Zeitschrift für Mathematik und Physik

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Zeitschrift

fllr

IWathematik und Physik

heraud^egel)en
unter der verantwortlichen Redaction

von

Dr. O. Soblömiloh, Dr. E. KaM

und

Dr. M. Cantor.

* • ' ! ' 1 * ' ' •'

XXZ. Jahrgang.

Mit 7 lithographirtpn Tafeln.

Leipzig,

Verlag von B. Q. Teubner.
1885.

IV Inhalt.

S«ite

Zum Schwerin gesehen LinieDCOordmatenByetem. Von W. Krimphoff .... 258
Bemerkungen zum Pascal^schen Satze über KegeUchnittsecha-

ecke. Von Prof. Dr. Heger 279

Ueber einen von Steiner entdeckten Satz und einige verwandte Eigenachaften

der Flächen zweiter Ordnung. Von Dr. Gino Loria 291

Ueber gewisse Schaaren von Dreieckskreisen. Von 0. Schl&mileh . . . . :W1
Näherungsformeln für Inhalt und Oberfläche niedriger Flächen-
abschnitte. Von Dir. Dr. Oeisenheimer 3'-'5

Wann besitzt die cubische Parabel eine Directrix? Von Dr. F. Meyer . . . 345
Die Ortsfläche der Spitzen gleichseitiger Tetraeder zu gegebener Geraden der

Zeichenebene. Von F. Oraberg 349

Notiz über Ungleichungen. Von 0. Seblömilch . 351

Kinematik.

Ueber die Bewegung ähnlich-veränderlicher ebener Systeme. Von

F. Somoff 193

Die Ebene als bewegtes Element. Von F. Wittenbaner 216

Ueber einen Satz von Burmester. Von F. Somoff 248

Ueber die relative Bewegung eines Punktes in einem in continuir-

licher Bewegung begriffenen Medium. Von Prof. Dr. Bobylew . 336

Potentialttaeorie.

Ueber die Vertheilung der inducirten Elektricität auf einem iiu-

begrenzten elliptischen Cylinder. Von Dr. B. Besser 257

Schluss der Abhandlung 305

Optik.

Geometrische Beweise des Satzes von der Minimalablenkung im Prisma. Von

KVogt 111

Magnetismog.

Zur Bestimmung der Intensität des Erdmagnetitmus. Von Dr. Th. HAbler . 119

Ta-fel Z

. • •

• • •

«

• • •
• •••

I.

••• •

•••

• • •

Die Curven vierter Ordnung mit drei ä^^jelten

Inflexionsknoten«

Von • -' •'•

Dr. C. Betel

• •• •

in ZOrloh. ••* •

• • • •
• • •

• •• •

Hierzu Taf, 1 Fig. 1—8.

• • •

L Eriengimg am einer StrahleninTolntion und einem Kegelidinitte.

Salß. Gegeben sei eine StrahleninTolntion J| mit dem
Scheitel M^ and ein Kegelschnitt if^ Constrniren wir in den
Schnittpunkten eines Strahles x^ der Involution /| mit IT'
iie Tangenten an diesen Kegelschnitt, so schneiden sie den
Strahl x'|, welcher x^ in der InTolntion /| correspondirt, in
iwei Pnnkten einer Curre vierter Ordnung — C\

Beweist (Fig. 1.) Wir zeigen, dass auf jeder Geraden ^ der Ebene
Tier Punkte des durch den Satz bestimmten Ortes liegen. Sei mit /u
die Involution harmonischer Polaren um M^ und mit m, die Polare von
lfi in Besag auf M* bezeichnet.** Dann gehört zn jeder Geraden dnrch
M^ ein Strahl der Involution J\k und ein Strahl der Involution J^ , YaXz'
lere Strahlen sind somit einander eindeutig zugeordnet und bilden eine
Projectivitat Pu. Schneiden wir nun m^ mit den Strahlen der Involu*
tion J\k und g mit den entsprechenden in der Projeetivitit P\k^ so erbal-
tea wir in m^ nnd g zwei projectivische Beiben T\k und T^m IHe Ver-
biadungslinien ihrer correspondirenden Punkte sind Tangenten eines
Kegelschnittes M^^- Ist dann i eine gemeinsame Tangente der beiden
Kegelschnitte M*^ £/, so verbindet I ein Pnnktepaar TtkT^. BerObrt t

* Der Beweis Üst dch auch mit Hilfe det Satxes von Jonequieres tSbr*itL
Von diesem Gescfatipankte aas enchexxit die angeg^^tcE« £neagiuigiw«ue ak wyt^
(xOer Fall der tob A. Amei^der «stTidkeStea to& Csrven Tierter Oidnuag act
im üoppetponkten (StnogtUr. der iLÜteri Akad. d. Wijs^ndä^ Bd. 79 IL Ä\AL,
&i41.) Tägl.aixfti: Holt fei d. ÜeöerUofcaxiAiecrrea vierter (^^ ^^bl^-

ailcb, Zciticbr. f. Malk. n. Pbri. XXVIIL S. »C. l^»., \Mgnt[ja03täUi iceinebiMer'
tttioa: Centnehe Colfiaenfäoa n^ 'jr^ioBbg in der Li>tiK TierteijaLnedbiift der
Zäiicber natnl GeMÜsebu, Bl XXTI £. »7, l«!«! . wo d^e Erxeng-^&g va O 1'.s
tei Fall bfbandrtt ist. in w«jäi»5 / «oce' £ee£lw?r,k<hiBTolaty^ ia^

••la JSyi/ii^jr'a^XrKf ^c^«»<«z<& I>k I&vo;.^:SkMb ^=& 3fi «sA «id
M* ^nkMg fs<rtraK^<c ^-.f iire p^it ^^ ^±1 J - -/-- '>fi«Äi^.

Die Curven vierter Ofidn. mit drei dopp. Inflexionsknoten.

den Kegelecbnitt K^ ii>''i>f,' so ist M^D^^ ^iT^^ ein Strahlenpaar der
Involution Ju, und wfil *^i Tut , ^i 7\ ein Paar der Projectivität P\k ist,
80 folgt, dass MjjDf\*1lly T^ ein Paar der Involution J^ ist. Also ist T^
ein Punkt unsefe.s Ortes. Seine Punkte auf g sind mitbin zugleich auf
den gemeinsanidfr Tangenten von K^ und k^ gelegen. Da es vier sol-
cher Tangenteb giebt, so folgt, dass der in Rede stehende Ort eine
Curve, vietter Ordnung ist.

'^X^ 'sieben aus dem Gesagten einige Schlüsse über die Curve C^,

*./Ä)* Die Punkte der C\ welche auf einer beliebigen Geraden g liegen,

*^iB^ paarweise reell oder imaginär.

*'.''• ' Denken wir uns durch k^ die Ebene in zwei Tbeile zerlegt, in

>•, * deren einem die Involution harmonischer Polaren um jeden Punkt herum

elliptisch ist und in deren anderem sie reelle Doppelstrableu hat, so

liegen die reellen Tangenten von ü^^ im hyperbolischen Felde der Ebene.

Mithin befindet sich in demselben auch der reelle Theil unserer C^. Also

kann dieser A'* nicht schneiden. Umgekehrt kann der imaginäre Theil

der C^ aus dem elliptischen Felde der Ebene nicht in das hyperbolische

fibertreten. Bemerken wir dann weiter, dass infolge der angegebenen

Erzeugungsweise K^ mit C^ die vier Punkte gemeinsam hat, in denen

die Doppelstrahlen (^i^i) der Involution J^ den Kegelschnitt K^ treffen,

so folgt, dass C^ in diesen vier Punkten von K^ berührt wird.

b) Auf jeder Geraden durch if| liegen zwei Punkte von C^. Also
ist Af| ein Doppelpunkt von C\

Sei ni^m^ das gemeinsame Paar der Involutionen «/, «^u nnd treffe das-
selbe nti in den resp. Punkten ^3, M^^ so sind auch diese Punkte Doppel-
punkte von C^. Mithin hat C^ drei Doppelpunkte.

Ist ^1 reell, so muss auch m^ stets reell sein. Dagegen können m^fn^
— also auch M^M^ — imaginär werden oder zusammenfallen. Dement-
sprechend werden wir bei den folgenden Untersuchungen stets zuerst den
Fall besprechen, in welchem M^M^ reell sind, und dann die Modificatio-
neu angeben , welche für imaginäre Punkte M^ A/3 eintreten. Das Znsam-
menfallen von M^ M^ wird uns weiterhin zu den degenerirten Formen der
C^ fahren. Lassen wir K^ imaginär werden, so gelangen wir zu einer
neuen interessanten Form der C^.

c) Durch die gegebene Erzeugungsweise sind die Punkte (^i..*)
des Kegelschnittes K^ den Punkten (^A\ ...) der Curve C^ eindeutig
zugeordnet und diese Zuordnung wird durch die Tangenten an K^ ver-
mittelt.

Wir können dies auch so ausdrücken: Zu jedem Punkte von C^
gehört die Tangente an Af^ auf welcher der zugeordnete Punkt von A'^
liegt. Ausgezeichnete Punkte dieser Zuordnung sind M^M^M^. Ihnen

corrpspoofitren je die zwei Bertihmngspunkte der Tangenten , welche von

V -^ ^ MOS Bn A'* geben.

r

Von Dr. C. Bi:vBr..

aU Leitcarve einer quadratischen Transformation.

in I gegebenen Beweise folgt, dasB au jeder Geraden g

n KPgolsciinitt A^/ gehört. Er beriibrt m, und g ~ die

eihen T>kT^. Ternet mnsa er m^m^ ~ die Doppektrahlea

ProjectiviUt l'\k — zu Tangenlen haben. Die Geraden g und die

iliicbaitte h'^ stehen niso in der Beziehung einer quadratischen Trans-

itioD. Dieselbe ist dadurch specialisirt, dase jede Gerade den Kegel-

loitl berillirl. dem sie entspricht.

ein Kegelschnitt A*^^ den Kegelschnitt A*' befählt, so schnei-
ngente im Berilhrnngapunkle aus der «a A',' gebärenden
Geraden g zwei Ensammenfallendc Ponkle vnn C*, d. h.: p ist Tangente
an t'*. Daraus schliefeen wir, dasB unsere Cnrve vierter Ordnung
dieEnvelnppe aller der Geraden g int, deren entsprechende
KegeUchnitte den Kegelschnitt K^ berUbren.

Hie Kegelschnitte K^, welche in der quadratischen TrBDsfomiation
den Geraden eines BüEchela entEprechen, dessen Scheitel T, sei, bilden
eini* KegelfichDittschn&r; denn sie haben ausser rn, m, m^ noch die Tan-
gente geraeioBam, welche 7, mit dem entsprechenden Pnnkle T\^ in m^
verbindet. Unter den Kegelschnitten dieser Schaar heben wir diejenigen
hervor, welche A' berühren. Ihre correspondirenden Geraden g müssen
Tangenlen ans T an K* sein. Nun ist bekanntlich die Zahl der Kegel-
eebnitte einer Scliaar, welche |einen gegebenen Kegelschnitt herühreni
:fa B. Milbin gehen durch einen Punkt der Ebene sechs Tangenten
'!*, d. b. : 6'* ist von der sechsten Classe.

Betrachten wir speciell das Büschel von Geraden ^, dessen Scheitel
«Ho Punkt A\ von 6'* ist, so correspondirt diesem Btlschel in der qua-
dratischen Transformatian eine KegelschnitlscbHar, welche — ausser "tjni^m,
— die XU A\ gehörende Tangenie rt, [Icj vnn A'' lur gemeinsamen
Tangente bat. Unter den Kegelschnitten dieser Scbaar ist einer, der A*'
io A, -~ dem BerahrungHpnnkte von n, ~ Ungirt. Diesem Kegelschnitt
nntspricbt in der quadratischen Transformation eine Gerade — a', — ,
>be iu A', die Curve C* berührt. Aus dieser Bemerkung ergiebt sich
le Cnnslrnction der Tangenie n\ in einem Punkte A\ von C*.
bextimmen die an A\ gehörende Tangente n, an A* und ihren Be-
ist durch m^m^m^a,A, ein Kegelschnitt A"/
ausscr a, — eine zweite Tangente.

(fllirnogspnnkt A, .

geg«bnn. An ihn gebt durch

äie ist «', .

Wir erwähnen weiterhin unter den Kegelschnitten A*,* diejenigen,

welche in di-r quadratischen Transformation den Tangenten au A"* ent-
^^^Bnehen. Sei a^ eine solche Tangente und schneide si« m^ \n T\k, >>>%
^^^brMptitKlirt dem Paokte Tu ein Punkt 1\ in a^. DeTKe\W ^\t& wv
^^H[^^^ PmjeitiriiMt P,t geftinijen. Er ist der enU^te.cVetii» tv^«».

4 Die Cnrven vierter Ordn. mit drei dopp. Inflexionsknoten.

Schnittpunkte der Träger der Reihen Ttk^ T^\ folglich mnss er der Be-
rührungspunkt von Ol an den Kegelschnitt A'g* sein, welcher durch die
erwähnten Reihen hervorgebracht wird und welcher a^ correspondirt.
Zugleich ist aber — nach Construction — 7\ ein Pankt der Curve C*.
Somit erscheint C^ als der Ort derjenigen Punkte, in denen
die Tangenten an ÜT^ ihre correspondirenden Kegelschnitte
iT,' berühren.

3. Daritellang der C^ von den Punkten Af^ M^ M^ ans.

Wir wenden uns zu den Kegelschnitten if/, welche in der quadra-
tischen Transformation den Geraden durch M^M^ zugeordnet sind. Sei
x^ eine Oerade durch M^^ so erhalten wir den zu x^ gehörenden Kegel-
schnitt K^^ indem wir die projectivischen Reihen T\ic^ T^ auf m, und x^
constmiren, also letztere Geraden resp. mit der Projectivität P\k schnei-
den. Da aber diese Projectivität m^ m^ zu Doppelstrahlen hat und da
M^ in Mg liegt, so sind die Reihen T^, T^ zu einander perspectivisch
und ihr Perspectivcentrum — S^ — liegt in m^. Daraus folgt, dass der
Kegelschnitt K^ in die zwei Punkte M^ und ^2 degenerirt. Ziehen wir
durch S^ die Tangenten an K^^ so sind diese K^ und K^ gemeinsam
und schneiden daher x^ in zwei Punkten von C^, Die Berührungspunkte
dieser Tangenten mit K^ liegen auf einer Geraden x\ durch M^^ weil S^
in iiij — der Polaren von M^ — sich befindet.

Drehen wir die Gerade x^ um M^^ so gehört zu jeder ihrer Lagen
ein Punkt S^ und mithin ein Strahl x\. Folglich ist das Büschel der
Xj zu dem der x\ projectivisch. In beiden Büscheln entsprechen sich
aber fn^m^ vertauschbar; also sind die Büschel involutorisch. Es werden
daher nicht nur die Tangenten in den Schnittpunkten von x\ mit K^ aus
x^ Punkte von C^ schneiden , sondern auch die Tangenten in den Schnitt-
punkten von x^ mit K^ aus x\.

Wir erkennen hieraus, dass C^ durch AT* und die letzterwähnte In-
volution — sie sei mit J^ bezeichnet — auf ganz analoge Weise hervor-
gebracht wird, wie durch K^ und J^, Stellen wir nun die analoge Ueber-
legung für die Geraden durch M^ an, so finden wir, dass auch die ihnen
correspondirenden Kegelschnitte K^ in je zwei Punkten degeneriren.
Wir werden auf eine Involution ^3 geführt, welche m^m^ zu einem Paare
hat und mit deren Hilfe wir C^ aus K^ erzeugen können.

Wir sind somit zu zwei neuen Involutionen — J2, J^ — gelangt,
welche in Bezug auf K^ und C* dieselbe Rolle spielen wie J^ . Die Dop-
pelstrahlen dieser drei Involutionen müssen sich also viermal zu dreien
in den vier Punkten schneiden, in welchen Ä'* von C* berührt wird.

Denken wir ans die eindeutige Zuordnung der Punkte von A'^ und

^' /^^/ darcb zwei dieser Involutionen — etwa durch Jj, J^ — ver-

otitteh, so können wir a&gen ; Lassen wirdenS c\iii\l\.ip\iLTiV\. x'v ^\^t

&tr«blen dnrcU M^M^ eiaen EegnUcbnitt ä^ dnrobUnfen, §o
tt«wegt sich der Svli d i ttpankt der in y, J, eDtspiecbanden
I Strahlen «uf einei Curve C*.

I Dabei ist J^J^ iu Apt Weise von A' abhängig, dnss der Scbnittpankt

I der enUprecheaden Siralilen snm Verbindungsstrabl der Scheitel mit diceen
ein Tripel barmoaiscber Pole in Bezug auf H^ bildet.

Debertrageu wir die lovolutionen /,, J^, J^ anf einftn Kegelscbnitt

H\ der dnrcb die Scbeitel der drei Involutionen gebt, eo böunen wir

I b«weigea, dass die Pole dieser Involnlionen in Besng anf H^ in einer

■•Geraden liegen. Denn sei A^ A\ ein correspondiiendes Punklepnar von

ind C*, BO sind die Strahlen ans M^M^M^ nach ^, A\ entsprecbetide

für» der Involotionen J^, J^^ J^. Sie schneiden ff' in sechs Pnnklen

|/>,/'j/',. P',P\f\. Vorbinden wir diese iu der Reibenfolge f,/",,

',, /'s /'s, 80 bilden diese Verbindungslinien ein Dreieck, welches —

wir anderen Ortes* bewiesen — zu dem Dreieck M^M^M^ perspec-

tivisch liegt. Also schneiden sich P,t'\ und m,, P^r'\ und m^. /'j, P',,

d nij in Pnnkten einer Geraden. Diese Schnittpunkte sind aber die

\t der resp. Involntionen J,, J^, Jg.

Nnn kann eine Gerade das Dreieck m^m^m^ entweder in drei Pank-
I ediaeiden, welche in Beisug aufi/* hyperbolisch sind, oder in einem
bj'pKrboligcben und in zwei elliptischen Punkten. Demenlsprecbend sind
entweder olle drei Invidniionen J, , J^, Jj byperholiscb und ihre Doppel-
■trmblen schneiden sich in vier reellen Punkten von C*, oder nur eine
dieser Involutionen ist byperholiscb. Auf ihren reellen Doppel strahlen
It^en die vier imaginiiren Punkte, in welchen die Doppelstrablen der
drei Involnlionen sich schneiden und in welchen A*" t* berührt.

Wenn eine Gerade jt, durch At^ den Kegelschnitt A* in zwei ima-
ginlren Punkten echneidet, so sind diese durch die Involution barmnui-
•cber Pole iu j:, gegeben. Die Tangenten in diesen Punkten an Ä*
g«bea daicb den Pol von x, in Bezug auf i' und werden durch die
elliptische Involution J, bestimmt, welche diesen Pol zum reellen Scheitel
hat und XTir Involution harmonischer Pole auf x^ perspectivisch liegt.
e Tangenti'n treffen .t', — den zn ,t, in ./, gehörenden Strahl — in
mm Panklen der CK Diese sind imsgioHr und durch die Pnnktinvolti-
■Üjon definirl. welche x\ ans der Involution /, schneidet.

Die .Sitabfen der Involutionen J^, J^, welche itf, resp. ^j mit den
ioMtginllren Punkten auf A'^ und C* verbinden, sind nach dem Gesagten
bvatimml und werden paarweise iraaginSr. Ihre Zuordnung in den Invo-
lalioaen ./, , /, wird durch A*' und C* ebenso vermittelt, wie die von
rwileo Strahlen. Im Kegelschnitt ff*, auf den die Involutionen über-

Die Gurven vierter Ordn. mit drei dopp. Inflexionsknoten.

tragen sind, macht sich diese Zuordnung in folgender Weise bemerkbar.
Sei B. B. das Strahlen paar ans M^ über den imaginären Punkten von ^^
in x^ durch eine Involution gegeben, deren Pol Jk ist, und habe das
entsprechende Strahlenpaar, dessen bestimmende Involution perspectivisch
zur Punktinvolution auf x\ ist, zum Pole 7«) so müssen /j^/e auf einer
Oeraden liegen, welche durch den Pol der Involution J^ geht.* In
gleicher Weise finden wir, dass auch die Involutionen J^y J^ imaginäre
Paare besitzen, und wir schliessen allgemein: Die imaginären Punkte
der C^ liegen paarweise auf reellen Geraden durch ein M nuä
auf imaginären Geraden durch die beiden anderen A/,

Wir setzen nun voraus, dass üfg^/j imaginär werde. Dann sind J, ,
Ak hyperbolische Involutionen und ihre Doppelstrahlen trennen sich. Sie
sind also Paare einer elliptischen Involution und diese bestimmt das ima
ginäre Paar fn^m^ resp. M^M^, Haben wir dann aus A'^ und J^ die Curve
C^ gezeichnet, und übertragen wir die eindeutige Zuordnung der Punkte
von K* und C^ auf die Involutionen J^^ /j, so sind damit zwei Involu-
tionen definirt, welche imaginäre Scheitel haben. Die reellen Punkte
von E^ und C^ sind reelle Scheitel der imaginären Strahlen dieser In-
volutionen.

4. Inflexionstang^nten.

Sei g\k ein Doppelstrahl der Involution J\k. Ihm entspreche in der
Involution J| der Strahl t^. Construiren wir nun auf f\ die Funkte von
C^ nach der in 1 gegebenen Methode, so finden wir, dass diese Punkte
in Jf| liegen. t| hat also in M^ mit C^ vier Punkte gemeinsam. Folglich
ist t| eine Inflezionstangente von C^, Indem wir dieselben Schlüsse für
alle Doppelstrahlen der Involutionen 7u, /2fr t Jik nnd ihre entsprechen-
den Strahlen in den Involutionen /j, /j, ^3 ziehen, erhalten wir sechs
Inflezionstangenten — entsprechend der Zahl von Inflexionstangenten,
welche eine C^ mit drei Doppelpunkten besitzt. Zugleich erkennen wir
aber, dass diese Doppelpunkte in unserem Falle doppelte Inflexions-
knoten sind.

Die Punkte ^|, Af^, M^ bilden, wie wir gesehen, ein Tripel harmoni-
scher Pole in Bezug auf AT^ Daraus folgt, dass in zweien dieser Punkte
die Involutionen Jk hyperbolisch sind. Dementsprechend müssen die In-
flezionstangenten an C^ in zwei Punkten ^, stets reell sein. Ist M^M^
imaginär, so muss J\k hyperbolisch sein und die Inflexionstangenten in
ilfj sind reell.

Wir wollen nun den degenerirten Kegelschnitt K^ untersuchen , wel-
cher in der unter 2 besprochenen quadratischen Transformation einer

* Nach dem allgemeinen Satze: Construiren wir su den Strahlen einer Invo-
Jatioa die correapondireDden in einer zweiten , so bilden diese eine dritte Involu-
ifoir and die Pole dieser drei Involutionen liegen in einer Geraden.

xionstnngetite — eagea
1 Punkte i
k*. welcbe i, in ««ei Pun
InflexionBUngente iet — li
wShnien TAngcnlen &iib S^
wfüD Sj einer di
drt. l>a es sn-ei
I, gehSrt, welcbe
tiviiÄt P,k ans m,

BpaeichncD '

cnrrespondirt. Er besteht

Von S, gehen awei Tangenten au

C* treffen.

Also miiesen anch die er-
decken. Diee iet nnr dann möglieb,
Paukte ist, in denen m, den Kegelschnitt K^ acbnei-
tolche Punkte giebr, bemerken wir, Attss derjenige za
Perspectivcentnim der Reiben ist, welche die Projec-

wir nan (Fig. 2)» die Doppelstrahlen der Involution /|*
"■'t Sttffu'. ™'' ^1^1* ■''ö Schnittpunkte von gngn' mit m, — also auch
mit A** — und seien i,, i' die InflexioDstangenten in M^, eo sind ffut,
ond gxk'i' Paare der ProjectivitUt P^. Bezeichnen wir weiter die Scbnitt-
pnnkte tos i, mit >, dnrch T,, und von i, mit i,* darcb 7,>;, so sind
8y'T,j nnd S^ T^t^ Paare der perspectivischen Reiben auf m, und i^, Sie
llfthen Sj Bum Perspectivcentrnni. Also liegen S,* Tj, sowohl wie S, /"j-j
nf Gersden durch S^.

Fuhren wir den analngen Gedankengang für i'j* — die Bweite In-
Herionntangenle in M^ an 6* — darth, so finden wir, dass S,* Ti,* und
S,T|.i. auf Geraden durch S^' — dem zweiten Schnittpunkt von m^ mit
JP» - liegen. Wir schliessen daher:

Dk8 Viereck, welcbes die Geraden m, n>, aus dem Kegel-
Kknttt &■* schneiden, iat dem Viereck der Pnnkto nmscbrie-
baa, in denen sich die Inflesionstangenten in Jif^ und M^
■ elineiden.

Uieselbe Figur xeigt uns noch, dass S^S^' durch M,m^ harmonisch
geirwot sind, folglich auch T^^ und T,,.. ÄUo bilden i,i;,'m, nig eine
iurmouliicbe Gruppe. In analoger Weise folgt, lUse auch i,i[*mjmj eine
hirmoDische Gruppe ist. Daraus ergiebt sieb weiter, dass die Punkte
7„ 7,<,> nnd T',;* 7*11, auf Geraden durch M^ liegen. Wir können dies
kari Bo ausdrücken:

Dat Viereck der S bat mit dem Viereck der T den Diago-

nalp

nkt <V,

Wir hüben biit jetzt stillscbweigend vorausgesetzt, dass /H^W^ in Be-
fug auf //- hyperbolische Punkte seien. Dann ist M^ ein elliptischer
Pnukt nnd b'* wird von tn^ in bestimmten imaginären Punkten gescbnit-
Mn. Also find auch die Vierecke, welche »1,^^ und m,«, ans Ä*" Bcbnei-
dn, bestimmt nnd ebenso die Vierecke, in welchen die Inflexionstan-
gftiten in #, nnd IH^ die in V^ treffen. Auch diese Vierecke sind ein-

* to Fig. 2 tiad ()ie tnrolationeo
ä JU,Jf,M, gebt.

luf einen KegeUchnilt H* übertTfl-^e^, 4«t

8 Die Carven vierter Ordn. mit drei dopp. InflexioDsknoten.

ander resp. nmBchrieben und je einer der Punkte M ist für dieselben
gemeinsamer Diagonalpunkt.

Werden M^M^ imaginär, so sind nach der oben gegebenen Interpre-
tation von /y/3 auch in diesem Falle die Inflexionstangenten in M^ und
M^ definirt» wenn wir sie als die entsprechenden zu den Strahlen dieser
Involutionen auffassen , welche nach den Schnittpunkten von K^ mit m^ m^
gehen.

5. Doppeltangenten.

Einer Doppeltangente von 6'^ correspondirt in der quadratischen
Transformation 2 ein Kegelschnitt A',*, welcher K* doppelt berührt. Zahl
und Construction dieser Kegelschnitte* giebt uns somit Aufschluss über
Zahl und Construttion der Doppeltangenten von C^. Nun giebt es be-
kanntlich vier Kegelschnitte, welche drei Gerade — m^^ m^^ m^ — zu
Tangenten haben und einen Kegelschnitt K^ doppelt berühren. Dem-
entsprechend hat C^ vier Doppeltangenten.

Wir construiren nun bekanntlich die Kegelschnitte {K^)^ welche
einen Kegelschnitt (Af^) doppelt berühren und drei Gerade {p^i^ m^^m^)
zu Tangenten haben, auf folgende Weise. Wir betrachten zwei der
Tangenten — sagen wir m^, m^ — als Doppelpaar einer Involution /i«,.
Eine zweite Strahleninvolution am Scheitel M^ ist die Involution J\k*
Von beiden Involutionen bestimmen wir das gemeinsame Paar. Die ana-
logen Constructionen führen wir an den Scheiteln M^M^ durch und erhal-
ten so drei gemeinsame Paare, welche sich viermal zu dreien in vier
Punkten schneiden. Diese sind die Pole der Berührungssehnen zwischen
Af' und den gesuchten Kegelschnitten Kg*, Somit sind letztere bestimmt*

Nun ist M^M^M'^ ein Tripel harmonischer Pole in Bezug auf Af ^ Ist
dasselbe reell , so muss in zweien der Punkte M die Involution Jk hyper-
bolisch sein. Die Involutionen Jm sind aber sämmtlich hyperbolisch.
Ihre Doppelstrahlen sind Paare der resp. Involutionen Jjt, werden also
durch die Doppelstrahlen der Involutionen Jk harmonisch getrennt. Da-
raus folgt, dass ein gemeinsames Paar zwischen einer Involution Jm nnd
einer Involution Jk nur dann reell sein kann, wenn die Involution Jk
elliptisch ist. Finde dies am Scheitel M^ statt und sei h^h^ das gemein-
same Paar, so liegen auf ihm paarweise die Pole P, P* der gesuchten
Berührungssehnen und sind bestimmte imaginäre Punkte. Die Berührungs-
sehnen selbst sind also bestimmte imaginäre Gerade, welche durch die
reellen Pole von h^h^ gehen. Da h^h^ ein Paar der Involution J\k ist,
so sind diese Pole die Schnittpunkte von ^3^3"^ mit »13.

Construiren wir jetzt aus den imaginären Punkten PP* die Tangenten

an K\ so berühren diese K* in den Schnittpunkten dieses Kegelschnittes

jn/t den erwähnten imaginären Berührungssehnen. Diese Tangenten müssen

re/n imaginäre Gerade sein; denn enthielte eme 8o\c\i^ <a\\ifc\i reellen

Tmilt, »a wUrd« die Potare desselben reell sein Qod dnrcfa den Be-
■ Dbrnugsponkt der Tangente mit A" gehen. Also wäre lelateret reell,
VHS iiacb dem Gegagleo ausgeschloaseD iet. Auf diesen rein iranginärea
Geraden liegen die Punkte van C*, welclie BerUlirnngapnotte der Doppel.
lAngentra sind. ÄUo milsaen letztere iraagioMr eein. Wir echliesEen aUo;

Sind die doppelten Inflexi<

reell.

wcTden die vier Doppelt
Wir ODtersnchcu jetzt de
Wir beginnen — wie oLen —
das gerne inaame Paar -
Dafselbe ist stets reell,
der gemeinsanien Berüli)

I y,

ngenten imaginär.
Fall, in welchem 3/j, IH^ iroaginftr sind.
die CoDElrnctioii von /i'^^ damit, dass wir
— der Involutionen /]*, Ji„, hestimtneii.

„ elliptisch ist. Aü( li^h,' liegen die Pole
ihnen zwischen den Kegelschnilleo *■/ und

I die Pole von /^^/l^' in

1 denen f>if't* die Gerade

: weiteren BeEtimmung

n Geradenpanr f, w', ,

A'*. Die Berühraogssehuen tielbst gehen du
Bezng «qf A'^ d. h. durch die Funkle //,'/?,,
■■i Bcbneiden. Folgender Gedankengang fuhrt i
di«6er Sehueo. Wir aiehea durch ff, (F'g- 3}
welche« durch ft*m, hammnisch getrennt wird,
■ngebärt, für welche A,*m, die Doppelstrahlen sind- «in'', schneide A'»
ras|i. in OP, O'P'. C'onstruiren wie dann die Kegelschnitte /f„*, AV*i welche
*■* twp. in OP, (fP' berühren und welche m, zur Tangente haben, so aind
diese zn einander cenlrisch collinear iu einer Collineaiion, für welche vtf,
A** Centrnm and m, die Ase ist. Folglich gehen durch <V, ein Paar
g«uietn«anier Tangenten ([/', an diese Kegelschnitte. Ferner erkennen
wir, dau sowohl AV als A',/^ mit sich seihst in centriscber Involution
«tahen für H, als Centmm und h^ als Axe. Folglich müssen die Tan-
geDtcn ',,''1 durch A, A,' harmonisch getrennt werden.

LasBon wir nun das Paar n', n>', die Involution /ju, durchlaufen und
Goastraireo wir die entsprechenden Werlhe /,, t\, so bilden letztere eine
iBrolntioa J», für welche A,, A,' die Doppelelemenle sind. Die Paare
der Involution /|* siud als.) denen der Involution J» eindeutig angeord-
ort. Zur Involution J» gehört auch das Paar "ijUij, weil dieses durch
h,h' hartnoniiich getrennt wird. Construiren wir daher zu m,»!^ das coi-
ipundirende Paar in der Invululioo /]„, so bestimmt dasselbe swei

Keigtlachnittc AV, welche W doppelt berühren ond Wj, m^, m^ au Tan-
I haben. Es stellt also zwei der gesuchten Berührungsebenen vor.
nderen zwei erhallen wir, indem wir die analoge Construction —

wn //,* ausgehend — durchführen.

' bemerken noch, dass von diesen zwei Paaren von BerUbrungs-
■rbnen nur das eine reell sein kann, wenn ft/jü/j imaginär sein soll;
dpiiii wären beide reell, so mfissten ihre Pole reell sein, also die Ver-
Undangeliuien der letzteren sich in reellen Punkten M^, M^ scbnei-
Non bilden die Pole dit^ner Sehnen aaf einet Ae.t GwÄi^n h tkA

Idff reäp. Scboittpaakteu der Sehnen Paaie der IqvoWiXötx Wttooiä«^'»^

10 Die Curven vierter Ordn. mit drei dopp. InflexioDskooten.

Pole anf h in Bezug auf A '^ Weil aber m^h^h^* eiu Tripel harmonischer
Polaren in Bezug auf K^ ist und weil m^ den Kegelschnitt K^ in reellen
Punkten schneidet, so muss auch eine — und nur eine — der Linien
h aus K^ zwei reelle Punkte schneiden. Auf dieser Linie h ist folglich
die Involution harmonischer Pole hyperbolisch, auf der andern elliptisch.
Nun enthält aber nur die hyperbolische Involution der Pole imaginäre
Paare. Daraus folgt, dass unter den in Rede stehenden Bertthrungs-
Aehnen diejenigen imaginär sind, welche durch den hyperbolischen Punkt
H gehen. Die anderen müssen reell sein.

Gehen wir jetzt von den Berührungssehnen zu den Doppeltangenten
der C^ über, so schliessen wir:

Hat C^ einen reellen und zwei imaginäre Inflexionskno-
ten, so müssen von den vier Doppeltangenten zwei reell und
zwei imaginär sein.

6. Involutorische Lage der C^.

Sei x^x\ ein Paar der Involution /j . x^^ treffe K^ in ^i^i« Con-
struiren wir in diesen Punkten die Tangenten an K^^ so schneiden diese
sich in Sy auf m^ und werden durch m^ und S^M^ harmonisch getrennt.
x\ trifft diese Tau gen ten in zwei Punkten — A\y B\ — der C*. Also wer-
den auch diese durch M^ resp. m^ harmonisch getrennt. Das Analoge gilt für
Punkte von C^, welche auf Geraden durch M^M^ liegen. Wir sagen daher:

6*^ ist in dreierlei Weise zu sich selbst involutorisch.
Centra dieser Involutionen sind die doppelten Inflexions-
knoten. Ihre Verbindungslinien sind die resp. Axen der
Involutionen.

Kennen wir also von C^ einen Punkt A\ und ferner M^M^M^^ so
können wir drei weitere Punkte B'^y C\y D\ bestimmen. Dieselben bil-
den mit J\ ein Viereck, für welches die Punkte M die Diagonalpunkte
sind. Wir wollen dasselbe als ein Quadrupel von Punkten der C^
bezeichnen. Der duale Gedanke führt uns zu vier Tangenten a\, b\y
c'j, d\ — einem Quadrupel von Tangenten — der C*, welche ein
Vierseit bilden, das m^m^m^ zu Diagonalen hat.

Im Allgemeinen hat ein Kegelschnitt mit einer Curve vierter Ord-
nung acht Punkte gemein. Denken wir uns nun durch ein Quadrupel
von Punkten der C^ einen Kegelschnitt gelegt, so ist für denselben M^ M^ M^
ein Tripel harmonischer Pole. Sei dann E\ ein weiterer gemeinsamer
Punkt dieses Kegelschnittes und der Curve C\ so müssen die drei übri-
gen gemeinsamen Punkte F\y G\y H\ mit E\ ein Quadrupel von Punk-
ten bilden. Wir schliessen daher:

Hat ein Kegelschnitt — K^ — mit C^ ein Quadrupel von
jPankten ^emeinaBm, so liegt auf ihm ein zweites Quadrupel
ron Punkten.

««Ol

C ist TOD der secljsten Clnss«, hat also mit eiDem KpgnUchnitte
sarftlf Tangenten gemt-insam. Wird dieser von einem Quadrupel von
iDgcnten der C* berührt, so ccliliessen wir — analog wie oben — , dase
I weiteren getneinsHmcn Tangenten mit C' zw<>i Qaarlruprl bilden.
OoDitruiren wir in einem Pnnkle A', von C* die Tnngente </,, ho
wird durch ^'i "', und die Funkle, welche mit ^'j ein Quadrupel bilden,
«in Krgelflctiriitt ^* beetiramt, der C in den Punkten dieses Qnodinpels
bfiülirt. Nun liegen anf '"* unendlich viele Quadrupel von Punkten.
Wir aagun daher:

Uio Cvrve t'< wird von unendlicb vielen Kegelsobnitten
A'* berttbrt, and zwar von jedem in den Punkten eines Qua-
drapeU.

FQr den Fall, dass Af,IU^J^g reell sind, werden die Elemente eines
Qaadmpels der C* entweder alle reell oder alle imaginär sein. Sind aber
lUfM^ imaginär, so können von den Elementen eines Quadrupels nur
iwei reell sein nnd diese liegen «nf einer reellen Geraden ans einem M,
ie*p. sie schneiden sich in einem reellen Punkte einer Geraden m.

7, EegelBOlmitte A'^.
Wir wenden uns au den KegeUebnitten fi\ welche 6» in den Puuk-
t«n eines Quadrupels berühreD. Sei ä'^* ein solcher Kegelschnitt, der das
PDnkt<]uadrapel A\B'^C',ß\ nnd das in diesen Punkten berührende
Tugentenquadrupel a\li\r\il\ enthält, so suchen wir — von ^^^ aus-
gelitod — einen Kegelschnitt H*, vermittelst dessen wir nach der in I
umgebenen Methode die Curve C* eriengen können, welche von A",'
in J\ b\ C\ b\ berührt wird.

Za diesem Zwecke knüpfen wir an die Tangeiitenconstractiou in
ciDem Puukle A\ von ('* an. welche unter 2 enlwick'dt wurde Dort
lw»limmtcn wir die Tangente n\ in A\ unter Zuhilfenahme der Tangente
"i in A^ an Ä"', Jetzt snuhen wir -i,«, und kenuen A\<t\. Nehmen
«ir an, es sei eine beliebig durch A\ gezogene Gerade n, die Tangente
u einen Kegelschnitt ä^, B« müssen die Linien ni,, /n,, nig, «',, o, ciuen
Kegelschnitt k'g' nmhüllen Zeichnen wir in ihm l'ür a, den Berührungs-
punkt J,, so wird durch u, ^[ ein Kegelschnitt A '* bestimmt, welcher
<V,.H,W, sum Tri|3el barmoniscber Pole bat. Wir können nun zeigen,
liui dieser Kegelschnitt A'^ in Uezng anl' 6'' die Eigenschaften des ge-
»eliten Kegelschnittes A'- besitzt.

Bezeichnen wir nÄmlicb mit «, h^ , C\ r^ , IJ, rf, (Fig. 4) die Ponkte nnd
Tangenten von A"*", welche von .J,a, durch die Punkte nnd Geraden Htm
harmonisch getrennt werden, und liege .4, ß, anf einer Geraden Xf durch 'V,,
t',/', anf einer Geraden j, duroh fl/, , so bilden iE, y, mit m,™, eine barmo-
■bell« 0 nipp« Seien dann J^'jy', die Geraden dnTc\i M,, ^ÄuVe A\Tf ^
ntp- C, &", mit eiaander verbiadeu , so sind auch dies© ÄUttV m^tn^V*'''^'*'

12 Die Curven vierter Ordo. mit drei dopp. Inflexionsknoten.

nisch getreontt Daraus folgt nach einem bekannten Gesetze, dass die Paare
x^x\y yiy\y ^2^3 einer nnd derselben Involution J^ angehören. Weiter
bemerken wir, dass b^ zu a^ nnd B\ zu A\ centrisch collinear liegen in einer
Oollineation, deren Centmm M^ and deren Axe m^ ist. Da wir nnn vor-
'ausgesetzt baben, dass a^ durch d\ geht, so muss infolge der angedeu-
teten Lage auch b^ durch B\ gehen. In analoger Weise können wir
zeigen, dass C\ in c^ und D\ in d^^ liegt. Mithin sind die Punkte A\^
B\y C'j, D\ und ihre Tangenten a\^ ... d\ mit Hilfe von Af** und /j
nach der in 1 resp. 2 entwickelten Methode gefunden. Nun giebt es
aber nur eine C\ welche durch M^M^M^ und die acht Elemente A\^ ... D\,
a\ ... d\ geht. Bestimmen wir also aus A*^ und /| nach der Methode
von 1 weitere Punkte einer C\ so müssen diese auch auf der Curve
vierter Ordnung liegen, welche in A\ ... D\ von a\ ... d\ berührt wird.
Mithin fällt £** mit dem gesuchten Kegelschnitt E* zusammen. Er be-
rührt C^ in den Punkten eines Quadrupels, das auf den Doppelstrahlen
der Involution J^ liegt.

Drehen wir jetzt a^ um J\^ so gehört zu jeder Lage von a^ ein
Kegelschnitt Af* und wir gelangen so zu den unendlich vielen Kegel-
schnitten, welche C^ in den Punkten eines Quadrupels berühren. Jeder
dieser Kegelschnitte K* mit zugehöriger Involution J^ kann den Kegel-
schnitt K* und die Involution /^ in 1 ersetzen. Berücksichtigen wir,
dass sich analoge Resultate für die Scheitel Af^^s ergeben, so schlies-
sen wir:

Aus jedem der unendlich vielen Kegelschnitte A^^ welche
C^ in den Punkten eines Quadrupels berühren, lässt sich
diese Curve nach der in 1 angegebenen Methode erzeugen
und zwar je mit Hilfe einer Involution 7« (a: = l, 2, 3), deren
Doppelstrahlen die Verbindungslinien von M^ mit den Qua-
drupelpunkten auf IC* sind.

Durch jeden der jetzt gefundenen Kegelschnitte K* wird eine qua-
dratische Transformation von der Art geleitet, wie die unter 2 betrach-
tete war. Construiren wir in allen diesen Transformationen die Kegel-
schnitte if'/, welche einer Geraden g correspondiren, so bilden diese
eine Schaar, welche g^ m^ m^ m^ zu gemeinsamen Tangenten hat. Durch-
läuft g die Ebene, so repräsentiren sämmtliche Kegelschnitte IC^* ein
Netz, für welches iHj, m,, m^ die Grundtangenten sind. Greifen wir aus
diesen Kegelschnitten HCp* irgend einen heraus und sei g eine seiner
Tangenten, so correspondirt er g in einer quadratischen Transformation,
deren Leitcurve auf folgende Weise gefunden wird. Wir ziehen aus den
Punkten, in welchen g die Curve 6'^ schneidet, die zweiten Tangenten
an iCg*. Diese müssen auch S* berühren, und da Überdies die Punkte
A/j, j¥g, A/g ein Tripel harmonischer Pole für IC* sind, so ist dieser Kegel-
scbaitt bestimmt.

ZasamineDhaDg zwischen den Eegelsobnitten fC^ und den
Involutionen J.

£• ist miso ein Kegt^lschnitt A',* jeder eeiner TftngenteD in Being auf
rinen Kc■g<^lscllniU h* zugeordnet. Wir können dies auch so aasdrücben:
Jnde Tangente eines Kegelschnittes A'^' cnrrespondirt einem Kegelschnitt
i'* und C* erscheint als der Ort der Schnittpnnkte dieser Tangentea mit'
d«D gemeinssmen Tangeoten von A'/ und den resp. Kegelschnitten A'^

IWir antersnchen nun, in welcher Weise die Kegelschnitte A'^ von
n Involntionen J abhängen. Zuerst lieben wir hervor, dass m^m^ ein
gmieinsMiiei Paar für alle Involntionen J, nntl Für alle lovolutionen ^i*
in Bexag auf die verschiedenen Kegelschnitte A' ist. Also scbnridi^D
leutere m, in Paaren einer Involution, für welche iV,, JV^ die IJoppel-

Knkte Bind. Den Strahlen nns M, nach tlc.n Schnittiinnkten von A'' mit
eormpoadiren' in den Involulionen y, die luflexionstangente.n (, , i'
AT, an C*. Sind letztere reell, ao müssen also auch die ScJinitlpunkte
Jer Kegelschnitte A' mit m, reell sein, Da das Analoge för die Invo-
lulionen an den Scheiteln ;W(, M^ nnd för die Schnittpnnkte von AT* mit
■|, Mj gilt, so schliessen wir:

^Eine Gerade m schneidet entweder BfimmtHche Kegel-
nitle X* reell oder imaginär.
Das Viereck der Schnittpunkte eines Kegelschnittes A'^ mit zweien
in Geladen m ist, wie nir oben (4) gesehen, dem Viereck der Schnilt-
panbte der Inflexioostangenfen in zwei resp. Punkten il eingeschrieben.
Koo ist das letztere Viereck nur von C* abhängig. Ziehen wir daher
Onrch eine seiner Ecken — sagen wir T^^ in Fig. 2 — eine beliebige
Gerade, so trifft diese ™, resp. m^ in zwei Punkten — S, , 5/ -^ eines
Kpgdwhnittes A"' und derselbe ist durch diese Bwei Punkte bestimmt.
Zogleich erkennen wir, dass stets zwei Vierecke der 5 gezeichnet werdnn
köuDen, welche dem Vierecke der 7 eingeschrieben sind nnd welche sich
in iwei Punkten auf einer Linie m schneiden. Zu jedem dieser Vier-
ecke gdhtirt ein Kegelschnitt Ä"' und es berühren sieb also diese Kegel-
Kknilltr ]iaarwcUe in je zwei Punkten einer Linie m.

Fflr die Involution J, ist M, ^„ jt/, ^\ (Fig. 4) ein Paar. Lassen
wir nnn A', fest, so bangen die verschiedenen Werthe der Involutionen
/, »nr vom Orte der Pnnkto A, ab, da wir oben gesehen, daes "CgOij
allen Invulntiunen J^ gemeinsam ist. Wir untersuchen also den Ort der
Panitt« .4, . >*i wurde gefunden als Berührungspunkt eines Kegelschnittes
4*/, dnr w, , m,, «'., 'i,, a\ xa Tangenten batie. Drehen wir nun a, um
J'f, ao bilden sämmiliche Kegelschnitte A",,' eine Scbaar, für welche m^^
■,, «|, o', die GranülaDgeaten sind, Conatiniten "Mix wk.\i iftro ?)».\.ift
ntt BfiMoehou — Fig. 5 — »af dem BübcIio\ doT a^ Vti 4ft^ ^«tA-

I

16 Die Cnrven vierter Ordn. mit drei dof p. Inflezionsknoten.

Legen wir durch zwei Punkte J\y E\ von C* und durch
M^M^m^ einen Kegelschnitt if^•^ 8o sind die Geraden, welche
A\E\ mit einem beliebigen Punkte von Ä,„* verbinden, Tan-
genten eines Kegelschnittes /f^ der C^ in den Punkten einet
Quadrupels berührt.

Jeder Kegelschnitt durch M^M^M^ enthält ausser ^diesen Inflexions-
knoten noch zwei Punkte der C^ also muss er von der Art der Kegel-
schnitte Kfg? sein. Diese repräsentiren mithin das Netz der Kegelschnitte,
welche M^M^M^ zu Grundpunkten haben. Ist A\ dem E\ unendlich
benachbart, so berührt der zugehörige Kegelschnitt Kn? die Curve C^
Er ist von der Art der in 8 besprochenen Kegelschnitte K^.

Gehen wir nun zu den Involutionen /|, J^y «^3 über und Übertragen
wir dieselben auf einen Kegelschnitt üfn,^, so wissen wir, dass ihre Pole
(3) in einer Geraden liegen. Diese Geraden gehen durch einen Punkt 7.
Denn construiren wir z. B. die Pole der Involutionen J^, J^, so li^en
diese auf m^ rosp. m^. Jedem Kegelschnitt K^ ist ein Pol in m^ und
einer in m^ zugeordnet. Also bilden diese Pole projectivische Reiben.
In denselben entspricht sich der Punkt M^ selbst; also sind diese per-
spectivisch und die Verbindungslinien entsprechender Paukte gehen durch
einen Punkt T, Auf diesen Verbindungslinien liegen aber auch die Pole
der Involutionen J, und unsere Behauptung ist damit bewiesen.

Wir erhalten nun T durch folgende Ueberlegung. Der Strahl aus
Ifj nach A\ ist ein Doppelstrahl einer Involution J^. Diese gehört su
dem Kegelschnitt Ä'*, welcher in A\ die Curve C* berührt. Zu dem
gleichen Kegelschnitt A* gehören aber auch die Involutionen Jj resp. J3,
für welche M^A\ resp. M^A\ je ein Doppelstrahl ist. Also liegen die
Pole von J^^J^, J3 in der Tangente, welche h„? in A\ berührt. In ana-
loger Weise schliessen wir, dass die Involutionen, für welche M^E\t
Jfj E\y M^ E\ je ein Doppelstrahl ist, ihre Pole auf der Tangeute haben,
welche in E\ an Kn? geht. Folglich muss der Schnittpunkt der Tan-
genten in A\ und E\ an AV der gesuchte Pol sein. Wir sagen daher:

Construiren wir die Pole der zu den Kegelschnitten A''
gehörigen Involutionen J^, J^, J^ in Bezug auf einen Kegel-
scnitt äV, so liegen diese Pole in den Geraden eines Bü-
schels. Dasselbe hat zum Scheitel den Pol derjenigen Gera-
den, welche die Schnittpunkte A\E\ von C* und A'« ver-
bindet.

Es JHt durch das Gesagte jedem Kegelschnitt A * eine Tangente «,
durch A\ und eine Gerade t durch T zugeordnet. Also bilden die Ge-
raden a^ und die Geraden t zwei zu einander projective Büschel und der
Ort der Schnittpunkte entsprechender Strahlen ist ein Kegelschnitt. Der-
^elhe gebt dareb A\ TM^M^M^. Er berührt xx, A\ die Curve C*. Deun
betracbten wir die Ikngenie in A\ an K„,* aVs eAUi^ G^^tti^^ ^^i^^W^si^NÄ

Sind jU,3f,3f^ reell, so erkennet) wir leicbt mit Hilfe de» Kegel-
KfaDtUee A',^ ob ein KegelBchnitl />' die Carve C* in einem reellen oder
iaaginSreD Qa^drapel berührt. Evsteres wird eintreten, ^^enn die Uoppel-
•Uklüen der Invulntionen 7,, J^, .1^, welcbe zd h* gelitiren , alle reell
lind. Dies büugt von der gegenseitigen Lage der Punkte Ay, a\ «b nnd
«iid immpr hlattliftden, wenn ^J, nnd A\ zwischen den aünilichen Bweien
der drei Pnnkle ilTgelegeii sind. Dann triB't □, die Geraden m in Pnnk-
teo, für v«lcbe die Involutionen hariDDaiscber Polaren in Ilezng auf K,'
hjpetboli«cb sind. Dementsprechend werden auch y, J, Jg hyperbo»

In j«decD Bodern F«Ue ist das Quadrupel imaginär, liegt aber, du

iae der drei InTolulionen /,, /,, 7, stete bjperbulisch ist, auf den zwei

BlU'n Geraden dieser byperboliBcheu Involution nnd Überdies auf einem

eilen Kegelmhnitt A*. Daher ist e.a dnrch reelle Elemente Tollkommen

inirl.

JedeT Punkt a\ der Cnrve C* führt auf die angegebene Weise lu

n KegeUcbnilt A',\ Wir können denselben als Ort aller der Pnnbtc

anfr»8>ien, welche dorn Punkte j', in Bezng auT sKoimlliche Kegel-

(cbnitle A'' zugeordnet hiud. Daraus schüessen wir aber, dass jeder

K»geUcbu!tl, der dnrcli MfM^M^ und zwei in Bezug auf einen Kegel-

scboitt A* einander zugeordnete Punkte //,, A\ geht, ein Kegelschnitt

X,' ist und als» f* in M\ berührt. Kennen wir daher Jlf,jK,K, ^, -*',,

so kttnnen wir den Kegelschnitt A*,* benutzen, um in A\ die Tangente

■a C* BD construiien. Wir erhalten dann eine Cousiruction, welche der

in 2 entwickelten dual gegen übersteht.

»&. Net2 der Eeselsohnine durch M^M^M^.
Wir ItBnnen die Kegelsclmitte A',* einer allgemeinen Gruppe von
KagelBchnittea unterordnen und geben zu diesem Zwecke Viin awei Funk-
t«n A\, ä'i der (.'* aus. Jedem derselben entspricht in Bezug auf einen
Kvgelscbnilt A** ein Punkt von Ä'^ — sagen wir a\ d>-r Punkt .4^ nnd
E\ der Punkt ^i. Dann sind A\A^ oder n, nnd &', i', oder e, Tbu-
genicD an A'^ Lassen wir nun A'* alle möglicbea Werthe annehmen,
■u erballea wir unendlich viele einander eindeutig zugeordnete Tangen-
tsDpaare <i|^, darirb A', resp. £''|. d, h. zwei zn einander pvojectiviscbe
btlpchrl »oo Tangenten. Der Ort der Schnittpunkte entspreehender Tan-
genten dieaer Büschel muss also ein Kegelschnitt — A'n" — sein- Der-
f-^lli« gebt durch A'j E\, weil diese Punkte diu Scheitel der erwähnten
Hbn^ecli viseben Büschel üind. k^r eitthäh M ^ M^ Mg , da wir diese Pnnkte
[^ reap. die Inflexienstangenten in ihnen -- aU degenerirte Kegelschnitte
AT' anrfaaaea mÜMeD. A„* ist also durch JU, Al^ M^ .4\ E\ >5<M>^:\f&'inv<
Sna tfMrvo -J'i f-", beliebige Paukte von C*. Wir B«\\VveB*eö 4n.V»sf.

18 Die Carven vierter OrdD. mit drei dopp. Inflexionsknoten.

bilden alle Kegelschnitte Afm^ welche durch J\ gehen, ein Büschel. Mit
Hilfe jedes Kegelschnittes dieses Büschels können wir die Tangente in
J\ an C^ constrairen nnd erhalten dabei stets denselben Kegelschnitt R^K
Folglich ist dieser der Ort der Pole sSmmtlicher Geraden ^\E\ in Be-
zug auf die resp. Kegelschnitte ÜTm^. Wir können daher die Punkte von
C^ auch nach folgendem Gesetze finden:

Wir gehen aus von einem KegelschnittbUschel mit den
Gruudpunkten M^^ M^^ M^^ A\, Af«^ sei ein Kegelschnitt die-
ses Büschels. Ziehen wir durch A\ eine Gerade und betrach-
ten wir diese als Tangente eines Kegelschnittes — K^ — dös
Büschels, 80 ist dieser dadurch individualisirt. Schneidet
dann diese Taugente den Kegelschnitt AT«^ ein zweites Mal
in 7*, so trifft die Polare von T in Bezug auf Kn? diesen Ke-
gelschnitt in einem zweiten Punkte — E\ — der C*. Wir
können dies auch so ausdrücken:

Die Pnnkte des Kegelschnittes K,^ sind den Übrigen
Kegelschnitten Km? des Büschels in der Weise zugeordnet,
dass die Polaren dieser Punkte in Bezug auf ihre correspon-
direnden Kegelschnitte sich in einem Grundpunkte A\ des
Büschels treffen. Dann liegen die Schnittpunkte dieser Po-
laren mit ihren resp. Kegelschnitten auf einer C^,

Die letzterwähnten Constructionen gestatten uns, C^ durch Punkte
und Tangenten rein linear zu construiren, wenn wir itfj, itf^, M^ und
zwei weitere Punkte oder einen Punkt mit seiner Tangente kennen.

11. Eneugong von C^ ans Kegelschnittbüscheln nnd -Schaaren.

Wir gehen aus von den Kegelschnitten K^^ welche zwei Quadrupel
von Punkten der C* enthalten. Ein Quadrupel — A\ B\ C\ D\ — Hegt
mit jedem andern auf einem solchen Kegelschnitte und die Gesammtheit
dieser Kegelschnitte bildet ein Büschel B^ das A\B\C\D\ zu Grund-
punkten hat. Das Strahlenpaar, welches von einem der Pnnkte M —
sagen wir M^ — ausgeht und das einen Kegelschnitt des Büschels B^ in
den Punkten eines Quadrupels schneidet, wird durch m^m^ harmonisch
getrennt. Mithin bilden alle diese Strahlenpaare eine Involution — /jm — ,
für welche m^, m^ die Doppelstrahlen sind. Ordnen wir nun jedem Qua«
drupel den Kegelschnitt des Büschels B^ zu, auf welchem dieses Qua-
drupel liegt, 80 ist damit auch jedem Strahlenpaare der Involution Jim
ein Kegelschnitt des Büschels B' zugeordnet. B^ und J\m sind zu ein-
ander projectivisch. In dieser Projectivitftt correspondiren den Doppel-
strahlen der Involution J\m die Kegelschnitte des Büschels B^ welche
in die Geraden durch M^M^ zerfallen. Der Kegelschnitt aber, welcher
la den Onindpankten A\^ ... D\ des Büschels die Curve C^ berührt,

den Strmblea durch M^ entsprechen, ve\c\ie d\^ Qctxxtk^^uikVLV^ d^a

Von Dr. C. Bbyrl. 19

Büschels verbiDden. Scbueidt'u wir da» Büschel B^ und die luvolutiou
/iM mit m, , 80 erhalten wir in dieser Geraden zwei zu einander projec-
ÜTische Punktinvolntionen , für welche M^M^ sich entsprechende Paare
find. Jedes Quadrupel von Punkten der C^ führt in Bezug auf einen
Punkt M zu einer Projectivität der erwähnten Art.

Eine andere Projectivität erhalten wir, wenn wir irgend zwei Bü-
sehel B' durch 6'^ aufeinander bezogen denken. Seien diese Büschel mit
Bj', B,' bezeichnet und haben sie yi\y B\^ C, , D^ resp. E\^ F\, G\^ H\
SQ Orandpunkten , so schneidet jeder Kegelschnitt K^ des Büschels B^^
die^Carve C^ in einem zweiten Quadrupel von Punkten. Durch dieses
and die Grundpunkte des zweiten Büschels B2^ geht ein Kegelschnitt k^.
Auf diese Weise sind durch C^ die Büschel B^^, Bg^ zueinander projec-
tivisch gemacht. C^ ist Erzeugniss der projecti vischen Büschel.

Untersuchen wir die Projectivität näher, so erkennen wir, dass den
drei degenerirteu Kegelschnitten des einen Büschels, welche durch Jf, ,
1^, M^ gehen, die degenerirteu Kegelschnitte des andern entsprechen.
Unter den Kegelschnitten jedes Büschels ist einer, der C^ in den Grund-
punkten des Büschels berührt. Ihm correspondirt im andern Büschel
jeder Kegelschnitt, welcher durch die Grundpunkte des ersteren Büschels
geht Wir können dies auch so ausdrücken: Dem Kegelschnitt durch
die acht Grundpunkte beider Büschel entspricht in jedem Büschel der
Kegelschnitt, welcher C^ in den Grundpunkten dieses Büschels berührt.

Haben wir jetzt die F^rojectivität der Büschel Bj^ B^ durch C* ver-
mittelt gedacht, so können wir umgekehrt C^ aus zwei solchen Büscheln
^nengen und dies dahin aussprechen:

Sind zwei Kegelschnittbüschel, deren Grundpunktvier-
^^ke dieselben Diagonalpunkte M^^ M^^ M^ haben, in der
"^eise aufeinander bezogen, dass die degenerirteu Kegel-
ichnitte durch denselben Punkt M sich entsprechen, so ist
<l^r Ort der Schnittpunkte correspondirender Kegelschnitte
beider Büschel seine Curve C\ für welche üf^, If^, M^ dop-
pelte Inflexionsknoten sind.

Ein dualer Gedankengang wie der jetzt durchgeführte ergiebt Er-
s^gnngsweisen der C^ aus Kegelschnittschaaren. Die Tangenten eines
Qaadnipels der C^ sind Grundtangenten einer Schaar. Dann wird durch
^ eine ein -zweideutige Projectivität zwischen den Kegelschnitten dieser
Schur und den Paaren einer Involution vermittelt, welche zwei Punkte M
n Doppelpunkten hat; denn jeder Kegelschnitt der Schaar enthält ausser
aen Omndtangenten noch zwei Quadrupel von Tangenten der C^ und
di«ie schneiden die Geraden m in den Paaren der angedeuteten Involu-
tioaeii.

Weiter kann 6'* dnrch zwei Sebaaren erzeugt ^eitdeU) di^i^ii ^\\k\i^-
^^V^teorlersßUe dieeelheo DiAgonalen haben und we!\c\ie äcv ä\!l^^\xv^'c^^^x

20 Die CnrveD vierter Ordn. mit drei dopp. iDflexionsknoten.

bezogen sind, dass jedem Kegelschnitt der einen Schaar swei der andc^
entsprechen. C^ ist Enveloppe der gemeinsamen Tangenten entspreche
der Kegelschnitte.

12. Büschel der sich doppelt bertihrenden Kegelsohnitte K^*.

Wir wollen nun die Kegelschnitte A'q^ nach einem neuen Gesielt
pnnkte gmppiren nnd schicken zu diesem Zwecke eine allgemeine ^E
merkung über Kegelschnitte voraus.

Sei K* ein beliebiger Kegelschnitt und sei M^ , m^ in Bezug auf d ^
selben Pol und Polare. Ziehen wir dann durch M^ zwei Gerade aPj , fl? ',
welche K^ in A^ B^ E^ F^ treffen sollen, so schneiden sich die Verbinduagi
linien dieser Punkte in einem Tripel harmonischer Pole in Bezug auf A^
M^ ist für dasselbe eine Ecke. Die beiden anderen — Z, Z' — lie^n
in fUj. Construiren wir sodann die Tangenten in jI^B^E^F^ an /^^ so
treffen diese x\ resp. rr, in Punkten — J\ B\^ ^\^\ — i deren Verbio-
dungslinien ebenfalls durch die Tripele.cken M^ZZ' gehen. Mithin haben
alle Kegelschnitte, welche durch die vier Punkte A\^ B'^y Ä',, F\ gehen,
mit dem Kegelschnitt A'^ das Tripel M^ZZ' gemeinsam.

Sei nun K^ einer der Kegelschnitte, welche C^ in den Punkten einei
Quadrupels berühren, und sei x^x\ ein Paar der zu K^ gehörenden !»•
volution Jj, so sind A\y B\y E\^ F\ vier Punkte von C*. ZeiehoeD
wir dann zu x^x\ die vierten harmonischen ^x^i ^^ Bezug auf mg*"!*
so liegen auf yif/'i die Punkte C\ D\ resp. G\ H\ der C\ welche A\ B \
resp. E\ F\ zu zwei Quadrupeln ergänzen. Durch letztere geht *>^
Kegelschnitt A',*, der mit Ä'* das Tripel m^m^tn^ gemeinsam hat. Da »bei
auf A'g* auch die Punkte A\j B\^ E\y F\ liegen, so ist nach der ob«*"
gemachten Bemerkung auch M^ZZ' ein Tripel harmonischer Pole f&r '
und Kq^, Also ist die Involution harmonischer Polaren — J\k — um *
fnr A'* und A',* dieselbe. Mithin müssen sich Ä'* und A^,* in zwei Pa*^^
ten von iw^ berühren. Heben wir noch hervor, dass yiy\ ebenso "^^
x^x\ ein Strahlenpaar der Involution J| ist, so schliessen wir:

Zwei Strahlenpaare einer Involution /j, welche dur* ^
vi^m^ harmonisch getrennt sind, enthalten zwei Qnadru^
der C\ die auf einem Kegelschnitte A'^* liegen, welcher d ^
zu Ji gehörenden Kegelschnitt A'^ in zwei Punkten von
berührt.

Wir erhalten so ein Büschel sich doppelt berührender Kegelscbni '^
ATy*, welche zu demselben Kegelschnitt A'* resp. zu derselben Involuti ^
J^ gehören. Wir können nun zeigen, dass in diesem Büschel ausser^
noch ein Kegelschnitt — Ä'** — vorkommt, der C* in den Punkten ei
Quadrupels berührt. Wir construiren ihn und seine Involution J* ni
folgender üeberlegnng. Es giebt in jeder Involution — also auch in J^
stets ein StrahlenpRUTy das mit einem gegebenen — %^^<^ii Vvt m^m^

Von Dr. C. Bbybl. 21

^^ ^ -* '

eine harmonische Gruppe bildet. Haben wir die Involntion J^ auf einen
Kegebchnitt H^^ welcher durch M^ geht, übertragen (Fig. 6), so finden
wir dieses Paar, indem wir m^m^ als Doppelstrahlen einer Involution Jim
betrachten, ihren Pol Jim mit dem Pole von J^ verbinden und mit dieser
Linie B* schneiden. Die Strahlen ^|^, A|* aus M^ nach diesen Schnitt-
punkten repr&sentiren das gesuchte Paar. Auf ihm liegen vier Punkte
^\t ^\\ ^'\% ^\ der C^. Ergänzen wir dieselben zu zwei Quadrupeln
a\ ... If^^ E\ . .. H\y so fallen C\ D\ mit E\ F\ und G\ R\ mit A\ B\
zusammen. Also muss der Kegelschnitt, welcher durch diese zwei sich
deckenden Quadrupel geht , dem Büschel der Kegelschnitte K^ angehören
und C^ in den Punkten A\^ B\^ E\^ F\ berühren. Es ist der gesuchte
Kegelschnitt AT« (vergl. 8).

üeber die gegenseitigen Beziehungen von Ä'^iT^^resp, JiJ* machen
wir noch einige Bemerkungen. Im Hilfskegelschnitt H^ bilden die Pole
der Involutionen /j, J\mt J* ein Tripel harmonischer Pole und es wer-
den somit J^y J* durch m^m^ harmonisch getrennt. Daher kann bei
reellem 17121113 nur eine der Involutionen J^, J* reell sein; dementspre-
chend wird nur einer der Kegelschnitte A"^, K*^ die C^ in reellen Punk-
ten eines Quadrupels berühren, wohl aber ist es möglich, dass beide
Kegelschnitte mit C^ imaginären Contact haben.

Ist m^m^ imaginär, also Jim elliptisch, so sind die beiden Involutionen
y, , /j* hyperbolisch.

Sei nun A\ ein Punkt von C^ auf x^, so gehört zu ihm sowohl ein
Punkt A^ auf Ä'*, als ein Punkt A^ auf Ä'*^ A^^ J^ sind Berührungs
punkte von Tangenten aus A\ an K* resp. K** und müssen in den Ge-
raden x\ resp. y\ liegen, welche x^ in der Involution J^ resp. J^ ent-
sprechen. Kennen wir daher A'^, J^ und haben wir auf angegebene
Weise J* bestimmt, so erhalten wir einen Punkt mit Tangente von K*^
— unabhängig davon, ob letzterer Kegelschnitt die Curve C^ reell oder
imaginär berührt — nach folgendem Verfahren. Wir gehen aus von A\
auf a^j, suchen zu x^ den entsprechenden y\ in der Involution J^ und
den entsprechenden in der Involution J^. Letzterer trifft m^ im Pole
von x^ in Bezug auf K*^ und durch diesen Pol und A\ geht die Tan-
gente, welche K*^ in einem Punkte A* von y^ berührt. Damit ist dieser
Punkt mit seiner Tangente und also auch K"^^ gegeben.

Fuhren wir den analogen Gedankengang durch, indem wir von M^
resp. Jfg ausgehen, so finden wir, dass sich die Kegelschnitte K^ auch
in Büschel grappiren lassen, für welche die Berührungspunkte in m^ resp.
m^ liegen. Jedes dieser Büschel enthält zwei Kegelschnitte, die C^ in
einem Quadrupel berühren.

Nun haben wir unter 3 gezeigt, dass eine Gerade m sämmtliche
Kegelsehnitte AT' entweder reell oder imaginär 8c\iue\det. S^di^i ^<^%«\-
•cboiM J'* wird aber von aaendlicb vielen KegelficWillen K^ v^ ^w

22 Die Curven vierter Ordn. mit drei dopp. InflexionHknoten.

Schoittpniikten berührt. Lassen wir K* seine nnendlich vielen Werthe
darchlanfen, so erballen wir ibnen entsprechetid unendlich viele Büschel
von Kegelschnitten Ar^^' nnd diese stellen uns die Gesammtheit der Kegel-
schnitte Kf^ vor. Es folgt also, dass auch diese von einer Geraden m
entweder alle reell oder alle imaginär geschnitten werden.

Ist M^M^M^ reell, so wird jeder Kegelschnitt K^ von zweien der
drei Linien m reell geschnitten und dann reprSsentiren die Kegelschnitte
Af^ K^ die Gesammtheit aller der Kegelschnitte, welche M^M^M^ zum
Tripel harmonischer Pole haben und welche dieselben zwei Linien m reell
schneiden. Wird M^M^ imaginär, so können alle Kegelschnitte, welche
M^M^M^ zum Tripel harmonischer Pole haben und welche m^ reell
schneiden, als Kegelschnitte K^ resp- K^ auftreten.

13. Die Tangenten von C^.

Wir wenden uns zu den Tangenten der C^ und knüpfen an das an,
was wir in 2 und 8 über dieselben sagten. Die Constructionen , welche
dort aus J^ und K^ entwickelt wurden , lassen sich in analoger Weise mit
Hilfe irgend eines der Kegelschnitte A'^, welche C^ in den Punkten eines
Quadrupels berühren, und der zugehörigen Involutionen Jy^ resp. /ji *^8
«i^.jführen. Je nachdem wir dazu einen Kegelschnitt Kg^ oder K^ ver-
wenden, bedienen wir uns des Satzes von Brianchon oder Pascal.
In beiden Fällen erbalten wir folgendem Schema der Construction. Sei
A\ ein Punkt von C^ A^ sein zugehöriger in Bezog auf einen Kegel-
schnitt K^» Dann ist A\ A^ oder a^ die Tangente in a^ an K^, Nun
bringen wir /Vj^\ mit M^A^ zum Schnitte. (Fig. 7.) Den Schnittpunkt
— T\»2 — verbinden wir mit 5^, dem Schnitte von r/j und m^. Ziehen
wir S^T\»^^ so schneide diese Gerade m^ in 6''^. Letzterer Punkt ist der
Schnittpunkt der gesuchten Tangente a\ in A\ an 6'^ mit m^. Zum
nämlichen Resultat führt auch folgende Construction. Sei T^^' der Schnitt-
punkt von M^A^ mit M^A\^ so verbinden wir diesen Punkt mit ^^, dem
Schnitte von m, und a^. Diese Verbindungslinie treffe m^ in S\. Dann
ist S\ ein Punkt von u\.

Setzen wir an Stelle von M^ die Punkte üf^, üf,, so erbalten wir
vier neue Tangentenconstructionen. Also können wir im Ganzen auf
sechs verschiedene Weisen (Fig. 7) die Gerade a\ bestimmen. Je zweimal
gelangen wir dabei zu einem Punkte S\ Nach der eingeführten Bezeich-
nung liegen in Geraden die Punkte S^^ S\^ T^^\ ferner S^, S\, T^^' u. s. f.
S'i können wir aber auch finden , indem wir von einem beliebigen Punkte

P^ auf m^ ausgeben. Wir ziehen /^g^'i (^i^- '^)* Diese Linie schneide M^A^^
in Alp, Letzteren Punkt verbinden wir mit At^. M^A\p werde von MyA\

oder M^Ty 2 in Py2 geschnitten. Dann geht die Gerade P^Pvi durch S\,
Wir haben nämlich jetzt zu einer der oben gegebenen Tangentenconstruc-

0 die cenlnsdL-coIliupare gezeichnet in einer Collinealion, für welcbe
^ (lau Centruto and m, die Axe ist. Entsprechende Punkte in dieser Col-
*BciMlioQ Bind! Sj und P,. -i, und ^ip, 7"i-j und /'.-s. Also sind Sf^Vi
gm! Z', /'i'i etiteprechende Gerade und schneiden sich im Punkte S'^ auf m, .
ßarcblütifl nun der Punkt a\ die Curve C* und conBtrniren wir
tiliDailiiuhe Punkte S\ unter Benutzuüg des nämlichen Punktes />„ so
Ji^cn wir nach dem Orte der ächnittpuukte der Geraden P^S\ und
■V,^',. «Iso nach dem Orte der Punkte P,'i. Dinser ist ahbSugig vom
OiUs der Punkte J|p und wir untersiicheii daher zunächst letzteren. Wir
p^blhen die Punkte J,p als ScLoitto der Geraden P,S, und iV^A,. S,
iit»t*ts Pul von jW, J, in Bezug auf deo KegeUchnitt A*. Folglich sind
ÜB Strahlen durch /*, nach den 5, und durch M^ uacb den resp. ^j
Linieu aber den Paaren der Involution harmonischer Pole in m, in Bezug
«f A*. ÄUo liegen die Schnittpunkte dieser resp. Linien auf einem
Kegelwhnitt A'ip', der durch /', nnd iW, geht. Er ist der Ort der Punkte
^,f. M3 ist in Bezug aur ihn Pol der Geraden irig. Er enthSlt die
Pitiikte, in denen A' von vi, geHchuitten wird. (Fig. H.)

nach den Punkten dt^s Kegelschnittes A'ip'
lese mit den resp. Geraden Jfl,A\. so erhal-
rt der letzteren wird also ans li'ip* mit Hilfe
ndem Gesetze ahgeleitet. Wir ziebeit du. j
, welcbe Ai^,* in zwei Punkten x^, y, (Fig. 8)
<n mit M^ seien ^, , y,, und diesen Geraden
die Geraden x^, i/\ entsprechen. Dann
Khodden letztere den Strahl i, in awei Punkten des Ortes der P.
Dnhea wir t, um 3f, und bestimmen wir die Strahlcnpanre X,y^, so
hüllen diese eine Involutinu Jip, für welcbe m^, m^ die Doppelstrahlen
ibd. Uebeftragen wir diese Involution auf den Kegelschnitt Kt^, so
I iit ir, ihr Pol. Nun ist aber m^ni^ ein Paar der Involntian J, nnd da

Iden Kegelschnitt K\/ in Jlf, berührt, so liegt der Pol von J, in Be-
[ auf A'ip* in m,. Wenn wir also zu i,//, die entsprechenden x\y\
3, bestimroi-n nnd ihre zweiten Schnittpunkte mit A',p* durch x\ resp.
Wetcbaea, so müssen sich j",^', und y, t;', tm Pole J, der Involution
all» in einem Punkte auf ni, schneiden. Daraus folgt aber, dass
|f', auf einer Geraden durch M^ liegen. Also sind aucb die Strahlen
I «|, /, ein Paar der luvolntion J\p und es ist jeder Geraden x^ durch
•V, ein Paar der Involution J,p zugeordnet. Ziehen wir dagegen eine
beliebige Gerade .1', durch Jlf,, so correspondirt ihr in /, ein Strahl :r,|.
Dieter trifft A'jp* — ausser iu üf, — noch in einem zweiten Punkte —
'1 — , dnrcb den ein Strahl a, geht. Also correspondirt einem Strahle
I «', durch Jlf, our ein Strahl -r, durch M", .

^^^ Zwei Büschel nnn, welche in der bemerkten Weise ein -zweideutig
^BBOUldfir bezogen sind, erzeugen bekanntlich eine Curve dritter Ordnung 1

Ziehen wir n

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24 Die Cnrven vierter Ordn. mit drei dopp. Inflexionsknoten.

— €%':? — , für welche JKf^ ein Doppelpunkt und IS^ ein einfacher Pnnkt
ist. Die Tangenten in M^ and IS^ an C\'^ sind die resp. correspon-
direnden zum Verbindungsstrahle der Scheitel üf^, IS^. Fassen wir diesen
Strahl als einen solchen des Bäschels um M^ auf, so decken sich in
unserem Falle seine beiden entsprechenden Strahlen in der Greraden m^.
Also fallen die Tangenten in M^ an Ci't? susammen, d. h. M^ ist Spitze
für diese Curve dritter Ordnung. Grehöre aber M^^M^ dem Büschel um
M^ an, so correspondirt diesem Strahle im Büschel um M^ die Gerade
M^P^, Also tangirt diese Ci'2' in M^. Suchen wir ihren dritten Schnitt*
punkt mit Cr 2', so bemerken wir, dass J^^^i ^^° Kegelschnitt A'ip^ be-
rührt. Also muss auch der erw&hnte dritte Punkt in M^ liegen. Daraus
folgt, dass ü^f/s eine Inflexionstangente in M^ an C\'2^ ist.

Weiter erwähnen wir, dass x\y\ durch m^m^ harmonisch getrennt
wird, und schliessen daraus, dass auch die Punkte von Cy2^^ welche in
diesen Geraden liegen, durch M^ resp. m, harmonisch getrennt werden.
Verallgemeinern wir diese Bemerkung, so folgt, dass C\'i^ zu sich selbst
centrisch • involutorisch liegt in einer Involution, deren Centrum M^ und
deren Axe m, ist. m^ trifft die Curve C\»i^ in denselben Punkten wie die
Inflexionstangenten t\, t|* in M^ an CK K\^ schneidet Cy^? in den Punk-
ten , in welchen die Doppelstrahlen der Involution Jj diesen Kegelschnitt
treffen.

Wenn wir jetzt in analoger Weise wie oben P^ mit S\ — dem

Schnittpunkte der Tangente a\ und m, — verbinden und Pt^\ mit M^A\
zum Schnitte bringen, so erhalten wir einen Punkt Ps'^* Der Ort dieses
Punktes ist eine Curve dritter Ordnung — Cyj* — , für welche Afg eine
Spitze ist. m, ist Tangente in dieser Spitze, und in M^ ist eine In-
flexionsstelle mit ^^^t ^^^ Tangente. Analoges gilt für die Punkte P
auf 174 und m^. Sei daher mit Px ein Punkt auf m, bezeichnet und
nehme x die Werthe 1, 2, 3 in der Weise an, dass (r=l die Werthe
y 3=5 2 oder y = 3 correspondiren u. s. f. , so schliessen wir allgemein :

Ist Pg ein Punkt auf m^ und schneidet die Tangente a\
in A\ an C^ die Gerade m, in S'^^ so treffen sich die Linien
PgS'y und MyA\ in Punkten einer Curve dritter Ordnung C^^x*.
Dieselbe hat in M^ eine Spitze mit derTangente m«. Sie be-
sitzt in M^ eine Inflexionsstelle und wird in dieser von
PxM^ berührt.

14. Büschel der Curvea C\

Wir wollen jetzt die Gesammtheit der Curven dritter Ordnung zu
überblicken suchen, welche nach dem obigen Satze hervorgebracht werden
köanen, and betrachten zuerst die Curven, welche den Punkten P^ auf
^ in Bezug auf Af^ zugeordnet sind, d.h. die Cuiv^n Cv!?.

/*, Jie Gi^rode »i, durclilnnren. so gpbStt gn jeder Lage
in Be»Bg auf Ä* ein Kegelschnitt Ä|p», Alle diese Kegel-
'rden in JV, vod m^ berfUirt, BclinetJeii sich in m, mit A*
und fialn'u .W^m, xu Pol oud Polare. Sie sind an einander ceulriscb-
ulliour in einer CnlliueMion , doreo Oentrnm J}/, und deren Axe m^ ist.
&g| jedem dinser Kegelscbtiitte A'ip' leileo wir iDit Hilfe von J, eine
Cntre tVi* ab. Alle diese Curven liaben dieselbe Spitze M, mit der
Tiogfute la^ nnd dieselbe lafiexionsstelle M^, Sie sind su einander
UDlriich-collinear mit lUj rU Centrtini, m, als Axe nnd echnpiden Eich
— »ower in M, .V, — noch in den Punkten, in welchen die Inflexions-
UngCDten in M, an C* die Gerade m, treffen.

Dureb jeden Punkt ,V der Ebene gebt eine Cnrve Ci-j'. Wir erlial-

l«n lie, indem wir hut SI,.V einen Punkt //', der ('* nnd seine Tangente

a', btitimmen. Letzlere trifft "i, in S'^ . S\ X aber schneidet m, in />,

■od IQ Pf gehört eine Curve Cyj'. Wir schliessen daraus, dass die his

j««t abgeleiteten Cnrvon dritter Ordnnng einBiischel — Bn^ —

bilden. Lnsaen wir an Stelle eines Kegelschnittes A'* den Kegelschnitt

i" treten, welcher A' in zwei Pnnkten von m, berübrl, so führt nne

dmfllbe zu den nHinlichcn Kegelscbuitten k'\p' wie A'*; denn die Kegel-

Khoille A'ip' hängen nnr von Jf/,, P, und der Involution J|£ ab, welche

für A* und A'** dieselbe ist. Bestimmen wir dann aus diesen A'ip' mit

üilfe von J' die Curven ^Vi^ so müssen sie mit den oben aus A'^p*

IM ui J, coustruirlen zusammenlallen; denn nach ihrer UeSnition eind sie

^^M von (-^ abhängig. Aus demselben Grunde erhallen wir auch keina

^^Bnan Curven Cyi", wenn wir von irgend einem der Kegelschnitte K*

^^Hr K" ausgeben , welche 6'* in den Funkton eines Quadrupels ba-

^^B Id analoger Weise küi

^Hpcr Ordnung ableiten. Nach der

I n die Büschel Bxi", B,'i», B,',^ Bis», Bj'a». Cnrven der Büschel, welche

denwlben uugestrichenen unteren Iudex haben, gehören zu Punkten

Piat der Linie m, welche den gleichen Index bat. Curven der Büschel,

die denselben gestrichenen nnleren Index haben, sind Punkten 5'

nät demaelben Index zugeordnet.

Wir werden diese Cnrven 6'^ benutzen, v

dii Tanganteti zu finden, welche Bich ans eii

f Itgen lassen. Dabei bemerken wir, dnee

»*,' stete ein Kreis ist. Also werden wir

Juigeo Cnrven f verwenden, welche sich i

HichDcn lassen.

Zvm Schlösse dieser Gedankenreihe etwHhnen wir, dasa die bes^ro*

*^oB Cnrven dritter Oräaaag degenerJrte Formen vou Cat^eo V\fct\»t

Ordntag sind, wflebo sich iti folgeader Weise etgeVien. Sw P «v'» ^-

' fünf weitere Büschel von Curven
: eingeführten Bezeichnnngsweise si

n es sich darum handelt,
I Punkte S', auf m, an
nter den Kegelschnitten
r Constmction stets die-
den erwähnten Kreisen

26 Die Corveu vierter Ordnang etc. Von Dr. C. Brtel.

liebiger Punkt der Ebene, so ziehen wir dnrch ihn eine beliebige Ge-
rade Xj welche m^ in S\ schneide. Dann gehen von S\ aus sechs Tan-
genten an C\ deren Berührangspunkte auf drei Geraden x^ durch M^
liegen. Es werden also auf diese Weise jeder Geraden x durch P drei
Gerade a\ durch äf^ zugeordnet; dagegen correspondirt jeder Geraden x^
nur eine Gerade x\ denn x^ schneidet C^ in zwei Punkten, deren Tan-
genten sich ip S\ auf m^ treffen. S\ P aber ist der Strahl . der x^ ent-
spricht. Es folgt mithin , dass das Büschel der x zu dem der x^ in einer
ein-dreideutigen Projectivität steht. Zwei solche Büschel erzeugen be-
kanntlich eine Curve vierter Ordnung — C,'*. Für dieselbe ist P ein
einfacher und M^ ein dreifacher Punkt. Auf den Geraden PM^ und PM^
fallen in M^ resp. M^ je drei Punkte von C\'^ zusammen. Also ist PM^
Inflexionstangente in M^ an Cy^ und PM^ in M^.

Liegt nun P in m^, so enthftlt diese Gerade fünf Punkte an Cy\
nämlich den dreifachen Punkt M^ und die Punkte M^ und A Also ist
Wg ein Theil der Curve 6V*t welche zu P gehört, und der Rest ist eine
Curve von der Art der Curven C\'^. Ist /^ in M^ gelegen, so degenerirt
die zu P gehörende Curve in die Gerade Wj und eine Curve Cy^ u. 8. f.

Die Curven C\'^ sind stets reell, wenn P reell ist; dagegen werden
die Curven Cy^ und Cy^ imaginär, wenn M^M^ imaginär sind. Sie enthal-
ten dann nur als reelle Punkte: If^ und die Schnittpunkte von m^ mit
tjfj*. Gleichwohl sind sie nach dem Vorhergehenden definirt und be-
stimmt.

Analoge Betrachtungen führen uns zu Curven ^S Cy^. Ihre de-
generirten Formen sind Cj'i', C^^ und Cs'i', C-^'^ und je eine der Ge-
raden m.

(Soblnu folgt)

II.

üeber die Integration linearer, nicht homogener

DifTerentialgleichnngen.

Von

WoLD. Heymann

iu Plauen i V.

Torbemerkangen.

Die vorliegende Abhaadlang beschäftigt sich damit, für GleichuDgen
▼OD der Form

in welcher X^ bis X^ ganze FuDctiooen von x sind, das Supplement-
integral ohne die Kenntniss der partikulären Integrale der reducirten
Gleichung herzuleiten. Unter dem Supplement- oder Ergänzungsintegral
üoer linearen , nicht homogenen Differentialgleichung verstehen wir die-
jenige einfachste Function, die dem Integral der reducirten Gleichung
tdditiy beizugehen ist, damit das Integral der nicht reducirten Gleichung
entsteht. Das Supplementintegral ist daher ein von willkürlichen Con-
ittDten freies partikuläres Integral der nicht homogenen Gleichung.

Wenn in Gleichung 1) die Indices der Functionen zugleich den
Grad angeben und X eine Function |u^^" Grades bedeutet, so ist

2) S = «0 + «1 ^ + a« «*+••• + «/• ^'*

du Supplementintegral. Denn man erkennt leicht, dass sich die Coeffi-
eienten o im Allgemeinen so bestimmen lassen, dass £ der Gleichung
Partikulär gentigt. Natürlich lässt sich das Supplementintegral nicht
iminer in so einfacher Weise ableiten; doch werden die späteren Unter-
rachnngen zeigen, dass man fast ausnahmslos für alle linearen Differen-
tialgleichungen, die in der reducirten Form integrirt werden können, das
Supplement finden kann — und zwar nach einem Verfahren, welches
der im bestimmten Falle vorgelegten Differentialgleichung in einer Weise
Aogepasst ist, wie es die Lagrange'sche Methode der Variation der
Coosttnten ihrer Allgemeinheit wegen nie sein kann.

Wollte man das Supplement einer Differentialgleichung, deren rechte
Seite eine ganze Function ist, z. B. das der DiffeTenl\a\^\^\^WTi^ ^«t

28 Ueb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichangen.

by pergeometrischen Functionen n*^ Ordnung nach der Lagrange*8cben
Methode aufstellen , so würde eine sehr complicirte Determinantenverbin-
dung, gebildet aus bestimmten Integralen, entstehen; andererseits würde
man, wie bei Gleichung 1), als Supplement

t = cio + ctiX + a^x^+,..

erhalten. Durch Vergleichung der Resultate würde man sonach zu merk-
würdigen Integralbeziehuugen gelangen, deren Existenz schwerlich auf
anderem Wege erkannt und bewiesen werden dürfte. — Die Herleitnng
des Supplementintegrals für eine nicht homogene Differentialgleichung
kann selbstverständlich nicht im Allgemeinen gezeigt werden, sondern
man hat sich immer an specielle Fälle zu halten und gewisse Gruppen
von Gleichungen zu untersuchen. Nicht selten gelingt es, die Methode,
welche bei Integration der reducirten Gleichung in Anwendung kommt,
so zu modificiren oder zu erweitern, dass ein Integral für die complete
Gleichung gewonnen wird.

Die Abhandlung zerfällt in drei Theile. Sie behandelt
I. Supplementintegrale linearer, nicht homogener Differentialgleich.

ungen, deren zweiter Theil eine ganze Function ist;
II. Supplementintegrale linearer, nicht homogener Differentialgleich-
ungen, deren zweiter Theil eine beliebige Function ist;
III. Supplementintegrale linearer, nicht homogener simultaner Diffe*
rentialgleichungen.

§ 1. Supplementintegral von
worin

Wir setzen voraus, dass der Grad einer jeden Function durch ihren
Index angegeben ist, und führen nun auf der linken Seite als Ergän-
zungsintegral die ganze Function*

* Da (jE& + l) Potenzen zu identificiren sind, so müssen im Ergänzungsintegral
(^ + 1) verfügbare Coefificienten vorkommen; J muss also mindestens vom f**"
Grade sein. — Dass diese Function nicht von höherem Grade zu sein braucht, ist
unmittelbar klar. Denn wäre sie vom (/i + l)^'° Grade, so würde sich der Grad
auf der linken Seite im Allgemeinen auch bis zum (/ti -f 1)**" erheben Nun hätte

man aber zuerst den Coefßcienten von x^"^^ zum Verschwinden zu bringen, und
da dieser proportional dem CoeilGcienten ck/i -|- 1 in

t= ffo + «1 ^ + • • . + «A« ^ + "^ + * ^^ *
MB mnisB, so ist o^^-isO, falls nicht unter den Coefficienten der vorgelegten
Qbiaämig ßeaehuogen etattßikden^ was nicht vorau8ge6eiit ^ordfin «olL

Von WoLD. Hbtmann. 4f9

* -^ .^ -^ .^ ^^ ^

ein. Da voraasgesetztermasfien

ist, 80 entsteht dnrch Gleichsetzuug der Coefficienten gleicher Potenzen
▼OD X folgendes Gleichnngssystem zur BerechLung der Zahlen 0^ ^^^ ^a«'

«^«^ % +«^0* «1 +...+«/o""^ ««-1 +«^0" «« =^0'

Die 7 enthalten nnr linear die Coefficienten der Functionen X^ bis
^0 Qod gewisse aas den Zahlen n und fi gebildete Facnltätenverbin-
^nngeo. Das Gleichnngssystem soll zeigen, in welcher Weise die o
untereinander verbanden sind: In die Gleichungen tritt der Reihe nach
immer eine Unbekannte mehr ein, so dass die Auflösung besonders ein-
^wh wird. Von der (n + 1)*'^» Gleichung bis zur (|»+1)'«" (letzten Gleich-
zog) finden sich im Allgemeinen in jeder Gleichung (n + 1) Unbekannte,
io den vorhergehenden aber weniger. Bei der Auflösung des Systems
können besondere Fälle eintreten.

Verschwindet nämlich einer der Coefficienten von a in der ersten
Vertictlreihe, etwa /a*, so lässt sich a^ aus der k^^^ Gleichung"^ nicht
^mmen und diese Gleichung ist überhaupt nicht zu befriedigen, da
H ^^ ftk+i als bestimmt gelten.

In diesem Falle bleibt a^ unbestimmt, und es ist einleuchtend, dass
der redncirten Dififerentialgleichung eine ganze Function A^*^" Grades par-
tiknllr genügen muss. Denn stellt man die Forderung, es soll

tto partikuläres Integral der gegebenen Gleichung (ohne zweiten Theil)
win, so wird man bei Bestimmung der /? ofi'enbar auf ein Gleichungs-
•Jitem von der Form

* Wir bezeichnen von dieser Stelle ab die Gleichungen nach dem Index,
vsieben das Ä der rechten Seite trägt

3^)1^ Ueb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichungen.

Jt* ßk =0.

JkZ\ ßk—i+Jk-^ißk =0,

Jk~2ßk^2 + *^k^2 ßk-X -k-^fk^tßk =0,

geführt, in welchem die J dieeelbe Bedeutung haben wie vorhin. Da
ßk^^y 60 mtiss Jk^ = 0 sein.

Verschwindet noch ein Coefficient von a in der ersten Verticalreihe,
vielleicht c7a\ wobei ^<Ar, so lässt sich ctk ans der h}^^ Gleichung nicht
bestimmen. Indessen lässt sich diese Gleichung im Allgemeinen doch
befriedigen und zwar mit Hilfe des früher unbestimmt gebliebenen un^
welches durch die Grössen ciA-f i bis cta+h in die h^ Gleichung linear
eingeführt wird. Verschwindet aber der Factor von oik auch in der A*^"
Gleichung, so bleibt diese unerfüllbar, und der reducirten DifferenUal-
gleichung genügt partikulär eine ganze Function h^^^ Grades.

Verschwindet weiter e7/, f<ih^ so lässt sich die /"** Gleichung durch
das früher unbestimmt gelassene cta befriedigen, falls nicht der Factor
von ok Null wird. Im letzten Falle aber würde der Differentialgleich*
ung ein drittes partikuläres Integral in Form einer Function /^" Grades
genügen. Dieser Vorgang kann sich n-mal wiederholen, weil J/, wel-
ches die Gestalt hat:

^r'- = Pnr(r-l)(r-2)...(r-ii-l)+P— ir(r-l)(r-2)...(r-Fi-2) + .,.

nur für n Werthe des r verschwinden kann.

In einem solchen Falle würde die reducirte Gleichung n partikuläre
Integrale besitzen, welche sammt und sonders ganze Functionen wären.

Angenommen nun, es lassen sich q Coefficienten okj «a, ... of nicht
bestimmen*, so bleibt nichts Anderes Übrig, als die Integration einer
Gleichung

zu versuchen. Dieselbe lässt sich jedoch, da ^partikuläre Integrale der
reducirten Gleichung bekannt sind, auf die (n — qy^ Ordnung bringen
Das vollständige Integral der Gleichung 1) lautet nun

* Die ÜDbeetimmiheit gewisser GoefQcienten a findet auch in der Form des
Integrals ihre BestätiguDg. Da nämlich, falls ttjk = 0, eines der partikulären Inte-
grale, etwa yi, die Gestalt

yi = ft + fta;-f ... + Aa:*

hat, 80 lautet das allgemeine Integral

Wegen der Willkürlichkeit des C, kann nun immer vom ersten partikulären In-
tegral y, ein Theil wie C* [ß^-h ß^x -^ . , . -^ ßkX^) abgelöst und in das Erganzungs-
integral «0 + «i^+» • •+ ff^«'* aufgenommen werden, wodurch sich die Unbestimmt-
heit erklärt

Von WoLD. Hetmann. 31

y = cc^^ + a^x + , . + Otj^xf^ + z ,

nnter : das complete Integral der Gleichung 2) verstanden.

Ein passendes Beispiel zu den Untersachungen dieses Paragraphen
liefert die Gleichung

fdr welche sich die Integration vollständig a«sführen lässt. Da dieser
Gleichung (/t— 1) ganze Functionen , nämlich

genfigen, so tritt hier gerade der Ausnahmefall auf, in welchem das Er-
ginznngsintegral keine vollständige Function /n^*" Grades ist. — Denkt
man sich X^ in Factor en aufgelöst

Qod setzt der Einfachheit halber 2^0-1 = 0, so lautet das Integral der
redacirten Gleichung

y = C^ + C,x + C^x^ + ,..+C„^iX^-'

und das Ergänzungsintegral

f=a„(ar-t,)"-''(a'-*,) + «,('C-t,)»-'/(aj-f,) + ...
... + o,_i(a; — «„)»-'/(« -t») + ot»x" + c,+ ,aj" + ' +... + 0^«",

§2.
7oll8tändigeB Integral von

1) (ai + h^a+c^x^y'+(a^ + b^x)y'+aQy = jQ + ^^ — + A^^^+ - +^ß — '

Es soll die Rechnung, welche im vorigen Paragraphen nur schema-
tiicb angedeutet werden konnte, an diesem Beispiel in extenso ausgeführt
werden und zwar mit Berücksichtigung aller Ausnahmefälle, welche bei
der Bestimmung derCoefficienten des Ergänzungsintegrals eintreten können.

Ans Bequemlichkeitsrücksichten nehmen wir 0^ = 0, was immer er-
lAobt ist, sobald nicht vorliegt

Oiy"+ K + ^^)y'+öoy = ^0+^1 j-j + • • •>

▼elehe Gleichung nachträglich betrachtet wird.
Das Ergänzungsintegral sei

t = tfo + «i J-J + «« 2] ■*■•■*■"'* iTl'
Qod wir setzen der Kürze halber

^on lauten die Bestimmungsgleichungen für die a folgen dermassen :

•32 Ueb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichungen.

L '^y* .*>* -•■ y^ ^\. ^^ ,*— .•^j^"*-"'*--.*^ *^ . "--^ ^^»*^ *.

Mk-l CA-i + iV/i-i CA = ^h-l I
iVA-2 «4-2 + yh-2 «A-1 = -'ä-2,

a) Sollte /Vjt = 0 sein , so lässt sich atg aus der k^^^ Gleichung nicht
bestimmen , und diese Gleichung kann Überhaupt nicht befriedigt werden,
da ttß bis ciie^i als bestimmt gelten. Man berechne nun weiter aus der
{k—iy^° bis nullten Gleichung die Ooefficienten ajt bis Og. Von diesen
bleibt einer unbestimmt.

b) Ist auch Mf,=zO^ so lässt sich oa aus der Gleichung {h) nicht
bestimmen. Man führe die Rechnung jetzt folgen dermassen. Aus Gleich*
ung (Ar — 1) berechne man «a— ii man findet

wobei mk-.\ und ttk^i bekannte Grössen sind. Aus Gleichung {h + 1)
ergiebt sich unter Benutzung aller früheren Gleichungen

und dieses giebt, in die Gleichung (A) eingesetzt, in welcher also ^^="0
ist, Folgendes: _. , , . .

Na . (»lA + l + »A + l «ib) = ^A .

Lässt sich hieraus a^ bestimmen, so hat die weitere Rechnung keine
Schwierigkeiten. Es folgen nämlich aus den Gleichungen {h — t) bis 0
die Ooefficienten «a bis a^^ doch bleibt von diesen einer unbestimmt.

c) Es lässt sich ak nicht bestimmen, wenn Na oder ^a+i verschwin-
den. Dies letztere hat den Werth

^A-l^A-2.-. ^A + 1

und da die Grössen M^^i bis ^/a+i sicher nicht verschwinden können,
weil schon ^jt = 0 und Ma=^0, so kann Ok nur dadurch unbestimmbar
werden, dass eine der Grössen N^^i bis Na verschwindet. Wird aber
eine dieser Grössen null (und es kann höchstens eine derselben ver-
■ehwinden, wenn nicht etwa a| 5=63=0), so kann die h^ Gleichung
^^Medigt werden. Aus der (A — 1)**^ bis nullten Gleichung findet

Von WoLD. Hbtmann. 33

mn, wie bei Fall b), die Coefficienten a* bis Oq, von denen einer un-
bestimmt bleibt. Ansserdem ist jetzt auch, falls Nk^^ verschwindet, wo
9 eine der Zahlen 1 bis k — h ist, einer der Coefficienten a^ bis ajb^g+i
niebt bestimmt.

Bilden wir nnn die Integrale der vollständigen Differentialgleichung.

1. Lassen sich sftmmtliche Coefficienten des Ergänzungsintegrals be-
stimmen, so genügt der Gleichung

wobei

X xß

vnd sTj und y^ ^^^ partikulären Integrale der reducirten Gleichung sind.

2. Treten die Ausnahmefälle ein, so gilt Folgendes.

a) Es möge im Gleichungssystem der a Mk = 0 sein ;
dun genügt der reducirten Gleichung partikulär

y 1 = ft + A Yi + • • • + '^^ Fl '

Denn führt man dieses in die reducirte Gleichung ein , so entsteht

Mk ßk = 0 ,

Mjt^ißk-^i + Nk^tß^ =0,

üf*-2 ßk--2 + ^t-2 ßk^\ = 0,
Mk^q ßk^g + Nk^q /J|r-.j+l = 0 ,
Mk ßk +Nk ßk + i =0,

Mk^ißk^i+^h-ißk =0,

Mk~~2ßh^2 + ^k^ißk-l =0,

^1 ßi +^1 ft =0,

Mo ßo +^0 ßi =0-

IHsMi System erfordert üf j^ » 0 , und nun ergiebt sich der Reihe nach

ft.» = nk^2ßk. ft = n,ßk, ^^ unbestimmt),
Pi = WiP*i

ßk^q = nk^qßk t ßo^n^^ßky

^obei, wie früher,

— s ^i^— l^t-2 *•- ^k^q , ^y^g
' Mk - 1 Mk~~2 • • • Mk^q

Der reducirten Gleichung genügt also partikulär

flHwiMlII £ UMOurnstik tL Fbj$ik XXX, f. ^

34 Ueb. die Integral, linearer, nicht homog. Differentialgleicbangen.

Um das allgemeine Integral der vollständigen Gleicbung xa bilden,
führe man in selbige ein

y=:zao + a^ — + ... + aft — + z,

bestimme die er aus dem früher anfgestellten Gleicbangssystem ohne Be
rücksichtigung der k^^^ Gleichung, so dass zurückbleibt

(b^x + c^x^) z'+ (fl^ + 6j x) z+a^z=^ Bk y^ »

wobei

Die letzte Differentialgleichung integrire man mit Hilfe der Variation der
Constanten unter Beachtung, dass

ein partikuläres Integral der reducirten Gleichung ist.
Man findet allgemein aus einer Gleichung

falls 2j der reducirten genügt,

b) Es möge ausser ü/^^ = 0 auch itf^ = 0 , {k>h) sein.
Ist dann in Gleichung {h) Nk ^0, -so muss /?ji4.i = 0*,
„ auch „ (Ä + 1) ^A + i<0, „ „ /'a+s^O,

ist auch in Gleichung (A — 1) iVjt-.i^O, so muss ßu =0 sein.
Dagegen ergiebt sich aus Gleichung (^~1) bis (0)

Sonach genügt der reducirten Differentialgleichung jetzt partikalär

Von dieser Stelle ab verläuft die Rechnung wie bei Fall a).

c) Verschwindet endlich Afki ^h ind auch iVi_g,

wo q eine der Zahlen 1 bis k — h bedeutet und Ar>A, so entnehme man
der (^-1)*«'^ bis {k^q + iy^^ Gleichung

ßk-l=fik-\ßky /?|r-2 = Wa-2/?*i ... ßk-q + l^nk^f+ißk.

Die (A — ^)*« Gleichung verlangt» dass ßk^q = 0^ und infolge dessen
muss auch ßk^q^i bis ßh^i gleich Null sein. Die h^ Gleichnng ist von
selbst erfüllt und nun ergiebt sich aus der (h — 1)**^ bis nullten Gleichnng

* Wir bezeichDeu die Gleichungen zur Bestinimang der ß nach dem Index
des M,

Von WoLD. Hetmann. 36

Sonach genügen jetzt der redncirten Gleichung

««+». — Tj — + •••+«*-• (ÄHTyj+Äil'

Um das allgemeine Integral der yollstKndigen Gleichung aufzustel-
len, substituire man in die vorgelegte Differentialgleichung

ao bleibt zurück

wobei

Da nun von der letzten Differentialgleichung, ohne zweites Glied ge-
dacht, zwei partikuläre Integrale Z| und z^ bekannt sind, so erledigt sich
die vollständige Integration leicht. Man bildet nach Lagrange und
Abel für eine Gleichung

VOM den partikulären Integralen folgendes complete Integral:

z = z^ \Klz^YeJ^^'^dx + c\+zA%lz^YeJ^*^'dx + C^
Im vorliegenden Falle hat x den Werth

waa ana der Identität

*x,

1 -/^d*
fBr rr = 0 leicht abgeleitet wird.

z,z,-Z2«i = — e

Anmerkung 1.

Betrachten wir auch kurz den Fall, bei welchem der Grad des Er-
gEnzaiigsintegrals höher angenommen werden darf als der Grad des
(weiten Theiles der Differentialgleichung. Am bequemsten ist es, wenn
wir das Ergänzungsintegral wie vorher in der Form

X xf'

t =» «o+«i n "*" * " "^ ^'^ öT
▼oraoaietsen , dagegen in A)« den Grad durch Nullsetzen von Aß bis jik-\-i
nf den Ar**" herabbringen (^^fi); denn dann können wir den jetzigen
Fall ab Specialfall des früheren auffassen. Da jetzt nothwendig ^fi = 0
arin mnM| so genügt der reducirten Differentialgleichung partikulär eine
ganze Function fi**° Grades

36 Deb. die Integral, linearer, nicht bomog. Differentialgleicbangen.

y 1 = ft + A Ti + • • + /5/[i -7
± • f»«

und umgekehrt: Nur dann, wenn der reducirten Oleicbung eine ganse
Function genügt, deren Orad höher ist, als der Orad des zweiten Tbeiles
der Gleichung, hat es Sinn, für das Ergänzungsintegral eine ganze Func-
tion anzunehmen, deren Grad höher ist, als der zweite Theil der Gleich-
ung, nämlich so hoch, als der Orad des partikulären Integrals der redu-
cirten Gleichung.

a) Man überzeugt sich nun leicht, dass die Annahme des fi^^ Gra-
des statt des Ar^®° Grades im Ergänzungsintegral im Allgemeinen keinen
Vortheil gewährt Wird das complete Integral aufgestellt , so zeigt sich,
dass der überflüssige Theil des Ergänzungsintegrals

"*+'(* + !)! ■'■•••"♦""''jü
von dem partikulären Integral y^ verschluckt wird.*

b) Ist jedoch ausser A/^ = 0 auch Afj^=0, so ist es vortheilhaft , i
vom ft***^ Grade anzunehmen. Denn da wegen Afjt = 0 die k^^ Gleichung
nicht mit Hilfe von ak befriedigt werden kann, so findet hierzu der ooeh
unbestimmte Coefficient o^ Verwendung. Stellt man das complete Inte-
gral der Differentialgleichung auf, so erscheint auch kein Theil des Er-
gänzungsintegrals als überflüssig, weil das partikuläre Integral y^ sich
jetzt auf den k^^*^ Grad zusammengezogen hat und keinen Theil des Er>
gänzungsintegrals in sich aufnehmen kann.

c) Wird die Bestimmung von a^ im Falle b) dadurch illusorisch,
dass der Factor von a^ in der k^^ Gleichung verschwindet, so genügt
der reducirten Differentialgleichung ausser einer Function fi**" Grades
auch eine A^*° Grades, und es ist [wie bei Fall a)] nur nöthig, das Er-
gänzungsintegral vom A^° Grade vorauszusetzen.

Anmerkung 2.
Wir haben im Anfang unserer Betrachtungen den Fall

«2^"+ K + ^*)y + <»oy = ^0 + ^1 j-j + . . . + ^^ -y
ausgeschlossen. Führt man in diese Differentialgleichung für y

X Xr

J:=ao + aijy + -.. + «^^
ein, so bestimmen sich die a aus folgendem Gleichnngssystem :
* Man beachte nur, dass nach der früheren Bezeichmmg

mjt I 1 bie m/u verschwinden,
Oft und ßft willkürlich sind.

Von WoLD. Hetmann. 37

K + M «l +«!«« +Ö2«S =^1»

Hier lumn nnr der Ausnahmefall in Betracht kommen, wo

a^ + b^k^O.

Dann ist es nicht möglich , die k^^ Gleichung mittels des Coefficienten a^
xvL befriedigen, und die redncirte Differentialgleichung besitat das parti-
kuläre Integral ^

Der Tollständigen Gleichung genügt nun
vobei im Ausnahmefalle z aus der Gleichung

«2«"+ K + ^^) ^'+ «0* = ^* ^1

uiter Benutzung der bekannten partikulären Lösung zu berechnen ist.
Bk hat folgenden Werth:

^t = ^A — {öiat+i + a2«f*+2|'

§3.
Volhtändiges Integral von

J) fl,(a + 6x)"y") + fl»-i(a + fea:)— *y<'-^) + . . . + a^(a + bx)y+aQy = A>,

^/t* = -^0 + ^1 J]+ ^2 25 + • • • + ^/^~'

!• Schliessen wir zuerst den Fall, in welchem 6 = 0 ist, aus, so
ISiWt sich diese Differentialgleichung dadurch, dass man für a-^-bx eine
Deae Variabele, etwa wieder x setzt, auf die einfachere Form

bringen , wobei A)» wiederum die frühere Form hat.
Sei «

das firgXnznngsintegral und q> eine Function von folgender Beschaffenheit:
dmon bestimmen sich die a aus folgenden Gleichungen;

38 Ueb. die Integral, linearer, nicht bomog. Differentialgleichungen.

• • •

Das allgemeine Integral der vollständigen Gleichung lautet

wobei X] bis An die Wurzeln der Gleichung n^®° Grades

sind.*

Auch hier können sich bei Bestimmung der o Ausnahmefalle ereignen.

a) Es verschwinde der Factor von orjbt es sei also g>(Ar)=3 0. Dann
wird eine der Wurzeln der Gleichung 9>(A) = 0, etwa die Wurzel A^,
gleich der ganzen positiven Zahl ^, und sonach genügt der reducirten
Differentialgleichung partikulttr die Potenz ^^=0:*. In dem Ergänznngs-
integral wird hingegen der Coefficient oj^ von (T^ unendlich gross. Durch
eine Grenzbetrachtung lässt sich nun zeigen, dass in i an Stelle von x^
der Ausdruck x^lx zu treten hat.

Sei im Augenblicke Ik noch von k verschieden, Ajbs/r + ^i nnd man
greife aus dem vollständigen Integral der Differentialgleichung die in
Frage kommenden Glieder, nämlich

CkX^k + ak^^T,

heraus. Nun ist

oder weil 9>(Aj^) = 0, so ist

«fc = —

«p(M-|jv"a*)+...[

Bei Veränderung der Constanten Ck kann man aber schreiben

T^C\x^'^^ +

oder fttr 6=0

^iJ9>'W-|ig>"U0 + ...j

r= C'it «* + a\ — /* , wobei a'k = -r

AI ' " <p\k)

Verschwinden noch andere Factoren, etwa die von «a, Uky .•• 09« so
tritt im Ergänznngsintegral an Stelle von

der Ausdruck

* Eine gleiche Bebandlungsweise ist anzuwenden, wenn der zweite Thett dir
(ifJeiobang aUgemeiner die Form Z|t=:iloa;*o-|- A|«yi+... hat. Das Et^Ummr
^^^grmJ lautet dement&precheBd (= a^o^o -f ai»n -v*.* .

Von WoLD. Hgyhann.

39

»— ' ^» .y -^ •,

Uebrigens kanu dieser Fall höchstens n-mal eintreten, weil die vor-
gelegte Differentialgleichung n**' Ordnung nur n von einander wesentlich
verschiedene partikuläre Integrale besitzt, oder auch weil g>{l) nur für
n Werthe von k verschwinden kann. Die Gleichung, in welcher dies
stattfindet, ist

and ihr TolIstSndiges Integral

) +(«'o + «'if! + - • + '''->(^!)'^

k.n

+ "»^+""+^(7+1)!

+ .. + afA —

' (fA>«).

b) Die Bestimmung von au im Falle a) ist unmöglich, wenn (p'(k)=^Oj
d. h. wenn q){k) eine mehrfache Wurzel besitzt. Wir beginnen mit dem
Falle einer Doppelwurzel ; die gleichen Wurzeln mögen Xk und kk+i sein.
So lange diese noch von Ar verschieden sind, lautet das vollständige In-
tegral bekanntlich

y=^CiX^^+C^x^ + ... + x^k(Ck+Ck^ilx) + ... + CnX^+i,

unter i eine reine ganze Function fi'®" Grades verstanden.

Dm nun den Fall kk = kk^i = k zu erledigen, setze man, wie früher,
lu^=k'^'5 und greife aus dem vollständigen Integral die Glieder heraus,
welche alterirt werden. Man erhält

oder weil

(p{k)^q> {kk — i) = <P (Aik) — j-j <p\kk) + 2^ g>'Xkk) — ^ g>'"{kk) + . . .
und

so ist

r=a.+'k+..,.[V]J +

A

ö«J^^)_650iL) + ...

AT

2! 3!

oder, bei Veränderung der Constanten und für d=0,

T =

a:^-lj

.T

*+'jc'» + c'*+,^ +

Ak

•''-n«!

2!

«jf"!**) _ ^ g>"(^t) ,

■<* ra."— n
ÄTL~d~J

31

t=o

oder

(p"(Ä) k\

40 Ueb. die Integral, linearer, nicht homog. DifiFerentialgleiehnngen.

Wie man sich zn verhalten bat, wenn die Gleiehnng tp{l) = 0 i
vielfache Wnrzel besitzt, ist jetzt unmittelbar klar. Besitzt sie eti
gleiche Wurzeln und sind diese gleich der ganzen positiven Zahl k

so lantet das vollst&ndige Integral der Differentialgleichnng
y=:C,x^^ + C^x^ + ...+x^(Ci+Ck^ilx+Ck^2nx+...+ Ck^s^i^'^x)

X 05* 35* + * X^

wobei jedoch a\ den besondem Werth

hat. '^'*'

2. Ist in der Gleichung 1) 6 = 0, so schreibe man ax für x^ i
liegt vor

Die Coefficienten des Ergänzungsintegrals

X a^

bestimmen sich aus folgendem Gleichungssystem:

aQOß^i + a^ati =:Jf^_^^

Das vollstftndige Integral der Differentialgleichung lautet

unter X^ bis A„ die Wurzeln der Gleichung

o«i"+a«-i^"-> + ... + «i^ + «o = ^
verstanden.*

Die Coefficienten a lassen sich nicht bestimmen , falls a^ c: 0 ,

Oq ^ flj = 0, oder a^ = a| saa^ = 0 etc. Verschwinden etwa sämmt

Factoren von Oq bis a^— i, so setze man

dann geht die Gleichung

V

* Eine ähnliche BehandlungsweiBe gestattet die Differentialgleichung, -
ihr zweiter Theil die Form ^ef'o'+ Ae^t'+... hat. Das Erg&nzunguni
lautet dementsprechend f = «o«*«' + «i e»i * + . . . .

Von WoLD. Heymann. 41

über m

fl, ,(«-?) + a^^iri^'^-9-i) + . . . + «^+1 V+ 09V = ^ß^

nnd dieser letzten genügt

1 I fAl

lotegrirt man jetzt p-mal hinter einander, so entsteht

Dieses ist das vollständige Integral der vorgelegten Differentialgleichung
(^ den erwähnten Ausnahmefall. Es sei noch hemerkt, dass sich die
ioDahme eines Supplementintegrals in Form einer ganzen Function für
die linearen Differentialgleichungen mit constanten Coefficienten bereits
in fnnzösbchen Lehrbüchern vorfindet. Eine Discussion des Integrals
m'rd aber daselbst nicht gegeben; auch sind meines Wissens andere
Oleichnogen in dieser Weise nicht behandelt worden. Man vergleiche
Hoigno, LcQons de Calcul Diff^rentiel et de Calcul Integral. Paris 1844.
T. 2 p. 626; — Sturm, Cours d^Analyse de T^cule Polytechnique. Paris
1873. T. 2 p. 133.

§4.

Bei den bisher betrachteten Differentialgleichungen genügte es im
Allgemeinen, dem Integral der reducirten Gleichung eine ganze Func-
tion additiv beizugeben, um das Integral der completen Gleichung her-
zustellen.

In den Fällen, welche nun zu betrachten sind, gestaltet sich die
Sache weniger einfach. Es sei vorgelegt

anter X^ bis Xq ganze Functionen beliebigen Grades, unter Xß eine
g«Dxe Function fi^" Grades verstanden.

Uebersteigt der Grad der Functionen X^ bis Xq die Ordnung der
mit ihnen multiplicirten Differentialquotienten im Maximum um die Zahl /t,
und ist A^f(, so besteht das Supplementintegral aus einer ganzen Func.
tion (fi — hy^^ Grades und aus einem additiven Bestandtheile z, welcher
pmrtiknläre Losung der Gleichung

ist, wo Xj^^i eine Function vom höchstens (ä — !)*•" Grade bedeutet.*

Die Bestimmung von z für gewisse Klassen von Differentialgleich-
ungen bildet den Gegenstand dieses und der nächsten Paragraphen.

^ Hierbei ist jedoch vorausgesetzt — und das genügt für unsere späteren Un-
tenachiiDgen —, dass bereits X^ den A^«° Grad besitzt.

42 Ueb. die Integral. ÜDearer, nicht homog. DifferentialgleichnngAo«

Sei vorgelegt die Ricca titsche Gleichung

unter m nnd n ganze positive Zahlen gedacht.
Man setze, falls fi^n,

nnd wfthle die a so, dass Gleichung 1) tibergeht in

Eine Bestimmung der a ist immer möglich, und zwar schon aus dem
Grunde, als der reducirten Differentialgleichung bei positivem n nie eine
Potenz partikulär genügen kann. — Unbestimmtheiten bei Ermittelung
der Coefficienten des Ergänzungsintegrals treten nämlich nur dann auf,
wenn in dem letzteren gewisse additive Bestandtheile vorkommen, welche
sich schon in dem Integrale der reducirten Differentialgleichung finden.
In den bisher betrachteten Gleichungen waren diese Bestandtheile Po-
tenzen.

Der Gleichung 2) genügt, falls die B Null sind, wie Kummer im
XIX. Bd. von Grell e*s Journal gezeigt hat, folgendes rt- fache Integral:

0
worin v = m + n^ und f|, e,***^* ^^® Wurzeln der Gleichung

bedeuten. C^ bis C^ sind (m+n) Constante, von denen jedoch nur m
willkürlich sind; es unterliegen daher die Constanten noch n Beding-
ungsgleichungen, welche sofort erhalten werden, wenn man bedenkt,
dass für a; = 0

Es ist nun einleuchtend, dass das oben aufgeschriebene Integral der
Gleichung 2) auch dann genügen wird, wenn die rechte Seite derselben
nicht verschwindet, sondern der Ausdruck

^0+ ^1 rT"f" ••• "1" ^"— 1

ist. Man hat nämlich die letzten Bedingungen dahin abzuändern, dass
für a: = 0

2(«)=:Ä^, j(« + ^)s=5i, ... 2<"' + »->)=^,-.|.

Ih$ aaa

Von WüLD. Hbvmann. 43

-— . /- *-V*».*—\,X*^-.^-^^ «*-«■■

«x

0

80 hat man zur BestimmaDg der n überflüssigen Constanten n Gleich-
ungen von der Oestalt

worin f&r Ar der Reihe nach

m, w + 1, w + 2, ... m + n — 1
n letsen ist.

Gebraucht man folgende Abkürzung:

■/ ^ * •'l* "8*"*"* • • • W„* + "-^ rfw^ flfUj . . . dUn = 0(A),

0

SO lautet die letzte Gleichung einfacher

^1«/ + ^8«,* + ...+ ^*«/= ^*-m : H^)-
Du Integral 0(Ar) kann durch ein Product von Gammafunctionen aus-

M»

gedrückt werden, denn es ist für — = $

0 0

x + l>0;

mithin erhält man durch Multiplication für alle ganzen Zahlen x von Ar

n.)l7r(tti)r(i±2)...rC-±^). .«r[,+,-„.-.,].

Diese Formel benutzt man zur Berechnung der n Ausdrücke ^(m) bis
^(m + n — 1); übrigens bedient man sich hierbei noch zweckmässig der
Relation

deren Bichtigkeit unmittelbar einleuchtet.
Beispiel.

^+a«»jr = -rfj+-rfi-j + ... + il,i
/Mm» OlmebuBg k^nn mitteh

44 üeb. die Integrat. linearer, nicht bomog. Differentialgleichnngen.

y = ^ + «o + «ij-]+ •• + «<i*-2( 2)!
vereinfacht werden zu

nnd weil hier

m = 2, n = 2, v=4,

60 genügt der letzten Differentialgleichung

00 OD

0 0
Für Ar = 2 und Ar s= 3 erhält man die beiden Bedingangsgleichnngen
für die willkürlichen Constanten, nämlich

C, t,» + C, «,» + 6-, *,» + C, t,« = Ä, : *(3) I ^

nnd hier ist _ _

*(2) = i/2r(i). #(3)=i^2r(i).

Bei denjenigen Integralen, mit welchen Kummer die Rice a ti-
schen Gleichungen integrirt, tritt also der eigenthümlicbe Umstand ein,
dass diese Integralformen gewissermassen eine grössere Capacität besitzen,
als man ursprünglich von ihnen gefordert hat. Diese Erscheinung erklärt
sich in dem Ueberüuss der willkürlichen Constanten, von denen eine
bestimmte Anzahl zweckmässig verwendet werden kann.

Uehrigens sind es nicht nur die Riccat loschen Gleichungen, welche
sich in der vorgetragenen Weise behandeln lassen. Betrachten wir z. B.
die Differentialgleichung*

m welcher

und .IT eine ganze Function ist. Mittels der Substitution

bringt man es dahin, dass sich die rechte Seite der Gleichung auf eine
Constante B reducirt; es sei daher von Anfang an JC=: B, Für diesen
Fall genügt der Gleichung 3), wenn die Zahlen 6^, b^ nnd b^ positiv
gedacht werden, folgender Ausdruck:

* Diese Gleichung hat Verfasser in einer Arbeit „(Jeher Differentialgleich-
tu^ea, welche durch hypergeomeimf^t Functionen intef^rirt werden können** aaf-
getMli: Zeitßchnft für Ifaeiiematik nnd Physik, TiXL, 3a]bxg. ^.Bfi&.

Von WoLD. Hbymann. 45

OD OD 00

y= C^j Rdu + C^ I Rdu + C^ I Rdu,

a, Ol Os

wobei

Ä = Cm - a J** - 1 (w - flg)*.- 1 (m - 03)».- 1

and die IntegrationsconstanteD an die Bedingung

Ct + C^ + C^=B:l
gebunden sind.

Denn führt man die Werthe von ^, y und y' in die Differential
gleiehnng ein, so entsteht

oder, da

b, + b^ + b^ + k^l=:0,

|hi(-";;r(-?ro-?r(-?)'-i]:.-'.

und nach Einführung der Grenzen

Ci + C,+ <7,= £:1.

§5.
Snpplementintegral der Lsplaoe'iohen Oleiohimg

i) («« + *««)y<"' + («,-i + 6,-ia:)y<— ') + ... + («o + *o«)y = ^^.

X X^ x^

-y^ = i4o+ i^i T-j + i4j — + . . . + ^^ — •

Man hat nach dem Früheren das Supplement in der Form

X x^"^

'oraoszasetzen , dann ergehen sich die a nach folgendem Schema:

.. h. man hat

.od die Bestimmung ist, da ^0^^ vorausgesetzt werden darf, immer
löglich.

Der zweite Bestandtheil z des Supplements ist partikuläre Lösung
er Tereinfachten Gleichung

46 Ueb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichnngen.

wo B eine Constante ist, deren Werth sich nach Ermittelnng der a y
selbst ergieht, nämlich ^^^

Um die Gleichung 2) zu integriren, schlagen wir denselben V
ein, den Laplace bei der Integration der reducirten Oleicbung nal
Wir setzen nach dessen Vorgang

dann gebt die Gleichung 2) über in

J^'(ÜQ+ü^x)Vdu==B

oder, nach geringer Beduction, in

Hierbei bedeuten

Uq = a„ti" + «,«1 tt"-i + . . . + «1 w + fl^i

Wählt man V so, dass
und die Grenzen so, dass

[e-'F,r];;;=5,

so ergiebt sich _

und die Gleichung zur Bestimmung der Grenzen erlangt infolge des
die Gestalt ^T^»^ 1-

Nun ist im Allgemeinen

sonach hat man, wenn ^« = 1 genommen wird,*
und für die Integrationsgrenzen

^ Die Grössen a haben in diesem Paragraphen eine doppelte Bedenti
doch kann dies hier nicht zu Verwechslongen fahren.

z.

Von WoLD. HfiTMANir. 47

y |-^ (m + *) (^ _ „^y. (^ _ „^)/f, ...(„- an^«];;« = ^.

Wir haben jetzt zwei Fälle zn nnterscbeiden.
Efi lei aj^ kleiner als alle anderen a nnd

a) ßis resp. sein reeller Bestandtbeil positiv«

Dtnn wähle man Mj = 0 und u^^=€iki wodarcb die Oleicbnng für die
Grenien tibergebt in

und sich die bisber unbestimmte Constante y ergiebt. Man findet

y = (-iy+i^.«-/J.„^-/«....a„-/»-, wobei /5 = ft + /3,+ ... + |5„;
aacfa sei bemerkt, dass sämmtlicbe a von Null verscbieden sind, weil

b) ßis resp. sein reeller Bestandtbeil sei negativ.

Dann setze man znnäcbst

and es entsteht

unter üjt das Prodnct

(II -« of^yt-i (m - a^y--^ . . . (m - «„)/»• - *

verstanden, wenn in selbigem der Factor {u — ctkyk fehlt. Eine v- malige
Differentiation von Z| nach x liefert

und für * •

folgt endlich

Wählt man für v diejenige ganze positive Zahl, deren Werth un-
mittelbar dem absolut genommenen ßk folgt, so dürfen dem letzten
Integral wieder die Grenzen u^ = 0 und u^ = a/c ertheilt werden. Rück-
wärts ergiebt sich jetzt für das Integral der in Rede stehenden Differen-
tialgleichung

d. b.

zs=y««i*^ /da*. e-«*'/c«'<"'+'> (m — «*/*+" -^ ü du.

0
Der Factor y bestimmt sich durch

48 Ueb. die Integrat. linearer, nicht bomog. DifiFerentialgleicbnngen.

er bat also, wie früber, den Wertb

Obwobl nnn das Snpplementintegral für den allgemeinen Fall auf-
gestellt ist, so bleiben doch noch viele specielle Fälle znr Discussion
übrig, welche auftreten, wenn die Gleichung 27| = 0 mehrfache oder nn-
endlich grosse Wurzeln besitzt. Wir führen nur einen dieser Special-
fälle an und zwar den einfachsten. Es sei vorgelegt

3) a«t^"> + fln-iz<'— *> + ... + aiz'+ («0 + ^0?)« = *.

Dann ist, wenn ^^^=1 genommen wird,

C/o = a«w" + flf„_iti"-i + ... + /iiti + ao, [7j = l,
mithin

Der Ausdruck zur Bestimmung der Grenzen

kann in (n-|-l)-facher Weise zum Verschwinden gebracht werden, nftm-
lieh für Wertht von ti, welche der Gleichung

a^u^-\-^ = — 00
entnommen sind.

Denken wir uns in die Gleichung 3) die Summe

•= Cj /e«* Vdu + C, j(^' Vdu + ,,. + Cn^x f e*" Vdu

0 0 0

eingeführt, wo z^ bis ^«^.1 die Wurzeln von

bedeuten, so muss sich Folgendes ergeben:

oder nach Einsetzen der Grenzen

^1 + ^2 + • • • + ^»+1 = — ^•
Da n Constante willkürlich bleiben, so stellt der vorige Ausdruck für z
das complete Integral der gegebenen Differentialgleichung dar. Um
diesen Ausdruck noch etwas zu vereinfachen, schreibe man in den (n + 0
Quadraturen der Reihe nach

Statt u. Dann erlaogen sämmtliche Integrale als obere Grenze den Werth
op, and setzt man noch abkürzend

Von WoLD. Hermann. 49

to gestattet das Integral der Gleichung 3) folgende Schreibweise:

OD
/* un+l

z=Je -+M^i^, + ^,^,+ .. +^»+i^n+ijrfw.
0

Snpplementintegral Yon

'" + i% + ffo^ + CoX*)y'=^ß,
X x* xf''

-^/l» = -^0 + -^1 I I + -^2 97 + • • + -^/A — •

Da in dieser Gleichung der Coefficient des y vom zweiten Grade ist,
to ktnn der algebraische Theil des Ergänzungsintegrals im Allgemeinen
hocbateos den (fi— 2)^^*^ Grad erreichen, und es wird sich daher der
sweite Theil der Gleichung nur auf eine lineare Function Bq'\' B^x
rednciren lassen. Die weitere Integration unterliegt deshalb grösseren
Schwierigkeiten, als dies bei den früher betrachteten Gleichungen dor
Fall war, wie dies schon das einfache Beispiel

feigen wird.

Setzen wir also das Ergänzungsintegral in der Form

X x^ a:^ - 2

y=«o + «i |l + '^82]'^ • '^'^^"^(li — 2)!"*"^
▼oraas and bestimmen die o nach dem Schema

waa immer möglich ist, wenn ^o < ^ vorausgesetzt wird, so ist der an-
dere Theil z des Ergänzungsintegrals partikuläre Lösung der vereinfach-
ten Gleichung

!•) {an+hnX + c^x')z^^)+.,. + {a^ + b^x + c^x^)z = B^+B^x,

in welcher Bq und B^ bestimmte Zahlen sind , die sich nach Ermittelung
der a von selbst ergeben.

Führt man in die Gleichung la) das Integral

U2

= /e«" Vau

eio, so entstebt

X^ttmektm /. MmihmmsHk a. Phr»lk XXX, I. 4

50 Ueb. die Integral, linearer, nicht homog. Differentialgleichnngen.

e-* y\ÜQ+0^x+ ü^x*\ du = Bq+ B^x^
wobei

f7i = 6„ti" + 6«.iti»-' + ... + friti + 6o ,.
Nach einiger Bednction findet man weiter

U2

= *,+ ^,«

«1
oder, wenn ans naheliegenden Gründen die Snbstitation .

gebraucht wird,

[

"*-^^- ^--Z\l

+Je Jrr. _.)^v,—^v,- + 0,w\^äu

Man BOche nun W so zu bestimmen, dass

„ e^W . „ dW . „ „, ^

dann ergiebt sich, falls die letzte Differentialgleichung überhaupt voll-
ständig integrirt werden kann,

worin y^ und y^ noch unbestimmte Constanten' sind. Die vorhergehende ^
Gleichung aber zerfällt in die beiden anderen !j

Gelingt es, für r/| und t/^ gewisse constante Zahlen ausfindig zu maeheiii
so dass diese Gleichungen von x unabhängig werden, dann lassen sie
sich mit Hilfe der noch unbestimmten Grössen y^ und y^ identisch er^
füllen.

Wählt man ti| = 0 und wenn möglich u^ so, dass die linken Seiten der
enannten Gleichungen verschwinden, so hat man

y,A(«') + r,r,(«)= ^^'~Jfl''\ («=o),

nnd hieraus folgt

Von WoLD. Hetmanr, 51

^' /',C)/»(«)-r,(«)A(«) ( („^0)

Nun besteht aber nach Abel zwischen den partikulären Integralen einer
linearen Differentialgleicbnug

folgende Relation:

r, («) f, («) - /', («) A («) = I «"•' ^•'",

wobei X eine gewisse Constante ist, die sich durch Specialisirung des u
ergiebt; sonach hat man einfacher

Nach diesen Bestimmungen lautet das Ergänzungsintegral der Gleich-
ung 1 a) folgendermassen :

▼oransgesetzt, dass dieser Ausdruck für die ermittelten Grenzen einen
Sinn hat.

Im Allgemeinen ist

also

/'■Vl^'"«^«(«+*)(M-aj>».(ti-a,>»....(tt-«„)/»W,

und nennt man ak das kleinste aller o, so hat man, falls ßk positiv ist,
fUr tijs=0 und' u^^^ttk das Integral

z = ^ JV'(-+'>(u-«^)/»^-t ... (i/-«„>^"-^ \y, fi{u)+Y,f,{u)\ du.

Ist ßk negativ, so kommt man mit Hilfe von vielfachen Integralen zum
Ziele; ist ßk complez, so bezieht sich die Vorzeichenbestimmung auf den
reellen Theil. (Vergl. § 5.)

(Schlau folgt.)

I <^*

Kleinere Mittheilimgen.

J. Gonstrnotion der von einem beliebigen Punkte der Ebene aus-
gehenden Normalen einer Ellipse.

(Hierzu Taf. H Fig. 1.)

I.

In der AbbandlaDg „lieber die Normalen der Ellipse** (diese Zeit-
scbrift XXVI, 6) gelangte ich mit Hilfe des Satzes:

„Werden unter a, /?, y^ 6 die excentrischen Winkel der Fuss-
punkte der Normalen verstanden , welche von einem Punkte der Ebene
aus auf eine Ellipse gefällt werden können, dann ist die Summe der-
selben eine constante Grösse und zwar gleich 180^^*
zu einer einfachen Lösung des Joachimstbarschen Problems: von
einem Punkte der Normale einer Ellipse die noch übrigen drei möglichen
Normalen auf diese Curve zu fällen.

Ich erlaube mir, im Nachfolgenden den allgemeinen Fall dieses
Problems in Betracht zu ziehen, für welchen der Ausgangspunkt der
Normalen irgend ein beliebiger Punkt der Ebene ist, seine Lage also
nicht durch die Bedingung beschränkt erscheint, er soll einer schon con-
struirten Normale angehören.

1. Wenn wir die Gleichung der Ellipse in der Form

1) 6«S« + a«ij« = fl»6«

annehmen , so gehören die Fusspunkte aller Normalen , welche von einem
Punkte ans, z. B. P{g,h) (Fig. 1) auf die Ellipse 2 gefällt werden kön-
nen, einer gleichseitigen Hyperbel an, deren Gleichung

2) a^gy — b*hx = c^xf/^ a^—b^ = c*

ist. Mit der Construction dieser Hyperbel wäre im Grunde genommen
die Lösung unserer Aufgabe schon herbeigeführt.

Es lässt sich jedoch zeigen, dass man auch ohne Benützung der-
selben und zwar mit Hilfe eines Kreises die Normalenconstruction durch-
zuführen vermag, welche Lösung des Problems überdies die Vortbeile
grösserer Genauigkeit und Eleganz für sich in Anspruch nimmt.

Betrachten wir nämlich die oben citirte Relation

3) a + ß + Y+6^180^

^ Verbindung mit der von Joachims tba\ an|^et|^«\>«ii«ii ^Wx^^qa^

Kleinere Mittheilnngen. 53

4) a'+/5'+/+6'=2Ä'.180^

welche den Zusammenhang von vier Kreispnnkten der Ellipse zum Ans-
imck bringt nnd besagt, dass die Summe der excentrischen Winkel dieser
Punkte ein gerades Vielfaches von 180^ sein mnss, so erkennen wir,
d&8s es jederzeit möglich ist, durch geeignete Transformation der Winkel
r, ßi Yi i Systeme von Kreispunkten a\ ß\ y\ 6' auf der Ellipse zn
bilden, in der Weise, dass ein jeder Punkt eines solchen Systems mit
^iaem bestimmten Normalen fusspunkte correspondirt.

Wir haben zu diesem Zwecke nur nothwendig, den excentrischen

pinkeln der Normalen fusspunkte derartige Zuwächse zu ertheilea, dass

die Gesammtsumme derselben ein ungerades Vielfaches von 180^ beträgt;

denn dann werden die den neuen Winkeln entsprechenden Punkte wirk-

Weh Punkte ein und desselben Kreises sein, da sie ja die Bedingung 4)

eif&Uen müssen.

Die nachfolgenden Formen' a) und b), in welchen für m und n ent-
weder Null oder jede beliebige ganze Zahl gesetzt werden kann, können
•Is der allgemeine Ausdruck dieser Transformation angesehen werden.

a)

a = (2m + l)a + (2n + l)45^
/J'=(2m + l)/5+(2« + l)450,
/=(2m + l)y + (2« + l)450,
a'=(2m + l)d+(2w + l)45^

Der Werth des excentrischen Winkels nach der Transformation setzt
lieh zasammen aus einem ungeraden Vielfachen des Winkel werthes in
der Ursprünglichen Lage, mehr einem ungeraden Vielfachen von 45^.

b)
«'=2(m + l)a + 2«.45«,
/r=2(m + l)/5 + 2n.45^
/=2(m + l)y + 2n.45^
a'=2(m + l)a + 2w.45^

Der Werth des excentrischen Winkels nach der Transformation setzt
«ch sosammen aus einem geraden Vielfachen des Winkelwerthes in der
vnprfiDglichen Lage, mehr einem geraden Vielfachen von 45^«

In beiden Fällen ergiebt die Addition der Gleichungen

ö'+/?'+/+^'=2{m + « + l)l80S

wu der Bedingung für Kreiepunkte gleichkommt.

Denken wir uns nnn einen Kreis construirt, welcher den Anforde-

rnogen einer der beiden Transformationen genügt, dann haben wir in

(jeo Schnittpunkten desselben mit der Ellipse ein Mittel, um zu den

Ifonnalenfasapunkten zu gelangen , ohne von der erwähnten ^\eiclk«^vt\^%a

54 Kleinere Mittheilnngen.

Hyperbel Gebrauch machen zn mflssen. Und dies ist auch der
den wir zunächst einschlagen werden.

2. Wir nehmen an, dass

x=sacosq)^ y =:b simp

die Coordinatensymbole ffir die Fnsspnnkte der von P(^, h) ansgeh
Normalen sind.

Unter Anwendung der Transformation a mit den speciellen W<
m =3 it = 0 ergeben sich Coordinatensymbole für die Kreispunkte n

| = a co5(45 + g>), iy = 6 «ii(45 + g>)
a(cosip — sintp) b{cosq>'\-sinqi)

g= -p: » iy = ;= »

/2 >/2

die dann auch in der Form

5) j/2l=£-|, V\^^^ + \

geschrieben werden kOnnen. Aus diesen Gleichungen folgen nun ^
fÜT X und y die Werthe

'aba^bba

und wenn wir dieselben in 2) substituiren , so gelangen wir schli«
zu einer Gleichung zweiten Grades zwischen i und rj von der Fo

c«

(S-i)-r^"{h}hy^Hhi)

welche natürlich nur ^inen Kegelschnitt darstellen kann, der dur
▼ier Kreispunkte geht.

Allgemein wird also, wenn S einen constanten Factor bedeu

die Gleichung des Büschels der Kegelschnitte sein , welche die vier
punkte der Ellipse gemeinschaftlich haben.

Aus dieser Gleichung gewinnen wir durch die Substitution

ec« = fl« + 6«,

durch welche die Coefficienten der höchsten Potenzen gleiche 1
erhalten, die Gleichung des gesuchten Kreises

6) m 2(|.+^-"-^>/J.,(|-|) + ,^»«(i+|>

Um diesen Kreis zu constrniren, beachten wir, dass derselbe, ^
seiner Gleichung hervorgeht, die Mittelpunktssehne

(...) «.(l-D+^d+i)»»

in denselben zwei Punkten trifft, in welchen sie auch von dem

Kleinere Mittheilangen. 55

7) (Ä',)|«+n* = ^
geschnitten wird.

Die Constrnction des Kreises K^ unterliegt keinen Schwierigkeiten;
denn bekanntlich hat derselhe mit der Ellipse das Paar conjngirter
Durchmesser gemeinschaftlich, welches zn den Verhindungsgeraden der
EOipseDScheitelpnnkte parallel Iftnft. Aber anch die Sehne ^^| kann leicht
bestimmt werden, wie ans nachfolgender Betrachtung hervorgeht.

Darch partielle Differentiation nach i und tj ergeben sich aus 6) die
Coordinaten des Kreismittelpunktes m in der Form

8) 2y2atQ^bh + ag, 2}/2hriQ^hh'' ag.

nividiren wir diese Gleichungen durch einander, so erhalten wir in

9) {bh-ag)at^--{bh + ag)hri^^{)

die Gleichung der Geraden, welche den Mittelpunkt m des Kreises J^ mit
ö verbindet.

Offenbar werden wir an der Bedeutung der Gleichung 9) auch nicht
du Geringste ändern, wenn wir derselben durch gleichzeitige Addition
Qod Snbtraction des Productes ahgh die Gestalt

10) ftÄ(aJi-6iyo-ö^)-«^(fl6) + *i?o~*Ä) = 0
geben.

Es ist also 10) ebenso wie 9) die Gleichung der die Punkte m und
^ Terbindenden Geraden ; aber in der neuen Gestalt giebt sie uns An-
haltspunkte zu einer einfachen Constrnction.

Wir bemerken nämlich, dass die erwähnte Gerade auch den Schnitt-
punkt der durch die Gleichungen •

11) flt — ftt7o— rt^ = 0,

12) a£o + *i?o-^Ä=0

repriUentirten Geraden in sich enthält, da die Coordinaten

13) 2flSj = &Ä + a^, 26i;i = fcÄ-a^

desselben die Gleichungen 9) und 10) identisch auf Null führen.
Schreibt man 11) und 12) in der Form

M iSsst sich Folgendes aus denselben herauslesen :

Die Gerade 11) geht durch die Uorizontalprojection p^ des Normalen-
lugangspunktes P und steht senkrecht auf der Verbindungslinie der
Hiipseoscheitelpunkte o, ß i die Gerade 12) geht durch die Vertical-
projection p^ von P und steht senkrecht auf der Verbindungsgeraden der
EUipseoscheitelpunkte a^, ß^.

Die beiden Geraden sind demnach leicht zu construiren*
Verbindet man nun den Schnittpunkt p dieser Geraden mit dem
MiUelpnnkte 0 der Ellipse, so ist die in 0 auf op errichtete Senkrecht

56 Kleinere Mittheilangen.

die Sehne ss^ und ihre Schnittpunkte mit K^ sind zwei Punkte des

Kreises £C.

Es erübrigt nns noch die Construction des Mittelpunktes m von X,
Ans den Gleichungen 8) erfolgt durch Quadrirung und nachherige

Addition

^°"'~ 4a» + 46» '
ebenso ergiebt sich ans den Gleichungen 13)

(bh + ag)* . {hh-ag)*

"''= 4«* +-465

woraus schliesslich

2om s= op
folgt

Die Entfernung des Mittelpunktes m von 0 ist sonach der Seite
eines Quadrates gleich, dessen Diagonale op ist.

Nun sind wir in der Lage, den Kreis i^ zu construiren, und unsere
Aufgabe besteht weiter darin, von den Schnittpunkten A^ B^ C^ D des-
selben mit der Ellipse — von welchen ein jeder, wie wir gesehen haben,
einem Normalenfusspunkte eindeutig entspricht — zu den letzteren über-
zugehen.

Zu diesem Ende dividiren wir die in 5) angeführten Gleichungen
durch einander und geben der dadurch erhaltenen neuen Gleichung durch
Addition und Subtraction des Productes ahj^ri ^^® Gestalt

Sonach repräsentirt 1^) die Gleichungen der Geraden, welche die Nor-
malenfusspunkte mit dem Mittelpunkte der Ellipse verbinden. Durch
ganz ähnliche Schlussfolgerungen, wie wir sie bei der Construction der
Sehne ss<^ angestellt haben, gelangen wir auch hier wieder zu einem
Hilfspunkte, dargestellt durch den Schnitt der Geraden

15) y= ^(^-S),

16) y-,y = — —a:,

welcher, wie aus den Gleichungen 15) und 16) erschlossen werden kann,
sich folgendermassen finden lässt:

Durch die Qorizontalprojection des Kreispunktes führe man eine
Gerade parallel zu tt^ » ß^ und bringe dieselbe mit einer zweiten Geraden
zum Schnitte, welche parallel zu or, ßi ist und durch die Verticalprojec»
tion des erwähnten Punktes geht.

Nun hat man, um zu dem Normalenfusspunkte zu gelangen, den
Hilfspunkt mit dem Mittelpunkte der Ellipse zu verbinden und diese
Verbindungslinie in jenem Quadranten mit der Curve zum Schnitte mn
|M-s<»<**n^ in welchem sich der Hilfspunkt befindet.

Kleinere MittheilnngeD. 57

Fanen wir die gewonnenen Resultate noch einmal in kurzen Worten
inaammen, so erledigt sich die Aufgabe, von P (Fig. 1) die Normalen
«of die Ellipse zu fällen , durch folgende einfache Construction.

Man fälle die Perpendikel Pp^^ Pp^ von P aus auf die Axen und

bestimme den Punkt p als Schnitt zweier Geraden, von denen die eine

durch P| geht und normal zu a^ß^ ist, die andere durch jOj 6^^^^ ^°^ ^^^

aß^ senkrecht steht. Nun verbinde man p mit o und errichte in 0 auf

op die Senkrechte, welche den Kreis K^ in ^, s^ schneidet.

Macht man ferner om gleich der Seite eines Quadrates, dessen Diago-
nale op ist, und beschreibt von m aus mit dem Halbmesser ms^^ms^
den Kreis K^ der die Ellipse in den Punkten A^ ^ ^ C^ D schneidet, so
gelangt man von einem derselben — z. B. /4 — zu dem ihm entsprechen-
den Normalen fusspunkte I durch folgende Construction:

Die Verbindungsgerade oa schneidet Z in I.

Karl Lauermann.

n. Beeiproke Mazima nnd Minima.

„Sind

1) M = F'(a:,y), v-=f(x,y)

Functionen von der Beschaffenheit, dass bei constantem x einer Zu- oder
Abnahme von u auch eine Zu- oder Abnahme von v entspricht, so tritt
bei constantem v ein Maximum oder Minimum von u unter derselben
Bedingung ein, als bei constantem u ein Minimum oder Maximum von v,^^
Beweis. Eliminirt man y aus den Gleichungen 1) und differentiirt
die erhaltene Gleichung

2) g)(M,i;, a:) = 0,

so ergiebt sich ui^ter Voraussetzung eines constanten x .

dq>
du du

du dq>

Dieser Differential quotient muss wegen des gleichzeitigen Wachsens oder

dm

Abnehmens von u und v positiv sein, daher r- das entgegengesetzte

Vorzeichen haben wie z — —

du

Setzt man v^consiant, so erreicht u einen Cnlminationswerth für

jene Werthe von jr, welche der Gleichung gentigen

u wird ein Maximum oder Minimnm, j^

58 Kleinere Mittheilungen.

4)

d q>

negativ oder positiv ansföllt.

Setzt man jedoch u-^consianl^ so erhält man die Werthe von x,
welche v zu einem Maximum oder Miuimnm machen, ans derselben
Gleichong 3) und es entscheidet das Vorzeichen des Ausdrucks

^) — ^^

darüher, ob ein Maximum oder ein Minimum eintritt. Dieses Vorzeicben
ist aber nach der eingangsgemachten Bemerkung das entgegen gesetste
von dem des Ausdrucks 4). Daraus geht hervor:

1. dass die eine der Grössen ti, v bei constantem Werthe der an-
dern unter derselben Bedingung 3) einen Culminationswertb
erreicht als die andere, und

2. dass diese Culminatiopswerthe stets entgegengesetzter Art sind,
so dass also einem Minimum von u ein Minimum von v und
umgekehrt entspricht.

Der Beweis lässt sich auch auf elementarem Wege erbringen,, wie
folgt.

Es sei

6) w = tf; (p, x)

die Auflösung der Gleichung 2) und X ein Werth von o;, der bei con-
stantem V u zu einem Maximum es ü macht; dann besteht für beliebig
kleine positive d nnd d^ die Ungleichung

7) t^(r, ^~a)<t/;(^ X) > ^{v, X+6^).

Denken wir uns nun o variabel, so können wir diese Ungleichung in
eine Gleichung überführen, indem wir ohne Aenderung der Werthe von x
V vergrössern, da hierdurch nach der Voraussetzung auch eine Vergrösse-
rung von u erzielt wird. Ist hiernach

8) ^{v + e, X--d)^n;{v,X)^il;{v + B,, X+d,)^ü,

so ist ersichtlich, dass unter den benachbarten Werthen v-f^i ^t v4-f|
der mittlere der kleinste, somit ein Minimum ist und femer, dass dieses
Minimum bei constantem u= U für jenen Werth .V eintritt, der bei con-
stantem v = v M zu einem Maximum = ü macht.

Dieser Satz begründet die Reciprocität der Sätze über die Figuren
grössten Inhalts und kleinsten Umfangs, und ermöglicht es, aus einem
dieser Sätze einen reciproken direct abzuleiten, z. B. :

1. y, Unter allen isoperimetrischen Dreiecken über derselben Basis bat
da^ 4rIeiehßebeakUge die gt^nie Fläcbe/^

Kleinere MittiieilaDgen. 59

Nun sind Fläche wie Umfang eines Dreiecks von gegebener Basis
FaDCtionen der beiden Winkel A und B an der Basis.

Bei eoDStantem Winkel A nehmen Fläche und Umfang gleichzeitig
n oder ab, daher gilt auch der reciproke Satz:

„Unter allen Dreiecken über derselben Basis und von gleichem In-
halte hat das gleichschenklige den kleinsten Umfang/*

2. „Unter allen gleichseitigen ;i- Ecken mit gleichem Umfange hat
das regelmässige #i-Eck den grössten Inhalt.**

Fliehe nnd Umfang eines gleichseitigen n-Ecks nehmen bei gleicher
Gestalt gleichzeitig zu oder ab; daher der Satz:

„Unter allen gleichseitigen n- Ecken mit gleichem Inhalte hat das
regelmissige den kleinsten Umfang.**

3. „Unter allen isoperimetrischen Figuren hat der Kreis den grössten
labalt.**

Fliehe und Umfang einer Figur nehmen bei unveränderter Gestalt,
Mmit gleichen Krümmungsverhältnissen gleichzeitig zu oder ab. Daraus
folgt:

„Unter allen Figuren gleichen Inhalts hat der Kreis den kleinsten
Umfang.**

Trautenau, 22. Mai 1884. F. Haluschka.

nL Zur Gleichung von Kegel und Cylinder.

Sind die Gleichungen zweier Ebenen

Wj = fl^a: + 5^y + Cj« + rf^ = 0, m, = a,a: ;f 6,y + c,« + d, = 0

vnd sind die Coefficienten beider Gleichungen constant, so schneiden sich
die Ebenen in einer Geraden der Richtung (6c)|(ca)|(ei6) und der Stel-
^l{ad)\{bd)\(cd) (vergl. diese Zeitschrift, Jahrg. 1883 S. 315). Im
orthogonalen System ist dann, wenn zs die durch s parallel z gelegte
Projectionsebene ist,

^:'i*y: = — (6c):(ca), /^ar's'^sx = — (ca):(a6), /(^y's'^xy = — (a6):(6c)

oder

^dV^'^y ^ • tgx's^tgxz : — 1 = (& c) : (ca) : (a b).

bt aber ein Coefficient, z. B. a^^ ein veränderlicher Parameter, so stellt
die erste Gleichung ein Ebenenbüschel, d. h. eine einfache Ebenenserie,
welcbe durch eine Gerade geht, dar. Die feste Gerade erhalten wir, wenn
wir die Ebene dem Einfluss des veränderlichen a^ entziehen und a; = 0 setzen.
Diese Ebene x = 0 enthält von der Ebene aiX + b^y + c^z +d^ = 0 die Ge-
^® ^1 ^ + ^1 2 + ^1 = 0 , welches die gemeinschaftliche Gerade des Bü-
schels ist. Auf der zweiten Ebene wird durch dies Büschel von Ebenen

(cd)

ein Strahlenbüschel erzeugt mit dem Centrum 0

(6 c)

{bc)

60 Kleinere Mittheilungen.

entsprechend, wenn 6^ und c^ variahel sind. Ist d^ yrnriabel, so entsteht
ein Bündel paralleler Ebenen, deren unendlich ferne Gerade die der
Ebene a^x -{- b^y -{- c^z=^0 ist. Dies Bündel erzeugt auf der «weiten
Ebene ein Strahleubündel mit unendlich fernem Centrum; die Strahlen
haben die Richtung (hc):{ca):{ab).

Sind zwei Coefficienten einer Gleichung veränderlich, so erhalten
wir eine Doppelserie von Ebenen, vorausgesetzt, dass die beiden Coeffi-
cienten von einander unabhängig sind. Das Centrum der Doppelserie

wäre z. B. 0

0

-i wenn a^ und 0^ die Veränderlichen sind.

^1

Ist jedoch je ein Coefficient jeder Gleichung, z. B. a, und b^^ ver»
änderlich, so entsteht als Schnitt beider Ebenenserien eine Doppelserie
von Geraden, und, sind beide Coefficienten durch eine Gleichung an
einander gebunden, eine einfache Serie von Geraden, eine geradlinige
Fläche [Regelfläche]. Diese Regelfläche wird nun zu einem Kegel, wenn
alle Geraden durch einen Punkt gehen, zu einem Cjlinder, wenn sie
parallel sind, d. h. ein unendlich fernes Centrum haben.

Es werde demnach zunächst vorausgesetzt, dass die Coefficienten
Einer Gleichung unter einander unabhängig sind, und zwar constant,
wenn nicht das Gegentheil durch eine weitere Gleichung hervorgehoben
wird; ferner sei f eine Function n*®"* Grades. Dann stellt

stets einen Kegel n^^ Ordnung dar mit dem Centrum 0

(rd) -(ftd)
(bc) {bc) '

Denn zu jedem willkürlich gewählten a^ gehören n bestimmte o^; zu
jeder Ebene ti| = 0 gehören demnach n Ebenen ti^sQ, welche auf t<|
eine besondere Linie n^®' Ordnung, bestehend aus n Geraden eines Punk-
tes, erzeugen. Das beweist, dass die Regelfläche, welche entsteht, jeden-
falls n^^ Ordnung ist. Von den Geraden der Ebenen sind nun unab-
hängig von den Veränderungen von a^ resp. a^ die Geraden

x = 0i6jy-f-Cjt-f-rfj = 0 und a: = 0 l^^y + Cj2 + rf2 = 0;

dieselben liegen beide auf einer Ebene, haben also einen Punkt gemein,
und dieser muss auf allen Ebenen, also auch auf allen Geraden der
Serie liegen.

Entsprechend stellt

, ^ -(cd)

Wj = 0, t/j = 0, f\^0^f^2) == ö einen Kegel mit dem Centrum

0

i^d)

(CO)

und

^(ad)

{ca)
0

(bd)
ti. = 0, W5 = 0, flr.c^) = 0 einen Keeel mit dem Centrum 7— -r , ,.

dar. Endlich wird a /-/^ ^ \ n

einen Cylinder repräsentiren. Denn die unendlich ferne Gerade der
wird die Axe der Serie sein und beide haben einen Schnitt-

sr 23^rteisi rt» 3i»?icnmc <*«*: ^^v

.-. ,1;

t'r - r* " Mfi .

L-= + - i^=:<^. .^^.rf-^'—iil, ^Ä

K«>s«L car Sät ä*v^ Cfmtrvn =- ^ <^,

CjHxser darttcH«»; denn <iii^ Ax^ o^r ^ntmi $<^t:<^ u ^ . 0 >%, / ^/^^
+ ^ = <? bmi sh der Ax* d« mveit^B S<eri* 1=0 4, ; + /^ j^ ^ ^ c - 0 «Unu
■md mmr daan einen Punkt gemnn, wenn der nnendlich t>in<» INiukt
beider mmi der Ebene x = 0 \i^^ nnd derselbe i$t, d. h. \> + «\^^'^^
«nd ^f3 + €^: = 0 gleiebseitig ricbtif sind. Die Kicbtan|t ^)<^«^ Axe i«t

dnnn in der y z - Ebene — r^ = — ^ •

8ind nnn aber die Coefficieuten Einer Gleichung nicht un«bhKi^|ti|t
▼•n einander« so lassen sich einselne Fülle anf die vori^n tnrtiokfithron.

Es sei ^i = d| — a^Oi nnd entsprechend d|=s d^ — 0:^«^« dann laut^^n
die Gleichnngen

//,U, — Cj^ + ft,y + r,: + a, = 0, «,(«* — rt^) + A^y-f «,: + «\ - 0»

Sind Ol nnd a^ verschieden, so kann /'(«|«>|) oiTouhar keitit^n ovior nur
einen Kegel mit unendlich fernem Centrum crscugt'u, d. h. eiu<Mi Cyliu-
der unter der Bedingung (6c) = 0, ein Fall, der Hchon fVtth««r brhaudoh
Würde.

Ist entsprechend z. B. 6j = y^ — /ij a^ , h^ " V^ - Pt "« ♦ P\ • /% » ***
stellen die Gleichungen

einen Kegel dar nnter der Bedingung (cd)»!)*^ AiMi UwtvVroixcv \\^^ %Ki\
der gemmoacbrnftlichen Geraden von d? — p^yaaO und oe"-*p^V^^^> ^A^x

64 Kleinere Mittheilungen.

mit der Axenricbtnng {bc) :{ca): (a6), woraus ersichtlich ist, dftis b «lu
in der Gleichung f=0 nur als Constante auftreten dflrfen. [Voi
Schlömilch a. a. 0. Cap. V.]

Hiermit ist der Fall erledigt, dass von den Constantea der GUi
ungen tij = 0, u^=^0 vier in der Weise variabel waren, data swei i
verschiedenen Gleichungen durch eine Gleichung n*^ Chrndea« je si
aus derselben Gleichung durch eine lineare Gleichung verknitpft sk
Letztere Bedingung gestattet eine Erweiterung, deren aUgemebier li
druck in den Gleichungen

+ ''i («3 « + i^S » + y's ^ + ^'s) + ^1 («4 ^ + /^4 y + n * + ''4) =* •• !

«2 («"i ^' +?'iy + y\ 2 + ^"1) + ^2 («"2 * + ß"t y + y't « + «'*i) ^

+ c,{a\x + §;\y + y\z + 6\) + d^{u\x + §:\y + Y\^'¥tr;i^9^^

enthalten ist, für welche die hier befolgte Behandlnngsweiae au unitl^l
lieh wird. [Yergl. Joachimsthal, Anwend. d. Diff.-Reehn., S. IC
Sturm, Cours d* Analyse, Nr. 667.]

Berlin, April 1884. A. Teati^

Teufel III.

• ••

Ta.fel TV.

Fi 0 20

F5fe?5.

Kig.24.

Fi^.26.

62

Kleinere Mittheilnngen,

da P| und p^ von einander verschieden sind, die z-Axe, ein Fall, der
oben erledigt ist. Entsprechend ist z. B.

Wi = 0, Wj = 0, f{c^c^)'=0, ^ = ^1 — r^Cj, ^2 = ^2 — r,Cj, {ad) = 0

0

0.

das Gleichnngssystem eines Kegels mit dem Centrnm — -^

Es sei nnn d^e=:S^^aa^ nnd ^s^^a'^^s« dann erscheinen die
Gleichungen u^ = 0 und u, s= 0 in der Form

«^(j: — a) + 6jy + CiZ + Ji = 0, a^{x — a) + b^y'Pc^z + 8^ = 0

und die Znsatzgleichung f*{<^iO%)==0 stellt wiederum unbedingt einen

Kegel dar mit dem Centrum a

(£i)
(bc)

-{bd)
{bc)

Die Znsatzgleichnng /(a^ij

0 erfordert noch die Bedingong (cd) = 0 ond liefert dann du Centram

0

_i.

; und die Gleichung fia^ d^) = 0 liefert einen Cjlinder unter

der Bedingung (6 c) = 0.

Die Analogien für ^'i = ^i--"/?^i u. s. w. sind leicht zu bilden.
Ißt 6js=/jj — «flj und b^s=z ß^-^aa^^ so stellt

aj(a: — ay) + /3jy + rj2 + rfi = 0, «jC« — ay) + /?2y + Cjt + rf, = 0,

wiederum unbedingt einen Kegel dar mit dem Centrum a

M)
(ßc)

(crf)
(ßc)

-<ßä)
{ßc)

f{oibj) = 0 oder f{a^ß^) = 0 führt aof die Bedingung (c(0 = 0 und das

*•• /■(a^Cj) = 0 verlangt die Bedingung (/Jd) = 0; daa

Centram 0

0

Centrnm ist — «^

ßi

ßi

0. /'(ajdj) = 0 erzeugt einen Cjlinder unter

der Bedingung (/?c) = 0, dessen Axe parallel der Geraden x—(ly = 0\ß^y
+ c.z = 0, d.h. - = «, -=IJ^^

Die weiteren Zwischenfälle bieten nichts, das sich nicht auf das
Vorhergehende reduciren oder auf die folgenden allgemeinen Fälle bringen
lässt. Es sei d^ linear abhängig von a^b^c^, d^ von n^b^c^^ so werden
sich einfache Resultate nur ergeben, wenn die Abhängigkeit durch die-
selbe lineare Gleichung rf=d~aa — ßb — yc dargestellt wird. Unsere
Ebenen haben dann die Gleichung

^i(a:-a) + 6j(y-/J) + ri(r-y) + dj=0,
o,(^-«) + ^(y-l5) + r,(z-y) + d, = 0,

und auf diese Form wird man sie auch bringen, wenn z. B. neben
f{'^ib^=^Q nur gegeben if^ = d', — a/ij und d^=^((^^ßb^^ indem dj und
^ ^a^rewftblt werden» dass d', = di — /?6j — ycj, d',= dj— aoj — yc,, woa
mifslieh ißt nnd für -y BOg%x die Wahl nocYi frei \lUa\.

Teufel TV

Fi;^.20.

• • *

m

X '.•••:

Fi ^.2 6.

Die Curven vierter Ordnung mit drei doppelten

Inflexionsknoten.

Von

Dr. C. Beyel

in Zürich.
(S ohlu B8.)

ffierzu Taf. III u. IV Fig. 9—24.

15. EintheiluDg der C* und Darstellung der Hauptformen.

Wir erhalten eine üebersicht über die verschiedenen Formen der C*j
indem wir von den einfachsten derselben ausgehen. Für diese liegt ent-
weder mj oder M^ unendlich ferne und K* ist ein Kreis oder eine gleich-
artige Hyperbel. Aus diesen speciellen Formen können wir die allgemeinen
durch eine centrische Collineation erster Ordnung ableiten.

Ist mi unendlich fem, so halbirt Mj^ die Strecken, welche zwischen
zwei Punkten der C* liegen, die sich auf Geraden durch il/j befinden. (7*
^at in M^ einen Mittelpunkt. Sämmtliche Kegelschnitte K/ sind Parabeln
(^)) und die quadratischen Transformationen (2), welche durch C* geleitet
werden, zeichnen sich dadurch aus, dass jeder Geraden eine Parabel ent-
spricht.

Ist Mj^ unendlich fern, so halbirt m^ die Strecken zwischen Punkten
d^r C*, welche auf Geraden von der Richtung -Äfj liegen. C* ist zu sich
selbst symmetrisch mit in^ als Axe und M^ oo als Bichtung der Symmetrie.

In Taf. III Fig. 9 — 16 sind nun dem Gesagten entsprechend die ein
fuchsten Typen der C* zusammengestellt. Fig. 9 — 12 zeigen Mittelpunkts-
^rven, Fig. 13 — 16 Curven, welche zu r,\ orthogonal symmetrisch liegen,
h Pig. i\ 10, 13, 14, 15 sind Ä/j, iVj, ^8 reell, in Fig. 11, 12, 16 sind
^11 M^ imaginär. Wir fügen den Figuren einige Bemerkungen bei.

Pig. 9 ist so disponirt, dass M^ ein isolirter Punkt von C^ ist. Also
^^ die Involution Jn nm M^ elliptisch sein. Daher ist K* ein im End-
lichen geschlossener Kegelschnitt, in unserem Falle ein Kreis. Jik ist also
^»ne Rechtwinkelinvolution und folglich sind m^, w^ zu e>m^xi^«i -üöttoaX.
^* ist za diesen Geraden orthogonal symmetrisch, l^t J^ d\itCi\i g^Hy %'^'
^^, so schneiden diese Doppeis fciahlen K^ in einem Qvi«Ara\^\ ^oxl

IMmthcmatik a. Physik XXX, ?, h

68 Die Curven vierter Ordn. mit drei dopp. Inflexionsknoten.

Nachdem t,, i^* bestimmt ist, benutzen wir diese Geraden, um aus K^
und J, die Involution /j* zu zeichnen. Mit Hilfe von J^* finden wir (12)
einen Punkt und eine Tangente von K**. Letzterer Kegelschnitt ist gleich-
seitige Hyperbel und berührt — wie K^ — die C* in zwei reellen Punkten.

Taf. in Fig. 13 stellt die zu i»! orthogonal symmetrische Curve C* dar,
für welche M^^ ein isolirter Punkt ist. A/j ist also in Bezug auf K^ ein
elliptischer Punkt und folglich muss jede Gerade durch M^ den Kegelschnitt
K^ reell schneiden. Unter diese Geraden gehört auch die unendlich ferne
und daraus folgt, dass K^ eine Hyperbel ist In Fig. 13 ist dieselbe als
gleichseitig angenommen. Die unendlich ferne Gerade trifft aber C^ ausser
in Af| noch in zwei Punkten. Wir erhalten sie, indem wir in der Involu-
tion 7| zur unendlich fernen Geraden die entsprechende — u — bestimmen.
Diese liegt in der Mitte von Qih^- Die Tangenten in ihren Schnittpunkten
mit jBl' haben die Richtung der gesuchten Punkte. In letzteren zeichnen
wir auf bekannte Weise die Tangenten an C"*. Diese sind Asymptoten —
a^ a* — der Curve.

In Taf. III Fig. 14 hat Af^oo reelle Inflexionstangenten. K^ ist als
Kreis angenommen, tj i* sind ein Paar Asymptoten. Das andere Paar er-
halten wir wie bei Fig. 13.

In Taf. III Fig. 15 ist K* als gleichseitige Hyperbel angenommen. C*
hat ausser i^, «j* keine weiteren Asymptoten. Aus K^ ist mit Hilfe von
Tjj der Kegelschnitt K*^ gezeichnet, der K^ in zwei Punkten von W| und
C^ in den Punkten eines imaginären Quadrupels berührt.

Taf. III Fig. 16 stellt eine zu i»! orthogonal symmetrische C* dar, für
welche M^ , M^ imaginär sind. JT* ist als Kreis angenommen. K*^ ergiebt
sich daraus als HyperbeL tj, i* sind die beiden reellen Asymptoten.

Ein üeberblick über die bis jetzt erwähnten C* ergiebt, dass nur die
in Taf. III Fig. 9, 10, 12 und 16 gezeichneten Formen wesentlich von ein-
ander verschieden sind. Fig. 14 und 15 kann aus 9 dadurch abgeleitet
werden , dass wir eines der bei Fig. 9 im Unendlichen liegenden M ins End-
liche rücken lassen. In analoger Weise erhalten wir die in Fig. 13 dar-
gestellte Curve aus der in Fig. 10 gezeichneten. C* von Fig. 1 1 endlich
ist eine specielle Form der C* von Fig. 12. Aus den Fig. 9, 10^ 12, 1(]
leiten wir die allgemeinen Formen der C* mittels einer centrischen CoUinea-
tion erster Ordnung ab, und zwar die C* mit drei reellen Inflexionsknoten
aus Fig. 9 oder 10 und die C^ mit einem reellen Inflexionsknoten aus
Fig. 12 oder 16. Wollen wir aber solche Formen direct aus einem Kegel-
schnitt zeichnen, so bedienen wir uns dazu der in 10 entwickelten Methode,
bei der wir von einem Kreise durch M^ M^ M^ ausgehen. Mittels derselben
sind die Curven vierter Ordnung von Taf. IV Fig. 17, 18, 19 construirt.
Es sind dies C^ mit drei reellen Inflexionsknoten.

Taf. rV Fig. 17 giebt eine C\ welche durch die imaginären Punkte des
Ki-eises JT»,* geht. T muss also der Mittelpunkt von K^^ sein. Ueberdies

Von Dr. C. Bkybl. 67

g^^h^ — die Doppelstrahlen von ./, — müssen die Asymptoten a^ , a*
dieser Hyperbel trennen. Für den dargestellten Fall ist Jj so disponirt,
das8 ^p h^ die Axen der gleichseitigen Hyperbel ÜT^ sind. Daraus ergiebt
sich, dass m^ , m^ die Strahlen nach den imaginären Ereispunkten der Ebene
sind. Also geht C* durch diese Kreispnnkte — ijtj* föllt mit den Asym-
ptoten der Hyperbel zusammen und diese repräsentiren auch den Kegel-
schnitt K*\ welcher Ä* in »n, berührt.

Nach der in 5 besprocheneu Methode sind die zwei reellen Doppeltan-
genten Ton C* construirt. H^, H^* liegen in g^ resp. \ unendlich fem.
Wir liehen dann durch den in g^ gelegenen und in Bezug auf K^ ellipti-
schen Punkt H* die Geraden w^w\y w^w\^ ^3^3- Diese sind Paare der
Involutionen /i« nnd liegen in unserem Falle zu g^ orthogonal symmetrisch.
Wir schneiden sie mit einer beliebigen Geraden g und erhalten dadurch drei
Paare einer Punktinvolution. Diese ist auf einen Hilfskegelschnitt H^ Über-
tragen, der durch M^ geht und g^y g zu Tangenten hat. Dann sind die
Verbindungslinien entsprechender Paare parallel zu g^ und schneiden g in
den Punkten «;, , Wg > ^3 • ^^^ construiren wir die Kegelschnitte K„^, die
K^ in den Schnittpunkten mit den Geraden w^ w berühren , und bestimmen
^e Tangenten aus M^ an diese Kegelschnitte. Sie sind Paare der Involu-
^on /i. Auch diese übertragen wir auf B.^ und ziehen die Verbindungs-
linien entsprechender Punkte. Wir erhalten dadurch drei weitere Gerade
'ij ^j, <3, welche g^ parallel sind und g in den Punkten Tj , Tg» ^s schnei-
den. Nun sind die Punkireihen w^w,2V)^y T^T^T^ zu einander projectivisch.
^0 dieser Projectivitftt construiren wir zu 2V den entsprechenden Punkt «;.
^ führt uns zu einem Geradenpaare W:^w^^ welches die Hyperbel K^ in
* Unkten trifft, deren correspondirende auf C* mit Hilfe von J^ gefunden
^©rden und die Berührungspunkte der gesuchten Doppeltangenten — d^ , d* —

•

^^d. Die Construction in Fig. 11 ist dadurch vereinfacht, dass iTg im ün-
^dlichen und w^ in g^ angenommen wurde.

Sämmtliche Kegelschnitte K'^ sind gleichseitige Hyperbeln und liegen

ausserhalb C^, Desgleichen sind alle Kegelschnitte K^ gleichseitige Hyper-

^b. Die Kegelschnitte K^ und K„? sind Kreise. Aus dieser Bemerkung

^tgiebt sich die Construction der Tangente in einem Punkte — JP\ — von

^* mit Hilfe des berührenden Kreises K^. Wir legen einen Kreis K^

^urch il/j T\ und einen weiteren Punkt der C^, Nehmen wir als letzteren

den zu F\ orthogonal symmetrischen Punkt jRJ'j, so liegt der Mittelpnnkt

▼on K? in ^^ . Nun bestimmen wir den Pol T von E\ F\ in Bezug auf

V. Durch T und /J/^ F\ geht ein Kreis — X/ — , der C^ in F\ berührt.

Taf. III Fig. ]2 giebt — wie 11 — eine 0* mit einem reellen und

zwei imagin&ren Inflexionspunkten. Im Gegensatze zu 1 1 befinden sich aber
^1, i^ in allgemeiner Lage, so ' ' U durch die imaginären

geht

70 Die Curven vierter Ordn. mit drei dopp. Intiexionsknoten.

Sei dann x^ eine beliebige Gerade durch iV, (Taf. IV Fig. 20). Ihr
correspondire in der Involution Ju die Gerade x\ . x^ schneidet den Kegel-
schnitt ÜT' in zwei imaginären Punkten. Dieselben sind durch eine ellip-
tische Involution definirt. für welche I^f^ und der Schnittpunkt M\ von ir,
mit 91»! ein Paar ist. Sei der Schnittpunkt Z^ von x^ mit to^ &ls ein Punkt
eines zweiten Paares angenommen, so wissen wir, dass die Polare von Z,
in Bezug auf K^ die Verbindungslinie der Schnittpunkte x\m^ und tp^m^
ist. Sie trifft x^ in dem zu Z^ gehörenden Punkte Z\. Nun ist der Pol
von Xi in Bezug auf K^ der Schnittpunkt X, von a?, mit m|. Durch ihn
gehen die Tangenten, welche Ä"^ in zwei Punkten auf x^ berühren. Diese
Tangenten sind also bestimmt durch die Geraden aus x^ nach M^M^Z^Z'y.
Geben wir jetzt die Involution J^ und entspreche in derselben dem Strahle
Xy ein Strahl x^\ so schneiden die erwähnten imaginären Tangenten aus x^'
zwei imaginäre Punkte. Dieh;e werden durch eine elliptische Involution
definirt, deren eines Paar die Schnittpunkte Z/, Z*' der Geraden »^ Z, , Xy^ Z\
mit x^' sind; das andere Paar besteht aus iVj und M^\ dem Schnittpunkte
von fHi mit x*\ Der Ort aller auf diese Weise construirten Punktepaare
in den Geraden x^' ist eine imaginäre Curve vierter Ordnung — C**.

Der Beweis für letztere Behauptung wird analog dem in 1 gegebenen
geführt. Eine beliebige Gerade g schneidet den Ort in vier Punkten. Sie
liegen auf vier bestimmten imaginären Tangenten, welche dem Kegelschnitt
JT* und einem reellen Kegelschnitt K^ gemeinsam sind. Letzterer wird
aus projectivischen Reihen erzeugt, welche die Projectivität "Px^ aus .4/, resp.
g ausschneidet.

Wir ziehen nun einige Schlüsse für die imaginäre Curve C^*. welche
analog denen sind, die oben für die reelle Curve C^ entwickelt wurden.

a) M^ ist ein reeller Doppelpunkt von 6'**. Zwei weitere Doppelpunkte
— ilfg, iV.j — sind die Schnittpunkte von Wj mit dem gemeinsamen Paare
der Involutionen ,/, , Ju- . Dieses gemeinsame Paar ist stets reell , weil J\k
elliptisch ist. Also muss auch M^ und M^ reell sein. C^"^ hat mithin drei
reelle Doppelpunkte.

b) Wir haben unter 1 a) gesehen, dass die Punkte? von A'- und C*
mittels der Tangenten an if ^ einander eindeutig zugeordnet werden. Diese
Zuordnung hat auch dann einen bestimmten Sinn, wenn K^ und C^ ima-
ginär werden. Trennen wir nämlich das conjugirt - imaginäre Punktepaar
von K^, welches auf einer reellen Geraden x^ durch M^ liegt, indem wir
den Sinn der bestimmenden Involution berücksichtigen, so sind dement-
sprechend auch die Tangenten an K^^ in diesen imaginären Punkten unter-
schieden , mithin auch die Punkte von C'*^*, welche diese Tangenten aus x^'
aiuachneiden. Also correspondirt dem Berührungspunkte einer Tangente an
JT' ein ganz bestimmter Punkt von C^*, der auf dieser Tangente gelegen ist.

Indem wir nun dae auf solche Weise zugeordneten Punkte von K^ und
C^ mii Afg resp. Äfg verbinden, erhalten wir um d\«^ ^)^«iV«\ ^^'^a^mSl^

Von Dr. C. Bbybl 71

deren imaginäre Strahlen einander correspondiren. Die Strahlen eines sol-
chen Büschels — sagen wir um M^ — sind so angeordnet, dass einem
Strahlenpaare , welches durch die Geraden aus M^ nach M^M^Z^Z^* definirt
ist, ein solches entspricht, das durch die Strahlen aus M^ nach M^M^Z^* Z^*'
beätinimt wird, üebertragen wir die Involutionen , durch welche diese Strah-
lenpeaie gegeben sind , auf einen durch M^ M^ M^ gehenden Kegelschnitt ^^
so müssen ihre Pole in m^ liegen. Sie bilden in dieser Geraden zwei pro-
jectivische Reihen. In denselben entsprechen sich M^ M^ yertauschbar. Also
bilden die projectivischen Reihen eine Involution. Ihr entsprechend können
wir auch die ProjectivitSt der Büschel um M^ *^s eine Involution — J^ —
bezeichnen. Projiciren wir die Involution der erwähnten Pole in m^ aus M^ ,
so erhalten wir eine Strahleninvolution. Ihr Pol in Bezug auf H^ sei als
Pol der Involution J^ definirt. Indem wir den analogen Gedankengang für
das Bflschel um M^ durchführen , gelangen wir zu einer Involution J^ . Es
sind also die reellen Strahlen von J^ durch C^* mit Involutionen J^, J^
▼erbflpfb, deren bis jetzt gefundene Strahlen imaginär sind.

c) Eine Folge der angegebenen Erzeugnngsweise von C** ist es, dass
die reellen Doppelstrahlen — Pj, \ — der Involutionen /, den Kegel-
schnitt K^ in vier Punkten schneiden, in denen JSC^ von C^ berührt wird.
Diese Punkte sind durch elliptische Involutionen in pj, Ä, bestimmt. Weil
nun M^M^M^ ein Tripel harmonischer Pole in Bezug auf K^ ist und weil
«i«ij durch (/jÄ^ harmonisch getrennt wird, so folgt, dass die — ausser p^
und Aj — noch möglichen Verbindungslinien der Punkte A, B, CD paar-
weise durch M^ resp. M^ gehen müssen. Also liegen die elliptischen Invo-
lutionen auf g^h^y welche -4 JB (72) bestimmen, sowohl zu M^ als zu M^ per-
üpectivisch. Bilden wir daher über diesen Involutionen die Strahlenbüschel
MS M^ resp. M^, so werden durch dieselben zwei imaginäre Strahlenpaare
definirt, welche wir als die Doppelstrahlen der Involutionen 7^, J^ zu be-
trachten haben.

d) Wie durch die reelle Curve 6'*, so wird auch durch C** eine qua-
«Iratische Transformation geleitet. In derselben correspondirt jeder Geraden
9 ein Kegelschnitt ÜT/. Geht diese durch einen der Punkte M — sagen
wir M^ — , so finden wir, dass ihr zugehöriger Kegelschnitt K^ in M^ und
«aen Punkt S^ auf m^ degenerirt. Ziehen wir aus S^ die Tangenten an K^,
so sind diese imaginär, berühren aber Ä'^ in zwei Punkten einer reellen
teaden x^ — der Polaren von S^ — und schneiden jene Gerade — x^ —
durch M^ in zwei imaginären Punkten von C**. Die Geraden x.^ , x^' bilden
^ Involution , deren Strahlenpaare sich nach demselben Gesetze correspon-
diren, wie die imaginären Strahlenpaare der oben besprochenen Involution
^ h. ea sind die reellen Strahlen diet<er Involution. In analoger Weise
r ftoch zu den reellen Strahlen der Involution J^ geführt. Aus
» von J, Tg ergeben sich imaginäre StraVv\ftTip2ÄT^ notv^^.

72 Die Curven vierter Ordn. mit drei dopp. Inflexionsknoien.

Wir erkennen also, dass die Involutionen /j, /j, ^3 sowohl reelle wie ima-
ginäre Strahlen enthalten. Weiter erkennen wir, dass C^*' aus K^ und J,
oder J3 auf dieselbe Weise erzeugt werden kann, wie aus K^ und y^.

Uebertragen wir Jj, J^, J^ auf einen Kegelschnitt H\ der durch M^M^M^
geht, so liegen die Pole dieser Involutionen in einer Geraden. (3.) Ferner
liegen sie resp. in tn^m^m^. Nun schneidet eine Gerade die Seiten eines
Dreiecks, das H^ eingeschrieben ist, entweder in drei Punkten, welche in
Bezug auf H^ hyperbolisch sind , oder in einem hyperbolischen und in zwei
elliptischen Punkten. Wenn C^ imaginär sein soll, ist nur der zuletzt an-
gedeutete Fall möglich. Dementsprechend muss eine der Involutionen J —
und nur eine — hyperbolisch sein. Unter c) haben wir vorausgesetzt, dass
Jj hyperbolisch sei.

e) Die quadratische Transformation, welche durch C^* geleitet wird,
führt zur Construction der Doppeltaugenten dieser Curve. Wir be-
stimmen zu diesem Zwecke die vier Kegelschnitte ify^, welche Af^ doppelt
berühren. Verfahren wir dabei nach der in 5 erwähnten Methode , so haben
wir die gemeinsamen Paare der Involutionen J\kJ\my J2kAmj -^sit-^sm zu
suchen. Diese Paare müssen in unserem Falle reell sein, weil Jiky Jik-t J^k
elliptisch sind. Folglich sind die Schnittpunkte — F^y F^^ F^^ F^ — dieser
Paare reell (Taf. IV Fig. 21). In den Polaren von Pj, Pg, P3, P^ in Bezug
auf K^ liegen die Berührungspunkte der Kegelschnitte K^ mit K^. Von
diesen Polaren ist in Fig. 21 die zu P^ gehörende — p^ — eingezeichnet.
Auf ihr ist die elliptische Involution bestimmt, welche die Schnittpunkte
von j?! mit K^ definirt. In letzteren berührt AT* einen Kegelschnitt K^.
Dieser hat überdies m^, m^, m^ zu Tangenten, ist also durch mehr Ele-
mente als nöthig bestimmt. Seine Darstellung wird durch die Bemerkung
erleichtert, dass er m^, tn^, m^ resp. in den Punkten berührt, in welchen
diese Geraden resp. von F^M^^ J^i^^'» ^\^a geschnitten werden. (5.) Aus
hg^ und 7j können wir nun eine Doppeltangente — d^^ — zeichnen. Wir
wissen, dass Kg^ durch zwei projectivische Reihen auf m^ und d^ hervor-
gebracht wird. In diesen Reihen entspricht dem Schnittpunkte von d^ mit
m^ der Berührungspunkt von Kg^ mit m^. Da aber letzterer der Schnitt-
punkt von Fy^M^ mit m^ ist, so haben wir zu F^M^ den correspondiren-
den in yu zu suchen. Zu ihm construiren wir den zugeordneten Strahl in
der Involution J^ . Dieser schneidet m^ in einem Punkte T^ , der der Schnitt-
punkt von 9»! mit d^ sein muss. In analoger Weise bestimmen wir zu
FyM^ den entsprechenden in. J^k luid zu letzterem den zugeordneten in 7^ .
Dieser trifft m^ in T^, einem zweiten Punkte von dy. Damit ist letztere
Linie bestimmt. Wir bemerken bei dieser Construction, dass die entspre-
ohende Gerade zu F^M^ in der Involution J\k ein Strahl des gemeinsamen
PaareB der Involutionen /im, J\k ist. Femer ist der Strahl, welcher P, 11^
in Jf^ iMUTesjMuidirt, einer der gemeinsamen Strahlen zwischen den Involn-
iiatma ^ und J^m • indem wir unter Be!rVLck!Bic\i\ägaTi% ^ax «Dsütf^^s^A. ^«r

Von Dr. C. Beyll. 73

merkoDgen ftir die Doppeltangenten d^, d^^ d^ letztere construiren, können
wir das Gesagte dahin zusammenfassen :

Die correspondirenden Strahlen zu den gemeinsamen Paa-
ren der Involutionen Jk und Jm in den resp. Involutionen J
schneiden die resp. Linien m in sechs Punkten T. Diese liegen
Tiermal zu dreien in den vier reellen Doppeltangenten von

Wir unterlassen es, hier Alles, was oben für die reellen C* bewiesen
wurde, nach dem Princip der Continuität für die imaginären G^ zu inter-
pretiren, und heben nur noch Folgendes hervor.

f) Je vier Punkte von C^*, welche auf einem reellen Strahlenpaar gh
einer Involution Jm liegen , bilden ein imaginäres Quadrupel von Punkten.
In ilinen wird C* von einem imaginären Kegelschnitt A"^ berühi*t. g, h
lassen sich als die Doppelstrahlen einer Involution J betrachten. Aus £C*
und / kann (7** nach der oben entwickelten Methode erzeugt werden.

g) Die in 9 dargestellte Ableitung einer C^ aus einem durch M^S/I^SI^
gehenden Kegelschnitt A^^* führt zu einer imaginären Curve C**, wenn T
im Innern des Dreiecks M^ M^ M^ liegt. Denn in diesem Falle schneidet
jede Gerade durch T die Seiten des erwähnten Dreiecks in drei Punkten,
von welchen zwei in Bezug auf K^ elliptisch sind. Die Schnittpunkte von
AV mit 6"** liegen auf der reellen Polaren von T in Bezug auf M„? und
sind bestimmte imaginäre Punkte.

h) Die Tangenten in den Punkten von C^* sind natürlich imaginär.
Construiren wir aber zu einem Punkte — sagen wir Pg — in m^ die Curve
^1':^ (13), so hängt diese nur von den Involutionen J\k und J^ ab. Mit
Hilfe von J\k haben wir Ki^ erzeugt und es muss dieser Kegelschnitt stets
nell sein, wenn it/^, i/^, M^ reell sind. Daraus folgt, dass auch Ci'2 reell
sein moss. Ziehen wir dann durch P^ eine Gerade und schneide diese C{»-^
iß X and w, in S\ , so müssen nach der Definition von C\'^ auf M^ X
2wei Punkte von C^ liegen, deren Tangenten sich in S\ schneiden. Wird
die Curve vierter Ordnung imaginär, so sind auch jene Punkte auf M^X
UDaginär und durch eine elliptische Involution bestimmt. Bilden wir über
ib das Strahlenbüschel aus S\ , so definirt dasselbe zwei Tangenten von C^,

In analoger Weise schliessen wir, dass sämmtliche Curven C7^, die in
H besprochen wurden, in unserem speciellen Falle reell werden und dazu
<Uenen, die imaginären Tangenten von C** zu bestimmen.

* unter 6 haben wir gezeigt, dass die Doppeltangenten einer reellen C^ für
velche 3f,, Jf^, 3i^ reell sind, imaginär werden. In Ergänzung des dort Gesagten
bemerken wir, dass in jenem Falle stets eines der gemeinsamen Paare zwischen
äner Involation Jk und J^ reell ist. Constroiren wir zu ihm die entsprechenden Ge-
nden in der Involntion Ji, so schneiden sie da» ^ '" ^"^^ reellen Punkten.

Doreh diete gehen paarweiie die erwftbnteniiv " > schneiden die

ttdeieii m in beitimi&ten imagiiiirai F "^ ^^^vc\t«

74 Die Curven vierter Ordn. mit drei dopp. Inflexionsknoten.

Dabei bemerken wir, dass diejenigen Punkte von C**, Welche auf einer
reellen Geraden durch ein ^f liegen , Tangenten besitzen , deren reeller Punkt
bich in dem gleichnamigen m befindet.

17. Degenerirte Formen von C*.

Am Schlüsse von 1 haben wir angedeutet, dass m^, m^ zusammenfallen
können , und wir wollen nun untersuchen , wie sich in diesem Falle C^ ge-
staltet. Da tn^tn^ das gemeinsame Paar der Involutionen J^ und Jik ist,
so kann ein Zusammenfallen von m^, tn^ nur dann eintreten, wenn Jj und
J\k einen Doppelstrahl gemeinsam haben. Derselbe muss Tangente an K*
sein. In ihm decken sich m|, m^ und wir wollen ihn mit m bezeichnen.
Er berührt K^ in einem Punkte — M — , in welchem M^. M^ zusammen-
fallen. Also liegen auf m die drei Punkte ^/, , M^, M^ , d. h. m ist ein
Theil von C* und der Rest dieser Curve muss von der dritten Ordnung
sein. Wollen wir dies direct beweisen, so gehen wir von einer beliebigen
Geraden g aus. Wir construiren — wie in 1 — aus J\k und J^ die Pro-
jectivität F\k. Sie schneidet m^ resp. g in projecti vischen Reihen. Diese
erzeugen einen Kegelschnitt AT^^, der mit K^ die Tangente m gemeinsam
hat. Die drei übrigen gemeinsamen Tangenten treffen g in Punkten der
erwähnten Restcnrve — 0^

Indem wir das über C*' Gesagte für C^ specialisiren , ergiebt sich ftlr
letztere Curve Folgendes:

C^ berührt K'* in M und in den zwei Punkten, in welchen der zweite
Doppelstrahl \ der Involution /, den Kegelschnitt K^ trifft. — Af^ ist In-
flexionspunkt für C^. Seine Tangente — ij — wird erhalten als die cor-
respondirende zum zweiten Doppelstrahle von J\k in der Involution /, . —
C^ ist zu sich selbst centrisch involutorisch mit U^ als Centrum und 9f»|
als Axe.

Die quadratische Transformation, welche durch C^ geleitet wird, ist
dadurch specialisirt, dass die Kegelschnitte K^^ welche den Geraden der
Ebene correspondireu , die Linie m in M^ berühren. Die Kegelschnitte K^
aber, welche den Geraden X' durch M in dieser Transformation entsprechen,
degeneriren in zwei Punkte, nömlich in Jtf und einen Punkt S aufm (Taf. IV
Fig. 20). Durch S geht an h^ — ausser m — eine weitere Tangente,
welche A'* in -4, berühre. Sie muss x in einem Punkte A\ von C^ schnei-
den. Sei dann der Strahl MA^ mit x bezeichnet und drehen wir x um Jf,
so entspricht jeder Lage von x eine Lage von x. Lassen wir aber an Stelle
von X die Geraden m^ oder m treten, so correspondiren ihnen resp. dii
Geraden m^ m^. Also bilden die Paare x. x eine StrahleninvolaliA«
und C^ wird aus A'* und ./ auf dieselbe Wei^e erzeugt wie aus K^
Die Doppelstrahlen von J sind die Geraden aus M nach den So
von hj mit A'^. M^ ist also der Pol voii J in Bezug auf den F

Von Dr C. Bbykl. 75

Indem wir die letzterwähnte Erzeugungsweise der C^ unabhängig von
C^ betrachten, können wir sagen:

Ä'^sei ein beliebiger Kegelschnitt und einer seiner Punkte
— iV — sei Scheitel einer Involution J. Construiren wir in
den zweiten Schnittpunkten der Strahlen von 7 die Tangenten
an A'' und schneiden wir mit ihnen die correspondirenden
Strahlen von /, so ist der Ort der Schnittpunkte eine (7^

Auf jeder Geraden durch M liegt somit ein Punkt von C^. Also ist
M ftlr diese Curve ein Doppelpunkt. Bemerken wir weiter, dass der reelle
Theil von C^ aus dem in Bezug auf A'^ hyperbolischen Fßlde der Ebene
nicht in das elliptische übergehen kann , so folgt , dass C^ in M eine Spitze
hat. mj ist ihre Tangente.

Seien A\ , i?', zwei Punkte von C^ auf einer Geraden /* durch M^ und
«?ien a\, b\ ihre Tangenten, so wird durch Ä\a\^ B\b\j Mm als Punkte
und Tangenten ein Kegelschnitt A ^ bestimmt. Solcher Kegelschnitte giebt
es unendlich viele. Aus jedem derselben kann C^ mit Hilfe einer Involu-
tion erzeugt werden, deren einer Doppelstrahl m und deren anderer die
Verbindungslinie der Schnittpunkt« von A'^ und C^ ist.

Die Kegelschnitte AT^^ berühren m in AI und enthalten zwei Punkter
paare von C^, welche auf Geraden durch M^ liegen. Die Kegelschnitte /i',^
AV gehen durch A/, und berühren nij in M. Mit Hilfe eines Kegelschnittes
ÄV können wir C^ erzengen, wenn wir den Pol — T — der Verbindungs-
linie der Schnittpunkte von C^ und A'm^ kennen. Wir ziehen durch T
beliebige Gerade. Eine solche schneide »n, in S^ und m in S. Durch S^
g«ht — ausser m^ — eine zweit« Tangente an Iffu^, Sie berühre diesen
Kegelschnitt in A^ . Aus S können wir zwei Tangenten an K^^ ziehen.
Dtte Berührungspunkte verbinden wir mit M. Bringen wir dann diese Ver-
bindungslinien mit M^Ay zum Schnitte, so erhalten wir zwei Punkte von
^'. Specialisiren wir diese Construction für die Gerade TJtf,, so erhalten
wir die Infiexionstangente in M^ an C^,

Wenden wir uns zu den Tangenten von 0^ so zeichnen wir dieselben
nüt Hilfe der Kegelschnitte k'g^. Sind AyA\ ein Paar zugeordneter Punkte
«Heg Kegelschnittes A'^ und der Curve C, so construiren wir den Kegel-
Khnitt Ay, der m in ;>/, , A^Ä^ in A^ berührt und der w, zur Tangente
^•t Seine Tangente durch -4', berührte^ in J-'j. Führen wir diese Con-
itroction mit Hilfe des Satzes von Brianchon durch, und seien S. S^ die
Umittpnnkte von A^A\ mit m resp. m^, so ziehen wir die Geraden M^A^^.
M^Ä^ (Taf. IV Fig. 22). Ihren Schnittpunkt — T, — verbinden wir mit
8%» Dtnii trifft SyT^ die Gerade m in S\ einem Punkte der gesuchten

andere Construction ist folgende: Wir bringen M^A!^
^ und verbinden T\ mit S. Dann schneidet
— S\ — von tt'^,

76 Die Curven vierter Ordn. mit drei dopp. Inflexionsknoten.

Sei P ein beliebiger Punkt der Ebene, so verbinden wir ihn mit 8\
und schneiden diese Verbindungslinie mit M^ Ä\ . Wir können non zeigen,
dass der Ort der so erhaltenen Schnittpunkte ein Kegelschnitt* Ä^i^^ ist
Denn sei x eine Gerade durch P und schneide sie m^ in S\, so gehen —
weil C^ von der dritten Classe ist — duich S\ ausser m^ noch zwei wei-
tere Tangenten an C^. Die Berührungspunkte derselben liegen auf einer
Geraden x^ aus Af^ , welche x in einem Punkte unseres Ortes schneidet. Es
ist also jeder Geraden z durch P eine Gerade x^ durch M^ zugeordnet, um-
gekehrt erkennen wir, dass jeder Geraden x^ eine Gerade x entspricht. Mit-
hin steht das Büschel der x zu dem der x^ in einer eindeutigen Beziehung
und beide Bü^el erzeugen den oben erwähnten Kegelschnitt ijp^ Der-
selbe geht durch P, M^, M.

Befindet sich P auf m, so liegen also auf dieser Geraden drei Punkte
von K^^, d. h. m ist ein Theil dieses Kegelschnittes und der Rest desselben
besteht aus einer zweiten Geraden p. Wir schliessen daher:

Verbinden wir die Schnittpunkte der Tangenten von C
und tii| mit einem Punkte auf m und bringen wir diese Verbin-
dungslinien mit den resp. Geraden aus My nach den Punkten
von C^ zum Schnitte, so ist der Ort dieser Schnittpunkte eine
Gerade.

p geht durch den Schnittpunkt der Inflexionstangente in M^ mit fii|.

In Taf. IV Fig. 23 und 24 sind zwei Formen der jetzt besprochenen
Curve 0* dargestellt

Fig. 23 ist so disponirt, dass M^ unendlich fern liegt und m^ zu m
senkrecht steht. C^ ist also zu m^ orthogonal symmetrisch, i^ ist eine
Asymptote von C Die anderen werden gefunden, indem wir die Linie u
bestimmen, welche in der Involution J^ der unendlich fernen Geraden ent-
spricht u liegt in der Mitte von m und h^ und schneidet K^ in zwei Punk-
ten 17|, TJ^^ deren Tangenten die Richtungen der gesuchten Asymptoten
haben. Diese selbst werden also nach der oben gegebenen Tangentencon-
struction für Punkte von C^ bestimmt

Die C^ von Fig. 24 ist aus einem Kreise K^ hejrvorgebracht und
dadurch specialisirt, dass sie durch die imaginären Punkte dieses Kreises
geht, welche auf der unendlich fernen Geraden liegen. T ist also Mittel-
punkt von Ktg?. Die reelle Asymptote von C^ ist mit Hilfe einer Geraden
u bestimmt, welche zu m^ parallel ist und den Abstand zwischen M^ und
m^ halbirt. u trifft C^ in U, Dann ist My U die Richtung der gesuchten
Asymptote. Wir erhalten letztere, indem wir einen Kegelschnitt -AT,»** zeich-
nen, der m^ in M berührt, durch M^ ü und einen Punkt Ä\ von C* geht In
Bezug auf diesen Kegelschnitt construiren wir den Pol — T* — der Ge-
raden ÜA\. Durch ÜT*Mi geht ein Kegelschnitt AV, der m^ m M r^
C'^ in ü berührt. Also ist seine Tangente in ü auch Tangente
irifft fHj in 8\. Durch S\ geht die in Rede stehende Asjm

Von Dr. C. Beyel. 77

Schliesslich bemerken wir, dass die in 13 und 14 bebandelten Curven
dritter Ordnung von der Art der zuletzt besprochenen sind und dass die
allgemeine Form einer solchen Curve in Taf. I Fig. 8 gezeichnet ist. — Fällt
J, mit J\k zusammen , so degenerirt C^ in die Polare von ^/j in Bezug auf K^.

» 18. Beziehung von C* zu einem Büschel von Flächen zweiten Orades.

Es bleibt uns noch übrig, auf den Zusammenhang hinzuweisen , der
zwischen den discutirten Curven vierter Ordnung and einem Büschel von
Fliehen zweiten Grades besteht. Bekanntlich enthält jedes solche Büschel
vier Kegel — AT^^ ATj*. A'g*, l{^^. Seien die Spitzen derselben Mj^, Afj, ^3, M^,
so schneiden die Ebenen, welche durch je drei der Spitzen bestimmt wer-
den, die Developpable der Grundcurve des Büschels in Curven der betrach-
teten Art.* Denn wir können beweisen , dass die Construction dieser Spur-
conren mit der in 1 für die Erzeugung von C* gegebenen Methode über-
einstimmt.

Zu diesem Zwecke gehen wir von der Ebene P^ aus, welche iW, , J/g, M^
enthält. Der Kegel mit der Spitze M^ schneide diese Ebene im Kegelschnitt
A**. Wir construiren die Durchdringung von zweien der vier Kegel, sagen
wir von A^^*, A'^*, indem wir ein Ebenenbüschel durch M^ M^ legen. Sei JKj
eine Ebene dieses Büschels, so trifft sie A'j^ in zwei Erzeugenden c^, f^ und
V in zwei Erzeugenden c^, f^. Diese vier Geraden schneiden sich in vier
Punkten der Durchdringungscurve und wir haben nun in denselben die
Tangenten zu bestimmen , resp. die Spuren derselben in der Ebene P^ .
Letztere Ebene werde von E^ in x^ und von e^f^ in A^B^^ geschnitten.
Dann geht x^ durch M^, und -4p 5, sind die Schnittpunkte von x^ mit A'*.
Construiren wir die Tangentialebenen längs e^f^ an Ä'^^ so haben diese zu
Spnren in P^ die Tangenten ttj, h^ in Ä^Bj^ an A'*. Die Tangentialebenen
Sflgs €, f^ an ATj^ müssen sich in einer Geraden x\ durch M^ treffen , welche
u» Pj liegt , weil die Punkte von e^ f^ sich auf Geraden durch M^ befinden.
Ke gesuchten Spuren der Tangenten sind also die Schnittpunkte -4\, B\
^on a, 6j mit x\ . In ihnen treffen sich je zwei Tangenten an Punkte der
Grundcurve, die auf einer Geraden durch M^ liegen.

Drehen wir nun E^ um M^ M^ , so erhalten wir dementsprechend in P^
on Büschel von Geraden a?, und zu jeder Lage von x^ gehört eine solche
▼on x\ . Speciell die Ebene A/, M^ M^ trifft P^ in M^ M^ und dieser Geraden
correspondirt als x\ die Gerade MyM^. Die Ebene M^M^M^ schneidet P^
io M^ M^ und dieser Geraden ist M^ M^ zugeordnet. Also entsprechen sich
in der Projectivität der Geraden x^ x\ die Strahlen M^ M^ , My M^ vertausch-
inr, d. b. die Geraden x^^ x\ bilden eine Involution J^. Die Construction
fa Spar der Developpablen von der Grundcurve des Büschels wird also in der
A'* und J] nach der in 1 entwickelten Methode durchgeführt.

^Wstellondc Geometrie, II, Auü., S. HO^Ä^^g.

78 Die Curven vierter Ordnang etc. Von Dr. C. Betel.

Die analoge Darstellung von C* erhalten wir, indem wir von M^M^
oder von M^M^ ausgehen. Die Doppelstrahlen der Involutionen /, , /g' «^s
sind die Erzeugenden der Kegel A'i^, Jl^^^^ fC^^ welche in P^ liegen.

Kennen wir zwei dieser Curven vierter Ordnung, etwa C^* in der Ebene
P4 und Cj* in der Ebene M^ M^ M^ oder P^ , so ist dadurch die Develop-
pable der Grundcurve bestimmt. Denn sei A\ der Punkt von C/, welcher
in dem Schnitte von x\ mit a, liegt, so müssen die Tangenten an die
Grundcurve, welche in A\ die Ebene P| treffen, sich in der Ebene M^a^
befinden. Diese Ebene schneidet Fy in einer durch iKft gehenden Geraden,
welche den Schnittpunkt S^ von a^ mit M^ M^ enthält. In S^ M^ nun sind
zwei Punkte von Cj* gelegen. Verbinden wir diese mit Ä\, so erhalten
wir zwei Gerade der Developpablen.

Zu jedem der unendlich vielen Kegelschnitte A'^ aus denen C^ erzeugt
werden kann, gehört — wenn wir M^, M^, M^, M^ festhalten — ein anderes
Büschel von Flächen zweiter Ordnung. Die Developpablen der Grundcurven
aller dieser Büschel schneiden die Ebenen des Quadrupels My^ M^ M^ M^ in
denselben Curven.

Zum Schlüsse erwähnen wir, dass durch imaginäre Curven vierter Ord-
nung in den Quadrupelebenen imaginäre developpable Flächen bestimmt
werden, auf denen die Grundcurven von Büscheln liegen, die aus imaginä-
ren Flächen zweiten Grades bestehen.

Zürich, August 1884.

IV.

üeber die Integration linearer, nicht homogener

Differentialgleichungen.

Von

WoLD. IIeymann

in Planen i V.
(Schluas.)

I)

§7.
Sapplementintegral von

^^tV' + («I + ^ ^)y +(«0 + ^0^ + ^0^*)?/ = -^.a » *

1! ' ^2!

Sobald die Coefßcieuten der Gleichung 1) resp. la) in § G den zweiten
Grad nicht übersteigen, so gilt dies auch von den Coefficienten der Diffe-
rentialgleichung für Wy welche lautete

U,W''+U,W'+U,W=0,

und es bieten sich daher sogleich zwei Fälle dar. für welche die Integration
ToIIstfindig durchführbar sein wird, nämlich erstens wenn c^ = h^ = C2 = 0
und zweitens wenn Oj = o, = 5^ = ö- ^^^ betrachten hier den ersten Fall.
Es sei also n — 2 und

1. Ci=0, b2 = 0y ^2 = 0,

dann liegt die Gleichung 1) vor, und es handelt sich nur dämm, ein par-
tikuläres Inteprral der vereinfachten Gleichung

1 a) a,£" + {a, + h^ x)r' + (a„ + h^x + c^x^) z=^B, + B^x

aufzustellen. Die Gleichung für W lautet jetzt

^'^^"+(2>u + ^w)TF'+(a,+a,t/+a,u»)Tr=0,
und es ist seit Liouville bekannt, dass selbige durch die beiden Substi-
tuüonen ^^^„^+^„^ ^^^ yt/ + (5 = ^

anf die einfachere Form

dS"

de

* Es iit leicht einzusehen, dass die rechte Seite der Oleiohii
Factor tt'^^'^ behaftet sein dürfte, da dieser durch die Sab«^
beteiUgt werden kann, ohne data hierbei die Qleicllll

80 Ueb. die Integrat linearer, nicht homog. Differentialgleichungen.

■*.^»N. ■^.--» •- *-

gebracht werden kann, unter a, ßy y, 6. l gewisse constante 2iahlen ver-
standen. Der letzten Gleichung genügt

0
sonach ist

0
Führt man dieses in

^f^e''''^Sh''wdu

z

ein und beachtet, dass

t7j = Co, C/^i = 6o + 6,w,

so erhält man das Ergänzungsintegral der Gleichung la) in der Gestalt

«» OD ^,

t*i 0

Als Grenzen für das erste Integral hat man u^ = 0 ; u^ ist die Lösung der
Gleichung

und es ist a zufolge der Bedeutung von o, wie man sich leicht überzeugt,
immer eine von Null verschiedene endliche Grösse.

Es bleibt noch übrig, die Grössen y, und y^ zu bestimmen. Sie sind
aefinirt, wie fiHher gezeigt worden ist. durch

y, = » |5o/i(0, + 5, /• j(0), rs = - « !-Ba/". (<>) + B, f, (0)j .
und im vorliegenden Falle ist

0

*

f^{u) = e^-''^^*'Jv^-'e '' "^^"'^^^dv

woraus unmittelbar folgt

QO _« OD •

/;(0) = rt;^-»e ^•^^'''rft;, /"(0)t= y/r^c ' '^^''cir + 15/;(0)

0 0

OD ..» OD

0 0

so dass also für y^ nnd y^ folgende Ausdrücke gewonnen werden:

Von WoLD. Heymann. 81

0

.OD

;i>0.

0

Die Constante x ist zu entnehmen aus

f\ («) /■»(«)- r, (m) /; («) = - e~J^' '",

worin ftlr u irgendwelcher specieller Werth gesetzt werden darf. Für ti = 0
ergebt sich .

- = r,(0)/i(0)-r,(0)/;(0),

oder nach Einftlhmng der hetreffenden Integralwerthe

' 00 s OD 2

+Jv^e 2 dvJv^-U '^'^ dv

0
d. h.

7 -^-'■(^)Ki) •«''.■

oder aach, weil nach Gauss das Prodact der Gammafunctionen durch
(2%)^.2^-*r(;i) ersetzt werden kann,

Sollte k<0 sein, so hat das für w aufgestellte Integral keinen Sinn; als-
dann ist aber folgender Ausdruck brauchbar:

w=^ Sdl^j e"^ v^-^""-^ \y^e''^ + {-lYy^e-'^ dv,

0

wobei V diejenige positive ganze Zahl bedeutet, welche dem absoluten Werthe
von l folgt.

* Dies Resultat folg^ wenn in der von Abel aufgestellten Formel

0 u

fi^gende Bachstabenveribidernng vorgenommen wird:

Man vergL Abel, 8nr qndqnflt integral« d

82 üeb. die Integrai linearer, nicht homog. Differentialgleicbangen.

Wir haben bisher stillschweigend vorausgesetzt, dass y^O, denn an-
dernfalls konnte die Substitution

nicht gemacht werden. Nun besitzt aber y in den ursprünglichen Coeffi-
cienten ausgedrückt folgenden Werth:

und dieses verschwindet, wenn

In diesem Falle kann man aber die Grössen a, ß, y und 6 so bestimmen,
dass sich die Gleichung

vermittelst der Substitutionen

Tr= ««•''+/'" und y« + d = |
vereinfacht in

— + ^w^0,
und dieser genügt

0

wenn

und fj, fj) ^3 ^^^ Wurzeln der Gleichung

sind. Nunmehr ergiebt sich für z ähnlich wie vorhin

U, OD

— 1 '^

"" Ca

«, 0

wobei

1=3

S = > (y<tiC«<«'<y'' + *>),

!=l

U|=0, und U2 aus der Gleichung

folgt. Zur Bestimmung der Grössen y^ , y^ und yj dienen die Gleichungen

und

Jl^floA ISaMuvng der Grenzen und des iLuaäniekQ&

Von WoLD. Heymann.

83

lauten die letzten beiden Qleichungen

r{o)+ßao)= B,, r(0)= s,+ßB,
m=-Bj °^'' m=-B,

wenn f(u) das Integral w für i = }ti+5 vorstellt, so dass

I

00 ■

0

0

Setzt man zur Abkürzung

-OD

Bkle * dv = 8ki Ä= 1,2,3,

0
dann ist

f(0) = «1 /i + s^y^ + 5sys , T (0) = y ts'i ^ + «'^ y^ + s\ y^\ ,

wobei die Ableitungen der $ nacb 6 zu nehmen sind, und nunmehr hinten
die Gleichungen zur Bestimmung von y^, /j ^^^ }'8 folgendermassen :

yi + ^2 + ys = ^»

«'i yi + «2 y2 + ^'3 y3 = (-^o +ß^i)'' y-

Es ist bemerkenswerth ; dass sich die Hauptdeterminante dieses Gleich-
ongBSjstems auf eine Determinante reducirt, welche nur noch Potenzen der
Wurzeln e|, ^ und ^3 enthält und von dem Integralparameter 6 ganz un-
abl^bigig ist. Man kann nämlich zeigen, dass

1 1 1

8| 5jj 53

t t f

S 1 ^2 S 3

n

3}/S

1 1 1

*1 *2 *3
*1 '2 *3

Da diese merkwürdige Integralbeziehung sich allgemein für eine Determi-
nante n**" Grades aussprechen lässt, so wollen wir die Transformation an
einer solchen zeigen.

Wir behaupten, dass

^ =

1

8,

1

1

8\

1

1

= O.

wenn Sk durch das bestimmte Integral

•2

^2

1

Bn'

H — 1 e » — 1

fl-1

84 Ueb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichungen.

,,=.,/-^""d.. G*<"'=^*)' «>2

definirt ist, s^ bis e« die Wurzeln der Gleichung

bedeuten und d- ein gewisser numerischer Factor ist.
Bekanntlich genügt der Differentialgleichung

?«— 1

daf"

3f, + Aa;5 = 0

das Integral

5 = ^, Ct54, wenn ^^ 0^ = 0.

LSsst man die letzte Bedingung fort, so stellt der Ausdruck für s das In-
tegral der Gleichung

■*5 , , l d"5 , , d« , , ^

dar. Nach Abel besteht nun für eine Differentialgleichung

deren partikuläre Integrale s^ . . . 5ji sind , folgender Determinantensatz :

d»

wobei X eine von x unabhängige Integrationsconstante bedeutet.

Für die vorhergehende Differentialgleichung ist Xn~.i = 0, daher redu-
cirt sich die rechte Seite der letzten Gleichung auf x.

Weiterhin ist •

s^<"-0=.f^« le " *"*!;"-* dt; = Ale*»«" de ",

0 0

d.h.

S4^»-») = -A(l+a;s4).
Führt man dies in die letzte Determinante ein, so zerfHUt dieselbe in die
Summe zweier, von denen die eine identisch verschwindet, während die
andere den Factor — iL ausscheiden lässt, welcher in x eingehen m5ge; man
erhält also

8,

2

i ^ X

«/"-^J V"'''

1

Von WOLD. HEYBfANM.

85

Die letzte Determinante ist aber nichts Anderes , als die zu bestimmende ^^
and daher ist d = K eine vom Integrationsparameter x unab-
hängige Grösse, um diese genauer zu fixiren, sei a; = 0, dann ist

OD

/*— - 5L±i_i /m4-l\

0
und man bemerkt, dass in der Determinante J

-i--i / 1 \
die erste Horizontalreihe den Factor n " rl j ausscheiden

(4) .■

zweite

w « ^ r\

n — I

< / 1 \

die (n — ly* Horizontalreihe den Factor n *» Fy ) ausscheiden

iSsst. In der Determinante verweilen daher nur die entsprechenden Poten-
zen von C| bis en» luid vor dieselbe tritt der Factor

«—1

n

ü) Kl) •-("-?-')

Das Prodnct der Gktmmafunctionen kann nach dem Theorem von Gauss
noch durch

n-l

{2n) 2 n 2
ersetzt werden, und hiemach hat man als Schlussresultat folgendes:

1 1 ... 1

J=^^

m n— 1 • n — I c n — 1

V* ta . . . «n

wobei

ii-i

Der Fall n = 3, welcher uns anfllnglich beschäftigte, liefert demnach

2n
» = =»

wie bereits angegeben worden ist.*

* Diese Untersachong bildet ein Supplement zu dem früher citirten Auf-
alie AbelV — Es lassen sich nach dem Vorgange AbeTs noch manche andere
iitereMuiie Integralbeziehungen aufdecken.

Gebt man etwa von der Differentialgleichung

Attii paHümlire Integrale in der Form

86 üeb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichungen.

n.

Snpplementintegrale linearer Differentialgleichmigen , deren
zweiter Theil eine beliebige Function ist.

Enler hat im zweiten Bande seiner Integralrechnung (2. Abschnitt
Capital in — V) die Gleichungen

dx da^

Z=i4y + J5^ + 0^ +

X=^, + i>,l»+C^g +

mittels Factoren integrirt. Wir wenden uns daher sofort an andere Gruppen
von Differentialgleichungen , insbesondere an diejenigen , denen die Integrale

{{u—xrüdu und j^'Vdu

genügen; das ist aber die Differentialgleichung der hypergeometrischen Func-
tionen, resp. die Laplace'sche Gleichung. — Man darf wohl behaupten,
dass auf diese Gleichungen die meisten der linearen Differentialgleichungen«
welche bisher integrirt wurden, zurückkommen.

§8.

Snpplementlntegral der Differentialgleiohung der hypergeometrisclien

Functionen n^' Ordnung.

Die Gleichung* lautet

>"<"S+fH,-.[C;!;')<r«+(:t;)<r-]S=x.

und hierin haben die Functionen <p und r^ nachstehende Bedeutung:

8k

OD

= /f?i-i e"^'^**''" dv, k-\, 2, ...

enthalten sind, aus, wobei X und c aus den Gleichungen

a,X-ao = o, «'» + a,=0
zu berechnen sind, so erhält man nach einiger Reduction

«1

St

• • •

8^

r

/

/

«1

«t

■
• • -

• • •

Sn

SjC»« — 1) s,<»

1)

n

= e

1

1

» — 1

. . e-,J

9^n ^ (2x) ^ r(i).

Auch hier ist die Determinante der Integrale unabhängig vom Parameter a;, aoa-
genommen den Fall n = 2, in welchem neben ^ der Factor e—^/%«x^ tritt Die
letzte Entwickelung begreift die frühere als specieUen Fall in sich.

* Ueber die reducirte Gleichung vergl. die Arbeit von L. Pochhammer,
„üeber hypergeometrische Functionen höherer Ordnung**, im 71. Bd. des Journals
f. d, reine u. angew. Mathematik-

Von WoLD. Ueymann. 87

(p{x) = {x — a^){x-'a^)... ix — an) i

(p{x) x — a^ x — a^ iT — a«'

um ein Supplementintegral der vorgelegten Differentialgleichung her-
zaleiten, kann man zwei Wege einschlagen.

1. Man yerhält sich anfänglich so, als ob die reducirte Gleichung zu
int^rriren sei. und sucht der Gleichung durch ein Integral

y=^ju{u—xY-'^du
zu genügen. Nach Einführung dieses Ausdruckes entsteht

wo

!?=(- l)»(A_l)(A_2)...(i-«+l).

Man setzt jetzt

anter F{u) eine noch zu bestimmende Function verstanden, und wählt,
wenn möglich, die Grenzen so, dass

(?j?7g>(u)(u-a:)^-«j;;; = 0,
hingegen F so, dass

-qf{U'-x]^'''F{u) du = X.

Weil

u

^^,-,,~. VC) "/c«^v<«> "F(u)elu,

wobei unter Uq eine solche Grenze zu verstehen ist, für welche das Integral
verschwindet, so lautet das gesuchte Supplementintegral

y = f l{U''Xy-^%{u)r^{u).F{u)du^du,

vorausgesetzt, dass dieses Integral für die ermittelten Grenzen einen Sinn
hat. Hier dient zur Abkürzung

(u) =^ (u - a,)~*' (tt — o,)-*» . . . (u — a»)-*« i'

88 üeb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichungen.
2. Man setzt y in Form eines Doppelintegrals voraus:

y-=-J\s{u)Ju(u-xf'^ dw] du.

und dann entsteht durch eine analoge Rechnung wie vorhin

Jetzt wähle man TJ so, dass

^[1?V(«):-F,»;(U) = 0

und Uq so, dass

(?{I7<p(u).(u-»)*-"U = 0,
dann bleibt zurück

^ /^^(tt) ü'9(tt)(u-a;)^-"(fu=X.

Verfugt man endlich über S(u) so, dass

5^(u)?7 9)(u) = F(u),

wo nun ^(u), abgesehen vom Vorzeichen, wieder genau die frühere Be-
deutung hat, so ergiebt sich als Supplementintegral der Gleichung l)

welches wegen

und unter Benutzung der früher gebrauchten Abkürzungen auch folgender*
massen geschrieben werden kann:

y^J \^{u).F(u)Ji{u) {u-xY"^ du] du,

t*l Wo

In beiden Fällen 1) und 2) ist also, abgesehen von einem constanten Fac-
tor, eine Function JP(u) von der Beschaffenheit zu ermitteln, dass*

/(w-a?)^— F{u) du = X

"* Ueber diese Functionalgleichong vergl. Abel» Crelle'f

Von WoLD. Ubymann. S9

Als ein Beispiel sei der Fall

9

ß

(u-xY-"'F(u)du^

{x-ny

angeftLhrt, welcher auftritt, wenn der zweite Theil der Differentialgleichung
eine gebrochene Function ist. Man bemerkt leicht, dass man durch die
Annahme

zum Ziele gelangt; denn transformirt man

X / (u — xy-'* {u — h)9du

mittels

u — Ä = (a; — Ä)t;, d.h. u— «= (o; — Ä)(«; — 1),
so entsteht

(a;— Ä)*-"+*+Mt;*(t;-l)^-«dv,

Vi
und soll dasselbe identisch sein mit

9

{x-ny

so müssen die Zahlen q und x so gewfthlt werden, dass

Vi

Was die Wahl der Grenzen anbelangt, so hat man darauf zu achten,
dass das zuletzt aufgeschriebene Integral einen bestimmten, von x unab-
hängigen Werth erlangt und dass für dieselben Grenzen auch das Supple-
mentintegral einen Sinn hat.

Soll aber der Integralausdruck fCLr x von x unabhängig sein , so bieten
sich ftir u y bez. t;, welche Variabelen durch

u— Ä = (a;— Ä)t;

an einander gebunden waren, folgende drei Werthesjsteme dar:

Uj = Ä, V, = 1 ,

1. ^u, = + QoJ \x—h>0

> y wenn < ,.

ti^s— Qot fX — h<,\J

,Wi=Ä, Vi = 0,

2. i«<|«=+oo| \x—h<0\

y wenn {^ r^ni' t?2 = + oo;

' ^""^ ^x^h>0\' ^» = -^5

v^=\.

90 üeb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichungen.

In diesen drei Fällen lässt sich x durch vollständige Gammafunctionen aus-
drücken; man findet in der entsprechenden Reihenfolge

Cr .7 . r(v + A — n+1)

gi I v9(v'\]^

r(v)r(A-.fi + i)

1

v>0, A — n + l>0;

— OD .*

2. 7i=^g: jv^iv — 1)^- " dt; = ^r (— 1)» / f(;f ( 1 + IT)* - " dir

oder

0 0

oder

1 1

3. x = g: lv9{v-\)^-''dv = g(- 1/-" fv9{\— t?)^-" dv
0 0

r^w~A-v) ru — n+l) A-n + l>0.

Die erhaltenen u - Grenzen sind unter den aufgestellten Beschränkungen
auch zulässige Grenzen für das Supplementintegral. Ist v eine positive ganze
Zahl (Exponent des Nenners von einem Partialbruch), so ist die dritte
Gruppe der Grenzen, für welche 1 — v>0, auszuschliessen. Die durch die
Argumente der Gammafunctipnen noth wendig gewordenen Beschränkungen
lassen sich durch vielfache Differentiationsprocesse und Integrationsprocesse
beseitigen. Doch erfordern diese Discussionen zuviel Raum, als dass sie
hier angeführt werden könnten.

§9.
SupplementintDgral der Laplace'sohen Oleichnng

Zu dem Supplementintegral gelangt man wiederum auf zweifiachem
Wege.

I. Man führt, wie bei der Integration der reducirten Gleichung, das
Integral

^=:A

e^'Vdu
ein, wodurch die Gleichung 1) in

^-'^i^i::+/^'''|^oF-^(^,F)jdu=x

abergebt, und bierbei ist (vergl. § 5)

Von WoLD. Heymann. 91

C^i = 2»« w"+&„_, !!"-> + ... + 6lt*+ &0-
Nun setze man ,

unter If'iu) eine noch zu bestimmende Function verstanden, und suche die
Grenzen so auszumitteln , dass

F{u) hingegen ist so zu wählen, dass

le'"F{u)du = X.
Beachtet man, dass ^

wobei 1*0 ein solcher Werth ist, für welchen das Integral verschwindet, so
ergiebt sich als Supplementintegral der Laplace 'sehen Gleichung

«1 Wo

vorausgesetzt, dass die Grenzen Uj und %i^ auch für das letzte Integral
zulfissig sind. Hier dient, wie früher, zur Abkürzung

x(tt) = (tt — ai)/*»-*(u — «,)/»'- ^ ... (u- «„)/*"->,
Die Grössen er, ß und m sind durch die Identität

TJo ^ ßx _^ ßf , ^ ßn

bestimmt ^1 ^-«1 ^-«« **-««

2. Man kann y auch in Form eines Doppelintegrales

yz=j [«(tt) /c' Fdujdw

voraussetzen, und dann entsteht durch eine analoge Rechnung
11, u

Jetzt wähle man V so, dass

und Un SO) ^^8
dmnn bleibt zurück

92 Ueb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichungen,

«1
Verfügt man endlich über 8{u) so, dass

S(u)U,V^F{u),

wo nun F{u) genau die vorige Bedeutung hat, so ergiebt sich als Sapple-
mentintegral der Gleichung 1)

^=/*[^/"'^H'"'

U, 1*0

welches wegen ^^

und unter Benutzung der früher gebrauchten Abkürzungen auch folgender-
massen geschrieben werden kann:

yz=j U{u) J?^(w) /e«<*+'> X («) du) du.

Ux tlo

Die Wahl der Grenzen i«o, u^, u^ kann auf verschiedene Weise erfolgen,
und ist dabei stets der speciell vorgelegte Fall massgebend.

In beiden Fällen 1 und 2 ist also eine Function F[u) von der Be-
schaffenheit zu ermitteln, dass*

«t

je*F{u)du^X.

Man benutzt hierbei vortheilhaft die aus der Theorie der Fourier^schen In-
tegrale bekannte Formel

+ 00 v,

j j(f'^'-^^y~^f{v)dudv^2itf(x), v,<x<v^.
Behandeln wir auch hier als Beispiel den Fall

Soll

e^*F{u)du^ ^

ß

{X - hy

sein, so findet sich leicht, dass

* Ueber diese Functionalgleichung siehe auch: Oeuvres complötes de Niels

Bennk Abel, Tome second, XI, „Sur les fonctions g^ndratrices et leurs d^terini-

nantes*', A bei nennt X die fomdion ^^n^otrice von F^ Müd F die düerminaviit
von J:

Von WoLD. Hey MANN. 93

denn das Integral

M(a:— Ä) = — v

und soll das identisch sein mit z — ^-^r- » so muss

(x — hy

geht für
über in

X =

sein. Man ist offenbar veranlasst, die Grenzen folgendermassen zu wählen:

tti=0, ^1 = 0;

ti^ = + ooi ix'-hKOi

> 1 wenn { , ^ a J ' ^2 = + oo.

Nun hat man h = (-1)-^: r(v), v>0,

and man überzeugt sich, dass die Werthe von u^ und ti^ ^^^^ zulässige
Grenzen für das Supplementintegral der Gleichung 1) sind, wenn v>0.

Ist V ausserdem eine ganze Zahl (Exponent des Nenners eines Partial-
bmches), so hat man . ^.

(v-l)!'
Der Fall negativer v erfordert eine umständlichere Discnssion.

Anmerkung«

Wenn der zweite Theil einer linearen, nicht homogenen Differential-
gleichung X.y<») + X„_,j^»-') + ...+X^y + X,y = X

in eine Summe von fi- Functionen zerlegt werden kann:

X==fi{x) + f,{x) + ... + f^{x),
80 ist auch das Supplementintegral additiv aus fi-Functionen zusammengesetzt :

und zwar muss fjt so beschaffen sein, dass es, an Stelle von y in die linke
Seite der Differentialgleichung eingeführt, diese umwandelt in fk{x). Wir
nennen kurz ik das zu fk gehörige Supplement (oder Ergänzung).
Ist also z. B. X eine unecht gebrochene Function

"y Go + G,x+a^x^ + .,, + a^a^ ^

MO warlege jo&n dieselbe in

94 Ueb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleich angen.

und bestimme das zu der ganzen Function gehörige Supplement, sowie auch
alle Supplemente, welche zu den einzelnen Partialbrüchen gehören. Die
Summe dieser Supplemente ist dann das der Function X entsprechende Sapp-
lementintegral.

Mit Benutzung früher gewonnener Besult^te (§§ 1, 5, 8 und 9) kann
man hiemach das Supplementintegral der Pochhammer und L a p 1 a c e 'sehen
Gleichung angeben, wenn deren zweite Theile gebrochene Functionen sind.

Supplementintegrale linearer simultaner Differential-
gleichungen.

§10.
A. Oleichimgea mit constanten Coeffioienten.

Es sei das Gleichungssjstem

dPi

dx

dy^

dx
dyn

+ w,y, H-n^y, + .. +n„f/„ = X„

dx

vorgelegt, die X als ganze Functionen vorausgesetzt, und von diesen Func-
tionen möge X^ den höchsten (fi^°) Grad besitzen. Sind z^. z^, ... Zs, die
Integrale des reducirten Systems, so genügt dem vollständigen

yi = ^i + fi' y% = ^i+i2^ ••• yn=^n+in^

wobei ti 9 iii *•• in ganze Functionen bedeuten, von denen im Allgemeinen
jede *bis zum fi^^ Grade aufsteigt. Denn führt man die letzten Ausdrücke
in die Differentialgleichungen ein, so wird es erforderlich, n ganze Func-
tionen vom fi'*° Grade mit den Functionen X^ bis X„ zu identificiren , und
hierzu reichen die (fi + 1)^ Coefficienten der ^ im Allgemeinen aus. Die Be-
stimmungsgleichungen für diese Coefficienten sind linear. — Es ist leicht
einzusehen, dass das Verfahren auch bei Gleichungen höherer Ordnung mit
Constanten Coefficienten angewendet werden kann.

B. Gleichungen mit veränderlichen CoeffioienteB.

Sind die Coefficienten der vorgelegten simultanen Gleichungen, sowie
deren zweite Theile ganze Functionen, so ist d\e kimaXim^ ^«t ^x^gboonAi^

Von WoLD. Heymann. 95

inte^Ie in Form ganzer Functionen immer angezeigt , und sollte man auch
nicht im Stande sein, die Ergänzungsintegrale vollständig anzugeben, so
l&st sich doch auf diesem Wege aus dem gegebenen Gleichungssystem ein
Anderes ableiten , in welchem der Grad der rechten Seiten herabgedrückt ist.
Lineare simultane Gleichungen mit veränderlichen Coefficienten sind bis
jetzt in so geringer Anzahl integrirt worden, dass es schwer hält, ein
passendes Beispiel zu geben. Ein Fall, bei welchem die Integration be-
kanntlich vollständig durchgeführt werden kann, ist folgender:*

\] <^yi _ dy^ _ _ dpn ^ dx

wobei die Functionen X , X, , . . . Xn nur von x abhängen und die N lineare
homogene Ausdrücke der abhängigen Variabelen sind

^h = Kyi + hy% + • • + Kyn^

Sind Z| bis X„ ganze Functionen und übersteigt X den ersten Grad nicht,
so sind sämmtliche Ergänzungsintegrale des Systems ganze Functionen.
Ein zweites Beispiel ist folgendes:

2\ dx ax

{A+S^x)^^ + {C'-\-D'x)~-^+E'y\-rz^X'

Sind hier X und X' ganze Functionen, so sind es auch die beiden Ergän-
snngsintegrale. Ist etwa

X OCf^ X X

80 lauten die Integrale

wo y^ und g^ die Integrale des reducirten Systems vorstellen und die Co
efficienten m, m etc. aus folgenden Gleichungen zu berechnen sind:

{2B + E)p+{2D + F)p=A^

{2Br+E')p + {2D'+r)p== Ä\

{B + E)n+{D + F)n + Äp+ Cp=^Ä^

( J5'+ E') n + (D'+ F') n + Äp + C'p = Ä,

Em+Fm + An+ Cn^A^

E'm + F W+ Mn + C V = Ä^

^ Integralsystem der reducirten Gleichungen konnte, soviel ich weiss,

Wier nicht aufgestellt werden , weil für die Differentialgleichung zwischen

^''ei Veränderlichen, welche auf verschiedene Art aus obigen simultanen

Differentialgleichungen abgeleitet werden kann , die Integration nicht bekannt

•A Treatise on Diffareufeial eqnafa'ons by Qe^' "" '••«n^ouVWl^

^HUArt 10.

96 üeb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichungen.

war. Ich will nun zeigen, dass sich das gegebene System durch hyper-
geometrische Functionen integriren Iftsst.

dy dz

Löst man die Gleichungen 2) nach -p und - -5- auf, so folgt

3) 2

(a + hx'\'CX^)— + (a^ + \x)y + (a^ + ß^x)z + X^^O

und hierin sind Xj und X^ beliebige Functionen von x, wenn wir von jetst
ab auch über X und X' keine bestimmten Voraussetzungen mehr machen.
Um auf eine Gleichung mit nur zwei Veränderlichen zu kommen, mol-
tipliciren wir die zweite Gleichung mit einem unbestimmten Factor B and
addiren sie zur ersten. (d'Alembert's Methode.) Es entsteht

wobei zur Abkürzung , ^

a-rox-T cxr = g>,

a, + hiX=Piy «1 + /^i ic = gj,

a^ + h^x=:p^y oc^ + ß^x^q^

geschrieben wurde. Setzt man, um y zu eliminiren,

y+Sz^t,
so geht die letzte Differentialgleichung über in

v (^ - « ^) + (ft + oft) « - B") + (g, + 0(7,)'^ + (X. + ex,) = 0.

und dies kann zerf&Ut werden in

"^ v^ + iPi + Bptit + x, + ex, = o

^^ <pff + (Pi + »!'») ö -(«. + ©«,) = 0

Für die letzte Gleichung suche man zwei partikuläre Integrale S^ und S^
auf; aus der vorletzten Gleichung findet man nach Substitution dieser Func-
tionen zwei entsprechende Werthe für t, von denen jeder eine wiUkürliche
Constante mit sich führt. Die Integrale der simultanen Gleichungen sind
sonach gegeben durch

y + SiZ = t^ und y + S^z = t2.

Die Gleichung b) hat die Gestalt

^a + hx + cs^)^ + (a, + h,x)e^ + \(a, + h,x)'-(a, + ß,x)\S^(a, + ß,x)=0

und Ittsst sich jiuf folgende Weise integriren .*

«
* Yergl meine Arbeit: „Ueber Differentialgleichungen, welche durch hyper-
£mxta0in§ob0 Faactionen iotegrirt werden können", d\e«e ZeitBchriffc XXIX. Jahrg.

Von WoLD. Hetmann. 97

^ y — ^ **N^

Man setze

V tr

wodurch entsteht

ia+bx+cx')v + (ai + b^x){l + lvy - \{a^ + b^x)- {tt^ + ß^x)\{l + kv)v

-(a^ + ß^x)v' = 0.

Bestimmt man l so, dass der Factor von xt^ verschwindet, d. h., dass

dum bleibt eine Gleichung zurück, welche Specialfall der von mir integrir-
ten Gleichung *

c) (a+ hx + cx^) ^/• + Ax^ + By" + 2Cxy +2Dx + 2Ey + F= 0

dx

ist Ich habe früher mehrere Wege angegeben , wie diese Differentialgleich-
ung in die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe transformirt
werden kann. Es sei hier ein sehr kurzer angedeutet.
Ertheilt man der Gleichung c) die Form

dy
{a+hx + cx^) — +y^ + {a^ + h^x)y + aQ'\-\x-\'C^^x^=^0

(mX

y = (a + hx+cx^)z + (g + hx) ,
so entsteht

(a + hx + cx^''{^^+z^^

^(a'\'hx + co:^)\{h + 2cx) + {a^ + h^x) + 2(g + hx)\z

'^[a'\'lx + C3^)h+{g + hx)'' + {a, + h,x)(g + hx) + a^ + \x + c^x^^0,

Es lassen sich die Zahlen g und h so bestimmen, dass die linke Seite
der Gleichung den Factor

a + hx-^r cx^ = c (a; — «i) {x — s^)
ausscheiden lässt. Die Bedingungen hierfür sind nSmlich

i9 + hi,y + (a, + b,B,)(g + he,) + a, + b,e, + Coe,^^0
(g + Ä€j)* + (a, + 61 ei){g + Ä^a) + «o + hf% + ^o «/ = 0
ond man findet aus diesen Gleichungen

g + hii = J^, g + hs2= ^2^
wo d^ und j^ bekannte Grössen sind. Schliesslich hat man

ond die Differentialgleichung geht für

div
dx

iP =

w

Aber in

^ Veigi, meine AaAätee in difl

98 üeb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichungen.

Wegen der Ansnahmefölle und weiterer Transformationen vergl. a. a. 0.

Wenn nun auch das Integrationsproblem für die simultanen Gleichungen
2) und 3) als gelöst zu betrachten ist, so lässt doch die Form der Inte-
grale zu wünschen übrig. Insbesondere gilt dies von dem Integral der
Gleichung a), welches lautet

und in welches die höchst complicirte Function 6, ein Quotient aus hyper-
geometrischen Integralen, eingegangen ist

Wir sehen uns daher veranlasst, für die Integration einen directen
Weg aufzusuchen. In der That kann man den CsJcul so anstellen, dass
man sogleich zu einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit
zweitem Gliede gelangt; die Gleichung erster Ordnung aj Mit dann ganz
weg. üeber die Functionen fp, p^ Qi etc. brauchen hierbei keine speciellen
Voraussetzungen gemacht zu werden. Sind diese Functionen so einfach wie
im vorliegenden Beispiele, so gelangt man auf diesem Wege zur Diffieren«
tialgleichung der hjpergeometrischen Reihe — mit zweitem Theile — , und
dann tritt das Integrationsverfahren ein, welches in § 8 angedeutet wurde.

§11.

Directe Integrationsmethode für ein System von zwei simultanen
linearen Differentialgleichungen erster Ordnung

4) f^

ß) 9j^+P2y + Q2«+^^o

A« Die Coeffieienten seien beliebige Functionen von x.

Wir Bubstituiren

V ax

and bestimmen die Functionen i|;|, tf/^ und {; so, dass die Gleichungen a)
and /J) identisch werden. Diese 6le\c\i\iiigen ^«rNWi^^u «v^ \tl

Von WoLD. Heymann. 97

V^^n setze

e = -l±J^, e^=i

V V*

wodurcb entsteht

Bestimmt man A so, dass der Factor von xv^ verschwindet, d. h., dass

dann bleibt eine Gleichung zurück, welche Specialfall der von mir integrir-
len Gleichung*

c) (a + l)x + cx^)p- + Äx^ + By^ + 2Cxy+2Dx+2Ey + F=0

dx

ist Ich habe früher mehrere Wege angegeben, wie diese Differentialgleich-
ung in die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe transformirt
werden kann. Es sei hier ein sehr kurzer angedeutet.
Ertheilt man der Gleichung c) die Form

dy
{a+hx + cx^) ^ + y* + (^1 + ^1 ^)y + ^0 + h^ + c^x^ = 0

y = {a+ hx + cx^)z + {g^hx)^
äo entsteht

(a + hx + cxy{^^ + z^^

'\'{a + hX'{-c^)\{fi + 2cx) + {a, + \x) + 2(g + hx)\z

+ {a + hx + cx^)h+ (g + hx)^ + {a^ + h^ x) (g + hx) + % + h^x + c^x^ = 0.

Es lassen sich die Zahlen g und h so bestimmen, dass die linke Seite
der Gleichung den Factor

a + hx-^-CT? = c (x — f^) {x — fj)

ausscheiden lässt. Die Bedingungen hierfür sind nämlich

(5^ +Ä«,)* + (aj + 6i ft){g + hi^) + Oq + 60^2 + ^0 «2* = 0
und man findet aus diesen Gleichungen

^ + Äe, = z/i, g + hs^=J^,
wo ^, and J^ bekannte Grössen sind. Schliesslich hat man

VVüL^, ,_^i"^2 >

*1 "" ^2 ^1 *2

and die Differentialgleichung geht für

z =

dw
dx

w
aber in

Vei^. mmae AüMtze in dimtr '\^ \ wxv^ ^

100 Heb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichongen.

sein für jeden der n Werthe

X = €j , t =3 1, 2, 3, . . . fl.

Löst man die quadratische Gleichung für G auf und bezeichnet eine
der beiden Wurzeln mit G(x), so hat man zur Bestimmung der n Coeffi-
cienten g^ bis ^«-i ebensoviel lineare Gleichungen der Form

9o + ugi + fiV2 + • • . + ii^-^gm-i = ö(f,).
Nach dieser Transformation vereinfEUsht sich die letzte Differentialgleichung zu

Die Function F ergiebt sich durch die Division von selbst; sie ist
mindestens vom (n— 2)**** Grade.*

C. Die Function ^ reducire sich auf eine Comstante.

Die Substitutionscoefficienten

welche in die Differentialgleichung 6) eingehen , erhöhen diese bezfiglich de^.
Grades der Coefficienten hauptsächlich infolge Auftretens der Grösse

Es verdient daher der Fall 9 = con$t„ in welchem diese Grösse verschwin-
det, besondere Beachtung.

O wird zu einer Constanten, wenn sich in

^ = (jP2-JPi) + (&-9'i)
die Coefficienten gleicher Potenzen von x gegenseitig aufheben.** Man kann
aber auch in anderer Weise die gewünschte Constanz herbeiführen.
Setzt man in dem ursprünglichen Gleichungssystem

4) T^

* Ich habe diese Transformation bereits bei anderer Gelegenheit mitgetheilt.
Hier musste sie des Zusammenhangs wegen kurz wiederholt werden. Man vergl.
diese Zeitschrift XXVII. Jahrg. Heft 6. — An dieser Stelle ist auch des Falles
Erwähnung gethan, in welchem gewisse der Wurzeln Ci einander gleich sind.

** Der Fall ^ = 0 bildet eine leicht zu erledigende Ausnahme. Snbtrahirt
man nämlich dann Gleichung ß) von a), so erhält man wegen

eine Gleichung, die folgendermassen geschrieben werden kann:
and BUB küun die Integration in einiachstet 'Wei&e No\ho|gH

1 •

Von WoLD. Heysianv 101

• •

c * •

fAf/j an Stelle von y, unter fi eine unbestitnmte^Jßölistante verstanden, so

entsteht

dPi

Es stehen daher jetzt an Stelle der Buchstaben
die anderen:

Mithin ist für das jetzige System

^ = [P2 f** + (& -JPi) ^ - ?i] : ^7
und damit dies constant sei , müssen die Functionen p^y p^, q^ und q^ spe-
cieller, nSmlich folgendermassen beschaffen sein:

Pi==ai+h^p{x) + q{x), Pi = a^+b^p{x), I

?! = «1 -h ßiP{x) , ^2 = «s + ßiP{^) + Q{^))

wo ^ {x) und 5 («) beliebige Functionen sind.

Die Grösse fi muss sodann an die Bedingung

geknüpft werden. Man bemerkt, dass diese Gleichung für u genau dieselbe
als diejenige ist, welche wir früher für die Bestimmung des Factors k
erhielten. Es besteht thatsächlich zwischen diesen Grössen der innigste
Zusammenhang.

Die Constante ^ hat nun den Werth

und weiter hat man

^1 = (f^ö'j- Ö'i) : ^1 % = - (^-Ps— -Pi)» 5= (^1 --^^) • f*^-
Folglich lauten die Substitutionen / unter Beachtung, dass ^ = fi^i,

und i| endlich ist das voUstttndige Integral der Gleichung

in welcher

fo^ h fi = <p'+Pi + qi, fi'=v(p\ - I^P^) + (jPift-ftÖ'i)»

-Xo = V J:'+ (f*i>2 + Ö'g) t+ Xg.

Die Differentialgleichung d^) ist im Falle ganzer Functionen wieder zu trans-
durch fG

l — dx

nag^leichung für G ist

• •,

102 üeb, die Integrat. linelKm; nicht homog. Differentialgleichangen.

••v •:

^ {^. YoUstftndiges Integral Ton

• •- '•

3) .. ■••' /

• * •

Mab. setze in der vorigen Untersuchung (C)

so/iiis^' man hat

^i=«i + ftaj, qi = a^ + ß2X.
Hierauf berechne man fi aus

und O mittels

^ = [«2 ^* + («2 - «i) f* - «il • f*-
Man wende sich nun an die Differentialgleichung

ih+2cxl
+ »1 + 6i x / 1/'
+ 02+^0;)

' -K + M) K + fta?)^
und transformire dieselbe mittels

80 dass entsteht

Die letzte Gleichung integrire man in der Weise, als in § 8 die Differen-
tialgleichung der hjrpergeometrischen Functionen mit zweitem Theile inte-
grirt worden ist (ohne Variation der Constanten).

Das Integral des vorgelegten Gleichungssystems wird vermittelt durch

e= {a + bx+ex')-^ — \ii{a, + biX) -(oi + 6,a;)ji} + (X,— fiX,):(t*

ax

Mit den Gleichungen 3) sind nun auch die Gleichungen

{A + Bx)^f^ + iC + Dx)^^ + Ey + Fe = X

(A'+ B^x) P + {C'+iyx)p+E'9 + F'g = X'
ax ax

integrirt. X und X' können beliebige Functionen sein.

ganz, 80 ist ea für die Einfieu^hheit der Bechnung wesimli

Von WoLD. Heymann. 103

zungsintegrale, welche ganze Functionen sind, zu bestimmen, bevor man

die Gleichungen 2) nach -^ und -- auflöst.

ax ax

Diese Auflösung kommt nicht in Frage, wenn

{Ä+Bx)^+Ey+Fz+X^O
2a) f

ax

vorliegt. Um diese Gleichungen auf dem vorigen Wege zu integriren , mul«
tiplicire man die erste mit C'+D'x, die zweite mit Ä'\'BXj dann erhält
man Gleichungen der Form

V ^ + Piy + ^1^ + ^1 = 0, g>~+i>2y + (/2^ + -X:i = 0,

und es ist speciell

<p=»{Ä+JBx){C'+D'x),

p, = E{C'+ D'x) , q, = F(C'+ D'x) ,

p, = EXä + Bx), q, = F\A + Bx).

Da jetzt

Vi Qi -i>2 ^1 = (J^^'- E'F) q> ,
^^ wird die Gleichung für 17 besonders einfach, nämlich

^ v'+ (<p'+i>, + (72) V+ { {p\ - y^Pt) + i^r^ E'F) j ^ + 5« = 0 ,

und die Beduction mit Hilfe der Exponentialgrösse fällt hier weg.
Endlich sei noch erwähnt, dass auch das System

{a + l)x + cx^+doi?)%+(a, + \x)y + (a,+ß,x)z + X,^0
• V ax

5>) ,^

[a + lx + c^ + da?) — +{a,, + \x)y + {a, + ß^x)z+X^ = 0

durch bjpergeometrische Integrale befriedigt werden kann. Denn substituirt

man in die Gleichungen 5)

1+xw - du

x = ». ax= 7»

w ur

80 entsteht

' du^ = \j

de ]

^^Va wtok sti n der cubischen Gleichung

^^. und dann liegt wieder

104 üeb. die Integrat. linearer, nicht homog. Differentialgleichungen.

Sehlussbemerkung.

Durch die vorigen Untersuchungen ist gezeigt, dass sich die Supple-
mentintegrale der linearen Differentialgleichungen in bedeutend einfacherer
Weise aufschreiben lassen, als dies nach der Lag ränge 'sehen Methode der
Variation der Constanten zu erwarten stand. — Da nun das complete In>
tegral einer nicht reducirten Differentialgleichung als das Integral einer
reducirten Gleichung von höherer Ordnung angesehen werden kann, so
ist nunmehr auch ftir die Integration gewisser linearer reducirter Gleich-
ungen ein Vortheil gewonnen.

Nehmen wir an, es sei vorgelegt

und es bedeute z das vollständige Integral der Gleichung

Substituiren wir den Ausdruck fCb: z aus 1) in 2), so entsteht
3) /;«+„)(aj)y<«+") + /'(«+„-,)(a;)3^-+»-« + ... + /;(x)2^'+/'o(a:)y = 0.

Ist nun

y = «1 ^1 + «2^2 + ••• + «» 2^«
das vollständige Integral der reducirten Gleichung 1) ,

^ = ft ^1 + ^2^2 + • • • + ßmfim

das vollständige Integral der Gleichung 2), und sind ^i, £^, ... Sm die zu
jg^j , z^^ '" Zm gehörigen Supplemente der Gleichung 1) , so ist , wie ohne
Weiteres einleuchtet,

das vollständige Integral der Gleichung 3). Diese Gleichung ist eine reda-
cible und hat mit der reducirten Gleichung 1) n partikuläre Integrale
gemein.* — Kennt man sonach die vollständigen Integrale von 1) und 2),
so kann man auch das Integral von 3) angeben. — Sollte 3) einen zweiten
Theil =X besitzen, so würde auch 2) ebendenselben zweiten Theil haben;
man hätte dann von 2) ein Supplementintegral aufzustellen und dieses bei
der Integration von I) zu berücksichtigen.

Analoge Bemerkungen gelten für lineare simultane Differentialgleich-
ungen. Man kann auch hier die Integration gewisser Differentialgleichongen
höherer Ordnung abhängig machen von nicht reducirten Gleichungen
niederer Ordnung.

* Vergl. Königsberger, Allgemeiue Untersuchungen aus der Theons d9r
Differentialgleichungen, 1882, § 4.

Von WoLD. Heymann. 105

Sei Torgelegt

b) j^ + p^y + ^i^^i

und seien 17 und ^ Fancidonen von Xy definirt durch die Gleichungen

SabsÜtuirt man die Ausdrücke für tf und t &us a) und b) in a) und /3),
80 entsteht

lät nun

y = «1 /i + »2 A» ;ß? = aj JP, + agFg
das vollstSndige Integralsjstem der reducirten Gleichungen a), b),

das vollständige Integralsystem der Gleichungen o), ß)^ so besitzen die
nicht reducirten Gleichungen a), b) ein Integralsystem von folgender
Gestalt :

y = «1 ^1 + «2^2 + «1 Xi + o«Z27 £f = a,Fi + aj JPg + «^ ^, + cfg^g,

und dieses ist zugleich das vollständige Integralsystem der Gleichungen (A,

B). Das System (A, B) hat mit dem reducirten System (a, b) ein Integral-

System erster Ordnung gemein; es ist also ein reducibles. — Sollten die

Gleichungen A) und B) zweite Theile besitzen , so kommen dieselben zweiten

Tbeile den Gleichungen a) und ß) zu. Man hätte in diesem Falle noch die

beiden Supplementintegrale der Gleichungen o) und ß) zu bilden und diese

bei der Integration des Systems (a , b) zu berücksichtigen. — Liegen Systeme

nut behebig viel linearen Gleichungen von beliebig hoher Ordnung vor, so

^^»to sich in der Art und Weise der Schlüsse nichts Wesentliches.

V.
Zur Resultantenbildung.

Von

Prof. Dr. C. Reuschle

iu Stultgart.

Neben der Weiterentwickeluug der mathematischen Theorien steht als
Factor von kaum geringerer Bedeutung die Noth wendigkeit, bereits be-
kannte Probleme in einfacherer und rationellerer Weise zu gestalten, und
um so wichtiger wird das sein , je fundamentaler das betreffende Problem ist.

Eine derartige Aufgabe ist die Aufstellung der Simultanitäts-
bedingung oder Bedingung einer gemeinschaftlichen Wurzel
(IJUminante , ResuUante) für zwei beliebige Gleichungen mit einer Veränder-
lichen.

Die Eul er 'sehe* und die diiüyiische Methode von Sylvester* liefern
beide die Resultante in Form derselben Determinante, die man etwa als
„Rückungsdeterminante^ [vergl. Determinante 4)] bezeichnen kOnnte. Wäh-
rend aber die Herleitung dieser Determinante nach Euler's Methode ziem-
lich umständlich ist, lässt die dialytische Methode an Klarheit und Dnrch-
sichtigkeit Nichts zu wünschen übrig, sie trägt den Stempel absoluter Ein-
fachheit.

Dagegen ist es wiederum ein Vorzag der Euler 'sehen Methode, dass
sie sich unmittelbar darauf anwenden lässt, die Bedingungen zweier
und mehrerer gemeinschaftlicher Wurzeln beider Gleichungen
zu finden, welche Bedingungen durch eine verschwindende „Rücktmgs^
fnatrix" sich ausdrücken lassen.

Die zweite wichtige Form der Resultante ist dieB^zo u t 'sehe ; nm
diese für zwei gleichgradige Gleichungen, z. B. für

-X j 00^^ + «13^ + 02^"^ + 03^ + ^4 = 0,

^ ( fto^"* + ^^ + K^^ + ^3ÄJ + ^ = f^

zu erhalten, multiplicirt man der Reihe nach**

* Vergl. etwaSalmon, Introductory leBsons to the modern higher Algebra,
/?/M/a 1876, S. 73 und 74.

** Fer^J, SaJmoD, ihid. S. 76.

Zur Besultanteubildung. Von Prof. Dr. C. Keu^ciile.

107

die erste Gleichung mit:

die zweite Gleichung mit:

I

I

t. h

0»

1.
•>

ii)

h)

1^
I4)

!

3. b^a^+h^x +&2> ^- ^X' + a^x +«2,

4. ^005'+ ^i^*+ ^3^+ &3> 4. aorr^ + aiiC^ + a55^ + «3»

und Bubtrahirt die jedesmal erhaltenen zwei Gleichungen , wodurch man vier
c'ibische Gleichungen [s. die Gleichungen 2)] erhält, aus denen man unmit-
telbar die Resultante der zwei gegebenen Gleichungen 1) in der Bczout-
jichen Form 3) anschreiben kann.

Diese Herleitung macht aber den Eindruck einer künstlichen , man sieht
nicht a priori ein, warum man so verfährt; der Methode fehlt die genetische
Natur. Es lassen sich aber durch eine leichte ModiRcation diese vier cubi-
schen Gleichungen [allgemein für zwei Gleichungen n^^^ Grades die n
Gleichungen (n — 1)*^ Grades] in folgender einfacher, rationeller und auch
zugleich principiell neuer Weise gewinnen.

Schreibt man nämlich die Gleichungen l) in den vier Formen

flQflP* + (»1 ar* + a^x^+ a^ x + a^) = 0,

(&o«*+ h^x +h,)x' + {bsx + b,)=:0;

(00x5+ 0^0^+ a^ X '\ra^)x + u^ =0,
%üi? + 6, a;* + 6« X + 63)^ + 64 =0,

so erlüUt man durch Elimination des expliciten x^ aus 1,), deä cxplicUen x^
aus 1|), des exjpHidien x* aus I3) und des expliciten x aus I4) die vier cubi-
schen Gleichungen

) («0»»)^+ [(ao^) + («i h)]^ + [(a,bo+{a,b,)']x+(aM^O,
f (flo ^)a' + (a, b,) x^ + (a, b,) X + («, h,) = 0,

welche nrnnltan sein müssen, wenn die gegebenen Gleichungen 1) simultan
sind. Hieraus ergiebt sich sofort die Resultante in Form der Bezou tischen
Detarminante:

(ao2>8) K^)

Man beachte, das» im Vorstehenden Alles geschrieben &\.^\i\>^ >n^i;& ^^:^
vaii§UndigiBa geaetiseben Entwicklung der Resultante ix^Üivg '\^\>. ^"^ ^

{

3)

KV

= 0.

108 Zur Besaltantenbildung.

= 0;

Gleichungssystemen 1^) bis I4) lassen sieb die vier cubiscben Gleichnng
unmittelbar ;,mit dem Auge ablesen^; denn aus 1^) z. B. liefert die
Elimination des expliciten a^ zunächst

a^x + a^ a^a^ + a^x + a^

es ist aber gar nicht nothwendig, diese Determinante anzuschreiben , da si^
unmittelbar in den Gleichungen lg) steht und nur mit dem Auge festgehaB.
ten zu werden braucht. Die Zerlegung dieser Determinante in

(ao fea) x^ + (Oo 63) x^ + {Gq \) x

+ («1 h)^ + («1 ^3)^ + («1 ^)

lässt sich nach dem Zerlegungssatz der Determinanten ebenfalls lediglich mit
dem Auge vornehmen. Hat man die Berechnung der Resultante nach dieser
Methode einmal vorgenommen , so kann man , die Anschreibung der Gleich-
ungen 2) umgehend, die Bezou tische Determinante 3) direct aus dem
System 1|) bis I4) ablesen; ja es ist nicht einmal nöthig, dieses System
vollständig anzuschreiben, man braucht sich nur die Klammem in den
Gleichungen 1) angebracht zu denken, was für 1,) und I4) gar keine
Schwierigkeit hat, so dass man sJlenfalls nur die Systeme I2) und I3) zu
schreiben hätte.

Die vorstehende Methode schliesst sich auf's Engste der bekannten ele-
mentaren Methode* an, gemäss der man, um x aus zwei Gleichungen n^"
Grades zu eliminiren, erst das o:"- Glied, dann das Absolutglied eliminirt,
wodurch man zwei Gleichungen (n — 1)^° Grades erhält , mit denen man in
derselben Weise verfährt u. s. w. Man könnte letztere Methode die Methode
der successiven Elimination nennen. Für zwei quadratische Gleich-
ungen ist dieselbe mit der obigen identisch. Aber schon für zwei
cubische, und noch mehr ftlr zwei höhere Gleichungen liefert die Methode
der successiven Elimination — abgesehen von der viel grösseren Weitläufig-
keit der Rechnung — bekanntlich überschüssige Factoren, während die
Bdzout'sche Methode und die oben gegebene Modification derselben (Me^
thode der Elimination explicUer Totenzen) die Resultante frei von überschfissi-
gen Factoren giebt.

um sodann die Resultante für zwei ungleichgradige Gleichungen
zu finden, combinirt man die Methode der Elimination expliciter Patenten
mit der dialytischen Methode von Sylvester, indem man für zwei Gleich-
ungen w*®" und n*«" Grades {m^n) die n ersten Reihen der Resultante
nach der ersteren Methode mit Berücksichtigung der Null seienden Ceeffi-
cienten anschreibt; die {m — n) übrigen Horizontalreihen sind die nach
der dialytischen Methode angeschriebenen Coefficienten der Gleichung n^"
Grades [vergl. die Rückungsdeterminante 4)].

* Yergh Salmon, ibid. S. 71 und 72.

Zur Resnltantenbildung. Von Prof. Dr. C. Beusohle.

107

• *» •—--«----.

•••N ^ \y\ ^N^-'w— »^ -^ ■ --Nw-^ y V .-• >

die zweite Gleichung mit:

Ol

\)

h)

V)

1.)

!

die erste Gleichung mit:

1. hQy 1. a,

2. b^x +6i, 2. a^x +ai,

3. 6Qic* + 6,a; +6^, 3. UqX^ + a^x + a^y

4. 6oa:^ + 6jaj*+ 620;+ 63, 4. aorc^ + »i^^ + «2^; + aj,

und sabtrahirt die jedesmal erhaltenen zwei Gleichungen , wodurch man vier
cübische Gleichungen [s. die Gleichungen 2)] erhält, aus denen man unmit-
telbar die Resultante der zwei gegebenen Gleichungen 1) in der B6zout-
sclien Form 3) anschreiben kann.

Diese Herleitung macht aber den Eindruck einer künstlichen , man sieht
üicht a priori ein, warum man so verfährt; der Methode fehlt die genetische
Natur. Es lassen sich aber durch eine leichte Modification diese vier cubi-
schen Gleichungen [allgemein für zwei Gleichungen w*®° Grades die n
Gleichungen (n — 1)^*** Grades] in folgender einfacher, rationeller und auch
zQgleich principiell neuer Weise gewinnen.

Schreibt man nämlich die Gleichungen 1) in den vier Formen

Ooflp* + (ttj ar* + «2 ^ + Oj a; + «4) = 0)
6oa^ + (^r^+ 1^2?+ l^x + h,) = 0;

(üqX +ai)3i^+{a^a^+ aQX + a^) = 0,
(Oort* + a^x +a^)x^ + {a^x + aj = 0,

(aQX^+ a^a? + a^x +a:i)^ + ^i =^»
(bo3^+ &ia?*+ 2>2 ^ +^3)^ + ^4 =0,

80 erhät man durch Elimination des eoaplicüen x^ aus 1,), des ea^iciten a^
aBÄ Ij)» des ea^iciten x* aus I3) und des explicUen x aus I4) die vier cubi-
sehen Gleichungen

(aoh)^+i{(hh) + i<^i h)]^ + [(aife4) +(«2^3)]^ + («2^4) =0,
{a^h,)a^ +{a,b,) x^ + {a^ x+(a^b,) = 0,

welche simultan sein müssen, wenn die gegebenen Gleichungen 1) simultan
uni Hieraus ergiebt sich sofort die Resultante in Form der Bdzout'schen
Determinante :

KM («0^) (ao2>a) («0^4)

(«oV KM + (»iM («iM + KM KM

(«oM («1^) KM KM

Man beachte, dass im Vorstehenden Alles geschrieWn
Tolkttndigen genetischen Entwicklung der Besnlte»

!
I

=0.

110 Zur Resultantenbildung. Von Prof. Dr. C. Reuschlb.

ein ganz schönes Beispiel für Grademiedrigung von Determinanten) lo|
geboten ist, wie überhaupt angeführt werden darf, dass eine vollstS
rationelle Umformung einer Determinante stets den Stempel der legis
Noth wendigkeit an sich tragen muss, was in einer Vorlesung über D
minantentheorie den Studirenden nicht oft genug eingeschärft werden i
Soll z. B. ein Buchstabenausdruck umgeformt werden, der ursprün^
nicht in Form einer Determinante vorliegt, sich aber leicht als solche
stellen lässt , so wird die Transformation in den meisten Fällen natürli«
durchsichtiger und logisch bindender sich ergeben , wenn man dieselbe ai
Determinante, statt an dem ursprünglichen Ausdruck vornimmt.
Stuttgart, im September 1884.

Kleinere Mittheilungen.

IV. Oeometrische Beweise des Satzes von der Minimalablenkang

im Prisma.

(Hierzu Taf. IV Fig. 25 u. 26.)

Beweis 1.

Geometrisches. Es sei M (Fig. 25) der Mittelpunkt eines Kreises,
B ein Pankt ausserhalb desselben ; die VerbindungsÜDie MB schneide den
zwischen M und B liegenden Theil der Peripherie in -4; E^^ E, E^ seien
Yon A aus aufeinander folgende Punkte der Peripherie zwischen den Be-
rflhniDgspunkten der von B aus möglichen Tangenten, und es sei LE^BE
= £5^; dann ist in den Dreiecken ME^B, HEB, ME^B BE^>BE
>BE^. Ist X ein Punkt der Verlängerung von E^E über E hinaus, so
i«t LXEB> EE^B, mithin, da E^ auf der von B abgewandten Seite der
Geraden jE:X liegt, um so mehr LE^EB>EEiB, und beide Winkel sind
stampf. Legt man nun ^EBE^ mit dem gleichen Winkel, ohne es um-
inklappen, auf ^E^BE^ etwa in die Lage tBt^^ und zieht durh «^ zu
EE^ die ParaUele f^D, so ist Ey^E>BB^, weil E^E:Ds^ = EB:b^B,
nndZ)fj>gfg, weil LDf^B^ ee^B und beide stumpf sind. Weil hiemach
Sehne E, ^ > JB^, ist, so folgt, dass Centriwinkel E^ME >EME^ ist.
Physikalisches. Ist 2b der brechende Winkel eines Prismas, Cj
^d e^ Eintritts- und Austrittswinkel, b^ und b^ die im Innern gegen die
I^enlothe gebildeten Winkel eines Lichtstrahles, der in der zur brechen-
den Kante normalen Ebene hindurchgeht, so ist 61 + ^2 = 26, also h^ — b
= ^- 6j . Die Ablenkung des Strahles ist a = Cj — i>, + ^2 — - ^s • ^ ist auch
der Winkel, welchen der gleichschenklig durchfallende Strahl im Innern
fil^ die Lothe bildet.

Sind nun in der vorigen Figur L Ey BM= fe, , EBM=^ b, E^BM=b^y

^BE=EBE^ = bi — b = b — b2j und ist das Verhältniss ^r^ gleich dem

btdmngsindex n des Prismas gewählt, so haben wegen des constanten
^ilBiveddLltiiiBses die bei E^EE^ liegenden Aussenwinkel der Dreiecke
**JL MEß^ ME^B die Grössen e^ee^, und es ist LE^MB^e^ — b^,

~-fB = 6,-68; L^^Jtf^=(ei-6i)-(c-6), EME^
tsAch ist nach obigem Satze (<ß^ — b^ — V.^— \>^
-*f + ^-^2>2(c-^b), d.Yi.; 4\^ kAöUii.

112 Kleinere Mittheilungen.

kung jedes Strahles ist grösser als die des gleichschenkli
durchfallenden.

Beweis 2.

Seien , wie oben , Cj , dj , 6^ , e^ (Fig. 26) die Winkelwerthe för einen be —
liebig durchfallenden Strahl, e, &, &, 6 für den gleichschenkligen. Ist e^>e^^
so ist 6j > 6, tj < 6, $2 < c, wegen des Sinusgesetzes und wegen 6j + ^2 = ^ft^
d. h.: tritt ein Strahl EBFQ mit grösserem Winkel* ein, als der gleich^
schenklige ABCD^ so tritt er mit kleinerem aus. Nun kann aber ein
Lichtstrahl auch den umgekehrten Weg GFBE machen, also mit e, ein-
und mit 6^ austreten. Denke ich mir einen solchen Strahl, Eintrittswinkel
62, Austrittswinkel 6^, an den Punkt B verlegt, HBJK^ so hat dieser
Strahl dieselbe Ablenkung wie der Strahl EBFGy da die Ablenkung
a = Cj — 5j + ^2 ~ ^2 = ^1 + ^2 ~" 2 6 ausser von dem brechenden Winkel nur
von der Summe ^1 + ^2 ^hhängt. Da also auf beiden Seiten des gleich-
schenkligen Strahles die Ablenkungswerthe paarweise gleich auftreten, so
muss die Ablenkung des gleichschenklig durchfallenden Strah-
les selbst ein Maximum oder Minimum sein.

Eine Entscheidung zwischen den beiden Möglichkeiten liefert dieser
Beweis nicht; indessen dürfte er bei seiner Einfachheit vielleicht auch so
nicht ohne Nutzen sein, da ja auch die praktischen Benutzungen des gleich-
schenklig durchfallenden Strahles meist' eine solche Entscheidung nicht
erfordern, sondern sich nur auf die hier bewiesene Thatsache des aus-
gezeichneten Werthes stützen.

Breslau. Hbinricu Voqt«

V. lieber collineare räumliche Systeme.

Verschiedene Lehrbücher der darstellenden Geometrie enthalten den
Satz : ** Wenn von drei räumlichen Systemen je zwei mit einander centrisch
coUinear sind, so liegen die drei Collineationscentra in einer geraden Linie.

Dieser Satz bedarf einer Ergänzung, da die Lage der Systeme obiger Eigen-
schaft eine viel speciellere sein muss , wie in Folgendem gezeigt werden soll.

Des Weiteren werden wir uns beschäftigen mit der Herstellung eines
Systems, welches zu zwei beliebigen anderen collinearen Systemen in cen-^
trisch collinearer Lage ist. Damit ist dann, mit Rücksicht auf die Arbeiten
des Herrn Hauck,*** der geometrische Beweis erbracht, dass in zwei

* Nach derselben Seite des Lothes positiv gerechnet, nach der andern negativ.
** Zuerst wohl bei Baltzer, Elemente d. M. Bd. II, 5. Aufl., S. 194, § 13 Anm.
Der nicht richtige Satz 13, aus dem der obige gefolgert wird, geht auf Magno«,
Analyt.- geometr. Aufg. I, S. 61 zurück.

*** „Grundzüge einer aligem. axonom. Theorie der darst. Persp.**, diese Ztsdir.
XXI, S. 402 flgg., insbes. 407; ,, lieber Gleichstimmigkeit und üngleichstimmigkeit
der räumlichen Collineation", ibid. Bd. XXIV S. 381.

Kleinere Mittheilungen. 113

riomlichen Systemen die entsprechenden Gebilde entweder sämmtlich gleich-
stimmig oder sämmtlich ungleichstimmig sind, mit anderen Worten, dass
die Eintheilung der räumlichen Collineationen in gleichstimmige und un-
gleichstimmige einen Sinn hat. Schliesslich geben wir ein einfaches Krite-
riam i^r die Gleichstimmigkeit von zwei Systemen , welche durch fünf Paare
entsprechender Elemente definirt sind.

Drei räumliche Systeme Pj, Pg, P3 mögen paarweise in centrisch col-
linearer Lage für die CoUineationsebenen Zj^, Z23, Z31 und die Collinea-
tionscentra (7,,, C23, C^i sein, d. h. Pj und Pg collinear in Bezug auf Zj,
und Cj2 etc. Denken wir uns einen Punkt Ä der Schnittlinie von Z^g und
In- Dann entspricht dieser Punkt in P^ und P^ sich selbst, weil er auf
In, and in P^, P3 sich selbst, weil er auf Z23 Hegt, d. h. er entspricht
aaeb in P, und P3 sich selbst und gehört folglich auch Z,3 . an. Daraus
ergiebt sich, dass die CoUineationsebenen mindestens eine Gerade g gemein
haben müssen. £benso findet man, dass eine beliebige Ebene a des Bü-
schels C'jjOjs auch den Punkt C^j enthält, also die CoUineationscentra auf
einer Geraden g* liegen.

Seien nun m^, in,, m^ drei sich entsprechende Gerade. Dann trifft
jede von ihnen die beiden anderen und sie liegen daher alle drei ent-
weder in einer Ebene durch g* oder gehen durch einen Punkt auf g. Mit-
hin lassen sich überhaupt nur zu solchen Geraden entsprechende construiren,
welche wenigstens eine der beiden, g oder g*, schneiden. Folglich:

Drei räumliche Systeme können nicht paarweise centrisch collinear sein
bei getrennten CoUineationsebenen und getrennten CoUineationsceutren.

Man erkennt vielmehr die Richtigkeit des folgenden
Satzes: Sind drei räumliche Systeme P,, P^, P3 paarweise cen-
trisch collinear, so sind entweder die CoUineationsebenen ver-
einigt und dann liegen die Centra auf einer Geraden ^*, oder
"■ die Centra sind vereinigt und dann gehen die CoUinea-
tionsebenen durch eine Gerade g. In beiden Fällen sind auch
die Ümkehrungen richtig. Beide Möglichkeiten sind in der
i^peciellsten Zuordnung enthalten, bei der Collineationsebene
^lid Collineationscentrum allen Systemen gemeinsam ist.

Im Falle gemeinsamer Collineationsebene schneiden sich je drei ent-
"P^hende Gerade in einem Punkte von Zj^j und die Ebene von je zweien
^*Ut das zugehörige Centrum ; im andern Falle liegen drei solche Gerade
^ einer Ebene des Bündels 0^2^ und je zwei von ihnen schneiden sich auf
fo zogehOrigen Collineationsebene. Die Beziehung ist eine in sich wider-
^proehsfreie geworden.

Doith Betrachtang der Collineationen * enden ebe-

^ Bjttemen I,, I,, Z3 der v<n* wvOci \\xs.

114 Kleinere Mittheilungen.

^*-^-"^ -^-« •- .-

ersten Falle in einer Geraden von Zjgs» im letzten in einem Punkte von g
treffen, ergiebt sich noch:

Wenn drei ebene Systeme paarweise centrisch coUinear sind und ihre
CoUineationsaxen gemein haben , so liegen ihre Collineationscentra auf einer
Geraden und umgekehrt Wenn drei ebene Systeme paarweise centrisch
coUinear sind und ihre Collineationscentra gemein haben , so gehen die Col-
lineationsaxen durch einen Punkt. Allgemeinere Lagen giebt es
nicht.

Der oben angeführten speciellsten Zuordnung der Räume entspricht hier
die Vereinigung der Axen und Centren, die Systeme sind Schnitte eines
Bündels mit drei Ebenen eines Büschels.

Die dualen Sätze über Strahlenbündel sind minder wichtig und übri-
gens leicht auszusprechen.

Die abgeleiteten Sätze über räumliche Systeme lassen noch eine etwas
andere, wenn man will, allgemeinere Ausdrucksweise zu.

Gegeben seien P^ und P^, welche beide centrisch coUinear P3 für die
nämliche Ebene Z und die Centra C,3 und C^^ sind. Dann entspricht sich
jeder Punkt von Z selbst in allen drei Systemen, insbesondere im ersten
und zweiten, d. h. auch diese sind centrisch collinear, und man hat mit
Rücksicht auf das Frühere die erste Hälfte des folgenden Doppelsatzes,
dessen andere Hälfte aus dem Dualitätsprincip folgt:

Sind zwei räumliche Systeme centrisch coUinear einem dritten für
dieselbe CoUineationsebene, aber ver- dasselbe Collineationscentrum , aber
schiedene Collineationscentra , verschiedene CoUincationsebenen , .

so sind sie paarweise centrisch coUinear und

die Collineationscentra liegen auf die CoUineationsebenen schneiden sich

in
einer Geraden. Diese Lagen sind die allgemeinsten.

Es seien jetzt zwei Systeme P, und Pg gegeben, welche centrisch col-
linear einem dritten P3 sind, und zwar mögen weder die Centra, noch die
Ebenen der CoUineation vereinigt sein. Dann sind die Räume unter sich
coUinear, aber P| und P^ werden im AUgemeinen nicht in centrisch col-
lineare Lage gebracht werden können.

Die Centra seien C^ und Cgj, ihre Verbindungslinie heisse ^, die
Ebenen Z]3 und Z23, ihre Schnittlinie heisse g. Dann entspricht «jeder
Punkt von g und jede Ebene von g* sich selbst in allen drei Systemen.
Folglich: Sind zwei räumUche Systeme centrisch coUinear einem dritten, so
haben sie ein gerades Gebilde und einen Ebenenbüschel entsprechend ge-
mein. Wir beweisen nun: Haben zwei collineare räumliche
Systeme ein gerades Gebilde entsprechend gemein, so haben
sje auch einen JSbenenbüschel entaprecYk^iid ^^isi^\ii. >L%i&.'Vl%'^idl

Kleinere Mittheilungen. 1 15

auf 00^ verschiedene Weisen diese Lage erzielen und es lässt
sieb dann noch auf oo^ verschiedene Arten ein System con-
strniren, welches zu beiden centrisch coUinear ist.

Folglich lässt die Aufgabe, zu zwei räumlichen Systemen ein drittes
ZQ constmiren , welches zu beiden centrisch collinear ist, oo^ Lösungen zu *

Man wähle zum Beweise in den gegebenen räumlichen Systemen zwe^
sich entsprechende ebene Systeme , welche nicht affin sind , aus und bringe
eines der beiden Paare ihrer sich entsprechenden congruenten geraden Ge-
bilde zur Deckung ; ihr gemeinschaftlicher Träger heisse g. Das ist auf oo^
Terscbiedene Arten möglich. Die beiden projecti vischen Ebenenbüschel der
Axe g haben zwei Doppelelemente (reell oder imaginär) und jedes derselben
ist TrSger von centrisch collinearen ebenen Systemen , deren Collineations-
8xe natürlich g ist. Die Verbindungslinie [der Collineationscentra heisse g*\
sie entspricht sich selbst als Verbindungslinie zweier sich selbst entspre-
chender Punkte. Aber auch jede Ebene des Büschels g/^ entspricht sich
selbst, da sie einen Punkt von g enthält. Damit ist der erste Theil unsereif
Satzes bewiesen.

Die Elemente: g* mit den beiden auf ihr liegenden Doppelpunkten A^'Ä^
QndJ?j'£^, und g mit den durch sie (und A{Ä^ bez. B^'B^) gehenden Doppel-
ebenen (K|a^ und ß^ß2 repräsentiren vier Bestimmungsstücke "^f man muss also
noch ein Elementenpaar zur vollständigen Bestimmung geben , entweder zwei
Punkte Pj , Pj in einer Ebene von g*, oder zwei Ebenen TTj , TTj durch einen
Punkt von g. Wir nehmen etwa das Erstere an und betrachten zunächst die
Collineation in der sich selbst entsprechenden Ebene P^P^g*, Von dieser kennen
wir ausser Pj und Pj die Doppelelemente ^/^äj, B^'B^ und Si'S^ wai g. Zur
Constniction von Pg lege man durch 8^82 zwei willkürliche gerade Gebilde
«i und Mj, Mj perspectivisch dem Büschel P|, u^ perspectivisch P^. Dann
ist auch u^ perspectivisch u^ für ein Centrum P3. Nimmt man nun diesen
Punkt als den zu P^ und Pj bez. entsprechenden in P3, ferner w, und w^
^ ab Collineationsaxen s^g und 5^3 , so bestimmen die Geraden Pj P3 und
^t^, auf g* zwei Punkte C^g und C^g, die gesuchten Collineationscentra.
^ort hat man dann in den Verbindungsebenen von g mit ^^3 und $23 ^^^
Collineationsebenen Zjg und 1^. Da nach der Wahl der Geraden 5,3 und
*n ^es bestimmt ist , so hat man oo^ Möglichkeiten.

Am einfachsten wird die Construction , wenn man, was ersichtlich
*^ig, als Collineationsebenen a^a^ und ßiß2y als Centra A{A2 und B^B2

»an

Wir geben schliesslich noch an , wie man auf einfache Weise erkennen
"te, ob swei durch fünf Paare zugeordneter Elemente definirte Räume

* TmefL Sl 'utirteu Arbeiten.

'.Thl. 3. Autl, S. Ul.

118 Kleinere MittheilungeD.

Setzt man nun fest, dass der von zwei Ebenen £, f^ eingeschlossene
Flächenwinkel durch den Linienwinkel gemessen wird, welcher entsteht,
wenn man durch die Polare der Schnittlinie $i} in Bezug auf F eine
liebige Ebene legt, so folgt, dass die von zwei Ebenenpaaren $ und fj,
und f{ — aus deren Schnittlinien an F bezw. die Tangentialebenenpaare
und r, i und z gelegt werden können — gebildeten Flächenwinke] „gleich*^
zu nennen sind, sobald

(lijSr)Ä(IVSV)
ist.

Nach Massgabe dieser Begrififsbestimmung kann man, unter VerweiA

düng solcher Bezeichnungen, welche in der Euklidischen Geometrie Maass-
Verhältnissen zukommen , jede Fläche zweiten Grades , welche F längs eines
Kegelschnittes berührt, eine ;,KugeP und den Pol der den Berührungs-
kegelschnitt enthaltenden Ebene ihren „Mittelpunkt^ nennen.

Es mögen nun J, i?, J, t; I, t/', J', x bezw. die Polarebenen der
Punkte X, Y, Z, T; X\ Y\ Z\ T\ und ihre Schnittcurven mit F bezw«
/j'l, K^y K^y k\] Ay, Kr^'y A'^^ ÄV sein; ferner mag je eine aus den Ge-
raden XY und X'Y' an F gelegte Tangentialebene das entsprechende
Polarebenenquadrupel in dem Tangentenquadrupel /^, ^i^, /c« '« ^®^P* ^^> V>
/^•, t^ treffen. Unter solchen Voraussetzungen hat man

{XYZT)^{Ui^)7^{HUkU) und (z'rz'r)Ä(r»?'fV)Ä('rV'rv).

Wenn nun {XYZT)J^{X'Y' Z'T) ist, d. h. wenn die beiden Strecken
XYund XY' „gleich^' sind, so folgt (/$^/f^)Ä ('rV^f^^')» d. h,: die
Winkel (^^^) und (t^t^') oder, was dasselbe ist, die Winkel, unter denen
sich Kt und Ä",,, K^ und A',,' schneiden, sind , gleich".

Ist jetzt F eine Kugel, so werden für je zwei Tangentialebenen die
Tangenten /^, U resp. i^^ t-e durch die vom Berührungspunkte nach den
imaginären Kreispunkten laufenden Strahlen gebildet, mithin die Winkel,
unter denen sich A^^ und A',,, A'^ und K^- schneiden, auch im gewöhnlichen
Sinne gleich, folglich auch die Schnittwinkel ihrer stereographischen Pro-
jectionen wegen der Conformität der Abbildung. Hierdurch ist die unum-
schränkte Möglichkeit erwiesen, gleiche Schnittwinkel in der Kreisebene
durch ;; gleiche" Strecken im Räume zu ersetzen.

Nun liegt es uns ob, durch vier willkürlich gegebene, nicht in einer
Ebene liegende Punkte 1, 2, 3, 4 bei projectivischer Maassbestimmimg
^Kugeln" zu legen und ihre ^Mittelpunkte*' zu finden. Das will aber nichts
Anderes heissen, als: durch 1, 2. 3, 4 Flächen zweiten Grades legen,
welche F^ die Fundamentalfiäche der Maassbestimmung, längs Kegelschnitten
berühren.

Wir wollen unter ih die Combinationen 12, 13, 14, 23, 24, 34
verstehen; die Verbindungslinie ih möge F in den beiden Punkten Aik und
Äik treffen, und die beiden Punkte auf ik^ welche sowohl % und A;, als
auch Aik und Äik harmonisch trennen, mögen Bik und Fliu heissen. Oreifan

Kleinere Mittheilungen. 119

\ #*V .'S r^

dann drei durch einen Punkt gehende Verbindungslinien iX; heraus,
z. B. 12, 13, 14, so schneiden die acht Ebenen

-^12 -^13 -^14» -^12 ^13 -^U»

-^1« -^18 -^14 » ^12 -^13 -^14 »

■^12 -^13 ^ U » -"12 •" 13 -^14 »

■^12 "13-" 14» -^12-^13^14»

and nur diese acht, die Fläche JP in den Berührungskegelschnitten der ge-
quellten Fischen zweiten Grades oder „Kugeln", und ihre Pole in Bezug auf
F* sind die gesuchten „Mittelpunkte". Die Richtigkeit dieser Construction
leuchtet sofort ein, wenn man sich folgenden Satz vergegenwärtigt: Be-
rühren sich zwei Flächen zweiten Gra«les JF^ und JP^ längs eines Kegel-
schnittes, der in der Ebene i gelegen ist, und trifft eine gerade Linie die
FlSche F| in den beiden Punkten i und A;, die Fläche F in Aik und il%,
die Ebene c endlich in jBjjb, so trennen But und B'nt die Punkte Aik und
A^tk harmonisch, sobald B* n^ so construirt ist, dass er nebst B,fc die Punkte
I und X; harmonisch trennt. Zugleich lehrt uns diese Construction, dass
die oben aufgezählten acht Ebenen, in Verbindung mit den vier Flächen
des Tetraeders 1234, eine Configuration (12^, 16,,) bilden*; und ist JP die
Kugel, welche die Abbildung des Punktraumes auf die Kreisebene vermit-
telt, so ist wieder der Beweis geliefert, dass die Lösungen der Steiner-
8cbeii Aufgabe eine Kreisconfiguration (12^, log) bilden. (VergL des Verf.
^ote, XIX im 5. Hefte des XXIX. Jahrgangs dieser Zeitschrift.)

Jena, den 30. December 1884. Dr. Carl Hossfeld.

Vn. Zar Bestimmung der Intensität des Erdmagnetismus.

Im XXV. Jahrgange dieser Zeitschrift S. 271—279 behandelt Herr
^f&nnstiel die von Poisson vorgeschlagene Methode für Bestimmung der
lotensitöt des Erdmagnetismus^ bei welcher im Gegensatz zur Gauss^schen
Keine Ablenkungs- sondern Schwingungsbeobachtungen zu machen sind, und
geht dabei sogar so weit, auch den Torsionscoefficienten durch Schwing-
^uigen zu bestimmen, wodurch er allerdings genöthigt ist, drei Magnete zu
verwenden, während Gauss und Poisson deren nur zwei bedürfen. Ich
^ früher einmal, veranlasst durch Herrn Geh. Rath Hanke 1 in Leipzig,
^ beiden Methoden theoretisch miteinander verglichen ; Beobachtungen habe
^ nicht gemacht. Nachdem nun Herr Pfannstiel nach der Schwing-
^ogunethode Beobachtutigen angestellt hat, welche gute Resultate ergaben,
^^ ich meine Arbeit nochmals vorgenommen. Man kann nämlich gegen
^ Anwendung der Schwingungen ein Bedenken haben. Der die Schwing-

*Heye, Die Hexaeder- und die Octaederconfigurationen (12«, 163). Acta
■"•tiiaiiiittea, Bd. I 8. 97.

120 Kleinere Mittheilungen.

ungen beeinflussende Magnetstab liegt stets so, dass sich seine magnetische
Axe im magnetischen Meridian befindet; der Nordpol ist theils nach Norden,
theils nach Süden gerichtet. In diesen Lagen wird der Magnetismus des
Stabes durch die inducirende Wirkung des Erdmagnetismus und des zweiten
Magnets nicht zu vemachlSssigende Aenderungen erfahren, und es fragt sich,
ob dieser Umstand auf die Resultate von merklichem Einfiuss isL

Man kann nun nachweisen — und dies ist der Zweck des Folgenden — ,
dass dieses Bedenken der Anwendung der Schwingungsmethode nicht ent-
gegensteht, dass vielmehr der durch Induction entstehende Fehler weniger
in Betracht kommt, als bei der Gauss 'sehen Methode, bei welcher man
einen solchen Fehler nicht vermuthen sollte, weil der ablenkende Magnet-
stab senkrecht zum magnetischen Meridian liegt. Diesen Fehler in den
Ablenkungsbeobachtungen sucht man nach W. Weber durch Bestimmmig
des Inductionscoefficienten zu beseitigen; es wird sich zeigen, dass bei der
Methode der Schwingungen das Resultat einer solchen Correctur nicht bedarf.

Lässt man einen Magnetstab {I), für welchen man das TrSgheits-
moment und den Torsionscoefficienten des Aufhängefadens bestimmt hat,
unter Einwirkung des Erdmagnetismus schwingen, so findet man aus der
Schwingungsdauer das Product MT^ worin M das magnetische Hauptmoment
des Stabes und T die horizontale Component« der Intensität des Erdmagne-
tismus bedeutet. Dabei sei vorausgesetzt, der TorsionscoefQcient werde in
der gewöhnlichen Weise durch Ablenkungen bestimmt , so dass zwei Magnete
ausreichen werden.

Während nun Gauss durch den Magnet I einen zweiten (//) ablen-
ken lässt, versetzt Poisson letzteren in Schwingungen und benutzt die aas
dem Einflüsse des Erdmagnetismus und des ersten Stabes resultirende
Schwingungsdauer, um zur Kenntniss des Quotienten M:T zu gelangen.

Ist m das magnetische Moment des Stabes ZZ, f sein Trägheitsmoment,
& der Torsionscoefficient des Auf hängefadens und t die auf unendlich kleine
Ausschläge reducirte Schwingungsdauer, so gilt, falls der Stab lediglich
unter Einwirkung des Erdmagnetismus schwingt, die Pendelgleichung

Wir lassen jetzt ausser den schon vorhandenen Kräften den Magnetstab
1 die Nadel beeinflussen. Die Verbindungslinie der Mittelpunkte der beiden
Magnete habe die Länge R und bilde mit dem magnetischen Meridian, «
welcher durch die Mitte von 77 geht, den Winkel i/'. Die magnetische Axe^
des Stabes 7 sei um den Winkel IT, die von 77 um u aus dem magne —
tischen Meridian herausgedreht. Alle Winkel sollen vom nördlichen Theile^
des Meridians nach Osten gerechnet werden.

Das von dem festen Magneten auf den schwingenden aasgeübte 7
ungsmoment, welches den Winkel u zu verkleinem strebt, bere^
in der Abhandlung ^^Intensitas vis magneticae etc.*'; ee ist

Kleinere Mittheilungen. 121

2) ^=1+1+1+-

Die Angabe des Werthes der Coefficienten S^y S^^ ... mag hier unterblei-
ben. Bei vollkommen symmetrischer Beschaft'enheit der Magnete verschwin-
den S4, 5'ß, ... Vermehrt man i^f um 180^, so bleiben Äj, S^y ... un-
gcfindert, 8^, S^, ... aber wechseln das Vorzeichen. Da man R sehr gross
gegen die Dimensionen der Magnete wählt, so braucht man die Gliedert
welche durch höhere Potenzen als R^ dividirt sind, nicht zu beachten.

Um die Pendelgleichung verwenden zu können, muss das Drehungs-
moment proportional sinu sein. Dies ist bei dem ersten Gliede ^jlS'^ nur
derFaU, wenn t^ = 0, 90^ 180<> oder 270<> und U=0 oder 180«. Während
8icb also bei Gauss der Magnet I immer senkrecht zum Meridian befindet,
muss er hier parallel dazu liegen. Eine genauere Untersuchung zeigt, dass
entens auch S^ and S^ für die angegebenen Lagen nahezu proportional sinu
sind und dass zweitens kleine mit cosu proportionale Glieder die Schwing-
«ngsdaaer von // nicht verändern. Wir setzen daher

3) S = s.sinu = {'^ + ^ + ^)sinH.

Das Moment s ist zu den übrigen auf den Magnet // einwirkenden Kräften
— Erdmagnetismus und Torsion — zu addiren, so dass die Gleichung ent-

r«

*«Bii t die entuprechende Schwingungsdauer bedeutet. Au» deu Gleichungen
1) and 4) folgt durch Elimination von {

'=»K'+;^)(t.->>

^ die Wirkung am grössten ist, wenn der feste Magnet nördlich oder
**dlich vom schwingenden liegt (d. h wenn Tf; = 0 oder 180® ist), so wer-
^ nur diese Lagen bei Versuchen und also auch im folgenden zu berück-
■^ktigen sein. Der Coefficient s^, dessen Bedeutung aus Gleichung 3) er-

*^<^itlich ist, hat für diese Fälle die Grösse ±2Mfn und es entstehen daher

^^Wde Gleichungen 6):

•'♦fO. ^^=0: +?^ + ^ + | = „r(. + ^^)(^.-.).

,..80. u=m': -2*=-i+^=„r(,+^)(i;-i).

«lie erste und dritte Gleichung, ziehen die Summe der zweiten
ibf dividiren durch 4 und setzen

122 Kleinere Mittheilungen.

so erhalten wir

Wiederholen wir die Versuche bei einer Entfernung P statt R und
bezeichnen den dem D entsprechenden Ausdruck mit A, so wird

Durch Elimination des zweiten Gliedes aus 8) und 9) erhält man

10) E^(i+A\t^.^^:zAPl.

^ T V^mTj^ 2(2? -P«)

Mittels dieser Formel kann man das gewünschte M:T berechnen.

Es ist nun die anfangs aufgeworfene Frage zu erörtern, ob nicht die
Poisson'sche Methode zu verwerfen ist, weil bei ihr ein Magnet verschie-
dene Lagen einnehmen muss, in denen er verschiedenen die StSrke seines
Magnetismus beeinflussenden Kräften ausgesetzt ist. Wenn zwei Magnete
sich in derselben Geraden befinden, so wird ihr Magnetismus durch die
gegenseitige Einwirkung geändert; so gross wird auch im bestgehärteten
Stahl die Koercitivkraft nicht sein, dass dies ganz verhindert würde. Der
Magnetismus wird vergrössert , wenn ungleichnamige Pole einander zugekehrt
sind, er wird vermindert im entgegengesetzten Falle; gar keine Aendemng
erleidet er, wenn die Axe des einen Magneten senkrecht gegen die des
andern liegt, wenigstens brauchen wir die AenderuDg in diesem Falle nicht
zu berücksichtigen. Das Gesagte hat natürlich seine volle Giltigkeit, wenn
ein Magnet durch die Erde vertreten ist. üeberlegen wir uns, welchen
Einfluss diese Thatsachen auf die Bestimmung der Intensität des Erdmagne-
tismus haben.

Die Methode von Gauss sowohl, wie die von Poisson beginnt damit,
dass ein Magnet unter dem Einflüsse des Erdmagnetismus schwingt, wobei
er immer nur einen kleinen Winkel mit dem magnetischen Meridian bildet.
Er besitzt daher nicht nur das Moment M, das er haben würde, wenn er
senkrecht zum Meridian läge, sondern der Erdmagnetismus vermehrt dieses
Moment um eine gewisse Grösse M, so dass wir schliesslich nicht MTj
sondern (M+fA)T erhalten. Gauss bringt nun diesen Magnetstab in ver-
schiedene Lagen, aber so, dass er immer senkrecht zum magnetischen Me-
ridian gerichtet ist, und lenkt damit eine zweite Nadel ab, auf deren
Moment es nicht ankommt. Das Moment der ersten Nadel ist jetzt M und
das Resultat M: T. Durch Division in den früher erhaltenen Werth be-
kommt man daher nicht das gewünschte T^ sondern ^^( l + 'i^) ^^^ findet
den Erdmagnetismus etwas zu gross.* .

^S, KoblrAUBch, Leitfaden der praktiachen PYi^^V, ^. K\iSl.^%.v^.

Kleinere Mittheilungen. 123

Bei Poisson befinden sich beide Magnete stets wenigstens nahezu im

magnetischen Meridian. Wir wollen uns wiederum auf die bei praktischen

Versuchen stets zu wählenden Fälle beschränken , in denen der feste Magnet

nördlich oder südlich vom schwingenden liegt. Es sei zunächst i/^ = 0,

17 = 0. Das Moment des festen Magnets wird vergrössert, und zwar durch

den Erdmagnetismus um M , durch den schwingenden Magneten um M| , es

steigt also auf üf + M + Mi • Die entsprechenden Vergrösserungen des

Momentes m der beweglichen Nadel seien ^jl (durch die Erde) und /u^ (durch

den festen Magneten), so dass das Gesammtmoment m + f^ + fti ist.

Hat dagegen d^r feste Magnet die Lage ^^^ = 0, 17=180^, während
die Entfernung der Mittelpunkte dieselbe wie vorhin ist, so wird das Mo-
ment des festen Magneten M—M — M^, des schwingenden t» + fi — fi, .
Für ^= 180" sind die Momente dieselben. Stellen wir jetzt die vier Gleich-
ungen 6) mit Berücksichtigung des Vorhergehenden nochmals auf, so müssen
wir bedenken, dass die Schwingungsdauer t durch Schwingen des Magneten
n ledigtich nnter Einfluss des Erdmagnetismus bestimmt worden ist. Das
Moment der Nadel ist hierbei m + ii und Gleichung 1) heisst daher

Gleichung 4) aber lautet für V; = 0, £7=0, wenn wir für s den Werth

2lffl| $ 5 .

+ ^ + ^ einsetzen:

^obei wir natürlich die Aenderung der Magnetismen in 54 und 55 vernach-
^feßigen. Setzen wir aus 11) den Werth von i^t in 12) ein und stellen
^ Gleichnng auch für die drei anderen Lagen auf, in denen beobachtet
'^^^ so erhalten wir folgende Gleichungen 13);

— .,^

-^ + ^ = .-i[(«»+f')2'+^].

'>^**180», £^=180«: (fn + ^i-^^)T+»-^^^~^~'^''

#'

-g

124 Kleinere Mittheilungen.

Durch Addition der ersten und dritten, Subtraction der zweiten nnd vierten
Gleichung, Division durch 4 und Benatzung der durch Gleichung 7) ein-
geführten Abkürzung wird

2(Jtf+M)(nt + M) 2Mnt 2Mfi 2Mfi, 2Mifi,
^^ ^' i? iP Ä» "*" iP "^ -B»

Das vierte, fünfte und sechste Glied der linken Seite dieser Gleichung
brauchen wir nicht zu berücksichtigen, da im Zähler zwei der kleinen
Momentenänderungen miteinander multiplicirt sind; gegen das zweite Glied
werden diese Brüche ausserordentlich klein. Störend für die weitere Rech-
nung sind aber das erste und dritte Glied ; in der entsprechenden Gleichung
8) sind diese Glieder nicht vorhanden.- Wir werden jedoch weiter unten
nachweisen, dass sich dieselben gegenseitig aufheben. Nehmen wir dies
schon jetzt als bewiesen an, d. h. setzen wir

^^^ ^ 2Mm '

so geht Gleichung 14) nach Division durch {m + ii)T über in
2(.af+M) 1 s,-s\ r » 1

Wählt man eine andere Entfernung P statt R, so sind die durch die Erde
bewirkten Aendemngen M und fi dieselben; man erhält eine zweite Gleichung

SO dass

18) -T- = V + (f^+^Tr-2(B^-P*) '

Die in dieser Gleichung vorkommende Grösse , — - — r-^ ist das durch die

(in+fM,)T

Versuche erhaltene Torsionsverhältniss , da auch bei diesen das Moment der

Nadel nicht tn, sondern m+fi ist.

Da man im ersten Theile des Versuchs (M+M)T gefunden hat, so
ergiebt sich durch Division mit dem aus Gleichung 18) resultirenden
(M+ M) : T das gesuchte T selbst ohne einen durch Induction verursachten
Fehler. Es fragt sich nur, ob Gleichung 15) richtig ist.

In der Theorie über die drehbaren Molecularmagnete und die Abhängig-
keit des Magnetismus im weichen Eisen von der magnetisirenden Kraft stellt
W. Weber* die Gleichung auf

* EJektrodynamiache Maassbestimmungen, \Tic\>e&oiid«c« ^bet Diamagnetismus.^
Abhandlungen der königl. sächs. Ges. d. V^iaaenacK, Tsn«iXNi-^V3%.^V^'Ädu\%.Wi^

Kleinere Mittheilnngen. 125

Darin ist m (bei Weber (i) das der Axe eines Molecularmagneten parallel
genommene Moment desselben (dieses Moment ist für alle Moleküle gleich
vorausgesetzt) , n die Anzahl der Moleküle in dem zu magnetisirenden Stück,
Z (bei Weber D) die Resultante der auf das Molekül wirkenden Molecular-
krftfte, X die maghetisirende Kraft (Magnetpol, elektrischer Strom) und Y
das in dem Eisen in Richtung der Kraft ^ durch dieselbe hervorgerufene
Moment. Ist X klein gegen Z, so kann man in Gleichung 19) die Fac-

X

toren im Nenner nach Potenzen von — entwickeln und die höheren Poten-

len Temacblassigen. Man erbttit dann

20) r=«mU für X<Z.

Ist dagegen X gross gegen Z, so entwickelt man nach — und erhält

21) r=nm(l-^|^) für X>Z.

X

Diese beiden Gleichungen haben auch durch Versuche im Wesentlichen Bc-
sUtigQDg gefunden. Aus der ersten derselben geht hervor, dass, wenn X
klein gegen Z, das entstehende magnetische Moment proportional der ein-
wirkenden Kraft ist. Die Gleichung gilt zwar für weiches Eisen, und in
tinäerem Falle handelt es sich um gut gehärtete Stahlmagnete; aber da
gerade bei diesen die Directionskraft der Moleküle sehr gross gegenüber der
einwirkenden Kraft ist, so wird es gestattet sein, Gleichung 20) als richtig
uzQsehen und demnach die Aenderung des Moments im Magneten propor-
tional der einwirkenden Kraft zu setzen. Es sei dies Hypothese I. Darauf,
^ dieselbe absolut richtig ist, kommt es nicht an, da die Folgerungen
daraus nur dazu dienen sollen, die Gleichheit der Grössen f»i T und 2Mm22~^
nachzuweisen, und diese an und für sich nicht sehr gross sind. Die Voraus-
setznng, dass das entstehende magnetische Moment der einwirkenden Kraft
P^portional ist, liegt auch der Poisson^schen Theorie der Induction zu
öninde, welche z. B. von F. Neumann (Vater) weiter entwickelt worden ist.*
Die Momentenänderungen fi und ^|, welche die schwingende Nadel
durch die Erde und den festen Magneten erfährt, werden sich demnach
verhalten wie die Kräfte, welche Erde und Magnet auf ein magnetisches
Theilchen e der Nadel ausüben. Die erstere Kraft ist Te, die letztere be-
^hnet man leicht, indem man die durch höhere Potenzen als i? dividirten

Glieder weglässt, zu -^-ä. Es ergiebt sich also die Proportion
Oder ,:,,:=Te:-^e

* Vorlesungen über die Theorie des Magnetismus, namentlich über die
*heorie der magnetjaeben JnductioiL Herausgegeben von C. "Ä^ximvcuw ^c>\v\!l^.
^^ipaiS' 188 L 8. 30

126 Kleinere Mittheilungen.

Diese Gleichung würde mit 15) übereinstimmen, wenn statt üffi das Pro-
duct Mm darin stünde. Wir müssen daher weiter untersuchen, wie die-
selbe Kraft X auf verschiedene Eisenmassen wirkt. Wir können voraus-
setzen, dass die beiden zu Versuchen benützten Magnete aus gleich gutem
Stahle bestehen (so dass die Kraft Z in beiden dieselbe Grösse hat) und
dass sie mit gleicher Sorgfalt magnetisirt worden sind. Dann wird onzw^-
felhaft der grössere Magnet durch eine gewisse Kraft eine grössere Momen-
tenänderung erfahren, als der kleinere Magnet durch dieselbe Kraft, ee
werden mit anderen Worten die Momentenänderungen M und \k proportional
den Momenten üf und m sein (Hypothese 11). Diese Behauptung können
wir noch in anderer Weise stützen. Wenn auf das Eisen eine unendlich
grosse Ejraft X einwirkte, so würde nach Gleichung 21) das Moment sein
Maximum nm erreichen, in dem einen Magneten also 9Lm, in dem andern
n.m, wenn ^ und n die Anzahl der Moleküle im festen und schwingenden
Magneten bedeuten. Nun sind zwar unsere Magnete nicht bis zum Maxi-
mum magnetisirt; aber vorausgesetzt, dass ihre Magnetisirung mit gleicher
Sorgfalt vorgenommen ist, wird der Magnetismus der Nadeln um analoge
Werthe vom Maximum entfernt sein, die vorhandenen Momente werden
gleiche Bruchtheile der Maximalmomente bilden, d. h.

ilf:t» = (9l.m):(n.m).

Femer ist aber das entstehende Moment oder die Momentenänderuug nach
Gleichung 20) und 21) proportional mit w.m, d. h.

M:f4 = (üi.m):(n.m).
Aus beiden Proportionen folgt

oder

23) itf|i*=Mm,

und dies ist wieder obige Behauptung. Dass die Gleichung ganz genau der
Wirklichkeit entspricht, ist für unsem Zweck nicht nöthig.
Nunmehr geht Gleichung 22) über in

2Mm

und dies ist Gleichung 15), deren Richtigkeit früher vorausgesetzt wurde.
Wir erhalten also durch die Methode der Schwingungen direct das wahre T,
während es bei Anwendung der Ablenkungsmethode mit dem unbekannten

M
1 + Tj^ multiplicirt ist, dessen Grösse, wenn man die möglichste

Schärfe des Resultats erreichen will, durch besondere Versuche festgestellt
werden muss.

G ritn m a. üx , T«. Häbler.

Kleinere Mittheilangen. 127

VnL Votis nr Bifforentialgleichang

Bekanntlich ist fttr diese nicht unwichtige Gleichung die Integration in
»nigen specieUen Fällen geleistet worden. Man vergl. die Arbeiten von
Hossenfelder — Annalen Bd. lY; Pochhammer — Journal f. d. reine
iLiagew. Mathematik Bd. LXXI; Thomae — Zeitschrift f. Math. u. Phys.
BiXXI.

Wir machen hier auf folgenden neuen integrablen Fall aufmerksam :
Qenflgt der Oleichung 1) partikulär

y = (a:-x)^.
onter % eine Wurzel der Gleichung

Terstanden, so kann jene Differentialgleichung mittels der Sub-
stitution /«

in die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe
transformirt werden.

Setzt man, was keine Beschränkung ist, 03 = 0 voraus und wählt
x = 0, 80 lautet Gleichung 1) einfacher

U) x[\ + c^x + d^o^)y"+ {a^ + \x + c^a?)y"+ (a, + \^)y + %y = ^y
und diese letzte Gleichung kann man sich entstanden denken durch Elimi-
nation einer Variabelen z aus folgenden beiden Gleichungen:

tt) xy—Xy = 0,

ß) iai + ßiX + y^a^e'+{a, + ß,x)z+a^z = 0.

Ptir die auf diese Weise hergeleitete (reducible) Differentialgleichung ist nun
charakteristisch, dass sie mit der re<lucirten Gleichung er) ein Integral ge-
mein haben muss, d. h. dass ihr y = rc^ partikulär gentigt. — Gleichzeitig
folgt aus a) /•

yi=x^ I x^'^'^^zdx,

^vch welchen Ausdruck die Gleichung dritter Ordnung — ihrer Entstehung
gemSas — nothwendig auf die Gleichung ß) zurtickführbar ist. Hiermit ist
^Asere anfänglich aufgestellte Behauptung erwiesen.

Um nun die Transformation an der Gleichung 1 a) auszuführen , stellen
^r wnlchst die Bedingungen fest, dass jener Gleichung y = a^ partikulär
^^^ Man findet

(i,ia-l)(A-2) + c,X(A-l) + &iA + «„ = 0

128 Kleinere Mittbeilungen.

Aus der letzten dieser Gleichungen folgt ein Werth für 1, die anderen
beiden Gleichungen geben zwei Coefficientenbedingungen , unter denen die
partikuläre Lösung y = x^ überhaupt existirt.

Substituirt man weiter in Gleichung la) auch

y = a^ I x'^-^gdx, y<''^ = a^-" /a;-^+'— «Ä<-)clj;, n= 1, 2, 3,

so entsteht nach passender Anordnung der Glieder und Berücksichtigung
der Partikularlösung

+ l{k--m^2)(h^ + (^x + d^x^) + (k-'\)(a^ + h^x + c^s^) + (a, + b,x)x]z = 0.

Beachtet man , dass zufolge der Bedingungen 2) die letzte Differential*
gleichung durch x^ theilbar wird, so kommt man zu der Gleichung

{h + c,x + d,o^)/'+[{X^2){c^ + d,x) + b, + c^x]/
') +[(X-l)(A-2)d3 + (X-l)c, + ^]^ = 0,

wie vorausbestimmt war. Sind e^ und z^ die partikulären Integrale von 3),
so genügt der Gleichung la) folgender Ausdruck:

y==x^\Cf, + cJx'^-^e^dx + C^jx'^-'^z^dxy

In ähnlicher Weise gelangt man auch zu folgendem Satze: GenOgt der
Differentialgleichu ng

partikulär ,^

so lässt sie sich durch die Substitution

y=z€^' le'^'zdXy y^'*^ = (^^ I c-^^z(''idx, n= 1, 2, 3,

in eine Gleichung von der Form

{a, + ß,x)z"+{a,+ß,x)z+(a^ + ß,x)z^O
verwandeln.

Es sei schliesslich noch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass der Vor-
theil der angegebenen Transformation nicht darin zu suchen ist, dass eine«
Gleichung dritter Ordnung mit Hilfe eines ersten Integrals auf eine Gleich-
ung zweiter Ordnung herabgesetzt werden kann — was selbstverständlich
ist — , sondern darin, dass maip in den erwähnten Fällen auf Gleichungen
geHihrt wird, deren Integration bereits erledigt ist.

WoLDEMAR Heymann.

Dker

• •• -

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128

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so genU

In
Diflferen

partikul
so lässt

m eine

verwand
Es
theil de
Gleichui
ung zw
ist — ,
geführt

VI.

Beziehungen zwischen den Krümmungen reoiproker

räumlicher Gebilde.

Von

Dr. L. Geisenheimer,

R«rgBchal(llrector in Tamowits.

Hierzu Taf. V Kg. 1.

In einer früheren, ebenfalls in dieser Zeitschrift veröffentlichten Ab-
handlung wurde die Beziehung zwischen den Krümmungsradien reciproker,
collinearer und inverser ebener Curven untersucht.* Zweck der vorliegen-
den Arbeit ist, diese Untersuchung auf reciproke räumliche Systeme, also
auf die einer beliebigen Raumcurve oder Fläche entsprechenden reciproken
Gebilde auszudehnen. Als Specialfälle der erhaltenen Resultate werden sich
Beziehungen zwischen den Krümmungen der auf einer Fläche zweiter Ord-
nung enthaltenen Curve und ihrer Abwickelungsfläche , femer Eigenschaften
der Krümmungslinien und der Centrafläche für die genannten quadratischen
Flächen, insbesondere eine Construction für das Centrum der zu einer Krüm-
mnngslinie gehörigen Schmiegungskugel ergeben.

§1-

Im Folgenden werde immer vorausgesetzt, dass die betrachteten reci-
proken Gebilde in involutorische Lage gebracht seien, das eine derselben
also das Polarsystem des andern in Bezug auf eine als Directrix dienende
Flftche zweiter Ordnung darstelle; die Allgemeinheit der Untersuchung wird
durch diese Annahme nicht beschränkt.

Um die einer Raumcurve entsprechende reciproke Figur zu erhalten,
können wir die Curve sowohl als den Ort ihrer Punkte, wie als die Ein-
hüllende ihrer Schmiegungsebenen betrachten. Im ersten Falle bildet das
reciproke Gebilde eine von den entsprechenden Polarebenen umhüllte ab-
wickelbare Fläche, im zweiten Falle die Bückkehrkante (Cuspidal- oder
Strietionscurve) derselben. Wenn, was im Weitem geschehen soll, unter
den Krümmungen einer abwickelbaren Fläche längs einer Erzeugenden die

• Bd. XXV 8. SOO.

XaftMhfUt f.MMthmwMiJk n. Pbytik XXX, 3. ^

läO 'Beziehungen zwischen den Krümmungen etc.

Krümmungen im berührten Elemente dieser Rückkehrkante verstanden wer-
den, braucht in der vorliegenden Untersucliung diese verschiedenartige Bil-
dung des einer Raumcurve reciproken Systems nicht beachtet zu werden und
können wir uns kurz dahin ausdrücken , dass einer Raumcurve als reciprokes
System wieder eine solche Cnrve entspreche. Bezüglich der Krümmungen,
in einem Elemente der Raumcurve unterscheiden wir: 1 die Krümmung*
des Elements in seiner Schmiegungsebene gleich dem reeiprokea
Werthe des (ersten) Krümmungsradius; 2. die Krümmung des Elements in
seinem Punkte gleich dem reciproken Werthe der Neigung des Schmie-
gungskegels, so dass, falls dieser Kegel in eine (ierade degenerirt, seine
Krümmung unendlich gross, die einer Ebene null wird; 3. das Product
dieser beiden Krümmungen gleich dem reciprokcm Werthe des Windungs-
radius (Etadius der zweiten Krümmung).

Die zu einem Punkte P, der Raumcui*ve k^ gehörige Schmiegungsebene
werde mit tt,, der in ihr liegende Krümmungsradius mit ^i, der Wiudungs-

riidiuö mit i?, , die Neigung des Schmiegungskegels mit igH^=^ —% die

gleichnamigen Grössen der reciproken Curve durch gleiche Buchstaben mit
dem Index 2 bezeichnet, so dass also P^ und n^^ P^ und n^ polare Ele-
xaente darstellen.

Wir denken uns die Schmiegungsebene tt, verlängert und vom oscu-
lirenden Elemente des Schmiegungskegels des entsprechenden Elements in
der reciproken Curve durchsetzt, so ist bei Vernachlässigung unendlich kleiner
Grössen von mindestens dritter Ordnung, also bis auf die Krümmungsradien
genau, das in n^ fallende Element von k^ dem Element der Schnitiügur
reciprok , wobei die Schnittcurve der Schmiegungsebene n^ mit der Directrix-
Üäche der räumlichen Involution die Directrix des jetzt bestimmten ebenen
Polarsystems bildet. Daher ist nach der vorhin angeführten Abhandlung*:

wo if\ den Krümmungsradius für das Schnittelement des SchmiegungskegelSf
n, 2>| die halben Hauptaxen der in n^ liegenden Directrix, n^ und n\ die
Entfernungen der Tangenten ^| und t\ der reciproken Curvenelemente vom
Mittelpunkte dieses Kegelschnittes bedeuten. Die Tangente t\ fällt mit dem
Schnitte der beiden Schmiegungsebeuen tc, und n^ zusammen.

Die von F^ bis zu ihrer Spur in n^ mit t^ bezeichnete Tangeute an k^
bilde mit n^ den Winkel ^^, mit der Geraden |7it|7C{| den Winkel ^^^ so
wird der Hauptkrümmungsradius des Schmiegungskegels im Endpunkte von
/y, also der Krümmungsradius des zu t^ normalen Schnittes, t^.tgH^, Die
in dieser Normalebene und in n^ liegenden Schnittelemente des zweitan
Schmiegungskegels dürfen bis auf unendlich kleine Grössen einseht leBsHch

* u. a. O. Ä 308.

Von Dr. L. Ctbisenheimer. 131

zweiter Ordnung ald affin betrachtet werden , und zwar ist f^ der Affinitätd-
strahl. Das Verhttltniss zwischen den Krümmungsradien entsprechender
Punkte in zwei affinen Cnrven ist gleich dem Cubus aus dem Yerhältniss

der entsprechenden Tangentenstrecken, dividirt durch das Affinitätsverhält-

niss*. Hiernach ergiebt sich:

q\ ^ sinx2

and io Verbindung mit der vorstehend entwickelten Gleichung:

Eine entsprechende Gleichung kann für Q^JgH^ aufgestellt werden. Die
Formel lÄsst sich in verschiedene Formen überführen, von welchen wir zwei
niher betrachten.

Wir legen durch den Mittelpunkt S der Directrixfläche eine zu ttj pa-
rallele Ebene n\ ; die halben Hauptaxen des in derselben inducirten Mittel-
punktskegelschnittes seien a\ und 5'j , die von ihr und F^ begrenzte Strecke
auf der Tangente an k^ sei l^ , ferner die normale Entfernung der Schnitt-
geraden 1^', ^r^i von *S^ gleich n\^ so wird nach bekannten Sätzen:

Ke fom Involutionsmittelpunkte S auf die Schmiegungsebenen n^ und n^
8<BlUlteu Senkrechten seien mit 2h ^^^ Pit ^^^ längs 8F^ fallende Halb-
BM«ser der Directrixfläche mit q bezeichnet. £s ist:

Difue Werthe in Formel 1) einsetzend, kommt:

^1 tgH^- — ir« «3 1% r-3

P\ » Pt - ''i ' ^1

^r Zähler des rechtsstehenden Ausdruckes ist constant, nämlich gleich
^•V.Co*i wö fly, hf^^ Cq die halben Hauptaxen der Directrix sind. Dem-
^^ wird:

**khe (ileichung auf ihrer rechten Seite keine Winkelgrössen enthält. Unter
f \ kann auch die Länge der Senkrechten verstanden werden, welche vom
'^^olntionsmittelpunkte S auf die Schnittgerade der p]bene n\ mit der dem
"^punkte von l^ entsprechenden Polarebene gefällt wird. —

Eine andere bemerkenswerthe Umformung folgt aus der Betrachtung
^ der Oeraden \nyit^\ conjugirten Mittelpunktskegelschnittes in der Ebene
^1^« (Fig. 1); die in diese Khene fallendem Mittelimnkl«) der in tt, , n..

>

132 Beziehungen zwischen den Krümmungen etc.

und l^i^Tgl inducirten Involutionen seien bezüglich mit Oj, 0^ und O» der
zu IffiTTgl parallele Halbmesser der Directrixfläche mit d bezeichnet. Da

wird nach Formel 1): *

Weiter ist a/. V = (OiO.O,P,)*- (^*-^-) '^'♦»H^. Ö-Pi)> ^ 0,0.0,P^

0 F

die Potenz des nach 0, Pj fallenden Durchmessers , d^ • ' * die Potenz des

hierzu conjugirten Durchmessers in ttj darstellt. . Femer ist:

wo <P| den Winkel der Tangente t^ mit OjPi bedeutet,

Diese Werthe einsetzend, kommt:

tnw 1 g«»X« _ 0,P«.d« sm(d.QP,)

Der um das Tripel P|OP« gelegte Kreis schneide iSP, zum zweiten Male

in Q, 80 ist ^'^p'^' = Qig. «nd 0,e.SP, = SP,(Se-SO,) = ÄP,.SC

— SP^,SO^. Nun ist SF^.SQ die Potenz des Mittelpunktes 5 in Bezog
auf den dem Tripel umschriebenen Kreis und daher nach einem bekannten
Satze gleich Ci* + Cj*, wenn c\ der im Polarsystem der Ebene ÄPjP^ zu
C| conjugirte Halbmesser ist; ferner ist iSPg.iSOi =q^, und somit wird

0,P, _ 1

O^O.O^F^.SF^ c\

' 2

C.«

Weiter ist, wie vorhin schon benutzt wurde, l^ sinx^^^-^ sin^(n^^ cj, daher

Pi
. ^ ^ d^'Py sin(d,OFy).sin%^

* * C|* . c 1* ^in* (w, , c,) sm^ q>^

Indem der rechtsstehende Ausdruck mit ^.sin^{F^O^F^ erweitert und be-
rücksichtigt wird, dass für die bei 0^ gebildete körperliche Ecke die Gleich-
ung stattfindet:

sm(d, F^O^F^ .siniF^O^F^ ^ sin(c^, n^,sin{d^ ^i-Pi):
und dass

V.cV. sin\F^O^F^) .ä^ . sin\d, F^O^F^) = V- V- ^b*,

ergiebt sich die umgestaltete Formel:

3) ^ In genau entsprechender Weise gilt:

^ _^ a^ {sin{d,OF^).sinii>^y

Von Dr. L. Geisenheimer. 133

In diesen Formeln bedeuten also die Bestimmungsstücke qoj, qog, t/zj, tlf^ der
reciproken Cnrventangenten die Winkel derselben mit den Halbmessern 0^ P^
bezüglich O^Pf der in den Scbmiegungsebenen inducirten Involutionen und
mit l^^i^ly bezüglich den aus 0^ und 0^ hierzu gezogenen Parallelen.

Ein weiteres interessantes Resultat wird durch Multiplication der beiden
letzten Formeln gewonnen. Man erhält:

Bezeichnet man die Potenz der auf I^iTT^I hervorgerufenen Involution mit
l?y SO ergiebt sich

sin^y^.sin^^ OP^.OP^ 2/S{P^0P^

■ ■ ^■.ll^■■ I— ■■ . » - ■■ ■ ^^^ —■■■■- ■' M^— ^— ^"^ ■ I I » ■■■■■■ ^m ^. ■ ■— I ■■MI •

Es i.t | = f^» = ^(^, daher:

sinq>y^.s%nq>^ d*,$in{P^O P^)
Wir drilcken d^P^SP^) in folgender Weise aus: Bedeuten äj, s^, 53
die aus S auf die Seiten des Tripels O/^j, OPj, A ^2 gefällten Senkrech-
ten , a , & die halben Hauptaxen ^ des zu diesem Tripel gehörigen Kegel-
schnittes, so ist bekanntlich, wenn r der Radius des dem Tripel umschrie-
benen Kreises*: c% o,«

•"^ ^ ''=2 «„%?()/>,)' ''"*

Die Ebene PiOP^ werde im Folgenden mit fi bezeichnet Es ist

5i» i/;i . sin t^, a* 6' sin (fi , ^ij ) ^iw (jü , «2^

Wird Zähler und Nenner der rechten Seite mit d^$in^(dfi) multiplicirt, so
folgt:

5)

sinjlf^.sin^^ _ ^o*- V- ^0^

sin qp, . sin g>g d*i>, p^ sin (d, 0 /^j) sin (d, 0 /^j)

Die in den Ebenen n^ und n^ liegenden, durch P^ und P2 laufenden
reciproken Tangenten bilden zwei projectivische Strahlbüschel, so dass P2O
einer Parallelen zu (2, die aus F^ parallel zu d gelegte Gerade mit P^O
projectivisch ist. Gleichung 5) liefert den constanten Werth des Doppel -
sehnittverbSltniBses , welches durch die Strahlen ^j, t^ mit den ebenerwähn-
ten Strahlen der Bflschel gebildet wird. Falls P| und P^ auf ihren bezüg-

^ YetgL Schröter, Theorie der Kegelschnitte, S. 194.

134 Beziehungen zwischen den Krümmungen etc.

liehen Durchmessern S P^ und SP^ fortrücken, wobei «, und n^ parallel
zu sich selbst verschoben werden , bleibt Winkel P^OP^ und JiP^SP^)^
daher auch p^p^ und nach Formel 5) der Werth dieses Doppelschnittver-
hältnisses ungeSndert. Wird sein Werth in den für B, . ß^ erhaltenen Au.s-
drut'k eingesetzt, so kommt:

6) R,.R, = '^^/^'' •

Das Product aus den Radien der zweiten Krümmung räum-
lich reciproker involutorischer Curven ist dem Quadrat au?»
dem Product der ihren Schmiegungsebenen angehörigen Ent-
fernungen vom Involutionsmittelpunkte umgekehrt propor-
tional Rücken beide sich entsprechende Punkte der involu-
torischen Curven auf ihren bezüglichen Durchmessern fort,
so bleibt das Product dieser Krümmungsradien constant.

Der vorstehende Salz bildet ein Analogon zu dem für die Krümmungs-
radien ebener involutorisch- reciproker Curven hergeleiteten.

Wird der aus Formel 5) für d zu entnehmende Werth in 3) eingesetzt,
so nehmen diese Gleichungen die später zu verwendende Form an:

tqU = ^»^^^» /^in {d, 0 P^ ) sin y ^ sin t|;A' «^
-. Vi y •• p^'l* p^iAsin{dy 0 P^) sinq>^ sin ^^ /

) toH = ^0^»^» /sinjd, 0 P^) sintp^ sinti;X^\
f ^i > Pi'^'Pi'^ \ sin {d, OP{)sin q>^ sin ^J

Aus den vorstehenden Gleichungen ergiebt sich ferner:

Sind die Schmiegungsebenen und Richtungen zweier reci*
proken Curvenelemente gegeben, so ist die ebene Krümmung
des einen der räumlichen Krümmung des entsprechenden Ele-
ments umgekehrt proportional. Das Product zweier sich der-
artig entsprechender Krümmungen bleibt ungeändert, wenn
die Curvenelemente parallel zu sich selbst auf den Durch-
messern der Directrix verschoben werden.

Die Bezeichnung der beiden bezüglich einer Fläche zwei-
ter Ordnung polaren Systeme als „reciproke Figuren*' findet
hiernach durch die Betrachtung der Krümm ungen ihre Becht>
fertigung.

§2.

Zur Bestimmung des zwischen den Bogenelementen ds^ und ds^ herr-
schenden Verhältnisses gehen wir wieder von der Betrachtung der in s,
liegenden involutorischen reciproken CurvenelftmeutÄ aus. Das Element,
welches durch den an k^ gelegten 8c\im\eg\xiigaV^^\ m n^ %^)kS^^gQwdKtQ^«sQk

f

Von Dr. L. Geisbnueimer. 135

« 7 A

wird, ist gleich -^ — ^» wo d^g den ebenen Contingenzwinkel der Curve
t* bedeutet. Hiernach wird:*

E,i.tci^2 = — ' 4=.^ = -^^^^' g^.^g2= ^ha'^'-a (Formel2),
daher:

7 7 s 2

Entsprechend müsste sein -.— = -- ' * ' — |- 1 so daös sich durch Multi-

plication der beiden letzten Formeln ergiebt:

PiPi
uod mit Hilfe dieser Beziehung folgt:

9) ^-=:£i k!h.

d^g ^2 h^2
Nach Formel 2) ist

•itber

^''""'=„ ^*ff"!SV» "'*'* entsprechend (?.«,)»= J^^'C «

10) ^ = £l n/P_i9t}iE}^p^hl}3l,

ds^ p2 ^ PiQi^gH^ ^ P%9%^

etliche Formel der für ebene Systeme entwickelten analog ist. Dieselbe
l^t sich in folgender Weise umformen. Bedeuten di/j, dt]^ die räum-
lichen Contingenzwinkel (Winkel der unendlich nahen Schmiegungsebenen)
in beiden reciproken Curven , so wird

\ ds^ V p^ ds^^.d9^.dfii

i oder

[ i|. ds^.dO^,dijj ds^'d^^'^V^

I Pi '^ Pi

i^fd^dri bedeutet aber die normale Entfernung des um ds weiter liegen-
^ Ponktes einer Baumcurve von der vorhergehenden Schmiegungsebene.
Formel 11) liefert hiemach den Satz:

In rftumlich-involutorischen Systemen verhalten sich die
unendlich kleinen Strecken, um welche zwei reciproke Curven
i^^i entsprechendem Fortschreiten aus den Schmiegungsebenen
neungtreten, wie die Entfernungen dieser Schmiegungsebenen
^oiD Mittelpunkte der Involution.

'/i&ipe Zeitßebrift Bd, XXV 8. SIO,

136 Beziehungen zwischen den Krümmungen etc.

Der entsprechende Satz für ebene Systeme lantet:

In ebenen involutorisch liegenden reciproken Curven ver-
halten sich die Bogenhöhen unendlich kleiner entsprechender
Curvenelemente wie die Entfernungen der ihnen zugehörigen
Tangenten vom Mittelpunkte der Involution.

Gleichung 9) giebt noch zu der Entwickelung Anlass:

ds^ __ ^i tgH^ l^n^ __ i?| /^ti,

woraus sich unter Benutzung von 2) und 6) ergiebt:
12) 'i£i = Mi .

Sind die Schmiegungsebenen und Richtungen zweier reci-

ds
proken Curvenelemente gegeben, so ist deren Verhältniss -r-^

dem Windungsradius R^ proportional, vom Krümmungsradius

pj unabhängig.

Bei involutorischen Systemen in der Ebene wird das Ver-

ds
hältniss j-^ dem Krümmungsradius ^i proportional. —

Der vorhin entwickelte Satz über das Verhältniss der Abweichungen
von der Schmiegungsebene ist nur der specielle Fall eines sich auf endliche
Werthe beziehenden und für beliebige reciproke Systeme giltigen Gesetzes,
welches im Folgenden unter Voraussetzung orthogonaler Coordinaten her-
geleitet werden soll.

Die Gleichung einer dem ersten System angehörigen Ebene a^ sei

xcosk^ +y €03(11 + z casv^ =i>n

die Gleichung einer zum zweiten involutorisch • reciproken System gerech-
neten Ebene /^^ sei

xcosX^ + y cosfA^ + zcosv2=p^'

Fallen die Coordinatenaxen mit den Hauptaxen der Involution 2aQ, 26^,
2cq zusammen, so werden die Coordinaten der diesen Ebenen entsprechen-
den Punkte Ä^ und B^ bezüglich:

— cosl.^ —cosa,. —cosv, und — co^iL, — cosia,, — oosv..
Pi Vi Vi Pi ^ Pi ^ Pi *

Die von B^ auf die Ebene a^ gefällte Senkrechte sei J^iOj, so wird:

aJ h^ C(?

■Pj«! ^ P% ^ Pi ^ P2

Pl Px

= 1 — -^cosk. cosla —cosu. cosu^ ^— cas¥, casvf.

P1P2 PiP« PyP%

^us der ajinmetriacben Bildung des letatwi k^ÄdroLOL'a i^Ai^v

Von Dr. L. Geisbnheimer. 137

Pi Pi '

Die Entfernung irgend eines Punktes von einer beliebigen
Ebene verhält sich zur Entfernung der reciproken Elemente,
wie die AbstSnde der beiden so erhaltenen Ebenen vom Mittel-
punkte der Involution.

Dieser Satz ist die Verallgemeinerung des in Formel 11) gefundenen

•n AR

Geseties; die ftlr circular-reciproke Systeme benutzte Proportion -^-^ = ^^

ist ein specieller Fall desselben; ebenso benutzt Graves inCrelle^s Jour-
nal Bd. XLII S. 279 einen speciellen Fall dieses Satzes.

§3.

Falls das Curvenelement k^ die Fläche der Directrix berührt, verein-
^ben sich die vorstehend entwickelten Formeln. Die Tangente t^ fällt als-
dann mit der Schnittlinie |7C|9V2K h ™^^ ^Ai Punkt P^ mit 0 zusammen
w»d 68 wird :

ij=O0, W2 = 0.

Die ZQ den conjagirten Tangenten t^ und ^2 parallelen Halbmesser der
Directrix seien (2| und d^t so ist

Nach Formel 3) wird :

»0 *'o ^
remer wird

«'*. " ^ A *, «* ~ * • ** A^ V V Co* (Ä, . B,f . P, ~ «0* V Co"
Anderseits ist nach Formel 12) ^^^ ^**^^

uid da im vorliegenden Falle die Proportion stattfindet

kommt

Ln, = L »'1 = . f ^ und somit -7-^ = ^^^ sin (tt, «2).

^ Vergleichung beider für das Verhältniss der Bogendifferentiale gefun-
^«öen Formeln liefert:

I.-^S Beziehungen zwischen den Krümmungen etc.

eine sich auch aus der Figur leicht ergebende Gleichung. . * bedeutet

den Abschnitt der ttj auf d^.

Wenn endlich l\ in die Directrix fällt, geht die reciproke Curve k^ in
die Strictions- oder Rückkehrcurve der abwickelnden Fläche üben deren
Krümmungen und Bogendifferential sich also nach den vorstehenden For-
meln aus denen der abzuwickelnden CurvQ k^ bestimmen. Setzt man in die

<l^ p d^

Formel (ffH^^ —^^-^—^ — sin^% für pj seinen Werth ~M«(», w,), so

ergiebt sich:

welche für die Abwickelung irgend eines Curvenelements von einer beliebi-
gen Fläche giltige Gleichung wie Formel 1) durch die Betrachtung des
abwickelnden Kegels abgeleitet werden kann. Hierbei ergiebt sich weiter
die Gleichung:

13) ^=:^n = -« ,

dd-^ ds^ sinti)^

welche Beziehung mit den frühereu Gleichungen übereinstimmt, falls ftlr g^
der sich nach dem Vorstehenden ergebende Werth eingesetzt wird.

In sämmtlichen Formeln dieses Pai'agraphen treten p^ , P2 und die vor-
kommenden Sinus als positive Grössen ein, so dass mit der Wahl eines
Vorzeichens für ds^ die weiteren Variablen der Grösse und Richtung nach
bestimmt sind. Für eine parabolische Directrix, für welche die Durchmesser .
p^ und p^ unendlich werden und daher die Gleichungen in unbestinunter
Form auftreten, lassen sich durch sehr einfache Grenzbetrachtungen statt
der Durchmesser die Parameter der durch die Hauptaxe gelegten Schnitte

Um y statt der Entfernungen p^ und p^ die Winkel der Schmiegungs-

ebenen tt, und n^ mit dem Durchmesser der Directrix einführen. Hierbei
ergiebt sich in entsprechender Weise wie für ebene Systeme der Satz:

Das Product aus den Windungsradien zweier parabolisch-
reciproken Curvenelemente bildet den reciproken Werth ans
dem geometrischen Mittel der Krümmungsmaasse in denjeni-
gen Punkten der Directrix, welche mit den Cnrvenelementen
in einen Durchmesser fallen.

Wird die Directrix eine KugelÜäche mit dem Radius «j^ so wird
(Pj-|-7r, = 90^ <jpj + t^g = 90^ daher die in Formel 5) gefundene Beziehung
für das Doppelschnittsverhältniss der reciproken Tangenten:

*B Formeln nehmen folgende tiedtaU an.

Von Dr. L. Gkisenheimkr. 139

1. Für beliebige Lage eines Curvenelements:

. __ /smi^^y /sin riß i\

K V - ^L -( "» V

'"'•■"'- p\*P,'-\cos{P,SP,))-
2. FaJls ein Curvenelement die Directrix berührt:

q^igH^^p^, g^tgHi=^'.^ Ri.B^^

"2

3. Liegt die Curve A*, in der als Directrix benutzten Kugelfläcbe, so

^^*"^ebt sich aus der Formel igH^=:-^^ das» die abwickelnde Regelfläche

ö-'fc^ts normal zu dem Kegel steht, welcher durch A*, und den Mittelpunkt S
ST^l^ wird, welche Folgerung sich auch unmittelbar aus der Figur her-
^ ^^tet. k^ ist bekanntlich in diesem Falle eine geodätische Linie eines durch
•-i'^n Kngelmittelpunkt als Scheitel gelegten Kegels. —

Die für die Abwickelung einer Curve von einer Fläche zweiter Ordnung

«^^wonnenen Formeln werden im Nachstehenden für die Betrachtung der

^^^^JUnuuungslinien solcher Flächen Verwendung finden. In einem Punkte P

■**ögen sich die drei confocalen Flächen F\ F'\ F"\ deren primäre halbe

-^len bezüglich mit a\ a\ a'" bezeichnet seien, durchschneiden; die Durch-

**^itt8curve der Flächen F' und F" werde mit A'jg, der Flächen F' und F'"

'^^t h^^ angedeutet. Aus der Eigenschaft confocaler Systeme , dass für jeden

'^'iQkt die Haoptebenen der durch die Flächen des Systems in ihm inducir-

^^^ Polarsysteme coiocidiren, folgt, dass sich F\ F'\ F"' in P orthogonal

^'^tihschneiden und daher A*,^ normal zu F'" steht. Wird k^^ von F" ab*

^*^ wickelt, 80 bilden die Erzeugenden der Abwickelungsfläche ein System

<>H Normalen zu J''', von welchen sich zwei benachbarte bis auf unendlich

tue Grossen dritter Ordnung schneiden. Der Schnittpunkt zweier der-

iger benachbarter Normalen heisse M\^\ derselbe bildet den KrÜmmungs-

^*^it;ielpunkt des kyj, tangirenden Normalschnittes auf F\ Der Krümmungs-

Liuii dieses Normalschnittes werde mit ^',2, der Krümmungsradius eines

lern durch P gelegten Hauptschnittes auf einer der drei Flächen durch

^•^'ksprechende Indices bezeichnet Rücken wir auf Aj,, von P aus um eine

^^^«idlich kleine Strecke nach derjenigen Richtung fort, welche ausserhalb

flÜlt, und bilden alsdann für den zu P benachbarten Punkt gleichfalls

Normale zu F' . Die zur neuen Normalen bezüglich einer der Flächen,

auch bezüglich der F"\ conjugirte Gerade fällt in die Tangentialebene

neuen Punktes an F\ Um die conjugirte Gerade zu finden , ziehen wir

beliebige Tangente dieser Ebene, welche F'" schneidet. Hierbei bilden

^"i^cb aiif der Tangente im Polarsystem von F"' vier harmonische Punkte,

^^^ wekhen drei unendlich nahe liegen; bis auf Grössen höherer OrdnanK

^^ ibo die Strecke zwischen dem Berührungspunkte und d«r(i dVea«

»^:«

140 Beziehungen zwischen den Krümmungen etc.

züglich F'" conjugirten Punkte von F" halbirt, und hieraus folgt, dass
die Gerade, welche sich durch diesen conjugirten Punkt und den ursprüng-
lichen Punkt P legen lässt, stets nur einen unendlich kleinen Winkel mit
der an F' gelegten Tangente bilden kann. Der geometrische Ort der er-
wähnten conjugirten Punkte ist die zur Nachbamormalen conjugirte G^erade,
die hierdurch und P gelegte Ebene daher die Polarebene des Schnittpunk-
tes iUTjg, in welchem sich diese benachbarten Normalen treffen, bezüglich
F'"'^ und da nach dem Vorstehenden diese Polarebene in der Grenze mit
der Tangentialebene an F' in P zusammenfällt, ergiebt sich in synthe-
tischer Herleitung der bekannte Satz:

Die Hauptkrümmungscentra sind die Pole der Tangential-
ebenen in Bezug auf die beiden durch den Berührungspunkt
gehenden confocalen Flächen.

M\^ fällt also mit dem Pol der Tangentialebene an F' bezüglich F"\
'M\<^ mit dem Pol dieser Ebene bezüglich F" zusammen.

Wird die Krümmungscurve k^^ von F" abgewickelt, so bilden die Er-
zeugenden der Abwickelungsfläche als Normalen zu F' eine der von Mann-
heim als „Normalie*^ bezeichneten Flächen'^. Die Strictionscurve dieser
Normalie ist also der Ort der Krümmungscentra M'^^'^ derselbe ist bekannt-
lich eine geodätische Linie auf der zu F' gehörigen Centrafläche. Die Nor-
male zu F' berührt diese Centrafläche ausser in M\^ noch in ^f^j, wel-
chem letztem Punkte die Tangentialebene t, als Polarebene in Bezug auf
F'* entspricht. Und da diese Ebenen x die Fläche zweiter Ordnung F'
umhüllen, so liegen auch diese Krümmungscentra M\^ auf einer Fläche
zweiter Ordnung, nämlich der Reciproken von F* bezüglich J'" als Direo-
trix. Hierbei entspricht dem Punkte P^ zu I^ gerechnet, in der Reciproken
die Ebene t\ welche die Fläche der zu F* gehörigen Krümmungscentra in
üf j3 berührt. Demnach bildet die betrachtete Normalie die Abwickelungs-
fläche einer Schaar Flächen zweiter Ordnung, und hiemach ist der geome-
trische Ort der Krümmungscentra M\^ eine Raumcurve vierter Ordnung,
längs welcher sich die Centrafläche zu 2^, die Normalie und eine Fläche
zweiter Ordnung (nämlich die ebenerwähnte Keciproke zu F' in Bezug auf
F") berühren.

Dem Hauptschnitte längs Z:,^ gehört auf F" Punkt M'\^ als Krüm-
mungscentrum an. Wickeln wir mit Hilfe der Tangentialebene %'* an F'^
die geodätische Linie der M\^ von der eben genannten Centrafläche ab, so
erhalten wir in der Geraden \M\^M'\^\ eine Erzeugende der an die Centra-
fläche längs der geodätischen Linie geführten Developpabeln , welche aueh
die zu F" gehörige Centrafläche in der durch M''^^ gehenden, ebenfoUs
der Krflmmnngslinie \^ entsprechenden geodätischen Linie berührt. Für
die Centraflftche der F* sind, da \M\%M*\^\ ein Curvenelement derselben

'^nheim, Coors de O^omdtrie DescripUve, v*^*^^«

Von Dr. L. Gkisbnhbimek. 141

ifings der Normalen \PM\^\ abwickelt, diese Normale und \M\^M'\2\ <^o^'
jQgirte Tangenten.

Wird diese beide Centraflächen einhüllende Developpable abgewickelt,
äo gehen die erwttbnten geodätischen Linien der Centraflächen in zwei zu
eioinder senkrechte gerade Linien, die Normalen zu F' und F'\ über. Da
die abwickelnden Ebenen die Normalebenen der Krümmungslinie k^^ bilden,
fielen die Erzeugenden \M\^M'\^\ mit den Krümmungsaxen , die Stric-
tionscurve der aus ihnen gebildeten Developpabeln mit dem
geometrischen Ort für dieCentra der Schmiegungskugeln die-
ser Krflmmungslinie zusammen. Durch diese Betrachtung ist ein
>Veg geb^mt, um den Krümmungs- und Windungsradius wie das Centrum
der Schmiegungskugel für k^^ aufzufinden.

Wir bezeichnen im Folgenden:
mit ^12 , TTjg, Jß|2, ds^^ die Tangente, die Schmiegungsebene , den Win-
dungsradius und das Bogenelement der Krümmungslinie ^j^;
mit p\ p", p"\ P|2 die stets positiv zu rechnenden Entfernungen der Tan-
gentialebenen t\ t\ x" und der Schmiegungsebene n^^ vom Mittel-
punkte S\
mit d'|3, d"^ die in den Flächen F\ F" parallel den zu t^^ senkrechten
Tangenten dieser Flächen gezogenen Halbmesser.

Den Krümmungsradius von \^ erhalten wir in der vom Punkte P auf
^e ErttmmuEgsaxe llf'j^-^'itl gefüllten Senkrechten. Projicirt man^ und
P anf diese Gerade, so folgt:

PQ\% — /'^"li = I -^'12 -^ "iäI 1^12 •
Nach den bekannten Formeln ist:

^12= -' ' Pl2= :;^ ' ö 13 =«—«=—" 2S'

<«her:

Welche Formel die Entfernung der Schmiegungsebene Tr,^ von S bestimmt.
Behufs der Bestimmung des Windungsradius Ri^ gehen wir von den
^ieichnngen aus:

Q zsz j und p'*(a^ — o'"*) = Consf, längs A:,,,

^^^^ längs dieser Krümmungslinie:

, Consi. , , / o Const. . /

Aus der Figur folgt dp'=p"'d0, wo da die Projection des zur Krüm-
^^gilinie A;,y gehörigen Contingenzwinkels auf die Ebene r' bedeutet, also

^ ^= ->— Ißt Hiernach wird:

eil

144 Beziehungen zwischen den Krümmungen etc.

Figur folgt öp'^p"^. daher dg^, = -'''^f V^'= ~C ^d^.^,

ds •
Die Abweichung der Krümmungslinie Ä;,, von der Ebene t'" ist ^ !S » d< i-

nach die Abweichung der Centrafläche in dem zu M^^ benachbarten Punkte

dv = ?^5__-?-i? ^J^^ oder rf v = ~ ^^ • Der Kreisbogen zwischen den

zwei betrachteten unendlich nahen Normalen ist gleich —^ — — ds^^=^

— — — ,-ds,o, daher die Entfernung der benachbarten Punkte der Gentra-
fläche als Hypotenuse des aus diesem Bogen und b ^^j gebildeten rechtwink-

ligen Dreiecks gleich — ' ^—, — ^^^.j und somit der Krümmungsradius

des durch diese Strecke gelegten Normalschnittes der Centraflttche gleich
-,—ih -^ — y^*-?- . Für die Neigung dieses Normalschnittes gegen die nach

PP Pi3

dem Krümmungsmittelpunkte M\^ gerichtete Normale der F' ergiebt sich

//

-r^; der Normalschnitt geht also durch \'M\^'M'\^\^ ist zu dem enrt-

9 18

betrachteten, in der Ebene x* liegenden Schnitte coiyugirt und hiermit die
Indicatrix der Centrafläche im Punkte M\^ bestimmt. Für das der Scheitel-
höhe dv entsprechende Element der Indicatrix längs der Normalen von F*

»ff / r-

folfft l/2P dv=^ ]/ — 3^(i5,o. Falls der in diesem Ausdruck enthal-

P / ^13

teue Wurzelwerth imaginär wird, besitzen die Scheitelhöhe d» und die
Bogenhöhe des letztberechneten Elements entgegengesetzte Richtung; die
Indicatrix der Centrafläche wird also eine Hyperbel. Hiermit folgt:

Die sich entsprechenden Punkte auf einer Fläche zweiter
Ordnung und ihrer Centrafläche sind stets verschiedener Art,
so dass einem elliptischen Punkte ein hyperbolischer und um-
gekehrt entspricht.

Einem ebenen unendlich kleinen Schnitte oder der Indicatrix der einen
kann daher niemals ein gleichfalls ebener Schnitt der andern Fläche ent-
sprechen. Der femer bei der vorstehenden Entwickelung benutzte Satz,
dass \M\^M'\^\ und die Normale von /*' conjugirte Tangenten der Centra-
fläche sind, findet seine Verallgemeinerung in dem schon an anderer SteUe^
hergeleiteten Gesetze, nach welchem die Verbindungslinie des Krümmungs-
mittelpunktes einer Krümmungslinie mit dem zugehörigen Krümmungscen-
trum der Fläche, also die von letzterem auf die Schmiegungsebene der
Krümmungslinie gefällte Senkrechte, bezüglich der Centrafläche zur Nor-
malen coDJugirt ist.

* Zeitschr, /: Afath. ii. Phys., Bd. XXVUl S. b^.

Von Dr. L. Geisenheimer. 145

§4.

Die in § 1 gefundenen Formeln, obgleich für die Systeme reciproker
Eanmcarven entwickelt, haben eine weitergehende Bedeutung. Die Schnitt-
linie iweier sich folgenden Schmiegungsebenen bildet mit der Tangente den
balben Contingenzwinkel ; dies berücksichtigend, gelten die dort gebildeten
Oleichnngen überhaupt für die unendlich kleinen Ortsveränderungen reciproker
Elemente.

Wir recapitnliren die gebrauchten Bezeichnungen nochmals. Bedeuten
?! und Pg zwei coiy'ugirte Punkte , n^ und n^ deren Polarebenen , t^ und ^
zwei in iti bezüglich n^ liegende, durch P^ bezüglich Pj gehende gerade
Linien; d9^, d^^ ^^® ^^^^ entsprechenden unendlich kleinen Drehungen
dieser Geraden in der Ebene 7C|, n^ um P|, P,) ^^i» ^V% ^^^ Neigung (der
Torsionswinkel) zweier durch diese Geraden gelegten, von n^ und n^ un-
endlich wenig abweichenden Ebenen gegen tt^ und tt^; ds^ und ds^ die
unendlich kleinen Entfernungen der den neuen Ebenen zugehörigen Pole von
Pi im ersten, bezüglich von P, im zweiten System; femer d den zur Schnitt-
linie jiriir^l parallele Halbmesser der Directiix, 0 die Spur dieser Schnitt-
linie mit der zu d conjugirten Durchmesserebene [PiS^Pj]; g^i» ^i die Winkel
der Geraden t^ mit OPi und IteiTt^I; g>2^ % die entsprechenden Grössen
^ dl 80 gelten, wenn wir noch der Kürze wegen die Winkel von \n^7t^\
mit 0P| und OP^ durch fij und /u, bezeichnen, nach § 1 folgende Formeln:

dSi

i ^ ^2 __ ^0 ^0 ^0 (^^ f*i ^♦^ Vi ^m V, y/»

dSi ds^ ^Wcq*

dSi^d^i.drii Pi

d^.d^g.dijg p^

^^ ^^ \j Cq die halben Hauptaxen der Directrix, p^, p^ die Entfernungen
^ Ebenen »j, n^ vom Mittelpunkte S der Involution sind. Aus diesen

Olaehnngen folgt:

dOj __ 5mfi, sintp^ ^mt^^

d O, sin 1^2 sin g>^ sin^i

dSi %b c /sin^i^sing>2sinrlf^\^

^Vi P\' '' \8in^^ sinq>^ sinip^ /

ds^ Gf^i Cq fsinfi^sinqf^ ^mt^, \^

^Vi Pi 2*^* \8in fi| sm g>^ sin t/;j /

weldM Beziehungen sich auch in die fortlaufende PropoTtioii i\x^^mm^i[i^%«a

CMmtäamMUk o. Ptjait XXX, S, \0

]46 Beziehungen zwischen den Krümmungen etc.

18)

* \ 5mft2 / \ * smfi, /

wo du irgend eine Urvariable bedeutet.

Die zu d^i gehörige Richtung von d^^ bestimmt sich am einfachsten
durch die auf {n^n^l durch t^ und t^ gebildete Involution, wodarch auch
die Vorzeichen von sin^^ und sintp^ bestimmt sind; die Richtung von äSf
entweder durch die auf t^ inducirte Involution oder nach dem durch Formel
11) entwickelten Satze über das Verhältniss entsprechender AbstSnde in
reciproken Systemen, py^ p^, ^'nfi, , sinfi^j sifi'^i und sin% werden stets
positiv genommen. (Vergl. S. 138.)

Für ebene involutorisch-reciproke Systeme findet man:

ds. : \ ^ dO". : du = ^ i d&. : dSa : duy

^0 Pi, P2 wieder die Entfernungen der entsprechenden Tangenten vom
Involutionscentrum bedeuten. —

Nach dieser vorgängigen Entwickelung wenden wir uns zur Betrachtung
reciproker Flächen. Lassen wir bei der ersten Fläche 0^ die Tangential-
ebene längs einer Curve Ä^^ gleiten, so bilden die den Tangentialebenen
reciproken Punkte auf der entsprechenden Fläche Q>2 ^^^^ zweite Curve 7c^]
in diesem Sinne können wir sagen, dass jedem Punkte auf 0^ ein solcher
auf (Z>2 1 jeder Curve k^ auf (Z>| eine solche A^ auf (Z>2 entspreche. Die Tan-
gente an ky als Verbindungslinie unendlich naher Punkte auf (Z>| entspricht
hierbei der Schnittlinie benachbarter Bei-ührungsebenen längs ^.

Bei sich entsprechenden Curven zweier reciproken Flä-
chen sind die Tangenten der einen Curve reciprok zu den, den
Elementen der entsprechenden Curve conjugirten Richtungen.

Hieraus ergiebt sich sofort:

Die in entsprechenden Punkten zweier reciproken Flächen
durch deren Tangenten gebildeten Strahlbüschel sind projec-
tivisch verwandt, und zwar entspricht einer Asymptote der
einen eine Asymptote der projectivischen Strahlinvolution.

Da hiemach zu einer reellen Haupttangente an <Pj eine gleiche an O^
reciprok ist, folgt:

Bei zwei reciproken Flächen entspricht einem elliptischen
oder hyperbolischen Pankte der einen stets ein Punkt gleicher
Art auf der sweiten Fläche; hiernach ist die Beciprokalfliohe
einer Begelfläobe wieder eine aege\tUc\i^.

Von Dr. L. Geisenheimer. 147

Da die Ordnung und Classe einer Regelfläche stets durch dieselbe Zahl
arugedrttckt werden, ist der Grad der ReciprokalflSche gleich dem
der erstgegebenen Regelfläche, ein von Ca yley aufgefundener Satz.

Im Punkte einer Fläche fallen drei Schnittpunkte för jede Haupttan-
gfente dieses Punktes zusammen; nach dem Vorstehenden coincidiren in djer
rr&Dgentialebene eines Flächenpunktes drei durch eine Haupttangente des-
s^ben an die Fläche gelegte Berührungsebenen.

Legen wir durch (Z>j in unendlich kleinem Abstände zweiter Ordnung
^v^cn der Tangentialebene n^ eine hierzu parallele Schnittebene, so entspricht
dieser im reciproken System ein der Fläche 0^ unendlich naher Punkt, aus
^vekhem sich ein reeller Tangentialkegel an letztere Fläche legen lässt, des-
sen halbe Oeffhung unendlich wenig von einem Rechten abweicht und dessen
Serührungscurve mit O^ ^^^ ^^^ Grössen höherer Ordnung ein zur Indica-
txix in 94 ähnlicher Kegelschnitt ist, dessen Ebene bis auf einen Winkel
zi^eiter Ordnung zur Tangentialebene n^ parallel ist. Da nun n^ die Höhe
dieses Kegels zwischen seinem Scheitelpunkte und letzterer Ebene halbirt,
folgt unter Benutzung des S. 137 hergeleiteten Satzes:

Einem unendlich kleinen ebenen Schnitte der einen ent-
spricht ein gleichartiger ebenfalls ebener Schnitt der Reci-
prokalfläche; die Scheitelhöhen derartiger sich entsprechen-
den unendlich kleinen Flächentheile verhalten sich wie die
Entfernungen ihrer Tangentialebenen vom Mittelpunkte der
^«Tolution.

Der vorstehende Satz wird f(ir diejenigen Flächenpunkte, welche in
^er der Haupttangente benachbarten Richtung liegen, hinfällig. Für der-
^^ge Punkte gilt überhaupt der Satz nicht mehr, dass sie bis auf Grössen
^^berer Ordnung in einem der Indicatrix ähnlichen Kegelschnitte liegen.

um eine Beziehung zwischen den Krümmungen sich entsprechender

'^^^hendifferentiale zu gewinnen, gehen wir von den Coordinatengleichungen

^^^^Iben aus. Als Z-Axe werde in beiden Systemen die bezügliche Flä-

^ unnormale, als X- und F-Axe zwei sich entsprechende Paare conjugirter

,^^-^bentangenten gewählt; es mögen sich also die Richtungen von X] und

, F| und T2 auf den reciproken Flächen entsprechen, in welchem Falle

und F), F| und X^ reciproke Gerade sind. Hiemach laute die Gleicb-

g von ^j!

^^^^ad diejenige von (P^'

2^2 -r 2

*^2='Ö"^« • "0.V2 !"••'

^Rieh dem eben gefundenen Satze über die Scheitelhöhen reciproker Elemente

10^

148 Beziehungen zwischen den Krümmungen etc.

Pl " P2

WO Py^ und p^ nach früherer Bezeichnung die - Ehtfernung der Tangential-
ebenen n^ und n^ vom Involutionsmittelpunkte darstellen. Da Hir ^^ = 0 auch

nach der Wahl der Coordinatensysteme ^2 = 0 wird, kommt — = 7/ -?— i«

a?g r ^iPf

Anderseits erhält man, wenn der Berührungspunkt der Tangential-
ebene an <f>2 ^^S^ ^ ^^ ^3 verschoben wird, als Gleichung der letztem:

Z — Z^ = T^X^yX JJg) ,

demnach als Torsionswinkel der um T^ gedrehten Tangentialebene gegen n^:

Tg «2

Dieser Drehung um T^ entspricht im ersten System die Verschiebung ds^ =«1
längs X^; daher wird nach Formel 18) in abgekürzter Schreibweise:

wo sich die in Äx^y, auftretenden Winkelgrössen (jPj, t/Zj auf X^ als Ver-
schiebungs-y g>^^ i/Zg auf T^ als Drehaxe beziehen; oder:

x.
Der Vergleich mit dem vorhin entwickelten Werthe für — giebt:

' Pi -^JTi y.

Y.)

x^

Die Krümmungsradien der Normalschnitte von (P^ und 0^ längs der
Coordinatenaxen Xj, Y], 2^, T^ seien ^xt> ^yn ^«,t (»y, ; nach letzter
Gleichung wird: _

Indem wir in dieser Gleichung einmal die Indices 1 und 2, dann x and y
vertauschen, ergeben sich die entsprechend gebildeten Gleichungen:

)

'1

Nennen wir die sich entsprechenden unendlich kleinen Drehungen der X-
anä T'Äxen innerhalb der Berührungsebenen d^«-,« ^^yit ^«^«k> ^^ih« ^
könnea diese vier Gieicfaungen nach 18) a\ic\i ge^c^iticX^eii. ^«t^«i^\

Von Dr. L. Gbisenheimer. 149

IS

t/^ — T" = <^o^<'o , 7/^^,
i/'^ — 7~ — «o^gp l/^^'t

,/- — — _ flp^gp 7/i^

Die Gleichsetzung der ersten und zweiten oder der dritten und vierten dieser
Gleichungen liefert die Proportion:

stniX^T^YsiniX^T^)" d^,, ' d^y^ '

welche Proportion auch aus der Projectivität der reciproken Strahlbüschel
^ Tangenten hätte erschlossen werden können.
Die Multiplication aller vier Gleichungen liefert:

20) Px..?s..««*(z,r,).^„.9^.«««(x,r,)=^^*.

Pl P2

Das Product aus den totalen KrtLmmungen zweier reci-
pfoken Flächenelemente ist der vierten Potenz des Productes
^flrer Entfernungen vom Involutionsmittelpunkte propor-
tional.

Bezeichnen wir die Absolutwerthe (Moduln) des geometrischen Mittels
J*^ den Hauptkrümmung»radien für die beiden reciproken Flächen mit B^ ,
^' 80 folgt:

Für einen elliptischen Punkt bedeuten 7?^, i?2 die Radien zweier die
^ *Jroken Elemente berührenden Kugeln, auf welche sich die erwähnten
^^^henelemente abwickeln lassen; für einen hyperbolischen Punkt erhalten

in i2| und JR^ die Windungsradien der auf (P^ und O^ verlaufenden
zu einander reciproken asymptotischen Curven, deren Tangenten
Schmiegungsebenen also mit den Haupttangenten und Berührungsebenen
reciproken Flächen zusammenfallen. In der letztentwickelten Gleichung
^ durch die Wahl des Vorzeichens in beiden Fällen die Richtung von B^
^^d Äj berücksichtigt. Für reelle asymptotische Linien folgen die vor-
gehenden Sätze ohne Weiteres aus Formel 6). Der vorstehend geführte
^weis ist von dieser R«ellität unabhängig. Der Satz selbst liefert wieder
^^ Bestätigung für die Berechtigung des für die untersuchte Art der Ab-
^^^Qgigkeit gewählten Namens der ^Reciprocität^; bei gegebenen T«»«
geniialebenen bleibt das Product aus den Kiftwim
Plielia&elemente eonstant

150 Beziehungen zwischen den Krümmungen etc.

Sowohl aus den allgemeinen Beziehungen zwischen den Verschiebungen
sich beliebig entsprechender Punkte , wie aus den bisherigen Entwickelnngen
folgt, dass sich die Schnittlinien beider reciproken Flächen mit einer ihrer
Tangentialebene parallelen und unendlich nahen Ebene als affine Curven
entsprechen. Für das Verhältniss entsprechender Flächentheile der beiden

ff) R

ebenen Systeme und hiermit für ihren Affinitätscoefücienten folgt "^-^-^f

das Verhältniss entsprechender Bogendifferentiale ergiebt sich nach Seite 148:

^1 ^ j/Pi Px,

^2 r i?2?x.

Für Bogenelemente , welche die asymptotische Curve berühren, gelten
diese Entwickelungen nicht mehr. In diesem Falle erhält man die entspre-
chenden Beziehungen, wenn man die Haupttangenten der Flächenelemente
als Coordinatenaxen annimmt und, unter Berücksichtigung der Glieder
dritter Ordnung, vrieder von dem Satze über das Verhältniss zwischen den
Entfernungen reciproker Elemente Gebrauch macht. Diese Rechnung liefert
folgendes Besultat:

Das Verhältniss zweier entsprechenden, die Asymptoten
berührenden Curvenelemente ist constant, also gleich dem
nach Formel 10) oder 12) ausdrückbaren Verhältnisse zwischen
denBogendifferentialen der reciproken asymptotischen Curven.

Bezeichnen femer 22<^9<^), BI^^q^^^ die Windungs- und Krümmungs-
radien der berührenden , B^q^^ B^ g^ die entsprechenden Grössen für die ein-
ander reciproken asymptotischen Curven, so gilt noch folgende Gleichung:

Falls zwischen der betrachteten Curve und der Haupttangente an 0^
bezüglich O^ ®^^ zweipunktige Berührung stattfindet, fällt die Schmie-
gungsebene der ersteren ebenfalls in die Berührungsebene der Fläche und
es finden die weiteren Gleichungen statt:

Wir entnehmen diesen Beziehungen einige Folgerungen.

Eine beliebige durch die Haupttangente gelegte Ebene schneidet <Z>| in
einer diese Tangente osculirenden Cui've , für welche also q^^ = oo ist. Das
reciproke Gebilde ist der aus einem Punkte der reciproken Asymptote an
<Ps gelegte Tangen tialkegel, für dessen Berührungscurve sich nach dem Vor-
stehenden ^W = -^> B^^^=-^j also beide Grössen als constant er-
geben.

FaDs die Spitze dieses Kegels in die Fläche <2^ selbst fUlt, wird diese
Beirßcbtung binf&üig. In diesem Falle i&t die ftäme dssc ISjä^gd^MsliQikaGciQo^^

Von Dr. L. Geisenheimer. 151

cone za deren Tangente conjugirt; und da die coujugirten Halbmesser einer
Hyperbel bei der Annäherung an eine Asymptote in der Grenze mit dieser
{^ehe Winkel bilden, folgt, dass der Contingenzwinkel der asymptotischen
Cunre das arithmetische Mittel zu den unendlich kleinen Drehungen der
QBander conjugirten Sehne und Tangente, also J des Contingenzwinkels
der Kegelberührungscurve bildet. Für letztere ist daher ^^^^ = f (>2 ^lod
somit iP°'^-|i?2* Für das reciproke Gebilde, nämlich für den entsprechen-
den Zweig des Schnittes von <2>| mit der Berührungsebene, folgt ^('> = ^()|,
£^ = oc. Die Krümmungen der beiden durch einen hyperbolischen Flächen-
ponkt laufenden asymptotischen Curven bestimmen also in sehr einfacher
Weise die Krümmungen in den sie berührenden Zweigen der erwähnten
ebenen Schnitt- und der Kegelberührungscurve.

§5.

Die bisherigen Entwickelungen sind für den Fall, dass der betrachtete
Rflchenpunkt auf O^ ein parabolischer (ein Wendepunkt) sei, zu
^fgänzen , wobei zunächst einige Eigenschaften der Fläche in der Nähe dieses
Poaktes entwickelt werden.

Die Gleichung einer Fläche in der Nähe eines parabolischen Punktes
^^^m stets in der Form gegeben werden:

^o (üe Doppelasymptote des Wendepunktes zur F-Axe und, was immer

'^^^^ch ist, die X-Axe derart gewählt wurde, dass der Coefficient -^ des

"^li^es xy^ verschwindet,

Sfimmtliche Wendepunkte der Fläche bilden deren Wendeourve,

^^che die weitere Gleichung l^r — r— ) =t— s'r-ö erfüllt. Als zweite

\dxdy/ dx^ dy*

^^«ichung dieser Curve erhalten wir hiemach:

^ie gewählte X-Axe ist also die Tangente der Wendecurve.
Wird aus einem beliebigen Punkte ^r] der Berührungsebene ein Tan-
^tialkegel an die Fläche gelegt, so ergiebt sich als zweite Gleichung
••Bner Berührungscurve:

Die Ausführung der Rechnung liefert , indem wir uns auf die niedrigsten

Potenzen beschränken:

w

OieBerfllinmgscurve tangirt hiemach die DoppelaeymptotAi ^ ** ^^'nnkte
«iitr doreh den Wendepunkt laufenden Geraden % «

152 Beziehungen zwischen den Krümmungen etc.

radios gleich r—, — v> der Parameter iSngs der Z-Axe (Bw»s- )

w.msmixy) ° \ 2xJ

f

gleich • Das Strahlbüschel der Tangenten durch den Wendepunkt

ist der Punktreihe der Erümmungsmittelpunkte projectivisch zugeordnet;

t
jede Tangente schneidet auf der zur X-Axe parallelen Geraden y =

den Parameter ab, welcher den Berührungscurven der aus ihren Punkten
an die Fl&che gelegten Tangentialkegel angehört. Die der Tangente der
Wendecurve angehörigen Berührungscurven osculiren die Doppelasymptote.
Die vorstehende Entwickelung wird für fn = Qo, also für die Punkte
der Doppelasjmptote , ungiltig. In diesem Falle ergiebt sich für die Be-
rührungscurve die Gleichung:

Die Berührungscurve besitzt diesmal im parabolischen Punkte der FlSche
einen isolirten oder Doppelpunkt, dessen Tangenten eine Involution mit der
X' und F-Axe als Asymptoten bilden. Die Doppelasymptote ist ein iso-
lirter oder Doppelstrahl des Berührungskegels , dessen beide MSntel einander
osculiren, da ihre jer-Ordinaten sich längs der X-Axe nur um Grössen dritter
Ordnung von denjenigen der Wendecurve unterscheiden. Die Schmiegungs-
ebene dieser Berührungscurve fällt im Allgemeinen nicht in die XY- Ebene,
so dass auch der Tangentialkegel diese Ebene nicht osculirt. Falls die
Zweige der Berührungscurve sich den Asymptoten der Involution n&hem,
geht die Schmiegungsebene in die Berührungsebene der Fläche über.

Die diesen Asymptoten entsprechenden Punkte der Doppelasymptote Y^

nämlich ij = 0 und t; = — > verlangen eine besondere Betrachtung. Für den

ersten, also für den parabolischen Flächenpunkt selbst, ergeben sich die
Gleichungen der Berührungscurve:

Die Gurve bildet längs des positiven oder negativen Theils der F-Axe eine
Schnabelspitze (Cuspidalpunkt) , für welche die Schmiegungsebene mit der
XF- Ebene zusammenfällt. Die Singularität stimmt mit deijenigen überein,
welche der Schnitt der Fläche mit ihrer Berührungsebene im Wende-
punkte zeigt.

f
Für den zweiten Ausnahmefall , i^ = — t wird für die Berührungscurve

des Tangentialkegels gefunden:

iu^ ""V3 6 u)"^^'"

wr
2Ü

Von Dr. L. Gbibenheimbr. 153

f>^^^ *^ N^>^

6.
wo -^ den CoefBcienten von a?y in der Flächengleichnng bedeutet Die

Cnne bildet diesmal iSngs der X-Axe eine Spitze, deren Schmiegnngs-

f

ebene wieder in die Berührungsebene der Fläche fällt. Im Punkte 17 = —

selbst schneiden sich drei aufeinander folgende, längs der Wendecurve gelegte
Berfihrongsebenen der Fläche; derselbe gehört also der Cuspidallinie der
MM den Doppelasjmptoten gebildeten abwickelbaren Fläche an.

Die Discussion der Gleichunir ( — ) = zeigt , dass , wenn u und

V gleiches Vorzeichen haben, — für alle Punkte zwischen 17 = 0 und

X

r
1}=— reell, für alle ausserhalb liegenden imaginär wird; besitzen aber u

y

uid w ungleiches Vorzeichen, so wird umgekehrt — und hiermit der

X

ngehörige Berührungskegel für die Punkte der F-Axe zwischen 0 und

ünaginär, für alle Punkte ausserhalb dieser Strecke reell.

Fflr eine Regelfläche fallen die parabolischen Punkte in die unendlich
ferne Ebene. Die Fläche der Doppelasymptoten wird in diesem Falle durch
den Ort der zur Regelfläche gehörigen Asymptoten , die Cuspidalcurve des
letitem durch den geometrischen Ort der Centra der die Regelfläche oscu-
firenden Hyperboloide ersetzt. —

um das einem im. Endlichen gelegenen Flächen Wendepunkte ent-
sprecbende räumliche Gebilde zu erhalten, suchen wir zunächst im ebenen
STstem das Üurvenelement, welches dem eine Gerade osculirenden ebenen
Cnnenelement reciprok ist. Lautet die Gleichung des letztern für orthogo-
uüe Axen ^i'^Sairr^, so ergiebt sich für den normalen Abstand der zur
Wendetangente benachbarten Tangente vom Coordinatenanfangspunkte n^

= ^-^' Bezieht man das reciproke Element gleichfalls auf orthogonale

Axen, 80 dass seine F-Axe dem Wendepunkte entspricht, so folgt:

iCa = n| — = ♦ — • — 1

ferner ftbr den Contingenzwinkel 9^ des zweiten Elements:
^ somit als Bedingung des zweiten Elements:

wonni sich dessen Gleichung in Coordinaten ergiebt:

v//'=iagXt, wo V= ^*y^'

154 Beziehangen zwischen den Krfimmnngen etc.

Einem ebenen Curvenelement mit Wendepunkt yi^^3a|Xj
entspricht alsreciprokes Gebilde ein ebenes Element mit einem
Cuspidalpunkte yi*^*= ^o^^-

Für eine räumliche Involution folgt, dass einem Kegel mit
Wendeberührungsebene das Element einer ebenen CflirTO mit
Cuspidalpunkt entspricht.

Hiemach iSsst sich das dem parabolischen Punkte entsprechende Gebilde
bestimmen. Bückt die Spitze des Berührungskegels auf einer beliebigen
Tangente dieses Punktes (mit Ausnahme der Doppelasymptote) fort, so
osculirt der Tangentialkegel die Berührungsebene der Fläche. Das reci-
proke Gebilde entsteht also durch die Bewegung eines Curyen-
elements mit Cuspidalpunkt; die Curve, welche zu der aus den
Doppelasjmptoten von (D^ gebildeten Developpabeln reciprok
ist, bestimmt in der reciproken Fläche (Pg eine Cuspidalcurve,
welche in dem früher erläuterten Sinne der Wendecurve auf
<Z>, entspricht.

um die Gleichung der Fläche (P^ in der Nähe eines derartigen Cuspi-
dalpunktes zu bestimmen, wählen wir die Tangente der Cuspidalcurve zur
X-, die zur Tangente der Wendecurve auf <Pj reciproke Gerade zur 7-Axe

und nehmen die Z-Axe in der Schmiegungsebene der Cuspidalcurve (letz-
tere reciprok zum Punkte 97 = — ) beliebig an. Je drei sich folgende Be-
rührungsebenen an (Z>2 schneiden sich in einem Punkte Pq der Y-Axe. Das
Element der Cuspidalcurve habe die Gleichung a^ = 2pe^ so lautet die
Gleichung des aus ^q durch dieses Element gelegten Kegels:

2jp^ = yo

x^

yo-y

Indem den Strahlen dieses Kegels eine Cuspidalspitze aufgesetzt wird, er-
giebt sich als Gleichung der Fläche O^ in der Nähe eines Punktes ihrer

Cuspidalcurve : »

ifo y

wo a und c Constanten; oder nur die Glieder niedrigster Ordnung nehmend:

x^'-2pz = j/c {y + ax^)\

Das Krümmungsmaass dieser Fläche und jedes durch den betrachteten Punkt
gelegten Schnittes ist unendlich gross; eine Ausnahme bilden die Schnitte
durch die Cuspidaltangente, deren Krümmungen endlich sind. Für den
Coordinatenanfangspunkt wird :

c^z o^z

-{J^J-'-ßo-^^'^-^-

dg^ dy^ \dxdy/ 8p

Von Dr. L. Geisenheimer.

155

Hieraus folgt durch • Transformation auf ein beliebiges Coordinaten-
Ffir jeden Punkt in der Cuspidalcurve einer Fläche werden

li«xweiten Ableitungen r— «

d^e d^e d^e

und das Krümmungs-

dx^ dxdy dy*

■^«88 unendlich gross in der i^^^^ Ordnung eines Ausdrucks,
V clcher für die Cuspidalcurve verschwindet und in der Grenze
Ixezur Cuspidalcurve conjugirte Entfernung des Punktes von
1 £e8er Curve darstellt. Das Verhältniss zwischen einer belie-
> sgen linearen Verbindung der zweiten Ableitungen und dem
rttmmungsmaasse bleibt im Allgemeinen endlich.

Im Folgenden sind die sich auf die Singularitäten der Wende- und der
entsprechenden (nicht reciproken) Cuspidalcurve beziehenden SStze gegen-
Aliergestellt, wobei unter Osculation eine Berührung zweiter Ordnung, unter

^loer Cuspidalspitze die mittels der Gleichung Um^^Const. definirte Sin-

SolaritSt verstanden wird, unter der ganzen oder gebrochenen Ordnung
einer Berührung ist die Ordnung des unendlich kleinen Winkels gemeint,
welchen zwei aus dem Berührungspunkte der Curve n gezogene, gegen Null
eoDTergirende gleiche Sehnen bilden.

Die Schnittcurve jeder die Doppel-
ttymptote enthaltenden Ebene oscu-
M die Doppelasymptote im Wende-
paukte der Fläche <Z>j •

Der Berührungskegel aus jedem
Punkte einer im Wendepunkte an die
Fliehe 0^ gelegten Tangente osculirt
die Berührungsebene von <Z>| im Wen-
depunkte.

Die Krümmung der Eegel-
berübrungscurve ist für alle
Punkte einer solchenTangente
im Wendepunkte constant, so
d»88 die Punktreihe der Krüm-
mnng8mittelpunkte dem Strahl-
bttschel der Tangenten des Wen-
depunktes projectivisch ist.

Der aus einem beliebigen Punkte
der Cuspidaltangente an (Z>2 gelegte
Berührungskegel besitzt in der ge-
nannten Tangente einen Cuspidal-
strahl.

Jede durch einen Cuspidalpunkt
gelegte Ebene schneidet <P^ in einer
Curve mit Cuspidalpunkt. Die den
letztern enthaltenden Schnitt-
curvenelemente des durch eine
Tangente gelegten Ebenenbü-
schels werden alle durch das-
selbe Element einer Eegel-
fläohe, welcher der Cuspidal-
punkt als Spitze, die Cuspidal-
tangente als Strahl angehört,
von (Z>2 abgewickelt, so dass
die Krümmung dieser Kegel-
elemente (bezüglich die Punkt-
reihe der Krümmungsmittel-
punkte, we\(i\iö öi^ü ^^Vq\W»^xl
der Kege\e\^iii^ii\»^ m'^'^ ^vjivt

156

Beziehungen zwischen den Krümmungen ete.

Jeder Tangente im Wende-
punkte einer Fläche (ausser
der Doppelasymptote) ist also
ein die Doppelasymptote im
Allgemeinen zweipunktig be-
rührendes Curveuelement con-
jugirt.

beliebigen Ebene entsprechen)
zum Strahlbüschel der Tan-
genten im Cuspidalpunkte pro-
jectivisch ist.

JederTangente einer Fläche
im Cuspidalpunkte (ausser der
Cuspidaltangente) ist also ein
die Cuspidaltangente im All-
gemeinen als einfachen Strahl
enthaltend es Kegelelement mit
dem Cuspidalpunkt als Spitze

conjugirt.

Ferner folgt aus dem letzten Satze:

Jedem die Doppelasymptote zweipunktig berührenden Curven-
element erster Ordnung in O^ entspricht ein gegen die Cuspidaltangente
geneigtes Curvenelement unendlich klein zweiter Ordnung in (Pg.

Als specieller Fall ergiebt syich:

Das zur Tangente der Wendecurve
conjugirtc Cnrveneleraent o < c u 1 i r t
die Doppelasymptote.

Für die Erzeugende der die Cus-
pidalcurvti von 0^ abwickelnden FlSche
bildet das conjugirte Kegelelement
längs der Cuspidaltangente einen Cus-
pidal strahl.

Für die Punkte der Doppelasymptote bezüglich der Cuspidaltangente

folgt:

Der aus einem beliebigen
Punkte der Doppclasymptote
an <P| gelegte Berührungskcgel
zer füllt in zwei reelle oder
imaginUre sich osculircnde
Zweige, welche bis auf Grössen
dritter Ordnung das Element
der Wendecurve enthalten und
deren Berührungsrichtungen
auf O^ eine hyperbolische In-
volution bilden, welcher die
Doppelasymptote und die Tan-
gente der Wendecurve alsAsym-
ptoten angehören. Die Doppel-
asymptote wird durch den
Wendepunkt und ihren Schnitt-
puDkt mit der benachbarten

Eine beliebige durch die Cus-
pidaltangente gelegte Ebene
schneidet O^ in der Niihe des
Cuspidalpunktes in zwei reel-
len oder imaginären, sich os-
culirenden Curvenelementen,
welche auf einem Cylinder
liegen, dessen Strahlen mit
der Erzeugenden der die Cuspi-
dalcurve abwickelnden FlSche
parallel laufen. Die zu den
Elementen der Schnittcurven
conjugirten Richtungen (in den
Erzeugenden ihrer Abwicke-
lungsflächen erhalten) bilden
eine hyperbolische Iny ein tion,
deren iLaympVoVi^Ti. ^\^ ^'^v^V

Von Dr. L. Geibrmbbimer.

157

--»■ -•'**■'

^ oppelasymptote in zwei Ab-
cbnitte getrennt, so dass sich
kUB den Punkten des einen nnr
'eelle, aus denen des andern
Abschnittes nur imaginäre Ke-
E^elzweige durch den Wende-
punkt legen lassen.

daltangente und die dem Ele-
ment der Cuspidalcurve con-
jugirte Bichtung sind. Die
Berührungsebene der Fläche
<Z>2 und die Schmiegungsebene
der Cuspidalcurve trennen die
Ebenen, welche die Fläche in
reellen Curvenelementen tref-
fen, von den in imaginären
Zweigen schneidenden.

Demnach entspricht einem gegen die Doppelasjmptote geneigten
Curvenelement in <P| ein die Cuspidaltacgente im Allgemeinen zweipunk-
tig berührendes Curvenelement gleicher Ordnung in ^j.

Für die Grenzpunkte bezüglich Grenzebenen findet man:

Der Tangentialkegel aus einem pa- Die Tangentialebene der Fläche (D^

i^bolischen Punkte der Fläche hat mit im Cuspidalpunkte schneidet die Fläche

deren Berührungsebene längs der Dop-
pelasymptote eine Berührung dritter
Ordnung. Seine Berührungscurve mit
<fer Fläche O^ bildet längs der Dop-
P^kifljmptote einen Cuspidalpunkt in

•

^^Qem nicht ebenen Elemente.

Die Gleichung dieses Eegelelements
^^"tet unter Anwendung der für O^
^lier gebrauchten Bezeichnungen:

Die Berührungscurve des aus dem

^ ^mittpunkte zweier sich folgenden

ppelasjmptoten an die Fläche <P|

legten Tangentialkegels bildet längs

Wendecurve eine nicht in der

'^"^eiie liegende Cuspidalspitze. Die

^^^den Zweige des Berührungskegels,

^^Btten Krümmung sich wieder durch

bis auf Grössen höherer als zweiter

fdnong von x in ihn fallende Ele-

^^^«nt der Wendecurve ergifebt, be-

^~^^W sich längs der als singulärer

^^ enthaltenen Boppelasymptote

*"*flft höherer (gebrochener) Ordnung.

in einer Curve, welche den Cuspidal-
punkt und die Cuspidaltangente als
singulare Elemente enthält. Die Ab-
wickelungsfläche dieses Schnittes be-
rührt längs der Cuspidaltangente die
Berührungsebene der Fläche in einem
Cuspidalstrahl.

Die Gleichung dieser Curve in der
Nähe des Cuspidalpunktes lautet nach
den auf S. 154 angewendeten Be-
zeichnungen y

Die Schmiegungsebene der Cus-
pidalcurve schneidet die Fläche O^ in
einer Curve, welche in der Nähe des
Cuspidalpunktes in zwei die Cuspidal-
curve osculirende Zweige zerfällt, die
sich in dem der Schnittcurve als sin-
gulärer Punkt angehörigen Cuspidal-
punkte nach höherer (gebrochener)
Ordnung berühren. Ihre Abwicke-
lungsfläche osculirt die der Cuspidal-
curve längs der Erzeugenden (der
r-Axe).

158 Beziehungen zw. d, Krümmungen etc. Von Dr. L. Geisenheimbr.

Die ächnittcurre dieses Kegelele-
ments mit der XZ- Ebene besitzt die

Gleichung:

r . . Oonst.r

z^^^ +

:V,

WO

V

Die Gleichung dieser SchnittcurTe
heisst:

Sowohl aus dieser Gleichung wie aus
der Betrachtung der Figur folgt, dass
beide Zweige der Schnittcurve, ent-
sprechend den beiden Zweigen des
nebenstehend erwähnten reciproken
Kegels , im Cuspidalpunkte abbrechen.
Endlich ergeben sich noch die Sätze:
Die Tangentialebene des parabo- Der von einem Cuspidalpunkte an

lischen Punktes schneidet die Fläche die Fläche O^ 8^^8^ Tangentialkegel
<P| in einer die Doppelasymptote be- osculirt die Berührungsebene dieses
rührenden Cuspidalspitze. Punktes längs der Cuspidaltangente.

« = — > Const
u

vn.

Ueber einige Flächen, welche Schaaren von Kegel-
schnitten enthalten.

Von

Dr. A. Weiler

In Hottingen- Zürich.

1. Bringt man die Flächen zweiten Grades eines einstufigen Systems
in Zuordnung mit den Ebenen einer Torse und schneidet man die entspre-
chenden Flächen und Ebenen, so entsteht eine Schaar von Kegelschnitten
und als deren Gesammtheit eine Fläche Sind die Ebenen der Torse n^*'
Classe und die Flächen des Systems, von denen je |li durch einen Punkt
gehen, je v eine Ebene berühren, [1,1] -deutig aufeinander bezogen, so
ist die Fläche der Kegelschnittschaar von der Ordnung 2n + fjL.
Die Anzahl der Geradenpaare der Kegelschnittschaar ist gleich derjeni-
gen der Ebenen der Torse, welche ihre entsprechenden Flächen berühren.
Eine Ebene E der Torse berührt v Flächen F des Systems, denen v Ebenen
E' der Torse entsprechen. Umgekehrt entspricht der Ebene E' eine Fläche F,
an welche 2n Ebenen E der Torse gelegt werden können. Die ;, berühren-
den" Ebenen E und die ^entsprechenden*' Ebenen E' sind somit in [2n, v|-
deutiger Beziehung; es sind 2 n-f-v Ebenen, welche die ihnen entsprechen
den Flächen berühren, und die Kegelschnittschaar enthält somit
2#i+v Paare von Geraden. — Ist im Falle der Berührung F eine
Kegelfläche, so vereinigen sich die Geraden des Paares und man erhält auf
der erzeugten Fläche eine Gerade mit stationärer Tangentialebene.
Das Nämliche wird eintreten, wenn F in ein Ebenenpaar ausartet und die
^tsprechende Ebene E durch die Schnittlinie geht, oder wenn F zu einer
l^oppelebene wird. — Wenn eine Fläche F in zwei Ebenen E^, E, zerfällt
ud ihr in der Torse die eine dieser Ebenen, E^, entspricht, so erniedrigt
^ die Ordnung der entstehenden Fläche um 1 und^ die Zahl der Geraden-
1**^ in der Kegelschnittschaar um 2 ; Ej berührt die entsprechende Fläche
^pelt and giebt bei der Bestimmung der Geradenpaare eine doppelte (weg-
tuende) Coincidenz.

Wenn eine Cnrve c allen Flächen des Systems gemeinsam ist, so muss
^ eine n-fache Curve der entstehenden Fläche F^''^^ sein. Denn duroh
^^'^ Punkt P anf e gehen n Ebenen E^, . • ., ^n ^^^ ToiBe^ dAnesi 1^7
^^ ^, ..., Ä des SjTBtems entsprechen; darch P gekM

160 üeber einige Flächen, welche Schaaren v. Eegelschn. enthalten.

schnitte E^F], ..., EaF«, und keine anderen. Legt man in P an c und an
£|F| die Tangenten, so bestimmen beide zusammen eine Tangentialebene
an F'^^^ in P. Diese stimmt überein mit der Tangentialebene in P an
F<, d. h.: die n Mäntel der Fläche F^"+a* in einem Punkte P der
n-fachcn Curye c berühren die n Flächen zweiter Ordnung,
welche den durch P gehenden Ebenen der T.orse entsprechen.
— So oft dieser Punkt P von c auf der durch die Torse gebildeten deve-
loppabeln Fläche liegt, fallen zwei dieser Tangentialebenen zusammen und
P wird zu einem Pinchpunkt (hierbei abgesehen von den n — 2 übrigen,
durch P gehenden Mänteln). Ist c jener developpabeln Fläche aufgeschrie-
ben, so ist sie eine Rückkehrcurve der erzeugten, Fläche.

2. Zu den hier erzeugten Flächen gehören immer die F'"+^ welche
eine n- fache Curve vierter Ordnung erster Species, c^, haben. Jede Fl&che
zweiter Ordnung F durch c^ schneidet aus F^""^^ ausser d^ einen Kegelschnitt
heraus; hierdurch wird jeder Fläche F eine Ebene E zugeordnet, die anch
jenen Kegelschnitt enthält. Die Torse jener Ebenen muss von der n**'* Classe
sein, ihr Geschlecht ist gleich 0.

Für diese Fläche ergeben sich unmittelbar folgende Eigenschaften. Weil
durch einen Punkt -im Räume nur eine Fläche des Büschels geht, so geht
durch jeden Punkt auf F^''+* nur ein Kegelschnitt der Schaar, durch einen
Punkt auf c^ deren n. Weil die von der Torse eingehüllte Developpable
von der Ordnung 2(n — 1) ist, so liegen auf (^ im Ganzen 8(n— 1) Pinch-
punkte. Die Kegelschnittschaar enthält 2n + 3 Geradenpaare, von denen
höchstens vier aus coincidirenden Geraden bestehen können. Jeder Kegel-
schnitt der Schaar trifft c^ in vier Punkten, jede Gerade in zweien. Eine
beliebige Ebene der Torse schneidet F^""^^ in einem Kegelschnitt c* und in
einer Curve 0^""^ Beide schneiden sich in vier Punkten auf c^, welche
n — 1- fache von c^*— * sind. Von sämmtlichen Schnittpunkten beider Cur-
ven sind ausser jenen vier nur noch zwei einfache , welche Berührungspunkte
jener Ebene mit F^'>+^ sind. Die Ebenen der Torse sind also doppelte,
die der 2n + 3 zerfallenden Kegelschnitte dreifache Tangentialebenen von

Längs c^ hat F^"+^ eine umschriebene Developpable, deren Classe be-
stimmt werden soll; wir untersuchen, wieviele ihrer Ebenen durch einen
Punkt 0 des Raumes gehen. Sei P ein Punkt auf c^; die Gerade OP wird
in P von einer Fläche F des Büschels berührt, dieser entspricht eine Ebene
E der Torse, welche c^ in vier Punkten P' schneidet Fällt einer diese^
Punkte P' nach P, so erhält man jedesmal eine Ebene der gesuchten De-
veloppabeln. Zu P' gehören nun n Ebenen E der Torse, denen n Flächen
F entsprechen, an welche aus 0 im Ganzen 4n, sie^an c^ (in Punkten P)
berührende Linien gehen. Die Beziehung der Punkte P, P' ist also [4fi| 4]-
deutig, woraus folgtj dass die der F'"+^ längs c^ umschriebene
-Developp&ble von der 4(ft + !)*•** Ülaa^e Ut.

Von Dr. A. Weiler. 161

Jede Gerade, welche (^ zweimal schneidet, trifft F^^^* noch einmal.
Dmher sind die Punkte der Fläche eindeutig auf die Strahlen der Congruenz
der Secanien yon c^ bezogen, also im Allgemeinen auf eine Congruenz
zweiter Ordnung sechster Classe.

Fflr n = l entsteht eine Fläche dritter Ordnung F^; die Torse ist jetzt
ein Ebenenbüscbel. Wenn seine Axe a die Grundcurve c^ des Flächen-
bOBchelfl schneidet, so ist der Schnittpunkt beider ein Doppelpunkt von F^,
die Seiten des zugehörigen Berührungskegels ergeben sich sehr einfach als
SchnitÜinien projectiver Ebenenbüscbel. Sind diese Ebenenbüscbel in per-
specÜTer Zuordnung, so wird der Knoten biplanar u. s. f. umgekehrt führt
jeder Bfischel von Flächen zweiter Ordnung, dessen Grundcurve eine c^ auf
F* ist, auf eine Schaar von Kegelschnitten, deren Ebenen einen Büschel bilden.

Für n = 2 entsteht eine Fläche F*, auf welcher nach Clebsch^ 64
nicht zu der Schaar gehörende Kegelschnitte liegen. Diese Fläche entsteht
dadurch, dass man die Flächen zweiter Ordnung eines Büschels in projec-
tivische Zuordnung bringt mit den Ebenen eines Kegels zweiter Classe. Unter
den sehr zahlreichen Specialfällen soll hier nur einer näher betrachtet wer-
den: Wir setzen voraus, der Kegel zweiter Classe K^ sei ein
doppelt projicirender Kegel der Grundcurve c* des Flächen-
bllschels. Aus Nr. 1 folgt, dass jetzt c^ eine Rückkehrcurve von F^
ist In bekannter Weise findet man: Die Torse der Tangentialebe-
nen anF^längs c^ ist von der sechsten Classe, sie besitzteine
Doppelcurve dritter Classe mit Doppeltangente (weil sie vom
Geschlecht 0 sein muss). Die Ebene S der Doppelcurve ist diejenige , welche
der Spitze 8 des Kegels K' mit Bezug auf c* und mit Bezug auf alle Flä>
chen des Büschels conjugirt ist.

Es sei E die Tangentialebene von K' längs der Seite e, e schneide (^
in zwei Punkten JE7|, JE^^, in denen fj, i^ die Tangenten an (f" sein mögen.
Die der Ebene E entsprechende Fläche F schneidet E in einem Kegelschnitte
^ der Schaar, welcher i^^ t^ in E^, E^ berührt Daraus folgt, dass zwei
Punkte auf e*, welche auf einem Strahl aus 8 liegen, durch 8 und S har-
monisch getrennt sind. Und weil durch jeden Punkt auf F^ ein Kegel-
schnitt 6* geht, welcher stets einen vierten harmonischen mit Bezug auf i$, S
liefert I welcher mit jenem auf einem Strahl aus 8 liegt, so folgt: Die
Flftche F^ entspricht sich selbst in einer involutorischen cen-
trischen Collineation, deren Centrum die Kegelspitze 8 und
deren Ebene S die gemeinsame Polarebene von 8 für alle Flä-
chen des Büschels ist.

Die Ebene E hat ausser e^ mit F*** noch eine Curve e^ gemeiü Die-
selbe ergiebt sich wie folgt. Die Flächen des Büschels schneiden E in

* Oötünger Nachrichten 1869; Abhandlungen der königl. Ges. zu QOttingen,
XV, 1870. — Not her, Ueber Flächen, welche Schaaren TaUouaXex C\xxN^\i\^^%^^Tk.\
Malb. Aaiuüea JU, 8. 98.

XtUmhiin tMmtbammUk n. Pbjtik XXX, S. W

162 üeber einige Flächen, welche Schaaren v. Kegelschn. enthalten.

Kegelschnitten c^, welche in E^, E^^ die Linien t^, t^ berühren. Die ent-
sprechenden Ebenen von K^ schneiden E in Geraden g aas 8, die Kegel-
schnitte (? und diese Geraden g bilden zwei projective Büschel, wobei er-
sichtlich dem früher genannten Kegelschnitte e* die Linie e=^E^JE1^8 ent-
spricht. Die Schnittpunkte g (? bilden nun in ihrer Gesammtheit eine Curve
dritter Ordnung c^, welche in S einen Wendepunkt hat. Sie geht durch
die Grundpunkte des KegelschnittbiLschels, berührt also i^^ t^ in £|, i^.
Mit c* hat sie E^ und E^ doppelt zählend und die beiden Punkte gi? ge-
mein. Für den Kegelschnitt e' des Büschels föllt ^ in 6, die Punkte ^c*
fallen hier nach E^^ E^, Hieraus folgt , dass ^ mit e^ in den beiden Punk-
ten JE7^, E^ je drei gemeinsame Punkte hat, dass also e^ und e* sich in £,9
E^ berühren und schneiden.* Wenn somit in einer Ebene E der Kegel-
schnitt e^ der Schaar zu einem Geradenpaare wird, so sind diese Geraden
in E^, E^ Wendetangenten an e^.

unter allen Ebenen E des Kegels ist diejenige ausgezeichnet, welche
dem Kegel K^ als Fläche des Büschels betrachtet, entspricht. Li ihr zer-
fällt e* in ein coincidirendes Linienpaar, e doppelt gezählt. Hieraus folgte
dass die in dieser Ebene gelegene c^ in E^, E^ Wendetangenten hat, welche
mit e = EiE^ zusammenfallen. Also ist jetzt e ein Bestandtheil von e*,**
der Rest ist ein Kegelschnitt f^ auf F^, welcher der Schaar
nicht angehört. Er geht durch E^, E^ und lUsst sich construiren, wie
früher e* construirt wurde. Auch die Punkte von f* (wie früher von c*)
sind durch 58 paarweise harmonisch getrennt. Durch Einführung von f*
ergiebt sich sofort folgende Erzeugungs weise der Kegelschnittschaar aufF':
Eine Curve vierter Ordnung erster Species, c*, hat einen dop-
pelt projicirenden Kegel K' von der Spitze /S, deren conjugirte
Ebene nach c^ S sein soll. In einer festen Ebene von K* liegt
ein Kegelschnitt /*^, welcher c* in zwei Punkten schneidet und
für welchen die Polare von iS in S fällt. Nun lege man alle
Ebenen an K* und construire in jeder von ihnen den Kegel-
schnitty welcher c^ doppelt berührt und f* (in zwei Punkten)
schneidet. Diese Kegelschnitte sind die auf F^ gelegene

•
'^ Hat allgemein eine Fläche F eine Rückkehrcurve c und längs derselben

eine berührende developpable Fläche D, so schneidet eine Ebene durch eine Tan-
gente < an c auB F daselbst zwei Aeste, die sich berühren und schneiden. Die
Berührung beider Aeste folgt aus der Berührung mit t. Beide schneiden dchf
denn wenn man auf dem äussern Mantel der Fläche F längs der Tangente t über
den Berührungspunkt hinwcgschreitet, so gelangt man auf den innem Mantel,
weil innerer und äusserer Mantel längs c zusammenhängen.

** Diese ausgezeichneten Elemente E, e liefern für beliebige Querschnitte von

F^ je einen Wendepunkt mit seiner Tangente und speciell E für die od* Corven e*

je die Wendetangente in S» Die Schaar der Curven ^ entsteht ähnlich der

Schaar der Curven e* durch einen Büschel von Flächen dritter Ordnung in pro-

Jectiver Zuordnung mit den Ebenen von K.

Von Dr. A. Weilhk,

Sfliiar. Der Kegelscboitt der Schaar wird bei seiner Bewegung zweimal
f bMöhren , viermal mit e* vier oonsecuti?e Punkte gemein haben und vier-
einem Oeradenpaar werden, einmal zu einer Doppelgeraden,

3. Ea sei wieder ein Bilst^hel von FlUchen zweiten Grades mit den
Ebenen einer Torse «*" Clasae in projectives EntBprechen gebracht Jedoch
•oii im BOschel eine in zwei Ebenen P, Q nerfallendi? Flttche vorkommen,
«dcber die eine ihrer Ebenen, P. entepreche. Abgesehen von P entsteht
«!i Eneugniss eine Fläche 2«"™ Ordnung F'". In den Ebenen P, Q seien
y. j" die Grundcurven des Fl liehen b Uschel s . sie sind auf F'" bezüglich
■ -1 -fache und «-fache Curve. Die Fläche ist die allgemeinste dieser
Alt LSngs p*, if besitzt sie berührende Developpabeln von der Classe 2»,
21« + !), auf p*. <i* liegen 4{m-2). 4(»i-1) Pinchpnnkte. Die Kegel-
ichiiitle der Schaar Hchneiden p*. ry* je in zwei Punkten, unter ihnen sind
U • i^eradenpoare , jede Gerade trifft p^ und q*. Die F''" wird von der Schaar
emfacli Überdeckt. — Die Punkte der Fläche sind umkehrbar eindeutig be-
ngni anf die Strahlen der Congmenz zweiter Ordnung vierter Ulasse der
Treffgeniden von p*, q*.

Eine solche Flache ist die FUche vierter Ordnung mltDoppel-
k(g«ltichnitL Jede Doppel tangential ebene schneidet aus ihr zwei Kegel-
«bitte H, f. Zwei Schnittpunkte h*, P liegen auf dem doppelten Kegel-
riniitte c*. die Übrigen eind die Berührungspunkte der Ebene, Aus fc*. P
luKD sich *wei Schaaren von Kegelschnitten herleiten , welche aus F* durch
IbfaeDbDtichel herauagestihnitten werden mit c*. k^; c*, P ak Grundcurven.
Vit FlAcbcn durch c* und k' schneiden F* tu Kegelschnitten der Schaar,
in irelcher P gehört; in der Tliat wird P durch die Fläche herausgeschnit-
tai, welche in die beiden Ebenen von c* und A» zerfallt: Je zwei Kegel-
schnitte (eventuell Geradenpaare) der beiden adjungirten Schaaren
b»geii mit dem Doppelkegelachnitt auf einer Fläche zweiten
Hildes. Hierbei kommt es x'-mal vor, dass zwei adjungirt« Kegel sc bnitte
V «iacr Ebene liegen, und die Enveloppe solcher Ebenen ist ein Kummer-
•ti«r Kegel. Die letzteren Kegelschnittpaare haben allemal zwei Schnilt-
Rnkte auf <r*. die anderen liegen auf der Berührungslinie ihrer Ebene mit
*6iii Kegel, weshalb dieser Kegel die F* ISngs einer Curve vierter Ordnung
fottr Speciea berührt. Anf c' sind vier Pinchpnnkte, nämlich die Schnitt-
piBkte mit dem genannten Kegel. — Jede KegelschnittecbaAr enthält vier
^tn von Geraden. Ein Gemdenpaar wird von den vier Oei'adenpaaren
•^ vidern Schaar geschnitten. Daraus folgt, dass eine der 16 Oer«deu
ulimtl von 5 anderen geschnillen wird,

Kach Knmmer hat die Fläche fünf Kegel doppelt berührender Ebenen,*
»1 jedem gehören (oo'-mal) zwei Büschel von Flächen zweiter Ordnung,

* Vetgl. Zeuthen, Math. Annal. K, S. 610. - Folgende BetraoUtunft ßüat
"f«t tat dai VorbandflDBei/i rfer fünf fiegel. Eine Kege\6chiüttaii\iBa,i 'ßa.^ «m»
• •*i^prte", weil die Ordaang der Fläche gleich 4 ist; jede gc'baa.'c Vft-X. V

164 üeber einige Flächen, welche Schaaren y. Kegelschn. enthalten.

welche mit den Ebenen de» Kegels in bekannter Weise die Flüche erzengen.*
Alle diese Kegel gehen durch die Pinchpunkte, weshalb z. B. die 16
Schnittpunkte der Geraden auf der Fläche mit c* auf fünf Arten zu je zwei
verbunden acht Tangenten eines durch die Pinchpunkte gehenden Kegel-
schnittes liefern.

Die Punkte der Fläche lassen sich hier ausnahmsweise eindeutig be-
ziehen auf die Strahlen einer Congruenz erster Ordnung zweiter Classe,
deren Brenncurven der doppelte Kegelschnitt und eine Grerade der Flftche sind.

Wenn speciell die Spitze eines Kummer^achen Kegels io
die Ebene von c^ fällt (was höchstens dreimal eintreten kann) , so wird
einer der vorhin genannten fünf Kegelschnitte zu einem Doppelbüschel , die
16 Schnittpunkte der Geraden auf F^ mit c^ und die -Pinchpunkte bilden
alsdann zehn Paare einer Involution und umgekehrt. (Die beiden a^jnngir-
ten Kegelschnittschaaren , welche zu diesem ausgezeichneten Kegel gehören,
schneiden c^ in Paaren der genannten Involution.) Wie in Nr. 2, folgt,
dass in diesem Falle F^ sich selbst entspricht in einer invo-
lutorischen, ceutrischen Collineation, deren Centrum die
Spitze jenes ausgezeichneten Kegels ist.

Zurückkommend auf eine beliebige F^ mit Doppelkegelschnitt, mag
noch bemerkt werden, dass jede Kegelschnittschaar die Fläche einfach über-
deckt, dass aber der doppelte Kegelschnitt keiner Schaar angehört. — Wenn
ein Kegelschnitt einer Schaar in zwei coincidirende Gerade ausartet, so be-
rühren alle adjungirten Kegelschnitte die zu der Geraden gehörende statio-
näre Ebene an der Geraden selbst, die Geradenpaare in der adjungirten
Schaar schneiden sich auf dieser Geraden.

4. Wenn im Flächenbüschel zwei in Ebenenpaare zerfallende Flächen
vorkommen, so ist seine Grundcurve ein windschiefes Vierseit Den in die
Ebenenpaare A , B ; C, D zerfallenden Flächen sollen in der Torse die Ebenen
B und D entsprechen, so besteht das eigentliche Erzeugniss aus einer F'"''^
welche die Gerade AC zur n- fachen, die Geraden AD und BC zu n — l-
fachen, endlich BD zur n — 2 -fachen Geraden hat. Deshalb lassen sich die

radeupaare, beide Kusammen ergeben die 16 Geraden der Fläche. Da jede Gerade
von fünf anderen geechuitten wird, so hat man 40 Schnittpunkte oder 40 sich
schneidende Geradenpaare im Ganzen. Je zwei sich schneidende Geraden führen
aber auf eine Kegelechnittschaar, mit Hilfe der Flächen durch sie und den doppel-
ten Kegelschnitt. So erhält man 40 Schaaren von Kegelschnitten, jede Schaar
aber viermal , weil in jeder Schaar vier sich schneidende Geradenpaare sind. Also
giebt f'B zehn Schaaren rcsp fünf adjungirte Schaaren und dazu gehörend fünf
Kummer 'sehe Kegel.

* Der Querschnitt der Flfichc mit einer Ebene des Kegels wird gefunden wie

in Nr. 2; er besteht aus zwei Kegelschnitten, von denen zwei Schnittpunkte in der

Berührungsseite der Ebene mit dem Kegel liegen ; die übrigen fallen in den Dop-

pelkeg'elBchDitt (Von den ersteren Schnittpunkten liegen auf jeder

£wej, keiner von allen fällt in die Kef^elspltze.^

Von Dr. A. Wbiler. 165

Punkte der FISche xunkehrbar eindeutig beziehen auf die Strahlen der linearen
Congmenzen mit den Directricen AC und BD oder AD und BC. Die
Kegelschnitte der Schaar treffen im Allgemeinen alle Seiten des Vierseits
(ftlr » = 1 nur A C , für n = 2 alle ausser B D , auf welcher alsdann die
Kegelspitze S liegt); unter ihnen sind 2n — 3 Geradenpaare. — Die Deve-
loppabeln von F'""* längs AC, AB und BC, BD sind bezüglich von der
Classe 11+ ly M) n—l\ auf diesen Geraden sind bezüglich 2 n — 2, 2n — 4,
2 «^6 Pinchpunkte. — Fli&chen zweiter Ordnung durch drei und Flächen
dritter Ordnung durch die vier mehrfachen Geraden ergeben mit F'"'^
bemerkenswerthe Schnittcurven.

5. Der Büschel von Flächen zweiten Grades enthalte eine Doppelebene
P, welche der Torse n^^ Classe angehören und sich selbst entsprechen soll.
Das Erzeugniss ist eine F^", welche die in P gelegene Grundcurve p* des
Bfisehek zur n- fachen Curve hat. (Wir betrachten hier im Vergleich zu
Nr. 3 den zweiten Fall, dass sich gegenüber Nr. 2 von F''>+^ eine Ebene
absondert; dieser Fall ist allerdings als ein specieller von Nr. 3 aufzufassen,
wenn nämlich dort P und Q zusanmienfallen. Die Veränderungen gegen-
über Nr. 3 sind aber so intensiv, dass eine besondere Behandlung des vor-
liegenden Falles berechtigt erscheint) Durch einen Punkt Q auf p^ gehen
« — 1 von P verschiedene Ebenen der Torse; die Tangentialebenen in Q an
die n — 1 entsprechenden Flächen fallen zusammen : Der Kegel, welcher
Ungs j>* alle Flächen berührt, ist n-l-fach gezählt für F*,"
eine längs p* umschriebene Developpable. Ausser demselben
existirt aber noch ein einfach zählender Kegel zweiter Classe
darefa p\ welcher ebenfalls zu dieser Developpabeln gehört.
Nämlich es entspricht der P consecutiven Ebene der Torse ein Kegelschnitt,
welcher durch diese Ebene aus einer unendlich schmal gewordenen Fläche
des Büschels herausgeschnitten wird. Dieser Kegelschnitt ist j>* unendlich
benachbart, er trifft jn^ in zwei Punkten und bestimmt mit p^ einen Kegel,
welcher in der Nähe von p* einen einzelnen Mantel der Fläche F^" dar-
stellt. (Man erkennt, dass nunmehr p* der Kegelschnittschaar angehört.)
Der n — 1 - fache und der einfache Mantel an p^ berühren sich in zwei Punk-
ten, welche auf der zu P gehörenden Berührungsseite der Torse liegen. Es
kann der Fall eintreten, dass die beiden betrachteten Kegel zusammenfallen.
Alsdann gehen durch p' n— 1 Mäntel der Fläche, welche an p* denselben
Kegel berühren; zudem ist p^ eine Bückkehrcurve von F^".

In der Kegelschnittschaar sind 2n Geradenpaare. Jede Gerade berührt
in ihrem Schnittpunkte mit p' den n — 1-fach berührenden Kegel der
Fläche.

Die analytische Darstellung des allgemeinen Falles ist hier fol-
gende. Der Fläohenbüschel sei dargestellt durch

V i^-p«=:0,

166 üeber einige Flächen, welche Schaaren v. Kegelsohn, enthalten.

wo 9 = 0 eine beliebige Flftohe des Büschels, j> = 0 die Ebene P ist Die Tone
n^^ Classe soll fOr Xc=0 die Ebene |) = 0 liefern, ihre Gleichung sei demnach

2) V'a + X'"'n+... + m + ll+p^O,

worin a, ..., l lineare Aasdrücke sind. Die Gleichung von F'* ist

3) ap'— * + Jj)'— » 9 + . . . + A;i)V""* + il>9"""* + y* = 0.

Längs !>* {p = q) = 0) wird F*" von q> = 0 berührt, resp. w — 1 Män-
tel von F'" berühren dort g> = 0. Um den letzten Mantel zu finden, setze
man in 1) und 2) an Stelle von l einen unendlich kleinen Werth dlj so
entsteht der Kegelschnitt der Schaar

welcher p^ unendlich benachbart ist. Darch ihn und durch p' geht die
Fläche zweiter Ordnung 9> + 2l> = 0, welche g) = 0 nicht längs p^ berührt;
dagegen berührt sie F*" längs p^ einfach. [Lässt man in 3) g) und p zu
Null werden, so bleiben als niedrigste Glieder Zp9"~* + 9>" = 9*"H'P+v)
übrig.] Der n—1- fache Mantel (^ = 0) und der einfache (g> + lp^=0) be-
rühren sich in den singulären Punkten g)=/> = { = 0 und beide Mftntel
sind identisch , wenn 1 = 0 mit p=^0 zusammenfllllt.

Für n = 2 erhält man wieder eine Fläche vierter Ordnung mit
Doppelkegelschnitt, auf welcher zunächst eine Kegelschnittschaar liegt

4) i<p-i)« = 0, k^a + 2Xb+p = 0]
die Gleichung der Fläche ist

5) ap^ + 2hpg> + (p^== ap^ + q>((p+2hp)^0.

Zu der Schaar 4) giebt es eine adjungirte, welche man erhält, wenn
man 5) mit der Ebene in 4) schneidet und den Schnitt mit i^— ji'ssO
weglässt. Diese adjungirte Schaar ist

6) it(9 + 2Ji))+p« = 0, jL^a+2kh+p=^0.

Offenbar wird F* längs p^ von 9 = 0 und von g) + 26|> = 0 berührt:
Die Developpable längs der Doppelcurve zerfällt hier in zwei
Kegel zweiter Classe. Beide berühren sich in zwei Punkten {apssh
s=ip = 0)^ in welchen je zwei Pinchpunkte sich vereinigt haben. — Die
beiden Kegelschnittschaaren haben p' gemeinsam und durchschneiden sich
in demselben (für die übrigen Schaaren ist dieses natürlich nicht der Fall).

Die Ebenen X^a + 2kb+p = 0 umhüllen einen Kummer*schen Kegd,
dessen Spitze in der Ebene der Doppelcurve liegt, als Folge davon, dass
die Developpable längs p* zerföUt. Wenn umgekehrt die Kegelschnitte von
zwei a^ungirten Schaaren auf F^ den doppelten Kegelschnitt j^ in Paaren
einer Involution schneiden und die Pinchpunkte sich paarweise so vereinigen,
dass ein Paar derselben Involution entsteht, so muss die Developpable Hags
p^ in zwei Kegel zerfallen.

Damit endlich die F^ längs jp* berührenden Kegel znaammenfiedleDi hait
loaa d=p zu setzen. Die Gleichung dor Wteih» vnxd vql

Von Dr. A. Weiler. 167

de enthSlt die Eegelschnittschaaren
8) il9-|)« = 0, l^a + 2jLp+p = 0, i(g) + 2i)»)+i)« = 0.

Die Flächen zweiter Ordnung in 8) gehören demselben Büschel an,
indem alle ^ = 0 an j> = 0 berühren. Die Torse der Ebenen k^a + 2kh
j-p^O wird zu einem Ebenenbüschel. Dieser Büschel erscheint zweimal
mit dem FlSchenbüschel in solche Zuordnung gebracht, dass je einer Ebene
ein FlSchenpaar, einer Fläche eine einzelne Ebene entspricht und wobei die
FlSchenpaare eine Involution bilden. Diese Involution ist beidemal dieselbe,
wen in einer Ebene des Büschels nur zwei Kegelschnitte von F^ liegen.
Man kann deshalb die Gleichungen 8) auf eine andere Form bringen, indem
nun eine Ebene des Büschels mit ga+p^O (an Stelle von X*a + 2kp'{-p
^0) bezeichnet. Alsdann gehen 8) übereinstimmend über in

9) pa+l> = 0, \Q + yQ{l + Q)\g>-p^-=0.

Offenbar handelt es sich jetzt um eine Fläche vierter Ordnung
initCuspidalkegelschnitt. Gegenüber F^ mit Doppelkegelschnitt ist hier
<&e Erzeugnngsweise ausgeartet. An Stelle der Ebenen des ausgezeichneten
^gels treten die Ebenen eines Büschels ; die getrennten Flächenbüschel sind
^'e zu Paaren einer Involution geordneten Flächen, welche sich (und F^)
^^Hgs des Cuspidalkegelschnittes berühren. In der Ebene des Cuspidalkegel-
^Imittes fällt eine Ebene zusammen mit dem entsprechenden Flächenpaar.
'i^ jeder Ebene des Büschels liegen zwei Kegelschnitte von ¥\ heraus-
^*^8chnitten aus dem der Ebene entsprechenden Flächenpaar. Diese Kegel-
schnitte berühren sich in den Schnittpunkten der Axe des Ebenenbüschels
it dem Guspidalkegelschnitt, welche infolge dessen Ciospunkte sind. Die
xe liefert für beide Kegelschnitte denselben Pol und der Ort dieser Pole
^t die Schnittlinie der Tangentialebenen an F^ in den Ciospunkten, nennen
'^ir sie die ;,Conjugirte der Axe*'. Wenn somit ein Kegelschnitt der (In-
^^ktions-) Schaar zu einem Paar von Geraden wird, so schneiden sich die-
^tlben aof der Coig'ugirten der Axe. — Es mag hier im Voraus zusammen-
fiiiend gesagt sein, dass die Involutionsschaar, welche die Stelle von zwei
^^jongirten Schaaren vertritt, folgende ausgezeichneten Kegelschnitte ent-
liilt: 1./^; 2. ein Kegelschnitt, der mit dem in seiner Ebene liegenden zu-
•unmenfllU, weil in der Involution von Flächen noch eine selbstentspre-
<hende Fliohe vorkommt; 3. vier Geradenpaare; 4. drei Kegelschnitte, in
^Mun jedes Mal F^ von einem Kegel zweiter Classe berührt wird, dessen
Uwitd auf der Conjugirten der Axe liegt. — Aus dem Vorstehenden geht
^ hervor, dass die Fläche mit sich selbst in involntorischer Centralcol-
^>Mtian tteht für jeden Punkt der Axe (wobei die
A Co^fagiHe der Axe geht) und fVa jeden Funkt «of te

VIIL

Ueber Flachen vierter Ordnung mit Doppel- und

mit Cuspidalkegelsohnitt

Von

Dr. A. Weiler

in Hotiingen-Zflrioh.

Hierzu Taf. V Fig. 2.

In dem vorangegangenen Aufsätze habe ich auf eine methodische ün
tersuchung der obgenannten Flächen hingewiesen, welche hier näher
gefOhrt und ergänzt werden soll. Ich beschränke mich im Wesentlichec
auf drei Hauptfälle, nämlich auf die allgemeine Fläche mit Doppelkegel
schnitt, mit Cuspidalkegelsohnitt und den Specialfall der letzteren Fläche,
in welchem die Ciospunkte zusanmienfallen. Die Untersuchung fördert einige
neuo Besultate zu Tage und setzt bereits bekannte Eigenschaften in leicbt
übersehbaren Zusammenhang. — Specialfälle der drei genannten Typen wer-
den gelegentlich berührt. Allerdings ist die angewandte Methode derart»
dass aus ihr alle Specialfälle entspringen würden; aber eine solche Durch-
führung wäre augenscheinlich mühsam und es würden in den meiisten Fällen
verschiedene Dispositionen bezüglich der erzeugenden projectiven Gebilde auf
nicht von einander verschiedene Flächen führen. Eine systematische Clas-
sification dieser Flächen ist übrigens soeben durch Herrn Segre ausgeführt
worden,* seine Methode giebt weiterhin das Mittel, die Frage nach der
Realität dieser Gebilde zu erledigen.

1. Ueber die Fläche vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt
habe ich unter Anderem folgende Eigenschaften angegeben. Die Fläche
wird von jeder Kegelschnittschaar einfach überdeckt, somit haben im All-
gemeinen zwei Kegelschnitte derselben Schaar keinen Punkt gemein. Zwei
Kegelschnitte, welche einer Schaar und ihrer a^jungirten entnommen sind,
schneiden sich stets in zwei Punkten, deren Verbindungslinie durch den
Scheitel 8 des zugehörenden Kummer^schen Kegels K^ geht. Liegen sie

* Matbem. Annalen XXIV, 8. 318, woBe\V)«t evue ^oW^t&adi^ Literatorangabe
za ßaden ißt.

üeber Flächen 4. Onlnung etc. Von T)r. A. WEltElt. 171

xadaa io einer Ebene, so schneiden sie sich in vier Punkten, Zwui davon
tiegea auf dem Doppelkegelscbnitte c*, die übrigen auf der BerUhrungsseit«
g iitrer Ebene £ mit dem Kegel K*. AIeo wird ein Kegelschnitt von allen
Kegelschnitten der adjungirten Scliaar in Punktepaaren einer Involution
g^reehnitten, deren Pol in S fiUlt. — Durch einen beliebigen Pankt auf
uxx^erer Pl&che F* gehen zehn Kegelschnitte , nSoilich fünfmal je zwei ad-
j-KUOgirte, welche alch nochmals in einem Punkte treffen. Andere Kegol-
sdinitte unter dieiiou zehn gelangen nicht fernerhin zum Schnitt. Zwei
ICegelschnitte , welche verschiedenen, aber nicht adjungirten Schaaren zuge-
faGreo, haben stets einen Pnnkt gemein.

Es seien nun a,. a^ in der Ebene A, &,, 6^ in B, c,, c^ in C drei

Gersdenpaare der ersten Kegel sehn ittschaar I, so acbneiden sich Ä, B. C

vn S|; alte Kegelschnitte der adjungirten Schaar /* liegen in Ebenen aus

S, nnd schneiden die sechs Geraden Oi, bj, Cj*. Hierdnrch ist die Schaar

r* tüllig bestimmt und es ist F* die Fläche derjenigen Kegel-

icbnitte. derenEbenen durch einen Punkt 5, geben nnd welche

die in drei Ebenen aus S, liegenden Geradenpaare a,. a^; fc,, b^;

(„'t schneiden. In den drei Ebenen sind die Gei-adenpaare in altgemei-

m Lage, womit sich die Zahl der Constanten der Flüche auf 21 belauft.

I Eine Ebene E schneide nun a, , 6/, Cj in sechs Punkten eines Kegol-

Hj-Ktettes. Diese Punkte sind drei Paare der Involution vom Pol S^. Con-

^BÜnirt man za Sy mit Bezug auf die drei Paare die vierten harmonischeu

^^rhlkte, SD liegen dieselben auf der Polaren des Punktes S, mit Bezug auf

äi«en Kegelschnitt ludern man aber die Paare a, , bi , c, mit allen Ebenen

*M Ä, schneidet und je den vierten harmonischen Punkt von S, für jedes

bmuggeschnittene Punktepaar bestimmt, entstehen die drei Geraden a^, b«,

tn, die Polaren von S, mit Bezug auf die drei degenerirlen Kegelschnitte

'iS,, fc, 6j, CyC^ der Schaar I. Bei der Erzeugung der Schaar /' aus S, ,

"(■ti.Cf hat man offenbar Ebenen durch S, zu legen, welche a^, 6^, c^ je

m drei Punkten einer Geraden schneiden; eine solche Ebene schneidet als-

*'uii die äecbs Geraden a,, ... in sechs Punkten eines Kegelschnittes. Man

«iistrair« somit die oo' Transversalen zu a^, bg, Cq. sie sind die Polaren

, nir die Kegelschnitte der Schaar 7* und die aus S, nach ihnen ge-

1 Ebenen bilden den Kummer'Bchen Kegel Ä,*: Die Polaren des

nlmitele «ines Kummer'schen Kegels mit Bezug auf die Kegel-

pboitte der einen zugehtirigen Kegelscbnittschaar bilden stets

p«« Begelschaar zweiten Grades. (Der Scheite! S, des Kegela liegt

l' dann auf dieser Kegelschaor, wenn S, auf F* liegt; ein solcher Punkt

' Bull PrtUierein ein Knotenpunkt der FlSche , durch welchen alle Kegel-

I die beiden adjungirten Scbauren /, i* geuaunt werden, aev det Va-
Iwit dea Aasdracks wegen gestattet; die hier a\)i\i\eiteTi4ftQ 'ÄRJoi&'a.'oÄ
' taf gleichberechtigte Ä'i^eisoJinittachaaren überttSigBa w«iifeQ-

i

172 Ueber Flachen 4. Ordn. m. Doppel- u. m. Cuspidalkegelschnitt.

schnitte der Schaar hindurchgehen; die genannte Regelschaar geht über in
seinen Berübrungskegel.)

Der Kegelscheitel S^ liefert für die zugeordneten Schaaren i, I* zwei
solche Regeischaaren zweiten Grades. Da aber jeder Kegelschnitt von /
jeden von /'*' in zwei Punkten auf der durch S^ gehenden Schnittlinie ihrer
Ebenen schneidet, so schneiden alle Polaren von 8i für die Kegelschnitte
der Schaar I alle Polaren der Schaar /*: Die Polaren eines Kegel-
scheitels für die Kegelschnitte der beiden zugeordneten ad-
jungirten Schaaren bilden die beiden Erzeugungen derselben
Fläche zweiten Grades. — Die Anzahl dieser covarianten Flächen ist fünf;
nennen wir sie einfach i^Polarenhyperboloide^. — Aus Vorstehendem
erhellt nunmehr folgender Zusammenhang : Der Kummer'scheKegelKj'
ist der Berübrungskegel aus S^ an das zugehörige Polaren-
hyperboloid. Es tritt damit der Kegelschnitt auf, längs welchem Kj*
und das Polarenhyperboloid sich berühren; seine Punkte sind die conjugir-
ten von S^ für beide, in derselben Ebene von K^^ liegende adjungirte
Kegelschnitte. Dieser Kegelschnitt trifft die Kaumcurve vierter Ordnung
erster Species o/, längs welcher K^' die Fläche F^ derührt, in vier Punk-
ten; die Tangenten an c/ in diesen Punkten gehen durch iS^ und es folgt:
Unter den Kegelschnitten von zwei adjungirten Schaaren,
welche je in einer Ebene liegen, sind vier Paare, welche sich
ausserhalb des Doppelkegelschnittes berühren*; die Berüh-
rungspunkte liegen in der der Polarebene des Kegelscheitels
für das Polarenhyperboloid.

Irgend eine Gerade g aus S^ schneide zwei Kegelschnitte der Schaar I
(und auch der Schaar I*) in den beiden Punktepaaren Ä^Bi, A^B^. Die
vierten harmonischen Punkte P^ , Pg von 5^ für diese zwei Punktepaare sind
die Schnittpunkte von g mit dem Polarenhyperboloid. Man erkennt hieraus,
dass das Polarenhyperboloid keineswegs die quadratische Polarfläche von S^
für F^ sein kann. Construirt man aber endlich den vierten harmonischen
Punkt Q von S^ für das Paar PiP^^ so ist Q auf der Polarebene von S^
für F^ gelegen: Die Polarebene des Scheitels des Kummer'schen
Kegels mit Bezug auf dessen Polarenhyperboloid ist die Polar-
ebene des genannten Punktes für die Fläche vierter Ordnung.

Man kann beweisen, dass F^ von einem Polarenhyperboloid in zwei
getrennten Curven geschnitten wird, wovon die eine sehr bemerkenswerth

* Bei dieser Berührung ist die gemeinsame Tangente eine Seite des kegeis
X|'. — Es giebt vier weitere Ebenen an Ei*, welche c* berühren; die darin liegen-
den Eegelschnittpaare berühren sich und c* in demselben Punkte. Endlich
berühren sich diese Eegelschnittpaare auch in den vier Ebenen von Ef*, deren
BerührungBseiten durch die Pinchpunkte gehen. Der Berührungspunkt ist der
I^ehptmkt and die gemehuAine Tangente ist die Schnittlinie jener Ebene mit der
Bin^iüären TangeaÜBlehene des Pinehpnnktei.

Von Dr. A. Weiler. 173

«.A^^ % -. -"

idt. — Es seien E eine Ebene au K^^; e^^ e^ die in E liegenden Kegel-
schnitte; s die Berühmngsseite von E mit K|^; p^^ p^ die Polaren von S^
für «,*, e^. Der Schnitt von E mit dem Polarenhyperboloid besteht aus
p, , p^. Die Schnittpunkte von p^ mit e^ und von p^ mit e^ sind Punkte
aof F^, in welchen die Tangentialebenen durch S^ gehen ; sie sind die Dop-
pelpunkte der bereits erwähnten Involutionen auf e^', e^. Diese vier Punkte
liegen auf dem Bertthrungskegel vierter Ordnung, welchen man aus S^ an
F* (ausser E^^ legen kann. (Den Schnittpunkten von p^ mit e^ und von
Pi mit e,* kommt diese Eigenschaft nicht zu.) Jene vier Punkte, sagen wir
kun t?pi^ beschreiben bei der Bewegung von E um K,* eine Curve vierter
Ordnaog, welche, auf dem Polarenhyperboloid liegend, jede seiner Erzeu-
genden zweimal schneidet. Letzteres gilt auch fUr den Oit der Punkte
fiV» urd es folgt: Die Schnittcurve des Polarenhyperboloids mit
F^ zerfftllt in zwei Raumcurven vierter Ordnung erster Spe-
eies. Die eine davon ist die Berührungscurve des aus dem
Kegelscheitel an F^ (ausser Kj^) gelegten Berührungskegels vier-
terOrdnung; in jedem ihrer Punkte berühren sich zwei Kegel-
schnitte der zum Kegel gehörenden adjun^irten Schaaren.*
Wenn eine Ebene A an K^^ einen zerfallenden Kegelschnitt a, a^ der Schaar I
(oder 1*) enthält, so fallen die Doppelpunkte der Involution auf a^a^ iu
dem Schnittpunkte dieser Geraden zusammen : Die letztgenannte Raum-
cnrve vierter Ordnung geht durch die acht Schnittpunkte der
in den beiden Kegelschnittschaaren enthaltenen Geradenpaare
und berührt in jedem Schnittpunkte den vierten harmonischen
Strahl des Kegelscheitels mit Bezug auf das Geradenpaar.**

Schneidet man F^ und den Kummer 'sehen Kegel Kj' mit der Polar,
ebene des Kegelscheitels S^ , so erhält man eine Curve vierter Ordnung mit
zwei Doppelpunkten und einem Kegelschnitt, welche beide sich in vier
Punkten berühren. Diese Punkte liefern mit K^ die Ebenen, in denen sich
jß zwei Kegelschnitte der Schaaren J, J*, die in derselben p]bene von Kj*
biegen, berühren.

Kehmen wir wieder an, man kenne von der Fläche F* die drei Gera-
denpaare aiOgo 2^1 ^2» ^i^s' cL^f^Q Ebenen sich im Kegelscheitel 8^ schneiden.
^ sei < eine Transversale der vierten harmonischen Strahlen a^, h^^ Cq von

* Zur Ergänzung des gegebenen Beweises betrachte man irgend einen Quer-
*^nitt von F^ dessen Ebene P durch Sx gelegt ist Der Schnitt besteht aus einer
Cnrre vierter Ordnung p* mit zwei Doppelpunkten , Si ist der Schnittpunkt zweier
^Ppeltangenten <|, tt ▼on p*. Aus Sx gehen an p^ noch vier Tangenten , welche
'^iQ,l{, S EU Berührungspunkten haben mögen. Durch P, Q^R.S läset sich ein
K^Khnitt legen , welcher tx , tf je im vierten harmonischen Punkte von 5, für
die BerQhnmgspunkte dieser Doppeltangenten berührt. Er ist der Schnitt mit dem
<^<^Urenhyp6rboloid. Die Punkte von p* sind durch 5, und die Punkte dieses
^^S^iichnittet paarweise harmonisch getrennt

^Vergl Clehecb, Crelle'a Journal Bd. 69 S.25.

174 üeber Fl&chen 4. Ordn. m. Doppel- u. m. Cnspidalkegelscliiiitt.

Si lür die Geradenpaare at, bt, Ci. Die Ebene 8^t schneidet die sechs
gegebenen Geraden in Punkten eines Kegelschnittes, welcher augenschein-
lich dann und nur dann zerföllt, wenn die sechs Punkte zu je dreien in
zwei (jeraden liegen. Weil aber die Geraden eines Paares, z. B. h^h^y sich
schneiden , diejenigen verschiedener Paare windschief sind , so müssen jedes-
mal drei Geraden , welche von der Ebene S^ t in Punkten einer Geraden ge-
schnitten werden , allen drei Paaren a< , hi , d entnommen sein. Die Ebene
Sit z. B. , welche aj, bj, c^ in Punkten einer Geraden schneidet, thnt das-
selbe für a^ , &2 ) ^i ) ^^^^^ Ebene enthält einen zerfallenden Kegelschnitt der
Sch&ar I*. Man findet diese Ebene eindeutig wie folgt. Die Geraden a^h^e^
und a^h^c^ bestimmen (durch ihre Transversalen) zwei Begelschaaren , ao
welche aus 8i im Ganzen vier gemeinsame Tangentialebenen gelegt werden
können. Drei davon, nämlich die Ebenen A (von a^a^)^ B, G sind bereits
bekannt und fallen ausser Betracht. Die vierte gemeinsame Ebene E schnei-
det alsdann (i|, b^, 0| in drei Punkten der Geraden «j; Og, 5^, c^ in drei
Punkten der Geraden €2. — Ebenso findet man drei weitere Ebenen F, 6,
H, welche bezüglich

je in drei Punkten der Geraden

schneiden, und es sind damit die in der Schaar I* enthaltenen Geraden-
paare linear construirt.

umgekehrt könnte man etwa aus ^],e,; fi, fg] 9ii 9t ^^® Geraden-
paare der Schaar I finden. Nach der eingeführten Bezeichnung werden
^ifi9n ^ifi9t^ ^if%9\^ hfi9%^ ^tfi9\i ^%f\9% bezüglich von a,,5|, Cj.o,,
&2» c^ geschnitten. Es verbleiben die Temen eif292^ ^2/1^11 elftere sollen
von d^ , letztere von d^ geschnitten werden. So erhält man folgende Tabelle,
in welcher neben jeder einzelnen Geraden diejenigen fünf angegeben sind,
welche erstere schneiden.

«1

1

0« «1 /l 9\ h

Ot

^t «t /f 9t ^t

e,

€2 a, hx c, df

et

ex(H\etdt

6.

&i «1 f\ 9t K

^

l>ietft9ih

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ft öi ^ ^ ^t

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/SOffttCl*

C|

Ct ex U gt ht

Ct

Cxe^fi9th

9x

9t «1 \ Cx dt

9t

9\ öf &i <^ ^

d.

<fc «1 /f 5^f Ä|

dt

dx etfxQxK

hi

Ät«i b^c^dx

K

hxOthxCtdt

Die folgende Tabelle enthält die Geradenpaare , welche jedesmal zu der-
selben Kegelschnittschaar gehören.

/

II

III

IV

F

r I

axOf, bxbt, CxCf, dxdt

«i«i> bfff, Ct9t, d^h^

O'xfx, bfCf, Cxhf, dtg^

ai9i> bxht, c,c,, dxff

^t^if biOt. c,/i, d,Ct

W

I*
11^
III*
IV*

V*

et et, fift, 9i9t, Äi*i
flf«t> ^iftf Cx9t, d,hi
(hftf hex, Cfhx, dtgt
at9t» ^hx, cie,, d,/;
(H\> öt0\> Ctfx» dxtx

Von Dr. A. Weiler. 175

Di* Linieupaare einer ganzen Uorizontalreibe bezeichnen zagleiofa je
übt Ebenen des xu den adjungirten Scbaaren gehörenden Kummer'Echen

Wenn der Sclieitel S, eines Kumra er 'sehen Kegek in die Ebene C des
DoppelkegelMboittes lUllt, so ist S, ein Diagonalpunkt des Vierecks der
Finch jinnkte. F' ist dann sich selbst entsprechend in eiuer iuvoluiorischen
follinention vom Centruni S\, deren Ebene S, die Pnnkte a,»,, bjli^, ...
MÜilüt. Das Polaren hyperboloid des Schett«Ia S, degenerirt in den Kegel-
Khitt, welchen S, aus K,' schneidet. Aus der letzten Tabelle folgt, dass
die Scheitel S^, .-, S^ der übrigen Kegel in S, liegen , so da^s auch diese
Ktgel Dod ihre Hyperboloide ihre eigenen Bilder in der Collineation sind.
S, ichneidet aus F* eine Curve vierter Ordnung v* mit zwei Knoten und
mit icbt Doppel Ungenten. Diesse Doppeltangenten geben ku je zweien durch
^t vkr Kege Ischeitel. — Wenn ein zweiter K e gel sehe itol , Sj, in C fällt,
1" tritt eine neue Collineation vom Centrum S^ und der Ebene S, auf. Die
(*, velche dorch S, aus ¥* geschnitten wird, hat nunmehr folgende Eigen-
«ianm. Zwei ihrer Doppeltangenteu schneidea sich in &,, also auf der
VerbimlungBÜnie der Knoten ; S^ ist ein Homologiecentrum für c', die Honio-
lugtMie ist die Schnittlinie S^S^, auf ihr schneiden sich die verbleibenden
wh Doppeltangenten paarweise in den Scheiteln der übrigen Kummer-
«rtwn Kegel. — Rttckt endlieh auch von diesen drei Scheiteln einer in die
Ebene C (in den Punkt CS,Sj,), so fallen die beiden übrigen im Schnitt-
mulcte der nanmehr vorhandenen drei Collineation aeben un siisammen. Dieser
Poukl ist alsdann der Scheitel eines singulären Knmmer'schen Kegels,
befljUch ein Knotenpunkt der PiHche P*.

Wenn wiederum S, in C iUIlt, K,* aber ü berührt, so gehört c* den
tiljnii^rten Schaaren /, I' an. Beide Schaaren „durchschneiden sich" in
f" md die Developpable an F* längs c* zerfUUt in zwei Kegel zweiter Classe.
la diesem Falle kann kein weiterer Kegelscheitel in C liegen, es sei denn,
liws gleichzeitig c' selbst zerlttllt.

2. DiePlftche vierter Ordnung P*mit RUckkehrkegelscbnitt
t" wird darch c' und einen beliebigen ihrer Kegelschnitte g* erzeugt wie
'°lgt Die Kegelschnitte c^ und p', welche sich hier nothwondig berühren
Bloen, sind die Grundcurve eines Büschels von FUlchen zweiten Grades.
^ Kegel K*, durch c* gehend, habe seinen Scheitel S in der Ebene G von
f. seine Ebenen E sind den Flächen F* des Büschels c*(/' projectiv so zu-
pwdnet, daas der Ebene 0 die in die Ebenen CG zerfaUende Flüche ent-
'pncbL Die Kegelschnitte, in welcben die Ebenen E ihre entsprechenden
Glichen F' schneiden, bilden eine Schaar, welche F* einfach Überdeckt,

Von F' liegt in E zunächst der Kegelschnitt c,* = EP".
'■Wann von K* und ihre entsprechenden Flächen des Büschels
"1 eiuBm Strahl büschel aus S und einem dazn projectiven
''IicIkI; der BerOhriingaseite s von E mit K* eniapiic^il f-^.

itsprechenden

Iberdeckt, ^^m

Die übrigen ^^^H
schneiden £ ^^^^^|

KegelMhiutt- ^'^^^^1
T>et <^' - J

f ■

178 üeber Flachen 4. Ordn. m, Doppel -

i. Cuspidalkegslsclmitt.

alle KegeUclinitte ans F* ge^ichnitleii , deren KbeoMj die Ase a entb&ltea.
Za jeder Ebene durch a gehören aber zvei Flächen, velche aich inoerhalht
des Büschels Tertauschungsf^hig entEprechen mtiäsei). Daraus folgt die scbosi
früher (analytisch) hergeleitete Erzeugung der „In volutionsi
Kegelschnitten auf F*. — unter den zu einer Involution gepaarten Ftächei
des BUscbels c^g* sind zwei sei b^tentsprech ende (Doppelfiltchen), Der e
entspricht die Ebene C von c' und es erweist üich der Cuspidalkegelschnitf
c* als „Backkehrkegelschnitt der InvolutionsEchaar'-'; di<
bezügliche Doppelflache wird mit F* ISngs c* von demselben Kegel :
Claese V berührt Kq' entbült die Ebenen Ä, B, weshalb sein Scheite
in die O^enaxe a^ fallen muss. — Der zweiten DoppetflUche entspricht t
Ebene durch a offenbar die Doppeitangentialebene von F*.
Ebene schneidet aus A, B die singulären Tangenten in den Cloa-
punkten und iat gleichzeitig fßr die beiden letzteren die ansgezeichnetf
durch sie hindurch gelegte Ebene; an Stelle des Contoctes zweiter Ordnang
der Äeste in dieser Ebene, an den Clogpunkten, tritt Identität dieser Aeste a
(Zeuthen, 1. c 8. 480), — Der einfachste Fläehenbüschel, welcher bei I
Zeugung der Involutionsschaar auftritt, ist augenscheinlich derjenige, w
eher BJi <? und den <? unendlich nahen Kegelschnitt dieser Scbaar gelegt ii
(dessen Flächen Kq* lüngs c' berühren).

Besitzt die Fläche F* mit Cuspidalkegelscbnitt einen conischeD En
ten S, so ist er der Scheite! eines Kummer'schen Kegels K*= Hc*, er lie
auf der Gegenaie a^. Von den vier Schnittpunkten von a^ rait F* fallei
Ewei in S und damit werden je zwei von den Geraden «i (It.) mit AS {BS^
identisch, z.B. ay=^a^y b, ^b^. Die Kegelschnittschaareo , welche (c* t
rühren und) a,, Og, &,, t),, und dte, welche a^, Oj, \, \ schneiden, sii
hier identisch, ebenso ihre adjungirten (welche entweder o,, a^, &,. 6, odfl
a,, a^, bj, 5, schneiden). Ga erweist sich £ selbst als Scheitel des zu dicfi
vereinigten Schaaren gehörenden Ku mm er 'sehen Kegels. Der Kegel Sc*=]
ist hier ein singulärer Kummer'scber Kegel, welcher durch Vereini
gung aus zweien entstanden ist Die zugehörigen adjungirten Kegelschnitt
schaaren sind durch Vereinigung aus je zwei Schaaren entstanden;
Kegelschnitte gehen sÄmmtlicb durch den Kegelscheitel, sie sind slngulSri
Kegelschnittschaaren.* — Ausser den hier abgeleiteten Kegelscbnitfe
schaaren und der lavolutiousscbaar hat man noch zwei adjungirte Schaaren
welche zu einem Knmmer'schen Kegel K,*= .SiC* gehören, dessen Soheita
&', ebenfalls auf (ig liegt. Diese Kegelschnitte, welche c* berühren, schnei
den entweder b^. b, und berühren A an AS, oder sie schneiden Og. a^ und
berühren B an SS. — Der singulUre Kegel K» berührt F' längs (
AS. BS zerfallenden Kegelschnitt, währenddem K,' dte FlScUe länj^s einei
irreducibeln Kegelschnitt der Involutionsschaar berührt.

' Jeder Kegeledtaitt dieser singalären Schaateii berührt in S eine Seit« d
tu dieseta Knoten S gehörenden BeräbtungekegwU i.^(»\jn Otä&'mv%9.

ii»,

Von Dr. A. Wkilm.

177

An dieser Steile werilo aii^enouimeu, e^ seien voii der Flüche F* be-
hmit lier Cuspidalkegelschnitt . die ÄKen und ihre Schnittpunkte mit F',
nil uderen Worten c" und die vier Geradeupaare a, fc^ (» = 1, 2, 3. 4),
IMUD lassen sich die sechs Kegelschnittschaaren , die drei Kammer'scfaen
irgt\ nnd die Polareuhyperboloide direct finden. Die Kegelschnitte der
•nieo Schaar (berühren c* und) schneiden die vier Geraden n,, %, b^, b,; die
^ w)juDgirt«n Bebau schneiden u,, a,, !>,, b^ a. b. f. Die Bestimmung der
«nten Scbaar ist folgende.

£a habe c* in einem seiner Punkte E die Tangente c (Fig. 2). Um e
dreht m&n eine Ebene E, welche a,, o^, b^, b^ in A^, A^, B^, S^ schneidet.
W«aa dieee Ebene in einer bestimmten Lage einen Kegelschnitt der Schau /
esthilt, so ergeben die Seiten deä Vierecks Ä,AfB^Bf mit c geschnitten
dffti Pnnktepaare einer Involution, welche in E einen selbstenteprechenden
Punkt haben muss. Die Gegenseiten A^Ag- B^B, liefern nun ein fest-
liegendes Paar M, N; soll daher E der eine Doppclpunkt der Involution
Miia, (o (BUt der andere in 0 = ae. Wenn daher die Sohnittpnnht« P, P'
TOD AiB^ und A^B, mit E die Strecke OE harmonisch theilen, so befindet
sieh E in der richtigen Lage. — Bei der Drehung von £ um e beschreiben
/*, P' »wei projectiso Heihen, für E = C fallen beide in 0 zusammen, und
«a kommt also nur einmal vor, dasa OEPP' eine harmonische Gruppe ist
Coligc^ben von E = C, welche Ebene ausser Betracht fSIlt). Diese eine
-Kbene E, eclmeidet alsdann a^ in dem Scheitel S, des KegeU K,*. Coa-
*kniirt man in dieser Ebene E, die vierten harmonischen Punkte A,^, B^^
"Vflii Sj für AfAf. B^Bf, bo ist deren Verbindungslinie die Polare von S,
für den in E, gelegenen Kegelschnitt der Schnar /. — Lässt man nun E
, ^tu Kegelschnitt c* durchlaufen, so beschreibt E den Kummer'schen Kegel
= 6',e*; die Polare A,^B^ echneidet A, B in zwei projectiven Eeihen,
) TrKger die Polaren von S, für a^a^. b.^b^ sind. Indem man beide
duclmittscbaaren beachtet, die K,' zukommen, bat man: Die Polaren
Ir die Geradenpaare OiOg, Uga,, b,&j, f>,b, sind ein wind-
ibiefes Vierseit des dem Regel K,' zugeordneten Polaren-
kp«rboloida.

Bei der Bestimmung der Ciospunkte bat sich heran ygestellt , dase die

Ben durch die Axe aus F* Kegelschnittpaare ausschneiden, welche A, B

^A, ß berflbren. Daher kann man durch c* und irgend zwei dieser Kegel-

ftnitte jeOesroal eine FlBche zweiten Grades legen (welche F* weiterhin

(bt mehr schneidet), umgekehrt schneidet eine Flüche zweiten GraJes F',

I e* and einen von diesen Kegelschnitten gelegt. F* in einem weiteren

placbnJtt« durch A. B. Denn sei P irgend ein, F' und F* gemein-

r Punkt, so muss iler Kegelschnitt durch f. welcher A und B in A

I B berührt, auf F' und auf F* liegen. Legt mau daher durch c' nnd

I beliebigen dieser Kegelschnitte, k*, dessen Ebene durc\v ^ ki.« ^ii^V

von FlUcbeu zneiten Grades, so werden OiuicV äÄ«^« ^V^f^^KSC^

180 üeber Flächen 4. Ordn. m. Doppel- a. m. Caspidalkegelschnitt

Jede F^ mit Caspidalkegelsclinitt <^ wird Iftngs (? von einem Kegel
zweiter Classe K©* berfihrt nnd die Flachen zweiten Orades F*, welche K©*
Iftngs (? berühren , schneiden F^ in den Kegelschnitten der Involntionsschaar.
Ordnen wir daher die K^* längs <^ berührenden Flächen zn einer InvolutioB,
so dass die Ebene C von c* die eine selbstentsprechende (Doppelfläche) ist.
Die Flächenpaare biingt man in bekannter Weise in projective Zuordnung
mit den Ebenen E dnrch die Tangente a an c*. Die in E liegenden Eegel-
schnittpaare haben bei A stets vier consecutive Pnnkte gemein. Unter diesoi
Ebenen entspreche D der zweiten Doppelfläche, so ist D die Doppeltangen-
tialebene von F^. Vor Allem aber ist die Ebene A ansgezeichnet, welche
Kg' längs SqA berührt: diese Ebene A schneidet ihr entsprechen-
des Flächenpaar in vier Geraden a^, Og, o,, 04, welche die ein-
zigen derSchaar nnd der Fläche sind. Da nun alle Flächen F* des
genannten Büschels aus A die Geradenpaare einer Involution schneiden,
deren Doppelstrahlen a und die Berührungsseite o^ von A mit K^* sind, so
folgt: Die vier Geraden o,* der Fläche sind durch die Axe a und
die Gegenaxe Oq paarweise harmonisch getrennt. Die Gegen-
axeoo fallt in die singulare Tangentialebene des Clospunktes,
ihre Schnittpunkte mit F^ sind im Ciospunkt vereinigt. — In bekannter
Weise findet man: Die Fläche enthält zwei Kummer'sche Kegel
Kj*, K^* und dazu gehörend zwei Paare adjungirter Kegel-
schnittschaaren, endlich die Involntionsschaar.

Kegel aus Punkten auf a^ nach <^ gelegt schneiden F^ in Paaren von
Kegelschnitten der Involutionsschaar.* Für K^*, K,* erhält man bekannter-
weise je nur einen Kegelschnitt doppelt Für K^ fällt der eine dieser
Kegelschnitte in (?, — Zur Erzeugung der Kegelschnittschaaren dient übrit
gens Kq' wie folgt : Eine Ebene E des Kegels K|' berühre <^ in E. Diese
Ebene enthält zwei Kegelschnitte der Schaaren J, I*^ welche c^ in ^ be-
rühren, Kq' (bezüglich dessen Schnitt mit E) bei E osculiren und von
denen jeder zwei der Geraden ai schneidet, welche nicht mit Bezug auf o,
Oq co^jugirt sind (so dass durch beide Kegelschnitte alle vier Geraden o^ ge-
troffen werden).

Im Ciospunkt fällt die singulare Tangente mit der Tangente an den
Cnspidalkegelschnitt zusammen.** — S^eil die Axen a, a^ sich schneiden,
sind die Elemente der Fläche nicht mehr in geschaarter Involution, dagegen
entsprechen sie sich noch für oo^ involutorische Centralcollineationen aus
Punkten auf a und mit Ebenen durch a^.***

* Dasselbe gilt für die Fläche mit getrennten Clospunkfcen.
** Ebenso wenn bei einer Fläche mit Doppelkegelschnitt zwei Pinchpunkte
sich vereinigen.

^** Hieraus folgt n. A., dass die Geraden a< paarweise dnrch a und o« har-
moaiacb getrennt sind.

Von Dr. A Weiler. 181

Indem man die Geraden o^ in A mit Oq oder anter sich zusammenfallen
iSast, erhält man folgende SpecialfSlle:

a) Wenn eine Gerade a^ in a^ föllt, so geschieht das gleichzeitig für
eine xweite Gerade o, and es bleiben a^y a^y welche durch a, a^ harmonisch
getrennt sind. Die früheren Kegel K|^ E,^ fallen hier zusammen und bil-
den den einzig vorhandenen singulären Kummer 'sehen Kegel K^ dessen
Scheitel S ein conischer Knoten der Fläche ist. Der Berührungskegel
an F^ im Knoten, S^ und der singulare Kegel K^ haben an aQ = ÄS vier
coBsecative Erzeugende gemein. — Bei der Erzeugung der Involutionsschaar
entspricht hier der Ebene A (an K^^) ein Flächenpaar, dessen eine Fläche
der Kegel K^' selbst ist.

b) Die Geraden at vereinigen sich paarweise, so dass a^^a^, a^ = a^'^
F* besitzt also noch zwei Geraden, welche durch a, üq harmonisch getrennt
tdnd. Daraus folgt, dass zwei adjungirte Kegelschnittschaaren
mit der Involutionsschaar zusammenfallen und es verbleibt noch
ein Kegil mit seinen adjungirten Schaaren. (Der hier wegfallende Kegel
wird sn einem doppelten Ebenenbüschel; sein Scheitel ist zu einem un-
bestimmten Punkte der Axe geworden.) — Bezüglich der Erzeugung der
Flächen aus ihrer Involutionsschaar ist hier massgebend, dass der Ebene A
die eine, hier irreducible Doppelfläche des involutorischen Büschels ent-
q[>rieht; die Doppeltangentialebene fällt mit der singulären Tangentialebene
im Clospunkt zusammen.

c) Alle Geraden in A fallen mit Qq zusammen, 01 = 02 = 03=304 = 00.
IHe Büschel von Flächen zweite u Grades durch c^ und irgend zwei der Ge-
nden Oi sind identisch und es folgt; Alle Kegelschnittschaaren fal-
len mit der Involutionsschaar zusammen. — Das Flächenpaar,
Wflkhes bei der Erzeugung der Involutionsschaar der Ebene A entspricht,
bwteht aus dem Kegel Kq' doppelt gezählt.

In allen diesen Specialfällen behält Ä seinen Charakter als Clospunkt bei

Kleinere Mittheilungen.

IX. Conjügirte BeciprooitäteiL

Der Begriff „eonjagirte Eeciproci täten" ist durch die von Herrn Prof,
Bosanes in Breslau veröffentlichte Abhandlung ;,Zur Theorie der recipro-
ken Verwandtschaft^, Cr eile 's Journal Bd. 90, erweitert worden. Herr
Prof. Beye in Strassburg spricht in seiner „Geometrie der Lage", L Ab-
theiiung, 2. Auflage, S. 194 flgg., von sich stützenden Kegelschnitten. Die
vorliegende Arbeit hat den Zweck, analog den Beye 'sehen Ausführungen,
den Begriff sich stützender Beciprocitäten aufzustellen und deren Identität
mit den von Herrn Bosanes betrachteten conjugirten Beciprocitäten nach-
zuweisen.

£s mögen a^^i^ '"^ &| ^^ . . . die Geraden zweier Ebenen Ä und B^
«1 «2 . . ., ß^ß^,,. deren Punkte bedeuten. Vermöge der Beciprocitfit £|
entspricht der Geraden ai ein Pol Poi un<i dem Punkte at eine Polare p^ ;
vermöge der Beciprocität 2^ ist der Geraden Oi ein Pol $a, und dem Punkte
ai eine Polare p«^ zugeordnet.

Wie gewöhnlich, werden zwei Punkte conjugirt genannt, wenn der eine
in der Polaren des andern liegt; ebenso heissen zwei Gerade conjugirt,
wenn die eine durch den Pol der andern geht. Statt conjugirter Punkte
oder Geraden einer Beciprocität wird auch oft der Ausdruck „NuUpaare'
dieser Beciprocität Anwendung finden. Alle übrigen vorkonunenden Be-
zeichnungen sind in der erwähnten Bosanes 'sehen Abhandlung erklärt.

§1.

Sind (a^&i) und (a^\) zwei Nullpaare der 2^, derart, dass o, den
Pol P»^ = a| und \ den Pol Pa, = /3, enthält, und construiren wir zu
a| I o^ = «3 die Polare pa^ = h^ und zu &^ | ^^^ = ß^ die Polare jp^ = ^» so ist

hhh ^^^ ^^^^ polarer Dreiseite der R^ , deren entsprechende Seitenpaare

1 S 8

(a^&^) und (Og^^g) conjugirt in R^ sind.

Lassen wir a^ das Büschel erster Ordnung a^ durchlaufen , so beschreibt
&3 das Strahlenbüschel erster Ordnung /S^, a, das Büschel a^ und $«^< die
gerade Punk treibe p«,. Die beiden concentrischen Büschel ^i'¥«,< und

ßi'fi2^=bg^ sind projectivisch, sie haben da\i«t i^«i Strahlen h^ und 5,"

entsprechend gemein.

Kleinere Mittheilungen. 183

et As da

Für 63'= 63^ und 63* ist iPa,< in 63« gelegen, es sind daher ,*|/i|/i

0| Oj O3

und ^^-1*2^2 ^^®^ Paare polarer Dreiseite der Beciprocität JB;, deren ent-

sprechende Seitenpaare (a^b^)^ (ög^V)» (^a^V)» (^^V)t (öj* 63*) conjugirt
sind in B^,

Die beiden Dreiseitenpaare ,^»^^*, und ^*r*o,*„ müssen nicht voll-

stftndig real sein, denn die Seiten h^^ und ^3^ z. B. können als Doppel-
sirahlen zweier projecfiviscben Büschel, die concentrisch liegen, imaginär
werden.

„Sind daher R^ und R^ zwei beliebige Beciprocitäten , so giebt es eine

Doppelserie von Paaren polarer Dreiseite ,* jT^ V^ ^er ^n deren entsprechende

Seiten {(hh)j i= 1, 2, 3, conjugirt sind in R^."

§2.

9 Enthält die Reciprocität B^ ausser dieser Doppelserie von Paaren po-
larer Dreiseite, deren entsprechende Seitenpaare conjugirt in B^ sind, noch

ein einziges Paar ,* *,^ solcher polarer Dreiseite , so sind die entsprechen-

^i h h

m /« ot y« m

den Seiten {a^b/^), i= l, 2, 3, aller polaren Systeme ^^mhmhm ^^ -^i»

^1 ^2 ^3

welche auf die in § 1 angegebene Art construirt werden, Nullpaare der B^.^

Beweis.
/. Theü. Hier zeigen wir, dass bei festgehaltenen (a^^i) o^' einen

Wiebigen Strahl des Punktes «^ bedeuten kann, und stets wird ^^w/^^

ein Paar polarer Dreiseite der B^ vorstellen, welche die in unserem Satze
gewünschten Eigenschaften haben.

Wenn (a^&j) festgehalten wird, so beschreibt, wie wir in § 1 gesehen,
03' das Büschel O], h^* das Büschel ß^ und $a.< eine gerade Punktreihe,
»enn aj sich um a^ dreht. Für a^* = a^ ist $«,< = ^o, nach Voraussetzung
in 63' SS &3 gelegen ; die beiden concentrischen Strahlenbüschel ß{ $a.< und
V Ittben daher, ausser ihren zwei DoppeLstrahlen , noch den Strahl b^ ent-
sprechend gemein , sie sind also identisch , d. h. $a»< liegt stets in 63' , und

alle polaren Dreiseitenpaare ^ ^^ ^^ von JB^ genügen unserem Satze.

bi ^2 ^8

IL Theü. Wir weieen jetzt nach, dass unser Satz für die ganzen £be-
^ i und B besteht.

Ol' konnte qin beliebiger Strahl des Btlschels a^ sein, und stets ^e-

'^ ^?i^i nn^erem Satze. In ganz analoger 'We\Ä^ \8ä^ "^"^ wa?«i^

184 Kleinere Mittheilnngen.

dass a^ ein beliebiger Strahl des Punktes o, sein kann, und immer wird

• ■ •

das polare System j^\j^i,\ von JB^ die in unserem Satze gewünschten

Öj O^ O3

Eigenschaften besitzen.

Sind (Oi^&i'") irgend zwei in 2^ conjugirte Strahlen der Büschel a^
resp. ß^, SO kann Pa^m = ßj^ und Pft^m = aj"" jeden Punkt der Geraden p.,
resp. Pß^ vorstellen. Construiren wir jetzt, gemSss den Vorschriften des § 1,
alle Paare polarer Dreiseite der i2^, deren Seiten ag"* durch «1"" gehen, so
kommt unter diesen ein Paar vor (dessen Seite a^" = a,^a| ist), dessen
drei entsprechende Seitenpaare (a,'"&j"'), «=1,2,3, conjugirt sind in ^;
es haben daher auch, nach dem im I. Theil Bewiesenen, alle diese Dreiseiten-

P*"""® hmhmhm ^^^^^^^ Eigenschaft.
^1 ^» ^8

Weil «!*" irgend ein Punkt der Geraden p^ und a^^ ein beliebiger

Strahl des Punktes a^"* sein kann, so stellt Og*" jeden Strahl der Ebene vor.

In gleicher Weise ISsst sich zeigen, dass auch a^"* einen beliebigen Strahl

a,"" Oa" a»"
der Ebene bedeuten kann, und stets wird das polare System ,* ^ -.7^«

der 2^1 die in unserem Satze gewünschten Eigenschaften besitzen, q. e. d.

„Yon zwei Beciprocitäten B^ und 22,, welche dem soeben be-
wiesenen Satze Genüge leisten, sagt man, sie seien einander con-
jugirt."

„Sind daher zwei BeciprocitSten R^ und R^ einander conjugirt und
man construirt ein Paar polarer Dreiseite der Jß^, deren zwei Paare ent-
sprechender Seiten conjugirt sind in IZ^, so hat auch das dritte Paar ent-
sprechender Seiten diese Eigenschaft.''

§3.

Suchen wir zu a^ die Pole Po^ = ßi und ißai nnd construiren su ^| = ^^
die Polare o,, zu ^g^ = ß^=sP^ die Polare 02 und schliesslich zu o, den

Pol Pai = /^s > ^^ ^* hhh ®"^ polares System der JBj , dessen entsprechende

^i ^1 ^8
Seiten (Of&i), i = l, 2, 3, Nullpaare der zu R^ conjugirten Beciprocitftt B^

sind, und zwar ist speciell ^a^^ßii $ai = /^si aber $«, im Allgemeinen
nicht = ß, D. h. :

„Sind R^ und JB, zwei conjugirte Beciprocitäten, so ist es im All-
gemeinen unmöglich, ein Paar polarer Dreiseite von R^ zu constmiren,
deren Seitenpaare (o^^,), i=l, 2, 3, conjugirt in R^ sind, so dass gleich*

^J^g" a J J ein Paar polarer Dreiecke von iL vorstellen, deren entspf»-

cbende Eckenpaare dann conjugirt in B^ ^yjA**-

Kleinere Mittheilungen. 185

»>

Kommt e8 dagegen vor, dass die Reciprocität B^ ein Paar polarer

Dreiseite .^7^?^ der eben erwähnten Beschaffenheit enthält, so enthält sie
Ol 0^ h

eine Doppelserie derselben/'

Beweis.

Durchläuft a, das Büschel a^ , so bewegt sich Pa^t = ßjf in ^3 , $a>< ^^
64. Da |?j'=5ß^< und ^a» = 1^»' ist, so beschreiben aj* und Og' die Büschel
erster Ordnung a^ und a^, also Pa,«^/?«' und $a,< zwei gerade Punktreihen,
die projectivisch sind und in demselben Träger h^ liegen.

Diese Punktreihen ß^* und $a,< sind identisch. Denn alle auf die an-

gegebene Weise construirten polaren Dreiseitenpaare ,V/»\;,* der Ä^ haben

Oj Og O3

die Eigenschaft , dass ihre entsprechenden Seiten Nullpaare der R^ sind ; es
mu88 daher $a,< stets ein Punkt der Geraden ^g' sein. Da aber alle $«, in
der Geraden h^ liegen, so ist ^a,< = 5^ | ftg' = J33'.

Bedeutet daher a^' irgend einen Strahl des Büschels 03, so lässt sich

• • •

stets ein Paar polarer Dreiseite ,\,^^^ der B. construiren, welche un-

serem Satze genügen.

Ist Gl"* ein beliebiger Strahl der Ebene und wir construiren in der

/« m /• OT /« 01

obigen Weise alle Paare polarer Dreiseite j^jnhmhm ^®^ ^1» ^^^^^ Seiten
Oj" durch den Punkt Oj*" gehen, so ist für ai'" = aj^ = 08"''«*, j^oJoi.\

1X9

^ Paar polarer Dreiseite der B^ , die unserem Satze genügen.

Nach dem zuerst Bewiesenen haben daher alle polaren Dreiseitenpaare

\m7mhm ^® ^ uuscrem Satze geforderten Eigenschaften.

§4.

Ist ^1 0^0304 ein Yierseit der ii- Ebene, h^h^h^h^ ein solches der JB-
e, und ist

•kenao «4 = Ö8l«4> «6 = «2l«4i «6 = «2|ö8»

A = M^2» /'« = /'ll^8 U.S. W.,

•0 nennt man ,^^^,^ ein polares System von zwei Vierseiten der Beci-

&i ö, 1^3 1^4

Ptodttt lt|, wenn die sechs Punktepaare (aj|ajt, bi\bm)f wo tA;2iii eine

^luvdnuig der vier Zahlen 1234 yorstA^i^ ^ i* wenn

Iftß Kleinere Mittheilungen.

Ein solches System von zwei polaren Vierseiten ^^^^ * der 2J, ist

Yollkommen bestimmt, sobald zwei zugeordnete Seitenpaare (a|&|), (Og&j),
eine dritte Seite a^ und von der zugeordneten Geraden h^ ein Punkt n ge-
geben ist. Man hat dann

j?3 wird in der Geraden &^ , ß^ in 5^ « ß^ ^° ßz ßb ^ \ ^^^ ^4 ^^ ^s ^^
construirt , dass , .. , ^. , ^ . ,, ..

KA)> («2P5)» («1P4) ^<^ («4A)

conjugirte Punktpaare der Reciprocität 22^ bilden, d. h. es wird
Weiter ist

05 ist dann zu ß^ conjugirt, denn es besteht der Satz:

„Sind fünf Eckenpaare zweier Yierseite Nullpaare einer Reciprocität,
so ist auch das sechste Eckenpaar conjugirt in Bezug auf diese ReciprocitSt.'^

Um diesen Satz zu beweisen, sprechen wir ihn in der Form aus:

;,Hat man zwei Dreiseite a^ii^as ^^^^ ^1^2 ^3 ^^^ ^^^^ ^^® ^^ ^11 ^2
und &3 liegenden resp. zu a^, a^ und a^ conjugirten Punkte ß^^ ß^ und ß^
Punkte einer Geraden b^^ so liegen auch die in aj, a, und a^ befindlichen
resp. zu ß^, ß^ und /3, conjugirten Punkte 03, or^ und a^ in einer Geraden a^.'

Beweis.

Die beiden Dreiseite bib^h^ und Pa^PotPat liegen perspectivisch, weil
^ill^a, = /?3» ^i\Pat=ßi und &3IP0, = (^4 Punkte einer Geraden b^ sind; die
drei Verbindungslinien der entsprechenden Eckpunkte beider Dreiseite schnei-
den sich folglich in einem Punkte. Bezeichnen wir daher JPa,|l>a,= /^x«
Pa^\Pai = ß\ ^^^ Pth\Pa^^ ß^Gi 80 gehen die drei Geraden ft^i, ß%ß\ und
ßß ß^Q durch einen Punkt S.

Der Pol der Geraden ßiß\ ist a^, der von ß^ ß!^ ist «5 und der von ß^ßf^
ist 03; die drei Punkte 03, o^ und 05 liegen daher in einer Geraden a^, q. e. d.

Aus der angegebenen Construction der polaren Vierseite der Recipro-
cität 22^ ergiebt sich, dass &|, b^ und n so gewählt werden können, dass
(a^&i), (a^&s), (c^b^ Nullpaare der Reciprocität 2^ werden. Wir haben
zu diesem Zwecke nur festzusetzen , dass b^ den Pol $a, i ^g den Pol $«,
enthält und da s der Punkt n mit dem Pol $«, identisch wird.

§5.

„Sind {flib^ und (a^b^) zwei Nullpaare der Reciprocität B^^ so kann man

mindeatena zwei Paare polarer Vierseite J JA A i^<i 1.' ??»«.*• ^ JBi

b^bjb^^ö^ M%W

oonatmiren, deren Seitenpaare (Oi b») , i = \, 2 , ^, 4^ w^m^ «

Kleinere Mittbeilungen.

187

Beweis.

Wie im vorigen Paragraphen gezeigt wurde, lassen sich unendlich viele
Paare polarer Yierseite der B^ constmiren, die (a^2>i) und (a^h^) zu Seiten
haben und bei denen drei Paare entsprechender Seiten (atbi)^ i=l,2,3,

conjngirt in JRg sind. Ist j^-Jy^^^ ein solches Paar, und a^ durchläuft

das Büschel «4, so beschreiben ß^^ und ß^* zwei projectivische Punktreihen
in bi resp. h^^ die zu einander perspectivisch liegen, weil ftir a^*^p^^
A' = W=/»i = 6.|J', wird.

Für 0,'=«/«! ist «s' = «fj'=o,, daher /J3'= 6,|l>o,, l'5' = Ml'". »nd

Wenn also 03' das Btlschel a^ beschreibt, bewegt sich ßs'ß^* = l>4 in
einem Strahlenbüschel erster Ordnung , dessen Scheitel der Schnittpunkt der
Geraden b^ und jp«, , d. h. der Punkt ß^ ist.

Da b^*=ßi^'^ak* ist> 80 beschreibt unter diesen Umständen ft* = ft, | V
die gerade Punktreihe b^, ^b ^= ^\Pfit* ^^^ projectivische Punktreihe o^,
a/^^a^o^^ das Btlschel erster Ordnung o^, welches dem Büschel bj pro-
jectiviscb ist. Die Punktreihe $<,«< ist demnach projectivisch dem Büschel
b/y die beiden concentrischen Strahlenbüschel ß^'^aj und ^^^ haben daher

iwei Strahlen bJ und b,^ entsprechend gemein: ,* *,^,^ und ,,,.,*

stellen daher zwei Paare polarer Vierseite der R^ vor, deren entsprechende
Seiteopaare conjugirt in IP sind, q. e. d.

§6.
„Enthält die Beciprocität 22j, ausser den im vorigen Paragraphen er-
wlhnten Paaren polarer Vierseite, deren vier entsprechende Seitenpaare con-
jngirt in /f, sind, noch- ein einziges Paar ,^JJ ,* derselben Beschaffenheit,

6, öj Ö3 b^

uid wir constmiren nach den Regeln des § 5 irgend ein Paar polarer Vier-

•wie ^ ^ 7* * der B, , so sind die entsprechenden Seiten (a,*" &,••),

h ^f h ^
«=1,2,3,4, dieser Vierseite conjugirt in Äj."

Beweis.

J. rAe0. Wir zeigen zunächst, dass bei festgehaltenen a^^ a^^bi und b^
S iigend ein Strahl 03' des Punktes «4 sein kann, und stets wird das

polire SvBtem , * !** ?*, . *, der A unserem Satze genügen.

bi 0, V W

Wie wir gesehen ^ bewegen sich ß^^^ und i^' in awei concentrischen
^ pngeetiTiBehen Strahlenbfischeln entar 0> ^-^ BüsAliid «i^

'mUhift DhBesebel fllgfß^'UB !&\^qY^*

188 Kleinere Mittheilungen.

nach Voraussetzung $«^ ein Punkt von b^. Die beiden Büschel /S^'^o«« ^nd
\* sind daher identisch, d. h. der erste Theil unseres Satzes ist bewiesen.

IL Theü, Wir weisen hier nach , dass unser Satz für alle Geraden der

Ebenen Ä und B besteht.

Og konnte ein beliebiger Strahl des Büschels a^ sein , und stets genügte

i i

hhhihi ^^80^6°^ S&^ze. In analoger Weise lässt sich zeigen, dass o^ einen
Oj Og O3 0^

beliebigen Strahl Og' des Büschels a^ und a^^ irgend einen Strahl des Punktes

oTj bedeuten kann, und immer wird sich ein Paar polarer Vierseite , *^ V*^ ^^ ^\

^1 *i ^s ^4
der R^ construiren lassen , deren entsprechende Seiten Nullpaare der R^ sin4*

Ist a^"* ein beliebiger Punkt der Ebene Ä, so schneiden sich in dem-
selben zwei Strahlen cii"* und a^^ der beiden Büschel a^ und a^ . Bezeichnet
02"* einen beliebigen Punkt der Geraden a^^f so geht durch ihn der Strahl

o«'" des Büschels «.. Es lässt sich dann ein polares System r*«T^«T*«,*
^ * ^ «^ ft^"* 6,~ 6," d^""

der A^ construiren, dessen entsprechende Seitenpaare (at^&i^), f= 1,2,3, 4,

conjugirt in Bezug auf die Beciprocität R^ sind.

Ist daher a^"* irgend ein Strahl des Punktes a^^j a^ ein beliebiger

Strahl von «g*", a^ ein beliebiger Strahl von a^'" und bedeuten h^ resp. &j*"

zwei beliebige Geraden der Punkte $ai"* i'esp. $a,«> so lässt sich ein Paar polarer

»•/« M

Vierseite »' 7*^, ,* der Ä, finden, welche unserem Satze genügen, q. e. d.
61"» ftg" dj"« ft^"» ' ' ö ö » ^

Auf Grund unseres Satzes stellen wir die Definition auf:

;,Die Reciprocität R^ stützt oder trägt die Beciprocität ^, und

umgekehrt R^ stützt sich oder ruht auf R^^ wenn R^y ausser den

im § 5 erwähnten Paaren polarer Vierseite, deren entsprechende

Seiten conjugirt in R^ sind, noch ein einziges Paar polarer Vierseite

derselben Beschaffenheit enthält/

^Stützen sich die beiden Beciprocitäten R^ und it^t ^^^ ^^

construiren nach den Vorschriften des § 5 irgend ein System polarer

Vierseite , ^ ,? ?* , ^ der Ä. , so sind dessen vier entsprechende Seiten-
Oj 0^ \ 0^

paare (flibi)^ ic= 1, 2, 3, 4, congruent in R^.^

§7.

„Stützen sich die Beciprocitäten Ry und R^^ so sind sie auch einander
conjugirt. "

Beweis.

Cht fljL Ckn ttd

Von dem System polarer Vierseite j/^^/j* ^^^ -Äi» dessen entspre-

cbende Seitenpaare (oift«), ts 1, 2, 3, 4, coiyugirt in H^ .sind, wlUon wir
a^ and ^ beliebig und definiren:

Kleinere Mittheilangen. 189

0, bestimmen wir so , dass P«, ss 5^ | &, = ^^ wird. In diesem Falle ist

h = h' ßs = ^-i' ^«.> A = M ^«/ J?-. (<i. 1^- unbestimmt in 6,).
Wir v^Uüen ß^ in 64 so, dass h^^Pot'^a, wird« Es ist dann

ßi'^ße=^ßi^

«4=«8ll'/». = Oslos» «6=««ljP/J,= fl»l«S=«6i «S = «lll>/».=^«j|Os = ««;

84 ist daher identisch mit a^.

Weil wir bei unserer Constmction die Regeln des § 5 befolgt haben,
mOssen (a^^i), (0,62)» (ö^s^s)» (^4^4) Nnllpaare der /?, sein. Da a^s^Oj
ist, so mnss $a, ein Punkt der Geraden b^ sein , d. h. ^a, = ^s I ^4 ^ 1^4 *

Die beiden Dreiseite j^^ j^^ von denen zwei Seiten a^ und o, beliebig sind,

^1 ^2 ^4
bilden daher ein polares System der Beciprocität B^, dessen entsprechende

Seitenpaare (ajft^), (Ojfe,) und {a^\) conjugirt in Ä, sind, q. e. d.

jyZwei conjugirte Reciprocitäten A| und R^ stützen sich.^

Beweis.
Um die Richtigkeit dieses Satzes nachzuweisen, zeigen wir zunächst:

tf« da Oo

,Ein Paar polarer Dreiseite - * 7* ^ der Reciprocität /?, wird durch jedes

^1 ^« ^8

beliebige Geradenpaar (a^h^) zu einem System polarer Vierseite ,*??*,*

0| Oj O3 O4

bitter Beciprocität ergänzt."

Denn ist .^V*,' ein System polarer Dreiseite der B.. so muss

Min. Es sind daher

(«iA)t («si^a)» («s/^e)) («4^)» («öW ™^ («cW

conjugirte Pnnktpaare der Ä,, ,'?*?,* folglich ein System polarer Vier-

6j ö, &8 64

wite der Ä^ .

Ist die Reciprocität Aj conjugirt der Reciprocität /f^, so sind die ent-
sprechenden Seitenpaare (aihi)^ ♦= 1, 2, 3, des polaren Systems ,* *?* von

Ol Og Ö3

*i eonjugirt in Ä,. ,^1/,* wird durch jedes beliebige Seitenpaar (04^4)

^1 ^8 ^8

ZQ einem System polarer Vierseite ,^V^?',^ der ^, ergänzt. Bestimmen
wir daher (0464) so, dass es ein Nullpaar der B^ Torstettt» bo bilden
^iLkd^ «in Ptuur polarer Vieneite von B^^ defi«^

192 Kleinere Mittheilungen.

Die Gleichang 2) giebt zunächst wegen Nr. 1) und durch Coefßcienten-
vergleichnng

4) ) /i(f« + v) = /i(a) + /lW/i(v)+f,W,

/i (f + -) = /i (».) + ^i (f.) ft (v) + f, (^) f» (v) + f, {») ,

Pttr fi = V = 0 findet sich f^ (0) = /j (0) •= f, (0) . . . = 0; ertheilt man ferner
den Gleichungen 4) die Formen

/•.(>i+v)-/'.(>i).^/;(v),

V ^ V

/i(M+v)-A(>')_ AWffx ,/«(v)

lässt V in Null übergehen und setzt zur Abkürzung

V

80 gelaugt man zu den Differentialgleichungen

Unter Bücksicht auf fk (0; -- 0 erhält man hieraus

• ••••••5

worin c^ , c, , Cg etc. willküiliche Constanten bedeuten. Das allgemeine Bil-
dungsgesetz dieser Gleichungen würde noch zu erörtern sein.

Für Cj = l, C2 = — 4^, ^3 = + ^, ^4 = ~i u. s. w. kommt man auf
den binomischen Satz zurück ; fttr Cj = 1 , c, = ^ , ,03 = i^ , c^ = 5^* , c^ = 1-^
u. s. w. entsteht die gleichfalls bekannte Entwickelung

^ + 1*"'' 1.2 *^+ rO '^■'" 1.2.3.4 "^

. m(>»+6)...(m+9)_, .
"^ 1>2...5 '•'■■■ .

= (H-g+2a;« + 5r'+14a:« + 42a;5+ ■■y = r~y~'**l
Moe weitere Unteranchang dieser Yrage behalte ich mir vor.

IX.

Ueber die Bewegung ähnlich -veränderlicher ebener

Systeme.

Von

Paul Somoff,

Docent am K. Fontinstitat in St. Petenbarg.

Durch die Untersuchungen von Grouard*, Burmester** und Gei-
senheimer*^ sind die meisten Eigenschaften der Bewegung ähnlich -ver-
änderlicher Systeme bekannt geworden. Diese Untersuchungen, wie auch
die allgemeinen Untersuchungen von Burmester über die Bewegung col-
linear-verSnderlicher Systeme, wurden auf geometrischem Wege durchgeführt,
wobei die bekannten Eigenschaften coUinearer Figuren als Grundlage dien-
ten. Obgleich die geometrische Methode sehr oft schneller zum Ziele führt,
ab die Untersuchung auf analytischem Wege, beabsichtige ich in diesem
Artikel gerade den zweiten Weg zu wählen , weil dadurch ein etwas anderer
Gesichtspunkt gewonnen und vielleicht auch eine grössere Einheit der Unter-
suchung erzielt wird.

Es sei mir daher erlaubt, bevor ich zum eigentlichen Gegenstande
dieser Mittheilung , der Zusammensetzung der Bewegungen und der relativen
Bewegung ähnlich -veränderlicher ebener Systeme übergehe, einige Grund-
formeln, sowie auch einige analytische Beweise schon bekannter Sätze an
znflikren und dabei auf gewisse Einzelheiten einzugehen.

L Die Bewegung eines ähnlich -veränderlichen ebenen Systems kann
<iveh folgende Grössen vollständig bestimmt werden:

a) durch die Coordinaten (^i,^|) eines Systempunktes Jfj,

b) durch die momentane Winkelgeschwindigkeit r und
e) durch den Ausdehnungscoefficienten f ,

^ Tier OrGssen als Functionen der Zeit t betrachtet.

* Llnttitiit 1866, S. 169 und 179.
•* DiflM 2dt»ehrift Bd. XIX 8. 164.
"^JkmObtt Bd. XXIV 8. 846.

UMMtttmsHk u. PhjBik XXX, 4.

194 Ueber die Bewegung ähnlich -veränderlicher ebener Systeme.

Indem wir entsprechend durch (a^, y*) und (x,^, y/*) die Anfangscoor-
dinaten eines Systempunkies (rr, f/) und des Orundpunktes 3f, l)ezeichnen,
erhalten wir folgende Grundgleichungen:

:r = a, + /" Ra-'-o^i") co5( jrdi\ - hf-y,^)sin(^ Z*''^')] '
/ • rf( ^« <

\ 0 0

Diese Ausdrücke können auch als Lösungen folgendpr simulfAner Differen-
tialgleichungen betrachtet werden:

dx dx^ t , \ \

^) < d d

welche auch als Grundgleichungen fdr die Bewegung des l)etTachteten
Systems angenommen werden können.

Die Bewegung eines ähnlich -veränderlichen ebenen Systems kann be-
kanntlich auch durch die Bewegung zweier beliebigen Systempunkte M^
und M^ bestimmt werden. Wenn wir durch (fl^ityi) und (^, y^) die Co-
ordinaten dieser Punkte und durch (a^, b^) und (o^, h^) die Geschwindigkeit»-
^ comßonenten derselben bezeichnen , können wir folgendermassen die Functio-
nen ( und r darstellen:

3)

r =

(a;,-a:,)« + (y,-yi)

X

Zur Bestimmung der Coordinaten eines Systempunktes M erhalten wir aber,
indem wir die permanente Aehnlichkeit des Dreiecks M^M^M ansdrfieken
und mit ^| und k^ die Tangenten der Winkel {M^M^M) und (M^M^M)
bezeichnen :

Diese Formeln beweisen unmittelbar den folgenden Satz von Barmester:

Beschreiben zwei Punkte eines ähnlich - verftnderliehea
ebenen Systems affine Punktreihen auf zwei affinen GnrTea«
so gilt dasselbe von allen SyBtempxxii'tLteii.

Von P. SoMOPP. 195

Man ersieht sofort die Richtigkeit dieses Satzes, indem man beachtet,
dasSy wenn zwei Punkte M^ und M^ affine Punktreihen auf zwei affinen
Carven beschreiben, zwischen den Coordinaten dieser Punkte die Beziehungen

5) x^^A^x^+B^y^ + C^, y, = ii«Äi +-B«y, + C,

bestehen mflssen.

Der analoge Satz von Burmester, die einförmige Bewegung des
Systems betreffend, kann hieraus als specieller Fall abgeleitet werden.

S. Betrachten wir in der £bene einen Punkt , dessen Coordinaten durch
die Grössen e und r bestimmt sind. Der geometrische Ort solcher Punkte,
welche verschiedenen Werthen der Functionen f und r entsprechen, stellt
eine Curve dar, welche bei der Untersuchung der Bewegung eines ähnlich-
veränderlichen ebenen Systems von Bedeutung ist Diese Curve soll im
Folgenden die Charakteristik genannt und mit t^ bezeichnet werden.

Wir bemerken vorläufig Folgendes über diese Curve.

a) Der ans dem Coordinatenanfangspunkte gezogene Radius vector spielt
Qbenül in der Kinematik ähnlich - veränderlicher ebener Systeme dieselbe
Etolle, wie die momentane Winkelgeschwindigkeit in der Bewegung eines
ebenen unveränderlichen Systems. In der Folge wird dies näher gezeigt
werden«

b) Der Winkel , den dieser Radius vector mit der Abscissenaxe bildet,
stellt den von Burmester als Geschwindigkeitswinkel bezeichneten
Winkel dar.

c) Die Schnittpunkte der Charakteristik mit der Abscissenaxe ent-
sprechen denjenigen Systemphasen, bei welchen die Drehung des Systems
ihre Richtung wechselt

d) Die Schnittpunkte dieser Curve mit der Ordinatenaxe entsprechen
denjenigen Systemphasen, bei welchen die Ausdehnung des Systems ihr
Miximum oder Minimum erlangt hat.

Dm einige Beispiele anzuführen, bemerken wir folgendes.

Bei der gleichförmigen geradlinigen Bewegung des Systems ist die
dankteristik ein die Abscissenaxe im Anfangspunkte der Coordinaten be-
'ttrender Kreis.

Bei der gleichförmigen kreislinigen Bewegung des Systems ist die Cha-
nberistik auch ein Kreis, dessen Centrum auf der Coordinatenaxe liegt
^ welcher entweder die Abscissenaxe schneidet oder nicht, je nachdem
^ Sjitem eine beständige Drehung um den Geschwindigkeitspol besitzt
^ ihre Bew^ong eine oscillirende ist.

8b Die Formeln 2) erlauben sehr einfach die Yertheilung der Geschwin-
%lwiten im System zu bestimmen. Wir wollen nur Einiges kurz darüber
>>8tt. Beten wir

196 üeber die Bewegung ähnlich -veränderlicher ebener Systeme.

und bezeichnen wir mit u den Geschwindigkeitäwinkel und mit s den lladin^
vecti)r der Charakteristik, so ersehen wir leicht, dass die Punkte eines
ähnlich-veränderlichen ebenen Systems, deren Geschwindig-
keiten in dem gegebenen Augenblicke den Winkel r mit einer
gegebenen Geraden, deren Richtung durch den Winkel A mit
der Abscissenaxe bestimmt ist, bilden, auf der Geraden

6) s,sin{k + X'-u),{X'-Xi) — s.cos{X + T'-u).(y 'yi) + Vi.9in(k + t^ö)^i)

liegen, welche mit der Richtung (X) einen Winkel bildet, der
durch den Winkel zwischen der Geschwindigkeitsrichtnng der
betrachteten Punkte und dem Radius vector der Charakte-
ristik gemessen wird.

6 bedeutet hier den Winkel, welchen die Geschwindigkeit v^ des Punk-
tes M^ mit der Abscissenaxe bildet.

Alle Geraden 6) schneiden sich in einem Punkte, dem Geschwindig-
keitspole. Die Coordinaten (|, if) dieses Punktes können auch unmittelbar
aus den Bedingungen

7. I ai + «(S-Ä:i)-»'(i7-yi) = 0,

gefunden werden und ergeben folgende Werthe:

Indem wir die Gleichungen 7) von den Gleichungen 2) abziehen, erhalten
wir für die Geschwindigkeit eines Systempunktes

9) v* = «(ir-S)-r(f/-i?), Vy=€(2/-i?) + r(ir-S),
woraus

v = 8 y\x — iY + (y — t/)*,

d. h. : die Geschwindigkeit eines Systempunktes ist gleich dem Producte aus
der Entfernung dieses Punktes von dem Geschwindigkeitspol in den Radius
vector der Charakteristik.

Wenn die Bewegung des Systems durch die Bewegung zweier Grund-
punkte M^ und M^ bestimmt ist, so kOnnen wir die Coordinaten |y ti da-
durch bestimmen, dass wir die Ausdrücke 3) für c und r in die Gleich-
ungen 8) einsetzen. Es seien

— =<Z

das Verhältniss der Geschwindigkeiten der Punkte M^ und If,, und jü der
Winkel zwischen diesen Geschwindigkeiten. Es ergiebt sich dann

10) J 1 — 2g(»5fA+g«

^ l-2aoo«ii-Vtf

Von P. SoMOFP. 197

■■'^-i'^^-N^'v- *-*^.^'»_— _**. -.•-•_->->

11^

Verschiedene andere Sätze, welche sich auf die Vertheilung der Ge-
schwindigkeiten im System beziehen , können mittels derselben Formeln sehr
leicht abgeleitet werden. Wir wollen aber darauf weiter nicht eingehen.

4. Poibalm und Polcnrve. Um die Gleichung der Polbahn zu erhal-
ten, müssen wir offenbar die Zeit t aus den Gleichungen 8) oder 10) eli-
miniren.

Um die Gleichung der Polcurve zu finden , wollen wir zuerst die Co-
ordioaien des Geschwindigkeitspols auf ein bewegliches Coordinatensystem,
welches mit dem ähnlich • veränderlichen System verbunden ist, beziehen.

Rechtwinklige, aus den Punkten des ähnlich - veränderlichen Systems
gebildete Axen werden immer rechtwinklig bleiben. Wenn wir den Anfangs-
punkt dieses Coordinatensystems im Punkte Mi wählen, mit £, H die
neaen Coordinaten des Geschwindigkeitspoles und mit il|, B^ die Compo-
nenten der Geschwindigkeit des Punktes Mi in Bezug auf diese Axen be-
zeichnen, so finden wir

-. _ ^ Ä^e + B^r u _ _ Bif — Ajr

Wir werden nicht die Gleichung der Polcurve erhalten , wenn wir direct die
^it t aus diesen Gleichungen eliminiren; denn jeder Punkt der Polcurve
wechselt mit der Zeit seine Lage in Bezug auf das bewegliche Coordinaten -
»Jütem infolge der Ausdehnung des ähnlich - veränderlichen Systems , während
wir, um die Gleichung der Polcurve zu bekommen, die Lage aller ihrer
^kte auf ein und dieselbe Ausdehnungsphase des Systems beziehen müssen.
Um zu zeigen, wie das zu thun ist, bilden wir zuerst die Ausdrücke für E
und H für den Fall, dass die Bewegung des Systems durch die Bewegung
der Grundpunkte Jtf, und M^ bestimmt ist. Ziehen wir die bewegliche Ab-
<<<^naxe durch den Punkt Jtf^, so dass jetzt

z, = o, ri = o, x, = M,M,, y, = ()

ist und folglich'

A^=^Ai + (X.,, B.^ — B^ + rXg

wird. Es ergiebt sich dann

«

^ 1 — ^</coSfi + (/* - l — ^qcosii + q-

£s sei C ein Punkt der Polcurve in ihrer Lage zur Zeit t. Das Dreieck
^\^K^ bleibt während der Bewegung sich selbst ähnlich. Wollen wir die
W^ des Punktes C in einem andern Momente t^ erhalten, so müssen wir
Qie Coordinaten dieses Punktes in demselben Verhältnisse verkleinern, in wel-
^ diese Coordinaten im Zeiträume t — t^ infolge der Ausdehnung des
^Jtlems sich vergrössert haben. Hieraus folgt, dass man, um die Gleichung
^ Polcurve, auf das Moment t^ bezogen, zu bestimmen, der Coordinate
^ <fen Werth X^, welcher diesem Moment entr VtkXiw \)»^^:e^

du Gkubungen 12), welche jetzt

198 üeber die Bewegung ähnlich veränderlicher ebener Systeme.

sein werden, die Variable t eliminircn muss.

Dieselbe Uebcrlegung zeigt, dass, wenn die Coordinaien H, H durch
die Gleichungen 11) gegeben sind, wir anstatt dieser Gleichungen folgende
nehmen müssen:

Tf dt f\

I
\di

um dann die Zeit t aus ihnen zu eliminiren.

-=^ß'' - ,2 + ^2 ' "0- - ,2^^

5. Untersuchen wir einige specielle Fälle.

a) Aus den Gleichungen 13) folgt

y 02

32 I U2__ .-^S_ ,

-0 -tn, -i^2qcasti + q^

und wir sehen, dass die Polcurye ein Kreis wird, welcher den Punkt M^
zum Centrum hat, wenn das Verhältniss der geometrischen Differenz der
Geschwindigkeiten zweier Systempunkte zur Geschwindigkeit eines dieser
Punkte constant ist. Das wird z. B. in einer solchen Bewegung des ähnlich-
veränderlichen Systems vorkommen, in welcher der Punkt Jtf| sich gerad-
linig bewegt, während der Punkt M^ eine Cycloide (welche auch eine ver-
kürzte oder verlängerte sein kann) bcHchreibt. Diese Cycloide muss durch
das Rollen eines Kreises auf der Bahn des Punktes M^ mit einer der Ge-
schwindigkeit dieses Punktes gleichen Geschwindigkeit erzeugt werden.

b) Die Gleichungen 13) ergeben weiter

Hq _ q sinfjL

woraus man ersieht, dass die Polcurve eine Gerade ist, wenn die geo-
metrische Differenz der Geschwindigkeit zweier Systempunkte einen constan-
teu Winkel mit der Geschwindigkeit eines dieser Punkte bildet. Man erhält
z. B. eine solche Bewegung, wenn der eine Punkt sich geradlinig und gleich-
förmig bewegt, während der andere Punkt eine Parabel beschreibt, deren
Axc zur geometrischen Differenz beider Punkte parallel ist Die übrigen
Punkte werden dabei auch Parabeln beschreiben.

c) Indem wir fi aus den Formeln 13) eliminiren, erhalten wir die
Gleichung ^ „ 02

—0 T"no j__ 2— o"r j _ sj""^»

woraus wir ersehen, dass die Polcurve ein Kreis ist, wenn das Verhältniss
der Geschwindigkeiten zweier Punkte des Systems constant ist. Das worden
wir z. B. in jeder solchen Bewegung des Systems finden, in welcher zwei
Punkte ^^anz beliebige Bahnen gleichmässig beschreiben. Man findet dabei
hiebt, Haas der /Kreisbogen, welchen der tiQ^YiYi\u^\^^\\i&\Ki\ ^>aX ^t \?qI-

Von P. SoMOPP. 109

cane in einer gewissen Zeit beschreibt, durch den Winkel gemessen wird,
um welchen sich in dieser Zeit der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten
der beiden Punkte geändert hat.

d) Durch Elimination von q aus den Gleichungen 13) erhalten wir

SO das8 die Polcurve ein durch die Punkte M^ und M^ gehender Kreis wird,
wenn die Geschwindigkeiten der Punkte M^ und M^ miteinander einen coii-
ätanten Winkel bilden , d. h. wenn die Geschwindigkeiten dieser Punkte den
KrQmmimgsradien ihrer Trajectorien proportional sind. Das wird auch ein-
treffen, wenn zwei Systempunkte auf irgend eine Weise sich geradlinig
bew^en.

e) Die Formeln 13) können auch dazu dienen, den von Geisen-
heimer ausgesprochenen Satz, dass die Polcurve bei einer affinen Be-
wegnng eines ähnlich- veränderlichen Systems ein Kreis ist, zu beweisen.
Das kann jedoch bei Betrachtung der Beschleunigung auf einem kürzeren
W^ nachgewiesen werden.

6. Herr Burmester hat darauf aufmerksam gemacht, dass die Be-
wegung eines ähnlich -veränderlichen Systems durch das Bollen der ver-
änderlichen Polcurve auf der unbeweglichen Polbahn erzeugt werden kann.
D^ Beweis, dass dabei wirklich ein Rollen ohne Gleitung bestehen wird,
iH:heint uns nicht vollkommen unnöthig zu sein; wir wollen ihn daher hier
andlbren.

Wenn wir durch q> den Winkel, welchen die bewegliche Abscissenaxe
•mit der unbeweglichen bildet, bezeichnen und die Werthe von J — a?i und
il^jfi ans den Formeln 8) in die Gleichungen

H= (i''X^)co8q> + (ri — y^)8inq),
H = — (5 — o^i) M'nqp 4- (»y — y,) cosqp
einsetzen, erhalten wir

dl ' dt "^

*^n, finden wir

^ i«t offenbar

l^^y dt '

Indem

wir

200 üeber die Bewegung ähnlich -verftnderlicher ebener Systeme.

^2-[C-^''-«)*»-(^-''+'')H'".

Wenn man bemerkt, dasa infolge der Gleichungen 8) und 14)

-Ci5^''+'')=ä!+'«-'.''

ist, erhält man V c^ + r* / dt

(l£= d^cosq> + dri8inq> + sdt.[ (S — Xj) cos<)p + (i?— yj ä*»^]-
<iH = — dj5tn<p + dfi costp + £ d^.["" (S — a;,) sinq> + (i/ — ^i) (»«9] ;
üder, durch da und dZ entsprechend die Bogendifferentiale der Polbahn und
der Polcurve bezeichnend,

dZco5(Z, dI.) = daco8{X^ do) + z,sdt,
dZ9in{Xidl)==da$in{Xida) + HBdt.

Hieraus ersehen wir, dass dZ eine geometrische Summe des Bogens da und
der unendlich kleinen , von der Ausdehnung des Systems abhängigen Trans-
lation des Geschwindigkeitspoles ist. Es ergiebt sich also die Gleichheit
der Bogen dT und da, wenn wir annehmen, dass im Zeitraum di keine
Ausdehnung stattfindet. Es geschieht also wirklich ein Rollen der Polcunre
auf der Polbahn; die Polcurve aber erleidet dabei eine Ausdehnung, welche
dem durch die Function i bestimmten Gesetze folgt.

7. Die Beschleunigung eines Systempunktes kann durch folgende For-
meln bestimmt werden:

„,^&'=['^-'*('-'.>-i{"-».>]+(''+s)<''-"'-'"-<»-''''''

" 0-[t-''<»-'"'+sf<'-''']+(''+l>)'»-''''+^"<--'''-

Daraus ersehen wir, dass die Beschleunigung sich folgendermassen zusam-
mensetzt : *

a) aus der Beschleunigung, welche der Systempunkt besitzen würde,
wenn das System unveränderlich wäre;

b) aus der Beschleunigung , welche nur von der Ausdehnung des Systems

abhängt und der Function «* + T7 proportional ist;

dt

c) aus einer Beschleunigung , welche zugleich von der Ausdehnung und^
von der Drehung des Systems abhängt und daher gemischte Be-
schleunigung {accdlercUion mixte **) genannt werden kann ; sie ii
zu der vorhergehenden Beschleunigung senkrecht gerichtet.

* Vergl I^urrande, Gomptes rcudua, LWV, \m
*^- ibid.

Von P. SoMOFF. 201

Die Beschleunigung kann noch auf eine andere Weise zerlegt werden,
wobei die Analogie zwischen der Bewegung eines ebenen ähnlich- veränder-
lichen und eines unveränderlichen Systems sichtbar wird, nämlich:

a) in die Beschleunigung, welche das System haben würde, wenn der
Geschwindigkeitspol unbeweglich wäre und welche die Grössen

X(aj— I) — jiAry— 1?) und A(y-i?) + ^(a;-9,
wobei j j

gesetzt ist, zu ihren Projectionen auf den Coordinatenaxen hat, und
l>) in die Beschleunigung, welche davon abhängt, dass der Geschwin-
digkeitspol seine Lage wechselt.
Diese letztere Beschleunigung setzt sich zusammen aus einer Beschleu-

do
ßiffUBg r — » welche der Richtung der Normale zur Polbahn im Punkte,

welcher im betrachteten Augenblicke als Geschwindigkeitspol dient, parallel

^^ 9 und aus einer zu dieser Beschleunigung senkrechten Beschleunigung

d u . . clc

* j^ • Diese beiden Beschleunigungen bilden die Beschleunigung V^^'i'^^'~37^

welche mit der Tangente zur Polbahu im Punkte, der im betrachteten
Augenblicke als Geschwindigkeitspol dient, einen dem Geschwindigkeits-
wmkel gleichen Winkel bildet. Dasselbe finden wir für ein unveränder-
liches System, wenn wir nur den Radius vector der Charakteristik durch
<iie momentane Winkelgeschwindigkeit und den Geschwindigkeitswinkel durch
einen rechten ersetzen.

8. Mittels der Formeln 13) kann sehr einfach die Vertheilung der
BetscUeunigungen im System untersucht und die Gleichungen der Br esse-
schen Kreise gefunden werden, wie auch der PascaTschen Schnecken, flli*
deren Punkte die Tangential- oder die Normalbeschleunigung einen constan-
ten Werth hat, u. dergl. Wir wollen darauf weiter nicht eingehen, son-
dern nur einiges den Beschleunigungspol Betreffendes bemerken.

a) Der Beschleunigungspol föllt im Allgemeinen nicht mit dem Ge-

«'^'^tvindigkeitspol zusammen; wir können aber leicht die Bedingung auf-

stelieji^ nuter welcher ein solches Zusammenfallen stattfindet. Diese Be-

^''^Ung besteht darin, dass die Bewegung des Systems eine einförmige

**^**^ muss.

b) Damit der Beschleunigungspol beständig mit einem und demselben
^^l^te Ä der Ebene zusammenfalle, ist es noth wendig, dass die Beschleu-
U^Migen zweier Punkte M^^ und M^ den Entfernungen dieser Punkte vom
^^^^^^Ete Ä proportional sind und dass diese Beschleunigungen mit den Ge-

ÄM^ und ÄM^ entsprechend gleiche Winkel bilden.

"^"« wird z. B. eine solche Bewegung öl^ä ?>^^\fömÄ %^-
^ Jfj eine Curve zweiten GtBAe^^ N^n. ^ct '«svxv

202 üeber die Bewegung ähnlich - veränderlicher ebener Systeme.

Brennpunkt mit dem Punkte Ä zusammenfällt, beschreibt, während der
Punkt M2 sich so auf einer Geraden bewegt, dass das Verhftltniss seiner
Beschleunigung zu seiner Entfernung vom Punkte Ä umgekehrt propor-
tional dem Cubus der Entfernung des Punktes Jlf, vom Bcschleonigangs-
pol Ä ist.

Soll der Beschleunigungspol beständig mit einem und demselben Punkte
B des Systems zusammenfallen , so müssen die Beschleunigungen der Punkte
Ml und M^ denselben Bedingungen genügen, welchen die Geschwindigkeiten
dieser Punkte im Falle der einförmigen Bewegung des Systems genügen;
d. h. das Verhältniss der Beschleunigungen dieser Punkte und der Winkel
M^BM^ müssen constant bleiben.

Als ein Beispiel dazu können wir eine solche Bewegung anführen, bei
welcher der Punkt M^ gleichmässig einen Kreis beschreibt, der Punkt üf,
aber eine Cycloide, welche durch das Rollen eines Kreises, der sich mit
derselben Winkelgeschwindigkeit wie der Punkt If, dreht, beschrieben wird.

9. Znsammensetzung der Bewegungen ftlinlich -veränderlicher ebener
Systeme. Wir stellen uns zwei Bewegungen eines ähnlich - veränderlichen
ebenen Systems vor und bezeichnen mit (o;,, y^, f^, rj und (x^, y^^ s^,
r.^) die Elemente, welche diese Bewegung bestimmen, wobei die beiden
Bewegungen auf ein und dasselbe Coordinatensystem bezogen werden.
Jeder Punkt der Ebene wird infolge der gegebenen Bewegungen zwei ver-
schiedene Geschwindigkeiteu besitzen; wenn wir für jeden Punkt diese Ge-
schwindigkeiten geometrisch addiren, erhalten wir eine neue Bewegung des
veränderlichen Systems, welche den Aehnlichkeitsbedingungen offenbar wieder
genügen wird.

Die Elemente einer so zusammengesetzten Bewegung können aus fol-
genden Gleichungen bestimmt werden:

-f a2 + fja;-a-j-r^(y — y^),
+ ^ + '2 ' :?/ - ^2 + »•» (^ — ^2 ) •

Da diese Gleichungen für alle möglichen Werthe von x und y erfüllt »eiu
mUäseu, so zerfallen sie in folgende vier:

^^ — («1 + ^)^1 + (»'1 + ^2) ^i = «1 +öä — (fii^i + ^tx.^\+ {riyi + r^y^)y
^i - («1 + O ^1 - (Ti +**«)^i = ^i + ^-(^1^1 + ^tPt) - (»*i^i +^^J-
Die ersten zwei von diesen Gleichungen können auf folgende Weise aus-
gesprochen werden:

Der llaiUus vector der Chara'kteristik der zusammengesetz-
^en Bewegung eines ähnlich-veT)Sknd«TV\<^\x«Ti ^Xi^tl^ti ^^S^V^m.^

Von P. SoMOFP. 203

ist der geometriachen Summe der Radii vectores der Charak-
teristiken bei den Gomponenten gleich.

Wollen wir die Lage des Geschwindigkeitspob in der zusammengesetzten
BewBgong ans den Lagen der G^eschwindigkeitspole der Componenten ab-
leiten, so müssen wir die Goordinaten eines solchen Punktes aufsuchen,
dessen Geschwindigkeit, aus den beiden Componenten zusammengesetzt,
gleich Null ist. Wenn wir entsprechend durch (E,H), (61,1/1) und (§3,1/2)
die Goordinaten der drei Geschwindigkeitspole bezeichnen , müssen wir daher
z und H aus folgenden Gleichungen bestimmen:

öi + fl, + «i(H-«i) + fj(=-a:,)-r,(H-y,)-fj(H-yi) = 0,
^ + ^+«i(H-yi)+f,(H-y,)+r,(=-xO + r,(=-a;,) = 0.
Indem wir die Gleichungen

«i + <i(Si-«i)-r,(i/i-y,) = 0, &, + «1(1/1 -y,) + ri(Si-a?,) = 0,
fli+«j(68-a-«)-»-3i(i/s-ys) = 0, 68 + «8(i?8-y2) + ^(^-««) = 0,
«eiche den Gleichungen 7) nachgebildet sind, beachten, finden wir

t'i + ^,)' + (r,+r,)^
H _ (V+>'i')i/i+(g2'+0^> + (*|g< + »'i^»)(<?i + i/i)-(^ya — f<y|)(^i— gj)

Wenn wir

^^u und durch q> den Winkel zwischen den ßadii vectores 5, und 5, be-
«eichnen, erhalten wir

£ _ 0+PCOSq>)i^f + {p^+pco8(p)$^+psinq>.(r]i'-fi^)
Ißx 7"" l + ^pcostp+p*

u __ (^+ P co8^)Vi + {P^ + P cosv)V2— P 8in(p .(^^- ^)

l + 2pC08q>+p*

Die^e Formeln geben uns folgende Beziehungen:
1 7^ (H-§,)«+(H-i?.)« _

^ (H-|,)*+(H-ij,)» "'''

,„. (H-i?,)( = -|,)-(H-.?,)(=-S.) _

'^' (=_|,)(=_|,) + (H-^,)(H-n,)~'^'^-

I>ie erste von ihnen beweist, dass die Entfernungen de» (ioschwiu-
digkeitspoles der zusammengesetzten Bewegung von den Go-
ücbwindigkeitspolen der Componenten den Grössen 5i und s^
umgekehrt proportional sind. Wir erblicken darin eine Analogie mit
der zusammengesetzten Bewegung eines unveränderlichen ebenen Systems.
Die Gleichung 18) spricht aus, dass der Winkel, welcher durch die
Verbindungslinien des Geschwindigkeitspoles der zusammen-
gesetzten Bewegung mit den Geschwindigkeitspolen der Com-
ponenten gebildet wird, dem Winkel iwiBcVk^ii di^ii V\ti\^^ «x
Bttd ^ gleich ist

204 üeber die Bewegung ähnlich -veiHnderlicher ebener Systeme.

Man bekommt abo den Oeschwindigkeitspol ^er zusammengesetzten
Bewegung als einen der Durchschnittspunkte zweier Kreise, von denen der
eine die Verbindungslinie der Oeschwindigkeitspole der Componenten har-
monisch im umgekehrten Verhältnisse der Grössen 5, und s^ theilt und der
andere durch diese Punkte geht.

10. Wir wollen einige Resultate angeben, welche sich auf specielle
Fälle beziehen.

a) Wenn die Componenten der zusammengesetzten Bewegung einförmig
sind und ihre Geschwindigkeitspole zusammenfallen, so ist die zusammen-
gesetzte Bewegung auch einförmig und ihr Geschwindigkeitspol föllt mit
den Geschwindigkeitspolen der Componenten zusammen.

b) Wenn die Componenten einförmig sind, aber die Geschwindigkeits-
pole derselben nicht zusammenfallen, so wird im Allgemeinen die zusam-
mengesetzte Bewegung nicht einförmig sein. Damit aber dieselbe einförmig
wird, ist es noth wendig und hinreichend, dass die Charakteristiken der
Componenten ähnliche Curven seien mit dem Aehnlichteitspol im Anfangs-
punkte der Coordinaten und dass die Punkte derselben in verschiedenen
Zeitmomenten entsprechend ähnliche Punktreihen bilden.

c) Die zusammengesetzte Bewegung kann auch dann einförmig sein,
wenn die Componenten nicht einförmig sind. Die Coordinaten E und H
hängen von sechs Grössen |, , l^. 171, 1721 P vind q> ab; von denselben können
vier willkürlich gegeben und die übrigen zwei der Bedingung gemäss, dass
E und H constant bleiben , bestimmt werden. Auf diese Weise finden wir
z. B.: wenn die Charakteristiken der Componenten ähnliche Curven sind
und in entsprechenden Momenten ähnliche Puuktreihen bilden, so ist es,
damit die zusammengesetzte Bewegung einförmig sei, nothwendig und
hinreichend, dass die Geschwindigkeitspole der Componenten so ihre Lage
ändern, wie zwei Punkte eines ähnlich - veränderlichen ebenen Systems, wel-
ches sich einförmig bewegt und zum Geschwindigkeit«pol den Geschwindig-
keitspol der zusammengesetzten Bewegung hat.

11. Die relative Bewegung des ähnlich -veränderlichen ebenen SystemB.

Es sei S^ ein ähnlich -veränderliches ebenes System, dessen Bewegung
durch die Elemente x^y y^^ Cj, r^ bestimmt ist, und es mögen x^ y und
j;^ y^ entsprechend die Coordinaten eines Systempunktes und ihre Anfangs-
werthe bedeuten. Wir haben dann, den Formeln 1) gemäss:

X = X, + c» ' [(x" - x,") cos i^J f , d .') - (y - y,«) sin ( |r, d/)] ,
111) \ . \ " ^ -

0 '^

Von P. SoMOPF. 205

Stellen wir uns ein anderes ähnlich - veränderliches System S vor, dessen
Bewegung in derselben Ebene vorgeht und durch die Elemente X, , F, , E,
R bestimmt ist. Dann können wir, durch X, Y und X^, Y" entsprechend
die Coordinaten eines Syst^mpunktes und ihre Anfangswerthe bezeichnend,
ebenso wie oben schreiben:

r , t t

/{ t

0 0

Wenn wir diese Bewegung auf ein Üoordinatensystem beziehen . welches aus
<1en Punkten des Systems S^ gebildet ist, so können wir diese Bewegung
als die relative Bewegung eines ähnlich -veränderlichen ebenen Systems be-
tracbten. Indem wir mit J, , ?/, , f^, fg die Elemente dieser relativen Be-
wegung und mit $, t} und ^, rf entsprechend die Coordinaten eines System -
ponktes und ihre Anfangswerthe in Bezug auf das bewegliche Coordinaten-
System bezeichnen, können wir setzen:

r t ^

21) J , « 0

t dt * ^

0 0

Bei Betrachtung dieser Formeln müssen wir uns vorstellen , dass das System
^, sich in einer bestimmten Ausdehnungsphase befindet; denn sonst werden
alle darin stehende Coordinaten, abgesehen von allen übrigen Umständen,
ihre Grösse noch infolge der Deformation des Systems S^ ändern. Wir wer-
den daher voraussetzen, dass die Formeln 21) sich auf diejenige Phase des
Systems 8^ beziehen, welche dem Moment < = 0 entspricht.

Wählen wir die beweglichen Coordinatenaxen so, dass der Anfangs-
punkt (X| , y,) fällt und dass zur Zeit ^ = 0 diese Axen den unbeweglichen
parallel sind, so werden zwischen den Coordinaten §, tj und X, Y folgende
Beziehungen bestehen:

h dt * *

X = rr, -f c^ 1 1 cos ijr^ dt) - 1^ «n ( ir^ dtjj ,

22) ( , ^ ^

r i *

Y^y^ + e^ * [im( /r,deWficos((r^dtW

0 0

208 üeber die Bewegung ähnlich -veränderlicher ebener Systeme

0

t

0

13. Wir wollen zuletzt die Beschleunigungen der relativen und der ab-
soluten Bewegung untersuchen. Wenn wir

, '' dt "^^ "^'^ ^^in+^^-^i-

c«-?i?-r« — A 2*r-4.— ^ — li

setzen und durch w^ und w^ ent-sprechend die Führungs- und die relative
Beschleunigung bezeichnen, werden wir haben:

29)

I

30)

-^' + i« («- 1,) -ftj («?-«?■) J«'" .

c

wobei wieder der Factor e^ aus demselben Grunde wie oben ein-

geführt ist.

Wenn wir die Gleichung 27) nach / diflerenziren und die Formeln 25),
26), 27), 28) und 29), sowie die Beziehungen

t <

Wix==^Wi^cos( j r^dtj— w^nSini Ir^dt],

0 0

t t

iViy = W2^sinl fr^dt) + W2t]C08^ j r^dtj

beachten, finden wir:
31) < JV

— :=Wiy+W2y + 2{B^ V2y + r, t'i,).

Von P. SoMOPF. 209

Somit setzt sich die absolute Beschleunigung aus 4rei Beschleunigungen
xQsammen: aus der Führungsbeschleunigung, der relativen Beschleunigung
und einer Beschleunigung, welche der zusammengesetzten Centripetal-
beschlennigung in der absoluten Bewegung eines unveränderlichen ebenen
Systems ganz analog ist Ihre Grösse

ist dem doppelten Product der telativen Geschwindigkeit in den Hadius vec-
tor der Charakteristik der Führungsbewegung gleich. Ihre Richtung bildet
mit der relativen (Geschwindigkeit des betrachteten Punktes einen Winkel-
weicher dem Geschwindigkeitswinkel der Führungsbewegung gleich ist.

Somit sehen wir, dass der Satz von Coriolis auch für ein ähnlich,
veränderliches System giltig ist; es muss nur dabei die Winkelgeschwindig-
keit durch den Radius vector der Charakteristik und der rechte Winkel,
welchen die zusammengesetzte Centrifugalbeschleunigung mit der relativen
Geschwindigkeit bildet, durch den Geschwindigkeitswinkel der Führungs-
bewegung ersetzt werden.

f.M»thMi*tllE n. Fh/Bik XXX, 4. \^

X.

üeber die Bedingungen, unter denen zwei
homogene DifferentialgLeichiingen mehrere partiku-
lare Integrale gemeinsam haben.

Von

Dr. E. Grünfeld,

Aatistent *n der techn. Hoohtohole in Wien.

Sind

cf^y

m-l

^(y)=y+i'.Lirr^+-+i'-.y=o

1)

und

d3f"

«(^) = 0+^^da;-

zri + ' ' + Qny = 0

lineare homogene Differentialgleichungen der m^^", beziehungsweise n^° Ord-
nung, und man bildet das System von m + n Gleichungen

2)

daf"

daf"

d'-^Pfy)_Q

dx

dP(y)

= 0, P(y) = 0,

da:"-' ' da;-- 2 "^' •' dx

so wird bekanntlich darch das identische Verschwinden ihrer Determinante

1 Ql Qm^\,\ 3«-l,2

Ol Ql Qm^2,l

0 0 1 ql

t • • •

0 0 0 0

1 Pi Ph—1,1 Pn — l.7

Ol Pi P,-J,l

0 0 1 Pi

^m— l,in4-n— 3 $m— 1, m-f n— 2

9m— S, fn4-n— 4 9m— 2,m-|-ii— 3

9m— 3, fn-|-n — 5 9m^9t*" + n— ^

• •

9n-1 9n

i>it— l,ni + ii-3 1^11 — 1,111 + 11-2

Pm—2,m-\-n-A JPm - 2, m + n — 3

l>ii-3, m + ii-6 1^11—3, m+n— 4

Pm-\

0 0 0 0

in welcher, wenn zur Abkürzung

1.2.. .a

df^Qi

Pm

Qa =

gesetzt wird,

9<

(a)

d«^

üeber die Bedingungen etc. Von Dr. E. Grükfeld. 211

■ .^ --^-^ --^ ,— . ^ -«

ist, die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür ausgedrückt, dass
die beiden Differentialgleichungen 1) ein partikuläres Integral gemeinsam
haben.

Die Bedingungen, unter denen diesen Gleichungen zwei oder mehrere
Integrale gemeinsam sind, lassen sich, wie Herr y. Escherich gezeigt
hat ,^ durch die Betrachtung der ünterdeterminanten in der Determinante d
herleiten; man kann dieselben jedoch auch aus dem Oleichungssjstem 2)
selbst erhalten ,** zu welchem Zwecke mir das nachstehende Verfahren sehr
angezeigt scheint, welches ähnlich demjenigen ist, mit dessen Hilfe Herr
Hioux^* die analogen Bedingungen für zwei algebraische Gleichungen
gewonnen hat.

Das System der Gleichungen 2) besteht aus zwei Gruppen, deren erste
m und deren zweite n Gleichungen enthält.

Man unterdrücke in jeder Gruppe die f>-i ersten Gleichungen: dann
bleiben Ä; + ^ in der ersten und i in der zweiten übrig. In diesen zurück-
bleibenden Gleichungen bilden die A;-f ^^ ersten Colonnen zur Linken eine
Determinante (Ä; + 2i)***' Ordnung, in welcher die Elemente der ersten Co-

lonne aus den Coefficienten von -; — , . . und die der letzten Colonne aus

den Coefficienten von - „ . in den übrig bleibenden Gleichungen bestehen.

FOr tsfi kommt das ursprüngliche System 2) wieder zum Vorschein.
Diese Determinanten (Ä; + 20^^ Ordnung mögen mit S)i,o bezeichnet werden.
Es bezeichnen femer

S)<,i, 5D/,2, ... 5D/,n-<

Determinanten, welche aus S)<,o hervorgehen, wenn darin die letzte Colonne
von Coefficienten nach und nach durch jede der n— t folgenden Coefficien-
tencolonnen ersetzt wird.

Es werde die Determinante ®^,o na^h den Elementen ihrer letzten Co-
lonne geordnet I und seien die denselben zugehörigen Unterdeterminanten
die Grössen

fl<,Oi q/,ii q/,2> ••• q<,Ar+<-i
und

P/,0| p/,l> Prf,2) ... Pf,<-1«

▼on den zurückgebliebenen Gleichungen multiplicire man die erste mit q^^o,
die sweite mit q<,i, ..., die letzte mit p/,i>i und addire: die so erhaltene
itl ofllBBbar nichts Anderes als der Ausdruck

Hn der kaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien,

•»uier in den Comptea iLeiid\i%^ \,/Xß^ >^^
le Supörieuxe, t, IL n). ^W— "Wi.

212 üeb. d. Bedingungen , unter denen zwei lin« homog. DifferentialgL

3) i^* = ®..o^, + S).-..j^^ + ...+®*.»-.-.^ + a>,.._.y,

indem in derselben die Coefficienten der höheren Ableitungen von y ab der
(w — «)*•" identisch verschwinden.

Fi kann andererseits, wie leicht zu ersehen ist, auch in der Form
geschrieben werden:

oder, wenn

und

/ ßi-\ ^f-2 \

\Ko ^^,, +t)M ^^<,2 +• • + »>/,i-i Jy = «f(y)

gesetzt wird,

oder kürzer

5) Fi^PiQ+QiP.

Aus der Gleichung 5) ergiebt sich der Satz:
I. ;,Die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen, dass die beiden
Differentialgleichungen P(y) = 0 und ^(y) = 0 k und nur % Inte-
grale gemeinsam haben, sind

6) 2)«_«-n,o = 0, 2)„-«+i,i=0, ..., SD„-«+.,,-i=0

In der That, aus der Gleichung

4) Fi{y)^PiQ{y) + QiP(y)

folgt allgemein, dass für jedes Integral, welche? ^(y) = 0 und ^(y)r=0
gleichzeitig zukommt , auch JP^ = 0 wird. Nun ist

WO nach o)

für jedes der x den Gleichungen P{y)z=iO und Q(^) = 0 gemeinsamen In-
tegrale müsste 2^M— jr-i-i =0 sein, d. h. es Hesse diese Differentialgleichung
(x — 1)*^' OrdnuDg x von einander linear unabhängige Integrale zu, was
nicht möglich ist; es muss daher Fn^K^x identisch verschwinden, somit sein:

Haben also P{y)^0 und Q{y)z=0 x Fundamentalintegrale gemeinsam , so
finden nothwendig die letzteren Gleichungen statt. Soll die Anzahl der
gemeinsamen Integrale % nicht übersteigen, so muss ausserdem die Beding*
ang S>ßg^M,ofO erfttUt sein. Denn es ist

mehiere partiknl. Integrale gemeinsam haben. Von Dr. E. Grünfeld. 213

ein homogener linearer Differentialansdmck k^^ Ordnung, welcher für die x
den Gleichungen P(y)=:0 und Q{y)=^0 gemeinsamen Integrale verschwin-
det, wozu noth wendig ^ii-»,oH=0, und der andererseits auch nicht iden-
tisch verschwinden kann, da alsdann den Gleichungen P{y)=^0 und 0{y) = 0,
der Voraussetzung entgegen , mehr als x Integrale gemeinsam sein könnten.

Die aufgestellten Bedingungen sind also nothwendig. Dieselben sind
aber auch hinreichend. Bestehen nämlich die Gleichungen

so folgt, dass

der Ausdruck Qn^u-\-\ P{y) verschwindet fttr die m Pundamentalintegraie
▼ouP(y) = 0, fllr ebendieselben muss daher auch Pn—k-\-\Q(y)='0 sein;
weil aber der Ausdruck /'„-«^.i (jf), der von der Ordnung ♦» — x ist,' für
nicht mehr als m — x linear unabhängige Functionen z verschwinden kann,
60 müssen die übrigen x Integrale der Gleichung Q{jy) = 0 angehören.
Finden demnach die Gleichungen 6) statt, so haben P{y)=:0 und Q{y) = 0
wenigstens x Integrale gemeinsam. Ist nebstdem die Bedingung erfUllt,
dass $a.x,o ^on Null verschieden, so folgt, dass die Gleichung

von der n*«* Ordnung ist und dass somit wegen

den Gleichungen P{y) = 0 und Q{y) = 0 x und nicht mehr als x Funda-
nentalintegrale gemeinsam sein können.

Ans dem Obigen folgt noch:

11. „Diejenige homogene lineare Differentialgleichung, welche die den

beiden Differentialgleichungen P(^) = 0 und Q{y) = 0 gemeinsamen

Lösungen zulftsst, ist

Der Satz I kann durch den folgenden ersetzt werden:

in. „Die noth wendigen und hinreichenden Bedingungen, dass die beiden
Differentialgleichungen P(y) = 0 und $(y) = 0 x und nur x linear
unabhängige Integrale gemeinsam haben, sind

') a)„,o = 0, S)n-i,o = 0, ..., S)„-.«+i.o = 0

und

S)„-«,o + 0.
Beweis.

Biimi man »s 1 an, so ist der Satz III von I nicht verschieden,
^ *Adani die Bediaguigen 7) mit denen in 6) zusammenfallen und die

'"* Betracht kommende x in beiden Sätzen

214 üeb. d. Bedingungen j unter denen zwei lin. homog. DifferentialgL

Angenommen , derselbe wSre ftir den Fall von x gemeinsamen Integra-
len erwiesen, so ist zu zeigen, dass er auch noch fUr » + 1 Greltung besitzt.

Unter der gemachten Voraussetzung ist klar, dass die nothweudigen
Bedingungen fUr das Vorhandensein von wenigstens x + 1 gemeinsamen In-
tegralen ausgedrückt werden durch die Gleichungen

und

Dieselben sind aber auch hinreichend; denn es kann einerseits die Anzahl
der gemeinsamen Integrale nicht unter x herabgehen, andererseits ist

8) Fn^n^Pn-uQ + Qn^nP

und der Ausdruck

wegen 5)n-x,o=0 von niederer als der x**** Ordnung; der zweite Theil
der Gleichung 8) verschwinde); für die der Annahme nach vorhandenen x
gemeinsamen Integrale von /^(y) = 0 und g(y)=0, daher auch der erste
Theil. Dieser ist jedoch, wie eben bemerkt, von niederer als der x**"
Ordnung, muss also identisch verschwinden, woraus folgt:

SD«-x,o=0, SD„-«,i=0, ..., SD«-x,x = 0

und somit diejenigen Bedingungen erfüllt sind, welche der Satz I für das
Vorhandensein von wenigstens x + 1 gemeinsamen Integralen als nothwen-
dig und hinreichend vorschreibt.

Hiernach haben P(y) = 0 und Qiy) = 0 wenigstens x + 1 Integrale
gemeinsam; damit sie nicht noch eines mehr haben, muss gleichfalls nach
Satz I

5)n-«-l,0=l=0

sem.

Gilt demnach der Satz III für den Fall von x gemeinsamen Integralen,
so gilt er auch noch für x + 1 derselben. Nun gilt er für x = 1 , daher^
auch für x = 2 , und allgemein.

Was das Bildungsgesetz der im Satze III auftretenden DeterminanteoB.
betrifft, so ist Folgendes zu bemerken:

Die Determinante ^n,Oy deren Verschwinden anzeigt, dass den Gleich —
ungen P{y) = 0 und Q (^) = 0 überhaupt gemeinsame Integrale zukommen. ^
ist mit der Determinante d des Gleichungssystems 2) identisch. Die Deter —
minante ^n— i,o geht aus !Div,o hervor, indem man in jeder der beid<
Gruppen, aus denen das System 2) besteht, die erste Gleichung
drückt — wodurch die erste Colonne von 2)n,() ausföllt — , und hi<
noch die letzte Colonne in ^»,0 weglässt. Verfahrt man hinsichtlich S>a^i.
in ähnlicher Weise , wie zuerst hinsichtlich Sn,0} so wird die Determinant
$)n— 2.0 gebildet, u. s. f.

Fs ist demnach jede dieser Determinanten von einer um zwei EiiiheitHBa
nJedrigerea Ordnung als die unmittelbar votViwg^XÄiiÖÄ,

mehrere paiükal. Integrale gemeinsam haben. Von Dr. E. Gbünfbld. 215

Ist z. B. m = 3 und n = 2, demnach :

9)

SO ist

und

2)

J,0

und

1

0

1

0

0

1

Pl

23'i + ?2 23', + g", q\

0 1

5)i.o =

9'i + 2»

?'»

?i

?»

P'» + A

Ps

!>»

P»

1

Vi

1 Ö'i ö^'i + Q%

0 1 (Z,

1 Pi P%

Im Falle, dass die obigen zwei Differentialgleichungen zwei linear un-
abhSngige partikuläre Integrale gemeinsam haben, muss

10) ©2,0 = 0

11) ®i,o = 0
sciö. Aus der Gleichung 11) ergiebt sich

12) Pj = JPi ?i - üi + a\ + g« »

'ttd weon für p^ dieser Werth in die Gleichung 10), nachdem zuvor noch
^ im ersten Theile derselben stehende Determinante ©2,0 ausgerechnet
worden, subatituirt wird, so erhält man nach gehöriger Reduction die
Gkichung

13) 5)2,0 = (Ps -Pi ^2 + 219$- (Z'a)* = 0.

^ drücken daher die Gleichungen 12) und 13), für welche auch die zwei
fclgenden :
^^) ft— l>iÖ'i+^i*-«'i"-& = 0, Ps-PiQi + qiQi- 22=^0

S^chrieben werden können, die nothwendigen und hinreichenden Beding-
^^ ans, damit sämmtliche Integrale der Differentialgleichung

•^h der Differentialgleichung

*'8^l>0ie&. Sind die Bedingungen 14) erfüllt, so ergiebt sich in der That
^ ^emdben die Beziehung

XL
Die Ebene als bewegtes Element.

Von

D. Ing. f. Wittenbaueb,

Dooent an der k. k. teohn. Hoohiohale in Ons.

Hierzu Taf. VI Fig. 1-6.

Die Lehre der Bewegung pflegt den Punkt als bewegtes Element Yor-
auszusetzen , selbst dann , wenn es sich um rein geometrische Eigenschaften
derselben handelt.

Ebenso wie der Punkt, kann jedoch auch die Ebene als bewegtes geo-
metrisches Element betrachtet und auf ihre Bewegung im Baume hin unter-
sucht werden. Insbesondere lassen sich die Begriffe der Geschwindigkeit
und Beschleunigung, sowie die aus ihnen folgenden Beziehungen in beiden
Fällen vollkommen klar zur Anschauung bringen. Da Punkt und Ebene
die einander entsprechenden Elemente des Baumes sind, so steht zu erwar-
ten , dass auch die mechanischen Folgerungen einander dual gegenüberstehen.

Obwohl sich diese Vermuthung thatsächlich bewahrheitet, so erfordert
die Ebene dennoch eine ihr eigenthümliche analytische Behandlung, welche
in ihren hauptsächlichen Grundzügen im Folgenden gegeben werden soll.

Etwas Aehnliches gilt für die Bewegung eines Strahles in der Ebene
und jene des Strahlensjstems , bezüglich welcher Untersuchung auf einen
bereits gemachten Versuch hingewiesen werden möge.*

1. Die elementare Ortsveränderung einer Ebene im Baume kann nur in
einer Dre/»un^ um eine in ihr liegende Gerade, die Drehaxe, bestehen. Bei
Voraussetzung einer allgemeinen Bewegung wird in jedem Zeitelemente eine
andere Gerade der Ebene als Axe auftreten; alle diese Axen bilden in ihrer
Aufeinanderfolge eine abwickelbare Fläche, da jede Lage der Axe die beiden
unmittelbar benachbarten Lagen schneiden muss. Durch die Bewegung der
Ebene wird also eine Curve erzeugt, die Wendecurve jener Fläche; die auf-
einanderfolgenden Lagen der bewegten Ebene werden zu Schmiegungsebenen
der erzeugten Curve. Das Resultat dieser Bewegung ist somit dasselbe,
wie bei der Bewegung des Punktes; wir wollen deshalb übereinstimmend
jene Curve die Bahn der Ebene nennen.

* KiDematik des Strahles. Oias laas.

Die Ebene als bewegtes Element. Von D. I. F. Wittenbauer. 217

Bexiehen wir nun sofort den elementaren Drehungswinkel da der Ebene
um eise in ihr liegende Gerade auf die während der Drehung verflossene
Zeit dtf 80 entsteht nach Analogie mit geläufigen Begriffen jener der Dreh-
getdwmdigkeU der Ebene:

2. Im Allgemeinen wird während der Bewegung der Ebene die Dreh-
geschwindigkeit jederzeit eine andere sein und zwar wird sich sowohl die
OrSese als aach die Drehaxe derselben stetig ändern. Diese zweifache Aen-
deruDg wird hervorgerufen werden durch das Auftreten einer elementaren
Drehgeschwindigkeit Fdt um eine ebenfalls in der Ebene gelegene Axe,
welche mit jener der Drehgeschwindigkeit einen Winkel a einschliesseu
mSg«. Denn nach dem bekannten Princip der Zusammensetzung von Dreh-
geschwindigkeiten um sich schneidende Axen werden jene V und Fdt sich
XU einer Resultirenden V" (Fig. 1) vereinen, deren Grösse und Axe durch
die Diagonale eines Parallelogramms Ompn über jenen beiden als Seiten
dargestellt werden.

Wir nennen F die DrekhescJUeunigung der Ebene. Der Effect, den bie
henromift, ist die Verrückung der Drehaxe der Ebene und die Veränderung
der Grösse der Drehung. Es bleibt noch zu beleuchten, welcher Theil der
Drehbeschleunigung den einen Einfluss und welcher den andern hervorbringt.
Dies sind offenbar die Componenten von Fdt, senkrecht und parallel zur
usprfinglichen Drehgeschwindigkeit, also pq und mg; wir schreiben hierfür

r, = ^ = Fcosa, n =^ = Fsina,
^ dt dt

Die erstere dieser Componenten verändert nur die Grösse der Drehgeschwin-
digkeit, es ist also

Die zweite verrückt die Drehaxe um den Winkel dr; nach dem Princip der
Zusammensetzung von Drehgeschwindigkeiten gilt nun die Relation

V:Fdt=^sin{a^dx):dT

oder mit entsprechender Vernachlässigung von Grössen niederer Ordnung

rstna= V'TT'
dt

Constmirt man nun den Kreiskegel, dessen Spitze in 0 liegt und der drei
tmmittelbar aufeinanderfolgende Lagen der bewegten Ebene berührt, nennt
man femer 2 g den Winkel seiner Oeffnung, so gilt

dt8=- tangg^da^
Knii mit Hinweis anf Gleichung 1)

Bewegung der Ebene im EbenenbtliideL

3. Die bewegte Ebene wird stets durch den Mittelpunkt 0 des Bündels
gehen; wir wählen denselben als Schnittpunkt dreier aufeinander senkrech-
ten Coordinatenaxen |, i^, (;, bezeichnen die Winkel der Ebene mit den-
selben durch A, fi, V und verstehen unter den Coordinaten der Ebene die
drei Grössen

4) | = 5mA, i} = 5mfi, J = ^nv.

Sie sind nicht unabhängig von einander, sondern genügen jederzeit der Be-
dingung

5) S^ + i?* + S*=l.

Wir geben femer diesen Coordinaten das gleiche oder entgegengesetzte Vor-
zeichen, je nachdem sich die Coordinatenaxen auf derselben oder auf Ter-
schiedenen Seiten der Ebene befinden.

Es sei nun OG (Fig. 2) eine in der Ebene liegende Gerade, um welche

die Drehgeschwindigkeit F= — herrschen möge. Ihre Componenten nach

CLZ

den drei Axen seien

V^ = Vcosa, Vij = Vcosßj V^ = Vcosy.

worin a, /?, y die Winkel der Drehaxe OG mit den Coordinatenaxen be-
zeichnen.

Projicirt man die Coordinatenaxen senkrecht auf die Ebene nach 0|'
Oiy', Of und bezeichnet die Winkel

GOi'=a, GOv'=^h, GOi'=c,

vorausgesetzt, dass dieselben in gleicher Bichtung gezählt werden; beden
ferner, dass die Winkel

SOr=A, fiOrj'^ti, tOi'=^v

sind, so folgt zunächst aus dem bei V rechtwinkligen sphärischen Drei«
GlV

^"^ cosa==cosk.cosa und ebenso cosßs=coS(i,cosby C08y^=cosv,coi

— Hie Ebene nach einer unendlich kleinen Verdr*

Von Dr. I. F. Wittenbauer. 219

nnd beachtet, dass l\r = dk gesetzt werden darf, so folgt aus dem recht-
winkligen sphSrischen Dreiecke Grl\

d0.sina = dk und ebenso da,sinb = d(i, da.sinc = dv.

Werden diese Gleichungen quadrirt, der Reihe nach mit cos^ly cos^ia^ cos^v
mnhiplieirt und addirt, so ergeben sie

der in der Klammer stehende Ausdruck ergiebt sich nach Gleichung 6) der
Einheit gleich und es ist somit mit Hinweis auf die Gleichung 4)

da^^di^ + drj^ + d^^

oder die Drehgeschwindigkeit der Bewegung

" -=öi)*+ «-?)■+ (II)"

Um Ausdrücke für die Componenten F|, Vtj, V^ der Drehgesch windig-
keit nach den Coordinatenaxen zu erhalten, beachten wir die drei Gleich-
ungen

cosa.cosa + cosß.cosß + cosY'COsy^ 1,

J .cosa+ ri .cosß+ J .C05y = 0,
d^.cosa+ dtj .cosß+ d^ .C05y = 0,

von denen die erste eine bekannte Beziehung ausspricht, während die zweite
und dritte aus dem Grunde gilt , weil die Dreliaxe sowohl vor als nach der
Drehung da der Ebene angehört, also zu deren Perpendikel senkrecht bleibt.
Bezeichnet R die Determinante der Coefficienten von cos et, cosß, cosy in
obigen drei Gleichungen, so folgt durch Auflösung

8) Bco3a==ridt-idri, JBco5j3 = Jd^ - Sdf, JBco5y = Jdi? - i? d^

Diese Gleichungen, quadrirt und addirt, ergeben mit Benutzung der Rela-
tion 5)

R^=^d? + dri' + df-{^d^ + tidij + Sdiy

^d, da der Ausdruck in den Klammern verschwindet,

R^ = daK

Wir wählen JB = — d<f, wodurch die Gleichungen 8) in folgende tiber-
gehen:

*^w Vorzeichen dieser Ausdrücke sind richtig unter der Voraussetzung , dass
^^ Drehungsrichtung entgegen der ührzeigerbewegung als die positive be-
zeichnet wird.

1 Da sich die Drehgeschwindigkeit und Drehbeschleunigung einer
**^« in gleicher Weise combiniren, wie die Geschwindigkeit und Besohlen-
°%^ eines Punktes, so werden auch für die Componenten der Beschleu-
^po^ r nach den drei Axen analoge Resultate gelten wie dort ^ nämlich ;

^•s^-im^ ^'S^ •* *■ - •^* ^^ «^ ^ V '

220 Die Ebene als bewegtes Element.

n=^, r=^, r.-^
^ d< ^' d< ^f~ dt

oder mit Einführung der Gleichungen 9)

10) /)=_,^+f^, r,=-s^+l^,, rt=-i^+,^,.

5. Es soll noch auf die eigentliche Bedeutung der Componenten der
Drehgeschwindigkeit und Drehbeschleunigung hingewiesen werden« Projicirt
man die drei Componenten V^. F,j, F( auf die bewegte Ebene, so erhält
man drei neue Drehgeschwindigkeiten V^cosk, F,jCö5f4, Vi^cosv um die
Axen 0|', Or/, Of, welche in der Ebene liegen. Projicirt man hingegen
Fjt, Vfi, Ff auf eine Gerade senkrecht zur bewegten Ebene, so ist die
Summe dieser Projectionen

11) in+'2^?+?n=o,

wie sich aus 9) unmittelbar ergiebt.

Die Drehung der Ebene um OG wird also eigentlich durch drei andere
Drehungen ersetzt, welche um die Projectionen der Coordinatenaxen auf
die Ebene stattfinden.

Gleiches gilt von der Drehbeschleunigung der Ebene. Auch diese kann
jederzeit ersetzt werden durch drei andere Drehbeschleunigungen, die man
der Grösse und Axe nach erhält, wenn man die Componenten F^, Jl|, J\
auf die Ebene projicirt.

Die Projectionen dieser Componenten senkrecht zur Ebene ergeben als
Summe

12) Sn + i?r, + frc = o,

wie aus den Gleichungen 10) zu entnehmen ist.

6. Multiplicirt man von den letztgenannten Gleichungen die erste mit
rjy die zweite mit | und subtrahirt dieselben, so folgt

ir.-,r,_g(i.+,')-:($^-i|+,g)

l'+i'-l-f,

und da
so ist auch

und analog

Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit d£, (i|, dui und
addirt sie, so erhält man mit BeiUcksichtigung der Relation

die Gleichung

Von D. I. F. WiTTBNBAUEI?. 221

^ -^ ^ ^^. %^"i^..-S*"

Nun ist nach Gleichung 7)
es folgt somit

13) i(i7» = (.?rc-?fi)d| + ar|-src)di? + (|/,-i?n)^f^

eine Beziehung, welche für Bewegungsprobleme der Ebene von ähnlichem
l^Qizen ist, wie das Princip der lebendigen Kraft für die Bewegung des
Punktes.

Die bis hierher abgeleiteten Relationen sollen zunächst in einigen speciel-
ien Fällen Anwendung finden.

7. Die Beschleunigung der Ebene bleibe constant der Grösse und Axe
flach; es seien also

Äe Gleichung 12) liefert dann

ag + ^iy + cfipO,

"• i« die Gleichung einer Geraden. Die Ebene beschreibt somit bei ihrer
Bewegung einen Ehenenbüschel , und zwar gleichförmig beschleunigt.

8. Die bewegte Ebene werde in jedem Augenblicke um zwei Axen
^'^iohzeitig beschleunigt und zwar um ihre Schnittlinien OB und OC mit
"«^ beiden Coordinatenebenen 1^0 ri und JOf. Die Grösse jeder der Be-
^*l^unigungen sei proportional dem Sinus des Neigungswinkels der beweg-
^^^ mit der betreffenden Coordinatenebene. Man untersuche die Bewegung
^^^ Ebene.

Bezeichnen wir mit q> und t/; (Fig. 3) die letzterwähnten Neigungs-
^^le), im Sinne der Drehbeschleunigung gezählt, so sind zunächst die
fi»^S«benen Beschleunigungen um die Axen OB^ OC

rB = hsinq>^ Fc^csin^

^^d sonach die Componenten der gesammten Beschleunigung

r^=^rBC08ß+ Tccosy, r^=^rB8%nß, rt^^Tcsiny,

Wenn man die Winkel

^OB = ß, kOC=y

Weichnet. Beschreibt man nun aus 0 eine Kugel, welche das sphärische
Dreieck ABO ausschneidet, und föUt aus A das Bogenperpendikel AA' auf
die Basis BC, so folgt aus dem rechtwinkligen sphärischen Dreiecke ABA'

sinß.sintp=^sink = l
nnd ebenso aus ACÄ

Analog wird man erhalten, wenn man statt 0£ die Axen Oi/ und Oi auf
Ebene projioirt und d«* '^Hail Sohnitt Qiitat^\i«CLde;tL\^T^\^0&!^

222 Die Ebene als bewegtes Element.

C05/J.sing) = — 5tnfi = — iy, cosy.sin^ i^ — sinv^ — t^
daher wird nach Substitution

14) r^=-(H+cO, r, = 6|, rc = cS,

welche Ausdrücke wieder der Bedingung 12)

gentigen müssen.

Um die Geschwindigkeit der Drehbewegung zu ermitteln , benutzen wir
Gleichung 13); dieselbe nimmt nach Substitution obiger Ausdrücke für die
Componenien die Form an

oder, da der zweite Elammerausdruck verschwindet,

^dV^^-cdti + bdi,
woraus nach Integration

Um die Gleichung der Bahn zu finden, bemerken wir, dass

■

cr^ = hr^ 4>der c.dVtj=b.dV^.
woraus

cV^^bVi:.

Die Integrationsconstante verschwindet, wenn wir annehmen, dass die
anfängliche Geschwindigkeit der Ebene null ist. Mit Benützung der Gleich-
ungen 9) wird somit

c{^d!;-'id^) = b(tidi-^dfi)

oder

d^^bdfi + cdj

S bv + ci '

woraus durch Integration

a^ + bfi+d^O,

d. i. die Gleichung einer Geraden, folgt. Die Ebene bewegt sich also wieder
in einem Ebenenbüschel; die Axe desselben besitzt die Bichtongscosinusse

a b c

yä^+¥+? j/a'+b^+c^ y^+w+?

Mit Benutzung obiger Gleichung des Ebenenbüschels gehen die Gleichungen
14) jetzt über in

n-=a^, rc = 6|, r^ = ci

und es ist somit die Drehbeschleunigung der Ebene

r=-^j/tt'+b^+c».
Sie verschwindet, wenn die Ebene bei ihrer Drehung die 0£-Axe passirt.

9. Die Bewegung einer Ebene entstehe dadurch, dass sioh eine xatt4^
0$-Axe wirkende Drehgeschwindigkeit von constanter Ordsae a ir
Moment auf die Ebene projicirt; die Grösse und Bichtimg dietar^
werde zur Drehgeschwindigkeit der Ebene. Man nntertnolM
DigungBzxiBtaiid, und die Bahn dieser Ebene.

Von D. I. F. WiTTBNBAUER. 223

Zunftchst ist

V=acosk
und

15) V^=^VcosX = a cosn = a(l - ^«).

Benutzt man non die bekannten Beziehungen

TV+7,«+7t«=F«, |Ff + i,7, + SF{ = 0,
so findet sich

Es folgt also

ond nach Einführung der Werthe aus 9)

Es ergiebt sich hieraus

d^ = H^cl^ + fidri + idi)=^0 und g = c = cow.l

Die £bene bewegt sich somit längs einer Ereiskegelfläche um die 0^ als Axe.
Schreibt man Gleichung 15) in der Form

and bemerkt, dass

S* + i7*+J:'=l, ^d^ + vdri + idi=^0

oder im gegenwärtigen Falle

v' + f^'^-c^ fidri + tdi = 0
ist, so folgt

dri dl^

Tt^'"^' dt — "'''

woraas nach Integration folgt

ffierin bezeichnet h eine Constante.

Die Componenten der Beschleunigung ergeben sich jetzt folgendermassen :

woraus die Drehbeschleunigung selbst

r=a«cj/l — c«= V^tangL

Sie bleibt also der Grösse nach constant; ihre Axe liegt stets in der Co-
ordinatenebene ijOi, sie ist der Schnitt der letzteren mit der bewegten
Ebene und dreht sich während der Bewegung der Ebene mit constanter
Winkelgeschwindigkeit um den Punkt 0.

10. Fflr gewisse Bewegungen der Ebene erscheint es vortheilhaft, der
»nlytischen Untersuchung eine Art Polarcoordinatensystem zu Grunde zu
Ivb. Wir nehmen zu diesem Zwecke eine fixe Ebene, die Orundehene,
■^ Vd in (Beter eine Axe OÄ mit dem Pole 0, welch' letzterer zugleich
%flMltl.diS,XlMi Indals iat, in welchem sich die Ebene bewegt. Es

' mit der Grundebene , tf; den Winkel

ver gezählt, q> den Neigungswinkel

« gemessen, und zwar poEiti^

224 Die Ebene als bewegtes Element.

oder negativ, je nachdero die Drehung der Gmndebene in die bewegte
Ebene um 05, von S aus gesehen, entgegen oder mit dem Uhrzeiger ge-
schehen müsste. Wir nennen die Winkel q> und ^ die Coordinaten der
Ebene im Ebenenbündel.

Beschreibt nun die Ebene im Baume eine unendlich kleine Drehung da
um eine in ihr liegende Axe OG (Fig. 4), so läset sich dieselbe nach dem
bekannten Princip ersetzen durch zwei andere unendlich kleine Drehungen
dq> und dca um die Axen OS und OJß, welche ebenfalls in der Ebene liegen
und aufeinander senkrecht stehen sollen, so zwar, dass die Relation gilt

da^ = dq>* + dca^.

Diese beiden Drehungen werden die Coordinaten der Ebene verändern, und
zwar die Drehung dtp die Coordinate <p, da die Coordinate t^; bezüglich
letzterer ist leicht ersichtlich, dass

16) d<x>^sing>.dilf,

sobald man untersucht, welcher Veränderung t^ unterliegt, wenn die Ebene

um OR gedreht wird. Man hat also

d<y* = dg>^ + sin^q> dt^*
und wenn man durch

da _ dq> _ dm

dt' *^»~d7' *^''~Tt

17) F=^, 7, = *^^, 7„ = ^

die Drehgeschwindigkeit und ihre Componenten nach OS und OR bezeichnet:

,8, r,.^. F„=*4». r.= (||)*+.^v(|-:)-

Bei fortgesetzter Drehung der Ebene um OG werden F^ und V„ gewisse
Aenderungen erleiden, selbst wenn q) constant bleibt; dies rührt von der
Veränderung des Winkels a, welchen die Axe der Drehgeschwindigkeit 00-
mit OR einschliesst, her. Es ist nämlich

V^^V.sina, Vto=V,cosa,
somit

dVfp^=Vcosa.da=V(0'dcc^ ^7» = — Vsina.da = — V^.da.

Nun lehrt eine einfache Betrachtung, dass

da = cos(p,dilf,

es ergiebt sich also mit Hinweis auf die Gleichungen 18)

*^^ ^^ d^d^

dt 'dt'

vorausgesetzt, dass sich die Drehgeschwindigkeit V nicht ändert.

Tritt nun noch eine Drehbeschleunigung F um eine Axe OB hinzu,
welche mit OR einen Winkel ß einschliessen möge, so werden die GeechwiB-
digkeitscomponenten V^ und F^^ neuerdings verändert nnd swar um die

Beträge Fsinfidt^T^My Ccos^dt^F^M,

so zwar, dasa die G^esammtverändernngeii ^e^UV» \^^cm|sii ^^sc^sa.

/d^y

dV^ = 8inq>cosq>l—j dt, dVfo=^'-cosq)

#
Von D. I. F. WiTTENBAÜBB. 225

woraus sich mit Beziehung auf die Gleichungen 16) und 17) ergiebt

oder nach Einführung des Winkels ^

d^'ü/ « dq> d^

Man dttrfte den analogen Bau dieser Formeln mit jenen für die Beschleu-
nigtingscomponenten eines Punktes in Polarcoordinaten sofort erkennen.

U. Bildet man mit Hilfe obiger Formeln den Ausdruck
so findet man hierfttr ^9^^ + ^^sin^-d^,

dPq> , /cJt/;\* p d^'^ 1

-T^ dq> + sin(p cos(p {— J dq> + $inrq>-T7i d'tlf

und dies ist identisch mit ^ d V^, wenn man nach 18)

^ ^=(i?)'+-v(s)"

berflekaichtigt. Es ist also auch

20) 7« « ^J(^9 äq> + r^sinq> d^).

12. Die soeben abgeleiteten Formeln gestatten eine besonders passende
Anwendung in dem Falle, wenn die bewegte Ebene jederzeit um ihre Schnitt-
linie mit einer festen Ebene beschleunigt wird, d. h. wenn sämmtlicbe Be-
•ehleanigungsaxen in einer Ebene liegen. Wählt man diese letztere zur
Gnmdebene eines Coordinatensystems von eben behandelter Art, so bleibt
. wftbrend der Bewegung

8mq> dt\ dt/

woraag unmittelbar folgt

21) *in*<)p -TT = ^ = const.

dt

<^ mit Beziehung auf Gleichung 18)

VfQ,8inq> = c,

^A: die Projection der Drehgeschwindigkeit V auf eine Gerade senkrecht
^Chrtmdebene bleibt während der Bewegung constant. Diese Gattung von
"^v^gimgen der Ebene bildet eine Analogie zu der Centralbewegung des

tt. Ein specielles Interesse hat in n\^ ^qtl ^^-

^9mwi Jene, bei welcher die W 'ün Q^xx^t^

228 Die Ebene als bewegtes Element.

•-^.•-.^•N'^N.i^

28) T=./2?'l+^S^.

Um die kleinste Oeffhung 2(0 der Kegelfläche zu erhalten, deren Gleich-
ung in 25) gegeben ist, ermitteln wir aus letzterer jene Werthe g> = iPq

und (p=:q>^, Rlr welche t/; = 0 nnd ^s=n, oder kürzer: für welche — = 0

ist; es wird für dieselben die Beziehung gelten

c* cotg^q> + 2a cotgq> — 6 + c* = 0
oder auch

2a

29) cotg(pQ + cotgq>^^-'^j

30) cotgq>Q.cotgq>i = l'^^'

Es ist nun

und da nach 29)

sowie nach 30)

c

sin2 CD = $in{q>Q + <Pi)
sin((P(^+(Pi) ^ 2a ^

c^sinq>QCOsq>Q
Sinq>Q,sinq>i =

>/(?*- (2 6 c» -6«) 5m Vo
so ergiebt sich mit Benutzung der Relation 24)

— 2a
$in2m =

und daher

cof^2ca = -^.

Mit Hilfe dieser Beziehung nimmt jetzt Gleichung 28) die Form an

2n

jr= '--=rl/sin(o.co^a.

Besitzt die Ebene im Beginn ihrer Bewegung eine andere Neigung g>^
gegen dieselbe Grundebene, so wird auch die Kegelfläche, welche jene um-
hüllt, und die ümlaufszeit eine andere werden; es gilt fdr letztere

T^ = y$in Wj . cos^m^

y-a

und es besteht für die beiden ümlaufszeiten das Verhältniss

T^ 5mo>, .co5^o>|

Das hier behandelte Beispiel, eine Analogie zu der Centralbewegnng

a
des Punktes nach dem Anziehungsgesetze / = :^ ' lässt die Dualität der Be-

IT

wegung des Punktes und der Ebene sehr deutlich erkennen.*

Vergl: Die Linearbewegung des SttsÄAe» a. ^.O.^ tÄ.

Von D. I. P. WiTTBNBAUER. 227

Diese Oleichung gehört einer Kegelfläche zweiter Classe an, welche die
£bene bei ihrer Bewegung umhüllt. Bemerkenswerth ist die Lage dieser
Kegelflache; es ist nämlich eine ihrer Schaaren von Ereisschnittsebenen zur
Grandebene parallel, wie eine einfache Untersuchung lehrt.

Um eine Beziehung zwischen der Bahn der Ebene und der aufgewen-
deten Zeit zu ermitteln, schreiben wir Gleichung 25) in der Form

26) Äcosfjß" a^c^ cotgg>,

A = a + c*cotgq>fj
bezeichnet, und beachten, dass

drif c

dt s^in^q)
Es wird sich dann Oleichung 26) durch Elimination von q> in der Form

schreiben lassen: c^dTU

dt= ^

€^ + {Äcostif — a)*
welche mittels der Substitutionen

21) cosa = 2 — » C08ß= — j—»

flbergefUhrt werden kann in "''^

eJ< = -^ \ ^ ^ } d

2Äi)costif + cosa cos^i; +cosß\ '

woraus sich durch Integration ergiebt

t^ ~ er \ eoseea / ^^ß\ eosteß

2Ai \\ tf^+a

Hierbei verschwindet die Integrationsconstante unter den für den Anfangs-
Kostand gemachten Voraussetzungen und wurde ferner

i(+l) = 0

gesetzt Die Zeit eines vollen Umlaufs der Ebene an der Kegelfläche ergiebt
sieh hieraus für ^ = 2n mit

oeUt man hienn

^^'^ + -K und ?(+!) = 2«t,
»ina 9inß

d.i. den nach 0 folgenden Werth, so wird

Ä
^ iit ooe reelle Constante, man findet für sie mittels der Substitutionen 27)

^ e
wird deoMmob die Umlm

228 Die Ebene als bewegtes Element.

28) ^^^^/54-/P+4g^

Um die kleinste Oefifhung 2a) der Eegelfläche zu erhalten, deren Gleich-
ung in 25) gegeben ist, ermitteln wir aus letzterer jene Werthe <)p = «Po

und <p = 4jt)j, ftlr welche t^ = 0 und t(; = 7c, oder kürzer: (Ür welche — = 0

ist; es wird für dieselben die Beziehung gelten

c* cotg^qt + 2a cotgqt — 5 + ^ = 0
oder auch

29) cotgq>Q + cotgq>^= — '^'i

30) cotg(pQ.cotgq>^ = \—-;^'

Es ist nun

und da nach 29)

sowie nach 30)

sin2fo^= sin (<Po + q>^)

gtn(<Po+yi) _ 2a
s%nq>Q,sinq>^ (?

(fsing>QCOS(po
stn q>Q . sm qpj — --

/e*-(26c«-6«)««««Po
so ergiebt sich mit Benutzung der Relation 24)

$m2o) =

/6* + 4a«
und daher

cof^2a) = -^.

Mit Hilfe dieser Beziehung nimmt jetzt Gleichung 28) die Form an

2n

Besitzt die Ebene im Beginn ihrer Bewegung eine andere Neigang q>^
gegen dieselbe Grundebene, so wird auch die EegelflSche, welche jene um-
hüllt, und die Umlaufszeit eine andere werden; es gilt für letztere

y-a

und es besteht für die beiden ümlaufszeiten das Verhältniss

Tj* smfo^.cos^to^
Das hier behandelte Beispiel, eine Analogie zu der Centralbewegong

des Punktes nach dem Anziehungsgesetze y = -j^ iSsst die DualitSt der Be-

wegung des Punktes und der Ebene sehr deutlich erkennen.*

Vergl: Die Linearbewegung des ^tta]iQ\e& «b. «^.O.^ t»"^.

Von D. I. F. WiTTENBAüBR. 229

Bewegung der Ebene im Ranme.

14. Die aUgemeine Bewegung einer Ebene im Räume, deren Grund-
zflge in der Einleitung bereits gegeben wurden , kann bebufs ihrer analjti-
Bcbexi Einkleidung stets auf zwei einfache Bewegungen zurückgeführt wer-
den, n&mlich auf:

1. die Bewegung der Ebene im Ebenenbündel,

2. die parallele Verschiebung oder Translation der Ebene.
Führt man durch einen beliebigen Punkt 0 des Raumes eine Parallele

zu der bewegten Ebene und ebenso zu der in letzterer gelegenen Geschwin-
digkeits- resp. Beschleunigungsaxe , und überträgt die Grössen der Dreh-
geBchwindigkeit und Drehbeschleunigung jederzeit ungeändert auf die neue
Ebene, so wird sich diese hinsichtlich ihrer Richtung genau so bewegen,
wie die Ebene im Räume, d. h. die beiden Ebenen werden während ihrer
'Bewegung stets parallel bleiben. Wir wollen die so hervorgerufene Be-
wegung einer Ebene im Ebenenbündel die nach 0 redtwirte Bewegung der
Ebene im Baume nennen.

15. Projicirt man die Geschwindigkeitsaxe der reducirten Bewegung
jederzeit orthogonal auf die Ebene im Räume, so wird diese Projection
zwar zur Geschwindigkeitsaxe der räumlichen Bewegung parallel sein , jedoch
in einem Abstände p von ihr liegen, um also die Projection der reducir-
ten Drehgeschwindigkeit in die wirkliche der Ebene überzuführen, ist die
HinzafÜgung einer Translationsgeschwindigkeit nothwendig , welche die Ebene
parallel zu sich verschiebt und deren Grösse

31) ^^V.p

ist. Bezeichnen wir nun mit q den Abstand der Ebene im Räume von 0,
so wird für eine unendlich kleine Drehung da der Ebene um ihre wirkliche
Geschwindigkeitsaxe die Beziehung stattfinden

32) dg—pda

nnd mit Berücksichtigung von

dt
erbüten wir jetzt für die Translationsgeschwindigkeit der Ebene

33) S8 = ^-

at

16. Aehnliche Ueberlegimgen gelten für die Drehbeschleunigung der
wirklichen Bewegung und ihre Beziehung zur Drehbeschleunigung der redu-
<^n Bewegung. Projicirt man nämlich die Beschleunigungsaxe der letz-
^ Mf die Ebene im Ranme, so wird diese Projection zwar parallel sein
^ wirUiehen Beschlenni^un/^saxe der Ebene, aber in emom ^%^»xA<^ q^
^^äreoifernt hegen; um deshalb die Projection det T^äLVidt^Äii Tix^-

230 Die Ebene als bewegtes Element.

beschlennignng in die wirkliche zu überfahren, ist eine Translationsbeschlea-
nignng senkrecht zur Ebene hinzuzufügen. Die GrOsse derselben ist

34) z==r.q,

wenn T, wie bisher, die Drehbeschleunigung der Ebene bezeichnet.

Es erübrigt noch, einen analytischen Ausdruck für g zu gewinnen, und
hierzu dient folgende üeberlegung.

Bezeichnen V und F (Fig. 5) die Geschwindigkeits- resp. Beschleuni-
gungsaxe der Ebene, V die aus beiden resultirende Geschwindigkeitsaxe.
OR^Q das aus 0 auf die Ebene errichtete Perpendikel, Jßr=jp, Bs^=q^
Rr=p die Abstände jener Axen vom Fusspunkte i2, so gilt zun&chst nach
einem bekannten Gesetze (analog dem Momentensatze in der Mechanik des
Punktes)

oder

35) Fq dt = V'p - Vp.

Nun bleibt aber die Ebene nicht in ihrer Lage, sondern wird sich
während des folgenden Zeitelementes um ihre neue Axe V* drehen; es
käme hierdurch der Fusspunkt R nach R\ während der Fusspunkt r seinen
Ort nicht ändert. Bezeichnen wir jetzt

OR'=q\ R'r=p\

so gilt offenbar

oder

9^ - P* = j5« -jp'«, dp* = (? +p) {p - jp')

und mit erlaubter Annäherung

QdQ=p{p-p),
woraus

P=jdQ+p\

Führt man diese Beziehung in Gleichung 35) ein, so wird

rqdt = d{Vp) + ^dQ,

P

woraus sich mit Benützung der Gleichungen 31) — 34)

für die Translationsbeschleunigung der Ebene der Ausdruck ergiebt

36) 1 = ^9+^7«.

Es sollen im Folgenden noch einige Anwendungen dieser Theorie ge-
macht werden.

17. Eine Ebene besitze ausser einer anfönglichen Drefageeohwindigkail
^ am eine beliebige Axe nur eine Traa€\a\ioii&\>Qi&c\A«vm\g^ von
Grösse, d. b. ea sei

Von Dr. !• F. Wittbnbaueb. 23 1

r=o, 3; = a.

Die redacirte Bewegung der Ebene ist dann eine solche im Ebenenbüschel.
W&hlen wir die Axe des letzteren zur 0^-Axe, so ist

1 = 0 oder i,« + {;«=l

die Gleichung des Ebenenbüschels. Die Drehgeschwindigkeit um die Axe
OS bleibt constant, d. h.

oder auch

idti" ridi=cdL

Geht man nun von der reducirten Bewegung auf jene im Räume über,
so erhftlt man durch Benützung der Gleichung 36) zunächst

woraus sich durch einmalige Integration ergiebt

dg

37) ^^l/k + 2aQ-<?Q\

dt

Hierbei ist die Integrationsconstante

Ä; = c*^o* — 2a^o»
wenn angenommen wird, dass die Ebene im Beginne der Bewegung den
Abstand q^ von 0 besitzt und ihre Drehaxe anf&nglich mit der Projection
der 0^ zusammenMlt, d. h. wenn Pq = 0 wird.

Die zweite Integration giebt sodann die Beziehung

38) Sinei =^^\~^

zwischen der verflossenen Zeit und der Entfernung g vom Ursprünge.
Vergleicht man femer die oben abgeleitete Belation

idri-'ridi=cdt
mit der hier geltenden

fldfi + idt=0,
ao findet man

.^._ ätj _ dt

und nach Integration

wenn das Coordinatensystem so gelegt wird, dass ausser der 0$- auch noch
die Ol}. Axe zur Anfangslage der Ebene parallel ist. Dd(ch Vergleich mit
38) erhSlt man jetzt die Beziehung

^ =

pc* — a

QoC^ — a

^he in Verbindung mit der bereits bekannten

1 = 0

& Bilm der Ebene charakterisiren. Man überzeugt sich leicht, dass die
'^ b« ihrer Bewegung eine C^Umk i^ d«c«n 1EinA\v\|,^xA^

Jf^AlMor Oi and.

232 Die Ebene als bewegtes Element.

Giebt man nocb der Gleichung 37) die Form

und besitzt die Drehgeschwindigkeit der Ebene die Grösse

t Po

so wird

oder es bleibt

^ = 0.

Die Ebene umhüllt in diesem Falle eine Kreiscylinderfläche.

18. Eine Ebene werde bei ihrer Bewegung durch eine Drehbeschleu-
nigung von constanter Grösse h angeregt, deren Axe stets die 0$-Axe
schneidet und zu ihr senkrecht bleibt. Die anfängliche Geschwindigkeitsaxe
der Ebene sei zur Beschleunigungsaxe senkrecht. Man untersuche die Be-
wegung der Ebene.

Reducirt man dieselbe zunächst nach 0 (Fig. 6), so hat man es mit
dem in Art. 9 behandelten Falle zu thun. Die Ebene umhüllt dann bei
ihrer Bewegung eine Kreiskegelfläche mit der Axe 0$ und es gelten sowohl
für die reducirte als für die wirkliche Bewegung der Ebene die an erwähnter
Stelle gefundenen Relationen

woraus sich in unserem Falle für die halbe Oeffhung X der Eegelfläche
ergiebt

Geht man nun dazu über, die Translation der Ebene zu untersuchen , so ist

zunächst im gegenwärtigen Falle

q=^Q cotg L

Beachtet man, dass nach Gleichung 34) und 36)

und weiter aus der reducirten Bewegung
gefolgert werden kann, so bleibt

woraus nach Integration und mit BQcksicht auf die Gleichungen 31) und
33) folgt

and weiter

Von D. I. F. WiTTBNBAUBR. 233

wenn p^ den constant bleibenden Abstand der Qeschwindigkeitsaxe vom
Fnsspunkte R bezeichnet und angenommen wird , dass die Ebene im Beginn
ihrer Bewegung durch 0 geht. Die Ebene entfernt sich somit gleichförmig
vom Pole 0.

um noch die Gleichung der Bahn zu ermitteln, benütze man die Be-

und verbinde sie mit der oben gefundenen

£s ergiebt sich dann

'*^=^(f'^''-'"^«'

woraus man mit Berücksichtigung von

erhUt

dfi dt

dg =s Pq cos k -—==== = —PqCOsI

]/cosn-fi^ yco$n-t?

Die Integration ergiebt jetzt

Q=PQCosk aresin — ^ = »n cos^ arccos — ,

-- »

wenn für die Anfangslage der Ebene

^0 = 0, ^ = sink, % = 0, to^cosk
gewählt wird. Mit Hilfe obiger Gleichungen erhält man endlich in

Q^^PoCoskarctang-jy | = con5<.

die Gleichung der Bahn der Ebene. Es ist dies eine gemeine S<^rauhehlinie,
welche die 0$ zur Axe hat.

19. Ebenso, wie es hier mit den Grundzügen der Bewegung geschah,
konnte eine grosse Anzahl der Probleme aus der Bewegungslehre des
Punktes und Punktsystems, soweit sie eben von dem Begriffe der Masse
absehen, auf die Bewegung der Ebene übertragen werden und man würde
auf diesem Wege zu manchen geometrisch interessanten Resultaten gelangen.
So kann z. B. eine Ebene gezwungen werden, bei ihrer Bewegung eine be-
stimmte vorgeschriebene Curve zu beschreiben oder aber eine bestimmte
▼orgeechriebene Fläche fortwährend zu berühren, und man wird zu analo-
ge Resultaten gelangen, wie bei der Bewegung eines Punktes aufgegebener
^^ oder auf gegebener Fläche.

Die Bewegungslehre der Ebene, auf den oben skizzirten Grundsätzen
^^t, wird gewiss im Stande sein, die geläufige Vorstellung von der Be-
^*K^ im Baume im dualen Sinne zu ergänzen.

XII.
TTeber n simultane Differentialgleichuiigen der Form

n-f m «

^, Xp^dXfi = 0.

Von

Dr. Otto Biermann,

Docent a. d. dentsohen üniTenitftt in Prag.

Das Pf äff 'sehe Problem besteht darin, einem gegebenen Differential-
ausdruck

^^ Xjt dXx oder ^, XudXtc%
»=i »=1

in welchem die X« irgend Functionen der Variablen x^ bedeuten, die Ge-
stalt zu geben ^ ^

^, Ugdu^ resp. Crdu + /^ U^du^y

wo die Grössen Uq, U, u^ wieder Functionen der x» sind und u eine ganz
willkürliche Function der Veränderlichen bezeichnet. Die Integrale der
Differentialgleichungen

2» 2ff+l

^X^dx.^O, 2^*^^» = ^

x = l « = 1

sind

Wj = c, , t/g = C2 , . • • , Wx = c»
beziehungsweise

wenn die c beliebige Constante sind.

Wir wollen für ein System von n Differentialausdrücken mit n+m
Variabein

X,^^)dx, + X^^')dX^+.,. + Xn^^^dXn + Xi%xdXn + i+^^- + Xi,^lmdXn+m,
X,^^> dx^ + X^(^) dx^ + , .. + Xn^'^ dXn+X},%xdx,^X + ... + X^mdX^^^,

X/^^dx,+X^(-^dx,+... + Xn^^>dXn + Xli"^xdx„ + i+... + Xiri^dX^^m
das entsprecbende Problem aufstellen. I>a\>%i\ ^et^^ti mt dem Ton HTi
bei Behandlung des Pfaff'scben ProVAem^ OTi^^>c«3Äßöwa.

üeb. fi simultane Differentialgleich, etc. Von Dr. 0. Biermann. 235

folgen. (Siehe Borcbardt's Journ. Bd. LVIII.) Wir werden vor Allem
fragen y welches die Definition eines Integrals des Gleichungssystems

ii + m

1) Vz^('')daj^ = 0 (v=l,2...w)

ist und wieviel Integrale diese Differentialgleichungen im Allgemeinen be-
sitzen — wenn zwischen den n{n-\r^) Functionen X^^*^ der Variabein Xfi
keine Bedingungsgleichungen bestehen.

Dann werden wir das dem Pf äff 'sehen analoge Problem erkennen. Wei-
terhin soll uns die Frage nach der Ermittelung der Integrale beschäftigen.

Statt der n-fm Grössen Xß denken wir ebensoviel neue Variable Vj^y
v^...Vp\ Uij ii2...Ur eingeführt, die Functionen der Xß sind. Die be-
liebigen Aenderungen dxfi^ für welche die n Ausdrücke

2

Z;,^*) öXß

nicht KuU zu sein brauchen, sind dann in der Form

--III-.+2I?/«.

daxstellbar. Drückt man die Functionen Xft^*^ auch durch die neuen Va-
riabein Vfg und Uq aus, so erhält man n identische Gleichungen:

M f* 9

in denen die Functionen V^^^^ und Uq^^^ in folgender Weise bestimmt sind :

Ersetzt man die allgemeinen Aenderungen Sxfi wieder durch die be-
sonderen dXß^ so resultirt mit dem gegebenen Gleichangssystem 1) das fol-
gende: v^ ^7?

2j yn'''^dVn+2j^Q^'^äu^=0, (v=l, 2 . . w) ,
n

nnd dieses ist erfüllt, wenn entweder alle Differentiale dv„ und duQ Null,
d. L die Vn und up constant gesetzt werden , oder die Coefficienten der nicht
▼enchwindenden Differentiale Null sind.

Sind die Functionen v^ und uq derart gewählt, dass alle Grössen V^^^^
▼^nchwinden und die i^ constant sind, so bestehen die np Gleichungen:

2)a^(.)|Sf = o, £Xy^ = 0, ..., ZX^^^O (« = 1,2. ..j,),

^ diese ersetzen das gegebene System. Fassen wir nämlich in dem letz-
^"^^ die Vn als die nothwendig vorkommenden anabhängigen Variablen auf
^ düEsrentUren nach dieser, so ergiebt * 3).

IKe r QröBßen op Constant^ >\äK!a?[\%^tL

^^mi 9)^ datmn nmmea wvr ^ ^^"^

236 üeber n simultane Differentialgleichangen etc.

gelegten Systems von Differentialgleichangen. Je geringer die Anzahl der
Integrale ist, nm so mehr Variable bleiben willkürlich und am so allgemeiner
ist die Lösang. Daher kommt die Frage nach der allgemeinsten Lösung
der Differentialgleichungen mit der nach der kleinsten Anzahl von Integralen
überein. Diese wollen wir jetzt aufsuchen.
Es ist:

3) 2 ^^^"^ ^^^ =2 ^9"' ^""9 (v = 1, 2 . . . n) ,
also:

4) X^<*) = 2;ü,w|^ (^ = l,2...«+m),

und aus diesen nin-^-m) Gleichungen sind die r{n + l) Grössen U^^^^ und
Ug zu berechnen.

Ist zuerst w(n + m) durch (n + l)f, also auch n + m durch n + 1

theilbar, etwa

w + fw = Ä;(n+l)»

so kann r nicht kleiner sein als A;n, sonst ergäben sich Bedingungsgleich,
ungen zwischen den Grössen Xfi^^\ was ausgeschlossen werden mag.

Im Falle die Anzahl der Variabein Xß durch die um* Eins vermehrte
Zahl der gegebenen Gleichungen theilbar ist, besteht daher das allgemeinste
Problem der Integration in einer Transformation, durch welche die Iden-
titäten

I) 2 V'^ ^^^ =2 ^9"^ ^^9 (v = 1, 2 . . . n)

entstehen, und die Anzahl der Integrale Uq = Cq der Gleicliungen:

A) 2V'^^^/* = ^

ist dasjenige Vielfache der Anzahl der Gleichungen, welches der Quotient

— T-r angiebt.
n + 1

ni + n = Ä(w+l) + x,

wo X die Werthe von 1 bis n annehmen kann, dann giebt es neben kn
bestimmten x willkürliche Integrale. Hier dienen nämlich die n{n+m)
Gleichungen 4) dazu, nink-^-x) Grössen U zu bestimmen; doch weil dann
fdr die nk+K Grössen uq nur mehr nk Gleichungen übrig sind, bleiben
X willkürlich. Wir bezeichnen diese mit (Pi, (p^ ... (p» und die zugehörigen
Coefficienten CT^*') mit A^^K Nun ist das Problem der Integration der
Gleichungen:

B) V Z^(»)dic^ = 0 (v = l,2...n)

j'n einer Transformation zu suchen , durch N<re\c\i^ ^\^ \^«ii\kN&\«DL\

Von Dr. 0. Biermann. 237

. 'V.^V ^^»V.^"

nk

(v= 1, 2 ... n)
hergestellt werden. Die Integrale sind:

wo die C und c willkürliche Constanten bedeuten.

Ist die Anzahl der Variabein A;(n+1) — k> so giebt es {Jc—\)n be-
stiiamte und n + 1 — x willkürliche Integrale.

Die Integrale Sndem sich nicht, was für Functionen von Xß auch fQr
die h als unabhängig betrachteten Variabein t;„ gewählt werden mögen;
denn nehmen wir fA = n+*M Gleichungen

an, in denen die v willkürlich sind, aber die u^ die in den Identitäten

n+M

aasgesprochene Bedeutung haben, so ist

2 Z^'»» da;^ =2 Cr;<" *«, +2 F;w Svn.

/tt=l ^=1 9K=1

Doch weil die hierauf folgenden Identitäten

^ ?7,(^> Su, =2 ^^^'^ ^^« +2 ^-''^ ^^-
nur zu erfüllen sind, wenn

ist, so sind die u^ Integrale, was immer die Vn ftir Functionen der x^ sein

mögen. —

In den obengenannten Transformationsproblemen erkennen wir die den

Pf äff 'sehen analogen Aufgaben.

Die Integration der Gleichungen B) ist mit Hilfe der Elimination von

% Variabein und deren Differentialen aus den willkürlich zu wählenden

Gldchungen

y. = (I , ^2 ^^ ^8» • • •» y« = C*
und

^ die Integration eines Systems der Form A) zurückzuführen, indem in
den Identitäten 11) links nur Ä;(n + 1) Variable x und deren Differentiale
*^^ bleiben und rechts die x ersten Glieder ausfallen.
Die Integrale der Gleichungen A) sind

IKbiMitiirt man diese Gleichungen und addirt die tnit g^^vrva&^ox Q^*)^^»«!!
^»^öpSiBißii Differentiale du, so entstehen die Gleicbong^ l^

238 üeber n simultane Differentialgleichungen etc.

der Integrale kann man auch £Xß^^^ öx/a auf die Form EU^^^ 6ü^ bringen,
und zwar sind die n^k QrSssen U^^^^ durch die Gleichungen

definirt, in welchen die Xß als Functionen der uq und der k willkürlichen
Vn aufzufassen sind.

Es giebt noch Integrale, welche statt der willkürlichen Constanten
willkürliche Functionen enthalten.

Alle Beziehungen zwischen den U und u, welche die n Ausdrücke zum
Verschwinden bringen, haben die Gleichungen A) zur Folge und geben auch
ein System von Integralen ab. Bestehen nun etwa die kn^q willkürlichen
Relationen :

• . > Ukn = fkn — q (Wj , Wg • • • Uq)y

SO werden die Ausdrücke:

' ' (v=l,2...f.),

und diese verschwinden, wenn

W')+<|,^+... + ?7'Ä^^ (f=l,2...3, »=1,2... n)

Null sind. Die neuen Ä;n-f- (^--1)? Relationen sind auch Integrale, ent-
halten aber statt Constanten kn — q willkürliche Functionen von q Variabein.

Je grösser q ist, um so weniger willkürliche Functionen giebt es , aber
desto mehr Integrale. Bios im Falle einer Gleichung A) mit 2k Variabein
bleibt die Anzahl der Integrale constant 2 k.

Die Ausdrücke £Uq^*^ÖUq können endlich dadurch zum Verschwinden
gebracht werden, dass alle Üq^^^ Null sind, und dieses System von Inte-
gralen ohne willkürliche Constante und Functionen heisse das aingulSre.

Wenn wir in den Gleichungssystemen A) und B) ib = 1 setzen , so
gelangen wir einerseits zu dem System totaler Differentialgleichungen

1

andererseits zu dem System

y Xß^-)dXß^o.

Das erste System schreibt man nach Berechnung der n Verhältnisse

dx^ T^
in der Form

= ^ (fi = 2, 3...nH-l)

dx^ :dx^\ , . .:(iXn^\ = Y^*.Y^\ ...'.T^j^v.

Von Dr. 0. Bibbmann. 239

System ist integrirt, wenn man n von einander unabhängige Inte-
grale tij = C|, ti| = C2, ..., Un^^Cn der linearen partiellen Differential-
gleichung

du du du

kennt. Dasselbe ist aber auch integrirt, wenn man n ans den angenomme-
nen Gleichungen

l?^^ + f^'^« + - + äl^/-+' = « (v = l,2...«)

ableitbare identische Beziehungen

Tj dxfi - Yß dx^ = il/^) 8u^ + ^<^) 6u^ + .,. + An<f^ du«

(fA = 2,3...n-|-l)

aufstellen kann, in denen A^^^\ Äj^f*^ ... An*'*^ Functionen der x sind.
Nach Multiplication der letzten n Identitäten mit geeigneten Factoren und
Addition derselben ergiebt sich ein System der Gestalt I).

Das zweite der obigen Systeme besitzt A; willkürliche Integrale und ist
auf das System totaler Differentialgleichungen zurückfUhrban

Setzen wir in den Gleichungen A) und B) n = 1 , so kommen wir auf
die beiden Ff äff 'sehen Gleichungen. Die Uebertragung der bekannten

Methode der Lösung der Gleichung ^^ XfAdXß==0 auf das System

ß
(ti-H)fc

X^<^)da?^ = 0 (v=l, 2...n)

wflrde verlangen , dass wir die n Gleichungen in n andere mit A; (n -f- 1 ) — • 1
neoen Yariabeln a^^^ transformiren , welche Functionen der Ä;(n-f-l) Yaria-
beln X sind. Gelingt das, so kann man n derselben Constanten gleich
tetxen und die entstehenden Gleichungen mit (A;— l)(n-|-l) Yariabeln wieder
anf ein System von n Gleichungen mit (Ä;— l)(w+l) — 1 neuen Yariabeln
^^^ zu transformiren suchen und wieder n Functionen Constanten gleich setzen,
da ja n willkürliche Integrale existiren werden. Fährt man in gleicher Weise
fort, so erhftlt man schliesslich n Gleichungen mit n + 1 Yariabeln, welche
n Integrale besitzen. Im Ganzen hat man Jen Functionen der Variabein
Xß Constanten gleich gesetzt und diese sind Integrale des Systems.

Man überzeugt sich jedoch leicht, dass eine Transformation der ver-
langten Art ohne Bedingungsgleichungen für die Functionen X^^^^ nur dann
möglich ist, wenn die Anzahl der Gleichungen Eins ist. Auch wenn wir
das gegebene System in ein anderes mit gleichviel Yariabeln überführen,
ist im Allgemeinen nicht zu erreichen, dass das neue System die verlangte
Transformation znlässt.

Wenn darnach die Integrationsmethode von Pf&ii xivöiV» "««t^^xA^V»
wmdea kaan und offenbar auch die YerallgemeineT\mg ÖL«t 'ÄfiSasAft '^^'^

240 üeber n simultane Differentialgleichungen etc.

C leb seh nicht möglich ist, beschränken wir uns darauf, aus den n Gleich-
ungen

t(n4-l) kn

Differentialgleichungen für die Functionen üg^^'^ und Uq abzuleiten, welche
das „erste Pfaff*sche System *' als specielles System enthalfbn.

Mit HUfe der nk{n + l) Grössen X^W können wir (wÄ(n+l))* Grössen

5) ^^^^^If^^ar'^

dXfi dxi

definiren und darnach lassen sich durch dienX;(n+l) linearen Gleichungen

w Jlr(»+1)

ebensoviele Grössen z bestimmen. Die Determinante dieses Gleichungs-
Systems :

ist eine schiefe und symmetrische, da

ist, und ohne eine Bedingungsgleichung in den Xf»^*') verschwindet sie auch
nicht, da ihre Ordnungszahl nk{n + l) jedenfalls gerade ist.
Beachtet man die nA;(n-|-l) Gleichungen:

und die Darstellungen:

*'' \ aa;„ aa!j aa;/i aajj ax^ 3«^ /

\ dxj^ dxjj. dx dxfi dx^ dxfi )

+ (^''"-^''''>a-5^+W''>-^.'">),-|^+. .

SO lassen sich die Gleichungen 6) auf die Form bringen:

^ TT I ^^Q

oder bei anderer Anordnung der Summanden auf die Form:

Von Dr. 0. Biermank.

241

^dU^^^^[dUg SUg , , dUg

^«^a^iiL <?ir, dX2 ' ^«iKn+D

^i»l OXkin-i-l) ^ J

(f* = 1, 2 . . . h(n+ 1) , V = 1, 2 ... w).

Diese Gleichnngen fassen wir als linear in den nk Grössen

t(ti4-i)

(jfl + J^fc(«+ l)+;i + • • • + ^(n-l) *(n + l)+;i)

ond den n'Ä; Grössen

aof und lösen sie nach diesen Unbekannten.

Die Determinante des Systems 7) lautet nach Einführung der Zeichen

'-^^H% ^

dxi

dXß

QQ.ß'

0,, 0, ... Ofc(„-.i), öl, *(n-l) + l » Ö2,Af(ii-l) + 2 ••• Ö2t, *(» + !); •••
OjjO, ... Ojb, öl,fc+l, Ö2,Jt + 2 ... ön/lr,Jlr(n4.|))

(wo den Nnllen Indices beigesetzt sind, dass man deren Anzahl ersehe),
«nd wird im Allgemeinen nicht verschwinden. Sie ist in eine Summe von
Prodncten von je n Determinanten der Ordnung Icin + V) zerlegbar, und
sind diese Froducte so gebildet, dass eine erste Determinante lautet:

WO l|t i9...Aik irgend A; Zahlen der Beihe, 1, 2...A;n und v^ eine der
Zaiilen l,2...n bedeutet. Die weiteren n — 1 Determinanten siud ebenso
gebildet, nur bedeuten A| . . . Aj^ dort andere und andere der Zahlen 1, 2 . . . Ä;n
od eneh v hfti in jed^ Det^ *n Werth.

Beecidinek man ndt «äonen ^ Classe mit

In dem Zähler von (— 1 )"**-* Z^^") kommen vor Allem 7577^ Glieder

242 üeber n simultane Differenidalgleichungen eic.

Producte besagter Art. Die Summe dieser Glieder — jedes mit dem ge-
hörigen Zeichen versehen — ist gleich ^, wie man bei Beachtung des
Satzes: ^^Wenn ein System von n' Elementen in m Zeilen mehr als n — m
Colonnen Nullen hat, so ist seine Determinante Null'' leicht ersieht.

Bei Berechnung des Zählers von (— l)"**Fp hat man in den eben be-
schriebenen /^ Producten die Colonnen

durch

Ar •.. Älin+i)

zu ersetzen, wo unter Aß die Doppelsumme auf der rechten Seite der
Gleichung 7) zu verstehen ist.

(nk)l

(ÄJl)"
vor, die aus der früher zerlegten Determinante J dadurch hervorgehen, dass

man in denjenigen Determinanten der n-gliedrigen Producte, welche Ele-
mente P^*) enthalten, die Verticalreihen

Ö91» 0^2 ••• Qgkiu^i)
durch

ersetzt. — Daneben giebt es andere n-glledrige Producte von Determinan-
ten A;(n-f-l)^®' 0][dnung, die folgendermassen gebildet sind. Eine erste
Determinante lautet:

/i:!. •••^4ii' «" •••ö»-i... /i:v„,. öp+i.! -Qkn.i

• . • • • • •

• • • • • • a

• • • . • • •

WO Aj, k^y ... Xk'\-\ irgend Jc + l Zahlen der Reihe 1, 2...Ä;fi bezeichnen.
Die zweite , dritte ... (w — 2)'** Determinante des Productes hat die Form :

Pr.,1 ... -Pi^»,!, Qu ... Qkn,i

und darin bedeuten X\ ... jt'i^ immer andere und andere Zahlen der Beihe

l,2,..kn und v nimmt der Reihe nach n— 2 von v verschiedene Werthe

aas der Reihe 1 , 2 . . . n an. Bleiben dann unter den Zahlen 1 , 2 . • . ifei»

Tmp. 1, 2 ... n noch die folgenden übrig: l!\ . . . A%^i resp. v\ so hat die

Jeigte Determinante des Productes die "PoTm*.

Von Dr. 0. Biebmann. 243

p^?^, ■i'iC.... ^r. «.. ...«*„..

i-f

■» • • • •

Bo\äiQfr Producte lassen sich

-(n IM ^^^^^

■^^ ^^Ä+1).(Ä-1).(Ä;I)»-»

bilden, dämm giebt es im Zähler von (—1)"''^~*Z^*'^ im Ganzen

n-gliedrige Producte von Determinanten der Ordnung A;(n+1) und weitere

Glieder der Ordnung kommen nicht vor.

Aus dieser Beschreibung des Baues der Werthe für die nk{n+l)
Unbekannten Tg und Zg ersieht man, dass diese Werthe im Allgemeinen
▼erschieden ausfallen , ausser in dem Falle n = 1, wo alle Grössen Ä^^ ver-
sdi winden. Die Lösungen des Systems 7) sind dann:

. dUg . dUg , , dUg ^

weil die Determinante

im Allgemeinen nicht verschwindet. (Hier ist Ug für Uy geschrieben.)
Die h Gleichungen ß) ziehen die folgenden A; — 1 nach sich:

•.il.(l)+'.,-^(S)+-+'"ät.(g)-''

(^ = 1,2...Ä;-1),
und darum genügen die 2ä; — 1 Functionen u^, ti^ ... Ujt, IT ^ if "' " iF
•He derselben linearen partiellen Differentialgleichung:

OX^ vX^ OXik

deren allgemeine Lösung «p eine willkürliche Function der letztgenannten

^uietionen ist. Diese ist aber auch eine Lösung des ersten Pfaf fischen

Problems und tp^c ist ein erstes Integral der Pfaf fischen Gleichung
u

2^ iXf^ sa 0. Wie man mit dessen Hilfe die BeetinL»

^Vile dasuleiteD und durchzufUhrea hat,
IhrehMrdt'ß Journal Bd. LX).

244 Ueb. n simultane Differentialgleich. etc. Von Dr. 0. Biericann.

Hier ist klar geworden, warum man bei dem Pfaff*8cben Problem
einen successiven Fortgang von einem Integral g> = c zu einem zweiten,
von dem zweiten zu einem dritten u. s. w. nehmen muss. Wegen des Zu-
sammenfallens der Werthe für T^ und Zg oder wegen der üebereinstim-

mung der Differentialgleichungen für die Functionen ug und j^ kann man

nttmlich ein System zusammengehöriger Functionen ug und j^f welche das

^k
Problem lösen, nicht finden.

Der Umstand, dass man in dem allgemeinen Falle von n Gleichungen
A) mit Ä;(n + 1) Variabein nA;(n+l) Differentialgleichungen, die man in
den nk{n+l) Lösungen des Systems 7) findet, gleichzeitig betrachten und
diesen ein System zusammengehöriger Functionen ug und Ug^^ entnehmen
muss, welche das Problem lösen, erschwert natürlich gerade die fernere
Untersuchung, und die Complication der Differentialgleichungen, welche in
Bezug auf die Functionen ug von der zweiten , in Bezug auf die Functionen
Ug^ von der ersten Ordnung sind, lässt selbst bei niedrigen Werthen ftlr
n und h nicht leicht eine Discussion zu. Hier kam es darauf an, das Yer-
hältuiss des Pf äff 'sehen Problems zu dem allgemeinen zu charakterisiren.

Prag, den 18. December 1884.

Kleinere Mittheilungen.

XL Der Doppelpunkt symmetaieoher räumlicher Systeme.

Die Thatsache, dass der Schnittpunkt der nonnalhalbirenden Ebenen
der Strecken , welche entsprechende Ecken zweier in verschiedenen Ebenen
ü^nden congmenten Dreiecke verbinden, mit diesen Dreiecken zwei Te-
traeder bestimmt, die im Allgemeinen symmetrisch, nicht con-
grnent sind, ist zwar schon. längst bekannt (vergl. u. A. Magnus, Aufg.
108 der analjt. Geometrie des Raumes, sowie Baltzer, Die Gleichheit und
Admlichkeit der Figuren und die Aehnlichkeit derselben, Dresden 1852);
ir^ der Einfachheit des Gedankenganges erschien trotzdem die folgende
Darstellung der Mittheilung werth.

1. Zu zwei gleichen Strecken iiJB und A'B\ die auf dersel-
ben Ebene (S enthalten sind und nicht zusammenfallen, giebt
es immer auf @ einen eindeutig bestimmten Punkt S, welcher
mit i£ und AB' gleichsinnig congruente Figuren bildet.

hi 8 der Schnittpunkt der Nonnalhalbirenden von ÄÄ' und BB\ so
r8i8A=8Ä\ SB^SB'; hieraus und aus AB =:Ä'B' folgt SAB ^SÄ'B'.

Angenommen, die beiden Dreiecke SAB und SAB' wären ungleich-
nonig congruent, so wäre, unter Berücksichtigung des Sinnes,

1) LÄSB = B'SÄ.

Wird eine durch S gehende Gerade MN durch die Gleichung bestimmt

2) L BSM= MSB\
io folgt aus 1) und 2)

L ASB + BSM^ MSB'+ B'SA\

iASM^MSÄ.

ffierans und aus der gleichen Länge der Strecken SA = SA\ SB=^SB^
folgt, dass A und A\ sowie B und B' symmetrisch gegen SM liegen;
diiier ist MN die gemeinsame Normalhalbirende von AA' und BB\ und
ftr jeden Punkt P derselben ist PA = PA\ PB = PB\ PAB ungleichsin-
B« eongment PÄB\ Der Schnittpunkt Sq von AB und AB' lie^ auf
'Jf; ^ verschwindenden Dreiecke SqAB und S^ÄB' können als gleich-
*Biig eoognient aogeeehen werden. —

Wmk di ^'B' gleichsinnig parallel sind, so ist

Tankt 8 liegt uiieiid\\c^\i («lü m ^^x

^4(t

Kleinere Mittheilung^en.

^ « ■ ■■

2. Zwei tiiil' lUirwilhau Ebene (S liegende gleichsir
X iiikI ^'' hiibiiii luicli 1. einen eindeutig bestimmt',
lirh Inniiiii Hifll;Htiin1.h|)rechendcn Punkt S und köij
ilniihiilbnii 7.(1 r DiH'kiiiif^ gebracht werden.

'/wi^i litii' ((^ HymniotriKch liegende Systeme Z
i«iilfi)irt«rbtiiitln (JoriuU), die Sy mmetrieaxe ; jeder !
iniiikt.. WiMiii 7.\vol auf {^ liegende Systr
hiiiiitf( ruiif^ruoni Hind und nicht symii
Ott kiMiiiMi Piiiikii dor von den Ecken c
doli hriMorks AliC in £ ebenso wei'
diMi oiil.NprorliiMidon IMinkton ä'\ li'
S\hl4Mno ^ uuil X* Nynimotriseh und hab'
:.o INI duivb l\\^ PA' und PB^PS k\
y uuil Jl" bolinnnt; für donsolben ist /'■
:.o wftio VC VC und djihor P auf
d;knu würdo P :uu'b Auf «4 h Hegen, im '
nioht M-muiotriM'h lu^ni.

*V .*» .-wo» oou>:ruonton Dreiecke i.
riviu^u 0 «wd \S l\e»^«n und von t
\^ iv ;u.> j;xvvohow ui\j;leich«inn]g o!
\\\\ \\\\w\\ >\ uMuciriMThe Tetra

K; .4 K <^ d",e NciT«MÜ|>rojo
i K i* *:'o:ohsittttig i'i.-.

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ui Falle die sy^

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X- «« s

A. >*vU>,* Ä>if ;^'hicbt i"^

<y/ . ^v \,^r«lA4^rv>lel*!■
^^.^- iS." xitsi AB C

4. \X js>:» Ä!* Ayit' C?

riseh liegen und ££

.alhalbirenden Ebenei

. r Svsteme ^und £' ein

1? \?ff' Trifft; jeder Punk

1 Dreiecken Ton Z, und 1

-;}ixkt von $ and (r6' kan

xi-t2'i«r symmetrischer T(

B. Heckes.

2-C i-r^rer T«riz£erlicb

Kleinere Mittheilungen. 247

■-*.^V'>-^N^^-»>_< ^^T^ -»-»-^ >/— ^ -^ >^.^»-*#

aof S und S' würden entsprechende Punkte der congmenten Systeme E und
y sein, die Nonnalprojection T desselben auf die Ebene (S würde daher
80 gelegen sein, dass TA^TÄ\ TB:=^TB'\ TC^TC"-, ein solcher
Punkt ist nach Nr. 2 nicht vorhanden.

Hieraus folgt, dass die drei normalhalbirenden Ebenen der Strecken
Aä, BB\ CO' einen endlichen Punkt nicht gemeinsam haben.

Aus 3) und 4) ergiebt sich der Satz: Wenn die congruenten
Systeme Z und 2' auf parallelen Ebenen so liegen, dass die
Normalprojection Z" von Z' auf Z mit Z ungleichsinnig con-
grnent ist, so haben die Ebenen, welche die Strecken entspre-
chender Punkte normal halbiren, entweder eine gemeinsame
Gerade oder nur einen gemeinsamen unendlich fernen Punkt,
je nachdem Z" und i? symmetrisch liegen oder nicht.

6. Wenn die congruenten Dreiecke ABC und A!B'C' auf Ebenen @ und

@' liegen, die einander schneiden, so giebt es unter den zwei Paar Schcitel-

flfichenwinkeln, welche @ und (S' bestimmen, ein Paar a und o^, von dessen

Innern aus ABCxindi ÄB'C ungleichsinnig congruent erscheinen; von den

Punkten im Innern des andern Paares ß und ß^ aus erscheinen sie gleichsinnig.

Der Schnittpunkt der normalhalbirenden Ebenen der Strecken AÄy BB\

^0' sei & Da S gleiche Abstände von (S und ©' hat, so ist 8 auf einer der

beiden Ebenen $ und S^' enthalten, welche die Winkel a und ß halbiren.

®nd T und T' die Normalprojectionen von S auf (5 und @', so kommen

^^iose Punkte zur Deckung, wenn man @' durch Drehung um die Gerade

6®' mit (5 vereint, und zwar indem die Winkel o, «^ oder die Winkel

Pt ßi beschrieben werden, je nachdem 8 auf ^ oder $' enthalten ist.

Nach der Drehung deckt sich Z' im ersten Falle mit einem System
^'> das mit Z gleichsinnig ist, im andern mit einem System Z''\ das mit
^ Ungleichsinnig ist.

Wenn Z" und Z identisch sind , so sind Z'" und Z symmetrisch und
hal>eii die (rerade 66' zur Symmetrieaxe; jeder Punkt von § giebt mit
AJ3G und A'B'C symmetrische, jeder Punkt der Kante 66' verschwin-
^dUfie congruente Tetraeder.

Wenn Z" und Z nicht identisch sind, so haben sie nur einen selbst-
•"^taprechenden Punkt T\ der Punkt 8 von §, welcher T zur Normalpro-
jectaon auf 6 hat, ist der einzige Punkt 8, der mit ABC und ÄB'C
^^^iiEunetriBcbe Tetraeder bestimmt. 8 kann auch unendlich fern sein; die
Dichtung, in der er liegt, bestimmt die Längskanten zweier symmetrischer
^iseitigor Prismen, welche ABC und ÄB'C zu Basen haben.

Wenn die ungleichsinnig congruenten Dreiecke A'"B'"C'" und ABC
^^^t symmetrisch liegen, so haben sie keinen Punkt, der von den Ecken
^ einen dieselben Entfernungen hätte, wie von den entsprecheuddn d^%
^>^d«KB/ tÜMdtum giebt es auf ^' keinen Punkt ^ für iivAc\i«Ti 8A=SA1^ SB

248 Kleinere Mittheilungen.

r=8B% 80= SC' wäre, also giebt es dann keinen Punkt, welcher mit
ABC und Ä'B'C congruente Tetraeder bestimmt.

Wenn daher die Systeme £ und £'" nicht symmetrisch
liegen, so haben die normalhalbirenden Ebenen der Strecken
entsprechender Punkte der Systeme S und £' einen Punkt
gemein, der auf $ in endlicher oder unendlicher Entfernung
liegt und nicht in die Schnittlinie @(S' fällt.

Wenn die Systeme £ und 2" nicht zusammenfallen und 2 und £'
gegen eine Gerade t symmetrisch liegen , so bestimme man die Grerade 8 auf
Q\ deren Normalprojection auf 6 mit t zusammenfällt. Jeder Punkt von t
giebt alsdann mit ABO und ÄB'C congruente Tetraeder und 2^ und
Z* kommen durch Drehung um s zur Deckung. Der Schnittpunkt der
Geraden @@' mit i iät in diesem Falle der selbstentsprechende Punkt von
£ und S!\ da Z und H"' symmetrisch gegen t und 2?" und E'" symme-
trisch gegen @@' liegen; daher verschwinden in diesem Ealle die sym-
metrischen Tetraeder mit gemeinsamer Spitze und den Basen ABC und
ÄB'Q'. Hieraus folgt:

Wenn die Systeme E und H'" symmetrisch liegen und EE,"
nicht zusammenfallen, so haben die normalhalbirenden Ebenen
der Strecken entsprechender Punkte der Systeme ^und 27' eine
gemeinsame Gerade 5, welche die Kante @(S' trifft; jeder Punkt
von 8 bestimmt mit entsprechenden Dreiecken von E und E'
congruente Tetraeder; der Schnittpunkt von 5 und @@' kann
als gemeinsame Spitze verschwindender symmetrischer Te-
traeder betrachtet werden.

Dresden. R, Hegbs.

Zn. üeber einen Satz von Burmester.

Herr Burmester hat folgenden, die Bewegung ebener veränderlicher
Systeme betreflfenden Satz ausgesprochen:*

„Die Curve, welche von den Bahnen der Punkte einer Systemcurve umhüllt
wird, ist zugleich die Enveloppe verschiedener Phasen derselben Systemcurve.**

Dieser Satz, welcher ursprünglich nur auf coUinear- veränderliche ebene
Systeme bezogen wurde, kann nicht nur auf jedes continuirlich- veränder-
liche ebene System übertragen werden, wie es Herr Geisenheimer
bemerkt hat , ** sondern auch auf ein räumliches^ continuirlich - veränder-
liches System bezogen werden.

Die Richtigkeit dieses Satzes ist auf geometrischem Wege nicht schwer
einzusehen; ich erlaube mir aber, grösserer Genauigkeit wege^, einen ana-
lytischen Beweis desselben anzuführen.

* DieM ZeiUohrift Bd. XIX und XX.
** Diese ZeitBchrift Bd. XXIV.

Kleinere Mittheilungen.

249

Es seien a, 6, c die Anfangscoordinaten eines Systempunktes , x, y, z
dessen Goordinaten zur Zeit t und

1) »=»/i(ai6, c,0, y — fi{a,b,c,t), z^U{a,b,e,t)
die Bewegnngsgleichungen. Es sei weiter eine Sjstemfläche

2) F(a,6, c) = 0

gegeben« Es möge die Lage dieser Fläche zur Zeit t durch die Gleichung

3) <P(iC,y, jEf, 0 = 0

bestimmt werden; wir erhalten bekanntlich diese Gleichung, wenn wir a,
5, e aus den Gleichungen 1) und 2) eliminiren. Die Enveloppe, welche von
den Bahnen verschiedener Punkte der Fläche 2) gebildet wird, wollen wir
im folgenden Sinne verstehen. Es seien Jtf(a, 2), e) und M\a'\'da, b + dh^
C'\'dc) zwei Punkte der gegebenen Fläche, a und a die Bahnen derselben.
Diese Bahnen schneiden sich im Allgemeinen nicht; wir können jedoch die
DiflEifirentiale da, db^ de so wählen, dass der Durchschnitt derselben statt-
findet. Da der gesuchte Durchschnittspunkt Q zugleich den beiden Curven
ö and c angehört, so müssen wir die genannten Differentiale so nehmen>
dass die Coordinaten des Punktes M auf der Curve a zur Zeit t den Co-
ordinaten des Punktes M' auf der Curve a zur Zeit t-^dt gleich seien.

Es ist also

f^^a^-da, b + db, c + dc, t + dt) ==f^{a,b, c, t),

fi(a + da, b + db, c + dc, t + dt) ^^f^ia^b^ e^t),

^sCö + da, b + dby c + dc, t + dt)=f^(a,b, e, t)
und folglich

ä^'^»+ä6'*^ + ä7^''+-#'" = «'

4)

da

da + y^db + ^Uc + ^dt = {),

db

de

dt

^foSa+^Adb + ^J^dc + ^J^dt

0.

da ' db de ' dt

Die Differentiale da, db, de müssen ausserdem der Bedingung

5)

dF. ,dF.,,dF, ^
■r-da+^r-db + ^-dc = 0
da db de

genügen. Eliminiren wir aus den Gleichungen 4) und 5) die Differentiale,

so erhalten wir die Gleichung

da db' de dt

dft df, df^ dU

6)

da' db' de' dt

dU^ dU^ dU ^U
da' db' de' dt
dF dF dF „
ea' db' de' ^

= 0,

250 Kleinere Mittheilnngen.

welche, mit der Gleichung 2) verbunden, diejenige Curve auf der gegebenen
Systemfläche bestimmt, für deren Punkte die Bahncurven mit den Bahn-
curven unendlich naber Punkte derselben Sjstemfläche sich zur Zeit t
schneiden.

Alle der Zeit t entsprechende Durchschnittspunkte bilden im Räume
eine Curve und wir erhalten die Gleichung derselben, wenn wir aus ftlnf 1
Gleichungen 1), 2) und 6) die drei Coordinaten a, h mid c eliminiren. ^
Wenn wir aus den so erhaltenen zwei Gleichungen die Zeit t oder, was^
dasselbe ist, ayb, Cyt aus den fünf Gleichungen 1), 2) und 6) eliminiren^
so erhalten wir die Gleichung einer Fläche £*, welche durch alle solche
Curven gebildet wird.

Die Verallgemeinerung des Satzes von Burmester besteht
darin, dass diese Fläche mit der Enveloppe verschiedener
Phasen der gegebenen Systemfläche zusammenfällt. In der
That kann die Gleichung dieser Enveloppe auch folgendermassen abgeleitet
werden. Die Verschiebung eines System punktes, welcher zur Zeit t sich in
der Enveloppe befindet, geschieht in der Tangentialebene zur Fläche 3); sie
muss daher der Bedingung

genügen. Das erste Glied dieser Gleichung wird mit der Determinante 6)
identisch, wenn man nur in diese Gleichung anstatt x^ y^ z die Variablen
a^ hy c einfuhrt. Wenn man nämlich in die Function (Z>(a?,y, xr, ^) mit
Hilfe der Gleichungen 1) wieder a, &, c einsetzt, so verwandelt sich diese
Function in F{ay &, c); daher

dOdxd^dydOdz dF

dx da dy da dz da" da
d^ dx dO dy dOd£ _dF
dx db'^dy dl'^ dz dl^^dl'
dO dx d0 dy dO dj_ _dF^
dx de dy de dz de "^ de

dO d0 dO

Wenn wir hieraus -r— » t;— » -tt- bestimmen und in die Gleichunt? 7) ein-

dx dy dz '

setzen, erhalten wir die Gleichung 6). Es kann also die Gleichung der von

der Systemfläche gebildeten Enveloppe durch die Elimination von a^h^ c^i

aus den Gleichungen 1), 2) und 6) erhalten werden, wodurch die Identität

dieser Enveloppe und der Fläche K bewiesen ist.

St. Petersburg. P. Somoff.

Kleinere Mittheil iingen. 251

XHL Ueber einen ans der Fotentialtlieorie hergeleiteten

geometrischen Sats.

luf einer Geraden XT seien die Punkte Ä, B, C etc. gegeben und
«war in der Reihenfolge X^ Ä^ B^ C . .. Y. Wir setzen die zwischen je
iwei benachbarten Punkten liegenden Entfernungen AB, BC, CD etc. resp.
gleich a^y o^, a, etc. Die Gerade XY sei gleichmäs&ig mit Masse belegt
und zwar auf jeder Längeneinheit mit der Masseneinheit. Das Potential
jeder Strecke a^ , a^ ... für einen ausserhalb der Geraden X Y liegenden
Punkt PlÄsst sich leicht angeben, wenn man die Strecken PA^ PB^ PC ..,
beiüglich mit r^, r^^ r^ etc. bezeichnet. Durch Integration findet man, dass

das Potential von a^ für den Punkt P den Werth %(-~^— - ) besitzt,
«nd das Potential von a^ den Werth logi ^~\' ^ M- Das Potential

der ganzen Strecke a^+a^ ist aber = % ( \ " ' ) • Da nun das

Potential der Summe zweier Massen gleich der Summe der Potentiale der
^iden Massen ist, so muss die Summe der beiden ersten Logarithmen
gleich dem dritten Logarithmus sein. Hieraus folgt die Relation:

^1+^2 — 01 *'2 + *'3 — «2 *'i + *'s-«i-«2
^^oe Beziehung lässt sich auch direct nachweisen.

Wir wollen Gleichung 1) noch auf andere Form bringen. Das Dreieck
-^-ÖP habe den Umfang Sj, das Dreieck BCP den Umfang Njj, das Dreieck
'^Gp den Umfang S, so ist

2) ^ ^= -

^ ^i-2ai V-^2 5-2(ai + fl2)

°^i nun (2, der Durchmesser des dem A-4J5/^ einbeschriebenen Kreises , so

**t Sj{Jj==4/=2a, Ä, wo h den Abstand des Punktes P von der Geraden

^ y bedeutet, also — i = ^^^ Demnach geht 2) über in

3) _1_.^^ 1_,

h h h

^o d der Durchmesser des dem ^ACP einbeschriebenen Kreises ist.

Die Belation 1) Iftsst sich sofort verallgemeinem, wenn man statt der
^^ei Potentiale von a^ und a^ gleich n Potentiale der Strecken a^ bis a„
^inftthrt Man erh&lt so folgenden Satz:

Wenn in einem Dreiecke w—1 Gerade vondei Si^Hi.^G^^Oö.
^er BrngJä AJB gezogon werden, so gilt i\ii äii^ 'üxiT^iVim^^^^'^

2ö2 Kleinere Mittheilungen.

dl, dg ... d„ der in die n Theildreiecke eingezeichneten Kreise
die Gleichung

('-^)('-|)-('-^x)='-f

worin h die Höhe des Dreiecks ABC und d den Durchmesser
des ihm einheschriebenen Kreises bezeichnet.

Von Interesse ist folgende Bemerkung, die aus der Vertauschbarkeit
der Factoren in 4) folgt. Zeichnet man im AiiBCn— 1 andere Gerade
von C nach AB und zwar so, dass n— 1 in der neuen Figur gezeichnete
eingeschriebene Kreise mit n — 1 Kreisen aus der alten Figur übereinstim-
men, so muss auch der n^^ Kreis in der neuen Figur gleich den n*^ in
der alten Figur sein. — Mit Hilfe von 4) lässt sich eine Reihe geometri-
scher Aufgaben lösen. Wenn verlangt wird, dass im l^ABC von (7 nach
AB n-—! Gerade so gezogen werden sollen, dass die in den n entstehenden
Dreiecken gezeichneten eingeschriebenen Kreise gleich gross sind, so findet

(rr\* d

1 — —\ =1— Y» ^^ ist

die Construction geometrisch nur ausführbar, wenn n eine Potenz von 2 ist.
— Vergleicht man die identische Gleichung

*'-"('-r^J('-r^)-('-rri^,) = i-'

mit 4), so kann man die n Kreise so wählen, dass -^ =Ä;, -r^^l T ®^

n h 1 — k

ist: nur muss dann nÄ=— oder Ä; = — ^ sein.

h nh

Zeichnet man für die n Dreiecke die die Basis berührenden angeschrie-
benen Kreise und nennt ihre Durchmesser ^1,^2"-^")^^ ^^^

{■4)0+f)='.

wie sich leicht geometrisch nachweisen iSsst. Man kann demnach statt 4)
auch folgende Gleichung aufstellen:

») (>+'i)0+l)-(>+x)='+r

wo 5 der Durchmesser des die Basis berührenden angeschriebenen Kreises ist.
Leipzig. Dr. Niemöller.

)

XIV. Bemerkung zum vorigen Aufsatse.

Den von Herrn Dr. Niemöller gefundenen Relationen 4) und 6) Utest
sich eine dritte Gleichung von besonderer Einfachheit zugesellen, nSmIich

Kleinere Mittbeilungen.

253

•*.^-N. y^_i^ y^ j

Dieselbe ist geometrisch leicht herzuleiten und führt mittels der Formeln

1= 1--^ =
6 "" Ä ■"

1

äuf die Resultate 4) und 5) zurück.

•+i

SOHLÖMILCH.

Z7. Zum 8chwering*8ohen Linienocordinatensystem.

(Hierzu Taf. VI Fig. 7 u. 8.)

§1.
Im Nach stehenden werde ich zeigen , wie die im obigen System höchst
eiii&ehen Gleichungsformen der Centralkegelschnitte i«t; = + &^ und der Pa-
tabel tt*— t;* = e* (vergl. Bd. XXI S. 278 dieses Journals) durch Sätze der
projecti?ischen Geometrie zu erklären sind. Die duale Herleitung der ent-
sprechenden Gleichungen in Cartesischen Punktcoordinaten gi^bt die Ver-
wandtschaft beider Systeme zu erkennen.

1. Man denke sich zwei projecti- 1. Man denke sich zwei projecti-
^he Ponktreihen. Auf jedem Trä- vische StrahlbüscheL In jedem der-

ger ist der unendlich ferne Punkt
bemerkenswerth. Mögen die beiden
Piukte 9, i}j heissen, die ihnen ent-
Qi'echenden ^j, % Dann ist

wenn a, «^ entsprechende Punkte sind.

2. Die unendlich fernen Punkte q
™d \ können zusammenfallen. Die
Ti%er sind dann parallel. (Fig. 7.)

& ist (tt — i»)t; = con5f.

selben ist ein rechtwinkliges Strahlen-
paar bemerkenswerth. Es seien dies
die Strahlen si und s^i^. Dann ist

wenn z und n^ entsprechende Strah-
len sind.

2. Der Strahl 5 kann mit i^ zu-
sammenfallen. (Fig. 8.)

-4-B = 2a,
. , , PD a-x

DB

3. Die einfachste Gleichung
**=ai*reBultirt nur dann, wenn
ver die Träger bestimmende
unendlich ferne Punkt richtig
S^wihlt wird. Hier kann jeder
^ vofliidlich fernen Punkte der beiden
^Wtd^HBaxen gewählt werden.

3. Die einfachste Gleichung
resultirt nur dann, wenn der
Anfangspunkt der Zählung der
X und y richtig gewählt wird,
nämlich der Mittelpunkt

254

Kleinere Mittheilnngen.

In diesem Verhalten erblicken wir den wahren Zusammen

I|ang beider Systeme.

4. Beim Kreise ist die Wahl des
unendlich fernen Punktes beliebig.
Immer kommt man zur einfachsten
Gleichungsform.

5. Beim Centralkegelschnitt be-
stillet die Forderung: „q^ soll mit rj
zusammenfallen und die Gleichungs-
form möglichst einfach sein^ zwei
allein mögliche Systeme.

4. Beim E[reise bestimmt die For-
derung, dass 5 mit ^j zusammenfiollen
soll , nicht die Axen. Die Wahl der-
selben ist willkürlich und führt immer
zur einfachsten Gleichungsform.

5. Beim Centralkegelschnitt be-
stimmt im Allgemeinen die Forderung :
„s soll mit t^ zusammenfallen und
die Gleichungsform möglichst einfach
sein** zwei allein mögliche Systeme.

6. Für die Parabel wird die vorige Darstellung illusorisch. In Linien-
coordinaten haben wir die Gleichung t*^ — v* = e*. Wenn wir den Analogie-
schluss machen, so müssen wir setzen

e

und —s=tgns=

Es resultirt sodann

(^J-(^)=

c*

oder

y^ = 2ex,

7. Wir wenden dasselbe Verfahren auf die Gleichungen des Punktes

und der geraden Linie an.

Es sei gegeben

Äu + Bv + C^O,
Es folgt

Atgm + Btgn + C:=0
oder

(Ä + B)x+Cy + ^^e^O
oder

als Gleichung der dem Punkte entsprechenden Geraden.
Umgekehrt sei die Gleichung einer Geraden gegeben

ax + l)y + c = 0.

Für Xq = -^ sei

* VergL: Theorie und Anwendung det LmerLeootdxßaitÄxi, von K. Schwe-
rin^, Leipzig, Teahner. 1884.

Kleinere Hittheilnngen. 255

yo = »

6--
s 2

und für «j^ — •5- sei

yi=«=— -— e-

Es folgt dann ans ^=^ =?i:Z^

y-yo »i— yo

««+»}y — c{s=0
als Gleichung der dem Punkte (£,*]) entoprechenden Gerolden.

§11.

Es sei noch gestattet, hier einige kleine Bemerkungen zum System
anzuschliessen.

1. ,|Die unendlich ferne Oerade ist Doppeltangente einer Curve n^*'
Classey wenn die Glieder n*^ Grades den Factor (u — v)* nnd die Glieder
(f» — 1)*** Grades den Factor u — v enthalten.''

Der Beweis folgt sofort aus dem Umstände, dass die Punkte der un-
endlich fernen Geraden durch die Gleichung w-v^a dargestellt werden.

2. Der Krümmungsradius der Curve F{uyv)=^0 wird gefunden durch
die Formel

(Pi 9i ^' ^» ^ ^^^ Abkürzungen für die ersten und zweiten partiellen Ab-
leitungen yon F{u^ v) nach u und v.)

3. Um eine Gleichung in Cartesischen Punktcoordinaten in Schwe-
ring'sche Liniencoordinaten überzuführen, dienen die Gleichungen

Bekanntlich lautet die Gleichung der Tangente

ff(^-*o)+|f(y-yo)=o.

Kmmt man nun für x = ±a y = u resp. v, so {o\g€r\» m^iTi ^\^^^^\!l
mdörtf wigaa man nach

258 üeber die Vertheilang der indueirten Elektricit&t eic.

Die Auflösung dieser Aufgaben bedarf einiger Vorbereitungen.

Es ist zunächst die partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:

welcher jedes Potential am genügen hat, ftUr den elliptischen Cylinder zu
integriren. Die Integration erfolgt durch Seduction obiger Gleichung auf
gewöhnliche Differentialgleichungen. Die hierbei entstehende Frage, bei
welchen Cylinderflächen eiue Reduction dieser Gleichung auf gewöhnliche
Differentialgleichungen möglich ist, wird dahin beantwortet, dass nur Cylin-
derflächen zweiten Grades eine Reduction zulassen. -- Nachdem wir den
allgemeinen Ausdruck f(ir V hergestellt haben , entwickeln wir die reciproke
Entfernung zweier Punkte und gelangen dann zur Lösung unserer zwei
Hauptaufgaben.

Von besonderem Interesse wird die Aufgabe dadurch, dass za ihrer
Lösung die wohl zuerst von Heine eingeführten, von ihm als „Functionen
des elliptischen Cjlinders" bezeichneten Functionen angewandt wer-
den, welche sich zu den allgemeineren L am 6 'sehen Functionen ähnlich ver-
halten, wie die Cylinder- oder BesseTschen Functionen zu den Laplace-
schen Kugelfunctionen. Ich bemerke, dass diese Functionen, wie a priori
zu erwarten war, auch bei der Lösung der auf das elliptische Paraboloid
sich beziehenden Potentialaufgaben auftreten , dessen Untersuchung ich spftter
auszuführen gedenke.

Heine behandelt von Potentialaufgaben, betreffend den elliptischen
Cylinder, nur eine: das Potential für innere Punkte zu bestimmen, wenn
sein Werth auf dem Mantel und den beiden Grenzflächen gegeben ist. Ich
beschränke mich auf die Betrachtung eines unendlich langen Cylinders.

§1.

Integration der Qleiehung z^F«0.
Man integrirt bekanntlich die Differentialgleichung des Potentials

cx^ oy* ogi*

dadurch, dass man zunächst statt der rechtwinkligen Coordinalen x^ y^ z
orthogonale krummlinige Coordinaten ^, ^, , q^ von solcher BeechaflTenheit
einführt, dass die den betrachteten Körper begrenzende Fläche su einer der
Schaaren q = const , q^ = const. , q^ = consL gehört. Dann Yer|pcht man der
Gleichung 1) durch eine partikuläre Lösung von der Form V(q). V{q^. ^(Pi)
zu gentigen, wo die Functionen l/, F, W nur von je einem Ar^mente
abHängen und sich durch gewöhnliche Dlf[^T«uUalgleichungen zweiter Ord«
oan^ beatimmen. Nicht für alle ¥V^\i^iig;eAX\mg|^ veX ^mda ^k^s^di^ ^^

xm.

Ueber die Vertheiliing der induoirten Elektrioität
auf einem unbegrensten elliptisohen Cylinder.

Von

Dr. Rudolf Besser

in DrMden.

Die üntersuchaiigen über die Vertheilung der Elektricit&t und Wärme,
welche im Wesentlichen auf die Integration der Differentialgleichung des
Potentials JV^O hinauskommen , sind auf fast alle Körper, die von Flächen
xweiten Grades begrenzt werden , ausgedehnt worden. Nachdem schon früher
die geschlossenen Flächen zweiten Grades behandelt worden waren, hat man
sodann aach ungeschlossene Flächen in das Bereich der Betrachtung gezogen,
so t. B.: den Kreiscylinder durch Kirchhoff und Heine*, den Kreis-
k^;el durch Herrn Mehler^, das Botationsparaboloid***, bei welchem Herr
Baer die Theorie der Wärmevertheilung behandelte, während sich die For-
meln für die elektrische Vertheilung, wie ich mich überzeugte, ebenfalls
•ehr leicht aufstellen lassen, und schliesslich auch das zweitheilige Bota-
tionahyperboloid durch Herrn Arendtt.

Ich versuche in den nachstehenden Zeilen einige der Fundamentalauf-
gaben, betreffend das Flächenpotential eines elliptischen Cylinders, in
ähnlicher Weise und mit Anwendung derselben Methoden zu bearbeiten,
wie dies von Heine a. a. 0. mit den entsprechenden Aufgaben für den
Kreiscylinder gethan worden ist.

Diese Aufgaben sind im Wesentlichen folgende:

1. Das Potential einer durch ihre Dichtigkeit gegebenen Flächenbelegung
önes elliptischen Cjlinders für äussere und innere Punkte desselben zu be-
stimmen;

2. das Potential für äussere und innere Punkte zu ermitteln, wenn
tstn Wertii auf der Oberfläche des Cjlinders gegeben ist.

Im Anschlnss an diese beiden Aufgaben wird noch die Green 'sehe
fi^lsgong und Green 'sehe Function eines elliptischen Cjlinders aufgesucht
«id dftait das Problem der inducirten Elektrioität gelöst.

* Orelfe's Joamal, Bd. 48 S. 848-876; - Heine, Kugelf unctionen, II. Bd.
8. mig.

** ftognunm des Gymnasiums zu Elbing. 1870.
*^ Plrognimm des G/auiaiiams zu Cfistrin. 1881.
fUHm, Detma, J884.

tMmikmmütOc m. PhjrMik XXX, 5. VI

260 Üeber die Vertheilung der inducirien £lektricitftt etc.

Macht man nun mit Wanger in die Annahme:

FA = AB(rt.Ä|(Pi),
wo iL von Q und q^ , aber nicht yon h abhängt", so findet man , dass sie
and 22^ nur dann ans gewöhnlichen Dijfferentialgleichnngen zweiter Ordn
bestimmen lassen, wenn erstens zwischen y und g die Gleichung:

6a) y + i0^F{t + %u)

besteht und zweitens F{t + iu) so beschaffen ist, dass

6b) JP'(^ + ttt).F'(^-»u) = p(0+Ä(u).

t und u sind dabei gewisse nur von g bez. p| abhängende Functionen. ]
erhält also ganz ähnliche Bedingungen wie bei den Rotationsflächen.
Einzelheiten der Untersuchung glaube ich hier übergehen zu dürfen , da
Wange rin'schen Formeln fast unverändert angewandt werden, und
weise deshalb auf die schon citirte Abhandlung des Herrn Wanger in.
Ist zur Abkürzung:

so führt die Bedingungsgleichung 6 b) leicht zu der Differentialgleichu

oder: ^^«) " ^'^^^

F"7»)
—,, . = const. = m*.

-^(»)
Die Integration dieser Differentialgleichung dritter Ordnung aber liefer

in 191

worin a^ ß^ y neue beliebige Constanten bezeichnen. Somit folgt:

Die Differentialgleichungen 4) oder 4 a) lassen sich nur dann auf
wohnliche Differentialgleichungen reduciren, wenn zwischen den rechti»
ligen Coordinaten y und g der Directrix des Cjlinders die Gleichung:

' "^ ' m m

besteht. Dann sind t und u die Parameter confocaler Kegelschnitte.
Dies giebt also das weitere Resultat:
Die Differentialgleichung des Potentials

lässt sich nur bei Cjlinderflächen zweiten Grades auf gew5
liehe Differentialgleichungen reduciren.

Die Aufstellung dieser Differentialgleichungen, welche keinen Seb
rigkeiten unterliegt, möge hier unterbleiben , da es bequemer ist, die Cj
derflächen zweiten Grades gesondert zu betrachten.*

* Der Nachweis, dass die Differentialgleichung 4):

Von Dr. B. Besser. 261

'.•-V* -*.#-»»^''.<^.'*^N.*-_-^

Beim elliptischen Cylinder kann die Gleichung 7) durch die einfachere
Gleichung:

8) y + iz^c,cos{t + iu)
ersetzt werden, aus welcher

9) y = ccostcosiUt z = ic8intsiniu
folgt

Aus 9) ergiebt sich:

10) y* I '* -1 y* — _^- = i

so dass die Gleichung u = const, confocale Ellipsen mit den Halbaxen ccosiu
ond icsiniu^ die Gleichung t = const. confocale Hyperbeln mit der gemein-
nmeii ExcentricitSt c darstellt.
Die Gleichungen:

11) x=^Xf y^ccostcosiu, z s= ic sint siniu

'^prftsentiren daher

ftir x=const. parallele Ebenen,

für u^const. elliptische Cjlinder,

für t = €onst. hyperbolische Cylinder.

^^8 ihnen folgt fOr das Quadrat des Liuienelements ds der Werth:

12) d^^dx^ + ^{du^ + dfi),
Wenn:

13) ?«; = ■^{cos2iu'-cos2t).

*^ allgemein:

i^ = J'(e + iu).F'(/-tu),

^ ist die Bedingung 6b) erfüllt, und zwar ist:

g{t)=z^^co82t, h(u) = ^cos2iu.

Wir sind nun im Stande, die DiiSerentialgleichungen , welche für die
^bekannten Functionen bestehen, aufzustellen.

Die Gleichung 4a) für F^ geht, wenn man darin die Goordinaten q
^nd 9j mit i und u vertauscht, da

"^ch um- dann, wenn y und z durch eine Gleichung von der Form 7) verbunden
*^d, auf gewöhnliche Differentialgleichungen rednciren lässt, ist zum Theil schon
^^ Herrn Weber in seiner Abhandlung j,Ueber die Integration der partiellen

I>ürerentialgleichüng ^ + pf + Jk»u = 0** (Math. Annal. , Bd. I. S. 1-32) geführt

^^^*te (I. c. 8. 27). Herr Weber nimmt indessen von vornherein an, dass die
Goordinaten (, 17 mit den gegebenen o?, y durch eine Gleichung

^itboMton sind, und h&atimmt ontr ^. /sou fV&-V^^,>

die NotbwmdigkM v ^ \L>a\>«tL«

362 üeber die Vertheilung der induoirten Elektricit&t etc.

^ = i? = V> = - (ca$2iu - cos2t) ,
über in:

Setzt man:

80 ergeben sich für U und T die Gleichungen:

*^> iJ+C^"**^' +ä»)t=o,

worin X; eine neue willkürliche Constante bezeichnet, welche neben h als
Parameter in U und T eingeht

Die Gleichung 15) geht durch die Substitution u = ttr in die der
Gleichung 16) analog gebaute Gleichung:

über; die Integration von 15) wird daher durch die von 16) geleistet

Die durch die Gleichungen 15) und 16) definirten Functionen sind
zuerst von Heine näher untersucht und von ihm Functionen erster
Art des elliptischen Cjlinders genannt worden.^ Wir bezeichnen
sie nach ihm durch (S(iu), bez. (&{t), und die zweiten partikulären Inte-
grale von 15) und 16), die Functionen zweiter Art des ellipti-
schen Cjlinders, durch ^(iu), bez. %{t)^ indem wir einstweilen von der
Abhängigkeit dieser Functionen von den Parametern h und k noch absehen.
Heine nimmt c= 1 an und führt zwei Constanten ß und g statt h
und k ein, welche mit h und k durch die Gleichungen:

zusammenhängen.

Die Gleichung 14) wird nach dem Obigen durch Producte:

e(Oe(tu), e(0S(»ti), e(»u)s(o, g(OS{»«*)

integrirt. Mit Bücksicht auf die Gleichung 3) finden wir dann, dass siel:
die L($snng der Gleichung:

aus Partiknlarlösnngen von den Formen:

coshx(&(iu)(i{t), coshx(S{iu)%{t), coshx%{iu)i&{t), <»shx%{iu)%{fi
8inhxeliu)iS(t), 8inhxe(iu)^{t), sinhx%{iu)e{t), sinhx%{iu)^{t^

zusammensetzt

JTagrei/iinctionen I, S. 401, 404, 40&fig.

Von Dr. R. Besser. 263

Die allgemeine Lösung V erhält man durch Summation aller besonde-
ren Ldsangen, die dadurch entstehen, dass man den Parametern h und k
alle znlSssigen Werthe beilegt. Denkt man sich F, als Function von x
betrachtet, in ein Fourie rasches Integral entwickelt, so folgt, dass man
oach h integriren darf, während man f(ir jedes einzelne h eine unendliche
Menge ?on k findet und also alle Partikularlösungen, die zu demselben h
gehöraii, SU summiren sind.

V lässt sich sonach unter der Form :

F= I dh{aA coshx Vh + &a sinhx Wa)
0
darstellen, wo Fh und Wk Aggregate von Producten der @ und % sind.

Sntwiokelung der Functionen erster Art des elliptischen Cylinders.*

Znr weiteren Entwickelnng der Functionen Qc gehen wir am bequem-
sten von der Gleichung 16) aus, welche lautet:

Heine integrirt diese Gleichung durch die trigonometrische Reihe

17) e = i Co + ^. " {cn cösnt + Sn sifint).

Ke Substitution von 17) in 16) ergiebt die Gleichung:

+ -^c„co8{n+2)t\

vobei zur Abkürzung h€=^l gesetzt worden ist Hieraus erhält man fol-
8*^0(1« Gleichungen zur ßestimmung der c« und s«:

* lieber die Integration der Gleichung 16) handelt neuerdings Herr Linde-
*^B (Math. Ann., Bd. 22, S. 117-123). Er betrachtet aber nicht unsem Fall, bei
^^'cbeiD die Auswahl der Constanten k beschränkt ist» sondern integrirt die Gleich-
^ mit Anwendung Hermite*echer Metlioden fQr beliebige h und h,

Voiher ist diese Gleichung auch von Herrn Emile MAÜLMftiB sfliner Ab-
'^^^^lug „8ar le moavement vibratoire d*ii|ie mendnei "^QK^

'^ rLiouriUe, R Serie, T.XIRB. 187-»* '

264

üeber die Vertheilnng der inducirten Elektricität etc.

18a) ^ + ^a^^ + ^* = ^'

^ + ^4^4+^^6 = 0,

and als allgemeine Gleichai
m s= 1 1 A , «5« . • •

Femer:

18 b)

dann:

18 c)

(^, + l)c, +c^ =0

+ (/»

+ c, =0,

iw ^ 1 , Ä , o, • . • 5

«« 72 +i'

5

I
2 +«4 74 +*^6

= 0,
= 0.

S2m-7 + 52«72i« + 52m + 2 = 0,

endlich :

18 d)

Dabei ist Überall

fn s= A ) ö t • • • I

5,

(7i-l)«i

+ 73 «»

+ «3

= 0,
= 0,

«2m — 1 +72iw + |52m + l + Stm J 3 = 0,

«« =

4{*«-n«) 4 (**-««)

i»

äV

19)

Diese Gleichungen, aus denen man alle Cn und $» durch Cq, c, bez.
5| ausdrücken kann, zeigen, dass fClr jedes h die Functionen (S
Classen zerfallen, von denen die erste und zweite nach den Cosii
geraden und ungeraden , die dritte und vierte nach den Sinus der unj
und geraden Vielfachen von t fortschreitet. Bezeichnet man dabei
6^, 6°, 6^^ und 6'^ diese vier Classen, so ist:

6^ {t) ts^ ^Cq + c^ cas2t + c^cos4t + . . ,
gn ^^^— . CiCast + c^cos3i + ...^

(gni (t) = Äj sini + «3 sinSt + . .,

(giv \t) = s^ 8vn2t + s^ sinAt + . . .

Die Coefficienten c und 8 jeder Beihe h&ngen vom ersten Coefficiei
und sind im Uebrigen ganze Functionen von Tf und lr\

Man erkennt leicht die Analogie der vier Classen der € mit d

Classen der L am 6 'sehen Functionen; sie lassen sich aber nicht w;

durch endliche Beihen darstellen. Denn setzt man in die Oleiehc

statt der unendlichen Reihe 17) eine mit cosnt und sinnt abbreolMii

liebe Beihe ein , bestimmt dann die Coei&civ»ckteii c und 8 aus dea

OD^eu 18), 80 würden diese, "woa z.B. Äie c wÄaai^^ xm^

Von Dr. R. Besser. 265

-,-N-^,.^* .» ..-,^^^-_^^ j-^-*^,^- .*».*•* .»"S.,^.^**—.

c« = 0, CMg« + c«-.2 = 0

»b^ebliesseiL c^ ist der Coefficient von co«(n + 2)^, Cnqm + Cm-^i der Coeffi-
ei^nt Ton cosnt. Diese Gleichoogen sind aber nur durch €^^=0, Cn.2 = 0
zia. erftülen, und dann würden auch alle anderen c, also 0^.4 , Cn.et •••
^l«ich Null sein müssen. Das Gleiche gilt von den s. Hierdurch ist
<lie Richtigkeit der Torigen Behauptung erwiesen. Damit aber die Reihen
19} convergiren, müssen in ihnen die unendlich weit entfernten Coeffi-
cieoten yersch winden. Diese Bedingung, welche sich, wie Heine zeigt,
auch als das Verschwinden der unendlich entfernten Näherungsnenner und
-Zfthler zweier Eettenbrüche darstellen lässt, giebt eine Gleichung un-
endlich hohen Grades in k und A, aus der sich für jedes h unendlich viele
LiOsiingen h ergeben. Dieselben mögen der Reihe nach mit k^, k^^ k^^ ...
bezeichnet werden. Es ist nicht schwierig, die ungeflUire Form dieser
Gleichungen festzustellen. So findet man z. B., dass sich 02m durch eine
Gleichung der Form

Aiisdrflckt, worin die G Aggregate von g-Producten sind, deren jedes aus
<^Ti«l Factoren q besteht, als der Index yon G angiebt. Der erste Posten
^teht aus m Factoren q, in den folgenden föllt die Factorenzahl immer
iu>^ 2, mithin, da jeder Factor q vom zweiten Grade in k und i^^ ist, der
Qi^d in k und l^^ um 4. Hebt man it'^"* aus, so kann man auch

21) 02i.= ^[(**-2m-2')(Ä;«-2m-4')...(Ä«-2«).Ä«

+ A*.e^-2 + A».e„-4+...|

Mtzen. Aehnliche Formen besitzen auch die Werthe ftir 02«, -fi» ^2» and

Die Integrale der Differentialgleichung 15) ergeben sich nach früheren
^merkongen aus denen der Gleichung 16) durch Vertauschung von t mit iu,
Sie lauten also:

6^ (iu) ^ ^Co + c^co$2iu+ c^C084iu + ...j
22\ (S"(tu)= c^cos ttt -f ci|C053iu + ...,

(S^(fu)a ■ $^8in2iu + 8^sin4iu + ...^

^Hn die Coeffidenten c und $ genau dieselben Werthe wie in 19) haben.
Noch sei bemerkt, dass man durch die Substitution:

csint^x
^^ Integrale 19) in Form von Potenzreihen darstellen kann, nämlich:

268 Ueber die VertheiluDg der indacirten Elektricität etc.

kann. Es ist vielmehr gleich einer gewissen Conslanten, deren Werth vo

dem Werthe des Anfangsgliedes in der Entwickelang Ton 9^ abhSngt. W:

denken uns dasselbe so bestimmt , dass die Constante =9c gesetzt werde

kann, so dass:

2«

28 a) fl(S^{t)y dt ^ n.

0

Die Gründe für diese Wahl werden später erhellen.

Man bemerkt , dass diese Formeln den bekannten Integraleigenschafte

der Kreisftinctionen :

2n

j cosm*pcosnq>dq> = (^, m^n^

0
2«

J

S3

sinmq> s%nnipdfp=^0^ m^n^

0
2»

cosm^ sinntp dq> ==: 0

0

entsprechen. Für m=^n nehmen die beiden ersten Integrale den gemeii
samen Werth n an, mit Ausschluss des Falles m = n=30.*

Mit Benutzung der Gleichungen 28) und 28 a) löst man die Aufgab«

Die yon t abhängende Function f{f) in eine nach den Functionen S(
fortschreitende Beihe zu entwickeln.

Setzt man nämlich:
29) m=^2j^aw(Sv{t,h.K),

0

* Für die Functionen @(iu) scheinen ähnliche Integraleigenschaften nicht z
existiren. Aus der Ditferentialgleicbung 15) fSr Q{%u):

16) __J_^_-co«2»u + Ä:«^e(»u) = 0,

erhält man zwar gerade wie vorher, falls ($^ und @, zwei verschiedene i&(iu) b:

deuten :

b

a

aber es lassen sich keine Grenzen a und b angeben, för die die linke Seite di<^
Gleichung verschwände. Dies abweichende Verhalten der Functionen ^^tt<^
darin begründet, dass fQr c = 0 sich die C^ (tu) in Hesse räche Functionen mit &]
gioärem Argamente verwandeln, während die ($(l) in Kreisfuncüonen überg^üi
Für. die Cy/inderfunctionen existiren aber \utQi^a\ev^e;TVi^«i^^i»^ dk denen fä.r
KreiaftmcÜonen entsprechen, nicht

Von Dr. R. Besser. 267

■-W ^ %. -*—•

Aas diesen Gleichungen folgt, dass das Prodnct (S(0*@(^^) ^^ ^o*

ordinaienanfong, also für ^ = -n-* u = 0, oder auch itir Punkte auf der

Cjlinderaxe verschwindet, wenn die Functionen (S von 2., 3., 4. Classe
sind, dagegen für 6 der 1. Classe = C|' ist. Für Punkte, die auf den

Axen der Directrix oder einer zu ihr parallelen Ellipse liegen , verschwindet

dies Product aber nur für zwei Classen der 6.

§3.

Integraleigensohaften der Functionen ü mit reellem Argumente.
JSntwiokelnng gegebener Functionen nach den ü.

Die Functionen (S(0 besitzen zwei Arten von Integraleigensehaften,
welche sie, eben^^o wie die trigonometrischen, die Kugel- und Lam^'scben
Functionen, zur Vornahme von Entwickelungen gegebener Functionen ge-
eignet machen. Ich beitrachte hier nur die erste Art dieser Integraleigen-
sch&ften, welche auf die Verwandtschaft der @ rait den Kreisfunctionen
hin^weist, und welche auch Heine erwähnt (Kugelfunct. I, S. 415), ohne
sie indess abzuleiten.

Seien (S^ und (Sv zwei Functionen @(/), *die zu gleichem A, aber zwei
verschiedenen Werthen X;^ und "k^ von h gehören sollen. Sie genügen den
Gleichungen :

dt*

d*e» „. d»e^_

•^'»« diesen folgt:

^""-^ - S' ^ = (*»* - Vi er^^ .

'Mithin durch Integration nach t zwischen 0 und 2n:

0

^H verschwindet aber die rechte Seite dieser Gleichung, wie eine einfache

'T^^nong lehrt, an den Grenzen 0 und 2n stets, sofern nicht die Func-

^Hen (S^ and 6, derselben Classe angehören und A;^ = A^ ist. Dann ist

^^ die Gleichung an sieh identisch. Man findet also, da kf^'-'k^ nicht

*"^ 0> dass:

2»

^^^ fi^v besteht diese Gleichung nicht * vql\a^y«iA<^

^^^eÄi», fej,{/JJ*, stets jxmiif »* *c?nxÄ«sv

370 Ueber die VertheiluBg der induciiten Elektricitftt etc«

2li+CD

«yW = ^ / f^p{t)ca$hxF{xJ)dtdx.

0 — ®
2»+»

6«'iÄ) = ^ / f^vif) inhxF{x,t)dtdx.
0 — »
Man kann der Gleichung 31) auch folgende symbolische Form geben:

OD ^^ 2«f +00

31a) F(rr,0 = ^ f dh^pf&v{t)f^y('i>)d^JF{]i,i\f)€Osh{l^Xidi.

§4.

Die Functionen aweiter Art %{ji%) des elliptLsohen Cjrlkiden« Verhaltm
von il(tu) und %{iu) fttr sehr grosse Argumente.

Wir geben der DiiSereniialgleichung 16) fUr @(tu) und 3 (tu) durch
die Substitution:

a) %csiniu=iq

die Form:

b) (p«+c«)^,+^^-(ÄV+*.')y=o.

wo:

Aus ihren Integralen, welche mit (S(p) und |J[(^) bezeichnet werden sollen«
kOnnen wir durch die Substitution a) sofort (S(iu) und 3(fu) bilden. —
Aus b) folgt:

<2^ dq Yq^+i?

und: Qc»

Zur Bestimmung der Constanten F setze man in c) oder d) für ^ einen
unendlich grossen Werth ein. Dann lassen sich die BetrSge von S(p) und
3(p) a priori angeben, da man in der Gleichung b) bei dem Factor p'-f*^

Ton —^ <? gegen das unendlich grosse p' vemaohlässigen kann und so die

einfachere Gleichung:

erhält. Deren Integrale sind aber die Cylinderfunctionen /a, (At^) und

^^,ß*e)» Für sehr grosse Werihe von q noIioLin^ii ^*äc^ d\A Foneiioiiwi d«t.

eHiptiacben CylindiBrs @(q) und '^{{f) aiigeTiÄY«t\. ö\ftV<«^^^«t

Von Dr. R. Bessbr. 271

* ^\ ^'-'^ »N,-*_^s.^,^ -

des Kreiscylinders Jk^(hi(^)^ Yk^{hiQ) an. Und da, wie aas a) fplgt, mit q
auch u unendlich wird, so gilt das Gleiche auch von den Functionen (S(iti),

Nun giebt Heine* folgende Formeln, in denen statt des Index v A;, ,
statt K ftlr die Function zweiter Art Y geschrieben worden ist:

Jt,(p+qi)=y^^ rt.(i)+at)«(-t)*.c-«+P'^^.

giltig nir positive unendlich grosse q. In unserem Falle ist g = Ap, also
positiv, da h und q es sind , mithin können beide Formeln angewandt wer-
den« und geben, wenn p = 0, q = hg gesetzt wird:

Dieselben Werihe haben also auch ß(^) und %{g). — Setzt man dies in
d) ein, führt rechts die Integration aus, wobei im Nenner des Integranden

einfach g statt f/g^+if geschrieben werden darf, so erkennt man, dass

wird. Dasselbe Ergebniss liefert auch Gleichung c\

Ersetzen wir in c) und d) g durch u, so resultirt:

32) s(,u)^-(gM^Ul.

OD

33, S(-)=<g(i«)/jg^,-

U

Setzt man endlich in e) ^ = co, so folgt:

34) e(tu) = oo, g(tu)=0, u = cc

für jedes h und k.

§5.
Betrachtung zweier Speoialfitlle.

JA h=^0 oder o = 0, so lassen sich die Integrale Ton 15) und 16)
sofort angeben, was des Folgenden wegen hier geschehen soll.
Pflr h^^O lauten die Oleichungen 15) und 16):

(?e(»tt)

+ Ä;«etO =0,
-Ä«(5(tu) = 0;

du*

also gsliMi die Functionen (Sy(0 ^^ cosü?^- ^^' die Functionen (Swiiu) in
tmhiu^ 8m%iu über, wobei i^ ,d«* '^NDOATi 7id3Q\^w i.\k

I ■'

« JGW«Mud^ete0s 1£

272 Üeber die Vertbeilnng der inducirteii £lektricittt eic

nehmen sind, wie ans den Gleichungen 18) , die man sich zuvor mit h?(^
muliiplicirt zu denken hat, herrorgeht Der constanie Factor, mit dem die

damit die Integralformel

8«

ß

auch fOr X; = 0 gelte. ^

%{iu) verwandelt sich in -r-e^**» wobei der Factor -r- der Gleich-
ungen 32) und 33) wegen nicht fehlen darf.

Ist c == 0, d. h. tritt an die Stelle des elliptischen Cylinders ein Kreis-
cjlinder, so sind statt der elliptischen Coordinaten ^, «i die gewOhnlicheD
Polarcoordinaten r, q> einzuftihren , was durch die Substitutionen

u=to + logr, ^ = 9, c = 2e~*,

» = 00

geschieht In den Gleichungen 9) darf e nicht =0 gesetzt werden. Die
AusdrQcke :

J(«« + c— ). |(e--e— ),

welche die Axen der Ellipse u = const» reprSsentiren , gehen fUr o» = oo beide
in r über, während ftir ein endliches (o r die halbe Summe der Axen be-
deutet

Gleichung 15) lautet in r:

also für CO = 00:

Demnach werden die Functionen (S9(iu), ^p{iu) ersetzt durch die Cjlinder-
functionen Jk{hir), Yk{hir)^ was ohne Weiteres evident ist — Die @,r(0
gehen, wie im ersten Falle, in coskip^ sinhqt über.
Denkt man sich das Product:

entsprechend den vier Classen der 6 in seine vier Theile zerlegt, so erkennt
man, dass für c = 0 sich dasselbe in:

~A(Ätr) Yk{hir^) omä;(9 — 9,)

verwandelt, wobei cik=l für A;s=0, {« = 2 für A;=l,2, ... Die Hinzn-
fügnng jenes Factors wird durch das abweichende Verhalten von (£o(0 »olh-
wendig. k ist gerade fllr die (£ 1. und 4.^ \m^%rade für die S 2. und
3. Claaae,

Von Dr. R. Besser. 273

Wir haben hier die einÜEU^heren Functionen, in welche die (S für c=:0

Hbergehen, durch Betrachtung der Differentialgleichung gefunden. Es ist

siebt ohne Interesse, auch an den von uns gegebenen Entwickelungen diese

üebergSnge zu yerificiren. Die Entwickelungen der (S(tu) nach den coskiu

ond mkiu sind hierzu nicht verwendbar. Man gelangt zum Ziele, wenn

man die Losung der Oleichung b) , S. 270, in eine nach Potenzen von q fort-

sehreitende Beihe entwickelt und in deren Coefficienten c = 0 setzt, oder

noch einfacher, wenn man das Integral gedachter Gleichung durch eine

C^ünderfimctionenreihe Zon/nC/^i^) darstellt. Wie Heine zuerst bemerkte,

bestimmen sich die Coefficienten dieser Beihe aus denselben Gleichungen,

welche die CoefQcienten in der trigonometrischen Beihe liefern.* Für c=0

bleibt 7on der Beihe nur das Glied Jk{hiQ) oder Jk{hir) stehen, da die

übrigen Coefficienten verschwinden.

* Vergl. Eugelfund I, S. 414. Heine betrachtet daselbst nur Gylinderfuno-
tioDen 6(9), nach anserer Bezeichnung 6(0, und entwickelt sie in Bessersche
Functionen mit dem Argument ilc08q>\ doch erhält man dieselben Besultate auch
für Cylinderfonctionen ($(•«), deren Entwickelung , wie oben bemerkt wurde, nach
den Jm(hiQ) fortschreitet.

(Sohliin folgt.)

f.MtilMmmiik tu JP^jraik XC

XIV.

Ueber die Lage der Versohwlndungspunkte eine:

ganzen Fonotion.

Von
A. WiTTINO,

('«ud. malh. iii Leipzig.

In Gauss' Werken* findet sich in einer Anmerkung der Satz:

„Sind a," 6, c, ..., w, fi die Wurzeln einer Gleichung f{x) =^ ^•

a\ h\ c\ .,,^m' die Wurzeln der Gleichung /^(op) = 0, wo ^(x) = -^ rr'

und werden durch dieselben Buchstaben die entsprechenden Punl^^

in piano bezeichnet, so ist, wenn man sich in a, &, c, ..., m» *

gleiche abstossende oder anziehende Massen denkt, die im umgekeB::^^'

ten Verhältniss der Entfernungen wirken, in a\ h\ c, ..., m' Gleich ^*

gewicht."

Herr F. Lucas sprach denselben in den Comptes rendus** in eü

Form aus , durch welche ein bekanntes Theorem über Gleichungen mit ni

reellen Wurzeln auf das complexe Gebiet ausgedehnt wird:

„Taut caniaur fcrtne convexc environnant le groupe des pmlT^
racines de V^gnation propos6e environne aussi le groupe des pwfL^
racines de Vequation d&iv^e,"
Der Beweis ist daselbst mit Hilfe mechanischer Principien im Sinn^^
des Gauss'schen Satzes geführt.***

Ein geometrischer Beweis, der zugleich eine strengere Fassung deiF
Satzes liefern wird, ist folgendermassen möglich.
Betrachten wir die Gleichung:

A^)=jn[(i-^)=o,

* Gauss* Werke Bd. HI S. 112.

** Comptes renduB, t. 89 p. 224: Sur une application de la m^canique ratio-
nelle k la thäorie des ^uations.

*** Eine nicht ganz correcte Fassung des Theorems gaben Herr Legebeke
mit einem auf funotionentheoretisohe Betrachtungen gegründeten Beweite and
^..Tr Stiel tj es, desseoTEDtwickelungen der ÄnalysissUut angehören; Areh. ntaL
t. XVI p 278-278 and t XVUl p. l.

Ueb. die Lage der Verschwindnngspunkte etc. Von A. WrrTiNO. 276

deren linke Seite eine ganze transcendente Function ist, bei welcher die
Snmme der reciproken Moduln der Verschwindungspunkte

^ la„

convergirt , und nehmen wir weiter an , dass sämmtliche Punkte a« in einer
Halbebene liegen. Dann lässt sich nach Analogie des Puiseux 'sehen Ver-
fahrens bei der Untersuchung algebraischer Functionen in den kritischen
Ponkten derselben ein ganz bestimmtes Polygon construiren, dessen Ecken
Wonelpnnkte von f[z) sind. Ein Eckpunkt, welcher mehrfacher Verschwin-
dnngspunkt von f(ß) ist, heisse kurz vielfache Ecke. Auf jeder Seite
des Polygons befinden sich nur zwei Nullpunkte der Function, es können
aber mehrere aufeinander folgende, ja alle Seiten in eine Gerade fallen.
Das Polygon zerlegt die Ebene in zwei Theile, in deren einem alle Wurzel-
pnnkte von f{ß) gelegen sind. Dieser Theil heisse das Innere des Polygons,
welches letztere wir das Wurzelpolygon von {\z) nennen. Dasselbe ist
nach aossen überall convex.

Es lässt sich nun zeigen, dass die Wurzelpunkte der Ableitung f{ß)
nicht ausserhalb , noch auf den Seiten des Wurzelpolygons von f{z) liegen
können. Dazu ordnen wir jedem Punkte z durch die Gleichung:

^ Punkt t zu. Liegt z ausserhalb des Polygons, das wir zunächst als
licht ganz in eine Gerade fallend voraussetzen , so verbinden wir den Punkt
ttt einer Ecke a| des Wurzelpolygons, so dass letzteres ganz auf einer
Seite der Verbindungsgeraden sich befindet, und wählen die Indices der
Vorzelpnnkte von fiji) so, dass von der um z rotirenden Geraden za^ beim
Dvehstreichen des Polygons der Reihe nach die Punkte Oj, a^^ .., a^, ...
fefaroffen werden. Construiren wir dann geometrisch die convergente Summe :

M erhalten wir einen vom Coordinatenanfang ausgehenden , sich nicht selbst
abschneidenden Linienzug , dessen Endpunkt t ist. Da bei der Lage von
' ausserhalb des Wurzelpolygons die Drehung von za^ bis zum Austritt
^ dem Polygon immer kleiner als ts ist, so kann der zur Construction
^(^ « dienende Linienzug niemals ein geschlossener werden. Dies ist aber
®^orderlich, wenn z eine Wurzel von f(p) ist, denn dann fällt f in den
Coordinatenanfang. Es kann also keine Wurzel z von f\z) == 0 ausserhalb
dei Polygons gelegen sein. Ebenso wenig kann aber auch z auf einer
^^ygonadte liegen , sondern nur noch in einer vielfachen Ecke. Wir erhalten
*ödtti Satz:

Die Wurzelpunkto dier Ableitung f{ß) einet gaTVißa \x«iaDAQ«&A«^-
Ad Function von der Form

278 Ueb. die Lage der Yerschwindongspankte etc. Von A. Wittimo.

was UDmöglich ist, da die ßn'i'ß sämmtlicb positiy sind. Ebenso wenig kann
aber bei endlichem a «-^ ß

sein, d. b.: die Ableitung kann im Endlichen auch keine reellen Wnrzel-
punkte besitzen — die vielfachen reellen Verschwindungspunkte von f{e)
aasgenommen. Man erkennt auch, dass die Wurzelpunkte der Ableitung
im Endlichen nicht beliebig nahe an die reelle Axe heranrücken können;
verschwinden aber alle ßn der Wurzeln von /'(jp)c=0, so werden für die
Ableitung alle ß gleich Null.

Durch Coordinatentransformation erhält man demnach folgenden Satz:^
Befinden sich die Wurzelpunkte einer ganzen transcendenten
Function -_flV / ^ \

""=.Ö('-£)

entweder innerhalb , oder doch nicht alle auf der Grenze einer Halb-
ebene, so liegen innerhalb derselben auch sämmtliche Wurzelpunkte
der Ableitung f^(0) — mit Ausnahme der in die vielfachen Ver-
schwindungspunkte von f{g) auf der Geraden fallenden.
Als Grenze einer Halbebene, in welcher sich alle Wurzelpunkte von
f(z) befinden, kann man aber jede Seite des Wurzelpol jgons von f{js) an-
sehen, und es ergiebt sich somit auch hier der weiter oben ausgesprochene
Satz. Für die Function

U('-ß

ist der Beweis mtUatis miUandis derselbe. Bei ungeradem k = 2m + l hat nuui
wieder die Summe : ^7 / { { \

zu betrachten. ^ ^^l^'^'W^) " ""T^V

Nimmt man statt der ganzen transcendenten Function ein Polynom n^^
Grades, so ist das Wurzelpolygon im Endlichen geschlossen; der Satz bleibt
ersichtlich bestehen, gestattet aber hier noch eine Umkehrung. Wenn die
Wurzelpunkte der Ableitung nicht alle auf einer Geraden liegen, so musa
auch f(js) ein wirkliches Wurzelpolygon besitzen , welches mithin wenigstens
ein Dreieck ist Wir haben also die Umkehrung:

Im Innern des Wurzelpolygons der Ableitung eines Polynoms
n**° Grades f(x) liegen höchstens (n — 3) Wurzelpunkte von f{z).

Durch das Auftreten von vielfachen Ecken wird diese obere Grenso
noch reducirt.

* Im Wesentlichen findet sich dieser Satz schon bei Herrn Laguerre a.a. O.

S. 260. Etwas anders giebt Herr Berloty den Beweis: C. B. Nr. 18, 3. Nov. 1884,

t XCIX p. 746— 747, Sur les äquations alg.; nur ist die Fassung des Sattes nicb'fc

correct, dasa die Wnrzelpankte auch auf dem Perimeter des Polygons (pcfygom^

des racines) liegen können, was bei einer a\gebTWkA<^«ii Qi\ft\c\»m^ omnöglidi

Dresden, April 1885.

Von A. WiTTiNO. 277

Auf eine Strecke — j^ — — — r folgt dann die positive oder negative, der

reellen Axe parallele Strecke tmTi * ^^ ^^^ ^^^ einen Linienzng erhält,

der aich nicht durchsetzt und anch nicht schliesst; denn die Strecken
-^— voUfOhren wieder höchstens eine Drehung um «, so dass jede

der Parallelen TmTi ^^^^^ ^^^ ^^ reellen Axe abliegt, als alle vor-

her construirten. Es ergiebt sich, mithin der Satz : *
Besitzt die ganze transcendente Function:

i'

m=fl[{^'B^'-^-'-'^'

nur reelle Wurzelpunkte, so verschwindet auch ihre Ableitung nur
auf der reellen Axe.
Einen rein algebraischen Beweis statt des geometrischen kann man mit
Hilfe einer Betrachtungsweise führen, welche von F. Chio herrührt und
schon häufig zur Ableitung verwandter Sätze benutzt wurde.**
Wir nehmen dazu von den Wurzeln

der Gleichung

m

=n (•-£)=«

tu, dass die Coefficienten von i sämmtlich positiv oder wenigstens nicht
lOeKoll sind, keiner aber negativ ist. Dann sind für die Ableitung alle
f^O — wenn man von den in die mehrfachen reellen Wurzelpunkte von
f{t) fallenden Verschwindungspunkten absieht.
Durch die Gleichung ^

A.)=-A.)2'i;:3-,

oWt man, dass fiz) in einem Ä;- fachen Wurzelpunkte von f{e) (A;— 1)-
Bil verschwindet. Aus einer Wurzel

e=.a^iß {ß>0)

*■ vtrde nun folgen

^ I V »n-ti-ißn + ß _r.

^ insbesondere

^ iiT^^ + ST+F

^ Ffir ib:=l ist der Satz von Herrn Laguerre in den Comptes rendus t. 94
^Beweis gegeben. Ein algebraischer Beweb f ^^te^ Cour«

f"^ i k Uml übb adencea de PaxiSf p, 70.

280 Bemerkungen zum Pascal'schen Satze etc.

(1^3) + (3-5) + (5-l) = 0, (l-3)5 + (3-5)l + (5-1)3 = 0

die folgende:

_ . (l_3)(5+2) + (3-5)(l+2) + (5-l)(3+2) = 0.
Ebenso ist

(2-4)(6+5) + (4-6) (2+5) + (6-2)(4+5) = 0.

Wenn man yon diesen IdentitSten die vorletzte mit (6 — 4), die letzte mit
(1—3) mnltiplicirt und addirt, so erhält man

(3-5)(6-4)(l + 2) + (l-3)(6-2)(4+5)
= (5-l)(4-6)(2+3) + (3-l)(2-4)(6+5).

In gleicher Weise ergiebt sich, wenn man die IdentitSten

(l-3)(5+6) + (3-5)(l + 6) + (5-l)(3+6) = 0.
(2-4)(6+3) + (4-6)(2+3) + (6-2)(4+3) = 0

der Beihe nach mit (2—4) tmd (1—5) multiplicirt und addirt.

(5_l)(4-6)(2+3) + (3-l)(2-4)(6+5)

= (2_4)(3-5)(l + 6) + (l-5)(6-2)(4+3).
Daher hat man

(3-.5)(6-.4)(l+2) + (l-3)(6-2)(4+5)

n) =(5-l)(4-6)(2+3) + (3-l)(2-4)(6+5)

= (2-4)(3-5)(l+6) + (l-5)(6-2)(4+3).

Wenn man die Identitäten

(l-.3)5+ (3-5)1 +(5-1)3 = 0, (2-4)6 + (4-6)2 + (6- 2)4 = 0

zuerst nach einander mit (6—4)2 und (1—3)5 und dann mit (2 — 6)4 und
(3—5)1 multiplicirt und dann addirt, so erhält man

(3-5)(6~4)12+(l-3)(6-2)45
ni) =(5-l)(4-6)23 + (3-l)(2-4)56

= (l-5)(6-2)34 + (3-5)(2-4)61.

Setzt man nun zur Abkürzung

m„ = (3-5)(6-4), m« = (l-3)(6-2),
ni« = (5-l)(4-6), •n5e = (3-l)(2-4),
iiS4 = (l-5)(6-2), m«j = (2-4)(3-5),

80 hat man aus I), 11) und TJI)

•»12 + m^j = n^ + mjg = m^^ + m^j,

IV) (l+2)mi, + (4+5)m45 = (2+3)in» + (5+6)in5e = (3+4)ifi,^ + (6+l)mtt,
12m„ + 45m45 = 2Sm^ + 56m50 = S^m^ + 61fn^.

3. Ersetzt man hierin 1, 2, ... durch die gleichbezifferten A, so erkennt
man die Identitäten

Hierin ist der Beweis des PascaFschen Satzes enthalten; wenn man d\m
Multiplicationen ausführt und alsdann iL durch il:fi ersetzt und i| ^^i^^^

/i/ durch $ und i' andeutet, so erhlAt m^xi fl\x die Pascarsche Gerade »

die Gleichvmg

Von R. Heger. 281

I = (r2'3'4'56-2'3'4'5'61 + 3'4'5'6'12-.4'5'6T23).ro
+ [(14'-4r)(253'6'-2'5'36)+(36'-3'6)(142'5-r4'23)

+ (52'-25')(36r4'-3'6'14)].ri
+ (12345'6-23456T+3456r2-45612'3').r, = 0.

4. Wenn man zwei projective Curvenbüschel hergestellt hat, die eine
gegebene Cnrye C erzeugen , so werden durch dieselben auf C Punktgruppen
ausgeschnitten; jede solche Gruppe kann als Vertreter einer bestimmten
Zahl l angesehen werden, nämlich des DoppelverhSltnisses, welches die durch
diese Gruppe gehenden Bttschelcurven mit drei festen Grundcurven des Bü-
schels bestimmen. Es gelingt alsdann immer, eine Function in der Weise
zusammenzusetzen :

und zwar so, dass Fik^^O die Gruppen U und Xk enthält. Man kann als-
dann, ganz ähnlich wie beim PascaTschen Sechseck, von sechs Gruppen
l^j X,, ..., l^ ausgehen und die sechs Curven F^,, P^s« -m -^ei ei'zeugen.
Die soeben für den Pascarschen Satz gegebene Ableitung lässt sich dann
auf das Curyensechseck anwenden, und man erhält damit den Satz, dass
alle Schnittpunkte, welche von den Gegenseiten F^^ und ^45, J^23 ^^^ -^se»
JP^ und F^^ des Curvensechsecks bestimmt werden, auf einer Curve %
liegen, die, ebenso wie die Fik, alle Punkte enthält, für welche

-Fo = -Fi = 1^2 = 0.

5. Sind To, T^, Ä^, S^ lineare Functionen, also To — ATj = 0,
8^ — Ai9i = 0 entsprechende Strahlen zweier projectiven Büschel, so enthält
der Kegelschnitt

die Punkte l^ und l^ des von den Büscheln erzeugten Kegelschnittes K
ond die festen Punkte

To=T, = 0, Äo = 5, = 0, rj = 5o = 0,

Ton denen die beiden ersten auf K liegen; zwei Fik haben ausser diesen
drei Punkten noch einen realen Schnittpunkt. Hieraus folgt: Wird einem
Kegelschnitte K ein Sechseck eingeschrieben, dessen Seiten
Kegelschnitte sind, die einem Netze angehören, das zwei Trä-
ger auf jKhat, so liegen die drei Punkte, die durch den Schnitt
gegenüberliegender Seiten des Curvensechsecks neu bestimmt
^«rden, auf einem Netzkegelschnitte.

& Zwei Punkte einer Curve dritter Ordnung C3, die mit einem Punkte
i der Cnire in einer Geraden liegen, sollen als ein Begleiterpaar des A
^'^hnet werden. Hat C3 einen Doppelpunkt //, so werden alle Begleiter-
P*>i« des A von ^ aus durch eine quadratische Strahlinvolution projicirt,
^ iMtt dem Strahlbüschel A projectiy ist.

Ist T^ die TBogente in Ä, wird mit 2^ dr "^

^dtrsmet dem Begleiter von A geilende )

282 BemerkuDgen zum PascaFscben Satze etc.

die Doppelpunktstangenten, so sind Tj, T^ und 8^, 8^ Paare der Involution
// und entsprechen den Strahlen Tq und T,; entsprechende Strahlen von Ä
und Strahlenpaare von J sind
Der Kegelschnitt ^o-AT,=:0, T,T,^X8,8,^0.

enthält die Punktpaare A,* und kk der C^ und berührt Tg im Schnittpunkte
mit 5j undS'g, d. i. in ^. Jeder Kegelschnitt, der zwei Begleiter-
paare des Ä und den Doppelpunkt J enthält, wird daher in J
von der Geraden berührt, welche // mit dem Begleiter des Ä
verbindet.

Zwei Fik haben ausser J noch zwei gemeinsame Punkte. Daher folgt:
Wählt man auf einer Curve dritter Ordnung mit Doppelpunkt
sechs Begleiterpaare 1, 2, 3, 4, 5, 6 eines Punktes ^ der Curve
und construirt die Kegelschnitte JP^, Fjj, ..., JP^j, welche zwei
benachbarte Begleiterpaare mit dem Doppelpunkte verbinden,
so liegen die drei Punktpaare, welche durch die gegenüber-
liegenden Fik bestimmt werden, auf einem Kegelschnitte, der
in J mit den Ftk eine einfache Berührung hat.

7. Drei Begleiterpaare eines realen Wendepunktes Ä einer Curve dritter
Ordnung sind immer auf einem Kegelschnitte enthalten; daher ist Ä Träger
eines Strahlenbüschels und irgend zwei Begleiterpaare des Ä sind Träger
eines projectiven Kegelschnittbüschels, das mit dem Büschel Ä zusammen
die C^ erzeugt. Der Wendetangente Tq in Ä entspricht ein Kegelschnitt,
der aus den beiden durch Ä gehenden, die Träger enthaltenden Strahlen
T| und T^ besteht ; dem Strahle T^ des Ä entspricht ein Kegelschnitt jBTi ,
der in den auf T^ enthaltenen Trägem des Kegelschnittbüschels mit C^ eine
einfache Berührung hat; die Punktpaare der C^ werden bestimmt durch

To - XT, = 0, T^ Tj - XK, = 0.
Der Kegelschnitt

F,, = TQT,^{Xi + Xk)T,T^ + XiXkK, = 0

enthält die Punktepaare Xt und Xk und das auf T^ und K^ enthaltene Be-
gleiterpaar. Daher folgt: Sechs Begleiterpaare A, , ... X^ eines
Wendepunktes A einer C, geben mit einem festen Begleiter-
paare zusammen Anlass zur Entstehung von sechs Kegel-
schnitten Fjj, Fg3, ..., JPg,; die drei Punktpaare, die durch den
Schnitt der gegenüberliegenden JP,it neu bestimmt werden, sind
mit dem festen Begleiterpaare zusammen auf einem Kegel-
schnitte enthalten.

8. Durch ein Kegelschnittbttschel , dessen Träger auf einer C^ enthalten
sjnd, werden Punktpaare auf C, ausgeschnitten, die von einem Punkte der

^ aus daroh ein dem Ke^lschnittbOschel projeetives Strahlbüschel projicirt
werden. Sind

Von R. Heger. 283

To-AT, =0, Äo-AZ^i=0

Gleichungen entsprechender Strahlen und Kegelschnitte, so enthält die Curve
dritter Ordnung

die Punktpaare Xi und Xk der C3, sowie die sieben festen Punkte

To = !r,=ü, iro=jr, = o, iiro = T, = o,

▼Oll denen die beiden ersten Gruppen von zusammen fünf Punkten auf C3
li^^en; die übrigen vier Schnittpunkte von C^ und Ftk sind die Paare Xi und
^4r - Da die sämmtlichen Ftk sieben Punkte gemein haben, so bilden sie
^in Netz von doppelt unendlicher Mächtigkeit.

Die drei Paare Schnittpunkte, welche durch die Paare
8'^genfiberliegender Curven

F,j und JP^j, F^ und F^, F^ und JPg,

>Ä «n bestimmt werden, liegen auf einer Curve des Netzes.

9. £in Strahlbüschel und eine projective cubische Involution

^>e8tiinmen Punkttripel einer Curve vierter Ordnung; dieselbe hat den Träger

-^ des Büschels zum einfachen Punkte und den Strahl T^ des Büschels zur

l^aogente; der Träger J der Involution ist dreifacher Punkt der Curve;

X*! und T3 verbinden // mit den Punkten, welche Tq ausser Ä noch mit

^ C| gemein bat; Fj, Fj und F3 sind die Tangenten in J. Die Curve

Flitter Ordnung

Fik = T^T^T^-(Xi + Xk)T,T^T^ + XiXkV,V^V^ = 0

«athält die beiden Tripel Xi und Xk , sowie die festen Punkte Tj T^ = F, Fj F,
^0, hat also z/ zum Doppelpunkte, T^ und T, zu Tangenten in J. Bei
<fen sechs Curven „ ^ „ „ ^ ^

XP xr* XT* TP TP TP

^12» ■'^SS' -^34' -^45? -^56' -^61

'iftben die gegenüberliegenden ausser dem sechs einfache Schnittpunkte er-
setzenden Punkte /i noch je drei Schnittpunkte, und diese neun
*^^iikte liegen auf einer Curve dritter Ordnung, welche /f zum
Doppelpunkte und T, und Tg zu Doppelpunktstangenten hat.

10. Zwei projective Kegelschnittbüschel

Kq — XK^^O. Xo-AXi = 0

^*^®^geB eine Curve vierter Ordnung, welche die acht Träger der Büschel
euihQt, und zwar als einfache Punkte , ausser wenn die Büschel einen oder
''**nr TrSger gemein haben. Die Curve vierter Ordnung

Fik=K^L, - (Xi + XM)K,L^ + XiXkK^L, = 0

^^«Ih die Quadrupel A,- und X^ der C^ und die zwölf festen Punkte

Kq == j^ = 0, X/q = X| = 0 , JCL| = JjQ = Vj%

^^ ääden die sämmtlichen Ffk ein Netz.

284 Bemerkungen zum Pascal'schen Satze etc.

Man erhält nun: Die drei Quadrupel, welche yon je zwei
gegenüberliegenden der sechs Curyen

TP TP TP TP TP TP

-^12' -'^28' -'^34» -'^45» -^»^ ^61

bestimmt werden, sind auf einer Curye des Netzes enthalten.

11. In dem Aufsatze: ;,Das Imaginäre in der Greometrie und das Rech-
nen mit Würfen« (Math. Ann. Bd. VIII, 1875) beweist Lüroth für die
geometrisch definirten Begriffe der Summe und des Productes von Würfen
auf Kegelschnitten die Giltigkeit der Sätze

a+b + c^a + c-i-hy ahc=^acb
mit Hilfe des PascaTschen Satzes.^ Sehr einfEM^h ist das umgekehrte Ver-
fahren, auf analytiscÜ- geometrischem Wege reale (und imaginäre) Zahlen
durch Punkte eines Kegelschnittes darzustellen; alsdann erscheint der Pas-
caKsche Satz als der geometrische Ausdruck der beiden arithmetischen
Fnndamentalsätze.

Hat man auf einem Kegelschnitte K die Punkte 0, a, 6, c (d. i. die
diese realen Zahlen repräsentirenden, vergl. Nr. 1), und ist T^ die Tan
genta im Punkte oo, so erhält man die Punkte a + hj a+c, wenn man die
Spuren der Geraden a , h und a , e auf T^ Ton 0 aus auf K projiciri Die
beiden (Geraden, welche c mit a+6 und h mit a+e Terbinden, treffen T,
in demselben Punkte, weil a + 5-|-c==a+c+6. Dies ist aber der Pas-
caTsche Satz, nämlich fUr das Sechseck a« 6, a+e^ 0, a+6. c

Ist femer T, die Crerade, welche die Punkte 0 und oo Terbindet, und
projicirt man die Spuren der Geraden a, 5 und a* e auf der Geraden Tj
Tom Punkte 1 aus auf die Cunre, so erhält man die Punkte a.& und a.e;
Torbindet man diese der Reihe nach mit € und 5« so sehneiden sich diese
Geraden aof Tj, weil a.6.r = a.r.5. Auch hier hat man den Pascal-
schen Sats tot sich, nämlich ftlr das Sechseck a, 5, a c, 1. a.5^ c

Ders^be Gedankengang bleibt rerwendbar, wenn die PascaTsche Cre-
rade weder zwei reale lusammenfallende Punkte enthält« wie T,^ noch zwei
reale getrennte, wie T|.

13. Hat die Gerade T, mit dem Kegelschnitte iwei eonjugirt com-
plexe Schnittpunkte, so sind auch die Currentangenten in denselben
eonjugirt complex; haben dieselben die GleicKungen V ^iT=Oy so ist die
Gleichung der Curre j^t^p^t« r*«0;

in der That hat jede der Geraden V jh iF^O mit der Curre zwei zosam-
menMlende, auf T^ tiegende Punkte ge»em. Setzt nan^ wie Mher.

und ist

^ A«Anr d» e»<sywdbeai*wi UM^tuOMi ^InUiii dür WUeft StnUbQadiel

Von R. Heoer. 285

einen realen Schnittpunkt, wenn für die Coordinaten desselben und für (i
and V die Gleichungen erfüllt sind, welche durch Sonderung des Bealen
and Imaginftren aus

U+iV'-(iL + iv)Ti = 0 und T^ - (|Li + iv)([7-.i7) = 0

berrorgehen, nämlich

I^ie letzte folgt ohne Weiteres aus den beiden ersten, und die dritte geht
AUS den beiden ersten hervor, wenn man in der Curyengleichung

durch T^ dividirt und die Quotienten U:T^ und 7: T, durch fi und v
ersetzt. Es bleiben daher nur die ersten zwei Gleichungen Übrig; dieselben
Hefem für gegebene Werthe von x und y die zugehörigen Werthe von ft
und V ; sie zeigen also , welche complexe Zahl X = fA + iv durch jeden realen
INinkt des K repräsentirt wird , wenn man die auf T^ gelegenen imaginären
Ourvenpnnkte als Repräsentanten der realen Zahlen 0 und oo annimmt
Die Gleichung

^er Geraden liXk tritt zwar, wenn A,- und kk die complexen Argumente
zweier auf dem Kegelschnitt enthaltenen realen Punkte sind, in complexer
Porm auf; man überzeugt sich aber leicht, dass es die Gleichung einer
i^en Geraden ist.

Zum Beweise des PascaTschen Satzes kann man in diesem Falle den
^inheitsponkt nicht verwenden; man kommt aber ebenso leicht folgender-
' iBaasen zum Ziele: Wenn ABCDEF ein Kegelschnittsechseck ist und die
G^erade mit T^ bezeichnet wird, auf welcher die Schnittpunkte von uiFund
C2>, sowie von AB und DE liegen, so ordne man die Kegelschnittpunkte
in der angegebenen Weise realen oder complexen Parametern zu, so dass
die realen oder complexen Schnittpunkte der Curve und der Tj die Para-
meter 0 und 00 erhalten; werden alsdann die Parameter von AB FD der
Heihe nach mit a, ß, y, ö bezeichnet, so haben nach der Voraussetzung E
und C die Parameter aß:ö bez. oy:d; da nun die Parameter von E und
^t sowie die von JB und 0 dasselbe Product aßyiö ergeben, so folgt, dass
*^mA EF und B C sich auf T^ schneiden *

13. Die letzteren Betrachtungen können auf Raumcurven dritter Ord-
nung abertragen werden. Sind Tq, Tg Osculationsebenen einer R^ in den
^^ten Pq und Pj, sind femer T^ und T^ die Ebenen, welche Pj bez. P^
^t der Tangente in Pq bez. Pg verbinden, so sind die Punkte B^ durch
**^Vechende Ebenen
1) To-ilTi = 0, T^-kT^ = 0, Tj-ATj^O

*^o^ KotBDji, CoDstr, a/gebr Ausdrücke nutBiUe ^oii\Ki<Jk!QAAc<^
^WwftantoD, diese Zeitechr, Bd XXVU S. 248, lbS%.

286 Bemerkungen zum Pascal^schen Satze etc.

dreier projectiyen Ebenenbüschel bestimmt. Sind P^ und P^ real, so wird
darch 1. jedem realen Curvenpunkte ein realer Parameter k zugeordnet;
ist dagegen PqF^ eine imaginäre Secante der 22,, so sind Pq und P,
und damit auch Tq und T^, sowie T^ und T, conjugirt complex. Setzt man

so hat man für die Gleichungen entsprechender Ebenen

Diesen drei Gleichungen genügt ein realer Funkt unter Bedingungen, die
sich durch Elimination von 1 aus je zweien dieser Gleicbnngen und Son-
derang des Realen und Tmagin&ren ergeben. Man erhSlt so die drei Gleicb-

"°8®" O;,« _ 17,« + 7o« - 7,* = 0 ,

C7o7i-tr,7o + 2ir,F,=0,

Die beiden letzten lassen folgende Schreibweise zu:

V,{U^+U^)-U,(V^-V,)^0, F,(7o+7,) + I7,(Do-F,) = 0.

Die zugehörigen Flächen zweiter Ordnung haben daher die Gerade F, = £7,
= 0 gemein. Für alle Punkte, welche beiden Flächen gemeinsam und nicht
auf F, =3 U'j = 0 enthalten sind , besteht die Gleichung

{Uo+U,) -(7o-7,)

dies ist die erste der obigen drei Gleichungen. Aus den Coordinaten eines
realen Curvenpunktes erhält man für den Parameter iL die drei gleichbedeu-
tenden rennen u^+jy u, + ir,__U,-iV,

?7, + i7, U,-iY,-Uo-ir,'
Die Secante Ajitg liegt bekanntlich in den Ebenen

die Ebene A^Ajil3 hat die Gleichung

14. Haben die Parameter a und ß zweier Punkte ein constantes Pro-
dnct p, so gelten für die Secante dieser Punkte die Gleichungen

T,^{a + ß)T, + pT^ = 0, T,--{a + ß)T, + pT^ = 0.

Eliminirt man a + ß^ so erhält man

Daher folgt: Die Secanten einer R^, welche Punkte der JR^ ver-
binden, die ein constantes Product haben, erfüllen eine Begel-
fläcbe zweiter Ordnung, we\e\ie R^ uiid dv« Secante Ood ent-
hält (vergl. Nr. 16).

= 0;

Von R. Heger. 287

15. Haben die Parameter a, ß, y di'eier Punkte das Product p, so hat
die Ebene dieser Punkte die Gleichung

dieselbe enth&lt den Punkt der Ebenen

Hieraus folgt: Die Ebenen, welche Punkte verbinden, die ein
constantes Product haben, treffen die Secante Ooo in einem
festen Punkte.

Ein Tetraeder sei einer i2g eingeschrieben und werde von einer Secante s
der Curve durchsetzt.

Man ertheile den realen oder imaginären auf der Secante enthaltenen
Correnponkten die Parameterwerthe 0 und oo und richte nun in der an-
gegebenen Weise eine Parametervertheilung auf der Curve ein; dabei mögen
die Eckpunkte des Tetraeders die Parameter er, ß^ y^ 6 erhalten. Durch
die Spuren der Tetraederebenen ßy^y f^^^ ^^ß% ^ß? ^^^ s und durch die
Secante t der beliebig gewählten 'realen oder conjugirt complexen Curven-
pnnkte c i lege man Ebenen und erhalte dadurch auf der R^ der Reihe nach
die Punkte a\ §f^ y\ h\ Alsdann hat man die gleichen Producte

ft'«J = /3yd, /5'«J=oy6, /«J;=«/J5, d'jj;=aj3y.
Hieraus folgt

Dies ergiebt den Satz: Wenn man die Spuren, welche eine Secante
s einer B^ auf den Flächen eines eingeschriebenen Tetraeders
erzeugt, von einer andern Secante t aus auf die Curve proji-
eirt, 80 sind die Geraden, welche diese Projectionen mit den
gegenüberliegenden Tetraeder ecken verbinden, mit 5 auf einer
Regelfläche zweiter Ordnung enthalten.

16. Secanten einer i^^. welche Punktpaare einer Involution
enthalten, erfüllen eine Regelfläche zweiter Ordnung F^.*

Denn ans den Gleichungen

a — 6 .(i, + is;. + c .liJlj = 0,

folgt

a 6 c '

1)

die dm fliehen

To T, 7, =(•;
?". T, r.

*S0äreti-r, Theorie der OberOUbea zweiter Ordnuag , Levpxv« WM, %.19U><

288

Bemerkungen zum Pascal'schen Satze etc.

-0,

= 0,

^1 n

., r, ■ .. ,, =»

enthalten die B^.

Umgekehrt: Die Secanten einer B^^ welche auf einer die B^
enthaltenden F^ liegen, bestimmen auf B^ die Punktpaare
einer Involution.

Denn jede die 22g enthaltende F^ hat eine Gleichung von der Form 1 ).
Sind A| und l^ die Parameter zweier Punkte auf B^^ welche eine auf F^
enthaltene Secante s bestimmen, so gelten für jeden Punkt von s ausser 1)
noch die Gleichungen

Multiplicirt man in 1) die zweite und dritte Columne mit — (^]H~^) ^^^
Ajilg und addirt dieselben dann zur ersten, so folgt unter Rtlcksicht auf 2)

17. Den Identitäten Nr. 2, IV) kann man den Satz entnehmen: Die
drei Involutionen, welche durch die Elementenpaare

XjAg und A^Aß, AjAj und AjAg, X^l^ und A^A,

bestimmt sind, haben ein gemeinsames (reales oder complexes)
Paar. Bezeichnet man die Zahlen dieses Paares mit fi und ft', so erfor-
dert der Satz, dass sich die Zahlen a, &, c; O], &ii C|; a^^h^^c^ so bestim-
men lassen, dass folgende drei Systeme erfElUt sind:

a — h (^ + |u') + c^ jü' = 0,

1) { a- 6(A, + A8) + cAiAjjC=0,

«1 — ^1 (^ + f*') + Ci ^fi' = 0,

2) { a,-^(A,+ A3)+Cii,X3 = 0,

O« -^2 (#* + /) +^f* fi'=0,

3) (h-Mh + K)+<^hK^^^

Setzt man nun

'12

nie

+ ^46 •— ^28 + ^M = ^4 + "»61»

yi, = (l+2)m,2+(4+5]ni,5 = (2+3)ni5ö+(5+6)ni^ = (3+4)m34 + (6+l)w6i,
A^=: I2mi2 + 45m45 = 23iW2g + Sönißg = 34 w.

34

eim^-i,

80 erkennt man, dass den Systemen 1), 2), 3) durch die Annahme ge-
nügt wird:

1 :(fA + fi'):fi^'=4j,:^, :^.

18. Der letzte Satz in Verbindung mit dem vorletzten ergiebt sofort:

Die drei Fliehen zweiter Ordnung, welche durch die Paare

OegeDseiten eines onebenen Sechaecka und &\^ ^^tü^^Wi^idl \km-

Von B. Hegbb.

289

geschriebene E^ bestimmt sind, haben eine Secante deriZg ge-
mein (bilden also ein Flächenbüschel).

19. Die Gleichung der Fläche, welche eine Secante einer R^ beschreibt,
wenn sie sich entlang einer Geraden P^P^ bewegt, kann auf folgendem
Wege gewonnen werden.

Bezeichnet T^t den Werth, welchen Ti für die homogenen Coordinaten
eines Punktes P^ annimmt, so liegt der Punkt P^ fttr den

ßi^k, + lH^k,

f*l + f*«

anf der Secante i^Ag, wenn die Gleichungen erfUllt sind

^1 [^0, - (^ + Ag) T,, + l,k^ T,,] + fi ,[7^02 - (^1 + h) ^1« + ^1 ^2 ^2 J = 0,

^l[^U-ai+^2)^21 + Al^nil + f^2[^,2-Ul + ^)^22+Al^^82] = 0.

Hieraus folgt die gesuchte Gleichung durch Elimination von (i^ und ^ zu

^01 (^1 i" ^2/ Ml "T ^1 *f ^21 M)2 — ( ^1 "i ^) M2 "T ^l ^ ^28
/|j (Aj + Aj) Tgl + ^1 *2 'S! ^^12 — V^l "T ^2/ ^22 "f" ^1 ^2 ^82

Aus den Gleichungen der Secante

T,^{k, + X^)T, + k,k^T, = 0, T,^{l, + X,)T, + k,k^T,^0
folgen die Verhältnisse

1)

= 0.

2)

• \^i I ^/ I Aj Ag ^

7".

^»

9

7's

To

•

^0

y,

T,

T,

•

Tt

Ts

•

7",

T,

Wird dies in 1) substituirt, so ergiebt sich die gesuchte Flächengleichung.
8ie ist vom vierten Grade. Liegt P^^ auf 2^ , so zerföllt die Fläche in den
Kegel zweiter Ordnung, der 2^ von P^ aus projicirt, und die durch 2^ und
PjPg bestimmte Fläche zweiter Ordnung; liegen P^ und P^ auf 2^, so
besteht die Fläche aus den beiden Kegeln, welche die 2^3 von P| und P^
ans projiciren.

Die Secanten, welche zwei Gerade PiP2 und P3P4 treffen, ermittelt
man, indem man zu 1) noch die Gleichung fügt, die aus 1) hervorgeht,
wenn Pj und P^ gegen P3 und P^ vertauscht werden. Für die Unbekann-
ten Ai + ^ und kj k^ erhält man so zwei quadratische Gleichungen : zu jedem
der vier Wnrzelsjsteme gehört eine Secante der 2^3. Daher folgt: Zwei
Gerade werden von vier Secanten einer 223 getroffen.

20. Das Achteck 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (wobei die Ziffern statt gleich-
benfferter l stehen) sei einer 2^ eingeschrieben. Die Gegenebenen 123 und
567 bestimmen eine Gerade a, die Gegenebenen 234 und 678 bestinmien
^e (Weite Gerade h. Diese Geraden werden von den Secanten 23 und 67
geinten, b^egnen also ausserdem noch zwei Secanten der 22^. Eine der-
Mlbe& sei als Träger der Punkte 0 und 00 gewählt. Nach VmiU^^
(liDkfliiialias^ EinheitßpvmkteB ist alsdann jedem Pw

£MUib0m»t£k u. Pbjtlk XXX. ß.

290 Bemerkungen zum Pascal'schen Satze etc. Von B. Hbgeb.

gewiesen, und diese Parameter seien durch die Ziffern 1 ... 8 bezeichnet.
Dann gelten, weil 0 oo die Geraden 123, 567 und 234, 678 trifft
(Nn 15), die Gleichungen der Producte

1.2.3 = 5.6.7, 2.3.4 = 6.7.8.
Hieraus folgt

1.8 --4.5.

In Bücksicht auf Nr. 14 folgt daher:

Construirt man die beiden Schnittlinien von zwei Paaren
Oegenebenen eines einer 22, eingeschriebenen Achtecks, sowie
die beiden Secanten der 22,, welche diese Geraden treffen und
nicht zugleich Seiten des Achtecks sind, so liegen diese bei-
den Secanten mit den auf den construirten Gegenebenen nicht
enthaltenen beiden Seiten des Achtecks auf einer die R^ ent-
haltenden Fläche zweiter Ordnung.

Kleinere Mittheilungen.

XYL üeber einen von Steiner entdeckten Satz and einige verwandte
Eigenschaften der Flächen zweiter Ordnung.

Der Satz, welchen ich beweisen will; wurde von Steiner Bd. XXXI
S. 90 des Crelle'schen Journals* gegeben; von demselben kenne ich keinen
Beweis und ich halte es daher nicht für unnöthig, die folgenden Zeilen zu
veröffentlichen.

Der Gedankengang, welcher mich zu dem obengenannten Lehrsatze
führte, zeigt die Verbindung desselben mit den Resultaten neuerer Unter-
suchnngen über die Invarianteneigenschaften einiger algebraischen Formen
gegen gewisse specielle lineare Transformationen und der entsprechenden
geometrischen Figuren. Derselbe Gedanke hat mich auch zu einigen ver-
wandten Sätzen geführt, die mir bemerkenswerth scheinen und welche theils
Chasles angehören, theils neu sind; sie können als eiu Beitrag zum Studium
der metrischen Invarianten'^* des von einer Fläche zweiter Ordnung und einem
Punkte zusammengesetzten Systems angesehen werden.

§1-

Ich führe hier sogleich den folgenden Hilfssatz an, von welchem ich
in Nachstehendem mehrmals Gebrauch machen werde:

Ist f{x^y^g) eine algebraische ganze Function der recht-
winkligen Coordinaten eines Punktes im Räume, und führt man
eine Coordinatentransformatiou aus, bei welcher der Anfangs-
punkt fest bleibt, so behält nicht nur die gegebene Function
selbst, sondern auch jede der folgenden Functionen:

'.^=/©'+6i)*+a-o" ^.^=s+

ihren Werth für jeden beliebigen Punkt bei.

Der Fall, auf welchen wir diesen Satz anwenden wollen, ist derjenige, wo

^ +2a^^x + 2a^^y + 2a^j^z + a^^ (aik = akt)

ist; setzt man der Kürze halber

* Vergl. Jacob Steinerne Gesammelte Werke, 11. Bd., 1882, S. 367.
^ Siehe: Elling Holst, Ein Paar synthetischer Methoden in der metrischen
Geometrie mit Anwendungen. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. Sivende
Bind, 1982, 8. 240 ügg.

••• Lamtf, LepODB snr Jes coordonn^es curvilignes, ParäV^b^, ^•^. \S\fe^x«Ä.-
^iftmd ^f/ßind die Differentialpararaetet dw YmücXa^u f.

292

Kleinere Mittheilungen.

fi = «11 « + fliay + «18^ + «u 1

A = «31^ + «82^ + 033*^ +«34»

80 wird man finden, dass für eine orthogonale Substitution die Functionen

3) ^J=2Vf* + f* + n\ ^,/"=2(o„H-a,, + a3,)

ihren Werth beibehalten; insbesondere kann man schliessen, dass die Summe

«14* + 024* + «84*

diese Eigenschaft hat.

Der folgende Satz wird in vorliegender Arbeit keine Anwendung finden ;
doch werde ich ihn auseinandersetzen , da er bemerkenswerth ist und als eine
Verallgemeinerung eines Theiles obigen Hilfssatzes angesehen werden kann.

Sind X, y^ b die Cartesischen Coordinaten eines Baum-
punktes in Bezug auf ein Coordinatensytem, dessen Axen die
Winkel yz, zx, xy zu zweien bilden, und haben f(x,y,e)^ f\'>f%y
^, f^ die vorhergehenden Bedeutungen, so bleibt der Werth
der Function

f^ sin^ X y z :

bei allen Coordinateutransformationen unverändert.

In der That , geben wir diesem Ausdrucke das entgegengesetzte Zeichen,
so ei halten wir das Quadrat der Entfernung des Punktes {x^ y^ z) von seiner
Polarebene in Bezug auf die Fläche zweiter Ordnung fix^y^ z) = Oy und
da dieses vom Coordinatensystem unabhängig ist, so schliesst man den Lehrsatz.

Setzt man insbesondere voraus , dass der betrachtete Punkt der Anfangs-
punkt sei , und erinnert man sich , dass eine Coordinatentransformation , bei
welcher der Anfangspunkt fest bleibt, das constante Glied von f{x^ y, z)
unverändert lässt, so kann man folgenden Zusatz erhalten:

Ftlhrt man eine Coordinatentransformation aus, bei wel-
cher der Anfangspunkt fest bleibt, so behält die Function

0

fi

f.

fs

fx

1

COS X y

cosxz

U

cosyx

1

cosyz

/•»

coszx

coszy

1

sttrxyz

ihren Werth bei.

0

a
a

14
24

a

34

«14
1

COSJX

coszx

cosxy

1
coszy

«34

cosxz

cosyz

1

* Es ist, wie gewöhnlich:

nn^xjz

1 cosxy cosxz
oosyx 1 008JZ

COtSX C08SJ \

\

Kleinere Mittheilungen. 293

Sind endlich die Coordinatenaxen rechtwinklig, so wird diese Function
— (^i4*+^M* + %4*)i daher kommt man zu einem schon erhaltenen Resultate
zurück.

§2.

Mit Hilfe des angeführten Hilfssatzes ist der fragliche Steiner 'sehe
Satz leicht zu beweisen. Derselbe lautet:

Wird eine gegebene Fläche F zweiter Ordnung auf ein
rechtwinkliges Coordinatensystem XYZ bezogen, dessen An-
fangspunkt Ä beliebig liegt, so entstehen in jeder Axe X, F, Z
zwei Abschnitte, die beziehentlich durch rc, und x^y y^ und y^,
z^ und z^ bezeichnet werden sollen, und ferner drei Abschnitte
oder Sehnen zwischen den Schnittpunkten, die a, ß, y heissen
mögen. Wird das rechtwinklige Coordinatensystem um den
nämlichen festen Anfangspunkt A auf beliebige Art herum-
bewegt, so bleibt der Ausdruck

■' +-4^=+ '"

constant.*

^i*a^2* yi'^y«" ^i^V

* Herr Catalan legt in seinem Manuel dee candidata a T^cole polytechnique
(T. II, Paris 1858, S. 38) folgende Aufgabe vor:

„Theoreme. Si Von desiffne par x', x"; y', y"; z', z" leu distances cofnprises
cntrc le smnmet d'un angle triedre trirectangle et les jmts oü les aretes de ce triedre
rcncowtrent une sxirface du, second ordre, In foncHon

(X-+X-)« . (y^+yO' . (z--hz-y
x*-fx* y +y ' z*+z*

est invariable, quelle que soit la position de V angle triedre. (2'heoremc de M.
Steiner.)*'

Dieser Satz hat eiuigc Aehnlichkeit mit demjenigen, welcher uns jetzt be
schäitigt; doch wurde er nie von Steiner ausgesprochen, wie man sich aus seinen
,, Gesammelten Werken'* sehr leicht überzeugen kann. Ueberdies ist er unrichtig:
das folgende Riiisonnement beweist in der That, dass die Flächen zweiter Ordnung
die obige Eigenschaft nicht haben.

Betrachten wir das Trieder in einer gewissen Lage, halten seinen Scheitel-
punkt A und eine seiner Kanten, z. B. AZ^ fest und lassen es um diese drehen.
Die Punkte, in denen AZ die Fläche schneidet, werden auch fest sein, während
die Schnittpunkte von A X und A Y sich bewegen werden und als die Durchschnitte
eines rechten Winkels, welcher sich um A und in der Ebene X -4 y dreht, mit dem
Kegelschnitte, in welchem A" -4 y die gegebene Fläche schneidet, angesehen werden
können. Daraus folgt, dass, wenn der C ata l aussehe Satz wahr wäre, jeder Kegel-
schnitt die folgende Eigenschaft haben würde:

„Sind x\ x"; y\ y" die Entfernungen der Spitze eines rechten Winkels von
den Schnittpunkten seiner Seiten mit einem in derselben Ebene gelegenen Kegel-

schnitte, so hat die Fimction ^-7= 4 -f ^, . ,L einen von der Laee deftW\akAV%

* x^-¥x « y*+t/ * ^

oDabbängjgen Werth,**

294

Kleinere Mittheilnngen

Seien x^ y, sf die Coordinaten des Punktes Ä in einem Coordinalen-
sysiem ^ dessen Axen den Kanten des gegebenen Trieders in seiner ursprüng-
lichen Lage parallel sind; sei .. . ^

die Gleichung der gegebenen Fläche Fy wo der Ausdruck von /*(«, y, je?) aus
1) zu nehmen ist.

Die Abscissen || und ^ der Punkte, in welchen die Gerade AX die
Fläche F schneidet, werden die Wurzeln der Gleichung

+ («22 y* + 2a,8yje? + 2a3sJ5« + 2a,4y + 203^^? + 044)
sein; man hat daher

a?js=a; — Ij, a?8 = a?— 12, ±« = a^ — »i = {| — fi«
und folglich
b)

a)

*, *, = a;« - (I, + |,)a; + 1, 1, = ^^^?^i^ .

»1.

«»=(ii-g*=(i,+i»)»-4iii,

a

"* ^^ fraii^ + aii>y + «i3<' + au? «n ]

a^i^V IL f(x,y,e) J f(x,y,g)]

Schreibt man der Kürze wegen f statt f(x,y,K) und bezeichnet die
Werthe, welche die Ableitungen von f{x, y,e) im Punkte A annehmen, mit

r— » ;r-» ;r— I SO erhält man:
dx oy de

(l-O' „ ''^

4)

2;

ebenso :

ß»

yi*Ȋ*

',W~ /^ f ~ \f* f\

Um am leichtesten zu sehen, dass dieser Satz fabch ist, setzen wir den Scheitel-
punkt des beweglichen Winkels io eine ausgezeichnete Lage, z. B. in den Brenn-
punkt des gegebenen Kegelschnittes. Ist

_ a

\-\-eco8(p
die Polargleichung derselben, und betrachtet man den beweglichen Winkel im
Augenblicke, wo eine seiner Seiten mit den Axen den Winkel a, die andere den

Winkel -^ + a bildet, so findet man

^

UDd dieser Wertij ist von a nicht unabYiAngig , "w^ö fe% wca. usAüMXib^ ^^sosb^ te CiL*
talan 'Bche 8atz richtig wäre.

Kleinere Mittheilungen. 295

kxxB diesen drei Gleichungen folgt:

Aus dem schon angeführten Hilfssatze kann man nun schliessen, dass
die GrOsse zur rechten Hand dieser Gleichung bei einer Drehung des Co-
ordiiiatensytems um seinen Anfangspunkt ihren Werth beibehält; dasselbe
gilt also von der Grösse linker Hand, und da endlich die Drehung des
Coordioatensjstems um seinen Anfangspunkt einer Drehung des gegebenen
Coordinatensjstems -um den Punkt A entspricht, und umgekehrt, so ist
damit die Wahrheit des Steiner^schen Theorems nachgewiesen.*

Demselben mögen hier folgende Bemerkungen beigefügt werden.

Wenn eine Fläche zweiter Ordnung gegeben ist, so kann man jedem
Punkte des Baumes eine bestimmte Zahl beilegen, diejenige nämlich, welche

den Werth der Function (-7—) ""2"~l~ i° diesem Punkte ergiebt. Der

Ort der Punkte, in welchen diese Function einen gegebenen Werth (—4c)
hat, ist die Fläche vierter Ordnung, deren Gleichung

/;* + A* + ^3* - («U + «M + «Ss) /■+ C/^ = 0

oder

CP =(«11 + «f 2 + «83^ f-{fl^ + f%^ + ^s')

ist. Aus dieser letzteren folgt sogleich**, dass diese Fläche einen Doppel-
kegelschnitt hat, nämlich denjenigen, in welchem die unendlich ferne Ebene
von der Fläche F geschnitten wird. Lässt man c yariiren, so erhält man
ein ganzes Büschel von Flächen dieser Art, welche die Doppelcurve gemein-
sam haben und durch die (imaginäre) Curve vierter Ordnung erster Species
gehen, in welcher die gegebene Fläche von dem (imaginären) Quadrikegel

geschnitten wird. Tx thTh

§3.
Setzen wir jetzt voraus, dass die gegebene Fläche einen Mittelpunkt
habe und dass man in denselben den Anfangspunkt A des Coordinaten-
systems lege, so wird man folgende Gleichungen haben:

* Will man den Stein er *Bchen Satz beweisen, ohne Lamaze Hilfssatz zu
gebraachen, so nehme man die Kanten des gegebenen Trieders in seiner ursprüng-
Bchea Lage als Coordinatenaxen ; man wird dann die Gleichung erhalten:

A

«i*«i* yi'yt* 'i'V

^**B isehte Seite aus den Functionen:

«44, oii+OM-faM, a,/-fa,4« + at4*
tii ist, deren Invarianz bekannt ist. Analoge Bemerkungen kann
• S&tzen machen.

Ueber die FJächen vierten Gradea, a\\^ -w^JV^^ü^Oa»««!!!
ToDAtsberichte der Beil. Akad. \^^% ^.^"Tl.

x^=-|^=Y' yi^-yj^-g-' '»=~'?='§^

08 man schliessen kann, dass

1 + 1 + 1

istant ist. Das drtlckt die bekannte von C ha s 1 e s entdeckte Eigenschaft aus :
Die Summe der Quadrate der reciproken Werthe irgend
reier zu einander rechtwinkligen Durchmesser einer Fläche
weiter Ordnung ist constant.*

Es ist Bemerkens werth , dass es ausser dem Steiner 'sehen noch einen
andern Satz giebt, welcher als eine Verallgemeinerung des Chasles'schen
Satzes angesehen werden kann. Es ist der folgende:

Wird eine gegebene Fläche zweiter Ordnung auf ein recht-
winkliges Coordinatensystem XYZ bezogen, dessen Anfangs-
punkt beliebig liegt, so entstehen in jeder AxeXYZ zwei Ab-
schnitte, die beziehentlich durch x^ und x^^ y^ und y^^ e^ und^
bezeichnet werden sollen. Wird das rechtwinklige Coordina-
tensjstem um den Anfangspunkt auf beliebige Art herum-
bewegt, so bleibt der Ausdruck

constant** '^ "^^ * * '

In der That haben wir im vorigen Paragraphen [Gleich, b)) gesehen
dass

> _ «11 :„* .u««„. 1 - ^'ii A «11

5) = -rr, — - — r ist, cbeuso ^, . . — ..,

und daher - , - i > y.

111 l ^^f

+ T7— +— — = -ö — ?-'

^1^ ^1^2 ^1^2 2 f

woraus mittels des Uilfssatzes unser Theorem unmittelbar folgt

Der Ort der Punkte des Raumes, für welche obige Function e
gegebenen Werth hat, ist eine Fläche zweiter Ordnung, ähnlich und
lieh gelegen mit der gegebenen.

* ChasleB, Propri^täa des Diamätree de Tellipsoide, Corresp. sur TEc.

T. III, 1816, S. 806, and Aper9u hiatorique a. s. w., 2. Aufl. 1876, S. 824. —

auch : Demonstration de denx th^or^mes par an Abonn^, Annales de Mathen:

de M. Gergonne, T. XVDI S. 869.

1 2/

♦* Die Function — r- = "T^ kann wohl die Potenz de

^ + _i_4.-L ^^f
«1 «t Vt y* 'i h

' - ^vjg in Bezug auf die Fläche P genannt werden; denn wennPc

' - ' dreifache der Potenz, im ^\.^\iiöV viVi^w Sinne, des J

Kleinere Mittheilungen. 297

§4.
Zu einem andern Lehrsatze, welcher, wie die vorigen, von der gegen-
seitigen Lage eines rechtwinkligen Trieders und einer Fläche zweiter Ord-
Dung handelt, gelangt man mittels folgender Betrachtungen, v

Wie gewöhnlich, seien x^ y, e die rechtwinkligen Coordinaten eines

festen Punktes P, welcher die Spitze eines rechtwinkligen Trieders ist,

dessen Kanten den Coordinatenaxen parallel sind; seien noch ^^ , ^^i -^n -^21

Cj, C2 die Punkte, in denen die Kanten des Trieders die Fläche schneiden,

deren Gleichung

jv f{3e, y, b) = a^^x^ + a^y^ + a^ß^ + 2a^^yz + 2a^^zx + 2a^2xy

+ 2a^^x + 2a,42^ + 2a^z + a^ = 0

i^; seien endlich $^, ^^ ^^^ Werthe der a;-Coordinate der Punkte A^^ A^'y
iji , fj^ die Werthe der y Coordinate der Punkte -Bj , J^g ; fi , {^ die Werthe
der i?- Coordinate der Punkte C|, C,. Sehr leicht findet man [vergl. § 2
Gleich. a)J

Si + Sa ^ — * 5i §2 ;; 1

ö) < 1?i + »?2 = — ^ 7 ' ^/l^2 — 7 )

»22 "28

^ ' bi&2~'

f. + J,=-2^2_J^, f^f^^

"33 **33

WO f, /*, , ^j,, /'s, ^'4 die Bedeutung haben, welche in § 1 auseinandergesetzt
wurde. Da man nun annehmen kann^ dass /*, , /*,, /s) f^ die Coefficienten
der Gleichung der Polarebene tc des Punktes P seien , so ist es nicht schwer,
die Entfernungen zu finden, welche die Punkte A^y A^y B^y B^y C^y C^
▼on der Ebene n haben. Führt man diese Rechnung aus , so kann man mit
leichter Mühe folgende Gleichungen erhalten:

A^% A^n ^ f^ — (^\\f

B^^ B^^n _ f^ — a^^i

7) { .^L^_4..^^=.2

Bj^ B^P' fi' + f^' + fz

■T'

"2 -Fi 2

C^n. C^ n ^. /*g^ — a^^f

+ ^^ = 2

WO überhaupt Mv die Entfernung des Punktes M von der Ebene v be-
zeichnet. Hieraus folgt unmittelbar:

Geht man zu einem andern rechtwinkligen CooTdma\;&Ti^^^\«m.^ ^^Ocl^*^
ämmlba An&mgBpanki habe, über, so bleibt der vwwte nE!k«ü di<Q^x Q\^\OKi-

298 Kleinere Mittheilungen.

nng unverändert (§ 1); dasselbe kann man daher betreffs des ersten sagen.
Andererseits entspricht die Bewegung des Coordinatensjstems einer Bewegung
des gegebenen Trieders, und umgekehii;. Infolge dessen können wir end-
lich schliessen:

Ist P die Spitze eines beweglichen rechtwinkligen Tri-
eders, 7c die Polarebene von P in Bezug auf eine gegebene
Fläche zweiter Ordnung F\ sind endlich Ä^y Äf] J?| , B^; C|, C,
die Durchschnitte der Kanten des Trieders mit JP, so hat die
Function

Ä^n A^n BiTi B^n C^n C^n

17^ A^f^ B^ B^P^ C^f^ C^P^

denselben Werth bei jeder Lage des Trieders.*

Der Ort der Punkte des Raumes, in welchen diese Function einen
gegebenen Werth hat, ist eine Fläche zweiter Ordnung, welche denselben
Mittelpunkt und dieselben Axen wie F hat

§5.

Auch die Eigenschaften der conjugirten Durchmesser, die Livet und
Binet, wie analog den wohlbekannten Apollonischen Lehrsätzen über die
Kegelschnitte, gegeben haben, können verallgemeinert werden, wie ich jetzt
beweisen will.

Die Gleichung jeder centrischen Fläche zweiter Ordnung kann auf die
folgende Form gebracht werden:

8) Aa;, y, z) =^a^^a^ + a^^y^ + a^^z^ + 2a^^x + 202^^ + 2a^z + a^x = ^^
es ist dazu nothwendig und hinreichend , dass man zu Coordinatenaxen drei
Gerade wählt, welche zu drei conjugirten Durchmessern parallel sind. Drei
solche Geraden bilden ein Trieder, das wir conjugirtes Trieder in
Bezug auf die gegebene Fläche nennen wollen.

Sind yz, zx, xy die Winkel, welche die Coordinatenaxen je zu zweien
bilden, so bleiben die Werthe der Functionen:

flu gg^flas

— r-5 »

sin^xyz

«:^«33 + 033 011 + «11 «Jt:?

5m^xyz

fl, , sifiry z -f a^g 5m^z x -|- a^.^ sin'xy

wenn man von einem Coordinatensystem , dessen Axen ein conjugirtes Tri-
eder bilden, zu einem andern Coordinatensystem derselben Art and mit
demselben Anfangspunkt übergeht, unverändert.** Nennen wir B^ O, 1)

* Chaslea, Apercu historique u. s. w., S. 718.
^ Siebe das TortreffHcheLebrbucYime\Tiea^et^>it\ÄiAif^««s*F^
Le proprietä fondamentali delle superEcie d\%^co\idLOTÖMQÄ^5:OTfl[

Klleinere Mittheilungen. 290

VW «^ ^ V ^,

resp. dieWerihe dieser Functionen, so ist £ ^ 0, und daher können wir
schreiben:

D öiiAmöm C 111 D sin^yz . siw*zx , sinHj
m*xyz J? flfji a^ a^ B a^^a^^ a^^a^ a^i(^^

Nnn haben wir aas der Betrachtung eines Trieders, dessen Spitze der
Pnoh (x,y, jer) ist und dessen Kanten den Coordinatenaxen parallel sind,
erhalten [$ 3 Gl. 5)] :

f f f

" a?ia^2 ^1^2 ^1^2

daher gehen die vorigen Gleichungen in die folgenden über:

P

Cf

Dp
yi^iyt^i 5m*y 2 + e^x^z^x^ m*zx + x^y^x^y^ sin^xj = -g-'

Nach dem früher Auseinandergesetzten folgt nun unmittelbar, dass die
Grössen rechter Hand unverändert bleiben , wenn wir das conjugirte Trieder,
welches unserem Coordinatensystem zu Grunde liegt, verändern; somit blei-
ben auch die Grössen linker Hand constant. Hiermit ist der folgende Satz
bewiesen:

Wird eine gegebene Fläche zweiter Ordnung, die kein
Paraboloid ist, auf ein conjugirtes Trieder XYZ bezogen,
dessen Anfangspunkt P beliebig ist, so entstehen auf jeder
Axe zwei Punkte, die wir beziehungsweise Ä^ und Ä^^ B^ und
B^^ C7| und C^ nennen wollen. Wird das conjugirte Trieder
am den Punkt P gedreht, so bleiben die folgenden Grössen
eonstant:

I. das Product der Volumina der Tetraeder PA^B^C^ und

PA^B^C^^
IL die Summe derProducte der Flächen der Dreiecke PJ5jC,

und PB^C^, PCiÄ^ und PC^Ä^, ^A^i ^^^ ^^^^i'}
ni. die Summe der Producte P^,.P-4^, PB^.PB^, PC^.PC^**.

Ist P insbesondere der Mittelpunkt der Fläche, so schliesst man:

In einer Fläche zweiter Ordnung, die einen Mittelpunkt hat:

I. das Tetraeder, welches drei conjugirte Halbmesser zu
seinen Kanten hat, hat einen constanten Inhalt. (Livet's
ante);

* /ak/^« V.f) kfe ans 8) zu entnehmen.

''Äf Pankte A,, B, , C, V\al Vevii^w ^wäxmbä 'a>A

300 Kleinere Mittheilungen.

II. die Summe der Quadrate der Flächen der Dreiecke, die
drei conjugirte Halbmesser zu je zweien bestimmen, ist
constant. (Binet's Satz);
III. die Summe der Quadrate dreier conjugirten Halbmesser

ist constant. (Livet's Satz.)
um zu einem ähnlichen Satze über die Flächen zweiter Ordnung ohne
Mittelpunkt zu gelangen, bemerken wir, dass die Gleichung eines Parabo-
loids immer auf die folgende Form gebracht werden kann:

10) f(x, y, z) = a^^a? + o^y* + Za^^a; + 2a^^y + 2a^z+a^^ 0;

CS ist zwar die 0-Axe parallel der Axe des Paraboloids und die zwei anderen
Axen sind parallel zweien conjugirten Durchmessern eines ebenen Querschnittes
der Fläche. Drei solche Geraden bilden ein Trieder, das wir wieder ein
conjugirtes Trieder nennen wollen, wovon die ier-Axe die Haupt-
kante, die anderen die Nebenkanten genannt werden mögen. Geht
man von dem gewählten Coordinatensystem zu einem andern derselben Art
und mit demselben Anfangspunkte über, so bleiben die Werthe der folgen-
den Functionen: . s , . «

5iw*xyz 5tn*xyz

constant. Andererseits hat uns die Betrachtung eines Trieders , dessen Kan-
ten den Coordinatenaxen parallel sind und dessen Spitze ein fester Punkt
ist, zu folgenden Gleichungen geführt:

0^11=—-' «M =

Daher kann man schliessen, dass ^

Xy^ Xj5 sin^ X z + i/i y, sin^y z = "tt

ist; und es ist leicht zu sehen, dass diese Gleichung als der analytische
Ausdruck des folgenden Satzes angesehen werden kann:

Wird ein gegebenes Paraboloid auf ein conjugirtes Tri-
eder bezogen, dessen Spitze P beliebig liegt, so entstehen auf
jeder seiner Nebenkanten zwei Punkte; sind ^j, \ und A'j, Ar,
die Entfernungen derselben von seinen Hauptaxen, so ist die
Summe W-^-k^k^ von dem gewählten conjugirten Trieder un-
abhängig.

Endlich will ich noch bemerken, dass alle die Sätze, mit welchen wir
uns beschäftigt haben, ihre entsprechenden nicht nur in der Theorie der
Kegelschnitte haben (wie schon Steiner für sein Theorem bemerkte), son-
dern auch in derjenigen der Flächen zweiter Ordnung in einem linearen Baome
von beliebig vielen Dimensionen mit einer Euclidischen Maassbestimmung.

* f=f(x,y,z) ist aus 10) zu entnehmen,
ifantaa, Juli 1885. \iT,^\Ä^ \jkaiil.

Kleinere Mittheilungen. 301

— . '*-,M»'"v - 1^' •• X^~»^ite^*_' '».-■\_■*^.y^.

XVn. Ueber gewisse Schaaren von Dreieokskreisen.

£s bezeichne q den Radius des in ein Dreieck ABC beschriebenen
Kreises, r den Halbmesser desjenigen Aussenkreises, welcher AB nebst
den Verlängerungen von CA und CB berührt, endlich R den Badius des
nm ABC construirten Kreises; nach bekannten Formeln ist dann

oder, wenn man das arithmetische Mittel zwischen q und r mit fi bezeichnet
und die Seiten durch die Winkel ausdrückt,

1) ^ = COStt + COSß.

Jti
Ebenso leicht findet man

r a + b + c ^ *'^

Von diesen Relationen lassen sich folgende Anwendungen machen.

Auf der Seite AB wähle man beliebig die l'unkte P, , P^, Pg, . . ., P„.i,
ebenso willkürlich auf J. C7 den Punkt Qj , aufP^Qi den Punkt Q^i ^^^ ^%Q2
den Punkt Q^ u. s. w., endlich heisse D der Durchschnitt von P„— iQ„^i
und BC] wendet man nun mtäcUis mtdandis die Gleichung 1) auf die n
Dreiecke APiQ^y PjPg^^, P2P3C3» •••» Pn— i-B-D an, so erhält man

^ = cosa + cosAPiQ,, p = cosQ,P,P^ + cosP^P^Q^, ...,

. ., ^^cosDP„-iB + cosß.

Darob Addition dieser Gleichungen unter Berücksichtigung des ümstandos,
dass die Summe der Cosinus zweier Nebenwinkel verschwindet, ergiebt sich
rechter Hand co5a + co5/3, d. i. nach Nr. 1

2?i B^ Bn B

In analoger Weise kann die Relation 2) auf die vorhin genannten n
Dreiecke angewendet, werden ; zunächst erhält man

^ = tania.tan^APiQi, ^^^tan^Q^P^P^.tan^P^P^Q^, ...,

^^tan^DPn^xBJan^ß.

^i r^

Multiplicirt man diese Gleichungen und beachtet, dass das Product der Tan-
Konten zweier halben Nebenwinkel =1 ist , so findet man rechter Hand den
^^udrack tan^a.tan^ßj mithin nach Nr. 2)

302

lOeinere MittheiluDgen.

In dem sehr speciellen Falle, wo die beliebigen Punkte Qi^ Qf^ - • -i Qm^i
durch den einen Punkt C vertreten werden, geht die Gleichung 4) in den
auf S. 252 des laufenden Jahrgangs dieser Zeitschrift erwähnten Satz über.

SOHLÖimXIH.

XVm. Zwei Sätze über die Inteprale simnltaner Differential-

gleiohnngen.

Sind

yk = Ciyk\ + c^yk2 + ". + Ckykn, *=!, 2, ..., »

die Integrale des Systems linearer Dififerentialgleichungen

a)

und man setzt

3^11 ••• yin

dyn . . . .

P J^ +Pn\yi+Pn7yi+ • +Pnnym

ynl *'• ynn

= A

11

^In

= A; y'ik =

_dyik

dx

y'ni ... ynn

so lässt sich zeigen, dass diese Integraldeterminanten in einfacher Weise
durch die Coefficienten des Gleichungssystems a) ausgedrückt werden kön-
nen, und zwar ergiebt sich*

- / - 2^..

1)
2)

consl. ;

P\\ "P\n

(-1)"

Pn\ • ' Phh

Die Richtigkeit des ersten Satzes wird folgendermassen erkannt:
Man setzt die entsprechenden partikulären Lösungen in die ä;^^ Diffe-
rentialgleichung des Systems a) ein und gelangt dadurch zu n identischen
Gleichungen der Form

b) pyki + Pkiyu + '-'+Pknyni, t = l, 2, ...,n.

Eliminirt man aus diesen die Coefficienten Pki mit Ausnahme von ptk^ so
erscheint eine verschwindende Determinante

pyk\ + Pkkyk\, yii ...y»i

py'kn + Pkkykn, yin "' y

in welcher die Colonne yki "-ykn fehlt.

nn

0,

* Vergl Darboux, Comptea Ueudua \G, i^. tA^ ^ finidA
wie Ich nacliträglich gesehen habe , <3i'\e ¥ot\iL^\ V^ - ^Xitä ^^vm

Kleinere Mittheilungen.

303

Die letzte Gleichung gestattet auch folgende Schreibweise:

y\H ••• ykn ••• Pitn

+ Pifc*2> = 0,

und solcher Gleichungen giebt es n; dieselben unterscheiden sich — ab-
gesehen von Pkk — insbesondere dadurch, dass der Reihe nach die Ele-
mente der verschiedenen Colonnen differenzirt sind. Addirt man alle diese
Gleichungen, so hat man ohne Weiteres

p^ + D. >'Pitt = 0, d. h. 2) = cc,/ '^ t

Der durch die letzte Formel ausgedrückte Satz kann als eine Verallgemei-
nerung des bekannten Abel-Liouvi 11 ersehen Satzes gelten.

Sehr leicht lässt sich nun auch der zweite Satz yerificiren. — Sub-

stitmrt man nämlich in

y'ii ... y'm

A

nacheinander die Ausdrücke

ym

y

n n

so zerföllt die Determinante D^ in das Product zweier Determinanten, so
dasB man unmittelbar zu der Formel

D,=

(-1)-

d.h.

Pll ••• Pin

Pnl ••• V»n
(-1)"

A =

yn\ ... ynn

P.D

gelangt

Es verdient noch Folgendes bemerkt zu werden.

Ist ein System linearer simultaner Differentialgleichungen höherer Ord-

mmg gegeben, so kann man dasselbe immer durch ein System von ent-

iprechend mehr Gleichungen der ersten Ordnung ersetzen und hierauf die

erwfthnten Sätze anwenden. In die Determinanten treten alsdann auch die

bfiheren Ableitungen der partikulären Integrale.

So findet man beispielsweise für die Gleichungen

d^y , dy , de , , ^

da?

+ "«0 + ^«^ + ^»^ + ''^'=^'

^""tp^e y^^ z^^ . . ., y^ , z^ sein mögen^ Yo\g,«tA«Ä-.

306 üeber die Vertheilung der inducirten Elektricität etc.

daher nur in der Dififerentialgleichung JT=^0, nicht aber in der fertigen
Entwickelang zulässig. Dagegen dürfen auch in der Entwickelang x and
Xj, t und ^1 vertauscht werden.

G«hen wir nun zur Bestimmung der a und ß über.

Fällt der Punkt 0 unendlich weit oder ist u = oo, so wird T=0. Da
aber nach Gleichung 34) für unendliche t< (S(iu) gleichfalls unendlich gross
wird, so mtlssen in den Gleichungen b) die Coefficienten op(h) und a'^\h)
identisch verschwinden. Also:

c) «„(Ä) = 0, a',(Ä) = 0.

Da femer T nur von x — x^ abhängt [denn es ist

JB» = («-rr,)« + 2?, B» = (y-y,)» + («-«r,)«],

80 dürfen in der Entwicklung x und x^ auch nur in der Verbindung x — x^
enthalten sein; ein Vorkommen des Sinus ist ausgeschlossen, da J^*, also
auch T eine gerade Function von x—x^ ist. Hieraus folgt:

d) ßp (Ä) = Äp (h) coshx^, ßly (Ä) = Ap (Ä) ^hXy

Die Constante Av hängt nur noch von i^ und u^ ab. Aus Gründen
der Symmetrie schliesst man, dass i^ nur in der Verbindung (Sy(^,) in A^
vorkommen darf, so dass die Annahme:

e) Av (Ä, t, , u,) = Bv (Ä, u{) .&p(t,)

berechtigt ist. Wegen der Gleichungen b) , c) , d) , e) erhält die Entwicke-
lung a) die Form:

f) T^idhco8h{x-x,) J^'-B^Cujei.WerC^i) S»(iu).

Zur Ermittelung der hierin noch vorkommenden Function Bp{u^) setze man
f) in die Gleichung ^T==0 ein, nachdem in derselben u mit ti, vertauscht
worden ist, d. h. in die Gleichung:

d^T d^T h^c^

^,+ -^--f{eos2iu,-cos2t)T = 0.

Dies giebt:

+ [^^f + ^^eos2t.^,] B,(uA = 0.
Wegen der Differentialgleichung:

ist aber:
demaaeb laatet obige Oleichang:

XVI.

lieber die Vertheilung der induoirten Elektrioität
auf einem unbegrenzten elliptisohen Cylinder.

Von

Dr. Rudolf Besser

in Drasd^n.
(8 o b 1 n ■ 1.)

§6.

Entwiokelmig der reoiproken Bntfemiing iweier Punkte.

Zwei Punkte 0 und 1 seien durch ihre Coordinaten xtu, x^t^Ul ge-
ffeben, und zwar sei _

t<>Wj,

d. h. der Punkt 1 liege innerhalb des Cjlinders u = Const. Denkt man
sich den Punkt 1 als fest, so ist die reeiproke Entfernung T beider Punkte
eine auf der Oberfläche des Cyl Inders u = Const, allenthalben endliche Func-
tion Ton X und t, und kann daher zufolge der Formel 31) folgendermassen
in Bezug auf diese Variabelu entwickelt werden:

a) ^=A^ 5''' 1«» W ^*^ + ^i' W ^^^^\ ^^(^^ ^» *)•

Die hierin vorkommenden Constanten hängen ausser von h und k auch von
u , sowie den Coordinaten x^, t^^ tij des Punktes 1 ab. Da T der Gleich-
ung JT=0 genügt, so haben mit Bücksicht auf S. 262 Uy und hp^ als
Functionen von u betrachtet, die Formen:

wo jetit und auch im Folgenden die Parameter h und kp in d^p und %p
■lefat besonders bezeichnet werden sollen.

T ist in Bflsqg auf x^ x^^ u, u^; t^ t^ symmetrisch, von seiner Ent-

''Wehe; nur in Bezug aoJ u utA. ^j^.^\Äst^ ^^
oll. Die Vertau&c\iuag nou ^j^ ^mA Vk^N^

308 üeber die Vertheilung der indncirten Elektricität etc.

Die reciproke Entfemang zweier durch ihre cjlindrischen Co-
ordinaten xtu^ Xit^u^ gegebener Punkte hat den Werth:

OD » Qp

0 "

Ist u<U|, 80 lautet die Entwickelung:

OD QP

36b) T = - AÄ«wA(a;-a;,)5»'(g,(0e,(<,)e,(»tt)g,(tu,), u<u^.

Wir hfkben nun noch den Nachweis zu fCLhren, dass die Function
zweiter Art SyCtUj) in der Entwickelung von T nicht vorkommen darf.
Beim Ereiscjlinder ergiebt sich dies sofort daraus, dass die Cylinderfunc-
üon zweiter Art Yi^ifiir^ für rj =0 unendlich wird. Hier scheint ein ähn-
lich einfacher Umstand nicht vorzuliegen. Wir wenden deshalb zum Beweise
der Richtigkeit unseres Ansatzes ein Verfahren an, das wir Herrn F. Neu -
mann verdanken.*

Es mnss nämlich nicht blos T, sondern auch jeder Differentialquotient

von T, nach irgend einer Richtung genommen, endlich sein. Denken wir

uns also den Punkt 1 beweglich und differenziren T nach der Normale ds^^

dT
auf dem Cylinder U| , so muss - — endlich sein , wo auch der Punkt 1 liege.

dSu^

Käme nun %^{iui) in der Entwickelung von T vor, so enthielte - — den
Differentialquotienten :

dSu,
oder, für dsu^ seinen Werth y^^dui gesetzt, wo:

flft=-j{co82iu^-cos2t^) fS.261 Nr. 13)],

den Differentialquotienten:

d%Aiu,) 1

Nun ist:

du^ y^^

00

5,««,) = g/««.)/|g^^,^)3, [S. 271 Nr. 33)] .

also:

OD

dg^(»«j) ^ IM»»,) r d«, i_

du, du, ^[e,(tM,))* (5,(i«,:

daher weiter:

* CreJJelB Jonnud Bd. 37: „Entwiokelimg der in elliptischen Coordinaten

Von Dr. B. Besser. 309

;y(tu,)^ 1 de^jiu,) ^ du, 1 \_

ds., y^^ du, j [(g,,(twi)]« Y^^ ig,r(*t*l)

Setzt man nun zuerst ^j = 0 , verlegt also den Punkt 1 auf das rechts
▼on dem einen Brennpunkte gelegene Stück der grossen Axe der Directrix,
so wird:

^, = ^ [pos2\u, — 1) = — c* swfiu, ,

also ist: _

y^,^=^%C8vn%u,

•9 ff' f • \

und dann ist im Minuenden obiger Differenz — ^ — - stets durch Y^\

tlieilbar. Denn für ^j =0 verschwinden laut den Gleichungen 24), 8. 266,
die €9(^1) der dritten und vierten Classe, mithin enthält die Entwickelung
▼on T nur noch Functionen erster und zweiter Classe. Die Gleichungen 22),

S. 265, zeigen nun, dass der Differentialquotient — ~ — - für Functionen

aU|

erster und zweiter Classe eine nach den Sinus der Vielfachen von iu^

fortscbreitende Reihe ist, und daraus folgt die Richtigkeit unserer Behaup-

•tiiii£^. Setzt man nun noch:

d. h. verlegt den Punkt 1 in den Brennpunkt der Directrix selbst, so wird

|/^j =0, also wird der Subtrahend obiger Differenz, mithin auch V^ — —

unendlich gross. Der Minuend bleibt endlich, da y^, nach dem Vorigen
durch Division entfernt worden ist.

Somit würde -3 — unendlich werden, wenn der Ausdruck ftlr T die

asu,

Fnnctionen zweiter Art ^piiu,) enthielte, und zwar, wenn der Punkt 1 in
den Brennpunkt der Basisellipse fällt Demnach darf %p{iui) in dem Aus-
drucke für T nicht vorkommen.

§7.

Bestimmung des Potentials einer auf der Ilftohe des elliptiBohen
Cylinders ausgebreiteten Massenbelegung.

Der elliptische Cylinder u sei mit Masse von der Dichte q^ belegt.
Diese Belegung erzeugt in einem beliebigen Punkte 1 {x,t,u,) das Potential:

V,^lqaTiada
oder, fOr das Flttchenelement de seinen Werth Y'pdxdt gesetzt:

+ 00 2«

37) 7, =Jäxfdt y^ q^ Ti« •

— 00 0

310 üeber die Vertheilimg der indacirten ElektrkitiLt ete.

Zar Yereinfachang dieses Ausdruckes machen wir für die Function
y^.q^ nach der Gleichung 31), S. 269, folgenden Ansatz:

38) }^.ga=fdh^^{a^(h)ca8hx + ß^(h)smhx}(S^{t),

0

wo die Coefficienten 0, und /S, auf bekannte Weise ans q gefunden werden
können. Es sei hier daran erinnert, dass dieser Ansatz nur dann branch-
bar ist, wenn q„ ausser gewissen Eigenschaften bezüglich der Endlichkeit
und Stetigkeit auch noch die besitzt, dass:

4-00

q(x)dx
— 00

endlich ist, so dass z. B. die folgenden Betrachtungen sich nicht mehr an-
wenden lassen, wenn q von x unabhängig ist.

Setzen wir dann fEb* Tj^ seinen Werth aus 36a) in 37) ein, wobei wir
den Punkt 1 als innerhalb des Cjlinders gelegen ansehen, und ihn deshalb
durch j{XftjUj) bezeichnen wollen, so folgt:

Vj = ^ß^fd^' I /^Ä ^"^ («t'W coshx + ß^(h) sinhx) (J, (oj

T

-OD 0 0

OD

X j /^(iÄco5Ä(a:-aj,.)2^e^(0 ©,,(<>) S^(iu)^«^(»u/)j^

0

Das nach x zu nehmende Integral lässt sich mit Hilfe einer von Herrn
Professor C. Neumann angegebenen Integralformel ausführen, der Formel
nftmlich:

-fco h h OD

a) jdx fA{h) coshx dh JBih) coshx dx = 7tJÄ{h) B{h) dh,
-» 00 0

welche auch noch gilt, wenn links statt coshx sinhx steht, wogegen die
rechte Seite Null ist, wenn links verschiedene Functionen . in den neuch h zu
nehmenden Integralen stehen. — Denkt man sich nämlich den cosh{x-~xj)
aufgelöst, so zerföllt Vj in vier Theile, von denen zwei verschwinden,
während der Werth der beiden anderen nach a) angegeben werden kann.

In dem verbleibenden Doppelintegral lässt sich die Integration nach t
mit Benutzung der Integralformeln 28) und 28 a), S. 267 und 268, erledigen,
so dass man als Endresultat findet:

00

39) Vj « ijJdhSj^ (cfy (Ä) coshxj + ß^(h) smhxj) e^(/>) e^ (iu^) %p(iu).

Von Dr. R. Besser. 311

I^iese Formel giebt das Potential der Belegung q auf einen beliebigen in-
oem Pankt des Cylinders an.

Liegt nun zweitens der Punkt 1 ausserhalb des Cylinders, in a (Xata^a)'»
beutet Fa das auf ihn ausgeübte Potential, so liefert dieselbe Rechnung
sogleich:

OD gjj

0 "

I>ie Formeln 39) und 40) unterscheiden sich nur durch die Vertauschung
von @ mit %. Fällt der Punkt l auf die Fläche des Cylinders, so werden
die Gleichungen 39) und 40) identisch. Wir haben also:

Denkt man sich einen elliptischen Cylinder mit Masse von der beli|ß-
bi^en Dichte q belegt . so besitzt das Potential der Belegung auf innere und
äussere Punkte die durch 39) und 40) ausgedrückten Werthe. Darin be-
deuten ay(Ä), /3y(Ä) gewisse, bei der Entwickelung von Y^.qg auftretende
Constanten, welche sich durch Integrale ausdrücken.

An den Formeln 39) und 40) lässt sich auch die bekannte Laplace-
scbe Relation :

▼erificiren. In der That erhält man durch Ausführung der Dififerentiation,
^obei die Werthe:

dna = ytlfa'dua, dHj = — j/ilfj , duj ^
sowie die Gleichung 32):

'ö benutzen sind, sofort den Werth —471/7« für ;r-^ + 7r-^'

Jene Laplace^sche Gleichung giebt aber auch den Grund an für die

2»

*^f S. 268 getroffene Wahl des Werthes n für das Integral /[(SvW)*«* ^•

0

^^^ichnet man wieder mit F und y^ die bei der Entwickelung der Func-

^ön zweiter Art %^ und der der reciproken Entfernung T auftretenden

instanten (s. S. 270 u. 307), und setzt jenes Integral =Cy, berechnet dann

**« Potentiale Va und F), so erhält man durch die Laplace'sche Gleich-

^E folgende Beziehung zwischen den drei Constanten T, Cp und y^:

• ^p • Yp ^~ *•
Da nxm:

^**^ii wurde, so musa:

312 üeber die Vertheilimg der indncirten Elektricitftt etc.

Cy = ff

sein. Denselben Werih giebt auch Heine, ohne weitere Ableitung (Kugel-
fanct., IL Bd. 8.204).

§8.

BeBtimmnng der Potentiale Va und Vj aus den gegebenen Potential-
werthen Va an der Mantelflaohe des Cylindem.

Wir lösen jetzt die zweite der auf S. 257 angegebenen Hauptaufgaben:
Beliebig gegebene Massen erzeugen auf dem Mantel eines elliptischen Cylin-
ders vorgeschriebene Potentialwerthe F^; man soll die Potentiale F« und
Vj fdr Süssere und innere Punkte ermitteln.

Den gegebenen Oberflächen werth Vo^fa können wir in die Form:

41) ra^fa^Jdh^v[A^(h).coshx + B^(h).sinhx]^^{t)

uns gebracht denken, welche indess erfordert, dass I V{x)dx endlich, also

z. B. V von X nicht unabhängig sei. Die folgenden Erörterungen sind also
auf den Fall Vq = Const» nicht anwendbar.

Das gesuchte Potential V wird, als Function von x und t betrachtet,
durch einen ähnlichen Ausdruck, etwa:

OD f^

42) V=Jdhyj^[%^(h).coshx+iö^(h).sinhx] (S^(t)

dargestellt. Hierin sind nun die Constanten ^^ und IB^ so zu bestimmen,
dass 1. Fder Gleichung JV=0 genügt, 2. V„ den gegebenen Werth 41)
annimmt.

Die Coefflcienten 91^ und 83, hängen von u ab. Damit ^F=0 sei,
muss, wie aus frttheren Betrachtungen folgt:

sein. — Ist nun 1. der Punkt, ftlr den F zu bestimmen ist, ein äusserer,
a{XaUatm)i 80 darf in obigen Ausdrücken (&^{iua) nicht vorkommen, da
fOr unendliche u« diese Function unendlich gross wird, während F end-
lich bleiben muss. Also ist o, und b, =0 zu setzen, und man findet als
allgemeinen Ausdruck eines äusseren Potentials:

^bJ F^ '=l/^*S'' (« F ^^^* + ^\ sink«.) S^Ciw.) (&^(ta).

Von Dr. B. Besser. 313

Befindet sich 2. der angezogene Pnnkt im Innern des Cylinders, in
Ji^jtijtf)^ 80 darf in den Ausdrücken für 9, und IB^ %p{it*j) nicht vor-
kommen, weil sonst -~- nicht fOr alle inneren Punkte endlich bliebe.*

duj

Der allgemeine Ausdruck eines Potentials für innere Punkte ist daher:

43b) Vj ^jdhSj^ (Oy coshxj + 1^ sinhxj) (S^iiuj) (S^itj).
Hun soll fOr:

11^ SS II, Xa'=Xj tm=ii resp. Uj=U^ Xj=iX, tß = t

(wenn wir Punkte auf dem Cjlindermantel ohne Index bezeichnen) F« bez.
^ in Ya^sf^ übergehen. Dies geschieht, wenn:

Äp , Bp

(g^(iu) "* (Sp(iu)
S^tsm^i wird.

ergiebt sich dann:

OD fify

•) F. ^JähSj" {Ä,coshXa + B^ sinhx.) |^^ e,(*.).

OD QQ

^^^^*^ Formeln lösen die Aufgabe.

Man kann dieselben auch in der Form:

'''='if^f'ß''''^^'-''^2'\^'^'^ ^^•('•) n

0

OD

0

^•*«Wlen und drückt damit F« bez. F) direct durch ft,y nicht durch die
^^wickelungscoef&cienten von fa aus. Die Integration da bezieht sich auf
^ ganzen Cjlindermantel.

Idegen nun die Massen auf der Oberflftche des Cylinders selbst, so
'^ sieh ihre Dichte q^ an der Stelle x, t durch die Gleichung:

* Vmgl den Beweis am Ende des § 6.

306

üeber die Vertheilnng der inducirten ElektriciUtt

daher nur in der Differentialgleichung ^7'=0, nicht aber in dar t
Entwickdnng zulässig. Dagegen dltrfen auch in der Kntwickelingi
!r, , ( und i, Yertauscht werden.

Giebea wir nun inr Bestimmung der a und ß über.

Fällt der Punkt 0 unendlich weit oder ist m = co, so wird 2"^
aber nach Gleichung 34} fflr unendliche u @(tu} gleichfalls nuendlkl
wird, so mllseen in den GleichuDgen b) die CoeffieienUn t.^ihi vnd^
identisch Torschwinden. Also:

c) tt,(h) = 0, (.■,(A) = 0.
Da ferner T nur von x-x, abhängt [denn es ist

so dürfen in der Entwickelung x und x, auch uur in der Ver
enthalten sein; ein Vorkommen des Sinus ist ausgeicbloü
auch T eine gerade Function von i— x, ist. merons f

d) ß,{h) = A,ih]coshx,. ^v(Ä)=^(Ä)*WlAr
Die Constante Av hBngt nai noch von t, und m, <><

der Symmetrie Hchlieset man. dasa f, Dur In der TcrbiiKi
vorkommen darf, eo daes die Annahme:

e) J^(Ä,(,,«,) = B,(Ä,ti,-).e, I
berechtigt ist. Wegen der Gleichungen b), c),
lung a) die Form;

f)

T = 1 dhcosh{x~Xt) ^' hv

Zur ErraitteloDg der hierin noch ^
f) in die Gleichung ^T=0 eiT
worden ist, d. h. in die Gl<>i< '

Dies giebt:
jdhcosh{x-

Von Dr. R. Bessbb. 315

a) Vj = Taj,

and rar einen inneren i durch

definirt; j and a sind dabei beliebige innere bez. itiissere Punkte. Die
Gleichungen a) and b) gelten noch , wenn j bez. a auf die FlSche selbst fällt.

Die Green 'sehe Function ist das Potential der gefundenen Belegung
f^ Punkte, die mit dem Centralpunkte gleichartig liegen. Sie werde durch
G-ij bez. Garn bezeichnet Sie ist symmetrisch in Bezug auf i und j^ a und a.

Die Ermittelung der Green'schen Belegung, wobei für^s Erste der
Centralpnnkt ein änsserer Punkt a (Xata^a) »ei^ l^st sich auf doppelte
Weise vornehmen. Man kann erstens die in § 7 gelöste Aufgabe anwenden,
indem man die Constanten a^ und ß^ in der Gleichung 38) so specialisirt,
dass der für diese Belegung sich ergebende Potentialwerth 39) identisch
mit T„j wird, wie a) es vorschreibt.

Da

0 "

80 liefert die Bedingung

Ngleich:

^ die Substitation dieser Werthe in die Gleichung 38) giebt dann fQr die
R'öBuchte Belegung i;« den Ausdruck:

0

^^ setzt man dieselben Ausdrücke für a^ und ß^ in die Gleichung 40),
"^^che das Potential der durch 38) dargestellten Belegung auf einen änsse-
^* Punkt darstellt, so ergiebt sich:

.00 QQ

0
^^ erkennt die Symmetrie in Bezug auf a und a.

Eine zweite Methode zur Bestimmung von i/^ ^i^d Gaa besteht in der
^^wendung der Resultate des § 8, indem man die dort gegebene Function
^^3tf« anninmit, daraus die Constanten A^ und By bestimmt und end-
^b durch Substitution der erhaltenen Werthe in 46), sowie 44 a) die
"^Tiidrttcko für 17« und 0-aa aufstellt. — Für Ay xiad B^ ^t^^>ö«u «vOoi xjä-
^^^t$Umr die Werthe:

_^<^

316 üeber die Vertheilimg der inducirien ElektricitSt etc.

4

TS

B, = - smhx, e, (<.) «,(t«) 5, (tu.) ;

TS

yerf&hrt man mit diesen, wie angegeben, so erhftlt man 47) und 48) wieder.
Oanz ebenso ergiebt sich für einen inneren Centralpnnkt i als Oreen-
sche Belegung 17^:

0

und als Green 'sehe Function:
50) G,i = ^ fdh eo8h{xj-x,) ^» 6,«,^ (?,(/,> e,(tw.) e,(»«,) ^|^^

§10.

BeBtünmung der Massen der in den %% 7 und 9 betrachteten

Beleguni^en.

In § 7 lösten wir die Aufgabe: das Potential einer durch ihre Dich-
tigkeit q gegebenen Massenbelegung des elliptischen Cjlinders ftLr Süssere
and innere Punkte desselben aufzusuchen. Jetzt soll die Oesammtmasse M
dieser Belegung bestinunt werden. Die erhaltene allgemeine Formel wenden
wir dann auf die im vorigen Paragraphen betrachtete Green 'sehe Be-
legung an.

Es ist

4-00 2n

M=l qda = f dx jdt}/^.q.

' -00 0

Für q wurde in 38), S. 310, der Ansatz:

q]/^=zl dhlÄ(h)coshx + B(h)sinhx],

0
worin:

Ä{h) =^' a,{h) e,(0, B(h) =^» ß,{h) 6,(0

U 0

waren, gemacht Damit ergiebt sich:

2« +00 CO

Öl) M=Jdt |dxJd)iVAQi)co8lix-VB<}C^svalvxV

0 — « 0

Von Dr. B. Besser. 317

Die Tnnctioneii Ä(h^t) und B{h^t) drücken sich in bekannter Weise durch
^ gegebene Function q aus; sie sind als endlich und stetig im ganzen
Worthbereich von h und i anzusehen.

In 51) wird nun die Integration nach x und h durch eine von Herrn
C. Neumann in seinem schon mehrfach citirten Werke: ,,Ueber die nach
Kieis-, Kugel- und Cjlinderfunctionen fortschreitenden Entwickelnngen etc.^
aog^bene Integralformel ermöglicht. Dieselbe lautet:

po y
jdx (dh coshx F{h) = -| F{+0)*
0 0

Darin bedeutet y eine ganze positive Constante, F{h) eine im Intervalle
ü = 0 . . . y abtheilungsweise stetige und abtheilungsweise monotone Function
Ton A. Nehmen wir in obiger Gleichung das Integral nach x zwischen — oo
und +<^9 80 ergiebt sich:

+00 y

a) Jdx (dh coshx F{h) = n F{+ 0).

— 00 0

Dagegen ist evident, dass:

+ 00 y

b) JdxJdh8inhxF{h) = 0

— OD 0

ist. Diese beiden Formeln dürfen auf 51) angewandt werden, und zwar
darf man y = Qo setzen, da, wie schon bemerkt wurde, A{h) und B{h) Func-
tionen von h sind, welche die geforderten Eigenschaften besitzen. Man erhält:

2«

Nun ist:

also:

M=nJdt.Ä{0).
0

Wie aber 8.271 gezeigt wurde, nehmen für A=>0 die Functionen €,(0
die Wer&e sinkt ^ caskt an, die Constanten k^ gehen in die natürlichen
Zahlen 0 ,1, 2, ... über und ftlr A;=:0 erhftlt die Function Q{t) den Werth

*tL La Qleich. C), 8. 80; ea ist q durch h er%eiz.t vioTden.

318 Ueber die Vertheilung der indueirten Elektricit&t etc.

".'■».'X«*.*- *-.,-\^ ^ » - ^ v-^

y2

—^ • Dann lässt sich die Integration nach t ausführen und giebt das Re-
sultat:
52) M=y2.7iKa^{0).

Machen wir eine Anwendung von dieser Formel zur Bestimmung der
Masse der Gree naschen Belegung.

Nach Gleichung 49) ist für einen inneren Centralpunkt i:

vy^=-ijdhcosh{x^x,)2j- el/u) -^®^^^^'

0
also, mit Beibehaltung unserer Bezeichnungen:

Ä(h.t) = -coshx,2'—^-^.-.. (?,(0
und weiter:

Hieraus folgt: _

und nach 52):

so dass ein für beliebige geschlossene Flächen geltender Satz auch auf die
hier vorliegende ungeschlossene Fläche Anwendung findet.

Die Masse der auf einen äusseren Centralpunkt a sich beziehenden
Green^schen Belegung lässt sich ebenso leicht bestimmen.
Nach Gleichung 47) war:

na

0

Es ist also hier:

a,W = i,«>.Ä..^-('-)»''(--)

" g,(»u)
Für Ä = 0 , V = 0 verwandelt sich :

aldo wird:

gy(*^«) . Ua . . . /2

lf\\ ^ V^ **• ^A TUT **«

"o^^) = ^«-2-ü "°^ ^-^ü

Hierin liegt das bemerkenswertbe EeswWaV, , Ci«Ä\i ^\^ W^ä-^^ dar auf einen
äussern Centralpunkt a sich beziehenden OTö^ik'ÄODi«u'^\^^SQ=^% «>ai^ ^äJ^^

Von Dr. R. Besser. 319

tiscilen Gjlinders lediglich von der Coordinate u« desselben abhängt, also
ungefindert bleibt, wenn sich et anf einer zur Basis des Cy linders confoealen
Ellipse bewegt.

§11.

Bestimmimg der durch Einwirkling eines elektrisohen ^ffassenpirnktefl

auf dem Cylinder induoirten Belegung«

Wir stellen jetzt folgende Aufgabe:

Ein unendlich langer elliptischer Cylinder soll in solcher Weise mit
Masse belegt werden, dass deren Potential nebst dem eines mit der Masse
-f- 1 behafteten inneren Punktes für alle äusseren Punkte den Werth Null
annimmt.

Oder physikalisch ausgedrückt:

Es soll die Vertheilung der Elektricität auf einem unendlich langen
Cylinder ermittelt werden , der von einem inneren Punkte + 1 influenzirt
wird und zur Erde abgeleitet ist.

Dabei kann von einer dem Cylinder vorher mitgetheilten Ladung ab-
gesehen werden, denn da derselbe unendlich lang ist, so wird die durch
jene Ladung erzeugte Dichte unendlich klein.

Ist nan j der gegebene innere Punkt, a ein beliebiger äusserer Punkt,
so muss die an der Stelle o des Cylinders sich bildende Dichte q^ der Be-
dingang :

genügen. Dies bedeutet, dass:

3a = - rjj^

zo setzen ist, wodurch die gestellte Aufgabe gelöst ist.
Nach Gleichung 49) hat man also:

00

ge = -— — = I cosh{X''Xj)F(h)dh,
53) 0

Und auf innere Punkte übt diese Belegung ein Potential aus, welches
= — e,y ist [s. Gl. 50)].

Liegt dagegen der inducirende Punkt ausserhalb des Cylinders, in a,
so ist ganz entsprechend:

^<r = - flay

320 üeber die Vertheilang der induoirten Elektricitftt etc.

54)

CO

q^=B = I dhco8h(x-'Xtt).F(h)y

and das Potential dieser Belegung auf Süssere Punkte s= — O^^i.

Die Gesammtmassen der sich bildenden Belegungen werden durch die
am Schlüsse des vorigen Paragraphen aufgestellten Formeln gegeben.

Die Dichtigkeit q der durch einen elektrischen Massenpünkt +1 &uf
der Oberfläche eines unendlich langen elliptischen Cylinders inducirten Elek-
tricität stimmt also mit der negativen Dichte 17 der auf jenen Punkt als
Centralpunkt sich beziehenden Green'schen Belegung überein. Dasselbe
Resultat ergiebt sich auch bei anderen , geschlossenen Flächen. . Es verdient
indessen Beachtung, dass nach einer Bemerkung von Heine* in unserem
Falle q genau durch — %\ ausgedrückt wird , während bei geschlossenen Flä-
chen diese Annahme eine nur angenäherte Giltigkeit besitzt.

Die Gleichungen 53) und 54) gestatten vorläufig keine weitere Verein-
fachung.

Für besondere Lagen des inducirenden Punktes dagegen lassen sich
einige Eigenschaften der inducirten Belegung angeben, die ich in Kürze
ableiten will.

Der Formel 53), in der man ohne Beschränkung der Allgemeinheit
o^ssO setzen darf, entnimmt man, dass die Dichte q für Punkte, die sich
nur im Vorzeichen von x unterscheiden, dieselbe ist. Nimmt x seinem ab-
soluten Werthe nach zu, so nimmt q ab. Denn für einen zweiten Punkt
Oj, dessen x^^Xy hat man:

qc, = - —^ J dh coshx^ F(h) ,

und da für jeden Werth von h:

coshxi < eoshx,
so folgt dass:

Diese Abnahme von q^ erfolgt bis in die Unendlichkeit, so dass an den
unendlich entfernten Enden des Cylinders die Dichtigkeit der Elektricität
oO ist. Genauer überzeugt man sich hiervon durch Anwendung des Du
Bois-Rejmond'schen Mittelwerthsatzes, welcher zeigt, dass:

OD

Um lcoshxdh.F{h)^0

* KügektimMonea^ II, Bd. 8. 89 Anm. und ^. %;!%.

Von Dr. R. Besser. 321

ist, sobald F{h) den Bedingungen, im Intervalle 0 bis oo abtheilnngsweise
stetig und abtheilnngsweise monoton zu sein, genügt. Diese Bedingungen
werden aber von F{h) jedenfalls erfüllt. Die Maximaldichte findet also ftlr
.die Punkte, deren rt;s=0, statt, d. h. die in der £bene des inducirenden
Punktes gelegen sind.

Bei diesen Erörterungen, welche noch für jede Lage des inducirenden
Punktes gelten, berücksichtigten wir nur die Abhängigkeit der Dichte q
von X. Es möge jetzt q als Function von t betrachtet, es möge also die
Vertheilung der Elektricität auf dem Umfange einer zur Basis des Cjlinders
parallelen Ellipse untersucht werden. Hierzu ist eine Discussion des Aus-
druckes :

nöthig, von welchem jene Vertheilung abhängt.

Wir zerlegen F(h) in vier Theile, entsprechend den vier Classen der
Functionen @, etwa in folgender Weise:

F(h) = M^ + ]^ + M, + M,,
wo nun M^ die Functionen @ erster Classe enthält, also gleich

^-

e,^(0

ist U. 8. w.

Betrachten wir jetzt vier symmetrisch gelegene Punkte auf der Peri-
pherie der Ellipse, so finden wir, Gebrauch machend von der Tabelle 26),
S. 266, folgende Werthe för F{h) in den vier Quadranten:

I.Quadrant: F(h) = M^ + M^ + M^ + M^,

n. „ jP(Ä) = -af.--af,+jM3--af„

III. „ F(h) = M^--M^^M, + M^,

IV. „ F(h)=^Mi + M^''M^-M,.

Man braucht also nur die Dichte q für Punkte eines Quadranten, etwa
des ersten^ zu kennen, um sie für Punkte der übrigen Quadranten ^ be-
stimmen.

n 3«

Für die Enden der Axen, d. i. für ^ = 0, -s-» »♦ -s-» ergiebt sich

mit Anwendung von 25), S. 266:

^ = 0: F(Ä) = ilfi<«> +M^(^\

t = ^: F(h) =^ nßK mS^\
/-=y: F{h)^M^^)-Up^.

Z^ftBohrin f. Mmthemmtik a. Kb/sik XXX, 6. ^^

322 üeber die Vertheilung der inducirten ElektridtSt ete.

Die oben angefügten Maiken (0) bez. ( ^ j sollen die SabBÜtntion ätm

Werihe von ^ in die ilf bezeichnen.

Von Interesse ist es, Funkt« der Ellipse aufzusuchen , in denoi fii-^
selbe Dichte herrscht, was darauf hinauskommt, zwei Werthe tob ( za W*
stimmen, für welche F(Ji) gleiche Werthe annimmt Eine solche üohv-
suchung, die beim Ereiscylinder zu sehr einfachen Resultaten führt, Uli
sich jedoch hier wohl nicht ausführen , so lange die Lage des indndnnte
Punktes j allgemein bleibt.

Wir specialisiren deshalb die Lage von j und nehmen an, das» enkm

IS 3x •

j auf der kleinen Axe der Ellipse liege , d. h. dass tj= -^ oder =— wi»

Dann ist aber:

folglich auch:

Jlf^ = 0, Jf^ = 0,

und man bemerkt, dass F{h) für symmetrisch gelegene Punkte des 1. unl
2., sowie des 3. und 4. Quadranten gleiche Werthe annimmt; für dien
nämlich M^ — M^y für jene Mi + M^, Die Vertheilung ist also symmetriad
in Bezug auf die kleine Axe der Directrix.

Liegt zweitens j auf der grossen Axe der Ellipse, so ist entweder
u^ = 0, oder tj = 0 oder =n, je nachdem j innerhalb oder ausserhalb der
Brennlinie liegt. In beiden Fällen verschwinden die Functionen (Sy(i«;)
resp. (&p(tj) der dritten und vierten Classe; es ist also:

if3=o, -af,=o,

d. h.: die Vertheilung ist symmetrisch in Bezug auf die grosse Axe der
Ellipse.

Liegt endlich drittens j im Coordinatenanfange selbst, so verschwindei
die Ausdrücke ^Z,, M^, ilf^, d. h.: die Elektricität ist symmetrisch in Beng
auf beide Axen der Ellipse vertheilt, denn in allen vier Quadranten besitrt
F{h) denselben Werth M^.

Anhang. Ist die Excentricität c der Basis des Cylinders so klein , dass
höhere als zweite Potenzen derselben vernachlässigt werden können, unter-
scheidet sich also der elliptische Cylinder nur wenig von einem Kreiscylin*
der, so gelten folgende Näherungsformeln für die Functionen (S, (0 1 @9(t*<)9

I. und IL Classe:
(gi(0 = «>5< +-^cos3t,

/e /j\ 1X1 i«^r^s(^' + 2')* cosyt— 2>jtA V cv o

Von Dr. R. Bbssbb. 323

in. and lY. Classe: Dieselben Ausdrücke, nur tritt der Sinus für den
Cosinus ein.

Diese Näherungsformeln, deren Ableitung hier übergangen werden
möge, be&iedigen die Differentialgleichung ftLr (S(t) bis auf Grössen der
Ordnung c* und genügen mit demselben Genauigkeitsgrade auch den Inte-
gralformeln des § 3.

Als Annäherungen für die Constanten k^^ welche sich als Wurzeln
einer Gleichung unendlich hohen Grades darstellen, ergeben sich bis auf
Grössen vierter Ordnung genau die ganzen Zahlen 0, 1, 2, .. . Weiter folgt:

(g^(fu) = (l + c«)J,(Äir),

g,(tu) = (l + c«)n(Ä»r),
worin:

Mit Benutzung dieser Werthe wird ly für einen auf der Axe des Cjlinders
liegenden Centralpunkt j durch folgenden Ausdruck dargestellt:

CO OD

0 0

rJo(Ätr) Ir \Jo(h%r) J^{htr)/ f^Jo(htr)j

Das erste, von c^ freie Glied reprSsentirt die Dichte der Green'schen Be-
legung oder der inducirten Elektricität eines Ereiscjlinders , dessen Basis den
Badius r besitzt, falls der mit der Masse +1 geladene Punkt auf der Axe
liegt. Das zweite Glied drückt daher die Abweichung der Dichte des ellip-
tischen yon der des Ereiscjlinders aus. Dieselbe ist yerschieden für die
Punkte einer Ellipse; doch besitzt sie, da sie nur von cos2t abhftngt, für
symmetrisch gelegene Punkte denselben Werih.

Zum Schlüsse sei noch bemerkt, dass die auf den vorstehenden Blftt-
tem behandelte Aufgabe auch dadurch gelöst werden kann, dass man den
elliptischen Cylinder als Specialfall eines Ellipsoids oder eines elliptischen
Kegels betrachtet. Die erste Methode hat sich mir nicht als erfolgreich
gezeigt. Die zweite fordert zur Untersuchung der bis jetzt noch nicht be-
handelten Functionen des elliptischen Kegels auf, deren GrenzfUle die
Functionen des elliptischen Cjlinders sein werden, genau so, wie die von
Herrn Mehler eingeführten Kegelfunctionen die Bqs^^V^^v^'^S'qi&^^'gasbl
^ OrenxfIÜle besitzen»

324 üeb. die Vertheiig. d. indac. Elektricitftt etc. Von Dr. R. Bessek.

Mit Anwendung der Methode der reciproken Badien erhält man noch
die Lösung der Aufgabe: die Yertheilung einer ohne Einwirkung Süsse-
rer Kräfte auf dem Bilde des Cylinders sich befindenden Elektricitftts*
menge zu bestimmen. Legt man den Mittelpunkt der Kugel, in Bezng auf
welche der Cylinder abgebildet wird, in die Cylinderaxe, so ist das Bild
des Cylinders eine geschlossene Fläche, welche von Ebenen, die durch die
Axe gehen, in Kreisen geschnitten wird. Diese Ejreise, von verschiedener
Grösse , berühren die Axe. Bei einem Kreiscylinder sind alle Kreise gleich
gross und man kann dessen Bildfläche dann als einen besondem Fall des
£j^isringes ansehen , nämlich den , dass der rotirende Kreis nicht ausserhalb
der Botationsaxe liegt, sondern dieselbe tangirt

XVII.

Naherangsformeln für Inhalt und Oberfläche
niedriger Flächenabschnitte.

Von

Dr, L. Geisenheimeb,

B^rgsohnl-Dixeotor in Taznowiti, O.-S.

ffierzu Taf. VU Fig. 1.

Die Planimetrie besitzt in den Ausdrücken für den Inhalt J und die
angenäherte Bogenlänge l eines beliebigen Parabelsegments, J=:.\g'h und

2=^|l-f-|-( — j |> wo^ die Sehne, h die Scheitelhöhe des Segments be-

dentet, zwei für die Praxis des Feldmessers werthvoUe, viel angewendete
Formeln. In nachstehender Entwickelung sollen die entsprechenden stereo-
metriBcben Formeln , also Ausdrücke für die näherungsweise Berechnung des
körperlichen Volumens, welchen irgend ein kleiner Theil einer Fläche über
der schiefen oder orthogonalen Projection seines ümfanges bildet, und der
Oberfläche dieses Flächentheils hergeleitet werden. Durch mehrere Be-
ziehungen , welche sich hierbei bezüglich der Trägheitsmomente einer ebenen
Fifi^r ergeben, gewinnt die Entwickelung vielleicht ein weiteres Interesse.

Beredmnng des Inhalts einet mit flachem OewAlbe überspannten

Baumes.

Im Scheitel der überwölbenden Fläche wählen wir zwei beliebige con-
jngirte Tangenten als X- und F-Axe; die nach Richtung des Projections-
strahles fallende Z-Axe bilde mit der Scheitel- (Tangential-) Ebene der
Flüche den Winkel (je;,a;y) = /. Die Flächengleichung kann dann in der
Form gegeben werden:

and für den Inhalt des durch die Scheitelebene , die Projectionsstrahlen und
die Fläche umschlossenen Raumes ergiebt sich , indem wir uns auf die zweiten
Potenzen beschränken,

326 NftherangBformeln f. Inh. u. Oberfl. niedriger Flftchenabschnitte.

Werden die. Trägheitsmomente der Projection bezttglich der X- und
7-Axe mit Tss unci Tpp bezeichnet, so wird:

Bedeaten p« und p, die Krümmungsradien der li&ngs der X- und 7-Axe

fallenden Normalschnitte, so ist

. ,. 2« 1 , 1

r.«ny = «nyiim~^ = — » ebenso s.5M»y = -- >

daher

2«in*(a;y)\ ^^ ^^

Dieser Ausdruck ist von der Neigung der Z-Axe unabh&ngig; subtrahirt
man ihn vom Inhalte des prismatischen Baumes, welchen die Scheitelebene,
die Projectionsstrahlen und irgend eine Grundebene begrenzen, so folgt der
Inhalt des Aber der letzteren liegenden, durch die Fläche überspannten
Baumes.

Da der Werth fOr / von der Wahl der Z- und F-Axe unabhängig
sein muss und QjfQy.8in^{xy) einen festen Werth, nämlich das Beciproke
des Erümmungsmaasses der Fläche im Scheitelpunkte bildet, folgt:

welche Gleichung sich auch, unabhängig yon der vorstehenden Entwicke-
lung, folgendermassen herleiten lässt:

a und h seien die nach Bichtung der X- und 7-Axe £äUenden Halbmesser
der Indicatrix der Fläche, p, bezüglich q und R die Abstände eines beliebigen
Punktes der X T- Ebene yon den Axen X, Y und dem CoordinatenanfiBmgs-
punkte; so gilt bekanntlich für conjugirte Halbmesser der Indicatrix die
Formel :

a* «fn'(a , JB) + 6* «n*(6, R) = Const. oder pK q, + q\ q^ = CoM. 2?,

womit, da R von der Wahl des Coordinatensjstems unabhängig, die eben
gefundene Gleichung bewiesen ist*

Falls der Scheitelpunkt der Fläche hyperbolischer Natur ist, die Scheitel-
ebene also die Fläche schneidet, haben Qx ^uid Qy entgegengesetztes Vor-
zeichen. Formel 1), welche in diesem Falle unbestimmt werden kann, liest
sich alsdann in eine andere Form überführen, indem man die X- und Y-
Axe in die Asymptoten der Indicatrix verlegt Sind p^, g^ die absoluten
Werthe der Hauptkrümmungsradien, Qi>Qf^ so liefert diese Transformation
auf die Inflexionstangenten die Gleichung:

* Der entsprechende planimetritche Satz lautet: Sind a, h zwei ooigagirts
J?4JbiDaiser eines, Oj , ht die nach gleicher Bichtung fiülenden Halbmeüsr eines

andern coooentrischen KegelichiaUA«, «o \eVi — \-Vn^Oowi!t«

Von Dr. L. Geisenhbimer. 329

Oberflftohe einer beliebig begrenzten flachen Knppe.

^^ird das Coordinatensystem wie bei Formel 1) gewählt, so dass X
^ Y coigagirte Bichtungen des Scheitelpunktes, Z beliebig; bedeutet
ferner n die Normale der Fläche, {nx), {ny), (ng) deren spitze Winkel
fflii den Azen, so erhält man für die Oberfläche 0:

n • / \ • Cdx.dy
O = stnixy) 3tny I — ; — ^•

,/ cos{n0)

Ans der Flächengleichung:

folgt:

dF 1 dF 1

^ = rx + j{ta?+2uxy + vy^), ^ = sy+j{ux^ + 2vxy + wy^),

^F__.

Sind a, ^, y die HOhen des aus den Coordinatenazen gebildeten kör-
perlichen Dreiecks, also a=^ L(Xyye) u. s. f., so findet man die Winkel der
Normalen mit den Axen durch die Gleichungen:

r \ / N . ^ dF dF dF

ox oy 00

""I^Zi H ^"T^H T ^- r-^'Cos{nx)cos{ny)

cosx
co$(nx)cos(ne) — 2-r—z — : — •co$(ny)cas(n0)=sl.
sma.smy stnß.siivy > ^/ \ /

^^ ^i !fi ff die Winkel des erwähnten körperlichen Dreiecks.

Hiemach wird:

co8{nß)

1

cose dF dF ^ cosy dF ^ cosx dF
sin^y " ginasinß dx dy sinasiny dx sinßstny dy

siny

cos(ne)

I^l+.«*n*yMF\« 8in^yldF\^ o sin^Y dF dF „ siny dF ^ siny dF

**n'oW«/ 8m*ß\dyl stnastnßoxdy stnadx smßdy

Da r- und ^- in der Nähe des Scheitels gegen Null conyergiren,

T7^^ der binomische Satz angewendet werden. NaAh Em^^xoccL^ d»t ^^
^^ partiellen Ableitungen hesiimmievL Wertbe kommt;

330 Näherangsformeln f. Iah. u. Oberfl. niedriger Flächenabschnitte.
Oc=/ dx.dy.sin{xy) + 1 Icosy-r-^r.x + casx-r^s.yjdx.dy.sinxy

sifh^ y \

, 1 . /* ( /cosy . . cosx \ , , o /^^y I ^^* ^

. /cosy . cosrc \ ,1 , , . , x
+ [T-^v + -r-^w]y*\dx.dy.atn{xy).
\sma stnp / }

Bezeichnen wir den Inhalt der durch die Z-Axe erhaltenen Projecüon
des die auszurechnende Fläche begrenzenden ümfanges auf die Scheitelebene
mit F, die Schwerpunktscoordinaten dieser Protection mit | und 17 » ihre
Trägheitsmomente bezüglich der X- und F-Axe wieder mit Txx und Tyy,

femer sin^{xy) 1 xy.dx.dy.sin{xy)^ also die Summe aus den Flächenthei-

len multiplicirt mit ihren senkrechten Abständen von der X- und F-Axe,
mit Tyyt so ergiebt sich nach einigen einfachen trigonometrischen Umfor-
mungen :

sifiy

^' +{cotgy.v + cotgx.w)Txx\'

Bedeutet v die Normale des ttber dem Schwerpunkte der Grundfläche
(der Projection) liegenden Flächenpunktes, so wird:

siny - , svny ^ , siny

sti^y
+ 0 •/ .\{cotgy.t + cotgx.u)^ + 2(catgy.u + cotgx.v)ifi

+ {cotgy v + catgx.w)ri^\,
welche Gleichung in Verbindung mit der vorletzten liefert:

Q = F--^^, + ^^'/ Af^T..''2co8{xy)rsT^^ + 8'T^\
cas{gvy2sin^{xy)^ " ^ ^^ " "'

£8in(x») ^^cotg9.t>+cotg9.*o)T(i\,
wo 7}f, J^^, Tff die entsprechenden, saf den Schwerpunkt betogeoen

Von Dr. L. Oeisekheimer. 331

Die in genau entsprechender Weise fttr die vom Scheitelpunkte gemessene
Bogenlänge l einer ebenen Curve, deren Coordinatenaxen den Winkel y

bilden und deren Gleichung y«=-n'^+7~^ lautet, herzuleitende Gleich-
ung heisst: ^ i

Die Yorstehenden Formeln enthalten bei beliebiger Wahl der Z-Axe
die Coefficienten f, u, v, io der Glieder dritter Ordnung; in diesem Falle
unterscheiden sich also im Allgemeinen die zu derselben Projection (in der
Scheitelebene bez. Tangente) gehörenden Flächenräume einander osculirender
Flächen um Grössen vierter, die Bogenlängen osculirender Curven um Grössen
dritter Ordnung. Der von diesen meist unbekannten CoelBcienten abhängige
Theil der Correction verschwindet, wenn die Z-Axe mit der Flächennor-
malen zusammenfällt, die Projection also orthogonal wird. Für diese in
der Praxis fast ausschliesslich angewendete Art der Projection nimmt die
Formel 6) die einfachere Gestalt an:

^= P+^7iJ?(^l»^2'„-2ca5(«y)r5r,,+5«r„}
oder

Q = — ^ + o .\, Af^Tn.-2cos(xp)r8T^,+s^T^\
cos{zv) 2s%n^{xy)^ '' ^' *' '*'

oder, wieder die Krümmungsradien ^jr und ^^ der conjugirten Normalschnitte
durch die X- und F-Axe einführend:

^ cosizv) 2$%n^(xy)[Qy* QxQy QjT )

Beide Formeln lassen sich in zwei wesentlich verschiedenen Weisen verein-
fachen. Zunächst können die X- und F-Axe so gewählt werden, dass T«y
bez. T^ii verschwindet, indem man zwei Richtungen sucht, welche sowohl •
für die Indicatrix, wie für das zum Scheitel- oder Schwerpunkte der Pro-
jection gehörige Centralellipsoid conjugirte Durchmesser bilden. Da die
Involution der zum Centralellipsoid, bezüglich der zu dessen Schnitt mit
der Scheitelebene gehörigen Durchmesser stets elliptisch ist, existirt immer
ein und nur ein Paar solcher Axen , falls nicht dieser Schnitt und die Indi-
catrix ähnliche Curven sind, in welchem Falle Txy bez. T^,, für jedes Paar
conjugirter Tangenten Null wird. In der Praxis wird sich dieses Axen-
paar oft als Mittellinie und die hierdurch halbirte Richtung der Projection
ergeben.

Femer können die Hauptkrümmungsrichtungen als Coordinatenaxen

genommen werden, wodurch Z.(x|f)B= -^ wird \m4 d\<b ^oti&s^'ü. ^^^^ä^«ö^^

anueJimeB:

332 Käherungsformeln f. Inh. u. Oberfl. niedriger Flächenabschnitte.

Aus den yerscbiedenen Gestalten der Formel ergiebt sich der auf die bereits

oben hergeleitete Eigenschaft der Trägheitsmomente leicht zurückzufahrende

Satz*

T^x'Qm^ — 2 co8{xy) Tx^g^Qy + Ty^g^^ = Const.

Auf weitere Beziehungen , welche sich nach Gleichung 5) zwischen den
Trägheitsmomenten und den Coefficienten der Glieder dritter Ordnung
ergeben, gehen wir hier nicht weiter ein.

Aus den zuletzt gewonnenen Formeln folgt:

Die Oberfläche ist bei gegebener orthogonaler Projection
innerhalb der hier beachteten Grenzen der Genauigkeit, bis
auf Grössen einschliesslich vierter Ordnung*, von der Rich-
tung der Krümmungsradien unabhängig, also für Flächen mit
gleich und entgegengesetzt gerichteten Krümmungen dieselbe.

Die zu einer bestimmten Projection gehörige Oberfläche
einer stetig gekrümmten Fläche wird ein Minimum, wenn der
Scheitel mit dem Schwerpunkte der orthogonalen Projection
des ümfangs auf die Scheitelebene zusammenfällt.

Damit bei gegebenem Inhalt des überwölbten Baumes die
Oberfläche ein Minimum werde, müssen die Gleichungen stattfinden

(^(*y)=|-):

\ Ä / m rp

Qy Qx

J-xx j -^99 j

— T »(>»=— —3 apx

Qx = Qy

Die überwölbende Fläche ist also als Kugel zu betrachten.
Wird das polare Trägheitsmoment des Grundrisses, T^x + Ty^,^ mit Tp
bezeichnet, so folgt für das körperliche Volumen / über der Scheitelebene
und die Oberfläche 0, wenn g der Krümmungsradius des Gewölbes (der
„Böhmischen Kappe*'):

8) /=4-^' o=p+4-^--

* Bei der Rectification ebener Gurren gelten die entsprechenden Entwicke-
lungen bis auf Glieder von höchstens dritter Ordnung.

** Die allgemeine Behandlung der Aufgabe: diejenige Fläche zu bestimmen,
welche, indem sie ein bestimmtes körperliches Volumen überspannt, die kleinste
01>arflflche besitst, führt bekanntlich auf die Bedingung, dass die Summe der
Msapikrämmaagen in der gesachten Fläche couBtaiit &ei. Eine specielle Lötung
' ' in DebeniBBÜmmong mit der obigen EntwickeVmg) ^«b Ijx^S^i^SabSbft.

Von Dr. L. Geisenheimbr. 333

Oberfläche eines elliptisehen Fläohenabschnittes.

Bedeuten wieder, wie früher, h die Höhe des Abschnittes, a und b die
Halbazen der zur Indicatrix fthnlichen Orunc^ttche F, so wird:

Hei Anwendung dieser Formel ist nicht nothwendig, dass der Scheitel des

A.l>schnittes genau über dem Schwerpunkte der Grundfläche liege, da in

«diesem Falle die Verschiebungen | und ri des Scheitels gegen den Schwer-

pTinkt proportional mit h sind und somit die hierdurch bedingte Correction,

1 /|« tj«\
-cT^l ~« +"-^ I» ausserhalb der Grenzen der hier beachteten Ge-

x^&oigkeit iSXLt

Fttr die Calotte einer Kugel mit dem Radius q ergiebt sich hiemach:

lat der Radius des Grundkreises a, so wird (genau):

arsah{2Q — h), daher Q = -ö- ^ = 2jr^Ä--5- — »

^ Q ^ Q

'Welcher Ausdruck in seinem ersten Gliede den genauen Werth fOr die Ober-

^^he des Kugelabschnittes giebt; das den Fehler der Entwickelüng dar-

n }fi
Eilende Glied -^5 ist von sechster Ordnung. Der Ausdruck von 0 für

^^rx Abschnitt einer beliebigen Fläche wird aus dem für die Calotte erhal-

^^^ ^ indem man statt der Krümmung der Kugel ( — j die mittlere Krüm-

n^xxiig der Fläche iri 1 ) einsetzt. Bei gleicher Grundfläche besitzt

2 \px QyJ

^^^ Eugelcalotte die kleinste Oberfläche.

Die entsprechende Formel für die Länge l eines Bogens mit dem Krüm- .
^^^^^Bgsradins q über der Sehne g lautet:

Die vorstehend entwickelten Formeln für die Fläche (den Bogen) eines
^^hen- oder Bogenabschnittes lassen sich noch in der bemerkenswerthen
»orm aufstellen:

9) 0 = P+-, l==9+J-^

^ i im lohidt des Abschnittes (Segments), — die (imttl«i«\ Kt<VxDmiQ:&%

334 Nftherongsformeln f. Inh. u. Oberfl. niedriger Flftchenabschnitte.

Inhalt nnd Oberfl&che eines über einem KreiBe oder Bechteok

liegenden Flftohensttlekee.

Nach Formel 1) folgt für das Volamen über der Scbeitelebene, den
Radius des Orundkreises a i^nnend (der Scheitel liege im Mittelptmkte des
Kreises): « ./1^1\

femer nach 7):

Für Inhalt und Oberfläche über einem Rechteck, dessen Seiten 2a
und 2 b symmetrisch zum Scheitelpunkt parallel den Hauptkrümmungsrieh-
tungen liegen, kommt:

WO Qa und Qi die Krümmungsradien der zu a bez. h parallelen Normal-
schnitte bezeichnen. Diese Formeln kOnnen Verwendung finden, wenn enge
Röhren eine Fläche durchsetzen.

Bereclmimg der knunmen Oberflftohe eines Zweieeks.

Wir legen wieder die zur Axe des Zweiecks parallelen Tangenten der
begrenzenden Curven und yerbinden deren Scheitelpunkte; der Scheitel der
zu ermittelnden Oberfläche liegt bis auf Grössen höherer Ordnung über der
Mitte letztgenannter Geraden senkrecht zu der durch diese und die Tangenten
bestimmten Ebene. In diesem Scheitel wählen wir eine zur Axe des Zwei*
ecks parallele Gerade zur Y-Axe, eine Parallele zur Verbindungslinie ist
die conjugirte 2- Axe. Die Projectionen der Grenzcurven auf die Scheitel-
ebene dürfen bei Berechnung der Correction als parabolische Segmente be-
trachtet werden. Da 7yy eine Grösse sechster Ordnung, kann dieser Werth
vernachlässigt werden; für 7*«« ergiebt sich nach bekannten Formeln
. IP'^g^ sin*{xy), wo F den Flächeninhalt der Projection des Zweiecks auf
die Scheitelebene, g dessen Axe bedeutet. Hiernach wird

^^> ^=Ki+4öii^',7)

und ^9= öT*' wo h die Senkrechte aus g zur Scheitelebene oder (angenähert)

zur Ebene der Scheiteltangenten der Grenzcurven bedeutet« F darf hier im
Allgemeinen nicht durch die für ein Parabelsegment geltenden Näherungs-
werthe ausgedrückt werden, da der hierdurch begangene Fehler mit ^pro-
portional, also mit der Correction von gleicher Ordnung wäre. —

Die enhrjckelten Gleichungen mögen noch auf einige zusammengesetzte
isA«o Anwendung finden.

Von Dr. L. Geisbnheimbr. 335

.^' > ~-^' -m. '

Bereolmang eines flaohen Kreuigewölbea.*

Die Projectionen der einzelnen Kappen sind Dreiecke, deren Mittel-
linien die Axen der Wölbung ergeben. Eine Seite des überwölbten Vielecks
heisse a, die zugehörige Mittellinie der Kappe m, die Scheitelhöhe des
Gewölbes sei A, die X-Axe parallel a, die F-Axe parallel m. Da ^ycsOD,
folgt für das Volumen einer Kappe unter der Scheitelebene:

2stfir(xy) Qx ^* 24 \ ^/» t g^

daher

J=\dhy wo J die Projection der Kappe bedeutet.

Für den von den Kftmpferpunkten aus überwölbten Raum folgt dem-
nach ^F.A, F der Inhalt des überwölbten Vielecks. Dieses Volumen ist
also von der Lage des Scheitels unabhängig. Weiter ergiebt sich für die
Oberfläche des Gewölbes: ,„ ,

Dieser Ausdruck wird für reguläre Figuren und Parallelogramme ein Mini-
mum, wenn der Scheitel über dem Schwerpunkte der Grundfläche liegt.

Beredmnng des fLachen Kiostergewölbes.

Die Projectionen der einzelnen Kappen sind wieder Dreiecke; die üeber-
Wölbung steht zu den Seiten der Grundfläche senkrecht, während ihre Axe
letzteren parallel läuft.

Bezeichnet p die auf die Seite a des überwölbten Vielecks geflUlte Senk-
rechte, ist ferner X parallel a, F senkrecht X, so wird ^, = 00, somit das
Volumen unter der Scheitelebene:

daher ^

J=:^Jh, wo J und h die vorige Bedeutung besitzen.

Für das von den Kämpferlinien aus überwölbte Volumen kommt ^ F. A.
Weiter wird : Ä* ^1 a*

Existirt ein der Grundfläche F eingeschriebener Kreis, so ist für dessen

a

Mittelpunkt — constant, daher ^, --|d^f = 0; in diesem Falle wird also 0

ein Minimum , wenn der Scheitel über dem Mittelpunkte des der Grundfläche
eingeschriebenen Kreises liegt. Dasselbe findet bei dem Parallelogramm statt,
wenn die Projection des Scheitels in den Schwerpunkt der Grundfläche fällt.

* Ueber die praktische Anwendung dieses und anderer flacher Gewölbe siehe:
Breymann, Allgemeine Baa-Con^tructionslehre, 8. Aufl^ ThUl^.^^V^«

xvnL

Ueber die relative Bewegung eines Punktes in einem
in oontinuirlioher Deformation begriffenen Medium.

Von

Dr. BOBYLEW,

FxoftfMr an der Uniy«raii&t in St- Petenbug.

Hienu Tal VU Fig. 8.

Der vorliegende Au&atz enthält einige Verallgemeinerangen der Kine-
matik der relativen Bewegungen, namentlich einige Sätze über die relative
Bewegung eines Punktes in Bezug auf ein veränderliches Medium.

§ 1. Denken wir uns ein veränderliches Medium il, welches sich bei
der Bewegung so deformirt , dass eine jede durch die Punkte desselben ge-
zogene ununterbrochene, endlich gekrümmte und endlich gewundene Curve
alle diese Charaktere im Laufe der Bewegung behält.

Es sei femer ein Punkt M gegeben, welcher in dem vom Medium 17
erfüllten Baume irgend eine absolute Bewegung hat, und das Medium /7
sei für diesen Punkt vollständig durchdringlich. In jedem Zeitpunkte der
Bewegung wird der Punkt M sich in einem Punkte des Raumes befinden
und zugleich mit einem Punkte /i des Mediums zusammenfallen.

Unter absoluter Bewegung des Punktes M vei*stehen wir ein mit der
Zeit erfolgendes stetiges und continuirliches Fortschreiten des Punktes Jf
durch die Punkte des Raumes.

Dem entsprechend werden wir unter relativer Bewegung des Punktes
in Bezug auf das Medium 27 das stetige und continuirliche Fortschreiten
desselben durch die Punkte des Mediums verstehen.

Die durch alle Punkte des Mediums gezogene Curve, mit welchen der
Punkt M im Laufe seiner Bewegung zusammentrifft, heisst die Bahn der
relativen Bewegung. Diese Bahn ändert im Laufe der Bew^^g nicht
nur ihre Lage im Räume, sondern auch ihre Gestalt.

§ 2. Jede continuirliche Bewegung und Deformation eines continuir-
lieben Mediums kann folgendermassen &\x^^^^x^q^V^ ^«cden:

Tafel vn

[ Ar JKiiiamata a. Physik ItTfiC

üeber die relative Bewegung etc. Von Dr. Bobtlbw. 337

bier bedeuten or, /3, y die Anfangscoordinaten (für den Zeitpunkt ^s=0)
eines beliebigen Punktes des Mediums, $, 17, {; die Coordinaten desselben
Punktes fOr den Zeitpunkt i\ 9>i, ^s» 9)3 sind contyiuirliche Functionen yon
a, |3, )r, f ; diese Functionen sollen derart sein, dass die Ausdrücke 1) S^x
alle Punkte des Mediums gelten und ihre Bewegungen ausdrücken.

Die Gleichungen der Bahn der absoluten Bewegung eines beliebigen
Punktes des Mediums werden wir erhalten, indem wir in den Ausdrücken
1) die a, /3, y den Anfangscoordinaten dieses Punktes gleich machen und
aus diesen Ausdrücken die Zeit i eliminiren.

§ 3. Die relative Bewegung des Punktes li ist bekannt, sobald wir
angeben können, mit welchen Punkten des Mediums derselbe in jedem be-
liebigen Zeitpunkte der Bewegung zusammentrifft.

Ist die absolute Bewegung des Punktes M, gegeben und durch die
Formeln

2) _ «=/i(0. y = ^,(0, «=/»(0

ausgedrückt, "so bestimmen sich:

die Anfangscoordinaten o^, /S^, y^ des Punktes jm^ des Mediums, mit wel-
chem der Punkt "M. im Zeitpunkte f = 0 zusammentrifft ;
die Anfangscoordinaten tfi, /?|, yx des Punktes \k^ des Mediums, mit wel-
chem der Punkt M im Zeitpunkte i^ zusammentrifft u. s. w.,
überhaupt die AnfiEuigscoordinaten er«, /3«, yt desjenigen Punktes fi< des
Mediums , mit welchem M im Zeitpunkte ^ = t zusammentrifft. Die Ghrössen
ttt, ßti Yi müssen bestimmt werden aus den Gleichungen

f^(y)=^9%{»t,ßt^yt,^),

welche bedeuten, dass in dem Zeitpunkte t die Punkte itf und ^ in einem
Punkte des Raumes zusammenfallen.

Indem wir aus den Gleichungen 3) or«, /?«, yt ermitteln, erhalten wir
die Ausdrücke für er«, /}«, yt als Functionen von t:

4) «.«JP'iW, /J. = -F;(t). yc = JFi(0.

welche für jeden Zeitpunkt gelten und die Anfangscoordinaten des zugeh($rigen
Punktes (ii« bestimmen; sie müssen als explicite Ausdrücke der rela-
tiven Bewegung des Punktes M im Medium U betrachtet werden.
Wird aus den Gleichungen 4) die Zeit x eliminirt, so erhalten wir die
Gleichungen der Curve, welche durch die ursprünglichen Orte aller jener
Punkte fiQ, fi|, ... fi des Mediums gebildet ist, durch welche der Punkt
während der Bewegung hindurchgeht; diese Curve stellt also die Lage
der relativen Bahn im Baume für den Zeitpunkt ^ = 0 vor.

§ 4. Während der Bewegung wird die relative Bahn durch dieselbe
Reihe von Punkten ^, /Hj, ... f*« des Modlum% g^VÄÄftX»^ ^\a^ ^^Osä «v^
im Zeitpunkte i=0 ging.

e»iUohrift f. MMtbmnMttk m. Ph/rik XXX, e. ^^'^

338 üeber die relative Bewegung eines Panktes etc.

Die Bewegungen dieser Punkte werden durch die Ausdrücke 1) be
stimmt, wenn wir in letzteren für a, ß, y die Anfangscoordinaten dies^^
Punkte einfahren; die A^s^^i'tLcke für die Bewegung des Punktes fi« werd^^
•omit:

|=g,^(F,(r),F,(T),F3(T),0,
A) V==<Pt(F,{rl -F,(t),F3(t),0,

wenn man r als constant und t als variabel betrachtet; nach Eliminat^
von t aus diesen Gleichungen A) werden die Gleichungen:

der absoluten Bahn des Punktes fit erhalten.

Wird aber in denselben Ausdrücken A) t als eine Constante betrac
und werden dem t alle möglichen Werthe gegeben, so werden die
drücke A) die Coordinaten zur Zeit t aller die Bahn der relativen
bildenden Punkte fiQ, fi^, ... fi« darstellen. Indem wir also t aus
Gleichungen A) eliminiren, erhalten wir die Gleichungen:

6) *i(5,»»,t,0 = 0, *,(S,ij,£,<) = 0

der Lage der relativen Bahn im Zeitpunkte t im Baume.

Die Gleichungen A), bei constantem t und variablem x, drücken die-
jenige absolute Bewegung aus, welche der Punkt M gehabt hätte, w^^üq:
1. das Medium von Anfang an unbeweglich und unveränderlich wäre und
diejenige Lage im Räume aufbewahrt hätte, in welche es während seiner
wirklichen Bewegung zur Zeit i gelangt war; und 2. wenn der Pualcfc Jf
dabei seine relative Bewegung in Bezug auf das Medium vollkommen bei-
behalten hätte, d.h. wenn in dieser fingirten Bewegung der Punkt -M
mit einem jeden Punkte der Reihe fi^, fij, ... /u«, ,.., und zwar in <len-
selben Momenten wie bei der wirklichen Bewegung zusammengefallen ^^äre.

§ 5. Die absolute Bewegung des Punktes M kann als zusammen^T^^^^^
aus seiner relativen Bewegung in Bezug auf das Medium TI und aus s^inw
Pührungsbewegung* mit diesem Medium im Räume betrachtet wö^®"»

Unter relativer Geschwindigkeit und relativer Bescls^ ^^°"
nigung des Punktes M in einem beliebigen Zeitpunkte ^ is ^ ^^®
Geschwindigkeit und die Beschleunigung derjenigen Bewe^ °°£»
zu verstehen, die der Punkt M gehabt hätte, wenn die F *5hr-
ungsbewegung von diesem Zeitpunkte an aufgehört hätte-»

Die Pührungsbewegung wird im Zeitpunkte t durch den in di*8®"*
Moment plötzlich eintretenden Stillstand des Mediums 17 aufgehoben*

Indem dann der Punkt M seine relative Bewegung in Bezug ai»^ ^
ruhende Medium fortsetzt, wird dieser Punkt M diejenige fingirte BeW^^°^
aas führen, von der wir am Ende des vorigen Paragraphen gesprochen 1m^^

* Mouvement d'entrainement.

Von Dr. Bobtlew. 839

- -^ w- S.-"

um also die relative Oescbwindigkeit und die relative Beschleunigung

des Punktes Jf für den Zeitpunkt t zu erhalten , muss man die Gleichungen

Ä) im Sinne der fingirten Bewegung für den Zeitpunkt t nehmen und ans

ihnen die Geschwindigkeit und Beschleunigung dieser fingirten Bewegung

fllr Tsai bestimmen.

Wir werden daher den Ausdruck ftLr die Projection der relativen Ge.
schwindigkeit u auf die X-Axe finden, wenn wir von der ersten Gleichung
A) die Derivirte nach t nehmen und dann T = f setzen; es wird:

««,5(u.z) = |ij",(0+||n(0+|^^',(0

oder

7 ^ , ^, aS da j^ ai dß , ai dy

imd in derselben Weise:

7b) uco8(u,T) = f^-^ +j-^^ +TYlt'

7^> / «.V di da dt dß di dy

7c) «««(«,Z) = -^^ +^^ +J^dt'

Wer Bind:

Die Richtung der relativen Geschwindigkeit ist zur relativen Bahn tan-
««iiUeU.

um die Ausdrücke für die Projectionen der relativen Beschleunigung u
^Qf die Coordinatenaxen zu erhalten, muss man die zweiten Derivirten von
^tt Gleichungen A) nach x nehmen und dann t gleich t setzen; wir erhalten:

' ^da^KdtJ ^ dß^\dij ^dy^Kdt)

^ Vdßdy dt dt^dyda dt dt '^dadßdt dt}'

Die Ausdrücke für uco5(u, F) und ucos(u,Z) enthalten partielle Dif-
^^Btientialquotienten von i^ und {; anstatt solcher von |.

§ 6. Unter der Geschwindigkeitund der Beschleunigung der
^tlhrungsbewegung des Punktes M im Zeitpunkte t ist die Ge-
schwindigkeit und die Beschleunigung derjenigen Bewegung
*^ Terstehen, die der Punkt j5f haben würde, wenn die relative
Bewegung von diesem Zeitpunkte an'aufgeboben wäre.

Die relative Bewegung hört im Zeitpunkte t auf, wenn der Punkt Jf
^^ diesem Moment an in demjenigen Punkte dea l&edvam^ \Afi[^\»^ ^osb«^
**feÄfliD er während der wirklichen Bewegung z^x li^^Sx t ^c\«si^ SäV,

340 üeber die relative Bewegung eines Punktes etc.

Um also die Projectionen der Ftthrungsgeschwindigkeit tr and der
Fflhmngsbesehlennigang w anf die Coordinatenaxen ftb: den Zeitpunkt t in
eriialten, mnss man die erste und zweite Derivirte der Oleichungen A) nach
t nehmen und dann r gleich t setzen; man erhftlt:

10) WCOB{w,X)^^y WC08{W,Y)=^^, IT C05(fr, Z) = -|^ ;

11) «7C0»(fr,X) = -^i wca8{iP,T)=^^i frco5(fr,Z) = -^-

§ 7. Die Projectionen der absoluten Geschwindigkeit t; des Punktes M
auf die Coordinatenaxen sind gleich den Derivirten nach der Zeit von den
Functionen 2), welche das Gesetz der Yerftnderung der Coordinaten x^ jr, 0
des Punktes M mit der Zeit ausdrücken.

Andererseits werden die Coordinaten x^ y^ z durch die Functionen ^^ ,
9s» 9^8 [1)1 AOBge^rückt, wenn man in die letzteren F^if)^ F^{f)^ F^if)
anstatt t^j ß% y einführt. Es ergiebt sich:

B) ^ t;«»(»,r)_^ = ^+^^+^^ + ^-,

Zieht man die oben angeführten Gleichungen 7) und 10) in Betracht,
80 drücken die Formeln B) folgende bekannte Abhängigkeit zwischen den
Geschwindigkeiten v^ u^ w aus:

Die Geschwindigkeit der absoluten Bewegung des Punktes
M in einem beliebigen Moment t ist die geometrische Summe
der gleichzeitigen relativen und Führungsgeschwindigkeit.

§ 8. Die Projectionen der absoluten Beschleunigung v des Punktes M
auf die Coordinatenaxen sind gleich den zweiten Derivirten der Coordinaten
x^ |f, e und kOnnen ausgedrückt werden entweder durch die zweiten Deri-
virten der Functionen fi(f)t f%(t)y f^(t) oder durch die zweiten totalen Diffe-
rentialquotienten der Functionen q>^j g)^, q>^ nach der Zeit, wobei a, ßj y
als Functionen F^ (0 9 F^{t)^ F^if) zu betrachten sind. Daher erhalten wir
mit Bücksicht auf die Ausdrücke 9) und 11) folgende Gleichungen:

C.a)

• • • • • •

veos(v,X)==«)C08(w,X)-{-ucos{u, X)

4. 2 (Jll d« 8«! dß dH dY\
"•" \dadtdt'*'dßdtdt'^dydtdt/

V eo${Vy r)-es ia eo8{ie, T) + u eo8{u, T)

'*' V^o a« <« **" 8 p 8t dt "^ »t at »0

Von Dr. Bobylbw. 341

• • • • • •

"^ \d« dt dt "^dp dt dt "^dy dt dt)

Man ersieht hieraus, dass die absolute Beschleunigung v als
geometrische Summe folgender drei Beschleunigungen be-
trachtet werden kann:

1. u — der relativen Beschleunigung,

2. IT — der Führungsbeschleunigung,

3. der entgegengesetzt genommenen Bückkehrbeschleunigung*
R^ deren Projectionen auf die Coordinatenaxen sich durch die
Formeln

dß

ausdrücken lassen.
Hier bedeutet f die Zeiteinheit und S^, i^j, ii sind:

^^'~ dt '' "^^ dt '' ^' Ft '•

Denkt man sich ausser dem Medium 11 noch ein anderes, ebenfalls
^^tbiderliches Medium U^, dessen Bewegung durch die Formeln 13) aus-
S^^TQckt wird , — denkt man sich femer einen Punkt Mi , welcher in Bezug
^'^ IIi dieselbe relative Bewegung

Mq Jf in Bezug auf 77 ausführt, so ergiebt sich aus den Formeln 12),
^^as die Bückkehrbeschleunigung als verdoppelte, mit der Zeiteinheit divi-
^>te und entgegengesetzt genommene Geschwindigkeit der relativen Bewegung
^^ Punktes lf| in Bezug auf 77^ betrachtet werden kann.

Dies gilt jedoch nur, wenn die Formeln 13) die Bewegung eines sol-
cli«n Mediums darstellen , welches continuirlich bleibt und dieselben An&ngs-
^mensionen wie das Medium 77 hat. Letzteres ist unentbehrlich, damit
^er Ponkt M^ stets innerhalb des Mediums 77j bleibe. Im Falle die For-
^^ 13) diesen Bedingungen nicht entsprechen , muss die Bedeutung von R
^ jeden speciellen Fall besonders bestimmt werden.

Beispiel 1. Das bewegliche Medium 77 sei zwischen zwei parallelen
^t'oiien x^ + A und x^ — Ä so enthalten, dass es in der Richtung der

* Diete Beschlennig^g entspricht der „Acc^äration centrifage comp08^e%
^«be iD der Einematik von Born off (übersetzt von k. Ziir et") ^^<c^^€tix\MtfSBte
^^9^ag gmßont ut

344 Ueb. die relative Bewegung eines Punktes etc. Von Dr. Bobti:.kw.

oder, mit Rücksicht auf die Formeln 15):

18a)

woraus femer:

19)

dt
dt

= «aS +(«1»— r)ij + (a„+g)t,

gj = («i»-3)i + (««s+P)'J+ «wf-
Hier bedeuten:

«M = «i V + «,f*i* + *8 •'«*>
«M = *i V + *«f*8* + *8 V»

«1« = *l^l^ + ««f*l f*« + «8*'l*'li
aj3 = xii,i, + X,^^ + X,V, V,,

2 = ^8^\ + HV^\ + *'8»''l = — (^l^'s + ^1**'8 + *'l*'\)»

r = Aji', + ^j fi', + Vi v', = - {l^l\ + ^jf*'i + V, v'i).
Für die Ausdrücke der Projectionen der Bückkehrbeschleunignng
die Axen X, F, Z ergiebt sich:

oder, mit Bücksicht auf die Formeln 17):

Ecos(B,X)

Der eingeklammerte Theil dieser Formel unterscheidet sich von dem zwe
Theile der Gleichung 18a) darin, dass in 19) anstatt der Projectionen
Q diejenigen von u vorkommen; hiermit drückt sich in diesem Bei9|
die Bückkehrbeschleunigung durch die Verdoppelte und entgegengeeetit
nommene Geschwindigkeit desjenigen Mediumpunktes aus, dessen Bad
vector die relative Geschwindigkeit darstellt. Mit anderen Worten ha
in diesem Beispiele dieselbe Bedeutung, wie im Falle eines unveiSnderli<
Mediums.

Von Dr. Bobylew.

343

Beispiel 2. Der Funkt M habe eine beliebige absolute Bewegung 1)
und das Medium deformire sich nach dem Gesetze:

14)
hier bedeuten:

fM,di

fihät

und Xj, «21 ^H irgendwelche continuirlichen Functionen der Zeit; itj, 1,, A3,
Mi> f*2» f*3' ^i^ '2- ^'3 d^ö Cosinusse der Winkel, welche drei unter einander
rechtwinklige, sich um den Ursprung 0 drehende Axen 0X\ 0Y\ OZ'
mit den festen Axen OX, OF, OZ bilden. Diese Cosinusse, welche unter
sich durch die sechs bekannten Relationen verbunden sind, können durch
trigonometrische Functionen dreier Winkel 9, O, if' ausgedrtlckt werden;
die Winkel <p , O, t/; seien in unserem Falle als irgendwelche continuirliche
Functionen der Zeit gegeben.

Indem man die Relationen, durch welche die Cosinusse Ij, it^, ... V3
unter sich verbunden sind, berücksichtigt, wird man leicht aus den gegebe-
nen Ausdrücken 14) folgende Formeln finden:

at/;i = §Aj -fiyAg + JA3 = pOM(^,Z'),

15) ß% = li^i+nH + iH—Q^^^9y^)^

Q bedeutet hier die Grösse und Richtung des Radiusvectors desjenigen Punk-
tes, welchem die Coordinaten |, iy, f zugehören.

Setzt man dii Functionen /*j, f^^ f^ statt §, 17, im die Formeln 15)
ein, so erhült man die expliciten Ausdrücke der relativen Bewegung:

16)

« = - Oi/i w + h m + ^i/sW),
/j = i- (Ml /i (0 +Hft (0 + H m) .

Die Ausdrücke für die Projectionen von u auf die Axen X, F, Z wer-
den in unserem Falle:

dct dß dy

hieraus folgt, mit Rücksicht auf die Bedeutung der Cosinusse iL|, A,, ... v^i

dt

dt

dt

Die Ausdrücke der Projectionen der Ge8cbYrm.d\^lL^\\. «ÄÄÄ'^^oajii^RÄ ^^^
Mediums auf die Axen X, F, Z sind:

344 Ueb. die relative Bewegung eines Punktes etc. Von Dr. Bobtlbw.

dt~ dt ■^'^ dt "^^ dt

oder, mit BOcksioht auf die Formeln 16):

18a)

»-'-Sy^'."'(-^^+'-^'-<'--^

woraus femer:

19)

dt

dt

= «nS +(«i»-»')«I + («it+«)f.

Hier bedeuten:

«88 = *l V + »«f*8* + *8 V»

«la = «1^1 ^8 + ««**lf*f + «8 *'!«'« I
aj3 = XiA,X5 + X,^^ + X,V,V3,

«81 = «l^^l + «8**8^1 + »8»'8*'l»
P = ^^'8 + ^if*) + »'«»') = "-(^8^]t + **8/«+ »'s »''l)»

(? = h^\ + ^8l*'i + »'8»''i = — ih^\ + ^i¥^\ + Viv'a).

Für die Ausdrücke der Projectionen der Bückkehrbeschleunigaiii
die Axen X, Y, Z ergiebt sich:

oder, mit Bficksicht auf die Formeln 17):

Bcos(B,X)

19)

i

Der eingeklammerte Theil dieser Formel unterscheidet sich von dem zw^sateo
Theile der Gleichung 18a) darin, dass in 19) anstatt der Projectionen ▼on
Q diejenigen von u vorkommen; hiermit drückt sich in diesem Beis^^ifib
die Bückkehrbeschleunigung durch die Verdoppelte und entgegengesetiCf ^
nommene Geschwindigkeit desjenigen Mediumpunktes aus, dessen Bfti^Siiu-
vector die relative Geschwindigkeit darstellt. Mit anderen Worten h^at B
in diesem Beispiele dieselbe Bedeutung, wie im Falle eines unverlnderla-ci>tt
Mediums.

Kleinere Mittheilungen.

JOL Wann beritst eine knbigche Parabel eine Direotrizt*

1. Nach Analogie** mit der ebenen Parabel könnte man erwai*ten,

auch die räumliche (kubische) Parabel eine ^^Directrix'' besftsse,

k. dasB eine Gerade existirte als Ort der Punkte, von denen Tripel je

einander senkrechter Ebenen (Osculationsebenen) an die Parabel gingen.

Dies ist aber im Allgemeinen nicht der Fall, wie zunächst geo-

»trisch so zu ersehen ist.

Eine kubische Parabel hat bekanntlich (vergl. z. B. Schröter, Theorie

Oberflächen zweiter Ordnung, 8.307) die Eigenschaft, dass, wenn man

^^^>^>^h einen beliebigen Baumpunkt zu den Tangenten und Ebenen der

1 Parallel -Strahlen und Ebenen legt, diese die Kanten und Ebenen

Kegels ••• (zweiter Ordnung) sind.

Existirte nun im Allgemeinen eine Directrix der Parabel, so müsste
r K^gel ein gleichseitiger sein, d. h. es würden ihm unendlich viele
^^■^pel je zu einander senkrechter Tangentialebenen angehören

Es ist aber bekanntlich (vergl. z. B. Schröter, Theorie etc., S. 76,
flgg.) eine Bedingung erforderlich, damit ein Kegel ein, und damit
n& gleich unendlich viele solcher Ebenentripel besitze.

Dass unser Kegel aber in der That ein ganz beliebiger ist (im
-Allgemeinen), ist leicht zu erkennen.

* Diese Note, ein Wiederabdruck aus den „ Mathematisch • natarwissensohaft-
1^«1mii Mittheiloogen von Dr. 0. Böklen" (Heft 1, erschienen Ostern 1884), bezieht
*>^ auf die in dieser Zeitschrift (Jahrg. 1884, Heft 4) publicirte Arbeit des Herrn
^^•fiOklen, der bei seinen Arbeiten fiber das Ellipsoid auf kubische Parabeln mit
^^vsetrix iüesB und dabei die im Titel gestellte Frage gelöst zu wissen wünschte.

** In der That besitzt ja das zweite räumliche Gebilde, das der ebenen
^^*9M entspricht, das Paraboloid, eine „Directrix^, d i. eine Ebene als Ort
^^ Punkte, von denen Tripel je zu einander senkrechter Ebenen (Tangentialebe-
'^) an das Paraboloid gehen (vergl. Eey e, Geometrie der Lage H, 8. 268 Nr. 87),
^^^ ^"^ Die Punkte des Kegelschnittes, in dem dieser Kegel die unendlich ferne
^^'^^ trifft, rind die Spuren der Tangenten der Parabel und die TangentAü d\ftMA
^^MtduiH^ die Sparen der Ebenen der Parabel. Denn die Y«x«^)e\ ^csoSiaa^ >»
^^ mtmdUeh üme Ebene,

346 Kleinere Mittbeilungen.

Es sei ein solcher beliebig gegeben*.

Dann lege man irgend eine Ebene, doch so, dass sie irgend e :x xaer
Eegelebene parallel ist, und verzeichne in dieser Ebene irgend ^jne
Parabel. Dann sind die sSmmtlichen Ebenen, die diese eb ejie
Parabel berühren und einer Eegelebene parallel sind, ^Iq
Schmiegungsebenen einer kubischen Parabel, zu der der K. e^ei
in der oben definirten Beziehung steht.

2. Umgekehrt ist aber die eine Bedingung, die erforderlich ist, damit
unser Kegel (er heisse einfach „Parallelkegel der Parabel^') ein, and
damit unendlich viele Tripel von je auf einander senkrechten Ebenen be-
sitze, anch hinreichend, damit die Parabel eine Directrix be-
sitzt.

Man weiss (vergl. z. B. Reje, Geometrie der Lage I, S. 122), d»s8,
wenn ein Kegel (zweiter Ordnung) diese Eigenschaft besitzt, seine EbeX»®^
eine „Involution dritter Ordnung" bilden, d.h. sie sind so in Tri JP®^
getheilt, dass jeder Ebene immer die beiden anderen zageordxB>c^
sind, die mit ihr eines der (orthogonalen) Tripel bilden.

Sodann sind die Ebenen des Kegels vermöge ihrer Construction ^cn
Ebenen der Parabel projectivisch zugeordnet, mithin bilden auch ^^
Tripelebenen der Parabel eine solche Involution.

Dann aber liegen nach einem allgemeinen Satze (vergLi^^ ^
meine Schrift „Apolarität und rationale Curveh" § 14) die Ecken die i^©^
Ebenentripel immer in einer Geraden.

Dies ist dann die Directrix der Parabel,

€C

:0A

Analytische Behandlung.

3. Eine kubische Raumcurve (als Curve dritter Classe) kann im
dargestellt werden in der Form:

Hier sind die u, t;, u; die Coordinaten einer Ebene der Curve, die f

q> ganze Ausdrücke dritten Grades in X.

Jeder Ebene der Curve kommt dann ein Werth l zu und a
Soll die Curve eine kubische Parabel sein , so muss die unendlich

Ebene

2) u = 0, t; = 0, ic; = 0

eine Ebene der Parabel sein. Es komme ihr dann der Wertii 1 ss a zn *
müssen die drei f den Factor X — ct gemein haben, wie folgt:

* Die folgende ConstructioQ ist nur das Dualistisehe zn der
Erzenfirnnfc der kubischen RautncuTveu TQ\t\Ä\Ä tw^Sät ^«%^^ ^a» qkba Kanlo
mein haben.

Kleinere Mittheilungen. 347

ii9(X) = (A-a)(aooA* + aoi^ + Oo2) = (^ — o)^iW.

ir9(A) = (A-«)(ajoA« + a8i^ + a2g) = (A-a)^3(^).

Dann sind die Ebenen des Parallelkegels, dessen Spitze im Coordinaten-
nnprang liegt , repräsentirt durch

4) xu+yv + 0w = xg^iX) + yg^ (i) + eg^i}) = 0
oder auch durch

5) t*:v:ir = ^i(X):^8(A):^3(i).

Die Elimination von iL liefert (vergl. meine Schrift „Apolarität etc.''
8.43 oder auch meine Note im Württembergischen Correspondenzblatt 1883):

Soll nnn dieser Parallelkegel 6) die Bedingung erfüllen , ein Tripel von
jo auf einander senkrechten Ebenen zu besitzen , so besteht diese bekannt-
lich (vergl. z. B. Hesse, Analytische Baumgeometrie) im Verschwinden der
Somine der drei Coefficienten von u*, v*, tr*; sie lautet also:

4. Wir wollen nunmehr die Parabel nebst ihrer Directrix und
"ör Involution der Orthogonaltripel in einer c««o«i5CÄew Form ana-
^Jtiach darstellen.

Gs mögen nSmlich die drei Coordinatenebenen

^^68 der Orthogonaltripel bilden. Dann muss die Directrix durch den ür-
Qiruiig hindurchgehen, also in der Form dargestellt sein:

^) x:y:e=^a:ß:y oder x^ga, y=:Qß^ ^ = ^/i

^ ^ veränderlich ist.

Den drei Coordinatenebenen als Ebenen der Parabel mögen die resp.
^xlhe As=ilj, A,, I3 entsprechen.

Dann ist die kubische Parabel, wie leicht zu erkennen, folgender beider
^'»^tellungen fÄhig:

A *"~ A« A "~" A« A Aq

11) rr = A(A-A/, y = B(il-A,)», ij = TCi-A«)»**.

"^^^^^^ ist der unendlich fernen Ebene der Werth X = 00 beigelegt.

* Die Atk sind, wie übJich, die zu den Elementen atk der Determinante
letsteren gehörigen Unter de terminanten.
** Eine einfache Bechnang, nach der C leb seh 'sehen Regel (vergl. Clebsch,
*^^eber die rationalen Carven'*, Grelle Bd. 63) ausgeführt, liefert zwischen den
^» ^ c ud A, B, r die Beziehungen:

aA dB=cr= ~ = ~

348 Kleinere Mittheilungen

Wir suchen die Orössen «, /?, y, d. i. die Neigungen der DL ree-
trix gegen die Coordinatenaxen zu bestimmen.

Vom unendlich fernen Punkte der Directrix, dessen Gldchun^S ist:

12) ua + vß + wy = 0,

gehen (ausser der unendlich fernen Ebene) noch zwei weitere (zu einfc- Miiider
senkrechte) Ebenen an die Parabel.

Die zugehörigen Werthe l für sie erhält man durch Gombination^ Ton
12) und 10):

Andererseits ist die Bedingung, dass irgend zwei Ebenen («, -v, v;
iij,<^,, tOi) der Parabel (mit den Werthen il, fi) auf einander s ank-
rocht stehen, gegeben durch

uu^ + VI?, + wv>i = 0
14) _ g« y c«

Hält man hier ia fest, so ergeben sich aus dieser Gleichung gerade die
beiden Ebenen, die mit der Ebene fi ein Orthogonaltripel l>il-
den (d. h. j,jede Schnittlinie zweier aufeinander senkreobter
Ebenen der Parabel muss die Directrix treffen^).

üebrigens zeigen die Gleichungen 10), 11) sofort das weitere Resultat, dJU0^ Ar
jeden Ponkt der Parabel die Prodacte

xu\ yv'i zw*

je denselben Werth haben, und zwar ist

XU* _ yv* __ zw* _ 1
a« " 6« """?""" D»'

Mit Rücksicht aaf die Werthe der Constanten u,ßyy m 9) [vergL 16)J lm«b«o
wir also:

,,Für jeden Punkt der kubischen Parabel (fSr welche die drei Co^^^'
natenebenen ein Ebenentripel bilden) sind die Producte xu*, yt^, f«* kon-
stant und verhalten sich zu einander, wie die Quadrate der Cos'^^^^
der Neigungswinkel der Directrix gegen die Coordinatenaxen."

Aus den Gleichungen 10) fliesst sofort eine sehr einfoche Constmotion
kubischen Parabel mit Directrix.

,,Man nehme eine beliebige Gerade an. Eine jede Ebene durch dii
schneidet aus den Coordinatenaxen, vom Anfangspunkt an gerechnet, drei A

et, et, «8

Ibd

aus/'

Construirt man die reciproken Abschnitte

J- JL JL

and verbindet deren drei Endpunkte durch eine Ebrae, so umhAlUm alle
Ebenen eine kubische Parabel mit Directrix, f^t ^\& ^Aa ^vcdoxAiUBGiS?
Gin OrÜio^onai-SchmiegongBebenentripel i%t>.

Kleinere Mittheilungen. 349

'.•• 0 ^ ..^ ^

Jetzt nehme man fdr die £bene fi die anendlich ferne Ebene, für die
^ e= 00 iat. Dann muss f&r diesen Werih von fi die quadratische Gleichung
14) mit 13) identisch sein.

Für diesen Werth (jiiczaoo) geht aber 14) über in:

Sollen die Gleichungen 15) und 13), und zwar für ganz be-
liebige Werthe von Ij, A,, X3 identisch sein, so ist dazu nof/b-
wtnäig uni hinreichend, dass

16) a:&:cs=a:/3:/.

Daher stellt sich die Involution aller Orthogonalebenentripel der Parabel
vermöge der Gleichungen 10) und 15) so dar:

0 = (l-i,)(il-i,)(i-i,) + Ä"{a»(i-i,)(i-i,) + 6»(i-i,)(i-A,)
wo * variabel ist. +c»(i-i.)(i-;.)|,

Endlich ist noch zu bemerken, dass, wenn man statt des alten recht-
winkligen Coordinatensjstems [^ ^' ^j irgend ein neues rechtwink-

U VW) ™^^^^ bekannter Formeln einführt, und drückt dann in

10) resp. 11) die alten Coordinaten durch die neuen aus, so erhftlt
man die alZ^ein^in^fe Darstellung einer kubischen Parabel mit
Directrix.

Die Rechnung ist dabei so einfach, dass sie hier unterbleiben mOge.

Tübingen, 1883. Dr. F. Meter.

XXL Die Ortsfläohe der Spitsen gleichseitiger Tetraeder xn gagebener

Geraden der Zeiohenebene.

(Hierzu Taf. Vn Fig. 8.)

Angeregt durch den Aufsatz des Herrn Dr. A. Schmidt über gleich-
seitige Tetraeder*, erlaube ich mir, nachstehend einen üeberblick über
die Ortsünien der Spitzen solcher Vierflache zu bieten , welche einer gegebe-
nen Strecke als Basis entsprechen.

Zu einem Dreieck ÄBC^ der Zeichenebene findet man die Spitzen con-
gruenter Dreiecke {O^d^Äy d^O^B) auf dem Umkreise von ÄBC^ in
|J?ds||^OJ, |ii(li||J9C|| und erhftlt durch Drehung jener beiden Dreiecke
um I J.C|, J?C|| die Spitze (D^) zum gleichseitigen Tetraeder, dessen Grund-

* ZeiUcbr. f. Math. u. Phys., Jahrg. tBfti Ä. %n.

350 Kleinere Mittheilungen.

fläche ÄBC^, Die Sparen jc^i^V ä^dW der Lothebenen, in welchen sich
((2|, d^) bewegen, können auch mit Hilfe der DurchmeBser \Äd\f BdW des
Umkreises bestimmt werden, indem {d\, d'^) anf den Senkrechten IACq^ ^J^o\
jenen Sparen angehören. Yerschiebang von (C^) auf \BC\ hat Fortrücken
des Mittelpunktes (Oj) auf der senkrecht Halbirenden \0y\ zur Folge, was
anzeigt, dass die Büschel ä\OoqO:>Oi\B auf jJ^Do« ^^ol perspectiyiBche
Punktreihen beschreiben: \ BDQiCcd\~^ AC^ccdW, deren Mittelpunkt
{ÄB^) ist.

Die Umkreise zu den Dreiecken ABCi über der gemeinsamen Onrnd«
linie | ^-B | bilden ein Büschel mit den Grundpunkten {Ay B), Da

I d'i c^i J_ J5 C| , d 2d^d^AC^\ mit einander Winkel bilden , welche zm AC^B
supplementär sind, so erscheinen die Spitzen (D^), welche gleichen Win-

kein AC^B entsprechen , in einem Kreise durch (d\ , d 2) und gleich dem
Umkreise AC^B.

\d\D^\±\AC,\ geht für (C,) in \CqDJAB\ über, ffür (C) = {AC±BC)
dagegen in \AE^ \\BC\. Da nun das Parallelstrahlenbüschel J^JE?«» | J^D^i ^dW
mit der Axe der Parabel parallel ist, welche die Strahlen \AEy C^D^^, 00, d\Di\
umhüllen, beide Büschel unter sich projectiyisch sind und in (Doi) entspre-
chende Punkte zusammenfallen, so wird jJEJDo, ooD^j, ihr perspectivisoher
Schnitt, ebenfalls eine Tangente jener Parabel sein.

Man kann |Dq|J^j| auch als Ort der Theilpunkte von gleichwinkligen
Bogenabschnitten erkennen, auf einer Kreisreihe, welche dem Btlschel der

A

Umkreise congruent ist und die {Dij enthalt, die gleichen Winkeln ACiB
entsprechen.

(D^^ , E^ bezeichnen Grenzlagen für | D/ 1 , indem sie den rechtwinkligen
Dreiecken AC^B, ACB entsprechen.

Die Parallele zu {BC^l durch (B^^) ergiebt auf \AB\ den Brenn-
punkt {F) der von den Ortsgeraden |2)üi--^i| umhüllten Hyperbel, da
\BDq,±AB, BE,^^x,h,±D^,F\\BC,\, folglich: \Fh,C J^D^^x^l. Die
Brennweite der Hyperbel beträgt demnach ^AB.

Während (C,) die \BC\ durchläuft, bewegen sich die Spitzen (2>j) in
der Lothebene [DqjJ^,]. Da das rechtwinklige Dreieck, wie gezeigt wor-
den, die Grenze für die Möglichkeit gleichseitiger Tetraeder bildet, so
finden sich reelle Spitzen nur zwischen {Dq^, E^) orthogonal -symmetrisch
zn dieser Spur. Aus der Congruenz der rechtwinkligen Dreiecke AE^By
(7oJ_Doi ergiebt sich, dass der Schnitt (m^) von \BCy Dqi-^i I ^^® Mitte
Yon |i)o^£|| bezeichnet Da zugleich der {m^) entsprechende (d'sm) in die
Mitte der Strecke I-Doi-^I ^^^ ^^^ ^^^ Höhen der Basisdreiecke AC^B in
Bezug auf den festen Strahl BC stets dieselben bleiben, so stellt der Ort
4er Spitzen (D) den Schnitt der Lothebene (i>oi-^i] mit einem Botations-
•tr der Axe IjBCJ und vom Radius \BE^\ dar^ welcher stets eine
l

Kleinere Mittheilnngen. 351

Die Ortsfläche der Spitzen gleichseitiger Tetraeder, welche die Bild-
zur gemeinsamen Grundfläche und \äjB\ zur Kante haben, wird also
durch lothrechte Ellipsen erzeugt, deren Spuren eine Hyper-
\>el umhüllen.

Die symmetrische Anlage der Zeichnung (Taf. VII Fig. 3) weist darauf
liin^ dass in den Lothebenen [J^oi-^oi*> -^02-^0«*] jedesmal noch eine zweite
Ortaellipse liege [C'D^*, CD^^*], welche den Strahlen |^^,, ÄE^\ ent-
sprechen und mit [D^,^, , Doa^l sich in den Lothen liCi,^:,! <ler [AB]
schneiden; denn jene congruenten Ellipsen stehen sich wechselweise in
Ke^ln der Spitze (0) symmetrisch gegenüber und die Lothebene [ÄB^ ist
eine Symmetrieebene der beiden Kegel zugleich.

Die Symmetrie zeigt ferner, dass die Endpunkte der Lothe |a;| eine
Cllipse bilden , welche durch den Schnitt der involutorischen Büschel {Ä , B)
in [AB] erzeugt wird; deren eine Axe |^.B|, während die andere durch
den Schnitt der Lothebenen zu den Asymptoten der Grundhyperbel be-
zeichnet ist. Diese Schnittcurve begrenzt mit dem Hauptkreise über \AB\
einen mittlem Baum, welcher von den beiderseits zum Kreise sich senken-
den Ellipsenbogen eingeschlossen ist.

Von der Gestalt des röhrenförmigen Restes erhält man eine genauere
Vorstellung durch den Ort der Mittelpunkte der erzeugenden Ellipsen. Der-
selbe geht aus dem Schnitte der Büschel {BfA){C,C\ ...) mit dem Tan-
gentenbüschel ||DqjJE7i, jDjjgJEJj, ...| hervor und verläuft symmetrisch zu den
A.x«n |J.£, y|, von welchen die erstere Rückkehrtangente, die letztere Asym-
ptote ist. Diese Mittelpunktscurve bezeichnet die Culminationen der erzeu-
genden Ellipsen , während die Radien vectoren deren Brennweiten darstellen.

Unsere Zeichnung gewährt somit einen üeberblick über das Bereich
der Spitzen gleichseitiger Tetraeder, deren Grundfläche in der Zeichenebene
^^^ and jn welchen zwei Gegenkanten von gegebener Länge sind.

Hottingen -Zürich. F. Graberg.

XXn. Notiz über Ungleichungen.

In den Lehrbüchern und Beispielsammlungen für Elementarmathematik
^S^gnet man sehr selten Aufgaben über Ungleichungen, obscbon diese
^^Hdera instrnctiv sind, weil sie mehr üeberlegung verlangen, als das
^•tftlich mechanische Auflösen von Gleichungen. Im Interesse des ünter-
^^ts m0gen hier ein paar derartige Aufgaben folgen, deren beigefügte
^^^luigen nicht schwer zu finden sind.

Für dfl8 Dreieck sollen die Bedingungen ermitteW. NvetdL^u^ wwVj^x ^
^ fiüfgiieb ißt,

352 Kleinere Mittheilungen.

a) aus den Abständen des ümkreismittelptinktes Ton den Seiten,
h) ans den Abschnitten, welche die Berfihrangqrankie des InkniBeB
anf den Seiten bilden,
ein nenes Dreieck zu constmiren.

a) Sind €t<,ß<y die Dreieckswinkel, so ist im Falle y<,90^ das
nene Dreieck nur nnter der Bedingung a ^42® 06"^ 29'' mOglich; li^ m
zwischen 42^56'29'' und 45^ so muss

genommen werden; für a^4ö^ genügt ß > a.

Soll das ursprüngliche Dreieck stumpf?nnklig sein, so müssen die Be-
dingungen

a<45\ ß<angcasiz z ^a

2cas^a '

eingehalten werden.

b) Im PaUe «<38<>56'33", ist

a<Cß < ang8in{3 sin^a) — ^€t

zu nehmen ; für a > 38^ 56 ' 33 '' genügt ^ > a.

Auf die Seiten bezogen, lassen sich diese Bedingungen einfacher aus-
drücken durch _ ^ - ^ 1 /x . \

Die Höhen und die Schwerlinien des Dreiecks geben Gelegenheit zur

Bildung analoger Aufgaben.

SoHi^öimxm.

Beriehtigang.

Auf Seite 211 im 4. Hefte (Jahrg. XXX) ist zwischen den Zeilen 15 und 11
der Passus: „Es sei tn — n^k" einzuschalten.

Historisch-literarische Abtheilung

der

Zeitschrift fiir Mathematik und Physik

heranBgegeben

unter der Terantwortlichen Redaciion

Ton

Dr. O. Scblömilch, Dr. E. Kahl

und

Dr. M. Cantor.

X2X Jahrgmag.

Leipzig,

VerUg Ton B. G. Teobner.

18S5.

^

Druck TOB B,G. i«

Inhalt.

I. Abhandlungen. seite

Die matheniatiBcheu Instruniente des Brescianer Grafen Giambattista Suardi.

^ Von Prof. E, Gelcich 1

Die Ferrari- Cardani'sche Auflösung der reducirten Gleichung vierten Grade«.

Von K. Hüarath 41

Die von Diophant überlieferten Methoden der Berechnung irrationaler Quadrat-
wurzeln. Von W. Schönbom ...... 81

lieber das quadratische Reciprocitätsgesetz. Von 0. Baamgart .... 169, 241

Programm für den V. Bressa'schen Preis der Kgl Akad. d. Wisfiensch. zu Turin 52

IL Becensionen.

*

GeRchichte der Mathematik«

Bonoompagni, Lettre de Gauss ä Olbers Von M. Cantor 21

H-Hankel, Die Entv^ickelung der Mathematik in den letzten Jahrb. Von M. Cantor 22

Marie, Uistoire des sciences math^matiques et physiques IV et V. Von M. Cantor 115

— , „ „ „ „ „ „ VI. Von M. Cantor. .132

Oow, A Short historv of Greek mathematics. Von M. Cantor 121

Hardy, Der Begriff der Physis in der griechischen Philosophie. Von M. Cantor 127
Dnpoit, Le nombre gc^omdtrique de Piaton. Von M. Cantor. ..... 128

Wittstein, Klaproth*s Schreiben an A. v. Humboldt über die Erfindung des Com-

passes. Von M. Cantor 129

Favaro, Gli scritti inediti di Leonardo da Vinci. Von M. Cantor ISO

Wohlwill, Die Entdeckung des Beharrungsffesetzes. Von M. Cantor ... 131
Hnnratk, Algebr. Untersuchungen nach Tscnimhausens Methode. Von M. Cantor 133

Xrimmel, Nesrolog von Christ. Ueinr. v. Nagel. Von M. Cantor 134

Sehnbring, Der christliche Kalender alten und neuen Stils. Von M. Cantor . . 135

Müller, Kalender -Tabellen. Von M. Cantor 136

Enettröm, Bibliotheca Mathematica. Von M. Cantor . ■ ^^

Wie studirt man Mathematik und Physik? Von M. Cantor 145

Arithmetik, Algebra, Analysis.

Baosenberger, Theorie der i>eriodiBchen Functionen einer Variabein. Von M. Vttther 7
Enler (Mater), Einleitung in die Analysis des Unendlichen I. Von M. Cantor . 28
Serret (Hamaok), Differential- und Integralrechnung L Von M. Cantor . . 28
Bentehle, Graphisch- mechanische Methode zur Auflösung der numerischen

Gleichungen. Von M. Cantor . 29

Bchobloch, Ueber Beta- und Gammafunctionen. Von M. Cantor SO

Hellwig, Ueber die quadratischen und cubischen Gleichungen. Von M. Cantor 31
Oalopln-Schanb, Thäorie des approximations numäriques. Von M. Cantor 32

Or&nwald, Saggio di aritmetica non decimale. Von M. Cantor 83

Sohnrig, Lehrbuch der Arithmetik I Von K. Schwering 62

Walberer, Leitfaden z. Unterricht in der Arithmetik u. Algebra. Von K. Schwering 64
Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen

vom fünften Grade. Von L. Seheeffer .... 91

Steinliaaser, Die Elemente des graphischen Rechnens. Von F. Kraft . . • .108
Simon, Die Elemente der Arithmetik als Vorbereitung auf die Functionen-

theorie. Von M. Cantor 111

Sehnbert, System der Arithmetik und Algebra. Von M. Cantor 112

Kaiser, Die Determinanten. Von M. Cantor 113

Oietlng, Neuer Unterricht in der Schnellrechen -Kunst. Von M. Cantor . . .113
Henmann, Vorlesungen iib.Biemann*8Theoried.AbePschen Integrale. VonW.KiUing 136
Bobek , Einleitung in die Theorie der ellipt. Functionen. Von 0. Bamenhwc^^st VNS^
Benoift, Tables de logarithmes ä six däcimale«. Von H. ^«aSMi ..,.*> ^^
ChroTO, Fünfstellige io^arithmische und tngoiiOTnetr\%c\i^ T«b.^^\i. NwiTS^-^^^*** ^j^
FnmpMTü, 8%ggio di Tayoie dei logariimi quadxaticL NoTill.«^^«a^^^ . * * ^

IV Inhalt.

Synthetische 9 analytische, descriptire Geometrie , Geodäsie. stite

Zöppritif Leitfaden der EartenODtwurfslehre. Von LKeiiniAnD 8

XUUng, Ueb. die nichteuklidischen Raumformen v. n Dimensionen. Von V. Sohlegel 13
Kilinowski, Elementar - synthetische Geometrie der gleichseitigen Hyperbel Von

K. Sehwering 15

Spleker, Lehrbuch der ebenen Geometrie. Von X. Sehwering 18

DÖrholt, Geber einem Dreieck um- und eingeschriebene Kegelschnitte. Von

K. Sehwering • . . 21

Ciaber, Geometrische Wahrscheinlichkeiten. Von M. Cantor 24

Wem, Die mathematische Geographie in Verbindung mit der Landkartenpro-

jection. Von P. Zeeh 56

Vogler, GrundzOge der Ausgleichungsrechnung. Von B. Kebel 56

Hoeh, Lehrbuch der ebenen Geometrie I. Vou X. Sehwering 66

Olinzer, Lehrbuch der Elementar- Geometrie I, li, III. Von X. Sehwering . . 67
Fesehkai Darstellende und projective Geometrie. Von C. Bodenberg .... 68
TUier, Kritische Bemerkungen zur Einführung in die Anfangsgründe der Gäo-

mdtrie descriptive. von C. Bodenberg 77

Fiedler, Darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie

der Lage I. Von C. Bodenberg . . 103

Weyr, Elemente der projectiviscbeu Geometrie I. Von C. Bodenberg . . . 106
Hammer, Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Von M. Cantor 110
Krimphoif, Zur analytischen Behandlung der UmhüUungscurven. Von M. Cantor 1 14

Franke, Die Coordinateuausgleichung Von E Hammer 141

BÖrseh, Anleitung zur Berechnung geodätischer Coordinaten. Von E. Hammer 142

Hanck, Mein perspectiviscber Apparat. Von M. Cantor 143

, Die Grenzen zwischen Malerei und Plastik und die Gesetze des Reliefs.

Von M. Cantor 144

Mechanilc nnd Physik.

Erwiderung von J. Epping 91

Wüllner, Lehrbuch der Experimcntalphvsik II. Von F. Zeeh 34

Hellmann, Uepertorium der deutscheu Meteorologie. Von F. Zeoh .... 35

Finger, Elemente der reinen Mechanik. Von F. Zeeh 36

Baer, Die Function des parabolischen Cylinders. Von F. Zeeh 36

Sperber, Versuch eines allgem. Gesetzes Ober die specifische Wärme. Von F. Zeeh 37

Tnmlin, Die elektromagnetische Theorie des Lichts. Von F. Zeeh 37

Dippel, Das Mikroskop und seine Anwendung. Von F. Zech . 38

Hnllmann, Der Kaum und seine Erfüllung. Von F. Zeeh 53

Blasendorff, Ueber die Beziehungen zwischen zwei allgemeinen Strahlensjstemen.

Von F. Zeeh 63

Fnschl, Latente Wärme der Dämpfe. Von F. Zeeh 64

Helm, Die Elemente der MechaniK und mathematischen Physik. Von F. Zeeh . 64

Fonrier (Weisitein), Analytische Theorie der Wärme. Von F. Zeeh 55

Jansen, Physikalische Aufgaben. Von B. Nebel .66

Xohlrauseh, Leitfaden der praktischen Physik. Von B. Nebel 56

Stein, SonnenHcht und künstliche Lichtquellen fär wissenschaftliche Untersuch-
ungen zum Zwecke pbotographischer Darstellung. Von B. Nebel ... 57
Streints, Die physikalischen Grundlagen der Mechanik. Von B. Kebel . . .68

Abendroth, Leitfaden der Physik 1. Von B. Kebel 69

Krebs, Die Physik im Dienste der Wissenschaft, der Kunst und des praktischen

Lebens. Von B. Kebel 60

Tnmlirs, Das Potential und seine Anwendung zu der Erklärung der elektrischen

Erscheinungen. Von B. Kebel 62

Erwiderung von 0. Tnmlirs 121

We^neh, Theorie elastischer Körper u. s. w. Von A. Bors . 142

Erwiderung von J. Weyraneh 278

Bibliographie Seite 38, 78, 117, 146, 237, 281

MathematischeB Abhandlungsregister: I.Januar bis 30. Juni 1884 149

„ „ 1. Joli bis 81. December 1881 . . . .284

TcLf&L n.

Historisch -literarische Abtheilung.

Die mathematisohen Instrumente des Bresoianer

Orafen Giambattista Suardi.

Eine bibliographisch-historische Notiz

von

Prof. Eugen Gelcich,

DlMctor der nantivohen Schale in Lawinpiooolo.

Hierzu Taf. II Fig. 2 — 7.

Gelegentlich der Pflege gewisser nautisch -historischer Studien gelangt

^^xu ein Werk zu Händen, welches unsere Aufmerksamkeit in besonderen

Anspruch nahm und betitelt ist: Nuovi istromenti per la descrizione di

Averse curye antiche e moderne, e di molte altre che servir possono alla

Bpecolazione de' G^ometri ed all 'uso de* Pratici. Col progetto di due nuove

ii^^Hcohine i>er la nautica ed una per la meccanica, e con alcune osservazioni

^pra de'poligoni rettilinei regolari. Del Conte Giambattista Suardi.

b Brescia MDCCLII. Obwohl dieses Werk noch durchaus nicht so alt ist,

^^ zu Yermuthen, dass sdbes so äusserst selten sei, so überzeugten wir

^^ doch, dass Suardi in der Geschichte der Mathematik nur zu wenig

bekannt ist. Seine Versuche, verschiedene Curvengattungen, und zwar sowohl

(^Qrven höherer Ordnung, als auch solche, welche in 4^ transcendente

^biet fallen, durch mechanische Instrumente zu construiren, erscheinen

^^ aber nm so beachtenswerther, als gerade auch in neuester Zeit die

^^ung ähnlicher Aufgaben mehrere Mathematiker beschäftigte. Wir finden

*** der Geschichte mehrfache Erwähnung von den Instrumenten, die zur

Verzeichnung der Eegelschnittlinien bestimmt sind, und etwas Weniges über

^^rkzeuge, durch welche alle oder mehrere Fälle einer gewissen Problem-

Attäng erledigt werden können. Der Schöpfer der letzteren Methode war,

^e Schanz* und mit Bezug auf Letzteren auch Günther** berichten,

* Schanz, Der Cardinal Nicolaus von Cusa als Mathematiker. Bottweil

^ Dr. 8. Günther, Studien zur Geschichte der mat\iema\AA^\i%kTiQ(^^^TV^v^»
^mi0i$f§. 8,348.

ifc AHbJg. d. Z9itMohT. t. Math. n. Pbyi. XXX, 1. ^

rfj*t.

Historisch - literaiische Abtheilung.

Nicolaus von Cues. In letzterer Zeit sind von Emsmann Transpor-
teure mit fest aufgetragenen Curven dritter und höherer Ordnung zur
Lösung des Problemes der Winkeltheilung anempfohlen worden;* aber
von Versuchen, die sich denjenigen des Grafen Suardi nähern spricht die
Geschichte der Mathematik fast gar nicht. Was schliesslich die Person des
Verfassers anbelangt, so denken wir, dass ihm schon aus dem Grunde
eine verdienstvolle Stelle unter den Erfindern zugedacht werden muss, als
wenigstens einer seiner Apparate bei verschiedenen Maschinen eine schöne
praktische Anwendung fand. Unseres Wissens hat es doch einen Autor
gegeben, der sich bei Verfassung eines grösseren Werkes bemüssigt fand,
dem Brescianer besonderes Lob zu spenden. Es war dies der auf dem
Gebiete der Instrumentenkunde sowohl in theoretischer, als in 'technischer
Hinsicht verdienstvolle Engländer George Adams,** dessen ürtheil wir
später anzuführen haben werden.

Zu den voranstehenden Zeilen, welche den nachfolgenden Blättern so
zu sagen eine gewisse Existenzberechtigung zu verschaffen haben, möge
noch die Bemerkung dazu gesellt werden, dass das Werk Suardi*s zwei
Briefe des Jesuiten Boscovich über die mathematischen Eigenschaften der
Cartesischen Ovalen und eine Reihe von Untersuchungen über die regel-
mässigen Vielecke enthält, die manches Interessante enthalten.

Lidem wir zur Beschreibung einiger der wichtigsten Instrumente von
Suardi übergehen, bemerken wir, dass die durch einfache Linien skizzirten
Apparate aller technischen Details entblösst erscheinen, da es sich hier
nur um die Erklärung der Principien — der Theorie der Functionsweise —
handeln kann. Der Techniker und Mechaniker, der nähere Kenntnisse über
constructive Details verlangt, muss sich wohl das Original werk verschaffen,
welches 283 Gross - Quartseiten mit 23 Tafeln enthält und in jeder Hinsicht
erschöpfende Auseinandersetzungen liefert.

Zweifelsohne ist die geometrische Feder das wichtigste der In-
strumente. Adams äussert sich über dieselbe folgendermassen : „Obschon
verschiedene Schriftsteller der Krümmungen erwähnt haben, welche ver-
möge einer zusammengesetzten Bewegung zweier Zirkel entstehen, deren
einer sich um den andern rund herum bewegt, so scheint doch keiner
diesen Grundsatz angewendet und in Ausführung gebracht zu haben, als
J. B. Suardi. Seit einiger Zeit ist er sehr vortheilhaft bei der
Dampfmaschine von den Herren Watt und Bolton angewendet
worden: einlSeweis unter vielen anderen, nicht blos in Rück-

♦ a a. 0.

** Geometrische und graphische Versuche oder Beschreibung der mathema-
tischen Instromente, deren man sich in der Geometrie, der Civil- und Militär-
Vermessung etc. bedient Von George Adams. Mathematischer Instrumenten-
mmober 8r. MajeMi and OpticuB 8r. Königl. Hoheit des Prinzen von Walesf
DeuUob vonJ. 0. Geissler. Leipsdg 1795.

Die mathematischen lastrumeiite des Orafen 0. Suardi. 3

aicht iler Änwend barlceit dieser Speculatiooeu, BOndcrn au:;b m
Ravkaicbt der Vortheile. welche die höhere Mathematik in den Händen
DiDej sinnretcbcu Mechanikers gewShrt. VieltPiebt hat es noch nie ein In-
etrument gegeben, welches so verschiedene ErSrnnrnngen zeichnet, als eben
die genmetrische Feder; der Verfasser erwähnt deren 1273. welche
•lAdurch in einfacherer Form, nnd vermöge der wenigen Rfider. die dazu
gehören, beschrieben werden können."

Die geometrische Feder bat abo jene Carven zu verzeichnen, welche
danb die rusam nie n gesetzte Bewegung zweier Zirkel entstehen, deren einer
sich nm den andern rund herum bewegt, unsere Fig. 2 hat die Bestim-
ninDg. dieseä Instrument durch eiufache Linien erklärlich zu machen.*

Man denke sich eine um £* drehbare Alhidade M N, nnd über dem

Mittelpunkte Q derselben einen fixen C;linder TZ. Die verticale Aze des

Cylindeiä liegt genau Über dem Drebangspunkt der Alhidade. itm sei ein

»zweiter beweglicher Cylinder, welcher bei einer eventuellen Drehung den

Stift .S' mitnimmt. Der Cylinder r mit dem Stifte S sind durch den

Schieber nn mit einander verbunden, der längs des Ausschnittes .ly der

A^lliidade hin und her verschoben nnd durch die Druckschraube C in jeder

t>oliBbigen Lage fixirt werden kann. Von einem Punkte des grösseren

f'ylmders T führt eine Schnur Tm zum kleineren Cylinder. die mehrere

Wale iira leMeren gewickelt und endlich an denselben befestigt iat. Dreht

»»«n nun die Alhidade .Wfl' im Kreise herum, so beschreibt der Ponkt r

*i^n Weg 2, 3, 4. Ö, 6 etc. Gleichaeitig wickelt sich aber der Padea

^nf die Mantelfläche des Cylinders TZ auf und von der Mantelfläche des

*^>linder8 r ab. In dem Maasse alwo als r um (t herumgeführt wird, beschreibt

^"»eb der Stift .S eine Curve, deren Form und Eigenschaften durch folgende

^^•doren bestimmt werden. Erstens durch das beliebig einzustellende Ver-

^VtuiM der beiden Halbmesser Rr -. SS; zweitens durch den Halbmesser

*i«r Cylinderbosis ; drittens durch die Lage des Fadens, je nachdem dieser

'^■«30 T Ober m oder Ober d um den kleineren Cylinder gewickelt wird.

^^in siebt ohne Weitares . dass die Curven . welche damit zu verzeichnen

*S«il, bis ins unendliche wachsen können. Die durch Adams angegebeen

^ahl bezieht sich somit auf ein ganz bestimmtes Exemplar. Bei der wirk-

'**lipn Ausführung des Apparates werden Schnur und Cylinder besser durch

^ihorHder ersetzt. Man hat drei der letzteren, indem das dritte Zahnrad

**>* Vtrbindung zwischen f und r heralellt Jeder Leser erkennt sofort,

'**« dieses Princip bei zahlreichen Instrumenten jeder Gattung Verwendung

^Mt^. to bei den Dampfmascbineu . bei den Planetarien, bei den Dromo-

••topen von Pangger nnd Garbich etc. etc.

1

* Einige dieser Curveo wiirdeu durch den V. Ca:
■»«4t Tnu« SU" Je Maf-Üematique. Dca Uspew

J

Historisch - literarische Abtheilung.

Einfach wie möglich im Princip ist ein Apparat , welcher dieEonchoide
des Nicomedes verzeichnet.

j4B ia Fig. 3 ist ein Beissbrett, worauf sich ein Gestell CDE'F
senkrecht darüber aufgeschraubt befindet DE\ GH stellen zwei zum Brett
parallele Etagen vor , . welche mit einer Furche versehen sind. Ein Arm
iVrj. DE, der bei iV einen Stift NO ±NM trägt, kann längs der DB
verschoben und in jeder beliebigen Lage durch die Druckschraube M firirt
werden. Ein zweiter Arm QS^ dessen Armlängen innerhalb der durch die Dimen-
sionen des ganzen Apparates gestatteten Grenzen beliebig eingestellt werden
können, greift mit einem Stift P in die Furche GH. Die Seite QP des
Armes enthält ihrerseits eine zweite Furche, durchweiche der fixe Stift i^O
hindurchgeht. An den Enden Q und S befinden sich zwei senkrechte
Stifte QR und SE. Die Function des Apparates ist einfach. Ist NT
durch die Schraube M senkrecht auf DE unverrückbar eingestellt, so bildet
0 den Pol der Curve. Ist 0' m 4ie Projection der iVM, n die Projection
von P, O'E die Projection von QS, so bildet mO'n den veränderlichen
Polarwinkel, n E die constante Länge des Badiusvectors von der Leitlinie bis
zur Curve. Verschiebt man somit den Arm QS läugs der HG, so beschreiben
die Stifte E und R zwei Konchoiden. Mit diesem Instrument können auch ver-
schiedene andere Konchoiden, so jene mit kreisförmiger Basis, entworfen werden.

Dieser Maschine ist eine andere sehr ähnlich, welche die Logarith>
mica von Neper und die Trajectorie von Claudius Perralto zu
verzeichnen hat. Die Leitlinie ist, wie früher, ein Parallelopipedon mit ein-
geschnittener Furche. Auf diesem bewegen sich zwei Schieberlineale, eines
senkrecht auf die Leitlinie und durch eine Druckschraube feststellbar. Das
andere hat eine Furche und gleitet längs eines am Parallelopipedon ver-
schiebbaren Pivots. Diese Maschine wurde jedoch früher schon durch den
Marchese Polen! erfunden und Suardi giebt an, nur eine Modification
derselben eingeführt zu haben.

Die Fig. 4 veranschaulicht ein Instrument, womit die Cissoide von
Diocles und auch die Curven von Carrd gezogen werden. Um den Mittel-
punkt C eines gedachten Kreises LNPR ist eine Kurbel CR drehbar. An
einen Punkt P desselben Kreises istj die Tangente PD angelegt, welche
aus einer Schiene besteht. Ein aus durchbrochenen Linealen gebildeter
rechter Winkel ist mit dem Scheitel und um diesen drehbar in P befestigt;
ein zweiter, ebenso gebildeter rechter Winkel gleitet mit einem Pivot
oder Schieber D längs der Schiene Px. In die Furchen der PF und LD
greift der Zapfen R, welcher sich am beweglichen Ende der Kurbel CR
befindet. Das Lineal LD erhält eine zweite Führung durch das Pivot Z
noch, welches in die Furche des ersteren eingreift Endlich kreuzen sich
die Arme Py, DB mit ihren Furchen in einem (beweglichen) Punkte M,
der den Träger einea Stiftes bildet Wird nun die Kurbel derart gedreht,
^^ über CP falle , so hat man folgende &\ä!L\mi^ de^ \ti'i^xvvxsk«QXi^«

B und D vereinigen sich m P. DB ist senkrecht auf L P, somit bildet D B
die Verlllügermig der Tangente Px. Die PF deckt sich mit der Px und
die Py mit der PZ. Der Stift M liegt über P. Dreht man die Kurbel
Yon P Über Ä bis /,, so öffnen sich die Arme PD und DB, der Schieber
M gleitet längs der /'y (oder l> B) und der an demselben befestigte Stift
beschreibt die CisBoide. Es ist in der That immer PM = BD, somit die
t'nrvB PflMeineCissoide; denn da fUr jede Steüuug /. /» = i.0 = IriO" ist and
der Winkel im Halbkreis /./,///■ auch 90" betrügt, hat man auch LPRD
= 90» and daher Z. /"M fl = 360 - ^70= 90". BPMD ist somit ein
PttTttUelogramm , ergo immer PM=RD, guod erat demonstrandum. Nimmt
man vom Instrument LOB und Px hinweg, versetzt man den Vortex D
□och ß und giebt man den Schenkeln LB nnd DB eine Führung in L
und P, bringt man endlich auf den Arm DL einen Stift an in einer Ent-
FemsDg von D=LP, so wQrde letzterer Stift bei der Drehung der Kurbel
die Curve von Carr6* beschreiben.

Schon der P. Milliet** hatte gemeint, dass diö mechanisehB Constrao-
tJOn der Quadratrix von Dinostratus leicht ausfallen müsse; wie man
Cuie solche vornehmen könnte , hat er aber nie gezeigt. Der LOsnog
dieeer, bei den alten Bestimmungen des Kreiaumfanges wichtigen Curve
**ldmet Suardi das folgende Instrument.

KAEN ist ein Rabmen, CD eine um C drehbare, wieder mit einer
pQrche versehene Älhidade, die bei (' einen Quadranten xCa trSgt. PT
i«t eine ebenfalls mit einer Furche versebene, parallel zu KN oder zm AE
^«wegliche Querleist« , deren Bewegung durch die Hülse TQ eine Führung
Ittngs der EN erhäit. (Fig. 5.) An dem Punkte j: ist eine Schnur be"
fextigt, welche bei y um eine Rolle geführt wird und an dem Obr A der
^Soise TQ das zweite *in-Ende hat. Die Dimensionen sind demrt gehalten,
<i»B wenn CD mit Ä/* übereinfBlIt, P T m Af den Quadranten CMf'tangirt.
^^rfiast man die Älhidade bei l' und dreht man sie von M bis f herunter,
*« lieht die Schnur die Querleiste von iW bis C herab. Dann beschreibt
^»B Stift 'V, der sich im Kreuzungspunkte der Furchen CD und /^ 2" befindet,
^i« Quadratrix. Selbstverständlich liegt S in M, wenn die CD mit der CM
*lbereinfallen.

Interessant sind die Curven, welche durch den folgenden Apparat ge-
>^c!met werden, da sie zu Formen fuhren, nach welchen in der Natitr
*** BlUtter der PQanzen gezeichnet zn sein scheinen. Da diese Curven
■eißea besonderen Namen erhielten, so wollen wir kurz augeben, wie sie
Entstehen. Mau' nehme in Zirkeiöffnung einen beliebigen Bogen l\ (Fig. 6)
ond Inge denselben von V gegen A und von M gegen A einige Male auf.
^ta erhKlt die Punkte 1, 2, 'A und beziehungsweise II, I, G. FUbit man

* JtitBoirea Je PAcadewie. I70G. 8. SO.
[ ■» läb. II. De indivüib, prop. 1. Descriptio Uneae (i\ia.iiia.\.TwÄft.

Historisch -literarische Abtheilong.

die Radien Ol, 02, 0 3 und die Sehnen Vg, VI VII, so sind die Dn^-
schnittsponkte F, a, 6, 0 Punkte der fraglichen Curven. Nennt man
Halbmesser des Kreises a, und legt man ein senkrechtes Coordinatensj^
mit dem Ursprung im Mittelpunkte des Kreises und zwar derart an,
die 0 V die Abscissenaxe werde , so ist die Gleichung dieser Cnrve :

1
e

ein

. l/x^ — 2ax* + a*x
— 2a — x.

In Fig. 7 haben wir ein Instrument zu ihrer Erzeugung. JB isl^
Ring, welcher auf die Papierebene gelegt und unveränderlich darauf fe^ ge-
halten wird. Die innere Peripherie desselben enthält einen zweiten be^^^eg-
lichen Ring Vndm, der mit einem Halbmesser mn versehen ist. Halbmesser
und Ring tragen eine Furche und diejenige des letzteren {scy:) ist^ der
Träger eines in jeder Lage durch eine Stellschraube fixirbaren Schie1>^s^ ri.
Eine Alhidade VD kann durch einen Haken nach Belieben in V sltm. den
festen Ring eingehakt oder wieder von demselben entfernt werden. Die

Alhidade hat eine Längenfurche; im Kreuzungspunkte S befindet sicli^ wie
fast bei allen diesen Instrumenten, der gewöhnliche Stift. Der Schieber d
und ein an demselben angebrachtes Pivot dienen der Alhidade als Fü.li.x-nng.
Stellt man den beweglichen Ring und die Alhidade (letztere verm5^^ der
Führung d) derart ein, dass, wenn V M einen Halbmesser des fixen Ring'es ^ B
vorstellt, Centri Winkel Fz = Centriwinkel MD gleich sei, und fUhrt man
um den beweglichen Ring im Kreise herum, so beschreibt der Stift S die
fragliche Curve.

Wir unterlassen die Beschreibung eines weiteren Apparates zxv^ Be-
schreibung der Cykloiden, da die vorangeftthrten Instrumente im Allgenc^^inen
die Charakteristik der Erfindungen Suardi's zur Genüge bezeichnen. Origi-
neller ist erst sein Compasso loxodromico, ein Apparat, worEx^*^ ^^
Loxodrome auf der Kugel und ihre stereographische PolarprojectioKx^ ? die
logarithmische Spirale, erzeugt werden können. Da aber dasselbe z'U ^^
nautischen Diagramm -Instrumenten oder zu den nautischen Rechenmas <3hinen
gezählt werden kann, die wir in der Central -Zeitung ftlr Optik an<3 Me-
chanik Nr. 21, Jahrg. 1884 beschrieben haben, so unterlassen wir, da^ dort
Gesagte hier noch zu wiederholen.

Recensionen«

Lehrbüoh der Theorie der periodischen Fnnotionen einer Variabein mit
einer endlichen Anzahl wesentlicher Discontinnitfttspnnkte, nebst
einer Einleitung in die allgemeine Fnnctionentheorie. Von Dr.
Otto Rausenberoeb. Mit in den Text gedruckten Figuren. 8^.
VIII u. 476 8. Leipzig, B. G. Teubner. 1884.

Ein gutes Buch zur richtigen Zeit! Gerade jetzt, wo die Theorie der
transcendenten eindeutigen Functionen durch Weierstrass neu gegründet
ist und insbesondere die Functionen mit linearen Transformationen in sich,
von verschiedenen Seiten her behandelt, zu einem der wichtigsten Capitel
der neueren Analysis sich gestalten, ist eine geschlossene, von den Ele-
menten ausgehende erste Einleitung in dieses ganze Begriffssystem für
den Studirenden noth wendig geworden, und eine solche bietet das vor-
liegende Werk.

Der Verfasser versteht unter „periodischer" Function eine Function,
welche bei eindeutiger, insbesondere linearer Substitution für das Argument
sich nicht ändert, und behandelt hauptsächlich die Exponentialfunction
und die einfach multiplicativ - periodischen Functionen , aus welch' letzteren
die doppelt additiv - periodischen Functionen mit einem wesentlich singulären
Punkt , die elliptischen Functionen , durch einfache Umgestaltung des Argu-
ments hervorgehen.

Der Ausgangspunkt ist die Weierstrass'scbe Definition der analy-
tischen Function durch die Potenzreihe; und die Darlegungen gehen einfach
und systematisch durch die Haupttheile der Analysis hindurch bis zu den
eben genannten Functionen hin, während alle weiteren Betrachtungen der
Functionentheorie , insbesondere die Integration im complexen Gebiete, bei
Seite gelassen werden.

In der Behandlung der elliptischen Functionen selbst schliesst sich
der Verfasser mehrfach ziemlich eng an die Eönigsberger'schen „Vor-
lesungen"' an. Deren Auffassung als Function des Moduls, die Theorie
der elliptischen „ Modulf unctionen '^ und überhaupt der Functionen mit
mehreren nicht vertauschbaren Transformationen in sich and mit unend-
lich vielen wesentlich singulären Stellen, worüber in diesem Buche nur
erst kurze Andeutungen gemacht werden, scheint der Verfasser sich auf
eine Fortsetzung des Werkes vorbehalten vo, ^woWesu T^vnii ^«c^^tl V^sSSssb^t
lieh auch die xDtoreesantesten Theile dioBex T\itOTVsa^ ^«t "Lxueg^soDa&ss^^a»^

8 Historisck- literarische Abtheilung.

der Transcendenten mit der Theorie der linearen Differentialgleichungen
zweiter Ordnung — zu dessen völliger Klarlegung freilich die Integration
im complexen Gebiete unerlässlich wird — , die zugehörigen geometrischen
Gebietseintheilungen etc., zur Geltung kommen.

Zu dem Vorzüge des Buches , bei begrenztem Thema eine geschlossene
Einleitung in wichtige Capitel der neueren Analjsis zu liefern, kommt der
weitere, dass die Darstellung überall klar und correct gehalten ist. Nur
mit der Einleitung über den Zahlenbegriff und die Bechnungsoperationen
ist Referent nicht einverstanden; denn auch die algebraische Grund-
legung erfordert es nicht, dass die Einführung der irrationalen Zahlen vor
Einführung ins unendliche fortgesetzter Operationen vorgenommen und auf
die Umkehrung - algebraischer Gleichungen , diese aber auf die Anschauung
gegründet wird.

Erlangen, im September 1884. M. Noether.

LeitfEtden der Kartenentwnrfilelire für Studirende der Erdkunde und
deren Lehrer, bearbeitet von Dr. Karl Zöppritz, ord. Professor
der Erdkunde an der Universität zu Königsberg i. Pr. Mit Figuren
im Text und einer lithographischen Tafel. (VIII u. 162 8.) gr. 8^
geh. n. Mk. 4. 40. Leipzig 1884, B. G. Teubner.

Das vorliegende Buch ist laut seinem Vorworte dem Bedürfniss des
Universitätsunterrichts entsprungen. Es will die Kenntniss der geometri-
schen Methoden, auf denen der Kartenentwurf beruht, und einen gewissen
Grad von Uebung in der Handhabung derselben vermitteln , soweit er für
jeden unerlässlich ist, der Karten mit Nutzen gebrauchen und Geographie
nicht blos dilettantisch betreiben will. Es stellt unter Verzichtleistung
aufp eingehendere Rechnung die elementar -geometrische Construction durch-
aus in den Vordergrund.

Der erste Abschnitt über Ortsbestimmung beschränkt sich auf das für
die Zwecke der Karthographie Nöthige und Unentbehrliche, zeichnet sich
durch grosse Klarheit und Präcision aus und behandelt auf nur 20 Seiten
der Reihe nach die Hauptmomente der geometrischen, astronomischen und
graphischen Ortsbestimmung. Der folgende grössere Abschnitt „Netzent-
wurfslehre" giebt zunächst den Begriff der Abbildung im Allgemeinen und
geht dann sofort auf die Abbildung der Erde auf die Ebene ein, wobei es
sich etwas befremdend ansieht, die Erde so gut wie immer als Kugel in
Betracht gezogen zu finden, nachdem kurz zuvor wörtlich gesagt worden
istt es solle im vorliegenden Werk mit der bisher fast ausnahmslos be-
obachteten und im Elementarunterricht auch nicht wohl zu umgehenden
Aaxw, daaa man anftngs die Meridiane zwischen Aequator und Pol in
^Naib (Qrade) eintheilti am in dnem «{HBtoraiL t^^^OiaaVX» tq^ VonoKso^

dsw diese Theile ungleich aiud, gründlich gebrochen, d, h. von vornherein
darauf veriichtel werden, die Erde als Kugel /.u betrachten.

Vielfach wird auf Tissot's epochemachende 3 Werk: Mtmolre sur la
reprcsentatiou des surfaces et les projections des cartes gOographiques,
Paj'js. Gftutbier-Yillars, I68I, hingewiesen, die TJBtiot'sche Terminologie
wrird neben der sonst gebrUuc blichen eingelllhrt, und nach den drei wich-
tig^tcQ Anforderungen, die man an eine Abbildung stellen kann, werden
die Ürappen der winke 1 treuen . flüchentreuen und mittel abatands treuen (oon-
Toz-men. U(|uivalenten und äquidistanteu) Abbildungen unterschieden.

Diesen Hauptprincipien der Projection sichre gegenüber eharakterisirt
sieb die gaaze Stellang dea Buches durch die Worte (S. 26): „Vom mathe-
matischen Gesichtspunkte aus betrachtet, liefert die Winkeltreue die interes-
sajiksten Abbilduiigsprobleme. Für die praktische Kartographie ist aber
<Üe Flächentreue weit wichtiger, weil geograpb lache Vergleiche zunBchst au
Kr^cheinuDgen anknüpfen, die über flitchenbaft ausgedehnte Gebiete ihre
Gldcbartigkeit oder Verschiedenheit ofl'eubaren, und weil das Planimeter
iz> der Hand der Geographen ein Instrument von zunehmender Wichtigkeit
»»t" Von diesem leitenden Gedanken ausgehend sind nun auf S. 31 — 102
di« wichtigsten Abb il Jungs arten behaudeit, erat die azimutalen oder zeni-
talen, nBmtich von den perspeoti viachen die gnomonische. orthographische,
■terographiache und eiterne; von nicht perspectiv! sc heu Posters mittel-
&l»bind£- und Lambert'a flächentreue Azimntalprojection , sowie die ge-
■^ßhnliche and Nell's modiScirte Glohularprojeotion. Hieran reihen sich die
A.Hi]duDgeD auf abwickelbaren Flächen und zwar zunächst auf einen C'ylin-
d«r, Wir finden behandelt die Plattkarten, die Caasini-Soldner'sche,
die flUchentreue . die Mercator'sche und die Centralprojeotiou auf den
Cjliniler. die Sanson-Flamsteed'ache und Mollweide'a bomalogra-
pliische Projection. An echten Kegelprojectionen finden sich die gewöhnliche
fl^aldislante . diejenige von De l'Isle. die (lachen- und winkeltreue; an
"^"echten die Bonne'sche. die gewöhnliche und die orthogonale polykoniscbe,
^»dlicb die preiiBsische Poljederprojection.

Bei alten zur Besprechung kommenden Abbildung^arten ist auf ihre

'erzöge and Mängel hingewiesen, und es wird ihre Verwendbarkeit oder

■^'chtverwendbarkeit filr bestimmte Zwecke hervorgehoben. Getreu dem

* 'ogmmm dea Buches tritt die geometrische Construction durchaus in den

"otdergrund und es ist auf Entfaltung des mathematischen Apparates so-

I» irgend möglich verzichtet. Dieses Fohlen mathematischer Entwicke-

1 macht sich aber da und dort recht empfindlich wahruehmbar, z.B.,

* hervorzuheben, bei der Mercator-Projection. Von ihr wirf

Mb gesagt, sie sei wiukeltreu, und man finde den Abstand y des '

ireiseG vom Aequator nach der Formel :

■k ' '_ ^^^^^

10 Historisch -literarische AbtheiluDg.

Die BedeutuDg dieser vielgebrauchten Abbildangsart wird sodann fttr
die Darstellung physikalischer Verhältnisse auf der (fast) ganzen Erdober-
fläche und ftlr die Schifffahrt charakterisirt, wobei auch kurz der Loxo-
drome Erwähnung geschieht. Hier hätte nun ganz entschieden mehr ge-
sagt werden müssen. Eine elementare Ableitung der obigen Gleichung,
ausgehend von der Definition der Loxodrome, wie sie z.B. in Gretschel's
vorzüglichem Lehrbuch der Kartenprojection S. 114 — 120 gegeben wird,
nebst einem Hinweis auf Mercator^s eigene Erklärung seines Abbildungs-
princips (Gradus latitudinum versus utrumque polum auximus pro incre-
mento parallelorum supra rationem, quam habent ad aequinoctialem) wäre
für einen Universitätsstudenten, bei dem man Gymnasial- oder Bealschul-
reife voraussetzt, nicht zu hoch und gewiss anregender gewesen, als eine
Gleichung, die ohne Ableitung ganz absolut hingestellt wird. Auch das
Maass der Flächenvergrösserung und die Eigenschaft der Winkeltreue der
vorliegenden Abbildung hätte sich leicht entwickeln lassen.

Dieses Beispiel statt mehrerer. Wenn auch GretscheTs treffliches
Buch mit seiner reichen Entfaltung mathematischer Hilfsmittel manchem
Studirenden vielleicht etwas zu schwer erscheinen dürfte, so ist es eben für
den mathematisch einigermassen Vorgebildeten bezüglich der eigentlichen
Projectionslehre doch ganz anders als das Zop pritz 'sehe geeignet, zum
Studium der theoretischen Kartenentwurfslehre anzuregen und dasselbe zu
vertiefen. Ja, selbst Steinhauser 's „Grundzüge der mathematischen Geo-
graphie und Landkartenprojection^' scheinen, wenn denn doch einmal wahr-
haft elementar vorgegangen werden soll, den Zweck, die geometrischen
Methoden der Kartenentwurfslehre zu entwickeln und dem Studirenden
einen gewissen Grad von üebung in ihrer Handhabung zu verschaffen, ebenso
gut zu erreichen, als das Zöppritz'sche Buch, bei dessen Literaturver-
zeichniss nebenbei bemerkt auch das verdienstvolle „ Lehrbuch der wichtig-
sten Kartenprojectionen von 0. Möllinger, Zürich 1882'* Erwähnung
verdient hätte, besonders wegen seiner eingehenden Vergleichung zwischen
der stereographischen und Bonne'schen Abbildungsweise und seiner aus-
führlichen Behandlung der Mercator-Projection und der auf dieselbe
bezüglichen Constructionsaufgabeu aus der Schifffahrtskunde.

Bedeutend werthvoller, als die Darstellung der einzelnen Abbildungs-
arten, erscheint der Abschnitt mit dem Titel: „Die Projectionen geringster
Verzerrung '^ der eine Reihe von allgemeinen Sätzen über Deformation
überhaupt und eine Auswahl von Projectionen geringster Verzerrung für
bestimmte Zwecke enthält. Dieser Abschnitt schliesst sich an das schon
erwähnte Tissot'sche Werk an, in welchem, ausgehend von dem Satze,
dass einem System orthogonaler Curvenschaaren der einen Fläche im All-
gemeinen nur ein einziges ebensolches System auf der andern Fläche ent-
ßpiicbt, als Mäass der Verzerrung an jedem Punkt der Karte eine Indicatrix
gmuumte EUipee eingeffihrt wird, deren Ax«KTOAifi!itma& %q^^^ m^^ukw!^

Recensionen. 11

auf die Länge als die Winkel den Maassstab für die Grösse der Verzerrung
abgiebt. Einige kleine Tabellen stellen je nach den an die Karte gestellten
Anforderungen die Fehler derselben für einzelne verglichene Projections-
arten zusammen, bei welcher Yergleichuug mit vollem Becht wiederholt
auf die bedeutenden Mängel der von den Kartographen so oft angewandten
Bonne'schen Projection hingewiesen wird, die endlich einmal aus unseren
E^artenwerken verschwinden sollte.

Befremdend bei diesem an sich werthvollen Theil des Buches ist
zweierlei. Einmal die auffallende Bevorzugung dar flächentreuen Abbildung
vor der winkeltreuen, die, wie schon erwähnt, gleich zu Anfang des Buches
gewissermassen als eine Art von Programm desselben hingestellt wird.
Nun hat aber die Winkeltreue nicht nur deshalb Bedeutung, weil sie dem
Mathematiker die interessantesten Abbild ungsprobleme bietet; vielmehr ist
sie genau betrachtet diejenige Forderung, die einer kartographischen Dar-
stellung gar nie erlassen werden darf. Es sollten, wenn anders die Karten-
zeichner ihre Aufgabe richtig erfassen wollen, nur noch winkeltreue Abbil-
dungen geschaffen werden, und das aus dem einfachen Grunde, weil die
erste und Hauptforderung an jede Karte die ist, dass sie ein möglichst
treues Bild des dargestellten Erdraumes gebe. Dem wird aber nur genügt
durch die Winkeltreue im Einzelnen, wobei man sich durch etwaige Ver-
zerrungen der Contouren im Grossen und zu starke Krümmung der kürzesten
Linien nicht abschrecken zu lassen braucht, da diesen beiden Mängeln, wie
sofort gezeigt werden soll, abgeholfen werden kann. Die Flächentreue hat
dem gegenüber in den Hintergrund zu treten; denn was nützt es, den Ver-
breitungsbezirk irgend einer physikalischen Erscheinung auf der Erde flächen-
treu abgebildet zu sehen, wenn dabei jeder einzelne Winkel verzerrt, also
das ganze Bild durchaus entstellt ist? Dass femer die flächen treue Abbil-
dung wegen ihrer Verwendbarkeit zur Flächenberechnung mittels des
Planimeters unentbehrlich sei, scheint durchaus unstichhaltig. Beim Karten-
maassstab derjenigen Länder, bei denen der Flächeninhalt nur mit dem
Planimeter bestimmbar erscheint, kann das Resultat doch nur höchst un-
genau ausfallen; bei den Ländern aber, über die wir Karten in grossem
Maassstabe besitzen, liegen auch directe Inhaltsmessungen vor, so dass in
beiden Fällen das Planimeter entbehrt werden kann.

Was weiter an dem genannten Abschnitt tadelnswerth erscheint, ist
das vollständige Ignoriren zweier schon seit längerer Zeit veröffentlichten
hierher gehörigen Arbeiten von Fr. Eisenlohr.* Die erste derselben
leitet mathematisch ab, dass, wenn man bei conformer Abbildung alle
Kartenpunkte gleichen Maassstabes durch sogenannte isometrische Linien

♦ 1. üeber Flächenabbüdong. Jo»*"-' feÄ^UaSÖDÄa^i^i..

Bd. 72 8. 14S ügg, 2. üeber K»*- "^ ^^

Erdkunde s» Bteiia, Bd. 10 &Ü

14 Historisch -literarische Abtheilung.

-„-V .** ^ .^rf^* •■ -^V-.'-V.'"

rein geometrische Ableitung des Winkelbegriffs, welche den Vorzug besitzt^
unmittelbar als Verallgemeinerung des gewöhlichen Winkelbegriffs erkennbar
zu sein. Sehr einfach gestaltet sich die Untersuchung der m - dimensionalen
Eugelgebilde. . Dieselben stellen höhere Riemann*sche Raumformen
dar, deren Krümmungsmaasse ein Minimum besitzen, welches gleich ist dem
Krümmungsmaasse desjenigen /i - dimensionalen Gebietes, in welchem die
Kugelgebilde betrachtet werden. Hervorzuheben ist die Bemerkung, dass
in jeder n - dimensionalen Lobatschewsky *schen Raumform R i e m a n n 'sehe,
euklidische und L obats che wskj 'sehe Raumformen von geringerer Dimen-
sionenzahl enthalten sind, dagegen in jeder Rie mann 'sehen wieder nur
Rie mann 'sehe, ein Resultat, welches man sich übrigens durch die auf
dem einschaligen Hyperboloid einerseits, auf der Kugel andererseits mög-
lichen Linien verdeutlichen kann. Weiter wird gezeigt, wie die von Dan -
delin und Quetelet gegebene Ableitung der Kegelschnitte aus dem
geraden Kegel (mittels zweier die Schnittebeue und den Kegelmantel be-
rührenden Kugeln) sich unmittelbar aus der euklidischen in eine nicht-
euklidische Raumform Übertragen und daselbst zur Grundlage einer elemen-
taren Theorie der Kegelschnitte machen lässt. unter quadratischen
Gebilden von n — 1 Dimensionen versteht der Verfasser solche, welche
durch eine homogene quadratische Gleichung zwischen Weierstrass'schen
Coordinaten dargestellt werden. An diese Gebilde schliesst sich natur-
gemäss die Polarentheorie nebst der Darstellung der Gleichung durch Qua-
drate linearer Functionen der Coordinaten. Von der Zahl der hierbei
auftretenden negativen Quadrate hängt die' Anzahl der auf dem Gebilde
liegenden Geraden. Ebenen und ebenen Gebilde ab. Der Verfasser wendet
sich dann zu den metrischen Eigenschaften dieser quadratischen Gebilde,
zunächst im endlichen Räume. Diese Eigenschaften hängen mit der von
Weierstrass gelösten Aufgabe zusammen, die beiden quadratischen Formen

9 (j-Q «j ... a:„) und co = Af*a'„^ + rr,*-f ...+ a:„«
durch die Summen derselben Quadrate darzustellen (Berlin. Monatsber. 1868,
S. 310 flgg.). Der Verfasser zeigt im Einzelnen, welche Eigenschaften des
quadratischen Gebildes mit den verschiedenen Fällen von Gleichheit und
Ungleichheit der (von Weierstrass bei der Behandlung jener Aufgabe
eingeführten) „Elementartheiler** zusammenhängen. Diese geometrische
Deutung analytischer Thatsachen ist eine der interessantesten Partien der
Killing'schen Arbeit und beweist gleichzeitig, wie wenig es ohne die
Resultate der transcendentalen Geometrie möglich sein würde, für gewisse
analytische Thatsachen das geometrische Aequivalent aufzufinden. Es werden
weiter ähnliche und confocale quadratische Gebilde betrachtet und die Ver-
änderungen dargelegt, welche die Theorie der quadratischen Gebilde er-
leidet ^ wenn man von den endlichen zu den Lobats che wsky 'sehen Ranm-
fatmen übergebt Specielle Beispiele werden hier wie in der sonstigen
Theorie der qaadrBÜBcben Gebilde aus dem imdSmonssAioia^^^ Qi^a^ \utt-

Becensionen. 1 5

genommen. Zam Schluss wird bemerkt, dass u. A. auch die von Jordan
flijr euklidische Raumformen gegebene Theorie der Krümmungen einer Baum-
coire durch den Uebergang in nichteuklidische Baumformen sich nur un-
freventlich ändert

Es sei schliesslich noch erwähnt, dass Herr Ki Hing in einer neueren
Al>bandlong (Programm des Lyceum Hosianum in Braunsberg, Michaeli
1 8S4) eine weitere , auf dem Begriff der Bewegung beruhende Verallgemei-
nenmg des Baumbegriffes gegeben hat, die ihn zu nichtprojectivischen
Rckumformm führt, Formen, von denen bisher nur eine einzige (in einer
A.l>bandlung des Verfassers in Borchardt*s J., Bd .89 S. 284) betrachtet
sein scheint.
Waren. ^- Schlegel.

Bl^mentar- synthetische Oeometrie der gleichseitigen Hyperbel. Von
A. MiLiNOWSKY (Weissenburg i. E.). Leipzig, Teubner. 1883.

„ unter allen Kegelschnitten ist keiner der elementaren Behandlung so
Kix^[ftQglich, wie die gleichseitige Hyperbel, und trotzdem besitzt unsere
^s^sthematische Literatur kein Buch, welches die Eigen<:chaften derselben
K~x^ elementarer und einheitlicher Weise im Zusammenhange darstellt. Dieses
Ziel hat sich der Verfasser in vorliegendem Werkchen gesteckt und hofft
^^^urch Allen, welche Beruf oder Neigung zur elementaren Betrachtung
^^r Kegelschnitte führen , keine unwillkommene Gabe darzubringen. Nament-
Lich aber hofft er dadurch auch dem Gedanken, dass das harmonische Ge-
uiJde ein durchaus elementares ist, weitere Geltung und der Anwendung
^G8flelben in der elementaren Geometrie grössere Ausbreitung zu ver-
^<2luiffen."

Mit diesen Worten schliesst die Vorrede des vorbezeichueten 135 Seiten
^^ken Schriftchens. Unter allen Kegelschnitten ist zweifellos der Kreis
^^ einfachste und der elementaren Behandlung zugäng ichste Curve. Dann
^^^hnet sich die Parabel durch viele höchst einfache Eigenschaften aus
^iid hat zudem den (nicht ganz zu ignorirenden) Vortheil, dass einfache
^'^ysikalische Betrachtungen auf diese Curve führen. Manche Eigeuthüm-
^^keiten derselben jedoch, insbesondere die durch die Lage ihres Mittel-
punktes bedingten, liegen dem von der Kreisgeometrie kommenden An-
^ger weiter ab, und somit ist es doch mindestens zweifelhaft, ob nicht
^^ gleichseitigen Hyperbel, diesem Zerrbilde des Kreises, wirklich
*^ Siegespalme grösserer Einfachheit und leichteren Zuganges gebührt.
Der Inhalt unseres Buches gliedert sich in sieben Paragraphen, ?on
^^«len der erste die üeberschrift: „Punkte und Tangenten" flUirt fie

^^^idftmentalen Bedeutung dieses ersten Abschnittes mag ea goiteti
^^iDMlben eine eingehendere Besprechung zu widmen» \a^ «^.9
^edbüam deutlich geworden, so dürfen wir nna im

16 Historisch - literarische Abtheilung.

da die vorgetragenen Materien im Granzen nicht neu sind und dies ja auch
keineswegs sein wollen.

Den Ausgangspunkt bildet der Sache nach die Oleichung der auf
die Asymptoten bezogenen Curve, nftmlich xy = q*. Dann werden in sehr
einfacher Weise die Begriffe Potenz {= g^, inneres und äusseres Ge-
biet, Asymptoten, Mittelpunkt, Durchmesser, Axen gewonnen.
Es folgt der einfache und in den Anwendungen fruchtbare Satz: „Jede
Secante der gleichseitigen Hyperbel wird von dieser und den
Asymptoten in äquidistanten Punkten geschnitten; Zu den
Tangenten ist ebenfalls der Zugang ein natürlicher: Jede Tangente
der gleichseitigen Hyperbel begrenzt mit den Asymptoten ein
Dreieck von constantem Inhalte. Man erkennt nun durch einfache
üeberlegungen, dass die Tangenten in den Endpunkten eines Diameters
parallel sind, und den wichtigen Satz, dass eine beliebige Sehne der gleich,
seitigen Hyperbel den Endpunkten eines Diameters unter gleichen bez.
supplementären Winkeln erscheint. Die ümkehrung dieses Satzes, welche
als selbstverständlich nicht bewiesen, ja nicht einmal als besonderer Satz
erwähnt ist, gewährt nun die Einsicht, dass der Höhenpunkt eines
jeden der gleichseitigen Hyperbel eingeschriebenen Dreiecks
auch auf derselben liegt. Aus den Folgerungen heben wir besonders
zwei hervor. Erstens den theoretisch wichtigen Satz, dass eine gleichseitige
Hyperbel von einem Kreise höchstens in vier Punkten geschnitten wird;
zweitens den für Aufgaben fruchtbaren Satz: Wenn ein Kreis eine gleich-
seitige Hyperbel berührt , so schneidet er sie noch in zwei Punkten , deren
Verbindungslinie auf dem Durchmesser des Berührungspunktes senkrecht
steht Bei dem Herrn Verfasser erscheint dieser Satz als Umkehrung eines
andern, wie uns scheinen will, weniger anschaulichen. Hiermit gelangt
man nun zum Krümmungskreise und zu dem Feuerbach'schen Kreise,
der durch den Mittelpunkt der Hyperbel geht. — Die Beziehungen der
Hyperbel zum Kreise sind hiermit dargelegt. Analytisch gewinnen die-
selben eine besonders merkwürdige Form, wenn man von der Darstellung
der Coordinaten durch hyperbolische Functionen Gebrauch macht.
Setzt man nämlich x = a (Sof Uj y=a @in u , so ist jedem Punkte der
Hyperbel ein Argument u zugeordnet. Schneidet nun ein Kreis die Hyperbel,
so ist die Summe der hyperbolischen Argumente der vier Schnittpunkte
Null (oder 2n;i).

Insbesondere schneidet der Krümmungskreis mit dem Berührungspunkte,
dessen Argument u ist, die Hyperbel in einem ferneren Punkte, dessen
Argument — 3t< sein muss. Daher kommt die Aufgabe, welche Herr
Milinowsky Seite 55 Nr. 83 löst, auf die Dreitheilung eines ge-
gebenen hyperbolischen Sectors hinaus. (VergL hierzu Salmon-
FiedleTf Kege]Bchmi^%, Art. 2Ö2, wo der entsprecliende Satz für die Ejreis-
faaotionen AUBgeBprochen ist, und bezügVicVi dQrN«c^«!i^xm% \iy\«t\^^Vystf^^

wr

Beoenaionen.

■17

Argaaenie u. A. die interessante Schrift von S. Günther, „Parabolische
'Vigononielrie". Teuboer.)

Da Verfasser wendet sieh nunmehr den gegenseitigen Be^iehangen
ffl^Jchseiliger Hyperbeln zu. Die früher gewonnenen Sätze lassen hier
J&itfht erkennen, dass durch vier Pnnkte eine gleichseitige Hyperbel
i» ^stimmt ist nnd dass zwei gleichseitige Hyperbeln, welche sich in drei
f***.iilrten schneiden, den Höhenponkt des eingeschriebenen Dreiecks zum
'"i-«*rten Schnittpunkte haben. Die Gesamnitheit aller gleichseitigen Hyper-
l*^3lo. welche einem Dreiecke umschrieben sind und durch dessen HSben-
I>«ankt gehen, bilden einBUschel. Die Mittelpunkte dieses Büecbels liegen
a.^=»-f einem Kreise. Es folgen einige harmonische (projectivische) Eigen-
c«="fcaflen. von denen wir den Satz, dass eine Asymptote und zwei Tangen-
ii^9Vi zwei gleichseitige Hyperbeln bestimmen, erwähnen.

Die jetzt folgenden SStze ziehen die bekannten tligenschafteu des

t^LvüibUachels heran nnd so gelangen wir zu der Eineicht, dass der

CI>vt der Mittelpunkte aller einem Dreiecke eingeschriebenen gleich.

K^sitigen Hyperbeln ein Kreis um den Hühenpunkt dieses Dreiecks ist.

^^►"«Icher den Umkreis desselben rechtwinklig schneidet. Als leichte

fc?™ «Igerun gen erhält man dann die wichtigen Sätze, dass durch vier Taii-

^T^aiten zwei gleichseitige Hyperbeln bestimmt sind und zwei gleichseitige

ISjperbeln aich mindestens in zwei reellen Punkten schneiden. Der

l^totere Satz ist um so interessanter, als wir hier ofl'enbar den Speeialiall

'^ =2 des bekannten Gans b 'sehen Beweises von der Anzahl der Wurzeln

^uer Gleichung u*'" Grades vor uns haben. Diese Bemerkung hätte auch

*ler Verfasser machen und erhörten dürfen.

MCgen einige Randbemerkungen hier beigefügt werden. S. 7. in 9c,
*beo8oS.21 in Nr. 26. S. 24 in Nr. 30 und S. 56 in Nr. 84 giebt Verfasser

I*'J<| Ijach«taben ähnlicher Dreiecke nicht in richtiger, ähnlicher Reihenfolge.
Porner muss es wohl S. 5 in Nr. 7a statt 2?* heiasen 4s^ wie ^uf S. 24.
*o sogar auf diese Stelle verwiesen wird, richtig zu lesen ist." In Pig. 4
«eht^Q dl« in, i'ext vorkoranienden F, F,, Durch 14 a wird 12 eingeschränkt,
*K(i nicht ausdrücklich bemerkt wird; bei 12 hätte also der Zusatz ,,im AU-
V^cncincn" nicht fehlen sollen. Der Beweis des Satzes in Nr. 19 geht wohl
"oth einfacher ans der Aufgabe hervor, einen (zwei) Punkt zu bestimmen,
^p von drei gegebenen Punkten Abstände hat, die sich verhalten wie
"* = M-.p. Ebenso oder noch mehr macht der Beweis des Satzes in 21a
^**>«n etwas ..mUhaamen" Eindruck.
^^^ Hiiirrait glaoben wir den ersten Abschnitt des Buches hinretcbend

^^^^^«uvktertsirt zu haben und werden ims von jetzt ab aus oben angegebenen
^^^E**11nden grösater Kürze beSeissen.

^^V Der iweite Abachnitt behandelt die coujugirten Diameter, die

■* leichuDjT der Hyperbel und in etwas langweiUget Da,Tft\*\Vavig A%iv^)iäKftM&-
I Nr. 27 d.

18 Historisch -literarische Abtheilung.

Der dritte führt die Ueberschrift: Die Brennpunkte. Die einschlägige
Theorie ist interessant und originell.

Gleiches Lob spenden wir gern dem folgenden, welcher die Polar -
eigenschaften zum Gegenstande hat.

Der fünfte Abschnitt sucht die gleichseitige Hyperbel auf dem geraden
Kreiskegel auf.

Der sechste liefert Ergänzungen und Aufgaben. Dabei ist der Erüm-
mungskreis sorgfältig behandelt, auch wird die Dreitheilung des
Winkels und das Delische Problem mit Hilfe der gleichseitigen Hyper-
bel gelöst. Femer heben wir die Erzeugung dieser Curve aus der
Geraden und eine physikalische Eigenschaft (Benetzung zweier
Glasplatten) anerkennend hervor.

Der letzte Abschnitt behandelt die übrigen Kegelschnitte, insbesondere
zunächst die allgemeine Hyperbel.

Fassen wir zusammen, so haben wir eine Arbeit vor uns, welche
dem wissenschaftlichen Sinne des Verfassers Ehre macht. Das Streben
desselben nach möglichst elementarer Darstellung ist oft von glücklichem,
vielfach von befriedigendem Erfolge begleitet, und so wird das Büchlein
in den Kreisen, auf welche es berechnet ist, gewiss als eine willkommene
Gabe erscheinen.

Coesfeld, im August 1884. K. Schwbrino.

Lehrbuch der ebenen Geometrie mit TTebungBaui^ben für höhere Lehr-
anstalten. Von Dr. Th. Spieker, Professor am Realgymnasium in
Potsdam. Verlag von A. Stein in Potsdam. Sechzehnte verbesserte
Auflage.

Sechzehn Auflagen zu erleben, ist nicht jedem Buche beschieden. Selbst-
verständlich tritt man daher an die Beurtheilung einer Schrift, welcher dies
Glück zu Theil geworden ist, so oft aufgelegt worden zu sein^ mit nicht
niedrig gespannten Erwartungen heran. Insbesondere scheint die Aussicht ge-
rechtfertigt, dass ein solches Schulbuch den Anforderungen der Lehrpraxis in
hervorragender Weise entsprechen müsse. Allein auch für die wissenschaft-
liche Seite der Stoffbehandlung darf man Gutes hoffen; denn bei dem er-
folgreichen Streben und Ringen , welches die Mehrzahl der neueren Schul-
bücher vortheilhaft auszeichnet, kann ein unwissenschaftliches Machwerk
die Concurrenz nicht mehr bestehen.

Das vorliegende 326 Seiten starke Lehrbuch gliedert seinen Inhalt in
vier Cursus.

Der erste geht nach einer Einleitung zur Besprechung der Lage

gerader Linien über', handelt von den ebenen Figuren im Allge-

meinen, von der Congruenz der Dreiecke und von den Parallel o-

Wir beben aus dem ersten Carsus das Folgende hervor.
I werden die Begiiffe Gerade, Strahl. Strecke definirt nn^ dann
der Winkel im §10 erklärt ..Der Theil der Ebene, welcher zwischen
x^«i von einem Punkte ansgehenden Strahlen Hegt. heiBst ein Winkel oder
Wiakelraiim.'- In g 19 wird der Grundsatz aufgestellt: ., Durch einen Pankt
wsserbalb einer Geraden iäast sich in der Ebene st«t3 eine aber auch nnr
»ine gerade Linie ziehen, welche beliebig weit verlängert, die erstere nicht
aclneidet." Hierdurch ist die Definition der Parallelen zugleich gegeben.
Deno CE heis^t sofort weiter: „Zwei gerade Linien in einer Ebene, welche
t>eliebig weit verlängert sich nicht schneiden , heissen parallel." Den Schi ubb
btlfisn 27 Uebungsaufgaben.

Die Darstellung hält sich von trockener Kürze ebenso fern, wie von
eix-XDfld ender Ausführung selbstverständlicher Kleinigkeiten. Durch den Druck
lall das Wichtige vom Uowichtigen passend ftlr den Änßinger geschieden.
In den Üebnngsaufgaben kehrt derselbe Gedanke in verschiedener Fassung
wieder and fordert so zur prScisen . lagisch scharfen Behandlung gebie-
t«n»ch auf.

Dieselben glücklichen Eigenschaften kann man den übrigen Abschnitten
''es emten Curaos im Allgemeinen nachrühmen. Insbesondere liefern die
^*Ö TJebungäaufgaben des dritten Abschnittes ein treffliches Mittel, den In-
••alt des Lahrvortrages zu wiederholen und lebendig zu machen.

Im zweiten Cursus handelt der erst« Abschnitt von der geome-
''"ischen Aufgabe im Allgemeinen. Der Verfasser legt die vier gewöhn-
lichen Requisite, als Analysis, Construction , Beweis, Determination dar und
siebt als Hilfsmittel der erstgenaauten, inabesondere Lehrsätze- geome-
trische Oerter und Keduction durch Data und Zerlegung an. Hiermit
'*t flir den ÄnfUoger das Niithige getagt, und Beispiele sorgen für Ver-
***utlichung, Selbstvere ländlich gelingt dem Schüler darnm nicht die LSsung
^ükbr ihm bis dahin unbekannten Aufgabe von selbst. Dazu kann nnr dos
**ttidium der Methoden, wie dies Petersen in seinem trefflichen Buche
*0 daukenswerth gefördert hat. in Verbindung mit zahlreichen üebungs-
**^pielen führen. Auch ist es keineswegs Absicht unseres Verfassers.
^^Bsondors an dieser Stelle das lebendige Wort des Lehrers IlberHüseig zu
^^^■kcbeu. Zum ersten Abschnitte 101 Aufgaben.

^^K^ Der >weit£ Abschnitt behandelt den Kreis. Wir finden die gewöhn-

*^ken elementaren Sätze über Sehne. Tangente, Peripherie wink ei u, s. w.

•^erStoff ist, wie überhaupt in unserem Buche, nicht in trockener Biacliyo-

^*^ifl. sondern mit einer gewissen angenehmen Behaglichkeit vorgetragcr

1 iosbesoudere den Sätzen, welche zu Aufgaben führen. Aufmerksamkeit

gewandt. Dazu 130 Beispiele.

Die folgenden Abschnitte behandeln der Kcihe nach die regulün
bljrffone. die OJeiüfcheit der Figuren. PT0poi\.V!jii».\S.\.1i.\. \ia4
lAaliei ke i t der Figuren. Proportionen. amXteVs«, ^.^i.^ni«»*'»-'^^

20 Historisch -liierarische Abtheilung.

geradliniger Figuren und des Kreises. Jeder dieser Abschnitte
enthält zahlreiche üebungsbeispiele. Wir heben besonders die interessante
Behandlung des Pythagoreischen Satzes, die höchst einfache und lehrreiche
Einführung des Coordinatenbegriffes in § 193 hervor und, um zu zeigen,
wie sehr der Verfasser beihüht ist, auch die historisch interessanten Gegen-
. stfinde dem SchtQer deutlich zu machen, die Erörterungen über den Ar-
belus und das Salinum des Archimedes. Der Tangenten-, Sehnen-,
Secantensatz erscheint in doppelter Fassung, einmal als Proportion S. 165 flg.,
dann auch als Rechteck S. 179. Bei dem Streben nach Vollständigkeit,
welches der Verfasser so glücklich bethätigt, wollen wir hierüber nicht mit
ihm rechten.

Der dritte Cursus handelt in vier Abschnitten von den Transver-
salen, der harmonischen Theilung, den Aehnlichkeitspunkten,
Chordalen (Tactionsproblem) und den Kreispolaren.

Die Lehre von den Transversalen geht selbstverständlich von den
Sätzen des Ceva und des Menelaus aus. Die Darstellung zeigt insofern
didaktisches Geschick, als die Einführung der Vorzeichen bei den abge-
messenen Strecken vermieden ist. Leider hat der Verfasser aber nicht den
Muth gehabt, trotzdem an dem Begriffe der T heil Verhältnisse fest-
zuhalten. Vielmehr ist nun auch die Gleichheit der Producte der nicht
anstossenden Seitenabschnitte behauptet. Im Gegensatze (?) zu dem ge-
ehrten Herrn Verfasser halten wir es erstens für durchaus wissenschaftlich
richtig, zu sagen, eine Strecke werde im Verhältnisse m:n durch zwei
Punkte getheilt, von denen der eine innerhalb, der andere ausserhalb der
Endpunkte liegt. Zweitens behaupten wir vom Standpunkte der Schul-
praxis aus, dass die Einführung der Theilverhältnisse beim Umlaufen des
Dreiecks dem Lernenden die Sache leichter macht. Wir würden an einen
Gegensatz zum Verfasser nicht recht glauben, wenn nur § 232 und nicht
auch die Bemerkungen S. 201 und 212 vorhanden wären. Referent würde
also, und damit sei dieser Gegenstand erledigt, die Thesis S. 212, un-
bekümmert um Streckenvorzeichen, schreiben wie folgt:

VA XC ZB__

VC xb'za'^

Wer als Primaner mit den Materien in dieser Form bekannt ge-
worden ist, dem wird die Einführung der Streckenvorzeichen keine Schwierig-
keiten machen. Vielleicht aber wohl umgekehrt.

Die früher gerühmten Vorzüge des Lehrvortrages können wir im
üebrigen in besonders lebhafter Betonung an dieser Stelle wiederholen.
Namentlich angesprochen haben uns die schönen Hebungen zum vier-
zehnten Abschnitt und die Behandlung des fünften merkwürdigen
Punktes am Dreieck. Der Verfasser versteht darunter den Schnittpunkt
äfi" ' ' ^ktranavemalen nach den BerliVinxiigB^xui^LVßii ^^x «si%«tfdiQxish>

älterer und neuerer

s trägt
BrftHt in vier Abschnitte, welche
ometrische Problame,
' aie Kreiäberechnung und

mehr rechnerischen Charakter, Er
AnwenduDg der Algebra auf
ihe Relationen am Dreiecke.
chte üebuagen enthalten.

Die algebraische Anaijsis geometrischer Probleme ist ein ebenso
iutwessanter wie nützlicher Gegenstand des Gymnasialpensuma. Der Ver-
ffta^er behandelt ihn ebenso gi-ünillich wie klar. Die Discussion der Formeln
ifik durchweg musterhaft.

Fagsen wir unser ürtheil zusammen, so sind die eingangs ausgespro-
ohenen Erwartungen des Referenten durch dasselbe erfüllt, ja überboten
worden. Nach unserer besten Ueberzeugung wird es sich dem Unterrichte
»»• heberen Lehranstalten mit Erfolg zu Grunde legen lassen, wobei selbst-
ventSndlich der vorsichtige Lehrer sieb nicht darauf steifen wird, Allee
"»rchiunehmen. Inabesondere empfehlen wir es den Herren Collegea xum
»elbstgeb rauche und als AufgabensamroluDg. '

Coesfeld, den S.Mai 1884. K. Sohwbbino.

Veber einem Dreieck am- ood eingeacbriebene Eegeisohnitte. Inaugural-

doctordissertation von K. Dörholt. Münster, 1884.

Verfasser beabsichtigt, eiuen Theil der von Steiner in Crelle's

**>irnal Bd. Ö5 B. 356 gemachten Mittheilungen zn beweisen. Auf andere

■^-»'Wten des berühmten Geomel«rs, inabesondere die Abhandlung: „Teoremi

K**'"tiTi alle coniche inscritte e circoacritte '*. Grelle Bd. 30, ist ebenfalls
ksicht genommen.
Die Dissertation zählt 88 Seiten Octav mit recht hübschen beigegebenen
3reD. Der Inhalt ist im Allgemeinen ansprechend, das Material wohl
«ordnet und im Ganzen übersichtlich. Die Darstellung vermeidet trotz
***rwiegend synthetischer Richtung nicht ängstlich die Rechnung, Darf
^^An ans der Schrift auf den Studiengang des Verfassers schliessen. so hat
die Vorlesungen von Professor Sturm in Münster mit Fleisa und
«tzen gehört. K. Schwebino.

Mo

'^'^ttie de Charles • Frrid^rio Oaass an Dr. Henri -Ouillanme -Mathias
Olbers en date de ..Braunschweig den 3. September 1805" publice
par B. BoNCOMi'Aa.Ni d'apres t'original possedi' par la aocittö rojale
des Sciences de Göttingeu. Berlin, Institut de Photo -litbograptüe de»
Pröres Burchard, Imprimcrie de Gustave Schade (Pttqlrueke), 1883.
D«r in der üebersebrift genannte, vier gto' 'itwl

jtÖM»* Ml Olbes-s ist nicht ganz unbekw "^"^

22 Historisch* literarische Abtheilung.

hat Herr Schering Theile desselben der Oeffentlichkeit übergeben. Man
wird sich nichtsdestoweniger freuen dürfen, in dem meisterhaft gelungenen
Abdruck des ganzen Briefes eine Erinnerung an die zierliche, deutliche
Handschrift des grossen Mathematikers zu besitzen, welche bis in seine
letzten Lebensjahre sich nur sehr unwesentlich veränderte. Ausser dem
photolitographischen Abdrucke hat Fürst Boncompagni auch einen Ab-
druck des Briefes, im Urtexte, sowie in einer von Herrn Sparagna be-
sorgten italienischen Uebersetznng, im Aprilhefte 1883 seines Bulletino di
Bibliografia u. s. w. anfertigen lassen und hat endlich am 20. Mai 1883
der Accademia Pontificia de* Nuovi Lincei in Rom eine Abhandlung vor-
gelegt, welche in den Atti dieser Gesellschaft (Tomo XXXVI) erschien und
in besonderem Abdrucke unter dem Titel : „ Intorno ad una lettera di Carlo
Federico Gauss al Dr. Enrico Guglielmo Mattia Olbers. Memoria di B. Boncom-
pagni ^* (95 S.) in unseren Händen ist. Mit gewohnter peinlicher Sorgfalt sind
in dieser Abhandlung die Worte des Briefschreibers einzeln mit Belegstellen
versehen. Unter Anderem macht der Verfasser darauf aufmerksam, dass
die Ehe zwischen Minnra Gauss, der Tochter Gauss' aus erster Ehe,
und dem Orientalisten Ewald am 15. September 1830 geschlossen wurde,
und dass der Todestag der zweiten Frau von Gauss, Minna Waldeck,
auf den 12. September 1830 fiel, zwei Daten, welche, wie es scheint, noch
in keinem Buche abgedruckt waren. Cantok.

Die Bntwickelimg der Mathematik in den letzten Jahrhunderten. Von Dr.
Hermann Hankel, vorm. ord. Professor der Mathematik in Tübingen.
II. Auflage mit einem Vorwort von Dr. P. du Bois • Reymond , ord.
Professor der Mathematik an der Universität Tübingen. Tübingen,
Verlag und Druck von Franz Fues (L. Fr. Fues'sche Sortiments-
Buchhandlung), 1885. 27 S.

Die Antrittsvorlesung Hankel's, mit welcher er am 29. April 1869
für seine Aufnahme in den akademischen Senat der Universität Tübingen
dankte, ist seit einer Reihe von Jahren vergriffen, so dass die Buchhand-
lung, welche dieselbe verlegt hatte, wiederholt in der Lage war, Bestel-
lungen ablehnen zu müssen. Lohnte es einen neuen Abdruck zu veran-
stalten? Herr P. du Bois-Rejmoud hat die an ihn gerichtete Frage
bejaht, und Referent schliesst sich dieser seiner Beantwortung gern an.
Schon Herr Du Bois-Reymond hat allerdings in seinem Vorworte be-
tont, dass neue seit HankeTs Tod gemachte Fortschritte, die natürlich
1869 noch nicht berücksichtigt werden konnten, einer Rede des Charakters,
wie Hankel sie damals beabsichtigte, heute ein anders auszusprechendes
Ende gehen mÜBsten. Man kann getrost hinzufügen, dass nicht minder
w^ 0 Aenderungen auch in jenen TVie\\fin ^«t ^^»M&> ^^^Osy^ ^aai

Becensionen. 23

frühere Zeiten sich beziehen, vorzunehmen wären, da die heutigen Auffas-
sungen der Geschichte der Mathematik beträchtlich von denen abweichen,
welche Hankel sich gebildet hatte. Aber immerhin handelt es sich doch
nur um nölhige Aenderungen, oder sprechen wir es mit dem härtesten
Worte aus : um kleine Unrichtigkeiten im Einzelnen. Die geschichts • philo-
sophische Idee der Bede bleibj; davon unbertlhrt, unberührt also auch der
Werth, den diese für den Leser behält und so lange behalten wird, als antike
und moderne Mathematik als nicht blos dem Grade, sondern auch der
Natur nach verschieden dastehen und eine Darlegung ihres inneren (Gegen-
satzes verlangen. In diesem Sinne ähnelt die Bede manchen Einleitungs*
capitelu Lag ränge 'scher Schriften und wird gleich diesen ihre Entstehungs-
zeit weit überdauern. Cantor.

Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Von Leonhard Euleb.
I. Theil. Ins Deutsche übertragen von H. Maser. Berlin 1885,
Julius Springer. X, 319 S.

Der Band, über .dessen Erscheinen wir berichten, ist nur der erste
einer Sammlung von klassischen Werken, die, im Original längst vergriffen
und auch in üebersetzungen schwer erhältlich, überdies durch die ver-
altete Form der Uebersetzung fast ungeniessbar, gleichwohl verdienen , auch
von Mathematikern der Jetztzeit gelesen und studirt zu werden. Glaube
doch ja Niemand, der die Vorlesungen auch unserer berühmtesten Univer-
sitätslehrer gehört und ausgearbeitet hat, er sei jetzt so erhaben über dem
Standpunkt jener Männer, auf deren Schultern seine Lehrer selbst stehen,
dass er von ihnen unmittelbar Nichts mehr lernen könne! Selbst die
Mängel, welche er in den Musterschriften vergangener Zeiten zu erkennen
im Stande ist, werden ihn belehren, und sei es auch nur über die noth-
wendige Mangelhaftigkeit der Gegenwart. Wenn so Vieles nicht mehr
wahr ist, was die bedeutendsten Schriftsteller der Vergangenheit in unserer
Wissenschaft lehrten, wer möchte da so zuversichtlich sein, an die für
alle Zeiten gesicherte Wahrheit dessen zu glauben, was manche Eintags-
fliege unter den mit uns Lebenden laut ausposaunt? Doch auch die
Kehrseite fehlt nicht. Wenn jene Klassiker, trotzdem sie Hilfsmittel und
Prüfsteine nicht kannten, die heute jedem Anfänger zu Gebote stehen, so
Vieles schufen, was seinen Werth behielt, so wird auch der Zweifelsüchtigste
des Trostes nicht entbehren, dass neben dem Wechselnden das Bleibende
in unserer Wissenschaft doch weit überwiegt, und dass der Fortschritt,
dessen Verdienst wir damit wahrlich nicht zu schmälern beabsichtigen, viel-
fach nur darin besteht, einen lückenlosen Weg nach Gipfelpunkten zu
führen, wohin dad Qenie über Abgründe und un^^^^eabm %\a^<^N[^'^^^ ^^^-
BaajgeScgm \

24 Historisch - literarische Abtheilung.

Die Schriften, welche in neuer deutscher üebersetznng zunächst der
Oeffentlichkeit ttbergeben werden sollen, sind der I. Band der E n 1 e r 'sehen
Introductio in analysin infinitorum, Cauchy's Analyse alg^brique, Die-
phant's Arithmetik mit den Fe rmat 'sehen Anmerkungen, die Abhand-
lungen von Vandermonde. Vor einer Uebereilung der Diophant-
Ausgabe möchten wir warnen. Von diesem Schriftsteller thut zuerst eine
gereinigte Textausgabe Noth, und bevor diese erschienen ist, was, wie wir
anzunehmen Grund haben, nicht gar lange mehr anstehen dürfte, ist ea
sehr gewagt, eine neue Üebersetznng herauszugeben.

Heute haben wir den Euler*schen Band vor uns. Von ihm gilt in
ganz hervorragendem Maasse, was wir oben allgemein sagten. Das lateinische
Original von 1748 ist ziemlich selten und durch zahlreiche Druckfehler
entstellt. Michelsen's Uebersetzung von 1788 ist in einem Deutsch ge-
halten, dem man Lessing 's Einwirkung auf unsere Sprache noch nicht
anmerkt. Es gehörte ein Entschluss dazu, das Werk in dieser Gestalt zu
lesen, und doch ist es der Keim, aus welchem die ganze moderne alge-
braische Analysis hervorgegangen ist und aus welchem noch weitere Fol-
gerungen zu ziehen einem heutigen fachkundigen Leser vielleicht nicht
unmöglich, ja nicht einmal allzu schwierig sein dürfte. Die neue Ueber-
setzung ist, soviel wir sie ansehen konnten, recht geschmackvoll und
keineswegs so modernisirt, dass sie eine blosse Bearbeitung darstellte. Auch
eine solche hätte ja beabsichtigt werden können, aber wir stimmen dem
Uebersetzer und dem Verleger bei, dass es zweckmässiger war, die Treue
an das Original vollständig zu wahren. Gestattete man sich einmal Aeo-
derungen, so war es schwer, denselbea Grenzen zu ziehen, und der Leser
hätte alsdann nicht vor sich gehabt, was er vor sich haben soll: ein
Euler'sches Werk.

Warum nur der erste Band übersetzt wurde, der zweite dagegen aus-
geschlossen bleibt? Wir können diese Frage nicht genügend beantworten,
uns scheint auch die analytische Geometrie Euler 's, und diese bietet der
n. Band der Introductio, keineswegs des heutigen Studiums unwürdig,
und insbesondere diejenigen Capitel, welche Curven höherer Ordnung ge-
widmet sind, möchten als vergleichende Nebenstudien dem Lesen der
Schriften von Möbius und Plücker vortheilhaft an die Seite gestellt
werden. ^ Cantor.

Oeometrisohe Wahricheinlichkeiten und Mittelwerthe. Von Emanuel
CzuBEB. Mit 115 in den Text gedruckten Figuren. Leipzig, Ver«
lag von B. G. Teubner. 1884. VII, 244 S.

Vor fünf Jahren hat der Verfasser eine deutsche Bearbeitung derVor-
l&sungen über Wahrscheinlichkeitsrechnung veranstaltet, welche A. Meyer
io den Jahren 1849 — 1867 an der \]nWem\i&t \AVXA^\i \||^«Vusii toA

wiJclie nach desisen Tode Herr P.Folie ebendaselbst berauHgegeben batte.
So reivhfaaltig der Inhalt jener Vorlesungen war, eine Lücke aeigten sie
doch beim ersten Anblick. Es fehlten jene geometrischen Betriichtungen
»iir LCsang gewisser Aufgaben der Wabrseheinlichkeitarechnnng ■ weichet
ron einigen vorzagsweise französischen und englischen Schriftstellern benutzt,
eine Branchbarkeit enthüllten, die gEuiz geeignet war, das theoretische In-
teresse an dem geistigen Zusammenhang scheinbar so verschiedener Gebiete
m erhöhen. Das heute in unseren HSnden befindliche Buch hat den Zweck,
jene Lflcke auszufüllen, indem es gemde mit den geometriscbeu Wahr-
acheinlichkeitsbetrachtungen sieh auBführlicher beschäftigt, als es möglich
■inä gestattet gewesen wäre, wenn es nur um eine Abtheilung eines grSaseren
W'erkes flieh handelt.

Die erste Vorfrage, welche sich aofdrfingt, ist die, ob jener Zusammen-
bang zwischen den geomelrischen Gebilden und den Wahrsclieiclichkeits-
grC.iaeu. die sie za versinnlichen heatimrot sind, ein nothwendiger oder ein
önr hyiiothetischer ist, und der VtrfaBser selbst ist ihr nicht aus dem Wege
K^gangen, Er gesteht S. 7: „Es ist wiederholt vorgekommen, dass Pro-
bleme über geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelworthe abweichende
I*Ganngeu gefunden haben. Der Grund hierfür lag immer in der verschiede-
**«n AnfTassung des Begnd'es willkürlich, dessen Bedeutung thalsSchlich
EL^fclit immer so klar zu Tage liegt, um Meinnngsverschied^heiten auszu-
Jtehliesaen." Ein willkürÜcber Punkt auf einer Cnrve z. B,, erlSutert Herr
^^V Tiber, kann heissen: entweder ein Funkt, der von dem nKchstgelegenen
*<*«snso willkürlichen Punkte eine curvenmüasige Entfernung ds beeitit, oder
Gio Punkt, dessen Abscisse um d.r von der des nächstgelegenen ' willkür-
'»cfeen Punktes sich unterscheidet, oder ein Pnnkt, dessen Verschiedenheit
"»Ob dem uHchstgelegenen willkürlichen Punkte durch den Winkel ri& go-
•**«sBen wird, welchen die beiden vom Coordinatenaiifangspunkt dorthiu
S^cichleten Leitstrahlen mit einander bildeu u. s. w. Jede dieser Annahmen
[••»tzt eine verschiedene Dichtigkeit von gewissen unendlich kleinen Raum-
e gleiche Dichtigkeit von anderen als nothwendig voraus, aber es
Ani nicht immer die gleichen Raumbe.^tandtheile, welche die gleiche Rolle
*l»w!en. 80 mu3s, je nach der getroffenun Wahl, bald dieser, bald jener
»Vertb flieh ergehen. Welcher aber ist der richtige '/ Wir fürchten, es
uBift« ^ine Entscheidung darüber meistens unmöglich und die geometrische

»"«Irachtung dadurch vielfach mehr geistreich als zweckmässig sein. Schon
^^f Sat2 (S. G), dass der Inhalt eines Gebietes von n Variabein als ein
">*« für die Anzahl der Werth Verbindungen anzusehen sei, welche dieses
^*h[et ausmachen, also die Grundlage aller Betrachtungen ist nur dann wahr,
^"■in die Punkte des Gebietes in einer ganz bestimmten Weis« »1s gleiob
^*lit verbreitet gedacht werden. Freilich hat dieses Bedenkw ü
'^«er allerersten Ranges nicht abgehalten, den «rwWinUift S^
*°>Wtet//i(iii wahr anzuwenden, und wie bemitaftq diu

26 Historisch - literarische Abtheilung.

Veröffentlichang einer ähnlichen, so weit uns bekannt, noch nicht gedruckten
Notiz, welche aus einer Vorlesung von Gauss über die Methode der
kleinsten Quadrate aus dem Jahre 1850 stammt. Der Gegenstand ist zwar
in der Recension von Gauss: Einige Bemerkungen zu Yega's Thesaams
Logarithmorum (Astronomische Nachrichten Nr. 756 vom 2. Mai 1851 und
Werke, Bd. III S. 257—264) kurz berührt, der Wahrscheinlichkeitsbetrach-
tung aber dort nicht gedacht.

Gauss verglich die Endziffern von je 900 aufeinander folgenden Loga-
rithmen von Sinus, Cosinus und Tangente der gleichen Winkel auf ihr
Geradsein oder Ungeradsein. Zunächst betrachtete er jede Columne für
sich und fand, wenn g^ u gerade und ungerade, I, II, III der Reihe nach
die drei Columuen bedeuten, in I: 4490^ + 451m, in II: 459^-t-441ii,
in III: 437^ + ^3t/, also durchschnittlich ebenso oft ^ als u. Betrachtete
er I und II gemeinschaftlich, so fand er, wenn die Stellung der Buch-
staben den Colnmnen entspricht, welchen die jedesmaligen Endziffern
angehören : 230 gg '{'2\dgu -\' 229 m gf + 222 m u , also wieder jede der vier
Möglichkeiten annähernd gleich oft; dasselbe traf zu, wenn I und III, so-
wie wenn II und III gemeinschaftlich betrachtet wurden. Nun untersuchte
er die drei Columnen gleichzeitig und faud Vliggg -{- \ß!lgiiU'\r\16ugu
-{- \b^tiug'{'blggu'{' b2gug '{'b'iugg -^-iViuiiu^ also eine so bedeutende
Verschiedenheit, dass die vier ersteren Combinationcn zusammen 675 mal,
die vier letzteren zusammen 225 mal im Häufigkeits Verhältnisse 3:1 vor-
kamen. Diese im ersten Augenblick auffallende Abweichung von dem
Gleichmaasse der Möglichkeiten beruht auf der Abhängigkeit der in den
drei Columnen stehenden Zahlen von einander (iog sin = iog cos + log tng),
von welcher auch bei der wirklichen Berechnung Gebrauch gemacht wird.
Man müsste sogar infolge dieser Abhängigkeit erwarten, dass nur die
Combinationen ggg, gtiu, ugu, uug vorkommen, und zwar annähernd
gleich oft. Dass auch die vier anderen Combinationen vertreten sind, hat
seinen Grund darin, dass in allen drei Columnen nicht genaue, sondern
abgekürzte Zahlen stehen, mithin die Endziffern a, 6, c dreier nebeneinander
befindlicher Zahlen eigentlich a-J-a, b-^-ßj c + y bedeuten, wo a, j3 y
das zwischen — ^ und + ^ liegende bei der Abkürzung Vernachlässigte be-
deutet, und nicht a = 6 -f- c, sondern a'{'a=b'{'ß'{'C'{'y die genaue
Beziehung zwischen den Columnen darstellt. Ist ß mit y verschiedenen
Zeichens, so ist sicherlich 1 1^+ y | < ^, mithin a=b+c. Dasselbe | |3 + y | <^
kann auch eintreten, wenn ß und y gleichen Zeichens sind, und hat als-
dann wieder die Folge « = 6 -f- c. Aber im Falle gleichgezeichneter ß und y
kann auch | /3 + y | > ^ sein , worauf a = 6 -f c + 1 entsteht. Diese wohl
zu unterscheidenden Fälle zeichnete Gauss in einer Figur. Auf einem
rechtwinkligen in 0 sich schneidenden Coordinatenkreaz ist Oß =z^ auf der
positiven Seite der Abscissenaxe aufgetragen. Die Stücke gleicher Länge
^^' /7^^ OC' eind auf der negativen Öeite der k\)^Yä»&xk»»A, ^>ä ^«t \häv

Recenäionen. 27

tiren and negativen Seite der Ordinatenaxe abgemessen. Parallel zu den
Coordinatenaxen sind durch B die ED, durch C die DD\ durch B' die
D' E\ durch C die £'i? gezogen, die das aus vier kleinen Quadraten be-
stehende grössere Quadrat ^/>'£'^ bilden. Endlich sind die beiden kleinen
I>iagonalen B C, BC gezogen. Auf der Abscissenaxe sind die Werthe von
/3, auf der Ordinatenaxe die von y aufgetragen. Nun ist sofort klar, dass
nn^leichgezeichnete ^ und y in denkleinen Quadraten OBE'C' und OCD'B\
g^leicbgezeichnete ß und y mit der \ nicht überschreitenden Summe in den
Dreiecken OBC und OB'C' stattfinden. Gleichgezeichnete ß und y mit der
zwischen \ und 1 wechselnden absoluten Summe finden sich in den Dreiecken
B CD und B'C'E', Die beiderlei Gebiete haben daher Flächenräume, die sich
wie 3 : 1 verhalten , und ebenso verhält sich demnach das Eintreffen von
0=64*^ zu dem von a=6+c + l, d. h. von den vier ursprünglichen
Ck>inbinationen zu den vier nachträglich hinzugekommenen. Es liegt auf
der Hand, dass dabei die nicht ausgesprochene Hypothese mit unterläuft,
alle irgend möglichen Werthepaare ß, y seien in geuau gleichem Maasse
niGglich.

Solcherlei Methoden sind es auch, die begreiflicherweise in verschie-
denen Abarten y bald durchaus elementargeometrisch, bald Lehren der
uialytischen Geometrie der Ebene und des Kaumes voraussetzend , die erste
Hauptabtheilung des C zu herrschen Buches füllen. Ein zweiter kürzerer
Theil (S. 184 — 244) handelt von den geometrischen Mittel werthen. Die
Berechtigung dieser Aufgaben, an dem gedachten Orte behandelt zu werden,
beruht darauf, dass ähnlich wie bei Wahrscheinlichkeiten es sich um einen
Qaotienten handelt, dessen Zähler die Summe der Einzel werthe , dessen
M'enner deren Anzahl bedeutet. So ist der Mittelwerth einer Function
1^ =5(a:) im Intervalle a<ix<b sofort

S(i_-f"U 1 <^S,,,)..,.

h — a h — a ^jj

a

ttnd bei stetig aufeinander folgenden x wird der Mittelwerth

h
1
M

b — c
a

Analytisch betrachtet, handelt es sich also in diesem Theile um die
-^Uswerthnng bestimmter Integrale, und wirklich ist der gleiche Gegenstand
^Ou anderen Schriftstellern (z. B. Schi ö milch, üebungsbuch zum Studium
^^ höheren Analysis, II. Theil: Aufgaben aus der Integralrechnung §§ 33
^^^ 34) zur üebung auf diesem Gebiete benutzt worden. Freilich geht
^Qtr Czuber weiter als diese seine Vorgänger, indeir «cheres

^^^terial an Baispielen zussnunenznstellen wostfb

28 Historisch - literarische Abtheilung.

Lehrbnoh der Differential- und Integralrechnung. Von J. A. Sbrrbt,
membre de Tinstitut et du bureau des loDgitudes. Mit Genehmigung
des Verfassers deutsch bearbeitet von Dn Ax£l Harnack, Professor
am Polytechnikum zu Dresden. ErsterBand. Differentialrechnung.
Mit in den Text gedruckten Figuren. Leipzig, B. G. Teubner. 1884.
X, 567 S.
Nicht leicht wird ein Lehrer an einer Hochschule sich in seinen Vor-
lesungen an ein im Drucke vorhandenes Werk genau anschliessen , wobei
wir nicht einmal den Fall ausnehmen, dass er selbst ein solches verfasste;
aber nicht leicht wird er auch darauf verzichten, seinen Schülern ein
Druckwerk zu empfehlen, welches ihnen zum Nachlesen unJ Nachschlagen
diene. In kaum irgend einem Gebiete der Mathematik wird dabei die
Qual der Wahl eine so grosse sein, als in der Differential- und Integral-
rechnung. Sollen wir die Wahrheit dieser Behauptung durch Namens-
nennung empfehlenswerther und vielfach empfohlener Schriften bestätigen?
Wohl kein Leser dieser Zeitschrift wird solcher Bestätigung bedürfen.
Heute haben wir nun ein Werk anzuzeigen , welches sicherlich bald zu den
meistempfohlenen gehören wird. Herrn Serret 's Lehrbuch geniesst in
Frankreich eines wohlverdienten glänzenden Rufes. In Bussland wird es,
wenn wir recht berichtet sind , officiell dem Unterrichte in der Differential-
und Integralrechnung zu Grunde gelegt. In Deutschland war es, so lange
nur der französische Text zugänglich war, vielleicht etwas weniger ver-
breitet als der gleichfalls nur französisch vorhandene Cours d'analjse von
Sturm. Wir glauben, dass ihm damit Unrecht geschah. Gewiss war das
Buch von Sturm einmal vortrefflich. Wir bereuen kein Wort, welches
wir 1864 im IX. Bande dieser Zeitschrift zu dessen Lob gesagt haben.
Gewiss würde Sturm, wenn er nicht im Alter von erst 52 Jahren 1855
durch den Tod aus seiner Schaffenslust gerissen worden wäre, sein Werk
in neuen Auflagen auf der Höhe der Wissenschaft erhalten haben. Aber
den Herausgebern des nachgelassenen Werkes verbot die Pietät selbst jede
wesentliche Aenderung, und so können wir heute nur noch sagen: Sturmes
Buch war vortrefflich. Der Lehrer wird stets ein nachahmungs würdiges
Muster in demselben erkennen, dem Gebrauche des Schülers aber ist es in
einzelnen Capiteln nicht mehr zu genügen im Stande: Herr Serret da-
gegen hat erst 1879 — 1880 die IL Auf läge seines Werkes neuesten An-
forderungen angepasst, und dass die Zusätze, durch welche der deutsche
Bearbeiter seine Uebersetzung bereichert hat, die Strenge der Beweisfüh-
rungen nur zu verstärken dienten , wird Niemand zweifelhaft sein , der Herrn
Harnack 's Bichtung aus seinen Originalarbeiten kennt. Sollen wir aus
dem I. Bande, der heute allein fertig vorliegt, besonders gelungene Capitel
hervorheben, so bieten sich die Einleitung und die geometrischen Anwen-
dangen der D/^rentialrechnung von selbst dar. Dort wird namentlich das
Uaendlicbkleine und seine verschiedenen Ordnungekn %o ^q^x^^yA \^^^asA^^.^

Recensionen. 29

dass die weitere Rechnung mit Differentialen eigentlichem Bedenken nicht
mehr unterliegt, wenn auch Referent nicht verschweigen will, dass er per-
sönlich es vorzieht, Anfänger nur mit Differentialquotienten rechnen zu
lassen, nnd also darin Herrn Serret nicht beipflichten kann. Die geome-
'tzischen Anwendungen sind weitaus vollständiger als in irgend anderen
X>ifferentialrechnungen und können vorzugsweise empfohlen werdeu. Der
"L . Band heisst der der Differentialrechnung und enthält noch kein Integral-
zeichen; dagegen kommen Integrirungen in grosser Menge ohne jenes
Zeichen vor, statthaft gemacht durch den frühe geführten Beweis des Satzes,
dass Functionen, welche gleiche Ableitungen besitzen, sich nur um eine
<M>n8tante Differenz unterscheiden können. Die letzten vier Druckbogen ent-
lialten bereits eine Einleitung in die Lehre von den Functionen complexer
VerSnderlichen. Cantor.

tphiseh- mechanische Methode zur Auflösung der numerischen Oleich-
nngen. Von Dr. C. Reuschle, Professor an der technischen Hoch-
schule in Stuttgart. Stuttgart, J.B. Metzler. 1884. IV, 64 S.

Herr Matthi essen hat in seinem bekannten, ungemein reichhaltigen
^V'erke „Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleich-
fen* (S. 921 — 963) eine Anzahl graphischer • Methoden zur Construction

Wurzeln von Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades zusam-
mengestellt Sie alle, so bemerkt Herr Reuschle mit Recht, verlangen
ftSjr jede besonders gegebene Gleichung eine besondere Construction Gra-
pliisch- mechanisch könnte man dagegen eine Methode nennen, welche ge-
"^vlfise Zeichnungen auf Pauspapier ein für alle Mal herstellen würde, die
^Bdann über anderen gleichfalls, zum Voraus gezeichneten Figuren ver-
Kclioben, durch dieses mechanische Verfahren die Gleichungswurzeln kennen
l^lirie. Eine derartige Methode ist die von Herrn Reuschle erfundene.

Sei die quadratische Gleichung x^ -{- b x -{-c =0 zu lösen. Ihre Wurzeln

Btiamen überein mit den a?-Wei-then des Gleichungspaares ^""(^"■"t)

==^(a? + ^j und y = .0 Die zweite Curve ist die Abscissenaxe des recht-

^^kligen Coordinatensystems , die erste ist eine Parabel iy* = | , deren Axe
^f früheren Ordinatenrichtung parallel läuft und deren Scheitelpunkt in

b h*

*o^ — ^, yQ = c — j liegt. Zeichnet man also jene Parabel i?*=| auf

^^spapier, sowie ein rechtwinkliges Coordinatensystem auf Millimeterpapier
^^d legt jene vorgeschriebenermassen auf dieses , so schneidet die Parabel
^ Ahseissenaxe in den beiden die reellen Wurzeln darstellenden Punkten.
Sei die cabische Gleichung .t^+ 6a;*+ cor = (/ zu lösen. Dae &

/— /^— 2r/==/a?-/-~ ) nnd xy=:d stettt die gV

30 Historisch - literarische Abtheilung.

iß der gleichen Lage, wie sie eben besprochen warde, und eine Hjperbel
dar, deren Asymptoten unsere Coordinatenaxen sind. Letztere wird auf
Millimeterpapier gezeichnet, erstere darauf gelegt Vier Durchschnittspunkte
erscheinen allerdings, von denen aber nur drei die reellen Wurzelwerthe
der gegebenen Gleichung als Abscissen besitzen, während der vierte Punkt
(der 00 -ferne Punkt der Ordinatenaxe) ausser Betracht bleibt.

Sei eine biqnadratische , auf die Form x*-^-bx^ -{-00^=6 gebrachte
Gleichung zu lösen. Sie wird wieder durch zwei Ourven ersetzt, durch die

/ />8\ / by
auf Pauspapier gezeichnete Parabel y■"l^"~'Tj~V^^"9) '^^ durch die

auf Millimeterpapier construirten Curven dritten Grades x^y^=e. Von den
sechs Durchschnittspnnkten kommen zwei nicht in Betracht, nämlich der dop-
pelt auftretende oo - ferne Punkt der Ordinatenaxe , welcher Rückkehrpunkt
der Unicursalcurven x^y =^e ist. Der algebraische Ursprung dieser beiden
und des im vorigen Beispiel erwähnten einen unendlich entfernten Punktes
ruht augenscheinlich darin , dass die Gleichungen dritten und vierten Grades
hier als Sonderfälle von Gleichungen vierten und sechsten Grades mit NuU-
coefficienten des höchsten, beziehungsweise der beiden höchsten Glieder
auftreten.

Herr Beuschle begnügt sich selbstverständlich nicht mit den hier
gegebenen Andeutungen. Er erörtert genau die verschiedenen Schwierig-
keiten, welche sich darbieten können. Er dehnt seine Methode auf
Gleichungen fünften, sechsten, siebenten Grades aus, bei denen weniger
einfache Curven zum Schnitte gelangen. Er zeigt, wie auch noch anders
als hier besprochen , eine Gleichung als Eliminationsresultante zweier Gleich-
ungen aufgefasst werden kann, so dass die Pauspapiercurve anders ge-
staltet nicht mehr jene einfache Parabel ist. Der Grundgedanke bleibt
aber stets unverändert und dürfte in seiner Einfachheit dem anspruchslosen,
hübsch ausgestatteten Büchlein Leser und Freunde zu erwerben im
Stande sein. Cantor.

Veber Beta- und Oammafunctionen. Von Dr. J. Anton Schobloch.
Halle, Louis Nebert. 1884. 4^. 11 S.

Ausgehend von den bekannten Gleichungen und Formeln für die
Eul er 'sehen Integrale leitet der Verfasser unter Zuhilfeziehung von

OD

I ( ^— «*— ^— *' j--- =3/ogr— einige neue Integral form ein ab, z.B. die

0

für ganzzahlige a, h und k giltige Gleichung:

H-'+?)'G-'+l)-«(-'+^) ,,._...p-i)n ai

«/* . t\ «/. .A «/. .*-^\ 1(6-1)0 r{ak)'

Recensionen. 31

Das Hauptgewicht • legt ider Verfasser auf eine Function ^ (w , n)

OD

= I af^"^ e"^** dx^ welche, wie sie eine Verallgemeinerung der Gamma-

0

fnnction ist , in die sie bei n = 1 übergeht , auch auf Gammafunctionen

sich zurückführt. Die Substitution x"=y führt nämlich jenes Integral in die

Form - I y^ e^ydy über, mithin ist i;;(ni,«) = — f — • Für die t^-Func-

0
tionen wird das Productentheorem bewiesen:

t^ {m,n). 'Hf{fn+k, n) . tp {m+2k, n)... t/;(m-4-(j?--l) Ä;,n)

t^(w, &). t/^(ni+n,Ä;).t/;(m + 2n,Ä;J ... ^ (w+(g— 1) n^k)

Daraus folgt dann wieder durch Umsetzung in G^mmafunctionen
(m\ .(ni+k\ fm + {p-^\

r(|).r(=±=)..r(=±<|=l)-")"' ^"^

eine Erweiterung des Gauss 'sehen Productentheorems , aus welcher letzteres
durch (/ = 1, Ä?=l,|? = fi, m= an hervorgeht. Cantor.

Ueber die quadratischen und cnbisohen Oleiohnng^n mit besonderer
Berücksichtigung des irreducibeln Falles bei den letzteren. Von
Professor C. Hellwig, Oberlehrer am Realgymnasium zu Erfurt-
Erfurt, Verlag von Carl Villaret. 1884. 41 S.

Wer diese Schrift zu beurtheilen wünscht, ist durch den Mangel jeg-
licher Vorrede in eine missliche Lage versetzt. Er kann nämlich nicht
die Absichten des Verfassers aus dessen eigenen Erklärungen ' entnehmen,
und ebenso wenig gehen dieselben aus dem Schriftchen selbst hervor. Einem
Gymnasialschüler wird man nicht leicht ein besonderes Büchelchen als Leit-
faden für den Unterricht in einem einzelnen Capitel in die Hand geben.
Einem Gymnasiallehrer sagt das Büchelchen zu wenig Neues; soll es ihm
aber ein didaktisches Muster geben, wie er vorschlagsweise den behandelten
Gegenstand unterrichten solle , so mässten wir ihn doch mahnen , dem Bei-
spiele nur vorsichtig und nicht unter strenger Nachahmung zu folgen. Was
braucht es S. 13 eine Beihenentwickelnng , um die eine unendlich grosse
Wurzel der Gleichung ax^^^bX'^c \m t ^ *m lehren, wo die

landläufige Umformaog der h* ^^^

32 Historisch - liierarische Abtheilung.

2c

r. = vollkommen ausreicht? Wem soll S. 16 die Ableitanff

yb^ + Aac+h

des Moivre'schen Theorems genügen? Beachtenswerth dagegen dürfte die

S. 33 gelehrte Herleitung der Ferro'schen Formel sein. Die aufzulösende

cubische Gleichung ist in der Gestalt rr*+3aa: = 26 gegeben, aus welcher

auch a:;^-|-3arr — tr*=2fe — t;^ folgt. Nun ist (x^vy= a^ + 3v(v — x)X'-ffij

folglich liefert die Voraussetzung v(v^x)=a die neue Gleichung {x—vY

= 2fe— v^ und diese x = v -{- l/2h—v^. Der eben gefundene Werth von
X giebt aber jener Voraussetzung die Gestalt —v /2h~-v^=^ a, woraus
f;«-26t;3 = a^ tr» = 6 + ^^6^+ a\ 2b-v^=b + ^6^ 2 + a» folgt, und diese
Werthe wieder in x^v + y2b-v^ eingesetzt, liefert endlich eben die
Ferro ^sche Formel. Die Auflösung der cubischen Gleichungen mit Hilfe
trigonometrischer Functionen S. 38 — 41 hätte wohl in etwas mannich-
faltigerer Weise behandelt werden dürfen , wozu es an Stoff sicherlich nicht
fehlt, wie Matthiessen's Grundzüge der antiken und modernen Algebra
der litteralen Gleichungen S. 888 — 912 beweisen. Cantor.

Theorie des approximations num^riques. Notions de calcul approximatif
par Ch. Galopin - Schaub, Docteur es sciences math^matiques (de la
Faculte de Paris). Genöve, H. Georg. 1884. 50 S.

Wir haben Bd.XXVI. hist.-lit. Abthlg. S. 149-150, über Ruchonnet,
Elements de calcul approximatif, berichtet. Ohne mit jenem sehr empfehlens-
werthen Büchlein sich zu decken , ist die uns heute vorliegende Abhandlung
doch nicht als ganz unabhängig von demselben zu bezeichnen. Herr
Galopin verweist sogar wiederholt und mit Recht auf seinen Vorgänger.
Wir wollen die Veröffentlichung des Herrn Galopin nicht gerade als
überflüssig bezeichnen, allein wir ziehen die ältere Schrift von etwa dop-
peltem umfange der jüngeren vor. Letztere ist naturgemäss etwas dürf-
' tigeren Inhaltes und empfiehlt sich auch nicht durch die für unseren Ge-
schmack sehr schwerfällige Bezeichnung. Man denke n.e als genauen
Werth einer Zahl, n.a als angenäherten Werth derselben, e.a als den
absoluten, e,r als den relativen Fehler. Nun kommen Formeln vor wie

1 fh . c

e . r < und wie n.e — n ,a<^ —^— • Es wird wohl jedem Leser

loP.n.a »»

schwer fallen, dabei die erwähnten stenographischen Zeichen von den ge-
wöhnlichen Operatiouszeichen , mit denen vermischt sie auftreten , zu unter-
scheiden. Cantor.

' ^ikggie di ultmetiaa aon decimale con applicazioni del colcolo duode-
cimale e trigesimale a problemi sui anmeri complessi. Monografia
di ViTTOEio Gkünwald. Verona 1884, H. F. Münster. 69 pag.
Wir haben im XSVII. Bande dieser Zeitschrift, list-lit. Abthlg.
S. 192, ein Programm von Herrn Hunrath; „Aufgaben zum Rechnen mit
SystemzahJen ", angezeigt, mit dessen Inhalt die in italienischer Sprache
verfasste Abbandloog des Herrn Grlinwald nahezu libereinatimmt , gleich-
zeitig auch die Fragen behandelnd, welche bei Herrn Haas „TheilbarkeitE-
regeln" (angezeigt Bd. XXIX bist.-lit. Äbtblg. S. 146) zur Sprache
kämmen. Von dieser Äbhandltmg gilt in gleichem Maasse , dass sie ganz
interessante SStzo in sich schlieüst, die der Lehrer an der Mittelschule als
Beispiele beim B ecken Unterricht zu verwenden in die Lage kommen kann.
Auch in einer Vorlesung über Zablentheorie mögen, falls die Zeit dazu
reicht, ein bis zwei Stimden fUgltuh damit auszufüllen sein. Die numeri
complessi, von welchen der Titel spricht, sind sogenannte benannte
Zablen und haben mit unseren complexen Zahlen Nichts zu schaffen. Die
gesehichUichen Bemerkungen wird man, als einer lüngat überholten Zeit
geschichtlicher Forschung angehörend, am besten überschlagen (jiBToa

T&blei de logarithmet ä aix d^cimalei construites sur nn plan nouveau
par Adoi.i'hb BK.^'OlST, docteur en droit, membre de la soci^t^ mathfi-
matitjue de France. Paris, Librairie (Jh. Delagrave. XXXIV, 3918.
Die zweisprachig, französisch und deutsch, je einen Druckbogen ftll-
'«»»de Vorrede erlHutert die drei neuen Gesichtspunkte, auf welche der Vor-
■^aser sein Augenmerk richtete, und welche ihm wichtig genug schienen,
*>« im Titel nU einer neuen Einrichtung entsprechend ausdrücklich z
*fShaen. Erstlich sind die sogenannten Proportionaltheito im Drucke so
*Og*ordßet, dass auch beim Aufsuchen der Zahlen zu gegebenen Logarithmen
*-ojn Benutzung erleichtert erscheint; zweitens sind die Logarithmen der
Siüas und Tangenten kleiner Winkel in der den Zahlenlogarithmen ge-
"^idmeten ersteren Äbtheilung des Bandes abgedruckt, wo ihnen der jeweü
•*cbite Tbeil jeder Seite unten eingeräumt ist; drittens sind die Logarithmen
^*r trigonometi-isehen Functionen in Winkelzwischenräumen von 10" derart
K*dnickt, dass für jede Function eine Seite doppelten Eingangs vorhanden
*^'. die WinkelminuteD jedes Grades unter einander, die 10 Secunden-
^"terabtheitungen in parallelen Columnen neben einander. Natürlich ist die
^ite eines Sinus zugleich die eines entsprechenden Cosinus, z. B. dem
■"••pfe der Seite sin 83" entspricht am Fussende cos 6° mit rechts auf-
igenden Minuten und vou rechts nach links sich erhöhenden Columnen.
künnen nicht sagen, dass diese Neue rungen uaa aeVt ftii\a.*icV«sTi, -«tsBa
^^ duait ancb nur, wie bei allen GeschmaoVBBac\xeD , euv ■p*'^^'^'^^**^
nm..m.Ai,ibif.d.is>it.ohr. /..M.iii.u.i'tj.,xxx, i. »

34 Historisch -literarische Abtheilung.

theil, keinen Tadel aussprechen wollen. Proporüonaltheile schlagen wir
überhaupt niemals auf, sondern rechnen sie in jedem einzelnen Falle selbst
aus. Die Logarithmen kleiner Bögen, beziehungsweise deren trigonometrischer
Functionen scheinen uns in die zweite, nicht in die erste Abtheilung des
Bandes zu gehören. Endlich die erwähnte Anordnung dieser zweiten Ab-
theilung hat allerdings die nicht unbedeutende Bequemlichkeit, dass man
proportioneile Zwischenrechnungen fast vollständig zu umgehen im Stande
ist, wenn die Winkel, wie dies die Praxis mit sich bringt, höchstens auf
Secunden genau bekannt sind; dafür tritt aber die unseres Dafürhaltens
grössere Unbequemlichkeit ein, dass, wenn der Cosinus eines Winkels za
suchen ist, der durch seine Tangente etwa gegeben ist, was bei Hilfs-
winkeln gar nicht so selten vorkommt, regelmässig umgeblättert werden
muss. Der Preis der neuen Tabelle beträgt 10 Francs, die Ausstattung
ist gut. Cantor.

Fünfstellige logarithmisohe nnd trigonometrische Tafeln nebst. einer grös-
seren Anzahl von Hilfstafeln. Herausgegeben von Dr. Adolf Grevb,
Oberlehrer am Karls - Gymnasium zu Bemburg. Bielefeld und Leipzig
1884, bei Velhagen & Klasing. IV, 171 S.

Wenn diese Tafeln an Correctheit ebenso den anderen Tabellenwcrken,
deren der Schulgebrauch sich zu bedienen pflegt, gleich kommen, wie sie
dieselben an vollendeter Ausstattung, zu der wir insbesondere die grossen,
fetten, das Auge nicht ermüdenden Typen rechnen, übertrifft, so werden
die Greve'scben Logarithmen sich bald verbreiten, um so mehr, als die
Verlagshandlung den gebundenen Exemplaren den Preis von nur 2 Mark
aufgedruckt hat. Ob die nöthige Correctheit aber vorhanden ist, dass muss
die üebung oder eine mühsame und zeitraubende Vergleichung zeigen, zu
der Referent sich nicht eignet. Nur in den ziemlich zahlreichen Hilfstafeln
ist uns bei flüchtigem Durchblättern auf S. 36 ein garstiger Druckfehler
in der Reihe für loga (1 — a;) aufgefallen. Hoffen wir, die Correctur der
eigentlichen Logarithmen möge sorgföltiger ausgeführt sein. Cantor.

Lehrbuch der Experimentalphysik. Von Dr. Wüllner. 2. Band: Lehre
vom Licht. 4. Aufl. Leipzig 1883. 704 S.

Die Lehre vom Licht wird in zwei Abschnitten dargestellt: der erste

behandelt die Ausbreitung und Wahrnehmung des Lichts, der zweite die

theoretische Optik. Zuerst kommt die geradlinige Fortpflanzung des Lichts

und seine Geschwindigkeit; wie man sich in der ündulationstheorie die

geradliDige Bewegung zu denken hat, wird erst später bei der Beugung

BuselnADdergeaetzt Die Zarückwerfung und Bt^\i\in% ^^% \aOdX& ^\x\ \&.

MBpec

der gewObnltcbeu Weise bebaudelt, ohne Rücksicht auf die geometrische
A.eiideniiig der Lichtbüschel , für welche nur in Anmerkungen ein TheÜ der
Liiteratur angegeben wird. Auch das Bild eines leuchtenden Punktes in
einem dichteren Mittel wird immer noch behaudelt, als ob nur Strahlen in
der Einfallsebene von demselben ins Auge gelangten. Bei der Dispersion
««erden die neueren Theorien von Seilmeier und Helmholtz auaeinander-
rttt und an beobachteten Brechungsexponenten und an den anomalen
lectren geprüft. Die Brechung in einem System centrirter Kugelflachen
und die Lehre von den Cardinal punkten wird analytisch behandelt; doch
komnien bei den Linsen auch einige Constructionen vor, wobei nur die Falle,
wro Knotenpunkte und Hauptpunkte üusammen fallen und wo nicht, zu wenig
■Dharf getrennt sind. In den Figuren 84— ä7 igt bald angenommen, dass
Stoide Punktepaare zusammenfallen, bald nicht; daher ist auch der letzte
^Absatz S. 249 schwer zu verstehen: soll er eine Uorrectur oder eine Er-
weiMrung enthalten? In Wirklichkeit hat ja das System der Fig. 87 be-
aoadere Knotenpunkte.

Ein folgendes Capite) ist der Absorption und Emission des Lichts
S^^dmet und der Spectralanaljse , einem Gebiete, auf dem der Verfasser
»or Ällera zu Hanse ist. Daran schliesst sich die Fluoreacenz und Phos-
phoreäcenz, sowie die chemische Wirkung des Lichts. Es folgt die Wahr-
ilnnung des Lichtes und die Beschreibung des Auges, das Stereoskop wird
berührt, auch Einiges über Mikroskop und Fernrohr mitgetheilt {auf
Seiten von den 700 deä ganzen Bandes). Wir vermissen hier namentlich
^io Anwendung der Cardinalpunkte , um den optischen Unterschied von
'»eiden klarzulegen.

Der zweite Abschnitt enthalt die theoretische Optik. Der Presnel'sohe
Spi^elversuch wird gegenüber den Einwendiingea von H. F. Weber als
*^iiie In terferen zersehe in ung festgehalten. Bei den Beugungserscheinungen
^TBtdsn die Beobachtungsarten von Freanel und Fraunhofer aufgeführt
und die Wirkung der durchsichtigen Schirme nach Quincke dargelegt,
***<!b die Grösse der Wellenlängen angegeben. Bei der Polarisation werden
•*'* bei der Zurückwerfung und Brechung auftretenden Erscheinungen an
"«Khaichtigen Körpern und an Metallen und stark absorbirenden Mitfein
*'»iiftllirlich besprochen. Dann folgt die Doppelbrechung des Lichts, die
^tiP. von Huyghens, die Theorie Fresnel's. Das letzte Capitel ist der
•»»toi-ferenz des polarisirten Lichts gewidmet, wozu auch die Circolarpolari-
**tiou mid dia Saccharimetrie gezogen wird. p gacH

••partorinm der dentscben Ueteorologie. Von G. Hellmann,
1883. 992 Halbseiten.
Diese verdiwistiieiiB Arbeit ist aus einem V\xaR 4fta wAieTt«Kns^
vla^coogressea in Rom 1879 hervorgegangen ^ oiufe «X^fiam

36 Historisch -literarische Abtheilung.

teorologische Bibliographie herauszugeben. Dr. Hellmann war mit den
Vorarbeiten für Deutschland beauftragt und giebt nun seine Arbeit , da der
ganze Plan nicht zu Stande kam, als selbstständiges Werk ins Publicum.
Der erste Theil enthält den Katalog der Schriften und Erfindungen, und
zwar zuerst die Autoren mit kurzen biographischen Angaben, ihre Schriften
und Erfindungen; dann ein Sachregister zu den Schriften und Erfindungen.
Im zweiten Theile folgt ein Katalog der Beobachtungen, zuerst die Stationen
und ihre Beobachtungsreihen, dann ein Sach- und Personenregister, die
Beobachtungsstationen und die Beobachter. Der dritte Theil endlich ent-
hält den ümriss einer Geschichte der meteorologischen Beobachtungen in
Deutschland.

Bei diesem ümriss wird die Geschichte in drei Perioden getheilt, die
Periode der Aufzeichnungen der Witterungserscheinungen ohne Instrumente
zu verwenden, bis zur Erfindung von Thermometer und Barometer,, also
bis gegen die Mitte des 17. Jahrhunderts; die zweite Periode instrumen-
teller Beobachtungsreihen Einzelner (als erste wird die vom Tübinger Pro-
fessor Camerarius herrührende seit 1691 angeführt) und die dritte Periode
der Organisation des meteorologischen Dienstes durch den Staat, beginnend
mit der Societas meteorologica Palatina 1780 — 1792.

Zum Schlüsse sind noch statistische Resultate angehängt über Zahl und
Berufsart der Beobachter, die Dauer ihrer Beobachtungsreihen u. s. w.

Das Werk in seiner praktischen Anlage erleichtert jedem Meteorologen
seine Aufgabe und giebt ihm häufig Aufschluss, wo alle anderen Mittel
fehlgehen. Die meteorologischen Beobachtuogen namentlich früherer Zeit
sind so zerstreut, dass dem Meteorologen selbst für die ihm nächstliegenden
Gebiete ein Quellennachweis hocherwünscht ist. p 7.^Qn

Blemente der reinen Heohanik. Von Dr. Finger. Wien 1884.

Bis jetzt ist erst eine Lieferung ausgegeben von dem Werke, das als
Vorstudium für analytische Mechanik und mathematische Physik dienen soll
und aus Vorträgen des Verfassers entstanden ist. Der Verfasser betrachtet
die Mechanik als physikalische Wissenschaft, die auf den drei empirischen
Grundsätzen Newton's fusst, auf dem Princip der Trägheit, dem der
unveränderlichen relativen Wirkung und dem der Wechselwirkung. Die
erste Lieferung behandelt die Statik und Dynamik des materiellen Punktes.

P. Zech.

Die Function des parabolitohen Cylinders. Von Dr. Baer. Cüstrin 1883.
32 Seiten.

Die Abhandlung enthält die Integration der Potentialgleichung (ii*F=sO)
iSb* emen walstfOrmigen Körper ^ der eine Caxd\o\AA x<Qx 'bvc^^Xaro. \^\ ^^^Dano^

Recensionen. 37

Bflckkehipunkt zum Pol hat, d. b. einen Körper, der dnrcb Kreise, senk-
reeht lor Ebene der Curve über der Verbindungslinie des Pols mit den
Punkten der Cnrye als Darcbmessern bescbrieben, gebildet wird. Die bei
<Ier Integration verwendeten Functionen werden als Functionen des parabo-
ütehen Cjlinders bezeichnet. p 2tBCu

▼ermeh einei allgemeinen Oesetzes über die speoiÜBohe Wärme. Von
Joachim Sperber. Zürich 1884. 32 S.

Der Verfasser sucht das Gesetz Ton Dulong und Petit über Atom-
wftrme und specifische Wärme durch ein allgemeineres und allgemeiner gel-
tendes zu ersetzen. Er setzt voraus: jedes Molekel ist eine Kugel, deren
I^ortihmesser ist die Molekelgrösse , d. h. die Anzahl Atome im Molekel.
«'^edes Molekel ist von einer Aetherhülle von gleichem Durchmesser, wie das
Molekel, umgeben (wie das zu verstehen ist, ist nicht gesagt). Einen
Körper erwärmen heis&t die Aetheratmosphären verdünnen : die dazu nöthige
Arbeit ist um so grösser, je grösser die Aetherhülle, um so kleiner, je
<l>c]iter der Aether ist; denn „dichterer Aether lässt sich leichter verdünnen*^
Somit ist die specifische Wärme umgekehrt proportional dem Molekular-
ond direct proportional dem Quadrat der Molekulargrösse, oder
Atomgewicht umgekehrt, der Molekulargrösse direct proportional. Dieser
Stiix wird nun nach verschiedenen Richtungen, insbesondere auf dem Ver-
^Cknpfdngsgebiet auszuführen gesucht. Das Schriftchen gehört zu denjeni-
i, in welchen die Phantasie überwiegt (vergl. auch die Figur am Schlüsse).

P. Zech.

elektromagnetisohe Theorie des Lichts. Von Tumlirz. Leipzig 1883.
158 Seiten.

Das Buch soll dem Studirenden ein möglichst vollständiges Bild von
dem gegenwärtigen Stande der elektromagnetischen Theorie des Lichts geben.
Detselbe behandelt die Haupteigenschaften der Dielektrica, die Potential-
^^action der elektromagnetischen Kräfte und das elektrodynamische Poten-
*^ im ersten Theile nach den Arbeiten von Maxwell und Helmholtz.
^^^ zweite, grössere Theil ist dem Lichte gewidmet. Es werden die im
^^*ten Theile gewonnenen Ausdrücke für Strömungen ^auf die Ausbreitung
Lichts angewendet und die Gleichheit der in Weber 's elektrodyna-
^her Formel enthaltenen Geschwindigkeit mit der des Lichts nachgewie-
femer daes das Quadrat des Brechungscoefficienten gleich der Dielek-
titsconstante ist Es wird die Reflexion und Brechung des Lichts als
^^titisch mit dem Verhalten elektrischer Strömungen an der Grenze zweier
^T^ttd VBiohgewjesen, es werden die FresneVschen Yotmc^ti &x ^ib\tte&r
dBß LhbtB aas den eieJctnschen Formeln abge\Q\\/b^^ dciA QoiD&Q3»ftM

^»^eil

38 Historisch - literarische Ahtheilung.

hedingungen und die Erhaltung der Energie untersucht. Den Schluss bildet
die Reflexion und Brechung an der Grenze einer senkrecht zur Axe ge-
schnittenen einaxigen Erystallplatte. Bei den noch so weit auseinander-
gehenden Anschauungen über die Lichtbewegung in krystallinischen Mitteln
ist eine Bearbeitung von anderer Seite her zur Aufklärung von grosser
Bedeutung. Der Verfasser hat sich das Verdienst erworben, eine solche
Aufklärung den Studirenden zugänglicher gemacht zu haben. p ^ech.

Das Mikroskop und seine Anwendung. Von Dr. Dippel. 2« Auflage,
dritte Abtheilung des ersten Theils. Braunschweig 1883. 289 S.

Die zwei ersten Abtheilungen sind früher besprochen worden. Die
vorliegende dritte Abtheilung beschäftigt sich mit der Praxis des Mikro-
skops , mit der Herrichtung der Präparate , Methode der Beobachtung , Mes-
sung, Anwendung des polarisirten Lichts und des Spectroskops , endlich
der Zeichnung und Aufbewahrung der Präparate, und giebt eine Fülle von
Anweisungen für den eigentlichen Praktiker. p. Zech.

Bibliographie

vom 1. November bis 15. December 1884.

Periodisohe Schriften.

Sitzungsberichte der mathem.-phys. Classe der königl. bayer. Akademie der
Wissenschaften zu München. Jahrg. 1884, Heft 3. München, Franz.

1 Mk. 20 Pf.
Denkschriften der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, mathem.-
naturwissenschaftl. Cl. 48. Bd. Wien, Gerold. 45 Mk.

Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften, mathem.- natur-
wissenschaftl. Cl. 2. Abth. 90. Bd., 1. u. 2. Heft. Ebondas.

5 Mk. 60 Pf.

Verhandlungen der vom 15. bis 24. October 1883 in Born abgehaltenen

7. allgemeinen Couferenz der europäischen Gradmessung, redigirt von

A. Hirsch und Th. v. Oppolzer. Berlin, G. Heimer. 30 Mk.

Annalen der Münchener Sternwarte. 14. Supplementband. München, Franz.

4 Mk. 60 Pf.

Beobachtungen, angestellt am astrophjsikal. Observatorium in 0-6jalla,

bennag, von N. y. Konkolt. 6. Bd. (Beob. v. 1883.) Halle, Schmidt.

Bibliographie. 39

V-»«.*- ^- .

ABtronomische Nachrichten, herausgeg. v. A. Krüger. 110. Bd. (24 Nrn.),
Nr. 2617. Hamburg, Mauke Söhne. compl. J5 Mk.

Vierte^ahrsschrift der astronomischen Gesellschaft, herausgeg. v. E. Schön-
feld n. H. Seeliger. 19. Jahrg., 3. Heft. Leipzig, Engelmann. 2 Mk.
Bepertorium der Physik, herausgeg. v. P. Exner. 20. Bd. (12 Hefte), 1. Heft.
Mttnchen, Oldenbourg. compl. 24 Mk.

Mömoires de l'acadömie de St Petersbourg. 7. s6rie, t. 32, livr. 6 — 12.
Leipzig, Voss. 11 Mk. 50 Pf.

Melanges math^matiques et astronomiques^ tir6s du bulletin de Tacad^mie
de St. Petersbourg. T. 6, livr. 2. Leipzig, Voss. 1 Mk. 20 Pf.

Mfelanges physiques et chimiques etc. T. 12, livr. 1 et 2. Ebendas.

1 Mk. 60 Pf.
Geschichte der Mathematik.

Cahtor, M., Ueber den sogenannten Seqt der ägyptischen Mathematiker.
(Akad.) Wien, Gerold. 20 Pf.

Reine Mathematik.

^^^mu^ L., Einleitung in die Analysis des Unendlichen; deutsch Ton H.
Maser. l.Thl. Berlin, Springer. 7 Mk.

^ÄB^ ^ K. , Einleitung in die Theorie der elliptischen Functionen. Leipzig,
Teubner. 4 Mk. 80 Pf.

"^UQ^ß^ jj^^ j)iß Verwendung des Kettenbruchs zu einer bequemen Berech-
nung der Quadratwurzelftinction. Wolfenbüttel, Zwissler. 60 Pf.
^^^Kbaubr, L., Ueber Determinanten höheren Ranges. (Akad.) Wien,
Gerold. 50 Pf.
^^A.Y, C, Exposition nouvelle de la th6orie des formes Unfaires et des
determinans. Paris, Gauthier - Villara. 3 Frs.
'SR , E. , Beiträge zur Theorie der Osculationen an ebenen Curven dritter
Ordnung. Berlin, Mayer & Müller. 1 Mk. 80 Pf.
"^^lö, M., Ueber eine geometrische Verwandtschaft zweiten Grades und
deren Anwendung auf Curven vierter Ordnung mit drei Doppelpunkten.
(Dissert.) Breslau, Preuss & Jünger. 2 Mk.
^ViDio, E., Geometria analytica. Parte 1. Turin, Löscher. 10 L.
^^2^bb-Bbnzon, R. V., Die geometrische Constructionsaufgabe. Kiel,
,.^ V. Maack. 1 Mk. 60 Pf.
^^KBR, Chr., Lehrbuch der darstellenden Geometrie, l. Bd. Leipzig,
Tenbner. 12 Mk.

Angewandte Mathematik.

^^8GH, 0., Anleitung zur Berechnung geodätischer Coordinaten '^
,^ Kaeael, Freyschmidt.

^STiDT, Ä,, JJeher LissajouB'Bche Curven. (Di&aeri.'^ QW
daboeek ik Baprecbt

40 Historisch - literarische AbtheiluDg. Bibliographie.

Kraft, F., SammluDg von Problemen der analytischen Mechanik. 4. und
5. Lief. Stuttgart, Metzler. 4 Mk.

Oppolzer , Th. V. , Bahnbestimmung des Planeten Cölestina (237). (Akad.)
Wien, Gerold. 20 Pf.

Gyldi^n, H., Theoretische Untersuchungen über die intermediären Bahnen
der Kometen in der Nähe eines störenden Körpers. (Akad.) Peters-
burg und Leipzig, Voss. 80 Pf.

Steghert, C. , Definitive Bestimmung der Bahn des Kometen 1881, IV.
Kiel, V. Maack. J Mk. 20 Pf.

Physik nnd Meteorologie.

Clausius, B. , üeber den Zusammenhang zwischen den grossen Agentien
der Natur. Bonn, Cohen & S. 1 Mk.

Secchi , A. , Die Einheit der Naturkräfte ; ein Beitrag zur Naturphilosophie,
üebers. v. B. L. Schulze. 2. Aufl. 5. Lief. Leipzig , Frohberg. 2 Mk.

Fleischel, E. v.. Die doppelte Brechung des Lichts in Flüssigkeiten. (Akad.)
Wien, Gerold. 35 Pf,

Lindemann, E., Helligkeitsmessungen der Besserschen Plejadensterne. (Akad.)
Petersburg und Leipzig, Voss. 80 Pf.

Abendroth, W., Leitfaden der Physik mit Einschluss d. einfachsten Lehren
d. Chemie u. d. mathem. Greographie. 2. Bd. (Cursus d. Prima). Leipzig,
Hirzel. 4 Mk.

Historisch -literarische Abtheilung,

Die Ferrari -Cardanische Auflösung der reducirten

Qleichung vierten Qrades.

Von
K. HUNRATH.

Die ffArs magna ^' hat mir in zwei Ausgaben vorgelegen:

1. H. Cardani, ... opus novum de proportionibus numörorum ...
praeierea artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus ...
item de aliza regula liber ..., Basileae, 1570, und

2. H. Cardani , ... operum tomus quartus, quo continentur arithmetica,
geometrica, musica, ... Lugduni, 1663.

Wenn letztere Ausgabe sich auf dem Titel ,,editio et caeteris elegau-
tior ita et accuratior" nennt, für die >>Ars magna" kann sie das Lob grös-
serer Genauigkeit nicht beanspruchen : hier bringt sie dieselben Druckfehler
und Redactionsversehen , wie die ältere Ausgabe, und noch einige mehr.*
Da die Baseler Ausgabe nicht die älteste ist, so ist es denkbar, dass auch
sie die gedankenlose Wiedergabe eines früheren Druckes ist. Es ist ferner
nicht ausgeschlossen , dass die Leydener Ausgabe unabhängig von der Baseler t/
ist, dass beide auf derselben früheren Ausgabe beruhen.

Die Darstellung von Ferrari 's Methode giebt Cardan im 39. Capitel,
das im Index die üeberschrift: ,,De regula duplici, qua per iterata posi-
tionem inuenimus ignotam quantitatem , ubi habentur 20 capitula , alia gene-
ralia qd qd. & qd. & rerum & numeri^S im Text die verkürzte üeberschrift:
,,De regula qua pluribus positionibus inuenimus ignotam quantitatem"
trägt."^* Die dort gegebene Regula I kommt ihrem Inhalt nach für meinen
Zweck nicht in Betracht Die Regula II beginnt mit den einleitenden
Worten :

* Ausser den bei der Anführung von TexteteUen «ogebiMH
rungen siehe das Verzeicbniss am Schlosse de» AntetMi.

** In der Baseler Ausgabe; in der Iioydenet «vAi^
JnbaitsdDgabe, wie der Text

Hiat^Ui. Abibig. d. ZtHacht f. IUIIl a. Fbfa» ^"»^i ^

42 Historisch -literarische Abtheilung.

2 „Alia est regtUa nobüwr pr§cedente, dt est Ludouici de Ferrarijs, gut

eam me rogante inuenit, dt per eam habemus omnes aestimationes fermi

capituihmm qd' qatadrati & quadrati, rerum dt numeri, uel gd quadrati

cuhi, quadrati dt numeri, dt ego ponam eaper ordinem, hoc modo ut uides/'

Es folgt dann die Aufz&hlung der Capitala, die in beiden Ansgaben

das Capitnlum _,. _ , , i,

qd quad. aequale rebus dt numero

doppelt bringt, unter 4 und unter 5. Dafür fehlt das Capitulum

qd' quad. Cfwm cuhis aequalia quad, dt numero.

Wo das erstere Capitulum an seiner Stelle steht, ergiebt sich ausser
aus der ganzen Anordnung aus den Schlussworten:

„In his igüur omnibus capiitUis, quae quidem sunt generalissima , ut
reliqua omnia sexagmta Septem* stiperiora, oportet redticere capitula, in
quibus ingreditur cubus] ad capitula, in quibus ingreditur res ut septimum
ad quartum, ^ secundum ad primum, deinde quaeremus demonstrationem
hoc modo**

Die hier geforderte Umwandlung lehrt C. im 7. Capitel (De capitulo-
rum transmutatione) ; sie kommt darauf hinaus, den mit einem passenden
Factor versehenen reciproken Werth der unbekannten als neue unbekannte

m

einzuführen, — = ^ zu setzen; an Stelle des Gliedes mit 7? tritt dann ein

X

solches mit y. Nun ist das siebente Capitulum

"qd' qd, cum cubis aequalia numero^ d. h. x^ + ax^s=d]

setzt man x= — i so erhält man

y

«* = — T-'y + -5-i also "qd* quad. aeqtuüe rebus et numero.
a a

Diesem Capitulum ist mithin die Ordnungszahl 4, dem ausgefallenen
die Zahl 5 zu geben. Die so verbesserte üebersicht der Capitula hat fol-
gende Gestalt:

1. qd' quad. aequale quad, rebus dt numero';

2. qd' quad aequale gd. cubis dt numero;

3. qd' quad. aequale cubis dt numero;

4. qd' quad. aequale rebus dt numero;

5. qd' quad. cum cubis aequalia quad. db numero;

6. qd' quad. cum rebus aequalia quad. dt numero;
1. qd' qd. cum cubis aequalia numero;

8. qd' qd. cum rebus aequalia numero;

* In beiden Ausgaben statt sexaginta sex. Gemeint sind die im 2. Capitel

aufgefeihrten 22 capitula primitiua und 44 capitula deriuatiua; entere enthalten

die Formen der Gleichung zweiten und dritten Grades, letztere entstehen aaa

enierett, wenn mao für die Unbekannte dus Quadrat, bezw. den Cubus einer

■^ UabetBonten einföhrt.

Die Ferrari -Cardani'sche Auflösung der reduc. Gleichung 4. Gr. 43

9. ^d qd, cum qd aequalia ctibis d: numero;

10. qd' qd. cum qd aeqtudia rebus <& numero;

11. qd' qd, cum qd dt rebus aequälia numero;

12. qd' ^d. cum qd & cubis aequälia numero;

13. qd' qd. cum qd dt numero aequälia cubis;

14. qd' quad, cum qu<id. <ft numero aequälia rebus;

15. qd' qu^. cum numero aeqimlia cubis dt qimd. ;

16. qd' quad. cum numero aequ<üia cubis;

17. qd' quad. cum numero aequ<ilm rebus dt quad,;

18. qd' quad, cum numero aequ<üia rebus;

19. qd' quad, cum cubis rf* numero aequiüia quad,;

20. qd' quad, afm rebus <k numero aequälia quad.

IDiese 20 Formen führen wir auf folgende vier zurück:

I. a^ + bx^ + cx +d = 0 [1,6,10, 11,14,17,20],
x' + acfi + bx^ + d^O [2,5,9,12,13,15,19],
x* + cx +d = 0 [4,8,18],
x'+ax'^+d^O [3,7,16],

II.
III.
IV.

m

k

^on denen durch die Substitution x= II auf I , IV auf III zurückgeführt

^'•^^- Bemerkens werth ist, dass C. offenbar nicht das Verfahren kennt,
^^ allgemeine Gleichung vierten Grades x* + ao(^ + bx^ + cx + d = 0 durch

^^^ Einführung von y='X + -j- auf die Form I zurückzuführen , während

^*" (17. Capitel) die allgemeine Gleichung: dritten Grades zu reduciren versteht.

Die an die oben wiedergegebenen Schlussworte sich unmittelbar an-
^^oliessende Demonstratio zerfällt in drei Regeln . die am Rande mit 3, 4, 5
"^^^eichnet sind. Die erste lautet:

„SU quadratum af, diuisum in duo
9^€M,draia, ad dt df, dt duo supplementa,
^c {£r de, d: udim addere gnomonem kfg
^^cuncirca, ut remaneat quadratum totum
^y^ , dico, qudd talis gnomo constahU ex duplo
^ ^ addiiae lineae, in ca, cum quadrato gc,
**^*H fg constat ex gcin ci , ex diffinUione
a in inüio secundi Elementorum, d^ cf
aequaUs ca, ex diffinUione quadrati, et
9Uria per 44 primi Elementorum, kf est
^^^^udis fg, igUur duae superficies gfrf^fk, a o e g

m

f**

d

* Diese Zahl fehlt in beiden Ausgaben, in der jüngeren AuagabI aaoh dk
^^ 4; onler 6 DÜnmt C. ßezug auf 3.

^ Steht in beiden Aasg&bea verkehrt, am DuTcbttcbniU» ^oil ci^^^om^
****«w6 beiMattbießsen, Ornndzüge der antiken u. tnod«ni«ik Jh^Sd

44 Historisch -literarische Ahtheilung.

constant ex gc, in duphtm ca, dt quadratmn ge est ih, per car^ 4 seeundi
Elementorum, igüur patet proposUum, $i igitur ad sit 1 gd' qwidratum dr
cd oc de ^ guadrata, ^ d{9, erunt ba 1 qmdratum c^ bc ^ neceßsario. cwm
igitur uoluerimus addere quadrata äliqua, ad de dt de, et fuerint cl ^ km
erit ad cornplendum quadratum totum necessaria superficies Inm, quae ut
demonstratum est, constat ex quadrato gc numeri guxdratorum dimidiati,
nam c\ est superficies ex gcin 2kh, lU ostensum est, 4" ^h est 1 quadratum,
quia ponimus, ad 1 gd' quadratum, fl uero ^ mn, fiunt ex gc in cb, ex
42^* primi Etementorum, quare superficies Xnm, ^ est numerus addendus,
ß ex gc in dupiMm cb, id est in numerum quadratorum , qui fuU 6,4"
gc in se ipsum, id est numero quadratorum addito, Sr ^^o^e dem(mstratio
nostra est"

In diesem geometrischen Beweise , dessen Urheberschaft C. für sich in
Anspruch nimmt, sagt er:

Die Maasszahl für die Fläche des Quadrats ad sei eine vierte Potenz, x^^
also die für die Seite ah eine zweite Potenz, rr^ die Flächen cd und de seien
jede 3a;*, also die Fläche df=^9^ die Strecke fec=3. Dann ist die Fläche
des Quadrats a/'=a^ + 6a;*+ 9, oder, wenn man statt der willkürlich gesetz-
ten 6 das allgemeine Zahlzeichen m einführt, =a:* + t»x* + -2- = (a;* + -^j»

Darauf werde an das Rechteck de das Bechteck cl^ an de das cl gleiche
km angesetzt, also Rechtecke mit der einen Seite =^ci? (die Summe der
Flächen der beiden angesetzten Rechtecke bezeichne ich mit yx^). Die neue
Figur wird zu einem Quadrat vervollständigt durch den Gnomon Inm^ der

y

aus dem Quadrat der Strecke gc=^-^ [ex quadrato gc numeri quadratorum

dimidiati] und den Rechtecken mn und ß zusammengesetzt ist, deren Fläche

zusammen 6.^c=6'-?^=3y, allgemein -jy beträgt.

Die Worte „id est numero quadratorum addito", die auf „«|* (ex) gc in
se ipsum" sich beziehen, enthalten eine Ungenauigkeit; es ist, wie obon,
der numerus quadratorum dimidiaius zu verstehen.

Bis jetzt hat C bewiesen, dass man, wenn man zu

x* + mxi'+-^ oder \f+2^) y^ M-^^^^ + f^

addirt, ein vollständiges Quadrat

("+i+f)'

erhält Er fährt fort mit der Anweisung:

4 „Hoc opere peracto, semper reduces partem gd' quadrati ad ^!, id est
addendo tantum utrique parti, ut 1 gd* quadratum cum quadrato et numero

%

♦ ^^Bmmnt ist, wie oben, 44.

Die Ferrari -Cardani'sche Auflösung der reduc. Gleichung 4. 6r. 45

habecmt radicem, hoc facile est, cumpostieris dimidittm nutneri guadrcUofwn,
radicem numeri, Uem facias, tU denamituUiones extremae sint pl^s, in am-
hahus aequationibtts , nam secus, trinomium seu Binomium redudum ad tri-
nomium, necessariö careret radice/'

Ich fasse diese Anweisung so auf: Die Gleichung

a^ + bx^ jr^ ex :hd = 0 forme um in (^^+9^) ^ {fn—b)a^'+ cxf d
und

a^ -boc* ±cx±d = 0 in (ic*— o-j = (5— *»)a^ + ca?+ (1,

wobei darauf zu sehen ist , dass der Coefficient des ix^ auf der rechten Seite
positiv werde. Meine Auffassung stützt sich hauptsächlich auf die Behand-
lung der Aufgabe

a;* + 8 = 10a:« -4x* (Quaestio IX des 39. Capitels).

Dort sagt C: „quia uidemus numerum quadratorum esse magntim , 4c ferum
paruum, ideo conabirnur minuere numerum quadratorum potius , quam augere,
Sr fademus ut diminutio sü ex iäraque parte 2 quad, nam ä minori imö a
2 quadratis semper ferme est incipiendum , qtiia non oportet ut venias ad m :
(/d ex parte rerum, quia sie non häberent radice, subdudis igitur 2 qua-
dratis ex utraque parte ...".

Der Coefficient des Gliedes mit x^^ 10, ist C. zu gross; er ist daher
darauf bedacht, ihn zu verkleinern, dadurch dass er beiderseits eine Anzahl
Quadrate subtrahirt, z. 6. 2x^y also umformt in

a^-2a;«+l=8a;«-4a?-7,

oder durch beiderseitige Subtraction von 62:' umformt in

x^ — ßx^ + Q^^x^ — Ax + X (a.a.O. im „Notandum").

Dabei soll man darauf achten, dass man nicht auf der rechten Seite einen
negativen Coefficienten am x^ bekomme.

Sehen wir uns nun die übrigen von C. im 39. Capitel behandelten
Beispiele an.

1) x* + 6x^ + 36^60x (Quaestio V**).

Hier addirt C, um links ein voUständiges Quadrat zu erhalten, beider-
seits 6a;*: a;*+ l2a;* + 36 = 6ic« + 60a;***,

wohl bestimmt durch den Umstand, dass das absolute Glied 36 ein voll-
ständiges Quadrat, 6«, ist.

2) a?* = a; + 2 (Quaestio VI),
hier nicht zu besprechen, da das Glied mit a^ fehlt.

* Beide Ausgaben haben im Text 1 qd' quadratump: 8, luquiak ^ §itadmUß
m: 4 positionibus , im Rechnungaschema richtig 10 qd m: 4 pot.

** Die vier ersten Qaaestiones de« Capiielft nn4 BfiME^^iSi^ «&^
''*^ Jd beiden Auegahen steht p: 90 jMmtioiiame ^M^ t* ^

48 Historisch • literaiische Abtheilang.

tive Wurzeln als „fidae** ausschliesst*; das hindert [s. unten Ob)] freilich
C. nicht, für dasselbe Beispiel sowohl px — q^ als auch q — px zuzulassen,
obwohl nur Eines positiv sein kann.

In der Ausführung macht sich bei Card an die Sache so:

1) In a?* + 12a;« + 36 = 6ir« + 60a; addirt er auf beiden Seiten 2ex^
+ 12 g + z^ und erhält {x^ + 6 + e)^=:^(2e + 6)x^ + 60x + z^+12e, also di
Resolvente {2 e + 6) (z^ + 12 z) =- 30^ oder ^+ 15ä« + 365 = 450.

2) a^ = a? + 2; hier, wo c = 0 ist, addirt C. beiderseits 2zs^ + s* un^
erhält {x^+z)* = 2zx^ + x + z^ + 2, dann aus 2z{z^ + 2) = \ die Reso."
vente z^ + 2z=^\.

3^ — 1

NB. C. giebt auch noch die Lösung a:* — l=x+l, ^ =

x-f- 1

rr^— a^ + x — 1 = 1, ar^ + rc = a:*+2.

3) y* = 6y + 4; wird von C. nicht nach Ferrari's Regel gelöst,

«*— 16

man — siehe NB. zu 2) — «*— 16 = 6(y — 2), zr=6 u. s.

y — ^
transformiren kann.

4) a?* + 32a:« + 256 = 48^+240; C. addirt zu beiden Seiten 2
+ 32ief + ^ und erhält (a;»+ 16+xr)» = 2^a:« + 48a; + ;?« + 32i» + 240;
solvente: ^ + 32;?« + 240 je? = 288.

5a) a?*— 2a;« + l = 8a:« — 4a; — 7; durch beiderseitige Addition
-^2zoi? + 2z + z^ erhält C. (««— l-j5)« = (8-2iP)a:«-4« + 5* + 2j? — 7
Resolvente : ^ + 30 = 2 is« + 15-er.

5b) a?* — 6a;* + 9 = 4a:* — 4a; + l; auch die rechte Seite ist ein vo^ ^•
ständiges Quadrat, daher ist x« — 3 = 2a;— 1 und auch =1 — 2ar.

Für 5 a) liefert je? =2 dasselbe Quadrat 4»« — 4x + l auf der reclm'tiHi^n
Seite (beides nach C).

6) ist oben erledigt, desgleichen 9).

8) aj* + 3=l2?x; C. addirt beiderseits 2jefa:« + jE?* und leitet die Re^ ^^1-
vente £f^ = 3jE?+18 ab.

7) a:* — 3a;* = 64 verdient ganz besondere Beachtung, weil das cf^er
Methode zu Grunde liegende Princip ganz frei angewandt wird. Es ist ^^
eine Quadratzahl. C. fügt auf der rechten Seite, „uhi sunt res", m& ®^
sagen würde, eine beliebige Anzahl a? hinzu, 2zx^^ und, wobei ihm ^^

* So sagt C. im 1. Capitel unter 3 von der Gleichung xi* + li = 6s^:
non potest (leqwUionem ueram höhere, carebit etiam ficta, sie em uocamus
quae ddnti est seu minoris'*, d. h. eine Gleichung von der Form x* + a=:
müsse eine positive Wurzel (vera aeqtuitio) haben , um eine negative Wurzel (i
CLeqwUio) haben zu können; von der Gleichung a:^ = 2a;* + 8 (in beidoi Ausgi^^
80 statt 8) sagt er, sie habe eine „uera*' und eine dieser gleiche ,Jieta aequaC

-h 2 und —2; die Gleichung x* + Vi = lx* \iQ\>« tw«v „u«rae" und awei di<

gleiche „fictat aequationes'' , -v-2, +Va xmei -^, -V^.

Die Ferrari • Cardani'sche Auflösung der reduc Gleichung 4. 6r. 47

Wie oben, unterscheide ich wieder folgende Formen der reducirten
Gfrleichung vierten Orades:

a?* + &Ä*±ca; + (^ = 0 und a;* — 5rc* + ca? + (1 = 0,

Die erstere nur umgeformt in

V "'"'2/ =(*»""^)^* + ^'^ + ^'
<}ie letztere in

(

2/

rotei für jene die Bedingung m>b, für diese die Bedingung fn<b gilt.
^s soll nun im ersteren Falle gebildet werden

\^ + j) +2iefic« + fnief + jE?»=(2^ + fn-6)a;«4: cx + Ä^+wjET + d-^,
^ letzteren

[s. unten Beispiel 5a)].

Hier habe ich im Anschluss anCardan"^ 2z statt des oben gebrauch-
^*^ y eingeführt. Wir haben dann links

(a;*+^ + jefj> bezw. (x^-'-^ — zjy

vollständiges Quadrat, und rechts einen Ausdruck, für den die Forde-

gestellt wird, dass er ein vollständiges Quadrat sei (... „tU idem ad-

wni aUeri parti, in qua erunt res, faciat trinomium Habens I): (jttadratam

^^r positionem*' ...). Die noth wendige Folge dieser Forderung giebt C.

**^ Quaestio V an: „secunda quantUas (habet radicem) ex sttpposito, igiiur

^^^^cta prima parte trinomU in tertiam fit quadratum dimidiae secundae partis".

^^ "Wird also im einen Falle

andern

{2z + m'-b)(^z^ + mzT d-^)

{b''m-2z)(z^ + mz + d-'^^

"*^ l -ft j gesetzt. In beiden Fällen ergiebt sich für z eine Gleichung dritten

^K^es, nach deren Auflösung die Quadratwurzel aus der rechten Seite sich
^•^^ben Iftsst. Dieselbe sei, sagt C, von der Form|?a? + g oder px — q
^er q—px („1 posüio uel plures p: numero, ad m* —• ^«^w. uel numerus
^ : pmOonOms"). Dies hängt selbstverständlid -« mit x

^^tiplioirten Gliedes, des c, ab. Zu bemesl
^■UtiprecheiMle Wurzel —px — q nicht anfRHl

* Id Qimmtio V: „potum nmmm

4»

48 Historisch -literarische Abtheilung.

tive Wurzeln als „fidae** ausschliesst*; das hindert [s. unten Ob)] freilich
C. nicht, für dasselbe Beispiel sowohl px — q^ als auch q—px zuzulassen,
obwohl nur Eines positiv sein kann.

In der Ausführung macht sich bei Card an die Sache so:

1) In ar* + 12a:* + 36 = 6ir* + 60rc addirt er auf beiden Seiten 2f;
+ 12g + z^ und erhalt {a^ + 6 + e)^^(2e + 6)x^ + 60x + e'+12z, alsodi*^^
Resolvente {2e + 6){z^+l2z) = 30^ oder ^+15Ä» + 36£f = 450.

2) a^ = aj + 2; hier, wo c = 0 ist, addirt C. beiderseits 2gx^-\-z^ '^"■^^ä-j/,
erhält {x^ + z)* = 2ea^ + x + z* + 2, dann aus 2z(z* + 2) = \ die Resccifc. ^y.

vente z^+2z = ^.

a^ — l
NB. C. giebt auch noch die Lösung a;* — l=x+l, =-= -^^1.

rr3-a^ + a;-l = l, 2^ + x-=x^+2,

3) y* = 6y + 4; wird von C. nicht nach Ferrari *s Regel gelöst, da

«*— 16

man — siehe NB. zu 2) — «*— 16 = 6(« — 2), zr=6 u. s.

y — ^

transformiren kann.

4) a:* + 32a;« + 256 = 48a; + 240; C. addirt zu beiden Seiten 2-sr
+ 32z + ^ und erhält (x^+\(>+zy==2zx^ + ^8x + z* + S20 + 24O;
solvente: sfi + S2z^ + 240 js = 288.

5a) s^—2a^ + l = 83i^ — 4x — 7\ durch beiderseitige Addition v ■•nn

^2zx* + 2z + z^ erhält C. («*— l-j5)» = (8-2ip)a:«-4« + 5* + 2jp 7;

Resolvente : z^+d0 = 2z^+l5z,

5b) 0^ — 6x^ + 9 = 4ä* — 4a; + 1 ; auch die rechte Seite ist ein yr^^^ ^■
ständiges Quadrat, daher ist x* — 3 = 2a;— 1 und auch =1 — 2jc.

Für 5 a) liefert z=^2 dasselbe Quadrat 4x^ — 4x+l auf der recfc^fc^^n
Seite (beides nach C).

6) ist oben erledigt, desgleichen 9).

8) a?* + 3= l2?x; C. addirt beiderseits 2zx^ + z^ und leitet die Re» ^^'
vente i^ = Sz+i8 ab.

7) a:* — 3a;*:=64 verdient ganz besondere Beachtung, weil das ^3er
Methode zu Grunde liegende Princip ganz frei angewandt wird. Es ist^ ^
eine Quadratzahl. C. fügt auf der rechten Seite, „ubi SfnU res", wie ®^
sagen würde, eine beliebige Anzahl x^ hinzu, 2je;a^, und, wobei ihnca ^^

* So Bagt C. im 1. Capitel unter 3 von der Gleichung a*+12 = 6s^: „ ^
wm potest cteqtuUionem ueram habere, carebü etiam ficta, sie ^uocamus
quae dehüi est seu minoris", d. h. eine Gleichung von der Form x^-{-az:=^
müsse eine positive Wurzel (vera aequatio) haben , um eine negative Wurzel ffi^-"^'^
aequatio) haben zu können; von der Gleichung a:* = 2a;* + 8 (in beiden Ausg*t^^^-^^
80 statt 8) sagt er, sie habe eine „uera'' und eine dieser gleiche ,Jieta aequat*''^'^J^

•^2 und —2; die Gleichung x* + Vi = la(? \i«\>« xnh«v. „uwoe*' und «wei

gleiche „fictae a€quatione8'% -v-^, -vV^ und -^, -V^.

Die Ferrari- Cardani'bche Auflösung der reduc. Gleichung 4. Gr. 49

statten kommt, dass 64 eine Quadratzahl ist, vervollständigt die rechte
Seite 64 + 2;efa:^ durch Hinzufügung von j^z^x* zu einem Quadrat. Auf
der linken Seite erhält er so {■^z^ + ^) x* — i^x^ + 2z.i^y stellt die Porde-
ning, dass auch dieser Ausdruck ein vollständiges Quadrat sei, und findet
aus (^g^+l).2z = {l^Y die Resolvente z^+a4z = 72.

Soviel dürfte die vorstehende Darstellung gezeigt haben, dass Card an
weit entfernt ist, eine Methode zu befolgen, die sich für die reducirte
Gleichung vierten Grades jt^ + hx* + vx + d = 0 in das Schema

(«' + -^+^1 =':izx^ — cj' + z^ + hz+-y - c [Beispiel 4)]

oder das Schema

{s^'i-h + zy=={b + 2z)x^-cx + z^ + 2hz + h*-'C [Beispiel 1)J

zwingen Hesse. Sehe ich von dem ganz frei behandelten Beispiel 7) ab,

^ glaube ich, dass der Gedankengang C/s in unserer Formelsprache am

•lösten 80 wiedergegeben wird:

.,Pür

3i^ + hs^ + cx + d = 0 (5zO, cundd'^0)
äeta&e

"^•<5he die Wahl von m von den Umständen abhängig imd las» die rechte
^*^ito ein vollständiges Quadrat werden oder setze

(tß + m-'b) (if + 2my + m« -> 4d) = c^J'

Zu der sich so ergebenden Resolvente

^ H" (3m-.5)y»4-(3m«-2&tn-4d)y + w»-l)w2-4rfm + 4^cl-c^ = 0

ich noch, dass, wenn man das absolute Glied als eine Function
«• ansieht , als f(fn) , so ist der Coefficient des // = p {m) , der von //^

^""^ — i"-«"» der von y* = 1—0-5 • Bemerkenswerther ist, dass für »» = -0^

^^ Besolvente in die reducirte Gleichung

^^ Beide Bemerkungen gelten für die Resolvente, die man auf gleichem
^^^ge für die allgemeine Gleichung vierten Grades

1. x^^-aa^ + hx^ + cx + d^O

^**l«itet; denn ans

*'3BmM wsft die Besolrente

E5nigl. Akademie der Wissenschaften zu Turin.

Pi'Ograniin

für den

fünften Bressa'schen Preis.

Die könig]. Akademie der Wissenschaften zu Turin macht hiermit,
testamentariäcben Willensbestimmungen des Dr. Cäsar Alexander Bre««»^ ^^
und dem am 7. December 1876 veröffentlichten diesbezüglichen Prograc=:^Qj|,
gemäss, bekannt, dass mit dem 31. December 1884 der Concurs für die im
Laufe des Quadrienniums 1881 — 84 abgefassten wissenschaftlichen W^:«-]^«
und in diesem Zeitraum geleisteten Erfindungen , zu welchem nur italieni^L<:lie
Gelehrte und Erfinder berufen waren, geschlossen worden ist.

Zugleich erinnert die genannte Akademie, dass vom 1. Januar 188S an
der Concurs fCLr den ftlnften Bressa'schen Preis eröffnet worden ist^ zu
welchem , dem Willen des Stifters entsprechend , die Gelehrten nnd ErfiKi.der
aller Nationen zugelassen sein werden.

Dieser Concurs wird bestimmt sein, den Gelehrten oder Erfinder l>e-

liebiger Nationalität zu belohnen , der im Laufe des Quadrienniums 1883 8^

,,nach dem ürtheil der Akademie der Wissenschaften in Turin, die wich-
tigste und nützlichste Erfindung gethan oder das gediegenste Werk "ver-
öffentlicht haben wird auf dem Gebiete der physikalischen und experiK»^^'
talen Wissenschaften, der Naturgeschichte, der reinen und angewan^i*'*^
Mathematik, der Chemie, der Physiologie und der Pathologie, ohne ^®
Geologie, die Geschichte, die Geographie und die Statistik auszuschliess^^^ ' *
Der Concurs wird mit dem 31. December 1886 geschlossen sein.
*Die zum Preise bestimmte Summe wird 12000 (zwölftausend)
betragen.

Keinem der, sei es in Turin oder ausserhalb dieser Stadt ansSssi^^^^
inländischen Mitglieder der Turiner Akademie wird der Preis zuerk^
werden können.

Turin, I.Januar 1885.

:irc

n1

Der Präsident
A. Fabretti.

Der Secretär

der (Haas« fQr pbjsikaliichc and
inathematiDuhe WissengchafteD

A* Sobrero,

Der Secretär

der CUsse fttr «ihiMlie, bittorisehe aiuK
philologische Wissenschmften

Gaspar Gtorresio.

ßecensionen.

^^ Kaum und seine Erftllnng. Von Hullmann. Berlin 1884. (60 S.)

Das Weltall ist von zwei gleichberechtigten, beziehentlich entgegen-
^Setzten Materien ausgefüllt, von Körperpunkten und Aetherpunkten ; jene
flehen sich gegenseitig an, diese stossen sich ab; Körperpunkte ziehen
^etherponkte an, Aetherpunkte stossen Körperpunkte ab. Wie sich die
'^ei letzten Annahmen vereinigen lassen, ist nicht gesagt; jedenfalls wider-
sprechen sie den Axiomen der Mechanik. Es wird dann der Druck des Aethers
ftuf einen Punkt im Räume unter der Voraussetzung , dass er dem Quadrat
<ler Entfernung umgekehrt proportional sei , bestimmt und gefunden , dass er
^nU sei, wenn der ganze Raum mit gleich dichtem Aether gefüllt ist, wie
^^türlich. Dagegen werde das Aethertheilchen , auf welches der gesammte
A^^ther wirkt, gepresst. Die Einwirkung einer Schicht Aether zwischen zwei
P^^^elen Ebenen auf einen Punkt ausserhalb ergiebt sich zu 2nmhdQfdy,
'^o m die Masse des Punktes sein wird (es ist darüber nichts gesagt), h
^^r Abstossnngscoefficient , d^ die Dichte des Aethers ist; Jdy ist also der
'Ä.lÄtand der Grenzebenen. Damit soll nun bewiesen werden, dass der
■*^^Tick eines begrenzten Theiles des Aethers gleich dem des unbegrenzten
"« gleicher Dichte sei, was offenbar dem vorigen Ausdruck direct wider-
***richt. Der Beweis wird in unverständlicher Weise mit Anspielung auf
hydrostatische Gesetz gegeben. Ebenso unklar ist die Ableitung
Beschleunigung eines Aethertheilchens , die aus demselben Ausdfuck
^ ^mhSQjdp sich ergeben soll. Dann wird von der AetherhüUe der Atome
^^•prochen, die sich bis ins Unendliche erstrecke, und von rotirenden
-"-fyiiamiden , die in § 18 plötzlich ohne jede Erklärung auftreten und deren
^^i^hiedene Rotation die Ursache der Aggregatzustände und der chemisch-
^^^ktrischen Erscheinungen sein soll. Es ist eine peinliche Arbeit, durch
sonderbar zusammengestapelte Material sich durchzuarbeiten.

P. Zbch.

^^Imt die Benehnngen zwisohen zwei allgemeinen StraUmif
von welchen das eine durch beliebige Reflexionen und
aas dem andern hervorgegangen ist. Dissertation i
SerliB 1883. (34 S.)

54 Historisch - literarische Abtheilang.

Der erste Theil beschäftigt sich mit dem Nachweis des Satzes yqd
Kummer, dass ein unendlich dünnes Strahlenbündel mit seinen beidem^-^
Focalebenen aus der Wellenfläche, deren Mittelpunkt in der Axe liegen(^,^
angenommen wird, zwei conjugirte Curven ausschneidet. Der zweite Theif
behandelt die Frage, ob es Strahlensjsteme mit ,, nicht kugelförmiger*
Wellenfläche giebt, deren Strahlen Normalen einer Fläche sind. £s finde^^
sich als entsprechende Flächen eine Anzahl von Monge in seiner ^^ApplT«
cation de Tanaljse a la g6ometrie" behandelter Flächen. p ^bcb

Latente Wärme der Dämpfe. Von Puschl. 3. Aufl. Wien 18&3. (76 ,^^

Die erste Auflage wurde im 25. Jahrgang dieser Zeitschrift besprocl^n^^
Eine wesentliche Aenderung ist nicht eingetreten, nur eine Erweiter»- q^
der Darstellung. p^ 55]

Die Elemente der Mechanik und maihematiBchen Physik. Von ümsziM,

Leipzig 1884. (221 S.)

Das Buch ist für Mittelschulen bestimmt, es benützt nur elemeimtar-
mathematische Hilfsmittel. Gleich anfangs wird auf die Bezeichnung <)&
Dimension physikalischer Grössen hingewiesen , was sehr zu billigen ist , ^
der Schüler von Anfang an damit sich vertraut machen muss, wenn er sich
ganz an diese Anschauung gewöhnen soll. Die gleichförmige und die glei^^l^'
förmig beschleunigte Bewegung werden zuerst erklärt, es folgt dann cias
Parallelogramm der Kräfte und Bewegungen, die Erklärung der freien ix"**"
unfreien Bewegung, die Arbeit und Energie. Nach dieser Einleitung ^°
die allgemeinen Begriffe wird in den folgenden drei Abschnitten die 3Äe-
chanik des starren, des elastischen und des flüssigen Körpers behandelt.

Die Darstellung ist vielfach nur eine andeutende, durch den Leb^^*^
zu vervollständigen, um so schärfer sollte der Ausdruck sein. Es 18-^3®*
sich das zuweilen vermissen, z. B. S. 108, wo von den Axen gleick^®^
Schwingungsdauer die Rede ist. Es fehlt hier das Beiwort parallel a— ^*"
nachdem von zwei Axen gesprochen ist, heisst es weiter: „der eine die^^®^
Punkte heisst Schwingungspunkt''. Es handelt sich ja nur um Axendreho^^^^^
nicht um Drehung um einen Punkt. Warum nicht ,,Schwingungsaxe
Auf derselben Seite steht zweimal „nur in Paris", während es natürl^^^»-*^"
für jede gleiche Breite und Höhe gilt.

In der Mechanik der starren Körper wird der Schwerkraft und dreb^^^'
den Bewegung die Magnetnadel , in der der elastischen Körper bei der b- ^^^'
monischen Bewegung die Akustik in kurzen Zügen angereiht und dann ^^

Grundlagen der Optik.

Die Mechanik des vollkommen MÄ^i^wi KSxi^ra behandelt den Dn>- ^^*
den Auftrieb und die DruckveriWAwng m ^«t ^\ssiö«'^isÄfvö»^«BL \jm^^

Recensionen. 55

endlich die Erscheiniuigen der Strömung, den elektrischen Strom mit ein-
geschlossen.

Das Werk giebt dem Lehrer Anweisung, wie er den Schüler in den
Zasammenhang der Naturerscheinungen , soweit sie in der Physik behandelt
vrerdeUi einzuführen hat. p ^.vick

Analytische Theorie der Wärme. Von M. Fourier, deutsch von Wein-
stein. Berlin 1884. (476 S.)

Die „Theorie analytique de la chaleur" war in der letzten Zeit nur
seil wer zu bekommen. Da ein grosser Theil des Werkes mit Reihen zu
Üian hat, die auch sonst in der mathematischen Physik yielfach verwendet
werden — die Fourier 'sehen Reihen — , und da deren Theorie aus-
FCIlirlich auseinandergesetzt wird, so war es erfreulich, dass ein neuer Ab-
dimck des Werkes im vorigen Jahre erschien. Allein es war dies nur ein
^l>dnick ohne Durchsicht, mit den vielen Druckfehlern des Originals, die
ti&iifig das Studium erschwerten. Es hat nun Herr Weinstein, dessen
U^ebersetzungen uns von früher bekannt sind, die verdienstliche Aufgabe
B>l>€roommen , das Werk ins Deutsche zu übersetzen und die Formeln correct
<l^Tziistellen. Die Ausstattung des Buches ist sehr zu loben. p ^ech

I^xe mathen^BOhe Oeographie in Verbindung mit der Landkartenpro-
jeetion. Von Gustav Wbnz. München 1883. (297 S.)

Das Werk enthält eine mathematische Einleitung (ein Viertel des Gan-
^^ii), eine mathematische Geographie mit Projectionslehre , eine Art popu-
«le Astronomie und eine Anzahl Tafeln trigonometrischer Functionen. Wel-
^^Hr Art die mathematische Einleitung ist, zeigen Formeln wie: sin SO^
^=*4 = %'9j69897, oder Ausdrücke wie: „Kreis und Ellipse sind zwei cur-
^^he Linien'', „die Ellipse ist eine ebene Curve, bei welcher die Abstände
^cn ([en beiden Brennpunkten für einen Peripheriepunkt gleich der grossen
"^e sind'', und ähnliche S. 125 wird von der Integralrechnung Gebrauch
^^iKiacht, so dass es scheint, diese sei vorausgesetzt, aber die Elementar-
mathematik nicht. Ein wunderbarer Satz findet sich S. 181 : „Das Fou-
^^Ult'sche Pendel deutet an, dass für die Darstellung von Ländern der
^«Hiäsgigten Zone die Eegelprojection , für Polarkarten das kreisförmige Netz
^4 f^ aequatoreale Gegenden die Cylinderprojection am geeignetsten ist;
^^be man nicht schon mit diesen Projectiousweisen bekannt gewesen, *"
^^h, das Foncault'sche Pendel hätte auf sie führen müssen." Inl
^t tMch die Beschreibung des Antipassats auf der folgenden Seii
^^^ntdlnng der elliptischen Bahn der Planeten 8. 181« P
^hugdßi: „Am 21. März erblickt man die Sonne im &\ff

56 Historisch - literarische Abtheilung.

Lesenswerth ist die Berechnung der Dämmerung aus einer trigonometrischen
Formel mit den nöthigen Anweisungen zur Umrechnung in Anmerkungen.
In einer dieser Anmerkungen wird bewiesen, dass (— in) = (0 — m) ist, in
einer andern, dass (— cosd) = co5rf, weil gleiche entgegengesetzte Winkel
gleiche positive Cosinus haben. Man sieht aus diesen Beispielen, welcher
Art dieses Buch ist, und es wäre nur zu wünschen, dass der Beisatz auf
dem Titel: ,, Expedition des königl. Central - Schulbticherverlags " wenigstens
im vorliegenden Falle nicht zur Wahrheit werde. p ^boh

Jansen, Physikalische Aufgaben. Freiburg 1883.

Vorliegende Aufgabensammlung schliesst sich in ihrem Gange an das
Lehrbuch der Physik von Münch an. Der erste Theil enthält 276 Auf-
gaben aus der Mechanik , der zweite 282 Aufgaben aus der Lehre von der
Molecularbewegung der Körper; dabei ist den schwierigeren Aufgaben eine
kurze Anleitung beigefügt. Gerade die Kleinheit des Werkchens dürfte bei
seiner Reichhaltigkeit manchen Lehrer bestimmen, es in seiner Schule ein-

2^^*^r®°- B. Nebel.

F. KoHLRAUscii, Leitfaden der praktischen Physik, o. Aufl. Leipzig.
Teubner. 1884.

Die innerhalb kurzer Zeit erschienene neue Auflage lässt deutlich
erkennen, wie sehr sich dieses Buch in den physikalischen Laboratorien
eingebürgert hat. Demselben wurden wieder mehrere neue Artikel, nament-
lich aus dem Gebiete des Galvanismus, hinzugefügt, sodann wurden die
Tabellen mit den inzwischen von Landolt und Börnstein herausgegebe-
nen in Uebereinstimmung gebracht. Weshalb der Verfasser die vom Pariser
Elektrikercongress festgesetzten Bezeichnungen „Ampere" und „Coulomb"
nun „Amper" und „Culora" schreibt, ist mit Rücksicht auf die an-
gestrebte Einheit der Bezeichnung nicht recht erklärlich. d jj«««!

Ch. Auq. Vogler, Ornndzüge der ATLSgieichüngsrechnung. Braunschweig.
Vieweg & Sohn. 1883.

Dieses Buch dürfte wohl das erste sein, das die Formeln der Aus-
gleichungsrechnung durchaus elementar entwickelt, ohne dabei weitschweifig
zn werden. Es muss deshalb besonders von den Geometem, welche der
höheren Mathematik femer stehen, mit grossem Interesse begrüsst werden.
— In dem ersten Capitel, das Aber vermittelnde Beobachtungen mit gleiche
Otmmafgkmt bandelt, findet die Methode der kleinsten Quadratsummen ihre

tmd Anwendung auf einige BeVap\e\e\ ^"aft v«^\\fe ^^i^s^^^i^

Hecensioueu. 57

schäftigt sich mit der Aufündung des mittleren Fehlers von Beobachtungen
und Functionen derselben, und bildet denselben bei zahlreichen Beispielen,
worunter sich auch das Pothenot'sche Problem als Ausgleichungsaufgabe
befindet Das dritte Capitel zeigt, wie man vermittelnde Beobachtungen
ungleicher Genauigkeit, d. h. solche Ton verschiedenem Gewicht, zurückführt
auf solche mit gleichem Gewicht, deren weitere Ausführung schon im ersten
Capitel ihre Erledigung fand. Schliesslich wird im vierten Capitel die ver-
schiedenartige Behandlung bedingter Beobachtungen dargethan und an Aus-
gleichungen von Polygonen zur Anwendung gebracht.

Dem Ganzen ist als Anhang eine Copie der Jordanischen Quadrat-
tafeln hinzugefügt. — Da das Buch für Solche berechnet ist, die nur der
Elementarmathematik mächtig sind, so dürfte auf 8. 9 wohl gesagt sein,
dass man unter <dx etc. eine sehr kleine Grössenänderung von x verstehen
wolle; sodann gewährt S. 63 die Anwendung der Bezou tischen Methode
diesem ebenerwäbnten Leserkreise nicht den vollen Einblick in das Wesen
derselben. In dem zweiten Gliede der Formel 7* S. 74 fehlt die Un-
bekannte y.

Der Hauptvorzug dieses Buches besteht wohl darin, dass das Lesen
desselben durch die zahlreich durchgeführten Beispiele wesentlich erleichtert

^^^^- B. Nebel.

Dr. Stein, Sonnenlicht und künstliche Lichtquellen für wissenschaftliche
Untersuchungen zum Zwecke photographischer Darstellung. Halle
1884, Verlag von W. Knapp.

Vorliegendes Buch bildet das erste Heft des in sechs Heften erschei-
nenden Handbuches: „Das Licht im Dienste wissenschaftlicher Forschung",
welches 1876 in erster Auflage erschienen und nunmehr völlig umgearbeitet
und erweitert worden ist. — Dieses Heft, welches die allgemeine Vorberei-
tung für die fünf folgenden Hefte sein soll, bringt nach einer etwas grossen
Einleitung zuerst einen geschichtlichen Theil der Photographie, an welchen
sich die Entwicklung der Ansichten über die Natur des Lichtes anschliesst.
Sodann wird die Brechung des Lichtes an Prismen erläutert und bei den
Linsen darauf hingewiesen, dass diese gleichsam als Combinationen von
Prismen und einem planparalleleu Glase aufzufassen seien. Nach Anführung
der verschiedenen Linsensysteme, speciell der bei der Photographie verwen-
deten Objective, bespricht der Verfasser die übrigen Theile des photogra-
phischeu Apparates , die Camera und die Kasette , und macht auf den wissen-
schaftlichen Nutzen des Stereoskops aufmerksam. — Im letsten, xugleudi
grössten Theile dieses Heftes werden die chemischen Wirkongen des Lieb
namentlich der in den verschiedenen Regionen des SpectranoiB «rti^
näher auf die Spectralanalyse und die sonaüg^n E^pnsidHi^
eingegangen wird. Daran reibt sich die PViotomfitaDl^

ni»t.-JiUAhtMg. d ZHttiehr. f Math. n. l*hyii.lCXX, t.

58 Historisch ' literarische Abtheilung.

liehe Besprechung der künstlichen Lichtquellen, die z. B. bei dem elektri-
schen Lichte nicht nur die verschiedenen Lampensysteme, sondern auch die
elektrischen Maschinen hereinzieht — Im Texte, sowie in den Figuren
haben sich leider einige störende Fehler eingeschlichen , z. B. 8. 97 zweimal
ÄgONO^ statt AgNO^-, S. 138 Fig. 148 Verwechselung von + und - ; S. 151
Fig. 167 Indicesfehler bei den Leitungsdrähten.

Da die Kunst zu photographiren infolge des Trockenplattenprocesses
weit einfacher geworden und daher leichter zu erlernen ist, femer die Pho-
tographie bei wissenschaftlichen Untersuchungen immer unentbehrlicher wird,
so werden die Meisten^ die sich mit Photographie beschäftigen, in diesem
Werke die dazu nöthigen Fingerzeige finden , indem hauptsächlich die Pho-
tographie für wissenschaftliche Zwecke eingehend behandelt wird.

B. Nebel.

Die physikalisohen Onmdlagen der Mechanik. Von Prof. Strkintz.
Leipzig, Verlag von Teubner. 1883.

Im ersten Capitel wird das Galilei 'sehe Princip einer geschichtlichen
und zugleich kritischen Betrachtung unterzogen, insbesondere wird die Un-
bestimmtheit der New tonischen Fassung hervorgehoben, wobei der Ver-
fasser die Vorschläge für die Ergänzung dieses Textes von Seiten mehrerer
Autoren einer näheren Kritik unterwirft. Das zweite Capitel behandelt die
Ermittelung des den Gleichungen der Physik zu Grunde liegenden Coordi-
natensystems und zeigt, dass die Lösung dieser Aufgabe sich auf die Newton-
sehe Auseinandersetzung über die Absolutheit der Drehbewegungen zurück-
führen lässt. An dieses reiht sich die Aufzählung der Merkmale, die der
Bezugskörper haben muss; letzterer wird in der Folge Fundamentalkörper
und das mit ihm fest verbundene Coordinatensystem Fundamentalcoordina-
tensystem genannt Nach diesen Erörterungen erfolgt die Aufstellung der
endgiltigen, vervollständigten Fassung des Galil einsehen Princips. Das
dritte Capitel bietet eine historisch - kritische Umschau, deren Zweck ist,
einmal auf die bis jetzt gemachten Bestrebungen zur Auffindung eines phy-
sikalischen Bezugsystems aufmerksam zu machen, sodann zu zeigen, wie
sich auf Grund einer mangelnden Basis Unklarheiten in die Mechanik ein-
geschlichen haben. — Im vierten Capitel wird die Frage der Zeitmessung
an der Hand von Poisson's Mechanik besprochen, deren Ideengang schon
bei d*A lern her t zu finden ist, die aber in den neueren Werken keine
Aufnahme gefunden hat. — Nach den im Früheren dargelegten Bewegungs-
arten werden im fünften Capitel die Begriffe von Kraft und Masse auf-
gestellt und auf verschiedene Weisen definirt, wobei auch der Inhaltsloaig-
keit der Definition: ,, Masse ist die Quantität der Bewegung" Erwähnung
gmebiebt» Naobdem im sechsten Capitel daa ünabhängigkeitsprincip

^Btf wird gezeigt, dass dasaeVhe eün^t '!Ekt\«>CLT>(yxi\^^'0{i^^ ^

Recensionen. 59

spiricht und nicht eines Beweises fUhig ist; dabei wird aaf die Ansicht
P oisson^s in der ersten Auflage seiner Mechanik hingewiesen, die aber in
zweiten Auflage ganz entgegengesetzter Natur ist. Bei der Besprechung
Princips der Wechselwirkung in dem siebenten Capitel zeigt der Ver-
wie dasselbe mit dem Trägheitsprincip zusammengezogen werden
kfikim, erwShnt auch, dass manche Autoren es als Princip anzuführen nicht
f%l:r nöthig erachteten. — In den ergänzenden Bemerkungen, die das achte
CTsbpiiel enthält, wird auf eine in manchen Fällen zweckmässige Voraussetz-
Txng ttber den Fundamentalkörper hingewiesen, sodann gezeigt, dass die
ZfifcH der aufgestellten Principien wohl vermehrt, aber nur auf Kosten der
Klarheit vermindert werden könne. Schliesslich wird noch der Gedanken-
{^^skxg für die Entwickelung der Grundlagen der Mechanik skizzirt.

B. Nebel.

I^«". W. Abbndroth , Leitfaden der Physik. I. Band. Cursus der Unter-
und Obersecunda. Leipzig 1884, Verlag von Hirzel.

Veranlasst zur Herausgabe eines Leitfadens der Physik wurde der Ver-
*Ässer durch den neuen Lehrplan, wie er für den physikalischen Unterricht
^^ den norddeutschen Gymnasien vorgeschrieben ist. — In Untersecunda
^''^d zuerst eine allgemeine Einleitung in die Physik gegeben, an welche
ä^ch dann die einfachsten Lehren der Chemie anreihen; den zweiten Theil
•bilden Magnetismus und Reibungselektricität. Die Obersecunda beginnt mit
^^vanismus und behandelt ausführlich die Wärmelehre.

Dass der neue Lehrplan, welcher von dem bisherigen durchaus ver-
*^kieden ist, wohl nicht ganz der richtige sein dürfte, lässt vorliegender
^itfaden am deutlichsten erkennen. Ueberall vermisst man die Mechanik,
*o dass der Schüler stets auf später vertröstet werden muss; infolge dessen
hauen sich seine Kenntnisse in der Physik dermassen lückenhaft auf, dass
^^ davon keineswegs befriedigt sein kann. — Von diesem Hauptfehler ab-
stehen, zeichnet sich aber dieses Buch vor vielen gleichartigen durch seinen
^saenschaftlichen Charakter aus, insbesondere durch die Erwähnung der
besetze in der Lehre vom Galvanismus. Wegen dieses Vorzugs erlaube ich
^ir, noch einige Aenderungen für die Zukunft vorzuschlagen.

§ 2 der Einleitung scheint mir mehr für eine populäre Physik , als für
^en Unterricht in Untersecunda zu passen. S. 123 Z. 20 v. u. ist ,,und sich"
gei&988 des § 5 S. 113 unrichtig und deshalb zu entfernen. S. 196 muss
^er mittlere Punkt des Tasters nicht mit der oberirdischen Leitung, son-
^iern mit der Erde verbunden werden ; dadurch Wird an der zeichengebenden
Station der Receptor ausgeschaltet, was einfacher ist und der Praxis ent-

Zam S^hatstadinm int dieses Buch .an mancYien ^X/eW^u ^ Ti'&XGkei^^ü. yql
^^'' meebMuiaeben WSrmetbeorie, für den Schüler zw ^cVimeri^ > SsX^ Äs«t tftct

60 Historisch - literarische Abtheilung.

den Unterricht, in welchem der Lehrer die einzelnen Theile be&pricht und
erläutert, von grossem Nutzen und deshalb sehr zu empfehlen.

B. Nebel.

G. Krebs , Die Physik im Dienste der Wissenschaft , der Kunst und des
praktischen Lebens. Stuttgart, Enke. 1884.

Vorliegendes Buch umfasst in 13 Abhandlungen, die ihre eigenen Ver-
fasser haben und von dem Herausgeber zusammengestellt sind, die gesammte
Physik, wie sie fruchtbringend in das menschliche Leben und Treiben ein-
greift. Der Zweck dieses Buches ist, das grosse Publicum, welches der
Physik als Studium nicht nachkommen kann, sich wohl aber für deren
Erfolge interessirt, in thunlichster Kürze mit den Hauptanwendungen ver-
traut zu machen, und damit dieses Werk seinen Zweck möglichst erfülle,
ist jeder Zweig von einem speciellen Fachmanne ausgearbeitet worden.

Der erste Aufsatz: ,,Im photographischen Atelier", macht uns zuerst
mit dem Entwickelungsgange der Photographie bekannt, sodann erhalten
wir einen tiefen Einblick in das Wesen des Negativ- und Positivprocesses,
dem sich schliesslich die Erläuterung des immer mehr sich verbreitenden
Trockenplattenprocesses anschliesst, durch welchen die Photographie auch
weiteren Kreisen zugänglich gemacht wird.

Der zweite Aufsatz: „Spectrum und Spectralanalyse", geht von der
zuerst von Newton hervorgebrachten Zerlegung des Lichtes aus, bespricht
sodann die verschiedenen Theile des Sonnenspec trums und deren Eigenthüm-
lichkeiten. Eingehende Auseinandersetzung findet bei der Spectralanalyse
und deren Anwendungen statt, so dass hierdurch der Leser ein vollkomme-
nes Bild von dieser grossen Entdeckung der Neuzeit erhält.

Der dritte Aufsatz: „Eine meteorologische Station", bildet gleichsam
einen Abschnitt des folgenden Aufsatzes , was vielleicht für den Umfang des
Buches auch besser gewesen wäre; denn das Ganze enthält nur eine etwa«»
ausführliche Beschreibung der Messinstrumente einer meteorologischen Station.

Grosses Interesse verdient der vierte Aufsatz: „Auf der deutschen See-
warte"; denn gerade in dem Binnenlande findet man meistens unklare Vor-
stellungen über die Wirksamkeit dieses Instituts. Nach Erklärung der im
Gebäude der Seewartc selbst untergebrachten Abtheilungen und deren Thä-
tigkeit wird noch der Verkehr der Seewarte mit den ihr unterstellten Küsteu-
stationen, sowie auch der mit anderen meteorologischen Stationen geschildert.

Der fünfte Aufsatz beschäftigt sich mit der nie oft genug zu bespre-
chenden Frage der „Heizung und Ventilation". Zuerst bespricht der Ver-
fasser die Wärmeverhältnisse des Menschen, an die sich die Wärmeerzeu-
gung durch Verbrennung anreiht. Dabei werden die dazu nöthigen Ein-
Twbtuagen, wie sie in den einzelnen l&nd^tn \m.d wie sie für besondere
iagericbtet sind , einer nShereu Kt\^^ \«i\Äri.o^«u. Käj^ ^öä m«,.

Becensionen. 61

BC^biedenen Centralbeizungssysteme werden auf ihre Güte hin geprüft, und
dlsklDei aufmerksam gemacht, wie zugleich für Ventilation gesorgt ist. Den
Soliloss bilden die Verbrennungsproducte und deren schädlicher Einfluss bei
ungenügender Beseitigung.

Der sechste Aufsatz trägt den Titel: „Die Akustik in ihren Haupt-
l>eziebungen zu den musikalischen Instrumenten." Zunächst wird auf die
Entstehung der Töne im Allgemeinen und sodann auf die bei den einzelnen
lostrnmenten hingewiesen; darauf wird das Wesen der Töne erläutert, nach
welchem die musikalischen Instrumente in drei Hauptgruppen zerfallen. Nach
der Angabe, wie Töne verstärkt, und überhaupt wie grössere Effecte in der
Miisik erzielt werden können, kommt der Verfasser auf den Bau und die
Binrichtung der Violine zu sprechen, welche er die Königin der Instrumente
nennt.

Der siebente Aufsatz behandelt „die Motoren des Kleingewerbes". Der
Verf. spricht zuerst über die Bedeutung der Dampfmaschine und geht sodann
"tÄber zur erklärenden Beschreibung von Feder-, Wasser- und Gasmotoren,
CeToer der Heissluft- und kleineren Dampfmaschinen. Bei der Besprechung
<ler Dynamomaschine scheint dem Verf. fremd zu sein , dass auch bei gleich-
bleibender Stromrichtung die Maschine als Motor die entgegengesetzte Dreh-
l>«wegung von der annimmt, welche sie als Stromerzeuger hatte; denn sonst
l*Ätte er nicht gesagt: „wenn man den elektrischen Strom in der „umgekehr-
ten Richtung" durch die Maschine sendet etc.". Fig. 131 ist dem Auf-
**tz nicht einverleibt

Bei den „elektrischen Maschinen", welchen der achte Aufsatz gewidmet
*st, sind leider mehrere störende Fehler vorhanden. Gleich zu Anfang ist
«ie Induction in Fig. 150 unrichtig angegeben, so dass der Laie die Vor-
sage in den nachstehenden Maschinen nicht mehr verstehen kann; in
ftg. 157 ist ein Fehler in der Pfeilrichtung, u. s. w.; überhaupt findet man
•li diesem Aufsatze, dass auf Verbesserung der Druckfehler nur gelinge
Sorgfalt verwendet ist.

Der neunte Aufsatz: „Kerzen und Lampen 'S geht zuerst auf die che-
tnische Zusammensetzung der Beleuchtimgsstoffe ein^ sodann behandelt er
^e tf atur der Flamme und den Verbrennungsprocess . dem sich unmittelbar
^e Photometrie anschliesst. Hierauf macht uns der Verfasser mit der Con-
^itntion der Fette und deren Verwendung bei der Bereitung der Kerzen
^kannt und geht dann zu der Beschreibung der Oellampen über. Den
^Uut(8 bildet die Leuchtgasfabrikation und die Theorie der Gassparbrenner.
Der zehnte Aufsatz: ,>Der Kampf des elektrischen Lichtes mit dem
^lichte", enthält zuerst die Fortschritte der Leuchtgasbrenuer, nämlich
^ Begenerati vlampen ; diesen werden sodann die verschiedenen Bogenlampen-
^^<i Olflhlampensysteme gegenübergestellt.

Der elfte Aufi^at;;: „In der galvanoplastiscVieTv V^eTV^\ä\.W% \|;d&^ in.*
^^iti van der Elektrolyse au;> , welche gestaltet , xuB\vmmcu%e««XaXft'V«^

62 Historisch- literarische Abtheilung.

zu zerlegen. Diese Eigenschaft des elektrischen Stromes bildet die Grund-
lage der Galvanoplastik, deren verschiedene Verfahren und Anwendungen
für das praktische Leben ausführlich erörtert werden.

Der zwölfte Aufsatz: „Die Telephonie und ihre Verwendung im Ver-
kehrsieben der Gregenwart", fQhrt zuerst die verschiedenen Telephone und
Mikrophone an, wie sie für die nachher beschriebene Einrichtung von Sprech-
stellen nothwendig sind.

Der dreizehnte Aufsatz: „Auf der Sternwarte", giebt zunächst eineo
geschichtlichen üeberblick der Sternwarten und ihrer Instrumente und geht
dann zur Betrachtung der Strassburger Sternwarte, einer der neuesten und
grössten, über, B.Nebel.

Dr. 0. TuMLiRz . Das Potential und seine Anwendung zn der Erklärung
der elektrisclien Erscheinungen. Wien, Verlag von A. Hartleben.

Um vorliegendes Buch auch dem Laien zugänglich zu machen, setzt
der Verfasser nur Elementarmathematik voraus , weshalb er einige Hilfssätze
aus der Mechanik an die Spitze stellt. Sodann zerföllt das Ganze in vier
Abschnitte, wovon der erste das Potential der Schwere, der zweite das
Potential mit Bezug auf Elektrostatik, der dritte das Potential mit Bezug
auf Elektrodynamik und der vierte Magnetismus, Elektrodynamik. Elektro-
magnetismus und Induction behandelt Dem Ganzen ist noch ein kleinei
Theil über elektrische Einheiten beigegeben. Der Verfasser giebt die De-
finitionen der Quantität, des Potentials etc. nach elektrostatischem Maasse
und fQgt unmittelbar daran die in der Praxis üblichen Maasseinheiten, so
dass es den Anschein hat, als ob diese Einheiten dem elektrostatischen
Maasssysteme angehören würden. Die Tabelle der Stromeinheiten ist de:
Fehler wegen mit Vorsicht zu gebrauchen. d Npbel

Lehrbuch der Arithmetik zum Gebrauch au niederen und höheren Lehr-
anstalten und beim Selbststudium. Von B. E. Richard Schurig.
In drei Theilen. Erster Theil: Specielle Zahlenlehre. (Zugleich
ein Handbuch für Volksschullehrer.) Leipzig, Friedrich Brandstetter.
1883. Preis 3 Mk. 60 Pf.

Es ist eine nicht ganz seltene Sache, dass ein Schriftsteller für die
schwachen und starken Seiten seines Buches ein unrichtiges ürtheil zeigt.
Oft bedarf es gerade eines vorurtheilsfreien fremden Blickes, um dem
Schriftsteller zu zeigen , dass die Eigenschaften h^eines geistigen Eigeuthums
welche er für ganz besondere Tugenden hält, wenig werth sind und ändert
Dinge, welchen er keine besondere Aufmerksamkeit schenkt, gerade die
Ifsupi^tJirko seiues Werkes ausmaclaeix.

Recensionen. 63

v^-*.^-*.^ ^.>'

Mit diesem Eindrucke, den wir eben wiedergegeben haben, legen wir
da» oben angezeigte, 18 Bogen starke Buch aus der Hand. Der Verfasser
glaubt sich früheren Erscheinungen gegenüber besonders durch logische
BchSrfe im Vortheil. Er betont dies — zwar nicht in unbescheidener
Weise — im Vorworte mit einigem Nachdruck und kommt auch an an-
deren Stellen seines Buches auf diesen Punkt zurück. Ja, auf S. 235
lasen wir mit starkem Befremden in einer Fussnote den Ausdruck ,, bis-
herige unlogische Mathematik". Nichtsdestoweniger können wir in den
Schritten, die der Verfasser in dieser Richtung gethan hat. keine Fort-
schritte sehen. Vielleicht wird er selbst in dieser üeberzeugung von der
^eberlegenheit seines Buches erschüttert, wenn er sich die Mühe geben will,
<i&8selbe mit anderen , z. B. mit den Lehrbüchern von Heilermann-Diek-
mann oder V. Schlegel, die uns gerade zur Hand sind, vorurtheilsfrei
ZD vergleichen.

Dennoch haben wir von dem Buche einen im Ganzen recht angenehmen
Eindruck empfangen und empfehlen es insbesondere den Lehrern, welche
^ höheren Lehranstalten den Rechenunterricht in den unteren Classen
zu ertheilen haben; denn der Verfasser versteht praktisch zu rech-
nen. Diese Kunst ist aber für den Mathematiker von Fach, der auf den
untersten Stufen die vier Species einexerziert oder auf höheren Classen über
frühere Versäumnisse zu seufzen Gelegenheit hat. eine sehr wichtige, aber
<iftruin noch lange nicht selbstverständliche Sache.'

Bei dem vorwiegend wissenschaftlichen Charakter dieser Zeitschrift
milssen wir uns bei diesem rein didaktischen Punkte der grössten Kürze
befleissen. Allein wir würden nicht im Stande sein, dem Leser von der
örefiTlichen Methode des Herrn Verfassers ein klares Bild zu entwerfen, wenn
^ir nicht wenigstens ein Beispiel in einiger Vollständigkeit wiedergäben.
Wir wählen S. 105 die Regeln für die Addition. Dort lesen wir:

1. Setze die gleichen Ordnungen, z. B. die Einer, genau senkrecht
"*^ter einander.

2. Zeige in gleichmässigem Takte nach und nach auf 9, 2, 7, 4, dabei
die Summen 15, 17, 24, 28 denkend. (6 steht über 9.) Also nicht 6 + 9
== 15, 15 + 2=17 u. s. w.

3. Bei gleichen Summanden wende die Multiplication an, also statt
^'öer dreimal vorkommenden 6 sprich 18.

4. Suche diejenigen Ziffern heraus, welche sich zu 10 ergänzen. Statt
"^ 3 denke 10 u. s. w.

In dieser Weise giebt der Verfasser elf wahrhaft goldene Regeln.

Doch auch der Mathematiker, besonders der Zahlen theoretiker, findet

^ Ansprechenden in dem Buche recht viel. So die allerliebsten Sätzchen

y^*" die Theilbarkeit der Zahlen durch 7, 13. 17, 101 u. s. w., und es ist

.^^t der kleinst« Vorzug des Buches, dass die Beweise dieser SSAüa ttöia.

^■^^ Strenge gleichsam wie Inductionen aw» Be\siB!v^\QX^ wäö^ ^^jW«^

64 Historisch -literarische Abtheilung.

Selbstverständlich fehlt die Neuner- und Elferprobe nicht. Als Ansnahm^x^-^ ^
wollen wir hervorheben , dass das Beweisverfahren S. 206 der Strenge gänz.^^
lieh entbehrt. Ein gleiches Urtheil würden wir über den Vortrag der rt
f(üsi S 268 fällen müssen, wenn nicht mit Recht angenommen werdL.^.«^^.^
könnte, dass hier nur ein interessantes Rechnungsverfahren mitgethei^^ ^y
werden soll.

Die Lehre von den ,, entgegengesetzten Grössen '' S. 271 hat uns nic^:» Mchi
besonders gefallen wollen, insbesondere nicht die Herleitungen S. 281. HZIZKer
Vergleich mit Hesse, „Die vier Species. Teubner 1872" föllt nicht gl^g 4n.
zend für onsem Verfasser aus.

Fassen wir unser Urtheil zusammen, so haben wir ein Buch vor u ns,

dessen Fehler den Mathematiker von Fach nicht zu Irrthümem verlei 'lA^^n
werden. Der Zahlentheoretiker wird in dem Werke viel Ansprechen«
finden, wenn es auch einfach und vielleicht nicht ganz neu ist. Dem Ftt.
lehrer des Rechnens auf den unteren und mittleren Classen höherer Le?
anstalten hat der Verfasser eine sehr dankenswerthe Gabe dargebotir«

Coesfeld, im October 1884. K. Schwbring»-

Leitfaden zum Unterricht in der Arithmetik und Algebra an Gymnatsi ^o
und verwandten Anstalten. Von Dr. Jon. Chr. Walberer , Profesi^===or
am königl. Gymnasium in Amberg. Zweite, durchgesehene und n^^sut
üebungsaufgaben versehene Auflage. München , Theodor Ackermar »n.
1884. Preis 1 Mk. 60 Pf.

Es kann nicht oft und eindringlich genug betont werden, dass '^■bei
jedem für Lernende bestimmten Buche zwei Dinge wesentlich ins Auge J^^-Tc-
fasst werden müssen. Erstlich soll von wissenschaftlichem Sta^End*
punkte aus der Verfasser insoweit mindestens tadellos erscheinen, dass er
nicht längst erkannte und verworfene Irrthümer seinen harmlosen Les^^rn
wiederum neu auftischt. Zweitens soll der Stoff in didaktisch %r Rtt— -^t-
sieht gut gewählt, geordnet und klar vorgetragen werden. Gern fügten ^"^^
noch einen dritten Wunsch hinzu; doch findet ihn der Leser erst *°^

Schlüsse dieser Anzeige. -

In den Anfangsgründen der Arithmetik und Algebra findet sich
Lehrer und Lernende eine Klippe, die wir zunächst kennzeichnen wol
Die Definitionen des Productes und der Potenz gelten — wie sie gew<
lieh gegeben werden — nur für positive ganze Zahlen als Multiplicator
Exponent. Demnach gelten die aus denselben geschöpften Beweise
nur, wenn die eben genannten Zahlen ganz und positiv sind. Wenn
die gewonnenen Sätze über diesen Geltungsbereich hinaus angewandt wei
so darf das sicher nicht stillschweigend ge^cVieV^Ti. ^^w VäI dem Lei
den beispiehweisG zu tragen, dass (^— bV<A ^"^^^ ^^"^ \i\3^^fv%«ö. \k^^BS33w-

Recensionen. 65

Iceinen Sinn hat> dass man es also verwerfen oder ihm einen bestimmten
Sinn beilegen kann. Diesen Weg hat Hesse eingeschlagen. Andere Mathe-
matiker haben dagegen die Definitionen z. B. der Multiplication so gefasst,
dass sie auch negative und gebrochene Multiplicatoren zulässig finden.

Der Verfasser unseres Buches kennt zwar, wie die S. UK) stehende
Bemerkung: „Gehen wir umgekehrt davon aus, dass die complexen Zahlen
den formalen Zablengesetzen ebenso unterworfen sind wie die reellen, so
u. 8. w." zu beweisen scheint, sehr wohl die oben von uns erwähnte Be-
gx"iffserweiterung. Dennoch tibergeht er S. 17 die Sache mit lautlosem
Schweigen. Dasselbe Verfahren beobachtet er S. 32, wo er ohne irgend-
'^dche Ausftthrung behauptet, dass «"* : a" = a"* ~ ", der für positive ganze
: n auf S. 31 bewiesen ist, unbeschränkt giltig sei.

Falsch und irreführend ist es, wenn der Herr W. S. 41 behauptet,
w die Cubikwurzel aus einer positiven wie negativen Zahl stets möglich
13 nd eindeutig sei. Den Ausdruck ..möglich'' wollen wir uns merken.
"enn auf S. 52 lesen wir: „Da sowohl h^ als auch h~^ für ein positives h
ö'tets positiv ausfällt, so kann eine negative Zahl — a überhaupt nicht durch
^^^ ausgedrückt werden; folglich ist Zö^(--a) unmöglich, d. h. der Logarith-
*>3us einer negativen Zahl ist imaginär.'* Hiernach scheint dem Verfasser
der Vorwurf, dass er imaginär und unmöglich für gleiche oder synonyme
begriffe hält, leider nicht erspart werden zu können. Unter diesem un-
^ö^nehmen Eindrucke blieben wir, als wir auf der folgenden 53. Seite
lasen: „jede endliche Zahl hat nur einen Logarithmus und umgekehrt jedem
''e eilen Logarithmus entspricht nur eine Zahl a'\ Die Unterstreichung in
diesem Sätzchen rührt vom Referenten her. Wir können ferner die Be-
griffe „unbestimmte" und „diophan tische** Gleichung, wie es der Verfasser
^ 72 thut, nicht durch ein tonloses „oder** verbinden.

Es scheint nicht ganz verständlich, wenn der Verfasser S. 98 schreibt:
"».Da jede gerade Wurzel sich auf eire Quadratwurzel reduciren lässt, so
Vann auch überhaupt jede imaginäre Wurzel auf f^— T zurückgeführt wer-
den.** Aber einen gewissen und zwar sehr traurigen Sinn kann man ohne
Mflhe hineinlegen. Als Kleinigkeit mag erwähnt werden, dass die imagi-
öfire Einheit i auch in der Druckschrift durch ein besonderes Zeichen her-
vortreten sollte. Endlich findet sich ein Versehen in Formel 2 S. 102,
Welche die Quadratwurzel aus a + bi liefern soll

Glücklicherweise sind wir nun mit unseren Ausstellungen zu Ende und
^oll^n nicht verfehlen zu bemerken, dass im Uebrigen das Buch in man-
^"©n Dingen ebenso gut ist wie andere Schulbücher. Ja, gewisse Abschnitte,
^*^ z. B. der die Reihen behandelnde, sind recht gut vorgetragen. Auch
^^ Aufgabensammlung scheint ziemlich reichhaltig und zweckmässig zu sein.
Der erste Satz der Vorrede lautet: „Nicht um einem längst gefttW****
^dttrfnisse ahzuhelfeHy sondern um der Sc\iu\e z\x ^VeivftU.) ^65q«!
*e«ir Bücblein der OeffenÜkhkeiV^ ^

66 Historisch - literarische Abtheilung.

Möge diese Bescheidenheit nicht ohne Nachfolge bleiben und sich sogar
bei manchen Herren Verfassern zu dem Scblusssatze verdichten, den man
erhält, wenn man den sechs letzten Worten des Verfassers das Wörtlein
„nicht** beifügt.

Coesfeld, im October 1884. K. Schwerin«;.

Lehrbuch der ebenen Geometrie. Von Julius Hoch, Lehrer der Mathe-
matik an der v. Grossheim'schen Realschule in Lübeck. Erster Theil :
Linien, Winkel, Congruenz und Gleicbheit der Figuren. Mit 126
in den Text gedruckten Holzschnitten. Halle, H. W. Schmidt. 1884.

Das vorliegende, 164 Seiten starke Buch ist besonders für berechtigte
höhere Bürgerschulen bestimmt, obwohl es auch für andere höhere Lehr-
anstalten sich eignen wird.

Als besonderen Vorzug dieser Schrift kann man die sorgföltige und
anschauliche Zeichnung der Figuren hervorheben.

Der Vortrag ist im Ganzen klar, die Beweisführung sehr ausführlich.
Beispielsweise zählten wir in der Darstellung des Satzes vom Paralleltrapez
26 Zeilen , die als Gleichungen ohne verbindenden Text erscheinen .
Das Letztere wird nicht als Mangel empfunden, da kurze, in Parenthese
stehende Hinweise für leichtes Verständniss sorgen. Diese Methode des
Verfassers hat für die Betonung des logischen ßeweisganges in
seinen einzelnen Schritten einen unleugbaren Vorzug. Aber der Haupt-
schritt, der eigentliche Nerv des Beweises dürfte doch in Etwas verhüllt
werden.

Die Eintheilung der Dreiecke (^S. 26), der Vierecke (S. 49j ist recht
hübsch tabellarisch vorgeführt.

Fehler sind uns nicht aufgefallen. Nur würden wir nicht, wie es der
Verfasser 8 21 thut, eine Ebene durch eine einzige krumme Linie be-
grenzen lassen. Auch dürfte es nicht mehr richtig sein, Pythagoras
als Autor des Satzes von der Winkelsumme des Dreiecks zu citiren. In der
„Geschichte der Mathematik** von Cantor, S. 1 19 flgg., hat diese Frage
eine, wie es scheint, abschliessende Entscheidung gefunden. Auch sollte
man die Jahreszahlen der griechischen Mathematiker nicht genauer angeben,
als man sie, leider, mit Gewissheit kennt.

Die Parallelentheorie gründet der Verfasser im Wesentlichen auf den
Begriff des Richtungs Unterschiedes. Referent hat gelegentlich seiner
Promotion eine dahin lautende These in gleichem Sinne ,,vertheidigt*' und
benutzt die Gelegenheit, um Widerruf zu leisten. Diese Darstellung ist
nämlich schon deshalb zu tadeln, weil sie die wirkliche, vorliegende Schwie-
rigkeit dem LorDeuden gar nicht zum Bewusstsein kommen lässt.

Coesfeld, im October 1884, Y..^yw^>Ȋ.

Recensionen. 67

Lelirbiioli der Elementar -Geometrie. Von Dr M. Glinzkk, Lehrer der
allgemeinen Gewerbeschule und der Schule für Bauhandwerker in
Hamburg. Erster Theil : Planimetrie. Mit 1 85 Figuren und einer
Sammlung von 250 Aufgaben. Zweite verbesserte und vermehrte
Auflage. Hamburg, F. H. Nestler & Melle's Verlag. 1884.

Es darf dem vorbezeichneten Büchlein von vornherein zur Empfehlung
gereichen, dass es aus dem Unterricht an den im Titel erwähnten Anstal-
ten hervorgewachsen ist. Diesen Ursprung erfährt der kundige Leser nicht
aus der Vorrede allein. Vielmehr ist es der Geist einer gesunden Praxis,
<ier aus den Erklärungen in die Theorie hinein und aus der Theorie zu
z^vreckmässigen Anwendungen hinaus wie ein frischer Hauch belebend em-
pfunden wird. So 5nden wir S. 10 beim ersten eigentlichen Beweise, der
im Lehrgänge auftritt, nicht sofort das bekannte Schema: „Voraussetzung,
Behauptung, Beweis**, sondern der Verfasser hat es güit Grund für dienlich
erachtet, die Nothwendigkeit dieser Gedankenstufen dem Schüler kurz und
bündig zu erklären. Demselben richtigen Lehrgrundsatze verdanken wir die
A^nmerkung S. 16: „Die bei der Parcellirung ausgetauschten Stücke Land
sollen bei gleich gutem Boden nur gleich, der genaue Grundriss eines
Orundstückes demselben nur ähnlich, dagegen bei der fabrikmässigen Her-
stellung von Maschinen die Theile gleicher Bestimmung womöglich gleich
^nd ähnlich, d. i. congruent sein.'* Ebenso angenehm sind uns die Bei-
spiele zu den Aehnlichkeitssätzeu aufgefallen, denen eine recht bün-
**ifir© Darstellung der Proportionssätze vorausgeht, interessant sind
^^^xuer S. 85 und im Anhang einige Aufgaben, welche ohne Zuhilfenahme
^es Lineals gelöst werden. Die eine derselben, die Auffindung des Mittel-
P^Uiktes eines gegebenen Kreises, wird, was dem Referenten neu war,
Napoleon I. zugeschrieben. Auswahl, Anordnung und Behandlung des
Stoffes zeichnen sich im Uebrigen mehr durch den bereits lobend erwähn-
ten Geist einer gesunden, nüchternen Praxis, als durch Originalität aus.

Die Parallelentheorie verschmäht die von Neueren zur üeberbrücMmg

<ler bekannten Schwierigkeit angewandten Mittel sämmtlich, obschon S. 33

▼OH der Umschreitung des Polygons Gebrauch gemacht wird. Wenn der

^erfiisser aber den Satz : „Werden zwei Geraden von einer dritten Geraden

*^ geschnitten, dass ein Paar Gegenwinkel zusammen weniger als zwei

^chte beträgt, so müssen sich die Geraden auf dieser Seite schneiden**

^it der Anmerkung begleitet: „Wenn auch bisher für diesen Satz kein

«kundiger Beweis^ gefunden ist u. s. w.**, so erweckt er durch dies „bisher"

^**ffnuiigeii , die er als Mathematiker sicherlich nicht theilt. Ebenso fanden

^^ den Satz S. 85: „Man muss hierzu den Umfang des Kreises in die

^^^Qbene Anzahl gleicher Theile theilen können. Diese noch nicht allgemein

**^^^8te Aufgabe a. s. w.** Das „noch nicht** ist ebenso No\Vvi^^?äSQX«cv«

*^ das obige „bisher''. itJbenda ist der AuadrucV „ kipoVSöftm^^'' <?\

68 Historisch -literarische Abtheilung.

entbehrlich. Auch sollte in der Definition des Kreises S. 46 jedes Zu vi
vermieden und S. 94 die harmonische Theilung anders definirt sein.

Im Uebrigen sei das bandliche Büchlein mit seinem schönen Papi
seinen hübschen Figuren und seinem säubern Druck bestens empfohlen.

Coesfeld, im October 1884. K. ScHWERiWi.

Lelirbach der Elementar -Geometrie. Von Dr. E. Glinzer, Lehrer u. s.

Zweiter Theil: Stereometrie. Hamburg, P. H. Nestler Sc Me&^Ie.

Dieser zweite Theil ist ebenso angelegt wie der erste. Wir woM^^^n
daher auf unser früheres Referat verweisen und nur hervorheben, dass <lie
kurze Darstellung der Kegel^chnittslehre gewiss manchem Lehrer «ü^r
Stereometrie, welcher das Büchlein seinem Unterricht zu Grunde legt, «
willkommene Gabe sAi wird. Bemerkenswerthe Unrichtigkeiten sind
nicht aufgefallen.

Coesfeld, im October 1884. K. Schwerinc*.

Lehrbuch der Elementar -Geometrie. Von Dr. E. Glinzer. Dritter Tb^^il:
Trigonometrie. Hamburg, Verlag von F. H, Nestler & Melle.

Von den drei Theilen des Werkes scheint dieser letzte der bedeutend- -ste
zu sein. Die Darstellung ist klar, der Stoflf in reicher Fülle ohne ermüden: :=aide
Weitläufigkeit vorgetragen. Dabei ist jedes trockene Theoretisiren sorgfäft^ tig
vermieden und eine innige Beziehung zwischen Sätzen und Aufgaben dui" -^^h-
weg angestrebt und erreicht. Zum Schlüsse erhalten wir eine recht wci^hJ-
gelungene Darstellung der Grundlehren der sphärischen Trigonometrie. I^ *™
Buche ist eine Sammlung von Aufgaben beigegeben , die zum Theil ein nl- ^^^
geringes sachliches Interesse darbieten. So finden sich Aufgaben, die ^^^
leg^Üich der Landesvermessung wirklich vorgekommen sind.

Möge dieser Geist gesunder Praxis sich recht weite Gebiete im Scfc^^^'
leben erobern. Unser Buch bietet dazu eine treffliche Hilfe.

Coesfeld, im October 1884. K. Schwerik^^^*

de

i&se

Darstellende und projeetive Oeometrie nach dem gegenwärtigen

«lieser Wissoiischaft , mit besonderer Rücksicht auf die BedürTi
höherer Lehranstalten und das Selbststudium. Von Dr. Gustav ^^^*
V. rKscHKA. Tl. Band. XVIII und 576 S. gr. 8^ Mit einem
von 11 Tafeln. — III. Band. VIII und 792 S. gr. 8^ Mit e^i
AtJas von 42 Tafeln. — ^\e\i Ift''^^, \ixv3iO«. vi\id Verlag von
(r'erold's Sohn. (Vergl. die \leceii^\oiiTvx^^A^.^^x%,"iX^WV'^.

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Recensionen. 09

Wir werden jeden Band für sieb behandeln und zur Gewinnung einer
lTel>ersicht jedesmal die Capitelüberscbriften unter Angabe des Inhalts ho-
sonders wichtiger und charakteristischer Paragraphen vorausschicken.

Band II: Theorie der Curven und Flächen.

Erster Abschnitt: Curvenlehre. /. Capitel: Fundamentcäeigen.
Schäften algebraischer Curven. Einleitung. Hilfsmittel der Analysis, Prin-
cip der Anzahl und dessen Anwendungen. Singularitäten ebener Curven.
Pxnncip der Dualität — //. Capitel: Allgemeine Eigenschaften ebener alge-
f^raischer Curven, Sätze über die Anzahl der gemeiuschaftlichen Punkte und
1*angenten zweier Curven. Curvenbüschel. Erzeugung von Curven. Die
I*lücker'schen Formeln. — ///. Capitel: Theorie der pöluren algebraisdten
CJ-^irven, — /F. Capitel: Dei* Cmrespondenzsntz, Anwendung desselben und
<i«r Fölarentheorie auf die Untersuchung der Eigenschaften aigebraMin- Cur-
t?€nsystem€, Steiner'sche , Hesse'sche und Jacobi'sche Curve. Plücker'sche
Formeln. Geschlecht der algebraischen Curven. Ein- und mehrdeutige
"X^ransformationen. — V. Capitel: Eigenschaften der Raumcurven utid ihrer
^rojectionen, Definitionen. Developpable Flächen. Singulare Elemente.
^lücker-Cayley'sche Gleichungen über die Charaktere der Raumcurven.

Zweiter Abschnitt: Allgemeine Theorie der krummen Flä-
chen undFlächensysteme. VI, Cap'del: ÄUgenieine IHgenscJiaften alge-
^^aiscJter Flächen. Definitionen und Erzeugungsarten. Ordnung einer Fläche,
'^angentenebenen. Haupttangenten, Punkt« verschiedener Krümmung. Sin-
S^läre Punkte und Curven. Durchschnitt zweier und dreier Flächen. An
2abl der eine JF„ bestimmenden Bediugungen. — F//., VIII. wid IX. Ca-
I^iiel: Lineare Flächensysteme erster, zweiter und dritter Stufe und deren
Eigenschaften. Erzeugnisse derselben. — X. Capitel: Sätze über die gemeifi-
schaftlichen Curven zweier und über die gemeinschaftlidien Funkte dreur
J^ldchen. — XI. Capitel: Prqjedivisdie Erzeugung algebraischer Flächen und
ihrer Scknittcurven ; durch projectivische Flächen und RaumcurvenbÜschel
und reciproke Netze. — XII. und XIII. Capitel: Theorie der Polaren algv-
Matscher Flächen und deren Anwendung auf die Entwickelung prqjeäiviscJier
Eigenscfiaften von Flächen imd Systemen derselben. — XIV. Capitel: Prc-
Jcetivische lineare Flächensysteme ft'*'" Stufe und symmetrisdie FlücJ^encom-
P^xe, — XV. Capitel: Eigenschaften der Hessiana und Steiner iafia oder
^^ conjugirten Kern/lachen einer Fn. — XVI. Capitel: Bestimmung dn-
^^rdktere und Singularitäten einiger Flüchen, welcJic sich aus gegebenen
**^ifen lassen. Die Fläche der Haupttangenten in den Punkten eines ebenen
^töittes. Die zwei Flächen gemeinschaftlich umschriebene Developpabele.
Dritter Abschnitt: Theorie der Flächen zweiten Grades,
^^ü. Capitel: Definitiofien und FundamentaleigenscJiaften. Regelfiächen und
-^iclitregelflftcben. Polarentheorie, Hauptaxeu. Öchnitlcxxtv^ iy?^\ftx 12\S&RJe«s^
^^ gemeiDscbafüieh u/n.schriebene Developpable.

70 Historisch - literarische Abtheilung.

Vierier Abschnitt: Constructive Theorie der krummen
Linien und Flächen. XVIII, Capitel: Qrajihische Darstellung der ebenen
und der Raiimatrven, — XIX. Capitel: Constructive Theorie der Kegel- und
Cylinderflächen im Allgemeinen. Darstellung dieser Flächen in den verschie-
denen Projectionsarten. Ebene Schnitte und Tangentialebenen. Abwicke-
lung und geodätische Linien. — XX. Capitel: Kegel- und Cylinderfliichen
zweiten Grades, — XXIL und XXIII, Capitel: Devdoppahle Flächen, welche
zwei Curven oder Flädien umschrieben sind.

Als wesentlichste Eigenthümlichkeit der Behandlungsweise algebraischer
Curven im vorliegenden Werke ist wohl die Benutzung des Princips von
der Erhaltung der Anzahl und des Correspondenzprincips als syntheti-
sche Hilfsmittel anzusehen. Zugestanden, dass die Anwendung statthaft
sei, so hätte jedenfalls die geometrische Existenz der imaginären Elemente
in der Weise nachgewiesen werden mttssen, wie es v. Stau dt in seinen
Beiträgen zur Geometrie der Lage und später Lüroth im VIIL Bande der
Math. Ann. gethan haben. Aber von alledem ist nichts zu bemerken. Ob-
gleich bei der gewählten Behandlungsweise ohne Frage die imaginären Ele-
mente stets mitgezählt werden, fügt der Verfasser zuweilen (z. B. Seite 1J2
Satz 114) das Wort „höchstens** hinzu, was den Lernenden verwirren muss.
Der Verfasser zeigt übrigens, dass ihm sehr wohl der grosse Unterschied
zwischen synthetischem Aufbau und analytischer P]ntwickelung bewusst ist,
indem er § 8 sagt: „Selbstverständlich (sie!) giebt es auch Curven von un-
endlich hoher Ordnungszahl. Auf dieselben sind unsere diesfallsigen Ent-
Wickelungen nicht anwendbar. (Warum? wird nicht gesagt.) Wir werden
uns daher veranlasst sehen , diese seinerzeit in einem selbstständigen Capitel
einer näheren Betrachtung zu unterziehen. '^ Auf dieses Capitel hätte man
gespannt sein dürfen, aber — leider existirt es im Buche nicht.

Gehen wir nun zur Besprechung der einzelnen Capitel über.

In der Einleitung wird auf die verschiedenen Mannichfaltigkeiten oder
geometrischen Oerter hingewiesen , welche sich aus den Elementen: Punkt,
Gerade, Ebene aufbauen lassen, und werden jene erstens nach ihren erzea-
genden Elementen, zweitens nach ihrer Dimension oder Stufe eingetheilt
Hierbei wird die Curve irrthümlich (§§ 4 und 5) zu den Ebenenörtem erster
Stufe gerechnet. Linienörter zweiter Stufe werden als ,,Congruenzen*',
Linienörter dritter Stufe, ,,Complexe**, aber gar nicht aufgeführt, sie schei-
nen nicht untersucht werden zu sollen.

Nun wird an der Hand analytischer Betrachtungen das „Erhaltungs-
princip ** entwickelt , an einfachen Beispielen erläutert und dann zur Bestim-
mnng der Anzahl der Schnittpunkte zweier Curven, der Anzahl ihrer ge-
JBiainacbaftllchen Tangenten etc. benutzt.

iSb üÜBcber Schlass, der zn bedeiiV\\c\i^T^ Y^VVerci ^\qlt^ii würde, be-
' moh «af 8. 10 § 11 : Hat eine Cur?e» C«, tdM v^v^äx ^a«ö«iÄ tösödä

3>^

Recensionen. 71

Punkte gemein, so hat sie mit dieser Ebene unendlich viele, d. h. alle
Punkte gemein etc. Die Curve bi*aucht aber nicht alle Punkte mit der
£l)ene gemein zn haben, sondern nur in eine ebene Curve und eine andere
Raomcurve zu zerfallen, und dies tritt in der Regel gerade bei darstellend
geometrischen Untersuchungen ein.

Der Fehler findet sich dann auch in den dualen Betrachtungen. (Vergl.
• femer § 197.)

Die §§ 24 ügg, haben als Gegenstand die Singularitäten der ebenen
Ordnung^curven Doppel-, Rückkehr- und mehrfache Punkte. Die Bestim-
mung der Anzahl von Schnittpunkten der Curventangente , welche in die
Singularitäten rücken, ist eine sehr oberflächliche und auch fehlerhafte.
Blistens wirft nämlich der Verfasser die beiden Arten des Rückkehrpunktes
xtuammen und nennt dann diesen beiden gegenüber den Selbstberührungs-
piuikt eine Singularität höheren Ranges, während die Schnabelspitze
die höchste von den dreien ist. Das vom isolirten Punkte Gesagte ist uns
ui der gebot-enen Form unverständlich. Eine gleichzeitige Behandlung der
^^^rdnungs- und Classencurven wäre wohl zweckmässig gewesen. Die Art
und Weise, wie die reellen Berührungspunkte einer Doppeltangente sich
^im üebergang zum Wendepunkt vereinigen und dann imaginär werden,-
^heint dem Verfasser nicht klar zu sein, wenigstens berechtigen die zur
^klärung dieses üebergangs ganz ungeeigneten Figuren Taf. 1 : 9, 10, 11
^u dieser Vermuthung.

In Capitel II finden wir auf S. 34 im Satz 27 Folgendes: „Ist ein
**uiikt A ein r-facher Punkt einer C„ und ein 5-facher Punkt einer 6p,
^^^d besitzen beide in ^ t'' gemeinschaftliche Tangenten , so ist die Anzahl
der in A vereinigten Schnittpunkte der Curven rs + f".** Man sieht, dass
®^ „mindestens*^ so viele Punkte heissen muss. Tiefer wird auf die Frage
^icht eingegangen. Eine ähnliche Correctur bedürfen die Sätze 92 und 98,
^. 1(X), welche sich auf die Classenemiedrigung durch einen r- fachen Punkt
^it einer Reihe vereinigter Zweige bezieht. Diese Fragen sind in Wahr-
heit viel verwickelter, als es nach der vorliegenden Darstellung erscheint,
m der die neueren Arbeiten von Cayley, Smith, Halphen, Brill etc.
S^j: nicht berücksichtigt sind. Es würde zu weit führen, wollten wir die
folgenden Capitel mit ähnlicher Ausführlichkeit wie die bisherigen behau*
dein. Mit gewisser Vorsicht wird man auch die weiteren derartigen Anzahl-
Destimmongen aufzunehmen haben. (Vergl. die Betrachtung § 199 am An-
■aiige.^ Die Darstellung im Allgemeinen, namentlich die Behandlung der
^Qi'Bohiedenen Erzeugungsarten einer Curve ist recht ansprechend.

Eine willkommene Neuerung ist die Bestimmung der Ciasse einer Cn
^^^h der Methode von Beck (Math. Ann., Bd. 14 S. 217): Die Curve C„
^^^ unendlich wenig nach einer Richtung verschoben und erhält die Lage
m . Dadnrch bleiben die n unendlich fernen PunkVA d^x^fSX^TL \xsm2^%sA«i^
***•<! die übrigen n(n'-l) »Schnittpunkte beider CwTvetL svn^ «tÄs^H^\^ ^öä

72 llibtoriach-literarifcicbe Abtheihing.

Berührungspunkte der Tangenten in der Richtung der Verschiebung, d. h.
ihre Anzahl ist die Classe. Die Erniedrigung der Classe, welche durch das
Auftreten von Singularitäten herbeigeführt wird, lässt eine ähnliche Be-
stimmung zu. —

Die Polaren theorie wird im 111. Capitel nach der Methode Schur*s
vorgetragen, nämlich durch Induction mit Hilfe des Schlusses von n auf
n + 1 aus der Kegelschnittlehre gewonnen , „wodurch diese Theorie mehr an
Anschaulichkeit gewinnt, als es bei Anwendung der im r^^ Cirade harmo-
nisch getheilten Radien vectoren, deren Cremona sich bedient, erreichbar
ist." (Vorrede VIII.)

In Capitel IV, S. 125, nennt der Verfasser die Tangenten, welche von
einem Punkte an seine konische Polare gezogen werden können, „Indica-
tricen'* des Punktes, um dann später S. 26 sagen zu können: Die Fundamen-
talcurve bildet mit der Hesse'schen Curve zusammen den Ort der Punkte,
deren Indicatricen sich auf eine einzige Gerade reduciren.

In Capitel V § 139 heisst es: „Unter „Rang*' einer Raumcurve ver-
stehen wir die Anzahl der Tangentialebenen derselben, welche durch eine
beliebige Gerade gehen, oder, was dasselbe ist, die Anzahl ihrer Tangen-
. ten , welche eine beliebige Gerade im Räume schneiden. Die Anzahl der
Schmiegungsebenen einer Raumcurve, welche durch einen beliebigen Punkt
gehen, nennen wir ,,Classe** der Raumcurve. Nebenbei sei bemerkt, dass
viele Autoren, namentlich die englischen, mit „Classe einer Raumcurve'*
dasjenige bezeichnen, was wir als Rang definirt haben, und umgekehrt.'*
Was sagt der Verfasser dazu, dass sich unter den „vielen Autoren** auch
Herr Peschka befindet, wie aus Bd. II § 6 von dessen „Darst. u. project.
Geometrie" zu ersehen ist? Eine angefügte Note 24 weist auf Note 1 (zu
§ 6) zurück und hier heisst es: Die Definition der „Classe*' einer Curve,
als Zahl ihrer geradlinigen Erzeugenden, welche eine feste Gerade schnei-
den , ist aus der Definition der Ordnung (der Anzahl der Schnittpunkte mit
einer Ebene) reciprok abgeleitet. Sind solche Fehler schliesslich noch als
Flüchtigkeitsfehler zu betrachten?

Capitel VI. In § 166 wird definirt: „Eine krumme Fläche ist der
geometrische Ort der Lügen einer Curve, welche nach einem bestimmten
Gesetze entweder ihre Lage allein oder gleichzeitig ihre Form stetig ändert.'*
„Die am häufigsten (?) vorkommenden Flächen sind folgende: A. Krumme
Flächen, welche durch eine Curve erzeugt werden können, deren Gebtalt
unveränderlicli bleibt; B. Flächen, welche durch Lagen Veränderung einer
der Grösse und Form nach veränderlichen Curve entstehen.** Welche Flä-
chen giebt es denn ausser diesen beiden Ai ten noch , und wie soll man den
Ausspruch: ,,Die Mannichfaltigkeit, welche bei dieser Erzeugungsart (B) auf-
tritt, ist so unendlich gross, dass man keine besonderen Typen für derartig
eiTseugte Flächen anfgestellt bat'' deutenV In den Flächen unter B sind
alle deakharen enthalten.

Recensionen. 73

Man findet im Weitern sehr viele Sätze über Schnitte von Flächen
unter einander und mit Curven, von denen manche wenig interessant und
überdies äusserst evident sind ; auf manche andere sehr wichtige Dinge geht
der Verfasser nicht ein, 2. B. ist nirgends dargethan, dass ein Berührungs-
punkt dreier Flächen im Allgemeinen fttr vier Schnittpunkte zählt.

Die folgenden Capitel VII — XVI sind den allgemeinen Flächen gewid-
met. Der Verfasser verweist auf Cremona*s „Theorie der Oberflächen**,
Reye*s Arbeit „Die algebraischen Flächen, ihre Darchdringungscurven,
Schnittpunkte und projective Erzeugung" in Math. Ann. Bd. III, und Sal-
mon-Fiedler, „ Analytische Geometrie des Raumes ", Diese Capitel haben
uns von allen am besten gefallen. Da die Behandlungsweise sich an die
jenige der citirten Schriften anlehnt, so haben wir nichts weiter zu be-
merken.

Die Theorie der Flächen zweiten Grades — der Inhalt des dritten Ab-
schnittes — soll der Vorrede nach zum Vorstudium der Theorie der all-
gemeinen Flächen, im vorliegenden Bande in den Grundzügen gegeben
werden. Es wäre aber dann entschieden besser gewesen, die F^ an die
Spitze des zweiten Abschnittes zu stellen; denn es macht einen merkwür-
digen Eindruck, wenn nach der Entwicklung von complicirtesten Schnitt-
punktsätzen so einfache wie 448 S. 423 mit grosser Breite bewiesen wer-
den, namentlich da S. 242 in 226 ein viel allgemeinerer als bekannt vor-
ausgesetzt wird. Die Umkehrung von 448, nämlich 449: „Berühren sich
zwei Flächen zweiten Grades in zwei Punkten , so besitzt die Durchschnitts-
curve vierter Ordnung dieser beiden Flächen zwei Doppelpunkte, d. h. die-
selbe zerfällt in zwei Kegelschnitte, deren jeder durch die beiden Berüh-
rungspunkte geht**, ist zudem nicht correct, denn die Flächen können sich
auch in einer Geraden und einer Raumcurve dritter Ordnung durchsetzen.
In den Elementen sind auch hier Ungenauigkeiten. Wenn einmal gesa^j^t
wird, dass eine Fläche von jeder Ebene in einem Kegelschnitte, der auch
imaginär sein kann, getroffen wird, so darf nicht gleich darauf der andere
Satz stehen, dass eine N ich tregel fläche keine einzige Gerade enthalte, denn
imaginäre Gerade enthält sie auch. Die Polarentheorie ist ähnlich wie bei
Fiedler, nur viel breiter entwickelt. Auf S. 409 ist der sonderbare
Schluss gemacht: ,,Da es nur eine unendlich ferne Ebene giebt, so besitzt
eine Fläche zweiten Grades nur einen einzigen Mittelpunkt." Der Verfasser
wende nicht ein, dass es sich hier nur um allgemeine Flächen handle , denn
die Argumentation hat damit nichts zu thun und überdies wird hin und
wieder gesagt, dass die Sätze „selbstverständlich** fttr Cjlinder- und Kegel-
flächen gelten. In § 408 wird das Hauptaxenproblem in der üblichen Weise
gelöst. Die Hauptaxen ergeben sich als Schnitte zweier Keffel wAit«»* Ord.
nnng. Jeder derselben wird erzeugt von allen Dtin^
zeitig senkrecht zu allen Durchmessem em%t ¥!^
jagirt Bind, Mit Ansnahme einer rauäfv

UiBt-UL AbtbJg. d. Z9it»obr. t Math. «. Pliji, XS

74 Historisch - literarische Abtheilung.

Erzeagenden beider Kegel, nämlich derjenigen, welche der Schnittlinie der
beiden benutzten Durchmesserebenen zugeordnet ist, müssen jene Erzeugenden
Hauptaxen sein, da sie auf zwei Durchmessern senkrecht stehen und ihnen
conjugirt sind. Wir finden nun in keinem Lehrbuche bestimmt ausgespro-
chen, selbst bei Fiedler (vergl. Darst. Geometrie S. 358) und Beye (vergl.
Geometrie d. Lage II, 45) nicht, dass die Schnittlinien der Kegel stets
alle reell sind. Immer schliesst die Beweisführung ähnlich, wie in dem
vorliegenden Werke S. 422: „ .. Diese Kegel müssen demnach mindestens
noch eine reelle Erzeugende öa gemein haben, können aber auch noch
drei reelle Erzeugende d«» ^6, äe gemeinschaftlich besitzen/^ Im erstem
Falle ergeben sich dann die beiden anderen Axen als Hauptaxen des Kegel-
schnittes in der zu öa conjugirten Durchmesserebene. Und nun sollte ge-
sagt sein , dass die Unterscheidung der beiden Fälle überflüssig sei , da jetst
ersichtlich die Hauptaxen als Kegelseiten den Schnittlinien der zugehörigen
Durchmesserebene mit den drei Hauptebenen entsprechen: Dem ganzen
Bündel der Dürchmesserebenen entspricht ein Kegelnetz mit drei stets reellen
Basisstrahlen, den Hauptaxen.

Bedauerlich ist es, da doch einmal metrische Beziehungen (entgegen
dem im Vorworte VIII Gesagten) besprochen werden , dass die Specialisirong
für Paraboloide mit keinem Worte erwähnt ist.

Capitel XVIII — XX bewegen sich mehr auf dem Gebiete der darstel-
leuden Geometrie im engern Sinne, auf sie bezieht sich der grösste Theil
der Figurentafeln. Wenn manche so sehr einfache weggeblieben wären, so
hätte es nichts geschadet; wäre jedoch andererseits ein etwas schwierigeres
Beispiel , wie etwa die Untersuchung der Durchdringungscurve zweier Kegel
zweiter Ordnung, in Bezug auf ihre unendlich fernen Elemente vollständig
constructiv durchgeführt worden , so hätte der Verfasser etwas geboten , was
iiicht überall zu finden ist.

Viele der folgenden Capitel sind wahre Muster von Weitschweifigkeit.
Man lese z. B. die §§458 — 463 (acht Seiten) , die wahrlich nichts enthal-
ten, als was sich direct für Kegelflächen aus den Sätzen von Pascal und
Brianchon der Ebene ablesen lässt. § 485: Zwei Seiten über die Auf-
gabe, einen Kegel so zu schneiden, dass die Projection der Schnittcurve
ein Kreis wird. § 514: Die zweien Kreisen auf der Kugelfläche doppelt
umschriebene Developpable soll bestimmt werden. Nach zwei Seiten langen
Entwickelungen gelangt man zu dem Resultat, dass besagte Kreise cen-
trisch collinear sind. Wenn im I. Bande nicht angeführt ist, dass zwei
sich in zwei Punkten schneidende Kegelschnitte immer centrisch collinear
sind, so ist das schlimm.

Die letzten Untersuchungen beziehen sich auf die Developpable, wdohe
MwaißB K^ielaebniUen mit gemeinscb^kf Aiäiei ^«xi^i&xAi^ do^^^lt umschriebot
«nfan Inuuiy — nod die Flttchen deT«fi\\>«ii 1£iTiftxv^\i\K.^Tl ^x i:ii«v. lO^

Recensionen. 75

gemein liegende Kegelschnitte. Die Charaktere werden mit Hilfe früher
entwickelter Formeln bestimmt.

Band m: Die Flftohen zweiten Ghrades.

Erster Abschnitt: Windschiefe Flächen. /. Capiiel: Ereei4gftng
mmW Fundamentaleigenschaften windschiefer Flächen im Allgemeinen. —
IZL Capiiel: Das windschiefe Hyperboloid, Projectivische Eigenschaften,
▼enchiedene Erzeagungsarten , Mittelpunkt, Asjmptotenkegel etc. Beson-
dere Erzengnngsarten. Kreisschnitte. — 111, Capitel: Das orthogonale Hgper-
holoiih — JV. und V, Capiiel: Der gkichseitige Kegd und das gleichseitige
ByperMoid, Behandlung nach Schröter's Oberflächen zweiter Ordnung. Die
Satze über das Tetraeder sind reproducirt. — VI. und YII. Capitel: Das hyper-
holisdie Paraholoid und das gleichseitig 'hyperbolische Paraboloid. — VIII. Ca-
pUd: Das windschiefe Botationshyperboloid. — IX, Capitel: Darstellung des
mndscliiefen Hyperboloids in verschiedenen Projectionsarten und Lösung einiger
dass^be betreffenden Aufgaben. Darstellung in orthogonaler Projection durch
xweiHauptschnitte. Kegelschnittconstructionen vermittelst windschiefer Hyper-
boloide. — X. CapUel: Aufgaben und Constructioncn , das hyperbolische Pa-
raboloid betreffend. — XL Capitel: Die Strictionslinien der Regelflächen zweiten

^ades.

Zweiter Abschnitt: Die Nichtregelflächen zweiten Grades.
A7/. — X7/. Capitel: Die KugelflädiCy das Kugelgcbiisch , das Princip der
rccijyroken Radien, das Kugelbündel und das Kugelbüschel, TJieorie der Kugel-
^^<^ihrung und der Aehnlichkeitspunkte. — XVIL Capitel: Die Dujnn'sche
OucLide.

Dritter Abschnitt: Die Rotationsflächen zweiten Grades.
XVIIL—XXL Capitel: CoUineare Verwandtschaft der Flüchen mit der Kugel

Vierter Abschnitt: Die dreiaxigen Flächen zweiten Grades.
^XlL— XXIX, Capitel: Constructive Behandlung der Kugeln, Rotations-
fl^fchen und allgemeinen Flächen, — XXX. und XXXL Capitd: Der gegen-
seitige Schnitt f!W€ier Flächen und die ihnen gemeinschaftlich umschriebene
J^eveloppable. Schaaren von Flächen zweiten Grades. Confocale Flächen. —
XXXIL Capitel: Die stereographische Projedion, ihre Verallgemeinerung für
flächen zweiten Grades und ihre specieTle Anwendung als Kartenprojection.

Bei der aus vorstehender Uebersicht zu entnehmenden Vertheilung des
^^ffes ist es von vornherein zu erwarten, dass dieselben, oder wenigstens
^^S verwandten Dinge doppelt und mehrfach entwickelt werden, was denn
^Qch in der That der Fall ist. Kommt nun noch hinzu, dass die Breite
^^ Darstellung, die uns schon im ersten Bande nicht angenehm berührte,
^^r damals sich mit dem Bestreben des Verfassers, für den Anfftnger
^^tlich za sein, rechtfertigen iiess, eher zu- a\s a\)geTiomiQ«\i\AXi^ %Q^^ra\
^» Mnie erklärlich, wie mit den „Flachen zN?«i\leTi Oit^A^^'' wSdl ^^

76 Historisch -literarische Abtheilung.

ungeheure Zahl von fast 800 Seiten ausfüllen Hess. Man denke sich nur,
dass alle Aufgaben über Schnitte der Flächen mit Ebenen und Geraden,
über Tangent«nebenen, Tangentenkegel etc. der Reihe nach an den ver-
schiedenen Gattungen der jP^ durchgeführt werden, Aufgaben, bei denen
Jeder sofort nach Lösung von ein paar instructiven Beispielen sieht, worauf
es ankommt, und die in keiner Weise weiter führen können! — So wichtig
und unerlässlich die graphische Durchführung in einzelnen Fällen ist, so
zwecklos erscheint es uns , ganze Serien ähnlichster Aufgaben in der Weise
zu lösen.

Wir haben redlich nach Dingen gesucht, die zu einer besondem Heryor-
hebung geeignet sein möchten; unsere Ausbeute war gering. Neu und schön sind
die Constructionen doppelt berührender Kegelschnitte mit Hilfe der Methode
der darstellenden Geometrie. Um z. B. den Kegelschnitt zu finden , der durch
drei Punkte geht und einen andern doppelt berührt, betrachte man den letztem
als Contour einer Rotationsfläche, die drei gegebenen Punkte als eine Pro-
jection dreier Punkte dieser Fläche, dann lässt sich die zweite Projection
leicht ermitteln. Die Ebene der drei Punkte schneidet die Fläche in einer
Curve, deren Projection die Contour doppelt berührt, womit die Aufgabe
gelöst ist. Die Erklärung des Zusammenhangs zwischen dieser Lösung und
der Stein er 'sehen* wäre am Platze gewesen. Man sieht sehr leicht, dass
die Kegelschnitte nur dann reell sind , wenn die Punkte entweder sämraÜich
innerhalb oder sämrotlich ausserhalb des Kegelschnittes liegen, da in jedem
andern Falle die zu ermittelnden räumlichen Punkte theil weise und damit
die schneidenden Ebenen immer imaginär sind. Der Verfasser macht ohne
Angabe des Grundes, weshalb andere Annahmen auszuchliessen sind, stets
solche, welche reelle Kegelschnitte liefern.

Einen guten Maassstab für die Unvollständigkeit des vorliegenden Werkes
werden wir durch Anführung derjenigen Dinge finden, die nicht darin be-
handelt sind. Wir nennen die folgenden: Kegelschnittbüschel und Netze,
d. h. die wichtigen Constructionen, welche sie liefern; — ebene und räum-
liche Polarsysteme, namentlich auch als reelle Repräsentanten imaginärer
Gebilde zweiter Ordnung; — Flächen zweiter Ordnung als Erzeugnisse reci-
proker Bündel; — reciproke Systeme, insbesondere das Nullsystem und der
lineare Complex mit den Beziehungen zur Raumcurve dritter Ordnung, —
lauter Dinge von fundamentaler Wichtigkeit.

Diese Lücken machen sich denn auch zuweilen recht fühlbar, so z. B.
sieht sich der Verfasser gelegentlich der Kugeltheorie veranlasst, den imagi-
nären Kugelkreis einzuführen (obgleich die imaginären Kreispunkte nirgendwo
erwähnt sind). Zu dem Endzwecke werden sämmtliche Poldreiecke der nn.
endlich fernen Ebene in Bezug auf ihre Schnittcurve mit der Kugel als
,, Polajs/stem ^' bezeichnet und es wird bewiesen, dass eine zweite Kugel

* Grelle Bd. XLV 8.222, oder Äte\u<iT-^eVvx^\.«^x, %t^\Jbi.^ws!«u^^

Recensionen. 77

nnendlich fernen Kreis mit demselben Polarsjstem besitzt. Endlich
lieisst es: „Aus der Theorie der Kegelschnitte ist aber bekannt, dass zu
einem Polarsjbtem nur ein einziger Kegelschnitt gehört etc/* Es klingt
dies einfach unglaublich, wenn man weiss, dass die Theorie der Polar-
Systeme sich im Buche gar nicht findet. Nur schwer können wir uns
versagen, den ganzen Inhalt des § 183 wiederzugeben; derselbe scbliesst
mit der hier gänzlich unmotivirten Eintheilung der georoetriächen Sätze in
projectivische und metrische , je nachdem dieselben Beziehungen zum KugeU
kreise haben oder nicht. Der Verfasser kann „diese Eigenthümlichkeit (des
Kngelkreises) an dieser Stelle noch nicht beweisen *^ Man fragt sich mit
Recht, wo und bei welcher Gelegenheit das später geschehen wird, da der
Verfasser im vorliegenden Bande nicht wieder auf den Gegenstand zurück-
kommt.

Man traut seinen Augen nicht, wenn man auf S. 748 liest: Eine
Ranmcurve dritten Grades kann nie als Schnitt zweier Cylin-
der zweiten Grades erhalten werden.

Bei der Besthnmung des gemeinschaftlichen Polartetraeders zweier JF^,
3. 760, ist nirgends bewiesen, dass die auftretenden Raumcurven dritter
Ordnung sich wirklich in vier Punkten , den Ecken des gesuchten Tetraeders
schneiden. Die „früheren Erörterungen ^^ aus denen das folgen soll, kön-
nso wir wenigstens nicht finden.

In Bezug auf die beigegebenen sehr schön gezeichneten Tafeln ist zu
bemerken, dass trotz deren Menge keine Figur vorkommt, aus welcher man
eine Vorstellung von der Gestalt der verschiedeneu Flächen zweiter Ordnung
gewinnen könnte. Ausstattung vorzüglich."^

Hannover. Dr. Carl Kodenberg.

Kritiiche Bemerkungen zur Einfühning in die Anfangsgründe der „Geo-
metrie desoriptive". Von Franz Tilser, Professor an der k. k.
böhmischen technischen Hochschule in Prag. Erstes Heft. Mit einer
lithographirten Tafel. XLIV u. 96 S. Wien 1883, Alfred Holder.

In dem vorliegenden Hefte ist so ziemlich von ailen Natur wissenschaf-
^^ die Rede, nur nicht von dem, was man erwartet, nämlich einer Ver-
^®®ömng der Lehrmethode der darsteUenden Geometrie. Diese Wissen-

'^'^aft ist nach des Verfassers Ansicht nicht identisch mit der „Geometrie
^^tiptive" Monge 's. Worin der unterschied eigentlich bestehe, ist nir-

^^^^B klar gesagt; wenigstens war es uns nicht möglich, aus den bunten

p * Im Referat zu Band I ist ein von Schwarz herrührender Beweis des

^^Ike'BcbeD Satzes (vergl. Grelle LXIIl. Bd.) iXTtYi^mWOü ^^WX^ väööÄi
felrm, was wir hierdurch richtigstellen.

78 Historisch - literarische Abtheilung.

Reihen von Citiiten nnd Dedactionen heterogenster Natur den Kern heraus-
zuschälen. Hoffentlich sagt der Verfasser in den folgenden Heften irgendwo
kurz und bündig, wie seiner Ansicht nach die qu. Doctrin gelehrt werden
muss und was er mit dem vorliegenden Buche bezwecken will.

Hannover. Dr. Carl Rodenberg.

Bibliographie

vom 16. December 1884 bis 15. Februar 1885.

Periodisohe Schriften.

•I

• Sitzungsberichte der königl. preuss. Akademie der Wiss^schaften. Jahrg.

1885, Nr. 1—3. Berlin, Dtimmler. compl. 12 Mk.

Abhandlungen der königl. Gesellsch. d. Wissensch. zu Göttingen. 31. Bd.

V. J. 1884. Göttingen, Dieterich. 48 Mk.

Annalen der Münchener Stern warte. lO.Supplementbd. München, Franz. 3Mk.
Journal für reine und angewandte Mathematik (begr. v. Grelle '^, beraus-

geg, V. L. Kronecker und A. Weierstrass. 98. Bd. 1 . Heft. Berlin,

G. Reimer. compl. 12 Mk.

Mathematische Annalen, herausgeg. v. F. Klein und A. Mater. 25. Bd.

(4 Hefte). 1. Heft. Leipzig, Teubner. compl. 20 Mk.

Zeitschrift für mathematischen und naturwisseuschaftl. Unterricht, heraus-

geg, V. V. HoFPMANN. 16. Jahrg. (1885). 1. Heft. Ebendas.

compl. 12 Mk.
Annalen der Physik und Chemie (begr. v. Poggbndorff) , herausgeg. von

G. Wiedemann. Jahrg. 1885 (12 Hefte). 1. Heft. Leipzig, Barth.

compl. 31 Mk.
Beiblätter zu den Annalen der Physik und Chemie, herausgeg. von G. und

E. Wiedemann. 9. Bd. (12 Hefte). I.Heft. Ebendas. compL 16 Mk.
Zeitschrift zur Förderung des physikal. Unterrichts. 1. Jahrg. (12 Hefte).

1. und 2. Heft. Berlin, Lisser & Benecke. compl. 12 Mk.

Die Fortschritte der Physik, dargestellt von der physikal. Gesellschaft in

Berlin. 34. Jahrg. (Jahr 1878), 3. Abth.: Physik der Erde; redigirt

von Neesen. Berlin, G. Reimer. 12 Mk«

Zeitschrift für Vermessungswesen , herausgeg. von W. Jordan. 14. Jahrg.

j. Heft. Stuttgart, Wittwer. compL 9 Mk.

Zeitscbrifb für Jnstrumentenkunde , Ted\g\T\. n. k.liCiUK^ vviid A. Westphai^

Ä. Jahrg. (12 Hefte). 1. Heft. BerWn, ^pxm%«t. ^^\3k^- \^

Bibliographie. 79

Bibliotheca historico- naturalis, phjsico-chemica et matbematica , ed. R. v.
Hanstein. 34. Jahrg. 1. Heft, Januar — Juni 1884. Göttingen, Van-
denhoeck & Ruprecht. 1 Mk. 40 Pf.

( ^onnaissance des temps ou des mouvements Celestes pour Fan 1886. Paris,
Gauthier -Villars. 4 Frs.

Keine Mathematik.

Weierstrass, K., Formeln und Lehrsätze zum Gebrauch der elliptischen
Functionen. Nach Yorlesirtigen bearbeitet von H. Schwarz. Bogen
l— 10. Berlin, Friedländer & S. 6 Mk.

Hamilton, W., Elemente der Quatemionen; deutsch von P. Glan. 2. Bd.
2. Hälfte (Schluss). Leipzig, Barth. 7 Mk. 30 Pf.

Spitzer, S. , Untersuchungen im Gebiete linearer Differentialgleichungen.
2. Bd. Wien, Gerold. 3 Mk.

WiNCKLER, A., Ermittelung der Grenzen für die Werthe bestimmter Inte-
grale. (Akad.) Ebendas. 20 Pf.

Simon, M., Die Elemente der Arithmetik als Vorbereitung auf die Func- 1|
tionentheorie. Strassburg, Schultz & Co. 1 Mk. 20 Pf. Jl

Kaiser, H., Die Determinanten für den ersten Unterricht in der Algebra.
Wiesbaden, Bergmann. 1 Mk.

, Analytische Auflösung der isoperimetrischen Aufgaben Steiner's fttr ein

Polygon. (Dissert.) Jena, Deistung. 60 Pf.

QuENSEN, C, Analytische Betrachtungen über die Raumformen, fttr welche
das Congruenzaxiom gilt. Braunschweig , Göritz & Putlitz. 1 Mk. 20 Pf.

WEiNciARTEN, J. , Ucbcr die Theorie der auf einander abwickelbaren Ober-
flächen. Berlin, Mayer & Müller. 2 Mk. 80 Pf.

GussEROw, C. , Leitfaden für den Unterricht in der Stereometrie und den
Elementen der Projectionslehre. Berlin, Springer. 1 Mk. 20 Pf.

Hpieker, Th. , Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Pots-
dam, Stein. • 1 Mk. 40 Pf.

Angewandte Mathematik.

CzuBER, E., Zur Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeiten. (Akad.)
Wien, Gerold. 50 Pf.

Kraft, P. , Sammlung von Problemen der analytischen Mechanik. 6. Lief.
Stuttgart, Metzler. 2 Mk.

Kick, F., Das Gesetz der proportionalen Widerstände und seine Anwen-
dungen. Leipzig, Felix. 6 Mk.

Herrmann , G. , Die graphische Behandlung der mechanischen Wärmetheorie.
Berlin, Springer. 1 Mk. 20 Pf.

Siemens, W. , Ueber die Erhaltung der Sonnenenergie. Uebers. y. £. Worms.
Ebendas. 4 Mk.

Israel- Holzwart, K. , Elemente der Hb^
Theorie der elliptischen Bef*
baden, Bergmann.

80 Historisch -literarische AbtheiluDg. Bibliographie. .

Oppolzkr , Th. V. , Ueber die Länge des Sirinsjahres und der Sothisperiode.

(Akad.) Wien, Gerold. 50 Pf.

Zehukn , F. , Methode der directen Rechnung einer wahren Monddistanz ans

beobachteten. (Akad.) Ebendas. 2() Pf.

Physik und Meteorologie.

Dkchant, E., Ueber den Gang der Lichtstrahlen durch Flüssigkeiten in
Glasröhren und die Bestimmung der Qrechungsexponenten condensirter
Gase. (Akad.) Wien, Gerold. 30 Pf.

Häuler, Th., Zur Bestimmung der Intensität des Erdmagnetismus. (Di^sert.)
Jena, Deistung. 60 Pf.

Mascart, E., Handbuch der statischen Elektricität; devtsch von G. Wal
LEKTIN. l.Bd. 2. Abth. Wien, Pichler. 9 Mk.

•j-Oj-eL Va

UL

Historisch -literarische Abtheilung.

Die von Diophant überlieferten Methoden der Berech-
nung irrationaler Quadratwurzeln.

Von
W. SCHOENBORN

in Krotoschin.

Hierzu Taf. V Fig. 3.

Die Verfasöer der in den letzten Jahren über quadratische Irrationali-
täten der Alten und deren Entwickelungsmethoden erschienenen Abhand-
lungen sind sämmtlich der Ansicht, dass in den uns erhaltenen Werken
zwar einzelne Näherungswert he irrationaler Quadratwurzeln erwähnt werden,
dass aber in keinem derselben , wenn von dem auf den sechzigtheiligen Cal-
cul gegründeten Verfahren abgesehen wird, Methoden zu ihrer Berechnung
mitgetheilt sind. Auch der unterzeichnete Verfasser war derselben Ansicht,
wie sich aus seiner in Bd. XXVIII dieser Zeitschrift enthaltenen Mittheilnng
ttber diesen Cregenstand ergiebt. Erst nach dem Erscheinen derselben begann
er einzelne Schriften der griechischen Mathematiker genauer zu durchlesen
und stiess daBei auf Stellen, aus denen sich bestimmte Methoden der Be*
rechnung der Quadratwurzeln ergeben, so dass die vorher erwähnte Ansicht
doch nicht als recht begründet erscheint. Die Stellen finden sich in der
Schrift des Diophantos api^f(i}Tixo. —

Diophant behandelt in derselben V, 12 eine Aufgabe, bei der es
daranf ankommt, 13 in zwei Quadrate zu theilen, deren jedes grösser als
6 ist Er nimmt die Hälfte von 13, also 6^, und sucht einen Bruch, der
zu 6^ addirt die Summe zu einem Quadrate macht, multiplicirt 6^ mit 4
und sucht einen quadratischen Bruch, der zu 26 addirt ein Quadrat giebt;

ist 36 + — ein Quadrat, so ist es auch 26a;'+l, die Grösse wird gleich

gesetzt {ÖX+ i)*; er erhält x = 10. Mithin ist 26 + TiTr = -7^ ^^ gesuchte
Quadrat, somit ist auch 6^ + ^^^ ein Quadratj_dessen Seite ^ ist« Dass
hierdurch H« H ^^^ Näherungswerthe von j/26, y^ gefunden sind, isl
wobl nicht zu bestreiten. Allerdings sagt Diophant nichts dasay^4|C^4^
sei, Bber die von ihm bebandelte Aufgabe verlangt ^Aa ^\x€Iel 'tAäfiX.

JOrtrirt Abiäig, d, Zelttohr. f Afatb. a. Pbyt. XXX, S. ^

82 Historisch -literarische Abtheilung.

Es dürfte zu beachten &eiu, dass Diophant bei Ö^ den Bruch durch
Multiplication mit 4 beseitigt, dass er ^26 berechnet und das Resultat
durch 2 dividirt, um f^ß^ zu erhalten.

Wendet man das angegebene Verfahren an, um yA^jj^B zu bestim-

2A

men, setzt also {Ä^ + B)x^ + l = {Äx+\y, so ergiebt sich ir=— > mit-

— — — — B

hin erhält man Vä^ + 5 ro -4 + rr-j » d. h. eine Formel, nach der sich ein

— £A

Theil der tiberlieferten Wurzelwerthe sehr gut herleiten lässt. — Dass die
Methode nur anwendbar ist, wenn x>l wird, ist wohl kaum nCthig zu
erwähnen. Die nach ihr berechneten Wurzelwerthe sind stets grösser als
der wahre Werth ; die nun folgende Methode giebt zwei oder mehr Werthe,
zwischen denen der wirkliche Werth liegt.

Diophant behandelt V, 14 die Aufgabe: die Eins so in drei Theile
zu theilen, dass, wenn man zu jedem 3 addirt, die drei Summen Quadrate
werden. Er bemerkt, man habe somit 10 in drei Quadrate zu theilen,
deren jedes >S sei; die Aufgabe sei also zu lösen nach t^ x^g nagiaottirog
iyfoyij. Was unter dieser Führung, Anweisung zu verstehen sei, zeigt die
weitere Rechnung.

Da der dritte Theil von 10 =3^ ist, so ist x so zu bestimmen, dass

3^ + -^ > oder indem man 3| mit 9 roultiplicirt , dass 30 -f --^ ein Quadrat

X Xf

sei. Aus 30aj« + 1 = (5a; + 1)« wird a; = 2, also 30 + ^ = (IJL)« und 3|+ ^y
= (JJ.)> gefunden. Jetzt zerlegt Diophant 10 in die Summe dreier Qoa-
drate; da er weiss, dass (|^)* + (^)*=1 ist, so ergiebt sich 10 = 3*+(^)*
+ (f)'f ^ bleibt übrig, die Seite jedes dieser Quadrate nahe gleich su
machen {ni^i^ov nagaonsvaaai) mit ^. Um einen Theil der Brüche fort-
zuschaffen, werden 3, f, |, ^ mit 30 multiplicirt, man erhält 90, 24,
18, 55; jede Seite ist nun nahe gleich zu machen mit 55; die Seiten sind
3-35x, i + 3lx, | + 37a?, (35 = 90-55, 31=55-24, 37 = 55-18),
addirt man die Quadrate der Seiten, so ist die Summe = 10 zu setzen; aus
(3-35aj)«+(| + 31x)* + (| + 37a;)«=10 ergiebt sich x = -j^. Dieser
Werth ist in jede Seite einzusetzen. Hier bricht Diophant ab. Führt
man seine Vorschrift aus, so erhält man Uli, IMl, JAM als die Zahlen,
die nahe gleich -LI sind. Da die Summe der Quadrate derselben = 10 ist
die Zahlen selbst einander nahe gleich sind , so ist jede ein Näherungswerth
von /*d^, ViV" ^^ gross, die beiden anderen zu klein; das haben die Alten
wobl auch erkannt und das Mittel, einen der Wurzel noch näher kommen-
den Werth zu finden, lag zu nahe, als dass sie es nicht sollten benuizt
haben. Diophant freilich, der alle drei Werthe brau ht, hat keine Ver-
anlassung zu erwähnen, dass sich ein solcher Werth ergeben wtlrde, wenn
man die Summe der drei Zahlen durch 3 dividirt. (Es ist lAM = 1,82569. . .,
der genauere Werth von >/3^ ist = 13251 . . ..^

I Diophftnt Hberlieferten Methoden etc.

[Dieselbe Methode hat Diopbant, ohne sie benennen, auch V, 12 an-
endet. Nachdem er ^ ab NSbeningawerth von y^Q^ gefhnden, muas
um die gestellte Aufgabe su löaeti, noch 13 in zwei Qnadrate tbeilen.
deren Seiten ao nahe eüs möglich (äg (yy^ff) mit §^ übereinstimmen. Da
13 =3- + 2ä ist, so bildet er die Seiten lla; + 2, 3 — 9j:; (es ist 3, 2, ^J
mit 20 miiltiplicirt, aus G(l, 40, 51 erhält man n = 5]-40, 9 = 60-51);
aus (lU+iJ)* + (3-9j)*=13 findet er x^^j, mithin wird lU + 2
= 4^J, 3 — ÖK^-ij-fiJi es Bind alao |^-J- und f^^ die Zahlen, welche JJ
gnnz nahe kommen; auch ist die Differenz ihrer Quadrate < 1, wie es Dio-
phant im Anfange seiner Auseinandersetzung verlangt bat. Dass jede von
ihoen ein Näheningswerth von ^li^ ist, dasB ihr aritb metisch ea Mittel einen
noch genaueren Nfiherungswerth giebt, erwähnt Diapbaut allerdings nicht;
er braucht eben beide Werthe und hat von den Quadraten derselben 6 ab-
Koticben. am die der Aufgabe entsprechenden Zahlen zu erbalten. (Das
arithmetische Mittel ^^ ist = 2,ö49ö04 .. .. (/ÖJ = 2,549509 .. ..)

Aus dem Vorhergehenden ergiebt sich eine zweite Methode für Berech.
nuug von )/a- Zunächst hat man nach der ersten einen NSherungswertb

*u »neben; derselbe sei = — Kann man 2o in die Summe zweier Qua-
drate = f + e* Mrlegen, so ist aus der Gleichung [l + {rn—b,h).x]'
-+■ [c + (m — c.n).xy~2a der Werth von x zu bestimmen; setzt man den -
stslben ia b+lm-b.n).x, C+lm — c n),x ein, nimmt von der Summe der
l>eiden so exhaltenen Zahlen die Hälfte, so erhält man einen neuen, genaueren
Nabemngs werth von /«. — Ist 3« = ft* + c' + rf*, so ist [b + {m-l).n).xy
"^ (i^-f (m — c.rt).j-J*+[d-J-[»i — rf.«).j-p^3a die Gleichung, aus welcher der
^P«rUivon X bestimmt wird; der dritte Theü der Summe der drei gefundenen
Zahlen ist der Nöherungs werth der Wnrzel. — Die Methode lässt sich auch
antfendeD, wenn 4n, wie das in V. 17 der Fall ist, gleich der Summe von vier
Quadraten ist. Angenommen ist hierbei, dass n, b, c, d ganze Zahlen sind;
^""«i lu tbun ist, wenn Brüche vorkommen, zeigt das Beispiel in V, 14.

Das angegebene Verfahren verlangt eine Vorschrift, aus der zn ersehen,

*«iiB man 2« in eine Summe zweier, wenn 3a in eine Summe dreier Qua-

**<*te zerlegen k'Jnne, wenn nicht. Auch diese Vorschrift Ittsst sich wenig-

•*«U8 lum Theü aus Diophant herstellen. Herr Cantor bemerkt in der

Ö«Bohichte der Mathematik, Bd. I S. 441, dass aus der zu V, 12 gestellt«n

"«dingTing der Hatu folge: Keine Zahl von der Form 4.n4-3 'aast sich als

^«niuje iweier Quadrate darstellen, — In V, 14 soll 3in+ 1 in die Summe

''»ier Quadrate zerlegt werden. Diophant bemerkt, es dtlrfe m weder 2

*»» (d, h. also: 7 Ittsst sieb nicht in drei Quadrate »erlegen), tit'ixi uro tmv

äiog ÖkzÖxis ftoQav^onhaiv, Hat Bachet mit der Behauptung

übt, Diophant meine damit, es dUrfe m nicht =2 + 8« sein, so efgie*

'^, daaa sich in der Vorschrift wohl der Satz fand-. \st «Vt^&'L'j^V

f-f-3, so kann sie nicht als Summe iwe\M OwAÄnJ* '

86 Historisch - literarische Ahtheilung.

/63ÖÖ=10y63. — Es ist j/63ro8-3V= ^- ^^ 189=11»
+ 8« + 2« ist, so erhält man die Gleichung ( 11 - 49 a;)« + (8 - x)* + (2 + 95x)«
= 189. also ic = THiT» ll-49^ = ff|H> 8-ic = |Ji||, 2 + 95« =
= WH» folglich ^cv.f^ef, ^6300 cv) V^fi^ = 79^W!fr ^ 79^^^
= 79^f = 79^ + T^. — Mithin wird ^1575 = ^K63(X)oü39| + 34- —
^2460 + H = i >/39375 = i^T575 cv3 49i + VA- - »^615 + H = i
X>/24rt0 + ||cv24i + ^. _

y2l6 = 3.j/2i. Aus 24a;« + l = (5x-l)2 folgt aj=10, j/24oofS.
Es ist 72 = 8«+2«+2«, man erhält also die Gleichung (8-31ic)*+ 2.(2+ 29a;)«

= 72, mithin wird a; = ^Vff» ^-''^^^^ VÄ¥' 2+^^^ = ^^' *^®°

^^356 = 2y89. Aus 89a;«+ 1 = (9a;+ 1)* folgt x = ^, /89c\>V
Es ist 178 =13« + 3«, mithin erhält man die Gleichung (13-32.a;)*
+ (3 + 58.a?)«=178; aus ihr folgt x=^%\, 13- 32.a? = iJ^. 3 + 58. a;

yi20^6.y20. Aus 20.a:«+l=(4a;+l)» folgt x = 2, j/20~f.
Da 40 = 6« + 2« ist, so erhält man die Gleichung (6-3a;J« + (2 + 54^
= 40; hieraus ergiebt sich x = r^, 6 — 3a? = 4|-^, 2 + 5a; = 4-j^, j/20
r^ 4^^_mithin j/lp r^ 26|^ ~ 26|f = 26|.

^^208 = 4yi3. Aus 13rr*+l=(4a;-l)« folgt « = |, /13^3|.
Es ist 26 = 5« + 1, somit ergiebt sich die Gleichung (5 - 1 1 . o?)« + ( 1 + 21 . j;)«
= 26. Aus ihr erhält man a? = ^, 5-ll.a; = .^m, l + 21.aj=l»M^

folglich >/T3^MM, J/^s<^J^^l^^^\^^=l^^.

Die Wurzelwerthe des Heron wären somit gefunden ; dass sie Heron
gerade in der vom Verfasser angegebenen Weise berechnet habe , wird nicht
behauptet, unter Beibehaltung der Methode lassen sie sich auch auf andere
Art finden. Um z. B. ^216 zu erhalten, konnte man ausgehen von
2fl6a?« + l = (14a;+l)« und erhielt a; = ^, /2l6 = l|^; da 648 = 16«
+ 14«+ 14« ist, so ergab sich die Gleichung (16-9.i)« + 2.(14 + 5.a?)«
= 648, folglich x = j^, 16-9.a; = Y/l, 14 + 5.a; = J^m und /2l6

cv)i^=14^r\,143% = 14||. - Wird bei /135 = 3./15 von j/TB
c\j ^ und 60 = 7« + 3« + 1 + 1 ausgegangen , so entsteht die Gleichung
(7-25.a?)« + (3 + 7.a:)« + 2(l + 23.ir)« = 60, mithin wird x = -^, 7-25. a?
^ip±, 3+7.ir = im, l + 23.a; = lAL^, i/\5r^mi, 7/T35^iöJLi

48 3 : ' 4 33 ' 433 ^ £3 3 ' ' 4 SS

= ll|-i|pollJ^==llif. — Wird bei /208 = 4./l3 ausgegangen von
13a;«+l=(3a; + l)«, so erhält man x==i, also ^13 oo^; da 52=7«
+ 1 + 1 + 1 ist , so ergiebt sich die Gleichung (7 - 10 . x)^ + 3(1 + 8. x)^ = 52 ;
mithin wird a; = |f, 7-10. a:= m, 1 + 8. o; = m, ^13ojm, j/§08
PO JJAl = I4i^cx, 14^= 14,2;^.

IJ^ sieb die uns überlieferten Quadratwurzeln der Alten durch dia
ans Diopbant entnommenen MeÜioden b^i^\msa \ds»«ii« Sä\> ««iifiX»^«Si^

in; die Methoden aeigen aber auch den Weg, auf welchem die von
irm Gttnther in der Abbundlimg : Die quadratischen Irrationalitäten der
A.1ien, S. 51 erwähnte Cubikwurzel ^ff'vii gefunden sein Jtlrfte, Ks

*^* J^xi—"^^- Mauhte Pbeidon — er aoll ja die Wurzel berechnet
haben — den Versuch. jl'SOU durch ein Verfahren lu finden, das der ersten
Methode der Berechnung der Quadratwurzeln entaprieht, so hatte er 300.x'
+ 1=161 + 1)^ zu setzen, und erhielt zur Bestimmung von x die Gleioh-

p + i/Tää

oag i4,r*— 18x = 3; somit wird x = ^ t es liegt also zwischen JJ

ond ^; wurde der letztere Grenzwerth als der einfachere in der weiteren
Rechnung benutzt, eo ergab sich 3()0 fv (6 + -5)*, mithin i/'äOOr^^ nnd

Treten wir der Frage näher: wie sind die Alten zu diesen Metboden
Bekommen? so ist die Sache in Betreff der ersten Methode einfach. — Aus
**er Gleichung ajr* + l = ((i(.a; + 1)*, in der a gegeben, a eigentlich beliebig

^^> ergiebt «ich die Gleichung o + -:^=={a+—); ist nun ans der ersten

Gleichung ein Werth von x gefunden, welcher >1 ist, so ist a + — ein
**'*» 80 genauerer NSberangswertb von j/a, je grösser x war. — Die zweite
Methode weist auf Entstehung aus geometrischen Betrachtungen hin und
*^Btfitigt Herrn Cantor's Ansicht (Geschichte der Mathematik Bd. I S. 412),
Q&sa die Alten bei dergleichen Untersuchungen rechtwinklige Dreiecke zu
**ilfe genommen haben. Sollte ^6^ gefunden werden, so ging man von
®i-nem bei Ä rechtwinkligen Dreiecke ABC aus, in welchem AB^^3,
-^ C=2 war; die Hypotenuse SC ist aUo =^13, Conatruirto mau über
ö C das Quadrat BCDI\ zog in demselben die sich in ff schneidenden
Öiagonalen BD, CF, so ist £ff=Ce = /6J. Auf BD schneide man
■BV=BÄ,_Kii CF aber CO=CA ab (Fig. 3). War nach der ersten
Methode ^'6^ <^ ^ gefunden, so lasst sich allerdings der tJO. Theil von AB
Uicht genau 51 mal auf BG abtragen, denn AB und BG sind incommen-
suribel, aber es wird ein Mass :r geben, das annähernd 60inal \a AB
«wd 51 mal in BG enthalten ist, so daas annHhemd Gy=Q.x, G0= 11. j:
wird; dann inl. ßt; = 3-9.x, CG = a + ll.a:. Die Summe der Quadrate
•dieser Grössen muss = 13 sein, mithin ist durch die Gleichung (3— 9.x)*
^"(2 + 11 .x)'= 13 die Möglichkeit gegeben, das Mass x, also auch BG
^bti t'Gf lu bestimmen, und da BG = CG sein soll, so erhält man, wenn
'^fui die Summe beider Grössen durch 2 dividlrt, einen gemeinsamen Werth
*^ BG und CG, also auch für /Ö^. - War die Methode für Zahlen a, bei

h**eii«a 2« gleich der Summe zweier Quadrate ist, erprobt, so war der Port-
•chritt EU Fällen, in denen 3a (4a) gleich der äumme von X iv,¥i 'i4wiÄi«.'wso.
?"» aicit mehr acbwer.

88 Historisch -literarische Abtheilung.

Sehen wir zu , worauf es bei der zweiten Methode eigentlich ankoi

so handelt es sich doch darum, eine Zahl, die gleich der Summe zw

(dreier) Quadrate ist, nochmals in eine solche Summe zu zerlegen, ^^^

sollen die Seiten der neuen Quadrate einander nahe gleich sein. ^

Diophant behandelt U, 10 die Aufgabe, 13 = 3^ + 2* in zwei &i^<^c2«

Quadrate zu zerlegen. Er schlägt folgenden Weg ein. Es sei 2p ^ ^

+ V {a>h) die zu zerlegende Zahl; man bestimme durch m.^ a,

h + x zwei Zahlen, die der Gleichung (mo: — a)* + (&+«)* = 2/> ge-

., ,^., 2{a.m — h) , . , a(m* — 1) — 2 ^& .«

nügen: aus ihr erhalt man ag= <, . ^ — » und smd 5——;

«1* + 1 mr + l

und J , ^ — — die gesuchten Zahlen. Im Allgemeinen ist tf» be-

mr + l

liebig; hat man es aber so gewählt, dass die Seiten der neuen Quadx^te
einander nahe gleich werden, so sind dieselben Näherongswerthe von 'ß^P'^
aus ihnen lässt sich dann, wie bei der zweiten Methode, ein genaiB.«rer
Wurzelwerth finden. — Dasselbe Verfahren lässt sich einschlagen, i^^enn
S.p gleich der Summe dreier Quadrate ist. — Damit wäre eine dritte Me-
thode nachgewiesen, die vielleicht von den Alten zur Berechnung der ^3as-
dratwurzeln benutzt worden ist. Sie hat vor der zweiten den Vorzug , ^ass
man bei ihr nicht nöthig hat, auch nach der ersten Methode einen I^älie-
rungswerth der Wurzel zu suchen. — Wendet man diese Methode am. znr

Berechnung von "/AI , so ist a = 9 , 5 = 1 zu setzen. Für m c= 3 er^^ebt
sich "^4^ ^ ^ , die Wurzel liegt zwischen ^ und ^ ; würde jetzt a = ~,
5=3Li, m = 64 gesetzt, so ergäbe sich f/4\ f\f LVA^^i da die Wuarzel
zwischen VoVs*-^ ^^^ V V/' ^ ^^®8^5 ^®^ gefundene Werth wäre sehr genau,
es ist IAUJaL 6,403 1242372..., der genauere Werth der Wurzel ist

= 6,4031242374... — Um /29 zu erhalten, ist a= 7, 6 = 3 zu setzen,
für m = 5 erhält man ^29fv^|, die Wurzel liegt zwischen \j und ff.
— Bei y^ ist a = 5, 5 = 2 zu nehmen, für iw = 5 erhält man "/^ <^-' Hl

die Wurzel liegt zwischen f| und ^^. — Hat Heron, um j/356 = 2.^^^

zu finden, die dritte Methode benutzt und bildete er die GleichuLg 267 =

44— lOni
2.(11 — a?)* + (5 + wx)* so wurde x= «-t-k- ' f^r »» = 3 also a:==iT'

ll-a; = iAl, 5 + ma; = fj, demnach /89 no ?JJ = 9^ und ]/356 ^ ^8^5
rsj 18|. — Wird dieselbe Methode bei /135 = 3 . / 15 in Anwendung ge-
bracht, so erhält man (5-m.a;)« + (4 — a;)* + (2 + n.a?)* = 45, mithin ^^

^= — i"; — i-rv— ; für w = 5, n = 9 also « = AV, 5 — w.x = +J4^, ^"^
mr + fir+i * *" * "

= |Jf, 2 + n:c=|H, mithin ^lör^^ und ^135 ^ iAiJ = H
'vllTVV = lHf

Diophant zeigt II, 8.9, w'\^ mwi ^wi Q.wöäwX. yü «aa Summe %^^^^
Quadrate zerlegen könne , er ateWl d\^ G\^\OD.\»i^ o? = # -V Vji^ ** - ^

Die von Diophant überlieferten Methoden etc. 89

und erhält x= - V-t-? > fnx — a = — » , ., ; die Zerlegung beruht also

nr+\ tnr + l

darauf, dass ( ^'. , ) + ( ^ . ^ ) =1 ist. Bei Diophant ist a = 4,

\w^+l/ \inr+i/

m = 2 und er erhält ^ und JLIL als Seiten der Quadrate, deren Summe

5 5 _ __

= 16 sei; aber es ergiebt sich daraus auch ^8^ f^, y2 (\> ^. — Wird
a = 2^ m = ^ genommen, so erhält man (4^)*+ (4?)^~ ^» ^^ *^®^

Herr Günther bemerkt in der obenerwähnten Abhandlung S. 66,
88 — 90, dass de Lagny, Tannery, Zeuthen die Ansicht vertheidigen,
es hätten die Alten, um j/d zu finden, Lösungen der Gleichungen ^^ = 3.a;'
— 2, y^ = 3,x^+l zu Hilfe genommen. Dieser Ansicht gegenüber macht
der Verfasser c'arauf aufmerksam, dass die drei Methoden, die zur Berech-
nung von j/p führen , auch in vielen Fällen bi-auchbare Werthe liefern für
die Lösung der Gleichungen y* = p.a:*+l und y*=/?.ic* — 2.

Gleich die erste Methode giebt oft ein Paar zusammengehöriger Wur-
zeln der Gleichung y^ = p.x^ + l. — Wird p ,x* + l = (a .x +1)* gesetzt
und X wird eine ganze Zahl, p — a^ geht also ohne Rest auf in 2 er, so ist
eine Lösung gefunden. Aus dem Vorhergehenden ergeben sich die Beispiele:
51^ = 26. W + 1, 1P = 30.2« + 1, 7« = 3.4« + l, 26« = 3.15« + 1, 97«
= 3.56«+l, 1351* = 3.780«+ 1, 3ö« = 34.36« + l, 20242=14175.17«
+ 1, 19«=10.6« + 1, 31«=15.8«+1, 49*=24.10« + 1.

Ist 2p gleich der Summe zweier Quadrate, so erhält man durch die

ß ß + f^
zweite wie dritte Methode zwei Werthe , etwa — und » zwischen

a a

denen j/p liegt; zugleich genügen dieselben der Gleichung — k -

ff

= 2p. Ist m eine gerade Zahl, setzt man also 29n an die Stelle von nr,

so geht die Gleichung über in —^ = p, d. h. man erhält

(/3+w)« = p.a« — w*, für w=l also ((3+ l)«=p.o«— 1. Ist w ungerade,

so können ^r ' — ö ^^^ ^i© Grenzen betrachtet werden, zwischen

denen j/p liegt; man erhält also (2 /3 + w)* = p . (2 «)« — w«, undfürw=l
somit (2/3 + l)« = p.(2«)«-l. Als Beispiele ergeben sich: 515« = M.202«
-1, 117«=10.37«-1, 76^ = 20. 17«-4 oder 38« = 5.17«-1, 32« =
41.5«-1, 131168« = 41.20485«-!, 70« = 29.13«- 1, 99«= 29.26«-l,
41« = 2.2J«-1. ^

Ist j/p dadurch gefunden , dass man 3p in die Summe dreier Quadrate

zerlegte, deren Seiten > — » sein mögen, so musss die Gleich-

a a a

3|5« + 2/3fw-n)+m« + n« ^ ^,,^ . ,^ _,. ^

90 Historisch - literarische Abtheilung.

m« + n« = 3.Ä, so erhält man (/3+Ä)« = p.a« + (Ä«-ifc). — Sind m-ii,

m* + n* keine Vielfachen von 3, so sind -^ -y —■> ' — 5 als die

Ott oa öa

Seiten der drei Quadrate zu betrachten, und ergiebt sich die Gleichung
[3/3 + (w— n)]* = p.(3«)* — 2(m* + wn + w*). — Sind zwei der Seiten ein-
ander gleich , es seien dieselben — 1 — — > so erhält man {ß i. m)*

a a a

= p.a* — 2f»*; sind — - — ♦ — > — die Seiten, so ergiebt dch (3/J + m)*

a a a

= p.(3a)«-2.m«. — Demnach ist 265« = 3. 153« -2, 22* = 6.9«-2,
1189«=15.307«-2.7, 6474« = 6.2643«-2.3« oder 2158« = 6.88P-2
311« = 89.33*-2.10«.

Ob den Alten bekannt gewesen , dass sich aus den Werthen y=ßf
x = a der Gleichung y^ =p3C^ + b die Werthe y = 2/3*+&, x = 2a.ß in
der Gleichung ^« = />.£« + 5«, desgleichen aus y^ßy x = a der Gleichung
y* = p,x^ ±^2h die Werthe y = /3«+5, x=^a.ß der Gleichung y«,= jö.:c*
+ &« ergeben y mag dahingestellt bleiben.

Erotoachin, im März 1885.

Recensionen.

Erwiderung. .

Im 6. Hefte des 29. Bandes hat Herr P. Zech ein Referat über meine
Schrift ^,Der Kreislauf im Kosmos'' gegeben. Gegen das Ende fühlt er
sich veranlasst zu bemerken, die Abhandlung sei ,,eine Streitschrift der
katholischen Theologie gegen die Naturwissenschaft". Diesen Satz muss ich
als eine offenbare Unwahrheit bezeichnen , und man wird mir wohl erlaaben,
dies kurz zu begründen.

Die betreffende Abhandlung ist weiter nichts, als eine Abwehr gegen
die moderne Naturphilosophie; es wird S. 15 ausdrücklich hervorgehoben:
,,Man erinnere sich wohl, dass wir es nicht mit der eigentlichen Natur-
wissenschaft, sondern mit dem naturwissenschaftlich ausstaffirten Materialis-
mus zu thun haben." Dem Herrn Referenten würde es auch wohl schwer
fallen, eine Stelle zu bezeichnen, wo ich mich mit der Naturwissenschaft
im Widerspruch befönde.

Dann soll der Kampf von Seiten der katholischen Theologie geführt
werden. Sonderbar, da die Schrift voll und ganz auf physikalischem Boden
steht und von Theologie, geschweige denn katholischer, gar keine Rede ist.
Allerdings wird auf S. 11 der philosophische Standpunkt des christlichen
oder theistischen Teleologen kurz skizzirt; aber Tele ologie ist doch nicht
Theologie!

Blyenbeck (Holland), den 10. Februar 1885. J. Epping, S.J.

VorlesQiigen über das DLosaeder und die Auflösung der Oleichnngen vom
fünften Grade. Von Felix Klein. Leipzig 1884. 260 S. 8^

Dieses Werk, dem eventuell, wie Verfasser in Aussicht stellt, weitere
Werke über die elliptischen Modulfunctionen und die allgemeine Theorie der
eindeutigen Functionen mit linearen Transformationen in sich folgen sollen,
kann nur mit Freude begrüsst werden. Führt es doch den Leser in einen
Kreis hochinteressanter Disciplinen ein, die sich besondeni im.LanCs des
letzten Jahrzehnts m&chtig entwickelt haben, ohna ^
mathematischen Publikoms vorläufig BMÜir tli
geworden xa sein. £ine FflUs toh Hi^

92 Historiscb - literarische AAheilung.

artikelu zerstreut war, ist einheitlich zusammeogefasst und gleichmSsäg
durchgearbeitet; die zahlreichen Citate, auf welche Verf. grosse Sorgfalt
▼erwendet hat, geben dabei genauen Aufschluss über den Ursprung und die
Entwickelung jeder einzelnen Untersuchung, wodurch zugleich die in dem
Buche enthaltenen Fortschritte als solche zu Tage treten. Die Art der
Darstellung, welcher das Princip zu Grunde liegt, zunächst am gegebenen
speciellen Problem zu operiren und von da nach und nach zu allgemeine-
ren Gesichtspunkten aufzusteigen, macht die Lecture verhältnissmSssig so
leicht und mühelos, dass es sehr zu bedauern wäre, wenn dieser oder jener
Leser sich durch einige Schwierigkeiten , die gerade auf den ersten Blättern
gefunden werden können, nach Herstellung geeigneter Modelle aber von
selbst verschwinden, von der Lecture des Buches abschrecken liesse. Frei-
lich darf der Anfänger andererseits die Bemerkung der Vorrede, dass spe-
cielle Kenntnisse nicht vorausgesetzt werden, nicht allzu sanguinisch aaf-
nehmen; denn wenn auch der Verf. jedesmal die Elemente der verschiede-
nen von ihm in die Darstellung eingeflochtenen Disciplinen kurz auseinander-
setzt resp. auf geeignete Lehrbücher verweist, so ist doch die Operation
mit den Begriffen eines Gedankenkreises, in welchem man sich eben erst
orientirt hat und daher noch nicht zwanglos bewegen kann, unter allen
Umständen schwierig, zumal wenn — wie es hier der Fall ist — kurz
nacheinander ganz verschiedenartige Gedankenkreise auftauchen und in Be-
ziehung zu einander gesetzt werden. Immerhin sind wir der Meinung, dass
besonders das Studium des ersten Abschnittes, in welchem die Theorie
des Ikosaeders im engeren Sinne entwickelt wird, auch Demjenigen, welcher
sich in die Gebiete der Functionentheorie , Algebra und Invariantentheorie
erst einarbeiten muss, zur Freude gereichen wird, da er als Belohnung
seiner Mühe eine Erweiterung des Gesichtskreises gewinnt, wie sie ihm
nicht viele mathematische Werke der Neuzeit bereiten dürften. Der zweite
Abschnitt, welcher der Theorie der Gleichungen fünften Grades gewidmet
ist, bewegt sich zwar auf einem weniger abwechselungsreichen Gebiete, ist
aber darum in seiner Art nicht minder interessant und wichtig; ist doch
die Auflösung der Gleichung fünften Grades ein historisches Problem, wel*
ches die Mathematiker seit Jahrhunderten wieder und wieder beschäftigt hat
und mit AbeTs Beweis der Unmöglichkeit einer Lösung durch Worzel-
grössen nicht etwa erledigt, sondern vielmehr erst für die richtige Frage-
stellung vorbereitet wurde.

Wir geben eine Uebersicht Über den Gesammtinhalt des Buches.

Der erste Abschnitt zerfällt in fünf Capitel. Gegenstand des Cap. I

ist das Studium der regulären Körper, des Tetraeders, Würfels, Oktaeders,

Dodekaeders und Ikosaeders, oder genauer der Projectionen jener Körper

(d. h. ihrer Ecken und Kanten) auf die Oberfläche einer durch die EdEen

gelegten Kugel aus dem Mittelpunkte derselben^ also der regulären Kugel»

J^ die genaimten KOrper ac'büfiBal ÄOi n^o^itL ^^ I^<^^^ ^m^^rtiik

BUS dem regulSrea n-Eck hervorgeht ttnd deim auf den KügelfiSche eia &u«
2 n Dreiecken bestehendes Netz entspricht. FUr dae volle Verst£ndaia§ des
Polgenden sind Modelle der definirten Netze unentbehrlich ; doch reichen
zwei Kugeln ans, anf deren eine man Tetraeder, Oktaeder nnd Würfel, auf
die andere Ikosa«der und Dodekaeder projicirt. Verf. studirt nun diejenigen
Drehungen der Kngelfläche, durch welche eines jener Netze zur Deckung
mit sich selbst gelangt. Die Gesammtheit dieser Drehungen bildet eine
„Gmppe" im Sinne Galois', nSralich eine gescbloEsene Mannigfaltigkeit
TOD Operationen. Es folgen gruppen theoretische Vorbegrtfie in abstrakter
Definition, die Begriffe der innerhalb einer Gruppe gleichberechtigten Ope-
rationen, der Untergruppe, der gleichberechtigten nnd der ausgezeichneten
Untergruppen, der Einfachheit einer Gnippe, sowie des (holoedrischen oder
meriedrischen) Isomorphismus zweier Gruppen. Diese abstrakten Definitionen
werden dann durch die Anwendung auf die regalttren Körper veransRhau-
Hcht. Es zeigt sich, dass die Gruppen des Oktaeders und WUrfeis, sowie
dea Dodekaeders und Ikosaeders identisch sind. Die definirten Begriffe ge-
winnen fast sSmmtlicb sehr einfache geometrische Bedeutungen, So heetebt
eine Untergruppe immer in der Gesammtbeit derjenigen Drehungen , welche
irgend ein in dem betrachteten Körper enthaltenes geometrisches Gebilde,
et'wa eine Diagonale, in sich Überfuhren. Dem Oktaeder lassen sich zwei
Tetraeder zuordnen, deren Ecken mit den Frojectionen der Seitenmittet-
punkl« des Oktaeders auf die KugelflSche zusammenfallen; bei allen 24 Okta-
oderdrehungen wird jedes jener beiden Tetraeder entweder in sich oder in
da« andere Übergeführt; die Gesammtbeit derjenigen (zwSlf) Drehungen,
welche jedes der Tetraeder in sich selbst überführen, bildet dann eine „aus
Scimchnete " Untergruppe. Allgemein : Nennen wir zu einem geometrischen
OebiJde A alle diejenigen „gleichberechtigt", in welche^ durch die Dreh-
•»"gen des betrachteten Polyeders überhaupt übergeben kann (A', A", ...),
*<> bilden alle diejenigen Drehungen, bei denen jedes der sämmtlichen
Rleicbbereohtigten Gebilde A, A', A", ... mit sich selbst zur Deckung
■oihinl, eine „ausgezeichnete" Untergruppe. — Bei der Zusammensetzung
"•»'eher geometrischer Hilfsgebilde, durch welche Uberbitupt Untergruppen
(otiii speciell ausgezeichnete Untergruppen) definirt werden , spielen die Eck -
'*''nkte, die Seitenm it. tel punkte und die Kantenmittelpunkte des Polyeders
'^e wesentlichste Bolle. — ünUr den Resultaten des C'ap. I sind besonders
'''6 folgenden, auf das Ikosaeder bezüglichen hervorzuheben. Die im Gan-
'"^n ans 60 Drehungen bestehende Ikosaedergruppe ist ..einfach" (d. h. ent-
^Mt keine ausgezeichnete Untergruppe) und holoedrisch isomorph mit der
^»■uppe der 60 geraden Vertausehungen von fünf Dingen. Von Untergrup.
f^B kommen später bei der Theorie der Gleichungen fUufteu Grades in
■*«tracbt: secba gleichberechtigte Untergruppen von je zehn Drehungen
' t>iederdrehnngen, d. h. solche, bei denen jedeamsA evna 'iJ «i\«a4"Mi?^«i»
*^t!ier gegenObertiegenden Ecken in sich überge^if) , «w4 iftut ^w<Mo«w^

94 Historisch -literarische Abtheilung.

tigte Untergruppen von je zwölf Drehungen (Tetraederdrehungen, d. h. solche,
bei denen ein zum Ikosaeder in Beziehung stehendes Tetraeder mit sieb
selbst zur Deckung kommt). Alle 60 Ikosaederdrehungen können durch
Wiederholung und Combination dreier (5, T, ^), unter denen sich sogar
nur zwei von einander unabhängige (S und T) befinden, erzeugt wwden.
— Durch Projection der Ikosaederkanten auf die Kugelflftche entstehen 20
gleichseitige sphärische Dreiecke, deren jedes durch seine drei Höhen in
sechs Theile zu theilen ist, so dass die Eugelfläche im Ganzen Ton 120
rechtwinkligen Dreiecken bedeckt wird. Dieselben zerfallen in zwei Scbaa-
ren von je 60 unter einander congruenten, während je zwei verschiedenen
Schaaren angehörige nur symmetrisch sind. Aus einem beliebigen Punkte
P der Eugelfläche entstehen durch die 60 Drehungen im Allgemeinen 60
verschiedene Punkte, derec jeder in einem andern von den 60 congmenten
Dreiecken einer Schaar liegt. Die Gesammtheit von 60 solchen Punkten wird
kurz ein „Punktsystem'*' genannt In besonderen Fällen, nämlich wenn P
mit einer Ecke der genannten Dreiecke zusammenfällt, enthält ein Punkt-
system nur resp. 12, 20 oder 30 Punkte.

. Der Grundgedanke des Cap. II ist der, dass dieselbe Kugel , auf weldie
die Polyeder projicirt sind, gleichzeitig als Träger einer complexen Varia-
bein z im Sinne Biemann's betrachtet wird. Die Beziehung zwischen der
Kugelfläche und der mit der Aequatorialebene zusammenfallend gedachten
complexen Ebene von z wird dabei durch stereographische Projection aus
einem der beiden Kugelpole, der zugleich ein Eckpunkt des betrefienden
Polyeders sein soll, hergestellt. Es ent8pricht dann jeder Drehung der
Kugel um den Mittelpunkt eine lineare Substitution, indem jeder Punkt £

übergeht in

, (d + ic)z — (b'-ia)

(b'\'ia)z -|- (d—ic)
Setzt man £* = -^ « so ist eine solche Substitution äquivalent mit

(Wir heben gleich hier hervor, dass die Einführung der homogenen Ver-
änderlichen j^i und z^ für die Folge von fundamentaler Bedeutung ist.)

Verlangt man noch, dass die Determinante der Substitution 1 sei, so
sind für jede Drehung die zugehörigen Constauten a^h^ Cy d bis auf das Vor-
zeichen bestimmt. Der Ikosaedergruppe entsprechen daher 120 Substitutio-
nen in je^p ^g, von denen immer zwei dieselbe Substitution in z liefern. Es
wird bewiesen, dass eine Gruppe von nur 60 binären Substitutionen in #|,
z^ , welche mit den 60 Substitutionen in z äquivalent wären , nicht existiren
kann. Bei Berechnung der 120 Werthe von a^ h^ c, d wird der Umstand
benutzt, dass nach Cap. I alle Substitutionen sich aus dreien (S, 2\ U) in*
ßammeDsetzen lassen, -» Ein ,, Punktsystem '^ ist definirt durch eine algebn^
ißche Oleicbang 60. Grades F{z) = 0^ 4ie \>Ä ^«a ?ß IYq^mAwwjJöäNsqämwä

nngeSüdert bleibt und anch durch eine homogeae Gleichung ^'^Cj, e^) ^ U
ersetzt werden kann. Diejenigen speciellen Functionen f^fs) resp, F(r, , 2^)1
durch welche die in C&p. I erwähnten Systeme von nur 12, 20 und 30
Punkten de&oirt werden, sind Potenzen gewisser Functionen der Orade 12,
^0 and 30, welche selbst durch die 60 (reap. 120) Ikosaederaubstitutionen
bis ftnf einen Factor ungeändert bleiben. Diese speciellen Functionen kön-
nen direct berechnet werden; doch lassen sich ans einer derselben, etwa
der Function iwölften Grades f{z, , z^), welche den Ikosaederecken entspricht,
H die Übrigen mit den Hilfsmitteln der In Varianten theo rie ableiten , wodurch
^■bngleicli der AnscbliUB an diese Disciplin erreicht ist. Jede Covariant« der
PPÜailren Form f[x,,Sj) wird nämlich offenbar ihrer Definition nach bel*den-
Jenigen linearen Substitutionen, welche f{s,,Zf) unverändert lassen, d. b.
aUo bei den Ikosaedersubstitutiooen, ebenfalls unverändert bleiben (abgesehen
von einem Factor). Nun sind die Hesse'sche Form von f (H) und die
Funktional determinante von H und f(T) solche Covarianten, die erste vom
Orade 2Ü, die letztere vom Grade 30; dieselben müssen also, gleich Null
gesetüt, eben jene vorhergenannten 20 Seitenmittelpunkte und 30 Kautenniit-
telpunkte liefern, da anschaunngsmässig keine anderen „Punktsysteme" von
nur 20 resp, 30 Punkten existiren. — Zwischen den drei Formen f, T, H
besteht eine identische Relation T' ^ -H'^+mSp. — Die Formen 60. Gra-
dee: p, 3" und H' multipliciren sich nun, wie der Veraucb zeigt, bei den
Ikossedersiibstitutionen immer alle drei mit demselben Factor (der hier sogar
gl«iclj 1, bei den analogen Formen der anderen regulären Körper jedoch im
Allgemeinen von 1 verschieden ist); daher wird jede Form A|p + ijH^ + ijT'
1 Pttr beliebige Wertbe der Constanten i, , i,, l^ auch nur um einen Factor
I s^indert werden und demnach, gleich Null gesetzt, ein Punktsystem liefern,
dieses Punktsystem ist zugleich das allgemeine, da jene Form, auch wenn
der Wertb von T' in H* und p aus der angegebenen Identitfit entnommen

^üd, immer noch einen wesentlichen (complexen) Parameter ~ enthält.

*^ anderer Weise ergiebt sich die Gleichung des allgemeinen Punktsystems
•offenbar auch dadurch, dass man den Quotienten von irgend zwei homo-
S^Oein linearen Functionen der Ausdrucke f\ H', 3" einem (im Ällgemei
'^^^'Qpleien) Parameter Z gleichsetzt. Jener Quotient ist dann zugleich i

K***"" ale Function von - oder s, so dass eine Gleichung 60, Grades
ht, deren Wurzeln zu jedem Wertbe von Z direct das zugehörige
System liefern, um die an sich willkürlichen Conetanten , welche aU
^*«fficicnten von /*, H', T' in dem genannten Quotienten auftreten, für
**ie weitere Behandlung des Problems zu fiiiren, wird die Forderung ge-
"tellt, dass den drei Gruppen der 12, 20 und 30 singulären Punkte re»P
^i« Wertbe oe, 0 and 1 des Parameters Z entspiecVteu «>Uiisa. 0\k
**»«fir roJlHtMudig bestimmte Gleichung 60. Grades Vn a, 4wt«»

ÖS Uistofücb- literarische Abtlieilang.

seche gleichberechtigten ibt, liufert in derselben Weise eine rational'*^
▼eute sechsten Grades der Ikosaedergleichuog. — Es wird schlies^li'''*'^
hingewiesen , dass die AnflCsung der nur von einem Parameter / s^H
gen Ikosaedergleicbung betrachtet werden kann aU eine Vemlijj-'iif'i^
der elementaren Aafgabe. die n" Wnrzel ans einer GrSssc 7, aun^iB
Die Gleichungen ersten bis vierten Grades lassen sich auf die Aoi;:.-^^
Warzelziebang redncii-en; es fragt sich, ob durch Adjnnctiou dci ^a^
irrationalitSt , d. b. dadurch, dass man die Berechnnng der \ ^^
Ikosaedergleicbnng ans dem gegebenen Werthe von Z als tii;- ^^
bare Operation betrachtet, auch die AnflOsung der Gleichi;!.. ^_^^^
Grades möglich wird. Für die Gleichung fDnften Oiadis i:; "

durch Aufstellung der Resolvcnten desselben Grades besondei'

Die Beantwortung der Frage, welche bejahend auafUlt, sowi'
und ausfUhrliche Discussion aller Verbindungen ewiecben '^
Gleicbnng fünften Grades und der Theorie des Ikosaeden^ '■' ■^•^^
Inhalt des zweiten Abschnittes. " "• "

In C'ap. V werden einige allgemeine Theoreme, weltl ■ ■"^■*

suchangen der vorhergehenden Capitel folgen, sowie gew'- — i««!"'
punkte angegeben, ans denen wesentliche Erweiteniniri^n «i^i^a**
Aufgaben sichtbar werden. Zunächst wird als charakti-r' -- .im i*^
der bisher discutirten Probleme diejenige anerkannt, 'ii: -v^^a^p«^
LCsuDg alle anderen durch a pr'im'\ bekannte lineare >'! .. .^^^^^
geben. Daraus ergiebt sich sogleich die Frage, ob ni' -^-^

liehe firuppen lineare Substitutionen einer Vernndcji, ■ ■ -

homogener VerSndcrlichen ;, und r^) und »»tapif . i..-. —

Gleicbnngssj'stemel existircn. Es zeigt sieb, daiis '"'■■ i, „ — , --^^
dass vielmehr die variier aufgerjtellteu Gruppen (cj-cIJkui^hmi^^h»— '

Oktaeder- und Ikosaedcrgruppe) und die aus dvuscuMM^^^-— '

einer neuen, linear von e abhängigen Ver&nderliclt^M^^^—- -

einzig mCglichen sind. Mit Hilfe dieses Sa|
alle algebraisch integrirliaren linearen Diffeni
nung anzugeben; denn zwei Partikular! Osunf
gleichung, sowie der Quotient derselben kAl
sollen, nur eine endliche Gruppe linearer Siilfl
dii-st-r folgt din-ct di<> Form d,T LÖ!^ul
Form der Difftrentialgleichungiii bt'stitnmt. ■
lassen nun eine Verallgcmi-inerung uacb zwei^
einander verträglich sind: i-s kann erstens i
mehrt und es können zweiten^- unendliche Gru]
gezogt-n werden. In beiden Kichtungen wird di
Unter den unindlicht^n Gnippi-n wird besonder*
ifodni/unct Jonen bestimmt, v(e\c\ie a\s ?.tȊ^NJ
trai'der-, Octaeiler-, Ikoaaci\rr(ii\itVu>in:w V^^i««

Receneiönen.

97

unsere Fuuttioucn s, uiiü s^, deren yuolieut z Jer Differentialgleichung
dritter Ordnnng genügt, seibat ger&deza Lösungen jener Difierentialgleich-
ang zweiter Ordnung. Letztere stellt sich daon als ein epecieller Fall einer
allgemeinen Differentialgleichung zweiter Ordnung dar, durch welche Rie-
mann'« /'-Functionen definirt sindj womH das letzte Ziel dieses Capitels
erreicht ist.

Das Cap. IV beschäftigt sich mit der Uotersuchung des algebraischen
Charakters der Ikosaedergleichung und der Aufstellung ihrer einfachsten
Resolventen, Jeder in der Ikosaedergruppe enthaltenen Untergruppe ent-
sprechen gewisse rationale Functionen von z, welche bei den zu jener Unter-
gruppe gehörigen linearen Transiformatlonen unverändert bleiben. Dieselben
stehen to demjenigen geometrischen Gebilde , welches (nach Cap. 1) hei den
Drebnngen der betreffenden Untergruppe in sieb übergeht, in einer ana-
logen Beziehung, wie die linke Seite der Ikosaedergleichung zum Ikosaeder.
Ist z. B. jenes Gebilde ein Ttrtraeder, so erhält man nach Cap. 1 eine zu-
goliärige Untergruppe von zwölf Drehungen, und dementsprechend dreifach
anendlich viel rationale Functionen zwölften Grades von z, welche sich
linear durch jede einzelne derselben ausdrucken lassen. Jede dieser Func-
tionen ninimt im Ganzen, d. h. bei sämmtlichen 60 Ikosaederdrehungeu,
fönf verschiedene Werthe an (weil die Untergruppe von zwölf Drehungen
«ioe von ftlnf gleichberechtigten ist) und genügt daher einer Gleichung
fQüflcn Grades , deren Coefficienten rational von Z abh&ngen — Untersucht
■nan statt der Gleichungen die zugehörigen Formenprobleme , so findet man
J^er Untergruppe entsprechend gewisse Formen, die gleich allen rational
nnd ganz aus ihnen zusammengesetzten die Eigenschaft besitzen, bei sämmt-
l'chen Substitutionen der Untergruppe iinverBndert zu bleiben. Dieselben
&Uhen zu dem geometrischen Gebilde, welches die Unter^^ruppe definirt, in
^fialoger Beziehung, wie die früher mit f, E., T bezeichneten absoluten
invarianten «uni Ikosaeder, Speciell für die bereits betrachtete Untergruppe
*oa «wölf Substitutionen genügt jede solche Form wiederum einer Gleichung
fßnflen Grades, deren Coefßcienteu rational aus f, H, T zusammengesetzt
'^üui. Von den so gewonnenen Gleichungen gelangt man alsdann (durch

PI« Operation, auf die hier nicht weiter eingegangen werden soll] sehr
luicU wiederum xu rationalen Resolventen fünften Grades der Ikotiaeder-
^chnng selbst. Unter denselben heben wir eine besonders hervor, die
***8enannt8 „Hauptreaolvente", welche später im zweiten Abschnitte des
Buehes eine grosse Rolle spielt. Üharakteristisch fUr dieselbe ist da» Fehlen
«et vierten und dritten Potenz der Unbekannten ; übrigens entbillt sie noch
'Wei willkürliche Parameter m und n, nnc|. ihre Wnrzeln haben die Form
^-v-|* H.M.f, wo n und ii gewisse l^j^/fH^HH^S^ß Jf$^ If Biod , welche
"^i den Ikosaedersubstitutionen glq
. — Die zweite der in Cap
r am nehn Drehung

100 Historisch -literarische .Abtheilung.

von Her mite und für diejenige Jacob! 'sehe Gleichung mit einem wesent-
lichen Parameter, welche Kronecker als Besolvente der allgemeinen
Oleichnng fünften Grades aufgestellt hatte, von diesem selbst gelöst worden.

Inzwischen wurde (1861) der algebraische Theil des Problems, auf den
sich von nun an das Hauptinteresse richtet, von Kronecker schfirfer pri-
cisirt. Abel hatte folgenden Satz bewiesen: „Wenn eine Gleichung alge-
braisch auflösbar ist, so kann man der Wurzel allezeit eine solche Form
geben, dass sich alle algebraischen Functionen, aus welchen sie zusammen-
gesetzt ist, durch rationale Functionen der Wurzeln der gegebenen
Gleichung ausdrücken lassen/' An dieser Forderung will Kronecker auch
bei Behandlung der nicht algebraisch auflösbaren Gleichungen festhalten
und verlangt demnach, dass nur rationale Functionen der gesuchten Wur-
zeln als neue unbekannte eingeführt, mit anderen Worten, dass nur ratio-
nale Resolventen der gegebenen Gleichung aufgestellt werden sollen. Dies
ist des Näheren so zu verstehen, dass die resolvirende Function, wenn sie
allein durch die Wurzeln der ursprünglich gegebenen Gleichung ausgedrückt
wird (indem die Coefficienten der letzteren, wo sie etwa noch vorkommen,
überall durch die symmetrischen Functionen jener Wurzeln zu ersetzen sind)
rational in jenen Wurzeln werden muss. Dieser Bedingung genügt z. B. die
Quadratwurzel aus der Discriminant« , obgleich dieselbe, durch die Coeffi-
cienten der vorgelegten Gleichung ausgedrückt, in irrationaler Form auf-
tritt. Kronecker findet, dass von dem neuen Gesichtspunkte die I878
von ihm selbst angegebene Reduction der drei Parameter, die in der Besol-
vente sechsten Grades auftreten, auf einen einzigen unzulässig ist, wfthrend
eine Reduction auf zwei Parameter ohne Verlassen des vorgeschriebenen
RationalitAtsbereichs noch ausführbar bleibt. Eine Reduction auf weniger
als zwei Parameter ist nach Kronecker unter der angegebenen Bedingung
überhaupt unmöglich. In der That treten auch bei der Reduction auf die
Bring'sche Form mehrfach Irrationalitftten , welche nicht die genannte Be-
dingung erfüllen, sogenannte „accessorische'^ Quadrat- und Cubikwurzeln auf.

Die Frage, welche Verf. stellt und in den folgenden Capiteln unter-
sucht, ist nun folgende: In welcher Weise steht die algebraische Theorie
der Gleichungen fünften Grades in Verbindung mit der Theorie des Iko-
saeders, und wie Ittsst sie sich auf Grund der letzteren im Zusammenhange
entwickeln? Bei Untersuchung dieser Frage kann die Forderung Krön-
ecker's nicht festgehalten werden; denn die Ikosaedergleichung enthttlc nur
einen einzigen Parameter Z, eine Beziehung derselben zur allgemeinen
Gleichung fünften Grades kann sich daher, infolge des genannten Kron-
ecke raschen Satzes, nicht ohne Einführung accessorischer Irrationalitftten
ergeben. Dagegen wird untersucht werden können (und diese üntersnohiuig
führt schliesslich auf Begründung des Kronecker^schen Satzes), dvreli
welche kleinste Anzahl aooea&oräoViei Itt^itAonalitSten die Besiehmg sv
Ikasaedertbeorie herstellbar ist und b\« i\\ "n e\^\i^T ^\»^\\^ ^\%

an diese Theorie ohne BenutzuDg eiser nccessoriscben Irrationalität geführt
«r«rden kann. Gb /.eigtsicb, daas eine äccesBorische Quadratwurzel
unter allen üintjUindeii aasreicht (so lange es sich nur um Bestimmung der
VerhSltoisse der fünf Wurzeln handelt, waa in der Folge immer an-
genomnien wird), und dass speciell bei den ., Hauptgleichungen ", d. h. Bol-
chni. welche die Tierto und dritte Potenz der Unbekannten nicht enthalten,
mvcb jene fortfallt. Die St«lie. an welcher die acces5crische Quadratwurzel
anvermeidlicb wird, liegt also, wofern mau an dem Gedankengange von
Bring festhHlt, in der Reduction der allgemeinen Gleichung auf eine Uanpt-
gleichilug durch Tschirnh&ue-Transformationen, während der Fortschritt
gtgen Bring durin beätebt, dasa Letze rer zur weiteren TransFormalion der
Htiiptgleichung in eine solche mit nur einem weaentlieben Parameter neue
nececeorische Irrationalitäten einfuhren zu müssen glaubte. Folgt man an*
•lererseits dem Gedankengange Kronecker'a und leitet zunächst die Beeoi-
nnle sechsten Grades mit drei Parametern , welche eine J a c o b i 'sohe
Gloicbnng ist. ab, so wird die Benutzung der accessorischen Quadratwurzel
miter hinausgeschoben , sie tritt nämlich algdann erst bei der Beduction
jsniir Resolvente auf die Ikosaedergleiehang auf; es ist dies aber, wie Verf.
ragt, nur eine andere Anordnung derselben Schritte.

Im Einzelnen sind die Untersuchungen des zweiten Abschnittes folgeu-
dttnasaen gegliedert. Der historischen üebersicht in t'ap I folgen in Cap. 11
^metrische Interpretationen der in der Gleichimgstheorie auftretenden Be-
üiiSe. speciell der Tschirnhaua-Transformation und der Resolvente, nebst
"iaem für das Spätere wichtigen Excurs über die Elemente der Liniengeo-
■nctrie und die Flächen zweiten Grades. Auch die folgenden Capitel sind
durchsetzt von geometrischen Deutungen, aus denen einige der folgenreich-
'^ Ideen, welche sich in abstrakter Behandlung gewiss nur schwer dem
^■iMinmenbange fügen würden , gleichsam von selbst und vollkommen fertig
Iwrvwgehen.

Cap. III behandelt die „Hauptgleichungen" fünften Grades, deren Zn-

^^tnmenhang mit der Ikosaedertbeorie auf einen Schlag dadurch hergestellt

*iri, dasM die fünf Wurzeln der gegebenen Gleichung (yu.y, . -■- y,) als

■*«iiUedercoordinaten. welche durch die Relation £yi^O verbunden sind,

*vlgefAiBt werden. Durch die Gleichung ij/,' = 0, welche neben der Bei»-

üeii 2^1 = 0 für die Hauptgleich on gen charakteristisch ist (indem sie das

bebten der dritten Potenz der Unbekti.nnten , wie jene das der vierten aue-

^ckt], ist alsdann eine Fläche zweiter Ordnung defimrt; Jedem Werth-

ijiUm der in der Hauptgleichung vorkommenden drei Cuefficienten a, ß, y

Mteprechen 120, und wenn die Quadratwurzel aus der Discriminante (V)

'WfalU noch gegeben ist, 60 Punkte der Flüche, welche aus einem der-

"'Wn durch die geraden Vertäu seh ungen seiner Coordinaten entstehen

*> tarajam^agehörige Punkte bestimmen immer iwev Ora\iY*iv 'S'iii;'^^

'^ geraJJinJgen Erzengenden der Fläche. DenVt man sitÄi n\Hi Ä\e ^»S^

102 Historisch - literarische Abtheilnng.

Schaftren geradliniger Erzeugender durch je einen variabeln Parameter l

m

definirt, welcher rational von den Coordinaten ^q, ... y^ abhängt, so ge-
nCigen bei geschickter Einführung des X immer 60 zusammengehörige Werthe
X geradezu der Ikosaedergleichung , wenn in derselben für Z ein gewisser
rationaler Ausdruck von a, ß, T', V gesetzt wird. Die Wurzeln jf^, ... ^4
hängen schliesslich wiederum rational von a, ßy 7, V und X ab (bis auf
einen gemeinschaftlichen Factor, dessen Werth sich unmittelbar aus der
Hauptgleichung selbst ergiebt). Hiermit ist die Reduction auf die Ikosaeder-
gleichung bewerkstelligt.

Cap. [V enthält im Wesentlichen die Theorie der Jacobi'schen Gleich-
ungen in ihrem Zusammenhange mit dem Ikosaeder. Als Ausgangspunkt
wird indessen nicht jene Gleichung selbst gewählt, sondern ein Problem,
welches sich aus den im V. Capitel ' des ersten Abschnittes angedeuteten
allgemeinen Ideen ergiebt und vom Verfasser kurz das Problem der A ge-
nannt wird. Aus zwei Reihen binärer Variablen X^ , X^ und X\ , X\ , welche
simultan den 60 Ikosaedersubstitutionen unterworfen gedacht werden, setzen
sich die drei symmetrischen bilinearen Formen

zusammen, welche entsprechend den Ikosaedersubstitutionen der X gewisse
lineare Transformationen erleiden. Auf Grund der Entwickelnngen des
ersten Abschnittes wird das vollständige System invarianter Formen der A
berechnet; dieselben entstehen, indem man aus den invarianten Ikosaeder-
formen in ^j, i^ durch mehrfache Wiederholung des in der Invarianten-
theorie üblichen Polarisationsprocesses neue Formen bildet, welche nach den
X und X' symmetrisch sind, und dann die A einführt. Man erhält so im
Ganzen vier invariante Formen A^ B, C^ D, deren letzte jedoch der Qua-
dratwurzel aus einem ganzen rationalen Ausdruck der ersten drei gleich ist
Es wird nun das Problem aufgestellt, aus den Grössen ./i, ^, C7, 2> die iQ-
gehörigen Ao> A, , A^ zu berechnen. Dasselbe führt einerseits zur Bildung
einer Besolvente sechsten Grades der A^ welche die Form der Jacob i*8chen
Gleichung mit den drei unabhängigen Parametern A^ B^ C hat, und ans
deren Wurzeln die A rational hervorgehen, sobald ausser A^ B^ C noch D
gegeben ist Andererseits lässt sich dasselbe Problem direct mit Hilfe der

Theorie des Ikosaeders lösen, indem zunächst der Quotient ~ Wurzel der

Ajj

Ikosaedergleichung ist, wenn in derselben Z durch eine gewisse rationale
Function der Grössen Ay B^ C^ D und der accessorischen Quadratwurzel YIL
ersetzt wird. Hiermit ist gleichzeitig auch die Reduction der allgemeinen
J a CO bi 'sehen Gleichung, welche als ein genaues Aequivalent dee Problems
der A betrachtet werden kann, auf die Ikosaedergleichung geleistet.

Cap. V enthält endlich die Auflösung der allgemeinen Gleichung fllnf-

teD Grades naeh zwei Methoden, iito\\c\i dxit^Vi ^urtLokführung enteu aaf

die in Cap. III behandelte Haaptg\e\cYi\iiig^ xmdi vv€\\«ii% «oi ^Aa>aKQM^\X

Kecensionen. 103

diacuürte Problem der Ä. Die erste Methode kann als eine Vereinfachong
der von Bring, die andere als eine Modification der von Kronecker her-
rührenden angesehen werden. Auf beiden Wegen begegnen wir der acces-
Eorischen Quadratwurzel. Das Buch schliosst mit dem Beweise des von
Kronecker 1861 ohne Beweis aufgestellten Satzes, dass ohne accessorische
InationalitSt die Reduction auf einen einzigen Parameter unmöglich ist.
Der Satz ergiebt sich hier als Folge einer im ersten Abschnitte (Cap. II)
klargelegten Eigenschaft des Ikosaeders, wonach keine Gruppe von nur 60
binftren Substitutionen existiren kann , welche mit der Gruppe der 60 nicht
homogenen Ikosaedersubstitutionen isomorph wäre.

München, Januar 1885. Ludw. Schebffer.

Si« daritellende Geometrie in organischer Verbindung mit der GFeometrie
der Lage. Von Dr. Wilhelm Fiedler. Dritte erweiterte Auflage.
I. Theil : Die Methode der darstellenden und die Elemente der pro-
jectivischen Geometrie. Leipzig 1883, B. G. Teubner. gr. 8^ 376 S.

Bei der grossen Verbreitung des vorliegenden Werkes, welches unstrei-
% das inhaltsreichste seiner Art ist, aber auch, namentlich für das tiefere
wissenschaftliche Studium , als bestes erscheint, dürfte es hier genügen, auf
die Ahftnderangen und das neu Hinzugetretene hinzuweisen.

Der bis jetzt erschienene erste Theil behandelt die Methodenlehre und
geht demgemSss bis S. 210 der zweiten Auflage; ihm sollen noch zwei an-
dere Theile, ^,die darstellende Geometrie der krummen Linien nnd Flächen''
^ ,,die constructive und analytische Geometrie der Lage" folgen.

Die wesentlichste Bereicherung ist in der Aufnahme der cyclographi-
^n Constructionen , anknüpfend an die Darstellung der oo^ Punkte des
BMimes durch dieselbe Anzahl von Kreisen der Bildebene, zu erkennen, wie
öe der Verfasser bereits in seiner Cyclographie (Leipzig 1882) gegeben hat.
^egen Weglassens dieser Theorie in der zweiten Auflage äussert sich der
VerÜEuser in seiner Vorrede jetzt folgendermasscn : „ Damals (beim Erschei-
^^ der zweiten Auflage. D. Ref.) glaubte ich noch an das baldige Erschei-
>^ des im Jahre 1826 von J. Steiner als nahe druckbereit angekündig-
ten Manuflcripts (von 25 — 30 Bogen) „über das Schneiden (mit Einschluss
der Berührung) der Kreise in der Ebene, das Schneiden der Kugeln im
^me und das Schneiden der Kreise auf der Kugeliläche ", in welchem der
^f die Kreis- und Kugelgeometrie bezügliche Theil der Consequenzen von
der Einführung des Distanzkreises und der Benutzung der Centralprojection
^litwickeli gewesen sein müssten, und schloss alles dies von meinem Bache
^*< Seitdem ist durch die von der K. Preussischen Akademie der Wissen-
schalten veranstaltete Ausgabe ^^ Jacob Steiner's gesammeltA W«iW (^«Ae^
^S8J, 2Bde} ausser Zweifel gestellt worden, dfts% ^«aiu^fi^ ^^^VblVI

104 Historisch • literarische AbtheiluDg.

ans jener Epoche nicht mehr vorhanden sind. Ich habe infolge dessen
meiner „Cyclographie'' diesen Theil meiner Entwickelangen zunSchst selbe
stSndig und elementar dargestellt, konnte und wollte ihn aber als ei
wesentliches Stück der Ausgestaltung der Grundidee dieses Werkes nun auc
in diesem selbst nicht unterdrücken. Die §§ 7, 36, (36a) — (36 e) un-
eine Reihe von Bemerkungen des Ueberblicks zum Abschnitt B sind sein«
Einführung gewidmet und der zweite Band wird die Fortsetzung dies«
Anflbige bringen."

§ 7 bringt die Elemente. Jeder Punkt des Raumes wird, wie
Centrum der Projection selbst, bestimmt durch seinen Distanzkreis, jemr.^s
sehen mit dem Sinne der ührzeigerbewegung, oder dem entgegengesetztere^ ;^i
je nachdem der Punkt auf dei^elben oder der dem Centrum abgewandt^iMk^j
Seite der Bildebene sich befindet. Zwei Kreise bestimmen vier Gbrade od» .^Hei
zwei lineare Kreisreihen, je nachdem man ihnen einerlei oder enl
gesetzten Drehungssin beilegt. Die Spuren sind der Süssere oder inn(
Aehnlichkeitspunkt oder Nullkreis. Die Geraden theilen sich in zwei Paa
von denen jedes Paar dieselbe Spur hat. Ebenso bestbnmen drei Kre^:3de,
acht Ebenen oder vier planare Systeme paarweise mit den AehnlichkeS. ts-
axen als Spuren.

Alle Kreise, welche einen gegebenen berühren, sind Bildkreise ei:^ae«
gleichseitigen Rotationskegels mit zur Tafel normaler Axe und dem geg^'b«-
nen Kreise als Basis, oder, ohne Festsetzung des Sinnes vom Bildkreise, -^ron
den beiden möglichen Kegeln dieser Art. (unter einem gleichseitigen Kegel ist
hier der Rotationskegel von der Oeffnnng 45^ verstanden, im Gegensatz ^^
Herrn Schröter, welcher einen Kegel gleichseitig nennt, wenn ihm
liebig viele rechtwinklige Trieder eingeschrieben werden können.) Bedu
sich der gegebene Kreis auf einen Punkt, so stellen alle Kreise durch 43^**
selben den gleichseitigen Rotationskegel mit jenem Punkte als Spitze dt^^^-

In den §§ (36) und (36 a) werden die Brennpunktseigenschaften <B^r
Kegelschnitte abgeleitet.* Die zu untersuchende Curve ist der Schnitt cE^s
über dem Distanzkreise stehenden gleichseitigen Rotationskegels, mit
Centrum als Mittelpunkt und einer durch Spur und Fluchtlinie gegeben
Ebene. Der Augpunkt ist ein Brennpunkt. Aus der Bemerkung,
durch einen solchen Kegelschnitt noch ein zweiter gleichseitiger Rotatioi^^^'
kegel (für die Parabel wird dieser zur Ebene unter 45® gegen die Bü
ebene geneigt) geht, entspringt der Nachweis des zweiten Brennpunl
und die Entwickelung der hierher gehörigen Theile der Kegelschnittthear^ *•

Die Untersuchung der Kreisbüschel und Kreisnetze führt in den §§ (36c}9 ^
zu den gleichseitigen Hyperbeln und Hyperboloiden mit einer zur Ta^*^
senkrechten Axe, deren Bilder sie sind. Der obenerwähnte Rotaüonekeg^'*

* In den Quellen und L\teTatuTuacVvN<ie\%wii\^cti wA ^^\\^\— QK«) i
^Jiffmlicb durch (S6) — (35e) bezeichnet.

antctpreobend deu Kreisen durch einen Punkt, dem „konischen Netze", ist
eii\ Speciklfall; er bildet den üebergang zwischen den beiden Arten von
Hyperboloiden,

Ans zwei Kreisen eines BQschels in Verbindnng mit dem Kreise eineü
Aefanlicbkeitäpanktes ab Mittelpunkt, dem „Potenzkreise", wird dag Pnncip
der reciproken Radien (Inversion) gewonnen, welches dann weiter xnr Ableitung
von Sätzen über Systeme von Kugeln, insbesondere Qber die stureograpbisclic
ProjectioD verwerthet wird. In § (36e) wird schliesslich noch einmal auf den
Kegelschnitt im Räume zurückgegriffen und dargelegt, dass dorch ihn ausser
den iwei gleichseitigen Kegeln noch unendlich viele llotationsbyperboloide
geben , wodurch dann der Zusammenhang der Theorie der Kegelschnitte mit
jener der Kreisnetze herbeigefUhrt ist. Je zwei Hyperboloide mit parallelen
As;mptot«Dkegeln schneiden sich ausser in einem unendiich fernen Kegel-
schnitte noch in einem zweiten Kegelschnitte, insbesondere also die in Be-
lr»cbt kommenden gleichseitigen. —

Eine Zugabe anderer Art enthalten die §§ 6* und 54'. Schon im
Jahre 1879 hatte der Verfasser den Gegenstand derselben, die Centralpro-
jection, in der IV. setner „Geometrischen Mittheilnngen" in Bd. 24 der
^ierteljabrsschrift der Züricher natnrforschenden Gesellschaft, dahin verallge-
'neinert, dass er an Stelle der onendlich fernen Ebene eine beliebige Fixebene
^ itn Endlichen setzte, deren Punkt« im Bilde dann dte Rolle der Flucht-
punkte spielten. Daraus ergaben sich dann durch Annahme eines unendlich
lernen Centrums ungezwungen die Parallelpro jectionen mit einer Bildebene
(»ergl. ibid. S. 213 und §43 vorliegenden Werkes).

Eine wertbvolle neue Beigabe sind sechs lithographirte Tafeln. Auf
l'&f. I, II, III sind Büschel and Scbaaren von Kegehchnilten dargestellt.
Alle HauptfSUe sowohl hinsichtlich des Realität, als des ZusammenrUckens
«er Fundamentalelemenle sind zur Anschauung gebracht nnd zwar stets
•Xiter Angabe des Mittelpunktskegel Schnittes bei jedem Büschel nnd der
I^bie der Mittelpunkte bei jeder Schoar. Taf. IV giebt in drei Figuren die
Typen der dreiflächigen Abstumpfung der dreiseitigen körperlichen Ecke ab
"*feg des Satzes: Wenn drei Dreiecke für dasselbe Centrum centrisch col-
' '"»lear Bind, eo gehen die Collineationsasen durch einen Punkt Auf Taf. V

*'st die Construction der acht Kugeln, welche drei gegebene berühren, in
orthogonal projection mit einer Fixebene U durchgeführt. Taf, VI giebt die
Oaretcllung eines Krystalls in rechtwinkliger nnd allgemeiner Axonometrie
*i<id in Centralproject.ion , Kur Vergleichung der Wirkung der nach diesen
^^^ Methoden gewonnenen Bilder.

^^^L Die nbrigen Erweiterungen haben ihren Grund zum Thcil in einer

^^Htr&iseren Ausführlichkeit des Te;(tes und resumirenden Scblusxbetrach taugen
^^^Bka Ende verschiedener Capitel, zum Theil in der Vermehrung der Dabtr-i
^^^Beispiele; da« Wscbsen der Seitenzahl von 2\0 aut ^"k^ ui&g äp<*
^^KtaA mr die Menge des Neugebotenen geben. VJ« ittVireate

106 Historisch -literarische Ahtheilnng.

In § 4 ist die Theorie der Theilungspnnkte und des Theilungskreises,
ihrer Wichtigkeit ftlr die praktische Perspective entsprechend, mehr hervor-
gehohen.

§ 15 soll dem Literatnryers^ichnisse nach eine neae Construction füi
entsprechend gleiche Strecken in ~/\ Reihen enthalten. Bef. findet nor den
algebraischen Ausdruck ftlr dieselben, wie in der zweiten Auflage.

§ 18 enthält Relationen, welche sich auf die zu den Doppelelementeo
in y\ Strahlenbüscheln symmetrischen Elemente und die Rechtwinkelpaarc
beziehen. Eine besondere Figur mit sfimmtlichen benutzten Bachstabeo
dürfte die üebersicht wohl sehr erleichtern.

§ 20, 14 enthält eine zweckmässige Construction der Involution aot
zwei einander entsprechenden Elementenpaaren mit Hilfe des vollständigen
Vierecks, § 35, 8 eine solche des Krümmungshalbmessers eines Kegelschnitte«
im Genre der Pascal-Brian chon 'sehen.

§ 53 — der orthogonalen Projection angehörig — führt die Affinitäts-
axen als Doppelstrahlen 7\ Strahlenbüschel auf* u. s. w.

Die folgenden Theile dürften, sofern der Schluss vom Bekannten aui
zu Erwartendes gestattet ist, ebenfalls viel des Interessanten bringen.

Hannover. Dr. Carl Rodenbbro.

Die Elemente der projectivischen Geometrie. Von Dr. Emil Wbtr , o. 5
Professor an der k. k. Universität Wien. Erstes Heft: Theorie der
projectivischen Grundgebilde erster Stufe und die quadratischen In-
volutionen. Mit 58 Holzschnitten. Wien 1883, Wilhelm Braumüller.

Das Werk ist in erster Linie für die Hörer der Vorträge des Verfassers
bestimmt, wird sich aber voraussichtlich durch seine Klarheit und durch-
weg wissenschaftliche Strenge auch weitere Kreise erschliessen.

Folgende Üebersicht des Inhalts wird den Lehrgang charajcterisiren.

Einleitung. Perspectivische Lage der geometrischen Grundelemente.
Eintheilung der Grundelemente.

I.Capitel: Bestimmung der Elemente der Grundgebilde erster
Stufe. Theilverhältnisse in den Punktreihen, im Strahlen- und Ebenen-
büschel. Harmonische Elemente. — II. Capitel: Das Doppelverhält-
niss. — m. Capitel: Vollständige Figuren. Harmonische Eigenschaften
des vollständigen Vierseit« und des vollständigen Vierecks. — IV. Capitel:

* Ich benutze diese Gelegenheit, um eine Ungenauigkeit in meiner RecensioD

von Beu8chle*8 „Deckelementen** za berichtigen. Daselbst hatte ich nui^ die

Affinitätsaxen , d. h. jene Geraden, deren ProjeciioDen sich decken, als bekannt

bezeichnet In der That finden sich aber schon in der zweiten Auflage des vor-

liegenden Werkes die übrigen üecke\emenVÄ, -^icwi wQLOcvTi\^\.\Tk\ViT««^rincipiellen

Bedeutung erwähnt. Vergl. §§ 46-, 41,io,u\ 4^,v, ^Q,%,v, iiW^\^^.

Recen?ionen. 107

Die Stttze von Carnot und Ceva für ebene und rSumliche Polygone. —
V. Capitel: Die perspectivische Raumansicht. Betrachtung der unendlich
fernen Elemente. — VI. Capitel: Reciprocitätsgesetz und Elementenbestim-
mung in den Qrundgebilden höherer Stufe. — VII. Capitel: Perspectivische
Oebilde. — VIII. Capitel: Projectivische Gebilde. — IX. Capitel: Aehnliche
und congruente Gebilde. — X. Capitel: Conlocale projectivische Gebilde.
Doppelelemente. Die unendlich fernen Kreispunkte. Der imaginäre Kugel-
kreis. — XI. Capitel: Der Kreis. Doppel verhältniss von vier Punkten und
Tangenten. Polareigenschaften. Kreisvierecke. Mittelpunkt und Durchmesser.
— XII. Capitel: Die Involutionen. — XIII. Capitel: Allgemeinere Auffassung
der Projectiyität. Das Doppelverhttltniss , ausgedrückt durch Werthe eines
eindeutigen Parameters. Zwei Projectivitäten auf einem Träger. — XIV. Ca-
pitel: Cyklische Projectivität. — XV. Capitel: Harmonische Mittelpunkte
eines Tripels. Harmonische Mittelpunkte ersten und zweiten Grades und
deren Verwandtschaft. Harmonische und äquianharmonische Quadrupel. —
XVI Capitel: Rechnungsoperationen mit Theilverhältnissen.

Der Verfasser wird sicher im Vortrage nicht versäumen, die Studiren-
den auf die späteren Anwendungen der behandelten Beziehungen zwischen
den Grundelementen aufmerksam zu machen, um damit zunächst eine un-
gefähre Vorstellung ihrer ausserordentlichen Wichtigkeit den Anfängern bei-
zubringen. Einige diesbezügliche Worte im Buche würden sicher geeignet
sein, das Interesse des Lesers an der Sache bedeutend zu erhöhen.

Ein paar Kleinigkeiten , die uns aufgefallen sind , wollen wir nicht un-
erwähnt lassen.

Auf S. 5 wird der Raum irrthümlich als dreidimensional , auch in Bezug
auf die Gerade als Raumelement angeführt. Die dortigen Auseinandersetz-
ungen über die Zahl der Elemente bedürfen einer Correctur.

Die Methode zur Herstellung der perspectivischen Lagß eines Strahlen-
büschels und eines ihm projectivischen Ebenenbüschels (S. 74) möchten wir
nicht adoptiren. Es wird zu dem Endzweck ein Ebenenbüschel construirt,
von dem drei (und dann alle) Ebenen dieselben Winkel miteinander bilden,
wie die entsprechenden Strahlen des Strahlenbüschels. Hierbei ergiebt sich
die Axe des gesuchten Ebenenbüschels als Schnittlinie zweier Kegelflächen
zweiter Ordnung, welche eine * Erzeugende gemein haben. Aber diese Flä-
chen sind noch gar nicht behandelt, und es ist insbesondere nicht einzu-
sehen, dass eine Axe existirt. Diese Beweise könnten allerdings nach-
getragen werden , aber der üebelstand einer unbequemen constructiven Ver-
wendbarkeit der Methode würde bleiben. Das bekannte Verfahren mit Be-
nutzung der entsprechenden rechten Winkel ist übrigens ja einfach genug.

Hannover. Dr. Carl Rodekbero,

108 Historisch - literarische Abtheilung.

Die Elemente des graphitohen ReehnenB, mit besonderer Berücksichtigong
der logarithmischen Spirale. Eine Anleitung zur Constmction alge-
braischer und transcendenter Ausdrücke für Bau- und Maschinen-
techniker, sowie zum Gebrauche an höheren Gewerbeschulen. Von
Anton Steinhäuser, k. k. Professor an der Staatsgewerbeschule in
Wien. Wien 1885, Alfred Holder. 8 Bogen gr. 8^. Preis 2 Mk.
80 Pf.

Der Herr Verfasser behandelt in dem vorliegenden Werkchen unter der
Voraussetzung elementarer mathematischer Kenntnisse die Grundoperationen
des graphischen Rechnens in klarer, leicht verständlicher Sprache. Derselbe
geht davon aus, dass eine Zahl durch das Verbältniss zweier Strecken dar-
stellbar ist, führt die Multiplication , Division u. s. w. mit Hilfe eines recht-
winkligen Axenkreuzes durch, giebt eine recht praktische Construction für
das Ausziehen dritter Wurzeln, verwendet zum Ausziehen beliebiger Wur-
zeln die Potenzcurven von Joseph Schlesinger. Hierauf entwickelt er
die Operationen mittels der logarithmischen Spirale, was nicht, wie ge-
wöhnlich, imgenügend, sondern sehr eingehend auf das Wesen der Curve
geschieht, indem er, unter Ausschluss höherer analytischer Hilfsmittel,

seinen Auseinandersetzungen die Gleichung ^ = 6^^ zu Grunde legt, wobei
b den nach einer Drehung um 180^ auf Qq folgenden Fahrstrahl bedeutet,
abgesehen von der Krümmung, die hauptsächlichsten Eigenschaften dieser Curve
zuerst durchsichtig erläutert Die Spirale wird sodann in verschiedener Weise
verzeichnet, ohne specielle Bedingung, bei gegebenem Längenverhältnisse
zweier um den Polarwinkel n dififerirender Leitstrahlen, durch Berechnung
der Fahrstrahllängen für gegebene Polarwinkel und Auftrag dieser Längen
mittels des Tmnsversalmaassstabes. Darauf wird das graphische Rechnen mit
dieser Curve vorgeführt. Ein weiterer Abschnitt ist den arithmetischen und
geometrischen Reihen erster Ordnung gewidmet, im letzteren Falle wieder
auf die logarithmische Spirale zurückkommend, und der Zinseszinsenrechnung.
Hieran schliesst sich die graphische Darstellung von Verhältnissen und Pro-
portionen. Die Auflösung der Gleichungen ersten und zweiten Grades mit
einer und mehreren Unbekannten fehlt nicht. Auch der Grundoperationen
mit imaginären Zahlen wird gedacht. Der Abschnitt über die goniometri-
sehen und cyclometrischen Functionen gegebener Winkel hat einen Anhang,
welcher sich mit der Rectification des Kreises, der Messung und Construc-
tion eines gegebenen Winkels mittels der Sehnenlänge befasst. Das Letz-
tere geschieht auf Grund der Formel a = 2r^my » wo a den fraglichen

Winkel, a die zum Bogen vom Radius r gehörige Sehne zwischen den

Winkelschenkeln bedeutet, und ist die erforderliche Sehnentabelle für einen

ffalbmesser von fünt Einheiten berecVmet. D^n Schluss des Ganzen bildet

das WjcbUgate über die Berechnung ebeneT Y\^\k^xi. ^'v^ kxL^^iÄswy^j, ^n^

V o»r getragen eil auf Muühaiiik etc. ist unterblieben, was bisber bei solchen
A.b'hendlungcn immer gescbah.

Der Herr Verfasser hat die Grundoperationen, indem er
nur wenige ConetructionsniethodeD, dem Zwecke entsprechend,
anführte, in mfiglicbst gedrängter und dabei durchsichtiger
ITorm gegeben. Dadurch ist der Lernende an der Hand seines
Buchpa in den Stand gesetzt, sich (auch ohne Lehrer) mit den
Blemeuten des graphischen Rechnens ohne unnützen Zeitnuf-
'wrand vertraut zu machen.

Lediglich um für diesen Gegenstand ein h&herea Interesse schon jetzt
ÄU erwecken, gestatte ich mir unter der Mittheilung, dass ich gegenwärtig
das geometrische Rechnen einer eingehenden Bearbeitung unterziehe,
^welche Arbeit ausschliesslich für Hochschulen bestimmt ist und in einiger
Zeit veröffentlicht werden wird, einige weitergehende Bemerkungen,

Das graphische Rechnen ist nur ein Theü des geometrischen Bechnens,
de» Rechnens mit Strecken und Punkten, nümlich derjenige Theü, welcher
sich mit den Operationen im einpoligen, linearen Strecken- oder Zahlen-
aysteme zu befassen hat. Bisher legte man dem graphischen Rechnen nicht
die Bedeutung bei, welche ihm in der That zukommt. Es handelt sich
nicbt mehr darum, nur den Inhalt einer gegebeneu Flöche oder eines go-
gebeosn einfachen Körpers graphisch zu bestimmen; vielmehr ist es unsere
Aufgabe, nach Methoden zu suchen, durch welche auf einfachem Wege
^osommengesetzte , gesetxmässige algebraische und transcendente Ausdrucke
'»eqnem graphisch berechnet werden können, indem dasselbe ein Hilfsmittel
»or Constrviction von Curven ist, für welche sich durch ihre Gleichungen
keine einfachen geometi'i sehen Gesetze angeben lassen. Derartige C'urren
sind z. B. zu verzeichnen, wenn es sich um die Constraction der Cnrven
<ler Bescbleunigungscentra sich bewegender Systeme handelt. Ein eiufachea
Beispiel hierfür findet der Leser in meiner Sammlung von Problemen fUr die
Ua.ljtischc Mechanik. Bd. I S. 412 flgg.

Auch die Gleichungen höheren Grades bedürfen der graphischen LSaung,

Herr Professor Rcusohle hat bereits eine graphisch ■ mechanische Methode

Kr Auflösung der numerischen Gleichungen veröffentlicht Derselbe benutet

P'U'aboliache und hyperbolische Curven, die auch bei dem graphischen Poten-

*"*»! «ine Rolle spielen, construirt aber diese Curven nach der gewöhnlichen

"•othode, was durch rein geometrisches Verfahren bequemer geschiebt, und

"'^tiit nur auf die reellen Wurzeln Rücksicht. Die gonio metrischen Relationen

spielen auch eine Rolle im graphischen Rechnen, welches an den Gleichungen

""•C** ±ß) = !nnacosß±eosnsinßaml y = a j/1 - ö' + 6 /l — a* sofort er-

"^^t werden kann. Herr Josef M. Solin bat einen Beitrag zur graphischen

1^ J^S"ration schon im Jahre 1872 geliefert. Das graphische Differentüren Q"

^Sffriren harrt seiner Ausbildung. Ist die Oleichnng 'J^^f*^! '^'>'**"

*l*en, dann ist es möglich, anch die Diff6tea\.\a.\i\'o.(i\\ftii\*« li »

110 Historiscb- literarische Abtheilung.

die gauze Curve durch weitere Curven darzustellen, Curven für ihre Tangen*
t«nlftnge» NormalenlKnge u. s. f. zu verzeichnen, wodurch namentlich der
Anfänger ein klares Bild von dem Wesen der fraglichen Function erhKlt, wae
leicht auf arithmograpbischem Wege geschehen kann.

Heidelberg, im Februar 1885. Ferdinand Kraft.

Lehrbnoh der ebenen nnd sphärischen Trigonometrie mit Anwendungen
auf praktische Geometrie und sphärische Astronomie und zahlreichen
Uebungsbeispielen Zum Gebrauch in höheren Lehranstalten und
beim Selbstunterricht bearbeitet von E. Hammer, Professor am kgl.
Polytechnikum in Stuttgart. Stuttgart 1885, Verlag der J. B. Metz-
ler'schen Buchhandlung. X, 312 S.

Wenn wir das uns vorliegende Buch geradezu als ein Musterwerk be-
zeichnen , dem wir die weiteste Verbreitung wünschen und hoffen , so möch-
ten wir diesen Aasspruch unserer innigsten Ueberzeugnng nicht gern wieder
einengen. Wir fürchten aber auch eine solche Auslegung nicht für den
Zusatz, den wir beifügen, die höheren Lehranstalten, an deren Schüler und
Lehrer Herr Hammer sich richtet, seien doch wohl solche, welche ttber
den sogenannten Mittelschulen stehen. Studirende an Universitäten und
Polytechniken, das sind nach unserem Dafürhalten die richtigen Leser für
diese Trigonometrie, welche die darin herrschende Vollständigkeit, die
Strenge der angewandten Beweisführungen, die Vortheile der gelehrten
praktischen Bechnungs Vorschriften zu würdigen im Stande sind. Wende man
uns nicht ein , diese jungen Leute hätten Anderes zu than , als Trigonometrie
zu lesen. Einer gewöhnlichen Schultrigonometrie werden sie allerdings ihre
Zeit nicht widmen, aber so gut Vorlesungen über Trigonometrie — wir
sprechen aus eigener Erfahrung — Zuhörer finden können, ebenso gut wird
es dem Buche des Herrn Hammer nicht an Lesern fehlen, wie wir sie
bezeichneten. Sie werden sich nicht daran stossen , dass S. ^8 dem directen

et (t

Nachweise des Satzes, dass tg^ und cotg -^ stets dasselbe Vorzeichen wie
sina haben, eine indirecte Ableitung der Gleichung tg-^.^=

2 sina i-^cosa

vorgezogen ist, bei welcher die Zweideutigkeit einer Quadratwurzel vernach-
lässigt ist, beiläufig der einzige Verstoss gegen die Strenge, der uns auf-
gefallen ist. Sie werden auch den Luxus des Accents bei dem Namen
Legendre, so oft derselbe wiederkehrt, verzeihen. Sie werden dagegen
mit Vergnügen S. 23 den auf der Umwandlung geradliniger Coordinaten
in einander und in Polarcoordinaten beruhenden Beweis des allgemeinen
Additionatbeorema der Winkelfunctionen, sowie 8.211 die durchaus fthnlieh
gefäbrte allgemeine Ableitung der QT\mdg\Q\c\i\m^ ^«c ^^Wv^Oii^iii^^T^KtAa.

&i

Recensionen. 11t

meine kennen lernen. Verweilen werden sie bei dem ganzen 3. Capitel
des I. Abschnittes, das den goniometrischen Gleichungen gewidmet ist, ver-
weilen S. 97 flg. bei der ^laskelyn ersehen Regel, 8. 215 bei dem nicht
allgemein gütigen, aber sehr eleganten Beweis der schon erwähnten Onind-
gleichung der sphKrischen Trigonometrie mittels eines aufgeklappten Drei-
kants , verweilen bei den im 3. und 4. Capitel des III. Abschnittes ver-
einiglen Aufgaben aus der Geodäsie und Astronomie.

IVo der eine oder andere Leser noch ausserdem besonderes Vergnügen
empfinden mag, das beruht ja auf persönlicher Geschmacksverschiedenheit,
aber Vergnügen dürfen wir Jedem versprechen , der mit diesem Buche sich
näher bekannt macht. Cantor

Die Xlemente der Arithmetik als Vorbereitung auf die Fanctionentheorie.

Von Dr. Max Simon, Oberlehrer am Ljceum zu Strassburg. Strass-
burg 1884, R. Schultz' & Comp. Verlag. VII, 77 S.

Ein dem Referenten geläufiger Satz , den er in verschiedenen geschicht-
lichen Untersuchungen bestätigt fand, ist der von der conservativen Kraft
der Unwissenheit. Anders ausgedrückt besagt derselbe , dasä es immer eine
verhftltnissmfissig lange Zeit gebraucht hat, bis wissenschaftlich Erkanntes
zoxKi Volkseigenthum wurde. Der Schule im Allgemeinen ist die Aufgabe
gestellt, diese Verbreitung des geistigen Vermögens Einzelner unter der
OeBammtheit zu vermitteln, und je besser die Schule wird, um so rascher
geht die Verbreitung vor sich. Ein treffendes Beispiel solcher Beschleuni-
^Qg bieten, wie wir mit einigem berechtigten Stolze rühmen dürfen, die
neuesten deutschen Lehrbücher der Geometrie wie der Arithmetik. Die
Schulgeometrie nimmt bereits Dinge in sich auf, die vor einem halben Jahr-
hundert noch wenigen Synthetikern bekannt waren, wenn sie überhaupt
dcbon entdeckt waren , und heute liegt uns eine Schularithmetik vor, welche
sich nicht scheut, auf Untersuchungen von solcher Feinheit einzugehen, dass
^^® Seither Universitätsvorlesungen vorbehalten blieben, und zwar solchen,
^cren Zuhörer die ersten Studiensemester schon hinter sich hatten. Hat
'^«T Simon damit einen glücklichen Griff getban? Giebt es Gymnasial-
Primaner — denn nur an solche Schüler ist selbstverständlich zu denken — ,
Welche flLhig sind , bei dem mit ihnen vorzunehmenden Wiederholungsgange
^ Zahlenlehre die strengen Beweise neuester Forschung zu verstehen und
denselben Interesse abzugewinnen? Wir sind zweifelhaft, wie die Erfahrung,
^0 allein berechtigt ist, auf diese Fragen zu antworten, sich darüber aus-
V^chen wird. Herr Simon selbst theilt wohl diese Zweifel. Daraufweist
^^ der Satt seines Vorwortes hin, das Heft sei bestimmt ,, hauptsächlich
i* GoUegen und Studirende, dann aber auch für die SohtUftt d«£ ^^Mscite»
**®^'' Laesen wir «her diese Jjetzteren bei äe\\A^ Wi >iAfvai»& "«t^ ^

112 Historisch -literarische Ahtheilung.

jede weitere Erfahrung abzuwarten, das kleine Schriftchen mit vollem Ein-
verständniss auf's Wärmste empfehlen. Stndirenden, welche Functionen-
theorie zu hören beabsichtigen, dürfte hier eine fesselnde und fruchtbare
Einleitung in die ihnen neue Lehre sich bieten, welche sie zugleich zum
Lesen der Abhandlungen von Herrn Georg Cantor vorbereitet und sie
auf dieselben hinweist. Wenn Herr Simon in einigem Gregensatze zu un-
serem Namensverwandten den Begriff der Grenze als ererbt und in diesem
Sinne als erfahrungsmässig gegeben und einer weiteren formalen Begrün-
dung nicht mehr bedürftig ansieht, so sind wir die Letzten, die ihm einen
Vorwurf daraus machen möchten. Einen Auszug aus einem selbst schon so
knapp gehaltenen Büchelchen zu geben ist kaum thunlich. Wir bemerken
nur, dass die Entwickelung bis zu der Lehre von den Exponentialfunctionen,
diese mit eingeschlossen, geführt ist, dass eiu Fortschreiten bis zur Lehre
von den Gleichungen höherer Grade nur als daran gescheitert bezeichnet
wird, dass noch kein elementarer Beweis des Gauss*schen Fundamental-
satzes der Algebra bekannt sei. Wir möchten einige Stellen als solche her-
vorheben , die uns ganz besonders zusagten. Dazu gehört der Name Theil-
einheit Nr. n (S. 17), unter welchem die Ergänzung der Beihe der ganzen
Zahlen* zur Reihe der Brüche ergänzt wird ; dazu die Betonung des verschie-
denen Sinnes, welchen wir mit dem Gleichheitszeichen verbinden (S. 19,
24, 42); dazu den Beweis des Satzes, dass die nicht ganzzahlige positive
n^ Wurzel einer ganzen positiven Zahl als Reihenzabl existire (S. 37 flgg.);
dazu das ganze Capitel XI von den quadratischen Gleichungen (S 45 — ÖO)
und in ihm der Ausblick auf Umkehrungsprobleme (S. 48). Nicht einver-
standen sind wir mit der Benennung der beiden Sätze (S. 10 und 30) als
Grundsätze. Grundsätze sind solche, deren Wahrheit als einleuchtend
angenommen werden muss, weil sie nicht bewiesen werden kann. In die-
sem Sinne ist es aber weder wahr, dass die neuen Zahlen jeweil den G^
setzen der alten unterworfen bleiben, noch dass zu gewissen Vorstellungs-
reihen, welche an sich keinen Abschluss haben, ein Abschluss zu denken
sei. Beides sind Forderungen, wenn man sie nicht geradezu Definitions-
sätze nennen will. Leicht zu verbessernde Druckfehler sind uns nur S. 35
Z. 11 und S. 45 Z. 17 aufgefallen. Cantor.

System der Arithmetik und Algebra als Leitfaden für den Unterricht in
höheren Schulen. Von Dr. Hermann Schubert, Oberlehrer an der
Gelehrtenschule des Johanneums in Hamburg. Potsdam 1885, Ver-
lag von August Stein. VIII, 222 S.

Wir haben in dieser Zeitschrift, hist.-lit. Abth. zu Bd. XXVIII S. 199

and zu Bd. XXIX S. 114, über eine in zwei Heften erschienene Sammlung

von arithmeÜBcben and algebraischen ¥mg«n \mdL kxA^gdSc^TL d«^ gleichen

Becensionen. 113

VerÜEtösers berichtet. Nicht minder lobend als wir, haben auch andere
Stinmen über jene Schrift sich geäussert, so dass an Herrn Schubert die
Aufforderung gelangte, der Einführbarkeit seines Buches an Lehranstalten,
an welchen andere Aufgabensammlungen in üebung sind , welche nicht ver-
drlLngt werden können oder wollen, dadurch Vorschub zu leisten, dass er
den Text von den üebungsbeispielen trenne. Der vor uns liegende Band erfGLUt
nun diesen Wunsch. Hat auch das Buch dadurch von der Eigenartigkeit ein-
gebflsst, welche ihm unserem Dafürhalten nach zur Zierde gereichte, so ist
doch Strenge und Fasslichkeit unverändert geblieben. Erstere dürfte noch
einen Zuwachs zu rühmen haben, da der neue Abdruck als eine zweite
Auflage zu betrachten ist, in ' welcher einzelne kleine Ausstellungen , welche
gemacht worden waren, Berücksichtigung gefunden haben. Cantor

IKe Determmanten, für den ersten Unterricht in der Algebra bearbeitet
Dr. H. Kaiser in Dieburg. Wiesbaden 1885, Verlag von J. F. Berg-
mann. 23 S.

Wir haben Bd. XXVIII, hist-lit. Abth. S. 77, eine kleine Schrift über

^Determinanten des gleichen Verfassers angezeigt, welche in ihren Anforde-

i*vuigen an den Leser schon recht niedrig gehalten war. Heute überbietet

^ich Herr Kaiser. Auf annähernd halbem Räume giebt er einige Sätze

Qber Determinanten, die kaum die Vorkenntnisse eines Gjmnasialtertianers

voraussetzen. Vielleicht steht uns noch ein Büchelchen i^Die Determinanten

«nr Einübung des Einmaleins in der Volksschule" von zwölf Seiten bevor!

Xm Ernste meinen wir, so sehr wir der Einführung der Determinanten in

^ea Gymnasialunterricht geneigt sind, der aber schon nicht mehr das Wort

^^ reden, da sie an den meisten Orten bereits erfolgt ist, man könne doch

*nch in der Popularisirung zu weit gehen. Den mathematischen Unterricht

deicht machen ist recht, ihn allzuleicht und mechanisch machen widerspricht

^^inen pädagogischen Zwecken. Cantor

Veuer Unterricht in der Schnellrechen- Kunst für technische, kaufmän-
nische und Schulpraxis in zwei Theilen. I. Theil : Methode der sym-
metrischen Multiplication , Division und Wurzelausziehung. II. Theil:
Anweisung zum Gebrauch eines auf diese Methode gegründeten
Bechenapparates. Von C. Jul. Giesing, Oberlehrer an der königl.
Realschule Döbeln. Döbeln 1884, Verlag von Carl Schmidt. VI,
92 S. und in demselben Verlage: C. J. Oiesing's Patent - Seohen-
apparat.

Symmetrische Multiplication nennt der VerfaaaQi waA\i dföiOL '^^'t^s&a^^
""^ Hem E. Gallati (1878) dasjenige Verfabi^n, ^AAä^ «^\iä\««ä Hsa.

^»^.|/*. Abthlg. d. ZeitBobr. f. Math. tt. Phy». XXX, 3. '^

114 Historisch - literarische Abtheilung.

VI. Säcnlum als Yajrdbhjäsa bei den Indem bekannt war und welches sich
in Europa 9 besonders in Italien bis in das XVI. Säcnlum zu erhalten wnsste.
Von da an verlor sich allmälig die üebung, und nur das Rechnen mit
Reihen, die nach Potenzen einer allgemeinen Grundgrösse fortschreiten,
wusste sich des alten Verfahrens zu erinnern, beziehungsweise erfand das-
selbe wiederholt, wenn es, {aQ + aiX+.,.),{hQ+h^x+,,.)^CQ + CiX + ,..
und Cfi = &n^ + ^M - 1 ^1 + • • • + ^ü ^A setzend , die Regel gab , man solle die
Glieder des Multiplicators in umgekehrter Reihenfolge auf einen besondem
Zettel schreiben und denselben unter dem Mnltiplicandus herschieben , dabei
die jedesmalige Productenstelle durch Vervielfachung der senkrecht unter
einander befindlichen Factoren und Addition ihrer Theilproducte bilden. In
dieser Form lernte Referent die auch an Zahlen geübte Methode in den
Vorlesungen über algebraische Analjsis kennen , welche er im Wintersemester
1849 — 50 bei Professor M. Stern in Göttingen zu hören Gelegenheit hatte.
Mag auch inzwischen durch Werke geschichtlichen Inhalts die Aufmerksam-
keit auch in weiten Kreisen auf jenes alte Verfahren gelenkt worden sein,
für die Schule blieb es so ziemlich verschollen, und wir würden uns freuen,
wenn Herrn Giesing's Buch und sein patentirter Rechenapparat — eine
Schiefertafel , in welcher ein Streifen verschiebbar ist und den vorerwähnten
besondem Zettel vertritt — zur allgemeinen Einbürgerung fahren möchte.
Herr Giesing lehrt nach der symmetrischen Multiplication auch eine sym-
metrische Division. Das ist das Verfahren, welches Fourier in seiner
Analyse des 6qnations d^termin^es p. 187 (Paris 1830) als geordnete
Division beschrieb und welches in ziemlich zahlreiche Elementarwerke, aber
wieder nicht in den Schulunterricht Eingang zu finden vermochte. Endlich
benützt der Verfasser seinen Apparat, also den Schieber, der das Wesen
desselben bildet, zur Ausziehung von Quadratwurzeln. Cantob

Beitrag sor analytischen Behandlung der TJmhüllungtcurven. Von Wilh.
Krimphopp. Coesfeld 1885. 16 S. 4^

Bei Anwendung Cartesischer Punktcoordinaten sehen wir in den auf-
einanderfolgenden Punkten einer Curve Durchschnitte gegebener linearer
Gebilde , bei Liniencoordinaten erkennen wir in demselben Berührungspunkte
mit je weil gegebenen Geraden. So ist an sich klar, dass das natürliche
Coordinatensystem zur Behandlung von ümhüUungsaufgaben nur das der
Liniencoordinaten sein kann. Herr Krimphoff hat sich in seinem Pro-
gramm deren bedient, und zwar der von Herrn Schwering erfundenen
und in einem bekannten Buche (vergl. Referat in hist.-lit. Abthlg. dieser
Zeitschrift Bd. XXIX S. 233) genauer auseinandergesetzten Abart. Herr
Krimpboff bat nun allerdinga nicht durchweg Schwering'sche Linien-
coordinaten an^^wandt, und wir rechneii Wim &\^%«& «\^N«t^\^TciX. vii« ^R^han

Receusionen. 115

Eleganz besteht nicht in dem unentwegten Verbleiben auf demselben Pfade,
äonijern in dem Benutzen des jedesmal Zweckdienlicbäten , mag auch ein
Wechsel der Hilfsmittel damit verbunden sein. So treten bei unserer Vor-
lage die Lioiencoordinaten nnr da, dann aber auch immer ein, mo die
Gleichung der Geraden, welche die gesucht« Curre nmbüUen soll, in Punki-
coordinsten bereits gegeben ist. Hauptaufgabe ist ihm die ÄufSndung nnd
DiscQssion der ÜmhÜlJungscnrven gewisser Sehnen centraler Kegelschnitte.
A.llein nebenbei beweist er noch eine ziemliche Anzahl interessanter Sätze von
Kegelschnitten selbst, eo den Joachim st hal 'sehen Satz (Salm on- Fi edler,
Kegelschnitte, S. 307 und nicht 327, wie irrig citirt ist), dass fUr die vier
Scbnittpankte einer Ellipse oder einer Hyperbel mit einem Kreise die Summe
der Argumente gleich Null sein muss. Herrn Krimphoff' s mehr alge-
braischer als geometrischer Beweis ist aehr hübsch. Die Correctheit des
Druckes Ifisst leider Manches zu wünschen übrig, und wenn die IrrthUmer
1 iD den Formein auch leicht zu verbessern sind , so stfiren sie darum nicht

[ "^'*"- CAKTOn.

^B^iUitaire des eciences math^matlqiieB et physiqnes Par M. Masiuilieh
^^ Marie, rcpetiteur de meeanique. exambateur d'admiasion i l'ficole

W polytechnique. Tome IV: De Deseartes ä Huj-gbens. 24ß pages.

W Tome V: De Hujghens i. Newton. 255 pages. Paris, Gauthier-

f Villars imprimenr ■ libraire. 1884.

Wieder sind *wei Bande des umfangreich angelegten Werkes in unae-
•^n Händen. DcBcartes, Cavalieri, Roberval, Fermat, Torri-
''ein, Wallis, Pascal, Huyghens, Newton sind die Namen derjenigen
'"Wiematiker, welchen der Verfasser den meisten Raum widmet, sich da-
''Orch in Debereinstimmnng mit der Anerkennung setzend , welche Zeit-
8«Qoeaen und Späterlebende diesen Mtonern mit Recht widmeten. Herr
^»rie hat — das geht aus der ganzen Darstellung zweifellos hervor —
''•e Schriften dieser Männer gelesen und, wie es bei seiner von Niemand
^^rkannten mathematischen Bedeutung nur natürlich war, auch zu verstehen
S^Wnsät, so viele Schwierigkeiten ihm manchmal der durchaus ungewohnte
"QrtJant bereiten mochte. Er ist nicht der Einzige, dem diese Schwierig-
*^it sich darbot, nicht der Erste, der sie überwand, und hatte er in der
'^Mathematisch -geschichtlichen Literatur neuerer Sprachen Rundschau gebalten,
^** htltte er vielleicht manche Mühe erspart. Im Ganzen finden wir nichts
*On den Worten znrückzunehaien , mit welchen wir Bd. XXIX, hist.-lit.
■^bthlg. S. 45, den Beriebt Über die beiden ersten BBnde schlössen: „Wir
hoffen auf Besseres in den späteren BSnden, in welchen Herr Marie sich
•tlit Schriftatellem zu beschäftigen haben wird , deren W«tk« w: ««.VW. |
'«MD bat."

116 Historisch -literarische Abtheilnng.

Bei dem Lesen der Werke eines Schriftstellers bilden sich fast un-
bewnsst Neigungen und Abneigungen, über die kaum zu rechten ist. So
hat Herr Marie, wie es scheint, eine grössere Vorliebe fdr Descartes,
als für Fermat gefasst, während Referent in entgegengesetztem Sinne
Licht und Schatten zu sehen sich gewöhnt hat. Dadurch sind unsere An-
schauungen von dem Charakter des Jesnitenzöglings Descartes einander
sehr widersprechend, die mathematische Grösse des Verfassers der analyti-
schen Geometrie bewundem wir gleichmässig. Mögen auch Vorstufen in
der analytischen Geometrie von Diesem und Jenem erreicht worden sein, ein
wirkliches Operiren mit den Gleichungen einer Curve hat vor Descartes
Niemand der Oeffentlichkeit übergeben. Andererseits hüte man sich aber
wohl , in dessen Geometrie ein Lehrbuch modernen Schnittes zu vermuthen,
ausgehend von der Gleichung der Geraden, daran anknüpfend die Gleich-
ungen des Kreises, des Kegelschnittes u. s. w. Descartes schrieb absicht-
lich scheinbar planlos, ungeordnet und dadurch schwer, weil, wie er in
einem Briefe sich ausdrückt, die Leute Dinge, die sie verstehen, nicht als
neu anzuerkennen pflegen. Diese mangelnde Ordnung macht es sogar dem
heutigen Leser schwer, sich zurecht zu finden, und Herr Marie hat viel-
leicht nur ihretwegen übersehen oder hervorzuheben vergessen, was eines
der wichtigsten Verdienste von Descartes ist: die Erfindung der Methode
der unbestimmten Coefficienten , gerade so, wie er bei Pascal die Nennung
der von diesem erfundenen Beweismethode von n auf n + 1 vermissen Ittsst.
Auch die Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung mussten, sei es bei
Pascal, sei es bei Huyghens, in einer annähernd den Weg dieser Er-
finder veranschaulichenden Weise zur Kenntniss der Leser gebracht werden,
und dass unter den zahlentheoretischen Arbeiten von Fermat gerade das
Theorem nicht genannt ist, welches die Unmöglichkeit der Gleichung x" = ^
+ jer" mit ganzzahligen Wurzeln betrifft, sofern n >2, während der Sonder«
fall n=3 (IV, 105 letzte Zeile) erwähnt ist, kann einigermassen erstaunen.

Wir haben nur diese grossen Lücken aufdecken wollen; kleinere Mängel
beabsichtigen wir nicht zu betonen, wozu der IV. Band sehr häufig, der
V. Band etwas seltener Gelegenheit böte. Es handelt sich weniger oft als
in den früheren Bänden um Unrichtigkeiten, vielmehr meistens nur um
Vernachlässigung bedeutsamer Dinge, und was Herr Marie an Auszügen
liefert, ist, wenn nicht immer vollständig, doch für die wichtigsten Schrif-
ten namentlich von Huyghens und Newton richtig. Cantor

Bibliographie

vom 16. Februar bis 30. April 1885.

Periodische Sohriften.

Sitzungsberichte der mathem.-physikal. Classe der königl. bayer. Akademie

der Wissenschaften. Jahrg. 1884, Heft 4. München, Franz.

1 Mk. 20 Pf.

. Jahrg. 1885, 1. Heft. Ebendas. 1 Mk. 20 Pf.

Sitzungsberichte der königl. sächs. Gesellschaft der Wissenschaften , roathem.-

phjsikaL Classe. 1884, I und II. Leipzig, Hirzel. 2 Mk.

Sitzungsanzeiger der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, mathe-

nouit.- naturwissenschaftl. Classe. Jahrgang 1885, Nr. l — 4. Wien,

Gerold. compl. 3 Mk.

Annalen des physikalischen Centralobservatoriums; herausgeg. von H. Wild.

Jahrg. 1883, Thl. 1 u. 2. Petersburg und Leipzig, Voss. 25 Mk. 60 Pf.
Archiv der Mathematik und Physik, begründet von Grünert, fortgesetzt

▼on R. Hoppe. 2. Reihe, 2. Theil (4 Hefte), 1. Heft. Leipzig, Koch.

compl. 10 Mk. 50 Pf.
Acta mathematica, herausgeg. v. Mfitag-Leffler. 5. Jahrg. 1885, 1. Heft.

Berlin, Mayer^^ft Müller. compl. 12 Mk.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, herausgeg. von C. Ohrt-

MANN. 14. Bd., Jahr 1882, 2. Heft. Berlin, G. Reimer. 6 Mk.

Astronomische Nachrichten, herausgeg. v. A. Krüger. 111. Bd. Nr. 2641.

Hamburg, W. Mauke Söhne. ' compl. (24 Nrn.) 15 Mk.

Fortschritte der Physik im Jahre 1879. (35.^Jahrg.) Redig. v. Nbbssem.

1. Abth. Berlin, G. Reimer. 8 Mk.

Die Fortschritte der Physik. Nr. 8, 1884. Köln, Mayer. 2 Mk.

Meteorologische Zeitschrift; der deutschen meteorolog. Gesellschaft, redig. v.

W. Koppen. 2. Jahrg.41885 (12 Hefte). 1. Heft. Berlin, Asher ft C.

compL 16 Mk.
Gezeitentafeln für das Jahr 1886. Hydrogr. Amt der kaiserl. Admiralitftt.

Berlin, Mittier. 1 Mk. 60 Pf.

Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. Bedig. voa

L. Fröhlich. 2. Bd. (Juni 1883— Jxmi 18%«^. ^Tk^^au^wfiw ^aÄ^wKs»^

Fnedlättder A 8. ^^^

118 Historisch • literarische Abtheilnng.

Reine Mathematik.

LüROTH, J., Ueber die kanonischen Perioden der AbeFschen Integrale.

München, Franz. 1 Mk. 20 Pf.

BiBRMANN, 0., Ueber die singalären Lösungen eines Systems gewöhnlicher

Differentialgleichungen. (Akad.) Wien, Gerold. 25 Pf.

Geoenbauer, L. , üeber das quadratische Reciprocitätsgesetz. Ebendas.

20 Pf.

, Zahlentheoretische Studien. Ebendas. 1 Mk.

Kraus, L., Die Functionaldeterminanten . Ebendas. 30 Pf.

Weiss, E., Entwickelungen zu Lagrange's Rever^ionstheorem mit Anwen-
dung auf die Lösung der Keppler'schen Gleichung. Ebendas. 60 Pf.
Hecht, W., Zur Integration der Differentialgleichung Mdx+ Ndif = 0.

Leipzig, Teubner. 1 Mk. 20 Pf.

Gegenbauer, L., üeber das Legendre-Jacobi'sche Symbol. (Akad.) Wien,

Gerold. 45 Pf.

loBL, B., üeber ein simultanes System dreier binärer cubischer Formen.

Ebendas. 1 Mk. 20 Pf.

Pick, G., üeber die Modulargleichungen der elliptischen Functionen.

Ebendas. 25 Pf.

Bork, H., Untersuchungen über das Verhalten zweier Primzahlen in Bez.

auf ihren quadratischen Restcharakter. (Dissert.) Berlin, Gärtner. 1 Mk.
Sbrret, A., Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Deutsch

bearb. von A. Harnack. 2. Bd. , 1. Hälfte: Integralrechnung. Leipzig,

Teubner. 7 Mk. 20 Pf.

Schubert, H., System der Arithmetik und Algebra. Potsdam, Stein.

1 Mk. 80 Pf.
Schendel, L., Grundzttge der Algebra nach Grassmann's Principien. Halle,

Schmidt. 2 Mk. 50 Pf.

ScHURio, R., Lehrbuch der Arithmetik. 3. Theil. Leipzig, Brandstetter.

6 Mk. 40 Pf.
BoBBK, K., üeber die Flächen IV. Ordnung mit einem Doppelkegelschnitte.

1. u. 2. Mitth. (Akad.) Wien, Gerold. l Mk. 60 Pf.

EscHSRiCH, G. V., Die Construction der algebraischen Flächen aus den sie

bestimmenden Punkten. Ebendas. 50 Pf.

Hoobvar, f., Bemerkungen zur Simp^on'schen Methode der mechanischen

Quadratur. Ebendas. 30 Pf.

Herbig, W., Lehrbuch der geometrischen Formen. Berlin, Herbig. 7 Mk.
Hoch, J., Lehrbuch der ebenen Geometrie. 2. Thl. Halle, Schmidt

1 Mk. 75 Pf.

Hamiibr, E.. Lehrbuch der ebenen ond sphärischen Trigonometrie. Statt-

gmri, MBtOer. 3 Mk. SO Fl

Pmscoka, f., Dantellende Geomebrie. 4. "Bd. ^Vsn, ^^t«t^\^ %\ Mk.

Bibliographie. 119

Hoffmann, G., Anleitung zur Lösung planimetriscber Aufgaben mit Bei-
spielen. Leipzig, Fues. 1 Mk. 40 Pf.
Lampe , E. , Geometriscbe und mecbanische Aufgaben zur numerischen Auf-
lösung von Gleichungen höherer Grade. (Diss.) Berlin, Gftrtner. 1 Mk.
Leboullbux, L., Trait6 M6mentaire des d^terminants. Genf, Stapelmohr.

2 Mk. 40 Pf.
Angewandte Mathematik.

Kraft, F., Sammlung von Problemen der analytischen Mechanik. 7. u.
8. Lief. Stuttgart, Metzler. 4 Mk.

Weyrauch, J., Aufgaben zur Theorie elastischer Körper. Leipzig, Teubner.

8 Mk.

Finger, J., Elemente d.ireinen Mechanik. 4. Lief. Wien, Holder. 3Mk.60Pf.

Nbumann, f., Vorlesungen über theoretische Optik; herausgeg. v. E. Dorn.
Leipzig, Teubner. 9 Mk. 60 Pf.

Kramer, A., Allgemeine Theorie der zwei- und dreitheiligen astronomischen
Fernrohr -Objective. Berlin, G. Reimer. 10 Mk.

Weber , L. , Curyen zur Berechnung der von künstlichen Lichtquellen indi-
cirten Helligkeit. Berlin, Springer. 1 Mk. 40 Pf.

Sohoute, H., Einige Bemerkungen Aber das Problem der Glanzpunkte.
(Akad.) Wien, Gerold. 60 Pf.

Hasri>tl, f. y., Bahnbestimmung des Planeten „Adria'^ 3. Thl. Ebendas.

4 Mk.

Brühns, C, Astronomisch- geodätische Arbeiten ftbr die europäische Grad-
messung im Königreich Sachsen. 3. Tbl.: Astronomische Arb., heraus-
gegeben v. Th. Albreoht. 2. Heft. Berlin, Friedberg & Mode. 12 Mk.

Albreoht, Th., Bestimmungen der Länge des Secundenpendels in Leipzig,
Dresden und dem Abrahamschachte bei Freiberg. Ebendas. 5 Mk.

Laukhardt, W., Mathematische Begründung der Volkswirthschaftslehre.
Leipzig, Engelmann. 6 Mk.

WiTTWBR, W., Grundzflge der Molecularphjsik und der mathematischen
Chemie. Stuttgart, Wittwer. 5 Mk.

Boüsbinesq, J., Application des potentiels k T^tude de r6quilibre et du
mouvement des solides 61astiques. Paris, Gkiuthier -Villars. 18 Frs.

Matthieu, E., Theorie du potentiel et ses applications ä l'Slectrostatiqne
et au magn^tisme. I. partie. Ebendas. 6 Frs.

Physik und Meteorologie.

Weyrauch, J., Das Princip der Erhaltung der Energie seit Roh. Major.

Zur Orientirung. Leipzig, Teubner. 1 Mk.

Sohrbibbr, P., Beitrag zur Frage der Beduction von Barometerstttnden auf

ein anderes Niveau. Leipiig, Engehnann. 1 Mk* 80

Kahlbaum, A., Siedetemperatur und Druck in ikraa W%e3bawSMW

Leipzig, Barth.

122 Historisch -literarische AbtheiluDg.

Schriftsteller erfolgreiche Mühe zugewandt. Was die Herren Allman,
Glaisher, De Morgan, Ch. Taylor fttr verschiedene Capitel un-
seres Lieblingsfaches geleistet haben, ist von Allen, welche deren Arbeiten
kennen zu lernen Gelegenheit hatten, anerkannt und geschätzt; aber hier
ist eine Schattenseite: die zuletzt genannten Schriftsteller, mit Ausnahme
von Herrn Taylor, dessen Introduction to the ancient and modern geo-
metry of conics (vergl. diese Zeitschrift Bd. XXVIl, hist.-lit. Abth. S. 87 flgg.)
als selbständiges, mit einer längeren Einleitung versehenes Werk auch in
das Ausland drang, haben ihre geschichtlichen Abhandlungen für solche
Zeitschriften und Sammelwerke verfasst, die dem festländischen Leser kaum
je unter die Augen kommen, es sei denn, dass freundliche Beziehungen zu
den Verfassern ihn in den Besitz von Sonderabdrücken setzten. Herr Gow
wollt« diesem engeren Bekanntwerden, welches, wie wir es für das euro-
päische Festland zu bestätigen im Stande waren, auch für Grossbritannien
selbst stattzufinden scheint und welches als eine unliebsame Folge mangeln-
des Interesse der Leser an dem behandelten Gegenstande nach sich zieht,
für seinen Theil ein Ende setzen, indem er einen ganzen Band der Ge-
schichte der griechischen Mathematik widmete. Herr Gow ist nicht Mathe-
matiker, sondern Philologe , aber er hat auf seinem Studiengange gleich allen
Engländern die griechische Mathematik, insbesondere die griechische Greometrie
hinlänglich genau kennen gelernt, um, von seinen Sprachkenntnissen getragen
und unterstützt durch Vorarbeiten von Mathematikern, die Originalliteratur
einer Durchmusterung unterwerfen zu können , von deren Genauigkeit einige
Stellen des Bandes zeugen, wo er zu Ergebnissen gelangt, die von den in
den Vorlesungen des Referenten veröflfentlichten abweichen , während aller-
dings in den meisten Fällen Herr Gow mit unseren Auffassungen einver-
standen erscheint. So schmeichelhaft eine solche Uebereinstimmung für uns
ist, so fürchten wir doch, sie theilweise auf den Umstand zurückführen zu
müssen, dass Herr Gow diejenigen Abhandlungen, welche nach dem Er-
scheinen unserer Vorlesungen und, dürfen wir vielleicht uns rühmen, in-
folge derselben zur Veröffentlichung gelangten, nicht kennen lernte und des-
halb auch nicht berücksichtigte.

Wir haben hierbei vorzugsweise die glänzenden Arbeiten von Herrn
Paul Tannery im Auge, welche bald in der Revue archeologique , bald
in den Annales de la Faculte des lettres de Bordeaux und in den Memoires
de la societo des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, bald in der
Revue philosophique, bald und hauptsächlich in neuester Zeit in dem Bulle-
tin des sciences mathematiques et astronomiques (unter Mathematikern oft
Bulletin Darboux genannt) erschienen. Wohl mehr als 30 grössere und
kleinere Aufsätze des unermüdlichen geistvollen Gelehrten sind in unseren
Händen. Fast überall handelt es sich um Dinge, in welchen Herr Tan-
Dery unsere Ansichten nicht tiheilt, vxnd mi b»AMii immer mit Veignflgen
seine liebenswürdigen f von Beohihaloera i^inDAu kn^SSL^ \^^^«&.^ ^wd^äoniL

Becensionen. 123

er den Charakter des Angriffs so vollständig zu nehmen weiss; wir hahen
stets aus diesen Abhandlungen gelernt, auch da, wo es ihrem Verfasser
nicht gelang, uns zu seiner Meinung zu bekehren. Leider haftet diesen
Abhandlungen der gleiche Mangel an, welchen wir von englischen Arbeiten
betonten. Mag das Bulletin Darboux, die Revue arch^ologique, vielleicht
die Revue philosophique von grösseren Bibliotheken gehalten werden, die
beiden in Bordeaux erscheinenden Sammlungen dürften nur in sehr wenigen
Exemplaren ihren Weg ins Ausland finden, so dass man eine Veröffentlich-
ung in denselben nur mit halber Oeffentlichkeit begabt nennen kann. Viel-
leicht sehen es unsere Leser deshalb nicht ungern, wenn wir einige wich-
tige Ergebnisse T an nery 'scher Forschung über griechische Mathematik
hier zusammenstellen, wobei wir die zeitliche Folge der Persönlichkeiten,
um welche es sich handelt, unserer Aufzählung zu Grunde legen.

Thymaridas (Annal. Facult6 lettr. Bord. 1881), der Erfinder der
unter dem Namen Epanthem bekannten Auflösungsmethode von Gleichungen,
ist der als T. von Faros bezeichnete Pythagoräer, der, wenn auch nicht zu
den unmittelbaren Schülern des Py thagoras, doch zu den älteren Gliedern
der Schule gehörte. Ihm wird nämlich auch die Erfindung der Benennung
geradliniger Zahlen für Primzahlen zugeschrieben, und das muss früher als
zur Zeit Piaton 's gewesen sein, denn

Speusippos (Annal. Facult6 lettr. Bord, et Toulouse 1883), der Neffe
Platon's, schrieb schon über diese agiGfiol ygamunoi^ wie aus einer für
die Geschichte der Mathematik noch nicht verwerthet gewesenen Stelle der
Theologoumena hervorgeht

Der heilige Hippolytos (Bullet Darboux T. VI, 1882) bezeugt
gegen Ende des II. S. p. C. in einer gleichfalls unbenutzt gebliebenen Stelle,
dass zu seiner Zeit das Wort Pythmen den Sinn des Restes hatte, welcher
bei Division einer Zahl durch 9 oder auch durch 7 übrig bleibt Offenbar
ist hier eine unverkennbare Spur der Neuner- und der Siebenerprobe vor-
handen, und zwar wird die erforderliche Rechnung als Pythagoräisch be-
zeichnet. Wie weit diese Auffassung geschichtlich rückverfolgbar, und ob
schon den Pythmenes des Apollonius die gleiche Tragweite beizulegen
ist, darüber möchten wir mit einiger Vorsicht schweigen.

Diophant hat Herrn Tannery den Gegenstand zu zwei Abhand-
lungen geboten (Bullet. Darboux T. III, 1879 und T. VHI, 1884). In der
ersten Abhandlung untersuchte er die Zeitverhältnisse des grossen Alexan-
drinischen Algebraikers und gelangte zu dem Ergebnisse, er müsse um die
Mitte des III. S. gelebt haben. Ihre Hauptstütze hat diese Behauptung
allerdings nur in Weinpreisen, welche in einer einzigen Aufgabe (V, 33)
vorkommen und welche eine solche Höhe ausser in der genannten Zeit
kaum je zu einer überhaupt in Frage tretenden Zeit erreicht h&b^SL ^As^^»^«
Da aber mit dieser Annahme auch die 'VexiMa.Tmg öää Aö^^joastoa. ^Ss^-
gramma über die Lebensdaner des Dioplxant dxo^ IL^^xo^^^"^^ xÄ.'^sfift!"

124 Historisch -literarische Abtheilung.

klang steht, welche bei der bisher landläufigen Annahme unüberwindliche
Schwierigkeiten bereitet, so sind wir sehr geneigt, Herrn Tann er y zuzu-
stimmen. Weniger sagt uns die in der zweiten Abhandlung verfochtene
Behauptung zu, dass doch mehr vonDiophant verloren gegangen sei, als
man seit Nessel mann anzunehmen sich gewöhnt hat. Die Lehre von den
unbestimmten Aufgaben mit ganzzahligen, nicht blos mit rationalen Auf-
lösungen, die Lehre von den Seitenzahlen rechtwinkliger Dreiecke, die be-
freundeten Zahlen, Untersuchungen über die Unmöglichkeit der Gleichung
/ß8_j.y8_--^ und über die sogenannte PelTsche Aufgabe scheinen Herrn
Tannery genügenden Stoff für die verloren gegangenen Bücher zu bieten*
Unsere Bedenken richten sich dahin, ob nicht damit zuviel den Griechen
zugewiesen werden will, und wenn Diophant mehr Compilator als Erfinder
war — ein ZugestUndniss, welches wir Herrn Tannery auch nicht zu
machen vermögen — , woher flössen die Quellen, aus welchen er schöpfte?
Waren es griechische Quellen , uns bis auf die Erwähnung von solchen ver-
loren? Waren es gar indische, und nähert sich Herr Tannery der Mei-
nung HankeTs von dem fremdländischen Ursprünge der Diophantischen
Algebra? Diesen Zweifeln wird unser gelehrter Freund sicherlich in der
Vorrede zu der Diophant -Ausgabe Rede stehen, welche er nach seiner aus-
drücklichen Erklärung vorbereitet, und, gestehen wir es offen, diese Er-
klärung war uns das Liebste in der eben berührten Abhandlung.

Sporns vonNicäa (Annal, Facult6 lettr. Bord. 1882) wird von Herrn
Tannery an das Ende des lU. S. gesetzt, und zwar als Verfasser einer
Sammlung ^AgtaxoTskiKd xy^^cot, in welcher mannigfache Auszüge auch aus
mathematischen Schriften sich fanden, welche später von Pappus, von
Simplicius, von Eutokius benutzt wurden.

Serenus von Antissa (Bullet. Darboux T. VII, 1883) soll im IV. S.
zwischen Pappus und Hypatia seinen Platz finden. Nach Pappus wird
er gesetzt, weil er seiner eigenen Aussage nach einen Commentar zu den
Kegelschnitten des Apollonius schrieb, der noch nicht vorhanden gewesen
sein könne, als das VII. Buch des Pappus entstand. Andererseits ist er
doch zu wissenschaftlich, um ihn als der Zeit des Hyppatia angehörig
betrachten zu können.

Domninus von Larissa (Bullet. Darboux T. VIII, 1884), ein Mit-
schüler des Proclus, unter welchem er auch nach dem Tode *des gemein-
samen Lehrers Syrianus an der Athener Hochschule thätig war, hat eine
Arithmetik verfasst , welche längst durch Boissonade ( Anecdota Graeca IV,
413 — 429) im Druck herausgegeben und von Mathematikern nie untersucht
worden ist« Herr Tannery hat dieser Mühe sich unterzogen und die
unterscheidenden Merkmale gegen Nikomachus hervorgehoben.

Mit dieser Aufzählung sind keineswegs alle Leistungen des französischen
(jfeßobiobiakuüdigeD, erschöpft , es «mdi «bueVi Y&V&nssn«^ tlberall alle Grflnda
iervargebobeUf durch welche er mne lkBSAsiDto&. vi %\i^^2usDL ^«)m\ m iik

Becensioneu. 125

vielmehr nur eine Art von Inhaltsverzeichniss , welches wir geben und aus
welchem hervorgehen soll , dass eine ganze Anzahl von Gegenständen neuer-
dings der Forschung erschlossen ist, welche man nicht mehr das Becht hat
mit Schweigen zu übergehen und welche sicherlich auch Herr Gow be-
sprochen haben würde , wären die betreffenden Aufsätze zu seiner Eenntniss
gelangt Hat er doch die leichter zu beschaffenden und nicht minder wich-
tigen Arbeiten unsers dänischen Fachgenossen Heiberg seinen Zwecken
fast überall dienstbar zu machen gewusst, wenn ihm auch die Auffindung
des Namens von Archimedes* Vater Pheidias (Oeidia öh tov afiov naxQog
Archimed ed. Heiberg II, 248, 8), welche Herrn Heiberg schon ge-
lungen war, als Herr F. Blass (Astronomische Nachrichten CIV, 255) die
gleiche Entdeckung selbständig und früher veröffentlichte > und einiges Andere
entgangen ist

Wollten wir Herrn Gow vorzugsweise Vorwürfe machen, so wäre es
nicht schwer, aus seinem Buche Behauptungen zu sammeln, deren Becht-
fertigung ihm kaum gelingen möchte. Das kann man ja bei jedem um-
fassenden Werke jedes Verfassers. Wir ziehen es vor, einige Eigenthüm-
lichkeiten seines Werkes zu nennen, welche ims verdienstlich erscheinen.
Herr Gow beschäftigt sich, wie es von dem Philologen nicht anders zu
erwarten stand, eingehend mit den Zahlwörtern, und auch wer die Schrif-
ten von Pott genau kennt, wird hier Neues finden, wofür besonders Tylor's
Primitive Culture als Quelle gedient zu haben scheint. Neu war uns z. B., dass
für die Zwei von den Chinesen der Name der Ohren , von den Thibetanern
der der Flügel, von den Hottentotten der der Hände -gebraucht werde (S. 7),
neu, dass der Drei die Bedeutung unbestiqimt grosser Vielheit beiblieb, z. B.
xQvaccQXtog^ ter fdix als üeberbleibsel aus einer Zeit, wo man nicht über 3
binauszählte und den einzigen vorhandenen Zahlen auch die Sprachformen
des Singular, Dual , Plural zugeordnet waren (S. 8). Auf die Frage , ob
die Buchstabenzahlen von den Griechen zu den Hebräern gelangt seien oder
umgekehrt, kommt Herr Gow wiederholt (S. 44, 46, 48) zu reden. Er
outscheidet sich für den ersteren Weg, und zwar sei von einer eigentlichen
Erfindung zu sprechen , welche im III. S. a. Chr. in Alexandria gemacht wor-
den sei. Das Wort Gematria, welches eine Spielerei mit dergleichen Buch-
stabenzahlen bedeutet , sei selbst eine Umstellung aus ^^afiftarcia. Eine Plato-
nische Stelle, in welcher ausdrücklich ausgesprochen ist, dass die Gottheit
stets geometrischen Regeln folge (tov deov dei ycooftcrperv) , kennt Herr Gow
so wenig wie Andere, wohl aber macht er (S. 173 Note 2) auf Bep. 527 B
aufmerksam, wo es heisst, Geometrie richtig behandelt sei Eenntniss des
Ewigen.

Wir wollen femer nicht verfehlen, auf S. 187 Note 1 aufmerksam zu
machen, wo ein nicht unwichtiger Irrthum verbessert ist, den wir uns (Vor-
lesungen I, 197) zu Schulden kommen Hessen. Wohl kommi» %&-k^ Ssi. ^ssss^
Berichte des EutokioB über die Würid^OTäLOi^i^\av'& ^«ä J^xOs^-jVö.^ ^«^n

126 Historisch -literarische Abtheilnng.

aber es ist gleichgiltig, ob dieses Wort dem Urtexte entnommen oder spätere
Einschaltung ist, da es hier keinenfalls „geometrischer Ort^, sondern nur
„Stelle^ bedeutet. Auch die allgemein angenommene Uebersetzung von
tonog avaXvo^Evog = aufgelöster Ort widerstrebt Herrn Gow. Er behauptet
vielmehr (S. 211 Note 1), tonog bedeute hier wieder nicht geometrischer
Ort, sondern Aufbewahrungsort, Schatzkammer; so komme das Wort häufig
bei Aristoteles vor, so heisse Pappus VI, 1 xonog aaxQovoiiovfievog die
Gesammtheit astronomischer Schriften , von denen in der Folge die Bede ist,
so müsse also auch totio^ avakvo^svog = iJie treasury of anoHysis gesetzt
werden. Wir bemerken, dass auch Hultsch in dem Wörterbuche des
III. Bandes seiner Pappus- Ausgabe, p. 114 coL 2 lin. 15 — 19, t. cicxq, und
X. dvaX. zusammenstellt mit der Bedeutung quidquid äliquu matJiemcUicorum
parte comprehendUur. Deutsch wäre also dafür etwa zu schreiben „Sammel-
werke analytischer Natur*'.

Als eine der Geschichte der Erfindungen angehörende Thatsache, von
welcher wir keine Kenntniss besassen, heben wir hervor (S. 237 Note 1),
dass Archytas ausser der Schraube und dem einfachen Bad an der Welle
auch das Kinderrasselchen erfand als nützliches Spielzeug, welches die Kinder
verhindere, wirkliches Hausgeräthe zu zerbrechen.

Herr Gow kommt (S. 108 Note 1) auf die Abkürzungen zu reden,
deren Diophant sich für die Unbekannte und für die Subtraction bediente.
Er hält diese Zeichen für die Wiedergabe hieratischer Muster, die zu iden-
tificiren er freilich nicht vollständig im Stande sei. Wir wollen diese Mög-
lichkeit gar nicht bestreiten, vielmehr auf die kleine Monographie des Herrn
L6on Bodet, Sur les notations ,num6riques et algebriques antiTieurement
au XVI* siöcle. Paris 1881, chez Ernest Leroux, 80 pages, hinweisen, in
welcher der gleiche Gedanke auf S. 37 ügg, sehr ausführlich durchgesprochen
ist. Herr Bodet giebt dort die hieratischen Zeichen wirklich an , die D i o •
phant copirt habe, wobei allerdings der Phantasie einiger Spielraum ge-
lassen ist.

Schon Ne^selmann hatte die Aufmerksamkeit auf gewisse Zahlzeichen
gelenkt, die er bei Heilbronner, und dieser bei Hostus und bei No-
viomagus angeführt fand und welche gewissen Astronomen gedient haben
sollen. Dem Beferenten gelang es, die Stelle bei Hostus aufzufinden, und
Friedlein wies die Stelle bei Noviomagus nach, von der die Bede
sein muss. Alle diese Angaben finden sich bei Herrn Gow (S. 64 Note 1).
In einer brieflichen Mittheilung vom 21. März 1885 weiss nun Herr Gow
jene Zeichen in noch beträchtlich frühere Zeit zurückzuverfolgen. Sie sind
deutlich beschrieben bei Math. Paris, Chronica V, 285 (ed. Luard, Cam-
bridge 1872 — 1883), mit der Bemerkung, Johann von Basingstoke
habe dieselben in England eingeführt und sie selbst kennen gelernt quando
shsäuU Athcnis, John of Basingstoke aber starb 1252 und war etwa
Iif40 in Athen.

Recensionen. 127

Der Satz des Menelaos, welcher die Grundlage der ganzen sphä-
rischen Trigonometrie der Griechen und später der Araber bildete, giebt
S. 292 Gelegenheit zu der Bemerkung, im Mittelalter sei dieser Satz mit
arabischem Namen regula caüia genannt worden, während später bei Michael
Stifel der Name regula sex quantüatum sich finde. Herr Gow verweist
für diese Namen auf Costard's Ausgabe der von Halley herrührenden
Uebersetzung der Sphaerica aus einer hebräischen üebertragung (Oxoniae
1768) S. 82. Dort ist in der That mit arabischen Lettern ein Wort ab-
£^druckt, welches in der jetzt gebräuchlichen Transcription AI- katta'' heisst
und Sector (hier mit Transversale zu übersetzen) bedeutet, mithin Eegula
kattS'' oder, wie man nun schreiben mag, die Regel von der Transversalen.
Costard giebt als seine Quelle für den Gebrauch von regula cathu ein der
Biblioth. Bodleiana angehörendes mehrbändiges handschriftliches Werk von
Simon de Bredow an, welcher um 1350 sociits Mertoncnsis war, d. h.
Feüow of Merton College in Oxford. Wir sind in der Lage, auf eine im
Dinck herausgegebene, um anderthalb Jahrhunderte ältere Quelle zu ver-
weisen, indem bei Leonardo von Pisa wiederholt von der figura cata
und von der figura chata die Rede ist und damit nur der Satz des Mene-
laos gemeint sein kann.

Unsere Leser mögen die Bemerkungen, welche wir fast mehr zu als
Über Herrn Gow 's Werk niedergeschrieben haben, als Zeichen des Inter-
esse auffassen , mit welchem wir den Band studirt haben. Vielleicht finden
sie in diesem Interesse selbst ein noch deutlicheres Lob des uns vorliegen-
den Baches, als es bis hierher von uns ausgesprochen worden ist.

Gantor.

I^r Begriff der Physis in der griecMsclien Philosophie. Von Dr. E.
Hardy. I. Theil. Berlin 1884, Weidmännische Buchhandlung. II L
229 S.

Dass Wörter dem Begrififswechsel unterliegen, dass sie je nach Zeit
^d Ort, wo, oder auch je nach der Persönlichkeit, durch welche sie be-
^^\ai werden, bald diese, bald jene Bedeutung annehmen, dafür giebt es
^*hllo8e Beispiele. Wir erinnern nur an Aether, an Salz u. dergl. Diesen
verschiedenen Bedeutungen nachzuspüren, bedarf es einer unumschränkten
"errschaft über die gesammte Literatur, in welcher ein solches Wort vor-
kommt, und wem diese nicht in fast gleichem Maasse zu Gebote steht, der
erscheint nicht berechtigt, anders als einfach berichtend über solche werth-
voUe, wichtige, aber ungemein schwierige Untersuchungen zu reden. Das
^ unsere Lage gegenüber dem vorliegenden Bande, in welchem Herr
äardy den Bedeutungen nachforscht, welche das Wort q>vaig in der Ge-
wjnich^ der griechischen Philosophie nachweislich besesöeiv h«kt. Wvc k^^^^^^
^ ^jcht widerlegen noch bestUtigen, aber vrir g\wa\>«u ^wi\i ^ää^^'^^»^-

128 Historiscb- literarische Abtheilung.

densein seines Buches unseren Lesern wahrnehmbar machen zu müssen, sei
es, dass unter ihnen wirklich befugte Eichter, sei es, dass nur interesse-
volle Laien gleich uns dadurch auf die Quelle weiterer Belehrung hingewie-
sen werden. Von Thaies bis Sokrates, Sokrates und Xenophon, Plato,
Aristoteles lauten die üeberschriften der vier grossen Abschnitte, in welche
der Stoff von selbst sich gliederte. In der ersten Periode gebraucht Thaies
das Wort Physis für die gesammte Welt der äusseren Erscheinungen und
deren Bewegung, Anaximander für das, was wir heute etwa Physik
nennen. Empedokles nennt Physis in wissenschaftlicher Bedeutung, die
mit der populären nicht zu verwechseln sei, Verbindung und Trennung.
Die Pythagoräer sahen in Physis das geheimnissvolle Wesen der Zahl, den
Grund- und Inbegriff aller Eigenschaften eines Dinges, Heraklit die Ver-
nunftordnung, welche alle Gegensätze aufhebt, welche das Niederste und
Höchste, sogar der Menschen Denken und Thun bestimmt. Besonders für
den Menschen ist nun in den Hippokratischen Schriften, den echten wie
den unechten, Physis der innere Grund der Wirksamkeit. Als Naturord-
nung erkannte auch Demokrit die Physis gegenüber von dem Nomos, dem
Staatsgesetze, und dieser Gegensatz steigert sich nur noch bei Hippias.
Das Naturgesetz, die Physis, ist dem Sophisten erfahrungsmässig gegeben,
und ein Merkmal desselben ist es, däss jede Handlung gegen die Natur
ihre Strafe unausweichlich mit sich führt, während das Menschengesetz um-
gangen werden kann, ohne dass die Strafe aus der Umgehung selbst her-
vorgehe. Aber die Physis bleibt erfahrungsmässig. Sie ist nicht als Sitten-
gesetz vor und über der Erfahrung vorhanden. Zu dieser Höhe erhob sie
und sich erst Sokrates in der zweiten Periode. Ihm wurde Physis der
letzte Grund der Erscheinungen des sittlichen Lebens, ergänzungsfähig durch
Erziehung, und darum seine Bemühungen um die Erziehung, um dieser
willen die Verwerthbarkeit von Xenophon 's Cyropädie für das behandelte
Thema. Plato, der eine dritte Periode bildet, findet in der Physis die
mustergiltige Form für das menschliche Schaffen ; sie beruht auf dem Wissen.
Endlich schliesst der Band mit der vierten Periode, der des Aristoteles.
Hier tritt, mehr an Sokrates wieder anknüpfend, das Ethische neuerdings
in den Naturbegriff zurück. Wir haben selbst die Empfindung, der auch
eingeschränkten Aufgabe eines blos übersichtlichen allgemeinen Berichts,
die wir uns gestellt haben, nur sehr mangelhaft genügt zu haben. M6ge
die Schwierigkeit des Gegenstandes uns zur Entschuldigung gereichen.

Cantob.

J. Dupuis, Le nombre g^om^triqne de Piaton. Paris 1881. 64 pages.

— Seconde interpr6tation. Paris 1882. 32 pages. — Troisiöme

Memoire. Extrait de Tannuaire de TAssociation pour Tencouragement

des 6tadea grecques en France, augmente de notcs. Paris 1885.

ÖO pagea. Libraire Hacbette & O*.

Becensionen. 129

Die erste der drei in der Ueberschrift genannten AbhandluBgen bot
unserem gelehrten Freunde Herrn Fr. Hultsch Gelegenheit, sich gleich-
falls mit der seit undenklicher Zeit übelberüchtigten Stelle in Piaton 's
VIII. Buche vom Staate zu beschäftigen, und veranlasste so dessen Aufsatz,
der im XXVII. Bande dieser Zeitschrift, hist.-lit. Abthlg. S. 41— 60 ab-
gedruckt ist. Herr Hultsch konnte mit dem Vorschlage des französischen
Gelehrten, 21600=100(3^ + 4^+5') als die Lösung des mehr als zwei-
tausendjährigen Räthsels anzuerkennen, sich nicht befreunden. Ebenso un-
befriedigt war aber Herr Dupuis selbst. In einer zweiten Abhandlung
liess er jene Zahl fallen, ohne jedoch dem Hui tsc haschen Lösnngsversucho
12960000 sich anzuschliessen. Er versuchte es vielmehr mit einer neuen,
vorher noch nie vorgeschlagenen Zahl 760000. Heute kommt Herr Dupuis
zum dritten Male auf die Stelle zurück, um seine Zahl 760000 mit neuen
Gründen zu empfehlen. Referent steht der Frage ebenso skeptisch wie sonst
gegenüber. Das letzte Wort scheint ihm immer noch nicht ausgesprx)chen.
Was aber den Vorschlag der 76 Myriaden betrifft, so lehnen wir ihn ein-
fach ab, und zwar aus dem gleichen Grunde, welchen Herr Hultsch am
9. November 1882 in einer von Herrn Dupuis (S. 21 u. 22) citirten Brief-
steile aussprach. Im Platonischen Wortlaute kommen die Worte r^lg at/|i/-
GBig vor. Herr Dupuis verlangt, rglg solle hier als Ausdruck unbestimmter
Vielheit gedeutet werden; man solle mithin setzen „sehr vermehrt^, was in
diesem besondern Falle identisch sei mit „120000 mal". Das halten wir für
durchaus unmöglich ! Gewiss bedeutet xgig recht oft eine unbestimmte Vielheit,
und die von Herrn Dupuis S. 17 — 19 zusammengestellten Beispiele sind sehr
gut gewählt, diese Bedeutung klar zu machen ; aber dass rglg eine unbestimmte
Vielheit bedeuten könne mitten in einem arithmetischen Zusammenhange, mitten
zwischen Zahlen , die jede ihre naturgemässe , bestimmte Bedeutung besitzen,
das erscheint uns undenkbar. Wählen wir ein ähnliches Beispiel geometrischer
Unbestimmtheit. ;,Die Knaben stellten sich um ihren Lehrer im Kreise auf",
d. h. sie bildeten irgend eine in sich zurücklaufende krumme Linie, ob einen
Kreis, ob irgend eine Eilinie, gleichviel. Nun aber lesen wir folgenden
Satz: „Die Knaben bildeten zuerst in ihrer Reihenfolge eine Archimedische
Spirale, dann eine Cissoido, zuletzt einen Kreis.'' Kann hier auch Ejreis
irgend eine in sich zurücklaufende krumme Linie bedeuten? Nach unserer
üeberzeugung unmöglich! Wo einmal mathematisch bestimmte Begriffe in
einem Satzgefüge Eingang gefunden haben, können sie nicht mehr mit un-
bestimmtem Sinne dort gefunden werden wollen. So wenigstens ist unsere
üeberzeugung. Cantor.

Jnliiui Klaproih*8 Schreiben an Alexander von Humboldt über die Er-
findung des Compasses. Aus dem französischen Original im Aus-
züge mitgetbeilt von Dr. phil. Armik YfiTTÄTTOask, \Ä\v»%^S^i \s«^
T. 0. Weigel XU, 49 S.

130 Historisch -literarische Abtheilung.

In unserem schnelllebenden Jahrhundert ist man wohl berechtigt, die
Frage aufzuwerfen, inwiefern historische Untersuchungen, vor mehr als 50
Jahren angestellt, es verdienen können, nicht nur überhaupt noch gelesen
zu werden, vielmehr in neuem Gewände zu erscheinen? Herr Wittstein
hat bezüglich des Kl aproth 'sehen Schreibens von 1834 diese Frage bejaht
und, so weit wir bei dem uns ziemlich weit abliegenden Gegenstande ein
Urtheil uns zutrauen dürfen , auch bejahen können. Vielleicht ist seitdem der
unbedingte Glaube an die Zuverlässigkeit chinesischer Aussagen etwas mehr
ins Schwanken gekommen, hat man sich einigermassen gewöhnt, mehr das
Datum solcher Aassagen selbst, als die fabelhaften Vergangenheiten, von
denen dieselben berichten, zu beachten, um eine untere Grenze für die
Verbreitung dieses oder jenes Wissens zu erhalten; aber auch Klaproth
scheint in dieser Beziehung bereits mit gutem Beispiel vorangegangen zu
sein und eine Kritik geübt zu haben, welche in ihrer Besonnenheit sich
nicht mit der eines Gaubil u. s. w. in Vergleich bringen lässt. Der deutsche
Bearbeiter mag den vernichtenden Rothstift noch an einzelnen weiteren
Thatsachen benutzt haben, welche bei Klaproth noch Aufnahme gefunden
hatten; Neues hinzuzufügen war er kaum je in der Lage, da der Gegen-
stand seit Klaproth keine fördernde Bearbeitung mehr gefunden hat. Nicht
als ob Bertelli's gelehrte Untersuchungen kein neues Licht auf die Ge-
schichte des Compasses im Mittelalter und in unserem Welttheile geworfen
hätten , aber die ostasiatische Urgeschichte erscheint darum in durchaus un-
veränderten Zügen, wie Klaproth sie in seinem Briefe hinzeichnete , wie
Ed. Biet sie in den vierziger Jahren bestätigte. Herr Wittstein liefert
uns eine verbesserte und verringerte Ausgabe jener Schrift von 1834, welche
er etwa auf ihren dritten Theil zurückführte. Nur um so zuverlässiger
gestalten sich seine Angaben, und wir glauben auf seine Bearbeitung als
auf eine zweite Quelle hinweisen zu dürfen, aus welcher man unbedenklich
schöpfen kann. Cantor.

Gli scritti inediti di Leonardo da Vinci, secondo gli ultimi studi per
Antonio Favaro. Venezia 1885. Estr. dagli Atti del K. Istituto
veneto di scienze, lett. e arti. Tomo III, serie VI. Tipografia di
G. Antonelli. 62 pag.

Auf das Jahr 1886 hat das R. Istituto Lombarde, statutarisch dazu
gcuöthigt, zum ersten Male den Preis Tomasoni für die beste Geschichte
dos Lebens und der Werke Leonardo*s da Vinci ausgeschrieben. Der
Begründer dieses Preises hätte, so meinen wir mit Herrn Favaro, des
französischen Kochrecepts eingedenk sein sollen: „Pour faire un cwet de
If^re, il faui un lUvre,^ Die Würdigung von Leonardo's Werken kann
genaaer^ als iie von Venturi au£ GtuhOl \i-Qax<^AK^ka\S^\0^^^ ^^«QfauL

"S.*

Becensionen. 131

'Virorden ist, erst dann erfolgen, wenn die Werke gedruckt vorliegen. Zwei
Gelehrte, Herr Charles Ravaisson-Mollien in Paris, Herr Jean Paul
Bichter in London, haben den Anfang mit der Druckgebung gemacht.
JLvßk darin stimmen wir Herrn Favaro durchaus bei, dass in erster Linie
nur die Pariser Abdrücke, in ihrer photographischen Vollständigkeit die
Handschriften vollständig ersetzend, brauchbar erscheinen. Auszüge, wie
die Londoner Ausgabe sie bietet, geben nie den Schriftsteller selbst, son-
dern nur was einem Dritten wissenswerth erschien, und der Begriff des
Wissenswerthen ist damit in allzu enge persönliche Grenzen eingeschlossen.
Endlich unterstützen wir aus ganzem Herzen Herrn Favaro 's Wunsch,
Italien möge sich nicht von fremden Staaten überflügeln lassen und möge
dafür Sorge tragen, dass der Codice Atlantico aufhöre, nur eine Zierde der
Mailänder Ambrosiana zu sein, vielmehr im Drucke Gemeingut der Wissen-
Schaft werde. ^^^^^^

Die Entdeckung des Beharmngsgesetzes , eine Studie zur Geschichte der
Physik von Dr. Emil Wohlwill. Separatabdruck aus der Zeit,
Schrift für Völkerpsychologie und Sprachwissenschaft Weimar 1884,
Hofbuchdruckerei. 163 S.

Die Bewegung dauert nur dadurch fort, dass das Bewegende mit dem
Beilegten in Berührung bleibt, sei es in unmittelbarer Berührung, sei es
in mittelbarer, indem die umgebenden Medien» Luft, Wasser u. dergl., die
^^enschaft besitzen, eine mitgethcilte Bewegung bewahren und weiter be-
ordern zu können. Ausserdem ist aber die Kreisbewegung als solche eine
^oxx der Natur gegebene und darum unaufhörliche. So war die Lehre des
Aristoteles, welche, wie dessen ganze Physik, die europäische Wissen,
^haft bis tief in das XYII. S. hinein beherrschte und in dem Satze der
A.ente: „Cessante causa cessat effectus^ unbewusst bis in unsere Tage hinein-
'^^gt Dieser Lehre schroff gegenüber steht das Gesetz der Beharrung : Die
Wirkung jeder Ursache verharrt! Wie hat der Uebergang von dem einen
*^ dem andern Satze stattgefunden? Hat Galilei in urplötzlicher Entdeck-
"^gsweise die neue Lehre aufgefunden? Hat sie allmälig sich gebildet und
***Ui man die Geschichte dieser Begriffsbildung verfolgen? Das ist die
**^hintere8sante Frage, welche Herr Wohlwill sich gestellt und welche
®'' beantwortet hat. In raschem Fluge führt er uns in die Zeit des Cusa-
*****^, welcher, wie in vielen Dingen, auch in der Bewegungslehre Zweifel
^^ Aristoteles zu hegen und auszusprechen wagte. BeiTartaglia und
^^ dessen Gegner Cardano finden wir die vermeintliche Erfahrungsthat-
^^he, dass ein Geschoss beim Verlassen des Rohres zu Anfang mit zuneh-
^^tider, dann mit abnehmender Geschwindigkeit sich bewege. Eine Erklft-
^^g einer so durchaus unwahren Erscheinung musste nothwendi^ €ia]ls&\x
^^i«i/ Nun folgt Bonedeiti^ der Entdecker der m A«t ^^gt<gto>\i\\gX\w^

132 Historisch -literarische Abtheilung,

zur Bahn wirkenden Fliehkraft. Auch in der Bewegungslehre bricht er mit
dem Altherkömmlichen. Nicht das umgebende Mittel giebt dem bewegten
Körper erneuten Antrieb, er enthält vielmehr die Ursache der Bewegung
in sich selbst. Diese Lehre übernahm Galilei und setzte sie in einer ypn
ihm nicht, zum Drucke bestimmten Schrift aus der Zeit zwischen 1589 und
1592 auseinander. Die Handschrift dieser Abhandlung setzt sich allerdings
mit einem Abschnitte fort, in welchem die Galil einsehe Mechanik auf
ihrem Höhepunkte nicht zu verkennen ist. Aber Herr Wohlwill hat ge-
zeigt, dass hier Stücke sehr verschiedenen Alters nur zufällig vereinigt sind,
dass jener Schlussabschnitt nicht vor dem 16. October 1604 entstanden sein
kann. Galilei^s Leistungen umfassen die ganze Mechanik. Das Behar-
rungsgesetz erkannte er zuerst auf der horizontalen Ebene. £s war zunächst
nur eine Erweiterung des bereits von Aristoteles erkannten Sonderfalles;
denn was anders als Beharrung ist es , wenn der Stagyrite die Ewigkeit der
Kreisbewegung fordert? — Wie alsdann Galilei in richtiger Erkenntniss
weiter und weiter ging, wie fast jedes einzelne Werk, welches er verfasste,
einen allmäligen Fortschritt enthält , das ist der Inhalt der zweiten , grösseren
Hälfte der WohlwilTschen Schrift. Bei dem Reichthum an in derselben
theils ausführlich behandelten, theils gestreiften Gegenständen ist es kaum
thunlich, darüber zu berichten, ohne in hier unstatthafte Weitläufigkeit zu
verfallen. * Wir verweisen unsere Leser auf das Original , dessen Bedeut-
samkeit in rechtes Licht zu setzen einzige Absicht dieser Anzeige war.
Herr Wohlwill hat entschieden Recht daran gethan, eine Vereinigung der
in drei verschiedenen Zeitschriftheften erschienenen Abhandlung zu veran-
lassen. Noch dankbarer wäre man ihm gewesen, wenn er auch eine In-
haltsübersicht hätte beifügen wollen; denn den leisen Vorwurf können Ym
ihm bei höchster Anerkennung des Geleisteten nicht ersparen, dass voll-
endete üebersichtlichkeit seiner Anordnung nicht innewohnt.

Gewissermassen als Ergänzung zur hier angezeigten Abhandlung ;^'e.- lütten
wir uns, auch auf einen Aufsatz von Herrn Fr. Poske, Der empirische
Ursprung und die Allgemeingiltigkeit des Beharrungsgesetzes (Vierteljahrs-
schrift für wissenschaftliche Philosophie VIII, 4), mit nachfolgenden Be-
merkungen von Herrn W, Wundt hinzuweisen. Cantor

Hiitoire des scienoes math^matiqnes et physiqnes par M. Maximilien

Marie, repetiteur de mecanique, examinateur d^admission ä Töcole
• i)olytechnique. Tome VI. De Newton a Euler (Suite). 258 pag.
Paris, Gauthier -Villars imprimeur-libraire. 1885.

Erst S. 115 dieses Bandes haben wir über Bd. IV und V des Marie-

schen Werkes berichtet, und schon wieder sind wir im Stande, einen neuen

Band omneideo ra können. Hr bead;iSi£&g|l ^asSei mn^Ooi ^N^sAFdG^^ywidfikim

Becensionen. 133

ersten Drittel mit den Frincipien von Newton, in den beiden letzten Drit-
teln mit den Aufsätzen von Leibnitz, welche leider nicht in den Origi-
naldrucken oder in der neuen Gerhard tischen Ausgabe, sondern in der
durch massenhafte Druckfehler entstellten Dutens 'sehen Ausgabe studirt
wurden, "wodurch Herr Marie sich seine Arbeit nicht unbeträchtlich er-
schwerte. Die Aufgabe, welche er sich an der Hand der umfänglichen
Auszüge, die er liefert, stellt, ist die Beantwortung der berühmten oder
berüchtigten Streitfrage über die Erfinderrechte an der Infinitesimalrech-
nung. Herr Marie gelangt dabei zu folgendem Urtheilsspruche. Es steht
geschichtlich fest, dass Newton bei Veröffentlichung seiner Principien die
Fluxionsrechnung besass. Wüsste man aber davon nicht aus anderen Schrift-
stücken, die Principien selbst könnten nur die entgegengesetzte Meinung
erwecken. Der Brief Newton*8 vom 24. October 1676 ist ein wahres
Meisterwerk in der Kunst , seine Oedanken zu verhüllen , und aus ihm war
ebenso wenig, wie aus den Principien ein Plagiat möglich. Leibnitz
dagegen geht überall offen mit der Sprache heraus. Er feilt so wenig,
dass es ihm auch auf einen Rechenfehler nicht ankommt. Die Methoden
sollen bekannt werden , damit die Wissenschaft Nutzen davon ziehen könne ;
in wessen Garten die Früchte reifen , sei gleich , sagt er in liebenswürdiger
Hingebung seiner Entdeckungen. So ist Leibnitzens Unschuld in zweifel-
losester Weise gesichert. Wir brauchen unseren Lesern nicht erst zu sagen,
dass wir immer die gleichen Sätze verfochten haben, und wollen nur ganz
gelegentlich auf eine Untersuchung in der Zeitschrift „Nord und Süd*'
(Januar und Februar 1881) hinweisen, wo wir den Beweis geliefert haben,
dass politische Griinde bei dem gehässig geführten und von der Londoner
Königl. Gesellschaft ungerecht entschiedenen Streite in gewichtigem Maasse
mitwirkten. Leibnitzens Briefwechsel, abgesehen von den Briefen an Olden-
burg, hat Herr Marie noch nicht berücksichtigt. Wesentliche Verdienste,
wozu wir den Anstoss zur modernen Coefficientenbezeichnung mittels ein-
facher und auch schon doppelter Indicirung rechnen, sind daher nicht

^®^^ Cantor.

Algebraische üntersnohnngen nach TschirnhansenB Methode, von Karl
HuNRATH. I. Programm des Gymnasiums zu Glückstadt, Ostern
1876. IL Programm des Gymnasiums zu Hadersleben, Ostern 1881.
III. Programm des Gymnasiums und des Real - Progymnasiums zu
Hadersleben, Ostern 1885.
Schon Cardano hat, wenn auch nur an dem besondem Falle der cubi-
schen Gleichung, erkannt, dass die Substitutioii y=^l>Q+x unter nachträg-
licher zweckentsprechender Wahl der ConsiBi* ^^x.
Gleichung «" + a«-ia;""-* + ...+a|»-'^
erbalten, in welober ein Glied nrii

134 Historisch -literarische Abtheilong.

Tschirn hau 8 hat in den Acta emditorum för 1683 pag. 204 flgg. den grossen
Schritt weiter gethan, mehr als nur ein Glied zum Wegfall zu bringen,
indem er die Substitution y = &q + ^i ^ + ^ anwandte , in welcher zwei Con-
stanten bg und 2)| zur zweckdienlichen Bestimmung vorkommen. Erst die
neuere Zeit hat die ganze Tragweite dieses Tschirn ha us'schen Gedan-
kens erkannt, und in dem bekannten Handbuche der höheren Algebra von
J. A. Serret (deutsche Uebersetzung , Bd. I S. 346 flgg.) ist der allgemeine
Gang jenes Substitutionsverfahrens in deutlichen umrissen gezeichnet. Ein
Anderes ist aber immerhin der allgemeine Gang , ein Anderes die Ausführung
im Einzelnen, und Herr Hunrath, ein unerschrockener Rechner, dem kein
noch so kraus gebauter Ausdruck Furcht einjagt, hat es in drei Schulpro-
grammen unternommen, die wirkliche Durcbfdhrung jenes Gedankens für
Gleichungen bis zum flinften Grade einschliesslich kennen zu lehren. Er hat
gezeigt , dass y^^hQ + h^x + a^ die cubische sowie die biquadratische Gleich-
ung zur Auflösung bringt, indem jene in eine rein cubische, diese in eine
quadratische Gleichung übergeht, während die Bestimmung der vorher will-
kürlichen Constanten eine Gleichung niedrigeren Grades beansprucht. Er
hat gezeigt, dass y = 2>o + ^iä; + Z>2^ + ^i wiewohl drei Constante in sich
schliessend, nicht genüge, um im Allgemeinen die Beseitigung von drei
Gliedern der umgeformten Gleichung zu sichern. Er hat endlich gezeigt,
dass dieser letztere Zweck bei der Gleichung flinften Grades durch Jer-
rard's Substitution y ^hQ + h^x+h^x^ + h^a^ + h^a^ erreicht werde. Die
vollzogenen Rechnungen sind, wie wir schon mit einem Worte andeuteten,
sehr verwickelt , wenn auch nicht gerade schwer, und es mag recht zweck-
mässig sein> dass der Lehrer sich einmal überzeuge, wie ein Verfahren in
der Ausübung doch gewaltig anders, als in der allgemeinen Schilderung

, ^^««^^^^ Cantob.

Nekrolog des königl. wttrttembergischen Oberstndienraths Dr. Christian
Heinrich v. Nagel. Separatabdruck aus dem Correspondenzblatt f.
d. Gel.- u, Realschulen Württembergs. 1884, Heft 1 u. 2. Tübingen
1884, Verlag und Druck von Franz Fues (L. Fr. Fues'sche Sorti-
mentsbuchhandlung). 18 S.

Als Verfasser zeichnet sich am Schlüsse der Abhandlung Herr Otto
Krimmel. Er hat eine warm empfundene Schilderung des einfachen
Lebensganges und der mathematischen wie pädagogischen Verdienste des
wüi*ttembergischen Schulmannes geliefert, die bei der auch in weiteren
Kreisen anerkannten Bedeutung NageTs ein mehr als nur lokalpatriotisches
Interesse wachzurufen vermag. Nagel war am 28. Februar 1803 in Stutt-
gart geboren, hat gleich vielen Zeitgenossen Theologie als Hauptfach, Ma-
tbematik nebenbei aber als Lieblingsfach studirt. Er starb in Ulm am
26. October 1882. Sein Name \3>VftVb\. m ^ct Qi%QtcÄ\jrÄ \^äöö. ^^"^^^^l-
sehen Punkte erhalten. ^»^^

Recensionen. 135

Der duristliche Kalender alten und üeuen Stils, in tabellarischer Form
dargestellt von P. Sciiubring. Besonderer Abdruck aus den Jahr-
büchern der königl. Akademie gem. Wissenschaften zu Erfurt. Neue
Folge, Heft XII. Erfurt 1884, Druck von J. H. Gramer. 63 S.
nebst 3 Beilagen. I. Immerwährender Kalender. II. Allgemeiner
Ostervollmonds • Cyklus. III. Allgemeine OstervoUmonds- Tabelle für
alten und neuen Stil.

Drei Zahlen, der Sonncnzirkel, die güldene Zahl, die Römer-
Zinszahl, spielen in der Chronologie eine wichtige Rolle. Sie entsprechen
dem 28jährigen Sonnencjklus , nach dessen Ablauf die Sonntage auf die
gleichen Monatstage zurückkehren, dem 19jährigen Mondcjklus, nach wel-
chem die Vollmonde auf die gleichen Monatstage zurückkehren , und endlich
dem 15jährigen Indictionscjklus. Aus den drei genannten Cjklen bildet
ßicli ein grosser Cyklus von 28.19.15 = 7980 Jahren, der die Eigenschaf-
ten aller drei vereinigt. Diese grosse sogenannte Julianische Periode
beginnt mit dem Jahre 4713 v. Chr. und das letzte Jahr ihrer ersten Voll-
endung wird das Jahr 3267 n. Chr. sein. Für das Jahr i nach Christi
Gelmrt ist demnach stets:

1) Sonnenzirkel = t + 47 13 {mod 28) oder = i + 9 {mod 28) ,

2) Güldene Zahl ee: i + 4713 (mod 19) oder ^ t + 1 {mod 19) ,

3) Römer - Zinszahl ~ i + 47 13 {mod 15) oder = t + 3 {mod 15).

Abänderungen verursachen nun die Schaltjahre, deren Einführung und
Berechnung erst im Julianischen, dann im Gregorianischen Kalender als
^ allgemein bekannt vorausgesetzt werden darf. Will man in irgend einem
Jahre das Datum der beweglichen Kirchenfeste, insbesondere des Osterfestes
, cnnitteln, so muss also die Kenntniss der genannten Zahlen, vornehmlich
<^68 Sonnenzirkels und der güldenen Zahl, vorausgehen, auf welche die
S'U^ sogenannte Osterrechnung sich stützt. Man verschafft sich die-
nten entweder durch die erwähnten Congruenzen , die mit Hilfe der nöthi-
^ Abänderungen richtig gestellt wurden , oder in bequemerer Weise durch
^^ machinales Verfahren. Herr Schubring, von dessen chronologisch-
'^senschaftlicher Thätigkeit im XXIX. Bande dieser Zeitschrift, hist.-lit,
^^th« 8. 180, die Rede war, hat die Aufgabe in der doppelten oben ange-
^^^teten Art gelöst. Er hat in seiner Abhandlung die Berechnung jener wich-
^S'^n Zahlen gelehrt, er hat auch einen ungemein sinnreichen Apparat her-
beieilen gewusst, welcher durch einige Drehungen nach vollzogener Einstel-
^^^g die Antwort auf die betreffenden Fragen abzulesen gestattet. Wir sind
j^J^erzeugt, dass, wer Kalenderprobleme mehrfach zu lösen hat, sich an der
!^^nd der Seh üb ring 'sehen Belehrung bald auf einem (Gebiete zn Hanse
Tillen wirdy das immerhin zu den von Schwierigkeiten dorchsdhnitteD'
^^hSrt, wie sich schon daraus entnehmen l&sst, dass Gauss se diP^
^Dib hielt, sich auf demselben omherzutaininelii.

136 Historisch -literarische Abtheilmig.

Kalender- Tabellen, zusammengestellt von Dr. Felix Müllbr, Oberlehrer
am königl. Lonisengymnasiam zu Berlin. Berlin , bei G^org Reimer.
1885. 8 S. und 3 Tafeln.

Dieselbe Aufgabe, welche Herr Seh üb ring, wie wir in der voraus-
gehenden kurzen Besprechung gesagt haben, seine Leser lösen lehrt, hat
auch Herr Müller behandelt. Ein wesentlicher Unterschied besteht nur
darin, dass Herr Müller die Rechnung selbst als ausgefUhrt voraussetzt
und sich begnügt, die praktische Benutzung der Tabellen zu lehren, welche
er mit Zugrundelegung der Piper 'sehen Abhandlung über die G ausstäche
Osterformel (Grelle XXII) herzustellen sich die grosse Mühe gab. Herrn
Schubring *s Arbeit muss man verstehen, um sie anzuwenden; Herrn
Müll er 's Tabellen kann man anwenden, ohne ihre Herstellung klar zu
übersehen, ähnlich etwa wie man Logaritbmentabellcn benutzen kann und
thatsächlich auf der Schule benutzen lässt, ohne dass der Schüler weiss,
wie die Tabelle eigentlich entstanden ist. Caktor.

C. Neumann, Vorlesnngen über Eiemann's Theorie der Aberschen Inte-
grale. Leipzig, Teubner. 1884,

Dass ein Werk, wie das vorliegende, in zweiter Auf läge erscheint, ist
schon an und für sich mit grosser Freude zu begrüssen. Muss doch die
Theorie der AbeTschen Functionen als die schönste Frucht der neueren
Mathematik bezeichnet werden. Wenn also ein Werk, welches sich die Ein-
führung in diese Theorie zur Aufgabe setzt, zahlreichen Absatz ündet, so
ist das ein erfreulicher Beweis, dass die Theorie selbst in immer weiteren
Kreisen bekannt und gepflegt wird. Auch war die erste Auflage als ein
sehr brauchbares Hilfsmittel bekannt und geschätzt, und es wurde allgemein
anerkannt, dass der Verfasser es verstanden habe, der Rie mann 'sehen
Theorie ihre Schwierigkeit zu nehmen und Jedem, der die Elemente der
Differential- und Integralrechnung erfasst hat, das Verständniss zu ermög-
lichen. Die vorliegende zweite Auflage aber wird, daran zweifeln wir
nicht, ihrem Zwecke noch weit besser dienen, da sie die Vorzüge der ersten
Auflage beibehalten und denselben wesentliche neue hinzugefügt hat« Wenn
das Vorwort zur ersten Auflage es als die Aufgabe des Werkes bezeichnete,
die beiden in Riemann's Doctordissertation entwickelten Gedanken darzu-
legen, nämlich 1. die Definition einer Function durch gewisse Merkmale der
Stetigkeit und ünstetigkeit, und 2. Ausbreitung einer Function auf einer
mehrblättrigen Fläche: so trat in dem Werke selbst der zweite Gedanke»
wenigstens räumlich, bedeutend mehr hervor als der erste und es «wurde
demselben in der Vorrede eine grössere Wichtigkeit beigelegt, ab ihm naoh
der Ansiebt vieler Mathematiker nnd^ m<^ ^% «cheint^ nach der jetsigen An-
Mcbt dee Fer&asers zukommt. Dagegen \acv\^> &<^eY ^Nn€\\j^ ^^ftaaSki^ ^ 4«k

Becensionen. 137

neuen Anflage viel mehr zarück, und der erste Gedanke, die Bestimmung
einer Function durch ihre charakteristischen Eigenschaften, wird bei der
grauen Behandlung bedeutend bevorzugt. Dadurch ist ein ganz neues Werk
entstanden, welches nicht nur den Inhalt der ersten Auflage (bis auf die
XTmkehrang der elliptischen Integrale und sonstig öfters wohl mit einigen
KUrzungei^ in sich aufgenommen hat, sondern demselben auch neue Partien
kinzufOgt, so dass das Werk in der neuen Gestalt nicht nur den Anfönger
ohne zu grosse Mühe in die genannte Theorie einführt, sondern auch dem
Porscher werthvoUe Bereicherungen der Functionentheorie bietet. Zwar wird
Jeder, welcher mit den Untersuchungen des Herrn Weierstrass bekannt
ist, 68 lebhaft bedauern, dass derselbe noch immer seine Grundzüge der
Functionentheorie nicht veröffentlicht hat; namentlich glauben wir, dass das
secbste Capitel, die Theorie der algebraischen Functionen, kaum etwas
bringt, was nicht schon in den Weierstrass'schen Vorlesungen bewiesen
wird; aber das darf uns nicht hindern, den Untersuchungen des Buches
alle Anerkennung auszusprechen.

Der Verfasser hat es sich keineswegs zur Aufgabe gestellt, die ftusserste
Sirenge in seinen Entwickelungen und Beweisen zu beobachten. Er meint,
es komme weniger auf eine strenge Darstellung, als darauf an, dass die
eingegebenen Methoden die zur strengen Darstellung erforderlichen Mittel
9dw&hren. Demnach hat er die Theorie in derjenigen Form zu conserviren
Sesucht, in welcher sie von Cauchy und Riemann gegeben ist. Er hat,
Vorauf er selbst aufmerksam macht, manche fundamentalen Sätze in un-
genauer Form angegeben, ohne die Bedingungen, unter denen sie gelten,
^i^hÖpfend aufzuzählen. Hierdurch glaubt er dem Anfönger das Verständ-
^ias erleichtert zu haben, während der Vorgeschrittene und an absolute
Strenge Gewöhnte im Stande sei, ;,die in Bede stehenden Ungenauigkeiten
leicht abzustreifen und die betreffenden Sätze in ihre wirklich correcte Ge-
^telt zu versetzen^. Letzteres möchten wir bezweifeln; wir erinnern den
^erfiuser an seine Polemik mit Herrn Schwarz (S. 411), die sich ebenfalls
^Xif solche Bedingungen bezieht. Auch auf folgenden Umstand möchten wir
aufmerksam machen: Im Werke selbst wird aus dem Satze, dass das In-

tegral lf{z)d$^ hinerstreckt über die Begrenzung einer Fläche, auf wel-

^äier fX») überall stetig ist, stets gleich Null ist, gefolgert, dass auch die
%r8te Ableitung auf der Fläche stetig ist; in der Vorrede heisst es um-
gekehrt: Das Cauchy 'sehe Theorem 1 f{z)dz = 0 scheint nur dann ein

Bbsolnt strenges zu sein, wenn auf der Fläche ^ ausser der Stetigkeit
^on f{0) auch noch die von fiz) vorausgesetzt wird. Dieser Gegensatz
awischen dem Werke selbst und der Vorrede zeigt, dass es nicht leicht
ist, die Ungenauigkeiten abzustreifen. Was äuim. v^x Qca '^äSssis^Gis^
den Anfänger angebt^ eo hätte sicli dieselbe m\\> d^u külot^^rosk^^s^

Mbt^ULAhtUg. d. ZeiUcbr. f. Math, u, Phy». XXX, 4. ^"^

138 Hifliorisch- literarische Abtheflnng.

Strenge vereinigen lassen, wenn gewisse Partien äosserlich als für den Vor-
geschrittenen bestimmt bezeichnet wären. Wir möchten jedoch aasdrttckUdi
hervorheben, dass wir hiermit keinen Tadel gegen das Werk aussprechen
wollen; wir sind dem Verfasser dankbar für das, was er uns bietet, ohne
darüber zu rechten , was er uns hätte bieten können. Wenn wir aber einige
leise Wünsche aussprechen dürfen, so möchten wir für die hoffiooitlich bald
zu erwartende dritte Auflage die Aufmerksamkeit des Verfeissers darauf
richten, dass an solchen Stellen, wo ein genauer Ausdruck ebenso kurz nnd
ebenso leicht verständlich ist wie ein ungenauer, ersterer vorzuziehen seL
Auch kann es uns nicht recht gefallen, dass er S. 393, ohne jede Andeu-
tung, wie gewagt ein solcher Schluss ist, es als selbstverständlich hinstellt,
dass jede reelle Function von zwei Veränderlichen , welche auf einer Fläche
eindeutig und stetig ist, auf derselben einen Maximal- und Minimalwerth
erreicht. Was die literarischen Notizen angeht, so möchten wir glauben,
dass dieselben an einigen SteUen dem Anfänger (allerdings nur diesem)
falsche Ansichten über den ersten Entdecker eines Satzes beibringen müssen.

Dass die Function ^(;5 — Cj) ... (;5 — C2««.i) im Punkte ir = oo einen Win-
dungspunkt hat, wird sehr schön hergeleitet, indem man in der Function

— ^—^ ^ die Grösse 02« unendlich gross werden lässt; daneben

würden wir gern noch einen directen Beweis mitgetheilt sehen.

Als Hauptaufgabe des Werkes wird man es bezeichnen müssen, dass
es in die Functionentheorie C auch 7 's und Biemann's, mit specieller
Rücksicht auf die AbeTschen Functionen, einführt. Dieser Aufgabe ent-
spricht das Werk in vorzüglicher Weise. Die Klarheit des Ausdrucks und
die Einfachheit der Beweise brauchen nicht ausdrücklich hervorgehoben zu
werden: es sind das bekanntlich Vorzüge, welche allen Werken des Ver-
ÜEkssers in hervorragendem Maasse eignen. Wir möchten daher vor Allem
auf die passende Anordnung des Stoffes aufmerksam machen. Wenn wir
die geometrischen Entwickelungen des Werkes übersehen, so erkennen wir,
wie bedeutend der geometrische Apparat ist, den Biemann gebraucht, und
wenn dem die geringe Ausdehnung dessen, was Rie mann selbst giebt, zu
widersprechen scheint, so muss man beachten, dass derselbe an den Leser^
eben ganz ausserordentliche Anforderungen stellt Es war keine leichte
Aufgabe , die geometrischen Untersuchungen mit denen der Functionentheorie
so zu verwirken, dass ein organisches Ganzes entstand. Es ging nicht an^
den ganzen geometrischen Apparat in den Anfang zu stellen. Wenn wii^
auch anerkennen , dass diese analysis sUus bei weiterer Ausbildung sich all —
gemein ein selbstständiges Interesse erringen wird, so glauben wir doch^
dass sie bei ihrem jetzigen Stande den Anfänger ermüdet, wenn er ihre^
Anwendungen fUi* die FunctioiieiiV\i^oi\!^ Tv\fi\ii N^rCol^en kann« Demnaclfc-
muss es gebilligt werden, daAE detNetia&^es Qi^m^Vscv^^i^^^^kZDa^va^ ^^^

Recensionen. 139

tiaa gaxaa Werk hat abwechseln lasBen. Dabei lag allerdüigs die Gefahr
einer ZerspLitterung des Stoffes sehr nahe: kaum sind die analytischen Un-
teiSTicbangeii begonnen nnd man mnss wieder zu den ganz davon versohie-
äenen geometrischen Betrachtungen zurückkehren. Eine solche Zeraplitte-
ning ist unseres Erachtens beinahe gänzlich vennieden. Die ersten beiden
Cftpitel bieten die Hauptsätze Cauchy's über Functionen; hier tritt die
Koth wendigkeit, die Ausbreitung einer Function zu beachten, so deutlich
hervor, dass die beiden folgenden Capitel, in denen diese Ausbreitung für
sich betrachtet wird, keinen wesentlich verschied eilen Charakter zeigen,
obwohl das Geometrische mehr hervortritt; und amgekebrt sind diese beiden
CipiteJ, dos dritte und vierte, mit so vielen analytischen Beispielen durch-
'rirkt, dass das folgende Capitel nur eine allgemeine analytische Theorie
dessen giebt, was vorher durch zahlreiche Beispiele vorbereitet war. In
■Joraelben Weise geht es weiter und wir stehen nicht an, die Anordnung
^ Stoffe» (in dieser zweiten Auflage) geradezu als ein Meisterstück zn
'•«zeichnen.

Der Stoff ist gegen die erste Anflage bedeutend vermehrt und umfasst
^^a ÄbeTsche Theorem und das Jacobi'sche ümkehrproblem für beliebige
*le«braische Functionen, wobei die hyperoUiptischen Functionen, an f welche
äich die erste Auflage beschränkte, in den Vordergrund treten. Diese Er-
weiterung ist sehr zu billigen. Wenn der Anfänger sich ia die allgemeine
Theorie hineingearbeitet hat, so muss er auch die ganze Frucht seiner
^^utrengnngen geniessen und in dem gesteigerten Interesse einen Sporn
erlialten, immer tiefer in die Theorie einzudringen. So hat das Buch jetzt
4ea ganzen Inhalt der Riemann'scben Abhandlung „Theorie der Abel'schen
^^mctionen" in sich aufgenommen und geht stellenweise darüber hinaus.
"Ui ist die Methode, dnrch welche Riemann fUr eine gegebene Gleichung
*^e Verzweigung der entsprechenden FlHche ermittelt, nicht mitgetheilt,
vielmehr geht der Verfasser stets von der Eiemann'schen Fiäche aus und
es gelingt ihm, in sehr einfacher Weise die Eelatäon 2p = u) — 2m + 2
'"Tächeu der Ordnungszahl 2p-\-l der Fläche, der Zahl « ihrer Blätter
nnj der Summe w der elementaren Windungspunkte zu ermitteln. An einer
"teile, wo Riemanu's Behandlung sich auf einen nicht vollständig bewie-
*WBn Satz zu stützen seheint, ist ein Weg angegeben, welcher nicht nur
"*n betreffenden Beweis liefert, sondern auch direct zum Ziele führt. Es
**! das der Anfang von § 23 der Eiemann'schen Arbeit, welcher durch
^ie Seiten 336 — 350 des Werkes eine neue Grundlage gewonnen hat.

Mitten im Werke werden die Eiemann'schen Existenztheoreme betreffs
^er Abel'Bchen Integrale rein historisch mitgetheilt und auf ihre Herleitnng
^MniitteUt des Dirichlet'schen Princips nur hingedeutet. Hierbei wird
^iese Methode der Herteitung nur als eine mangelhafte, höchstens als eine
^viuatoriache bezeichnet. Es gewahrt vielleicht einigem lul«i«%%%, x-^^ <ec-
&hrau, daai Biemaan seibat Beine Methode im m%ca^äi.«:n. N «rfft.'äDx usil

140 Historisoh-liierarisohe Abtheilang.

Herrn Wei erstras 8 durchaus nicht als streng angesehen wissen wollte,
aber ganz richtig die Auffindung der Resultate als die erste, die strenge
Beweisführung als die zweite Aufgabe der Wissenschaft bezeichnete. Herr
Neumann hat nun in den drei letzten Capiteln einen Beweis dieser Ezi*
stenztheoreme geliefert. Dieser Beweis wird geführt mittels derjenigen Metbo-
den, welche sich in früheren Arbeiten des Verfassers als äusserst brauch-
bar erwiesen haben. Nach allgemeinen Vorbereitungen wird zunächst nach
einer neuen Methode das schon öfters behandelte Problem gelöst: eine ste-
tige Function U von x und y zu finden, welche innerhalb einer Kreisfläche
der Differentialgleichung

genügt und am Rande beliebig vorgeschriebene Werthe erhält. Diese Lö-
sung wird zunächst auf eine mehrblättrige Fläche übertragen und dann
gezeigt, wie man aus einer solchen Kreisfläche der Reihe nach beliebig
viele Kreise ausschneiden und jedesmal für die neue Fläche die Lösung
angeben könne. In Betreff der Durchführung dieses Gedankens müssen wir
auf das Werk selbst verweisen und fordern zum Schluss namentlich die
Studirenden zum eifrigen Studium desselben auf.

Braunsberg. W. Killing.

Einleitung in die Theorie der elliptisolien Fnnotionen. Von Kabl Bobbk,
Privatdocent für Mathematik im Allgemeinen.

Das Buch stellt sich die Aufgabe , einen kurzgefassten , auf das Wesent-
lichste beschränkten Abriss der Theorie der elliptischen Functionen und
Integrale zu geben, indem es dem Anfänger möglich macht, sich rascher
in dieses Gebiet einzuführen , als dies die ausführlichen Lehrbücher gestatten.
Die benutzten Methoden sind wesentlich dieselben wie in dem Koenigs-
b er ge raschen Werke über elliptische Functionen. In der Einleitung finden
wir eine Zusammenstellung der wichtigsten Sätze über Functionen complezer
Variabein und die Integrale derselben. Nach des Referenten Ansicht hätte
hierbei auf den allgemeinen Begriff der Function genauer eingegangen wer-
den sollen; die Definition, dass f{z) als Function von z zu betrachten sei,

wenn von dz unabhängig ist, dürfte für den Anfänger ohne weitere

z
Erläuterung kaum verständlich sein. Das bestimmte Integral W=^ 1 f{ß)dz

dW
wird durch die Relation --— = /*(ir) definirt: hiemach ist aber nicht er-

dz

sichtiieb, was 0^ mit W überhaupt vi ^uü Va^ \md was unter dem Into-

grutionawege 20 verstehen ist^ ttaeVi "«TOiuii masa «vf^ ^%i^ "^^^^s^^ >aL

Becensionen. 141

^s. ^ » „^^. ^ ^fc. -^ *

Definition ergänzt, dürften doch die folgenden Betrachtangen ttber den Ein-
fluss des Integrationsweges nicht ausreichend sein. — Die EinfCLhrung doppelt-
periodischer Functionen im ersten Theile geschieht nicht, wie bei Koenigs-
berger, auf Grundlage der elliptischen Integrale, sondern ohne weitere Be-
gründung. Becht eingehend wird der Zusammenhang der doppelt -periodischen
Functionen unter einander, sowie die Theorie der Additionstheoreme (letztere
zuerst für die elliptischen Functionen und dann hierauf gestützt für die
Thetas) behandelt, während die Entwickelung in unendliche Producte und
Partialbruchreihen wegbleibt. Der zweite Theil umfasst in zweckmässiger
Beschränkung die Theorie der Biemann'schen Flächen speciell für die

Function y = yÄ{x^aj) (a? — Oj) (x — «b) (a? — Ö4), und hierauf basirt die
Entwickelung der elliptischen Normalintegrale. — Sehr willkommen wird
vielen Lesern der Anhang sein, der die Beziehungen der elliptischen Tran-
scendenten zu den Curven vom Geschlecht 1 darthut und hiermit ein inter-
essantes Gebiet dem Studium zugänglicher macht.

Die Darstellungsweise des Werkes ist, von schon erwähnten Einzel-
heiten abgesehen, klar, der Inhalt bei aller Einschränkung reichhaltig, so
dass es mit Yortheil zum einleitenden Studium benutzt werden kann.

Frankfurt a. M., im April 1885. Dr. Otto Bausbnberqbr.

Franke, Die Koordinaten- Ausgleichung nach Näherungsmethoden in der
Klein -Triangulirung und Polygonalmessung. München, Grubert.
1884. VI u. 156 S. mit 1 Tafel. Preis 1,60 Mk.

Die vorstehende Schrift bildet eine Ergänzung zu des Verfassers be-
kannten „Grundlehren der trigonometrischen Vermessung im rechtwink-
ligen Coordinatensystem^. Während in dem letztem Buche alle Ausgleich-
ungsrechnungen streng nach der Methode der kleinsten Quadrate geführt sind,
werden in der obigen Schrift für die Detail vermessungsarbeiten Nähe-
rungsmethoden der Ausgleichung entwickelt und Näherungs grenzen der
zulässigen Fehler aufgestellt. Am Schlüsse werden Vergleiche zwischn me-
thodischen und näherungsweisen Ausgleichungen gegeben, welche zeigen,
dass die letzteren allen praktischen Ansprüchen an die Genauigkeit genügen.

Es fragt sich in der That, ob in den letzten Jahren, nachdem kaum
Bussole und Messtisch als Instrumente zu genaueren HorizontalYermessungen
verabschiedet wurden, nicht mit Einem Male des Guten etwas zuviel ge-
schehen ist, als man selbst für ganz untergeordnete Aufgaben der Detail-
vermessung die strenge Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Qua-
drate verlangte; es möchte hier doch dann und wann ein Missverhältniss
zwischen den Messungsgrundlagen einerseits und der angestrebtoi. Q«BasQ5%-
keit der Resultate, sowie dem daiu n&Mgeu BAt^YmnoigjNdbYQI^ic^ vgl^^scw»»^
obwaUen. Batiooelle aod vereinfachte Biec'bauo^g&^QtfsiiDSQa^^^^Q^

142 Historisch -literariBche Abtheilnng.

der Methode der kleinsten Quadrate ausgehen, scheinen fttr viele Zwecke
ganz angezeigt und es sei deshalb die vorliegende Schrift als ein dahin-
zielender Versuch bestens empfohlen. TTAifmeit

BÖRSOH, Anleitung sur Berechnung geodätischer Coordinatan, 2. Aufl.
Cassel, Freyschmidt 1885. VUI u. 167 a mit 2 Tafeln. Preis 6 Mk.

Diese Neuauflage der ursprünglich nur zur Verwendung bei der kur-
hessischen Neuvermessung bestimmten Schrift ist durch wesentliche Erwei-
terangen zu einem recht praktischen geodätischen Hilfsbuche geworden. Man
möchte nur, nachdem im Abschnitt I eine Einleitung über die mathemaüsche
Grundlage der Formeln geboten werden soll, wünschen, dass dieselbe ent-
weder etwas ausführlicher oder einfach als Formelsammlung behandelt wSre ;
denn ob auf 20 Seiten Analysis, sphSrische Trigonometrie und analytische
Geometrie so abgehandelt werden können, dass in der That j^dem prak-
tischen Feldmesser und dem in der mathematischen Analysis weniger (je-
übten jede Frage über die Ableitung der Formeln und über die Berechnung
geodätischer Coordinaten beantwortet wird'', erscheint zweifelhaft. Der
zweite Abschnitt behandelt das Erdsphäroid, der dritte die verschiedenen
Systeme geodätischer Coordinaten. Im Anhang dieses Abschnittes sind
einige geodätische Aufgaben speciell behandelt, wobei für die Ausgleichung
der Pothenot'schen Aufgabe eine elegante Methode durch Ausgleichung
der gemessenen Winkel statt (nach Gauss und Gerling) der Coordinaten
des zu bestimmenden Panktes gegeben ist. Der vierte Abschnitt endlich
enthält vollständige Tafeln zur Berechnung geodätischer Coordinaten von
36^ bis 7P Breite, also für ganz Europa ausreichend. Die sämmtlichen
Tafeln scheinen sehr correct zu sein. HAififfgit,

Dr. Jag. J. Weyrauch, Prof. a. d. polytechn. Schule in Stuttgart:

L Theorie elastischer Körper, eine Einleitung zur mathematischeiB
Physik und technischen Mechanik. Mit 42 Figuren im Text. Leip-
zig, Teubner. 1884;

2. Aufgaben zur Theorie elastischer Körper. Mit 110 Figuren inm
Text. Leipzig, Teubner. 1885;

3. Das Princip von der Erhaltung der Energie seit Kobert Kayer^

Zar Orientirung. Leipzig, Teubner. 1885. 48 S.

„An Lehrbüchern der Mechanik fehlt es nicht; eine allgemeine Grund—

läge fOr meine Vorträge über Elasticitäts- und Wärmetheorie» A6ro- un<S

/n^niearmechanik war jedoch nVtgeindÄ lu ^^'Wi)'^ «r^xV&V^ dar Herr Ver—

£ußer an den unterzeichneten BÄfetwoten ^ ^ «t «wöbl m\\. ^^fiR«&. ^^»i^^^

Becensionen. 143

die nunmehrige Anzeige des ersten Baches bis zum Erscheinen des zweiten
zu Terschieben, brieflich einverstanden erklärte. „Dass mein Buch beim
Stadium Schwierigkeiten bereitet, gebe ich zn, das ist bei jedem Werke
Aber elastische Körper der Fall, bei dem meinigen aber, wie ich glaube,
weniger ab beiClebsch, Kirchhoff u. A/' Diesem Ausspruch ist gewiss
beizupflichten; aber wenn es im Vorwort zu 1 heisst, dass von mathemati-
schen Vorkenntnissen nur soviel vorausgesetzt wird, als man sich auf der
Mittelschule oder doch nach einjährigem Besuche der Hochschule erwerben
bnn, so scheint mir fOr die grosse Mehrzahl der Studirenden der münd-
liche Vortrag eines Lehrers wie Herr Prof. Weyrauch sehr noth wendig,
sollen dieselben von dem Buche einen Nutzen ziehen. Für reifere Leser
sind aber die physikalischen Excurse wie z. B. auf das Gebiet der Schwing-
ong^lehre (die beiden letzten Abschnitte XI und XII) nicht ausreichend und
auch vom Herrn Verfasser nicht angelegt

Der erste Abschnitt, § 1 — 12, S. 1 — 29, handelt von den Qrund-
begpriffen. In § 1 ist die bekannte Beschleunigung „ specifische Massenkraft **
genannt. In § 2 ist der elastischen Nachwirkung mit acht Zeilen gedacht.
Auf die Verrückungen im § 4 folgen im § 5 die Dehnung und die Dreh-
nncieni in welchen schon Manches dem mündlichen Unterricht oder sonst
zuviel dem Privatverständnisse des Studenten (im dritten Semester) über-
lasaen wird.

Das Aufgabenbuch (2) trägt an der Spitze ein Inhalts verzeichniss von
134 Nummern, jede mit der Paragraphenzahl des Buches 1 versehen, welche
zur LOsnng nachgeschlagen werden soll. Die erste Aufgabe schliesst sich
ft& Torhingenannten § 5 an, von Aufgabe 108 au ist wiederum die Schwing-
^^gslehre bedacht. Ein völliges Register hier zu geben, würde bei der
B^chhaltigkeit des Buches weitläufig werden und ist auch nicht nöthig, da
^o Interessenten der reinen und angewandten Mathematik dasselbe gewiss
^Iber in die Hand nehmen und auf seinen Inhalt prüfen werden.

3. Diese Brochure enthält einen Vortrag des Herrn Verfassers im Lande
Robert May er 's nebst wissenschaftlichen Ergänzungen und Literaturnach-
weisen. S. 8 sind nach diesem Autor als „Kraftformen'' aufgeführt: „Fall-
•'^ft, Bewegung (l)j Wärme (!), Magnetismus etc"; S. 9 kritisirt der Herr
Verfasser die Vorgänger R. May er 's, dass sie ^den Begriff Kraft nicht all-
^ttiein genug fassten". Referent pflichtet der entgegengesetzten Ansicht
^i> dass man Kraft nur als Masse mal Beschleunigung fassen solle, wel-
^^Qxn Begriffe gegenüber auch Worte wie Magnetismus zu vag und aUgemein
«^Halten sind. g^^s.

penpeotiTisoher Apparat, von Oumo Hauok. Separatabdruck ans
der Festschrift der königl. Technischen Hochschule zu Berlin zur
Feier der Einweihung ihres neuen Qeb&ndea. l&^TVviiV^^, 4l^« ^^«

mit 2 FigüreDtafeln.

144 Historisch -literarische Abtheilung.

Die Aufgabe der darstellenden Geometrie im engeren Sinne des Wortes
besteht darin, aus irgend zwei gegebenen Projectionen eines rSumlichen
Gebildes eine dritte Projection desselben zu ermitteln. Diese Aufgabe ist
dem Grundgedanken nach nicht abhängig von der Art der Projectionen.
Es mag nun verlangt werden, aus Aufriss und Grundriss eine Centralpro-
jection entstehen zu lassen oder aus zwei Centralprojectionen (z. B. zwei
photographischen Aufnahmen) eine orthogonale Parallelprojection, Grundriss
oder Aufriss, abzuleiten, immer hat man es mit einer Aufgabe der eben-
genannten Natur zu thun. Herr Hauck hat nun den Versuch gewagt,
diese allgemeine Aufgabe mechanisch zu lösen, d. h. einen Apparat herzu-
stellen, der mit zwei Führungsstiften die Umrisse der beiden gegebenen
Projectionen verfolgt und zugleich durch einen Zeichenstift die gewünschte
neue Projection erzeugt. Die uns vorliegende Abhandlung enthält die pho-
tographische Abbildung des von Herrn Hauck eigenhändig zugerichteten
und bereits am 4. Mai 1883 in der Sitzung der Physikalischen Gesellschaft
zu Berlin fertig vorgezeigten und erläuterten Apparates mit der nGthigen
wissenschaftlichen Erklärung und Begründung. Es erscheint kaum möglich,
auszugsweise und ohne Figur über die ziemlich zusammengesetzte storch-
schnabelartige Verbindung mannigfacher geschlitzter Lineale zu berichten.
Wir glauben daher, unter Verweisung unserer Leser auf die Abhandlung
selbst uns mit dem Ausspruche des geometrischen Fundamentaltheorems
begnügen zu müssen, auf welchem die ganze Ausführung beruht und wel-
ches Herr Hauck in folgende Worte kleidet:

Seien P und P' zwei Projectionsebenen, die sich in der als Grnnd*
schnitt bezeichneten Linie g schneiden; seien 0 und 0' die zugehörigen
Projectionscentren. Die Verbindungslinie 00' schneide die Ebenen P und
P' beziehungsweise in den Punkten p und p\ welche als die Kernpunkte
der betreffenden Projectionsebenen bezeichnet werden. Sind nun x und x
die beiderseitigen Projectionen irgend eines Objectpunktes X, so müssen sich
die nach ihnen gezogenen Eernstrahlen px und px' in einem Punkte g
des Grundschnittes g schneiden, d. h. die beiden Projectionsfiguren
werden von den Kernpunkten aus durch zwei Strahlenbüschel
projicirt, welche den Grundschnitt nach einer und derselben
Punktreihe schneiden. Cantor

Die Grenzen zwischen Malerei und Plastik und die Gesetze des Reliefls.

Bede, zum Geburtstage Seiner Majestät des Kaisers und Königs in
der Aula der königl. Technischen Hochschule zu Berlin am 21. MSrz
1885 gehalten von dem zeitigen Bector Guido Hauok. Berlin 1886.
20 S.

Hört eine Zeichnung grau in grau, «^o oVmA ^sxbenunterschied gate»
ügt, aaf, dem Gebiete der Uelot^ «Qxa%^\i^t«iit ^\i «vns^ tso^

BecensioneiL 145

flbermalte Bildsttnle dem Gebiete der Plastik entrückt? Man braucht beide
Fragen nur auszusprechen, um ihrer sofortigen Verneinung sicher zu sein.
Zugleich überzeugt man sich aber von der Nothwendigkeit, die Grenze*
iwiflehen beiden Eunstbereichen, die in unserem Bewusstsein scharf aus
einanderliegen , auch scharf zu definiren. Es war ein Ei des Columbus auf-
nstellen, und Herrn Hauck ist der Versuch vortrefiflich geglückt. Die
Valerei, sagt er, hat Licht und Schatten in sich selbst, die
Plastik entlehnt es von aussen. Zwischen der Projection auf die
£bene mit angedeuteter Schattengebung und dem körperlichen Vollbilde mit
natürlich entstehenden Schatten ist als Drittes das Belief. Von der Malerei
entnimmt es Verkürzungen und Verschiebungen , auch einige Schattengebung,
▼on der Plastik die nicht zu vermeidende Lichtwirkung körperlichen Vor-
und Zurücktretens. Es muss mathematische Gesetze des Beliefs geben, es
mu88 möglich sein, die Forderung in eine Formel zu bringen, dass man
einer photographischen Aufnahme nachträglich nicht ansehen dürfe , ob das
Original Belief oder Vollrund war, eine Forderung, der Hanfs tängeTs
grosse Photographien Thorwaldsen^scher Beliefs auf schwarzem Grunde
ToUauf gerecht werden. Das muss mathematisch aussprechbar sein. Man
bst4 auch eine Zeit lang geglaubt, in der sogenannten Beliefperspective
iesBftthsels Lösung erkannt zu haben, es war ein Irrthum. Gerade Thor-
^^Idsen's Beliefs, das Muster, an welchem eine richtige Begel sich be-
^^^thrheiten muss, sind Pfuschwerke, wenn die Gesetze der Belie^erspective
^^f Richtigkeit Anspruch machen könnten. Die umgekehrte Folgerung ist
^x^bweisbar und es bleibt der darstellenden Geometrie die noch ungelöste
'^^fgabe, mathematische Gesetze des Beliefs zu entdecken. So der wesent-
liche Lihalt der ungemein anregenden Festrede. Cantor

^10 ftndirt man Mathematik und Physik? Von einem Lehrer der Mathe-
matik. Leipzig 1885, Bossberg^sche Buchhandlung. 12^. 32 S.

Für 60 Pf . beantwortet die Verlagshandlung diese Frage, und um den

gleichen Preis kann man erfahren, wie man Jurisprudenz, wie neuere Philo-

Xogie und Germanistik, cla^sische Philologie und Geschichte, Chemie und

^e beschreibenden Naturwissenschaften studire. Nur wie man sich zum Arzt

>md wie zum Land wirth bilde, kostet 80 Pf., und es ist eine Preisfrage,

"womit dieser Unterschied sich begründen lasse , warum gerade auf jenen

l>eiden Gebieten guter Bath theurer sei? Jedenfalls scheint bei unserer

rtadirenden Jugend das praktische Bedürfniss nach Bathschlägen über die

Einrichtung des Studiums vorhanden zu sein, und unzweifelhaft wird Zeit

und Mühe gespart, wenn die richtigen Vorlesungen in der richtigen Beihen-

folge gehört werden. Für die Universität Leipiig bsboiu ^<^ ^ostSs^i^ss&'^T^

A$$anu der M&tbematik im M&rz 1882 die n^t\ngQii ^«^xmigsii ^«MSmi^

146 HiBtorisch - literarische Abtheilung.

* -^'■^'••^ ^^^^ ^-^^-r«

licht, und auf diese Weisungen bezieht sich unsere Vorlage. Nur schade,
dass die mathematischen Vorlesungen anderer deutscher Universitäten sich
nicht alle dem gleichen Schema einfügen, dass die Mathematiker gewöhnt
sind, mit ihrem Stoffe irei zu schalten, so dass der gleiche Name nicht
selten zwei ganz verschiedene , verschiedene Namen ziemlich übereinstim-
mende Vorlesungen bezeichnen können. Uns scheint daher am sichersten,
der junge Studirende solle an irgend einen Lehrer der Hochschule, die er
zu besuchen gedenkt , sich vertrauensvoll wenden , seine Bitte um Rath wird
sicherlich nie eine Fehlbitte sein. Zieht er aber den Rath von Alters-
genossen vor, was ja Manches für sich hat, so wende er sich an den mathe-
matischen Verein der betreffenden Universität. Solche wissenschaftliche
Vereine wirken an und für sich auf^s Segenvollste und der Eintritt kann
jedem Neuling nur dringend gerathen werden. Cantor

Bibliographie

vom 1. Mai bis 30. Juni 1885.

Periodische Schriften.

Physikalische Abhandlungen der königl. Akademie der Wissenschaften zu
Berlin. Aus dem Jahre 1884. Berlin, Dümmler. 17 Mk.

Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, mathe-
mat.- naturwissenschaftl. Classe, Abth. II. 90. Bd., 3., 4. u. 5. HefL
Wien, Gerold. 13 Mk.

Publicationen des astrophysikalischen Observatoriums in Potsdam. Nr. 15.
4. Bd. 2. Stück. (Meteorolog. Beobacht.) Leipzig , Engelmann. 7 Mk.

Astronomisches Jahrbuch von Berlin für das Jahr 1887, herausgeg. von
F. TiETJBN. Berlin , Dttmmler. 12 Mk.

Die veränderlichen Tafeln des astronom. u. chronolog. Theils des k. preuss.
Normalkalenders f. 1886, herausgeg. v. Förster u. P. Lehmann. Berlin,
Verl. d. Statist. Bureaus. 5 Mk.

Acta mathematica, herausgeg. von G. Mittag -Lbffler. 6. Bd. 1. Heft.
Berlin, Mayer & Müller. compl. 24 Mk.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, herausgeg. von C. Ohst-
MANN. 14. Bd. Jahrg. 1882, 3. Heft. Berlin, 0. Reimer. 6 Mk.

Porisohritte der Physik im Jahre 1881 , dargestellt von der physikaL Ge-
aellscbBti in Berlin. 37. Jahrg.*) TQdig.^.'^viattVR, 1« Abth.: AUgenu
nad Akustik. Berlin, Qt.B^Ainst. "V^ttu

Bibliographie. 147

Reine

Wuhroldt, E., üeber Functionen, welche gewissen Diffeienzengleichungen

höherer Ordnung genügen. Kiel, Lipsins & Tischer. 2 Mk. 40 Pf.
SsiTzaB, 8., Untersuchungen im Gebiete linearer Differentialgleichungen.

3. Heft. Wien, Gerold. 3 Mk.

OiaxNBAUBB, L., Arithmetische Theoreme. 11. (Akad.) Wien, Gerold.

1 Mk. 80 Pf.
SmoxT, 0., üeber zwei universelle Verallgemeinerungen der algebraischen

Grundoperationen. (Akad.) Ebendas. 1 Mk. 60 Pf.

Wbi88, E., Entwickelungen zum Lagrange'schen Beversionstheorem mit

Anwend. auf die Eeppler'sche Gleichung. (Akad.) Ebendas. 2 Mk.
Skbbst, A.y Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Deutsch

bearb. y. A. Harnack. 2. Bd., 2. Hälfte. (Differentialgleichungen.)

Leipzig, Teubner. 7 Mk. 20 Pf.

Dakttsoh, D., Conforme Abbildung des ellipt. Paraboloids auf d. Ebeijp.

(Dissert.) Jena, Deistung. 1 Mk.

Taubbbth, J., Die Abbildung des ebenen Ereissystems auf den Baum.

(Dissert) Ebendas. 60 Pf.

Wallentin, f., Maturitätsfragen aus der Mathematik. 2. Aufl. Wien,

Gerold. 3 Mk. 60 Pf.

Gtssl, J., TJeber die sich rechtwinklig schneidenden Normalen einer Fläche

zweiten Grades. Schaff hausen, Schoch. 2 Mk.

^HiBKB , H. , Sammlung von Lehrsätzen und Aufgaben aus der Stereometrie.

Leipzig, Teubner. 1 Mk. 20 Pf.

^ÖBius, A. F., Gesammelte Werke, herausgegeben von der K. S. Gesellsch.

d. Wissensch. 4 Bde. 1. Bd. (geometr. Abhandl.), redig. v. B. Baltzeb.

Leipzig, Hirzel. 16 Mk.

S8, A., Niels Henrik Abel. Tableau de sa vie et de son action

scientifique. Paris, Gauthier-Yillars. 7 Frs.

Angewandte Mathematik.

^ITTSTBIK, Th., Das mathematische Bisico der Versicherungsgesellschaften
sowie aller auf dem Spiele des Zufalls beruhenden Institute. Hannover,
Hahn. 4 Mk.

Ko^PK, C, Die Ausgleichungsrechnungen nach der Methode der kleinsten
Quadrate in der praktischen Geometrie. Nordhausen, Koppe. 6 Mk.

^^*ALLiK, J., Vorlesungen über die Chronologie des Mittelalters. Wien,
Qerold. 1 Mk.

^^BHiHBBBOiB, F., Die Berechnung trigonometrischer Vermessungen mit
Racksicht anf die ^phfiroidische Gestalt der ^d^. P^uV^Odl ^ .^>^ kv>>nBi^
ßiaügart, Metzler. \MC»*'»^»*

148 Historisch -literarische Abtheilung. Bibliographie.

Adam, Y., Bruchstücke ans der mathematischen Creographie mit bes. Bück-
sicht anf Beleuchtungsverhältnisse. Wien ; Bermann & Altmann. 1 Mk.

Kraft, E., Sammlnng von Problemen der analytischen Mechanik. 9. o.
10. Lief. Stattgart, MeUler. 4 Mk.

Herz, N., Entwicklung der störenden Kräfte nach Vielfachen der mittleren
Anomalie in independenter Form. (Akad.) Wien, Gerold. 80 Pf.

Oertel, K., Astronomische Bestimmung der Polhöhen auf den Punkten
Irschenberg, Höhensteig u. Kampenwand. (Akad.) München, Franz. 2 Mk.

Serpieri, A., Die mechanischen, elektrostatischen und elektromagnetischen
absoluten Maasse , elementar abgehandelt mit Aufgaben. Aus dem Ita-
lienischen von B. Y. Reichenbach. Wien, HarÜeben. 3 Mk.

Physik und Meteorologie.

Dreher, E., üeber den Begriff der Kraft mit Bücksicht auf das Gesetz

von der Erhaltung der Kraft. Berlin, Dünmiler. 1 Mk.

KiESSLiNG, J., Die Dämmerungserscheinungen im Jahre 1883 und ihre

physikalische Erklärung. Hamburg, Voss. 1 Mk.

SoHNCKE, L., Der Ursprung der Gewitter -ElektricitUt und der gewöhnlichen

atmosphärischen Elektricitfit. Jena, Fischer. 1 Mk. 50 Pf.

ScHLEMÜLLER, W. , Gruudzüge einer Theorie der kosmischen AtmosphSren

mit Berücksichtigung der irdischen Atmosphäre. Prag, Dominicus.

1 Mk. 20 Pf.

Mathematisclies Abhandlnngsregister.

Erste Hälfte: 1. Januar bis 30. Juni.

Abbildung.
1. Ueber die laothermische Spiegelung. Holz muH er. Grelle XGIV, 179.

5. Zur coniormen Abbildung der Cyklide auf Bechteck und unbegrenzte Ebene.

Holzmüller Crelle XCIV, 237, 342.
S Ueber eine ein - dreideutige ebene Abbildung einer Fläche dritter Ordnung.

8. Kantor. Crelle XCV, 147.
4. Snr la repr^sentation sph^rique des surfaces. G. Darboux. Compt. rend.

XCVl, 866.
VergL Differentialgleichungen 91.

Abel'sclie Transeendenten.

6. On some Abelian integrale. H. J. R. Rink. Quart. Joum. math. XIX, 347.
6- Ueber einige Aber^cbe Integrale erster Gattung. H. J. Rink. Zeitschr. Math.

Phya. XXIX, 272.

7. Sor les ^quations diiferentielles ab^liennes dans le cas de la räduction du

nombre des p^riodes. E. Picard. Compt. rend. XCV, 898.
Vergl. Differentialgleichungen 83.

Analytisehe Geometrie der Ebene.
B. Sur Nquation intrins^que des courbes. E. Cesaro. Mathesis IV, 233.
^- Proprio de points harmoniques. Bast in. Mathesis IV, 206. — Cesaro

ibid. 207.
JO. Ueber das gleichseitige Dreieck. Em. Hain. Grün. Archiv LXIX, 44.
^«. Ueber das Centrum der mittleren Entfernungen der Schnittpunkte einer Geraden

mit drei festen Geraden M. Grein er. Grün. Archiv LXIX, 323.
^*' Trouver, sur une droite donn^e, le point M tel que le triangle ayant pour

sommets les projections de ce point sur les cöt^s d'un triangle donn^

ABC, seit un minimum. Bastin. Mathesis IV, 118. — J. Neuberg

ibid. 119.
^3. liieu gäom^trique faisant ressortir deux triangles Äquivalents. Bastin. Ma-

thesis IV, 88.
^^* Equation entre les aires de trois triangles construits sous certaines conditions.

P. Minoliti. Mathesis IV, 69.
*5- 5iur Trisection des Winkels. B. Sporer. Grün. Archiv LXIX. 224.
^^' Anerkennung einer Priorität. C. Hossfeld. Zeitschr. Math. Phys.XXIX, 192.

[VergL Bd. XXIX, Nr. 8.]
^•- Bor nne conrbe du 3. et une autre du 8. degrä. Bastin. Mathesis IV, 226.

— Bergmans ibid. 236.
*«. On the bitan^ents of a plane quartic. A. Cayley. Crelle XCTV, 93.
iv* B^sumä de differentes recherches sur les ovales de Descartes et quelques autres
«k o_ co^'bö». A. Genocchi. Mathesis IV, 49.
''• Sur nne coorbe dont Pabscisse s'exprime en fonction de Pordonnäe par une

qoadrature. Brocard. Mathesis IV, 126.

^* ^V^jectoiree orthogonales des courbes Q^ = a*log-^* firooard. Matherii

IV, 125.
Vergl Ci§§oide. Conchoide. ElUptische TraiiAQeiidcnltQii VM. l^»|2l^a«^^^

150 Historisch -literarische Abtheilang.

Analytitclie Oeometiie des Baamei.

22. Ueber Goordinatentrausformationen n^ Grades. Th. Beye. Grelle XCIV, 31t.

23. On curvilinear coordinates. A. Gaylej. Quart. Joom. math. XIX, 1.

24. Znr Polarentheorie der Gomplexe zweiten Grades. W. Stahl. Grelle XGIY, 819.
26. üeber Strahlensysteme zweiter Ordnung. W. Stahl. Grelle XGV, 297.

26. Erzeugung von Gomplexen ersten und zweiten Grades aus linearen Congmea-

zen. A. Weiler. Zeitschr. Math. Fhys. XXIX, 187. [YergL Bd. XlVIII,
Nr. 132.]

27. Bemerkungen über einige Gomplexe. A. Weiler. Zeitschr. Math. Phjs. XXIX,

191.

28. Einfache Erzeugung einiger Gomplexe zweiten Grades. A Weiler. Grelle

XGV, 140.

29. Ueber lineare und quadratische Strahlencomplexe und Gomplexen -Gtewebe.

Th. Reve. Grelle XGV, 330.

30. Zur Theorie der Baumcurven. G. Hossfeld. Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 242.

31. Sur les courbes du sextant. Gruey. Compt. rend. XGVI, 240.

32. Sur une espöce de courbes sym^triques de la sixidme classe. G. Grone. Acta

mathematica II, 81.
Vergl. Oberflächen. Oberflächen zweiter Ordnung.

Astronomio.

33. Sur IMquation diff^rentielle qui donne immädiatement la Solution do probl^me

des trois corps jusqu^aux quantitäs du deuxiäme ordre inclonvement.
H. Gyld^n. Gompt. rend. XGV, 67.

34. Sur un point de la thi^orie des perturbations. R. Bad au. Gomjpt rend. XGV, 117.
36. Sur les perturbations de Satume dues ä Taction de Jupiter. A. Gaillot

Gompt. rend. XGVI, 626.
36. Tables auxili^res pour calculer Tanomalie vraie des planstes. Gh. V. Z enger.
Gompt. rend. XGV, 208.

87. Thäorie du mouvement diume de Taxe du monde. Folie. Gompt. rend.

XGV, 163.

88. Sur le calcul des yariations s^culaires des äläments des orbites. O. Gal-

landreau. Gompt. rend. XGVI, 1841.

39. Des termes ä courte periode dans le mouvement de rotation de la terre. G.

Rozä. Gompt. rend. XGV, 327.

40. Sur la th^orie du Soleil de G.W. Siemens. Faye. Gonipt. rend. XGV, 612,

1110; XGVI, 79, 136, 292, 356. — Siemens ibid. XGV, 769, 1037: XGVI,
43. — Hirn ibid. XGV, 812, 1196. — Rey de Morande ibid. XCV, 980.
- J. Violle ibid. XGVI, 263.

41. Mäthodes nouvelles pour la dätermination des ascensions droites et des döcli-

naisons absolues des steiles. Loewy. Gompt. rend. XGVI, 1098, 1179,
1329, 1746, 1813.

42. Sur une maniäre de d^terminer Tangle de position d'un Ppint de la surface

d*un astre ä Taide d'une lunette horizontale. Gh. Tr^pied. Gompl
rend. XGVI, 1198.

43. Sur Vemploi de la lunette horizontale pour les observations de spectrosoopie

solaire. Thollon. Gompt. rend. XGVI, 1200.

44. Sur la possibilitä d'accroltre dans une grande proportion la pr^cision des ob-

servations des ^clipses des satelutes de Jupiter. A. Gorno. Compt.
rend. XGVI, 1609.
Vergl. Keppler'sches Problem. Oberflächen 342. Reihen 417.

Bemoiilli*soli6 Zahlen.
46. Studien über die Bemoulli'schen und Euler'schen Zahlen. J. Worpitsky.
Grelle XGIV. 203. — Kronecker ibid. 268.

46. Ueber die Partialoruchzerlegang der Functionen, mit besonderer Anwendimg

auf die Bemoulli'schen. J. Wo r p i t z k y. Zeitschr. Math. Phys. 'yXTY^ ^

Bettimmta Integrale.

47. On certain definite Integrals connected with spherical harmonicB. F. Froit

Quart. Joam. math. XIX, 242.
48, Sur une daaM de fonction« Tept6&eiil6e» '^«t ^<^m\i^^snXea d^finiei. E. Qoiir-
Büt Acta mathematica lÜ ^*

Abhandlungaregister. 161

1
4ft. Snr l*intägrale J(fi{x).^{x).dx. A. Xorkine. Gompt. rend. XCVI, 826.

SQ. Ueber das Doppelintegral. P. da Bois-Beymond. Grelle XCIV, 273.

ti tfi

dt I du ^^ * * ^ = g(jg). E. Goursat. Compt.

rend. XCVI, 1804.
«L Snr rinWgrale ^r co8ix^co8Jy.dx.dy _ 0. Callandreau. Compt.

rend. XCVI, 1126.
Verffl. AnalytiBche Geometrie der Ebene 20. DifPerentialgleichangen 86.
Ellipse 122. Elliptische Tr - - - » -

Beinen 426. Bectification.

>se 122. Elliptische Transcendenten. Gammafimctionen. Qu^rator.

Oisioide.
6^ Die Cissoide des Diokles. M. G reiner. Grün. Archiv LXIX, 813.
M. Syitäme des cissoldes et sa trajectoire orthogonale. Brocard. Mathesis IV, 124.

Combinatorik.
65. Ein combinatorischer Satz. M. Stern. Grelle XCV, 102.
^6. 8ar les permutations de n objets et sur leur classement. J. Bourget. Compt.
rend. XCV, 508.

Complanation.
67. Die Oberfläche der beiden Paraboloide. 0. Böklen. Grün. Archiv LXIX, 222.

Conchoide.
M Snr an mode de gän^ration des concho'ides. H. Schoentjes. Mathesis IV, 145.

— Deroasseau ibid. 237. — M. d'Ocagne ibid. 237.
(^. Sor le lima^on de Pascal. Bastin & Gillet. Mathesis IV, 117.
^ Gonchoide comme lieu des points oü certaines droites touchent des cercles qai

lear correspondent. Brocard. Mathesis IV, 204.

Cubatar.
^. Volome limit^ par un plan et par une surface engendrde par nne ellipse. De-

roasseaux & Keelhoff Mathesis IV, 229.
61 Volome limitä dans TellipBoide. Bast in. Mathesis IV, 192.
Vergl Qaadratar 408.

Determinanten.
^. Sor ane application da däterminant cyclo -sjrmm^trique. A. Legoax. Qaart.

Joam. math. XIX, 41. — A Lodge ibid. 267.
^ Sor ane formale de Lagrange däjü, g^ndralisäe par Caachj. Em. Barbier.

Comj)t. rend. XCVI, 1845.
Jj- tJeber eimge Determinantengleichungen. E. Hnnyady. Crelle XCIV, 171.
^. Üeber einige Determinantemdentitäten, welche in der Lehre von den perspec-
tivisoien Dreiecken vorkommen. F. Caspary. Crelle XCV, 86. [VergL
Bd. XXVIU, Nr. 68.]
VergL Optik 871.

Difforentialgleiohimgen.
*•• Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen L. W. Thomä. Crelle XCV,
^ ^ 44. [VergL Bd. XXVUL Nr. 66.]
^. Sor lee groupes d*äqaations lin^aires. H. Poincarä. Compt. rend. XCIV, 691,

^- Sor les groapes de transformation des äquations diffc^rentielles linäaires. E.
- Picar(L Compt. rend. XCVI, 1131.

«0. Zqt Theorie der totalen linearen Differentialgleichungen. B. Weinstein.
», Gran. Archiv LXIX, 225

*" 8^ le» ioi^groJes aigäbriques des dquaÜcns d\{[6TQii\i«\!L«^ Ykxi&a^x^t^ ^ ^a^*^-
aientB rationnelB, L Autonne. Compt. lend. ILCNV ^*

154 Historisch -literarische Abtheilung.

122. Mojenne de rayone vecteare d*ane ellipse. £. Cesaro. Matheeis IV, 40.

Ter^l. Cubatur 61. Hyperbel 256. Normalen 338. Quadratur 404, 406. Rec-
üfication.

EUipsoid.

123. Propriätä de Tellipsoide. J. Neoberg. Mathesis VII, 227.

Vergl. Cubatur 62.

Elliptiiolie Transoendenten.

124. A revision of chapters XXIV and XXVI of Legendre^s Fonctions Elliptiqnes

T. I. A. G. Green hin. Quart. Journ. math. XIX, 226.

125. Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen. 0. Bausenberger. Grelle

XCIV, 261. [Vergl. Bd. XXVUI, Nr. 512.]

126. Zur Transformationstheorie der elliptischen Functionen. L. Kiepert. Grelle

XCV, 218. [Vergl. Bd. XXV, Nr. 350.]

127. On certain formnlae in elliptic functions. J. W. L. Glaisher. Quart. Joum.

math. XIX, 22.

128. Expressions for argsna and {argsnay as definite integrals. J. W. L. Glaisher.

Quart. Joum. math. XIX, 71.

129. A System of integrals iuYolving elliptic functions. J. W. L. Glaisher. Quart.

Joum. math. XIX, 145.

130. Sur une nou volle s^rie dans les fonctions elliptiques. Faa de Bruno. Gompt.

rend. XCV, 22.

131. Algebraische Ableitung der Multiplication von cosamu, C. Runge. Grelle

XCIV, 349.

132. Ableitung des Additionstheorems für elliptische Integrale aus der Theorie

eines Kegelschnittbüschels. Ad. Schumann. Zeitschr. Math. Phys.
XXIX, 55.

133. Sur Tapplication des integrales elliptiques et ultraelliptiques a la thäorie des

courbes unicursales. Laguerre. Compt. rend. XCVl, 769.

134. Ueber das Cartesische Oval. E. Haentzschel. Grün. Archiv LXIX, 395.

F.
Faetorenlolge.

135. Sur le produit indäfini (1— a?)(l — a:*)(l — a:')... Sylvester. Compt. rend.

XCVl, 674.
Vergl. Gammafnnctionen 182.

Formen.

136. Ueber Relationen zwischen Classenanzahlen binärer quadratischer Formen von

negativer Determinante. Jos. Gierster. Mathcm. Annal. XXü, 190.
[Verg;!. Bd. XXIX, Nr. 130.]

137. Sur certaines formes quadratiques et sur quelques groupes discontinas. E.

Picard. Compt. rend. XCV, 763.
188. Sur les formes quadratiques binaires ä, indätermin^es conjugu^es. E. Picard.
Compt. rend. XCVl, 1567.

139. Sar la reduction continuelle de certaines formes quadratiques. £. Picard.

Compt. rend. XCVl, 1779.

140. Bemerkungen über die Aequivalentsubstitutionen binSl*er quadratischer Formen.

J. Hermes. Grelle XCV, 165.

141. Sur la reduction des formes quadratiques positives ternaires. Minkowski.

Compt rend. XCVl, 1205.

142. Table des formes quadratiques quateraaires positives reduites dont le d^ter-

minant est ägal on infdrieur & 20. L. Charve. Compt. rend. XCVl, 773.

143. Geometrischer Beweis der bekanntesten Eigenschaften einer binären cubischeo

Form. G. Loria. Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 245.

144. Ueber abhängige Punktsysteme und deren Bedeutung für die redproke Ver-

wandtschaft zweier Ebenen. Eosanes. Grelle XCV, 247. [Vergl. Bd. XXVI,
Nr. 322.]
146. Sur la formation des d^terminants irrdguHers. Jos. Perott Grelle XCV, 28i.
VergL Geometrie (höhere) 198, 206. Invariantentheorie.

Toiiriix*telie Beihe.
I4e. Sar la §Me de Fourier. Halpben. Comc^ t«&^. ^CS^, VIVI.
147. Dämon»ta^Uoü, siinplifi^e det tormniQa d^ l^oxmnt. ^.Q(*\V^«tV Afci^Mnla;^^
SuppUm. V.

i-Beymond.

Fiuotioneti.

r leg tranHcendanteB entifrea. H. Poincar^. Compt. rend. XCV, 23.

150. Sur lea fonctions FiichaienneB. H. Poincarfi. Compt rend. XCV, 62S; XCVl,

14S6.

151. Siir la th^orie des fonctions umfonnei d'une variable. Mittag-Leffler.

Compt. reud. XCV, 335. [Vergl Bd. XXIX, Nr. 678.]
162. Sur leg fonctiona uniformeE d'iine variable, Uäce par use rehktion alcifbrique

E. Picard. Compt. rend, XCVI, 476,
153, Sur la throne des fonctiona uniformeB, E. Qoursat. Compt rend. XCVI, 56S.
15», Snr le» Tonctioiia uniformes, J, Farkas. Compt rend. XCVI, 1646,
1&&. Snr les fonctione unifoTmea affect^eB de coupures et sur iine claaie d'^qnations

diffötentieliea linSiiiree, Appell, Compt rend. XCVI, 1018.
Iü6. Sur lua fonctiona k eapaccs lacunaires. H. Poincar^. Compt rend, XCVI,

1131.

157. Heber den allgemeinen Functions begriff und degsen Darstellnng durcli eine

willkürliche Cnrve, F. Klein, Mathem. Annal, XXII, 249.

158, ZiiBommetihang der Hyperbeln und Lemniscaten höherer Ordnung mit dero

AuBgangspuukte der FuQctioiieotheorie. G. Holzmüller. Zeitachr. Math.
Phya. XXIX, 120.
1tt9. Ueber eine genisee Erweiterung dea Cantor'schen Satzes, daea lima, = 0 uud
liiRb„ = 0, eofern innerhiilb der Grenzen a<x<6 immer 'IiiR(a,.eiHnj;
+ 6,.cösnx) = 0 stattfindet C. Neumann. Matliem. Aunal. XXII, 406.
IflCi. 8ar le rapport de la circoniärence au diamätre et aur lea logarithmea nipi-
riens dea nomhrea com mens urables oa di;B irrationnelles algäbriquea. F.
Lindemann. Compt. lend. XCV, 72.
t«l. üeW cjfcliethe Functionen. 0. Dsiobek. Grün. Archiv LSIX, 865.
162. Die algebraische Transformation der doppeltperiodiachen Functionen. M. Velt-

mann. Zeitechr. Math. PiijB. XXIX, Supplem. 73,
149, Teber die Perioden aolcher eindeutiger, 2n-fach periodischer Functionen,
welche im Endlichen überall den Charakter rationaler Functionen be-
sitzen und reell rind für reelle Werthe ihrer n Argumente. Ad. Hur-
witi. Grelle XCIV, 1.
164. [MfinitioD naturelle des param^trea diff^rentiels des foDcUoDS, et notammeot
de cetui du second ordre li,. J. Boussinosq, Compt, read. XCV, 479.
1*S. Deljer arithmetische Eigenachaften Mwisser transcend enter Functionen. A d.

Unrwiti. Mathem. Annal, XXII, 211. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 411,]
IBA. Sur lea fonctions d'un point analytique. Appell, Compt. rend. XCV, G24.
"?• EelatiOnE entre lea r^sidua d'une Fonction d'un point analytique (x,y) [|;ui ae
reproduit. multipli^e par une constonte, quand le point (z, y| däcnt ud
tycle. Appell. Compt rend. XCV, 714.
'"8. 8at dea fonctions nniformea de deux point« analytiques qni aont laisa^es in-
yariablea par uneinfinitäde transformationsrationnelles. Appell. Compt
rend. XCVI, 1643.

"i. Snr Que classe de fonctious uniformea de deui variablem indäpendantes. E,
Picard. Compt rend, XCV, 694,
^ Bnräa dea Satees, daas eine einwerthige Function beliebig vieler Variabein,
welche überall als Quotient zweier Potenzreihen dargestellt werden kann,
eine rationale Function ihrer Argumente ist A. Hurwitz CrelleXCV, 201.
■• Üw da» fonctions de deux variables indäpendantes auaiogues aux fonctiona

loodulaires, Em. Picard. Acta mathematica 11, 114,
*■ Sar le« fonctions hypergäomätriques d'ordre snp^rieur. E, Ooursat Compt

reud. XCVI, 1B&.
I. Sor lei fonctions hypergdomätriques de deux variables. E. Gonrsat Compt.
t, rend. XCV, 717, 903, 1044.

^71. By, |gg fonctions de plueieura variables imaginaires. Ed. Co'"'""*"'"r&
Compt, rend. XCVI, 236, 488.
I» 1°' lus fonctions de deux variables. B. Poincarä. Cor
''«. Sur une classe de fonctvous de deux variable* inddr
,„ Compt rend. XCVI, 330,

''<. 8ur uns claase de fonctions de deux variäblot i&Ai
j „ Aeta Btatbematica II, 71.
■ *iw Ife foartiom de deux rariaUe». H- f eibCWi^^^^^^^^^

156 Historisch -literarische Abtheilimg.

Vergl. Abersche Transcendenten. Bemoalli'sche Zahlen. Bestimmte Inte-

frale. DifferentialgleichuDgen. Elliptische Transcendenten. Factorenfolge.
ourier'sche Reihe. Hyperbolische Functionen. Imaginaires. Mannich-
faltigkeiten. Modul argleichuugen. Quatemionen. Reihen. SubBtitutionen.
Theta^nctionen. Ultraelliptische Transcendenten. Zahlentheorie 474.

Oammafimctionen.

179. Sur la fonction eul^rienne. Bourguet. Compt. rend. XCVI, 1.S07.

180. Sur les intiSgrales euleriennes et quelques autree fonctions uniformes, 'j.

Bourguet. Acta mathematica II, 261.

181. Sur la fonction eulerienne. L. Bourguet. Acta mathematica 11, 296.

n

2

182. Pour tonte valeur positive de q, entiöre ou fractionnaire on a ioostp^^^.dff

6

:=iT*(?^Z^(^_zliL?). E. Cesaro. Mathesis IV, 65.
^-'^ 2n{2n-2 4-5)

183. Ueber die transcendente Function Q{x)=.r(x)-'P(x). H. Meli in. Acta ma-

thematica n, 231.
1

J P'l-a^.dx

184. Sur rint<5grale / yi-xP.dx. Cl. Servais. Mathesis IV, 164.

0

185. Rectification ä une commnnication ant^rieure sur les intä^rales euleriennes.

J. Tannery. Compt. rend. XCV, 75. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 695J
Vergl. Zjüilentneorie 486.

Oeod&sie.

186. Observations astronomiques sans mesures d'angles. Ch. Rouget. Compt

rend. XCV, 120. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 696.]

187. Choix d*un premier mdridien. Faye. Compt. rend. XCVI, 185. — De Chan-

courtois ibid. 182.
Vergl. Hypsometrie.

Oeometrie (detcriptive).

188. Ueber einen Fnndamentalsatz der constructiven Schattentheorie. J. Streiss-

1er. Grün. Archiv LXIX, 144. — C. Pelz ibid. 437.

189. Angle que fait le plan d'une circonfärence avec le j)lan horizontal. De-

rousseau. Mathesis IV, 91. — Verstraeten ibid. 167.

190. Thäor^me sur deux triangles non situds dans un m^me plan. Jeiabek.

Mathesis IV, 116. — J. Neuberg ibid. 116.

Oeometrie ChÖhere}.

191. Ueber einen liniengeometrischen Satz. F. Klein. Mathem. Annal. XXII, 234.

192. Ueber Reihen harmonischer Mittelpunkte vom zweiten Grade. Beinh. Sla-

Wyk. Zeitschr. Math. Phys. aXIX, Supplem. 1.

193. Das Zweieckschnittsverhältniss. A. Thaer. Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 183.

194. Ueber Tangcntenconstructionen. Ad. Uurwitz. Mathem. Annal. XXU, 230.

195. Ueber Collineation und Correlation. R. Sturm. Mathem. Annal. XXII, 569.

196. Cour bes avec point de dädonblement P. Mansion. Mathesis IV, 164. [Veigl.

Bd. XXIX, Nr. 430.]

197. Sur une relation d*involution, concernant une figure plane formte de deax

courbes alg^briques, dont Tune a un poiut multipie d*un ordre de mal-
tiplidt^ inf^rieur d'une unit^ k son degr^. G.. Fear et. Compt. rend.
XCVI, 1213.

198. Ueber conju^^irte binäre Formen und deren geometrische Construction. 0.

Schlesinger. Mathem. Annal. XXU, 520.

199. Ueber sich in einem Punkte schneidende coordinirte Linien und über aaf einer

geraden Linie liegende coordinirte Punkte. A. Ramisch. Gmn. Arohiv
LXIX, 54.
SOO. Zur Theorie der Corven gerader Ordnung. Ed. Mahl er. Gmn. Azchi?

LXIX, las.
201. Ueber einige projectivisohe S!3LUe ^vou ^0Q\]GiiAV(3ki. ^.^xWV^^x%. Ijä&Mhx.
MBtb. TbjM. ICXTX, 868.

Abhandlnngsregister. 157

202. Die Steiner'schen Polygone. P. A. Schonte. Grelle XCV, 105, 317.

203. Ueber die mit der Lösung einer Steiner'schon Aufgabe zusammenbängeude

Configuration (12e, 16s). C. Hossfeld. Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 306.

204. Elementare Beweise einiger geometrischen Sätze. Study Grelle XCIV, 238.
305. Sur \m mode de transformation des figures dans Tespace. Vandcek. Gompt.

rend. XGV, 1049, 1146; XGVI, 1714, 1773. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 700.J

206. Memoire sur la repr^sentation des homographies binaires par des points de

r.espace avcc application ä Tetude des rotations sph^riques. Gyp. Ste-
phan ob. Matnem. Annal. XXU, 299.

207. Neue Gonstructionen der Perspective und Photogrammetrie. G. Ilauck.

Grelle XGV, 1.

208. Ueber die eindeutige Beziehung von Räumen mittels projectiver Eboncnbüschel

und ihre Anwendung auf Gonstrnctionsaufgaben. r. v. Krieg. Zeitschr.
Math. Phys. XKIX, Supplem. 38.

209. Das ebene Ereissystem und seine Abbildung auf den Baum. J. Thomae.

Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 284.

210. Zur Theorie der Raumcurven. H. Valentin er. Acta mathematica II, 136.

Ver^l. Elliptische Transcendenten 132, 133. Formen 143, 144. Mehrdimen-
sionalgeometrie.

Geometrie (kinömatitclie).

211. Kinematische Studien. Ant. Suchard a. Grün. Archiv LXIX, 218.

212. Sur les transformations centrales des courbes planes. M. d'Ocagne. Mathcbis

IV, 73, 97.

213. Sur les propriätäs mdtriques et cin^matiques d'une sorte de quadranglcs con-

jugu^B. Gyp. Stepnanos. Gompt. rend. XGV, 677.

214. Zur Gonstruction der Wendepunkte. M. Grübler. Zeitschr. Math. Phys.

XXIX, 310.

Oeschichte der Mathematik.

215. Zur Geometrie der Alten, insbesondere über ein Axiom des Archimedes. 0.

Stolz. Mathem. Annal. XXII, 504.

216. Die arabische Tradition der Elemente Euklid's. J. L. Hei borg. Zeitschr.

Math, Phys. XXIX, hist.-üt. Abth. 1.

217. Ueber einige aas dem Arabischen entlehnte Stemnamen. A. Wittsteiu.

Zeitschr. Math. Phys. XXIX, hist.-lit Abth. 169.

218. Die Irrationalitäten der Rabbinen. Ed. Mahl er. Zeitschr. Math. Phys. XXIX,

hist.-Ht. Abth. 41.

219. Der Tractatus „De quadratura circuli" des Albertus de Saxonia. H. Suter.

Zeitschr. Math. Phys. XXIX, hist.-Ht. Abth. 81.

220. Esqaisse biographique de Willebrord Snell. P. Mansion. Mathesis IV, 64.
"'-l* üÜngabe Johann Kepler's an Kaiser Rudolf II. um Ertheilung eines Genorul-

privilegs für den Druck seiner Werke (1606 vor März 3). R. Döbner.

Zeitschr. Math. Phys. XXIX, hist.-lit. Abth. 174.
*2«. Diacoars prononc^ ä rinauguration d'une statue de Fermat. Mouchez.

Compt rend. XGV, 399.
«». 8iu^ im manuscrit de Fermat recemment publie. A. Genocchi. Mathesis

^ ^e deux-centi^me anniversaire de Tinvention du calcul diff^rentiel. P. Man-
^ Bion. Mathesis IV, 168, 177.

^* ^Onsid^rations gänärales sur les mäthodes scientifiques et applications a la
m^ode a posteriori de Newton et ä la m^thode a priori de Loibnitz.
^ E. Ghevreul. Gompt. rend. XGVI, 1521.

«w. 8uif Iq probläme de la döcomposition d'un polygone convexe en triangles.
21-1^ E. Catalan. Mathesis IV, 37.

S* ^^ber die Einführunff der complexen Zahlen. R. Baltzer. Grelle XGIV, 87.
S* gUo: les travaux de Frddäric Houtman. Veth. Gompt. rend. XGV, 982.

^^^nugcritB sur la thäorie de laLune laissäs par M. ßiot. F. Lefort. Gompt.
^ ij,^ rend. XGVI, 1483.
*w. i?>m^jaille8 de Jos. Liouville. Faye. Gompt. rend. XGV, 468. — Labonlaj'"

231 Vr ^^^^ ^^^'

2S2 ^^^ B^ ^^^' Liouville f 11; Sept. 1882. Jamin. Gompt rend. XCVI,
2JO* S^^ 1* ▼iö ®t 1®8 travaux de Em. Plantamour. Faye. Gompt. rwid, J'
^* ^r^^ ^^ travaux de M. Roche. F. Tisserand. Gompt. teod. XOT^
***• Note hiographique aar fl. J. S. Smith t 0. ¥6^t. IWÄ. ^. 1«
read. XCVI, 1096.

158 Historisch -literariscbe Abtheilnng.

236. Funärailles de J. A. C. Bresse f 22. Mai 1883. Phillips. Compt. rend. XCVI,
1618.
Vergl. Metrologie 332, 333.

Gleiehnngen.

236. Dämonstratiou du th^or^me que toute dquation alg^brique a une racine.

Walecki. Compt. rend. XCVI, 772.

237. Ueber die Darstellung der Wurzeln der algebraischen Gleichungen durch un-

endliche Reihen. R. Dietrich. Grün. Archiv LXIX, 337.

238. Beitrag zur Lösung von Gleichungen höheren Grades. Th. Sinram. Grün.

Archiv LXIX, 111. [Vergl. Bd. XXVDI, Nr. 569]

239. Sur les fonctions du genre z^ro et du genre un. Laguerre. Compt. rend.

XCV, 828. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 772.]

240. On Mr. Anglin's formula for the successive powers of the root of an alge-

braical equation. A. Cavley. Quart. Journ. math. XIX, 223.

241. Die Rationaiisirung irrationaler algebraischer Functionen. S. Polewski.

Grün. Archiv LXIX, 149. [Vergl. Bd. XXVDI, Nr. 576.]

242. Ueber Gleichungen, deren Discriminante ein Quadrat ist. E. Netto. Crelle

XCV, 237.

243. Zur Theorie der Gleichungen vierten Grades. Em. Oekinghaus. Gmn.

Archiv LXIX, 169.

244. Reduction einer biquadratischen Gleichung auf eine cubische. Hoppe. Grün.

Archiv LXIX, 111.

246. Besondre l'äquation ("^^ (^Y + C—)\ 2'^^.'^^.'^ = l.

^ \x-ha/ \x+hJ \jc-\-c/ x+a x-¥h x-hc

Gelin, Gob, Roersch, Collin, Pisani. Mathesis IV, 213.

246. Conditions de divisibilit^ de a;P + aa;p-9y« + 5a:P-*9y*9 + cajP~'<'y'9-f yp par

(a;+v)'. Gel in. Mathesis IV, 60, 165.

247. Identitö de deux expressions alg^briques. E. Cesaro. Mathesis IV, 67.

248. Vi^rification de TägaUtä de deux expressions irrationelles. Stuyvaerts.

Mathesis IV, 198.

249. On the Standard solutions of a System of linear equations. A. Cayley.

Quart. Journ. math. XIX, 38.
Vergl. Determinanten 63. Imaginäres 262. Eepler'sches Problem. Substi-
tutionen.

Hydrodynamik«

250. Sur le mouvement et la ddformation d'une bulle liquide qui s*^l^ve dans une

masse liquide d'une densitä plus grande. U. Resal. Compt rend.
XCVI, 822.

251. On the forces exDerienced by a solid moving in an infinite mass of liquid.

H. Lamb. Quart. Journ. math. XIX, 66.

252. On the motion of a liquid in and about c^linders whose transverse sections

are the invcrse of confocal ellipses with respect to their centre. A. B.
Basset. Quart. Journ. math. XlX, 190.

263. On certain physical problems connected with surfaces which are the inverses

of ellipsoids of revolution. A. B. Basset. Quart. Journ. math. XIX, 349.

264. Sur le ra'^port de Taction lunaire ä. Taction solaire dans le ph^nom^ne des

mar^es. Hatt. Compt. rend. XCV, 960.

Hyperbel.

266. Chercher le lieu des centres des hyperboles äG[uilat^res touchant deux droites

donnäes en deux points qui sont en ligne droite avec un point nxe.
Bastin. Mathesis IV, 39. — Lidnard & Gillet ibid. 39.
256. L'ordonnee du point d'intersection d'une ellipse et d'une hyperbole homofocale
rencontre les asvmptotes sur la circonf^rence qui a pour diametre le
grand axe de Pellipse. Eaelhoff & Pisani. Mathesis IV, 208.

HyperboUtohe Fnnctionen.

267. Pr^cis de la th^oric des fonotionB hyperboliques. P. Mansion. Mathesis IV,

5, 28, 80, 101.

S3S. Droitea daos un tätra^dre eita^ea »\xx mh lü^m^ V^'^^tV^qVa^^. '^^tdl^^ IIa-
Üiesia IV, 190.

Abhandlnngsregister. 169

EypMmetrio.
tt9. Sur la diff^rence des preBsions baromdtxiques en deux points d*ane m6me ver-
ticale. J. Ja min. Compt. rend. XCYI, 396.

1.

Imaginflret.

260. Zur Interpretation der complexen Elemente in der Geometrie. F. Klein.

Mathem. Annal. XXII, 242.

261. Eine Uebertragung des Pascarschen Satzes anf Raumgeometrie. F. Klein.

Mathem. Annal. XXn, 246.
362. Construclion der imaginären Wurzeln einer Gleichung vierten oder dritten
Grades mitteis einer festen Parabel. R. Hoppe. Grün. Archiv LXIX, 216.
VergL Zahlentheorie 476.

Invariantmithoorie.

263. On seminvariants. A. Cayley. Quart. Joum. math. XIX, 131. — P. A. Mac

Mahon ibid. 337.

264. Zar Theorie der Combinanten. £. Stroh. Mathem. Annal. XXII, 393.

265. Bedaction zweier Covarianten binärer Formen. E. Stroh. Mathem. Annal.

XXII, 290.

266. Sur les relations qui existent entre les covariants et invariants des formes

binaires. R. Perrin. Compt. rend. XCVI, 426, 479, 663, 1717, 1776,1842.

267. Sur les relations qui existent entre les covanants et les invariants de carac-

t^re pair d'une forme binaire du sixi^me ordre. Cyp. Stephanos. Compt.
rend. XCVI, 232, 1664.

268. 8ar quelques propri^t^s d'une forme binaire du huiti^me ordre. F. Brioschi.

Compt. rend. XCVI, 1689.

Xogoliehnitte.
^69. Ueber das gemischte Kegelschnittbüschel. H. £. M. 0. Zimmermann. Zeitschr.

Math. Phys. XXIX, 176.
^7o. Bemerkimgen über perspectivische Dreiecke auf einem Kegelschnitte und über

eine specielle Reciprocität. C. Beyel. Zeitschr. Matn. Phys. XXIX, 260.
*^1. Zur Construction der Durchschnittspunkte zweier Kegelschnitte. F. Tom es.

Grün. Archiv LXIX, 307.
*'^2. Einige Sätze über Kegelschnitte. H. Schroeter. Zeitschr. Math. Phys.

XXIX, 160.
^''S. Oscolationstripel am Kegelschnitt. K. Zahradnik. Grün. Archiv LXIX, 419.
^''4. Methode simple pour dätermiuer les foyers dans les courbes du second degrä.

G. Dostor. Grün. Archiv LXIX, 432.
^^6. £qaation quadratique des droites men^es d'un point aux intersections d'uno

conique avec une droite. G. Dostor. Grün. Archiv LXIX, 427.
^76. Construction der gemeinschaftlichen Tangenten eines Kreises und einer Kegel-

Schnittslinie. C. Schirek. Grün. Archiv LXIX, 408.
^7. Coniqae enveloppe d*une certaine droite. Jerabek. Mathesis IV, 166. —

Bastin ibid 167.
^8. Ueber den Ort der Berührungspunkte der Tangenten von einem Punkte an

die Kegelschnitte einer Schaar oder eines Büschels. M. Greiner. Grün.

Archiv LXIX, 80.

279. Enveloppe des axes des coniques tangentes ä deux droites donn^es en deux

points donnäs. Pisani. Mathesis IV, 230.
Yergl. Conchoide 60. Ellipse. Elliptische Transcendenten 132. Formen 143.
Hyperbel. Kreis. Parabel. Tetraeder 460.

Xeplor'tchet Problem.

280. Solution rapide du probl^me de Kepler. Ch. V. Z eng er. Compt. rend. XCV,

171, 207.

281. Solution du probleme de Kepler pour des excentricitds considdrables. Ch. V.

Z eng er. Compt. rend. XCV, 416.

282. Remarques concernant le probleme de Kepler. R. Radau. Compt. rend.

XCV, 274.
288. Sur le probleme de Kepler. A. de Gasparis. Compt. rend. XCV, 446.

160 HiBtoriscli - literarisclie Abtheilung.

Xettonbrftehe.

284. Sur la th^orie des fractions continueB pdriodiqaes. E. de Jonqui^res. Compt

rend. XCVI, 568, 694, 832, 1020, 1129, 1210, 1297, 1361, 1420, 1490, 1571,
1721.

285. Studien über Kettenbrüche. K. E. Hoffmann. Gruu. Archiv LXIX, 206.

Kreis.

286. The triplicate- ratio circle. R. Tue k er. Quart. Joum. math. XIX, 842.

287. Sur une demi - circonfärence partagde en 7 parties dgales. Faucbanips &

Lidnard. Mathesis IV, 41.

288. Circonfdrcnce passant par les projections de deux sommete d*un triangle sur

la bissectnce du troisidme angle. Van Laer & E. Liänard. Mathesis
IV, 67. — Thiry ibid. 68.

289. Inscrire ä un cercle donnd un triangle qui soit semblable ä un triangle donnd,

et homologique avec un second triangle donnd, inscrit dans le mßme
cercle. Gob & Stuyvaert. Mathesis IV, 197.

290. Sur un biangle et un triangle formds par des arcs de cercle. Weill. Mathesis

IV, 219.

291. Aire d*une quadrilatdre curviligne formd par des arcs de circonfärence. Taste.

Mathesis IV, 116. — Dethier ibid. 115. — Jef äbek & Janecek ibid. 115

292. Ou Systems of circles and bicircular quartics. Hom. Cox. Quart. Joum.

math. XIX, 74.

293. Sur deux circonfärences homothdtic][ues. DeRocquigny etc. Mathesis IV, 211.

294. Propridtd gdomdtrique d'un certain groupe de deux systemes de circonferenccs

concentriques. Brocard. Mathesis IV, 219.

295. Construirc deux circonfdrences tangentes entre elles, tangente cbacune ä une

droite donnde en un point donnd, et dont les rayons soient dans un rap-
port donn^. De Boischevalicr. Mathesis Iv, 42. — Lidnard ibid.
43. — Lamarle ibid. 43.

Xrunmnng.

296. Ueber die Krümmung der Flächen. 0. Böklen. Zeitschr. Math. Phys. XXIX,

129. [Vergl. Nr. 369.J

297. Ueber die Krümmungsmittelpunkte der Polbahuen. M. Grübler. Zeitschr.

Math. Phys. XXIX, 212, 382.
Vergl. Überflächen 343, 358.

Magnetismai.

298. Les carräs des forces d'induction, produites par le Soleil dans les planstes et

dues k la vitesse de rdvolution de ces corps, sont, toutes choscs Egales
d'ailleurs, en raison inverse des septiömes puissances des distances k Tastre.
Induction des com^tes des bolides et des ötoiles Alantes. Qu et. Compt
rend. XCV, 514.

299. Les forces d'induction que le soleil d^veloppe dans le corps par sa rotation

varient, toutes choses Egales d'ailleurs, en raison inverse des carr^s des
distances. Quet. Compt. rend. XCV, 682.

300. Induction lunaire et ses päriodes. Quet. Compt. rend. XCV, 722.

301. Sur rinduction terrestre des planstes et, en particulier, sur cclle de Jupiter.

Quet. Compt. rend. XCV, 1155.

302. Action magn^tique du soleil sur la terrc et les planetes; eile ne produit pas

de Variation seculaire dans les grands axes des orbites. Quet. Compt
rend. XCVI, 372.

303. Sur les rapports de Tinduction avec les actions ^lectrodynaniiques et sur une

loi generale de Tinduction. Quet. Compt. rend. aCVI, 1849.

Manniohfaltigkeiten.

304. Traduction des travaux piincipaux de Mr. Georg Cantor sur la thdorie des

ensembles publies autrefois en allemand. Acta mathematica II, 305, 311,
329, 336. 349, 381.

305. Sur divers th^oremes de la th^orie des ensembles de points situ^s dans un

oßpace continu ä N dimcnsions. G. Cantor. Acta mathematica II, 409.
-f06. Quelques thöorämes de la theone dea qwa«qv\A«% ^« ^oIviiXa. 3. E^ndizion.
Aütu xuathematicd U, 415.

Abhandlnngsregister. 161

Meehanik.
SQfl. I>e la n^cessit^ d'introdoire certaines modifications dans renseignement de la
m^caniqae, et d'un bannir certains probl^mes; par ezemple, le mouve-
ment du corps solide des g^omätres. Y. Villarceau. Compt. rend.
XCV, 1321.
^Oft. Sur une extension des principes des aires et du moavement du centre de gra-
vitä. M. L>$vy. Compi rend. XCV, 772, 986.

309. Rapport Bur nn memoire cie M. Ph. Gilbert sur divers problämes de mouve-

ment relatif. C. Jordan. Compt. rend. XCV, 111. [Vergl. Bd. XXIX,
Nr. 81 l.J

310. Bewegung eines Cylinders im Hoblcvlinder auf scbiefer Ebene unter Berührung

onne Gleitung. R. Hoppe. Grün. Archiv LXIX, 162.
SU. Einfache Darstellung der Trägheitsmomente von Körpern. R. Mehmke.
Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 61.

312. Methode gdn^rale pour la Solution des probl^mes relatifs aux axes principuux

et aux moments d'inertie. Balance d'oscillation ppur IMvaluation des
moments d'inertie E. Bras sinne. Compt. rend. aCV, 337, 446.

313. DieTrä^heitsbahn auf der Erdoberfläche. H. Bruns. Matbem. Annal. XXII, 296.

314. Ueber die zusammengesetzte Centripetalbeschleunigung. M. Grübler. Zeitschr.

Math. Phys. XXIX, 313.
313. Proportion des distances des sommets d'un triangle k la räsultantc- de trois
forces dirigäes suivant les cötds. Pisani &Li^nard. Mathesis IV, 244.

316. On the energy of strain of an isotropic solid. H. T. Stearn. Quart. Journ.

math. XIX, 140.

317. R^uction ä la forme canonique des ^quations d'äquilibre d'un fil flexible et

inextensible. Appell. Compt. rend. XCVI, 688.

318. Comment se r^partit, entre les divers points de sa petite base d^appui, le

poids d'un corps dur, ä surface poEe et convexe, pos^ sur un sol hori-
zontal älastique. J. Boussinesq. Compt. rend. XCVI, 245.

319. Sor une propri^tä g4n^ra\e d*un agent dont Taction est proportionnelle au

produit des quantitäs en prdsence et ä une puissance quelconque de la
distance. E. Mercadier. Compt. rend. XCVI, 188.

320. Sor les solides d'^^ale räsistance. H. L^autd. Compt. rend. XCV, 1219.

321. Theorie de la räsistance des dtoffes tiss^es ä Textension. Tresca. Compt.

rend. XCV, 1315.

322. Snr les trajectoires des divers points d*une bielle en moavement. H. L^autä.

Compt. rend. XCVI, 639.

323. R^gles pratiques pour la Substitution, k un arc donn^, de certaines courbes

ferm^es engendräes par les points d'une bielle en mouvement. H. Ldautd.

Compt. rend. XCVI, 1356, 1649.
^«4. Snr le poin90nnage et les proues dont il d^termine la formation. Tresca.

Compt. rend. XCVI, 816.
«'-o. Sor an nouveau Systeme de bascule. A. Picart. Compt. rend. XCVI, 1782.
Veigl. Astronomie. Elasticität. Elektricität. Hydrodynamik. Hyperboloid.

Magnetismus. Molekularphysik. Optik. Parabel 377. Pendel. Potential.

Schwerpunkt. Wärmelehre.

„ Mehrdimensionalgeometrie.

**• Sumerische Berechnung der Winkel von vier Dimensionen. R. Hoppe. Grün.
327 i> Archiv LXIX, 278.

• **ölation zwischen fünf Elementurtetratopen mit vier unabhängigen Grössen.
S2fi r^. ^- Hoppe. Grün. Archiv LXIX, 287.

,?• T^etratop auf beliebiger Basis. R. Hoppe. Grün. Archiv LXIX, 297.

». Orei Säiize für Inhaltsberechnung in der Mehrdimensionengeometrie. R. Hopp e.
jaQ P^ Gran. Archiv LXIX, 385.

• ^^rtielles Maximum eines Elementartetratops. R. Hoppe. Grün. Archiv

LXIX, 439.
Vergl. Zahlentheorie 477.
32] j;^ Metrologie.

'' ^xir la thäorie g^n^rale des unitäs. A. Ledieu. Compt. rend. XCV, 1888;
3^2 ^ XCVI, 986.

' ^lar deaz m^tres en platine ayant appartenu k de Prony. Treioa.
333 Si '®^^- XCVI, 667.

' ^'«ir deaz 6tah>nB de i'anne et du pied de Roi^ TtonDamnoit
Compt rend, XCV, 977.

162 Historisch -literarische Abtheilung.

XittelgrttMen.

334. Sur une suite de moyennes. J. Neu b erg. Mathesis IV, Suppl^m. 3.

Hodalargleiehnngen.

335. üeber Congrnenz^uppen von Primzahlstufe. J. Gierster. Mathem. Anna).

XXn, 176. [Vergl. Bd. XXVU, Nr. 443.]

Holeeolarplijsik.

336. La synthäse des cieux et de la terre. Moigno. Compt. rend. XGVI, 1166.

337. Sur rinfluence de la quantitä du ^az diseous dans un liquide sur sa tension

ßuperficielle. S. Wroblewski. Compt. rend. XCV, 284.

Dormalon.

338. Zum Normalenproblem der Ellipse. G. S c b i r e k. Zeitschr. Math. Phys.

XXIX, 239.

339. Quelques th^r^mes sur ies normales de la parabolc. Gerondal. Matheais

IV, 128.
Vergl. Cubatur 62.

O.

Oberflächen.

340. II est possible de tracer sur des surfaces quelconques, donndes de forme et

de Position, une särie ind^finie de lignes ideutiqucs de (part et d^autre.
Gaspar & E. Cesaro. Mathesis IV, 41.
841. üeber dreifach - orthogonale Flächenschaaren. Ed. Mahl er. Zeitschr. Math.
Phjrs. XXIX, 111.

342. Haupteigenschaiten einer krummen in der Astronomie auftretenden Oberfläche.

A. Wittstein. Grün. Archiv LXIX, 195.

343. üeber die Eigenschaften des Linienelementes der Flächen von constantem

Kriimmungemaass. J. Weingarten. Grelle XCIV, 181; XCV, 325.

344. üeber die Curven, welche sich so bewegen können, dass sie stets geodätische

Linien der von ihnen erzeugten Flächen bleiben. J. N. Hazzidakid.
Grelle XGV, 120.
.S45. üeber die Glassification der Flächen nach der Verschiebbarkeit ihrer geodä-
tischen Dreiecke. H. v. Mangel dt. Grelle XGIV, 21.

346. üeber die Flächen mit einem System sphärischer Krümmungslinien. IL

Dobriner. Grelle XGIV, 116. — A. Enneper ibid. 329.

347. Sur Ies cercles g^oddsiques. G. Darboux. Gompt. rend. XGVI, 64.

348. Determination (rune classe particuli^re de surfaces ä lignes de courbure planes

dans un Systeme et isothermes. G. Darboux. Gompt. rend. XGVI, 1202,
1294.

349. Die geodätische Linie auf der Ereiskegelflächc. Em. Gz über. Grün. Archiv

LXIX, 125.

350. Qu hnes of striction. G. Larmor. Quart. Joum. math. XXIX, 881.

351. Ein Beitrag zur Theorie der biplanaren und uniplanaren Knotenpunkte. K.

Rohn. Mathem. Annal. XXII, 124.

352. Rapport sur un memoire de M. de Salvert sur Ies ombilics coniquee. G. Jor-

dan. Gompt, rend. XGVI, 105.

353. Sur Ies surfaces ä courbure moyenne nulle sur lesquelles on peut limiter une

Eortion finie de la sur face par quatre droites situdes sur la surface.
[. A. Schwarz. Gompt. rend. XGVl, 1011.

354. Die doveloppable Fläche der conischen Schraubenlinie. Fr. Schiff oer.

Grün. Archiv LXIX, 444.

355. Zur Theorie der Flächen, deren Krümmungsmittelpunktsflächen confocale

Flächen zweiten Grades sind. F. Rudio. Grelle XGV, 240.

356. Propriötd de la surface dont rdquation est F(x,y) + f(z) = Of F{x,y) ätant

une fonction homogäne. £. Gesaro & G. Servais. Mathesis IV, 45.

357. Note on parallel surfaces. Th. Graig. Grelle XGIV, 162. [Vergl. Bd. XXVUI,

Nr. 688.]
858. Surfaces dont T^quation contient une fonction arbitraire. Brocard. Mathens
IV, 127.
SÖ9. üeber das Minimum des Winkels zmsO^eii v^^v ^MTiviglrtea Tangenten «of
positdv gekrümmter Fl&ckie. U, B.oi^v^- Qttxai. Kt<3c:vs \aA^ w

Abhändlnngsregister. 163

360. Sur les plana tangents et oscalatean des courbes ä doable ooorbure et des

surfaces. M. N. Vanecek. Compt. rend. XCVI, 1662. [Vergl. Bd. XXIX,
Nr. 703.]

361. Zur Theorie der Flächen dritter Ordnung. Fr. Schur. Grelle XCV, 207.
862. On the sixteen- nodal quartic sarface. A. Cayley. Grelle XGIV, 270.

363. Ueber gewisse transcendente Flächen, welche die Gyklide als specieUen Fall

enthalten. Holzmüller. Grelle XGIV, 239.
Vergl. Differentialgleichungen 91. Krümmung 296. Quatemionen 409.

Oberfläehen iweiter Ordnung.

364. Unterscheidungszeichen der Flächen zweiter Ordnung. A. Thaer. Zeitschr.

Math. Phys. XXIX, 369.

365. Lineare Gonstruction einer Fläche zweiten Grades aus neun gegebenen Punk-

ten. C. Heyer. Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 170.

366. Bemerkungen über die Mittelpunkte von Kegelschnitten einer Fläche zweiten

Grades. Beyel. Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 123.

367. Gändralisation d'une propri^tä des surfaces du deuzi^me ordre. Jamet.

Mathesis IV, Suppldm. II.

368. Problemes sur les plans tangents aux surfaces de r^volution du second degrd.

Songalayo. Mathesis IV, 166.

369. üeber die cubische Parabel mit Directrix. 0. Böklen. Zeitschr. Math. Phys.

XXIX, 378. [Vergl. Nr. 296.]
Vergl. Eliipsoid. Hyperboloid. Sphärik. Tetraeder 446. Ultraelliptische
Transcendenten 463.

Opük.

370. Neue Untersuchungen über die Lage der Brennlinien unendhch dünner copu-

lirter Strahlenbündel gegen emander und gegen einen Hauptstrahl. L.
Matthiesse n. Zeitschr. Math. Phys. 'XXl a, Supplem. 86.

371. Allgemeine Formein zur Bestimmung aer Gardinalpunkte eines brechenden

Systems centrirter sphärischer Flächen mittels Kettenbruchdeterminanten
dargestellt. L Matthiessen. Zeitschr. Math. Phjs. XXIX, 343.

372. Ucber Länge und Vergrösserung, Helligkeit und Gesichtsfeld des Kepler-,

Ramsden- und Gampani - Femrohrs. G. Bohn. Zeitschr. Math Phys.
XXIX, 25, 74.

373. Du pouvoir amplifiant des instruments d*Optiqne. Monoyer. Gompt. rend.

XCVI, 1786.

374. Beiträge zur graphischen Dioptrik. F. Kessler. Zeitschr. Math. Phys.

XXIX, 66.

375. Ueber Achromasie. F. Kessler. Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 1.

376. Sur Taction de IMther intermol^culaire dans la propagation de la lumiere.

De Klercker. Gompt. rend. XGV, 688.
Vergl. Analytische Geometrie des Raumes 31.

P.

Parabel.

377. On the time of descent down the arc of a vertical parabola. J. W. L. Glaisher.

Quart. Joum. math. XIX, 141.

378. Parabole enveloppe d'un c6t^ d'un triangie. Derousseau etc. Mathesis IV,

89. — E. Lidnard ibid. 91.

379. Propridt($8 de la parabole. Gl. Thiry. Mathesis IV, 286.

380. Une parabole se ddplace parall^lement ä eile mßme en touchant une circon-

förence donnäe. Quel est le lieu des foyers? Timm erb ans. Mathesis
IV, 92.
Vergl. Imaginäres 262. Normalen 339.

Paraboloid.
Vergl. Gomplanation.

Pendel.

381. Sur ie pendule. R. Lipschitz. Gompt. rend. XGV, 1141.

Planimetrie.

382. Zur Theilung einer Strecke in n gleiche Theile. M. Sternberg. Grün.

Archiv LXIX, 216.
388. Synthetischer Beweis eines elementar - geome^\mO[i%ai ^AXa»^> ^Karvv^'^As^^^
über Vertausch barkeit der Elemente «üDkhaäcmoiA&OckSt QiÄ^ää. "^x. y^^^--
mann. Orun. Archiv LXIX, 214.

164 Historisch - literarische Abtheilung.

384. Th^orämes sur trois points situ^s an ligne droite. Van Grae fach epe & 6.

Andrieu. Mathesis IV, 158, 189.

385. ]£tude de transversales. E. Cesaro. Mathesis IV, 85.

386. Theorie des medianes antiparalläles. Gillet. Mathesis IV, 193, 195. — Fa-

lisse ibid. 194, 196. - Sum ibid. 193, 194. — Jefabek ibid. 195.— Le-
rn eine ibid. 196.

387. Nouvelles propri^t^s du triangle. H. ßrocard. Mathesis IV, Supplt^m. 1.

388. Sur les antiparall^les des cöS^s d*un triangle. E. Lern eine. Mathesis IV,

201.

389. Thäor^mes sur le triangle rectangle. Servais. Mathesis IV, 68.

390. Trouver sur les cöt^s AB, AC du trianfrle ABC les points M, N tels que

la droite MN seit parallele ä une direction donn^e, et que sa longueur
seit ä la sommc des segments MBy MC dans un rapport donn^. Jefa-
bek. Mathesis IV, 89. — Li^nard ibid. 89.

391. Condition sous laquelle la moitiä d'un cöt^ d'un triangle est moyenne pro-

portioneUe entre les deux autres cöt^. Van Laer etc. Mathesis IV, 174.

392. Somme constante des aires de trois triangles semblables dout deux sont cir

conscrits d'une certaine mani^re au troisiöme. Fonchamps. Mathesis
IV, 66. - J. Neuberg ibid. 66.

393. Sur le point d'intersection des droites qui joignent les sommets d*un triangle

aux points oü le cercle inscrit touche les cöt^s opposes. Vandenbroeck
etc. Mathesis IV, 245.

394. Demonstration de trois thdorömes dlementaires. Thiry. Mathesis IV, 53.

395. Constructions de triangles. Thiry. Mathesis IV, 54. - Gillet ibid. 55. -

— Sum ibid. 55.

396. Transversales d'une s^rie de triangles. Kiehl. Mathesis IV, 239.

397. Zu den Eigenschaften des vollständigen Vierseits. A. Ehlert. Grün. Archiv

LXIX, 332.

398. Quadrilatere ä. diagonales rectangulaires. Cl. Thiry. Mathesis IV, 236.

399. Sur le quadrilatere inscrit ä diagonales rectangulaires. Gelin etc. Mathesis

IV, 243.
Vergl. Kreis. Mittelgrössen. Schwerpunkt 431.

Potential.

400. Examen de Tanalogie entre les anneaux ^lectrochimiques et hydrodynamiques

et les courbes JV=:0. Meilleur procddd de discuBsion dans la methode
exp^rimentale. A. Ledicu. Compt. rend. XCVI, 98.
Vergl. Elektrlcität. Mechanik 313.

Frineip der Homo^eneität.

401. De rhomogdnöite des formules. A. Ledieu. Compt. rend XCVI, 1692, 1834.

Quadratur.

402. Sur un nouvel int^grometre. Abdank-Abakanowicz. Compt. rend. XCV,

1047.

403. Sur les quadratures et les cubatures approch^es. P. Man sie n. Compt. rend.

XCV, 324.

404. Inhaltsbestimmung der einem Dreieck cinbeschriebenen, umschriebenen und

coigugirten Ellipsen. M. Greiner. Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 222.

405. Aire d'un secteur de la courbe o^ — a^Aog — * 13rocard. Mathesis IV, 125.

406. Uebcr die Verallgemeinerung des Pythagoräischen Lehrsatzes und des Satzes

über die Lunulae HippoKratis. P. Schönemann. Zeitschr. Math. Phys.
XXIX, 306.

407. Minimum de la sommq de trois triangles. Gob & Roersch. Matheais IV,

241. - Bertrand & Collin ibid. 241. - Minoliti & Pisani ibid 242.

- E. Lemoine ibid. 243.

Quatemionen.

408. Sur la thäorie des quaternious. Cvp. Stephane s. Mathem. Annal. XXII, 689.

409. Einige Sätze über abwickelbare Flächen, abgeleitet mit Hilfe von Quatemio-

flöD. Fr. Graefe. Oron. Axcbvi IXYL, \.
VeigL Geometrie (höhere) 106.

Abhandlungsregister. 165

Beihen.

410. üeber Irrationalität von Reihen. M. Stern. Grelle XCV, 197.

411. Sur un th^or^me d'Abel. E. Catalan. Matheais IV, 26.

412. Zur Theorie der Potenzreihen. 0. Stolz. Zeitschf. Math. Phys. XXIX, 127.

[Vergl. I3d. XXIX, Nr 417.]

413. Ueber gewisse Reihen, welche in getrennten Converffenzgebieten verschiedene,

willkürlich vorgeschriebene- Functionen darstellen. Alf. Pringsheim.
Mathem. Annal. XXn, 109.

414. üeber die Werthveränderungen bedingt convergenter Reihen und Producte.

Alf. Pringsheim. Mathem. Annal. XXII, 455.
115. Ueber Convergenzbezirke. R. Dietrich. Grün. Archiv LXIX, 381.

416. Sur les s^ries des polynömes. H. Poincar^. Compt. rend. XCVIj 637.

417. Une nouvcUe formule gändrale pour le ddveloppement de la foncüon pertur-

batrice. B. Baillaud. Compt. rend. XCfvI, 1286, 1641.

418. Sur une s^rie pour dävelopper les fonctions d'une variable. Halphen. Compt.

rend. XCV, 629.

419. Sur les s^ries trigonomdtriques. H. Poincarä. Compt. rend, XCV, 766.

420. Sur quelques ddveloppements en s^riee. Stieltjes. Compt. rend. XCV, 901,

1043.

421. Sur le ddveloppement des fonctions en s^ries d'antres fonctions. Hugoniot.

Compt. rend. XCV, 907, 983. — P. du Bois-Eeymond ibid, XCVI, 61.
[Ver^l. Nr. 146.]

422. Toute puissance m* d^un nombre m est ^gale ä la somme des m premiers

termes d'une progression arithmdtiqne commen9ant par 1 et ayant pour
raison 2(H-w+m*-h...+m»-*). G. Farisano. Mathesis IV, 166.

423. Sommation d*une s^rie finie. L. Vandenbroeck. Mathesis IV, 238.

124. Sommation de -2^ (?1 a* ötant donnä Oj, = 1, Oi = 0, aik = (Ä- l)(a*-i +a»-i).

E. Cesaro.' Mathesis IV, 173.
425. Ueber die Lambert*8che Reihe. Schlömilch. Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 384.
420. Sur les sommes de puissances semblables d*ane suite de cosinuB. A. Eadicke.

Mathesis IV, 161.

427. Sommation de deuz säries trigonomätriques. J. Gillet. Mathesis IV, 46.

428. Une correction des formules st^r^otyp^es de la präface de Callet (tirage de

1879). Em. Barbier. Compt. rend. XCVI, 1648.
Vergl. Elliptische Transcendenten 180. Fourier'sche Reihe. Gleichungen
237. Wahrscheinlichkeiterechnung 468, 469.

Sectifteation.

429. Sur Tapproximation des integrales däfinies et, en particulier, du p^rim^tre de

relnpse. P. Mansion. Mathesis IV, 8uD[)lem. IV.

430. Ueber den Ellipsenquadranten. Schlömilch. Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 876.

Vergl. Function 160.

S.

Sehworponkt.

i'M. Propriet<5 du centre de gravit^ d'un triangle. Falisse & Henrard. Ma-
thesis IV, 45.

4.32. Centre de gravii^ d^un tronc de pyramide triangulaire. J.Mister. Mathesis
IV, 84.

433. Centre de gravit^ du tronc de prisme triangulaire et du parallälipipöde tronqn^.

J. Mister. Mathesis IV, 121.

Sphärik.

434. Problämes sur les sphäres. Barbarin. Mathesis IV, 217.

435. On sphericai (^cloidal and trochoical curves. H. M. Jeffery. Quart. Joam.

math. XIX, 44.

436. Thdorömcs de geomdtrie sphdrique. J. Neuberg. Mathesis IV, 56.

437. On the spherical triangle in eUiptic functions. W. W.Johnson. Quart. Joom.

math. XIX, 185. [VergL Bd. XXVI, Nr. 319.J

438. Ueber sphärische Vielecke, die einem Kreise eingeschrieben nndeixL«iSk«acA«isc&.

Kreise umgeschrieben sind. Stell. 2^tM£x«lfiLai^. YV^^.'lZiXk^^v.
489. Soient a, fi, y las inclinaisons dM mediane» d'\ax \sn»Di^ %^\^ii&6s$i^ «& \m^
oötä§ oppo§4§. IMmontrer qua

166 Historisch -literarische Abtheilang.

cota cotß coty

cos — (cosb — co8c) C08— {eo8C — cos a) cos— (cosa — cosb)

iL ft m

Li^nard. Mathesis IV, 23.

440. Un triangle sph^rigue n^est pas forcäment isosc^le, lorsque deux medianes

Bont Egales. E. Gel in etc. Mathesis IV, 209.

Stereometrie.

441. DeBcription du dod^aädre r^galier complet. Em. Barbier. Gompt. rend.

XCV, 560.
Vergl. Mehrdimensionalgeometrie. Schwerpmikt 432, 433. Tetraeder.

SabsÜtationeii.

442. Gruppentheoretischo Studien. W. Dyck. Mathem. Annal. XXII, 70. [Vergl.

ßd. XXIX, Nr 434.]

443. Sur la primitivite des groupes. W. Dyck. Compt. rend. XCVI, 1024.

444. Sur les fonctions de sept lettres. F. Brioschi. Gompt. rend. XCV, 665, 814,

1254.

T.

Tetraeder.

445. Ueber die einer algebraischen Fläche eingeschriebenen regulären Tetraeder

mit Berücksichtigung der Flächen zweiter Ordnung. C. Hossfeld.
Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 351.

446. Sur les t^traädres de Möbius. P. Mansion. Mathesis IV, 221.

447. Das gleichseitige Tetraeder. Ad. Schmidt. Zeitschr. Math. Phys. XXIX, 321.
4i8. Thdorämes sur le t^traödre. V. Jamet. Mathesis IV, 68.

449. Si Ton choisit mi point arbitrairement sur chaque ar^te d'on t^traMre, les

quatre sphdres passant respectivement par chaque sommet et par les

Soints situ^s sur les trois ardtes adjacentes ont un point common. J.
[euberg. Mathesis IV, 16.

450. Lieu du sommet des t^traedres sur une base fixe, aux 6 ar§tes desqaels on

peut inscrire une Sphäre. Jamet. Mathesis IV, 140. — J. Neuberg
ibid. 141.
Vergl. Hyperboloid.

Thetaftmotionen.

451. Berechnung der Moduln Rosenhain^scher Thetafunctionen. J. Thomae. Ztschr.

Math. Phys. XXIX, 117.

452. üeber Thetafunctionen, deren Charakteristiken aus Dritteln ganzer Zahlen

gebildet sind. A. Krazer. Mathem. Annal. XXII, 416.

453. Zur Theorie der Thetafunctionen mit zwei Argumenten. F. Caspary. Grelle

XCIV, 74.
•154. üeber die principale Transformation der Thetafunctionen mehrerer Variabein.
G. Frobenius. Grelle XGV, 264.

Trigonometrie.

455. La th^orie des projections en trigonomätrie. G. Bergmans. Mathesis IV, 222.

456. Sur trois ^quations trigonom^triques qui sont une cons^quence Tune de Tautre.

Gel in. Mathesis IV, 47.

457. Sur une division d'un arc de cercle. H Brocard. Mathesis FV, 86.

458. Rapport du triangle dont les sommets sont les symätriques des sommets d*un

triangle donnö par rapport aux cöt^s oppos^s ä ce premier triangle.
Bastin. Mathesis IV, 112. — Polet ibid. 113. - Cesaro ibid. 114.

459. Rapport des cötds de deux triangles, des sommets de Tun ^tant les symä-

triques des sommets de Tautre par rapport aux cöt^s oppos^s. Janecek etc.
Mathesis IV. 140.

460. Expression for tne area of a convex quadrilateral when the sum of two op-

posite angles is given. A. H. Anglin. Quart. Joum. math. XIX, 138.
Vergl. Gleichungen 245. Sphärik.

XntrMU&pÜMilM TnAft««AA«&toBu
46t. Zur ünuufomiAtioiittheorie der ^ypeieY^i^^uM^va^S^oac^^^^^^^^ «ttet ^^iftanaui^
U, JBTraofe. Grelle XCV, VA.

Historisch -literarische Abtheilung.

Ueber das quadratische Beoiprooitätsgesetz.

Eine yergleichende Dantellang der Beweise des FundamentaltheoreineB
in der Theorie der quadratischen Beste und der denselben sa Grande

liegenden Principien.

Von

Oswald Baumgabt.

Einleitung.

Die höhere Arithmetik zerflQlt im Wesentlichen in zwei Hauptabschnitte,

^ die Theorie der Congnienzen und in die Theorie der homogenen Formen.

-"^^xien integrirenden Bestandtheil der Congruenzenlehre überhaupt bildet die

-^^eorie der binomischen Congruenzen, deren Angelpunkt wiederum die

*^©lire von den Potenzresten ist. ;,Den Schlussstein dieser letzterwähnten

^«orie aber bilden die Reciprocitätsgesetze. * *) Obwohl nun die Auffindung

^^Sor Gesetze ^von einfach ausgeprägtem Inhalt^ ^) yerhältnissmässig leicht

«^"^li Induction gelang, so war doch die Begründung derselben mit ganz

cTQ^^tigeQ Schwierigkeiten verbunden: neue Methoden mussten zu diesem

^^ecke gefunden und von Gebieten , die mit der Arithmetik anscheinend in

^'^^ keinem Zusammenhange standen , musste Beweismaterial herbeigeschafft

^«rden. und doch gelang zuvörderst nur, die Bichtigkeit des quadratischen

^^etzes darzuthun. Aber die Principien, die einzelnen der Beweise für

^^^ quadratische Beciprocitätsgesetz zu Grunde lagen, waren in so hohem

^diasse der Verallgemeinerung fähig, dass sie auch zur Ableitung der all-

^^meiiien Gesetze benutzt werden konnten.

Im Folgenden sollen nun die sämmtlichen vorhandenen Beweise ftlr das
^oadratiBehe Beciprocitätsgesetz zusammengestellt und die ihnen zu Grunde
liegenden Principien einer vergleichenden Betrachtung unterzogen werden.
Der Verfasser glaubt, dass ein solches Beginnen nicht ganz unnütz sei, weil
eben jenes Gtesetz das Fundamentaltheorem der Lehre von den quadratischen
Resten und Nichtresten ist, weil man femer durch die Principien , die den

1) Kummer, Berliner Abh. 1869, 8. 19.
9) Gmoae, Vorwort zu Eisenitein'« MaÜi. KXili., ^Q«t^ \%Cl%

Blt^rUt Abthlir. d. Z9itMohT, f. Math. a. Phyi. XXX, &• "^

170 Historiscb- literarische Abtheilnng.

Beweisen dafür zu Grunde liegen, zu neuen, sehr allgemeinen Aiethoden
gelangt, und weil endlich durch die Beweise jenes Gesetzes eine förderliohe
Wechselwirkung zwischen bis dahin ziemlich oder ganz isolirten (Gebieten
der Mathematik eingetreten ist Dazu kommt, dass die Geschichte unseres
Satzes die gleichzeitige Geschichte unserer gesammten Mathematik im Kleinen
treu wiederspiegelt.

Auf diesen ebenerwähnten eigenthümlichen und reizvollen umstand
wurde ich zuerst durch Herrn Professor Scheibner hingewiesen.

Im ersten Theile sind die sämmtlichen vorhandenen Beweise, soweit
sie mir zugänglich waren, in Capitel so geordnet dargestellt, dass die Be-
weise je eines Capitels denselben Grundgedanken haben. Innerhalb der
Capitel folgen sich die Beweise chronologisch. Die Principien selbst werden
im zweiten Theile entwickelt. Historische Notizen beginnen und beschliessen
die Arbeit.

Zur Bequemlichkeit des Lesers, und auch um die üebereinstinimang
oder Verschiedenheit der Beweise in recht helles Licht zu rücken, ist eine
möglichst einheitliche Bezeichnung und Darstellung angewandt worden. Dass
dabei nicht nur der Kernpunkt, sondern auch das individuelle GeprSge
der einzelnen Beweise unangetastet geblieben ist, braucht wohl nicht erst
erwähnt zu werden.

Erster Theil.

Darstellung der Beweise f&r das quadratische

Beciprocitätsgesetz.

I. Capitel.
Vorarbeiten von Fermat bis Legendre.

Nachdem Bachet de M6ziriac^) die Theorie der linearen diophan-
tischen Gleichungen zu einem gewissen Abschlüsse gebracht hatte, trat an
die Mathematiker die Frage nach der Auflösung der Gleichungen zweiten
Grades, in specie der binomischen Congruenzen zweiten Grades heran. Mit
anderen Worten, es handelte sich um Aufsuchung leicht erkennbarer Beding-
imgen, unter welchen die Congruenz

x^=pfnodq^
wenn p und q gegeben sind, lösbar ist oder nichi

Es wurden zunächst specielle Fälle untersucht

Ans einem Briefe aus dem Jahre 1658 von Fermat an den Engttn-
der Kenelm Digby^) geht da hervor, dass bereits Fermat die Beding-

1) Tbäordmes plaisans et dAeot c^m m ioa^ ^^ \»i^ TL^iaXmA,
2) Job. WaIUb' Werke, Bd.n B. Wl.

üeber das quadratische Beciprocitätsgesetz. 171

ungen kannte, unter welchen +1, 2, +3, 5 quadratische Beste oder
Nichtreste von ungeraden Primzahlen q sind; aus einem 1641 von Frenicle^)
ah Fermat gerichteten Schreiben ist femer evident, dass bereits Frenicle
Kenntniss hatte, wann — 2 quadratischer Rest oder Nichtrest von einer Prim-
zahl ist. Wahrscheinlich war dies aber, wie auch Lagrange*) annimmt,
dem Fermat eher bekannt und von diesem erst aus Frenicle heraus-
gefragt worden.

Air diese SStze sind durch Indüotion gefunden und sind ohne Beweis
aufgestellt. Für —1 wurde der Satz zuerst von Euler*) mit Hilfe ver-
wandter Beste (residua soda) bewiesen; doch misslang ihm das Verfahren
fär + 2. Diese Lücke wurde ausgefüllt von Lagrange^). Es ist eine
merkwürdige Thatsache, dass Euler der Beweis fUr + 2 nicht gelang,
merkwürdig nämlich insofern, als er den Beweis des Oesetzes fUr + 3^)
kannte, um noch über + ^ zu berichten, so war es wiederum Lagrange^»
dem es zuerst gelang, nachzuweisen, unter welchen Bedingungen diese Zahl
quadratischer Best oder Nichtrest einer Primzahl ist.

Diese Daten , ohne Einfluss auf die eigentliche Darstellung des Gesetzes,
sind der Vollständigkeit halber angeführt und um darzuthun, mit welchen
Schwierigkeiten die Mathematiker in diesem Falle zu kämpfen gehabt haben.
Ist nämlich auch nicht zu verkennen , dass die Aufmerksamkeit der Mathe-
matiker durch die Erfindung der Infinitesimalrechnung von der Zahlentheorie
wesentlich abgelenkt wurde, so ist es doch eine bezeichnende Thatsache,
dass so einfache Gesetze, wie die eben angeführten, über hundert Jähre
ohne Beweis bleiben konnten.

Bis jetzt wurden nur specielle Fälle behandelt. Der Erste nun, der
unser Gesetz in seiner vollen Allgemeinheit aufzufassen und aufzustellen
versuchte, warEuler. und es gelang ihm, einen bedeutenden Schritt vor-
wärts zu thun. In einer ^Observationes circa divisionem quadratorum per
numeros primos''^) betitelten Abhandlung theilt er vier Sätze mit, die das
quadratische Beciprocitätsgesetz vollständig ausmachen. Sie heissen:

t Si divisor primus fuerü formae 4ns + (2x + l)*, existente s numero

primo, tum in residuis occurrent numeri +s e^ — s.
J2. Si divisor primus fuerü formae 4ns — (2x + l)', existente s numero
primo, tum in residuis occurret numerus + s, o^ — s in non-residuis.

1) Varia opera math. D. Petri de Fermat, senatoris Tolosani. Tolosae
(Joh. Pech), 1679. S. 168.

2) Nouv. m^m. de Tac. Boyale des sdences et heiles lettres de Berlin. 1776.
S. 887.

8) OpuBC. analyt. 1788. Bd. I S. 186. Vergl. S. 227 dieser Abh.
4) Nouv. mto de Pac. de Berlin 1776. 8. 849, 861.
6) Comment. nov. Petropol., Bd. Vm 8. 166.

6) Nouv. mto. de Tac. Boyale etc. 1*116, ^. ^fA.

7) OpuMo. uuUyt 1788, I 8. 64, od«r: Conoa. mÄ\taa.c«Äw*»ÄA^-^***'

172

Historisoll -literarische Abtheilnng.

3, Si divisor primus fuerU farmae 4ns-- 4z— 1 exdudendo amnes tfo-
lores in forma 4ns — (2x + l)^ contentos, existente s wumero prmo,
tum in residuis occurret — s; at +h erit non-residuum.

4. Si divisor primus fuerü formae 4ns + 4z — l, exdiAdendo omnes vo-
lares in forma 4ns + (2x + l)^ contentos, existente s numeroprimo,
tum tarn +8 quam — s in non-residuis occurret.

Wie eine leichte Rechnung zeigt, ist Euler bei Aufstellung des Satzes
3 ein Fehler untergelaufen. Dieses Theorem muss nämlieh in seinem zwei-
ten Theile heissen: Ist s von der Form 4n+l, so ist +8 Nichtrest
and —5 Best; für 5ss4n — 1 tritt das umgekehrte ein.

Diese vier Sätze, ebenfalls ohne Beweis aufgestellt, involviren, wie
schon bemerkt und wie eine spätere Vergleichung ohne Weiteres ergeben
wird, das quadratische Beciprocitätsgesetz vollständig. Gauss scheint die
eben besprochene Arbeit Euler's nicht gekannt zu haben und schreibt
daher die Entdeckung unseres Gesetzes Legendre^) zu.

Dieser berühmte Zahlentheoretiker hat allerdings das Verdienst, das
Fundamentaltheorem zum ersten Male klar und deutlich in Formeln aas-
gesprochen [und zwar 1785 in seinen „Bech. d'analyse ind6termin^'")] und

zum Theil bewiesen zu haben. Im vierten Abschnitte seiner ebenerwfthnten

«

Arbeit sind folgende acht Theoreme aufgestellt, wobei Äj a Primzahlen
von der Form 4n+l, B^ b dagegen solche von der Form 4n+3 sind.

•—1

b~l

ThSor. L

b-l

1,

a

s'ensuU

a « = l.

a-l

>f

II.

M

a * =

A— 1

-I.

99

99

b « =-1.

99

IIL

»

a « =

A— 1

1,

»

99

A « = 1.

99

IV.

tt

a « =

b — 1

-1.

99

99

A » =-1.

a— 1

99

V.

»

a » =

a — 1

-1,

99

>9

b « =-1.

b— 1

99

VI.

*f

b * =■
B-l

-1,

99

99

a « =-1.

b-l

99

VII.

»

b * =

B-l

1,

99

99

B ^ =-1.

b-l

99

VIII.

w

b » =

-1.

99

99

B « = 1.

Man sieht hieraus, dass Legendre bei Aufstellung seiner Sätze das
F er mansche Theorem benutzt hat. In der That folgt aus:

a? =p modq und p^"^ = 1 modq^

— I

dass die Möglichkeit der Congruenz a?=pmodq abhängig ist von p ' .
Ist nämlich p * =1 modq^ so ist jene Congruenz lösbar; ist dagegen

1) Disquis. Arithm. Art. 161.

2) Hißt, de i'ao. Boyale des soiencea llSis, 8.516—617.

^; ^ '=],... maaa eigentlich VieiBMii b ^ ^YiwÄa, •**

üeber das quadratische Beciprocitätsgesetz. 173

p * = — Imodg (andere Fälle können überhaupt nicht eintreten), so ist

jene Congruenz nicht lösbar.

Zum ersten Male in der Form , wie wir den Satz gegenwärtig ausspre-
chen, ist er ebenfalls von Legendre gegeben worden und zwar in seinem
1, Essai sur la th^orie des nombres^.^) Auf S. 186 bemerkt da zunächst

e— 1

Liegendre: „Ccmme les quantUis cmahgues"^ ^ se rencontreront friquem"
m^ent dans le cours de nos recherches nous eniploierons le caradöre abrdge

( — I powr exprimer le reste que donne N * divisS par c, reste qui suivant

ce qu^on vient de voir ne peut etre qu€ + 1 ow — l." Auf S. 214 heisst es
dann weiter: „Quelques saient les nombres premiers m et n, s'ils ne sont

t€fms deux de la forme 4x — 1, on aura ioujours (~ ) = (~); ^ ^'*^ ^<^

laus deux de la forme 4x — 1, on aura ( — ) = — ("~ )* ^^ ^^^^^ ^^ 9^'
ft^nmo; soni campris dans la formule:

m — 1 n — 1 , ^^ ^

©-<-)-•-(?)■•

Gesetz nennt Legendre das quadratische Beciprocitätsgesetz im Unter-
scliied von Gauss, der es „Theorema fundamentale in doctrina de residuis
^iiadraticis'' bezeichnet. 150 Jahre nachdem die ersten speciellen Fälle ent-
deckt waren, war es also einem der bedeutendsten Zahlentheoretiker ge-
l^ingen, das Gesetz in allgemeinster Form und elegantester Fassung auszu-
^inrechen.

Auf die Art, wie Legendre den Satz zu beweisen suchte, werden
Mrir später zurückzukommen Gelegenheit haben. Hier bemerken wir nur,
^888 der Nachweis unvollständig ist; und eben dieser ünvoUständigkeit halber
übergehen wir ihn hier.^)

Wenden wir die Legendre'sche Bezeichnung an, so haben wir bis
O^tzt bemerkt:

_) = (-!)- II)(-) = (-l)»;

q / ^ ' \q

q/\p'

■") (^) ii) - (- »'

wobei p and q positive ungerade Primzahlen bedeuten.

Diese drei Formeln drücken das quadratische Beciprocitätsgesetz aus.

In den zunächst folgenden fünf Abschnitten werden wir nun den Be»
weis hauptsächlich für Formel III) erbringen und in einem besondem Oapitolf

1) Ä Paris cbes Doprat. An VI (1798).
f) DhqaiB. Aritbm. Art. 161, 296, 297 und Ad^tam^üW

174 Historisoll -literarische Abtheilnng.

S. 227, ;,die Ergänzungssätze des quadratischen Beciprocitätsgesetzes'^, wie
die durch Formel I) und 11) ausgedrückten Gesetze heissen, darthun.

Ehe wir dazu übergehen, haben wir noch eine von Jacobi^) an-
gegebene Verallgemeinerung des Legendr ersehen Symbols zu erwähnen,
weil dieselbe ftlr das Rechnen mit jenem Symbol von grosser Wichtigkeit

ist. Während nämlich Legendre voraussetzt, dass in ( — j q eine un-
gerade positive Primzahl und a eine zu derselben relative Primzahl ist,
lässtJacobi für g = 5 auch zusammengesetzte Zahlen zu. In (-^j werden

a und b nur relativ prim vorausgesetzt, die nicht zugleich negativ sind und
von denen die letztere ungerade ist. Diese verallgemeinerten Legendre-
schen Symbole werden von Jacobi durch die Formeln

i—Hmy- (^)-(f)' (^)=(i)(f)-

definirt, worin j7, g, r, ... absolute Primzahlen, welche verschieden, aber
auch theilweise oder sämmtlich gleich sein können, bedeuten.

IL CapiteL

Gauss* Beweis durch vollständige Indnotion*) in der von Diriohlet')

gegebenen Form dargestellt.

1.

Gauss unterscheidet bei seinem ersten Beweise, ebenso wie Legendre,
acht verschiedene Fälle, je nach der verschiedenen Natur der in Frage kom-
menden Primzahlen , so dass der eigentliche Beweis in acht Beweise zerflUlt.
Die acht Einzelfälle sind:

1. Ist g = 4n + l, j? = 4n + l und /~j = l, so ist zu beweisen,
dass(X) = l;

2. ist g = 4n+l, |) = 4w + 3 und (— j=l, so ist zu beweisen,
dass(l)=l;

3. ist ^ = 4n + l, p = 4n + l und (— j = — 1, so ist zu beweisen,

dass

P

(i)-'-.

1) Grelle J. XXX, S. 170.
9) Diaquie. Arithm. Art. 1S5 —144.
S) Dirichlet, Grelle J. XL^O, ^.1«^.

üeber das quadratische Reoiprocitfttsgesetz. 175

dass

P

4. ist g = 4n + li i> = 4n + 3 und ( — 1 = — 1, so ist zu beweisen,

5. ist g = 4n + 3, p = 4n + 3 und (— jasal, so ist zu beweisen,
dass(j) = -l;

6. ist q=sAn + 3j p = 4n + l und ( — ) = 1, so ist zu beweisen,
da88(j) = l;

7. ist g = 4n + 3, jp = 4n + 3 und ( — ) = — 1, so ist zu beweisen,
dass (1) = 1,

8. ist g = 4n + 3, jp = 4n + l und ( — ) = — 1, so ist zu beweisen,

Diese acht einzebien Sätze machen also das Beciprocitätsgesetz^) voll-
ständig aus; sie lassen sich nun zunächst in die folgenden drei zusammen-
ziehen :

I. Ist g = 4n+l und ( — J=l, so ist zu zeigen , dass (— )= 1;
IL „ g = 4n + l „ (|)==-li ,. n » n „ (f)="^5

= 4n + 3 „ (|) = 1, n M ,, n „ (f) = (-l)^.

Im Falle III ist «= + /'• ^^^ nämlich (— j = — 1, so folgt aus

(^] = p * tnodg (— j = + l, so dass der Fall (— j=--l einer wei-
teren Untersuchung nicht bedarf.

Fassen yrir noch den I. und III. Fall zusammen , so reducirt sich unser
Beweis darauf, zu zeigen, dass, wenn

I. « = 4« + l, 4n+3 und (|) = 1, (■f-) = (-l)
n. 3 = 4« + l „ (|) 1, (■^) = -li8t

p repräsentirt dabei eine beliebige ungerade positive Primzahl, a eine
beliebige ungerade positive oder negative Primzahl.

Im Folgenden setzen wir nun, was immer geschehen darf, q>p vor-
aus und nehmen an, das Oesetz gälte für alle Primzahlen kleiner als q and

III.

0—1 9—1

— — —■ • I

^ ^ und

1) Das Wort „quadratisch** soll vor Beet, li(idi\2CQi»V>*^j»c»et^€^äk^«^^
gelaeaen werden, wenn nicht die DeuUidbkeit dBxxiii\«t \eAdA\K

;ememschamichen Theüer.

2.

Ist f — j = + l, 80 ißt zu zeigen, dass (— j = (— 1) * * ist Aus

der Voraussetzung folgt, dass die Congruenz a? = amodq lösbar ist. Be-
zeichnet man die gerade Wurzel derselben mit e (e<g), so ist also

1) i^^a + fq.

f ist hierin eine von Null verschiedene ganze Zahl, weil im andern
Falle « = e* = 4e' wäre ; femer positiv, weil sonst a =+p und p-^e^^q
wäre, was gegen die Voraussetzung q>p streitet; und ungerade, weil
fq=^f?~^a ungerade ist. Femer ist /*^9'1, denn e und p sind kleinei^;
als g' — 1| woraus qfK.q^q — '^ nnd /*<g — 1 folgt. Nun sind in Gleich^
ung 1) zwei Fälle möglich.

1. e und f sind relativ prim zu a. Aus e^ = fqmoda ergie

sich, dass (— j = l oder |— j = (— j» während aus e^ = amodf {•j)'=^
folgt Mithin ist

(l)=(^)-(7)<->'^'"='-"^"

da nach unserer Voraussetzung das Gesetz für alle Primzahlen ^q gmSlt.

Da nun e = fMod2, so ist

— « = qfmodA
oder

-(«+l) = g/--l=g-l+/--l modA

und

— j— = —9— • p iß* ^^^ ^fts Product zweier aufeinander folgen
Zahlen, folglich gerade, woraus

"2 2"="^ 2" *^^

resultirt, was zu beweisen war.

2. ^ und e sind durch a theilbar. Ist f^=uq> und 0 = a€,
wird

2) a^^l + fpq,

worin « und g relativ prim sind. Zunächst ist nun |— jcsl und
^ • •= — g>(7 moda folgt ( — j = ( j » so dass mit Benutzung unserer

«

/

_ < ^14

üeber das quadratische Reoiprocitfttsgesetz. 175

dass

P

4. ist g = 4n + li i> = 4n+3 und f--j = — 1, so ist zu beweisen,

(f)=-'^

5. ist g = 4n + 3, p = 4n + 3 und (— J = l, so ist zu beweisen,

6. ist g = 4n + 3, p = 4n + l und (--j=l, so ist zu beweisen,

7. ist g = 4n + 3, jp = 4n + 3 und f— j = — 1, so ist zu beweisen,

8. ist g = 4n + 3, 2)==4n+l und (— j = — 1, so ist zu beweisen.

daa8(l) — 1.

Diese acht einzelnen Sätze machen also das Beciprocitätsgesetz^) voU-
^^<3ig aus; sie lassen sich nun zunächst in die folgenden drei zusammen-
gehen:

*• Ist g = 4n+l und ( — J = l, so ist zu zeigen, dass (— )= 1;
n- „ 3 = 4n+l „ (|) 1, „ „ „ „ „ (j) 1;

nt. „ gr = 4n+3 „ (|) = 1, ., „ ,. » „ (f ) = (-!)"•

Im Falle III ist a= + p. Ist nämlich f— j = — 1, so folgt aus

^"^^ ) = P * modq (— j = + l, so dass der Fall (— j = — 1 einer wei-

te
B

^Q Untersuchung nicht bedarf.

Fassen yrir noch den I. und LEI. Fall zusammen, so reducirt sich unser
"^eis darauf, zu zeigen, dass, wenn

«—1 9—]

* und

L g = 4f. + l, An+d und (^) = 1, (7) = (-l) * '
n.g = 4n+l „ (|) 1, (i-) list

p reprSsentirt dabei eine beliebige ungerade positive Primzahl, o eine
^^:3liebige ungerade positive oder negative Primzahl.

Im Folgenden setzen wir nun, was immer geschehen darf, q>p vor-
■"Xis und nehmen an, das Oesetz gälte fUr alle Primzahlen kleiner als q and

1) Das Wort ^goadratisch** soU vor Best, l^iclittQftt^ BAd^xQci^^%2MK^iL V»Nr
werden, wenn nicht die Deutlichkeit daruntex \Q\!i^\K

178 ^ Historisch -literarische AbüieiluDg.

^^ 1.2...(2m+l) "

eine ganze Zahl sein. Nun ist aber

(2m + l)! = [(m + l)-m].[(t» + l)-.(m-l)]....[(m + l)-l]
X[(m+l)-0].[(t» + l) + m]....[(m + l) + l]
= (m + l)[(t» + l)«-in«]....[(in+l)«-l].

Setzt man diesen Werth in 3) ein, so würde sich ergeben, dass

1 ^ q — V q — w?

X?= r-r • . ^vo * • • • ^

m + 1 (t» + l)«-l (w + l)«-!»«

eine ganze Zahl sein müsste.

Nimmt man nun für m die grösste ganze Zahl unterhalb ^q an, so
dass unsere Voraussetzung 2m + \<,q bestehen bleibt, so folgt, da (m + 1)'< 9,
dass ß ein echter Bruch ist. Die Voraussetzung über den Bestcharakter yon q
ist daher falsch und man kommt zu dem Besultat: Ist q eine Primzahl yon
der Form Sfi + li so giebt es unterhalb 2^ +1-) &l80 unterhalb q min-
destens eine ungerade Primzahl p\ von der q quadratischer Nichtrest ist.

4.

Es giebt also für jede ungerade Primzahl $c=4fi + l eine ungerade

Primzahl p'<,qy so dass (->] = — 1 ist. Nun muss aber auch (— j = — ,1

sein; denn wäre (~j = -)~l9 so hätte man nach dem Vorhergehenden

/q\ CJzl.lziJ , •

(■=>I = (— 1) * * = + 1. Für p' und q gilt also das Beciprocitftts-

gesetz.

Es war darzuthun, dass (— j = — J ist. Da aber (-7) = — 1 ist, so

kann die Aufgabe dahin modificirt werden: nachzuweisen, dass

\pp/
wird. Nach Voraussetzung ist (— j = — 1, folglich ( j = + l, d. h.:

die Congruenz a^^pp' modq ist lösbar. Bezeichnet man die gerade Wurzel
mit 0«(7), so ist

4) e*=:pp + fq,

wobei f eine ungerade ganze Zahl, kleiner als q repräsentirt. Man hat
nun zu unterscheiden:

1. e und f sind weder durch j>, noch durch p' theilbar. Dann
ist ^ = pp' modf, mithin (^jcsl, und femer e^^qfmodpp\ mithin

f-^)=rl oder (-^) = {-^y ao Asa» %\0i «t^^\»

üeber das quadratische Reciprocitötsgesetz. 179

I>a aber e = 0mod2 und ausserdem g=lmod4, so ist

f=—ppmod4t^ mithin — g-'^^^^^o — — ""^ — '^ — tnodZ.

Die rechte Seite der vorstehenden Congruenz ist aber das Product zweier
aufeinander folgender Zahlen, also gerade, so dass

resxdtirt. w. z. b. w. ^^^^

2. e und f sind durch p'j nicht aber durch p theilbar. Setzt
man es=iip\ f=g>p\ so wird €^i>'=p + ä'9>, worin tp relativ prim zu jp,
p' und q ist. Wir erhalten somit

(^)=e-f )- -^ (f)={f)(f)-

Da femer i*pp=^p*+pqg>, so ist (^^?^)^lj also (i?) = (-^V
so dass

W/ wA 9> Aj>/Vi)' j

^I> ergiebt. Man erhält so mit Bttcksicht aof unsere Voranssetxang:

^) = (-l) * » "*■ « » "^ » .

N'un ist aber in i*p'^p + Q(p e gerade wegen e = 0 mod2j folglich tp =
I> iNod4. Demgemäss wird

_ ^ P + 1 i>'-l ,.,^9

^^ ^aas ( — /| = + 1 wird, w. z. b. w.
\ppj

3. Der Fall, dass e und /"durch jp, nicht aber durch|)' theil-
^^x* ist, ist dem vorigen durchaus analog.

4. e und /^ sind durch i? und j?' theilbar. Ist e=Bpp\ f=(ppp\
so irird ,

(«i)p')*=i)p + «g>i>jp und €*pi>'=l+g9),

^orin 9 relativ prim ist zu py p' und g.

Daraus folgt zunächst (^^^ j == + 1 oder T-^, j = (^ j • Da :

(^)=.l ist. so ergiebt sich (X,) =, (=^)(£L) , y,^
4«öi Beeuliat ftihrt: . «+i m'-i

180 Historisch -literarische Abtheilung.

da 9, j7, ^ sämmtlich kleiner als g sind und somit unsere allgemeine Vor-
aussetzung Platz greift. Nun ist aber e gerade und g=l moi\^ folglich

g) = — linöel4 oder ^ =0mod2, so dass

sich ergiebt. Damit ist auch der zweite Theil des Beweises erledigt

Es ist aber das Gesetz für p und q nur unter der Voraussetsung be-
wiesen, dass es zwei Primzahlen giebt, kleiner als die grOsste jener beiden,
für welche das Gesetz schon Giltigkeit hat, und dass, wenn das Beciprod-
tätsgesetz fdr Primzahlen gilt, dann auch das entsprechende G^etz fCLr ver-
allgemeinerte Restcharakteristiken gilt.

Was den ersten Theil der Voraussetzung betrifft, so erledigt sich der-
selbe dadurch, dass die beiden kleinsten ungeraden Primzahlen 3 und 5
dem Euler*schen Gesetze gehorchen. In Bezug aaf den zweiten Theil der
Voraussetzung sei Folgendes bemerkt.^)

Sind in ( -rr j P und Q positive zusammengesetzte ungerade Zahlen ohne

gemeinsamen Theiler und zerlegt man P und Q in ihre Prim£EU)toren

Pt *9 r\ tu

so wird sem

(f)ö)=mf)(f)'

wo jedes p mit jedem q zu combiniren ist.

Nimmt man nun an , das quadratische Reciprocitätsgesetz gälte fCLr alle
p und ^, so erhält man

(f)(l)=n<-«--^- (-«^c-'^).

wo das Summenzeichen alle Combinationen von p und g amfasst, so dass

ivird A.US

B = JIr=nK*--l) + l} = l + 2;(r-l)«wd4,

r nngerade Toraasgesetzt, ergiebt sich aber, dass •

und 2
gleichartige Zahlen sind. Aus demselben Grunde erhalten wir

80 dass /P\ /0\ '-' ^.=1

(5)(l) = <-'~ ■■

Die gemachte Voraussetsung ist also zulässig, folglich gilt das
Beciprocitätageaetz in voller AUgemomYi^it,

1) Gbubb, DUq. Ar. Art tW und DixuiVil^l^ ^t^W^ ^.1ÄN\^^^,\»,

-^ und ^^

TJeber das quadratische Beciprocitfttsgesetz. 181

m. OapiteL
Beweise durch Bednction.

L Gauss' ^) dritter Beweis.

1.

o — 1

Bezeichnet q eine positive Primzahl, so ist 1, 2, ••• ein voll-

Sjstem incongmenter positiver absolut kleinster Beste Module q ; wäh-
rend, a relativ prim zu q vorausgesetzt, a, 2a, ••• - ^ a nur ^ in-

eongmente, nicht aber nothwendig positive absolut kleinste Beste Module ^
liefert Sind in dieser letzteren Beihe p^, ... qx positive absolut kleinste,
— ^1 ••• ~ ^^ negative absolut kleinste Beste Module q, so erhellt zunftchst,
class die q und die a sttmmtlich von einander und von Null verschieden

und, also abgesehen von der Beihenfolge Module q den Zahlen 1, ... ^

eoogment sind.

Wftren nämlich zwei Beste ta modq und sa modq einander gleich, so

'otlsste sein /. n r^ ,

{t—s)a = 0 modq

^^r, wenn man vom Vorzeichen der a absieht,

{t+is)a=0 modq^

^^^ beides nicht möglich ist, da t und s von einander verschieden und
^^iiier als ^ sind. Man erhält somit

a « 1.2 ''^^={r-lfnQ na modq oder a"^ = (-) = (- 1)** mod^

"^^Qae Formel gilt für jedes zu q relativ prime a, also auch für eine von q
^^l^chiedene Primzahl p, so dass sich das Besultat findet: Sind p und q

i positive ungerade Primzahlen, so ist f ^js=(— 1)'*, wenn ^ die An-

^ "^ 1
der negativen absolut kleinsten Beste in p, 2p, ... ^ p modq

^^«deutei

2.
Um die in dem vorstehenden Lemma gefundene Zahl ^ weiter zu unter-

^<^Iieii, wendet Gauss die Bezeichnung 1 ~ als grOsste in — enthaltene

S^>U6 Zahl an und findet

r=

IJ Camm. 8oe. Gott Vol. XVI 8. 69, 1808, Jan.\b od« Qt%u%%^^«aÄT

184 Historisch -literarische Abtheilong,

und bezeichnet man mit {$)rx die Anzahl der s^ welche Modnlo jp positiven
absolut kleinsten, Modnlo q aber negativen absolut kleinsten Besten con-
gruent sind, femer mit {ijRr die Anzahl der 5, welche Module i> negativen
absolut kleinsten, Module q aber positiven absolut kleinsten Besten con-^
gruent sind, so ergiebt sich zun&chst

1) («)iIr=(-S)ril,

wobei das Zeichen (S) in Bezug auf 8 dieselbe Bedeutung hat, wie {s) ^
Bezug auf s. Nach dem oben abgeleiteten Satze ist aber femer

2) {s)rR + {S)rR = ^^ -^'^

2

Gauss betrachtet nun die Reihe

i±i g + 3

2 ' 2

«-1.

2 + ^^' ... 22-1,

—2—« + — 2-' — — 2-«-»-

n — 1 n — 1

Die Anzahl der Glieder ist ^--^ — • -^-^ — und es sind s&nmtliche Zahlen s,
die Module q negativen absolut kleinsten Besten congruent sind, demi ^e
nächste Horizontalreihe würde mit — jz — beginnen. Gauss trennt J^^^
^-^ ^ — Zahlen in 3 Classen.

1. In die erste nimmt er die, welche Module p positiven abßol^t
kleinsten Besten congruent sind; ihre Anzahl ist {s)rR.

2. In die zweite nimmt er die, welche Module p negativen absolut
kleinsten Besten congruent sind; ihre Anzahl ist {8)rr.

3. Die übrig bleibenden haben die Form jprg = JB^ twodg. Bezeicli**^^
man daher den zum Beste p und zum Modul q gehörigen ^^'
ponenten mit v, so erhält man durch diese Eintheilung

3) {s)rR + (shn + V = ^ . -^.

Auf ganz analoge Weise folgt aus der Betrachtung des Sjstemes:

p — 1,

1> + 1 j>+3

2 ' 2

^ lP+1 _ , .P + S „ ,

p-\ — g— . jpH — g— . ••. ^p—l.

TJeber das quadratische Bedprocitfttsgesetz. 183

%(P-i)

oder ^ "

Damit ist aber das Reciprocitätsgesetz bewiesen.

n. Gauss' fünfter Beweis.*)

1.
In der Reihe der Zahlen

I) 1, 2, ... pq — l,

worin p und q>p zwei von einander versohiedene positive ungerade Prim-
zahlen bedeuten mögen, sind q und nur q Zahlen, die Modulo p einem
positiven absolut kleinsten Reste fp congruent sind, n&mlich

II) ^Pi rp+p, ... r^ + te— l)i>.

Diese Reihe stellt ein vollständiges Restsjstem Modulo q dar, denn es ist
offenbar die Differenz zweier Glieder dieser Reihe nicht durch q theilbar.
Von den q Gliedern der Reihe 11) ergeben nun, wenn man sie Modulo q

in drei Theile spaltet, ^ Glieder positive absolut kleinste Reste und

— ^ Glieder negative absolut kleinste Reste; die restirenden sind Vielfache

von q. Man erhält dadurch den Satz:

«1—1 fi 1
In der Reihe 1, 2, ... pq^l giebt es ^ * o Zahlen, welche

Modulo p und Modulo q positiven absolut kleinsten Resten congruent sind,

und ebenfalls ^ • ^ Zahlen , welche Modulo i? positiven absolut klein-
sten, Modulo q aber negativen absolut kleinsten Resten congruent sind.

2.

Setzt man zur Abkürzung:

s=l,^,.«. — ^ — > ö =» — 2 — •...|>g— 1,
rp=l,J,.-. — 2 — > iCp^ — g — • ••• p — 1,

i; CoAUD. Soo. Gfot^ XYI S. $9, 1818, ¥€^t. \0 cid« Qt%'^%i^

186 Historisch - literarische Abtheilang.

|~j =r (»ly* eine Zahl, welche (wiederum von einem geraden Snirnnanden
abgesehen) gleich ist der Anzahl der Gitterpunkte innerhalb OBCD, wenn

/y — 1

noch OB = ^^T — ist. Mithin ist fi + v Module 2 congment der Aniahl

der Oitterpunkte innerhalb OÄBC; denn es treten keine Punkte doppelt auf,
da diese, wie sofort evident, auf der Geraden selbst liegen müssten, was nicht
möglich ist. Die Anzahl jener Gitterpunkte ist aber, wie die Anschauung

lehrt, gleich — ^ — — s — » womit unser Gesetz abermals seinen Beweis

gefunden hat.

IV. Beweis von Genocchi.^)

Genügen p und q wiederum den oft angegebenen Bedingungen und
setzt man zur Abkürzung:

1)

( PQ

2 1^2

u==hg-hp I g^l

v = hq + kp-r \*^ ' 2
ist femer h' diejenige ganze positive Zahl, ftir welche

2) hg =^ ip + h' oder ip<Äg<^

wird, dann wird

3) kp<hq für Ä = l, 2, ...i,

so dass für einen vorgegebenen Werth h der Ausdruck u, wenn darin k
alle möglichen ganzzahligen positiven Werthe annimmt, t aber auch nur
i positive Werthe hat. Das Nullwerden von u ist ausgeschlossen , was un-
mittelbar aus der Definition dafür folgt. Mit Hilfe von 2) ergiebt sidi

^®"'®'^' hq + kp = {i + k)p + h\

, . , .. . 1 P9 — 1 ^*~1 . P — 1.
woraus, wenn man berücksichtigt, dass r = — ^ — = p — s 1 o — wt,

sich ableitet
hq + kp>r für ^ = lzl-i + l, lzl«i + 2, ... 1^

/y — 1
und für ä = -^-^ i,

wenn in diesem Falle ausserdem noch ä'> — ^ — ist. Denn — ^ 1

kann nicht Null werden, weil sonst hq'^r sein müsste, was nicht mög-
lich ist. Also wird

V, wenn k die ganzen Zahlen 1,2, ... — ^ — durchl&nft,

t positive Werthe annehmen, wenn h'^^ und

1 + 1, wenn ä'>^i

1) M^m. oourr. et m6m. dea ä«v. 6tc«kSi%. TSi^ ^ VWi,

üeber das quadratische Beciprocittttsgesetz. Id7

Anz.j^ pos. V =» Anz.jt pos. u^), ä'< -^ i

Anz.it pos. V = Anz.jt pos. u + 1 , A' > ^*

« — - 1
Lttsst man nun h die Werthe von 1 bis — ^> — durchlaufen , und bezeichnet

man mit fi die Anzahl der Beste hq, welche Modtdo p grösser als*^ sind,
so ist also

4) fi = Am, h,k pos. V ~ Anz.k,k pos. u mod2.

Ist analog Anz. po8.t«'= Anzahl der positiven {kp — hq) und v die Anzahl
der Reste kp , welche Module q negative absolut kleinste sind , so ist ebenso

5) V = Anz.A, k poß. V — Anz.A,ik pos. u' twod 2 ,
woraus, wenn man die Werthe für u und u einsetzt, sich ergiebt:

Anz.Ä^ k pos. {hq — kp) — Anz.A, k pos. (Äjp — Ä ^) = ^ + v mod 2 , q. e. d.

V. Beweis von Stern.*)

1.
Sind p und q wie bisher zwei ungerade positive Primzahlen, so gilt
die Congruenz: .

1) 1 .2 ... ^^ = (-!)- 2. 4 ... p-^lmodp,

wenn u die Anzahl der ungeraden Zahlen in der Reihe 1 , . . . ^—^z — ist.
Danach wird

2) u = ^,

wenn e gleich 1 oder — 1 ist, je nachdem p die Form 4n+ 1 oder 4w — 1

hat. Ebenso wird

1 P"' 1

q.2q ... ^-^ — q = q '^ 1 ... o ={" 1)*"' »2.4 ... p^lmodp,

wenn u^ die Anzahl der positiven ungeraden Reste Module p in der Reihe
q, 2qy ... ^—^ — • q repräsentirt, oder

q 2 .1.2 ^-g— = ^ 2 (-i)«2.4 p-lwodi?,

woraus . ,

folgt Daher ergiebt sich

j> (f)(i) ='-"*-

— «

— If — V

1) Die Bezeichnung Anz.tp0B. v ist nach Schering gew&hlt und ist bu lesen:
Anzahl der positiven Werthe von v bei variabelem k,

2) GOttinger Nachrichten 1870, 8. 287. DieMt Be«^ Ssi^» xas^ %^»& ^ssct««i^
Er ist ^JeJcliiroliJ eingereiht der YdlstAiidigkeit Yisl\>«T ^qbA ^^ V^^^Ra.

ßraobtbrmgender Gedanke liegt

188 Historisch -literarische Ahtheiloiig.

wenn v und t;, in Bezug auf q dieselbe Bedeutung haben, wie u und u
in Bezug auf jp. Mit Bücksicht auf 2) hat man daher, um das Reciprocitftts
gesetz darzuthun, zu zeigen, dass

Ui + Vj = — j — H 2 — ♦'•^ ^> wenn p und q gleichförmige Zahlen^

4) { odjar

U| + Vj = — 2 — *^^ 2 , wenn p und ^ ungleichförmige Zahlen sind.

Ist femer u resp. v die Anzahl der geraden positiven Beste in
resp. .

so ist zunächst ti, + w'= — ^ — * Vj + v= —^ — oder (w, + v,) + (h'-1 — ^z,

~ 2 ^ 2

Setzt man nun zur Abkürzung

5) U = u^ + v^, G= w'+ v\

so hat man, um das Beciprocitätsgesetz darzuthun, mit Rücksiebt auf 4;
zu zeigen, dass

U — G^ = 0 modAy wenn p und ^ gleichförmige Zahlen,

U —G =i 1 modAf wenn p und -^ ungleichförmige Zahlen sind,
oder dass

6) I7-ö=^^mod4«)
wird.

2.

Um die Formel U — G -= -—^ mod2 zu verificiren, bemerkt St& ^^

zunttchst, dass nicht derselbe Best r zugleich in xq modp und yp tno^^^
vorkommen kann. W&re nämlich gleichzeitig aq=^gp-\-r und ap^^gq^r — '^'
so müsste

sein. Nun ist aber a<i-^^ folglich /<|-> so dass, da auch a <l i«^^^
a+^'<P wird.

Mit Bücksicht auf die Eigenschaften von p und v ^olgt daher di^^
Unmöglichkeit der Gleichung 7) und die Bichtigkeit der obigen Bemerkung

1) Zwei Zahlen heisseu gleichförmig, wenn sie beide von der Form 4n+^ ^L
oder 4n + 3 sind, ungleichförmig, wenn die eine von der Form 4n-f-l» die ändert
von der Form 4fi + 8 ist.

2) Stern erbringt im Folgenden nut dcü'^w^J«!^^ öjmäXJ— Qt^^^^Mid
ist. Hierauf wurde ich zuerat darchHetni Vxo^,^^\i^x\ii%%sÄm«eiMWBk

so

üeber das quadratische Beciprocitätsgesetz. 189

Xidfaoht man nun die Voraussetzung q^p und setzt man
8) aq:=^gp + r, a<|i r<p,

n^'ci.fis ^ < — 5 — sein. Wäre nämlich g = — 5 — » so wäre, da a für dieses

1 • « P — 1 . , P — 1 ^—1 Q — P

g Sl^3.ch — 5 — wird, r = — ^ — q — -^-^ — p = — ^-^^ — » also negativ, was

nicH^ eintreten soll. Es ist also g<C — s — Gleichung 7) kann aber auch

gOBol^Tieben werden:

{9 + l)p==aq + {p-r)
oder

9) hp==aq + r\ 6 = ^ + l<|> r^p — r<Cq.

A.118 7) und 9) resultirt aber:

Setzt man qK^ p voraus ^ so enthalten die beiden Restsysteme xq modp
'^Äcl yp mod q sämmtliche Zahlen p — 1 , jedes davon die Hälfte. — Die

Ajizahl der Reste in gpmodq ist — 3 — » so dass in dieser Reihe — 5 —

grösser als p vorkommen. Sind hierunter O' gerade und U' un-
, so ist also

*Bi^er ist, wie sofort evident:

Zorans

^^Igt

6 = ^ + 0', U^^+U\

U^0= U'+G'=^-j^mod2

VI. Beweis von Zeller.^)

l.
Nach dem Gauss'schen Lemma ist ( ~ )( — ) = (— 1)'*'*"% wenn (i resp. v
^« Anzahl der negativen absolut kleinsten Reste in

2) P, 2p, ... l-^pmodq

^^anien.

p— -1 «"PI

Setzt man p^q voraus, so kommen die

Entweder in Reihe 1) oder in Reihe 2), nie ah
i) MoDmiBbmr. der BerL Ak, 1872 » 8. aii.

190 Historisch -liieraris^e Abtheilimg.

vor. Denn ist hq^ r moäp^ so gilt die Oleicbung hq — kp t= r^ woraus

nach der Voraussetzung p^g folgt , dass k - eine ganze positive Zahl ist.

Daraus ergiebt sich

Ä! j? = — r mod q ;
mithin erhalten wir

f4 + v = — 2 \'zmod2,

wo T die Anzahl der negativen absolut kleinsten Beste in 2) bedeutet,

p
welche grösser als ^ sind.

2.

Ist nun

kp^-rmodq (ä<^^ ^»<J ^"^^^^
und setzt man

fc'=|(y_l)-Ä, r'=^-r,

SO ergiebt sich , dass k' und / denselben üngleichheitsbedingungen genügen
wie k und r und dass k'p^^r modq ist. Das heisst: Im Allgemeinen

kommen alle zwischen ^ und -^ liegenden negativen absolut kleinsten Beste

kp mod q paarweise vor , geben also keinen Beitrag zu r , da t Exponent
von —1 ist, man aber Moltipla von 2 fortlassen kann. Ausgenommen
sind, wie sofort erhellt, die Fälle

Ä; = 0 und Ä = ä' (= -?^ Y

1. Ist zuerst Ä = 0, so wird Ä;'= — ^ — ^^^^ ^ V = "^i — P
= ^ modq. Da aber 5^>/>, so ist dieser Best positiv und
giebt daher keinen Beitrag zu r.

2. Ist zweitens k = k'= — ^ — » ^^ Isasm nur dann von einem Beste
die Bede sein, wenn q von der Form 4n + l ist.

Für 9 = 4n + 3 erhält man somit

T = 0 mod 2 und ^ + v = — ^ — ♦»wd 2.

Für ^ = 4n + 1 wird Äjp = — j — p = 7 (— p ± ^) «wd ^ und man hat
zu unterscheiden:

1, p=l modA, Dann giebt kp einen positiven Best: t^O mod2.

2, p = 3 mod 4t. In diesem Falle muss q negativ genommen werden,
so dass T = 1 mod 2 resultirt

FaBBt man alle diese Fäi^ i\x&ttinm«ii^ ^o «£V^\» i&ftXL "oakant^ befauuite
Formel.

üeber das quadratische Beciprocittttsgesetz. 191

Vll. Beweis von Eronecker.^)
Sind wiederum p und q zwei von einander verschiedene positive un-
Primzahlen, und definirt man das Symbol ( — j als das Vorzeichen

Ä = 1, ...

w^f'(..,::4i

*^ lift^ unmittelbar evident, dass

. -> (f)(f)-(-')'^-'^

ist. Aus

/i(M)4n('-'f)

^^Ori^bt sich femer

(|)-(->,f'Vi.

Setzt num nun p=:P modq, so wird — =1 — 1 modq und daher

«) ■ , ' (f)=(f)' '

WiUirend p^-^-p modq

«' ■ (f)-(f)<-')'^

S>^bi Ist femer kp^= +y modq^ wo A;' ebenfalls einem absolut kleinsten
V^^ystem Modulo q angehören soll, und bezeichnet man mit r die posi-
'« OrCtose h' resp. q—k\ so vrird:

^^^r, wenn man die Identität:

^HrOeksiohtigt:
^oims wiederum folgt:

[^>[7']4^

4; Bmi Mün.'Bn. 1976, S. 301

1D2 Historisch -literarische Abtheilung.

Ans dieser Formel ergiebt sich die Beziehung

Wendet man hierauf Formel 1) an und vertauscht dann p' mit q^
so wird

^) . (Ä)=(f)(f)-

Die Formeln 2) bis 5) zeigen nun , dass die in 1) vorkommenden Symbole

l^j und f-^j genau denselben Gesetzen gehorchen, wie die Legendre-

Jacobi 'sehen Zeichen. Sollen sie mit diesen identisch sein, so muss
noch werden:

( — ) CS -f- 1, wenn p quadratischer Best von q ist, und

( — j = — 1, wenn p quadratischer Nichtrest von q ist.

und diese Beziehungen gelten in der That. Setzt man, um dies für den
ersten Fall darzuthun , in 4) j)' = |> , so ergiebt sich sofort in Verbindung

mit 2) ( — i = "Hl- Was den zweiten Fall betrifft, so wftre, wenn es

nur eine einzige Zahl p gäbe, fdr die (-=-1 = — 1 wäre, mit Hilfe Ton

2) und 4) evident , dass jeder andere Nichtrest dieselbe Bedingung erfüllte.

und eine solche Zahl p giebt es. Für g = 8n+ 1 hat dies bereits Ganss

in seinem ersten Beweise, wie wir gesehen haben, dargethan; es erübrigt

also nur noch, den Nachweis für gB=8n + 3, 8n + 5, 8n+7 oder, was

dasselbe ist, für

q= — l modi und q = 5 modS
zu erbringen.

Ist zunächst q= — l mad4, so folgt aus Formel 3), wenn man
|) = 2^— 1 setzt, unmittelbar (— j = — 1.

Fttr q = bmod8 und p = — ^ — erhält man mit Hülfe derselben

p/ \ p
wiederum

Formel 3) (—) = (-^^ — -^ = (- 1) 2 = - 1 und wegen Formel 1)

Nach alledem ist erwiesen, dass ( — j identisch ist mit dem Legendre-
schen Sjmboh^ und Formel 1) «n\hS\t Bom\\i ^«a\^«««A ^!to \ixa«c«Kt %»tau

üeber das quadratische Reciprocittttsgesetz. 193

VIII. ^ Beweis von Bouniakowsky.^)

1.

Sind a und r (l<r< 2a — 1) zwei positive ungerade Zahlen ohne
gemeinsamen Theiler und ist ps=2an + r eine ungerade Primzahl, so

die Zahlen ], 2, ...^^-p — oder 1, 2, ... an-^ ^ — dargestellt

durch das System:
, 1, 1+a ... 1 + vn— l)a, l+na,

2, 2 + a . . 2 + (n-l)a, 2 + na,

i)

r+1 r+1 . r+1 , .,

a— 1, a— 1+a ... a— l+(n— l)a,
a, 2a ... tia.

Bezeichnet man das Product der Glieder einer Horizontalreihe mit dem
'^^Fangsgliede n mit (n,a), so dass

. (n, a) = n (n + a) [n + 2a) . . .

^•*» 80 wird:

2) 1.2 ... :PZLL = (l,a).(2,a) ... (a, a).

Da die Zahlen 1, 2» ... a Module a mit den Zahlen
^ 0, rj ... fa-ii ••• ö — rj, ... a — Ta—\

'^^^«mmen&llen, wenn

kr = rx modtty

^^^deutet, so kann man 2) auch schreiben:
3> 1.2 ... ^^ = {(\a)Jl{rx,a)Yl(a-n.a), A = l, ... -^.

Bonniakowsky betrachtet nun in Bezug auf den Modul p das Ver-
'^^ten der einzelnen Factoren von

A) (0,a); B) (n,a); C) {a-n^a).

A) (0, a) = a .2a . 3a . . .

'^^der Factor von (0, a) ist Module p einem positiven Vielfachen (ha) von a

^C)ngruent; and da n<-^-^ — » so ist stets Jk< — ^ — •

B) (n, a) — rx. n + a) . (n + 2a) , ,

i; AUX d. 8t Pätenhourg, Bd. XXII kX^^)-

194 HistoriBch- literarische Abtheilnng.

Boaniakowskj nimmt an, fi sei Modulo p einem negativen
fachen von a congment, d.h. es sei ri= -— A;a madp,

Substituirt man den Werth für ri=kr — aqiy so wird:

kr^agi= — kafnodpy oder, da r+2an=i?,
— Äa = — 2akn — aqi modp oder

ik = 2An+9i fnodp.
Die Annahme über ri ist also richtig: ri ist, wie die letzte Congi
zeigt, in der Thai Modalo|> einem negativen YielflEU^hen (^ n) von a
gruent.

: m

Das Maximum von A ist: — 0 — ^^^ das von ^: | — ^ 1» we

letztere sich aas rx=^kr — aqi ergiebt

a—J

2 ^ r-1 . a-r ,1 2 1 r-l

Da nun

+ V^' .0 wird: [-A— J=^

a 2

Das MitTiTwnTn yon Ar wird also

(a - 1) n + ^^-^ = ^-g— - n.

Es ist also in rk = ka modp

4) n<k<^^'

Man kann nun unmittelbar das System Congruenzen aufstellen

ri = — ka

n + a = — (*— l)a

ri + {n—l)a^ — {k — n+l)af modp,

= r— 1
und im Falle ri^ — ^ —

U + na='-'{k^n)a
Mit Rücksicht auf 4) ergiebt sich so das Resultat: Jeder Factor

(riy a) ist Modulo p congment ^Jka, ik^ — „ — > d* h. einem negai

YielÜEU^hen von a.

C) Oanz analog zeigt man, dass jeder Factor in (a — n, a) Modulo j;

«—1

k ^ — ^ — f d. h. einem positiven Vielfachen von a congruent ist.

Ist daher M die Anzahl der Factoren in i7(rji,a), so wird aus %.
6) 1.2...^^^=\.a.2a,^^^'^^^\-\^'^^i^^^

üeber das quadratische Beciprocitätsgesetz. 195

- ---^ ^-^.-s.-s.- W.

Auf der rechten Seite müssen als Factoren von a sttmmtliche Zahlen
^» ••• ■ — 9 — stehen, wie leicht zu übersehen ist. Aus 5) folgt weiter

Es ist aber

Jedes (ri , a) besteht aus ( , « ) Factoren ,

wenn

Bezeichnet man daher die Anzahl der (rx^a)^ welche aus n+l Factoren
bestehen , mit m , so dass m nur abhängig ist von a und r, so erhKlt man :

also resultirt:

n-fm

(7)-<-«^

Ist nun 9 = 2an +r, so erh&lt man die wichtige Beziehung:

—1

«> (7)(7)=(-')'^"'''-

2.

Sind p und q^p zwei positive ungerade Primzahlen, so kOnnen beide
nur durch dieselbe lineare Form ausgedrückt werden, so dass also

• jp = 2an + r, 9=:2an+r (a = r = l mo{J2)

ist. Ist n&mlich

7) p = V + 2*Oi 80 ist a=^-^ —

Wäre aber nun

p = 2an + r^ ^ = 2an'+r', so dass p — 5' = 2a(n — n') + (r — r),

so müsste r-^r^ dessen Maximaiwerth 2(a-'l) ist, durch 2a theilbar
sein, was nicht möglich ist Es muss also r=»r sein. Aus 7) folgt aber

(f)=(^) - i^={=p-)

Setzt man ( — j = (— 1) » =(— 1)1 * J als bekannt voraus'), so

P
erhält man mit Hilfe von ö):

8, (^)(i)=(_i)S^+'{[^]+m) +^'-+-''.

1) V0rgl8.927.

196 Historisch -literarische Abtheilimg.

Es sind nun zwei F&lle sn unterscheiden:

J. p = g modi. Dann wird v jr:?!±i] + Tiillj =0 ii^

erstens |) = 4f4 + l, ^ = 4|»'+1, so ist — Z"" M" I — 4 — \^

und |> — 5^ = 4(1* — /) = 2* a. Die Fälle v = 0, 1, 2 kommen hier ni(
in Betracht, da a ungerade vorausgesetzt ist und p — ^ = 0 modA
Wird aber v>2, so ist fi — f*', mithin auch fi + f4'=0 mod2^ so d

V I =^-j — + . I =0 mad2 wird. Ist zweitens jp= 4f4

r/ = 4|u'+3, so ergiebt sich aus ganz denselben Gründen dasselbe Besul

Was — s — (^ + w ) betriflFt, so folgt aus jp — g = 2a (n — n*) = 0
dass n — n\ also auch n + n und damit — ^ — (tt + n) gerade Zahlen axÄ^d.
Man erhält somit:

ii){^)=^-^'^'p^''^^

IL p—q = 2 fnod4. Es ist dann /i = 4^ + 3, 5 = 4fi'-f-l o«3er
;7c=4fi+l, 9 = 4 ^' + 3. Beide Fälle sind yertauschbar, da die Vor^'vis-
setzung p^g nicht mehr nöthig ist. Es genügt daher die Betrachiv^uig
eines Falles. Es sei pc=4fi+], 9 = 4fi'+3. Es ist dann:

i[^]+[4i]j.,^,,.

forner ^

;> — .yr=2a=2 !2(fl--|[4')— 1}, 80 daSS jlA — ^'= — ^ —

und

wird. Es ist also

Bedenkt man nun, dass p — 9 = 2a(n — n') = 2a ist, so ergiebt ^^^^
n^n=il und damit n + n + l=0 mod2^ so dass

Fasst man die Fälle I und II zusammen ^ so ergiebt sich die ^-
k&DDte Formel

TJeber das quadratische Becipröcittttsgesetz. 197

IX. Beweis yon Schering.^)
Setzt man das Gauss^sche Lemiiia voraus: (— j= ( — 1)^, und be-

zeichnet mit — eine der Grössen — > > ••• 1 so wird —

q 9 9 9 9

einen Beitrag zu fi liefern , d. h. kp wird Modulo q einen negativen absolut

kleinsten Rest geben, wenn es eine ganze Zahl giebt, die zwischen —

kp 1 ^

und h -rr liegt. Durchläuft also h die Werthe von 1 bis t, wo t eine belie-

q Z •

kp
bige ganze Zahl grösser als — ist, so wird die Anzahl der positiven Werthe

kp l
des Ausdruckes h ir "- ä vermindert um die Anzahl der positiven Werthe

9 ^

kp
des Ausdruckes h gleich Eins oder Null sein , je nachdem kp Modulo q

einen negativen oder positiven absolut kleinsten Rest giebt. In Zeichen: "

Anz. pos.l h-ft — ä} — Anz. pos.i ä)=»1, 0

A=i l 7 2 I A=l \ 9 /

FüiTfi erhält man somit:

u= ^, { Anz. pos. I 1- TT —AI — Anz. pos. I h)\ mod 2.

^ l A=i \ 9 ^ ^ *=i \ 9 / J

^-s — p\''9 der Maximal werth von — ist, so kann man

kp 1

setzen. Es ist dann, wenn man noch in H-o""^ ^^ Stelle von Ä,

9 ^

— s Ä substituirt, was offenbar erlaubt ist, da die Anzahl der posi-
tiven Glieder einer Reihe unabhängig von der Anordnung dieser Glieder
ist und die charakteristische Eigenschaft \<h<x gewahrt bleibt, und
man ferner die einzelnen Summenglieder mit der positiven Grösse p divi-
dirt, was ebenfalls gestattet ist, da es nur auf die Vorzeichen a.tLk<^\&xfi^^-

t) OöttNßcbr, 1879, Nr. 6 oder Compi. fLeud. ^d,«,^A^1^.

198 Historisch - literarische Abtheilung.

■ ^*«1 "Ni^

u= y, I Anz. pos. ( — I 77) — Anz. pos. ( | > mad2,

Bezeichnet man weiter den zum Reste q und Modul p gehörigen Expo-
nenten mit V, so dass also (— j = (— 1)^ ist, so erhält man ganz analog
wie fQr |ii:

v = ^,\ Anz. pos. 1 — TT ) — Anz. pos. l ]\ mod^',

;J^lir=i \p g 2J it=, *^ \p q)\

die beiden Congruenzen ftlr fi und v ergeben nun die folgende:

14 + V = AnE. pos. ( I + Anz. pos. ( ) mod 2.

k,h \q p) h,k \p ^/

Die beiden Doppelsummen enthalten je — s — * — 9 — Glieder. Da

Ä Ä
p und q Primzahlen sind, so kann nie Null werden. Es ist aber

fl P

nothwendiff dann entweder oder positiv , woraus sich er-

g P P V

fi + v _-- — ^z — • — ;x — mod2y q. e. d.

X. Beweis von Petersen.')

Sind p und q^p zwei von einander verschiedene positive ungerade
Primzahlen und ist 2n+l = l,3,6, ... q — 2, so wählt Petersen m
so, dass in

1) (2n+l);5-2m^ = r

r zwischen + 9 und — q liegt und ungerade ist Ist nun die Anzahl der

negativen r gleich fi, so ist offenbar ( — ) = (— 1)**. Von den Resten in

1) trennt nun Petersen diejenigen, welche zwischen +p und ~p liegen.
Als Bedingung erhält er hierfür die Gleichung: (2«'+ l)y — 2m'/>=^,
oder wenn man in 1) pq additiv und subtractiv hinzufügt:

2) (/i-2m)9-(^-2m-l)p = r.

Hieraus folgt, dass in 1) r zwischen +p und —p liegt fUr:

ji — 1
p — 2m=l, 3, . . . // — 2, also fttr m=l, 2, .. ^-5 —

1) Am. Journal of math. pure and apv^i^^d.\\ kN^^V^^^.'iS^ ^nATvUkrilt
for Math, ndgived af Zenthen, 1879, Q.M.

üeber das quadratische Beciprooitätsgesetz. 199

Setzt man nun für fi, wenn man p und q vertauscht, v, so dass also
( — ) = (—!)* wird, so sieht man, ergiebt sich v aus 2) in ganz derselben
Weise, wie sich fi aus 1) ergiebt.

(— j und (— j werden also das gleiche oder das entgegengesetzte Vor-
zeichen haben, je nachdem die Anzahl der Beste r zwischen — p und — ^
gerade oder ungerade ist. Für solche Reste — 7<(2n+l)/i — 2m5'<"— P
ergiebt sich aber , wenn man setzt m^n—^ky p^=q — 2a\

3) 2w+l<-^^^<2n + 2.

o

Daher ist die Anzahl jener negativen Reste r gleich der Anzahl der

Q 2g a— 1

Brüche —» — ^> ••• •&, in denen die darin enthaltene grösste

a a a

ganze Zahl ungerade ist. Die Summe der gleichweit von Anfang und Ende

abstehenden Brüche ist aber gleich g, also ungerade. Daher ist die

Summe der zu diesen Brüchen gehörigen ganzen Zahlen gerade, sie selbst

sind mithin zugleich gerade oder zugleich ungerade.

1) Ist daher o = l mod2, so ist (^^==(^Y

2) Ist dagegen cr = 0 fnod2^ so ist -^7 das Mittelglied in jener
Bruchreihe, zu berücksichtigen.

Für ^==4n+l wird r-|l=2n, also wird: ^^) = (^y

Für ^ = 4n + 3 dagegen ist f-l =2n+li so dass f^j = — ^^-j
entsteht.

Diese Falle zusammengefasst ergeben: I — 1 = 1 — l(--l) '^
Es war aber p = g — 2a, folglich ist:

,, g^l g-^l /p-1 y-1 .\_P-1 y-1 y-1 y-3
^«-U— 2— ---2— \^ 2 2 V^ 2 2 2 2

_p-l ^-1

- 2

was zu beweisen war.

mod2y

XI. Beweis von Voigt.*)

kp
Bezeichnet man die in —^ enthaltene grösste ganze Zahl mit A — 1,

g

so wird kp Module 9 einen negativen absolut kleinsten Rest geben, wenn

1) Sohlömilch'a ZeitMhrifk f. Math. u. P\i^o ^BdL.ia::^\^\WLOWi.^i^V
Thomae nütgetheüt, • .

200

Historisch -literarische Abtheilung.

Ä — ~ <C — < Tc oder ( ä — jj- j 5' < Äp < Ä^ ist , und umgekehrt werden la

solchen Grössen hpy die die vorstehende Ungleichheit erfüllen, Module q ne-

p — 1

gative absolut kleinste Reste gehören. Der Maximalwerth von h ist — ^ — «

ö— 1
was sich durch Einsetzen des grössten Werthes für Ä, der — ^ — sein soll^

in die Ungleichheit ergiebt. Dividirt man die Glieder der UngleichheitS'

bedinffungen durch p , so erhält man : f/< k<^ — 1 h kann also bei

P P

gegebenem h

^]-[^'l

verschiedene Werthe annehmen. Daher

ist, wenn v die Anzahl der negativen absolut kleinsten Reste Modnlo q in

Pi 2p,

2

p bezeichnet:

P-'

=^ [-1-

t^i\LpJ

»-^

'*"" 9 durchläuft die Werthe von ^ bis — ^z — » was offenbar, abgesehen
von der Reihenfolge, die hier aber nicht in Betracht kommt, auch von
t-_ — f Ä= 1 , •• • — s — ) geleistet wird, so dass man schreiben kann:

-?

m-

1 (p - 2h)

l=?im-[f-^])

Setzt man:

90 wird

wo

hq [hq! ,

Vh = — h also wo

P LVJ

^A *^ rt ♦ wenn hq Module p einen positiven,

J

f/k^-^^ wenn hq Module p emeti Ti%g;&Mvs«ii TÜSffl'r^TtV Vitn-nTiVirmTWttt tfaliL

üeber das quadratische Reciprooit&tsgeseiz. 201

Nun ist aber:

so dass

[|-<*-r.]=-l-[<»-|-r]

= -*»+[f-r.].

wird. Nach der Definition von rk ist 9-~"**A = — s — » wenn hq Modulop

einen positiven , dagegen = — j^ 1 , wenn h q Modulo p einen negativen

absolut kleinsten Best giebt. Bezeichnet man daher den zum Reste q und
Modul p gehörigen Exponenten mit \k , so ergiebt sich :

__ p-l y — 1 „

v=— 2 2 ^ mod2,

was zu erweisen war.

XII. Beweis von Busche.^)

1.

Dem eigentlichen Beweise des quadratischen Beciprocittttsgesetzes
schickt Busche folgenden schOnen Hilfssatz voraus:

„Nimmt man an, eine und dieselbe Belation (x, y) sei giltig für:

1) «=±1, y^q\

2) x^p, y=± h

3) x—p + 2kq, p = q;

4) x=p, y = q + 2X'p,

worin k und k' ganze Zahlen, p und p zwei ganze ungerade Zahlen ohne
gemeinschaftlichen Theiler bedeuten, so gilt die Belation (x^p) allgemein
für zwei beliebige ganze ungerade Zahlen ohne gemeinsamen Theiler/*

Der Beweis dieses eleganten Satzes folgt in einfacher Weise aus dem
Euklidischen Algorithmus:

Pv\ = ^9v Pv +Pir+I»

Pv =^2gv^\Pv\-\ ± 1-

P» Pn P%i •• • seien ungerade und |p, | >|P2l >l/'sl •• *) Nach Voraus-
setzung 1) gilt dann die Belation ^x,y) für +1, pt-^-x-, folglich nach

1) Inaug.-DisB. Göttin j^en 1883; enth&lt ausser dem hier mit%<Q^«^i^«Gw'^<«s«^sA.

noch verschiedene An Wendungen einer neuen Be^«\sm<e^^^^.

2) Ixl bedeutet nach Kronecker und Y?ö\ei%tt«^%%,^Ä»ö\^>tot''&«^^

Hm.'Ui. Abtblg. d. ZfllMbr. t Math. n. Pltj«. XXX, h. ^

202 Historisch -literarische Abtheilung.

3) auch für pv und p^+i, und nach 4) auch für p^ und p^—t n. s. w.,
folglich auch fdr p und p^ oder p^ und p. — Fände man nämlich fCbr die
Anfangswerthe a?= + 1, y^p^^i die Richtigkeit der Relation für p und p^^
so würde Voraussetzung 2) die Giltigkeit der Relation für p^ und p ergeben.
Jenen Satz kann man aber auch folgendermassen aussprechen:
„Jede Relation (p, q) zwischen zwei beliebigen ungeraden Zahlen ohne
gemeinschaftlichen Theiler p und g gilt allgemein, sobald sie gilt für:

1) ±1, ?; 2) p, +1;
3) p + 2Xg, g; 4) p, q + 2l'q

(A, l' ganze Zahlen), immer die Giltigkeit von (p, q) fttr p nnd q voraus-
gesetzt; d. h. sie gilt allgemein, sobald die Relationen:

I) (±1, ?); H) (p, +1); ni) {p + 2Xq, q); IV) (p, q + 2k'f.)

immer unter der Annahme der Giltigkeit von (p, q)y als richtig sich er-
weisen lassen/^

Das quadratische Reciprocitätsgesetz in seiner einfachsten Form spricht
sich in der Formel aus:

(p\(q\ Pjzl^_zL^

( — l( — j = (— 1) * * (P»^ positive ungerade Primzahlen).

Um die AUgemeingiltigkeit dieser Formel nachzuweisen, hat man da-
her, wenn man die Symmetrie derselben bedenkt, zu zeigen, dass:

■' (?)(7)=(-'>'^'"'*' (-±"'

wenn

(f)(^)=(-')

2.

-)=(-l) * ~*~ und f-^j= + l ist, so ist die Richtigkeit
von Formel I) ohne Weiteres klar.

Um Formel II) zu verificiren, sucht Busche eine Relation zwischen

(ttW) "■"* (?)

auf, und zwar eine Relation zwischen den Gauss 'sehen charakteristischen
Zahlen, die zu jenen Symbolen gehören. Setzt man:

ßo wird kg Ikcsi 1, ... i^-^ — j emeti BevVre^ ^\Jl v^ ^^CÄ\i^ ^««!0l\

üeber das quadratische Reciprocitätsgesetz.

^

fi^- -~Wx*.-

2)

kq=:hp + — p \-r oder:

kq=hp+p-r\

wobei r, r positive ganze Zahlen kleiner als -^ sind, fi soll jetzt ab-

hüngig gemacht werden von h. Da der Maximalwerth von k ^-—^ — ist,

so ist der von h — ^ — » wobei zu bemerken ist , dass h nicht nothwendig

— ^ — werden mass. Lässt man nun h die Werthe von 1 bis -^—^ —

durchlaufen, so möge es für jedes h fAh Werthe kq geben, so dass fih
auch definirt werden kann als die Anzahl der Lösungen k von:

jcg^kp + ^^+r, r<|-.

Und es ist:

3)

q-Z

•2

Wenn q<C.p^ so wird fi/i für jedes h grösser als Null, während,
'•»'enn q> Py mä = 0 oder 1 wird. Dies ergiebt sich aus der Vergleichung
der Maximalwerthe flir h und k. Ist ferner für P=p + 2Xqi

4)

(y) = (-!)''» 3f=VjlfA,

^o ist wiederum Mf, die Anzahl der Lösungen von:

5)

P+l
Kq==hP+—^+r oder:

K,/ = hP+P-r'; r,r<-^

Nimmt man zun Sehst an (** = +!, d. h. sind die Gleichungen 2)
*>»öglich, 80 ergiebt sich daraus, k positiv vorausgesetzt:

|ä+X(2ä + 1)U = äP4- J- + »',

\]c + k{2X+2)\<i = hP+P-r',
oder wenn man

6) Z-, = fc4-A(2Ä + l), jr, = A; + A(2Ä + 2)

Setzt:

T) .

P+l
K^q = hP + -^ + r,

K,q=hP+P — r\

Vb*

204 Historisch -literarische Abtheilung.

Hieraus ergiebt sich aber, dass Gleichung 5) K^ — K^ + l verschiedene
ganzzahlige Wurzeln hat, dass somit

8) MH=-K,--K, + l = k + \^k + tiA

ist. Um zu zeigen, dass die Mj^ Werthe A" Module P sowohl unter sich,

als auch von denen, welche für ein anderes h entstehen, verschieden sind,

dazu genügt der Hinweis auf q< P.

u I t

Ist zweitens fiÄS=0, so giebt es in dem Intervalle von /ij>+ ^
bis hp+p keine durch q theilbare Zahl, also auch nicht in dem Intervalle

von Ä/>+^^ bis hP + p + kp, da hP+^^ = hp + ^^^ . . hP

P+1
+p+kp^hp+p modq ist. Nun sind aber von den Zahlen äPH ^— i

... hP+P mindestens k Zahlen durch q theilbar, weil die Anzahl jener

— 9 — + Ay + l>>ly ist; es giebt aber auch nur k solcher Multipla von y.

P + 1
da die ersten — ^ Zahlen durch q nicht theilbar sind. Die Gleichung:

P+1
hat also k Wurzeln; es ist

9) Mf, = k=:k+f,„,

so dass allgemein, wenn man q'^p voraussetzt,

10) MA=k + t^,

wird. Daher erhält man, da, wie oben gezeigt, jedes h ein von Nall ver-
schiedenes Mj^ liefert:

„, ^=vri,+, .,„ (.^^.(.„.'f (1).

Da y ungerade, so ist auch

Nun ist aber:

alno *
oder

= (—1) * *

waa ZD beweisen war. ^ '

üeber das quadratische BeciprocitStsgesetz. 205

IV. Capitel.
Eisenstein*« Beweis durch functionentheoretische Sätze. ^)

1.

Sind p und q zwei von einander verschiedene positive ungerade Prim-
zahlen und die r positive absolut kleinste Beste Module q, so wird sein
pr=r oder = — /wödg, wo die / wiederum positive absolut kleinste Beste
Modulo q bedeuten. Oder es ist

^^=L+/'oder =-^'+r,

wobei f^ f ganze Zahlen sind. Hieraus folgt:

2rn\ . 2r'n , . 2rn

. / 2r7i\ . 2r'n ,
sm\p ) = 5m oder = — «m

q / q q

Die in den ' vorstehenden Gleichungen ausgedrückte Eigenschaft der Sinus-

fnnotionen ftlhrt sofort zu dem Besultat:

. 2rpn
sm — ^—

pr = 5^ modq,

, stn

woraus sich wiederum ergiebt: o ^

. Zrpn
5— i s%n

p—nr = nrl[ ^fnodq,

sin

Q

^o die Productenzeichen sich auf sämmtliche positive absolut kleinste Beste
tfodolo q erstrecken. Da die r mit den r, abgesehen von der Beihenfolge,
'dentbch sind, so erhält man:

ini . 2rpn l^:zl , 2Qqn

'^==^ sm ^-* sm — - —

q P

2.

Eisenstein hat es nach dem Vorstehenden also im Wesentlichen zu

^^Ux mit Ausdrücken von der Form -: — i wobei t eine ungerade Prim-

smv

^^l ist.*) Nimmt man zunächst an, der Ausdruck : sei ei

•««»OH

1) Grelle J. XXIX (1846), p. 267.

2) Zur Ableitung der folgenden, sich auf — : — \>eiici\i<e(&!tok %lteA V

206 Historisch -literarische Abtheilang.

ganze Function von sinv, so folgt sofort, dass er eine ganze gerade 1

tion von smv ist nnd dass diese Eigenschaft auch : ^ zuko

stnv

Bildet man nun -; — ^=sin{t — 2)v.co$2v'^cos{t^2)v.$in2vy so er

sinv

sich, dass —, — ebenfalls eine ganze gerade Function von sinv ist, •

Grad den von — ^ — um zwei Einheiten übersteigt. Es ist daher,

smv

man bedenkt, dass — : = 3 — 45tn*t;, allgemein:

stnv °

-: — = Or—i sm* ^v + a«-.3 5»n'~'i; + . . .
smv

Eisenstein verwandelt nun die rechte Seite der vorstehenden Gleic

in ein Product Dazu muss ausser den Wurzeln von — : — = 0 der C

smv

cient a/— 1 bekannt sein. Nimmt man an:

smv ^

so ergiebt sich durch leichte Zwischenrechnung:

= (-1) « 2«-»sin'-'t; + ...

sintv . ..^-s^^. ..... #

Sfmv

Aus —7 = 3 — 4fiin*t;=(— 1) * 2^-^ sin'-*t;+ .. . findet sich nun ,

smv '

• #

jene Formel für — : — in der That allgemeine Giltigkeit hat.

smv

Bezeichnet man daher mit t = t, , ... T|,-_i die ^^ verschie«
Wurzeln von — : — > so wird

?^=(-l)~2'-iiI(m«t;-T*).i)

3.

Mit Bücksicht auf das eben Entwickelte wird daher, wenn maj

. 2rpn

P — 1 ^^ — 1

— 5 — verschiedenen Wurzeln von P^=^ ^ — =0 mit J, die ^-^r—

sm

sin

2Qqn

P

sin

2Qn

schiedenen Wurzeln von §= ^ _ =0 mit iy und die Variable sin

X ibezeichnet:

1) In Eisensteines Abb. «teben d\e Yo\jeM.«ii nqü^ «5Ä^3«!^M^ \xö.^

üeber das quadratische Beoiprocitätsgesetz. 207

p=(-l)« 2P-^/7(a;«-S«), § = (-1) « 2«-» 77(a;«-i?«).

27cp 2f*Ä p — -^

Setzt man zur Abkürzung a = sin » i5 = 5m > so nimmt a, — ^ —

Q q 2

nnd jJ, — ö— verschiedene Werthe an; zugleich genügen sie aber den

Gleichungen Pb=0 resp. Q = 0. Es ist daher:

p-1 y-i

/>=(-!) 2 2P-» n(a;«-a«). § = (-1)2 29-> //(a^-jS^).

b i^ ist aber x= ß und in § o; = a , so dass man erhält :

P=(-l)8 2P-in(/3«-«2)^ § = (-1)2 29->iI(a2 -/?«).
Mit Bücksicht auf Formel A) im ersten Artikel folgt hiernach:

-(

oder-

l)-(-l)« • » 2 » 77(13»-«»),

p— 1 q — t p— l.y— 1

l) = (-i)» • » 2 » n(««-^.

woraus sich ergiebt:

V^Ai?/ 77(a2-|S2) 11 «2-132
^ nie crc=/3 werden kann, weil p und $ Primzahlen sind, so folgt, dass

jn^ZTgi ^^^ gleich 1 ist, woraus unmittelbar

(£)(i) = (-„' ■

2 X

V. Capitel.
Beweise durch Sätze aus der Lehre von der Kreistheilung.

I. Beweis von Gauss (7. Bew.)-Lebe8gue (2. Bew.).*)

1.

Ist Q eine primitive Wurzel der Gleichung = — =s 0, wob^i «i ^ine

*^^itive ungerade Primzahl bedeutet , und g eine primitive Y

\aim man die Wurzeln von — — r — = 0 in folgends''
1) Gmobb (Nachlaas), Bd. U S. 283, und Lebe

208 Historisch -liierarisohe Abtheilung.

Setzt man:

80 heissen y^^ y^ ^-^ — gliedrige Perioden der „Ereistheilnngsgleichiuig*'

»P—* — 1

— = 0. Unter Benutzung der Eigenschaft dieser Perioden:

yi-y,=((?-'-?)(p-'-p')-(«»'-*-9-''+*)

und der Relation:

(a;- ^«)(a;-p*) . . . (a; -()«<P-»)) = ajp-» + a^-> + . . .+ 1
ergiebt sich: i

(y,-y,)*=(-i)~p-

Es ist aber: ^,

^1+^2=^ — 1, sodass y^y^=z - >-—^ wird.

Die beiden Perioden y^ und y^ sind also Wurzeln der quadratischen Gleich-

P-i

ung f[x) =« x«+x+ ^-(-^^ ^ ^ ^ 0.

2.

Gauss resp. Lebesgue untersuchen nun, unter welchen Bedingungen

1) f{x) = Ovnodq,

wo q ebenso wie p eine positive ungerade Primzahl sein soU, reelle ganz-
zahlige Wurzeln hat. Die Bedingung hierfOr kann auf zwei verschiedene
Weisen ausgedrückt werden , aus deren Yergleichung das Beciprocitfttsgesets
sich ergiebt.

Aus der Congruenz:

2) f{x)=Omodq

ergiebt sich durch die Substitution:

3) y^2x + \
die folgende:

4) y*2E(— 1) * p modq.

SoU also die Congruenz 2) reelle Wurzeln haben, so muss auch 4) reelle
Wurzeln haben. Umgekehrt, ist 4) lösbar, so wird vermöge der Substitu-
tion 3) auch 2) lösbar sein. Daraus folgt, dass die Congruenz 2) möglich
ist, wenn i

ist, oder wenn

ö) (-1)"^ « p • = 1 modq

üt Dagegen liat/*(ap)^0 mod^ ^Ab» T^a^«^i ffl^\^^»^^\gwi^^allS>aoL^ ^<— l

üeber das quadratische Reciprociiätsgesetz. 209

Czl! tzl 1=J
5<>) (-1) « i p ^ =-l modq

wird. Die Identität ferner:

a;»->-l = (a;-l)(a:— 2)...(ir — 2+1) modq
oder

ic' — a: = a;.a;— l.o:— 2.. .. .(y — g' + l) motlg
setzt sich durch die Substitution x=^y—yh (^= 1, 2) in die folgende um:

6) (y-pidi-iy-yh)

^{y-yh){y-^''yh)(y-"i'-'yh) .- (y-^+l-y*) nu>dq.

Es ist aber ^a = a^* + af *"*"*+... +aj^'" '■*"*, woraus, wenn

7) <7 = / modp,

yA*i = yh^k modq oder (y — yA)« = y — yA+* modq oder aber (y — yü)'
~ (y-y>i) = yÄ--yA+ik modq resultirt. Die Congruenz 6) giebt daher:

(y-yA)(y— 1— y&)..(y-7+l-yA) = y&-y&+k modq

woraus unmittelbar die folgende Formel entspringt:

= (yi— yi+0(y2-y^+0 modq.

Es ist aber /'(y) = (y— yi).(y— y2)» wonach die vorige Congruenz übergeht in:

Hätte nun f(y) = 0 modq reelle ganzzahlige Wurzeln, so würde

/*(y)i ••• /*(y— Ö'+l) modq
ein vollständiges Bestsjstem darstellen und es wäre in diesem Falle:

/'(y)./'(y-l) /•(y-2 + l) = 0 mod^.

Umgekehrt, wäre diese Bedingung erfüllt, so wäre auch f(ff) =0 und damit
f{x)=0 modq in ganzen reellen Zahlen lösbar. Mit Rücksicht auf die Con-
gruenz 8) kann man auch so sagen: f{x) hat Module q reelle Wurzeln,
wenn 9 = (yi— yi+k)(y2— ^2+*) =0 modqj ist dagegen nach demselben
Modul nicht reell und ganzzahlig lösbar, wenn 9 = (yi— yi-f jb)(y2— y^+O^O
modq. Wie sofort evident, kommt es also auf den Werth von Ä; an. % war

definirt durch q=g'' modp, Ist da k=:0mod2^ d. h. f — j = l, so i

= yA+t; ist dagegen k=imod2, also ^-j = — 1, so ist yA = y>k-|.i.

Hieraus erhellt: f(x) = 0 modq hat reelle ganzzahlige Wurzeln, wenn (—1=1,

dagegen keine, wenn (— j= — 1. Aus der Vergleichung dieses Besnltates
mit dem durch die Formeln 5) und 5^ anflgedrOckten fidffi ^

ist

yh

1) Das Zmehen afs bedeatei „nidbi

210 Historisch -literarische Abtheilong.

n. Gauss' vierter Beweis.^

1.
Sind , wie gewöhnlich , p und q zwei von einander yerachiedene positive
mngerade Primzahlen, und ist ^ni

bezeichnen femer Module q a die quadratischen Reste und h die quadra-
tischen Nichtreste, so ist

1) i *~' "

also ^ * '

«(^')=?(|)''-(f)^('f)'"=(f)?(^)"-

Diese letztere Gleichung kann man auch schreiben:

2) <'(i^)=(f)<'(?)=(>+«+''+-+'"-"'-(f)-

2.

Gauss ermittelt zunächst den Werth für ff( — )•) Mit Hilfe des
Systems identischer Gleichungen:

l-p9-2 _ 1-^-2 _^^ _^

1-^2 l_pS

9

bildet er die Reihe:

A(»,^-i) = i — i + — r — 1 — 1 — +•••

3) ^ l — ^^-M — ^^""^ 1— p

9-9-1

Setzt man zur Abkürzung:

, 1 . l-p9-i. 1-^9-2 l-p9-A.

1— ^,1 — (»*... ..l — ()'*

1) Sammatio Berier. quarund. sing. Bd. 11 S 69, oder Comm. sog. reg. scient.
Gott reo. Vol. I.

S) Die Beseichnong Q ist nach KTonecker (ßeil. 6er. 1S80) gewählt.
8) Die folgenden £ntwickeluagen geWAn ^\vO(i^5^KV^^S%^'Qi&%«tMlv

üeber das quadratische Beciprocitätsgesetz. 211

worin also q ganz, positiv und grösser als fi + 1 ist, so ergiebtsicb, wenn
man noch berücksichtigt, dass

1 »

(^-1,^ + 1) = (»9-A'-2(^.2,^) + (9-2,,i + l).

Wendet man diese Formel auf 3) an, so erhält man:

A, n9,q- l) = (l-?»-'')-(l-p«-»)(v- 2,1) + (!-(,«-«)(? -2, 2)
' -(l-p»*')(y-2,3)+...

Nun ist aber:

(i_p,-.-a+i))(5_2,i) = (i-e«-«)(,-3,A),

daher wird:

/^(p,<7-l) = (l-9»-*){l-(2-3,l) + (?-3,2) + ...|
oder

5) A9,?-l) = (l-e«-')/'(*,?-3).

Da uuu (/ :^\ mod2 ist, so findet sich:

/•(e,V-l) = (l-e'-*)Ac.3-3),

A*.y-3) = {i-e'-*)/'(^,?-6),

f{q,2) ={l-(f),
woraus durch Multiplication resultirt:

Es sind also für /'(^, 9 — 1) zwei Entwickelungen 3) und 6) gewonnen.
Durch Verbindung dieser beiden Besultate entsteht:

1 + (•-• + p-»+. •• +"''~ = (l-e)(l -?»)... d-P'-»).

Berücksichtigt man, dass (^~*y=z^—** ist bei ganzem v, so erhält man:
Multiplicirt man beiderseits mit pV « / =^,^8^9—«^ 80 entsteht:

oder, wenn man in Rechnung zieht, dass die Exponenten auf der linken

Seite identisch sind mit ( ^ 1 » ( ^ ) » ••» also Modulo q ein halbes
Restsystem darstellen.

Es ist also:

7) e(i) = p_^i.p»-p-. p,-._p-,+.

oder mit Berücksichtigung von ^ — ^ - M s=s — ( ^«— M — ^ v + «< ) :

8) e(j)=(-i)» .9*-r*.«*-<-* «fi->"-o''^

212 Historisch > literarische Abtheilung.

Durch Multiplication yon 7) und 8) erhfllt man:

G«(i)=(-i)« p'- » (i-p-»)(i-p-«)...(i-p-2(»-«))

oder, da q eine primitive Wurzel von afl = i ist,
Hieraus ergiebt sich aber:

um das Vorzeichen von G zu bestimmen, gehe man auf Gleichong 7)
zurück. Da ^ — ^~^ = 2i^n— ^ ist, so ergiebt sich:

rLf^\ fO'^^ -2« . 6^ . lO^r . (^-2)2«

\q/ g g ^ g

Die Grössen — » ••• ^ sind nun sämmtlich kleiner als 27i: « ist

g g

eine ungerade Zahl und man hat zu unterscheiden:

1. ^ = 4n + 1. Dann sind . der Winkelgrössen grösser als »,

so dass . . . ^_i j-j

6^1j = t « (-1) * C=C.

wird, wenn C eine positive Constante bedeutet.

2. 9 = 4n + 3. In diesem Falle ist die Anzahl der WinkelgHtesen,

^ — 3

welche grösser als n sind, . > so dass sich ergiebt:

so dass man schliesslich erhält:

10)

ff(i) = i(^)Vv und ^(^) = (£)/^)W

3.

Da auch p ungerade vorausgesetzt war, so ergiebt sich:

Nun ist aber nach Definition:

V P / ^^. -f^.

e p^
denn

??

a£+»^,„..

4 * PI

üeber das quadratische BeciprocitStsgesetz. 213

Wie sofort ersichtlich, nimmt Jip + iiq Modulopg, pq WerÜie an nnd
stellt, wie sich aus p (A — A') = (? (ft'— f*) ergiebt, Modnlo |?g ein vollstän-
diges System incongmenter Beste dar. Es ist daher:

oder mit Hilfe von Gleichung 11)

Da stets das positive Wurzelzeichen zu nehmen ist, so entsteht somit:

woraus sich unmittelbar das Beciprocitätsgesetz ableitet

III. Gauss' sechster Beweis.^)

1.

Haben p und q ihre gewöhnliche Bedeutung und bezeichnet man mit
Q die Beihe:

1) G==X'-x9+xS'*± ... -aj^~*,

worin g eine primitive Wurzel Module p ist, so folgt aus der Natur der
polynomialen Coefficienteu : Q'f — {x—x^ + ,,.)^^0 modq oder, da </ un-
gerade ist,

2) G'i''Gg^Omodqy wenn C^ = ir«— rc9^ + ic7^' + ... — a:?^""*.

Ist femer q^gf^ modp^ so folgt aus dem System identischer Gleich-
^^«^^ q^^ + f,p, qg^g^-^' + f^p, ... g^P-^-^/'^+P-^ + faP:

wobei /*(a;) eine ganze Function von x ist. Ist W ebenfalls eine ganze
Function von x^ so ergiebt sich somit:

4) G^ - \x^ - x^'^^ + . . ± a:^'*"''"'! = {l-xP)W.

Die Exponenten der in der Klammer stehenden (p^l) Grössen sind nun
der Natur von g gemäss identisch mit den Zahlen 1, 2, ... p — 1; nnd da
auch die Vorzeichen altemiren, so erhält man für ä^ — o?^"^ + ••• ^^^
Werth +G, Das Vorzeichen von G ist das von — (— l)P-"'*a;, so dass, da p un-
gerade ist, +^ = (—1)'*^ folgt. Aus q^gf* modp ergiebt sich aber

Eni
q '

^\g ^ J ^ l^j modpy und da p ' ^—1 modpy so folgt:

1) Theorematifl fand, in doctrina de xesidma quadTvA. ölwäötoXx. %\. «b»^^^'^^»^
a Werke Bd. 11 8. 56.

214 Historisch - literarische Abtheilnng.

und

5) G^-(^)G = (l-a;)PTr.

2.

Betrachtet man femer das System identischer Gleichungen:

so entsteht durch Addition: ^

• 6) ß=G«-/'(a;^+») + A^^ + ') + . +/'(a:^'"*+'),

wenn man zur Abkürzung Sl gleich der Summe der rechten Seiten der v^- ^^^'

stehenden Gleichungen und f{x^) = l + x^ +x^^+ . .. + x^^^''* setzt.

Sl ist, wie ohne Weiteres folgt, durch 1— a;'', also auch durch -i —

theilbar; f{x^) aber ist, weil g eine primitive Wurzel zu p ist, theilb:::^^^^^*^

. 1 — a;^i» ,

durch {l — xP), also auch durch -: -j-- Es wird also auch /*(«*) durr=3^"

In ^ — ^

theilbar sein, wenn

l — x ,

l—rc*'» ^ ^1 — a;''

T- ^^ (J moa 1

1 — o;* 1 — a-

ist. Es sind da zwei Fälle zu unterscheiden.

I. k und p sind relativ prira. Dann ist yA = Ä;> + l für y l= zind

7« ganzzahlig lösbar. Demgemäss wird

l — x^Pl — xi'^l'-a^P 1 -«y^ l—x^P 1 — o^P

1 — a;^ * 1 -- x "" 1— ojP * 1 — a;i "" ^ 1 — x^ ' 1 — arP

1^ ^P

woraus sich ergiebt, dass f{x^) durch -^ theilbar ist.

l — X

II. A und p sind nicht relativ prim. Dann ist

f{x^)'-p^x^\(x^-l) + {x9'-l) + ... + {x^''''-l)l

1 g^p

woraus unmittelbar hervorgeht, dass f{x^)-'P durch -i theilbar kt.

1 — x

Nach alledem und mit Rücksicht darauf, dass ^^ + 1, g + \, ... g^"^ "hl

in beliebiger Reihenfolge die Zahlen 2, 3, ... p repräscntiren , ergrpbt sich

7^) ß=G«-(-l)"^/*(/~^'^M"Omoe«V~^

oder, wenn Z eine ganze Function von x bedeutet,

7) c;^-v-V)^ P- ^-^-z.

üeber das quadratische Reciprocitätsgesetz. 215

- -'■n-v---'^.^ -^- _ -

Unmittelbar aus Formel 7) fliesst die folgende:

8) (;7-i_(-l) 2 s p 2 ^i_5.y,

1 — rr

worin F ebenfalls eine ganze Function von x ist.

3.

Mit Hilfe der Formeln 3), 4), 7) und 8) kann man nun das Recipro-
citätsgesetz ableiten. Zunächst ergiebt sich aus den Formeln 3) und 4):

qGX=^G9+^^G l{\-xr)W+(-)GY
wenn noch X eine ganze Function von x bedeutet, die sich au.s 2; definirt als:

Nach Formel 8) erhält man femer:

vGX=:j(-l)« « p^ +'-^Y\^G^^G{\^xP)W-[^JG^
oder, mit Benutzung von 7):

\ xv

G ist nach l) vom Grade p — l. Setzt man daher GX=^-z U+Ty wo

1 — X

U lind T ebenfalls ganze Functionen von x sind, so wird T eine ganze
Function von x sein, deren Grad kleiner als p — 1 ist. Substituirt man den
Werth für GX in y, so wird:

yT-(-l) « p (-1) » « p « -(^)

worin der Grad der linken Seite kleiner als p — 1 ist. Z, Y, W sind aber
ganze Functionen, folglich ist der Grad der rechten Seite grösser als p — 1.
Die vorstehende Gleichung kann also nur erfüllt werden , wenn beide Seiten
gleich Null sind. Es ist daher:

7T=(~1) » p[(-l) « ^ p» -(-^-jj
oder

(-1)» « p « -(|j=Oinö(l^,
q. 6. d.

216 Historisch -literarische Abtheilang.

-"N- . N-

• — * J'-N^N.*^-'

rV. Beweis von Cauchy^)- Jacobi'j-Eisenstein*).
Gauss hat nachgewiesen, dass

Daraus ergiebt sich ohne Weiteres:

°'^<i)['='(j)-<^)]-'-')'"^M'-"'-^-'-^'''^'-(r)i

Nun ist aber

wobei ^ eine primitive Wurzel von x^=l bedeutet; somit ist auch:

worin Ä\ ^, ... ganze Zahlen sind. Mithin ergiebt sich, wenn man
Abkürzung setzt

3) X=[(-l)« « p^ ^i-jj(_l)2 ,,,

X=<;r-^y7M'+J?> + .. ] oder = ^(^ + J?p + . ..],

worin Äy B, ... wiederum ganze Zahlen bedeuten. Setzt man nun
der Reihe nach ^^ ... qP~^ ein und addirt die so entstehenden Gl
ungen, so erhält man:

4) (/?-l)X=(/[(p-l)^-5-C-...],

woraus, da q eine Primzahl ist und man unbeschadet der Allgemei
;^ — 1 < y annehmen kann , nach 3)

(-1) * * /> ' - (-) = 0 wk>rfy
folgt. Dies ist aber unsere bekannte Formel.

V. Zweiter Beweis von Eisenstein.*)

1.

Ist p eine positive ungerade Primzahl und durchläuft r ein vollständiges

Restsystem Modulop, so wird ^, ( — j =0, und ebenso ist

1) Bull, de Förusaac, XII. Bd. (1829) S. 205; Mäm. de l'lnst. XVIII, p. 451

2) Legend re, Theorie dea uoxnbieÄ, ^^^^« 4d. II (1880), p. 391.

3) Grelle J. XXVHl (\Ö44\ S. 4\.
4; Grelle J. XXVU (1^44), ^ . a^'i.

üeber das quadratische Beoiprocittttsgesetz. 217

' *- — ■V* -^ - N_ . w- V#*S»- V-ri-.,^-^«'^^ -jf -w , N. f *•'

Sind nnn «i, ... a^, fi Zahlen r, so folgt sofort:

wo die Summation über sämmtliohe a Yon 1 bis p — 1 hin zu erstrecken ist.

Bepräsentirt i^<^,it) die Summe ^^ (~) "v~)' ^«*=*t so erhSlt man:

3) '^m = 1^(11.0) + tf'CM, 1) + • • • + ^(li, P -1) = 0-

Setzt man a^^kß^^ a^^hß^j ... Oß^nßfi modpy woraus sich ergiebt
£a = k£ß, 2:|S=1, so wird:

« • *

Ist nun fi eine gerade Zahl, so erhält man i^ott,A) = ^(m,1) oder:

mithin nach Formel 3)

6) *Cu.o)+(ji-i) 1^0».!) = 0.

Ist dagegen fi ungerade, so resultirt ^a»,ik) = (~ j^Otcj)) woraus

folgt, SO dass

7) ^CÄ.0) « 0

wird. Die Definitionsgleichung ^{ß,v)==^^,(—) '" (~ )' £^^v modp
kann man auch schreiben:

*..«=2{C#)2(7f)-(^))-

SO dass sich findet:

woraus sich im speciellen Falle v = 0 ergiebt:

oder mit Bebatzong von 4);

*(p-l,-a^)=(^)* t(»*-l.l).
SO dass

♦(^o)=2'(^)'(t) ♦('-'■'>

wird. Fttr ein gerades ii ergiebt sich daraus:

*(j*,O)=(:^)*0»-i.i).(p-i)

oder mit Benntzuiig ron 6):

oder

218 Historisch -literarische AbtheUnn^.

8) ,j,(^, *) = -(—) ^(^-1,1), 11 = 0 mod2.
Für ein ungerades fi erhftlt man ans der Becnrsionsfonnel:

Demnach ergiebt sich nach Formel 5):

i»'(^ä) = (^)'J'(m-1.0) + i»'(m-1, 1)2(7)

= (^){i/'(»»-l,0)-*(,.-l.l)j
oder aber mit Benutzung von 6):

9) i^(/A,Ä) = -r-)p^(/*-l. l), 11 = 1 mod2.

Aus den beiden Formeln 8) und 9) resultirt, wenn l eine ganze
bedeutet, ohne Weiteres folgendes System Gleichungen:

tf,(2A + l,l) = - p .i|/(2i, 1),

t|;(2X.l) =_(:zi^.^(2A-l,l),

,»,(2,1) =-(=^)-*(l,l),

woraus sich durch Multiplication ableitet:

Tf,(2A + 1, 1) = (-1)»» (=^)V *(1. 1)
oder, da t^(l, 1)=1 ist, ,

10) .»,(2i + l,l) = (-l)~*pl.

2.

Ist ^ = 2i+l wie p eine positive nngerade Primzahl, so ist nach «ie'

eben gefundenen Formel:

p-i T-» 1—t

11) tc(?,l) = (-l) * » " .

Nach der Definitionsgleichung ist aber:

*(?,i)=2f'(7)-(7)' ^'' = ^'^Pi

für aj = «2 = ... = a^= a nun wird qa^=l modp. Es giebt hiemach in
jener Summe für ^(^, 1) nur ein Glied, in welchem die a gleich sind. Daher
folgt aus 11): , * 4

1'(^,l) = (-)+^-(-l)« » P».

üeber das quadratische Beciprooitätsgesetz. 219

In ^=^, (~) "* (~) ^^'^^^^ ^^® ^ nicht gleichzeitig einander gleich

werden. — Da ^ ungerade ist, so erhält man schliesslich, wenn man noch
berücksichtigt, dass aus

qa=ltnodp, l = (i.)(^) folgt:

12) (_1)« • . p. -(^ = d.

Schreibt man die Summe ^ in toiimso, so entsteht:

13)

-2 I (^)(^)-m

(7)(?) • (^) (.

(?)(^) •(=^)

Man kann also d in eine Beihe von Gruppen zerlegen, so dass jede Gruppe
aus q einander gleichen Summanden besteht. Es ist daher A^^modq und

nach 12): viil.lzl IzJ fa\

(.1). i p 2 =^lj,^^, q.e.d.

VI. Beweis von Liouville.^)

Ist p eine positive ungerade Primzahl und ^ eine primitive Wurzel von
a!^ = 1, so ist:

xV 1

1) -— j- = (a!-p»).(a!-^*)... + (aj-^«(P-')) = l+«+««+...+ »P-»,

woraus fttr »= 1 : ^^_^ ^_^ _ ,

p=(-i) « ((.-^-»)'' u« -p « ;

folgt. Durch Potenzirung erh&lt man hieraus:

wobei q eine von p verschiedene positive ungerade PriiQ^udil bedeuten möge.

^^ __^ werden nun positiv oder

negativ, je nachdem aq einen positiven oder negativen absolut kleinsten Best
Module p lässt. Mit Hilfe des Gauss 'sehen Lemmas erhält man demnach
a^ß 2): .V (^.fzi! /ö\

(f)=c-')' 'i£)-

unsere bekannte Gleichung.

i) a R. XXIV (1847), 8. 677, imd LiouviU« J.^ÖL, ^* Ww

222 Historisch 'literarische Abtheilung.

{a^by c) a, b and c relativ prim, so nennt man die Form eine ursprüng-
liche oder primitive; ist der Theiler 6 von a, 2&, c wiederum 1, so 1^^
(a, b, c) eine ursprüngliche Form erster Art, während, wenn ff = 2, mi
sie eine ursprüngliche Form zweiter Art nennt. Eine forma anceps en
lieh ist eine solche, bei der der doppelte mittlere Coefficient {2b) dxac^^
den ersten theilbar ist. (1, 0, — D) nennt man die Hauptform der Det^^^^'
minante D; die Classe, in die sie gehört, die Hauptclasse. Sind d :S^
äusseren Coefficienten einer Form positiv, so nennt man die Form
positive. » ^

Sind nun Zy » durch dieselbe quadratische Form darstellbar, ist

j5 = aa«+26a/3 + ci5«, /=ay«+26y«+cd«,

so wird 0^ — £r/=Dy', so dass, wenn xr, z relativ prim su 2> sind:

(^)=+' '^ (F)=(i)

ist. Wir setzen nun Ds=p9 = 4n+1> wop und q Primzahlen

voraus. Dann werden (—)» ( — ) ganz bestimmte Werthe (

haben. Diese können verschieden gruppirt sein. Wenn 2> nur in
Primzahlen sich zerfallen lässt, so sind die verschiedenen Gruppen:

2 1+1, +1; -1, -1;

^ 1 +1, -1; -1, +1.

Ist die Anzahl der Factoren von D, um dies der Vollständigkeit haL
zu erwähnen, A, so giebt es 2^ verschiedene Gruppirungen der Yorzeic

— Nehmen nun die Charaktere ( — j und f — j für eine bestimmte F

von der Determinante D = 4ii+1 die Werthe C|, c^ an, so nennt

den Inbegriff aller ursprünglichen Formen von gleicher Determinante '«zz.iid

Art, welche dieselben Charaktere (denselben Totalcharakter) haben, ^iii

Geschlecht.

Aus 1) ergiebt sich , dass jedes Greschlecht aus einer Any^bl Fonacx. Ju-
dassen besteht. Dasjenige Geschlecht, welches die Hauptform und de^KZKiit
die Hauptclasse enthält, nennt man das Hauptgeschlecht, ünmittel^^'^
evident ist, dass der Totalcharakter des Hauptgeschlechtes für D=^ A*9

=»4n+l:l, 1 ist, weil ja ^ — j=l=( — j ist

I. Gauss' zweiter Beweis.^)

Dieser Beweis beruht auf folgendem Lemma: Die Anzahl der für eio^
gegebene Determinante wirklich existirenden Geschlechter ist halb so gro^
als die Anzahl der möglichen Geschlechter, d. h. halb so gross ab die Anzahl

i; P. A. Art 257. Dirichlet, Zahlenth. , Suppl. IV. und X.

üeber das quadratische Reciprocitätsgesetz. 221

-» ** ^\r*"^^*»v^

q — \ p — 1.9— 1

worin P^p ^ ("~ 1) * modq uod Q^il tnodq ist. Durch Ver-
gleichung yon 7) mit 4) ergiebt sich:

2.

Die Gongruenz s?=za modp hat, wenn sie überhaupt möglich ist,
stets zwei , Module p von einander verschiedene Wurzeln. Daraus geht hervor :

9) ng=a2^ Sq, wobei Sg ganzzahlig ist (incl. Null).

Wenn femer:

10) «i*+ . . . + Äy* EE a modp

erfiuit wird für Xi=Xq = >*' = Xg, so ist 9'«i*=a modp oder ( — j = ].

Ist umgekehrt l — ) = l, und setzt man qx^^^a modp^ so wird 10)

immer lösbar sein für Xi^= x^= • • • = Xg, Bedenkt man weiter, dass die
Anzahl der Lösungen von 10), die x nicht gleich vorausgesetzt, ein Mul-
tiplum von q ist, da q eine Primzahl sein soll, so ergiebt sich:

11)

Sg=^qR+l, wenn (^)=: + l

(jR ist eine ganze Zahl).

Sg = qR, wenn f-^-jcs—l

Andererseits war n^ »= 2* S!^, so dass :

f»^^2'^ 1 + 1 modq^ wenn ( — j = + 1 ,

und

n, _:0z:;l — 1 modq^ wenn ( — j = — 1 ist, woraus

12) ng^l + {^) modq

resultirt. Aus der Yergleichung dieser Formel mit 8) folgt unter Anwen
düng des Fermat*schen Satzes unmittelbar unsere Formel.

VI. Capitel.
durch Sfttie aus der Theorie der quadratisohen Formen.

Vorbemerkung.

Bekanntlich nennt man den Complez sttmmüicher ftquivalenter Formen
derselben Determinante eine Formendasse. — Sind ferner in dsc 'Ecfrcc.

1) Ganz ähnUche Formeln ergeben ndi tOoc n^^ n\^ 1^( 1 1^ v ^* v

.■-..r . «. ••::;^. p '^ :^

^3Ci

?^*L«rWvg\^** .-«V>t ^^,^. «vttlete Cf_ .jotm

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» xN^®

8^'*)!'*!n*»Vd Ae^

üeber das quadratische Beciprocitätsgesetz. 223

^er ezistirenden Totalcbaraktere. Der Nachweis der Richtigkeit dieses
Satzes soll nicht geführt werden, da zu diesem Zwecke ein grosser Theil
der Theorie der quadratischen Formen zu reproduciren wäre.

Gauss schliesst nun in folgender Weise:

I. ( — ) = ( — )) P ^^^ 9 mögen den oft angeführten Bedingungen
gesttgen und ausserdem sei p ^ 1 mod 4. Ist zunächst ( — ) ^^ ^ ) so ist

auch I ) =^ ^* Bestimmt man nun das Vorzeichen von q so, dass

± ^ =1 mod 4 wird, so ist die Gleichung 4: ^ = 6*— cp möglich. Setzt
man + ^ = D} so ist also (p, h, c) eine ursprüngliche Form erster Art
▼on der Determinante D ^ 1 mod 4, Da nun D eine Primzahl von der
Porm 4n + l ist, so ist die Anzahl der angebbaren Totalcharaktere 2.
Bs existirt also nach unserem Lemma nur ein Geschlecht, das Haupt-
?©sclilecht. Da somit (p, 6, c) stets in die Form (1, 0, — 2>) transfor-

'f^ii^ werden kann, so ergiebt sich, da (— j = l:

■ (f)=+'-

Ist ( — j = — 1, so muss auch ( — J = — 1 sein. Wäre nämlich

^ j = + 1 , so gäbe es eine ursprüngliche Form erster Art , (3 , b , c),

^^H der Determinante D = p ^ 1 mod 4, woraus ( — j = + l folgen
^^de, was der Annahme ( — j = — 1 widerspricht.

II. (— j=— ( — j; beide Primzahlen sind von der Form 4n+3.

Q&nss betrachtet in diesem Falle Formen von der Determinante D^=pq
^1 mod 4. Die Anzahl der angebbaren Totalcharaktere ist da gleich 4.
Üs giebt also zu D, nach unserem Lemma, höchstens zwei verschiedene
Geschlechter. Die beiden ursprünglichen Formen erster Art: (1, 0, —pq)
und ( — 1, 0, pg) gehören aber zwei verschiedenen Geschlechtern, die erstere
davon dem Hauptgeschlecht an; folglich muss die Form (p, 0, ~g) einem
der dorcb jene beiden Formen repräsentirten Geschlechter angehören. Ist

non (p,0, •— g) in das Hauptgeschlecht zu rechnen, so ist (— j c=3-f 1,

( )^^» niittin f— j= — 1, während, wenn (p, 0, — g) zu dem

durch die Form (— 1 , 0, pg) repräsentirten Geschlecht gehört, ( — ) = — 1,

j= — 1, also ( — )=1 ist. Damit aber ist unser Gesetz be-

224 Historisch -literarische Abtheilnng.

IL Kummer's erster Beweis.^)

In der Peirschen Gleichung:

1) ^-2)t««=l

habe D die Form 4n + 1 , so dass t angerade and u gerade wird. A-^
(i+l) («-!) = Dw* ergiebt sich:

woraus durch Subtraction

3) l = wx«-fii'X«

folgt. Sind nun t und u die kleinsten positiven Werthe, welche Olel^^'
ung 1) erfüllen, so findet nach 2) nur eine einzige ZerflQlung von D st^^^
und das Werthepaar mal, D = m oder fii = 2>, fii'=l ist ausgeschlosa^^^n^^
weil X und l kleiner als t sein sollen.

Aus l=fiix' — m'i' erhält man nun die wichtige Relation:

*) iwh'- {=^)=>- i=f)='-

wenn /^Jein beliebiger Factor von m ist.

Kummer zerf&llt nun D auf yerschiedene Weise in Primfeustoren.

I. D = pp' und p ^ p'^E^B fnod4. Dann kann Gleichung 3) ,
Absonderung der Formen l=x*— pp'X*, l = x*pp'— X*, die nach ob
Annahme ausgeschlossen sind, nur die beiden Formen annehmen:

l=i.x»-p'i«, wenn (^)=1, (7) = -!.

l = l«'x«-pl«, wenn {j) = ^, (^) = -l,

SO dass also,

wenn l-^J = 1 ist, l^)= — 1, und

(7)= '-. (^)=-'.

wenn

"P/ ' \p

II. D=ipp'q^ p^p'^3mod4: und g^lfiiod4. Dann kann -^
auf 2^=8-fache Weise in 2 Factoren zerlegt werden; also wftren n»^
obiger Annahme, wonach die beiden F&lle «1=1 resp. m'^1 aus^^'
schliessen sind, 6 Fälle zu unterscheiden. Bestimmt man nun p' so, da^

(0=-i,^(i)=+,.^(i)=-.,

und schliesst von jenen 6 Fällen noch die aus, welche diesen Bedingungen
widersprechen, so bleiben folgende 3 Fälle ttbrig:

Ij Abh. der BerL Akad. 1^61.

üeber das quadratische Reciprocitfttsgesetz. 225

1) 1= p *»-p'«A«, wenn (^)= 1, (^) = 1;

2) 1= ? K»-pp'i». wenn ( J-) = 1, (4)= 1, (7)=-!;

3) l = pp'x»- q i», wenn (y)=-l, {j) 1, (y) ^1-

Es giebt aber nur eine Zerföllung von D; und 9& findet, wenn
( — 1 = 4-1 ist, nur der erste der drei Fälle statt; und wenn ( — j = — 1,
nur der dritte. Das heisst:

wenn

w».(i) = -l, .0 (j) = -l-

III. I>^=ppq<i\ p^i=p^^ mod4t und q^q^^X modA, Kummer
nimmt an, es könnten die Zahlen p und p' so gewählt werden, dass

. (f)=(^)=-' - {f)=(f)=+'

sei. Schliesst man dann von den 16 Fällen , die bei der Zerlegung von D
möglich sind, die aus, welche den eben gestellten Bedingungen wider-
sprechen und die beiden Fälle, in denen m resp. m gleich 1 wird, so
sieht man, kann Gleichung 3) nur die folgenden 3 Formen haben:

1) l = p* x»-pVi*. wenn (4)= 1, (4)= 1. (^) = 1.

2) l = p'9x«-pg'A«, wenn (^)=-l, (-^) 1, (y) = -l-

3) l = pVx»-py i«. wenn (^)= l, (^) = 1, (-^) = 1.
Wenn nun (— r) = — 1 ist, so ist nur der zweite Fall möglich, nach

welchem / — J = — 1 wird, während, wenn ( — | = + l ist, entweder

Fall 1 oder Fall 3 eintritt; in beiden Fällen resultirt ( — j = + 1.
Die bewiesenen drei Theoreme, die sich so aussprechen:

• (f)- ■■ ■(!)= >' . (!)=-■•■ (1)=-'

• (7)=-'' "(t)=-'^ ■ (i)=+^--<fy-^

(pE=p'^i ino(l4, q=:qL^V tiwAA?^,

226 Historisch - literarische Abtheilung.

lassen sich nun sofort in das bekannte Fundamentatheorem in der Theorie
der quadratischen Beste und Nichti*este zusammenfassen.

Es ist bei diesem Beweise die Voraussetzung gemacht, dass es stets

Primzahlen p von der Form 4n + 3 giebt, flir die J— ^ j = — 1,

( — ) = +! ist (r ist eine beliebige positive ungerade Primzahl, q eine

solche von dei Form 4n 4* 1)* Wie aber leicht zu übersehen, ist diese
Voraussetzung erfüllt, wenn nachgewiesen werden kann, dass es in einer
unbegrenzten arithmetischen Eeihe, deren erstes Olied und deren Differenz
ganze t relativ prime Zahlen sind, unendlich viele Primzahlen giebt. Der
Beweis hierfür ist aber von Dirichlet^) erbracht worden, wodurch die
Voraussetzung als richtig nachgewiesen ist.

III. Eummer's zweiter Beweis.*)

p und p seien verschiedene positive Primzahlen von der Form 4n + 3,
und q und q solche von der Form 4n + 1.

Ist dann erstens r eine Primzahl, welche sich durch eine bin&re
quadratische Form C von der Determinante — p darstellen lässt, so dass

(^)=

1

ist, so wird im Allgemeinen die Classe C, welcher jene darstellende Form
angehört, die Hauptclasse K nicht sein; wohl aber wird eine Potenz von
r durch X=a;* + ;t??/^ sich darstellen lassen, und der Exponent von r wird
eine ungerade Zahl und ein Theiler der Classenanzahl n der quadratischen
Formen von der Determinante —p sein. Die Classen IT, C, C\ ... C
gehören nämlich in das Hauptgeschlecht und können bei hinlänglich grossem
V nicht sämmtlich von einander verschieden sein. Ist nun für r'^si

C*'=C*f so ergiebt sich hieraus (?''+*•"' =C

Setzt man r — 5 = w — 1, so ist nun entweder m = w, also W:=0 tnodmy
oder m n. Im crstercn Falle erschöpfen die Formenclassen :

2) K, C, C^ ... C"-"^

das Uauptge^chlecht vollständig; im anderen Falle geschieht dies nicht.
Ist nun C' eine in C, ... C"'~'\ A' nicht enthaltene Formencla^se , so werden

3) C\ CC\ C^C\ ... C^-^C

m von einander und auch von den in 2) dargestellten verschiedene Formen
sein. Es ist da wiederum entweder 2m = n oder 2m < n. Im ersteren
Falle ist die Behauptung, wonach nzi^ 0 modm sein soll, erfüllt; im an-
deren Falle nicht. Man führt da wiederum eine neue Formenclasse C", wenn

1) Abh. der Berl. Akad. \Wl oder Liou^ille J. XII., 8. 893.
2) Abb. der BerL Akad. 1861.

üeber das quadratische Beciprocitätsgesetz. 227

auch diese noch nicht genügt, eine folgende u. s. w. ein. So gelangt man
allgemein zu dem Resultat, dass m ein Theiler von n ist. Es ist jener
Exponent m aber auch nothwendig ungerade, weil es für — p als Deter-
minante nur eine forma anceps giehi, und die übrigen Formenclassen
nach C*"""^= C^ paarweise vorkommen.

Ist nun m = 2h + i, so ist x^ + py*= r'*. r, woraus

1

sich ergiebt. Ist also ( ) ^^ ' » ^^ ^^^

P
Ist zweitens r eine Primzahl, welche sich durch eine Form von der

Determinante q darstellen lässt, so dass also ( — j = l ist, so wird ganz
analog ir«- Qy«= r^*r,

so dass t — j = 1 resultirt. Ist also

B) i^)^^' ^^ ^** ^^^^ (") '='^-

Die beiden Formeln A) und B) ergeben aber das Reciprocitätsgesetz , da r
eine beliebige Primzahl und p von der Form 4n-|-3, q von der Form
4» + l ist.

Vn. Capitel.

Die Ergänzungssätze des quadratischen Redprocitätsgesetzes nnd
das verallgemeinerte Beciprocitätsgesetz.

I. Die Ergänzungssätze.

Wir haben bei unseren Betrachtungen die Annahme gemacht, dass die
Ergänzungssätze des quadratischen BeciprocitStsgesetzes , welche durch die

Formeln: /_l\ ILzl /9\ 'Izl

I) {-y) = (-1) ^ und II) (^) - (-1) «

ausgedrückt werden, schon bewiesen seien. In diesem Abschnitte wollen

wir die Formeln I) und II) mit Hilfe der Methoden, die in den vorher-

/pN. /^v Eni. 2^

gehenden Capiteln zur Ableitung der Relation i — ii-j = (— 1) * '

entwickelt wurden, verificiren. Zuvörderst bemerken wir, dass Formel I)
eine unmittelbare Folge des Fermat'schen Satzes ist.

1. Beweis für Formel I) doroh ^yverwBndte Beste <<^)y für Formel ü)

durch vollständige Induotion.

Die lineare Congruenz ay ^ 1 modp Iftsst für relativ prime Zahlen
a und p nur eine Lösung zu. Ist nun a ein beliebiger der — ^ ^sjosb^x^
1) Eüler, OpuBc. anaL 178S. L 8. IIb. Qau%%,T>. K.^ ki^.V^.

228 Historisch -literarische Abtheilimg.

tischen Beete nach der Primzahl p als Modul, so wird ff entweder gleich a
oder Yon a verschieden sein; im letzteren Ealle nennt Euler a und 3^
verwandte Beste (re$idua soda). Kommt nun der erste Fall &mal, d^sx
zweite cmal vor, so ist

d. h. die Anzahl der quadratischen Beete a, welche der Congruenz äff ^=r t
mod p genügen, so dass a^^l mod p wird, ist gerade ftlr pa4ii-h 1,
dagegen ungerade ftir p = 4n-|- 3; in Formeln:

6 =^ 0 mod2, wenn p = 4n + l>
& ^i 1 mod 2, wenn p = 4n + 3.

I und p — 1 genügen der Congruenz x^ ebI modp^ sind also, da diese
Congruenz nicht mehr als zwei Wurzeln hat, sämmtliche Wurzeln der8ell>en,
so dass &:^2. 1 ist Best aller Primzahlen, so dass sich ergiebt:

p — 1 ^ — 1 mod p ist quadratischer Best von p = 4#i + 1 , da
5^0 mod 2 sein muss, dagegen quadratischer Nichtrest von p = 4n + 3«
da hier & ^^ 1 mod 2 sein muss , q. e. d.

Der Nachweis der Bichtigkeit der Formel 11) ist von Gauss')
durch vollständige Induction geführt worden. Der Satz gilt zunftchst, wie
Zahlenbeispiele zeigen, für Primzahlen kleiner als z. B. 100. Wfire niu

jenseits 100 (—js^-l-l, wobei t zunächst eine Primzahl von der Forxs

8n + 3 sein möge, so setzt Gauss 2 ==a*modt^ wobei a ungerade nsm.^
kleiner als t sein soll; dann ist in — 2 = •— a^-|- (u, u von der Foi

8n + 3 und kleiner als t, und überdies (— j = +l. Nimmt

an, dass t jenseits 100 die kleinste Zahl ist, für welche (— jslü

so widerspricht dem, dass in (-jr=l u<t ist, und

demnach (t)^""!» wenn ^ = 8n + 3 ist Ganz analog ist der Nac!

weis für f = 8» + 5, 7; nur muss da an Stelle von\2, —2 eingefttb — ^
werden.

2. Beweis der SrgftnEungsBfttse durch Beduotion.

Petersen') legt bei seinem Beweise des quadratischen Beciprocität^^*
gesetzes Modulo der Primzahl p das halbe Bestsjstem 1, 3, 5, ...p — ^
zu Grunde , lässt also nur ungerade Zahlen kleiner als p zu , und defini^

II in (-^i^ (~~1^)^ ^ ^6 Anzahl der negativen ungeraden Beste kleioer

1) Gaues, D. A., Art. 112flgg.

2) S. 63 der cit. Abb. im Am. 3 . oC M.&th. vom Jahre 1879.

man n

man eri

üeber das quadratUohe BeoiprocitätsgeBetz. 229

als p in 9, 3^, ... (p — 2)^. Für ^ s= — 1 ergiebt sich sofort fi als die
Anzahl der negativen ungeraden Beste in —1, —3, ... — (p — 2), so

dass (i = — ^ — wird.

Oanz analog ist in (— j = (— 1)^ fi die Anzahl der negativen un-
geraden Beste kleiner als p in
A) 2, 2.3, 2.5, ... 2 (p - 2) iwoc? p.

Da nun 2(p — a) + 2a^0 mod2 ist, so ergiebt sich z. B. für

P = 8n + 1, 91 = — g— = 2#i, also (-) = 1-

Ganz ebenso ist das Verfahren ftir p = 8n — 1, 8n + 3, 8n + 5,
nur dass in den beiden ersteren FKllen das Mittelglied der Beihe A) be-
sonders zu beachten ist.

8. Beweis der BrgftnBungsformel (—j = (—1) ^ durch S&tie

aus der Kreist^eilung.

Wir hatten gefunden (cfr. Cap. IV), dass

woraus

1) -Sr«=(-1 + C)i
folgt. Da nun

ist, 80 wird , . /tv \

2) ^^.= l(_l + (^)4

Die Formeln 1) und 2) ergeben aber:

woraus sich, da die rechte Seite ja eine ganze Zahl sein muss, unsere
Formel ableitet.

4. Beweis der BrgftnEungss&tae mit Hilfe der Theorie

der quadratischen Formen«^)

Für die Determinante D = 4n + l = p ist (—1, 0, p) eine ursprüng-
liche Form 1. Art, die dem Hauptgeschlecht angehört. Es ist also — 1
quadratischer Best von p. W&re nun auch für ps=:4n-|-3, —1 quadra-
tischer Best, wäre also ^1=:&'— cp, so g&be es eine Form, ur-
sprünglich und 1. Art (p, &, c) Yon der Determinante —1, welche deiL

1) Oau$$, D, A, Art. 268.

230 Historisch -literarische Abtheilung.

Charakter —1 haben rnüsste, was nicht möglich ist; folglich ist — 1 qua-
dratischer Nichtrest von p, was zu erweisen war.

Methodisch von dem eben Gesagten ist durchaus nicht yerschieden

/2\ ^=^

der Nachweis für I— j=(— 1) ^ , weshalb er übergangen werden mag.

Bemerkt soll nur noch werden, dass für:

r=9

= 9 modle ,. -,

die Form

mod 16

1(8, 3. -'--■)

. . und die Determ. p ;

p ^ 7 mod 8 die Form (p, &, c) und die Determ. 2,
p=+3mod8 „ » (P, &, c) » » »2

zu benutzen sind.

II. Das verallgemeinerte Reciprocitätsgesetz.

Wie wir gesehen haben, wurde das quadratische Beciprocitätsgesetz
durch die drei Formeln ausgedrückt:

"(t)-'-"^' „.(D-,-.,^, ,„,(.)(.)=(_., '?-^.

Hierin waren p und q als verschiedene positive ungerade Primzahlen
vorausgesetzt. Diese Formeln lassen sich zunächst verallgemeinem für
negative Primzahlen. In der That erhält man, wenn man setzt

p^s\p\, q = ö\q\ (f,5 = +l):

/_l\ *p-> /9\ tiLzl

^^7") = ^-^^ ' ' "Hp) = (-^^''

III) (£Wi\= 2 2 -»■ -2 2 + 2 2 1).

Mit Hilfe der Jacob loschen Verallgemeinerung des Legendre 'sehen
Symbols (cfr. Cap. I 8. 174) und einer leichten Zwischenrechnung (cfr. S. 180)
findet man femer , dass diese drei Formeln auch giltig bleiben für zusammen-
gesetzte Zahlen. Sind nämlich P und Q zwei theilerfremde ungerade Zahlen
und setzt man

P=i\P\, 0 = d\0\,

so ergiebt sich:

•)(^) = (-i)-^. n)(|) =

•2 ' 2 ■*" 2 ' 2 "*" 2 ' 2

n.,(D(f) = ,-.P

Sind schliesslich P und Q nicht relativ prim, so verliert das Symbol (-- )

//>\ w/

seinen Sinn. In diesem Falle sagt man: I — j ist Null.

1) Vergl auch Busche, DimeErt., Qt^\^ii%«ii \^^.

üeber das quadratische Beciprocitätsgesetz. 231

• ii^- »r^-irv— w**

Hier ist auch noch zu erwähnen die Verallgemeinerung des Gauss-
schen fi - Lemmas von S c h e r i n g.^) Diese Verallgemeinerung besteht darin,
dass Schering zeigt, dass, wenn Ä und P zwei ganze Zahlen sind und

ausserdem P relativ zu 2Ä ist: (— js=(— 1)^ wird, wo (i die Anzahl

der negativen absolut kleinsten Eeste in der Zahlenreihe:

Ä, 2ä, 3ä, ••• ^^^ÄmodP

bedeutet. In der zu zweit citirten Abhandlung (Act. math. 1880) hat
Schering hierfür einen einfiEushen arithmetischen Beweis gegeben.

Zu der Schering'schen Verallgemeinerung des Gauss ^schen Lemmas
ist wieder zu bemerken, dass Kronecker in einer 1876 in den Berliner
Monatsberichten S. 301 abgedruckten Abhandlung darauf hinweist, dass er
jene Verallgemeinerung schon seit 1869/70 in seinen Collegien vorgetragen
habe. — Gestützt auf jenes verallgemeinerte Lemma hat nun Genocchi')
für die Richtigkeit von Formel III) einen sehr einfiachen Beweis er-
bracht. Dieser schliesst sich aber dem von demselben Autor im tll, Cap.
Mitgetheilten so innig an, dass wir ihn hier übergehen dürfen.

VIIL CapiteL

Algorithmen znr Bestimmung des quadratischen Rest- oder Vicht-
restcharakteri einer Zahl in Besag auf eine andere.

Im Folgenden wollen wir einige Arten der Bestimmung des Symbols
Ij] darstellen. Es sind dazu im Wesentlichen zwei Methoden angewendet
worden. Die eine gründet sich auf die direete Anwendung des Beci-
procitätssatzes , die andere auf die Entwickelung des Bruches -r in einen

0

Kettenbruch. Bei dieser letzteren Bestimmung ist noch zu unterscheiden,

dass (yj abhängig gemacht worden ist einmal von den Quotienten und

zweitens von den Besten, die bei jener Eettenbruchentwickelung auftreten.
Die erste Methode wird ohne Weiteres aus einem Beispiele klar. Es sei
X =3 (|^) zu bestimmen. Da ist zunächst:

^ = am = mi) , wen 365 = l mod 4,

= (iH) = (f W = (tVt) = (Vf ) = (A).

(m) =+i.

1) Berliner Monatsber. 1876, 8. 300. — Ac^maJäkiA, \»^.
8) Compte» Rendn», XC (1880) 8. 800.

234

Historisch - literarische Abtheilnng.

181= 85.2-11
85 = 11 .8- 3
11 = 3 .4- 1

^ = 0;
v = 0;

I. Verfahren von EiseAstein. ä;=(|^]J^|J;.

3785 = 2933.2-2081, 279=181.2-85
2933 = 2081 . 2 - 1229,
2081 = 1229 . 2 - 377 ,
1229= 377 .4- 279,
377 = 279 .2- 181,

wonach (Mi) = l ^olgt.

IL 1. Verfahren von Lebesgue:

3785 = 2933. 1 +4.213,
2933= 213 .13 + 4. 41,
213 = 41 . 5 + 8,

so dass ebenfalls (|4f|^) = 1 sich ergiebt.

2. Verfahren von Lebesgae:

3785 = 2933.1+852, 98 = 83.1 + 15

2933=852.3 + 377, 83=15.5+8

852 = 377 . 2 + 98, 15 = 8 . 1 + 7

377 = 98 .3+ 83, 8 = 7.1+1.

Hieraus folgt: A = 0, /i = l, i; = l, so dass (MH) = (- 1)* = + 1 ist.
NB. Wenn ein Rest ± 2"» r* wird , so sind die folgenden Operationen
unnütz.

in. Die Algorithmen von Gegenbauer.^)

Während Gauss beliebige Beste, Eisenstein nur ungerade, Lebesgue
nur gerade Reste zulässt, nimmt Gegenbauer zur Ableitung seiner Al-
gorithmen a'bwechselnd gerade und ungerade Reste. Sind a und h ungerade

und relativ prim, und a > &, so entwickelt Gegenbauer in einen

a

Kettenbruch, dessen Theilzähler sämmtlich —1, dessen Theilnenner gerade

sind. Die Reste sind dann abwechselnd gerade und ungerade; sind ihre

Vorzeichen £, so ist dann:

Tat nun a == + 1 = f moä 4 , so wird :

(l)=(_l)M*f*''«*-' + <^-*''};

h ist mithin Rest von a, wenn ^^ ^x^x j^— -^ — ^

^

madSy und h ist

Nichtrest von a, wenn

/ 'a^i-i='4— -^ — ö — mod8. Mit anderen

1) Wiener Ber. 1880, B. 931.

üeber das quadratische Reciprocitätsgesetz. 235

Worten : ( — 1 = + 1 , wenn die Anzahl der Zeichenfolgen in der Reihe
der €j^ vermindert tun die Anzahl der Zeichenwechsel congruent 0 oder

f> med 8 ist ; dagegen wird ( — j = — 1 , wenn jene Differenz congruent

2 oder 4 modS ist. Denn f^^i-i ^^^ positiv, wenn zwischen f^__j und
e^ Zeichenfolge, dagegen negativ, wenn zwischen diesen Grössen Zeichen-
wechsel stattfindet

Beispiel. Es ist x={^^^)^) zu bestimmen:

• -346= 913. 0 -346, -29- -20 2 + 11

-913 = -346. 2 -221, 20- 11.2-2

+ 346 = -221. (-2)- 96 , -11 =-2 .6+ 1

+ 221 = - 96 .(-2)+ 29;

96 = 29 . 4 - 20.

Die Anzahl der Zeichenfolgen ist 1, die der Wechsel 5, folglich wird :

(HD = - 1-

Das zweite von Gegenbauer angegebene Verfahren zur Bestimm

ung von (y) besteht darin, dass er ^» worin a und 26 relativ prim

sind, in einen Kettenbruch entwickelt, dessen Theilzähler wiederum gleich
— 1 . dessen Theilnenner ungerade sind ; dann sind wiederum die Reste ab-
wechselnd gerade und ungerade. Durch die vorigen ganz analogen Schlüsse

zeigt so Gegenbauer, dass ( — ) = + l wird, wenn die Anzahl der
Zeichenfolgen, vermindert um die Anzahl der Zeichenwechsel (bei den

Resten) modS congruent 1 oder 7 ist, dass dagegen (— J = — 1 wird,
wenn jene Differenz congruent 3 oder 5 inod8 ist.

IV. Ein Algorithmus yon Kronecker.^)

Um l ' j zu bestimmen , worin | Wq | > | w, | sein soll , bildet

Kronecker den Algorithmus:

n,, =2ri w, -n^j,
n^ =2rg n, — «s,

nt-2 = 2r*— itit-i— 1.

Die n seien sämmtlich ungerade und |nib| > l^ib+il* Ist 9 die Anzahl
der Folgen, tf; die Anzahl der Wechsel in der Reihe der Vorzeichen der Zahlen

"l » ^0 1 **i I • • • + 1 9

1) Dies Beispiel ist von Gegenbauer, dem aber ein FeUn u
ist. Anstatt 96:89 steht bei Gegenbaner M:V( u.%.i.
S) Berl Mob. Ber. 1884| S. 619. *

236

Historisch -literarische Abtheilnng.

aber ^ die Anzahl der Folgen nnd ^ die Anzahl der Wechsel in der Beilw

der Modnlo 4 genommenen Zeichen werthe derselben Zahlen, so ist ( — ^|
= (_ 1)14 (f - f') = {_ !)%(*- v^). ^ "» '

Beispiel: (:Z^)=(ri^)

143 = 2.105 -67

105 = 2. 67 -29

67 = 2. 29 +9

Der Algorithmns ist:

-9 = 2. (-2)7 +5

7 = 2.(-l(-5)-3

-5 = 2. (-1)3 +1

29 = 2.(-2)(-9)- 7

Dann ist unsere Beihe der Zahlen n:

1, 143, 105, 67, 29, -9, 7, -5, 3, -1.

Die Beihe ihrer Zahlenwerthe Modalo 4 ist:

1, -1, 1, -1, 1, -l, -1, -1, -1, -1,

so dass ^ = i)i>'=4 nnd ^ = t(>'=5 wird, worans

'- 105^

folgt

/-105N

V 143;

1

(Soblou folgt.)

Bibliographie

vom 1. Juli bis 31. August 1885.

Periodisohe Sehriftan.

Sitzungsberichte der königl. sächs. Gesellschaft der Wissenschaften, mathe-
matisch - physikal. Classe. 1885, I und II. Leipzig, Hirzel. 2 Mk.

Sitzungsberichte der mathem.-physikal. Classe der königl. bayer. Akademie
der Wissenschaften. Jahrgang 1885, Heft 2. München, Franz.

1 Mk. 20 Pf.

Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissensthaften in Wien, mathe-
mat.-naturwissenschaftl. Classe, Abtheilung II. 91. Bd., 1. u. 2. Heft.
Wien, Gerold. 5 Mk. 50 Pf.

Denkschriften der kaiserl. Akademie der Wissenschaften, mathem.- natur-
wissenschaftl. Classe. 49. Bd. Ebendas. 38 Mk.

Mathematische Annalen, herausgegeben von F. Klbin u. A. Mayeb. 26. Bd.
(4 Hefte). 1. Heft. Leipzig, Teubner. compl. 20 Mk.

Mathematisch -naturwissenschaftliche Mittheilungen, herausgeg. v. O.Böklev.
2. Heft, 1885. Tübingen, Fues. 2 Mk.

Astronomische Nachrichten, herausgeg. von A. Krüger. 112. Bd. Nr. 1.
Hamburg, Mauke Söhne. compl. 15 Mk.

Yierteljahrschrift der astronomischen Gesellschaft, herausgeg. von E. Sohön-
FELD u. H. Seblioer. 19. Jahrg. (1884), 4. Heft. Leipzig, Engel-
mann. 2 Mk.

, 20. Jahrg. (1885), 1. u. 2. Heft. Ebendas. 4 Mk.

Stern -Ephemeriden ftLr das Jahr 1887. Berlin, Dümmler. 6 Mk.

Nautisches Jahrbuch für das Jahr 1888, herausgegeben Yom Beichsamt d.i.
Berlin, Heymann. 1 Mk. 50 Pf.

Astronomisch -geodätische Arbeiten in den Jahren 1883 und 1884, heraus-
gegeben vom königl. preuss. geod&t. Institut Berlin, Friedberg & Mode.

13 Mk. 50 Pf.

Beobachtungen der meteorolog. Stationen im Königreich Bayern , herausgeg«
▼on W. Y. Bezold u. C. Lano. 7. Jahrg. (1885), 1. Heft München,
Ackermann. compl. 18 Mk.

Bibliotheca historico- naturalis, phyrioo-ohfimii» ^ B.y«

Hanstbin. 34. Jahrg. 2. H^, Jn
Vandenhoeok & Bupreoht.

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(Akad.) Wien, Gerold. 30 Pf.

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Newton. Leipzig, Teubner. 60 Pf.

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50 Pf.
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Baumgärtner. 14 Mk.

Albrecht, G., Geschichte der Elektricität und ihrer Anwendungen. Wien,

Hartleben. 3 Mk.

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jede Zeitsecunde. Leipzig, Teubner. 4 Mk.

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Gegenbauer, L., üeber den gross ten gemeinschaftlichen Divisor. (Akad.)
Wien, Gerold. 25 Pf.

, üeber die Divisoren der ganzen Zahlen. Ebendas. 45 Pf.

, Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. Ebendas. 2 Mk. 40 Pf.

, Arithmetische Notiz. Ebendas. 20 Pf.

, üeber die ganzen complexen Zahlen. Ebendas. 25 Pf.

Siokenbergbr , A., Die Determinanten in genetischer Behandlung. München,
Ackermann. 1 Mk. 20 Pf.

Mbrtens , F. , Üeber eine Formel der Determinantentheorie. (Akad.) Wien,
Gerold. 30 Pf.

Weibs, E., Notiz über zwei der Binom ialreihe verwandte Reihen. Ebendas.

20 Pf.

WiNCKLER, A., üeber die linearen Differentialgleichungen IL Ordn., zwischen
deren partikulären Integralen eine Relation besteht. Ebendas. 50 Pf.

Mbrtens, F., Zur Theorie der elliptischen Functionen. Ebendas. 20 Pf.

Klein, F., üeber die elliptischen Normalcurven n*^ Ordnung und zugehö-
rige Modulfunctionen n**' Stufe, Leipzig, Hirzel. 1 Mk. 80 Pf.

Wiener, H., Rein geometrische Darstellung binärer Formen durch Punkt-
gruppen auf Geraden. Darmstadt, Brill. 2 Mk. 50 t*f.

Bobek, K., üeber gewisse eindeutige involutorische Transformationen der
Ebene. (Akad.) Wien, Gerold. 70 Pf.

Mbrtens, F., üeber die Gleichung des Strahlencomplexes, welcher aus allen,
die Kanten des gemeinschaftlichen Poltetraeders zweier Flächen II. Ord-
nung schneidenden Geraden besteht. Ebendas. 20 Pf:

Lb Pajge, C, üeber die HeBse'sche Fläche der Fläche III. Ordsuiig.
Ebmdaa. %& CL

Bibliographie. 239

Eberhard, Y., Ueber eine räumliche involatorische Verwandtschaft 7. Gra-
des und ihre Eemfläche 4. Ordn. (Disseri) Breslau, Köhler. 1 Mk.

Graefe, f., Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie der
Ebene. Leipzig, Teubner. 2 Mk. 40 Pf.

Meter, F., Rein -geometrische Beweise einiger fundamentalen Kegelschnitt-
sÄtze. Tübingen, Fues. 40 Pf.

Petersen, J. , Lehrbuch der Stereometrie. Kopenhagen, Host & S.

1 Mk. 60 Pf.

, Die ebene Trigonometrie und die sphärischen Grundformeln. Ebendas.

1 Mk. 25 Pf.

Euclidis opera omnia. Ed. L. Heibbro et H. Menge. Vol. 4. Leipzig,
Teubner. 4 Mk. 50 Pf.

Angewandte Mathematik.

KoPALiK, J., Yorlesimgen über die Chronologie des Mittelalters. Wien,
Kirsch. 1 Mk.

Kraft, F., Sammlung von Problemen der analytischen Mechanik. 11. Lief.
(Schluss.) Stuttgart, Metzler. 2 Mk.

Hbrz, N., Entwicklung der störenden Kräfte nach Vielfachen der mitt-
leren Anomalie in independenter Form. (Akad.) Wien, Gerold. 80 Pf.

WiTTRAK, Th., Zur Berechnung der speciellen Störungen der kleinen Pla-
neten. (Dissert) Dorpat, Karow. 1 Mk. 50 Pf.

Hamburqer, M., Ueber die Zeitdauer des Stosses elastischer Stäbe. (Dissert.)
Breslau, Köhler. 1 Mk.

Littmann , 0. , Ueber das Yerhältniss von Längsdilatation und Quercontrac-
tion elastischer Metallcylinder. (Dissert.) Ebendas. 1 Mk.

Brinckmann , 0. , Ueber die Bewegung eines materiellen Punktes auf einem
Botationsparaboloid. (Dissert.) Jena, Neuenhahn. 2 Mk.

Bender, E., Ueber stehende Schwingungen einer Flüssigkeit, die auf einer
festen Kugel ausgebreitet ist Kiel, Lipsius & Tischer. l Mk.

GusiNDB, 0., Ueber den Ausfluss von Wasser aus kleinen kreisförmigen
Oe&ungen. (Dissert.) Breslau, Köhler. 1 Mk.

Mater, J., Sternkarte mit beweglichem Horizont. (Lithogr.) Hierzu Text:
Astrognosie. Schaffhausen, Rothermel. 4 Mk.

Krüger, A., Zonenbeobachtungen der Sterne zwischen 55^ und 56® nörd-
licher Declination , angestellt zu Helsingfors und Gotha. 2. Bd. Leipzig,
Engelmann. 20 Mk.

Paulus, *Ch., Tafeln zur Berechnung der Mondphasen. Tübingen, Fnes.

1 Mk. 80 Pf.

Mahler, E., Die centralen Sonnenfinsternisse des XX. Jahzhoiid, (Alnd.^
Wien, Gerold.

, Astronomische Untersuchuiig Aber die in A

tische Finstemiss. Ebendas.

240 Historisch -literarische Abtheüimg. Bibliographie.

»,^.^k_^.'V.^ ,**.-* ^„^^.^t, ,

Lippich, F«, üeber polaristrobometrische Methoden , insbesondere über Halb-
schattenapparate. Ebendas. 80 Pf.

Waltbnhofbn, A. y., Die internationalen absolaten Maasse, besonders ftlr
Elektricität. Braunschweig, Yieweg. 2 Mk.

Physik nnd Meteorologie.

WÜLLNBB, A., Lehrbuch der Experimentalphysik. 3. Bd.: WSrmelehre.
4. Aufl. Leipzig, Teubner. 12 Mk.

WiBDBMAMK, 0., Die Lehre von der Elektricität. 4. Bd. 2. Abth. (Schloss.)
Braunschweig, Yieweg. 25 Mk. compl. 108 Mk.

CzBRMAK, P. u. B. HiEOKB, Pendelversuche. (Akad.) Wien, Gerold.

2 Mk. 40 Pf.

ExNBR, F., üeber eine neue Methode zur Grössenbesümmung der Moleküle.
Ebendas. 45 Pf.

Heppergbr, J. y., üeber die Verschiebung des Vereinigungspunktes der
Strahlen beim Durchgange eines Strahlenbüschels durch ein Prisma.
Ebendas. 50 Pf.

AuLiMOER, E., üeber das Verhältniss der Weber^schen Theorie der Elektro-
dynamik zum Hertz^schen Princip der Einheit der elektrischen Ejrftfte.
Ebendas. 30 PL

KLBMEMOI& , J. , Experimentaluntersuchung über die Dielektricitfttseonstaaten
einiger Gase und Dämpfe. Ebendas. 1 Mk. 20 Pf.

Lang, V. y., Messung der elektromotorischen Kraft des elektrischen Licht-
bogens. Ebendas. 20 Pf.

Historisch -literarische Abtheilung.

Ueber das quadratische Reciprocitätsgesetz.

Eine vergleichende Darstellung der Beweise des Fundamentaltheoremes
in der Theorie der quadratischen Beste und der denselben zu Grunde

liegenden Principien.

Von

Oswald Baumgart.

(Sohluii.)

Zweiter Theil.

Yergleichende Darstellung der den Ueweisen fQr das quadra-
tische Reciprocitätsgesetz zu Grunde liegenden Principien.

I. Capital.

GauM* Beweis durch vollständige Indnction.

Wie schon im zweiten Capital des ersten Theilas bemerkt wurde , unter-
schaidet Gauss bei seinem ersten Beweise acht verschiedene Fälle. Dadurch
erhält der Beweis eine solche Ausdehnung, dass man ihn für nicht recht
geeignet zur Begründung des so einfachen Gesetzes halten könnte. Indess
ist dieser Mangel an Kürze nicht auf die dem Beweise zu Grunde liegen-
den Principien zurückzuführen, sondern auf die Bezeichnungsweise.

Gauss schreibt nämlich pRqvkü Stelle von ( — j = + l und pNq
— j= — 1. Dadurch wird er gezwungen, jene acht Fälle zu un-
terscheiden, was eben durch Anwendung des Legendr ersehen Zeichens
zu vermeiden gewesen wäre. In der That haben wir gesehen, dass sich
durch jene Bezeichnung die acht von Gauss unterschiedenen 1™1<^ ^' ««*i
reduciren lassen. Dirichlet^) hat zuerst auf jenef^

X) Crelle J., XLVH, 8. 189.

242 Historisch - literarische Abtheilung.

Gau SS 'scheu Beweises hingewiesen und den Beweis unter Anwendoiig dea
Legend re-Jacobi 'sehen Symboles dargestellt. Wir sind ihm gefolgt

Nach dieser Bemerkung, die sich auf das rein Formale an nnseiem
Beweise bezieht, gehen wir auf das Wesen desselben näher ein. Der all-
gemeine Eindruck ist da zunächst hohe Befriedigung darüber, dass der
Beweis „nirgend das Gebiet der Congruenzen 2. Grades verlSsst" ^). ADe
anderen Beweise, mögen sie sich auch durch besondere Kürze und Eleganz
auszeichnen, lassen diese Einfachheit vermissen. Gauss^) selbst sagt von
seinem ersten Beweise: „Sed omnes hae demonstrationes , etiamsi respeäu
rigoris nihil desideratidum relinqt<cre vidcaniur, e principiis nitnis häerogeneis
derivatae sufU, prima forsan excepta quae tarnen per ratiocinia magis labo-
riosa procedit, operaiionibus proxiliorihus premitur"

Das Fundamentalprincip nun unseres Beweises kann man kurz du
Princip der vollständigen Induction nennen. Der umstand nämlich, da»
das Gesetz gilt für die beiden kleinsten ungeraden Primzahlen 3 and Ö.
regte in Gauss den genialen Gedanken an, von den Zahlen 3 und d
successive aufsteigend zu grösseren und grösseren Primzahlen, das Geseti
darzuthun.

Dieser Gedanke musste aber formulirt werden, um mathematuehe
Deductionen aus ihm möglich zu machen. Dies ist von Gauss dmtli
folgenden Schluss geschehen: Gilt das Gesetz für alle Primzahlen imter-
halb <2 , und sind p und p' zwei solche Primzahlen kleiner als <2 ) ^ ^

also (-r)( — ]=(— 1) '^ ^ ist, und kann man daraus die Richtig-
keit des Fundamentaltheorems für p und q {p' und q sagt dasselbe) dar-
thun, so ist das Gesetz in seiner Allgemeinheit bewiesen, eben der Eigen-
schaften der Zahlen 3 und 5 halber. Es stellte sich nun aber der Beweis-
führung ein grosses Hinderniss in den Weg, was Gauss zur ünt^
Scheidung seiner acht Fälle nöthigte. Der Beweisgang hängt nämlich so
intensiv von den Eigenschaften von p und q ab, dass eine Verschiedenheit
dieser Eigenschaften verschiedene Methoden nöthig machte. Wie schon
bemerkt, kommt man bei passender Bezeichnung nicht auf acht, aber doch
auf zwei wesentlich verschiedene Fälle. Diese sind:

I. Sind q und ct<^q beliebige ungerade Primzahlen , q positiv, a positiT
oder negativ, und ist ( — J = +1^ so ist zu zeigen, dass ( U - 1 = {- 1) * * .

IL Sind (2 = 4n+l und p^q beliebige positive ungerade Priin-
zahlen und ist (— ) = — 1, so ist zu zeigen, dass ebenfalls f — l^""^

1) Cr eile J., XLVfl, S 139.

2) Gauss: Comm. soc. liott. KVl, S.70 oder Gausa' Werke II, 8.4.

Ueber das quadratische Reciprocitätsgesetz. 243

ist. Die Veriiiciruug der in I. aufgestellten Behauptung war für Gauss

verhfiltnissmässig leicht, weil die Annahme ( — J = + 1 sofort eine weitere

Handhabe zur Beweisführung lieferte, insofern als nämlich die Congruenz
x^^=^ct modq möglich war. Die Einführung einer Hilfsgrösse f und die
Benutzung der auf einfache Weise darlegbaren Eigenschaften derselben
führte sofort zum Ziele. Ist e die gerade Wurzel unserer Congruenz x^^a
mod q , so ist jene Hilfsgrösse f definirt durch :

A) e^=cc + fq.

Die Unterscheidung der beiden Fälle f und e relativ prim zu a und
f und e theilbar durch « ergiebt auf einfache Weise unter Benutzung
unserer allgemeinen Annahme die Richtigkeit des Theoremes.

Der zweite Punkt war nun viel schwieriger zu erledigen, und erst
nach einem Jahre mühevollen Nachdenkens (am 29. April 1796) waren
alle Hindernisse überwunden. pGauss^) zeichnete sich selbst das Datum
dieser Entdeckung auf, wie er ein Gleiches bei anderen seiner grossen
Schöpfungen gethan hat/ Die fragliche Schwierigkeit liegt darin, dass
die Annahme f f^\ i

sich mathematisch nicht formuliren lässt, da eben die Unmöglichkeit von

ic*^ p modq
nicht durch eine Formel, die mit dieser Congruenz in unmittelbarem Zn-
sammenhange steht, darstellbar ist. Diese Thatsacbe machte einen Hilfs-
satz nöthig, dessen Formuliriing und Begründung Gauss* ganzen Scharf-
sinn herausforderte. Eronecker^) nennt die Begründung dieses Hilfssatzes
„eine Kraftprobe Gauss'schen Geistes ''. Jener Hilfsatz aber heisst: Es
giebt stets eine positive ungerade Primzahl p' ^ q^ von welcher q qua-
dratischer Nichtrest ist. Der Vollständigkeit halber bemerke ich schon hier,
dass dieser Satz nicht nur für (2 = 4n-f-l» sondern auch dann gilt, wenn
q die Form 4n + 3 hat^)

Für q = 8n + 5 ist der Satz unmittelbar evident; anders für (2 = 8w+].
Wäre aber in diesem Falle q quadratischer Rest von allen Primzahlen
kleiner als 2m +1 (^<2)) so müsste, wenn k eine Wurzel von

k^—qmouM', M={2n+l)l

Ä* — 1 . Ä* — in^ = (? — 1 . <2 — 2* . ,.. q — in^ mod M

sein, d.h. ici— .-:, . müsste eine ganze Zahl sem.

{2m+\)\ ^

Die Unmöglichkeit hiervon ergiebt das Falsche der Annahme und zugleich,
dass es stets eine Primzahl p' <Z2]/q + l giebt, von welcher q qua-
dratischer Nichtrest ist.

1) C. F. Gauss. Festrede vc

2) nod B) ICroiieoker» M^

244 Historisch -literarische Abtheilang.

Es ist also l^j c= — 1.

Um nnn nachzuweisen, dass auch f — j = — 1 ist, genflgt es jetit^)
darzathon, dass

\PP/
ist. Man sieht, der Hilfssatz war nnr nöthig, das Kriterium |^j = -l

in ein solches umzuformen , welches eine weitere mathematische Formalinmg
zuliess. Wir führen abermals eine Hilfsgrösse /'ein, die^ wenn e die gerade
Wurzel < q von

ist. definirt wird durch '^^PP'^^

B) ^=PP+fq.

Im weiteren Verlaufe des Beweises kommt es nun auf das VerliAlteB
von e und f gegen p und p an. Je nachdem nämlich e und f relatif
prim zu p und p\ p oder p\ oder theilbar durch p und p' sind, madit
sich eine verschiedene Behandlungsweise nöthig.

Principiell Neues kommt dabei nicht heraus.

Der erste Beweis von Gauss stützt sich also im Wesentlichen auf
Eigenschaften von Zahlen f und f in:

A) e^= a + fq und

Die beiden Gleichungen sind principiell nicht verschieden. Oleichang A)
geht dadurch, dass man in B) p=] setzt, aus B) hervor. Der Aogd-
punkt des Beweises liegt aber in der Aufstellung dieser Gleichungen, d ^
da eben A ein specieller Fall von B ist, in der Aufstellung der Gleichong B,
mithin in dem Hilfssatze, dass es stets eine ungerade Primzahl

P<(1
giebt, von der q quadratischer Nichtrest ist.

IL Capitel.
lieber die Beweise durch Bednetion.

Im III. Capitel des ersten Theiles sind zwölf Beweise reproducirt AUe
diese stützen sich auf ein und dasselbe Lemma , das wir in seiner All-
gemeinheit kurz entwickeln wollen. Stellt

öt = öi» «2» ... «7-1 {ctk<(l)

2

ein beliebiges halbes Bestsystem Module q dar, so wird

akP
wiederum ein halbes Restsystem Module q geben. Die pajt stehen mit ^
ük in keiner Beziehung, können also mit denselben zusammenfallen oder

1) Unter Berfickuchtigung des Um Standes, dass, wenn das ReciprocitfttsgeBeti
fSr Primzahlen gilt, es auch für vetcdlgemeinerte Restcharakterisiiken gilt.

üeber das quadratische Reciprocitötsgesetz. 246

von denselben verschieden sein. Wir wollen uns das versinnlichen. Das
vollständige Restsystem Modulo q wird offenbar dargestellt durch die in den
beiden Yerticalreihen enthaltenen Zahlen:

I.

II.

«1

~«i

Oj,

-»2

•

•

2

2

Die Reste pat werden dann in beiden Yerticalreihen vorkommen kön-
nen, nie aber doppelt in derselben Horizontalreihe, weil nie zwei Reste
ttkP Modulo q congruent sein können. Denn wäre z. B. a/c p == ak' p fnod q,
so wäre (ük " ak') p z=z 0 med q oder, da p und q Primzahlen sein sollen»
^k — ai^' == 0 mod q , was , da au und ay Modulo <2 incongruent sind , nicht
möglich ist. Kommen nun ft Reste pak in der Zweiten Yerticalreihe vor,
so werden wir erhalten:

;> ^ aj, ... a^-i ^ (— l;^a,, ... a^-i modq
oder ,

p~^~=(-l)fmodq und (i!)==(-l)M

Dies ist der Hilfssatz, auf den sich sämmÜiche Beweise des III. Capitels

stützen. Wir haben so das ursprüngliche Kriterium i~j^p ^ modq

/p\ ^^^

reducirt auf ( — ) = (—!)'*. Nur aus diesem Grunde nenne ich die Beweise,

denen dieses Lemma zu Grunde liegt, um unnöthige Weiterungen zu er-
sparen. Beweise durch Reduction. — Das Symbol ( — ) ist also definirt
durch ( — ) = (—1)'*» wo fi die Anzahl der Reste in pa^, poj, ... paq-i
bedeutet, welche mit ap ... a^.i Modulo q nicht congruent sind.

Man kann nun bei den Beweisen flir das quadratische Reciprocitäts-
gesetz die verschiedensten halben Restsysteme in Anwendung bringen, was
auch geschehen ist. Der Eine benutzt ein halbes positives oder negatives
absolut kleinstes Restsystem, der Andere die geraden Zahlen, wieder ein
Anderer die ungeraden Zahlen unterhalb der in Frage kommenden Prim-
zahl. Dies ist der erste Punkt, in dem sich die Beweise durch Reduction
unterscheiden.

Wie aber ^ die charakteristische Zahl von p in Bezug auf q ist, so
giebt es eine dem ^ ganz analoge Zahl v, welche die oharakteriBÜBohe

2ahl von q in Bezug auf p ist, so dass (-■'"

dB88, um daß fieciprooitfttsgeseti la beif«>>"

246 Historisch - literarische Abtheilung.

die Differenz /n — v zu bestimmen hat. Dies kann in der Weise geschehen,
dass man fi und v getrennt, oder gleich ihre Summe resp. Differenz be-
stimmt. Hieraus ergiebt sich ein zweiter Punkt, in dem jene Beweise
verschieden sein können und auch in der That verschieden sind.

Man kann ferner fi und v zerlegen in jn = c + jn', v = c -|- v\ wo c
und c Constante sind — in den meisten Fällen Multipla von 2 — fi' und
/dagegen Zahlen, „welche die Eigenschaft der Reciprocität in einer leich-
ter erkennbaren Form enthalten.***) Diese Zerlegung von fi und v ist auch
vorgenommen worden.

Dies sind die drei wesentlichen Punkte, in denen sich unsere Bewei^e
durch Reduction unterscheiden. Wir haben diese Bemerkungen zur all-
gemeinen Orientirung vorausgeschickt und gehen nun zur genaueren Be-
trachtung der Beweise über.

Wir beginnen mit Gauss' drittem Beweis. Gauss legt demselben ein
halbes positives absolut kleinstes Restsystem zu Grunde, also Module der

positiven ungeraden Primzahl q die Zahlen 1, 2, ... — ^ -. Dann ist ^
die Anzahl der negativen absolut kleinsten Rest.e in

P, 2p ... — ^ — pmodq.

Gauss definiri nun - als die grösste in - enthaltene ganze Zahl und

UJ y

Wird p^q vorausgesetzt , was keine Beschränkung ist , da die Primzahlen

p und q ja von einander verschieden sein müssen , so kommen in 2^ —

Glieder mehrfach vor. Die Bestimmung der Anzahl der Glieder, welche
mehrfach vorkommen, führt zum Beweise unseres Satzes. Gauss trans-

«

formirt so den Ausdruck jit = f(p, q) in fi ■= f{q, p) + c, wo c eine angeb-
bare Constante und zwar c = 2.ganz. Z.H ^^ 9 — ^s^*

Aehnlich wie Gauss verfUhrt Voigt, ein früh verstorbener Ver-
sichemngsbeamter aus Schwaben. Er wendet ebenfalls ein halbes positives

absolut kleinstes Restsystem an und schliesst so : Ist — = ^ — 1 ^ so

wird kp einen negativen absolut kleinsten Rest Module q geben, wenn
{h — i^) q<ikp ^hq. Umgekehrt werden zu solchen Zahlen Ä, deren An-
zahl übrigens — — —q ist, und die die vorstehende Ungleichheit

erfüllen negative absolut kleinste Reste Modulo q gehören. Daher wird:

1) Schering, Gott Nachr. lÄl^, «►.^V

findet mit Hilfe von Sätzen über solche Grössen

(2-1

lieber das quadratische Reciprocitätsgesetz. 247

-?|['f]-[^]j

w — 1
da -^^ — das Maximum von h wird. Durch Anwendung von Sätzen über

Grössen [x] findet sich

ans welcher Congruenz leicht die Legendre'sche Foimel fliesst.

Der unterschied des Voigt 'sehen Beweisfes von dem Gauss 'sehen ist

der , dass Gauss jü umformt in fi ^^^, •— ^nod 2 ( Ä = 1 , • • • -^-^ — J
und nun die Anzahl der — bestimmt, welche denselben Werth h haben;

ihre Anzahl ist: q — • Durch Summation über h von 1 bis

V — 1 p — 1<2 — 1
—n~ ergiebt sich dann iji=f{p^ Q) ^ — ö — ' — ö f(^} P) vnod2^

unsere bekannte Formel. Voigt dagegen bestimmt sofort die Anzahl der
kp^ welche Modulo <2 negative absolut kleinste Reste lassen, und findet die-
selbe bei vorgegebenem h gleich -- — 9. » wobei /* — 1 = — j.

Durch Summation über h erhält er ebenfalls das gewünschte Resultat

Der eben behandelte dritte Beweis von Gauss, obwohl kurz und
elo»?ant, scheint seinen Autor aber noch nicht völlig befriedigt zu haben;
vielleicht deshalb, weil darin die eine Primzahl vor der anderen bevorzugt
wird. Derselbe Gedanke, der später zur Einführung der Determinanten
Anlass gab, veranlasste wahrscheinlich auch Gauhs, nach einem neuen
Beweise zu suchen, um also nicht ft und v getrennt, sondern sofort deren
Summe Modulo 2 zu bestimmen. Und Gauss fand seinen fünften Beweis,
der von dem erwähnten Mangel des dritten Beweises frei ist.

Die dem fünften Beweis von Gauss zu Grunde liegenden kleinsten

Restsysterae sind; 1, 2, ••• — ^ — ^^^ 1> 2, ••• — ^ — Zur Bestim-
mung von |n + V wurde eine Hilfs reihe eingeführt:
A) 1,2,.. p<2-l,

und die Voraussetzung p < Q gemacht. Die Glieder von A) haben nun in
Bezug auf p und q als Moduln verschiedene Eigenschaften. Nimmt man
nämlich ein beliebiges Glied aus A) heraus , so kann dies Module p oder Q,
oder aber Modulo p und q einem positiven oder negativen absolut kleinsten
Rest geben , oder ein Vielfaches von p oder q , nie aber von p und q Bein.
Die Benutzung dieser Umstände führte nun zum Bft^^\^ ^^& "^^xÄre^w^^iÄ.-
iheoremeti.

248 Historisch - literarische Abtheilung.

Ist {s)rR die Anzahl der positiven absolut kleinsten Beste in ^^.(5=3!,

• • • — ^-^ — j Modulo p q , welche Module p positiven absolut kleinsten Besten,

Module q aber negativen absolut kleinsten Resten congruent sind , so gelten
die Formeln:

1) (S)rÄ=(sW, (s),*+(Ä)rll=^^--^.

worin B eine der Zahlen — ^ — » ' * * PQ "~1 bedeutet und {ß^ in derselben
Weise wie (5) zu verstehen ist.

Die --Ö — • — o — Zahlen ferner :

=- 0, ... ^ '^'

tq+R, [^ ^ + 1

._ , ...

sind sämmtliche Zahlen 5, welche Modulo q negative absolut kleinste Beste

geben, und enthalten sämmtliche Zahlen pr^ fr^ = 1, ••• — ^ — ]• Theilt man

sie Modulo p in drei Classen , jenachdem sie nach ihm positiven oder negativen
absolut kleinsten Resten oder der Null congruent sind, so erhält man die
Formel : - ^

2) (5)rÄ + (5)HK + ^-^-^.

wobei fi die Anzahl der pr^ ist, welche Modulo q negativen absolut kleinsten
Resten congruent sind.

Mit Hilfe der ^^ • -^^- Zahlen endlich :

= 0, ... ''-•^'

lip= g— ' • • •

leitet man auf ganz analoge Weise, wie eben durchgeflihrt, die Formel ab:

3) {s)Rr + {s)br + v —^ 2 ^ >

worin v die Anzahl der qrp ist, welche Modulo p negativen absolut kleinsten
Resten congruent sind.

Aus den Formeln 1), 2), 3) folgt unsere Formel:

Die Zahlen jn und v werden in diesem Beweise in drei Summanden zer-
fällt, auf welche merkwürdige Zerlegung besonders hingewiesen sei; wir
werden bei Bouniakowsky eine ähnliche finden.

Der fünfte Oanss'sche Beweis beruht also im Wesentlichen auf der
Elntbeilung und Abzahlung der in der Reihe 1, 2, ... p<2 — 1 enthaUanen
Zahlen :

üeber das quadratische Beoiprocitätsgesetz.

249

tq+B, und tp+Bp

n = 0, ...P^; r = 0, •••^\

er ist

p — 1 q — 1
und auf der Richtigkeit der Formel {s)/tr + {S)rJi = — ö~ • "~9~

insofern sehr einfach und elementar, als ausser der Hilfsreihe 1, 2, ... pq — 1
keine anderen Hilfsbetrachtungen nöthig sind. Aiisserdem gehen, wie schon
hervorgehoben, p und q zum Unterschiede vom dritten Gauss^schen Be-
weise vollständig gleichwerthig in die Rechnung ein.

Der dritte Beweis wurde 1808, der fünfte 1818 gefunden. 30 Jahre
bpäter (1847) veröffentlichte Eisenstein im Cr eile 'sehen Journal seinen
geometrischen Beweis des Fundamentaltheoremes, der im Grunde genommen
der in die Sprache der Geometrie übersetzte dritte und fünfte Gauss 'sehe
Beweis ist. Nach dem Gauss'schen fi Lemma ist:

(-1)

2

p-1

Eisenstein con

woraus u + v

-" lL<i J ■ LP

struirt nun in einem rechtwinkligen Axensystem eine Gerade yp = xq.

xq yp

Dann ist — resp. ^— die y

PO.

resp.

a*'Coordinate des Punktes xy unse-
rer Geraden. Wird nun a? = Ä resp.

y ^JCf so werden

m - m

die Anzahl der um die Einheit von

einander entfernten Punkte (Gitter-

hq
punkte) auf den Coordinaten —

resp. — sein. Wie die Anschauung

aber sofort lehrt, ist:

v(rLp]+[»j])=£^.i^

Den Gau SS 'sehen Ausdrücken

2

und

— und — entsprechen also bei

Eisenstein Punktreihen, den Summen. Xi — ^^^ ^ — mehrere

Punktreihen. Der Abzahlung von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften
im fünften Gauss 'sehen Beweise entspricht hier dvö Mi^^V^»Ä%^<^TSL'^^as^*^K«^
mit Hilfe der Anschauung. Den abatrak^ÄH T*«jQfla^«cÄ \i«^ ^^^xi.^-^ ^»^"^

250 Historisch • liierarische Abtheilung.

Eisenstein durch Einführung des Längsmaasses yersinnlicht. Die arithme-
tische Transformation endlich im dritten Gauss 'sehen Beweise von fi=/'(p.9)
in a = /'(Q,p) + c wird hier unmittelbar durch die Anschauung geleistet.

1852 wurde nun von Genocchi ein neues Moment geltend gemacht,
das in fruchtbringender Weise von Schering und Eronecker ausgebeutet
wurde. Um die Continuität unserer Darlegungen nicht zu htören, werden
wir darauf später zurückkommen.

Wir wenden uns zunächst zu dem Gesichtspunkt , der zum ersten Male
1870 in dem Beweise von Stern zu Tage tritt, und der auch von Zeller
und Petersen benutzt worden ist. Durch jenes Stern 'sehe Kriterium wird,
wie eben die Arbeiten von Zeller und Petersen zeigen, der f^ofte
Gau SS 'sehe Beweis wenn auch nicht vereinfacht, so doch abgekürzt. Ad
Stelle der Abzahlung von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften Modulo p
oder q treten neue Betrachtungen.

Das Kriterium Stern 's ist folgendes: Setzt man in der Reiben

I) 1 <2 , 2 . (2 , . . . Ä<2 » • • • ~"ö~^ *^^^ P

und '

II) Ip, 2.p, . . . Ap, . . . --Ö— P*w^^^»

z. B. p<Cq und dieselben halben Restsjsteme voraus, so kommt kein Rest
hqmodp in kpmodq vor; und umgekehrt, ist der in hq tnoäp enthaltene
grösste Rest p', so kommt kein Rest kp modq^p' in Jiqmodp vor.
Wohl aber kommt —hq niodp in kpmodq und —kp<p' in hq vor.

Wie schon S. 187 bemerkt, bieten die weiteren Ausführungen Stern's
principiell nichts Neues und können daher um so eher tibergangen werden,
als sie auch nicht ganz correct sind.

Zeller stützt sich auf die Restsyjttemc:

1. P—^ rt Q — ^

1^ n, ••• ^^; 2) p^ ••• 2-P'

Setzt man p <<2 voraus und lässt man nur absolut kleinste Reste zu, so

p— 1
ist nach Stern |Lt + v= ^ +t, wo t die Anzahl der Reste in 2 ^-

deutet, die zwischen — ^^ und — ^ liegen. Die Bestimmung dieser Zahl ^
bildet den Kernpunkt des Zell er 'sehen Beweises. Aus der Substitution

k = — ö ^1 *■ = 9 ^y

wobei kp ^ —r modq ist, ist nun klar, dass die Glieder Äp, welche
zwischen — jj und — ^ liegen, paarweise vorkommen, insofern einem r
ein —r entspricht, bis au£ die G^iedw^ welche den Grenzf&Uen der

lieber das quadratische ReciprocitStsgesetz. 251

Sabbtitution entsprechen. Ist da, um diese Ausnahmefälle zu erledigen, zu-
nächst Ä = 0, üo wird Icy '^^ ^ modqy also t^=0 fnod2.

Für Ä; = r=--^ folgt sofort, das« T — Omod2 wird für (? — 3

mod 4, während für q = 4n+l sich ergieht kp ^ \ (— p + q) mod q^
woraus sich verschiedene Resultate ergeben, je nachdem q von der Form
4n + 1 ist.

Ganz analog diesem Beweise ist der von Petersen. Als halbes
Restsystem Modulo q fungiren die ungeraden Zahlen: 1,3,5, ... <? — 2, so
dass fi die Anzahl der negativen ungeraden Reste Modulo q in p, 3p, 5p,
... (^•— 2'p ist. Setzt man wiederum p <^ q voraus, so wird

p-1
t»' + v = — 2 h^,

wo T die Anzahl der zwischen — p und — q liegenden ungeraden Reste Mo-
dulo q aus p, 3p, ... (<2 — 2)p ist.

Bedeuten nun r die ungeraden Reste Modulo q^ so wird

(2n + l)p-2m(2 = r, 2n + l = l, 3, ... (2-2;

m ist so gewählt, dass q^r'^ —q.

Durch die Substitution wi = w — Ä, p = q — 2a orgiebt sich nun, dass

q 2q et — 1

t die Anzahl der Brüche — > — i ••• q ist, in denen die darin ent-

a cc a

haltene grösste ganze Zahl ungerade ist. Es treten nun wieder Zeller'sche
Betrachtungen auf, nach denen es auf die Beschaffenheit der Mittelglieder
i^nkommt.

Wir kommen nun zu dem Beweise von Bouniakowsky. Dieser
Autor bestimmt ebenfalls die Summe /tt + v, zerlegt aber jü und v auf eine
S^nz eigeuthüraliche Weise. Zunächst bemerkt er, dass zwei Primzahlen in
cierselben Linearform enthalten sein müssen, dass also, wenn

;y = 2a« + r, q = 2an + r ist (a^^r :^ 1 »*0(i2, l<lr<C2a— 1).

Weiter findet Bouniakowsky die wichtige Formel:

worin m eine von a und r, nicht aber von n abhängige Zahl ist, so dass
ohne Weiteres

(£.) = (_l)"-i^'''+'" folgt, woraus ('^)(«) = (-1)""^^ <'+»'' renultirt.

Die schöne Formel { ^^ — - ) = (— 1 ) * ergiebt sich daraus , dass

\2an-\-r/ °

p-1 r-1
Bouniakowsky die - , ~ — ^ — [-an Reste

•^ 2 2

J54 Historisch - literarische Abtheilang.

Nan greift ein von Busche gefundener Hilfäsatz Platz. Aus dem Eukli
sehen Algorithmus zur Bestimmung des grössten gemeinschaftlichen Tbeiler
zweier Zahlen ergiebt sich nämlich ^ dass, wenn sich aus der Richtigkeit d
Relation {x^y) zwischen zwei ungeraden theilerfremden ganzen Zahlen x. _. ^
die Richtigkeit von
I) (+l,y), II) (x,±l), III) {x + 2ky,y), IV) (x, y + 2 k'xy^- ^

iL, k' als ganze Zahlen vorausgesetzt, nachweisen lässt, (x^y) allgeme^^^^
Giltigkeit hat fdr zwei beliebige ungerade theilerfremde Zahlen.

Die Annahme der Formel A) bat aber zur Formel B) geführt —
besteht eo ipso — ; jene vier Bedingungen sind also erfQllt: das quadrati^ss- sc\
Reciprocitätsgesetz gilt allgemein.

Es erübrigt noch, die Beweise von Genoccbi, Schering und Kr ou
eck er zu betrachten. Es ist diesen Beweisen — obgleich sie den mii

getheilten analog sind, insofern in ihnen ebenfalls die Summe fi + v^-* {j^.
stimmt wird — eine besondere Stellung deshalb einzuräumen, weil si^^ ^
der eiue mehr, der andere weniger — eine gewisse functionentheoret^S-j^L,
Bedeutung haben.

Wie bereits erwähnt, hat Genocchi seinen Beweis 1852 veröflfentrijclir.
Er betrachtet darin Ausdrücke von der Form:

u=^hq-kp, v^hq+kp-^^^ (<1>P, *<y' *<"|"/

und untersucht, unter welchen Bedingungen u und v positiv resp. negativ
sind. Durch Yergleichung dieser Bedingungen findet er, dass

Anz.t pos. V — Anz.^ pos. u — 0 oder 1 ist Ik— \ ^ -- • —^— j »

je nachdem hq einen pobitiven oder negativen absolut kleinsten Rest Mo-
dule ;y giebt. Darnach ist:

fi 'z= Anz A./. pos. V — KnL,/t^s pos. u mod 2
und analog

V rr Anz./i^Ä pos. v — Anz./,,ii pos. u mod 2^

wenn u=pk^qh und I ^. __l|" Somit ergiebt sich:

\^ = '' 2 7

lA + v^ Anz.Ä^jt pos. u + Auz.h^k pos. u mod2.

unsere bekannte Formel sofort liefernd.

Schering führt an Stelle der Ausdrucke m, v die folgenden ein*

" P^l" P <2 ' ~PQ 2pq'^ p q 2
Dftdorch werden seine Ausführungen einfacher als die Genocchis, l^
auch eine rationellere functionentheoretiscbe Behandlung zu. Es wird df

üeber das quadratische BeciprooitStsgesetz. 253

Aus diesen Formeln geht zunächst die merkwürdige Zerlegung von fi und v
hervor. Was die Legend re^sche Formel hetriffl, so erhält man dieselbe
leicht aus der letzten Gleichung durch Unterscheidung der beiden Fälle

p^g fnod4t und p — 2E^g mod4:.

Eine gewisse Aehnlichkeit mit dem Beweis von Bouniakowsky hat
der Beweis von Busche insofern, als der Angelpunkt dieses letzteren Be-
weises der Nachweis ist, dass Irr- — ; — |=(— 1) * ( — r Diese Formel

\2Xq + p/ \p/

ergiebt sich aber unmittelbar aus der allgemeineren von Bouniakowsky:

a — 1

(— -j( — j=(— 1) * , wenn man darin g = r, also w'=0 setzt.

Während sich aber, wie wir gesehen haben, Bouniakowsky bei
Ableitung seiner Formel der Abzählungsmethode des fünften Gauss^schen
Beweises bedient, schliesst sich Busche den Ausführungen des dritten
Gauss'schen Beweises an.

Busche setzt, ähnlich wie vor ihm Voigt, wenn ( — J = (— 1)^:
wo jüA die Anzahl der ganzzahligen Auflösungen k von
bei vorgegebenem h bedeutet, und, wenn ( . t^. j = (— 1)^:

wo Mh analog wie fik die Anzahl der ganzzahligen Auflösungen K von

/^q=-h{p + 2kq)+r\ ft^ + xq^r'<p + 2kq)
darstellt. ^ ^

Setzt man <2>p und k positiv voraus, so ergiebt sich

MH = k + tijt, folglich M=^k^ + fi.
Nimmt man nun an , das Reciprocitätsgesetz gelte für p und q^ d.h. es sei

(f)a)=<-'-^-'^-

so ergiebt sich

Ausserdem ist ,_i -_i

"> (i)(7) = ^-^>^'^< -i^-

256 Historisch -literariscbe Abtheilnng.

Es sind nun zum Schluss dieses Capitels noch zwei Abhandlungen
Kronecker 's ^) zu erwähnen, in denen an hierher Gehörigem haupisächlich
Zweierlei geleistet wird: die Umformung der Schering'schen Potenz in
ein Product und der directe Nachweis, dass

- - Jh =1, •••

2

q-l

woraus

2

Aus der Bemerkung, dass (a — a;)(a — a; + i) negativ wird, wenn a; zwischen
a und a + i) oder a zwischen rr — ^ und x liegt, ergiebt sich, wenn man
mit R{a) den Rest bezeichnet, welcher verbleibt, wenn man von a die
nächstgrösste an a gelegene ganze Zahl abzieht:

Vorz. R{a) = Vorz. (a — k){a — k + ^),

wenn ä; = [a + i] ist. Da nun {a — k){a — Jc + ^) positiv bleibt für ä ^ [a + ^|,
nur X; = [a + i] ist ausgeschlossen , so erhält man :

r

Vorz.Ä(a) = Vorz. 7T(a- Ä;)(a-Ä + i), r>[a + ^],

Vorz. Ä ((2 a) = Vorz. jy (^ a — Ä) (q a - Ä + 4.)
oder, q positiv vorausgesetzt,

Vorz. B(<ja)= Vorz. J7(a-|)(a-^ + ^). Jc=l,...r>^-

Durch die Substitution k = — ^ k\ welche erlaubt ist, dadurch dieselbe

nur die Anordnung der Factoren auf den rechten Seiten der vorstehenden
Gleichungen eine andere wird^ resultirt:

Vorz. (,«)= Vorz. /7(«-l)(a+l-^) (.^l,- i^)-

Ueber den Werth von a ist nichts vorausgesetzt worden; wir setzen

1 »

a^-ZT' — Sind nun ferner p und Ä < -^ positive Grössen , so wird :

--(V*)-- /7(M)(M- ^) (-■■■■ '-i^>

Durchläuft femer h ein halbes positives absolut kleinstes Restsystem Mo-
dnlo p, 80 ergiebt sich: ^

Mf)=--fT(M)(M-i) (;:i::S}

Schering hatte nun fOr v in l — 1 = (— 1)* gefunden:

/; Berliner MoiL-Ber. 1S84, B. bV^-(»^l viiA ^Vb-^Vl, <idfic Grelle Joiinu
J^CVI 8. 348 und XCVn S. 93.

üeber das quadratische ReciprooitKtsgesetz. 257

S) V ^ ^^ { Anz. pos. ( — H Ö-) — Anz.po8. ( j| mod2

p-l

""Y

q-l
""Y

Durch Vergleichung der Formeln S) und K) fällt die Verwandtschaft der-
selben sofort ins Auge.

Wie wir ferner gesehen haben, beruhte der Beweis von Kronecker
darauf, das» er mit Hilfe Gauss 'scher Betrachtungen nachwies, dass der
Ausdruck : » — 1

In =S 1 , • • . pr
...,..•4'

mit dem Legendre^schen Symbol identisch sei. Im Juni -Heft des Ber-
liner Berichts von 1884 giebt nun Kronecker die directe Ableitung jener
Formel. Nach Gauss (3. Beweis, IL Bd. S. 6) ist:

Vorz.B(pa.) = (_iy. ( /<"'1*' "^'f' o )•

^ \so dass a = 2ao oder 1— 2ofo/

Offenbar ist femer:

(- 1)P. = Vorz. J7 (7 - «) (* = 1'-S~)
80 dass fttr

v.„.«(^).v,„.n(M) i ■ ■

Ä = l,

2

h 1
= 2ko oder = l-2Äoi -r<'9

ist, woraus:

ph^ = &'o Vorz. TI{^-j) ^^1 (*o. *'o = 1, 2, • • • i^) •

Hieraus aber folgt ohne Weiteres: j

(f)=v«..JT(M) ''"'

\ ' 2

Die Gau SS 'sehen Betrachtungen über R{ä) haben also Kronecker zu
einer sehr eleganten und brauchbaren Formel fttr f — j und zu einem neuen

Beweise des Reciprocitätsgesetzes geführt.

Schliesslich will ich der Vollständigkeit halber noch bemerken, dass
Qenocchi seine Formel: ^

fi EE £{Anz. poB. V — Anz. pos. u) mod q

auch ans dem yon Eisenstein her uns \>e\»aaÄ\«a k\i»dx^OKA ^WtfsXrtw\

BStMit Abihig. 4, StflMbr. t Math. a. Fhyi. XXX« «. ^^

258 Historisch • literarische Ahtheilung.

. 2Ä.T

smo

P

. 2Ä7E

8tn

±1 pq pq

^^.TTo;^^^^ (y^A ..i-1

•n-^.^-^ (*='.■•• '-i')

Das Priucip der Reduction ist also im Laufe der Jahre in die ver-
schiedensten Formen gegossen worden. Das Merkwürdigste aber ist wohl
an jenem Princip, dass es, wie Kronecker gelehrt hat, ersetzt werden
kann durch das Princip der Induction.

Wir recapituliren kurz:

Eisenstein übersetzte die 6 a u s s ^sche arithmetische Sprache des dritten
and fünften Beweises in sehr anschaulicher Weise in die der Greometrie. Oe-
nocchi benutzte die im dritten Beweise aufgestellten Gesetze, welchen OrOssen
\x\ gehorchen, und die später von Kronecker in so helles Licht und unserem
Verständnisse so nahe gerückt wurden, um daraus gewisse — von Schering
und Krön eck er erweiterte und vervollständigte — functionentheoretische Be-
trachtungen zu knüpfen. Stern erkannte, dass zwischen den Gliedern der

halben Restsysteme p, ••• ^ p und g', ••• ^ q gewisse Beziehungen

stattfinden, deren Yerwerthung den Gauss^schen fünften Beweis abkürzt.
Zell er und später Petersen benutzten und vervollständigten diese Dar-
legungen. Zell er erkannte ausserdem durch eine schOne Substitution, dass

in (2, ••• o Q oder p, ••• —^—P Paare von Gliedern vorkommen. Voigt

vereinfachte den dritten Gauss 'sehen Beweis dadurch, dass er von vorn-
herein die Anzahl der hp , welche negative absolut kleinste Reste Module q
geben, durch eine Differenz zweier grösster ganzer Zahlen darstellte. Bon-
niakowskj zerfUUte fi und v in eigenthümlicher Weise, indem er zeigt,
dass für p = 2an + r (a^r = l mod2, l<r<2a-l)

wird, wobei m nur von a und r, nicht aber von n abhängt, so dass für

'"'°(f)='-"'"^""' -■"' »"" (7){-:)=(-''"^'""'

Mit Hilfe dieser letzteren Formel und der folgenden:

leitet Bouniakowskj die Legendre'sche Formel ab. — Busche end-
lich wies mit Hilfe eines sp^ciellen Falles der Bouniakowskj'schen Formel,
die er durch Gauss 'sehe Methoden (3. Beweis) ableitete, nach, dus die
Existenz der Formel:

lieber das quadratische Reciprocitätsgesetz. 259

s *»»■ <^ •-». -^ ,*>. ^-^^v

(i)a)-'->

2

2 ■ « «=+ 1

die der andern:

bedingt, und folgert hieraus — da die Gleichung

(f)e)=<-'>

€0 ipso besteht — unter Anwendung seines allgemeinen Satzes die All-
gerne ingiltigkeit des quadratischen Reciprocitätsgesetzes.

So sind jene Gauss 'sehen Untersuchungen, die im dritten und fünften
Beweise niedergelegt sind , nach allen Richtungen hin erweitert und yervoU-
ständigt worden.

III. Capitel.
lieber Eisensteines Beweis daroh fanctionentheoretisohe Sätze.

Stellt r ein halbes Restsystem dar Modulo q, so wird auch rp ein

halbes Restsjstem Modulo q repräsentiren. Setzt man nun rpzzrermodqj wo

t= + l sein möge, und /demselben halben Restsjstem wie r angehört, so

wird fUr ein beliebiges oi>:

pro> «reo

z£r modm.

Hieraas ergiebt sich aber:

Kt*)-(t)'

wenn p eine einfach periodische Function mit der Periode a> ist.

Setzt man nun noch voraus, dass die Function p die negative Multi-
plication zulässt (ich gebrauche diesen Ausdruck ,, negativ^' in üebereinstim-
mung mit dem Ausdrucke complexe Multiplication) , so erhält man:

'(T)="(t)-

Die r sollten aber mit den r, abgesehen von der Reihenfolge, zusammen-
fallen, so dass wir bekommen: •

Nun erhebt sich die Frage, ob es eine Function p von den angegebe-
nen Eigenschaften giebt* Wie allgemein bekannt, genügt aber die Sinus-
fanetion den gestellten Anforderungen, wenn wir m^2n setzen; es resul-
tirt somit:

260 Historisch -literarische Ahtheilong.

. 2rp7t

sm — ' —

(i)=i7-

2rn

sm

2rn

Setzt man zur Abkürzung v = 1 so haben wir es also zu thun mit Aus-

drücken von der Form: ?^.

sinv

Die Eigenschaften der Sinus -Function (einfach periodisch, gestattet die
negative Multiplication) genügen nun vollständig, um mit Hilfe derselben
das Beciprocitätsgesetz abzuleiten. D. h. : Die Existenz einer einfach perio-
dischen Function, die die negative Multiplication zulttsst, ermöglicht den
Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesetzes.

Wir gehen der Vollständigkeit halber noch etwas genauer auf den
Eisenstein'schen Beweis ein, der noch lange nicht nach seinem vollen
Werthe gewürdigt ist , und der bald zu den Beweisen durch Reduction , bald
zu denen durch Kreistheilung, mit welchen beiden Arten er ja auch in gewisser
Beziehung steht, gerechnet wird.

Da — : eine gerade Function von ^t; von der Form:

smv

8—1

(-1) « 2»-»^»-*v + ...
ist, so ergiebt sich durch den Schlnss von n auf n+2:

stntv

= (-1) « 2'-'^sin'-^v+...

smv

Hieraus folgt, wenn wir die Wurzeln von — : — = 0 mit t bezeichnen, dass

8%nv

sintv "*

= (-1) « 2'-»JI(«n«f?-T«),

stnv
da die Wurzeln doppelt vorkommen, d. h.:

(|)=J7(<-i)'-*-'77Hi^-l)-
{f)=7I((-')*^^-7T(*'^-p))'

P-1 ""^T^ .
die a die —rz — verschiedenen Wurzeln von tc = 0 und

2 . zrn

sm

8in

2 gn

die ß die ^ verschiedenen Wurzeln von ^ = 0 sind

sm

V

und wenn ferner r nnd ^ halbe Be8tey&\Am<blLodL\]\o\T«ik^.>L<^^

üeber das quadratische Reciprocitätsgesetz. 261

Wie also in dem Kronecker^schen Beweise das Princip der Beduction
ersetzt wurde durch das Princip der Induction^ so wird in dem eben be-
trachteten Eisen stein 'sehen Beweis jenes Princip der Beduction ersetzt
durch functionentheoretische Erörterungen ; wieder ein Beispiel dafür^ wie in
der Zahlenlehre die verschiedensten Theorien sich verbinden und durch-
dringen.

IV. Capital.

üeber die Beweise mit Hilfe von 8ätien am der Theorie

der Kreistheilnng.

Im V. Oapitel des ersten Theiles unserer Arbeit finden sich die Be-
weise, welche sich auf Sätze aus der Ereistheilungslehre stützen. Begründet
wurde diese Theorie von Gauss, der sie fand, als er nach einem ferneren
Beweise seines Fundamentaltbeoremes suchte. Bereits im Jahre 1796^)
kündigte er die Construction des 17 -Ecks an. Abgesehen nun von den
epochemachenden Sätzen über imaginäre Grössen und Functionentheorie,
leitete Gauss aus der Ereistheilung drei (wenn man will auch vier) neue,
von einander verschiedene Beweise des Beciprocitätsgesetzes ab.

Zunächst wollen wir das Lemma, auf welches sich sämmtliche Beweise
durch Ereistheilung stützen, kurz entwickeln. Ist q eine primitive Wurzel

xP 1

von ^ c= 0 , wobei p eine Primzahl repräsentiren mag und g eine

primitive Wurzel zum Modul p, so werden sich sämmtliche Wurzeln q in
zwei Reihen anordnen lassen, nämlich in:

Q, ^^, ^^, ... p^'"' und 9^ p^, ... p^""',
was gleichbedeutend ist mit:

wenn a|, o^, ... sämmtliche quadratische Beste und 5,, b^j ..• sämmt-
liche quadratische Nichtreste Modulo p bedeuten.

% yi = 2:p« und y^^Zg^

n 1

nennt man dann Perioden und speciell — j^ — gliedrige Perioden von

g,p 2 *)

r- • Von grosser Wichtigkeit ist nun der Ausdruck :

X — 1

yi - yr

Verhältnismässig leicht ist die Bestimmung des Quadrates dieser Dif-
ferenz; es findet sich:

A) (yi-y,)'=(-i)'^p.

1) Allgem. Literatur!. 1796.

2) Zar OiieaUning diene Bachmann, ^atVoKon^eii ^Äwst ^fc««i»B.^ssö%,

262 Historisch - literarische Abtheilung.

Sehr schwierig war aber die Bestimmung des Vorzeichens von y| —
und erst nach langem, vergeblichem Bemühen überwand Gauss alle ei
gegenstehenden Schwierigkeiten. Er schreibt in Bezug auf die AnfBudn^ -^^
dieses Vorzeichens an 01b er s 1805^): „I^ieser Mangel (d. h. das Feh'
des Vorzeichens) hat mir alles üebrige, was ich fand, verleidet, und
vier Jahren wird selten eine Woche vergangen sein, wo ich nicht ei^j^^g
oder den anderen vergeblichen Versuch, diesen Knoten zu lösen, gem^i^/,
hätte — besonders lebhaft wieder in der letzteren Zeit. Aber alles Brtk^^
alles Suchen ist umsonst gewesen, traurig habe ich jedes Mal die Fe</er
wieder niederlegen müssen. Endlich vor ein paar Tagen ist's gelungen ^
aber nicht meinem mühsamen Suchen, sondern bloss durch die GnaJe
Gottes möchte ich sagen. Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Bäthsel
gelöst; ich selbst wäre nicht im Stande, den leitenden Faden zwischen dem,
was ich vorher wusste, dem, womit ich die letzten Versuche gemacht
hatte — und dem, wodurch es gelang, nachzuweisen. Sonderbar erscbemt
die Lösung des Bäthsels jetzt leichter als manches Andere, was mich wohl
nicht so viele Tage aufgehalten hat, als dieses Jahre, und gewiss wird
Niemand, wenn ich diese Materie einst vortrage, von der langen Elemme,
worin es mich gesetzt hat, eine Ahnung bekommen. *"

Genug, Gauss fand, dass:

B) yi-y,= A •' Vp.

Beide Formeln , A) sowohl wie B) , sind nun zur Darlegung des Reciproci-
tätsgesetzes benutzt worden.

Wir beschäftigen uns zunächst mit den Beweisen, welche sich auf
Formel B) gründen, und beginnen mit dem vierten Beweis von Gauss,
demjenigen > in welchem jene wichtige Bestimmung des Vorzeichens Ton
(yj — yg) geleistet worden ist.

Setzt man:

«(-';') =?({)''^' >'= '-)■

so ist zunächst: ^

<=ef)=(:)2'^"'=(?)<.«.-)
=(f)<i)-

Die Summen (oder Thetareihen) Gy — j und ^ ( — ) nennt d^

Gauss'sche Summen. Die Bezeichnung G ist von Rronecker eingeführt
worden.*)

1) Schering, Festrede, S. 13.
2) BerL Ber. 1880.

r i svn

9,

a

2n . ßn

sm —

••• stn

Uebor das quadratische Reciprocitätsgesetz. 263

Die Bestimmung von C'( — ) = (^i — y^)* verursacht nun, wie schon

bemerkt, keine besonderen Schwierigkeiten und ist schon von Gauss in
dem 156. Artikel seiner Disq. arithm. geleistet worden. Die Hauptsache

bestand eben in der Bestimmung des Vorzeichens von ^ ( — ) * Diese Auf-
gabe löste Gauss dadurch, dass er die Reihe:

wo p also eine primitive n^ Einheitswurzel ist, transformirte in:

Dadurch, dass dann:

2nk . . . 2nh
Q =^ cos

eingeführt wird, resultirt:

woraus sich unser Vorzeichen ergiebt.

Des Näheren auf den Beweis einzugehen, dürfte hier nicht nöthig
sein» da mit dieser Vorzeichenbestimmung sich der Beweis erledigt. Die

Betrachtungen nun, welche zu jener Transformation von ^(-~) in cl&s

Product: (^— p"M (9* — ^"^) ... (^'~^— ^~9+2) führen, sind rein arith-
metischer Art.^) „La difficuUd", bemerkt Dirichlet,*) „de sc rendrc
Wen compte ä quoi tient le succds des eonsiddrations d^kates par lesquelles
rUUistre auteur opire cette ing^ieuse transformation mayant fait rechercher,
8% on ne pouvaü pas resoudre la mcme question sans y recourir, je suis
parvenu .,." Dirichlet bestimmte die Gauss'schen Summen mit
Hilfe bestimmter Integrale und benutzt den Hilfssatz, dass, wenn der

Werth:

^. X . 2« . ,,2n ,
F\^a) = Cq + c^cos h c, cos 2 1- • . .

bekannt ist, die Werthe der Reihen:

2;r , 2«27r . ^ . 2;^ , 2«2;rr ^
Cq + c^cos [-c^eos h • • • und c^stn h c^ cos 1 — •

2mi 2Mi 2nig ?*i,»

oder Co + c^e^ +c^c ' +S ' +..-=2:5C^
sich bestimmen lassen.

1) Brief an Olbers.

9) Grelle J. XVII, S. 67 (ausMxdsia ^Vlll, Ul, 1^^^

264 Historisch -literarische Abtheilung.

Aus der bekannten Eul er 'sehen Formel:

/'

— OD

ergiebt sich:

D.) fe"'dx=f/^{l+i),

— OD

woraus sich die folgenden Formeln ableiten:

OD

lcosa:^.co$2vx . dx = e^^^y -g-»
Isina?, cos2vx . da;= er^^y -a-'

— 00

Substituirt man nun

-i'/h

wobei n eine positive Constante ist, so wird, wenn man zur Abkürzung
^W ^^ CfCOSSa setzt:

00

2ni

u

00

/ ^w -Q- • F(a)aa =— ^2.CgC

^=. A^ \ym Cy

Nimmt man F{a) als gegeben an, so lassen sich die Integrale dadurch
auswerthen, dass man sie zerlegt in Theilintegrale zwischen den Grenzen
— (4Ä + l)yj und (4ä; + 1)7c, worin k eine beliebige Zahl ist. Diese
Integrale zerlegt man wiederum in (4k +1) andere zwischen den Grenzen
(2ä— l)jr und (2ä + 1)«, worin h die Werthe von —2k bis +2k an-
nimmt. Diese Integrale zwischen den eben angegebenen Grenzen lassen sich
aber bestimmen, und dadurch, dass man k unendlich werden lässt, auch

— /'

die ursprünglichen Integrale, wodurch auch die Summen Zc«e " und

2u*

£Cte " gegeben sind.

Unsere Gauss 'sehen Summen sind aber ein specieller Fall dieser all-
gemeinen Summen. Setzen wir c«=l, so erhalten wir unmittelbar:

^^c,c " =^( — ) — ^^ diesen speciellen Fall c, = 1 ist aber auch
unsere AnDabme, dass F{a) bekaniit eqi^ gerechtfertigt; es ist dann näm-

üeber das quadratische Beciprocitätsgesetz. 265

gleich 4 + i • Dies ist die Schlussweise , die D i r i c h 1 e t

er

zur Bestimmung der Gauss 'sehen Summen anwendet.

Ehe wir zu den Cauchj'schen Arbeiten übergehen, erwähnen wir
noch die Abhandlungen von Libri^), Heine*) und Lebesgue').

Libri beweist in seinem Memoire über Zahlentheorie, S. 187, die
Formel : ^ _

X —0

und macht das Vorzeichen ebenfalls abhängig von:

"-' "tt . &n

n

A = {2i) 2 »in — »in — • •• Ätn2(n— 2) — •

n n n

£r sagt aber nicht, wie er zu dieser letzteren Formel kommt. Die Trans-
formation der Summe in das vorstehende Product ist aber der Kernpunkt
der ganzen Rechnung.

Was die Abhandlung von Heine betrifft, so fasst dieser die Sachlage
vom Standpunkte der Reihenentwickelung auf, ohne auf die tiefere Be-
deutung dieser Reihen Rücksicht zu ilehmen. Ich stelle He ine's Worte
hierher: „Lässt eine Function sich nicht bloss direct in eine nach ihrer
Veränderlichen x aufsteigende Reihe entwickeln, sondern auch indirect, in-
dem man sie als Product zweier Factoren darstellt, die nach Potenzen der-
selben Variabelen fortschreiten, so wird der Quotient einer jeden Potenz
von X in der ersten Entwickelung als Summe der ersten Reihe auftreten,
welche nach Ausführung der Multiplication der beiden vorerwähnten Fac-
toren in dieselbe Potenz von x multiplicirt ist.

Der Grundgedanke endlich der Arbeit von Lebesgue ergiebt sich

aus Folgendem: Ist

f{z) = e{z).f[<p{e)]

und setzt man zur Abkürzung:
so ergiebt sich:

wenn die f und & congruent bleiben. Durch Multiplication erhält man:

1) Grelle J. IX, S. 64 und 139.
S) Grelle J. IXL, S. 288.
3J Lioav. J. V, a 42.

266 Historisch -literarische Abtheilung.

Wird nun für n = oo, g,"(jB;) = a, so ergiebt sich:

. /"W = f(a).S(g) ,e(q>{z)) .S{(p^{z)) ... 6(fp.^t{e)).

Mit Hilfe von

m = na)6'b).S{q>(b)) ... e(q)«-'(6))
erhält man somit:

Setzt man nun:

HO findet sich dadurch, dass man im allgemeinen Gliede von f{z) an S-t^^j
von jSf, q^z setzt und mit \ — qz multiplicirt :

f{.z)={\-qB)f(<lU),
woraus

q>{z)=^q^z, (p*(si) = q^z, ... <p^{z)=^ q^"z ...
und

folgt, so dass

f{z) = f{q^''z).l-qz.)-q^z. . . .l-q'"-«;? ...

wird. Für q<^l und n=Qo wird f{q'^z) = f{z) : l — qz . \ — q^z .. u:ä=*<^
da Al) = 1, so:

woraus

= (I-(2-— +»)(!- (?-"»+8) ... (l-q-')
fttr m -^ 0 mod2 resultirt.

Setzt man: q^-^^c= qP^l, so ergiebt sich die Gauss 'sehe Formel

1 +«? + «»+••• +4^"= (1 -«-"+') (l-«2-P+») ... (l-q-'V)

Wir gehen nun zu den Cauchj'schen Arbeiten über. Es hand^^
sich darin, eben wie bei Gauss, darum, das Vorzeichen der fraglich-'*^
Quadratwurzel zu bestimmen. Bereits 1817 war dies Cauchy mit
reciproker Functionen gelungen,^) und er hatte die Formel gefunden:

( ah = n.

1) Mit Hilfe derselben Principien sind von Lebesgue auch Tersdiiedeiie
Formeln Jacobi's, £11. Funct. S. 186, bewiesen.

2) Bull, de la soc. philomat. 1817. — Vergleiche auch Exerc. de math. II
. 118. Compt Rend. 1840. Liou^. 3. \, ^. V%^

7«*«*Ä- 3^ :-B»ir*i.^'^ 3MK^^.cci£(s^iK)f>9£. Ä^T

"*» • 'S

gemeiiiäecan::^-*^- F*r:c-? ^^-- i^ =- ' J" ,i^ W^r^h :>lr «• t * ^

Vr

Material xor "ll^. s-:« ias^ wir &n ^ict* Sichiun»: dif«s;^ll>en pf^« k^uiwii
Ein Bli^ a^' d;« Gau>?'?cbe Formel leig^. vIäs^ die Vors eichen Wtuwnunv^
abbingig ist xon der Tränsfonnaiion der ii a u >i i^ 'Ä'beu Suwwe ^xstor der

Thetareihe Gl | in das PrvxiGct:

Jene Transformation aber, ,si ingenieuse", beruht auf rvin ar\thu)eiiM*heu
Betraobtnngen. Dirieblet. durch diesen Umstand verauK^t» giug einen
»Schritt weiter und zeigte, da^s die Vorzeicheubestimmung abh^igig ij^t von
den Eigenschaften bestimmter Integrale, Oauohv endlich bnichto voU-
ständige Klarheit in die in Rede stehende Augele>:ouheif und wit>ii naohi
dass das fragliche Vorzeichen auftritt bei einer gewissen Trans fornmtion
von Thetareihen. Seine Formel ist:

a*(i+f •' + <?-*"'+•••= ^*(i+«*^*'+'- ^*'H ^ «^^ ».

Die vorstehende Formel erregte, wie fauchy selbst bemerkt, uuoh
das Interesse Lagrange's, der sie für kleine Werthe der Vuriabelon W
reits kannte.

Auch Lebesgue war sich des Umstivndes vi^llig bewusst. diixs die
Cauchy'sche Formel ihre Basis in der Theorie der elliptischen Functionen
habe; er weist darauf hin,*) dass die (.'auchy'soho Formel schon INuuHot
bekannt gewesen sei , und zwar in der Form :

W ="- (), ... OD.

Und in der That, setzt man « =- j^, » b^^ 4k7t\ so diiHH ab- n wird,
80 geht die Formel von Poinsot-Lebosguo in die von Oauohy tlbor.
Ist femer a = ^ ^ nx, so orhttlt man:

l + 2c ' + 2e
eine Relation Jacobi's.^

O Liouv. Journ. V, 8. 186.
2)Jacobi, Creiie J. lll, 8. »OH.

1 l4-2c *' + 2c <'«'+...

X ~ n in

»

268 Historisch -literarische Abtheilung.

- . ~ ^ -- .• - - -^

Der Wichtigkeit der Canchy*schen Arbeit w.egen reproduciren wir sie
kurz, und zwar in Krone cker 'scher Fassung.^)

Aus der mit Hilfe Cauchj'scher Principien abgeleiteten Formel:

-00 _Qo

findet man:

I

jf,)

/•^T

2

X

= 1,

logx.logy^l,
woraus wiederum folgt:

Setzt man nun: —logx = w^^ — > wobei k und fi ganze Zahlen sein
sollen, und lässt w nach der Null convergiren, so entsteht:

, da -(l + ^-][r") ^^^'^^li~"'"r ^"^ ^^^^ positiv ist:

lim ifiw) Zy»'* = 6 f ^j »
mithin nach K^): «» _ \**^

Mit Hilfe dieser letzteren Formel ist aber die Transformation einer
Gau SS 'sehen Summe in eine andere geleistet; und mit Hilfe dieser Formel
kann man leicht jenes fragliche Vorzeichen bestimmen: „Die Bestimmnng
desselben tritt in Evidenz. ''^ In der oben citirten Abhandlung geht aber
Kronecker noch einen Schritt weiter; er weist da auch nach, dass mit
Hilfe der Gauss'schen Summen die Transformation der Thetareihen sich
bewerkstelligen lässt. Es genügt hier, darauf hingewiesen zu haben.

Ein Punkt ist aber noch anzuführen: der Zusammenhang der Canchj-
sehen und Dirichlet'schen Arbeit. Wie wir sahen, ist Dirichlet's
Vorzeichenbestimmung abhängig von den Formeln D^ und D^ und von der
Substitution jDj , die Cauchj's von der Substitution K^ und den Formeln
K^ und JTg. — jD| und Dg drücken aber die Grenzwerthe von Thetareihen
aus, aus denen mit Hilfe der Substitution Dg, also mit Hilfe einer Trans-

1) Berl Mon..Ber. 1880, 8. Ö8ft, %54.
2) Kronecker^ Berl. Mon.-Bet. \%^0.

Ä»

also enx dm. GTSKTven^ «EsMf 'Hiegunei!^ ^sd iz^sssvcBLirt omu cVk^tCNk

reflie d^nk & S^bss^::zii<c, «'y f ^ytr = l *<issi ^^f^l ix&s s^^r itorttiy"
Aber, dsrck viek^ 0|kx«s£oc «r «£$ K^ üe Fonaes X^ m*^!. Auf J^^vw^an
CBStand berüi:. «ie Krenecker Seaerki. der ^^i&w UBieT^'lLie«a \ier
ArbeiieB tgb Diriefclet z£»i Cauckr.

Wir kcmmeii n^a is den Beweiäen, welche skii direci »uf die V\Mn»el

A), d. k. auf jTi — •j^=^— 1 * ? grOaden. Wir be^anen mii dem
aeehsteii Beweü ron Gauss cnd sehlieBSsen an deii;i«lbeii den Ton Oauohv*
Jacobi-Eisenstein an.

Beieicbnet — nach dem sechsten GaassVhen Beweise — Cr die IMhe

x^ — x^» + x^+ ...— x«*"*. wobei g eine primitiTe Wurtel Tv>n |> i$l,
80 ist zuniehst

G^ — G^^^O Modi/ , wenn ^^, = x^ — x»'' + . . . is^l

oder, wenn X eine ganze Function von x ist:

1) G^-G^^qX.

Setzt man femer (l=^g^ modp, so ist:

1-xJ»

^» «. - ö) <■•= ^ »■■

wo W wiederum eine ganze Function von x ist.
Ana dem System Gleichungen:

x^C-x^+^ + x^+*+^HF...+xi''+*^=x^+M(j'^*~'*"*-') + ...K

Ä; = 0, 1, ... P--2

erhftlt man femer durch rein algebraische Betrachtungen:

3) G* -{-!)* p = \~yz,

L — X

wo Z ebenfalls eine ganze Function von x ist. Hieraus folgt aber:

p-t y-i p—t I _ ^

4) g;9-1-(-1)« ' ^ p* =.\ r^Y,

I — "X

worin Y dieselbe Eigenschaft wie X, W, Z hat.

Aus den Formeln 1) — 4) ist nun das lleciprocittttsgesetz leicht abh)itbar.

Auf den ersten Blick scheint es, als ob der GauHs'sohe sochHto Howiun
seine Hilfsmittel lediglich der Functtonentheorio entlohne; über bei gonauoror
Betrachtung zeigt sich, dass das G nichts Anderes ist, als die DifTuroux

Wenn man nun den allgemeinen Charakter von x in G beHchrllnl(t|
d. h. dem x specielle Werthe beilegt, so ist zu erwarten, dasH »ich Jener
Gauss 'sehe Beweis vereinfachen wird. Und dies ist in der That dac V%S1%
Jscobi ond Canchj lassen x eine imagviAT« '^^Qit'M^ "^w^ fli>«i^\ vfc».

270 Historisch -literarische Abtheilung.

Eisenstein setzt geradezu a;= J. Principiell sind diese drei Beweise unter
einander und von dem Gauss 'sehen sechsten Beweise nicht verschieden.

Wir haben nun zwei Beweise zu betrachten, welche arithmetischer
Natur zu sein scheinen und ihre Quelle doch in der Kreistheilung haben. Es
sind dies Eisensteines zweiter und Lebesgue's erster Beweis.

Was zunächst den Beweis von Eisenstein betrifft, so beruht dieser,
wie auch schon Lebesgue^) bemerkt, auf einer eigenthümlichen Entwicke-
lung der Potenz:

Eisenstein setzt:

Die eingeführten tp - Functionen sind also die Coefücienten der Variabelen in
der Entwickelung jener Potenz nach eben dieser Variabelen. Auf rein arith-
metischem Wege werden die Werthe für t/; bestimmt, wodurch als End-
resultat: p— I 9-.1 9 — 1

sich ergiebt. Es ist also

Diese Formel giebt das Reciprocitütsgesetz , wenn man bedenkt, dass in
^(9» 0 ~ ^ \~) '" \~) °^^ einmal die a gleich werden können , weil

(}&== 1 modp nur eine Lösung zulässt.

Der Beweis von Lebesgue ist nach Bachmann') von dem Eisen-
stein'sehen nur dadurch verschieden, dass Lebesgue an Stelle von

\^j ( — j^^i ^^® Potenz I-I'ä:^'!' anwendet. Dann wird:

{x + x* + ...+x^P- ^)> = n„v -f rig Ix"" + n'q -LV* ,

worin a die quadratischen lieste, h die quadratischen Nichtreste Modulo q
bedeuten und

1*0 die Anzahl der Lösungen von a:,*+ . . . + r^* ii:0 tnodp^

ng „ „ „ ,, „ .r,' + . . . + V = fl ^o^P

und n'g „ ,, „ „ ,, x,'+ ...+x/^?Z> modp ist.

Die Bestimmung der n ergiebt dfis Ueciprocitätsgesetz.

In dem siebeuten Gauss 'sehen Beweise, der, wie wir später sehen
werden, eigentlich der dritte ist, tritt ein neuer Gesichtspunkt zu den bis-

herigen hinzu. Durch Anwendung der Formel (^i— yf)* = (— 1) * P und

1) Liouville J.V.
2) VorleauDgen über KreiBiheiVuiig,

üeber das quadratische Reciprocitätsgeseti. 271

der Relation 1 + ^i + Jff ^= 0 ergiebt sich nämlich , dass y, und y^ Wuneln
der quadratischen Gleichung

sind, welche durch die Substitution y = 2x-|-l übergeht in die folgende:

B) yt^(_l)Vp = Ct.

Man verwandelt die Gleichung B) oder A) in Congruenz Module q, . Die
Möglichkeit oder Unmöglichkeit derselben kann auf doppelte Weise bestimmt
werden und die Yergleichung der beiden Relationen ergiebt unsere bekannte
Formel.

Der Beweis endlich von Liouville nimmt unter den in diesem Capitel
analjsirten Beweisen eine fthnliche Stellung ein, wie der von Kronecker
unter den Beweisen durch Reduction; Liouville umgeht das Princip der

Kreistheilung und führt dafür das Princip der Reduction ein. Aus j

= (ä-^*)(«-^*), . . {x—Q^^'^^) — ^ ist primitive Wurzel von r- =0 —

erhält er, wenn er rr = 1 setzt und die beiden Seiten der Gleichung auf die

q — V^

— ö — Potenz erhebt:

a

oder

(l)=v.„.{(-i,^'?n'-^E^

Durch Einführung des Gauss 'sehen Lemmas folgt aber unsere Formel, wenn

^_^-^^^ J= + l wird, je nachdem aq einen

positiven oder negativen absolut kleinsten Rest Module g giebt. Obgleich also
die Beweise durch „ Kreistheilung '^ nicht so zahlreich sind, wie die durch
„ Reduction *% so ist doch auch das Princip der Kreistheilung, wie wir
gesehen, in die verschiedensten Formen gegossen worden. — Geradezu be-
deutende Arbeiten sind die von Dirichlet und Cauchj, in denen das
berühmte Vorzeichen von Pi — y^ bestimmt wird.

Zum ersten Male — wir kommen darauf in den Schlussbemerkungen
zurück — ist der Beweis von Gauss mit Hilfe der Periodencongruenzen
geliefert worden: die Möglichkeit, die Lösbarkeit oder Unlösbarkeit der

Congruenz ^'^ (— 1) ' p modq auf zweifache Weise auszudrücken, ftlhrte
zum Ziele. 1811 veröffentlichte er femer seine berühmte „Summatio qiia-
rund. serier. sing, etc.*', welche den vierten "ßtöivcAa «ü>äDKi2i!^> ^«t i\^ ^^X^a^

p

272 Historisch - literarische Ahtheilung.

auf ö(^Wr-^)ö(— WT—Vy^-yj,); 1818 bereits den sechsten Be-

weis, der nicht von yi — y^i sondern von (y| — y^y abhängt. Jacobi.
Cauchj und Eisenstein vereinfachten diese letzteren Darlegungen da-
durch, dass sie der bei Gauss beliebigen Variabelen x specielle Werthe
beilegten. — Liouville führte an Stelle des „Princips der Kreistheilung**
das ,,Princip der Reduction^' ein und zeigte dadurch wiederum, wie innig
die verschiedenen Zweige der Zahlentheorie unter einander verwandt sind.
Eise'^nstein und später Lebesgue weisen nach, dass die CoefQcienten in

der Entwickelung von [^ ( — )^^\ ^^^p. |Zrr^'|9, (X = l...p — 1) nach

X gewisse zahlentheoretische Eigenschaften haben, welche zur Herleituog
des Reciprocitätsgesetzes geeignet sind.

In der genialen Summatio Gauss ^ jedoch, welche die so schwierige

7/ — '

Bestimmung des Vorzeichens der Quadratwurzel in ^i — ^2 = + r (— 1)
gab, war noch ein dunkler Punkt insofern, als jene Bestimmung, unter
arithmetischen Operationen verdeckt, nicht die klare Quelle erkennen lässt,
aus der sie fiiesst. Mannigfache Versuche wurden gemacht, diese QneUe
zu finden. Dirichlet gelang ein bedeutender Schritt vorwärts, doch scheint
er selbst die Wichtigkeit und Tragweite seiner Arbeit noch nicht völlig
erkannt zu haben. Cauchy gebührt das Verdienst, uns gelehrt zu haben,
dass das Vorzeichen jener Wurzel bei der Transformation von Thetareihen
„in Evidenz tritt" — wie sich Kronecker ausgedrückt, welcher in licht-
voller, eleganter Weise die Dirichlet 'sehen und Cauchy 'sehen Abhand-
lungen bespricht. Die Thatsache aber, dass jenes Vorzeichen von ^i — ^2 == ^
seinen Ursprung hat in der Theorie der Thetareihen, ist wieder ein Beleg
dafür, dass die höhere Arithmetik mit den verschiedenartigsten Gebieten der
Mathematik in Connex steht.

V. Capitel.

Heber die Beweise, welche sich auf Sätxe ans der Theorio

der quadratischen Formen stützen.

1. Anlangend den Beweis von Gauss, so ist dessen Hauptnerv, wie
Kummer^) sagt, die Thatsache, dass die Anzahl der wirklich vorhan-
denen Genera höchstens halb so gross ist, als die Anzahl der angebbaren.
Gauss zeigt nun, dass, wenn das Reciprocitätsgesetz nicht statt hätte, jene
Anzahl der wirklich existirenden Geschlechter grösser sein müsste, als die
Hälfte der Anzahl der angebbaren. — Gauss unterscheidet bei seinem Be-
weise vier verschiedene Fälle, die sich aber bei passender Bezeichnung, wie

1) AbhAüdl. d. Berl. Akad. 18b9.

üeber das quadratische Reciprocittttsgesetz. 273

Dirichlet^) gezeigt hat, auf zwei reduciren lassen. Wir sind auch hier
dem Vorgänge Dirichlet's gefolgt.

2. Der erste Beweis von Kammer femer bemht im Wesentlichen auf
Eigenschaften der PelTschen Gleichung ^^'— 2)tt*=l, woraus die folgende
Gleichung sich ableitet:

K) l = mx«-ml« |o"!'='-^'

Diese Gleichung liefert die Relationen:

■'■) te)-(^)->-

n

Zur Ableitung des Gesetzes iSsst nun Kummer D verschiedene Werthe an-
nehmen. Sind p und p' Primzahlen von der Form 4n + 3, q und q' solche
Yon der Form An + l^ so setzt Kummer:

I) D = p/, II) D=ppq, III) D^pp'qq.

Im ersten Falle kann D auf 4, im zweiten auf 8, im dritten auf 16 Ter-
schiedene Weisen in zwei Factoren zerföllt werden. Kummer schliesst nun
zunächst die Fälle der Zerlegung aus, in denen m resp. m gleich Eins
werden, so dass 2 resp. 6 resp. 14 Zerlegungen von D restiren. Nun
nimmt er an im zweiten Falle, p' sei so wählbar, dass

sei, im dritten Falle, p und p' seien so wählbar, dass

(f)=(i^)=-. (f)-(i^)-'

seien. Die Zulässigkeit dieser Annahme ist aber von Dirichlet nach-
gewiesen worden, wie bereits bemerkt wurde.

Der zweite Beweis von Kummer gründet sich auf das Lemma, dass,
wenn eine Primzahl r darstellbar ist durch eine quadratische Form von der
positiven oder negativen Determinante (2=2linod4, welche die Hauptform
nicht ist, es stets eine ungerade Potenz von r giebt, welche durch die
Hauptform darstellbar ist. In Zeichen:

Hieraus erhält man durch Unterscheidung von

q = —p^l mod^^ (2 = + P^l mod^
und dadurch, dass man r gleich 4n + l, 4n + 3 setzt, das Beciprocitäts-
gesetz.

1) Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie.

HUt,'m. Abtblg. d. Ztltaolir. t Math. u. Phy«. XXX, *• "^

276 Historisch -literarische Abtheilung.

wärtigen , was Gauss in 20 Jahren in der Arithmetik allein geleistet hat.
Die verschiedensten Gebiete der Mathematik sehen wir durch ihn verbunden :
Ungeahnte Wege, man denke nur an die Kreistheilung, hat er auf diesem
Felde aufgefunden, gebahnt und geebnet; Brücken über Abgründe ge-
schlagen , welche verschiedene mathematische Disciplinen so schroff trennten,
dass vor ihm Niemand an eine Verbindung der getrennten Theile denken
mochte, noch konnte, und der unermüdliche Pionier fand treffliche Nach-
folger. Zunächst wurde sein sechster, der Zeit nach letzter Beweis fast su
gleicher Zeit von Cauchj, Jacobi und Eisenstein vereinfacht
50 Jahre kaum nach dem Erscheinen des ersten Beweises war auch der
dritte und fünfte Beweis in eleganter geometrischer Fassung dem Publikum
vorgelegt , war das Princip der Sjreistheilung in eine andere Form gegossen
und hatte das Princip der Beduction eine bedeutende functionentheoretische
Erweiterung erfahren , so dass d&s quadratische , cubische und biquadratische
Gesetz aus einer Quelle fioss. Dies alles that einer, Eisenstein. —
1847 zeigte Liouville die Verwandtschaft der Beweise durch Beduction
und Kreistheilung; in demselben Jahre fand Lebesgue einen dem Eisen-
8 tei naschen ähnlichen Beweis durch Kreistheilung, 10 Jahre später den
unbekannten siebenten Gauss 'sehen Beweis. 1852 machte Genocchi das
Legendre'sche Symbol (von Jacobi mittlerweile bedeutend verall-
gemeinert) abhängig von der Differenz der Vorzeichen gewisser algebrai-
scher Summen.

Bis jetzt hatten die Mathematiker, mit Ausnahme Eisensteines, nur
den Beweis für die quadratische Reciprocitätsformel erbracht. Da ver-
öffentlichte Kummer 1861 zwei Beweise des quadratischen Gesetzes, die
sich verallgemeinem Hessen für n^ Potenzreste. Mit Hilfe der Theorie der
Formen gelang die grosse That. Kummer 's Arbeit bedeutet einen Mark-
stein in der Entwickelung der Zahlentheorie.

Eine zehnjährige Pause trat ein: das Interesse an dem Beciprocitäts-
gesetz schien erkaltet zu sein ; da kam in den siebziger Jahren ein grosser
Aufschwang. Sieben Beweise sind in dieser Schrift mitgetheilt, die in
einem Jahrzehnt (von 1870 — 1880) entstanden sind. Merkwürdigerweise
liegt sämmtlichen sieben Beweisen das Princip der Beduction zu Grunde.
Wollte man vielleicht ans diesem das allgemeine Gesetz herleiten? Stern
geht auf den fünften Gauss^schen Beweis zurück und findet eine wichtige
Verwandtschaft zwischen den Gliedern der halben Bestsjsteme ükpmadq,

hhqmodp (ä=1, ... — g— » -Ä=l, ... ^-s— )• Zeller und Petersen

vervollständigten diese Darlegungen. Bouniakowskj findet eine merkwür-
dige Zerlegung der Zahl (i resp. v. Schering weist nach, dass das f» in
leicht angebbarer Weise von den Vorzeichen gewisser algebraischer Aosdrücke
abhängt, die ähnlich denen Qenocc\iV^ %<^\y^ut «vod« Kroneoker, der
schon 1876 die Vertausohbarkeit dea "PimcÄv^ d«t \»i^s^>SLtsQL nsNi ^xn. ^ml

üeber das quadratische Beciprocitätsgesetz. 277

Bednction gelehrt hatte, stellte das Symbol ( — ) als das Vorzeichen eines

Frodnctes dar, dessen Factoren Ge nocchi-S eher ing*sche Ausdrücke sind,
und zeigt auch femer, wie Gauss 'sehe Betrachtungen über Grössen [a],
Yon denen der dritte Gauss'sche Beweis abhängt, zu der höchst eleganten
Formel

leiten. Voigt benutzte die Methode des dritten Gauss'schen Beweises,

macht aber den Beweis des Reciprocitätsgesetzes abhängig von der Anzahl

der Zahlen h in:

kp^hq + r, r>|

bei Yorgegebenem Je. Busche endlich vereinfachte den Bouniakowskj-
schen Beweis durch Anwendung eines sehr eleganten Hilfssatzes, nach
welchem das Beciprocitätsgesetz allgemein gilt, wenn es für specielle Fälle
sich erweisen lässt.

Zum Schlüsse sei nochmals erwähnt, dass es Cauchj gelang, das

aus der „Summatio'' her berühmte Vorzeichen von 1/ (—1) * p aus der
Transformation von Thetareihen herzuleiten.

Recensionen.

Bemerkungen zur Recension des Herrn Professor Kun

über folgende Schriften:

Weyrauch, Theorie elastischer Körper, 1884;

, Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, 1885;

, Das Princip von der Erhaltnng der Energie seit Robert Meyer, l8fö.

Herr Kurz beginnt mit der Behauptung, ich habe mich mit seiner
Absicht, die Besprechung der „Theorie'' bis zum Erscheinen der , Auf-
gaben'' zu verschieben, brieflich einverstanden erklärt. Da hierbei
zu meiner üeberraschung auf eine vom Recensenten eingeleitete Privateom-
spondenz Bezug genommen ist, so wird auch mir gestattet sein, bei Bich-
tigstelluDg des Sachverhalts davon Gebrauch zu machen. Herr Professor
Kurz schrieb mir am 17. December 1884:

,,Wie ich mit Freuden die Frage des Herrn Professors Cantor
bejahte, ob ich eine Besprechung Ihrer Theorie elastischer Körper Ito-
nehmen wollte, so wuchsen die Sorgen beim Durchlesen derselben , obi^
der übernommenen Aufgabe gewachsen sei. Ich hatte anfönglich g^lsabt,
im August, den ich grösstentheils hier (in Augsburg) verbrachte, die
DnrchlesuDg vollenden zu können ; aber erst im October und bis jetzt hsbe
ich dieselbe nothdürftig neben meinen anderen Obliegenheiten zu Ende
gebracht, wobei mich auch noch eine diphtheritische Anwandlung unter-
brach.

So fasste ich denn seit einiger Zeit den Entschluss, Sie um einige
Notizen und Winke angehen zu wollen über diejenigen Punkte, welche
Sie zu einer gerechten Würdigung Ihres Buches als besonders gehOrig
betrachten, und glaube, dass ich mit solcher Unterstützung bis Neujahr
meiner Aufgabe mich entledigen könnte, so dass die Besprechung noch
im ersten Hefte des nächsten Jahres erschiene. **

Ich beschränkte meine Antwort auf einige (in der Recension zum Theil
wiedergegebene) allgemeine Bemerkungen über fragliche Arbeit, wies wi
die bereits erschienenen Recensionen hin und stellte meinerseits Herrn Enrz
anheim , die Besprechung bis zum Erscheinen der Aufgaben hinauszuschieben.
Von dieser Anheimgabe hat Herr Professor Kurz laut Schreiben Tom
24. December 1884 Gebrauch gemacht

Bezüglich der Schwierigkeit des Studiums will ich mit dem Recensenten
Dicht streiten, über solche Dinge p^egen die Meinungen verschieden zn eein.

Becensionen. 279

Im Gegensatze zu Herrn Kurz findet Herr Professor Günther- Ansbach,
dass massige Kenntnisse in der Infinitesimalrechnung zum Verständnisse hin-
reichen. Uebrigens giebt Herr Kurz zu, dass die „Theorie" dem Stadium
weniger Schwierigkeiten als andere Werke ähnlicher Art bereite.

Die Bemerkung des Recensenten, dass in § 1 die bekannte Beschleu-
nigung „specifische Massenkraft^ genannt sei, ist unrichtig. Herr Kurz
hat übersehen, dass auch Oberflächenkräfte Beschleunigungen erzeugen
können ( vergl. G r a s h o f 's Hydraulik , 1 874 , S. 4; Kirchhoff 's Mechanik,
1877, Vorlesung 11; Weyrauch 's Theorie elastischer Körper, 1884, S. 4,
25 u. s. w.).

Herr Professor Kurz bemerkt ferner, dass in § 2 „der elastischen
Nachwirkung mit acht Zeilen gedacht sei^'. Bekanntlich hat jener Begriff
bei der allgemeinen Behandlung elastischer Körper vorläufig überhaupt noch
keine Verwendung gefunden (vergl. die einschlagenden Werke von Larn^«
Beer, Clebsch, Saint-Venant, Grashof, Winkler, Kirchhoff,
Klein, Castigliano u. s. w.), so dass auch die acht Zeilen noch fehlen
konnten.

In § 5 soll „schon Manches dem mündlichen Unterricht oder sonst
zuviel dem Privatverständnisse des Studenten (im dritten Semester) über-
lassen*^ sein. Hierzu sei bemerkt, dass die Theorie weder in erster Linie
für Studenten, noch gar für solche im dritten Semester bestimmt ist. Das
Wesentliche liegt in dem der Sache oder Darstellung nach Neuen , wie an-
dere Becensionen (von Grashof, Ritter, Wittmann) auch anerkannt
haben. Wäre übrigens selbst bezüglich der Studenten im dritten Semester
die Bemerkung des Herrn Kurz richtig, was ich bestreite, so würde sie
dadurch an Gewicht verlieren, dass die in § 5 behandelten „Drehungen**
neben den ,, Gleitungen** vollständig entbehrlich sind und thatsächlich in
obigen Schriften keine Verwendung gefunden haben.

Die Besprechung der „Aufgaben'* beschränkt sich auf einige Bemer-
kungen zum Inhaltsverzeichnisse. Wenn es dabei heisst, dass zu jeder Auf-
gabe die Nummer des Paragraphen angegeben sei, welcher zur Lösung nach-
geschlagen werden soll, so ist das wieder nicht ganz richtig. Ich habe nur
angeführt, nach welchem Paragraphen die betreffende Aufgabe eingeschaltet
gedacht war, ohne dass die gegebene Reihenfolge eingehalten zu werden
braucht.

Was Herr Professor Kurz schliesslich in Bezug auf die dritte obiger
Schriften aussagt, beruht auf einer Verwechselung. Ich soll nach Robert
Mayer Fallkraft, Bewegung (!), Wärme (!), Magnetismus etc. als Kraft-
formen aufführen, wogegen Herr Kurz, welcher vorstehende Ausrufungs-
zeichen anbringt, Kraft nur als Masse mal Beschleunigung gelten lassen
will. In Wahrheit handelt es sich an der betreffenden Stelle um eine Inhalts-
angabe von Schriften Robert May er 's, welche uoob. 4<da.\i ^\£l^ V^^t^^
Worte eingeleitet ist: „Will man die Erftge ^iiafc\i ^ät ^TÄT*»»^v|ve'^

280 Historisch - literarische Abtheilung.

prüfen, so ist zu beachten, dass Majer mit Anderen Kraft nennt, was
man heute, einen Ausdruck Thomas Young's adoptirend, als Energie
bezeichnet/* Da im ganzen übrigen Verlaufe der Schrift (ausserhalb II)
der Majer'sche und Helmholtz'sche „Begriff Kraft ^' Energie oder Ar-
beitsfähigkeit genannt ist, so erscheint kaum begreiflich, wie die Verwechse-
lung bestehen bleiben konnte.

Der Unterzeichnete bedauert, die Geduld der Leser etwas lange in
Anspruch genommen zu haben. Allein es konnte ihm nicht gleichgiltig
sein, an hervorragender Stelle über drei seiner Schriften, welche das Re-
sultat anstrengender Arbeit bilden, ohne jedes Eingehen auf den wesent-
lichen Inhalt in einer Weise abgeurtheilt zu sehen, welche mindestens der
nöthigen Vorsicht ermangelte.

Stuttgart, August 1885. J. J. Weyrauch.

BibUotlieoa mafhematica, herausgegeben von Gustaf Eneström. 1884.
Stockholm, F. & G. Beyer. Berlin, Mayer & Müller. Paris, A. Her-
mann.

Eine neue Zeitschrift, welche in vierteljährlichen Heften erscheint und
deren erster Jahrgang 62 je zweispaltige Seiten umfasst. Die Zeitschrift
ersetzt alles Das, was wir durch unsere jedem Hefte dieser Zeitschrift bei-
gegebenen Bibliographien und durch unsere beiden alljährlich erscheinenden
Abhandlungsregister unseren Lesern zu bieten wünschen. Ein wesentlicher
unterschied besteht nur darin, dass Herr Eneström Bücher und Abhand-
lungen gemischt, und zwar nach der alphabetischen Reihenfolge der Namen
der Verfasser angiebt Ausserdem findet sich in jedem Hefte eine recht
dankenswerthe geschichtliche Notiz aus der Feder des Herausgebers: 1. No-
tice sur un memoire de Chr. Goldbach, relatif ä la sommation des sSries,
publik ä Stockholm en 1718; 2. Notice sur un nouvelle Edition de Dio-
fantos, pr6par6e par M. PaulTannery; 3. Notice sur les versions latines
des 6l6ments d'Euclide , publi6es en Su^de ; 4. Notice sur les premi^res tables
de logarithmes publikes en Suöde. Cantor

Saggio di Tavole dei logaritmi quadratioi del Conte Antonino di Pram-
PERO. üdine 1885, G. B. Doretti e Soci. IX, 53 pag.

unter dem quadratischen Logarithmus der absoluten Zahl JV, oder unter
Lq,N=x versteht Herr Prampero diejenige Zahl, welche der Gleichung
J^^= (a)** genügt, wo a>l aber sonst beliebig gewählt wird. Soll nun
die J^^* Potenz oder die E^ Wurzel aus N gesucht werden, so ist offenbar

im enteren Falle N^^a^-^^ und aofem Ii=^^^ \qääx ^l^^^y ^

Bibliogn4>hie. 281

auch J«^K=(«)*'-»'=(«)*"^' oder L..{N'') = x+y = L..N+^^- Im
zweiten FaUe ist fN^a^' ==(«)* "•«■=»«'"'' oder X,.(^-N) = x-y

7/1/» 7?'

^^Lq.N" Y^-^ • Man hat also nur den von der Zahl E abhängigen Quo-
tienten j-~ zu berechnen, um zu jeder Zahl ^sowohl L^.N^ als Lq.yN

durch eine einfache Addition beziehungsweise Subtraction zu erhalten. Bei
E=2 ist jener Quotient offenbar 1, bei JE? =3 ist er 1,584962, bei J5=4
ist er 2 u. 8- w. Mithin Lg.(N*) = Lg.N+l, Lg.(/N)^L^.N-'\',
Lg.{N^) = L^.N+ 1,584962, Z^.(^) = X,.JV- 1,584962 u. s. w. Lohnt
dieser Vortheil die Berechnung einer Tabelle der quadratischen Logarith-
men, mittels deren man, unter Anwendung der nöthigen Interpolationen,
zu jeder Zahl den quadratischen Logarithmus, zu jedem quadratischen Lo-
garithmus die zugehörige Zahl finden kann ? Der Verfasser hat diese Frage
offenbar bejaht und derartige Tafeln hergestellt , welche in höchst eleganter
Ausstattung durch den Druck vervielftltigt wurden. Cantor

Bibliographie

vom 1. September bis 31. October 1885.

Periodiseho Schriften.

Sitzungsberichte der mathem.-phjsikal. Classe der königl. bayer. Akademie
der Wissenschaften. Jahrgang 1885, 3. Heft. München, Franz.

1 Mk. 20 Pf.

Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, mathe-
mat.- naturwissenschaftl. Classe, Abtheil. IL 91. Bd., 3. Heft. Wien,
Gerold. 10 Mk.

Publicationen des astrophjsikalischen Observatoriums in Potsdam. Nr. 16.
Leipzig, Engelmann. 4 Mk.

, 4. Bd. 1. Tbl., herausgeg. von C. Vogel. Ebendaa. 17 Mk.

Jahrbücher der königl. ungar. Centralanstalt für Meteorologie und Erdmagne-
tismus, herausgeg. von G. Sohenzl. 13. Bd. Jahrg. 1883. Budapest,
Eilian. 10 Mk.

Beobachtungen im astrophjsikalischen Obaorv^^Atmin ^\k ^-^l^ÄÄ.^'^«J*2SÄr
geg. vonN.y.KoimoLY. 7. Bd. 3alirg.\«8A. ^ä^^^^ömkä^k NS^"®»-

282 Historisch -literarische Abthsilang.

Journal ftir reine und angewandte Mathematik. (Crellb.) Herausgeg. von

L. Eronecker und K. Weierstrass. 99. Bd. 1. Heft Berlin, 6.

Reimer. compl. 12 Mk.

Acta mathematica, herausgegeben von Mittag -Lbffler. 7. Bd. 1. Heft

Berlin, Mayer & Müller. compl. 12 Mk.

Tageblatt der 58. Versammlung deutscher Naturforscher und Aerzte in Strass-

bürg. 1885. Strassburg, Trübner. 8 Mk.

Geschichte der Mathematik und Physik.

Marie, M., Histoire des sciences math^matiques et phjsiques. Vol. VII.
Paris, Gau thier -Villars. 6 fr.

Eoine Mathematik.

Prtm, f., Neue Theorie der ultraelliptischen Functionen. 2. Ausg. Berlin,

Mayer & Müller. 3 Mk. 6) Pf.

Hermitis, Ch., Sur quelques applications des fonctions elliptiques. Paris,

Gauthier -Villars. 7 fr. 50 c.

Beaü, 0., Analytische Untersuchungen über trigonometrische Reihen und

Fourier'sche Integrale. 2. Aufl. Halle, Nebert. 5 Mk. 50 Pf.

Cauoht, A., Algebraische Analysis, deutsch herausgegeben von Itzigsohn.

Berlin, Springer. 9 Mk.

Geoenbauer, L., Zur Theorie der Determinanten höheren Banges. (Akad.)

Wien, Gerold. 60 Pf.

— , Zur Theorie der aus den vierten Einheitswurzeln gebildeten complexen

Zahlen. Ebendas. 1 Mk. 70 Pf.

- - , üeber die Darstellung der ganzen Zahlen durch binäre quadratische

Formen mit negativer Discriminante. Ebendas. 50 Pf.

Geigenmüller, R., Elemente der höheren Mathematik. II, Differential-
rechnung. Mittweida, polytechn. Buchhdlg. 2 Mk.
Mertems, f.. Einfache Bestimmung des Potentials eines homogenen EUip-

soids. (Akad.) Wien, Gerold. 15 Pf.

Herz, N. , Entwickelung der Differentialquotienten der geocentrischen Co-

ordiuaten nach zwei geocentrischen Distanzen in elliptischer Bahn.

Ebendas. 60 Pf.

Schubert, H., System der Arithmetik u. Algebra. Potsdam, Stein. 1 Mk. 80Pf.
Funcke, H., Die analytische und die projectivische Geometrie der Ebene.

Ebendas. 1 Mk. 40 Pf.

Spieker, Th., Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Ebendas.

1 Mk. 40 Pf.
Pblz , C. , Bemerkung zur Axenbestimmung der Kegelflfichen zweiten Grades.

(Akad.) Wien, Gerold. , 60 Pf,

Kjlling, TT., Die Nicht -EukMiBcVi^ix Bakumiotm^Ti in onalytiaeher Behand-
Jung. Leipzig, Teubner. ^>Ki..^'Ä.

Bibliographie. 283

Angewandte Mathematik.

NGEB, J., Elemente der reinen Mechanik. 5. Lief. Wien, Holder.

3 Mk. 20 Pf.
»PENHEIM, S., üeber die Rotation und Präcession eines flüssigen Sphäroids.

(Akad.) Wien, Gerold. 50 Pf.

JTTER, W., Die Bewegung des Wassers in Kanälen nnd Flüssen. Berlin,

Parey. 7 Mk.

RDAN, W., Grondzüge der astronomischen Zeit- nnd Ortshestimmung.

Berlin, Springer. 10 Mk.

BRz, N., Bahnhestimmnng des Planeten Kriemhild (242). (Akad.) Wien,

Gerold. 35 Pf.

PPENHEIM, S., Bahnhestimmnng des Kometen VIII, 1881. Ehendas. 50 Pf.
SEDiCHiN, Th., Revision des valeurs num6riques de la force r6pulsiye.

Leipzig, Voss. 1 Mk. 20 Pf.

Büve, 0., Tahnlae qnantitatam Besselianamm pro annis 1885 ad 1889

compatatae. Ehendas. 2 Mk.

Physik nnd Meteorologie.

iTTELEB , E. , Theoretische Optik , gegründet auf das Bessel • Sellmeier'sche
Princip. Braunschweig, Vieweg. 14 Mk.

:x»PEROER, J. Y., üeher Krümmangsvermögen und Dispersion von Pris-
men. (Akad.) Wien, Gerold. 80 Pf.

^CH, E. u. J. Abbes. Einige Versuche üher totale Reflexion und ano-
male Dispersion. Ehendas. 30 Pf.

Wallieb et Müntz, Prohldmes de phjsique. Paris, Gauthier -Villars. 6 fr.

CyliadsTfiucLlanui.
648, BeBMl'e fanctdona of the eecood order. G. V. Coatea, Qaart. Joum.
XS, 260.

D.

DlMrnünantan.

S13, GJnäraliB&tion du th^orfime de Jdcobi Biir lea dätermmBiits partiela du ■

adJDinl. Em. Barbier. Compt rend. XCVll, 88 [VergL Nr. 64.J

DlffBrentUlg-ltichnngtii .

S44, Ueber Frojectivitüt und partielle Differential gteicbaugea in der GeonMtrit

Th. Saoio Uran. Archiv LXXi. 825 ^

I. Siir lea multiplicateiirs des äquationt diffätentieUee lin^ireH. Hatpbei

Compt. rend, XCVIl, 1408, 1641.
1. Sur un mojen de determiner le facteur d'integrabiliW. W. Uaxi
Compt. rend, XCVU, 1544.
647. Oeber die Irreduclibilität der UneareD Differentialslei cbnDgen. h. KDnica
berger Crelie XCVI. 183.

548. Uebersluht über die Tliome'acheD Abhandlungen über lineare Differential

KleichuDffen inCrelleLXXIVbiBXCV. L W. Thomö. Grelle XCVI, 188

549. Sur Pint^gration alg^brique des äquationa Unfaires. U. Poincarö Compl

rend. XCVC, 984, 1189.
6fi0. Snr certaineB äquations diffdreutiellea lin^aires. A.Steen. Acta matb. III, 27T
661. Sar na caa partiuulier do rt^aolation des equationB diffärentielles lirt^aire« i

coefficienta conalanli. M. d'Ocagne. N. oun. matfa. XLUI, 138.

653. Sur une cla^ae d'äquations linäaireB du qaatri^me ordre. E. O o u

CoDipt. rend XgVU, 81.
&&3. 8nr quelques fquatiooe Unfaires du qaatri^iue ordre. Halphen, CotnpJ
read. XCVlI, 247.

654. On differential equationa which belong to the clasa — ~-4 ^ -

where U.S[a,b,e, d,e,...)<x,l)\ R. BosHell. (jnart Joora. maÜi.
XX. 179.
665. On the differentia! equation -i =^ 4- — — -t- -— = 0, where U,= (a. b,

yu, vü^ vö, nr. - ^ - .

c,d.€)[x,-\)\ IL Eusaell Quart Jourti. math. XX 266.
&G6. Sur une äqnatJou diffäreutiülle da aecond ordre. De Sparre. Acta luatiL

HI, 105, 289.
667. Integrer l'äquation a:[l-:t) y"- (1 -2l)y'+[l^3a;+iC*)y = — «■(!— ar)'. F

Borletti. N. ann math. XLIl, 486.
658, lategration von y" = 3^«'-y. S. Spitzet. Grün. Archiv LXXI, ÖO.
M9. De riat^gration d'uue clawe de systömes d'äquationa Hiraaltan^ea, lin^airetri

du Premier ordre. Ibach. N. ano. math. XLIll, 178, - V. Tardj

ibid. 267. — J. Juhel-fi^noy ibid. 263. — E. Catalan ibid. 263.

660. Siu une tranaformation des ^qualiona aui däriv^ea parüellea du wcond ordta,

äi deux fariablea indäpendaDteB. et snr quelquea inlägrationa qoi k'et
d^duisent. B. Liauville. Compt. rend XCvII, 8S6, 1122.

661. Sur l'iut^gration d'une certaine claaae d'equationa diffärentiellea partjdl»^ d^

aecond ordre k deux variablea indäpendantea. A. Picart Compt. r ^304
XCVU. 306. »• -^

562. Integratioa einiger partialler Differentialgleicbongea xweiter Ordnung

VÄlyi. Gruo. .irchiT LXX, S19; LXXI. 109.

563. Sur lea liqu.itioat lin^airea aui deriT^ea partielleB, ä deux variables iiid^S

dantea, du deuiiänie et du troiiiäme ordre. A, Picart. N. ann, a^c
XJ.U. 34.
Vergl- FunctioDen. Invarianteutbeorie 711. Potential.
DiffsrenCIal qnotianten.

564. GrundzQge zu einer combtuatoriBcheu Darstellung der bOheren Dtffem^

Snotienten EDBammeneesetzter FunctiODeu. J. Tollert. Grün. A^^
XXI. 64.
665. SuT le caicul des deriväe» ö. »aiücea i\^i:V';Qiii\ie« H, Laurent. S,
math. XLUI, 240.
Vergl Tajior'e Keihe.

Abhandlnngsregister. 285

Analytische CFeometrie des Sanmei.

520. Eine Carve auB einer Besiehung zwischen den Winkeln, welche die Tangente,

Hauptnormale und Binormale mit festen Geraden bilden, zu bestimmen.
B. Hoppe. Grün. Archiv LXXI« 46.

521. Th^r^mesurles surfaces däveloppables. E. Cesaro. N.ann.math.XLlI,.129,266.

522. Sur Tangle des lits oblique et normal de la vis Saint -Gilles. E. Lebon.

N. ann. math. XLHI, 40.
Yergi. Eliipsoid. Hyperboloid. Oberflächen. Oberflächen zweiter Ordnung.
Paraboloid.

Attrononde.
528. Neue Methode zur Berechnung der Ezcentricität bei astronomischen Instru-
menten und Uhren. F. C. Lukas. Grün. Archiv LXX, 268.

524. Sur une d^monstration nouvelle du th^or^me de Lambert. N. Joukovsky.

N. ann. math. XLIII, 90. — E. Catalan ibid. 606.

525. Sur une formule de Hansen. F. T isser and. Compt rend. XCVU, 815, 880.

-P. Appell ibid. 1086.- B. Radau ibid 1180, 1275.-0. Callandreau
ibid. 1187.

526. Sur le calcul des perturbations. A. de Gasparis. Compt.rend.XCVn, 788.

527. Sur un däveloppement particulier de la fonction perturbatrice. 0. Backlund.

Compt. rend. XCVII, 1470. — B. Radau ibid. 1548.

528. Sur quel(}ues m^thodes pour la d^termination des positions des dtoiles circom-

polaires. 0. Callandreau. Compt. rend. XCVJI, 561.

529. pistance de la terre A la lune. C. Bertrand. N. ann. math. XLUI, 126.

530. Etant donn^es les duräes des quatre saisons de Tannäe astronomique, trouver

Texcentricit^ de Torbite de la terre. E. Fauquembergue. N. ann.
math. XLH, 413.
Yergl. Chronologie. Mechanik 771, 772.

B.

Bemonlli'iehe Zahlen.
631. Beiträge zu der Kenntniss der Bernoulli'schen Zahlen. ALipschitz. Crelle
XCVI, 1.
VergL Reihen 852.

Beitimxnte Integrale.
532. Demonstration du th^r^me de Cauchy. E. Goursat. Acta math. IV, 197.

583. Sur une mäthode capabie de foumir une valeur approch^e de Tintögrale

jF{x)dx. G. Courier. Compt. reud. XCVH, 79.

OD

584. Sur une valeur approchde de Tintdgrale ItfixS.e-^.dx, R. Radau. Compt.

rend. XCVH, 157 }!

585. Sar Tevaluation approchde des integrales. Stieltjes. Compt. rend. XCVU,

740, 798.
536. Sur une classe d'intdgrales doubles. E. Goursat. Acta math. V, 97. [Vergl.
Nr. 48.]
Vergl. Gammafunctionen.

Chronologie.
587. Changements produits sur la durde de Tannde julienne par les variations des
quantitds dont ddpend cette durde. A. Gaillot. Compt. rend. XCVH,
151, 564. — E. J. Stone ibid. 484.
Vergl. Astronomie 530.

Combinatorik.
538. Die Umkehrunff des Grundgedankens von Hindenburg's combinatorischer Ana-

lysis. F. Roth. Grün. Archiv LXX, 427.
589. Sur les permutations de n objots et sur leur classement. J. Bourget*
N. ann. math. XLII, 43S.

540. Sur le nombre des permutations de n dldments qui prdsentent 9 sdquences.

Dds. Andrd. Compt. rend. XCVII, 1356.

541. Eine combinatorische Definition der Zahl e. Th. Sanio. Grün. Archiv LXX»

224; LXXL 106 — Lampe ibid. LXX, 439. — ?.%«^^\VQW^\\.\ri3X>
97, 102. - J. Hermes ibid. LXXl, \03.
VergL DifferentUlquoüeni 564. WahrftcYieln\\c\i>LevV.%T^<^\i\Wi\|,.

Histonsoli'literariadi« Abtbülang.

:. Propri^U de l'elHpae sccompagnäe de la divtAoppia. J.Chambon. N-Ub

Qiftth. XLII, *77.
i. Siir deux ellipsea conceottiquei. Lei. N. ann. niatk. SLlt, S25.

Vergl. Hvperbel 702, 703. •

ElUpiold.

r. Od doDDe na elli|)SoTde et uu poiut A, od meae par ce poini aoe secaaten-

riaUe Z); loit D, la droite canjugu^e de D par rapport i l'ellipsolds.

Trouver le lien de la projectioD M du poiut Ä sie la droit« />] , llo tel'

BUnc. N. aoß. math. XLIJ, 37e.
I. Probl^e tar Tellipsoide. Ch. Brisse. N. aoo. oiath. X.LUI, 39S.

EUipütcha 1
': Coniplei multiplicatioD of etliptic foDctioiiB. G. fi, Stuart. Quart. Jotatu

math XX, 18, 221.
'. Sar la traneformatiOD des fonctions elliptiqnea. H. Krause. Acta muth. 111, 991
I. Sur tm point de la thforie des foDctions elliptiqueB, &. Ltpacliitz. Coapt

rend XCVn, 1411. ~ Hermite ibid UU.
I. Od the quantitieB K, ¥,, J, G, K', E', J', G' in elliptic functioDa. J. W. L

Glaiaher. Quart Joum. math. XX, 313.
k Elliptiache Integral fimctioneii und ibie geonielriacbe. onaljtieche und djm-

miscbe Bedeatuiig. E. Oekinghaas. Grim. Artthiv LXXl, 387.
. Beiträge zur Theorie der elliptischen Firn ctioneu. U. Schroeter. Acta tualli.

V. 21)5.
:. fieitrSge zur Anwendung der Ureitheilung der ellipÜadii.'n Functioneii aof Ü»
.1 Theorie der Wendepunkte einer Carve dritter Ordnung. L. BelMS.

Qrun. Archiv LXX, 1.
I. Sur l'uBage den produita in£nia dana la thäorie des fouctiona ellipliquea, Ch.

Hermite. Acta math. IV. 193. ~- R. Lipachiti ibid. 19t.
VergL Abel'Bche Tran Beende ulen 602. 8phärik 666. Zaiilentbeorie 904.

FaoUraafolga.
e04. Daritellong der Zahl e ab nueudliches Product J. Hermea. Qruii Artbtr

LXXl. 103.
606. D^moDBtratioD fl^meDtaire de ta formule de Stirting. E. Ceaaro. S.
math. XLII, 43.
Vergl. Elliptische Tranecendent^D 603. OammafunctiaDen 631, SSI.
FormoiL

606. 6ur la formalion dea dätenninaota irr^gnliera. Job. Perott. Crelle XCVt,

327. [Vergl Nr. U&.j

607. Snr le« formea binairea indäflnies k indätennin^ conjugu^es. E. Ptcard-

Compt. rcnd. XCVU, 746.

608. Sur )ee formen quadratiqaea temaires ind^CnieB fi in dd tennin äes conjugu^es et

Bur les groupea diBCOntinuE correepondiUit«. E, Picard, Compt. nai
XCVlf, 846.

609. Sur la rih>rodQcttOD des formea. H. Poincarä. Compt. rend. XCVU, 949.

Vergl. laTariauteDtheorie.

fnnctJonMi.

610. UeberTief^öMen raitgebrochentimliidei. P.Lindner. Grün. Archiv LXX. 91t

611. Ueber die einer beliebigen Differentialgleichung erster Ordnung angehSrigen

selbetatSndieen Tranacendenteu. L. KCnigcberger. Acta math 111, 1.

612. Ueber die QrandlBgeii der Theorie der Ja«obi^chen FuDctionoD. O. FrobO'

nius. Crelle XCVU, IS, ISfl.

613. Allgemeiae Untersuch un gen aber ReeUfication der Curren. L. Scbaeffec

Acta math. V, 49.

614. Zur Theorie der aletigen Functionen einer reellen Ver&udeitichen. L. Scheef*

fer. Acta math. V, 183. 279.
616. Beweia und Erweiterung eines algebraiacb-runctioneiitheoTetiaohen Statte! itM

Herrn WeieratraBB, M. Nöther. CreUe XCVll. 234.
6IB. Ueber den Zusammenhaag der Wertbe einer BlgebraiBcbenFunotion. CBnngOi

Crelle XCVll, 337.
ßl7. D^mooatnition nouvelle du th^r^me ile Laareot. 0. Mittag-Leffler. Acta

math IV, 80.

Abhandlungsregister. 289

618. Beweis des Lanrcnt'schen Satzes. L. Scheeffer. Acta math. IV, 376.

619. Sur les groupes Eleiuäens. H. Poincarä. Acta math. III, 49.

620. Sar les fiproupes des öquations unfaires. H. Poincar^. Acta math. IV, 201.

621. Sur les fonctioDS zdtaiuchtdeDnes. H. Poincard. Acta math. V, 209.

622. Sur les formes quadratiques temaires indäfinies ä inddtermindes coinugudes

et sur les fonctions hyperfuchsiennes correspondantes. Em. ricard.
AcU math. V, 121. [Vergl. Bd. XXIX, Nr. 169.J

623. Sur la repräsentation analytique des fonctions monogenes uniformes d*une

variable indäpendante. G. Mittag-Leffler. Acta math. IV, 1.

624. Ddcomposition en äiäments simples des fonctions doublement pdriodiqnes de

troisi^me esp^ce. Appell. Compt. rend. XCVII, 1419.

625. Sur le genre d'une relation algdbrique entre deux fonctions uniformes d'un point

analytique (x,y). £. Goursat. Compt. rend. XCVII, 1048.

626. Repräsentation des fonctions d'une ou de plusienrs variables, entre de cer-

taines limites de ces variables, par des series. A. Picart. N. ann. math.
XLII, 109.

627. Sur les fonctions de deux variables inddpendantes, restant invariables par les

substitutions d^un groupe discontinu. £. Picard. Compt. rend. aCVÖ,
1045.
688. Sur un thdor^me de Riemann relatif auz fonctions de n variables indäpen-
dantes admettant 2n syst^mes de päriodes. H. Poincard & E. Picard.
Compt. rend. XCVII, 1284.
Vergl. Abbildung. Abersche Transcendenten. Bemoulli'sche Zahlen. Be-
stimmte Integrale. Cjlinderfunctionen. Differentialgleichungen. Diffe-
rentialquotienten. Elliptische Transcendenten. Factorenfolge. Gamma-
fnnctionen. Integration (unbestimmte). Kettenbrüche. Potential. Quater-
nionen. Reihen. Rectification. Taylor*8 Reihe. Thetafiinctionen. Ultra-
elliptische Transcendenten. Umkehrungsproblem. Variationsrechnung.

Ckünmaftmctionen.

629. Zur Theorie der Functionen r(z), P(z), Q(£). L. Scheeffer. Crelle XCVII, 230.

630. Eine Verallgemeinerung der Gleichung r(l + a;) . r(l - a;) = -. — • H. M e 1 1 i n.

Acta math. III, 102. »*»*«^

631. Ueber gewisse durch die Gammafunction ausdrückbare unendliche Producte.

H. Mellin. Acta math. III, 322.

632. \jM\ =84-}*-il4t-.- L. B. N. ann. math. XLII, 429.

Vergl. Factorenfolge 605.

Geodäsie.
688. Proposition sur une question de m^coniane relative k la figure de la terre.
E. Brassinne. Compt. rend. XCVII, 637. [Vergl. Nr. 693.]

Geometrie (absählende).
634. Sor les penta^dres complets inscrits ä une surface cubique. H. G. Zeuthen.

Acta math. V, 203.
686. Einige Anzahlen für Kegelflächen. H. Krey. Acta math. V, 83.

Geometrie (deseriptive).

636. Sur la ponctaation. J. Caron. N. ann. math. XLII, 161.

637. Zur perspectivischen Projection. E. Hain. Grün. Archiv LXX, 281.

688. Beleuditungsconstructionen für Flächen, deren zu einer Axe normale Schnitte

Umlich und ähnlichliegend sind, bei orthogonaler und bei perspectivi-
scher Darstellung. J. Bazala. Grün. Archiv LXXI, 266.

689. Construction des points doubles en projection dans Tintersection de deux sur-

faces du second de^rd. L. Lelevre. N. ann. math. XLUI, 5.

640. Construction des tangentes au point double de la section du tore par son

plan tangent. Doucet. N. ann. math. XLIII, 430.

Geometrie (höhere).

641. Theorie der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme. G. Hauck. Crelle

XCVII, 261. [Vergl. Nr. 207.]

642. Mehrfache CoUineation von zwei Dreiecken. J. V&lyi. Grün. Atchix LX^

106. — R. Hoppe ibid. 334.

MbL-Ut AbtbJg. d Zeitaobr. f. Math. u. Phy». XXX, ft. *^^

290 Historisch -literarische Abtheilnng.

<:43. Sar les anticamtiqaes par r^flexion de la parabole, les rajons iocidents etant

parallMes. Lagaerre. N. ann. math. XLIT, 16.
^4. Sar quelques propriit^s des cycles. Lagaerre. N. ann. math. XLII, 65.
646. Snr les coorbes de directions de la troisieme classe. Lagaerre. X. ann>

math. XLII, 97.

646. Sor la transfonnation par semi-droites r^ciproques. M. d^Ocagne. N. ann.

math. XLU, 249.

647. Semi-droites räciproqaes parallMes a Taxe de transfonnation. M. d'Ocagne.

N. ann. math. XLIII, 2.S.

648. Sar les qaadrilat^res aoi ont lears six sommets sor nne cnbiqoe. Weill.

N. ann. math. XLIII, 401.

649. Sar les cnbiqaes gaaches passant par sinq points donn^. 6. Eoenigs. N. ann.

math. XLII, 301; XLIII, 47.

650. Sar qaelqaes coorbes enveloppes. Weill. N. ann. math. XLIIf, 376.

651. Recherche d'ane conrbe plane poss^dant an liea g^om^triqae de poles princi-

paax dluversion. G. Fouret. N. ann. math. XLII, 259.

652. Sar nn mode de g^n^ration des ovales de Descartes propos^ par Chasles.

M. d'Ocagne. Compt. rend. XCVII, 1424.

653. On plane corves of the fonrth class with a triple and a Single foccs. H. M.

Jeffery. Qaart Joum. math. XX, 273.

654. Das Strahlensystem vierter Ordnang zweiter Classe. W. Stahl. Grelle

XCVII, 146.

655. Das allgemeine i^amliche Nollsystem zweiten Grades. Ad. Ameseder. Grelle

XCVU, 62.
Vergl. Differentialgleichangen 544. Elliptische Transcendenten 602. Gleich-
ungen 680, 681. Kegelschnitte. Maxima and Minima. Oberflächen.
Oberflächen zweiter Ordnung. Singnlaritäten.

Geometrie (kinematische).

656. Th^oräme de cin^mati(|ue. £. Dewulf. N. ann. math. XLII, 297.

657. Sur ane qaestion de cin^matiqae. L. Jacob. N. ann. math. XLIII, 29.

658. Sor Tenveloppe de certaines droites variables. M. d'Ocagne. N. ann. math.

XLII, 252.

659. Dana quels cas certaines surfaces sont-elles d^veloppables? E. Gesaro. N.

ann. math. XLIII, 4.^4.

Geometrie (der Lage\

660. Zur Theorie der Raumcurven vierter Ordnung erster Art. Milinowski.

Grelle XCVII, 277.

661. Beitrag zur Geometrie der Lage. L. Klug. Grün. Archiv LXX, 446.

662. Zwei Sätze über Linieuschnitte. Fr. Hofmann. Grün. Archiv LXX, 443.

Geschichte der Mathematik.

663. Geschichte der Factorentafehi. P. Seelhoff. Grün. Archiv LXX, 413.

664. Mort de Mr. Mailiard de la Goumerie f 25. Juin 1883. £. Blanchard.

Gompt. rend. XCVII, 5. — J. Bertrand ibid. 6.

665. Mort de Victor Puiseux f 9. Sept. 1883. E. Blanchard. Gompt. rend.

XCVII, 655. — J. Bertrand ibid. 655.

666. Mort de J. A. F. Plateau f 15. Sept 1883. Faye. Gompt. rend. XGVII, 687.

667. Mort de Louis Breguet f 26. Oct. 1883. E. Blanchard. Gompt. rend. XCVII,

927. — Janssen ibid. 967. — Glou^ ibid 971.

668. Mort dTvon Villarceau f 23. D^c. 1883. E. Blanchard. Gompt. rend. XGVII,

1453. — Perrier ibid. 1454. — Faye ibid. 1459. — Tisserand ibid. 1460.

Oleichuigen«

669. Demonstration nouvelle du th^oreme fundamental de la th^orie des ^quations

algdbriques. H. Dutordoir Compt. rend. XCVII, 742.

670. D^monstratiou du theoreme de d'AlemOert. Wal eck i. N. ann. math. XLII, 241.

671. Snr le calcul des fouctions symetriques des racines d'une equation. Ch.

Biehler. N. ann. math. XLIII, 218.

672. A new theorem in Symmetrie functions. P. A. Mac Mahon. Quart. Joum.

math. XX, 365.

673. Note on Sylvester's canonical form of binary quantics of the degree 2fi — 1.

W. Booth. Quart Joum. math. XX, 270.

674. Od tbe trinomial unilateral c^uadratic equation in matrices of the second order.

J. J. Sylvester. Quart. Journ. mvvVJtL. ^IX., ^Q^.
676. Sur la rägle des siguea. H. Poinc^ti^. Com^\..x^xA.^'^\!L,\^W

Abhandlungaregister. 291

676. Sur la räduction des ^qnations. A. £. Pellet. Compt. rend. XCVII, 85.

677. Sur la transformatioD des äquations. Ch. Biehler. N. ann. math. XLIIF, 209.

678. Probleme sur les aigoilles du cadran d'une montre. Moret-Blanc. N. ann.

math. XLII, 523. — C. A. Laisant ibid. XLIII, 383.

679. Queloues formales relatives ä räquation compl^te du troisiäme degr^. C.

Margerie. N. ann. math. XLII I, 32.

680. Geometrische Untersuchungen über kubische und höhere Curven und Gleich-

ungen. E. Oekinghaus. Grün. Archiv LXX, 370.

681. Mechanisch -graphische Lösung der kubischen und biquadratischen Gleich-

ungen. C. Bartl. Gnm. Archiv LXXI, 1.

682. Sur le discriminant de T^quation du quatri^me degrä. Weill. N. ann. math.

XLII, 265.

683. Trigonometrische Auflösung biquadratischer Gleichungen in geometrischer

Darstellung. E. Oekinghaus. Grün. Archiv LXX, 133.

684. Equation aux carräs des diffärences de T^quation gändrale du quatri^me degrä.

Fore stier. N. ann. math. XLII, 209.

685. Däcomposition d'un certain poljndme du quatri^me de^rä en deux factears

du second degrä. N. Goffart. N. ann. math. XLUI, 442. — H. Pia-
menevsky ibid. 530.

686. Sur la Substitution ic= — — ^ dans une äquation de degrä pair 2 m, pouvant

se partager en m groupes de deux racines x,, x^ sati^aisant ä la rela-
tion axiXi + b{Xi+X2) + c = 0. E. Fauquembergue. N. ann. math.
XLIII, 386.

687. Sur quelques points de la th^orie des äqnations numdriques. E. Laguerre.

Acta math. IV, 97.

688. Sur Papproximation des racines des äquations algäbriques. Laguerre. N.

ann. math. XLUI, 113.

689. Calcul k —— prös des racines incommensurables d'une äquation numärique

dont toutes les racines sont reelles. C. Margerie. N. ann. math. XL III, 33.

690. Die Auflösung dreigliedriger Gleichungen nach Gauss. A. M. Neil. Grün.

Archiv LXXI, 311.

691. Resolution de deux ^quations du 4« degrä ayant deux racines communes.

N. ann. math. XLllI, 348.

692. üeber lineare Gleichungen. C. Prediger. Gruu. Archiv LXX, 319.

Vergl. Analytische beometrie der Ebene 517. Elimination. Reihen 852.

Hydrodynainik.

693. Application d'une proposition de m^canique k un probläme relatif k la figure

de la terre. K Brassinne. Comut. rend. XCVII, 1137. [Vergl. Nr. 633.J

694. Recherches hydrodynamiques. C. A. Öjerknes. Acta math. IV, 121.

695. On hjrdro-kinetic symmetry. J. Larmor. Quart. Journ. math. XX, 261.

696. Des vitesses que prenuent, dans l'int^rieur d'un vase, les divers ^läments d*un

liquide pendant son ^coulement par un orifice inferieur, et des moyens
simples qui peuvent ßtre employes pour d^terminer tr^ approximative-
ment les^restes num^riques de s^ries doubles peu convergentes. De
Saint-Venant & Flamant. Compt. rend. XCVII, 1027, 1105.

697. On the motion of spherical and ellipsoidal bodies in fluid media. E. Pear-

son. Quart. Journ. math. XX, 60, 184.

698. On the motion of a liquid in and ubout certain quartic and other cylinders.

A. B. Basset. Quart. Journ. math. XX, 234.

Hyperbel.

699. Propri^t^s de l'hyperbole. C. Chateau. N. ann. math. XLII, 133. — L. C hau-

ch at ibid. 136.

700. Trouver le lieu des foyers d'une hyperbole dont on connait un soramet et une

asymptote. Sequestro. N. ann. math. XLUI, 318. — Gerono ibid. 319.

701. Lieu gäometrique du point d'intersection d'une asymptote de l'hvperbole avec

une directrice, le foyer correspondant decrivant une ligne droite donnde.
H. Cartier. N. ann. math. XLII, 420. — Gerono ibid. 421.

702. Sur une hyperbole tangente aux axes d'une ellipse, les asymptotes de Thyper-

boie 6tdnt tangentä a TeUipse. 3 uh e\-B.^iio^ . ^ . ^Ä.u\i.\s^»50ö.^iX^^^^i}^s^,

292 Historisch -literarische Abtheilung.

703. Hyperbole liea des points de contact de toutee les ellipses confocalee ateo dei

droites par^^fes ä nne direction donn^e. Ooffart. N. ann. math.
XLII, 363.

704. L*angle de deax hyperboles ^qoilatäres concentriqnefi cat doabie de Tangle

de lears asjmptotes. Giat. N. aon. math. XlU, 332.
Vergl. Ellipse 690. Hyperboloid.

Hyperboloid.

705. Anwendang der Eigenschaften des einmanteligen Rotationshyperboloides mr

LOsnug einiger Aufgaben über die Hyperbel. W. J. Hübner. Gdul
Archiv LXX, 435.

1.

Integration (uibettimmte).

706. Valettr d*ane integrale contenant la radne carr^e d*im polynöme du degr^ n.

Ch. Chabanel. N. ann. math. XLü, 378.

707. Valeur de deux integrales contenant la racine carr^e du poIynome ^x*-*

+ (n-l)a:«-«-f...+2a: + l. Eebuffel. N. ann. math. XLU, 374.

Interpolation.

708. Einfache Methode, beim Interpoliren die zweiten Differenzen in Rechnung zu

ziehen. . Neil. Grün. Archiv LXX, 302.

lavarianteatlieorie.

709. On a theorem relating to semiinvariants. Cayley. Quart Joum. math. XX, 211

710. Operations in ttie theory of semiinvariants. P. A. MacMahon. Quart Jouzn.

math. XX, 362.

711. Sur les invariants des äquations diff^rentielles linäaires du quatriäme ordre.

G. H. Halphen. Acta math. Hl, 325.

712. Sur le Systeme complet des combinants de deuz formes binaires biquadra-

tiques. C. Stephane s. Compt. rend. XCVII, 27.
Vergl. Formen«

Kegelschnitte.
718. Ueber die Bestimmung der Unterscheidungscharaktere für die Kegelschnitte,
wenn die Gleichuugen derselben in trimetrischen LiniencoorcÜnaten ge-
geben sind. A. Ehlert. Grün. Archiv LXXl, 51.

714. Zur elementar geometrischen Eegelschnittslehre. E. Lauermann. Grün.

Archiv LXXI, 126.

715. Sur les triangles conjuguäs k une conique et sur les tätraMres conjugu^ ä

une quadrique. Uumbert. N. ann. math. XLU, 167.

716. Eine Verallgemeinerung der Sätze von Pascal und Brianchon und das Pro-

blem von Castillon. B. Sporer. Grün. Archiv LXXI, 333.

717. Demonstration et consäquences du th^oreme que deux coniques quelconques

sont polaires r^ciproques. G. Tarry. N. ann. math. XLUI, 270.

718. Bäciprocit^ du centre d'une conique et d'un point d'un triangle inscrit. J.

Richard. N. ann. math. XLUI, 490.

719. Relations entre les distances d'un fo^er d*une conique ä quatre points ou k

quatre tangentes. X. Antomari. N. ann. math. XLII, 193, 337, 385.

720. Lieu des sommets de triangles circonbcrite ä une conique donn^e. H. Faure.

N. ann. math. XLUI, 144. [Vergl. Bd. XXVIl, Nr. 68.J

721. Perspectividche Dreiecke, die einem Kegelschnitte einbescbrieben sind. L. Klug.

Grün. Archiv LXXI, 292. [Vergl. Nr 661.J

722. Cercle inscrit d'un triangle dont les sommets sont les foyers d'une conique

donn^e et un point donnä de la m^me conique. N. ann. math. XLUI, 449.

723. Quadrilat^res inscrits dans une conique le point de concours des diagonales

^tant fixe. M. d'Ocagne. N. ann. math. XLUI, 528.

724. Sur la condition pour qu'un polygone soit inscrit et circonscrit k deux coniques.

Weill. N. ann. math. XLIII, 128.

725. Proprio t^ des tan^ntes ä une couiciues mendes de deux points situ^ sur Taxe

des X et äquidistants de Torigine. Moret-Blanc. N. ann. math. XLH,
522. — ßarisien ibid. XLUI, 441.
726, Coniqae engendr^e par le point d'\iA.et%«eM\OTi ^^ ^«ax tangentes ä une conique
aojm6e. L. Kien. "N. ann. m«A)[i. 'SiAV b\\.

Abbandlungsregister. 293

727. Propri^t^ d*ane conique et de deux taugentes. N. Goffart. N. ann. math.

XLII, 876.

728. En chaque point d'ane coniqae on mäne un diam^tre et la normale. Trouver

le li6u de rintersection du diamätre et de la tangente ä Tautre extr^mitä
de la corde normale. Moret-Blanc. N. ann. math. XLII, 471.
720. Bestimmung der OsculationekreiBe der Eegelechnitte mit Hilfe von Eigen-
schaften der Sehnen, welche ein Kegelschnitt mit seinen Osculationskreisen
gemein hat. Jos. Zimmermann. Grün. Archiv LXX, 30.

730. Ueber die Mittelpunkte der Sehnen, welche ein Kegelschnitt mit seinen Oscu-

lationskreisen gemein hat. Jos. Zimmermann. Grün. Archiv LXX, 38.

731. Coniqnes passant par les points d'intersection de deux circonferences et tan-

gentes ä tout^ les deux. A. Hilaire. N. ann. math. XLII, 504. [Vergl.
Bd. XXVni, Nr. 618.]

732. Cordes paralleles aux tangentes men^es d'un point ä, une conique. N. Goffart.

N. ahn. math. XLIIL 492.

733. Propri^t^ des segments d'une droite passant par deux coniques homoth^tiques

et leur säcante commune. E. Fauquembergue. N. ann. math. XLII,
324.

734. Snr les coniques qui coupent ä angle droit une conique donn^e. Weill.

N. anu. math. XLIII, 320.

735. Th^or^mes sur trois coniques d'un faisceau linäaire. Weill. N. ann. math.

XLUI, 19.

736. üeber einige Eigenschaften einer besonderen Kegelschnittschaar. C. Hossfeld.

Grün. Archiv LXX, 253.

737. Einige Sätze über das Viereck und Kegelschnittbüschel. L. Klug. Grün.

Archiv LXXI, 304.
Vergl. Ellipse. Hyperbel. Ejreis. Parabel.

Kettenbrüehe.

738. Sur un d^veloppement en fraction coutinue. L. Fuchs. Acta math. IV, 89.

— Ch. Hermite ibid. 91.
Vergl. Optik 813.

Xreit.

739. Relation entre les distances deux ä deux de quatre points du cercle ou de

cinq points d*une sphere. H. Faure. N. ann. math. XLUI, 196.

740. Propri^t^ des deux droites de Simson. N. Goffart. N ann. math. XLUI, 397.

741. Cercle enveloppä par une droite. Colin. N. ann. math. XLU, 248.

742. Snr le cercle qui a pour diamätre une corde d'une conique k centre. Weill.

N. ann. math. XL UI, 136. — Juhel-Ränoy ibid 336.

743. Sur la drconfärence des neuf points. E. Catalan. N. ann. math. XLII, 82.

744. Nouveau point situä sur le cercle des neuf points. V. de Sträkalof. N. ann.

math. XLU, 326.

745. Sur deux cercles tangents entre eux et touchant chacun une de deux droites

fixes. Moret-Blanc. N. ann. math. XLHI, 542.

746. Sur les cercles tangents ä trois cercles et les sph^res tangentes ä trois ou ä

quatre sph^res. A. Pellet. N. ann. math. XLUI, 316.

747. Recherche des cercles coupant trois cercles donnäs sous des angles d^termin^s.

E. M. Laquidre. N. ann. math. XLII, 272, 348.

748. A gronp of circles. R. Tucker. Quart. Joum. math. XX, 57.

Magnetismus.

749. Comparaison des hypoth^ses des fluides magndtiques et des courants molä-

culaires. P. Le Cordier. Compt. rend. XCVII, 478.

750. Sur rinduction. P. Le Cordier. Compt. rend. XCVU, 625.

Manniehfaltigkeiten.

751. De la puissance des ensembles parfaits de points. G. Cantor. Acta math.

IV, 381.

752. Beweis eines Satzes aus der Mannichfaltigkeitslehre. E. Phragmän. Acta

math. V, 47.

Mmzima und Minima.

753. Bemerkungen und Zusätze zu Steiner's Aufsätzen über Maximum und Minimum«

B. Sturm. Grelle XCVl, 36.

I

296 Historisch -literariscbe Abtheilung.

Optik.

813. Formules g^n^rales des systämes dioptriques centr^s. Monoyer. Comptreod.

XCVl^ 88.

814. üeber optische Strahlensysteine. M. Biasendorff. Grelle XCVII, 172.

815. Ueber die Lage der Brennlinien eines unendlich dünnen Strahlenbündels gegen

einander und gegen einen Hanptstrahl L. Matthiessen. Acta matk
IV, 177.

816. Construction (ir^om^trique des caustiques par r^flexion. Laquiere. N. aon.

math. XLU, 74.

817. Rückblick auf eine Schattenfläche von Laplace. A. Wittstein. Grün. Ar-

chiv LXX, 239.

818. Zu einem Aufsatze von Dr. E. Maiss. A. Wange rin. Gmn. Archiv LXX,

111. [VergL Bd. XXV U, Nr 204.]

819. Vitesse des ondes. Rayleigh. Compt. rend. XCVII, 567. — Guy ibid. 1476.

820. Sur la dispersion de la lumidre. C. E. de Elercker. Compt. rend. XCVII, 707.

821. Determination des constantes optiques d*un cristal biräfringent k aue axe. L.

Lävy. Compt. rend. XCVU, 1296.
Vergl. Geometrie (descriptive) 638. Geometrie (höhere) 643.

P. I

Parabel.

822. Propri^te des normales k une parabole. N. Goffart. N. ann. math. XLII, S3t

823. Sur les trois normales menäes d*un point a une parabole. A. Chambeaa.

N. ann. math. XLII, 500.

824. Sur les trois cercles osculateurs d'une parabole oui touchent une tangente a

cette conrbe. Ch. B risse. N. ann. math. XLUI, 388.

825. Contour polygonal inscrit dans une parabole. Moret-Blanc. N. ann. math.

XLli, 322.

826. Propriätä d'une parabole ayant une certaine droite pour directrice et un ce^

tain point pour sommet. E. Barisien. N. ann. math. XLQ^ 415.

827. Construire une parabole tangente k une circonf(§rence donn^e, connaissant Taxe

et le param^tre de la parabole. Moret-Blanc. N. ann. math. XLIII,
894.

828. Paraboles tangentes a la fois deux droites rectangulaires et un cercle tangent

ä ces deux droites. E. Barisien. N. ann. math. XLIII, 535.

829. Thäordme sur deux paraboles. L. Clement. N. ann. math. XLIII, 487.

Vergl. Geometrie (höhere) 643.

Paraboloid.
8S0. Sur les lignes de courbure du paraboloide äquilat^re. P. Barbarin. N. ami.
math. XLni, 97.

Pendel.

831. Einfaches Pendel im Baume bei Anziehung von einem Punkte in endlicher

Entfernung. R. Hoppe. Grün. Archiv LXX, 405.

832. Osdllationen eines Bifilarpendels. R. Hoppe. Grün. Archiv LXX, 188.

Planimetrie.

833. The symmedian- point axis of an associated system of triangles. K. Tucker.

Quart. Journ. math. XX, 167.

834. Sur la symädiane. M. d'Ocagne. N. ann. math. XLII, 450; XLIII, 26.

835. Sur les propriät^s segmentaires du triangle. M. d'Ocagne. N. ann. math.

XLII, 497. — De Saint-Germain ibid. XLOF. 302.
886. Propriöt^ du centre du cercle circonscrit ä un triangle en rapport avec le
point d'intersection des trois hauteurs. E. Le meine, ä. ann. math.
ALU, 525.

837. Point d'intersection de trois droites. M. Raclot. N. ann math. XLII, 478.

838. Th^ordme sur le triangle rectangle. Goffart. N. ann. math. XLII, 527.

839. Sind in einem geradlinigen Dreieck zwei Winkelhalbirende gleich, so li^en

die halbirten Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreiecks.
P. Seelhoff. Grün. Archiv LXX, 223.

840. Aufgabe über das gleichschenklige Dreieck. H. Simon. Grün. Archiv LXXI,

222. [Vergl. Ud. XXV\\\, ^i. ^^1 ,\
8il, Trouver les c6^ d'un tnajitt\e, \ak ^omm^* ^^ \^>ä% co^^^ %NÄ\i\» ^^\s^^

fosant qu'ÜB aoient mx&ipV^Ä dxi x^^^^cixi ^xx wcOä Sxä^scv\.. ^.^\^TL.T&ai^
LEI, 444.

Abbandlungsregister. 295

785. Sur le fouctionnement d'ane turbine. M. Deprez. Compt.rend.XCVn, 697.

Vergl. Akustik. Analytische Geometrie der Ebene 608, 517. Elasticität.
Elektricität. Geodäsie. Hydrodynamik. Magnetismus. Optik. Pendel.
Schwerpunkt. Wärmelehre.

Melirdimensionale Geometrie.

786. Ausdehnung einiger elementarer Sätze über das ebene Dreieck auf Räume von

beliebig vielen Dimensionen, ß. Mehmke. Grün. Archiv LXX, 210.

Oberflächen.

787. Sur la gdn^ration des surfaces. J. S. & M. N. Vanecek. Compt. rend. XCVII,

1473, 1548.

788. Sur les surfaces du troisiäme ordre. C. Le Paige. Compt. rend. XCVII,

34, 158.

789. Sur les surfaces du troisiäme ordre. C. Le Paige. Acta math. III, 181.

790. Nouvelles recherches sur les surfaces du troisi^me ordre. C.Le Paige. Acta

math. V, 195.

791. Lineare Constructionen zur Erzeugung der kubischen Fläche. H. Schroeter.

Crelle XCVI, 282.

792. Sur nn faisceau de surfaces d'ordre quelconque. A. Legoux. N. ann. math.

XLU, 233; XLIII, 161.

793. üeber Canalflächen. R. Hoppe. Grün. Archiv LXXI, 280.

794. Sur la aurface des ondes. G. Darboux. Compt. rend. XCVII, 1089, 11.33.

795. Sur une famille de surfaces developpables passant par une courbe gauche

donnäe. L. Ldvy. Compt. rend. XCVU, 986.

796. Sur la construction des plans tangents d'une surface de rdvolution qui passent

par une droite donni^e. Rouquet. N. ann. math. XLUI, 194.

797. Sur une famille de surfaces algebriques; considärations sur des surfaces

orthogonales et homofocales. A. Legoux. Quart. Journ. math. XX, 1.

798. Sur les Systeme» triples de surfaces orthogonales. Doucet. N. ann. math.

XLUI, 315.

799. Sur r^quation aux därivdes partielles du troisieme ordre des syst^mes ortho-

gonaux. G. Darboux. Acta math. IV, 93.

800. Sur les cercles gdoddsiques. G. Ossian Bonnet Compt. rend. XCVII, 1360.

801. Sur le systäme de coordonnäes polaires gäoddsiques. G. Ossian Bonnet.

Compt. rend. XCVH, 1422.

802. Sur les diverses courbures des lignes qu'on peut tracer sur une surface. Issoly.

N. ann. math. XLlll, 522.

803. Krümmimgslinien in den Nabelpunkten von Flächen. R. Hoppe. Grün. Ar-

chiv LXX, 289.

804. üeber aie Krümmung der Flächen. 0. Böklen. Crelle XCVI, 152.

805. Sur les surfaces dont la courbure totale est constante. G. Darboux. Compt.

rend. XCVII, 848.

806. Sur les surfaces ä courbure constante. G. Darboux. Compt. rend. XCVH,

892, 946.

807. Zur Theorie der Flächen gerader Ordnung. Ed. Mahl er. Grün. Archiv

LXX, 313.

808. Ueber die Singularitätenflächen quadratischer Strahlencomplexe und ihre

Uaupttangentencurvcn. Th. Reye. Crelle XCVII, 242.
Vergl. ueometrie (abzählende).

OberflAchen zweiter Ordnung.

809. Theorie des surfaces du second ordre en coordonnt^es obliques. S. Gu nd el-

fin g er. N. ann. math. XLIII, 7. [Vergl. Bd. XXVIII, Nr. 694J

810. Sur le complexe form^ par les axes d^uue surface du second ordre. G. Koe-

nigs. N. ann. math XLII, 267.

811. Sur rintersection de deus qiiadriques r^gläes. E. Lebon. N. ann. math.

XLU, 47.

812. üeber die Durchdringung gleichseitiger RotatioxÄVi^^ctXiOicA^«^ ^qtö. ^-^ä-^^^^össsq^

Äxen. TV. Fiedler. Acta math. "V, ^^\. ^ ^ x^ vv,

Vergl EUipBoi± Geometrie (deacripiiveN ^^^. ^i^«t\i^\av\. ^^^k^^'^cs.säi
716, Paraboloid. Sphärik.

298 Bistorisch- literarische Abtheiluug.

866. Ein Problem über berührende Eageln. B. Hoppe. Gran. Archiv LXXI, 148.

867. Th^or^me sur trois cordes d'ane anhöre passant par un m€me point int^rieor.

H. Faure. N. ann. math. XLill, 634.

868. Sphäre passant par les pieds de qaatre normales ä on paraboloide ellipUqae

partAnt d'un mtoe point. Fönten^. N. ann. math. XLIII, 423.
Vergl. Kreis 746.

Stereometrie.

869. Sor Texistence de certains polyödres. £. Cesaro. N. ann. math. XLII, 46.

870. Sur certaines plus courtes oistances dans nu tätra^dre. H. Brocard. N. ann.

math. XLIII, 531.

871. Angle compris entre deux fjEtces laterales d*une pyramide k base carr^. J.

Richard. N. ann. math. XLIII, 493.

8iLbstitatione&.
878. Quelques propri^t^ ölämentaires des groapes plusieurs fois transitiv. E.
Cesaro. N. ann. math. XLIII, 471.

873. Sur les ^roupes d*ordre fini, contenus dans le groupe des substitutions qua-

dratiques homogenes ä trois yariables. L. Antenne. Compt. rend.
XCVÖ, 567.

Taylor't Beihe.

874. Sur le thäor^roe f{x+h)-f{x) = h.f(X'hBh). J. Peans. N. ann. math.

XLÜl, 45, 262. — C. Jordan ibid. 47. — Ph. Gilbert ibid. 163, 476.

Tlietaftinetionen.
876. Zur Transformation der Thetafunctionen. Ferd. Müller. Grnn. Archiv
LXXI, 161.

876. Verallgemeinerung einer Relation der Jacobi*sohen Functionen. R. Hoppe.

Grnn. Archiv LXX, 400.

877. Ein neuer Beweis für die Riemann^sche ThetaformeL F. Prym. Acta math.

UI, 201.

878. Ableitung einer allgemeinen Thetaformel. F. Prym. Acta math. III, 216.

879. Ueber die Verallgemeinerung der Riemann'schen Thetaformel. A. Krazer &

F. Prym. Acta math. lll, 240.

880. Ueber Gruppen von Thetacharakteristiken. G. Frobenius. Grelle XC VI, 80.

881. Ueber Thetafunctionen mehrerer Variabein. G. Frobenius. Grelle XCVI, 100.

882. Ableitung des Weierstrass'schen Fundamentaltheorems für die Sigmafunction

mehrerer Argumente aus den Kronecker'schen Relationen fiir Subdeter-
minanten symmetrischer Systeme. F. Caspary. Grelle XCVI, 182.

883. Zur Theoiie der Thetafunctionen mehrerer Argumente. F. Caspary. Grelle

XCVI, 324.

884. Ueber das Additionstheorem der Thetafunctionen mehrerer Argumente. F.

Caspary. Grelle XCVU, 165.

Trigonometrie.

885. Sur quelques identit^s trigonomätriques. G. Fouret N. ann. math. XL U, 262.

886. Note de trigonom^trie ('Idmentaire. N. Goffart. N. ann. math. X'LIII, 104.

887. Propriät^ de tout point int^rieur k un triangle. N. Goffart. N. ann. math.

XLUI, 443.

888. Diviser un triangle par des perpendiculaires tir^es d*un point intärieur sur les

cöt^s en trois quadrilatäres Äquivalents. Laser. N. ann math. XLUI, 332.

889. Condition sous laquelle un triangle se trouve isoscele. N Goffart. N. ann.

math. XLII, .^21.

890. Ein Dreieck zu construireu aus einem Winkel, der Winkelhalbircnden und der

durch die Winkelspitze gehenden Mittellinie. P. Seelboff. Grün. Arch
LXXI, 97.

891. Galculer un triangle connaissant deux cöt^s et sachant qu^il est äquivalent au

triangle equilat^ral construit sur le troisi^me cöt^. Moret-filanc. N.
ann. math. XLII, 466.

892. Sur un triangle et quadrilat^re Äquivalents. Moret-Blauc. N. ann matb

XLUI, 494.

893. Calcul de Tangle entre le diametre d*un cercle passant par un point donnä

et une s^cante passant par le mäme point. Moret-Blanc. N. ann.
math XLII, 464.
Vergl. Gleichungen 6S3. Spb^tlk.

Abhandlungsregister. 299

mtraelUptUehe Tnuite6iidente&.

894. Zur Theorie der Transformation hyperelliptischer Functionen zweier Argu-

mente. Wiltheiss. Grelle XCvl, 17.

895. Snr le multiplicateur des fonctions hyperelliptiques de premier ordre. M.

Krause. Acta math. UI, 283.

896. Sur la transformation des fonctions hyperelliptiques du premier ordre. M.

Krause. Acta math. III, 153.

TTmkehrungtprobldm.

897. Sur la g^näralisation d'une formule d*Abel. N. Sonine. Acta math. TV, 171.

T.

Yariationtreehnimg.

898. Theorie nouvelle du calcul des yariations. A. Picart N. ann. math. XLII, 49.

W.

Wirmelehre.

899. Sur la mesure des chaleurs sp^cifiques et des conductibilit^s. Morisot.

Compt. rend. XCVII, 1426.

900. Mode de räpartition de la chaleur d^yeloppäe par Taction du forgeage. Tresca.

Compt. rend. XCVII, 222.
Vergl. Mechanik 779.

Wahrtoheioliohkeittreehnimg.

901. Probabilitä pour qu*une permutation donn^e^de^n lettres soit une permutation

"^ ' " drä.
questio
XLUl, 118.

alternde. Dös. Andrä. Compt. rend. XCVII, 983.
902. Sur une question de probabllit«^ geomätrique. E. Lemoine. N. ann. math.

908. Une question de rentes yiag^res. L. Lindelöf. Acta math. III, 97.

Zahlentheorie.

904. Sur quelques consäquences arithmötiques des formules de la thöorie des fonc-

tions elliptiques. Ch. Hermite. Acta math. V, 297.

905. Beweise des Keciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste. L. Kron-

ecker. Crelle XCVI, 348; XCVII, 93.

906. On the fonction y(n). J. W. L. Glaisher. Quart. Joum. math. XX, 97.

907. Propriätös d'une fonction arithmätique. £. Cesaro. N. ann. math. XLIIi, 431.

908. Sur un thäor^me de Liouville relativ aux nombres de classes de formes qua-

dratiques. Stieltjes. Compi rend. XCVII, 1358, 1415.

909. Sur la fonction f{n) qui dänonce le nombre des Solutions de TäquaticA

n = a;« + y«. Stieltjes. Compt rend. XCVII, 889.

910. Nombre total des solutions entidres d^un certain Systeme d'^quations. N.

Goffart N. ann. math. XLUf, 589.

911. Nombre des solutions entidres (non negatives) des ^quaüons a; + 2y=:n~l,

2iC + 3y = n — 8, 3ir + 4y = n — 5 etc. E. Cesaro N. ann. math. XLII,
380.

912. Resolution compl^te, en nombres entiers, de T^auation gänärale du second

degrä, homogene et contenant nn nombre quelconque d'inconnues. Des-
bo?es. N. ann. math. XLIII, 225.

(Ki+i)*"-* -I- (KS-i)*"-*

918. Le nombre ^ = est la somme des carrds de deux nombres

2^2
entiers. £. Fauauembergue. N. ann. math. XLII, 476.

914. a, h, n 6ta,ni des nombres entiers et n>l, la qnantitä

2 Vä*Tb*
est la somme de deux carr^s et aussi la somme de trois carräs. E. Ca-
talan. N. ann. math. XLIII, 342.

915. Tont nombre dont le carr^ se compose des carr^s de deux nombres entiers

consäcntifs est ägal ä la somme des carr^s de trois nombres entiers dont
deux, au moins, sont cons^cutifs. Romer o. N. ann. math. XLII., a%A.

300 Historisch -literarische Abtheilung. Abhandlungsregister.

916. a, X, y ^tant des nombres entiers cbaque valeur de x qui yärifie T^qnation

fo* + l)a:* = y* + 1, en dehors de x = 1 et de a; = 4 a* + 1, est la somme de
trois carr^ E. Fauquembergae. N. ann. matb. XLIIi, 345.

917. La somme des puissances 4n de deox nombres entiers in^gauz est une somme

de quatre carr^s, dont deux sont ^gaux entre eax. K Catalan. N. ann.
math XLUI, 347.

918. Od tbe representations of a number as the sum of four uneven sqaares, and

as the sum of two even and two uneven Squares. J.W. L. Glaisher
Quart. Joum. math. XX, 80.

919. 8ur la däcomposition d^un nombre en dnq carräs. Stieltjes. Compt. rend.

XCVU, 981.

920. R^soudre en nombres entiers T^quation a;* + y* = u* + v*+l. £. Fauquem-

bergue. N. ann. math. XLIII, 346.

921. Sur quelques äquations iudätermin^es. S. B^alis. N. ann. math. XLII, 289,

494, 635: XLUI, 305.

922. Insolubilit^ de T^quation ^ = rc* + (x + 1)* en nombres entiers ä moins de

x = 0. A. Fauquembergue. N. ann. math. XLII, 430. — P. D. ibid.
XLUI, 301. •

923. Trouver les Solutions entiäree de T^quation rc^ + «• + a: 4- 1 = t^*. E. Fau-

quembergae. N. ann. math. XLllI, 588.

924. Involubilit^ de T^quation

(2 + ^)''+* + (2 - J/S)*'+^ = A [(1 + ^2)*»+< _ (1 « ^2)*''+* ]

^2
en nombres entiers antres que a;=:^ = 0. E. Fauquembergue. N. ann.
math. XLII, 372.

925. Propriät^ de la somme des 2a^"«« puissances des nombres 1, 2, ... p — 1 en

prenant pour p un nombre premier >3. Moret-Blanc. N. ann. math.
XLUI, 395.

926. On the divisors of numbers and products of factors. S. Roberts. Quart

Joum. math. XX, 370.

927. Somme de produits des nombres premiers kN ei non supärieurs k ce nombre.

MoretBlanc N. ann. math. XLIII, 483.

928. Congruence de deux produits par rapport ä un module premier. Ch. Cha-

banel N. ann. math. XLII, 427.

929. Zu Euler's Recursionsformel für die Divisorensummen. Chr. Zeller. Acta

math. IV, 415.

930. Thdor^me sur les quotients des divisions d'un nombre donnä par les nombres

moindres consäcutifs. Ch. Chabanel. N. ann. math. XLII, 474

931. Dämonstration d'un thäoreme de Fermat. A. Genocchi. N. ann. math.

XLII, .306.

932. Befreundete Zahlen. P. Seelhoff. Grün. Archiv LXX, 75.

^ Vergl. Formen. Geschichte der Mathematik 663. Reihen 852.

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