

(7) F=y*f(«)e— Ji(ar)rfa.

1) cf. z. B. E. Heine, Theorie der Engelfunktionen. 2. Anfl. 1878 Bd. 1, S. 162.

2) R. Gang, Zeitschr. f. Math. u. Phya. 49 (1903) S. 298, Formel (22).

8) H. Weber , FartieUe Differentialgleichungen d. math.Phys.Bd. 1, (1900)8. 329.

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436 I^&B Potential einer leitenden Ereisscheibe.

J^iar) bedeutet die BesBelsche Funktion erster Art 0. Ordnung
vom Argument ar. f (a) da entspricht dem A^ in (2). Da den Werten
von a keine Beschränkung auferlegt ist, wird die Summation eine Inte-
gration von bis cx>, wahrend in (2) n aus Stetigkeitsgründen eine
ganze Zahl sein mußte.

f (a) muß so bestimmt werden, daß V konstant ist f ür isr = und
r <ia, Daa laßt sich bewerkstelligen mit Hilfe eines von H. Weber*)
abgeleiteten bestimmten Integrals. Es zeigt sich, daß

(8) f(a)-?-!!^
sein muß.

Es folgt also

(9) r-f/-"5^J.(«r)d«.

Es fragt sich nun, wie man die Identität Ton (6) und (9) nach-
weisen kann. Das soll im folgenden ausgeführt werden.

3. Ersetzt man in dem Ausdruck 1 e''"'jQ(ccr)da Jo(ccr) durch

Ü

das bestimmte Integral

Tt

(10) J^(ar) = ^ /V'«'-<^«-«d(ö

und vertauscht die Integrationsfolge, so ergibt sich*)

00 7t 00 Jt

(11) fe-f^JJ^r^da-- fdm r^«(P+"-~'«')da)=- f — — -A^.

Multiplizieren wir die Gleichung

OD

(11) j;-J-„(«r)d« = ^^

beiderseits mit dp und integrieren von bis p, so haben wir, wenn
wir links die Integrationsfolge vertauschen,

00 00 00

(12) /da Jo (ar) Je-'« dp = -f^ J, («r) da +f^' '■^ da

Ö

1) H. Weber 1. c. p. 187ff.

2) vgl. H. Weber 1. c. p. 186.

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^ Von R. Gans. 437

and rechts

/ dp

^ VP+r'

(13) /;7^=^°^ '"^^f'^'' -

Setzen wir p = e + ai, so folgt durch G^leichsetzuag von (12)
und (13)

00

(14) -Je-i'^'"^''J,iar)d<,+f^^da^lg'-±^i±^^^^^^.

Der imaginäre Teil links ist das in (9) vorkommende Integral
Rechts nennen wir die komplexe Zahl unter dem {^Zeichen u + vi]

dann ist der imaginäre Teil arc ctg - .

Wir setzen

d.h.

(15) ^a + r«_a« = ^2-Ä»

(16) az=^gh,
also

(17) 9 ^yi±ri=.'^.+y(^-i±iL=^y+a^^ .

JJ-QJI^ lo4" 91 — » _I_? iin/l 41 -^^ JL

ist u = -^^ und V = ' wegen (14), also
wegen (16), d. h. der imaginäre Teil der rechten Seite von (14) ist

arc

Damit ist die Identität von (6) und (9) erwiesen.
Tübingen, Physikal. Institut 28. März 1906.

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438 Kleinere Mitteilungen. — Bücherschau.

Kleinere Hitteilnngen.

Preisanfgaben ans der angewandten Mathematik nnd Physik 1907.

Academie Eoyale de Belgique. 1. On peut assimiler an phenomene
de la däiquescence proprem ent dite divers phenomenes d'absorption de gaz
ou de vapeurs par des solides ou des liquides, tels que Tabsorption da gaz
sulfureux SO^ par le camphre et Facetone, du gaz ammoniac NH^ par
divers sels ammoniacaux, snrtout le nitrate, du gaz chlore par le trichlorure
d'antimoine, etc., etc. On demande de completer nos connaissances snr les
faits de ce genre par de nouvelles recherches methodiquement instituees. —
Preis 1000 Frs.

2. (Wiederholt aus dem J. 1905.) Trouver, en hauteur et en azimnt,
les expressions des termes principaux des deviations periodiques de la verti-
cale, dans Thypothese de la non-coincidence des centres de gravite de l'ecorce
et du nojau terrestres. — Preis (erhöht) 800 Frs.

3. On demande de nouvelles recherches sur le siege de la pression
osmotique. — Preis 600 Frs.

Die Arbeiten dürfen noch nicht veröffentlicht und müssen leserlich
geschrieben sein. Sie können in französischer, flämischer oder lateinischer
Sprache abgefaßt sein. Sie sind vor dem 1. August 1907 an den stftndigen
Sekretär der Akademie in Brüssel (a M. le Secretaire perpetuel, au Palais
des Academies, Bruxelles) einzusenden.

Aoskonft
auf die Anfrage im laufenden Bd. dieser Zeitschrift, S. 287.

V. B., B. Die Verwaltung der Bibliothek der Marineakademie und
-Schule in Kiel teilt uns mit, daß die Tafeln der natürlichen LogarUhmtn
von Dase, Wien 1850, dort vorhanden sind und leihweise entnommen
werden können. Femer schreibt uns Herr Dr. H. Clemens in Berlin-
Friedenau, daß die Annalen der k. k. Sternwarte in Wien, -aus deren
34. Teü (14. Bd. Heft 1 der 2. Reihe, 1851) die fraglichen Tafeln abgedruckt
sind, sich auf jeder Sternwarte befinden.

Büchersclian.

W. Foerster^ Astrometrie oder die Lehre von der Ortsbestimmimg
im Himmelsrauine zugleioh als Grundlage aller Zeit- und Baum-
messung. Erstes Heft: Die Sphärik und die Koordinatensysteme, sowie
die Bezeichnungen und die sphärischen Koordinatenmessnngen. 8^. 160 S.
Berlin, 6. Eeimer 1905.

Das Vorwort dieser Schrift definiert die Astrometrie (neben Astro-
mechanik und Astrophysik) „als Lehre von der Ortsbestimmung im Himmels-
räume oder von den Maßbestimmungen der makrokosmischen Konfigurationen

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Bücherschau. — Neue Bücher. 439

und ihrer Yerändemiigen"; sie „hat zugleich die Aufgabe, solche Konfigurations-
Änderungen oder -bewegungen, welche durch die besondere Einfachheit und
Stetigkeit ihres Verlaufs sich zum Grundmaße aller anderen Bewegungs-
erscheinungen eignen, aufzusuchen, zu erforschen und für die Maßbestimmung
aller Bewegungen zu verwerten". Es lag nicht in des Verfassers Absicht,
ein neues Lehrbuch der sphärischen Astronomie zu schreiben, er wollte
vielmehr in „kritischem und erkenntnistheoretischem Sinne die ganze Auf-
gabe behandeln, indem auf Vollständigkeit im einzelnen und besonders in
den numerischen Angaben" verzichtet wurde.

Neben dem didaktischen Zweck, den das Buch in meist neuartiger
Weise verfolgt, bietet es weiter zahlreiche Betrachtungen und Entwickelungen,
die von denen der gebräuchlichen Lehrbücher abweichen.

Ein erster Abschnitt von 15 Seiten Umfang behandelt unter der Über-
schrift „die Sphärik" wesentlich die Grundzüge der Winkelmessung und die
Bedeutung der sphärischen Trigonometrie. Der zweite kürzeste Abschnitt
— er nimmt nur öVj Seiten ein — skizziert die sphärischen Koordinaten-
systeme und die in ihnen geltenden Bezeichnungen. Der dritte und letzte
Abschnitt ist mit 130 Seiten zugleich der längste; er lehrt die sphärischen
Koordinatenmessimgen und beschäftigt sich der Hauptsache nach mit dem,
was man sonst wohl als Theorie der Instrumente zu bezeichnen pflegt. Be-
sondere Auftnerksamkeit verdient hier eine Methode der Konstruktion von
Tafeln zur leichteren Ermittelung der Zenitdistanz eines Gestirns. Der
Vorschlag läuft darauf hinaus, bei gegebener Polhöhe die Zenitdistanzen fOr
die festen („singulären") Azimute, Stundenwinkel oder parallaktischen Winkel
0®, + 45®, + 90® nach einfach gebauten "Formeln zu berechnen und dann
den Übergang von diesen Wertgruppen auf irgend einen Punkt der Sphäre
durch eine Art von Differenzformel zu bewerkstelligen. Es wäre wohl
einer Diskussion wert, ob dieser Plan etwa zum Entwurf der bisher ohne
rechten Erfolg angestrebten nautischen Höhentafel sich verwenden ließe,
d. h. einer Tafel, die für beliebige Werte von geographischer Breite des
Beobachtungsortes, Stundenwinkel und Deklination des Gestirns die Zenit-
distanz des Gestirns bequemer und ebenso sicher liefert, wie dies vierstellige
logarithmische Eechnung vermag. —

In einem nächsten Hefte wird Herr Foerster sich mit den durch Prä-
zession, Nutation, Aberration, Parallaxe und Refraktion hervorgerufenen
Koordinatenänderungen beschäftigen.

Straßburg i. E. C. W. Wirtz.

Nene Bttcher.

Arithmetik und Analysis.

Ahbenb, Kicb., Die Aasgleichtingsrechnung nach der Methode der kleinsten
Quadrate und ihre spezielle Anwendung auf die Geodäsie, nebst e. Anh. v. Bei-
spielen. Leipzig, Göschen. M. 2.

I Bronzim, Yinzenz, Lehrbuch der politischen Arithmetik. Wien und Leipzig,
Deuticke. E. 2.50; geb. K. 8.

I Fassbindkr, Cu., Theorie et pratique des approximations numäriques. Paris,
Gauthier-Villars.

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440 Neue Bücher.

4« Ebüger, L., Zar Aasgleichaog der Widersprüche in den Winkelbedingongs-
gleichnngen trigonometrischer Netze. (Yeröffentlichmig des K preußischen
geodät. Instituts, neue Folge Nr. 26.) Potsdam (Leipzig, Teabner). M. 2.80.

5. Maudebli, Siom., Die Interpolation und ihre Verwendung bei der Benutzung
und Herstellung mathematischer Tabellen. Solothum, Lüthy. M. 3.60.

6« MöLLXB, Max, Die abgekürzte Dezimalbmcbrechnung. Ein Beitrag. Wien,
Holder. M. —90.

Astronomie lud Geodäsie.

7. Enzyklopädie der mathem. Wissenschaften. VI. Bd., 1. Tl. Geodäsie und
Geophysik. Red. v. Ph. Furtwängler und E. Wiechert. 1. Heft. Leipzig,
Teubner. M. S 40.

8« Gauss, F. G. Trigonometrische und polygonometrische Bechnungen in der Feld-
mefikunst. 3. Aufl., 2. u. 3. Heft. Halle, Strien. Je M. 3.50.

9« Elauseb und Lahn, Lehrbuch der Vermessungskunde. Für den Gebrauch an
Gewerbeschulen, zugleich als Hilfsbuch f. Bau- und Maschinen-Techniker usw.
Bearb. u. herausg. v. Alfons Cappilleri. 3. Aufl. Wien, Deuticke.

E. 3.60; geb. E. 4.

10« Newcomb, Simon, A compendium of spherical astronomy. With ita applica-

tions to the determination and reduction of positions of the fixed stars. London,

Macmillan. 12 s. 6d.

S. auch N. 1, 4, 63.

Darstellende Geometrie.

11« GouDiE, W. J., The geometry of the screw propeller. London, Blackie. Is. 6d.
12« Ottinoen, Abthub von, Die perspektivischen Ereisbilder der Eegelschnitte.

M. 85 Abb. im Text und auf 4 Tafeln. Leipzig, Engelmann. M. 5.

18« Volk, Eabl, Das Skizzieren v. Maschinenteilen in Perspektive. 2., yerb. Aufl.

Berlin, Springer. Geb. in Leinw, M. 1.40.

S. auch Nr. 64.

Mechanik.

14« Caldarero, Fbancesco, Corso di meccanica razionale. vol. m. Palermo. L. 11.

15. Enzyklopädie der mathem. Wissenschafken. lY. Bd., 2. Tl. 3. Heft. Leipzig,
Teubner. M. 5.80.

16. Fischer, Otto, Theoretische Grundlagen f. eine Mechanik der lebenden Eörper.
Mit speziellen Anwendungen auf den Menschen sowie auf einige Bewegungs-
vorgänge an Maschinen. In möglichst elementarer und anschaulicher Weise
dargestellt. (Teubners Sammlung Bd. 22) Leipzig und Berlin, Teubner.

Geb. in Leinw. M. 14. —

17« HoLLEFBEUMD, Earl, Die Elemente der Mechanik vom Standpunkte des

Hamilton*schen Prinzips. (Teil H.) Progr. Luisenstädt.-Realgymn. Berlin.

Berlin, Weidmann. M. 1.

18. Mohr, Otto, Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik.
Berlin, Ernst & Sohn. M. 15; in Leinw. M. 16.50.

19. Ritter, W., Anwendungen der graphischen Statik. Nach C. Culmann bearb.
4. Tl. Der Bogen. Zürich, Baustein. M. 9.60; geb. in Leinw. M. 10.60.

20. Saussure, Bem^ de, Theorie g^om^trique du mouvement des corps. Fin de
la Ire partie et commencement de la 2^ partie. La g^om^trie des feuillets.
(BIxtrait des Archives des Sciences physiques et naturelles, T. XVIII, 1904
et XXI, 1906.) Gen^ve, Eündig.

21. Yaes, f. J., Graphostatica. n. Zwaartepunten. Deventer, Eluwer. F. 1.25.

22. Yeen, H. J. van der, Graphische statiek. 2« verb. druk. Amsterdam, Veen.

F. 1.90.

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Neue Bücher. 441

28« YoNDERLiN, J., Statik f. Hoch- und Tiefbautechniker. 3. Aufl. Bremerhaven 1905,
V. Vangerow. M. 5; geb. M. 6.60.

:24. ZiMMERHAiTN, H., Die Knickfestigkeit eines Stabes mit elastischer Querstützung.
Mit 3 in den Text eingedruckten Abbildungen, e. Tafel und zahlreichen
Tabellen. Berlin, Ernst & Sohn. M. 2.

S. auch Nr. 49, 52, 59.

Physik.

'25. Brass, Arnold, Untersuchungen über das Licht und die Farben. Osterwieck
(Harz), Zickfeldt. M. 4.

2%^ CoNTRiBUTioNs from the Jefferson physical laboratorj of Harvard University
for the year 1905. vol. IH. Cambridge, Mass, ü. S. A.

27. Enzyklopädie der mathem. Wissenschaften. Y. Bd. Physik. 1. Tl., 3. Heft.
Leipzig, Teubner. M. 5.20.

'2S. Fischer, Victor, Grundbegriffe und Gleichungen der mathematischen Natur-
wissenschaft. Leipzig, Barth. M. 4.50

29. Fleming, J. A., Elektrische Wellentelegraphie. Vier Vorlesungen. Autorisierte
deutsche Ausgabe v. E. Aschkinass. Leipzig und Berlin, Teubner. M. 4.20.

80. Fortschritte, die, der Physik im J. 1905. Dargestellt v. der deutschen
physikal. Gesellschaft. 61. Jahrgang. 1. Abtlg. Allgemeine Physik, Akustik,
physikalische Chemie. Braunschweig, Vieweg & Sohn. M. 28.

•81. Grimsehl, E., Ausgewählte physikalische Schülerübungen. Leipzig, Teubner.

M. —.80.

82* Grl-ner, Paul, Die radioaktiven Substanzen und die Theorie des Atomzerfalles.
Bern, Francke. M. 1.60.

^8. HoLZHÜLLER, GüSTAv, Die neueren Wandlungen der elektrischen Theorien ein-
schließlich der Elektronentheorie. Zwei Vorträge. Berlin, Springer. M. 3.

84. Jäger, G., Die Fortschritte der kinematischen Gastheorie. („Die Wissenschaft''
Heft 12.) Braunschweig, Vieweg & Sohn.

85. Jamin, J., Cours de Physique de TEcole Polytechnique. %^^* Supplement par
M. Bouty. Badiations. Electricit^, Ionisation. Paris, Gauthier-Villars. Frs. 8.

86. Klimpert, Rich., Lehrbuch der Akustik. 2. Bd. Die verschiedenen Tonerreger.
Für das Selbststudium und zum Gebrauch an Lehranstalten bearb. nach
System Kleyer. Bremerhaven, v. Vangerow. M. 10; geb. M. 11.

■87. Kraus^ Eonrad, Experimentierkunde. Anleitung zu physikalischen und chemischen
Versuchen in Volks- und Bürgerschulen und Fortbildungsschulen. Wien,
Pichlers Witwe & Sohn. M. 4.20; geb. M. 4.50.

.88. Leon, Alfons, über die Wärmespannungen in runden Schornsteinen. Wien
und Leipzig, Fromme.

89. Lorentz, H. A., Abhandlungen über theoretische Physik. In 2 Bänden.
1. Band, 1. Lfg. Leipzig und Berlin, Teubner. M. 10.

40. Metz, G. de, La double r^&action accidentelle dans les liquides. („Scientia''.
Nr. 26.) Paris, Gauthier-Villars. cart. Frs. 2.

41. Müller, Friedrich C. G., Technik des physikalischen Unterrichts nebst Ein-
fuhrung in die Chemie. Berlin, Salle. M. 6.

42. Pernter, J. M., Meteorologische Optik, S. Abschn. Wien, Braunmüller. M. 9.
48. Planck, Max, Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung. Leipzig,

Barth. M. 7; geb. M 7.80.

44. Ramsay, Sir William, The gases of the atmosphere. The history of their dis-
covery. 8 rd. ed., with portraits. London, Macmillan. 6s.

45. J. J. Thomson, Elektrizitäts- Durchgang in Gasen. Deutsche autorisierte Aus-
gabe, unter Mitwirkung des Autors besorgt und er^nzt v. Erich Marx.
Leipzig 1906/1906, Teubner.

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442 Neue Bücher. — Eingelaufene Schriften.

46. Trautschold, M., ZurEntdeckungsgeschichte der lichtelektrischen Encheinungen.
Progr. Leipzig, Dürr. M. 2.

47. Whitehead, B. N., On mathematical concepts of the material world. London,
Dulau. 2 b. 6d.

48. Wood, Robert, Physical optica. London, Macnullan. 15 b.

S. auch Nr. 50, 56.

Tafeln.

49. Haimovici, Emamukl, Graphische Tabellen und graphisch dargestellte Formeln
zur sofortigen Dimensionierung von Eisenbeton -Plattendecken resp. Platten-
balken. M. 5 Lichtdrucktafeln 48/68 cm. Leipzig, Teubner. M. 15.

50. KüsTEB, F. W. Logarithmische Rechentafeln f. Chemiker, Pharmazeuten, Medi-
ziner und Physiker. 6., verb. u. verm. Aufl. Leipzig, Yeit & Co.

geb. in Leinw. M. 2.

51« MocNiK, Logarithmisch-trigonometrische Tafeln. 6., verm. Aufl., besorgt von

Johann Reidinger. Wien, Tempsky (Leipzig, Freytag). M. 2

52« Pröll, R., Rechentafeln f. Schraubenfedem. Dresden, (Berlin, Springer.). M. 1.

53. Werkmeister, P., Graphische Tachymetertafeln f. alte Ereisteilung. Ent-
worfen f. Entfernungen von 5 bis 500 m und f. Höhenunterschiede von 0,1
bis 70 m. Mit e. Vorwort v. E. Hammer. Stuttgart, Wittwer. Mit Zelluloid-
stab. M. 4.60.

S. auch Nr. 5.

Yerschiedeiies.

54. LöBCBMER, Hans, Über Sonnenuhren. Beiträge zu ihrer Geschichte und Kon-
struktion nebst Aufstellung e. Fehlertheorie. 2., umgearb. u. verm. Ausg.
Graz, Leuschner & Lubensky. M. 7.50.

— dasselbe. Sonder- Abdr. Konstruktionen. Ebenda. M. 1.20.

55. Martin, W. R., Lectures on compass adjustment. London, Philip. 5 s.

56. Neumann, Franz, Gesammelte Werke. Hrsg. v. seinen Schülern. H. Bd. M.
e. Bildnis Franz Neumanns aus dem 86. Lebensjahre in Heliogravüre. Leipzig,
Teubner. M. 36.

57« PoiNCAR^ Henri, Wissenschaft und Hypothese. Autorisierte deutsche Ausgabe
mit erläuternden Anmerkungen von F. u. L. Lindemann. 2., verb. Aufl. Leipzig,
Teubner. geb. M. 4.80.

58. PoiNCARä, Henri, Der Wert der Wissenschaft;. Mit Genehmigung des Verfassers
ins Deutsche übertragen von E. Weber. Mit Anmerkungen und Zusätzen von
H. Weber und einem Bildnis des Verfassers. Leipzig, Teubner. Geb. M. 3.60.

59« Wagener, A., Indizieren und Auswerten von Kurbelweg und Zeitdiagrammen.
Berlin, Springer. . M. 8.

Eingelaufene Schriften.

[In dieser Abteilung werden alle eingelaufenen Schriften regelmäßig aufgeführt.
Die Besprechung geeigneter Schriften bleibt vorbehalten. Rücksendung findet

nicht statt.]

Berkhan, Gustav, Zur projekti vischen Behandlung der Dreiecksgeometrie. Diss.

Königsberg, Leipzig 1906, Teubner.
Brass, A., Untersuchungen über das Licht und die Farben, s. N. B. („Nene

Bücher**) Nr. 25.
Bronzin, V., Lehrbuch der politischen Arithmetik, s. N. B. 2.
Clebsch^ Alfred, Vorlesungen über Geometrie, bearb. und hrsg. v. Ferdinand

Lindemann. 2., vermehrte Aufl. L Bd., 1. Tl., 1. Lfg. Leipzig, Teubner. M. 1&

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Eingelaufene Schriften. 443

CoNTBiBUTiONs from the Jeffeison physical laboratory of Harvard University for the
year 1905. vol. III, s. N. B. 26.

Fassbinder, Gh., Appioximations nnm^riques, a. N. B. 3.

FiscHEB, 0., Mechanik der lebenden Körper, s. N. B. 16.

FiscHEB, y., GmndbegrifPe nnd Grandgleichungen der mathematischen Naturwissen-
schaft, s. N. B. 28.

Fleming, J. A. Elektrische Wellen-Telegraphie. s. N. B. 29.

Fbischauf, J., Die Abbildungslehre und deren Anwendung auf Kartographie und
Geodäsie. Sonderabdruck aus der Zeitschrift f. mathematischen und natur-
wissenschaftlichen Unterricht, 86. Jahrgang. Leipzig 1905, Teubner. M. 1.

Orimsebl, E., Ausgewählte physikalische Schülerübungen, s. N. B. 31.

Gbünfeld, E., Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. 21. Jahresbericht
der k. k. Staats-Bealschule in XVIII. Gemeindebezirke von Wien.

Hahn, Hebicamn, Die Lehraufgaben des physikalischen und chemischen Unterrichts
an den höheren Schulen Frankreichs. Wissenschaftl. Beilage zum Jahresber.
des Dorotheenstädtischen Realgymnasiums. Ostern 1906. Berlin, Weidmann.

M. 1.

Haimovici, E., Graphische Tabellen und graphisch dargestellte Formeln, s. N. B. 49.

Hochheim, Adolf, Aufgaben aus der analytischen Geometrie der Ebene. Heft 2.
Die Kegelschnitte. Abtlg. 1. A. Aufgaben. 3., verm. Aufl., bearb. v. Oswald
Jahn und Franz Hochheim. Leipzig und Berlin, Teubner. M. 1.80.

HoLLEFBEUND, K., Die Elemente der Mechanik . . ., H, s. N. B. 17.

HoLZMüLLEB, G., Die neueren Wandlungen der elektrischen Theorien . . . , s. N. B. 33.

Jäoek, G., Die Fortschritte der kinetischen Gastheorie, s. N. B. 34.

Jakin, Cours de Physique, 3*nie Supplement, s. N. B. 35.

Klauseb und Lahn, Lehrbuch der Vermessungskunde, s. N. B. 0.

Koppe -DiEKMANN, Geometrie zum Gebrauche an höheren Unterrichtsanstalten.
(23. Aufl.) Ausgabe f. Beallehranstalten. I. Teil der Planimetrie, Stereometrie
und Trigonometrie. 7. Aufl. der neuen Bearbeitung, besorgt von Karl Knops.
Essen, Bädeker. geb. M. 2.40.

Kraus, K., Experimentierkunde, s. N. B. 37.

Krüoeb, L., Zur Ausgleichung der Widerspruche in den Winkelbedingungsgleichungen
trigonometrischer Netze, s. N. B. 4.

Leon, Alfons, Spannungen und Formänderungen einer um einen ihrer Durch-
messer gleichmäßig sich drehenden Kreisscheibe. Wien und Leipzig, Fromme.

Leon, A., Über die Wärmespannungen in runden Schornsteinen, s. N. B. 38.

Lesseb, Oskab, Die Infinitesimalrechnung im Unterrichte der Prima. Berlin,
Salle.

Lippmann, Alexandeb, Die absolute Wahrheit der Euklidischen Geometrie. Eine
kritische Untersuchung der Grundlagen der Euklidischen Geometrie. Beweise
f. die Wahrheit der Axiome und Postulate, insbesondere f. die des Parallelen-
axioms (Y. Postulat Euklids). Leipzig, Gerstäcker.

LoBENTz, H. A., Abhandlungen über theoretische Physik, s. N. B. 39.

LoBiA, GiNo, Vergangene und künftige Lehrpläne. Rede, gehalten zu Mailand
den 22. April 1905. Autorisierte Übersetzung von H. Wieleitner, Leipzig,
Göschen.

Metz, G. de, La double r^fraction . . ., s. N. B. 40.

MocNiK, Logarithmisch- trigonometrische Tafeln, s. N. B. 61.

MöLLEB, M., Abgekürzte Dezimalbruchrechnung, s. N. B. 6.

MoHB, 0., Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik, s. N. B. 18.

MüLLEB, Fr. C. G., Technik des physikalischen Unterrichts, z. N. B. 41.

MüLLEB, H., und KuTNEwsKY, M. , Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik,
Trigonometrie und Stereometrie. Ausgabe f. bayerische Lehranstalten. Leipzig
und Berlin, Teubner. M. 2.60.

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444 Eingelanfene Schriften.

MüLLEB, Hbinbich, Lehxbnch der Mathematik. Ausgabe f. bayrische Lehranstalten.
I, n. Leipzig, Teubner. I M. 1.60; n M. 2.

NsuMANN. Franz, Gesammelte Werke, II., s. N. B. 56.

Ottimgen, Arthub von, Die perspektivischen Ereisbilder der Kegelschnitte, s. N. B. 12.

PoiNCAR^, H., Wissenschaft und Hypothese, s. N. B. 57.

PoiNCAR^, Henri, Der Wert der Wissenschaft, s. N. B. 58.

Bohr, M. von. Die optischen Systeme aus J. Petzvals Nachlaß. Sonderabdruck
aus der Zeitschrift: „Pbotographische Korrespondenz** Juni 1906. Wien, Jasper.

Saussure, Een:^ de, Theorie g^m^trique du mouvement des corps, s. N. B. 20.

ScHELLHORN, 0., Planimctrische Beweise, mit Anhang: Algebraische Regeln. Lehr-
buch f. den Schulgebrauch und zum Selbstunterricht, hauptsächlich aber f.
die Vorbereitung der Schüler auf die Lehrstunden bis Untersekunda. Essen,
Bädeker. geb. M. 1.60.

Simon, Max, Methodik der elementaren Arithmetik in Verbindung mit algebraischer
Analysis. Leipzig und Berlin, Teubner. geb. M. 3.20.

Simon, Max, Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert.
(Jahresbericht der deutschen Mathematiker -Vereinigung, Ergänzungsband I.)
Leipzig, Teubner.

Tannert, Jules, Le9ons d'alg^bre et d'analyse ä Pusage des äl^ves des classes de
math^matiques speciales. 2. volumes. Paris, Gauthier- Villars. Chaque volume

Frs. 12.

Tesar, L., Elemente der Differential- und Integralrechnung. Hilfsbuch f. den
mathematischen Unterricht zum Gebrauch an höheren Lehranstalten. Leipzig
und Berlin, Teubner.

Tews, J., Schulkämpfe der Gegenwart. Vorträge zum Kampf um die Volksschule
in Preußen, gehalten in der Humboldt-Akademie in Berlin. („Aus Natur und
Geisteswelt'^ 111. Bändchen.) Leipzig, Teubner. M. 1; geb. M. 1.25.

Thomae, J., Grundriß einer analytischen Geometrie der Ebene. Leipzig, Teubner.

geb. M. S.60.

J. J. Thomson, Elektrizitäts-Durchgang in Gasen, s. N. B. 45.

Werkmeister, P., Graphische Tachymetertafeln, s. N. B. 58.

Wylczinski, E. J., Projective differential geometry of curves and ruled surfaces.
(Teubners Sammlung Bd. XVIII.) Leipzig, Teubner. geb. in Leinw. M. 10.

WiLTz, Hermann, Mathematische Unterrichtsbriefe. Unter Mitwirkung von be-
währten Fachgelehrten bearb. u. hrsg. 1. Lehrbrief. Arithmetik: Additon
und Subtraktion, Multiplikation und Division. Potenzlehre. Dezimalbrüche.
Wurzelrechnung. 2. Lehrbrief. Arithmetik (Forts.): Das Logarithmieren, das
Brigg'sche Logarithmen System. Gleichungen ersten Grades mit einer Un-
bekannten und Proportionen. Gleichungen ersten Grades mit mehreren Un-
bekannten. Gleichungen zweiten Grades.

Zimmermann, H., Die Knickfestigkeit eines Stabes mit elastischer Querstützung,

8. N. B. 24.

ZiNDLER, KoNRAD, Linien gcomctric mit Anwendungen. Zweiter Teil. (Sammlung
Schubert LI.) Leipzig, Göschen. Geb. in Leinw. M. 8.

Zeitschrift f. Gletscherkunde, für Eiszeitforschung und Geschichte des
Elimas. Annales de glaciologie. Annals of glaciology. Annali de glaciologia»
Organ der internationalen Gletscherkommission, unter Mitwirkung von
S. Finsterwalder (München), F. A. Forel (Morges), J. Geikie (Edinburgh),
W. Kilian (Grenoble), F. Nansen (Kristiania), A. Penck (Berlin), F. Porro (La
Plata, früher Genua), Charles Rabot (Paris), H. F. Reid (Baltimore), F. Wahn-
Bchalfe (Berlin), A. Woeikoff (St. Petersburg) hrsg. v. Eduard Brückner, Band 1,
Heft 1, Mai 1906. Berlin, Bomträger. Preis f. den Band M. 16.

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Von Dft E. GKKt.Ähu» Profcetör äei (iiü KgU Lk^rgj*ktt4i?iiiiö in ^l Mit

200 FiguTOB im Ti^xi, Ä, n, d, T.t Abhi^udluagen zur Ocactii iimthe«

mutiacfifto Wisieaiichafkjii mit EiDtciüuß ihrer £iweiidQiigeii. XXL Heft [VI
u. 2Ae S.] gr. 8. J906. gok n, .4t It*,—
I»or«zitfl, Dt H. Ä^, Früft)F8or tkn der ümver»ität Leiden « Abbcktidldtig&n Übor
tbeore tische Physik, Iii 3 Randen. I. Hnnd, t LieferuBg. Mit a Figuren
im Text. |2Hh S.l gr. 8. 190»?. geh, n ,M lö.—

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optik^ Mit i'jö i' j guten im iffJti- uurj t» ijui^ptüastun.
1Ö06. In Ldiiw. geb. n, »^ lö.--*

Simon^ Dr, Max, Profesöor an ^^^'^ i *.iv'T-:*?it Strüßbnrg i, E, Ober di© Entwick-
lung der ElemetitÄr-U ; XliL .Iftkrhundett. Beriebt 6riittttt«t
d^r Deutflcben JT^fl^niMsitt ._ ,.-...^11»^' A o, d. T.i Jabreäbe riebt der
Den beben Mail Vtreinigung. ngnband L Mit 28 Figuroa
itnTeict. pnn ij 1 , gr. 8. it^OO. g' s,— , iü Leiiiw. geb. n. .4i ö,—

^ Methodik der elementaren Arithmetik in Verbindnng mit nU

gebtÄischer Analjiia. Mit i» Terttignren. [VI u. lOS 8.] gr. ö, lÜOÖ,
gek n. JC H 20.

St&tidd, Dr, OttD^ Proleseot an der üfiiTeroität Rostnek, anaUtiBcbe Geometrie
des Pfinkteaf der gerudi^Q Linie tuid der Ebene, £in Flandbnali aiu deü
Vorlüiinnjzeü imd ObTingen üb«r unnljiiaL'be Oeömctrio. Mü 3»7 Figuren im
Text [Vm u. ii7 S.J gr. S. lÖOö. " In Leinw, gek n. JC 14* —

^liomice^ Dr, J,f Profesiar an der Ünivemtitt Jona, Sammlnpg von formela
und Slit^on aus dem Qobiote der elliptiicb^n Fanktioaeti näbit
Änwoudnngon. flV u. 44 S.] 4. 1905. kart. n, JL Ä.90.

Grundriß «inet analyti3ob«a Gecmietri« der Ebene. Mit 8 Figuren

im Tcxl [K n. 183 S ] gr. 8, lö06. In Leinw. geb, n. M 3.00.

Thomsottj J< J., D. Sc. Lid Pb. Ü. Er, S. Fotlow etc., El^klriÄitÄti- P — ng
in Gasen* Deutsch« antor AuagÄbe untor Mitwirkung dt^e Autorü ' nd

ergunnt von Dr. E, Math, Privatdoj^ent an der UniverBitat Leit^isig. Mit
187 Figuren im Tiaxt j VÜ u. ftö7 ÖJ gr. 8. IWft. geb. n. JC lö.— , in
Leinw. geb. n. JC lö,—

TlTftütif G*. Pmf©«Mor an der üniver«itltt Meiüina, Theorie der eindeutigen
mnalj^ti sehen Funktionen. Umaxbettnng unter MitiHrkung de« Verfansiira
dentecb hi»g, von Br. Ä. QuTiciaai, Piof<»tsoi an der UniremULt Halle a. S.
[Yl u. MS §.] gr. a t&Ö<5. In Leinw. geh, tL JC n.-^

W«b«ir, Dr, IL, Profeaior in Htrafiburg, und Dr. J, Wellabetii, Profowior in StraBburg»
Kßcjklopßdie d«f Blflmentar-MwM'^rf^ä^^ik Ein HaKodbuch fflr Ln^bror
und Studierende. In S Bünden* gr. 8* 1, ' ii^mentare Algebra c ^i*.

' Bearbeitet Ton RWiata. I.Auflage. M:; , . iMguren rxVlII u r tifl.

In Loinw. geb. n. JC 4», 60. 11. Bund. Elemente der C- ' ^m

H. Wb»ie% J. W«LL»T«ja mnd W Jacowithal. Mit 880 1 ^^ ^ ä.J

19Cß. In Leinw. geb. n. jfC 11. ~. (Bd, HL AnweQdung«n dar Klenitiiii&r-
naatbematik. Unter d. Preise.)

Wflcvyxiald} M* X, A. M., Fb. D., R^eearrb Astociate of U
WashineioQi Assistant Professor of Maibematios ai tlj

projaetiTe diffar^ntial geoinetry of eurifei and ruissa aunacua. i^vUi
n. »98 a] gr. 8. 1006. In Leinir, gel)« a Ult 10,—

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VERLAG VON B. 6. TEUBNER IN LEIPZIG.

PROJECTIVE DIFFERENTIAL GEOMETRY

OF

CURVES AND RULED SURFACES.

BY

E. J. WILCZYNSKI, a.iil.ph.d.

wiesARCii AfiA^aATiE op niR rAnaxiiiic rxirrmmos op WAsnimcfoir,

tVm 0. 2Ua Sl ^, S. lyOÜ. in Leinwand g^h. n. X 10.—

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Einleitung in die Funktionentheorie.

Von
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AJithmetiJt" nicht ben. i^toii Abscbnitle dor „^ . v - ioür Ällgwm/'mfi

Arithmetik" von U. 8toi*,
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Er B to A b t e U u n g. Mit 10 rigiiren im Text fV^l n. 242 SJ gr, 8, 1 !*04. g^k tt. JÜ 6 , -
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