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Full text of "Zeitschrift fur Mathematik und Physik"

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REESE  LIBRARY  \ 

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UNIVERSITY  OF  CALIFORNIA. 


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Zeitschrift 


Mathematik  und  Physik 


heraasgegeben 
unter  der  verantwortlichen  Bedaction 


Dr.  O.  Sohlömiloh,  Dr.  E.  EaM 


Dr.  M.  Cantor. 


PUnfter  Jahrgang. 

Mit  7  lithogpraphirten  Tafeln  und  Holzschnitten. 


LEIPZIG, 

Verlftg  von  B.  6.  Tenbner. 
1860. 


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Inhalt. 


Arithmetik  und  AnalyBis«  Seife 

Bemerkung  über  discontinairliche  Functionen.   Von  O.  SchlÖwlcb     ....  55 
Gelegentliche  Bemerkung  über  anendliche  Reihen.    Von  O.  ScblÖmii:.ch  .     .     .  182 
Wiederholung,  Interpolation  und  Inrersion  einer  Function  unter  gemeinschaft- 
licher Form.   Von  Dr.  Hoppb %     .,  136 

TJeber  ein  gewisses  mathematisches  Princip.    Von  Dr.  Zbhfüss 210 

Beurtheilung  der  bis  jetzt  üblichen  Auflösungen  der  Aufgaben  über  Verlegung  • 

der  Zahlungrstermine  und  Qesellschaftsrechnungcn.    Von  Dr.  ScHLscaTEB  215 

Ueber  einen  arithmetischen  Satz.   Von  O.  Scblömilch 228 

Ueber  die  Anzahl  derPrimzahlen  unter  einer  beliebigenQrenze. 

Von  Professor  Dr.  Scbeibneb 233 

fsinPaf 

Ueber  das  bestimmte  Integral  J —  dx.     Von  O.  Schlömilcb 286 

Ueber  die  Differentiation  unendlicher  Potenzenreihen.    Von  O.  Scblömilcb  .     .  292 

Ueber  den  Integralsinus  und  Integral cosinus.    Von  O.  Scblömilcb 204 

Die  Integration  der  linearen   Differentialgleichungen  zweiter  Ordnung.    Von 

O.  SCHLdMILCB 328 

Zusammenhang  unter  den  Coefficienten  zweier  gleichen  Kettenbrüche  von  ver- 
schiedener Form.    Von  Dr.  Hkilbbmabb 362 

Integration  einiger  partiellen  Differentialgleichungen.   Von  Dr.  Stebh     .     .     .  427 

Berichtigung.   Von  Professor  Dr.  Oettihoeb 435 

TheoretlBclie  und  praktisohe  Q^ometrie. 

Von  den  Fusspunktlinien.     Von  Dr.  Wbtziq 1 

Fortsetzung  und  Schluss  der  yorigen  Abhandlung 81 

Differentialformeln  der  Tetraedrometrie.   Von  Oberschulrath  Dr.  Müllbb     .     .  49 

Construction  flächengleicher  Figuren.    Von  Dr.  Fiedbeb 56 

Eine  Aufgabe  aus  der  descriptiven  Geometrie.    Von  E.  Bacaloolo 59 

Einige  Eigenschaften  der  Kegelschnitte.    Von  Dr.  Wetzio 63 

Einige  neue  Sätze  über  Fusspunktflächen.    Von  £.  Bacaloolo 67 

Bemerkungen  über  Curven  und  Flächen  zweiten  Grades.  Von  Dr.  Heilbbmabb  69 
Ueber  einige  bei  trigonometrischen  Messungen  yorkommende  Aufgaben.    Von 

Prof.  Dr.  WiHCKLEB    .     .  ^ 139 

Elementarer  Beweis  des  Vdller'sdien  Satzes  und  Uebertragung  desselben  auf 

räumliche  Verhältnisse.   Von  Dr.  Mattbissseh 146 

Ueber  einige  merkwürdige  Beziehungen,  in  denen  dieFlächen 

zweiten  Grades  zu  einander  stehen.     Von  Dr.  Scböbbebb  .     •  153 

Zur  Theorie  der  parallelen  Gurren.   Von  Dr.  Cahtob 219 

Der  Distanzmesser  von  Biagio  de   Benedictis.     Von  Dr.  Zbtzbcbb     .     .  228 

Ueber  Loxodromen  auf  Umdrehungsflächen.    Von  Prof.  Dr.  Juhob 296 

Ueber  die  geometrische  Darstellung  der  Werthe  einer  Potenz 

mit    complexer   Basis   und    complezen   Exponenten.     Von 

Dr.  Dubbob 345 

Ueber  die  grössten  Polygone,  die  sich  über  eine  gegebene  Gerade  einer  Parabel 

einschreiben  lassen.    Von  Prof.  Spitbbb 363 


IV  Inhalt. 

Seite 
Uebcr  die  grösaten  Dreiecke ,  die  sich  über  eine  gegebene  Gerade  einer  Ellipse 

oder  Hyperbel  einschreiben  lassen.    Von  Prof.  Spitzbb 364 

Die  Beziehung  zwischen  den  Halbmessern  von  vier  sich  gegenseitig  berühren- 
den Kreisen ,  sowie  von  fünf  derartigen  Kugeln.   Von  Prof.  Dr.  Baub      .    305 
Das  Problem  des  Pappus  und  die  Gesetze  der  Doppelschnitts- 
yerhältnisse  bei  Gurven  höherer  Ordnungen  und  Glassen. 
Von  Dr.  Fiedler 377 

Mechanik. 

Ueber  die  Festigkeit  einer  am  Rande  aufgelötheten  kreisför- 
migen Platte.     Von  Dr.  Zehfuss 14 

Ueber  die  Richtungsänderung  der  Verticale.    Von  E.  Bacaloolo 59 

Eine  Methode ,  das  specifische  Gewicht  fester  Körper  ohne  Gewichte  nur  mit 

Hülfe  eines  g^aduirten  Waagebalkens  zu  bestimmen.    Von  Dr.  Kahl  .     .  77 
Bestimmung   der    Trägheitsmomente    namentlich    für   schiefe 

Prismen  und  Pyramiden.    Von  Dr..ZaTBSGHa 104 

Mechanische  Aufgabe.    Von  Dr.  Kahi^ 298 

Ueber  den  Satz  vom  Parallelogramm  der  Kräfte.   Von  O.  ScblÖmilch  ....  435 

Bemerkung  zu  einer  Stelle  der  M^canique  Celeste.   Von  A.  Mcemabv  ....  438 

Akustik. 

Helmholtz*8  Versuche ,  die  Vocale  durch  Mischung  einfacher  Töne  nachzu- 
ahmen.   Von  Dr.  Kabl 78 

Optik. 

Üeber  die  Lichtempfindlichkeit  des  Asphalts.    Von  A,  v.  Püboeb.    Mitgetheilt 

▼on  Dr.  Karl 150 

Doyens  Vorschlag  zur  Schwächung  des  Lichts  intensiver  Lichtquellen.     Von 

Dr.  Kahl 151 

Einige  Bemerkungen  über  die  Bedeutung  der  Fusspunktcurven  und  Fusspunkt- 

flächen  in  der  Katoptrik.    Von  Dr.  Msldb 223 

Notiz  über  die  photographirten  Lichtspectren  des  Dr.  J,  Müller.  Von  Dr.  Kahl    374 

Ueber  die  Fraunhofer'schen  Linien.   Von  Kibcbboff.    Mitgeth.  von  Dr.  Kahl    376 

Wärmelehre  und  MoleotQarphyBik. 

Beiträge  zur  Theorie  der  Gase.     Von  Dr.  Jochvakh 24 

Fortsetzung  und  Schluss  der  vorigen  Abh^uidlung 96 

Elektrioitat  tuid  ICagnetifonuB. 

Beiträge  zur  Geschichte   der  Fortschritte  in  der  elektrischen 

Telegraphie.     Von  Dr.  Zbtzscrb 39 

Fortsetzung  und  Schluss  der  vorigen  Abhandlung 395 

Bemerkung  zur  Theorie  der  elektrischen  Ströme.   Von  Stud.  Roch 151 

Dr.  Reitlinger*s  Versuche  über  flüssige  Isolatoren  der  Elektridtät.    Von 

Dr.  Kahl 229 

Die  Fundamente  der  Elektrodynamik,    Von  X>r.  Kahl     .    •    .    •     .  253 

Fortsetzung  und  Schluss  der  vorigen  Abhandlung.     .....<....  305 

Du  Bois-Beymond^s  Versuche  über  die  Polarisation  d«r Elektroden.   Von 

Dr.  Kabl 301 


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^M/ 


I. 

Von  den  Fnsspnnktlinien. 

Von  Dr.  Franz  Wetzig  in  Leipzig. 

(Zweiter  Artikel.) 


m  Benelraiig«ii  switehen  d«&  Tlftohenialialten  tob  Fnsspiiiücflinien 
derselben  Basis  von  TencMedenen  Polen  aus. 

#  7. 

Steiner  hat  in  der  Abhandlang:  „Vom  Krümmnngsschwerpnnkt  ebe- 
ner Curven"  (Crelle's  Journal,  Bd.  21)  folgenden  merkwürdigen  Satz  anf 
geometrischem  Wege  bewiesen : 

„Unter  allen  Fusspunktlinien  einer  gegebenen  geschlossenen  nnd  überall 
convexen  Cnnre  hat  diejenige  den  kleinsten  Inhalt,  welche  dem  Krümmungs- 
schwerpnnkt  entspricht.  (Krümmnngsschwerpnnkt  ist  der  Schwerpunkt  einer 
Carve,  deren  Belastung  umgekehrt  proportional  dem  Krümmungshalbmesser 
vertheilt  ist.)  Der  Inhalt  der  Fusspunktlinie  für  einen  beliebigen  Pol  ist 
gleich  (^esem  Minimalinhalt,  vermehrt  um  die  halbe  Kreisflilche,  welche 
den  Abstand  dieses  Pols  vom  Krümmungsschwerpunkt  zum  Halbmesser  hat« 
Sind  n  geschlossene  und  überall  convexe  Curven  gegeben,  so  ist  der  Schwer- 
punkt ihrer  Krüm'mnngsschwerpunkte  Minimnmpol,  .und  wird  die  Summe 
der  Inhalte  in  Bezug  auf  einen  anderen  Pol  um  die  n  fache  halbe  Kreis- 
fläche übertroffen ,  welche  den  Abstand  beider  Pole  zum  Halbmesser  hat. 
Der  Ort  des  Pols  für  constanten  Flächeninhalt  ist  also  ein  Kreis ,  dessen 
Mittelpunkt  der  Minimumpol  ist.**  Raabe  hat  (Crelle^s  Journal,  Bd.  50)  ana- 
lytisch gezeigt,  dass  für  eine  nicht  geschlossene  Curve  der  Ort  des  Pols  für 
Constanten  Flächeninhalt  eine  Ellipse  ist. 

Um  diesen  Sätzen  eine  allgemeine  Ausdehnung  ai|f  beliebige  Curven 
zu  geben ,  ist  nöthig ,  das  Vorzeichen  des  Krümmungshalbmessers  anf  eine 
von  der  Lage  des  Pols  und  überhaupt  des  Coordinatensystems  unabhängige 
Weise  zu  bestimmen.  /^  i 

?eU.chrin  f.  Mathematik  u.  Physik.  V.  ^'9'^'^f^  ^^  V^OOglC 


2  Von  den  Fusspunktlinien. 

Lässt  man  eine  Gerade  an  einer  Curve  sich  berührend  fortbewegen, 
welche  Bewegung  man  als  eine  Drehung  mit  stetiger  Veränderung  des 
Drehpunktes  ansehen  kann,  so  ist  die  Richtung  dieser  Drehung  stets  die- 
selbe, so  kinffe  die;Purve  keinen  Wendepunkt  hat;  geht  aber  die  Krüm- 
mung der  Oir^^f^^cch^  einen  Wendepunkt  in  die  entgegengesetzte  Über,  so 
wird  auch  ^ie^ Drehungsrichtung  der  Berührenden  die  entgegengesetzte. 
Der  Krümmungshalbmesser  soll  daher  positiv  oder  negativ  genommen  wer- 
den, je  nachdem  die  Drehung  der  Berührenden  in  positiver  oder  negativer 
Richtung  erfolgt.  Da  hiernach  das  Vorzeichen  der  Krümmung  eines  Cur- 
venstückes  AB  davon  abhängt,  ob  man  die  Berührende  ihren  Weg  von  A 
nach  B  oder  von  B  nach  A  machen  lässt,  so  soll  stets  der  Punkt  als  An- 
fangspunkt genommen  werden ,  für  den  die  Gesaramtdrehung  der  Berüh- 
renden bei  ihrer  Fortbewegung  bis  zum  Endpunkte  eine  positive  ist. 

Die  Drehung  des  Vectors  der  Fusspunktlinie  stimmt  nun  nach  Grösse 
und  Richtung  mit  der  der  Berührenden  der  Basis  überein ,  da  er  auf  dieser 
senkrecht  steht.  Mithin  bewegt  sich  der  Vector  der  Fasspunktlinie  immer 
parallel  dem  Krümmungshalbmesser  der  Basis,  und  ist  daher  das  Winkel- 
differential dtp^  der  Fusspunktlinie  gleich  dem  Contingenzwinkel  der  Basis 

ds 

— -.  Da  nun  hier  ds^  stets  positiv  zu  nehmen  ist.  so  gilt  auch  dem  Vorzeichen 

nach  die  Gleichung 

Dieselbe  folgt  auch  direct  aus  Gleichung  1)  des  §.5,  wenn  man  statt  dtp^ 
einführt  d5j=-2: — ?,  und  die  andere  Vorzeichenbestimmung  von  q^  und 
d$Q  berücksichtigt. 

8. 
Vom  Minimumpol  einer  Linie. 

Es  wird  zunächst  als  Basis  eine  Linie  vorausgesetzt,  die  ihre  Richtung 
nicht  sprungweise  ändert,  also  keine  Ecken  hat. 

Sei  df^z=s\r*dq>Q  ein  Flächenelement  der  Basis  vom  Pol  0  aus, 
^/o'=^  4'*o'*^<Po'  <^*8  über  demselben  Bogenelement  ds^  stehende  Flächen- 
element vom  Pol  0'  aus,  wo  r^  und  q>^  Vector  und  Anomalie  der  Basis  vom 
Pol  0'  aus  bezeichnen,  so  verhalten  sich  beide  Fläch enelemente  zu  einan- 
der wie  ihre  Höhen,  also  wie  ihre  senkrechten  Abstände  von  der  Berühren* 
den  der  Basis,  d.  i.  wie  die  Vectoren  r|  und  r/  der  Fusspunktlinien  der  Basis 
von  den  Polen  0  u«d  0'  aus,  also 

Seien  df^  und  df^'  die  zugehörigen  Flächenelemente  der  Fusspunktlinien 
von  0  und  0'  aus,  so  ist 

uigiüzea  Dy 'vj  v^v_/pc  Lv, 


Von  Franz  Wetzig. 
woraus  folgl 

\är^)~dfr 

Es  ist  also  das  Quadrat  des  Verhältnisses  zweier  zu  demselben  Bogen- 
element  gehüriger  Flächendififerentiale  der  Basis  aus  zwei  verschiedenen 
Pol«n  gleich  dem  einfachen  Verhältniss  der  zugehörigen  Flächendifferentiale 
der  beiden  Fusspnnktlinien. 

Der  Flächeninhalt  der  Fusspnnktlinien  erhält  positiven  oder  negativen 
Zuwachs,  je  nachdem  die  Berührende  der  Basis  sich  in  positiver  oder  ne- 
gativer Richtung  dreht. 

Seien  nun  x  und  y  die  rechtwinkligen  Coordinaten  des  Poles  0'  in  Be- 
zug auf  0,  so  ist 

'  r^  =zr^  —  X  cos  9,  —  y  sin  qp, , 

daher 

2dfi'  =  (r,  —  a;  cosq>i  —  y  sin  (p^y  rfg), . 

Entspreche  dem  Anfangspunkte  der  Basis  <Pi  =  y  und  dem  Endpunkte 
^,  =  J,  wo,  wie  schon  gesagt,  als  Anfangspunkt  der  Funkt  zu  nehmen  ist, 
flör  welchen  die  Gesammtdrehung  der  Berührenden  eine  positive  ist,  so 
erhält  man  durch  Integration  von  q>i  =  y  bis  fpi  =  8  die  Summe  /",'  der  vom 
Vector  r/  überstrich enen  Flächeuelemente.  Es  sei  ferner  f^  die  Summe  der 
vom  parallelen  Vector  Tj  überstrichen en  Flächenelemente,  also  der  Flächen- 
inhalt der  Fusspunktlinie  vom  Pol  0  aus.  Es  sind  nun  folgende  Fälle  zu 
unterscheiden : 

1)  Die  Basis  hat  keinen  Wendepunkt  und  lässt  sich  keine  Berührende 
vom  Pol  0  an  sie  legen.  Wenn  man  die  Integration 

9  a 

2  I  dfi  zz^  j(r^  —  xcos(p^  —  y  sin 9,)*  dq)^ 

*    y  y 

ausführt,  so  erhält  man  die  Gleichung 

/  S  d 

12/"/  =  2/',  —  2x  j  r^  cos  g>|  dg>  —  2y  1  r,  51«  q>^  dxp^ 

7  y 

1)<  I    ^V*  .sin2d  —  sin2y\       xy 

1  +^(^*  — y  + 1 /       T  (^^*^^  — ^^*2y) 

sin28  —  sin2y\ 
2  / 

Die  Differenz  8   -/ist  dasselbe  als  die  Grösse  der  Drehung  der  Berühren- 
den bei  ihrer  Fortbewegung  vom  Anfangs  -  bis  zum  Endpunkte  der  Basis. 

2)  Die  Basis  bat  einen  Wendepunkt;  es  lässt  sich  keine  Berührende 

vom  Pol  0  an  sie  legen.    Entspreche  dann  dem  Wendepunkte  qjjj^o^.so^ 

1  *  o 


?('-. 


Von  den  Fusspunktlinien. 

kehrt  von  diesem  Punkte  an,  welcher  eine  Spitze  der  FnsBpnnktlinie  ist, 
ihr  Vector  in  entgegengesetzter  Richtung  znrtlck.  Daher  hat  man ,  je  nach- 
dem die  Anfangsdrehnng  der  Berührenden  der  Basis  negativ  oder  posi* 

tiv  ist, 

y  J  tf  * 

2f:=^—JrrdiPi+Jrrdip^=Jr^*d<p,+ßrdfp^, 

a  a  y  a 

oder 

a  a  a  9 

2f/  =  —frrdiPt-fr:*dq>,=Jr:'dq>,+Jrrd<p,.  . 

y  9  y  « 

Daraus  folgt,  dass  durch  Ausführung  der  Integration  man  eine  Gleichung 
erhält,  die  sich  von  1)  nur  dadurch  unterscheidet,  dass  an  die  Stelle  von 
9  a  9 

fr,  '"!'  ^*  dw,  tritt  A  """'  ^'  d<p,  +  fr,  ^?'  ^«  dg>, . ' 

7  y  « 

3)  Die  Basis  hat  keinen  Wendepunkt;  es  lässt  sich  vom  Pol  0  eine 
Berührende  an  sie  legen.  Entspreche  dann  dem  Berührungspunkte  ^i  =^, 
so  hat  man,  weil  die  Fusspunktlinie  durch  den  Pol  0  geht  und  in  diesem 
senkrecht  auf  der  Berührenden  der  Basis  steht , 


\=Jr,^dip,+Jri'*d(pt, 


2/; 

Führt  man  die  Integration  aus,  so  ist  wie  oben    /  Tj*  d^,  4-  /  r^^  dg},    der 

y  n^ß 

doppelte  Flächeninhalt  2fi  der  Fusspunktlinie  von  0  aus.  An  die  Stelle  von 
9  ß  2»4-d 

/cos  ^,  /     cos  <p,  /•    cos  q>.  ^ 

"-^sin^l^^^  *"V''*«>*9>i  ^'^^+J''^sin^l^^^'^ 
7  7  *  +  P 

an  die  Stelle  von  9  —  y  tritt 

/S  — y  +  (2»  +  ^) -r  (/S  + 7r)  =  ^  +  « -y, 
was  wieder  die  Grösse  der  Drehung  der  Berührenden  der  Basis  ist,  und 
statt  sin  2  9  —  sin  2y  kommt 

sin  iß—  sin2y  —  sin{4n  +  23)  —  sin(2ß+  27t)^=sin29  —  m2y; 
es  bleibt  also  diese  Differenz  ebenso  wie  cos  29  —  co5  2y  ungeändert. 

4)  Hat  die  Basis  einen  Wendepunkt  und  lässt  sich  vom  Pol  0  aus  eine 
Berührende  an  sie  legen ,  so  gilt  das  für  den  zweiten  und  dritten  Fall  Ge- 
sagte. 

Die  Gleichung  l)  ist  daher  allgemein  gütig,  wenn  man  unter  9  —  y 
die  Grösse  der  Drehung  der  Berührenden  der  Basis  bei  ihrer  Fortbeweg- 

uigiTizea  oy  v_j  v^v^^'i  lv- 


Von  Franz  Wetziq. 


ung  vom  Anfangs-  bis  znm  Endpunkte  versteht,  und  man  die  Integrale 
9 


/• 


r,  ^l^^^  dg>i  auf  die  angegebene  Weise  bildet.     Unter  dieser  Voraus- 

y 

Setzung  sei 

9  d 

J  r,  cos  <pi  d<pi  =  i>,       /r,  sin  9,  dg>,  =  ß, 

y  y 

wo  daher  P  und  Q  Functionen  von  y  und  8  sind.  Ferner  sei  der  Drehungs- 
winkel dpr  Berührenden  =  r,  so  ist  zu  setzen 

sin2d  —  sin2y  ,     , 
'-  ==  5IIIT  .  COS  (t  +  2y) 

C0S2S  —  cos2y  .    ,     .       V 
L  s=  —  smx  ,sm{t+2y). 

Führt  man  diese  Grössen  in  die  Gleichung  1)  ein,  so  erhAlt  man : 
2/;' =  2/,  —  2iPi>— 2yö+  —  [T  +  «>itco*(T  +  2y)] 

+  T  [^ — **^*  C05  (r  +  2y)]  +  xy  sin  t  sin  (t  +  2y); 

WO  der  Anfangswerth  y  so  zunehmen  ist,  dass  r  positiv  ausfüllt. 

Setzt  man  y  =  0,  d.  h.  nimmt  man  die  Senkrechte  auf  die  Berührende 
des  Anfangspunktes  als  Nulllinie,  so  wird 

3)  I  ^(A'— /!)  =  — *^*  — *öy  +  **(^  +  **^^^^*^) 

^  )  +y*(»  —  sinxcosT) +2xysin*t. 

Es  sind  nun  die  beiden  Fälle  t>0  und  t^=0  zu  unterscheiden.    Sei 

Um  dann  die  Gleichung  3)  auf  ihre  einfachste  Gestalt  zu  bringen,  drehe 

man  die  Nulllinie  nm  •—,  wo  sie  dann  senkrecht  auf  der  Halbirungslinie 

des  von  den  Berührenden  des  Anfangs  -  und  Endpunktes  der  Basis  etngO'- 
schlossenen  Winkels  t  steht,  und  verschiebe  dann  das  Coordinatensjstem 
panJlel  um  die  Grössen 


9  =  2 


Pcos  —  +  ö  sin  — 
2   ^  2 

x  +  sinx  ' 

Qcos P  sin  — 

Ä  =  2 


X  —  smx 

setze  also,  wenn  x'  und  y  die  Coordinaten  des  Pols  0'  in  Bezug  auf  das 
neue  Coordinatensystem  bezeichnen ,  ^^^  ^^^  ^^  GoOglc 


Von  den  Fusspunktlinien. 

x=  {x+g)  cos  ^  —  {y+h)  sin^, 

y={x+g)sin  1  _  (y' +  Ä)  co*  |- ; 

so  erhält  man : 

14  (fi—fi)  =  ^'*  (t  +  sin  t)  +  y«  (r  —  sin  t) 
T  (P*  -h  0*)  —  m  t  C05  T  (P*—  0*)  —  2P0sin*  t 
T*  —  5fn*T 
Diese  Gleichung  hat  aber  eine  geometrische  Bedeutung.     Es  wird 
nämlich  der  Inhalt  /",',  der  dem  Pol  {x\  y)  entspricht,  darge- 
stellt durch  die  zu  x\  y    gehörige   dritte  rechtwinklfge  Co- 
ordinate   eines    elliptischen    Paraboloids/  dessen   Scheitel 
senkrecht    über    dem    Coordinatenanfang    liegt   und   dessen 
Achse  diese  dritte  Coordinatenachse  ist:    Der  jetzige  Coordina- 
tenanfang ist  daher  Minimumpol ;  seine  Coordinaten  in  Bezug  auf  das  Co- 
ordinatensjstem  in  Gleichung  2)  folgen  für  a:'  =  y'  =  0 

x=igco9—  —  /i  5m  —  , 
2  2  ' 

y  =  fl^««-|  +ÄC05  j, 
d  i.,  wenn  man  die  Werthe  von  g  und  h  einsetzt, 

Pix  —  sin X cos x)  —  0  sin* x 

J  0  (f  +  sin  X  cos x)  —  P sin^x 

^'  =  ' ?=w^»-, • 

und  ist  die  Grösse  des  zugehörigen  Minimalinhaltes  gleich  der  Coordinate 
des  Seheiteis,  d.  i. . 

ß.    ..       _  .       T  (P*  +  (?)  —  sintcosx  (P'  —  jp*)  —  2PQ  sin^x 

Es  wird  daher  die  Inhaltszunahme 

n         n  min,  =  ^» 
welebe  beim  Uebergange  vom  Minimumpol  im  Coordinatenanfang  zu  einem 
Pol  mit  den  rechtwinkligen  Coordinaten  a:\  y  in  Bezug  auf  die  Senkrechte 
auf  die  Halbirungslinie  von  r  als  Nulllinie  eintritt,  durch   die  Gleichung 
eines  elliptischen  Paraboloids 

7)  4z  =  x^  (t  +  sinx)  +  y^  (r  —  sinx) 

dargestellt. 

Hieran  knüpfen  sich  folgende  Betrachtungen : 

1)  Es  bestehe  zwischen  x'  und  y  die  Gleichung 
«*  ,  y 


so  kann  man  die  Gleichung  7)  auf  die  Form  briniren 

^     '  ^       Digitizedby 


--  4-  —  =1 

Google 


Von  Fbaü^z  Wetzig. 


d.h. 

Bewegt  sich  der  Pol  auf  einer  Ellipse  oder  Hjper- 
bely  deren  Mittelpunkt  der  Minimumpol  ist  and  de^ 
ren  Axen  die  von  den  Berührenden  des  Anfangs-  und 
Endpunktes  der  Basis  eingeschlossenen  Winkel  hal« 
biren^  so  ist  die  um  eine  Constante  vermehrte  oder 
verminderte  Inhaltszunahme  proportional  dem  Qua- 
drat der  Entfernung  des  Pols  vom  Minimumpol. 
Dicr  Inhaltszunahme  wird  dann  dargestellt  durch  die  dritte  Goordinate 

einer  doppelt  gekrümmten  Linie,  welche  der  Durchschnitt  eines  elliptischen 

oder  hyperbolischen  Cylinders  mit  dem  elliptischen  Paraboloid  ist. 

Für  die  gleichseitige  Hyperbel  z.  B.  vereinfacht  sich  die  Gleichung  8) 

in  die  folgende : 

4«  =  (a;'«  +y'«)  t  +  a"  sinx. 

Für  den  Kreis  allein  gilt  obiger  Satz  nicht.   Für  diesen  erhält  man,  wenn 

man  y'*=  6*  (  i j- j  einführt  und  dann  a  =  ft  setzt, 

4«  =  a*T  +  («'■ — y  •)  sint, 

2)  Lässt  man  in  Gleichung  8)  die  Constante,  d.  i.  -^ — ^  verschwinden, 

so  geht  der  Kegelschnitt  in  zwei  gegen  die  Senkrechte  zur  Halbiriingslinie 
von  r  symmetrisch  liegende  Gerade  über;  ihr  Neigungswinkel  gegen  die- 
selbe sei  +  /3,  80  hat  man 

4z  =  {x*  +  y'*)  (r  +  sintcos2ß)y 

woraus  für  jS  =5:  -j-  folgt : 

4z  =  (cc'«  +  y'*)T, 
d.h. 

Bewegt  sich  der  Pol  auf  einer  der  beiden  gegen  die 
Halbirungslinie  von  t  um  45^  geneigten  Geraden,  so 
ist  die  Inhaltszunahme  gleich  dem  halben  mit  der 
Entfernung  vom  Minimumpol  und  mit  t  als  Centri- 
winkel  beschriebenen  Kreissector. 

3)  Besteht  zwischen  den  Halbachsen  des  Kegelschnittes  die  Gleichung 

fl*  +  6« t_ 

welche  wegen  v>8mt  nur  eine  Ellipse  erfüllen  kann ,  so  ist  die  Inhaltszu- 
nahme oonstant,  nämlich 

2^h* 


4z  = 


Digitized  by 


Google 


Ueber  EueBpnnktlimen. 

Für  jeden  Punkt  einer  solchen  Ellipse  übertrifft  also  der 
Inhalt  den  Minimalinhalt  um  den  halben,  mit  dem  mittleren 
(d.  i.  das  Axenkreuz  halbirenden)  Vector  der  Ellipse  als  Habmes- 
ser und  den  Drehnugswinkel  der  Berührenden  als  Centri- 
winkel  beschriebenen  Kreissector.  Diese  Ellipsen  sind  die  Durch- 
schnitte einer  der  a?y- Ebene  parallelen  Ebene  mit  dem  elliptischen  Para- 
boloid. 

4)  Sei  t  ein  Vielfaches  von  n^  etwa  r  =  m  »,  so  folgt: 

4  2  SS  {x*  +  y'*)  mn* 
Es   ist  dann  die  Inhaltszunahme    gleich   der   mit    der  Ent- 
fernung des  Pols  von  dem  Minimnmpol  beschriebenen   hal- 
ben Kreisfläche,  soviel  mal  genommen,  als  die  Berührende 
der  Basis  Umdrehungen  gemacht  hat. 

Hierin  liegt  für  m  =  2  der  oben  genannte  Steiner'sche  Satz. 

5)  Keducirt  man  Gleichung  5)  auf  P  und  Q^  so  erhält  man  : 

2  P  =s  X  {j  +  sint  cost)  +  ysin^T 
2  jß  =  d?  f fV t  +  y  (t  •— «f n  T  ro J  t), 
woraus  für  a:  =  y  =  0  folgt 

i>=0,  0  =  0; 
d.  h.  für  die  dem  Minimumpol'  entsprechende  Fusspunktlinie  verschwinden 
die  Integrale  P  and  Q. 

In  dem  besonderen  Falle 

%  =0 
ergiebt  die  Gleichung  3) 

f,'=f,—Px  —  Qy. 
Wenn  also  die  Gesammtdrehung  der  Berührenden  Null  ist  —  wie  bei 
einer  /förmigen  Curve,  deren  Berührenden  im  Anfangs-  und  Endpunkte 
einander  parallel  sind  —  ,  so  hängt  /*/  auf  lineare  Weise  von  x  und  y  ab 
und  wird  also  durch  die  dritte  zu  x  und  y  gehörige  Coordinate  einer  Ebene 
dargestellt.  Es  giebt  daher  dann  kein  Minimum  des  Flächeninhalts  im  bis- 
herigen Sinne.  Der  Ort  des  Pols  für  constanten  Flächeninhalt 
sind  parallele  Gerade,  und  unter  diesen  giebt  es  eine,  für 
welche  der  Inhalt  gleich  Null  ist,  welche  die  Gleichung  hat 

fi  fi 

9. 
Vom  Minimumpole  mehrerer  Linien. 

Die  Besultate  des  vorigen  $.  lassen  sich  leicht  auf  den  allgemeinen 
Fall  ausdehnen,  dass  beliebig  viel  getrennte  Curvenstücke  als  Basis  gege- 
ben sind.  Werde  durch  das  Zeichen  wS  die  über  alle  einzelnen  Curven  und 
deren  Fusspunktlinien  auszudehnende  Summation  bezeichnet,  so  ist 


uigiüzea  oy  -" 


)    ISli  T 


Von  Fbanz  WETZia. 


y  y 

und  folgt  hieraus  durch  Integration 

,        \yA{Ef:—Zf,)=^  —  AxEP-Ayi:Q 

+  a? Z[x'\'Sinx  cos  (t+  2y)]  +y*  5[r  —  sint  cos{t  +  2y)}... 

+  2ary  ^«nr  «h  (r  +  2y) ; 

Hierin  bedeutet  also  £f^'  die  Summe  der  Flächeninhalte  der  Fusspunktli- 

nien  vom  Pol  0'  aus,  2fi  die  der  Fusspunktlinien  vom  Pol  und  Goordina- 

tenanfang  0  aus. 

Um  dieser  Gleichung  ihre  einfachste  Gestalt  zu  geben,  drehe  man  die 

Nulllinie  um  einen  Winkel  m  und  verschiebe  dann  das  Coordinatensjstem 

parallel  um  g  und  k ,  welche  Grössen  gegeben  sind  durch  die  Gleichungen 

Z sint  sin  (r4'2y) 

2sinTC0s{z  +  2y) 

I  nämlich 

2)  .    <  £  sint  cos  (T'^2y) 

'  ^    cos2m^=i ~^ — ^, 

R 

Z  sint  sin  {f^2y) 

^m  2o9  = ^ '-^ , 

H 

wo  zur  Abkürzung  gesetzt  ist 


n  =  j/^«  sin  t  sin  (r  +  2  y)  +  2?*  sin  t  cos  (x  +  2  y) ; 
ferner 

!coS(o  £P  +  sinoiZQ 
^=* 57+Ä ' 
^eostoZO  —  sinm  £P 
*=^ z7=Ä ' 

Alsdann  hat  man  in  Gleichung  1)  einzusetzen 

x=(x'  +  g)  cos  (o  —  {y+h)sinu^ 

y  =  («  +  g)  sinta  +  (y  +  Ä)  cost», 
wo  x'  und  y  die  Coordinaten  des  Pols  (f  in  Bezug  auf  das  neue  Coordina- 
tensystem  bezeichnen.    Man  erhält 

4)  <        £t  {S?P'\-2?Q) Ssintcos  {t+2y){£^P-2:^Q) -22?m t sin  {t'j-2Y)£P£0 

(  2;'t  — Ä« 

Es  sind  nun  die  Fälle  £t>R  und  2t<R  zu  unterscheiden. 

Sei  zuerst  r£T>Ä. 
Diese  Bedingung  wird  allemal  dann  erfüllt ,  wenn  man  die  Anfangspunkte 
jedes  Curvenstückes  so  nimmt,  dass  jedes  x  positiv  ist.     Denn  den  Aus- 
druck 

Ä*  =  £^sint  sin  (r  +  2y)  +  2^ sint  cos  {t  +  2y) 
kann  man,  wenn  man  die  Quadraten  der  Summen  wirklich  bildet,  auch  auf 
die  Form  bringen  uigmzeaDy^.^vyv^gLv, 


10  lieber  Fusspnnktlimen. 

n*=:2sin^T  +  2Zsint^  sinxn  .  cos  [(t«  +  2y«,)  — (t«  +  2y„)], 
wo  für  Ttn  nnd  t„  und  die  zagehörigen  y«»  und  Yn  alle  möglichen  Combina- 
tiouen  je  zweier  verschiedenen  Werthe  von  t«,  nnd  r»,  y«  und  y„  zu  setzen 
sind.     Es  ist  aber 

£*8inT  =  Zsin^x  +  2ZsiHXm  sinx^^ 
daher,  wenn  man  jedes  t  <C9t»  also  ^mv  >  0  voraassetzt, 

and  um  so  mehr  . 

R<Ex. 
Denkt  man  sich  nun  t«  am  n  vermehrt,  so  bleibt  das  61ied 
«WT«  ,  sin  xn  cos  [(r«  +  2y^)  —  (t^  +  2y»)] 
auch  im  Vorzeichen  angeändert,  aber  £x  wächst  um  tc.    Daher  gilt  die 
Ungleichang 

R<£x 
für  alle  positiven  r. 

Dann  wird,  ganz  wie  im  vorigen  $.,  die  Summe  der  Inhalte 
Ufi  dargestellt  durch  die  zu  x\y  gehörige  dritte  Coordinate 
eines  elliptischen  Paraboloids,  dessen  Seheitel  senkrecht 
über  dem  Coordinatenanfang  liegt  und  dessen  Axe  die  dritte 
Coordinatenaxe  ist.  Der  jetzige  Coordinatenanfang  ist  daher  M i n i - 
mumpol,  dessen  Coordinaten  in  Bezag  auf  das  alte  Coordinatensystem 
(auf  dessen  Anfang  sich  27/",  bezieht)  für  a?'  =  y'=r=0  folgen 

x  =  g  cos  m  —  Ä  sin  o, 
y:=g  sinia+  kcosoDy 
wofür  man  durch  Einsetzung  der  Werthe  von  ^,  A,  sinm^  eosm  aus  den 
Gleichungen  2)  und  3)  erhält 

.    _^^P [^r  —  Ssinx cos  {x  +  2y)]  —  UQ.Esinx  sin  (T+2y) 

^     »  27g  [St  + Stint  cot  (r-j-Zy)]  -  SPSsmxsm  (T  +  2y) 


ry=2 


r%-Bf 


1 


Die  Grösse  der  Minimalsumme  der  Flächeninhalte,  dargestellt  dureh  die 
Ordinate  des  Scheitels,  ergiebt  sich  aus  Gleichung  4)  für  o:' =  y' =:  0 

6)  .       Z^f.'^En- 

Ex{IfP+2?Q)—  Zsinxcos  {x+2Y){I?P—2^0)'-2£sinxsin(x+2Y)£P£0 

S^x^-ie  5 

Es  wird  daher  die  Inhaltszunahme 

die  beim  Uebergange  vom  Minimumpole  im  Coordinatenanfang  zu  einem 
Pole  {a:\  y)  eintritt ,  dargestellt  durch  die  dritte  Coordinate  jenes  ellipti- 
schen Paraboloids  von  der  Gleichung 

7)  4  z  =  x^  {£x  +  R)+  y  *  {£x  -  R)  ;Dig,,ed  by  GoOglc 


Von  Franz  Wetzig.  11 

Hieraas  ergeben  sich  nun  ganz  dieselben  Folgemngen ,  wie  in  vorigen  S^ 
man  hat  nur  v  mit  £%  und  sin  x  mit  JR  zn  veitauschen. 

1)  Setzt  man    * 

so  erhält  man  ans  Oleiehnng  7) 

d.h. 

Bewegt  sich  d^r  Pol  auf  einem  centralen  Kegel- 
schnitt —  den  Kreis  allein  ansgenommen  — ,  dessen  Mittel- 
punkt der  Minimumpol  ist,  und  dessen  Axenkren« 
die  durch  Gleichung  2)  bestimmte  Lage  hat^  so  ist 
die  um  eine  Constante  reränderte  Zunahme  dev 
Summe  der  Flächeninhalte  proportional  dem  Qua- 
drate der  Entfernung  des  Pols  vom  Minimumpol. 

2)  Bewegt  sich  der  Pol  auf  einer  gegen  die  Axe  der  x  um  +  ß  ga* 
neigten  durch  den  Minimnmpol  gehenden  Geraden,  so  verschwindet  die 
Constante  und  wird 

4z  =  (j?'*  +  y'*)  {2t  +  Rcos2ß) ; 
Bewegt  sich  daher  der  Pol  auf  einer  unter  45°  geneigten  Geraden,   so  ist 
die  Inhaltsaunafame  gleich  -den  halben  mit  der  Entfernung  rom  Minimumpol 
und  der  Summe  der  Drehungswinkel  der  Berührenden  beschriebenen  Kreis- 
sector. 

3)  Die  Inhahszunahme  bleibt  constant,  wenn  sich  der  Pol  auf  einer 
Ellipse  bewegt,  zwischen  deren  Halbachsen  die  Kelation 

a«— ^~        Ä 
stattfindet  und  ist  dieser  constante  Werth 

also  die  Hälfte  des  mit  dem  das  Axenkreuz  halbirenden  Halbmesser  der 
Ellipse  und  der  Summe  der  Drehungswinkel  der  Berührenden  besehriebe* 
neu  Kreisseetors. 

4)  Es  bestehe  die  Basis  aus  m  Curvenstückeü ,  für  welche  die  Beruh- 
renden  der  Anfangspunkte  einander  parallel  und  die  Winkel  t  dieselben 
sind,  so  wird  R=  msinv,  Zx^=m,x  und )9rhält  man 

% 

4z  =  m  [x^  (t  +  sinx)  +  y *  (t  —  smx)\. 
Die  Axen  der  x\  y   sind  also  in  diesem  Falle  parallel  mit  denen  für  ein 
einziges  dieser  Curvenstücke,  und  ist  die  Zunahme  der  Inhaltssumme  beim 
Uebergange  vom  Minimumpole  aller  m  Curven  zu  einem  andern  Pole  gleich 


12  Von  den  BVisspanktlinien. 

der  m  fachen  Inhaltszonahme  für  eines  der  Cnnrenstücke  beim  Uebergange 
von  seinem  Minimampol  zu  einem  andern ,  dessen  Entfernung  gleich  und 
parallel  ist  der  des  vorigen  Pols  vom  Gesammtminimumpol. 

5)  Seien  endlich  als  Basis  lauter  Curvenstücke  gegeben,  deren  jedes- 
zwischen  zwei  parallelen  Tangenten  liegt  —  worin  der  Fall  geschlossener 
Curven  mit  enthalten  ist  — ,  so  ist  jedes  r  ein  ganzes  Vielfaches  von  n»  Sei 
daher  £x  =  ^.n^  bo  folgt  aus  Gleichung  7) 

4z=(a?'*  +  y«)^Ä. 
Der  Ort  des  constanten  Flächeninhaltes  ist  dann  ein  Kreis  und  die  Summe 

der  Inhaltszunahmen  das  ^  fache  der  mit  der  Entfernung  des  Pols  vom  Mi- 

mmnmpol  beschriebenen  Kreisfläche. 

6)  Drückt  man  die  Integralsumme  ^Pund  SQ  durch  die  Coordinaten 
des  Minimumpols  aus,  so  erhält  man 

%SP=sw[£j  't£sinxcos{T+2y)]+y£sintsin(x  +  2y), 
Z£0^s^s2smxsin(T  +  2y)  +  y[£v  —  Zsinx  cos{x  +  2y)]; 
woraus,  wenn  man  a::=2^s=  0  setzt,  der  Satz  folgt: 

Für  die  FusspunkÜinien  der  gegebenen  Basen  in  Bezug  auf  ihren  Mi- 
nimumpol verschwinden  die  Integralsumme  £Pnni  £Q. 

Im  zweiten  Falle 

£t<R 
geht  die  Gleichung  7)  in  die  eines  hyperbolischen  Paraboloids 

4«  =  «  *  (Ä  +  £x)  —  y  •  {R->£x) 
über.  Daher  giebt  es  dann  keinen  Minimumpol ,  aber  dem  jetzigen  Coor- 
dinatenanfang ,  d.  i.  dem  durch  die  Gleichungen  2)  und  3)  bestimmten  Pol, 
kommen  ganz  dieselben  oder  doch  analoge  Eigenschaften  zu ,  wie  dem  Mi* 
nimumpol  im  vorigen  Falle.  Er  werde  der  Hauptpol  genannt  und  der 
ihm  entsprechende  Inhalt  der  Hauptinhalt.  Die  Eigenthümlichkeit  des 
hyperbolischen  Paraboloids  bedingt  einige  hervorzuhebende  Unterschiede 
gegen  den  vorigen  Fall.  Der  Art  constanten  Flächeninhaltes  sind  zwei 
Systeme  von  Hyperbeln  (die  Durchschnitte  von  der  x'y-  Ebene  parallelen 
Ebenen  mit  dem  Paraboloid),  deren  gleiche  Achsen  bei  entgegengesetzt 
gleiclier  Zunahme  der  Flächeninhaltssnmme  senkrecht  anf  einander  stehen. 
Den  Uebergang  zwischen  beiden  Systemen  bilden  zwei  durch  den  Haupt- 
pol gehende  Gerade,  in  denen  das  Paraboloid  die  Ebene  der  x'y  schneidet, 
für  welche  der  Inhalt  gleich  dem  Hauptinhalte  ist.  Femer  giebt  es  dann 
zwei  gegen  die  x'-  Achse  symmetrisch  liegende  Systeme  obiger  zwei  Gera- 
den paralleler  Geraden  (die  Projectionen  der  auf  dem  Paraboloid  möglichen 
Geraden) ,  für  welche  die  Inhaltszunahme  proportional  ist  der  Entfernung 
des  Pols  von  dem  Punkt  der  Geraden ,  dem  ein  Inhalt  gleich  dem  Haupt- 
inhalt zukommt,  d.  i.  von  ihrem  Durchschnitt  mit  der  Geraden,  welcher  der 
Hauptinhalt  entspricht. 

Endlich  werde  noch  der  Fall  oigitized  by  GoOqIc 


Von  Franz  Wetzig.  13 

erwähnt«  Alsdann  geht  die  Oleichnng  1)  dnrch  Drehung  der  Nalllinie  um 
den  durch  Gleichung  2)  hestimmten  Winkel  und  durch  parallele  Verschie- 
bung der  Achse  der  y  um 

co8i»ZP  +  sinmZQ 

^= R 

über  in 

2  {Zf^'  —  £f^)  =  Aar'*  —  2y  {cos  u£Q  —  sin  co HP) 

{cos  m2P+  sinia  ZQ)* 
B  ' 

wo  flir  cos  m  und  sin  m  ihre  durch  Gleichung  2)  bestimmten  Werthe  einzu- 
setzen sind.  Die  Inhaltszunahme  wird  also  dann  durch  die  dritte  Coordi- 
nate  eines  parabolischen  Cjlinders  dargestellt,  und  lassen  sich  hieran 
ähnliche  Folgerungen  knüpfen ,  wie  in  den  vorigen  Fällen. 

Die  Formeln  dieses  Paragraphen  reduciren  sich  auf  die  des  vorigen, 
wenn  die  Basis  aus  verschiedenen  Curven  besteht,  die  sich  berührend  an 
einander  schliessen;  denn  dann  scbliessen  sich  auch  ihre  Fusspunktlinien 
berührend  an  einander  an ,  und  ist  daher  die  Basis  als  eine  einzige  Linie 
zu  betrachten,  für  welche  die  Formeln  des  vorigen  Paragraphen  gelten, 
wenn  man  unter  r  die  G^sammtdrehung  der  Berührenden  der  Basis  und 
unter  P  und  Q  die  Summe  der  für  die  einzelnen  Curven  gebildeten  Inte- 
grale versteht  Man  überzeugt  sich  auch  leicht  davon,  wenn  man  die  Sum- 
mation  nach  Gleichung  l)  des  vorigen  Paragraphen  bildet  und  dann  jedes 
d  gleich  dem  folgenden  y  setzt.  Man  kann  diese  Betrachtungsweise  aber 
auch  auf  den  Fall  ausdehnen,  dass  die  Curvenstücke  unter  beliebigen  Win- 
keln an  einander  stossen ,  alsoEckenbilden.  Man  denke  sich  nämlich 
die  beiden  Curvenstücke  durch  einen  Kreis  von  verschwindend  kleinem 
Halbmesser  berührend  verbunden,  dessen  Centriwinkel  daher  gleich  dem 
Winkel  ist,  um  den  die  Berührende  ihre  Bichtung  plötzlich  ändert,  so 
werden  die  entsprechenden  Fusspunktlinien  berührend  verbunden  durch 
einen  Kreisbogen,  der  die  Mitte  der  Verbindungslinie  des  Pols  mit  der 
Ecke  als  Mittelpunkt  hat  und  durch  letztere  geht.  Eine  Basis  mit  Ecken 
kann  man  also  hinsichtlich  ihrer  Fusspunktlinien  auf  zwei  Arten  betrach- 
ten. Entweder  lässt  man  die  Berührende  an  den  Ecken  ihre  Richtung 
sprungweise  ändern  und  unterbricht  nicht  die  Bewegung  ihres  Drehpunktes, 
wo  man  dann -eine  aus  getrennten  Stücken  bestehende  Fusspunktlinie  er- 
hält, oder  man  denkt  sich  die  Bewegung  des  Drehpunktes  der  Berühren- 
den unterbrochen  und  lässt  die  Berührende  ihre  Richtung  stetig  ändern, 
wo  dann  die  vorhin  getrennten  Stücke  der  Fusspunktlinie  durch  Kreis- 
bögen, welche  als  Fusspunktlinien  der  Ecken  zu  betrachten  sind,  berührend 
verbunden  werden.  Die  Lage  des  Minimumpols  ist  natürlich  in  beiden 
Fällen  eine  verschiedene. 

(Schloss  im  nächsten  Heft.)  ^  t 

DigitizedbyLjOOglC  i 


n. 

üebw  die  Fettigkeit  einer  am  Rande  anfgelötheten 
kreisförmigen  Platte. 

Von  Dr.  Qustav  Zehfüss, 

Privatdooe&t  in  Heidelberg. 


Wenn  man  einen  Körper  über  gewisse  Grenzen  ausdehnt  oder  znsam- 
menpresst,  so  verliert  er  seinen  Zasammenbang ,  und  man  sagt,  dass  die 
Grenzen  der  Festigkeit  bei  der  Formänderung  überschritten  worden  seien. 
Innerhalb  gewisser  Grenzen  ist  jeder  Körper  elastisch,  wenn  auch  nahe  der 
Festigkeitsgrenze  der  Elasticitätsmodul  nicht  mehr  constant,  sondern  va* 
riabel  ist  nach  der  Stärke  der  bereits  erfolgten  Ausdehnung  oder  Zusam- 
mendrückung. Diese  Veränderungen  der  Elasticitätsverhältnisse  bei  zu- 
nehmender Formänderung  pflegt  man  in  der  Lehre  von  der  Festigkeit  zu 
vernachlässigen  y  weil  unsere  dermalige  Kenutniss  der  Molekularwirkungen 
noch  nicht  weit  genug  gediehen  ist.  In  der  Ausübung  pflegt  man  deshalb 
einen  mittleren  innerhalb  der  !Elasticitätsgrenzen  liegenden  Modul  anzuneh- 
men, was  von  keinem  erheblichen  Nachtheile  ist,  weil  man  meist  durch  Ver- 
stärkung der  sogenannten  theoretischen  Dimensionen  der  rücksichtlich  ih- 
rer Festigkeit  zu  verwendenden  Körper  eine  mehrfache  Sicherheit  zu  ge- 
währen pflegt.  Von  diesem  Gesichtspunkte  ausgehend ,  soll  in  gegenwär- 
tigem Aufsatze  die  Festigkeit  einer  ebenen  kreisförmigen  Platte  ermittelt 
werden.  Es  ist  jedoch  nöthig,  zuvor  einen  Satz  aus  der  Lehre  von  der 
Elasticität  anzuführen,  welchen  C auch 7  in  den  Exerdces  de  Mathemaiiques 
als  eine  Art  von  Hypothese  aufgestellt  hat. 

Man  denke  sich  aus  einem  elastischen  Stoffe  ein  Parallelepiped  ge- 
schnitten, dessen  Seitenkanten  gleich  /|,  /a,  /s*  Wird  auf  eine  Seitenfläche, 
z.  B.  /t  /s  parallel  der  Kante  /j  per  Flächeneinheit  eine  kleine  Zug  -  oder 
Druckkraft  A^  ausgeübt,  so  entsteht  eine  kleine  Verlängerung  der  Kante  /| 
(Verkürzungen  werden  als  negative  Dilatationen  angesehen),  zugleich  aber 
eine  Verminderung  des  Querschnittes,  welche  jedoch  beide  mit  A^  propor- 
tional sind.  Es  seien  e  und  9  constante  von  der  Natur  der  elastischen  Sab- 


Ueber  die  Festigkeit  einer  am  Rande  etc.    Ton  Dr.  O.  Zehpüss.  15 


stanz  abhängige  Erfahrnngscoefficienten,  so  sind,  naebdem  die  Kraft  jii  ge- 
wirkt hat,  die  Kanten  /i,  /^i  ^s  der  Reihe  nach  zu 

geworden,  voransgesetzt,  dass  der  Körper  ein  isotropes  Medium  darstellt, 
widrigenfalls  noch  eine  dritte  Constaate  e"  in  Anwendung  zu  bringen  wäre 
Wird  nun  ebenso  parallel  der  Kante  /^  eine  Zugkraft  Jf  angebracht,  so 
werden  dieselben  drei  Kanten,  unter  Vernachlässigung  der  kleinen  Grössen 
aweiter  Ordnung  beziehungsweise  zu    ^ 

und  endlich  sind  deren  Wertbe  in  Folge  einer  gleichzeitig  parallel  der 
Kante  l^  wirkenden  Kraft  ^,  gleich     ' 

/,  (l  —  «V,  —  sJf  +  e  A^ 
Die  Dilationen  iSi ,  ^ ,  J«  von  /| ,  /t ,  /$  ^^^^  demnach 

I)  k  =  /.M.-*'(^i  +  ^,)l, 

Wären  /(,  /«,  /g  ursprünglich  gleich  1  gewesen,  so  würden  ^,,  d„  d,  die 
linearen  Dilatationen  der  Längeneinheiten  der  drei  Kanten  darstellen.  Be- 
zeichnen wir  sie  in  diesem  Falle  durch  ii ,  iL, ,  A« ,  so  entsteht 

Hieraus  folgt,  wenn  wir 

setzen : 

2)  U  =  A-A,  +  ir'(A,+A,), 

welches  die  Cauchy 'sehen  Formeln  zur  Berechnung  der  Kräfte  mit  den 
Dilatationen  sind.  Es  möge  dabei  K  der  Longitudinal  - ,  K'  der  Lateral- 
Elasticitätscoefificient  genannt  worden,  letzteres  wegen  der  gleichzeitigen 
lateralen  Conpression,  welche  wegfällt,  sobald  man  £'=  0  annimmt.  Es  ist 
mir  nicht  bekannt,  dass  Jemand  eine  Anwendung  der  lateralen  Elasticitäts- 
eoef&cienten,  welche  nach  meinen  Versuchen  bei  einigen  lockeren  Stoffen, 
z.  B.  bei  Korkholz,  gegen  die  longitndinalen  sehr  klein  sind,  auf  die  Lehre 
von  der  Festigkeit  gemacht  hätte.  Nicht  minder  beschränkt  sich  diese 
Lehre  nach  ihrem  jetzigen  Standpunkte  meines  Wissens  nur  auf  die  Theorie 
der  Stäbe  und  Stabverbindungen ,  die  nur  in  einer  Hauptrichtung  gezogen, 
comprimirt,  gebogen  oder  gewunden  werden.  Dagegen  scheint  noch  Nie- 
mand eine  Untersuchung  über  Festigkeit  eigentlicher  Platten  angestellt  ztf" 


1^  lieber  die  FeBtigkeit  einer  am  Rande  aufgelötheten  kreisförm.  PUtte.. 

zn  haben^  welche  einer  gleiehförmigen  Belastung  oder  einem  gleichförmi- 
gen Drucke  ausgesetzt  sind ,  wie  dies  2.  B.  bei  denjenigen  Platten  stattfin- 
det, welche  als  Theile  einer  Maschine  einem  einseitigen  gleichförmigen 
Dampfdrücke  widerstehen  sollen. 

Um  die  für  einen  gegebenen  Dampfdruck  P  nöthige  Festigkeit  za  ent- 
wickeln, bestimme  ich  erst  die  Gestalt  der  demselben  ausgesetzten  Platte, 
was  den  weitläufigeren  Theil  der  Untersuchung  ausmacht,  und  suche  so- 
dann die  am  stärksten  gekrümmte  Stelle.  Daselbst  ist  die  auf  die  Längen- 
einheit reducirte  stärkste  Ausdehnung  oder  Zusammendrückung  der  Fasern 
bezüglich  kleiner  oder  grösser  zu  setzen,  als  diejenige ,  welche  der  Grenze 
der  Festigkeit  entspricht,  woraus  sich  die  fragliche  Bedingung  ergiebt.  Ich 
gehe  also  zur  Bestimmung  der  Gestalt  der  gebogenen  Platte  oder  Scheibe 
über.  Die  Differentialgleichung  derselben  ist  von  Poisson  {M6m.  de  V Inst. 
1858,  von  Cauchy  in  den  Exercices  de  Maihem.  und  auf  die  kürzeste  und 
strengste  Weise  von  Kirchhoff  im  40.  Bande  von  Grelle^s  Journal  gege- 
ben worden,  jedoch  erfordern  alle  diese  verschiedenen  Ableitung^  einen 
ziemlichen  mathematischen  Aufwand,  so  dass  es  gerechtfertigt  sein  möchte, 
eine  äusserst  kurze  und  dabei  sehr  einfache  Begründung  dieser  Differential- 
gleichung anzufahren. 

Die  Scheibe  sei  in  natürlichem  Zustande,  d.  h.  wenn  an  feinem  Punkte 
eine  Verdünnung  oder  Verdichtung  des  homogenen  elastischen  Stoffes  statt- 
findet, ein  zwischen  zwei  in  geringem  Abstände  h  befindlichen  zur  Ebene 
^jf  parallelen  Ebenen  eingeschlossener  elastischer  Körper ,  welcher  durch 
eine  zu  dieser  Grundebene  senkrechte  Oylinderfläche,  die  sogenannte  Con- 
tour,  begrenzt  werde,  und  dessen  Dicke  h  klein  sei  im  Vergleiche  zu  seiner 
Ausdehnung  in  die  Länge  und  Breite. 

Die  Gleichungen  des  Gleichgewichts  ergeben  sich  nun,  wenn  man 
jeden  Theil  einer  solchen  Scheibe  vermöge  der  Kräfte,  welche  ihn  von 
Aussen  angreifen,  in  das  Gleichgewicht  bringt. 

Als  einen  solchen  Theil  betrachten  wir  den  Körper,  welcher  im  natür- 
lichen Zustande  der  Scheibe  ein  rechtwinkliges  Parallelepiped  von  der 
Dicke  dx  dy^  und  dessen  Seitenkanten  A  zur  ursprünglichen  Oberfläche  der 
Scheibe  senkrecht ,  also  parallel  der  Achse  Z  laufen.  Wir  bedienen  uns 
nun  zweier  von  Jacob  Bernoulli  zunächst  für  die  elastischen  Stäbe 
gemachten  und  auch  von  Kirchhoff  adoptirten  Hypothesen: 

1)  Die  Massetheilchen  der  Platte,  welche  sich  in  deren  natürliohem 
Zustande  in  einer  zur  Oberfläche  der  Platte  senkrechten  Geraden  befan- 
den, liegen  auch  nach  einer  Formänderung  derselben  in  einer  Normalen  zu 
der  alsdann  gekrümmten  Oberfläche. 

2)  Die  Elemente  der  Mittelfläche,  d.  h.  derjenigen  Fläche,  welche  in 
natürlichem  Zustande  der  Platte  eine  in  gleichem  Abstände  zwischen  bei- 
den Grundflächen  befindliche  Ebene  ausmacht),  erleiden  bei  der  Formän- 

uigiTizea  oy  x^j  ww Ti  ln^ 


Von  Dr.  G.  Zehfuss.  17 

dening  keiae  merkltohe  Dilatation.  Dieae  Mittelfläehe  heisst  desahalb  aocb 
die  neutrale  Schiebt. 

Wir  haben  nun  die  Krftfte  kennen  zu  lernen ,  welche  den  genannten 
parallelepipedischen  Körper,  der  im  gebogenen  Znstande  der  Platte,  der 
«weiten  Hypotheae^sn  Folge  einen  Obelisken  darstellt,  angreifen.  Diese 
sind  einerseits  die  auf  seine  inneren  Massetheilehen  wirkenden  beschleuni- 
genden Kräfte  X^  F,  Z,  von  welchen  wir  AT  =  F  :s  0  annehmen ,  anderer- 
seits die  durch  die  Umgebung  geäusserten  elastischen  Kräfte ,  welche  vor- 
sttglich  unsere  Aufmerksamkeit  verdienen. 

Da  die  gebogene  Scheibe  vermöge  der  äusseren  Kräfte  im  Oleicbge» 
Wichte  ist,  so  muss  ein  Bestreben  zur  Bewegung  entstehen,  sobald  diese 
aufgehoben  werden ,  d.  h.  im  Gleichgewichtszustande  hat  jedes  Massetheil- 
chen  gewisse  Spannungen  oder  Pressungen  auszuhalten,  welche,  indem  sie 
mit  gleichen  Intensitäten  je  zwei  nach  entgegengesetzten  Richtungen  wir- 
ken, sich  gegenseitig  aufheben.  Betrachten  wir  nun  zunächst  die  verticale, 
d.  h.  in  der  Bichtnng  Z  wirkende  Componente  dieser  elastischen  Kräfte, 
und  zwar  diejenigen ,  welche  z.B.  die  vordere,  d.h.  dem  Ursprünge  der 
Coordinaten  zugekehrte  Seitenfläche  hdy  des  Obelisken  angreifen,  so  ist 
klar,  da  diese  Verticalkräfte  von  der  Biegung  der  Fläche  herrühren,  dass 
sie  über  die  ganze  Ausdehnung  der  Fläche  hdy  in  einerlei  Sinne  wirken, 
also  zusammen  eine  dieser  Fläche  hdy  proportionale  Verticalkraft  erzeu- 
gen, welche  per  Flächeneinheit  durch  P^y  bezeichnet  werden  mag,  und, 
wenn  der  Dampf  von  oben  drückt,  also  die  concave  Seite  nach  Oben  ge- 
richtet ist,  abwärts  wirkt.  Die  ganze  im  Schwerpunkte  der  vorderen  Fläche 
hdy  abwärts  wirkende  Kraft  wäre  demnach  gleich  hdy .  Pjkay. 

Wir  betrachten  femer  die  Kräfte,  welche  den  Ausdehnungen  oderZu- 
aammendrückungen  der  Massetheilchen  parallel  der  Oberfläche  der  Stjjieibe 
ihr  Dasein,  verdanken.  Nehmen  wir  irgend  eine  im  ursprünglichen  Zustande 
der  Scheibe  gerade  und  der  Ebene  ZF,  d.h.  der  Oberfläche  oder  der  Mittel- 
fläche parallele  Faser  von  unendlich  kleinem  Querschnitte  an,  so  wird  die- 
selbe in  der  gebogenen  Scheibe  1)  eine  Biegung  nach  oben  oder  untefr, 
2)  eine  Veränderung  des  Querschnittes,  3)  eine  seitliche  Biegung,  4)  eine 
-Torsion ,  ö)  eine  Dehnung  oder  Verkürzung  nach  der  Länge  erfahren  kön- 
nen. Die  von  der  Biegung  nach  oben  oder  unten  herrührenden  Kräfte 
geben  die  bereits  betrachteten  P.  Die  Veränderungen  des  Querschnittes 
können  auf  Längsänderungen  der  gegen  die  fragliche  Faser  senkrechten 
Fasern  zurückgeführt  werden. 

Dagegen  verursachen  die  durch  seitliche  Biegung  und  Torsion  entstehen- 
den Kräfte  eine  gewisse  Unbequemlichkeit.  Wir  können  jedoch  dieselben 
ganz  vermeiden^wenn  wir  solche  Fasern  betrachten,  welche  innerhalb  des  un- 
endlich kleinen  Umfanges,  in  welchem  wir  sie  zu  verfolgen  haben,  keiner  seit- 
lichen Biegung  und  Windung  unterworfen  sind.  Um  die  Lage  solcher  Fasern 
zu  finden ,  ziehen  wir  uns  die  Normalen  zu  zwei  unendlich  ,n|he  l>^|^^o4c 

ZelUchrin  f.  Malhematik  a.  Physik.  V.  2  ^ 


18  Ueber  die  Festigkeit  einer  am  Rande  aufgelötheten  kreisförni.  Platte. 

Punkten  der  Achse  einer  in  der  mittleren  (neutralen)  Schicht  gelegenen 
Faser.  Alsdann  leuchtet  ein,  dass  eine  seitliche  Biegung  und  Torsion  der  zwi- 
schen beiden  benachbarten  Normalen  ausgespannten  Fasern  stattfinde,  wenn 
diese  Normalen  auf  der  später  gebogenen  Scheibe  sich  nicht  schneiden,  son- 
dern nach  verschiedenen  Richtungen  des  Raumes  auseinandergehen.  Die 
Richtungen  aber,  welche  eine  der  neutrale»  Schicht  parallele  Faser  haben 
muss,  damit  die  benachbarten  Normalen  sich  schneiden,  sind  bekanntlich  die 
aufeinander  senkrechten  Richtungen  der  stirksten  und  schwächsten  Krüm- 
mung der  von  der  neutralen  Schicht  gebildeten  krummen  Fläche.  Indem  wir 
den  Fasern  diese  Richtungen  geben ,  kommen  wir  bezfiglich  der  Verände- 
rungen ihrer  Querschnitte  auf  den  oben  vorausgesetzten  Fall  zurfick ,  dass 
die  Ausdehnungen  nach  aufeinander  senkrechten  Richtungen  vor  sich  gehen. 
Die  Projectionen  der  Richtungen  der  stärksten  und  schwächsten  Krüm- 
mung auf  die  Ebene  X  Y  bilden  nun  mit  der  Achse  X  die  Winkel  a  und  a^ 
für  welche 

ist,  wo  Ä  für  das  Polynom 

steht,  und  p,  ^,  r,  5,  t  der  Kürze  halber  für 

dj^    dj^    d^z      d^z      d^z 

ä^'  dy'  ä^'  dJJ^'  ap 

gelten.  Da  aber  die  Neigungen  der  krummen  Oberfläche  gegen  den  Hori- 
zont sehr  klein  sind,  60  können  wir  p  und  q  gegen  1  vernachlässigen,  so 
dass 

Unter  denselben  Bedingungen  findet  man  auch,  dass  die  beiden  Haupt- 
richtungen a  und  a  entsprechenden  Krümmungshalbmesser  durch 


»1:1 


^)  :■)=: 


^  r  +  t±j/R 

gegeben  sind. 

Gehen  wir  nun  zur  Betrachtung  derjenigen  Kräfte  über,  welche  aus 
der  Verlängerung  oder  Verkürzung  der  Fasern  entstehen.  Denken  wir 
uns  eine  unendlich  dünne,  der  neutralen  parallele  Schicht,  so  erleidet  ein 
kleines  Stück  derselben  nach  allen  Seiten,  wie  auch  in  Richtung  der  Nor- 
malen Ausdehnungen  oder  Znsammenpressungen.  Ein  solches  Flächenstück 
theilen  wir  uns  in  natürlichem  Zustande  der  Scheibe  durch  zwei  Systeme 
den  Richtungen  der  stärksten  und  schwächsten  Krümmung  paralleler 
Schnitte  in  zwei  Reihen  sich  rechtwinklig  durchkreuzender  Fasern;  als- 
dann  erleiden  dieselben  nach  der  Biegung  der  Fläche  die^enaj\n|^gpDyata- 


Voh  Dr.  G.  Zehpus«.  19 

Honen,  welche  der  geringen  Ausdehnung  des  Flächenstückes  halber  für  jede 
Faserreihe  per  Längeneinheit  constant,  für  beide  Reihen  aber  im  Allgemei- 
nen versehreden  eind,  und  zwar  messen  dieLängenverändeningen  der  einen 
zugleich  die  horizontalen  Veränderungen  des  Querschnitts  der  anderen; 
Zugleich  sind  es  diese  Veränderungen  allein,  welche  Dilationen  in  der 
Richtung  der  Normalen  hervorrufen ,  weil  im  Inneren  der  Scheibe  keine 
vertical  spannenden  Kräfte  angenommen  werden.  Ehe  wir  nun  weiter  gehen, 
soUea  einige  Definitionen  Aufgestellt  werdem 
Es  sei 

k^  die  Dilatation  der  Längeneinheit  der  Faserig  in  der  Richtung. der 
durch  den  Winkel  a  bezeiehueten  Hauptkrümmungslinie.     Der 
Abstand  der  Fasern  von  der  MitteMftche  sei  =  Uj 
Xa'  diese  Verlängerung  der  Fasern  in  der  Richtung  c, 
Xg  die  Dilatation  der  Längeneinheit  in  der  Biefatiuig  j?, 
Pj^y  die  auf  die  FUcheneinbett  der  vorderen  ITlacbe  hdy  des  Obe- 
lisken in  der  Richtung  —  Z  wirkende  aus  Biegung  der  Fasern 
entstandene  Kraft, 
Pjkdx  ebenso  die  auf  die  Fläche  hda:  nach  — Z  wirkende  Kraft, 
A„  die  in  der  Richtung  a  auf  eine  zu  derselben  denkrechte ,   in  der 
Höhe  u  befindliche  Flächeneinheit  wirkende,   vom  Obelisken 
ab  gerichtete  Kraft,  entstanden  aus  Dilatation  der  in  der  Rich- 
tung tt  laufenden  Fasern, 
J^  die  in  der  Richtung  a  auf  eine  au  derselben  senkrechte  in  der 

Höhe  u  befindliche  Flächeneinheit  wirkende  Kraft, 
^'tJUiar  die  per  Flächeneinheit  parallel  der  Richtung  a  auf  die  vor- 
dere Fläche  hdx  in  der  Höbe  u  über  der  neutralen  Schicht  an- 
greifende vomObeliaken  abgerichtete,  aus  J^  entstehende  Kraft, 
^a'j  hda  die  pev  Flächeneinheit  auf  hdx  in  der  Höhe  u  abwärts  vom 

Obelisken  wirkende  aus  A^^  entstehende  Kraft, 
^at  hdg  die  per  Flächeneinheit  Kui  hdy  in  der  Höhe  u  abwärts  vom 

Obelisken  wirkende  aus  Aot  entstehende  Kraft. 
Aa'^hdx  die  per  Flächeneinheit  anf  hdx  in  der  Höhe  u  wirkende 

vom  Obelisken  abwirkende  aus  A^^»  entstehende  Kraft* 
^x^hdy  die  in  der  Höhe  u  auf  die  Fläche  hdy  in  der  Richtung —  X 
per  Flächeneinheit  wirkende,  durch  Zerlegung  von  ^a>>^  ^^^ 
^a^f  hdy  gewonnene  Kraft. 
-^yyhdy  die  ähulicherwelse  auf  hdy  in  der  Richtung  —  Y  wirkende 

Zugkraft, 
^»yhdx  die  analog  auf  hdx  in  der  Richtung  ^—X  wirkende  Zugkraft, 
'^i  käs  ebenso  die  auf  Adx  in  der  Richtung  —  Y  wirkende  Zugkraft. 
Wir  müssen  nun  die  zwischen  diesen  verschiedenen  Ausdrücken  statt- 
findenden Beaiehungen  entwickeln.     Wie  man  leicht  aus  einer  Figur  ab- 

Strahirt,  ist  '     uigmzeaoy  v_jv>OQ1C 

2*  ^ 


20  lieber  die  Festigkeit  einer  am  Rande  aufgelötheten  kreisförm.  Platte. 

UM 
5)  A«  =  —  ,       Aiif's^  -7  • 

Sodann  ergeben  die  Formeln  2),  da  anf  die  inneren  Theile  der  Scbeibe 
keine  Druckkräfte  wirken,  also  Ax=^0  ist: 

0  «=  ATA, +ir'(A« +  *«'). 
Hieraus  folgt  nach  Elimination  von  X^  and  nnter  Berücksichtigung  der 
Werthe  5): 

Ebenso  sieht  man  leicht  aus  einer  Figur,  dass 

^  '^«',ju:är  =  ^.<^o*o;  irf«',  iUy  =  — ^«'*»l«, 

desgleichen,  dass 

^f»  JW»  =5  ^«1  iUte  •  *»««  +  ^'»  *rf*  •  ^<>*«» 

A^i  A^  tss  Aa,  hdy  '  sina  +  Aa',  kd^  .  cof  «. 
Substituirt  man  hier  die  Werthe  aus  6)  und  7),  so  wird 

■!<*.  JWr  =  -^  Mir  ^ 

« L-^r- U  "  ^^^  "**  "~^~  V  ~  7>'J """ '""•• 

d.  h.  anter  Berttckaichtigaiig  der  Formeln  3)  und  4) : 

K       da*'*'         K         ay«J' 

\         __   {-jr«— r'yz  ^  KK'—K'*d*t\ 

8)  ^^.««  — «L      I^^ay»"^        AT        ä^J' 

Ag «  Alf«  =  -« y  >  Ad^  = 

"L      AT       dxdy  K         dxZyX 

Hiernach  können  wir  zur  Aufstellung  der  sechs  Bedingungsgleichun- 
gen des  Gleichgewichts  des  Obelisken  schreiten.  Diejenigen  beiden,  welche 
sich  über  das  Verschwinden  der  Projectionen  aller  Kräfte  auf  die  Achsen 
Xund  raussprechen,  nehmen  wir  als  von  selbst  erfüllt  an,  weil  wir  die 
geringen  horizontalen  Spannungen  der  neutralen  Schicht  vernachlässigen, 
und  jeder  Kraft  A^  als  den  Factor  u  enthaltend,  in  dj»,^^n^op^lp^j|ction 


-^«,w^  =  tt[- 


Von  Dr.  6.  Zehpuss.  21 


eine  gleiche  mit  dem  Factor  — u  behaftete  entgegenwirkt.  Aehnliches  gilt 
anch  für  diejenige  Momentengleichung ,  welche  sich  auf  die  Projectionea 
aller  Krftfte  anf  die  Bbene  JT  7  bezieht. 

£8  bleiben  also  nor  noch  drei  Gleichnngen  ttbrig ,  nämlich  die  für  die 
Projectionen  aller  Krftfte  anf  die  Achse  Z,  so  wie  die  Momentengleichnngen 
aller  Krftfte  anf  die  Richtungen  der  Ebenen  ZZ  und  YZ.  Nehmen  wir  die 
Seitenflftchen  hdx  nnd  hdy,  so  wie  die  Mittelflftche  als  die  drei  Projections- 
ebenen  an ,  nnd  bemerken  wir  noch  tiberdiess ,  dass  in  der  Gleichung  für 
die  Projectionen  anf  Z  die  Kräfte  — P  nnd  auf  der  entgegengesetzten  Seite 
des  Obelisken  die  Krftfte  P+dP  vorkommen,  dass  also  nur  dP^  ein  par- 
tielles Differettial,  übrig  bleibt;  dass  ebenso  parallel  den  Achsen  X»  F  die 
Krftfte  — A^  anf  der  entgegengesetzten  Seite  des  Obelisken  aber  die  Kräfte 
J+dA  wirken,  dass  also  nur  dA^  ein  partielles  Differential,  in  den  Momen- 
tengleichungen eingeht;  dass  überdiess  die  Kräfte  P  an  den  Hebelarmen 
dx  und  dyj  die  Kräfte  A  an  den  Hebelarmen  u  wirken,  so  gewinnen  wir, 
wenn  Q  den  Druck  des  Dampfes  auf  die  Flächeneinheit  bezeichnet ,  unter 
Weglassung  der  Unendlichkleinen  höherer  Ordnung,  z.  B.  des  Momentes  von 
0  folgende  drei  Bedingungsgleichungen : 

—  Odxdff'i.hdy^P^dx  +  kdx^^dtf^O, 

ox  oy 

h 

% 

hdyPj^dx+ßi(y^dx.dydu  +  ^^^^ 


3 

hdx  PMsdy+Ju(^^^^  dy  .dx  du  +  ^^^^ 

""5 
oder,  nach  einer  kleinen  Vereinfachung,  und  in  Bücksicht  auf  die  aus  8)  zu 
entnehmenden  Werthe  von  A: 

0       dPj^      ^^^  —  0 
h         d  X  dy  ' 

Diese  drei  Gleichungen  ergeben  eine  Differentialgleichung  fttr  z ,  und 
lehren  nachher  die  Werthe  von  P  kennen.  Um  die  Differentialgleichung 
SU  erhalten,  eliminire  man  Pkdy  ^i^d  P^dg,    Es  entsteht 


welche  Differentialgleichung  auch  genau  aus  der  von  Kirchhoff  gefunj^. 

•*  "  **  uigiTizea  Dy  x^j  vy  vy'i  Iv^ 


22  lieber  die  Festigkeit  einer  Am  Sande  aiifgelötheten  kreisförm.  Platte. 

denen  abgeleitet  wetden  kann«  Die  Gestalt  der  Scheibe  evgiebt  ftieh  nun 
mit  dem  Integrale  der  partiellen  DifferentialgleicbuBg  9) ,  welches  sich  für 
verschiedene  Zwecke  unter  verschiedenen  Formea  darstellen  lässt,  je  nach- 
dem die  darin  vorkommenden  willkührlicben  Functionen  modificirl  werden. 
Ist  die  Scheibe  kreisförmig,  und  ihr  Halbmesser  gleich  /«  so  dürfte  naoh- 
stehende  Form  die  geeignetste  sein: 

wo  1==:^— '  1,  und  (p,  (p,,  T^,  i/>,  vier  willhährliche  Functionen  vorstellen.  Ist 

nun  das  Centrum  der  Scheibe  im  Ursprünge  der  rechtwinkligen  Coordina- 

ten,  so  bestimmen  sich  die  vier  willkührlichen  Functionen  ans  den  Bedhig- 

dz 
ungen,  dass  für  a:*  +  y*=/"  sowohl  «?=0,  als  auch  ^  =0  sein   muss,  wo 

or 

r  =^/^^^,  sobald  die  Scheibe  am  Kande  fest  aufgelothet  ist.  Setzt  man 
x  +  yi  =  re**y  so  heisst  dies  so  viel,  als  dass  für  r=l  sowohl  der  Ausdruck 

r«  [q>  (re^)  +  tp,  (r«-«*)]  +  tf;  {re*^)  +  if;,  (r^-"')» 
als  auch  dessen  partieller  Differentialquotient  nach  r,  ftir  jeden  Werth  von  * 
fp  verschwinden  muss.    Die  Ausdrücke  <p  +  <Pi  nnd  t//  +  tf^i  lassen  sich  aber, 
wenn  man  die  einzelnen  Functionen  von  re*^  nach  Sinus  und  Cosinus  der 
Vielfachen  von  l  entwickelt,  offenbar  auf  nachstehende  Form  bringen : 
flo  +  fli  r  cosi+  a, r*co*2/  +  Ä,  r*(?0Ä3/+  ... 
+  ft,  r  sini  -^^  h^r*  sin2t  -{^  h^r^  sinZi  +  .. ., 
also  entsteht  eine  Gleichung  von  der  Form 

>0  3=5  -<^o  +  -^1  r  cosi  +  A^  r*  C082i  +  A^  r*  co«3f  +•. . . 
+  5,  r sin t  +  B^r* sin 2t+ B^r^ sinZt  + .  .  . 

jöp  +  «1  r  cost+  a,  r*  cos2t  +  a^r^  cosZt  +  .  . . 
+  6^  rsint  +  b^r* stn2t  +  b^r*sinZt+  . ,  .^ 
in  welcher  die  Coefficienten  a,  ft,  A^  B  von  r  und  i  unabhängig  sind.     Für 
r  =  /  muss  ausser  derselben  auch  noch  ihre  Derivirte  nach  r  bestehen,  so 
dass  weiter  entsteht: 

0  =  idf,  cos t  +  2A^  r  cos  2t  +  S  A^  r^  cos  ^t  +  .  .  . 
+  BiSint  +  2B^r$in2t  +  SB^T^sinZi  +  .  .. 

J2ao  +  Za^rcost  +  4air'co5  2/  +  öa,  r'cos3^  + . . . 
+  Zb^rsint  +  4b^r*sin2t  +  bb^  r^sinZi  +  .  .  . 
Sollen  nun  diese  beiden  Gleichungen  für  jeden  Werth  von  /  bei  r  =  / 
erfüllt  sein,  so  müssen  nach  Fourier  die  Coefficienten  von  sinnt  und  cosnt 
einzeln  verschwinden.*)    Hieraus  folgt 


*)  Dies  leuchtet  ein,   sobald  man  nach  beiderseitiger  Multiplication  mit  sinnC 
oder  cosHt  zwischen  den  Greneen  2n  und  0  integrirt. 

uigiTizea  oy  v_j  v^v^p^  lv. 


+"!' 


+'!' 


Von  Dr.  Q.  Zehfuss.  23 

^«  +  /•«o  =  0,  ^,  +/•«,  =  0,  .^,  4-  /*  «t  =  0,  ^,  +  /•  «j  =  0, . . . 

wonach  Bämaiillche  Coefficienien,  also  auoh  die  von  iknen  beatimmten  Func- 
tionen q>f  9|,  ^,  ^1  gleich  Nall  sind.  Die  Gleichung  der  gekrümmten  Scheibe 
ist  mithin 

Der  kleinste  Werth  des  Krümmungshalbmessers  ergiebt  sich  hiernach 

Setst  man  nun  die  Verl&ngerung,  bei  welcher  eine  Faser  von  derL&n^e 
1  aerreisst,  gleich  A,  so  darf  dieselbe  höchstens  gleich  sein  der  dem  Werthe 

▼on  p  entsprechenden  Dilatation  —  der  Längeneinheit  der  Stärkstgespann- 

ten,  d.  h.  auf  der  Oberfläche  in  dem  Abstände  \h  von  der  neutralen  Schicht 
entfernten  Faser.    Hiemach  ist  die  Festigkeitsbedingung :  1  =  ^  A  :  ^,  oder 

''CQ'       K       ' 
d.h. 


H)  *  =  '/»fj^^- 


Es  bezeichnet  dies  diejenige  Dicke ,  welche  man  der  Platte  bei  gege- 
benem Dampfdrucke  zu  geben  hat,  wenn  kein  Zerreissen  stattfinden  soll. 
Man  zieht  daraus  folgende  zwei  Sätze: 

Bei  gleichem  Dampfdrucke  müssen  die  Dicken  zweier 
Platten  in  directem  Terhältnisse  ihrer  Durchmesser  stehen. 

Bei  gleichen  Durchmessern  zweier  kreisförmigen  Plat- 
ten müssen  ihre  Dicken  der  Quadratwurzel  aus  demDampf« 
drucke  proportional  sein,  wenn  sie  die  erforderliche  Fes- 
tigkeit darbieten  sollen. 

Die  Grösse  A  entspricht  hier  der  auf  Ausdehnung  in  Anspruch  genom- 
menen  Festigkeit  des  Materiales.  Auf  der  dem  st&rkstgespannten«Punkte 
entgegengesetzten  Seite  der  Scheibe  findet  die  stärste  Compression  statt« 
Ist  nnn  das  Material  für  Compression  empfindlicher,  als  für  Dilatation,  so 
hat  man  für  l  in  der  Formel  14)  die  Grenze  der  Compressionslänge  der  Län- 
geneinheit zu  setzen. 

Schliesslich  werde  noch  bemerkt,  dass  in  beiden  Fällen  die  Fasern 
nicht  nur  der  Länge  nach,  sondern  auch  in  gleichem  Sinne  eine  Verände- 
rung des  Querschnittes  erfahren.  Allein  es  ist  klar,  dass  wenn  die  blos  auf 
Stäbe  mit  freiem  Querschnitte  sich  beziehenden  Yersuchswerthe  von  A  in 
die  letzte  Formel  eingesetzt  werden,  die  Festigkeitsbedingung  um  so  mehr 


uigaizea  oy  v_j  vy  v^' x,  Iv^ 


24  Ueber  die  Festigkeit  einer  am  Rande  etc.    Von  Dr.  G.  Zehfüss« 

erfüllt  ist,  weil  z.  B.  eine  der  Länge  nach  gespannte  nnd  im  Momente  des 
Zerreissens  befindliche  Faser  um  so  sicherer  zerr eisst,  wenn  sie.  bei  gleich- 
bleibender Länge  auch  noch  eine  Aasdehnang  des  Querschnittes  erfährt. 
Es  würde  leicht  sein ,  die  Bedingung  14)  durch  eine  andere ,  welche  die 
Grösse  A  in  noch  kleinere  Grenzen  bannen  würde,  zu  ersetzen,  wenn  man 
eine  zwar  sehr  wahrscheinliche,  aber  doch  an  Sicherheit  der  obigen  Voraus- 
setzung nachstehende  Hypothese  benutzte.  Diese  Hypothese  besteht  darin, 
dass,  wenn  eine  Faser  mit  freiem  Querschnitte  bei  einer  Dilatation  V  zer- 
reisst,  dasselbe  sehr  wahrscheinlich  noch  stattfindet ,  wenn  laterale  Kräfte 
eine  Veränderung  des  Querschnittes  und  eine  modificirte  Verlängerung 
il  <  iL'  hervorbringen.  Der  Zusammenhang  zwischen  A  und  X'  wäre  nach 
den  eingangs  dieser  Abhandlung  entwickelten  Formeln  leicht  abzuleiten, 
und  es  würde  h  in  der  Formel  14)  kleiner  ausfallen ,  wenn  man  X  durch  l' 
ersetzte. 


m. 

Beiträge  zur  Theorie  der  Oase. 

Von  Dr.  E.  Jochmank  in  Berlin. 


L  Das  ideal  permanente  Gas. 

unter  einem  ideal  permanenten  Gase  soll  im  Folgenden  ein  solches 
Gas  verstanden  werden ,  auf  welches  die  beiden  Grundgesetze  der  das. 
tischen  Flüssigkeiten ,  die  man  unter  dem  Namen  des  Mariotte*Gaj- 
Lussac'schen  Gesetzes  zusammenfassen  kann,  in  voller  Strenge  anwendbar 
sind.  Wir  wollen  ferner  für  das  ideale  Gas  die  Richtigkeit  der  Mayer'schen 
Annahme*)  voraussetzen,  dass  die  bei  der  Compression  eines  Gases  frei- 
werdende calorimetrisch  messbare  Wärmemenge  das  volle  Aequivalent  der 
zur  Compression  des  Gases  erforderlichen  äusseren  Arbeit  ist.  Es  folgt 
dies  übrigens  unmittelbar  aus  der  Erfahrungsthatsache,  dass  ein  Gas,  wel- 
ches sich  ausdehnt,  ohne  äussere  Arbeit  zu  leisten,  seine  Temperatur  nicht 
ändert  und  aus  dem  Princip  der  Aequivalenz  der  Arbeit  und  Wärme. 

In  der  That  giebt  es  kein  Gas ,  welches  diesen  Voraussetzungen  voll- 
ständig genügt.     Da  aber  alle  permanenten  und  ein  Theil  der  co(^rciblen 

*)  Mayer:  Bemerkungen  über  die  Kräfte  der  unbelebten  Natur.  Wöhler  undLie- 
big*8  Annalen  der  Chemie  und  Pharmacie  XLII.  p.  240. 

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Beiträge  zur  Theorie  der  Gase.    Von  Dr.  E.  Jochmann.       25 


Oase  sich  denselben  mit  einer  fttr  alle  praktiselien  Zwecke  hinreichenden 
Oenanigkeit  annähern ,  so  ist  es  voh  Nutzen,  die  Theorie  der  Grase  zuerst 
80  SU  entwickeln,  als  ob  dieselben  jene  Gesetze  streng  befolgten.  Man  hat 
dann  bei  Betrachtung  der  Abweichungen  von  den  Grundgesetzen  den 
Vortheil,  dieselben  als  kleine  Grössen  behandeln  zu  können,  deren  Poten- 
zen und  Produkte  yemachlftssigt  werden  dürfen. 

Das  Mariotte'sohe  und  Gaj-Lussac^sche  Gesetz  lassen  sich  in  der 
Formel  zusammenfassen 

p.r==«.(l  +  ot) 
wo  p  den  Druck,  v  das  Volum,  x  die  Temperatur  in  Graden  des  Centesimal- 
Luftthermometers*),  a  den  thermischen  AusdehnungscoSfficienten  des  Gases 
bei  constantem  Druck  bezeichnet.  Diese  Formel  nimmt  eine  noch  ein- 
fachere Gestalt  an ,  wenn  man  einen  andern  Nullpunkt  fdr  die  Thermo- 
meterscala  wählt.    Setzt  man 

a 
80  wird 

1)  p.v=^k.t 

Die  80  eingeftihrte  Grösse  t  nennt  man  die  absolute  Temperatur« 
Die  Constante  k  steht  in  einem  unmittelbaren  Zusammenhang  mit  der 
Differenz  der  beiden  specifischen  Wärmen  des  Gases  bei  constantem  Druck 
und  bei  constantem  Volum.  Wird  der  Masseneinheit  des  Gases  bei  con- 
stantem Volum  eine  Wärmemenge  dq  zugeführt '^''')  so  erfährt  das  Gas 

eine  gewisse  Temperaturerhöhung  dl.     Den  Quotienten  —  nennt  man  die 

specifische  Wärme  des  Gases  bei   constantem  Volum.     Wir  wollen  den-/ 
selben  mit  c  bezeichnen.     Um  eine  Gasmasse  m  bei  constantem  Volum  um 
dt  zu  erwärmen,  würde  die  Wärmemenge 

m  ,c  .dt 
erforderlich  sein.     Will  man  dagegen  dieselbe  Temperaturerhöhung  her- 
Torbringen,  indem  man  den  Druck  constant  erhält,  wobei  das  Gas  also  eine 
Auadehnung  erfährt,  so  ist  dazu  eine  grössere  Wärmeinenge 

m  •  Cf »  dt 
erforderlich,  wo  C|  die  Grösse. ist",  welche  man  die  specifische  Wärme*  bei 
constantem  Drucke  zu  nennen  pflegt.     Ist  dv  die  Volnmzunahme ,  so  ist 
p  •  dv  die  im  letzteren  Falle  bei  der  Ausdehnung  geleistete  äussere  Ar- 


*)  Diese  Gleichung  dient  also  vorläufig  als  Definition  der  Temperatur  und  die 
Constante  a  wird  so  bestimmt,  dnss  die  Dififerenz  der  Temperaturen  des  Siedepunkts 
und  des  Gefrierpunkts  =  100  ist. 

••)  Will  man  von  vom  herein  mit  dem  ,, Zufuhren  einer  Wärmemenge"  einen  prä- 
ciseren  Begriff  verbinden,  so  heisst,  einem  Korper  Wärme  zuführen,  soviel ,  als  seine 
Wirknngsfunction  vergrössem  (siehe  Art.  3,  5  und  6).  Ich  habe  es  jedoch  vorgezo- 
gen, zunächst  an  den  gewöhnlichen  Sprachgebrauch,  der  auf  der  unmittelbaren  physi- 
kalischen Anschauung  beruht,  anzuknüpfen.  J' 

uigiTizea  oy  v_j  vy  v_/ 'i  IV^ 


26  Beiträge  fsnr  Theorie  der  Gase. 

beit.     In  Folge  der  Majer 'sehen  Annahme  nrnns  die  Differenz  der  in  bei- 
den Fällen  gebraachten  Wärmemengen 

1»  (ci  —  c)  ,dt 
das  genaue  Aequiralent  der  geleisteten  Arbeit  «ein;  denn  erwärmte  maa 
das  Ghis  erst  bei  constantem  Volum  um  df  und  Hesse  dasselbe  dann  sich 
um  dv  ausdehnen  ohne  äussere  Arbeit  zu  leisten ,  wobei  seine  Temperatur 
unrerftndert  bliebe,  so  wären  Anfangs-  und  Endzustand  dieselben  wie  bei 
der  Erwärmung  unter  constantem  Druck,  die  Ueberführung  wäre  aber  er- 
folgt, ohne  dass  dabei  äussere  Arbeit  geleistet  wurde.  Die  in  diesem  Fall 
weniger  gebrauchte  Wärmemenge  m{Ci — c\df  ist  also  das  Aequivalent 
der  Arbeitsmenge  p  •  dv.  Bezeichnet  man  daher  das  mechanische  Aequi* 
▼alent  der  Wärmeeinheit  durch  d,  so  folgt  daraus 

p  ,dv  =  A.m  .  {ci  —  c)  dt. 
Die  Gleichung  1)  giebt  aber,  indem  man  dieselbe  mit  Bücksicht  auf  die  Be* 
dingung  p  =  const»  differentiirt 

p  ,dv=^k .dt 
und  indem  man  durch  Vergleichung  dieser  beiden  Ausdrücke  den  Werth 
der  Gonstante  k  bestimmt,  geht  l)  über  in 

2)  p ,v^=:A  ,m{ci  —  c)  .i. 

Bezeichnet  man  die  Dichtigkeit  des  Gases  d.  h.  die  Masse  derVolumeinheit 
mit  ^,  so  ist 

3)  i?  =  ui ;  ^  •  (cj  —  c) .  t 

Wählen  wir  als  Einheit  der  Wärmemenge,  wie  es  üblich  ist,  diejenige 
Wärmemenge,  welche  erforderlich  ist,  um  1  kgr.  Wasser  von  0*  auf  1°  C, 
zu  erwärmen,  so  ist  bekanntlich  nach  den  zuverlässigsten  Versuchen  von 
^  Joule*)  die  Gonstante 

4)  ^  =  423,55  Kilogramm-Meter 

=  415500  .  10^^  absol.  Arbeitseinheiten, 
wenn  man  die  Intensität  der  Schwere  =  9810  annimmt  und  unter  der  abso- 
luten Arbeitseinheit  die  Arbeit  versteht,  durch  welche  die  Masse  eines  Mil- 
ligramms um  ein  Millimeter   der  Richtung  der  Kraft  1  entgegenbewegt 
wird. 

Aus  der  Gleichung  2)  folgt  zunächst,  dass  die  Differenz  der  beiden 
specifischen  Wärmen  e^ — e  für  das  ideale  Gas  einen  constanten,  von  Dich* 
tigkeit  und  Temperatur  unabhängigen  Werth  hat.  Dasselbe  gilt  daher  für 
alle  wirklichen  Gase  nur  in  dem  Maasse,  als  sich  ihre  Eigenschaften  denen 
des  idealen  Gases  annähern.  Von  einem  zum  andern  Gase  ändert  sich  die 
Gonstante.  Aus  der  Gleichung  3)  folgt  aber,  dass  das  Product  ^(c, — c)  für 
alle  Gase  denselben  Werth  hat  oder  dass  die  Differenz  der  speciiischen  Wär- 
men der  Dichtigkeit  umgekehrt  proportional  ist.  Bezieht  man  die  specifi- 
schen  Wärmen  auf  die  Volumeinheit,  anstatt  auf  die  Masseneinheit,  so  ist  die 

*)  J.  P.  Joule  i  On  the  meckanical  eqtäoaleni  ofheat.    PhUosaphical  Transactions  of 
the  London  Royal  Society  1850  p.  ÖL.     Pogg.  Ann.  Ergänsangsband  IV.  p.  61. 

uigiTizea  Dy  v_j  vyv.^T'i  Lv, 


Von  Dr.  E.  Jochmakn.  27 


DtfFerens  für  alle  Qnse  dieselbe.    Setet  man  nmgekehrt  .diese  Differens  als 

eonstant  voraus,  so  kann  man  daraus,  wie  es  Hoppe*)  gethan,  den  Beweis 
der  Gültigkeit  des  Pfincips  der  Aequivalenz  von  Arbeit  und  Wärme  für 
alle  Kireisproeeasa  mit  Grasen  berleiten.  Die  4>ei  den  wirklieben  Oasen  vor» 
kommenden  Abweichungen  werden  am  Scbluss  des  vierten  Artikels  bespro- 
chen werden.  Die  Versuche  von  Regnault**)  haben  übrigens  ergeben,  dass 
die  specifische  Wärme  Cj,  also  auch  c  für  atmosphärische  Lufit  und  andere 
permanente  Gase  von  Druck  und  Temperatur  nicht  merklich  abhängig  ist. 
Wir  werden  dies  für  das  ideale  Gas  um  so  mehr  annehmen  dürfen. 

Wird  ein  Gas  comprimirt,.  indem  man  ihm  alle  dabei  erzeugte  Wärme 
von  aussen  entzieht,  so  dass  seine  Temperatur  eonstant  bleibt,  so  ist 
die  dabei  verbranchte  Arbeit  und  gleichseitig  das  Aequivalent  der  ge- 
wonnenen Wärme 

/?*  /f* 

5)     — /p .  rfr  =  *— ^m (c,  ^  c).i I  —  =  A.m(€i — c)tlog  — 

indem  bei  der  Integration  t  als  Constante  zu  betracliten  ist.  Daraus  folgt 
das  von  Dulong***)  auf  empirischem  Wege  gefundene  und  mit  folgenden 
Worten  ausgesprochene  Gesetz  „dass  alle  Oase,  wenn  man  bei  gleicher  Tem- 
peratur und  unter  gleichem  Druck  ein  gleiches  Volumen  von  ihnen  nimmt 
und  plötzlich  um  einen  gleichen  Bruchwerth  dieses  Volumens  zusammen- 
drückt oder  ausdehnt,  eine  gleiche  absolute  Wärmemenge  entwickeln  oder 
verschluck <in."  Der  Werth  des  Products  m  (c,  —  c)  ist  nämlich ,  wie  wir 
oben  gesehen,  für  alle  gleichen  Oasvolumina  derselbe. 

Wir  haben  die  Gleichung  2)  aus  der  Vergleich  ang  der  beiden  Processe 
hergeleitet,  dass  man  einem  Gase  von  aussen  eine  Wärmemenge  zuführt, 
während  entweder  das  Volumen  oder  der  Druck  unverändert  bleibt ;  bei 
Herleitung  der  Gleichung  5)  liessen  wir  Druck  und  Volum  variiren  und 
setzten  die  Temperatur  eonstant.  Wir  wollen  endlich  noch  den  Fall  be- 
trachten, dass  man  das  Gas  comprimirt  oder  unter  Ueberwindnng  eines  Ge- 
gendruckes sich  ausdehnen  lässt,  ohne  ihm  von  aussen  Wärme  zuzusetzen 
oder  zu  entzieiMn. 

Wenn  ein  ideales  Gas  sich  vomVolnm  v  zum  Volum  v+Jv  ausdehnt, 
ohne  ^nen  Druck  su  überwinden ,  so  bleibt  die  in  ihm  enthaltene  Wärme- 
menge, sowie  seine  Temperatur  ungeändert.  Dehnt  es  sieh  dagegen  unter 
Ueberwindung  des  Druckes  p  aus,  so  wird  dabei  die  Atheitp.Jv  geleistet, 

mithin  die  Wärmemenge  ~  .p  .Jv  verbraucht,  und  das  Gas  erleidet  eine 

Temperatur -Erniedrigung,  die  zu  bestimmen  ist     Um  die  ursprüngliche 

*)  Poggendorffs  Annalen  XCYU.  30. 

••)  Comptes  rendus  de  Vacad.  des  sciences  de  Paris  XXXVL  676.  Pogg.  Annalen 
LXXXJX.  335. 

♦**)  Pogg.  Ann.  XVI.  476.  Vergl.  Carnot :  Reßexions  sw  la  ptdssance  motrice  du 
feu.     PatiM  1824  p.  41,  p.  52.  ^ 

uigiTizea  oy  '" 


ioogle 


28  BeitHlge  znr  Theorie  d^r  Gase. 

Temperatur  wieder  hersiutellen,  mttsste  dem  Oase  bei  constantem  Volum 
die  Wärmemenge  -j  ,p  .^v  zugeführt  werden.  Da  aber  m.c  Wärmeein- 
heiten  die  Temperatur  dea  Oasea  bei  constantem  Volum  um  1*  erhahen,  so 
beträgt  der  durch  die  Wärmemenge  -j  p  »Jv  zu  ersetzende  Temperatur- 

tt      yf  ff 

Verlust  -j-^ oder  wenn  wir  den  Temperaturzuwachs  mitJt  bezeichnen, 

so  ist 

6)  J.m.c.Ji:s=i  —  p.Jv. 
Aus  2)  folgt 

^.m.  (C|  —  c)  .Ji==ip,Jv+p.Jp 
und  durch  Addition  dieser  beiden  Gleichungen 

7)  AmCiJt=^v .  Jp, 

Durch  Combination  der  Gleichungen  6)  und  7)  mit  2)  folgt  leicht,  indem 

man  den  Quotienten  der  specifischen  Wärmen  -^  mit  y  bezeichnet, 
•       8) 

10) 

Das  Symbol  d  ist  anstatt  d  in  obigen  Formeln  gebraucht ,  um  Verwechsel- 
ungen zu  verhüten,  da  die  Incremente  in  diesen  Formeln  eine  andere  Be- 
deutung haben  als  in  den  früheren.     Durch  Integration  erhält  man 

y 


Jp 

r   ^^ 

p 

r 

—  1  t 

p 

=  - 

Jv 

1 
y— 1" 

'  t 

Jv 

V 

;-:=ar"©'  • 


Diese  Formeln  stimmen  übrigens  mit  denjenigen  vollkommen  ttberein,  welche 
Poisson*)  auf  andre  Weise  aus  derDefinition  der  specifischen  Wärmen  und 
unter  der  Voraussetzung,  dass  das  Verhältniss  derselben  eine  Constante  ist, 
hergeleitet  hat.  Auf  der  Gleichung  8)  beruht  das  Verfahren,  dessen  sich 
Clement  und  D^sormes*'*),  sowie  nach  einer  nur  wenig  verschiedenen 


*)  TxaUi  de  micanique  T,  II.  §§.  634,  638.  Der  Unterschied  beider  Herleitangen 
liegt  im  Wesentlichen  darin ,  dass  die  mechanische  Wärmetheorie  tiher  den  Grand 
Rechenschaft  gieht,  weshalb  die  specifische  Wärme  et  grösser  als  c  ist ,  während  man 
dies  früher  einfach  als  Erfahmngsthatsache  hinnahm  oder  mit  dem  unklaren  Ansdmck 
von  frei  oder  latent  werdender  Wärme  zu  erklären  suchte.  Die  Laplace*sche  Formel 
für  die  Schallgeschwindigkeit  bleibt  daher  anch  bei  der  neuen  Auffassungsweise  g^anz 
angeändert.  Herr  D  e  c  h  e  r  hat  also  Unrecht,  wenn  er  meint  (Dinglers  pol jtechn.  Journ. 
CXLVm.  178.  Mai  1858)  dass  das  Verhältniss  y  in  der  mechanischen  Wärmetheorie 
gar  keine  Bedeutung  habe. 

**)  Joum,  dephysique  Nov.  1819;  Laplace:  Micanique  <^^fi»ff.e^Dy^<J?vJös: l^ 


Von  Dr.  E.  JochhAkn.  29 

Methode  Gaj-Lnssae  tmd  Weiter*)  bedient  baben,  um  die  Constante  y 
KU  bestimmen.  Clement  und  D^sormes  fanden  im  Mittel  y  =s  1,35 ;  G-a  y  « 
Lnssae  und  WeJIter  )r=  1,^748.  Wie  bekannt,  geht  die  Gtöste  y  in  die 
Yon  Laplace**)  anfgestellte Formel  für  die  Schallgeschwindigkeit  ein  und 
die  directe  Beobachtung  der  letateren  giebt  ein  Mittel  sn  emer  sicheren 
Bestimmnng  ron  y*  Dnlong***)  leitet  an«  der  Schallgeschwindigkeit  von 
333*  (genauer  S32,05)  wie  sie  sich  ans  den  im  Jahre  182a  von  Mollf),  von 
Beek  nnd  Knytenbronwer  angestellten  Versuchen  ergeben,  den  Werth 
1,421  ab,  der  sich  mit  Bücksicht  auf  die  Correction  wegen  des  Wasser- 
dampfgehalts der  Luft  auf 

12)  y  =  1,418 

redncirttt)  Natfirlieh  gilt  dieser  Werth  nur  für  atmosphftrisehe  Luft.  Für 
andere  Gase  ergiebt  sich  y  durch  Vergleichung  der  Schallgeschwindigkeit 
mit  der  in  atmosphärischer  Lnft  stattfindenden  durch  die  Tonhöhe  von  Pfei- 
fen, die  mit  diesen  Oaeen  gefällt  sind.  Die  Formel  10)  enthält  den  zweiten 
Theil  des  yon  Duleng  (a.a.O.)  aufgestellten  Gesetzes,  welches  übrigens 
nur  für  kleine  Compressionen  gilt,  „dass  nämlich  die  bei  der  oben  erwähn- 
ten Compression  erfolgenden  Temperaturände^ungen  sich  umgekehrt 
wie  die  specifischen  Wärmen  bei  eonstantem  Volum  (bezogen  auf  die  Vo- 
lumeinheit)  rerhalten."     Es  ist  nämlich 

Ai c,  —  c  Av «4* — c*  Av 

T         V  '"r        c*   *  V' 

wenn  c^  und  c^  die  specifischen  Wärmen,  bezogen  auf  gleiche  Voln)nina, 
bezeichnen;  c^  —  c'  hat,  wie  oben  bewiesen,  für  alle  Gase  denselben  eon- 
stanten  Werth;  <,  v  nnd  Av  sollen  bei  den  verschiedenen  Gasen  gleichge- 
nonunen  werden«  also  ist  die  Temperaturerhdhnng  At  umgekehrt  proper« 
tlonal  c*. 

Das  Carnot^sche  Prineip  in  der  mechanischen  Wärmetheorie  be- 
steht bekanntlich  darin,  dass,  wenn  in  irgend  einem  Kreisproceas ,  bei  wel- 
chem also  der  vermittelnde  Körper  schliesslich  wieder  in  seinen  Anfangs- 
zustand ansückkehrt,  eine  Quantität  Wärme  in  Arbeit  umgewandelt  wird^ 
gleichzeitig  ein  anderes  Wärmequantnm  von  einem  Körper  höherer,  zu 
einem  Körper  niederer  Temperatur  zurückgehen  muss.  Ein  Maximum  ist 
für  dieses  Wärmequantum  nicht  angebbar,  da  ja  beliebige  Wärmemengen 
von  höherer  zu  niederer  Temperatur  durch  Leitung  und  Strahlung  über- 
gehen können,  ohne  dass  gleichzeitig  Wärme  in  Arbeit  verwandelt  wird« 
Wohl  aber  giebt  das  Carnot'sche  Prineip  ein  Minimum  an  und  zwar  findet 

•)  Aim,  dt  dUmie  et  depkysique  (2.  ser,)  XX.  266;  Lttpiace:  Mic,  m.  V,  iö3. 

**)  Ann.  dt  chiade  et  dephyaique  (2.  «^.)  ///.  238;  M4c.  eil,  V.  123. 

••*)  Ann.  de  chimie  (2.  ser.)  XLL  113;  Pogg.  Ann.  XVI.  438. 

t)  Pogg.Ann.V.  351,469. 

tj)  Vergl.  Aflsmann:  Pogg.  Ann.  LXXXV.  1.  Die  Correction  ist  unter  der  aller- 
dings nicht  sntreffenden  Voranssetzung  gemacht,  dass  y  für  Wassergas  denselben 
Werth  hat,  wie  für  Luft.  Da  aber  die  Correction  nur  gering  nnd  der  Werth  von  yj 
überhaupt  nicht  sehr  sicher  ist,  so  lassen  wir  obigen  Werth  als  Annäherung  gelteir^  l^ 


30  Beitr&ge  vor  Theorie  der  Oase. 

ein  solches  Minimum  des  Debergangs  statt,  wenn  der  Kreiaproeess  ein  um- 
kehrbarer ist. 

Wir  wollen  uns  annächst  dazu  wenden,  nachsuweisen ,  dass  fttr  jeden 
Kreisprocess,  in  welehem  Wfirme  in  Arbeit  oder  Arbeit  in  Wdrme  durch 
Dilatation  und  Compression  idealer  Gase  umgewandelt  wird,  das  Carnot- 
scbe  Princip  nieht  eine  neue .  der  Erfahrung  entlehnte  Annahme ,  sondern 
eine  nothwendige  Folge  der  Grundgesetse,  welche  Druck,  Volum  und  Tem- 
peratur der  Grase  mit  einander  verbinden  und  des  Prinoips  der  Aequivalena 
Ton  WMrrae  und  Arb^  ist. 

Um  den  Beweis  sogleich  mit  aller  erforderlichen  AUgeueinheit  zu  fuh- 
ren, werden  wir  uns  eine  Gasmasse  m  au  denken  haben,  welche  von  einem 
beliebigen  Anfangszustand,  der  durch  bestimmte  Werthe  der  unabhängigen 
Variabein  r,  /  gegeben  ist,  in  ihrem  Volum,  ihrem  Druck  und  ihrer  Tempe- 
ratur irgendwelche  mit  der  Gleichung  2)  verträgUche  Verflnd«ruBgen  er* 
leidet,  indem  derselben  in  jedem  Augenblick  beliebige  Wllrmemengen  von 
aussen  zugeführt  oder  entzogen  werden,  und  schliesslich  wieder  zu  ihrem 
Anfangszustand  zurückkehrt.  In  Betreff  dieser  Veränderungen  soll  nur 
Vorausgesetzt  werden ,  /lass  sie  sttmmtlicli  auch  in  umgekehrter  Ordnung 
vorgenommen  werden  können ,  oder  dass  der  Kreisprocess  ein  vollstftndig 
umkehrbarer  sei.  Dazu  sind  folgende  Bedingungen  erforderlich :  1)>  Das 
Gas  muss,  indem  es  sich  ausdehnt,  immer  einen  Druck  Überwinden,  der  dem 
seinigen  gleich  ist  (ausgeschlossen  ist  also  z.  B.  das  Einströmen  des  Gases 
in  einen  luftleeren  Baum).  2)  Das  Gas  darf  nur  von  solchen  Wärmequel« 
len  Wärme  aufhehmen,  und  an  solche  Kdrper  Wärme  abgeben,  deren  Tem- 
peratur von  der  seinigen  unendlich  wenig  verschieden  ist.  Dass  diese  Be- 
dingungen  praktisch  nie  vollkommen  erfüllt  werden  können,  ist  an  sich 
klar.  Wenn  an  der  Hülle  eines  Gases  Druck  und  Gegendruck  vollkommen 
gleich  sind,  so  kann  eine  Aenderung  der  Bewegung  nicht  eintreten ,  oder 
wenn  vorher  Buhe  war,  überhaupt  keine  Bewegung  erzeugt  werden.  Aber 
die  Druckdifferenz,  welche  erforderlich  ist,  damit  das  Gas  seine  Hülle  aus- 
dehnt, kann  unter  jede  gegebene  Grösse  sinken.  Wir  schreiben  zwei  Kör- 
pern gleiche  Temperatur  zu,  wenn  zwischen  denselben  bei  unmittelbarer 
Berührung  kein  Wärmeaustausch  stattfindet,  aber  die  Temperatardifferenz, 
welche  fttr  die  Wärmeabgabe  erforderlich  ist,  kann  beliebig  klein  sein«*) 
Die  Bedingungen  der  Umkehrbarkeit  des  Kreisprocesses  sind  also  praktisch 
nicht  streng  zu  erfüllen,  aber  man  kann  sich  denselben  beliebig  annähern 
und  je  grösser  diese  Annäherung  ist,  desto  besser  ist  die  thermodynamische 
Maschine,  weil  der  Verlust  nutzbarer  Wärme  durch  Uebergang  von  höhe- 
rer zu  niederer  Temperatur  sich  in  demselben  Maasse  dem  vom  Carnot- 
sehen  Princip  gebotenen  Minimum  annähert. 

Sind  p,  Vj  /,  Druck;  Volum  und  Temperatur  des  Gases  in  einem  belie- 


♦)  Vergl.  Carnot,  a.  ».  O.  p.  18  Note;  p.  25.  oigitized  by  GoOglc 


Von  Dr.  E.  Jochmann.  31 

bigen  Zeitpunkt  des  Kreisprocesses,  so  sind  diese  Variabeln  nnr  durch  die 
Gleiehnng  2) 

p.v^=j4.m{Ci  —  c)  .i 
▼erbunden  und  nm  den  Process  yöUig  zu  bestimmen,  kann  man  noch  eine 
zweite  willkttbrliche  Relation  zwischen  denselben  annehmen,  von  deren  Be* 
Bchaffenheit  die  Wärmemenge  abhängt,  welche  dem  Gase  in  jedem  Theile 
des  Kreisprocesses  zugeführt  oder  entzogen  werden  muss.  Ist  umgekehrt 
diese  Wärmemenge  gegeben,  so  fblgt  daraus  die  Relation  zwischen  den  Va- 
riabeln. In  jedem  Fall  kann  man  sich  zwischen  dieser  Relation  und  der 
Gleichung  2)  die  Temperatur  /  eliminirt  denken,  so  dass  man  eine  Gleich- 
ung zwischen  p  und  v 

erhält.  Denkt  man  sich  den  Kreisprocess  durch  eine  Curve  dargestellt, 
indem  man  v  als  Abscisse,  p  als  Ordinate  nimmt,  so  kann  diese  Curve  alge- 
braisch oder  transcendent  sein,  sie  kann,  wie  es  in  der  Praxis  immer  der 
Fall  sein  wird,  in  ihren  verschiedeneu  Theilen  verschiedenen  Gesetzen  fol- 
gen, kann  beliebige  Einknickungen  (Stetigkeitsunterbrechungen  hCheret 
Ordnung)  erleiden,  nnr  muss  sie  in  sich  geschlossen  sein.  Der  von  der  Curve 
begrenzte  Flächenraum  stellt,  wie  schon  J.  Watt  bemerkt,  die  mechanische 
Arbeft  vor,  welche  in  dem  Kreisprocess  erzeugt  oder  verbraucht  wird,  je 
nachdem  man  denselben  in  einer  oder  der  andern  Richtung  vor  sich  gehen 
lässL  Damit  die  Curve  in  sich  selbst  zurücklaufe,  genügt  die  Bedingung, 
dass,  wenn  v  zu  seinem  ursprünglichen  Werth  zurückkehrt,  die  algebraische 
Summe  aller  dem  Gase  zugeführten  Wärmemengen  —  die  entzogenen  als 
negativ  gerechnet  —  ein  vollständiges  Aequivalent  der  geleisteten  Arbeit 
bilde ;  denn  wenn  diese  Bedingung  erfüllt  ist ,  so  hat  das  Gas  am  Ende  des 
Processes  dieselbe  Temperatur  wie  am  Anfang,  also  ist  auch  der  Werlh 
von  p  derselbe.  Wir  bestimmen  die  positive  und  negative  Wärtnemenge, 
welche  dem  Gase  in  jedem  Theile  des  Kreisprocesses  zugeführt  werden 
muss,  damit  zwischen  p  und  v  die  gegebene  Relation  13)  stattfinde.  Denken 
wir  uns,  dass  in  einem  beliebigen  Element  des  Kreisprocesses  v  um  d&,  tum 
dt^p  um  dp  wächst.     Nach  2)  ist 

p  .vzss  A.m.{c^  —  c)  .t 
mithin 

14)  ^^^    pd.  +  Mp 

die  während  dieses  Elements  zur  Temperaturerhöhung  verbrauchte  Wärme- 
menge ist  daher 

m.c  .  dt= .4-  (pdv  +  vdp), 

C|  —  c    A 

Die  geleistete  Arbeit  ist  p  .  dv^  die  dazu  erforderliche  Wärmemenge 

Ä'^^^'  Digitizedby  Google 


32  Beitrfige  zur  Theorie  der  Gase. 

Also  ist  die  ganze  Wärmemenge,  welche  dem  Gase  während  dieses  Vor- 
ganges von  einem  Körper  von  der  Temperatur  t  mitgetheilt  werden  muss » 

15)  ^p  =  £i£^£±£Ei£. 

Die  während  des  ganzen  E^eisprocesses  aufgenommene  Wärmemenge  ist : 

16)  Q^—±^^ßc^pav  +  cvdp), 

wobei  bemerkt  werden  muss,  dass  das  Integral,  über  den  ganzen  Kreis- 
process  ausgedehnt,  nicht  verschwindet.    Da  nämlich  das  Integral 

I  (cpdv  +  cvdp)  =ic  I d{pv) 

über  den  geschlossenen  Kreisprocess  ausgedehnt,  Null  ist,  so  reducirt  sich 
die  gesammte  verbratichte  Wärmemenge  auf 

Die  Wärmemenge  Q  ist  also  das  Aequivalent  der  während  des  ganzen  Kreis^ 
processes  geleisteten  Arbeit  Jpdv, 
Nach  2)  ist 

nnd  indem  man  ^Q  durch  diesen  Werth  dividirt,  erhält  man 

17)  ^  =  m[c,d  {log  v)  +  cd  (log  p)]. 

Durch  Integration  über  den  ganzen  Kreisprocess  verschwinden  beide  Theile 
des  in  Klammern  stehenden  Differentialausdrucks  einzeln  und  unabhän- 
gig von  der  zwischen  p  und  v  bestehenden  willkürlichen  Re- 
lation und  man  hat  für  jeden  beliebigen  Kreisprocess  die  merkwürdige 
Gleichung 


/f  =  0, 


welche  den  Ausdruck  des  Carnot'schen  Princips  bildet  in  der  Form,  unter 
welcher  dasselbe  zuerst  von  Clausius*)  aufgestellt  wurde* 

Ist  nur  eine  endliche  Anzahl  constanter  Wärmequellen  vorhanden,  de- 
ren Temperaturen  ^n  ^  •  •  •  ^  sind ,  und  sind  die  von  ihiren  an  das  Gas  ab- 
gegebenen positiven  oder  negativen  Wärmemengen  g'j,  ^t  .  •  •  9.)  so  ver- 
wandelt sich  das  Integral  in  eine  Summe : 

Reducirt  sich  die  Zahl  der  Wärmequellen  auf  2,  so  ist 
20)  T+T^'^- 


*)  Claasios :  Ueber  eine  veränderte  Form  des  zweiten  Hauptsatzes  der  mecliaifi- 
schen  Wärmetheorie.    Pogg.  Ann.  XCIII.  481.  ^  r\r\n 

uigiTizea  oy  <^jOOVlv- 


Von  Dr.  E.  Joc^mann,  33 

Ist  /|  ^  ^ ,  80  ist  auch ,  abgesehen  Tom  Vorzeichen  der  Wärmem^nf  e, 
9t  grösser  als  g^  und  zwar  sind  beide  Wärmemengen  den  Temperaturen 
proportional.  Ist  bei  dem  Process  Wärme  in  Arbeit  umgewandelt  worden, 
so  ist  die  grössere  Wärmemenge  qi  positiv,  g^  negativ.  Die  Differenz  der 
absoluten  Werthe  beider  Wärmemengen  oder  ihre  algebraische  Summe 
f?i  +  g^t  wt  in  Arbeit  verwandelt.  Der  wärmere  Körper  hat  aber  nicht  nur 
diese  Wärmequantität  verloreh  sondern  ausserdem  noch  die  positive- Wärme- 
menge —  5',,  welche  von  der  Temperatur  fj  zu  der  niederen  Temperatur  /, 
übergegangen  ist.  Ist  umgekehrt  in  dem  Process  Arbeit  in  Wärme  umge- 
wandelt worden,  so  ist  gi  +  g^  negativ,  und  da  dem  absoluten  Werthe  nach 
9t<  9i  8^^n  muss,  so  ist  gi  negativ,  g,  positiv,  d.  h.  der  kältere  Körper  hat 
Wärme  abgegeben,  der  wärmere  Wärme  aufgenommen  und  zwar  hat  der 
letztere  mehr  aufgenommen  als  der  erstere  abgegeben  hat.  DerUeberschuss 
von  Wärme  ist  als  Arbeit  gewonnen,  während  gleicbzeftig  die  Menge  9, 
von  der  Temperatur  ü,  zu  der  höhten  Temperatur  /|  überging. 

Die  Gleichung  18)  gilt  ganz  allgemein  für  alle  umkehrbaren  Kreis- 
processe  mit  idealen  Oasen.  Es  folgt  daraus,  dass  man  auf  keine  Weise 
eine  Arbeitsmenge  aus  Wärme  erzeugen  kann,  ohne  dass  gleichzeitig  Wärme 
von  einem  wärmeren  zu  einem  kälteren  Körper  übergeht«  Umgekehrt  kann 
nicht  Wärme  van  einem  kalten  zu  einem  warmen  Körper  übei^eföhrt  wer- 
den ^  ohne  dass  gleichzeitig  Arbeit  in  Wärme  umgewandelt  wird.  So  weit 
die  Consequenzen  der  Eigenschaften  eines  idealen  Gases.  Die  neue 
Annahme  nun,  welche  im  Carnot^schen  Princip  liegt,  ist  die,  dass  diese 
üeberführung  überhaupt  auf  keine  Weise  auch  durch  Vermittelnng.  beliebi- 
ger anderer  Körper  möglieh  sei.  Daraus  folgt  die  Giltigkeit  der  Gleichung 
18)  für  alle  umkehrbaren  Kreisprocesse  mit  beliebigen  Körpern.  Im  ent- 
gegengesetzten Fall  würde  sich  nämlich  nachweisen  lassen ,  dass  es  durch 
Verbindung  zweier  Kreisprocesse  möglich  wäre,  Arbeit  aus  Wärme  zu  ge- 
winnen ,  ohne  dass  gleichzeitig  Wärme  von  einem  wärmeren  zu  einem  käl- 
teren Körper  überginge. 

Die  in  der  Gleichung  18)  enthaltene  Grösse  /  ist  die  durch  das  Volum 
eines  idealen  Gases  bei  constantem  Druck  gemessene  Temperatur.  Da  je- 
doch ein  solches  ideales  Gas  eine  Abstraction  ist,  so  soll  im  folgenden  Ab- 
schnitt eine  Definition  der  Temperatur  gegeben  werden,  welche  mit  der 
bisher  gebrauchten  identisch,  aber  von  der  Abstraction  eines  idealen  Gases 
unabhängig  ist  und  sich  auf  die  mindestens  äusserst  wahrscheinliche  An- 
nahme der  Giltigkeit  der  Gleichungen  18)  und  20)  für  alle  umkehrbaren 
Kreisprocesse  mit  beliebigen  Körpern  gründet. 

Anmerkung.  Es  verdient  bemerkt  zu  werden,  dass,  wenn  man  unter 
i  nicht  die  absolute  Temperatur  der  an  das  Gas  Wärme  abgebenden  oder 
von  demselben  Wärme  aufnehmenden  Wärmequellen ,  sondern  die  Tempe- 
ratur des  Gases  selbst  versteht,  wie  es  in  der  Ableitung  der  Gleich- 
ung 18)  geschehen  ist,  diese  Gleichung  auch  noch  giltig  bleibt,  wenn  di^ 

Zeitschrift  f.  Mathematik  u.  Phyuik.  V.  3 


34  Beiträge  ztir  Theorie  der  Gase. 

oben  angegebene  zweite  Bedingung  für  die  Umkehrbarkeit  des  Kreispro- 
cesses  nicht  erfüllt  ist.  Verstösst  dagegen  ein  Theil  des  Kreisprocesses 
gegen  die  erste  Bedingung,  so  erhält  das  Integral  18)  einen  ron  Null  ver- 
schiedenen, immer  negativen  Werth,  der  sich  in  jedem  speciellen  Falle 
nach  den  gegebenen  Gleichungen  leicht  berechnen  lässt.  Wenn  z.  B.  das 
Gas  sich  vom  Volum  9,  zum  Volum  v^  ausdehnt,  ohne  einen  fiasseren  Druck 
zu  überwinden ,  so  wird 


/ 


(Vergl.  die  Bemerkung  von  Clausius  in  Pogg.  Ann.  XCVII.  p.  449.) 


n.   Definition  der  absoluten  Temperatur. 

Seit  dem  Zeitalter  Galilei's  und  der  Academia  del  Cimento  haben  die 
Fortschritte  der  Physik  nach  und  nach  eine  immer  genauere  BegriffSsbe Stim- 
mung des  Temperaturmaasses  mit  sich  gebracht.  Bald  erkannte  man,  dass 
es  nicht  gleichgiltig  war,  welche  thermometrische  Substanz  man  anwandte, 
indem  Thermometer,  mit  verschiedenen  Flüssigkeiten  gefüllt,  von  einander 
abwichen,  selbst  wenn  die  Fnndamentalpunkte  in  Uebereinstimmung  ge- 
bracht waren.  Die  dadurch  entstehende  Verlegenheit  schien  beseitigt,  als 
man  in  den  elastischen  Flüssigkeiten  eine  ganze  Grtippe  von  Körpern  auf- 
fand ,  welche  in  ihrer  Ausdehnung  durch  die  Wftrme  übereinstimmen.  Man 
nahm  daher  an,  dass  die  Ausdehnung  der  Gase  durch  die  Wurme  dem  Tem- 
peratur zu  wachs  proportional  sei ,  oder  vielmehr  man  deiinirte  die  Tempera- 
tur dadurch,  dass  man  einer  bestimmten  Volumzunahme  jedesmal  einen 
Temperaturgrad  entsprechen  Hess.  Spätere  genauere  Untersuchungen  führ- 
ten zu  dem  Resultat,  dass  auch  die  Gase  in  ihrer  Ausdehnung  durch  die 
Wärme  kleine  Abweichungen  von  einander  zeigen,  dass  somit  jedes  Gas- 
thermometer nur  ein  einseitiges,  von  der  individuellen  Natur  des  ange* 
wandten  Gases  abhängiges  Temperaturmaass  liefert.  Nichtsdestoweniger 
hat  das  Luftthermometer  bis  heute  seinen  Rang  als  Normalthermometer  be- 
hauptet und  gewiss  mit  vollem  Recht,  da  die  Abweichungen  in  der  Aus- 
dehnung der  permanenten  Gase  so  gering  sind,  dass  sie  für  alle  praktischen 
thermometrischen  Zwecke  ausser  Acht  gelassen  werden  können.  Theoretisch 
aber  stellt  sich  das  Bedürfniss  heraus,  eine  von  den  individuellen  Eigen- 
schaften jedes  Körpers  unabhängige  Definition  eines  Temperaturgrades  zu 
geben.  Man  wäre  um  nichts  gebessert,  wenn  man  die  Grösse  der  Tempe- 
raturgrade dadurch  definirte,  dass  man  einem  Körper  immer  gleiche  Wärme- 
mengen mittheilt  und  seine  Temperatur  der  in  ihm  enthaltenen  Wärme- 
menge proportional  setzte  —  mit  anderen  Worten ,  dass  man  die  Wärme- 
capacität  des  Körpers  constant  setzte  —  denn  wir  wissen ,  dass  das  Ver- 
hältniss  der  Wärmecapacitäten  verschiedener  Körper  sich  mit  der  Tempe- 
ratur ändert,  und  wenn  auch  gerade  wieder  bei  den  permanenten  Gasen  die 


Von  Dr.  E.  Jochmann.  35 

Abweichnngen  bei  den  nnserer  Beobachtung  zugänglichen  Temperaturen 
innerhalb  der  Grenzen  der  unvermeidlichen  Beobachtungsfehler  zu  Hegen 
scheinen,  so  können  wir  doch  für  gewiss  annehmen,  dass  sie  vorhanden 
sind,  und  auch  dieses  Temperatnrmaass  wäre  nur  ein  Nothbehelf  für  die 
Praxis. 

Wenn  wir  aber  das  Carnot*sche  Princip  als  ein  strenges  Naturgesetz 
annehmen,  welches,  wie  das  Newton'sche  Gravitationsgesetz,  seine  Bestä- 
tigung oder  Widerlegung  nur  in  der  Erfährung  finden  kann ,  so  giebt  uns 
dasselbe  ein  Mittel  an  die  Hand,  ein  allgemeines  von  der  besondern  Natur 
Jodes  einzelnen  Körpers  unabhängiges  Maass  der  Temperatur  aufzustellen, 
indem  wir  folgende  von  Thom-son'*)  aufgestellte  Definition  des  abso- 
luten Temperaturmaasses  annehmen: 

Wenn  irgend  ein^  Substanz,  die  einem  vollkommen  um- 
kehrbaren Kreisprocess  unterworfe-n  .wird,  nur  von  einer 
Wärmequelle  von  constanter  Temperatur  Wärme  aufnimmt 
und  nur  an  einen  zweiten  Körper  von  constanter  Temperatur 
Wärme  abgiebt,  so  sind  die  Temperaturen  beider  Körper 
proportional  den  während  des  Kreisprocesses  aufgenomme- 
nen und  abgegebenen  Wärmemengen**). 

Will  man  noch  eine  bestimmte  Temperatur  einheit  festsetzen,  so  kann 
man  die  Temperaturdifferenz  des  schmelzenden  Eises  und  des  bei  760™*" 
Quecksilberdruck  siedenden  Wassers  =  100  setzen ,  um  die  Eeduction  der 
Angaben  des  Centesimalluftthermometers  möglichst  zu  erleichtern.  Auf 
welche  Weise  es  möglich  wird,  eine  Vergleichuog  zwischen  der  dieser  De- 
finition entsprechenden  Thermometerscala  und  der  des  Luftthermometers 
zu  gewinnen,  werden  wir  im  vierten  Abschnitt  untersuchen. 


m  Einige  allgemeine  Formeln  der  meehanischen  Wftrmetheorie. 

Bevor  wir  zur  Betrachtung  der  vom  Mariotte-Gay-Luss a c'sehen 
Gesetz  abweichenden  Gase  übergehen,  ist  es  erforderlich,  an  einige  allge- 
meine Formeln  der  mechanischen  Wärmetheorie  zu  erinnern ,  deren  wir  im 
Folgenden  bedürfen. 

Der  Zustand  einer  Flüssigkeitsmasse ,  welche  wir  gleich  1  nehmen 
wollen ,  lässt  sich  im  Allgemeinen  durch  die  drei  Variabein  p,  Vy  t  aus- 
drücken, zwischen  welchen  eine  Bedingungsgleichung  stattfindet,  .welche 


*)  Philosopfdcal  Trattsactiowt  of  tke  Royal  Society  of  London,    1854.  I.  p.  351. 

**)  Diese  Definition  soll  also  nicht  etwa  das  We  s  e  n  der  Temperatur  erklären, 
eben  so  wenig  als  man  das  Wesen  der  Kraft  erklärt,  indena  man  die  Beschleonigung 
aU  Maass  für  dieselbe  annimmt,  sondern  sie  soll  nur  die  verschiedenen  Temperaturen 
numerisch  vergleichbar  machen.  Der  Begriff  der  Temperatur  kann  nur  von  der 
Molecularraechanik  erklärt,  d.  h.  mit  anderen  mechanischen  Begriffen  in  nothwendi| 
gen  Zusammenhang  gebracht  werden.   Vergl.  den  sechsten  Abschnitt,  a  oy  ^«^^  v^v^^lC 

3* 


36  Beiträge  zur  Theorie  der  Gase. 

je  nach  der  Natnr  der  Flüssigkeit  verschieden  und  von  welcher  die  tf  a  - 
riotte-Gay-Lnssac^sche  ein  specieller  Fall  ist.  Man  kann  daher  p  als 
Funption  der  beiden  andern,  als  unabhängigen  Variabein,  betrachten. 
Wachsen  diese  respective  um  dv  und  <f/,  so  wird  dabei  eine  gewisse  Wärme- 
menge JQ  aufgenommen.    Man  kann  daher  setzen 

21)  /tQ  =  Mdv  +  Ndt, 

wo  also  Mdv  die  Wärmemenge  ist,  welche  bei  constanter  Temperatur  dem 
dem  Volumzuwachs  dv  und  Ndt  die  Wärmemenge,  welche  bei  constantem 
Volum  dem  Temperaturzuwachs  dt  entsprechen  würde.  Es  ist  daher  N  die 
specifische  Wärme  bei  constantem  Volum  oder 

22)  N=c. 

Soll  der  Druck  constant  bleiben ,  so  muss  die  Bedingung   " 

dv  dt 

erfüllt  sein ,  und  daraus  ergiebt  sich  der  Werth  für  die  specifische  Wärme 
bei  constantem  Druck 

dp 

dv 
oder  ■ 

dp 

23)  ei~c  =  — ilf.|i.. 

d_p 

dv 
Die  Grösse  M  könnte  man  die  specifische  Wärme  bei  constanter  Temperatur 
nennen. 

Von  der  Wärmemenge  /iQ  wird  ein  Theil  in  äussere  Arbeit  umgewan- 
delt. Die  geleistete  äussere  Arbeit  ist  nämlich  p  .  dv.  Die  übrige  Wärme- 
menge 


24)  dQ  =  (m—  l\dv  +  N.dt 


wird  zur  Temperaturerhöhung  (Vermehrung  der  lebendigen  Kraft  der  Mo- 
lecularbewegung ,  welche  wir  Wärme  nennen)  und  zu  innerer  Arbeit  (Ent- 
fernung der  Molecüle,  Aenderung  des  Aggregat-  oder  Molecularzustandes) 
verbraucht.  Macht  die  Flüssigkeit  einen  Kreisprocess  durch ,  bei  welchem 
V  und  i  schliesslich  ihre  ursprünglichen  Werthe  wiedererhalten ,  auch  der 
Molecularzustand  am  Ende  derselbe  ist,  wie  am  Anfang,  also  die  Summe 
der  im  ganzen  Kreisprocess  geleisteten  innern  Arbeit  gleich  Null,  so  ver- 
schwindet das  über  den  ganzen  Kreisprocess  ausgedehnte  Integral  von  rfß, 
welches  auch  die  Form  des  Kreisprocesses  sein  möge^goieibder  Ausdruck  24) 


Von  Dr.  E.  Jochmank.  37 


ist  ein  vollständiges  Differential.  Aasnahmefälle,  in  welchen  eine.  Um- 
wandlung allotroper  oder  isomerer  Zustände  in  einander,  z.  B.  von  Ozon  in 
Sauerstoff,  innerhalb  des  Kroisprocesses  vorkämen,  würden  eine  besondere 
Betrachtung  erfordern. 

Setzen  wir  AdQ  =  dfF,  bo  ist 
25)  dFF=  {AM  —p)  dv  +  ANdi, 

~)        ^=-'»-'.  ^=- 

Die  Function  W  ist  in  der  mechanischen  Wärmetbeorie  unter  dem  Namen 
der  Wirkungsfunction*)  oder  mechamcal  energy**)  bekannt.  Es  ist 
nämlich  nach  dem  Vorhergehenden  klar,  dass  die  Summe  mechanischen 
Effects,  welche  aus  der  Masseneinheit  der  Flüssigkeit  gewonnen  werden 
kann,  indem  sie  von  einem  beliebigen  Zustand  {v,  t)  in  einen  andern  (t^(»iO 
übergeht,  oder  umgekehrt  die  Arbeitsmenge,  welche  erforderlich  ist,  die- 
selbe aus  dem  letzteren  in  den  ersteren  tiberzuführen,  durch  die  Differenz .  • 

W{v,t)^W{v,,U) 
repräsentlrt  wird. 

Da  der  Differentialausdruck  25)  der  Bedingung  der  Integrabilität  ge- 
nügen muss ,  so  ergiebt  sich  daraus  die  Gleichung 

d{AM—p)_d{AN) 
dl        ~     dv 
oder 

^'^  dt       dv~A'di' 

welche  als  der  analytische  Ausdruck  des  Princips  der  Aequivalenz  der 
Wärme  und  Arbeit  betrachtet  zu  werden  pflegt. 

Diese  Gleichung  kann  dazu  dienen ,  aus  dem  früher  gewonnenen  Aus- 
druck des  Camot'schen  Princips  18)  die  analytische  Form  herzuleiten ,  in 
welcher  dasselbe  zuerst  von  Thomson  aufgestellt  wurde.  Setzt  man  näm- 
lich in  18)  für  /iQ  seinen  Werth  21)  und  berücksichtigt,  dass  in  Folge  von  18) 

—  ein  vollständiges  Differential  sein  muss  für  alle  umkehrbaren  Processe, 

so  folgt 


oder 


und  mit  Rücksicht  auf  27) 

*)  Kirchhoff:  Ueber  einen  Satz  der  mechanischen  W&rmetheorie.  Poggend. 
Ann.  Cni.  177. 

♦*)  W.  Thomson:  On  the  qmnfUies  of  mechamcal  enerffy  contained  in  a  fluid. 
Phä.  Mag,  (4.  ßer.)  IX.  523.  ^.g,,,^^  ^y  ^^^^ 


dt 

dv 

BM 

dt 

dN      M 

dv~  l 

LV- 


38  Beiträge  zur  Theorie  der  Gase. 


28)  ^.J!f  =  <.|£, 

Welches  der  von  Thomson'*)  gegebene  Ausdrack  ist,  wenn  man  in  diesem 
die  Car  not 'sehe  Temperaturfunction  ^  =  —  setzt.  Wird  dieOleicbnng  28) 
in  Beziehung  auf  t  differentiirt ,  so  erhält  man  mit  Rücksicht  auf  27): 


29) 

Ans  36)  und  28)  folgt 

dW        8p 

30) 

■  0»-'ä7— ^' 

V 

31)  w^J{i^±-p)dv  +  ^{i), 


»0 

wo  »0  ®i^  beliebig  zu  wählender  Anfangswerth  von  v  und  (p{t)  diejenige 
noch  zu  bestimmende  Function  von  t  ist,  auf  welche  sich  W  für  »  =  Vo  re- 
ducirt.  Bezeichnen  wir  die  Function  von  /,  auf  welche  sich  N  für  t>  =»o  ro- 
ducirt,  mit  JV^,,  so  wird  nach  26): 

folglich 

V  t 

32)  W  =  C(i  ^±  —  ^dv  +  A  JN^dt  +  consU 

Die  Constante  ist  ofiFenbar  W  (v^^Q. 

Wenden  wir  diese  Gleichungen  auf  das  ideal  permanente  Gas  an ,  so 
ist  nach  1) 

k.t     dp       k        dp 

W=AfN,dt, 
oder ,  da  die  specifische  Wärme  bei  constantem  Volum  c  für  das  ideale  Gas 
von  der  Temperatur  unabhängig  ist, 

33)  w—W,^A.c.{t  —  Q, 

"'     '■^-^■"  ^=«.  «=f.  "-'■ 

Die  Wirkungsfunction  des  idealen  Gases  ist  also  eine  Function  der 
Temperatur  allein  und  vom  Volum  (der  Dichtigkeit)  unabhängig.  Es  ist 
dies  das  Wesentliche  der  Mayer'schen  Annahme.  Da  nämlich  ein  ideales 
Gas,  welches  sich  ausdehnt,  ohne  Arbeit  zu  leisten,  seine  Temperatur  nicht 
ändert ,  oder  da  bei  Gompression  des  Gases  das  genaue  Acquivalent  der  ge- 


♦)  Pmo,ophical  Magazine.  (4.  8.)  IV.  p.  169.  ^.g,,.^^^  ^^  GoOglc 


Von  Dr.  E.  Jochmann.  39 

leisteten  Arbeit  als  Wärme  wieder  gewonnen  wird ,  welche  man  demselben 
Ton  aussen  wieder  entsiehen  kann ,  indem  man  es  auf  seine  ursprüngliche 
Temperatur  surttckbringt^  so  folgt  daraus,  dass  die  Wirkungsfunction  in 
beiden  Fällen  nngeändert  geblieben  sein  muss,  indem  die  Summe  der  von 
dem  Gase  gewonnenen  Arbeit  und  Wärme  gleich  Null  ist. 

(Fortsetzong  folgt.) 


IV. 

Beitrftge  znr  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektrische 

Telegraphie. 

Von  Dr.  Eduard  Zetzsche. 


L  Die  Copirtelegraphen. 

Bei  den  im  ersten  Jahrgange  dieser  Zeitschrift  Seite  89  iL  kurz  be- 
schriebeneu Telegraphenapparaten  werden  die  verschiedenen  Wirkungen, 
welche  sich  mittels  elektrischer  Ströme  fast  ohne  Zeitverbrauch  in  beträcht- 
licher Ferne  hervorbringen  lassen,  benutzt,  um  eine  Nachricht  an  einen 
entfernten  Ort  zu  befordern.  Bei  den  Nadeltelegraphen  dient  die 
durch  den  elektrischen  Strom  herbeigeführte  Ablenkung  einer  oder  meh- 
rerer Magnetnadeln  oder  Stabmagnete ,  oder  zweier  mit  einander  verbun- 
dener, um  eine  Axe  drehbarer  halbkreisförmiger  Magnete  (im  Bain-Ek- 
1  in  gesehen  Telegraph)  als  telegraphisches  Zeichen,  aus  welchem  sich  durch 
Wiederholung  und  Abwechselung  in  der  Ablenktgigsrichtung  eine  Reihe 
Zeichengruppcn  bilden  lassen,  um  durch  sie  die  Buchstaben  des  Alphabetes 
für  die  Schriftsprache  auszudrücken  mit  einer  Genauigkeit  und  Bestimmt- 
heit, welche  mit  der  Anzahl  der  gewählten  Gruppen  wächst.  Bei  den  Zei- 
gertelegraphen  rückt  durch  abwechselnd  hergestellte  und  unterbrochene 
elektrische  Ströme  (entweder  in  Folge  der  dabei  eintretenden  und  wieder 
verschwindenden  elektromagnetischen  Anziehung  allein,  oder  durch  das 
Zusammenwirken  derselben  mit  einem  Uhrwerke,  einem  Gewichte,  einer 
Feder  u.  dergl.)  ein  Zeiger  auf  einem  mit  den  Buchstaben,  Ziffern  und 
anderen  Zeichen  beschriebenen  Zifferblatte  schrittweise  fort,  bleibt  endlich 
auf  dem  jedesmal  zu  telegraphirenden  Buchstaben  u.  s.  w.  stehen  und  buch- 
stabirt  so  dem  Telegraphisten  die  Depesche  vor.  Die  elektromagnetischen 
und  elektrochemischen  Schreib  -  und  Drucktelegraphen  endlich 
lassen  auf  einem  durch  ein  Bäderwerk  mit  Gewicht  in  Bewegung  gesetzter 

uigiTizea  oy  v_j  vy  v_/ 'i  ILv^ 


40    Beiträge  zur  Geschichte  d*  Fortschritte  i.  d;  elektr.  Telegraphie. 

Papierstreifen  gewisse  Zeichen  (Punkte  und  Striche)  entstehen*),  aus  denen 
ebenfalls  Gruppen  zur  Bezeichnung  der  Buchstaben,  Ziffern  und  anderer 
Schriftzeichen  gebildet  werdeu;  und  zwar  erzeugt  bei  den  elektrochemi- 
schen Telegraphen  der  Strom  unmittelbar  die  Zeichen  als  farbige  Linien 
auf  und  in  dem  feuchten,  vorher  mit  Cyankalium-  oder  Jodkaliumlösung 
und  Stärkekleister  getränkten  Papiere ,  da  er  durch  das  Papier  selbst  ge- 
leitet wird  und  dasselbe  so  ok  und  so  lange  er  hindarch  geht ,  unter  Zer- 
setzung des  Jod-  oder  Cyankaliinus  violet  oder  braun  färbt;  während  bei 
den  Druckapparaten  ein  Hebel  durch  elektromagnetische  Anziehung  vom 
Strome  in  Bewegung  gesetzt  wird  -und  durch  einen  rein  mechanischen  Vor- 
gang die  Zeichen  auf  dem  Papiere  eingräbt,  oder  mit  einer  farbigen  Flüs- 
sigkeit auf  dem  Papiere  aufträgt. 

•  Alle  diese  Telegraphenapparate  sind  nun  in  ihrem  Gebrauche  insofern 
einer  Beschränkung  unterworfen,  als  man  durch  sie  eben  nur  eine  gewisse, 
wenn  auch  beliebig  grosse  Anzahl  vorher  verabredeter  Zeichen  von  be- 
stimmter Bedeutung  in  die  Ferne  senden  kann;  wenn  man  durch  sie  auch 
jede  in  Worten  ausgedrückte  Nachricht  telegraphiren  kann,  so  lassen  sich 
doch  z.  B.  Zeichnungen ,  Karten ,  Pläne ,  Copien  von  Handschriften  und 
Stenographien  u.  s.  w.  durch  sie  nicht  weiter  geben.  Gleichwohl  kann  dies 
untBr  Umständen  höchst  wünschenswerth  sein,  wäre  es  auch  nur,  um  in 
allen  Fällen  in  einer  treuen  Nachbildung  der  Unterschrift  des  Aufgebers 
einer  einlangenden  Mittheilung  ein  sicherers  Merkmal  für  die  Beurtheilang 
der  Aechtheit  der  Mittheilung  zu  besitzen.  Noch  wichtiger  aber  würde  es 
sein,  wenn  man  durch  die  Anwendung  eines  solchen  Copirtelegraphen 
(d.  h.  eines  Apparates,  welcher  telegraphisch  an  einem  entfernten  Orte  eine 
getreue  Abbildung  irgend  eines  Schriftstückes  entstehen  lässt)  die  Mitthei- 
lung zugleich  von  dem  die  Mittheilung  vermittelnden  Telegraphisten  unab- 
hängig machen  könnte,  weil  dadurch  jede  sonst  vielleicht  mögliche  Irrung 
unmöglich  gemacht  würde.  Die  Lösung  der  in  Rede  stehenden  Aufgabe 
ist  von  verschiedenen  Seiten  versucht  worden ,  ohne  dass  sie  bis  jetzt  voll- 
kommen und  für  die  Praxis  anwendbar  geglückt  wäre. 

Wenn  eine  Walze  sich  um  ihre  Axe  dreht  und  dabei  gleichzeitig  in 
ihrer  Axenrichtung  in  einer  mit  der  Umdrehung  gleichen  Schritt  haltenden 
Weise  verschoben  wird,  so  beschreibt  ein  fester  Punkt  auf  ihrer  Oberfläche 
eine  Schraubenlinie,  denn  es  kommen  nach  und  nach  alle  auf  dieser 
Schraubenlinie  liegenden  Punkte  an  dem  festen  Punkte  vorbei.  Ist  der 
feste  Punkt  irgend  ein  die  Walze  berührender  Schreibstift,  so  wird  die 
Schraubenlinie  auf  der  Walze  selbst  sichtbar;  genau  dieselbe  Wirkung  er- 
hält man  aber  auch,  wenn  man  der  Walze  blos  eine  drehende  Bewegung 
ertheilt  und  gleichzeitig  den  Schreibstift  über  die  Walze  hin-  und  herführt. 


*)  Duselbe  gesobioht  zwar  aach  bei  dem Steinhei Tscheu Telegraph,  welcher 
jedoch  nach  seiner  sonstigen  Einrichtung  (vergl.  Jahrg.  I.,  S.  00}  zu  den  Nadeltele- 
graphen  gehört. 

Digitized  by  VjOOQIC 


Von  Dr.  Eduard  Zetzsghb.  41 

Die  einseinen  Windungen  dieser  Schraubenlinie  liegen  um  so  enger  &nein- 
der,  eine  je  kleinere  Lftngenversehiebnng  der  Walze  während  einer  Um- 
drehnng  ertheilt  wird,  und  man  hat  es  sonach  in  der  Hand,  den  Schreibstift 
möglichst  viel  Punkte  der  Oberfläche  berühren  zu  lassen.  Denken  wir  uns 
nun  auf  zwei  mit  einander  in  Verbindung  gesetzten  Telegraphenfltationen 
zwei  solche  Walzen  von  Metall  von  gleicher  Grösse ,  welche  auch  durch 
zwei  gleiche  Uhrwerke  in  einem  vöUig  übereinstimmenden  und  gleich- 
massigen  Gange  erhalten  werden  ^  so  beschreiben  die  beiden  metallenen 
Sehreibstifte  auf  den  beiden  Walzen  genau  dieselbe  Schraubenlinie.  Wird 
jetzt  die  telegraphisch  zu  copirende  Zeichnung  mit  einem  die  Elektrioität 
nicht  leitenden  Materiale  (z.  B.  Harzfirniss)  auf  eine  leitende  Platte  (etwa 
Stanniol,  angefeuchtetes  Goldpapier  u.  dergl.)  aufgetragen  und  auf  die 
Walze  der  telegraphirenden  Station  gelegt,  so  dass  der  mit  dem  einen  Bat- 
teriepole verbundene  Schreibstift  darauf  ruht,  während  die  Walze  selbst 
durch  die  Luftleitung  mit  dem  Schreibstifte  der  empfangenden  Station  ver- 
bunden ist,  steht  ferner  die  dortige  Walze  ebensowohl,  als  der  zweite  Bat- 
teriepol der  gebenden  Station  mit  der  Erde  in  leitender  Verbindung,  und  ist 
endlich  zwischen  dem  Schreibstifte  und  der  Walze  der  Empfangsstation  ein 
leitendes  Zwischenmittel  vorhanden,  so  ist  der  Kreis  der  Batterie  ge- 
schlossen, so  lange  der  Schreibstift  der  gebenden  Station  über  einen  Theil 
der  leitenden  Platte  hinweggeht,  und  der  demnach  beständig  vorhandene 
Strom  wird  nur  unterbrochen,  wenn  der  Schreibstift  über  einen  Zug  der  zu 
copirenden  Zeichnung  gleitet.  Ist  aber  auf  der  Empfangsstation  das  lei- 
tende Zwischenmittel  zwischen  Stift  und  Walze  ein  mit  Cjankalium-  oder 
Jodkalinmlösung  und  Stärkekleister  getränktes  feuchtes  Papierblatt,  so 
wird  dieses  ganze  Blatt  mit  engen,  farbigen  Schraubenlinien  überzogen  und 
bleibt  nur  an  den  Stellen  weiss ,  welche  den  mit  der  Zeichnung  versehenen 
Stellen  des  Originals  entsprechen.  Original  und  Copie  würden  sich  dann 
zu  einander  verhalten ,  wie  es  Fig.  1  u.  2  auf  Taf.  I.  anschaulich  machen. 
Wären  dagegen  in  der  Origiualdepesche  nur  die  Züge  der  Zeichnung  lei- 
tend ,  der  übrige  Grund  aber  nicht  leitend ,  so  entstünde  in  der  Copie  die 
Zeichnung  als  ein  aus  lauter  kleinen  Strichen  bestehender  farbiger  Zug  auf 
weissem  Grunde ,  wie  es  Fig.  3  auf  Taf.  I.  zeigt. 

Der  erste  Apparat  dieser  Art  wurde  von  deiu  Amerikaner  F.  C.  Bake « 
well  (in  Hampstead)  vorgeschlagen*)  und  im  Modell  im  November  1860  in 
London  behufs  der  Anstellung  von  Versuchen  ausgestellt;  die  Illustrated 
London  News  brachte  die  erste  Mittheilung  darüber  in  der  Nummer  vom 


*)  Nicht  Ton  dem  englischen  Mechaniker  Ba in,  welcher  sich  aber  am  12.  De- 
cember  18 16  einen  elektrochemischen  Teleg^rnphen  hatte  patentiren  lassen ,  der  ge- 
wLssermaassen  aach  copirt ;  zwei  Schreibstifte  liegen  auf  einer  Metallwalze  auf  und 
schreiben  die  Depesche  in  Zeicheugruppen  auf  einen  zwischen  beiden  durchgehenden 
chemisch  präparirten  Papierstreifen ;  in  dieselben  Zeichengruppen  Übersetzt  wird  die 
Originaldepesche  auf  einen  Papierstreifen  übertragen,  auf  welchem  sie  zwei  Reihen 
(ausffeschlaffener]  L5cher  bildet;  auf  der  telefrraphirenden  Station  läuft  der  Streifen  (/> 

**  •^  o     «r  uigiTizea  Dy  v_i  vyv./'i  Iv^ 


42   Beiträge  zur  Geschichte  d.  Fortschritte  i.  d.  elektr.  Telegraphie. 


16«  No7ember)  die  Beschreibung  und  Abbildung  in  der  Nummer  vom  23.  No* 
vember  1850.  Danach  wurde  die  Depesche  mit  Firniss  auf  Zinnfolie  ge- 
schrieben und  auf  die  durch  ein  Gewicht  in  Umdrehung  versetzte  Waise 
aufgelegt;  ein  Zahnrad  an  der  Walze  greift  in  ein  anderes  ein  und  dreht 
durch  dasselbe  eine  parallel  zur  Walze  liegende,  fein  geschnittene  Sehrau- 
benspindel  um,  auf  welcher  als  Mutter  eine  Hülse  sitzt,  die  den  Schreibstift 
tr&gt;  letzterer  wird  sich  somit  beim  Umdrehen  der  Walze  über  dieselbe 
hinbewegen.  Auf  der  Empfangsstation  liegt  auf  der  Walze  ein  mit  blau- 
sauerem Kali  (besser  mit  gelbem  Blutlaugensalz)  getränktes  und  mit  ver- 
dünnter Salzsäure  befeuchtetes  Papier,  auf  welchem  der  Strom  durch  Zer- 
setzung der  Salzsäure  blaue  Linien  von  Berlinerblau  entstehen  lässt, 
welche  entlang  den  Zeilen  der  Schrift  laufen,  wie  in  Fig.  2.  Die  Geschwin- 
digkeit der  Mittheilung  hängt  von  der  Grösse  der  Schrift  und  dem  grösseren 
oder  geringeren  Abstände  der  Schraubenlinien  von  einander  ab.  Dhb  ^e- 
peschengeheimniss  lässt  sich  durch  Anwendung  einer  Geheimschrift ,  oder 
auch  dadurch  gewährleisten,  dass  man  den  Papierstreifen  Mos  mit  ver- 
dünnter Salzsäure  befeuchtet,  wodurch  die  Depesche  unsichtbar  wird  und 
erst  auf  dem  Streifen  sichtbar  hervortritt,  wenn  der  Empfänger  den  Strei- 
fen in  eine  Lösung  von  blausauerem  Kali  taucht.  —  So  einfach  indessen 
auch  der  von  Bake  well  angegebene  Apparat  erscheint,  so  sind  doch  die  der 
Anwendung  desselben  entgegenstehenden  praktischen  Schwierigkeiten  zu 
wesentlich,  als  dass  der  Apparat  eine  allgemeinere  Verbreitung  hätte  finden 
können.  Denn  abgesehen  davon,  dass  der  Apparat,  wie  alle. chemischen, 
wenig  zuverlässig  ist,  wenn  nicht  das  präparirte  Papier  einen  durch  und 
durch  gleichen  Feuchtigkeitsgrad  besitzt  und  in  ihm  erhalten  wird,  dass 
beim  Austrocknen  des  Papiers  die  Leitung  förmlich  unterbrochen  und  "^in 
Telegraphiren  völlig  unmögHch  wird ,  und  dass  er  endlich  auch  kein  hör- 
bares Zeichen  giebt  und  deshalb  fasst  unentbehrlich  noch  mit  einer  Weck- 
und  Ruf -Vorrichtung  zu  verbinden  wäre:  so  ist  es  durchaus  nicht  leicht, 
die  Hauptbedingung  zu  erfüllen,  nämlich  zwei  oder  gar  mehrere  (obendrein 
wiederholt  zu  arretirende  und  an  verschiedenen  Orten  befindliche)  Appa- 
rate durch  Uhrwerke  in  einem  ganz  gleichmässigen  Gange  zu  erhalten, 
ohne  welchen  doch  die  Schriftzüge  verzerrt  erscheinen  würden.  Deshalb 
brachte  schon  Bakewell  einen  elektromagnetischen  Regulator  an;  entweder 
ein  Pendel  auf  jeder  Station,  welches  an  einer  gewissen  Stelle  seiner 
Schwingutigsbahn  an  eine  Feder  anstreifte  und  so  eine  Batterie  schloss ,  in 
deren  Kreis  ein  Elektromagnet  eingeschaltet  war  und  durch  Einrückung 


über  eine  Walze  mit  2  gegen  einander  isolirten  Metallringen,  und  auf  ihm  schleifen  2 
mit  2  Batterien  verbundene  Federn,  welche  jedesmal  einen  Strom  dnrch  die  Linie 
senden,  so  oft  ihre  Spitze  dnrch  ein  Loch  im  Streifen  hindarch  den  darunter  liegen- 
den Metallring  berührt.  1851  Hess  Bain  den  einen  Stift  weg  und  ersetzte  den  präpa- 
rirten  Papierstreifen  durch  ein  auf  einer  ebenen  Metallscheibe  liegendes  Blatt  Papier, 
auf  welches  der  Schreibstift  die  durch  Gruppen  von  Strichen  und  Punkten  in  einer 
Reihe  ausgedrückten  Buchstaben  in  einer  Spirallinie  niederschrieb.  ^^  ^^^^^]^ 

uigiüzea  oy  ^^jOOV  IV^ 


Von  Dr.JEDüARD  Zetzsche.  43 

einer  Sperrklinke  in  ein  Rad  des  Appat ates  dessen  Gang  regulirte;  oder 
ein  kleines  Metallrad  am  gebenden  Apparate  ^  welches  durch  Scbliessen 
nnd  OeSnen  einer  Batterie  auf  einen  Elektromagnet  auf  der  Empfangssta- 
tion wirkte  und  durch  diesen  den  Gang  des  empfangenden  Apparates  re- 
gulirte. 

Die  Nachricht  dieser  Erfindung  verbreitete  sich  bald  auch  in  Deutsch- 
land. Die  deutsche  allgemeine  Zeitung  brachte  1851  in  Nr.  181  einen  Be- 
richt über  die  am  3.  April  d.  J.  zwischen  London  und  Brigston  angestellten 
gelungenen  Versuche,  und  die  Weserzeituug  theilte  nach  einer  Correspon- 
denz  aus  New- York  von  einer  Modification  des  Apparates  unter  Anderm 
mit ,  dass  „die  sich  drehende  Walze  bei  jeder  Umdrehung  um  ^  Zoll  zur 
Seite  rücke*),  so  dass  ein  Zeitungsbogen  von  20  Zoll  Breite  in  1300  Umdreh- 
ungen auf  1  Seite  mit  schraffirten  Linien  bedeckt  worden  sei.  Bei  einer 
Umdrehungsgeschwindigkeit  von  Ö  Fuss  könne  man  in  einer  Minute  86 
Qnadratzoll  Papierfläche,  oder  die  Seite  eines  massigen  Briefbogens  mit 
telegraphischer  Schrift  bedecken.**  Durch  die  Zeitungsnachrichten  veran- 
lasst, construirte  der  Mechanikus  Matth.  Hipp  in  Reutlingen  1851  einen 
ähnlichen  Oopirtelegraph ,  dem  er  folgende  Einrichtung  gab:  Die  Walzen 
werden  durch  ein  Uhrwerk  um  ihre  Axe  gedreht  und  gleichzeitig  in  ihrer 
Axenrichtung  verschoben;  die  Depesche  wird  mit  einer  die  Elektricität 
nicht  leitenden  Tinte  auf  Gold  -  oder  Silberpapier  geschrieben ,  über  wel* 
chem  der  metallene  Stift  befestigt  ist;  auf  der  Empfangsstation  wirkt  der 
8tron>  luif  einen  Elektromagnet,  mit  welchem  ein  Schreibstift  (eine  Glas- 
feder) verbunden  ist,  welcher  „innen  mit  Tinte  gefüllt**  ist  und  das  auf  der 
Walze  liegende  gewöhnliche  Papier  berührt,  wenn  der  Anker  des  Elektro* 
magnetes  abfallt,  sich  dagegen  von  ihm  entfernt,  wenn  der  Anker  ange- 
zogen ist.  Werden  also  die  beiden  gleichen  Walzen  gleichmässig  bewegt, 
so  lässt  der  Schreibstift  auf  dem  Papiere  auf  weissem  Grunde  eine  aus 
kleinen  Strichen  gebildete  Nachbildung  der  Schriftzüge  des  Originals  ent- 
stehen. (Vergl.  Fig.  8,  Taf.  L) 

Auf  der  Londoner  Ausstellung  hatte  auch  Th.  du  Moncel  in  Paris  eine 
Probe  der  mit  dem  Apparate  von  Bakewell  erzeugten  Schrift  gesehen  und 
construirte  danach  kurz  darauf  einen  Oopirtelegraph,  bei  welchem  die 
Walze  A  (in  Fig.  b^  Taf.  L)  durch  ein  Uhrwerk  (mit  einem  conischen  Pen« 
del  von  Bain  als  Regulator)  umgedreht  wird;  über  die  Walze  läuft  ein 
langer  Papierstreifen  CD  von  der  Bolle  B^  und  auf  diesem  liegt  der  Stift  E^ 
welcher  von  demselben  Uhrwerke  aus  durch  die  excentrische  Scheibe  F 
und  den  um  H  drehbaren  Hebel  GE  in  einer  zickzackförmigen  Bewegung 

*)  Um  diess  zu  bewerkstelligen,  dürfte  man  nur  die  Walzen  W  und  W^  in  Fi- 
gur 4  (Taf.  X.)  auf  Schraubenspindeln  S  und  S^  stecken,  auf  denen  sie  sich  dann  bei 
ihrer  Umdrehung  fortschrauben;  die  Schreibstifte  a  und  a^  liegen  dann  fest,  und  der 
Strom  geht  von  der  Batterie  B  der  telegraphirenden  Station  durch  «i  nach  W^  S 
durch  die  Luftleitung  L  durch  «i  und  ^|  und  durch  die  Erdplatten  £|  und  E  nach  B 
surück.  i  (> 


44  Beiträge  zur  Gescbichte  d.  FortscbriUe  i.  d.  elektr.  Telegraphie. 

über  den  Streifen  hin«  und  hergeführt  wird.  Auf  der  gebenden  Station  ist 
der  Streifen  von  Zinnfolie  und  die  nicht  leitende  Schrift  läuft  entlang  dem- 
selben, auf  der  empfangenden  aber  ist  der  Streifen  ein  mit  blausauerm  Kali 
getränktes  Papier«  AU  Regulator  dient  auf  jeder  Station  ein  durch  ein 
Relais  in  und  ausser  Thätigkeit  gesetzter  Elektromagnet,  welcher  auf  die 
Linse  des  Pendels  im  Uhrwerk  wirkt  und  dieselbe  nach  Bedarf  in  einer 
Lage  ausser  der  Verticalen  festhält.  Beim  Beginn  des  Telegraphirens 
lassen  diese  Elektromagnete  auf  den  beiden  correspondirenden  Stationen 
die  Uhrwerke  los  und  reguliren  dann  deren  Gang. 

Am  26.  Februar  1855  legte  Seng  raff  der  Academie  der  Wissenschaf- 
ten in  Paris  einen  Vorschlag  zu  einem  Copirtelegraph  vor,  über  dessen 
Einrichtung  aber  weiter  Nichts  bekannt  geworden  ist. 

Im  Juni  1856  (also  6  Jahre  nach  Bakowell)  trat  der  Abb^  Giovanni 
Caselli  in  Florenz  mit  einem  „ neuerfundenen *^  Copirtelegraph  hervor, 
den  erPantelegraph  taufte;  aber  erst  im  December  1858  wurde  die  neue 
Erfindung  einigermaassen  näher  beschrieben.  Die  Depesche  wird  mit  ge- 
wöhnlicher Feder  und  gewöhnlicher  Tinte  auf  ein  Papier  geschrieben,  wel- 
ches durch  einen  dünnen  Ueberzug  von  Zinn  oder  Silber  metallisirt  ist; 
dieses  Papier  wird  in  dem  Apparat  zum  Zeichengeben  zwischen  zwei  Me- 
tallwalzen gebracht,  welche  sich  durch  ein  Uhrwerk  in  entgegengesetztem 
Sinne  umdrehen,  und  während  das  Papier  durch  die  Umdrehung  der  beiden 
Walzen  gleichmässig  um  einen  Bruchtheil  eines  Millimeters  fortrückt,  läuft 
eine  Platinspitze  in  gerader  Linie  quer  über  seine  Oberfläche.  Gleichzeitig 
rückt  auf  der  Empfangsstation  ein  chemisch  vorbereitetes  Papier  zwischen 
zwei  ähnliche  Metallwalzen  um  einen  gleichen  Millimeterbruchtheil  fort, 
und  es  läuft  über  dasselbe  ebenfalls  eine  Eisen-  oder  Stahlspitze  und  lässt 
auf  ihm  eine  getreue  Abbildung  der  Züge  der  Originaldepesche  entstehen, 
und  zwar  in  blauer,  rother  oder  gelber  Farbe  auf  weissem  Grunde.  Die 
Uebereinstimmung  und  Gleichzeitigkeit  in  den  mechanischen  Bewegungen 
sucht  Caselli  durch  zwei  Pendel  von  gleicher  Schwingungszeit  auf  folgende 
Weise  zu  erlangen :  die  beiden  gleichen  Pendel  sind  auf  den  beiden  Sta- 
tionen an  einer  horizontalen  Axe  aufgehängt,  mit  einem  Elektromagnetstab 
von  20  Kilogramm  Gewicht  belaetet ,  und  stehen  durch  den  telegraphischen 
Leitungsdraht  unter  einander  der  Art  in  Verbindung,  dass  der  Strom,  wel- 
cher durch  die  Leitung  geht,  auch  durch  die  Pendelstäbe  gehen  mustf. 
Wenn  diese  nun  den  Elektromagnet  an  ihrem  Ende  ein  wenig  aus  der  Ver- 
ticalen heraustreten  lassen,  so  wird  jeder  Elektromagnet  durch  eine  (von 
der  Linien-  oder  Telegraphirbatterie  unabhängige)  Localbatterie  magneti- 
sirt  und  von  einem  im  Endpunkte  der  Schwingung  aufgestellten  Anker  aus 
weichem  Eisen  angezogen  und  festgehalten.  Kaum  sind  aber  die  Pendel 
in  diese  Lage  gekommen ,  so  wird  der  Kreis  der  Localbatterie  durch  den 
Linienstrom  unterbrochen,  die  Elektromagnete  entmagnetisirt  und  durch 
ihre  Schwere  zurückgeführt;  sie  vollbringen  nun  einen  Pendelschlag,  bis 

uigiüzea  oy  x_j  vyv^'i  lv. 


Von  Dr.  Eduard  Zetzsche,  45 

sie  auf  der  andern  Seite  der  Vertikalen  in  gleichem  Abstände  dnreli  einen 
■weiten  Anker  ans  weichem  Eisen  fest  gehalten  werden,  welcher  seinerseits 
ebenfalls  gleich  daranf  von  dem  Linienstrom  durchflössen  wird ;  die  Local- 
batterie  wird  dadurch  wieder  anterbrocheu ,  der  Elektromagnetismus  besei- 
tigt ,  und  das  Pendel  macht  einen  neuen  Schlag  u.  s.  f.  Auf  diese  Weise 
r^ulirt  der  Linienstrom  das  Zusammenfallen  der  Pendelschwingungen  und 
bringt  durch  sie  üebereinstimmung  in  die  Bewegungen  auf  beiden  Sta- 
tionen ^  da  sich  bei  jedem  Pendelschlage  die  beiden  Spitzen  und  Papiere 
ga^z  gleich  weit  bewegen.  Dann  bleibt  der  Linienstrom  während  des 
ganzen  Pendelschlages  selbst  zur  freien  Verfügung  und  cirouiirt  während' 
dieser  Zeit  wirklich  von  der  Piatinspitze  der  telegraphirendeu  Station 
durch  die  Leitung  zur  Stahlspitze  der  Empfangsstation,  durch  die  me- 
tallenen Walze,  die  Papiere  u.  s.  w.  Da  nun  die  Tinte,  mit  welcher  die 
Originaldepesche  geschrieben  wurde ,  ein  schlechter  Leiter  ist,  so  wird  der 
Linienstrom  jedesmal,  wenn  die  Platinspitze  tlber  einen  Schriftzug  hinweg- 
geht, minder  intensiv,  und  es  tritt  eine  Aenderung  in  der  steten  Einwirkung 
des  Stromes  auf  das  chemische  Papier  der  Empfangsstation  ein;  auf  eine 
ganz  einfache,  aber  von  Caselli  noch  g.eheim  gehaltene  Weise ^  nämlich 
kehrt  sich  zugleich  mit  der  Abnahme  der  Stromstärke  plötzlich  die  Polari- 
tät der  Stahlspitze  auf  der  Empfangsstation  aus  dem  positiven  ins  negative 
um,  und  diese  Umkehrung  lässt  auf  dem  Papierstreifen  die  Züge  der  De- 
pesche farbig  hmvortreten.  —  Oaselli  behauptet,  dass  man  zwei  Depeschen 
zugleich  in  entgegengesetzter  Richtung  auf  demselben  Drahte  befördern 
könne;  dabei  wäre  die  Beförderung  äusserst  schnell  und  bei  Anwendung 
der  Stenographie  könne  man  den  absolut  höchsten  Orad  von  Schnelligkeit 
erreichen.  Nach  den  Versuchen  des  Erfinders  kann  man  in  einer  Minute 
eine  Depesche  von  einem  Qnadratdecimeter  (=  16  Quadratzoll)  abtelegra- 
phiren;  auf  diesen  Raum  gehen  aber  etwa  500  Buchstaben  bei  gewöhnlicher 
Schrift,  oder  3000  bei  Stenographien.  Jenachdem  die  Spitzen  in  kleineren 
oder  grösseren  Zwischenräumen  quer  über  das  fortrückende  Papier  rttcken 
und  engere  oder  weitere  Linien  darauf  beschreiben,  wird  die  Depesche 
mehr  oder  weniger  vollkommen,  natürlich  auf  Kosten  der  Geschwindigkeit 
der  Befördert^ng,  welche  indessen  selbst  bei  den  vollkommensten,  dem 
Originale  völlig  gleiche  Depeschen  die  Beförderung  mittels  sonst  üblicher 
Telegraphen  bei  weitem  übertreflFen  soll.  —  Während  nicht  telegraphirt 
wird,  dürften  die  Pendel  in  den  Endpunkten  ihrer  Schwingung  festgehalten 
werden.  Der  Umstand,  dass  bei  der  Intensitätsveränderung  des  Linien- 
stroms die  Polarität  der  Stahlspitze  in  die  entgegengesetzte  umschlägt  und 
dadurch  eben  die  chemische  Einwirkung  erfolgt,  lässt  befürchten,  das  der 
Pantelegraph  auch  jede  zufällige  Schwächung  des  Linienstroms  mit  ver- 
zeichnet und  niederschreibt,  wodurch  seine  Zuverlässigkeit  sehr  in  Frage 
gestellt  werden  würde.  Ein  bestimmteres  ürtheil  darüber  ist  mt  Zeit 
nicht  möglich,  da  eine  ausführlichere  Beschreibung  noch  fi^j^aoy  ^i^OOQLC 


46   Beiträge  zur  Geschichte  d.  Fortschritte  i,  d.  elektr.  Telegraphie. 

Am  9.  November  18^  endlich  wurde  Richard  Archibald  Brooman  in. 
London  ein  Copirteiegraph  als  Mittheilung  patentirt,  zugleich  mit  einem 
Vorschlage  zur  Beseitigung  der  Bückschläge  beim  Telegraphiren.  Wenn 
nXmlich  ein  elektrischer  Strom  unterbrochen  wird,  so  durchläuft  eine  Reac- 
tion  den  ganzen  Schliessungskreis,  deren  Dauer  der  Länge  des  Schlies- 
sungskreises proportional  ist.  Wurde  z.  B.  beim  Atlantischen  Telegraphen- 
tau  der  Kreis  nach  dem  Geben  eines  Zeichens  unterbrochen,  so  musste  man 
eine  lange  Zeit  verfliessen  lassen,  bevor  man  ein  neues  Zeichen  geben 
konnte ,  nämlich  bis  die  Räckstiröme  zur  Ruhe  gekommen  waren  und  der 
Schliessungskreis  seine  normale  Beschaffenheit  wieder  angenommen  hatte. 
Um  diesen  Verzug  zu  umgehen  und  die  Beförderung  der  Depesche  mit  der 
Schnelligkeit  zu  ermöglichen ,  welche  die  mechanische  Handhabung  der 
Apparate  zulässt,  ordnet  Brooman  die  Linienbatterie  so  an ,  dass  der  Kreis 
beständig,  geschlossen  bleibt  und  nie  unterbrochen  wird.  Dabei  wird  vor- 
ausgesetzt, dass  der  Linienstrom  auf  der  andern  Station  die  Zeichen  durch 
eine  magnetische  Einwirkung  hervorruft.  Wenn  man  zwei  entfernte  Sta- 
tionen durch  einen  Leiter  verbindet ,  und  beide  in  denselben  Schliessungs- 
kreis  dergestalt  einschaltet,  dass  .der  Linienstrom  an  beiden  Stationen  Kör- 
per umkreist,  auf  die  er  eine  elektromagnetische  Wirkung  äussern  kann, 
z»  B.  die  Ablenkung  einer  Magnetnadel  oder  die  magnetische  Induction  in 
den  Eisenkern  eines  Elektromagnetes,  so  ist  die  Induction  oder  Ablenkung 
abhängig  von  der  Starke  des  elektrischen  Stromes.  Lässt  also  ein  elek- 
trischer Strom  einen  Elektromagnet  seinen  Anker  in  einer  gewissen  Entfer- 
nung etwa  mit  einer  Kraft  von  1  Pfunde  anziehen,  so  bleibt  der  Anker  trotz 
der  Einwirkung  des  Stromes  unbeweglich,  wenn  wir  den  Anker  so  einrich- 
ten ,  dass  erst  eine  Kraft  von  2  Pfund  ihn  in  Bewegung  setzen  kann ,  und 
wir  müssen  die  Batteriekraft  vergrössern ,  wenn  der  Strom  den  Anker  be- 
wegen soll.  Es  würde  daher  der  Anker  zwar  angezogen  werden  und  wie- 
der zurückgehen,  aber  es  würden  keine  Rückschläge  erfolgen  (od«r  sie 
würden  von  dem  beständig  in  der  Linie  beibehaltenen  Strom  überdeckt), 
wenn  wir  die  Batteriekraft  verstärken  und  vermindern  könnten,  ohne  da- 
bei den  Kreis  zu  unterbrechen.  Um  diess  zu  erreichen,  theilt  Brooman  die 
Batterie  in  zwei  oder  mehrere  Gruppen,  von  denen  die  eine  zwar  beständig 
in  den  Kreis  eingeschaltet  ist,  aber  einen  Strom  in  die  Linie  sendet,  wel- 
cher auch  stark  genug  ist,  um  den  Anker  vom  Elektromagnet  anziehen  zu 
lassen,  während  die  anderen  Gruppen  beim  Telegraphiren  durch  den 
Zeichengeber  eingeschaltet  werden  und  dann  die  telegraphischen  Zeichen 
auf  der  andern  Station  hervorrufen.  —  Um  nun  auf  einer  zweiten  Station 
eine  genaue  Nachbildung  einer  geschriebenen  oder  gedruckten  Depesche 
schnell  und  zuverlässig  entstehen  zu  lassen ,  wird  letztere  mit  einer  so  sub- 
stantiellen (nicht  leitenden)  Tinte  niedergeschrieben,  dass  sie  von  dem 
Papiere  auf  eine  Metallfläche  übertragen  werden  kann,  nämlich  auf  eine 
Metallwalze,  welche  durch  ein  niedergehendes  Gewicht  an  einem  Uhrwerke 

uigiTizea  oy  vj^^yv^'i  lv- 


Von  Dr.  Eduard  Zetzschb.  47 

in  Umdrehung  Tersetat  wird.  An  dem  Gestell  der  Waise  ist  ein  Hebel  be- 
festigt, jedoch  isolirt  gegen  die  Walze;  derselbe  liegt  mit  einer  kleinen  Rolle 
an  dem  einen  seiner  Enden  anf  der  Walze  und  ist  am  andern  Ende  mit 
dem  Schliessungskreise  Terbnnden;  wenn  nun  die  Rolle  die  blanke  Ober- 
fläche der  Walze  berührt,  so  ist  der  Kreis  geschlossen,  wird  aber  unter- 
brochen ,  sowie  dio'  RoUe  über  einen  beschriebenen  Theil  der  Walze  hin- 
weggeht. Der  Stützpnnkt  des  Hebels  erhält  eine  seitliche  Bewegung, 
durch  welche  der  Hebel  nach  und  nach  von  einem  Ende  der  Walze  bis  zum 
andern  hinbewegt  wird,  mit  einer  der  Umdrehung  der  Walze  angemessenen 
Geschwindigkeit,  so  dass  die  Rolle  nach  und  nach  die  ganze  Oberfläche  der 
Walze  überstreicht.  Diess  ist  der  Apparat  zum  Zeichengeben.  In  dem 
Apparate  zum  Aufnehmen  und  Niederschreiben  der  Depesche  befindet  sich 
eine  Walze  von  gleichem  Durchmesser  und  gleicher  Länge  mit  derselben 
Hebelvorrichtung,  nur  dass  der  Hebel  einen  Schreibstift  an  dem  einen  und 
einen  Anker  ans  weichem  Eisen  an  dem  andern  Ende  trägt.  Unter  dem 
Anker  steht  ein  Elektromagnet,  dessen  Spulen  in  den  Sehliessungskreis  des 
Linienstroms  eingeschaltet  sind.  So  oft  nun  auf  der  telegraphirenden  Sta- 
tion die  Rolle  des  Hebels  auf  einer  blanken  Stelle  der  Walze  liegt,  geht 
der  Strom  auf  der  empfangenden  Station  durch  die  Spulen  des  Elektro- 
magnetee,  der  Ankeif  geht  nieder,  und  der  Schreibstift  legt  sich  auf  die 
Walze  und  schreibt  auf  das  Papier,  mit  dem  sie  tiberkleidet  ist,  ein  • 
schwarzes  Zeichen,  setzt  aber  ab,  sobald  die  Rolle  auf  eine  beschriebene 
Stelle  kommt.  —  Dieser  Copirtelegraph  ist  also  von  den  oben  genannten 
Mängeln  der  chemischen  Telegraphen  frei;  da  er  schwarze  Zeichen  auf 
das  Papier  schreibt,  so  lässt  sich  vermuthen,  dass  es  in  ähnlicher  Weiae  ge- 
schieht, wie  bei  dem  bereits  erwähnten  Telegraph  von  Hipp ,  und  demnach 
dürfte  nach  den  vorliegenden  Erfahrungen  an  ähnlichen  Apparaten  seine 
Leistung  minder  ausgezeichnet  und  zuverlässig  sein.  Bei  der  eben  mitge- 
theilten  Anordnung  erscheint  die  copirte  Schrift  als  weisse  Zwischenräume 
auf  schrafifirtem  Grunde.  Die  Schrift  würde  dagegen  in  farbiger  Schraf- 
flrung  auf  weissem  Grunde  erscheinen,  wenn  der  Schreibstift  für  gewöhn- 
lich auf  der  Walze  aufläge  und  durch  die  Stromwirkung  abgezogen  würde, 
wenn  die  Rolle  auf  eine  blanke  Stelle  gelangt.  Gleiches  erlangt  man,  wenn 
man  di^  beiden  correspondirenden  Stationen  so 'mit  einander  verbindet,  wie 
Fig.  6,  Taf.  L  zeigt;  liegt  hier  der  Hebel  ab  anf  einer  blanken  Stelle,  so 
ist  die  Batterieabtheilung  //  durch  die  Walze  c,  durch  b  und  die  Schliess- 
nngsdrähte  d  und  e  kurz  geschlossen,  und  nur  die  Abtheilung  /sendet  durch 
d  und  e  zugleich  über  a  und  die  Luftleitung  L  einen  Strom  durch  die  Rollen 
des  Elektromagnets  M  (dessen  Anker  daher  nicht  angezogen  wird),  und  der 
Strom  kehrt  durch  die  Erde  J^  nach  /zurück;  liegt  dagegen  ab  auf  einem  iso- 
lirenden  Schriftzuge,  so  senden  1  und  //  vereinigt  ihren  Strom  durch  M,  wel- 
cher jetzt  seinen  Anker  A  anzieht,  so  dass  der  am  andern  Ende  des  Hebels 
befindliche  Reibstift  (vielleicht  mittels  eines  Relais)  auf  CigSfifareibiii^^w^lC 


48   Beiträge  zur  Geschichte  <!•  Fortschritte  i,  d.  elektr.  Telegraphie- 

Schliesslich  haben  wir  noch  einen  von  Hipp  erfundenen  elektro- 
chemischen Copirtelegraph  zu  erwähnen,  welcher  ron  den  bisher  aufge- 
führten gänzlich  abweicht.  Auf  jeder  Station  wird  nämlich*)  ein  metallener 
Stift  über  einer  Metallplatte  durch  ein  Uhrwerk  so  bewegt,  dass  er  be- 
ständig und  auch  gleichzeitig  mit  allen  andern  Stiften  den  in  Fig.  7,  Taf.  I. 
abgebildeten  Zug  beschreibt.  In  diesem  Zuge  sind  aber  unter  Andern  die 
Elemente  aller  Buchstaben  des  Alphabetes  enthalten.  Wenn  man  daher 
auf  der  einen  Station  auf  die  Metallplatte  einen  angefeuchteten,  mit  der 
.Originaldepesche  beschriebenen  Papierstreifen  legt,  und  auf  der  andern 
Station  einen  chemisch  präparirten  Fapierstreifen ,  und  wenn  man  beide 
durch  das  Uhrwerk  ganz  gleichmässig,  aber  nicht  stetig,  sondern  ruckweise 
bewegen  lässt,  und  zwar  jedesmal ,  nachdem  der  Stift  seinen  Zug  yollendet 
hat;  wenn  ferner  auf  beiden  Stationen  der  Stift  auf  dem  Papiere  aufliegt 
und  wenn  endlich  der  Telegraphist  mittels  eines  beliebigen  Tasters  oder 
Schlüssels  einen  Strom  durch  die  Linie  nach  der  andern  Station  senden 
kann,  so  oft  die  Bewegung  des  Stiftes  auf  seiner  Station  mit  einem  Theile 
de&  zu  telegraphierenden  Schriftzuges  zusammenfällt:  so  wird  auf  der  an- 
dern Station  ein  treues  Bild  der  Schrift  entstehen.  Ebenso  würde  man  die 
Umrisse  von  Zeichnungen  copiren  können.  —  Sehr  nahe  ist  dieser  Apparat 
mit  dem  von  Hipp  im  Jahre  1851  construirten  Buchst abentelegraph 
verwandt,  welcher  die  Depesche  gleich  in  einer  für  den  Ehnpfänger  les- 
Uchen  Schrift  mit  lateinischen  Buchstfiben  niederschreibt.  Ein  kleiner 
Heber  reicht  mit  einem  Ende  in  ein  Tintengefäss  und  hat  am  andern  Ende 
eine  so  feine  Mündung,  das  aus  ihr  die  Tinte  nur  ausfiiesst,  wenn  die  Mün- 
dung das  Papier  berührt.  Dieser  Heber  sitzt  am  Ende  eines  Doppelhebels, 
welches  durch  zwei  auf  derselben  Axe  steckende ,  an  ihrem  Umfange  ver- 
schieden gestaltete  Scheiben  so  geführt  wird,  dass  es  beständig  den  Zag 
Fig.  8,  Taf.  I.  beschreibt.  Die  Scheiben  werden  durch  ein  Gewicht  in  Um- 
drehung versetzt  und  dieses  Gewicht  bewegt  zugleich  das  Papier  unter  der 
Schraubspitze  fort,  und  diese  liegt  auf  dem  Papiere  auf,  sofern  sie  nicht 
bei  Unterbrechung  des  Stroms  durch  eine  Feder  abgehoben  wird.  Dns 
Unterbrechen  des  Stroms  erfolgt  von  der  telegraphirenden  Station  aus 
durch  ein  System  von  Tasten;  jede  Taste  legt,  wenn  sie  niedergedrückt 
wird,  einen  Hebel  auf  eine  Walze,  welche  an  verschiedenen  SteHen  ihrer 
Oberfläche  verschieden  gestaltete  Erhöhungen  trägt,  und  so  lange  der 
Hebel  auf  einer  solchen  Erhöhung  liegt,  ist  der  Strom  geschlossen.  Von 
der  Länge  der  Erhöhungen  und  von  ihrer  Stellung  hängt  es  also  ab ,  wel- 
chen und  einen  wie  langen  Theil  seines  Wegs  der  Schreibstift  der  empfan- 
genden Station  auf  dem  Papiere  niederschreibt ;  in  dem  Zug  Fig.  8,  Taf.  T. 
sind  aber  ebenfalls  alle  lateinischen  Buchstaben  enthalten ,  und  man 
braucht  blos  für  jeden  Buchstaben  eine  lesende  Taste.     Ein  solcher  Appa- 


*)  Nach  Th.  du  Moncel,  ezpoB^  des  applications  de  r^lectricl 

*^  uigiiizea  oy 


Von  Dn  Eduard  Zetzsche.  49 

rat  soll  lao  bis  lao  Bnohstaben  in  einer  Minute  schreiben,  dooh  rnoBs  er  in 
allen  seinen  Theilen  sehr  genau  gearbeitet  sein;  die  Gleichzeitigkeit  der 
Bewegungen  wird  hier  durch  denselben  Regulator  herbeigeführt,  welchen 
Hipp  an  seinem  Chronoskop  in  Anwendung  gebracht  hat. 


Kleinere  Mittheilungen« 


L  DifferentialfoTlkii^  der  Tetraedrometrie.  Von  Oberschulrath  Dr. 
J.  H.  F.  lüüiiLEB  ZU  Wiesbaden.  Die  Differentialformeln  für  die  ebenen 
und  sphärischen  Dreiecke  eignen  sich,  abgesehen  von  deren  praktischer 
Brauchbarkeit,  besonders  zu  leichteren  Uebungsaufgaben  in  der  Differen- 
tialrechnung ,  wofür  sie  auch  mehrfach  verwendet  worden  sind.  "Sie  bilden 
kleinere  in  sich  abgeschlossene  Gebiete  j  deren  Behandlung  dem  Anfänger 
Freude  an  zusammenhängenden  Arbeiten  und  jene  innere  Befriedigung  ge- 
währt, auf  welche  bei  unserer  heutigen  Yielerleibetreiberei  überall  hinzu- 
wirken ist. 

Für  diesen  Zweck  der  Abrundung  dürften  übrigens  selbst  jene  Gleich- 
ungen noch  zu  ergänzen  sein,  indem  man  .mehr  das  praktische  Bedürhiistf 
im  Auge  gehabt  hat.  Hier  aber  sollen ,  in  gleicher  Absicht,  die  wichtigsten 
Differentialformeln  der  Tetraedrometrie  abgeleitet  werden,  welche,  wie 
es  scheint^  bisher  noch  nicht  aufgestellt  worden  sind.  Die  Differentiirung 
dieser  Gleichungen  wird  nebenbei  dem  Rechner  dieselben  wieder  im  Ge- 
dächtnisse anfrischen  und  ihn  veranlassen,  auch  hier  nicht  Mitgetheiltes  aus 
diesem  Gebiete  einer  ähnlichen  Behandlung  zu  unterwerfen: 

1)  Seien  in  einem  beliebigen  Tetraeder,  dessen  Inhalt  --^C, 
a ,  b ,   c ,  ))  die  Scheitel , 
A^  B,  Cy  D  deren  Gegenflächen, 
A'^B,  A^C,  A^J),  B'-C,  B'^D,  CD 
oder  t!"^,    V%y    b'^f,    o^b,    a^r,    a'^b  die  sechs  Keile, 
bei  welchen  übrigens,  wo  keine  Zweideutigkeit  stattfinden  kann,  die  Zei- 
chen (^)  wegbleiben  werden. 

Sind  ferner  in  dem  irgend  eine  dreiflächige  Ecke  messenden  sphäri- 
schen Dreiecke  a,  b^  c  die  Seiten  und  a,  ßy  y  deren  Gegenwinkel,  so  be- 
zeichnet man  uigmzea  oy  <jOOQ[^ 

Zeilschrin  f.  Malheinalik  n.  Physik.  V.  4 


50  Kleioere  Mittheihm^n. 


die  Seitenfmiction  1 —  cqsoF^^  cosb* — €o$i^+  2  coia  cösl^rosc  mit  4l? 
«ad 

did  Winkelf tmetiOQ  1 — coftf^^cosf^ — cosy^ — 2ces^  cos  ß  cos  y  mit  4^*> 
weil  bekanntlich 

4Z«===  +  4sm\{a'\'b+c)smi{—a+b+c)sinl{a—b+c)sin\{a+b—c), 
sowie 

AA*=  -  4cosi{a+ß+Y)cosl{—a+ß+y)cos^{a-^ß+y)cos\{a+ß'-r) 
ist,  nnd  nennt  jenes  die  X-Function,  dieses  die  ^-Function  der  betreffenden 
Ecke.   Demnach  haben  wir  im  Tetraeder  zu  den  vier  Ecken 

tt,      b,       f,      b 
die  Functionen 

■^«»       Zfci       -^e»       ^i 

nnd 

-^«1    ^n    -^«1    -^fc. 
2)  Aus  der  Gleichung  zwischen  den  vier  Flächen  und  den  drei  je  einer 
Fläche  anliegenden  Keilen 

A=:zBcosjiS  +  €c<n4C+  Jücot^P 


erhält  man  unmittelbar  die  Differentialgleichung : 
3)    dAz=zcosAB.dB  +  cosAC.dC  +  cosJl>.9B 

—  BsinAB  .dA^'B  —  CsinAC  .dA^C  —  B  sinAB  .  dA^B, 
welcher  sich  auch  die  Gestalt 

—  y  m  AB .  dA^'B—  ^  sinACdA^'C—  ^  sin  AB .  dA^'B 
geben  lässt. 

5)     Aus  der  Gleichung  zwischen  den  vier  Flächen  und  den  drei  je 
einem  Scheitel  anliegenden  Keilen,  wie 

D*  =r  ^«  +  ^«  +  C*  —  2AB cosAB  —  2ACcosAC~  2BCcosBC, 
ergiebt  sich  zunächst,  nach  Aussonderung  der  gemeinschaftlichen  Factoren, 
6>        B.dB:^{A  —  B  cos  AB  —  CcosAC) .  dA  +  BCsin  BC^dB'^C 
+  {B  —  AcosAB  —  CcosBC).dB  +  AC  sin  ACdA^'C 
+  {C  —AcosAC  —  BcosBC)  .dC+  ABsinAB  !  dA^B 
Aus  den  Gleichungen  in  2)  folgt  aber,  dass  auch 

B.dB  =  B  cos  AB  .dA-^B  cosBB  .dB  +  B  cosCB  .  dC 

+  BCsinBC.dB^C+  ACsinAC.  dA^C+  ABsinAB .  dA'^B 
wird  oder 

7)     B,dB  =  B  {cos  AB .  dA  +  cosBB .  dB  +  cosCB .  30) 

+  BCsinBC.dB''C+ ACsinAC. dA^C  + ABsinAB. dA^B 
wird.  ^  j 

Digitized  by  LjOOQIC 


Kleinere  MHAeiliingeii.  51 


Nach  3)  war 

—Asm AD  .  dA''!)  ~Bsin6D.  dB^D  —  CsinCD  .dCD. 
Die  Terbtndtmg  dieser  Gleichung  mit  der  ersten  Seite  ron  7)  giebt, 
wenn  man  svletet  B*9B  weglftsst: 

S)Q  =  +  ABsinAB.dA''B  +  ACsinAC.dA''C  +  B€iinB€.dB^C 
+  CBBtnCD.dC^B  +  BD  sinBD .  dB^D  +  AD  sin  AD .  dA'^D, 
oder 

0^  S{AB  sihAB  .  dA'^B).  . 

Da  «  =  f . r od^r  m  der  andern  Bezeichnung  =f . 

etc,  80  Terwandelt  sich  die  Oleiehung  7)  in 

9)  D.dD==D.  {eos^c.  dA  +  costft .  d  B+  coitl^  .cC) 

+ 1« .  (ab .  dort  +  h^  .  ab^H  +  r^ .  dc^l). 
Wird  dieselbe  Substitution  in  8)  gemacht^  so  ergiebt  sich : 

10)  0  :^  js  (t% .  dtri) 

11)  Aus  den  Gleichungen  zwischen  den  Tier  Flfichen  und  je  zwei  Ge- 
genkeilen, wie    , 

A^+B^  —  2ABcosAB=zC*  +  D^—2CDcpsCD, 
leiten  sich  die  Differentialgleichungen,  wie 

12).    (A  —  BcosAB)  .dA  +  {B  —  A  cos  AB)  .dB  + AB  sinAB  .dAI'B 
fc=i  Ic—DcosCD)  .  d  C+  {D  —  CcosCD)  .dD+CDsinCD.dO^D 
ab,  oder  mit  Anwendung  von  2) 

l3){CcosAC+D€08AD).dA  +  {CcosBC+DcosBD).dB  +  ABsinAB.dA:'B 
^{Äco9AC'^BcosB(r).dC+lAcosAD+BeosBD).dD  +  CDsinCD.»C''D, 
welche  durch  eine  leichte  Umformung  in 

14)  {ACcosAC+AD  cbsAD)  . — + {BCcosBC^BPcosBD) .—  ^ABsinAB, dA^B 

o /TT  o  n 

=  {ACcosAC+BCcosBC) .  '•^+{AD  cosAD+BDcosBD).  ^+CD  sinCD  .dCD 

flbergeht. 

Nun  ist 

,  ABcosAB=^AB sinAB  .cotABss9\%.tl.€al€%s 

Demzufolge  wird  aus  14),  nach  Wegwerfung  von  |C, 

15)  (bli.co/irii  +  bf.co/b"c).  — +  (ali.^o/t^^+ac.co/<ric).  — +  fl.ac^ 

===(b^.co/irb+ab.co/tt^b).— +  (bf.co/b^c+ttf. CO/ ii*f).  —  + ab. aof^b. 

16)  Von  den  Gleichungen  zwischen  je  zwei  Paaren  von  Gcgenkeilen 
und  irgend  drei  Flächen,  die  sich  aus  je  zwei  Gleichuogen  11)  ableiten 
lassen,  möge  hier  eine  Platz  finden,  z.  B.  die  zwischen 

a^bj  ^'b,  a\,  bn>,  A,  B,  C. 

Es  ist  nämlich :  ^.^.^.^^^^  ^^  GoOglc 


5^  Kleinere  Mittheiluxigeii. 

0  =  (^  —  C*  —  ^i>  cosac+CD  cosahy 

wo  das  Abh&ogigkeitogesetz  sich  aas  der  Aufstellungsweise  erselieot  iftsst 
Die  hieraus  abzuleitende  Differentialgleichung  würde  hier  au  viel  Raum 
in  Anspruch  nehmen. 

17)  Die,  wohl  von  C aruot  zuerst  gefundene,  Gleichung  «wischen  den 
Cosinus  der  sechs  Tetraederkeiie  ist 
1=  +  cosah*  +  cosa^  +  cos^^  +  cosbif+cosW^costl* 

+  2cosabcosatcosa'b+2coshtcosh'bcosha  +  2con:}^coscüCQ8th 

+2cos't^costbcos}fc 
—  coiaV  coscl*  —  cosa^cosW  — cos^V  cosb^ 
+  2co8^bcostbcosttcosh'^  +  2cos€hcass'heos^tcoshc 

^2co8tkccosh^costi^coshc. 
Differentiirt  man  diese  Gleichung,  so  erhält  man  nach  gehöriger  Zusam- 
menziehung  sephs  Producte  mit  den  zweiten  Factoren 

ao^b,  a«^f,  aa%  ab^c,  ab^,  ac^>, 
von  denen  es  ausreicht,  nur  eines,  z.  B.  das  mit  d  ü!^  behaftete  aufzustellen 
und  zu  untersuchen. 

Man  erhält  darnach^  wenn  durchgängig  mit  ( — 2)  dividirt  wird, 


O=z8mab.d0rb.i€O8üb .        .         ..  —co^abco^cV ;         ^      /  {  +  etc« 

'  +cosbccosbb  +cosabcosbccoscb^ 

d  hieraus  entweder 

18a)  e  =  ma.b,at^b.Uab*i.cy  +  "^*t'(/^'*^  +  ^^*''^^^''^)|  +  etc, 

er 

'  +COS bb  (co8bc  +  C08 a c  cosUy  ^    ^' 


und  hieraus  entweder 
*  18i 
oder 

Da 

co# ab  +  co*b> co8tb  =  sinbb  sin  tb  cos bbt,  u.  s.  w. 
so  gehen  diese  Gleichungen  in  folgende  über^  welche  aber  zugleich  Kan- 
tenwinkel enthalten : 

19a)0=««ak««.tt.8.*k.U.b**.«>  +  '^*'*"'*''''"'^*"*'"}  +  etc. 

'  +cosbC8inabcosübt' 

'  +cosbbsinaccosatb^ 

Das  Bildungsgesetz  wird  übrigens  am  anschaulichsten,  wenn  der  an- 
föngliche  Ausdruck  folgende  Gestalt  erhält: 

20)      O=8iniib.dahAco80b8incb'+'''''^'''''^^ 

Mit  Uebergehung  anderer  Tetraedergleichungen*)  will  der  Verfasser 

*)  Vergl.  u.  a.  des  Verfasaers  Lehrbuch  der  ebenen  und  spfiärischen  Triironome- 
trie  und  der  Tetraedrometrie.    Halle  1851.  »p/i»™cDen     njfonome 

uigiüzea  oy  'vj  vj'\_/pc  lv. 


Kleinere  Mittheiltmgen.  /  53 


hier  nar  noch  einige  den  Tetraederinhalt  9  betreffende  Beziehungen  für 
den  gegenwärtigen  Zweck  verwenden,  wobei  die  ü-nnÄ  die-^-fhnctionen 
der  Ecken  mehrfach  in  Anwendung  kommen. 
Ans  1)  erhält  man  durch  Differentiirung 

21)  4L.dL='i^sina(€Osa'^c,osb€OSc),da 

+  sinb  {cosb  —  cosa  cosc)  .  db 
+  sin  c  {cos  c  —  cosa  cos  b)  .de 
und  wegen  der  Grandgleichung  der  sphärischen  Trigonometrie 

22)  ^L  .dL^=zsinasiHbsinc(cosu.da'-\-cosß.db-\-cosy  .de). 
Ebenso  wird: 

23)  AA  .  dA.;c=z  +  sin a  {cosa  +  cosß  cosy) .  d a 

+  smß  {cos ß+  cos  a  cosy) .  d ß 
+  sin y  {cos y  +  cos^a  cos ß)  .dy 
und 

24)  4A.djl^=ssinasinßsiny{co»a,d€i  +  cosb.dß  +  eo8c:dy).     ' 
Da  fismer 


und 


sm  a  stn  b  smc  =  — -- 


.        ...  2^ 

stnasmßsmy  =  —=-y 


so  gehen  die  Gleichungen  22)  und  24)  über  in 


25)  —  =  — T  {cosa  .  da  +  cosß .  Ö6  +  cosy  .  de) 

L        2^ 


und 

26)  -r  =  -7  (<^<>*«  .  8«  +  cosb  .dß  +  cosc  .  dy) 

Werden  dagegen  L*  und  jf  beziehungsweise  durch  die  Producte  der 
Sinus  der  halben  Seitentrinome  und  der  Cosinus  der  halben  Winkeltrinome 
ausgedrückt  (vergl.  1)  und  der  Kürze  halber 

4(a  +  6+c),  l(-a.+  ft+c),..;  \{a  +  ß'+y\  ^{-a  +  ß  +  y},..      . 
mit 

bezeichnet,  $o  erhält  man  nach  einigen  Vereinfachungen 

/i  T 

27)  4  y-  =  {cot  So cot  Sa  +  COt  S^  +  COt  Sc)  •  da 

+  {cotSo  +  cotSa  —  cois^  +  cotSe)  •  db 
+  {cot  So  +  cot  Sa  +  cotSk  —  cots^  ,dc 


und 


28)  4  —  ={t9Co  —  igCa'¥igc^  +  i^^y).da 

+  (<&<^o  +  ^tf«  —  i99ß  +  tßCy)  .  dß 

+  Qg  ^o  +  HfOn+igoß  —  ig  c) .  d  y.oig,,;^^ö  by  Google 


54  Kleinere  Mitttieilangen. 

Da 

tt  =  ^ .  •  b  .  ac .  ab .  Z,  ==  I .  Iit .  kk .  k« .  Z»  =  et«. 
>o  erhält  man  leicht 

•  •  •  •  • 

Ebenso  folgt  aus 


•  =  I  YbCDA^  =  f  j/2c^^=  etc. 
^  %        B^  C  ^  J)  ^4. 


Bemerkenswerth  sind  übrigens  die  Tetraederconstanten ,  welche  aich 
ans  den  Grundgleichnngen  zn  20)  und  30)  ergeben,  wenn  man  mit  jelien  in 
das  Prodnct  aller  Kanten ,  und  mit  den  Quadraten  von  diesen  in  das  Pro- 
dact  aller  Flächen  des  Tetraeders  dividirt«     Man  erh&lt  alsdann 

L^  L^  Lt  Xj 

nnd 

32)  £=^  =  ^  =  ^. 

^  A.      A^      A,      A, 

Letztere  Quotienteneinheit  namentlich  entspricht  im  geradlinigen  Dreiecke 

der 

a    b    c 

sin  a       sin  ß-     sin  y 

vollständig. 

\lireil  ferner 

^       ^    CD  sin  ^      ^  BDs$n$rc 

C=f . r =}. =  etc. 

•         ab  •         ac 

so  wird  •     , 

Oft      a  Dsinalf  DsinoTb  ^^^.  CDcosoTb  ^  ^.       .   CDsm^ls   .    ^ 

^  CDsins:^  dC  .  ,  GDsinsTh  dD  .  ^    CDsi^isTh         ^    ,  ^.. 

CDsing^  a«b 
~»         «b       -Tk' 
folglich 

,,/  a«      dC.dDdilt      dab 


während  man  für  7  als  Flächeninhalt  des  geradlinigen  Dreiecka-.^!^ 

L^giüzea  Dy  x^j  vJVJV  Iv^ 


Kleinere  Mittheilangen.  55 


dT_db      d&      da 
T  ~  b  ^  c   '^^tga 
erhllU 

Bezeichnet  man  im  Tetraeder  die  Abst&nde  der  Halbirang«pankte  je 
Kreier  Gegenkanten 

wie  bc  nnd  a)  mit  a, 
„   ac    „    bH    „   6, 
.„   ab    „    cb    „   c, 
lo  iat  nach  dem  Enler'schen  Satze 

—  bc»—ab*  +  ac« +  bb» +  «!»•  + cb«  =  4a»; 
^  bc*  -t  ab«  —  ac*  — bb«  +  ab«  +  <:b*  =  46»; 
+  bc«  +  ab*  +  ac«  +  bb»  — ab«  — fb«  =  4c«. 
Werden  ferner  die  Prpducte  au9  je  drei  Fläcbenkanten,  nämlich 

bc.bb.cb^  ac.ab.cb;  ab.ab.bb;  ab.ac.bc      ' 
dnrch 

■^;  »;  «;  ? 

anagedrückt ,  so  erhält  die  Gleichung  für  den  Tetraederinhalt  dnrch  alle 
sechs  Kanten  folgende  Gestalt : 

34)        144.W  =  4a«.bc«.ab«  +  46«.ac«.bb«.  +  4c».ab«.cb« 

-<Ä«-r— «'-r. 

Die  hierans  abgeleitete  Differentialgleichung  enthält  rechts  nach  ge- 
höriger Znsammenziehung  sechs  der  Reihe  nach  mit 

bc.abr,  ab.dab,  ac.dae,  bb.^bb,  ab.dab,  tl.dtl 
behaftete  Aggregate  von  Kantenproducten*    Hier  genilgt  es,  nur  zwei  der- 
selben aufzustellen. 

35)   144.«.c?e=  +  bc.abc.[bc«(4a«  — ab«)  — (ba«-bb«)(ra«  — cV)] 

4- ab .  aab .  [ab«  (4ä«  —  b(«)  —  (ab«  -  ac«)  (bb«  —  bc«)] 

+  etc.  . 

Das  Bildungsgesetz  der  einzelnen  Glieder  lässt  sich  hieraus  vollständig 

erkennen. 


IL  Bemerkung  Hber  disoontinuirliolie  FuneüeneiL  Man  hat  hier 
und  da  bezweifelt,  ob  es  analytisch  gut  definirte  Functionen  geben  könne, 
die  sich  an  einer  bestimmten  Stelle  x=a  discontinuirlich  und  zwar  so  än- 
dern, dass  die  beiden  entsprechenden  Functionswerthe  f{a—0)  und  f{a+0) 
gleichzeitig  endliche  Grössen  sind.  Vielleicht  ist  daher  der  Nachweis 
nicht  überflüssig,  dass  man  solcher  Functionen  beliebig  viele  bilden  kann. 

Wenn  das  Integral  / y  (*«)  d(j  zwischen  den  Grenzen  /=0  und  i=(x> 
genommen,  einen  endlichen  Werth  besitzt,  etwa  ^  i 

Digitized  by  VjOOQIC 


56  Kleinere  Mittheilimgen. 

OD 

Cq>(f)dt=k, 


0 
und 


ß 


gesetzt  wird,  so  hat  man 

OD 

0  , 

^  (a  +  0)  =  ß  if^)  dt=:z  +  ki 

0 
die  Function  i^  {x)  geht  demnach  an  der  Stelle  x=a  sjjrungweis  von  —  k 
nach  +  k  über.  Hieraus  ist  leicht  eine  neue  discontinuirliche  Function  ab- 
zuleiten, die  an  der  Stelle  x=a  tou  bi  nach  b^  überspringt,   wo  b^  und  6, 
willkührlich  gewählte  endliche  Grössen  bedeuten.     Diese  Function  ist 


w—a 


fW=^'  +  ^'/'('V'. 


u 
in  der  That  hat  man 

Das  einfachste  Beispiel  hierzu  liefert  die  Annahme  9>('')  =7'jrjii  nÄmlich 
ein  zweites  ist 

a 

dt. 


/<-)"^'+^/«-" 


SCHLÖHIIiCH. 


nL  Constrnotioii  flftohengleioher  Figuren.  Zwei  Paralleljectionen  der- 
selben ebenen  Figur  sind  aus  leicht  erkennbaren  Gründen  einander  affin 
und  in  affiner  Lage.  Siebesitzen  daher  auch  eine  Af finita tsachse 
d.  h.  es  giebt  eine  gerade  Linie,  in  welcher  sich  alle  Paare  von  homologen 
geraden  Linien  in  beiden  Figuren  schneiden ,  oder  in  der  jeder  Punkt  sich 

uigiüzea  oy  'vj  vj'v_/pc  lv. 


Kleinere  Mittheilungen.  57 

selbst  homolog  ist.  Diese  Achse  ist  fftr  die  Construetioa  äffiner  Systeme 
10  «flnerLuge  ebenso  ntitBlich,  wie  die  Colllneationsachse  für  dieConstrnc* 
tion  perspectivischer  Systeme. 

Nun  besteht  in  affinen  Figuren  die  Verhältnissgleiehheit  homologer 
Fläohenstücke  ebenso  wie  in  cöllinearen  Figuren  die  Gleiehheit  det  Dop? 
pelschnittverhältnisse,  welche  man  ans  solchen  Flächenstücken  bildet  und 
Herr  Prof.  Möbinft  hat  bekanntlich  die  speciellO' Art  der  Affinit&t  zweier 
Systeme,  bei  welcher  zwei  homologe  Flächenetücke  gleichen  Inhalt  haben, 
ab  Verwandtschaft  der  Gleichheit  bezeichnet.  Nach  ditoer  Definition 
müssen  Parallelprojectionen  derselben  ebenen  Fignr  fl&ohengleiche  Figuren 
sein,  wenn  die  Ebene  der  Figur  gegen  die  Bildebene  gleich  geneigt  ist. 
Die  Figur  (s.  Fig.  9,  Taf.  I)  zeigt  dieses  Yerhältniss  eines  Grund  und.  Auf« 
risses  a'h'cde  und  d'lt'ci'e'  für  eine  auf  der  Ebene  E  gelegene  Figur  {ßx 
E^  sind  die  Spuren  dieser  Ebene)  und  die  Affiuitätsachse  AA  (jetat  Achse 
d9rGleichheit)fÜr  diesen  Fall.  Sie  steht  auf  der  Projeetionsachse  s^ik- 
recht. 

In  diesem  einfachen  nnd  übersichtlichen  Zusammenhange  ist  das  Mittel 
gegeben,  solche  flüchengleiche  Figuren  zu.construiren. 

Ich  meine  aber  nicht,  dass  diese  Aufgabe  der  Gonstruotion  flächenglei* 
eher  Figuren  als  eine  solche  anzusehen  sei,  die  der  analytischen  Theorie 
derVerwandtsobaften  angehört,  sondern  ich  rechne  sie  unter  die  elementar- 
geometrischen  Constructionen;  ich  meine,  dass  sie  dem  Kapitel  der  Flächen- 
Verwandlung  udd  Berechnung  eingereiht  werden  müsse.  Dean  in  der  That 
man  behandelt  in  der  Elementargeometrie  die  Congruenz,  dieAehnlicbkeit, 
dieFlächengleicbheit  der  Figuren,  und  während  bei  den  beiden  ersten  inBe- 
zug auf  die  ins  Auge  gefassten  Griterien  nicht  blos  die  Uebereinstimmung 
der  Figuren  im  Ganzen,'  sondern  in  allen  einzelnen  Theilen  gefordert. wird 
«-*  wie  es  allerdings  bei  der  Natur  dieser  Criterjen;  nicht  anders  sein  kann 
—  so  lässt  man  diese  Forderung  der  Uebereinstimmung  der  einzelnen  ho- 
mologen Theile  bei  der  Behandlung  deor  Flttchengleichheit  ohne  Weiteres 
ToUartändig  fallen«  als  wenn  sie  ga^  überhsupt  nicht  logisch  gestellt  wer- 
den könnte  oder  mtlsste»  und  huldigt  gadz  allein  dem  Zweck,  did Verwand- 
lonf^onstructionen  dem  rechnenden  Ausdruck  der  Flächeninhalte:  durch 
quadratische  Einheiten  en^egenzuführen. 

Warum  stellt  und  löst  man  nicht  vorher  oder  wenigstens  im  Verlauf  die 
Aufgabe:Man  soll  ein  gegebenes  Vieleck  il^CD ....  in^  ein  an- 
deres von  gleicher  Eckenzahl  ahcd..,,  so  verwandeln,  dass 
die  der  Seite, J^  entsprechende  Seite  ah  eine  vorgeschrie- 
bene Länge  erhalte  und  dass  beide  Vielecke  im  Ganzen  so 
wie  in  allen  einzelneij  Theilen  von  gleicher  Fläche  seien. 

Die  Construction  zu  ihrer  Auflösung  ergiebt  sich  aus  der  vorigen  Skizze 
ganz  von  selbst,  denn  —  im  Sinne  der  Projectionslehre  gesprochen  —  hat 
man  nur  zu  bewirken,  dass  die  beiden  Figuren  zu  einande^i^jyi^  ^^jis^fe^C 


'} 


58  Kleinere  Mittheilungen« 


▼on  Srand-  und  Aafriiia  in  der  Weise  steheo,  dass  die  Affinitfttsachse  zur 
ProjeotioAgAchse  senkrecht,  oder  cn  dem  projieirendett  Perpendikel  pa^ 
rallel  sei. 

Man  wird  jedoch  leicht  sehen,  dass  die  Constmetion)  auch  abgesehen 
yen  allen  Vorstellnngen  der  Projectionslehre,  sehr  elementar  bewiesen 
werden  kann;  sie  ist  sicher  elementar  genug,  um  die  bemerkte  Stelle 
im  System  der  Elementargeometrie  einsnnehmen.  In  der  Figur  (s.Fig.lO« 
Taf.  I)  ist  ABC ...  das  gegebene  Yieleek,  ak  soll  die. Länge  der  zu  AB 
homolegen  Seite  des  geforderten  ne«en  Vielecks  aba.  werden.  DieZsiok*« 
nnng  iXsst  die  £cken  A  und  a  beider  Vielecke  sich  decken;  inPolge  dessen 
gebt  die  Affinitätsachse ,  oder  vielmehr  die  Achse  der  Gleichheit  dnrck  J» 
um  das  neue  Vieleek  zu  erhalten,  hat  man  dnrch  die  Ecken  des  alten  ein 
Syutem  ron  Parallelen  so  zn  legen,  dass  ein  von  A  aus  mit  ab  als  Halbmes* 
ser  beschriebener  Kreis  die  Parallele  durch  B  schneidet  oder  berührt;  der 
Punkt  oder  einer  der  Pnnkte,  wo  es  geschieht,  ist  6,  die  Parallele  durch  A 
ist  die  Achse  der  Gleichheit  und  der  Reihe  nach  ergeben  sich  nun  aus  der 
Eigenschaft  derselben,  dass  sich  in  ihr  die  homologen  Seiten  beider  Figuren 
schneiden  müssen,  die  ^ />,£...  entsprechenden  Ecken  Cyd^e...  auf  den 
betrefPenden  Parallelen. 

Alle  homologen  Tfaeile  beider  Figuren,  d.  h.  solche;  die  durch  homo- 
lege  Linien  begrenst  werden,  sind  flächengleich.  Dass  sich  dasselbe  Ver« 
fahren  auf  beliebige  krummlinige  Figuren  anwenden  läset  ^  ist  selbstver« 
ständlich;  man  löst  damit  s. B.  die  allgemeine  Aufgabe :  Einen  Kegel- 
schnitt in  einen  flächengleichen  andern  derselben  Art  su 
verwandeln,  wenn  irgend  eine  damit  verbundene  Gerade  von 
bestimmter  Länge  sich  in  einem  vorgschriebenen  Verhält*» 
niss  ändern  soll. 

Und  endlich  bedarf  es  weh}  nur  der  E#rwähnung ,  dass  die  nämlichen 
Betrachtungen  auch  sur  Auflösung  dieser  allgemeinen  Aufgabe  dienen : 
Man  soll  2u  einer  bestimmten  ebenen  Figur  eine  gleicher* 
tige  construiren,  in  der  die  Flächeninhalte  aller  einselnen 
Tbeile  zu  denen  der  homologen  Flächentheile  der  gegebe* 
neu  Figur  in  einem  vorgeschriebenen  Verkältniss  stehen. 
(Dabei  darf  überdies  eine  Seite  der  neuen  Figur  gegeben  sein.)  Denn  dt^ 
eoDStante  Verhältniss  homologer  Flächentheile  ist  eine  characteristische 
Eigenschaft  affiner  Figuren.  (Gleiche  Figuren  unterscheiden  sich  nur  da* 
durch  von  jenen,  dass  bei  ihnen  dies  Verhältniss  =1  ist.)  Man  hat  daher 
zur  Lösung  dieser  Aufgabe  nur  dafür  zu  sorgen ,  dass  die  neue  Figur 
zur  alten  in  der  Beziehung  des  Aufrisses  einer  ebenen  Figur  zu  ihrem 
Grundrisse  steht ,  bei  einer  gewissen  zu  bestimmenden  schiefen  Lage  der 
Affinitätsachse.  Die  Bestimmung  dieser  entsprechenden  Lage  der  Affini- 
tätsachse  ist  leicht  genug.  Die  Figur  (s.  Fig.  11,  Taf.  I)  zeigt  die  Ausführ- 
ung für  ein  constantes  FlächenverhKltniss  25:36.       ^^  ni^eoo  <jOOQl^ 


Kleinere  Mittheilufigen.  59 


Alles  die»  mnd  endlicli  nur  besondere  Formen  ^er  allgemeinen  Wahr« 
beit,  dass  die  Achsen,  die  den  Hanptgegenstand  dieser  Mittheilnng  bilden, 
von  grossem  Notaen  für  die  Consirnetion  von  ebenen  Systemen  sind,  welche 
in  der  Verwandtschaft  der  Affinität  odei;  der  der  Gleichheit  stehen. 

Möge  man  den  Inhalt  dieser  Mittheilang  als  einen  bescheidenen  Bei- 
trag snr  Anwendung  der  Projeetionslehre  auf  die  Geometrie  gelten  lassen. 

GhemnitE.  Wilhelm  FisDiiSn. 


DT.  Kne  Anhake  ant  der  deMripthrw  Geometrie.  Von  E.  Bacalo«lo. 
Eine  Ebene  zn  legen ,  welche  die  in  einem  gegebenen  Kegel  aweiten  Gra* 
des,  einer  gegebenen  Geraden  parallel  gezogenen  Ghiraden  halbirt. 

Man  lege  durch  den  Scheitel  O  (s.  Fig*  12,  Taf.  I)  des  Kegels  die  Ge- 
rade OP  parallel  der  gegebenen  Gerade,  und  durch  die  horiaontale  Spur  P 
derselben  die  Tangenten  PM^PN  hn  die  Basis  des  Kegels;  die  Verbindungs- 
linie MN  der  Berührungspunkte  wird*  die  horizontale  Spar  der  gesuchten 
Ebene  sein;  diese  müss  noch  durch  den  Scheitel  0  gehen.  Diese  Construc- 
tion  ergiebt  sich  aus  folgenden  Betrachtangen: 

1)  Alle  durch  den  Scheitel  0,  parallel  der  gegebenen  Geraden  geleg* 
ten  Ebenen  haben  eine  gemeinschaftliche  Dnrchschnittslinie  OP^  welehe 
selbst  //  der  gegebenen  Geraden  ist; 

2)  In  jedem  dieser  ebenen  Schnitte  wird  die  Gerade  PL'  durch  die 
Erzeugenden  OZ,  OL'  und  die  Halbirungslinie  OR  der  Parallelen  if  har- 
monisch getheilt;  denn  es  ist: 

sin  POL sinl OT 

8inP0L'~sint~  Ol'' 

smLOR lr.8inr(r.sinr_0T sfa  POL 

9inrOR~      Ol     '"      Or      ~Vi~smPOL''' 

3)  Daraus  folgt,  dass  die  horizontalen  Spuren  der  suecessiven  Hai- 
birungslinien  OR  auf  der  Polare  MN  des  Punktes  P  liegen,  dass  also  der 
geometrische  Ort  derselben  eine  Ebene ,  und  deren  horiaontale  Spur  die 
Gerade  üfiTist. 


T.  Veber  die  Siolitungsändenmg  der  Tertioale.  Von  E.  Bacaloolo. 
In  einer  kurzen  Notiz  von  Pulsen x  {CompU  rend.  1856,  B.  42,  S.  683)  wird 
auf  die  Wirkung  der  Umdrehung  der  Erde  und  anderer  Himmelserscheinun- 
gen auf  die  Bewegung  irdischer  Körper,  hauptsächlich  aber  auf  die  da- 
durch yerursachte  Richtungsänderung  der  Verticale  aufmerksam  gemacht. 
Da  der  Verfasser  in  sehr  gesuchter  Weise  blos  auf  die  Resultate  hindeutet, 
so  versuchte  ich^  die  dazu  führenden  Formeln  aufzastellen^iweli^o^miob^lC 


60  Kleinere  Mittheilungen. 


doch  auf  znm  Tbeil  entgegengesetste  Resnltate  als  die  Pn i seil x* sehen 
fährten. 

Begeichnet  nämlieh  M  (s.  Eig.  13,  Taf.  I)  einen  Punkt  der  Erdober* 
fläche  AB,  M^  einen  auf  der  Verlängerung  der  Normale  JV^ilf  dieses  Punktes 
in  der  Entfernung  üf  Jf,  =s  ö  liegenden  Punkt,  so  meint  Puisenx,  dass  die 
Yerticale  des  letztern  von  der  des  erstem  abweicht  und  zwar  um  den  klei» 
nen  Winkel  0".17  für  die  geographische  Breite  45*  und  j= 1000  Meter,  giebt 
aber,  wenn  man  in  einem  Meridiane  stehen  bleibt,  nicht  auch  die  Rich- 
tung dieser  Abweichung  und  scheint  überhaupt  von  dem  umstände ,  dass 
die  Gesammt Wirkung  des  Erdellipsoides  auf  den  äusseren  Punkt  M^  in  der 
Richtung  der  Normale  if|  jY,  au  dem  durch  M^  gelegten  bomofocalen  Ellip- 
soide  A^B^  stattfindet,  abgesehen  zu  haben^ 

Sieht  dian  vorläufig  Ton  der  Umdrehung  der  Erde  ab  und  sucht  den 
Winkel  ai  =  A^  N^  M^,  so  findet  man,  wenn 

er,  h  die  Halbachsen  des  Erdellipsoides, 

tfi,  b^  die  des  bomofocalen  Ellipsoides, 

0,  tf|  die  respectiven  Abplattungen, 

c,  €  die  gemeinschaftlichen  Excentricitäten  der  beiden Meridianellipseo, 

r,  Ti  die  respectiven  Vectoren  der  Punkte  M,  M^^    . 

9»,  9t  die  Neigung  derselben  gegen  die  Achse  OA  bezeichnen,  zu- 
nächst: ^       ' 

1)  iangq)=  --^tanga^==i{l  —  0fianga 

und 

r  sin  w  +  d  sina 

2)  iangg>i= —r; • 

'  *^  rcosg>  +  ocosa 

Aus  der  Gleichung  der  Ellipse  folgt 


3)  r= . — .  —  = .    .  — =ay 


cosa 


9   ,/       fl»        .  C08q>  yi+tngatng<p        f     cos q> C08{a-q)) 


und  wenn  rsiniipsini^z=:^i  costtcosip  gesetzt  wird,  woraus 

4)  tang 

so  ergiebt  sich  aus  2) 


^.  dcosa       6    l/cosaCosweosia^^Q)) 

'  rstnq)        a  smg) 


5)  tangg>i= — -^ f ^. 

'  cos  a  cos  {q) — tff) 


Es  ist  femer 


80  dass  zur  Berechnung  von  a^  noch  nöthig  ist,  öi  zu  bestimmen.     Es  ist 
aber 

«,« _  6,«  =  «« —  6*  s=  c«  =^aV, 

woraus  Digitized.by  GoOglC 


Kleinere  Mittheilungen.  .61 


und 

indem  man  ohne  merklichen  Fehler  Aj  =  a  +  '  setzen  kann. 

Es  ist  übrigens  leicht  zn  sehen,  dass  homofocale  Ellipsen,^ bei  wach- 
senden Dimensionen,  in  der  Bichtoiig  der  kleinen  Achse  stftrker  als  in  der 
der  grossen  zunehmen ;  denn  es  ist 


** 


^z=zj/i  —  ?,  ^^y\  —  e,\  «<?  =  ff,e,, 


woraus  für  a,  >  a : 


und  auch 


t<h     oder     ^>^, 

^        ^<^     oder     ^>'^, 
X      m^  y       X 

indem  tofi^  9  ^  ton^  9i. 

Fahrt  man  nun  die  Umdrehung  der  Erde  ein,  so  ist,    wenn  — ,  -^ 
die   den  Punkten  Jf ,  M^  ^espective  entsprechenden  Centrifngalkräfte  be- 

Vi*         v" 

zeichnen,  noch  auf  die  Wirkung  der  Kraft  //  s=ä  -i Rücksicht  zu  neh- 

men.  Bezeichnet  ttf  die  durch  diese  letztere  Kraft  bedingte  Bichtung  der 
Normale  MiN^^g^G  die  Beschleunigung  der  Schwere  an  den  Punkten  MjM^^ 
m  die  Winkelgeschwindigkeit  der  Erde,  so  ergiebt  sich 

stn  a^  G 


oder 


1  +  1 

8)  tang  (^a,—  ^J  = ^  fang  ^ 


-^     ' 


Es  ist  ferner 


z/_^  »*  (rj  €08  fpi  —  r  eo8^)  r/ 
G  ~  g  •  H' 

oder  approximativ 

^J a^   6cosq>i/        2S\ J^   8  cosq>^  f     , 2ä ^1 

C~"^*       ö       \         T/~2i9*       Ä        L         a(l  — a.W;i»a)J 
9)    ^oder  auch 

J 1     Scosg>i   sin*  («  —  y) 

G       289'       a      *  sin*  {a — 9,) 

da  ==rrr  (^«Ä.  Mic.  J,  341,  1853;  oder  8.  338  der  deutschen  Ausg.).         , 

•^  .  uigiTizea  Dy  v_j  v>\^V  Iv^ 


62  Kleinere  Mittheilnngen* 

Wendet  man  diese  Formeln  anf  ein  Beispiel,  z.  B.  wenn  a=:45^  4=1000 

Meter,  so  ergiebt  sich  wenn  a  =  6377398  Meter,  ö  = =  0,003345  an- 

299.153 

genommen  wird: 

(1  —  <f)«  =  0  .  993325,  (1  —  <F,)*  =  0  .  993328,  a,  =  0  .  003342, 
9?  =  44*^  48'  29^  38,  1»;  =  0»  0'  32".  51,  9>,  =  44*  48'  19".46, 

a,  =  44»59'ö9''.90,  ^=O.00Q00038ö,  «1  =  44H9'69".95, 

«  —  «,  =  +  0".  10,  a—  ff,  =  +  0".  05, 
und  zuletzt,  wenn  a=cr,  gesetzt,  also  die  Betrathtnng  der  Homofocalit&t 
vernachlftssigt  wird : 

a\  =  45«0'0".05  und  a  —  a,  =  —  0".05. 
Aus  dem  Obigen  ergiebt  sich,  dass  ein  freib&ngender,  homogener  Fa- 
den eine  krumme  Linie  bildet,   welche  ihre  convexe  Seite  dem  nächsten 
Erdpole  zuwendet.     Die  Gleichung  derselben  ergiebt  sich  aus 

iin 

10)  y  =  mx  +  ni  0=zx+  —-,  n:=F(Xyy,m), 

am 

wo  F  eine  gewisse  Function  bedeutet.  Ob  es  nun  Puiseux,  der  die  Gestalt 
des  Fadens  für  eine  parabolische  angiebt,  gelungen  ist,  dies  streng  zu  be- 
weisen, Iftsst  sich  aus  seiner  Notiz  nicht  schliessen ;  dies  wäre  jedoch  nur 
dann  möglich,  wenn  die  Funktion  F  unabhängig  Ton  der  grösseren  oder  ge- 
ringeren Anzahl  der  dieEichtungsänderung  derVerticale  bedingendeaUm* 
stände  sein  sollte ;  es  kann  sogar  vorkommen ,  dass  die  oben  gedachte  con- 
Vexe  Seite  eine  umgekehrte  Lage  habe. 

Es  ergiebt  sich  femer,  dass  ein  an  seinem  Schwerpunkte  aufgehäng- 
ter, in  der  Meridianebene  liegender  Stab  sich  so  zu  stellen  strebt,  dass  der- 
selbe mit  der  Verticale  seines  Schwerpunktes  einen  kleinen  Winkel  bildet, 
und  sein  unteres  Ende  in  der  nördlichen  Halbkugel  nach  Süden  zu  liegt; 
nach  Puiseux  soll  dieses  Ende  nach  Norden. liegen  und  wird  in  der  Breite 
45®  um  6'  abgelenkt.  Es  findet  nämlich ,  wegen  der  Abweichung  der  Ver- 
ticale oberhalb  und  unterhalb  des  Schwerpunktes  G  (s.  Fig.  14,  Taf.  I)  eine 
Drehung  des  Stabes  ^^  in  der  durch  den  Pfeil  angegebenen  Richtung  statt, 
bis  die  zum  Stabe  senkrechten  Gomponenten  der  Schwere  in  6  a  sich  den 
in  Qb  wirkenden  ausgeglichen  haben.  Bezeichnet  man  miF(d==Cp^=Gq) 
das  Trägheitsmoment  jeder  Hälfte  des  Stabes ,  %  die  Ablenkung  desselben 
von  seiner  ursprünglichen  Lage,  s  den  Winkel  (FF,)  oder  (FF,),  ^,,  g^  die 
Intensität  der  Schwere  bei  p  und  q,  r  den  zum  Punkte  G  gehörenden  Ra- 
diusvector  des  Erdellipsoides,  so  findet  man 

9i  sin  (z  —  0  =  ö^t  sin  (%  +  0  «ind  yi  •  ^t  =  (^  +  *)* '  {r  —  ^)\ 
woraus 

11)  tangt  =  tang.'^  =  iang,.^,^^-^^^ 

^*  Digitizedby  Google 


JElein^re  Hitiheilungen.  ISS 


oder  auch,  da  i  sehr  klein  im  Verhftltnifts  sa  r  ist: 


.12)  tangi=^^^^     oder     Z=-.;j. 

Man  kann  c  für  kleine  Werthe  von  i^  diesem  letztern  proportional  setzen; 
es  folgt  daraus,  dass  die  Ablenkung  x^  ^ür  beliebige  Stäbe,  unter  derselben 
geographischen  Breite,  constant  ist.    Ffir  die  Breite  45^  ist  ^^^  2' 30''«  17. 

Es  folgt  femer  aus  rein  geometrischen  Betrachtungen ,  dase  bei  der 
abgelenkten  Lage  des  Stabes  f<ii  —  ort>  >o  ^^^^  eigendich  %  kleiner  ist 
als  der  aus  12)  folgende  Werth.  Wegen  der  Kleinheit  dieser  Abweichun- 
gen nnct  der  llannigfaltigkeit  der  dieselben  bedingenden  Uraaefaen  ^  -  welche 
sieh  gegenseitig  gana  oder  theilweiae  aufheben «  dttyfte  man  wohl  jene  Abr 
weichnngen,  trotz  der  von  Pubenx  empfohlenenStrenge^  faalin  allen  Fäl- 
len völlig  Ternachlässigen. 


YL  Einige  Bigeniehafken  der  Kegelschnitte.  Seien  J  und  B  zwei 
beliebige  Punkte  euies  Kegelsdinittes,  jtfPcsc  die  sie  verbiiidende  Sehnen 
e  und  h  die  Bertthrenden  des  Kegelschnittes  in  den  Punkten  A  und  B^  m 
und  it,  p  und  q  zwei  Paare  von  Strahlen  aus  A  und  B  nach  zwei  beliebigen 
Punkten  des  Kegelschnittes,  so  bilden,  nach  einer  bekannten  Eigenschaft 
der  Kegelschnitte,  diese  Geraden  zwei  collineare  Strahlenbüsehel ,  deren 
Mittelpunkte  A  und  B  sind,  und  wo  der  Bertthrenden  a  als  Strahl  des  er« 
sten  Büschels  die  Sehne  c  als  Strahl  des  zweiten,  und  der  Sehne  e  als  Strahl 
des  ersten  Büschels  die  Berührende  b  als  Strahl  des  zweiten  Büschels  ent- 
spricht.    Diese  Collinealion  werde  bezeichnet  durch 

(a,  <r,m,pf)a»(c,*,»,5'). 
Eine  beliebige  Gerade  l  schneidet  die  beiden  Strahlenbüschel  in  zwei  colU- 
nearen  Punktreihen,  was  ausgedrückt  werde  durch 

(/•a,  /•  c.l'mj'p)  =  (/-c,  /-d,  /•»,  hq). 
Es  soHen  n,un  die  Durchschniitspnnkte  bezeichne!  werden^  wie  fo%t : 

so  hat  man 

oder  ee  sind  die  beiden  Doppelscfanittsverhältnisse  einander  gleich   ^ 

fd,mp_i)g.no 
dm.pf~gn.qd' 

Es  werde  nun  die  schneidende  Gerade  /  durch  den  Durchschnittspunkt  C 
der  beiden  Berührenden  a  und  h  gelegt,  welchen  bekanntlich  der  Pol  in 
Bezug  auf  A  B  als  Polare  heisst,  so  hat  man 

F=G:=:m'b  =  C     ' 

zu  setzen,  und  geht  die  vorige  Gleichung  in  die  folgende  ü)^)^edbyOoOQlc 


84  Elein^e  Mittheiltingen. 

cd.mp_dc.nq 
dm.pc~cn.qd\ 

oder,  wegen  C2>  =  —  DC^ 

MP.CN.QD  _ 
PC.NQ.DM~~^' 
Der  Aafldruek  links  etellt  aber  ein  sogenanntes  Dreiecks sjelinittTer- 
fa'ftItBiss  dar,  und  da  dieses  den  Wertb  —  1  hat,  so  sind  die  drei  Pnnkten- 
paare  Cand  D,  M  und  N^  P  und  Q  in  Ihvolntion.     Diesen  Sats  kann  man 
80  in  Worten  aussprechen : 

Zieht  man  von  swei  beliebigen  Punkten  eines  Kegel- 
schnittes Veotoren  nach  beliebigen  andern  Punkten  de^sel- 
beii,  so  schneiden  dieselben  jede  durch  den,  sur  Verbind- 
ungslinie jener  zwei  Punkte  als  Polare  gehörigen,  Pol 
gehende  Gerade  in  zwei  in  Involution  befindlichen  Pnnk- 
tenreihen.  Ihre  Doppelpunkte  sind  offenbar  die  beiden  Durchschnitts- 
punkte S  und  T  der  Geraden  /  mit  dem  Kegelschnitt,  und  sind  daher  die 
beiden  Fälle  zu  unterscheiden,  ob  diese  Durchschnittspunkte  reell  oder 
imaginär  »nd. 

Die  Gerade  l  echneide  den  Kegelschnitt' in  zwei  reellen  Punkten,  8 
und  r,  so  ist,  weil  der  gemeinschaftliche  Brennpunkt  zweier  in  Involation 
befindUcher  Punktreihen  in  der  Mitte  zwischen  ihren  Doppelpunkten  liegt, 
der  Halbirungspnnkt  0  der  Sehne  ST  dieser  Brennpunkt;  und  weil  der 
swisohen  den  beiden  Doppelpunkten  enthaltene  Abschnitt  von  jedem  Ptank* 
tenpaar  harmonisch  getheilt  wird ,  so  geschieht  dies  mit  S  T  durch  jedea 
Punkteapaar  M  und  N^  i'und  ip,  d.  b. 

'  Zieht  man  von  zwei  beliebigen  Puiikten  A  und  B  eines 
Kegelschnittes  Vectoren  nach  beliebigen  andern  Punkten 
desselben,  so  theilen  dieselben  jede  durch  den,  zu  AB  als* 
Polare  gehörigen,  Pol  gehende  Sehne  harmonisch.  Die<  wird 
auch  dadurch  ausgedrückt,  dass  das  Produkt  OM,ON^ssOP.OQ  eine  cen** 
stante  positive  Grösse  ist. 

Hierin  ist  als  specteller  Fall  der  bekannte  Satz  enthalten ,  dass  eine 
durcK  deif  Pol  gelegte  Gerade  von  diesem,  der  Polare  «nd  dem  .Kegel- 
schnitt harmonisch  getheilt  wird.  Schneiden  zwei  durch  A  und  B  gele^gte 
Parallele  zu  ST  den  Kegelschnitt  in  den  Punkten  H  und  J,  so  müssen  die 
Geraden  .9 J7  und  AJ  sich  im  Mittelpunkt  0  der  Sehne,  als  dem  gemein- 
schaftlichen Brennpunkte,  schneiden. 

Sind  die  beiden  Berührenden  in  A  und  B  einander  parallel,  d.  h.  ist 
^  P  ein  Durchmesser  des  Kegelschnittes ,  so  geht  obiger  Satz  in  folgenden 
tiber: 

Zieht  man  von  den  beiden  Endpunkten  eines  Durchmes- 
sers eines  Kegelschnittes  Vectoren  nach  einem  beliebigen 
Punkte  desselben,  so  theil^n  dieselben  jede  dem,   zu  jenem 

•'  uigiüzea  oy  x^vy  v^'p^'LN^ 


Kleinere  Mittheilungen.  65 


eonJQgirteii',  DnrchmeBser  parallele  Sehne  harmonisch.  Der 
Mittelpunkt  0  dieser  Sehne  ist  zugleich  der  Durchschnittspunkt  mit  dem 
Durchmesser  JB.  — Hieraas  lassen  snch  sehr  einfach  die  Gleichungen  von 
EU^ise  und  Hyperbel  in ,  zu  zwei  conjugirten  Durchmessern  pjarallelen, 
Coordinaten  und  aqdere  damit  im  Zusammenhange  stehende  Eigenschaften 
derselben  herleheii.  Seien  2y  und  2y  die  L&ngen  zweier,  zu  dem,  zum 
Durchmesser  AB  conjugirten ,  Durchmesser  paralleler  Sehnen  der  Ellipse, 
und  werden  dieselben  von  den  beiden  Vectoren  aus  A  und  B  eines  Punktes 
der  Ellipse  in  M  und  N,  M'  und  N'  und  vom  Durchmesser  ^^^  in  0  und  0' 
geschnitteuy  so  ist  nach  obigem  Satze 

OM.ON  =  ^, 

0'M\tffr=y\ 
daher 

OM     ON_y* 

dm''  p''^'~y^' 

Aus  der  Figur  folgt  aber  sogleich 

OM  _A0  '0J[^_  BO 
Q'M'~ AO"  0'N'~'bW' 
mithin  int 

AO.BO  _ y « 
AO\Bff~y^' 
Die  Producte  AO.BO  und  AO'.BO'  bedeuten  aber  die  Quadrate  der  zu  AB 
rechtwinkligen  in  0  und  0*  errichteten  Ordinate»  des  über  AB  als  Durch- 
messer beschriebenen  Kreises.  .  Man  hat  daher  den  Satz : 

Die  durch  Punkte  eines  Durchmessers  der  Ellipse  dem  conjugirten 
Durchmesser  parallel  gezogenen  Sehnen  sind  proportional  den  durch  die- 
selben Punkte  a^m  Durchmesser  rechtwinklig  gelegten  Sehnen  des  über 
diesen  Durchmesser  beschriebenen  Kreises. 

Legt  man  die  Gerade  /  parallel  einer  Asymptote  der  Hyperbel  oder 
der  Axe  der  Parabel,  wo  daher  der  eine  Doppelpunkt  im  Unendlichen  liegt, 
so  musa  die  Gleichung 

MP  CN  QB__ 
PC'NQ'BM~      ^ 
auch  noch  gelten,  wenn  zwei  Vectoren  AP  und  BQ  nach  einem  unendlich 
entfernten  Punkte  der  Hyperbel,  oder  dem  der  Parabel,  gehen,  wo  dann  P 
und  0  selbst  ins  Unendliche  rücken.     Dann  geht  wegen 

MP_QD^ 
PC~JSQ~ 
obige  Gleichung  über  in 

CN  —  —  DM, 
oder 

^•^-  Digitizedby  Google 

ZcitRchrtft  f.  Malhoinalik  a.  Physik.  V.  5  ^ 


Kleinere  Mittheilangen. 

Zieht  man  ron  zwei  beliebigen  Punkten  A  nnd  B  der 

Hyperbel  (Parabel)    nach  einem  beliebigen  Punkte 

derselben    zwei    Vectoreh,    so    schneiden    dieselben 

»die  durch  den,   zur  Sehne  AB  als  Polare  gebiörigen, 

Pol  gelegte  und  zur  Asymptote  (zur  Axe)  parallele 

Gerade  in  entgegengesetzt  gleichen  Abstftnden  yon 

€  nnd   vom  Durchechnittspunkt  D  der   Geraden  m^it 

der  Sehne  AB, 

Mittelst  dieses  Satzes  kann  man  die  Hyperbel  sehr  leicht  constmiren, 

wenn  zwei  Tangenten,  die  zugehörigen  Ber(ihnnig8punkte\^  nnd  B  nnd  die 

Riclitung  der  einen  Asymptote  (//  CD)  gegeben  sind.     Trägt  man  alsdann 

von  A  aus  auf  AB  die  Strecke  AE^=  --  BD  auf,  so  ist  CE  die  Richtung 

der  andern  A.symptote;  denn  zieht  man  parallel  mit  CE  durch  A  und  B  zwei 

Gerade,  welche  CD  in  M  und  N  schneiden,  so  ist,  der  Forderung  gemäss, 

CM=^ —  DN,  und  zwar  gehen  -^^und  BN,   weil  sie  parallel  sind,   nach 

dem  andern  unendlich  entfernten  Punkt  der  Hyperbel.  Liegt  aber  JD  in  d^r 

Mitte  zwischen  A  und  B,  so  fällt  E  mit  i>  zusammei^,  d.  h.  der  Kegelschnitt 

hat  nur  einen  unendlich  entfernten  Punkt,  ist  also  eine  Parabel  und  CD 

die  Richtung  ihrer  Axe.     Umgekehrt  folgt  daher :  Eine  durch  den  Pol  snr 

Parabelaxe  parallele  Gerade  halbirt  die  Polare. 

Im  zweiten  Falle,  wenn  die  Gerade  /  den  Kegelschnitt  nicht  schneidet, 
also  die  beiden  Doppelpunkte  imaginär  sind,  entsprechen  denselben,  nach 
einer  bekannten  Eigenschaft  der  Involution,  die  beiden  Punkte  S  und  jT,  in 
denen  sich  die  über  CD,  M'N,  PQ  als  Durchmessern  beschriebenen  Kreise 
schneiden.  Der  Durchschnittspnnkt  0  der  gemein schaflliehen  Sehne  S  T 
dieser  Kreise  mit  den  Geraden  /  ist  der  gemeinschaftliche  Brennpunkt,  dien 
man  auch  erhalten  kann,  wenn  man  durch  A  nnd  B  Parallele  mit  CD  ziekt, 
welche  den  Kegelschnitt  in  H  nnd  /  schneiden,  so  schneiden  sieb  jOnnd 
^iSr  mit  CI>  im  Punkte  0. 

Zieht  man  von  zwei  beliebigen  Punkten  A  und  B  eines 
Kegelschnittes  Vectoren  nach  andern  beliebigen  Punkten 
desselben  und  legt  durch  den  zn  AB  als  Polare  gehörigen 
Pol  eine  beliebige,  den  Kegelschnitt  nicht  schneidende  Ge- 
rade, so  schneiden  sieh  alle  die  Kreise,  welche  man  ober 
den  von  je  zwei  Vectoren  auf  der  Geraden  gebildeten  Ab- 
schnitten als  Durchmessern  beschreibt,  in  denselben  zwei 
Punkten. 

Ist  A  B  ein  Durchmesser  des  Kegelschnittes ,  so  ist  der  Durchschnitt 
von  A  B  mit  der  Geraden  der  gemeinschaftliche  Brennpunkt. 
Als  specielle  Fälle  sind  bemerkenswerth  : 

1)  Ist  der  Kegelschnitt  eine  Hyperbel ,  nimmt  man  für  die  Punkte  A 
und  B  deren  Scheitel  und  leg^  die  zu  AB  senkrechte  Gerade  /  durch  den 
Mittelpunkt  der  Hyperbel,  so  müssen  die  Punkte  S  und  T  auf  der  Axe  A  B 

•  jignizea  Dy  x^j  vy  v^^'i  LV- 


Kleinere  Mittheilnngen.  67 


liegen  nnd  zvar  mass  ihre  Entfernung  gleich  sein  dem  Darchraesser  des 
Kreises,  der  den  den  Asymptoten  parallelen  Vectoren  aus  A  nnd  B  ent- 
spricht. Ist  daher  «  die  Haupthalbaxe,  tt  der  halbe  Asymptotenwinkel,  so 
liegen  die  beiden  Punkte  S  nnd  T  yqvI  Mittelpunkte  der  Hyperbel  auf  bei- 
den Seiten  vaaa.cota  entfernt.  Bei  der  gleichseitigen  Hyperbel  schneiden 
sich  daher  alle  Kreise  in  den  Scheiteln  dei^selben,  bei  einer  Hyperbel,  für 
welche  co^a=^  sina  ist,  in  den  Brennpunkten. 

2)  Ist  der  gegebene  Kegelschnitt  ein  Kreis,  so  f^Ult,  wie  leicht  ans  der 
Constmction  des  Punktes  0  zn  sehen,  die  gemeinschaftliche  Sehne  ST  mit 
der  ans  dem  Mittelpunkt  des  gegebenen  Kreises  auf  die  Gerade  CD  gefäll- 
ten Senkrechten  zusammen;  ferner  zeigt  eine  einfache  Betrachtung,  dass 
dann  dieser  Durchmesser  des  gegebenen  Kreises  in  den  Punkten  S  nnd  T 
harmonisch  getheilt  wird,  woraus  weiter  folgt,  dass  alle  die  Kroise  sich  mit 
dem  gegebenen  rechtwinklig  schneiden.  Dr.  F.  Wetzig. 


Vn.  Billige  neae  Utse  Über  Fnsspnnktilidien.  Von  E.  6acalogi.o. 
I.  Analog  den  yon  Wetz  ig  nnd  Raabe  für  Fnsspnnktearven  gefundenen 
Sfttzen  gilt  für  FassponktflUchen  der  Satz:  „l^^i'  Winkel  zwischen  Leit* 
strahl  nnd  Berührungsebene  bleibt  constant  für  «11  e  sich  entsprechenden 
Punkte  der  snccessiven  FusspnnktflHchen  einer  gegebenen  Flüche  J^  nnd 
die  Normale  an  einem  Punkte  der  FusspnnktflHche  ;?ter  Ordnung  geht 
durch  die  Mitte  des  Leitstrkhles  des  entsprechenden  Punktes  der  Fuss- 
pnnktiäche  der  (7i'-^l)ten  Ordnung.  Man  denke  sich  nKmlich  eine  die 
Fläche  F  in  der  Nähe  des  Punktes  M  umhüllende  Kegelfläche.  Die  Fuss- 
punktcurve  dieser  letztem,  welche  bekanntlich  eine  sphärische  Cnrve  ist, 
liegt  zugleich  auf  der  Fusspunktfläche  F\  Geht  man  zur  Grenze  über ,  so 
reducirt  sich  jene  sphärische  Curve  zu  dem  gemeinschaftlichen  Elemente 
M*  der  Fläche  F'  nnd  der  Kugel ,  deren  Durchmesser  gleich  ist  dem  Leit- 
strahle des  Punktes  M,  und  giebt  mithin  die  Bichtung  der  gemeinschaft- 
lichen Berührnngsebene.  Daraus  folgt:  1)  dass  die  Normale  des  Punktes 
M'  durch  die  Mitte  des  Leitstrahles  GM  geht  (wenn  0  den  Pol  bezeichnet),  •  • 
und' mithin  der  erwähnte  Winkel  constant  bleibt,  und  2)  dass  die  snccessi- 
ven  Normalen  der  Punkte  M^  M\  . .  in  einer  Ebene  liegen,  welche  durch 
den  Pol  geht,  und  gegen  einander  gleichgeneigt  sind.  Ist  die  Fläche  jPbei 
M  doppelt  gekrümmt ,  so  kann  man  statt  einer  zwei  Kegelflächen  sich  den- 
ken ,  von  deren  Scheiteln  der  eine  über  und  ^er  andere  unter  der  Fläche 
F  liegt. 

Analytisch  lässt  sich  derselbe  Satz  durch  Umkehrung  der  Aufgabe  der 
Fnsspnnktflächen  beweisen ,  d.  i.  wenn  man  zu  der  Fusspunktfläche  F'  die 
Basis  jP  sucht    ^ergiebt  sich  alsdann,  als  Umhüllungsfläche  der  Ebenen 

1)  XX  +  yy  +  zz  =  x  »  +  y*  +  t\ 

durch  Elimination  von  x\  y\  z  aus  vorstehender  Gleichung,  der  Gleichung  (^ 

TJigiTizea  Dy  x^j  vy  v./'i  Iv. 


68  Kleinere  Mittfaeilungen. 

der  Fläche  F'  und  den  aus  1)  durch  partielle  DifferenttatioB  abgeleiteten 
Gleichungen 

2)  a:+p>=2(a:'  +  pV),     y +V«  =  2(y' +  jV). 

Diese  letztem  Gleichungen  zeigen,  dass  die  Projektionen  der  Normalen 
zur  Fläche  F'  dnrch  die  Mitte  der  Projectionen  desKadionv^ectors  der  Fläche 
F  gehen ,  womit  der  Satz  völlig  bewiesen  ist. 

II.  Die  den  Curven  der  gleichgeneigten  Berührnngsebenen  der  Fläche 
F  auf  F'  entsprechenden  Cnrven  sind  Durchschnitte  von  F'  mit  geraden 
Kreiskegeln ,  denn  man  findet  mit  Hilfe  der  Gleichungen 

y  +  ^  =  einer  Constanten  A:*, 

3)  ar'  =  — p«',     yz:^  —  qz\ 
folgende  Relation 

III.  Denkt  man  sich  eine  Fläche  /*,  das  ihr  entspreehende  reeiproke 
System  von  Flächen  F, ,  F,,  Fj  . . .  (im  Monge'schen  Sinne)  und  die  Fuss- 
punktflächen  F^\  /*/,  F,' .  . .  jeder  derselben,  so  liegen  die  in  einem  Punkte 
M  der  Fläche  F  entsprechenden  Punkte  der  Flächen  Fi\  jP,'»  F^,.  . .  auf 
einer  Kugel ,  deren  Durchmesser  gleich  dem  z  des  Punktes  M  ist.  Da  die 
Berühmngsebenen  an  den  dem  Punkte  M  entsprechenden  Punkten  der 
Flächen  F|,  F,,  F, . . .  in  einen  gewissen  Punkt  der  t- Achse  zusammen- 
laufen ,  so  ist  der  Satz  von  selbst  einleuchtend.  Der  analoge  Satz  findet 
für  ebene  Curven  statt. 

IV .  Werden  die  Gleichungen  3)  nach  x  und  y  differeneirt ,  indem  der 
Reihe  nach  y  und  x  als  constant  betrachtet  wird,  so  ergiebt  sich 

dx  dy_px-z  dx  dy_qx 

dx  dx  2  '  dy  dy        z  * . 

^äx^,dy_p'y  J^  a   ,  ^V _9y —^' .    ' 


d.v'   •      dx'  ~~  z*'  dy^dy •      z^      ' 

hieraus  durch  Multiplication  der  ersten  mit  der  letzten  dieser  Gleichungen 
und  Subtraotion  des  Productes  der  beiden  mittleren : 

{  —  ^ ^^  rfy __ (p  Jg'  —  z)  {qy  —  z)  --pqxy 

]  dx   dy       dy  dx  z'*  {ri  —  «') 

Diffeienzirt  man  auf  ähnliche  Weise  die  Gleichungen  2) ,  so  findet  man : 

^^  +  ''^'^  57  +  *'''  ^  =  =^  ("'*'  +  *'*'^  -  "  • 
''^'S?  "*■  (^  "•"  **')  ^ ^  *  ^'''*' "'"  *'*'^  ~  * *• 

"  *  uigmzedbyLiOOgle 


Kleinere  Mittheilungen.  69 

hieraus  folgt  wie  früher: 

=  4(1  +p''  +  rV)  (l  +  gr-t  +  i-/)  _4(pV  +  »V)«  +  (rY-»'»)  z* 

-2[(l+p'»  +  rV)<'  +  (l+?'»+r'0'-'-2«'(pY  +  *V)]z, 
oder  • 

dx  dy       dx  dy       4(r't' — »'•) 

iUc~dy       dy'dx       l  +  Pp'+S'S'' 

Kz  —  2t'\*      (1  +  p  »)<^+  (l+g'')r -2p  gV    z~2z  ^  |+/«  +  y-«-] 
2      /  r'/'— *'»  '       2       "^    ri'^^^T^J 

Bezeichnen  A, ,  A,  und  A,',  A/  die  respectiven  HauptkrfimmangsTsdien 
der  Basis  und  der  FusspunktflSche,  ^,  (f  die  entsprechenden  Leitstrahlen, 
so  kann  vorstehende  Gleichnng,  da 

(z  -  2  *  vnTT^T^ = « 

ist ,  wie  folgt  geschrieben  werden :  ^  ! 

.     .         .      .         4(rY-»'»)(Ä,'-i.)fÄ.'--?-) 
djgrfy      dxdy_^  ^\  '        2/\  *        2/ 

^'  rfx'57      dy'dl».'  (!  +  /*+ ?'*)(! +  pp'+?/) 

Daraus  ergiebt  sich  in  Verbindung  mit  4)  und  da 
co,x=,  ^+PP+g/ 

wenn  j  den  Winkel  (9, 9')  oder  den  der  entsprechenden  Normalen  bezeich- 
net, folgende  bemerkenswerthe  Relation: 

(g.-|)(^-f)      Ä^^ 

Man  findet  ferner,  wenn  dFy  dF'  die  entsprechenden  Flächenelemente 
bezeichnen , 

oder 
7) 


dp  ""ÄjÄ,' 


VnL  Bemerkungen  ftber  Cnrven  und  Flächen  zweiten  Grades.  Von 
Dr.  Heilermann,  Director  der  Provinzial- Gewerbschule  zu  Koblenz.  Auf 
jeder  Normale  eines  Kegelschnittes  werden  sowohl  durch  die  Achsen  als 
durch  die  um  den  Mittelpunkt  mit  den  Summen  oder  Differenz  der  Halb- 
achsen beschriebenen  Kreise  Stücke  abgeschnitten,  welche  mit  der  Entfern- 
ung der  zugehörigen  Berührenden  vom  Mittelpunkte  Rechtecke  ^u^con-[^ 

y  y  ^-v 


70  Kleinere  Mittheilungen. 

Staaten  Grössen  bilden.  Von  dieser  Eigenschaft  ausgehend ,  habe  ieh  im 
Allgemeinen  den  geometrischen  Ort  eines  Pnnktes,  welcher  auf  der  Nor- 
male ein  der  obigen  Bedingung  genfige^ndes  Stück  begrftnzt,  untersucht 
und  erlaube  mir  im  Naohfotgenden  einige  Resultate,  zu  welchen  ich  gelangt 
bin,  den  Lesern  dieser  Zeitschrift  vorzulegen. 

§.1.  * 

Wird  vom  Mittelpookt  0  der  Ellipse 
auf  die  Gerade 


a* 


6«' 


welche  dieselbe  im  Punkte  m=r{xy)  berührt^  die  Senkrechte  £  gefällt,  so 
ist  bekanntlich 

3)  CO,  ({«)  =  «^,  CO«  (£6)  =  1^,1  =  ^+^. 

Trägt  man  nun  auf  der  Normale  desselben  Punktes  vom  Fnsspunkte  ans 
nach  beiden  Seiten  die  Strecken 

mn  z:=mni  ==  ^ 
ab,  so  sind 

t 

die  Coordinaten  der  Endpunkten  h  und  7i|,.weil  -^  und—  zugleich  die  Co- 

a  0 

sinus  der  Winkel  sind,  welche  die  Normale  mit  den  Achsen  bildet. 

Wenn  nun  die  Strecke  e  der  vom  Mittelpunkte  auf  die  Bertihrende 

des  Punktes  m  gefällten  Senkrechten  |  umgekehrt  proportional  ist,  so  steht 

dieselbe  zugleich  zu  dem  Durchmesser ,  welcher  der  Berührenden  parallel 

ist,  in  directem  Verhältnisse.     Wenn  also  2£f,  diesen  Durchmesser  und  k 

irgend  eine  constante  Linie  darstellt,  so  ist 

e=--  =  — rf,. 
I       ab 

Durch  Einsetzung  dieses  Werthes  erhalten  die  Coordinaten  der  Punkte  n 

und  n^  folgende  Form 

Mithin  liegen  die  Punkte  n  und  »i  in  den  Ellipsen 

und  diese  sind  immer  confocal,  denn  das  Quadrat  ihrer  Excentricität  ist 

uigiiizea  oy  v^jOO  V  IV^ 


Kleinere  Mittheilangen.  71 

Werden  aide  Muf  einer  Normale  einer'Ellipse  Yom  Fiiss- 
paakte  ans  uacb  beiden  Seiten  Stücke  abgesohnitten«  wel- 
che mit  der  Entfernung  der  zugehörigen  Berührungslinie 
vom  Mittelpunkte  Rechtecke  von  constanter  Grösse  bilden, 
80  sind  die  Ortscurven  dieser  Schnittpunkt^. zwei  confocale 
Ellipsen. 

Die  Punkte  m,  n  und  »j  sind  entsprechende  Punkte  in  den  Kegel- 
schnitten 1)  und  5),  denn  es  verhält  sich 

y  +  l^     .flu**      _      y  +  ^  a«— Ä« 

Durch  ümkehrung  ergiebt  sich  hieraus  folgender  Satz : 

Die  tiinie,  welche  zwei  entsprechende  Punkte  zweier 
coufocalen  Ellipsen  verbindet,  ist  in  allen  Lagen  Normale 
einer  dritten  Ellipse,  von  welcher  sie  halbirt  wird. 

Drei  specielle  Werthe  von  fc^  sind  hier  beachtenswerth ,  nämlich  die 
beiden,  für  welche  eine  der  Coordinaten  4)  Null  wird,  und  derjenige,  durch 
welchen  die  Excentricität  6)  verschwindet.  Bezeichnet  man  die  Punkte  der 
Normalen,  welche  in  den  Axen  der  Ellipse  1)  liegt  mit  Pq  und  P^,  so  Ist 

7)  mi>o  =  j,»*Oo=T- 

Sind  femer  r  und  r,  die  Punkte  der  Normale,  für  welche 

so  ist 

ab 

und  die  Punkte  selbst  liegen  in  den  Kreisen 

9)  ^i'+y,'  =  {a±by, 

deren  Gleichungen  man  aus  5)  erhält,  wenn  man  darin  l^^r^ah  setzt. 

Wenn  k^^aby  also  ^^C^^i,  so  liegen  die  Brennpunkte  der  Kegelschnitte. 
5)  In  der  grossen  Axe  der  Ellipse  1),  und  wenn  dagegen  ^'>ad,  also  c>efi, 
so  liegen  sie  in  der  kleinen. 

Verbindet  man  äiß  Gleichungen  7)  und  8),  so  entsteht  zunächst  ' 
^  +  ^u         r.       a  —  b,         ^        a  +  b  '  a—b 

und  hieraus  folgt  die  Proportion 

rQo:rP^=r^Q^:r^Po  =  b:a. 
Wird  also  das  von  den  Achsen  begrenzte  Stück  einer  Nor- 
male einer  Ellipse  nach  dem  umgekehrten  Verhältnisse  der 
Achsen,  in  welchem  die  Endpunkte  liegen,  harmonisch  ge- 
theilt,  so  liegen  die  The il punkte  in  den  Kreisen,  welche  um 
den  Mittelpunkt  der  Ellipse  mit  der  Summe  und  Differenz 
der  Halbachsen  der  Ellipse  beschrieben  sind.  ^  t 

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72  Kleinere  Mittheilangen, 

£>ie  vorstehende  Batwicklang  kann  in  derselben  Weise  auch  für  die 
Hyperbel  und  Parabel  ausgeführt  und  hier  also  dem  Leser  überlassen 
werden. 

§.2. 

Legt  man  durcH  den  Punkt  fnz=z{xy)  ausser  der  Ellipse  1)  auch  nock 
eine  Hyperbel 

a^       1/* 

welche  mit  jener  die  Brennpunkte  gemeins.am  hat,  so  ist  bekanntlich 

und  es  stehen  die  Kegelschnitte  1)  und  ll)  im  Punhte  m  =  (o;^)  aufeinan- 
der senkrecht.  Denkt  man  sich  ferner  die  Kegelschnitte,  welche  die  im 
Punkte  m  aufeinander  senkrecht  stehenden  Normalen  der  Kegelschnitte  1) 
und  11)  als  Achsen  enthalten  und  die  Achsen  derselben  im  Mittelpunkte  0 
berühren,  so  sind 

»2)  -S+i^-»- 


a*       a. 


die  Gleichungen  der  letztem  und  zeigen  sogleich ,  dass  auch  diese  Kegel- 
schnitte die  Brennpunkte  gemeinsam  haben. 

Das  Quadrat  der  gemeinsamen  Excentricität  ist 
ö*  —  flj«  =  6«  —  6^*  =  dl«, 
also  begränzen  ihre  Brennpunkte  auf  der  Normale  der  Ellipse  1)  nach  bei- 
den Seiten  vom  Fusspunkt'  m  eine  Strecke 

e==di 
mithin  liegen  sie  in  den  Kreisen  9). 

Werden  also  für  irgend  einen  Punkt  einer  Ellipse  die 
Kegelschnitte  gezeichnet,  welche  die  Achsen  derselben  im 
Mittelpunkte  berühren  und  die  Normale  und  Tangente  des- 
selben Punktes  als  Achsen  enthalten,  so  liegen  die  gemein- 
samen Brennpunkte  dieser  Kegelschnitte  in  den  Kreisen, 
welche  um  den  Mittelpunkt  der  Ellipse  mit  der  Summe  und 
Differenz  ihrer  Halbachsen  beschrieben  worden  sind. 

Die  bekannten  Eigenschaften  der  Kegelschnitte  in  Bezug  auf  ihre 
Brennpunkte  ergeben  sich  hier  für  die  Curven  8)  mit  besonderer  Leichtig- 
keit. 

§.3. 

Wenn  von  dem  Mittelpunkte  0  des  Ellipsoides 


X»        ««       t« 


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Kleinere  Mittheilungen.  73 


auf  die  Ebene 

welche  dasselbe  im  Punkte  m={xyz)  berührt,  die  Senkrechte  £  gefallt 
wird,  so  ist  . 

15)  co*(S«)=^,co,(66)  =  |^,  co5(|c)  =  i?,i  =  :^  +  g+^. 

Trägt  man  nun  auf  der  Normale  des  Punktes  m  =  {xy  z)  vom  Fusspunkte 
ans  nach  beiden  Seiten  die  Strecken 

mn  =  m«!  =  e 
ab,  80  sind 

{ j?  £  y  äz 

J^X    ^  V    ^  z 

die  Coordinaten  der  Punkte  n  und  Wj,  weil  =~^,  ^,  ^  »ugleich  die  Cosinus 

der  Winkel  sind,  welche  die  Normale  mit  den  Achsen  bildet.  Wird  nun  die 
Strecke  e  so  gew&hlt,  dass  sie  der  Senkrechten  umgekehrt  proportional  ist, 
80  steht  dieselbe  zugleich  zur  Flftche  des  Centralschnittes,  welcher  der  Be- 
rfihrungsebene  des  Punktes  m  parallel  ist,  in  directem  VerhAltnisse.  Wenn 
also  dl  und  ef,  die  Halbachsen  dieses  Schnittes  und  Ar  irgend  eine  eonstante 
Linie  darstellt,  so  ist 

Durch  Einsetzung,  dieses  Werthes  erhalten  die  Coordinaten  der*Punkte  n 
und  iij  folgende  Form 

a«  +  A*  *•+*«  c«  +  Ä* 

Mithin  liegen  die  Punkte  n  und  n^  in  den  Flächen 

and  diese  sind  immer  eonfocal,  da  die  Quadrate  der  Excentricitäten  der 
Achsenschnitte  für  beide  Flächen  denselben  Werth  haben,  nämlich 

■8.)         (»±f)-(«±f)=(»--^('-j^> 

Werden  also  auf  einer  Normale  eines  Ellipsoides  nach 
beiden  Seiten  vom  Fusspunkte  aus  Stücke  abgeschnitten, 
welche. mit  der  Entfernung  der  zugehörigen  Berührungs- 
ebene vom  Mittelpunkte  Rechtecke  von  constanten  Grössen 
bilden,  so  liegen  die  Endpunkte  dieser  Stücke  in  zwei  con- 

focalen    Flächen.  ugmzeaDyGoOgle 


74  Kleinere  Mittbeilongen. 


a 

a 

**  +  ** 

6»- 

*» 

•       b      ' 

b 

c»+A» 

<*- 

Ä» 

Die  Punkte  m ,  ;i  und  n|  in  den  Ellipsoiden  13)  und  17)  aind  für  alle 
Werthe  von  1^  entsprechende  Punkte,  denn  das  Verhältniss  ihrer  Coordi-^ 
naten  ist  gleich  dem  Verhältnisse  d^r  gleichliegenden  Achsen ,  oder 
«t  +  Ä*       a*  — Ä»  a«  +  Ä««»  — A» 

a*  (T  a  a 

6«  +  Ä*       6«  -^  Ä* 

c«  +  ;t«       c»  — *• 
z  : —  z  :  — -r —  t  =  c  • ^ .  ^ — 

C^  €*  C  C 

Wenn  man  diesen  Zusammenhang  umkehrt,  so  erhält  man  folgenden 
Satz : 

Die  Linie,    welche    ewei    entsprechende   Punkte   zweier« 
confocalen  Ellipsoide    verbindet,    ist    in   allen    Lagen    Nor- 
male   eines    dritten    Ellipsoides,    von    welchem    sie    hatbirt 
wird* 

Sechs  specielle  Werthe  von  k^  verdienen  hier  beachtet  zu  warden^ 
nämlich  die  drei,  für  welche  eine  der  Coordinaten  16)  Null  wird,  und  die 
diei,  für  wel<^he  eine  der  Excentricitäten  unter  18)  verschwindet  oder  die 
confocalen  Ellipsoide  17)  zu  Sphäroiden  werden«  Bezeichnet  man  die 
Punkte  der  Normalen ,  für  welche  die  Coordinaten  iCi ,  y, ,  ^^  Null  werden^ 
der  Reihe  nach  mit  Pq^  Qq,  Rot  ^o  ^^^ 

dF  ^  c' 

19)  .  »iA  =  T»       ^öo=Y»      OTi?o— T' 

s  5  s  ' 

Bezeichnet  man  ferner  die  Punkte  der  Normalen ,  für  welche 

mit  p  und  pi ,  so  ist 

20)  mp^mp^:=—=-^ 
und  die  Punkte  liegen  in  den  cotifbcalen  Sphäroiden 

deren  gemeinsame  Excentricität 

22)      y{a±'iJ-ib±cy=.A'''J''-'^. 
Setzt  man  zweitens 

und  bezeichnet  die  zugehörigen  Punkte  in  der  Normalen  mit  q  und  gi ,  so  ist 

2üa)  mg  =  m^,  = -r-  =  -^ 

und  es  liegen  diese  Punkte  in  den  confocalen  Sphäroiden 

^'•)     (^)"+(ä^)"+(^)='' 

deren  gemeinsame  Excentricität  .  Digi.izedbyGoOgk 


Kleinero  Mitlheiliingen.  75 

22a)  /(^jYi^:7:^^y:Ei^Eii. 

Wenn  zuletzt  r  und  r^  diejenigen  Punkte  der  Normalen  sind,  für  welche 
l^  z=^aby  80  ist 

20b)  ,„r  =  mr.=  $  =  ^ 

und  die  Punkte  Uegen  in  den  confocalen  Sphärotden 

deren  Ejccentrieität 


22b)      /(c±ff-(a±6)«=:  Vi^^-'^H'^-''*). 

Nehmen  wir  an,  dass 

a>h>c 
so  ist  die  Exoentricilät  unter  22)  nnd  22b)  real,  dagegen  die  unter  22a) 
imaginär ,  mithin  sind  zugleich  die  Flächen  21)  und  21  b)  verlängerte  Spbä- 
roide »  während  die  unter  21  a)  abgeplattet  sind.  Wenn  man  nun  noch  be- 
achtet, dass  die  Brennpunkte  dieser  Sphäroide,  sowohl  die  realen  in  den 
verlängerten  als  die  imaginären  in  den  abgeplatteten,  auch  die  Focalpunkte 
de»  Ellipsoids  13)  sind  *),  so  ergiebt  sich  aus  den  vorstehenden  Gleichungen 
folgender  Satz: 

Werden  auf  einer  Normalen  eines  Ellipseids  nach  bei- 
den Seiten  vom  Fusapunkte  aus  solche  Stücke  abgeschnit- 
ten, dass  diese  mit  der  Hälfte  einer  Achse  des  EUipsoides 
ein  Keehteckt  gleieh  A^m  ans  den  Halbachsen  dea  aar  Nor* 
male  seakreehten  Gentralachnittea,  bilden,  so  liegen  di« 
Endpunkte  der  abgeschnittenen  Stücke  in  awei  confocalen 
Sphäroiden,  derefk  gemeinsame  (reale  oder  imaginäre)  Brenn- 
punkte die  in  jener  Achse  liegenden  (realen  oder  imaginä- 
ren) Focalpunkte  des  EUipsoides  sind  und  deren  Aequator 
die  Summe  der  Differenz  der  andern  Achsen  als  Durchmes- 
ser enthält. 

Durch  Verbindung  der  Gleichungen  19)  und  20)  erhält  man  zunächst 

_        ft  +  c  _        a  +  c  ^        a  +  b    , 

PÄo=— |— .c,     jri>,=  -— -.41,     ^ß^=__-.ft^ 


und  hieraus  folgen  die  Proportionen 


-,        b  —  c    ^         ^        a  —  c  ^        a 


♦)  S.  Crelle'8  Journal.  Bd.  5ö. 


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76  Kleinere  Mittheilungen. 

23)  pR,  :pO,  ^p,R^  :PtQo  =  c  -b, 

23  a)  ^Po:!?Äo  =  5'i^o-3'iÄo  =  ö-^» 

23b)  rßo  :  rP,  =:=  r,Q^  ir,P^::^b  :  ß. 

Wird  also  das  Stück  der  Normale  eines  EHipsoides,  wel- 
ches zwei  Achsenebenen  begrenzen,  nach  dem  Verhältnisse 
der  Achsen,  welche  auf  den  Begrenzangsebenen  senkrecht 
stehen,  harmonisch  getheilt,  so  liegen  die  Theilpunkte  in 
zwei  confocalen  Sphäroide.n,  deren  Aequator  die  Summe 
oder  Differenz  jener  zwei  Achsen  als  Durohmesser  enthält 
und  deren  gemeinsame  (reale  oder  imaginäre)  Brennpunkte 
die  in  der  dritten  Achse  liegenden  Focalpunkte  des  Ellip- 
soides  sind. 

§.4. 
Werden  durch  den  Punkt  m^={xyz)  ausser  dem  ElHpsoide  13)  auch 
noch  die  beiden  Hyperboloide 


^*)         ^+ #+$=•■ 

^^•)                  l+.7  +  $=' 

gelegt ,  80  ist  bekanntlich 

««--ö,»  =  A»— V  =  c»— <;,»=ss<i,»,     a»  — a,»=6»— V=«*- 

*.' 

und  es  stehen  die  Flächen  13)  und  24)  im  Punkte  m{x^z)  auf  eiuander 
senkrecht.  Denkt  man  sich  ferner  die  Flächen  zweiten  Grades,  welche  die 
im  Punkte  m  senkrecht  stehenden  Normalen  der  Flächen  13)  und  24)  aia 
Achsen  enthalten. und  die  Achsenebenen  derselben  fin  Mittelpunkte  0  be- 
rühren, so  sind 

'''^  ?+?  +  §  =  * 

die  Gleichungen  der  letztern  und  zeigen  sogleich,  dass  auch  diese  Flächen 
confocal  sind. 

Die  in  der  Normale  des  Punktes  m  liegenden  Focalpunkte  dieser  Flä- 
chen sind  die  oben  erwähnten  Punkte  p^Px^  g,qi  nnd  r,  Tj ,  denn  es  ist 

^„_^„  _rftrf,_l^(a'-a»')(a'-at') 

mp  =  mp,  =— -= , 

a  a 


„„  _  .„„  __<*.«'._  ?^(6'-V)(fe'-V) 

mq  =  mq^  —  — ,    ^^  , 

^  ^  ugmzedbyLiOOgle 


Kleinere  MittheilungeU.  77 


'  c  c 

Hieraus  erhält  man  folgenden  Satz : 

Wenn  man  eine  Normale  eines  Ellipsoides  und  die  Nor- 
malen der  beiden  durch  ihren  Fusspunkt  gehenden  Hyper- 
boloide, welche  mit  dem  Ellipsoide  confocal  sind,  als  ge- 
meinsame Achsen  von  drei  Flächen  asweiten  Grades  betrach- 
tet, welche  die  Achsenebenen  jener  Flächen  im  Mittelpunkte 
berühren,  so  liegen  die  der  Normale  des  Ellipsoides  ange- 
börigen  Focalpunkte  dieser  Flächen  in  drei  Paaren  von 
confocalen  Sphftroiden,  von  denen  jedes  Paar  die  in  einer 
Achse  des  Ellipsoides  gelegenen  Focalpunkte  als  Brenn- 
punkte und  die  Summe  oder  Differenz  der  «ndern  Achsen 
des  Ellipso'ides  als  Durchmesser  des  Aequators  enthält. 

Die  in  dem  Vorstehenden  entwickelten  Eigenschaften  des  Ellipsoides 
sind  natürlich  nicht  auf  diese  Flächen  beschränkt,  sondern  lassen  sich  in 
ähnlieh'er  Weise  ftir  die  Hyperboloide  und  theilweise  auch  für  die  Parabo- 
loide  herleiten. 


IX.  Eine  Methode,  das  specifliche  Oewicht  fester  Körper  ohne  Ge- 
wichte» nur  mit  Hülfe  eines  gradnixten  Wagbalkens  m  bestimmen.  Die 

bisher  bekannten  Methoden  zur  Bestimmung  des  specifischen  Gewichts 
fester  Körper  erfordern  sämmtlich  die  Anwendung  von  Gewichten  und  sind 
sonach  weniger  bequem  für  den  reisenden  Mineralogen,  welcher  an  Ort 
und  Stelle  das  specifische  Gewicht  einer  Mineralsubstanz  bestimmen  will. 
Letzteres  idtoft  wünsohenswerth  ^  wo  es  sich  tim  die  Unterscheidung  ähn- 
licher Mineralspecies,  2.  B.  der  Feldspatharten  handelt;  für  diesen  Zweck 
ist  die  Methode  vom  russischen  Gardeartilleriecapitän  Gadolin  (Poggend. 
Ann.  Bd.  106,  8. 213)  sehr  geeignet,  indem  dieselbe  nur  einen  Apparat  — 
nicht  grosser  als  ein  langer  Bleistift  —  erfordert. 

Die  Theorie  dieser  Methode  ist  folgende:  An  einen  zweiarmigen  Hebel 
werden  tai  Seidenfäden  die  beiden  Körper  aufgehangen ,  deren  specifische 
Gewichte  s  und  s'  verglichen  werden  sollen.  Der  Hebel  sei  vor  dem  An- 
hängen bei  horizontaler  Lage  im  Gleichgewicht,  hierauf  hängt  nüan  die  bei- 
den Körper  von  den  absoluten  Gewichten  P  und  P'  so  an  den  Wagbalken, 
dass  wieder  Gleichgewicht  stattfindet,  wobei  ihre  Entfernungen  von  der 
durch  die  Schneide  gelegten  Yerticalebene  resp.  p  und  p'  sein  möge.  Dieser 
zweite  Gleichgewichtszustand  wird  durch  die  Gleichung : 

I)  Pp  =  py 

repräsentirt.  Nun  senkt  man  beide  Körper  in  ein  Gefäss  mit  Wasser  und 
verschiebt  den  einen  z.  B.  P  so  lange ,  bis  wieder  Gleichgewicht  statt  hatl^ 

DigiTizea  Dy  x^j  vy  v_/Ti  Iv^ 


78  Kleinere  Mittheilungea. 

Hat  die  Grösse  der  Verschiebung  ö  betragen ,  so  ist  der  Aasdruck  dieses 
neuen  Gleichgewichtes: 

Indem  man  2)  durch  1)  diWdirt,  erhält  man: 

(-^)(-f)  =  (-7> 

Diese  letzte  Gleichung  dient  daau,  um  8  zu  berechnen,  wenn  $'  gegeben  ist 
oder  umgekehrt  und  di«  Bestimmung  des  specifischen  Gewichts  nach  dieser 
Methode  erfordert  nur,  dass  man  mit  einem  oder  einigen  Körpern  P'  ver- 
Mhen  sei,  deren  specifisches  Gewicht  s'  man  bereits  genau  kennt,  so  wie 
dass  man  die  Entfernungen  p  und  i  möglichßt  genau  beobachte«  Um  sich 
wegen  Beurtheilung  des  Gleichgewichtszustandes  von  der  horizontalen  Lage 
des  Balkens  zu  tiberzeugen,  braucht  man  nach  Gadolin  ilur  über  selbi- 
gen hinweg  nach  einem  Fenster  oder  nach  der  Kante  eines  Hauses  zu  vi- 
siren. 

Der  Erfinder  dieser  neuen  Methode  giebt  in  dem  oben  erwähnten  Auf  < 
satz  zugleich  die  Discussion  der  Fehlerquellen  und  findet  durch  eine  den 
Umständen  gemäss  längere  und  deswegen  hier  nicht  mitgetheilteBechnung, 
dass  der  möglich  grösste  Fehler,  welcher  unter  ungünstigen  Umständen  bei 
sonst  guter  Beobachtung  und  guter  Construction  des  Instrumentes,  dem  nach 
dieser  Methode  bestimmten  speeifischen  Gewichte  anhingen  kann,  höch- 
stens 0,02  betragen  kann.  Demnach  reicht  diese  Methode  für  die  Zwecke 
vollkommen  aus,  für  welche  sie  der  Erfinder  bestimmt  hat. 

£.  Kahl. 


X.  Belmholts*  YerBUohe,  die  Toeale  dureh  Kisohnng  eisfkeher  Ttoe 
Bsehzuahmen.  (Aus  Poggendorfs  Annalen,  Bd.  108,  8.  280.)  Es  ist  be- 
kannt, dass  die  Elongation  eines  Punktes  einer  schwingenden  Saite  oder 
die  Verdichtung  und  Geschwindigkeit  an  einer  Stelle  einer  tönenden  Luft- 
säule durch  Rechnung  gefunden  werden  kann ,  und  dass  für  diese  Elonga- 
tion in  d«n  meisten  Fällen  ein  Ausdruck  erhalten*  wird ,  welcher  aus  einer 
unendlichen  Anzahl  von  Gliedern  besteht,  von  denen  jedes  die  Formt 

Asin  {27ifn(+  c) 
besitzt.  Hierbei  hat  m  in  den  verschiedenen  Gliedern  der  unendlichen 
Eethe  die  Werthe  w,  2w,  3n  etc.,  wobei  das  Glied  A sin  {2nnl  +  c)  das 
Anfangsglied  der  Reihe  und  n  unabhängig  von  c  und  J  ist.  Die  Zahl  m 
bedeutet  die  Anzahl  der  einander  völlig  gleichen  Schwingungfperioden, 
welche  vermöge  eines  Gliedes  der  Reihe  in  einer  Secunde  auftreten;  die 
unendliche  Reihe  entspricht  daher  der  Uebereinanderlagerung  von  unend- 
lich vielen  einfachen  Schwingungen,  deren  Schwingungsmengen  »,  2n, 
3«  etc.  sind.  Cooalp 

uigiiizea  oy  V^Jv^\^V  Iv^ 


.  Kleinere  Mitthcilungcn.  79 

In  Betreff  der  Wahrnehmnng  solcher  über  einander  gelagerter 
Schwingungen  gingen  die  Meinnngen  von  Ohm  und  von  See  heck  ans 
einander.  Ersterer  war  der  Ansieht,  dass  man  bei  gehörig  angestr^igter 
Aufmerksamkeit  die  stärksten  der  den  einzerften  Schwingungen  angehörigen 
Eindrtteke  auf  das  Gehör  unterscheiden  und  aus  einer  solchen  Uebereinan- 
derlagerung  durch  das  Gehör  einzelne  Eindrucke  ebenso  ausscheiden  könne, 
als  man  durch  Anwendung  der  Fouri  er 'sehen  Reihen  alle  einzelnen  Glie- 
der mathematisch  darstellen  kann.  Seebeck  war  dieser  Anöicht  heftig 
entgegen ,  indem  er  die  unmittelbare  Empfindung  durch  den  Gehörnerven 
im  Auge  hatte,  die  meist  eine  einfache  zu  sein  scheint,  weil  die  Aufmerk- 
samkeit des  Hörenden  auf  den  Totaleindruck  aller  einzelnen  Schwingungen 
gerichtet  ist,  aus  weichen  der  Klang  und  mithin  die  Natur  der  Tonquelle 
erkannt  werden  kann.  Den  verschiedenen  Ansichten  von  Ohm  und  See- 
beck  entspreehen  die  Definitionen ,  welche  die  genannten  Gelehrten  vom 
Tone  gegeben  haben.  Nach  Ohm  ist  jede  einzelne  Bewegung  von  der 
Form  Asin{2nnl  +  c)  Ursache  eines  Tones,  während  Seebeck  den  Ge- 
sammtetndruck  Ton  nennt,  welcher  durch  Uebereinanderlagerung  der 
Schwingungen  eines  Instrumentes  entsteht,  welche  die  Form  Asin{2nmi'i'e) 
haben ,  wobei  m  die  Werthe  it ,  2  n ,  3  n  etc.  besitzt. 

Helmholtz  bekennt  sich  znr  Ohm'scTien  Definition  des  Tones  und 
ist  von  ihm ,  wie  es  scheint ,  später  eine  vollständige  Widerlegung  der  von 
Seebeck  gemachten  Einwürfe  gegen  Ohm's  Definition  zu  erwarten  (s. 
gen.  Abb.  S.  282).  Ohne  auf  die  bisherige  Polemik  über  die  Definition 
des  Tones  einzugehen,  möge  doch  hier  die  bekannte  für  Ohm  und  Helm- 
holtz sprechende  Thatsache  ins  Gedächtniss  zurückgerufen  werden,  dass 
Helmholtz  bereits  vor  einigen  Jahren  Schwingungen  hervorzubringen 
vermochte,  welche  einem  Tone  im  Sinne  Ohm's  sehr  nahe  kommen.  Das 
Mittel,  welches  Helmholtz  anwendete,  bestand  in  dem  Zusammenwirken 
von  Stimmgabeln  und  Resonanzröhren,  deren  Grundtöne  zusammenfielen, 
während  die  Obertöne  nicht  überein trafen.  Wird  eine  solche  Stimmgabel 
vor  dev  zugehörigen  Resonanzröhre  ins  Tönen  gebracht,  so  verstärken  sich 
die  Grundtöne  beider,  während  die  Obertöne,  welche  nicht  über  eintreffen, 
sich  nicht  verstärken  können  und  daher  neben  dem  starken  Grundtone  nicht 
gehört  werden. 

Die  Herstellung  einfacher  Töne  auf  die  oben  angegebene  Weise  machte 
für  Helmholtz  eine  Untersuchung  Über  das  Zusammenwirken  einfacher 
Töne  möglich ;  bei  einer  früheren  Arbeit  der  Art  entdeckte  er  bekanntlich 
die  Summationstöne ,  während  er  durch  die  vorliegende  Arbeit  schätzbare 
Beiträge  zur  Kenntniss  von  den  Ursachen  des  Klanges  geliefert  hat.  Für 
Das,  was  Seebeck  Ton  nennt,  hat  Helmholtz  den  Namen  Klang  vor- 
geschlagen und  nennt  Grundton  des  Klanges  den  tiefsten  von  denjenigen 
einfachen  Tönen,  durch  deren  Zusammenwirken  der  Klang  entsteht.  Wäh- 
rend nun  der  Klane:  des  S  e  e  b  e  c  k'schen  Tones   durch  die  verschiedene} /> 

°  uigiüzea  Dy  x^j  vyv^'i  Iv^ 


80  Kleinere  Mittheilut^en. 

Wellongestalt  bei  gleieher  Peri<»dicitftt  za  erklSren  igt,  kftnn  dasselbe,  d.  h. 
die  sogenannte  Klangfarbe  des  Helmholtz*Bchen  Klanges,  dorcli  das 
Znsammenwirken  des  Grundtones  mit  Obertönen  Terscliiedener  Stärke  er- 
klärt werden  (das  Wort  Ton'Vird  von  nan  an  hier  immer  im  Oh  mischen 
Sinne  gebraacdt  werden).  Helmholte  stellte  sieb,  was  die  Klangfarbe 
anbetrifft')  noch  die  Frage:  Bernht  die  Unterscheidung  der  musi- 
kaliseken  Klangfarbe  nur  in  der  Empfindung  von  Obertönen 
verschiedener  Stärke  oder  unterscheidet  das  Ohr  auch  die 
Phasen  unterschiede? 

Diese  Frage  beantwortete  Helmholtz,  indem  er  die  Vocale  der 
menschlichen  Stimme^  diQ  als  anhaltende  musikalische  Klänge  und  fast 
ganz  frei  von  unmusikalischem  Geräusch  hervorgebracht  werden  können, 
durch  die  Combination  von  Tönen  nachzuahmen  suchte,  welche  durch 
Stimmgabeln  mit  Anwendung  von  Resonanzröhren  rein  erhalten  wurden. 
Er  bediente  sich  hierzu  einer  Reihe  von  8  Stimmgabeln ,  die  dem  B  in  der 
tiefsten  Octave  der  Männerstimmen  und  dessen  harmonischen  Obertönen 
^)  Ai  ^1)  ^)  ftt  ^h  ^^^  ^t  entsprachen.  Die  regelmässige  schwingende 
Bewegung  wurde  den  Gabeln  durch  einen  galvanischen  Apparat  nach  Art 
des  Neef 'sehen  Hammers  ertheilt,  die  verschiedene  Stärke  der  Töne  durch 
das  stärkere  oder  geringere  Lüften  des  auf  den  Resonanzröhren  befindlichen 
Deckels  bewirkt«  Den  Phasenunterschied  konnte  Helmholtz  willkürlich 
hervorbringen  und  beobachten ,  wozu  er  sich  mehrerer  Methoden  bediente, 
dtsren  Mittheilnng  die  Kürze  des  Raumes  hier  nicht  gestattet.  Das  bisher 
von  Helmholtz  gefundene  Resultat  ist  wesentlich  folgendes:  Die  musi- 
kalische Klangfarbe  hängt  nur  von  der  Anwesenheit  und 
Stärke  der  Obertöne,  die  in  dem  Klange  enthalten  sind^  ab, 
nicht  von  ihren  Phasenunterschieden. 

Was  nun  die  Vocale  der  männlichen  Stimme  anbelangt,  so  fand  Helm- 
holtz unter  Anderem: 

Das  ü  erhält  man  am  deutlichsten  durch  den  Grundton  mit 
ganz  schwacher  Begleitung  des  dritten  Tones. 

Das  0  entsteht  durch  kräftige  Begleitung  des  Grundtones  von 
der  höheren  Octave. 

Das  E  wird  namentlich  durch  den  dritten  Ton  charakterisirt, 
bei  massiger  Stärke  des  zweiten  etc. 

Es  sind  noch  viele  andere  schätzbare  Angaben  in  der  eingangs  erwähn- 
ten Abhandlung  enthalten,  in  Betreff  deren  wir  jedoch  auf  diese  selbst  ver- 
weisen müssen.  £.  Kahl. 


Digitized  by 


Google 


Im 


V. 

Von  den  Fnsspunktlinien. 

Von  Dr.  Franz  Wetzig  in  Leipzig. 

(Dritter  Artikel.) 


10. 

Beziehungen  zwischen  dem  Minimumpol  und  dem 

Krümmungssch werpnnkt  einer  Linie. 

Unter  dem  Krümmungsschwerpunkt  einer  Linie  versteht  Steiner 
ihren  Schwerpunkt  bei  einer  Belastung,  die  umgekehrt  proportional  dem 
Krümmungshalbmesser,  also  direct  proportional  der  Krümmung  vertheilt 
ist.  Um  auch  Curven  betrachten  zu  können ,  bei  denen  das  Vorzeichen  der 
Krümmung  wechselt,  muss  man  diese  Definition  dahin  erweitem:  Krüm« 
mangsschwerpunkt  einer  Linie  ist  ihr  Schwerpunkt,  wenn  jeder  Punkt  der- 
selben mit  einem  Coefficienten  versehen  ist,  dessen  Grösse  dem  jedesmaligen 
Krümmungshalbmesser  proportional  ist  und  dessen  Vorzeichen  mit  dem  des 
Krümmungshalbmessers  übereinstimmt;  oder:  er  ist  der  Mittelpunkt  pa- 
ralleler an  der  Curve  angebrachter  Kräfte,  deren  Intensität  umgekehrt  pro- 
portional dem  Krümmungshalbmesser  und  deren  Richtung  bei  gleichem  oder 
entgegengesetztem  Vorzeichen  desselben  gleich  oder  entgegengesetzt  ist. 

Nennt  man  die  Summe  der  Coefficienten,  die  auf  ein  Bogenstück  kom- 
men, kurzweg  dessen  Gewicht,  so  sei  die  Einheit  des  Gewichts  das  Ge- 
wicht des  Kreisbogens  von  der  Längö  1  und  dem  Halbmesser  1.  Dann  ist 
das  Gewicht  des  Bogenelements  ds^  vom  Krümmungshalbmesser  ^^ 

j 

wird  also  durch  den  Contingenzwinkel  gemessen ,  welcher  nach  §.  7  gleich 
ist  dem  Winkeldifferential  dtp^  der  Fusspunktlinie ,  wenn  der  Coordinaten- 
anfang  der  Pol  ist. 

Die  Basis  wird  zunächst  als  eine  Linie  vorausgesetzt,  die  ihre  Rich- 
tung nicht  sprungweise  ändert.  ^.g,,,^^  ,y  GoOglc 

ZcitRchrift  f.  Mathematik  u.  Physik.  V.  0 


82  Von  den  Fusspunktlinien. 

Seien  nun  or^,  y^  die  rechtwinkligen  Coordinaten  des  Bogenelements 
dSQ ,  g  und  fi  die  des  Krümmungsschwerpunktes  der  Basis ,  entspreche  dem 
Anfangä)(j}njkt%der^asis  ^^  =  y ,  dem  Endpunkt  ^i  =  j ,  so  ist  der  Krüm- 
mungssckw^ä^frfMriLf^stimmt  durch  die  Gleichungen 

9  d 


7  y 

8  8 

fl  j  dtpi=:=  I  yodtpt 

7  7 

d 


7 
d 

7 

Berücksichtigt  man  nun 

x^  =  r^  cos  9)e,      yo  =  ''o  «>*  <Poi 


so  erhält  man 


1   rfr, 
cota~—  -— -, 


O  ff 

|(d  —  y)  =  jr^  cos  q>^  dq>^ —  j  sin  y^  dr, 

y-  y 

8  d 

V  i^-^y)  =  f^i  sin  g),  dy,  —  jcostp^  dr^ 


an 


y  y 

Wendet  man  auf  jcostp^dqt^  und  jsinq>^d(p^  die  partielle  Integration 

y  y 

und  bezeichnet  mit  r^  j  den  zur  Anomalie  i  und  mit  ryy  den  zur  Anomalie  y 
gehörigen  Vector  der  Fusspunktlinie ,  d.  i.  die  beiden  Senkrechten  auf  die 
Berührenden  des  Anfangs-  und  Endpunktes  der  Basis,  so  erhält  man 

f  8 

i  ß  (*  —  y)  =  2  /rj  cos  q>^  dtpi  —  (ri^  5t>i  d  —  ny  sin  y) , 
}V  (*  —  y)=ijr^sin  tp^  dtpi  +  (n^  co»  d  —  r,y  «n  y). 


uigiiizea  oy  ^ 


Von  Dr.  Franz  Wetz  ig.  83 

Durch  diese  Gleichungen  sind  die  Coordinaten  des  Krümmangsschwerpank- 
tes  gegeben ,  wenn  man  die  Gleichung  ihrer  Fusspunk^linie  kennt. 

Ist  die  Basis  eine  nach  einem  Umlauf  der  Berührenden  geschlossene 
Linie,  so  ist  einfacher 

2n 

i*=i  -  J Vi  cos <pi  d(pi, 

'o 

2« 


,  =  Ifr,  sin 


sin  q)x  dq>^ , 

0 

Nimmt  man  den  Krtimmungsschwerpinikt  der  Basis  selbst  als  Pol,  so 
gölten  für  die  Fusspunktlinie  die  Relationen 
d 

2  I  r^  cos  <pi  d<pi  =riß  sin  ö  —  riy  sin  y , 

y 

8 
2  I  r^  sin  q)i  d<pi  =  riy  cos  y  —  rj  ^  cos  ö. 

Y  ^ 

Ist  speciell  die  Basis  eine  nach  einem  Umlauf  der  Berührenden  ge- 
schlossene Linie,  so  gilt  für  die  Fusspunktlinie  aus  dem  Krümmungs-^ 
Schwerpunkt 

2« 

r,  cos  9?i  dq>i  =0 


/'■ 


und 

2n 


J 


rj  sinqf^  d(pi  =  0. 


Hat  die  Basis  einen  Wendepunkt  oder  lassen  sich  Berührende  vom 
Coordinatenanfang  (Pol)  an  sie  legen,  so  gelten  die  §.  8  gemachten  Be- 
merkungen. Es  sind  (lann  die  beiden  Integrale  in  1)  auf  die  dort  angege- 
bene W^Jse  zu  zerlegen,  und  ist  unter  i — y  allgemein  der  Drehungswinkel 
T  der  Berührenden  der  Basis  au  verstehen.  DerDrehungswinkel  der 
Berührenden  ist  also  das  Maass  des  Gewichts.  Ist  derselbe 
gleich  Null,  so  kann  man  natürlich  nicht  vom  Krömmungsschwerpunkt 
reden. 

Es  werde  daher  %  statt  d — y  eingeführt.     Femer  werde   mit  s  die 
Sehne  der  Fusspunktlinie,  welche  Anfangs-  mit  Endpunkt  verbindet,  mit 
a  ihre  Winkel  gegen  die  Nulllinie  bezeichnet,  so  ist 
rj  ^  sin  ö  —  riysiny  =  s  ,  sin  0, 
r\ ^  cos 6  —  ri y  cosy  =  s  ,  cos  a. 

Endlich  sei  nach  der  früheren  Bezeichnung  oigitizedbyGoOQlc 


84  *  Von  den  Fusspunktlinien. 


/ 


r^  cos  <pi  d(p^=^  P, 


/ 


9 

Tj  sin  91  rf<Pi  =  Qt 


80  geht  die  Oleichung  l)  über  in 

l  S  .T  =  2P — s  .sinöy 
^  )  fl .  X  r=  2Q  +  s  .  cos  a. 

Werden  nun  die  hieraus  sich  ergebenden  Werthe  von  P  und  Q  in  die 
Gleichung  5)  des  S.  8  eingesetzt  und  wird  deshalb  die  Senkrechte  auf  die 
Berührende  des  Anfangspunktes  der  Basis  als  Nulllinie  angenommen,  so 
erhält  man  die  Coordinaten  des  Minimumpols,  ausgedrückt  durch  die  des 
Krümmungsschwerpunktes,  durch  die  Gleichungen: 

^ (t  —  sin  X  cos  t)  (I T  +  5  sin  a)  —  sin*x  (ij  t  —  *  cos  a) 


X' 

3) 


(t  +  sinxcosx)  {rix  —  s  cos  a)  —  sin*  x  (Jt  +  ssinc) 


Ebenso  kann. man  den  Minimalinhalt  durch  die  Coordinaten  des  Krüm- 
mungsschwerpunktes ausdrücken ,  indetp  man  die  Werthe  von  P  und  Q  aus 
Gleichung  2)  in  Gleichung  6)  des  S.  8  einsetzt. 

Umgekehrt  erhält  man  die  Coordinaten  des  Krümmungsschwerpunktes 
ausgedrückt  durch  die  des  Minimumpols  durch  die  Gleichungen 

A\  ^  iv  +  s sin  a  =  x  {x  +  sinxcosx)  +  y  sin* r, 

\  riv  —  s  cos  a  =x stn* r  +  y  (t  —  sinx cos t). 

Um  hiemach  die  gegenseitige  Lage  vom  Minimumpol  und  Krümmungs- 
schwerpunkt zu  betrachten,  kann  man  von  ersterem  oder  letzterem  aus- 
gehen. 

I.  Es  werde  der  Minimunipol  als  bekannt  vorausgesetzt  und  daher  als 
Coordinatenanfang  genommen.  Dann  erhält  man  für  o:  =  y  ===  0  aus  Glei- 
chung 4) 

f  T  =  —  ssinCj 


5) 

'iyT=      scosa, 

worin  s  die  Sehne  der  Fusspunktlinie  vom  Minimumpol  aus,  d.  i.  die  Ver* 
bindungslinie  der  Fusspunkte  der  vom  Minimumpol  auf  die  Berührenden 
des  Anfangs-  und  Endpunktes  der  Basis  gefällten  Lothe  bezeichnet,  so- 
wie 0  deren  Neigung  gegen  die  erste  Senkrechte«  Sei  /  die  Entfernung  des 
Krttmmungsschwerpunktes  vom  Minimumpol,  X  deren  Anomalie,  so  folgt 

tanl  =  —  cot  a. 
Es  liegt  also  der  Krümmung  sschwerp  onkt  in  einer  zurSehne  s 
senkrechten   Entfernung    vom   Minimumpol    gleich    der   des 

uigiüzea  Dy  v_j  v>'v^'i  ln^ 


Von  Dr.  Franz  Wetzig.  85 

Schwerpunktes  dee  Kreisbogens,  den  man  über  der  Sebne  $ 
und  mit  dem  Centriwinkel  x  beschreibt,  von  dessen  Mittel- 
punkt. 

Als  specielle  Fälle  sind  erwähnenswerth : 

1)  Liegt  die  Basis  zu  einer  sie  halbirenden  Achse  symmetrisch, 
80  ist  klar,  dass  Mininmmpol  und  Krümmungsschwerpunkt  auf  dieser  Achse 
liegen,  und  zwar  erhält  man  den  letzteren,  wenn  man  die  Entfernung  des 
Schwerpunktes  des  aus  dem  Minimumpol  beschriebenen  Kreisbogens,  wel- 
cher die  Schenkel  des  Winkels  t  berührt^  nach  der  entgegengesetzten 
Kichtung  aufträgt. 

2)  Sei  T  ein  ganzes  Vielfaches  von  tt,  =  mir,  d.  h.  sind  die  Berühren- 
den des  Anfangs-  und  Endpunktes  der  Basis  einander  parallel,  so  ist  auch 
a  =  m  9s  zu  setzen  und  erhält  man 

1  =  0, 

f  bedeutet  hier  die  senkrechte  Entfernung  der  beiden  Berührenden,  und 
kann  man  daher  sagen :  Der  Minimumpol  und  Krümmungsschwerpunkt  einer 
Linie,  deren  Berührende  sich  vnn  mn  dreht  und  um  s  fortschreitet,  liegen 
in  einer  zu  s  senkrechten  Entfernung  von  einander  gleich  dem  Durchmesser 

eines  Kreises  vom  Umfang  —  . 

^   m 

3)  Dem  vorigen  Satz  kann  man  einen  andern  Ausdru<!k  geben  im  Fall 
die  Basis  eine  gegen  einen  Punkt,  ihren  Mittelpunkt,  symmetrisch  liegende 
Curve  idt,  wo-  dann  die  Berührenden  an  den  beiden  Endpunkten  jedes 
Durchmessers  einander  parallel  sind.  Nimmt  man  daher  eine  von  einem 
Durchmesser  abgetheilte  Hälfte  der  Linie  als  Basis ,  so  ist  für  dieselbe  s 
gleich  dem  parallelen  Durchmesser  der  Fusspunktlinie  der  gegebenen  Curve 
aus  dem  Mittelpunkte.  Dreht  sich  der  Durchmesser,  so  ändern  Krümmungs- 
schwerpunkt und  Minimumpol  der  von  ihm  begrenzten  halben  Linie  ihre 
gegenseitige  Lage  so ,  dass  sie  sich  immer  in  einer  zu  s  senkrechten  Ent- 
fernung —  von  einander  befinden.   Dies  kann  man  so  ausdrücken : 

n 

Dreht  sich  der  Durchmesser  einer  gegen  einen  Punkt  symmetrischen 
Linie ,  so  bewegt  sich  der  Minimumpol  der  vom  Durchmesser  abgeschnitte»- 
nen  Hälfte  gegen  deren  Krümmungsschwerpunkt  auf  einer  der  Fusspunkt- 
linie der  gegebenen  Curve  aus  dem  Mittelpunkt  ähnlichen  und  gegen  sie 
um  90^  gewendeten  Curve. 

Da  auch  bei  der  logarithmischen  Spirale  die  Berührenden  an 
den  Endpunkten  jeder  durch  den  Mittelpunkt  gehenden  Sehne  einander 
parallel  sind  und  die  Fusspunktlinie  aus  dem  Mittelpunkt  eine  gleiche  lo- 
garithmische Spirale  ist,  so  bewegt  sich  bei  Drehung  einer  Sehne  um 
den  Mittelpunkt  der  Minimumpol  des  von  der  Sehne  bep^isj^eiLjBog/^IC 


86  Von  den  Fusspunktlinien. 

gegen  dessen  Krümmungsscbwerpunkt  auf  einer  gleichen  Ipgarithmiscben 
Spirale. 

4)  Es  wird  /  =  0  dann  und  nnr  dann ,  wenn  s  =  0  ist.  Dies  kann  in 
zwei  Fällen  eintreten: 

a)  Wenn  Anfangs-  und  Endpunkt  der  Linie  eine  gemeinsame  Berüh- 
rende haben.  Hierin  liegt  der  Satz:  Krümmungsscbwerpunkt  und 
Minimumpol  geschlossener  Linien  (die  keine  Ecken  haben)  fallen 
in  einen  Punkt  zusammen. 

b)  Wenn  der  Coordinatenanfang ,  d.  i.  der  Minimumpol,  in  den  Durch- 
schnittspunkt  der  Berührenden  des  Anfangs-  und  Endpunktes  der  Basis 
fällt.  Da  aber  nach  §.  8,  5)  in  Bezug  auf  den  Minimumpol  als  Coordinaten- 
anfang  die  Integrale  P  und  Q  verschwinden,  so  ist  dazu  nöthig,  dass  in 
Bezug  auf  den  Durchschnittspunkt  der  beiden  Berührenden  als  Coordina- 
tenanfang  P^^ 0  und  Q  =  0  werde;  und  umgekehrt,  setzt  man  P=  Q  =  0, 
so  ist  sowohl  a:  =  y  =  0,  als  auch ,  für  5  =  0,  Jrz=7y=.o. 

Krümmungsschwerpunkt  und  Minimumpol  einer  nicht 
gechlossenen  Linie  fallen  dann  und  nur  dann  zusammen,  und* 
zwar  in  dem  Durchschnittspunkte  der  Berührenden  des  An- 
fangs- und  Endpunktes,  wenn  in  Bezug  auf  denselben  als 
Coordinatenanfang  und  Pol  die  Integrale  P  und  Q  ver- 
schwinden. 

II.  Es  werde  der  Krümmungsscbwerpunkt  als  bekannt  vorausgesetzt 
und  daher  aLs  Coordinatenanfang  und  Pol  genommen.  Dann  erhält  man, 
indem  man  in  Gleichung  3)  J  =  ly  ==  0  setzt, 

/      t  sin  a  +  sinz  sin  (r  —  a) 

j      T  COS  a  +  sin  r  cos  (r  —  a) 

[  T*  —  sur  X 

Hier  bedeutet  s  die  Verbindungslinie  der  Fusspunkte  der  von  dem 
Krümmungsscbwerpunkt  auf  die  Berührenden  des  Anfangs-  und  Endpunktes 
gefällten  Lothe  und  9  deren  Neigung  gegen  die  auf  der  ersten  Berührenden 
senkrechten  Nulllinie. 

Sei  /  die  Entfernung  des  Minimumpols  vom  Krümmungsschwerpunkte, 
l  ihre  Neigung  gegen  die  Nulllinie,  so  folgt 

Ig .  1^  +  %z  sin  X  cos  (2tf  —  t)  +  wt'  x 
'-^                  (t» -«•«',)•  • 

^     ,              x  +  sinxcosx  +  sin^x  ,tano 
tan  k  = r — , 
sirr  X  +  [x  —  sin  x  6os  x)  iana 

wo  /  mit  dem  vorigen  /  identisch,  X  von  dem  vorigen  A  um  tt  verschieden 
ist.  Es  lassen  sich  daher  leicht  Beziehungen  zwischen  den  Grössen  «,  0  im 
einen  und  andern  Falle  aufstellen.  Bemerkenswerth  ist  noch,  dass  die 
zweite  Gleichung  in  Beziehung  auf  tank  und  tanc  symmetrisch  ist,  was 
man  leicht  geometrisch  deuten  kann,  wenn  man  sich  x  als  bestimmt  durch 

uigiüzea  Dy  x^j  vyvypi  LV- 


Von  Dr.  Fkakz  Wetzig.  87 

a  and  i  denkt     Aus  diesen  Gleichungen  kann  man  ebenfalls  die  vorhin 
unter  2),  3)  und  4)  erwähnten  Sätze  folgern. 

Bedncirt   man   die  Gleichung  6)  auf  s  sin  a  und   s  cos  a   oder  kürzer, 
setzt  man  in  Gleichung  4)  |  =  17  =  0 ,  so  erhält  man 

5  sin  a  =tt  (t  +  sinx  cos  x)  +  y  sir^x^ 
—  scosc  =  x  sin*  T  +  y  (r  —  sin  x  cos  t). 
Diese  Gleichungen  quadrirt  und  addirt  giebt: 

*«  =  X*  (t*  +  sin* X  +  2v sinx  cos  x)  +  y«  (r*  +  sin* x  —  2x  sin  x  cos  x) 

+  4xy  sin*x, 
welche  Gleichung  die  einer  Ellipse  ist  von  den  Halbachsen 

6  =  .       * 


t  +  5i>it'  t  —  sinx^ 

deren  Achse  a  mit^der  Nulllinie  den  Winkel  —    einschliesst ,  also   auf  der 

2      .  ' 

Halbirnngslinie  von  x  senkrecht  steht. 

Durch  partielle  Differentiation  des  Werthes  von  /•  in  Gleichung  7) 

nach  c  ergiebt  sich  aber,  dass  bei  veränderlichem  a  die  Maximal-  und  Mi- 

nimalwerthe  von  /  sind 


/= : —     für    a  =  mnA 

X  —  sm  1                                  2 

und  ist  dann 

also 
ferner 

tan  A  =  —  cot  —. 

^-.+l•n.^^^-('^+^)-+^ 

und  ist  dann 

tan  X  =  tan  ~  . 
2 

also 

l#a. 

Dies  kann  man  so  in  Worten  aussprechen : 

Der  Minimumpol  Hegt  auf  einer  Ellipse,  deren  Mittelpunkt  derKrüm- 

g 
mungsschwerpunkt  ist ,  deren  Halbachse  a  =  . —  auf  der  Halbirungs- 

o 

linie  von  t  senkrecht  steht,  deren  Halbachse  6= : —  ihr  parallel  ist, 

X  —  stnx         ^ 

deren  Achsenkreuz  daher  parallel  ist  dem  der  Ellipsen  für  constanten  Flä- 
cheninhalt Diese  Achsen  sind  zugleich  Maximal  •  und  Minimalwerth  der 
Entfernung  des  Pols  vom  Krümmungsschwerpunkt  bei  unveränderlichem  a; 
und  hat  a  den  Werth,  welchem  ein  Maximum  oder  Minimum  von  /  entspricht, 
so  liegt  der  Minimumpol  auf  einem  der  beiden  Endpunkte  der  beiden  Ach-r 

uigiüzea  oy  x_j  v-^ \_/p^  IV^ 


88  Von  den  Fusspunktlmien. 


Ben,  nämlich  für  a  =  mn  +  -^  auf  dem  einen  Endpunkt  der  Achse  6,  für 

ff  =  —  +  (m  +  i)  «  auf  dem  von  a. 

Von  diesen  beiden  Fällen  tritt  der  zweiie  ein,  wenn  die  Basis  zu  einer 
sie  halbirenden  Achse  symii^ietrisch  liegt    Dann  ist  nämlich  a= 

zu  setzen  und  erhält  man 

t  .     X 

s  .cos  —  $  .  stn  — 

2  2 

HC    r  -  •!    '  -     -    -  - 

T  +  ««  t '  X  —  sinx^ 

s 


X  +  sin  X ' 

X  * 

ianX^=ian  — . 
2 

Ein  einfaches  Beispiel  hierzu  giebt  der  Kreisbogen.  Dessen  Krüm- 
mungsschwerpunkt fällt  offenbar  mit  dem  gewöhnlichen  Schwerpunkt  zu- 
sammen und  liegt  daher  auf  der  Halbirungslinie  desBogens  in  der  Entfernung 

2a  sin  — 
2 
vom  Mittelpunkte,  wenn  a  den  Halbmesser  des  Kreises  bezeichnet. 

Hieraus  ergiebt  sich  leicht  für  s  der  Werth 

X     X  —  sinx 

s  =  2a  stn  —  ' . 

2  2         * 

und  wenn  man  diesen  einsetzt,  erhält  man  als  Entfernung  des  Minimumpols 

vom  Schwerpunkt 

.  .T      X  —  sinx 

'2   x(x  +  sinv) 

Addirt  man  hierzu  die  Entfernung  des  Schwerpunktes  vom  Mittelpunkte, 

T 

2a  Sin  — 
2 
,  so  erhält  man  als  Entfernung  des  Minimumpols  vom  Mittelpunkte 

den  Ausdruck 

X 

4a  sm  — 
2^ 

X  +  sin  X 

2a 
Für  den  Halbkreis  ist  t  =  »  zu  setzen  und  wird  /= — ^  es  liegt 

n 

also  der  Schwerpunkt  in  der  Mitte  zwischen  Mittelpunkt  und  Minimumpol. 
Der  zugehörige  Minimalinhalt  ist 

/.'  «r^       2{i—cosx)'] 

L  2  X  +  sin  X   J 

für  den  Halbkreis  daher 


2  a"^       7c)' 


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Von  Dr.  Franz  Wetzig,  89 


11. 
Beziehungen  zwischen  KrttmmnngsscJiwerpnnkt  und 

Minimnmpol  mehrerer  Linien. 
Unter  dem  Erümmnngsschwerpnnkt  mehrerer  Linien  wird  der  Schwer- 
punkt der  mit  den  ihnen  zukommenden  Gewichten  verBehenen  Krümmangs- 

sehwerpunkte  der  einzelnen  Linien  verstanden.     Seien  x ,  x\  x' » 

y»  y'y  y"'  •  •  die  Coordin&ten  der  letztem,  t,  t,  t\  . .  ihre  Gewichte,  g  und  i| 
die  Coordinaten  des  gemeinsamen  Schwerpunktes,  so  hat  man  demnach 

{  (r  +  T  +  t"  +  ...)=  OTT  +  ojY  +  x'W  +  •  •  •  > 
ri{x  +  t  +x'  +  ...)  =  y'x  +  yx  +  y '»"  +  . . . , 
wofür  abgekürzt  geschrieben  werde 

riZx=:^Ilyx, 
d.  i.  nach  Gleichung  2)  des  vorigen  Paragraphen 

il£x  =  2£0  +  2s  cos  c. 
Sei  5  die  geometrische  Summe  der  Anfangs-  und  Endpunkt  der  Fuss- 
punktlinien  verbindenden  Sehnen  ^ ,  T  ihr  Winkel  gegen  die  Nulllinie,  also 

S .sin  T=:21ssin  a^ 
S  .cosT=  21s  cos  a , 
so  hat  man  statt  obiger  Gleichungen 

i2x  =  22P—SsinT, 

fl£x  =  2£Q  +  ScosT. 

Setzt  man  die  hieraus  sich  ergebenden  Werthe  von  22 P  und  22Q  in  die 

Gleichung  5)  des  S.  0  ein,  so  erhält  man  die  Coordinaten  des  Minimumpols 

ausgedrückt  durch  die  des  Krümmungsschwerpunktes,  nämlich 

/        [2x  -28inxcos(x+2y)]  [i2x+Ssin  T]  -  2sinxsin{t+2y) .  [vi2x-Sco8T] 

M    _ 2sinx8in{t+2Y).[i2h!+SsinT]'-'[2x+2smxco8{x+2Y)] [fi2T—ScosT] 

umgekehrt  werden  die  Coordinaten  des  Krümmungsschwerpunktes  aus- 
gedrückt durch  die  des  Minimumpols  in  den  Gleichungen 

^   {  i2x+SsinT=zx\2x+2sinxcos(x+2y)]-^y2smxsm{x+2f)y 
'  \il2x—Sco8T=ix2$inxsin{x+2y)+y[2x  —  2sinxcos{x  +  2Y)]. 

L  Es  werde  der  Minimumpol  resp.  der  Hauptpol  als  bekannt  voraus- 
gesetzt und  daher  als  Coordinatenanfang  genommen.  Dann  erhält  man  aus 
Gleichung  2)  für  a:  =  y  =  0 

|2:t=— ÄswT, 

fj2x=iS  cos  r, 
woraus  für  die  Entfernung  /  des  Krümmungsschwerpunktes  vom  Minimum- 
pol und  deren  Neigung  k  folgt  uigmzea  oy  v_j  v^w^^lc 


90  Von  den  Fuß8punktlinien, 

Es  liegt  also  der  Krüramungsschwerpnnkt  in  einer  zur  geo- 
metrischen Summe  der  Sehnen  der  Fusspanktlinien  aus  dem 
Mininiumpol  senkrechten  Entfernung  von  diesem  gleich  der 
des  Schwerpunktes  des,  über  dieser  geometrischen  Summe 
als  Sehne  und  mit  der  Summe  der  Dr^hungswinkel  der  Be- 
rührenden als  Centriwinkel  beschriebenen,  Kreisbogens 
von  dessen  Mittelpunkt. 

Ebenso  lassen  sich  die  übrigen  Sätze  des  vorigen  Paragraphen  auf 
diesen.  Fall  übertragen.     Hervorgehoben  werde  nur  noch  der  Fall 

S  =  0,  wo  dann  /'=  0  wird, 
d.  h. 

Der  Krümmungschwerpunkt  und  Minimumpol  belie- 
big vieler  gegebener  Curveu  fallen  zusammen: 

1)  wenn  für  jede  derselben  ihr  Krümmungsschwerpunkt 
und  Minimumpol  zusammenfallen,  die  Carven  also  geschlossene 
oder  solche  sind ,  für  welche  beide  Punkte  in  den  Durchschnittspunkt  der 
Berührenden  des  Anfangs-  und  Endpunktes  fallen ; 

2)  wenn  die  geometrische  Summe  der,  Anfangs-  und  End- 
punkte der  Fusspunktlinien  aus  dem  Minimumpol  verbin- 
denden. Sehnen  verschwinde t>  d.  i.  wenn  diese  Sehnen  durcb 
parallele  Verschiebung  an  einander  gerückt,  ein  geschlos- 
senes Vieleck  bilden. 

IL  Es  werde  der  Krümmungsschwerpnnkt  als  Coordinatenanfang  und 
Pol  genommen  und  hiernach  die  Lage  des  Minimumpols  bestimmt,  so  hat 
man  in  Gleichung  1)  5  =  »?==0  zu  setzen,  wodurch  man  erhält: 

^ sin  T  [£z  —  Zsin  tcos{t  +  2y)]+  cos  TE sin r  sin  (t  +  2 y) 

x—S  2:«T  — Ä«  ' 

cos  T[Ez  +  2sin,T  cos  {v+2y)]  + sinT.  Ssinxsin  (t  +  2  y) . 

« 
wo  nun  S  die  geometrische  Summe  der  dem  Krümmungssohwerpunkt  ent- 
sprechenden Sehnen  und  T  ihre  Neigung  bezeichnet. 

Seien  wieder  l  und  jl  Vector  und  Anamalie  des  Minimumpels  in  Bezug 
auf  den  Krümmungsschwerpunkt,  so  folgt 

^  1?%  +  I^  +  2Ez  {cos2 TEsinx  cos (T-i-2y)  +  sxn2  TEsinrsin (T+2y)] 
^^^  (2:«T-i?)«  ' 

Ex  +  Esinx  cos  (r  +  2y)  +  ton  TEsinx  sin  (t  +2y) 

Esinx  sin  (x  +  2y)  +  tan  T[Ex — Esinx  cos (x  +  2y)] ' 
wo  ebenfalls  tan  k  von  tan  T  dieselbe  Function  ist ,  als  ton  T  von-  ton  jl. 


Setzt  man  in  den  Gleichungen  2)  J  =  iy  =  0,  so  erhält  man 

uigiüzea  oy  v_j  vJ 


ogle 


Von  Dr.  Franz  Wetzig.  91 


SsinTz^x  [Sx+  Esinx  cos{;c^2y)]  +  yEsinx  sin{x  +  2y)\ 
—  S  cosT=r  X  Hsin x  sin (r  +  2y)  +  y  [ä  —  Ssin%  cos (r  +  2 y)] ; 
Qnadxirt  und  addirt  man  diese  Gleiebungen,  so  folgt 

S^r=^^[£''f  +  ^+^2tZsinxcos{x  +  2Y)] 
+  1^  [£«1  +  Ä*  —  2St  £sinx  cos  (t  +  2y)] 
+  4xy2xSsinx8m{r  +  2y)-^ 
Die»  ist  die  Gleichung  einer  Ellipse 

deieu  Halbachse  a  gegen  die  Nulllinie  geneigt  ist  um  einen  Winkel©),  der 
gegeben  ist  durch 

C05 2 00  =^  ~  -S  sin  r  cos (t  +  2y), 

5m  2  o>  =^=  —  Z  sin  x  sin  (t  +  2  yj , 
und  wo  die  Halbachsen  die  Werthe  haben 


b  = 


S 


Ex—R' 

Durch  partielle  Differentiation  des  Werthes  von  /*  nach  T  erhält  man 
aber,  dass  /  seinen  Maximal-  und  Minimalwerth  bei  un,veränderlicheuj  T 
hat  für 

E  sin  X  sin  (r  +  2  y) 


Es%nxcos\x  +  2y) 


nämlich : 


^  coslT'=i--Esxnxcos  (T  +  2y)  =  co52co, 

8in2T=z  ■-  Esinrsin  (T  +  2y)  =  W/i2a), 
R 

und  folgt  hieraus 

tan  T=  tan  co  =  — ^   .        .    ,     .  ^   v       » 
£stnxsin{x+.2y)   % 

und  wenn  man  diesen  Werth  in  den  von  tank  einsetzt,  ^ 

iank  =  —  cot  ©. 

Es  ist  also  in  diesem  Falle  l^b, 

^  cos2T=  —  Esinxcos  (T  +  2y), 

sin  2  T=i=  —  Esinxsin  (r  +  2y), 

woraus  folgt 

R  +  Esinxcos{x  +  2y) 

tan  T=  —  colco  =  — =^-^ r  ,    \  ^  ^      ' 

E stn X  stn{x  +  2y) 

und  Digitized  by  CiOOglC 


92  Von  den  Fusspunktlinien. 

tan  X  SS  tan  .  w ; 
Es  ist  also  in  diesem  Falle  l'^a. 

Es  liegt  also  der  Minimampol  auf  einer  Ellipse,  deren  Mittelpunkt  der 
Krümmungsschwerpankt  ist  und  deren  Achsenkreuz  parallel  ist  dem  der 
Ellipsen  oder  Hyperbeln  für  coni^tanten  FlAcheninbalt.  Ihre  Halbaxen  sind 
der  Maximal-  und  der  Minimalwertb  der  Entfernung  des  Miuimumpols  vom 
KrümmungsBchwerpunkt  bei  veränderlichem  T  und  der  eine  Endpunkt  der 
grösseren  oder  kleineren  ist  Minimumpol,  wenn  T  einen  Werth  hat,  dem  ein 
Maximum  oder  Minimum  von  /  entspricht. 

Besteht  die  Basis  aus  verschiedenen  Linien,  die  berührend  in  einander 
übergehen ,  so  ist  sie  auch  hinsichtlich  ihres  Krümmungsschwerpunktes  als 
eine  einzige  Linie  zu  behandeln  (vergLS.O  am  Schlüsse).  Dasselbe  kann  man  . 
auch  mit  einer  Basis  thun,  die  aus  Curvenstücken  besteht,  welche  unter 
beliebigen  Winkeln  aufeinander  stossen,  indem  man  nämlich  die  Berüh- 
rende ihre  Richtung  an  der  Ecke  nicht  sprungweise ,  sondern  stetig  ändern 
lässt  und  der  Ecke  eine  Belastung  giebt  gleich  dem  Winkel ,  um  den  sich 
die  Berührende  drehen  muss ,  um  von  einer  Cnrve  auf  die  andere  überzu- 
gehen. Denn  sieht  man  die  Ecke  als  einen  unendlich  kleinen  Kreisbogen 
an ,  so  kommt  ihr  eine  Belastung  gleich  dem  Centriwinkel  dieses  Kreisbo- 
gens zu,  welcher  gleich  ist  dem  Drehungswinkel  der  Berührenden  an  der 
Ecke.  Bei  dieser  Betrachtungsweise  gelten  die  Resultate  des  vorigen  Pa- 
ragraphen auch  für  eine  Basis,  welche  JBcken  hat 

Die  Formeln  dieses  Paragraphen  gelten  nicht  für  den  Fall  £t  =  R. 
Will  man  denselben  in  Betrachtung  ziehen,  so  muss  man  von  dem  am  Ende 
von  S.  9  für  diesen  Fall  gegebenen  Formeln  ausgehen. 

12. 

Bestimmung  des  Krümmungsschwerpunktes  einiger  Curven. 

1)  Die  Ellipse.     Ihr  Mittelpunkt  sei  Goordinatenanfang  und  Pol; 

ihre  Halbachsen  seien  a,  welche  zugleich  Nulllinie  sei,  und  6<^a,  und 

werde  mit  e  die  numerische  Excentricität  ' bezeichnet,  so  ist  die 

Oleichung  der  Fusspunktlinie  . 

r,  =  aj/l  —  ^$in*<pi. 
Daher  hat  man  nach  Gleichung  1)  des  $.  10  für  die  Coordinaten  des  Krtim- 
mungsschwerpunktes  die  GleichunglBn 
S 


y 

Führt  man  die  Integration  aus  und  setzt  zur  Abkürzung         OoOCjIp 


Von  Dr.  Fbanz  Wetzio.  93 


so  erhält  man 


J  {d — y)  =  —  [arc  sin  («  sin i)  —  arc  sin  (g  sin y)], 


Für  die  halbe  durch  die  kleine  Achse  begrenzte  Ellipae  erhält  man  hieraus 

12  =  0 

.       2  a 

I  = arc  stn  € , 

n  e 

d.  h.  der  Krümmungsschwerpunkt  liegt  auf  der  grossen  Achse  in  einer  Ent- 
fernung vom  Mittelpunkte  gleich  dem  Durchmesser  eines  Kreises ,  dessen 

2a 
Umfang  gleich  dem  Bogen  —  arc  sine  ist,  der  sich  sehr  einfach  construiren 

7t 

lässt.   Der  Mini  mump  ol  liegt  in  diesem  Falle  nach  S.  10,  2)  in  einer  Ent- 
fernung vom  Mittelpunkt 

2  a  .        .26       2a  iarc sins  ,     / ^i 

arc  stn  B  -< =  —  J ry^  —  «  i 

»  €       *  n         n  ^       t  ' 

2)  Die  Coordinaten   des  Krümmungsschwerpunktes  der   Hyperbel 

erhält  man  aus  denen  der  Ellipse,  wenn  man  statt  des  dortigen  X  setzt, 

i=-;==r,   wo   «=^ > 

/«'  — 1  « 

nämlich 

J  (Ä — y)  =  —  [ar c  «'«  («  sinS)  —  arc  sin  (f  sin y)] 


17(0  — y)=-/öf  l \  z=^]. 

^    .  ^ico«y  +  ^A"co5*y  —  1/ 

Für  den  ganzen  Hjperbelast  ist,  wenn  ß  den  Winkel  der  Asymptote  gegen 

die  Nebenachse  bezeichnet,  zu  setzen 

•y  =  — /3,  i  =  jS, 


wo 


Man  erhält  daher 


17  =  0, 
an  sin  ß 


1= 


2  ^ 

Es  ist  also  der  mit  der  Entfernung  des  Krümmungsschwerpnnktes  vom  Mit- 
telpunkt und  dem  Centriwinkel  ß  beschriebene  Kreisbogen  gleich  dem  mit 
der  Protection  der  Haupthalbachse  auf  äie  Asymptote  beschriebenen  Vier- 
telkreis. Mit  wachsendem  Asymptotenwinkel  (abnehmendem  ß)  nähert  sich^ 

uigiTized  Dy  v_i  vyv^T'i  Iv^ 


94  Von  den  Fiisspunktlinion. 


I  immer  mehr  der  Grenze  — ,  also  dem  Umfange  des  mit  a  beschriebenen 

Viertelkreises*);    mit    abnehmendem  Asymptotenwinkel    nähert  sich   der 
Krümmungsschwerpunkt  immer  mehr  dem  Scheitel  d«r  Hyperbel,   indem 

für  ß=  —,  J=a  wird.     Für  j3=  -~,  m'o  das  Verhältniss  der  Hauptachse 

zur  Nebenachse  =1:^^  ist,  wird 

n  1 

Für  die  gleichseitige  Hyperbel  ist  j5=— ,  sin  j5=  —  zu  setzen, 

und  ist  daher 

d.  h. 

der  Krümmungsschwerpunkt  eines  Astes  der  gleich- 
seitigen Hyperbel  fällt  mit  dessen  Brennpunkt  2U* 
sammen.       « 
Die  Lage  des  Minimnmpols  und  die  Grösse  des  sugehörigen  Inhalts 

bestimmen  sich  für  die  gleichseitige  Hyperbel  sehr  einfach.     Man  nehme 

den  Mittelpunkt  als  Coordinatenanfang,  die  Asymptote  als  Nulllinie,  so  hat 

man  zu  setzen 

t=:-,  5  =  0,  |  =  a,  i?  =  a 

und  erhält  aus  Gleichung  3)  des  $.  10 

n 
~i 

x  —  y  = a; 

2  ^ 
der  Minimumpol  liegt  also  auf  der  Achse  in  einer  Entfernung  vom  Mittel- 
punkt 


Für  den  zugehörigen  Minimalinhalt  erhält  man  nach  Gleichung  6)  des  S-  8, 
indem  man  statt  P  und  Q  die  Coordinaten  des  Krümmungsschwerpunktes 
einführt  und  2/*|==a'  als  Inhalt  der  Lemniscate  einsetzt, 

1 1  mvn»  2 


3)  Der  Kreis  wurde  schon  in  $.  10  betrachtet. 


'i')  Dieses  scheinbar  paradoxe  Resultat  erklärt  sich  einfach  dadurch,  dass  füi*  /?s=0 
die  Hyperbel  nicht  zar  Qeraden  degenerirt,  sondern  ihre  zum  Pimkte  von  der  Abscisse 

X  gehörige  Berührende  die  Aze  immer  in  einer  Entfernung  —  vom  Mittelpunkt 

schneidet. 

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Von  Dr.  Franz  Wetzig.  ,  95 

4)  Für  die  Parabel,  deren  Brennpunkt  Pol  und  Coordinatenanfang 
und  deren  Achse  Nulllinie  ist,  ist  die  Gleichung  der  Fusspunktlinie     / 

a 

*      costpy 

wo  a  die  Entfernung  des  Brennpunktes  vom  Scheitel  bedeutet.     Demnach 

erhJilt  man 

g  (Ä  —  y)  =  2a  (Ä  —  y)  —  fl  (te«5  —  tany), 

V  (^ —  y)  =  2ä  {lg  cosy  —  lg  cosö). 
Rechnet  man  den  Bögest  vom  Scheitel  aus^  setzt  also  y  =s  0,  so  folgt 

2alg€0sd 

"= ö — 

Die  ganase  Parabel  hat  nicht,  wie  der  Hyperbelast,  einen  im  Endlichen  ge- 
legenen Krümmungsschwerpunkt. 

5)  Der  Krümmungsschwerpunkt  der   logarithmischen   Spirale 
wird  am  einfachsten  direct  bestimmt.     Sei  ihre  Gleichung 

wo  er  den  constanten  Winkel  des  Vectors  mit  der  Berührenden  bezeichnet, 
so  ist  in  den  Gleichungen 


l(a-„=/k 

y 

d 

inzu 

setzen 

r 

stnei 

rodu 

rch  man  erhält 

d 

{  (i  — y)  =  a /«V.^^^«  cos  ff  rfy. 

y 

ij(a — y)^=ia  I e^''^'f*sing>dg>', 


y 

Führt  man  die  Integration  aus  und  bezeichnet  mit  ö=y  —  6  den  Centri- 
winkel  des  Bogens  der  logarithmischen  Spirale,  mit  s  die  Anfangs-  und 
Endpunkt  verbindende  Sehne,  mit  /  ihren  Winkel  gegen  die  NuUlinie,  so 
erhalt  man  L^g, izea oy GoOglc 


96  Von  den  Fusspunktlinien.    Von  Dr.  Franz  Wetzig. 


I  .  cz=:s  .8inaco8{t--^a) 

iy .  cf  =  *  .  sinasin  (t — a) ; 
Sei  i  und  ^  Vector  and  Anomalie  des  Krfimmnngsschwerpanktes ,  so  folgt 
hieraus 

s  .sina 

^— "T~' 
ton*^  =to/i  (/ — a). 
Trägt  man  also  vom  Mittelpunkt  aus  an  den  Vector  des  Anfangspunktes 
des  Anfangspunktes  den  Winkel  der  zugehörigen  Berührenden  mit  der 
Sehne  und  auf  dessen  Schenkel  eine  Entfernung  auf  n;leich  der  Sehne  divi- 
dirt  durch  Centriwinkel  und  multiplicirt  mit  dem  co.  stauten  Werth  sina^ 
so  erhalt  man  den  Krümmungsschwerpunkt.  Bemerkenswerth  ist  die  Ana- 
logie mit  dem  Schwerpunkt  des  Kreisbogens,  indem  fär  diesen  der  Winkel 
der  Berührenden  gegen  die  Sehne  gleich  dem  halben  Centriwinkel  und, 
wegen  sina  =  1,  (^  der  Quotient  aus  Winkel  in  Sehne  ist. 


VL 

Beiträge  zur  Theorie  der  Oase. 

Von  Dr.  E.  Jochmann  in  Berlin. 

(S  chluss.) 


IT.  Die  Oase,  welche  nur  wenig  yom  Hariotte'iclien  Oeseti  abweichen. 
Yergleichnng  Aer  Scala  dei  Lnftthennometen  mit  der  abiolnten  Tem- 

peratorscala. 

Fttr  die  ideal  permanenten  Gase  gilt  die  Gleichung 

35)  p.v=ik.i 

in  welcher  ic  eine  Constante  bezeichnet.  Dieselbe  Gleichung  wird  genügen, 
die  Gesetze  der  wirklichen  Gase  darzustellen,  sofern  wir  uns  unter  k  nicht 
mehr  eine  Constante ,  sondern  eine  aus  den  empirischen  Daten  zu  bestim- 
mende Function  der  unabhängig  Variablen  t;,  (  denken,  welche  sich  aber 

dk    dk 
mit  V  und  /  sehr  langsam  ändert,  deren  Differentialquotienten  -^  ,  ~  also 

sehr  kleine  Grössen  sind,  so  dass  ihre  Producte  und  Potenzen  höherer  Ord- 
nungen gegen  k  selbst  vernachlässigt  werden  können.  Durch  successive 
Differentiation  der  Gleichung  35)  in  Beziehung  auf  v  und  i  ergiebt  sich 


uigiüzea  oy  'vj  v^'v^p 


Beiträge  zur  Theorie  der  Gase.    Von  Dr.  E.  Jochmann.       97 


*Ö 


p+i 

''/  =  ' 
dv 

dk 

'dv 

"Vi 

=  A  +  <. 

dk 
dt 

)dv' 

_  t  dk 
~  V  dv 

V 

[dl' 

t  dk 

~  V  dt 

+  f 

mithin 

36) 


und  ans  32)  respectiveaus  28)  die  Wirkangsfunction 

w  i 

38)  ^Jr|_*^.«=.p  +  il*. 

^  dv        V  dt  V  dt 

Geben  wir,  ün^  die  Bedeutung  dieser  Fesmeln  mit  einigen  Worten  zu 
erläutern,  auf  die  Bedeutung  der  Grössen  M  und  N  zurück.  Wenn  die  Tem- 
peratur der  Masseneinheit  des  Gases  bei  dem  constantem  Volum  Vq  um  dt 
wächst,  so  muss  dem  Gase  die  Wärmemenge  N^dt  zugeführt  werden.  IHq 
ist  also  die  specifische  Wärme  der  Masseneinheit  des  Gases  bei  constantem 
Volum  fp«  Man  kann  sich  diese  Wärmemenge  in  zwei  Theile  zerlegt  den- 
ken, deren  einer  den  Zuwachs  der  lebendigen  Kraft  der  Mblekularbeweg- 
iDg  ausdrückt,  während  der  andere  zu  den  mit  der  TemperaturerfaShung 
▼erbnndenen  Aenderungen  des  Molekularzustandes  oder  zur  inneren  Arbeit 
▼erwendet  wird.  Da  man  jedoch  beide  Theile  in  der  Beobachtung  nietnals 
trennen  kann,  so  ist  die  Trennung  auch  in  der  Rechnung  zwecklos.  Anders 
▼erhält  es  sich  mit  der  Grösse  M.  Die  Wärmemenge,  welche  der  Massen- 
einheit des  Gases  bei  constanter  Temperatur  zugeführt  werden  muss ,  um 
das  Volum  v  um  dv  zu  vergrössem,  ist  Mdv^  ihr  Aequivalent  ÄMdv.  Das- 
selbe serfSiHt  aber  in  zwei  Theile.  Der  eine  Theil  p  .dv  drückt  die  bei  der 

Volumzunahme  geleistete  äussere  Arbeit  aius,  der  andere  aber  -^—.dv  ist 

die  gleiohzeitige  Zunahme  der  Wirkungafnnction ,  d.  h.  eine  Arbeitsnxenge, 
welehe  in  Form  von  äusserer  Arbeit  oder  Wärme  wiedergewonnen  werden 
kann,  indem  man«  das  Gas  auf  sein  ursprüngliche»  Volum  zurückbringt,  wö- 
be^ etwas  mehr  Wärme  entwickelt .  wird ,  als  der  geleisteten  Arbeit  ent- 
spricht; wir  werden  auf  diese  Abweichung  von  der  Mayer*8chen  Annahme 
weiter  unten  zurückkommen.  Man  pflegt  nun  diese  Arbeitsmenge  in  der 
Regel  mit  der  zur  Ausdehnung  eines  Gases  erforderlichen  inneren  Ar- 
beit zu  verwechseln,  und  auch  das  May  er 'sehe  Princip  in  der  Form  aus- 
zubrechen, dass  die  innere  Arbeit  bei  der  Ausdehnung  eines  Gases  Null 
sei.  Ich  glaube  aber  und  werde  diese  Ansicht  im  fünften  Artikel  genauer 
motiviren,   dass  eine  solche  Auffassungs weise  im  Allgemei|]y^^g j^gey^^— [^ 

ZeiUchrifl  T.  Malliematik  a.  Physik.  V.  7 


&S  Beiträge  zur  Theorie  der  Oase. 

fertigt  ist,  insofern  dieselbe  riicht  als  eine  nothwendige  Folge  der  Principien 
der  mechanischen  WÄrmetheorie  erscheint,  sondern  nnr  unter  gewissen  spe- 
ciellen  Annahmen  über  die  Moleknlarconstitution  der  Gase  zulässig  und 
erforderlich  ist,  für  deren  Richtigkeit  man  umgekehrt  darin  einen  Beweis 
finden  wollte,  dass  die  zur  Ausdehnung  der  Gase  erforderliche  innere  ^Ar- 
beit Null  oder  sehr  klein  sei.*) 

Wollen  wir,  wie  oben  bei  den  idealen  Gasen,  die  beiden  speeifischen 
Wärmen  bei  constantem  Volum  und  bei  constantera  Druck  in  die  Rechnung 
einführen,  so  ist  zuvörderst  für  die  Masseneinheit  des  Gases  N=c  und  aus 

23)  folgt  mit  Berücksichtigung  der  Werthe  36)  für  -~  und  ^  und  38)  für  M 


V  dv       V   . 

und.  nach  einigen  kleinen  R^ductionea,  mit  Vernachlässigung  der  Quadrate 

dk  dk 

und  Producte  von  r—  und  -;r-,   erhält  man 
dv  dt 

39)  .  A{c,^c)^k  +  2i^~  +  v.^^^\ 

Pik  rik 

40)  p  ,  V  ^  A  {c,  ^  c)  .  t  —  2t^^-f  —  vi  T^ . 
•  ^  ^  dt  dv 

Hätte  man  die  Formeln  nicht  auf  die  Masseneinheit,  sondern  auf  die  Masse 
m  bezogen,  so  erhielte  das  erste  Glied  rechts  noch  den  Factor  m.  Aas  der 
Gleichung  40),  welche  das  Analogen  der  Gleichung  Z)  für  die  idealen  Gase 
bildet,  is|  ersichtlich,  dass  die  Differenz  der  auf  gleiche  Volumina  besoge-^ 
nen  speeifischen  Wärmen  nicht  mehr  genau  constant  für  alle  Gase  sein 
wird,  sondern  dass  eine  von  der  Abweichung  vom  Mariotte-Gay-Lna* 
8  ac^ sehen  Gesetz  abhängige  Correction  erforderlich  ist. 

Wenden  wir  uns  nun  zur  Betrachtung  der  experimentellen  Data,  weldie 
zur  Bestimmung  der  wirklichen  Relation  zwischen  p,  v  und  t  dienen  können. 
Die  Herren  J.  Prescott  Joule  und  William  Thomson  haben  bei  Gele- 
genheit ihi;er  fortgesetzten  Versuche  über  die  Abkühlung,  welefae  Gase  bei 
ihrer  Ausdehpung  erleiden,  indem  sie  durch  enge  Aasströmnugsäffnungen 
oder  poröse  Körper  gepresst  werden,**)  aus  den  voriiegenden  empixiscben 
Daten  eine  empirische  Formel  abgeleitet ,  welche  die  Relation  zwischen  p^ 
V  und  i  für  atmosphärische  Luft  darstellen  soll.  In  dieser  Formel  soll  t  die 
(oben  Art.  2  definirte)  absolute  Temperatur  bezeichnen  und  dieselbe  wird 


*)  Vergl.  C.F.Eiaenlohr,  in  der  Heidelberger  krit.  Zeitschr.  f.  Chemie,  Physik 
und  Mathematik  I.  p.  56,  u.  Pogg.  Ann.  CIV.  p.ö5:i,  und  Clansias:  Pogg.  Ann.  CV. 
p.  255. 

*♦)  J  o  n  1  e  und  T  h  o  m  s  o  n :  On  Mc  thermal  effects  offluids  in  motion.  PkHosophical 
Tramitcthns  ofthe  RoyM  Society  of  London  for  1854  p.  321  fffff^^g^  ^   CjOO^ 


L^ 


Von  Dr,  E.  Jochmanv.  99 

dann  mr  Yergleiehdiiig  der  absoluten  Temperaturscala  mit  der  Scala  des 
Lnfttfaemiometers  benntst»  Die  bypotheUscbd  Form,  wekhe  Joule  und 
Tbom8«D>der  su  beetimmebden  Relation  geben,  ist  folgende: 

'■•=^'+»+(<^+7+7.)7 

WO  V  das  Volum  der  Masseneinbeit  Lu^t  unter  dem  Druek  einer  760  Milli- 
meter hoben  Quecksüberaäule,  A^  B^  C,  /),  ^  aber  fünf  au  bestimmende  Zab- 
lencoefficienten  sind.  Aus  den  Versuchen  von  Regnault  über  die  Com- 
pressibilität  der  Luft,  über  den  thermischen  Ausdebnungscoefficienten  der- 
selben bei  verschiedenen  Drucken  und  aus  den  eigenen  Versucben  der 
Herren  Joule  und  Thomson  bestimmen  sich  die  Constanten  so,  dassman 
erhält 

41)         p.v  =  K\i-{om^n-'^  +  ^)Z\. 

Abgesehen  davon ,  dass  schon  die  Form  dieser  Formel  nicht  geeignet 
ist,  z.  B.  für  irgend  einen  öonstänten  Werth  von  /,  wo  also  der  Ausdruck 

y     .        . 

fbrp  .  p  die  Form  A-^B.—  annimmt,  die  Beobachtungsresultate  von  Reg- 
naul trüber  die  Abweichungen  vom  Mari otte* sehen  Gesetz  auch  nur  mit 
einigermassmi  befriedigender  Annäherung  darssustellen ,  behaupte  ich  je- 
doch, dass  die  Formel  von  Joule  und  Thomson  illusorisch  ist,  und  zwar 
aus  folgenden  Gründen : 

•    Srsteos  glauben  dieselben  in  den  Gleichungen,  welche   zur  Bestim- 
mung der  Constanten  A,  B dienen,   mit  absoluten  Temperaturen  zu  ' 

reobneB.  Bei  Aufstellung  dieser  Gleichungen  iet  aber  die  von  Herrn 
Thomson  selbst  gegebene  Definition  der  absoluten  Temperatur  in  keiner 
Weise  benutst  und  kommt  bei  der  ganzen  Rechnung  gar  nicht  in  Betracht. 
Daraus  folgt  schon,  dass  die  ans  den  Gleichungen  gezogenen  Resultate 
ttothwendig  illusorisch  sein  müssen,  sofern  man  unter  t  die  absolute  Tem- 
peratur versteht.  Insbesondere  gilt  dies  von  der  daraus  abgeleiteten  Ver- 
gleiclittug  der  absoluten  Temperatursoala  mit  der  des  Luftthermometers. 
In  der  Rechnung,  welche  gerade  dazu  dienen  soll,  die  Abweichungen  beider 
Scalen  zu  ermitteln,  werden  die  absoluten  Temperaturen,  welche  den  Tem- 
perataren 4,75*  C.  und  17*  C.  entsprechen ,  gleich  t^  +  4,75  und  r^  + 17  ge- 
setzt.  Die  Bestimmung  der  absoluten  Temperatnr  des  Gefrierpnnkts 
^0  =  263,72  benüit,  wie  aus  der  Rechnung  hervorgeht,  lediglich  auf  der  hy- 
pothetischen Form,  welche  Joule  und  Thomson  der  gesuchten  Function 
p  .  V  gegeben  haben.  Der  obige  Werth  ist  der  reciproke  Werth  des  Coeffi- 
eienten  0,00365343,  welcher  die  Zunahme  des  Drucks  mit  der  Temperatur 
für  1°X]J.  bei  constanter  und  sehr  geringer  Dichtigkeit  ausdrücken  soll. 
Dieser  Coefficient,  welcher  bei  760  Millimeter  Druck  =0,003665  ist,  nimmt 
bekanntlich  nach  R'egnaults  Versuchen  mit  der  Dichtigkeit  ab.  Den 
reciproken  Werth  der  Grenze,  welcher  sich  derselbe  bei  sehr  geringen  Dich-  j 


100  Beiträge  zur  Theorie  der  Gase. 

tigkeiten  annähert,  kann  man  allerdings  ala  einen  Annähernngswerth  der 
absolaten  Temperatar  des  Gefrierpunktes  betraehten.  Bei  abnehmender 
Dichtigkeit  nähert  sich  nämlich  das  Verhalten  der  atmosphärischen  Lnft, 
wie  die  Erfahrung  lehrt,  mehr  nnd  mehr  dem  Mariotte^schen  Gesetz, 
also  dem  Zustand  eines  idealen  Gases  an.  Der  von  Joule  und  Thomson 
angenommene  Wertk  ist  aber  jedenfalls  ungenau,  denn 

Zweitens  benutaen  dieselben  bei   Bestimmung  des  Goefficienten  die 
aus  den  Beobachtungen  von  Regnault  abgeleitete  Formel 

0,0000441 /r      \ 

«  =  0,003665 +  ^^^gj-(--lj. 

aus  welcher  sich  für  t;  t=s  qo  der  oben  angegebene  Grenswerth  von  o  er- 

giebt.     Diese  Formel  schliesst  sich  aber  den  Versuchen  nur  für  Drucke^ 

welche  grösser  als  %ine  Atmosphäre  sind ,   mit  leidlicher  Genauigkeit  an, 

weicht  dagegen  von  denselben  bei  geringeren  Drucken  so  bedeutend  ab, 

V 
dass  z.  B.  schon  für  —  =  0,1444  der  voix. Regnault  beobachtete  Werth 

0  =  0,0036382  also  kleiner  als  der  von  Joule  und  Thomson  angenom- 
mene Grenzwerth  ist.  Wir  werden  unten  auf  eine  wahrscheinlichere 
Bestimmung  des  Grenz werthes  zurückkommen.*) 

Wenn  ich  es  daher  unternommen  habe,  das  Problem  in  einer  andern 
Weise  anzugreifen,  so  leg^  ich  keineswegs  grossen  Werth  auf  die  Genanig^ 
keit  der  gewonnenen  numerischen  Resultate,  denn  je  mehr  man  die  Ergeb* 
nisse  der  verschiedenen  vorliegenden  Beobachtungen  mit  einander  ver- 
'  gleieht,  desto  mehr  wird  man  inne,  dass  zwischen  denselben  durchaus  nicht 
die  wtinschenswerthe  Uebereinstimmung  herrscht.  Man  muss  zu  empiri* 
sehen  Formeln  seine  Zuflucht  nehmen ,  welche  sich  an  die  directen  Be- 
obachtungen nur  sehr  unvollkommen  anschmiegen.  Es  hat  dies  seinen 
Grund  ohne  Zweifel  in  der  delicaten  Natur  der  Beobachtungen  selbst,  in 
der  Kleinheit  der  zu  beobachtenden  Abweichungen,  in  der  unvermeidlichen 
Complication  ^er  Versuche  und  den  dadurch  auch  bei  der  umsichtigsten 
Anordnung  der  Apparate  herbeigeführten  Fehlerquellen.  Doch  ist  die  Auf- 
stellung von  Interpolationsformeln  keineswegs  unnütz ,  da  sie  gerade  dazu 
dienen  können,  auf  dietFehlerqnellen  aufmerksam  zu  machen.  Hauptsache 
lieh  ist  es  aber  mein  Zweck,  den  Wog  anzudeuten,  auf  welchem  man  mit 
Hülfe  der  empirischen  Data  zur  Kenntniss  der  allgemeinen  Relation  zwi- ' 
sehen  Druck,  Volum  und  absoluter  Temperatar  gelangen  kann.' 

Setzen  wir  zuerst,  als  den  einfacheren  Fall,  die  eine  Veränderlichkeit 
t  constant  voraus,  so  handelt  es  sich  darum,  das  Gesetz  der  Abhängigkeit 


•)  Jedenfalls  in  Folge  eines  Schreibfehlers  ist  in  den  Rechnnngen  der  Herren  J. 
und'Th.  der  Werth  des  Coefficienten  0,000H16d ,  welcher  die  Abweichung  der  Lnft 
vom  Mariotte'schcn  Gesetz  ausdrücken  soll,  in  den  Gleichungen  19),  31)  und  37)  zehn- 
mal zu  gross  angegeben.  Bei  der  numerischen  Rechnung  ist  aber,  wie  auch  weiter 
oben  (p.  340),  der  richtige  Werth  benutzt.  r^^^^T^ 

Digitized  by  VjOOv  IC 


Von  Dr.  E.  Jöchmann.  itfl 

von  p  and  v  zu  bestimmen.  Zu  diesem  Zweck  sind  von  Regnanlt*)  nm- 
fangreiche  Beobacbtungsreihen  mit  verschiedenen  Gasen  angestellt  worden, 
von  welchen  wir  zun&chst'diejenigen  in  Betracht  sieben  wollen,  welche  sieh 
auf  atmosphärische  Laft  beziehen.  Die  Versnche  reichen  bis  aaf  etwa  SO 
Atmosphären.  Die  Oompression  geschah  in  den  meisten  Versuchsreihen 
im  Verhältniss  von  1  :  2.    Sind  po,  v^  Druck  und  Volum  vor,  und  />„  Vj  nach 

der  Compression.  so  müsste  der  Quotient  -^  nach  dem  Mariotte^schen  6e- 

Bots  genau  gleich  1  sein.  Derselbe  ist  aber  immer  kleiner  als  1 ,  wenn 
J^i^Po  ^^  Bezeichnen  wir  mit  n  den  Druck  einer  Quecksilbersäule  von 
1000  Millimeter  Höhe,  mit  O  das  Volum  der  Masseneinheit  (eines  Milligram- 
mes)  atmosphäriaeher  Luft  bei  diesem  Druck ,  mit  p  und  v  zwei  beliebige 
zusammengehörige  Werthe  von  Druck  und  Volum,  so  wird  auch  der  Quo- 

pv 
tient  -^>  oder  <  1  sein,  je  nachdem  j»>  oder  <  n  ist.  Die  durch  expe- 
rimentelle Rücksichten  gebotene  Form  der  Beobachtungen  ist  nicht  für  die 
durecte  Entwickelung  einer  Interpolationsformel  geeignet,  da  die  einzelnen 
Beobacfatunggreihen  nicht  auf  den  constantea  Normaldruck  n  bezogene 
Werthe  des  Quotienten  geben ,  sondern  immer  zwei  verschiedene  Drucke, 
welche  nahe  im  Verhältniss  2  ;  1  stehen ,  im  übrigen  aber  willkührlich  ge- 
wählt sind ,  mit  einander  verglichen  werden.  Regnault  hat  daher  zuerst 
durch  ein  graphisches  Interpolationsverfahren  die  Mittelwerthe  des  Quo- 
tienten ^^  bestimmt,  welche  den  genauen  Dmckverhältnissen  1:2:4:8:16 

Meter  entsprechen  und  aus  diesen  Zahlen  durch  Multiplication  die  Werthe 

pv 
YOQ  ^-^  für  4  verschiedene  Werthe  von  p  bestimmt,  nämlich 

beobachtet    '  berechnet 


42) 


für  -  =^y~  =  0,008782 

0,008014 

Ifür  ^  =  4,-^  =  0,006400 

0,006858 

Ifür  ^  =  8, 1^  =  0,008212 

0,003212 

für  -^=16,^  =  0,087780 

0,087780 

(reducirt  auf  die  mittlere  Temperatur  von  4,75^  C). 


El 
diese  Werthe  durch  eine  Formel  von  der  Form 


Da  für  p  =  9K  der  Quotient  -^  genau  =1  werden  muss^^so  kann  man 


•)  RitatUm  des  expitiences  enireprises  pour  diterminer  les  prindpaleM  lots  et  domies 
nmirique*,  qui  entrent  dans  U  calcul  des  macMnes  d  vapeur.    Mim,  de  Vacad,  des  sciences  j 
de  Paris  1847.  T,  XX/;  6«^  nUm, :  Sw  la  compressibiiüi  des  fluides  elafi§i^mof'4,^^^^&^[C 


102  BeitrÄge  zur '  Theorie  der  Gase. 


">  ■       S='-^(v-')  +  *(;-')' 


«)       I1 


darstellen.  Aas  den.  beiden  letzten  Werthen  42)  bestimmt  Regnaalt  den 
WertU  der  Gonstanten  A  und  B^  nämlich 

1^  =  0,00110538,  /o^  ^  =s  0,0435120 —.3 
\  B  =.  0,000019381 ,  log  Bz=z  0,2873751  —  5. 
Nach  dieser  Formel  sind  oben  die  nebenstehenden  Werthe  berechnet*  Es 
ist  nicht  zu  verkennen,  dass  die  Abweichungen  ziemlich  beträchtlich  sind 
und  dies  stellt  sich  noch  mehr  heraus,  wenn  man  die  Mittel  aus  den  wirk- 
lichen Beobachtungsreifaen  mit  dea  aas  der  Formel  45)  berechneten  Wertbea 
vergleicht.  Man  erhält  jedoch  eine  wenig  bessere  Uebereinstimmung,  wenn 
man  die  Constanten  A  und  B  aus  den  4  Werthen  42)  oder  aus  den  Mitteln 
der  Beobachtungsreihen  selbst  nach  der  Methode  der  kleinsten  Quadrat- 
summen bestimmt.  Zwingt  man  ferner,  indem  man  bis  zur  vierten  Potenz  von 

( I  )  geht,  die  gesuchte  Function,  durch  Bestimmung  von  4  Constanten, 

den  vier  Mittelwerthen  42)  au  gentigen,  so  erhält  die  Ourve,  welche  die 
Function  darstellt,  innerhalb  des  Beobaohtungsintervalls  zwei  Inflexions* 
punkte,  was  wenig  wahrscheinlich  ist.  Ich  behalte  daher  die  von  Regnault 
gegebene  und  auch  schon  von  Anderen  benutzte  Formel  bei.  In  dieser 
Form  ist  dieselbe  geeignet,  um  v  aus  p  zu  berechnen.  Wollte  man  umge* 
kehrt  p  aus  v  finden,  so  würde  die  analoge  Form  zweckmässiger  sein 


45) 


i^=.-.(?_.)+.(i-.)'. 


Aus  den  beiden  letzten  Werthen  42)  ergiebt  sich  dann: 
für  -^  =   8,05467 ,  ^  =  0,99821t 

V  Ted)  ' 

für  —  =  16,19794,  -^  =  0,987780 

und  daraus 

^  =  0,0010992,  ^  =  0,00001942.  . 
Auch  über  die  Abhängigkeit  des  Drucks  und  Volums  von  der  Tempe- 
ratur verdanken  wir  4i^  zahlreichsten  Beobachtungen  Herrn  Regnault.*) 
Derselbe  hat  die  Ausdehnungscoefficienten  einer  grossen  Anzahl  von  Gasen 
nach  verschiedenen  Methoden  bestimmt.  Man  kann  nämlich ,  wie  schon 
Rudberg**)  gethan,  zwei  wesentlich  verschiedene  Methoden  anwenden. 
Entweder  bestimmt  man  bei  constantem  Druck  die  durch  eine  gegebene 
Temperaturerhöhung  bewirkte  Volumzunahme,  oder  bei  constantem  Volum 
die  Zunahme  des  Drucks.  Letztere  Methode  lässt  eine  grössere  Schärfe 
der  Bestimmung  zu.  Wenn  das  Gas  bei  allen  Temperaturen  das  Mariotte- 
sehe  Gesetz  genau  befolgte,  so  ist  es  klar,  dass  man  nach  beiden  Methoden 

*)  A.  a.  O.  p.  15  Bcqq. 

'•;  Pogg.  Ann.  XLI.  271  uud  XLIV.  1 19.  ^.g^,,,,  ,y  GoOglc 


Von  Dr.  E.  Jochmann. 


103 


denselben  Cotifficienten  erhalten  nüBste.  In  der  That  erbielt  aber  Regnauh 
aaeb  beiden  Methoden  verschiedene  Werthe.  Bei  atmosphärischer  Lnft 
betrag  nämlich  die  VolumsKanahme  bei  constantem  Druck  zwischen  0  und 
100^  C.  0,3670  des  ursprünglichen  Volums  oder  es  war 


46) 


f Kr  p  =  const.^  E^= 


'=0,3670. 


Dagegen  wurde  in  üebereinstimmung  mit  Magnus*)  die  Zunahme   des 
Drucks  l»ei  constantem  Volum  =  0,3665  gefunden,  oder  es  war 

.Pioo  ~  Po, 


47) 


für  v  =  consty  E  =  - 


Po 


=  0,3065. 


Die  Verscbiedenheit  beider  Coefücienten^  l^äest  »ich  mit  Rücksicht  auf  die 
Abweicbung  der  atmoepbärischeir  Luft  vom  Mariotte^schett  Geeeta  roraus» 
sehen.  Doch  scheint  der  von  Regnauh  gefundene  Unterschied  zu  gross  zu 
sein.     Es  wäre  nämlich  nach  Regnaults  Beobachtungen 

PfM  •  Vq  —  li3ÖÖ5  Po  Vo  und  Po  •  «^100  ==  1,3670  Po^'o 
und  daraus  würde  folgen,  dass  die  Luft  bei  100^  C.  noch  beträchtlich  vom 
Mariotte'schen  Gesetze  abwicher  indem  nämlich  eine  Compression  im  Volum« 

erhältniss  1,3670:1  bei  der  Temperatur  100®  den  Quotienten  ^^^^=0,90964 

Pq.»IOO 

ergeben,  während  andere  Versudie  vonRegnault  es  wahrscheinlich  machen, 
dass  die  Abweichung  vom  Mariotte^schen  Gesetz  bei  100®  beträchtlioh  Uei- 
ner  ist,  als  bei  (f. 

Regnault  hat  ferner  Versuche  angestellt  über  den  Ansdehnongscoeffi« 
cieatea  der  Luft  bei  verschiedenen  Dichtigkeiten,  indem  er  sich  der  beiden 
oben  besseichneten  Methoden  bediente.  Die  Resultate,  welche  nach  der 
Methode  der  constanten  Volumina  gewonnen  und  als  die  siehevsten  za  be- 
trachten sind^  sind  in  folgender  Tabelle  enthalten : 


1 

V 

100  a      1 

p« 

Pioo 

V 

beobachtet 



berechnet 

109,72 

149,31 

0,1444 

0,36482 

0,36482 

174,36 

287,17 

0,2294 

0,36513 

0,36^ 

266,06 

895,07 

0,3601 

0,36542 

0^36542 

374,67 

510,35 

0,4930 

0,36587 

0,36576 

375,23 

510,97 

0,4937 

0,36572 

0,36577 

760,00 

1038,54 

1,0000 

0,36650 

0,36650 

1678,40 

2286,09 

2^2084 

0,36760 

0,36790 

1692,53 

2306,23 

2,2270 

0,36800 

0,36792 

2144,18 

2924,04 

2,8213 

0,36894 

0,36861 

3655,56 

4992,09 

4,8100 

0,37091 

0,37092 

♦)  Pogg.  Ann,  LI.  I. 


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104  Beiträge  zur  Theorie  der  Gase. 


^>.^^^»i»»#S^»^W»^^^S^^^M^^i^W>^* 


Die  erste  Bpalte  entbält  den  beobachteten  Drnck  bei  0^  C,  die  «weite  den 
Druck  bei  100°,  die  dritte  die  Dichtigkeit,  die  vierte  den  an»  den  beiden 

ersten  abgeleiteten  Werth  100  a  =  ^^  —  1,     Für  Drucke ,  welche  grösser 

Po 
sind,  als  eine  Atmosphäre,  werden  die  Beobachtungen  ziemlich  annähernd 
durch  die  von  Thomson  benutzte  Formel 

a„  =  0,003665  +  0,0000116  ( 1  ] 

dargestellt,  in  welcher  V  das  Volum  der  Masseneinheit  Luft  bei  0^  and  760 
Millimeter  Quecksilberdruck  bezeichnet.  Für  Dichtigkeiten  hingegen, 
welche  kleiner  als  1  sind,  ist  man^nlithigt,  eine  andere  Formel  anzuwen- 
den und  poch  ein  quadratisches  Glied  hinsuznnehmen.     Die  Formel    ^ 

49)  a„  =  0,003665  —  0,00000703  (l  —  —  j  —  0,00001474  f  1 j 

gewährt  eine  befriedigende  Uebereinstimmung.  Nach  diesen  beiden  For- 
meln sind  die  Werthe  in  der  flinften  Spalte  obiger  Tabelle  berechnet.*) 
Für  V  =00  giebt  die  Formel  49) 

«00=0,00364323 

—  =  247,48 

OD 

einen  Annähernngswertb  für  die  absolute  Temperatur  des  Gefrierpunkte«, 
der  wenigstens  mehr  Wahrscheinlichkeit  für  sich  hat,  als  der  von  Joule 
und  Thomson  angenommene.**) 

Mit  Hülfe  dieser  Data  lässt  sich  nun,  wie  man  leicht  einsiebt,  gasz  all- 
gemein ^ie  Belation  zwischen  p  und  v  bei  jeder  beliebigen  Tempefatttr  an- 
geben, während  die  Versuche  von  Regnault  sich  direot  nur  airf  die  mittlere 
Temperatur  4,75  C.  beziehen.  Wir  bemerken  dabei  vorher,  dass  im  FeU 
genden  mit  r  immer  die  an  dem  Centesimal-Luftthermometer  mit  constan- 
tem  Volum  gemessene  Temperatur,  im  Gegensatz  zu  der  in  Art.  2  definir- 
ten  absoluten  Temperatur  t  bezeichnet  werden  soll.  Um  die  folgenden 
Entwickelungen  in  einfacherer  Form  zu  erhalten ,  suchen  wit  zuerst  die 
Kelation  zwischen  p  und  v  für  r  =  0  und  legen  anstatt  n  den' Normaldruck 
P  einer  Atmosphäre  (oder  760  Millimeter  Quecksilberdruck)  zu  Grunde.  Das 
diesem  Druck  entsprechende  Volum  der  Masseneinheit  Luft  bei  der  Tem- 
peratur r  bezeichnen  wir  mit  r(r).     Dann  ist  nach  43) 


*)  Rankin e  ^ebt  für  m^  die  empirische  Formel  a» =«  .  —:  1 1  +.*  (— )   J»  wo 

a  und  b  Oonstanten  sind.  Die  nach  dieser  Formel  berechneten  Resnltate  stimmen  mit 
den  beobachteten  etwa  mit  derselben  Genanigkeit,  wie  die  obigen,  aber  die  Form  ist 
für  die  Rechnung  sehr  unbequem.    Siehe  Phil.  Mag.  (4)  II.  p.  529. 

**)  Rank  ine  berechnet  aus  Regnault^s  Beobachtungen  an  rerschiedenen 
Oasen  den  wahrscheinlichsten  Grenzwerth  a^  =:  0,00364166  und  daraus  die  Tempe- 
ratur des  absoluten  Nullpunktes  = — 274,6PC.  Vergl.  Tranaactiom  oftht  Royal  Society 
of  Edinburgh,  1853.  XX.  p.  561  und  PhU.  Mag.  (4.  ser.)  II.  p.  525. 

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uigiiized  by  * 


Von  Dr.  E.  Jochhank.  40!J 

(4.75)'_  ^  _  Q  QQ11Q538  ^  (_  Q  24)  +  0,0000194  (—  0,24)«  =  1,0002664. 
Die  Beobachtttiigeii,  aas  denen  Formel  43)  abgeleitet  ist,  geben  bei  4,75*^ 
für  -  =  8,  -^  =  6,993212 

für  —  =  16,  ^  =  0,987780 

oder  in  unserer  nenen  Bezeichnnngsweise  für 

p 8         p  .V      ^_  0,993212 

P~0^'  P.  F(4,75)  ~  1,0002604 ' 


daraus 


für 


-^tZy  =  10,60108,  a,  ==s  0,008776, 


daraus 


p 16         p.P      0,987780 

P  ~Öi75'  P .  ^(4,75)  ~  1,0002664 ' 

S*^  =:  21,31876,  «p  ==  0,003901 , 

V 

Ist  Po  der  Druck,  welcher  dem  Volum  v  bei  0^  entspricht,  so  ist 

ferner 

^(4,75)=«  ^0. 1,017432. 

pv  V 

Mit  Hülfe  dieser  Werthe  lassen  sich  obige  Data  für  -—  und  für  —  auf  die 

^  py  V 

Temperatur  0^  reduciren ;  man  erhält  nämilch  für  r  =  O' 

^     p^v^       0,993212    1,017432        ,    V^       10,60108 

PVg       1,0002664   1,017934  v         1,017432 

^„     PqV        0,987780    1,017432        ,    V^       21,31876 

für  £JL_  r=z  ~ .  -^ und  -^c=  — • 

/>Fo       1,0002664   1,018534  V        1,017432 

Setzt  man  daher  bei  der  Temperatur  0^ 

„)     .^;=.-.(-r-0+'.(f-0" 

in  welcher  Formel  V  das  Volum  eines  MiUigrames  Luft  bei  (f  und"  unter 
dem  Druck  P  (=  760  Millimeter  Quecksilber) ,  /?«  aber  den  Druck  beaeich- 
net,  welcher  bei  0^  dem  Volum  v  entspricht,  so  erhält  man 

-  2^  { «0  =  0,00090935 

^     •  <fto  =  0,00001154. 

Es  sei  P(x)  der  Druck  der  Masseneinheit  Luft  bei  dem  Normalvolum 
V  und  der  Temperatur  t,  p  (t)  der  Druck  bei  dem  Volum  v  und  der  Tem- 
peratur T,  so  kann  man  für  eine  beliebige  Temperatur  setzen 

P{t).r  \V  )  \V  /igmzedbyCaOOgk 


166  Beiträge  cur  Theorie  der  Gase. 

Für  t?  =  F  wird  n&mlich  p  (i)  =  P(t).*)  Nun  ist  aber  nach  der  Definition 
der  Temperatur  t**): 

;»(T)=p(0).(l  +  a,.T), 
P(x)  =  />(!  +  0,0036650  t) 
mithin 

p  (t)  .  p p  (0)  .  g        1  +  gp  .  T 

/>(r).r*^    />.r  "1 +0,003665  r 
oder,  indem  man  51)  und  53)  vergleicht: 

(1+0,003665t).[i-«,(I_i)  +6,  (f  ~^1 

=  (!+«...). [l-ao(:^-l)  +  6o(i:-l)]. 

Setzt  man  für  o^  seinen  Werth  48)  und  entwickelt  die  Producte  rechts 

und  links  nach  Potenzen  von  ( 1  j  ,   so  steigt  die  Entwickelung  rechts ' 

bis  auf  die  dritte  Potena,  deren  Coefficient  6«  •OjÖOOOUOt  jedoch  in  Folge 
der  beiden  sehr  kleinen  Factoren  gegen  die  Coefficienten  der  andern /Po- 
tenzen verschwindet  und  indem  man  d;e  Coefficienten  gleicher  Potenzen 
auf  beiden  Seiten  gleich  setzt,  da  die  Oleichung  für  jedes  beliebige  v  be- 
stehen soll,  erhält  man 

1 )  identisch  J  +  0,003665  t  =  1  +'0,003665  x 

2)  (a^  —  flo)  (1  +  0,003665  t)  =  —  0,00001 16  t 

3)  {bt  —  bo)  (1  +  0/)03665 1)  =  —  ««  •  0,0000116  t 

oder  endlich,  indem  man  in  53)  P  anstatt  P(t)  einführt  und  a^  und  6,  mit 
Rücksicht  auf  52)  berechnet ,  erhält  man  die  allgemeine  Belation  zwischen 
p,  V  und  t 

54)    1^  =  -^  0,00090935  T- —  1  j  +  0,00001154  T- —  1  j 

+  |o,003665  +  0,00000827  ( 1  j  +  0,000000032  U^  _  i  j  |  .  r . 

Natürlich  gilt  dieselbe  nur  innerhalb  der  Grenzen  der  Beobachtungen ,  aus 
welchen  sie  hergeleitet  ist  Das  quadratis<ihe  Qlied  in  der  mit  r  multipli- 
cirten  Klammer  ist  nur  bei  Temperaturen  nahe  an  100^  von  Einfluss.  Für 
V  qss  100  wird  nach  dieser  Formel 

^  =1,3665  -  0,000082  ( 1  j+  0,00001474  ( 1  j 

Für  diese  Temperatur  liegen  die  Abweichungen  vom  Mariotte^schen  Gesetz 
bei  nicht  zu  starken  Compressionen  innerhalb  der  Grenzen  der*Beobacht- 


*)  Auf  dieselbe  Form  redacirt  sich  die  von  Rankine  Phil  Mag.  (4)  II.  p.527  ge- 
ge1>ene  Formel,  in  welcher  a  und  ß  ebenfalls  Functionen  der  Temperatur  sind. 

'^*)  Nach  den  Versuchen  yonltegnault  weichen  zwei  Iiuftthermometer,  aiit 
Luft  von  verschiedenen  Dichtigkeiten  gefüllt,  in  ihrem  Gange  zwischen  0  und  100^ 
nicht  merklich  von  einander  ab,  wenn  die  fixen  Punkte  in  Uebereinstimmung  gebracht 
werden,  oder  a»  ändert  sich  innerhalb  dieser  Grenzen  nicht  mei;||jL^.^y  ^^x^x^^l^^ 


Vou  Dr.  E.  Jochmann. 


107 


nngsfehler.  Die  Formel  giebt  daher  aneh  für  die  beiden  mittleren  Ans? 
dehnniigscoeffieieiitett  swisehen  0  und  100^,  E  und  JS  den  gemeinschaftlichen 
Werth  0,30tö,*)  dagegen  sind  die  beiden  wahren  Ausdehnungscoefficienten 
s  und  e  bei  (P  yerBchieden.     Es  ist  nämlich 

—  ^»^für/=F,e  =  i.^furp  =  P 


P  dt 

wo  der  Quotient  -r-  aus  der  Bedingung 
dt 


r  dt 


O  X 


zu  bestimmen  ist,  oder 


dp 
e=--.-fürp=P. 

dv 

Man  erhält 

•    £  =  0,0036650,  e  =  0036683. 
Die  Formel  54)  kann  daan  dienen,  die  Scalen  der  Luftthermometer  mit  con- 
Btantera  Druck  und  mit  constantem  Volum  zu  vergleichen,  wie  in  folgender 
Tabelle  geachehen  ist: 


Luftthi 

mit  coDSt. 
Volum 

T 

)rmometer 

m.  const.  Druck 

Diff. 

DiiF.  nach 

Thomson 

und  Joule  **) 

(fi 

0 

0,0000 

10 

10,0074 

,0074 

26 

^0,0127 

.0127 

.0106 

30 

30,0162 

.0162 

40 

40,0178 

.0178 

.0074 

50 

50,0180 

,0180 

00 

60,0166 

.0166 

.0101 

70 

70,0141 

.0141 

80 

80,0105 

.0105 

.0054 

90 

00,0058 

.0058 

100 

100 

0,0000 

Ich  habe  dieselben  Rechnungen  für  Kohlensäur^ durchgeführt,  weil  einer^ 
seits  die  Abweichungen  von  den  Gesetzen  der  idealen  Gase  bei  derselben 
grösser  und  darum  verhältnissmässig  schärfer  zu  beobachten  sind,   als  bei 


^  Die  Formel  von  Joule  und  Thomson  giebt  den  beträchtlich  von  der  Er- 
fahrung abweichenden  Werth  E  =  £= 0,36534,  /^-^  i 
•*)  Siehe  a.  a.  O.  p.  353.                                                           uigmzed  by  V^OOglC 


108 


Beiträge  aur  Theorie  der  Gase. 


atmOBphlU-wcher  Luft,  was  sich  auch  in  besserer  Uebereinstimmung  der 
Formeln  mit  den  Beobachtungen  ausspricht,  andrerseits  aber  die  spater  au 
benutzenden  Resultate  der  Versuche  von  Joule  und  Thomson  für  Koh* 
lensäure  bei  verschiedenen  Temperaturen  zu  Gebote  stehen^  was  bei  atmo- 
sphärischer Luft  nicht  der  Fall  ist.  Ich  gebe  nur  kurz  die  Resultate.  Reg- 
uault  leitet  aus  seinen  Beobachtungen  über  die  Compressibilität  der  Koh- 
lensäure folgende  Mittelwerthe  her 

beobnehtct    berechnet 

für  -  =  2,  ^  =  0,90147    0,09157, 

für  ^  =  4,  ^  =  0,97423    0,97447, 

I  für  ^  =  8,  ^  =  0,93992    0,93992, 

für  ^  =  16,  ^  =  0,87038    0,87038. 

Aus  den  beiden  letzten  Werthen  bestimmen  sich  die  Constanten  der  Formel 
pv 


42  b) 


43  b)     -i--  «  1  —  0,0086318  J 


1  /^  —  1  j  +  0,000007286  Ct—iJ 

für  die  mittlere  Temperatur  t  =  3;26.     Aus  denselben  Werthen  erhält  man 

45  b)     ^  =  1  —  0,0084637  (7  —  7  +  0,00003077  (  *  —  1 Y 

Die  Beobachtungen  Aber  die  Abhängigkeit  des  Volums  und  des  Druckes 
von  der  Temperatur  ergeben 


46b)  fiir  p  =  />,  E=  ?152_^J!?  —  o,37099 , 

für  »  =  r,  E=^?^i5^-==^  =  0,36856 . 
Po 


47  b) 


Die  beobachteten  Werthe  von  a,  sind  in  folgender  Tabelle  enthalten : 


Po 


100  a 

beobachtet       berechnet 


758,47  1034,54  |    1,0000  0,36856  0,36856 

901,09*  1230,37  1,1879  0,36943  0,36944 

1742,7?  2387,72  2,2976  0,37523  0,37462 

3589,07  4759,03  4,7318  0,38598  0,38598 

Sie  werden  befriedigend  dftrch  die  Formel  dargestellt: 

48  b)  «1,  =  0,0036856  +  0,00004668  ( 1 Y 

Ferner  findet  man  durch  Reduction  auf  0^ 


52  b) 


Uo=0,( 


Jöo  =  0,0065144, 
^,0000331, 


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Von  Dr.  E.  Jochhann.  109 

54  b)     ^  =  1  —  0,0065144  ( 1  j  +  0,0000331  ( 1  j 

+  {o,0036856  +  0,00002267  ( 1  j  —  0,000000182  ( 0  I  '  ^ 

«=.=  0,0036856,  «  =  0,0087098 
E  =  0,36851,     ^=0,36971 
Letsterer  Werth  weicht  von  dem  beobachteten  46  b)  nicht  bedentend  ab. 

Die  Temperatur  t  in  den  Formeln  jK)  and  54  b)  ist  die  am  Lnftthemto» 
meter  mit  constantem  Drack  beobachtete.  Wie  Regnanlt  nacfagewieaen, 
weicht  das  Kohlensäarethermometer  von  dem  Laftthermometer  zwischen  0 
and  100*^  nicht  merklich  ab,  wenn  diese  beiden  Punkte  in  Uebereinstimmang 
gebracht  werden.  Funden  sich  Abweichungen,  die  ausserhalb  der  Orenaen 
der  Beobach tangsfehler  liegen,  so  wftre  fitr  r  in  54b)  die  Angabe  des  Koh* 
lenttüarethermometers  zu  nehmen. 

Um  die  Temperatur  t  mit  der  absoluten  Temperatur  i  zu  vergleichen, 
müssen  wir  nothwendig  auf  die  Definition  der  letzteren  znrdckgehen.  Um 
die  Vergleichung  durchzuführen,  ist  es  aber  ndthig,  dass  wir  vorher  die 
Aenderung  der  Wirknngsfnnction  kennen,  welche  mit  einer  Volumändernng 
des  Gases  bei  constanter  Temperatur  verbunden  ist. 

Beladen  Versuchen  von  Joule  und  Thomson  werden  die  Gase  ans 
einem  Gefftss,  wo  sie  unter  hohem  Druck  stehen,  durch  eine  enge  Oeffnung 
oder  eine  poröse  Scheidewand  in  ein  zweites  gepresst ,  das  mit  der  Atmo-» 
Sphäre  communicirt.  Der  Versuch  ist  so  eingerichtet ,  dass  weder  Wärme 
von  Aussen  aufgenommen,  noch  abgegeben  wird.  Es  findet  sich  nun,  dass 
das  Gas,  sobald  es  in  einiger  Entfernung  vom  der  Ausströmungsöfinung  aus 
dem  tumultuarischen  Bewegungszustand  wieder  zu  einer  ruhigen,  gleich* 
massigen  Bewegung  zurückgekehrt  ist,  oder  bei  Anwendung  poröser  Seheide- 
wände, durch  welche  die  Ausströmung  ruhig  und  mit  constanter  Geschwin- 
digkeit vor  sich  geht,  sogleich,  eine  nur  sehr  wenig  von  der  ursprünglichen 
verschiedene  Temperatur  zeigt.  Die  geringe  Abkühlung  i  ist  der  Druck- 
differenz in  beiden  Gefüssen  proportional.  Um  den  Gastheilen  die  Ge- 
schwindigkeit zu  ertheilen ,  mit  welcher  sie  durch  die  Oeffnung  hindnrch- 
strömen,  ist  jedenfalls  eine  Arbeitsmenge  erforderlich  und  in  der  That  zeigt 
das  Thermometer,  wenn  es  von  dem  stürmischen  Gasstrom  getroffen  wird, 
eine  merklieh  niedrigere  Temperatur.  Sobald  sich  aber  der  ruhige  Be» 
wegungsznstand  wieder  hergestellt  hat,  ist  auch  das  aufgewendete  Arbeits- 
quantnm  wieder  in  Wärme  verwandelt  und  die  Temperatur  ist  wieder  die 
ursprüngliche.  Auf  welche  Weise  diese  Umwandlung  vorgeht,  ob  durch 
Reibung  an  den  Gefässwänden ,  durcli  innere  Reibung  des  Gases  oder  in 
Folge  der  bekannten  eigenthümlichen  Druckverhältnisse ,  welche  bei  der  . 
Ausbreitung  eines  aus  enger  Oeffnung  ausströmenden  Flüssigkeitsstrahls 
stattfinden,  darüber  sind  mehrfache  Discussionen  geführt  worden,  aufweiche 
wir  hier  um  so  weniger  eingehen  wollen ,   als  einerseits  die  Beantwortung 

uigiTizea  Dy  v_j  v^v^^Ti Tv^ 


110  Beiträge  «ur  Theorie  der  Gase. 

der  Frage  wesentlich  von  den  Ansichten  abhängt,  welche  man  sich  von 
der  Constitution  der  Gase  bildet,  und  in  Betreff  deren  an  dieser  Stelle  ab- 
sichtlich keine  specielle  Annahme  gemacht  werden  soll,  andererseits  aber 
unsere  Betrachtungsweise  Resultate  liefert;  welche  nur  vom  Anfangs-  und 
Endzustande  abhängen,  von  der  speeiellen  Natur  der  Zwischenprocesse 
aber  unabhängig  sind. 

Der  Drtiek  im  ersten  Gef^ss  sei  p\  im  zweiten  Gefass  p.  Wir  k^nen 
nit«  denken,  dass  das  Gns  mittels^  eines  Stempels  durch  die  Oeffnmig  ge- 
presst  wird,  der  «ich-  mit  con^tanter  Geschwindigkeit  bewegt  und  ebenso  im 
B weiten  GefKss  einen  Stem'pel  vor  eich  hertreibt.  Ist  v  da«  Volum  der 
Maaseneinheit  des  Gases  unter  dem  Druck  p'  und  bei  der  Temperatur  x 
des  ersten  Gefässes,  &  das  Volum  beim  Druck  p  und  bei  derTemperar 
tur  T  des  aweiten  Grefässes,  so  ist  die  äussere  Arbeit,  welche  geleistet  l^ird, 
während  die  Masseneinheit  des  Gases  durch  die  Oeffnung  strömt,  p9 — pv\ 
Daa^u  käme  nach  die  Arbeitsmenge,  welche  erforderlich  ist,  um  den  Gas- 
theilen im  zweiten  Gefäss  die  constante  grössere  Geschwindigkeit  zu  erthei- 
len,  welche  sie  z.  B.  besitzen,  wenn  beide  Gefäsae  Oylinder  von  gleichem 
Querschnitt  sind.  Diese  Arbeitsmenge  ist  indess  in. den  Versuchen  von 
Joule  und  Thomson  von  verschwindend  kldnem  Einfluss.  iy\G  Differenz 
der  Temperaturen  z — x  ist  die  beobachtete  Abktihlung,  die  wir  mit  d  be- 
zeichnen. Die  Zunahme  der  Wirkungsfunction  der  Masseneinheit  des  Ga- 
ses ist 

Da  nun  von  aussen  dem  Gase  weder  Wärme  zugeführt  noch  entzogen  wor^^ 
den  ist,  so  mass  die  Zunahme  der  Wirkungsfunction  mit  der  geleisteten 
äusseren  Arbeit  die  Summe  Null  geben  oder  es  ist 

55)    ♦  W{v,  t)  —  W(^v\  %)  +pr  — JpV  =0. 

Wegen  der  geringen  Grösse  der  Abkühlung  6  kann  man  setzen 

et 
wo  A'  die  W^rtnecapacität  bei  dem  con stauten  Voluui  v  bezeichnet.  Nach 
den  Versuchen  von  Kegnault  «ind  übrigens  die  Aenderungen  der  Wärme* 
capacität  N  mit  der  Dichtigkeit  jedenfalls  so  klein,  dass  sie  mit  Kücksicht 
auf  die  Unsicherheiten,  mit  welchen  die  Beobachtung  der  Grösse  6  behaftet 
itit,  gar,  nicht  in  Betracht  kommen.  Daraus  erhält  man  die  Zunahme  der 
Wirkungsfunction  bei  der  Ausdehnung  vom  Voluim  v  zum 
Volujn  V  und  constant  bleibender  Temperatur  (oder  die  Grösse, 
welche  in  der  Regel  schlechthin  mit  der  zur  Ausdehnung  erforderlichen  in* 
aeren  Arbeit  verwechselt  wird) 

.  56)  W{v,t)  —  W (v',  r;.=  ^  .  ^ .  d  —  (it?i;  —  pv).  *) 


*)  Herr  Watemton  sucht  in  einer  Notiz  im  P/nfosophical  Mag.  1857  (Ser.  4.) 
XIV.  27U  nachzuweiseu,  dasB  die  Abkühluug  S  uur  das  Aequivalent  der  äusseren  Ar- 
beit pv  — pv    sei,  welche  das  Gas  bei  seiner  Ausdehnung  in  Folge  der  AbweichoJig 


uigiüzea  oy  " 


Von  Dr.  E.  Jochmann*  lU 

Bei  eiBem  idealen  Okse  mtimte  dhs  Zimafatne  der  Wirkuiigsfunetion  ttaeb 
der  Mayer'scben  Ani^ahme  Null  sein  und  dies  wäre  der  Fall,  wenn  ^==0 
wäre,  denn  es  würde  dann  aneh  das  zweite  Glied  der  rechten  Seite  in  Folge 
des  Mariotte 'sehen  Gesetzes  verscliwinden.  Bei  den  wirklichen  Gasen 
aber  sind  beide  Glieder  der  rechten  Seite  von  Null  verschiedene,  wiewohl 
nnr  kleine  Grössen.  Die  Grösse  6  finden  Jonle  und  Thomson  der 
Drnckdifferenz  /?' — p  proportional  und  zwar  für  atmosphärische  Luft  bei 
T  =  17öC.: 

57)  ^  =  0,26^?^, 

wo  P  der  früher  bezeichnete  Normaldruck  ist.  Die  specifiscbe  Wärme  eines 
Milligramms  Luft  bei  constantem  Dinek  können  wir  nach  den  Bestimmun- , 
gen  vott  Regnaült*)  x=  0,2877  .  lO""^  Wärmeeinheiten  annehtfien  und  in- 
dem wk  ^ür  das  Verfaältniss  der  beiden  iBpöciüscben  Wärmen  den  früher 
bezeiekneten  wabrseheinlicbsten  Wertk  1,413  annehmen,  ergiebt  sich  die 
flipeciftaebe  Wärme  bei  constautem  Volum 

M)  .  ^  =  0,1682  .  IQrr», 

Setzen  wir  beispielsweise  r  =  F,  v  =:r  ^  F,  so  wird  6  =  0,26  und  nach  54) 

mit  Rücksicht  auf  die  Verschiedenheit  der  Temperatur 

pv  oV 

■^=1,06230,/^=^  1,06250, 

mitkijr  die  geleistete  äussere  Arbeit 

59)  p»  —  pV=i=:-- 0,00020  PK. 

P  ist  der  Druck  einer  Quecksilbersäule  vou  760  Millimeter  Höhe  unter  dem 
Einfluss  der  Schwere  $f==9810  oder,  das  specifische  Gewicht  des  Queck- 
silbers =  13,607  angenommen , 

60)  />  =  760  .  13,506  .  0810  =  101366  .  10*. 

Das  Gewicht  eines  Liters  lyuft  bei  0^  und  iem  Druck  P  ist  zu  Paris  nach 


Yom  Mario tte^schen  Gesetz  leistet.  Es  scheint  äerrn  Wat ersten  entgangen  eu 
sein,  dass  in  der  Abhandlung  von  Joule  und  Thomson  ausdrücjclich  nachgewieseii 
ist,  daijs  die  Abweichung  vom  Marlotte'sehcn  Gesetz  nicht  hinreicht,  die  Abküh- 
lung zu  arklär«Q.  Die  obige Pormei  56)  ist  von  der  von  Jonle  and  Thoros o n  (PkU^ 
Trans.  1854)  gegebenen  in  der  Form  insofern  •Verschieden,  als  Joule  und  Thomson 
die  specifische  Wftrme  bei  constantem  Druck  einfuhren.  In  Folge  dessen  bleibt  aber 
die  Ableitung  der  Formel  an  dieser  Stelle  mit  einer  erheblichen  Unklarheit  behaftet. 
Die  Differenz  pv  —  p'v'  in  ihrer  Formel  ist  nämlich  gar  nicht  die  wirklich  geleistete 
äussere  Arbeit,  da  beide  Produetepv  undpV  bei  Joule  und  Thomson  auf  dieselbe 
Temperatur  bezogen  werden,  während  in  der  That  die  Temperatur  im  zweiten  Gefäss 
iiiedriger  ist  und  die  durch  die  Abkühlung  8  bewirkte  Contraction  sogar  die  Wirkung 
der  Abweichung  vom  Mariotte'schen  Gesetz  überwiegen  kann,  so  dass  die  wirklich 
geleistete  lUisaere  Arbeit  negativ  ist,  wie  wir  sogleich  an  einem  numerischen  Beispiel 
sehen  werden.  Ein  (negativer)  Theil  der  wirklich  geleisteten  äusseren  Arbeit,  näm- 
Ueh  — Aici  —  c),8,  ist  also  bei  Joule  und  Thomson  mit  in  dem  die  Abkiihlung 
ausdrückenden  Gliede  enthalten.  Die  von  Thomson  an  einem  anderen  Orte  (im 
PAil.  Mag. .  Ser.  4,  IX.  p.  530)  gegebene  Gleichung  17)  irfl  mit  unserer  Gleichung  5ö) 
völlig  identisch. 

♦)  CoMpien  rendwf  de  tacademie  de  »cien^^es  de  Patis.  XXXV l',  p.  676.i 

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llj!  Beiträge  sur  Theorie  der  Gase. 

Regnanlt  (L  I.  p.  157)  =  1203^X87  Milligmmm.    Dmraas  ergiebt  sich  das 
Volnm  eines  MiUigKamn»  Laft     . 

61)  F=:7  772^875  Cabik-Millimeter, 

mitbin 

92)  /»•F=.78343.1ö» 

imd  pv  —  pV  r=. —  157  .  10^  absolute  Arbeitgeinbeiten.    Ferner  ist  nach  4) 
^  =  43d,ö5  KiIograBim-<Meter 
=  4155  .  lO^'absolate  Arbeitseinheiten,    - 
J  iVa  =  1817. 10'\ 
mithin 

W{v,r)  —  W  {vy  r)  =  1Ö74  .  10*  absolate  Arbeitoeinlieken 
=:  0,00002012  Kilegramm^Meter« 
oder  dies  ist  die  Zunahme  der  Wirkungsfunction  bei  Ausdehiuing  eines 
MilHgramfins  Luft  ron  2  auf  1  AtmosphÜre  Druck  bei  17*  C  Wird  umge- 
kehrt ein  Kilogramm  Luft  von  der  Dichtigkeit  der  Atmoqibäre  auf  die 
Hälfte  seines  Volums  comprimirt,  so  werden  über  20  Kilogramm-Meter  an 
Wärme  mehr  gewonnen,  als  das  Aequivalent  der  zur  Compression  erforder- 
lichen Arbeit. 

Leider  fehlen  uns  einigermaassea  zuverlässige  Angaben  Aber  die 
Grösse  ö  für  atmosphärische  Luft  bei  anderen  Temperaturen.  £s  scheint 
nur  aus  den  Versuchen  von  Joule  und  'Thomson  hervorzugehen,  dass 
diese  Grösse  bei  höheren  Temperaturen  geringer  ist,  was  sich  anoh  a  priori 
erwarten  Hess.  Etwas  sicherer  scheinen  die  Angaben  für  Kohlensäure. 
Joule  und  Thomson  finden  nämlich  bei  diesem  Oase: 

beobachtet  berechnet 

bei  T  =  12^,844,  i  =  1,225   ^  ~^ ,     ö  ==  1,215  ^~^ 


P      ' '^*''      P      ' 

bei  r^l0,<l77,   «=il,lö0  ^  ~^,     <!=:  1,164^-^^, 

bei  T= 01,516,   Ä  =  0,7037^^-^,     6  =  0,749^  ~^, 

Rankine  hat  eine  empirische  Formel  aufgestellt,  welche  diese  Beobach- 
tungen darstellt ,  tind  indem  wir  d\&  Form  derselben  mit  einer  kleinen  Ver- 
einfachung beibehalten  und  nur  die  Constanten  der  andern  Einheiten  wegen 
ändern ,  wird 

5Tb)  100650       p;-p 

^  (275 -(-t)«         P 

Die  specifische  Wärme  eines  Milligramms  Kohlensäure  bei  constantem 
Druck  ist  nach  Regnault  =0,2164  .  10-^  Für  das  Verbältniss  der  beiden 

specifischen  Wärmen  —  leitete  Du  long  aus  seinen  Versuchen  die  Zahl  1,39 

her.  Er  fand  nämlich  Sie  Schallgeschwindigkeit  in  Kohlensäure  =  0,787, 
die  Geschwindigkeit  in  atmosphärischer  Luft  =i  gesetzt.    In  neuester  Zeit 

uigiüzea  oy  v_j  v^v^p^  lv- 


Von  Dr.  E.  Jochmann.  113 

hat  Mass  OD*)  die  Scliallgesch  windigkeit  in  einer  grossen  Reibe  von  Ga- 
sen nnd  Dämpfen  bestimmt.  Er  findet  für  Kohlensäure  einen  etwas  klei- 
neren Werth  als  Dalong,  nämlich  0,77126.     Die  Dichtigkeit  der  Kohlen- 

sänre  ist  1,520.  Daraus  ergiebt  sich  —  =  1,413  . 1,529  .  0,77126*  =  1,285,  wel- 
che Zahl  ans  später  zu  erörternden  Gründen  wahrscheinlicher  ist,  als  die 
von  Dnlong  gefundene.     Demnach  wird  für  Kohlensäure  die  specifische 

•              ^       0,2164.  10-ß       , 
Wärme  N  = — — nnd 

1 ,2oD  , 


log  ANd  —  13,84774  —  2  log  (275  +  t)  +  log 


P  —P 


P 

Nehmen  wir  wieder  den  Fall ,  wo  eine  auf  ihr  halbes  Volum  comprimirte 
Kohlensänremasse  sich  bis  zu  ihrem  ursprünglichen  Volum  ausdehnt,  so 
giebt  die  Formel  54  b) 

für  v  =  V,  fp-=  1  +  0,0036856  x 

und  für  »'==  ^F,  ^=  0,dOB5187  +  0,0037081  (x  +  6). 

Für  Kohlensäure  ist 

öl  b)  F  =  505,712  Cnbik-Millimeter , 

62  b)  PF  =  51262  .  10*. 

Ferner  wird 

^  ~^  =  0,987  +  0,00373  r. 

Aus  diesen  Datis  erhält  man  z.  B.  für 

T  =  0°,  ^  W  =  9192  .  10*,    pr  ~  pv  —  825 .  10*,     W{v,  x)  -  W{v\  x)  =  8367  .  10* 

794  8084 

764  '  7821 

723  7597 

682  7331 

035  7190 

506  7032 

628  6857 

472  6710 

410  6582 

343  6468 

Die  Zunahme  der  Wirkungsfunction  wird  also  bei  höheren  Tempera- 
turen geringer.  Im  vorliegenden  Falle  beträgt  sie  bei  0®  in  Kilogramm- 
Metern  ausgedrückt  0,0000853,  bei  100^  0,0000659  und  ist  etwa  4  mal  so  gross 
als  bei  atmosphärischer  Luft. 

Für  unsern  Zweck  der  Vergleichung  der  Temperaturscalen  kommt  es 


10» 

8878 

20» 

8586 

30» 

8320 

40» 

8013 

50» 

7825 

60» 

7598 

70» 

7385 

80» 

7182 

00» 

6092 

00» 

6811 

*)  Arm.  de  chimie.  1858.  ^3.  Ser.)  LTII.  257.  Digitized  by  GOOglC 

Zeitschrirt  f.  Malhematik  u.  Physik.  V.  8 


114  Beiträge  zur  Theorie  der  Gase. 

darauf  an,  den  Differentialquotienten -^    für    einen    beliebig    gewählten 

Werth  von  v  als  Function  von  t  zu  kennen.  Differentiirt  man  zu  dieseon 
Zweck  36)  in  Beziehung  auf  v\  indem  man  v  als  constant  ansieht,  so  er- 
hält man 

?^_        .v^^       ^(P'^1). 
cv 

nach  57)  und  57  b)  ist 


63)  ,^  =  — ^iV— , ^-^, 


ö  =  r,.P 


p    ' 

wo  b  eine  Function  von  t  allein  bezeichnet,  mithin 
64)  ^  =  l.?i. 

^  .       dv     p   dv 

Die  Gleichung  M)  resp.  54  b)  kann  mit  Rücksicht  darauf,  dass  p  den  Dmek 
bei  dem  Volum  v  und  der  Temperatur  r  +  i  bezeichnet ,  unter  der  Form 
geschrieben  werden 

daraus 

Indem  man  letztere  Gleichung  in  Beziehung  auf  v  differentiirt  und  dann, 
als  den  einfachsten  Fall ,  &'  =  F  setzt ,  erhält  man 

F  (17')= -7  [«+ 2*+ 3<'+ ('+2«■^  »«)('+«)] +('+«+«)  i^)^^/ 

Indem  man  diesen  Werth  für  —;  in  64)  einsetzt  und  aus  der  so  erhaltenen 

dv 


Gleichung  (^j  bestimmt,  wird 


\dv/t^^y 


|,[a+2&  +  3c  +  (/+2m  +  3n)(r  +  d)] 


Der  Nenner  dieses  Ausdrucks  ist  so  wenig  von  1  verschieden ,  dass  er  ohne 
merklichen  Einfluss  auf  die  Rechnung  ganz  weggelassen  werden  kann.  Fer- 
ner Erhält  man  aus  65) 

Mit  Rücksicht  auf  diese  Werthe  erhält  man  aus  63)  mit  Vernachlässigung 
einiger  Glieder  von  verschwindend  kleinem  Einflnss  auf  das  Resultat : 

dW 
Ist  nun  ^  als  Function  von  t  bekannt,  so  ist  es  auch  -r—-    Für  atmo- 

uigiüzea  i^tV_j  v^v^'Ti  lv- 


Von  Dr.  E.  Jochmann.  115 


sphärische  Luft  wissen  wir  nur,  dass  für  t  =  17,  ^  =  0,26  ist.    Ferner 
esgiebt  sich  aus  54) 

/  a  =  1,0009209 ,  /  =  0,00365676 , 

I  6  =  —  0,00003243,    m  =  0,00000821 , 

^)  |c  =  0,00001154,  «  =  0,00000003, 

/  AN 

[  ^  =  0,008755, 

mithin 

67)  «-  =  l'.Mi?)=/'«^- 

Fttr  Kohlensäure  folgt  aus  54b) 

/  a  ~  1,0065475 ,      /  =  0,0036628 , 
I  A  =  — 0,0065806,   m  =  0,00002303, 
B)  }c=z  0,0000331 ,     n  =  ~  0,00000018 , 

i  AN 

f  7^  =  0,013650, 

mithin 

-^  (-ä— )  =   (0,0172213  +  0,00006430  t)1  —  0,0065144  +  0,00002267  r. 
Die  Beobachtung  hat  ergeben 

!für  T  =  12,844,  b  =  1,225 ,  mithin  ^  (^)  =  0,015884, 
für  T  ==  19,077,  H  =  1,160  1  ( -^  )  =  0,015118 , 

für  T  =  91,516,-  ^  =  0,7037  j  V^J  ~  ^'^^  ^®^^- 

Nach  diesen  Vorbereitungen  können  wir  zur  Vergleichnng  der  Tempe- 
ratur T  mit  der  absoluten  Temperatur  t  übergehen.  Aus  der  Definition  der 
letzteren  folgt,  dass  für  jeden  umkehrbaren  Kreisprocess,  welchen  man  das 
Gas  durchlaufen  lässt,  die  Gleichung  18)  erfüllt  sein  muss,  dass  daher  auch 
für  jeden  beliebigen  Werth  von  v  und  t  die  Gleichung  28) ,  welche  eine 
Transformation  von  18)  ist,  gelten  muss.  Es  muss  also  mit  Bücksicht 
auf  26) 

dt      ^^  dv 

sein^  oder 

^  P  dr'    ät       P^  P  dv' 

In  dieser  Gleichung  lassen  sich  nun  für  9  =  F  nach  dem  Vorhergehenden 

\t  nämlich,  wenn 

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alle  Grössen  bestimmen ,  mit  Ausnahme  von  ^ .  t-  •     Es  ist  nämlich ,  wenn 

at 

man  p  =  F  setzt: 

8 


116  Beiträge  zur  Theorie  der  Gase. 

für  atmosphärische  Luft  -^  =1  +  0,0036050  t,     p^~  0,0036650 , 

für  Kohlensäure  ^  =  1  +  0,0036856  r ,     1-^  =  0,0036856. 

P  F-ot 

Man  erhält  daher  ftir  atmosphärische  Luft 

69)  bei  t  =  17*»,  '  ^  =  290,58. 

Leider  besitzen  wir  für  atmosphärische  Luft  keine  einigermaassen  sichere 

Data,  um  die  Grösse  l-j-  für  andere  Temperaturen  zu  bestimmen,  und  je- 
dt 

des  Verfahren ,  wodurch  man  aus  der  einen  bei  17®  angestellten  Beobach- 
tungsreihe die  anderen  Werthen  von  t  entsprechenden  absoluten  Teropera- 

dr 
turen  bestimmen  wollte ,  müsste  zu  illusorischen  Besultaten  führen.    Da  -r- 

at 

nahe  =1  ist ,  so  folgt  daraus  nur ,  dass  die  absolute  Temperatur  für  t  =  17 

nicht  bedeutend  von  200,58®  verschieden  ist. 

Für  Kohlensäure  erhält  man:  -m-    i   t^         i -^i^n 

Nach  Formel  76  b) 

für  T  =  12,844,     '-37  =  288,28,  288,31, 

69b)        <    für  T  =  19,077,     /.  -^  =  294,51,  294,47, 

'  at 

dz 
für  z  =  91,516 ,     <  .  T-  =  306,05 ,  366,05 , 

ai 

Diese  Werthe  werden  am  besten  dargestellt  durch  die  Formel 

70b)  ^==a  +  6^T  +  cf«, 

in  welcher 

a  =  275,10 
h=     0,9982 
c=     0,000018 
zu  setzen  ist.    Dieselbe  genügt  zugleich  der  Bedingung  fjoo  —  '0  =  ^^-   ^^ 
wird  nämlich 

fo  =  275^10, 
/,oo  =  375,10. 
Nach  dieser  Formel  sind  die  nebenstehenden  Zahlen  berechnet.  Ich  halte 
daher  die  Formel  70  b)  für  den  wahrscheinlichsten  Ausdruck  der  absoluten 
Temperatur  als  Function  der  Temperatur  des  Luftthermometers  mit  con- 
stantem  Volum ,  der  sich  nach  den  bisher  vorliegenden  Beobachtungen  an- 
geben lässt.  Die  Temperatur  t  ist  am  Kohlensäurethermometer  gemessen ; 
über  die  Anwendbarkeit  der  Formel  auf  die  Temperatur  des  atmosphäri- 
schen Luftthermometers  gilt  die  früher  gemachte  Bemerkung. 

Nach  der  Formel  70  b)  ist  folgende  Tabelle  zur  Vergleichung  von  i  und  r 
berechnet:  ' 

uigiTizea  Dy  v_j  vy 


ogle 


Von  Dr.  E.  Jochhann. 


117 


r. 

/  —  275.10. 

Abweichung 

Abweichung 

T—(^— 275,10). 

nach  Thomson. 

(fi 

0 

0,000 

0,000 

10 

9,984 

0,016 

20 

19,971 

0,029 

0,0298 

.30 

29,962 

0,038 

40 

39,957 

0,043 

0,0403 

50 

49,955 

0,045 

60 

59^957 

0,043 

0,0366 

70 

69,962 

0,038 

80 

.  79,971 

0,029 

0,0233 

90 

89,984 

0,016 

100 

100 

0,000 

0,0000 

Das  Kesultat  der  VergleicfauDg  stimmt  übrigens,  wie  man  sieht,  mit 
dem  Ton  Thomson  und  Joule  nahe  tiberein.  Dass  die  Abweichung  ge- 
rade bei  50^  am  grössten  und  für  Temperaturen,  die  um  gleichviel  von  50^ 
verschieden  sind ,  gleich  gross  erscheint ,  liegt  in  der  Form  der  Gleichung 
70b).  Es  wird  mit  Rücksicht  auf  die  geringe  Grösse  der  ganzen  Abweichung 
anch  wirklich  nahezu  der  Fall  sein.  Leider  erlauben  die  vorliegenden  Be- 
obachtungen eine  genauere  Bestimmung  nicht ,  da  es  an  einer  Beobachtung 
feblt,  welche,  nahe  in  der  Mitte  des  Intervalles  zwischen  0^  und  100*^  läge. 
Man  könnte  die  Werthe  von  )  für  zwischenliegende  Temperaturen  nach  der 
Interpolationsformel  57  b)  berechnen.  Da  sich  diese  aber  nur  unvollkommen 
an  die  Beobachtung  anschliesst,  so  dürfte  dadurch  schwerlich  grössere  Ge- 
nauigkeit erreicht  werden  und  wir  begnügen  uns  mit  dem  Resultat,  dass  die 
absolute  Temperatnrscala  innerhalb  des  Intervalles  von  0^  bis  100^  höchstens 
um  j^  von  der  des  Luftthermometers  abweicht. 

Man  kann  umgekehrt  t  durch  i  ausdrücken ,  indem  man  setast 

7!b)  t^a{t—t;)  +  b{t~t,)\ 

Man  erhält  dann 

ig  =  275,10 ,     a  =  1,0018 ,     6  =  —  0,000018. 
Setzt  man  den  Ausdruck  71b)  anstatt  t  in  54b)  ein,  so  erhält  man  schliess- 
lich die  Relation  zwischen  p,  v  und  t 

Die  bisherigen  Betrachtungen  sollen  uns  noch  dazu  dienen,  auf  die 
Bestimipung  des  mechanischen  Wärmeäquivalents  aus  der  Dififerenz  der 
specifischen  Wärmen  {?, — c  zurückzukommen. 

Setzt  man  nämlich  in  54b)  für  p .  v  seinen  Werth  35),  so  erhält  miw 
eine  Gleichung,  welche  k  als  Function  von  v  und  /  giebt,  da  z  als  Function 
von  t  bekannt  ist.  Wählen  wir  anstatt  54)  die  für  die  Rechnung  bequemere 
Form  65) ,  sq  erhalten  wir  die  Gleichung 


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118  •  Beiträge  zur  Theorie  der  Gase. 


72)     per  =  «  +  *-7  +  *^-;T  +  (^  +  "'-7  +  ''-v)*' 

in  welcher  für  a^b,  c^l^m  bei  Luft  die  Werthe  A)^  bei  Kohlensäure  die 
Werthe  B)  zu  setzen  sind.  Wenn  wir  diese  Gleichung  in  Beziehung  auf  v 
difPerentiiren  und  dann  v  =^V  setzen ,  so  folgt ,  mit  Umkehrung  der  Vor- 
zeichen : 

'^^         -i{^)~/  +  ''^  +  ^'^+'''^-'- 

Nach  38)  ist 

Diese  Werthe  können  dazu  dienen,  die  unbekannten  Grössen  in  der  Glei- 
chung 40)  zu  bestimmen.    Diese  giebt  nämlich  durch  PV  dividirt : 
pv  _^{Ci—c).i  t*      aA v.t     dk^ 

pv~       PV       ~  Pv' dT~v7p'  dv' 

oder  für  »  =  r  mit  Rücksicht  auf  73)  und  74) 

Für  atmosphärische  Luft  ist  ^  =r  l -|- 0,0036650  .  v  und  mit  Eücksicht 

auf  die  Werthe  62) ,  A)  und  67)  erhält  man 

für  T  =  17,  ^  .  (c,  —  c)  .  /  =  1,068393  PV=  83701  .  10« 
.4  .  (c,  —  6-)  =  280550  .  10". 
Die  specifiscbe  Wärme  0|  auf  das  Milligramm  als  Masseneinh^it  bezogen 

ist  nach  Regnault  0,2377  .  la-^  ~  =  1,413,  mithin  c  =  0,1682  .  10*-«  und 

Cj  —  c  =^  0,0695  .  10-®.    Daraus  erhält  man 

^  =  4123.10^'  absolute  Arbeitseinheiten , 
=  420,29  Kilogramm-Meter. 

£ine  genauere  Uebereinstimmung  mit  den  von  Joule  bei  seinen  Versuchen 

über  die  Reibung  von  Quecksilber  und  Gusseisen  gefundenen  Werth  423,55 

ist  kaum  zu  verlangen. 

Bei  Kohlensäure  wird  für  t  =  12,844,  t  =  287,920 
^  .  (Ci  —  c)  .  t=  1,085329  PV 
A.{Ci  —  c)  =  0,0037695  PV  =  193230  .  10». 

Nach  den  Versuchen  von  Regnault  ist  Cj  =  0,2164 .  10^  und  nach  dem 

früher  auf  Grund  der  Versuche  von  Massen  angenommenen  Werth  für  —^ 

c 

war  c  c=  0,1684  .  10""^  mithin  c,  —  c  =  0,0480  .  10-^    Daraus  folgt 

A  =  4026 .  10"  absolute  Arbeitseinheiten , 

=  410,37  Kilogramm -Meter. 

Ueber  die  unbedeutende  Abweichung  dieser  Zahl  von  der  obigen  braaeht 

,  '  uigiüzea  Dy  v_j  Vv'v^'i  LV- 


Von  Dr.  E.  JocHifANK.  119 


man  sich  nra  so  weniger  zu  wundern,  da  ein  kleiner  Fehler  in  ~  einen  ver- 

c 

hXltnissmfUflig  bedeutenden  Einfluss  auf  A  hat.    Berechnet  man  rückwärta 

aus  A  s=  423,5&  und  C|  =  0,2104  *  10^^  den  Quotienten  der  specifischen  War- 

Ci 

men,  so  erhält  man  —  =  1,274,    woraus  die   Schallgeschwindigkeit   0,703 

folgen  würde,  während  Masson  0,771  und  Dnlong  0,780  beobachtet  hat. 
Damm  acheint  mir  der  von  Masson  beobachtete  Werth,  wie  bereits  oben 
bemerkt,  der  richtigere  zu  sein.    Ueberhaupt  möchte  die  Bestimmung  des 

Quotienten  —  für  andere  Gase  als  atmosphärische  Luft  aus  dem  Wäi'me- 

äquiTalent  sicherer  sein,  als  die  Bestimmung  aus  der  Schallgeschwindig- 
keit'»). 

V.  Bemerkungen  tlber  das  Princip  der  Aeqmvalenc 
der  Arbeit  und  Wärme. 
Der  vorstehenden  Darstellung  der  Theorie  der  Oase  sind  absichtlich 
aoBser  rein  empirischen  Thataachen  nur  diejenigen  Annahmen  zu  Grunde 


*)  Mayer  hat  zuerst  das  Wärmeäquivalent  aus  der  darch  Ooropression  einer 
Lnftmasse  frei  werdenden  Wärmemenge  su  305  Kilogramm-Meter  bestimmt.  (Bemer- 
kungen über  di«  Kräfte  der  unbelebten  Natur:  Liebig^a  Annalen  der  Chemie  und 
Pharipacie.  1842.  LXII.  p.  240.)  Holtzmann  findet  unter  derselben  Voraussetzung 
'wie  Mayer  mit  Zugrundelegung  anderer  Data  als  wahrscheinlichsten  Werth  374  Kilo- 
gramm o  Meter.  (Ueber  die  Wärme  und  d(e  £la8ticität  der  Gase  und  Dämpfe.  Mann» 
heim  1845.  p.  12.)  Clansins  findet  370  Kilogramm-Meter.  (Pogg.  Ann.  LXXIX.  522.) 
Diesen  Bestimmungen  liegen  noch  die  älteren  Angaben  über  die  specifische  Wärme 
der  Lfuft  Yon  de  Larache  und  B^rard  zu  Qnuide.   Thomson  berechnet  aus  dem 

▼on  Joule  gefundenen  Wärineäquivalent  und  für  <^£i=l,41  bei  atmosphärischer  Luft 

c 

<?,  =  0,2374,  c  =  0,l689.  (Phü.  Trtms.  p.  78.)     Burdin  undBourget  berechnen  in 

gleicher  Weise  den  Werth  Ton  ~  für  zehn  verschiedene  Gase  aus  den  von  Regnaul  t 

beobachteten  Wertben  von  q  ,  indem  sie  annehmen  ,  dass  das  Prodact  A.q  .  (q  —  c) 

für  alle  Gase  constant  sei.    Für  Kohlensäure  finden  sie  -^  =?=  1,29.     {Comptes   vnidtts. 

XLV. ''43.)    Person  berechnet  umgekehrt  aus  den  von  RegnauU  beobachteten 

Werthen  für  c,  =0,2371  und  ^  =  1,410  das  Wärmeäquivalent  zu  424  KilogramSi- 

Meter.  (Compie9  rwdits»  XXXIX.  1131.)  Es  ist  Unrecht,  wenn  in  einem  deutschen 
Lehrbuche  (Eisenlohr,  Lehrbuch  der  Physik.  7.  Aufl.  p.  417)  Person  als  Ent- 
decker dieser  Relation  bezeichnet  wird ;  die  Franzosen  erweisen  uns  nicht  gleiche 
Ehre.    De  eher  eudlich  führt  diese  Rechnung  für  vier  verschiedene  Gaae  mit  den 

▼on  Dnlong  gegebenen  Werthen  für  ~  aus.  Er  erhält  verschiedene  Werthe  für  das 

c 

Wärmeäquivalent.  Bei  Kohlensäure  ist  die  Abweichung  am  grössten,  nämlich  A=^^, 

(Dingler's  polytecbn.  Journal.   Bd.  CXLVIIL)    Daraus  ist  jedoch  nur  zu  so&Uessen, 

dass  der  Werth  von  Dnlong—  =  1,339  zu  gross  ist.  Wie  bekannt,  lassen  sich  ge- 
gen die  Genauigkeit  der  Bestimmung  der  Schallgeschwindigkeit  aus  der  Tonhöhe  von 
Pfeifen  mancherlei  Einwendungen  machen.  Die  Abweichungen  vom  idealen  Gaszu- 
stand sind  von  keinem  der  angeführten  Pbysiker  dei  der  Rechnung  berücksichtigt  word  en 
und  in  der  That  ist  ihr  Einfluss ,  wie  sich  aus  obigen  Zahlen  ergiebt,  niv  ein  geringer. 


uigiüzea  oy  'v_jvj'v_/ 


ö 


(e 


120  Beiträge  zur  Theorie  der  Gase. 


%^i^*^^N^fc^*^ 


gelegt  worden,  welche  in  den  allgemeinen  Principien  der  mechanischen 
Wärmetheorie  enthalten  sind ,  das  Princip  der  Aequivalenz  der  Arbeit  und 
Wärme  und  das  Carno tische  Princip,  auf  welchem  die  Definition  der  ab- 
soluten Temperatu^r  beruht.  Von  jeder  speciellen  Hypothese ,  die  auf  Oil- 
tigkeit  Anspruch  macht ,  muss  von  vorn  herein  verlangt  werden ,  dass  sie 
die  empirischen  Facta,  aufweichen  die /ruberen  Entwickelnhgen  beruhen, 
mit  genügender  Genauigkeit  darstellt,  so  dass  diese  giltig  bleiben,  von 
welcher  Hypothese  man  auch  ausgehen  mag.  Schliesslieh  aber  dürl^  es 
angemessen  sein ,  mit  einigen  Worten  die  Ansichten ,  welche  in  neuerer 
Zeit  über  die  Molekularconstitution  der  Gase  aufgestellt  worden  sind ,  und 
ihr  Verhältniss  zum  Grundprincip  der  mechanischen  Wärmetheorie  zu  er- 
örtern. Eine  specielle  Veranlassung  dazu  geben  die  Angriffe,  welche  in 
neuester  Zeit*)  von  Herrn  Decher  gegen  die  mechanische  Wärmetheorie 
überhaupt  gerichtet  werden,  und  welche  ein  praktisches  Beispiel  liefern, 
dass  das  Wesen  dieses  jungen  Zweiges  der  theoretischen  Physik  von  vielen 
Seiten  sehr  unrichtig  aufgefasst  wird.  Ich  behaupte  nämlich,  dass  Herr 
Deeher,  obwohl  er  sich  selbst  einbildet,  ein  heftiger  Gegner  der  mechani^ 
sehen  Wärmetheorie  zu  sein,  doch  «einen  eigenen  Prämissen  zufolge  gaas 
auf  dem  Boden  derselben  steht.  Herr  Decher  meint  nämlich,  „dass  das 
Warmsein  eines  Körpers  nicht  durch  die  Anwesenheit  eines  Stoffes  an  und 
für  sich  und  der  höhere  oder  niedere  Grad  des  Warmseins  nicht  durch  die 
in  dem  Körper  enthaltene  Menge  desselben  bedingt  wird,,  eiondern  durch- 
einen  veränderten  Zustand  oder  eine  Eigenschaft  des  Wärmestoffes,*'  wel« 
eben  Herr  Decher  nachher  selbst  mit  dem  Aether  identificirt.  Dies  ist 
aber  gerade  die  einzig  charakteristische  Grundftnnahme  der  mechanischen 
Wärmetheorie.  Ich  bebe  dies  besonders  hervor ,  weil  auch  wohl  Andere 
diese  Prämisse  den  Thatsachen  gegenüber  zugeben^  sich  aber  dennoch 
nicht  mit  den  nothwendig  daraus  folgenden  Conseq^uenzen  einverstanden 
erklären  und  sich  nicht  zu  der  mechanischen  Wärmetheorie  bekennen 
wollen. 

Das  Princip  der  Aequivalenz  der  Arbeit  und  Wärme,  wie  das  allge- 
meinere „Princip  der  Erhaltung  der  Kraft'!  beruht  bekanntlich  auf  dem 
Princip  der  lebendigen  Kräfte  der  analytischen  Mechanik.  Dieses  Princip 
gilt  zunächst  von  einem  System  materieller  Punkte,  zwischen  denen  Kräfte 
wirksam  sin4)  welche  nach  den  Verbindungslinien  gerichtet  und  Functionen 
der  Entfernung  sind.  Die  atomistische  Anschauungsweise  führt,  einiger- 
maassen  consequent  durchgeführt,  wie'  schon  mehrfach  erörtert  worden 
ist  **) ,  auf  die  Annahme  unausgedehnter  Atome  und  auf  ein  solches  System 
ist  das  Princip  der  lebendigen  Kräfte  ohne  weiteres  anwendbar.  Ich  glaube. 


♦)  Dingler's  polytechn.  Journ.  1858.  Bd.  CXLVIII.  p.  1—10,  81—93,  161—173, 
241—257. 

•♦*)  Vergl.  z.  B.  Fe  ebner;  Atomlehre,  Leipzig  1855,  und  Hoppe  in  Pogrgend. 
Ann.  CIV.  p.28«. 


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Von  Dp.  E.  Jochmann.  121 

selbst  bei  der  dynamischen  Ansiebt,  d.  b.  wenn  man  sieb  die  Materie  den 
Ranm  stetig  erfüllend  däohte,  würden  die  anf  dasselbe  gegründete^  Scblüsse 
noch  giltig  bleiben.  Da  ai^er  die  Erörterung  dieses  Pnnktes  auf  Fragen 
führt,  welche  mehr  der  metaphysischen  Speculatinn  als  der  Physik  ange- 
hören, so  will  ich  hier  nicht  darauf  eingehen.  ^-  Ein  Atom  ist  also  ein 
Punkt  im  Räume,  der  die  besondere  Eigenschaft  hat,  dass  ein  anderes 
gleiches  Atom,  welches  sich  in  einer  gewissen  Entfernung  von  demselben 
befindet,  eine  Beschleunigung  in  der  Richtung  der  VerbindungsliniiB  erfährt, 
deren  Orösse  von  der  besondem  Nator  (Masse)  des  ersten  Atoms  und  von 
der  Entfernung  beider  Atome  abhängt.  Man  hat  das  Product  der  Masse 
eines  Atoms  und  der  Beschleunigung,  welche  dasselbe  erfährt,  in  der  Me- 
chanik mit  einem  eigenen  Namen  bezeichnet  und  nennt  dasselbe,  „be- 
wegende i£raft"  oder  ,, Kraft ^^  schlechthin,  weil  sich  mit  Hilfe  dieses 
Products,  dem  ich  einer  gewissen  rein  phoronomischen  Auffassung  der  me- 
chanischen Principien  gegenüber  keine  andep,  als  eine  blose  analytische 
Bedeutung  vindiciren  will ,  gewisse  Sätze  der  Mechanik ,  z.  B.  das  Pri&cip 
der  Gleichheit  der  Wirkung  und  Gegenwirkung  und  das  auf  demselben  be- 
ruhende Princip  der  lebendigen  Kräfte,  leichter  aussprechen  lassen.  Die- 
ses Product  soll  also  im  Folgenden  unter  dem  Worte  „Kraff  verstanden 
werden. 

Es  wäre  nun  der  Fall  denkbar,  dass  das  Gesetz  der  Beschleunigung 
und  die  Anordnung  der  Atome  zu  einer  gewissen  Zeit  von  der  Art  wäre, 
dass  die  Geschwindigkeit  und  die  Resultate  der  Beschleunigung  jedes 
Atoms  Null  wären  und  dann  wäre  das  System  im  stetigen  Gleichgewicht, 
möchten  nun  die  Atome  alle  von  gleicher  Natur  (ponderable  Körperatome) 
oder  von  verschiedener  Beschaffenheit  (Körper-  oder  Aetheratome)  sein. 
Entgegengesetzten  Falls  fände  Bewegung  statt ,  über  deren  specielle  Nator 
wit  vor  der  Hand  keine  Annahmen  zu  machen  brauchen.  Die  zwischen  den 
Punkten  des  Systems  wirkenden  Kräfte  lassen  sich  durch  eine  Potential- 
fünction  darstellen.  Ist  R  das  Potential  aller  Kräfte ,  welche  auf  ein  be- 
stimmtes Atom  wirken,  so  liefert  das  Princip  der  lebendigen  Kräfte  be- 
kanntlich die  Gleichung 

d£Ri=d£^mv^ 

und  daher 

£^mt^  —  £B=icon8i, 

Die  erste  Summe  ist  die  Summe  der  lebendigen  Kräfte  des  Systems ,  die 
zweite  Summe,  mit  umgekehrten  Vorzeichen,  nennt  Helmholtz^)  die 
Summe  der  Spannkräfte.  Diese  Bezeichnung  ist  nicht  glücklich  gewählt, 
weil  man  z.  B.  bei  der  Ausdehnung  einer  gespannten  Feder,  an  welche  man 
zunächst  .denkt,  nicht  etwa  die  Summe  der  auf  einander  folgenden  Span- 
nungen darunter  verstehen  darf,  mit  welcher  das  Potential  gar  nicht  homogen 


♦)  Die  Erhaltung  der  Kraft.  Berlin  1847.  p.  14.  GoOqIc 


122  BeitrÄge  zur  Theorie  der  Gase. 

ist,  und  weil,  wie  die  Erf&hrung  gelehrt  hat,  die  Anwendung  des  Wortes 
„Kraft"  zu  beklagenswerthen  Missveirständnissen  führen  kann.  Ich  bleibe 
daher  bei  dem  Ausdrucke  Potential  stehen  und  nenne  die  letzte  Summe 
das  Potential  des  Systems  auf  sich  selbst.  Die  Difierenz  beider  Summen 
soll  die  Wirkungsfunction  des  Systems  heissen.  Das  Princip  der  Er- 
haltung der  Arbeit  lautet  also:  So  lange  auf  das  System  keine 
äusseren  Kräfte  einwirken,  bleibt  seine  Wirknngsfunctioa 
constai^t. 

Die  Anwendung  auf  die  Wärmetheorie  ist  einfach  die:  Mag  man  sich 
einen  Körper  wie  immer  aus  Körperatomen  and  Aetheratomen  zusammen- 
gesetzt denken  und  will  man  die  Wärmeer scheinungen  durch  Aenderungen 
des  Zustandes  dieser  Theile,  nicht  aber  durch  Uebergang  eines  Wärme- 
Stoffes  von  einem  Körper  zum  andern  erklären,  so  ist  eine  solche  Aenderung 
nur  denkbar  durch  eine  veränderte  Anordnung  der  Theile,  denn  auch  die 
Aenderung  der  „Spannung'^  des  Aethers  oder  der  Wechselwirkung  zwischen 
Körpertheilen  und  Aethertheilen ,  von  welchen  Herr  D  e  c  h  e  r  redet ,  kann 
offenbar  nur  durch  Aenderung  ihrer  gegenseitigen  Lage  eintreten.  Geht 
also  das  System  ans  einem  Wärmezustand  in  einen  anderen,  über,  so  wird 
sich  entweder  das  Potential  des  Systems  auf  sich  selbst  ändern ,  oder  die 
Summe  der  lebendigen  Kräfte  des  Systems,  oder  —  was  die  allgen^eine 
Annahme  ist  —  beide.  Das  Wesen  der  mechanischen  Wärme- 
theorie schliesst  keinen  der  beiden  erstgenannten  Fälle 
aus.  Naturgemäss  legt  man  aber  allen  Betrachtungen  am  besten  den  drit- 
ten Fall  als  den  allgemeinen  zu  Grunde.  Das  Princip  der  Erhaltung  der 
Arbeit  sagt  nun,  dass,  wenn  zwei  Systeme  in  Wechselwirkung  treten,  so 
dass  ihre  Wirkungsfunctionen  sich  ändern ,  dennoch  die  Wirkungsfunction 
des  Gesammtsystems  ungeändert  bleibt.  Werden  also  nach  der  gegenseiti- 
gen Einwirkung  beide  Systeme  wieder  getrennt,  so  dass  das  Potential  der- 
selben auf  einander  Null  ist,  so  hat  die  Wirkungsfunction  des  einen  um 
eben  soviel  zugenommen,  wie  die  des  andern  abgenommen  hat.  Ich  halte 
es  für  ttberflüsaig ,  dies  durch  specielle  Beispiele  zu  erläutern.  ^ —  Um  die 
Werthe  des  Potentials  des  Systems  auf  sich  selbst  bei  verschiedenen  Zu* 
ständen  vergleichen  zu  können,  ist  natürlich  die  additive  Constante,  welche 
jede  Potentialfunction  ihrem  Wesen  nach  enthält,  jedesmal  auf  gleiche 
Weise  zu  bestimmen,  so  z.  B.  dass  das  Potential  bei  unendlicher  Entfer- 
nung aller  Punkte  des  Systems  Null  wird.  Die  Aenderung  des  Potentials 
des  Systems  auf  sich  selbst  pflegt  man  gewöhnlich  die  „innere  Arbeit** 
des  Systems  zu  nennen.  Merkwürdigerweise  sagt  nun  Herr  Decher  an 
verschiedenen  Stellen  seiner  Abhandlung,  ganz  im  Widerspruch  mit  seinen 
sonstigen  Ansichten,  dass  innere  Arbeit  bei  Gasen  nicht  denkbar  sei.  Herr 
Decher  deffnirt  nicht,  was  er  unter  innerer  Arbeit  versteht.  Ich  kann 
jedoch  mit  dem  Worte  keinen  andern  präcisen  Begriff  verbinden ,  als  den 
soeben  angegebenen.  Dann  müsste  aber,  wenn  innere  Arbeit  bei  den  Gasen 

uigiüzea  oy  x_j  vj'v_/'i  ln^ 


Von  Dr.  E.  Jochmann.  123 

nicht  möglich  wäre,  das  Potential  einer  Gasmasee  auf  sich  selbst  einen  con- 
stanten,  von  Dichtigkeit  und  Temperatur  unabhängigen  Werth  liaben. 
Nimmt  «man  dies  an ,  so  folgt  daraus ,  das«  die  Aendernng  der  Wirkungs- 
function,  also  auch  dea  Wärmeaustandes,  nur  in  der  Aenderung  der  leben- 
digen Kraft  der  einzelnen  Atome  ihren  Grund  haben  kann,  mit  andern 
Worten,  es  folgt  daraus  gerade  die  Anschauungsweise,  die  man  sich  in 
neuester  Zeit  von  der  Molecnlarconstitution  der  Gase -gebildet  hat  und  die 
Herrn  De  eher  besonders  anstössig  zu  sein  scheint.  Untersuchen  wir  im 
Folgenden,  inwieweit  diese  AnschauungsVeise  geeignet  ist,  genügende 
Kechenschaft  Über  die  Eigenschaften  der  Gase  zu  geben  und  wie  sich  b«i 
denselben  insbesondere  der  Begriff  der  Temperatur  gestaltet. 

VL   Die  Moleknlarconstitatioii  der  G^ite. 

Als  Repräsentanten  der  verschiedenen  Ansichten  über  die  Moiekular- 
constitution  der  Gase,  welche  in  neuerer  Zeit  im  Zusammenhang  mit  der 
mechanischen  Wärmetheorie  aufgestellt  worden  sind,  erwähne  ich  die  von 
Rankine  *),  von  Redtönbacher  **),  und  endlich  die  von  Krönig***) 
and  Clansius  t)- 

Wir  ziehen  zunächst  die  letztere  Ansicht  in  Betracht,  weil-  sie  sich 
durch  die  Einfachheit  empfiehlt,  mit  welcher  sich  aus  derselben  die  be« 
kannten  Relationen  zwischen  Volum,  Druck  und  Temperatur,  sowie  zwi^ 
sehen  der  Wärmecapacität  und  dem  Atomgewicht  der  gasförmigen  Körper 
ergeben.  Das  Wesentliche  der  Hypothese  besteht  bekanntlich  in  der  An- 
nahme, dass  die  Wirkungssphären  der  zwischen  den  Oastheilchen  wirk* 
samen  Molekularkräfte  sehr  klein  sind  gegen  die  mittleren  Entfernungen ' 
der  Moleküle  im  gasförmigen  Zustand,  so  dass  sich  diese  in  allen  möglichen 
Richtungen  in  geradlinigen  Bahnen  bewegen,  ans  welchen  sie  nur  abgelenkt 
werden,  wenn  zwei  Moleküle  einander  so  nahe  kommen,  dass  sie  in  ihre 
gegenseitige  Wirkungssphäre  gerathen.  Das  Bild,  welches  Herr  Krön  ig 
zur  Veranschaulichung  einer  solchen  Bewegungsweise  braucht,  indem  er 
die  Gasatome  mit  aneinander  prallenden  vollkommen  elastischen  Kugeln 
vergleicht ,  soll  eben  nur  ein  Bild  sein.  Das  Wesen  der  Ansicht  bleibt  un> 
geändert,  wenn  man  sich  anstatt  der  elastischen  Kugeln  unausgedehnte 
Atome,  oder  wie  es  bei  chemisch  zusammengesetzten  Gasen  unbedingt 
nothwendig  ist,  Atomgruppen  denkt,  welche  einander  nach  einem  seiner 
Form  nach  nicht  zu  bestimmenden  Gesetz  abstossen  oder  anziehen.  Welches 


•)  W.  J.  Macquorn  'R&nls.ine:  On  thp  centrifugal  theovy  of  elastidty^  as  applied  to 
gases  and  vapoitrs,    Phil.  Mag.  (4.  Ser.)  II.  509. 

**)  F.  Redtenbacher:  Das  Dynamidensystem.  Mannheim  1857. 

•♦*)  A.  Krön  ig:  Grundsüge  einer  Theorie  der  Gase.  Berlin  1850  und  Pogg. 
Ann.  XCIX.  312. 

t)  R.  Clausias:  Ueber  die  Art  der  Bewegung,  welche  wir  Wärme  nennen. 

Pogg.  Ann.  C.  353.  (^ 

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124  Beiträge  zur  Theorie  der  Gase. 


von  beiden  der  Fall  sei,  lässt  sieh  a  priori  nicht  entscheiden,  denn  es  ist 
klar,  dass  zwei  einander  begegnende  Moleküle,  welche  sich  anziehen,  um 
einander  geschlossene  oder  hyperbeltthniiche  nngeschlossene  Bahpen  mit 
zwei  geradlinigen  Asymptoten  beschreiben  können,  je  nachdem  ihre  relative 
Geschwindigkeit  eine  geringere  oder  grössere  ist.  Die  Art  der  Abweichun- 
gen vom  idealen  Gaszustand  macht,  wie  wir  bald  sehen  werden,  das  Vor- 
handensein anziehender  Kräfte  wahrseheinlich.  Wem  es  übrigens  Gewissens- 
scrupel  macht,  dass  bei  Annahme  nur  anziehender  Kräfte  (freilich  mit  un- 
endlich kleiner  Wahrscheinlichkeit)  der  Fall  eintreten  könnte,  dass  die 
Bahnen  zweier  Atome  sich  in  einem  Punkte  durchkreuzten  und  beide  zu 
derselben  Zeit  denselben  Punkt  des  Haumes  einnähmen,  dem  bleibt  es 
überlassen,  bei  Annäherung  zu  einer  gewissen  Nähe  die  Anziehung  in  eine 
Abstossung  übergehen  zu  lassen,  die  bei  abnehmender  Entfernung  über 
jede  endliche  Gränce  wächst.  Ohnedies  scheint  es  ebne  die  Annahme  von 
Abstossungskräften  nicht  wohl  begreiflich,  dass  ein  Körper,  dessen  Atome 
einander  so  nahe  stehen  wie  im  festen  Aggregatzustand,  eine  für  ein  Gas 
undurchdringliche  Hülle  bilden  kann. 

Wenn  gleich  die  Vorstellung  vom  inneren  Druck  eines  Gases,  welche 
man  der  Ae'romecbanik  bisher  zu  Grunde  gelegt  hat,  wesentlich  auf  die 
Annahme  basirt  ist,  dass  die  Fxpansivkraft  der  Gase  von  der  Abstossung 
ihrer  kleinsten  Theile  herrührt ,  wenn  also  alle  Gesetze  der  Aerodynamik 
einer  neuen  Herleitung  durch  die  neue  Hypothese  bedürfen,  so  acheint  man 
sich  andererseits  mehrfach  die  irrige  Vorstellung  zu  machen,  als  ob  die  Art 
des  Druckes,  welchen  solche  bewegte  Gasatome  auf  eine  feste  Wand  aus- 
üben, eine  wesentlich  von  derjenigen  verschiedene  wäre,  welche  wir  uns 
'überhaupt  beim  Druck  flüssiger  oder  elastischer  Körper  vorzustellen  ge- 
wohnt sind*).  Den  Standpunkt,  von  welchem  man  Druck  und  Stoss  für 
zwei  ihrem  Wesen  nach  verschiedene  Wirkungsweisen  ansah ,  hat  die  Me- 
chanik glücklichweise  schon  längst  überwunden,  und  wenn  die  Lehrbücher 
noch  ein  Capitel  über  sogenannte  Momentankräfte  enthalten,  so  ist  es  eben 
nur,  um  ihre  Identität  mit  den  stetig  wirkenden  nachzuweisen.  £s  ist  klar, 
dass  der  Druck  auch  hier  nur  von  den  stetig  wirkenden  Kräften  herrührt, 
welche  zwischen  den  Wandmolekülen  und  den  in  jedem  Augenblick  in  ihrer 
Wirkungssphäre  befindlichen  Gasmolekülen  thätig  sind,  und  dass  der. in 
einem  beliebigen  Zeitmoment  stattfindende  Druck  ungeändert  bleiben  würde, 
wenn  man  sich  sämmtliche  Atome  in  ihrer  augenblicklichen  Lage  fixirt 
dächte.  Da  sich  die  Gasmoleküle  der  Annahme  zufolge  grösstentheils  in 
solchen  Entfernungen  befinden,  in  welchen  sie  auf  einander  keine  Be- 
schleunigung ausüben,  so  rührt  die  zur  Grenzfläche  normale  Beschleuni- 
gungscomponente ,  welche  ein  Gasmolekül  erfahrt,  das  sich  augenblicklich 
in  der  Wirkungssphäre  der  festen  Wand  befindet,  ausschliesslich  von  den 


*}  Lamd:  Lepons  sitr  la  thöoHe  ntathdimtique  de  relasticü^ ,,§.  5. 

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Von  Dr.  E.  Jochmank.  125 

Kräften  her,  die  von  den  Molekülen  der  festen  Wand  aasgehen,  oder  die 
während  des  Zekelementes  di  anf  dasselbe  wirkende  Ncmnalcoraponeüte 

dieser  Kräfte  ist  m  —j.    Gleich  gross  and  entgegengesetzt  ist  die  Summe 

der  Wirkungen  des  Oasmolektils  anf  die  während  dieses  Zeitelementes  in 
seiner  Wirkungssphäre  befindlichen  Wandatome.  Tritt  also  ein  Gasmolekül 
von  der  Masse  m  zur  Zeit  t^  in  die  Wirkungssphäre  der  Wand  mit  der  zur 

Trennungsfläche  senkrechten  Geschwindigkeitscomponente  (  jr  )  oin  und 
verlässt  dieselbe  zur  Zeit  /|  mit  der  Geschwindigkeitscomponente  (  tt  )  9  so 

ist  die  Gesammtwirkung  dieses  Oasatoms  m  j  —^  dr  =  m  1  f  —  j  —  (3")   r 

Da  die  Moleküle  in  fortwährender  Bewegung  sind,  so  rtlhrt  der  wirk- 
lich stattfindende  Druck  in  jedem  Augenblick  von  andern  Molekülen  her, 
die  in  die  Wirkungssphäre  einfoeten ,  und  ist  in  jedem  Augenblick  ein  an- 
derer. Bei  der  sehr  grossen  Zahl  der  Gasmoleküle  aber,  \^elcbe  in  jedem 
messbaren  Zeittheil  gegen  jedes  messbare  Flächenstück  der  Wand  stossen, 
behält  der  Druck  für  unsere  Wahrnehmung  einen  constanten  Mittelwerth. 
Die  von  jedem  einzeihen  Molekül  herrührende  Wirkung  ist,  wie  aus  Obigem 
erhellt,  seiner  Masse  und  der  Aenderung  seiner  normalen  Goschwindigkeits- 
componente  proportional ;  da  Aber  keine  Richtung  bevorzugt,  und  da  ferner 
die  Anzahl  der  Gasmoleküle,  welche  in  einer  gegebenen  Zeit  gegen  die 
Wand  stossen,  selbst  der  Dichtigkeit  (Anzahl  der  in  der  Volumeinheit  ent- 
haltenen Gasmoleküle)  und  der  mittleren  Geschwindigkeit  der  Moleküle 
proportional  ist,  so  resultirt  daraus  ein  Druck  anf  die  Wand,  der  proportio- 
nal ist  der  Masse  und  dem  Quadrat  der  mittleren  Geschwindigkeit,  d.  h.  der 
mittleren  lebendigen  Kraft  eines  Moleküls  und  der  Zahl  der  in  der  Volum- 
einheit  enthaltenen  Moleküle.  Identificirt  man  die  mittlere  lebendige  Kraft 
eines  Moleküls  mit  der  absoluten  Temperatur,  so  hat  man  das  Mariotte- 
Gay-Lussac'sche  Gesetz.  Wenden  wit  nun  die  oben  aus  dem  Satz  der 
lebendigen  Kräfte  gewonnenen  allgemeinen  Principien  auf  diese  specielle 
Hypothese  an. 

Das  Potential  jedes  Moleküle  auf  sich  selbst  ist  eineconstante  Grösse, 
so  lange  die  Anordnung  der  Atome  im  Molekül  unverändert  bleibt;  dasselbe 
ist  Null,  wenn  man  sich  an  Stelle  der  Moleküle  einfache  unausgedehnte 
Atome  denkt,  es  ist  aber  gewiss  nicht  Kuli  bei  den  chemisch  zusammen- 
gesetzten Gasen.  Das  Potential  der  Moleküle  auf  einander  ist,  da  sie  sich 
ausserhalb  ihrer  gegenseitigen  Wirkungssphäre  befinden,  bei  einem  idealen 
Grase  verschwindend  klein  und  bei  den  wirklichen  Gasen  um  so  kleiner,  je 
geringer  die  Abweichung  vom  idealen  Gaszustand.  Kommen  zwei  Moleküle 
in  ihre  gegenseitige  Wirkungssphäre,  so  werden  ihre  Geschwindigkeiten 


126  Beiträge  zur  Theorie  der  Gase. 

grösser  oder  kleiner  als  vor-  nnd  nachher ,  je  nachdem  sie  einander  an- 
ziehen oder  abstossen ;  in  jedem  Fall  aber  nimmt  die  Summe  ihrer  lebendi- 
gen Kräfte  um  eben  so  viel  zu  oder  ab,  als  ihr  Potential  aufeinander.  Ha- 
ben sie  sich  wieder  aus  ihrer  Wirkungsspbäre  entfernt,  so  ist  das  Potential 
wieder  Null  und  die  Summe  der  lebendigen  Kr&fte  wieder  so  gross  als  vor- 
her. Da  die  wirklichen  Gase,  wenn  sie  sich  ausdehnen,  ohne  äussere  Ar- 
beit zu  leisten,  eine  geringe  Temperaturerniedrigung  zeigen ,  so  hat  nach 
der  Annahme  die  mittlere  lebendige  Kraft  um  eine  geringe  Grösse  abge- 
nommen, mithin  ist,  da  die  Wirkungsfun ction  ungeändert  geblieben,  auch 
das  Potential  verkleinert,  d.  h.  die  zwischen  den  Molekülen  wirkenden 
Kräfte  sind  anziehende,  bei  denjenigen  Entfernungen  wenigstens,  in  wel- 
chen sie  der  Mehrzahl  nach  auf  einander  einwirken.  Das  gleiche  Resultat 
ergiebt  sich  auch  daraus,  dass  der  Druck  langsamer  wächst,  als  die  Dichte, 
indem  der  den  Druck  auf  die  Hülle  vermindernde  Einfluss  der  gegenseiti- 
gen Anziehung  der  Gasmoleküle  um  so  mehr  hervortritt,  je  geringer  die  < 
Entfernungen  derselben  werden.  Das  Wasserstoffgas  macht  bekanntlich 
eine  merkwürdige  Ausnahme,  indem  es  von  dem  Mariotte'schen  Gesetz  im 
entgegengesetzten  Sinne  abweicht,  während  doch  nach  den  allerdings  wohl 
nicht  ganz  sicheren  Beobachtungen  von  Thomson  und  Joule  bei  der 
Expansion  desselben  eine  geringe  Abkühlung  stattfindet. 

Will  man  nach  der  bisher  üblichen  Yorstellung^eise  den  Druck  der 
Gase  auf  ihre  füllen  durch  eine  gegenseitige  Abstossung  der  Gasmoleküle 
erklären,  so  folgt  daraus,  dass  mit  der  Entfernung  der  Gasmoleküle  von 
einander  auch  das  Potential  der  Moleküle  auf  einander  wächst  und  daher 
bei  der  Expansion  ohne  äussere  Arbeit  auch  die  lebendige  Kraft.  Nach- 
dem also  die  fortschreitende  Bewegung  des  Einströmens  in  den  leeren 
Raumsich  in  Molekular bewegung  umgesetzt  hätte,  müsste  die  Tem- 
peratur des  Gases  höher  sein,  als  zuvor.  Diese ' Bemerkung  ist 
übrigens  auch  von  Herrn  Bujs- Bailot  in  einer  Abhandlung  gemacht  wor- 
den,*) die  sonst  an  Klarheit  der  Auffassung  manches  zu  wünschen  übrig 
lä»8t.  Insbesondere  trifft  dieselbe  die  Hypothese  der  Molekularwirbel  von 
Rankine  sowie  das  Dynamideosystem  von  Redtenbacher,  aufweiche 
näher  einzugehen  hier  leider  des  beschränkteir  Raumes  wegen  nicht  mög- 
lich ist.  Bei  beiden  wird  nämlich  der  Zuwachs  der  Temperatur  dem  Zu- 
wachs der  lebendigen  Kraft  eines  Moleküls  (Aetheratoms)  proportional  ge- 
setzt, und  dabei  doch  der  Druck  des  Gases  durch  die  gegenseitige  Abstos- 
sung der  Moleküle  erklärt.  Ist  die  Temperatur  der  lebendigen 
Kraft  der  Molekularbewegung  proportional  oder  überhaupt  eine 
Function  derselben  allein,  so  folgt  aus  den  Thomson- Joule'schen  Ver- 
suchen, dass  die  lebendige  Kraft  dieselbe  bleibt,  wenn  das  Gas  sich  ohne 
Aenderung  der  Wirkungsftinction  ausdehnt.     Das  Potential  der  Gasmasse 


*)  Pogg.  Ann.  1858.  CUL  p.  249.  Digitized  by  GoOglc 


Von  Dr.  E.  Jochmanit.  127 

auf  sich  eelbet  ist  also  —  unter  dieser  Voranssetenng  —  ebenfalls 
Ton  ^er  Dichtigkeit  nnabhflngig  (oder  die  znr  AasdehBQng  erforderliche 
innere  Arbeit  gleich  Null)  mithin  ändert  sich  dasselbe  nicht  mit  der  gegen- 
seitigen Entfernung  der  Moleküle,  oder  dieselben  befinden  sich  ausserhalb 
ihrer  gegenseitigen  Wirkungssphäre.  Man  wird  somit  nothwendig  auf  die- 
jenige Ansicht  von  der  Molekularconstitation  der  Oase  geführt,  welche  von 
Herrn  KrÖnIg  und  Glausius  ausgeführt  worden  ist:  Es  bleibt  dabei  un- 
bestimmt, ob  die  lebendige  Kraft  nur  von  der  fortschreitenden  Bewegung* 
der  Moleküle  oder  ausserdem  von  einer  rotirenden  oder  schwingenden  Be- 
wegung der  das  Molekül  bildenden  Atome  herrührt.  Herr  Clausius  ge- 
langt zu  der  letztern  Ansicht,*)  indem  er  die  mittlere  Geschwindigkeit 
der  Moleküle  berechnet,  welche  erforderlich  ist,  um  den  Druck  einer  Atmo-* 
Sphäre  hervorzubringen  und  findet,  dass  die  lebendige  Kraft  der  fortschrei* 
tenden  Bewegung  nur  etwa  0;6315  von  der  in  der  Luft  enthaltenen  Wärme- 
menge, d.  h.  dem  Product  des  Arbeitsaequivalents  der  specifisehen  Wärme 
bei  constantem  Volum  und  der  absoluten  Temperatur  beträgt.  Dies  nöthigt 
weiter  zu  der  Annahme,  die  man  schwerlich  ohne  Weiteres  zugeben  kann, 
dass  die  lebendige.Kraft  der  fortschreitenden  Bewegung  zu  der  der  inneren 
Bewegung  det  Moleküle  in  einem  constanten  von  der  Temperatur,  also  von 
der  Geschwindigkeit  der  Bewegung  unabhängigen  Verhältniss  steht.**) 

Vergleicht  man  die  Temperaturen  verschiedener  Gas^ ,  so  führt  das 
Dulong- Petit' sehe  Gesetz,  nach  welchem  das  Product  aus  der  specifi- 
sehen Wärme  und  dem  Atomgewicht  einen  für  alle  chemisch  -  einfachen 
Gase  und  wieder  für  alle  zusammengesetzten  Gase  mit  gleichem  Conden* 
sationsverhältniss  eine  constante  Zahl  ist,  zu  der  Annahme,  dass  die*T'em- 
peratnr  der  lebendigen  Kraft  eines  Atoms  (chemischen  Aequivalents)  pro- 
portional zu  setzen  ist.  Man  muss  sich  vor  der  Illusion  hüten ,  damit  um- 
gekehrt das  Dulong'sche  Gesetz  erklärt  zu  haben;  denn  es  ist  bis  jetzt  we- 
nigstens nicht  nachgewiesen  worden,  warum  zwei  Gase  sich  im  Wärme- 
gleichgewicht befinden ,  wenn  die  mittlere  lebendige  Kraft  eines  Atoms  in 


♦)  Pogg.  Ann.  1867.  C.  p.  380. 

*♦)  Die  Unabhängigkeit  von  der  Temperatur  dürfte  auch  Herr  Hoppe  schwer- 
lich nach  Grandsätseu  der  Wahrscheinlichkeit  zugestehen  (vgl.  die  Bemerkungen  Von 
Hopp  e  in  Pegg«  Ann.  CIV.  p.  285  imd  die  Erwiderungen  von  Cl  aus  in  8  Pogg.  Ann* 
p.  257).  Die  Rechnung  des  Herrn  Clausius  beruht  auf  der  Annahme,  dass  die  Tem- 
peratur eines  Gases  der  in  ihm  enthaltenen  Wärmemenge  proportional,  oder  dass  die 
Integrationseonstante  der  Gleichung  9)  (Pogg.  Ann.  C.  p.  377)  Null  ist.  Diese  An- 
nahme ist  jedoch  nicht  gerechtfertigt,  selbst  wenn  man  die  specitische  Wärme  c  inner- 
halb der  uns  z\t  Gebote  stehenden  Temperaturgrenzen  als  con^tant  betrachtet.  Denn 
sicher  wird  kein  Gas  den  gasförmigen  Zustand  bis  in  die  Nähe  des  Nullpunkts  der  at>* 
solnten  Temperatorscala  beibehalten  und  im  festen  und  flüssigen  Zustand  ist  die  sp^* 
cifische  Wärme  jedenfalls  eine  andre  als  im  gasförmigen.  Ich  glaube'  ni<5ht,  dass  man 
gegen  die  Hypothese  von  Rankine  einen  Vorwurf  aus  der  von  Herrn  Rankine  selbst 
gemachten  Folgerung  herleiten  kann  „dass  der  absolute  Nullpunkt  der  im  Gase  ent- 
haltenen Wärmemenge  nicht  mit  dem  absoluten  Nullpunkt  der  Temperaturscala  su- 
sammenrällt."  (Phil.  Mag.  (4)  II.  p.  52».)  uigmzea  oy  v_j  v^wp^lC 


198  Beiträge  zur  Theorie  der  Oase. 

bieiden  gleich  gross  ist.*^)  Bleibt  man  sich  conseqaent,  so  wird  man  auch 
bei  den  festen  und  flassigen  Körpern,  für  welche  das  Dulong-PetiCscke 
Gesetz  ebenfalls  gilt,  unter  Temperatur  die  mittlere  lebendige  Kraft  eines 
Atoms  verstehen  müssen.  Da  man  aber  annehmen  muss,  daas  .die  Atome 
fester  Körper  um  stabile  Gleichgewichtslagen  schwingen ,  so  findet  hier  in 
jeder  Elementarschwingung  eine  stetige  Umsetzung  von  lebendiger  Kraft 
in  innere  Arbeit  and  umgekehrt  statt.  Da  sich  die  Atome  in  sehr  vielen 
«verschiedenen  Schwingungsphasen  befinden ,  so  kann  man  allerdings  an- 
nehmen, dass  die  Summe  der  lebendigen  Krttfte  der  in  einem  endlichen 
Körperstück  enthaltenen  Atome  einen  constanten,  von  der  Zeit  unab- 
hängigen, Mittelwerth  haben  wird.  Es  müsste  nun  wieder  gezeigt  werden, 
dass  die  Bedingung  fttr  das  Wärmegleichgewicht  zwischen  zwei  einander 
berührenden  heterogenen  Körpern  darin  besteht,  dass  die  mittlere  leben- 
dige Kraft  eines  Atoms  in  beiden  gleich  gross  sein  muss. 

Es  sind  gegen  die  Theorie  der  Herren  Krönig  und  Clausens  von 
verschiedenen  Seiten  Einwürfe  gemacht  worden,  welche  sich  namentlich 
darauf  beziehen,  dass  die  Diffasion  der  Gase  nicht,  wie  aus  der  Theorie  zu 
folgen  scheint,. augenblicklich, erfolgt.  Herr  Clausius  widerlegt  diesen 
Einwurf,  indem  er  zeigt,  dass  es  dem  Wesen  der  HTpothese  keineswegs 
widerspricht,  die  Zusammen stösse  der  Moleküle  so  häufig  anzunehmen,  dass 
dadarcfi  die  Langsamkeit  der  Difi'usion  hinreichend  erklärt  wird.  Aehn- 
liehe  Ansichten  hat  Herr  Krön  ig  in  der  physikalischen  Gesellschaft  aus- 
gesprochen. Wenn  man  dadurch  den  Einwurf ,  der  sich  auf  die  Yermeng- 
ung  der  Gase  bezieht,  als  widerlegt  betrachten  darf,  so  gilt  dies  keineswegs 
von  dem  andern ,  dass  locale  Temperaturverschiedenbeiten  in  einer  Gas- 
masse nicht  möglich  wären,  sondern  sehr  schnell  eine  Ausgleichung  der 
mittleren  Geschwind igkeiteu  durch  die  ganze  Gasmasse  stattfinden  müsste. 
Um  die  wesentliche  Verschiedenheit  beider  Punkte  nachzuweisen,  wählen 
wir,  da  die  onregelmässigc  Bewegung  der  Gasatome  der  Anschauung  we- 
nig zugänglich  ist,  ein' einfaches  Analogon.  Man  denke  sich  eine  Reihe 
gleicher  vollkommen  elastischer  Kugeln  in  gleichen  Abständen  in  einer  ge- 
raden Linie  aufgestellt.  Theilt  man  der  ersten  eine  Geschwindigkeit  mit, 
vermöge  deren  sie  die  zweite  central  stösst,  so  wird  zwar,  indem  die  Be- 
wegung sich  durch  die  ganze  Beihe  fortpflanzt,  jede  Kugel  ihren  Ort  nur 
um  so  viel  verändern,  als  der  Abstand  je  zweier  Kugeln  beträgt ;  die  Ge- 
schwindigkeit, welche  der  ersten  mitgetheilt  wurde ,  wird  sich  aber  durch 
die  ganze  Beihe  ungefähr  ebenso  schnell  fortpflanzen,  als  ob  die  erste, 
ohne  auf  ein  Hinderniss  zu  stossen,  sich  weiter  bewegt  hätte.^.  Fände  übri- 
^ns  eine  solche  schnelle  Ausgleichung  der  Geschwindigkeiten  durch  die 
Gasmasse  nicht  statt,  so  würde  andrerseits  daraus  folgen,  dass  ein  Gas, 


*)  Wenn  zwei  elastische  Kageln  susammenstossen ,  deren  lebendige  Kräfte  vor 
dem  StoBs  gleick,  deren  Mass  en  aber  ungleich  sind,  so  findet  nach  dem  Stoss 
die  Qleichheit  der  lebendigen  Kräfte  im  Allgemeinen  nicht  n^gf^f ^t^^^  ^ 


j  vy  v^x*^^- 


Von  Dr.  E.  Jochmann.  129 

wdckes  durch  einen  beweglichen  Stempel  camprimirt  wird,  sich  nur  an  der 
BteDe  erwSrmte,  wo  ea  an  den  Stempel  grenzt.  Ee  wäre  dies  ein  Experi- 
mentam  crucis  für  die  Theerie. 

Ans  den  Versachen  von  Joule  und  Thomson  ist  bekannt,  dass  ein 
.  Gas,  welches  unter  hohem  Druck  durch  eine  enge  Oeffnung  gepresst  wird, 
sobald  der  6a«strom  aus  dem  stürmischen*  BewQgungs^ustand ,  welchen  er 
l>eim  Ausströmen  angenommen  hat,  wieder  in  eine  ruhige  gleichförmige  Be- 
wegung übergegangen  ist,  seine  ursprüngliche  Temperatur  fast  genau, 
oder  nnter  Voraussetzung  eines  ideale  Gases,  vollkommen  genau  wieder 
erlangt  hat.  Dies  steht  vollkommen  in  Einklang  mit  der  Theorie»  denn 
nach  dijBser  J>esteht  das  Ausströmen  des  Gases  aus  der  Oeffnung  eben  nur 
darin,  dass  durch  dieselbe  von  der  S^te  her,  wo  die  Dichtigkeit  am  gröse- 
ten  ist,  nach  der  andern  Seite  mehr  Atome  passiren ,  als  in  entgegenge- 
setzter Riohtung,  ohne  dass  sie  dabei  ihre  mittlere  Geschwindigkeit  ändern. 
Gegen  ein  dkht  vor  der  Oeffnung  stehendes  Thermometer  würden  also  nur 
von  einer  Seite  mehr  Atome,  aber  mit  derselben  mittleren  lebendigen  Kraft 
stossen,  als  von  der  andern  Seite.  Nun  zeigt  aber  die  Beobachtung,  dass 
das  Thermometer  eine  bedeutend  niedrigere  Temperatur  angiebt,  wenn  es 
dicht  vor  die  Oeffnung  in  den  Gasstrom  gebracht  wird ,  dass  also  in  der 
Tfaat  eine  Umsetzung  von  W&rme  in  fortschreitende  Belegung  und  wieder 
von  fortschreitender  Bewegung  in  Wärme  stattfindet.  Dasselbe  beweist  der 
Versuch,  welcher  schon  von  Gaj-Luasac*)  angestellt  und  später  unter 
dem  Namen  des  Joule 'sehen  Fundamental  Versuchs  bekannt  geworden  ist. 
Wenn  nämlich  ein  mit  Luft  gefälltes  Gefäss  mit  einem  gleich  grossen  luft- 
leeren plötzHch  in  Verbindung  gesetzt  wird,  so  zeigt  nach  Ausgleichung 
des  Druckes  die  Luft  im  ersten  Gefäss  eine  Temperaturerniedrigung ,  im 
zweiten  eine  gleich  grosse  Temperaturerhöhung«  Von  einer  solchen  Um- 
setzung der  Wärme  des  Gases  in  fortschreitende  Bewegung  und  umgekehrt 
vermag'  aber  die  fVagliche  Theorie  keine  Rechenschaft  zu  geben ,  wie  sie 
sieh  überhaupt  in  der  Verlegenheit  befindet,  die  Wärmebewegung  von  der 
fortschreitenden  nicht  unterscheiden  zu  können.  Letzter;e  besteht  nämlich 
nach  derselben  nur  darin,  dass  entweder  die  Anzahl  oder  die  Geschwin- 
digkeit der  nach  einer  Richtung  bewegten  Gaamoleküle  grösser  ist,  als  nach 
der  entgegengesetzten;  ersteres  würde  im  oben  erwähnten  Beispiel  des 
Ausströmens  aus  einer  Oeffnung  der  Fall  sein^  letzteres  wenn  man  einer 
Gasmasse  mit  ihrer  Hülle  eine  gleichförmige  fortschreitende  Bewegung  mit- 
theilte. Im  letzteren  Fall  kann  man  sich  -^  um  sehr  paradoxe  Oonsequen- 
zen,  die  leicht  in  die  Augen  fallen,  zu  vermeiden  -^  dadurch  helfen,  dass 
man  die. Geschwindigkeit  relativ  gegen  die  mitbewegte  Hülle  nimmt;  wie 
man  aber  die  Erscheinungen  beim  Ausströmen  des  Gases  mit  der  Theorie 
in  Einklang  bringen  will,  ist  nicht  abzusehen. 


*)  Gilbert«  Annalen,  Band  XXX.  p.  249.  Digitized  by  GoOglc 

ZeiUehrifl  f.  Malhemalik  u.  Physik.  V.  0 


130  Beitr&ge  zur  Theorie  der  Oase. 

ScUiesalicli  erwähne  ich  noch  einer  Schwierigkeit  ^  ohne  de»  leider 
besehrSnkten  Ranmea  wegen  näher  auf  ihre  Discussien  eingehen  zu  kön- 
nen ,  nämlich  der  von  mehreren  Seiten*^)  in  Anregung  gebrachton  Frage, 
ob  die  Gesetse  der  Schallbewegung  aUs  der  Theorie,  von  Krön  ig  und 
Clausius  herzuleiten  seien.  Herr  Helmholtz  scheint  es  für  möglich  zm 
halten,  wenn  man  die  Hjpotheae  in  der  Weise  auffasst,  wie  es  von  Clau- 
sius in  seiner .  neueren  Abhandlung  geschehen  ist.  Es  ist  mir  dies  aber 
mehr  als  zweifelhaft,  wenigstens  verliert  die  Herleitung  der  Differential- 
gleichungen der  Sohallbewegnng ,  wie  sie  in  der  Hydrodynamik  gegeben 
wird,  jeden  Halt,  da  ein  Gas  nur  einen  Druck  ausübt,  wo  es  an  eine  feste 
Wand  grenzt,  von  einem  Druck  der  Gastheile  gegen  einander  .aber,  in  dem 
Sinne,  wie  er  in  der  Aerostatik  aufgefasst  wird,  durchaus  nicht  die  Bede 
sein  kann.  Da  immer  nur  von  mittleren  Geschwindigkeiten  die  Rede  ist, 
und  die  Wege  und  Geschwindigkeit  der. einzelnen  Atome,  wie  sich  Hoppe 
ausdruckt,  gar  nicht  controlirt  werden  können,  so  scheint  mir  eine  r^el- 
mässige  Fortpflanzung  einer  Schallwelle  überhaupt  nicht  nM)glich  au  sein. 

Die  Resultate  der  vorstehenden  Betrachtungen  lassen  sich  kurz  in  fol- 
genden Sätzen  zusammenfassen: 

t.  Wenn  man  annimmt,  dass  die  in  einem  Körper  enthaltene  Wärme- 
menge der  lebendigen  Kraft  seiner  Molekille  proportional  und  dass  die 
Temperatur  eine  Function  der  lebendigen  Kraft  allein  ist ,  so  wird  man 
duxch  die.  an  Gasen  zu  beobachtenden  Thatsaehen  mit  Nothwendigkeit  auf 
die  von  Krön  ig  und  Clausius  ausgeführte  Ansicht  über  die  Molekulat- 
constitution  der  Giise. geführt 

2.  Diese  Hypothese  ist  bis  jetzt  mindestens  noch  den  Nachweis  schu^ 
dig,  warum  die  Bedingung  des  Wärmegleichgewichts  zwischen  zwei  hete- 
rogeuen  Körpern  darin  besteht,  dass  die  mittlere  lebendige  Kraft  eines 
(chemischen)  Atoms  in  beiden  Körpern  gleich  gross  ist. 

d.  Man  stösst  bei  dieser  Hypothese  auf  die  Schwierigkeit,  dass  die  Wär- 
mebewegung von  der  fortschreitenden  Bewegung  einer  Gasmasse  überhaupt 
nicht  zu  unterscheiden  ist;  dieselbe  führt  bei  der  Ausströmung  eines  Gases 
in  einen  luftleeren  oder  hiftverdünnten  Raum  zu  Conseqnenzen,  welche  mit 
der  Erfahrung  im  Widerspruch  stehen. 

4.  Die  Argumente,  durch  welche  Herr  Clausius  gewisse  gegen  die 
Hypothese  gerichtete  Einwürfe  zu  widerlegen  gesucht  bat,  erreichen  diesen 
Zweck  nur  theilweise.  Insbesondere  treffen  sie  nicht  den  Einwand ,  dass 
lecale  Temperaturverschiedenheiten  in  einem  luftförmigen  Medium  sich  in 
ausserordentlich  kurzer  Zeit  ausgleichen  müssten. 

5.  Die  Hypothese  ist  ferner  nicht  im  Stande,  über  die  Gesetze  der 
Fortpflanzung  des  Schalls  in  luftförmigen  Medien  genügende  Rechenschaft 
zi>  geben. 

*)  c.  B.  von  Helmholtz:  Die  Fortschritte  der  Physik  im  Jahre  1856,  darge- 
stellt von  der  physikalischen  Gesellschaft,  p.  354. 

uigiTizea  oy  v_j  v^v^p^  lv- 


Von  Dr.  E.  Jochmann.  131 

6.  Ana  alledem  ergiebt  sich  die  Folgerung,  dass  es  wenigstens  vor  der 
Hand  noch  ungerechtfertigt  ist,  die  in  einem  Körper  enthaltene  Wärme- 
menge ohne  Weiteres,  wie  es  zu  geschehen  pflegt,  mit  der  lebendigen  Kraft 
der  Molekularbewegung  zu  identificiren  oder  die  Temperatur  der  lebendi- 
gen Kraft  eines  Atoms  proportional  zu  setzen. 

Ueberhaopt  ist  es  der  Natur  der  mechanischen  Wärmetheorie  nach 
misslich,  von  der  „in  einem  Körper  enthaltenen"  Wärmemenge  zu  reden. 
Versteht  man  darunter  die  lebendige  Kraft  der  Moleknlarbewegung,  so 
muss  man  mit  Kankine  zwischen  wahrer  und  scheinbarer  Wärmeoapaci- 
tät  unterscheiden.  Erstere  ist  der  Quotient  der/l^endigen  Kraft  der  in 
der  Masseneinheit  enthaltenen  Atome  durch  die  Temperatur ,  welche  für 
jeden  Körper  einen  constanten  Werth  hat.  In  der  That  aber  können  wir 
immer  nur  die  scheinbare  specifische  Wärme,  nämlich  den  Differential- 
qootienten  der  WirkuBgsfnnotion  in  Beziehung.,  auf  did  Temj^eratur,  be- 
stimmen ,  da  man  nie  wiasen  kann ,  wie  viel  von  der  einem  Körper  suge- 
führt^n  Wärme  zur  inneren  Arbeit  (Verminderung  des  Potentials)  und  wie 
viel  zur  Vermehrung  der  lebendigen  Kraft  verbraucht  wird.  Die  von 
Helm  hol  tz  (Fortechritte 4er  Physik.f.  1851, 1851  p,  508)  mit  sehr  richtigem 
Takt  adoptirte  Definition  der  in  einem  Körper  enthaltenen  Wärmemenge, 
ist  mit  dem  Wärmeäquivalent  der  Wirkungsfunction  identisch.  Um  all« 
Zweideutigkeiten  zu  vermeiden,  wäre  es  das  Beste,  überhaupt  nicht  mehr 
von  der  in  einem  Körper  enthaltenen  Wärmemenge,  sondern  nur  von  seiner 
Wirkungsfunction  ztr  reden. 

Jedenfalls  ist  durch  die  mechanische  Wärmetheorie  selbst  die  Mög- 
lichkeit nicht  ausgeschlossen ,  dass  die  TeroperaturverschLedenheiten  über- 
haupt nur  auf  einer  Verschiedenheit  des  Potentials  (verschiedenen  Anord- 
nung der  Atome)  beruhten  und  es  wäre  vielleicht  nicht  unangemessen,  der 
gangbaren  Auffassung  der  mechanischen  Wärmetbeorie  gegenüber  auch 
einmal  einen  Versuch  in  dieser  Richtung  zu  machen.  Bemerkenswerth  sind 
die  Andetitungen,  welche  Herr  Koosen  hierzu  in  seiner  Abhandlung  über 
die  Gesetze,  der  Eiasticität  homogener  Körper  (Pogg.  Ann.  CI.  401)  gege- 
ben hat,  wiewohl  man  sich  den  dort  ausgesprochenen  Ansichten  schwerlich 
ohne  Weiteres  anschliessen  wird. 


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Kleinere  Mittheilungen. 


ZI.  Oelegentliche  Bemerkimg  tllMr  nnendliclie  Beulen.  Bekanntlich 
hat  stierst  LejeuneDirichlet  bemerkt,  dass  bei  einer  unendlichen  Reihe 
ans  dem  Verschwinden  ihrer  einzelnen  Glieder  nicht  auf  das  Verschwinden 
der  Keihensamme  geschlossen  werden  darf;  —  vielleicht  sind  ein  paar  er- 
läuternde Worte,  zn  dem  von  Dirichlet  gegebenen  Beispiele,  sowie  die 
Mittheilnng  weiterer  F&lle  der  Art  den  Lehrern  der  Analjsis  nicht  anwill* 
kommen. 

Dass  die  Stimme  /*(^)  der  Reihe 


1)  /'(«)  =  r5:?  +  ii7?  +  iT5:?+- 


ffir  ^  =  0  nicht  nothwendig  Null  zn  sein  braucht,  .obschon  jedes  einzelne 
Glied  bei  jenem  Werthe  verschwindet,  kann  man  schon  ersehen,  wenn  man 
der  obigen  Gleichung  die  Form 

Art  =  f  (jT+?+ JT+l?  +  ^1+5  +  •••) 

ertheilt)  es  wird  dann  /'(0)=0.  oo,  also  nicht  unzweifelhaft  ssO.  Will 
man  den  Betrag  von  /'(Q)  auf  elementarem  Wege  finden ,  so  bedarf  es  nur 
der  Bemerkung,  dass 

f^^  ~  21+?  ^^^  ~  iH^~2>+?  "*"  3«+?  —  •  •  • 
ist,  woraus  folgt 

A^^~2^  — 1  \li+^       2*+^"^3>+*       "7' 


mithin 


A0)  =  7V(|-4  +  i-i  +  -..)  =  i. 


/2 

um  für  sehr  kleine  ^  den  Werth  von  /'(^)  mit  grosser  Genauigkeit  zu 
ermitteln,  ist  es  am  besten,  die  Reihe  in  zwei  Theile  zu  zerlegen,  nämlich 

uigiTizea  oy  x^j  vyv_/p^LN^ 


Kleinere  Mittheihmgeu.  133 

^  ^  [f+?  "•■  (F+TjTTi  +  (F+IJTT*  "^  •; ' J • 
den  ersten  Theil  direet  numerisch  2u  berechnen  nnd  den  sweiteii  in  eine 
andere  st&rker  eonrergirende  Reihe  umasiwetzen.   Man  hat  xinn 


mithin 


+  n-r^nxo  + 


0 

andererseits  ist  nach  einem  sehr  bekannten  Satze 

««•  ,        u 

:u  + 


worin  j9,  ,  ^^  etc.  die  Bernonlli 'sehen  Zahlen. bedeuten  nnd  ^  zwischen 
0  und  1  liegt;  nach  Substitution  dieses  Ausdrucks  lassen  sich  die  einzelnen 
Glieder  leicht  integriren,  so  dass  man  erhält 

^-  +  _L_+__J_4. 

~r(i+^)L"*«"^*    &•+!   ^1.2    i«+»       '•' 

Setzt  man  für  ^seinen  kleinsten  und  grössten  Werth,  so  liegt  R  zwischen 
0  nnd 

I.2...(2n  +  2)J"  "^  '''*         l;2...(2«+2)        Jt*-l-2»+2        • 

Der  Best  beträgt  also  einen  Bruchtheil  desjenigen  Gliedes,  das  bei  weiterer 
Fortsetzung  der  Beihe  folgen  würde.  Wir  multiplidren  beide  Seiten  der 
vorigen  Gleichung  mit  ^,  substituiren 

r(e+i)  =  jr((f),   r(«  +  2)  =  *(«  +  i)rC^), 

.«taen  zur  Abk««mg  .,g,„zedbyGoOgle 


/\ 


134  Kleinere  Mittheilungen. 


und  erhalten  nunmehr  folgendes  Kesnltat: 

worin  9  einen  nicht  näher  bestimmten  positiven  ächten  Bruch  bezeichnet. 
Nimmt  man  A:  =  10 ,  00  wird 


3) 


,  J_  r.   .   1     ,  ^  _     9*    j ?6 1 

"^lO^L  *^        600       300000       42000000        "j 


und  der  Rest  beträgt  jedesmal  einen  Bruchtheil  des  folgenden  Gliedes;  diese 
Formel  gewährt  eine  ansehnliche  Genauigkeit  *). 

Aus  dem  Dirichle tischen  Satze  folgt  z.  B.,  dass  die  Keihensumme 
,  .        sin  X   .   sin  igX  .   sin  ix   . 

für  x=^0  nicht  verschwindet.     Es  ist  nämlich,  wenn  z  einen  Bogen  des 
ersten  Quadranten  beseichnet^ 

mithin  liegt  q>{x)  zwischen  den  Grössen 

.    ix^i  ^2'+^^3'+» 
und 


beide  nähern  sich  der  gemeinschaftlichen  Grenze  1,  mithin  ist  97(0)-^  1. 
Eine  andere  hierher  gehörende  Reihensumme  ist 

die  Reihe  convergirt  für  alle  positiven  x\  für  :r  =  0  verschwindet  jedes 
einzelne  Glied  derselben,  da^aber 

^ (o:)  =  a;  |^^^  ^  ^^  +  ^^  ^  ^^^,  +  (1  +  3a:)«  +  " ' 'J' 

wird  ^ (0)  =::=  0 .  00 ,   also  unbestimmt     Dass  in  der  That  '^(0)  nicht  den 
Werth  Null  hat,  kann  man  auf  folgende  Weise  sehen.   Es  iät 


*)  Dirichlet  "benutzt  in  der  Hauptsacjie  dasselbe  Verfahren,  entwickelt  aber 
nur  das  erste  Glied  der  zweiten  Reihe  (s.  Crelle'8  Journal,  Bd.  19  S.  320). 

uigiüzea  oy  v_j  vyv^'i  lv. 


Kleinere  Mittheilungen.  135 


^(a:)_^(2a:)=; 


(1  +  a;)«       (l+2ar/       (l  +  Zxy       '" 
_  2a:*  +  3ar'  20:*  + 5a:*  , 

~  (1  +  xy  (I  +2xy^  (1+ 3a:)«  (1  +  4*)«  "'^  •  •  • ' 
mithin  i(;(a:)  —  ^(2a:)  eine  positive  Grösse  oder 

ij;(2^)<^(a:). 
Hieraus  folgt  für  ar==  |,  J,  |^,  j'^.  etc. 

mithin  betrügt  ^(0)  mehr  als  -^(1)  =  ^  +  |  +  ^^  +  . . .  =  0,64493^  j  über- 
haupt zeigt  sich,  dass  ^(a?)  wächst,  wenn  x  abnimmt. 

Um  -^  (x)  für  ein  der  Null  nahe  kommendes  x  mit  grosser  Genauigkeit 
berechnen  zu  können,  benutzen  wir  ein  ähnliches  Verfahren  wie  vorhin. 
Mit  Hilfe  der  Formel 

-=  /tte-<^+"*>"  du 

(l+nxy       ' 

erhalten  wir  zunächst 


(1  +  nxy 


<->V^' 


und  setzen  hierin 

<?'•  — 1  '        ^1.2  1.2.3.4 

•^       ^         l...(2n)  ^/^        '^   l...(2n  +  2) 

Nach  Ausführung  dieser  Integrationen  findet  sich 

5)     ^{x)  =  l--lx  +  B,a^  —  B,x'  +  ...+(-iy-^B2n^iX^* 

worin  0  wieder  einen  positiven  ächten  Bruch  bezeichnet.  Die  vorstehende 
Gleichung  ist  bei  kleinen  j?,  wie  z.  B.  ar  =  0,01,  sehr  bequem  zur  Berech- 
nung von  ^(a:);  zugleich  ersieht  man,  dass  t/;(0)  =  l  ist. 

Da  die  Bernoulli'schen  Zahlen  zwar  anfangs  abnehmen,  später  aber 
rascher  als  eine  geometrische  Progression  wachsen ,  so  convergirt  die  vor- 
stehende Keihe  nur  im  Anfange  und  würde  divergent  werden,  wenn  man 
sie  ins  Unendliche  fortsetzen  wollte.  Man  kann  aber  auch  eine  jederzeit 
eonvergirende  Reihe  für  ^  {x)  finden.  Mittelst  der  Substitution 
1  — «-*~  =  v,     are-'«  =  rf», 


erhält  man  nämlich 


1 


Digitized  by 


Google 


136  Kleinere  Mittheilungen. 

hier  lässt  sich  der  Logarithmus  nach  steigenden  Potenzen  von  v  entwickeln 
und  nachher  jedes  einzelne  Glied  mittelst  der  Formel 

f^o-vrä,^         1.2.3...» 


/" 


(ö  +  l)(a  +  2)...(a  +  n  +  l) 


integriren.   Damit  gelangt  man  zu  dem  Besultate 

,. l     ^t  l.x ,,  1.2.jr»  • 

t))  *W  — 1  +  ^  +  4(1  + ^^(1+2^) -t-i(l+^^(l^.2a:)  (1+3^) '*'••• 
wohei  die  Reihe  fttr  alle  positiven  x  convergirt;  für  j?  =  0'wird  wieder 
^(0)  =  1. 

Eine  ganz  ähnliche  Behandlung  gestattet  die  allgemeinere  Function 

7)  ^(^,^)  =  (j^^y+^  +  (j^2x)i+^  +  (l  +  3^)i+*  +  **'' 
man  findet  dafür  leicht  die  halbconvergirende  Reibe 

8)  '         F(x,Q)  =  l  —  lQX+B,g^x^''B^Q^x/^  +  ..., 

worin  ^,  ^4  etc.  die  frühere  Bedeutung  haben  und  der  jedesmalige  Rest 
einen  Bruchtheil  desjenigen  Gliedes  ausmacht,  das  bei  weiterer  Fortsetzung 
der  Reihe  folgen  würde. 

Die  Function  F{x^  q)  besitzt  die  besprochene  Eigenschaft  zweimal ; 
sowohl  für  a?  =  0  als  für  ^  =  0  verschwindet  jedes  einzelne  Glied  der 
Reihe,  aber  in  keinem  der  beiden  Fälle  wird  F{äs^Q)=^Oy  vielmehr  ist 

^(0,  ^)  =  F{x^O)  =  1*     Nimmt  man  :r  =  -r ,  so  kommt  man  auf  eines  der 

früheren  Resultate  zurück.  Schlömilch. 


Zn.  Wiederholung,  Inteipolation  und  Inversion  einer  Function  unter 
gemeinschaftlieher  Form.  Von  Dr.  R.  Hoppe,  Privatdecent  in  Berlin. 
Die  nmal  wiederholte  Function  ^(x),  d.  i.  das  Resultat  einer  n  maligen 
Substitution  von  q>{x)  für  a:,  sei  bezeichnet  durch  «p^Co:),  so  dass  9^{x)  =sa:, 
9*  (a:)  =  g)  (ar) ,  9  "+ ^  (o:)  =  9*  [q>  {x)].  Dem  entsprechend  kann  man  die 
in theilige  Interpolation,  d.  i.  diejenige  Function,  welche  m mal  wiederholt 

M 

9"  (x)  giebt,  durch  q>^  (x)  und  die  inverse  Function  von  q>^{x)  durch  9~*far) 
bezeichnen.    Eine  Function,  deren  Wiederholung,  Interpolation  und  Inver- 
sion einen  gemeinschaftlichen  independenten  Ausdruck  hat,  der  demnach 
9"(a:)  für  positive  und  negative,  ganze  und  gebrochene  n  darstellt,  ist 
i\  .       a  +  bx 

Die  genannte  Beziehung  zwischen  den  drei  Arten  von  Functionsbil- 
düng  ist  offenbar  eine  allgemein  giltige  und  beschränkt  sich  nicht  auf  Fälle, 

uigiüzea  Dy  x^jvj'v./pc  Lv, 


Kleinere  MiUheilungen.  137 


wo  sich  deren  Resultate  algebraisch  darstellen  lassen;  doch  ist  TioUeicbt 
die  Aufstellung  eines  solchen  Falles  um  so  mehr  von  Interesse. 

Zunächst  bemerkt  mau,  dass  bei  der  Wiederholung  nicht  nur  die 
Functionsform ,  sondern  auch  die  Constanten  a,  d  und  b  —  c  unverändert 
bleiben,  was  sich  sogleich  bestätigen  wird.    Man  kann  daher  setzen 

'  ^  ^  '        tn  —  a  +  dw' 

wo  fr  =s  r|  +  «>  e  s=  r, —  a  zu  setzen  ist.  Hieraas  geht  dnrch  Snbstitation 
TOD  g>{x)  für  «  hervor: 

/ad+  tf+  r^r^        \ 

wodurch  die  obige  Bemerkung  bewiesen  und  zugleich  zur  Berechnnug  der 
r  die  Relation 

ad+  tf  +  rnr^ 

gewonnen  ist.   Es  sei 

1  — —  2]| 

Dies  in  die  vorige  Gleichung  eingeführt  giebt 

woraus 

folglich ,  wenn  z,  1=  z, 

Zn  =  Z". 

Setzt  man,  da  eine  der  Constanten  a^  b^  c^  d  willktthrlioh  ist,  d  =  l,  bo 
geht  Gleichung  2)  ttber  in  -; 


3)  9>«(«)  =  - 


wo  u,  ß,  t  keiner  Relation  unterworfen,  also  entweder  beliebig  gegeben, 
oder  durch  die  Gleichungen 

>  — c      „       t/a    ,     ,  h  +  c  —  ißd 

«=-^.    /»  =  f  7  +  "*.    '  =  rfT+2p 

ans  den  gegebenen  Grössen  a ,  6 ,  c ,  d  abgeleitet  sind. 

Soll  nun  umgekehrt  q>[x)  aus  q>^(pc)  gefunden  werden,  so  ist  t",  wie 
vorher  z,  als  gegeben  zu  betrachten  und  z  geht  daraus  durch  Wurzelaus- 
ziehung hervor.  Die  Interpolation  wird  demnach  durch  Division  des  Ex- 
ponenten von  z  vollzogen,  oder,  was  dasselbe  ist,  die  Gleichung  3)  gilt 
noch  für  gebrochene  Werthe  von  n.  ^,g  ,^^^  ^^  GoOglc 


138  Kleinere  Mittheilangen. 

Ist  m  der  Neuner  des  Exponenten,  also  m — 1  die  Anxahl  der  zwi- 

M  n 

sehen  x  und  (p'^ix)  interpolirten  Functionen,  so  hat  z" ,  mithin  auch  g)"*  (x), 
m  verschiedene  Werthe,  zu  deren  Beurtheilung  drei  Fälle  unterschieden 
werden  müssen. 

1)  z  ist  reell  und  positiv,  wenn 

—  JL 

ist.    Hier  hat  «*•,  mithin  auch  g)'"(x),  jederzeit  einen,  fttr  gerade  m  zWei 

reelle  Werthe.    Betrachtet  man  nur  den  positiven  Werth  der  Potenz  als 

giltig,  so  wird  q)'^{x)  eine  einförmige  stetige  Function  von  «. 

2)  z  ist  reell  und  negativ ,  wenn 

aä^bc 

ist.  Hier  hatz"*,  mithin  auch  ^'"(a;),  nur  für  ungerade  m  einen  reellen 
Werth  und  q>\x)  kann  als  reelle  Grösse  nicht  mit  n  stetig  variiren. 

3)  z  ist  imaginär  und  hat  den  Modul  1 ,  wenn 

ist.    Setzt  man  in  diesem  Falle  iß  statt  ß 

so  geht  Gleichung  3)  üher  in 

4^  „n  i^^  ^  -^  —  ß^+[ßcotn{^  +  kn)  +  a]x 

^  ^^^  ßcoin{^^k7t)  —  a  +  x    '      ••  ' 

wo  k  eine  beliebige  ganze  Zahl  und 


2d    '      '^       y  d  '         "  b  +  c 

ist.  Ist  hier  n  ein  Bmch  vom  Nenner  m,  so  fiat  ^{x)  m  versehiedene 
reelle  Werthe,  entsprechend  Ar  =  0,l,2...,  m-^1.  Bei  stetig  variiren- 
dem  n  wird  also  q>^  (^)  eipe  unendlich  vielförmige  stetige  Function  von  n, 
deren  unendlich  viele,  den  einzelnen  k  entsprechende  Zweige  für  jedes 
ganze  n  in  einen  Werth  zusammenlaufen ,  während  sie  sich  für  jedes  ratio- 
nal gebrochene  n  in  eine  dem  Nenner  gleiche  Anzahl  von  Werthen  ver- 
einigen. 

Löst  man  ferner  Gleichung  3)  und  4)  nach  w  attf ,  so  kommt 

«  = 

1  4-  z~* 
ßl±—-^-a  +  r{x) 

^  —  ^t_ßt^^_  ß cotn{^  +  kn)  +  a]ip''ix) 
^ßcotn{'»  +  kn)  —  a  +  g>''{x) 
Da  g)^  [q)^" {x)]  =  q/* {x)  =^  X  ist,  so  gehen  diese  zwei  Gleichungen  nach 
Substitution  von  w^^ipc)  für  x  in  die  Gleichungen  3)  und  4)  mit  vertauseh- 


Kleinere  MittheilungeD^  139 


tem  Vorzeichen  von  n  über.  Folglich  gelten  beide  fär  positive  nnd  negative, 
ganze  und  gebrochene  Werthe  von  n,  nnd  jede  von  ihnen  enthält  unter  ge- 
meinscbaftlicher  Form  dag  Resultat  jeder  Wiederholung,  Interpolation  und 
Inversion.  ' 

Nur  im  letzten  der  oben  genannten  Fälle,  d«  i.  für  imaginfire  z  (eine 
specielle  Ausnahme  ungerechnet),  wird  9"(^)  periodische  Function  von  n, 
indem  sie  für 

mn 

wo  m  beliebige  ganze  Zahl ,  in  ihren  Anfangswerth  o;  übergeht.  Wird  also 
eine  Function  von  der.  Form  1)  verlangt,  welche  nach  je  n 
Wiederholungen  wie4er  =±=ar  wird,  so  erhält  man  unmittelbar  aus 
Gleichung  4)  die  folgende  allgemeinste  Lösung : 

<p  {x)  = , 

ß  cot a  +  X 

« 

wo  a  und  ß  willkürlich  und  m  eine  beliebige  ganze  Zahl  ist ,  die  jedoch  re*- 
lative  Primzahl  zu  n  sein  muss ,  wenn  die  Periode  nicht  in  kleinere  Perio- 
den zerfallen  soll,  und  deren  Werthe  sich  überdies  auf  das  Intervall  von  1 
bis  n  —  1' beschränken  lassen.  Insofern  für  ii=::2,  wo  ß  nicht  im  Aus- 
druck vorkommt,  ß^  auch  negativ  sein  kann,  giebt  auch  der  zweite  der 
drei  Fälle  hier  eine  Lösung. 


TTTT.  Heber  einige  bei  trigonometrischen  Messungen  ▼orkommende 
Aufgaben.  Von  Dr.  A.  Wikckle»  in  Grata.  Den  im  zweiten  Bande  die- 
ser Zeitschrift,  Seite  334,  erörterten  Angaben  über  das  Centriren  der  Win- 
kel und  das  Höhenmessen  füge  ich  im  Folgenden  einige  weitere  hiitzu, 
welche,  meines  Wissens  neu.  vermöge  der  einfachen  Lösung,  deren  sie 
fähig  sind,  und  wegen  des  Nutzens^  welchen  sie  in  praktischen  Fällen  mir 
gewährten,  von  Seiten  der  Geemeti^r  einige  Beachtung  an  verdienen  schei- 
nen. Die  Lösung  derselben  habe  ich  auf  einen  bekannten  Satz  gegründet, 
der,  wie  sich  bei  einer  grossen  Anzahl  von  Fällen  zeigen  lässt,  in  durch- 
aus gleichförmiger  Weise  für  Aufgaben,  welche  nur  e i n e  Auflösung  zu- 
lassen, die  vortheilhaf teste  Berechnung  der  Winkel,  nämlich  durch  deren 
Tangenten ,  und  in  der  bequemsten  Form  vermittelst  Logarithmen  liefert. 

Dieser  Satz  besteht  einfach  darin,  dass  mit  der  trigonometrischen 
Gleichung 

$in  P 

gleiclweitig  auch  die  folgende  DigitizedbyGoOgle 


140  Kleinere  Mittheilungen. 

stattfindet,  dass  also  die  Winkel  Paad  Q  gefonden  werden  können,  wenn 
ausser  jener  Oleicbung  und  ausser  dem  Werthe  von  <p  entweder  noch  die 
Samme  P+ 10  oder  die  Differenz  P — jß  gegeben  ist. 


1. 

Die  Anflösnng  der  Pothenot 'sehen  Aufgabe  in  einer  Form,  welche 
von  der  gewöhnlichen  abweicht,  möge  als  erste  Anwendung  des  soeben  be* 
leichneten  Satzes  dienen. 

Die  gegenseitige  Lage  dreier  Punkte  A,  B^  C  (Fig.  1,  Taf.  II.)  ist  durch 
die  auf  einen  derselben,  C,  beaogenen  Azimuthe  tt,  ß  und  Distanzen  a,  h  ge- 
geben. Man  soll  die  Lage  eines  vierten  Punktes  0  durch  die  auf  ihn  bezo- 
genen Azimuthe  und  Distanzen  der  gegebenen  Punkte  bestimmen,  wenn 
von  0  aus  nur  die  Winkel  AGB  =s  iL,  BOC=^  fi  gemessen  worden  sind. 

Es  seien  von  0  aus  gesehen  die  Azimuthe  der  Punkte  A^  B,  C,  resp. 
a,  ß\  y  und  die  Distanzen  jener  Punkte  von  0,  nttmlich  AO^=^a\  BO^=b\ 

Setzt  man 

SO  ist 

P-  Q  =  {a'-ß')-{a-ß)  =  -{a^ß  +  k) 

und  man  findet  für  die  Dreiecke  ACQ  und  BCO  die  Proportionen: 

a^ sin  (g  ■ —  a)       b  sin  (ß' — ß) 

c  shik       '     c'  sin^       ' 

woraus  folgt: 

sin{a  —  tt) b  sinl 

8in{ß' — ß)       asififk* 

Wenn  man  also  aus  der  Oleicbung 

b  sin  l 

fang  cp  = : — ■ 

*^  ^        a  stn\k 

den  Winkel  berechnet,  so  kann  man  aus  der  Relation 

sin  P      ^ 
-^-—  =  fang  <p , 
stnQ  * 

welche  sich  durch 

tang-^Y^'^^^^^^~% ta«öf(y  — 45^) 

ersetzen  lässt,  und  aus 

P  —  Q ^irrl+A 

2  2 

die  Winkel  P  und  Q  finden.    Zur  Verification  dieser  Bestimmung  und  zu- 
gleich zur  Bestimmung  von  c\  b\  a  dienen  dann  sofor^  m^f a^^t!?^^)^?C. 


Klein^e  Mittheilntigen.  141 

smP*    ^9inQ 
c  =a-r-~  =  ^-^ — , 
9tnk  stn^i 

sinfi. 

Wie  man  bemerkt,  ist  in  der  hier  gewäblten  Form  die  Lösnng  der 
Aufgabe  ebenso  einfaeh  als  in  der  gewöbnlichen  und  betrSchtlich  einfacher 
als  die  Bestimmung  de^  vierten  Pnnktes  ans  den  rechtwinkeligen  Coordi- 
naten  der  Punkte  A^  B^  C  gemäss  deü  zuerst  von  B  es  sei  aufgestellten 
Formeln. 

2. 

Wenn  von  dem  zu  bestimmenden  vierten  Punkte  D  (Fig.  2,  Taf.  11.) 
aus  keine  Winkelmessung  möglich  ist ,  dafHr  aber  auf  den  Punkten  A  und 
B  die  Winkel  CAD  =  a,  CBJ)=^ß  gemessen  werden  können,  so  hat  man 
es  mit  einer  der  Potheno tischen  ganz  ähnlichen  Aufgabe  zu  thun,  deren 
bequemste  Lösung  auf  die  folgende  Art  erhalten  wird. 

Es  seien  P  und  Q  die  beiden  Winkel  am  vierten  Punkte  und 

80  ergeben  sich  die  Proportionen : 

s  sina       s sinß 

7       sinP^    T~8iHQ^ 


ans  welchen  die  Gleichung 
folgt.    Setzt  man  nun 


sinP       b  sina 
sin  Q       a  sin  ß 

b  sina 

iangq>=^~-- 

a  stn  p 


berechnet  hieraus  den  Winkel  9  und  bemerkt,  dass 

2  2  ' 

SO  liefert  diese  Gleichung  in  Verbindung  mit  der  folgenden 

iang  — — ^  =  tang  — ^  tang  (45®  —  tp) 

die  Werthe  von  P  und  Q^  und  für  die  Richtigkeit  der  Rechnung  liefern, 
nebst  dem  Werthe  von  s ,  die  Gleichungen 

sin  a        ,  sin  8 
stn  P  stn  0 

die  Probe. 

3. 
Zur  Bestimmung  der  gegenseitigen  Lage  dreier  Punkte  A^  By  C  (Fig.  8, 
Taf.  n.) ,  wovon  der  letztere  durchaus  unzngängig  nn^,^§|(f o^^€5BkJ^J79i^ 


142  Kleinere  Mittheilungen. 


überhaupt  nur  durch  die  Sichtungen  AA'  und  Bit  bestimmt  ist,  konnten 
nur  zwei  Stücke  der  Seiten  des  Dreiecks  ABO^  nämlich 

AA'z=,a,     Bff=a\ 
direct  gemessen  werden.    Es  fanden  sich  aber  zwei  gegenseitig  sichtbare 
Punkte  0  und  0\  von  welchen  aas  die  Punkte  A^  A\  B^  B'  sichtbar  waren 
und  daher  die  Winkel  er,  ßy  y^  j,  a',  ß\  y\  6'  gemessen  werden  konnten. 

Es  entsteht  die  Frage,  wie  die  Lage  der  Punkte  A,  B^  C,  sowie  auch 
der  Standorte  0,  0'  zu  einander  sich  bestimmen  lassen.  *•—  Setzt  man  zur 
Abkürzung  die  Winkel 

A'AO'^P,      AA'0=;zQ, 

B^BO  —P;,     BB'O'^Q', 
so  wird  man  zwischen  diesen  und  den  beobachteten  Winkeln  die  Relationen 

P  +0  =«  +ß  +6  ^-a-, 

•       p'+ff^a'+ß^  +  l^  +  d, 
bemerken.    Setzt  man  ferner  die  Distanzen 

A'O'-^p,     AO  =  q,     Off  — 8, 
B'ff=^p\    BO=zq\ 
80  ei^eben  sich  die  Proportionen: 

P  ^^sin  P       q sin  Q 

a       sin  €t^     a       «tn  y  ' 

p «n  (o  +  j8  4"  ^)  q  sin  i* 

7~sin{a+ß+ö  +  a+öy    7  ~  5m  (a  +  /5  +  y  +  Ä  +  «') ' 
aus  welchen,  wenn  man  p,  9,  a,  s  elimiuirt,  sich  akbald  die  Gleichung 

sin  P sin  a  sin  (a  +  /5  +  6)  5i>i  (a  +  ^  +  y  4-  ^  +  O 

sin  0       sino  siny  sin  {a  +  ß '\'  ö  +  a  +  f) 

finden  lässt.  —  Durch  ein  ganz  analoges  Verfahren  erhält  man 

sinP'  _8ina    sin  {a  +  ßf  +  8")  sin  {a  +  ß^  +  y  +  6' +^S) 
sin  Q'       sin  ö  sin  y  sin  (a  +  j3'  +  d'  +  a  +  d) 

und  kann  nun  die  vier  Winkel  P,  P,  P\  ff  einfach  durch  die. folgende  fieoh- 
nung  erhalten. 

4. 

Man  bestimme  den  Winkel  9  gemäss  der  Gleichung : 

_  sin  a     sin{a  +  ß  +  S)  sin  {a  +  ß  +  y  +  6  +  i') 
^^»99>  —  ^^r  sinysin{tt  +  ßJ^S  +  a+6')  ' 

so  hat  man 

p^Q              a  +  ß  +  ö  +  S" 
iang~-^  =  tang ^——L—tang  {q>  —  45«), 

P-^  O^a  +  ß  +  ö  +  ii 
2  2  ' 

woraus  sich  P  und  Q  ergeben. 

Man  bestimme  ferner  den  Winkel  ip'  gemäss  der, 


Kleinere.  Mittheilnngen.  143 

80  hat  man 

fang  — - —  =  lang !— fang  (ip  —  45") , 

2  2' 

woraus  P  und  iß  zu  finden  sind. 

Für  die  Kichtigkeit  der  vier  Winkel  erhält  man  nnn  gleichzeitig  mit 
der  Berechnung  yoq  s  eine  Prohe ,  indem 

_     WnP  5tw  (er  +  /?  +  tf  +  c  +  h')  _    sin  Q  m  (et  +  j? +y  +  ^  +  y) 
Ätna'  «m(a-^j3  +  ^)  «nd'  siny  ' 

sowie  auch 

^^.wiP'  j?iii(«+/r-fy+cp+a)^  .  5i«  g'  5t«  (tt + /?>  y+a' + d) 

$m  a  sin  {a  +  ß>  +d')  sin  S  sitt  y 

sein  mnss.    Sind  zwei  Winkel  richtig  befanden ,  so  kann  man  nun  auch  die 

Werthe  von 

sinP  sinQ 

p=a—, — ;,       ^=0— : , 

sma  smy 

,sinP'  ,        r  sinQ' 

p^^a—, ,       q=a— — r, 

sin  a  smy 

ACB  =  l9(f—{P+P')  +  i  +  8'^lS(P  +  Q+Or-^{a  +  ß  +  ö  +  a+fi^+6') 

berechnen. 

Will  man  ferner  auch  die  Winkel 

JCO^R,     BCOz:^$ 
bestimmen,  so  bemerke  man  zunächst,  dass 

0€_sinQ^  00^      ^•«(«+^+/+^+ J) 

OA'~sinR'  OB"^    sin{ct+ß'+y  +  6')     ' 

OA' _  sin{d+f)  OB  _  sin  S 

a&~sin{a  +  ß+ö+a  +  ßy       OC~sin~F 
und  dass,  wenn  man  alle  diese  Gleichungen  mit  einander, multiplicirt,  so- 
dann 

_  sin  0  sin  {a  +  f)  sin  (a  +  ß+  y  +  ^  +  i) 

setzt,  die  Gleichung 

sin  R 
jr^=tangn> 

erhalten  wird.    Da  aber  Ä  +  S  =  AGB ,  so  findet  man  für  die  Bestimmung 
von  R  und  S  die  Gleichungen : 

fang  — -—  =  cotg  — * ~ iang  {^f  —  45^) , 


7.  2  2 

*"  Ä,  *-  Digitizedby 


Google 


144  Kleinere  Mittheilungen. 

Es  bedarf  nnnmehr  keiner  weitern  Auseinandersetzung,  wie  alle  Seiten 
und  Winkel  des  Dreiecks  ABC  berechnet  werden  können. 

Der  praktische  Nutzen  dieser  Aufgabe  lässt  sich  nicht  verkennen,  denn 
sie  liefert  in  Fällen^  wo  es  sich  z.  B.  um  die  Verbindung  zweier  Tracen 
AA'  und  BB'  handelt,  deren  Punkte  gegenseitig  nicht  sichtbar  sind,  ohne 
viele  directe  Messungen  die  zu  jener  Verbindung  nöthigen  Elemente. 


6. 
Drei  Punkte  A,  B,  C  (Fig.  4,  Taf.  II.),  deren  gegenseitige  Lage  nicht . 
bekannt  ist,  und  welche  keinen  Standort  für  ein  Instrument  darbieten,  kön- 
nen von  drei  andern ,  gegenseitig  sichtbaren  Punkten  0,  0| ,  O^  aus  beob- 
achtet werden ,  so  dass  die  zehn  Winkel  a,  ß,  yi  ^)  «j » /3i »  /i  >  ^ht  ßtj  ^t  ^^^ 
bekannt  zu  betrachten  sind.    Es  entsteht  die  Frage,  wie  man,  ohne  eine 
Linie  zu  messen,  die  Winkel  des  Dreiecks  ABC,  sowie  überhaupt  alle  Win- 
kel der  Figur  ABCOO^O^  finden  köuna 
Zur  Bestimmung  der  Winkel 

CAO^  =  P,,     CBOi  =  P^, 
CAO^  =  Q,,     CBO^z=zQ^^ 
hat  man  zun&ehst  die  Proportionen : 

AC^  sin  CT,  PC sjnjßy  +  y^ 

Ö^C~sinPi'  O^C        *iVi(a-fa)  ' 

OiC_  sin(ß+Y)       0^£_sinO^  ; 

OC       sin(a^  +  ö^^    AC  ~  sin  c,  ' 
aus  welchen ,  wenn  man  sämmtliche  mnltiplicirt  und 

^  sin  cf,  sin  (ft  -f  y,)  sin  (ß  +  y) 


^  ^       sin  a,  sin  (o,  +  d«)  ««  (a  +  d) 


setzt,  die  Gleichung 


sin  />, 
stn  £), 


sich  ergiebt.    Bemerkt  man  weiter,  dass 

ft— i>,=360»-(a  +  ^  +  y  +  a  +  «,  +  Ä+y,+«.), 
so  gelangt  man  für  die  Bestimmung  von  P^  und  Q^  zu  den  beiden  ^Gleich- 
ungen :  ^ 

iang  — =  lang cotg  {tp^  —  ASP) , 

fi-Oi^«  +  /?+y-H  +  «i  +  ft  +  y«  +  <«     ^^ 

2*2 
Durch  ein  ganz  analoges  Verfahren  findet  man,  wenn 

fj^       -^  ^>'^  ft  ^'^  (""t  +  ^«)  ^^  (« t  ^) 
^^       sinß^sin{ß,^y,)sin{ß  +  y) 

gesetzt  und  daraus  ^,.  berechnet  wird,  die  Gleichungen  OoOqIp 


Kleinere  Mittfaeilangen.  145 

Umg ^ —  =  lang cotg  (y,  —  45'*) , 

Pf-02^a  +  ß  +  Y  +  ^  +  ^t  +  ßt  +  *t+Yi       ^^ 
2  2  ' 

aiiB  welchen  P,  und  0,  leicht  gefcinden  werden  können ,  da  mehrere  hierza 
nSthige  Westhe  ans  der  Berechnung  von  Pj  nnd  Qi  benntst  werden  könnbn« 

6. 

Sobald  diese  vier  Winkel  gefanden  worden  sind ,  erhält  man  nun  auch 

einen  der  gesuchten  Winkel,  nämlich 

^Ci?===360^— (a,  +  PJ~(P.  +  A)=360f»-(«,+ft)-.(P,  +  ()a, 

und  damit  zugleich  eine  Sechnungspiobe ,  indem  hieraus ,  wie  man  sieht, 

die  Gleichung 

^t  +  ßt  +  Pi—Pf^^+ßi  +  Qi-Qt 
folgt. 

Um  nun  schliesslich  auch  die  beiden  anderen  Winkel  des  Dreiecks, 
nämlich 

BAC—P  und  ABC  =  0 
zu  finden ,  ergeben  sich  die  Proportionen 

ßC sinß,  OC^ sin  (g,  +  8^) 

OiC^^inP^'  0^C~   sin(ß  +  y)  ' 

OjC  _  sin(a  +  8)       OtC^shiPt 

AC sinQ 

BC~9inP' 
aus  welchen ,  wenn  man  sie  insgesammt  multiplicirt  und  wenn  man 

,^^ ^Pj   9inß,   sin  (a  +  8)sin  (a^  +<,)  _  m  P,  sin  fe  ^ 

^^       mP,  sinßf   sin(ß  +  y)sin{ß^+y^)       sin  P^  sin  a^ 
setst,  die  Gleichung 

sinP     ^ 
smQ 
hervorgeht.  • 

Hieraus  folgt  nun,  dass,  wenn  der  Winkel  q>  der  angefahrten  Gleichung 
gemäss  berechnet  und  die  Relation 

^  +  ö  =  «t  +  ft  +  ^1  +  Ö,  —  180°  =  « .  +  ft  +  ^.  +  ft  —  1 80^ 
berücksichtigt  wird ,  zur  Bestimmung  von  P  und  Q  die  Gleichungen 

P^O^^^  +  ßi  +  Pt  +  Ot      ^ 

2  2 

angewendet  werden  können. 

Wie  man  sieht,  sind  hiermit  alle  in  der  Figur  vorkommenden  Wiu^yC 

ZeitMhrifl  f.  Mathematik  a.  Physik.  V.  10 


146  Kleinere  Mittheilinigen« 

nnd  zwar  sowohl  jene  der  Diagonalen  als  der  Seiten  bestimmt  und  es  ist 
also  die  Aufgabe  gelöst. 

7. 

Die  soeben  betraehtete  Aufgabe  hat  Aehnliehkeit  mit  deijeaigeQ, 
welche  zuerst  Lambert  in  seinen  Beiträgen  zut  Mathematik,  I.  l^tuady 
Seite  78,  gestellt  bat,  und  deren  richtige  Auflösung  in  der  Sammlung  geo- 
metrischer Aufgaben  von  Meier  Hirsch,  I.  Band,  Seite  83,  ausführlich 
angegeben  ist.  Diese  wegen  ihres  praktischen  Nutzens  vielfach  gerühmte 
„ Lambert'sche  Aufgabe"  bezweckt. nämlich  ebenfalls  die  Bestimmung  der 
Lage  von  sechs  Punkten  -4,  /?,  C,  0,  0,,  0,,  soweit  dieselbe  von  Winkeln 
abhängt,  aber  es  wird  bei  ihr  vorausgesetzt,  dass  man  sich  nicht  nur  in 
den  drei  Standpunkten  0, 0|,02,  sondern  auch  noch  in  einem  der  drei  Punkte 
A^  Bf  C  mit  dem  Instrumente  aufstellen  und  daselbst  die  Winkel  messen 
könne,  welche  0,  Ot,  0,  mit  einander  bilden,  so  dass  also  im  Ganzen  vier 
Aufstellungen  erforderlich  sind.  Aber  gerade  jene  Voraussetzung  thut  der 
häufigem  Anwendbarkeit  dieser  Aufgabe  wesentlichen  Eintrag.  Ist  nämlich 
in  einem  vierten  Punkte,  z.  B.  in  i^,  eine  Aufstellung  möglich,  so  wird  man 
fast  immer  auch  die  Winkel  BAC  und  BAO^  messen  können,  und  dann  be- 
darf es,  um  die  übrigen  Winkel  zu  finden,  nicht  mehr  der  Lambert'schen 
Aufgabe ;  kann  dagegen  jene  vierte  Aufstellung  nicht  genommen  werden, 
während  sich  doch  0,  Oj ,  0,  so  wählen  lassen ,  dass  diese  Punkte  gegen- 
seitig sichtbar  sind  —  was  gewiss  am  läufigsten  der  Fall  ist ,  —  so  sind 
schon  alle  Bedingungen  erfüllt,  um  die  Lösung  der  Aufgabe  des  Art.  5 
anzuwenden,  welche  um  ein  Beträchtliches  einfacher,  für  die  logarithmische 
Rechnung  bequemer  und  vermöge  der  wiederholten  Controlen  in  der  Aus- 
führung sicherer  ist  als  die  Auflösung  der  Lambert^schen  Aufgabe,  wie 
schon  ein  Blick  auf  die  von  Meier  Hirsch  a.  a.  0.  Seite  86  aufgestellten 
Formeln  hinreichend  deutlich  zeigt. 

Schliesslich  scheint  mir  noch  die  Bemerkung  von  Interesse  zu  sein, 
dass  mit  der  in  den  beiden  vorigen  Artikeln  erörterten  Aufgabe  zugleich 
eine  wesentlich  allgemeinere  ihre  Lösung  gefunden  hat,  nämlich  die  Auf- 
gabe: Aus  blos  drei  gegenseitig  sichtbaren  Standpunkten 
O,  0,,  0,  die  Winkel  irgend  eines  Polygons  ABCB,,,  zu  be- 
stimmen, dessen  Endpunkte  von  0,  Of,  0,  aus  insgesamrat 
sichtbar  sind. 


ZIV.  Blementarer  Beweis  des  yöUer'seh^n  8atit8  und  Vebertragnng 
desselben  anf  rftnmliolie  Verhältnisse.  (Vergl.  Jahrg.  IV.  pag.  143  u.  366.) 
Der  in  letzterer  Zeit  mehrfach  zur  Sprache  gekommene  Völler ^sohe  Lehr* 
satz  von  einer  allgemeinen  Eigenschaft  aller  ebenen  (/Jj^f^Kl^f^Ui^Mu^ 


Kleinere  HittheiluQgeo.  '  H7 

Corven  doppelter  KrUmmaiig  atudehnen  und  giebt  Veranlassaag  zn  HBdem 
vevwandten  Probleniei).  Ohne  ihn  (der  Kürae  wegen)  hier  au  wiederholen, 
ittöge  hier  ein  Beweis  des  Sataes  folgen^  der  sich  auf  eine  durch  Hnjghen« 
in  seinem  Werke:  „/>6  circtäi  magnihiäme  invenia:  Lugd.  BcU.  1454''  begannt 
gevordeaen  Belation  gründet.  Hiernach  ist  da»  Areal  eines  Kreises  hlei* 
ner  als  ein  umsehriebenes  reguläi-es  Vieleck  yerniindert  um  den  dritte^ 
Theil  des  Unterschiedes  zwischen  diesem  Vieleck  und  einen»  eingeschrie- 
benen von  eben  so  viel  Seiten  und  nähert  sich  fort  und  fort  dem  Orena- 
werthe  dieser  Differenz,  wenn  die  Seitenzahl  der  Polygone  in«  Unfl^adlicl^e 
zunimmt,  also 

Dividirt  man  diese  Gleichung  durch  n  und  bringt  sie  auf  die  ITorni^ 

-(^■)=-»(^^-) 

and  erwjigt,  dass  daa  in  Bede  stehende  unendlich  kleine  Bogenelement  der 
Cnrve  das  Bogenelement  eines  Kreises  ist,  dessen  Radius  dem  Krümmungs- 
halbmesser ^  desselben  Bogenelements  gleichkommt,  ferner  dass  K  dividirt 
durch  n  der  angehörige  unendlich  schmale  Sector  des  Kreises,  E^  dividirt 
durch  n  aber  zugleich  den  nten  Tbeil  des  eingeschriebenen  nEcks»  Vn  di- 
vidirt darch  n  denselben  Theil  des  umschriebenen  nEcks  beaeichnet,  so  ist 
offenbar  der  gesuchte  Grenawerth  gleich 

1)     Lim  ( — -^ )  =  1  d.  h.  Tangentendreieck  :  Segment  =  3:2. 

Da  dieser  Sata  nur  für  den  unendlich  schmalen  Kreissector  gilt,  so  l&sat 
sich  derselbe  auf  alle  Curven  sowohl  der  Ebene  als  des  Baumes  anwenden, 
woraus  umgekehrt  eine  Ausdehnung  des  Uuyghena'schen  ]>ebr«AtzQS  auf 
alle  Curven  folgt.  .Beaeichnet  nämlich  F  das  Areal,  welches  zwischen  einer 
Evolute  und  ihrer  Evolvente  liegt,  U^  ein  beliebiges  der  Evolvente  einge« 
schriebenes  Polygon  von  n  Seiten  und  E^  das  eingeschriebene  von  dersel- 
ben Seitenaahl,  so  findet  stets  die  Relation  statt 

vorausgesetzt,  dass  unter  E^  dasjenige  eingeschriebene  Polypen  verstanden 
wird,  dessen  Seiteif  die  Berührungspunkte  des  umschriebenen  mit  einander 
verbindet.  Hierbei  ist  es  natürlich,  jedoch  nicht  nothwendig,  die  Polygqnei 
so  apaan^men,  dass  die  abgeschnittenen  Bogenelemente  beim  Uebergange 
zur  Gränze  den  augehörigen  Krümmungshalbmessern  proportional  seien; 
der  Satz  gilt  aber  auch  ohne  diese  Annahme. 
Sine  aweite  Formel  von  Hnyghens  lautet 

E=Lifn{En')r\(En  —  E^^^] 
welche  die  neue  merkwürdige  Beaiehung  liefert 

"  "'*  Digitizedby  Google 


148  Kleinere  Hittheilunges. 

Um  aach  diese  Oleichnog  auf  alle  CarTen  aasdehnen  za  kennen ,  ist  es 
nötbig,  das  Bogenelement  AB  (Fig. 5,  Taf.  11)  zu  halbiren  in  D  und  die 
Sehnen  AD  und  BD  zu  ziehen.  Für  unendlich  kleine  Bögen  (Kreisbligen) 
ist  AC^BC  und  AD  =  DB,  folglich  AG  =  GB.  Legt  man  durch  den 
Punkt  D  die  Tangente  DE,  so  ist  sie  auch  parallel  zur  Sehne  AB.  Nqq 
gilt  der  erste  Satz  fttr  das  Tangentendreieck  DEB  und  das  Segment  BD. 
Die  Interpretation  des  zweiten  Satzes  ergiebt 

{Segm.AD+Segm.BD):AADB==i:9, 
also  Termöge  einer  leichten  Verwandlung  derselben  Proportion 

2)  Segment :  Sehnendreieck  =  4:3. 

Hieraus  ergiebt  sich  in  Verbindung  mit  dem  von  Völler  angegebenen 
Satze ,  dass  der  Inhalt  vom  ^ABC  doppelt  so  gross ,  als  der  des  ^ABD 
ist;  deswegen  ist  GD=^  CD,  Betrachtet  man  also  die  Linie  DG  oder  die 
Normale  des  Punktes  D  als  Abscissenachse  und  die  Tangente  DE  b^b  Ot* 
dinatenachse  des  unendlich  kleinen  Bogenelementes  AB,  so  besitzt  dieses 
alle  Eigenschaften  einer  Parabel  und  zwar  die  Gleichung 

GB^  =  CG{q  —  DG), 
welche  fttr  unendlich  kleine  Grössen  übergeht  in  GBs:^2q  .  DG. 

Um  zu  denselben  Sätzen  zu  gelangen,  kann  man  auch,  sich  auf  die 
Theorie  des  Krümmnngskreises  stützend,  ausgehen  von  der  Kreisgleiehnng 
GB*  =  2gDG  —  DG*,  woraus  beim  Uebergange  zu  unendlich  kleinen 
Grössen  die  Reduction  der  Kreisgleichung  in  die  der  Parabel  sogleich  er- 
folgt. Man  erhält  auf  diesem  Wege  zugleich  einen  sehr  einfachen  Beweis 
der  beiden  Huyghens'schen  Sätze,  sowie  endlich  auch  vermittelst  dieser 
eine  einfache  Methode  die  Parabel  zu  quadriren. 

Bemerkenswerther  noch  als  die '  obigen  Sätze  möchte  folgender  sein, 
der  sich  aus  einer  Uebertragung  dieser  Grenzbtrachtungen  auf  krumme 
Flilchen  ergiebt.  Denkt  man  sich  durch  einen  Funkt  einer  krum* 
men  Fläche  eine  Bertthrungsebene,  und  unendlich  nahe  mit 
derselben  parallel  durch  die  Fläche  eine  Secantenebene 
gelegt,  sowie  an  der  Durchschnittscurve  durcn  die  Normale 
des  Berührungspunktes  Tangenten  an  allen  Normalschnit- 
ten gezogen,  so  entsteht  hierdurch  ein  elliptischer  Kegel, 
dessen  Inhalt  sieh  zu  dem  Inhalte  der  abgeschnittenen  Ca- 
lotte  verhält  wie  4  zu  3.  ^ 

Sei  ^^(7  (Fig.  6, Taf.  II)  der  gedachte  Schnitt  der  mit  der  Bertthrungs- 
ebene des  Punktes  S  parallel  gelegten  Secantenebene,  OSTdit  Normale, 
ferner  ASA'  und  BSB'  die  Hauptnormalschnitte,  q^  und  9'  die  beiden  zuge- 
hörigen  Hauptkrümmnngshalbmesser ,  CSC*  ein  andrer  Normalschnitt  und 
Q  sein  Krümmungsradius,  so  gilt  nach  dem  Obigen  die  Gleichung  OS=STi 
wo  T  den  Durchschnittspunkt  der  in  C  an  den  Schnitt  durch  die  Norniale 
gelegten  Tangente  bedeutet.  Da  aber  OS  allen  Schnitten  gemeinschaftlich 
ist,  so  gehen  auch  alle  Tangenten  ohne  Ausnahme  durch  T  und  dies  ist  die 

uigiüzea  Dy  x^jOOvIv^ 


Kleinere  Mittbeiliiiigea.  140 

SpItM  des  Kegels.  Aber  die  Figur  des  Sehaittes  ABCjf  ist  fttr  nneiidiieh 
kleine  Dimensionen  stets  eine  Linie  des  sweiten  Grades.  Denn  sei  n -acs  o 
die  Gneielunig  der  FiKche  nnd  nehmen  wir  an,  dass  die  Tangentialebene 
der  dr^  Ebene,  also  die  Normale  der  zAebse  nnd  sogleiefa  die  xz  nnd  yz 
Ebenen  den  beiden  Haoptscbnitten  parallel  seien  nnd  dass  a  den  Winkel 
beseiebne,  den  ein  beliebiger  Normalscbnitt  CSC  mit  dem  Hanptscbnitte 
ASJ  bildet,  so  ist  bekanntlieh 

wenn  die  sweiten  Differentialquotienten  =r^  nnd  r-^  dasselbe  Zeichen  nnd 

i =  -^  CO»  «■ ;  Sm  AT, 

wenn  sie  «atgegengesetste  Voraeiehen  haben.  Nun  sind  die  Qleiehangee 
d«a  Nonnalschnttts  JSj^,  des  sweiten  Querschnitts  und  des  dritten  belier 
bigea  Nomudschnitts  ßSC  resp. 

Beisen  wir  jiOz=sa,  BO==^b  nnd  COsxr^  so  findet  man  leicht  für  den 
Punkt  C  die  Gleichung 


oder 


—  ^-co^a'  +  ^nne«, 


und  wenn  man  die  »weite  Gleichung  susieht 

y*  =  ^  («•  T  «^  {Byperbd). 

Die  gedachte  Cnrve  ist  abo  ein  Kegelschnitt»  nnter  denen  natttrlich  nur  die 

geschlossenen  Curren  hier  branchbar  sind,  also  die  Ellipse  und  wenn  r— ^ 

Vu 
gleich  r-n  wird,  der  Kreis.  Nun  ist  der  Inhalt  des  elliptischen  Kegels  gleich 

\0T .  abx  =:  1» /^* .  q\  «*,  nnd  der  Inhalt  der  Calotte,  welche  offenbar  in 
ein  elliptisches  Paraboloid  ttbergeht,  gleich 

z  z 

njab .  dz  =  2ny^Jz  dzssnj/^.zK 

Das  Verhtttaiss  beider  Volumina  ergiebt  sieh  als 

3)  Meg€i:€aloUe=iA:Z. 

Wenn  man  andererseits  wiederum  alle  möglichen  Sehnen  Ton  der  Durch- 
sehttittseurre  ABCÄ  nach  dem  Scheitel  S  sieht,  so  entsieht  ein  aweiter 
elliptischer  Kegel,  für  welche  die  Gleichung  besteht 


150  Eieinere  Mäthailangeii. 


Hierin  sftnd  nun  merkwürdige  Anslogieo  au  den  Fortnela  1)  utd  2)  «lige- 
sproehen,  sofern  naob  d«n  beiden  letstea  die  Prodocte  aus  dmn  nnmerieelieii 
.Verhültnissen-  der  gleMhen  begriffliohen   VerhältniMe  dieseibeit  W^rthe 
haban^  nftmltob  | « |  ^==»7  « |* 
'  •    Jeyer,  im-December  1859;  LuDwio  MATTttfEaawi.  * 


ZV.  Vebar  die  Lichtempflndlichkeit  des  Aipbaltea  von  A.  R.  v.  Perger^ 
(Ber.  d.  Wien.  Acad.  d.  W.,  Bd.  85,  S.  489.)  Durch  W  oll  ästen  wurde  zu 
erst  (1^)  die  Ejigensehaft  der  Lichtempfindlichkeit  an  einem  Har2;e,  dem 
Guajac-Harze  nachgewiesen.  Hierauf  lernte  Jos.  Nic^phore  Ni^pce  von 
Chalons  (1814)  die  lichtempfindlichen  Eigenschaften  des  Asphaltes  kennen 
und  versuchte  wiederholt,  dieselben  zur  Herstellung  metallener  Druckplat- 
te)! mit  Httlfe  der  Oainera  obseura  au  benutzen.  Zu  diesem  Zweoke  wendete 
tr  eine  Auflösung  von  gepulvertem  Asphalt  in  Lavendel6t  an,  vwt  welohidr 
eine  dünne  Schicht  auf  eine  versilberte  Platte  au%etFiigen  wvrde,  'woranf 
die  Platte  —  tfach  dem  Trockneb  deir  Schicht  —  acht  Stundet!  lang  in  der 
Cämem  obseura  exponirt  %uide.  Durch  einto  Mischutig  von  L^endfeUl  'atid 
Naphta  wurde  nun  der  durch  das  Licht  nicht  veränderte  Asphalt  hinweg- 
genommen und  die  Platte  höchst  vorsichtig  geätzt.  Diese  Versuche  wur- 
den mit  grosser  Ausdauer  von-Ni^pöe  und  später  von  Lemaitre  fortge- 
führt, lieferten  aber  doch  kein  Resultat,  mit  dem  man  hätte  ganz  zufrieden 
sein  können.  Im- Jahre  1856  gab  Bobert  Macpherson  Vorschriften  über 
die  Herstellung  einer  Druckplatte  auf  lithographischem  Stein,  woftei  eben- 
falls die  Lichtempfindlichkeit  des  Asphaltes  benutzt  wurde.  Wälireiid 
N  i  ep  c  e  eine  vorzüglich  gee^ete  Aq^haltlösung  durch  Anwendung  beson- 
ders geeigneter  Asphaltsorten  und  durch  Anwendung  besonders  qualificir- 
ter  Lösungtirmittel  herstellte,  suchte  Macpherson  den  Uchtempfindliehsten 
Theil  zu,  gewinnen,,  indem  er  Judenpech  mit  Aether  auszog,  diesen  hierauf 
entfernte  und  dann  durch  nochmalige  Extraction  des  Kückstandes  eine  für 
teioen  {^wep^ genügende  ätherische  Xfösung  ereieltet  Nach  Macpherson 
hat  sich  der  unermüdliche  Nidpce  ebenfalls  mit  der  Herstellung  lithogra- 
phischer Druckplatten  beschäftigt,  wobei  er  in  der  oben  angegebenen  Weise 
zu  einer  tauglichen  Asphaltlösung  gelangte;  die  auf  dem  Steine  getrocknete 
Schicht  wurde  hierauf  mit  einem  photographischen  Glasbilde  bedeckt  den 
Lichtstrahlen  ausgesetzt  oder  in  einer  Camera  exponirt.  Der  oben  genannte 
A.  R.  V.  Perger  hat  nun  über  den  besprochenen  Gegenstand  seit  1857  Ver- 
suche angestellt  und  ist  zunächst  bemfliit  gewesen ,  den  liehteitipfindliekeh 
Theil  des  Asphaltes  auszuscheiden.  Er  findet,  dass,  wenn  man  Asphalt 
trocken  d«9ti1Hrt ,  »uerst  ein  weissliches  Hara  als  DegtiilntionHprad ukt  er- 
scheint, hierAtrf  sMzt  sich  ehi  braunrodies  Harz  an  den  Wänden  der  Retorte 
ab ,  worauf  noch  zWei  Destillationeprodokte  von  Terscfaiedenem  Anroefcan 
erscheinen.     Das  braunrothe  Harz  im  zweiten  Sti^j^^^p^  „^qt^^jmifl^nach 


Kidinctre  ]lit(!keihin9«h.  1« 

A.  R.  r.  Fevg^t  dan  iiohtempfindliohen  TheildesAspliatteff-iiBd  ist  aiBlbK 
gBT  von  ihm  bemOzi  worden,  nm  sehr  schöne  rtm^  Bilde»  ftaf  Kthogritphi- 
sehen  Stein  hervorzubringen,  die  nach  seiner  Angabe  auch  die  Aetznng  gnt 
vertragen.  Desgleichen  berichtet  der  Genannte,  dass  die  Herstellung  von 
Asphftldilklera  auf  Papier  sehr  einfkohiiiid  bequem  sei  ^  wie  wohl  «albige 
keine  recht  weissen  Liobter  auf  dcFft  Bildern  liefert.  Bei  dej*  HeKrteHung^ 
v<m  dergieieheti  Bildern  (Asphakograramen)  b»Aueht  nätnlieh  des  Tagett" 
liekt  nkht  abgebaiteh  «i  werden  ^  die  Lösnmg  des  liolitiompfifidlfoheii  Thpei<- 
les  vom  Asphalt  wird  mit  einem  langhaarigen  Pinsel  auf  das  Papier  aufge» 
tragen  und  hierauf  selbiges  getrocknet.  Nach  der  Exposttiou  brau/eht  das 
Papier  nur  mit  Wasser  abgewasehei^  an  werden ,  um  den  durefa  das  Liolit 
nlobt  verHnderten  haraigeu  Ueberang  fortsuschafßeB.  Ei.  Kahi.. 


ZVI,  D<nre*s  Voiteklag  snr  Sdiwfteliwig  de«  Lichtee  intensiTer  Lkli^ 
qMllen.  (Monataber.  d.  Königl.  Preuse.  Acad.  d.  Wissensch.,  Apvil  1669.) 
Diese  geaehieht  gewöbnüek  durcfa  Anwendung  von  gerbten  OlXsern ,  wa-^ 
durek  allerdings  der  Uebelstand  herbeigeftibrt  wird ,  dass-  das  Bild  dei*  be^ 
trachteten.  I/ichtquellei  geftirbt  erscheint.  Es  sind  au  dieisem  i^wecke  auch' 
polarisirende  Vorrichtungen  vorgeschlagen  worden,  bei  denen  man  das  ein- 
fallende Licht  beliebig  schwächen  kann,  ohne  dass  dasselbe  gefärbt  er- 
scheint. D  0  V  e  empfiehlt  nun  dünne  Metallüberzüge  auf  Glas ,  insbeson- 
dere den  des  Silbers,  mit  dem  er  sich  speciell  beschäftigt  hat,  zu  diesem 
Zwecke.  •  Man  kann  diese  Ueberzüge  beliebig  dick  herstellen  und  daher 
beliebig  verdunkeln,  die  blaue  Färbung,  die  die  Silbergläser,  die  sich  auch 
als  Spiegel  benutzen  lassen,  den  Gegenständen  ertheilen,  stört  wenigstens 
bei  weissen  Objecten  nicht.  £.  Kahl. 


XVL  Bemerkung  snr  Theorie  der  elektrisohen  Ströme.  In  einem 
früheren  Aufsatze  habe  ich  nachgewiesen ,  dass  es  keine  Potential functiou 
giebt  für  die  Anziehung  zweier  Stromelemente  und  ich  will  jetzt  aus  diesem 
Satze  eine  wichtige  Folgerung  ziehen. 

Die  Anziehung  zweier  Stromelemente  ist  durch  Weber  bis  jetzt  auf 
die  principiell  einfachste  Form  gebracht,  man  hat  aber  immer  geglaubt,  auf 
ein  noch  einfacheres  Princip  kommen  zu  können.  Es  wäre  gewiss  sehr 
interessant,  wenn  man  die  Ampere 'sehe  Formel  in  der  Weise  entwickeln 
könnte,  dass  man  eine  gewisse  Bewegung  der  elektrischen  Fluida  im  In- 
nern des  Elementes  annähme  und  die  Anziehung  oder  Abstossung  dieser 
Fluida  unabhängig  von  den  Bewegungszuständen  gedacht  werden  dürfte. 
In  der  Form,  die  Weber  für  die  Anziehung  der  Stromelep|j|J^  g;ef^)\gn.|^ 


16S  Kleinere  Mitdieihiiigeiu 


»i^^»<»,<M»^»^i^^i^^^^^**»»*^^^*N^»*V^>^»*»^i*»< 


tl^t,  kommen  noch  Orössen  Tor,  die  von  den  Bewegnngssuatllttden  der  Tiel» 
leicht  nnr  fechten  Fluide  herrUhren«   Nnn  weiss  men  aber,  deos  flir  jede 

Aniiehung  nach  der  Formel     '    ' ,  wenn  m  and  m^  die  Massen,  r  die  Ent- 

femnof ,  die  Oompimenten  der  Ansiehnng  als  DiSerentialqaotienten  ge- 
sehrieben werden  ktfnnen,  nnd  es  mttsste  daher,  wäre  die  angefilhrte  Hj* 
pothese  richtig,  ftr  jedes  Zeitmoment  die  Aniiehung  iweier  Stromelemeate 
dieselbe  JBigenthfimUohkeit  haben.  Die  mittlere  Ansiehunf  nun  wahrend 
einer  Zeit  t  wttrde  man  erhalten  durch  Mnltipliciren  mit  dij  Integrirea 
nach  i  und  Dividiren  mit  t;  es  mttsstea  also  nach  dieser  Hypothese  die 
Oomponenten  der  elekiro-dynaraisehen  Anitehung  als  Difierentiidquotienten 
des  Potentials  geschrieben  werden  können  und  da  dies  nicht  geht,  so  ist 
die  angedentete  Transformation  der  Ampire^schen  Formel  nicht  möglich. 
Diese  Transformation  hat  schon  Ampire  angedentet  und  für  möglich  ge- 
halten. Ihre  Unmöglichkeit  wttrde,  wie  ich  glaube,  auf  einem  andern  Wege 
nur  mit  sehr  grossen  Anstrengungen  darsulegea  san,  wei^alb  ich  diese 
Bemerkung  nicht  fttr  flberflttssig  gehalten  habe,  aumal  sie  liinen  Gegenstand 
betrifft,  der  fUr  die  Elektrodynamik  Äusserst  wichtig  ist  Es  ist  nach  die* 
ser  Bemerkung  wahrscheinlich,  dass  die  Formel  Web  er 's  der  wahrhafte 
Ausdruck  der  Wechselwirkung  bewegter  elektrischer  Mol^flle  ist. 

Qu8TA¥  Roch. 


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VII. 


Ueber  einige  merkwürdige  Benehtmgeii,  in  denen  die 
Flächen  zweiter  Ordnung  sra  einander  stehen« 

Von  Dr.  phil.  H.  Schönhebb  in  Dresden. 


Die  nächstfolgende  kurze  Abhandlung  soll  einen  kleinen  Beitrag  zu 
den  merkwürdigen  Eigenschaften  der  Flächen  zweiter  Ordnung  geben.  Ich 
habe  mich  in  derselben  der  Ermittelung  einiger  Beziehungen  zugewendet, 
welche  zwischen  diesen  Flächen  und  ihren  Durchschnittscurven  stattfinden. 
Dergleichen  Curven  sind  schon  in  mehrfacher  Hinsicht  behandelt  worden, 
und  besonders  hat  das  Florentiner  Problem  zur  Entdeckung  einer  grossen 
Reihe  von  höchst  interessanten  Eigenschaften  derselben  Veranlassung  ge- 
geben. Diese  Untersuchungen  beziehen  sich  aber  hauptsächlich  nur  auf 
die  Kegel  -  und  Cylinderflächen  in  ihren  Durchschnitten  mit  der  Kugel^ 
und  hierbei  wiederum  vorzugsweise  auf  den  Inhalt  der  Figuren ,  welche  sie 
auf  diesen  Flächen  begrenzen,  oder  auf  den  Inhalt  der  Körper,,  welche  von 
jenen  Flächen  umschlossen  werden ,  sowie  auf  die  Gestalt  und  auf  die  ver- 
schiedenen Arten  der  Erzeugung  der  Curve  selbst.  In  den  nächstfolgen- 
den Betrachtungen  sollen  einige  von  denjenigen  Eigenschaften  der  Flächen 
zweiter  Ordnung  abgeleitet  werden,  durch  welche  sie  in  ihrer  Gesammtheit 
als  ein  harmonisches  Ganzes  sich  darstellen. 

Ich  habe  mich  dabei  der  Rechnung  möglichst  zu  enthalten,  und,  so 
weit  es  anging,  auf  Grund  der  allgemein  bekannten  Eigenschaften  der  Flä- 
chen und  Curven  zweiter  Ordnung  durch  rein  geometrische  Betrachtungen 
weiter  vorwärts  zu  schreiten  gesucht.  Doch  konnte  ich  es  nicht  umgehen, 
einige  Hilfssätze  aus  der  Lehre  von  den  Curven  und  Flächen  zweiter  Ord- 
nung besonders  namhaft  zu  machen  und  einige  Erklärungen  einzuschalten, 
welche  nicht  allgemein  sanctionirt  sein  dürften.  Die  Hilfssätze  habe  ich, 
soweit  sie  als  allgemein  bekannt  vorausgesetzt  werden  konnten ,  ohne  Be- 
weis beigefügt. 


a)  Alle  Linien  zweiter  Ordnung  werden  von  einer  in  ihrer  Ebene  lie- 
genden Geraden  entweder  in  zwei  Punkten,  oder  in  keinem  getroffen.  Dies^ 

ZeiUcbrirt  f.  Mathematik  u.  Physik.  V.  11 


154  lieber  einige  merkwürdige  Beziehungen,  in  denen  die  Flächen  etc. 

zwei  Funkte  köQj^en  auch  in  einen  zuBammenfallen ,  in  welchem  Falle  die 
Curr^^j^  ^T  finden  berührt  wird,  oder  es  kann  einer  derselben,  oder 
beid%,  imUnendlichen  liegen. 

b)  M^enn  zwei  parallele  Sehnen  einer  Curve  zweiter  Ordnung  von  einer 
dritten  halbirt  werden,  so  halbirt  diese  auch  alle  übrigen  mit  jenen  parallele 
Sehnen.  Eine  Gerade^  welche  ein  System  paralleler  Sehnen  halbirt,  wird 
ein  Durchmesser  genannt. 

c)  Bei  der  Ellipse  und  Hyperbel  schneiden  sich  alle  Durchmesser  in 
einem  Punkte,  welcher  der  Mittelpunkt  der  Curve  genannt  wird.  Die 
Durchmesser  der  Parabel  sind  sSmmtlich  parallel ,  und  ihr  Durchschnitts- 
punkt liegt  daher  im  Unendlichen.  Eine  Parabel  kann  somit  als  eine  solche 
Curve  ^zweiter  Ordnung  aufgefasst  werden,  deren  Mittelpunkt  im  Unend- 
lichen liegt. 

d)  Eine  Ellipse  oder  Hyperbel  hat  stets  zwei  senkrecht  auf  einander 
stehende  Durchmesser»  gegen  welche  dieselbe  symmetrisch  liegt.  Diese 
Durchmesser  heissen  die  Achsen  der  Curve,  Eine  Parabel  hat  somit 
eigentlich  nur.  eine  Achse.  Allein  wenn  im  Folgenden  schlechthin  von  den 
Achsen  einer  Curve  gesprochen  werden  wird,  so  soll  eine  auf  der  Achse 
der  Parabel  senkrechte  und  in  ihrer  Ebene  gelegene  Gerade  ihrer  Richtung 
nach  als  zweite  Achse  der  Parabel  betrachlet  werden. 

e)  Sind  zwei  Durchmesser  eines  Kegelschnittes  einander  gleich,  so 
sind  die  Achsen  desselben  die  Halbirungslinien  der  Winkel,  welche  von 
jenen  Durchmessern  gebildet  werden. 

IL 

a)  Zwei  ähnliche  Figuren  heissen  ähnlich  gelegen,  wenn  die  Geraden 
welche  zwei  entsprechende  Punkte  derselben  verbinden ,  sich  sHmmtlieh  in 
einem  Punkte  schneiden.  Zwei  ähnliche  Kegelschnitte  sind  jedenfalls  ähn- 
lich gelegen,  wenn  jede  Achse  des  einen  der  entsprechendendes  andern 
parallel  ist. 

b)  Zwei  Hyperbeln,  von  deren  Asymptoten  diejenigen  der  einen  denen 
der  andern  parallel  sind^  sind  entweder  ähnlich  und  ähnlich  gelegen ,  oder 
es  stehen  die  reellen  und  imaginären  Durchmesser  beider  Hyperbeln  im 
umgekehrtem  Verhältnisse  zu  einander.  Wir  wollen  zwei  Hyperbeln  bei 
letzter  Gestalt  und  Lage  der  Kürze  willen  supplementäre  Hyperbeln 
nennen« 

HL 

Im  Allgemeinen  haben  zwei  in  einer  Ebene  gelegene  Kegelschnitte  4 
Punkte  mit  einander  gemein,  die  jedoch  auch  paarweise  zusammenfallen 
oder  imaginär  sein  können,  oder  auch  zum  Theile  im  Unendlicheu  Hegen 

können.  uigmzeaDy  x>_jv>'v^'iLV- 


Von  Dr.  phü.  H.  Schönhebr.  t55 


IV. 
Lehrsatz:  Zwei  ähnlicbe  und  in  einer  Ebene  ähnlich  gelegener  Ke* 
gelschnitte,  oder  zwei  supplementäre  Hyperbeln  schneiden  einander  ent^ 
weder  in  awei  Punkten,  oder  in  gar  keinem. 

Beweis:  Die  Oleichung  eines  Kegelschnittes  zwischen  rechtwinkligen 
Coordinaten  kann  stets  auf  die  Form 

ax*  +  bi^  +  cx  +  dff  +  e:=^0 
gebracht  werden,  wobei  seine  Achsen  den  Ooordinatenachsen  parallel  sind, 


r^/i' 


und  ihrer  Grösse  nach  in  dem  Verhältnisse  y   '"'1/  'r^^  einander  stehen. 

Ein  diesem  ähnlicher  Kegelschnitt  muss  dasselbe  Verbal tniss  der  Achsen 
haben,  und  soll  er  in  derselben  Ebene  mit  jenem  ähnlich  gelegen  sein ,  so 
muss  er  sich  nach  IL  a)  ausdrücken  lassen  durch  eine  Gleichung  von  der 
Form 

Subtrahirt  man  die  eine  Gleichung  von  der  andern,  so  erhält  man  die 
Oleichung  einer  Geraden,  da  die  zweiten  Potenzen  von  x  und  y  eich  gegen* 
seitig  haben.  Diese  Gerade  muss  aber  durch  dieselben  Punkte  gehen ,  in 
welchen  beide  Kegelschnitte  eüoander  schneiden ,  und  somit  haben  (I.  a) 
beide  Kegelschnitte  entweder  zwei  Punkte  oder  gar  keinen  gemein. 

Weil  obige  Gleichungen  auch  supplementäre  Hyperbeln  ansdrüekeu 
können,  so  ist  hiermit  der  Satz  vollkommen  bewiesen. 


Lehrsatz:  Liegen  die  4  Durchschnittspunkte  zweier  Kegelschnitte 
in  einem  Kreise,  so  sind  die  Achsen  des  einen  denen  des  andern  parallel. 

Beweis:  Die  Gleichungen  beider  Kegelschnitte  für  rechtwinklige  Co« 
ordinaten  seien 

aar*  +  *y*  +  cxy  +  rfx  +  /*y  +  ^  =  0, 
und 

a  «•  +  ^y  +  cxy  +  ttx  +  fy  +  g's=s  0. 

Sollen  die  Durchschnittspunkte  beider  in  einem  Kreise  liegen,  so  muss 
man  durch  Gombination  der  Gleichungen  beider  die  Gleichung  eines  Kreises 
erhalten  können.  Da  eine  solche  Gleichung  zweiten  Grades  sein  muss,  so 
kann  diese  Gombination  nur  in  einer  Addition  (oder  Subtraction)  beider 
Gleichungen  bestehen,  nachdem  zuvor  die  eine  mit  einer  leicht  zu  bestim- 
menden Grösse  z  multiplicirt  worden  ist.  Durch  eine  derartige  Gombination 
erhalt  man 

{az+a)a^  +  {bz+b')y'+(cz+c)xy  +  {dz+(r)x+{fz+ny^9z+9^0. 
Soll  dies  die  Gleichung  eines  Kreises  sein,  so  müssen  die  Coefficienten  von 
a^  und  1^  einander  gleich,  der  von  xy  aber  :=  0  sein,  daher 

a)  az  +  a=s  bz+b\ 

^)  CZ  +  C  =  0.  Digitized  by  GoOQIc 

11*  "^ 


1 56  Ueber  einige  merkwürdige  BeziebuDgen^  in  denen  die  Flächen  etc. 

Ans  den  ersten  beiden  Gleichungen  bestimmt  sich  die  Grösse  z.  Die 
zweite  spricht  die  Bedingung  aus ,  welche  betreffs  der  Gleichungen  beider 
Kegelschnitte  erfüllt  sein  mnss.  Diese  Bedingung  ist  aber,  daas  für  c=:0 
auch  c'=  0  sein  muss.  Sind  daher  die  Achsen  des  einen  Kegelschnittes  den 
Coordinatenaohsen  parallel,  so  sind  es  auch  die  des  andern.  Die  Achsen 
eines  Kegelschnittes  sind  daher  in  der  That  denen  des  andern  parallel, 
wenn  ihre  4  Durchschnittspunkte  in  einem  Kreise  liegen. 

Zu 8 ata.  Weil  die  Gleichung  a)  stets  erfüllt  werden  kann,  wenn  man 
c  =  0  und  c'=0  setzt,  so  gilt  dieser  Satz  auch  umgekehrt:  Sind  die  Achsen 
eines  Kegelschnittes  denen  eines  andern  parallel,  so  liegen  ihre  4  Durch- 
schnittspunkte in  einem  Kreise« 

VI. 

a)  Eine  Fläche  zweiter  Ordnung  wird  von  einer  Geraden  entweder  in 
zwei  Punkten ,  oder  in  gar  keinem  getroffen.  Jene  zwei  Punkte  können 
wiederum  zusammenfallen  oder  es  kann  der  eine  oder  beide  im  Unendli- 
chen gelegen  sein. 

b)  Für  ein  System  paralleler  Sehnen  'einer  Fläche  aweiter  Ordnung 
giebt  es  immer  eine  Ebene,  welche  jene  Sehnen  eämmtlich  halbirt*  Man 
nennt  eine  solche  Ebene  eine  Diametralebene  der  Fläche. 

c)  Alle  Diametralebenen  schneiden  sich  entweder  in  einem  Punkte, 
oder  in  einer  Geraden ,  oder  sie  sind  einer  Geladen  oder  einer  Ebene  pa- 
rallel. 

Scheiden  sich  die  Diametralebenen  in  einem  Punkte,  so  ist  die  Fläche 
entweder  ein  EUipsoid,  oder  eins  der  beiden  Hyperboloide,  oder  ein  Kegel. 
Dieser  Punkt  wird  dann  der  Mittelpunkt  der  Fläche  genannt,  nnd  er 
besitzt  die  Eigenschaft,  dass  alle  durch  ihn  gelegten  Sehnen  in  ihm  halbirt 
werden. 

Schneiden  sich  die  Diametralebenen  in  einer  Geraden,  so  ist  die  Fläche 
entweder  ein  elliptischer  oder  hyperbolischer  Cylinder,  und  die  Gerade 
heisst  die  Achse  des  Cylinders.  Man  sieht  aber  sofort,  dass  alle  mit  die- 
ser Achse  parallelen  Geraden  gleichfalls  als  Sehnen  der  Fläche  betrachtet 
werden  können  aber  als  nach  beiden  Seiten  hin  unendlich  grosse,  und  dass 
somit  jeder  Punkt  einer  solchen  Ebene  als  Halbimngspunkt  angesehen  wer- 
den darf.  Man  kann  daher  einen  beliebigen  Punkt  in  der  Achse  eines 
solchen  Cylinders  als  Mittelpunkt  desselben  betrachten ,  nnd  demnach  den 
elliptischen  und  hyperbolischen  Cylinder  den  vorhin  genannten  Mittel« 
pnnktsflächen  beizählen. 

Sind  die  Diametralebenen  sämmtlich  einer  Geraden  parallel,  so  ist  die 
Fläche  ein  elliptisches  oder  ein  hyperbolisches  Paraboloid.  Der  gemein- 
same Dnrchschnittspunkt  jener  Ebenen  liegt  alsdann  in  der  Richtung  die- 
ser Geraden  im  Unendlichen,  nnd  es  lassen  sich  8omi|g,^|»^  D^^W^t'A^^" 


Von  Dr.  phil.  H.  Schönhbbb.  157 

loide  als  solche  Flächen  zweiter  Ordnung  hetrachten,  deren  Mittelpunkt  im 
Unendlichen  liegt.  • 

Sind  endlich  sämmtliche  Diametralehenen  einer  und  derselben  Ebene 
parallel,  wie  es  bei  dem  parabolischen  Cylinder  der  Fall  ist,  so  ist  die  im 
Unendlichen  gelegene  und  mit  den  Seiten  des  Cyliuders  parallele  Gerade^ 
in  welcher  man  annehmen  kann,  dass  sftmmtliche  Diametralebenen  einan- 
der  scheiden ,  als  Achse  des  Cylinders ,  und  wiederum ,  wie  bei  dem  elliptio 
sehen  und  hyperbolischen  Cylinder,  ein  beliebiger  Punkt  dieser  Achse  als 
Mittelpunkt  zu  betrachten*  Der  parabolische  Oylinder  ist  somit  gleiekfalls 
als  eine  Fläche  anzusehen,  deren  Mittelpunkt  im  Unendlichen  liegt. 

Die  Flächen  zweiter  Ordnung  lassen  sich  somit  in  zwei  Gruppen  tren- 
nen* Zur  einen  nämlich  gehören  diejenigen,  deren  Mittelpunkt  im  End* 
liehen  liegt  und  entweder  ein  bestimmter  Funkt  oder  ein  beliebiger  Punkt 
in  einer  bestimmten  Geraden  ist,  zur  andern  diejenigen ,  deren  Mittelpunkt 
im  Unendlichen  liegt. 

vn. 

a)  Fttr  eine  jede  Fläche  zweiter  Ordnung  giebt  es  wenigstens  drei  in 
ihrem  Afittelpunkte  sich  rechtwinklig  schneidende  Diametralebenen ,  gegen 
welche  die  Fläche  symmetrisch  liegt  und  welche  die  Hauptebenen  der 
Fläche  genannt  werden  mögen.  Bei  einer  Fläche ,  deren  Mittelpunkt  im 
Unendlichen  liegt,  ist  auch  eine  dieser  Hauptebenen  im  Unendlichen  gele« 
gen.  Bei  einer  Rotationsfläche  kann  jede  durch  die  Rotationsachse  gelegte 
Ebene  als  eine  Hauptebene  betrachtet  werden. 

b)  Die  drei  Geraden,  in  welchen  die  drei  Hauptebenen  einander  recht* 
winklig  schneiden,  werden  die  Achsen  der  Fläche  genannt.  Bei  einer 
Fläche,  deren  Mittelpunkt  im  Unendlichen  liegt,  sind  auch  zwei  Achsen  im 
Unendlichen  gelegen.  Es  können  somit  dieselben  als  einachsige,  die 
übrigen  ak  dreiachsige  Flächen  bezeichnet  werden. 

vm. 

a)  Eine  Fläche  zweiter  Ordnung  wird  von  zwei  parallelen  Ebenen 
entweder  in  ähnlichen  und  ähnlich  gelegenen  Kegelschnitten  oder  in  supp* 
lementären  Hyperbeln  geschnitten.  Der  letzte  Fall  kann  nur  bei  dem  by^ 
perbolisehen  Hyperboloid  und  d^m  hyperbolischen  Paraboloid  stattfinden. 
Bei  allen  übrigen  Flächen  tritt  immer  der  erste  Fall  ein.  Doch  ist  zu  be- 
merken, dass  ein  System  von  zwei  einander  schneidenden  Geraden  hierbei 
als  eine  Hyperbel  anzusehen  ist,  welche  mit  ihren  Asymptoten  zusammenfällt. 

b)  Ein  elliptisches  Hyperboloid  und  ein  hyperbolisches,  welche  dem- 
selben Asymptotenkegel  zugehören,  werden  von  einer  Ebene  stets  in  ähn- 
lichen und  ähnlich  gelegenen  Kegelschnitten,  oder  in  supplementären  Hy- 
perbeln geschnitten.  Dasselbe  findet  statt  in  Bezug  auf  jedes  der  beiden 
Hyperboloide  und  dem  zugehörigen  Asymptotenkegel.       igiizeaDy  v^v^rw^lC 


1 58  Ueber  einige  merkwürdige  Beziehungen,  in  denen  die  Flächen  etc. 

IX. 

Für  eine  jede  Fläche  zweiter  Ordnung  gi^bt  es  zwei  Sjsteme  paralle- 
ler Ebenen,  von  denen  jede  die  Fläche  entweder  in  einem  Kreise,  der  anch 
imaginär  sein  kann,  oder  in  einer  einzigen  Geraden  schneidet.  Der  erste 
Fall  findet  statt  bei  dem  Ellipsoide,  den  beiden  Hyperboloiden,  dem  Kegel, 
dem  elliptischen  Paraboloid  and  dem  elliptischen  Cjlinder ;  der  zweite  Fall 
tritt  bei  dem  hyperbolischen  Paraboloid  und  dem  hyperbelischen  Cylinder 
ein.  Diese  beiden  Ebenensysteme  können  auch  unter  sich  parallel  sein, 
und  somit  in  ein  einziges  zusammenfallen,  wie  dies  bei  deu  Rotationsflächen 
und  dem  parabolischen  Cylinder  der  Fall  ist.  Im  Folgenden  mögen  nun 
diese  Systeme  paralleler  Ebenen  die  Kreisschnitte  einer  Fläche  zwei- 
ter Ordnung  heissen ,  auch  wenn  sie  die  Fläche  nicht  in  Kreisen ,  sondern 
in  Oeraden  schneiden. 


Bei  dem  Ellipsoid,  dem  hyperbolischen  Hyperboloid  und  dem  ellipti- 
schen Cylinder  kann  man  durch  den  Mittelpunkt  der  Fläche  zwei  Ebenen 
legen,  welche  dieselbe  in  reellen  Kreisen  schneiden.  Diese  zwei  Kreise 
sind  congruent,  und  fallen  mit  ihrem  Mittelpunkte  in  den  der  Fläche.  Eine 
jede  andere  durch  den  Mittelpunkt  einer  solchen  Flüche  gelegte  Ebene  wird 
dieselbe  in  einer  Curve  E  schneiden,  deren  Mittelpunkt  gleichfalls  mit  dem 
der  Fläche,  also  auch  mit  dem  der  beiden  Kreise  zusammenfällt,  und  welche 
daher  mit  jedem  der  beiden  Kreise  einen  Durchmesser  gemein  hat.  Da 
diese  Durchmesser  wegen  der  Congruenz  der  beiden  Kreise  gleich  gross 
sind,  so  sind  durch  sie  die  Richtungen  der  Achsen  der  Ourve  K  unzweideu- 
tig bestimmt  (I.  e).     Hieraus  folgt  also  der  Satz : 

Wird  eine  der  vorhin  genannten  Flächen  von  einer  Ebene  geschnitten, 
so  sind  die  Richtungen  der  Achsen  des  Schnittes  durch  die  Lage  seiner 
Ebene  gegen  die  Kreissehnitte  der  Fläche  vollkommen  bestimmt. 

Dieser  Satz  gilt  auch  für  den  hyperbolischen  Cylinder,  bei  welchem 
unter  den  durch  seinen  Mittelpunkt  gehenden  Kreisschnitten  seine  Asymp- 
totenebenen zu  verstehen  sind.  Die  beiden  Geraden,  in  welchen  diese  Ebe- 
nen von  einander  geschnitten  werden,  sind  nämlich  die  Asymptoten^der 
Hyperbel,  in  welchen  die  letztere  Ebene  den  Cylinder  schneidet.  Die 
Achsen  einer  Hyperbel  halbiren  aber  die  Winkel,  welche  ihre  Asymptoten 
mit  einander  bilden.  Somit  ist  der  obige  Satz  in  der  That  auch  für  den 
hyperbolischen  Cylinder  bewiesen. 

XL 

a)  Weil  zwei  parallele  Ebenen  eine  Fläche  zweiter  Ordnung  in  ähnli- 
chen und  ähnlich  gelegenen  Kegelschnitten  oder  in  supplementären  Hyper- 
beln schneiden  (VIII.  a),  die  Achsen  des  einen  zweier  solcher  Kegelschnitte 
aber  immer  denen  des  andern  parallel  sind,  so  flcUi|^^^o|^4£jiviiU)kBezug- 


Von.  Dr.  phit.  H.  Schönherr.  150 

^^^^.^^.^^^^^^^^^^^.^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^  / 

nähme  auf  den  Yorigea  Paragraphen,  dass,  wenn. eine  der  Fläoben,  die  in 
diesem  Paragraphen  genannt  sind,  yon  einer  beliebigen  Ebene  geschpit-r 
ten  wird,  die  Eichtangen  der  Achsen  des  Schnittes  durch  die  Lage  seiner 
Ebene  gegen  die  Kreisschnitte  der  Fläche  unzweidentig  bestimmt  sind. 

b)  Wegen  VIII,  b)  gilt  aber  dieser  Satz  auch  von  dem  Kegel  nnd  dem 
elliptischen  Hyperboloid ,  also  von  allen  dreichsigen  oder  solchen  Flächent 
deren  Mittelpunkt  im  Endlichen  liegt. 

XII. 
Da  femer  einachsige  Flächen  als  solche  zu  betrachten  sind»  deren 
Mittelpunkt  im  Unendlichen  liegt ,  so  gilt  der  letzte  für  die  dreiachsigen 
Fl&chen  aufgestellte  Satz  allgemein  für  alle  Flächen  zweiter  Ordnung. 
Wird  also  eine  Fläche  zweiter  Ordnung  yon  einer  beliebt* 
gen  Ebene  geschnitten«  so  sind  die  Richtungen  der  Achsen 
dieses  Schnittes  durch  die  Lage  seiner  Ebene  gegen*die 
Kreiflschnitte  der  Fläche  unzweideutig  bestimmt 

xra. 

9ind  demnach  die  Kreisschnitte  einer  Fläche  zweiter  Ordnung  mit 
denen  einer  .andern  solchen  Fläche  parallel,  und  werden  beide  Flächen  von 
einer  Ebene  in  den  Cnrven  p  nnd  q  geschnitten ,  so  sind  die  Achsen  von  p 
denen  von  q  parallel.  Die  vier  Durchsehnittspunkte  beider  Curven  liegen 
somit  nach  V.  in  einem  Kreise. 

XIV. 

Lehrsatz.  Die  Durchschnittscnrve  zweier  Flächen  zweiter  Ordnung 
kann  von  einer  Ebene  höchstens  in  4,  von  einer  dritten  Fläche  zweiter  Ord- 
nung höchstens  in  8  Punkten  geschnitten  werden.  Hat  eine  solche  Curve 
mehr  als  4  Punkte  mit  einer  Ebene,  oder  mehr  als  8  mit  einer  Fläche  zwei- 
ter Ordnung  gemein,  so  fällt  sie  ganz  in  die  Ebene  oder  in  die  Fläche. 

Beweis.  Eliminirt  man  aus  den  allgemeinen  Gleichungen  zweier 
Flächen  zweiter  Ordnung  und  einer  Ebene  zweiter  Coordinaten ,  so  erhält 
man  ffir  die  dritte  (im  Allgemeinen)  eine  Gleichung  vierten  Grades ;  ebenso 
erhält  man  für  die  dritte  Coordinate  eine  Gleichung  achten  Grades,  wenn 
man  ans  den  allgemeinen  Gleichungen  dreier  Flächen  zweiter  Ordnung 
zwei  der  Coordinaten  eliminirt.  Hieraus  ergiebt  sich  aber  ohne  Weiteres 
der  zu  beweisende  Satz. 

XV. 

Ist  die  Durchschnittscnrve  PQ  zweier  Flächen  zweiter  Ordnung  P  nnd 
Q  von  doppelter  Krümmung,  so  kann  man  durch  dieselbe  immer  eine  Ebene 
legen,  welche  sie  in  4  reellen  Punkten  ^,  By  C,  J)  schneidet.  Durch  zwei 
dieser  Punkte,  A  und  ß^  wird  man  ferner  eine  zweite  Ebene  legen  könne4t> 

uigiüzea  Dy  v_i  vyv^^'i  Iv^ 


\60  Ueber  einige  morkWftrdige  Beziehnngeti,  in  denen  die  Flächen  etc. 


welche  die  Cnrve  in  ewei  anderweitigen  reellen  Punkten  1^  imd  F  schnei- 
det Da  Yon  diesen  6  Pnnkten  keine  3  in  einer  Geraden  (VI.  a)  nnd  keine 
li  in  einer  Ebene  (XIV.)  gelegen  sein  können ,  so  giebt  es  unter  ihnen  kei- 
nen ,  welcher  mit  B,  C,  E  in  einer  Ebene  gelegen  sein  könnte ,  weil  sonst^ 
wie  man  sich  leicht  überzengen  kann,  alle  6  Punkte  fn  dieser  Ebene  Hegen 
müssten.  Eine  durch  B^  (?,  E  gelegte  Ebene  wird  somit  die  CuiVe  noch  in 
einem  neuen  Punkte  G  schneiden.  Ebenso  wird  eine  durch  By  C,  F  an  le- 
gende Ebene  die  Curye  PQ  in  einem  unter  den  tlbrigen  4  Punkten  noch 
nicht  Yorhandenen  Punkte  H  schneiden  mtlssen ,  weil  keiner  dieser  Punkte 
In  der  Ebene  BC F^nth»\itn  sein  kann,  wenn  sie  nicht  alle  in- dieser  Ebene 
liegen.  Schliesslich  erhält  man  noch  einen  neunten  Punkt  J  der  Curre, 
wenn  man  durch  ^,  C,  E  eine  Ebene  legt.  Es  leuchtet  ein ,  dass  die  Will- 
ktir,  welche  hinsichtlich  der  Lage  der  beiden  Ebenen  AB  CD  und  ABEF 
stattfindet,  es  immer  möglich  macht,  diese  Ebenen  so  ea  legen ,  dass  keine 
2wei  der  neun  Punkte  zusammenfallen,  in  welchem  Falle  indessen  ein  aol- 
cher  Punkt  immer  als  ein  doppelter  siu  betrachten  witre.  Von  den  neun 
Punkten  liegen  nun  nach  dem  Vorhergehenden  folgende  5  Systeme  in  einer 
Ebene : 

\)  AyB,C,I>\  2)  A,B,EF]  d)B,C,E,G]  A)B,C,F,H;  h)A,C,E,F.  ' 
.  Jede  der  5  Ebenen  schneidet  aber  die  beiden  Flftchen  P  nnd  0  in  zwei  Ke- 
gelschnitten p  und  qy  und  die  4  Paukte  welche  diese  Ebene  mit  der  Curre 
PQ  gemein  hat,  sind  natürlich  die  Durchsehnittspunkte  der  Kegelschnitte  j9 
und  q.  Sind  daher  die  Kreisscbuitte  von  P  denen  von  Q  parallel,  und  folg- 
lich nach  XIII.  die  Achsen  von  p  parallel  denen  von  q^  so  liegen  die  Durch- 
schnittspunkte Ton  p  und  q  nach  V.  in  einem  Kreise.  Somit  liegen  in  die- 
sem Falle  von  den  obigen  9  Punkten  je  4  in  einer  Ebene  gelegene  in  einem 
Kreise.  Der  Kreis  AB  CD  hat  aber  mit  dem  Kreise  ABEFAie^  Sehne  AB 
gemein,  woraus  folgt,  dass  sich  durch  beide  Kreise  eine  Kugel  legen  Iftsst. 
Diese  Kugel  hat  mit  den  Kreisen  BCEG^  BCFH^  ACEJ  respective  die 
Punkte  By  C,  £;  JP,  C,  F\  A^  C,  E  gemein ,  und  es  mfissen  demnach  auch  die 
Punkte  G,  Hy  J  auf  ihr  gelegen  sein.  Demgemäss  liegen  aber  alle  0  Punkte 
auf  dieser  Kugel.  Da  nun  die  Durch scbnittscurve  PQ  zweier  Flächen  zwei- 
ter Ordnung  mit  einer  dritten  Fläche  zweiter  Ordnting,  und  folglich  auch 
mit  einer  Kugel  nach  XIV.  nur  8  Punkte  gemein  haben  kann,  wenn  sie 
nicht  ganz  in  die  Fläche  fällt,  so  folgt,  dass  die  Ourve  PQ  ganz  auf  jener 
Kugel  gelegen  sein  muss.     Hiernach  haben  wir  folgenden  Satz : 

Sind  die  Kreisschnitte  einer  Fläche  zw^eiter  Ordnung  de- 
nen einer  andern  solchen  Fläche  parallel,  so  ist  der  Durch- 
schnitt beider  eine  sphärische  Curve. 

XVL 
Der  letzte  Satz  gilt  auch  umgekehrt:  Ist  der  Durchschnitt  zweier  Flä- 
efaen  zweiter  Ordnung  eine  sphärische  Curve  doppelter  Krümmung,  so  sind 

uigiüzea  Dy  x.-j  vyv^^'i  LN^ 


Vott  Dr.  phil.  H.  8ch6khebr.  161 


die  Kreissehttitte  der  einen  denen  der  andern  paraHel.  Denn  BchMidet  man 
die  Dnrchscbnitt^arve  PQ  beider  Flficheu  P  nnd  Q  darch  eine  Bbene  E^  so 
liegen  die  4  DnrebBcbnSttspnnkte  in  einem  Kreise,'  weil  sie  Punkte  anf  einer 
Kvgel  sind.  Da  aber  diese  4  Punkte  zugleich  Durcbscbnittspunkte  der 
Cnrven  p  nnd  q  sind,  in  welchen  P  und  Q  von  einer  Ebene  E  geschnitten 
Verden,  so  sind  die  Achsen  von  p  denen  von  q  parallel  (V.).  Es  werden 
daher  beide  Flächen  yon  jeder  beliebigen  Ebene  in  swei  Curven  geschnit- 
ten, Ton  deren  Achsen  die  der  einen  denen  der  andern  parallel  sind.  Die 
Bichtnngen  dieser  Achsen  sind  aber  allein  abhängig  von  der  Lage  ihrer 
Ebene  zu  den  Kreisschnitten  der  Flächen  P  und  Q  (XII.),  und  es  ergiebt 
sich  hieraus  sehr  leicht,  dass  die  Kreisschnitte  der  einen  Fläche  denen  der 
andern  parallel  sein  mfissen. 

XVII. 

Die  Verbindung  der  beiden  letzten  Sätze  giebt  somit  den  Satz : 
Der  Durchschnitt  zweier  Flächen  zweiter  Ordnung  ist 
immer  nnd  nur  dann  eine  sphärische  Curve,  wenn  die-Kreis- 
•  ohnitte  der  einen  denen  der  andern  parallel  sind. 

xvnL 

Folgerungen.  1)  Weil  bei  den  Rotationsflächen  und  dem  parabo- 
lischeii  Cy^linder  jene  2wei  Bjsteme  paraller  Ebenen ,  welche  mit  dem  Na*- 
men  der  Kreisschnitte  bezeichnet  worden  sind,  unter  eich  parallel  sind,  und 
somit  in  eins  zusammenfallen,  so  folgt,  dass  solche  Flächen  sich  nur  gegen- 
seitig in  sphärischen  Ourven  scheiden  können.  Ist  daher  der  Durchschnitt 
einer  Kotationsfläehe  zweiter  Ordnung  mit  einer  andern  Fläche  zweiter 
Ordnung  eine  sphärische  Curve,  so  ist  letztere  entweder  gleichfiills  eine 
Rotationsfläche,  oder  ein  parabolbeher  Cjlinder. 

2)  Durch  zwei  Kreise,  welche  man  als  Schnitte  zweier  nicht  paralleler 
Ebenen  mit  einer  Fläche  zweiter  Ordnung  erhaben  kann ,  lässt  sich  immer  * 
eine  Kugel  legen.  Denn  ein  System  von  zwei  solchen  Ebenen  lässt  sich 
auch  als^eine  Fläche  zweiter  Ordnung  betrachten,  deren  Kreisschnitte  der 
obigen  Erklärung  zufolge  ihnen  selbst  parallel  sind.  Hieraus  fblgt  aber 
ohne  Weiteres ,  dass  die  beiden  Kreise ,  in  welchem  sie  die  Fläche  sehnei- 
den, eine  sphärische  Curve  sein  müssen.  —  Bei  einer  Rotationsfläche  kann 
man  natürlich  durch  je  zwei  in  ihr  gelegene  Kreise  eine  Kugel  legen. 

3)  Besteht  der  Durchschnitt  zweier  Flächen  zweiter  Ordnung,  von  de- 
ren'Kreisschpitten  die  der  einen  denen  der  andern  parallel  sind,  aus  zwei 
Theilen/>  und  ^,  und  ist  bekannt,  dass  der  eine  dieser  Theile,  z.  B.p,  ein 
Kreis  ist,'  so  ist  der  andere  q  auch  ein  Kreis.  Denn  gesetzt,  q  sei  kein 
Kreis,  und  A  sei  ein  nicht  in  p  gelegener  Punkt  in  ^,  so  kann  man  durch  A 
immer  eine  Ebene  legen,  welche  die  eine  beider  Flächen  in  einem  Kreise 
q'  sehneidet,  der  mit  p  eine  sphärische  Curve  bildet.     Hiernach  kann  manf  ^ 

uigiüzea  Dy  v_j  vyv^'i  Iv. 


1 62  Ueber  einige  merkwürdige  Beziehungen,  in  denen  die  Flächen  etc. 

Bowohl  durch  p  and  q^  als  auch  durch  p  und  q'  eine  Kugel  legen,  und  beide 
Kugeln  haben  den  Kreis  p  und  den  Punkt  Ä  gemein,  können  also  nicht  von 
einander  verschieden  sein.  Somit  können  aber  auch  q  und  q  nicht  ver^ 
schieden  sein,  weil  die  Kugel  p^  mit  beiden  Flächen  denselben  Durch- 
schnitt haben  muss. 

4)  Weil  zwei  Kugelkreise  immer  eine  gemeinschaftliche  Chordale  ha' 
ben,  welche  die  Dnrchschnittslinie  ihrer  Ebenen  ist,  so  folgt  aus  2)  ferner, 
dass  auch  zwei  nicht  parallele  in  einer  Fläche  aweiter  Ordnung  gelegene 
Kreise  den  Durchschnitt  ihrer  Ebenen  zur  gemeinsamen  Ohoxdale  haben. 

XIX. 
Die  allgemeinste  Gleichung  einer  Fläche  zweiter  Ordnung  für  recht«- 
winklige  Coordinaten  ist  bekanntlich  von  der  Form 

Die  La<i;e  der  Fläche  gegen  das  Coordinaten^ystem  ist  hierbei  voll- 
kommen willkürlich;  sie  wird  es  daher  auch  gegen  eine  Kugel  sein,  .deren 
Mittelpunkt  der  Goordinatenanfang  ist.  Bezeichnet  man  aber  den  Halb- 
messer dieser  Kugel  durch  r,  so  ist  deren  Gleichung  in  Bezug  auf  dasselbe 
Goordinatensystem 

S)  :r«  +  ir«  +  t»  =  r«, 

und  die  Gleichungen  F)  und  S)  drücken  somit  in  ihrer  Verbindung  alle 
Curven  aus ,  in  denen  eine  Fläche  zweiter  Ordnung  von  einer  Kugel  ge.- 
schnitten  werden  kann. 

Indem  man  nun  aus  den  Gleichungen  F)  und  S)  eine  der  Variabeln 
x^y^z  eliminirt,  erhält  man  zwischen  den  beiden  andern  im  Allgemeinen 
eine  Gleichung  4ten  Grades,  und  die  rechtwinklige  Projection  des  Durch- 
schnittes beider  Flächen  auf  eine  beliebige  Ebene  ist  somit  im  Allgemeinen 
eine  Gurve  vierter  Ordnung,  Allein  bei  gewissen  Lagen  der  Fläche  gegen 
die  Kugel  kann  es  auch  vorkommen,  dass  die  rechtwinklige  Projection  des 
Durchschnitts  beider  auf  eine  durch  den  Mittelpunkt  der  letzteren  zu  le- 
gende Ebene  E  und  somit  auf  jede  mit  dieser  parallele  Ebene  eine  Gurye 
zweiter  Ordnung  ist,  und  somit  jener  Durchschnitt  auch  als  Schnitt  eines 
Cylindera  zweiter  Ordnung  mit  der  Kugel  oder  Fläche  erhalten  werden 
kann* 

Um  nun  zu  ermitteln ,  unter  welchen  Umständen  dieser  Fall  eintritt, 
nehmen  wir  die  Ebene  E  zur  ory- Ebene  unseres  Coordinatensystems ,  und 
lassen  seinen  Anfang  nach  wie  vor  den  Mittelpunkt  der  Kugel  sein.  Hier- 
durch erleidet  die  Gleichung  S  der  Kugel  keine  Veränderung,  während  die 
Bedingung,  welche  betreffs  der  Gleichung  J*  erfüllt  sein  muss,  offenbar  die 
ist,  dass  in  ihr  z  nur  in  der  zweiten  Potenz  vorkomme,  damit  durch  Elimi- 
nation von  z  aus  beiden  Gleichungen  die  resultirende  Gleichung  arischen 
X  und  y  wieder  vom  zweiten  Grade  sei.  Die  geometrische  Bedeutung  die- 
ser Bedingung  ist  aber,  dass  die  Fläche  gegen  die  £^bene  E  symmetrisch 

uigiTizea  oy  x_j  v^v^^i  ln^ 


Von  Dr.  phil.  H.  Schönherb,  168 

gelegen ,  also  die«e  Ebene  eine  Haaptebene  (YII,)  der  Fläche  sein  niuss. 
Hiernach  haben  wir  den  Säte : 

Der  Darchschnitt  zweier  Flächen  zweiter  Ordnung  mit 
einer  Kngel  kann  nnr  dann  nnd  dann  immer  al«  Schnitt 
eines  Cylinders  zweiter  Ordnung  mit  der  Xugel  erhalten 
werden,  wenn  eine  Hanptebene  der  Fläche  durch  den  Mit- 
telpunkt der  Kugel  geht. 

XX. 

a)  Bei  einer  Rotationsfläche  kann  ausser  der  durch  ihren  Mittelpunkt 
gehenden,  auf  der  Rotationsachse  senkrechten  Ebene  noch  jede  durch  die 
Rotationsachse  selbst  zu  legende  Ebene  als  Hauptebene  betrachtet  werdei}. 
unter  diesen  Ebenen  giebt  es  daher  bei  jeder  Lage  der  Fläche  gegen  die 
Kugel  stets  wenigstens  eine,  welche  durch  den  Mittelpunkt  der  Kugel  geht. 
Hieraus  folgt  aber,  dass  der  Schnitt  einer  Rotatiousfläcbe  zweiter  Ordnung 
mit  einer  Kugel  stets  auch  als  Schnitt  eines  Gjlinders  zweiter  Ordnung  mit 
dieser  Kugel  erhalten  werden  kann. 

b)  Da  ferner  nach  XVIII.  1)  eine  Rotationsfläche  zweiter  Ordnung  nnr 
von  einer  andern  Rotationsfläche  ^der  von  einem  parabolischen  Cylinder 
in  einer,  sphärischen  Cnrve  geschnitten  werden  kann,  so  folgt,  dass  der  Cj- 
linder  zweiter  Ordnung ,  welcher  sich  durch  den  Schnitt  einer  Kugel  mit 
einer  Rotationsfläche  zweiter  Ordnung  legen  läset,  nur  ein  Rotations-  oder 
parabolischer  Gylinder  sein  kann. 

XXI. 

Werden  zwei  Flächen  zweiter  Ordnung  F  und  G  von  jeder  dreier  nicht 
paralleler  Ebenen  in  zwei  ähnlichen  und  ähnlich  gelegenen  Curven  oder  in 
supplementären  Hyperbeln  geschnitten,  so  werden  sie  auch  von  jeder  andern 
Ebene  in  zwei  solchen  Curven  f  und  g  geschnitten.  Da  nun  zwei  derartige 
Curven,  weil  sie  Kegelschnitte  sind  nach  IV.,  nur  zwei  Punkte  mit  einan- 
der gemein  haben  können  wenn  sie  nicht  ganz  zusammenfallen,  diese 
Punkte  aber  zugleich  diejenigen  sind,  in  welchen  der  Durchschnitt  FG  der 
beiden  Flächen  -Fund  G  von  der  Ebene  fg  geschnitten  wird,  so  folgt,  dass 
bei  solcher  Gestalt  und  Lage  der  Flächen  F  und  G  ihr  Durchschnitt  FG  von 
einer  Ebene  nur  in  zwei  Punkten  geschnitten  werden  kann,  wenn  er  nicht 
ganz  in  dieser  Ebene  zu  liegen  kommt.  Es  ist  daher  dieser  Durchschnitt 
FG  eine  ebene  Curve. 

Zwei  Kreise  sind  in  einer  Ebene  stets  ähnlich  und  ähnlich  gelegen. 
Sind  daher  die  Kreisschnitte  einer  Fläche  zweiter  Ordnung  denen  einer  an- 
dern parallel  und  werden  sie  von  einer  mit  den  Kreisschnitten  nicht  pa- 
rallelen Ebene  in  ähnlichen  und  ähnlich  gelegenen  Curven  oder  in  supple- 
mentären Hyperbeln  geschnitten,  so  ist  ihr  Durchschnitt  selbst  eine  ebene 
Curve. 


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164   üeber  einige  merkw.  Beziehungen  etc.    Von  Dr.  H.  ScHöi^HERR« 

Demnach  schneiden  sich  fthnliohe  und  Ähnlich  gelegene  Flächen  zwei- 
ter Ordnung  immer  in  einer  ebenen  Carve.  Ebenso  wird  ein  elliptisches 
Hyperboloid  von  einem  hyperbolischen',  wenn  die  Asymptotenkegei  beider 
congruent  sind  und  durch  parallele  Verschiebung  zar  Deckung  gebracht 
werden  können,  sowie  jedes  dieser  beiden  Hyperboloide  von  einem  Kegel, 
der  seinem  Asymptotenkegel  congruent  und  mit  ihm  ähnlich  gelegen  ist,  in 
einer  ebenen  Gurve  geschnitten. 

Anmerkung.  Da  man  die  Ebene  als  eine  Kugel  betrachten  kann, 
deren  Mittelpunkt  im  Unendlichen  liegt,  so  widerspricht  dieser  Satz  durch- 
aus nicht  dem  obigen,  nach  welchem  der  Durchschnitt  zweier  solcher  Flä- 
chen eine  sphärische  Curve  sein  müsste. 


vin. 

Bestünmüiig  der  Trägheitsmomente,  namentlich  für  Bchiefe 
Prismen  und  Pyramiden. 

Von  Dr.  Eduard  Zetzsche, 

Lehrer  an  der  k.  Gewerbschule  zu  Chemnitz. 


L  Trftgheitimoment 
Um  einem  materiellen  Punkte  von  der  Masse  m  die  Beschleunigung  p 
zu  ertheilen,  bedarf  es  der  Kraft  P=zmp,  Bezeichnen  wir  bei  der  Dreh- 
bewegung um  eine  feste  Achse  die  Beschleunigung  eines  Punktes  in  der 
Entfernung  I  von  der  Drehachse  als  Winkelbeschleunigung  mit  A:, 
so  ist,  wenn  der  materielle  Punkt  um  r  von  der  Drehachse  absteht,  dessen 
Beschleunigung  />r=Arr,  also  die  Kraft  P=mkr^  und  wenn  dieselbe  an 
dem  Hebelsarme  q  wirkt,  muss  ihr  Moment  für  die  Drehung  P,q^=  mkr.r 
=  fnkr^  sein.     Ebenso  müsste  für  ein  System  materieller  Punkte 

pQ  =  £(mkr^)  =  k£{mT^), 
und  für  eine  im  Räume  stetig  vertheilte  Masse 


P.^kfr 


T^dM 


sein,  worin  dM  das  Differential  der  Masse  bedeutet.     Dieser  Ausdruck  er- 
hält eine  mit  P  =  mp  Übereinstimmende  Form,  sobald  man 


/ 


r^dM=if^M 

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Bcstimmiing  der  Trägbeitsroomente.  Von  Dr.  Eduabd  Zetzsche.  165 

^etMty  wobei  M  eine  Masse  im  Abstände  p  von  der  Drebacfase;  detin  dann 
wäre  P.Q^ssM ,kQ.Q.  Am  einfaobsten  gestaltet  es  sicfa^  wenn  man  pcs i 
und  die  fllr  diesen  Fall  nötbige  Masse  :=  T  setat;  dann  ist: 

und  T  ist  das  als  Maas  für  die'Beharrnng  an  benntaende  Trftgbeits^  oder 
Massenmoment;  dasselbe  ist  mithin  nichts  Anderes,  als  die  anf  Ent- 
fernung 1  von  der  Drehachse  redncirte  Masse  des  Systems  materieller 
Pnnkte.  l 

IL  Allgemeine  Formeln, 

Ist  ^  die  Masse  im  Volnmen  1  und  für  rechtwinklige  Coordinaten  d  K 
=zdxdydz  das  Yolamendifferential,  so  ist 

2)  T=J  fff^ii  dx  dy  dz  ^fr^ik  d  V. 

Sehliesst  nun  die  Drehachse  mit  den  Coordinatenacbsen  die  Winkel  a,  /},  y 
ein,  so  ist  ^ 

r*  =  «*+y*+2'  —  {x  cos  a  +  y  cosß  +  zcos  y)'  *) 
nnd 

3)  T=sin*aJa*iiidr+sin*ßJ]/'lidV+8ifi^Yjz^(idV 

—  2lcosßco8y  I yziidV+cosacosy  j xzfidV+cosacosß I xyndVY 

Wählt  man  die  Drehachse  als  Achse  der  z,  so  wird  a  s=  /}  =  90®  nnd  y=0, 
folglich: 

4)  T^J^{x'  +  y')^dV=J^jy{x*+t^)lidxdydz. 

Für  ein  gemischtes  Coonlinatensystem  endlich,  nämlich  für  x=:r8tnw  und 
y=^r  cos  fVy  ist  d  V'=  r  dw  dr  dz  zu  setzen  und 

5)  T=l  I  ff^ikdwdrdz. 

In  XL,  C)  und  XIL,  C)  kommen  wir  nochmals  darauf  surück.  Die  allge* 
meinen  Formeln  für  ein  anderes  Coordinatensystem  folgen  später  in  VIII./))» 
IX.  D)  und  X. 

Bei  homogenen  Körpern  ist  die  Dichte  überall  gleich  gross,  mithin  fi 
coostant  und  kann  vor  das  Integralzeichen  gesetzt  werden. 

nL  Beduction  der  Trägheitsmomente, 
Aus  dem  Trägheitsmomente  T^  für  eine  Drehachse  parallel  anr  Achse 
der  z  lässt  sich  bekanntlieh  das  Trllgheitsmoment  7^  fttr  eine  snr  ersten  pa- 
rallelen Achse  finden  nach  der  Formel 

6)  T,  =  T^  +  2dMi  +  d*M, 

♦)  Vergl.  Lehrbach  der  analjtüchen  Mechanik  von  Dnham  el,  deutsch^ 
gegeben  von  Bchlömilch,  2.  Aufl.,  II.  Bd.,  8.  111.  /^'^•^iArrT/^ 


166  Bestimmung  der  Trägheitsmomente  etc. 

worin  d  die  Entfernung  der  beiden  Aehsen ,  g  äie  Entfernung  des  Schwer* 
pnnktes  des  Systems  von  der  ersten  Achse,  gemessen  in  Bichtang  der  Nor- 
malen zu  den  beiden  Aehsen ,  nnd  M  die  gesammte  Haine  des  Systeibs  be«- 
deutet. 

Geht  aber  die  erste  Achse  durch  den  Schwerpunkt  des  Systems,  so 
wird  1  =  0,  und  setzen  wir  in  diesem  Falle  T  anstatt  T,,  so  wird 

7)  r,  =  r+a»jif, 

also  Ti>T. 

Dieselbe  Formel  muss  aber  auch  gelten ,  wenn  die  erste  Achse  «war 
nicht  durch  den  Schwerpunkt  geht,  wohl  aber  der  Schwerpunkt  in  der 
Ebene  liegt,  welche  durch  die  erste  Achse  sich  normal  zu  der  gemeinschaft- 
lichen Normalen  auf  den  beiden  Achsen  legen  lässt;  denn  auch  in  diesem 
Falle  ist  $  =0.  Der  Beweis  dafür  iKsst  sich  auch  aus  Formel  7)  geben; 
ist  nämlich  in  Fig.  1,  Taf.  III.,  S  der  Schwerpunkt,  JODf/D^DJ/DtD^,  Ebene 
ABC  ^  auf  der  Ebene  durch  DD  und  /><  A,  so  ist 

r,  =  r  +  Je"  •  ijf  =  r+  (i^*  +  Sc*) .  m, 

und  bezeichnen  wir  der  spätem  Anwendung  wegen  AB  mit  y,  so  wird 

8)  T,  =  T^  +  fM, 

und  es  gilt  diese  Formel  immer,  wenn  die  Parallele  DD  durch  den  Schwer- 
punkt die  Senkrechte  BC  auf  AB  schneidet. 

Setzen  wir  5S=e  und  Z- i?C?5  =  'Z-a,   so  wird  BC=BS,sina  und 

9)  r,  =  r-f  (y*  +  e*«Vo)ji/, 

worin  y  der  Abstand  eines  Punktes  in  />|  D^  von  der  Schwerebene  BSC  nnd. 
e  der  Abstand  des  Perpendikelfusspunktes  B  vom  Schwerpunkt  S  ist,  sowie 
«r  der  Neigungswinkel  von  BS  gegen  DD,  welche  parallel  D^D^  genommen 
werden  mujss. 

Legt  man  durch  denselben  Punkt  0  zwei  Paare  rechtwinkliger  Coor- 
dinatenachsen  XX  nnd  YY,  VF  und  üü(ß.  Taf.  HI,  Fig.  2),  so  ist: 

folglich  ist  auch : 

oder: 

Ferper  ist  us=]l/0^=^ML  —  LQ  =  ycQia — xsma^  wenn  LVOXc=a 
ist,  somit  auch : 

/  w*|[A  d  V=  sin^a  1  x' (i  d  V+  co$^a  f  y*(i  d  V —  2  «Vi  a  cosa  1  xy  fidV'^ 

ist  aber  der  Körper  symmetrisch  bezüglich  der  Ebene  der  orz,  so  giebt 

uigiüzea  oy  v_i  vy  v^'Ti  ln^ 


Von  Dr.  Eduard  Zetzschb.  167 

es  zu  jedem  +y  ein gleichgrosses  — y;  desshalb  ist  dann  /  xyfidV=^0*)  und 

11)  r,  =  «n«ary  +  co^a  J^. 

In  dem  Nachfolgenden  sollen  nun  die  Trägbeitsmomente  für  verschie- 
dene  homogene  Körper  als  einfache  Integrale  dargestellt  werden ,  und  am 
Schlüsse  nicht  homogene  Körper  eine  kurze  Berücksichtigung  finden. 

nr.  Trftgheitimoment  ^i  glaioh«r  Sntfemimg  aller  MasiMitheilchen  Yon 

der  SrehachBf . 
Die  Formel  7\  =  p'Jlf  giebt  das  Trägheitsmoment  nicht  allein  für 
einen  materiellen  Punkt  (1.),  sondern  ebenso  auch  für  eine  Masse,  welche 
auf  einem  geraden  Cylindermantel  vertheilt  ist,  sobald  die  Drehachse 
mit  der  geometrischen  Achse  der  Cjlinderfläcfae  zusammenfällt;  ferner  auch  ^ 
für  eine  Masse,  welche  in  einer  Linie  yertbeilt  ist,  die  sich  auf  der  Cylinder* 
fläche  beschreiben  l&sst,  wie  z.  B.  in  einer  Kreislinie,  einer  Schrau- 
benlinie, u.  8.  w. 

y.  Trägheitsmoment  ebener  Liiüen  fär  eine  Achse  in  ihrer  Ebene. 

1)  Für  eine  Gerade  AB  (s.  Taf.  IIE,  Fig.  3)  bezüglich  einer  Achse 
DD  durch  deren  Schwerpunkt  5.  Bezeichnen  wir  den  Querschnitt  der  Linie 

mit  ^  die  Länge  AB  mit  l,  also  5^=5^=—,  SP  mit  x.LASN  mit  a,  den 

Abstand  NP  des  Punktes  P  von  der  Drehachse  DD  mit  r  und  endlich  ^AC 

=  —  sin  a  mit  a,  so  ist : 

dVs=fdx;     r=:x9ina^ 
folglich  M  =zlfAf  and 

T^^fft,  5IM»  a  j  x'^dx^iy-A  f^  sin* «, 

12)  T  =  ^\M{lsinay  =  iM(f 
Ist  a  =  0,  so  ist  r=  0.     Ist  a  =  ÖO",  so  ist 

(i2)r=iiif(ij 

und  nach  7)  für  eine  Achse  durch  einen  Endpunkt  der  Linie 

2)  Für  eine  Gerade  AB  (s.  Taf.  III,  Fig.  3)  bezüglich  einer  Achse 
2>i/>i  welche  um  SL  =  y  von  dem  Schwerpunkte  S  der  Geraden  absteht, 
wenn  die  Parallele  D D  zur  Drehachse  mit  der  Geraden  den  LASN^=^a 
einschliesst,  ist  nach  7)  "^ 

13)  Ti^T+My*  =  lM(jsinay+My'=M{^a'  +  !/^. 

*)  Sofern  ^  dem  nicht  widerstreitet;  ist  fi  unabhängig  Ton  y,  so  ist  das  Integral i 

sicher  ^=0.  uigmzea  oy  v_iv>'v^'ilC 


^68  BeBtimimmg  der  Trägheitsmöniente  etc. 


3)  Für  einen  Kreisbogen  LN  (s.  Taf.  HI,  Fig.  4)   bezüglich  eines 

Durchmessers  als  Drehachse.     Ist  der  Halbmesser  CD  =  R,  die  erste  und 

letzte  Abscisse  des  Bogens  CAt^z^imA  CB  =  Zi,  die  Coordinaten  des  Bo- 

genelementes  P=:ds  aber  €Q==iz  und  jPP=r,  so  lantet  die  Gleichung 

des  Bogens :  Ä*  =  z*  +  r«  oder  r  =  j//?  —  z*  und  es  ist 

,  »zdz 

dr:=:z 

sowie 

T,^ßdM=,fEf^^d.  ■ 

Bezeichnen  wir  nun  LPCQ  mit  ^,  so  ist  a;=Äco*9;  r=j/Ä"-r2*=Ä»i>iffij 
(f2  =  —  R  sing>  d(p]  mithin 

/'  -    ■ 

V» 
Ti  =  —  IAf^  I  sin*q>d<p  =  fifl^  jsin^qtdip. 

Bekanntlich  ist  aber,  wenn  m  eine  ganze,  gerade  Zahl  ist, 

J4)     Isin'^tpdtp  =  —  ^^^(sin'^-i^  +  ÜLrJ^V,—3y  ^  _  , 
t/  m     \  ^       tn  —  2 

(m  — l).(m— 3) 3   .      >^  ^    (m  — l).(m~3) 3-1 


0 
und 


15)  fsm'^^dg>=    (m-l)(m-3) 3.1       « 

V  m(i»— 2)(m  —  4^ 4. 


1 6)               fsin-^  d^^    (^-i)(^-3)          3.1 
y  m(m  — 2)(m— 4) 4.2 


0 
Es  ist  demnach : 


j  r-r  n  / jy  /^^^  "*"  ^^^  '^^^  ^^  ^^ 91  —  cosipiSin(pi\ 

'       ^^      \  2      ^  2  ) 

9o — 9i 
und  f^r  den  Quadranten,  bei  welchem  ^i  =  0  und  ^o  =3  ^  ist^  t 

uigii!ze(?Dy  'CjOOQIC 


Von  Dr.  Eduabd  Zetzsche.  169 

18)  T,=\IPM. 

4)  Für  eine  Parabel,  welche  eich  um  die  Parabelachse  dreht,  ist 

r*  =  2pz',2rdr  =  2pdz,  ^=p  ds  =  dzj/l +(^^Jsrly^+?dr 

nnd 

r,  =  ^Jr»yp*  +  T*dr  =  ^Jipz  yp*  +  2pz  t  dz 

=^fy^V^+^zdz=,fp{?±^.-f^  lg  ni  ü±^^?^£i±E). 

In  ganz  Khnlicher  Weise  iSsst  sieb  auch  das  Trägheitsmoment  ftlr  ebene 
Linien  bestimmen  bezüglich  einer  Drehachse,  welche  gegen  die  Ebene  der 
Linie  unter  irgend  einem  Winkel  geneigt  ist.  Auch  Linien  im  Räume  las- 
sen sieb  ähnlich  bebandeln,  nur  ist  für  diese  <f »  =  ^c/^  +  ^^  +  <^2'  and, 
wenn  die  Drehachse  mit  der  Achse  der  z  zusammenfällt,  r*  =  o:*  +  !/*• 

▼L  Träglieitimoment  ebener  PlftoheiL 

Die  Fläche  habe  die  con staute  Dicke  d. 

£)  Die  Drehachse  liegt  in  der  Ebene.  Der  Abstand  eines 
Fläcbenelementes  dz  dr  sei  r,  also  das  Massenelement  dM=^6  dz  dr  und 


^=''«/J' 


f^dz  dr. 


1)  Das  Rechteck  für  eine  Seite  als  Drehachse  (s.  Taf.  III, 
Fig.  5);  sind  die  Seiten  k  und  &,  so  ist  itf  =  fi 4  6A  und 

h   b 

19)  T^  =  iiSjJf^drdz==^liibf^  =  iMf^. 

0  0 
Für  eine  Achse  durch  den  Schwerpunkt  parallel  zu  einer  Seite  ergiebt 
sich  darauB: 


20)  r  =  I  Mff  —  ^(|Y=  A  ^Ä«. 


2)  Das  Dreieck. 

a)  Das  rechtwinklige  ABC  (a.  Taf.  III,  Fig.  6)  für  eine  Kathete  AC  als 
Drehachse;  bezeichnen  wir  L  BAC  mit  er,  so  ist  die  Gleichung  der  Geraden 
ABj  sofern  man  die  z  von  A  aus  und  die  r,  von  BD  aus  zählt,  r,  =  z  tan  tf, 
und  wenn  ^C  =  f)r,  (?i?  =  A  ist,  so  ist  für  den  Punkt  C  auch  h=gtana]  fer- 
ner ist  3f=^fid  6  A  und 

zUtna 


g  zuma 
r^=(idjrr*dzdr==s 


21)    T^=(idlJr*dzdr==:^^^^ö(f*ian^a  =  j\giiögh^  =  ^Mfi^. 

b)  das  beliebige  Dreieck  ABG  für  eine  Seite  AG  als  Drehachse pUie 

ZeilMhrtn  f.  Malhemalik  a.Physik.  V.  12 


170  Bestimmung  der  Trägheitsmomente. 

BC-^  AG,  AC=g,  CG=gx  und  CB  =  h,  so  ist  M=^  l(iö{g  +  gt)  h  und 
nach  21) 

22)  T,  =  T>,f*d  ((/  +  g,)  Ä»  =  ^MhK 

c)  Das  beliebige  Dreieck  ABE  (s,  Taf.  III,  Fig.  ö)  für  eine  Achse 
durch  seine  Spitze  A]  es  schneide  die  Seite  BE  die  Achse  DD  in  (7,  und  ea 
sei  AG=g,  BC=h,  EF=:=ki'y  dann  ist  Mz=:  ^fiö g  {h  — h^)  und  nach  21): 

23)  r,  =  ,«,^Ä^(Ä«-V)  =  e*^^^*-=*^(A'  +  ÄÄ,+V). 

W&re  £BJ/  DD,  so  hätten  wir  Ä  =  Ä,  und  demnach 

24)  r,  =  J.Af(3Ä»)  =  i;j/A». 

Von  der  Richtigkeit  dieser  Formel  kann  man  sich  dadurch  überzeugen,  dass 

man  das  Dreieck  in  Streifen  parallel  BEJJ  DD  zerlegt;    die  Länge   eines 

solchen  Streifens  sei  z,  seine  Breite  dr,  sein  Abstand  von  DD  sei  r  und  end- 

r         z 
lieh  BE=ib\  dann  ist  -r^=^T  ^^^ 
n        0 

h  h 

e  0 

Wäre  A,  =  —  Ä,  so  wäre  die  Achse  eine  Schwerlinie  und 

25)  T=iMkK 

3)  Kreisfläche  für  einen  Durchmesser  als  Achse.  Ist  in 
Fig.  4  wieder  die  Gleichung  der  Kreislinie  R^  =  r*  +  z\  LPCO=^q>,  sowie 
CA=ZQy  CB  =  z^  und  der  Abstand  des  Fiächenelementes  dxdz  voa  der 
Drehachse  =«,  endlich  r  =  j/Ä' — z^^Bsintp^  z  =  22  üos 9 ^  also  dz 
=  —  72  8in<p  dtp,  so  ist  für  die  Fläche  ABLN: 
fi     *  fo 


M==iki  Irdzi^lidlP  lsin*q>d<p 

r^  =  fiilla^dzdx  =  l(idlT^dz=i—ifidR*lsin*<pd(p 
}  sin^fp  dq> 


«0  ^  2p  9o 


/ 


=  ^MÄ'^ 


!• 


^  sin*(pdip 

<Pi 
Mit  Benutzung  der  Formeln  15)  und  16)  ergiebt  sich  hieraus : 

•      für  den  Quadranten  bei  To  =  ö  °^d -1  =^ 

26)  r,=|ilfÄ», 
für  den  Halbkreis  und  Kreis 

27)  r,  =  i  ^Ä*.  Digitized  by  GOOglC 


Von  Dr.  Eduard  Zetzsche.  17t 

In  Fig.  7  (Taf.  III)  ist  für  den  Halbkreis  ttber  der  Achse  der  y  nach 
2Ö)  nnd27): 

Ty  =  j.iBfÄ*  und  r^  =  ^  ^Ä« 
folglich  nach  11)  fUr  die  Achse  />,  D^ ,  welche  mit  der  Symmetrieachse  XX 
den  L  a  einschliesst: 

28)  r|  =  («n*d  +  co5«a)iJ«fÄ*  =  j;ifÄ*; 

es  ist  ja  das  Moment  der  beiden- gleichen  ung  gleichliegenden  Sectoren  ABC 
nnd  EFC  gleich  gross.     Ist  nnn  S  der  Schwerpunkt  des^Halbkreisi^s,  so  ist 

GS=^CS.  sina  ^m-^sina  und  desshalb  das  Trägheitsmoment  für  die  Achse 

DD  durch  den  Schwerpunkt : 

29)  T=  T,  -^  (i^5«ajüf  =  (i_^ ««««)  Mlf*) 

Für  einen  ringförmigen  Kreissector  ABCE  (s.  Taf.  HI,  Fig,  8), 
in  welchem  FC=^tt^  und  FB=zR  ist,   wäre  dM=^  iid  rdr  dm]  ist  nun 
L  PFG  =  flo,  so  wäre 
R  ai| 

J|f  =  ^a/yrrfrdrt===  J,i*(Ä«--Äo*)(«i  — «o) 


=-  f{r  sinmy  dM^=:iiö  f  jr^sirftä  dr  dto  =  J|**  (Ä*  —  Äq^)  / m*»  efo» 


'Wh*  (Ulf«» 
30)  y,  =  4(Ä*  +  Äo*)^  — 


/• 


» 


I  — »0 


\  C»|  —  00  / 


Für  den  Quadranten  ist  10,  =  ^i  =3  0,  »,  =  9»,  =  — ,  folglich : 

31)  r,=i*(Ä»+i?,») 

und  wenn  i?^  =  0  ist,  so  ist  wieder  T,  =  ^  iüf  Ä*. 

In  Fig.  6  sei  LP^r,  LPLG=-PMl  =  u\   LH=^%H^c\   dann  ist 
r=-=c  sin  u,  also  für  den  Halbkreis  bezüglich  LG  als  Drehachse 

r  4«  2 

T^  =  j{r  sinuy .  dM==  ^6  j  jr^siH^udrdu^yid^  j sin^udu^{^Mi^=iMI^ 

0  ü  ü 

in  Uebereinstimmung  mit  27). 

♦)  Andere  Anwendangen  der  Formel  11)  finden  sich  in  Welsbach,  Mechanik  I, 
S.  365  flg. ;  woselbst  auch  nachgewiesen  wird,  dasd  das  Trägheiten oment  eines  regel- 
massigen  Vielecks  ftir  jede  Achse  durch  den  Mittelpunkt  gleich  gross  ist ,  ntimlich 

p 
7*=  -    (V+i^i «*),  wenn  F  der  Flficheninhalt  des  Vielecks,  8  eine  Vieleckseite  und  h 

deren  Abstand  vom  Mittelpunkte.  uiginzea  oy  ^^^jOOQ IC 

12* 


172  Bestimmung  der  Trägheitsmomente  etc. 

4)  Bllipflenflftche  für  eine  Ellipsenachse  als  Drehachse. 

Ist  in  Fig. 9,  Taf.  UI,  CA=  b,  NP:=a:,  NQ=r,  CB=a,  CNz=;zz,  LP.CN 

=  9,  so  ist 

^       «t  h 

—  +  -5  =  1,  z=^acos(py  0?=  —  i/ä*  —  2*==*  «119,  dz=:  —  asm^dq> 

und  mr  EFGH 


M^^=^9  j  f  drdzz=ii6^  1  j/aF — z* dz^=  ii^öba  i 8in*^dq> 
0  «t  «0  9i 

T^  =  (id  f  fT^drdz  =  ^li8la:Fdz=^^(iSb^alsin*(pd(p 


0  K  H  9i 


32)    r,  =  iiJfft»5?t 


I  sifi*q>dq> 

Vi 


]  sin^^dip 

und  für  den  Quadranten,  die  halbe  und  die  ganze  Ellipsenfläche 

33)  T,  =  ^Mb\ 

worin  ilf  beziehentlich  die  Masse  des  Quadranten,  der  halben  oder  ganzen 
Ellipse  bedeutet. 

Die  der  Formel  28)  entsprechende  Formel  würde  lauten: 
T,=Im  {b*  sin^a  +  a*  co^a), 
wobei  die  Halbellipse  symmetrisch  gegen  b  liegt. 

5)  Parabelfläche,  begrenzt  von  der  Farabelachse ,  den  beiden  zu 
den  Abscissen  Zq  und  k  gehörigen  Ordmaten  x^  und  b ,  so  wie  dem  zwi- 
schenliegenden Parabelbogen^  dessen  Gleichung  x  =  }/2pz  sein  möge. 

a)  Parabelachse  als  Drehachse : 
h  h 

M^ßdlxdz^fiö}^J}/^dz  =  ^liö]/2^(yV—y^^) 

h   X  h 

'      T.^^iJJf^dzdr^l^^yTp^Jf'zUzz^^^y^byTp^iyi}--^^^ 

34)r.=jiif2p^=^' 
yh  -  yz^ 

oder,  wenn  2^=:0  ist: 

35)  r,  =  fpAAf  =  |AfM. 

6)  Letzte  Ordinate  als  Drehachse  und  zugleich  t«  =  0,/4s= — :t 

DigitizedbyLjOOglC 


Von  Dr.  Edua&d  Zetzsche.  173 

T,  =  ^iJJi»dxdr=z\ijLij{h—t'fdx 

0  0  0 

^  b  h  b  b 

=  \ii,»{ffJdx--Zf^Jzdx  +  üf^dx—Cz^dx 

0  0  0  0* 

=  Ifi«  (Ä»6  —  Ä«6  +  f  Ä»6  —  f  Ä»ft)  =  1,4 d  ^  6  V 
M=\iLSbh 

36)  r,  =  ,v^Ä«; 

c)  Für  eine  Achse  darch  den  Schwerpunkt  parallel  znr  letzten  Ordi- 
nate ist  mit  Benutzung  von  7) 

37)  r=  r,  -  (f  Ä)'  Jif  =  (,v  -  iV)  **• = tV^  «^- 

B)  Die  Drehachse  steht  senkrecht  auf  der  Ebene.  Der 
Abstand  des  Flächenelementes  dx  dy  von  der  Drehachse  ist  =  j^a*  +  y*,^ 
das  Massenelement  dMs=s  ^idxdy^  also 


^,y,  .   ..-    ...dxdy 


T=^ifj[x^  +  y^)dxdy=M''^,''' 

ffdxdy 


1)  Rechteck  für  eine  Drehachse  durch  den  Schwerpunkt;    sind   die 
Seiten  a  und  6,  die  Diagonale  =d,  ihre  Hälfte  ---  =  dj ,  so  ist 

38)     r=jtf=ü:=iLj^— ^^^ =  ,!,*(«»+ 6«)  =  iJira,«.   • 

2)  Dreieck  für  eine  Aclise  dnrch  eine  Ecke. 

«)  Rechtwinklig  bei  C  in  Fig.  10,  Taf.  in ;  AC  =  b,CB  =  a,AB  =  c, 

X       y 
Gleichang  der  Hypotennse  AB  in  der  Ebene  XTi  —  =  T  j  M=z\ab^i 


r,  =  i^8fß 


39)  7',=4ilf(a»  +  f6»)  =  iilf(a»+D- 


b)  Beliebige»  Dreieck  EBA  (b.  Taf.  m,  Fig.  10);  zieht  man  BCj-  EA, 
80  ist,  wenn  man  ^2?  =  c„  EB  =  c„  AC=  6„  ÄC=6.,„|C=«^u3d^di^ 


# 


174  BestimmaDg  der  .Trägbcitattiomente  etc. 

den  Dreiecken  CBA  und  CBE  entsprechenden  Massen  mit  M^  und  Jlf,  be- 
zeichnet werden,  nach  39) 

r,  =  J^lf  K  +  i  (ft, c» +*.r,')]  =  tüf  (a»+ i«»  +  ^1^*) 

40)  r,  =  4  Af «« +  ^  Jlf  (6.«  -  6,  fr.  +  V). 

c)  Gleichschenkliges  Dreieck;  wenn  c,'=  c,  5=  c  oder  ^,  =  6^  =  4* 
und  M^  =  Mi  =  \M  ist,  so  liefert  40) 

41)  r.=Ji»f(a»+0  =  4^[«»  +  i(i)], 
und  für  eine  Achse  durch  den  Schwörpunkt : 

(«)    r=r,J(,.).,  =  j»(|-|)=j4^+(|)']. 

Für  einen  Kreissector  wäre  a  =  c  es=  Ä,  Tj  =  ^  ilf  Ä*. 

3)  Kreisringsector  für  eine  Drehachse  durch  den  Mittelpunkt  F 
(Fig.  8,  Taf.  m,  vergl.  (30), 

dM  =  iiör  dm  dr;  ilf  =  J^d  (7?  —  R^)  (a,  —  a«) 

Für  deo  VoUkieis  ist  ^o  =  0,  also 

43)  T=\MB'. 

4)  Ellipsen  fläche  für  eine  Drehachse  durch  den  Mittelpunkt  C  der 
Ellipse  (Fig.  9,  Taf.  III).  Es  sei  CN=x,  CB:=^CP^  =  a,  CG^x^,  Cir=a:„ 
CJ=by  NP=y^y  Z-P, CiV==g),  also  x==iacos<py  und  die  Ellipsengleichnng 

dann  ist  für  die  Fläche  FGBE: 

M  =  fi6  I  ldxdy=in,6  --  JY^^ — x^  dx  =  fiö  —  1  a*  sin^tpdq) 

T/==iiiJ^J{x'  +  y')dxdy±=li6jx'y,dx+lli8Jy,^dx 

=  (tt^J  !>a*  I  co^cp  sin^ip  dtp  +  {(ih^  j  sin^tp  d  q>  j 

=  ^  6  tö»  1   jsin^tp  dtp  +  (l^  —  ij  jsin^ipd^y 


<Pi  9i 


uigiüzea  oy  '" 


lOogle 


r.^.sfß^ 


Von  Dr.  Eduabd  Zetzschjs*  176 

Für  des  Ellipsenqi^adraiit  AGB  ist  (p^ss^^  9q  ^  — )  C^lso: 

44)  r.=ilf(a«  +  n 

welche  Formel  auch  für  die  halbe  nnd  ganze  Ellipsenfläche  gilt. 
5)  Parabelfl&che  vom  Scheitel  aus  bis  zur  Ordinate  b^=j/2ph. 

a)  Für  eine  Drehachse  durch  den  Durchschnitt  der  letzten  Ordinate 
mit  der  Parabelachse  erhalten  wir  nach  .10)  aus  3$)  und  30) : 

45)  r,  =  iJf(^«  +  |Ä«). 

b)  Für  eine  Drehachse  durch  den  Scheitel  der  Parabel,  deren  Gleich^ 
VDg  yi  =  y^px  ist,  w&re 

//•  -r- 

M:=^ii8l  fdxdy^=:ii8y2p  Ij/x  dx=s:^fiSbh 

0  0 
h 

*  +  y*)  dx  dy^=nöl yia*dx+ifid  j y^^da 
0  0  0  0 

46)  r=3il/(^Ä»+Afr')=i^(^+V*')- 

c)  Für  eine  Drehachse  durch  den  Schwerpunkt  der  Parabel ,  welcher 
um  JA  Tom  Scheitel  absteht,  ist 

47)  r=|Af(fe«+yA')-(|Ä)»üf  =  |ilf(ft^+l|Ä«),     . 

wobei  jedoch  die  Fläche  auf  beiden  Seiten  der  Parabelachse  genommen  Ist, 
weil  sonst  der  Schwerpunkt  nicht  in  der  Parabelachse  läge. 

C)  Die  Drehachse  DD  ist  unter  dem  Winkel  a  gegen  die 
Ebene  geneigt,  Ih  der  Ebene  legen  wir  ein  rechtwinkliges  Achsenkreuz 
so,  dass  die  Achse  der  x,  mit  der  Drehachse  DD  den  Neigungswinkel  DAX 
=n=  a  einschliesst, 

«)  Zerlegen  in  Fig.  11,  Taf.  III,  die  Fläche  NN'  in  Streifen  parallel  zu 
Xä'^  der  Streifen  OQ  z.B.  gehöre  zu  der  Abscisse  AB  =  y  nnd  habe  die 
Länge  00=fOB  +  BQi^x  +  x'  und  die  Breite  dy,  also  die  Masse  äM 
=  ^  4  (a:  +  ar')  dy ;  sein  Schwerpunkt  5'  aber  liegt  in  der  Mitte ,  nnd  Ton  B 

entfernt  um   ^5'=c=  ^0  —  50  =  ar  — ^^^tf.  =:=?LZ1^;    nun  ist   das 

2  2 

Trägheitsmoment  des  Streifens  für  eine  Achse  D'D'fjDD  durch  den  Schwer- 
punkt S'  nach  12) : 

r=^^dM(x  +  xysifeu, 

denn  es  ist  ja  auch  LD'S'O  =  L  BS'C=  LDAJ=^a;   demnach  ist   das 
Trägheitsmoment  des  Streifens  für  die  Achse  DD  selbst  nach  0) 

r=  r+  0«  +  e^sin'a)  dM=  |[^  {x  +  xj+  (^IZ^)*],,«««  +  y«)rfAf 

==  [i  jm«o  (jr«  —  a-or'  +  x^)  +  y*]  dM, 
woraus  sich  als  Trägheitsmoment  der  ganzen  Figur  NN'  ergiebt^  , 

uigiiizea  oy  v^jOO  V  IV^ 


176  Bestimmung  dor  Trägheitsmomente  etc. 

48)  r,  =£r'=i,6f[^sin*a (x^  —  xx  +  x")  -h  t/*]  (x+x)  dy 

=  iiijy*{x  +  x)dy+^fi5  8in^aj^(x»  +  x*)dy. 

a)  Sind  x  and  x'  constant,  so  wird: 

49)  T,  =i,6{x  +  x)  [i {a^—  xx+  x')  sin^ajdy  +  Jy' dy] 

z.  B.  beim  Kechteok,  dessen  Seiten  mit  den  Achsen  der  x  and  y  parallel 
laufen,  seiar  =  fto>  a:'=ft, ,  6o  +  6|=6  und  — h^rm^h^  die Integrations- 
grenzen  für  y,  A^  +  Aj  s=s  A,  also  M  =s  fiöhb'^  dann  ist 

Geht  die  Drehachse  durch  den  Schwerpunkt  des  liechtecks,  so  ist 
A|=^o="5r  ^^^  ^i'=^o=o"i  mithin 

50)  rt=tif[(|-«n«J+(|)]  =  ,>jif(6««>i«a  +  n 

welche  Formel  in  38)  tibergeht,  sobald  o=90^  und  a  für  A,  dagegen  in  20), 
sobald  0  =  0  gesetzt  wird. 

b)  Ist  die  Fläche  symmetrisch  bezüglich  YY\  so  ist  x'=zx  und 

51)  r,  =  fkt  2J{\  sin^a  .x'  +  f^)x  dy. 

1)  Beim  gleichschenkeligen  Dreiecke  für  eine  Achse  durch  des- 
sen Spitze,  wenn  dessen  Grundlinie  b  parallel  zu  XZ',  also  die  Höhe  a  in 

7riiegt,ista:=— y  ^ 

M=z2fii8 1  xdy=z^fidba 

52)    r,=til/(^J^6»m*a  +  a*), 

welche  Formel  in  41)  übergeht^  sobald  a  =  00^  wird,  dagegen  in  24),  wenn 

M^s^O  und  h  für  a  gesetzt  wird. 

2)  Beim  Halbkreis,  dessen  Durchmesser   mit  XÄ'  zusammenfallt, 
für  eine  Achse  durch  den  Mittelpunkt.    Hier  ist 

0?  =  j/ä*  —  y*  ssR$m([p-^  y=:Rcos^'^  dy  =  — Rsinq>d^ 


T,^-2^iJ{\If 


T^t=z--^2^i  / (i  ^  siffq>siv^a  +  Ä* co^qi)  -R*  sin^q>  dtp 


5- 
JE 

2 


=s=2|»dÄ* /[(i*tn»rt— l)siV9?  +  «/iV]rf9>===f*ÄÄ*«f^^-^ +4j 


Google 


53)    T.^lMRUsin'a  +  l), 

'        "  *  ^  ^  Digitizedby 


Von  Dr.  Eduard  Zetzsche.  177 

welcbe  Formel  für  «  =  90^  m  42)  (für  Ä©  =  0),  und  für  a  =  0  in  27)  über- 
geht, 

3)  Bei  der  Parabelfläcbe  zu  beiden  Seiten  der  Parabelachse, 
welcbe  mit  der  Achse  der  y  zusammenfällt ,  für  eine  Drehachse  durch  den 

Scheitel  der  Parabel«     Hier  ist  x  =  '^2py<,  mithin 
h 

T,=  2fidJ(^2pysm^ia  +  u')]/2pydy 

0 

k  h 

=.2fi*/2p  [}p  sm^ajyj/ydy  +Jy^yy  dy] 

=  2fi«  j/2p  [-r\p  «•«*«  äP /ä  +  f  Ä» /*] 

54)  T,  =5  ^M[^gpfi ««««  +  j  Ä«]  =  i  if  [b*  «»•o  +  V  Ä*], 
woraus  für  a  =  00^  sich  46)  ergiebt. 

Für  eine  parallele  Achse  durch  den  Schwcrpnnkt  wäre 

55)  T=T,  —  ilhyM==iM(b^sin'a  +  llh*), 

in  Uebereinstimmung  mit  47)  und  37). 

c)  Die  Figur  ist  unsymmetrisch  gegen  YY\ 

1)  Parabelfläche  auf  der  einen  Seite  der  mit  der  Achse  der  y  äu- 
sammenfallenden  Parabelachse  für  eine  Drehachse  durch  den  Scheitel  der 

Parabel.     Hier  ist  «'==  0,  ar  =  j/2py,  b  =  }/Tphy  M~lyL6bh, 
h 

T,  =  fi6y2pj{i2py8in*a  +  y")}^  dy  z=zZM{^^\f  sin^a+  |Ä«) 
0 

56)  r,  =  iiV(6*«n«o+»/Ä*). 

2)  Für  ein  beliebiges  Dreieck  für  eine  Achse  durch  eine  Ecke 
B  (s.  Taf.  III,  Fig.  13),  wenn  die  gegenüberliegende  Seite  CE  parallel  zur 
Achse  der  x  liegt.     Hier  sei  in  Uebereinstimmung  mit  VI.  B^  2.  b) : 

bi  ,       ft, 

a  a 

a 

ü 

|f=4^^a(6, +ft,) 

57)  T.  =  4  ^  [a«  +  J  (6/  —  6|  6,  +  V)  ««'  «1, 
übereinstimmend  mit  40),  24)  und  52). 

3)  Beim  Halbkreis,  dejssen Durchmesser  mit  YT  znsammenHillt,  ist 
a:'=  0 ,  ar  =  ^Ä*  —  y*  =  R  sin q)^  y  z=z  R  cos y,  ilf  =  ^liöftB^i  also  für  eine 
Drchaehse  durch  den  Mittelpunkt  uigiizeaDy  v_jww-<:l^ 


178  Bestimmung  der  Trägheitsmomente  etc. 

0 
Tj  =  —  fiöB^jil  Ä*  sin^a  sin*q>  +  /?  C08*q>)  sin*(p  dq> 

=  fiöR*  I  [(^  ««•  a  —  1) sin*q>  +  sm*<p]  dq>^ 
0 
was  mit  Benutzung  von  16)  giebt : 

58)  J,  =  ii»f/?(«>i«a+l), 

gleichlautend  mit  53) ,  wie  sich  von  selbst  versteht. 

ß)  Zerlegen  wir  in  Fig.  12  die  Figu|:  NN'  In  Streifen  parallel  zu  FF'; 
der  Streifen  61^  A!*  gehöre  zur  Abscisse  JL  =  x  und  habe  die  Länge  GK 
=  LIC+  LG  =  y  +  y\  die  Breite  rfa:,  also  die  Masse  dM  =  ^ ^  (y  +  y')  dx] 
sein  Schwerpunkt  S'  ist  dann  von  der  ^  Achse  um  LS*=LIC — 'S'K=-y 

y-ty  — y~y  entfernt;  für  eine  Achse  UD'  durch  5' parallel  au  DD  ist 


2  2 

dann  das  Trägheitsmoment  des  Streifens  (weil  LDAY=:LD'S^K^=:i^ 
nach  12) 

r=^\dM{y  +  yJ', 

ziehen  wir  nun  S'5 // i ^,  so  ist  S'^  =  i ^  =  a:,  ^ Ä  =  Z 5'=  ^~^    und 

nach  9)  das  Trägheitsmoment  des  Streifens  für  die  Achse  DD 

das  Trägheitsmoment  der  ganzen  Figur  iV^iV^'  aber  fttr  die  Achse  DD  ist: 

59)  ri==2:r:===ftdy[i(y«  — yy+y*)  +  a:^m*«](y+y)^'^== 

^===ll^il  {l^+y')d^  +  l^Ssm*al  {jy^y)a*dx. 
«)  Sind  $r  und  y  constant,  so  wird: 

60)  T,^fi8{y  +  y)[l(t/'  —  yy'+y')fdx+J^a^8m^adx] 

K.  B.  beim  Rechteck,  dessen  Seiten  parallel  mit  den  Achsen  der  x  und  y 
laufen,  sei  y  =  Äq,  y'=  ä,,  ä©  +  ä,  =  ä  und  6o  und  b^  die  Integrationsgren- 
zen für  ;r,  6^  +  6,  =  6,  also  M^=z^S  bh]  dann  ist 

und  wenn  die  Drehachse  durch  den  Schwerpunkt  des  Rechtecks  geht,  wo- 
bei Ä,  ==  Ä^,  =  --  und  6|  =  fto  =  -r  I  so  ist 

gleichlautend  mit  50). 

b)  Ist  die  Figur  symmetrisch  gegen  ^ ^'^,,9gls^^(if^ 


Von  Dr.  Eduard  Zetzsche.  179 

61)  Tt=2fisl{ly*  +  s'svfa)ydx,    • 

z.  B.  beim  Halbkreis,  dessen  Dnrcbmesser  mit  YT'  asusammenfäUt ,  für 
eine  Achse  dnrch  den  Mittelpunkt.     Hier  ist 

folglich  ^ 

Ti=x2fk6  h^n^ sin^ip  +  Ä» co5»9  wi*a)  Ii^sin*(p dtp 


sfüB^sin' 


=  2^6  /J*  [(I  -«Vi««)  I  +  1  sin'a]  ^ 

was  wir  bereits  in  58)  gefVinden  haben. 

c)  Die  Figur  sei  unsymmetrisch  gegen  XX\ 
t)  Parabelfläcbe  auf  der  einen  Seite  der  Parabelachse;  welche  mit 
ZX^  zusammenfällt,  für  eine  Achse  durch  den  Scheitel ;  hier  ist 

y=0,  y  =  y2px^  ft  =  /2pÄ,  M=^i^6bh 
und 

h 

Ti====iid  I{l2px+a^sin*a)y2]p^dx==iiö{l.l.2ph.h+lfh*)y^ 
0 

62)  r,  =  jj«f(6«+yÄ«w«««), 

welche  Formel  für  a  =  0  in  35)  und  tilr  «  =  go''  in  46)  übergeht. 

2)  Parabelfläche  zu  beiden  Seiten  der  Parabelachse,  welche  mit 

7Y'  zusammenfallt,  für  eine  Drechachse  durch  den  Scheitel  der  Parabel; 

a^  b* 

hier  i8ty'=  —  --,  y  =  *=---, 
*  2p  2p 

gleichlautend  mit  54). 


TIL  Trftgheitfmcaiient  gerader  prismatisoher  Xörpeii 

deren   Länge  /,  deren   Querschnitt  =sF,    und   deren   Masse  demnach 
M=iiFl  ist. 

J)  Die  Drehachse  sei  parallel  zur  geometrischen  Achse 
des  Körpers )  dann  ist  ugmzea oy  GoOglc 


180  Bestimmang  der  Trägheitsmomente  etc. 

M=fiLJdV—fijjJdxdydz  =  ^lJjdxdy, 
Tt  =y*^ dM^  ^fjj^^^^^  ^"^  ^^  "^^  =  V^lfjiP^+}t)dx  dy, 
(i^  +  y')dxdy 


«0  y©  <>  «0  yo 


fß 


63)  r,  =  jy'"«yo         =  Mt=9*M, 


// 


'  dxdy 

«?oyo 
worin  T^^^q^M*  das  nach  VI.  5)  für  die  Masse  M*  eines  Querschnittes  (parallel 
zn  den  Grundflächen)  in  Bezug  auf  eine  Drehachse,  welche  mit  der  obigen 
zusammenfällt,  zu  bestimmende  Trägheitsmoment  bedeutet  Verstehen  wir 
aber  in  den  in  VI.  B)  gefundenen  Formeln  unter  M  die  Masse  eines  gera- 
den Prismas  von  der  Länge  /  über  der  betreffenden  Figur  als  Querschnitt, 
so  geben  die  dort  gefundenen  Trägheitsmomente  [38)  bis  47)]  zugleich  das 
Trägheitsmoment  des  Prismas.     Also  z.  B. : 

Kreis cy linder,  Drehachse  durch  den  Mittelpunkt  der  Grundfläche 

64)  r=lilfÄ*; 

Hohler  Kreiscylinder,  Drehachse  durch   den   Mittelpunkt  der 
Grundfläche 

65)  r=4^(Ä«  +  i2,«); 

Elliptischer  Cylinder,  Drehachse  durch  den  Mittelpunkt  der 
Grundfläche 

66)  T=\M{a^  +  V)', 

Parallelepiped,  Drehachse  durch  den  Schwerpunkt  der  Grund- 
fläche 

67)  r=JJIf8,*; 
Dreisei  tigesPrisma,  eine  Kante  als  Drehachse 

68)  r.=  {«(^+''--Y-+'-'), 

Prisma  mit  regelmässiger  Figur  als  Grundfläche,  Dreh- 
achse durch  deren  Mittelpunkt 

69)  r=JiJf(««+|); 

Prisma,  dessen  Grundfläche  von  zwei  congruenten  Pa- 
rabeln begrenzt  ist,  die  mit  ihren  letzten  Coordinaten  an  einander 
stossen,  Drehachse  durch  den  Schwerpunkt  der  Grundfläche 

(69)  r=i^(ft»  +  |Ä»). 

B)  Die  Drehachse  DD  (s.  Taf.  III,  Fig.  Ij^eg.^kiQieoJS'  den 


Von  Dr.  Eduard  Zstzschs.  181 

Schwerpunkt  S  dea  Prismas  und  liege  parallel  zur  Orund- 
fläche.  Zerlegen  wir  das  Prisma  in  Elemente  durch  Schnitte  parallel  su 
den  Gmndfläohen,  so  ist  äVr=Fdz\  für  das  Element  MN  in  der  Entfemong 
SSi  =  z  von  S  läast  sich  nach  VI.  A)  das  Trägheitsmoment  T'^r  Q^dM  in 
Bezug  auf  eine  Drehachse  D^  D^  parallel  zu  DD  durch  den  Schwerpunkt  S^ 
des  Elementes  bestimmen;  dann  ist  das  Trägheitsmoment  des  Elementes  in 
Bezug  auf  DD  nach  7) 

r'==  r+  z^dM=r  ^t!'dM+  z^dM, 
und  das  Trägheitsmoment  des  ganzen  Prismas  in  Bezug  auf  DD : 

T=^£r'=jQ,*dM+jz*dM; 

weil  aber  alle  Querschnitte  des  Prismas  gleich  gross  sind  und  jeder  dersel- 
ben auch  genau  gleiche  Lage  gegen  die  zu  ihm  gehörige  Achse  />i  />|  bat, 
80  sind  F  und  ^  constant,  mithin  ^ 

T=Q*fdM+i,Ff^dz===if,*M  +  if,F(^J 

70)  T={if*  +  ^^nM. 

Die  Werthe  für  ^o'  sind  aus  VL  J)  zu  entnehmen,  indem  man  die  dort 

gefundenen  Trägheitsmomente  mit  der  dort  betrachteten  Masse  dividirt; 

T' 
denn  es  ist  o©*  =  -piT . 

dm 

Z.B.  1)  Kreiscylinder;  för  eine  Drehachse  durch  den  Schwer- 
pankt;  nach  27)  ist  ^„«s^Ä*,  also 

71)  r=(iiP  +  T'f^)^=l(Ä*  +  fO^- 
Ffir  eine  Achse  durch  den  Mittelpunkt  einer  Grundfläche  ist 

72)         r.  =  [iiP  +  ,«,/«+(|)]i«f=(iÄ«+|?)-V. 

Wäre  Ä  =sO,  so  würde  T=  ^^^M  und  T,  =iz^l^M^  in  Uebereinstimmung 
mit  V.  l),  wenn  daselbst  o  =  90^  genommen  wird. 

2)  Parallelepiped;  nach  20)  ist  q^—^^lf  (s.Taf.  III,  Fig.  15), 
folglich  bezüglich  DD\ 

73)  r=^i,(A*+?)Jlf. 
Wählt  man  eine  Kante  />,  />|  als  Drehachse,  so  ist 

74)  T,=^\{l^  +  t^M^y[\^+(^^^^ 

3)  Dreiseitiges  Priisma,  dessen  Querschnitte  gleichschenklige  Drei- 
ecke sind;  die  Drehachse  DD  (s.  Taf.  III,  Fig.  16)  durch  den  Schwerpunkt 
laufe  parallel  zu  der  Linie,  weldie  in  einer  Endfläche  sich  durch  die  Spitze 
und  die  Mitte  der  Grundlinie  legen  lässt;  dann  ist  nach  25): 

*.*=***=*  (IT 

»nd  Digitizedby  Google 


182  Bestimnmtig  der  Trägheitsmomente  etc. 

75)  r=Vi(|+'*)^- 

Für  eine  parallele  Achse  Z>|  D^  durch  die  Spitze  einer  Ornndflüche  wAre 

76)  T,  =.^,  (I  +  /«)  M+(i)V=  i  ilf'd  +/•). 

LXnft  die  Drehachse  2>t2>»  (b.  Taf.  III,  Fig.  16)  durch  die  Spitae  X  des 
mittelsten  Querschnittes  und  zwar  parallel  zu  dessen  Grundlinie  MN,  so  ist 

nach  24) :  ^0*  =  4  ö*  =  4  ^*.  ^Igüch 

77)  r,  =  4(««  +  ^Oüf, 

und  für  eine  parallele  Achse  durch  den  Schwerpunkt  S: 

78)  r=(ia'  +  TVO^-(l«)*^=i(K  +  i'')^- 

C)  Die  Drehachse  DD  (s.  Taf.  III,  Fig.  17)  gehe  durch  den 
Schwerpunkt  5  des  Prismas  un.d  sei  gegen  eine  Grundfläche 
unter  dem  La  geneigt.  Ist  das  Element  ^iV^=F(fz  parallel  zur  Grund 
fläche,  so  ist  sein  Trägheitsmoment  für  die  zu  DD  parallele  Drehachse  D^  D^ 
durch  den  Schwerpunkt  S^  des  Elementes  T'^=Tq^dM^  worin  ^o*  nach  VI.C) 
zu  bestimmen  ist;  ziehen  wir  nun  S^R-^DD  durch  <S,,  so  ist  LRSß^a^  weil 
die  geometrische  Achse  AA  auch  senkrecht  auf  den  Querschnitten  (Elemen- 
ten) parallel  zur  Grundfläche  steht;  demnach  ist  das  Trägheitsmoment  des 
Elementes  MN  bezüglich  der  Achse  DD,  wenn  SS^  =  z  gesetzt  wird, 

T"=  Qo* dM  +  RS^\  dM=  {q^  +  «•  co5* «)  d M, 
folglich  das  Trägheitsmoment  des  ganzen  Prismas  für  DD : 

79)  T~£r[=Q^*JdM+  Fcos'ajz^  dz  =  (^o*+  ^^l*cos*a)  M,  . 

1  ^*  siti  o  ^ 

z.  B.  1)  Kreiscy linder;  nach  53)  ist  ^o*  = ^>  folglich 

4 

80)  r  =  ^[(H-«;i«a).Ä«-f|/«f05*«j;jf; 
fiir  a  =  0, 

wie  71) ;  für  «  =  90*, 

r=4Ä»^,  wie  64). 
2)  Parabolischer  Cylinder;  fällt  die  Achse  der  Parabel  mit  YY' 
(in  Fig.  II  und  12)  zusammen,  so  ist  nach  55)  Qo*  =  ^(b*sin^a+l^h^)j  mithin 

81)  r=:=(J*'*m«a+iVVA'  +  tVi*cö*«a)if; 
für  «  =  0, 

•82)  y=(TWÄ'  +  A'*)^, 

für  «"=90^, 

83)  y=(ifr'  +  iWÄ«)J!f=i(6«  +  «Ä«)A       . 

Geht  die  Drehachse  nicht  durch  den  Schwerpunkt,  sondern  im  mittelsten 
Querschnitte  durch  den  Durchschnitt  der  letzten  Ordinate  mit  der  Para- 
belachse ,  so  ist  ^0*  =  i  (**  *««**«  +  if  ^)  +  sV  ^*>  ^^^^  ^^®  Parabelachse 
steht  senkrecht  auf  der  Drehachse ;  folglich  ^.g.^.^^^  ^^  GoOQl^ 


Von  Dr.  Eduard  Zetzsche.  183 

84)  T,  =  (i^«>t««4-A>^  +  A/*co^«)Af, 

wie  (69). 

3)  Dreiseitiges  Prisma,  dessen  Querschnitte  gleichschenklige 
Dreiecke  sind;  bt.  die  MittellHnie  der  Querschnitte  senkrecht  zar  Dreh* 
achse  (wie  in  VI.  C,  a,  b^  1),  so  ist  nach  52)  and  7): 

also 

85)  r=  i-  (4 «•  +  i  ^*  «»«•«  +  f  ^  <^o««o) Mi 
für  a  =  0, 

wie  78) ;  für  a  =  90», 

86)  r=J(i«'  +  ift')^. 

Liegt  dagegen  die  Mittellinie  des  mittelsten  Querschnittes  in  Xä\  so  wäre 

nach  61)  und  7),  weil  y  =  :--*,  nnd  dM=s:^ zcz^ — dz, 

2a  2  2 

r=  2f  y  (i;^,  +  ««*«)^ a^dx  —  {ia$in  a)*  dM 

87)  r==i  (i  6*  +  ia*«n*«+  4/»m»o)  üf; 
für  «  a=  0, 

.    r=i(iA'  +  i^)-ir, 

wie75)i  für  «  =  00», 

88)  T=lQb*'hi<^)M, 

«od  wenn  hier  die  Drehachse  noch  in  die  Kante  durch  die  Spitze  gelegt 
wird, 

wie  68,  wenn  ft,  =  ft,  =  —. 

Vm  Trägheitsmoment  schiefer  ptismatiseher  Körper,- 

deren  Querschnitte  parallel  zu  den  Grundflächen  =F,  deren  Achsen-  bdei; 
Kantonlänge  =^  /,  deren  geometrische  Achse  gegen  die  Querschnitte  unter 
den  Winkel  DLX-=  a  geneigt  ist,  deren  Höhe  also  h  =  lsina,  und  deren 
Masse  M=:  iiFl  sin  a  ist. 

^)DieDreh  achse  liege  parallel  zurgeometrischenAchse* 
Das  Element  i^/iV(8.Taf.III,Fig,  18)  parallel  zur  Grundfläche  hat  die  Masse 
dM-^^^-ILFsmadz'y  seia  Trägheitsmoment  in  Bezug  auf  die  Drehachse 
sei  T'^=^Q^dM  und  kann  nach  VI.  C)  bestimmt  werden;   da  nun  Da  für  all»  Ip 

^^  '  '         uigiüzea  c^v_j  vy  v^Ti  Iv^ 


184  Bestimmung  der  Tr^igheitsmooiente  etc. 

znr  Ornndfläche  parallele  Querschnitte  dasselbe  sein  imisii,  weil  alle  gleich 
gross  und  gegen  DD  gleichliegend  sind ,  so  mnss  das  Trägheitsmoment  des 
ganzen  Prismas  sein :       • 

89)  Ti=^£rz=J^f*dM==Q*JdM==Q*M. 

Verstehen  wir  aber  in  den  in  YLC)  gefundenen  Formeln  unter  if  die  Masse 
des  schiefen  Prismas  y  so  geben  die  dortigen  Formeln  zugleich  das  Träg- 
heitsmoment desselben;    z.B. 

schiefes  Prisma  mit  rechteckigem  Querschnitt,  Drehachse  durch 
den  Schwerpunkt  (nach  50), 

90)  T^^^M  (6«  sin^a  +  A«); 

schiefer  Kreiscylinder,  geometrische  Achse  als  Drehachse  (nach  53), 

91)  T—^MB^{sin*a+i)\ 

parabolischer  Cylinder,  Drehachse  durch  den  Scheitel  (nach  M) 
und  56) 

92)  T,  =  iilf(6»^Va+yÄ«); 

dreiseitiges  Prisma,  Q  uerschnitte  gleichschenkelig,  Kante 
durch  die  Spitze  der  gleichschenkligen  Dreiecke  als  Drehachse  (nach  52), 

93)  ^1  =  i  ^  (iV  ö*  sir^u  +  «•); 

beliebiges  dreiseitiges  Prisma,  eine  Kante  als  Drehachse  (nach  57) 

94)  T,  =  iM[i{b,*  -  ft,  &,  +  b^)  «h««  +  ««]. 

Für  0  =  00®  erhält  man  aus  89)  die  entsprechenden  Formeln  in  VII.  J). 

B)  Die  Drehachse  DD  (s.  Taf.  III,  Fig.  19)  gehe  durch  den 
Schwerpunkt  ^  des  Prismas  und  liege  parallel  zu  ein  erGrund- 
fläche. Das  Element  MN^  dessen  Schwerpunkt  5,  um  Ä^,  =z  von  S  ent- 
fernt ist,  hat  das  Trägheitsmoment  T'=st^*dMy  bezüglich  der  Achse  D, />„ 
wekhe  sich  durch  S^  parallel  zu  DD  legen  lässt;  dieses  Trägheitsmoment 
kann  nach  VI.  J)  bestimmt  werden.  Ist  nun  LSLX  =  LSSxA^  der  Neig- 
ungswinkel a  der  geometrischen  Achse  gegen  die  Gründfläche,  LSAL 
=  L  SAy  St  ==  90S  AtCMD^  D,  und  L  A^  S,  D^  =  ß,  so  ist  nach  9)  das  Träg- 
heitsmoment des  Elementes  MN  bezüglich  der  Achse  DD-, 
r'^  r+  {SA^*  +  A^,^  sin^ß)  dM 

=  («»•  +  «•  sin*»  +  2*  co8*€i  sin^ß)  dM 

=  [^^«  +  j«  (1  -_  cos*  a  cosF  ß)]  d  M. 
Bezeichnen  wir  aber  mit  &  den  L  SS^  D^ ,  welchen  die  geometrische  Achse 
mit  der  Drehachse  einschliesst ,  so  ist  bekanntlich  cos^  =  cosacosßy  und« 
8in*^=  1  —  co^a  cos*ß;  ferner  ist 

dM==ft.Fd{SAi)  =  fiF8inadz] 
demnach 

r'=  {q*  +  z* iif^d)  (iFsintt dzy 
und  weil  ^o  wieder  constant  ist,  so  ist  dasTrägheitsmoment  des  ganzen  Pris- 
mas  für  die  Dreliachse  DD:  ^mr\n]i> 

uigiTizea  oy  ^^jVJwVlv. 


Von  Dr.  Eduard  ZET2SCHE«  185 

95)  T={Q^*  +  ^^p8in*^)Mz^[Q^^  +  ^^P{l~cos^aco^ß)]M, 
S.B.  1)  Geht  bei  einem  fichiefen  dreiseitigen  Prisma,  dessen  Qner- 
sehnitte  (s.  Taf..ni,  Fig.  20)  gleichschenklige  Dreiecke  sind,  die  Aehse 
ZXdnrefa  das  eine  Ende  der  Orundlinie,  wöhrend  die  Drehachse  DD  durch 
die  Mitte  der  GrandUnie  und  die  Spitze  gelegt  ist,  so  ist  (yergL  VIL  B,  3) 

.      o         ^  to  1  4ä«       . 


-•=*(!)' 


nach  25),  folglich 

Für  eine  gleichliegen'de  Achse  in  der  Endfl&che  wäre 

Für  o  =  90»  wird 

wie  bereits  in  70)  gefanden  wurde. 

2)  Für  den  schiefen  Kreiseylinder  ist  po'==«l-^>  ^Iso 

98)  r=|[i?  +  i/«(l— co«««cos«^)]ilf. 

Wenn  man  in  Formel  95)  «=90®  oder  j8=90»  setpt,  so  wird  ««'^  =  1, 
0  ==  90»,  und  man  erhält 

99)  7'=((>o'  +  V,^)^, 

welche  mit  70)  Übereinstimmt.  Wäre  dagegen  /?  =  0 ,  d.  h.  träfe  das  Per- 
pendikel 5  ^i  das  Element  in  D^D^^  oder  läge  DD  in  der  Ebene  des 
Neigungswinkels  SS^A^  der  geometrischen  Achse,  so  wäre 
sin  ^  =  sinu  und 

lOÜ)  r=((»o*  +  ^'4/»m««)ilf. 

C)  Die  Drehachse  DD  (s.  Taf.  III,  Fig.  21)  geht  durch  den 
Schwerpunkt  S  des  Prismas  und  steht  senkrecht  auf  einer 
Endfläche.  Der  Bohwerpunkt  S^  des. Elementes  Mff  parallel  zur  End- 
fläche sei  um  SS^^ssz  von  S  entfernt;  das  Trägheitsmoment  T'^^q^üM 
des  Elementes  in  JBesug  auf  eine  Achse  D^D^  jjDD  durch  8^  sei  nach  VI.  ^) 
bestimmt  ;•  der  Winkel  SS{Z  ist  der  Neigungswinkel  a  der  geometrischen 
Achse  gegen  die  Endfläche;  folglich  ist  das  Trägheitsmoment  des  Elemen-  . 
tea  besttgiich  der  Achse  DDi 

und  das  Trägheitsmoment  des  ganzen  Prismas  für  DD  ist  Digitizedby  V^OOg IC 

Zeitschrift  f.  Mathematik  «.  Physik.  V.  13 


186  Bestimmting  der  Trägheitsmomente  etc. 

4-4/ 

10t)        r=(^o'  +  i*f^eo5*«)jif. 

Wenn  sich  die. geometrische  Achse  auf  einer  Kegelfläohe  um  J)I>  als  Kegel* 
achse  hernmbewegt,  ändert  sich  also  T  keineswegs ,  was  gi^ns  natürlich  itt^ 
weil  der  Trftgheitshalbniesser  nie  einen  Pnnkt,  sondern  einQ  Cjlinder- 
flftche  als  Trägheitsmittelpmikt  bestimmt.  Es  ist  also  im  vorliegenden  Falle 
die  Grösse  von  T  nur  von  der  Grösse  der  Neigang,  nicht  von  der 
Lage  der  Achse  gegen  die  Drehachse  abhängig. 

Für  ö  =  90®  liefert  101)  die  Formeln  in  VIL  Ä) ,  nämlich  allgemein 
T=  Q^My  und  für  /•=0  die  damit  gleichlautenden  Formeln  in  VI.  B). 

1)  Kreise ylinder;  Po*=  h  ^»  folglich 

102)  T  =  i  (i?  +  I  /*  co5«a)  Af. 

Wird  Ä  =  0,  so  wird  der  Cylinder  aur  geraden  Linie,  welche  mit  der  Dreh- 
achse den  Lai=Wf—a  einschliesst;  dann  ist  aber  übereinstimmend  mit  12) 

2)  Parabolischer  Cylinder;    nach  47)  ist    ^o"  =  i  (^*  +  i?Ä*), 
daher 

103)  r=;=(Jft«+^VtÄ»+y3/»co*««)Jlf; 

für  eine  parallele  Achse  durch  den  Scheitel  des  mittelsten  Querschnittes  ist: 

104)  r.  =  r+  (j  hy  i»f  =  (^  ä« + f  a«  +  Vib  ^  ^ö**«)  ^» 

was  man  auch  aus  101)  erhalten  hätte,  wenn  man  ^o'  ==  i  ^  +  f  ä*  ans  46) 
genommen  hätte;  für  eine  Achse  durch  den  Schwerpunkt  einer  Grundfläche 
endlich  wäre 

105)  r,=  T+  (^cosayM=  (| 6*  +  ^V*(f  **+  t  ^  <?öä««)  M, 

welche  Formel  auch  aus 


Tz=^^^ I  dM+Fncos^msinti  fT^dz 


0 
hergeleitet  werden  konnte. 

3)  Für  ein  schiefes  Prisma  mit  rechteckigem  Querschnitte 
ist  nach  38)  ^o*  =  A  («*  +  *•),  folglich 

106)  T=^^^{ä^  +  b^  +  Peos'a)M. 

Lässt  man  aber  das  Rechteck  sar  geraden  Linie  (senkrecht  zur  geometri- 
scken  Achse)  werden,  indem  man  a  =  h  und  &  s=  0  setct,  oder  indem  man 
Qq*  =s  ^1,  h^  aus  (12)  entnimmt,  wobei- A  für  /  gesetst  würde,  so  wird 

was  das  Trägheitsmoment  für  ein  Rechteck  bezüglich  einer  Drehachse 
sein  müsste ,  welche  mit  der  Rechtecktsfläche  einen  Z. «(  sfc  Qdf^  —  u  eia- 
schliesst;  schreibt  man  aber  h  für  /,  so  wird  in  der  That  Tt=^^{}f+b*sin*a)M^ 
überpiDStimmend  mit  50).  uignizea  oy  ^^^\^\^--<i 


L  LV, 


Von  Dr.  Eduard  Zetzsche.  187 

D)  Die  unter  VIII.  ^.,i^.  und  C.  und  unter  VII.^.,  B.  nnd  C.  entwickel- 
ten Formeln  sind  sämmtlloh  in  emer  allgemeinen  Formel  enthalten,  welche 
sich  ergiebt,  wenn  man  das  Trägheitsmoment  eines  Prismas  be- 
stimmt, dessen  geometrische  Achse  iS5|  (s.  Taf.  III,  Fig.  22)  unter 
dem  LSSiR=ia  gegen  eine  Grandfläche  geneigt  ist,  bezüg- 
lich einer  Drehachse  DD  durch  den  Schwerpunkt  S^es  Pris- 
mas, welche  mit  der  Grundfläche  den  Z.2>,S|F=ai  einscfali-ejst. 
Bezeichnen  wir  den  LDSS^y  welchen  die  Drehachse  DD  mit  der  geometri- 
schen Achse  S  Sj  einschliesst ,  mit  d'  und  den  LRSiQ^  welchen  die  Kor« 
malebenen  SS^  R  und  />,  5i  Q  durch  die  beiden  Achsen  auf  die  Grundfläche 
mit  einander  einschliessen,  mit  /?;  zerlegen  wir  femer  wieder  in  Elemente 
parallel  zu  ^^n  Grundflächen,  und  sei  ^i  der  Schwerpunkt  eines  solchen 
Elementes  in  der  Entfernung  SSi  =z  von  S\  legen  wir  endlich  durch  S^ 
die  Drehachse  D^  2>]  //  DD ,  machen  SL  -i-  />,  2>i  und  bestimmen  nach  VI.  A., 
B,  oder  C,,  wie  es  «i  erfordert,  das  Trägheitsmoment  Tzuszg^dM  dos  Ele- 
mentes fttr  i>i  i>i «   so  ist  das  Trägheitsmoment  desselben  för  DD 

r"=  r'+  SL^ .  dM=  (^0*  +  «•  ««•'^)  dM, 
mithin  das  Trägheitsmoment  des  ganzen  Prismas  für  DD 

T—  ST"=zgQ*  IdM+^Fsm^^sinaf^dz. 

Der  Winkel  d- bestimmt  sieh  auf  folgende  Weise;  legen  wir  SR  und  LQ 
senkrecht  auf  die  Ebene  ÄSjö  des  Elementes,  LU^SR  und  ÄF-lSjÖ, 
so  ist: 

SL  =  SS^sin  SS^L=izsm^; 

sV  =  SÜ^+Wr  =  {SR  —  LQy+'RÖ*^  {SR  —  LOy  +^*+  FÖ' 

«•  sinFd'  =  (z  sina—  z  cos^  5i«a,  )*+ z*  co^a  sin*ß+  {z  cos^  cos  «i  —z  cos  a  cosß)* 

sin^d' = sin*a — 2  cos  d  (sin  a  sin  Of+cos  et  cos  «^  cos  (l)  +  {sin^dy + cos*cr,)  cos*^ 

-f-  C05»  a  {ca^ß  +  sin^ß) 

1  —  co«*^  =  l  —  2  cos<&(sthastha|  +cosacos€ii  cosß)  +  co^9' 
co$d^  =  stn  a  sin  a^  -f-  cosa  cos  ort  cos  /3 
und 

107)  r=(^^»-f  y,?sm*^)Jf. 

Setzen  wir  in  dieser  Formel : 

1)  aj  =  90*,  so  wird 

C0€^  =  nna,  «Vd  ==  co^a  und  T=  (^o*  +  A  ^  ^•**<«)  Ji^> 
wie  101)  in  VIILC); 

2)  «j  =3  0,  so  wird 

cos ^=  cos a cos ß^  siVi*^=l  -cos»acos«/J  und  T^QQ*+j^^P{l—co^aco^ß)]M, 
wie  95)  in  VIII.  5); 

3)  /J  =  0,  «=«1,  so  wird 

cos^  =  sin^a  +  cos^m  =  1,  sin*9  =  0  und  r=  Qo^M,    ^  I 

wie  89)  in  VIII.  A) ;  ^'9'^'^"°  °y  ^OOg IC 

13* 


188  BestimmuDg  der  Trägheitsmomente  etc. 

« 

4)  «  s=s  90^,  80  wird 

co«0=3:ftnO|,m*0  =  coj'at  und  r=(^o*  +  T*«'*^^**«i)  ^» 
wie  70)  in  VH.  q-, 

5)  a  =  90^,  tfi  =  0,  80  wird 

cofd'  t=  0,  sin*  9—  i  and  T  =  (^o*  +  i^  0  ^» 
wie  70)  in  VH.  B)\ 

6)  «  =5  90^  =  «1,  flo  wird 

co«d  =  l,  «m*^=:=0  und  T=^o*^i 
wie  63)  in  Vn.^). 

IX.   Trägheitsmomente  pyramidaler  Körper,     . 

deren  Grundfläche  =■  F^  deren  Höhe  =  /,  und  deren  Masse  M  =  - —  sein 

möge.     Zerlegen  wir  die  Pyramide  in  Elemente  parallel  zur  Orundfläche, 

80  sind  dieselben  ähnliche  Figuren,  und  die  Fläche /'des  Schnittes  in  der 

Entfernung  z  von  der  Spitze  bestimmt  sich  aus  f\F^=^7?il*\  daher  ist  die 

aF 
Masse  dieses  Elementes  dMzzrz^ifdz  =  ^ z^dz.   Wegen  der  Aehnlichkeit 

der  Schnitte  wachsen  auch  die  Trägheitshalbmesser  der  Schnitte  für  ähn- 
lich liegende  Achsen  wie  irgend  eine  andere  lineare  Strecke  in  dem  Schnitte, 
und  da  die  letztere  der  Entfernung  des  Schnittes  oder  Elementes  von  der 
Spitze  proportional  ist,  so  muss  es  auch  der  Trägheitshalbmesser  sein ;  ist 
also  der  Trägheitshalbmesser  des  Elementes  in  der  Entfernung  z  von  der 
Spitze  =Q,  und  der  Trägheitshalbmesser  der  Grundfläche  =^i,  so  ist  auch 

q:q^=z:1',  •q  =  ^z. 

Ä)  Die  Drehachse  gehe  durch  die  Spitze  der  Pyramide 
nnd  stehe  senkrecht  auf  der  Grundfläche.  Nach  VI,  ^)  ermittelt 
man  das  Trägheitsmoment  T'^=^Q*dM  des  Elementes  im  Abstände  z  von 
der  Spitze  und  findet  daraus  das  der  ganzen  Pyramide 

/ 

T,  =  2r=^^J^^Ifz^dz 

0 

oder 

108)  T,=iMQ,*', 

sK.B.  1)  Querschnitt  ein  gleichschenkliges  Dreieck;  die  Dreh- 
achse treffe  die  Grundfläche  in  in  deren  Schwerpunkt.    Nach  (41)  ist 

•■•=>(i-0 

folglich 

,09,  r=j,(|_D. 

Trifft  die  Drehachse  die  Grundfläche  in  deren  Spitze,  Ibo  ist  naciTii^'^^ 


Von  Dr.  Eduard  Zetzsche.  189 


folglieh 

110)  T,=^u(f+f). 

Diese  Formel  110)  gilt  zugleich  fbr  alle  geraden  Pyramiden,  weil  bd 
diesen  alle  Querschnitte  regelmässige  Figuren  sind  und  das  Perpendikel 
(Drehachse)  von  der  Spitze  auf  die  Grundfläche  die  letztere  in  ihrem  Mittel- 
und  Schwerpunkte  trifft,  also : 

2)  Querschnitte  Quadrate,  die  Drehachse  gehe  durch  den  Mittel- 

em 
punkt  derselben ;  hier  ist  a*  =  — ,  folglieh 

i 

111)  r=iJlfc,«; 
oder  ^,*  =  I  c,«  nach  38),  folglieh  7=  J  Jfc,*. 

3)  Gerader  Kreiskegel,  geometrische  Achse  als  Drehachse 

a=scs=3^,  oder  ^i*  =  ^i? 
nach  43),  folglich 

112)  T=j\gMB'. 

4)  Elliptischer  Kegel,  Drehachse  durch  den  Mittelpunkt;  nach 
44)  ist  ^,«  =  i  (a«  +  6«),  folglich 

113)  T=^M{ai'  +  b*). 

5)  Parabolischer  Kegel.  Geht  die  Drehachse  durch  den  Scheitel 
der  Grundfläche,  so  ist  nach  46)  ^,*  =  ^  (6»  +  ^  Ä«),  folglich 

114)  r,  =  ,»yil/(6«+yA«); 

geht  die  Drehachse  durch  den  Durchschnitt  der  Parabelachse  mit  der  letz- 
ten Ordinatö,  so  ist  nach  45)  ^,«  ==  J  (6«  +  f  ^»),  folglich 

geht  endlich  die  Drehachse  durch  den  Schwerpunkt  der  Grundfläche,  so  ist 
nach  47)  ^,«  =  ^  (6«  +  J|  Ä»),  folglich 

116)  T=4^M{b'+ilh^). 

B)  Die  Drehachse  stehe  senkrecht  auf  der  Grundfläche 
und  gehe  durch  den  Schwerpunkt  der  Pyramide,  welcher  nicht 
senkrecht  unter  der  Spitze  liegt.  Der  Schwerpunkt  der  Pyramide  liegt  in 
^  der  Höhe  auf  der  Linie  von  der  Spitze  nach  dem  Schwerpunkte  der 
Grundfläche;  ist  nun  der  letztere  um  e  von  dem  Fusspunkte  des  Perpen- 
dikels dofrch  die  Spitze  auf  die  Grundfläche  entfernt,  so  ist  die  Achse  durch 
den  Schwerpunkt  um  |6  von  jenem  Perpendikel  entfernt  und  mithin: 

117)  T=iMQ*-(ie)*M^fMi(f,*-U^; 

Z.B.  bei  gleichschenklig   dreieckigem  Querschnitte  treffe  das 
.  Perpendikel  durch  die  Spitze  der  Pyramide  die  Grundfläche  in  der  Spitze  des 

gleichschenkligen  Dreiecks ;  dann  ist  e= {  a  und  ^i'  nach  41)  ;^i(  a*  +  ~- )• 

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190  Bestimmung  der  Trägheitamomeiite  etc. 

108)         T  =  iilf(fl'+|*~|ffl«)  =  ^V^(^'-4«*)- 

C)  Die  Drehachse  DD  (s.  Taf.  III,  Fig.  23)  gehe  darch  die 
Spitze  E  parallel  zur  Grundfläche  ABC.  Das  Perpendikel  EL  =  l 
Yon  der  Spitze  auf  die  Grundfläche  trifft  das  Element  MN  in  Z, ,  und  es  sei 
f  Xi  r=  z.  Legen  wir  nun  durch  £,  eine  Achse  2>|  D^jj  DD  und  bestimmen 
für  diese  nach  VL^)  das  Trägheitsmoment  T'=3p'tfilf,  des  Elementes  MN^ 
so  ist  nach  S)  (oder,  wenn  X,  der  Schwerpunkt  des  Elementes  wäre,  nach 
7)  das  Trägheitsmoment  des  Elementes  bezüglich  der  Achse  DDx 

T''=r+z'dM={Q*+z')dM=^(^  +  iydz 

und  das  Trägheitsmoment  der  ganzen  Pyramide  in  Bezug  auf  DD: 

l 

119)       T,  =zr = ^(^/  +  nfz'dz  =  {-  iir(^,«+  0, 

0 
wobei  ^1  der  Trägheitshalbmesser  der  Grundfläche  für  eine  parallele  Achse 
durch  den  Fusspunkt  des  Perpendikels  von  der  Spitze  auf  die  Grundfläche 
bedeutet ;  z.  B. 

l)Quer8chnitteEllipsen;  das  Perpendikel  darch  die  Spitze  treffie 
die  Grundfläche  in  dem  Mittelpunkte  der  Ellipse,  die  Drehachse  liege  parallel 
zur  Halbachse  CA  =  a  (in  Fig.  9,  Taf.  III) ;  dann  ist  nach  33)  :  ^i*  =  |  ft*, 
folglich : 

120)  r,=|jif(|+/«p 

uad  fttr  eine  parallele  Achse  darch  den  Schwerpunkt : 

f2i)  r=T,  — (!/)•;» =,V^(*'+in- 

2)  Parabolischer  Kegel;  Drehachse  parallel  zur  Parabelachte  der 
Grundfläche,  das  Perpendikel  durch  dieSpitze  treffe  die  Grundfläche  in  deren 
Schwerpunkte ;  dann  ist  nach  35) :  ^j'  =£  ^  b\^ 

122)-  T,=  iM(^  +  l'y 

Ist  die  Drehachse  normal  zur  Parabelachse  und  trifft  das  Perpendikel  von 
der  Spitze  die  Grundfläche  in  dem  Durchschnitt  der  letzten  Ordinate  and 
der  Parabelachse,  so  ist  ^,*  =  ^^  h*  nach  36),  folglich : 
^   123)  T,  =  lM{i^f^  +  P)' 

f3)  Bei  gleichschenklig  dreieckigem  Qaerachnitte  freffe  das 
Perpendikel  durch  die  Spitze  die  Grundfläche  in  deren  Spitze,  die  Dreh- 
achse laufe  der  Grundlinie  der  Dreiecke  parallel;  dann  ist  91*=  ^h*  nach 
24)»  folglich : 

124)  T,  =  iM{^h*  +  I^). 

Ist  der  Schwerpunkt  S  der  Grundfläche  um  LS  =  e  von  dem  Pusspnnkte 


♦)  Bei  kreisförmigem  Querschnitte :  (I20j  7\  =  |  M  (J  R*  +  /•).. 


uigiTizea  oy  ' 


ioogle 


Von  Dr.  Eduard  Zetzsche.  191 

L  des  PerpendikelB  dvrdi  die  Bpitse  auf  die  Gnmdfläche  entfernt,  so  ist  sein 
Abstand  SE  von  der  Spitze  X  =  ^^  +  ^;   ist  ferner  ^o  der  Trügheitsbalb- 
messer  der  Grnndfläcke  für  eine  parallele  Achse  2>2  D^  dnrch  den  Schwer- 
punkt der  GhmndflÄche ,  L  LSD^  =3=  ß  nüd  L  ESL  =  «,  so  ist  nach  7)r 
q!  =x=  p,*  —  «*  «m*iJ;  p,*  =  ^^«  +  Ä*  m»/3  =r  ^/  +  e«  —  e«  co**/3, 
^,t  +  /•  =  ^,«  +e«  m«/3  +  ?  =  ^0*  +  A«  (1  —  co^a  cos'ß), 
weil  ja  ^  =  il  €08 a  ist;  folglieh  ist  anch 

125)  r,=i^f(^|«  +  ?)  =  filfko'  +  A*(l  — co^«co^/J)]. 
Schliesst  nun  5j&  mit  J)D  den  Winkel  SEF=  ^  ein,  so  ist  das  Trägheits- 
moment der  Pyramide  für  die  parallele  Achse  durch  den  Schwerpunkt  der 
Pyramide 

T=T.-FC*.JIf(J)»  =  |lf[^o'  +  (l-l*)i««fn»d]; 
wobei  wir  wie  in  YIII.  B)  wieder  cof  ^  =  cosacosß  setze«  müssen,  also : 

126)  r=  f  ilf  [(,0*  +  iV  ^'  (1  —  ^0«*«  co^ß)]> 

Fällt  aber  der  Schwerpunkt  S  mich  Ly  so  ist  a  =3  00^  und  il  =  /,  daher 

(126)  r==*itf(ft,*+rV?)- 

/>)  Die  Drehachse  gehe  dnrch  die  Spitze  der  Pyramide 
und  treffe  die  Grundfläche  unter  dem  Winkel  «i.  Für  ein  Ele- 
ment paraHel  zur  Qmndfläehe  ist  nach  VI.  C) 

mithin  das  Trägheitsmoment  der  ganzen  Pyramide 

127)  T,^2T:^^^Jz'dz^iM^,K 

0 

1)  Schiefer  Kreiskegel,  Drehachse  durch  den  Mittelpunkt  der 
Grundfläche ;  ^i*  =  J  iP  (wi»«f,  -f  l) ; 

J28)  T,  =  ^JIf(«n««,+l)il«. 

2)  Querschnitte  gleichschenkelige  Dreiecke;  die  Dreh- 
achse treffe  die  Gkrundfläche  In  ihrer  Spitze  und  die  Nortnalebene  durch  die 
Achse  auf  die  Grundfläche  laufe  mit  der  Grundlinie  parallel;  dann  ist  nach 
62)  :^,«  =  1  («•  +  A  *^  ««•  «f|),  folglich 

129)  T.  =  A^(«'  +  tV^*^^«i)- 

Wird  «,==  OOP,  so  geht  127)  in  108)  über;  für  «,=0  ist  die  Formel  nicht  zu 
gebrauchep ,  weil  da  die  Drehachse  die  Querschnitte  erst  in  unendlicher 
Ferne  schneidet,  und  nicht  in  ähnlich  liegenden  Punkten. 

Ist  in  Fig.  24,  Taf.  HI,  die  Drehachse  DD  durch  die  Spitze  0  unter 
dem  Winkel  D EQ  =^  D^S^Q^^^u^  gegen  die  Grundfläche  geneigt,  während 
die  Schwerachse  SO  durch  die  Spitze  den  Winkel  OSR  =iOS^R^=ia  mit 
der  Grundfläche  einschiiesst,  und  legt  man  durch  den  Schwerpunkt  S^  des 
Elementes  MN  eine  Achse  />,  Z>,  //  DD,  so  lässt  sich  für  diese  nach  VI.  C) 
das  Trägheitsmoment  des  Elementes:   T=:^i^^dM  bestimmen  und^  wenn 

'  uigiTizea  Dy  <^jOOy  Iv^ 


192  Bestimmutig  der  Trägheitsmomente  etc. 

L  SO£=:ia  und  L  Rt  S,  Q^ssL{RS^  EQ)  s=s|3  gesetzt  wird,  so  ist  nieder  wie 
in  Vin.Ä  (Fig.  22): 

cos^^=i  Binu  sinux  -^  cos  a  cos  a^  c<^ß% 
und  das  Trägheitsmoment  des  Elementes  für  die  Dreh&ahse  J)D  ist; 

r"=  T+  (OS,  sin&y  dM  =  (^«+  {•  m«d)  d  J/; 
da  aber 


z  l 

iz^iOSt^^-r—  und  A=Ä.^— 
stn  a  sma 


ist,  80  haben  wir: 


^^l'c^l^i;  dM=^^i'sinadi;  ^  =  i^FA«ii«; 

und  das  Trägheitsmoment  der  ganzen  Pyramide  für  die  Drehachse  DP  ist: 

l 

0 

130)  r.=|-^(^,»+i«5m'^), 

wobei  ^0  den  Trägheitshalbmesser  der  Grandfläche  für  eine  parallele  Dreh- 
achse durch  ihren  Schwerpunkt  S  bedeutet. 

Xsin^  ist  die  Entfernung  des  Schwerpunktes  S  der  Grundfläche  von 
der  Drehachse ;  nach  7)  muss  daher  pj*  =  Qq*  +  ^*  sin^^  sein,  und  es  sind 
demnach  die  beiden  ForuLeln  130)  und  127)  nicht  wesentlich  von  einander 
verschieden.  Setzt  man  »1=0,  so  wird  cos&=  cos  a  cos  ß  und  Formel  130) 
geht  in  125)  über.  Setzt  man  a,  =^  00",  so  wird  cos^^==isinu  und  X  cosa  Ist 
der  Abstand  des  Schwerpunktes  S  der  Grundfläche  von  dem  Fasspunkte 
der  Perpendikels  duroh  die  Spitze  a^f  die  Grundfläche,  folglich 

und  übereinstimmend  mit  108)  wird 

T=tM  (^;  + 1*  cos'a)  =  t  Mq,\ 

X«  Trägheitsmomente  abgestutzter  Pyramiden» 
deren  Höhe  ^ssh  sein  möge  und  welche  entstanden  sind  aus  Pyramiden  «von 
der  Höhe  /  durch  Wegschneiden  eines  Stückes  von  der  Höhe  l  ^  fu     Da 
sich  hier  gegen  IX.  ausser  der  geänderten  unteren  Integrationsgrenze  kein 
Unterschied  findet,  so  haben  wir  ohne  Weiteres: 
l 

l 

/— A 

.^.s     «         ,  wx :  5  —  lOn  +  10»"— ön'  +  n* 

131)  T,  =  lM(Q.*  +  k'stn'&) 3_3^4,^  > 

COS&  =^sina  sinai  +  cosacosui  eospi       ^         't 

uigiiized  by  LjOOQIC 


Von  Dr.  Eduabd  Zetzsche.  193 


^A^^kA^%M«>«V^^«A^^«M^^IM^MWS««^rf%MM^i^M>^rf«tf««M««^i«««A«V««VM^^ 


wobei  n  =  y  das  Abstatzangsverfaftltniss,  ^  der  Neigungswinkel  der  Dreh- 
achse durch  die  Spitze  gegen  die  Schwerachse  durch  die  Spitze,  a  der  Neig- 
ungswinkel der  letzteren,  oi  der  Neigungswinkel  der  ersteren  gegen  die 
Grundfläche ,  ß  der  Neigungswinkel  der  Normalebenen  durch  die  beiden 

Achsen  auf  die  Grundfläche  und  k  r=:  -; —  ist. 

stna 

Der  Abstand  des  Schwerpunktes  der  abgestutzten  Pyramide  von  der 

Grundfläche  ist  bekanntlich 


_  JI^+2{l-^h)l+Z{l-'hY _ nl  l-^2(l-n)  +  3(l-y|)*_ £  ^nSn^+Sn\ 
''~*  /•+(/-Ä)/+(/—Ä)«~4*  r+(l-w)+(l-n)»  ~4'  3'-S;i-fn«  ' 
der  von  der  Spitze  aber  ist : 

iy    _/— iy_    3/     4-6n  +  4n»-n'_     Zh      4~eyi  +  4n*-n* 

^'  sin«       $intt      isinci      3— 3w  +  «'     ~"4n5ma       3 — 3n  +  n*     ' 

daher  ist  das  Trägheitsmoment  der  abgestutzten  Pyramide  für  eine  Dreh- 
achse durch  den  Schwerpunkt:  * 

j  sin*  &\  5j--  lOn  +  lOfi'  — 5w'  +  n^ 
3  —  Zn+n* 


_    /3Ä    4—  ö»  +  4«»  — n^Y^^^*^] 
~ *  \4n  *        3_3»  +  w«       /  sin* <rj ' 


s.  B.  1)  Gerader  Kreiskegel,  Drehach^se  durch  die  Spitze  «nd 
den  Schwerpunkt: 

133)  r^^v^i^l^J  =  ÄV^*. 

2)  Gerader  Kreiskegel,  Drehachse  durch  den  Schwer- 
punkt und  patallel  zu  einem  Durchmesser  der  Grundfläche; 

a  =  90«,  a,  =  0,  sir^^  =  1,  ^o'  =  y  -R"»  «  =  1»  i?  =  H  ^ 

134)      r==filf[(^'+i«)|i-|-($|Ä)«]==^^if(31i?+VA*); 

und  für  eine  parallele  Achse  durch  den  Mittelpunkt  der  Abstutzungsfläche : 
'       135)  T,==r+(Ä  — i;)'ilf=,Vo^(|Ä*  +  2Ä«). 

3)  Schiefer  Kreiskegel,  Schwerachse  durch  die  Spitze 
als  Drehachse,  po*  =  i  Ä*  (m*a-fl),  a  =  a,,  /J  =  0,  *m«d  =  0,  «  =  4 
und 

136)  T=^\\MR'{sin'a+i). 

4)  Halber    gerader    Kreiskegel,    Drehachse    durch    ^en 
Schwerpunkt,  senkrecht  zur  Grundfläche;  tt|=0O«,  daderSchwer- 
4Ä 

punkt  der  Grundfläche  von  deren  Mittelpunkte  um  e  -=  —  absteht ,  so  ist 

on 

Znt       ^  4R  ^         ,  , 

totna=  — ^,  cot  a  ==  - — :,  cosd  =  sm  a,  n  =  4, 

Ali  dJKI 

folglich : 

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194  Bestimmung  der  Trägheitsmomente  etc. 

-=«*l[-'+(S"]«-«<«»)-0' 

nun  ist  aber  Qo*  +  ( —  j  =  (ij*  =  1  R\  folglich: 

137)  '   r4^_J-^W. 

^^  \280       196  W 

XL  Trägheitsmomente  von  Seotbren  der  Sotaüonsfläehen. 

Der  Centriwinkel  des  Sectors  sei  lo,  and  die  geometrische  (Rotations«) 
Achse  fftlle  mit  der  Achse  der  z  znsammen,  welche  von  0  (s.  Taf.  III,  Fig. 
25)  aus  gerechnet  werden,  wobei  OC=^z^  OA=^z^  OB=z^  und  z^'—z^z=JB=sl 
sein  möge.  Zerlegen  wir  nun  die  Rotationsfläche  in  Elemente  durch  Ebenen 
o.  zur  Achse  der  z,  so  lässt  sich  jedes  derselben,  z.  B.  EF,  betrachten  als 
ein  kleines  Rechteck ,  dessen  eine  Seite  ein  Kreisbogen ,  beschrieben  mit 
dem  zugehörigen  Halbmesser  CE^=ry  ist,  während  die  andere  Seite  das 
•  Bogendifferential  äs  der  (die  Rotationsfläche  erzeugenden)  Linie  GH  ist, 
in  welcher  die  Ebene  ABG&H  die  Rotationsfläche  schneidet;    lautet  die 

Gleichung  von  HEG :  r=f(z),  so  ist  ds  =^  }/dr*+dz*  ^äzj/l  +  (^)  ; 

die  Masse  des  Elementes  ist  daher  dM^=:fidF=(i6.r,m.d8'^  die  Dicke 
6  der  Fläche  und  der  Centriwinkel  o»  i^t  für  alle  Elemente  gleich  gross, 
daher  ist  die  Masse  des  Sectors: 


z 
J|f=|Lido>  fr 


i 
r  ds. 


Ä)  Wählen  wir  die  Rotationsachse  als  Drehachse,  so  hat  das 
Massenelement  dM  von  dieser  den  Abstand  r,  .folglich  ist  sein  Trägheits- 
Btonient  T'^=szi*  dMz=.  ^Sm  ,r*d$  and  das  Trägheitsmoment  des  ganzen 
Sectors : 


/ 


1 

r*ds 


138)  r,=2;r=. 


ß 


}rds 
1)  Cjlind erfläch e;  r  =  Ä  constant,  rfr  =  0;  ds^=idz^  M=fid4ßl^ 


A 

^ß 


139)  Tt  =  M-^^—^=Ml?; 

Rjäs 


vergl.  IV. 


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Von  Dr,  Eduard  Zetzsche.  195 

2)  Eegelflftche;  die  Spitze  liege  in  0,  z^  sei  =0,  z,  =;= /,  der  Halb- 
messer der  Orandfläche  =  /{,  mithin 


i 
z*dz 


140)  T,=M —^ ^^^M=lMie. 


y- 


]zdz 

0 

3)  Kugel  fläche,  deren  Mittelpunkt  0,  deren  Gleichung  r"=Ä*-r2t 

sein  möge; 

zdz          ,             Rdz 
dr  = y  d9  =  --== , 

und 

/(Ä»  — t«)rfz 


141)  r,  =  i«f  (ä*~  lL±ilA±i£^ 


Ist  der  erzeugende  Kreisbogen  ein  Quadrant,   so  ist  Zg=iOy  z^^=iR^ 
mithin 

142)  r,  =  Jlf(i?  — |Ä*)  =  |JlfÄ*. 

Setzext  wir  dagegen  Zj==z,=«,  so  wird  r|=(7? —  z")  if  =  ^r",  in  Ueber- 
einstimmung  mit  IT.. 

4)  Paraboloidflfiche,  deren  Scheitel  in  0  liegt;  die  Gleichung  der 
erzeugenden  Parabel  sei :  r^  =  2pzy  rdr  =:pdZy  rds  =  dz}/r^  +  p*,  folg- 
lich bei  Zo  =  0  und  z^=l^  2pl  =  b* 

l 

j^pzj/p'^  +  tpzdz 


0 


>*+2pzrfz 


Setzen  wir  j/^pz  +/?*  =  ?»  2pz  =  {*  —  p*,  p rfz  =  f  rff,  so  wird 

uigiTizea  oy  '" 


ioogle 


196  Bestimmung  der  Trägheitsmomente  etc. 


ßp z  yp*  +  2pzdz  =  ^J{X*-p*)  t»  rfj  =  i  (J  j/fiTf^  _^p» 


0                                   P  • 

und  

143V       r  =  »  Ä 3  /feM^**  +  5^/6M^  -  3p'  -  5p' 

\       yh*+i^—p*J 

jP)*Die  Drehachse  2>2>  (s.Taf.III,Fig.  26)  gehe  durch  denCo- 

ordinatenanfang  Ound  stehe  senkrecht  auf  der  geometri  sehen 

Achs 9  OZ,     Der  Schwerpunkt  S,  des  Elementes  EF=zdM  liegt  auf  der 

Linie  CL  durch   die  Mitte   des  Elementes  und  zwar  in   der  Entfernung 

ru  iti 

C5,  = r-r- '' = -T^-r- '^  von  C.     Legen  wir  aber  durch  C  eine  Achse 

2rsm^u         stn  ^u  ^ 

D^D^JI  DD  und  bestimmen  für  diese  nach  17)   das  Trägheitsmoment  des 

Elementes  T  =  ^  r*  diJf  ( 1 --^ — ^ ^  ),  wobei  LECDy^tp^, 

FC  Di  =  (p,  lind  <Py —  <pj  =  »,  so  ist  nach  8)  das  Trägheitsmoment  des  Ele- 
mentes für  die  Achse  DD : 

r"=  r+  ÖC^  .dS!=  T'+  z^dMi 
das  Trägheitsmoment  des  ganzen  S^ctors  ist  demnach : 

144)  T^=2r' 

TT 

Ist  aber  ^^ein  Quadrant  von  D^D^  aus,  also  91  =  0  und  90=  ^1  so  ist: 

145)  r.  =  f»a»/r(l^+t»)^H.(l:Jdr; 

ist  dagegen  91  =  —  ^p,  also  EF  symmetrisch  gegen  Z>,  2>, ,  so  ist 

ist  endlich  £ F  ein  voller  Kreis,  d.  h.  q>i  =0,  g>Q=:2ff  =:y^  ^^  ^^T 

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Von  Dr.  Eduard  Zbtzschs.  197 


^  ^1 

147)  5P,=  2t.injr  (J  r*  +  z^)  j/i  +  (^J^,. 

z.  B.  Kngelflftche,  deren  Mittelpunkt  0  ist; 

r»=i?-.««,  -  =  --—==;  z,  =  — Ä,  2,  =  Ä, 

+  Ä  +Ä 

Ä 

-Ä  .  ^ 

148)  r=|Jf>, 
wie  142). 

€)  Die  unter  ^)  und  B)  entwickelten  Formeln  lassen  sich  auch  aus  der 
allgemeinen  Formel  2)  herleiten.     Setzen  wir  nämlich  in 

2)  T=itjjjr,^dxdydzi 

x  =  r  sinok,  y=zr  cosn,  r=:if(z),   dr=d—y    dV=:ir  dmdz-j-^ 

uz  dz 

80  wird  nach  3) 

149)  r,  =  fi6  Ufw*«  /  Ir^sin^ndmds  +  sin^ßl  j r^cos^wdmds 

+  sin*y  I  jz^rdmds  —  2cosßcosy  1  j  r*  z  costadnds 

— 2cof  acosy  t  jr^z iinn dm ds-'2cosa cosß  j  j  r^sin » cos ndmdsh 
Ist  die  geometrische  Achse  die  Drehachse,  so  wird  a  =  /}  =  OOP,  y=o  und 
7\  =  ^J      /  ji* sin*md(ads  +  j  jr^co^mdadsl 

=  fid/  jr^dmds^^iiim  jr^ds 

in  Uebereinstimmung  mit  138). 

Steht  die  geometrische  Achse  senkrecht  auf  der  Drehachse,  ist  —«— y90^, 
^  =  0,  so  wird 

r,  =  |Äd     I  Ir^sin^mdmds  +  j  jz^rdmdsl 

in  Uebereinstimmung  mit  144).  ^ 

Setzen  wir  die  Elemente  als  Vollkreise  voraus,  so  wii^Ä  J^^OOglC 


19S  Bestimmnng  der  TrügheiUmoniente  etc. 

2«  2%  2% 


1  studio  rf»  =  I  cosF<ad»=^ig\    /do>s=:2fc; 


0  0  0 

2%  2x  2% 


0 
folglich  allgemein: 


lcospdm=  j  $in(»d<»=^  1  cos  m  sinn  doi^^^O; 


*i  *t 

.  150)       T^=:iiÖ7e[{sin*a  +  sin*ß)jr^ds  +  2sin*Ylr:^ds]. 


Zn.  Trftgheittmomente  von  Beotoren  der  Sotationikörper. 

Der  Centriwinkel  des  Sectors  sei  wieder  o,  auch  werde  die  übrige  Be- 
zeichnung aus  XL  beibehalten  und  die  geometrische  Achse  als  Achse  der  z 
genommen;  setzen  wir  nun  nicht  volle,  sondern  ringförmige  Sectüreii 
(im  Querschnitte  wie  ABCEm  Fig.  8)  voraus,  und  sei  bei  dem  Elemente 
FKLEf  Fig.  25,  (senkrecht  zur  geometrischen  Achse)  der  äussere  Radius 
CE=szr^  der  innere  CL  =  r^,  so  ist  die  Masse  des  Elementes : 

dM=fi^(r^  —  r^)(a.dz 
und  die  Masse  des  ganzen  Sectors: 

M=iiia>J^(r^-r,')dz',  r  =  f{z),  r,  =  f,{z). 

^)  Ist  die  geometrische  Achse  die  Drehachse,  so  ist  nach  42) 
das  Trägheitsmoment  des  Elementes  7*'=  \dM{r^+r^)  und  das  Trägheits- 
moment des  ganzen  Sectors: 

/(^-roV^ 
151)  Tf =ifiß)J(r*- V)  dz  =  \  M^-^ ; 


ßr,'-r,^)dz 


wäre  der  Seotor  voll,  so  wäre  r^sO  zu  setzen. 

1)  Cylinder;  ro  =  0,  r  =  Ä, 

wie  64), 

2)  Kegel;  rj=^0,  Halbmesser  der  Grundfläche  =Ä,  r=y  « 

wie  112).  Digitized  by  VjOOQ IC 


Von  Dr.  Edüabd  Zstzschb.  199 


3)  Kngel;  r^r^^O,  r^^j/B^—^ 

Ist  aber  die   erzeagende  Kreisfläche   ein  Quadrant,    und  zwar  z^  =  0, 
r,  =  /?,  80  ist 

152)  Ti  =  iM^^iMIC 

4)  Rotationsellipsoid;  r^^ ä=  0,  r  s=5  —  j^a*  — «* 

/  (a»  —  «•)  dz 

oder  wenn  die  erzeugende  Fläche  ein  Ellipsenqnadrant,  2^  =  ^  ^^^ 
Z|  =  a  ist,  so  ist 

153)  y.  =  i*5"J^=-l*«'*. 

5)  Rotationshjperboloid,  Drehung  um  die  groeae  Achse,  r0£=O; 

=  1  /?zr^ 


r 


a 


hz*^f^)dz 

u 
Ist  aber  z,  =  2a,  so  ist: 

6)  Rotationsparaboloid;  r*  =  2pz,  b^^==^%ph^  rj  =  0 

A 

l^p*z*dz 

165)  r,  =  iif?^ =  |irpA  =  jir6«. . 

j^pzdz 

0  Digitized  by  VjOOQIC 


200  Bestimmang  d^  Trägheitsnioraentc  etc. 

7)  Ringstück  mit  rechtwinkelig  dreieckigem  Querschnitt 
ABC  (u.  Taf.  ni,  Fig.  27),  dessen  eine  Kathete  AB^^l  parallel  zur  Dreh- 
achse*/) 2>  in  der  Entfernung  EA  =  a]  ist  ^(7=5,  so  ist 

fr  •         .       2a6  &« 

rp  =  a,  i^'C^rr,  =a  +  ^2,    r,^ —  r^*  =  — z  +  j  z% 

und 

^  _  1  ..  2a'bl  +  2(^bn  +  ab^l  +  ib'l 
^•-*^  abl  +  ^bU 

156)  r,  =  iir ^^^-j^ . 

Für  a  =  0  wird  T,  =  ^^-  Mb\  wie  bereits  112). 

8)  Ringstück,  dessen  Querschnitt  FBG  (s.  Taf.  III,  Fig.  28) 
im  Innern  einen  Kreisquadrant  (r^*«/?* — «*)  und  nach  aussen 

einen  damit  concentrischen  Ellipsenquadrant  r/=  — ^  (Ä* — 2*) 

zur  Grenze  hat. 

r.'-r.«  =  *-l^(iP-:r»),  r/ -  r,*  =  ^1=^  (iP  -  *«)• 

und 

R 

157)     r,  =  4^*l±^.i^ j-^ ^^MR^. 

0 

9)  Ringstück  mit  elliptischem  Querschnitte;  der  Mittel- 
punkt der  Ellipse  ( y== — ^a*~t*  j,  istehe  um  c  von  der  Drehachse  ab,  welche 

mit  der  Halbachse  a  parallel  sein  möge  \  dann  ist 

Ifc    

ro  =  c  — y,  ri  =  c  +  y,  r,*  —  ^  =  4  cy  =  4  -  ya*—^, 

r.«  -  r,*  ==  8  cy  (c«  + y»)  =  ^ /«»—z«  [c»a» -h  6«  («•-««)] 

+«  .  a 

ßr,*-r,*)dt  J{r<-r*)dz 

'"'  =  i*=l^ =4*-* 


ßr,*-r*)dz  ßr*-r,') 


dt 


oder,  wenn  2=acos^»,  dt= — asin^dipfj/a*  —  z* ^^lOeSk^ip^^setzt  wird: 


Von  Dr.  Epuabd  ZETasoHJL  201 


2 

-^  a»m*^  («*«•+  b^a^sin*  p)dfp 


ß. 


I  a*strr<p  dtp .   . 


158)  T,  =  M ?:^jLjL=ilf(c«+|6«)j 

IUI 
^2 

nach  der  Onldin'flchen  Regel  hsi  M^=^iik.abn.n>c. 

S)  Die  Drebaehse  gehe  doreh   den  Coordinatena'nfang 

nnd   stehe  senkrecht  auf  der  geometrischen  Achse.     (VergL 

XI.  B.)     Legen  wir  dnrch  den  Mittelpunkt  des  sectorförmigen  Elementes 

eine  Drehachse  parallel  zu  der  durch  den  Coordinatenanfang  gehenden ,  so 

ist  für  erstere  nach  30)  r=  ^  rf  Jf  (r*  +  r^)  (1 ^^ ^^ — ^u 

wobei  tt=E»,  —  «0==  go^  —  97,,  nnd  nach  8)  das  Trägheitsmoment  des  Ele- 
mentes für  die  Drehachse  durch  den  Coordinatenanfang  7^*^=^  T'+^  dM 
nnd  da«  Trägheitsmoment  des  Sectors  für  diese  Achse: 

T,  =  £1"=.  |^,j['l±rL(i  _  cosvosi»g,,-.co*v,sin<p,y  ^y_^^^az 


Jt- 


159)   ?,  =  *-•- 


/< 


(r>_ro«)rfz 


z.B.  1)  Quadrant  eines  Rotationsparaboloides; 


fiiy^pz^+x^y^ph^)  dz 


'160)    n^lf? ^ ;  =  (fpÄ+4Ä«)lf=i(A«+l/^)Jf. 


/^ 


2pzifz 

0 

2)  Abgestutzter  Kegel    mit   c jHndrischer  Aushöhlung,  r 
ein  Durchmesser,  EJ  (8.Taf.  III,  Fig.  27)  der  AbstutzungsflXche  als  Dreh-  ^^ 

Z«iffchrifl  f.  Bitthematik  n.  Physik.  V.  14 


202  Bestimmung  der  Trägheitsmomente  etc. 

achse  und  zwar  wieder  q>^  =  0,  9^  =  ~  -=  cd^   der  Schnitt  durch  die  geo- 
metrische Achse  sei  MACN  und  es  sei 

SC  c 

r^^  EM=a,   r  =  j&^+ —  «=»6  + —  t, 

und 

lei)  r,  =  » „_^^t,+^^ i 

Ist  aber  a  =  0  und  6.=  c=4Ä,  so  wird: 

wie  schon  135). 

3)  KH)tatioBselIipsoid,  dessen  Mittelpunkt  um/  von  der  prehachse 
entfernt  ist; 

SPo  =  ^>  g),  =  2w  =  «,  r^  =  0,  r*  =  -^  (a* — a*),  x  =  z  =  l, 

6' 

/+« 

-^)  ^.=,4.«  '^ — 7^^ —<"¥*') 

r-„ 

Setzt  man  a=bz=R^  so  wird  das  Sotationsellipsoid  zur  Kugel  und  ffir 
diese  ist: 

163)  r,  =  if(|ir+/') 

und  wenn  /  =  0  ist : 

wie  schon  152). 

6')  Auch  Formel  151)  und  159)  lassen  sich  unmittelbar  ableiten.  Setzen 
wir  nämlich  in 

(2)  T=jjjr,^dxdydz 

wieder 

so  wird  nach  3) : 

164)     r,  =  Jlf  Liw'a  /  /  jr^sin^mdmdrdz  +  sin^ß  j  j  f  t^eo^ndiadrdz 

+  8in^yj  I  jz^rdmdrdz  —  ^lcosßcosyjjjr^zcoBiadiQdrdz 

'-2cosacosyJ  J J  r^zsinmdmdrdz-tcasacosß  I  1  j  r^dfi^dzy 


Von  Dr.  Eduard  Zetzsche.  203 


Ist  aber  die  geometrische  Achse  die  Drehachse,  so  wird  a=/?=90°,  ^=0 
und 

r,  =-=  iy  yY^'^«>  drdz  =  ^  ^cö/(r*--ro*)  dz, 

wie  151);   steht  dagegen  die  Drehachse  senkrecht  auf  der  geometrischen 
Achse,  so  wird  bei  «  =  y  =  90°,  |P  =  0 :    ,  ' 

Ti  =  ii  iJJJ^^^^^'^  ^^  ^^  d^  +jfjz*rd<o  drdzj 

H 
wie  159). 

Setzen  wir  wieder  die  Elemente  als  Vollkreise  voraus,  so  wird  in  164): 
2 »  2 «  2  s 

/  ««*«  dn  drdz==jco8^(o  dmdrdz  =  n\    f  d(o^=2n\ 

0  0  Ü 

2«  .        2«  2« 

/  cosm  dm  =  Isincadfo^^i  j  cosm  sin m  da  =  0,  \ 

ü  0  ü 

und  allgemein: 

165)  r,=^Ä[(5iV«  +  ««*/3)r^ll^^ 

Ist  die  Drehachse  unter  den  Winkel  y  g^gon  die  geometrische  Achse 
geneigt  und  man  legt  die  ZwT- Ebene  durch  die  Drehachse,  so  ist  a=90^=)f 
und  ß=:9&^,  folglich 

r,  =  ^lcoi»y  /  /  jf^sm*wd(»drdz+  j  j  j r^co^mdwdrdz 
-{-sin^yj'j  1 3^r  dmdr  dz  —  2sinycosy  1  f  j  f^Xßinmdmdrdz  1 

166)  T,  =  ^  l[l  -  ^  sin^y  (^^^<Po^>^yo-^^>yi  ^<ng>,)ß  g^ßziTl  dz 

H 

+  msin^y  1 z*dz+2smy cos y (cos tpQ- cos (pi)  I ^srf«}. 

Für  diesen  Fall  kann  man  aber  auch  mit  Hilfe  der  Formeln  in  VI.  C) 
einen  Ausdruck  für  das  Trägheitsmoment  erlangen.  Die  Drehachse  gehe 
a.  B.  durch  den  Coordinatenanfang;  legen  wir  aber  durch  den  Mittelpunkt 
des  Elementes  eine  parallele  Drehachse,  so  ist  für  diese  das  Trägheitsmo- 
ment des  Elementes  T'=  ^*<j  Jf ,  für  die  Drehachse  aber      igmzea  oy  v_j  oOqIc 

14* 


204  Bestimmnng  der  TrAgbeitsmomenfe  etc. 

mithin  das  TrXgheitsinomeiit  des  Sectors : 

1 67)  r,  ==/(?*  +  **  iin*y)  dM*) 

R 
Ist  r«  =  0,  r  =  y  2  und  sind  die  Elemente  VoUkreiie  »  =  2^ ,  so  ist 

und  nach  53) : 

folglich : 

/ 

0 

168)  r,  =  f  Jlf[i(l  +  *'«*«)^  +  ''co*««] 

was  sich  nnch  ans  166)  ergieht,  wenn  man  nur,  wie  nöthig,  fp^>=i2n  und 
gj,  =  0  setzt.     Für  a  =  0  und  «==  90*  erhält  man  wieder  (120)  und  112). 

XnL   Trägheitsmomente  von  Körpern,  bei  denen  sämmtliehe  parallele 
Ctuersehnitte  Figuren  dertelhen  Art  sind  nnd  naoli  einem  bestimmten 

Gesetie  waehsdn. 

1)    Oetant  des  dreiachsigen  Ellipsoides   mit    den   Halb- 
achsen Af,  5,  und  Cy   für  eine  seiner  Achsen   als  Drehachse; 

das  Element  senkrecht  zur  Drehachse  hat  die  Masse  dMs=s  ~  abfkdz  und 

4 

nach  44)  das  Trägheitsmoment  1*'= — '^—dM,  folglich  ist  das  Trägheits- 
moment des  Oetanten,  weil  * 


««,/ri — 15  «^j  !._  *i, 


a  =  -J  f/c.^—z^  und  ft  =  -  f/c^—z^ 
0 

169)  r.  =  t  «(«.*  +  *.•)• 


•)  Vergl.  107)  und  180).  DigitizedbyGoOgle 


Von  Dr.  Eduabd  Z£TZ8CU£«  105 

Rotationsellipsoid: 

wie  153); 

Kugel: 

wie  152). 

2)  Elliptisches  Paraboloid: 
z        6«        a* 

a)  geoiaetrische  Achse  als  Drehachse: 

T'=i{<^  +  b*)dM, 

l 


>^/-. 


170)  r=4ir.?l!l±iL. 

■  3 

6)  Drehachse  senkrecht  zur  geometrischen  Achse  und  parallel  zu  b^ 
durch  den  Scheitel ;  nach  33)  und  7)  ist : 

r=idMa*  +  2^dM 

0 

^.  =  4^(JV+/*). 

3)  Die  Querschnitte  seien  Quadrate,  deren  Bckpun^kte 
in  zwei  congruenten  Parabeln  liegen,  deren  Ebenen  sich 
senkrecht  schneiden;  die  Drehachse  stehe  normal  auf  den  Quadra- 
ten in  deren  Schwerpunkte  und  sei  zugleich  die  geometrische  Achse.     Ist 

d  • 
die  halbe  Diagonale  ^'  s=  -—-  z ,  so  ist 

/ 
dM=2d*ndz]  M—2^^Jzdt  =  iid^U', 

0 

i 

17i)  T=^fi^fz^dz^^Md^\ 

0 

4)  Alle  Querschnitte  sefen  Kreise,  die  geometrische 
Achse  abev,  welche  die  Mittelpunkte  derselben  rerbindety 
stehe  unter  dem  Winkel  a  auf  der  Ebene  jedes  Kreises;  die 
Halbmesser  der  Kreise  mögen  proportinal  z'  wachsen,  also  r=:  A«';  ist 
die  geometrische  Achse  Drehachse,  so  ist  ^OOqIc 


206  Bestimmung  der  Trägheitsmomente  etc. 

nach  53); 

l 

173)  T^^JR^fkn{sin^a  +  l)JzUzz==^\Ii'fin{sin*a+l)n 

0 

Wäre  dagegen  r^  =  Ii^z,  so  wäre 

dM=i^nr*dz;  M=^^(inRU* 

l 

174)  r=  ^R^iiTc  («n»a  +  i)  jz^dz  ^^  J.  ilfÄ»/  («m*a  +  l), 

0 
setzen  wir  aber  I^l=zb*j  so  wird  für  a  =  W : 

wie  155). 

5)  Querschnitte  regelmässige  Sechsecke,  deren  Ecken 
auf  einer  Kngeloberfläche  liegen;  die  Drehachse  sei  der  Dnrch- 
messer  der  Kugel,  welcher  die  geometrische  Achse  des  Körpers  ist  und  nor- 
mal auf  den  Querschnitten  steht ;  ist  c^  der  Radius  der  Kugelfläche,  so  laa- 

tet  deren  Gleichung  c*=iCi*  —  «*;  und  in  41)  haben  wir  ft=c,  a*=c*— ( -  j 

=^ l'C'  ztt  setzen;  es  ist  daher: 

r=:^ dM  (l  +  ^)  c^ ^j^^dM c\  £/.V=^6ft~rfj  =  y^f*c»</z, 

31/3   r  ~ 

^=2^J  (^1*— ^')  ^^ — '^  y^  .*^^t' 
— q 

•4-r, 

175)  T.  =  ^^y(V-2«)M2==|yr^r.^  =  i.Vc/. 


—  ^1 


XIV.  Trägheitsmomente  von  Körpern,  welehe  ans  einzelnen  hoBMgenen 
Theilen  von  verichiadener  Dichte  bestehen. 

Nach  dem  Vorhergehenden  besthnmt  man  die  Trägheitsmomente  der 
einzelnen  homogenen  Theile  und  addirt  dieselben,  z.  B.  Eine  homogene 
Kugel  von  Halbmesser  R  der  Geaammtmasse  itf  :=  ^  fi,  isil*  nnd  der  Masse 
^,  in  der  Volumeinheit  befindet  sich  am  Ende  eines  ebenfalls  homogenen 
Kreiscy linders  von   der  Länge  /,  dem  Halbmesser  r  der  Gesammtmasse 

uigiüzea  oy  v_j  vy  v^'Ti  ln^ 


Von  Dr.  £i>uärd  Zetzsche.  307 

M^^^npt^r^l  und  der  Masse  fi,  in  der  Yolnmeinheit;    Drehachse  sei  ein 
Durchmesser  der  andern  Endfl&che  des  Cjrlinders. 
*  Trägheitsmoment  der  Kugel 

für  eine  parallele  Achse  durch  ihren  Mittelpunkt  nach  152) : 

für  die  Drehachse: 

Trägheitsmoment  des  Cjlinders  nach  72) : 

Trägheitsmoment  des  ganeen  Körpers : 

176)  r,  =  r,+  r,  =  t>.«Ä»(jÄ-  +  2/Ä  +  /«)  +  ;rf*,r«/(|r'+J/«). 

ZV.  TräghtitimoiBeiite  yen  Xörpam  mit  Twiabeler  Biohta. 

Allgemein  ist  ^  =  /*(a?,y,  «),    T:=^J^r*dV=Jf(x,y,t)t*dV  und 

M=Jf{x,y,z)dV. 

Ä)  Ist  fi  Ton  X  und  y  unabhängig,  also  ^=zf[z)^  so  ist  allge- 
mein T=  jf(z)t^dV.     Sind  aber  die  Querschnitte  senkrecht  aur  Achse 

der  z  (Schwerachse)  ähnliche  Figuren,  also  der  Querschnitt  in  der  Entfer- 
nung z  Tom  Coordinatenanfang  gegeben  als  q^=^fi  {z)y  so  ist  dM^^q^  dz 
=  fi  («)  •  /"  W  rf«i  sein  Trägheitsmoment  r'=  q^dM  lÄsst  sich  nach  VI.  für 
eine  parallele  Achse  durch  seinen  Schwerpunkt  ermitteln ;  daraus  findet  sich 
für  die  wirkliche  Drehachse  durch  den  Coordinatenanfang 

r'=(^*  +  z»m*0)rfilf, 
durch  ähnliche  Schlüsse  wie  in  VIII.  D\  IX.  i>),  X.  und  XII.  C)  und  endlich 

177)  •  T=i:r'=zJ{f^^  +  z»  m* a)  dM-, 

z.B.  für  einen  geraden  Cjlin  der,  dessen  geometrische  Achse  Drehachse 
ist,  ist  ^  =  Ä"«,  ^»  =  4  R\  «n*d  =  0,  folglich 

/  / 

J=  A  Ä«./*(2)i?«dt  =  4,j  Rjf  (z)  dt, 

0  \} 

l 

M—nIfjf{t)dz 
0 

178)  T=\ie.M  =  q^M. 

J)ie  Formel  T=sq*M  gilt  allgemein  für  alle  Prismen,  wenn  ^tszO  ist, 

weil  dann  T=:q*  j  dMf  da  alle  Elemente  dasselbe  ^  haben. 
Wäre  nun  j*  :-^ /i,  (l  •+- z) ,  so  wäre  in  178): 

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208  Bestimmvmg  der  Trägheitsmomente. 

worin  V=nlPl  das  Volumen  det  CjrKnders  ist 

B)  Ist  fi  nnabl)ängig  von  z,  also  fis=r/'(a:, y),  md  der  Körper 
also  ein  gerades  Prifltiia,  mithin  ^  constaht,  so  Usst  sich 

dM=  jdm^r^dz I  f  fidx  dy==^clz  j  f  f{x,y)  dx dy  =  dzFt 

setzen  und  es  ist  das  Trägheitsmoment  des  Blementea  für  eine  parallele 
Achse  durch  seinen  in  der  Achse  der  z  liegenden  Schwerpunkt 

r  =  JT^dm  =  dzjjr*f{x,y)dxdy,  =dzF^*) 

und  für  die  wirkliche  Drehachse  dtun^h  den  Ooordinatenanfang: 

T'~r+z^sin^9dM, 
und  endlich  das  Trägheitsmoment  des  ganzen  Prismas  für  die  Drehiaelise 

179)  r  =  2:r'=  F^fdz  +  F,  fz^  sin^d'  dz  =  F^l  +  ^F,  sin"^  I»      . ' 

z.  B,  Querschnitt  ein  Rechteck  =a6,  jx  =  fio  (l+a:*)=/'(ar,y), -^=0, 
d.  h.  Achse  der  z  als  Drehachse : 

^i  —  fio/     J{^'+y'y(l+^)dxdy=f;L,h^Jx\l  +  x')dx+^^^b'ßl+^^ 

180)  T=fioabl  y,  a«  +  5\,  «^  +  r'%  ^'  +  tU  «'^•J- 

Aehnlich  ist  es  bei  schiefen  Prismen,  nur  dass  da  z=|;Wna  zu  setzen 
wäre. 

C)  Aendert  sich  die  Dichte  nach  andern  Gesetzen,  so  kann  ^an  in 
einer  Weise  verfahren.,  welche  aus  folgenden  2  Beispielen  ersichtich  wird. 

1)  Trägheitsmoment  einer  hohlen  Kugel,  welche  aus 
gleich  dichten;  conoentrisch  um  den  Mittelpunkt  liegenden 
Kugelschalen  besteht;  die  Drehachse  gehe  durch  den  Mittelpunkt  und 
die  Dichte  ändere  sich  sich  von  Schale   zu  Schale  nach  der  Gleichung 

|n  =  /(Ä)  =  |[4,,~.     Nach   152)  ist  das  Trägheitsmoment  einer  Kugel  für 

♦)  Es  ist  hier  nicht  Allgemein  rss.ya?^^  bu  satoea,  sondern  r  Ä=tttt^f«*+y« 
wobei  sm^  der  mit  x  und  y  veränderliche  Winkel  r  ui^  der  Drehachse  ist;  bei  ^=0 
ist  «mi^  ^=  i ;  bei  ^ ;=  9.0°  ist  r  s=  y,  wann  die  X-Achse  Drehachse  ist ;  liegt  die  Dreh- 

•/  ""^      x"^  '         ' 

Achse  in  der  ZX- Ebene,  so  ist  allgemein  siniff^y  l-r-wV^"    ^      ,  und  V y^'^3^co8^9, 

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Von  Dr.  Eduard  Zetzsche.  209 

einen  Darcbmesser  als  Drehachse  7's=|  ^/{*=r  ^^?c^i2^;   wächst  E  um 
dR,  so  wächst  r'  um  dr'==:^*y  «^5Ä*rfÄ  =  |«f*Ä*rfÄ  oder  es  ist: 

dr=i7iR^f{R)dR*) 
das  Trägheitsmoment  isinor  kugelförmigen  Schicht  von  der  Dicke  dRy  dem 
Halbmesser  R  und  der  Masse  ^  =  f  (R)  in  der  Volnmeneinheit.   Das  Träg- 
heitsmoment der  Hohlkugel  ist  demnach  : 

lSl)Ts:^finR^/{R)dR=^iniiJ*R'dRz=^i^fi^iR,'—R,) 

Rq  Rq 

und  ihre  Masse 


»=/i, 


^=l^(,itZR'dR=:4f,,K{R,  —  Ro), 
ako 


2)  Trägheitsmoment  eines  hohlen  Würfels,  welcher  aus 
gleichdichten,  kastenartig  würfeligen  Schichten  besteht, 
die  mit  dem  Würfel  parallelen  Seiten  und  denselben  Mittelpunkt  besitzen  j 
die  Drehachse  /^t-^i  Hege  in  einer  Kante,  und  die  veränderliche  Dichte  sei 

^  =  ^^  —  =  f{a).  Nach  63)  und  38)**)  ist  das  Trägheitsmoment  eines  Wär^ 

fels  von  der  Seite  a  für  eine  Achse  durch  den  Mittel-  und  Schwerpunkt 
r'=^»jM(2a*)=i:^a^^';  wächst  a  nm  da,  so  wächst  T*  um  dT*^^ -^a^fi  da 
:=  2  fia'  da,  mithin  ist  das  Trägheitsmoment  des  ganzen  Würfels  für  diese 
Achse  ßJJ: 

182)  r=  f  MoJ  «•  da  =  ,\  fto  («/  -  V)  ==  sV  ^  «  +  «••), 


weil 


«1  "t 


«0  ''o 

folgliefa  ist  das  Trägheitsmoment  des  ganaen  Würfels  für  die  Kante  />,/>; 
als  Drehachse: 

=(I|V-{«,V-ä«.*)n. 


*)  Vergl.  Lehrbuch  der  analytischen  Mechanik  von  Duhamel,  deutach  heraas- 
gegebenroaSehlöinilch,  2.  Anfl.  2.  Bd.  8.  W8. 

**)  Oder  auch  nach  73) ;  falsch  dagegen  wUre  es ,  wollte  man  aus  74)  nehmen 

dT'si:  I  <i(A/rt«)  =  Y  Po«'  da  und  T'ä  V^^  la'rfö  aetsen;  denn  man  hätte  dann  das 

Trägheitsmoment  je^es  Klementcs  auf  eine  andere  Drehachse  bezogen. 

uigiTizea  oy  ^^nOOS?  IV^ 


Kleinere  Mittheilungen. 


2LYJLJLL  lieber  ein  gewities  mathematifohet  Frinoip.  Von  O.  Zehfuss, 
Privatdocent  in  Heidelberg.  1)  Manche  Betrachtangen  der  höheren  Ana- 
lysis  fähren  zu  Gleichungen,  welche  gleichzeitig  algebraische  and  transcen- 
dente  Functionen  enthalten,  und  somit  meist  wenig  weitere  Behandlung  zu- 
lassen. In  manchen  Fällen  jedoch  kann  man  ans  derartigen  Gleichungen 
andere  einfachere  durch  Zerflillung  ableiten ,  was.  nachstehender  Lehrsatz, 
der  das  in  der  Ueberschrift  dieses  Aufsatzes  erwähnte  Princip  enthält ,  be- 
stätigen möge« 

Wenn  F  ein  transcendentes  Functionszeichen  bedeutet, 
und  die  Function  Ä  irgend  einer  Yariabeln  t  algebraisch 
durch  die  Function  a  von  t  ausdrückbar  ist,  so  kabn  die 
Gleichung 

«)  F(a)  =  A 

nur  bestehen,  wenn  das  Argument  a,  mithin  auch  A  und  F^  die 
Variable  /  nicht  mehr  enthalten,  sondern  sich  atif  Constante 
reduciren,  d.  h.  aus  der  Gleichung  a  folgt 

ß)  a=:c,  J=Cy  und  F {a)  =  C. 

In  der  That,  so  lange  die  Gleichniigen  ß)  nicht  besteben,  enthält  die 
Gleichung  a)  den  Widerspruch,  dass  eine  transcendente  Function  einer 
Yariabeln  «  einer  algebraischen  Fnnction  derselben  Yariabeln  gleieh  sein 
köpne. 

Unser  Lehrsatz  findet  unter  anderen  bei  allen  solchen  Aufgaben  An- 
wendung, wo  mehrere  Transcendenten  sich  mit  Zuziehung^  algebraischer 
Functionen  durch  eine  einzige  Transcendente  ausdrücken  lassen,  wie  dies 
z.  B.  bei  der  Gleichung 

-f(«.)±^(«.)=-<i 

statthat,  wenn  F  ein  elliptisches  oder  nltraelliptisches  Integral  bedeutet ,  in 
welchem  y&We  sich  dieselbe  auf  die  Form  o)  zurückführen  lässt. 

Eine  geometrische  Aufgabe  von  einiger  Allgemeinheit  ist  nachstehende: 
Um  eine  Curve  wird   ein  sich  zurücklaufender,  also  ge- 
schlossener Faden  geschlungen,   dessen  Länge   deja  Umfang 

uigiüzea  oy  x^jOOV  lv- 


Kleinere  MittheilnngeQ.  2t t 

jener  Cnrve  übertrifft,  und  auBserhalb  mittelst  ein^s  Stif- 
tes angespannt,  den  man  nm  die  Cntre  heramffihrt«  Welche 
krumme  Linie  beschreibt  der  Stift? 

Es  sei  M  irgend  eine  Lage  des  Stiftes,  P^  und  P^  seien  die  Bertthrnngs* 
punkte  der  von  ihm  auslaufenden  geraden  Fadenstücke  mit  der  Curve,  de- 
ren Längen  MPi  und  MP^  algebraische  Wurzelausdrücke  ^,  und  J^  der  Co- 
ordinaten  der  Punkte  M,  P^^  P^  sind,  welche  man  überdies  mittelst  der  bei- 
den Gleichungen  der  Tangenten  JlfP|  nnd  MP^  nach  Elimination  der  Coor^ 
dinaten  von  |f  als  blose  Functionen  der  Coordinaten  von  P^  und  P,  «us- 
drücken  kann.  Alsdann  liefert  die  Bedingung,  dass  der  Faden  immer 
einerlei  Länge  l  behalten  solle,  die  Gleichuug 

ft  ^% 

y)  jdB—jds=L  —  l  +  A,+A^, 

wo  die  Grössen  Aj,  a,  von  der  Art  des  Coordinatensystems  abhängen,  L  den 
Umfang  der  Curve  bezeichnet,  nnd  J^ ,  J^  algebraische  Functionen  von  aj, 
a,  sein  sollen. 

So  oft  nun  die  durch  j  ds,    j  ds  dargestellten,  im  Allgemeinen  trans^» 

eendenten  Functionen  /"(aj),  f{fti)  sich  auf  eine  einzige  Transcendente  zu- 
rückführen lassen,  z.  B.  wenn 

ist,  wo  a  und  a,  algebraisch  von  a^  nnd  a,  abhängen,  so  geht  die  Gleichung 
y)  in  die  Form  ti)  über,  und 

a  =s  Const 
giebt,  wenn  A  durch  a  algebraisch  ausdrückbar  ist,  die  algebraische 
Bedingung,  welche  zwischen  den  Coordinaten  a^  und  «^  stattfindet.  Um 
die  Gleichung  der  von  dem  Stifte  beschriebenen  Curve  zu  finden  f  genügt 
es,  0|  und  o,  zwischen  der  vorigen  Gleichung  und  denjenigen  der  Tangen* 
ten  MPf  nnd  MP^  zu  eliminiren.  —  Zwar  drückt  schon  die  Gleichung  y) 
dieselbe  Relation,  wie  die  in  der  letsten  GlMchong  ausgesprochene,  zwi- 
schen fli  und  Of  ans,  allein  die  Elimination  würde  mit  ihrer  Hülfe  auf  eine 
transcendente  Gleichung  zwischen  den  Coordinaten  des  Punktes  M  führen. 
Unser  Prineip  lehrt  also ,  an  die  Stelle  einer  transcendenten  Relation  eine 
algebraische  zu  setzen. 

Diese  avs  F{a)s=A  abgeleitete  algebraisohe  Gleichung  a^=ieon$i 
könnte  auch  durch  die  zweite  algebraische  Gleichung  A^=  F  {conti)  ersetat 
werden.  Beide  drücken  das  Additionstheorem  der  Functionen  /»(a,),  f{a^ 
ans,  und  ergänzen  einander,  indem  aus  der  Gleichung  A=^F{coHSt)  deren 
linke  Seite  sich  nach  Substitution  von  a  =  const  von  selbst  auf  eine  Oon- 
staute  reduciren  muss,  die  in  die  Auflösung  eingeführte  willkührliche  Con- 
stante  bestimmbar  ist.  r^  T 

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212  Kleinere  Mittfaeilmigexii 


2)  Als  erste  AnwBndttng  ünsereg  Lehrsatzes  wollen  wir  den  Fall  eines 
nm  die  Lemniscate  geschlungenen  Fadens  betrachten,  wobei,  wenn  a«  und 
a^  die  Radiivectores  der  auf  Polarcoordinaten  belogenen  Bei^ihrungepnnkte 
der  tangirenden  Fadenstttcke  mit  der  Lemniscate  vorstellen,  die  Integrale 

elliptische  Integrale  der  ersten  Art  sind ,  und  sich  mithii\  auf  ein  einsi^es 
elliptisches  Integral  derselben  Art  zurückführen  lassen,  so  dass  ans 

Are  («„  a;)  =  f{a,)^f{a,)^f{a)^A 
folgt  a  =  consij  also  auch  f(a)==:Consi  und  Jrc  (a<,  a^)=:'C6nft]  d-  h.  Wird 
um  die  Lemniscate  ein  geschlossener  ausserhalb  mittelst 
eines  Stiftes  gespannter  Faden  geschlungen,  so  ist  zwischen 
den  Berührungspunkten  der  gerade  angespannten  Faden- 
stücke in  jeder  Lage  des  Stiftes  dieselbe  Bogenliluge  der 
Lemniscate  enthalten,  woraus  zugleich  folgt,  dass  alle  gleichen  Lem- 
niscatenbögen  auch  für  die  Summe  der  an  ihren  Endpunkten  gezogenen 
Tangeutenstücke,  vom  Berührungspunkte  bis  zum  gemeinschaftlichen  Dnrch- 
achnittspunkte  gezählt,  gleiche  Werthe  liefern.  —  Dieselben  Figenscbaften 
gelten  nicht  allein  für  die  Lemniscate,  sondern  für  alle  algebraischen  Cur- 
ven,  deren  Bögen  transcendente ,  der  Gleichung  6)  gehorchende  Functionen 
sind,  wenn  darin  a,  =  0  ist. 

3)  Eine  andere  Anwendung  bietet  unser  Theorem  dar ,  wenn  man  als 
ursprüngliche  Curve  einen  Kegelschnitt  anwendet,  in  welchem  Falle  die 
Eechnung  eine  sehr  elegante  Durchführung  gestattet^  Im  U.  Bande  von 
Liouville*6  Journ.  de  malh.  beweist  Chasles,  angeregt  durch  die  Vor- 
theile',  welche  Liouville  und  Roberts  aus  einer  Transformation  der 
Differentialgleichung  gezogen  hatten,  {CompL  rend.  T.  XLX.p,  i26l)  die  von 
Jüoebi  für  die  geodätische  Linie  auf  dem  Ellipsoide  aufgestellt  worden 
ist,  folgenden  Lehrsatz  (F.  Sur  les  lign.  geod,  et  les  ligtu  de  caurb,  des  surf,  du 
Ilddffre'): 

Wenn  um  eine.KrümmungsHnie  des  Eilipsoidee  ein  geBchlessener,  aus- 
serhalb mittelst  eines  Stiftes  auf  das  i^ipsoid  festgespannter  Faden-  ge- 
aehlnngen  wird,  so  ist  der  geometrische  Ort  des  Stiftes  gleichfalls  eine 
Krümmungslinie  des  Ellipsoides.  —  Lassen  wir  die  kleinste  Aclise  des 
Ellipsoides  in  Null  übergehen,  so  entsteht  ein  Satz  für  die  ebene  Ellipse, 
den  man  übrigens  auch  auch  auf  die  Kegelschnitte  im  Allgenseinen  ausdeh- 
nen kann: 

Wird  um  einen  Kegelschnitt  ein  ausserlialb  desselben 
mittelst  eines  Stiftes  straff  gespannter  Faden  gelegt,  so  be- 
schreibt der  Stift  in  allen  seinen  möglichen  Lagen  gicichr 
falls  einen  Kegelschnitt,  der  überdies  dem  gegebenen  eon« 
foeal  ist. 

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Kleinere  Mittheilangen«  '219 

Es  seien  (;r,,  y,),  {cc^y^)  die  orthogonalen  Coordinaten  der  Berührnngs- 
pnnkte  der  geraden  Fadenstücke,  und  es  sei 

*-  —  =  ! 

die  Gleichnng  des  Kegelschnittes*     Man  setze 

xTi  s=3  a  jm  ^,  also  ^i  =:=  6  co«  9 

alsdann  sind  die  geraden  Fadenstücke  ^1  und  J^  gleich 


d.  h.  nach  Substitution  der  vorigen  Werthe,  denen  man  noch  aus  den  Gleich- 
ungen der  tangirenden  Fadenstücke 

^  _  «'  (yt  —  Vi)  ^'(^1— ar,) 

beifügen  kann : 

_       l  —  cosi(p  —  ^)  l-^cos{q)  —  ^) 

stn{(p — rj;)  ^'  *i«(^  —  ^)  ^' 

wo 


^^  =  ]f/l  — Ä'smVi 

gesetzt  worden.  Die  Bedingungsgleichung,  welche  direet  den  Sinn  der 
Aufgabe  ausdrückt,  ist  nun ,  wenn  wir  uns  den  Kegelschnitt  im  normalen 
Falle  als  eine  Ellipse  denken,  und 


ß^^' 


gesetKt  wird,  augenscheinlich  nach  (y) 

Nach  einem  bekannten  Satze  ist  aber 

Eq,  —  Etff=:E^  —  A:*  sin d  sintp  sin  ^ , 
wobei,  wenn  c  eine  Hilfsgrösse  vorstellt,  und 

(p=zam(u  +  c^  K)^     1^  ==  am  (1/  —  c^  ^ 
gesetzt  wird,  d  bekanntlich  den  Werth  hat 

d  =;=r  am [(tt  +  c)  —  (ti  — c)]  =  am2c. 
Also  entsteht: 

Unserem. Pxincip  zufolge  mnss  nun  i=^am2c  constant  sein,  d.  h.  c  ist 
gleichfalls  coiistant.  Um  die  Gleichung  der  resultirenden  Curve  zu 
finden,  und  c  zu  bestimmen ,  müssen  nun  die  nöthigen  Eliminationen  vor- 
genoi^men  werden.  Die  ans  den  Tangenteogleichungen  gefundenen  Werthe 

▼On  S  and  y^  näOlUch  uigmzea  oy  ^^^^Q Lv. 


214  Kleinere  Mittheihingen. 


$in<p — sififlß  costif  —  dosip 

a?  =  a- — : — ; r- ,  y  =  b, — : — — 

stn  {<p — t^)  stn  (9  —  ^) 

verwandeln  sich,  da  sin q>  =  sin  am  (ti  +  c) ,  Wn-^  =  sin  am  (u  —  c) ,  nnter 

Berücksichtigung  der  Formel 

,    ,       '     .        2sinamc  cosamcJamu 

welche  sich  nebst  anderen  hierhergehörigen  Formeln  aus  den  fund.  nov.  pag. 

32  —  34  entnehmen  lässt,  in 

Jamc       .  ,1 

x  =  a  . ,  smamui  y=b  » .  cos  am  «, 

cos  am  c  cos  am  c 

woraus  durch  Elimination  von  u  folgt 

die  Gleichung  einer  Ellipse,  deren  Halbachsen  durch 

*\                             j            ^amc  i 

t)  j1=a. ,  B  =  b, 


COS  am  c 
gegeben  sind.     Aus  diesen  Werthen  ergiebt  sich  durch  Elimination  von  c : 

ri)  A^  —  S^  =  a*—b\ 

die  Curve  ist  also  der  ursprünglichen  confocal. 

Ein  bemerkenswerther  Umstand  ist,  dass  der  Schnittpunkt  (a:,y)  Bweier 
Tangenten  immer  den  Gleichungen  «),  ^),  ri)  genügt,  nur  ist  r,  also  auch 
A  und  B  im  Allgemeineq  variabel. 

Um  die  Constante  c  zu  bestimmen,  müssen  die  Werthe  9  und  ^  in  die 
letzte  transcendente  Gleichung  eingesetzt  werden,  deren  rechte  Seite  dann 
sich  bezüglich  der  Variabein  u  als  constant  herausstellen  und   auf  eine 
Function  von  c  reduciren  mnss.     Diese  Forderung  unseres  Principes  wird 
in  der  That  erfüllt.   Setzt  man  nämlich  daselbst  {vidi,  c). 
•  iV  =  1  — »Ar*  sin*  am  c  siti^  amu^ 
cos  (ff  —  tlJ>)  =  {cos^  amc  —  sin*  am  c  d*  am  ü)  :  N 
sin  (g>  —  ^)  =  (2  sin  am  c  cos  amc  J  am  u)  :  N 
Jq>  +  J  tjj  =  {2  J  am  c  ^t  amu)  :  N 
sintp  «Vit/;  =  {sin*  amu  —  sin*  am  c)  :  N 
sin  d  =  2  sin  am  c  cos  am  c  J  am  c  :  N 
so  entsteht  nach  einigen  Reductionen  die  von  u  unabhängige  Gleichung 

L  —  /  J*  amc  sin  amc 

E(am2c)  = T  2  .  • 

a  cos  amc 

Die  Form  der  Rechnung  bleibt  dieselbe,  wenn  die  ursprüngliche  Curve  eine 
Hyperbel  ist,  in  welchem  Falle  nämlich  B*  mit  b*  nach  Formel  i)  gleich- 
seitig negativ  ausflillt,  da  cos  am  c  auch  für  k>l  nach  den  Formeln 

ßt ^t 

J(p=s}/l  —  k*  sin*(p,       k*  =  — -j — , 

wenigstens  für  alle  in  Betracht  kommenden  Werthe  von  ip  una  ^,  reel  aus- 
fällt. —   Im  üebergangsfalle  von  Ellipse  zu  Hjperb^gg|jj3|ilj9^^Si|te, 


Kleinere  Mittheilungen.  215 

dass  die  von  dem  Stifte  beschriebene  Ctirve  ein  confocftler  Kegelschnitt  seii 
auch  noch  für  die  Parabel,  wenn  man  eine  leicht  zu  errathende  Modification 
in  der  Art,  den  Faden  anzulegen,  anbringt«  wie  dies  auch  schon  für  die  Hy- 
perbel erfordert  wird.  Der  Faden  mnss  nämlich  an  zw^i  Punkten  des  Ke- 
gelschnittes befestigt  werden,  jedoch  von  hinreichender  Kürie  sein,  damit 
nach  dem  Anspannen  die  geraden  Theile  noch  tangiren. 


XDL  Benithttiliing  der  bis  jetrt  tbliohen  Anflösnngen  der  Angaben 
tbet  Verlegung  der  Zahlungstennine»  mittlere  Zahlungstermine  nnd  Ge- 
sellsehaftsreclmungen.  Von  Dr.  Schlechter.  Ist  man  ein  Kapital  k 
nach  n  Jahren  unverzinslich  zu  zahlen  schuldig  und  es  wird  die  jährliche 
Vergütung  fürs  Hundert  zu  p  %  und  der  gegenwärtige  Werth  zu  x  ange- 
nommen, so  ist  k  EU  zerschlagen  in  den  haaren  gegenwärtigen  Werth  % 
und  den  Abzog,  Rabatt,  Disconto  i> ;  somit  Ar  s=  x  +^-     ^  drückt  offenbar 

die  Benutzung  des  Kapitals  x  zu  p  %  für  n  Jahre  aus,  so  dass  dann  P  =  — - 

gesetzt  werden  kann: 


1)  /r  =  x+~ — ; 


folglich 

2) 
100  Ar 


100 
100  A: 


100+jon 
wird  ztim  Zinsfusse  p  in  n  Jahren  zu  k  wieder  anwachsen.     6e- 


100  +  pit 

deutet  n  Tage,  so  erhält  man : 

36500  Ar 


lOO  +  pn 

Der  Disconto  beträgt :  i)  =  Ar  —  --— . 

®  100 +pn 

pnk 


4)  D  = 


100 +  pn 

Sind  also  Ati,  Ar,,  Ar,.. . . . ,  Arr  Kapitalien  nach  a,  &,  c,  • . . ,  ^  Jahren  unver- 
zinslich fitu  entrichten,  so  ist  ihr  gegenwärtiger  Werth  W 

^^  ^""l00  +  a/>"'"l00  +  6p"^'--"^100+p/ 

8ind  «(,  ^,  r,  • .  •  y.  Tage,  so  ist : 

j^^     36500A:|  365pQAr,  36500A:r 


maO  +  ap      3«/600 +  bp  '  36500  + pif 

Abt  DieeoDto 

//_*,  +  *,  +  .. .  +  «,     j^^         loo+bp     "     m+pw'  \r> 

*  jigiiizea  oy  x^vS^C^^Ti  Iv^ 


216  Kleinere  Miitheilungen. 

somit: 


100  +  rt/)  ^  100  +  6p  ^  "  •  ^  lOO  +  py* 
Die  Gleichnngeir,  wenn  a,  6,  e  etc.  Monate  oder  Tage  beaeicknciii,  sind  leicht 
aTE8  7)  abznleiteii^ 

Wird  nun  die  Aufgabe  so  gestellt,  dass  die  Kapitalien  i(r, ,  Ati,  » . «  Arr, 
welche  man  unverzinslich  nach  a,  d,  c  . . .  y  Jahren  schuldig  ist ,  an  einem 
und  demselben  Tage  bezahlt  werden  sollen,  so  wird  also  der  Nutzmesser 
bei  baarer  Zahlung  aller  Kapitahen  den  Werth 

^^  100  +  flp       100  +  6p'^*'"'^lC()+py 

Entrichten ; 'der  Minderbetrag,  Disconto  D  wKre 

^)  " — IAA  j.  «^  "T-  ,^  ,  ,  ^  i- . . .  i- 


lOO  +  ap       100  + 6p  '  '   100+py 

Es  muss  daher  dem  Schuldner  der  Werth  W  so  lange  in  Händen  gelassen 
werden ,  bis  durch  Verzinsung  desselben  au  p  %  der  Disconto  2>  erzielt 
worden  ist     Nennt  man  diese  Zeit  %^  so  ist 

9)  i)=e^*; 

oder 

10) 


100 


100 /> 

*"^pfr' 

in     K=— r  ^^^   +   ^^■.  +     I    y^-  "> 

^  fF\l00  +  ap^l00  +  ^P       ^'*^100+py/" 

Oder  was  offenbar  dasselbe  ist;  der  baare  Werth  ^und  der  Zins  von  PFsum 
Zinsfusse  p  muss  gleich  sein  der  Summe  der  in  den  einzelnen  Terminen  cn 
aahlen^en  Kapitalien.     Somit 

^^^  ^+~^=A:,  +  Ar,  +  ...  +  ^,, 

was  wiederum 

^100/     ak,  bk^  ykr     \ 

*       W  \100  +  ap"^lö0+6p^*""^100  +  py/ 
giebt.     Es  kann  somit  dieser  Äufl^sungsweise  die  Hichtigkeit  nicht  wider- 
sprochen werden;   um  so  mehr,  wenn  man  sich  überzeugt,  dass  wenn  der 
Werth  von  x  in  11,)  eingesetzt  ^i  +  Ar, +  ..  .  +  Arr  =  Ar,  +  Ar,  +  *,+  <•.  +  *♦■ 
giebt. 

BeiBetrachtnng  der  Gleichung  11)  wird  in  die  Augen  fallen,  dass  jeder 
einzelne  Posten  in  der  Klammer  im  Nenner  p  hat,  somit  wird  die  ganze 
Summe  um  so  grösser  sein,  je  kleiner  p  ist  und  so  umgekehrt;  dasselbe  gilt 
für  die  Zeit  %.  Die  gemeinschaftliche  Verfalkeit  aller  Kapitalien  wird 
also  um  so  früher  fallen ,  je  grösser  der  Zinsfuss  p  angenommen  wird  nnd 
umgekehrt.  ^-^  t 

Man  erkennt  aus  dieser  Entwickelung ,  dass  der  mittlere  Zalilungster' 


Kleinere  Mittheilungen;  217 

min  nicht  allein  von  der  Zeit,  nach  welcher  die  Kapitalien  zn  entrichten 
sind  nnd  von  ihrer  Grösse,  sondern  auch  vom  Zinsfasse  abhängt.  Die  ge* 
stellte  Aufgabe  ist  daher  so  lange  eine  röllig  unbestimmte,  so  lange  nicht 
der  Werthp  gegeben  und  durch  Vereinbarung  festgestellt  ist.  Die  Rich- 
tigkeit dieser  Behauptung  kann  unmöglich  bestritten  werden.  Gegen  diese 
Wahrheit  werden  in  allen  mir  bekannten  Lehrbüchern  Verstösse  gemacht. 
Es  soll  nun  der  innere  Grund,  wie  man  zu  dieser  falschen  Aufgabenstellung 
and  natürlich  dann  auch  zur  falschen  Lösung  kam,  näher  erläutert  werden. 
Wir  stellen  zu  diesem  Behufe  die  Aufgabe,  wie  sie  gewöhnlich  gestellt  und 
gelöst  wird. 

Man  habe  Ar^ ,  Ac, ,  • . .  Ar^  nach  a,  6,  c  etc.  Jahren  unverzinslich  zn  be- 
zahlen, welches  ist  die  mittlere  Verfallzeit? 

Auflösung  1.  Zahlt  dftr  Schuldner  alle  Kapitalien  statt  nach  seinem 
▼orgeschriebenen  Termine  haar  und  man  nimmt  den  Zinsfuss ,  zu  welchem 
die  Verzin3ung  geschehen  könne,  zn  p  an,  so  sind  die  Verluste  des  Nutz- 
Biessers 

^^^  ^—   100    +    100  +••'+   100  ' 

Die  Kapitalien  (A^iy Ac,...Arr)  müssen  dem  Schuldner  so  lange  gelassen 
werden,  bis  er  zum  Zinsftisse  p  den  Disconto  B  gewonnen  hat.    Es  ist  also 

^"^^     ■1ÖÖ"'*"1ÖÖ""^-"'*'15Ö  100  ^''' 

-  ..  aki+bk^  +  ...  +  ykr 

^^^  k,+k,+  ...+kr     -*• 

Auflösung  2.  Entrichtet  der  Nntzniesser  diese  Kapitalien  haar,  so 
▼erliert  er  die  Benützung  von  k^  a  Jahren,  also  a/r,,  1  Jahr;  ebenso  von 
kt^bkfy  von  bk^  etc.  1  Jahr.  Es  müssen  ihm  also  sämmtliche  Kapitalien 
{ki+k^+  ...  +  kr)  so  lange  gelassen  werden,  bis  er  die  Benützung  von 
{aki  +  bk^  +  ...  +  i/kr)  für  ein  Jahr  gewonnen  hat.  Nennen  wir  diese  Zeit 
X,  so  ist 

^^^  ''~    k,+k,  +  ...  +  kr     ' 

Es  ist  also  nach  diesen  Auflösungen  der  mittlere  Zahlungstermin  vom  Zins- 
fuss unabhängig.  Auflösung  2  ist  jedenfalls  aus  Auflösung  1  hervorgegan- 
gen. Schon  darin  liegt  offenbar  ein  Widerspruch,  dass  man  einen  Zinsfuss 
annimmt,  durch  die  Art  und  Weise  der  Auflösung  der  Aufgabe  aber  erkennt, 
dass  er  gar  nicht  in  Anschlag  gebracht  wird.  Dies  tritt  noch  greller  in  die 
Augen,  wenn  man  in  Gleichung  11)  p  =  0  setzt,  d.  h.  gar  keine  Nntznies- 
snng  fttr's  Hundert  jährlich  annimmt*     Es  wird  dann 

akt  +  bk^  +  ...  +  ykr 

^^^  *~     k,  +  k,  +  ....+  kr    ' 

man  erhält  also  aus  11)  durch  diese  Annahme  die  Gleichung  15.  Meier 
Hirsch,  8. 105,  Frage  125—132.     Es  soll  nun  die  Unrichtj^|||,yn^t^^ll^le 

ZeitMchrifl  fttr  Mathematik  n.  Physik.    V.   .  15 


218  Kleinere  Mittheilungen. 

beieachtet  werden.     Der  auf  diese  Weise  berechnete  Disconto  bei  baarer 
Zahlang  beträgt  nach  Gleichung  12) 

daher  der  baare  Wertii  W  aller  Kapitalien 

apki       bpk^  ypkr 


18)     W=k,  +  k^  +  ..,  +  kr 


100  100  100 


"'  -=*.('-^)+*-(-^)+-+''('-s> 

Da  aber  a,  6,  r, . . .  ^  und  p  alle  mögliche  positive  Werthe  annehmen  kann, 
so  wird,  wenn  man  öp  =  100 ,  6/)  =  100 ,  y  p  =  100  setzt, 

20)  w=e. 

Der  Schuldner  oder  Nutzniesser  hat  also  gar  kein  Kapital  mehr  in  Händen, 
nm  seine  Verlaste  durch  Umsetzung  zu  decken.  Dass  der  Schuldner  au8> 
den  Kapitalien  (^i  +  Ar2  +  ...  +  Ar)  den  Verlust  in  zu  bestimmender  Zeit 
wieder  gewinne ,  ist  eine  beliebige  Annahme  und  entbehrt  jeden  Gruqdes, 
da  offenbar  die  Abzüge  so  beschaffen  sein  müssen,  dass  die  Ret^te  die  haa- 
ren Werthe  der  Kapitalien  zur  Verzinsung  ausgeliehen,  zur  ursprünglichen 

Summe  wieder  anwachsen  müssen.   Es  müsste  fF  == =  /r,+^t  +  «*+^r 

und  wenn  .man  den  Werth  x  aus  16)  einsetzt  Ar,+Arj+../f,  =^i+Ar,  +  .  .+A-r 
sein,  was  unmöglich  ist. 

Diese  Lösungsweise  ist  durch  die  Feickard'sche  oder  Carpzow- 
sche  Berechnung  des  Interusuriums  hervorgerufen  worden  und  Oettinger 
sagt  mit  Becht  Seite  111  seiner  politischen  und  juridischen  Arithmetik»  dass 
dieser  Methode  schon  längst  kein  Denkender  mehr  beipflichtet.  Er  selbst 
lösst  zwar  keine  Aufgabe  über  mittlere  Zahlungstermine,  welche  zwar  in 
einem  solchen  Werke  nicht  fehlen  sollten,  spricht  sich  aber,  gestützt  auf  die 
Ansicht  vieler  Gelehrten,  dahin  aus,  dass  jeweils  bei  unverzinslichen  Kapi- 
talien, die  erst  später  zu  entrichten  sind ,  der  Werth  der  Nutz.niessung  an- 
gegeben werden  müsse,  denn  sonst  könnte  die  Mathematik  solche  Aufgaben 
nicht  lösen. 

Es  soll  nun  ein  Zahlenbeispiel  gelöst  werden.  iVsoll  500  fl.  in  5  Jahren, 
nämlich  nach  jedem  Jahre  100  fl.  bezahlen;  wenn  kann  er  dieses  Geld  auf 
einmal  erlegen,  damit  es  eben  so  viel  Zins  trage,  .als  wenn  es  nach  und  nach 
abgetragen  würde.  (Gruber  Aufgabenbuch  S.  67 e;  Auflösungen  S.  187.)  — 
Auflösung.  Nach  Gleichung  16)  ist  nach  der  unrichtigen  Lösung  die  Zeit 
3  Jahre.  Nach  Gleichung  11)  der  richtigen  Lösung  ist  die  Zeit  2  Jahre 
und  28, . . .  Tage;  ein  Unterschied  von  1  Monat  und  2  Tage.  So  werden 
dergleichen  Aufgaben,  wie  Grober  sie  löst,  in  allen  Rechenbüchern  gelöst; 
Meier  Hirsch  verfahrt  ebenso. 

Wird  einmal  angenommen,  dass  nach  dem  ein£aohen  Zins  die  Natz- 
niessuns:  stattfinden  soll,  so  kann  die  Mathematik  ditse  Aufgaben  nur  nach 

D  '  uigiüzea  D^Pv_j  v^v^p^LV- 


Kleinere  Mittheilungen.  219, 

der  Ton  mir  aufgestellten  Methode  I^sen.  Schweins  verfährt  durch  An- 
wendung von  Ziniessins  ganz  analog.  S.  71,  Nr.  49,  Zinsrechnungen  für 
Geschäftsmänner. 

In  gleicher  Weise  yerhält  es  sich  mit  den  meisten  sogenannten  Gesell- 
schaftsrechnnngen.  Dies  soll  ebenfalls  an  einem  Beispiele  gezeigt  werden. 
A  verwendet  am  Anfange  des  Jahres  zu  einem  Gesellschaftshandel  a  fl. 
Am  1.  April  desselben  Jahres  trat  B  mit  h  nnd  am  1.  Juni  C  mit  c  fl.  bei. 
Am  Ende  dieses  Jahres  theilen  sie  den  Gewinn  mit  d  fl.;  wie  viel  erhält  A^ 
B  nnd  C  am  Gewinne ,  wenn  der  landesübliche  Zinsfuss  zu  p  angenommen 
wird? 

Auflösung.     Da  B  am  1.  April  beigetreten  ist,  so  hat  er  eigentlich 

400^  1200c 

Saar  fl.  eingelegt.  Desgleichen  ist  der  baare  Einsatz  vonC=- 


400  +  p  "^      ^  ^  1200+5C' 

Kach  der  haaren  Einlage  vertheilt  sich  der  Gewinn  wie  folgt: 
A  erhält 

arf(400  +  p)(l200  +  5/?) - 


B  — 


a  (400  +p)  (1200  +  5p)  +  4006  (1200  +  5c)  +  1200 c  (400  +  p)' 
ai>(400  +  p)(l200  +  5p) 


C  = 


ö  (400  -Hp)  (1200  +  5p)  +  4006  (1200  -f  bc)  +  1200C  (400  +  p)' 
ac(400  +  P)(l200  +  5c) 


"ö(400  +p)  (1200  +  5  c) +  4006  (1200  4- 5  c)  + 1200C  (400+;;)' 
Nach  der  gewöhnlichen  Auflösung  erhält 

ad 


12«+96  +  7c' 
bd 

12a  +  96+7c' 
cd 

B 
und 


12a  +  96+7c 
Das  Vorgetragene  wird  boteuchten,  dass  auch  letzte  Aufgabe  unrichtig  ge- 
löst ist. 


ZX.  Zur  TlMoxie  paralleler  Cnrven.  Bekanntlich  nennt  man  eine 
Curve  A  einer  zweiten  B  in  der  Entfernung  a  parallel,  wenn  sie  den  geo- 
metrischen Ort  derjenigen  Punkte  der  Normalen  zu  B  ist,  welche  von  letz« 
terer  Cnrve  um  a  abstehen.  Die  Theorie  dieses  Gegenstandes  ist  von  den 
ältesten  Zeiten  der  Differentialrechnung  an  mehrfacher  Bearbeitung  unter* 
werfen  worden« 

Leibnitz  entwickelte  den  Gedanken  des  Parallelismns  aus  dem  der 
Evolntton,  indem  die  zu  einer  und  derselben  Evolution  gehörigen  Evolven- 
ten in  dem  angegebenen  Sinne  parallel  sind.    In  dem  Aufsatze  De  novo  usdc> 

*->    ^  *  uiqiTizea  DV  x^j  vyv_7x  IV^ 

15*  O 


220  Kleinere  Mittheilungen« 

ceniri  gravüatis  ad  dimensioncs  (acta  erudiiorum  1095)  veraUgemeinerte  er  die 
Betraehtung  darch  die  Bemerkung,  dass  wenn  man  einen  Kreis  auf  irgend 
einer  Curve  rollen  lasse ,  der  Mittelpunkt  des  Kreises  eine  der  gegebenen 
Curve  parallele  Curve  beschreibe.  Derselbe  Aufsatz  wurde  in  der  6e- 
sammtausgabe  von  Job.  Bernoulli^s  Werken  1 ,  150  abgedruckt ,  woran 
sieh  alsdann  Zusätze  von  Bernoulli  anschliessen.  In  diesen  heiast  es 
(8. 158) :  Quae  insuper  habet  G.  G.  L.  de  curvis  paraüelis  pro  more  ejus  ingeniöse 
ercogitaia  sunt.  Omnino  mihi  placet  ejus  consiruclio  ducendarum  paraüelarum 
non  adhibila  cvolulione^  quam  eliam  contra  ac  ipse  sentit  praef er o  allero  Uli  per 
evolutionem  faclae ;  tum  quod  facilius  circulus  construatur  quam  evoltUa,  tum  eiium 
quod  per  roiationem  non  minus  quam  per  evolutionem  parallela  per  punctum  datum 
duci  possit,  si  modo  radius  circuli  ßat  aequalis  perpendiculari  ex  puncto  dato  a^ 
curvam  ductae.  Der  dritte  Mathematiker,  welcher  mit  dem  genannten  Ge- 
genstande sich  beschäftigte,  war  Kästner,  welcher  seine  Untersuchungen 
zuerst  in  Weltmannes  Beiträgen  zur  hydraulischen  Architectur(Götiingen 
1792,  Bd.  II,  S.  24,  S.  33  —  34)  dann  in  ausführlicherer  Weise  in  der  Abhand- 
lung De  curvis  aequidisiantibus  (Commenicdiones  soc,  reg.  scieni.  Gotting.  ad  a. 
1791  et  92.  Vol.  XL)  mittheilte.  Er  beantwortete  die  Frage,  wie  man  die 
Gleichung  der  Curve  finde,  welche  einer  gegebenen  Curve  in  gleichfalls  ge- 
gebener Entfernung  parallel  laufe  und  fand  die  meisten  Sätze,  welche  da- 
bei auftreten.  So  die  Gegenseitigkeit  des  Parallelismus,  Sätze  über  die 
Rectification,  sowie  über  die  Quadratur  der  Parallelcurve  u.  s.  w.  In  dem- 
selben Jahre  1792  scheinen  zwei  italienische  Mathematiker  Cagnazzi  und 
L Otter i  den  Gegenstand  so  weit  bewältigt  zu  haben,  dass  sie  die  Gleich- 
ung der  Parallelcurve  zu  einer  Curve  derselben  Ebene  fanden.  So  citirt 
wenigstens  Bordoni  ohne  weitere  Angabe ,  wo  jene  Untersuchungen  zu 
finden  seien.  Bordoni 's  Abhandlung  selbst  wäre  nun  zunächst  anzufüh- 
ren. Sie  führt  die  Ueberschrift :  Sopra  le  linee  e  le  superficie  parallele  und 
ist  abgedruckt  im  XVI.  Bande  der  Memorie  di  matematica  e  di  fisica  deUa  So- 
cietä  Jtaliane  delle  scienze,  Verona  1813.  Der  Titel  bezeugt  schon,  dass  in 
diesem  Aufsatze  ein  Fortschritt  vorhanden  ist,  indem  nicht  blos  einfach 
gekrümmte  Curven  besprochen  werden,  sondern  auch  Curven  doppelter 
Krümmung,  sowie  Oberflächen.  Bei  den  Betrachtungen ,  die  sich  auf  die 
Ebene  beschränken,  finden  sich  indessen  auch  zwei  Bemerkungen,  auf 
die  man  zu  wenig  Bücksickt  genommen  hat.  Die  eine,  daas  die  Paral- 
lelcurve die  Einhüllende  jenes  rollenden  Kreises  sei,  den  schon  Leibnitz 
annahm ,  dass  also  die  Theorie  der  singnlären  Lösungen  hier  in  Betracht 
komme  (/.  e.  pag,  73) ;  die  andere ,  dass  man  von  der  Differentialgleichung 
der  Parallelcurve  zu  ihrer  Gleichung  durch  Elimination  der  Differential- 
quotienten gelangen  könne ,  dass  es  aber  in  jedem  gegebenen  Falle  auch 
möglich  sein  müsse,  eine  directe  Integration  eintreten  zu  lassen  (pa^.  78). 
Die  chronologische  Angabe  der  einschlagenden  Literatur  fuhrt  nun  zu  dem 
Aufsatze  von  C  r  e  1 1  e ,  Memoire  sur  le  parallelisme  des  1^^^^%  e^  ^fyOi^S^^^ 


Kleinere  Mittheilungeil.  ^221 


welcher  zuerst  in  den  Gergonn ersehen  Annales  de  Maihe'matiques,  Bd.  XII, 
1821 — 22  erschien  und  dann  ein  Jahr  später  in  deutscher  Uebersetzuug  im 
2.  Bande  von  Grelle 's  Sammlung  mathematischer  Aufsätze  und  Bemerk- 
ungen. Ein  Aufsatz,  der  indessen  nur  in  dem  französischen  Texte  lesbar 
ist,  da  in  dem  deutschen  Abdrucke  die  Grelle  eigenthümlichen  Bezeichnung 
der  Differentialquotienten  ihn  fast  unverständlich ,  jedenfalls  ungeniessbar 
macht,  während  der  eigentliche  Inhalt  eine  recht  klare  Uebersicht  des  Ge- 
genstandes liefert.  Unabhängig  von  diesen  Schriften  ist  die  in  Göttingen 
1826  vertheidigte  Inauguraldissertation  von  Dr.  Michael  Reiss:  De  lineis 
et  fuperficiebus  aequidistaniibus.  Der  Verfasser,  welcher  ausserdem  durch  in- 
teressante Abhandlungen  über  Determinanten  (in  Quelelel  Correspondance  ma- 
thematique  1829)  und  in  neuester  Zeit  über  das  Solitairespiel  und  ähnliche 
Gegenstände  der  mit  Zahlentheorie  gemischten  Gombinatorik  den  Mathe« 
matikern  wohl  bekannt  ist,  gelangte  dabei  zu  denselben  Resultaten,  wie 
seine  Vorgänger  durch  Anwendung  geometrischer  Methoden ,  welche  den 
Exhaustionsmethoden  der  Alten  sehr  nahe  stehen ;  dadurch  wird  die  Ab- 
handlung zu  einer  höchst  lesenswerthen,  auch  für  den,  welcher  mit  den  be- 
wiesenen Sätzen  schon  bekannt  ist.  Von  hoch  neueren  Arbeiten  endlich 
ist  dem  Verfasser  nur  eine  Note  sur  les  courbes  paralleles  ä  tellipse  von 
Breton  (deChamp)  in  dem  3.  Bde.  der  Nouvelles  annales  de  mathemaHques 
und  eine  Abhandlung  von  Brenner  über  Normallinien  und  Normalcurven 
im  13.  Bde.  von  Grunert*s  Archiv  bekannt  geworden,  welche  der  Vollstän- 
digkeit wegen  erwähnt  werden  müssen. 

Es  scheint  nun  auffallend,  dass  selbst  nach  der  Abhandlung  Bordoni's 
kein  Mathematiker  den  Versuch  gemacht  hat,  die  Differentialgleichung  der 
Parallelcurve  zu  einer  gegebenen  Gnrve  in  allgemeinster  Form  zu  integri- 
ren,  ein  Versuch,  der  nach  einer  Methode,  welche  Woisard  im  15.  Bande 
der  Gergonne*fthen  Annalen  gelehrt  hat,  sehr  leicht  zum  2iele  fübrt. 

Es  sei  nämlich  die  Curve 

1)  /'(^,y)  =  o 

bekannt  und  die  derselben  in  der  Entfernung  a  parallele  Curve  sei 

2)  F(^,  F,a)=30. 

Aus  irgend  einer  der  citirten  Abhandlungen  entnimmt  man  leicht  die 
Formeln 

wo  p  =  --^.     Der  gewöhnliche  Weg,  die  Gleichung  2)  zu  finden,  ist  nun 

der  der  Elimination.  Man  sucht  nätnlich  p  aus  der  Gleichung  1)  durch 
Differentiation,  substitnirt  diesen  Werth  in  die  Doppelgleichung  3)  und 
schafft  alsdann  aus  1)  und  der  umgewandelten  3)  die  .t,  y  weg.  Allein 
wegen    der  Reciprocität   des  Parallelismus   ist    bekanntlJfJiatß^^v^^pC 


222  Kleinere  Hittheilungen. 

J  TT 

P=-— -,   darnach  lässt  sich  aus  3)  eine  neue  Doppelgleichnng  ableiten: 

aP  '» 

4)  :^^x--—==.  y=Y  + 


^l  +  i>*  }/i  +  P^ 

und  die  Differentialgleichung  der  gesuchten  Parallelcurve  heisat 

5)  fix — j^^—,  r-H-— ^    )— 0 

d.  i.  eine  Gleichung  von  der  Gestalt 

I)  /(X-Ä,  r-iV)=o, 

wo  if,  iV  Functionen  von  P  sind,  und  diese  Gleichungen  können  nach  Woi- 
sard  immer  integrirt  werden,  wenn,  wie  es  hier  der  Fall  ist, 

.      '  dP  dP 

Setzen  wir  nämlich  zur  Abkürzung         ■    ■         =  G  und  ■  =  /T, 

80  liefert  die  Differentiation  von  I)  die  neue  Gleichung : 


ni)        G.dX—G.l^:dP+E.dY—HM.dP=0 
0  "  c  P 


und 


dY=.P.dX,    |^  =  P.|? 
'    dP  dP 


(wegen  II)  gesetzt,  giebt: 


oder 


G.dX-G.j^.dP'\'H.P.dX-H.P.^JL,dP  =  0 
{G+BP)(dX-'^.dI^=Q; 


dieser  Gleichung  wird  aber  genügt,  wenn 

dM 

d.  h.  wenn 

IV)  Xz=:M+C^, 

Wird  in  in)  die  umgekehrte  Subaititution  J/X^  -^,   ?j?_  i^_^  vollzo- 

ö  P'   dP      P    dP 

gen,  so  geht  si^  über  in 

und  dieser  wird  gentigt,  wenn 

d.  h.  wenn 

^^  r=  iv  +  cv         jj.g,,.^^^  ^y  Google 


Kleinere  Mittbeitungen.  223 

Nan  kann  P  zwischen  IV)  nnd  V)  eliminirt  werden  und  es  entsteht  die 
Gleichung 

VI)         ^  F{X,Y,C,,C,)  =  0 

die  beiden  willkührlichen  Constanten,  welche  dabei  vorkommen,  repräsen- 
tiren  nur  eine  einzige,  da  zwischen  ihnen  durch  Verbindung  der  Gleichun- 
gen I),  IV),  V)  der  Zusammenhang  besteht: 

VII)      ^  nc,,c,)^o. 

Wenden  wir  diese  allgemeinen  Betrachtungen  auf  unsere  Differential- 
gleichung 5)  an,  so  entsprechen  den  Gleichungen  IV),  V  jetzt  die  specielle- 
ren  Formeln: 

Folglich 

7)  ^[=5  =  -P 
ond  durch  Substitution  dieses  Wbrthes  in  6) 

oder  endlich 

8)  .        a'={X-C,Y  +  (Y-C,)\ 
während 

9)  /'(C|,C,)  =  0. 

Das  allgemeine,  mit  einer  willkührlichen  Constante  versehiBne  Integral  be- 
deutet folglich  einen  Kreis  und  zwar,  wie  aus  der  Bedingungsgleichung  9) 
mit  l)  zusammengehalten  hervorgeht,  einen  Kreis,  dessen  Mittelpunkt  auf 
der  ursprünglich  gegebenen  Curve  sich  befindet;  d.h.  es  ist  derselbe  Kreis, 
der  in  seinen  Rollen  die  wirkliche  Parallelcurve  als  Einhüllende ,  als  sin- 
gulare^ Integral  erzeugt.  Cantor. 


XXL  Einige  Bemerkungen  ttber  die  Bedeutung  der  EBSspimktenrTeii 
«Ad  Suflfpiuüctiäehen  in  der  Katoptrik.  Von  Dr.  Franz  Mrldb  in  Marburg. 

§.  1.  Die  ebene  Curve  L  möge  als  Basis  ein  in  der  Ebene  dersel- 
ben gelegener  Punkt  C  als  Pol  einer  Fusspunktcurve  betrachtet  werden. 
Zieht  man  demnach  in  einem  Punkt  M  der  Basis  eine  Tangente  und  fällt 
von  C  aus  ein  Perpendikel  auf  diese,  so  erhält  man  einen  bestimmten  Fuss- 
punkt  p,  (besetzt  nun,  wir  hätten  dieses  Perpendikel  in  der  Richtung  Cp 
verlängert,  um  ein  Stück  pqz=sn.Cp  (wo  n  eine  constante ^Srösse  bedeutet) 
nnd  diese  Constructien  für  alle  Punkte  ausgeführt,  so  werden  die  Punkte 
q  eine  der  ursprünglichen  Fusspunktcurve  ähnliche  Curve  liefern.  Wird 
zugleich  C  als  Mittelpunkt  eiües  rechtwinkligen  Coordinatenkreuzes  angef^ 

uigiüzea  oy  x^j  vy  v_/ 'i  Iv^ 


224  *  Kleinere  Mittheilungcn. 

nommen,  so  leuchtet  ein,  dass  man  aus  der  Gleichung  der  eigentlichen  Fnss- 
punktcurve  sofort  die  für  die  ähnliche  Fusspunktcurve  erhält,  wenn  man  in 

jener  statt  x  und  y  nur  —  und  —  setzt. 
•*  n  n 

Für  den  Fall,  dass  die  Basis  L  eine  Gerade,  erhält  man  nur  einen 
Fuss  p  u  n  k  t  und  auch  nur  einen  ähnlichen  Fuss  p  u  n  k  t. 

§.  2.  Denken  wir  ferner,  es*  wäre  F  eine  beliehige  Fläche ,  C  ein  be- 
liebig im  Raum  gelegener  Punkt,  so. wird  ein  von  letzterem  auf  eine  im 
Punkte  M  an  die  Fläche  gelegte  Tangentialebene  gefälltes  Perpendikel 
diese  Tangentialebene  in  einem  bestimmten  Punkte  P  treffen.  Alle  diese 
Punkte  P  liefern  das  der  Basis  F  und  dem  Pol  C  zugehörende  Fusspnnkt- 
gebilde,  das  nach  der  Beschaffenheit  der  Fläche  F  entweder  sein  kann  eine 
Fusspunkt f  1  ä c h e ,  oder  eine  Fusspunktcurve  sowohl  eben  wie  dop- 
peltgekrümmt,  oder  auch  nur  ein  Fusspunkt,  wenn  F  eine  Ebene  ist. 
Gesetzt  wiederum  wir  hätten  sämmtliche  Perpendikel  CP  verlängert,  um 
ein  Stück  PQ  =  n  .  CPy  so  werden  die  Punkte  Q  ein  zur  Fläche  jFund  dem 
Pol  C  gehörendes  Fusspunktgebilde  liefern ,  welches  dem  ursprünglichen 
ähnlich  ist. 

§.  3.  Unter  der  bestimmten  Voraussetzung ,  dass  n  =  1 ,  gewinnen 
diese  ähnlichen  Fusspunktgebilde,  eine  Bedeutung  in  der  Katoptrik,  worauf 
ich  in  der  Kürze  hinweisen  möchte.  Ich  werde  im  folgenden  demgemäss 
unter  der  Benennung  „ähnlicher  Fusspunkt,"  „ähnliche  Fusspunktcurve," 
„ähnliche  Fusspunktfläche"  also  nur  solche  Gebilde  verstehen,  für  welche 
obige  Annahme  gilt. 

Gesetzt  nämlich,  die  Curve  Z  S.l  sei  spiegelnd,  C  ein  leuchtender 
Punkt,  von  dem  aus  ein  Lichtstrahl  CM  ein  Lichtstrahl  die  spiegelnde  Linie 
im  Punkte  M  treffe,  so  ist  klar,  dass  der  im  Punkte  M  reflectirte  Strahl 
so  reflectirt  wird,  als  käme  er  von  dem  zum  Punkte  üf  gehörenden  ähn- 
lich e  n  Fusspunkt  q  und  da  dies  an  für  jeden  Punkt  M  gilt,  an  welchem  ein 
Strahl  reflectirt  wird,  so  ergiebt  sich  der  Satz : 

„Die  von  irgend  welchen  Punkten  einer  (Siegelnden  ebenen  Linie  re- 
flectirten  Strahlen  werden  so  reflectirt,  als  kämen  sie  von  den  zugehöiipn- 
den  Punkten  der  ähnlichen  Fusspunktcurve." 

Gehen  wir  zu  einer  spiegelnden  Fläche  über>  so  leachtet  ebensoleicht 
ein,  dass  der  Satz  gilt: 

„Die  von  irgend  welchem  Punkte  einer  Spiegelfläche  reflectirte  Strah- 
len werden  so  reflectirt,  als  kämen  sie  von  den  zngehörenden  Punkten  des 
zur  Fläche  gehörenden  ähnlichen  Fusspunktgebildes." 

§.4.  Conische  Flächen  besitzen  als  ähnliches  Fuespunktgebilde 
im  Allgemeinen  eine  doppeltgekrümmte  Curve,  cylindrische  Flä- 
chen dagegen  eine  ebene,  welche  liegt  in  der  Ebene,  die  senkrecht  zu 
irgend  einer  Lage  der  Erzeugungalinie  und  zugleich  A^uttAi  den  Pol  läuft. 
Sind  diese  Flächen  spiegelnd,  so  gewinnen  die  ähnlichen  Fusspunktcurven 

*      ^  '  o  uigiTizea  Dy  xj  vy  v^^'i  LN^ 


Kleinere  Mittheiluogen.  225 

noch  eine  weitere  Bedentnng.  Der  Ort  nftmlich ,  wo  sich  zwei  refleetirte 
Strahlen  schneiden,  ist  ein  Bildort;  liegt  dieser  Bildort  ffir  das  Ange  hinter 
dem  Spiegel,  so  kann  man  ihn  einen  virtuellen,  liegt  er  vor  demselben, 
80  kann  man  ihn  einen  reellen  nennen.  Sämmtliche  Strahlen  nun,  welche 
Iftngs  einer  und  derselben  Erzengslinie  reflectirt  werden,  scheinen  von  dem 
SU  dieser  Erzengslinie  gehörenden  ähnlichen  Fnsspnnkt  zu  kommen,  schnei- 
den sich  mithin  in  diesem,  wodnrch  er  zugleich  die  Eigenschaft  eines  Bild«> 
punktes  erhält.  Betrachtet  man  die  Erzeugslinien  in  allen  ihren  Lagen, 
so  ergiebt  sich  der  Satz: 

„Die  zu  einem  conischen  und  cjlindrischen  Spiegel  gehörende  ähn- 
liche Fusspunktcurve  ist  aus  lauter  Btldpunkten  zusammengesetzt  und  kann 
also  zugleich  eine  Bildcurve  genannt  werden.*^ 

Ob  aber  diese  Bildcurve  lauter  virtuelle  oder  lauter  reelle  oder  beide 
Arten  von  Btldpunkten  enthält,  wird  aus  der  Beschaffenheit  der  Spiegel- 
fläche sich  ergeben  mtlssen.  Desgleichen  ist  in  obigem  Satze  durchaus 
nicht  gesagt,  dass  die  ähnliche  Bildcurve  alle  Bildorte,  welche  der  Spiegel 
liefert ,  enthielte ,  sondern  es  ist  wohl  zu  denken ,  wie  gewisse  refleetirte 
Strahlen,  die  zweien  Erzeugungslinien  angehören,  sich  noch  in  anderen 
Punkten  schneiden,  als  in  den  zwei  betreffenden  ähnlichen  Fnsspunkten. 

Ich  theile  diese  Betrachtungen  hier-  mit  nicht  als  das  Resultat  allge- 
meiner Untersuchungen,  sondern  nur  eine  als  idee ,  deren  weitere  Verfolg- 
ung mir  eben  nicht  gestattet  ist,  von  der  sich  aber  ohne  Zweifel  weiteres  er- 
warten lätfst. 


XZIL  Der  Distensmesaer  des  Oeni«  - Oberlimitenanbi  Biagio  de 
Benedictis  in  NeapeL  Die  Beziehung  zwischen  der  wirklichen  linearen 
Grösse  A  eines  Oegenstandes ,  welcher  sich  in  der  Entfernung  d  von  dem 
Mittelpunkte  des  Objectivs  eines  Femrohrs  befindet,  u^d  der  linearen 
Grösse  h  des  dnrch  das  Objectiv  erzeugten  Bildes  lautet:  ^ 

wobei  f  die  Brennweite  des  Objectivs  ist.     Löst  man  diese  Gleichung  nach 
d  auf,  so  geht  siejtiber  in: 

2)  ''  =  /'+T 

•  und  kann  zur  Bestimmung  der  Entfernung  d  des  Gegenstandes  dienen ,  so- 
bald man  dessen  Grösse  Ä  und  die  Brennweite  f  kennt  und  das  Fernrohr 
selbst  so  einrichtet,  dass  man  die  Bildhöhe  h  messen  kann.  Bei  den  ver- 
schiedenen Distanzmessern ,  welche  die  Distanz  d^  nach  der  Gleichung  2) 
ermittelt,  angeben,'  ist  Ä  entweder  ein  beliebiges  Stück  einer  Scalenlatte, 
welches  man  beim  Visiren  auf  letzterer  abliest,  oder  man  visirt  stets  di<f7> 

uigiTizea  oy  x^j  vy  v_/ 'i  l v. 


226  Kleinere  MittheilungeD^ 

selbe,  constante  Höhe  der  Distanalatte  au.  In  beiden  Fällen  muss  die 
Latte  anf  dem  Punkte  aufgestellt  werden,  dessen  Entfernung  vom  Stand- 
punkte des  Femrohrs  man  messen  will.  Dies  ist  aber  für  militärische 
Zwecke  besonders  häufig  unmöglich,  oder  doch  unthunlich,  und  man  nehm 
deshalb  seine  Zuflucht  zu  mittleren  Grössen  und  bestimmte  die  Distanz  an- 
genähert aus  der  Bildgrösse  eines  auf  dem  entfernten  Funkte  befindlichen 
Gegenstandes,  z.  B.  eines  Mannes,  eines  Eeiters,  eines  Hauses,  einer  Wind- 
mühle u.  dergl.*^),  indem  man  eine  der  Erfahrung  entnommene  mittlere 
Grösse  dieser  Gegenstände  als  wirkliche  Grösse  J  des  beobachteten  Ge- 
genstandes gelten  lässt.  Wenn  man  denselben  Gegenstand  zweimal  beob- 
achtet und  zwar  von  zwei  in  gerader  Linie  mit  dem  Gegenstände  liegenden, 
hinreichend  weit  von  einander  entfernten  Funkten,  deren  gegenseitige  Ent- 
fernung bekannt  ist,  so  kann  man  aus  diesen  beiden  Beobachtungen  der 
Distanz  d  mittels  eines  Fernrohres  mit  gutem  Micrometer  bestimmen,**) 
denn  man  erhält  so  zwei  von  einander  unabhängige  Gleichungen  zwischen 
d  und  J.  Mit  einem  solchen  Distanzmesser ,  deren  Biagio  de  Beneäictis  in 
seinem  Schriftchen :  dt  un  nuovo  instrumento  per  mimrare  le  di$tanze  inaccesH- 
bili,  Napoli  1850,  mehrere  erwähnt  und  näher  bezeichnet,  wird  die  Distanz- 
messnng  zwar  genauer  als  bei  Benutzung  von  Mittelgrössen,  aber  auch  um 
vieles  unbequemer  und  aufhältlicher;  deshalb  schlägt  Biagio  de  Benediciis 
folgenden  Ausweg  vor,  durch  welchen  man  bequem,  und  ohne  die  Genauig- 
keit zu  opfern,  die  Distanzmessung  von  der  Grösse  J  des  beobachteten  Ge- 
genstandes unabhängig,  mithin  eine  Distanzlatte  entbehrlich  machen 
kann. 

Man  beobachte  denselben  Gegenstand  noch  mit  einem  zweiten  Fern- 
rohre, dessen  Objectiv  die  Brennweite  /*,  hat,  von  demselben  Standpunkte 
aus;  hat  nun  in  diesem  Fernrohre  das  Bild  die  Grösse  61 ,  so  iat  natürlich 
auch 

3)  *'  =  d=7/' 

aus  di^er  Gleichung  und  aus  1)  lässt  sich  aber  A  eliminiren;  man  erhält 

oder 

f  f 

wobei  -7-  =  a  gesetzt  wurde.     Ist  /*>/*„  so  ist  -—  =  o  >  1,  d —  /*,  >  d — /; 

M  /i 

b  >  frj,  und  weil  nach  4)  ft  =  a  - — ^  b^  ist,  so  ist  auch 

d  —  f 


*)  V'ergl.  u.  A.:  Le  Louterel^  delie  i'icofpdzifmi  nnliiari,  Turino  185?,  pag.  54. 
**)  Oueßfrnite,  problemes  d'astronomie  fumtique  et  de  «'n'»l^<*'fe|^^^^*(Ji^^^Ic 


Kleinere  Mittheilungen«  227 


6  -  «6,  =  «6,  Q^.— 1)>0. 


Man  braucht  abef  in  Formel  5)  gar  nicht  einmal  die  absoluten  Werthe  von 
b  nnd  ^i  einsasetsen,  sondern  es  genügt,  wenn  man  nur  Zahlen  hat,  welche 
den  absolaten  Zahlen  proportional  sind;  denn  setzt  man  nb  anstatt  b  und 
nbi  anstatt  ^i^  so  liefert  Formel  5)  dennoch  denselben  Werth  für  tf.  Dies 
ist  gerade  von  grossem  Vortheil,  weil  man  da  ans  den  Micrometerablesan* 
gen  nicht  erst  die  absoluten  Werthe  von  b  und  ^i  zn  berechnen  braucht, 
sondern  die  Ablesungen  an  einem  beliebigen  Micrometer  ohne  Weiteres 
einführen  kann.  Derselbe  Distanzmesser  kann  natürlich  auch,  ebenfalis 
ohne  Latte ,  zur  Bestimmung  einer  unzugänglichen  Höhe  gebraucht 
werden;  denn  wenn  man  d  anstatt  A  aus  I)  und  3),  oder  aus  8)  und  6)  eli^ 
mitiirt,  findet  man: 

Um  ^en  Genanigkeitsgrad  des  Distanzmessers  in  einem  bestimmten 
Falle  zu  ermitteln,  wählt  Bi€^o  de  Benedictis  folgendes  Beispiel :  es  sei  die 
Brennweite  f  des  einen  Fernrohres  =?  1,4  palmo*)y  die  des  andern  A  =  1 
paltno^  mithin  a  s=s  1,4;  es  sei  ferner  die  Bildhöhe  b  (zwischen  zwei  feststeh- 
enden Kreuzfäden  enthalten,  mithin  ganz  genau)  =0,02  Palmen  und  die 
Distanz  d  =  500  Palmen;  dann  wäre  nach  1) 

^=^'^<^-^'*>  =  7,122857  Palmen 

und  dies  in  8)  eingesetzt,  giebt: 

ftj  ===--——  .  7,122857  =0,014274  Palmen, 

und  dieses  fr|  ist  nur  mit  einem  Fehler  behaftet,  welcher  kleiner  ist  als 

0,000001  palmo ;  setzen  wir  nun  voraus,  b  und  fr,  wären  bei  der  Beobachtung 

abgelesen  worden,  so  würden  wir  nach  5)  erhalten : 

0,02  —  0,014774  „  , 

^  =  1.4  -r^ ,     \^,  ,^^,  =  488,8  Palmen, 

'  0,02  —  1,4  .  0,014274 

also  eine  Unrichtigkeit  ron  11,2  Palmen,  d.  h.  2/89  oder  2,24  %  der  Distanz. 

Die  Qenauigkeit  der  Ablesung  selbst  hängt  natürlich  von  der  Oüte  der 

Femröhre,  von  der  Feinheit  der  Theilung  der  Micrometer  und  der  Sorgfalt 

des  Arbeiters  ab« 

Das  Verhältniss  der  absoluten  Werthe  der  Bildhöhen  b  und  b^  nähert 

sich  aber  um  so  mehr  dem  Verhältniss  der  Brennweiten,  je  grösser  d  ist; 

denn  die  Formel  4)  —  =  4r .  - — -^  geht  um  so  mehr  in  —  =  -^  =  «  über, 
6,       ^  d  —  f  öl       A 

je  grösser  d  gegen  f  und  f,  ist  und  je  weniger  f  und  /*,  von  einander  ver- 
schieden sind;  im  obigen  Beispiele  war  o  =  1,4 ,   r-  aber  ist  =  1,40114. 
^1 

*)  1  pci/fiio  =  0,2645  Meter,  also  88  palnd  nshesa  « 10  Meter..^  .^^^  ^^  GoOqIc 


228  Kleinere  Mittbeilungen. 


Biagio  de  Benediciis  versieht  demnach  seineu  Distanzmesser  mit  2  Fern- 
rohren von  verschiedener  Brennweite  nnd  in  beiden  mnss  die  Bildböbe  des- 
selben Gegenstandes  gemessen  werden;  zu  diesem  Behnfe  werden  nnn  ent- 
weder in  beiden  Fernröhren  die  Fäden  des  Fadenkreuzes  beweglich  ge- 
macht, oder  blos  in  dem  einen  und  in  dem  andern  werden  sie  festgestellt; 
im  letztern  Falle  wäre  zwar  die  eine  Bildhöhe  constant  und  deshalb  frei 
von  einem  Fehler  beim  Ablesen,  allein  man  würde  auch  eben  nur  einen 
Gegenstand  von  einer  gewissen  Grösse  anvisiren  können,  wenn  sein  Bild 
ganz  zwischen  den  beiden  Kreuzfäden  enthalten  sein  soll;  weit  häufiger 
würde  nur  ein  Theil  des  anvisirten  Gegenstandes  zwischen  die  KreuzfUden 
fallen  und  denselben  Theil  müsste  man  dann  auch  zwischen  die  verstellba« 
ren  Fäden  des  andern  Fernrohrs  fassen.  Damit  man  nun  in  diesem  Falle 
leichter  einen  scharf  begrenzten  Theil  des  Gegenstandes  wählen  kann,  wird 
man  am  besten  in  dem  Fernrohre  mit  den  festen  Kreuzfäden  mehrere 
Fäden  ausspannen  und  es  so  einrichten,  dass  die  äussersten  die  Bildhöhe  6, 
ein  anderes  Paar  ^6,  ein  drittes  Paar  ^6  u.  s.  f.  zwischen  sich  enthalten. 

Das  Micrometer  besteht  aus  zwei  Fädeif ,  von  denen  der  eine  im  In- 
strumente fest  liegt,  während  der  andere  durch  eine  Schraube  parallel  zu 
sich  bewegt  werden  kann.  Diese  Schraube  ist  in  dem  Fernrohre  senk- 
recht zu  dessen  Achse  angebracht,  ihr  Kopf  steht  daraus  hervor  und  es  ist 
an  ihm  ein  horizontaler  Zeiger  angebracht,  welcher  auf  einem  Theilkreise 
der  Bewegung  der  Schraube  folgt;  wenn  die  beiden  Kreuzfäden  sich  berüh- 
ren, steht  der  Zeiger  auf  dem  Nullpunkte,  bei  jeder  vollen  Umdrehung  des 
Zeigers  entfernen  sich  die  beiden  Fäden  um  eine  Ganghöhe  der  Schraube; 
die  ganzen  Umdrehungen  zählt  ein  kleines  Zahnrad,  das  bei  jeder  um  1 
Zahn  fortschreitet.  Je  grösser  der  Theilkreis,  desto  genauer  kann  man 
die  Entfernung  der  Fäden  von  einander  ablesen. 

Wenn  die  Fäden  in  beiden  Fernröhren  verstellbar  gemacht  werden, 
so  muss  man  einen  und  denselben  Theilkreis  für  beide  Micrometer  verwend- 
bar zu  machen  suchen. 

Wenn  man  die  Bildhöhe  h  constant,  also  die  Fäden  in  dem  einen  Fern- 
rohre fest  macht,  so  kann  man  leicht  Tafeln  berechnen,  in  denen  neben  den 
Bildhöhen  b^  die  zugehörigen  Distanzen  stehen,  z.  B.  von  10  zu  10  Palmen; 
noch  einfacher  aber  schreibt  man  dann  diese  berechneten  Distanzen  gleich 
auf  den  Theilkreis.  Dr.  Zbtzschs. 


xxhi.  Veber  einen  arithmetisclien  Sats.    Bei  manchen  elementaren 
Betrachtungen  über  unendliche  Reihen  braucht  man  die  Ungleichung 

1 .2.3...«>(^)*; 
diese  lässt  sich  am  einfachsten  auf  folgende  Weise  entwickeln. 

/Google 


Für  a  >  A>  0  ist  bekanntlich 

Digitized  by  ^ 


Kleinere  Hittfaeilungeii«  229 

ma^^^> --» 

mithin,  wenn  a^=m+l  nnd  b=ztn  gesetzt  wird, 

m  (m+ l)~-^>(»i  + 1)"»— m~ 
oder 

»i~>(m  +  l)"'-i 
nnd 

Mnltiplicirt  man  die  fttt  n  =  1 ,  2  . . .  (n  —  1)  hieraas  entspringenden  Un- 
gleichnngen ,  so  erhält  man 

2*.  8« n«>ii», 

worans  der  obige  Sata  angenblicklich  folgt. 

Als  gelegentliche  Awendung  desselben  mag  hier  der  Beweis  stehen, 
dass  die  Grösse 

« Jogi  ^  %2   ,        j  iogn 

bei  unendlich  wachsenden  n  nicht  verschwindet ,  sondern  unendlich  wird. 
Setzt  man  nämlich  statt  jedes  Nenners  den  letzten,  so  hat  man 

^       log{l.2.Z...n) 
*  2n  ' 

d.  i.  nach  dem  Vorigen 

Sn>ilogn, 
mithin  S^x=^<x)  ^  wie  behauptet  wurde.  Schlöhilob. 


XY.  Dr.  Beitlinger*s  Yertuehe  ttber  tttatige  Isolatoren  der  Elektri- 
eitit.  (Sitzungsber.  der  Wiener  Akademie,  Bd.  35,  S.  73).  Sobald  man  einen 
festen  Körper  an  dem  einen  Ende  mit  der  Hand  anfasst  und  hierauf  sein 
anderes  Ende  an  den  Knopf  eines  geladenen  Elektroscopes  bringt^  flieset 
die  auf  der  Oberfläche  des  Elektroscopes  befindliche  EUektricität  je  nach 
der  Beschaffenheit  des  Körpers  mehr  oder  minder  schnell  nach  der  Erde 
ab.  Erfolgt  die  Entladung  des  Elektroscopes  durch  den  Körper  hindurch 
fast  augenblicklich,  so  pflegt  man  den  Körper  unter  die  Leiter  der  Elek- 
tricität  zu  zählen ,  beträgt  die  Entladungszeit  jedoch  einige  Secunden  bis 
nahe  eine  Minute,  so  rechnet  man  ihn  zu  den  Halbleitern;  Nicht- 
leiter pflegt  man  jedoch  diejenigen  Körper  zu  nennen,  bei  welchen  die 
Entladung  erst  nach  mehr  als  einer  Minute  erfolgt  (Riess ,  Reibungselek- 
tricität,  Th.  I.  S.  27.)  Diese  Eintheilung  der  Körper  in  Beziehung  auf  ihr 
elektrisches  Verhalten  ist  allerdings  nicht  aus  einem  tieferen  Studium  der 
elektrischen  Bewegung  in  Körpern  hervorgegangen,  genügt  jedoch  für  den 
praktischen  Zweck  elektrischer  Experimente  vollkommen.„g,](||^j|i|c^i,J^&i{e 


230  Kleinere  Mittheiiungen. 


«^p%^S/^^^^^^^^^^^^h^k^S^»< 


gen  Körpern  ihren  Platz  nnter  einer  der  drei  Classen  anzuweisen ,  pflegte 
n^an  dieselben  in  isolirende  Oeftsse  einznschliessen ,  das  eine  Ende  der 
flüssigen  Schiebt  mit  dem  Elektroscope ,  das  andere  Ende  jedoeh  mit  dem 
Erdboden  in  leitende  Verbindung  zu  setzen,  oder  man  wendete  irgend  ein 
anderes  dem  genannten  ähnliches  Verfahren  an,  wobei  Elektricität  von  ge- 
ringer Spannung  genöthigt  war,  durch  die  zu  prüfende  Flüssigkeit  hindurch 
zu  gehen.  Auf  diesem  Wege  ist  man  zu  dem  Kesultate  gelangt,  dass  unter 
anderen  ätherische  Oele  Nichtleiter  der  Elektricität  sind ;  ein  Resultat,  wel- 
ches hier  besonders  hervorzuheben  sein  möchte,  da  sich  die  Versuche  des 
Dr.  Reltlinger  vorzugsweise  auch  auf  ein  ätherisches  Oel,  das  Terpentin- 
öl, beziehen. 

Das  Verhalten  der  Körper  zur  Elektricität  lässt  sich  sicherlich  nur 
durch  genaue  messende  Versuche  mit  gewünschter  Schärfe  ermitteln,  wo- 
zu freilich  eine  lange  Reihe  mühsamer  Experimente  erforderlich  sein  wird. 
Durch  einen  Halbleiter  von  regelmässiger  Form  z.  6.  müssten  genau  ge- 
messene Elektricitätsmengen  nach  der  Erde  entladen  werden,  an  den  Re- 
sultaten solcher  Versuche  waten  die  Hypothesen  zu  prüfen ,  die  man  sich 
über  die  Entladung  machen  kann  etc.,  so  dass  man  endlich  zu  bestimmteren 
Vorstellungen  über  die  Vertheilung  oder  Bewegung  der  Elektricität  in  Kör- 
pern gelangt,  welche  einerseits  mit  dem  Erdboden,  andrerseits  mit  der  auf 
gut  isolirten  Leitern  aufgehäuften  Elektricität  in  Verbindung  stehen.  Die 
messenden  Versuche,  die  bis  jetzt  in  dem  angegebenen  Sinne  angestellt 
worden  sind,  verdankt  man  hauptsächlich  Kohlrausch  (Pogg.  Ann.Bd.91) 
welcher  in  der  citirten  Abhandlung  4ie  Resultate  seiner  Versuche  über  den 
elektrischen  Rückstand  der  Lejdener  Flasche  mittheilt.  Bekanntlich  sinkt 
ein  mit  einer  ebengeladenen  Leydener  Flasche  in  Verbindung  gebrachtes 
Elektrometer  zuerst  rasch,  dann  langsam,  indem  die  Spannung  der  auf 
ihrem  inneren  Belege  befindlichen  Elektricität  allmälig  abnimmt.  Entladet 
man  die  Flasche  zur  Erde,  indem  man  beide  Belege  momentan  mit  den  En- 
den eines  zur  Erde  geführten  Drahtes  in  metallischen  Gontact  bringt,  so 
zeigt  sich  dennoch  hierauf  wieder  Elektricität  auf  dem  inneren  Belege,  de- 
ren Spannung  allmälig  zunimmt.  Man  nennt  nach  Kohlrausch  die  Elektri- 
cität, welche  in  der  geladenen  Flasche  keine  Einwirkung  auf  das  Elektro- 
meter mehr  hervorbringt,  den  verborgenen  Rückstand ,  diejenige  Elektrici- 
tät jedoch ,  welche  nach  dem  Entladen  der  Flasche  aufs  Neue  zum  Vor- 
sehein kommt,  den  wiederaufgetretenen  Rückstand.  Man  glaubte  firüher, 
dass  der  verborgene  Rückstand  dadurch  zu  Stande  käme,  dass  die  auf  je- 
dem Belege  vorhandene  Elektricität  ihre  eigenen  Theüe  in  das  Glas  hinein- 
presse, während  sich  Kohlrausch  auf  Grund  seiner  Versuche  veranlasst  fand, 
anzunehmen,  dass  durch  die  Fernewirkung  der  Elektricität  auf  den  Bele-^ 
gen  die  neutrale  Elektricität  im  Innern  des  Glases  geschieden  werde,  so 
dass  sich  eine  eine  elektrische  Wirkung  vom  Glas«  ans  auf  die  Elektricität 
der  Belege  ergebe,  welche  einen  Theil  der  Ladung  festhalte.  J^^^^t- 


Kleinere  Mittfaeilangen.  231 

gliche  von  Koblrausch  sind  die  ersten,  welcbe  einen  etwas  tieferen  Blick  in 
das  Verhalten  der  Isolatoren  zar  ElektricitSt  gestatten.  Dr.  Beitlinger, 
welcher  leider  noch  nicht  bis  su  messenden  Versnchen  gekommen  ist,  theilt 
in  der  Eingangs  citirten  Abbandiang  seine  Versuche  übdr  den  Durchgang 
stark  gespannter  Elektricität  durch  Terpentinöl  mit,  aus  denen  da»  Re- 
sultat hervorgeht,  dass  dasselbe  und  wahrscheinlich  auch  andere  flttssige 
Isolatoren,  das  elektrische  FInidum  in  diesem  Falle  nicht  zu  isoliren  ver- 
mögen. 

Der  genannte  Verfasser  eonstrairte  sich  Leydener  Flaschen,  bei  denen 
Terpentinöl,  welches  zwischen  die  die  Belege  bildenden  Metallplatten  ge- 
gossen worden  war,  dieselben  isoliren  sollte.  Die  metallischen  Belege 
hatten  oben  isolirende  Fortsätze,  so  dass  die  Elektricität  nur  durch  das 
Terpentinöl  hindurchgehen  konnte,  welches  die  Belege  ttberragte.  Als  nun 
Dr.  Reitlinger  den  Knopf  des  inneren  Beleges  mit  dem  Conductor  einer  in 
Thätigkeit  versetzten  Winter^schenElektrisirniascbine  in  Verbindung  setzte, 
während  das  äussere  Belege  leitend  mit  der  Erde  verbunden  war,  gerieth 
das  Terpentinöl  in  lebhaft  wallende  Bewegungen ,  an  dem  äusseren  Belege 
stieg  eine  scharf  geränderte  Schicht  von  Terpentinöl  empor,  welche  bei 
recht  energischer  Thätigkeit  der  Elektrisirmaschine  sogar  zum  Ueberflies- 
sen  gebracht  werden  konnte.  Wurde  hierauf  die  Flasche  auf  ihre  Ladung 
untersucht,  so  fand  sich  keine  dergleichen  vor.  Für  die  Erklärung  der  Er- 
scheinung ist  folgender  Versuch  wichtig :  ein  OlasgeHiss  ohne  Belegungen 
wurdo  mit  Terpentinöl  bis  nahe  an  den  obern  Rand  gefüllt,  hierauf  eine 
Metallröhre  in  selbiges  gestellt,  welche  mit  dem  Conductor  der  Elektrisir- 
maschine verbunden  wurde.  Das  Terpentinöl  wurde  nun  durch  eine  genü- 
gende Anzahl  von  Umdrehungen  der  Elektrisirmaschine  geladen,  wobei  das- 
selbe in  lebhafte  Bewegung  gerieth  und  starkes  Bestreben  zur  Schichten- 
aufsteignng  zeigte.  Die  metallene  Ladungsröhre  wurde  .hierauf  herausge- 
nommen und  der  FingBr  der  Oberfläche  des  Terpentinöls  allmälig  genähert* 
Das  Terpentinöl  stieg  hierbei  im  Allgemeinen  dem  genäherten  Finger  trom- 
ponfönnig  entgegen,  während,  wie  bekannt  ist,  Wasser  bei  einem  solchen 
Versuche  seine  Elektricität  durch  Funkenentladung  an  den  genäherten  Lei- 
ter abgiebt. 

Hält  man  diese  Versuche  zusammen,  so  erkennt  man,  dass  Terpentin- 
öl, welches  mit  Elektricität  geladen  worden  ist ,  an  jeder  Stelle  im  Innern 
der  Flüssigkeit  mit  elektrischem  Fluidum  versehen  sein  muss,  und  dass  sich 
in  ihm  die  Elektricität  nur  .sehr  langsam  von  einem  Körpertheilchen  zum 
andern  hin  bewegen  kann,  denn  sonst  würde  ebenfalls  Funkenentladung 
zwischen  geladenem  Terpentinöl  und  einem  Leiter  stattfinden.  Das  Ter- 
pentinöl lässt  sich  leicht  laden,  weil  es  sehr  beweglich  ist,  die  am  Leiter 
anliegenden  Theile  werden  elektrisch  und  von  diesen  abgestossen,  so  dass 
immer  neue  Theilchen  zu  der  ElektricitätsUbertragung  an  den  Leiter  hin- 
geführt werden.     Terpentinöl  ist  wegen  der  leichten  Beweglichkeit  seinerl^ 

^  *  w  uigriizea  Dy  v_j  v^vy'i  Iv^ 


232  Kleinere  MittheiluDgen. 

Tlieile  nicht  geeignet,  als  Isolator  bei  einer  Lejdener  Flasche  zn  dienen, 
welche  stark  geladen  werden  soll ,  da  in  diesem  Falle  die  stärkere  elek- 
trische Abstossung  der  gleichartig  elektrischen  Theilchen«  eine  schnelle  Hin- 
nnd  Herbewegung  der  flüssigen  Theile  veranlasst  und  somit  eine  schnelle 
Ausgleichnog  der  entgegengesetzten  Elektricitftten  stattfindet.  Diese  Er- 
klärung gewinnt  nm  so  mehr  an  Wahrscheinlichkeit,  als  durch  Kohlrausch^s 
Versuche  bekannt  geworden  ist,  dass  die  Bildung  eines  Rückstandes  im 
Olase,  also  die  Scheidung  der  Elektricitäten  in  demselben  durch  die  Elek- 
tricität  auf  den  Belegen  längere  Zeit  erfordert,  so  dass  von  der  Bildung 
eines  solchen  Rückstandes  im  Terpentinöl  und  vom  Beitrag  desselben  zur 
Ausgleichung  der  Elektricitäten  der  Belege  überhaupt  nicht  die  Rede  sein 
kann.. 

Die  eben  gegebenen  Erklärungen  stimmen  mit  den  Ansichten  Dr, 
Reitlinger^s  überein  und  es  geben  die  aus  seinen  Versuchen  gesogenen 
Schlüsse  einen  Fingerzeig  über  die  Anstellung  von  messenden  Versuchen 
zur  Ausmittelung  des  Verhaltens  der  Elektricität  gegen  Flüssigkeiten,  wo- 
bei man  ebenfalls  Kohlrausch's  werthvolle  Versuche  über  den  elektrischen 
Rückstand  immer  im  Auge  behalten  muss.  Zunächst  erkennt  man ,  dass 
man  die  Versuche  von  der  Bewegung  der  Flüssigkeitstheilchen  um  so  mehr 
unabhängig  macht,  je  schwächer  die  Spannung  der  mit  der  Flüssigkeit  in 
Berührung  gelassenen  Elektricitätsquelle  ist^  femer  bemerkt  man,  dass  bei 
schwachen  Elektricitätsquellen  die  Bildung  eines  elektrischen  Rückstandes 
in  Flüssigkeiten  a  priori  nicht  in  Abrede  gestellt  werden  darf,  da  die  Mög- 
lichkeit nicht  fem  liegt,  dass  die  elektrischen  Kräfte  hierbei  zu  schwach 
sind,  um  eine  merkliche  elektrische  Bewegung  hervorzubringen.  Endlich 
möchte  noch  hervorzuheben  sein,  das»  sich  die  Methode,  die  Isolationsfähig- 
keit von  Flüssigkeiten  in  der  Eingangs  erwähnten  Weise  zu  bestimmeui  um 
so  mehr  an  diejenige  für  feste  Körper  anschliesst,  je  schwächer  die  ange- 
wendete Elektricitätsquelle  ist,  weil  dann  um  so  mehr  die  Fortbewegung 
der  Elektricität  durch  den  ponderabeln  Träger  vermieden  wird. 

Dr.  E.  Kahz«. 


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l:^zf. 


üeber  die  Anzahl  der  Primzahlen  unter  einer  beliebigen 

Grenze. 

Von  Dr.  W.  Scheibner, 

Professor  an  der  Universität  zu  Leipzig. 


.  1. 

Die  BeantwortODg  der  Frage,  wie  viele  Primzahlen  in  einer  arithmeti- 
»chen  Reihe  von  der  Form  a,  a+6,  a+2 6,  a-|-36. ..«+«&  enthalten  seien, 
—  wo  natürlich  a  und  h  ohne  gemeinschaftlichen  Divisor  vorausgesetzt  wer- 
den, —  ist  von  jeher  als  eines  der  schwierigsten  Probleme  auf  dem  Gebiete 
der  höheren  Arithmetik  angesehen  worden.  Selbst  wenn  man  sich  zunächst 
2ur  Vereinfachung  der  Aufgabe  specielle  Annahmen  gestattet  und  z.B.  n=:oo 
oder  6  =  1  setzt,  ist  die  Lösung  mit  grossen  Schwierigkeiten  verbunden^ 
deren  Beseitigung  erst  in  neuerer  Zeit  gelungen  ist.  Nur^r  den  Fall  des 
gleichzeitigen  Stattfindens  der  beiden  erwähnten  Specialisirungen  ist  der 
betreffende  Satz  alt  und  schon  in  den  Elementen  desEuklides  enthalten, 
welcher  beweist,*)  „dass  es  der  Primzahlen  mehrere  gibt,  als  jede  vorge- 
legte Menge  von  Primzahlen."  In  der  unbegrenzten  Keihe  der  aufeinan- 
derfolgenden ganzen  Zahlen  gibt  es  folglich  unendlich  viele  Primzahlen. 

Den  gleichen  Satz  hat  im  Jahre  1837  mittelst  einer  „glänzenden  Ana- 
lysis"  Diriehlet  für  die  unbegrenzte  Reihe  a,  a  +  ^i  a  +  2ft  . . . .  streng 
bewiesen ,  nachdem  die  früheren  Versuche  Legendre*8**)  gescheitert 
waren.  Der  Nerv  dieses  berühmten  Beweises***)  beruhet  in  einer  kunst- 
vollen Transformation  der  -unendlichen  Reihe 


*)  Ol  ff^oroi  apiO^ol  nXüov^  tiel  nttptog  tov  nifot^imog  nXijd'ovg  wifmvmv 
d(fi^fimPf  Eucl.  efem,  lib.  IX.  prop.  '20. 

*♦)  Vergl.  Throne  des  Nomhres,  Tome  11,  p.  77. 
••♦)  Abhandlangen  der  Berliner  Akademie  aus  dem  Jahre  1837.        C^OOCjIp 
ZaiUchrift  f.  Mathematik  a.  Physik.  V.  ^m^ze  ^^  ^ 


234  lieber  die  Anzahl  der  Primzahlen  unter  einer  beliebigen  Grenze. 

wo  öich  die  einzelnen  Snmmen  reap.  auf  alle  Primzahlen  Pi,i>t»  Ps  •  •  •  er- 
strecken, deren  erste,  zweite,  dritte  .  1 .  Potenzen  in  der  vorgelegten  arith- 
metischen Reihe  yo]!4u)mmen ,  so  dass  nach  einer  bekannten  Bezeichnung 


allgemein  \^^^    -^. 


V  Pn^  ^  a  tnod  b 

sein  muss.    Es  ist  leicht  zu  sehen,  dass  der  Ansdrnck  g>s  eine  endliche  nnd 
stetige  Function  von  s  bedeutet,  so  lange  s  grösser  als  1  ist,  da  offenbar 

Nähert  sich  s  ohne  Ende  der  Einheit,  so  bleibt  zwar  die  Summe 

endlich,  es  muss  aber  q>8  über  alle  Grenzen  wachsen,  sobald  2 —  unendlich 

Pi 
wird  und  umgekehrt.     Durch  die  vorhin  erwähnte  Transformation  ist  von 
Dirichlet  gezeigt  worden,  dass  dieser  Fall  in  Bezug  auf  9 «in  der  That 

eintritt,  woraus  man  schliesst,  dass  27—  =00,  d.  h.  dass  es' unendlich  viele 

Pi 
Primzahlen  Pi^a  gibt. 


Was  die  zweite  der  oben  angedeuteten  Annahmen  6=1  betrifft,  so  fährt 
dieselbe  auf  die  Frage  nach  der  Anzahl  der  unter  einer  beliebigen  Grenae 
liegenden  Primzahlen.  Fragt  man  zunächst  nach  einem  approximativen 
Ausdrucke  für  diese  Anzahl,  so  hat  sich  Gauss  sehr  zeitig  die  Bemerkung 
dargeboten,  dass  das  Integral 


f- 


-=^Lix 


logx 

mit  der  Anzahl  der  Primzahlen  kleiner  als  x  in  Verbindung  zu  stehen 
scheine,  und  es  hat  Bessel,*)  dadurch  veranlasst,  schon  im  Jahre  1810  die 
folgende  Tabelle  berechnet  und  an  Gauss  geschickt: 

Argument.      Integral.     Primzahlen«      Diff. 
1000  177.609655  10»  +  8.61 

10000  1240.137247  1230  +16.14^ 

100000  96190.809041  9593  +36.81 

200000  18036.052150  17983  +53.05 

300000  26080.215589  25997  +83.21 

400000  33922.621995  33859  +63.62 

1000000  78627.549277  78493     (Legendre.) 

Für  kleinere  Zahlen,  fügt  Bessel  hinzu,  sind  die  Unterschiede  der  Prim- 
zahlen und  der  Logarühmes  integraux: 


*)  Olbers  and  Bessel,  Briefwechsel,  Bd.  I,  S.  235  and^2d8^^1 .  S^^^JSJip^ 


Von  Dr.  W.  Scheibner.  235 

100  200  300  400  500 

+  4.13     +3.10     +5.33     +6.42     +5.78 
Legendre  hat  in  seiner  Theorie  des  Nombres*)  darch  Indnction  den 
genäherten  Aasdruck 

X 

lognatx  — 1.08366 
für  die  Anzahl  der  Primzahlen  unter  x  geflinden,  und  Dirichlet  erwähnt 
in  einer  auf  dergleichen  von  ihm  genannte  asymptotischeFunctio- 
nen  (expressions-Umites  ou  lots  finales)  sich  beziehenden  Mittheilung,**)  dass 
ihm  die  Ableitung  der  Legendr  ersehen  Formel  durch  strenge  Methoden 
gelungen  sei.  Doch  findet  sich  eine  speciellere  Auslassung  darüber  weder 
in  Cr  eile 's  Journal,***)  noch  in  den  Abhandlungen  der  Berliner  Akade- 
mie für  1849.t) 

Spätere  Untersuchungen  Über  die  Genauigkeit,  mit  welcher  die  Aus- 
drücke 

-^—  und    fe 
logx' — 1  €/  logx 

2 

die  Anzahl  der  Primzahlen ,.  die  eine  gegebene  Grenze  nicht  tibersteigen, 
darstellen,  sind  von  Tchebicheffin  den  Jahren  1848  und  1850  der  Peters- 
burger Akademie  mitgctheilt  und  im  17.  Bande  des  L  i  o  u  v  i  1 1  ersehen  Journals 
abgedruckt  worden.  In  neuester  Zeit  endlich  hat  Polignacff)  den  allge- 
meineren Satz  aufgestellt,  dass  das  Integral 


f: 


dx 

logx 

eine  asymptotische  Function  für  die  Summe  der  Keihe 

n+f2  +  fZ  +  fh...+fp 
ausdrücke,    in  welcher  die  successiven  Primzahlen   die  Argumente   der 
Functionen  bilden.     Was  die  Convergenzbedingungen  einer  solchen   ins 
Unendliche  fortgesetzten  Reihe  betrifft,  so  hat  darüber  Tchebicheff  in 
deinen  erwähnten  Arbeiten  ftt)  gehandelt. 

Eine  strenge  Auflösung  der  Aufgabe,  für  die  Häufigkeit  der  Primzah- 
len einen 'analytifichen  Ausdruck  abzuleiten,  hat  zuerst  Prof.  Riemannin 
Göttingen ,  im  Novemberheft  1859  der  Monatsberichte  der  Berliner  Akade- 
mie, S.  171  —  1^,  gegeben.  Es  möge  mir  vergönnt  sein,  den  Lesern  dieser 
Zeitschrift  die  Hauptzüge  dieser  neuen  eben  so  wichtigen  wie  originellen 
Untersuchung  des  geistvollen  Mathematikers  im  Folgenden  vorzuführen. 


♦)  Tome  11,  p,  65. 
**)  Monatsberichte  der  Berliner  Akademie,  Februar  1838. 
♦♦♦)  Bd-  18,  S.  272. 

t)  Ueber  dio  BestimniHng  der  mittleren  Werthe  in  der  Zahlentheorie,  8. 69. 
ff)  Siehe  die  Comptes  rendtts  der  Pariser  Akademie,  1850,  2.s4me$ire. 
fff)  LiouoiUe,  Journal  de  muthimatiqueSy  Tome  X^II^  8.  384.  igi^i^ea  oy  ^»^  viOQlC 

16* 


236  Ueber  die  Anzahl  der  Primzahlen  unter  einer  beliebigen  Grenze. 


Den  Ausgangspunkt  bildet  die  unendliche  Reihe 

WO  jetzt  die  einzelnen  Summationen  in  Bezug  auf  alle  Primzahlen  p  aus- 
zuführen sind.  Die  Stetigkeit  und  Endlichkeit  der  Function  q>  s  leuchtet 
ein,  so  lange  der  reelle  Theil  von  $  grösser  als  1  genommen  wird.  Denn 
wenn  s  den  imaginären  Zuwachs  ii  erhält,  so  wird 

^.=  i  e-'^'^P^^  [cos  {tlogp)  —  isin  (/  U,gp% 

und  es  kann  die  Convergenz  durch  das  Hinzutreten  solcher  periodischen 
Experimentalfactoren  keine  Aenderung  erleiden. 

Es  kommt  zunächst  darauf  an ,  die  obige  Reihe  umzukehren ,  d.  h.  die 
Summe 

durch  die  Function  q>  s  auszudrücken.  Die  Vorschriften  für  eine  derartige 
Reversion  sind  in  einer  sehr  merkwürdigen  Abhandlung  von  Möbius  ent- 
halten, der  im  O.Bande  des  Crelle'schen  Jonmals  für  Mathematik*)  für 
zwei  beliebige  Functionen  fx  und  Fx  die  zusammengehörigen  Formeln  auf- 
gestellt und  bewiesen  hat: 

2)  fx=^Fx  +  2"  F(ar»)  +  3"  F{ix^)  +  \^F{a^)  +  5»  F{x^)  +  . . . 

3)  Fx=fx-^  2"/'(^)  —  S^/'M  —  S'/'Ca:*)  +  6«/^(a:«)  —  . . . 
Setzt  man  hier 

s  =  logx,  n  =s  —  1,  fx  =  q>s^   Fx  =  x^i 
80  wird  die  Gleichung  2)  mit  1)  identisch ,  und  die  Gleichung  3)  geht  über 
in  die  gesuchte 

4)  ls  =  q>s-\<p(2s)  —  lip{Zs)  —  iip{bs)  +  ^q>{6s).., 

wo  nur  solche  Vielfachen  von  s  vorkommen,  welche  durch  eine  gerade 
oder  ungerade  Anzahl  von  lauter  ungleichen  Primfactoren  theilbar 
sind.     Im  ersten  Falle  ist  das  Vorzeichen  positiv ,  im  zweiten  negativ. 

Wir  drücken  jetzt  %  s  durch  ein  bestimmtes  Integral  aus  und  erhalten 
wegen 

/^ 

X 

00 

%s^=2  — =  Es  je-"  dx. 

iogp 
Wenn  Fx  die  Anzahl  der  Primzahlen  kleiner  als  x  bezeichnet,  so  überzeugt 
man  sich  leicht,  dass  die  Summe  von  Integralen  sich  auf  das  Integral 

*)  ^-l^^-  Digitizedby  Google 


Von  Dr.  W.  Scheibneb.  237 


<•• 


5)  -^  =jF{e')  e-"dx 

0 
redacirt.     Denn  bedenkt  man,  dass  F{e*)  die  Werthe  0, 1, 2, 3  . . .  annimmt, 
je  nachdem  x  in  einem  der  Intervalle  y^n  0  bis  log2  bis  logZ  bis  logh  bis 
log!  u.  s.  w.  enthalten  ist,  so  folgt 

c^  igZ       igh       igl       Jgli 

JF{i^)  e—*  dx  =  I  j  +  2  r+  3 /+  4  /+ .  .|  e—  dx 
0  ^       ^^2        ^3        /^5        /^7 


/»        /»        /»  /» 


ig^    ^3     /^d 

4. 

Es  handelt  sich  jetzt  darum ,  auch  die  Oleichnng  5)  umzukehren ,  um 
F{e*)  durch  ein  von  %s  abhängiges  Integral  auszudrücken.  Diess  geschieht 
durch  Anwendung  des  FourierVhei^  Theorems 

00  b 

6)  fx  = -i-  jdt  ^**  jfx  e-*^^dx, 

welches  auch  unter  der  Form  zweier  einander  gegenseitig  sich  bedingenden 
Gleichungen  geschrieben  werden  kann : 


7a)  fx=:-^   iq>ie^*'dt 

b 
7b)  9<  =  -i=:   ffxe-^'*dx. 


j/2n 

Auf  die  Keciprocität  dieser  Formeln  haben  Cauchy  und  Foisson  in  ihren 
Arbeiten  über  die  Theorie  der  Wellen  aufmerksam  gemacht,*)  und  diese 
Eigenschaft  zu  interessanten  Folgerungen  benutzt.  Die  hingeschriebenen 
Gleichungen  werden  übrigens  nicht  specieller ,  wenn  man,  um  die  Becipro- 

b 

cität  in  der  äusseren  Form  vollständig  zu  machen,  in  7b)  statt  /    die  Inte- 

a 
grationsgprenzen  +oO  einführt,  weil  man  über  die  ganz  beliebige  Function 
fx  offenbar  so  disponiren  kann,  dass  dieselbe  ausserhalb  des  Intervalles  von 
a  bis  6  verschwindet.  Die  Gültigkeit  der  obigen  Gleichungen  ist  bekanntlich 
für  das  Argument  o;  in  7  a)  auf  alle  diejenigen  (reellen)  Werthe  beschränkt, 
welche  in  7b)  die  Integrationsvariable  x  zwischen  a  und  b  durchläuft,  um 

•)  Vergl.  zwei  Notizen  von  Cauchy  „Sur  une  loi  de  riciprocite  qui  exüte  entre 
certaines  fonclio/u'-  im  BuOetm  de  Ut  eoäiti  phaomatique,  1817,  p.  121  und  1818,  p.  178. 


238  Ueber  die  Anzahl  der  Primzahren  unter  einer  beliebigen  Grenze. 

von  der  unteren  zur  oberen  Grenze  zu  gelangen ;  für  jeden  anderen  Werth  des 
Arguments  x  verschwindet  das  Fourier'sche  Doppelintegral.     Auch  sind 

solche  Functionen  auszuschliessen,  für  welche  das  Integral  j  fxdx  unste- 

a 
tig  wird ,  so  lange  x  auf  dem  gedachten  Wege  zwischen  a  und  b  variitt.*) 
Bei  eintretender  Unstetigkeit  der  Function  fx  aber  geben  die  Gleichungen 
6)  oder  7  a)  an  einer  solchen  Stelle  das  arithmetische  Mittel  aus  den  Bprung- 
werthen;  an  den  Grenzen  erhält  man  daher  bloss  die  halben  Werthe  ^fa 
und  ^fb. 

Zur  Anwendung  auf  5)  schreiben  ^nr  s-^ti  an  der  Stelle  von  $  und 
setzen 

dann  folgt  aus  7  a)  der  gesuchte  Ausdruck 

^     '         27tJ       s  +  lt 

OD 

Derselbe  ist  für  alle  positiven  Werthe  von  x  gültig,  wird  unstetige  so  oft  x 
dem  Logarithmus  einer  Primzahl  gleich  wird ,  und  setzt  ausserdem  voraus, 
dass  «>1  angenommen  ist.  Schreibt  man  der  Kürze  halber  wieder  s  statt 
s+ii  (wodurch  s  eine  Function  von  t  mit  constantem  reellen  Theile  grösser 
als  1  wird),  so  folgt 

—  X 

Dieser  Ausdruck  ist  der  weiteren  Discussion  zu  unterwerfen. 

5. 
Da  im  Vorhergehenden  mittelst  Gleichung  4)  die  Function  %  s  auf  li- 
neare Weise  durch  die  Function  tps  ausgedrückt  worden  ist,  so  genügt  die 
Untersuchung  des  Integrals 


9)      .  f.^l-f^< 

'  '  Inj    i 


frfl. 


—  00 

Zunltehst  lässt  sich  ^b  durch  den  Logarithmus  einer  bekannten  Reihe  dar- 
stellen.    Denn  wie  längst  bekannt**)  besteht  die  Gleichung 

271  —  - 


*)  Siehe  Dirichlet  in  Crelle's  Journal,  Bd.XVU,  S.55. 
*♦)  Vergl.  Euler,  barod,  in  anal,  vtftn.,  T.  1,  cap.  Xf^|.  274^^  GoÖqIc 


Von  Dt-  W.  Scheibneb.  289 

wo  die  Srnnme  auf  alle  Zahlen  <ler  natürlichen  Zahlenreihe ,  das  Prodact 
auf  alle  Primzahlen  sieh  erstreckt,  und  wiederum  der  reelle  Theil  von  s^l 
zn  nehmen  ist.  Nimmt  man  auf  beiden  Seiten  die  I^ogarithmen ,  so  folgt 
sogleich 

11)  logi^ssilog --  =  9#. 

Wir  werden  im  Folgenden  versuchen,  die  Function  ^s  in  Factoreii  auf- 
zulösen, und  hierzu  Ausdrücke  durch  bestimmte  Integrale  aufsuchen«  Be- 
zeichnet man  das  Eni  er 'sehe  Integral  der  zweiten  Gattung  wie  üblich 
durch  r*  >  so  wird,  wie  bekannt, 

0 

und  folglich 

00 


9-ß 


19) 


'•=4=?;/;£i'" 


so  lange  der  reelle  Theil  von  s  die  Einheit  übersteigt.  Das  Product  nähert 
sieh  gleichzeitig  mit  s  ohne  Ende  der  Einheit,  während  i^  über  alle  Gren- 
zen wächst.  Dieser  auch  sonst  bekannte*)  Satz  ergibt  sich  aus  Gleichung 
13),  wenn  man  sie  unter  der  Gestalt  schreibt 

OD 

0 

oder  was  dasselbe  ist, 

OD 

14)    (,_,):,  =  i  +  ^/(j-J_^-i).-'a:-d.  =  n,. 

0 
Hiernach  kann  man  setzen 

^$  =5  log  is  =  log 7  +  logifi9 

00  00 


6. 

In  vorstehendem  Ausdrucke  lässt  sich  der  Werth  des  ersten  Integrals 
ohne  besondere  Schwierigkeit  finden.  Man  gelangt  am  einfachsten  zum 
Ziele,  wenn  man 


*)  Vergl.  Lejeune-Dirichletin  den  mathematisehen  Abhandlaogen  der  Ber- 
Uner  Akademie  für  1837, 8. 50.  ^  ' 

uigiüzea  oy  '" 


ioogle 


240  Ueber  die  Anzahl  der  Prirnzdilen  anter  einer  beliebigen  Grenze. 


1              1            /        l\        *    1 
log -  =  log logii )==  -S—r  — 


logs 


setzt,  wo  die  Reihe  convergirt,  da  mod{s  +  tt)i=]/^  +  i*  für  jeden  Werth 
von  t  die  £inheit  tibersteigen  mnss.     Diunit  wird 

16)   -^       log—^  —  di==£' dt——   hogs  —  dt. 

—  00     '  ^-00  — 00 

*    Zur  Ansftihrang  der  Integration  setzen  wir  in  Gleichung  6)  des  Fou- 
ri  er 'sehen  Integrals 

wo  l  und  s  positive  Grössen  (oder  mit  positivem  reellen  Theile)  bedenten 
mögen,  und  erhalten 

a:*-*=r  —  fdt  /y^-i  <?(*-») ('+^')dy. 
—00  0 
Substituirt  man  hier  den  bekannten  Werth  des  Integrals  nach  y 

und  schreibt  zur  AbkUrznng  wieder  s  statt  9  +  ^^  ^  ^i^^  ^^^  ^Ho  positiven 
Werthe  von  x 

CD 

1-i 


/« 


1     /V*  a:*-i 


— « 

wfthrend  für  negative  Werthe   von  x  die  linke  Seite  der  Gleichung  ver- 
schwindet.*)    Differentiirt  man  die  gefundene  Formel  nach  it,  so  folgt 

00 
00 

Die  Anwendung  dieser  Ausdrücke  ergibt  sogleich 


4A('-i)^'-=--.^ 


_      aff^' 

2nJ  '"^  V*        sj  sl"^~      "n.r{n+k) 

00 

und  wenn  man  A^=:l  setzt 

00 
—30 

Bezeichnet  man  endlich  für  positive  Werth  von  x  durch  das  Functionszei- 
chen  des  Integrallogarithmus  das  stets  convergirende  Aggregat 


*)  Siehe  L  a  p  1  a  e  e ,  Theorie  des  ProbabiliUs,  p.  1 34,  P  o  i  s  s  o  n  im  Journal  de  Cicole 
polyieehnique,  cah,  XIX,  S.481,  und  Canchj,  ebendas.  6.560,  sowie  in  seinem  Memoire 
ew  Its  huigrale»  difinies,  prises  entre  des  limites  imaginairts,  p,  84  and  86. 

uigiTizea  oy  v_j  v^v^p^  lv. 


Von  Dr,  W.  Scheibner.  24  t 


20)  Xj(^)  =  %a:  — r'l+/-^i 
80  folgt  für  den  ersten  Theil  der  Function  fx : 

OD 

21)  fx^li  {f)  +  ^^Jlog  ns^-^dL 


7. 

f  Weit  schwieriger  ist  die  Untersnchnng  des  von  log  r^s  abhängigen  In- 
tegrals, welche  im  Wesentlichen  darauf  bin  auskommt,  den  Differentialquo- 
tienten dieses  Logarithmen  nach  den  absteigenden  Potenzen  von  s  in  Reihen 
von  der  Form 

zu  entwickeln.     Durch  Integration  folgt  hieraus  zunächst 

c         c 
log  f^s  z=x  c^-^-  CS  +  Ci  log  $ ?  —    »—...., 

wo  der  imaginäre  Theil  der  Constante  Cq  mit  Rücksicht  auf  die  Vieldeutig- 
keit des  Logarithmen  so  zu  bestimmen  ist,  dass  der  Werth  der  Reihe  für 
<=0  reell  wird.  Aus  der  erwähnten  Vieldeutigkeit  entspringt  eine  schein- 
bare Indetermination,  sofern  das  der  ersten  Potenz  von  «  proportionale  Glied 
in  der  Entwickelung  von  rj  s  auf  das  Integral 

27t  J 

— e 

führen  würde,  dessen  Werth  mit  wachsendem  t  sich  offenbar  keiner  Grrenze 
nähert.  Man  vermeidet  diese  Schwierigkeit,  wenn  man  das  vorliegende  In- 
tegral durch  partielle  Integration  transformirt.    Dann  wird 

u  =  ;--  I  — logrisdl=s  —  ' —    I  e"  —  -    —dt, 
2nJ     8      ^  '  2axJ        ds      s 


lim—  le'^dt 


weil  das  Glied 


-.e' 


27t  xi  s 

an  den  Integrationsgrenzen  verschwindet. 
Die  Entwickelung  von  logijs  gibt 


Damit  folgt  durch  Anwendung  von  17)  ähnlich  wie  in  dem  vorhergehenden 
Paragraphen,  wenn  man  bedenkt,  dass  ^g,,,^^ oy  v_. ^ wp. l^ 


242  Üeber  die  Anzahl  der  Primzahlen  unter  einer  beliebigen  Grenze. 


27tJ  8  2nxJ       ds    s  ^ 

—  00  — 00 

M  =  Cc  +  Ci  {J^X  —  logx)  _  c,a:  —  ^j  — ^  —  etc., 

wo  die  geeignete  Bestimmung  des  imaginären  Theils  der  Constante  c^  be- 
wirkt^ dass  das  Kesnltat,  wie  es  seiner  Natur  nach  sein  muss,  reell  wird. 

8- 
Um  die  Ausführung  der  im  Vorigen  angedeuteten  Entwickelung  zu  be- 
werkstelligen, construirt  Eiemann  einen  neuen  Ausdruck  für  die  Function 

{;«.  Setzen  wir  hierzu  in  Gleichung  Vi)nn^  statt  x  und  ^  statt  ^^  so  wird 


und  damit, 

22) 


^        /**  OD 


Bezeichnet  man  die  Summe  unter  dem  Integralzeichen  durch  if}Xj  und  re- 
ducirt  das  Integral  auf  das  Intervall  von  1  bis  6o,  indem  man  zwischen  den 
Grenzen  0  und  1  den  reciproken  Werth  von  x  als  Variable  einfahrt,  so  fblgt 

In  dieser  Formel  Iftsst  sieh  die  Function  ^(-^)  mittelst  einer  merk'» 
würdigen,  von  Cauchy  erfundenen,*)  durch  Jacobi  und  Abel  der  Theo- 
rie der  elliptischen  Functionen  einverleibten  Relation  zwischen  ^x  und  ^— 

wegschaffen. 

Die  a.a.O.  mehr  angedeutete  als  ausgeführte  Ableitung  Cauchy^s 
beruht  im  Wesentlichen  auf  folgenden  Schlüssen.  In  Gleichung  7  a)  des 
Art.  4  schreibe  man  nx  statt  x  und  bilde  die  Summe 


OD 


,       '^  00 

2t 
oder  wenn  man  die  fixponentialgrössen  sommirt,  und—  an  der  Stelle  von  t 

X 

einführt  : 


*)  Bulletin  de  la  socUU  phüomalique,  Aoui  1817,  p.  124. 

Digitized  by 


Google 


Von  Dr.  W.  Sobeibneb.  243 


——OD 

Lässt  man  auf  beiden  Seiten  dieser  Gleichung  n  über  alle  Grenzen  wach- 
sen, so  nähert  sich  nach  den  bekannten  nnd  vielfach  reproducirten  Unter- 
suchungen Dirichlet^s  das  Integral  demWerthe  der  Summe  n£(pl h 

während  auf  der  linken  Seite  Zf{nx)  über  alle  ArguHtentenwerthe  von  der 
Form  nx  auszudehnen  ist,  welche  zwischen  den  Grenzen  a  und  b  der 
Gleichung  7  b) 

b 


fx  er'**dx 


enthalten  sind.  Fällt  nx  mit  a  oder  b  zusammen,  so  ist  der  betreffende 
Functionswerth  halb  zu  nehmen.  Setzt  man  daher  xy=27t^  so  ergibt  sich 
die  bemerkenswerthe  symmetrische  Relation 

24)  yx£f{7ix)=yy2(p{ny) 

Um  zur  Function  i\fx  Überzugehen,  setzen  wir  zunächst  ^twas  allge- 
meiner als  Gauch 7 

und  dehnen  das  Intervall  von  a  bis  b  über  alle  reellen  Werthe  aus,  wodurch 

wird.     Die  Substitution  dieser  Werthe  in  24)  gibt 

25)  ■  X  £  er*^»^^^^  =  S  e    '        ^. 

Die  hier  bewiesene  Formel  rührt  von  Jacobi  her,*)  und  spielt  in  der 
Theorie  der  elliptischen  Functionen  eind  wichtige  Rolle  zur  Reduction  ifna- 
ginärer  Amplituden  auf  reelle.  Man  kann  sie  ohne  Schwierigkeit  auf  di- 
rectem  Wege  aus  der  Bemerkung  herleiten,  dass  die  Summe  auf  der  linken 
Seite  eine  periodiaehe  Function  von  h  mit  dem  Modul  x  ist,  denn  eine 
Aenderung  von«A  um  x  entspricht  einer  Yermehrung  des  Sumntenindex  n 
um  die  Einheit.     Jede  in  der  gedachten  Weise  periodische  Fanction  aber 

2hni 

lässt  sich  in  eine  nach  den  Potenzen  von  e  *  fortschreitende  Fourier- 
sche  Reihe  entwickeln ,  deren  Coefficienten  durch  bestimmte  Integr^e  ge- 
geben sind.  Die  Ausführung  dieser  Operation  ergibt  genau  die  oben  ge- 
fundene Formel.  > 


♦)  Fimdofitenta  nova  tK  fmct.  eil.  p.  165,  No.  9.  Digitized  by  GoOqIc 


^44  lieber  die  Anzahl  der  Primsahlen  unter  einer  beliebigen  Grenze. 


Canchj  betrachtet  in  seiner  üntersachnng  den  speciellen  Fall  A=0,*) 
welcher  sofort  auf  die  von  ans  anzuwendende  Kelation 

26)  x{l  +  2^fa:)  =  l+2^(^) 

fährt.  Dieselbe  zeigt  zugleich,  dass  für  abnehmende  Werthe  von  x  das 
Prodnct  2xri;{x)  die  Einheit  zur  Grenze  hat.  Durch  Differentiation  leitet 
man  leicht  die  Gleichung 

l  +  2ißX+2xflß'x= 5  V(— j 

ab,  welche  für  o:  =  1  sich  auf  die  einfachere  reducirt : 

27)  l  +  2t|;l-l-4yi  =  0. 

Eliminirt  man  jetzt  ^  (  —  j  in  der  Gleichung  23)  für  ^«,  so  erhält  man 

i       « 

oder  nseh  theilweiser  AasfUhmng  der  Integration 


28) 


*(*-!)  I7 


00 

-  [1  +  2s{s  —  l)l{x'-^  +  X-')  ilßx  dx\ 


Dieser  Ausdruck  ist  vor  Allem  dadurch  wichtig,  dass  seine  rechte  Seite 
einen  Sinn  behält,  auch  wenn  der  reelle  Theil  von  s  kleiner  als  1  ist,  und 
somit  eine  Definition  der  Function  is  für  jeden  beliebigen  complexen  Werth 
von  s  liefert.  Diese  Eigenschaft  fehlte  den  früheren  Ausdrücken  13)  und 
22),  in  denen  der  reelle  Thcil  von  s  die  Einheit  übersteigen  musste,  wenn 
die  Elemente  an  der  unteren  Integrationsgrenze  die  Werthe  der  Integrale 
nicht  unendlich  machen  sollten. 

Die  neue  Gleichung  zeigt  ferner,  dass  das  Product 

29)  ^(*-i)r|«-U5  =  |(*-i) 

seinen  Werth  nicht  ändert,  wenn  man  9  mit  1 — 8  vertauscht,  oder  was  das- 
selbe ist,  wenn  man  das  Zeichen  von  s — ^  umkehrt.**^)  Die  dadurch  ein- 
geführte Function 

*)  Vergl.  auch  PoissonimlO.  Hefte  des  Journal  de  Vieole  polyiechnique,  S.  420 ; 
C au c hy  im  2.  Bande  der  Extrcices  de  mnihSmatiques,  S.  141 — X^t ;  Ja cob  i  in  CrcUe^s 
Jonrnal,  III,  8.  307;  Ab  e  1  ebendas.  IV,  S.  03;  u.  s.  w. 

**)  Ein  hierher  gehöriges  Beispiel  hat  Schlömilch  gegeben ;  s.  Zeitsehr.  Jahrg. 
III,  S.  130,  wo  der  in  folgender  Formel  enthaltene  Satz  ausgesprochen  ist: 

Man  kann  die  analoge  Gleichung  hiniafügen: 

uigiTizea  oy  v_j  vy  v_7 'i  l v^ 


Von  Dr.  W.  Sghkibneb.  245 


30)  is=l  +  {2^-i)ßx'+x-')i,^^^ 

ist  folglich  eine  gerade  Function  von  Sy  und  lässt  sich  nach  den  aufsteigen- 
den Potenzen  von  s*.  entwickeln.  Es  bedarf  kaum  der  Bemerkung,  dass, 
wenn  durch  die  erwähnte  Vertauschung  von  s  und  1 — s  der  reelle  Theil 
des  Arguments  negativ  wird,  die  T-Function  nicht  mehr  als  Enler'sches 
Integral,  sondern  nach  Gauss  und  Bessel^)  allgemeiner  als  Grenze  dea 
unendlichen  Products 

.*       ,.  1,2.3....«  -j—i 


31)   r^==&fi «2-*  för  n=oo 

definirt  werden  muss. 


—  .—  +  1.—  +2...  —  +n  — 1 
2      2^        2  ^  2  ^ 


10. 

Die  für  is  und  |f  aufgestellten  Gleichungen  zeigen,  dass  beide  Func- 
tionen für  alle  endlichen  (complexen)  Werthe  des  Arguments  endlich  und 
eindeutig  bleiben;  nur  für  «=1  nähert  sich  das  Prodnct  {9 — 1)  f;s  der  Ein- 
heit (i;0  =  —  1),  während  fär  jede  gerade  negative  Zahl  i$  verschwindet 

s 
Letzteres  wird  durch  den  unendlich  werdenden  Factor  F-^v  herbeigefährt, 

während  gleichzeitig  ^(s — ()  '^^^  ^^^^  ^^^  Unendlich  verschieden  bleibt. 
Ausserdem  können  die  Functionen  ^s  und  ^($  —  \)  nur  verschwinden,  wenn 
der  reelle  Theil  von  s  kleiner  als  1  (und  positiv)  ist,  weil  entgegengesetzten 
Falles  log  is=z(ps  über  alle  Grenzen  wachsen  müsste,  w^  nnmöglich  ist, 
so  lange  die  Reihe  l)  convergirt.  Die  einander  entgegengesetzten  Wurzeln 
der  Gleichung  £f  =:0  müssen  daher  ihren  reellen  Theil  zwischen  +  ^  ha- 
ben, und  man  überzeugt  sich  leicht,  dass  keine  derselben  reell  sein  kann. 
Diess  folgt  z.B.  aus  dem  blossen  Anblicke  einer  von  Riemann  gege- 
benen Transformation  der  Gleichung  für  ^s  durch  zweimalige  partielle  In- 
tegration.    Man  erhält  ohne  Mühe  durch  Integration  nach  dem  Factor 

|5  =  l+2^1-(2^«-i)J,/;'^(^~-  — jdx. 

Wenn  man  jetzt  die  Function  unter  dem  Integralzeichen  in  die  beiden 
Factoren 


*)  Gans«  in  seiner  berühmten  Abhandlnnj^  über  die  bypergeometrische  BeS&e, 

▼om  Januar  1812;  Beisel  beschäftigt  sich  mit  dieser  Verallgemeinening  in  iwei  an 

01b  er  8  gerichteten  Briefes  vom  Mars  1811  nndJminfir  1812 ,  wo  die  Beieiehnung 

Fx  1 

Aar  für  hg und  (nach  Kramp)  F—  für  Slx'^x  —  (a?  ''i)logx  gebrancht  wird. 


246  Ueber  die  Anzahl  der  Primzahlen  anlor  einer  beliebigen  Grenze. 

;.>(ar)und^-^-— ^ 
sondert,  und  nach  dem  zweiten  partiell  integrirt,  so  wird 

Hier  verschwinden  die  ausserhalb  des  Integralzeichens  stehenden  GHeder 
vermöge  Gleichnng  27)  des  Art.  9,  und  man  erhält,  wenn  zur  Abkürzung 
die  zwischen  den  Grenzen  1  und  oo  beständig  positiv  bleibende  Function 

32)      S"«  =  4^  (x'^'x)  =  Snx^  2  (2««  wa:«  —  3)  ii«e-**«'* 

eingeführt  wird: 

3a,  ,.=/s«5:±£riJ 

1 

Zar  Batwickelung  nach  den  aufsteigenden  Potenzen  van  ^  hat  man 

zu  setzen ,  oder  wenn  man  die  von  n  abhängigen  Integrale  durch  4n  be- 
zeichnet,        "  • 

35)  |,  =  /,  +  ij/.^+i^,.^....  +  -L^,,^»+..., 

eine  r^sch  cbnvergirende  Reihe,  weil  ausser  den  Facultätencoefßcienten 
auch  die  Grössen  l^  mit  wachsendem  Index  eine  abnehmende  ßeibe  bilden* 
Da  nämlich  wegen  der  Exponentialfactoren  mit  negativen  Exponenten  in 
Sx^  die  Elemente  in  der  Nähe  der  unteren  Grenze  den  Haupteinfluss  auf 
den  Werth  dieser  Integrale  haben,  so  wird  die  Abnahme  derselben  durch 
das  Abnehmen  von  log'^'^x  für  Werthe  von  x  zwischen  1  und  e  bedingiK. 

11. 

Wie  im  Art.  7  gezeigt  worden ,  kommt  es  auf  die  Entwickelang  von 
' ^-^  nach  den  absteigenden  Potenzen  von  s  an.  Zufolge  des  Vorher- 
gehenden ist 

t 

36)  ,.  =  (,-.l)£.  =  -^.{(.-l) 
folglich 

/OJ»  tj*  =a  —  %»  —  %S  — /oyj"— + /0# g(«  —  ^) 
^  2 

und  hier  darf  man  nach  31)  uncl  35)  setzen  oigitizedbyGoOQlc 


Von  Dr.  W.  Soheibneb.  247 


%j(-|)=«».^o,[/.+  i..(.-i/+l/.(,-i;...+^-^,,.(,-if] 

oder  wenn  man  rick  das  Polynom  vom  Orade  2n  in  lineare  Factoren  aufge- 
löflt  denkt: 

37)  logHs~i)=lim\logj^  +  £log[{s-iy^Cn']\^ 

Die  Snmmation  bezieht  sich  auf  die  sämmtlichen  Wurzeln  <J|.S  welche  hier 
natürlich  Functionen  der  Zahl  n  sind ,  und  eventuell  erst  mit  wachsendem 
n  in  die  Wurzeln  der  Gleichung  |5  =  0  übergehen.  Die  Substitution  die- 
ser Werthe  ergibt 

38)  %ij»  =  /i«[|%J-/oi^2  +  %^  + J%(7:i|"-<i.«) 
und  mit  Hülfe  dieses  Ausdrucks  lässt  sich  der  Werth  des  Integrals 

39),    u==^  f^iognsä,^:.--!-  (l4!2£niat 

'  2nJ     s  '  2nxt/        ds      s 

—00  — OD 

ermitteln. 

Wir  beginnen  mit  der  auf  o  bezüglichen  Summe  und  setzen 

^2!ogs-^ittk±ltz^.  ■  . 

w— 1  m**" 

wen^  man  den  reellen  Theil  von  s  grösser  nimmt,  als  den  Modul  von  4  +  ü. 

Dieser  Annahme  steht  Nichts  entgegen,  da  nur  die  Bedingung  festgehalten 

werden  muss,  dass  der  reelle  Theil  von  5  >  1  ist.  Im  Integral  u  entspringen 

hieraus  nach  dem  Früheren  die  Glieder 

2  (n  -  %*)  - Zjj^  [(4+a)-+(4_a)-]. 

Der  Definition  des  InUgrallogarithmus  zufolge  ist  aber 

SO  dass  wir  die  Summe  schreiben  können 

Hier  dürfen  die  beiden  «rsten  Glieder  weggelasseu  werden ,  weil  für  5  =  1 
aus  37)  und  30)  *  . 

sefonden  wird,  ihre  Summe  sich  also  mit  wachsendem  n  der  Null  n&hertlp 

*»  '  uigiüzea  Dy  x_j  Vv'v^'S^lv^ 


248  Ueber  die  Anzahl  der  Primzahlen  nüter  einer  beliebigen  Grenze. 

Da  nach  Art.  10  die  Wurzeln  c  nicht  reell  sein  können  ,  se  werden 
durch  die  entwickelte  Summe  von  Integrallogarithmen  im  Ausdruck  fttr  u 
periodische  Glieder  mit  wechselnden  Vorzeichen  erzengt , .  deren  Werthe 
Übrigens  reell  sein  mflssen.  Diess  ist  ohne  Weiteres  ersichtlich,  sobald 
die  Wurzeln  der  Gleichung  {«  =  0  die  Form  0=scrt  haben;  aber  auch  im 
Falle  <r=::=ao-|-ai  ist,  muss  sich  das  Imagin&re  wegheben,  weil  neben  o 
auch  01  =  «0  —  ai  die  Gleichung  erMlt.  Riemann  hält  es  indessen  für 
sehr  wahrscheinlich,  dass  «o  stets  verschwindet. 


12. 

Die  aus  der  Ffunction  entspringende  Summe  lässt  sich  ganz  analog 
behandeln, 

WO  wiederum  dafür  zu  sorgen,  dass  der  reelle  Tbeil  von  *>2m  sei.  Dann 
g^bt  die  Integration  die  Reihe 

40)  r«,==  r'l  — %  {2mx)  —  f  (— 1)«  ^lü!^^ 

«=1  n .  n  I 

welches  Aggregat  als  der  negative  Werth  des  zum  Argumente  «""*•**  gehö- 
rigen Integrallogarithmns  durch  das  bestimmte  Integral  ' 

00 

.       41)  ^'-^V^'^^'T 

ausgedrückt  werden  kann.  Will  man  diesen  Satz  nicht  als  bekannt  voraus- 
setzen, so  erhält  man  den  Beweis  sofort  durch  die  Betrachtung,  dass  v^  als 
die  Grenze  angesehen  werden  kann ,  welcher  sich  mit  abnehmenden  i»  das 
Integral 


jo  j» 


W  SB 


X  0  0  0 

nähert.     Fülirt  man  die  Integration  aus,  so  folgt  der  Werth 

dessen  Identität  mit  40)  durch  eine  leichte  Rechnung  erhellt. 

Es  bleibt  die  Summation  in  Bezug  auf  m  auszuführen«    Han  erhält 


X  X 

wo  der  Uebergang  zur  Grenze  für  »  =  00  von  selbst  klar  ist.   Was  endlieh 
die  beiden  Glieder  uigmzeaoy  ^^OOQl^ 


VoD  Dr.  W.  Scheibner.  249 


s  ,     n 
-log--  —log2 

im  Ausdrucke  für  logt^s  bätrifTt,  flo  hat  das  erstere  nach  Art.  7  auf  den 
Werth  des  Integrals  u  keinen  Einflnss,  während  das  zweite  unverändert 
übergeht.     Fasst  man  daher  die  gefundenen  Ausdrücke  zusammen,  so  wird 

1     Pe"  r      1       dx 

—  Mm  £  [Li  ^  (4  +  <^)  +  £i  e^  (4"-*)] 
ü 
und  durch  Vereinigung  mit  dem  Resultate  des  Art.  6 : 

43)  fx  =  Li  (^)  —  lim  2  [Li  e^  (* + ^)  +  Li  e^  (4  - *)] 


r    dx 

J  arCe-'  — ] 


-0.69314718 


:(e''-l) 

X 

Dieser  Ausdruck  stimmt  mit  dem  von  Riemann  gegebenen  überein,  wenn 
man  zufolge  der  am  Schlüsse  des  vorigen  Artikels  gemachten  Bemerkung 
c  durch  ai  ersetzt,  und  ausserdem  x  statt  ^  schreibt;  dass  hier  log  \  an  die 
Stelle  von  log  J  (0)  =  —  0.69892  bei  Riemann*)  getreten  ist ,  mag  seinen 
Grund  in  der  verschiedenen  Bedeutung  der  auf  die  Wurzeln  tf  bezüglichen 
Summen  haben.  Man  weiss  durch  Dirichlet,**)  dass  die  Summen  gewis- 
ser unendlichen  Reihen  von  der  Anordnung  ihrer  Glieder  abhängen :  nach 
dem  Vorigen  ist  £c  als  die  Grenze  zu  betrachten,  welcher  sich  die  auf  die 
Wurzeln  <y„  einer  Gleichung  vom  2»ten  Grade  bezügliche  Summe  bei  wach- 
sendem n  nähert,  während  bei  Riemann  die  Wurzeln  a  der  Gleichung 
1^  =  0  ihrer  Grösse  nach  geordnet  sind. 

J3. 

Nachdem  der  Werth  des  Integrals  9) 

00 

fx  =  —  ("^e^dt 
'  2nJ     s 

*  —00 

ermittolt  worden,  bleibt  noch  der  Werth  der  Function  8) 

00 

^    '       2nJ    s      , 

00 

00 

=r-  /[<p^  — 49(20 -i9>(3*)--i>(5«)  +  ..]^rfr 


*)  Zur  Vermeidung  von  Missverständnissen  mag  hier  bemerkt  werden,   dass 
Riemann's  Function  J(*)  nach  unserer  Boseichnung  durch  i|(/i)  ausgedrückt  wird. 
♦♦)  Abhandl.  der  Berliner  Akademie  für  i837,  p.  48.  uigiiizea  oy  v_j  wv^r-^lC 

ZeiUchrift  f.  Malhemalik  a.  Physik.  V.  17 


250  Ueber  die  Anzahl  der  Primzahlen  unter  einer  beliebigen  Grenze, 
aufzusuchen.     Dieser  ergibt  sich  infolge  der  Relation 

\n/       Inj    s  %nj       9 

—  00  — 00 

wenn  der  reelle  jrheil  von   «   grösser   als  n  genommen  wird ,  durch  die 
Gleichung 

44)n.')=A-u(f)-lr(f)-iKf)+*Kl)T- 
Wenn  man  eine  solche  Summe  dorch  Sfx  bezeichnet,  so  wird 

45)  F(e')  =  5Zi  e'— /fmS2;[Zie«(4  +  ^)  +  Zfß^^i--*)]  +  (—  S  -^-?— ; 

(f  ^    O    X     e^' — 1 

das    constante  Glied   verschwindet,    weil   nach    einem   bekannten   Satze 
Eulor's*) 

46)  0  =  l-J-i-i  +  J~f +  ,V-... 
Untersucht  man  die  Summen  der  Reihen 

S logx  =  logx  —  \ log  j-^^log  j—^log -  +  ^log -  . .. 

-=— *(f)"-i(f)-*(irH-*(fr- . 

so  ist  leicht  zu  sehen,  dass  die  erste  verschwindet.     Denn  offenbar  ist  für 
abnehmende  Werthe  von  o 

S%a:  —  Am  [(1  —  J  — J..) /oöTo; +/oflf  ^-— —  l^j-;^ 
oder  was  wegen  46)  dasselbe  ist, 

47)  Slogx=ilim[—log{l  —  €i)±llog(l  —  af)+\log{l--o/)..]===:!imio==0 
zufolge  der  im  Art.  3  angeführten  Möbius^schen  Urakehrungsformel.**) 
Für  die  zweite  der  obigen  Reihen  erhält  man 

-  S  Ä-  =  a:«"  Fl ^ ^ ^  +  — ^ .  .1 

L         2"»+*       3**+*       5"+*       6"+*    J 

und  da  Euler**'^)  die  in  der  Parenthese  enthaltene  Summe  dem  recipro- 

ken  Werthe  der  Summe 

gleich  gefunden  hat: 

48)  .  Saf^  =  —^^ 

f  (ot  -h  1) 

Nach  der  Definitionsgleichung  des  Art.  6  aber  ist 


♦)  Inirod.  in  aned.  infin.  /,  §.  277. 

•*)  C  r  e  1 1  e  'ö  Journal,  IX,  p.  1 1 9,  Nr.  10 ;  vorgl.  T  h  om  a n  in  den  Comptes  rendtts 
der  Pariser  Akademie,  nebst  Bericht  von  Cau  ohj,  Bd.  30,  B.  IG'i.       ^ 

**♦)  Introd.  in  anal,  infin.  /,  §.  276.  ^jigiizea  oy  ^OOglC 


Von  Dr.  W.  Scheibner.  251 


Li{e')=ziogx—r'l+  2  ~ 


folglich 


49)  5Zi(^)  =  £  -— rn-XTT  =^^- 


Um  endlich  auch  das  Integral 


A 


^s-   ' 


X 

auf  die  Function  A  zu  feduciren,  bilde  man  die  Summe  Sv^^  mit  Rücksicht 
auf  die  Gleichung  40/41)  des  Art.  12.     Diese  gibt  sogleich   . 

50)  Sv^=SJer-^'"—=  —  ^i—2mx), 

X 

welcher  Werth  wie  »„,  und  «— 2*»x  mit  wachsendem  Argumente  sich  der  Null 
n&hern  muss.     Damit  wird 


51)  Fifi')  =Ax  —  Um  1  [A  {\  +  c.x)  +  A  (\—a.x)]  —  £  A{—2mx) 
«  01=1 

14. 

Reihen,  durch  welche  unstetige  Functionen  ausgedrückt  werden,  lassen 
sich  im  Allgemeinen  nicht  dififerentiiren.  Ein  einfaches  Beispiel  für  diesen  Satz 
liefern  z.B.  die  Fouri  er 'sehen  Reihen,  welche  eine  unstetige  Function  dar- 
stellen und  bei  der  Dififerentiation  zu  convergiren  aufhören.  Wenn  man  die 
Function  F{e*)  dififerentiirt ,  deren  Werth  seiner  Bedeutung  nach  constant 
bleibt,  so  lange  logx  zwischen  zwei  aufeinander  folgenden  Primzahlen  liegt, 
so  muss  die  Derivirte  stets  verschwinden,  und  nur  an  der  Stelle  unendlich 
oder  unbestimmt  werden,  wo  logx  einer  Primzahl  gleich  ist.  Wollte  man 
daher  die  rechte  Seite  der  im  Vorigen  für  F^e*)  aufgestellten  Gleichung  in 
ihrer  Totalität  differentiiren ,  so  würde  sich  die  auf  die  Wurzeln  c  bezüg- 
liche Summe  keiner  Grenze  mehr  nähern.  Beschränkt  man  diese  Summe 
aber  auf  eine  endliche  Anzahl  von  Gliedern,  so  lässt  sich  die  Derivirte  un- 
seres Ausdrucks  bilden,  und  erhält  eine  bestimmte  Bedeutung.-  Man  kann 
dieselbe  dann  als  einen  genäherten  Ausdruck  für  die  Dichtigkeit  der 
Primzahlen  von  der  Grösse  e*  ansehen,  und  findet  leicht,  wenn  man  von 
der  Bezeichnung 

52)  ^,  =  ,^(,)=£__^^ 
Oebrauch  macht: 

53)  F'{e*)  =  —  lEx  —  £[E{T+J.x)+E(P^.x)]-ZE{-2mx)\. 

X  ff  m 

Kehrt  man  zur  Function  fx  zurück,  so  geht  Ex  in  c*  über^gfli^  ^^  ,e;;feW4e 


252  Ueber  die  Anzahl  der  Primzahlen  etc.    Von  Dr.  W.  Scheibner. 

-  54)  «-*/^(;c)  =  i  [i-e-4^ .£(««'  +  «-«') -p^£^J, 

einen  angenäherten  Ansdrnck  für  die  Dichtigkeit  der  Primzahlen  +  der 
halhen  Dichtigkeit  der  Primzahlquadrate  +^  von  der  Dichtigkeit  derPrim- 
zahlcuben  n.  s.  w.  von  der  Grösse  e*^  dem  Kesnltate  Riemann's  (a.  a.  O. 
S.  679}  entsprechend. 

Was  die  im  Vorigen  angewandten  Functionen  Ax  and  Ex  betrifft,  so 
ist  die  Bemerkung  vielleicht  nicht  überflüssig,  dass  wenn  dieselben  auch 
durch  stets  convergirende  Reihen  defiuirt  worden  sind,  doch  die  numerische 
Berechnung  füc  eintgermassen  grosse  Werthe  des  Arguments  danach  so 
wenig  ausführbar  erscheint,  wie  etwa  die  directe  Summitung  der  Exponen- 
tialreihe  für  hohe  Exponenten.  Um  so  weniger  lassen  sich  daher  die  Werthe 
von  Summen  wie 


2;^(4  +  tf.a:),  £A{—2mx),  £E{^±a.x),  £E{—2mx) 
durch  directe  Rechnung  finden,  und  es  müsston ,  falls  dieses  beabsichtigt 
würde,  die  gegebenen  Ausdrücke  vorher  geeigneten  analytischen  Transfor- 
mationen unterworfen  werden.  Ueberhaupt  aber  können  Reihen,  welche 
unstetige  Functionen  wie  Fx  und  fx  darstellen,  wenigstens  in  der  Nähe  der 
Sprungstellen  ihrer  Natur  nach  nur  eine  unendlich  geringe  Convergens 
besitzen. 


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X. 

Die  Fimdamente  der  Elektrodynamik, 

nach  den  neuesten  Untersuchungen  bearbeitet 
von  Dr.  Emil  Kahl. 


§.  I    Bmltitiuig. 

Es  ist  bekannt,  dass  Oerstedt  im  Jahre  1820  die  Eigenschaft  des  gal- 
Tanischen  Stromes  entdeckte,  unter  geeigneten  Verhältnissen  eine  in  seiner 
Nähe  befindliche  Magnetnadel  abzulenken.  Diese  Entdeckung  war  flir  die 
Wissenschaft  von  den  erheblichsten  Folgen;  sie  regte  die  Physiker  an,  aaf 
dem  Wege  des  Versuches  Beziehungen  zwischen  Magnetismus  und  Elektri* 
cität  aufzusuchen  und  hatte  eine  Reihe  der  glänzendsten  Entdeckungen  in 
ihrem  Gefolge.  80  fanden  zunäclist  Laplace  und  Ampere  aus  den  vor- 
handenen zahlreichen  Beobachtungen  das  Gesetz  der  Einwirkung  eines 
Stroraelementes  auf  ein  magnetisches  Theilchen,  ein  Gesetz,  welches  nach- 
trügÜch  noch  oft  durch  die  Beobachtungen  der  Physiker  bestätigt  wurde. 
Nioht  lange  nach  Oerstedt's  Entdeckung,  noch  im  Jahre  1820,  zeigte 
Arago,  dftss  man  durch  galvanische  Ströme,  sowie  durch  den  Entladungs- 
strom  der  Leidener*Flasche  solche  Körper  magnetisch  machen  könne,  die 
überhaupt  fähig  sind,  Magnetismus  aufzunehmen.  Physiker  und  Techniker 
haben  diese  Endeckung  weiter  verfolgt  und  wenn  auch  die  Wissenschaft 
noch  manches  Resultat  im  Gebiete  des  Elektromagnetismus  zu  erwarten  hat, 
so  haben  doch  Oerstedt 's  und  Arago 's  Entdeckung  unter  anderm  die 
unberechenbar  wichtige  Folge  gehabt,  dass  man  die  Aufgabe  der  Telegra- 
phie  aufs  Neue  aufnehmen  und  in  befriedigender  Weise  lösen  konnte. 

Zwei  andere  Entdeckungen,  welche  derjenigen  Oerstedt^s  folgten, 
sind  noch  besonders  hervorzuheben.  Die  eine  von  Ampere  herrührend, 
constatirte  dessen  Vermuthung,  dass  Stromleiter  gegen  einander  ebenso 
Ansiehung  und  Abstossung  ausüben  möchten,  als  Stromleiter  auf  Magneten 
einwirken,  die  andere  Entdeckung  geschah  durch  Faraday  und  zeigte, 
dass  die  Aenderung  der  Stromstärke  in  einem  Leiter  oder  die  Bewegung 
desselben  in  der  Nähe  eines  neutralen  Electricitätsleiters  in  letzterem  einen 
Strom  iudueirt.     Ampfere's  Entdeckung  fällt  in  das  Jahr  1820,  die  Eutric 


254  Die  Fundaraente  der  Elektrodynamik. 

decknng  der  Voltainduction  von  Faradayin  das  Jahr  1831.  Beiden  Eni« 
deckungen  folgten  die  Arbeiten  der  vorzüglichsten  Gelehrten  über  die  ge- 
nannten Gegenstände  und  es  sind  deren  Bemühungen' von  einem  solchen 
Erfolge  gekrönt  worden ,  da^s  die  erhaltenen  Resultate  unser  Interesse  in 
hohem  Grade  in  Anspruch  nehmen  müssen.  Zunächst  war  es  Ampere 
selbst,  welcher  aus  seinen  Versuchen  mit  grossem  Scharfsinne  das  Gesetz 
auffand,  nach  welchem  die  Wirkungen  der  Elemente  von  Sfromleit^rn  auf 
einander  sich  richten.  Dann  hat  Lenz  auf  seine  eigenen,  auf  Faraday^s 
und  No biliös  Arbeiten  fusacnd,  ein  Gesetz  bekannt  gemacht,  nach  welchem 
die  Richtung  derlnductionsströme  aus  den  obwaltenden  Umständen  bestimmt 
werden  kann.  Hierauf  hat  endlich  Neu  mann,  auf  den  Satz  von  Lenz 
und  auf  andere  Erfahrungsresultate  bauend ,  allgemeine  Sätze  über  die  In- 
duction  in  Leitern  entwickelt  und  dadurch  sehr  schätzbare  Beiträge  zur 
Lehre  von  der  Induction  geliefert. 

Der  innere  Zusammenhang  unter  allen  Femewirkungen,  die  nothwen- 
digen  Beziehungen  von  Arap6re^8  electrodynamischen  Erscheinungen  mit 
den  Inductionserschemungen  und  mit  den  statischen  Wirkungen  der  Elck- 
tricität  sind  aber  durch  di^  Arbeiten  von  Wilhelm  Weber  In  einer  so 
befriedigenden  Weise  aufgedeckt  worden,  dass  die  Wissenschaft  diesem 
ausgezeichneten  Gelehrten  zu  grossem  Danke  verpflichtet  sein  mnss.  Dem 
genannten  Gelehrten  gelang  es,  denjenigen  obersten  Grundsatz  der  Elek* 
tricitätslehre  aufzufinden,  aus  dem  sich  alle  bekannten  Erscheinungen  rein 
elektrischer  Natur  —  vielleicht  mit  alleihiger  Aufnahme  der  elektrischen 
Molekular  Wirkungen  —  ableiten  lassen.  Von  Webeir  und  dem  leider 
zu  früh  verstorbenen  Kohlrausch  sind  noch  vor  Kurzem  die  letzten  Ar* 
beiten  vollendet  worden,  die  die  Vollständigkeit  erforderte,  die  BestimmuBg 
einer  noch  fehlenden  Constanten  im  elektrischen  Grundgesetze.  Es  ist  nuD 
der  Zweck  vorliegender  Arbeit,  die  meist  in  einzelnen  Gesellschaftascbrif- 
ten  zerstreuten  Arbeiten  von  Weber,  Kohlrausch,  Neumann  etc.,  in- 
sofern sie  sich  auf  Wirkung  von  Elementen  gegen  Elemente ;  auf  die  Wir« 
kung  von  geschlossenen  Leitern  gegen  Elemente  und  auf  die  Bewegung  der 
Elektricität  in  geschlossenen  Leitern  in  denjenigen  Fällen  beziehen,  wo 
das  Ohm 'sehe  Gesetz  noch  gilt,  in  möglichst  kurzer  und  übersichtlicher 
Darstellung  wiederzugeben. 

§•  2.  Weheres  experimentelle  Prüfung  des  Oesetzea  von  Amp^rar 

Ampere  hatte  sein  Gesetz  nicht  aus  genauen  Messungen  der  Wechsel- 
wirkungen von  Stromleitern  auf  einander  abgeleitet,  namentlich  weil  die 
Gonstruction  eines  zu  Messungen  geeigneten  Apparates  grosse  Schwierig-* 
keiten  darbot.  Sein  Apparat  gestattete  den  Leitern  wegen  nicht  ausge- 
glichener Reibung  keine  vollkommen  freie  Beweglichkeit ,  an  diesem 
mangelhaften  Apparate  nun  beobachtete  der  geistreich«  Forscher  in  ein- 
zelnen   Fällen    das    Ausbleiben   von   elektrodynamischen  ^r^chdip^ngen 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  255 


und  gelangte  durch  deren  Dkcttseion  zu  dem  bekannten  Gesetse,  welches 
nach  ibm^  als  Entdecker,  benannt  worden  ist.  Da  nun  dieses  Gesetz  aus 
so  mangelbaflen ,  bei  dessen  Publication  nicht  einmal  hinlänglich  beschrie- 
benen Beobachtungen  abgeleitet  worden  war,  so  fand  sich  Weber  veran- 
lasst, dasselbe  einer  genauen  exp  crimen  teilen  Prüfung  zu  unterwerfen.*) 
Ehe  diese  Prüfung,  welche  das  genannte  Gesetz  vollkommen  bestätigte, 
hier  ausführlich  erörtert  werden  wird,  möge  vorerst  der  Vollständigkeit 
wegen  Ampite's  Gesetz  selbst  seine  Mittheilung  finden. 

Die  Bewegung  des  elektrischen  Stromes  in  dünnen  Drähten  darf  bei 
den  Fernewirkungen  des  Stromes,  ohne  einen  Fehler  von  bemerkbarer 
Grösse  zu  begehen,  so  in  Eechnong  gezogen  werden,  als  ob  dieselbe  nur  in 
einer  im  Drahte  enthaltenen  Linie,  etwa  z.  B.  in  dessen  Achse  stattfinde. 
Auf  die  Rechnung  hat  diese  Vorstellung  keinen  schädKchen  Einfluss,  sobald 
nur  die  Dicken  der  aufeinander  einwirkenden  durchströmten  Drahtelemente 
sehr  klein  gegen  die  Entfernung  der  Drahtelemente  von  einander  sind.  Die 
gedachte  Vorstellung  bleibt  jedoch  immer  unrichtig ,  denn  eine  Bewegung 
der  strömenden  Elektricitäten  in  einer  und  derselben  Curve  ist  nicht  denk- 
bar (s.S. 4).  —  In  dem  Ausdrucke  I.  des  Gesetzes  von  Ampere  bedeuten: 
^       da  und  ds'  die  Längen  der  Achsen  zweier  vom  Strome  durcbfiosse- 
nen  Drahtelemente, 
t  die  Stromintensität  des  durch  df,  t' die  Stromintendität  des  durch 
ds'  hindvrehfliessenden  Stromes,   beide  Intensitäten  nach  einem 
und  demselben,  sonst  aber  beliebigem  Masse  gemessen, 
r  sei  die* Entfernung  von  der  Mitte  von  ds  bis  zur  Mitte  von  ds\ 
S  sei  der  Winkel,  welchen  die  Richtung  des  Stromes  in  ds  mit  der 
Geraden  r  bildet.     Als  Richtung  von  r  kann  man  entweder  die 
Richtung  von  ds  nach  ds'  oder  die  Richtung  von  ds'  nach  ds  an- 
sehen.   Es  bleibt,  wie  der  später  folgende  Ausdruck  des  Ampere- 
schen  Gesetzes  gleichgültig  zeigt,  für  welche  der  beiden  Richtun- 
gen man  sich  entscheidet,  beide  führen  zu  demselben  Werthe  der 
Einwirkung  von  ds  auf  ds\ 
ß'  sei  der  Winkel,  weldien  die  Richtung  des  Stromes  in  ds'  mit 

der  Richtung  der  Linie  r  bildet, 
s  sei  der  Winkel  zwischen  den  Richtungen  des  Stromes  ds  und  ds'. 
Die  abstossende  oder  anziehende  Kraft,  welche  ds  auf  ds'  ausübt,  ist 
jederzeit  derjenigen  gleich,  welche  ds'  auf  ds  ausübt  und  erfolgt  immer  in 
der  Verbindungslinie  r  beider  Elemente.     Die  Grösse  dieser  Kraft  ist: 

I)  — f^.'-^dsds'^cosi  —  \cosBcose^). 

Ein  positives  Vorzeichen  dieses  Ausdruckes  bedeutet  eine  abstossende,  ein 
negatives  Vorzeichen  eine  anziehende  Kraft. 


*)  Weber,  elektrodynamische  Massbestlmmungen.    Leipsig,  1840. 

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256  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

Es  ist  in  obigem  Ansdracke  k  eine  Constante,  die  nur  abkängig  Ist  von 
den  Stroromaasen  und  von  den  Längemaasen,  in  denen  ds^  ds  und  r  aus« 
gedrückt  sind.  Der  Werth  der  Constanten  k  Iftsst  aick  aus  gewiss^oi  Be- 
ziehungen zwischen  Elektromagn^tlsmns  und  Elektrodynamik  für  den  Fall 
bestimmen»  wo  i  und  t"  in  dem  sogenannten  magnetischen  Maase  ausge- 
drückt sind.  Wie  diese  Bestimmung  von  k  ausgeführt  werden  kann  und 
zu  welchem  Resultate  sie  führt ,  soll  hier  schematisch  angedeutet  werden, 
wobei  die  Maassysteme,  deren  Kenntnks  hierbei  erforderlich  ist,  kurz  an« 
gegeben  werden  mögen* 

Die  Einheit  der  absoluten  Kraft  ist  diejenige,  welche  der  Masse  von  I 
Milligramm  (=3  1  KubikmHlimeter  Wasser  von  4^  C.)  in  einer  Secnnde  mitt* 
lerer  Zeit  die  Beschleunigung  von  1  Millimeter  ertheilt.  Die  Einheit  des 
freien  Magnetismus  ist  diejenige  Menge,  welche  auf  die  ihr  gleiche  Menge 
in  der  Entfernung  von  1  Millimeter  die  abstossendo  absolute  Kraft  1  ausübt. 
Die  Einheit  d  es  nördlichea  Magnetismus  übt  auf  die  Einheit  des  südlichen  Mag*- 
netismus  in  der  Entfernung  von  1  Millimeter  die  anziehende  Kraft  1  aus.  Ein 
Magnetstab  von  cylindrischer  oder  parallelopipedischerForm,inwelehemder 
Magnetismus  um  die  Achse  herum  ebenso  gleichmässig  vertheilt  ist,  als  von 
seiner  Mitte  aus  nach  seinen  Polen  hin  der  südHche  und  nördliche  Magnetis- 
mus gleichmassig  vertheilt  ist,  hat  eine  magnetische  Achse,  welche  mit  seiner 
geometrischen  Achse  susammenfallt.  Ein  solcher  Magnetstab  besitzt  die  Kraft 
M^  wenn  derselbe  auf  einen  andern,  ihm  ganz  gleichen  iü  beliebiger  Stellung 
festgehaltenen  Magnetstab  in  einer  Entfernung,  die  beiden  Längen  vielmals 
übersteigt,  ein  ebenso  grosses  Drehungsmoment  ausübt,  als  t^^un  beide  durch 
folgende  ideale  Magnete  ersetzt  würden.  Die  idealen  Magnbte  sind  ^gerade 
Linien  von  1  Millimeter  Länge,  an  dem  einen  Ende  die  Menge  M  von  nörd- 
lichem, am  andern  Ende  die  Menge  iüf  von  südlichem  Magnetismus,  diese 
geraden  Linien  von  1  Millimeter  Länge  muss  man  sich  mit  ihren  Mittel- 
punkten und  ihren  Richtungen  mit  den  Mittelpunkten  und  Achsen  der  wirk- 
lichen Magnete  zusammenfallend  denken.  —  Man  erhält  die  Stromstärke 
eines  galvanischen  Stromes  in  magnetischem  Maase  ausgedrückt,  wenn 
man  1)  das  Drehungsmomjnt  in  absoluten  Krafteinheiten  durch  den  Ver- 
such bestimmt,  welches  der  geschlossene,  kreisförmig  geleitete  Strom  auf 
einen  Magneten  von  bekannter  Kraft  K  aus  einer  Entfernung  hervorbringt, 

die  so  gross  ist,  dass  das  Verhältniss  ~  der  Länge  des  wirklichen  Magneten 

R 

zur  Entfernung  R  in  seiner  zweiten  und  in  den  höhern  Potenzen  als  sehr 
klein  vernachlässigt  werden  darf,  wobei  R  die  kleinste  Entfernung  bedeutet, 
welche  zwischen  irgend  einem  Punkte  des  Magneten  und  des  Stromleiters 
stattfindet.  Dieses  durch  den  Versuoh  bestimmte  Moment  sei  H.  2)  Indem 
man  sich  an  die  Stelle  des  wirklichen  Magneten  den  idealen  Magneten 
von  der  Kraft  K  eingesetzt  denkt,  berechnet  man  nun  nach  folgendem  be- 
kannten Gesetze  und  in  folgender  Weise  die  Einwirkung  des  kreisförmigen 

uigiüzea  oy  x_j  v^v_/pc  lv. 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  257 

Leiters  auf  den  Magneten.  Das  Gesetz  ist  dieses:  ein  Stromelement  von 
der  Lunge  ds  und  der  Intensität  t  wirkt  in  der  Entfernung  r  anf  ein  nord- 
oder  Süd  magnetisches  Element  von  der  absoluten  in  dem  vorhin  angegebe- 
nen Maase  gemessenen  Stärke  mit  der  Kraft  c*  ~  sind  .  ds  ein,   wobei  ö 

der  spitse  Winkel  ist,  den  das  Element  ds  mit  der  Linie  r  einschliesst  nnd 
c*  eine  Constante  bedeutet,  die  erst  eimüi  bestimmten  Werth  erhalten  kann, 
wenn  das  Liingenmaas,  Intensitätsmaas  des  Stromes  und  Kraftmaas  be- 
stimmt ist.  Die  Kraft,  mit  der  m  bewegt  wird,  ist  rechtwinklig  gegen  die 
durch  m  tind  ds  gelegte  Ebene  und  ausserdem  so  gerichtet,  dass  ein  mit 
dem  Strome,  Kopf  voran,  schwimmendes  Phantom  die  Ablenkung  von  m 
nach  links  erfolgen  sehen  würde,  wenn  m  ein  nordmagnetisehe»  Theilchen 
wAre ,  jedoch  nach  rechts ,  wenn  m  ein  sttdmagnetisches  Theilchen  wäre. 
Bei  dieser  Berechnung  drückt  man  alle  Entfernungen  in  Millimetern  aus  und 
erhält  dann  für  das  auf  den  Magnet  K  ausgeübte  Drehungsmoment  einen  Aus- 
druck, in  welchem  nur  t  und  c  als  Unbekannte  vorkommen,  etwa  den  Aus- 
druck /*(t,  c).  Setzt  man  nun,  indem  man  das  Versuch sresut tat  berücksichtigt: 

so  erhält  man  i  durch  AuflöHung  dieser  Gleichung  etwa  in  der  Form 

Die  Gonstante  c  darf  mau  willkührlich  Wählen,  denn  hat  man  eine  beliebige 
Wahl  getroffen  nnd  nun  t  in  reinen  Zahlen  erhalten,  so  müsste  dann  die 
nochmalige  Berechnung  des  Drehungsmomentes  stets  den  Werth  H  für  das- 
selbe ergeben.  '*Das  Maas,  in  welchem  man  t  ausgedrückt  erhält,  wenn  man 
c=:l  setzt,  nennt  man  das  magnetische  Maas  des  elektrischen  Stromes, 
•  für  welches  sich  übrigens  noch  andere  im  Wesen  mit  der  Vorigen  tiberein- 
stimmende Definitionen  auffinden  lasi^en. 

Nachdem  diese  eigentlich  als  bekannt  vorausgesetzten  und  nur  der 
Deutlichkeit  «nd  Vollständigkeit  halber  wiederholten  Maaserklärungen  Platz 
gefunden  haben,  möge  nun  die  Thatsache  mitgetheilt  werden,  die  zur  Be- 
stimmung von  k  führt,  sobald  man  t  und  t'  in  Amp^re^s  Gesetz  in  mag- 
netischem Strominte nsitätsm aase  ausdrückt.  Man  denke  sich  in  ganz  be- 
stimmten Stellungen  zwei  Magneten,  deren  magnetische  Kräfte  if  und  iT' 
als  bekannt  vorausgesetzt  werden ,  in  einer  so  grossen  Entfernung  r  ihrer 
Mittelpunkte  von  einander  aufgestellt ,  dass  die  Verhältnisse  ihrer  Längen 

l  l\ 

zu  r,  nämlich  —  und  —  in  der  zweiten  und  höheren  Potenz  vernachlässigt 
t  r  r 

werden  dürfen.  Denkt  man  sich  an  der  Stelle  von  K  und  K'  in  der  früher 
angegebenen  Weise  die  idealen  Magneten  von  gleicher  Wirkung  aufgestellt, 
so  kann  man  nun  das  Drehungsmoment,  welches  der  eine  auf  den  andern 
ausübt,  berechnen.  Nun  möge  man  sich  votstellen,  K  würde  weggenommen 
und  an  dessen  Stelle  ein  constanter  Kreisstrom  eingesetzt,  dessen  Mittel- 
punkt und  Achse  mit  dem  Mittelpunkt  und  Achse  von  K  7^^%^^^^^i^i^3^^ 


258  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

der  auf  K'  dasselbe  Drehaogsmoment  ausübt,  als  K  auf  K\  Die  Stärke  S 
dieses  Stromes  kann  man  bei  beliebig  angenommenen  Radins  i?  desselben 
dem  Früheren  zufolge,  in  magnetischem  Maase  ausgedrückt,  berechnen. 
Hierauf  denke  man  sich  den  Magnet  K  wieder  an  seine  Stelle  gesetzt,  aber 
•  K'  hinweggenommen  und  in  derselben  Weise,  wie  vorhin  angegeben  wurde, 
durch  einen  Kreisstrom  S'  von  beliebigem  Radius  B,  ersetzt.  Die  awischen 
Elektromagnetismus  und  Elektrodynamik  bestehende  Beziehung,  wekhe 
zur  Bestimmung  von  k  führt,  ist  nun  folgende : 

Werden  K  und  K'  zugleich  entfernt  und  an  ihre  Stelle  die  sie  vertre- 
tenden Ströme  S  und  S'  gesetzt,  so  übt  jeder  auf  den  andern  dasselbe  Dreh- 
ungsmoment aus,  als  der  entsprechende  Magnet  auf  den  andern  ausgeübt 
haben  würde.  Die  Berechnung  der  Wirkung  von  K  auf  K*  und  umgekehrt, 
hatte  das  Drehungsmoment  in  absolutem  Kraftmaase  gegeben^  mit  welchem 
jeder  Magnet  den  andern  zu  drehen  sucht ;  setzt  man  dieses  Drehungsmo». 
ment  demjenigen  gleich,  welches  man  erhält,  sobald  man  das  Drehangsmo- 
ment  der  Ströme  S  und  S*  mit  Hülfe  von  Amp&re*s  Gesetz  ausrechnet,  so 
erhält  man  eine  Gleichung ,  aus  welcher  sich  die  Constante  k  für  den  Fall 
ergiebt,  dass  die  Intensitäten  des  Stromes  in  Amp^re*a Gesetz  in  mag- 
netischem Maase  ausgedrückt  sind. 

Wird  die  hier  angedeutete  Methode  zur  Bestimmung  von  k  angewen- 
det, so  findet  man  A*  =^  2,  so  dass  also  das  Gesetz  Amp^re's,  die  Wech- 
selwirkung zweier  Stromelemente  in  absolutem  Maase  gebend,  wenn  die 
Entfernungen  in  Millimetern,  die  Stromstärken  in  magnetischem  Maase  aus- 
gedrückt werden,  durch  folgenden  Ausdruck  repräsentirt  wird : 

II)  j {cosB  —  \cosBcosB) 

Die  Prüfung  von  Amp^re's  Gesetz  durch  Wilhelm  Weber  geschah 
mit  Hülfe  des  Elektrodynamometers.  Dies  Instrument  besteht  aus  einer 
bifilar  aufgehängten  MultiplicaJkorrolle ,  deren  Windungsebenen  perpendi- 
kulär  sind  und  bei  welcher  die  Drähte  zur  bifilaren  Aufhängung  zugleich 
für  die  Hin-  und  Rückleitnng  benutzt  werden.  Die  Achse  des  Dynameters 
wurde  bei  Weheres  Versuchen  in  den  magnetischen  Meridian  gebracht,  so 
dass  der  Erdmagnetismus  die^tellung  der  BifiUarroUe  nicht  änderte,  sobald 
der  Strom  durch  sie  hindurchgeleitet  wurde.  Ausser  der  Bifilarrolle  wurde 
bei  diesen  Versuchen  eine  feste^  d«  h.  nicht  aufgehängte  Multiplicatorrolle 
angewendet,  deren  Windungen  ebenfalls  porpendikular  waren  und  welche 
sich  durch  Hin-  und  Herschieben  in  beliebige  Entfernung  zum  Dynamometer, 
bringen  Hess.  D^r  Strom  wurde  durch  die  feste  Rolle  und  hierauf  durch 
die  BifiUarroUe,  oder  wenn  deren  Ablenkung  dadurch  fclr  die  Beobachtung 
zu  gross  geworden  wäre,  nur  ein  Zweig  desselben  durch  die  Bifilarrolle*  ge- 
leitet. Letzteren  Fall  anlangend ,  war  das  Verhältniss  des  Leitungswider* 
Standes  des  Zweiges  zu  dem  der  ganzen  Leitung  durch  genaue  Versuche 
ermittelt  worden ,  demnach  war  auch  das  Verhältniss  der  Intensitätea  des 

uigiTizea  Dy  x^j  vyv^/'i  LN^ 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  25^ 

Stromes  in  Zweig  and  Leitung  bekannt.  Die  IntensitHt  des  durch  die  feste 
und  und  die  BifilarroUe  geleiteten  Stromes  konnte  nach  bekannten  elektro- 
magnetisehon  Gesetzen  in  magnetischem  Maase  aus  der  beobachteten  Ab- 
lenkung berechnet  werden,  welche  ein  Magnetometer  dnroh  eine  aus  der 
Ferne  auf  dasselbe  wirkjande  feste  Drahtrolle  erlitt,  durch  welche  der 
Strom  ebenfalls  mit  hindurch  geleitet  wurde. 

Gab  man  nun  bei  yerschiedenen  IntensitSten  des  Stromes  der  festen 
Rolle  Terschiedene  Stellnngen  zur  Bifilarrolle,  so  konnte  man  1)  die  Ablen- 
kung der  Bifilarrolle,  hervorgebracht  durch  die  Einwirkung  der  festen 
Drahtrolle  und  der  bekannten  Horizontalintensität  des  Erdmagnetismus  am 
Beobachtangsorte  beobachten  und  2)  diese  Ablenkung  mit  Anwendung 
des  Ampere 'sehen  Gesetzes  No«  U)  aus  der  Grösse  und  Lage  beider  Mul- 
tiplicatoren  und  der  Horizontalintensität  des  Erdmagnetismus  berechnen. 

Da  nun  bei  den  zahlreichen  Versuchen  W  e  b  e  r  's  die  berechneten  und 
beobachteten  Werthe  bis  auf  sehr  geringe  Abweichungen ,  die  von  unver- 
meidlichen Beobachtungsfehlern  herrührten ,  sftmmtlich  ein  und  dasselbe 
Yerhältniss  unter  einander  zeigten,  so  war  hierdurch  die  Richtigkeit  des 
Ampere 'sehen  Gesetzes  bis  auf  die  Constante  /r*:=2  vollkommen  erwie- 
sen. Das  Verhältniss  der  beobachteten  und  berechneten  Drehungsmomente, 
welches  der  Einheit  hätte  gleich  sein  sollen,  differirte  um  ea.  6  Procent  von 
der  Einheit.  Die  Versuche  waren  nämlich  von  vorn  herein  nicht  darauf 
angelegt,  dieses  Verliältniss  zu  bestimmen,  welches  nur  beiläufig  ermittelt 
wurde  und  da  bei  seiner  Ermittelung  eine  Menge  aus  der  Erfahrung  ent- 
nommene Elemente  benutzt  werden  musste,  eine  grössere  Uebereinstimmnng 
nicht  erwarten  Hess.  Es  ergiebt  sich  übrigens  aus  der  beiläufig  gefundenen 
nahen  Uebereinstimmnng  der  Constanten  von  Ampere 's  Gesetz  mit  der 
von  Weber  gefundenen,  dass  die  Beziehung  zwischen  Elektromagnetismus 
und  Elektrodynamik,  die  zu  jener  geführt  hat,   keinesfalls  unrichtig  ist. 

§.  8.  Hofhwendigkeit,  die  elektrodynamischen  Erscheinungen  ans  den 
Wechselwirkungen  der  in  Bewegung  befindlichen  elektrischen  Theilchen 

selbst  abzuleiten. 

A  m  p  i  r  e  's  Gesetz  giebt  direet  die  Richtung  und  Grösse  der  Kraft  an, 
mit  welcher  der  eonstante  elektrische  Strom  t  in  einem  sehr  dünnen  Draht- 
elemente ds  auf  den  ponderabeln  Träger  eines  andern  consfanten  Stro«- 
elementes  i' ds'  wirkt.  Nun  ist  bekannt,  dass  der  Strom  t  in  ds  nicht 
direel^anf  den  ponderabeln  Träger  von  i'ds  wirken  kann,  sonst  müsste 
ds'  vom  Strome  t  auch  noch  in  Bewegung  gesetzt  werden,  selbst  wenn  die- 
ses genannte  Element  ds  keinen  Strom  enthielte.  Man  kann  sich  wohl  von 
der  Uebertragung  der  elektrischen  Wirkungen  etwa  folgende  Vorstellung 
machen :  Der  Strom  t  in  ds  übt  zunächst  auf  den  Strom  i'  in  ds'  eine  an- 
ziehende oder  abstossende  Wirkung  aus,  diese  wird  vollständig  oder 
zum  Theil  auf  den  Träger  ds'  des  Stromes  t"  üb(^||ii§gi(^aoMld^hringt 


260  Die  FundamoDto  der  Elektrodynamik. 

Bewegang  im  Sinäe  von  Ampere *8  Gesetz  herror,  wenn  der  Leiter  be- 
weglich ist.  Diese  Vorstellung  fordert  aaf,  das  Gesetz  Ampere^s  so  umza- 
formen,  dass  man  einen  Ausdruck  erhält,  welcher  die  Wechselwirkung  der 
in  dem  Leiter  fliessenden  Elektricität  repr&sentirt,  ausserdem  machen  aber 
die  Erscheinungen  der  Voltainduction  eine  solche /Umformung  ebenfalls 
dringend  nothwendig. 

Bei  der  Voltainduction  ist  in  dem  einen  Leiter  ursprünglich  kein  Strom 
vorhanden,  ein  solcher  wird  jedoch  hervorgebracht  l)  indem  der  neutrale 
Leiter  plötzlich  dem  Stromleiter  genähert  oder  von  ihm  entfernt  wird, 
2)  indem  der  Stromleiter  plötzlich  dem  neutralen  Leiter  genähert  oder  von 
ihm  entfernt  wird,  3)  indem  die  Intensität  des  StiM)mes  im  Stromleiter  plötz- 
lich vermehrt  oder  vermindert  wird,  sowie  endlich  4)  wenn  mehrere  der  an- 
gegebenen Veränderungen  gleichzeitig  hervorgebracht  werden^  Der  indu- 
cirte  Strom  entsteht  hier  offenbar  nur  durch  die  Einwirkung  der  bewegten 
Elektricität  im  Stromleiter  auf  die  neutrale  Elektricität  im  stromlosen  Lei- 
ter; dies  veranlasst  zu  der  Frage,  wie  die  in  Strömung  befindliche  Elektri- 
cität auf  andere  in  Ruhe  befindliche  elektrische  Massen  einwirken  möge? 
W.ie  der  folgende  Paragraph  zeigen  wird,  ist  es  nicht  möglich,  diese  Frage 
durch  Anwendung  dos  bekannten  Grundgesetzes  für  statische  Elektricität 
zu  beantworten,  eawird  sich  vielmehr  ergeben,  dass  dieses  Gesetz  für  be- 
wegte Elektricitäten  einer  Ergänzung  bedarf.  Es  versteht  sich  von  selbst, 
dass  diese  Frage  nur  dann  erst  weiter  besprochen  werden  kann,  sobald  die 
Vorstellung,  welche  man  sich  von  der  Bewegung  der  Elektricitäten  in  einem 
constanten  oder  variabeln  elektrischen  Strome  den  Erscheinungen  gemäss 
machen  muss,  hinlänglich  festgestellt  ist. 

^  4.  Die  Bewegung  der  elektrischen  Maisen  bei»  elektriaehen  Strome. 

Die  Erscheinungen,  bei  denen  Elektricität  wirksam  ist,  haben  bereits 
vor  langer  Zeit  zu  der  Annahme  geführt,  dass  an  jeder  Stelle  eines  im  so- 
genannten unelektrischen  Zustande  befindlichen  Leiters  gleich  grosse  Men- 
gen positiver  und  negativer  Elektricität  sich  gebunden  halten,  so  dass  die- 
selben dem  elektrostatischen  Grundgesetze  zufolge  nach  Aussen  hin  keine 
Wirkung  ausüben  können.  Die  Trennung  beider  Elektricitäten  kann  durch 
Reibung,  Druck,  Temperaturveränderung,  Contact  etc.  hervorgebracht  wer- 
den; die  Kraft,  welche  hierbei  die  sich  festhaltenden  elektrischen  Flnida 
von  einander  reisst  und  von  einander  bewegt,  ist  schon  von  Volt  a  elektro^ 
motorische  Kraft  genannt  worden.  In  einer  ofienen  Volta' sehen  Kette  trei- 
ben die  an  den  Berührungsstellen  thätigen  elektromotorischen  Kräfte  die 
entgegengesetzten  Elektricitäten  nach  entgegengesetzten  Richtungen  aus- 
einander, dieselben  hänfen  sich  nach  den  Polen  der  Kette  zu  an  und  nach 
dem  Eintritt  des  Gleichgewichtszustandes  befinden  sich  an  jeder  Stelle  die 
auf  die  daselbst  befindliche  Elektricität  ausgeübten  electromotorischen 
Kräfte  mit  denjenigen  elektrostatischen  Kräften  im  Glei$]^^3fi^td/>9^1cfae 


Von  Dr.  Emil  Kahl«  261 


von  der  freien  Elektrieität  in  der  Kette  ausgeübt  worden.  Hierbei  ist,  wie 
die  Versnche  an  der  isolirten  offenen  Kette  zeigen ,  an  dem  einen  Pole  po- 
sitive, an  dem  andern  Pole  negative  Elektricit&t,  beide  von  gleicher  Span- 
nung. Schliest  man  nun  die  Kette,  so  neatralisiren  sich  die  ElektrScitäten 
im  Behliessmngsbogen  und  in  demselben  Momente  treten  aneh  gewisse  Wir- 
kungen auf,  die  der  fiiessenden  Elektrieität  eigen  sind,  a.  B.  Wassersetzung 
und  Erwärmung  im  Schliessungsbogen.  Da  non  diese  Wirkungen  bei  ge- 
schlossener Kette  fortdauern ,  so  nimmt  man  an ,  dass  wie  beim  Scbliesseu 
selbst  auch  noch  nach  dem  Schliessen  fortwährend  positive  Elektrieität  in 
der  einen  Richtung,  negative  Elektrieität  in  der  entgegengesetzten  Kichtuug 
durch  den  Schliessungsbogen  hindurehfliesse.  Der  Umstand ,  dass  die  ge- 
schlossene Kette  keine  Spannungserscheinangen  zeigt,  nöthigt  dazu,  diese 
Annahme  dahin  zu  vervollständigen ,  dass  durch  jeden  Querschnitt  der 
Kette  in  einem  beliebigen  kleinen  Zeitabschnitte  ebensoviel  positive  Elek«- 
tricität^n«eh  der  einen  Seite  hinfliesse ,  als  negative  Elektrieität  nach  der 
entgegengesetzten  Richtung  bewegt  wird,,  denn  wären  die  durch  den  Quer- 
schnitt ^iessenden  Mengen  beider  Elektricitäten  ungleich  gross ,  so  würden 
örtliche  Anhäufungen  der  positiven  oder  negativen  Elektrieität  stattfinden,- 
welche  sich  durch  Spannungserscheinungen  zu  erkennen  geben  würden. 
Bei  Constanten  Strömen  bleibt  die  Ablenkung  einer  eingeschalteten  Tan- 
gentenbussole immer  dieselbe,  nimmt  man  nun  statt  einer  Umwindung  der 
Nadel  n  solche  dicht  neben  einander  liegende  Umwindungen ,  so  muss  der 
Druck  gegen  die  Pole  der  Nadel  n  Mal  grösser  werden.  Denkt  man  sich 
statt  n  dicht  neben  einander  geführten  Windungen ,  den  Strom ,  der  durch, 
alle  hindurehfiiesst,  in  einer  eiifzigen  solchen  Windung  fliessend,  so  muss  der 
Druck  gegen  die  Pole  der  Nadel  immer  noch  n  Mal  so  gross  sein,  als  bei 
einer  Umwindung  der  früheren  Art.  Hieraus  ergiebt  sich  ganz  von  selbst, 
dass  die  Stromstärke,  d.h.  die  Menge  der  durch  den  Querschnitt  fliessenden 
Elektrieität  bei  cons tauten  Strömen  in  jeder  Zeiteinheit  ein  und  dieselbe  ist.. 
Sehliesst  man  eine  Kette  durch  einen  sehr  langen  metallischen  Schlies- 
sungsbogen ,  so  tritt  doch  der  Strom  in  unmerklich  kurzer  Zeit  nach  dem 
Kettenschlnss  an  allen  auch  denjenigen  Stellen  des  Scliiiessungsbögens  auf^ 
welche  sehr  entfernt  von  den  Contaetstellen  liegen ,  wo  sich  die  elektromo* 
torischen  Kräfto  äussern.  Man  nimmt  daher  an,  dass  die  elektromotorischen 
Kräfte  durch  einen  Anstoss  wirken ,  weleher  zunächst  der  Elektrieität  in 
unmittelbarer  Nähe  an  den  Contaetstellen  ertheilt  wird,  in  der  Weise,  dass 
die  positive  Elektrieität  ^ach  der  einen  Richtung,  die  negative  Elektrieität 
naeh  der  entgegengesetzten  Richtung  fortgetrieben  wird.  Die  verdrängten 
elektrischen  Massen  setzen  durch  Abstossnng  die  in  ihrer  Bewegungsrieh- 
tnng  liegenden  gleichartigen  Massen  naeh  dieser  hin  in  Bewegung.  So  wird 
dann  der  Bewegungsanatosa  von  den  Contaetstellen  aus  vielleicht  in  ähnli- 
cher Art,  wie  bei  der  Wellenbewegung  der  Luft  durch  alle  Theile  der  Kette« 
fortgepflanzt.     Die  Geschwindigkeit  dieser  Fortpflanzung  ist  wenigstens  in 


262  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

metallischen  Leitern  aud  in  der  Erde  sehr  grogs ,  wie  aus  W  a  1  k  e  r  's  Ver* 
fiuchen  herorgeht,  der  dieselbe  bei  den  Telegraphenleitnngen  der  Vereinig- 
tea  Staaten  im  Mittel  ea  circa  16,000  eagHsclien  Meilen  pro  Secunde  be- 
stimmte. 

Die  von  Querschnitt  zu  Querschnitt  fortgepflanzte  elektromotorische 
Kraft  bewirkt  an  jeder  Stelle  Verschiebung  der  positiven  Elektricität  nach 
der  einen  Richtung  und  Verschiebung  der  negativen  Elektricität  nach  der 
entgegengesetzten  Kichtung.  Die  Geschwindigkeit,  mit  der  die  Elektrtcit&t 
durch  die  elektromotorische  Kraft  verschoben  wird,  ist  o£Fenbar  etwas  gana 
anderes,  als  die  oben  ausführlicher  erwähnte  Fortpflanzungageschwindigkek 
der  Elektricität.  Denkt  man  sich  beispielsweise,  auf  einem  Stück  des  Lei» 
ters  von  der  Länge  u  sei  im  stromlosen  Zustande  die  Menge  +  e  von  Elek- 
tricität zugleich  enthalten.  Durch  einen  hierauf  eintretenden  Strom  werde 
die  Menge  -^e  in  einer  Secunde  um  das  Stück  u  nach  j^ec^ts,  die  Menge 
—  ß  in  derselben  Zeit  um  das  Stück  u  naoh  links  verschoben ,  dann  fliessft 
in  einer  Secunde  die  Menge  +  e  von  Elektricität  den  Querschnitt  des  Lei- 
ters hindurch  und  die  Verschiebnngsgesehwindigkeit  der  Elektri- 
cität ist  u.  Bei  einer  und  derselben  Versohiebungskraft  muss  die  Geschwin- 
digkeit, mit  welcher  die  Elektricität  im  Leiter  verschoben  wird,  um  so  klei-* 
ner  sein,  je  mehr  von  den  elektrischen  Fluidis  vorhanden  ist.  Es  geht  min 
aus  vielen,  z.B.  auch  aus  elektrolytischen  Erfahrungen  hervor,  dass  die 
Menge  neutraler  Elektricität,  die  in  einem  Körper  vorhanden,  sehr  gross, 
und  die  Verschiebungsgesch windigkeit  derselben  sehr  klein  sein  muss.  Bei 
der  Wasserzerseteung  durch  den  galvanischen  Strom  bewegen  sich  der 
Sauerstoff  und  Wasserstoff  in  der  Zersetzungszelle  jedenfalls  nur  deswegen 
nach  entgegengesetzten  Richtungen,  weil  ersterer  an  die  positive,  letzterer 
an  die  negative  Elektricität  fest  angeknüpft  ist  und  weil  diese  Elemente  nur 
mit  der  Elektricität  durch  die  elektromotorische  Kraft  fortbewegt  werden. 
Die  Menge  der  an  den  Polen  frei  werdenden  Elemente  ist  hierbei  so  geringe 
dass  die  Geschwindigkeit,  mit  der  die  Eleetricitätsträger  nach  entgegenge- 
setzten Seiten  bewegt  werden,  sehr  unbedeutend  sein  muss.  Die  Menge  der 
Elektricität,  welche  sie  fortführt,  ist  aber  sehr  bedeutend,  wie  man  dadurch 
ermittelte ,  dass  man  die  Wirkung  eines  constanten  galvanischen  Stromes 
durch  den  durch  nasse  Schnuren  verzögerten  Entladungsstrom  der  Leidner 
Flasche  zu  ersetzen  suchte.  Es  würde  eine  sehr  grosso  Menge  statisch  auf- 
geiiäufter  Elektricität  dazu  gehören,  um  die  oben  beispielsweise  erwähnte 
Zersetzung  von  Wasser  selbst  nur  bei  geringen  Mengen  des  letzteren  her- 
vorsubringen ,  st>  dass  also,  selbst  bei  schwachen  Strömen  die  durch  den 
Querschnitt  der  Kette  fliessende  Menge  der  Elektricität  sehr  gtoas,  die  Ver* 
flohiebungsgesohwindigkeit  derselben  sehr  klein  sein  muss. 

Schiebt  man  bei  einer  Thermokette  von  geeigneter  Constniction  die 
heimsen-  Contactstellen  plötzlich  hinweg^  dafür  aber,  ohne  dass  je  die  metal- 
lische Berührung  gestört  wird,  ein  Schliessungsstüok  vo,|,^gif ^l^^i^fiktefial 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  263 

nnd  gleicher  Temperatnr,  als  der  übrigbleibende  Theil  der  Kette  zugleich 
hinein ,  so  hört  augenblicklich  der  vorher  vorhandene  constante  Strom  auf, 
denn  die  Leitung  wirkt  nun  nicht  mehr  auf  eine  in  der  Nähe  befindliche 
Magnetnadel.  Da  die  elektrische  Bewegung  aufhört,  sobald  die  elektro- 
motorische Kraft  aufhört,  so  muas  im  Schlies^uugsbogen  ein  Widerstand 
vorhanden  sein,  denn  sonst  müsste  sich  die  Elektricitat  auch  noch  nach  dem 
Aufhören  der  elektromotorischen  Kraft  gleichförmig  im  Scfaliessnngsbogen 
fortbewegen  und  magnetische  Femewirkungen  hervorbringen.  Um  die  Ur* 
Bachen  eines  solchen  Widerstandes  aufsufinden,  möge  man  sich  Weber's 
Discussion  über  diesen  Gegenstand  anschliessen  Der  Widerstand  der  Lei«' 
ter  könnte  davon  herrühren,  dass  dieselben  engere  oder  weitere  Canäle  für 
die  Bewegung  der  Elektricitat  be«ftBsen,  in  der  Weise,  dass  dem  Leiter  von 
grösserem  Widerstand  engere,  dem  Leiter  von  geringerem  Widerstand  wei-* 
tere  Canälo  entsprächen.  Diese  Annahme  würde  allerdings  die  geringere 
Stromstärke  bei  grösserem  Widerstände  erklären ,  sie  würde  jedoch  das 
Factum  unerklärt  lassen,  dass  der  Strom  mit  dem  Verschwinden  der  elektro- 
motorischen  Kraft  aufhört.  Es  liegt  indess  sehr  nahe,  die  Ursache  des 
Widerstandes  durch  die  Einwirkung  der  sich  entgegenkommenden  elektri« 
sehen  Fluid a  selbst  zu  erklären,  da  aus  dieser  Annahme  leicht  £u  beweisen 
ist,  dass  das  Aufhören  der  elektromotorischen  Kraft  wegen  Vereinigang 
beider  entgegengesetzter  Elektricitäten  das  Aufhören  der  Strömung  be- 
dingt. Im  constanten  Strome  werden  die  sich  begegnenden  elektrischen 
Fluida  sich  zu  neutralem  Gemisch  verbinden,  dessen  Scheidung  immer  wie- 
der durch  eine  neue  eleotromotorische  Kraft  geschieht ,  welche ,  da  sie  un- 
ansgeselat  clies&lbe  Grös&e  behält,  einen  Strom  von  unausgesetzt  gleicher 
Stärke  hervorbringt.  . 

Das  Factum,  dass  die  Substanz  des  Leiters  ebenfalls  auf  den  Wider- 
stand inüuirt,  sowie  Web  er 's  Erklärung  des  Magnetismus  und  Diamagne-- 
tismuB  durch  Molecnlarströrae  macht  jedenfalls  die  Hinzuziehung  von  Mole- 
cularwirkungen  der  ponderabeln  Theile  auf  die  Elektricitat  notliwendig. 
Derjenige)  der  die  Theorie  des  Widerstandes  aus  den  hier  gegebenen,  von 
Weber  herrührenden  Grundzügen  derselben  logisch  entwickeln  wollte, 
müaste  jedenfalls  die  Wirkungen  der  ponderabeln  Theile  ebenfalls  einer 
sorgfiütigen  Betrachtung  unterwerfen.  So  lange  aber  ein  solcher  Aiuban 
der  Theorie  nicht  erfolgt  ist,  kann  man  sich  mit  Weber  von  der  Vereinig- 
ung nnd  Scheidung  der  elektrischen  Massen  im  Doppelstrome  folgende  Vor- 
stellung machen,  Welche  von  einer  Hypothese  über  die  Molecnlarwirkungen 
keinen  Gebrauch  macht ,  sondern  sich  nur  auf  das  elektrostadsche  Grund* 
gesets  stützt.  Der  Fehler,  den  man  begeht,  indem  man  dieses  Gesetz  an 
der  Stelle  des  später  zu  deducirenden  elektrodynamischen  Grundgesetzea 
anwendet,  ist  nur  unerheblich,  da,  wie  sich  später  herausstellen  wird,  der 
Einfluss  sehr  gering  ist,  den  die  Bewegung  elektrischer  Massen  auf  ihre  ge- 
genseitige Anziehung  aasübt  nnd  nur  in  einzelnen  Fällen  recht  deutlich 

*'  **  ^  uigiiizea  Dy  x^j  vy  vy^LV- 


264  Die  Fandamente  dör  Elektrodynamik. 


hervortritt.  Die  genannte  Vorstellang  ist  nun  diese:  Es  seien  a,  fr,  c  (Fig.  1) 
p.     .  drei  positiv  elektrische  Mas- 

sen, von  welchen  der  Eiu- 

a 2 e  «11. 

•  fachheit  wegen  angenommen 

>-        wird,  dass  dieselben  an  den 
~^  Orten,  wo  sie  sich  befinden, 

festgehalten  werden.  In  Kiehtang  der  pnnktirten  Linie  bewege  sich  die 
negativ  elektrische  Masse>  — e\  sowie  dieselbe  in  die  Anzdehnngssphäre 
von  a  gelangt,  beschreibt  sie  nach  den  Keppler 'sehen  Gesetzen  eine  Ellipse 
um  o.  Die  fortgesetzte  Einwirkung  ^^t  elektromotorischen  Kraft  wirkt  nach 
Art  der  Störungen  auf  die  Elemente  der  Bahn  von  — «,  macht- dieselbe 
immer  langgestreckter,  bis  endlich  -^-^  in  die  Anzieh nngssphäre  von  h  ge- 
langt, wo  sieh  nun  dasselbe  begiebt,  was  vorher  um  a  durch  die  Anziehung 
von  a  geschah.  Man  sieht  leicht  ein ,  wie  auf  diese  Weise  die  elektromo* 
torische  Kraft  das  negativ-elektrische  Theilchen  zum  umlaufe  in  den  Lei- 
ter nöthigt.  Um  diese  Vorstellung  dem  wirklichen  Vorgange  gemäss  abzu- 
ändern, braucht  man  nur  weiter  anzunehmen,  dass  sich  auch  die  posittv- 
elektrischen  Massen  in  Bewegung  befinden  und  die  neue  Vorstellung  dieser 
weiteren  Annahme  gemäss  auszubilden. 

'§.  ff.  Die  Ergänzung  dea  elektrischen  Gtnmdgeaetzes  durch  Wilhelm  Weber. 

Das  elektröstatiselm  Grundgesetz  lässt  sich  bekanntlich  in  folgender 
Weise  aussprechen : 

„Die  Wirkung  zweier  elektrischen  Massen  erfolgt  in  der  Bichtung  ihrer 
Verbindungslinie  nnd  ist  dem  Producte  beider  Massen  direot,  dem  Quadrate 
der  Entfernung  beider  Massen  umgekehrt  proportional,** 

Dieses  Gesetz  erklärt  jedoch  die  Wechselwirkung  zwischen  zwei  Strom- 
leitern nicht;  denn  befinden  sich  in  einem  Elemente  d$  dea  einen  Strom- 
leiters gleichzeitig  zwei  elektrische  Massen  +  ^  und  in  einem  Elemente  ds 
des  andern  Stromleiters  gleichzeitig  die  Massen  +  e\  so  ergeben  sich  nach 
dem  elektrostatischen  Grundgesetz  vier  Wechselwirkungen,  deren  Resultante 
Null  sein  muss.  Hieraus  folgt  zugleich,  dass  das  elektrostatische  Grund- 
gesetz auch  die  Wechselwirkung  von  einem  ganzen  Stromleitor  auf  einen 
andern  ganzen  Stromleiter  nicht  zu  erklären  vermöge.  Die  wirkliche 
Existenz  der  Einwirkung  von  Stromlettern  auf  einander  erfordert  daher  ein 
andres  elektrisches  Grundgesetz  für  bewegte  elektrische  Massen,  als  ftir 
ruhende  Massen.  Soll  dieses  Gesetz  ganz  allgemein  sein,  so  muss  es  das 
elektrostatische  Grundgesetz  in  sieh  enthalten,  d.  h.  es  muis,  wenn  man 
die  Geschwindigkeit  oder  Beschleunigung  oder  andere  in  ihm  vorkommende 
auf  die  Bewegung  sich  beziehende  Grössen  der  Null  gleich  setzt,  in  das 
elektrostatische  Grundgesetz  tibergehen.  Weber  glangte  durch  Discussion 
dreier  specieller  Fälle  zu  einem  Gesetze  der  Einwirkung  bewegter  Massen 
aufeinander,  dasselbe  Gesetz  leitete  er  später  allgemei|if|'e|i$^8^d|syp#e8etze 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  265 

Amp^re's  ab  and  konnte  sehliesalich  a^ch  die Erseheinnngen  derVoltain- 
daction  in  einer  völlig  mit  der  Erfahrang  überPinfttimmenden  Weise  erklU- 
ren.  Die  drei  speciellen  Thatsachen,  welche  auf  das  elektrische  Grundgesetz 
führten,  waren  folgende  : 

a)  Zwei  Stromeiemente^  welche  in  einer  geraden  Linie  liegen,  mit  wel- 
cher ihre  Bichtang  zusaromenfftUt,    stossen   einander  ab,    oder 
ziehen  einander  an ,  jenachdem  sie  vom  Strome  in  gleichem  oder 
in  entgegengesetztem  Sinne  durchlaufen  werden. 
ß)  Zwei  Stromelemente,  welche  mit  ihrer  Verbindungslinie  rechte  Win- 
kel bilden,  werden  angezogen  oder  abgestossen,  jenachdem 
sie  vom  Strome  iu  gleichem  oder  entgegongesetastem  Sinne 
durchlaufen  werden. 
y)  Ein  Stromelement,  welches  mit  einem  Drahtelement  in  gerader  Linie 
liegt,  mit  welcher  die  Kichtungeii  beider  Elemente  zusammenfallen, 
inducirt  einen  gleich  oder  entgegengesetzt  gerichteten  Strom 
im  Drahtelemente,  je  nachdem  seine  eigene  Stromintensität  ab-  oder 
zunimmt. 
Die  ersten  beiden  Thatsachen  ergeben  sich  direct  aus  dem  durch  die 
Erfahrung  geprüften  Ampfere'schen  Gesetze,  die  dritte  Thatsache  ist  durch 
lud uctions versuche  bekannt  geworden. 
a)  Discussion  der  ersten  Thatsache. 

Zwei  Stromelemente,  in    einer  Geraden   gelegen ,   mit  welcher  ihre 
Kichtbng  zusammenfHllt,  stossen  sich  ab  bei  gleichgerichtetem  Stro- 
me und  ziehen  sich  an  bei  entgegengesetzt  gerichtetem  Strome. 
Das  Amp^re^sche  Gesetz  I)  ergiebt  für  die  Wechselwirkung : 

Ä*      ds  ds' 
a\)  weil  «  =  0,   d  =  0,  6'=  0  die  Kraft  +  —  1 1" ^-,  also  Ab- 

.   stossnng. 

fc^   ^  ds  ,  ds' 
a\)  weil  €  =  Ä,  6  =  0,  6'=  tu,  die  Kraft ii  '- —  ,    dem- 
nach Anziehung. 
Für  das  Element  ds  ist  i  die  Stromstarke ;  ist  m  die  Verschiebungsge- 
scfawindigkeit  derElektricität  inds,  so  ist  im  stromlosen  Zustande  die  Menge 
i  auf  die  Strecke  u  vertheilt  gewesen,  daher  ist  im  Elemente  ds  die  Menge 

von  El.  enthalten,  ebenso  soll  irn  Elemente  ds'  die  Menge  — ~  enthal- 

u  u 

ten  sein,  wobei  u  die  Verschiebungsgeschwindigkeit  für  das  zweite  Strom- 
element bedeuten  möge.  Die  elektrostatischen  Wirkungen  der  vier  elektri- 
schen Massen  sind  im  betrachteten  Augenblicke  in  den  Fällen  a  i  und  (t\ : 
it  ds  .  ds'         n  ds  .  ds'         it  ds  .  ds'         ix  ds  ,  ds' 

Die  Resultante  dieser  vier  Wirkungen  ist  Null ,  die  wirklich  stattfin- 
dende Wirkunff  der  Stromoleniente  auf  einander  rührt  demnach  nicht  von 

°  •  uigiiizea  Dy  x^j  vyv^T'i  LV- 

Züiihclirin  für  Malheiiialik  u.  l'hysMk.    V.  18  ^ 


266  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

der  relativen  Entfernung  r  der  Massen  von  einander  her,  sie  mass  vielmehr 
von  dem  Bewegnngszuatande,  also  etwa  von  der  relattve«  Geschwin- 
digkeit — ,  oder  der  relativen  Beschleunigung  -—j- ,  wie  sie  im  betrachteten 

Augenblicke  je  zweien  der  elektrischen  Massen  ankommt,  abhängig  sein. 
Nun  berücksichtige  man :  das  Quadrat  der  relativen  Geschwindigkeit  ist  bei 
den  in  gleichem  Sinne  bewegten  elektrischen  Massen  (u — u)*^  daher  stets 
kleiner  als  bei  den  in  entgegengesetztem  Sinne  bewegten  elektrischen 
Massen,  bei  denen  dasselbe  {u  +  uy  ist.  Die  dynamische  Wirkung  der 
vier  elektrischen  Massen  erkl&rt  sich ,  wie  man  leicht  erkennt ,  durch  die 
Hypothese ,  dass  diese  Wirkung  proportional  sei  dem  Produete  der  elek- 
trischen Massen  und   femer  proportional  sei  dem  negativen  Quadrate  der 

(drV 
—  1 ;  man  erhält  nämlich  für  glei- 
che Stromesrichtung  (Fall  a ,)  die  Wechselwirkungen : 

ids              tds              itds.ds"^.      ,  ,.,, 

von  H auf  H ;-    :    H -, x[— (w  — w)'], 

.  ids       «       tds              ii'ds.ds'    ^,      ,     .     ,.,, 
von  + auf r-    : ; X[— ("  +  «7, 

ids       .       i'ds'  ,    ii'ds.ds       ,      ,  ,.,, 

von auf r-     :    + , —  X[-  (w  —  u)% 

u  u  uu  t       \  /  j» 

ids       ^    .   t  ds'             ii'äs.ds'    ^^      ,  ..     ,,,, 
von auf  +— ^     : , x[— (w  +  «  '. 

M  M  UU  ■  ^  * 

Daher  ist  die  Gesamnitwirkuug  der  in  gleichem  Sinne  bewegten  elektri- 
schen Massen: 

2ii'dsds', 

; — (w  — w)'; 

MW 

die  Wirkung  der  in  ungleichem  Sinne  bewegten  elektrischen  Massen  ist 
jedoch: 

2ii'dsds\     .      ,., 
n 
Die  Resultante  beider  Wirkungen  ist  positiv,  weil  («  +  «)'>  {u — «')*,  da- 
her ist  die  gemachte  Hypothese  ^—  wie  sich  übrigens  auch  durch  Anwen- 
dung auf  den  Fall  « t  ergeben  würde  —  wenigstens  nicht  mit  der  ersten 
Thatsache  in  offenbarem  Widerspruche.     Da  nun  bei  dem  aufzufindenden 
allgemeinen  Grundgesetze  der  Eiektricitätslehre  jedenfalls  das  elektrösta 
tische  Grundgesetz  herauskommen  muss,  wenn  die  relative  Geschwindigkeit 
Nnll  ist,  so  hat  Weber  folgende  Hypothese  für  die  Einwirkung  zweier 
elektrischen  Massen  e  und  e  an  die  Stelle  der  vorigen  gesetzt : 

dt*  6  B 

welcher  Ausdrnck  für  — -  übergeht  in  — -,    d.  i.  also  in  den  Ausdruck  des 
dl  r 

uigiiizea  oy  >^j  vyv^'i  lv. 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  267 

elektrostatischeo  GrniidgeHetzes.  In  diesem  Ausdrucke  bedeutet  a^  eine 
Constante,  dercu  Grösse  abhängig  i»t  vt)n  dem  Elektricitätsmaas,  in  wel- 
chem e  und  e  ausgedrückt  sind,  von  dem  Längenmaase ,  in  welchem  r  und 

—  .ausgedrückt  ist  und  endlich  von  dem  Kraftmaase,  in  welchem  der  ganze 

Ausdruck  dfe'Grösge  der  Wechsehvirkui^g  ergiebt.  Der  gegebene  Ausdruck' 
erklMnt  die  Speoialfälle  der  ersten  Thatsache  vollkommen,  denn  man  hat : 

I)  im  .Falle  a\  füi*  die  Einwirkup«;  von  +  —  auf  H y  : 

u  u 

ii'dsds.  -,,       •       ,,     ,,,.        ii'dsds' f.i  »  "    .*       «         •  w'\ 

r*  M  M     i  r*        \«  M  u  u  J 

Hieraus  erhält  man  durch  Vertauschnng  von  +  u  mit  — u  die  Wechsel  wir- 

ids              i  ds 
kung  von auf  -\ Bildet  man  auf  diese  Weise  die  Ausdrücke, 

die  noch  fehlen,  so  erhält  man  als  Resultante  aller  Wechselwirknhgen,  wel- 
che gleich  ihrer  Summe  ist : 

.  ifds  ds' 
8a*.  — 5 — . 

Dieser  Ausdruck  stimmt  mit  dem  ans  dem  Ampfere'schen  Gesetz  erhaltenen 

H ff' — -j—  bei  gehöriger  Bestimmung  der  Constanten  a*  überein.    Es  ist 

hierbei  stillschweigend  die  Voraussetzung  gemacht  worden,  dass  die  Wech- 
selwirkung der  elektrischen  Massen  ganz  auf  den  ponderabeln  Träger 
übertragen  wird«  Die  Annahme,  dass  die  elektrischen  Massen  in  KichtUBg 
des  Leiters  ohne  allen  Widerstand  verschoben  werden ,  wenn  sie  .von  ihren 
eigenen  Wechselwirkungen  afficirt  werden,  ist  hier  völlig^unstatthaft,  denn 
es  könnte  hieraus  die  XJebertragung  der  Wirkung  auf  den  Leiter  nicht  er- 
erklärt werden.  Die  Hypothese,  dass  die  Wirkung  der  elektrischen  Massen 
auf  einander  vollständig  auf  den  ponderabeln  Träger  übergehe,  führt 
übrigens,  wie  sich  später  herausstellen  wird,  zu  einem  mit  der  Erfahrung 
▼öllig  überejustiBunenden  Gesetze. 

II)  Im  Falle  a\  hat  man  für  die  Einwirkung  von  -\ auf  H ?-: 

ii'ds  ds\         . ,  •   .  /  .    /*xi 

Indem  man  auch  hier  auf  gehörige  Weise  die  Geaeh windigkeiten  +u  und 
+  m'  in  — «  und  — u  umwandelt,  erhält  man  die  Einwirkung  der  übrigen 
drei  Massen  auf  einander ,  die  Besnltante  aller  vier  Wirkungen  ist  ihrer 
Summfii  gleich  und  beträgt : 

Ji'dsds 

8ft* ; . 

Auch  hier  stimmt  das  Resultat  mit  dem  durch  Anwendung  von  Amp^re's 
Gesetz  gewonnenen  :  ^^^^^^^^^  GoOglc 


268  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

I^ii'dsds 
~1       ^^~" 
übereiQ. 

ß^)  Discussion  der  zweiten  Thatsache. 

Zwei  Stromelemente,  welche  mit  ihrer  Verhindungslinie  rechte  Winkel 
hilden^  werden  angezogen,  sobald  sie  vom  Strome  in  gleichem  Sinne 
durchlaufen  werden,  abgestossen,  sobald  der  Strom  in  ihnen  entge- 
gengesetzte Hichtung  hat. 

Wendet  man  auf  diese  zwi^i  Fälle  der  zweiten  Thatsache  das  Gesets 
Amp^re^s  an,  so*  erhält  man : 

/y,)  wegen  «  =  0,  0=—,  ^=—  den  Ausdruck 


j^ii'ds  äs 


demnach  Anziehung. 

fft)  wegen  «  =  «,  6==--,  ö'==  -  den  Ausdruck 

.   .'ii'dsds 

demnach  Abstossung. 

Die  relative  Geschwindigkeit  ist  hier  immer  Null,  denn  beträgt  z.  B. 
die  Entfernung  der  beiden  positiv  elektrischen  Massen  im  Speciiilfalle  «', 
im  betrachteten  Augenblicke,  von  welchem  an  etwa  die  Zeit  gezählt  werden 
möge,  r,  so  ist  sie  dann  am  Ende  der  Zeit  /  dem  Ausdrucke 

gleich,  daher  ist  die  relative  Geschwindigkeit  am  Ende  der  Zeit  /: 

dQ_        (m  — m'»)< 

Um  aus  diesem  Ausdrucke  die  relative  Gt^sokwindigkek  der  übrigen  Massen 
zu  finden,  braucht  man  nur  auf  geeignete  Weise  die  Zeichen  der  Geschwin- 
digkeiten Uf  u  einzeln  oder  beide  zugleich  zu  wechseln.  Setzt  man  hierauf 
/  =  0 ,  so  erhält  man  für  die  relative  Geschwindigkeit  in  dem  betrachteten 

Augenblicke  —  =:  0.     In  den  vorliegenden  beiden  Specialfällen  hat  man 

demnach  eine  anderweite  Ergänzung  des  statischen  Grundgesetzes  der 
Elektricität  eintreten  zu  lassen ;  man  wird  hierbei  am  Besten  die  Wirkung 
zweier  elektrischen  Massen  abhängig  machen  von  ihrer  relativen  Beschleu- 
nigung, denn  diese  ist  bei  den  Specialfällen  der  Thatsache  ß  nirgend»  Nnll, 
während  sie  in  allen  Fällen  der  Thatsache  a  der  Null  gleich  ist.  Die  vor- 
geschlagene Ergänzung  stösst  demnach  die  Discussion  über  a  keineswegs 
um,  ist  aber,  wie  sich  bald  ergeben  wird,  geeignet,  die  Thatsache  ß  zu  er- 
klären. r^^^^T^ 

Digitized  by  VjOOQ  IC 


Von  J)r.  Emil  Kahl.  269 

Fassen  wir  zunächst  den  Fall  /)',)  ins  Auge,  so  erhalten  wir  für  die* re- 
lative Beschletmignng  der  beiden  positiv  elektrischen  Massen  am  Ende  der 
Zeit/: 

tf«p^         {u  —  u') {u-u'yt* 

dl^        [r«+(ii  — ti7/«]4       [r»  +  (M-ti')«/«}l' 
daher  für  die  relative  BeBchlennigung  im  betrachteten  Angenblicke  (<=:0): 

dt*~        r       ' 
Für  die  elektrischen  Massen : 

H und ;-  ist  demnach  die  relative  Beschleunigung  ^ , 

und r-    -  -  ^         -  -  ^^ i- , 

u  u  r 

tds       ^    .    i'ds  '  iu  +  uj 

und  H r-    -  -  -         -  -  ^ — ? — i-, 

u       >  u  r 

Die  relative  Beschleunigung  der  in  demselben  Sinne  bewegten  elektri- 
schen Massen  ist  daher  gleich  gross,  ebenso  ist  die  relative  Beschleunigung 
der  in  entgegengesetztem  Sinne  bewegten  elektrischen  Massen  unter  sich 
gleich.  Nehmen  wir  versuchsweise  an,  die  Wirkung  der  elektrischen  Mas- 
sen geschehe  in  Richtung  ihrer  Verbindungslinie  und  setzen  dieselbe  pro- 
portional ihrer  relativen  Beschleunigung,  so  erkennen  wir ,  dass  die  Wech- 
selwirkung der  in  gleichem  Sinne  bewegten  elektrischen  Massen  folgen- 
dem Ausdruck  proportional  ist:  • 

ruu        ^  ^ 

während  die  Wechselwirkung  der  in  entgegengesetzter  Richtung  be- 
wegten elektrischMi  Massen  proportional  ist: 

ii'dsds  , 

ruu  ^ 

Die  Resultante- aller  Wechselwirkungen  ist  negativ,  weil  (w+w')*>(m — m')*, 
d.  h.  es  findet  hier  noch  Anziehung  statt.  Ein  gleich  günstiges  Resultat 
für  den  Erklärungsversuch  würde  man  erhalten ,  wenn  man  in  ähnlicher 
Weisenden  Fall  /}",  in  Betracht  ziehen  würde.  Weber  schlägt  in  Folge 
dieser  von  ihm  angestellten  Betrachtungen  vor,  die  Wechselwirkung  zweier 
elektrischen  Massen  c  und  Cy  die  in  der  Verbindungslinie  beider  stattfindet, 
dem  Ausdrucke: 


^■[-'(SV'&] 


gleichzusetzen,  wobei  a*'eine  Constante  und  b  eine  von  der  Beschleunigung 

und  Geschwindigkeit  unabhängige,  später  zu  bestimmende  Grösse  bedeutet. 

I)   Im  Falle  ß^i    ist  die  Einwirkung  der  positiv   elektrischen  Masse 

—  auf  die  positiv  elektrische  Masse  — 7-'  /^^^^^T^ 

M  .  U  DigitizedbyV^OOglC 


270  Die  Fundamente  der  Elektrodynanrik. 

id5             I  ds     .    -  .        » 

Maa  erhalt  hieraus  die  Einwirkung  von  —  auf r-  i  indem  man  in  obi- 

gem  Ausdrucke  statt  +u  die  Geschwindigkeit  — h  einfuhrt;  überhaupt  hat 
man,  um  von  einer  positiven  Masse  ausgehend,  die  Wirkung  der  zugeordne- 
ten negativen  Masse  zu  finden,  anstatt  der  zugehörigen  Geschwindigkeit 
deren  negativen  Werth  einzusetzen.  Um  nun  die  zu  dem  obigen  Ausdrucke 
gehörigen  drei  andern  Ausdrücke  der  Wechselwhrkung  zu  findep,  muse 
man  demnach  anstatt  -j-u  und  +u  der  Reihe  nach  einführen  +u  und  — u\ 
—  u  und  — «',  — w  und  +  «'.  Die  Gesammtwirkung  ist  die  Summe  der  so 
erhaltenen  Ausdrücke,  bei  deren  Herstellung  sich,  wie  man  leicht  erkennt, 

II  d  s  d  s 
alle  Glieder  in  der  Parenthese  neben ^ paarweise  heben,  die»M  und 

u  enthalten,  so  dass  nur  übrig  bleibt: 

.Sii'ds .  ds'    b 

•  ?      '7* 

Nimmt  man  b  als  positiv  utid  in  geeigneter  Weise  abhängig  von  r  an,   bo 

erhält  man  für  die  Wechselwirkung  denselben  Werth,  als  durch  das  Anp^re- 

sche  Gesetz,  nämlich : 

,^..,dsds' 
—  k^tt   — ^r—  . 
r* 

II)  Im  Falle  /5',)  erhält  man  in  der  im  vorigen  Falle  angegebenen  Weise 

für  die  Resultante  der  vier  Wechselwirkungen : 

,      ..,dsds    ^b 

und  es  würde  derselbe  Werth  von  A,  wie  im  vorigen  Falle,  diesen  Aasdruck 
identisch  machen  dem  durch  Anwendung  von  Ampere's  Gesetz  erhaltenen: 

.j^..,dsds 
r* 
Die  Discussion  der  Thatsacken  a  und  ß'  wird  endlich  erschöpft  mit 
der  Auffindung  der  Beziehung,  welche  zwischen  den  Grössen  b  nnd  a  statt- 
findet. Bezeichnen  wir -auch  die  Grösse  der  Wechselwirkung  in  den  vier 
Fällen  mit  a'i,  jS'i,  a^,  ^'2,  so  lassen  sich  die  durch  Amp^re's  Gesetz  ge- 
fundenen Wechselwirkungen  in  ihrem  gegenseitigen  Verhältnisse  auf  fol- 
gende Weise  ausdrücken: 

/      ^.         k^ii'dsds        \.ii'dsds 

wenp  man  in  allen  vier  Fällen  die  t,  i"  etc.  gleich  gross  annimmt  Die  durch 
das  hypothetische  elektrische  Grundgesetz  gefundenen  Wechselwirkungen 
ergeben  jedoch:  ^ r\r\c^ 

uigiüzea  oy  x^JwwVlv- 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  271 

-,        Sa^  ii'ds  ds'        Sii'dsds     b         ^         b 
r*  r  r  r 

^,  ^a^ii'  ds  ds      ,  Sii'dsds'    b        '  b 

Die  Gleichung  der  gleichen  Verhältnisse  in  den  Proportionen  erglebt  über- 
einstimttaend : 

ft==2a«r, 
so  dass  man  nun  das  hypothetische  Anziehungsgesetz  zwischen  zwei  elek- 
trischen Massen  e  und  e  bei  der  Entfernung  r ,  relativen  Geschwindigkeit 

und  Beschleunigung  —  und  —^  ausdrücken  kann,  wie  folgt : 


A'''''\dl)+'^'^äF} 


wobei  a  eine  Constante,  die  später  zu  bestimmen  ist,  bedeutet. 

/)  Liegt  ein  Drahtelement  mit  einem  Stromelement  in  gerader  Linie, 
in  welchem  auch  die  Stromrichtung  des  letzteren  enthalten  ist,  so  wird  in 
ersterem  ein  gleich-  oder  entgegengesetzt  gerichteter  Strom  inducirt, 
jenachdem  die  Intensität  des  Stromelementes  ab-  oder  zunimmt. 

In  c  (Fig.  l)  möge  das  Stromelement  sein,  dessen  Stärke  im  betrachte- 
ten Augenblicke  Iq  sein  möge,  dessen  Intensität  sich  aber  von  da  an  da- 
durch ändern  möge,  dass  die  anfängliche  Geschwindigkeit  +u^  der  in  dem- 
selben befindlichen  Elektricität  grösser  oder  kleiner  werde.  In  dem  mit 
diesem  Elemente  zusadtnenhängenden  Strome  kommt  Sie  Menge  }  von  Elek- 
tricität auf  die  Strecke  u  des  Leiters,  daher  die  Menge  —  auf  die  Strecke  1; 

du 
geht  nun  die  Geschwindigkeit  t/  in  u-j-—  dt  über,  so  geht  die  Menge  i  der 

Elektricität,  welche  in  einer  Secnude  durch  den  Querschnitt  des  Leiters 
fliesst,  über  in 


'^dt 


■^'-7  ('+:-:-). 


hieraus  ergiebt  sich : 


di       i  du 

Jl  'üdJ' 
ZuaKchst  soll  die  Einwirkung  betrachtet  werden,  welche  das  Strom- 
element c  auf  das  Drahtelement  b  hervorbringt,  in  welchem  sich  die  elek- 
trischen Massen  +eds'  befinden  mögen  (d.  h.  auf  der  Strecke  1  die  Menge 
e' von  Elektricität).  Der  Strom  in  c  möge  die  Kichtifng  bc  besitzen,  so  dass 
man  am  besten  dieselbe  Richtung  als  die  positive  für  u  annimmt,  die  Ent- 
fernung r,  welche  von  b  aus  nach  c  hin  gerechnet  wird,  ist  deshalb  auch 
als  positiv  anzunehmen.  I«t  ab  anfänglich  gleich  Tq,  so  ist  am  Ende  der 
Zeit/: 

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272  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

für  +  —  d$  und  +  e'ds-  die  Entfernung  r  =  rf^+  fudi^    ' 

U 

i 

ftir -ds  and  +  eds     „  „  r  5=s  r^,—  1  «dr, 

0 
und  deswegen  —  =  +  m  ,  sowie  -—T  ^^  "1"  w7  ^°  ^®"  beiden  ersten  Fällen 

und  -7-  ==  —  M,  sowie  -rr= — ^-7-  in  den  beiden  letzten  FftUen.     Man  er- 
dt  dr  dl 

du  du       u  di 

hält  daher ,  zugleich  für  -—  seinen  Werth  t"  =  "t  t:   einsetzend ,    für  die 
^  dt  dt        \  dl  \ 

Einwirkung  der  beiden  Massen  +  —   auf  +  ed$  die  beiden  Ausdrücke : 

ids  eds/         ,.         ,     u  di\       edsdsfi         ,.     ,  ^  .    rf«\ 
M        r*     \  ^  i  dt/  r*      \M  ^  dt/ 

und  (im  vorigen  — u  statt  +m  gesetzt!): 

e'dsds  (       %    .     , .  ,    d\\ 

Die  Kesultante  dieser  beiden  auf  +  eds  wirkenden  Kräfte  isti 

Aa^eds\d8  di 

+  r  'di' 

Setzt  man  in  den  vQ^igen  Ausdrücken  — e'  statt  '^  e\  so  erhält  man  die 

ids 
Einwirkungen  von  +  —  auf — eds\  deren  Resultante  hiernach  ist: 

Ad^edsds  di 
r  dl' 

Man  erkennt  hieraus :  Es  wird  auf  die  positive  Masse  in  b  eine  abstossende, 
d.  i.  nach  ha  gerichtete  Kraft,  auf  die  negative  Masse  eine  nach  ab  gerich- 
tete anziehende  Kraft  ausgeübt,  wenn  -~  positiv  ist,  d.  h.  es  wird  bei  Zu- 
nahm e  der  Stromintensität  ein  entgegengesetzt  gerichteter  Strom 
bei  Abnahme  der  Stromintensität  ein  gleichgerichteter  Strom  in  b 
inducirt. 

Besitzt  der  Strom  in  c  die  Richtung  c6,  so  ist  auch  ca  die  positive 
Richtung  für  u  und  r,  daher  ist  r  (unter  Tq  die  anfangtiche  absolute  Ent- 
fernung verstanden) : 

t 

für  +  ~  nni^  +  eds  die  Entfernung  r«—  ro+  judi, 
Uq  J 

0 
t 

für 5  und  +  edf' die  Entfernung  r= — r^ —  \udt* 

Wo  %J  ^^ 

uigiiizea  oy  v^nOOS?  IV^ 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  273 


Demnach  erhftlt  man  für  die  Einwirknag  auf  +  f^'ds  wieder : 

A(^ed$dsdi 

und  för  die  Einwirkung  auf  — ed8\  wie  vorhin :  '    / 

4a*€'dsds  di 
r,  dl' 

d.  h.  man  gelangt  zu  demselben  Keanltate,  wie  bei  dem  in  der  Richtung  bc 
angenommenen  Strome. 

Führt  man  die  Rechnung  für  ein  in  a  befindliches  Stromelement  durch, 
Bo  gelangt  man  ebenfalls  zu  dem  Resultate,  dass  abnehmende  Strominten- 
sität einen  gleichgerichteten ,  zunehmende  Stromintensitüt  einen  entgegen- 
gesetzt gerichteten  Strom  indncirt.  Es  ist  hiemach  als  bewiesen  zu  be- 
trachten, dass  das  elektrische  Grundgesetz  in  setner  allgemeinen  Form  auch 
die  dritte  der  Thatsachen  erklärt,  die  zu  vorläufiger  Prüfung  desselben 
ausgesprochen  worden  ist.  < 

§.  6.  AbMtnng  des  Amptee'ichen  Oesetsoa  ana  dem  aUgemeinen  Onmd- 
gesets  der  ElektrioitfttBlehre. 

Nachdem  Wilhelm  Weber  das  Grundgesetz  der  Elefctricitätslehre 
aus  den  zwei  ersten  Thatsachen  des  vorigen  Paragraphen  hypothetisch  ab- 
geleitet und  an  der  dritten  Thatsache  vorläufig  geprüft  hatte,  zeigte;  er,  dass 
sich  das  Gesetz  Ampere's  so  transformiren  lässt,*)  dass  man  es  in  vier 
Theile  zerfiillen  kann ,  von  denen  der  erste  Theil  der  positiv  elektrischen 
Masse  4*  ^  des  ersten  Elements  auf  die  positiv  elektrische  ,+  e  des  zweiten 
entspricht,  während  die  übrigen  Theile  den  Wirkungen  von  +e  auf  ^— -e, 
von  —  e  auf  —  e  und  von  —  e  auf  +  e  entsprechen.  Jeder  dieser  vier 
Ausdrücke  besass  dieselbe  Form,  als  das  aus  der  Discussion  der  drei  spe- 
dellen  Thatsachen  hervorgegangene  Gesetz,  nämlich : 

dr  d*r     ,  • 

wobei  r  die  Entfernung,  sowie  —  und  — ^  die  relative  Geschwindigkeit  und 

Beschleunigung  der  elektrischen  Massen  bedeuten  und  a  eine  Constante  ist, 
welche  durch  Versuche  zu  bestimmen  ist.  —  Hierauf  zeigte  Weber,  dass 
man  umgekehrt  das  Gesetz  Amp^re^s  wiederum  aus  dem  allgemeinen 
Grundgesetze  ableiten  könne. 

Es  soll  in  diesem  Aufsatze  —  um  kurz  zu  sein  —  nur  eine  der  beiden 
Ableitungen  gegeben  werden  und  zwar  die  letztere,  es  wird  leicht  sein,  dar- 
nach zu  ersehen,  auf  welche  Weise  die  erstere  zu  bewerkstelligen  sein  würde. 

Die  Elemente 9  deren  Wirkungen  auf  einander  in  Betracht  gezogen 
werden  sollen,  mögen  Curven  angehören,  äeren  Gleichungen  auf  ein  recht- 
winkliges Raumcoordinatensystem  bezogen,  folgende  sind: 


*)  Elektrodynamische  Maasbestiminungen,  1846,  8.  113. 

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274  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 


femer  möge  t  die  Intensität,  u  die  VerBchiebungsgeschwiudigkeit  des  durch 
die  erste  Curve  hindarchfliessenden  Stromes  sein,  sowie  t '  die  Strominten- 
sität und  u  die  Verschiebungsgeschwindigkeit  in  der  zweiten.  Curve  bedeu- 
ten, wobei  unter  u  und  u  die  absoluten  Werthe  der  Geschwindigkeiten 
zu  verstehen  sind.  Die  Coordinaten  x  ^  y^  2;,  $1 17»  t  können  aber  zugleich 
zur  Bezeichnung  der  Stellen  im  ßaume  benutzt  werden ,  an  welchen  sich 
am  Ende  einer  beliebigen  Zeit  /  die  elektrischen  Massea  befinden.   Es  ver- 

ids 

steht  sich  hiernach  von  selbst,    dass  a:,  y,  z  für  die  Masse  H andre 

ids 

Werthe  besitzen  müssen,  als  für  die  elektrische  Masse etc. 

u 

Es  möge  nun  zunächst  die  Einwirkung  der  positiv  elektHschen  Masseu 

1 ds  t  ds 

H und  H ;-  auf  einander  bestimmt  werden ,   aus  dieser  lassen  sich 

u  u 

die  Einwirkungen  der  übrigen  elektrischen  Massen  auf  einander  durch  Zei- 

chenvertauschung  leicht  ableiten.    Das  allgemeine  elektrische  Grundgesetz 

enthält  die  Grössen -—  und  — ^,   welche  durch  Differentiation   folgender 

Gleichung  erhalten  werden  können: 

1)  r'  =  (g-»)«  +  (i,-y)» +  «-«)«. 

Man  hat  bei  dieser  Differentiation  immer  zu  berücksichtigeB,  dass,  wenn 
.man  ixxmdt  wachsen  lässt,  die  Curvenbögen  s  (den  Xy  y,  z  zugehörig)  um 
</«=2ti  d^  .und  /  (den  £,  1},  ^  angehörig)  um  ds=:udl  zunehmen.  Man 
kann  daher  achreiben: 

(d^ds 


dr .  \(^^ dxds\ 

'^— (§      ^^\ds  dt       dsdij 
.    ,  x(dnds       dyd8\ 

+  (^-y)U.77-T::77) 


dl        dsdtJ 


oder: 


dr 
'dl 


.      ,        [  /dt  ds       dzds\ 

+  ('-»)("-S-"r:) 


Die  Anordnung  der  Glieder  dieses  Ausdruckes  nach  u  und  u  und  die  Divi- 
sion der  ganzen  Gleichung  durch  r  ergiebt: 

it        "  \    r      d*'"*"     r     ds'^    r      ds') 


dt 


\    r      ds  r      ds  r     ds)    <^  1 


uigiiizea  oy  ^ 


Von  Dr.  Emil  Kahl,  275 


oder : 

2)  —  =  m'  cos  6'  — u  cos  6, 

wobei  S  der  Winkel  ist,  den  r  mit  ds  einschliesst  und  ©'  der  Winkel,  den 

r  mit  ds'  einschliesst. 

<ir 
Differentiirt  man  nun  r—-  nochmals,  so  erhält  maij  unter  Berücksich- 
ät 

^     ,  ,  ds  ^  ds' 

tigung  der  Beziehungen:  -—  =  w  und  —  =«  : 

Oder,  wenn  uau  die  Glieder  nach  den  Grössen  u  nod  u  anordnet: 

\ds  ds    '  dsds       dsds  / 
Indem  man  nnter  Anderem  berücksichtigt ^  dass   der  Ausdruck  unter  der 
letzten  Klammer  den  cosb  darstellt^  wobei  £  den  Winkel  bedeutet,  welchen 
die  Stromrichtungen  in  den  Elementen  i/^  und  ds  mit  einander  einschlios- 
sen,  erhält  man  schlienslich: 


—  Zun  •COS  f. 

Die  Anwendung  des  allgemeinen  Grundgesetzes : 
ee 


';^l'--[-©'+-^]l 


erfordert  den  Ausdruck  für : 

rdr\*^    d*r 


den  man  erhält,  sobald  man  die  Gleichung  i)  mit  2  multiplicirt  und  dann 

oogle 


das  dreifache  Quadrat  von  2)  addirt,  denn: 

*"  '  uigiüzea  oy 


276  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

Man  erhält  bei  Aasführang  dieser  Operation  und  indem  man  sogleich  den 

Factor  «•  und  die  Factoren  H und  H ;-,  wie  es  das  Grundgesetz  ver- 

u  u 

langt,  hinzusetzt,  fUr  die  Einwirkung  der  positiven  Massen : 


^        ^i)  a^ii'ds  ds* 
—  ^cos B+  6  CO80  cosß} — . 

Die  Gleichung  4)  enthält  alles,  was  sofort  zur  vollständigen  Anflösung 
der  Aufgabe  führen  kann,  denn  das  dritte  Glied  des  Grundgesetze« 

ee idsi'ds    1 

r*  M      u    *  r* 

braucht  man  nicht,  weil  dieses  die  statische  Wirkung  der  Massen  repräsen- 
tirend,  bei  dem  Zusammenziehen  mit  den  statischen  Wirkungen  der  andern 
drei  Masseu  mit  diesen  zusammen  der  Null  gleich  wird.  Der  Ausdruck  4) 
stellt  die  dynamischen  Wirkungen  der  positiven  Massen  dar,  wie  sie  sich 
im  betrachteten  Augenblicke  (/  =  O)  herausstellen ,  wenn  man  jetzt  unter 
6,  &\  f,  ä:,  y,  z,  f ,  1],  f,  und  unter  dem  zweiten  Differentialquotienten  der 
letzten  sechs  Grössen  diejenigen  Werthe  dieser  Functionen  von  i  versteht, 
welche  sie  für  f  =  0  annehmen.  Derselbe  Ausdruck  4)  stellt  auch  die  dy- 
aamischen  Wirkufrgen  der  übrigen  drei  Massen  vor,  sobald  man:  — u  statt 

u  schreibt,  um  von  der  Masse  -| auf  die  Masse ,  und  —  m'  statt 

u  u 

.  .  t  ''j  ' 

u  schreibt,  um  von  der  Masse  +  — 7-  auf  die  Masse 7-    zu  (gelangen. 

u  u 

Die  oben  genannten  Grössen  6,  0\  e,  x,  y,  z,  £,  rj,  {;  etc.  bleiben  hierbei  un- 
geäudert,  denn  dieselben  müssen  für  /=:0  Coordinaten-  und  Winkel- 
wertlie  an  denselben  zwei  Punkten  der  Curven  geben.  Bildet  man  nun, 
um  die  noch  fehlenden  drei  dynamischen  Wechselwirkungen  zu  erhalten, 
aus  4)  die  drei  entsprechenden  Ausdrücke,  indem  man  die  geeigneten  Zei- 
chen vertauschungen  vornimmt,  und  addirt  dann  die  den  vier  Wechselwir- 
kungen entsprechenden  Ausdrücke,   so  erkennt  man:  die  Glieder,   die  — , 

und  —  enthalten,  geben  in  Summa  Null,  die  von  u  und  u  freien  Glieder  be- 

halten  jedoch  bei  allen  Zeichenvertauschungen  dasselbe  VörzeichoUf  so  dass 
man  als  Gcsammtwcchselwirkuug  erhält:  uigizea oy  vjOOQl^ 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  277 

5)  —  16«* . j —  \cos  f  —  I  CO*  6  cos  0 ). 

Man  erkennt  hieran»,  dass  Weber '9  allgemeines  Grundgeset«  das  Am- 
pere*8che  Gesetz  als  einen  speciellen  Fall  in  sich  enthält,  was  zu  bewei- 
sen war.  Gleichzeitig  bemerkt  man,  dass  der  Ausdruck  5)  zur  Bestimmnng 
der  Constantea  a  benutzt  werden  kann.  Hierzu  ist  erforderlich,  dass  man 
a)  eine  Maaseinheit  für  das  elektrische  Flufduni,  aus  seinen  Ferne  Wirkungen 
definirt,  z.  B.  folgende,  festsetzt:  die  Einheit  des  elektrischen  Fluidums  ist 
diejenige  Menge,  welche  in  einem  Punkte  concentrirt,  auf  die  ihr  gleiche 
Menge  in  der Entfemnngseinheit  die  abstossende Kraft  1  ausübt;  b')  dass  man 
statisch  eine  grössere  Menge  Elektricität  nach  dem  angegebenen  3Iaase  messe 
und  dann  c)  in  einer  genau  bekannten  Zeit  durch  Leiter  hindurchfiiessen  lasse, 
welche  beweglich  aufgehangen  sind  und  deren  Wirkung  auf  einander  man 
beobachtet.  Die  beobachtete  und  aus  5)  berechnete  Wirkung  wird  dann 
auf  den  numerisehen  Werth  der  Constanten  a  führen.  Wie  man  es  hierbei 
möglich  machen  kann,  einen  Strom  durch  statisch  aufgehäufte  Elektrici- 
tät  herzustellen,  welcher  einem  galvanischen  Strome  so  viel  als  möglich 
gleicht,  soll  in  einem  späteren  Capitel  gezeigt  werden,  wo  die  Bestimmung 
der  Constanten  a  ausführlicher  besprochen  werden  wird.  Es  möge  hierbei 
noch  folgende  Bemerkung  Platz  finden.  Berechnet  man  mit  Hülfe  von  4) 
den  Unterschied  der  Kraft,  welche  vom  Strome  \  va^dt  auf  die  positiv 
elektrische  Masse  in  dr  und  derjenigen  Kraft,  welche  vom  Strome  i'  in  ds 
auf  die  negativ  elektrische  Masse  in  ds  ausgeübt  wird,  so  findet  man,  dass 
dieser  Unterschied  der  Null  gleich  ist,  d.h.  durch  den  Strom  %  in  ds  werden 
neue  scheidende  Kräfte  im  Elemente  ds  nicht  hervorgerufen,  die  Strom- 
stärke bleibt  ungeändert.  Ebenso  wird  durch  den  Strom  t  in  e/«  die  Strom- 
stärke im  Elemente  ds  nicht  verändert. 


§.  7.  Indaotioii  durch  Bewegung  eines  neutralen  Drahtelementes  i|i  der 
Vähe  eines  ruhenden  Stromelementäs. 

Die  Coordinaten  des  ruhenden  Drafatelementes  ds^  in  welchem  ein 
Strom  von  der  Stärke  i  vorhanden  ist  (Verschiebungsgeschwindigkeit  +  u 
der  Elektricität)  seien  am  Ende  der  Zeit  i  in  Bezug  auf  ein  rechtwinkliges 
Coordinatensystem  ^r,  y,  z,  im  betrachteten  Augenblicke  (/=:0)  jedoch  j?oi 
^0)  ^0  9  di^  Coordinaten  des  Elementes  ds  seien  \^  t;,  t  aip  Ende  der  Zeit  i\ 
lot  ^0»  ?«  '°™  betrachteten  Augenblicke  f  =  0.  Die  Men^e  der  Elektricität, 
welche  im  neutralen  Leiter  auf  die  Strecke  1  kommt,  sei  Hh  c\  die  Induction 
werde  bewerkstelligt,  indem  der  Leiter  ds  inr  einer  Bichtung  mit  der  Ge- 
sehwindigkeit  xi  fortbewegt  wird ,  welche  mit  der  von  ds  nach  ds'  gezoge- 
nen Verbindungslinie  r  beider  Elemente  den  L^'  und  mit  den  positiven  Co- 
ordinatenachsen  die  Winkel  o,  iS,  y  einschliesst.     Ferner  möge  der  Winkel, 

uigiüzea  Dy  x-j  v>'v^p^Lv, 


278  Die  Fandaxucnte  der  EUektrodynamik. 

den  r  mit  ds  bildet,  durch  S  und  der  Winkel,  den  ds  mit  der  Richtung  von 
u  einschliesst^  durch  e  bezeichnet  werden. 

•  Der  gegenwärtige  Fall  unterscheidet  sich  von  dem  vorigen  dadurch, 
dass  hier  die  beiden  elektrischen  Maesen  +eds  im  neutralen  Leiter  mit 
derselben  Geschwindigkeit  u  nach  derselben'  Kichtung  hin  fortbewegt  wer- 
den.    Daher  haben  wir  zunächst  ftir^die  beiden  positiv  elektrischen  Massen 

I  ^if 
-j und  eds'  am  Ende  der  Zeit  t: 

u 

Die  Differentiation  nach  /  ergiebt  unter  Berücksichtigung  der  Beziehungen 

dx       dx  ds         dx    ^ 
-- a:*-— .-—=11-—  etc.: 
dl        ds    dt         ds 


dr       ,v    I     '^  \/  '  ^^\ 

•--  =  (lo  +  M  icosa-^x^yu  cosa  —  Uj^J 

+  {rio+ntc6sß--'y)[ucosß^u^j 


oder: 


dt 


-==M  (  ^^-^ .COS  OL  ^  -^ ; ^ ^  COSß 

t  \  r  r  ^ 

+  — '- CQSyj 

f^o  +  u'ifosa  —  X  dx       rj^  +  ufcosß — p  dy 
\  r  ds  r  ds 


io'h  ui  cos  Y  —  z  dz\ 
"*"  r  Ml) 


oder 


2)  ~z=u  cos  & —  ti  cos  S. 

dr 
Die  nochmalige  Differentiation  der  Gleichung  r —  ergiebt: 

d'r^/dry      (  ,  dxV.   (  ,       ^         dy\«      /  ,  d%y 

*-r-« +\-7~/  =1 «  cosa-^u—-  1  +  l  tt  cosa  —  n-f-]  4- 1  u  cosy  —  «-—  / 

dt*^\dt/       \  dsj^\         ^        ds/^\         ^         ds) 


-&''^ 


d^y 
+  «'(  costt  —  ir)  +  —  (i;<,  +  utcosß  —  z) 


Ordnet  mau  die  Glieder  nach  den  Grössen  t/,  u'  an,  so  erhält  man, 
wenn  man  zugleich  die  Formeln  dem  betrachteten  Augenblicke  /  =  0  an- 

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Von  Dn  Emil  Kahl.  27» 


+  «'*  [cos*  a^  +  cos*  ßo  +  co^Yo] 

— «'!«»'«.(^).+  -AC^).  +  "".(r:).t. 

oder: 

+  u*'—2uucost. 
Bildet  man  d«]i  denjenigen  Ansdnick,    welcher  dem  djnamisehe  n 

Theile  der  Wechselwirkung  der  beiden  positiven  elektrischen  Massen  -| 

nnd  +  eds  entspricht,  indem  man  berücksichtiget: 

f   d*r   ,    /rfrYl         (dr\  d*r      /drV 

so  erhalt  man  für  diesen  dynamischen  Theil  die  Wirkung: 

i^ie'dsdt'i   r  ,^         /rf*a:\  ,,.  s      {^'A  ,         ^ 

H [2  — 3ro5«e']  —  4//co5e  +  6MVo5eco5Ö'|. 

Dieser  Ausdrnck   giebt  die  Weckseiwirkung  von auf  +  eds\ 

wenn  man  — u  statt  +u  schreibt;  um  dann  aus  diesen  beiden  Wirkungen 
von  +  —  Auf  eds'  die  Wirkung  beider  Massen  +  —  auf  — eds'  zu  fin-  * 

'-"II  ^  —     M 

den,  braucht  man  nur  in  den  ersten  beiden  Ausdrücken  —  e  statt  +e'  zu 
schreiben.  Die  Grössen  |oi  Vo^  to  ®**^*  bleiben  in  allen  Fällen  dieselben,  da 
sie  Beziehungen  der  Lage  der  elektrischen  Massen  zu  Anfange  der  Zeit 
/  =  0  darstellen,  welche  Lage  für  alle  Massen  !m  betrachteten  Augenblicke 

ids 

dieselbe  ist.     Addirt  man  nun  die  Wechselwirkung  von  H nnd  von 

°  u 

9k\i£  eds\  so  erhält  man  als  Ausdruck  für  die  Kraft: 


Sa*ie'udsd8  . 
■ "5 {ras  i  —  ^rosQ  cos  S ). 


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280  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

Durch  Vertauschung  von  +  %  mit  — e  erhftlt  man  hieraus  die  Kraft, 

mit  welcher  die  Massen  H und auf  die  Masse  — cdi  wirkt, 

u  .    w 

nämlich : 

%a*iextdsd$  ,  .        ^        _^,. 

-|- -j^ [cos  €  —  \cosS  cos  S ). 

Die  Summe  dieser  beiden  Kräfte  ist  hiemach  der  Null  gleich ,  so  dass  also 
auf  das  neutrale  Element  keine  Kraft  übertragen  werden  kann,  welche  das- 
selbe in  Bewegung  setzen  könnte;  die  Differene  beider  ELräfte  aber,  d.i.  die 
Kraft,  mit  welcher  die  beiden  elektrischen  Massen  von  einander  bewegt 
worden  sind,  ist  feigende: 

Wa^ieuds  ds\  ,        ^        ^,. 
j^ [coss  —  ^cosB  cos  ß  ). 

Das  negative  Vorzeichen  bedeutet  das  Bestreben,  die  positive  Elektri- 
eität  in  ds'  in  der  Richtung  von  ds'  nach  ds  zu  bewegen.  Da  indess  die 
Scheidung  bei  linearen  Leitern  nur  in  deren  Richtung  stattfinden  kann ,  so 
muss  die  gefundene  elektromotorische  Kraft  in  eine  Componente ,  die  mit 
ds'  zusammenfUllt  und  in  eine  gegen  ds  senkrechte  Componente  zerlegt 
werden.  Für  die  erstere,  welche  hier  allein  wirkt,  kann  der  Ausdruck  ge- 
funden werden,  indem  man  die  ganze  elektromotorische  Kraft  mit  dem  Co- 
sinus des  spitzen  Winkels  <p  multiplicirt ,  welchen  das  Element  ds'  mit  der 
von  ds  nach  ds'  gezogenen  und  darüber  hinaus  verlängerten  Richtung  r 
bildet.  Die  elektromotorische  Kraft,  die  auf  ein  Element  wirkt,  wird  ge- 
wöhnlich als  der  Unterschied  derjenigen  gleich  grossen  aber  entgegengesetzt 
gerichteten  Kräfte  definirt,  welche  auf  die  im  Leiter  ds'  vereinigte  Elektri- 
cität  einwirken  würden,  sobald  in  der  Längeneinheit  des  Leiters  nur  die  Ein- 
heit der  positiven  Elektricität,  vereinigt  mit  der  Einheit  der  negativen  Elek- 
tricität,  enthalten  wäre.  Hiernach  ist  die  elektromotorische  Kraft  in  gegen- 
wärtigem FaUe : 

l^a*iuds  ds' ,  ,        ^        ^,^ 

5) -j {cos€  —  \cosßcosß)  ,costp. 

Ein  positives  Vorzeichen  dieses  Ausdruckes  bedeutet,  dass  sich  die  po- 
sitive Elektricität  im  Elemente  ds'  nach  der  Richtung  bewegt,  welche  mit 
r  den  Winkel  9  eiuschliesst. 

§•  8.  Induotion  in  einem  ruhenden  Drahtelemente  durch  ein  in  der  Vfthe 
bewegtet  conatantaa  Stromelement. 

Das  Inductiousgesetz  braucht  für  den  Fall,  dass  der  luducent  ds  einen 
Constanten  Strom  enthält  und  mit  der  Geschwindigkeit  v  bewegt  wird, 
nicht  besonders  entwickelt  zu  werden,  denn  es  lässt  sich  durch  dieselbe  Un- 
tersuchung wie  in  S.  7  auffinden.  Denkt  man  sich  nämlich  beiden  Elemen- 
ten ds  und  ds'  die  Geschwindigkeit  —  v'  ^^^  u  ertheHt,  so  findet  man,  dass 
ds'  in  die  Geschwindigkeit  u  übergehen,  ds  aber  in  Ruhe  kommen  würde. 

uigiüzea  oy  'vj  vyv^'i  ln^ 


Von  Dr.  Eiql  Kahi«.  28t 

Dabei  bleibt  die  relative  Entfernung  r  beider  Elemente  in  jedem  Augen- 
blicke ebensogross,  als  wenn  die  Geschwindigkeit  — v  =ti'  nicbt  einge- 
führt worden  wäre.  Ans  diesem  Grunde  gilt  der  Ausdruck  r*  ($.  7,  1) 
auch  für  den  vorliegenden  Fall,  wenn  man  dieselbe  Beseichnung  beibehält, 
und  alles,  was  ans  r*  abgeleitet  wird,  muss  für  den  gegenwärtigen  Fall  den- 
selben Ausdruck  erhalten,  wie  für  den  vorhergehenden,  so  dass  man  schliess- 
lich auch  den  Ausdrucks)  ($.7)  fdr  die  elektromotorische Kraf^bekommen 
wird,  in  welcher  sich  die  Winkel  «,  &  auf  die  Geschwindigkeit  — »'=«' 
beziehen. 

§.  9.  Induction  duroh  Aendanmg  der  Stromftftrke  im  Indueenten. 
Die  Intensität  t  des  Stromes  im  Elemente  ds  ändere  sich  in  der  Zeit 

dt  um  --  .di^  in  der  Nähe  befinde  sich  ein  Element  dSy  welches  bereits 
dt 

den  Constanten  Strom  i'  vor  der  Induction  durch  ds  enthielt.  Die  Entfer- 
nung beider  Elemente  sei  r  (r  von  ds  nach  ds'  gezogen  gedacht),  die  Win- 
kel von  ds  und  ds  mit  r  seien  6  und  B\  der  Winkel  von  ds  und  ds  sei  e. 
Die  übrigen  Bezeichnungen  mögen  dieselben  sein ,  wie  in  $•  6 ,  man  erhält 
dann  durch  nochmalige  Differentiation  des  Ausdruckes  1)  daselbst,  ebenso 
wie  dort,  den  Ausdruck: 

---  =  u  cosß  —  ucos  &, 
dt 

Bei  der  zweiten  Differentiation  von  H  hat  man  jedoch  zu  berücksichtigen, 

dass  u  auch  mit  der  Zeit  variirt  und  es  bedürfen  daher  die  Gleichungen  des 

S.  6,  von  No.  2  ab  bis  mit  No.  3  noch  folgenden  Zusatzes,  um  dieselbe  auf 

gegenwärtigen  Fall  anwenden  zu  können : 

80  dass  man  nnn  erhült: 

—  2uu  cose  —  rcosß-r:. 
dt 

Bildet  man  im  allgemeinen  Grundgesetze : 

den  djnamischen  Theil  zunächst  für  die  Einwirkung  der  beiden  positiven 
elektrischen  Mass&n  aufeinander  mit  Hülfe  des  Schema's: 

und  berücksichtigt,  dass :  LJigmzed  by  LjOOglC 

Zeitschrift  f.  Mathematik  q.  Physik.  V.  l^ 


du 
rcosB-j-^ 
dl 


282  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 


ids     \     tds 


) 


c  = 


u 


80  erbJllt  man : 

1 )  Wirkung  von  H aar  H r- 


dt 

—  2  —  i'd»  d«'— ;  €0$  6+6  -i  II 'd^  rf/.  CO«  6  cos  & 

r  u  r* 

—  4-i  tt  d^d«  cos 5, 

r" 

Vertauscht  man  in  1)  w  durch  — «,  so  erhält  man  die  Einwirkung  von 

ids      ^,i'ds       ,,_             ,.,             -,.      .,                      ids      ^       i'ds' 
auf  +  — 7— f  addirt  man  diese  aur  Einwirkung  von  -4 aut  i 7- 

i'ds* 
80  erhält  man  als  vereinigte  Wirkung  auf  +  — r-  • 

«\  4^'j    j'    •'        Ä^*       Sa*ii*dsds'  .  .         _        ^.. 

2)  — . —  dsds  .—,cos&-r, r (coss — i  cosBcosQu 

*  r  u  dt  r^  ^  ^  ' 

Schreibt  man  in  der  vorigen  Gleichung  — u  statt  +m',  so  erhält  man  die 

i'ds 
vereinigte  Wirkung  der  Massen  auf r-  ,  nämlich : 

o\      I   4**j    ji  '   •'       ^^^      %<^%%dsds  .  ,        ^    \q'n 

3)  i dsds  .—,cos%rL z (coss — |co«6cos6). 

Die  Summe  dieser  beiden  Kräfte  ist  die  elektrodynamische  Wirkung  des 
Stromtheilchens  ds  auf  das  Stromtlieilchen  ds\  nämlich : 
A^  \^aHi'dsds  .  ,         .         .,^ 

während  die  Differenz  beider  Kräfte  die  in  Richtung  von  r  ausgeübte 
elektromotorische  Kraft  bedeutet,  sie  ist: 

5)  dS  ,d6  .—tCOSBrr  < 

'  r  u  d/ 

Versteht  man,  wie  gewöhnlich,  unter  elektromotorischer  Kraft  die 
Kraft,  welche  auf  die  im  Elemente  ds  befindliehe  Elektricität  scheidend 
einwirken  würde,  sobald  in  der  Längeneinheit  des  Leiters  nur  die  Einheit 
der  positiven  Elektricität  mit  der  Einheit  der  negativen  Elektricität  ver- 
einigt wäre ,  so  erhält  man  für  die  elektromotorische  in  der  Richtung  des 
Elementes  ds  wirkende  Kraft  den  Ausdruck:  uigmzeaoy '«^v^w^l^ 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  283 

6)  dsds'.cosBcosS'  -r. 

r  dt 

Der  positive  Werth  dieses  Aaadnickes  bezeichnet  einen  im  Elemente  d« 

indncirten  elektrischen  Strom  nach  derjenigen  Richtung ,   welche  mit  der 

yerläpgerten  Geraden  r  den  Winkel  8  bildet,  ein  negativer  Werth  dieses 

Ausdruckes  bezeichnet  daher  .einen  Strom  ia  entgegengesetzter  Richtung. 

§.  10.  Das  aUgemeine  Induotionsgesets. 
Im  S«  7  war  die  elektromotorische  Kraft  in  demjenigen  Falle  berechnet 
worden,  in  welchem  in  der  Nähe  eines  von  einem  constanten  Strome  t  dnrch- 
flossenen  Elementes  ds  ein  neutrales  Element  ds  mit  der  Geschwindigkeit 
u  bewegt  wird,  wobei  die  Winkel  L(rf*,  r)  =  8,  L{ds,u)=s:S'  und 
L{d$,u)=iSy  L{d8\/)  =  (p  genannt  wurden.  Vervollständigt  man  nun 
diesen  Fall  dahin,  dass  man  annimmt >  i  sei  nicht  constant,  sondern  in  der 
Zeit  d(  ändere  sich  t  um  dt,  so  erhält  man  für  die  elektromotorische  Kraft, 
welche  auf  die  in  der  Längeneinheit  des  Leiters  ds  enthaltene  Elektricität 
ausgeübt  wird,  folgenden  Ausdruck ,  welcher ,  um  die  der  vorigen  ähnliehe, 
etwas  umständliche  Rechnung  nicht  zu  wiederholen ,  hier  nur  im  Resultate 
gegeben  werden  möge : 

r-  t  ds  diu  (cos  e  —  ^  cosQ  cos  &)  cosw  —  B  —  ds  ds\  cos  S  cos  &—  > 

d.  h.  die  elektromotorische, Kraft  ist  in  diesem  Falle  der  Summe  derjenigen 
elektromotorischen  Kräfte  gleich,  welche  «taitfinden  würden,  wenn  1)  der 
Strom  i  in  ds  constant  wäre  und  der  Leiter  ds  mit  der  Geschwindigkeit  u 
bewegt  würde,  ^)  wenn  der  Strom  t  in  ds  variabel  wäre  und  der  Leiter  ds' 
sieh  in  Ruhe  befKnde. 

§•  IL  Vergleicli  dar  erbalteven  Aasultata  über  die  Indoction  mit  der 

ErÜEüining. 
Lenz  hat  aus  der  Erfahrung,  speciell  aus  drei  Inductionsversuchen, 
vom  denen  der  eine  von  ihm  selbst,  die  beiden  andern  von  Faraday  und 
Nobili  angestellt  wurden,  folgende  allgemeine  Regel  über  die  Richtung 
des  Stromes  aufgestellt,  welcher  in  einem  neutralen  Leiter  bei  Bewegung 
desselben  in  der  Nähe  eines  festen  Stromleiters  inducirt  wird.  Man  denke 
sich  zunächst  beide  Leiter  in  derjenigen  Lage,  welche  sie  beim  Beginn  des 
Inductionsversuches  haben ,  dabei  den  beweglichen  Leiter  nur  in  der  Rieh* 
tung  beweglich,  in  welcher  er  beim  Inductionsversuche  durch  äussere  Kräfte 
wirklieh  bewegt  wird.  Nun  denke  man  sieh  plötzlich  in  den  neutralen 
Leiter  einen  Strom  von  beliebiger  Stärke  versetzt;  die  Richtung  dieses 
Stromes  möge  in  dem  Falle  A  genannt  werden ,  in  welchem  der  Strom  im 
festen  Leiter  auf  erste ren  eine  elektrodynamische  Wirkung  ausübt,  welche 
den  beweglichen  Leiter  in  der  Richtung  verschiebt,  in  welcher  er  beim  Iif- 
ductionsversuche  durch  äussere  Kräfte  wirklich  bewegt  wird.     Die  Regef 

19* 


284  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

von  Lenz  ist  nun  die ,  dass  der  Inductionsstrom  stets  der  Kichtnng  von  A 
entgegonfliesst.  Es  ist  dies  auch  so  ausgedrückt  worden :  der  Indactions- 
tftrom  ist  immer  so  gerichtet,  dass  die  elektrodynamische  Wirkung  des  festen 
Leiters  auf  ihn  Widerstand  gegen  die  durch  äussere  Kräfte  hervorgehrachte 
Bewegung  des  beweglichen  Leiters  hervorbringt. 

Neumann''')  hat  ana  dem  oben  erwähnten  Satze  von  Lenz  mit  Hin- 
zuziehung der  empirischen  Regel,  dass  die  Stärke  der  momentanen  Induc- 
tion  bei  der  Bewegung  des  neutralen  Leiters  der  Geschwindigkeit  von  des- 
sen Bewegung  proportional  sei,  einen  Satz  abgeleitet,  welcher  sich  zunächst 
auf  die  inducirende  Wirkung  eines  geschlossenen  Stromes  oder  Magneten 
auf  ein  Element  eines  in  der  Nähe  bewegten  neutralen  Leiters  bezieht. 
Dieses  Gesetz  wird  in..^;  10  mitgetheilt  werden,  woselbst  auch  der  Nachweis 
geführt  werden  wird,  dass  Weber's  allgemeines  Grundgesetz  der  Elektrici- 
tätslehre  ebenfalls  auf  das  Inductionsgesetz  von  Neumann  führt.  Da  nun 
letzteres  eine  hohe  Wahrscheinlichkeit  für  sich  in  Anspruch  nehmen  darf, 
da  es  aus  allgemein  gültigen  empirischen  Regeln  abgeleitet  wurde,  so  liegt 
in  derUebereinstimmung  beider  Gesetze  eine  neue  Bestätigung  von  Weber'« 
Grundgesetz  der  Elektricitätslehre« 

Eine  weitere  Bestätigung  finden  die  ans  dem  allgemeinen  Grundgesetze 
Weber's  abgeleiteten  Inductionagesetze  in  Schwingungsversuchen,  die  von 
dem  genannten  Gelehrten  mit  dem  Elektrodynamometer  angestellt  wurden. 
Weber  wendete  hierbei  eine  grössere  feste  Drahtrolle  Fan,  in  deren  Zwi- 
schenraum eine  bewegliche  Bifilarrolle  so . aufgehangen  war,  dass  die  Win- 
dnngsebenen  beider  Rollen  senkrecht  gegen  einander  waren  und  dass  die 
Mittelpunkte  derselben  zusammenfielen.  Nun  wurde  ein  Strom  dnrch  F 
hindurchgeleitet,  wobei  die  Drahtenden  der  Bifilarrolle  J^  nicht  verknüpft 
waren ,  hierauf  wurde  B  in  Schwingungen  versetzt  und  die  Elongationen 
der  schwingenden  Rolle  beobachtet.  Die  Elongationen  nehmen  hierbei  des 
Luftwiderstandes  wegen,  welcher  In  jedem  Augenblicke  der  Winkelge- 
schwindigkeit der  schwingenden  Rolle  proportional  ist,  in  einer  geometri- 
schen Reihe  ah.  Derselbe  Versuch  wurde  hierauf  mit  dem  Unterschiade 
wiederholt,  dass  die  Drahtenden  der  beweglichen  Rolle  mit  einander  ver- 
knüpft wurden;  die  Schwingungen  der  Bifilarrolle  erlitten  nun  ausser  durch 
den  Luftwiderstand  auch  noch  durch  die  elektrodynamische  Wirkung  der 
Rolle  F  auf  den  in  B  durch  die  Schwingungsbewegung  inducirten  Strom 
eine  Dämpfung;  Die  Dämpfung  geschah,  wie  vorhin  in  der  Weise,  dass 
die  aufeinander  folgenden  Elongationen  in  einer  geometrischen  Reihe 
abnahmen,  deren  Exponent  jedoch  grösser  war,  als  in  dem  Falle,  wo  der 
Luftwiderstand  allein  wirkte,  die  Dämpfung  musste  deshalb  auch  in  diesem 
Falle  der  Winkelgeschwindigkeit  der  Bifilarrolle  proportional  gewesen  sein. 
Dieses  Erfahrungsresnltat  stimmt  ganz  mit  dem  ans  Weber's  Grundgesets 

*)  K  e  u  m  a  n  n ,  die  mathematischen  Gesetze  der  indacirten  elektrischen  Ströme, 

Berlin  1846,  8.  13.  uigmzeaoy  ^^jv^w^l^ 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  285 

sich  ergebenden  Resultate  ifberein^  nach  welchem  in  diesem  Falle  die  elek-  , 
trodynamische  Dämpfung  in  jedem  Augenblicke  der  Geschwindigkeit ,  mit 
welcher  sich  B  bewegt,  proportional  sein  mnss.  * 

Endlich  hat  Weber  noch  eine  Reihe  wichtiger  Versuche  angestellt,  bei 
denen  die  Voltainduction  mit  dpr  Magnetin dnction  verglichen  wurde.  Er 
bewies  durch  diese  Versuche^  dass  ein  geschlossener  Strom  S^  welcher  das^ 
selbe  Drehungsmoment  auf  die  von  einem  coustanten  Strome  durchiiossene 
Bifilarrolle  hervorbringt,  als  ein  an  seine  Stelle  gebrachter  Magnet  M,  einen 
Strom  von  derselben  Stärke,  als  der  Magnet  ^  in  der  Bifilarrolle  inducirt, 
sobald  die  letztere,  wenn  sie  keinen  Strom  enthält,  in  der  Nähe  beider  In- 
ducenten  in  derselben  Weise  sehr  kleine  Schwingungen  macht*  Dieses  Er- 
fahrungsresultat lässt  sich  nun  ebenfalls  theoretisch  aus  dem  Gesetze  der 
Magnetinduction  und  aus  den  luductiousgosetzen  ableiteu;  die  aus  Weber's 
Grundgesetzen  hervorgehen ,  wodurch  die  Ueberoinstimmung  von  letzteren 
mit  der  Erfahrung  aufs  Neue  nachgewiesen  wurde. 

Nach  Anführung  dieser  Inductionsversnche  erscheint  es  nothwendig, 
eine  Erörterung  ttber  die  Bewegung  der  Elektricität  bei  den  Inductions- 
strömen  anzustellen.  In  der  Mehrzahl  der  Fälle  werden  auf  die  Elektrici- 
tät in  den  einzelnen  Elementen  des  Leiters  elektromotorische  Kräfte  ausge- 
übt ,  die  den  Widerständen  in  dieseti  Elementen  nicht  proportional  sind ; 
2.  B.  wenn  ein  Magnetstab  zwar  rechtwinklig  gegen  die  Winduugsebenen 
eines  Multiplicators^  aber  nicht  durch  dessen  Mitte  hindurchgezogen  wird. 
Es  häuft  sich  dann  dieEIektricität-an  einzelnen  Stellen  der  Kette  an,  allein 
es  entsteht  demohngeachtet,  wie  die  Erfahrung  lehrt,  in  den  meisten  Fällen 
sehr  bald  ein  Strom,  für  welchen  das  Obm'sche  Gesetz  Geltung  besitzt.  Die 
anfängliche  ungleichförmige  Strömung. hat  übrigens  auf  elektrodyna- 
mische Einwirkungen  entweder  gar  keinen  oder  nur  einen  sehr  geringen 
Einfluss,  wie  Weber  aus  dem  allgemeinen  Grundgesetz  der  Elektricitäts- 
lehre  bewiesen  hat  Bei  den  bis  jetzt  beschriebenen  und  noch  zu  beschrei- 
benden Inductionsversuchen  Webers  ist  übrigens  der  Strom  jedc^rzeit  ein 
Stecher  gewesen ,  dass  er  einem  kurz  andauernden  constanten  Strom  gleich 
BU  setzen  war,  so  dassf  der  oft  vorkommende  Vergleich  von  constanten  und 
inducirten  Strömen  nichts  Bedenkliches  haben  kann  (s.  S.  17). 

Die  Vorstellung  vom  Widerstände,  welche  in  §.  4  gegeben  wurde, 
könnte  endlich  zu  dem  Bedenken  Veranlassung  geben ,  dass  die  elektrody- 
namischen Grundgesetze  einer  Correction  bedürften ,  indem  bei  ihrer  Ab- 
leitung aus  dem  allgemeinen  Grundgesetze  eine  gleichförmige  Bewegung 
der  Elektricität  in  dem  Umfange  einer  Curve  supponirt  wurde,  während  in 
Wirklichkeit  die  Bewegung  der  elektrischen  Massen  in  der  Nähe  ihres  Be- 
wegungspunktes eine  beschleunigte  oder  verzögerte  sein  wird  und  während 
die  Bahn  derselben  nicht  immer  mit  der  Achse  des  Stromleiters  zusammen- 
fallen kann.  Was  diesen  letzten  Punkt  anbetrifft,  so* hat  Weber*)  gerade 
wiederum  mit  Hülfe  seines  elektrischen  Grundgesetzes  gezeigt,   dass  di43> 


■^\ 


286     Die  Fundamente  der  Elektrodynamik.    Von  Dr.  E.  Kahl. 

,  Annahme  solcher  Abweichungen  keinen  Einflüss  auf  die  elektrodTnami* 
sehen  Gesetze  haben  kann,  sobald  jene  Abweichungen  so  klein  sind,  dass  in 
endlicher  Zeit  nur  eine  mittlere  gleichförmigeVerschiebung  derElek- 
tricitKt  in  derAehse  des  Stromleiters  zu  bemerken  ist.  Die  elektrody- 
namischen Gesetze  sind  im  Gegentheil  dieselben,  als  wenn  von  vorn  herein 
eine  solche  gleichförmige  Verschiebung  in  der  Achse  des  Stromleiters  an- 
genommen wird«  Diese  Untersuchungen  mögen  hier  nur  im  Resultate  mit- 
getheilt  werden,  um  den  Umfang  dieser  Abhandlung  nicht  allzusehr  zu  ver- 
grössern. 


*)  Web  er  j  elektrodynamische  Maasbestimmungen,  Leipzig  1840,  S.  160. 
(Schlass  im  nächsten  Heft.) 


Kleinere  Mittheilungen. 


XXV.  Veber  das  bestimmte  Integral 


dx. 


■ß 


Setzt  man  in  dem  vorliegenden  Integrale  p  als  positiv  voraus,  ^o  muss  man 
dafür  auch  eine  ganze  Zahl  nehmen,  weil  sonst  sinPa:  innerhalb  des  Inte« 
grationsintervalles  theils  reelle,  theils  in) aginäre  Werthe  erhalten  wUrde; 
dagegen  kann  q  eine  beliebige  positive  Grösse  bedeuten.  Die  beiden  Fälle, 
wo  q  ^tweder  eine  ganze  Zahl  oder  von  der  Form  n+  ^  ist,  sind  bereits 
von  Bidone  (Turiner  Memoiren  vom  Jahre  1832)  untersucht  worden;  für 
die  noch  beschrHnkendere  Annahme,  dassp^g  eine  gerade  Zahl  aasmacht, 
hat  Lind  man  (in  Grjiinert's  Archiv,  Th.  17)  zwei  Formeln  aufgestellt, 
welche  mit  den  schon  früher  von  Cauchy  (im  Journal  de  Veeöle  polyteck* 
nique.  cahier  28,  iome  XVII^  p.  170  und  171)  gegebenen  übereinstimmen; 
ausserdem  scheint  aber  keine  allgemeinere  Untersuchung  zu  existiren  und 
auch  in  den  sehr  vollständigen  Integral  tafeln  von  Bierens  de  Haan  fin* 
det  man  nur  die  eben  erwähnten  Resultate.  Demnach  dürfte  der  Nachweia 
nicht  überflüssig  sein,  dass  sich  die  Sache  durch  sehr  einfache  Betrachtun-- 
gen  vollständig  erledigen  lädst. 

I)  Es  sei  isuorst  9  =  1 .     Bei  ungeraden  p  hat  man  bekanntlich 


Kleinere  Miitheilangen,  287 

1)      sinP  X  =       ^y,i [(p)o««/>a:-  (p)|5w(p-2)a:+(p),5tn(p-2)  a:— ... 

darch  Sabstitution  hiervon  und  Anwendung  der  Formel 


j,  /%£.x==,  ^>., 


0 
erhält  man  angenblicklich 

3)  /%5., 

0 

Bei  geraden  p  führt  die  unmittelbare  Benutzung  der  Formel 
4)  gi>iyj;==^      J^    [(p)«C0Äpa;  — (p),C05(p  —  2)a:  +  (p),co«(p  —  2)a: — .... 

zu  einzelnen  Integralen  von  der  Gestalt 


00 

\osßx 


0 


und  da  der  Werth  eines  jeden  derselben  unendlich  ist,  so  hat  das  Kesultat 
die  unbestimmte  Form  <x>  —  oo  +  qo —  etc.  Um  letztere  zu  yermeiden, 
setzen  wir  in  No.  4)  a:  =  0,  multipliciren  die  entstehende  Gleichung 

.        0  =  ^=^'[(p)o-(p).  +  ...+  (-l)*'-«(p)i,_,+(-l)i»i(p)j,] 
mit  cosx  und  ziehen  das  ProductTon  No.  4)  ab;  es  ist  dann 

(—1)*'' 
sinPx=z  ^     _^    [{p)\co8px — co8x\  —  (p)i  \co9{p — 2)x C08X\  +  .  .  .  . 

. . .  +  (—1)4p-i  (p)^j,_Jco«2ar— co»a;} 

+  (-l)*'i(J»)l,{l-CMXj]. 

*  dx 

Multipliciren  wir  diese*  Gleichung  mit  —  und  integriren  zwischen  den 

Grenzen  o:  =  0  und  x  ==:  oo  ,  so  haben  wir  es  mit  einzelnen  Integralen  zu 
thun,  die  nach  der  Formel 

OD 

5)  f'.2llfll£^äx=-iß, 

entwickelbar  sind.  Diese  haben  endliche  Werthe  für  ß=p,  p — 2,  p — 4, 
...2;  das  letzte  Integral  aber,  worin  ^=0,  ist  unendlich  gross  und  folglich 
bei  jedem  geraden  p 

Digitized  by  VjOOQIC 


288  Kleinere  Mittheilungen. 


6)  I dx=^(X) . 

0 
II)' Es  sei  zweitens  q  eineganze  positive  Zahl  >  1.    Durch  n- malige 

Anwendung  der  theil weisen  Integration  findet  man  ganz  allgemein  (d.  h. 

auch  für  jedes  andere  q) 

CsinPx       sinPx  D-sinPx 

^     J  1^     ^~~{q  —  l)x^-^~{q  —  i){q  —  2)x^-^~'" 

D'^^sinPx 


{q  —  l){q-^2)...{q  —  H)x^''- 

_1 rP^sinPx 

'^{q  —  l){q-2)...{q—n)J      x^"-        ^* 
wohei  nur  n  <  ^  vorauszusetzen  ist.     Handelt  es  sich  nun  überhaupt  um 
einen  Ausdruck  von  der  Form 

,   ^       D^-^sinPa: 

80  kann  man  die  angedeutete  (Ar —  1)  malige  Differentiation  nach  x  immer 
leicht  ausführen,  indem  man  eine  der  Formeln  l)  und  4)  benutzt;  jedenfalls 
erhält  man  einen  Zähler ,  worin  nur  die  Sinus  oder  Cosinus  der  Vielfachen 
von  X  vorkommen.  Da  im  Nenner  a:*~*  steht  und  q>k  ist ,  so  folgt  für 
x=  00  » 

9)(oo)  =  0.  . 
Die  angedeutete  Differentiation  lässt  sich  aber  auch  auf  folgendeWeise 
ausführen.     Man  setze  zunächst  für  sinx  die  Reihe  x  —^x*+  etc.;  die 
Potenzirung  giebt  dann  ein  Resultat  von  der  Form 

sinPx  =  xP  —  ÄxP-^^  +  BxP^^  —  .  . . 
und  daher  ist  durch  Differentiation  und  Division  mit  a^~* 

g)(a:)=p(/>— l)(p-2)...(p— yir  +  2)j:P-^+i 

—  ^p{/?  — l)(p— 2)...(p  — Ar+3)j:^-«+^  +  -.. 
Unter  der  Vorausstzung  p^q  folgt  hieraus 

fp  (0)  ==  0. 
Führt  man  jetzt  in  No.  7)  die  Grenzen  a:  =  oo  und   a:  =  0  ein,   so 
verschwinden  die  vom  Integralzeichen  freien  Glieder  in  beiden  Fällen  und 
es  bleibt  die  Gleichung  übrig  y 

o,         PsinPx  ^  1  fD^sinPx^ 

^)     J  -^''•^=(,-l)(g-2)...(,r-«)/  ^i=^''"' 

zu  deren  Gültigkeit  nur  die  Bedingung 

erforderlich  ist,  ohne  dass  aber  q  eine  ganze  Zahl  zu  sein  braucht. 
Bei  ganzen  q  nimmt  man  am  einfachsten  n=zq  —  l  und  hat 

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Kleinere  Mittheilangen.  289 

die  AasfÜhrnng  der  auf  der  rechten  Seite  angedeuteten  Operationen  bietet 
nicht  die  geringste  Schwierigkeit  dar,  nöthigt  aber  zur  Unterscheidung  von 
vier  Fällen. 

a)  Wenn  p  und  g  gleichzeitig  ungerade  sind,  so  entwickelt  man 
D9—^sinPx  mittelst  der  Formel  1);  wegen  des  geraden  q — 1  erhält  man 
eine  Reihe  von  Sinus,  deren  Integration  nach  Formel  2)  geschieht.  Unter 
Benutzung  eines  Summenzeichens  kann  das  Resultat  in  folgender  Form  dar- 
gestellt werden 


,0)  f^ 


p>q,     *  =  0,1,2, i(p— 1)- 

Ftlr  q-=l  kommt  man  auf  die  Formel  3)  zurück. 

b)  Sindp  und  q  gleichzeitig  gerade,  so  führt  die  Anwendung  von 
Formel  4)  wieder  zu  einer  Reihe  von  Sinus  und  das  letzte  Glied  in  No.  4) 
verschwindet  bei  der  Differentiation ;  es  ergiebt  sich 

p>q,    /r  =  0,l,2, Ip  — 1. 

Die  Formeln  10)  und  11)  lassen  sich  übrigens  in  eine  zusammenziehen, 
sobald  man  beachtet,  dass  der  Werth  des  Integrales  immer  positiv  sein 
niuss;  man  kann  nämlich  sagen:  wenn  die  Differenz  p  —  q  eine  ge- 
rade Zahl  ausmacht,  so  ist 

und  zwar  gilt  das  obere  oder  untere  Zeichen,  jenachdem  der 
Werth  der  Werth  der  Summe,  worin  p  —  tk  immer  positiv 
bleiben  muss,  positiv  oder  negativ  ausfällt. 

c)  Bei  ungeradem p  und  geradem  q  erhält  man  aus  No.  1) 

Di-^8inPx  = 

5^ ^1 [(p)oP«-*  cospx  —  {p\  (p  — 2)«-»  cos  (p  —  2)  X  +...]. 

Wie  schon  gezeigt  wurde ,  verschwindet  der  Ausdruck  linker  Hand  für 
a:  =  0  und  p^q^  mithin  ist 

0  =  ^^l [0>)oP^"*  -  (P)i  iP-  2)^-^  + ±  (P)4(p..i)l^M; 

multiplieirt  man  diese  Oleiehung  mit  cosx  und  subtrahirt  sie  von  der  vori- 
gen, so  hat  man  ^  t 

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290  Kleinere.  MittheilangeD» 

D9—^sinPx  =  - j [{p)oP^~^  \cospx  —  cos  x\ 

—  (p)i  (P  —  2)*~*  { cos  (p  ~  2)  a:  —  cosx\ 


T  (P)i(^-8)  ^""^  l^ö«  3a:  —  cosx\]. 

dx 
Indem  man  diese  Gleichung  mit  —   multiplicirt  und  nach  Formel  5)  inte- 

X 

grirt,  gelangt  man  zu  dem  Ergebnisse 

13)  y%5..==(-;^;;;p'z(-i)>  (p).  (p-..).-.  /  ^.^^ 

p>qy     A:=:0,  l,2,....4(p  — 3). 
tif)  Bei  geradem  jE?  und  ungeradem  g>l  liefert  die  Formel  4) 

m-^sinPx^^^ 

^^ ^1 [(p)oP«-^  co^px  —  (p),  (p— 2)«-i  C05  (p-^2)  a:  +  .  . . 

•  •  •  +  (P)jp -  1  2^"*"*  CO« 2a:] 

und  da  die  linke  Seite  für  a:=0  verschwindet,  so  kann  man  die  vorstehende 

Gleichung  durch  die  folgende  ersetzen 

( i)i(p  +  ä'-i) 

D^-^sin^x  =  ^^ ^--_^ [{p)oP^^  \cospx  —  cos  x\ 

—  (p)i  (P  —  2)«-^  {coÄ  (p  —  2)  a:  —  cos  x\ 
^.     .     .     . 

+  (P)ip_i2*~*  {co5  2j:  —  cosx\]\ 
damit  gelangt  man  leicht  zu  dem  Resultate 

OD 

'^^-      2P-^r{q)      -g(-0Mp);^(P-2A:)^-W(p^2A:), 

p2ö'>l,     Ar  =  0, 1,  2, . . . .  4p — 1. 
Die  Formeln  13)  und  14)  geben  zusammen  den  Satz:  wenn  die  Dif- 
ferenz p —  q  eine  ungerade  Zahl  ausmacht,  so  ist 

00 

und  zwar  gilt  das  obere  oder  untere  Zeichen,  jenachdem  der 
Werth  der  Summe,  worin  p  —  2Ar  positiv  bleiben  muss,  posi- 
tiv oder  negativ  ausfällt. 

Die  Formeln  10),  11),  13)  und  14)  entwickelt  auch  Cauchj  in  der  er- 
wähnten Abhandlung  aber  nach  einem  anderen ,  weniger  einfachen  Ver- 
fahren (durch  doppelte  Integration  und  nachherige  Bildung  endlicher  Dif- 
ferenzen). 

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...      PsinPx 


Kleinere  Mittheilungen.  29  t 


III)  Bei  acht  gebrochenem  q  entwickelt  man  Bin^x  wie  bisher  und  be« 
nntsst  die  bekannten  Foimoln 


16)  J  -7^«'*=r— ^— 


x^  2  r{q)sin^qit^ 


00 


fcosßx  nßj^ 

'       .  J      Xt  2  Tis)  cos  \q,t\ 

man  gelangt  augenblicklich  zn  dem  Besultate,  dass  bei  ungeraden  p 

Ar  =  0,l,2,...,i(p  — 1), 
dagegen  bei  geradem  /> 

00 

4  AN      •  fsinPx  , 

19)  J-^dx==cc. 

0 
IV)  Wenn  endlich  ^  ein  onftchter  Bruch  iat«  so  benutzen  wir  erät  die 
Reductionsformel  8),  indem  wir  für  n  die  zunächst  unter  q  liegende  ganze 
Zahl  nehmen  und  zur  Abkürzung 

q=in  +  r  '  , 

setzen,  wo  r  einen  positiven  ächten  Brück  bezeichnet;  dies  giebt 

/sinPx  ,                               1                           CD^sinPx  , 
dX  =  -, ^-, r ; r       f    dx* 
^       Off              (^-l)(g— !)....(?  — «)c/         X- 

Die  Ausführung  der  angedeuteten  Differentiation  geschieht  hier  auf  ganz 
•dieselbe  Weise,  wie  in  Abschnitt  II)  und  die  nachjberlge  Integration  wird 
entweder  nach  No.  16)  oder  nach  No.  17)  bewerkstelligt-  Bei  gleichzeitig 
ungeraden  p  und  n  +  1  erhält  man 

worin  wieder  n  +  r  =;  g'  und 

(j_l)...(y^„)r(r)  =  (y-l)...(j-n) /■(?-«)  =  r(y) 
gesetzt  werden  kann.     Zn  einem  ganz  ähnlichen  Kesultate  führt  die  An* 
nähme  gleichzeitig  gerader  p  und  n  + 1 ,  so  dass  man  überhaupt  folgenden 
Satz  aufstellen  kann:  wenn  p  —  (»  +  l)  eine  gerade  Zahl  ausmacht, 
so  ist 

00 

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292  Kleinere  Mittheilungen. 

wolbei  ^k<Cp  bleiben  und  das  Vorzeicke-n  so  genommen  wer- 
den muss,  daüs  derWerth  des  Integrales  positiv  ausfällt. 

Für  die  Fälle,  wo  p  und  n+l  nicht  gleichzeitig  gerade  oder  ungerade 
sind ,  ändert  sich  an  diesen  Betrachtungen  so  weuig ,  dass  die  Angabe  des 
Kesultates  hinreichen  wird.  Wennp —  (n+l)  eine  ungerade  Zahl 
beträgt,  so  ist 

wobei  2k ^p  bleiben  und  das  Vorzeichen  so  genommen  wer- 
den muss,  dass  das  Integral  einen  positiven  Werth  erhält. 

SCBLÖAIILCU. 


XXVI  Heber  die  Differentiation  unendlicher  Potenzenreihen.  Be- 
kanntlich hat  zuerst  Abel  {Oeuvres  completes^  T.  2,  XXV)  die  Bemerkung 
gemacht,  dass  man  keine  Criterien  besitzt,  um  aus  der  Gleichung 

f{x)  =  9^  (^1 1)  +  9  C-^»  2)  +  gp  (ar*,  3)  +  . . .  m  inf. 
sicher  auf  die  Richtigkeit  der  abgeleiteten  Gleichung 

f\x)  =  9?'(.r,  1)  +  q>\xy  2)  +  <p\x^  3)  +  . .  .  in  inf. 
schliessen  zu  können  und  dass  es  sogar  Fälle  giebt,  wo  D  [E(p  (x,  w)]  nicht 
=  Z\P(p{Xyn)\  ist}  später  hat  Dr.  Arndt  viel  Scharfsinn  aufgeboten 
(Grunert's  Archiv  derMathem.  u.  Ph.),  um  jene  Criterien  zu  finden,  nnd  ist  zu 
Ergebnissen  gelangt,  die  namentlich  bei  Potenzenreihen  sich  sehr  einfach 
gestalten.  Da  gerade  die  letzteren  Reihen  am  häufigsten  vorkommen ,  so 
ist  es  vielleicht  nicht  überflüssig,  die  Sache  etwas  elementarer  zu  behandeln 
und  namentlich  den  Gebrauch  der  Integralrechnung  zu  vermeiden. 

Wir  setzen  zunächst  alle  Coefficienten  der  Reihe 

«0  +  «1  ^  +  öf  ^  +  «•  ^  +  *  •  • 
als  positiv  voraus  und  denken  uns  x  gleichfalls  positiv.    Die  Reihe  conver- 
girt  dann  sobald 

oder  a:  <  A  ist,  wenn  zur  Abkürzung 

Lim  — ^  =  iL 

gesetzt  wird;  die  Summe  der  Reihe  heisse  f{x).  Unter  denselben  Umstän- 
den convergirt  auch  die  Reihe 

.  1  a,  +  2  «t  a?  +  3  «»  ^  +  •  •  • 
denn  hier  ist 


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Kleinere  Mittheilnngen.  293 

mitbin  besitzt  die  Reibe  eine  endliche  Snmme,  die  <p(x)  heisBen  m6ge.  Da 
in  den  Gleichungen 

1)  /"(ic)  =  öo  +  ö,  ar  +  Ä,  o:«  +  a,  o:«  +  . .  . 

2)  y  («)  ==  1  ö,  +  2  «3  a;  +  S  «j  a:*  +  .  . . 

cc  swiscben  0  und  X  liegt,  so  lässt  sich  immer  eine  willkfibrliclie  Zfthl  h  von 
der  Beschaffenheit  finden,  dass  auch  x  +  h  zwischen  0  und  1  enthalten  ist 
und  dann  gelten  die  Gleichungen 

3)  f{x  +  h)^a,+  a,  {x  +  h)+a,(x  +  hy  +  ... 

4)  ^(a:  +  Ä)  =  lö,  +2a,(a:  +  Ä)  +  3«3(a;  +  Ä)«  +  ... 

Von  den  Gleichungen  i)  und  3)  nehmen  wir  die  Differenz ,  dividiren  mit  k 
und  benutzen  rechter  Hand  den  Satz 

oder  specieller  , 

und  erhalten  folgende  Gleichung 

f  (x+h)— fix) 

h 

:rr=  1  a,  +  2  fl,  (o?  +  ^, Ä)  +  3  «8  (ar  +  ^3Ä)«  +  4  ^4  (a?  +  d,  Ä)»  +  .  .  . 

Bei  positiven  A  ist  nun  die  Summe  der  rechts  stehenden  Reihe  grösser  als 

1  fl,  +  2  a,  a?  +  3  «3  ar*  +  .  .  .  =  g>  [x)^ 
dagegen  kleiner  als 

1  a,  +  2  ö,  {ar  +  Ä)  +  3  «a  (x  +  Ä)*  +  •  •  •  =  <P  (^  +  *)> 
mithin  haben  wir  zusammen 

dagegen  bei  negativen  k 

Aus  beiden  Ungleichungen  folgt  durch  IJebergang  zur  Grenze  für  ver* 
schwindende  k  y  (jr)  = /^(a?) ; 

unter  den  genannten  Voraussetzungen  ist  also  die  Differentiation  der  un- 
endlichen Reihe  ohne  Weiteres  erlaubt.  - 

Es  kann  sich  in  speciellen  Fällen  treffen,  dass  für  a?=:A  beide  Reihen 
ihre  Convergenz  behalten ;  die  vorige  Betrachtung  bleibt  dann  wörtlich  die* 
selbe,  nur  muss  man  k  negativ  und  seinen  absoluten Werth  <il  wählen,  um 
das  Convergenzintervall  nicht  zu  überschreiten. 

Wir  betraohten  nun  den  allgemeinen  Fall,  wo  die  R^he  1)  Glieder  von 
verschiedenen  Vorzeichen  besitzt  und  denken  uns  dabei  x  immer^s  posj* 

uigiiizea  oy  v^jOOv?  Iv^ 


2Ö4  Kleinere  Mitthethingcn. 

tiv,  indem  wir  die  durch  negative  x  entstehenden  Zeichenveränderungen 
auf  Rechnung  der  Coefficienten  schreiben.  Werden  nun  alle  positiven 
Glieder  zu  einiBr  Reihe  und  ebenso  alle  negativen  Glieder  zu  einer  Reihe 
zusammeugefasst,  so  erscheint  f{x)  als  die  Differenz  zweier  Reihen,  von 
denen  jede  nur  positive  Glieder  «athält     Diese  Reihen  convergiren  aber, 

wenn  der  absolute  Werth  von  Lim  ( -^  x  \  weniger  als  die  Einheit,  oder  jp 

weniger  als  der  absolute  Werth  v^  A  betritt,  mithin  besitzen  jene  Reihen 
endliche  Summeu/*!  (or)  und  ft{x)y»o  dass 

Dasselbe  gilt  für  die  derivirte  Reihe  und  man  hat  analog 

q>{a>)  =  ip,{x)  —  q>t{x). 
Bei  der  Differentiatioi^  liefert,  wegen  des  positiven  a?,  jedes  Glied  in  f{x) 
ein  mit  demselben  Zeichen  versehenes  Glied  in  'q>  (or),  mitbin  besteht  g>|  (:i:) 
aus  den  Differentialquotienten  aller  in  Yi  (x)  vorkommenden  Glieder  und 
ebenso  (pf  {x)  aus  den  Differentialquotieateu  aller  Glie4er  von  f^  {x).  Nun 
ist  nach  dem  Vorigen 

,(.,=,,-(.)_A'W=  iKM=AMJ  ='^), 

demnach  bleibt  die  Differentiation  einer  jeden  Potenzenreihe  so  lange  er- 
laubt, als  sie  selbst  und  die  derivirte  Reihe  gleichzeitig  convergiren. 

SCHLÖMILCH. 


XXVn.  Hebet  den  Integralsinns  und  Integralcosinus.  Von  den  bei- 
den Functionen  Si  {x)  und  Ci  {x),  welche  durch  die  Gleichungen 

X  X 

Si  (x)  =  /  dx,  Ci  {x)  =  /  dx 

ü  CD 

d  Si  (x) sin  x  d  Ci  {x)      cos  x 

dx  ^    *  dx  X 

deünirt  sind,  besitzt  die  erste  die  Eigenschaft 

^  c./  N       ^'W      .   '^'■(2^)    .        ,Si{^7ü)—Si{n)    .    ^ 
—  Si{x)=  — ^-^ X H ^ — -'  stn X H ^ — '- 1-^  sin2x 

_^Si{4n)~Si{2n)    .    ^      . 

welche  indessen  nur  für  n^x>0  gilt  und  unter  dieser  Bebcbränkung  Si{x) 
berechnen  lehrt,  wenn  Si  (n),  Si{2n)j  Si(ßjt)  etc.  bekannt  sind  (Literatur- 
Zeitung,  Jahrg.  II,  S.  101).  Dieser  Satz  ist  aber  nur  ein  speeiellerer  Fall 
des  allgemeineren,  dass  sich  für  Jedes  x  sowohl  Si{x)  als  Ci{x)  durch 
iSi(gc),  Si{27i^)  etc.  ausdrücken  lässt;  dies  wollen  wir  im  folgenden  zeigen. 

uigiiizea  oy  v^jOOV  Iv^ 


Kleinere  Mittheilangen.  295 


Wir  verstehe»  unter  k  eine  ganse  positive  Zahl,  unter  z  eine  ewiscfaen 
0  und  n  enthaltene  Variabele,  und  setzen 

Si {kx)  =  A^  sin  z  +  A^sinZz  +  A^ m  3z  +  . . ,; 
dann  ist  bekanntlich 

yi„t==—  I  Si{kz)sinnzdz. 

Nun  giebt  die  theilweise  unbestimmte  Integration 

/•         ,  „  ,,   ^cosnz   ,    Csinkz    cosnz  . 

Si  {kz)  sin  nzdz  =—  Si  {kz)  —^  +  /  —^ .  —^  dz 

^^Si{kz)'^2^  +  ^  f^<^+^)^+'^i^'^)Ut, 
^     ^      n       ^2nJ  z 

folglich 

setzt  man  rechter  Hand  in  dem  ersten  Integrale  (k+n)z^  im  ziveiten  {k—n)z 
gleich  einer  neuen  Variabelen,  so  erhält  man 

A  -^  Siilcj,)'^-^^'^'   I   Si{(k  +  n)T^]  +  Si[ik-n)n] 
"       n      ^     ^        n  nn 

Die  gesuchte  Entwickelung  ist  daher 

«. /.   N        2  ^. .,    .fsinz      sin2z  ,  sinZz  \ 

Si{kz)=^^Si{k7t)\^— ^  +  -i --j 


Si(k  +  l)n  +  Si{k-l)n^,^^       Si(k+2)n  +  Si{k^2)n^.^^^^ 

^    ,  7C  .2« 

Für  die  Summe  der  eingeklammerten  Reihe  hat  man  bekanntlich  ^2\  be- 
zeichnet man  nachher  kz  mit  ar,  so  gelangt  man  zu  folgend er^Formel 

„  ,  ,       Si(k7t)     .  Si(k  +  l)7t  +  Si(k-^l)n   .    "x 
n  Si{x)==--^j^x+      ^    ^   ^ j— ^ ^  sm-^ 

Si{k+^^  +  Si{k^2)n^^2x 
"^2  k  ^"" 

worin  a:  der  Bedingung  ti  >  ^  >  0  unterworfen  ist.   Bei  gegebenen  x  muss 

hiernach  *  gewählt  und  zwar  >  -  genommen  werden.     Fttr  *«  1  koni»i 

n 

man  auf  die  anfangs  erwähnte  Formel  zurttck,  wedn  min  beachtet,   dass 
Si  (0)  =  0  und  Si  (— m)  =  —  Si  (w)  ist. 

Zur  Entwickelung  des  Integralcosinus  führt  ein  ganz  ähnlicher  Weg, . 

nämlich  ' 

Ci  {kz)  =  Ai  +  A^  cos  z-^Ai  cos  2Z'^  A^cosZz+  . . . 

Ao=-  JCi{kz)dz,     An  =  ^Jci{kz)  cos  nzdz. 

^  ^  Digitizedby  Google 


296 


Kleiiiere  Mittheiltingen. 


Bei  der  grossen  Leichtigkeit  der  Rechnung  wird»  die  Angabe  des  Endresal- 
tates  hinreichen;  für  Ar z  =  0?  erhält  man 


2)     nCi(x)  =  nCi{k7t) 


Si{k+l)M  —  Si{k—l)ft  X 

i '''T 

Si(k  +  i)it  —  Si{k~2)n       2x 

'  —^ ' — - — ^ ^  cos—- 

2  k 


wobei  wieder  /:  >  —  sein  muss. 


SCHLÖMILCH. 


XJLViU.  Heber  Loxodromen  auf  Vmdrehungsflächen.  Die  Drehungs- 
achse sei  diö  Achse  der  z,  die  Gleichung  der  rotirenden  Curve 

oder 

ferner  APS  dieLoxo- 
drome ,  A'P'S'  ihre 
Horizontalprojection « 
worin  ein  Punkt  P' 
durch  die  Polarcoor- 
dinaten 

ÖP'«OAf'=r, 
LM'0'P'  =  ^ 
bestimmt  wird,  end- 
-^  lieh  y  der  constante 
Winkel,  unter  wel- 
chem die  Loxodrome 
die  Meridiane  schnei- 
det; sind  nun  MPQ 
und  NRS  zwei  un- 
endlich nahe  Parallelkreise,  CPR  #nd  CQS  awei  unendlich  nahe  Meridiane, 
so  hat  man  die  Bedingung 


cot 


_PR_MN_ydf^+dz^_dry\  +  ^\rf 
'^~  RS~  PQ~       P'Q'       ~  •"^-** 


rd9 


ao4  welcher  sich  durch  Sonderung  der  Variabelen  und  Integration  ergiebt 

m»z=  I  —j/l  +  ^'iry  +  Ccnst.,     m^coty. 

Dies  ist  die  Gleichung  der  Horizontalprojection  der  Loxodrome. 

Für  den  Kegel  ist  z  =  r  ton  a ,  mithin,  wenn  die  Loxodrome  mit  dem 
Halbmesser  Tq  anfangt, 


ml^ 


=  sec«.l(^J 


oder  r : 


ß*»^. 


r^e'^Vy  n^=:^cosacoty. 


Für  das  Paraboloid  ist  s  =  —  also 

2c 


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m^  = 


Kleinere  Mittheilnngen.  297 


c 


Bei  dem  abgeplatteten  Ellipsoid  fange  die  Loxodrome  imAequa- 
tor  an ;  es  ist  für  diesen  Fall 


91  =:  2m  SS  2  CO/ }f. 

FOr  die  Kugel  wird  einfacher  e  =  0, 
nnd  umgekehrt 


Für  das  semicubische  Paraboloid  ist 

j»^  =  2  iy  -  —  l)  oder  r  =^  ö  (1  +  Jml^)*, 

wobei  die  Loxodrome  mit  r  =  ö  anfängt. 

Ein  cycloidischesConoid  sei  durch  Umdrehung  einer  Cycloide 
um  ihre  Basis  entstanden ;  man  hat  in  diesem  Falle,  wenn  a  den  Radius  des 
erzeugenden  Kreises  und  m  den  WäUnngswinkel  bezeichnet, 
zx=^a{(io  —  5in  cd),   r  =  a  (1  —  cos  w) 
,    .        dz       1  —  cosm       -j/     r 

mithin,  wenn  die  Loxodrome  im  Aequator  anf&ngt, 


m^ 
nnd  umgekehrt  für  «t=:  2ii 


\y2a  +  }/2a—rJ 


2ö  2  a 

Für  das  Kettenconoid  ist  

■   — '(^±^?^. 

folglieh,  wenn  die  Loxodrome  mit  r  =  a  anfangt, 

— '(^±^)> 

hier  findet  also  die  Eigenthünüicbkeit  statt,  dass  am^  =  z  ist. 

(Baefli die  Mittheilung  von  Professor  Dr.  Junqb  in  Fxeib erg.)   r 

uigiTizea  Dy  v_j  vy  vy'i  Lv^ 

ZeiUehrifl  f.  Mathematik  u.  Physik.  V.  •  20  ^ 


298  Kleinere  Mittheilungen^ 

IXXX.  Meohanisohe  Anijpibe.  Ein  schwerer  Funkt  wird  unter  dem 
Eleyationswinkel  s  in  die  Höhe  geworfen,  seine  Anfangsgeschwindigkeit  ist 
c;  während  seiner  Bewegung  wirkt  l)  die  Schwere  auf  ihn,  d^ren  Beschleu- 
nigung g  ist;  2)  eine  constante  Kraft,  welche  ihm  in  jedem  Augenblicke  in 
der  Richtung  der  Tangente  seiner  Trajectorie  einen  der  Beschleunigung  y 
entsprechenden  Geschwindigkeitsznwachs  ertheilt.  Es  ist  die  Gleichung 
der  Trajectorie  des  Massenpunktes  aufzufinden. 

Auf  diese  Aufgabe  bin  ich  bei  dem  Versuche  gekommen  ^  die  Beweg- 
ungsgesetze einer  Rakete  zu  bestimmen,  welche  schief  in  die  Uöhe  steigt. 
Bei  der  Rakete  wirkt  in  der  Richtung  der  Bahntangente  oder  nahezu  in  de- 
ren Richtung  eine  Kraft,  von  welcher  man  wohl  annehmen  kann,  dass  sie 
so  ziemlich  constant  bleibt;  der  Umstand  jedoch,  dass  die  Masse  der  Rakete 
durch  Verbrennung  des  Treibsatzes  während  der  Bewegung  um  BetrÄclit- 
liches  ^.bnimmt,  bewirkt,  dass  die  Beschleunigung  der  treibenden  Kraft  im- 
mer zunimmt.  Da  ich  diese  complicirtere  Aufgabe  nicht  lösen  konnte,  ver- 
suchte ich  mich  zuerst  an  der  oben  mitgetheilten  einfachem  Aufgabe,  deren 
Autlösung  ich  auf  folgende  Weise  fand* 

Der  Anfang  eines  rechtwinkligen  Coordinatensystems  wurde  in  den 
Ausgangspunkt  der  Bewegung  des  schweren  Punktes  gelegt,  die  o:- Achse 
horizontal  in  der  Ebene  der  Flugbahn  angenommen,  die  Abscissen  wurden 
nach  der  Seite  der  Bewegung,  die  Ordinaten  nach  oben  positiv  gerechnet. 
Die  Differentialgleichungen  der  Bewegungen  sind  iu  diesem  Falle : 

d^x y 


1) 


2)  rfTi— ,-7rv=n-^. 


wenn  man  mit  y  den  DiSerentialqnotienten  —  bezeichnet.  Man  kann  beide 
Gleichungen  in  eine  einzige  vereinigen,  nämlich  in: 

Durch  nochmalige  Differentiation  von  --^=  — ,  —  =w'  —  erhält  man 

dt       dx   dl  dt 

hierauf: 

Der  Vergleich  von  3)  und  4)  führt  nun-  zn  der  Beziehung: 


'■■(S)=- 


g- 


Indem  man  nun  mit  5)  in  1)  dividirt,  erhält  man  eine  Gleichung,  welche 
sich  integriren  l&sst  und  von  deren  Integral  aus  man  leicht  dazu  gelangt, 
ar,  y,  die  Geschwindigkeit  v^  den  Bogen  s  und  die  Zeit  t  als  Function  von 

uigiüzea  oy  'vj  vj'v_/^lv- 


Kleinere  Mittheilungen.  299 


y^^~  außzudrücken.     Der  Quotient  von  5)  und  1)  ist  nun : 


d*x 


Die  nachfolgenden  Integrationen  fttkren  zu  einfacheren  Ausdrücken  diircb 
die  Substitution: 

wenn  man  mit  t  den  Tangentialwinkel  bezeichnet.   Dieser  Substitution  ent- 
sprechen die  Werthe: 

t*  — 1  2z  ,    /ä        t\ 

l  2t  ,,      rfi^'    rfz        ,  «•+  1    rf2 

i/l-|-y'«  2»  +  l     ^        dz    da:       *     «*       dx 

Berücksichtigt  man  diese  Werthe,  so  erhalt  man  aus  6) : 
d*x  dz  dz 


7) 


dt*    _  y  dx  dx y  dl  . 

(äx\  g   z  '  dl  j;   t  ' 

\dtj 


r) 


das  Integral  dieser  Gleichung  ist: 

wobei  C  die  Integrationsconstante  bedeutet.     Berücksichtigt  man,  dass  für 

/  =  0  der  Werth  von  -;—  =.c  cosb  und  z  =  cotg  ( )    ist ,    so    erhält 

dt  \ 4         2  / 

man:- 

Man  fuhrt  nun  zur  Abkürzung  dieses  und  der  folgenden  Ausdrücke   mit 

Vortheil  folgende  Constante  R  ein,  die,  wie  sich  später  ergeben  wird,  auch 

eine  geometrische  Bedeutung  besitzt: 

2y 


,0)         .^tf.'[.^(^-i)Y. 


9^ 

Der  Ausdruck  für  die  horizontale  Geschwindigkeit  erscheint  dann  in  der 
Form: 


dx        -I 


11)  -  =  Z     '^Rg. 

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300  Kleinere  Mittheilangen. 


Ferner  ist: 

Führt  man  nun  11)  und  y"=i — =—  t~  in  5)  ^in,  so  kommt: 

z*     dx 

and  durch  Integration  erhält  man : 

14)  x  =  -Jlt     0  +z         '  jdz. 

Multiplicirt  man  13)  mit  —  = ,  so  erhält  man  —  und  sodann  durch 

Integration : 

15)  y=^/(c^-r_r'-?)rfz. 

Multiplicirt  man  13)  mit  ^  =  1^^  1  +  (  ^  j  =  -r^  nnd  integrirt,  so  giobt 
dies: 

16)  s~jj\^z     '  +-2t         "  +z         »Jdt 


Mj-i) 


dl     i  t 


Multiplicirt  man  endlich  13)  mit  —  =s  2^,  so  ergiebt  die  nachfolgende 

dx      y  H Q 
Integration : 

Die  Grössen  or,  ^,  v,  s,  ^  können  demnach  sämmtlich  als  Functionen  von  r 
ausgedrückt  werden,  so  dass  man  ihre  correspondirenden  Werthe  berechnen 
und  hierauf  auch  die  Curve  construiren  kann. 

Die  Bedeutung  der  Gonstanten  B  ergiebt  sich ,  indem  man  den  Krüm- 
mungshalbmesser berechnet,  dessen  Ausdruck  bekanntlich  4st:        , 

uigiüzea  oy  x^jOOvlv^ 


Kleinere  Mittheilnngen.  301 

Man  erhfllt  nnter  Berücksichtigiiiig  von  5) : 

18)  n-R. -^^^ 

Am  Scheitel  der  Curve  ist  r  =33  0,  desshalb  ^  ;=  R^  d.  h.  die.  Consiaiite  R  ist 
der  KrüminangshalbmesBer  am  Scheitel  der  Curve. 

Besonders  heryorsahebende  Eigenschaften  habe  ich  übrigens  an  ror: 
stehender  Carve  nicht  auffinden  können,  weshalb  ich  auch  anf  eine  Dlscus^ 
sion  derselben  nicht  weiter  eingehe.  Dr.  £mil  KabZi. 


XX3L   Du  Bois-Beymond's  Versttoke  ttter  die  Polarisation  der 

Elektroden.  Du  Boie-Beymond,  dem  die  Elektrophysiologie  zum 
grösstenTheJl  ihre  rasche Entwickelung  verdankt,  hat  umföngliche  Versuchs- 
reihen zur  Prüfung  einer  von  Jules  Regnauld  J854,  später  auch  von 
Matteucci  in  Mhulieher  Weise  gemachten  Angabe  über  unpolarisirbare 
Elektroden  angestellt  (Monatsberichte  der  K.Pr.  Akademie  der  Wissensch« 
1859,  S.  443).  Indem  wir  einen  kurzen  Bericht  über  die  Versuche  Du  Bois" 
Beymond's  geben,  versäumen  wir  nicht,  aJle  Freunde  elektrophjsiologi* 
seher  und  rein  elektrischer  Untersuchungen  auf  die  gediegene  Arbeit  des 
berühmten  Forsehers  aufmerksam  zu  machen.  Ganz  besonderes  Interesse 
würde  das  Durchlesen  der  oben  citirten  Abhandlung  denen  gewähren,  die 
sich  selbst  mit  Versuchen  über  elektrische  Polarisation  beschäftigen  und 
denen  durch  vorliegenden  sehr  knrz  gefassten  Auszug  nicht  hinreichend 
gedient  sein  würde. 

Jules  Regnauld  hatte  1854  angegeben,  dass  es  ihm  gelungen  sei, 
dadurch  unpolarisirbare  Elektroden  herzustellen,  dass  er  Platten  aus  reinem, 
mehrmals  destillirtem  Zink  in  eine  Lösung  von  reinem  schwefelsauren  Zink- 
oxyd in  destillirtem  Wasser  eintauchte.  Die  Lösung  sollte  von  der  Gon- 
centration  sein^  bei  welcher  sie  das  Maximum  ihrer  Leitungsfähigkeit  her 
sitzt.  Nach  de  laRive  findet  dieses  statt,  sobald  man  das  Volum  der  ge« 
sättigten  Zinkvitriollösung  durch  Hinzugiessen  von  destillirtem  Wasser  ver- 
doppelt. Später  hatte  Matteucci  unverquicktes  oder  verquicktes  reines 
Zink  in  reiner  gesättigter  Zinkvilriollösung  als  unpolarisirbar  anempfohlen. 
—  Da  die  Ausmittelung  unpolarisirbarer  Elektroden  namentlich  für  die 
Nachweisung  von  Muskel-  und  Nervenströmen  ein  wichtiges  Moment  ist,  so 
erregtenRegnauld's  und  Matteucci's  Angaben  das  Interesse D u  Bois- 

^  ^  o  uigiüzea  Dy  x^j  vy  v_>rpi  LN^ 


302  Kleinere  Mittheilungen. 

Rejmond's  in  hohem  Grade.  9ie  forderten  ihn  um  so  mehr  zu  neuen 
Versuchen  auf,  als  Helm  hol  tz  gefunden  hatte,  dass  Kupfer  in  Kupfer- 
yitriollösung,  sowie  Silber  in  Cjanstlberkaliumlösung  nicht  frei  von  Pola- 
risation sind  und  da  er  selbst  käufliches  Zink  in  Zinkvitriollösung  zwar 
schwächer,  aber  viel  ungleich  massiger,  polar  isirt  gefunden  hatte,  als.  Platin 
in  Kochsalzlösung. 

Der  Apparat  DuBois-Reymond's,  von  dem  wir  hier  eine  detaillirte 
Beschreibung  nicht  geben  können,  gestattet  l)  einen  primären  Strom  durch 
*die  zu  untersuchende  Combination,  z.  B.  durch  Zinkelektroden  in  Zink- 
vitriollösung, hindurehzuleiten  und  dessen  Stärke  zu  messen ;  2)  die  Inten- 
sität des  etwa  sich  zeigenden  Polarisationsstromes  mit  Hülfe  eines  Multi^ 
plicators ,  ziemlich  von  der  Empfindlichkeit  eines  Nervenmultlplicators  zu 
bestimmen.  Meist  wurde  durch  eine  selbstthätige  Wippe  bei  dem  Auf«- 
schwunge  derselben  der  primäre  Strom  einen  kurzen  Moment  durch  die 
Elektroden  (Schliessungskreis  A)  geleitet ,  bei  dem  Rückschwünge  wurde 
der  primäre  Strom  ausgeschlossen,  dafür  aber  der  von  den  Elektroden  aus- 
gehende Polarisationsstrom  für  kurze  Zeit  in  einen  andern  Schliessungs- 
kreis ^eingeschaltet.  Bei  dem  einen  Versuche  war  das  Galvanometer 
nur  in  A  eingeschaltet,  so  dass  die  Ablenkung  desselben  ganz  allein  vom 
nrsprttngliohen  Strome  herrührte,  bei  einem  zweiten  gleich  darauf  fol- 
genden Versuche  war  dasselbe  Galvanometer  nnr  in  B  eingeschaltet ,  die 
Ablenkung  desselben  rührte  dann  ganz  allein  vom  Polarisationsstrome  her. 
Es  war  bei  den  Versuchen  dafür  Sorge  getragen,  dass,  mochte  nun  das 
Galvanometer  in  A  oder  B  eingeschlossen  sein,  doch  in  beiden  Schliessongs- 
kreissen  genau  derselbe  Widerstand  vorhanden  war.  —  Ein  Paar  andre 
Beobachtungsarten  von  Du  Bois-Reymond,  deren  er  sich  jedoch  selte- 
ner bediente ,  als  der  beschriebenen ,  werden  hier  der  Kürze  wegen  besser 
weggelaasen. 

Der  Quotient,  den  man  erhält,,  wenn  man  mit  der  Intensität  des  ur- 
sprünglichen Stromes  in  die  des  dadurch  erregten  Polarisationstftromes  di- 
vidirt,  wird  von  DuBois-Reymond  der  Polarisationscoefficient  genannt. 
Da  die  Intensitäten  auf  dem  im  Vorigen  beschriebenen  Wege  erhalten  wor- 
den sind,  so  hängt  der  Polarisationscoefficient  auch  noch  von  den  Zeitver- 
hältnissen der  angewendeten  Wippe  ab. 

Zur  Prüfung  einiger  gewöhnlicher,  oft  untersuchter  Combinationen 
wandte  DuBois-Rejmond  meist  Drähte  von  0,5  Millim.  Durchmesser, 
1  Gentlmeter  Abstand  und  2  Centimeter  Tiefe  des  Eintauchens  an  und  fand 
folgende  Polarisationscoefficienten  (o),  wobei  die  Ströme  gewöhnlieh  von 
der  Ordnung  der  Muskelströme  waren : 

1)  Platin  in  verdünnter  Schwefelsäure  {S0^.HO\H0  =  \  :5  dem  > 
Volum  nach)  oder  in  gesättigter  Koehsalzlösung  a=\. 

2)  Platin  in  rauchender  Salpetersäure  (bei  26,9^  0.  1,49  spec.  Gew.). 
Bei  Strömen  von  der  Ordnung  des  Muskdstremes  a  =  ^V* 

uigiüzea  oy  x^j  v^v^r'i  ln^ 


Kleinere  Mittheilungen.  303 

3)  Silber  in  gesättigter  Lösung  von  salpetersanrem  Silberexjd ,   bei 

Strömen  von  der  Ordnung  des  Muskelstromes  a  = ,  bei  stär- 

1,6 

keren  Strömen  nahm  a  bedeutend  ab  und  sank  bis  — . 

138 

4)  Kupfer  in  scfaw'efelsaarer  Kupferoxjd-Lösung,  a  selnr  klein  und 
nur  bei  sehr  schwachen  Strömen  merklich. 

5)  Käufliches  Zink  in  käuflicher  Zinklösung  a= —  bis  —    (Ord- 

5,  &         2, 3 

nung  des  Muskelstromes). 

6)  Reines  Zink  in  reiner  Zinklösung  a  =  — -  (Ordnung  des  Muskei- 

2,9 

Stromes). 

7)  Eisen  in  Zinklösung,  Ordnung  des  Muskelstromes  a  =  — - ,  — . 

8)  Verquicktes  Zink  in  Chlorcaliuralösung  verhält  sich  im  Wider* 
Spruche  mit  Matteucci's  Angaben  ungleichartig  und  ergab  bei 

Strömen  von  der  Ordnung  des  Muskelstromes  a  =  — . 

4,1 

9)  Verquicktes  Zink  verhielt  sieh  in  verdünnter  SchwefelsÜare  in 
Serum  von  Pferdeblut  und  in  Brunnenwasser  so  ungleichartig,  dass 
eine  Bestimmung  von  a  nicht  möglich  war. 

10)  Verquicktes  Zink  in  gesättigter  schwefelsaurer  Zinklösung  ver- 
hielt sich  schon  nach  wenigen  Augenblicken  am  Nervenmultipli- 
cator  völlig  gleichartig,  d.h.  wurden  die  Elektroden  von  verquick- 
tem Zink  mit  den  Enden  des  Nervenmultiplicators  verbunden ,  so 
gelangte  die  Nadel  nach  einigen  Schwankungen  sehr  bald  wieder 
auf  den  Nullpunkt  zurück  und  blieb  nnverrückt  auf  demselben 
stehen ,  selbst  wenn  die  eine  Elektrode  etwas  erschüttert  wurde. 
Diese  Gleichartigkeit  findet  selbst  statt,  wenn  man  käufliches  Zink 
mit  unreinem  Quecksilber  und  roher  Salzsäure  verquickt  und  nach 
gehörigem  Abwaschen  und  Abspülen  in  käufliche  Zinklösung 
bringt  Bei  Drähten  von  Zink  und  bei  Strömen  von  der  Ordnung 
des  Muskelstromes  wurde  gar  keine  Polarisation  bemerkt,  bei 
stärkeren  Strömen  wurde  dieselbe  noch  äusserst  klein  befunden 

a  =  ----.     Als  Zinkplatten  von  6  ■— 7  Quadratcentimeter  Ober- 
5370  ^ 

fläche  benutzt  wurden,  war  die  Polarisation  bei  jeder  Stärke  des 
Stromes  unmerklich,  um  nun  auch  den  etwaigen  Einwarf  beant- 
worten zu  können,  dass  a  bei  dieser  Combination  so  gering  ausge- 
fallen sein  möge ,  weil  nach  dem  Aufhören  des  primären  Stromes 
die  Stärke  der  Polarisation  sehr  rasch  abgenommen  habe,  unter- 
suchte DuBois-Reymond  die  Polarisation  bei  nnanterbrochlir> 

uigiüzea  Dy  x^j  vyv_/N:  Iv^ 


304  Kleinere  Mittheilungen. 

nem  arBprünglichen  Strome,  indem  er  durch  gesättigte  schwefel- 
saure Zinklösung  einen  starken  primären  Strom  hindnrchleitete 
und  nun  nachsah ,  oh  nach  dem  Einsetzen  von  mehr  verquickten 
Zinkplatten,  die  den  Querschnitt  des  Gefässes  mit  Zinkvitriollö- 
sung vollkommen  ausfüllten,  eine  Stromesänderung  am  eingeschal- 
teten Galvanometer  zu  erkennen  war.     Bei  allen  Yersuchen  die- 
ser Art  ergab  sich,  dass  die  Polarisation  der  Zinkolektroden  höch- 
stens nur  spurweise  auftrat.     Verquicktes  Zink  lieferte  in  Zink- 
vitriollösung  vom  Maximum  der  Leitungsfähigkeit  ein  etwas  grös- 
seres a,  als  in  gesättigter  Zinklösnng. 
11)  Verquicktes  Zink  in  Chlorzinklösung  verhielt  sich  etwas  minder 
gleichartig,  als  in  Zinkvitriollösung,  während  a  ungefähr  ebenso 
klein  war,  als  in  Zinkvitriollösung. 
Aus  alledem  geht  hervor,  dass  Elektroden  von  verquicktem  Zink  in 
gesättigter  Zinkvitriollösung  ihrer  Unpolarisirbarkeit  wegen  bei  Reizversa- 
chon  den  Vorzug  vor  allen  anderen  Combinationen  verdienen ,  vorausge- 
setzt, dass  sich  durch  die  Berührung  der  Zinklösung  und  der  thierischen 
Gewebe  nicht  etwa  neue  Uebelstände  entwickeln.     Ueber  die  Ursache 
der  Unpolarisirbarkeit  von  verquickten  Zinkelektroden  lässt  sich  augen- 
blicklieh etwas  Bestimmtes  noch  nicht  sagen.  Dr.  Emil  Kahl. 


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S'^Sf, 


Die  Fundamente  der  Elektrodynamik , 

nach  den  neueBten  Untersuchungen  bearbeitet 
von  Dr.  Emil  Kahl. 

(Schluss.) 


§.  12.  Das  Maas  ftr  die  freie  Elektrioität 
Dem  Früheren  gemäss  ist  das  elektrische  Grundgesetz  von  Weber  als 
richtig  und  als  Grundlage  sämmtlicher  elektrodynamischer  Femewirkungen 
zu  betrachten.  Dieses  Gesetz  nun  enthält  eine  Constante  a ,  deren  Grösse 
ans  dem  Gesetze  Ampere*  s  wohl  bestimmt  werden  kann,  sobald  die  Strom- 
intensitäten I  und  i\  in  magnetischem  Maase  ausgedrückt,  aus  letzterem 
Gesetze  mit  in  ersteres  herübergenommen  werden.  Vergleicht  man  nämlich 
die  Gleichung  11)  in 'S.  2  mit  der  Gleichung  5)  in  $•  6,  so  erhält  man  a'=^, 
der  entsprechende  Ausdruck  vom  allgemeinen  Grundgesetze  Weber' s  ist 
demnach 

\_   id8    i'ds'  r        i{^r\\    rd^rl 

Hierin  sind  die  LHngenmaase  in  Millimetern  und  i  und  T  in  magneti- 
schen Stromintensitätseinheiten  auszudrücken.  Diese  Constantenbestim- 
muDg  genügt  für  alle  Fälle ,  in  denen  die  Wirkungen  von  Strömen ,  deren 
Intensität  nach  magnetischem  Maase  gemessen  ist ,  zu  bestimmen  ist ,  allein 
in  dem  Falle  reicht  sie  nicht  mehr  aus ,  wo  man  statisch  aufgehäufte  Elek- 
trieität  durch  einen  Leitungsdraht  abfliessen  lässt.  Die  Menge  statisch  auf-  ^ 
gehäufter  Elektricität  lässt  sich  nämlich  am  besten,  wie  die  Menge  des 
Magnetismus,  aus  den  Femewirkungen,  die  sie  hervorbringt,  bestimmen; 
so  lange  nun  der  Versuch  noch  nicht  gemacht  war,  e^ne  gemessene  Menge 
statisch  aufgehäufter  Elektricität  durch  einen  Multiplicatordraht  abfliessen 
zu  lassen  und  die  elektrodynamische  Wirkung  derselben  auf  ein  Magneto- 
meter  oder  Dynamometer  zu  messen,  konnte  von  der  Bestimmung  der  Con-  ^ 
stauten  a  in  einer  für  alle  Fälle  genügenden  Weise  nicht  die  Rede  sein. 
"Man  erkennt  ferner :  sobald  a  bestimmt  ist  für  den  Fall ,  dass  die  auf  ein- 
ander wirkenden  elektrischen  Massen  e  und  e'  in  einem  elektrostatischen  i 


uiqmz( 
Zeltschrifl  f.  M«ihematik  a.  Physik.  V.  21 


uigmzea  oy  vj  v^v^p 


306  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

Maase  der  Eiektricität  ausgedrückt  werden,  so  kann  man  diejenigen  Mengen 
Elektricität  leicht  bestimmen ,  die  bei  einem  Strome  von  der  magnetischen 
Strom^€U|^im^  1  i^^der  Secnnde  durch  den  Querschnitt  der  Kette  fliessen. 
Denn  e!^^|({^yib ^Hl^seits  aus  Amp^re's  Gesetz  IL,  $.2,  die  elektro- 
dynamische Fernewirkung  eines  Stromelementes  auf  ein  anderes  berechnen, 
wenn  beide  die  magnetische  Stromintensität  1  besitzen;  andererseits  lässt 
sich  aus  dem  vollständig  besthnmteh  elektrischen  Grundgesetz  die  Intensität 
des  im  vorigen  Falle  in  beiden  Elementen  fliessenden  Stromes  in  elektro- 
statischem Maase  berechnen ,  sobald  die  Fernewirkang  der  Stromelemente 
dieselbe  Grösse  haben  soll ,  als  im  vorigen  Falle ,  wobei  in  beiden  Füllen 
natürlich  die  Lage  der  Elemente  gegen  einander  genau  dieselbe  sein  moss. 
Die  Bestimmung  der  Cons tauten  a  in  dem  im  Vorigen  angegebe.nen 
Sinne  ist  durch  Kohlrausch  und  Weber  ausgeführt  worden *).  Hierbei 
möge  die  Bemerkung  eingeschalten  werden ,  —  ehe  die  Arbeiten  der  ge- 
nannten Gelehrten  weiter  besprochen  werden,  —  dass  künftighin  gewöhn- 
lich statt  der  Gonstanten  a  eine  andere  Constante  c,  die  mit  der  vorigen  in 

der  Beziehung  c=:—  steht,   in   das  allgemeine  Grundgesetz  eingeführt 

werden  wird ,  so  dass 

Die  Constante  c  hat  nämlich  eine  sehr  einfache  Bedeutung;  man  denke 
sich  zwei  elektristhe  Massen,  deren  relative  Beschleunigung  der  Null  gleich 
ist ,  während  ihre  relative  Geschwindigkeit  demgem&s  constant  ist.    Wenn 

nun  ---  =  c ,  so  hört  jede  Einwirkung  der  beiden  elektrischen  Massen  auf 

einander  auf.  Es  ist  daher  c  die  constante  relative  Geschwindigkeit ,  mit 
welcher  beide  elektrischen  Massen  bewegt  werden  müssen,  damit  sie  gar 
keine  elektrische  Wirkung  mehr  auf  einander  ausüben.  Das  von  Weber 
und  Kohlrausch  gewählte  sogenannte  mechanische  Maas  der  EHek- 
tricität  ist  dem  absoluten  Maase  des  Magnetismus  ganz  gleich.  Man  denke 
sich  nämlich  in  zwei  körperlichen  Massenpunkten  A  und  B^  welche  in  einer 
Entfernung  von  1  Millimeter  von  einander  durch  eine  geeignete  Vorrich- 
tung festgehalten  werden ,  in  jedem  eine  und  dieselbe  Menge  positiver  oder 
negativer  Elektricität  concentrirt.  Die  elektrischen  Massen  üben  hierbei 
eine  abstossende  Kraft  auf  einander  aus,  ohne  dass  sie  Bewegung  veran- 
lassen können,  weil  dje  elektrischen  Massen  wiederum  von  den  körperlichen 
Massen  festgehalten  werden.  Ist  nun  hierbei  der  Druck ,  welchen  beide 
elektrische  Massen  auf  einander  ausüben ,  und  welche  auf  die  körperlichen 
,  Massen,  an  denen  sie  haften,  übertragen  wird,  gleich  einer  absoluten  Kraft- 
einheit, so  ist  die  Menge  der  in  A  oder  in  B  enthaltenen  Elektricität  der 

*)  Abhandl.  der  math.  -  phvaik.  Classe  der  k.  sächs.  Geselle  eh.  der  Wiflsonsch. 
Bd.  III.  S.  219.  ^ 


uigiüzea  oy  '" 


lOO 


8- 


Von  Dr.  Emil  Kahl«  307 


Maaseinheit  dee  elektfischen  Fkiidains  gleich.  Ist  in  A  di«  MaaBoinheit 
(das  Maas)  positiver  Elektricität,  in  B  eogleiek  ein  Haas  positiver  nnd  ein 
Maas  negativer  Elektricitllt  concentrirt,  so  kann  B  keine  Einwirkung  von 
Ä  erleiden;  daher  wird  ven'^  ans  gegen  B  die  anziehende  Kraft  1  ausge- 
übt, sobald  in  Ä  die  elektrische  Menge  +  1,  in  B  die  elektrische  MengB  — 1 
ist.  —  Als  Einheit  der  absoluten  Kraft  ist  hier ,  wie  beim  Magnetismus, 
diejenige  Kraft  ansunehmen,  welche  in  ein«r  Secunde  mittlerer  Zeit  der 
Masse  von  1  Milligramm  die  Beschleunigung  von  1  Millimeter  ertheilt. 


§.ld.  Bestimmuig  der  ConstanteA  e  im  elektrisolieii  OniiidgMetie 
durch  KohlMuicb  und  Weber. 

IHe  Methode,  welche  die  genannten  Gelehrten  angewendet  hafoen^  war 
im  Wesentlichei^  folgende: 

a)  Es  rat  aunäehst  die  Menge  positiver  Elektricität  nach  mechanischem 
Maase  gemessen  worden,  welche  auf  dem'innern  Belege  einer  geladenen 
Leidner  Flasche  im  disponibeln  Zustande  vorhanden  war,  d.  h.  es  ist  die« 
jenige  Menge  Elektricität  bestimmt  worden ,  welche  fast  momentan  in  die 
Erde  abfliesst,  sobald  man  das  innere  Belege  in  leitende  metallische  Ver- 
bindung mit  der  Erde  setzt ,  mit  welcher  schon  vorher  das  äussere  Belege 
verbunden  worden  war« 

fr)  Die  eben  erwähnte  Leidner  Flasche  wurde  nun  durch  den  Mul- 
tiplicator  einer  Tangentenbussole  nach  der  Erde  hin  entladen ,  indem  ihr 
inneres  Belege  mit  dem  einen  Ende  des  Multiplicaterdrahtes ,  ihr  äusseres 
Belege  mit  dem  andern  Ende  desselben  verbunden  wurde.  Es  war  dabei 
durch  Einschaltung  von  Röhren  voll  destilirten  Wassers  in  die  Leitung 
Sorge  getragen  worden,  dass  die  Elektricität  wirklich  innerhalb  der  Drähte 
floss  und  nicht  etwa  von  einer  Windung  zur  andern  übersprang.  Aus  der 
beobachteten  Elongation  der  Nadel ,  der  Horizontalintensität  des  Erdmag- 
netismus und  dem  magnetischen  Momente  der  Nadel  konnte  min  die  Winkel- 
geschwindigkeit berechnet  werden,  welche  de^  Nadel  durch  die  Elektricität 
ertheilt  wurde^  Denn  die  Oeschwindigkeitsertheilung  erfolgt,  wie  das  Nach- 
stehende zeigt,  so  schnell,  dass  sie  beendet  ist,  ehe. die  Nadel  einen  merk- 
lichen Ausschlag  bekommen  hat.  Die  Winkelgeschwindigkeit  der  Nadel 
ist  nämlich  bei  einer  solchen  Entladung,  wie  schon  Faraday  nnd  Riess 
nachgewiesen  hatten,  nar  abhängig  von  der  Menge  der  durch  den  Mal- 
tiplicator  fliessenden  Elektricität,  vom  magnetischeii  Momente  der  Nadel, 
sowie  von  der  Intensität  des  Erdmagnetismus  am  Beobachtungsorte,  jedoch 
unabhängig  von  dem  Widerstände  und  auch  innerhalb  weiter  Grenzen  un- 
abhängig von  der  Entladungszeit.  Bei  einem  und  demselben  Apparate  und 
an  einem  und  demselben  Orte  ist  daher  die  Winkelgeschwindigkeit  der 
Menge  der  durch  den  Multiplicator  in  der  einen  Richtung  fliossenden  posi- 
tiven Elektricität  propoiÜQuaL     Dies  könnte  nicht  stattfinden,  wenn  die(/> 

*       *  uigiTizeaT)y  v_j  v^v^^'i  Iv^ 

21*  ^ 


306  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik, 

ErtheiluBg  der  Geschwindigkeit  nicht  in  bo  kurzer  Zeit  geschehe ,  dass  sie 
Yom  Anfange  bis  zn  Ende  fast  in  derselben  Biefatang  erfolgte,  nämlich  in 
einer  horizontalen,  gegen  den  magnetischen  Meridian  senkrechten  Richtung. 

Durch  den  hier  diskutirten  Versuch  wurde  nun  die  Menge  der  positiven 
Elektrieität  bekannt,  welche  der  K^adel  der  von  Weber  angewendeten 
Tangentenbussole  eine  bestimmte  Winkelgeschwindigkeit  ertheilte. 

c)  Es  wurde  ein  nach  magnetischem  Maase  gemeasener  constanter 
Strom  von  sehr  kurzer  genau  bekannter  Dauer  durch  dieselbe  Tangenten- 
bussole  entladen ,  welche  zum  vorigen  Versuche  gedient  hatte ,  und  ans  der 
beobachteten  Elongation  der  Nadel  die  Winkelgeschwindigkeit  berechnet, 
welche  dieselbe  vom  Strome  während  dessen  Datier  erhalten  hatte.  Hat 
nun  der  Strom  von  der  nach  magnetischem  Maase  gemessenen  Intensität  t 
in  der  kleinen  Zeit  t  die  Winkelgeschwindigkeit  i  hervorgebracht;  hat  fer- 
ner beim  Entladungs versuch  der  Leidner  Flasche  die  Elektricit&tsmenge 
+  E,  welche  vom  innem  Belege  nach  der  Erde,  und  die  Menge  — £*,  die 
von  der  Erde  gleichzeitig  nach  dem  innem  Belege  strömte,  die  Winkel- 
geschwindigkeit 1/ erzeugt ,  so  ist  die  Menge  positiver  Elektricität,  welche 
beim  Strome  i  in  der  Secunde  durch  die  Kette  fliesst*): 

und  es  ist  demnach  die  magnetische  Stromintensitätseinheit  gleich : 

£i 

mechanischen  Stromintensitätseinheiten,     Weber  und  Kohlrausch  f an- 

den  aus  fünf  Versuchsreihen ,  dass  die  Grösse  -~-    im  Mittel    195370  ,  10^ 

2triv 

betrage ,  wobei  die  Differenz  des  grössten  und  kleinsten  der  von  ihnen^  er* 
haltonen  Werthe  etwa  7  Procent  des  mittleren  Werthes  betrug.  Dass  bei 
aller  Genauigkeit  und  Sorgfalt  im  Beobachten  ein  genaueres  Resultat  nicht 
erhalten  wurde,  liegt  jedenfalls  in  der  grossen  Schwierigkeit,  eine  staUseh 
aufgehäufte  Menge  Elektricität  genau  zu  meesen*  Die  späteren  Zusätze 
zu  dem,  was  bis  jetzt  über  die  Beobachtungsmethode  gesagt  wurde,  wer- 
den dies  deutlich  zeigen. 

Das  Gesetz  Ampire's  muss  nun,  wenn  i  und  t'  in  mechanischem 
Stromintensitätsmaase  ausgedrückt  werden,  die  Form  annehmen: 

Die  Ableitung  aus  Weber 's  Grundgesetz  hatte  jedoch  die  Form  ergeben: 

16  itdsds  ,  -         ^        ^». 

—  -j  — -j —  (cos  s  —  \cos  ß  eos  S  ). 

Durch  die  Vergleichung  dieser  beiden  Aasdrücke  erhält  man : 


•)  Siehe  die  Erläuterttngen  am  £nde  dieses  Parltfraphen.     r^r^r\n]o 

uigiiized  by  VjVJw V  Iv^ 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  309 

c  =  4dQ46d  .  10^  Millimeter 
oder  aueh : 

csrs  50320  geographische  Meilen. 
"Hiernach  beträgt  also  die  relative  Geschwindigkeit,  mit  welcher  zwei  elek- 
trische Massen  gleichförmig  bewegt  werden  müssen,  damit  sie  gar  keine 
Wirkung  mehr  anf  emander  ausüben  können,  50320  Meilen  in  der  Seounde. 
Dem  Vorigen  sind  noch  einige  nothwendige  Erläuterungen  beisnfügen. 
Wird  eine  Leidner  Flasche  geladea,  so  kann  man  die  Menge  der  in  sie 
eingefüllten  Elektricität  nach  Koblransch  in  einem  willkürlichen  Maase 
ausgedrückt  erhalten ,  wenn  man  sofort  nach  dem  Laden  der  Flasche  den 
Knopf  derselben  mit  einem  Sinnselektromeier  verbindet  und  hierauf  aus 
der  Angabe  desselben  die  Ladung  berechnet'*').  Das  Sinnselektrometer 
aeigt,  wenn  es  mit  dem  Knopfe  der  Flasche  verbunden  bleibt,  eine  anfangs 
rasche  Abnahme  der  Ladung,' die  sich  später  verlangsamt  Und  zn1et«t  einer 
bestimmten  Grense  nähert.  Diese  Abnahme  der  Ladung  rührt  nur  zuvk 
Theil  von  Elektrtcitätsabgabe  an  die  Luft  her;  nach  Kohlrausch  ist  es 
sehr  wahrscheinlich,  dass  folgende  Ursache  die  Ladnngsabnalime  ganz  vor^ 
EÜglich  bedingt.  Die  Ladung  auf  dem  inneren  und  die  gebundene  Elek- 
tricität auf  dem  äusseren  Belege  scheiden  allmälig  die  neutrale  Elektrieität^ 
im  Glase,  so  dass  an  manchen  Stellen  im  Innern  des  Glases  freie  positive 
Elektricität,  an  andern  Stellen  freie  negative  Elektricität  vorhanden  ist, 
welche  sich  beide  wegen  der  schlechten  Leitungsflähigkeit  des  Glases  nicht 
▼ereinigen  können.  Die  geschiedene  Elektricität  im  Glase  bindet  einen 
Theil  der  Ladung  fest  und  da  erstere  um  so  grösser  sein  muss ,  je  mehr 
Zeit  vom  Laden  der  Flasche  an  verfloss,  so  muss  auch  die  gebundene 
Elektricität  auf  den  Belegen  mit  der  Zeit  zunehmen.  Der  Theil  der  La- 
dung, welcher  Ton  der  geschiedenen  Elektricität  im  Glase  nicht  gebunden 
gehalten  wird ,  fliesst  bei  der  Entladung  der  Flasche  ganz  allein  ab  und 
heisst  die  disponible  liadung.  Kohlrausch  hat  nun  in  der  oben  citirten 
Abhandlung  gezeigt,  nach  welchem  Gesetze  —  zugleich  mit  Berücksichti- 
gung des  Elektricitätsverlustes  in  der  Luft  —  die  disponible  Ladung  von 
der  ursprünglichen  Ladung  und  der  Zeit  abhängt,  welche  seit  dem  Laden 
der.  Flasche  vergangen  ist,  und  wie  man  die  Constanten  dieses  Gesetzes  für 
jede  beliebige  Flasche  und  beliebige  Luft  bestimmen  kann.  Wird  nun  die 
Flasche  durch  eine  Tangentenbnssole  hindurch  entladen,  so  kennt  man 
durch  das  Sinuselektrometer  die  Menge  der  disponibeln  Ladung,  allerdings 
nur  in  einem  Willkürlichen  Maase  ausgedrückt.  Die  Rednetion  des 
willkürlichen  Maases  auf  absolutes  Maas  geschah  bei  den  Versuchen  von 
Weber  und  Kohlrausch  dadurch,  dass  mit  Hilfe  des  Sinuselektrometers 
ermittelt  wurde,  der  wievielte  Theil  der  Ladung  der  Flasche  in  eine  grosse 


»)  Pogg.  Ann.  Bd.  91.  ß.  50.  I7th  Digitized  by  GoOglc 


310  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

isolirt  aufgehängte  Kugel  abgegeben  wurde,  sobald  dieselbe  mit  dem 
Knopfe  der  Flasche  in  Berührung  gebracht  wurde.  Diese  Kugel  wurde 
nun  mit  der  kleinern  ßtändkugel  eiper  Goulomb^schen  Drehwage  berührt, 
der  Theil  von  Elektricität  der  grossen  Kugel,  welcher  hierbei  an  die  kleine 
Kugel  abgegeben  wurde,  wurde  nach  Plana's  Arbeit  {M4m^e  mr  la 
dislribuUon  de  telectrUHti  ä  la  ßurfaee  de  deux  spkh'ee  oanduciHces*  Turin 
1845.  page  64.  6d.)beffeGhnet.  Die  Standkugel  der  GöuLomb^sehea  Dreh- 
wage wurde  nun  in  letatere  eingesetzt)  worauf,  da  die  Coasiatiten  des  In- 
strumentes durch  Tor^nsschwingungen  ermittelt  wordien  waren,  die  avf 
der  Standkugel  befindlich  gewesene  Menge  von  Elektricitfii  in  abseltttem 
Maase  ausgedrückt  aus  der  Beobachtung  und  augehörigen  Rechnung  her- 
iFOrgehen  musste. 

lieber  die  w&hrend  der  Entladung  der  Leidner  Flascke  durch  dea 
Querechnitt  hitidurchfliessende  Menge  positiYär  und  negativer  Elektrieii&t 
kann  man  sieh  Terscbiedene  Vorstellungen  machen.  Betrug  <He  Ladung 
der  Flasche  +  E^  so  kann  man  sieh  vorstellen,  die  ganse  Menge  +  E  fliesse 
allein  naqh  der  Erde  ab ,  so  dass  nur  positive  Elektricität  durch  den  Mul- 
tipUeator  geht,  oder  die  zur  Neutralisation  erforderliehe  Menge  —  E  flieset 
ganz  allein  in  entgegengesetzter  Richtung  nach  dem.  inneren  Belege  der 
Flasche  hinauf;  oder  ein  Theil  von  E^  z,  B.  a£,  fliesst  UAcb  der  Erde  ab, 
der  andere  Theil  (1  —  a)i?  wird  nentralisirt,  indem  die  dazu  nöthigeMeng« 
entgegengesetzte  Elektricität  — (1 — a)E  gleichzeitig  ans  der  Erde  naek 
dem  Innern  Belege  strömt,  Weldie  Vorstellung  man .  sieh  auch  maehes 
möge,  so  gelangt  man  doch  zu  dem  Resultat,  dass  die. Wirkung  auf  die 
Nadel  genau  so  gross  iat^  als  wenn  die  Menge  +  \E  nach  der  Erde,  die 
Menge  —  ^Eiu  entgegengesetzter  Richtung  durch  den  Multiplicator  flösse. 
Man  kann  nämlich  für  die  Nadel  ein  kleines  Solenoid  substitairen,  welches 
vom  ErdmagnetisQ^us  untrer  gleichen  Verhältnissen  ein  eben  so  grosses 
Drehnngsmoment,  als  die  Nadel,  erleidet.  Die  Einwirkung  von  der  Menge 
4-  €t£  und  (1  —  a)J^,  welche  durch  ein  Element  des  Multiplicators  fitestfen, 
auf' ein  Element  vom  Solenoid  kann  man  dann,  die  Betrachtung  des  S.  6 
wiederholend,  untersuchen.  Man  wird  dann  die  obige  Behauptung  für 
Elemente  bestätigt  finden  und  hat  sie  nur  noch  auf  die  ganzen  Leiter  ans* 
zudehnen ,  um  die  Berechtigung  einzusehen ,  diesen  Strom  in  der  -früher 
angegebenen  Weise  mit  einem  constanten  Strome  zu  vergleichen. 

Was  endlich  die  Berechnung  der  kurzen  Zeit  t  anbelangt,  während 
welcher  der  constante  Strom  durch  den  Multiplicator  der  Ttngentenbussole 
ging,  so  geschah  diese  mit  Hilfe  des  bekannten  Momentes  d^r  Magnetnadel. 
Aus  der  Stärke  des  Stromes  konnte.,  weil  jenes  bekannt  war,  das  Kräfte- 
paar berechnet  werden,  durch  welches  der  Strom  die  im  Meridian  befind- 
liche Nadel  aus  demselben  herauszudrehen  sucht.  Dieses  Kräftepaar  giebt 
bei  der  Division  durch  das  bekannte  Trägheitsmoment  der  Nadel  die  Win- 
kelbeschleunigung.  Dividirt  man  nun  mit  der  Winkel beschleunignng  in  die 

uiqiTizea  DV  x^j  vy^X  t^ 


Von  Dr-  Emil  Kahl.  311 

ans  der  beobaohletea  Blongstioa  berechnete  Wiakelgeschwiiidigkeit,  so  er- 
hält man  die  Zeit  v. 

§.  IL  Sie  ekktroidyiiaaüiGlien  Oesetce  mit  nnmeruclien  Constauten. 
Das  elektrodynamische  Grandgesetz  von  Weber  nimmt  nach  £in- 
setanng  der  Constaaten  c  folgende  Form  an : 

^  •      r«  r*^193120.10"LW~*''rf^*J» 

und  drückt  also  in  abcrolntem  Maase  die  Kraft  aus,  mit  welcher  zwei  nach 

mechanischem  Maase  gemessene  Elektricitätsmengen  e  und  e  in  Richtung 

%•  df  d^r 

ihrer  Verbindungslinie  auf  einander  wirken ,  wobei  r,  —  und  -^-=-  in  Milli- 

metem  auszudrücken  sind.  Hat  man  positive  Eleklrkitlttgmengen  ^t  po- 
sitivem Vorzeichen,  negative  mit  negativem  Vorzeichen  eingeführt,  so  ent- 
spricht einem  positiven  Vorzeichen' obigen  Ausdruckes  eine  abstossende, 
einem  negativen  Vorzeichen  eine  anziehende  Kraft. 

Das  aus  dem  allgemeinen  Grundgesetze  abgeleitete  Gesetz  Ampere*« 
war  Früherem  zufolge: 

ii'dsds     16,  m        ^        ^\ 

— ^ —  .  -j  (cos  »  -^  I  CO* Oco*  w  ) , 

d.  i.  nach  Einsetzung  des  Werthes  von  c: 

TT\  ^  fi'dsds.  ^  ■  ^        ^. 

^>    .,  -^i^o.ie"'—;^^"""^-*^^^"""^)" 

Dieser  Ausdruck  giebt  abo  die  Kraft  in  absolutem  Maase  ausgedrückt  an, 
mit  welchem  das  Element  d$  anf  das  Element  d»',  und  umgekehrt  ds'  auf  de 
inBiohtung  der  Verbindungslinie  r  4>eider  Elemente  einwiriLt.  Das  Element 
d9  ist  von  einem  Strome  von  der  Intensität  i  (in  mechanischem  Maase  aus- 
gedrückt) durchflössen ,  das  Element  ds'  ist  vom  Btrome  i*,  in  demselben 
Maase  ausgedrückt,  durchströmt,  r  ist  in  Millimetern  einzusetzen.'  Der 
Winkel  s  ist  der  Winkel ,  den  die  beiden  Elemente  ds  und  ds'  mit  einander 
eittscfaliessen,  6  ist  der  Winkel,  den  das  Element  di  mit  der  Richtung  von  r 
(z.  6.  von  ds  nach  ds')  einschüesst ,  S'  der  Winkel,  den  ds'  mit  der  ver- 
längerten Linie  r  bildet. 

Dem  S^  7.  No.  5.  zuMge  würde  nun  das  Gesetz  flir  die  Voltainduction 
eines  vom  Strome  t  (mechanisches  Maas)  durcbflossenen  ruhenden  Elemen- 
tes ds,  in  dessen  Nähe  ein  neutrales  Element  ds'  mit  der  Geschwindigkeit 
u  bewegt  wird,  die  elektromotorische  Kraft,  welche  in  der  Richtung  von  ds' 
auf  letzteres  ausgeübt  wird,  in  folgender  Grösse  ergeben: 

__.  1         iudsds  .  -         -,       ^,. 

,ni)         ~  iwiO .  10'«       r«       ^""^^  s  —  lcosBcose)  cos  y. 

Hierbei  bedeutet  r  die  in  Millimetern  ausgedrückte  Entfernung  zwischen  ds 
und  /ds\  die  Richtung  r  möge  die  Richtung  der  von  ds  nach  ds  gezogenen 
und  darüber  binaus  verlagerten  Geraden  sein;  es  ist  dann  c  der  Wibkel,  j 

uigiüzea.oy  x_j  vy  v^ p^ LV^ 


312  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

den  die  Richtung  von  n   mit  ds\  €f  der  Winkel ,  den  die  Riclitung  von  u 
mit  r  bildet ,  S  ist  der  Winkel  von  r  und  ds ,  und  g>  der  spitxe  Winkel,  den 
ds'  mit  r  eiuBchliesst.     Ist  der  Ausdruck  TU)  positiv ,  so  inducirt  die  elek- 
tromotorische Kraft  einen  Strom  in  ds^y  dessen  Richtung  mit  r  den  spitzen 
Winkel  tp  einsckliesst. 

Im  Falle ,  wo  die  Strömintensit&t  in  einem  Elemente  ds  in  der  Zeit  di 

um  ^  'dt  geändert  wird,  wird  auf  die  Elektricität  in  einem  benachbarten 

Elemente  d$'  nach  S.  9.  No.  0.  die  electromotorische  Kraft  ausgeübt : 
^  1  dsds'        ^        ^,di 

In  diesem  Ausdrucke  ist  r  die  in  Millimetern  ausgedrückte  Entfernung  von 
ds  und  d8\  ß  und  ß'  sind  respective  die  Winkel ,  welche  ds  und  ds  mit  der 
Richtung  r  (von  ds  nach  rf/  und  darüber  hinaus  gezogen  gedacht)  bilden. 

In  dem  complicirteren  Falle ,  wo  die  Induction  gleiehxeittg  durch  Be- 
wegung des  einen  Leiters  und  durch  Aenderung  der  Stromintensität  hervor^ 
gebracht  wird,  erhält  man  den  im  $•  iO  angegebenen  Ausdruck  für  die  in- 
ducirte  elektromotorische  Kraft;  derselbe  ist  nun  ebenfalls  vollständig  be- 
stimmt ,  sobald  man  in  denselben  «•  s=a  — -rz  einsetzt. 

'  193120 .  10*® 

§.  15.  Elektrodynamische  Einwirkung  eines  gevehloisenen  constaaten 
Stromes  auf  ein  Element  eines  andern  omistantea  Stromes. 

Das  Element  ds  befinde  sich  im  Anfange  eines  rechtwinkligen  Coor^ 
dinatensystemes  und  es  achliesse  die  Richtung  des  dureh  dasselbe  hindurch- 
fliessenden  Stromes  von  der  in  mechanischem  Maase  ausgedrückten  Inten- 
sität t'  mit  den  Achsen  Xy  y^  z  resp.  die  Winkel .  I,  ft,  v  ein.  Das  Element 
ds  gehöre  einer  Curve  an ,  deren  zwei  Gleichungen  als  gegeben  betrachtet 
werden,  so  dass  von  den  Coordinaten  or,  y^  z  des  Elementes  ds  immer  zwei 
als  Function  der  dritten  anzusehen  sind.  Die  Richtung  des  Stromes  (In- 
tensität t)  m  ds  bilde  mit  der  Stromrichtung  in  ds'  den  Wihkel  e,  mit  der 
Linie  r  (von  ds  nach  ds  gezogen)  den  Winkel  O,  und  die  Stromrichtung  in 
ds  mit  r  den  Winkel  ß\  . 

Jedes  Element  ds  des  geschlossenen  Stromes  wirkt  auf  den  Strom  in 

ds'  mit  der  Kraft  ein : 

4N  iQii'dsds'  ,        ^        ^,^ 

1)  — -j — -j^ — (cos  i — .^cosßcosß). 

Diese  Kraft  ist  in  drei  Componenten ,  die  die  Richtung  der  drei  Coordina- 
tenachsen  besitzen,  zu  zerlegen  und  hierauf  alle  Componenten  in  der 
X-Achse,  die  den  Einwirkungen  aller  Elemente  des  geschlossenen  Stromes 
auf  das  Element  ds  entsprechen,  au  addiren;  man  erhält  so  eine  Compo- 
nente,  die  mit  X  bezeichnet  werden  möge.  Die  Addition  aller  in  der  y-Ache 
enthaltenen  Componenten  gebe  die  Kraft  Jf,  die  Snmme  alier  Componenten 

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Von  Dr.  Emil  Kahl.  313 

in  der  z*  Achse  gebe  die  Kraft  Z  Es  soll  nim  zanftebst  die  Cottiponente  X 
bestiimnt  werden.  Die  in  der  x  -  Achse  enthaltene  Gomponente  der  Etti- 
Wirkung  von  <f^  auf  ds  ist : 

o\  16    ii'ds.ds      x  ,  .         ^         .,. 

2)  —  -j  . -= •  —  [cos %  —  \coiB cos  S ). 

Diesem  Ausdruck  giebt  man  eine  für  die  Folge  Bweckmftssigere  Form ,  in- 
dem man  setzt: 

dx  dy  dz 

3)  CO«  «  ==  :r-  co^  X  +  3-  cos  ft  +  -7-  CO«  y ; 
'  ds  ds       ^      ds         ^ 

X  dx       fi  dy       z  dz 

^  r  ds        r  ds  *    r  ds^ 

.        X  V  z 

5)  CQS& r^:^  —  COS  X  +   —  CO«  tt  +  —  COS  V. 

i  r  r        ^       r 

Man  erhält  dann  für  die  Einwirkung  ron  ds  auf  ^2«': 

ö)  —  -j  • 1  3  {2xdx  cos  l  +  2xdy  cos  p,  +  2xdz  cos  v) 

(Zxdx+Zydy  +  dzdz)  1 

—  i —-2 '  (ar  cos  A  +  xycos  11  +  xz  cos  v)  I . 

Dieser  Aus4ruck  lässt  sich  weiter  umformen ,  wenn  man,  geleitet  durch  die 

Form  des  letzten  Gliedes,  das  Differential  von  -r  einzuführen  sucht.  Denn 

es  giebt: 

7)  d.i  =  -3.i.dr. 
Ans  r*  =^  ^  +  ^  +  2*  erhält  man  jedoch : 

8)  dr=  ^dx+^dy+^dz 

und  daher: 

9)  ^    1  ^       jZxdx  +  Zydy^Zzdz) 

Man  findet  nun  nach  diesen  Erörterungen  leicht,  dass  man  statt  der 
Gleichung  6)  die  folgende  setaen  darf,  welche  den  Yortheil  besitzt,  bei  dBr 
nachfolgenden  Integration  sich  zu  vereinfachen , 

-^v  16  ii'ds  r      x^cosl  +  xy  cos  (i  +  xz  cos  v 

,              {xdy  ^  ydx)  .  cosvixdz  —  zdxXy 
+  cos^^       ^  y       ^+       ^      ^     ^ ^^J. 

Das  erste  Glied  in  der  Parenthese  kamn  man  auch  schreiben: 

(X  y  z  \ 

—  cosX  +  —  cos  fi-^  —  cos  vi 


iJ^cosX+xycos  fi  +  xzcosv        . 
a  .  —— =  a . . 


,    XCOS0 

'.  d . z — . 


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314  Die  Fundamente  ier  Mektrodynamik. 

Idtegrirt  man  nun  den  Angdrack  10)  md  erstredkt ,  hierbei  die  Integratioji 
auf -alle  Elemj^ate  der  CurTe,  so  verseh  windet  das  er^te  Glied  der  Paren- 

tbeee ,  weil  — — —  für  beide  Grenzen  denselben  Werth  erbält     Die  Inte- 
rn 

gration  giebt  nun  —  wenn  man  den  Werth  der  Constanten  c  einsetzt  — 

znnäehst: 

Die  Componente  r  wÄrd«  man  auf  gleiche  Weise  finden,  wenn  man 
denselben  Untersnchongsgang  anyrendete,  jedoch  von  Anfang  der  Eat- 
wickelung  an  überall  x  und  k  mit  y  nnd  f&  und  nmgekehrt  vertauschte.  Man 
erhält  daher  Y  sofort  ans  No.  V)  durch  Anwendung  derselben  Vertauschun- 
gen. Ebenso  findet  man  den  entsprechenden  Ausdruck  für  Z,  sobald  man 
in  Y)  statt  x  und  X  die  Grössen  z  und  v  und  umgekehrt  schreibt.  Das  Re- 
sultat dieser  Yertauschungen  ist  nun : 

Diese  drei  Ausdrücke  sind  zuerst  von  Ampere,  niUürlich  mit  der  dem  mag- 
netischen Stromintensitätsmaas^  zukommenden  Coitstanten,  gegeben  worden. 

§.  16.   Toltainduction  eines  gesclilostenen  oonstaateH  Stromes  auf 
das  Element  eines  bewegten  nentralm  Leiters. 

'Der  Gang  der  Untersuchung  ist  genau  so,  wie  in  S.  15;  wir  nehmen 
an,  das  Element  ds'  befinde  sich  anfanglich  im  Coordinateuanfange ,  das- 
selbe werde  aber  in  der  kleinen  Zeit  dl  mit  einer  Geschwindigkeit  u  vom 
Coordinatenanfango  hinbewegt ,  deren  Richtung  mit  den  Achsen  x^  y^  z  re- 
spective  die  Winkel  il,  f»^  v  bildet  and  mit  r  den  Winkel  0%  sowie  mit  der 
Stromrichtung  in  ds  den  Winkel  c  einschliesst.  Vermöge  der  Bewegung 
des  Elementes  ds  wird  in  selbigem  eine  elektromotorische  Kraft  inducirt, 
deren  in  det  «-Achse  liegende  Gomponente  dem  S*  14,  No.  Hl)  zufolge  ist: 

16  iudsds      X  ,  %        r^        zi'% 
; —  .  —  (cos  s  —  icos  &  Cos  B  ). 

Formt  man  diesen  Ausdruck  ebenso  um,  a)s  die  Gleichung  2)  des  $.  15, 
so  erhält  mau  nach  und  nach  Ausdrücke,  die  denen  des  S.  15  ganz  ähnlich 
sind  und  sich  von  ihnen  nur  dadurch  unterscheiden ,  dass  überall  u  an  der 
Stelle  von  f '  steht,  so  dass  das  Endresultat  der  Rechnung,  d.  i.  die  Aus- 
drücke der  Componehten  JT,  7,  Z  der  totalen  auf  ds'  augeübten  elektro- 
motorischen Kraft  sich  ebenfalls  von  den  Ausdrücken  V),  VI),  YII)  des 
vorigen  Paragraphen  nur  durch  Vertauschung  von  t"  und  u  unterscheiden. 
Wir  erhalten  deswegen,  indem  wir  der  Kürze  wegen  die  Bezeichnungen 
einführen : 


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Von  Dr.  Emil  Kahl.  315 


1)  ., ^f-JU^ ,      2^  ^ ^JyA.-r,y        ^y  ^_J. 


zdft — ajrft 


VIII)  X'^^^^^^,xudB'{^Äco,y.^Ccosvy, 

IX)  r=___-_^,Vrf*'(^co«v  — ^cosA); 

X)  Z  = ^' ^  itids  (Ccos  l  —  Bcos  a). 

^  24140.  lO**  ^  • 

§.  17^  Bas  abfolnte  WiderBtandsmaa«. 
Ohm  hat  bekanntlich  das  nach  ihm  genannte  Geseto  tbeoretiseh  zi| 
begründen  gesucht,  indem  er  die  H3rpothe8e  zu  Ornnde  legte,  dass  die  Be- 
wegung der  Elektricität  in  Stromleitern  in  Folge  ähnlicher  Ursachen  ein- 
trete ,  wie  die  Ausgleichung  der  Wärme  in  einem  Körper ,  in  welchem  yer- 
sebi«dene  Stellen  doreh  WärmezufOhrnng  auf  eonstanter  Tempfirator  er- 
halten werden*).  Das  auf  diese  Weise  abgeleitete  6esets&  entbehrt 
derogemäs  des  strengen  theoretischen  Nachweises,  der  vielmehr  nwc 
g^efbrt  werden  kann,  wenn  man  —  wie  bereits  Weber  und  Kirch  hoff 
Yoraucbt  haben. —  you  Weber 's  aUgemeinem  Grundgesetze  der  Blektrioir 
Ifttslehre  ausgeht.  Eines  solchen  theoretisehen  Nachweises  darf  maor  sich 
indessen,  wo  es  auf  Messungen  ankommt,  oft  enteehlagen ,  sobald  durch 
den  Versueh  dargetiian  wixd,  dass  das  Ohm  'sehe  Gesetz  in  den  betreffen^ 
.  den  Fällen  wirklich  Geltung  besitzt.  Die  Fälle  nun,,  in  denen  das  genannte 
Gesetz  angewendet  werden  darf,  sind  der  Construction  der  messend^a  und 
▼ielear  anderer  Indoelionsapparate  zufolge  wirklieh  die  hättfigereu«  Soviel 
man  bis  jetzt  weiss,  darf  das  mehrerwähnte  Geseta,  dessen  Giftigkeit fär 
hydroelektrische  und  thermoelektrische  constante  Ströme  fest  steht,  auch 
auf  diejenigen  magneto-  oder  stromelektrisehen  Induotionsaj^arate  ausge- 
dehnt werden  y  bei  denen  sich  die  auf  ein  Leiterelement  ausgeübte  elektro- 
moteorisciie  Kraft  nur  nicht  allznsehnell  im  Verhäitnissr  milder  Zeit  ändert; 
in  speoieUeiL  F^len  ist,  wie  oben  bereits  erwähnt  wurde,  jedesmal  die  Zu- 
lässigkeit  von  Ohm 's  Geset»  durch  einen  V^such  zu  entscheiden. 

Ai»s  den  UmsUMiden,  die  Inductionsversuche  der  letzteren  Art  beglei- 
ten, wird  nun,  wenn  Ohm's  Gesetz  erfahrnngsgemäs  gilt,  die  elektro- 
motorische Kraft  auf  die  Weise  berechnet,  dasS  man  mit  Hilfe  der  Aus- 
drücke Vin),  IX),  X)  des  vorhergehenden  Paragraphen  die  elektromotori- 
sche Wirkung  ermittelt,  welche  ein  £]ement  ds  des  Inducenten  am  Ende 
der  Zeit  t  erleidet.  Ist  diese  EdSy  so  ist  die  Summe  aller  am  Ende  der 
Zeit  I  auf  den  Leiter  ausgeübten  Kräfte: 

f£ds. 


*)  Ohm,  die  galvanischü  Kette,  mathematinck  boarbttitot.     Berlin  i^^CjIp 


'  Eds. 


316  Die  Fundamento  der  Elektrodynamik. 

irenn  der  Leiter  die  Länge  i  besitet« .  Diese  Kraft  ist  im  AHgeaeinen  eine 
FanctioQ  von  der  Zeit  f ,  welche  sich  nur  wenig  mit  letzterer  ändert.  Wirkt 
nun  der  von  dieser  Kraft  innerhalb  der  Zeiten  ^o  und  /j  hervorgebrachte 
Indttctionsstrom  auf  einen  sich  gar  nicht  oder  nur  wenig  bewegenden  Leiter 
oder  Magneten  (z.  B.  auf  die  Nadel  einer  Tangentenbussole),  so  erfolgt 
die  Wirkung  des  inducirten  Stromes  immer  in  derselben  oder  fast  in  der- 
selben Richtung.  In  diesen,  bei  günstiger  Wahl  des  Zeitintervalles  i^  —  f« 
immer  durch  den  Versuch  herstellbaren  Fällen  wirkt  der  Indnctiousstrom 
wie  ein  constanter  Strom ,  dessen  elektromotorische  Kraft  gleich  dem  arith- 
metischen MitteT  aller  auf  den  Leiter  s  innerhalb  dei  Zeiten  d,  und  li  aus- 
geübten elektromotorischen  Kräfte  ist,  nämlich: 

Diese  Kraft  ist  die  in  absolutem  Maase  ausgedrückte  mittlere  Differens 
derjenigen  Kräfte,  welche  auf  die  im  Leiter  befindliche  positive  mit  einer 
gleich  grossen  Menge  negativer  Elektricität  vereinigte  Elektricität  wirken 
würde,  wenn  die  Menge  der  in  der  Längeneinheit  des  Leiters  befindlichen 
positiven  Elektricität  1  wäre.  Es  liegt  in  dem  eben  erörterten  Verhalten 
die  Möglichkeit,  Inductionsstcome  mit  constanlen  Strömen  zu  vergleichen, 
zugleich  geht  daraus  hervor,  dass  Ohm 's  Gesetz  fiSr  alle  elektrischen 
Ströme  innerhalb  gewisser  Grenzen  giltig  ist,  »o  dass  es  gerechtfertigt  er* 
scheint,  das  absolute  meehani^K^he  Widerstandsmaas  auf  Ohm's  Gettet«  zu 
gründen. 

Ist  nun  e  eine  eonstante  auf  einen  Leiter  von  überall  gleichem  Quer- 
sehnitt  und  gleicher  Substanz  ausgeübte  elektromotorische  Kraft,  so  ist  die 
l^t^mstärke: 

proportional  der  Menge  a  von  Elektricität,  die  in  einem  Stück 
des  Leiters  von  der  Länge  1  und  dem  Querschnitt  1  wirklich  etit- 
halten  ist,  uimI  propoi-tional  dem  Querschnitt  q,  d.  i.  also  proportional  «7, 
umgekelurt  proportional  der  Menge  gleich  starken  Hemmungen, 
die  ihrem  Strömen  durch  die  Substanz  des  Leiters  gesetzt  werden,  also 
umgekehrt  proportional  der  Länge  /  des  Leiters  und  einem  von  dessen 
Substanz  abhängigen  Factor  ß. 
Demnach  ist  die  Stromstärke  t  etwa: 

e  ,€iq  e  e 

mq 
wobei  fv  den  Widerstand  des  Leiters  und  ^  eine  Oonstante  bedeutet,  die 
von  dem  Maase  abhängt ,  in  welchem  w  ausgedrückt  ist. 

Es  möge  nun  der  Fall  ins  Auge  gefasst  werden,  in  welchem  der  Leiter 
aus  Stücken  von  ungleichem  Querschnitt,  ungleicher  Länge  und  ungleicher 
Substanz  besteht ,  deren  Widerstände  »^1,  w^y  «^«...n^«  aind^  wobei  die 

uigiiizea  oy  v^jOOV  Iv^ 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  817 


Samme  dieser  Widenti&ndd  w  sein  möge.  Die  Samme  aller  «af  die  Leiter- 
stttcken  ausgeübten  elektromotorischen  Kräfte  möge  hierbei  e  sein.  Ueber 
diese  elektromotorisefae  iCraft «  macht  man  sich  den  Erscheinungen  gemäss 
die  Vorstellung,  dass  sich  dieselbe  in  einzelne  Tbeile  «i ,  ^t . . « e^  von  selbst 
spalte ,  die  in  den  einzelnen  Leiterstflcken  nach  Proportion  der  Widerstände 
wirken,  so  dass  die  in  jedem  Leiterstiicke  gleich  grosse  Stromstärke  t  tAöh 
in  jedem  LeiterstUeke  nach  dem  Ohm ^ sehen  Gesetze  richtet.  Man  hat 
hiernach : 


t  ==  ^  —   oder  Wj  1  =  9  f  1 5 
t  =  o  —   oder  w,  i  =  p  e. 


i=^  Q  -^    oder  w«i  =  ^  ^„ . 

Die  Addition  der  zweiten  Reihe  führt  wieder  auf  das  Ohm'sche  (besetz, 
nämlich : 

Ist  nun  das  Maas,  nach  dem  die  elektromotorische  Kraft  e  und  die  Strom- 
stärke t  gemessen  ist,  das  mechanische  Maas,  so  kann  man  das  Maas,  in 
welchem  w  gemessen  wird,  so  bestimmen,  dass  ^?=l  wird;  man  nennt  dies 
se  definirte  Widerstandsmaas  das  mechanische  Widerstandsmaas, 
so  dass  also : 

tv 
wenn  i,  e  nnd  w  im  absoluten  mechanischen  Maase  gemessen  werden.  Sine 
Kette  bietet  daher  den  mechanischen.  Widerstand  1  dar,  sobald  die  elektro- 
motorisohe  Kraft  t'in  ihr.  die  Stromstärke  1  herrorbringt,  die  beiden  letzte* 
ren  nach  absohttem  mecUanlsohem  Maase.gemessen. 

$*  U.  BMtiBiiQiims  4eft  abiolntea  IR^darstandei  dnreh  Teranclie. 

Es  ist  wtinschenswerth ,  den  Widerstand  yon  Leitern  nach  absolutem 
mechaniseben  Maase  zu  bestimmen ,  da  es  kein  relatives  Widerstandsmaas 
gtebt,  welebes  fUr  wissenschaftliche  Angaben  hinreichende  Zuverlässigkeit 
besitzt  Die  firüher  auch  bei*  wissenschaftlichen  Arbeiten  gebräuchliehMi 
relativen  Widerstandsmessungen  geben  an,  wieviel  mal  ^össer  der  Wider^ 
stand  einer  untersuchten  Drahtleitnng  war,  als  der  Widerstand  eines  Nor- 
maldrahtes von  bestimmter  Länge,  bestimmtem  Querschnitt  und  bestimmter 
Substanz.  Da  es  sich  jedoch  heransgesielli  hat,  dass  dies^be  Substanz  bei 
gleichen  Dimensionen  nnd  derselben  chemisehen  Beschaffenheit  verschie*' 
denen  Widerstand  zeigt,  Je  nachdem  sie  auf  die  oder  jene  Weise  hergestellt 
wurde,  und  danach  wahrscfaeinlich  verschiedene  Moleciilarverhältnisse  adp 

y  y  ^-v 


318  Die  Fnadamerite  der  Elektrodynamik. 

sie^^mgy  ist  es  xrbthwendig  geworden^  Widervt&ide  in  absolatem  M< 
ameageben. 

Die  Mittel  ssur  Bestimmung  ^es  Widerstandes  nack  abMintem  Masse 
iftind  von  Wilhelm  Weber  angegeben  worden*)  und  sollen  hier  -^  aller- 
dings nnr  im  Principe  —  wiedergegeben  werdeuw  Sie  gründen  sich  auf  die 
Hagnetoinduction ,  deren  Gesetz  bereits  seit  längerer  Zeit  bekannt  ist ,  und 
auf  folgende  Weise  ausgedrttckt  werden  kann:  Wizki  ein  magnetieches 
nach  absolutem  magnetischem  Maase  gemessenes  Theilchen  (i  während  s^- 
ner  Bewegung  inducirend  auf  ein  festes  Leiterelement  von  der  Länge  di, 
so  wird  auf  letzteres  in  dessen  Richtung  eine  elektromotorische  in  magneti- 
schem Maase  ausgedrückte  Kraft  ausgeübt,  deren  absolute  Grösse 

^  ,      sin  S  cos  iD 
fids.u — ^ 

ist.  Hierbei  ist  v  die  Geschwindigkeit,  mit  der  fn,  bewegt  wird,  6  ist  der 
spitze  Winkel ,  den  die  von  fi  nach  ds  gezogene  Gerade  r  mit  dem  Element 
ds  rbildet,  4ff  ist  der  spitze  Winkel,  den  die  Normale  auf  der  durch  f»  und 
ds  gelegten  (sogenannten  Wirkungs-)  Ebene  mit  der  Richtung  von  »bildet. 
Da  nun,  wie  Weber  gezeigt  hat,  die  elektromotorische  Elraft  nach  me- 
chanischem Maase  erhalten  wird ,  wenn  man  die  nach  magnetischem  Maase 

4  1 

gemessene  mit  — =•==  ^  multiplicirt,  so  ergiebt  sich  hieraus  das 

Cresets  der  Magnetoinduction ,  wie  folgt: 

1      ^     *    ,  ,   sm^eosilf 

155370.10»-'"'*" ? • 

Dies  Gesetz  ergiebt  die  elektromotorische  Kraft  in  gewöhnlichem  mechani- 
schem Kraftmaase,  sobald  die  in  demselben  vorkommenden  Grössen  in 
absolutem  Maase  ausgedrückt  sind ,  die  sieh  auf  das  Millimeter  als  Einkeil 
der  Länge  und  auf  die  Secunde  als  Einheit  der  Zeit  gründm. 

Das  angegebene  Gesetz  lässt  Sich  leieht  in  dasjenige  nmfermen,  wel- 
ches die  Induction  eines  bewegten  Leiters  gegen  ein  festes  magnetisches 
Element  ausdrückt,  indem  man  bei  beiden  Elementen  eine  Geschwindigkeit 
von  der  Grösse  und  Richtung  einfahrt ,  dass  dadurdi  die  Geschwindigkeit 
ies  magnetischen  «Elementes  annuHirt  wir 4* 

Sobald  man  nun  den  Widerstand  eine»  MultipUcators  nach  absoUuem 
meehanischem  Maase  bestimmen  will  ^  so^  hat  man  nar  1)  eine  elektromoto- 
rische Kraft  in  selbigem  zu  indueiren,  indem  man  um  in  der  Nähe  eines 
Magneten  oder  den  Magneten- in  seiner  Nähe  bewegte  Die  Grösse  dieser 
Kraft  lässt  sich  in  absolutem  Maase  aus  dem  Moment  des  Magneten  be- 
redinen.  2)  Man  hat  die  durch  diese  elektromotorisehe  Kraft  hervoi^e- 
brachte  Strömstärke  dureh  galvanometrtsahe  Messtingen  zu  beobachten. 
Indem  man  mit  der  Stromstärke  in  die  elektromoiorisehe  Kraft  divtdiri^ 

*)  Abhandlungen  der  matK-phys.  Classe  der  k.  sHcbs.  Gesellschaft  der  Wissen- 
schaften. Bd.  I.  S.  107.  •  . 

uigiiizea  oy  v_j  v^  v_/ 'i  t v. 


Voü  Dr.  Emil  KahLw  919 


fiiidet^  nrna  die  Oi^sse  ^es^  Widerstandes»  Von  "Weber  «ind  folgende  Me» 
tlioden  zur  Bestiiiimaag  des  absoloteü  Widerstandes  venmclit  worde»,  die 
ia  einzelnen  Fftllen  durch  aweckmässige  Eiariclituiig  der  Apparate  jede  ge« 
wünschte  Genauigkeit  erhalten  ktonen : 

1)  Ein  Muhiplieatov,  dessen  Windungen  aiiftiigKch 'horizontal  siad^ 
wird  um  eine  gegen  den  magnetischen  Meridian  senkieohte  und  harizontale 
Achse  rasch  bis  zur  senkreehten  Lage  ier  Windungsebenen  in  die  Hdh« 
gedreht.  Die  in  der  horizontalen  UmdrebimgsachejB  befitidlichea  Enden 
der  MidtipHoatordTtthte  sind  hierbei  in  Verbindung  mit  den  Drahtenden 
eines  entfernten  ruhenden  Multiplieators;  der  vatn  Erdmagnetismus  im  ei^ 
Bten  MultipYicater  indneirte  Strom  wirkt,  indem  er  durch  den  zweiten  fosten 
Multiplicator  geht,  auf  ein  Magsetomelter.  Die  Elektrometer isebe 
Kraft,  welche  der  Elrdmagnetismus  im  beweglichea  Multiplicator  jnducict, 
kann  mit  Hülfe  des  im  Eingänge  dieses  Paragraphen  angegebenen  Gesetzes 
berechnet  werden;  wenn  man  sieh  statt  des  Erdmagnetismus  in  grtMerer 
Entfernung  vom  Hittelpunkt  des  beweglichen  Multiplieators  einen  Magne- 
ten plaeirt  -denkt,  welcher  auf  eine  im  Mittelpunkt  des  Mnltiplioatots  be- 
findliche Magnetnadel  dasselbe  Drehungsmoment  ansttben  würde,  ate  tler 
Erdmagnetismus  am  Beobachtangsorte.  Aus  der  Ablenkung,  welche  hier- 
bei die  Magnetnadel  vom  festen  Multiplicator  aus  erleidet,  wird  hierauf  die 
StromstSrke  gefdnden. 

2)  Die  'Enden  dines  Multiplteator's  sind  mit  einander  verknöpfk,  wobei 
seine^  Windnngsebenen  im  maghetischen  Meridian  liegen^  im  Mittelpunkte 
des  Multiplieators  ist  ein  starker  Magnet  aufgehangen,  weteher  in  Schwing-^ 
nngen 'versetzt  wird  und  dadurch  einen  elektrischen  Strom  im  Multiplieator 
inducirt.  Der  Inductionsstrom  dämpft  durch  elektromagnetiaohe  Wirkung  • 
förtwIKhrend  die  Schwingungen  des  Magneten,  dessen  Elongationea  in  Folge 
davon  in  einer  geometrischen  Reihe  abnehmen ;  aus  äem  durch  Beobachtung 
ge&ndeneä  Exponenten  dieserSeihe  läset  si<^  die  Stärke  deelnduetioas- 
Stromes  berechnen,*d i e  elektromotorische,  auf  den  Multiplicator 
ausgeübte  Kraft  findet  man  aus  dem  Schwingungsgesetz  und  der  Stärke 
des  Magneten  mit  HüMe  des  Magnetinductionsgesetzes. 

Den  Widerstand  eines  beliebigen  Drahtes  findet  man  nun  nach  be- 
kannten Methoden,  indem  man  selbigen  mit  dem  Multiplicator  'w>n  bek-ann« 
tem  Widerstände  verbindet  und  die  Sironlstärk«  eines  eonetanten  Stromes 
ermittelt,  wenn  er  durch  deü  MultipKcater •allein  oder  dnroh^ Multiplieator 
und  Draht  zugleich  hindurchgeht. 

Um  das  ungefähre  Verhältniss  des  absoluten  mechanischen  Widerstands- 
maases  zu  dem  bisheir  namentlich  zu  technischen  Zwecken,  mit  Vortheü  an- 
gewendeten Ja  eobiVchen  Widerstandsmaases  kennen  zu  lernen, -ktenen 
einige  Versuche  W  e  b  e  r '  a  Aufschluss  geben.  J  a  c  o  b  i  hatte  bekanntlich, 
wie  viele  andere  Physiker ,  seine  Widerstandsangaben  auf  den  Widerstand 
eines  1  Millimeter  langen  und  1  Millimeter  dicken  Drahtes  y,^^|^^^^  j^^p|^ 


320  Die  FandAmönte  der  Elektrodynamik. 


als  Einheit  bezogen ;  da  Jaciibi  aber  den  ümaliiiid  kannte ,  daas.Knpfar 
yon  derselben  ^Reinheit  doch  ▼erschiedenen  Widerstand  aeigt^  so  war  er  vor 
dem  Bekanntwerden  von  Weber 's  Arbeit  über  den  Widerstand  beoKükt 
gewesen,  allgemeine  Vergleichbarkeit  in  die  Widerstandsangaben  der  Phy- 
siker dadurch  su  bringen ,  dass  er  bei  den  Physikern  einen  Widferstands- 
etalan,  bestehend  in  eiaem  auf  einem  Brete  aufgewundenen  Kupferdraht 
von  bekannter  Länge  und  Durchmeseer,  wdilverwahrt  vor  atmosphäriseken 
Einittssen^  umherwaadem  liees;  indem  er  die  Physiker  bat,  ihre  Wider- 
standsmesser mit  dem  seinigen  zn  vergleichen«  Weber  hat  nun  später  den 
Widerstand  dieses  Euloos,  dessen  Kupfer  7,61i07ö  Millhn.  Länge  und4),6e7 
Millim«  Durchmesser  hatte«  nach  absolatem  Maase  bestimmt  Es  geht  ans 
dieaen  JÜessungen  hervor,  dass  reines  Kupfer  von  1  Millim.  Länge  und  1 

14  47  * 

Hillim.  Durchmesser  einen  Widerstand  von  circa  — ^  mechanischen Wider- 

standjseinheiten  darbietet,  Eine  genauere  Angabe  dieser  Zahl  wttrde  niehts 
helfen  können,  da,  wie  bereits  erwähnt,  die  Widerstände  anderer  Drähte 
von  reinem  Kupfer  um  mehrere  Prozente  von  dem  Wideretande  des  oben 
erwähnten  Drahtes  abweichen  können« 

§.  19.  Veumann's  Induotioiiigeseti. 
Wie  bereits  in  S.  11  ausführlicher  erwähnt  wurde,  bat  Nenmann  sein 
IndnetionBgesetz  auf  empirische  Grundlagen  basirt,*)  dasselbe  kann  jedoch 
auch  als  eine  Consequeaz  von  Weber's  allgemeinem  Orundgeseta  der  Elek- 
tricitätslehre  betrachtet  werden.  Letzteres  soll  hier  geseigt  werden,  indem 
folgende  elektromotorisohe  und  elektrodynamische  Wirkungen  mit  einander 
verglichen  werden : 

1)  Die  Liduetions Wirkung  eines  geschlossenen  Leiters  auf  ein  Draht- 
element von  der  Länge  ds\.  Wird  letzteres  in  der  Richtung  der  positiven 
X-Achse  mit  der  Geschwindigkeit  u  bewegt,  so  sind  nach  $.  16  die  Compo- 

nenten  der  elektromotorischen  Kraft,  weil  X  =  0,  |ä  =  ---,v  =  ---: 

3  3 

X=0,     T^  +  ^iuAds\     Z  =  —  ^iuCds. 

Schliesflft  nan  das  Element  mit  den  positiven  Halbachsen  die  Winkel  «,  ^«  / 
ein,  so  ist  die  in  seiner  Richtung  auf  dasselbe  auflgeübte  elektromotorische 
Kraft,  die  mit  E'äs'  beseichniet  werden  möge :. 

E'ds^=  -j i uds  {A  cos  ß  —  C cos  y). 

2)  Mit  voriger  Wirkung  soll  die  nach  der  Richtung  von  u  zerlegte 
Wirkung  des  Inducenten  auf  das  von  der  Einheit  des  Stromes  durchflössen 


*)  Neuinann,die  mathematischeh  Gesetze  der  induchion  elektrischen  Ströme, 
Berlin  1846,  B.  td. 

uigiüzea  oy  'vj  vj'v_/pc  lv. 


Von  Dr.  Emil  Kahl.  321 

gedachte  Element  ds  verglicben  werden.  Letztere  ist  nach  S.  15.  V.,  wenn 
selbige  durch  C'ds  bezeichnet  wird: 

C dsz=  —  ^  i  ds  {A  cosß  —  C  cosy). 

Man  erkennt  nnn  ans  dem  Vorhergehenden,  dass  zwischen  beiden  Wirkun- 
gen die  Beeiehung  stattfindet : 

I)  E'ds:=i  —  uC'ds. 

Diese  Beziehung  gestattet,  die  elektromotorische  Kraft  ans  elektrody«- 
naraischen  \^^§kungen  zu  berechnen  und  giebt  erstere  in  absolutem  mecha- 
nischen Kraftmaase  ausgedrückt  an,  sobald  bei  der  Berechnung  von  C'  und 
bei  u  absolute  auf  Millimeter  und  Secunde  basirte  Maase  zu  Grande  gelegt 
wurden.  Die  in  I)  ausgedrückte  Beziehung  ist  nnn  im  Wesentlichen  das 
zuerst  von  Neu  mann,  ausgesprochene  Gesetz,  welches  Yon  dem  genannten 
Gelehrten  in  folgender  Form  gegeben  wurde : 

II)  •    E"ds=  —  Bu'C"ds\ 

In  diesem  Ausdrucke  haben  E"y  u\  C^  dieselbe  Bedeutung,  als  oben  JE'y  u 
C' mit  dem  Unterschiede  jedoch,  dass  u'  in  beliebigem  Längen- 
maase  ausgedrückt  sein  konnte ,  dass  bei  der  Berechnung  von  C"  das  zu 
Grunde  gelegte  InteasitätSBUias  nicht  bestimmt  war,  so  dass  also  E"  in  ei- 
nem Maase  für  elektromotorische  Kraft  ausgedrückt  erhalten  wurde,  welches 
so  lange  unbestimmt  blieb,  als  die  hinzugefügte  Constante  s  nicht  bestimmt 
worden  war.  Die  Constante  e,  welche  sich  aus  Neumann 's  Herleitung 
des  Gesetzes  nicht  ergeben  konnte,  weil  es  an  experimentellen  Grundlagen 
fehlte,  ist  später  durch  Kirchhoff 's  Versuche*)  für  bestimmte  der  Gleichung 
II)  zu  Grunde  gelegte  Maase  ermittelt  worden.  Das  Resultat  von  Kirch- 
hoffs  Versuchen  möge  um  so  mehr  hier  noch  Platz  finden,  als  in  demselben 
eine  Bestätigung  von  Weheres  Messung  des  absoluten  Widerstandes  des 
J  a  c  o  b i '  sehen  Widerstandsetaions  erblickt  werden  kann. 

Das  Resultat,  welches  Kirchhoff  erhalten  hatte,  lässt  sich  auf  folgende 
Weise  aussprechen:  die  Constante  <  in  Gleichung  II)  ist  =  1  zu  setzen  und 
es  ist  dann  die  Intensität  i"  des  Inductionsstromes  aus  der  Gleichung  zu 
erhalten : 

u"C"d8' 

(0 

wenn  die  Maase,  i% denen  i",  ti'  und  der  Widerstand  o"  ausgedrückt  sind, 
folgende  sind.  Das  Maas,  in  welchem  i"  erhalten  wii^d  und  welches  bei  der 
Berechnung  von  C"  zu  Grunde  zu  legen  ist,  ist  dasjenige,  bei  welchem 
Amp^re's  Gesetz  ohne  Constante,  d.  i.  in  folgender  Form  erscheint  ui^d 
dabei  die  elektrodynamische  Wirkung  in  absoluten  mechanischen  Kraftein- 
heiten ausgedrückt  angiebt: 


*)  Pöggendorff '8  Annalen,  Bd.  76,  S.  412.  Digitized  by  GoOQIc 

Z^ilsohrift  for  Mathematik  u.  Physik.   V.  22 


322  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik. 

•  •' 
.    — -x-ds  ds\cosB — \co8Scosß'). 

Durch  Vergleiobung  mit  No.  II)  S,  14  erkennt  man ,  dass  die  Einheit 

dieser  Stromintensität  —  mechanische  Stromintensitätseinheiten  in  sich  fasst. 
4" 

Die  Einheit  der  Geschwindigkeit  beträgt  313853  Millimeter  in  der  Secnnde 

und  die  Einheit  des  Widerstandes  ist  der  Widerstand  eines  Knpferdrahtes 

von  4,75  Quadratmillim.  Querschnitt  und  11,35  Millim.  Länge. 

Berechnet  man  nun  die  Stromintensität  i'  aus  Oleichung  I)  in  mecha- 

nischem  Maase,  so  erhält  man : 

i  .,  uCds 

CD 

in  welchem  Ausdruck«  nun  auch  «/  in  mechanischem  Widerstandsmaase 
auszudrücken  ist.  Zwischen  t '  und  f  mvtas  jedoch  folgende  Beziehung 
stattfinden : 

4 

wenn  derselbe  Inductiousfall  nach  beiden  Formeln  berechnet  wurde  und 
wenn  Kirchhoff^s  und  Web  er 's  Widerstandsmessungen  richtig  sind. 

Nennt  man  den  absoluten  mechanischen  Widerstand  von  Kupfer  von 
1  MilHm.  Länge  and  1  Millim.  Durchmesser  x^  so  enthält  hiernach  Kirch- 

4 

ho  ff 's  Maas  o?.  0,01135  .  — -  mechanische  Widerstandseinheiten,  daher  ist: 
4,75 

4  .  4,75 


0,01135  .n.x     * 
ferner  ist: 


313853 

Es  war  ferner  für  C'  der  Werth  erhalten  worden : 

"8 
C'ds= ~i  ds\A  cosß  —  C  cos  y) 

und  es  würde  für  C"  der  Werth  hervorgehen : 

C''ds=^ •  d$\Ä  cosß  —  C  cos  y), 

woraus  folgt: 

4 

4 

Man  erhält  nun  für  t"=  —  i' : 
c 

,„_      c.Ofin^n.uC'ds'    _       4     uC'ds 

~        313853  .  4*  .  4,75.  co'  ^  c"  '      w'      " 

Berechnet  man  aus  vorstehendem  Ausdrucke  x.  so  findet  man  den  Werth 

uigiüzea  oy  x^j  vyv./'i  ln^ 


Die  FuQdaoieiite  de^^  Elektrodynamik«    Vou.Pn  Euih  Kahl.  323 

13  85 
X  =  -~^ ,  d,  h.  es  geht  aus  K  i  r  c  h  h  o  f  f 's  Versuchen  hervor,  dass  der  Wider- 
stand des  von  ihm  angewendeten  Kapferdrahtes  bei  i  Meter  Länge  nnd  1 

13d85 
Millim.  Dicke  -^-^^  mechanischen  Widerstandseinheiten  gleich  ist,  während 

ein  Draht  von  gleichen  Dimensionen  vom  Jacob i 'sehen  Widerstandsetaion 

14  47 
nach  Web  er 's  Versuchen  den  Widerstand  -— ~-  darbietet.     Man  kann  die 

nahe  Uebereinstlmmung  beider  Werthe  als  einen  Beweis  für  die  Bichtigkeit 
von  Web  er 's  Messungen  und  für  die  Güte  seiner  Beobachtungsmethode 
ansehen,   indem  man  berücksichtigt,  dass  beide  Experimentatoren  nicht 

dieselbe  Kupfersorte  anwendeten,  und  dass  die  Werthe  —^^  und —^r- keine 
.  ,  10"  10" 

grössere  Differenz  des  Widerstandes  zeigen ,  als  man  auf  anderem  Wege 

zwischen  verschiedenen  Kupfersorten  gefunden  hat. 


XIL 

Die  Integration  der  linearen  Difterenüalgleicliungen 
zweiter  Ordnung« 

Von   0.  SCHLÖMILCH. 


Durch  die  "neueren  Arbeiten  von  Weiler  (Crelle's  Journal,  Bd.  51) 
und  Spitzer  (Wien  1800)  ist  die  Integration  der  linearen  Differentialglei- 
chung zweiter  Ordnung 

SO  wesentlich  gefordert  worden,  dass  es  wohl  an  der  Zeit  sein  dürfte,  die 
gewonnenen  Resultate  zu  einem  Ganzen  zu  verschmelzen  und  hierbei  das 
nur  theoretisch  oder  formell  Interessante  von  dem  praktisch  Brauchbaren 
zu  sondern.  Eine  solche  kritische  Znsammenstellung  wollen  wir  im  Fol* 
genden  geben  und  gleichzeitig  c|ie  Theorie  in  einigen  Punkten  vervollstän- 
digen. 

1. 

Zunächst  möge  die  naheliegende  Frage  discutirt  werden,  unter  welchen 
Umständen  die  Differentialgleichung  1)  ein  particuläres  Integral  von  der  Form 


324      Di^  Integration  der  linearen  Differentialgleickungen  etc. 

2)  y«r^' 

besitzt,  wo  X  eine  nocb  zn  bestimmende  Constante  bezeicbnet.  Die  Sub- 
stitution des  genannten  Ausdrucks  giebt  nun 

was  für  jedes  «  richtig  ist,  wenn  die  Gleichungen 

QN  i«2Ä»+a|A  +  ao  =  0, 

^  h^X'  +  b.k  +  b.^O 

zusammen  bestehen.  Diese  Coexistenz  findet  erstens  statt,  sobald  die  vor- 
liegenden Gleichungen  zwei  gemeinschaftliche  Wurzeln  haben;  dann  wurde 
sich  aber  die  zweite  Gleichung  nur  durch  einen  gemeinschaMichen  Factor 
k  von  der  ersten  unterscheiden  d.  h. 

/?^==Arat,     ft|=Afai,     b^z=ika^j 
sein,  und  statt  der  Differentialgleichung  l)  hätte  man  die  einfachere 

deren  vollständiges  Integral  bekanntlich  ist 

y  =  C,  ^1  *  +  (7,  A ',         

*'~  2^  '      **~  2a, 

Die  Gleichungen  3)  können  aber  auch  zusammen  bestehen,  wenn  sie 
nur  eine  gemeinschaftliche  Wurzel  besitzen  und  diese  für  k  genommen 
wird.  Eine  solche  gemeinschaftliche  Wurzel  ist  vorhanden,  sobald  die  Co- 
efficienten  a^,  at^  a,^  b^^  b^^  b,  der  Bedingung 

4)  K^i  —  ö|  fro)  (ö|  6,  —  aM  =  («0  *«  —  «t  hT 

gentigen;   diese  ist  gleichzeitig  die  gesuchte  Bedingung,  unter  welcher 
y  z=  e^^  ein  particuläres  Integral  der  Differentialgleichung  1)  darstellt. 
Um  hieraus  das  allgemeine  Integral  abzuleiten,  setzen  wir 

5)  .      y  =  ß**«, 

wo  A  die  vorige  Bedeutung  hat  und  z  eine  neue  abhängige  Yariabele  be- 
zeichnet.    Wir  erhalten  jetzt 

(«•  +  ^^)  J^  +  [2A  («t  +  ^^)  +  («1  +  ^  «)]  ^1 
hier  verschwindet  der  Coe'fficient  von  z,  und  wenn 

dx         '       da^      dx 
gesetzt  wird,  so  giebt  die  Trennung  der  Variabelen 

6)  ^=_r2,+«_i+*ifW 

z  L  a^+b^xj 

Die  Integration  dieser  Differentialgleichung  ist  sehr  einfach,  erfordert  aber 
die  Unterscheidung  der  beiden  Fälle  ft,  =0  und  b^^O, 
Für  6,  =  0  erhält  man  aus  No.  6) 

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Von  O,  ScHLöMiLCH.  326 


=  — (2l  +  «)a:~fia:«+C, 
worin  irund  \k  QDmittelbar  verständliche  Abkürzungen  sind;  weiter  ist 

daraus  findet  sich  %  und  nachher 

7)  y=e*'[Co  +  C,  /e-(»+2l)*-^*«rfJ 

a.  6, 

Wegen  6,  =  0  ist  zufolge  der  zweiten  Gleichung  in  No,  3) 

und  die  Bedingungsgleichung  4)  lautet  einfacher 

(«•^  —  «•  *o)  ^  +  «t  V  =  0. 
Wenn  zweitens  ^^  einen  von  Null  differirenden  Werth  besitzt,  so  liefert 
die  Gleichung  6) 


sslich 


und  schliesslich 


dabei  ist  X  die  gemeinschaftliche  Wurzel  der  Gleichungen  3). 

Wie  man  sieht,  kann  das  allgemeine  Integral  der  Differentialgleichung 
1)  immer  entwickelt  werden,  wenn  die  Bedingung  4)  erfüllt  ist;  im  Folgen- 
den setzen  wir  daher  voraus,  dass  die  Gleichung  4)  nicht  statt  finde. 

§.2. 

Bevor  wir  an  die  Integration  der  allgemeinen  Gleichung  l)  gehen, 
wollen  wir  erst  zeigen,  wie  letztere  durch  Transformationen  vereinfach^, 
und  auf  eine  gewisse  Normalform  zurückgeführt  werden  kann.  Der  leich- 
teren Uebersicht  wegen  unterscheiden  wir  drei  HauptfttUe,  ob  nämlich 
6,  =  6,  =0,  oder  nur  6,  =  0,  oder  ob  ft,  ^0  ist;  dieser  Unterscheidung 
liegt  die  Bemerkung  zu  Grunde,  dass  der  Ausdruck  6,X'  +  6,X  +  6o  entwe- 
der constant  oder  linear  oder  höchstens  quadratisch  sein  kann. 

Erster  Hauptfall:  6,  =  6,  =30,  mithin 

Setzt  man 

WO  k  vorläufig  noch  unbestimmt  bleiben  mag,  so  ergiebt  sichymzedbyCriOOQlc 


326      Die  Integration  der  linearen  Differentialgleichungen  etc. 
Diese  Gleichung  wird  einfacher,  wenn  man 

11)     >  i=-?- 

nimmt  und  mit  a,,  welches  keinenfalls  Null  ist,  diVidirt;  sie  erhiHnftnlich 
die  Form 

\  g  +  («  +  ^^)'»  =  o, 

(  "-    («.)•    '     ^7^- 

Hier  sind  wieder  zwei  verschiedene  Transformationen  möglich. 

Führt  man  nämlich  statt  x  eine  neue  unahhängige  Variabele  |  ein  mit 
Hülfe  der  Gleichung 

13)  x  =  d  +  Bi, 

so  geht  die  Differentialgleichung  über  in 


^  +  [(«+^d).«  +  ^6-6]l,  =  0 


und  für 


wird  daraus 

15)  11'  +  ^"  =  '^ 

Hätte  man  das  Integral  dieser  Differentialgleichung  gefunden,  etwa 

15»)  v=m, 

so  würde 

X — S a+ßx 

zu  substituiren  sein;  das  Integral  von  No.  12)  wäre  dann       J 
und  das  Integral  von  No.  9) 

worin  für  «,  ß  und  h  die  angegebenen  Werthe  gelten. 

Setzt  man  in  No.  12)  allgemeiner 

16)  *=-|+'»|», 

so  hat  man  durch  Differentiation  in  Beziehung  auf  die  neue  Variabele  £ 

di         dx'di         dx'         *         Digitizedby  Google 


Von  O.  ScHLöMiLCii.  327 

and  amgekebrt 

dx       xn  'dj' 
nochmalige  Differentiation  der  vorhergehenden  Gleichung  giebt 

^  V      ^V       I        ,\  v.-_9   .         ».—1     \dxJ   dx 


d{*       dx       ^  /»       T^       *  ^^     .^^ 

und  umgekehrt 


■"-r-rJ+S"-«--' 


d^       £^  d'i;       (1— w){t-g'»    d^ 
d«*       **ii*'dj»'*"         »»n»  dl' 

Nach  Substilotion  clieaes  Ansdrnckes  and  des  Werthes  von  x  verwan- 
delt  sich  die  Gleichung  12)  in  nachstehende 

welche  linear  wird  fittr  n  =  f ,  nämlich 

Setzt  man  weiter 

18)  «  =  c»8t, 

so  erhält  man  fUr  die  Unbekannte  (  die  Differentialgleichung 

und  wenn  hier 


,9)  ,  =  4.     «  =  -;^l6^ 

genommen  wird^  80  ergiebt  sich 

20)  ^5^^+(*+örl+*^=*- 

Diese  Differentialgleichung  steht  unter  der  Form 

21)  |«0+(/>  +  ^  +  S)^^+Pt=O, 

f  P  =  ^  =  *, 

und  es  ist  dies  insofern  bemerkenswerth,  als' sich  nachher  zeigen  wird,  dass 
die  Gleichung  21)  als  Normalform  der  atigemeinen  Differentialgleichung  1) 
gelten  kann. 

Nennen  wir  das  Integral  von  No.  20) 

20»)  i^nw 

so  haben  wir  für  No.  17) 

17»)'  ,  =  ci{f(|), 

und  erhalten  hieraus  das  Integral  von  12),  indem  wir,  gemäss  No.  16)        j 

uigiüzea  oy  x>_j  v>Ovlv^ 


328       Die  Integration  der  linearen  Differentialgleichungen  etc. 


snbstitpiren ;  zur  Abkürzung  sei  liier 

«">         '■ — fw-  —Vi- 

dann  wird  g  =  2  (fi  +  vx)^^  und  das  Integral  von  No«  12)  ist 

12*)  17  =  e^<^+^'>'  F  [2  j^^(^  +  vxyi 

sowie  endlich  das  Integral  von  No.  9) 

9  ♦)  y  =  ^*'+  ^(/*+i">»  jP  [2  y{^  +  va?)'], 

worin  A,  fi,  v  durch  a^ ,  «i ,  a,  und  b^  auszudrücken  sind* 

§>  3. 

Zweiter  Hauptfall:  6,  ==:0,  2»i  ^0,  also 

Mit  Hülfe  der  Substitation 

24)  y  =  e*-.if, 

worin  X  vorläufig  unbestimmt  bleibt,  gelangt  man  zu  der  neuen  Differential- 
gleichung 

welche  sieb  vereinfacht,  wenn 

*  6,' 

«rN  j 2g,t  +  a,_a,6,  — 20^6,  6, 

*•>;  ^  «1 = —7 )      Pi  =  ~« 

_c,t«  +  a,t  +  g,_a,(6t)«— «,6o6,+g»(ft.)* 
gesetzt  wird ;  man  erhält  nämlich 

Statt  o:  möge  eine  neue  unabhängige  Variabelo  £  mittelst  der  Glei- 
chung 

27)  x  =  i  +  %YY 

eingeführt  werden.     Man  findet  zunächst 

dx~    B     'de     rfa?'~e*L^rf6«"*"rf|J' 
und  durch  Substitution  dieser  Ausdrücke 

Um  die  vorliegende  Gleichung  zu  vereinfachen,  nehmen  wir 

uigiTizea  ßy  ^^nOOS?  IV^ 


28) 
und  erhalten 


Von  O.  SCHLÖMILCH.  329 

oder,  was  auf  Dasselbe  binauskommt,  ^ 

29)  {  "«  "*       - 

In  dem  speciellen  Falle  j3j  ==  0  ist  diese  TVansformatibn  unausführbar 
aber  auch  nicht ^nöthig;  da  nämlich  ßi  nur  dann  verschwinden  kann,  wenn 
6|  =  0  ist,  so  hätte  man  es  mit  einer  Differentialgleichung  der  ersten  Form 
0)  zu  thun. 

Vorausgesetzt,  dass  man  das  Integral  der  Differentialgleichung  29)  in 
der  Form 

29»)  n  =  m) 

darstellen  kann,  ist  nun  das  Integral  von  No.  26) : 

und  das  Integral  von  No.  23) 

23*)  y='^'''P-^T|^']' 

wobei  «1,  ßi  und  l  die  in  No.  25)  angegebenen  Werthe  besitzen. 

§•4. 

Dritter  Haupt  fall:  Es  verschwinde  6|  nicht,  und  daher  sei  die 
Differentialgleichung  von  der  allgemeinen  Form 

30)  {a^  +  b,x)^^  +  {a,  +  b,x)^  +  {a,+  b,)y=0. 

Wie  früher  benutzen  wir  zunächst  die  Substitution 

31)  y  =  e*'iy 
und  erhalten  für  ti  die  Differentialgleichung 

{<h  +  b,x)^  +  [2a,k  +  a,+  {2b,k  +  b,)x]^}^^ 

'^[atV  +  a,k  +  a,+  {b,k'  +  b,k  +  bo)x]fi      j 
Für  l  setzen  wir  eine  Wurzel  der  Gleichung 

32)  6,X«+6,A  +  6o  =  0, 
und  führen  folgende  Abkürzungen  ein : 

33)  |*»~^'     ft  =  Ä2»     er,  =2a,l  +  ai,     ft=26jA  +  6j, 

wir  haben  dann  einfacher  /^  i 

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330       Die  Integration  der  liaearen  Di£Ferentislgleichungon  etc. 

34)  (•f.+A*)0  +  («,+fta;)^  +  «.ij=O. 

Die  weitereir  Schritte  der  Rechnung  sind  davon  abhängig,  ob  die  Gleicbang 
32)  gleiche  oder  verschiedene  Wurzeln  besitzt. 
A.  Im  ersten  Falle  hat  man 

35)  ».  =  M,      ,  =  _i^,      ft=o, 
und  daher  die  einfachere  Form 

worin  ß^  =^  6,  von  Null  verBohieden  ist.    Die  Substitution 

37)  *  =  -5+4«6» 

giebt  nun  n 

und  daber  wird  die'  Differentialgleichnng  37)  snr  folgenden 

Wir  setzen  weiter 

38)  i|=c*6C 

und  erhalten  für  t  ^^^  ^^^^  Differentialgleichung 


t 

39) 


diese  wird  einfacher  durch  die  Annahme 

m  B  =  T 

und. stellt  sich  unter  folgende,  bereits  erwähnte  Form 

Ans  dem  Integral  der  vorigen  Gleicliang,  welches  wieder 

40*)  f=ni) 

heissen  möge ,  erhält  man  das  Integral  von  30)  mit  Hilfe  der  Gleichungen 

wobei  zur  Abkürzung 

sein  möge ;  das  Integral  von  36)  ist  dann 

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Von  O.  SCHLÖMILCH.  331 


36*)  •  n^e^^^^^^Fi^Yi^  +  vx), 

mitlun  das  Integral  von  30) 

30*)  ^  =  ^^'  +  ^"5+1^/(1$^^  + vor). 

Drückt  man  X,  fi,  v,  p  durch  die  Coefficienten  der  Gleicbimg  30)  anö,  so 
gelten  folgende  Werthe: 

4g,(6,)'-2o,ft,ft, +  a,(&,)« 

"=-"*- (sr-- — -'  . 

4a,(ft,)«— 2g,fr,6. +  a.(6,)' 

"-  (6,)» 

a,6,  —  a,6, 


pw=q 


(fr,)»- 

B.  In  dem  allgemeinen  Falle ,  wo  die  quadratische  Gleichung  32)  ver- 
schiedene Wurzeln  besitzt,  wird  die  Sache  am  einfachsten.  Durch  Substi- 
tution von 

42)  a:  =  -f  +  «{ 

Pt 
erhält  man  nämlich  aus  No.  34) 

und  da  hier  ßx  nicht  Null  ist ,  so  lässt  sich  die  Gleichung  mittelst  der  An- 
nahme 

43)  ae=|? 

Pi 
vereinfachen.   Das  Resultat  i9t  von  der  Form 

44)  <       *  * 

I  „  _  «0  „  _  «I  ft  —  tft  ßi        «0 

Nach  No.  42)  and  43)  bai  maa 

.  _  «t_+ftf  ^  Mfl+iif) 
«-      ft*  (ft)'        ' 

«nd  wenn  duher  das  Integral  von  No.  44)  mit 

44»)  n^my 

bezeichnet  wird^  so  ist  das  Integral  von  No.  94) 

und  das  Integral  von  No.  30) 

30.)  ä'  =  «''^[^^]. 

wobei  A,  a%  und  ß^  durch  die  Coefficienten  der  gegebenen  Gleichung  aus- 
zudrücken sind.     •  C"r\r\ciyo 

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332      Die  Integration  der  linearen  Differentialgleichungen  etc. 

Die  Nebenein anderstellung  der  letatten  Formen  (21 ,  29,  40,  44),  wozu 
die  vorigen  Umwandlangen  führten,  zeigt  angenblicklich  die  Richtigkeit 
eines  eleganten,  von  Weiler  gefundenen  Satzes,  welcher  lautet:  Die 
Differentialgleichung 

(««  +  b,x)  g  +  (a,  +  6,  x)  ^  +  {a,+b^w)y  =  0 

kann  durch  gehörige  Substitutionen  immer  auf  die  Normal- 
form 

45)  ij^  +  {p  +  9  +  i)^  +  P'P  =  0 

gebracht  werden.  Mit  dieser  haben  wir  uns  nur  noch  zu  beschäftigen, 
und  zwar  wollen  wir  in  S.  5  vorläufig  einige  Eigenschaften  von  ihr  ent- 
wickeln ,  welche  für  die  nachlierigen  Integrationen  Ton  Wichtigkeit  sind. 


§.  5. 
Durch  Substitution  von 

46)  9=;^-fr^ 
geht  die  Gleichung  45)  in  die  folgende  über 

und  daraus  wird  für  £  =  —  || 

47)  l>g+(?+i'  +  l.)g  +  ?^=0; 

dies  ist,  wie  man  sieht.  Dasselbe,  als  hätte  man  q  und  p  gegeneinander 
vertauscht.  Bezeichnet  man  das  Integral  von  No.  45)  mit  9>s=i^(Pf  9,  |)» 
so  mnss  das  Integral  von  47)  mit  'f;  =  ^  (^,  />,  £|)  bezeichnet  werden  und 
die  Gleichung  4&)  giebt  dann 

^  (/>,  9,  D  =  e'^F  {q,  p,  S,)  ^e-iF  (g,  p,  —  J) , 
oder  auch 

48)  F(p,  q,  -  J)  =  e^iF{q,  p,  +  J) 
und  umgekehrt 

49)  F{q,p,+i)  =  er-iF{p,q,—l). 

Die  Formel  48)  zeigt,  dass  der  Fall  eines  negativea  {  auf  den  Fall  eines 
positiven  |  zurückgeführt  und  daher  £  immer  positiv  genommen  werden 
kann;  aus  No.  49)  ersieht  man  den  Effect  der  gegenseitigen  Vertauscfaung 
von  p  und  q. 

Setzt  man  in  der  Gleichung  45) 

so  ergiebt  sich  nach  Division  mit  |''"~* 

l'^  +  6(2r+P+?+|)^  +  [r(r+p+sr_l)+(r+/,){]«  =  0; 
die  linke  Seite  wird  durch  |  theilbar ,  sobald  r  den  Werih 

uigiiized  by  VjOOQIC 


erhält;  es  bleibt 


Von  O.  ScHLöMiLCH.  333 

rprzi^p  —  q 


and  dies  ist  dasselbe,  als  wäre  in  No.  45)  1 — q  tut  p  und  zagleich  1 — p 
für  q  gesetzt  worden.    Man  hat  daher  «  =  ^(1  —  q,l  — />,  |)  nnd  wegen 

50)  ^(p,?,l)  =  l*-'-«>(i-y,i-P,l) 

oder  auch 

51)  Fl-p,-q,i)  =  i^'^P'^9F{l  +  g,l+p,i)', 

diese  Formel  zeigt,  wie  der  Fall  negativer  p  und  q  auf  den  Fall  positiver 
p  und  q  zurückgeführt  werden  kann. 

Bemerkenswerth  ist  noch,  dass  eine  mehrmalige  Differentiation  der 
Gleichung  45)  wieder  eine  Gleichung  von  derselben  Form  giebt.  Durch 
m  -  malige  Differentiation  erhält  man  nämlich 

und  wenn 

ab- 
gesetzt wird,  so  folgt  weiter 

nnd  dies  ist  das  Nämliche ,  als  wenn  in  No.  45)  p  +  m  für  p  gesetzt  worden 
wäre.    Man  hat  daher  S  =  F{p  +  t»,  q^  {)  und  nach  dem  Vorigen 

.  52)  F{p  +  mj  q,  g)  = ^       —  . 

Differenzirt  man  auch  die  Gleichung  47)  n-mal  in  Beziehung  auf  £|,  so  ge- 
langt man  ebenso  leicht  zu  der  Formel 

^  W  +  «»  Pi  ll)  = ^li » 

oder 

d^[eiF{p,qA)] 


eiF{p,  q  +  n,i)  • (^T^J)« 


und  es  ist  daher 


53)  F(p,q  +  n,i)  =  {-l)''e    6—' j^ . 

Bei  Ausführung  der  angedeuteten  Differentiation  erhält  man  F{p,q  +  n,  g) 
ausgedrückt  durch  F{p,  q,  {),  F(p  +  hqA)y  F{p  +  2,  q,  |)  u.  s.  w. 

Mit  Hülfe  der  vorigen  Relationen  lÄast  sich  zeigen,  dass  die  Function 
F{Pygii)  immer  gefunden  werden  kann,  wenn  sie  für  positive  acht  ge- 
«    brochene  p  nnd  q  bekannt  ist.  Wir  betrachten  nämlich  folgende  vier  Fällel^ 

•*  DTgiüzea  Dy  x^j  v^v^^'i  Iv^ 


S34      Die  Integration  der  linearen  Differentialgleichungen  etc. 

a.  Es  mögen  p  und  q  positive  unfichta  Brüche  sein ;  wir  setzen  dann 

p  =  m  +  r,     q  =  n  +  8, 
wo  m  und  n  ganze  positive  Zahlen  ^  r  und  s  positive  ächte  Bräche  bezeich- 
nen, die  ancLNull  sein  können.    Nach  Formel  52)  hftben  mr  jetzt,  indem 
wir  die  mehrmalige  Differentiation  durch  D*^  and^aten^ 

J^(m  +  r,  »  +  5,  ö  =i>"^(r,n  +  Ä,  ö; 
wenden  wir  noch  rechter  Hand  die  Formel  53)  an,  so  wird 

54)     F{m  +  r,n  +  s,  J)  =  (-  i)''D^[e-t  D-  \  e-^lF(r,s,  |)}]. 

b.  Bei  gleichzeitig  negativen  p  und  q  setzen  wir  ähnlich  wie  vorhin 

^  =  _(m^l+r),     q  =  ^  (^n  —  i  +  s) 
und  erhalten  zunächst  aus  No.  51) 

ir(— m+l—r, -n +  !—*,£)  =  5«+«+''+'-l>(tt  +  ;^,m+r,  4); 
nach  Fo/mel  ^4)  giebt  dies 

i  F{—m  +  l--r,-n  +  l  —  s,^) 

^      ]  =  (—1)«  {m+«+r+*-i  2)«  [e-i  2?«  {e-^iF{s,  r,  ^)}J. 

c.  Wenn  p  positiv,  q  negativ  ist,  so  sei 

p  =  «t+r,     qzsz — ^+^s 
indem  man  der  Reihe  nach  die  Formeln  52)  und  51)  anwendet,  gelangt  man 
zu  den  Gleichungen 

,F(m  +  r,  —  n  +  s,i)=:stJ)'^F{r,  —  n  +  s,^) 

=ri>«[Sl-'-+'-'F(n  +  l-*,l  — r,J)], 
d.  i. 

56)  F(m  +  r,— n  +  5,J)=^/>'»[|'»+t-r-,2>n^(j-_,^l_^^5)j. 

d»   Bei  negativen  p  und  positiven  q  setzen  wir 
p^  —  m^-r,     q^=:n  +  s, 
und  benutzen  der  Reihe  nach  die  Formeln  53)  und  51) ;  di<»s  giebt 
F{- m  +  r, ;, +  5,1)  =<-!)'•  «-S2>«[c+«F(—»i  +  r,  5,  S)] 

=  (—1)* e-iD"  [el|«*«— »— '/-(l-*,  m+l-r,  |)] 
und  bei  Qocbmallger  Anwendung  von  Formel  5a) 

^    }  =  (— l)«+''e'-S/>«[5-+i-'— 'Z>«jc+£/'(l— 5,1— r,S)j]. 
Da  r  und* 5,  mithin  auch  1  —  r  und  1^ — s  positive  ächte  Brüche  sind, 
so  hat  man  den  Satz:  Das  Integral  der  Differentialgleichung 

I^  +  Cp+^+ö^  +  pv^o 

lässt   sich   immer   auf  das  Integral    der    ähnlich  gefo]:mten 
Differentialgleichung 

zurückzuführen,  worin  pi  und  qi  positive  ächte  Brüche  sind. 
Der  eigentliche  Erfinder  dieses  Theoremes  ist  Spitzer,  obschpn  der- 
selbe es  nicht  in  der  vorliegenden  kurzen  Form  ausgesprochen  hat.     Dies 
liegt  an  dem  Un^stande,  dasa  SpUser  immer  die  Difiarentialgleichung  1) 

uigiüzea  oy  x^j  v^Op^  lv- 


^=-(1+'^ 


.  Von  O.  SCHLÖHIL€H.  335 

direct  nach  der  Laplaee*  sehen  Methode  integrirt,  statt  auf  die  von  Wei- 
ler angegebene  reducirte  Form  znrückeugehen. 

§.  6. 

Die  Integration  der  Gleich ijng  45)  ist  sehr  leicht,  wenn  entweder  p 

oder  q  verschwindet.     Für  p  =  p  bat  man  nämlich,  wenn  -~  .mit   q{    ha» 
-  «eiehnet  wird, 

nnd  daraus  findet  sich 

58)  q>=cß'^e'idi  +  C,. 

Wenn  ^  =  0  ist,  vertauscht  man  p  und  q  gegen  einahder ,  d.  h.  m^n  inte- 
grirt die  Gleichung  47)  und  erhält  nachher 

59)  (p  =  e-i\c I i-P  e-^^d^  +  cÄ. 

unter  welchen  Umständen  p  oder  ^  verschwinden,  sieht  man  leicht 
aus  den  früher  angegebenen  Werthen  dieser  Constanten ,  und  daher  möge 
nur  für  den  allgemeinen  Fall  ($.  4,  B)  eine  Bemerkung  folgen.  Nach  For- 
mel 44)  wird  J9=0,  wenn  ofo^=0,  d.  h.  wenn 

60)  a,l«  +  ö,i+ao==0, 
und  da  iL  durch  die  Gleichung 

61)  &,l«  +  ^A+&,  =  0 

bestimmt  war,  so  kann  das  Verschwinden  von  p  nur  eintreten,  sobald  beide 
quadratische  Gleichungen  eine  gemeinschaftliche  Wurzel  iL  besitzen ,  wozu 
die  Bedingung 

62)  (flofti  —  «1  *o)  («f  *t  —  öi&i)  =  (flo^  —  «t  W* 

gehört,  und  wenn  für  iL  diese  gemeinschaftliche  .Wurzel  Ai  genommen  wird. 
Damit  kommt  man  auf  den  in  $.  1  erörterten  Fall  zurück.  Es  verschwindet 
ferner  q  unter  der  Bedingung 

(«|ft-iy,ft)ft  — ao(iJ,)«  =  0, 
welche  niteh  Substitution  der  Werthe  von  «b»  ^'m  ^>  ^m  /^t  übergeht  in 

63)  (a,^-'a<6|)(2^,A+M  — (^)•(«2i•  +  «l^  +  «o)  =  0• 
Durch  Elimination  von  k  aus  Ol)  und  63)  gelangt  man  wieder  zur  Beding- 
ungsgleichung  02) ;  es  ist  daher  wiederum  erforderlich,  dass  die  Gleichungen 
60)  und  61)  eine  gemeinschaftliche  Wurzel  A|  besitzep  ^  nur  darf  man  nicht 
diese  für  k  nehmen  und  muss  folglich  die  andere  Wurzel  der  Bestiuuuungs- 
gleichung  61)  für  k  setzen.  In  der  That  überzeugt  man  sich  a  posteriori  sehr 
leicht,  dass  der  Werth 

die  GleicHnng  63)  befriedigt  ^^ ,.^^^ ^^ GoOgle 


336      Die  Integration  der  linearen  Differentialgleichangen  etc. 

Wir  betrachten  nun  den  etwas  allgemeineren  Fall,  wo  eine  der  Grössen 
p  und  q  eine  ganze  positive  Zahl  ist    Bei  ganzen  positiven  p  =  m  erhält 
man  mittelst  der  Formeln  52)  und  58) 
^(i»,y,{)  =  2>-^(0,^,i) 

dies  ist  aber  nur  ein  particnll&res  Integral,  nnd  daher  bedarf  die  Methode 
einer  kleinen  Modification,  Denken  wir  ans  g>  =  F{mjq^^)  als  mten 
Differentialqnotienten  einer  anderen  Unbekannten  m  und  substituiren  dem- 
gemäss 

in  die  Gleichung 

SO  gelangen  wir  zu  der  neuen  Differentialgleichung' 

|i)-+2«  +  („,  +  g +  1)  i)«4-i  «  +  m2>-a)  =  0, 
welche  übereinkommt  mit 

i>«[JZ>«a)  +  (g  +  g)i)i»]  =  0. 
Dieser  Gleichung  genügt  ein  o,  für  welches 

^D'm  +  (q  +  i)DcB  =  € 
wird  oder,  weil  2>fi)  =  co'  ist, 

Nach  einem  sehr  bekannten  Verfahren  findet  man  als  Integral  diesor  Dif- 
ferentialgleichung 

und  wegen  y  =  Z>*w  = /)*•--*  w'  hat  man  schliesslich 

65)   (p  =  C/>— 1  [l-^  e-«A«-i  e+£d|l  +  C,  ^— *  {!-♦  e-4] 

als  vollständiges  Integral  von  No.  64). 

Bei  positiven  q  und  g  lässt  sich  dieser  Ausdruck  in  eine  andere  Form 
briogen,  bei  welcher  die  angedeuteten  Differentiationen  ausführbar  wer- 
den.   Es  ist  nämlich 

0 

mithin  durch  Substitution  dieser  Ausdrücke  und  bei  Aenderung  der  Con- 
staaten  C. 

uigiiizea  oy 


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9 


V<m  O-  ScHLoMiLCH.  337 

Im  ersten  Integrale  setzen  wir  /  =  |(1  —  ü)  und  erhalten 

i  1 

2>— ijl-f  c-W/*-*  c4-^  d/ 1  =2>— W(l  ^t«)ff-»e-{«d« 

0  0 

1 

=  (~  1)-- 1 /m-- 1  (1  —  tt)»-l«-l«dii; 
im  zweiten  Integrale  ist 

0  0 

mitbin  ergiebt  sieb,  wenn  der  Factor  ( — l)"*-^  in  die  willkührlicben  Con- 
stanten eingereebnet  wird  > 

l  00 

66)  9  =  C|/ w~-* (1  - u)r-^ e-^ du  +  C, ^*/(l + w)«—^ uf-^ r^du. 

0  0 

Ist  zweitens  q  eine  ganze  Zabl  =  +  n ,  mitbin  die  gegebene  Diffe- 
rentialgleicbung 

SO  vertanscbt  man  znerst  p  und  q  gegeneinander  wie  in  No.  47)  und  inte- 
grirt  die  Gleicbnng 

auf  dieselbe  Weise  wie  vorhin  die  Gleichung  64) ;  dies  giebt 

^  =  (72>«-^  Ur^  e-li /|,i^^  e+fii  dg,  j  +  (7,  D^^  [S,-i»  £r^6i]. 

Wegen  |,  =  —  g  und  vermöge  Formel  46)  folgt  hieraus  bei  Aenderang  der 
Cons  tauten 

68)  9  =  Ce-i D^^  [g-P e+Wj^^  e-«  djl  +  Cr, e-fi  Z>"~»  [J-p e+«]. 

Bei  positiven  p  und  |  lässt  sich  dieser  Ausdruck  auf  ähnliche  Weise 
umwandeln ,  wie  es  vothin  mit  dem  unter  No.  65)  angegebenen  Werthe  von 
g)  geschehen  ist.    Man  bat  nämlich  einerseits 

ßr-^e-^d^=JuP-U-^äu  +  C^ 
ü 
und  mit  Uülfe  der  Substitution  u  =  iv  Digiti^d  by GoOqIc 

ZciUehriri  r.  Mathematik  a.  Physik.  V.  ^ 


338       Die  Integration  der  linearen  Differentialglcichangen  etc. 

1 

|-p e-^  nv-^f^d^  =  y »t-i e-fo-«* dv  +  .etc.; 
u 
andererseits  ist  . 

0 

nach  Substitution  dieser  Werthe  in  No.  68)  werden  die  ängedeutetea  Diffe- 
rentiationen ausführbar  und  man  erhält 

1  OD 

69)  <p  =  C,  fvv-^ (1  -  »)*-* e-^^dv  +  C^e-^  j{\+u)r^'^x^^e-'i*'du. 
0  0 

Auch  in  dem  Falle,  wo  p  oder  q  eine  negative  ganze  Zahl  ist,  können 
ähnliche  Methoden  angewendet  werden,  doch  wollen  wir  uns  bei  diesen 
Details  nicht  aufhalten. 


§.7. 
Durch  die  Formeln  66)  und  69)  wird  man  auf  die  Vermutlinng  gefuhrt, 
dass  der  Werth  von  9,  wenigstens  in  manchen  Fällen,  aujs  zwei  bestimm- 
ten Integralen  zusammengesetzt  ist ,  in  welchen  die  unabhängige  Yariabele 
(£)  der  Differentialgleichung  die  Bolle  einer  Const^nten  spielt.  Dies  bedarf 
einer  genaueren  Untersuchung. 

Zu  diesem  Zwecke  betrachten  wir  erstens  den  Ausdruck 
1 

70)  M^JuP-'^  (1  —  «)*-*  e-«-  du. 

0 
Durch  zweimalige  Differentiation  in  Beziehung  auf  $  erhalten  wir 

1 

0 

l 


~^^=  +JuP^^  (l  -  »l)«->  ^£"</l4, 


und  08  ist  djer  ^.^.^.^^^  ^^  GoOglc 


Von  O.  ScHLröMiLCH.  339 


1 


=  /[P  (1— w)  —  gv]  tiP-^  (1  —  «)«-!  e-*«*  dw  —  I  /mP  (l—u)9  e-l«  dw.     ' 

Wendet  man  anf  das  zweite  Integral  die  theilweise  Integration  an,  so  hat 
man  weiter 

^  j  uP  {l—u)9  er-^^  dti 

==  ^«P  (1  — tf)««-*"  +  f[p\t—u)~qu]  uP-^  (1— w)«-»  e-^'^dui 

vorausgesetzt  nun,  dass  p  und  g  gleichzeitig  positiv  und  von  Null  verschie* 
den  sind,  verschwindet  wP(l  —  m)^  sowohl  für  w  =  l  als  für  w=0,  und  es 


ist  daher 
1 


I  fuP  (1 — w)«  ß"*"  du=l[p{\— u\—  q^]  mP-1  (1  —  w)«-^  er^*"  du. 

Nach  Einführung  dieses  Werthes  reducirt  sich  die  rechte  Seite  der  Gleich- 
ung 71)  auf  Null  y  und  man  ersieht  hieraus,  dass  M  ein  particuläres  Integral 
der  Gleichung 

darstellt.  Uebrigens  bann  dasselbe  leicht  in  eine  nach  Potenzen  von  | 
fortschreitende  Reihe  verwandelt  werden.  Man  braucht  zu  diesem  Zwecke 
nur  e^S"  durch  die  bekannte  Beihe  au  ersetzen  und  die  einzelnen  Glieder 
zu  integriren;  iPBr  p  +gc=Ä  erhält  man 

70^  M^r{p)m\,        P   l  +P(P  +  1)   V        P(P+l)(p+2)      V  ] 

il)m^     r(5)      L  ^1^5(^+1)1.2       5(5+l)(*+2)l.2.3"^*-J* 

Wir  betrachten  zweitens  den  Ausdruck 

73)  N=j{\  +  tt)P-^  ttf-i  r-6<*+«).  4«. 

Durch  eiae  der  vorigen  sehr  ähnliche  Beehnung  ergiebt  sicti  die  Gleichung 

=  — /[pw+j(l+tt)](H-w)'-»«»-»e-«('+")da  +  Uil+u)f  «» .H(«+«)  du, 

wobei  das  zweite  Integral  mitteigt  tbeilweiser  Integration  folgendermaasen 
nrngeetaltet  werden  kann: 

I  /(l  +  «)'  u».e^<i+")  du 
=  _  (1  +  „)p  „,  H(i-N)  +  f[pu+i(l  +  u)]  (l  +  «)J'-i  u«->  «-«(H*)  du.  . 


340      Die  Integration  der  linearen  Differentialgleichungen  etc« 

Ist  nun  q  positiv  und  £  positiv  oder  eine  compleze  Zahl  mit  positivem  re- 
ellen feestandtlieile ,  so  verschwindet  tt9e~f<*+")  sowohl  für  ti=0  als  für 
ti  =  00  ,  und  daher  bleiht* 

l  1 

i  j{l  +  u)P u9  ^{(1-H)  du  =  f[pu  +  q{l  +  u)]  (1  +u)P'^  u9'^  «-{0+«><f n; 

e  -0 

nach  Substitution  dieses  Ausdrucks  redncirt  sich  die  rechte  Seite  der  Glei- 
chung 74)  auf  Null ,  und  folglich  ist  N  gleichfalls  ein  particuläros  Integral 
der  besprochenen  Differentialgleichung. 

Das  mit  N  bezeichnete  Integral  läest  sich  nicht  unmittelbar  in  eine 
nach  steigenden  Potenzen  von  J  fortschreitende  Reihe  verwandeln ,  wohl 
aber  kann  es  leicht  in  eine  sogenannte  halbconvergente  Reihe  umgesetzt 
werden,  und  es  liegt  hierin  keine  Gefahr,  wenn  man  den  Rest  dieser  Reihe 
anzugeben  weiss.  Nach  dem  binomischen  Satze  i«t  nun  allgemein,  wenn  ^ 
einen  positiven  ächten  Bruch  bezeichnet, 


(p  —  l)(p—2)  ....  (p-^n—l) 

.  1.2 («— 1) 

,    (p---l)(p~2)...(/>— W)  M« 


1.2 n  *(l  +  ^ti)H-J-p' 

substituirt  man  dies  in  No.  73) ,  so  kann  man  die  n  ersten  Glieder  leicht  in- 
tegriren  und    hat  dann  noch  den  Rest 

(p-l)(P-2)>>>(/>-^)    C       tfl-^'^-^  . 

1.2 n  J(l-h^fO''+*-l» 

u 

hinzuzufügen.     Der  Werth  des  hierin  vorkommenden  Integrales  ist  positiv 

und  zugleich,  wenn  n>p — 1  genommen  wirdi  kleiner  als  der  Werth  von 


/ 


er  kann  daher  mit  9  ^(j' +  ») |~f "*"  bezeichnet  werden,  wo  q  zwischen  O 
und  1  enthalten  ist.  Nach  diesen  Bemerkungen  znsammen  erhält  man  ohne 
Mtthe 

75^    jy-n?)/'-^r.   .   (P-I)g  ■  (P-l)(P-2)?(g+l):. 

'5)  ^ — ir-L'  +  — r|-+ — -iTii^        +•••• 

.    (;>-!). ..(p  —  «-l)y(y+l)...(g  +  >»- 2) 
'••"^  1.2...(«-l)g— ' 

(p— 0...(p-«)g(»  +  l)...(g  +  n  — 1)1 

+  •? r27~r.i»  J 

Wie  man  sieht,  beträgt  der  Rest  der  Reihe,   sob«ild  letztere  Zeichen- 
Wechsel  erhalten  hat,  immer  einen  aliquoten  Thoil  desjenigen  Terms,  der 

uigiüzea  Dy  x^jv^v-zpi  LV- 


Von  O.  SCHLÖMILCH.  341 

bei  weiterer  Fortsetzung  folgen  würde.   Hiermit  ist  gleichzeitig  der  Beweis 
geliefert,  dass  N  immer  einen  bestimmten  angebbaren  Werth  besitzt. 

§.8. 

Nachdem  man  zwei  particulftre  Integrale  der  zu  integrirenden  Diffe- 
rentialgleichung kennen  gelernt  hat,  von  welchen  das  erste  für  /)>0  und 
^^O,  das  zweite  für  y>0  und  {  >  0  gilt,  ist  es  sehr  leicht,  unter  allen  Um- 
ständen das  allgemeine  Integral  anzugeben.  Wir  müssen  dabei  auf  fol- 
gende vier  Fälle  eingehen. 

a.  Bei  positiven  p  und  q  sind  beide  particuläre  Integrale  brauchbar, 
wofern  |,  oder  sein  reeller  Bestandtheil ,  positiv  ist;  man  hat  daher  fttr 
l>0 

1  00 

76)     9  =  (7, /«P-^l— u)>-^e--6"rfti  +  (7»ß--fi/(l+tt)P-iM«^>e-8''dti. 
0  0 

Bei  negativen  §  macht  man  von  der  Formel 

F{p,qA)  =  e-iF{q,p,—^) 
Gebrancfa,  wo  nun  — $  positiv  ist;  indem  man  ^'(9,  p, — |)  nach  No.  70) 
bildet,  erhält  man  zunächst 

1  00 

ip  =  C,  e-iju^-^  {l—uy-^  efi«dfi  +  C, /(!  +  «)«-*  uP-*  eS«  du 
a  0 

oder  auch,  wenn  man  im  ersten  Integrale  1 — u  an  ^ie  Stelle  von  u  treten 
lässt, 

1  00 


77)     g>  =  C, /«!»-*  (1  —  w)t-* er-i" du  +  C^Jttr-^  (l  +  u)9-^ d"* 


d<u. 


b.  Der  Fall  gleichzeitig  negativer  p  und  q  ist  mittelst  der  Formel 

F{P.  q.  S)  =  \^-^F{^—q,  1— />,  I) 
leicht  auf  den  vorigen  Fall  zurückzuführen  und  man  hat  dann  Tiy—q^-Pii) 
nach  No.  76)  oder  nach  No.  77)  zu  bilden,  indem  man  p  durch  1  -«-  ?,  nnd  q 
durch  1 — p  ersetzt.     Die«  giebt  für  positive  J: 

l  OD 

78)  fp  =  l^-v-^\^A{y'-u)'^vr^e'l^du^C^e-li^ 

0  0 

dagegen  ftir  negative  §: 

1  • 

79)  9=  |«-J»-9  Kl  Al  —  w)-P«-»  e-S«  du  +  C, /(l  +  uY^  M^f  e*«  rftij. 

ü  ü 

c.  Wenn  p  positiv,  q  negativ  ist,  so  zerlege  man  p  in  eine  ganze  posi- 
tive Zahl  171  und  den  positiven  ächten  Bruch  r;  man  hat  dann  nach  For- 
mel 52)  uigmzea  oy  ^jOOglC 


342      Die  Integration  der  linearen  Differentialgleichungen  etc. 

and  nach  No.  60) 

80)  q,  =  D-  [1»—^  F{l-r,l-q,  |)]. 

Hier  sind  1  — r  and  1 — q  gleichzeitig  positiv  and  daher  ist  bei  positiven  $ 
einzusetzen : 

i  00.    .  .    ;        . 

0  0 

und  bei  "negativen  |: 

1  00 

82)  F{l—r,l  —  q,^)==^C,J^ur''{l--u)-^e-i''du+€^J{l'{-uy^tr-9€i* du. 
0  0 

d.  Im  Fall  p  negativ,  q  positiv  ist,  zerlegt  man  q  in  die  ganze  positive 
Zahl  n  und  den  positiven  Achten  Brach  « ;  dies  giebt  nach  Formel  53) 

und  nach  Formel  50) 

83)  q>z=:e-iD»  [ei  S^-p-'  F{i—s,  1—py  ö], 

wobei  der  Factor  ( — 1)"  weggelassen  wurde,  Weil  er  sich  in  die  willktihrli- 
chen  Constanten  Ci  und  C,  einnehmen  Iftsst.  Da  ntin  1  —  s  und  1  — -p  po- 
sitiv sind,  so  gilt  in  der  Formel  83)  bei  positivem  £  der  ^erth : 

8A)F{i-Syl-p,^)==Ctju''{l'-u)'-Pe'i''du+C^eriJ{i+u)-^u''Pe''i^du 
und  bei  negativem  §: 

1  OD 

85)F(l— 5,l~p,J)=r,/fr-*(l+iO--P«-^rfii+C,/^^ 


§.  9. 

Die  Formeln  des  vorigen  Paragraphen  sind  vollkommen  brauchbar  so- 
lange £  eine  reelle  Grösse  oder  eine  complexe  Variabele  is^,  deren  reeller 
Bestandtheil  nicht  verschwindet;  sie  verlieren  dagegen  ihre  Allgemeingül- 
tigkeit bei  rein  imaginftren  |,  Aus  den  Proberechnungen  in  S«  7  geht  näm- 
lich hervor,  dass  zwar  M  unter  allen  Umständen  ein  ^articuläres  Integral 
der  betrachteten  Differentialgleichung  darstellt,  dass  hingegen  ü  bei  rein 
imaginären  |  keinen  angebbaren  Werth  hat,  weil 

(l  +  oo)i'oofe-*^'^ 
eine  unbestimmte  Grösse  ist.     Der  Fall  eines  rein  imaginären  |  kann  aber 
voxkoBunen,  nämlich  dann,  weni^  die  Differentialgleichung 

''s  «S  DigitizedbyCaOOgle 


Von  O.  ScuLöMiLcn.  343 


nicht  von  Elause  ans  gegeben,  sondern  durch  Transformation  hergeleitet 
word«ii  tst.     Handoit  es  sich  &  B.  unk  di<i  Differentialgleichung 

so  mÜKsen  sunäcbst  die  in  S'4,  A  erwähnten  Umwandlttngen  vorgenommen 
werdeu,  und  d«hei  erhält  .man 

«t==0,     ft==:l,     «,=0,     /J,~0,     (io  =  b\ 

lg +  (-*+!)  ^^-B=o, 

in  der  That  entspricht  hier  einem  positiven  o;  ein  rein  imaginäres  g.  Unter 
diesen  Umständen  ist  es  ein  zweifelloses  Verdienst  Spitzers,  solche  For- 
meln aufgestellt  zu  hivhen,  die  für  jedes  beliebige  ^  passen ,  wenn  auch  da- 
bei eine  etwas  grössere  Anzahl  einzelner  Fälle  unterschieden  werden  muss. 
Die  Sache  wird  aber  weit  einfacher  als  beim  Erfinder,  sobald  man  sich 
nur  auf  die  redneirte  Differentialgleichung  einlässt  und  die  Formeln  des  S.  5 
anwendet,  welche  den  Algorithmus  der  Function  F  enthalten. 

Wenn  p  und  q  positive  ächte  Brüche  sipd,  die  wir  mit  r  und  s  bezeich- 
nen wollen,  so  ist        ,^ 

1 

fp  =  f(r,  s,  J)  = /w*"'^  (1  —  tt)'-^  e-<*  du. 
0 
ein  allgemein  richtiges  particuläres  Integral  der  Differentialgleichung 

86)  l5^  +  ('-  +  '  +  l)5f  +  ''»'  =  0; 

es  kommt  also  nur  darauf  an,  eix)  zweites  particuläres  Integral  zu  finden. 
Nun  führt  aber  die  Substitution 

zu  der  neuen  Differentialgleichung 

in  dieser  sind  1 — s  und  1 — r  wiederum  positive  ächte  Brüche,  mithin  ge- 
ntigt  ihr  der  Ausdruck  w  =  /*(l — ^,  X  — r,  5)  und  folglich  wird  die  Glei- 
chung  86)  auch  erfüllt  dnrdi 

Im  Allgemeinen  ist  dieser  Ausdruck  verschieden  von  /'(r,  s,  |)  mid 
stellt  demnach  ein  zweites  particuläres  Integral  von  86)  dar;  hieraus 
folgt  als  allgemeines  Integral 

9  ==  (7,  /^(r,  s,  I)  +  C,  gi-r-,^(x  _,,  i_r,  J) 
d.  h.  ><->  T 

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344       Die  Integration  der  linearea  Differeoatialgleichungen  ete. 

87)  (p  =Ci  /«'•-i  (1  — ti)'-i  e-i^'du  +  C^  1^--^-*  Cur'  (1— tt)-^e-6«  du. 

0  0 

Diese  Formel  bedarf  einer  Modification,  wenn  r  +  *  =  l,  denn  es  wer- 
den dann  beide  Particnlarintegrale  einander  gleich  und  «nmmiren  sich  211 
einem  nur  particulären  Integrale.  Um  diesen  Ausnahmefall  zu  erledigen, 
setzen  wir  vorläufig  r  +  ^=  1  —  i  und  bezeichnen  für  den  Augenblick  die 
beiden  in  No.  87)  vorkommenden  particulären  Integrale  mit  ^^  und  ^^ ,  so 

dass 

4P  =  Cj  gp,  +  Ct  ()p, ; 

bei  Aenderung  der  Constanten  lässt  sich  dafür  schreiben 


d.  i.  vermöge  der  Werthe  von  q>^  und  <p^ 

1 


fp  =  C'  IvT-^  (1  -  uY"^  e-  S«  du 
0 

+  C'^fu^^ (l-«)-t  ^iu [^«(l-^)F-i  ^,^ 


0 
wobei  im  zweiten  particulären  Integrale  (<p^) 

—  r=:s  — l  +  tf,     —s=r—l+S 
gesetzt  wurde.  Durch  Uebergang  zur  Grenze  für  verschwindende  i  ergiebt 
sich  unter  der  Bedingung  r  +  s=l 

1 


88)  fp  =  C'  fu^^  (1  —  u)'-^  e-t"  du 

0 
i 

+  C"  ft^^(l—uy-^eri»l[l^u(i—ü)]du. 


0 

Für  acht  gebrochene  positive  r  und  s  ist  also  das  Integral  von  No.  86)  ent- 
weder durch  No.  87)  oder  durch  No.  88)  bestimmt,  jenachdem  r+5  von  der 
Einheit  differirt  oder  nicht;  wir  bezeichnen  dasselbe  mit  9  =  F(r, »,  £). 

Die  Formeln  des  S«  5  erledigen  nun  sogleich  alle  übrigen  Fälle,  wobei 
immer  m  und  n  ganze  positive  Zahlen,  r  und  s  positive  ächte  Brüche  bedeu- 
ten mögen;  man  hat  nur  für  F (r^  5,  |)  den  vorhin  angegebenen  Werth  oder 
den  analog  gebildeten  Werth  von  F{\  — «,  1  —  r,  g)  zu  substituiren. 

So  ist  z.  B.  für  die  im  Anfange  dieses  Paragraphen  erwähnte  Diffe- 
rentialgleichung 

mithin  nach  Formel  55),  wobei  w  =  n  =  1,  r  =»  «.=  4* 
J=-|»i)[e-S/)|e+e^(i,t,g)|]; 
wegen  r  +  ^  =  1  hat  man  nach  No.  88) 

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Von  O.  ScHLÖMiLCH.  345 


Substituirt  man ,  diesen  Aasdruck  in  die  vorige  Gleichong ,  so  erliält  man 
durch  Ausführung  der  angedeuteten  Differentiationen 
1  I 

i 

+  C"vjyu{l—u)  e-6«  /{Im  (1  —  «)]  du. 
ü 
Am  Schlüsse  dieser  Untersuchungen  können  wir  deren  Resultate  in 
zwei  Worte  zusammenfassen.  Durch  die  Weiler^schen  Transformationen 
wird  die  ursprüngliche  Differentialgleichung  auf  ihre  einfachste  Form  ge- 
bracht; der  Spitz  er 'sehe  Satz  zeigt,  dass  die  in  der  reducirten  Differen- 
tialgleichung vorkommenden  Coefficienten  immer  als  positive  ächte  Brüche 
vorausgesetzt  werden  dürfen;  für  diesen  Fall  gilt  aber  das  von  Spitzer 
angegebene  Integral,  mithin  ist  die  verlangte  Integration  unter  allen  Um- 
ständen ausführbar.  Was  endlich  die  vorliegende  Darstellung  anbelangt, 
so  hat  sie  vielleicht  das  kleine  Verdienst,  jenen  raschen  Uoberblick,  den 
man  an  den  Quellen  nicht  gewinnen  wird,  zuerst  gewährt  zu  haben. 


xni. 

Heber  die  geometrische  Darstellimg  der  Werthe  einer 
Potenz  mit  complezer  Basis  nnd  complexem  Ezp<mentMi, 

Vpn  Dr.  H.  Dubege, 

Docent  an  der  Universität  Zürich. 


Man  kennt  seit  längerer  Zeit  die  Art  und  Weise ,  wie  sich  complexe 
Grössen  durch  Punkte  in  einer  Ebene  geometrisch  darstellen  lassen  und  wie 
man  dieselben  durch  die  Operationen  der  Addition ,  Subtraction ,  Multipli- 
eation  und  Division  zu  neuen  Punkteb  mit  einander  verbinden  kann.  We- 
niger vollständig  aber  kennt  man  die  geometrische  Darstellung  der  ver- 
schiedenen Werthe  einer  coinplcxen  Potenz.  Es  existirt  darüber  meines 
Wissens  nur  die  folgende  Abhandlung  von  John  Warron:  „'0;i  the  gcvniä-^ 

uigiTizea  oy  x^j  O' vy  t^Tv^ 


346     lieber  die  geometr.  Darstellttfig  der  Worthe  einer  Potenz  etc. 


irical  represcfUalion  of  tht  power s,  whose  indices  involve  the  Square  roois  of  ue- 
gatke  qunntüies.  Phtlösophicai  TransacHons,  1329.*'  'Zur  vollständigeren 
Kenntniss  dieses  Gegenstandes  etwas  beizutragen,  ist  der  Zweck  des  gegen- 
wärtigen Aufs^tzejB. 

l. 

Es  soll  im  Folgenden  die  Potenz  als  eine  vieldeutige  Grösse  aufge- 
fasst  und  die  verschiedenen  Wertbe  einer  solchen  von  einander  unterschie- 
den werden.  Es  ist  daher  nöthig,  für  dieselben  eine  besondere  Bezeichnung 
einzufuhren. 

Bedeutet  a  eine  positive  reelle  und  ii  eine  beliebige  reelle  Grösse,  8o 
befindet  sich  bekanntlich  unter  den  verschiedenen  Werthen  der  Potenz  a'* 
immer  ein  einziger  positiver  reeller  Werth.    Diesen  werde  ich  mit 

bezeichnen.  Tritt  an  die  Stelle  von  «die  Grundzahl  ^  der  natürlichen  Lo- 
garithmen ,  so  bedeutet  e^f'  zugleich  die  Summe  der  Expoiientialrcihe. 
Irgend  einen  anderen  Werth  der  Potenz  a'*,  der  aus  dem  Ausdrucke 

«0^  {cos  2n^7c  +1  sin  2n  fin) 
(i  =  j/^— T  gesetzt)  hervorgeht,  wenn  man  für  n  eine  bestimmte  positive 
oder  negative  ganze  Zahl  setzt,  Sverde  ich  mit 

bezeichnen.    Ist  ferner 

w  =  flf  (cos  «  +  I  sin  a) 
eine  beliebige  complexe  Grösse,  so  erhält  man  alle  Werthe  der  Potenz  m^, 
wenn  man  in  dem  Ausdrucke 

a^^  [cos  fi  («  +  2 fi n)  +  I  sin  ^{a  +  2n n)] 
für  n  alle  positiven  und  negativen  ganzen  Zahlen  und  Null  setzt.    Wenn 
nun  o  entweder  Null  ist,  oder  zwischen  0  und  2n  liegt,  werde  ich  den  be- 
stimmten Werth,  den  der  vorige  Ausdruck  für  einen  bestimmten  Werth 
von  n  annimmt ,  mit 

1)  Un^  =  «(/*  [cos  fi  (a  +  2n»)  +  i  sin  (a  +  2nn)] 

bezeichnen.  Denn  es  erhellt,  dass  nur  unter  einer  derartigen  Beschränkung 
dieee  Bezeiebnnngsart  mit  der  vorigen  conform  sein  wird.  Wenn  dagegen! 
2m%  das  grösste  in  a  enthaltene  Vielfache  von  2js  ist,  so  wird  man  haben 
M^.j^M  =  ÖQ^  [cos  II  {a  +  2nn)  +  isinn{a  +  2nn)]. 
Für  einen  rein  imaginären  Exponenten  iß  werde  durch  e^'^  wieder 
die  Summe  der  Exponentialreihe  bezeichnet,  oder  es  sei 

e^^r  =:cosß  +  I  sin  ß. 
Ferner  sei 

wo  unter  log  a  der  reelle  Werth  des  natürlichen  Logaxitbmen  au  verstehen 
ist.    Da  nun  auch  für  einen  reellen  Exponenten  fi> 

a^ll  =  C^ßtoga 

ist,  so  kann  man  statt  dßr  Gleiehung  1)  auch  scbreibea  ^^  t 

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Von  Dr.  H.  DüRfecE.  »47 

«„'*  =  ^oM/«i^«  +  «^(«H-2i.«)^    [0<«<2«]. 
Nun  werden  aber  durch  den  Ausdruck 

loga  +  I  (a  +  2n«) 
alle  Wcrtlie  des  Logarithmen  von  |ii  ausgedrückt^  bezeichnet  man  daher  mit 

log„  u  =  log  a  +  t  (a  +  2  «  n) 
deiijenig-en  Werth  des  Logarithmen ,  der  einer  bestimmten  positiven  oder 
negativen  ganzen  Zahl  n  entspricht,  so  hat  man  auch 

Aehnlich  möge  nun  auch  die  Bezeichnung  seiü,  wenn  der  Exponent 
complex  ist.  Kämlicb,  ist  r  ==  x  +  iy  ein  complexer  Exponent,  ferner  wd 
Vorhin  11  =  «  {£ös  a  +  i sin  a)  und  zugleich  0  <  «  <  2»,  so  sei 

Entwickelt  man  den  Exponenten,  so  erhalt  man  vollständig: 


2. 

Hiernach  ist  es  nun  leicht,  wenn  irgend  zwei  complexe  Grössen  t/  und 
V  und  damit  auch  die  sie  darstellenden  Punkte  gegeben  sind,  denjenigen 
Punkt  zu  finden,  welcher  den  «ten  Werth  der  Potenz  m"  darstellt.  Näm- 
lich  bezeichnen  r«  und  tpn  den  Radiusvector  und  den  Neigungswinkel  des 
Punktes  w„*,  so  erhält  man  aus  2) : 

QN  i  log  rn  =  X  log  a  —  y{a+'2n  7t) 

^  t       <Pn  =  yloga  +  x{a  +  2nft) 

oder  wenn  man  der  Kürze  wegen 

Xlog^a  —  ya  =  R]     yloga  +  aia=^^ 
setzt,  -     « 

..  |/oörr«=:Ä  — 2««.y 

^  *      9n  =  (C  +  2«jj  .a? 

Des  kürzeren  Ausdrucks  halber  mögen  die  Punkte,  welche  die  ver- 
schiedenen Werthe  der  Potenz  «"  darstellen,  Potenzpunkte,  und  der- 
jenige unter  ihnen,  welcher  den,  einem  bestimmten  Werthe  von  n  entspre- 
chenden Werth  von  w,,"  darstellt,  der  «te  Potenzpunkt  genannt  werden. 

Die  vorstehenden  Gleichungen  bieten  die  Mittel  dar,  um  die  Prägen 
Über  die  Construction  der  Potenzwerthe  zn  beantworten.  Warren  unter- 
sucht vorzüglich,  wie  sich  ein  bestimmter  n ter  Potenzpunkt  bewegt,  wenn 
man  einen  der  Punkte  u  und  v  auf  gewisse  einfache  Weisen  sich  bewegen 
lässt.  Besonders  interessant  aber  erscheint  die  von  Warren  nur  ober- 
fiKchltch  berührte  Frage ,  auf  welcher  Curve  die  sämmtlichen  Potenzputikte 
liegen.  Diese  Curve  erhält  man,  wenn  man  n  ans  den  Gleichungen  3)  oder 
4)  eliminirt.  Alsdann  ergiebt  sich ,  wenn  mit  r  und  (p  die  laufenden  Pölar^ 
coordinaten  bezeichnet  werden ,  eine  lineare  Gleichung  zwischen  log  r  nnd 
9,  also  die  Gleichung  einer  logarithmischen  Spirale,  die  sich  in  den  Formen 

uigiüzea  oy  'vj  v^v^^i  lv. 


348    üeber  die  geometr.  Dargtellung  der  Werthe  einer  Potenz  etc. 


oder 


tog,^(**+^)%«_i^ 


logr  =  It—^{ip—0) 


schreiben  iHsst.  Die  sllmmtlichen  Potenzponkte ,  d.  h.  die  Punkte,  welche 
die  sämmtlicben  Werthe  einer  und  derselben  Potenz  darstellen,  liegten  also 
auf  einer  logaritb mischen  Spirale*),  und  so  vertheilt,  dass  die  Radienvec- 
toren  je  zweier  auf  einander  folgender  Potenzpunkte  den  constanten  Winkel 
2nx  einsehliessen.  Diese  Spirale  hat  den  Anfangspunkt  zu  ihrem  Pole 
und  durchschneidet  ihre  Badienvectoren  unter  einem  Winkel,  der  von  der 
Neigung  des  Exponenten  &  um  90®  verschieden  ist. 

Von  ihr  ist  zuerst  zu  bemerken,  dass  sie  von  der  Neigung  a  der^Ba- 
sis  u  unabhängig  ist.  Lässt  man  also  den  Punkt  u  sich  in  einem  Kreise 
mit  dem  Kadius  a  um  den  Anfangspunkt  herumbewegen,  so  bewegen  sich 
die  Potenzpunkte  auf  derselben  Spirale  fort,  und  zwar  so,  dass  der  Winkel 
zwischen  den  Eadienvectoren  je  zweier  auf  einander  folgender  Potenz - 
punkte  oonstant  gleich  %nx  bleibt.  Jeder  Radiusvector  dreht  sich  also  um 
einen  gleichen  Winkel,  nämlich,  wenn  der  Radiusvector  des  Punktes  u  den 
Winkel  d — a  beschreibt,  um  den  Winkel  {a  —  a)x. 

Viel  wesentlicher  als  von  der  Basis ,  hängt  die  Beschaffenheit  der  Spi- 
rale von  dem  Exponenten  ab.  Ist  dieser  nämlich  zuerst  reell ,  also  ^  =  0, 
so  geht  die  Spirale  in  einen  Kreis  über,  der  um  den  Anfangspunkt  mit  dem 
Radius  6?o*  ^'^^  *  =  «o*  beschrieben  ist.  Auf  der  Peripherie  desselben  sind 
die  Potenzpunkte  so  vertheilt,  dass  die  Radienvectoren  je  zweier  aufein- 
ander folgender  Potenzpunkte  wiederum  den  constanten  Winkel  2nx  bil- 
den. Ist  daher  x  ein  rationaler  Bruch ,  so  fallen  nach  einer  gewissen  An- 
zahl von  Potenzpunkten  alle  späteren  mit  früheren  zusammen,  so  dass  die 
Anzahl  der  Potenzpunkte  dann  eine  endliche  ist.  Ist  x  aber  eine  ganze 
Zahl,  so  fallen  alle  Potenzpunkte  in  einen  zusammen ;  die  Potenz  hat  dann 
nur  einen  Werth. 

Ist  zweitens  der  Exponent  rein  imaginär,  also  o;  =  0,  so  geht  die  Spi- 
rale in  eine  Gerade  über,  und  zwat  in  eine  Gerade,  welche  zwar  auf  der 
einen  Seite  unbegräuzt,  auf  der  andern  Seite  aber  durch  den  Anfangspunkt 
begränzt  ist.  Denn  der  Winkel  zwischen  den  Radienvectoren  je  zweier  auf 
einander  folgender  Potenzpunkte  ist  dann  ebenfalls  Null ,  also  fallen  die 
Radienvectoren  sämmtlicher  Potenzpunkte  in  einen  zusammen,  welcher  um 
den  Winkel  y  log  a  gegen  die  Abscissenachse  geneigt  ist,  und  auf  welchem 
der  nte  Potenzpunkt  die  Entfernung  ^^~y(a+2««)  y^j^  Anfangspunkte  hat. 
Ist  a  =  l,  so  fallt  die  Gerade,  auf  welcher  alle  Potenzpunkte  liegen,  mit 
der  positiven  Abscisseuachse  zusammen,  folglich  haben  alle  Potenzen  von 
der  Form 


*)  Dicdcs  Kesultat  giebt  Warreii  schon  an. 

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Von  Dr.  H.  Duregg.  349 

{cM€t  +  isinayv 
htuter  reelle  und  positive  Werthe. 

Aus  dieser  Eigenschaft,  dass  die  Potenzpnnkte  einer  PoteilE  mit  rein 
imaginärem  Exponenten  auf  einer  dnrch  den  Anfangspunkt  begrenasten 
Geraden  liegen,  folgt  ein  auffallender  Unterschied  zwischen  den  Werthen 
einer  solchen  Potenz  und  denjenigen  einer  Potenz  mit  reellem  Exponenten. 
Während  nämlich  die  letzteren  durchaus  ungleichartig  sind ,  indem  höch- 
stens zwei  derselben  reell  und  ebenso  auch  höchstens  zwei  rein  imaginär, 
alle  übrigen  aber  complcx  sind ,  so  sind  die  sämmtlichen  Werthe  einer  Po- 
tenz mit  r«in  imaginärem  Exponenten  stets  gleichartig,  nämlich  entweder 
alle  reell,  oder  alle  rein  imaginär,  oder  alle  complex«,  und  zwar,  wenn  A 
und  B  zwei  reelle  und  positive  Grössen  bedeuten ,  alle  von  einer  und  der- 
selben der  fegenden  acht  Formen:  +  J^  — Ay  +iB^  — t-^,  +A  +  iB^ 
+  A^iBy  -^A  +  iB,  -^A--iB. 

Dieselbe  Eigenschaft,  lauter  gleichartige  Werthe  zu  besitzen,  hat  auch 
die  allgemeine  Potenz 

wenn  der  reelle  Theil  x  des  Exponenten  eine  ganze  Zahl  ist.  Auch  dann 
liegen  sämmtliche  Potenzpnnkte  auf  einer  durch  den  Anfangspunkt  gehen- 
den Geraden,  weil  die  verschiedenen  Werthe  von  9«=  0  +  2nn .  x  dann 
nur  um  eine  ganze  Anzahl  von  Peripherieen  von  einander  verschieden  sind. 
Dasselbe  erhelh  auch  ans  folgender  Betrachtung.  Wie  sieh  leicht  zeigen 
lässt,  ist  allgemein 

Ist  nun  aber  x  eine  ganze  Zahl,  so  sind  die  Werthe  Un*  alle  einander  gleich, 
die  Werthe  von  uji^  dagegen  werden  durch  Punkte  dargestellt,  welche  in 
gerader  Linie  liegen.  Es  seien  (Fig.  1,  Taf.  IV)  Pf,  Pty  Pf.>  diese  letzte- 
ren und  8  der  Punkt,  der  die  einwerthige  Potenz  u^  darstellt.  Alsdann  ist 
leicht  zu  sehen,  dass  die  Producte  der  Punkte  Pu  Pty  Pz>**  in  den  Punkt  s 
die  ebenfalls  in  gerader  Linie  liegenden  Punkte  ^d  9tf  9f*  liefern,  weil 
die  Dreiecke  op,  q^ ,  ops^g,  op,^,  ...  dem  Dreieck  ois  ähnlich  sein  müssen. 

3. 

Die  Potenzpunkte  einer  beliebigen  eomplexen  Potenz,  welche,  wie 
wir  gesehen  haben ,  auf  einer  logarithmischen  Spirale  liegen ,  besitzen  die 
bemerkenswerthe  Eigenschaft,  dass  sich  durch  dieselbe  noch  unendlich 
viele  von  der  vorigen  verschiedene  logarithmische  Spiralen  hindurch  legen 
lassen.  Diess  beruht  auf  der  behaupten  Eigenschaft  der  Polarcoordinaten, 
dass  zwar  durch  einen  bestimmten  Werth  r  des  Radinsvectors  und  einen 
bestimmten  Werth  q>  des  Neigungswinkels  ein  bestimmter  Punkt  der  Ebene 
festgesetzt  wird,  dass  aber,  wenn  umgekehrt  der  Punkt  gegeben  ist,  dem- 
selben nicht  blos  die  vorigen  Werthe  von  r  und  qf  als  Polarcoordinaten  zu- 
gehören, sondern  dass  man  den  Winkel  <p  um  ein  beliebiges  Vielfaches 

Jigiüzea  Dy  v_j  vyv^'i  Iv^ 


350    Ueber  die  geometr.  Darstelluttg  der  Werthe  einer  Potenz  etc. 

von  2n  vermehren  oder  vermindern  kftnn,  nnd  dass  dann  diese  nenen 
Werthe  der  Polarcoordinaten  denselben  Punkt  bestunmeg,  wie  r  nnd  ^. 

Denken  wir  uns  daher  die  Potehzpunkte  als  gegeben »  so  gehören 
ihnen  nicht  allein  die  vorigen  Werthe  4)  von  logrn  tind  §>»  an,  «ondern 
dieselben  Potenzpunkte  werden  auch  durch  die  Werthe 
logrn^^R  —  2««y  ' 

ipn  =  <P  +  2nnx^-2mit 
bestimmt,  wenn  m  eine  beliebige  positive  oder  negative  ganae  Zahl  beden- 
tet.   So  lange  nun  m  von  n  ganz  unabhängig  ist ,  erhalten  wir  hieraus  aller- 
dings keine  neue  Curve  für  die  Potenzpunkte ;  allein  nehmen  wir  an,  m  sei 
ein  behebiges  Vielfaches  von  n,  setzen  wir  also 

wo  %  wiederum  eine  beliebige  pomtive  oder  negative  ganze  Zahl  oder  auch 
Null  bedeutet,  so  liefert  die  Elimination  von  n  aus  den  Gleichungen 

logrn  =  R  —  Sniry;     9«  =  4>  +  2n«  (ar— X) 
die  Gleichung 

5)  /o^r=Ä  +  j^^(9,-a>), 

welche  fHr  jeden  Werth  von  k  eine  besondere  logaritfamische  Spirale  dar- 
stellt*). Es  ergiebt  sieh  also,  dass  man  durch  die  sämmtli(^n  Poten&- 
punkte  eine  Schaar  von  unendlich  vielen  logarith  mischen  Spiralenhindurch* 
legen  kann.  Alle  diese  Spiralen  haben  den  Anfangspunkt  als  gemein- 
schaftlichen Pol  und  werden  aus  5)  erhalten,  wenn  man  ftlr  k  alle  positiven 
und  negativen  ganzen  Zahlen  und  Null  setzt. 

In  dem  Falle,  dass  der  Exponent  reell,  also  ys=0  ist,  fallen  alle  diese 
Spiralen  mit  dem  schon  früher  geAindenen  Kreise  zusammen«  Ist  aber  der 
Exponent  rein  imaginär,  also  a;  =  0,  so  geht  nur  die  dem  Werthe  1  =  0 
zugehörige  Spirale  in  eine  Gerade  tlber,  während  alle  übrigen  logarithmi- 
sche Spiralen  bleiben,  die  paarweise  gleich,  aber  entgegengesetzt  gewun- 
den sind.  Dasselbe  tritt  auch  ein,  wenn  x  eine  ganze  Zahl  ist;  dann  geht 
die  Spirale )  welche  dem  Werthe  k=^x  angehört,  in  eine  Gerade  über, 
und  jeder  Spiralen  mit  einem  Werthe  k=k'  entspricht  eine  andere  mit  dem 
Werthe  k-=2x — A',  welche  ihr  gleich  ist,  aber  nach  der  entgegengesetzten 
Richtung  gewunden. 

Zur  Erläuterung  des  Vorigen  ist  die  Fig.  2,  Taf.  IV,  beigefügt  worden, 
bei  deren  Verzeichnung  ich  von  der  Potenz 

{cos  60«  +  •  sm  60«)«'  18°  +  ««yis» 


'  *)  Man  könnte  für  m  irgend  eine  Function  von  n  annehmen,  von  der  Beschaffen- 
heit, das»  allen  ganzzahligen  Wert^ea  von  n  auch  ganzzahlige  Werthe  von  m  cnt- 
sprcohen,  z.  B.  die  Anzahl  der  zu  n  relativen  Primzahlen,  welche  kleiner  als  n  sind; 
die  Anzahl  der  Divisoren  von  n  u.  dgl.  Eine  logarithmische  Spirale  erfaüU  man  aber 
D«r  dann,  wenn  m  eine  lineare  Functioji  von  n  mit  ^anzz^hligen  Cocfficienten  ist. 
Man  überzeugt  sich  leicht,  dass  der  letzte  Fall  von  dem  im  Texte  angenommenen  im 

Resultate  nicht  verschieden  ist. 

uigiüzea  oy  'vj  vj'v_/pc  lv. 


Von  Dr.  H.  Diträge.  351 

ausgegangen  bin.  In  derselben  8ii>d  P  und  P*  zwei  aufeinander  folgende 
Potenzpunkte,  welche  den  Werthen  n==0  und  n  =e  —  1  angehören;  ihre 
Polarcoordinaten  haben  die  absoluten  Werthe 

Zur  Einheit  würde  die  Länge  von  10"™  genommenl  Von  deii  durch  fiämiftt- 
liche  Potenzpünkte  hindurchgehenden  Spiralen  sind  7  gezeichnet  worden, 
nämlich  diejenigen,  welche  den  Werthen  -— J?,  — 1,  O4  1,  2,  3,  4  von  l  zu- 
gehören. Von  denselben  sind  aber,  damit  die  Figur  nicht  zu  complicirt 
werde,  nur  diejenigen  Th^ile  in  der  Zeichnung  vorhanden,  welche  zwi- 
schen den  beiden  Punkten  P  und  P'  liegen. 


4, 

Di«  im  Vorigen  Abschnitte  betrachteten  Spiralen  schtieiden  sich  fewar 
alle  in  den  Potenzpunkten,  ausserdem  besitzen  sie  jedoch  noch  andere 
Durchschnittspunkte,  welche  nicht  allen  Spiralen  zugleich  angehören,  und 
die  näher  untersucht  zu  werden  verdienen. 

Betrachten  wir  zu  dem  Ende  zunächst  die  Art  and  Weise,  wie  sich 
zwei  beliebige  logarithmische  Spiralen ,  welche  denselben  Pol  haben,  über- 
haupt schneiden  können. 

Es  seien 

L)  q  —  q+p>q>\  H)  Q  ^  q  '\' P  ^  ¥ 
die  Gleichungen  zweier  beliebiger,  um  den  Anfangspunkt  als  Pol  ge- 
schlungener, logarithmischer  Spiralen,  indem  zur  Abkürzung  logr^iQ^ 
logr=Q^  gesetzt  ist  und  darunter  die  reellen  Logarithmen  der  stets  als 
positiv  angesehenen  Radienvectoren  verstanden  werden.  Dann  ist  zunächst 
klar,  da  diese  Gleichungen  in  Bezug  auf  ^  und  (p  linear  sind,  dass  es  nur 
einen  einzigen  Punkt  giebt,  für  welchen  zu  gleicher  Zeit  r'=  r  und  ^'=9 
ist.  Allein  da  der  nämliche  Punkt,  welcher  die  Polarcoordinaten  r  und  q> 
hat,  ftuch  durch  die  Polarcoordinaten  r  und  9 +  2»»  bestimmt  ist,  wenn  n 
eine  ganze  Zahl  bedeutet,  so  folgt,  dass  auch  alle  diejenigen  Punkte  bei- 
den Spiralen  gemeinschaftlich  sein  werden,  für  welche  zugleich 

/.zrr  und  q{=g>'\-2nn 
ist.     Die  beiden  Spiralen  durchschneiden  sich  daher  in  unendlich  vielen 
Punkten   und  man  wird  die  Polarcoordinaten  sämmtlicher  Durchschnitts- 
punkte ef  halten ,  wenn  man  q  und  g>  aus  den  Gleichungen 
^  =c ^  +  j»  .  g> ,      Q  =  q-bp\(p  +  *inn) 
bestimmt  und  dem  n  alle  ganzzahligen  Werthe  (Null  eingeschlossen)  zuer- 
theilt«     Bezeichnet  mau  daher  mit  q^  q>mj  9h\  9>h   die  einem  bestimmteu 
n  zukommenden  Werthe  der  Polarcoordinaten  der  Durchschnittspunkte,  so 
erhält  man 

uigiTizea  oy  '" 


ioogle 


352     Ueber  die  geometr.  Darstellung  der  Wcrthc  einer  Potenz  etc. 

i,      p  q  —  pq  4"  2pp'fi  n 
Qn=Qn= -? , 
P—P 
_g— y  +  2jpn:> 
^^  —  — ;;; — ;? — • 
P—p 

Alsdann  sind  die  Winkel  ff  in  der  Spirale  I)  gez&hlt.  Zählt  man  diese 
Winkel  in  der  Spirale  II) ,  so  erhält  man 

9ii   =  9"    r  ^«»  = ? . 

P—P 

Beide  Spiralen  nähern  sich  ihrem  gemeinschaftlichen  Pole  in  unendlich 
vielen  Windungen.  Es  gieht  daher  keine  Windung,  die  man  absolut  ab 
die  erste  oder  nullte  annehmen  und  von  der  aus  man  die  übrigen  zählen 
könnte.  Vielmehr  kann  dazu  irgend  eine  beliebig  angenommen  werden. 
Bezeichnet  man  nun  dem  Obigen  gemäss  mit  q>^  und  fp^  die  demjenigen 
Durchschnittspunkte  angehörfgen  Winkel,  welchem  in  beiden  Spiralen  ge- 
zählt derselbe  Werth  zukommt  (was  bestimmt  ist,  «obald  die  Constanten 
Pi  9)  P\  i  g^g^b^^  ^xoSi) ,  so  hat  man  successive 

Vi'=<Pi  +  2«,      9_i'=9>-i  — 2«, 

Daraus  geht  hervor,  dass  die  Durchschnittspunkte  der  beiden  Spiralen  so 
vertheilt  sind,  dass  der  Unterschied  der,  einem  und  demselben  Durch- 
schnittspunkte zugehörigen  Winkel,  wenn  derselbe  einmal  in  der  einen 
und  dann  in  der  anderen  Spirale  gezählt  wird,  bei  jedem  folgenden  Durch- 
schnittspunkte um  eine  ganze  Peripherie  grösser  wird.  Man  erhält  näm- 
lich leicht 

1p  n  ,  ,         2pn  2p  n     ,  ^ 

p—p  p—p       P — P 

(fn  —  9«  =  9>H~-{ —  9?«— 1  +  2  Ä , 
worin  das  ausgesprochene  Gesetz  liegt.  Sind  z.  B.  zwei  gleich  gewundene 
Spiralen  so  beschaffen,  dass  vier  ihrer  Durschnittspunkte  auf  der  Oteu, 
Iteh,  2ten,  3ten  Windung  der  einen  Spirale  liegen,  so  liegen  dieselben 
Punkte  in  der  andern  Spirale  auf  der  Oten,  2ten,  4ten,  6ten  Windung. 
Oder  nimmt  man  zwei  gleiche  aber  entgegengesetzt  gewundene  Spiralen 
an ,  welche  immer  auf  jeder  Windung  zwei  Durchschnittspunkte  besitzen, 
so  liegen  die  Punkte,  welche  in  der  einen  Spirale  sich  rosp.  auf  der  Oten, 
Oten,  1  ten,  Iten,  2ten  Windung  befinden,  in  der  anderen  Spirale  der  Reihe 
nach  auf  der  Oten,  — Iten,  — Iten,  — 2ten,  — 2ten  Windung. 

Durch  die  sämmtlichen  Durchschnittspunkte  der  beiden  Spiralen  I) 
und  II)  kann  man  nun  aufs  Neue  logarithraische  Spiralen  hindurch  le- 
gen.   Ist 

TTT\  "^ "    I  **  " 

III)     Q  =q  +  p  .fp 


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Von  Dr.  H.  Dube&e.  353 

die  Gliaicbttfig  einev  solchen,  so  müssen  p"  and  q  so  lyestimmt  werden  kön- 
nen, daas  für  jeden  Werth  von  it  zugleich 

Pii"==^  und  y«"=  tfn  +2«« 
werde ,  wo  m  wiederum  eine  ganze  Zahl  oder  Nnil  bedeutet.    Man  erhält 
aber,  wenn  man  in  die  Crleicbung 

die  Werthe  d)  von  p«  und  9»^  substitnirt , 

pq  —  pq2ppmt         „  ,      ,,  q~q  .     »  %pnn    ,^„ 

p — p      p — p  p — p        p — p 

welche  Gleichung  für  jeden  Werth  von  n  erfüllt  sein  muss.  Stebt  nun  m 
in  keiner  Verbindung  jnit  n^  so  erhält  man  daraus  nur  wieder  die  beiden 
ersten  Spiralen.  Ist  aber  m  ein  Vielfaches  von  n,  also  mc^^in,  so  erhält 
man  die  beiden  Gleiehungen 

pj>-— p^y  q~q  pp'  p'p'' 

— — v"  =  ^+/'-i — 1>5    z — T'™;; — w^*-^ 
^  p — p  p—p     p  —  p     p-^p 

aas  welchen  sich 

^N  ,._        ,pp         .      f,_  pq  +  ^{pq—pq) 

)       ^~y+A(p-p)'    ^-   P+k{p~p) 

ergiebt.  Hierauff  folgt,  dass  man  durch  alle  Dorcbschniitspunkie  aweier 
beliebiger  logaritbmischer  Spiralen,  die  denselben  Pol  haben,  unendlich 
viele  andere  lo^arithmfsche  Spiralen  hindurch  legen  kann,  deren  Bestim- 
mnngsfläehen  aus  den  Ausdrücken  7)  hervorgehen ,  wenn  man  A  alle  ganz- 
lahligen  Werthe  zutheilt.  Für  die  Wertbe  A=0  und  A=l  erhält  man  die 
Spirajen  I)  nnd  II)  selbst 

Heben  wir  nun  aus  allen  diesen  Spiralen  irgend  eine  heraus  ^  welche 
einem  beliebigen,  vooi  0  und  1  verschiedenen  Werihe  von  l  zugehört  und 
bezeichnen  dieselbe  wie  vorhin  durch 

III)  e     ==    ?      +  P      ■    9>     ' 

ao  ist  für  die  allen  drei  Spiralen  gemeinschaftlichen  Durchschnittspunkte 
<p„"=^^  4.  2 Ann.    Diese  Punkte. haben  also  folgende  Winkelt 
Inder  Spirale  I  gezählt  ...4p~  2,  ^'-ti  ^09J9^i>  ^f* 

„    „  „.   n       „       ...g>_2  — 4«,  9-1  — 8»,  4Po»%+2«t  <?>»+^«-" 

«    n  „    III       „       ...9-2— 4A«,  ^-1— 2Aff,  gPo,  <jt>i  +  2A7j,  y,  +  4Ajr... 

Betrachten  wir  jetzt  aber  die  beiden  Spiralen  I)  und  II)  für  sich  und 
bezeichnen  die  ihren  Durchschnittspunkten  zugehörigen  Winkel  in  der  Spi- 
rale I)  gezählt  mit  ...^_2>  1/?-ti  "«/^oj  ^1»  i/^f»»  «o  *•*  ^^r  irgend  einen  der- 
selben ,  Uffs ,  gemäss  6) : 

5"—  q  +  2p' kn 

^k^=  ?7 » 

P— P 

oder  wenn  man  darin  die  Ausdrücke  7)  für  p'^  und  q"  substitnirt , 


q  —  q  +  2pj^ 

p  —  p  Digitized  by 

ZciUchrift  f.  Mathemalik  a.  Physik.  V.  24 


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354     üeber  die  geomctr.  Darstf^Uung  der  Wcrthc  einer  Potenz  etc. 

Vergleicht  man  diesen  Ausdruck  mit  dem  für  tpn  in  6),  soergiebt  sich,  dasB 
jedesmal  und  nur  dann  t/;^  =  g?«  iat,  no  oit  k  =  nl  ist.  Unter  den  Durch- 
schnittspunkten der  Spiralen  I)  und  III)  gehören  alfio  nur  diejenigen  auch 
der  Spirale  II)  an,  für  welche  k  ein  Vielfaches  von  l  ist,  und  dalier  liegen 
zwischen  je  zwei  auf  einander  folgenden  Durdiscbnittspunkten,  welche 
allen  drei  Spiralen  gemeinsam  sind,  npch  l^—l  DurchschnitUpunkte,  die 
nur  den  Spiralen  I)  und  III)  angehören.  Z.  B.  awischen  den  Punkten, 
welche  den  Werthen  0  und  1  von  n  zugehören,  liegen  diejenigen  Durch- 
schnittspunkte der  Spiralen  I)  und  III),  welche  den  Werthen  1,  2,3  ...X  — 1 
von  k  entsprechen.  In  ähnlicher  Weise  ergiebt  sich  aus  der  Vergleiehtng 
irgend  zweier  Spiralen,  welche  den  W^erthen  A|  und  iL,  von  langehören, 
wo  ilc!>A|  sei,  dass  diese  Spiralen  sich  zwischen  je  zwei  auf  einander  fol- 
genden, allen  gemeinschaftlichen  Durchschnittspunkten  noch  in  A,— ^A,  —  1 
Punkten  schneijden.  In  Fig.  2,  Taf.  IV,  z.  B.  treflFen  sicli  die  beiden  Spi- 
ralen für  A  =  —  2  und  k  =  4  zwischen  P  und  P'  in  5  Punkten,  welche  mit 
1,  2,  3,  4,  5  bezeichnet  worden  sind.  Je  zwei  Spiralen  dagegen,  welche 
zweien  auf  einander  folgenden  Werthen  von  k  angehören ,  schneiden  sich 
nur  in  den  gemeinschaftlichen  Durchschnittspunkten  und  in  keinen  andern. 
Die  durch  die  Reihenfolge  der  Zahlen  k  bedingte  Aufeinanderfolge  der 
Spiralen  tritt  noch  deutlicher  hervor,  wenn  man  die  Tangenten  untersucht, 
welche  man  in  einem  der  gemeinschaftlichen  Dnrehschnittspnnfcte  an 
sXmmtliche  Spiralen  legen  kann.  Es  sei  (Fig.  3,  Taf.  IV)  P  einer  der  ge- 
meinsehaftlichen  Durchschnittspnnkte ,  0  der  gemeinschaftliche  P»l. ,  Auf 
dem  Eadiusvector  errichte  man  in  0  die  Senkrechte  ON  (die  Polarsubtan^ 
gente)  und  lege  in  P  an  alle  durch' P  hindurch  gehende  Spiralen  Tangenten, 
welche  die  Senkrechte  ON  in  den  Punkten  Z^,  £, ,  Z^...  schneiden  mögen. 
Es  seien  PL^^  und  PL^  die  Tangenten  an  den  Spiralea  I)  und  II)  «nd  PL^ 
die  Tangente  an  der  einem  beliebigem  Werthe  von  k  zugehörigen  Spirale 
III).  Bezeichnen  ferner  }^o,  y^,  yi  die  Winkel,  welche  diese  Tangenten  mit 
der  Senliirechten  ON  bilden ,  so  ist  bekanntlich 

P'—^Yo^   p  —  igyty   p'=^ny 

folglich  hat  man  wegen  der  «wischen  p,  p\  p"  bestehenden  Relation  7) : 

in    —        ^^  yo  ^^  y« 

woraus  darch  leichte  Kechnnng 

^«  (yo  —  yj)  _  j^  ^  ^»'^*  (yo  —  n) 


sm 

n 

sin 

n 

folgt. 

Nun  ist  aber 

sifi  {y^- 

-n). 

_Lxh 

««■'»()'«  — 

h) 

LJ^o 

sin 

n 

~  PI,' 

sin  Y, 

PL, 

folglicl 

i  ergiebt  sich 

h^o  = 

l.L,Lo 

r 

oder  es 

;  ist 

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Von  Dr.  H.  Dürege.  355 

Hiernach  hat  man  folgenden  Satz :  Legt  man  durch  die Durahschnktspankte 
zweier  logarithmiachen  Spiralen  alle  möglichen  logarithmiBchea  Spiralen, 
die  mit  den  beiden  gegebenen  denselben  Pol  haben,  und  zioht  in  einem  der 
gemeinachaftlichen  Durchschniitspnnkte  P  Tangenten  an  sämmtliche  ^Spi* 
ralen,  so  schneiden,  die»^  die  auf  dem  Radinsvector  PO  im  Anfangspunkte  0 
senkrecht  «tehende  Gerade  (die  Polarsubtangente)  in  gleichen  Abstl&nden 
vea  einander. 

Mit  Kücksicht  auf  die  hierdurch  hervortretende  Aufeinanderfolge  der 
Spiralen  kann  man  das  oben  gefundene  Gesetz  über  das  g^ei\seitige 
Durchschneiden  derselben  so  aussprechen:  Je  zwei  aufeinander  {bigende 
Spiralen  schneiden  sich  nur  in  den  allen  gemeinschaftlichei^  Durchschnitts- 
pankten;  je  zvrei  nicht  auf  einander  folgende  Spiralen  dagegen  schneiden 
eich  zwiscbeyi  je  zwei  auf  einander  folgenden ,  allen  giemeinschaftlichen 
Durchschnittspunkten  noch  so  viele  Male,  als  man  Spiralen  zwischen  deif 
beiden  in  Betrm^ht  kommenden  ziehen  kann. 

5. 

Kehren  wir  nun  zu  der  Form  zurück,  welche  die  Gleichungen  der  Spi- 
rale erhielten,  wenn  wir  von  den  Potenzpunkten  ausgingen«  nämlich  zu  der 
Gleichung  5) 

8)  logr^R+  -^—  (g)  -  <D), 

80  gehen  hier  sämmtliehe  Spiralen  durch  die  Potenzpnnkte  hindurch;  diese 
sind  also  die  allen  Spiralen  gemeinschaftlichen  Durchschnittspunkte.  Es 
werden  sich  daher  irgend  zwei  Spiralen,  welche  zwei  auf  einander  folgen- 
'den  Werthen-von  A  angehören,  nur  in  den  Potenzpu'nkten  und  in  keinen 
anderen  schneiden  und  die  im  vorigen  Abschnitt  ermittelten  Sätze  werden 
von  diesen  Spiralen  gleichfalls  gelten. 

Man  kann  nun  hier  zuerst  den  oben  betrachteten  Winkel  y^  noch  auf 
eine  andere  Weise  constxuiren.    Man  hat  nämlich  ans  9) 

Verbindet  man  also  den  Punkt  v  (Fig.  3,  Taf.  IV),  welcher  d«n  Exponenten 
v  =  x  +  iy  darstellt,  mit  dem  Punkteil,  der  die  ganze  Zahl  auf  der  Ab- 
scissenachse  darstellt,  so  ist  der  Winkel,  den  die  Gerade  vi  mit  der  Ab- 
scissenachse  bildet,  ebenfalls  der  Winkel  yj.  Da  nun  dies  für  jeden  Werth 
von  k  gilt,  so  ist  die  Figur,  welche  aus  den  im  Punkte  P  gezogenen  Tan- 
genten, dem  Radiusvector  und  der  Polarsubtangente  OiV  besteht,  derjeni- 
gen Figur  ähnlich,  welche  entsteht,  wenn  man  die  alle  positiven  und  ne- 
gativen ganzen  Zahlen  reprä^entirenden  Punkte  ...  — 1,.0, 1,  2, 3  .».  mit  v 
verbindet  und  die  Ordinate  vx  des  letzteren  zieht.  Den  Tangenten  PZ^, 
PI,,  PI,  ...  entsprechen  die  Goraden  »0,  i?l,  i;2  •,.,  der  Polar>»ubtaiigent8j^ 


356    Ueber  die  geometr.  Darstellung  der  Werthe  einer  Potenz  etc. 

entspricht  die  Absciasenachse  und  dem  Rftdiasrector' die  Ordinate  des 
Punktes  v. 

Ans  dem  Vorigen  ergiebt  sieb,  dass  die  sämmtlichen  Werthe  einer  Po- 
tenz geometrisch  dargestellt  werden  durch  die  sftmmtlichen  DnrehscboitU- 
pnnlcte  zweier  logarithmischer  Spiralen,  nämlich  durch  irgend  zwei  auf 
einander  folgende  aus  der  durch  die  Gleichung  S)  dargestellten  Scbaar. 
Nur  in  dem  Falle,  dass  der  Exponent  reell  ist,  degeneriren  beide  Spiralen 
in  den  nämlichen  Kreis.  Derselbe  hat  dann  den  Radius  a^^  und  den  An- 
fangspunkt zum  Mittelpunkt,  und  die  Radienvectoren  der  Potenzpunkte 
bilden  mit  der  Abscissenachse  die  Winkel  af{tt  +  2nn).  Man  kann  aber 
auch  die  umgekehrte  Aufgabe  lösen ,  nämlich ,  wenn  irgend  swei  um  den- 
selben Pol  gewundene  logarithmische  Spiralen  gegeben  find ,  so  kuin  man 
immer  eine  Potenz  bestimmen,  deren  sämmtliche  Werthe  durch  die  Durch- 
schnittdpunkte  der  gegebenen  Spiralen  geometrisch  dargestellt  werden. 
TDenn,  sind 

p  =  %  r  =  g  +  /^ .  9 ;     ffc=Iogri=q'+  p.tp 

die  gegebenen  Spiralen,  so  darf  man  nur  die  Werthe  6)  den  Ausdrücken  3) 
fttr  jeden  Werth  von  n  gleich  setzen.  Dann  erhält  man  die  Basis 
ti  2=  a  [cos  a  +  i sin  o)  und  den  Exponenten  v=:zx  +  iy  der  gesuchten 
Potenz ,  wenn  man  aus  den  Qlöicbungen 

xloga  —  ya -7-,      y  =  — -; -7. 

P—p  P—p 

.  a  —  q  p 

yloga  +  xa  =  -- ^7,         ar=      ^     , 

P~P  P—P 

die  Werthe  von  x^  y,  iog  a  und  o  bestimmt.  Auf  den  Umstand,  dass  man 
dabei  verschiedene  Potenzen  finden  kann,  welche  dieselben  Werthe  haben, 
soll  hier  nicht  näher  eingegangen  werden. 

Anstatt  zwei  Spiralen  durch  die  vier  Constanten  p,  9,  p\  q  zu  bestim- 
men, kann  man  auch  in  der  Ebene  zwei  beliebige  Punkte  annehmen,  ge- 
geben durch  ihre  Polarcoordinaten  r«,  90  und  Tj,  9>|,  und  die  Aufgabe  stel- 
len, durch  diese  beiden  Punkte  alle  mögliche^  logarithmischen  Spiralen 
hindurch  au  legen,  welche  den  Anfangspunkt  zum  Pol  haben,  wobei  zu- 
gleich festgesetzt  sein  möge ,  dass  der  dem  ersten  Punkte  zugehörige  Win- 
kel, in  allen  Spiralen  gezählt,  denselben  Werth  ^0  habe. 

Setzt  man   ' 

und  ist 

die  GHeichung  von  irgend  einer  der  gesuehten  Spiralen,  so  müssen  dersel- 
ben die  Werthe  ^q  und  p^  +  /  von  ^  und  die  Werthe  ^^  und  «p^-f-  ^^  2)1« 
von  ^  genügen,  und  es  kann  dabei  iL  keine  andere  als  eine  ganze  Zahl  odi^r 
Null  sein,  weil  sonst  durch  ^0  +  '  und  ^'o+Ö  — «i«  niaCbt^wsdbe^^^ 


Von  Dr.  H.  DiiafeGE.  357 

bealioinirt  wäre  wie  durch  ^o+i  und  <;^a+^*  ^*^  ^^^  ^^^^  die  beiden 
Gleichungen 

Daraus  folgt  zaerdt 

Da  man  aber  den  Grössen  /  und  B  immer  die  Form 
geben  kann ,  so  kann  man  anch  schreiben 

und  erhält  dadurch  die  Gleichung 

welche  für  jeden  ganzzahligen  Werth  von  X  (Null  eingeschlossen)  eine 
Spirale  darstellt,  die  durch  die  beiden  Punkte  hindurchgeht,  welche  durch 
die  Werthe  ^,  ^^  und  f«  —  29r47,  g'o+^'vi  bestimmt' sind. 

Nun  hat  aber  die  vorstehende  Gleichung  genau  dieselbe  Form,  wie 
die  Gleichung  5) ,  welche  alle  durch  die  Potenzpunkte  hindurchgehenden 
Spiralen  darstellt.  Man  kann  also  die  durch  zwei  gegebene  Punkte  hin- 
durchgehende Schaar  immer  als  identisch  mit  der  durch  die  Potenzpunkte 
hindurchgehenden  betrachten  Bnd  daher  auch  folgenden  Satz  aufstellen: 
Durch  zwei  beliebig  gegebene  Punkte  kann  man  unendlich  viele,  um  den- 
selben Pol  sich  windende  logarithmische  Spiralen  hindurch  legen.  Diese 
Spiralen  sobaeiden  sieh  ausser  ^in  den  gegebenen  Punkten  nooh  in  unendr 
lieh  vielen,  allen  gemeinsamen  Durchschnittspnnkten  und  die  letzteren 
nebst  den  gegebenen  Punkten  kann  man  als  geometrische  Daxstellung  der 
sämmtlichen  Werthe  einer  und  derselben  Potenz  ansehen. 

6. 

Um  das  Gewebe  der  in  Rede  stehenden  Schaar  von  Spiralen  vollstän- 
dig zu  durchschauen,  suchen  wir  noch  diejenigen  unter  den  nicht  allen  ge- 
meinschaftlichen Durchschnittspunkten  auf,  durch  welche  drei  oder  mehrere 
Spiralen  zugleich  hindurch  gehen. 

Heben  wir  aus  den  durch  die  Gleichung  9)  dargestellten  Spiralen  ir- 
gend drei  heraus,  welche  den  ganzen  Zahlen  il,  X-i-d>  A  +  d'  angehören, 
so  erhalten  wir  die  Durchschnittspunkte  der  beiden  ersten  durch  Auflösung 
der  Gleichungen 

^  =  ^^'^IZTl  ('P  —  <I^o)i       9  =  9o  +  ^^J_|  (V  —  Va  +  2A:«), 

wo  k  jede  ganze  Zahl  und  Null  sein  kann.    Daraus  folgt 

1J.2Ä:«  (A  — |)2Ar« 

^  ^  ^«  -  ~¥~ '        9^  -"  ^«  =  '    d        •   Digitized  by  GoOglC 


358    Ueber  die  geonietr.  Darstellung  der  Werthe  einer  Potenz  etc. 


£benBo  erhält  man  für  die  Darcbschnittsponkte  der  Spiralen  l  und 

Q  —  9o  =  ' — gf —  >      9  —  9^0  =  ' ji » 

wo  k'  ebenfalls  jede  ganze  Zahl  und  Null  sein  kann.  Sollen  nun  die  drei 
Spiralen  sich  in  einem  Punkte  schneiden ,  so  müssen  die  entsprechenden 
der  obigen  Ausdrücke  einander  gleich  werden ,  also  mu^s 

•0)     •  1=1     , 

sein.  Halten  wir  jetzt  irgend  einen  Werth  von  6  und  irgend  einen  von  k 
fest  und  bezeichnen  mit  s  den  grlissten  gemeinschaftlichen  Theiler  von  d 
und  A:,  so  folgt  aus 

£ 

itLBB  k  ein  Vielfaches  von  —  und  daher  6'  das  nämliche  Vielfache  von  — > 

€  f 

sein  muss.  Demnach  gehen  durch  irgend  einen  Durchschnittspunkt  der 
Spiralen  X  und  A  +  Ä,  welcher  irgend  einem  Werthe  von  k  zugehört,  auch 
alle  diejenigen  Spiralen ,  welche  durch  die  Zahlen    . 

bestimmt  werden,  wobei  c  den  grössten  gemeinschaftlichen  Theiler  von  6 
und  k  bedeutet.  Ist  k  ein  Vielfaches  von  d,  so  ist  —  =  1 ;  die  vorige  Zah- 
lenreihe verwandelt  sich  dann  in  die  aller  ganzen  Zahlen,  und  daher  gehen 
durch  diejenigen  Durchscbnittspunkte  der  Spiralen  X  und  X  +  6^  für  welche 
k  ein  Vielfaches  von  i  ist,  sämmtliche  Spiralen  liindurch,  wie  wir  dies 
auch  schon  früher  gefunden  haben.  Ist  S  ein  Vielfaches  von  d,  so  wird 
der  Gleichung  10)  für  jeden  Werth  von  k  genügt,  wenn  k'  das  gleiche  Viel- 
fache von  k  ist.    Daher  gehen  die  Spiralen,  welche  den  Zahlen 

X,     X±i,     X±2i,      X±Zd,     ... 
angehören ,  durch  alle  Durchschnittspunkte  der  Spiralen  iL  und  iL  -{-  i  hin- 
durch: 

Beispiele  zu  dem  Vorigen  zeigt  die  Fig.  2,  Taf.  IV,  in  welcher  im 
Punkte  3  die  Spiralen  Jl= — 2,X=0,X  =  2,  il=4;  in  den  Punkten  2  und 
4  die  Spiralen  X= — 2^  A=l,  A=4,  und  im  Punkte  c  die  Spiralen  i= — I, 
A  =  l,  i= 3  zusammentreffen. 

"      7. 
Auch  die  von  den  Spiralen  eingeschlossenen  Flächenräume  bieten 
eigenthümliche  Verhältnisse  dar.    Der  Sector  einer  logarithmischen  Spirale 
vom  Pole  an  bis  zu  einem  beliebigen  Punkte  P  d€||,i§pj5^le,i||j;J>c^kanntlich 


Von  Dn  H.  Dübkge.  359 

gleich  der  Hftlfte  des  rechtwinkligeD  Dreiecks  POL^  (Fig.  3,  Taf.  IV),  wel- 
che» VOR  dem  RadioBvector  PO^  der  Polarsubtangente  OLj^  und  der  Tan- 
gente PLj^  gebildet  wird;  Wir  wollen  nun  für  P  einen  der  allen  Spiralen 
gemeinsehaffclichen  Darchscbnittspankte  annehmen  nnd  den  in  der  Spirale  X 
genommenen  Sector  mit  Si  bezeichnen ,  so  ist 

5o  =  \POLo ,  St  =  iPOZj ,  S^  ^^POL^  etc. , 
wobei  wir  diejenigen  Sectoren  und  Dreiecke  als  positiv  annehmen  wollen, 
welche  anf  derjenigen  Seite  des  Radiusvectors  liegen,  auf  welcher  die  Zah- 
len k  wachsen,  die  auf  der  entgegengesetzten  Seite  liegenden  aber  als  ne- 
gativ. Zieht  man  je  zwei  auf  einander  folgende  Sectoren  von  einander  ab, 
so  erhfilt  man 

Nnn  sind  aber  die  Dreiecke  PLx^\Li  für  jeden  Werth  von  l  einander 
gleich ,  weil  sie^  alle  eine  gemeinschaftliche  Spitze  und  nach  dem  im  Ab- 
schnitt 4  bewiesenen  Satze  auch  gleiche  Grundlinien  haben/   Also  ist 

6»  j  —  Sq  =  Äj  —  5^1  =  Sj  —  S^  =  ... 
Macht  man  dieselbe  Betrachtung  für  den  auf  P  folgenden  Durchschnitts- 
pnokt  P'  nnd  bezeichnet  die  bis  zu  diesem  Punkte  reichenden  Sectoren  mit 
S|\  so  ist  auch 

5|  •—  5„  s==  Sj  —  S^  =n  S^  —  £,=,., 
und  wenn  man 

setzt,  gleichfalls 

Nun  bedeutet  s^  den  Sector  der  Spirale  i,  welcher  zwischen  den  beiden 
auf  einander  folgenden  gemeinschaftlichen  Durchschnittspunkten  oder  Po- 
tenzpunkten P  und  P'  enthalten  ist;  die  Differenz  sj^  —  s^^\  bedeutet  also 
das  Flächenstück,  welches  von  zwei  auf  einander  folgenden  Spiralen  A — i 
und  X  begrenzt  wird,  wenn  von  diesen  Spiralen  nur  die  zwischen  zwei  auf 
einander  folgenden  Potenzpunkten  enthaltenen  Theile  in  Betracht  gezogen 
werden.  Wir  erhalten  daher  folgenden  Satz:  Nimmt  man  von  der  durch 
zwei  Punkte  hindurchgehenden  Schaar  von  Spiralen  diejenigen  Theile, 
welche  zwischen  zwei  auf  einander  folgenden  gemeinschaftlichen  Durch- 
schnittspunkten enthalten  sind ,  so  haben  die  von  je  zwei  auf  einander  fol- 
genden Spiralen  eingeschlossenen  Flächenräume  gleichen  Flächeninhalt. 

Denselben  Satz  kann  man  noch  in  einer  etwas  anderen. Form  aus- 
spi^chen.  Betrachtet  man  irgend  drei  auf  einander  folgende  Spiralen ,  sa 
haben  die  beiden  von  ihnen  eingeschlossenen  Flächenstücke  stets  ein  ge^ 
wtsses  Stück  gemeinsohaftiich.  Nämlich  zwischen  je  zwei  auf  einander 
folgenden  Potenzpuukten  p  und  P'  liegt  dann  noch  der  Dnrchschnittsponkt 
Q  (Fig.  4  und  5,  Taf.  IV)  der  beiden  äusseren  Spiralen  nnd  das  Stück ,  wel- 
ches von  den  zwischen  den  Punkten  P  und  Q  liegenden  Tfaeilen  der  beiden 
äusseren  Spiralen  begrenzt  ist,  ist  beiden  Flächenräumen  gemeinsdiaftlieh. 

uigiüzea  oy  v_j  vy  v_/ 'i  IV^ 


360     Ueber  die  geometr.  Darstellung  der  Werthe  einer  Potenz  etc. 

Die  4ibrig  bleibenden ,  einander  ebenfalls  gleichen  Flüchenstfteke  aber  bil- 
den zwei  krammlinige  Dreiecke,  wekhe  die  Punkte  Py  Q  und  P'  zu  Ecken 
und  die  drei  Spiralen  sca  Seiten  haben.  Daher  bat  man  auch  folgenden 
Satz :  Von  irgend  drei  auf  einander  folgenden  logarithmSsehen  Spiralen  ans 
der  durch  zwei  Punkte  hindurchgehenden  Schaar  schneiden  »ich  die  beiden 
äusseren  zwischen  je  zwei  auf '  einander  folgenden  gemeinschaftlichen 
Durchschnittspunkten  Pund  P'  in  einem  dritten  Punkte  jßf  tind  die  beiden 
krummlinigen  Dreiecke,  welche  die  Punkte  Py  Qy  P'  zu  Ecken  und^ie  drei 
Spiralen  zu  Seiten  haben,  sind  an  Flächeninhalt  einander  gleich.  In  Fig.  4 
und  5,  Taf.  IV,  sind  die  Spiralen  für  die  Werthe  1,2,3  und  2,3,4  von  X 
aus  Fig.  2  besonders  gezeichnet,  iind  die  zwischen  zwei  aufeinander  fol- 
genden Spiralen  enthaltenen,  einander  gleichen  Flächenräume  durch  ver- 
schiedene Schraffirung  unterschieden  worden,  wodurch  die  gemeinschaft* 
liehen  Stttcke  und  die  übrig  bleibenden  krummlinigen  Dreiecke  deutlicher 
hervortreten. 

8. 
Zum  Schlüsse  mögen  noch  einige  Worte  tiber  die  Construction  der 
Logarithmen  der  Potenzwerthe  hinzugefügt  werden.    Versteht  man  unter 
%  (^»*)  denselben  Werth,  welcher  nach  der  Bezeichnung  des  Abschnitts  1 
auch  durch  v  .  log^  u  ausgedrückt  ist ,  so  erhält  man  aus  2) 

log  (wj,")  =^xloga  —  y  («  +  2«7t)  -}-  i  [y  log  a -^  x  (u -{-  2««)]. 
Bezeichnet  man  nun  mit  In  und  ijn  die  rechtwinkligen  Coordinaten  des 
Punktes  log  {Un^) ,  setzt  man  also 

%(«»•)  =  J„ +  ii?„ ,  ^• 

so  ist 

jjx  I  |«  =  a:%a  —  y(«H- 21171), 

'«?«•-=  y  %  fl  +  iT  (cf  +  2 wtt). 
Eliminirt  man  daraus  w,  so  erhält  man  für  die  Linie,  auf  welcher  die  Lo- 
garithmen sämmtlicher  Werthe  der  Potenz  m*  liegen,  die  Gleichung 

a^i  +  y  »J  =  (^  +  y')  %  a  1 
wenn  |  und  i}  die  laufenden  Coordinaten    dieser  Linie   bedeuten.     Diese 
Gleichung  schreibt  sich  auch,  wenn  mit  b  und  ß  der  Radiusvector  und  der 
Neigungswinkel  des  Exponenten  v  bezeichnet  werden , 

I  cos  ß  -^  fi  sin  ß  ^=1  b  log  a\ 
und  zeigt,  dass  die  Punkte,  welche  die  Logarithmen  der  Werthe  der  Po- 
tenz ti*  darstellen,  auf  einer  Geraden  liegen y  welche  senkrecht  auf  dem 
Radiusvector  des  Exponenten  v  steht  und  denselben  ia  der  Entfernung 
b  log  a  vom  Anfangspunkte  durchschneidet. 

Die  Werthe  11)  sind  dieselben ,  welche  sich  auch  für  log  r^  und  q>n  er- 
geben haben,  wenn  r^  und  q>n  die  Polareoordinaten  des  Punktes  u^*  bedeu- 
ten.   Setzt  .man  nun 

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Von  Dr.  H.  Dürege.  361 


w„*  =  F=  r  (cos  q>  +  t  sin  g)), 
80  dass  r=  ^0^  ist,  so  hat  man  stets 

^=^logr  und  i?  =  g).  , 

Baraus  kann  man  den  Scbluss  ziehen,  dass  wenn  der  Pun)Lt  ^  eine  Cnrve 
beschreibt,  die  in  rechtwinkligen  Coordinaten  $  und  ri  durch  die  Gleichung 

ausgedrückt  ist,  der  Punkt  Y  in  der  besonderen  isogonalen  Verwandt- 
schaft*), welche  dureh  die  Gleichung 

gegeben  ist,  eine  Gurre  durchläuft ,  deren  Gleichung,  in  Polarcoordinaten 
r  und  q>  ausgedrückt,  die  folgende 

f{logr,(p)=zO 
iüt.    In  dem  besonderen  Falle,  dass  der  Punkt  iT  eine  Gerade  durchläuft, 
beschreibt  der  Punkt  Y  eine  logarithmische  Spirale.    Jeder  Geraden  in  Jl 
entspricht  also  ein^  logarithmische  Spirale  in  F;  weil  aber,  wenn  k  eine 
ganze  Zahl  bedeutet, 

ist ,  so  entspricht  jeder  logarithmischen  Spirale  in  Y  eine  Schaar  paralleler 
Geraden  in  X^  deren  Durchschnitte  mit  der  Ordinatenachse  den  constanten 
Abstand  27t  von  einander  haben.  Ebenso  entspricht  jeder  durch  die 
Gleichung  f  {log  r,  97)  =  0  gegebenen  Curve  in  Y  eine  Schaar  von  Curveii 
in  AT,  die  durch  die  Gleichung  /*(|,  1}  +  2/rs)  =  0  bestimmt  werden,  worin 
für  k  Null  und  alle  ganzen  Zahlen  zu  setzen  sind. 


*)  Vgl.  Seeheck.    Ueber  die  graphische  Darstellung  imagioärer  Funütionen. 
Crelle's  Jonrnal,  Bd.  55. 


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Kleinere'  Mittheilungen. 


XXXI.  Zusammenliang  unter  den  Ooefflcienten  zweier  gleichen  Ket- 
tenl^rüche  von  vetBchiedener  Form.  Von  Dr.  HBrLßRMANN,  Director  der 
Prov.-Gewerbeäcfanle  zu  Koblenz.     Wenn  die  Kettenbrüche 

1  ,  und  l:x 


a:  +  a« 


gleich  sein  sollen ,  so  ist  zunächst 

1  i,x 


l+/>2i.+  l 


a?  +  «o        1  +  Pl"«' 


folglich 

1)  ao^Pi. 

Zweitens  ist 


^0                      Pi      > 
Gq — == , 

«  +  «1       ,    .       Pt 


1  + 


ar  +  pa 


oder 


00  + Ol  a; +/?,  +  />,' 

folglich 

Drittens  ist 

^1  Ps 


1+  ''* 


x  +  Pi 
oder 

g|  a:  +  fli «,  —  &t  _  {Pt  +/?»)  a:  +  P»P4  +  Jg2P>  +  PzPf. 

und  daraus  folgt  wieder  ^  , 

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Kleinere  Mittlieilangon.  363 

3)  ^t—Fi+Piy       bl=PtP4' 

Da  diese  Vergleiclmng  fortgesetzt  und  aueli  das  Kästner^selie  Induetions- 
yerfahren  in  derselben  Weise  angewendet  werden  kann,  so  ist  allgemein 

4)  fl«=/>2a +  i^2ff+l>     ^«-.1  =P2a-iP2a. 
Zuletzt  erhält  man 

5)  «ii=P2ii  +P2II  +  1»        ffn-l=^P2n—lp2n' 

Die  Torstehenden  Gleichungen  geben  an,  wie  die  Coef&cienten  des 
erstem  Kettenbrncbes  ans  denen  des  zweiten  gebildet  werden;  darch  Um- 
kehmng  derselben  erhUlt  man  den  letztem  ans  dem  erstem ,  und  zwar 

«0 

P«  =  «1  —  -  ,  Pi  = T- . 

P»  =  «. ^^,     Pe  = ^;-> 

a, 


a,-'-S 


P2a-l  =  aa-i  —  " ^«-3 

«a-^2 


^0 


^       ff*— 1         t 

P2a  =  - Og-'Z         . 

öff-l Off-S 

a«-2- 


P2«=  0|.-2 


an-2-;- 


a. 


bn-l  . 

öll-l  — - — 

ö»— 2  — 


^ 


«I 


0 


TTTTT.  iTeber  die  grtetteii  PolygOBe^  die  sich  tber  eine  gegebene 
Gerade  einer  Parabel  einsdireiben  laMen.  Von  Prof.  Simon  Spitzbb. 
1.  Aufgabe.    Fig.  8,  Taf.  IV.)    Es  soll  der  Parabel  über  die  S^te  Aß  das 

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grösste  Dreieck  eingezeichnet  worden 

"  ^  uigiiizea  oy 


364  Kleinere  Mittheihingen, 

Auflösnng.  Halbirt  maa  JB  in  €  und  zieht  durch  C  eine  Gerade 
CD  parallel  ant  Achse  dei*  Parabel,  so  wird  offenbar  eine  Tangente  an  D 
parallel  zn  AB  aein ,  der  Funkt  D  ist  also  beztiglich  der  Geraden  AB  ein 
höchster  Punkt  der  Parabel,  somit  das. Dreieck  ABD  das  grösste,  was  sich 
über^^  in  der  Parabel  construiren  lässt. 

2.  Aufg.  Fig.  7,  Taf.  IV.  Es  soll  der  Parabel  über  die  Seite  AB  das 
grösste  Viereck  eingezeichnet  werden. 

Aufl.  Gesetzt,  es  sei  AN  MB  daa  grösste  Viereck,  welches  sich  der 
Parabel  einschreiben  lässt.  Zieht  man  die  Diagonale  BN^  so  muss  offenbar 
BMN  das  grösste  Dreieck  sein,  welches  sich  tiber  BN  der  Parabel  ein- 
schreiben lässt,  folglich  muss  nach  dem  Früheren  die  durch  M  znr  Parabel- 
achse gezogene  Parallele  die  Sehne  BN  in  m  halbiren  und  folglich  mnss, 
der  Aehnlichkeit  der  Dreiecke  BmC  und  BND  halber,  BC^=CD  sein.  Ganz 
ebenso  lässt  sich  zeigen,  dass  CDs=:AD  sein  muss,  folglich  findet  man  das 
grösste  Viereck,  das  aich  der  Parabel  über  AB  einzeichnen  lässt,  wenn  man 
AB  in  drei  gleiche  Theile  theilt  und  durch  die  Theilpunkte  parallele  Ge- 
rade znr  Hauptachse  zieht;  da,  wo  diese  Linien  die  Parabel  schneiden,  sind 
zwei  Eckpunkte  des  Vierecks. 

Ebenso  müsste  man  verfahren,  wollte  man  über  AB  der  Parabel  das 
grösste  «Eck  einzeichnen.  Man  theile  nämlich  AB  in  fi-^1  gleiche  Theile, 
ziehe  durch  die  Theilpunkte  parallele  Gerade  zur  Achse  der  Parabel ;  da, 
Wo  diese  Linien  die  Parabel  treffen,  sind  die  gesuchten  Eckpunkte  des 
grössten  der  Parabel  eingezeichneten  »Eckes. 


Xiixtii.  XTeber  die  gröisten  Breiecke,  die  sich  über  eine  gegebene 
Gerade  einer  Ellipse  oder  Hyperbel  einschreiben  lassen.  Von  Prof.  S. 
Spitzer..  1.  Aufg.  Fig.  8,  Taf.  IV.  Es  soll  der  Ellipse  über  die  Seite  AB 
das  grösste  Dreieck  eingezeichnet  werden. 

Aufl.  Halbirt  man  AB  in  C  und  verbindet  den  Mittelpunkt  der  El- 
lipse 0  mit  C  durch  eine  Gerade ,  welche  die  Ellipse  in  den  zwei  Punkten 
M  und  N  schneidet,  so  werden  offenbar  die  Tangenten  an  M  und  N  parallel 
zu  AB  sein,  folglich  sind  die  Punkte  M  und  N  bezüglich  der  Geraden  AB 
die  höchsten  oder  tiefsten  Punkte  der  Ellipse,  folglich  die  Dreiecke  AMB 
und  ANB  die  grössten  Dreiecke,  die  sich  der  Ellipse  über  AP  einschreiben 
lassen. 

2.  Aufg.  Es  soll  der  Hyperbel  tiber  die  Seite  ^^  das  grösste  Dreieck 
eingezeichnet  werden.    (Figur  ist  leicht  selbst  zu  entwerfen.) 

Aufl.  Halbirt  man  AB  in  C  und  verbindet  den  Mittelpunkt  0  der 
Hyperbel  mit  C  durch  eine  Gefade,  welche  die  Hyperbel  in  den  zwei 
Punkten  M  und  A'  sdineidet,  so  werden  offenbar  die  Tangenten  an  M  mid 
N  parallel  zu  AB  sein,  folglich  sind  die  Punkte  M  und  N  beaüglich  der 
Geraden  AB  die  höchsten  oder  tiefsten  Punkte  der  Hyperbel,  folgUoh  ist 

uigiüzea  oy  x-j  v^v^'i  ln^ 


Kleinere  Mittheilungen. 


365 


das  Dreieck  AT9B  das  grösste  «nd  das  Dreieck  AMB  das  kleinste  Dreieck, 
was  sicli  flber  AB  der  Hyperbel  einsckreiben  läset.  ^^  Würde  die  Sehne  AB 
beide  Zweige  dc^  Hjperbel  schneiden,  so  fKnde  man  weder,  ein  grösstes 
noch  ein  kleinstes  Dreieck,  was  sich  -der  Hyperbel  einschreiben  liesse. 

Gans  analog  lassen  sich  die  Aufgaben  lösen,  wo  es  sieh  nm  Binschrei- 
ben  einer  grössten  Pyramide  in  eine  Fläche  zweiten  Grades  tiber  eine  ge- 
gebene Grundfläche  handelt. 


ZXZIV.  Die  Beziehung  swifchen  den  Halbmessen^  y^n  yier  «ieh 
gegenseitig  berührenden  Xreiiany  sowie  Tcm  fünf  derartigen  Kugeln. 
Von  C.  VV.  Baue.  . 

Vier  Kreise. 
1.  Sind  x«!  und  y^  die  Coordtnaten  eines  Punktes  Pm  in  einem  ebenen 
Systeme,  so  geben  drei  Punkte  i^, ,  P,,  P^  folgende  identische  Gleichung 
zwischen  ihren  Coordinaten  zu  erkennen: 

^n  yi »  0  I* 
=  0   a:,,y,,  0 

oder  nach  der  Vorschrift  fttr  die  Multiplication  zweier  Determinanten  mit 
gleichviel  Gliedern  ( B  a  1 1  z  e  r ,  Determinanten ,  $.  G.  2) : 

«"i*  +  ^1*1        ^i  ^t  +  yi  yt »     Ä-,  AT,  +  y,  y, 
1)  0  =    a:,.r,  +  y,y,,        x^^  +  y^\    .    oTjä-j  +  y,y, 

*i  ^f  +  yi  y» »     -T,  .r,  +  yip^ ,       Ä,»  +  y.! 
Ist  das  System  ein  rechtwinkliges  und  man  bezeichnet  den  Abstand 
des  Punktes  P«  vom  Ursprung  0  mit  Om;  den  Abstand  PmPm  &ber  mit  a««, 
so  wird 

aj  —  ;r^*  +  y«',     a«*  =  ^n  +  y«*, 


««y  ==  (^-« — ^»y  +  ^«  —  y»)' 


t 


2) 

und  es  folgt 

3)  2  (a-«  x„  +  y,^  y^)  —  aj  +  «„«  • 
oder,  wenn  der  hohle  Winkel^7\„0P«  mit  (a„an)  bezeichnet  wird, 

4)  ÄT^  J^n  +  y«yii  ==  «mfl»  cos  {a„ fl,). 

In  Folge  der  Gleichungen  2)  und  4)  geht  die  Identität  1)  mit  a,*««^«,* 
durchdividirt  in  die  Beziehung  Über ,  welche  zwischen  den  bohlen  Winkeln 
dreier  von  einem  Punkt  ausgehenden  Geraden  in  einer  Ebene  stattfindet 
und  einen  Ausdruck  dafür  darbietet,  dasa  der  Rauminhalt  des  Tetraeders 
0  Pt  Pt  Pt  Null  sein  müsse.    (  B  a  1 1  z  e  r.  S.  16.  2.) 

In  Folge  der  Gleichungen  2)  und  3)  dagegen  giebt  1): 


5)      0  = 


2ö,«, 


fl|"  +  «*•  —  «1  .*,     ''f*  +  a.'  —  Cf\^; 


2a,\ 


Dy  '" 


ogle 


366 


Kl^inete  Mitthetlnjageit. 


Diese  Oleiobun^  zwischen  den  Abfitändea  ^i ,  »i ,  a,  eines  Piinktea  0 
von  den  Ecken  eines  durch  seine  Seken  o«»«  ««i,  oit  bestimmten  Dreiecks 
P^P^P^  bietet  einen  Ansgangspankt  dar  für  die  Auflösung  der  viel  beban- 
delten Aitftage,  den  Halbmesser  eines  Kreises  zn  bestimmen,  der  drei  ge- 
gebene Kreise  berühren  soll. 

Nimmt  man  nämlich  an ,  ein  aus  0  mit  r  beschriebener  Kreis  berühre 
die  drei  aus  P| ,  P, ,  P^  mit  r^^r^^  r,  beschriebenen  Kreise ,  fle  wild ,  wenn 
für  die  letzteren  Halbmesser  ihre  absoluten  Längen  positiv  oder  negativ 
eingeführt  werden,  je  nachdem  der  betreffende  Kreis  den  aus  0  beschrie- 
benen von  Aussen  oder  voYi  Innen  berührt-; 

Setzt  man  diese  Werthe  in  5)  ein  und  verwandelt  die  Determinante  mit 
neun  in  eine  solche  mit  sechszehn  Elementen,  indem  man  den  vorhandenen 
Horizontalreihen  links  Nullön  vorsetzt,  eben  die  neue  Hori«ontalreihe 

-f  1,     -2r(r  +  r,),     _2r(r  +  ö,     -2r(r  +  r3) 
anfügt  und  diese  zu  den  drei  unteren  addirt,  so  erhält  man,  wenn 

gesetzt  wird  (Baltzer,  $.  2.  6,  $.  3.  4): 

+  1»     — 2r(r  +  r,),  —2r(r  +  r^), 

+  1,     +  2r,  (r  +  rO,         +  2rr,  +  2Ä:,,, 

-fl,     +2rr, +  2Är,,,       +  2 r,  (r  +  r.) , 

+  l,      +2rr,  +  2^,i,        +  2rr,  +  2^,,, 

oder ,  wenn  man  abermals  links  Nullen  vorsetst ,  oben  die  Horizontalreibe 

+  1,     0,     +2r,     +2r,      +2r 
anfügt  und  dieselbe  mit  beziehungsweise  -fr,  -^r, ,  — r,,  — r^  mulliplicirt 
zu  den  vier  unteren  addirt: 

+  1,  0,     -f2r, 

+  r,  +1,  —  2rr,, 
Ö=  — n,  -f-1,  +2r,«, 
-r,,  +i;  +2A:,,, 
.— ra,  +1,  +2A:ia, 
Werden  endlich,  unbeschadet  der  Gleichheit,  die  *wei  oberen  Horiaontal- 
reihen  mit  r,  die  drei  letzten  Vertikalreihen  mit  2  durohdividirt  und  die 
awei  ersten  links  vertauscht ,  se  ergiebt  sich : 

0,     +1,     +1, 


0  = 


+  2rr,  +  2Ar,a 
+  2rr, +  2Ar,3 


+  2r, 

+  2r 

—  2rr,, 

—  2rr, 

+  2A,„ 

+  2*,, 

+  W, 

+  2Är„ 

+  2*,,, 

+  2r,« 

6) 


+  1,         +1 


+  ;. 

+  1, 

—  r,, 

—'Tt,        —r. 

+  1, 

—ri,- 

+  r.', 

T  "I  t »        T  *I  s 

+  1, 

—  '•f. 

+  *.,, 

+  rt*,        +  *„ 

+  1. 

—  f». 

+  A^,,, 

Jigiüzea  oy  <-j 

vogle 


Kleinere  Mitthetluiigen.  367 

Die  EntwickeluDg  der  Detenninante  liefert  eine  in  Beziehung  auf  ~  qua- 
dratische Gleichung,  aus  welcher  r  in  den  gegebenen  Halbmessern  auszu- 
drücken wäre«  Bemerkt  man ,  dass  ein  gleichzeitig  vor  allen  vier  Halb- 
messern ausgeführter  Zeichenwechsel  auf  die  Elemente  in  den  drei  letzten 
Horizontal-  und  Vertikälreihen  ohne  Einfluss  ist,  also  keine  andere  Wirk- 
ung hat  als  eine  Multiplication  der  zweiten  Horizontal-  und  Vertikaireihe 
mit  — 1,  d.  h.  die  Gleichheit  nicht  stört,  so  wird  man  die  Zweideutigkeit 
der  Auflösung  dahin  auszulegen  haben,  dass  die  eine  Wurzel  den  positiven 
Halbmesser  desjenigen  Kreises  angebe ,  der  von  den  gegebenen  Kreisen  so 
berührt  wird,  wie  es  die  Vorzeichen,  mit  denen  ihre  Halbmesser  eingeführt 
worden  sind,  erfordern ;  die  andere  Wurzel  aber  den  negativen  Palbmesser 
des  anderen  Kreises,  der  von  allen  drei  gegebenen  Kreisen  anders  berührt 
wird,  als  der  erstere.  Die  Erörterung  der  verschiedenen  Fülle,  welche  in 
Betreff  der  Vorzeichen  der  Halbmesser  r, ,  r, ,  r,  eintreten  können  ,  führt  in 
Verbindung  mit  der  Beziehung  zwischen  dem  Coefficienten  des  zweiten 
Glieds  einer  quadratischen  Gleichung  und  der  Summe  ihrer  Wurzeln  zu 
dem  von  H.  Wieg  and*)  mitgetheilten  Satze  des  Engländers  Mr.  G.  W. 
Hearn: 

Wenn  drei  Kreise  in  einer  Ebene  gegeben  sind ,  so  kann  man  im  All- 
gemeinen acht  Kreise  beschreiben,  welche  die  drei  gegebenen  berühren. 
Bezeichnet  nun  B^  den  Radius  eines  Kreises,  welcher  von  n  der  gegebenen 

Kreise  berührt  wird,  und  £—  die  Summe  der  reciproken  Werthe  aller  der- 
artigen  Kreise,  so  ist: 

Ä,  Ä,       B^  /?, 

2.  Nimmt  man  aber  den  besonderen  Fall  an,  dass  sich  die  drei  ge- 
gebenen Kreise  selbst  änsserlich  berühren,  so  vereinigen  sich  sechs  von 
diesen  acht  Kreisen  in  drei  Paaren  mit  den  drei  gegebenen  Kreisen  und  es 
treten  nur  zwei  neue  auf,  unter  welchen  der  eine  von  allen  drei  gegebenen 
von  Aussen ,  der  andere  aber  von  Innen  berührt  wird.  Der  Halbmesser 
des  einen  wird  positiv,  der  des  anderen  negativ  für  r  eingeführt  werden 
müssen ,  wenn  unsere  Gleichung  0)  befriedigt  werden  soll,  in  dieser  geht 
aber  die  Veränderung  vor  sich,  dass 

2A:«„  =  r^*  +  r««_a«««  =  r««  +  r««  — (r«  +  r„)«=~2r„r^, 

wird.  Man  hat  also ,  wenn  die  drei  letzten  Horizotal-  und  Vertikälreihen 
beziehungsweise  mit  r^^  r^^  r^  durchdividirt  werden : 


*)  Die  schwierigeren  Aufgaben  au»  des  Herrn  Prof.  Jacobi  Anhängen  zn  van 
8  winden* 8  Geometrie  mit  Ergänzungen  englischer  Mathematiker  etc.  von  Dr.  Ai 
Wiegand.   Halle,  Schwetschke  u.  S. ,  1840.  8.  154.  uigmzea  oy  v_jww-^lC 


368 


Kleinere  Mittheilttngen. 


0  = 


0, 


H-;. 


+  i.    +^,    +i 


+  7»   +1. 


+  -,  -1. 


+  7.'-»' 


—  1, 
+  1, 

—  1, 


+  -.  —1,   — 1, 


-1,  -1 

—  1,  ~^i 

+  1,  -1 

-X,  +1 


oder,  wenn  die  Determinante  ansgeftthrl  nnd  die  Gleichung  tnit  4  dnrch- 
dividirt  wird: 

r*      r,        r,        r,  \rr,       r,r,      rr,      r,r,      rr,      r,r,/ 

oder  in  abgekürzter  Schreibart: 


1 


Dieses  ist  also  die  Beziehung«  welche  Bwischen  den  Halbmessern  von 
Tier  sich  gegenseitig  berührenden  Kreisen  in  der  Art  stattfindet,  dass  ftir 
jeden  Halbmesser  seine.  Länge  positiv  oder  negativ  einzuführen  ist,  je 
nachdem  den  betreffenden  Kreis  die  drei  anderen  alle  von  Aussen  oder  alle 
von  Innen  berühren. 

3.  Da  es  für  graphische  Zwecke  von  Vortheil  sein  kann,  in  einen 
gegebenen  Kreis  mit  dem  Halbmesser  r  drei  andere  sieh  gegenseitig  be- 
rührende Kreise  zu  beschreiben ,  deren  Halbmesser  zu  r  in  rationalen  Ver- 
hältnissen stehen,  so  mögen  hier  die  Formeln  entwickelt  werden,  welche 
das  Mittel  zu  diesem  Zweck  darbieten. 

Durch  Auflösung  der  Gieiohung  4)  nach  —  erhSh  ma&,  nachdem  r 
negativ  genommen  worden  ist: 


8) 


Der  Bedingung  wird  daher  genügt  sein,  wenn  —  unter  u  eine  beliebige 
rationale  Zahl  verstanden  —    * 

l  1  1         «• 


rn 


rr^ 


Nimmt  man  daher  beliebig  das  rationale  VerhJlltniss : 


Ö) 


-  =  «, 


so  gibt  die  vorhergehende  Gleichung  mit  r^r  durchmultiplicirt : 


TB 


r.t- 


:rur. 


—  also : 


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Kleinere  Mittheiltingeti.  369 


10)  '•i  =  '"TX^'      r^=':r. 


vermöge  8)  also : 


1  +  »  '        •"  •  •  1  +  «' 


oder 


r  '  e  — -  tt* 


Die  Gleichnngen  9),  10)  und  U)  enthalten  also  die  Auflösung  der  Aufgabe. 
Nimmt  man  insbesondere  6=1,  so  wird 

_  1  — U«  1— II»  l+u 

Beide  Werthe  von  r,  dagegen  werden  einander  gleich,  wenn  u  =  0,  in 
Folge  dessen,  den  Gleichungen  8)  und  10)  gem2(ss,  Qieh  herausstellt: 

,11,11 
Tg  r,  r,  r 
Auf  den  letztem  Fall  bezieht  sich  eine  Schul- Aufgabe  aus  Sohne ke*s 
Sammlung  zur  Differentialrechnung,  wo  in  S.  11  unter  No.  68  verlangt  ist, 
der  Durchmesser  2r  eines  geigebenen  Halbkreises  solle  in  zwei  solche 
Theile  getheilt  werdein,  da^s,  wenn  man  über  jedem  Theile  wieder  einen 
Halbkreis,  sodann  aber  einen  diese  beiden  von  aussen  und  den  gegebenen 
von  Innen  berührenden  Yollkreis  beschreibt,  der  Flächeninhalt,  welchen 
diese  drei  neuen  Figuren  an  der  gegebenen  übrig  lassen,  ein  Maximum 
werde«  Eine  etwas  aufmerksame  Behandlung  zeigt,  dass  die  im  Buche 
angegebene  Auflösung,  der  Halbmesser  jedes  der  beiden  neuen  Halbkreise 
soll  ^r,  der  des  VoUkreises  aber  ^r  werden,  ein  Minimum  und  nicht  ein 
Maximum  des  übrig  bleibenden  Flächeninhalts  bestimmt;  durch  Auflösung 
einer  Gleichung  des  dritten  Grades  dagegen  stösst  man  auf  ein  ziemlich 
unerwartetes  Maximum,  welches  dann  eintritt,  wenn  die  Halbmesser  der 

neuen  Halbkreise  die  Werthe  0,64463. .  .r  und  0,35537. .  .r  erhalten. 

• 

Fünf  Kugeln. 
4.     Sind  otm,  pm  ^m  die  Coordinaten  eines  Punktes  P«,  in  einem  räum- 
lichen Systeme,  so  geben  vier  Punkte  Pi,  Pfy  P«,  P«  folgende  Identität 
swischen  ihren  Coordinaten  zu  erkennen: 

a^f ,  yii  «II  9 
a:i,yi,  *tiO 
a^8,ys»  ^8»0 
«4»  y*,  «4,  9 

oder  durch  Ausführung  der  Multiplication:  ^.^  .^^^  by  GoOqIc 

'     Zeit»chriri  f.  MalhaiuAtik  n.  Physik.  V.  25  ^ 


3  70  Kleinere  Mittheilungen . 


12)  0  = 


^i*+yi*+2i*,  Är,ip,+y,y,+Zir„  ir,a:a+y,yg+z,r3,  Xi^^+y^y^+z^z^ 

^1^4+yiy4+^1^4l    ^2^4+yrfr4  +  ^l«i,    ^83:4+^,^4+^8^4,    X^-k-y^+Z^ 

Wird  wieder  der  Abstand  des  Punktes  P«  ▼om  Ursprange  0  mit  0«,,  der- 
jenige der  Punkte  Pm  und  P^  aber  mit  0«»  bezeichnet,  so  ist  im  Falle  eines 
rechtwinkligen  Systems: 

13)  a^^  =  xj  +  yj  +  zj,     ««•  =  o:«»  +  y„*  + 1«*, 

Omn    =  (ar«,  —  XnY  +  (y«  —  i^«)*  +  (2:«  —  «„)», 

somit 

1 4)  2  (a-«ir^  +  y«y„  +  2«z„)  =  o«*  +  a«*  —  a«„', 

oder,  wenn  wieder  {a^a^  der  hohle  Winkel  PmOPn  ist: 

15)  ix:^Xn  +  ymVn  +  ^m««  =  «««i.  C05  (a«a„). 

Vermöge  der  Gleichungen  13)  und  15)  liefert  12)  die  Beziehung  zwischen 
den  Cosinus  der  sechs  hohlen  Winkel ,  welche  vier  von  einem  Punkte  aus- 
gehende Geraden  im  Räume  mit  einander  bilden ,  oder  —  wenn  man  sich 
zu  jedem  Abstände  O/^i  eine  !E^bene  senkrecht  gelegt  denkt  —  die  Bezieh- 
ung zwischen  den  Cosinus  der  Neigungswinkel  eines  Tetraeders,  wie  solche 
CarnotS.  407if.  der  Geometrie  de position  aufgestellt  hat. 

Dagegen  liefern  die  Ausdrücke  13)  in  Verbindung  mit  14)  in  12)  ein- 
gesetzt, die  Beziehung  zwischen  den  vier  Abständen  eines  Punktes  0  von 
den  Ecken  eines  durch  seine  sechs  Kanten  gegebenen  Tetraeders,  und  eine 
solche  ist  es,  von  welcher  man  bei  Auflösung  der  folgenden  Aufgabe  aus- 
zugehen hat: 

Den  Halbmesser  einer  Kugel  zu  bestimmen,  welche 
vier  gegebene  Kugeln  berührt. 

Carnot  stellt  diese  Aufgabe  auf  8.416  der  Geom.  de  pos.  auf  und  zeigt, 
wie  die  obige  Beziehung  zwischen  den  Cosinus  jener  sechs  hohlen  Winkel 
in  eine  solche  zwischen  den  viei^  Halbmessern  und  den  sechs  Centralen  der 
gegebenen  Kugeln  nebst  dem  gesuchten  Halbmpsser  R  umgesetzt  werden 
kann ,  fügt  aber  bei :  „  ü  viendra  une  Squaiion,  oü  ü  fCy  aura  plus  que  R  d'in- 
cormue,  ei  quiy  ä  ce  que  je  presume,  ne  sera  que  du  second  degre»  Mais  le  ealcul 
.  etant  fort  long,  quoique  sans  aucune  difficulle,  je  me  contmie  de  findiquer/^ 

Es  erfordert  aber  weder  lange  noch  schwierige  Rechnungen,  diese 
quadratische  Gleichung  vermittelst  einer  Determinante  darzustellen.  Nimmt 
man  nämlich  an ,  eine  aus  0  mit  dem  Halbmesser  r  beschriebene  Kugel 
werde  von  den  vier  aus  P^j  P^^  P^^  P^  mit  r^^r^^r^^  r^  beschriebenen  Ku- 
geln berührt ,  so  hat  man  unter  Beibehaltung  der  oben  über  die  Vorzeichen 
der  Kreishalbmesser  gegebenen  Vorschriften:  ^ mmn 

^   ^  u\g\i\zea  oy '<JVJvJWl\^ 


Kleinere  Mittheilnngen. 


a7i 


Setzt  man  nan  wieder 


^  =  r  +  r„ 


n+  rn^—Omn- 


•^K 


80  erhält  man  ganz  auf  demBelben  Wege,  wie  oben  6)  ans  5)  abgeleitet  wor- 
den ist, 


13)0  = 


0, 

+  1, 


+i. 


+  1,         +1,         +1,         +1 


+  1,    — n,       —rt,       —i 


—  '-4, 


+  ^141 


+  *.„ 


+  *.„ 


—  ^ 

+  *.4 
+  »•4* 


Diese  Darstellung  der  in  Beziehung  auf  —  quadratischen  Gleichung  ge^ 

währt  wenigstens  einen  genügenden  Einblick  in  den  Bau ,  den  die  rechte 
Seite  durch  Entwickelung  der  Determinante  annehmen  würde,  um  die  Mit- 
tel zum  Beweis  der  folgenden  Sätze ,  welche  an  die  Stelle  des  oben  ange- 
führten Satzes  von  He  am  treten,  darzubieten: 

Sind  vier  Kugeln  im  Baume  gegeben ,  so  sind  im  Allgemeinen  sechs* 
zehn  andere  möglich,  welche  von  denselben  theils  innerlich,  theils  äusser- 
lich  berührt  werden.  Es  seien  Rm  ui^d  i^«,'  die  Halbmesser  zweier  solchen 
unter  den  sechszehn  Kugeln,  deren  eine  von  m  unter  den  gegebenen  äusser- 
lich,  die  andere  aber  von  allen  vier  anders  berührt  wird  als  die  erstem, 
femer  Sn  und  Sn  die  Halbmesser  zweier  solchen,  deren  eine  ausser  von 
einer  bestimmten  unter  den  vieren  noch  von  n  unter  den  drei  andern  äusser- 
lich,  die  andere  aber  von  allen  vier  anders  berührt  wird  als  die  erstere,  so 
finden  folgende  Besiehungen  statt: 

2        2        „1        ^1 

1  1    _       1 

/»2  Mf  R^  R^  • 


Sämmtliche  Glieder  der  zweiten  Gleichung  beziehen  sich  auf  einerlei  be-  , 
stimmte  Kugeln,  es  giebt  also  vier  derartige  Gleichungen;  zusammen  lie- 
fern diese  wieder  die  erste  der  drei  obigen. 

5.  Gehen  wir  aber  wieder  au  der  besonderen  Yoraussetsifng  Über, 
dass  sich  die  vier  gegebenen  Kugeln  selbst  gegenseitig  äusserlieh  berühren, 
80  giebt  die  Anwendung  des  oben  mit  Gleichung  6)  vorgenommenen  Ver- 
fahrens auf  Gleichung  13) :  ^  g,^^^^.  ^^  GoOgtc 


372 


Kleinere  Mittbeilungon. 


0, 

+     ;, 

-h 

^i- 

+  7^, 

-7. 

+}. 

+     1, 

—  1, 

-1, 

—  1, 

—    1 

0  = 

-7, 

—    1, 

+  1, 

—  1, 

—  1, 

—    1 

-^    1> 

—  1, 

+  1. 

— 1> 

—     1 

» 

-7, 

—    1, 

—  1, 

—  1, 

+  1, 

—    1 

+  T, 

l, 

—  1, 

+  1, 

—  1, 

+     1 

oder  dnrcl)  Entwickelang  der  Determinante  in  abgekürzter  Schreibart,  nach 
"welcher  das  Summenzeichen  auf  alle  ftinf  Halbmesser  gleichmässig  bezo- 
gen wird: 

14)  ->        -I 


-r 


rr. 


Wollen  wir  diese  Formel,  um  sie  zu  prüfen,  auf  die  Bestimmung  des  Halb- 
messers r  einer  Kugel  anwenden,  welche  von  vier  gleichen,  sich  gegen- 
seitig äusserlicb  berührenden  Kugeln  berührt  werden  soll ,  so  geht  aus  der 
Aunahme 

die  Gleichung 

hervor,  welche  die  Wurzeln 

r  =  r,  (~l  +  ^|) 
liefert.  Die  eine  positiye  giebt  unmittelbar  den  Halbmesser  der  von  allen 
vier  gegebenen  Kugeln  äusserlich ,  die  andere  negative  mit  gewechseltem 
Vorzeichen  denjenigen  der  von  allen  vier  innerlich  berührten  Kugel  an. 
Die  Nachweisung  der  Richtigkeit  dieser  Auadrücke  aus  geometrischen  Be- 
trachtungen unterliegt  keinem  Anstand. 

Handelt  es  sich  darum,  in  eine  gegebene  Kugel  vom  Halbmesser  r 
vier  andere  sich  gegenseitig  äusserlich  berührende  Kugeln  zu  beschreiben« 
so  giebt  die  Bestimmung  von  r^  aus  den  als  gegeben  angenommenen  Halb- 
messern —  r,  +  r, ,  +  r, ,  -^  r,  nach  Gleichung  14) ,  wenn  nachfolgend  das 
•  Summenzeichen  nur  auf  die  drei  letzteren  Halbmesser  bezogen  wird : 

15)  l=4(zi_i)  +  >|/(-^_z-L-l^i  +  2^-L). 

Di«  WureelgrÖJBse  verschwindet  vermöge  Gleichung  7) ,  wenn  drei  in  einer 
E  bene  mit  dien  Halbmessern  r|  ^  r, ,  r^  beschriebene,  sich  gegenseitig  äusser- 
lich berührende  Kreise  einen  mit  r  beschriebenen  innerlich  berüliren ,  d.  h* 
beide  Werthe  von  r«  werden  einander  gleich ,  wenn  die,  Mittelx^inkte  der 

uigiüzea  oy  x^j  vyv./'i  lv- 


Kleinere  Mittheilungeti«  373 

drei  als  gegeben  angenommenen  einbeschriebenen  Kugeln  io  der  Ebene 
eines  Qrosskreises  der  «mscbriebenen  liegen,  Dass  in  diesem  Falle  in  der 
That  zwei  gleiche,  symmetrisch  gegen  die  Ebene  des  Grosskreises  liegende 
Kugeln  der  an  die  vierte  innere  Kugel  gestallten  Bedingung  gleichmässig 
genügen ,  folgt  unmittelbar  aus  der  Natur  der  Aufgabe,  nicht  so  aber,  dass 
der  Halbmesser  dieser  vierten  Kugel  durch  die  einfache  Beziehung 

angegeben  wird.         '* 

6.     Die  andere  Aufgabe,  r, ,  r,,  r^,  r^  In  rationale  Verhältnisse  zu  r 
zu  bringen,  habe  ich  folgendermaassen  aufzulösen  versucht. 

Setzt  man 

16)  ?iy(_-L_^i,-*^;i  +  '2i;-L)  =  lü, 
^         2  r     \      r*  Ti*        r       r^  r,  rj       2  r, ' 

so  erhält  man,  nachdem  qnadrirt  und  mit  r^  durehmultipHcirt  ist,  durch 
Auflösung  nach  -^,  wenn 

17)  '  5  =  t,  und  J  =  j. 
gesetzt  wird: 

18)  7  =  -  (1  +  H+h)  ±  ?^4(f.+  e.  +  ..r,)-3«»; 

niztimi  mau  daher 

4  (f,  +  fg  +  €t«j).— 3i**  =  p«, 

60  bestimmt  sich  ans  dem  beliebig  gewählten  rationalen  Verhältniss  t,  eben^ 
falls  rational: 

^^^  '• 4(1 +0     ' 

Dadurch  geht  18) ,  wenn  wegen  des  nnr  positiv  verlangteo  Werthes  von  f^ 
nur  d«s  obere  Zeichen  berflcksichtigt  wird ,  Über  in :  ' 

9n^      .  '-._'»»,  — 3»*— (2  + 2t,  — r)» 

^  r~  4(1 +t.) 

Dieser  Ansdrnck  giebt  aber  in  Verbindung  mit  15)  und  16): 

«n  r,_3  (1  +  f,  +  uf  +  (1  +  t,  -  p)'  — 4t. 

^      rr  4(i  +  o: 

Die  Gleichungen  17),  19),  20)  und.  21)  enthalten  jetzt  die  vollstitndige  Auf- 
lösung der  Aufgabe. 

Wi^d  insbesondere  r3==:r,=r|  oder  «,=?«,=*,  verlangt,  so  sind  ver- 
möge 19)  die  rationalen  Zahlen  u  und  t^  i^  zu  wählen,  dass 

Derartige  Werthe  lassen  sich  aber  in  einer  beUebigen  rationalen  Zahl 
/^  folgendermaassen  augeben  :  r\fs\o 

•  uigiiizea  Dy^^«:li  w\l/ V  Iv^ 


374  Kleinere  Mittteilungen. 


l  +  3w*'  1  +  8«^ 

nnd  führen  vermöge  20)  und  21)  zu  folgender  doppelten  Auflösung  i 

M\              «      (8«>  — 1)  (1— ly)       j             r    1  —  w     -  8» — 1 

22)    r,  =  3r .  ^^ ^   /  "^  ^ ^  und  r^  =  -- . oder  r^  =  r  .  — - — . 

DuTck  unmittelbare  Behandlung  diefles  speciellen  Falles  habe  ich,  Ton 
'Gleichung  15)  mit  rg=:r,=r|  ausgehend,  folgende  Ausdrücke  in  einer  be- 
liebigen rationalen  Zahl  ^^8  erhalten: 

t  —  Z  i—i  i  —  z 

r4=6r.3-T-r  und  r^=^-- —  oder  r4  =  r.----— -. 
*  /*+8  •  *      2r  •  <  +  8 

Beide  Auflösungen  sind  identisch ,  denn  in  die  letzteren  Ausdrücke  gehen 

diejenigen  unter  22)  über  für 

t  —  l 

tV=s: ; . 

t  +  ^ 

N.S.  Nachdem  vorstehende  Arbeit  schon  geschrieben  und  auch  ab- 
gesendet war,  wurde  ich  durch  eine  Veröffentlichung  auf  Seite  438  dea 
XYIII.  Bandes  der  Nouvelles  Annales  auf  ein  Memoire  aufmerksam,  das  in 
Ko.  80  und  81  des  XVII.  Bandes  des  Bulletin  de  la  classe  phy^co-maihema- 
Uque  de  VAcademie  imperiale  des  scietices  de  SL  Pelersbourg  unter  folgendem 
Titel  erschienen  ist :  Des  relations  qui  existent  entre  les  rayons  des  Jmit  cerclet 
iangents  ä  trois  autres  et  entre  les  rayons  des  setze  spheres  tangenies  ä  quatre 
autres;  par  M,  /.  Mention  Qu  le  26  ]Sov.  1858). 

Wie  schon  aus  diesem  Titel  ersichtlich,  hat  die  Abhandlung  mit  dem 
Hauptgegenstsnd  meiner  Mittheilung,  nämlich  den  vier  sich  gegenseitig 
berührenden  Kreisen  und  den  vier  derartigen  Kugeln  sieh  nicht  befasst, 
dagegen  ist  der  allgemeinere  Fall,  den  ich  nur  vorübergehend  berührt  habe, 
durch  ausgeführtere  Behandlung  der  Gleichungen ,  die  ich  in  unentwickel- 
ter Gestalt  gelassen  habe,  erschöpfender  betrachtet  worden.  Ich  glaube 
eine  Pflicht  gegen  die  Leser,  di^  sich  weiter  für  den  Stoff  interessiren,  zu 
erfüllen ,  indem  ich  sie  auf  die  obige  Abhandlung  aufmerksam  mache. 


XXXV.  Notiz  über  die  photographirten  Liohtspeotren  des  Hem 
Dr.  Julius  Müller  in  Freibnrg.  Der  genannte  Herr  hat  bekanntlich  vor 
zwei  Jahren  das  mit  Hülfe  eines  Glasspectrums  erhaltene  Sonnenspectrum 
photographirt ,  um  ^uch  den  chemisch  wirksamen  ultravioletten  Theil  des 
Sonnenspectrums  darzustellen.  Da  die  Absorption  des  Glases  gegen  die 
äussersten  Strahlen  um  Vieles  stärker  ist,  als  die  des  Bergkrystalles ,  so 
wendete  Müller  bei  erneuten  Versuchen  eine  Bergkrystalllinse  und  ein 
Bergkrystallprisma  an ,  um  den  ultravioletten  Thei^  des  Spectrums  in  grös- 
serer Ausdehnung  als  bei  den  früheren  Versuchen  zu  erhalten.  Bei  An- 
wendung von  nur  einem  Quarzprisma  würden  durch  Doppelbrechung  zwei 

,  uigiüzea  Dy  x-j  vy  v^'Ti  LN^ 


Kleinere  Mittheilungen.  375 

theilweise  sich  deekende  ßpeetren  entstehen,  deshalb  schob  Möller  zwi- 
schen Spalte  und  Quarsprisma  das  Yon  ihm  (Ponillet,  5.  Aufl.,  1.  Bd.  671, 
Flg.  747)  angegebene  achromatisirte  Quärzpricrma  ein,  welches  nur  zwei 
gänzlich  von  einander  getrennte»  senkrecht  gegen  einander  polarisirte 
Strahlen  hindnrchlässt.  Der  eine  derselben  wird  znr  Abbildung  des  Spec- 
troms  benutzt,  indem'  die  Kante  des  Beigkrystallprismas  die  geeignete  Lage 
znr  Polarisationsebene  des  einfallenden  Strahles  erhält.  Müller  gelang* 
es  anf  diese  Weise,  die  über  die  letzte  sichtbare  Grnppe  von  H  hinaus 
liegenden  Linien  X,  M^  N,  0,  P,  Qy  R,  S  (nach  Stokes  und  Esselbach) 
darzustellen.  Für  diejenigen  Herren  Physiker^  welche  «ich  dergleichen 
photographische  Abbildungen  des  Sonnenspectrums  käuflich  zu  verschaffen 
wünschen ,  entnehmen  wir  ans  Poggendorfs  Annalen  die  Notiz ,  dass  ver- 
schiedene photographirte  Spectren  direct  durch  Herrn  Hofphotographea 
Theodor  Hase  oder  durch  die  Buchhandlung  von  Diernfellner  zu 
Freiburg  im  Brei^gau  oder  endlich  durch  Herrn  Job.  VaL  Albert  Sohn 
in  Frankfurt  a.  M»  zu  beziehen  sind ,  und  zwar : 

1 .  Die  Tafel  mit  5  Glasspectren  zu  1  Thlr.  10  Sgr.  Das  Spectrum  ist 
hier  in  derselben  Weise  erhalten,  wie  es  Müller  in  seinem  Lehrbnche  der 
Physik  (4.  Aufl.  LBd.  S.436)  beschrieben  hat;  an  die  Stelle  des  Papier* 
Schirmes  war  aber  die  mit  photographischem  CoUodium  überzogene  Glas- 
platte gesetzt  worden.  Das  Spectrum  ist  fünfmal,  bei  1^  2,  4,  10  und  1^  Se^ 
eunden  Lichtwirkung  abgebildet  worden.  Bei  l"  Lichtwirkung  hatte  sich 
nur  4er  Theil  zwischen  ß  und  G  mit  allen  zwischenliegenden  dunkeln  Li- 
nien abgebildet,  übrigens  hatten  alle  Strahlen  von  den  hellblauen  zwischen 
G  und  F  an  bis  zu  den  rothen  Strahlen  nicht  mit  gewirkt.  Bei  2"  Licht- 
wirkung wurden  noch  die  von  Stokes*)  mit  l  bezeichneten  Linien  oioht- 
bar,  welche  indess  bei  4^'  Lichtwirkung  am  schönsten  ausfielen.  Die  Gruppe 
m  trat  am  deutlichsten  bei  10"  Lichtwirkung  hervor, 

2.  Die  Tafel  I.  der  Quarzspeclra  zu  1  Thlr.  Diese  enthält  zwei  bei 
l'^  und  2''  Lichtwirkung  erbaltene  Spectra*  Die  Partie  zwischen  G  und  L 
ist  hier  weniger  rein  und  scharf,  als  bei  dem  einen  Glasspectrum.  Die 
Steeifen  M,  N  sind  bei  l"  Lichtwirkung,  die  Streifen  M,  N,  0  bei  2"  Lieht 
Wirkung  sehr  schön  sichtbar. 

3.  Die  Tafel  IL  der  Quarzspectra,  enthaltend  fünf  Abbildungen ,  bei 
1,2,4,8  und  16  Secunden  Lichtwirkung  erhalten.  Etwas  weniger  scharf 
und  kleiner  als  Tafel  L,  jedoch  hinlänglich  deutlich,  um  die  Positionen  der 
dunkeln  Linien  zu  bestimmen.  Das  erste  Spectrum  geht  über  0  hinaus,  das 
zweite  bis  jß,  das  dritte  über  Q  hinaus,  das  vierte  und  fünfte  über  R  hinaus. 

4.  Die  Tafel  IH.  der  Quarzspectra,  fünf  Spectra  enthaltend  zu  1  Thlr. 


*)  Stokes  giebt  eine  Abbildung  des  ultravioletten  Theiles,  zum  Theil  mit  An- 
wendung flurrescirkor  Körper  erhalten  und  übereinstimmend  mit  den  damals  von 
Kingley  verfertigten  photographischen  Speetren  in  Pogg.  Ann.  Ergäüzungsbd.  lY.^ 

Tai.  1.  rig*  1«  '    uigiüzea  Dy  v_j  vy vy'i  Iv^ 


376  Kleinere  Mittheilangen. 

Die  zwei  letzten  Spectren  dieser  Tafel  enthalten^  eine  besondere  £igen- 
thümlicbkeit ,  eine  nebelartigo  Erweiternng  des  Bpeetnims  zwisehen  F  und 
Gy  welehe  dadurcb  hervortritt,  dass  man  eine  bromhaltige  OoUodivm- 
schiebt  dem  Lichte  des  Spectrams  45  bis  60  Secunden  lang  aussetzt. 

An  merk.  Eine  recht  nette  Abbildung  des  ganzen  Spectrnms  be- 
findet sich  in  Karstens  allgemeiner  Encyklopädie  der  Physik.  7.  Lieferang. 
•Taf.  IV.   Fig.  1.  Dr.  Kahd. 


XZXTL  Veber  die  Vramhote'flolieii  Linien  (Pogg.  Ann.  Bd.  109. 
B.  148  nach  den  Monatsber.  der  Berl.  Akad.  Oetbr.  1850)  von  Ck  KiroUioC 
Das  Licht,  welches  ron  den  Himmelskörpern  ausgestrahlt  wird,  giebtnns 
Kunde  von  ihrer  gegenseitigen  Stellung  zu  einander;  die  Üntersnchttng 
desselben  zeigt,  ob  die  Lichtquelle  in  dem  ausstrahlenden  Körper  selbst 
liegt  oder  ob  selbiger  nur  fremdes  Licht  wiedergfebt;  man  kann  indess  auch 
(nach  dem  oben  citirten  Aufsatze)  durch  die  Analyse  des  Lichtes  der  Sonne 
und  der  helleren  Fixsterne  Aufschlüsse  über  die  Bestandtheile  dieser selbst- 
leuchteüden  Körper  erhalten.  Bei  einer  noch  nicht  reröffentliehten  Arbeit 
über  das  Spectrum  der  bunten  fiaramen  haben  Kirch  ho  ff  und  Bunsen 
folgende  Entdeckung  gemacht:  Treten  im  Spectrum  einer  Flamme  helle 
Linien  auf,  wie  z.  B.  im  Spectrum  der  durch  Kochsalz  oder  Chlorlithiani 
gef&rbten  Spiritusflamme ,  und  man  lässt  durch  die  Flamme  Licht  hmdnrch 
geben,  Welches  die  eben  genannten  hellen  Linien  auch  hat  (z.  B.  Ralk- 
licht),  so  sieht  man  nun  im  Spectrum  an  der  Stelle  der  hellen  Linien  scharfe 
dunkle  Linien  entstehen ,  es  scheint  hiemach,  als  ob  Strahlen  von  der  Farbe 
der  hellen  Linien  am  Meisten  durch  die  Flamme  geschwücht  würden.  Das 
Sonnenspectrum  nun  zeigt  dunkle  Linien,  wo  nach  Brewster  im  Spectrum 
der  Salpeterflamme  und  nach  Ktrohhoff  und  Bunsen  im  Spectrum  der 
Natronflamme  helle  Linien  sind;  hieraus  schliessen  die  letzteren  auf  die 
Anwesenheit  von  Kali  und  Natron  in  der  als  Flamme  wirkenden  Photo^ 
sphXre  der  Sonne.  Die  hoffentlich  bald  erfolgenden  Mittheilungen  von 
Kirchhoff  und  Bunsen  werden  uns  Veranlassung  geben,  weitere  Be- 
richte Über  den  interessanten  Gegenstand  zu  geben.  Dr.  Kahl. 


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XIV. 

Bas  Problem  des  Pappiu  und  die  OeeetBe  der  Doppelsobnitts- 
yerhftltnisse  bei  Cnrven  höherer  Ordnungen  und  Classen. 

Von  Dr.  Wilh.  Fiedleb, 

Lehrer  der  darstellenden  Geometrie  «n  der  Qewerbsehole  in  Chemnits. 


Weon  die  Oleichungen  von  Yiet  geraden  Limen  dur^h 
a  =  0,     ai=0,     ß^Oy     ft=0 
dargestellt  werden  und  C  eine  Conetante  beeeiebnet,  so  läsat  sich  die 
Gleichung  eines  Kegelschnittes ,  welcher  dem  von  diesen  vier  geraden  Li- 
nien, in  der  angegehimeQ  Ordnung  genommen,  gebildeten  Vierecke  nm- 
schrieben  ist,  durch 

er  .  p  :=  C ,  ttf  •  ßi 

ausdrücken.  Denn  diese  Oleichung  repräsentirt  einen  Kegelschnitt  und 
derselbe  muss  durch  die  Punkte  gehen,  wo  die  geraden  Linien  a= 0^/3  =bO 
von  den  beiden  andern  geraden  Linien  ff|  s=r=  0,  ^i  =  0  geschnitten  werden« 

Indem  man  der  Constanten  C  nach  einander  alle  möglichen  reellen 
Werihe  beilegt,  erhält  man  die  Gleichungen  aller  der  Kegelschnitte,  welche 
diesem  Viereck  umschrieben  werden  können. 

Dieselbe  Gleichung  spricht  bei  zweckmässiger  Interpretation  zugleich 
die  allgemeine  Eigenschaft  der  Punkte  jedes  solchen  Kegelschnittes  aus, 
die  im  7.  Buche  der  mathematischen  Sammlungen  des  Pappus  schon  ge- 
geben und  von  Newton  in  seinen  Principiis  math.  philos.  nat,  neu  bewiesen 
and  erfolgreich  angewendet  worden  ist:  In  jedem  einem  Viereck  um- 
aclxriebenen  Kegelschnitt  besteht  zwischen  dem  Product  der 
Entfernungen  eines  Punktes  desselben  von  zwei  Gegensei- 
ten des  Vierecks. und.  dem  Product  seiner  Entfernungen  von 
den  zwei  andern  Gegenseiten  ein  constantes  Verhältniss. 

Dann  führt  eine  leichte  Erweiterung  auch  zu  der  allgemeinen  Auf- 
lösung des  berühmten  alten  Problems  ad  ires  aut  plures  lineas,  welches  for- 
dert, den  geometrischen  Ort  eines  Punktes  in  Bezug  auf  eine  Eeihe  von 
geraden  Linien  so  zu  bestimmen,  das»  das  Product  seiner  Entfernungen 
von    einer    Anzahl    derselben    zu    dem    Product    seiner    Entfernungen 

Zeltaehrift  f.  Mathematik  a,  Physik.  V.  26 


le 


378  Pappua'  Problem  ti.  die  Gesetze  der  DoppelschnittsverbältnisBe  etc. 

von  allen  übrigen  in  einem  constanten  Verhältnisse  stehe,  nnd  von  welchem 
Problem  der  Satz  des  Pappus  das  enthält,  was  die  Geometrie  der  Alten 
zu  seiner  Auflösung  gethan  hat. 

Man  findet  diesen  Satz  in  der  obigen  Gleichung  ausgedruckt,  sobald 
man  die  in  ihr  durch  Symbole  vertretenen  Gleichungen  der  vier  geraden 
Linien  in  der  Form 

X  cos  «  +  ysina  —  n  =  0 
voraussetzt ,  wo  a  den  von  der  geraden  Linie  mit  der  positiven  Seite  der 
Achse  der  (v  eingeschlossenen  Winkel  und  n  den  senkrechten  Abstand  des 
Coordinatenanfangspunktes  von  ihr  unter  Annahme  reehtwinkliger  Coordl- 
naten  bedeutet« 

In  dieser  Form  besitzt  die  Gleichung  den  Vorzug,  die  Länge  der  Nor- 
male von  einem  beliebigen  Punkte  {x^ ,  y,)  auf  die  durch  sie  dargestellte  ge- 
rade Linie  anzugeben ,  denn  diese  letztere  ist 

a:,  cos  «  -h  yi  sin  a  —  n. 
Man  kann  dies  leicht  direct  beweisen ;  es  folgt  aber  auch  aus  der  Regel  zur 
Bestimmung  dieses  Abstandes  für  die  durch 

Ax  +  By  +  C  =  0 
dargestellte  gerade  Linie,  welche  die  Formel  ausdrückt 

Hiemach  drückt  offenbar  die  Gleichung 

a  •  ß  ^=  C  •  &!  .  pi 
den  Satz  des  Pappus  aus,  sobald  man  die  Symbole  a=0,  j8=-=0,  o,  ==0, 
ßi  =  0  als  Abk.ürzungen  für  die  Gleichungen  der  vier  geraden  Linien  in 
dieser  Form  betrachtet,  nämlich 

a  für  xcosa  +ysincc  — «,  ß  fiir  x  cos ß  +  y  sin  ß  — n\ 
Ol  für  X  cos  «1  +  y  sin  er,  — /i, ,  |J,  für  x  cos  ßi  +  y  sin  (J,  —  n/. 
Alles  diess  gilt  auch  unter  der  Voraussetzung,  dass  man  sich  zur  ana- 
lytischen Entwickelung  des  Systems  dreiseitiger  Punktcoordinaten  be- 
dient, bei  welchem  ein  Punkt  durch  seine  drei  Abstände  von  drei  festen 
Fundamentallinien  bestimmt  und  eine  gerade  Linie  durch  eine  homogene 
Gleichung  ersten  Grades  zwischen  diesen  drei  Veränderlichen  ausgedrückt 
wird.  Und  damit  erlangt  man  den  wesentlichen  Vortheil ,  dass  dieselben 
Relationen  auch  nach  dem  System  der  drei^unktigen  Liniencoördinaten 
interpretirt  werden  können ,  bei  welchem  eine  gerade  Linie  durch  ihre  drei 
Abstände  von  drei  festen  Fundamentalpunkten  bestimmt  und  ein  Punkt 
durch  eine  homogene  Gleichung  zwischen  diesen  Veränderlichen  dargestellt 
wird*).     Dann  liefert  dieselbe  Gleichung  noch   den  Satz:    Wenn  ein 


*)  Ich  darf  wohl  für  diese  beiden  Coordinatensysteme  und  ihre  gegenseitigen 
Beziehungen  auf  meine  Abhandlung:  „Die  Theorie  der  Pole  und  Polaren  bei  Curven 
höherer  Ordnung**  in  dieser  Zeitschrift,  2.  Hft.  1859,  8.  M''i?  u^^dXV^h^^erwoiscn, 


Von  Dr.  Wilh,  Fiedler*  37© 


Kegelschnitt  einem  Viereck  eingeschrieben  ist,  so  besteht 
zwischen  demProduct  ans  den  senkrechten  Abständen  einer 
beliebigen  Tangente  desselben  von  zweien  seiner  Gegen* 
ecken  nnd  dem  Prodnct  der  Abstände  derselben  Tangente 
von  den  zwei  andern  Gegenecken  ein  constantes  Verhältniss. 
Lädst(  man  in  jener  Symbolgleichnng  die  beiden  geraden  Linien  Oi  und 
/3i  zusammenfallen,  so  dass 

80  wird  die  dadurch  repräsentirte  Curve  zweiter  Ordnung  von  den  Linien 
a  s=  0  und  |3  n=:  0  in  je  zwei  zusammenfallenden  Punkten  geschnitten,  näm- 
lich in  den  Punkten,  wo  die  Linie  «,  =a  0  ihr  begegnet;  a^sO  und  /3=3  0 
sind  Tangenten  der  Corve  und  «1=0  ist  ihre  Berührangssehne. 

Für  jeden  Punkt  eines  Kegelschnittes  ist  das  Product 
der  Entfernungen  von  zwei  festen  Tangenten  desselben  zu 
dem  Quadrat  seiner  Entfernung  von  ihrer  Berührungssehne 
in  constanteiii  Verhältniss. 

Für  jede  Tangente  eines  Kegelschnittes  ist  das  Product 
der  Entfernungen  von  zwei  festen  Punkten  desselben  zu  dem 
Quadrat  ihrer  Entfernung  von  dem  Durchschnitt  der  in  jenen 
Punkten  an  die  Curve  gezogenen  Tangenten  in  constantem 
Verhältniss. 

Da  sich  die  Gleichung  einer  unendlich  entfernten  geraden  Linie  auf 
eine  Constante  reducirt,  so  wird  die  letzte  Sjmbolgleichung  unter  der  Vor- 
aussetzung, dass  die  Berührungssehne  ort  in  unen41ieher  Feme  sei, 

die  Asymptotengleichung  der  Kegelschnitte,  und  drückt  den  Satz 
auä:  Für  jeden  Punkt  eines  Kegelschnitts  ist  das  Product  sei- 
ner Abstände  von  den  Asymptoten  der  Curve  constant. 

Alle  diese  Sjmbolgleichnngen  enthalten  fünf  oder  mehr  Constanten 
nnd  drücken  daher  allgemeine  Eigenschaften  aller  Kegelschnitte  aus;  auch 
die  aus  ihnen  ohne  weitere  speciellere  Voraussetzungen  gezogenen  Folge- 
rungen gelten  allgemein.  Ich  gehe  unter  diesen  nur  auf  die  Eigen- 
schaften von  fünf  Punkten  und  fünf  Tangenten  eines  Kegel- 
achnittes  hinsichtlich  der  Doppelschnittsverhältnisse  ein. 

Sind  a/,  a^\  a/',  a^'  die  Ecken  des  eingeschriebenen  Vierecks,  A|  und 
A,  die  Abstände  eines  beliebigen  Punktes  p  auf  dem  Kegelschnitte  vpn  den 
Gegenseiten  ai'a/',  a^'a^'  respective,  B^  und  11,^  die  Abstände  desselben 
Punktes  von  dem  andern  Paare  der  Gegenseiten,  so  sagt  der  Satz  des 
Pappus,  dads 

— — -—  =s  consU : 

indem  man  die  Abstände  Aj ,  /r, . . .  als  Höhen  der  entsprechenden  Dreieckev 
von  der  Spitze  p  und  über  den  Seiten  des  Vierecks  ausdrückt,^ °y^^^ö^^ 

26* 


380  Pappas'  Problem  u«  die  Geeetsse  der  Doppeldchnittsyerhältniese  etc. 


Äj  =  ; — 77 U,   8,   W.  , 


evhält  man 


pa^  'Pdi  •  Sin  «1  pa^  .  päf  ^päf  •  sw  OtJMi,     a|.  %  .  Oi  a^ 

r* r, — : r, ;:; — ; — : 7 ? .     /    // 7—77=  ConsL , 

pa^  .pa^  .stnüi  pa^  .  pa^ .  pa^ .  itn  a^  pa^    a^Ox  .OiO^ 


oder 

stn  fli  pa^     stn  o,  pOi 


: consL 


stn  a,  pat  ^tn  o,  pa^ 
Beseichne  man  ebenso  durch  a/,  a,",  Ot",  Ot'  die  Seiten  des  umsckrie* 
benen  Yierseits ,  durch  p  eine  fünfte  Tangente  des  Kegelschnittes'nnd  mit 
denselben  Buchstaben  a/,  ai";..  die  Durcfaschnittspunkte  dieser  Tangeate 
mit  jenen  Seiten,  endlich  mit  A|,  ^  die  Entfernungen  dieser  Tangente  von 
ddrn  Gegenecken  (a/,  a/')  und  (^t^  O)  mitü^o  ^t  die  Entfernungen  der- 
selben Tangente  von  den  Gegenecken  {a^\  a/')  und  (a/, «,')  des  Viereeksy 
drücke  man  endlich  die  Entfernungen  A|,  A,«*.  als  Höhen  der  entspre- 
chenden Dreiecke  aus ,  welche  von  den  paarweise  genommenen  Seiten  dea 
umschriebenen  Vierecks  mit  der  fünften  Tangente  gebildet  werden,  nämlich 
a:ar.sifi{a,\p).sin(ar,p)  ^. 

^'~  sin{aC,a;')  u.  s.  w,  ;, 

so  geht  aus 

hervor 

g/g/'. sin (at\p) . sin (fl/',p) . g/g/'. sin{a^\p) . sin(a^'\p)  8in{ai\ a^'). sin{a^^ <r/) 

g/g,'.  «in  (g|',p) .  Wn  (fltP) .  «i"flt''*  ^''^  (^1  "»P)  •^''*  (^a">P) '  «»(g/,ö,").  ^'yi(a,  »««") 

=  consLj 
oder 

gjg,  fl^g,        

g,g,  g,  gj 
Man  kann  diese  Sätze  auch  ohne  weiteren  Beweis  aus  dem 
Princip  des  anharmonischen  Entsprechens  schliessen,  von  welchem,  als 
von  einem  sehr  ausgedehnter  Anwendungen  fähigen  allgemeinen  Gesetze, 
ich  in  dieser  Zeitschrift  demnächst  handeln  werde.  Gewiss  können  sie 
nur  durch  die  Form,  in  der  sie  hier  vorgetragen  wurden,  und  durch  die 
Beziehung  des  Folgenden  auf  diese  Darlegung  an  dieser  Stelle  berechtigt 
sein ;  ich  verdanke  die  Anregung  zu  dieser  Darstellungs weise  der  Kennt- 
niss  dSr  Werke  des  Rev.  George  Salmon. 


*)  Aus  den  Seiten  g,  6,  c  und  den  Gegenwinkeln  a,  /},  y  ergiebt  sich  die  ra  « 
gehörige  Höhe  ebensowohl 

.       b  .c  .sfna 

a        ' 
als  auch 


A  =  f_i^^'.  DigitizedbyGoOgk 


Von  Dr.  Wilh.  Fiedleb.  881 

Es  liegt  sehr  nahey  ron  dem  Satze  des  Pap]>tifl  über  zwei  Gruppen 
von  swei  geraden  Linien  in  Bezug  auf  eine  Curve  zweiter  Ordnung  und 
dem^  entsprechenden  über  zwei  Gruppen  to&  zwei  Punkten  in  Bezng  auf 
eine  Chirve  zweiter  Classe  zu  Sätzen  über  zwei  Systeme  von  drei  geraden 
Linien  in  Bezng  auf  eine  Cnrre  dritter  Ordnung  und  über  zwei  S3r8teme 
TOD  drei  Punkten  in  Bezug  auf  eine  Gurre  dritter  Olasse  überzugehen. 

Diese  Sfttze  sind  in  der  Symbolgleichung 

« . /J  .  y  t=r  C .  «,  .  ft  .  yi 
enthalten;  sie  reprKsentirt  eine  Cnrve  dritter  Ordnung,  welche  durch  die 
neun  Punkte  geht ,  wo  die  geraden  Linien  tf  =  0,  /J  =  0,y  =  0  respective 
den  geraden  Linien  a|=:0,  /?,  =  0,  yi=0  begegnen,  und  weil  die  Zahl 
der  in  ihr  enthaltenen  Gonstanten  grosser  ist,  als  die  Zahl  der  Gonstanten 
in  der  allgemeinen  Gleichung  dritten  Grades,  so  kann  jede  Cnrve  dritter 
Ordnung  durch  sie  dargestellt  werden. 

Man  findet  in  ihr,  je  nach  der  Interpretation  in  Punkt*  oder  in  Linien- 
eoordinaten ,  die  folgenden  beiden  Sätze : 

Für  jeden  Punkt  einer  Cnrve  dritter  Ordnu-ng,  die  durch 
die  neun  Punkte  geht,  in  denen  ein  System  von  drei  geraden 
Linien  in  einer  £bene  einem  zweiten  System  ron  drei  gera- 
den Linien  in  derselben  Ebene  begegnet,  ist  das  Produet 
seiner  Entfernungen  von  den  geraden  Linien  des  einen  Sy- 
•tems  zu  dem  Produet  seiner  Entfernungen  von  den  geraden 
Linien  des  andern  Systems  in  cnnstantem  Verbältniss*). 

Für  jede  Tangente  einer  Gurve  dritter  Classe,  we.lche 
die  neun  geraden  Linien  berührt,  welche  drei  Punkte  eines 
ersten  Systems  mit  den  drei  Punkten  eines  zweiten  Systems 
in  derselben  Ebene  verbinden,  ist  das  Produet  der  Entfer- 
nungen von  den  drei  Punkten  des  ersten  Systems  zu  dem 
Produet  dar  Entfernnngen  von  den  drei  Punkten  des  zweiten 
Systems  in  constantem  Yerhältniss. 

Andererseits  liefert  dieselbe  Gleichung  die  Sätze:  Wenn  man  zwei 
gerade  Linien  («=?0,  0^=0)  zieht,  welcUe  eine  Curve  dritter 
Ordnung  je  in  drei  Punkten  schneiden,  und  diese  Schnitt- 
punkte paarweise  durch  drei  neue  gerade  Linien  (n,83sO,  A^^O, 
^=sO)  verbindet,  ao  liegen  die  drei  Schnittpunkte,  welche 


*)  Dieser  8atz  ist  von M.  Terqaemin  seinen  Nouoeil,  JnnaL  Oct  1858  gegeben 
worden  und  es  int  von  ihm  die  damit  zusammenhängende  Verallgemeinerung  der  Re> 
Itttion  der  Doppelschnittaverhältnisue  angefahrt;  M.  Terquem  hat  auch  neuestens 
die  Beziehung  der  Inrohilien  in  ähnltoher  Weise  auf  Curven  und  Oberflächen  höherer 
Ordnung  übertragdii ,  indem  er  von  dem  8  türm*  sehen  Satze  über  die  drei  dem  nftm- 
Kehen  Viereck  umschriebenen  Keg(*I schnitte  ausging.    {NouBell.  AmmL  Mttn  1859.) 

Die  Symbolgleichung  dritter  Ordnung  haben  jedoch  schon  Herr  Plficker  im 
Byatem  der  analytiaehen  Geometrie  und  Kev.  0«  balmon  im  Treaiise  en  the  higker . 
ploHü  eurves  (1852)  zum  Thoil  discutirt.  uigmzea  oy  '«^j^v^-«:  IC 


382  PappuB^  Problem  u.  die  Gesetee  der  DoppelscbnittsyerhältDisse  etc. 


diese  letzterea  auf  der  Carye   feraer  bestimmon^  in   einer 
geraden  Linie. 

Sind  dnrck  awei  Punkte  an  eine  Cnrve  dritter  Glaase  je 
drei  Tangenten  gelegt,  welche  sich  paarweise  in  drei  aeaen 
Punkten  sehneiden,  so  begegnen  sich  die  drei  Tangenten,  die 
man  von  diesen  Punkten  noch  ferner  an  die  Curve  ziehen 
kann,  in  einem  Punkte. 

Unter  der  Voraussetzung,  dass  zwei  der  geraden  Linien  des  zweiten 
Systems  (ajci^a,  ^|Scx0)  in  eine  zusammenfellen ,  begegnen  die  drei  ge- 
raden Linien  a  =  0,  /3  =  0,  ys=0  der  Curve  da ,  wo  sie  diese  Doppellinie 
ft,  c=  0  schneiden ,  in  je  zwei  zusammenfallenden  Punkten  und  sind  somit 
Tangenten  der  Curve,  für  welche  a,=0  die  gemeinschaftliche 
Beriihrungssehne  ist.     Die  Gleichung 

«  .  /S  .  y  =  C  cf,* .  y^ 
lehrt,  dass  die  drei  Pnnkte,  in  denen  diese  Tangenten  die 
Curve  ferner  schneiden,  in  einer  geraden  Linie  liegen  mEs- 
sen*).  Diese  Eigenschaft  ist  auch  eine  Folge  des  allgemeinen  Satzes: 
Wenn  die  Berührungspunkte  von  n  Tangenten  einer  Cnrve 
nten  Grades  in  einer  geraden  Linie  liegen,  so  sind  die  Pnnkte, 
wo  dieselben  die  Curve  ferner  schneiden,  auf  einer  Onrve 
(n  — 2)ten  Grades. 

Für  Curven  dritter  Olasse  heisst  das  Analogon  des  vorigen  Satzes: 
Wenn  von  einem  Punkte  an  eine  Curve  dritter  Classe  die 
drei  Tangenten  gezogen  werden,  so  begegnen  die  drei  von 
ihren  Berührungspunkten  an  die  Curve  ferner  m&glichea 
Tangenten  sich  in  einem  Punkte. 

Denkt  man  die  Berührungssehne  aj  =  D  im  Falle  der  Curven  dritter 
Ordnung  oder  den  Ducohschnittspunkt  «r,  =  0  der  drei  Tangenten  im  Fall 
der  Curven  dritter  Classe  in  unendlicher  Fntfernung,  so  dass  in  beiden 
Fällen  »1  zu  einer  Constanten  wird  und  die  Gleichung  in 

tibergebt,  so  sind  «ssO,  ß  =  0,  ^==0  die  drei  Asymptoten  einer  Curve 
dritter  Ordnung  oder  die  drei  parallelen  Tangenten  einer  Curve 
dritter  Classe.  Die  Gleichung  lehrt,  dass  jene  die  Curve  dritter 
Ordnung  in  drei  Punkten  einer  geraden  Linie  durchschnei- 
den, und  dass  die  Tangenten,  die  man  von  den  Berührnngs- 


.  *)  Dieser  Satz  ist  der  YL  iaMaelaurin^s  Abhandlung  über  die  Gurveii  drit- 
ter Ordnung.  Man  kann  ihn  auch  aus  dein  allgemeineren  Satze  ableiten,  welchen 
M.  Poncelet  in  seinem  Memoire  sur  Vanalyse  de»  transversales  (Grelle' s  Journal, 
VIII,  S.  129)  gegeben  hat:  Wennybn  den  neun  Schnittpunkten  einer 
Linie  dritter  Ordnung  mit  drei  Transversalen  sechs  auf  einem 
Kegelschnitt  liegen,  so  sind  die  übrigen  drei  in  einer  geraden  Li- 
nie enthalten,  ^-^  1 

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Von  Dr,  Wilh;,  FfBDLJBB.  383 

pmnkten  dieser  an  die  Curre  dritter  Olaase  ferner  eiehen 
kann,  sich  in  einem  Paukte  sehneiden.  Wenn  man  endlich  an* 
nimmt,  dass  die  drei  geraden  Linien  des  a weiten  Systems  alle  in  eine  ein- 
sige  attsammenfaUeni  so  dass 

« .  ß .  y  =  C?  •  «/» 
so  sind  a=:0,  ^=0,  /«»O  für  Curven  dritter  Ordnung  gerade 
Linien,  welche  mit  ihr  je  drei  susammenfallende  Punkte  ge- 
mein haben,  {ür  Gnrvea  dritter  Classe  Punkte,  in  welchen  je 
drei  zusammenfallende  Tangenten  an  die  Curve  gelegt  wer* 
den.  Die  Gleichung  lehrt,  dass  jene  drei  Punkte  in  einer  gera- 
den Linie  liegen  und  dass  diese  drei  Tangenten  sich  in  einem 
Punkte  begegnen.  Dass  jede  gerade  Linie,  welche  swei  Inflexions» 
punkte  einer  Curve  dritter  Ordnung  verbindet,  auch  durch  den  dritten  geht, 
ist  der  X.  Satz  von  Maclaurin. 

Alle  diese  Relationen  sind  allgemein  ffir  die  Gurren  drit- 
ter Ordnung  und  Classe,  weil  die  Zahl  der  Constanten  in  den 
sie  darstellenden  Gleichungen  in  keinem  Falle  geringer  ist, 
als  in  der  allgemeinen  Gleichung  dritten  Grades.  Wollte  man 
aber  etwa  yoraussetzen,  dass  an  die  Stelle  des  Symbols  a^  in  der  letzten 
Gleichung  eine  Constante  trete,  oder  dass  die  Curve  drei  Inflexionspunkte 
im  UaendHehen  oder  drei  parallele  Inflexionstangenten  hat,  so  gälte  diesa 
sammt  den  daran  geknüpften  Folgerungen  nicht  mehr  von  Curven  dritter 
Ordnung  oder  Classe  im  Allgemeinen. 

In  der  Reihe  der  speciellen  Fälle  ist  der  einer  der  interessantesten^ 
wo  die  Curve  dritter  Ordnung  zugleich  von  der  dritten  Classe 
ist;  sie  muss  dann  einen  stationären  oder  Rückkehrpunkt  und  eine 
Rückkehrtangente  in  ihm  besitzen.  Man  bezeichne  diesen  Punkt 
durch  j&,  den  Inflexi'onspunkt  durch  A  und  die  in  beiden  Punkten  an  die 
Curve  gezogenen  Tangenten  durch  BG  und  AC  respective ,  das  so  entstan- 
dene Dreieck  betrachte  man  als  Fnndamentaldreieck ,  beziehe  auf  die  Sei- 
ten BC,  CA  und  AB  desselben  die  Punkte  der  Curve  durch  ihre  Coordinaten 
Xj  y,  Zy  wenn  man  Punktcoordinaten  gebraucht,  oder  wenn  man  die  Curve 
als  von  der  dritten  Ordnung  betrachten  will,  und  auf  seine  Ecken  A,  By  C 
durch  ihre  Coordinaten  o:,  y,  z  die  Tangenten  der  Curve,  wenn  man  sie  als 
Curve  dritter  Classe  in  Tangentialcoordinaten  ausdrücken  will.  Dieses 
Dreieck  repräsentirt  in  der  ersten  Voraussetzung  zugleich  zwei  Systeme 
von  drei  geraden  Linien;  das  eine  bildet  die  Verbindungslinie  der  Spitze 
und  des  Inflexionspunktes  ABj  dM  andere  besteht  aus  der  Tangente  ^C*, 
der  Spitze  als  einer  Doppellinie  und  der  Tangente  des  Inflexionspunktes 
AC0  In  der  zweiten  Voraussetzung  repräsentirt  dasselbe  Dreieck  zwei 
Systeme  von  drei  Punkten;  das  eine  bildet  der  Durchschuittspunkt  C  der 
Inflexionstangente  mit  der  Tangente  der  Spitze,  das  andere  besteht  aus 
dem  Inflexionspunkt  A  und  der  Spitze  B. 

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384  Pappus'  Problem  u«  die  Oesetse  der  Doppelschnittsver'hältmsse  ete. 


Darnaeh  erscfaeiiit  unt^r  beiden  Annahmen  die  GleitshaBg 
der  Curve  nothwendig  in  der  Form 

a;«y  ±=:  (?«», 

wo  C  eine  Constante  bedeutet.  Wenn  übrigens  diese  Gleichnng  die 
nämliche  Curve  einmal  in  Punkt-,  das  andere  Mal  in  Liniencoordinaten  be- 
deutet, so  entsprechen  der  Constanten  zwei  verschiedene  Werthe. 

Für  diese  Curven  hat  Mr.  G*.  Salmon  eine  sehr  elegante  Methede 
gegeben,  Punkte  oder  Tangenten  derselben'  d«rch  eine  einzige  VerlUider«^ 
liehe  auszudrtLcken,  und  durch  dieselbe  mehrere  allgemeine  auf  diese  Cur* 
ven  bezügliche  Aufgaben  gelöst*). 

Später  hat  Rev.  Lawr.  Smith  über  die  Polarkegelsehnitte  derselben 
eine  Abhandlung  Teröffentlicht**). 

Ich  erwähne  nur,  dass  man  die  Mittelpunkte  dieser  Curven 
auf  sehr  einfache  Art  construiren  kann. 

Als  Gurre  dritter  Ciasse  besitzt  jede  derselben  einen  einzigen  Mittel- 
punkt*'**), welcher  der  punktförmige  Pol  der  unendlich  entfernten  geraden 
Linie  in  der  £bene  der  Curve  ist.  I>a  die  Gleichung  dieses  Pole  einer 
geraden  Linie  allgemein  durch ' 

'(S).+Km+'(S).=» 

ausgedrückt  wird,  wenn  U^^O  die  Gleichung  der  Ounre  bedeutet,  und 


/dü\       /dü\       /dü\ 
Kdxji      \dy)i      \dz)i 


die  Bubstitutionsresultate  von  arj ,  ^i ,  z,  als  Coordinaten  der  geraden  Linie 
ffix  X,  y,  z  in  die  entsprechenden  partiellen  Di£Perentialquotienten  sind,  so 
ist  für  die  Gleichnng 

x*y  —  Cz'  =  0 
die  Gleichung  des  punktförmigen  Pols  der  geraden  Linie  x, « ^i ,  ^i 
2XiyiX+  x^^y  —  *C2,*2  =  0. 
Liegt  diese  gerade  Linie  in  unendlicher  Entfernung^  so  ist  dr|=y,ss  2^ 
und  die  Gleichung  ihres  Pols  wird  zur  Gleichung  des  Mittelpunktes 

2a? +y  — aC2==0. 
Man  construirt  diesen  Punkt,  indem  man  die  Strecke  AB  in  D  so  theilt,  dass 

jpjT  ==  —  I ,  und  auf  der  Verbindungslinie  von  D  mit  dem  Punkte  C  den 

Ttrn 

Punkt   M  so  bestimmt,   dass    -rr^^^  —  C;  oder  man  bestimmt  auf  ^C  den 

Punkt  E  so,  dass  -— sa3(7,  und  erhält  M  als  Durchscbnittspunkt  von  CD 
und  BE. 


*)  Higher  plane  cwrves ,  8.  165  f. 
•♦)  Quarterly  Journal,  May  1858,  S.  327  f. 

***)  Theorie  der  Pole  und  Polaren  o.  s.  w.   Diese  Zeitschrift,  Bd.  IV,  Heft  2, 
S.  129. 


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Van  Dr.  Wilh.  Fibdlbb.  385 

Man  sieht  daraus,  data  die  Mittelpniikte  aller  CulrTes 
dritter  Glasse,  die  zugleich  dritter  Ordnung  sincl,  und  die 
die  Gleichang 

darstellt,  in  einer  nnd  derselben  geraden  Linie  CD  llegeni 
V.elche  den  Durehschnittspnnkt  der  Kückkehrtangente  nnd 
der  Inflexionstangente  mit  dem  Punkte  verbindet,  der  die 
gerade  Strecke  zwischen  dem  Inflexionspnnkt  und  derflpitae 
in  dem  YerhUltnisfl  «— ^.^^^U^*  ^^^  Lage  des  Mittelpunktes 
aof  dieser  Linie  hängt  von  der  Gröisse.der  Constanten  C  ab« 
So  lange  sie  positiv  ist,  liegt  er  innerhalb  der  Strecke  C7i>; 
ist  sie  negativ  und  grösser  als  1,  so  liegt  er  ausserhalb  der- 
selben auf  derSeite  von  C,  und. für  negative  acht  gebrochene 
Werthe  auf  der  Seite  von  /};  fttr  C^s:  —  1  in  nnendlieh^r Ent*' 
fernung.. 

Indem  man  die  Curve  als  von  der  dritten  Ordnung  betrachtet  nnd  die 
Oleiohnng 

anfPunktcoordinaten  bezieht,  erhalt  man  durch •  dieselbe  aUgemeine  Sym- 
bolgleichung 

,  ,  ^(S),+<h'(£).=» 

die  gerade  Polare  des  Punktes  x,  y,  z  in  der  Form 

2^1  y, »  +  Äi*y  —  3  Czi*;j;  =3  0. 
Die  Pole  der  geraden  Linie 

.    .  «fl5  +  6y  +  <?*==^ 

sind  alsdann  durch 

a         b  € 

bestimmt  und  die  Pole  der  unendlich  entfernten  geraden  Linie ,  d.  h.  die 
Mittelpunkte  der  Curve  dritter  Ordnung  durch 

2ary_  x*   _      ZCt} 

sina      sinß  $iny^ 

weil  für  diese  unendlich  entfernte  gerade  Linie 

a  :  6  :  c  s=  JW  er :  m  /} :  at /t  y 
ist     Diese  Bedingung  liefert  aber  zur  Bestimmung  der  Mittelpunkte  die 
swei  Gleichungen 

2y  sin  ß=six  sina  und  af*my  +  3C2*<«iß  =  0, 
Die  erste  von  beiden  ist  genau  die  Linie  CD  der  vorigen  Con^ 
Btruction;  in  derselben  liegen  daher  auch  die  Mittelpunkte 
aller  in  der  gegebenen  Gleichung  enthaltenen  Curven  drit- 
ter Ordnung.  Ihre  Lage  in  dieser  bestimmt  sich  durch  die 
Constante  (7,  denn  die  zweite  Gleichung  repräaentirt  z^iyb£^'#iQj«^9(l 


886  Pappns'  Problem  u«  die  Gesotse  der  Döppelflchnittsverhältnisse  etc. 


'WN»»»»»%^^^</»<»^rf^»»<N/%«'WN^V><'»^W^>\^>^»^%»^»i^«i<S<^»^«Wi^»#i>^>.<>l^^^^i^i^,^\^l»^i\^^|S,«<^<^.»>^.<N<S«^'N^«^>'< 


=  ±/5 


dareh  den  Paokt  Bj  welche  mit  4?  =s  0  and  z'=  0^  d.  k.  mit  BA  und  B€  ein 
harmonisches  Büschel  bilden^ dem  das  TheilangSTerhältniss 

^ZCsinß 
sin  u 

entspricht*  Man  sieht  leicht,  dass  die  Parabel -Evolnte  oder  die 
NeiTsche  Parabel  eine  besondere  Curve  dieser  Art  ist;  ihre  Gleichung 
pa^=:=:z*  lehrt,  dass  ihr  besonderer  Character  darin  besteht,  dass  die 
tinendlich  entfernte  gerade  Linie  die  Cnrye  im  Inflexions- 
punkte  berührt,  dass  aho  dieser  selbst. im  Unendlichen  liegt;  ihre 
Bpitfee  liegt  im  Coordin&tenanfang  und  die  Achse  der  x  ist 
die  Bückkehrtangente. 

Für  die  Cubische  Parabel 

liegt  dagegen  die  Spitze  unendlich  entfernt  und  der  Inflexions- 
punkt  im  Anfangspunkt  der  Coordinaten;  er  ist  auch  der 
Mittelpunkt  der  Curve. 

Indem  man  zum  allgemeinen  Fall  zurückkehrt,  erkennt  man,  dass  alle 
die  früheren  Gleichungen  Gorrelata  des  Satzes  von  Pappus  für  Curven 
dritter  Ordnung  und  Classe  liefern,  von  denen  hier  nur  die  folgenden  zwei 
angeführt  sein  mögen : 

Für  jeden  Punkt  einer  Curve  dritter  Ordnung  ist  das 
Product  seiner  Entfernungen  von  den  drei  Asymptoten  der 
Curve  in  con^stantem  Verhältniss  su  seinem  Abstand  von  der 
Verbindungslinie  der  drei  Punkte,  wo  diese  der  Curve  fer- 
ner begegnen*). 

Für  jeden  Punkt  einer  Curve  dritter  Ordnung  ist  das  Pro- 
duct der  Entfernungen  eines  Punktes  von  den  Tangenten 
der  drei  Inflexionspunkte  zu  dem  Cubus  seiner  Entfernung 
von  der  Verbindungslinie  dieser  letzteren  in  constantem 
Verhältniss. 

Alle  diese  Sätze  lassen  sieh  nun ,  ganz  ebenso  wie  es  oben  mit  dem 
Satze  von  Pappus  und  seinem  reciproken  geschehen  ist,  in  constante  Re- 
lationen zwischen  den  Siniks  der  Winkel  eines  Strahlenbüschels  an  dem  die 
Curve  durchlaufenden  Punkte  übertragen,  welches  von  den  Verbindungs* 
linien  dieses  Punktes  mit  den  die  Basis  der  Curve  bildenden  neun  festen 
Punkten  zusammengesetzt  wird,  oder  in  constante  Relationen  zwischen  den 
Längen  der  Segmente  zwischen  den  Punkten  einer  Reihe  auf  der  die  Curve 
umhüllenden  Tangente,  welche  von  den  nenn  festen  Tangenten,  die  die 
Basis  der  Carve  bilden ,  in  ihr  bestimmt  werden.  Ich  werde  die  allgemei- 
nen Relationen  für  die  Strahlenbüschel  und  Punktreihen  bei  der  Curve 


*)  H.  Plucker  hat  diese  gerade  Linie  durch  S  bezeichnet  nnd  sie  in  seiner 
dassiAciition  der  Curven  dritter  Ordnung  aar  Bildang  der  Gruppen  benati^^  ^^ 


Von  Di*.  Wilh*  Fiedlbb»  387 

dritter  OrdnuBg  und  der  Carvo  dritter  Glasse  entwickeln ,  ohite  aber  Mi 
die  mannichfachen  speoi eilen  Fälle  einzagehen,  die  «ich  aus  ihnen  ableiten 
lassen. 

Dazu  bezeichne  ich  mit  «,',  a,",  a,'"  die  drei  Pankte,  in  denen  die  drei 
geraden  Linien  des  zweiten  Systems  respective  die  erste  gerade  Linie  de« 
ersten  Systems  schneiden,  mit  p  einen  Punkt  der  bezüglichen  Carve  dritter 

Ordnung  und  mit  Aj  die  senkrechte  Entfernung  desselben  von  jener;  dann  ist  ^ 

Äf    ff 

sma^pa^  sä—? ;?- 

a^p  .a^  p 

und  ebenso: 

sm üi  pOi   =  -7- 757-,    «na,  pa  =    l, 

und  das  Product  dieser  drei  Oleichnngen  liefert :  ' 

«na,pa,  .««aji^ai   .«naj  pa^  « — ...^   _-L^^,._^j^ — . 

«iP  '«I  P  -flj  P 
Sind  alsdann  die  Schnittpunkte  der  geraden  Linien  des  zweiten  Syatemi 
mit  der  zweiten  und  dritten  Geraden  d^s  ersten  respeetive  a^^  a^\  a^"  und  ' 
a/y  a^\  a^"  und  die  entsprechenden  Entfernungen  des  Punktes  p  ron  diei> 
aen  zwei  geraden  Linien  \  und  h^^  so  ergeben  sieh  die  entspreekendea 
Sinusproducte :  ^ 

sma^pa^  .sma^pa^   .sma^  P«t  ^=5 ii-,^,    .— -,    _ -—, — , 

«tP  -fliP  '«t  P 

stna^pag  .stna^  pa^   .«wo.   »ö.  =  — —  -- —  _      > 

•**•  •*"  •*•  ^  s       jf  j       ,„  I 

«bP  •«, /)  -11,  p 
Um  die  entsprechenden  Froducte  für  die  drei  geraden  Linien  des  zwei- 
ten Systeme  zu  bilden,  ist  nnr  nöthig,  die  drei  Entfernnngen  dieser  Linien 
vom  Punkte  p  als  iT, ,  H^y  JT,  respective  einzuführen ,  dann  ist  für  die  erste 
Linie  des  zweiten  Systems,  als  welche  die  Punkte  a/,  a,',  «,'  enthält, 

sin  a^pa^  ,  sm  a^pa^  .  sin  a^pa^  =z  — ^    T^    —-^ 

«iP   *^tP  'OlP 
und  ebenso 

rj  %  ff      tt  tt       $f  tf      n 

m  a/  pa^  .  stn  a^  pa.  .  ««  a.  pa,  =    '      '    '      *    '      '    '  , 

«1  p  '  o^  p  '  (^z  p 

««fli   pfl,    .5m  ff,  pa,    .ma,  pa,    ^-= ^^,    — -«  -^^^^t • 

«1   P  •«!   P  -«8   P 
Wenn  man  diese  letzten  drei  Producte  multiplicirt  und  damit  in  das 
aus  den  drei  auf  die  ersten  drei  geraden  Linien  bezüglichen  Ausdrücken 
gebildete  Prodtict  dividirt ,  so  erhftlt  man  für  die  Sinusrelation 

; — ; — r — ; — ; — : :; — 7 — : n — jt — : n — 77—, r» — ?? — . rr,-  ~„~~ ~f — '—, — : m — tf*   ) 

den  folgenden  Ausdruck: 

•»  Zur  Abkürzmig  ist  überall  der  Scheitel  ./i  aus  der  liczeicbuung  der  Winkel 

wegguluisen.  uigmzea  oy  v-JV^'v^'^lC 


388  Pappns'  Problem  n»die  Gesetse  der  Doppelachnittever^iftltnisse  etc. 

(»»»..  t       M  t»       rf9  f»t       t  t       *t  ff       t*t  ff»       f  f       ft  ft       t»t  ff       # 

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aip  'Qt  p  -a^  p  -a^p  '<hP  -a^  p  -a^p  -a^p  -a^  p 

Von  den  drei  Factoren  dieses  Ausdrucks  sind  aber  die  beiden  ersten  für 

alle  Lagen  des  Punktes  p  auf  einer  und  derselben  Curve  dritter  Ordnung 

Unveränderlich,  der  dritte  ist  der  Einheit  gleich  und  man  erhält  den  Satz: 

Wenn  eine  Cnrve  dritter  Ordnung  durch  die  neun  Punkte 

f  ft  »tf  r  ff  in  f  ff  ftt  1.  X        •  J  •  ö  i 

^1 9  ^1  1  ^1  I  ^t  f  ^t  9  ^t  )  ^8  9  ^s  t  ^3  goht,  in  denen  ein  System  yon 
drei  geraden  Linien  durch  ein  ^weites  System  solcher  drei 
geraden  Linien  geschnitten  wird,  so  ist  für  alle  Punkte  p 
dieser  Curve: 

_•        _    '_    '*      ^S "_*"_•  fff         f  m  t         f»  ,  ff         ff»  ,        ^   »ff         f  ,  t         ff         ,  ff        ffl         m  fff         m 

^n  a{a^.  sin  a^a^.  sih  a^a^,  sin  al'a^\  sin  a^ '«,".  sina^'a^.  sin  u^a{^.  sin  tt^a^\  sin  a^a^ 

=:zconst. 
Diese  constante  Fttnction  ist  aus  zwei  Producten  von  Sinne 
gebildet,  deren  eines  sich  au?  das  erste,  das  andere  auf  das 
zweite  System. der  geraden  Linien  bezieht;  jedes  derselben 
et^thäit  als  Factoren  die  Sinus  der  neun  Winkel,  unter  denen 
die  auf  der  Geraden  des  einen  Systemes  von  denen  des  an- 
dern gebildeten  Segmente  von  dem  Curvenpunkte  aus  ge- 
sehen werden. 

Der  Ort  der  Scheitel  aller  Strahlenbüschel  mit  unverän- 
derter Basis,  fttr  welche  dieses  Gesetz  erfüllt  ist,  ist  eine 
Curve  dritter  Ordnung,  der  die  Basis  angehört;  und  durch 
jeden  speciellen  Werth  dieser  Function  ist  eine  dieser  Cur- 
ven  individualisirt. 

Ich  bezeichne  ferner  durch  a/,  ai",  a"'  die  drei  eeraden  Linien,  welche 
den  ersten  Punkt  des  ersten  Systems  mit  den  Punkten  des  zweiten  verbin- 
den, und  zugleich  auf  dieselbe  Weise  die  Punkte,  wo  diese  Linie  von  einer 
beliebigen  Tangente  p  der  Curve  dritter  Classe  geschnitten  werden,  die 
man  betrachtet;  desgleichen  mit  a,',  a^",  Qf"  und  a^\  ai'\  a^"  die  Linien, 
die  den  zweiten  und  dritten  Punkt  des  ersten  respective  mit  den  Punkten 
des  zweiten  Systems  verbinden  und  zugleich  die  Punkte,  wo  diese  Linien 
derselben  Tangente  begegnen;  endlich  durch  Ai\  /i,,  A,  die  Entfernungen 
der  Punkte  des  ersten  und  durch  JSt ,  B^^  H^  die  der  Punkte  des  zweiten 
(Systems  von  dieser  Tangente. 

Alsdann. ist  das  auf  dieser  Tangente  von  den  geraden  Linien  a,',  <x/' 
bestimmte  Segment 

a  'a  "=       ^1  .  sin  (g/,  a^") 

sin  {ax\  p)  .  sin  {at\  p) 
und  das  Product  der  drei  durch  die  vom  ersten  Punkte  des  ersten  Systems 
ausgehenden  geraden  Linien  auf  dieser  Tangeute  bestimmten  Sogisea^ 


Von  Dr«  WiLH.  Fiedl;b«*  889 

y.  'y.  '^     -  "^  '"     ^  '">.  ' A|*.  fi«  (g/,  flj'^  .  #1«  (C|^,  «/")  *  *^  («/"»  «1*) 

Analoge  Prodokte  liefern  die  vom  zweiten  und  dritten  Punkte  des  ersten 
Systems  ausgebenden  Geraden,  und  dnrcb Multipltcatien  dieser  drei  Pro* 
ducte  erhält  man  das  Prodnct  aller  der  Segment«,  welche  die  von  den 
Punkten  des  ersten  Systems  ausgehenden  geraden  Linien,  d«  h.  die  Tangenten 
der  dürre  Tom  ersten  System  anf  der  ▼erftnderlichen  Tangente  p  bestimmen« 

Auf  gleiche  Weise  bildet  man  das  Product  aller  in  ihr  von  den  Tangen* 
ten  des  zweiten  Systems  bestimmten  Segmente;  der  erste  Factor  desselben  ist 
-'«'«'..'  ^'^'^    ^/«  ^  (g|\  gf')  -  sin  (g/,  ftf)  .  gm  {a^, a/) 
^    "     •   *  *w«(Ä,,/>).««»(a,,/>).m*(«,,p) 

Der  Quotient 

der  beiden  so  gebildeten  Segmentonproducte  liefert  einen  Ausdruck,  der 
ftus  einem  constanten  Theile  und  einem  der  Einheit  gleichen  Theile  be- 
steht.   Der  erstere  ist: 

\H^H^H^)  *     gtu («I ,  ffj ) .  «in  («'f  *f*^)-  »in  {a^ ,  n/) 

•  nh  (ä/'.  O  .  «in  (V.  «•") .  «V,  C«,",  O  •  ^  (O  O  .  *w  (««'".«.'").  «11(11,'",  O » 
der  letztere : 

«111'  (<?;,  p) .  sin^  Ol,^  p)  .  ^m«  (a;,p) .  si^  ia;\  p) .  sin^  {a^,p) ,  sJnF  (a^",  p) 

Min^  (fl/,  p)  .  sin*  («i",  p)  •  «i*  (V-  P)  •  «*«*  i^t»  P)  •  *'»'  («t">  P)  •  «^  («t'"»  J»)  * 

«w«  (flt"',  p) .  «fa«  (tf,"^,  p)  .  «fa'  (af\  p) 

'  ^{iH.p).^{a^\p)^^{ar,p)    • 

Man  erhält  so  eine  charakteristische  constante  Function  der 
Segmente,  welche  von  Jenen  neun  Verbindungslinien  der 
drei  Punkte  des  ersten  mit  jenen  des  zweiteVi  Systems  auf 
einer  beliebigen  Tangente  der  Cur re  dritter  Classe  gebildet 
werden;  sie  ist  der  Quotient  zweier  Producte,  deren  jedes  auf  eins  der 
beiden  Punktsysteme  sich  bezieht  und  drei  Faetoren  enthält  nach  der  Zahl 
der  Punkte  in  jedem  System;  jeder  dieser  Faetoren  ist  das  Product  der 
drei  Segmente,  welche  von  den  Verbmdungsiinien  dieses  Punktes  mit  d^ 
nen  des  zweiten  Systems  auf  der  Tangente  bestimmt  werden. 

Die  Enyeloppe  aller  der  geraden  Punktreihen,  für  wel- 
che bei  unveränderter  Lage  der  beiden  dreipunktigen  Sy^» 
Sterne  diese  Function  einen  constanten  Werth  behält,  ist 
eine  durch  diesen  Werth  obaracteristisch  bestimmte  Curva 
dritter  Classe« 

Es  werden  somit  auch  die  Btisehel  von  neun  Strahlen  an  den  Punkten 
der  Curven  dritter  Ordnung  und  die  Reihen  ven  neun  Punkten  auf  den 
Tangenten  der  Curvea  dritter  Classe  durch  ein  Gesetz  der  Constanz  einer 
gewissen  einfach  zu  bildenden  Function  der  Sinus  der,|^^l^>^n^l|5^^ 


390  Pappus'  Problem  u*  die  GesetKe  der  DoppeUchnittsverhältnisse  etc. 


ihren  Strahlen  oder  der  Segmente  zwisdhea  ihren  Punkten  beherrscht,  so- 
fern nur  das  Punkte-  oder  Liniensystem ,  welches  die  Basis  der  Curve  bil- 
det, aaf  die  hier  vorailsgenetate  Weise  bestimmt  Ist;  und  diese  characte- 
ristischen  Fanctiouen  sind  offenbar  durch  die  grössere  Zahl  ihrer  Strahlen 
oder  Punkte  einer  weit  grossem  Beihe  von  Particularitäten  fähig  als  dio 
entsprechenden  Functionen  bei  den  Kegelscfanittea.  Man  steht  sich  anf- 
gefordert,  analog  den  Eigenschaften  der  Kegelschnitte,  die  man  die  anhar- 
monischen genannt  hat,  Eigenschaften  der  Cnrven  dritter  Ordnung  and 
dritter  Classe  durch  eine  Untersuchung  derselben  au  entwickeln. 

Hier  liegt  mir  die  Bemerkung  näher,  dass  alle  vorhergehenden  £nt- 
wickelungen  sich  auf  Symbolgleichungen  der  Formen 

a./J.y  ,d  =  (7.a,  .ft.  y,  .  d| 
and 

a  .  j3  .  y  .  2 .  e  =  C  a|  .  j^i .  yi .  Ji  .  «1 

leicht  ausdehnen  lassen,  dass  sie  also  analoge  Eigenschaften  und 
entsprechende  charakteristische  Functionen  für  die  Curven 
des  vierten  und  fünften  Grades  und  der  vierten  und  fünften 
Classe  liefern.  Die  Allgemeinheit  solcher  Gleichungen  hört  nur  da  auf, 
wo  die  Zahl  der  Coefficienten,  über  die  man  in  ihnen  verfügen  kann,  nicht 
die  Zahl  der  Coeffiaienten  erreicht,  welche  die  allgemeine  Gleichung  des 
entsprechenden  Grades  enthält.  So  darf  man  z.  B.  in  der  Gleichung  des 
vierten  Grades,  ohne  die  Allgemeinheit  zu  verlieren,  zwei  der  geraden  Li- 
nien des  einen  Systems  zusammenfallend  annehmen,  so  dass  sie  die'Form. 
annimmt : 

'  a .  ^  .  y .  4  =  C  «1*.  yj .  dj. 
Na.n  sind  <i;==:09  /3=sO,  y=:0,,d  =  0  die  Tangenten,  welche  in 
den  auf  der  geraden  Linie  at=0  gelegenen  vier  Punkten  an 
d4e  Carve  gezogen  werden  können,  und  mau  sieht,  dass  die 
acht  Punkte,  in  denen  diese  der  Curve  noch  ferner  begegnen, 
dem  durch  die  Gleichung 

dargestellten  Orte  angehören  müssen,  d.  h»  dass  sie  in  einem 
Kegelschnitte  liegen. 

Die  den  Curven  vierter  Ordnung  entsprechende  constante  Function 
der  Sinus  besteht  im  Zähler  und  Nenner  aus  vier  Factoren ,  deren  jeder 
sechs  Sintis  enthält,  ist  also  der  Quotient  aweier  Prodncte  von  je  vierund- 
Bwanzig  Sinus,  and  entsprechend  bei  den  Curven  vierter  Classe  der  Quo- 
tient zweier  Producte  aus  je  vierundzwanzig  Segmenten;  für  die  fünfte 
Ordnung  und  Classe  iat  die  Zahl  der  Sinus  oder  Segmente,  welche  jedes 
dieser  Producte  zusammensetzen ,  fünfzig. 

Wie  bereits  M.  Terquem  am  angeführten  Orte  bemerkt  hat,  lassen 
sieh  analoge  Sätze  auch  im  Räume  aussprechen.   DifigDiQ^|^l^a,jp@t^Anwen« 


Von  Dr.  WiLB.  FiBDLER.  391 


dting  dürfte  fttr  dlMelbeo  in  der  Theorie  der  OherflKohen  dritter  Ordnuof 
möglich  sTein;  für  diese  gilt  allgemein  der  Sats: 

Hat  man  zwei  Systeme  von  drei  Ebenen)  so  gehen  dnr^h 
die  nenn  geradem  Linien,  in  denen  die  Ebenen  des  ersten 
Systems  die  des  aweiten  durchschneiden,  nnendlich  viele 
Oberflächen  dritter  Ordnung;  sie  sind  dargestellt  dnreh  die 
Gleichung 

A.B.  C=zeon9i.  A^.B^.C^y 

in  welcher  --^  =  0,  ^s=0,  C==0  und  ^j  =  0,  J^j=0,  (7,=0  re- 
spective  die  drei  Ebenen  des  ersten  und  des  zweiten  Systems 
reprftsentiren.  Es  geht  aus  der  Zählung  der  Constanten  her- 
vor, dass  jede  Oberfläche  dritter  Ordnung  analytisch  ih 
dieser  Form  ausgedrückt  werden  kann.  Für  alle  Punkte 
einer  solchen  Oberfläche  ist  das  Product  der  Entfernungen 
von  den  drei-Ebenen  des  ersten  Systems  zu  demProduct  der 
Entfernungen  von  den  drei  Ebenen  des  zweiten  Systems  in 
constantem  Verhältniss. 

Für  die  Oberflächen  dritter  Ordnung  ist  dieser  Satz  mehr  als  eine  rein 
analytische  Belation,  denn  es  ist  bekannt  und  leicht  zu  beweisen,  dass  auf 
einer  jeden  ^Oberfläche  dritter  Ordnung  gerade  Linien  gezogen  werden 
können,  und  dass  dies  eben  unter  allen  höhern  Oberflächen  nur  den  Ober- 
flächen dritter  Ordnung  allgemein  eigen  ist.  Ich  erinnere  an  den  schönen 
Satz,  nach  welchem  jeder  Oberfläche  dritter  Ordnung  sieben- 
nndzwanzig  gerade  Linien  angehören,  über  welchen  in  derletzteÄ 
Zeit  von  so  vielen  namhaften  Oeometern  —  ich  nenne  die  Herren  Hart, 
Steiner,  Salmon,  Cayley,  Brioschi,  Schläfli  —  gehandelt  word^ 
ist;  er  steht  in  nahem  Zusammenhang  mit  der  angegebenen  Beziehung. 

Ich  kehre  aber  zu  den  Curven  zurück,  um  noch  eine  andere  Reihe  von 
Ergebnissen  der  allgemeinen  symbolischen  Gleichungen  zu  erörtern;  dabei 
unterdrücke  ich  die  Beziehung  auf  die  Curven  der  entsprechenden  Classen 
als  selbstverständlich. 

Man  verbinde  mit  der  Symbolgleichung  der  dritten  Ordnung  ' 

tf  •/}./  =  C.  0| .  /}| ••  /i 
die  andere 

a .  /J  =  C, .  «1 .  /J, , 

welche  einen  Kegelschnitt  durstellt,  der  durch  diejenigen  vier  von  den 
neun  Basispunkten  der  Curve  dritter  Ordnung  geht,  welöhe  den  geraden 
Linien  «=^0,  /9=80  und  a|&2:0,  /)i&sO  angehi^en;  man  siebt  sofort^ 
dass  die  zwei  Punkte,  welche  dieser  Kegelschnitt  mit  der  Cnrve  dritter 
Ordnung  ferner  gemein  hat,  der  Gleichung 

^~Ci'^^  Digitized  by  GoOglC 


99%  Pappus' Problem  u^die  GeBotse  der  Ddj^elschnittsverh&ltnisse  etc. 

genügeo  milisen,  d.  h*  dasB  sie  stets  mit  dem  Darehsehnittapunkt  der  der 
Basis  der  Garve  luigehörigen  geraden  Linien  y  =  0,  ^|  csO  in  ^einer  gera- 
den Linie  liegen  müssen.    Man  hat  so  den  Sats : 

Wenn  eine  Cur ve  dritter  Ordnung  darck  die  nenn  Schnitt- 
pnnkte  zweier  Systeme  von  je  drei  geraden  Linien  gelegt 
ist,  so  -wird  sie  Von  jedem  Kegelschnitt,  der  einem  ans  vier 
von  jenen  geraden  Linien  — je  zwei  aus  einem  System  —  ge* 
bildeten  Viereck  umscfarieben  ist,  in  zwei  ferneren  Punkten 
geschnitten,  deren  gerade  Verbindungslinie 'stets  durch  den 
festen  Punkt  derCurve  geht,  in  welchem  die  jenem  Viereck 
nicht  angehörigen  geraden  Linien  beider  Systeme  sich 
schneiden*). 

Auf  solche  Weise  correspondirt  dem  Büschelyon  Kegel- 
schnitten, welches  durch  jene  vier  Punkte  bestimmt  ist,  ein 
StrahienbUschel  um  den  angegebenen  Punkt,  lyid  zwar  so,  dass 
jedem  Kegelschnitt  des  Büschels  ein  Strahl  und  jedem  Strahl  ein  K^el- 
schnitt  und  nur  einer  entspricht.  Das  Entsprechen  zwischen  dem  Strahlen- 
büscbel  und  dem  Büschel  von  Kegelschnitten  ist  somit  ein  anharmonisches, 
ein  Entsprechen  nach  gleichem  Doppelschnittsverhältniss.  Der  Ort  der 
Durchschnittspunkte  correspondirender  Elemente  beider 
Büschel  ist  die  Curve  dritter  Ordnung.  * 

So  kehrt  das  Doppelschnittsverhältniss,  welches  für  die  Oebilde  erster 
Ordnung,  die  Strahlenbüschel  and  Punktereihen,  einer  zusammengesetzteren 
Function  gewichen  war,  als  Gesetz  bei  Gebilden  einer  höheren  Ordnung 
aorück,  die  wie  jene  die  Curve  erzeugen. 

Wenn  ebenso  die  Symbolgleichungen 

a  •/}./.  d  =  C  Ol ./}].  /i .  d| , 
c  .  ^  ,  y  =  C,  .  a^  .  ft  .  yi 
mit  einander  verbunden  werden,  deren  erste  eine  Curve  vierter  Ordnung 
durch  die  sechzehn  Punkte  darstellt ,  wo  das  System  der  vier  geraden  Li- 
nien «=0,  ^==0,  y=0,  d=0  von  dem  andern  System  a,  =0,  /J|=0, 
y^rr^O,  d,=0  geschnitten  wird,  und  deren  zweite  eine  Curve  dritter  Ord- 
nung durch  die  neun  Schnittpunkte  der  geraden  Linien  tf=:=0,/9=0,  y=0 
mit  denen  «1  =  0,  /9i'=0,  ^,=0  bezeichnet,  so  erkennt  man,  dass  die  drei 
Punkte,  welche  beide  Curven  ferner  mit  einander  gemein  haben  mttssen, 
dem  Orte 

'=!•'■ 

angehören  und  daher  immer  in  einer  geraden  Linie  liegen,  welche  durch 


*)  Dieser  Satz  findet  sich  bereits  in  Mr.  Salmon*8  Bigher  plane  curves  (1852);  et 
nennt  den  Pankt  (/t/i)  ^6"  ,.poini  opposite**  der  vier  gegebenen  Punkte.  —  Mr. 
ChasleB  gab  ihn  in  anderer  Gestalt  in  dem  XIV.  Bande  der  Nouu.  annal.  1855  als 
eine  Aufgabe;  sie  rief  eine  schöne  analjtuche  Auflösung  darckiHßDiri^t^'clki^hGrvor. 


Von  Dl».  WiLH*  Fiedler.  393 

den  Punkt  geht,  in  dem  die  geraden  Linien  i^ssO,  j,  =0  sieh  sckneidenv 
die  zur  Basis  der  Curve  dritter  Ordnung  nicht  gehören..  Durch  jene  neun 
Punkte  gehen  unendlich  Tiele  Curven  dritter  Ordnung  nnd  jeder  ron  ihnen 
entspricht  auf  diese  Weise'  ein  bestimmter  dur^h  den  ohen  bezeichneten 
Punkt  gehender  Strahl  und  umgekehrt  jedem  dieser  Strahlen  eine  einzige 
Ton  jenen  Curven  dritter  Ordnung.  Demnach  bilden  diese  Curven 
ein  Büschel,  dessen  einzelne  Elemente  denen  des  Strahlen- 
büsehels  nach  gleichem  Doppelscknittsverhältniss  entspre«- 
chen;  der  Durchschnittsort  entsprechender  Elemente  beider 
Bttschel  ist  die  Curve  vierter  Ordnung* 
Bezeichnet  man  dagegen  durch  * 

einen  der  Kegelschnitte ,  die  dem  Viereck  aus  den  geraden  Linien  ir  =2  0, 
ßs=Oy  i»|=:^0,  /3i=50  umschrieben  sind ,  so  schneidet  derselbe  die  Curve 
vierter  Ordnung  in  ferneren  vier  Punkten,  welche  noth wendig  dem  Kegel- 
schnitte 

angehören;  und  man  sieht,  dass*  die  Curve  vierter  Ordnung  der 
Durehschnittsort  der  homologen  Elemente  zweier  Büschel 
von  Kegelschnitten  ist,  zwischen  deren  Basen  jene  ^wei  Sy- 
steme.von  vier  geraden  Linien,  welche  die  Basis  der  Curve 
vierter  Ordnung  bilden,  so  vertheilt  sind,  dass  jede  zwei  aus 
jedem  Systam  enthält  und  keine  von  allen  beiden  gemein- 
sam ist. 

Ich  breche  hier  ab ,  denn  das  Gegebene  ist  völlig  hinreichend ,  um  zu 
sehen ,  wie  ans  diesen  einfachen  Betrachtungen  die  Orundlagen  der  schö- 
nen Erzeugungsmethoden  der  algebraischen  Cnrven  hervor- 
geben, durch  welche  Mr.  Chasles  nnd  andere  Forseher  die  reine 
Geometrie  in  der  letzten  Zeit  bereichert  haben.  Auf  die  allgemeine 
Begründung  derselben  für  Curven  aller  Grade  und  Glassen ,  sowie  auf  ihre 
specielle  Ausbildung  zu  linearen  Constrnctionsmethoden  der 
durch  die  hinreichende  Anzahl  von  Punkten  oder  Tangenten 
bestimmten  Curven  dritter  und  vierter  Ordnung  oderClasse 
gedenke  ich  nächstens  in  dieser  Zeitschrift  ausführlich  zurückzukommen. 
Ueberall  spielen  in  diesen  Methoden  Büschel  von  Curven,  welche  andern 
solchen  Büscheln  nach  gleichem  Doppelscknittsverhältniss  entsprechen,  die 
Rolle  der  Generatoren ;  unter  allen  solchen  Büscheln  ist  das  erste  und  ein- 
fachste und  zugleich  das  für  die  Curven  dritter,  vierter  und  fünfter  Ord- 
nung wichtigste  das  Büschel  der  demselben  Viereck  umschrie- 
benen Kegelschnitte.  Obgleich  man  von  diesem  interessanten  System 
eine  grosse  Zahl  höchst  merkwürdiger  Eigenschaften  kennt,  so  ist  doch 
meines  Wissens  nach  keine  zusammenhängende  Untersuchung  des§db^ 

«  ZeiUchrin  f.  Mathematik  a.  Physik.  V«  27 


394  Pappus'  Problem  u.  die  Gesetze  der  Doppelechnittsverhältnisee  etc. 

veröffexttlicht  wordeo«  Und  doch  scheint  die  Bemerkung ,  dass  eine  allge« 
meine  Gleichung  zweiten  Grades  in  Cartesischen  Coordinaten  ein  solches 
System  darstellt,  wenn  man  darin  den  Coefficienten  des  Rechtecks  der 
Veränderlichen  yariiren,  die  übrigen  Coefficienten  aber  beständig  sein  lässt, 
ei^e  solche  ziemlich  einfach  zu  machen. 

Schon  der  Umstand,  dass  die  dnrch  die  Voraussetzung  der  Ungleichheit 
der  Nenner  in  den  allgemeinen  Coliineationsgleichnngen  entspringende  allr 
gemeinere  geometrische  Verwandtschaft,  welche,  ron  H.  Mob  ins  bereits 
angedeutet,  später  von  H.  Magnus  und  H.  Steiner  untersucht  worden  ist, 
sich  auf  dieses  System  stützt,  indem  zu  jedem  Punkte  der  Ebene  des  Systems 
derjenige  als  entsprechend  betrachtet  wird,  in  dem  die  säramtlichen  Polaren 
des  ersteren  in  Bezug  auf  die  einem  festen  Viereck  umschriebenen  Kegel- 
schnitte sich  schneiden ,  fordert  zu  einer  solchen  Untersuchung  lebhaft  auf. 

Es  sei  mir  gestattet,  für  die  Discussion  eines  solchen  Systems  eine 
Methode  vorläufig  anzudeuten,  welche  vun  besonderer  Fruchtbarkeit  ist 
und  aus  mehreren  Gründen  als  die  der  Aufgabe  gemässeste  angesehen 
werden  darf. 

Ich  setze  die  Benutzung  dreiseitiger  Coordinaten  voraus,  weil  durch 
sie  den  Gleichungen  der  Vorzug  der  Homogeneit&t  gegeben  wird ,  den  die 
neuere  Algebra  so  hoch  schätzen  lehrt.  Die  allgemeine  homogene  Gleich- 
ung zweiten  Grades  zwischen  drei  Veränderlichen  kann  durch  lineare 
Transformationen  in  unendlich  vielen  Arten  auf  die  Summe  der  Quadrate 
von  drei  Veränderlichen,  als  auf  ihre  canonische  Form  reducirt  werden. 
Der  Sinn  dieser  Transformation,  in  der  Sprache  der  Geometrie  ausgedrückt^ 
ist  der,  dass  man  die  Curve  zweiter  Ordnung  auf  ein  Dreieck  als  Funda* 
mentaldreieck  bezieht,  welches  sich  selbst  conjugirt  ist,  d.  b.  in  welchem 
jede  der  drei  Seiten  die  Polare  des  gegenüberliegenden  Eckpunkteis  in  Be- 
zug auf  den  betrachteten  Kegelschnitt  ist.  Nun  besitzen  aber  alle 
die  demselben  Viereck  umschriebenen  Kegelschnitte  einge- 
meinschaftliehes  sich  selbst  conjugirtes  Dreieck,  d.  h.  alge- 
braisch: es  ist  möglich,  für  ein  und  dasselbe  Coordinatenay- 
stem  die  Gleichungen  aller  Kegelschnitte  der  Familie  auf 
die  canonische  Form  zu  reduciren. 

Man  kann  diess  ausgezeichnete  Fund  amen  taldreieck  auf  die  einfachste 
Art  mit  dem  System  der  Kegelschnitte  verknüpfen  und  zagleich  seine  Lage 
erkennen,  wie  folgt:  Die  in  den  Ecken  des  Vierecks,  welches  dem  Büschel 
zur  Basis  dient,  an  die  Kegelschnitte  gezogenen  Tangenten  bilden,  Strah- 
lenbüschel von  gleichem  Doppelschnittsverhältniss.  v  Diese  Tangeaten- 
büscbel  erzeugen ,  paarweis  genommen ,  durch  den  Durchschnitt  ihrer  ent- 
sprechenden Strahlen  Kegelschnitte,  von  denen  man  leicht  erkennt,  dass 
sie  sich  auf  gerade  Linien  reduciren;  denn  es  treten  unter  den  dem  Viereck 
umschriebenen  Kegelschnitten  auch  die  Paare  der  Gegenseiten  und  das 
Diagonalenpaar  des  Vierecks  auf  ^  nämlich  als  Oren||||fg^^j[^Ql^t§r  welche 


Von  Dr*  Wilh.  Fiedler.  396 

die  vetschiedenen  Gruppen  der  Caryen,  die  der  Familie  angehören,  von  ' 
einander  trennen ,  and  dfi  gerade  Linien  ihre  eigenen  Tangenten  sind ,  so 
fallen  für  jedes  Paar  der  Tangentenhüsehel  zwei  correspondixende  Strahlen 
zusammen  nnd  die  sechs  Kegelschnitte  rednciren  sich  anf  die 
drei  geraden  Linien,  welche  den  Dnrchschnittspunkt  der 
Diagonalen  und  die  Dnrchschnittspnnkte  der  Oegenseiten- 
paare  des  Vierecks  mit  einander  verbinden.  Si«  bilden  das 
Yon  den  einzigen  Doppelpunkten  der  Kegelschnitte  des  Bü« 
seh  eis  bestimmte  Dreieck.  Man  kann  leicht  zeigen«  dass  dieses 
Dreieck  in  der  That  fttr  alle  Kegelschnitte  des  Systems  sich  selbst  conjn- 
girt  ist,  nnd  dass  es  das  Dreieck  der  Cardinalpankte  des  Herrn 
Hagnas  ist.  In  welchen  Beziehungen  dasselbe  au  manchen  allgemeinen 
Fragen  über  die  Theorie  der  Kegelschnitte  ^  insbesondere  auch  zum  Ortho- 
gonalkreis dreier  Kreise  steht,  wird  man  in  meiner  demnächst  erscheinen- 
den deutschen  Bearbeitung  von  Mr.  Salmon^s  „Treatise  on  Conic  Sections^\ 
auf  welche  ich  mir  hier  zu  verweisen  erlaube ,  ausgefühit  finden.  (Art.  370| 
998;  Art.  353  f.) 

Die  Beziehung  auf  dieses  Dreieck  als  Fundamentaldreieck  sichert  det 
Untersuchung  zwei  grosse  Vortheile  zugleich,  nftmlich  die  mächtigen  Htilfs- 
quellen  der  Algebra  der  homogenen  Functionen  und  die  der  neueren  Geo- 
metrie. Eine  solche  Untersuchung  wtirde  durch  die  Allgemeinheit  ihrer 
Voraussetzungen  zugleich  den  Weg  bahnen  für  die  Untersuchung  der  Bü- 
schel von  Curven  dritter  nnd  höherer  Ordnung. 


XV, 
Beiträge  zur  Gteschiehte  der  Fortsehritte  in  der  elektrisehen 

Telegraphier 
Von  Dr.  Ed,  Zetzsche. 


IL  Die  Typondmoktelegraphen. 
Wenn  es  in  gewissen  Beziehungen  unbequem  ist,  dass  die  telegraphi- 
schen Zeichen  nicht  für  Jedermann  lesbar  und  verständlich  sind,  vielmehr 
nur  bei  Bekanntschaft  mit  einem  besondern  Zeichenalphabet  entziffert  wer- 
den können ,  so  bestünde ,  da  es  auf  der  andern  Seite  fast  unerlässlich  ist, 
dass  die  Zeichen  nicht  vergänglich ,  sondern  bleibend  seien ,  in  dieser  Hin- 
sicht die  höchste  Aufgabe  der  Telegraphie  darin,  die  Depesche  telegra- 
phisch auf  der  Empfangsstation  in  Buchstaben  anf  Papier  zu  drucken ,  da- 
mit man  sie  sofort  nach  ihrem  Einlangen  daselbst  in  ähnlicher  Weise  von 
dem  Papier  ablesen  könne,  wie  den  gewöhnlichen  Letterndruck  in  gedruck- 
ten Büchern.  Sehr  frühzeitig  hat  man  auch  daran  gedacht,  diese  Aufgabe 
zu  lösen  und  Apparate  zu  construiren,  welche  die  Depesche  in  den  gewöhn- 


396  Beiträge  zur  Geschichte  der  Portschritfe  in  der  elektr.  Telegraphie. 

liehen  Bfichtftaben  auf  Papier  drucken.  Man  nennt  sölck«  Apparate  Ty« 
pendrncktelegraphen,  im  Französiscken  ielegraphes  imprimeure  oder 
telegraphes-presses,  im  EngÜBchen  prinlitig  telegraphs.  In  jed^m  Typen- 
drucktelegraphen  müssen  nach  einander  oder  gleichceitig  folgende  4  Ver- 
richtungen vollaogen  werden: 

1)  es  muss  der  zu  telegraphirende  Buchstabe  an  die  Stelle  gebracht 
werden ,  wo  er  auf  das  Papier  aufgedruckt  werden  soll ; 

2}  wenn  er  an  dieser  Stelle  angelangt  oder  eingestellt  ist,  muss 
er  auf  das  Papier  aufgedruckt  werden; 

3)  es  mttssen  die  Typen  regelmässig  mit  Druckfarbe  versehen  und 

4)  es  mulss  nach  jedem  Aufdrucken  eines  Buchstabens  das  Papier  um 
ein  angemessenes  Stück  fortgerückt  werden ,  damit  für  den  näch- 
sten SU  druckenden  Buchstaben  ein  reiner  Platz  herbeigeschafft 
wird. 

Die  beiden  letzten  Verrichtungen  sind  durch  sehr  einfache meohanisclie 
MiUel  zu  erlangen;  während  die  auf  einem  kleinen  Rade  aufgesteckten 
Typen  beständig  an  eine  mit  der  Druckfarbe  versehene  Schwärzwalze  an- 
streifen, wird  das  Papier  gewöhnlich  beim  Rückgange  des  Drackapparates 
durch  diesen  selbst  ein  Stück  fortgeschoben..  Es  bleiben  somit  hauptsäch- 
lich die  beiden  ersten  Verrichtungen  für  die  Thätigkeit  des  elektrischen 
Stromes  Übrig ,  und  sie  gerade  werden  in  den  verschiedenen  Typendruck- 
telegiraphen  auf  die  verschiedenste  Weise  vermittelt.  Die  Typen  befinden 
sich  ohne  Ausnahme  an  einer  Scheibe,  dem.Typenrade^  und  gelangen 
bei  der  Umdrehung  derselben  nach  einander  an  den  Ort,  wo  das  Aufdrucken 
erfolgt;  das  Einstellen  des  jedesmal  zu  telegraphirenden  Buchstabens  er- 
folgt aber : 

..  1)  Purch  zwei  gleichgehende  Uhrwerke,  von  denen  das  ein^ 
auf  der  telegraphirenden  Station  einen  Zeiger  auf  einem  Ziffer- 
blatte oder  einer  Buchstabenscheibe,  das  andere  uuf  der  Empfangs- 
station das  Typenrad  gleichmässig  fortbewegt.  Die  Zuverlässig- 
keit des  Telegraphirens  ist  hier  an  den  dauernd  übereinstimmenden 
Gang  der  beiden  Uhrwerke  geknüpft  und  desshalb  nicht  zu  gross. 
Bei  den  Typendrucktelegraphen  von  Vai)  und  Bain  werden  die 
beiden  Uhrwerke  durch  die  Unterbrechung  eines  elektrischen 
Stromes  losgelassen  und  nachdem  sie  das  Typenrad  eingestellt 
haben,  durch  einen  jetzt  circulirenden  Strom  arretirt  und  zugleich 
der  Druckapparat  in  Thätigkeit  gesetzt.  Bei  dem  Telegraph  von 
Theiler  dagegen  lässt  ein  kurzer  Strom  die  beiden  Uhrwerke 
los  und  ein  zweiter  kurzer  Strom  arretirt  sie  nach  dem  Einstellen 
und  vermittelt  das  Aufdrucken.  Diese  Classe  von- Typendruck« 
telegraphcn  enthält  die  ältesten ,  aber  minder  vollkommenen* 

2)  Durch  zwei  beliebige  Uhrwerke  auf  den  beiden  Stationen; 
dabei  wird  der  Gang  derUhrwerko  während  des  Einstellens  darch 

uigiTizea  oy  x^j  v^v./'i  lv- 


Von  Dr.  Ed.  Ze-^zsche,  S97 

die  Wirkung  etektrisoher  Ströme  auf  ein  Echappement  regtilirt 
und  nach  dem  Einstelkn  das  Draekea  durch  einen  8trom  von  ent- 
gegengesetater  Richtung  (Du  Moncel  und  D i gn e y)  oder  durch 
einen  stärk ern  gleichgerichteten.  Strom  (Fr eitel)  herbeigeführt, 
oder  es  ist  eine  besondere  Ausrückungsrorrichtung  vorhanden, 
welche  mit  Hilfe  einer  FrictioHsknppelung  (House)  oder  unter 
Mitwirkung  eines  hydraulischen  Apparates  (Brett)  den  Druck- 
apparat  erst  dann  in  Wirksamkeit  treten  lässt,'  wedn  das  Tjpeir-  ' 
rad,  sei  es  durch  einen  dauernden  Strom  oder  durch  eine  längere 
Unterbrechung,  still  stehtr  • 

3)  Durch  abwechselnd  hergestellte  und  unterbrochene  elektrische 
Ströme,  welche  (ohne  Uhrwerk)  untaittelbar  durch  ein  Echappe- 
ment  das  Typenrad  fortrücken;  das  Drucken  erfolgt  dann  erst  bei 
einer  längern  Unterbrechung  des  Stroms,  während  eine  schnelle 
Folge  von  Unterbrechungen  den  Druckapparat  ebenso  unthätig 
erhält,  wie  ein  dauernder  Strom  (Poole,  Siemens).  DerUeber- 
S'^^S  ^^^  ^^^  ersten  Classe  zur  zweiten  und  dritten  bezeichnet 
den  Fortschritt  vom  Unvollkommenen  zum  Vollkommenem. 

Das  zu  bedruckende  Papier  war  ursprünglich  als  Blatt  auf  einem  Cy- 
linder  befestigt  und  die  Depesche,  wurde  in  Schraubenlinien  auf  dasselbe 
aufgedruckt;  später  bediente  man  sich  eines  schmalen  Streifens,  auf  wel- 
chem die  ganze  Depesche  nur  eine  Zeile  bildete;  der  Telegraph  von  Frei- 
tel  (siehe  später)  endlich  druckt  die  Depesche  auf  ein  Blatt  in  unter  ein- 
ander liegenden  Zeilen  ab,  so  dass  die  Depesche  genau  so  aussieht ^  wie 
ein  Blatt  aus  einem  gedruckten  Buche, 

Die  Typendrucktelegraphen  arbeiten  immer  verhältnissmässig  langsam, 
da  eine  grosse  Geschwindigkeit  nur  auf  Kosten  der  Zuverlässigkeit  zu  er- 
langen ist;  denn  entweder  muss  man  sich  dann  auf  die  Uebereinstimmung 
und  iSleicheeitigkeit  iin  Gang  zweier  weit  von  einander  entfernter,  also 
leicht  der  Einwirkung  verschiedener  Einflüsse  ausgesetzter  Uhrwerke  ver^ 
lassen,  oder  man  bedarf  einer  grossen  Anzahl  elektrischer  Ströme  und  muss 
jeden  derselben  doch  wenigstens  so  lange  andauern  lassen ,  dass  die  Elek- 
tromagnete  die  nöthige  Stärke  des  Magnotismus  erlangen.  In  diesem  letztern 
Falle  bedarf  man  aber  zur  Einstellung  eines  Buchstabens  1  bis  36  und  mehr 
Ströme«  während  bei  der  Telegraphie  mit  dem  Morse 'sehen  Telegraph 
nur  1  bis  hi$chstens  6  Ströme  für  einen  Buchstaben  nöthig  sind.  Zudem  ist 
die  Zahl  der  telegraphischen  Zeichen  mehr  auf  die  in  dem  Typenrade  ent^ 
haltenen  beschränkt,  während  sich  bei  dem  Morse 'sehen  Telegraph  leicht 
und  ohne  Missverständnisse  und  Unklarheiten  im  Gefolge  zu  haben,  belie- 
big viele ,  angemessen  kurze  telegraphische  Zeichen  von  gewählter  Bedeu- 
tung durch  Combination  der  telegraphischen  Grundzeichen,  d.  i.  Punkt  und 
Strich,  bilden  lassen.     Wenn  man  dabei  erwägt,  welche  Schwierigkeiten 


396  Beiträge  sur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

sich  der  Anwendang  der  Translation*)  hei  den  Tjpendracktelegraphen 
entgegensetzen,  so  wird  man  sich  nicht  darüber  wandern,  dass  die  Typen- 
drucktelegraphen eine  nicht  sn  ausgebreitete  Anwendung  gefunden  haben. 
In  Deutschland ,  Frankreich ,  England  und  Russland  sind  sie  nur  vorttber- 
gehend  und  auf  kurzem  Linien  in  Gebrauch  gewesen;  nur  in  Nordamerika 
hat  sich  der  House'sche  Apparat  weit  ausgebreitet.  Gleichwohl  sind  die 
Tjpendrucktelegraphen  besonders  für  telegraphisehe  Anlagen  in  grösseren 
weitlänfigen  Etablissements  und  an  Eisenbahnen  nicht  unwichtig  j  da  eben 
ihre  Handhabung  durchaus  keine  umständlichen  Vorkenntnisse  und  kein 
besonderes  Vertrautsein  mit  dem  Apparate  erfordert. 

Das  Verdienst  der  Erfindung  der  Tjpendrucktelegraphen  wird  wohl 
den  Amerikanern  nicht  abgesprochen  werden  können;  nach  einer  brief- 
lichen Mittheilung  des  Prof.  Samuel  F.  B.  Morse,  vom  8.  Januar  1847, 
machte  der  Nordamerikaner  Vail  bereits  im  Frühjahr  1837**)  diese  Erfin- 
dung. Zwar  behauptet  Morse  ebendaselbst,  er  selbst  sei  gleich  zu  An- 
fang auf  eine  bleibende  telegraphische  Mittheilung  der  gewöhnlichen  Buch- 
staben bedacht  gewesen  und  habe  gefunden ,  dass  eine  solche  auf  verschie- 
dene Weise  möglich  sei,  doch  habe  er  wegen  der  grösseren  Leistungs- 
fähigkeit und  Einfachheit  einem  andern  Systeme  den  Vorzug  gegeben; 
allein  erst  im  Jahre  1847  trat  Morse  mit  einem  Tjpendrucktelegraphen 
hervor.  Etwa  gleichzeitig  und  wahrscheinlich  unabhängig  von  Vail  machte 
in  England  Charles  Wheatstone,  Prof.  am  King*8  College^  dieselbe 
Erfindung.  Nach  Compies  rendus,  Bd.  XX,  S.  1753  (vom  J.  1845)  existirte 
der  Apparat  von  Wheatstone  in  England  schon  1837  und  in  seiner  letzten 
Form  seit  1840,  wurde  1841  mehreren  Mitgliedern  der  Academie  vorgezeigt 
und  war  1845  auf  einigen  Stationen  der  Eisenbahnen  von  Paris  nach  Orleans 
und  von  Paris  nach  Versailles  in  Betrieb.  Seit  1837  arbeitete  Wheatstone 
gemeinschaftlich  mit  W.  Fothergill  Cooke,  welcher  1836  in  Heidelberg 
bei  Prof.  Muncke  die  elektrotelegraphischen  (Gauss^schen?)  Experimente 
mit  dem  Elektrometer  gesehen  hatte  und  nach  seiner  Kückkehr  nach  Eng- 
land noch  183Ü  einen  Nadeltelegraph  und  einen  Zeigertelegraph  mitEchappe- 
ment  construirte.  Ueberhaupt  lag  nach  der  Erfindung  der  Zeigertele- 
graphen die  Erfindung  der  Tjpendrucktelegraphen  ziemlich  nahe.  Auch 
F  ar  delj  in  Mannheim  verwandelte  seinen  Zeigertelegraph  in  einen  [durch 
einen  einzigen  Leitungsdraht***)  betriebenen]  T jpendrucktelegraph ,  wel- 

*)  Der  in  den  Campte»  rendu»,  Bd.  26,  8.  367  (MSra  1848)  besprochene  8  chl  üs- 
sel  (iransmetteur)  für  einen  magnetoelektrischen  Zeigerielegraphon  von  Professor 
Glaesener  in  Lüttich  ist  in  Dingler's  polytechnischem  Journal,  Bd.  109,  8.  270, 
fälschlich  Uebeftrager  genannt. 

**)  Vergl.  Mechanig's  Magazine,  Bd.  46,  8.  251;  nacli  Shaffner  {telegrapk  mo- 
mtalf  New-York,  1851),  S.  38-2)   aber  erst  im  October  1887. 

♦**)  Henry  und  Edward  Highton  in  London  construirten  unter  andern 
einen  elektrischen  Typendrucktelegraph  mit  ] ,  2  oder  S  Leitungsdrähten.  VergL 
JJingler'a  polytechnisches  Journal,  Bd.  1 13,  S.  18,  aus  ReperUtry  of  Patent  iHfcntions, 


Von  Dr.  Ed.  Zeizsche.  399 

eber  aaf  der  Taunusbahn  in  Anwendung  kam,  1845  zwischen  Kastei  und 
Wiesbaden,  1846  zwischen  der  Rheinlust  und  dem  neuen  Posthause  inLud- 
wigsbafen.  Zur  Vervollkommnung  der  Typendrucktelegraphen  trugen  seit- 
dem Amerikaner,  Engländer,  Franzosen  und  Deutsche  bei;  in  neuerer  Zeit 
abergingen  Verbesserungen  besonders  von  Amerika  aus,  wo  1856  Albert 
J.  Partridge  am  22.  April,  HenrjN.  Baker  am  20.  April,  Moses  O. 
Farmer  am  16.  Juni  Patente  auf  Verbesserungen  an  Typ  endruck  telegra* 
phen,  David  £.  Hughes  aber  am  20.  Mai  ein  Patent  auf  einen  für 
Doppehelegraphie  eingerichteten  Typendrucktelegraph  erlangte. 

Da  es  immer  interessant  ist,  die  verschiedenen  Wege  kennen  zu  1er- 
,nen,  welche  zur  Erreichung  desselben  Zieles  eingesehlagen  wurden  und 
wcffden  können,  so  möge  hier  eine  nähere  Beschreibung  mehrerer  Typea-p 
drucktelegraphen  folgen. 

L  Der  Typendrucktelegrapli  von  Alfred  Yail. 

Der  Nordamerikaner  Alfred  Vail,  welcher  mit  Prof.  Mor.se  arbei- 
tete, erfand  seinen  Typendrucktelegraph  im  Jahre  1837*)  und  gab  dem 
Apparate  zum  Zeichengeben  folgende  ans  Fig.  1  und  2,  Taf.  V,  erbichtlicho 
Einrichtung: 

Auf  dem  metallenen  Typenrade  A  selbst  stehen  24  vorstehende  Metall- 
stifte in  einer  Spirallinie  ^  um  den  Mittelpunkt  des  Bades  herum;  jeder 
entspricht  einem  der  23  Buchstaben  oder  Typen  {Ä^  B,  C,  2>,  JS^  F^  GyH^I, 
k,  Z,  üf,  N,  0,  P,  0,  Ä,  S,  r,  Vy.  r,  Wy  JSr),  weiche  an  den  Speichen  des 
Rades  angebracht  sind,  der  24.  aber  bildet  den  Euhe-  oder  Ausgangspunkt, 
auf  welchen  die  Apparate  eingestellt  werden,  wenn  nicht  telegraphirt  wird. 
Die  Entfernung  eines  jeden  Stiftes  vom  Mittelpunkte  des  Rades  ist  genau 
so  gross,  als  die  eines  dazu  gehörigen  Loches  in  dem  vertical  stehenden 
Index  C;  dieser  Index  C  ist  von  Elfenbein,  mithin  gegen  den  Gestelltheil 
D  isolirt,  in  das  Elfenbein  ist  aber  eine  durchlöcherte  Metallplatte  einge^ 
legt,  welche  durch  einen  angelötheten  isolirten  Draht  a  mit  den  Multiplica- 
tionsrollen  des  Elektromagnetes  E^  verbunden  ist,  während  das  andere 
Ende  b  der  Rollen  nach  dem  einen  Pol  der  Batterie  führt.  Der  andere  Pol 
der  Batterie  ist  durch  die  Luftleitung  mit  der  nächsten  Station,  den  dorti- 
gen Apparaten  und  schliesslich  dort  mit  der  Erd«  verbunden.  Das  Typen- 
rad Ä  ist  gegen  das  Messinggestell  D  des  Apparates  nicht  isolirt,  steht  viel- 
mehr durch  dasselbe  und  den  isolirten  Draht  c  (Fig.  2,  Taf.  V)  mit  den 
Rollen  des  Elektromagnetes  J?,  in  leitender  Verbindung;  von  diesen  führt 
der  Draht  d  zu  den  Rollen  des  Elektromagnetes  E^  und  endlich  der  Draht  e 
zur  Erde«  Es  ist  somit  der  elektrische  Kreis  geschlossen ,  sobald  nur  die 
Verbindung  zwischen  dem  Index  C  und  dem  Typenrade  A  hergestellt  wird, 


*)  AuiifUbrUcberes  darüber  enthält:  Vau,  iheAmerüuin  Electro-Magnetic  Telegraph, 
Phüadelpkia  1847,  S.  157  —  171.    Yergl.  £.  Higkton,  ihe  eleciric  ielegraph,  S.63. 

uigiüzea  oy  'vj  v-/\_/pc  lv. 


400  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie, 


und  es  sind  dann  alle  drei  Elektromagnete  E^^  E^  und  E^  des  Apparates  in 
den  Schliessnngskreis  eingeschaltet.  Die  leitende  Verbindung  zwischen 
dem  Index  C  und  dem  Typenrad«  A  wird  aber  hergestellt,  wenn  man  in  ein 
Loch  des  Index  C  einen  metallenen  Stift  einsteckt;  dann  kommt  der  ent- 
sprechende Stift  auf  dem  Typenrade  bei  der  Uradrehnng  des  letztem  mit 
dem  in  den  Index  eingesteckten  Stifte  in  Berührung  und  sowie  diess  ge- 
schieht, ziehen  alle  drei  Elektromagnete  ihre,  den  aus  den  Bollen  heraus- 
stehenden magnetischen  Polen  pi ,  p,  und  p,  gegenüber  liegenden  Anker  an. 
Die  Apparate  von  zwei  zusammengehörigen  Stationen  sind  nnn  mit 
zwei  gleichgehenden  Uhrwerken  versehen,  welche  in  dem  Gestell  D  an- 
gebracht sind,  durch  zwei  gleiche  Gewichte  in  Bewegung  gesetzt  und  dnreh 
zwei  gleiche  Pendel  F  mit  Echappement  und  einem  Echappementrad  G  mit 
24  Zähnen  in  gleichem  Gange  erhalten  werden;  das  Echappementrad  Q 
sitzt  fest  auf  der  Welle  des  Typenrades  A  und  letzteres  muss  daher  genan 
der  Bewegung  des  ersteren  folgen.  So  lange  nicht  telegraphirt  wird,  ist 
auf  beiden  Stationen  durch  einen  besondern  Wechsel ,  der  einem  Strom- 
wender ähnlich  ist,  der  Kreis  des  Stromes  geschlossen,  ohne  dass  der  Index 
nnd  das  Typenrad  in  den  Kreis  eingeschaltet  ist*);  es  würde  also  z.B. 
durch  eine  Wechselklemme  q  ganz  einfach  9er  Draht  a  direct  mit  dem 
Drahte  e  leitend  verbunden,  wie  Fig.  5,  Taf.  V,  veranschaulicht;  der  Kreis 
ist  also  geschlossen,  die  Batterien  darin  eingeschaltet,  die  drei  Elektro- 
magneten werden  demnach  magnetiseh  und  entweder  E^  oder  E^  hält  das 
Pendel  F  durch  den  daran  befindlichen  Anker  f  fest.  Beim  Beginn  des 
Telegraphirens  wird  blos  auf  der  telegrapbirenden  Station  der  Weehsd 
umgeschaltet,  d.  h.  durch  Oeffnen  der  Wecbselklemme  q  die  directe  Ver- 
bindung zwischen  a  und  c  aufgehoben,  wie  Fig.  6,  Taf.  V,.  zeigt;  dadurch 
kommt  das  Typenrad  und  der  Index  in  den  Schliessungskreis,  und  somit 
ist  der  Strom  unterbrochen;  beide  Uhrwerke  treten  in  gleichen  Gang  und 
rücken  die  Typenräder  in  gleichem  Schritte  fort.  Wird  nun  aber  auf  der 
telegrapbirenden  Station  ein  Stift  in  ein  Loch  des  Index  eingesteckt,  so 
wird  die  Batterie  wieder  geschlossen,  wenn  der  entsprechende  Stift  am 
Typenrade  mit  dem  Stifte  im  Index  in  Berührung  tritt;  dadurch  werden 
beide  Uhrwerke  durch  die  Elektromagnete  E^  oder  E^  arretirt  und  gleich- 
zeitig der  am  Typenrade  eingestellte  Buchstabe  durch  die  Wirkung  des 
Elektromagnetes  iß,  auf  den  Papierstreifen  PP  aufgedruckt.  Dieser  Elek- 
tromagnet El  zieht  nämlich  seinen  Anker  J  an  nnd  bewegt  dabei  den  mit 
seinem  Zapfen  h  in  dem  messingenen  Träger  L  eingelagerten  und  um  h 
drehbaren  Hebel  ff,  auf  welchem  der  Anker  /  sitzt,  nach  unten;  dieser 
Bewejgung  muss  der  Rahmen  E  folgen,  da  er  bei  t  mit  ff  verbunden  ist ;  der 
Kahmen  E  (Fig.  3  und  4,  Taf.  V)  ist  aber  oben  o£Pen  und  des  bessern  Halts 
wegen  sind  seine  beiden  Seitentheile  oben  durch  ein  Querstück  /  verbun- 

*)  Die  abweichende  Anordntmg,  yrelchc  S haffner,  telegrapMc  mamtal ,  S.  387, 
beschreibt,  ist  nicht  wohl  denkbar.  ^^ r\r\r\ 

uigiüzea  oy  ^^jOOV  Ln^ 


Von  Dr.  Eb.  Zbtzscbb.  4*1 

den,  dessea  Enden  seitKch  eb  Stück  über  den  Rabmen  yotsteheii,  in  nwei 
ßcblitze  des  Gefltelk  eingreifen  und  so  aU  Ftihmng  ftir  den  Rahmen  beim 
Auf-  und  Niedergange  dienen.  Durch  den  Schlits  im  Rahmen  gehen  beim 
Umdrehen  des  Typenrades  die  Typen  der  Reihe  nach  hindurch«  Beim  Nie- 
dergange des  Hebels  B  mit  dem  Rahmen  IC  legen  sich  dessen  gescblha^ 
Enden  gg  an  die  beiden  seitlichen  Ansätee  an  dem  Typen  m  «n  und  neh- 
men denselben  mit  sich  nieder,  bis  er  auf  den  zwischen  dem  Typen  m  and 
djer  Walze  W  hindurchgehenden  Papierstreifen  PP  auftrifft  und  sich  auf 
demselben  aufdruckt;  denn  die  Wake  W  ist  in  das  Gestell  fest  eiitg^lagert, 
kann  also  nicht  aasweichen«  Wenn  dann  der  elektische  Strom  durch 
Herausziehen  des  Stiftes  aus  dem  Index  C  wieder  unterbrochen  wird,  fülnft 
die  Feder  i  den  Hebel  JST,  dessw  Schwingung  durch  die  Stellschranben  kk 
regulirt  werden  kann,  in  seine  Ruhelage  zurück;  Auch  der  Rahmen  iT  geht 
mit  zurück  und  dabei  legt  sich  der  an  demselben  befindliche  Sperrkegel  n 
in  das  Sperrrad  M  an  der  Walze  W  ein,  dreht  diese  um  einen  Zahn  fort 
nnd  zieht  so  den  Papierstreifen  PP  zwischen  dem  WaUenpaare  W  und  V 
um  ein  Stück  weiter,  so  dass  nun  ein  neuer  Buchstabe  darauf  gedruckt 
werden  kann.  Der  Type  selbst  aber,  welcher  in  die  beiden  Ringe  0  und  N 
des  Typenrades  so  eingelegt  ist,  dass  er  sich  in  radialer  Richtung  frei  be> 
wegen  kann ,  wird  beim  Rttckgange  des  Hebels  durch  eine  Spiralfeder  r  im. 
seine  Ruhelage  zurückgeführt*  Mit  R  sind  die  Holatheile  des  ApparMes 
bezeichnet. 

Das  Telegraphiren  ist  höchst  einfach:  der  Telegraphist  schaltet  seinen 
Wechsel  um  und  steckt  einen  Stift  in  dasjenige  Loch  des  Index  C  ein,  wel- 
ches dem  ersten  zu  telegraphirenden  Buchstaben  entspricht;  das  Typenrad 
kommt  durch  das  Uhrwerk  in  Bewegung;  nachdem  sich  einer  seiner  Stifte 
an  den  eingesteckten  Stift  in  C  angelegt  hat,  kommt  es  txua  Stillstehen  und 
nun  zieht  der  Telegraphist  den  Stift  aus  C  wieder  heraus  und  steckt  ihn  in 
das  Loch  des  folgenden  Buchstabens  des  zu  telegri^hirendeü  Wortes  ein 
11«  s.  f. 

Bezüglich  des  übereinstimmenden  Ganges  der  beiden. Uhrwerke  istxu 
bemerken,  dass  die  Zahlen  der  Pendelsehläge ,  welche  zwischen  je  zwei 
auf  einander  folgenden  Arreturen  der  Pendel  erfeigen,  nicht  um  einen 
halben  Sehlag  differiren  dürfen.  - 

2.  Der  TypendrnoktelegTaph  von  Alezander  Bain. 
Bei  diesem  sinnreichen,  schon  1840  erfundenen  Apparate  sind  auf  jeder 
Station  zwei  Uhrwerke  in  Thätigkeit,  und  der  elektrische  Strom  hat  wei- 
ter nichts  zu  thun,  als  das  eine  Paar  dieser  Uhrwerke  auf  beiden  Stationen 
zugleich  in  und  ausser  Gang  zn  setzen ,  während  das.  andere  Paar  von  dem 
ersten  Paare  losgelassen  oder  arretirt  wird.  Das  erste  Paar  besorgt  die 
Einstellung  des  zu  telegraplürenden  Buchstabens  oder  Zeichens  und  daip 
aweitc  Paai'  dessen  Uebertragung  auf  das  Papier  uud  das  Fortriickeu.  de^ 


402  Beiträge  zur  GeseWchte  der  FoilschriUe  iti  der  elektr.  Telegrapliie. 


letzteren  nach  jedem  einseinen  Aafdrncken  eines  Zeichens.  Das  erste  Paar 
"wenigstens  mass  daher  auf  beiden  Stationen  vollkommen  glelchmJissigen 
Gang  besitzen  und  in  ihm  stets  erhalten  werden ;  dieser  Umstand  setst  also 
auch  der  Anwendung  dieses  Apparates  auf  langen  Telegraphenlinien  mit 
rielen  Stationen  merkliche  Schwierigkeiten  entgegen,  da  die  Apparate 
sftmmtlicher  Stationen  in  einem  gleichrnftssigen  Gange  erhalten  werden 
mttssten. 

Durch  eine  krftftige  Feder  in  ^em  Federhanse  B  (Fig.  7,  Taf.  VI)  wird 
der  Rädersatz  G,  H,  J  in  Umdrehung  versetzt  und  von  /  aus  der  Zeiger  X 
auf  dem  Ziiferblatte  dih  pnd  das  als  Regulator  dienende  Centrifugalpendel 
W\  allein  die  Bewegung  aller  dieser  Theile  muss  unterbleiben,  sobald  sich 
der  Arm  T,  welcher  ersichtlich  auch  mit  umgedreht  wird ,  an  den  Arm  L 
anlegt {  so  lange  dies  aber  nicht  der  Fall  ist,  wird  auch  das  Typenrad  C, 
weil  es  auch  auf  der  Welle  c  aufgesteckt  ist,  mit  gedreht,  und  zwar  müssen 
auf  den  beiden  in  Correspondenz  stehenden  Stationen  nicht  allein  die  bei* 
den  Typenräder,  sondern  auch  die  beiden  Zeiger  X  auf  den  Zifferblättern 
gleichen  Schritt  halten.  Eine  zweite  Feder  befindet  steh  in  dem  Feder- 
hause  P  und  setzt  dnrch  den  Rädersatz  M,  0  die  Welle  f  und  den  Wind- 
flttgel  0  in  Bewegung,  und  es  wird  diese  Bewegung  eben  durch  den  Wind- 
fitigel 0  regulirt.  Aus  der  Welle  /  ragen  zwei  nicht  vertical  über  einander 
stehende  Ansätze  a  und  b  hervor,  welche  sich  beide  an  den  Hebel  Z  anlegen 
können ,  und  wenn  einer  derselben  an  Z  anliegt ,  so  ist  die  ganze  von  der 
Feder  im  Federhause  P  ausgehende  Bewegung  gehemmt;  so  lange  aber  die 
Kugeln  des  Regulators  W  ihre  tiefste  Lage  inne  haben,  liegt  «  an  Z  an; 
geräth  fV  in  Umdrehung ,  so  heben  sich  die  Kugeln  und  die  mit  ihnen  ver^ 
bundene  Hülse  g  nimmt  die  in  ihr  ruhende  Spitze  des  Hebels  Z  mit  in  die 
Höhe ,  das  andere  Ende  des  Hebels  geht  nieder,  lässt  den  Ansatz  o  los  und 
die  Welle  f  dreht  sich,  bis  6  an  Z  herankommt;  wird  W  arretirt  und  senken 
sich  desshalb  die  Kugeln  wieder,  so  geht  das  hintere  Ende  von  Z  wieder  in 
die  Höhe ,  lässt  den  Ausatz  b  los  und  die  Welle  /  ergänzt  jetzt  ihre  vorige 
Bewegung  zu  einer  ganzen  Umdrehung,  denn  sie  muss  sich  jetzt  Ao  lange 
drehen  bis  der  Ansatz  a  wieder  an  Z  sich  anlegt.  So  oft  also  der  von  der 
Feder  im  Federhause  S  aus  getriebene  Theil  des  Apparates  einmal  in  Gang 
kommt  und  darauf  wieder  angehalten  wird,  macht  f  eine  Umdrehung.  Die 
Welle  f  ist  aber  bei  V  gekröpft  und  ertheilt  bei  jeder  ihrer  Umdrehungen 
der  Lenkstange  T  und  durch  dieselbe  dem  mit  letzterer  fest  verbundenen, 
um  k  drehbaren  Hebel  E  eine  einmalige  hin  und  her  gehende  Bewegung; 
durch  ein  Querstüek  q  ferner  ist  der  Hebel  E  mit  der  Welle  c  des  Typen- 
rades  C  fest  verbunden ,  so  dass  bei  jeder  Umdrehung  der  Welle  f  das  Ty- 
penrad C  einmal  an  die  Papierwalze  A  herangedrückt'  und  dann  wieder  von 
ihr  entfernt  wird.  Beim  Herandrticken  wird  das  eben  der  Papierwalze  J 
gegenüber  stehende  Zeichen  auf  das  Papier  aufgedruckt.  Gleichzeitig  legt 
sich  der  an  dem  Queratüeke  q  angebrachte  Sperrhaken  e  in  das  Rad  D  ein 


Von  I>r.  Ed.  Zetzrchs.  403 


und  dreht. dasselbe  beim  Rückgänge  des  Hebels  E  um  einen  Zahn  fort;  das 
Rad  D  aber  hat  sdine  Welle  mit  dem  langen  Getriebe  F  gemeinschaftlieh, 
weiches  in  das  an  der  Papierwalae  J  sitzende  Rad  eingreift.  Bei  jedem 
Rückgänge  des  Hebels  E  wird  also  die  Papierwalze  A  um  einen  Zahn  um- 
gedreht und  nach  einer  vollen  Umdrehnng  ist  es  zugleich  anf  seiner  schran- 
benförmigen  Welle  nm  einen  Schraiibengang  fortgerückt;  somit  kommt  nach 
jeder  Umdrehnng  der  Welle  f  auch  ein  neuer  Papierraum  dem  Typenrade 
C  gegenüber  an  stehen^  und  die  Zeichen  werden  in  einer  Schraubenlinie  auf 
das  Papier  der  Papierwalze  A  aufgedruckt. 

Die  eigentlich  telegraphisehe  Einrichtung  des  Apparates  besteht  nun 
in  Folgendem :  Ein  in  dem  Gestell  des  Apparates  unbeweglich  befestigter, 
aus  mehreren  über  einander  liegenden  Lamellen  bestehender  permanenter 
Magnet  KK^^)  ist  mit  Drahtwiudungen  RB^  umgeben,  welche  um  zwei 
Zapfen  sich  frei  bewegen  können,  aber  auf  jeder  Seite,  vor  und  hinter  dem 
Magnet  EK^ ,  mit  einer  Spiralfeder  versehen  sind ,  durch  welche  der  elek- 
trische Strom  in  die  Windungen  ein-  und  austreten  kann.  So  lange  der 
Strom  hindurch  geht,  nehmen  die  Windungen  die  gezeichnete,  horizontale 
Stellung  ein ;  wird  der  Strom  unterbrochen ,  so  führen  die  Spiralfedern  S 
die  Windungen  in  ihre  natürliche  Lage  zurück  und  das  Endo  R  hebt  sich 
in  Richtung  des  Pfeils.  Mit  den  Windungen  fest  verbunden  ist  der  Arm  X, 
folgt  demnach  ihrer  Drehung  und  lässt  den  Arm  F  frei,  so  oft  der  Strom 
unterbrochen  wird.  So  lange  die  Windungen  vom  Strom  durchlaufen  wer- 
den, kann  mithin  die  Feder  im  Federhause  B  keine  Bewegung  veranlassen. 
Das  Zifierblatt  idh  ist  gegen  die  übrigen  Theile  des  Apparates,  auch  gegen 
die  Axe  des  Zeigers  JT  isoli'rt  und  mit  12  Löchern  (dieselben  sind  in  Fig.  7, 
Taf.  VI,  durch  schwarze  Punkte  angedeutet)  versehen,  welche  bis  auf  die 
metallische  Unterlage  hinabreichen ;  ein  fihuliches  Loch  ist  {7,  und  an  einem 
darin  steckenden,  die  metallische  Unterlage  berührenden  Metallstiflte  liegt 
für  gewöhnlich  der  Zeiger  Ä  an.  Setzen  wir  nun  voraus,  dass  die  eine 
Spiralfeder  S  durch  die  Erdplatte  N  mit  der  Erde  leitend  verbunden  sei, 
dass  die  hintere  Spiralfeder  aber  mit  dem  Zeiger  Z  (vermittelst  dessen  iso- 
lirter  Achse)  verbunden  sei ,  während  von  der  metallischen  Unterlage  des 
Apparates  aus  eine  Leitung  etwa  über  1  oder  2  nach  der  andern  Station 
führe,  woselbst  ganz  gleiche  Verbindungen  hergestellt  sein  mögen,  und  dass 
irgendwo  galvanische  Batterien  eingeschaltet  seien,  so  wird  ein  Strom  die 
Windungen  ^i?,  durchkreisen,  so  lange  die  Zeiger  auf  beiden  Stationen  an  den 
in  17  steckenden  Stiften  anliegen;  so  lange  sind  auch  alle  Uhrwerke  gehemmt. 
Wird  aber  der  Stift  auf  einer  Station  herausgezogen,  so  ist  der  Strom  unter- 
brochen ,  auf  beiden  Stationen  hebt  sich  das  Ende  B  der  Windungen ,  Ifisst 
der  Arm  L  den  Arm  Y  los,  die  Zeiger  JC**)  und  die  Tjpenrilder  C  gerathen 


*)  Auch  /und  «/|  sind  permanente  Magnete. 

*♦)  Auch  beim  Bai  naschen  Apparat  ist  ähnlieh  wie  bei  dem  Ton  Vail  ein  Wech- 
sel oder  eine  ihn  ersetzende  Vorrichtong  nöthig;  mfirgl,  S.  400  und  Fig.  & n.'^^^l^i^» 


404  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 


in  gl^ichsiftsgige  Bewegung,  der  Hebel  Z  lässt  den  Ansats  a  1^  ttnd  h  legt 
fiich  an  Z.  Wird  dann  der  Stift  in  eins  der  Löcher  auf  dem  Ziffcrblatte 
eingesteckt,  so  legt  sich  endlich  der  Zeiger  X  an  ihn  an,  sohiiesst  den  Strom 
wieder,  die  Windungen  stellen  sich  sogleich  wieder  horizontal ,  die  Tjpen- 
rKder  und  Zeiger  bleiben  stehen,  der  Hebel  Z  lässt  d«n  Ansati  h  los,  worauf 
die  Welle  f  ihre  Umdrehung  vollendet,  ein  Zeichen  auf  die  Papierwalze 
aufgedruckt  und  dann  die  letztere  um  einen  Zahn  fortgerttckt  wird.  Zwi- 
schen dem  Papier  auf  der  Papierwaize  Ä  Hegen  zwei  Lagen  eines  yoa  zwei 
Walzen  festgehaltenen  mit  Druckschw^rze  getränkten  und  gefT^rbten  Ban- 
des ,  so  dass  die  Buchstaben  schwarz  aufgedruckt  werden.  Will  man  eine 
doppelte  Ausfertigung  der  Depesche  haben,  so  legt  man  noch  einen  Streifen 
weisses  Papier  swischen  die  Schwärzbänder  hinein  und  auf  diesem  entsteht 
dann  gleichfalls  ein  Abdruck. 

Der  Vorgang  beim  Telegraphiren  ist  also  höchst  einfach :  Der  Tele- 
graphist zieht  den  Stift  aus  V  und  steckt  ihn  in  das  Loch  unter  dem  Zei- 
chen ,  welches  er  zuerst  telegraphiren  will ;  ist  ^^i  Zeiger  seines  Apparates 
dort  angekommen,  so  ist  auch  das  Zeichen  auf  der  Empfangsstation  ge- 
druckt, der  Telegraphist  zieht  den  Stift  wieder  heraus  und  steckt  ihn  in 
das  Loch  unter  dem  nächsten  zu  telegraphirenden  Zeichen  und  so  fort  bis 
zu  Ende  der  Depesche.  In  der  Zeichnung  sind  blos  zwölf  telegraphische 
Zeichen  vorausgesetzt,  die  Zahlen  von  0  bis  9  und  zwei  leere  Räume;  dem 
entsprechend  shid  natürlich  auch  die  Zifferblätter  und  die  Typenräder  mit 
denselben  zwölf  Zeichen  versehen.  Ebenso  könnten  aber  auch  die  sämmt- 
liehen  Buchstaben  und  einige  andere  Zeichen  auf  den  Zifferblättern  und  den 
Typenrädern  angebracht  sein*)  und  dann  würde  die'  Depesche  gleich  in 
den  gewöhnlichen  Buchstaben  auf  das  Papier  gedruckt. 

Unvortheilhaft  wegen  des  grösseren  Aufwandes  ftir  die  Batterien  ist 
der  Apparat  desshalb,  weil  bestandig  ein  Strom  durch  die  Leitung  gehen 
muss ,  so  lange  nicht  telegraphirt  wird ,  da  ja  die  Zeichen  eben  durch  Un- 
terbrechen des  Stroms  hervorgerufen  werden.  Ein  Vorzug  dagegen  ist  es 
zu  nennen ,  dass  anf  der  Empfangsstation  die  ankommenden  Zeichen  auch 
-durch  den  Zeiger  auf  dem  Zifferblatte  sichtbar  gemacht  werden. 

Nach  denselben  Principien  ist  ein  anderer  Typendrucktelegraph  con- 
Btfuirt,  welcher  von  den  Herausgebern  des  Scientific  American  er- 
funden, im  Mechanic's  Magazine,  Bd.  46,  S.  265,  und  von  da  aus  in  Dingler^s 
polytechnischem  Journale  (1847),  Bd.  105,  S.  165, •  besehrieben  und  abge- 
bildet ist.  Auch  er  erfordert  einen  grösseren  Aufwand  ftir  die  Batterien, 
da  bei  ihm  die  Linienbatterie  erst  geschlossen  wird ,  wenn  der  Kreis  einer 
Hilfs-  oder  Localbatterie  unterbrochen- wird,  da  mithin  stets  die  eine  oder 
die  andere  Batterie  in  Thätigkeit  ist.   Dieser  Typendrucktelegraph  hat  mit 


*)  6o  eingepichtet  beschreibt  Du  Mo  nee  1,  £aipos6  des  appUcationg  de  Celeciri- 
cii4,  Paris  1856,  //,  p.  136,  den  i^parat  vou  Bain.  ^'S '^^«  °y  ^ ww^l^ 


Von  Dr.  Ed.  ZETi&sctiE.  405 

den  beiden  bereits  beschriebeneb  Tjpendraoktelegraphen  'von  Vai!  ttikl 
Pain  auch  da»  gemein,  dass  wenn  einmal  eine  kleine  Ungleichheit  oder 
Unregelmässigkeit  im  Gange  der  Uhrwerke  beim  Telegraphiren  eines 
Buchstabens  sieb  einschleicht,  nicht  allein  dieser  eine  Buchstabe  falsch 
telegraphirt  wird,  sondern  auch  alle  noch  nachfolgenden  Buchstaben  bis  zu 
dem  Zeitpunkte  hin,  *wo  die  Uebereinstimmung  swischen  dem  Zeiger  der 
telegraphirenden  und  dem  Typenrade  der  Empfangsstation  wieder  berge-« 
«teilt  wird. .  Ein  solches  Weitertragen  einea  Fehlere  auf  das  Nachfolgende 
ist  natürlich  um  so  störender,  je  leichter  einmal  ein  Fehler  Torkommen 
kann^  um  aber  die  EieÜtigkeit  jedea  Buchstabens  nicht  von  der  Richtigkeit 
der  vorhergehendea  abhängig  an  machen,  darf  man  d«m  Apparate  nur  eine 
solche* Einrichtung  geben,  daas  nach  dem  Telegraphiren  eines  Buchstabens 
der  Apparat  sich  von  selbst  auf  einen  bestimmten  Ausgangspunkt  einstellt, 
wie  es  z.  B.  bei  dem  gleich  zu  beflchreibenden  Telegraph  von  T hei  1er  de» 
Fall  ist.  Er  kann  indessen  diese  vermehrte  Zuverlässigkeit  wiederum  nur 
auf  Kosten  der  Greseh  windigkeit  des  Telegrapliirens  erreicht  werden;  denn 
d*nii  ist  zum  Telegvaphiren  eines  jeden  Buchstabens  eine  volle  Umdreh* 
nng  des  Typenrades  nothwendig,  während  sonst  möglicher  Weise  bei  einer 
Umdrehung  gelegentlieh  zwei ,  drei  und  mehr  Buchstaben  telegraphirt  wer- 
den können ,  wenn  die  auf  einander  folgenden  Buchstaben  des  zu  telegra- 
phirenden Wortes  in  derselben  Reihen£alge  stehen ,  wie  d«r  Zeiger  auf  dem  ' 
Zifferblatte  über  sie  hinwegschreiiet  und  wie  sie  am  Typenraete  eingestellt 
werden. 

3.  Der  Typendmoktel^n^ph  von  Xlieilar. 

An  die  übrigens  wesentlich  von  ihm  verschiedenen  Typend nxcktele^ 
graphen  von  Bain  und  von  Vall  sohliesst  sich  der  Typendrucktelögraph 
von  Theiler  insofern  eng  an,  als  seine  Anwendung  ebenfalls  auf  den  bei« 
den  correspondirenden  Stationen  gleicbgeheade  Uhrwerke  voraussetzt,  durch 
welche  dem  Apparate  zum  Zeiehengeben  auf  der  telegraphirenden  und  dem 
Drnckapparate  auf  der  Empfangsstation  eine  /übereinstimmende  Bewegung 
Mtkeiltwird. 

Der  Apparat  zum  Zeichmigeben  ist  in  Fig.  d,  Taf.  V,  abgebildet.  Er 
besteht  aus  einer  Claviatur  mit  im  Kreise  angeordneten  Tasten;  wird  eind 
derselben  niedergedrückt,  so  wird  sie  durch  einen  besonderen  Mechanismus 
so  lange  niedergedrückt  erhalten ,  bis  der  ihr  entsprechende  Buchstabe  ab- 
gedruckt ist;  dann  erst  hebt  sie  sich  wieder.  Dabei  wird  der  Kreiß  der 
elektrischen  Batterie  zweimal  auf  kurae  Zeit  geschlossen  und  gleich  wie- 
der unterbrochen;  die  erste  Schliessung  beim  Niederdrücken  der  Tast« 
Utsst  die  beiden  gleichgehenden  Uhrwerke  los,  die  zweite  erfolgt,  wenn 
durch  die  Uhrwerke  der  zu  telegrapbirende  Buchstabe  eingesetzt  ißl,  Vfni 
besorgt  das  Aufdrucken  desselben  auf  den  Papierstreifen.  Der  auf  den 
hintern  Enden  dslr  Tasten  liegende,  um  die  Achse  ZZ  ^^yM§^f^&\&^0e 


406  Beiträge  zur  Geschiohte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Tclefrraphie. 

ist  mit  einem  Ansätze  e  versehen,  an  welchen  sich  für  gewöhnlich  der  An- 
satz c  des  am  die  v^erticale  Achse  o  drelibaren  metallenen  Gatters  bff^ 
hemmend  aalegt;  sobald  aber  eine  Taste  niedergedrückt  wird,  hebt  sich 
der  Bügel  dd  und  der  Ansatz  t  lässt  den  Ansatz  c  los ,  worauf  das  Gatter 
bff^  durch  das  Uhrwerk  in  eine  mit  der  Bewegung  des  Tjpenrades  auf  der 
Empfangsstation  gleichen  Schritt  haltende  Umdrehung  um  seine  Achse  o 
yersetzt  wird.  Beim  Niederdrücken  der  Taste  hebt  sich  zugleich  von  den 
Stiften  kk  derjenige,  welcher  zu  der  Taste  gehört,  und  bleibt  gehoben,  ae 
lange  die  Taste  niedergedrückt  ist;  beim  Niederdrücken  der  Taste  wirkt 
ferner  ein  Ansatz  an  derselben  mit  einer  schiefen  Ebene  drückend  auf  die 
eine  Seite  eines  Zahnes  des  Bades  /,  welches  dadurch  ein  wenig  nach  recht» 
bewegt,  aber  gleich  darauf  durch  die  Feder  m  in  seine  frühere  Lage  zu- 
rückgeführt wird,  sobald  die  Taste  ganz  niedergedrückt  ist,  und  bei  dieseui 
Rückgange  kommt  ein  Stift  an  dem  Rade  /  unter  das  hintere  Ende  der 
Taste  und  erhält  fortan  die  Taste  niedergedrückt.  Wenn  nun  nach  dem 
Niederdrücken  einer  Taste  das  Gatter  hff^^  sich  um  seine  Achse  a  zu  drehen 
anfängt,  schleift  es  mit  f^  auf  dem  festsitzenden  Ansätze  g  auf,  wird  da- 
durch bei  fx  um  die  horizontale  Achse  üa  gehoben  und  legt  sich  an  das  me- 
tallene Verbindungsstück  h  an,  wodurch  der  Stromkreis  geschlossen  wird. 
Hinter  g  senkt  sich  das  Gatter  wieder  und  der  Strom  wird  demnaoh  unter- 
brochen ,  das  Gatter  aber  setzt  seinen  Weg  fort  und  kommt  endlich ,  wenn 
/i  über  die  niedergedrückte  Taste  gelangt,  mit  dem  gehobenen  Stifte  k  in 
Berührung,  fi  wird  von  dem  Strome  gehoben  und  dadurch  der  Strom  aber« 
mals  geschlossen ;  hat  endlich  das  Gatter  seine  Umdrehung  fast  vollendet, 
so  stösst  die  Sperrklinke  n  im  Vorbeigehen  gegen  einen  Ansatz  am  Rade  /, 
rückt  es  momentan  ein  wenig  zur  Seite  und  jetzt  erst  kann  die  niederge- 
drückte Taste  in  die  Höhe  gehen,  der  Bügel  dd  senkt  sich  und  das  Gatter 
wird  angehalten. 

Beim  ersten  Schliessen  des  Stromes  wird  auf  der  Eknpfangsstation  der 
Hebel  des  Elektromagnetes  P  (Fig.  10,  Taf.  V)  des  Relais  R  angezogen  und 
so  eine  Localbatterie  geschlossen ,  deren  Strom  durch  die  Rollen  des  Elek- 
tromagnetes M  (Fig.  9,  Taf.  V)  hindurchgeht;  indem  dadurch  der  auf  dem 
um  e  drehbaren  Hebel  EE  befindliche  Anker  F  angezogen  wird,  wird  der 
mit  Flanell  überzogene  Druekstempel  /  am  andern  Ende  des  Hebels  EE 
gegen  das  kleine  und  leichte,  aus  Aluminiummetall  hergestellte  Tjpenrad 
Jangedrückt,  allein  es  kann  kein  Buchstabe  abgedruckt  werden,  weil  zur 
Zeit  der  breite  leere  Ausschnitt  q  des  Tjpenrades  (welcher  dem  von  den 
Tasten  freigelassenen  Räume  des  Zeichengebers  entspricht)  dem  Stempel  / 
gegenüber  steht;  wohl  aber  wird  der  ebenfalls  auf  der  Welle  e  sitzende 
Sperrhaken  D  gedreht  und  lässt  den  Sperrarm  C  los,  so  dass  nun  das 
Eohappement  BB^  B  des  Uhrwerks  durch  das  i7zähnlge  Echappementrad  Ä^ 
welches  mit  dem  Arme  C  und  dem  Typenrade  T  eine  gemeinschaftliche 
Achse  besitzt^  das  Typenrad  in  Umdrehung  yerseteen^kann.^D^^Um- 


:  Von  Dr.  Ed.  Zbtzsche.  407 

drehting  dauert  nun  nngestiSTt  fort,  bis  der  Strom  Eum  asweiten  Male  ge- 
seblo0sen  wird;  bei  dem  jetzt  erfolgenden  Anstehen  des  Ankers  F  nämlich 
greift  die  gleichfalls  auf  der  Achse  e  sitzende  Sperrklinke  K  zwischen  zwei 
der  29  Stifte  auf  dem  Rade  A  ein  und  hemmt  es,  während  gleichzeitig  der 
Stempel  /  den  eben  ihm.  gegenüber  stehenden  Buchstaben  abdruckt.  Zur 
Sicherung  der  Bewegungen  dient  der  Winkelhebel  H^  welcher  sich  federnd 
mit  dem  einen  Ende  auf  die  kleine  ausgeschnittene  Scheibe  G  auf  der  Achse 
des  Typenrades  auflegt;  nach  dem  ersten  Sohliessen  des  Stromes  gleitet 
nämlich  das  Ende  des  Hebels  H  vorübergehend  in  den  Ausschnitt  der 
Scheibe  Q  und  dabei  drückt  sein  anderes  Ende  den  Hebel  des  Relais  P  nie- 
der ,  so  dass  der  Localstrom  durch  den  Elektromagnet  M  sicher  unterbro- 
chen, und  durch  die  an  ihm  befindliche  Feder /"der  Hebel  EE  und  mit  ihm 
auch  die  Sperrhaken  D  und  K  in  ihre  Ruhelage  zurückgeführt  werden; 
denn  sonst  würde  der  Relaishebei  durch  den  nicht  augenblicklich  wieder 
verschwindenden  Magnetismus  angezogen  bleiben  können  und  in  diesem 
Falle  würde  sieh  K  zwischen  die  Stifte  auf  A  einlegen  und  das  Tjpenrad  T 
henunen*).  Die  20  Stifte  auf  A  stehen  desshaib  auch  nicht  im  YoUkreisei 
•ondemes  ist  ein  Stück  Bogen  freigelassen,  ähnlich  wie  im  Tjpenrade 
bei  q.  Wenn  nach  dem  Aufdrucken  eines  Buchstabens  der  Stempel  /  und 
die  Sperr kaken  i>  und  if  in  ihre  Ruhelage  zurückgekehrt  sind ,  setzt  das 
Typenrad  T  in  gleichem  Schritte  mit  dem  Gatter  bff^  des  Zeichengebers 
seinen  Weg  fort,  bis  sich  der  Sperrarm  C  wieder  an  den  Sperrhaken i>  an« 
legt,  d.  h.  bis  das  Typenrad  7,  wie  das  Gatter  bff^^  auf  den  Ausgangs« 
puttkt  zurückgekehrt  ist  Nackdem  also  ein  Buchstabe  telegraphirt  worden 
ist,  stellen  sich  die  Apparate  von  selbst  wieder  auf  den  Ausgangspunkt  eiUt 
wesshalb  ein  etwa  untergelaufener  Fehler  sich  nicht  weiter  fortpflanzen 
«ad  auch  nieht  die  nachfolgenden  Buchstaben  unrichtig  machen  kann.  .  ; 
Der  Papierstreifen  wird  durch  das  Walzenpaar  £,  N  durch  den  Appa- 
rat hindurohgeführt^  indem  von  dem  Uhrwerke  die  Bewegung  mit  auf  iT 
übertragen  wird,  ü  ist  die  Schwärz  walze ,  welche  die  Typen  mit  der 
Dmckschwärze  versieht. 

4  Der  TypendracktelegTaph  tob  Boyal  X.  Honse. 

Wesentlich  abweichend  von  allen  übrigen  Telegraphenapparaten  ist 
der  Typendrocktelegraph  des  Amerikaners  Hon se  durch  die  eigentfattm« 
liehe  Construction  des  Elektromagnetes  und  durch  dessen  originelle  Be- 
nutzung zur  Bewegung  eines  Vertheilungsscliiebers ,  welcher  den  Zutritt 
der  Luft  aus  einem  Windkessel  in  einen  Cylinder  regnlirt;  der  von  der 
verdichteten  Luft  in  dem  Cylinder  hin  und  her  bewegte  Kolben  setzt  aber 
das  Typenrad  in  Bewegung. 


*)  Anch  dfts  Sperrrad  r  und  die  8perrkegel  «  und  i  lollen  zur  Sicherang  des 
Ganges  beitragen.  uigmzea  oy  v_jv>OQIC 


408  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 


Hau  ff  e  erlangte  hereit«  den  18.  April  1846  ein  Patent  auf  seinen  Tele- 
graph, aber  erst  1847  wurde  derselbe  darch  Hevry  O'Reilly  vervoll- 
kommnet and  aap  der  Linie  swisahen  Oineinatti  und  Louisville  angewendet 
nnd  die  erste  Depesche  von  Cinernätti  auf  eine  Entfernung  von  190  (engl.) 
Meilen  nach  Jeffersonville,  gegenüber  Lonisville,  gesandt.  1849  ward  der 
Apparat  auf  einer  Linie  von  Philadelphia  nach  New-York  angewendet  und 
erlangte  da&n  eine  schnelle  Yerbreitmig  in  Nordamerika»  8o  war  er  i89ft 
schon  auf  der  600  Meilen  langen  Linie  von  Böston  nach  New-York,  auf  den 
Linien  Von'Buffalo  nach  New-Ydrk,  von  New-York  nach  Philadelphia, 
Poston,  Washington  u.  a.  in  Betrieb*)*  Das  letate  Patent  Honse's  datirt 
vom  28.  Deoember  189t. 

Zum  Zeicliengeben  dient  eine  Cläviatur ,  deren  28  Tasten  in  awei 
Beihen  stehen,  ganz  wie  bei  einem  Ciavier,  durch  Federn  ii)  der  horison^ 
talen  Lage  erhalten  werden  und  mit  den  20  Buchstaben  {J  mit  eingerech- 
net) ,  einem  Schlasapunkt  und  einem  Gedankenstriche  bezeichnet  sind.  Auf 
der  Unterseite  hat  jede -Taste  einen  kleinen  Ansata,  welcher  beim  Nieder- 
drücken der  Taste  sich  so  weit  senkt,  dass  ein  Stift  anfeiner  quer  unter 
den  Tasten  liegenden  Walze  sich  an  ihn  anlegen  kann  und  dadurch  die 
Walze  selbst  in  ihrer  Umdrehung  aufgehalten  wird.  Diese  Walze ,  welche 
mit  der  Walze  in  einem  Leierkasten  oder  einer  Drehorgel  Aehnliehkeit  hat, 
sitzt  auf  ihrer  Achse, nicht  fast,  sondern  ist  nnr  durch  eine  Frictionsknppe- 
lung  mit  ihr  verbunden ,  damit  die  Achse  sich  ungestört  fortdrehen  kann, 
auch  wenn  die  Walze  aufgehalten  wird.  Die  Walze  ruht  mit  den  Zapfen 
ihrer  Achse  in  einem  isolirten  Eisenrahmen  und  bildet  so  gut  wie  dieser 
einen  Theil  des  Schliessungskreises  fUr  den  elektrischen  Strom.  Auf  der 
einen  Seite  sitzt  auf  der  Achse  der  Walze  eine  Riemenscheibe ,  durch 
welche  die  Walze  mit  der  Hand  durch  eine  Kurbel  mit  Schwungrad  in  Um- 
drehang  versetzt  wird.  Die  eine  Speiehe  des  Schwungrades  bildet  einen 
Krammsapfen,  welcher  den  Kolben  einer  Luftpumpe*  in  Bewegung  setzt 
und  durch  diesen  Luft  in  einen  U  Zoll  langen  Windkessel  von  0  ZoU  Durch* 
messer  einpumpt;  dieser  Windkessel  muss  mit  einem  Sicherheitsventile  ver- 
seilen sein ,  durch  welches  die  zum  Betrieb  nicht  nöthige ,  also  überflüssige 
Luft  entweichen  kann.  An  der  Walze  fest  sitzt  auf  der  ein^  Seite  das 
messingene  Schliessungsrad  {circuü  wheel) ^  auf  dessen  Umfange  14  sec- 
torförmige  Ausschnitte  von  |^  Zoll  Tiefe  angebracht  sind,  welche  sowohl 
unter  sich,  als  auch  mit  den  dazwischen  stehengebliebenen,  zahnförmig 
hervorragenden  Sectoren  von  gleicher  Grösse  sind.  Auf  dieses  Scbliessungs- 
rad  legt  sich  ejue  metallene  Feder  auf  und  tritt  bei  seiner  Umdrehung  ab- 
wechselnd in  die  leeren  Ausschnitte  ein  oder  legt  sich  auf  einen  stehen  ge- 
bliebenen Sector  auf**) ;  wenn  nun  die  Feder  nach  der  einen  Seite  hin  und 


*)  Vgl.u.  A.  Zeitschrift  d.  dtutsch-österrcich.  Tele^aphenvereins,  I.  Jahrg.  S.  155. 

'^)  Ein  solehcH  l^hliessirag^srad  i«t  in  Fig.  17,  Taf.  Vi,  abgebildet;  die  Feder  f 

liegt  gerade  auf  einem  massiven  Sector  des  Schliessangsru^^^^ä  oy  <^k^%^:^i 


Liv, 


Von  Dr.  Ed.  Zetzschb.  409 

das  SehliessQngsmd  durch  die  Walze  und  den  Hahmen  nach  der  andern 
Seite  hin  mit  dem  Schliessungskreis  der  Batterie  in  Verbindung  gesetzt 
werden,  so  ist  der  Schliessnngskreis  geschlossen  oder  unterbrochen»  je 
nachdem  die  Feder  auf  einem  Sector  oder  in  einem  Ausschnitte  liegt.  So 
lange  keine  Taste  niedergedrückt  ist,  wird  also  bei  der  mit  der  Hand  durch 
die  Kurbel  hervorgebrachten  Umdrehung  der  Walze  und  des  Schliessungs- 
rades abwechselnd  ein  Strom  in  die  Liuie  gesendet  und  wieder  unterbro- 
chen; sowie  aber  eine  Taste  niedergedrückt  und  die  Walze  dann  aufgehal- 
ten wird,  sobald  sich  der  entsprechende  der  28  Stifte,  welche  ähnlich  wie 
die  Tasten  der  Clayiatur  in  zwei  Spiralreihen  zu  je  14  auf  der  Walze  ver- 
theilt  sind,  an  den  Ansatz  der  niedergedrückten  Taste  anlegt,  hört  die 
Abwechselung  auf  und  es  circulirt  entweder  kein  Strom  oder  ein  ununter- 
brochener, je  nachdem  die  Feder  in  einem  Ausschnitte  oder  auf  einem 
massiven  Sector  liegt.  Wird  die  Taste  wieder  losgelassen,  so  folgt  die 
Walze  wieder  der  Bewegung  ihrer  Achse,  kommt  wieder  in  Umdrehung, 
die  Abwechselung  beginnt  von  Neuem  und  es  wird  bei  jeder  Umdrehung 
14  Mal  der  Strom  unterbrochen  und  14  Mal  wieder  hergestellt. 

Der  Strom  geht  nun  von  dem  einen  Batteriepol  durch  die  Luftleitung 
nach  der  Empfangsstation,  dort  durch  die  Kollen  des  Elektromagnetes, 
durch  den  Eisenrahmen,  die  Walze  und  das  Schliessungsrad,  durch  die 
Batterie ,  in  der  Erde  zurück  zur  Ausgangsstation ,  nimmt  daselbst  einen 
ähnlichen  Weg  durch  die  Apparate  zum  andern  Batteriepol.  Die  abwech- 
selnde Herstellung  und  Unterbrechung  des  Stromes  erzeugt  aber  auf  der 
Empfangsstation  eine  hin  und  her  gehende  Bewegung:  innerhalb  der  in 
einer  Messingbüchse  E  (Fig.  11,  Taf.  VI)  befindlichen  elektrischen  Mul- 
tiplicationsrollen  A  des  Elektromagnetes  der  Empfangsstation  steckt  eine 
8  bis  10  Zoll  lange  Messingröhje  c,  welche  mit  der  Schraube  D  auf  der 
Grundplatte  des  Apparates  befestigt  ist.  In  dieser  Köhre  sind  6  bis  8  röhren- 
förmige Reifen  k  von  weichem  Eisen  in  gleichen  Entfernungen  von  einander 
festgelöthet.  Weiter  oben  über  den  Multiplicationsrollen  ist  ein  elliptischer 
King  F^  in  welchem  ein  elastischer  Draht  G  diametral  ausgespannt  ist,  des- 
sen Spannung  durch  zwei  Stellschrauben  a  und  b  mit  der  jeweiligen  Strom- 
stärke in  Einklang  gesetzt  und  regulirt  werden  kann.  Von  dem  Drahte  G 
hängt  ein  Messingstab  C  in  die  erwähnte  messingene  Bohre  herab,  zwischen 
den  Eisenreifen  k  in  derselben  hindurch,  und  auf  diesem  Messingstabe  C 
sind  6  oder  8  schmale  Röhren  /  von  weichem  Eisen  in  gleichen  Abständen' 
von  einander  aufgereiht;  ihre  unteren  Enden  sind  glockenförmig  ausge- 
baucht ,  während  die  Reifen  k  an  ihrem  oberen  Rander  in  gleicher  Weise 
nach  Innen  erweitert  sind.  Wenn  nun  ein  Strom  durch  die  Rollen  geht,  so 
werden  sowohl  die  Reifen  k  als  die  Röhrenstücke  l  magnetisch,  und  zwar 
liegen  bei  beiden  die  gleichnamigen  Pole  nach  derselben  Richtung ,  z.  B. 
alle  Nordpole  nach  oben,  alle  Südpole  nach  unten;  es  wird  daher  bei  der 

Zeitschrift  f.  Mathematik  u,  Phyaik.  V.  uigmz^lfty  ^OOQIc 


410  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

gewählten  Stellung  der  Reifen  Ar  gegen  die  Röhrenstücke  /  jedes  Röhren- 
stück /  Ton  dem  darüber  befindlichen  Reifen  abgestossen,  von  dem  darnnter 
befindlichen  angezogen,  die  Stange  C  mitbin  kräftig  nach  unten  bewegt 
Wenn  aber  der  Strom  aufhört,  führt  der  federnde  Draht  G  die  Stange  C 
in  ihre  frühere  Lage  zurück.  Die  Stange  C  bewegt  sich  dabei  nur  um 
ufj  Zoll  auf  und  nieder. 

Anstatt  aber  die  so  erzielte  hin  und  her  gehende  Bewegung  der  Stange 
C,  wie  es  wohl  zunächst  läge ,  gleich  anfein  Echappement  zu  tiberträgen, 
bedient  sich  House  erat  der  Veirnittelung  des  Kolbens  in  einem  Cylinder; 
die  Kolbenstange  setzt  das  Echappement  in  Bewegung,  der  Kolben  selbst 
aber  wird  durch  Luftdruck  abwechselnd  hin  und  her  geschoben  und  die 
Stange  C  besorgt  eben  die  Steuerung ,  reguUrt  den  Ein  -  und  Anstritt  der 
comprimirten  Luft  in  den  Cylinder.  Es  ist  nämlich  an  ibr  ein  cylindrischer 
Schiebekasten  B  befestigt,  welcher  in  seinem  Umfange  drei  Rinnen  1,  2 
und  3  hat  und  in  der  Luftkammer  H  auf  und  nieder  gleitet;  die  Luftkammer 
ist  aber  im  Innern  mit  zwei  Rinnen  4  und  5  versehen,  welche  durch  die 
Kanäle  /  und  M  nach  dem  Cylinder  führen,  in  welchem  der  Kolben  hin 
und  her  gehen  soll.  Die  comprimirte  Luft  tritt  aus  dem  anfangs  erwähnten 
Windkessel  durch  die  Oeffnung  L  in  die  Rinne  2  des  Schiebekastens  ein 
und  gelangt  von  da,  je  nach  der  Stellung  des  Schiebekastens,  durcli  4  oder 
5,  /  oder  M,  über  oder  unter  den  Kolben  im  Cylinder,  Und  nachdem  sie 
auf  diesen  gewirkt  hat,  beim  nächsten  Umsteuern  durch  den  elektrischen 
Strom  entweicht  sie  durch  die  Rinne  1  oder  3  im  Schiebekasten  in  die  At- 
mosphäre. 

Der  Kolben  im  Cylinder  bewegt  sich  also  in  gleichem  Takte  mit  dem 
Stabe  C  und  überträgt  seine  horizontal  hin  und  her  gehende  Bewegung  auf 
den  Hebel  h  des  Echappements  V  (Fig.  12  und  13,  Taf.  VI),  dessen  Lappen 
sich  abwechselnd  sperrend  in  das  Echappementrad  N  einlegen ,  welches  auf 
derselben  vertical  stehenden  Welle  /  (Fig.  12  und  14,  Taf.  VI)  mit  dem 
2  Zoll  im  Durchmesser  haltenden  stählernen  Typenrade  AB  CD  sitzt;  diese 
Welle  J  aber  ist  durch  Friction  mit  einer  hohlen  Rolle  H  (Fig.  14,  Taf.  VI) 
verbunden,  indem  eine  gewöhnliche  Uhrfeder  sich  tnit  dem  einen  Ende 
immer  mit  gleicher  Kraft  an  die  innere  Seite  der  Rolle  anlegt,  während  die 
Feder  mit  ihrem  andern  Ende  an  der  Welle  befestigt  ist.  So  nimmt  die 
Rolle,  welche  in  beständiger  Umdrehung  erhalten  wird,  das  Typenrad  mit, 
so  oft  sich  nicht  ein  Lappen  des  Echappements  sperrend  in  das  Echappe- 
mentrad einlegt.  Das  Echappementrad  hat  14  Zähne  und  rückt  bei  jeder 
Schwingung  des  fcchappements  um  einen  Zahn  fort.  Das  Typenrad  ent- 
hält dieselben  28  Zeichen,  wie  die  Claviatur,  und  rückt  demnach  sowohl 
beim  Hingange  als  beim  Hergange  des  Echappements,  des  Kolbens  oder 
der  Stange  C  um  ein  Zeichen  fort,  also  jedesmal  um  ein  Zeichen,  wenn  die 
Feder  auf  dem  Schliessungsrade  des  Zeichengebers  von  eix^em  massiven 
Sector  in  einen  Ausschnitt  eintritt  oder  umgekehrt.  Digitizedby  L^OOgi^ 


Von  Dr,  Ed.  Zetzsche,  411 

Durch  die  Schrauben  m  und  n  (Fig.  12,  Taf.  VI)  ISsat  sich  jeder  be«- 
liebige  Buchstabe  des  Typenrads  einstellen  und  durch  sie  wird  das  Typen- 
rad beim  Beginn  jeder  Depesche  auf  den  Gedankenstrich  eingestellt;  eben 
80,  wenn  einmal  während  des  Telegraphirens  das  Typen rad  ausser  Ein- 
klang mit  dem  Zeichengeber  der  telegraphirenden  Station  gerathen  ist. 
Oberhalb  des  Typenrades  sitzt  an  seiner  Welle  J  noch  ein  Buchstabenrad 
E^  welches  durch  ein  kleines  Fensterchen  in  der  Haube  des  Apparates 
denselben  Buchstaben  sichtbar  werden  lässt,  welcher  auf  dem  Typenrade 
eben  abgedruckt  wird.  So  kann  die  Depesche  auch  gleichzeitig  abgelesen 
werden. 

Auf  seiner  Obern  Fläche  hat  das  Typenrad  28  vorstehende  Triebstöcke; 
neben  ihm  steht  eine  kleine  Stahlscheibe  JC  (Fig.  12  und  15,  Taf.  VI),  zwei 
Zoll  im  Durchmesser,  welche  ebenfalls  nur  durch  Frictionskuppelung  auf 
ihrer  verticalen,  durch  den  Schnurlauf  in  steter,  mit  der  des  Typenrades 
gleichsinniger  Umdrehung  erhaltenen  Welle  befestigt  ist*);  an  der  dem 
Typenrade  zugewandten  Seite  der  Scheibe  ist  ein  kleiner  stählener  Arm  d, 
}  Zoll  lang,  angebracht,  welcher  sich  au  die  Triebstöcke  des  Typeurades 
anlegt  und  von  ihnen  mitgenommen  wird,  wenn  das  Typenrad  sich  um- 
dreht, sich  dagegen  zwischen  zwei  Triebstöcke  einlegt,  wenn  das  Typenrad 
still  stellt;  im  letzteren  Falle  folgt  die  Scheibe  ein  Stückchen  ihrer  Welle 
and  erhält  eine  kleine  entgegengesetzte  Bewegung,  wenn  das  Typenrad 
sich  wieder  in  Bewegung  setzt.  Auf  der  dem  Arm  d  diametral  entgegen- 
gesetzten Seite  der  Scheibe  JC  sind  zwei  Aufhaltstifte  t  und  e  angebracht; 
wenn  das  Typenrad  still  steht,  so  legt  sicK  an  den  ersten,  t,  ein  Aufhalt- 
arm üj  welcher  gleichfalls  nur  mit  Frictionskuppelung  auf  eine  verticale 
Welle  T  aufgesteckt  ist;  diese  Welle  T  aber  wird  durch  den  Scbnurlauf 
stets  in  entgegengesetztem  Sinne  wie  das  Typenrad  umgedreht.  Fängt  das 
Typenrad  an,  sich  umzudrehen,  so  wird  die  Scheibe  ..Y  durch  den  kleinen 
stählernen  Arm  ein  Stück  mit  fort  genommen;  dadurch  wird  U  von  dem 
ersten  Aufhaltstifte  t  der  Scheibe  losgelassen  und  legt  sich  an  den  gleich 
daneben  befindlichen  zweiten,  e,  an,  bis  das  Typenrad  wieder  ßtill  steht; 
geschieht  diess,  .so  macht  die  Scheibe  X  eine  kleine  Bewegung  durch  den 
Antrieb  ihrer  Welle  und  jetzt  lässt  wieder  der  zweite  Aufhaltstift  e  den 
Aufhaltarm  ü  los  und  dieser  macht  nahezu  eine  volle  Umdrehung ,  bis  er 
sich  wieder  an  den  ersten  .Aufhaltstift  t  anlegt  **).  So  oft  also  das  Typen- 
rad still  steht,  macht  der  Aufhaltarm  U  eine  Umdrehung  und  diese  wird 
nun  zum  Aufdrucken  des  Buchstabens  auf  das  Papier  benutzt.     Auf  der 


*)  Einfacher  wäre  es  jedenfalls,  wenn  die  Welle  der  Scheibe  fest  stünde  und 
mit  der  Scheibe  durch  eine  Uhrfeder  in  derselben  Weise,  wie  Fig.  14,  Taf.  VI,  ver- 
bunden wäre ,  und  zwar  so ,  dass  ein  Ende  der  Feder  fest  mit  der  unbeweglichen 
W^elle  J,  das  andere  Ende  aber  fest  mit  der  inneru  Höhlung  II  der  beweglichen 
Scheibe  verbunden  wäre. 

**)  Eine  ähnliche  Vorrichtung  wurde  schon  beim  Typendrucktelegraph  vöif 
Bain  beschrieben. 


uigiiizea  oy  v_j  v> 

28» 


ogle 


412  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 


Nabe  des  Aufhaltarms  V  sitzt  nftmlich  noch  eine  excentrische  Scheibe  R 
fest;  von  dieser  geht  die  Zugstange  S  aus  und  zieht  bei  jeder  Umdrehung 
der  Scheibe  einen  auf  einem  federnden  Stahlstäbchen  angebrachten,  sich 
drehenden ,  gekerbten  Schaft  p  an  den  eben  eingestellten  Buchstaben  dea 
Typenrades  heran.  QQ  ist  das  endlose  Schwärzband*),  welches  von 
einer  kleinen  Farbenwalze  beständig  mit  der  zum  Drucken  verwendeten 
Farbe  gespeist  wird ;  den  von  einer  Rolle  kommenden  Papierstreifen  L  aber 
zieht  der  geriffelte  Schaft  p  bei  seiner  Utndrehung  zwischen  sich  und  einer 
Stahlspange  hindurch,  welche,  das  Papier  an  den  Schaft  andrückt  und  ea 
glatt  erhält;  die  Spange  ist  durchbrochen  und  durch  die  Oeffnung  in  ihr 
reicht  der  Type  beim  Aufdrucken  hindurch.  Nach  jedem  Aufdrucken  eines 
Buchstabens  aber  wird  der  Schaft  p  bei  seinem  ^Rückgänge  durch  eine 
Sperrvorrichtung  um  ^  Umdrehung  um  seine  Achse  gedreht,  so  dass  eine 
neue  unbedruckte  Papierfläche  vor  die  durchbrochene  Oeffnung  der  Spange 
zu  stehen  kommt. 

Vor  dem  Beginn  des  Telegraphirens  wird  ein  Signal  durch  die  ein- 
fache Bewegung  des  Elektromagnetes  gegeben ;  die  Empfangsstation  beant- 
wortet dasselbe  und  meldet  unter  Einstellen  des  Typenrades  auf  den  Ge- 
dankenstrich zurück,  sie  sei  zum  Empfangen  bereit;  jetzt  sind  beide  Ma- 
schinerien in  Gang  und  die  Correspondenz  beginnt,  indem  der  Telegraph  ist 
die  Depesche  auf  seinem  Claviere  abspielt.  Das  Typenrad  muss  dabei  in 
1  Secunde  mindestens  25  Schritte  fortrücken,  damit  der  Druckapparat  nicht 
schon  während  des  Einsteilens  des  Typenrades  in  Gang  kommt.  Der  Ap- 
parat soll  sehr  gut  und  sicher  arbeiten  und  300  Buchstaben  in  1  Minute 
drucken.  —  Anscheinend  kann  selbst  von  der  Empfangsstation  aus  die 
Correspondenz  unterbrochen  und  so  eine  etwa  nöthige  Correctur  leicht  er- 
langt werden,  wenn  einmal  ein  oder  mehrere  Zeichen  undeutlich  ausgeprägt 
wären. 

6.  Ber  Typendmoktelegraph  von  Jacob  Brett 

Der  Engländer  Jacob  Brett  arbeitete  mehrere  Jahre  in  Gesellschaft 
mit  dem  Amerikaner  Royal  E.  House  an  einem  Typendrucktelegraph; 
Letzterer  nahm  ein  Patent  in  den  Vereinigten  Staaten,  Ersterer  in  Gross- 
britannien auf  denselben  Apparat  {ve^r^l,  Mechanic's  Magazine,  Bd.  51,  S.  623). 
Nach  dem  Ablauf  dieser  ersten  Patente  verbesserten  beide  ihren  Telegraph; 
der  House'sche  kam  auf  mehreren  Linien  der  Vereinigten  Staaten  in  Ge- 
brauch ,  der  Brett*sche  dagegen  nur  vorübergehend  auf  europäischen  Linien. 

Der  Zeichengeber  ist  eine  Claviatur  mit  28  (auch  wohl  30  oder  40) 
Tasten ,  unter  welchen ,  ähnlich  wie  bei  dem  House'schen  Telegraph ,  eine 
Walze  mit  28  Metallstiften  angebracht  ist,  welche  in  einer  Schraubenlinie 
auf  der  Walze  vertheilt  sind,  und  von  denen  sich  beim  Niederdrücken  einer 

'^)  Es  ist  aach  versucht  worden ,  die  Bachstahen  (ohne  Druckfarbe)  blos  me- 
chanisch in  das  Papier  einzudrucken;  vergl.  Polytechnisch. Q|^||§]|^]m,JJ9^  6.  713. 


Von  Dr.  Ed.  Zet2SCHE.  413 

Taste  immer  einer  an  eioen  Voraprung  auf  der  Unterseite  der  Taste  an- 
legt und  80  die  Walze  arretirt;  die  Walze  wird  aber  mittels  eines  Härder- 
verkes  mit  Windflügel  durch  ein  Gewicht  in  Umdrehung  versetzt;  auf  der 
Walze  sitzt  ferner  ein  ebensolches  Schliessungsrad  mit  14  (l5  oder  20) 
zahnförmig  vorstehenden  Sectoren,  wie  bei  dem  Apparat  von  House;  eine 
Feder  schleift  auf  dem  Metall  der  Walze  und  eine  andere  daneben  auf  dem 
metallischen  Schliessungsrade;  die  erstere  steht  mit  einem  Batteriepol ^  die « 
andere  durch  den  Druckapparat  hindurch  mit  der  Luftleitung ,  mit  den  Ap- 
paraten auf  der  Empfangsstation  und  durch  die  Erde  mit  dem  andern  Bat- 
teriepol  in  leitender  Verbindung;  somit  wird  bei  Umdrehung  der  Wal&e 
durch  die  beiden  Federn  der  Strom  abwechselnd  jgeschlossen  und  wieder 
unterbrochen.  Später  eraetzte  Brett  die  Claviatnr  durch  ein  mit  den  tele* 
graphischen  Zeichen  versehenes  Zifferblatt  (Fig.  16  und  17,  Taf..  VI) ,  ani^. 
welchem  um  die  Drehachse  Ä  ein  mit  dem  Zeiger  K  fest  verbundener  Hebel- 
arm GHJy  bei  /  auf  einer  kleinen  Rolle  rollend,  nach  beiden  Seiten  hin 
herumgedreht  werden  kann;  bei  einer  Drehung  aus  seiner  jetzigen  Stellun^^ 
nach  links  bewegt  er  sich  allein  und  kann  so  beim  Beginn  des  Telegraghi- 
rens  auf  ein  bestimmtes  Zeichen  eingestellt  werden ;  bei  einer  Drehung  nach 
rechts  aber  nimmt  er  durch  die  Sperrung  /  und  D  das  Schliessungsrad  $  mit, 
welches  sich  ebenfalls  nur  nach  dieser  Richtung  herumdrehen  kann,  da  eine 
Sperrvorrichtung  e  und  B  ein  Umdrehen  in  der  entgegengesetzten  Richtung 
verhindert;  die  Anordnung  des  Schliessuugsrades  S  und  der  beiden  auf- 
schleifenden, mit  den  Klemmen  M  und  N  leitend  verbundenen  Federn  f 
und  g  zeigt  Fig.  17,  Taf.  VI,  deutlich. 

Der  Anker  B  des  Elektromagnetes  'E  (Fig.  18,  Taf.  VI)  des  Druck« 
apparates  ist  durch  die  Stange  T  mit  dem  als  Feder  wirkenden  Arme  r 
verbunden  und  bewegt  diesen  nieder,  so  oft  die  Eisenkerne  ^  und  y^i  in 
den  Multiplicationsrollen  durch  den  Strom  magnetisch  werden ;  bei  Unter- 
brechung des  Stromes  zieht  die  Feder  r  den  Anker  B  wieder  ab.  Dieses 
Spiel  des  Armes  r  tiberträgt  sich  zugleich  auf  den  Winkelhebel  LL^^  da 
derselbe  fest  auf  derselben  Achse  mit  r  sitzt;  die  beiden  Arme  L  und  Z| 
dieses  Winkelhebels  bilden  aber  ein  Echappement  für  das  etwa  3  Zoll  im 
Durchmesser  haltende  und  1  Zoll  dicke  Typenradi?  mit  28  Zähnen,  au( 
dessen  Umfang  die  28  Typen  (26  Buchstaben ,  der  Schlusspunkt  9nd  ein 
leerer  Raum)  angebracht  sind.  Auf  dem  Typenrade  stehen  ferner  seitlich 
14-Stifte  hervor;  an  einen  derselben  legt  sich  abwechselnd  L  oder  L^  an  und 
hemmt  so  das  Typenrad,  welches  ein  Uhrwerk  mit  Gewicht  in  beständige 
Umdrehung  zu  versetzen  strebt;  bei  jedem  Spiele  des  Ankers  B  rückt  also 
das  Typenrad  um  einen  Stift  oder  zwei  Zeichen  weiter,  mithin  bei  jeder 
Unterbrechung  und  bei  jedem  Schliessen  des  Stroms  um  ein  2^ichen,  und 
es  folgt  demnach  das  Typen rad  in  gleichem  Schritte  dem  Schliessungsrada 
im  Zeichengeber.  Durch  das  Uhrwerk  getrieben,  macht  das  Typenrad, 
wenn. es  nicht  arretirt  wird,  in  der  Hinute  IdO  Umdrehungen,  a  oy  ^^ v^v^^lc 


414  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

Das  Papier ,  auf  welches  die  Buchstfthen  aufgedruckt  werden  sollen, 
ist  entweder  ein  Blatt  und  gleich  auf  den  Cylinder  b  aufgelegt,  und  dann 
erhält  der  Cylinder  durch  eine  Schraube  eine  seitliche  Verschiebung,  so 
dass  die  Buchstaben  in  einer  Schraubenlinie  auf  das  Papier  aufgedruckt 
werden;  oder  es  kommt  ein  Papierstreifen  von  der  unter  dem  Cylinder  b 
liegenden  Papierrolle  0,  Der  Cylinder  b  ist  mit  seinen  Zapfen  a  in  ein  um 
'P  drehbares  Gestell  eingelagert,  welches  mittels  zweier  zu  beiden  Seiten 
des  Typenrades  liegenden  Zugstangen  ce  mit  zwei  excentrischen  Scheiben 
p  verbunden  ist.  Die  Welle  der  excentrischen  Scheiben  wird  ebenfalls 
durch  ein  Uhrwerk  mit  Gewicht  in  beständige  Umdrehung  und  durch  diese 
der  Cylinder  b  in  eine  hin  und  her  gehende  Bewegung  versetzt,  sofern  die 
excentrischen  Scheiben  nicht  gehemmt  werden.  Die  Hemmung  jder  Schei- 
ben wird  durch  den  (mit  dem  Winkelhebel  ZX,  in  keinerlei  Beziehung  oder 
Verbindung  stehenden)  Hebel  //(  bewirkt;  derselbe  dreht  sich  um  eine  im 
Gestell  befestigte  Achse  an  seinem  dicken  Ende  /  und  legt  sich  mit  seinem 
gebogenen  andern  Ende  /,  an  das  Typenrad  R  auf  dessen  Rfickseite  an; 
dazu  hat  das  Typenrad  auf  der  Rückseite  28  vorstehende  Stifte,  von  denen 
/,  beim  Umdrehen  des  Typenrades  in  schneller  Folge  gehoben  wird.  Dem 
Heben  steht  kein  Hindemiss  entgegen,  denn  es  folgt  dem  Hebel  //^  leicht 
der  durch  die  Stange  it  damit  verbundene  kleine  Kolben  k  (Fig.  19,  Taf.  VI) 
in  dem  hydraulischen  Regulator  oder  Governor  S]  das  Wasser  aus  dem 
äusseren  Gefässe  desselben  dringt  dabei  durch  die  Löcher  v  in  den  innern 
Raum  t  und  hebt  das  Ventil  s.  Das  so  über  das  Ventil  gelangte  Wasser 
setzt  aber  dem  Niedergange  des  Kolbens  und  also  auch  des  Hebels  //|  einen 
Widerstand  entgegen;  da  nämlich  das' Ventil  s  sich  gleich  zu  Anfang  des 
Niedergehens  schliesst  und  dem  Wasser  nur  ein  ganz  enger  Ausweg  zwi- 
schen dem  Kolben  k  und  der  Röhrenwand  d  gelassen  ist,  so  kann  der  Kol- 
ben und  der  Hebel  //j  nur  sehr  langsam  niedergehen.  Daher  kommt  es 
denn  auch,  dass  während  der  Umdrehung  des  Typenrades  R  der  Hebel  //, 
sich  eigentlich  gar  nicht  senkt,  sondern  beständig  gehoben  und  in  der 
Schwebe  erhalten  wird,  und  erst  dann,  wenn  das  Typenrad  angehalten 
wird,  durch  die  Wirknng  der  Schwerkraft  langsam  niedergeht.  An  dem 
Hebel  //,  befindet  sich  nun  ein  kleiner  horizontaler  Ansatz  und  zwei  andere 
dergleichen  sitzen  auf  der  einen  excentrischen  Scheibe  p\  wenn  der  Hebel 
gesenkt  ist,  also  das  Typenrad  still  steht,  liegt  der  Ansatz  des  Hebels  an 
dem  ersten  Ansätze  der  Scheibe  an  und  die  Scheibe  ist  gehemmt;  wird  das 
Typenrad  in  Umdrehung  versetzt,  so  wird  der  Hebel  //,  gehoben,  sein  An- 
satz läset  den  ersten  Ansatz  der  Scheibe  los,  diese  dreht  sich  ein  Stück,  bis 
ihr  zweiter,  nahe  an  dem  ersten  befindlicher  Ansatz  dem  Ansätze  am  Hebel 
begegnet,  wodurch  die  Scheibe  wieder  arretirt  wird  und  arretirt  bleibt,  so 
lange  der  Hebel  gehoben  ist;  kommt  endlich  das  Typenrad  zum  Stillstehen, 
so  senkt  sich  der  Hebel,  sein  Ansatz  lässt  den  zweiten  der  Scheibe  frei 
und  diese  macht  jetzt  nahezu  eine  volle  Umdrehung ,  bis  ihr  erster  Ansatz 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsghe.  415 


sich  wieder  an  den  des  Hebels  anlegt.  Bei  der  Umdrehung  der  excentri- 
schen  Scheibe  aber  wird  der  Papiercylinder  b  durch  die  Zugstangen  c  an 
das  Typenrad  R  herangezogen ,  der  eingestellte  Buchstabe  auf  das  Papier 
aufgedruckt*)  und  dann  der  Papiercylinder  b  wieder  zurückgeschoben,  wo- 
bei sich  die  Sperrfeder  e  in  das  Sperrrad  -T  am  Papiercylinder  einlegt  und 
letzteren  um  einen  Zahn  fortrückt,  so  dass  eine  neue  Stelle  des  Papiers  für 
den  Abdruck  des  nächsten  Buchstabens  in  Bereitschaft  gesetzt  wird.  Der 
Sperrkegel  e^  verhindert  eine  rückgängige  Bewegung  des  Papiercylinders. 
Zum  Aufdrucken  soll  sich  pulverisirter  Graphit  sehr  empfehlen ;  derselbe 
wird  in  eine  Binne  in  der  kleinen  Bolle  über  dem  Typenrade  eingetragen 
und  mit  Leinwand  Überzogen;  so  geht  immer  eine  entsprechende  Menge 
zwischen  den  Fäden  der  Leinwand  hindurch  und  schwärzt  die  Typen. 

An  dem  Apparate  ist  auch  eine  Glocke  M  angebracht,  gegen  welche 
der  von  dem  Hebel  //,  oder  der  excentrischen  Scheibe  p  aus  in  Bewegung 
gesetzte  Hammer  N  anschlägt  und  hörbare  Zeichen  giebt,  was  namentlich 
bei  Einleitung  der  Correspondenz  von  Werth  ist. 

Durch  Hinzufügung  sogenannter  Aufhalträder  {stop  rvheels)  bat 
Brett  seinem  Apparate  einen  sicherern  Gang  verschafft;  durch  diese  Vor- 
richtung wird  (der  Zeiger  und)  das  Typenrad  nach  jedem  Aufdrucken  eines 
Buchstabens  auf  den  Ausgangspunkt  oder  Nullpunkt  zurückgeführt«  In 
diesem  Falle  ist  natürlich  darauf  zu  sehen ,  dass  diejenigen  Buchstaben  des 
Alphabets,  welche  am  häufigsten  vorkommen,  dem  Ausgangspunkte  am 
nächsten  stehen ,  und  demgemäss  ist  z.  B.  das  Zifferblatt  in  Fig.  16,  Taf.  VI, 
eingerichtet. 

In  einer  neuem  Form  des  Apparates  hat  Brett  die  bewegenden  Ge- 
wichte durch  eine  Feder  ersetzt.  Ferner  wird  die  Bewegung  des  Typen- 
rades  nicht  durch  abwechselndes  Schliessen  und  Unterbrechen  des  elektri- 
schen Stromes  in  Umdrehung  versetzt,  sondern  durch  positive  und  negative 
Ströme,  welche  in  schneller  Folge  mit  einander  abwechseln,  einen  zwischen 
zwei  Elektromagneten  stehenden  und  ihnen  als  Anker  dienenden  perma- 
nenten Magnet  hin  und  her  bewegen  und  durch  ihn  vermittelst  eines 
Echappements  das  Echappementrad  und  das  mit  ihm  auf  gleicher  Achse 
steckende ,  aber  nur  durch  Friction  von  ihr  mitgenommene  Typenrad  um- 
drehen; dabei  wickelt  sich  die  Schnur  eines  Gewichtes  auf  eine  kleine 
Kolle  neben  dem  Typenrade  auf  und  strebt  dieses  in  die  Ausgangsstellung 
zurückzudrehen;  das  Typenrad  kann  dem  Antriebe  dieses  Gewichts  aber 
erst  dann  folgen ,  wenn  nach  dem  Aufdrucken  des  eingestellten  Buchsta- 
bens beim  Rückgange  des  Druckapparates  ein  Sperrkegel  in  einem  Sperr- 
rädchen ansgerUckt  wird. 


*)  Ursprünglich  bestand  der  Druokapparat  in  einem  Hammer  oder  Faljklotz, 
welcher  in  einer  verticalen  Nuth  auf  and  nieder  ging.  Yergl.  Polytechnisches  CenUral- 
blatt,  1849,  S.  1107,  nach  Polytechn.  NoUzblatt,  1849,  No.  9.  Ip 

'  •'  '  '  uigiTizea  Dy  v_j  vy  v^Ti  Iv^ 


416  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

6.  Hoses  Poole's  Patent 

Der  Patentageni  Moses  Poole  in  London  erhielt  den  14.  December 
1846  ein  Patent  auf  einen  Typendrucktelegraph ,  bei  welchem  durch  einen 
fallenden  Hebeibammer  der  Buchstabe  auf  das  Papier  aufgedruckt  wird, 
sowie  derselbe  eingestellt  ist.  Der  elektrische  Strom  geht  gleichzeitig  durch 
drei  Elektromagnete;  das  Spiel  des  Ankers  des  ersten  Elektromagnetes 
rückt  dls.s  Typenrad  schrittweise  um  einen  Typen  weiter,  so  oft  ein  Strom 
durch  die  Linie  gesandt  wird;  der  zweite  Elektromagnet  rückt  einen  Fe- 
derhaken am  Schwänze  des  Hammers  aus,  so  dass  der  nahezu  rertical 
stehende  Hammer  nun  von  Seiten  des  Federhakens  nicht  mehr  am  Nieder- 
fallen gehindert  ist,  der  dritte  Elektromagnet  hält  aber  den  Hammer  noch 
fest,  so  lange  der  Strom  circulirt,  und  lässt  den  Hammer  erst  fallen,  wenn 
der  Strom  aufbort.  Während  des  Einsteilens  eines  Typen  folgen  sich  aber 
die  Ströme  so  schnell  (16  in  1  Secunde,  durch  ein  Speichenrad  gegeben 
und  unterbrochen),  dass  der  Hammer  beim  Eintritte  des  nächstfolgenden 
Stromes  dem  dritten  Elektromagnet  noch  so  nahe  ist,  dass  er  nicht  nieder- 
fallen kann,  vielmehr  fällt  der  Hammer  erst  dann  auf  den  Typen  herab, 
wenn  der.  Strom  nach  dem  Einstellen  eine  etwas  längere  Zeit  hindurch  un- 
terbrochen wird.  Gleich  nach  dem  Niederfallen  wird  der  Hammer  durch 
ein  bei  seinem  Falle  losgelassenes  Uhrwerk  wieder  gehoben.  (Vergl. 
Dingler,  polytechnisches  Journal,  Bd.  112,  S.  1Ö7,  aus  Repertory  of  Patent 
Inventions,  Jan.  and  Febr.  1849;  Mechanic's  Magazine,  Bd.  47,  S.  42.) 

7.  Der  Typendrucktelegraph  von  Siemens  und  Halsk«. 

Siemens  und  Halske  in  Berlin  construirten  (1852)  einen  Typen- 
drucktelegraph, welcher  in  Russland  und  auf  einigen  baierischen  Eisen- 
bahnen Anwendung  gefunden  hat  und  sich  in  seiner  Einrichtung  genau  an 
den  elektromagnetischen  Zeigertelegraph  von  Siemens  und  Halske*) 
anschliesst.  Bei  diesem  ist  dafür  gesorgt,  d«ss  der  Strom  in  kurzen  gleich- 
massigen  Pausen  sich  selbst  unterbricht  und  wieder  herstellt  (Princip 
der  Selbstunterbrechung).  Sowie  nämlich  der  Anker  des  Elektro- 
magnetes ein  SKick  seines  Wegs  in  Folge  der  elektromagnetischen  Anzieh- 
ung zurückgelegt  hat,  unterbricht  erden  Schliessungskreis  des  elektrischen 
Stromes  und  wird  nun  von  einer  Feder  in  seine  Ruhelage  zurückgeführt, 
wobei  er  durch  einen  Federhaken  das  Zeigerrad  um  einen  Zahn  fortrückt; 
hat  der  Anker  seine  Ruhelage  erreicht,  so  ist  der  Stromkfeis  wieder  ge- 
schlossen und  das  Spiel  beginnt  von  Neuem.  Da  es  aber  nicht  in  steter 
Gleichförmigkeit  fortdauern  darf,  sondern  aufhören  soll,  wenn  der  Zeiger 
über  dem  zu^  telegraphirenden  Buchstaben  steht,  so  hst  eine  Claviatur  mit 
30  im  Kreise  stehenden  Tasten  vorhanden ;  die  mit  dem  zu  telegrapliirenden 


•*)  AnsführlJcTi  beschrieben  in:  Schellen,  der  elektromnfirnetiscbe  Telegraph, 
2.  Aafl.,  Bratinschweig  1854,  S.  115;  Qalle,  Kateehisimis  der  Telegraphie,  2.  Aufl. 
Leipzig  1859.  8.  97. 

r     o  "•   .»rf.  w.  uigiüzea  Dy 'VJ  vj-V-zpc  Lv, 


Von  Dr.  Ed,  S^ssche.  417 

BachBtaben  beseichnete  Taste  wird  niedergedrückt,  und  wenn  nnn  der  Zei- 
ger anf  der  Buclistabenscheibe  ttber  eben  diesem  Bachstaben  stebt,  stösst 
ein  Arm  an  seiner  Welle  an  einen  Stift  der  niedergedrückten  Taste  nnd 
hält  so  den  Zeiger,  das  Zeigerrad  nnd  dnrch  den  Federhaken  auch  den 
Anker  des  Elektromagnetes  mitten  anf  seinem  Wege  anf  nnd  der 
Strcrni  bleibt  nnterbrocben. 

Ersetzt  man  nnn  den  Zeiger  durch  ein  Tjpenrad,  stellt  demselben  an 
irgend  einer  Stelle  eine  Sehwftrzwalze  gegenüber,  führt  zwischen  ihr  und 
dem  Typenrade, den  zu  bedruckenden  Papierstreifen  hindurch  und  läset 
dnrch  die  Wirkung  eines  besonderen ,  zu  diesem  Zwecke  angebracbten 
Elektromagnetes  mittels  eines  Hammers  den  jedesmal  d^r  Schwilrzwalze  ge- 
genüberstehenden Typen  an  die  Walze  andrücken ,  wenn  das  Typenrad  in 
Folge  einer  langer  dauernden  Unterbrechung  des  Stromes  still  steht,  so 
hat  man  den  Zeigerapparat  in  einen  Typendrucktelegraph  umgewandelt. 
Der  Elektromagnet  für  die  Bewegung  des  Hammers  ist  in  den  Kreis  einer 
Localbatterie  eingeschaltet,  welche  durch  die  Wirkung  des  Linienstromes 
so  oft  und  genau  eben  so  lange  und  gleichzeitig  geschlossen  wird,  als  der 
Irinienstrom  unterbrochen  wird  und  umgekehrt;  da  aber  der  Anker  des 
Hammerelektromagnetes  ziemlich  schwer  ist,  so  kann  er  bei  der  schnellen 
Abwechselung  von  Schliessung  und  Unterbrechung  der  Batterie  während  . 
des  Einstellens  nicht  angezogen  werden,  weil  es  immerhin  eine  längere  Zeit 
erfordert ,  bevor  sein  Elektromagnet  so  stark  magnetisch  wird ,  dass  er  den 
schweren  Anker  anziehen  kann.  Wenn  aber  durch  das  Niederdrücken 
einer  Taste  das  Typenrad  festgehalten  wird,  bleibt  der  Localstrom  längere 
Zeit  geschlossen,  der  schwere  Anker  wird  angezogen,  der  Hammer  in  Be- 
wegung gesetzt ,  dabei  "aber  auch  wieder  der  Localstrom  selbst  unterbrochen 
und  nach  dorn  Aufdrucken  der  Anker  und  der  Hammer  durch  eine  Fedor 
in  seine  Ruhelage  zurückgeführt.  (Yergl.  Dingler,  polytechnisches  Journal, 
Bd.  127,  S.  257,  aus  Praelical  Mechanic's  Journal,  Mai  1852,  S.  25.  Polytech- 
nisches Centralblatt  1853,  S.  110<$.) 

8.  Der  Typendrucktelegrapli  von  Du  XonceL 
Du  Moncel  in  Paris  hat  bei  seinem  Typendrucktelegrapb  (185S)  das 
Typenrad  A  (Fig.  20 ,  Taf.  VI)  mit  so  vielen  seitQch  vorstehenden  Stiften 
versehen,  als  Typen  darauf  vorhanden  sind;  diese  Stifte  legen  sich  an  das 
eine  Ende  des  Hebels  a  an,  dessen  anderes  Ende  den  aus  weichem  Eisen 
bestehenden  Anker  a^  des  Elektromagnetes  E  trägt.  Ein  Uhrwerk  strebt 
nun  zwar  fortwährend,  das  Typenrad  umzudrehen,  kann  es  aber  nur  dann 
wirklich  fortrücken,  wenn  der  Anker  angezogen  ist,  weil  sich  sonst  ein 
Stift  hemmend  an  den  Hebel  a  anlegt.  Dabei  überträgt  die  Schwärzwalze  G 
beständig  Druckschwärze  auf  die  Typen;  der  Flanell  Überzug  der  Schwärz- 
walze  ist  nämlich  mit  einer  fetten,  nicht  eintrocknenden  Tinte  getränkt, 
und  auf  die  Zapfen  der  Schwärzwalze  wirken  Federn,  welche  dies^be^teU^ 


4t8  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphio. 

an  das  Tjpenrad  andrücken.  Ein  zweites  Uhrwerk  wirkt  ununterbrochen 
auf  Umdrehung  der  Scheibe  B-y  diese  ist  indessen  ebenfalls  durch  einen 
seitlich  vorstellenden  Stift  gehemmt,  welcher  sich  an  das  untere  Ende  des 
Hebels  b  anlegt;  die  Scheibe  kann  «ich  desshalb  nur  umdrehen,  wenn  der 
am  andern  Ende  des  Hebels  b  befindliche  permanente  Magnet  ^|,  welcher 
als  Anker  für  den  Elektromagnet  Ei  dient,  von  dem  Elektromagnete  ange- 
zogen wird;  denn  dann  lässt  der  Hebel  den  Stift  los  und  die  Scheibe  B 
macht  eine  volle  Umdrehung,  wobei  zugleich  die  auf  ^  sitzende  excentri- 
sehe  Scheibe  K  der  Lenkstange  C  eine  einmalige  hin  und  her  gehende  Be* 
wegnng  ertheilt  und  den  an  dem  Ende  von  C  sitzenden  Stempel  J  einmal 
an  das  Typenrad  J  herandrückt  und  wieder  zurückzieht.  Durch  die  letztere 
Bewegung  wird  der  eben  eingestellte  Type  auf  den  Papierstreifen  P  auf- 
gedruckt, welcher  von  der  Holle  L  kommt,  über  die  Walze  ^,  durch  die 
auf  J  angebrachte  Führung  Q  und  zwischen  dem  Walzenpaare  N,  0  hin- 
darchgeht.  Die  Führung  Q  verhütet,  dass  der  noch  unbedruckte  Theil  des 
Streifens  durch  Anstreifen  an  einen  andern  Typen  beschmuzt  werde.  Beim 
Rückgange  der  Lenkstange  C  legt  sich  der  daran  befindliche  Sperrhaken  p 
in  ein  Sperrrad  s  ein,  welches  in  ein  zweites  eingreift  und  dasselbe  jedes- 
mal um  einen  Zahn  fortrückt;  da  aber  das  zweite  Rad  auf  derselben  Welle 
wie  N  aufgesteckt  ist,  so  wird  auch  N  ein  Stück  umgedreht  und  das  Wal- 
zenpaar JV,  0  zieht,  weil  0  durch  auf  seine  Zapfen  wirkende  Federn  an  N 
angedrückt  wird,  nach  dem  jedesmaligen  Abdrucken  eines  Zeichens  auf  den 
Streifen  den  Streifen  um  ein  Stück  fort,  so  dass  ein  neues  Zeichen  aufge- 
druckt werden  kann. 

Die  beiden  Elektromagnete  E  und  Ei  sind  in  die  Leitung  eitigeschalr 
tet ;  während  aber  der  Anker  von  E  beim  Durchgänge  eines  positiven  und 
auch  eines  negativen  Stromes  angezogen  wird ,  weil  er  aus  weichem  Eisen 
besteht ,  wird  der  Anker  von  Ei  nur  beim  Durchgange  eines  Stromes  von 
einer  bestimmten  Richtung  angezogen,  z.  B.  beim  Durchgange  eines  nega- 
tiven. Das  Telegraphiren  bedingt  demnach  eine  Vorrichtung  zum  Zeichen- 
geben, durch  welche  der  Telegraphist  nach  Bedarf  einen  positiven  oder 
negativen  Strom  in  die  Leitung  senden  kann;  auch  kann  der  Zeichengeber 
gleich  so  eingerichtet  sein,  dass  er  selbst  einen  positiven  oder  negativen 
Strom  in  die  Linie  schicjct,  wie  es  gerade  erforderlich  ist*).  So  lange  nun 
blos  das  Typenrad  gedreht  werden  soll ,  giebt  der  Telegraphist  wiederholt 
einen  kurzen  positiven  Strom ,  dadurch  rückt  das  Typenrad  jedesmal  um 
einen  Typen  weiter,  indem  der  Hebel  a  jedesmal  einen  Stift  frei  lässt,  wo- 
gegen der  Anker  b^  am  Hebel  b  nicht  angezogen  wird,  also  die  Scheibe  B 
gehemmt  bleibt.  Das  letzte  Mal  jedoch,  d.  h.  wenn  eben  der  zu  telegra- 
phirende  Buchstabe  sich  einzustellen  im  Begriff  ist,  lässt  man  das  Typen- 
rad durch  einen  negativen  Strom  fortrücken;  die  Folge  davon  ist,  dass 

*)  Eines  solchen  Apparates  Beschreibung  folgt  beim  Typendrucktelegraph  von 

Digney.  uigmzea  oy  v^iv^v^^^ii 


Li>- 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsche.  419 

auch  der  Elektromagnet  E^  seinen  Anker  anzieht,  die  Scheibe  B  eine  Um- 
drehung macht  und  der  zu  telegraphirende  Buchstabe  auf  den  Papierstreifen 
aufgedruckt  wird. 

Eine  Einrichtung ,  welche  Sorge  ti-Ägt ,  dass  dejr  Anker  von  E  nicht  z« 
lange  angezogen  bleibt,  damit  nicht  mehr  als  ein  Stift  auf  einmal  an  a  vor* 
beigehen  kann,  rauss  die  Zuverlässigkeit  des  Apparates  erhöhen.  Ist  der« 
selbe  Buchstabe  zwei  oder  mehr  Mal  hintereinander  zu  drucken ,  so  miiSB 
zwischen  jedem  Mal  das  Tjpenrad  eine  volle  Umdrehung  machen,  was 
nicht  gerade  ein  Vorzug  des  Apparates  genannt  werden  kann. 

9,  Der  T7pe]Ldruckt9legrapli  Ton  Freitel 

paradirte  auf  der  Pariser  Industrieausstellung  im  Jahre  1855.  Er  unter- 
acheidet  sich  von  allen  anderen  schon  dadurch ,  dass  er  die  Depesche  nicht 
in  einer  einzigen  Zeile  auf  einen  schmalen  Papierstreifen  aufdruckt,  son* 
dorn  auf  einem  breiten  Blatte  in  übereinander  liegenden  Zeilen  genau  in 
derselben  Weise,  wie  die  Zeilen  auf  jeder  Seite  eines  gedruckten  Buches 
über  einander  liegen.  Zur  Bewegung  des  Apparates ,  welcher  das  Tjpen- 
rad  auf  den  zu  telegraphirenden  Buchstaben  einstellt,  und  des  anderen, 
welcher  dann  das  Aufdrucken  d^s  Buchstabens  besorgt,  ist  nnr  ein  einziger 
Elektromagnet  E  (Fig.  21,  Taf.  VI)  vorhanden;  dieser  hat  aber  zwei  (in 
der  Fig.  21  nicht  sichtbare)  neben  einander  liegende  Anker,  und  es  sind  die 
Federn,  welche  die  Anker  nach  jeder  Anziehung  in  die  Ruhelage  zurück* 
führen,  nicht  gleich  stark  gespannt,  so  dass  der  eine  Anker  von  Strömen, 
dnrch  welche  der  andere  bereits  angezogen  wird,  noch  nicht  angezogen 
werden  kann.  Die  Batterie  ist  in  zwei  Hälften  getheilt  und  nach  Bedarf 
kann  der  Strom  einer  oder  beider  Hälften  in  die  Leitung  gesendet  werden. 
Der  Strom  der  einen  Hälfte  lässt  den  Elektromagnet  zwar  den  Anker  mit 
schwach  gespannter  Feder  anziehen ,  nicht  aber  den  Anker  mit  stark  ge- 
spannter Feder;  wenn  dagegen  ein  Strom  von  der  ganzen  Batterie  durch 
die  Leitung  und  den  Elektromagnet  hindurchgeht,  so  werden  beide  Anker 
angezogen. 

Die  Fig.  21  zeigt  den  Apparat  im  Aufrisse;  das  Typenrad \&/>  erhält 
von  einer  Uhrfeder  in  dem  Federhause  P  mittels  eines  Räderwerkes  einen 
beständigen  Antrieb  zur  Umdrehung ,  kann  demselben  aber  nur  dann  fol- 
gen ,  wenn  sich  der  um  A  in  horizontaler  Richtung  drehbare  Hebel  QQ  nicht 
sperrend  in  das  Sperrrad  H  einlegt.  Der  Hebel  QQ  trägt  nun  an  seinem 
Ende  links  den  Anker  mit  schwach  gespannter  Feder;  so  oft  daher  ein 
Strom  durch  den  Elektromagnet  E  geht,  wird  ff  losgelassen  und  das  Tjpen- 
rad  rückt  einen  Schritt  weiter.  Das  Blatt  Papier,  auf  welches  die  De* 
pesche  gedruckt  werden  soll,  ist  neben  dem  Typenrade  BD  auf  einen  Rah- 
men JFOK  vertical  aufgespannt;  der  Rahmen  aber  befindet  sich  auf  einem 
kleinen  Wagen,  welcher  auf  einer  Eisenbahn  hin  und  her  gehen  kann;  ^n 
die  Zahnstange  XY  an  dem  Wagen  legt  sieh  ein  Sperrhaken  s  der  Spe«^ 


420  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektn  Telegraphie. 

Vorrichtung  3/  etwa  in  der  durch  Fig.  22,  Taf.  VI,  angedeuteten  Weiäe  ein  und 
schiebt  den  Wagen  mit  dem  Papierrahmen  um  einen  Zahn  von  rechts  nach 
links  fort,  so  oft  der  obere  Theil  g  des  um  /"drehbaren  Hebels  gh  durch  die 
mit  dem  um  d  drehbaren  Winkelhebel  cde  verbundene  Schubstange  L  voa 
links  nach  rechts  geschoben  wird ,  d.  h.  so  oft  der  mit  der  stark  gespannten 
Feder  versehene  Anker  c  des  Elektromagnetes  E  angezogen  wird,  und 
ausserdem  wird  hierbei  gleichseitig  noch  ein  Winkelhebelsystem  in  Be- 
wegung versetzt,  wodurch  der  Hebelarm  NN'  einen  aweiten  um  S  drehbaren 
Hebel  dreht,  an  dessen  anderem  Ende  sich  ein  kleiner  Hammer  befindet 
und  das  Papier  auf  den  dem  Hammer  bei  C  eben  gegenüberstehenden,  vor- 
her eingestellten  Buchstaben  andrückt,  wodurch  der  Buchstabe  sich  auf 
das  Papier  aufdruckt« 

Wenn  eine  Zeile  voUgedrnckt  ist,  befindet  sich  der  Wagen  am  Ende 
seiner  Bahn  und  es  hebt  jetzt  ein  Ansatz  am  Wagen  den  Drücker  R  aus; 
dadurch  wird  der  Sperrhaken  s  aus  der  Zahnstange  AT  herausgehoben  und 
der  Wagen  mit  dem  Papierrahmen  durch  das  jetzt  niedergehende  Gegen* 
gewicht  W  von  links  nach  rechts  in  seine  anfängliche  Stellung  zurückge- 
führt. Kurz  bevor  der  Wagen  in  die  änsserste  Stellung  rechts  gelangt, 
kommen  die  beiden  Lanfwalzen  a  und  a,  am  Wagen  auf  die  beiden  schiefen 
Ebenen  ü  und  11^  und  laufen  auf  ihnen  hinauf,  wobei  die  Sperrkegel  b  und 
hi  sieh  in  die  beiden  Zahnstangen  JIC  und  FO  an  dem  Papierrahmen  einle- 
gen und  diesen  um  einen  Zahn  in  die  Höhe  schieben,  so  dass  nun  eine 
neue  Zeile  Buchstaben  unter  der  ersten  auf  das  Papier  gedruckt  werden 
kann.  Der  Rückgang  des  Wagens  wird  zugleich  dazu  benutzt,  durch  das 
Anstossen  an  ein  Stäbchen  eine  neue  Quantität  Druckfarbe  auf  die  Schwärz- 
walzen ZZZ  zu  bringen. 

Der  Zeichengeber  ist  dem  Zeichengeber  an  Zeigertelegraphen  ahn* 
lieh,  nur  dass  der  Griff  nicht  starr,  sondern  biegsam  ist;  wenn  ein  daran 
befindlicher  Stift  durch  einfachen  Druck  in  «in  Loch  eintritt ,  welches  unter 
jedem  Buchstaben  vorhanden  ist,  so  wird  die  ganze  Batterie  geschlossen 
und  ihr  Strom  setzt  den  Druckapparat  in  Gang;  wenn  dagegen  der  Grifft 
ohne  niedergedrückt  zu  werden ,  einfach  herumgedreht  wird ,  so  wird  dabei 
die  halbe  Batterie  wiederholt  gesehlossen  und  unterbrochen  und  ihr  Strom 
dreht  in  gleichem  Schritte  mit  dem  Griffe  das  Typenrad  um. 

Der  Telegraphist  hat  also  beim  Telegraphiren  nur  den  Griff  des  Zei- 
diengebers  zu  erfassen  und  ihn  in  der  vorgeschriebenen  Richtung  umzu* 
drehen,  bis  er  .über  dem  zu  telegraphirenden  Buchstaben  steht;  dabei  folgt 
das  Typenrad  in  gleichem  Schritte,  und  wenn  der  Telegraphist  nun  den 
Griff  niederdrückt,  so  wird  auch  der  Anker  mit  der  stark  gespannten  Fe- 
der noch  angezogen  und  der  Buchstabe  auf  das  Papierblatt  aufgedruckt. 

So  hübsch  auch  die  Idee  ist,  welche  dem  Typendrucktelegraph  von 
Freitel  zu  Grunde  liegt,  so  steht  doch  au  befürchten,  dass  der  Apparat 
durch  die  bei  ihm  unvermeidlich  wiederkehrenden  §liiii^  dlmäbUch  an 


Von  Dr.  Ed,  Zetzsche.  421 

Zaverlässigkeit  abnimmt ,  nnd  ausserdem ,  dass  der  Kifckgang  des  Wageng, 
der  doch  nicht  zu  schnell  erfolgen  darf,  möglicher  Weise  noch  nicht  yoll- 
endet  ist,  während  der  nächste  Buchstabe  schon  gedruckt  werden  soll. 
Dann  würde  aber  ein  Irrthnm  oder  wenigstens  eine  Undeutliehkeit.  ent* 
stehen,  da  dieser  Buchstabe  noch  auf  die  bereits  volle  Zeile  aufgedruckt 
würde.  Wenn  man  einmal  die  Depesche  auf«  ein  breites  Blatt  und  nieht  auf 
einen  schmalen  Papierstreifen  aufdrucken  will,  so  ist  es  offenbar  vorzu- 
sieben,  die  von  B a i n^ gewählte  Methode  der  Fortbewegung  des  Papiers 
(vergl.  oben  unter  2.)  anzuwenden,  weil  man  bei  derselben  an  die  Stelle 
der  absatzweise  geradlinig  hin  und  her  gehenden  Wagenbewegung  eine 
schrittweise,  stets  in  gleichem  Sinne  erfolgende  Umdrehung  einer  Walzo 
setzen  kann* 


10.  Der  Typendmoktelegraph  von  Digney. 

Die  Herren  Digney  in  Paris  haben  (1858)  den  auf  den  französischen 
Eisenbahnen  gebräuchlichen  Zeigertelegraph  *)  vonBr^guet  in  einen  sehr 
vollkommenen  Typendrucktelegraph**)  umgestaltet,  an  welchem  der  Zei- 
chengeber oder  Schlüssel  von  dem  Receptor  oder  dem  Apparate 
zum  Aufnehmen  der  Zeichen  gänzlich  getrennt  ist;  ihre  Einrichtung  nnd 
die  Bestimmung  der  einzelnen  Theile  lässt  sich  auch  an  einer  gesonderten 
Betrachtung  beider  Apparate  am  besten  erkennen. 

J.  Der  Schlüssel  ist  Fig. 23,  Taf.  VII,  im  Aufrisse,  Fig. 24  im  Grund- 
risse dargestellt,  in  letzterem  aber  ein  Tbeil  des  Zifferblattes  JKT  weggelassen 
worden.  Das  messingene  Zifferblatt  iT  ruht  auf  drei  Säulen,  von  denen 
zwei  isolirt  sind,  während  die  dritte  Säule  Q  durch  einen  von  ihr  nach  L 
gehenden  Kupferstreifen  das  Zifferblatt  mit  der  in  L  einmündenden  Luft- 
leitung in  leitende  Verbindung  setzt.  •  Auf  dem  Zifferblatte  stehen  in  zwei 
concentrischen  Kreisen  die  Zahlen  von  1  bis  25  und  die  fünfundzwanzig 
Buchstaben  des  Alphabetes;  ausserdem  ist  aber  zwischen  den  Buchstaben 
A  und  Z  und  zwischen  den  Zahlen  l  und  25  noch  ein  26.  Feld  vorhanden^ 
welches  ein  Kreuz  enthält.  Ueber  diesem  horizontalen  Zifferblatte  nun  be* 
findet  sich  ein  um  eine  verticale  Drehachse  beweglicher  metallener  Zeiger 
F  mit  einem  kleinen  Fensterchen ,  durch  welches  die  Buchstaben  nnd  Zah* 
len  des  Zifferblattes  gesehen  werden  können.  Die  Achse  dieses  Zeigers  F 
ist  durch  Elfenbeinscheiben  gegen  das  Zifferblatt  /f  isolirt,  steht  aber  mit 
dem  Zinkpole  Z  der  Linienbatterie  in  leitender  Verbindung;  der  Zeiger 
selbst  aber  ist  nicht  starr,  sondern  biegsam  und  kann  ein. wenig  niederge* 
drückt  werden,  so  oft  der  an  ihm  unterhalb  befindliche  Metallstift  t  gerade 
über  einem  der  Ausschnitte  steht,  welche  am  Kande  des  Zifferblattes  in  der 


*)  Vergl.  Bulletin  de  la  sociäU  d' encouragement ,  Paris  1855 ,  S.  214. 
**)  Ausführlich  beschrieben  im  BuUeihi  de  la  socicU  d*encouragcment,  Paris  1859!, 
8,3—8  und  12— 19.  U 

uigiüzea  oy  x>_j  v-/ \_/p^  l v^ 


422  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elekt^  Telegraph le. 

Mitte  jedes  Buchstaben feldes  angebracht  sind;  wird  der  Zeiger  niederge- 
drückt, 60  legen  sich  zwei  metallische  Federn  r  auf  das  Zifferblatt  auf  and 
stellen  eine  leitende  Verbindung  zwischen  dem  Zinkpole  Z  durch  die  Achse 
des  Zeigers  und  dem  ZifFerblatte  her.  Mit  der  Achse  des  Zeigers  F  ist  eine 
Scheibe  M  fest  verbunden,  in  welche  auf  der  Unterseite  eine  geschl^ngelte 
(in  Fig.  24,  Taf.  VII,  punktirte)  Vertiefung  eingearbeitet  ist,  mit  doppelt 
80  viel  (d.  h.  52)  Bäuchen,  als  Felder  auf  dem  Zifferblatte  vorhanden  sind; 
20  von  diesen  Bäuchen  sind  concav  gegen  die  Achse,  26  convex  gegen  die 
Achse  oder  concav  gegen  den  Umfang  der  Scheibe.    Durch  zwei  Stifte  a 
und  h  an  zwei  Hebeln  jp  und  iVn,  welche  in  die  geschlängelte  Kinne  hinein- 
greifen, wird  die  drehende  Bewegung  des  Zeigers  Fy  welcher  die  Söheiba 
M  gleichmässig  folgt,  auf  die  beiden  Hebel  übertragen  und  diese  machea 
jedesmal  26  Schwingungen  um  ihre  Drehachse,  während  der  Zeiger  jPeine 
volle  Umdrehung  macht.  Der  Hebel  p  dreht  sich  um  die  Achse  3  und  seine 
federnde  Zunge  liegt  entweder  an  der  Stellschraube  q  an  oder  nicht,  je 
nachdem  der  Stift  a  in  einem  gegen  die  Drehachse  convexen  oder  concaven 
Bauche  der  Kinne  steht.  Der  aweite  Hebel  besteht  aus  zwei  Theilen  ü  und 
it,  welche  bei  0  durch  ein  Elfenbeincharnier  derartig  verbunden  sind,  dasa 
ein  elektrischer  Strom  niemals  von  iV  auf  n  oder  von  ihnen  auf  die  Scheibe 
M  tibergehen  kann  und  umgekehrt;  der  längere  Theil  iV  dieses  Hebels  dreht 
sich  um  die  Achse  1  und  liegt  mit  seiner  stählernen  Zunge  bald  an  der 
Stellschraube  m,   bald   an   der  Stellschraube  /   an,   während   der  kürzere 
Theil  n  sich  um  die  Drehachse  2  dreht  und  mit  seiner  Stahlzange  sich  an 
dre  Stellschraube  <   anlegt  oder  von   ihr  absteht     Die  beiden  Hebel  JV» 
und  p  sind  übrigens  ganz  von  Metall.     Die  punktirten  Linien  in  Fig.  24 
bedeuten  in  die  nichtleitende  Fussplatte  des  Schlüssels  eingelegte  Metall- 
streifen ,  durch  welche  .die  einzelnen  Theile  in  leitende  Verbindung  gesetzt 
sind.     Jeder  Schlüssel  kann  zum  Sprechen  nach  zwei  Seiten  hin  dienen, 
und  es  münden  die  von  zwei  verschiedenen  Stationen  kommenden  Luft- 
leitungen in  L  und  L  ein,  während  die  Erdleitung  von  der  Klemme  T  ab- 
geht; die  Klemmen  R  und  B,  fuhren  zu  dem  Keceptor,  die  Klemmen  S  und 
S  zu  dem  Wecker,  und  es  ist  die  eine  Luftleitung  über  R  mit  dem  Keceptor, 
die  andere  über  S  mit  dem  Wecker  verbunden ;  werden  endlich  die  beiden 
um  L  und  L  drehbaren  Hebel  auf  den  mit  der  Aufschrift  „Durch spre- 
chen^' bezeichneten  Metallstreifen  gestellt,  so  können  die  beiden  Stationen, 
von  denen  die  Luftleitungen  in  L  und  L  einmünden,  mit  einander  corre- 
spondiren ,  ohne  dass  die  dazwischen  liegende  Station ,  durch  deren  Schlüs- 
sel sie  hindurchsprechen,    die   Zeichen  sieht;    letztere   ist  also  ausge- 
schlossen.    Aus   Fig.  24,  Taf.  VII,  ist  zugleich  ersichtlich,  dass   der 
Zinkpol  Z  der  Linienbatterie  und  somit  auch  die  Drehachse  des  Zeigers  F 
mit  der  Drehachse  2  dos  Hebels  n,  dass  hingegen  der  Knpferpol  C  mit  der 
Drehachse  1  des  Hebels  iV,  dass  ferner  die  Stellschraube  m  über  E  mit  der 
in  L  einmündenden  Luftleitung,  die  Stellschrauben  /  und  s  aber  mit  der 

uigiüzea  Dy  x^j  vy  v^'Ti  LN^ 


Von  Dr.  Ed.  Zetzhchb.  423 


Erdleitung  7,  dass  endlich  die  Drehaclise  3  des  Hebeh  p  mh  E  und  die 
Stellschraube  q  mit  den  Klemmen  B  in  leitender  Verbindung  steht. 

In  der  Ruhelage  des  Schlüssele  nun  steckt  der  Metatlstift  t  in  einem 
mit  Elfenbein  ausgekleideten  Loche  des  Zifferblattes  rechts  neben  dem 
Kreuze ,  im  er|ten  Viertel  des  Zwischenraumes  zwischen  dem  Kreuze  und 
dem  Buchstaben  A\  der  Hebel  p  liegt  an  der  Stellschraube  ^,  die  Hebel  N 
und  n  stehen  in  einer  geraden  Linie,  so  dass  sie  an  keiner  der  Stelläohran* 
ben  m,  /  und  »  anliegen.  Es  kann  in  dieser  Stellung  zwar  ein  von  einer 
der  Nachbarstationen  kommender  Strom,  wenn  der  Hebel  L  auf  E  (oder  R) 
steht,  über  3,  p  und  q  (oder  unmittelbar)  nach  R  und  von  da  zu  dem  Re«- 
ceptoT,  oder  wenn  der  Hebel  L  auf  ^  gestellt  ist,  unmittelbar  zum  Wecker 
gelängen  und  dort  telegraphische  Zeiclien  erscheinen  lassen;  dagegen  kann 
in  dieser  Stellung  kein  Strom  von  der  Linienbatterie  in  die  Luftleitung  ge- 
sendet werden.  Der  Apparat  ist  mithin  wohl  zum  Empfangen,  aber  nioHt 
zum  Geben  bereit.  Genau  ebenso  verhält  es  sich  auch ,  wenn  bei  der  Um- 
drehung des  Zeigers  F  der  Stift  i  eben  über  einen  Buchstaben  hinwegge- 
gangen ist  und  sich  in  dem  ersten  Viertel  des  Zwischenraumes  zwischen 
irgend  zwei  Buchstaben  befindet.  Wenn  dagegen  der  Stift  t  bei  der  Um- 
drehung des  Zeigers  F  über  einen  der  Striche  zu  stehen  kommt,  welche 
die  Felder  je  zweier  Buchstaben  von  einander  trennen,  so  geht  der  Hebel  p 
von  der  Stellschraube  q  hinweg,  aber  die  Hebel  N  und  n  liegen  jetzt  an 
den  Stellschrauben  m  und  ^  und  es  geht  somit  ein  (positiver)  Strom  vom 
Kupferpol  C  der  Linienbatterie  über  1 ,  N^m^  E^  den  noch  auf  E  gestellten 
Hebelarm  EL  und  L  in  die  Luftleitung,  nach  der  nächsten  Station  und 
kommt  von  da  durch  die  Erde  über  7,  9  und  2  zum  Zinkpole  Z  zurück* 
Wenn  endlich  der  Zeiger  F  mitten  über  dem  Felde  eines  Buchstabens, 
also  ^gleichzeitig  auch  der  Stift  t  über  einem  der  Randeinschnitte  des  Ziffer- 
blattes K  steht,  so  liegt  der  Hebel  iV  an  /,  wogegen  die  Hebel  n  udd  p  von 
den  Stellschrauben  s  und  q  entfernt  sind;  so  lange  dabei  der  Zeiger  F  nicht 
niedergedrückt  ist,  ist  zwar  der  Kupferpol  C  mit  der  Erde  verbunden,  der 
Zinkpol  Z  dagegen  ist  isoHrt  und  es  kann  wieder  kein  Ström  in  die  Luft- 
leitung geschickt  werden ;  sowie  aber  der  Zeiger  /^niedergedrückt  wird, 
legen  sich  die  Federn  r  auf  das  Zifferblatt  K  auf,  es  ist  durch  die  Federn  r 
und  den  in  einen  Ausschnitt  eingetretenen  Stift  t  die  metallische  Verbin* 
dnng  zwischen  der  Achse  des  Zeigers  und  dem  Zifferblatte  hergestellt  und 
es  geht  ein  (negativ.er)  Strom  vom  Zinkpole  Z  über  Fy  r^  A\  0  und  L  in 
die  Luftleitung,  zur  nächsten  Station  und  kehrt  durch  die  Erde  über  J,  /, 
N  und  1  zu  dem  Kupferpole  C  zurück. 

Bei  dem  Fortschreiten  des  Zeigers  F  über  dem  Zifferblatte  E  sendet 
also  der  Schlüssel  jedesmal  einen  positiven  Strom  in  die  Linie ,  wenn  der 
Zeiger  von  einem  Buchstaben  zum  andern  weiter  geht,  und  dieser  Strom 
wird  sogleich  wieder  unterbrochen ,  wenn  der  Zeiger  seinen  Weg  noch  wei- 
ter fortsetzt:  diese  Aufeinanderfolge  po'sitiver  Ströme  wird  zum 

'  wp       *  uigiüzea  Dy  v_j  vy  v^'pi  LN^ 


424  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektf»  Telegraphie. 

Einstellen  des  Tjpenrades  auf  der  Empfangsstation  benutzt  Wird  dagegini 
der  Zeiger  F^  während  er  mitten  über  einem  Buchstaben  steht,  niederge- 
drückt,  so  wird  ein  negativer  Strom  in  die  Linie  gesendet,  so  lange  F  nie- 
dergedrückt bleibt,  nnd  dieser  negative  Strom  veranlasst  auf  der  Em- 
pfangsstation das  Aufdrucken  des  eingestellten  Buchstabens  auf  das  Papier* 
B,  Der  Receptorist  für  gew(ihnlich  aum  Schutz  gegen  Staub  etc. 
in  ein  hölzernes  Kästchen  eingeschlossen;  er  ist  in  Fig.  25,  Taf.  YII,  in 
der  Vorderansicht  (aus  dem  hölzernen  Kästchen  herausgenommen),  in 
Fig.  26  in  der  Kückansicht  abgebildet,  nnd  Fig.  27  zeigt  einen  Vertical- 
Bchnitt  nach  der  Linie  fVZ  in  Fig.  25.  Der  Strom,  welcher  von  der  tele- 
graphirenden  Station  kommt,  geht  durch  die  Multiplicationsrollen  A  eines 
Elektromagnetes;  da  aber  die  Eisenkerne  in  den  beiden  Bollen  nicht  zu 
einem  Hufeisen  verbunden  sind ,  so  erhalten  sie  bei  der  Magnetisation  vier 
Pole  und  der  Strom  wird  nun  so  durch  die  Rolle  geführt,  dass  die  nach 
derselben  Seite  vorstehenden  Enden  der  Kerne  durch  den  Strom  entgegen- 
gesetzte magnetische  Polarität  bekommen;  zu  beiden  Seiten  des  Elektro- 
magnetes  stehen  als  Anker  zwei  hufeisenförmige  Stahlmagnete  E  und  £„ 
welche  so  magnetisirt  und  so  mit  ihren  Drehachsen  j  und  h  in  den  Rahmen 
Y  eingelagert  sind,  dass  die  beiden  Schenkel  von  E  die  gleichnamige,  die 
Schenkel  von  £*,  aber  die  entgegengesetzte  magnetische  Polarität  von  der, 
welche  der  positive  Linienstrom  in  dem  jedem  Ankerschenkel  gegenüber- 
stehenden Kernende  hervorruft.  Für  gewöhnlich  liegen  die  beiden 
magnetischen  Anker  E  und  i?,  in  Folge  ihrer  magnetischen  Anziehung  ge- 
gen die  eisernen  Kerne  der  Rollen  an  den  Kernen  an.  Geht  ein  positiver 
Strom  durch  die  Rollen,  so  entstehen  in  den  Kernen  den  Schenkeln  von 
£,  gegenüber  entgegengesetzte  Magnetpole  nnd  E^  wird  desshalb  von  den 
Kernen  nur  um  so  stärker  angezogen  nnd  festgehalten;  die  den  Schenkeln 
Ton  E  gegenüber  liegenden  Enden  der  Kerne  werden  gleichnamig  magne- 
tisch ,  desshalb  wird  der  Anker  E  abgestossen ,  der  an  ihm  befindliche  An^ 
satz  e  dreht  durch  die  Gabel  d  eine  Welle  um ,  auf  welcher  ein  geschlitzter 
Flügel  c  (Fig.  28,  Taf.  YII)  sitzt;  dabei  kommt  das  20zähnige  Echappe- 
mentrad  b  in  den  Schlitz  des  Flügels  zu  stehen  nnd  nun  kann  das  Uhrwerk, 
dessen  Feder  in  dem  Federhause  C  befindlich  ist ,  das  Echappementrad  um 
einen  halben  Zahn  fortrücken,  nämlich  bis  es  an  einen  vorstehenden 
Stift  an  dem  Hebel  /  anstösst,  dessen  linker  Arm  durch  ein  Stäbchen  mit 
dem  Flügelansatz  c  an  der  Welle  des  Flügels  c  verbunden  ist  und  bei  der 
Umdrehung  der  Welle  gesenkt  wird;  bei  der  darauf  folgenden  Unterbrech- 
ung des  Stromes  führt  die  Feder  ^,  unterstützt  von  der  Anziehung  des 
magnetischen  Ankers  E  gegen  die  entmagnetisirten  Kerne,  den  Ansatz  e  in 
seine  frühere  Lage  zurück  nnd  das  Echappementrad  b  rückt  abermals  um 
einen  halben  Zahn  fort.  Bei  jedem  Spiele  des  Ankers  >E  rückt  also  das 
Echappementrad  b  um  einen  ganzen  Zahn  weiter  und  mit  ihm  gleichzeitig 
und  in  gleichem  Schritte  der  Zeiger  a  auf  dem  Zifier|Jli||^y4Li[£^;^l)L^^d 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsohb.    '  ' .       425 

4a»  Tyi^enrad  Ar,  welch«  auf  derselben  Achse  mit  ^-sitzen,  um  einen  Bneh- 
stubeti^  alle  drei  folgen  mitbin  genau  dem  Fortrücken  des  Zeigers^  über 
dein  Zi£ferblatte  K  (Fig.  M  und  24)  des  Zeichengebers.  Das  Ecbappement« 
rad  kann  man  aber  aach  durch  eineh  Druck  auf  den  Knopf  P  fortrückea 
lassen;  denn  w^nn  man  den  Knopf  P  niederdrückt ,  so  wird  durch  die 
Stange  p  der  Arm  f  und  der  Fitigelansatz  c  an  der  Welle  des  Flügels  c 
abwärts  bewegt,  wodurch  das  Echappementrad  in  den  Schlitz  des  Flügels  c 
gestellt  wird.,  und  das  Echappementrad  kann  jetzt  um  einen  halben  Zalm 
fortrücken,  bis  es  an  den  vorstehenden  Stift  an  dem  andern  Arme' des  He« 
Ms  f  anslüsst;'  wird  der  Knopf  P  und  die  Stange  p  durch  die  daran  befind- 
liehen Spiralfedern  wieder  gehoben,  So  schreitet  das  Echappementrad  aberi- 
mals  um  einen  halben  Zahn  weiter;  man  hat  demnach  die  Füglichkeit,  das 
Typenrad  k  und  den  damit  verbundenen  Zeiger  a  zu  jeder  Zeit  auf  einen 
beistimmten  Buchstikben  oder  auf  das  Kreuz  einzustellen. 

Geht  dagegen  ein  negativer  Strom  durch  die  MultiplicatioDsroUea 
des  Elektromag&etes  Ä ,  so  wird  der  Anker  E  festgehalten  und  d^r  durch 
das  Gegengewicht  X  äquilibrirte  Anker  Ey  abgestossen  and  der  letztere  legt 
sich  jetzt  an  die  Stellschrauben  t;  an;  da  nun  der  Anker  E^  selbst  mit  dem 
einen  Pole ,  die  Contactscfarauben  v  aber  mit  dem  andern  Pole  einer  LocaN 
batterie  in  Verbindung  steht ,  so  ist  der  Kreis  dieser  Localbatterie  jetzt  ge- 
sehloasen ,  der  in  den  Localkrei«  eingeschlossene  Elektromagnet  A^  zieht 
seinen  Anker  B  an,  das  andere  Ende  B^  des  Ankerhebels  geht  in  die  Höhe 
und  4xückt  dureh  das  Hämmerchen  in  den  Papierstreifen  T  fest  an  den  ihm 
^rade  gegenüberstehenden  eingestellten  Buchstaben  des  Typenrades  k. 
Deir  Papierstreifen  T  kemmt  von  der  KoUe  8  über  die  Fübrungswalzen  9 
und  q  an  dem  Typenrade  k  varbei  und  wird  durch  die  Walzen  i  und  t' 
(Fig.  Ä,  Taf,  VII) ,  deren  Druck  durch  das  bewegliche  Gewicht  ü  regulirt 
wird.,  durch  ein  Paar  von  dem  Hebelarm  B^  bei  dessen  Hin-  und  Rück- 
gänge in  Bewegung  gesetzte  Sperrräder  und  Sperrkegel  nach  jedem  Auf- 
drucken eines  Buchstabens  um'  die  Breite  eines  Buchstabens  fortgerückt. 
Das  Typenrad  enthält  auf  seinem  Umfange  die  25  Buchstaben  des  Alpha^ 
betes  und  ein  leeres  Feld;  die  Typen  werden  durch  die  sich  dagegen  an- 
stemmende Schwärzwalze  /  mit  Druckfarbe  versehen. 

Während  also  der  Telegraphist  auf  der  telegraphirenden  Station  den 
Zeiger  F  des  Schlüssels ,  natürlich  stets  in  derselben  Kichtung  des  Drehens, 
#ber  da»  Zifferblatt  hinführt,  bis  er  über  dem  zu  telegraphirenden  Buch« 
•laben  steht,  macht  auf  der  Empfangsstation  der  Zeiger  a  und  das  Typen- 
cad h  die  Bewegung  gleichzeitig  und  in  gleichem  Schritte  mit;  der  Zeiger  a 
bleibt  über  dem  zu  telegraphirenden  Buchstaben  stehen ,  das  Typenrad  k 
ist  darauf  eingestellt,  und  wenn  der  Telegraphist  den  Zeiger  jP  niederdrückt, 
so  wird  def  eingestellte  Buchstabe  auf  den  Papierstreifen  aufgedruckt.  Soll  ^. 
der  eingestellte  Buchstabe  mehrere  3Iale  hintereinander  gedruckt  werden, 
wie  z.  B.  in  dem  Worte  „Schnellläufer"  die  drei  „l",  so  braucht  der  Tsl^C 

ZeiUchrin  f.  Mathematik  u.  Physik.  V.  29 


426    ,   Beiträge  zur  Geschichte  etc.    Von  Dr.  Ed.  Zetbsche. 

graphist  blos  den  Zeiger  F  dreimal  naeh  einander  nieder  zn  drücken ,  ohne 
ihn  dazwischen  weiter  zn  drehen.  Die  Zwischenräume  zwischen  zwei  Wör* 
tern  erzengt  man  durch  Einstellen  auf  das  Kreuz  und  Niederdrücken  des 
Zeigers  F.  Will  man  eine  doppelte  Ausfertigung  der  Depesche ,  so  braucht 
man  nur  zwei  Typenräder  neben  einander  auf  derselben  Achse  anzubrin- 
gen, ihnen  zwei  Hämmer  gegenüber  zu  stellen,  welche  die  beiden  einge- 
stellten gleichlautenden  Buchstaben  auf  einen  breiteren  Papierstreifen  auf- 
drucken, worauf  der  Streifen  mitten  durchgeschnitten  wird  und  auf  jeder 
Hälfte  die  Originaldepesche  enthält. 

Bei  den  Versuchen  mit  diesem  Tjpendrncktelegrflph  konnte  man  bei 
Einschaltung  in  eine  ziemlich  lange  Leitung  45  Buchstaben  in  der  Minute 
drucken. 

Bei  einem  vergleichenden  Rückblick  anf  die  beschriebenen  rerschie- 
denen  Typendrucktelegraphen  findet  man  die  Vorzüge  sehr  vertheilt  und 
zerstreut.  Die  erste  Classe  derselben  steht  wegen  der  schwer  auf  Dauer 
zu  erhaltenden  Gleichförmigkeit  im  Gange  mehrerer  Uhrwerke  an  Zuver- 
lässigkeit und  bei  jedesmaliger  Einstellung  auf  den  Nullpunkt  (The  Her) 
auch  an  Leistungsfähigkeit  den  beiden  andern  Classen  nach,  obwohl  bei 
ihnen  gerade  der  eigentlich  telegraphische  Apparat  eihfacher  ist.  Auch  die 
Typendruck telegraphen  der  zweiten  Classe,  bei  welchen  der  Gang  der  Uhr- 
werke durch  Stromwirkungen  regulirt  wird ,  sind  offenbar  noch  nicht  ein- 
fach genug*,  theils  ist  ein  zusammengesetzter  und  desshalb  leicht  ^inraul 
den  Dienst  ganz  versagender  oder  wenigstens  nicht  pünktlich  genug  voll- 
ziehender ZwischenmeclMinismus  bei  ihnen  vorhanden;  theils  steht  an  be- 
fürchten, dass  einmal  das  Uhrwerk  zwei  Schritte  auf  einmal  mache  anstatt 
eine^  einzigen  (namentlich  bei  dem  von  Du  Moncel),  ein  ander  Mal  aber 
zu  trag  sei,  besonders  wenn  die  Ströme  sehr  kurz  sind.  Da  aber  überhaupt 
das  Uhrwerk  gänzlich  entbehrt  werden  kann  und  bei  seiner  Weglaseung 
die  Zuverlässigkeit  nur  gewinnen  wird,  so  gebührt  wohl  der  dritten  Classe 
der  Vorzugs  wären  die  Linienstrdme  zu  schwach,  durch  unmittelbare  Hin- 
und  Herbewegung  des  Echappements  das  schwerere  Typenrad  in  Umdreh* 
ung  zu  versetzen ,  so  darf  man  nur  unter  Vermittelung  eines  Relais  die  6e- 
"wegung  des  Echappements  einem  Localstrom  übertragen;  man  wird  dabei 
entweder  ein  Schliessungsrad  oder  einen  ähnlichen  Schlüssel,  wie  der  beim 
Typendrucktelegraph  von  Digney  beschriebene,  verwenden,  oder  noch 
besser  die  Geschwindigkeit  und  Sicherheit  des  Fortrückens  und  Einstellent 
von  dem  Strome  selbst  regnliren  und  überwachen  lassen  unter  Anwendung 
des  Princips  der  Selbstnnterbrechung  (Siemens  und  Halske);  das  Auf- 
drucken endlich  dürfte  am  einfachsten,  sichersten  und  zuverlässigsten  durch 
einen  entgegengesetzten  Strom  oder  durch  einen  stärkeren  gleiehgerichte- 
ten  Strom  herbeigeführt  werden. 

Digitized-byLjOOQlC 


Kleinere  MittheilungeiL 


XXZYIL  Integration  einiger  partiellen  Difbrentialgleichnngen.  Von 
Prof.  Dr.  phil.  Adolph  Stebn  m  Kopenhagen, 

1.  Die  partielle  Differentialgleichnng  erster  Ordnung  swieclien  drei 
Veränderlichen  o: ,  y,  z: 

1)  «=/>a:  +  5'y  +  jF'(p,j), 

wo  p  =  ---,  qz=z-j-\  ist  hinsichtlich  der   Form    mit   der  wohlbekannten 
dx  dy 

Gleichung  zweier  Veränderlichen,  y=/>ir  +  f{p)f  welche  Clairant  auf 
die  particujären  Auflösungen  geführt  hat  {me'm.  de  Vacad.  des  sc.  UTA) ,  so 
verwandt,  dass  es  sehr  nahe  liegt,  die  Integration  nach  vorhergehender 
Differentiation  auszuführen.  Da  indessen  meines  Wissens  eine  solche  In- 
tegrationsmethode nirgends  angegeben  ist,  soll  hiermit  die  Aufmerksamkeit 
darauf  hingelenkt  werden.  .  Die  vollständige  primitive  Gleichung  sowohl 
als  die  particuläre  Auflösung  findet  sich  übrigens  in  Lacroix,  trotte  du 
calc.diff.ei  int.  t  IL  Paris  1814,  p.  668,  und  durch  das  von  Chorpih  in  einer 
nicht  gedruckten  Abhandlung  1784  angegebene  Verfahren  wird  femer  das 
von  Lagrangue  sogenannte  allgemeine  Integral  gefunden  {tndm.  de  Berlin 
]774,p.  247)«  Die  nachfolgende  Methode  wird  alle  diese  Gleichungen  in 
ihrem  natürlichen  Znsamn^enhange  darstellen  und  zugleich  zeigen,  da^s 
ißa  sogenannte  allgemeine  Integral  eigentlich  nur  eine  particuläre  Auf- 
lösung ist,  die  ihren  natürlichen  Platz  zwischen  dem  vollständigen  Integral 
nnd  der  oben  genannten  partieulären  Auflösung  findet. 

2«  Wird  1)  differentiirt  sowohl  nach  x  als  nach  y^  so  erhält  man 

/  dF     ,  dF 

i0  =  rx  +  8y  +  -—r  +  —$, 

2)  }  "''  ^^ 

^t^         ^t^        ^«2 

WO  die  gewöhnlichen  Zeichen  r,  «,  /  für  — j,  -j — j-,  -z-j  eingeführt  sind. 

Erstens  werden  nun  die  Gleichungen  Digitized  by  vjOOQIC 

29* 


428  Kleinere  Mittheilungen. 

|r  =  0,     5  =  0,     <  =  0 
und  somit 
/>  =  «>     q  =  b 
den  Gleichungen  2)  ein  Genüge  leisten.    Hieraus  entsteht  das  vollstän- 
dige Integral 

4)  z  —  ax  +  by  +  F{a,b). 

Dann,  wenn  2)  umgeschrieben  wird  in 

dF  dF 

und  daraus  a:  +  ^-,  y  +  3—  eliminirt,  so  entsteht 
dp  aq 

die  wohlbekannte,  den  developpabeln  FlSehen  eigenthümliche  Differential- 
gleichung zweiter  Ordnung,  die  sich  aus  folgender  Gleichung  erster  Ordnung 

7)  fp{P^q)  =  (>     oder     q  =  f{p) 

findet ,  wo  <p  und  f  willkuhrliche  Functionen  darstellen.  Die  Gleichung  7) 
ist  aber  schon  lange  durch  folgendes  System  integrirt  worden :    . 

wo  p  zu  eliminiren  ist.  Dieses  System  wird  demnach  nur  dann  der  gegebe- 
nen Gleichung  Genüge  leisten,  wenn  die  erste  8)  mit  1)  übereinstimmt, 
folglich  wenn 

f^{p)dp  =  F[p,f{p)]. 
Dadurch  gehen  die  Gleichungen  8)  in  die  folgenden  über : 
iz^px  +  f{p)y  +  F[p,np)], 

Denkt  man  sich  nun  die  Elimination  tob  p  wirklich  ausgeführt ,  indeia 
das  aus  der  letzteren  Gleichung  9)  gefundene  p  in  die  erstere  eingesetct 
wird,  so  nrass  die  so  gebildete  Form  der  ersteren  9)  das  allgemeine  Integral 
von  1)  mit  einer  willkührlichen  Function  f  darstellen.  Zugleich  geli6rt 
diese  Gleichung  der  developpabeln  FUche  an,  die  durch  die  bewegliche 
Ebene  4)  erzeugt  wird,  b  darin  als  abhängig  von  a  betrachtet,  bz=:f{a) 
und  namentlich  so,  dass  man  zufolge  3),  6)  und  7) 

dadb       dadb 

'  dx  dy       dy  dx 

hat.    Sie  ist  demnach  als  eine  particuläre  Auflösung  aneusehen. 
Endlich  leistet  man  5}  und  somit  2)  auch  durch 
dF  dF 


5^—0,  y  +  ^=0Digi,i,3dbyGoogle 


Kleinere  Mittfaeiltmgen.  420 

• 

Genüge.  Die  Elimination  von  p  und  ^zwischen  1)  und  II)  giebt  eine  primi- 
tive Gleichung  zwischen  o?,  y,  2  ganz  ohue  willkührliche  Constante  oder 
Function ,  aber  doch  keinen  besonderen  Fall  der  Gleichungen  4)  oder  0) ; 
das  wird  eine  durchaus  particnläre  Auflösung  sein.  Die  dieser 
Gleichung  entsprechende  Fl&che  wird  zugleich  von  der  Ebene  4)  erzeugt^ 
wenn  a  und  b  sich  von  einander  unabhängig  ändern,  indem  man  erhält 

dF  dF 

welche  mit  4)  durch  Elimination  von  a  und  h  dasselbe  giebt,  als  1)  und  ll) 
durch  Elimination  von  p  und  q.  Die  Gleichung  4)  bestimmt  daher  die 
Tangentialebene  beider  letztgenannten  Flächen. 

d.  Beispiel.  Die  Fläche  zu  bestimmen,  deren  Tangentialebene  eine 
gegebene  Entfernung  vom  Anfangspunkte  der  Coordinaten  hat. 

Die  Aufgabe  in  Gleichung  gesetzt  giebt 

z  =px  +  qy  +  n  j/l+  p*  +  q*> 
DavoQ  ist  das  vollständige  Integ*ral  {siehe  4)] 
z^=ax  +  by  +  n  j/l  +  a*  +  6», 
einem  Systeme  ebener  Flächen  entsprechend ,  indem  a  und  b  willkührliche 
Constanten  sind.     Dagegen  giebt  die  erstere  0)  folgende  particuläre 
Auflösung  (allgemeines  Integral) : 

zr=ax  +  f{a)  y  +  nyi  +  a*  +  f{a)\ 
wo  a  eine  ji>eliebige  Function  von  x  und  y  sein  kann  und  f  {a)  durch  die 
letztere  9)  bestimmt  ist ,  nämlich 

Diese  Auflösung  kann  ai^h  dargestellt  werden  durch 
4  =  öd?  +  6y  +  rt  j/i  +  a*  +  ft*, 
wenn  nut  a  und  b  Functionen  von  x  und  y  sind,  die  der  Gleichung  10)  6e- 

X  y 

nttge  leisten.  Dieses  ist  z.  B.  der  Fall,  wenn  a  =    ^  ,  b  =  :^ 

welches  folgende  Kegelfiäche  giebt : 

Endlieh  wird  die  durchaus  particuläre  Auflösung  aus  II)  ent- 
stehen ,  indem  aus  . 


VT+p^+q*  J/I  +  /^*  +  (?• 

folgt 


=  ±^«'— ^'— y't 


£_y n 

p~  q        /rT7+7 

und  somit  Digitized  by  GoOglc 


430  Kleinere  Mittheilungen. 


P=^  +  -y=====,    q  =  ± 


j/n«— a:*  — y« 

Durch  Substitution  dieser  Ausdrücke  in  die  gegebene  Gleichung  ergiebt 
sich  die  Gleichung  der  Kugel : 

«  =  +  yn^—a^~y\ 
welche  mit  den  oben  genannten  Kegeln  umschrieben  ist  und  die  durch  das 
vollst&ndige  Integral  bestimmte  Tangentialebene  hat. 
4.  Die  partielle  Differentialgleichung 

12)  F[x—<pi  (p,  q),y—q>t  {p,  g),  «  —  Vi  {P>  ?)]  =  <> 

ist  der  von  Woisord  {Gergonne  Ami.  de  math,  i.  ZV)  behandelten  Differen- 
tialgleichung zweier  Veränderlichen  . 

F[ic  —  tp^{p),y  —  ft  (P)l  =  0 
sehr  ähnlich.     Während  daher  dieAe  Gleichung  sich  integriren  lässt,  so- 
bald nur 

P9>i(P)  =  9>t(p)* 
so  kann  man  die  Integration  von  12)  zu  Ende  führen,  wenn 

und  ferner,  damit  •     ^'  =i  '      '   sei,  wenn  • 

dq  dp       dp  dq 

^  dp        dq  ' 

Ebenso  wie  die  Methode  Clairaut^s  sich  auf  die  Gleichung  l)  anwenden 
lässt,  so  gilt  dasselbe  von  der  Methode  WeisordV  rücksichtlich  der  Gleich- 
ung 13),  docji  ist  dabei  zu  bemerken,  dass  Woisord  keine  particuläre  Auf- 
lösung seiner  Gleichung  gefunden  hat,  obschon  eine  solche  sich  ganz  leicht 
darbietet  und  die  Gleichung  12)  auch  zwei  verschiedene  Arten  particnlärer 
Auflösungen  hat. 

Durch  Differentiation  von  12)  nach  x  findet  sich 

tf^       A  _  l?l^_i?Lt  A   ,         dF        /     d<p,^      dy,  \ 
^(*  — 9i)V         dp  dq    )      d(y  — 9,)\       dp  dq    ) 

oder  zufolge  13) 

^K\       /"      dF  dF       \/  dwt         dfp^\ 

/      dF  dF      \  /        dtpf rfv,\  _ 

'^\d{y-<P,)'^^diz-9»)){    '■rf?     'rf»;~"' 

und  auf  ähnliche  Weise  durch  Differentiation  nach  UfigitizedbyCjOOQlC 


Kleinere  Mittbcilangen.  43  i 

Diese  Gleichungen  15)  können  nun  erstens  gelöst  werden  durch 

\      di>  rfö'  dp  dg  ' 

oder,  indem  in  den  beiden  ersteren  r  =— -,«  =  ---  ,  und  in  den  beiden 

äx  dx 

letzteren  s^zz-ß-  ^   <  =  -r^  gesetzt  wird , 
dx'  dy  ^ 

d^        d^        d^        dp^^ 

^  dx  äy  dx  dy 

Aus  diesen  Gleichungen  erhält  man 

welche  wiederum  mittels  12) 

18a)  fPz{p^q)  =  z-  c^ 

geben,  indem  die  drei  Constanten  durch  folgende  Gleichung  verbunden  sind: 

.        19)  F{€,,c^,c;)=0. 

Die  Elimination  von  p  und  q  aus  18)  giebt  eine  primitive  Gleichnng  zwi- 
schen Xj  y,  Z'und  drei  Constanten,  die  wegen  19)  nur  für  zwei  zu  rechnen 
siüd.  Dieses  Resultat  ist  das  vollständige  Integral  von  12),  welches 
natürlicher  Weise  auch  gefunden  wird  ^  wenn  man  ans  den  beiden  ersteren 
18)  Ausdrücke  für  p  und  q  durch  x  —  Ci  und  y — c,  findet  und  diese  in  12) 
substituirt.  Das  vollständige  Integral  nimmt  dann  folgende  Form  an : 
^[x— ifi,(a;  — c,.y— c,),  y  — i*^,(a:— c, ,  y— c,),  z— i»;,(a:— c,,y— c,)]=0. 
Ferner  leistet  das  Integral  der  durch  Elimination  der  Differential- 
coefficienten  von  F  in  15)  entstandenen  partiellen  Differentialgleichung 

20)     ^r  +  te  +  ^'),.+  ^/+(^-r0(^^-^^)  =  l 
^      dp  \dp         dqj  dq  ^  \dp   dq        dq   dp  J 

auch  den  Gleichungen  15)  Genüge.  Die  Integration  dieser  Gleichung  20) 
ist  aber  meines  Wissens  noch  nicht  gefunden;  man  muss  sich  folglich  auf 
die  Bemerkung  beschränken,  dass  sich  durch  ihre  Integration  eine  primi- 
tivö  Gleichung  mit  willktthrlichen  Functionen  findet,  die  als  eine  parti- 
euläre  Auflösung  von  12)  anzusehen  ist,  ebenso  wie  die  erstere  9)  eine 
solche  Auflösung  von  1)  war.  Denkt  man  sich  die  Integration  von  20)  so 
ausgeführt,  dass  zwei  partielle  Differentialgleichungen  erster  Ordnung  (mit 
^  >  ^1  ^  >  P)  9  und  willkührliche  Functionen)  entstehen ,  so  wird  die  Elimina- 
tion von  p  und  q  aus  diesen  und  12)  die  particuläre  Au^g^n^jpig^^^^u^^ 


433  Kleinere  Mittheilnngen. 

geringeren  Anzahl   willkührlicher  Functionen  darstellen,   als 'eine   noch- 
malige Integration  geben  würde. 

Endlich  ist  15)  aufgelöst  durch  * 

'        dF  dF       _ 

^^^  ^        dF         ^  dF 


^iy  —  ^)       (Hz--  sPs) 

aus  welchen  in  Verbindung  mit  12)  sich  wiederum  durch  Elimination  von  p 
und  ^  die  durchaus  particuläre  Auflösung  ohne  willkührliche  Con- 
stanten oder  Functionen  ergiebt. 

5.  Die  Theorie  der  parallelen  Flächen  giebt  ein  gutes  Bei- 
spiel*). Es  sei  i^(a, /?,7)  =  0  die  Gleichung  einer  gegebenen  Fläche; 
eine  Kugel  mit  ihrem  ^Mittelpunkte  in  der  Fläche  und  mit  unveränderlichem 
Halbmesser  hat  die  GJeichung 

A)  (»-«)• +  (y  —  «'  +  (z~y)'  =  «». 

Die  mit  der  gegebenen  parallele  Fläche  wird  gefunden  durch  EUminaiian 
von  a  und  ß  zwischen  A)  und  ihren  partiellen  Differentialgleichungen 

Wird  aber  A)  nach  x  und  y  differentiirt ,  erhftit  man 
(a:  — o+(i  — y)p  =  0, 

und  somit 

dy *  dy 

welche  zeigen,  dass  parallele  Flächen  auch  parallele  Tangentialebenen  und 
gemeinschaftliche  Normalen  haben  müssen.  Gebraucht  man  nun  C)  für  B), 
80  erhält  man 

folglich 


X  —  a  =  + 


ap 


yi'+p'  +  g" 

Die  hieraus  gefiindenen  Ausdrücke  für  a,  /J,  f,  in  die  gegebene  OleichaRg 
der  Fläche  gesetzt,  geben  die  partielle  Differentialgleichung  der  parallelen 
Fläche: 


*)  Vergl.  3.  Hoft  dieses.  Jahrgangs  der  gegenwärtigen  Zcitse^lft,  wo  Herr  J}r» 
Cantor  die  Theorie  der  parallelen  Curven  in  Verbindung  mit  Woisord'a  Gleichang 

dargestellt  hat.  uigiüzea  Dy  ^^_j  v./ v^-i  lv. 


Kleinere  MitlTieilungen.  433 


K^^^^^^h^^^b^^^^^sA^h^^dK^v^^^N^'^^^'N^*^ 


Diese  Gleichung  bat  die  durch  13)  angegebene  Form  und  die  Beding- 
tingen 13)  und  14)  gelten.    Das  vollständige  Integral  wird  nach  18)  und  19) 

aq 


oder 


yi  +  p'  +  q' 


folglich 

.        H)       .  («-c.)'+{y-cO*+(2-c.)»^a», 

WO  doch 

Dieses  stimmt  völlig  mit  A),  der  Gleichung  der  erzeugenden  Fläche, 
fiberein. 

.  Der  Gleichung  9)  entspricht 

a[(l+^)r-2f>y^  +  (l+p«)/3         (^.— rpa«    _^ 

oder  • 

{^—ri)a*+l{l+q')r—2pgs  +  {l+f^)i]ayi+p'  +  q'-^{i^p^+q')^Q. 
Diese  Gleichung  lehrt,  dass  F)  allen  den  Flächen  adgehdrt^  hei 
welohen  einer  der  Krümmungshalbmesser  coustant  ist;  ihre 
Gleichungen  sind  alle  particnläre  Auflösungen  von  F). 

Die  durchaus  particulären  Auflösungen  lassen  sich  nicht  dar- 
stellen ,  so  lange  die  dtirch  F  (ä,  j3,  y)  3=  0  bestimmte  lläclie  oder  die  Func- 
tion F  unbekannt  ist. 


JLUlVill  Beriehtigimg.  Im  3.  Hefte  des  5.  Jahrgangs  dieser  Zeit- 
-Schrift  findet  sich  S.  215  u.  f.  eine  Beurtheilung  der  bis  Jetzt  üblichen  Auf- 
lösungen der  Aufgaben  über  Verlegung  der  Zahlungstermine,  mittlere 
.Zahlungstermine  und  Gesellschaftsrecbnnngen  von  Kerrn  Dr.  Schlechter. 
Darin  wird  S.  218  mein  Werk  über  politische  Arithmetik  (Anleitung  ^n 
finansiellen,  politischen  und  juridischen  liechnungen)  angeführt  und  be- 
merkt: dass  dessen  Verfasser  selbst  keine  Aufgabe  über  mittlere  Zahlungs- 
termine, welche  zwar  in  einem  solclfen  Werke  nicht  fehlen  sollten,  löst, 
»ich  aber,  gestützt  aiif  die  Ansicht  vieler  Gelehrten ,  dahin  ausspricht,  dass 
jeweils  bei  unverzinslichen  Capttalien ,  die  erst  «päter  zu  j^trkhten^sind, 


4rj4  Kleinere  MittheHungen. 

der  Werth  der  Nntzniessang  angegeben  werden  mttsse ,  denn  sonst  könnte 
die  Mathematik  solche  Aufgaben  nicht  lösen. 

Auf  die  hierin  enthalten.en  Unrichtigkeiten  sehe  ich  mich  veranlasst, 
Folgendes  zn  entgegnen. 

Die  Behauptung,  dass  in  meinem  Werke  keine  Aufgabe  über  mittlere 
Zahlungstermine  gelöst  ist,  widerspricht  dem  Thatbestand,  denn  auf  S.  22, 
S.  15  desselben  ist  diese  Aufgabe  durch  die  Rechnung  mit  einfachen  Zin* 
sen  (auf  die  gewöhnliche  Methode)  and  in  S.  40,  d.  07,  durch  die  mit  Zin- 
ses-Zinsen  gelöst.  Beide  Fitlle  sind  auch  im  luhaltsyerzeichniss  aufge- 
führt, und  8.  98,  S.  40,  ist  sogar  bemerkt,  dass  die  Reclinung  mit  einfachen 
Zinsen  auf  ein  unrichtiges  Resultat,  die  mit  Zinses-Zinsen  aber  auf  das 
richtige  Resultat  führe.  Die  fi'agliche  Aufgabe  fehlt  daher  in  meinem 
Werke  nicht  und  dje  Behauptung  des  Herrn  Dr.  Schlechter  wird  sich 
wohl  schwer  aufrecht  erhalten  oder  rechtfertigen  lassen. 

Der  noch  weiter  beigefügte  Satz  findet  sich  unter  der  hier  gegebenen 
Fassung  nirgends  in  meinem  Werke.  Im  4.  Capitel,  wo  die  richtige  Be- 
rechnung des  Interusuriums,  bekanntlich  eine  langjährige  Streitfrage,  be- 
sprochen wird ,  habe  ich  ganz  gelegentlich  die  sich  von  selbst  verstehende 
Bemerkung  gemacht,  dass  auch  der  Werth  der  Nutzniessung  des  Schnldnera 
in  Berechnung  gezogen  werden  müsse,  was  bisher  nicht  geschah,  ihr  aber 
keine  weitere  als  eine  sekundäre  Bedeutung,  oder  gar  ein  besonderes  Ge- 
wicht, beigelegt.  Ebenso  unrichtig  ist  die  Behauptung,  dass  ich  mich  auf 
die  „Ansicht  vieler  Gelehrten*'  stütze,  sowie  der  darauf  noch  folgende  Bei- 
satz, denn  ich  habe  mich  einstig  und  allein  auf  die  Resultate  des  Galcuk, 
und  zwar  im  Gegensatze  mit  der  Ansicht  vieler  Gelehrten  (vgl. 
S,  49,  S.  119  a.  ff.  meines  Werks),  als  die  einzige,  in  der  Mathematik  gel- 
tende Basis  gestützt. 

Ich  habe  nämlich  SS.  28  —  30,  S.  50  u.  ff. ,  SS-  44  —  49,  S.  103  u.  ff. ,  sowie 
in  der  Vorrede  S.  VI  m.  Werks  das  Verhältniss  zwischen  der  Rechnung  mit 
einfachen  und  der  mit  Zinseszinsen  ausführlich  eiörtert  and  als  Ergebntss 
hiervon  den  allgemeinen  Satz  (S.  69)  gefunden  und  bewiesen: 

„Werden  die  Kapitalzahlungen  A*, ,  Ar^ ,  Ar, . . .  Ath  in  beliebigen  Zeit- 
abschnitten gemacht  und  soll  ihr  Werth  auf  die  Gegenwart  oder  auf 
jeden  beliebigen  Zeitpunkt  (also  auch  auf  mittlere  Zahlungstermine) 
enrückgeführt  werden ,  so  muss  dies  unter  folgenden  Bedingungen  ge- 
schoben : 

1.  Der  Rechnung  müssen  Zinseszinsen,  nicht  aber  einfache 
Zinsen  zu  Grunde  gelegt  werden. 

2.  Die  Rnbattirung  muss  in  den  Zeitabschnitten  gemacht  werden, 
worin  die  Zahlungen  geschehen. 

3.  Ztnsfhss  und  Verzinsuitg  hängen  von  der  Uebereinknnffc  ab, 
dürfen  aber,  einmal  festgestellt,  nicht  mehr  willkührlich  von 
dem  Rechner  absreändert  werden.'^ 

«•v«M  ««wMMw»      VQ         ^^       ««^•w'«#    •  uigiiizea  oy  v_j  v^vypi  LV- 


Kleinere  Mitlheilungen«  435 

Diese  BAstinunnngen  sUiUen  sich  nielit  auf  die  Anhieb ten  der  Gelehr- 
ten, w'elche  über  politische  Arithmetik  geschrieben  haben,  sondern  stellen 
sich  ihnen  gegenüber;  namentlich  No.  1  der  Ansicht  Hoffmann^s,  von 
Clansberg's,  Michelsen's,  Brnne's,  Schwein's  u.  A.,m.,  welche 
die  RechniiDg  mit  eiufnchen  oder  Zinsei^zinsen  df  r  freien  Wahl  o<ler  andern 
Motiven  überlassen  wollen  (vgl.  8.  120  n.  f.  m.  Werks),  «od  No.3  der  An- 
sicht von  Teten  8  und  Hey  er,  welche  häufig  mit  dem  conformen  Zins* 
fttss  rechnen ,  statt  mit  dem  relativen ,  was  gleiclifalls  zu  nnrichtigen  B»- 
snltaten  führt. 

Man  sollte  erwarten,  dass  Jemand  ein  Werk,  worüber  er  schreibt,  ge- 
lesen und  mindestens  richtig  aafgefasat  hat.  Bei  dem  vorliegenden  That* 
bestand  kann  man  sich  aber  der  YeFmnthnng  nicht  erwehren,  dass  Herr 
Dr.  Schlechter  die  einschlagenden  Stellen  und  Paragraphen  meines 
Werks,  worüber  er  ein  so  unrichtiges  nnd  unbegründetes  Urtheil  füllt,  gmr 
nicht  kennt,  wenigstens,  wenn  er  sie  kennt,  nicht  richtig  aufgefnsst  hat. 
Er  btttte  sonst  zu  einem  ganz  andern  Resultate  gelangen  müssen,  als  wozu 
er  gelangte.*  Nach  dem  von  mir  gegebenen  Nachweis  ist  nftmlich  die  von 
Herrn  Dr.  Schlechter  in  20  Nummern  gegebene  und  se  hoch  belobte 
Auflösung  gerade  so  falsch  und  unrichtig,  als  die  von  ihm  bekämpfte, 
denn  sie  beruht  auf  der  Rechnung  mit  einfachen  Zinsen,  die  in  der  von 
ihm  gebrauchten  Anwendung  immer  auf  ein  unrichtiges  Resultat  führt 
und  fähren  muss,  obgleich  ef  sie  als  gleichsam  bahnbrechend,  angeblich 
einzig  richtige  und  auf  innern  Gründen  beruhende  erklärt.  Von  4er  Rich- 
tigkeit des  Gesagten  kann  sich  Jeder  tiberzengen ,  der  ein  Zahlenbeispiel 
nach  der  von  Dr.  Schleohter  angegebenen  Methode  berechnet,  die  For- 
derung des  Schuldners  und  Gläubigers  fest  und  einander,  gegenüber  stellt 
und  Schritt  für  Schritt  durch  Rechnung  prüft. 

Fveiburg  i.  B.,  im  Juli  1800.  Dr.  L.  Oettingsr. 


juulIa.  Veber  den  Satz  Tom  Parallelogramm  der  Kräfte.    In  dem 

speciellen  Falle,  wo  die  Richtungen  zweier  auf  einen  Punkt  wirkenden 
Kräfte  einen  rechten  Winkel  einschliessen,  ist  es  bekanntlich  sehr  leicht, 
die  Grösse  der  Resultante  R-^sj/p^  -f.  Q*  zu  finden,  dagegen  verursacht 
die  Bestimmung  ihrer  Lage  einige  Mühe*)  und  führt  immer  auf  eine 

*)  In  der  Vonrede  su  Dr.  Wernicke^s  Lefarbnch  der  Meobunik,  Braunschweig 
1858,  wird  ein  von  Dr.  8tader  in  Berlin  herrührender  Bewul»  luitgetheiU,  der  darauf 
hinauslänft,  das  Parallclograniin  der  Kräfte  ,,  durch  sich  seihst  zu  beweisen",  also 
nachzuweisen,  da-ss  die  Annahme  des  Satzes  keinen  Widerspruch  involvirt.  Abgesehen 
von  dem  Einwurfe,  dass  auf  diesem  Wege  höeh^tens  diu  Möglichkeit,  keineswegs  aber 
die  Notliwendtgkeit  eines  Theoremes  gezeigt  werden  kann,  ist  der  Stade  rasche 
(ohnehin  etwas  unklar  gefasste)  Beweis  «nch  in  so  fern  vöHig  un$;enügend,  als  er 
wörtUch  derselbe  bleiben  würde,  wenn  man  ein  beliebiges  anderes  Viereck  mit  gleich 
grosser  Diagonale  statt  des  ParaUeiogrammes  oder  speciell  Hechteoks  nehmen  wolHc, 


436  Kleiaere  Mitthcilttngeir. 

Fnnctiönalgleichimg ;  auch  seheint  sich  letztere  nicht  ^t  Ternieideti  zn  las* 
sen ,  da  in  der  That  der  Winkel  zwisehea  P  und  B  eine  unbekannte  Fnnc- 

tion  des  Verbältnisses  -^  ist.     Unter  diesen  Umständen  bleibt,  wenn  man 

keine  fVemden  Angriffspunkte  zu  Hülfe  nehmen  will,  nichts  w^ter  übrig, 
als  jene  Fanctienalgleichubg  möglichst  einfach  zu  gestalten  und  sie  dnroh 
elementare  Mittel  aufzulösen«  Das  Folgende  eath&lt  einen  Versuch  dieser 
Art ,  welcher  auf  einem  neuen  Grundgedanken  beruht.  (F%.  20,  Taf.  YII.) 
Man  denke  sich  im  Baume  drei  auf  einen  Punkt  wirkende  gegen  ein* 
ander  senkt  echte  Kräfte,  welche  durch  die  Geraden  0^=^ir,  0B=  F, 
OC  =  Z  dargestellt  werden  mögen,  und  es  sei  0I>  die  Resultante  von  X 
und  F,  ferner  OE  die  Resultante  von  F  und  Z,  endlieh  OF  die  Resnltanta 
aller  drei  Kräfte  Z,  F,  Z,  Die  letzte  Resultante  kann  man'  auf  zwei  Ter- 
acbiedene  Weisen  bilden :  leitet  man  eie  aus  OD  und  00  her,  so  nmss  sie  in 
der  Ebene  J>00  liegen ,  betrachtet  man  sie  dagegen  als  «ntstanden  aus  OÄ 
nnd  OEy  so  gehört  sie  der  Ebene  AOE  an ;  sie  fallt  daher  in  den  Durch- 
schnitt der  genannte^  Ebenen.  Zwischen  den  Winkeln  AOD^  BOE^  AOF 
besteht  nun  die  Relation 

.^T,      ^^      GffiOG       tanAOD 

tan  AOF:=  -— -  =  ^^    ^^  = — — - 

OG      GH'.FG      cosBOE 

oder  ■ 

tan  AOF=i  tan  AOD .  j/i+tan*BOEi 

und  diese  führt  unter  Berücksichtigung  des  Umstandes,  dass  die  Grösse 

von  OE  bekannt  und  =^F*  +  Z*  ist,  zu  folgendem  Satze: 

Wenn  der  Winkel,  welchen  die  Resultante  zweier  rechtwinklig 

auf  einen  Punkt  wirkenden  Kräfte  P  und  Q  mit  der  ersten  Kraft  P 

einschliesst,  immer  durch  (P,  Q)  bezeichnet  wird,  so  gilt  die  Gleichung 

1)"  tan  (Z,  ^F*  +  Z«)  =  ian  (AT,  T).yi  +  tan*  (F,  Z).  *)  * 

In  dem  speciellen  Falle ,  wo  die  beiden  Componenten  gleich  sind ,  kennt 

man  die  Richtung  der  Resultante;  für  X=Y=zZ  ist  nämlich  Z.(^,  F) 

=  L  (F,  Z)  =  45^  mithin  nach  No.  1) 

tan  {X\2[}/2)  =  /l  +  tan*  45°  =  j/2, 

wodnroh  man  die  ia  Theil  II,  S.  88,  der  Zeitschrift  benntzte  Figur  erhaUen  wfirde. 
Ueberhanpt  ist  der  Stade  rasche  Beweis  identisch  mit  der  dort  erwähnten  ersten 
Hälfte  des  Lambert*schen  Beweises;  die  Richtung  der  Resultante  hat  der  Verfasser 
ganz  willkilhrlich  angenommen. 

*)  Dies  ist  in  der  That  eine  Functionalgleichung.    Setzt  man  nHmUch 

und  dem  entsprechend  ^__  •    ♦ 

to  Dimmt  die  obige  Gleichung  folgende  Gestalt  an : 

/•(yjT+?)=/-<i,)>'l  +  [/ü)J*-     Digitizedby  Google 


Eüeittere  Mittbeilimgen.  437 

Nebmen  vir  ferner  itf  No.  l)  F=X  und  der  Reihe  nach  Z  =  Xj/2^ 
Jf  j^S,  Jty4  etc.,  so  erhalten  wir  bei  fortwährender  Substitution  von  jeder 
Gleichung  in  die  fol^ißnde 

tan  (T,  X}/Z):^yi  +  /««»(X,  Xyf)=^yl,  \ 
tan  {X,  xyl)  =  yi  +  tan^{X,Xy^)  =a  }/l 

U.  8.  W. 

Ueberhanpt  ist,  wenn  n  eine  ganze  positive  Zahl  bedeutet, 

tan  {X,  Xn)  =  n  =  -^ 
oder  jn  anderen  Buchstaben 

2)  to„(zr,r)=^, 

vorausgesetzt,  dass  V  ein  Vielfaches  von  U  beträgt. 

In  der  Gleichung  I)  substituiren  wir  ferner  X  =  Py  T=Qy  Z=Oi 

Oy^i  Ö/S,  Ö/4  «tc.  und  erhalten 
lan  (fi  Q}/2)i=tm  (/>,  Q)\  /J", 

tan  {P,Oyi)  =  tan  (/>,  Q)  .  /l+ f^n«  ((>,  qj^  =  tan  (P,  0)  ./» , 
ten  (/>,  ö  /4)  =  ten  (/>,  ß)  .  j/l  +'r^(i>,  0  y^)  =  ton  (P,  (?)  .  ]/4 

U.  8.  W. , 

überhaupt,  wenn  m  eine  ganze  positive  Zahl  bezeichnet, 

ian{P,Qm)=^tan{P,Q).m 

und  umgekehrt 

oN  ,^  ^v        taniP.mQ) 

3)  tan{P,Q)^         J        '' 

Ol 

Bei  zwei  Kräften,  die  sich  wie  die  ganzen  Zahlen  m  und  n  verhaken ,  ist 
m  0  ein  Vielfaches  von  P,  nämlich  mQ  =snPy  mithin  nach  No.  2)  tan  (P,  mQ) 

=  —  =  « ,  folglich  nach  No.  3) 

Hiermit  ist  die  Lage  der  Resultante  für  alle  rechtwinklig  zu  einander 
wirkenden  Kräfte  bestimmt,  deren  Intensitäten  in  rationalem  Verhältnisse 
fftehen ;  bei  irrationalen  Verhältnissen  benutzt  man  die  bekannte  Methode 
der  Einschliessnng  in  rationale ,  einander  immer  näher  rückende  Grenzen« 
Ebenso  wenig  braucht  hier  erörtert  zu  werden,  wie  nachher  der  allgemeine 
Fall  zn  behandeln  ist,  wo  P  und  Q  einen  beliebigen  Winkel  einschlieasen. 
(Aus  den  fittziuigsberickten  der  K.  S.  Gesellschaft  der  Wisseasch.    1.  JuU 

1860.)  SCHIiÖMlXCH. 


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43S  Kleinere  Mitth^langen. 

XL.  Bemerknng  n  einer  Stelle  der  lUeaniqm  oOeste.  Von  Aüoüst 
MuRtf ANN ,  Assistent  an  der  Sternwarte  zu  Wien.  In  der  Ableitung  der 
Attractionsgesetze ,  nach  welchen  die  Wirkung  einer  Kugelschale  auf  einen 
ausserhalb  derselben  gelegenen  Punkt  gleich  ist  derjenigen  der  im  Mittel- 
punkt der  Kugelschale  vereinigt  gedachten  Masse  derselben,  gelangt  La- 
place  zu  folgender  Gleichung  {mec.  cel.  II,  12): 

d(L[M,(r  +  u)-n>ir-u)]) 


D) 2n .udu , 


=  4».M"rfw.  fp  (r); 


dr 

hierin  bedeuten  u  den  Halbmesser  der  Kugelschale,  du  deren  Dicke,  r  den 
Abstand  des  angezogenen  Punktes  vom  Mittelpunkt  der  Kugelschale,  q>  das 
zu  ermittelnde  Attractionsgesetz,  ^  eine  Function,  die  aus  <p  auf  folgende 
Weise  erhalten  wird : 

Der  Theil  links  vom  Gleichheitszeichen  der  Gleichung  D)  stellt  die  Summe 
der  Attraction  aller  Theilchen  der  Kugelschale  dar,  der  Theil  rechts  die 
Masse  der  Kugelschale,  multiplicirt  in  die  zu  suchende  Function  von  r. 
Dieselbe  Gleichung  Integrität  giebt: 

c)  ^  (r  +  tt)  ^—  -^  (r  —  tt)  =  2 ruCq>  (r)dr^'  rU^ 

unter  Ü  einen  Ausdruck  verstanden,  der  nur  ans  u  und  Constanten  zusam- 
mengesetzt ist.  Hieraus  leitet  Laplace  durch  Gleichsetzung  der  identi- 
schen zweiten  Differentialquotienten  nach  r  und  u  des  Theiles  rephts  vom 
Gleichheitszeichen  folgende  Gleichung  ab : 

r  ^  dr  ^ 

deren  Integral 

B 

g)  V{'')  =  ^r  +  p 

sofort  das  gesuchte  Attractionsgesetz  darstellt. 

Es  ist  aber  hierzu  zu  bemerken,  datifl  durch  diese  Ableitung  das  nur 
in  ^  enthaltene  Attractionsgesetz  der  Theilchen  der  Kugelschale  als  solcher 
elimtnirt  worden  ist,  dass  somit  in  Gleichung  f)  die  Function  (p{r)  nur  das 
Attractionsgesetz  der  im  Mittelpunkt  vereinigten  Masse  repräsentirt  und 
man  zu  derselben  Gleichung  f)  gelangt  wäre,  wenn  man  fp  eine  beliebige 
andere  von  tp  verschiedene  Function  zu  Grunde  gelegt  hätte »  desgleichen 
wenn  man  die  unter  den  Functionsa^eichen  fff  in  Gleichung  D)  befindlichen 
Orenzgrössen  r  +  u  und  r  —  u  durch  u  +  r  und  u — r  ersetzt,  d.  b.  den 
äusseren  Punkt  mit  einem  inneren  vertauscht  hätte.  Demgemäss  besagt 
das  Integral  g)  nur  Folgendes : 

Wenn  es  möglich  sein  soll,  die  Attraction  einer  Kugelschale  auf  einen 
ausser-  oder  innerhalb  derselben  gelegenen  Punkt  durch  diejenige  der  im 
Mittelpunkt   vereinigt  gedachten  Masse  der  Kugelsch|4iba  Sfix^^selaen ,  so 


Kloinere  Mitthciinngen.  439 

mo88  »ich  letztere  Attractioii  der  Fanetion  der  Entfernang  nach  zurück «^ 

B 

ziehen  auf -^r-4-  — . 
r* 

Diese  Bedeutung  der  Gteichung  g)  dürfte  veranlassen ,  die  Ableitung 
der  in  Hede  stehenden  Attraetionsgesetze  sowohl  bezüglich  eines  äusseren 
als  inneren  Punktes  in  folgender  Weise  zu  Ende  zu  führen : 

Ob  nämlich  die  Attraction  der  im  Mittelpunkt  vereinigt  gedachten 
Masse  der  Kugelschale    auf   einen   äusseren  Punkt   nach    dem  Gesetze 

^r-|-~|  äquivalent  sei  der  Attraction  der  Kugelschale  als  solcher  nach 

demselben,  oder  irgend  einem  anderen,  oder  mehreren  anderen  Gesetzen, 
und  ob  und  unter  welcher  näheren  Bestimmung  der  Constanten  A  und  B^ 
ergiebt  sich  offenbar  aus  der  ursprünglichen  Gleichung  e),  in  welche  für 

q>  (r)  rechts  vom  Gleichheitszeichen  der  Ausdnick  Ar  +  -^  zu  substituiren 

ist.  Hierdurch  geht  diese  Gleichung  unter  gleichzeitiger  Berücksichtigung 
der  ans  derselben  ebenfalls  für  ü  rcsultirenden  Form  über  in 

h)  ^{r  +  u)  —  ^  {r  —  u)  =  u  (^r»+  Cr  —  2B)  +  r  {At^  +  Eu—2  D), 
worin  (7,  2),  E  wie  A  und  B  Integrationsconstante  sind.  Um  hieraus  die 
Function  i^  zu  ermitteln,  differentiiren  wir  viermal  nach  einer  der  Grössen 
r  und  u;  diess  liefert 

i/;""(r+«)-V;""(r-«)=0, 
somit  für  jedeQ  Werth  von  f 

sofort 

i)  ^         ^ (/) = er + er  +  er + ^'7+ c" 

mit  c,  c\  • .  als  Constante  der  Integration. 
Hieraus  ergiebt  sich 

k)  ^(f)=^cf+Zc—j^ 

für  das  Gesetz,  nach  welchem  die  Attraction  der  Theilchen  der  Kugel- 
schale vor  sich  zu  gehen  hat.  Der  unter  i)  für  i^{f)  gewonnene  Ausdruck 
hat  aber  noch  die  Gleichung  h)  zu  erfüllen,  oder  besser:  die  Integrale  ip{f) 
und  (p(r),  Gleichung  g) ,  haben  zusammen  die  Gleichung  e)  zu  einer  iden- 
tischen zn  machen,  was  zu  den  folgenden  llelatiouen  führt: 

B  =  -^c'\ 
C+  E  =  ^c\ 
2>  =  0, 

hiermit  aber  geht  die  Gleichung  k)  über  in 


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440  Kleinere  Mittheilnngen; 

d.  h. :  Die  Attr^ction  einer  Ktigelschale  auf  einen  aasa^rhalb  d^selben  be- 
findlichen Punkt  ist  nur  dann  äquivalent  derjenigen  der  im  Mittelpunkt 
vereinigt  gedachten  Masse  der  Kugelschale,  wenn  beiderlei  Wirkungen 
nach  d^m  und  demselben  Gesetz,  und  sVftr  sowohl  nach  der  directen 
ersten  Potenz  als  nach  dem  verkehrten  Quadrat  der  Entfernung ,  vor  sieh 
gehen. 

Bezliglioh  eines  Punktes  innerhalb  einer  K^ugelschale  wird  man  das 
auch  hier^r  resultirende  allgemeine  Integral  i)  mit  der  Gleichung  h)  ver- 
binden, nachdem  man  in  dieser  die  unter  den  Functionssieichen  i^;  befind- 
fichen  Grössen  r  +  u  und  r  —  u  durch  u  +  r  und  u  —  r  ersetzt  hat;  diess 
ergiebfc: 

B  —  0, 

D  =  — c7, 

80  dass  sich  das  Binom  der  Gleichung  g)  auf  sein  erstes  Glied  redncirt, 
w&hrend  die  Gleichung  k)  sich  verwandelt  in 

d.  h. :  Die  Attraction  einer  Kngelfläche  auf  einen  innerhalb  derselben  be- 
findlichen Punkt  ist  nur  dann  äquivalent  derjenigen  der  im  Mittelpunkt 
vereinigt  gedachten  Masse  der  Kugelschale,  wenn  entweder  beiderlei  Wir- 
kungen nach  einem  und  demselben  Gesetz,  und  zwar  nach  der  directen 
ersten  Potenz  der  Entfernung,  vor  sich  gehen,  —  oder  aber,  wenn  die 
erstere  Wirkung  nach  ^em  verkehrten  Quadrat  der  Entfernung  vor  sich 
geht,  die  letztere  aber  Null  ist. 


,         rr---     »  DigitizedbyLiOOgle 


iSüogle 


^!  CA 


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Literaturzeitung 


der 


Zeitschrift  flir  Mathematik  und  Physik 


heransgegeben 
unter  der  verantwortlicben  Bedaction 


Dr.  O.  Schlömiloh,  Dr.  E.  Kahl 

und 

Dr.  M.  Cantor. 


Fünfter  Jahrgang. 


LEIPZIG, 

Verlag  von  B.  G.  Tenbner. 


^860.  Digitizedby  Google 


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Inhalt. 


Arithmetik  und  Analysis.  ^^.|^ 

TflOMAB ,  K.   Das  pythagoräUcbe  Dreieck  und  die  ungerade  Zahl 5 

Spitzbs,  Prof.   Stadien  über  die  Integration  linearer  Differentialgleichungen  17 

Bbbkham,  Oberlehrer.   Die  Anwendung  der  Algebra  auf  praktische  Arithmetik    .  38 

Kbist,  Prof.   Ueber  Zahlensysteme  und  deren  Geschichte 40 

Baltzeb,  Dr.  Die  Elemente  der  Mathematik ;  I.Band:  Arithmetik  und  Algebra  55 

ScRELiJUCH ,  Prof.  Mathematische  Lehrstunden <$0 

La  Bbsoüb  ,  Prof.   Exercice*  d* Analyse  numerique 74 

Catalax  ,  Dr.    Triäii  iUmaUaire  des  s&ies 75 

TheoretiBohe  und  praktisohe  Geometrie« 

LfiB8iH,H.   Ausführliches  Lehrbuch  der  Elemcntargeometrie 18 

Adam  ,  Prof.  Das  Entwerfen  geographischer  Kartennetae 42 

Zbhxe  ,  Director  Dr.   Die  Geometrie  der  Körper 42 

MüLLBB ,  Prof.  Dr.  Anfangsgründe  der  geometrisdien  Disciplinen Ol 

Uhdb  ,  Schulrath  Dr.  Die  ebene  Trigonometrie 05 

FiBDLBB,  Dr.  Die  Centralprojection  als  geometrische  Wissenschaft 79 

Qeeohiolite  der  HAthematik. 

MÜLLBB,  Oberschulrath  Dr.    Beitrttge  sur  Terminologie  der  griechischen  Mathe- 
matiker    73 

Mechanik« 

Baubmbibtbb.   Theorie  der  Körperbewegungen ö 

—    —         Die  Ursachen  der  zunehmenden  Fallgeschwindigkeit 0 

LüBSBN,  H.   Einleitung  in  die  Mechanik ^ 33 

Matthibsbbh,  Dir.     Neue  Untersuchungen  über  frei  rotireude  Flüssigkeiten  im 

Zustande  des  Gleichgewichts 69 

Labol^dbb,  Prof.   Einleitung  in  die  technische  Mechanik 75 

Physik« 

Zbubbb,  Prof.  Dr.  Grundsüge  der  mechanischen  Wärmethoorie 1 

BouTiOHT,  H.   Studien  Über  die  Körper  im  sphäroidalen  Zustande 9 

Stammbb,  Dr.  Lehrbuch  der  Physik 52 


Bibliographie Seite  7,  20,  44,  58,  70,    83 

MathematiBches  Abhandlungsregister.    Januar  bis  Juni  1859    ...     22 
,,  „  Juli  bis  December  1859     .     .     86 


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Literaturzeitung. 


Recensionen. 

Ontndsttge  der  meduudschen  Wftrmetheorie  mit  besonderer  Kttcksiolit 
auf  das  Yerhalten  des  Wasserdampfes  von  Dr.  Gustav  Zjsdnse, 
Professor  am  eidgenössischen  Polytechniknm  zu  Zürich.  Freiberg, 
Eogelhardt,  1860.  200  Seiten  8^ 
Der  bedeutende  Umfang ,  zu  welchem  die  Literatur  der  mechanischen 
WUnnetheorie  im  Laufe  ^iner  kuraen  Reihe  von  Jahren  angewachsen  ist, 
läset  die  in  der  Vorrede  ausgesprochene  Absicht  des  Verfassers,  alle  von 
verschiedenen  Schriftstellern  bis  sum  heutigen  Tage  gegebenen  Rechnnngs- 
und  Versuchsresultato  vollständig  und  im  Zusammenhang  darzulegen ,  als 
eine  sehr  zeitgemässe  und  dankenswerthe  erscheinen,  wenngleich  das  Buch 
selbst  moht  in  vollem  Maasse  Das  leistet,  was  die  Vorrede  verspricht.  Was 
die  experimentellen  Grundlagen  der  mechanischen  Wärmetheorie  betrifft, 
so  sind  fast  immer  nur  die  Versuchsresultate  historisch  mitgetheilt,  ohne 
dass  es  dem  Leser  durch  eine,  wenn  auch  nur  kurze  Andeutung  der  Metho- 
den, durch  welche  dieselben  gewonnen  wurden,  möglich  gemacht  wäre, 
ein  Urtheil  über  derep  Zuverlässigkeit  zu  gewinnen.  Und  eine  solche  Kri- 
tik von  Seiten  des  Lesers  hat  der  Verfasser  nicht  immer  überflüssig  ge- 
macht. Während  z.  B«  den  Versuchen  von  Hirn  an  .Dampfmaschinen  ein 
grösseres  Gewicht  beigelegt  wird ,  als  ihnen  vielleicht  im  Vergleich  mit 
manchen  andern  Versuchen  zukommen  möchte,  wird  nur  beiläufig  (p.  30) 
erwähnt,  dass  Joule  durch  verschiedene  Methoden  das  Wärmeäquivalent 
bestimmt  habe ,  ohne  Über  diese  Methoden  die  geringste  Andeutung  zu  ge- 
ben. Die  Namen  eines  Rumford  und  Davj  hätten  wohl  auch  wenigstens 
eine  historische  Erwähnung  verdient.  Der  von  Perron  für  das  mechanische 
Wärmeäquivalent  gegebene  Zahlenwerth  (424  Kgrm.)  ist  aus  denselben  nu- 
merischen Datis  und  Formeln  abgeleitet,  wie  die  Zahl  des  Herrn  Zeuner^ 
die  Uebereinstimmung  daher  nicht  eben  wunderbar.  Die  Zahlen  (pag.  38), 
welche  Massen  und  Dulong  für  das  Verbal tniss  der  specifischen  Wärme 
der  atmosphärischen  Luft  gegeben  haben,  sind  gar  keine  Versucbsresultate, 
sondern  ebenso  wie  die  vom  Verfasser  selbst  gegebene  Zahl  ans  der  Formel 
für  die  Schallgeschwindigkeit  durch  Rechnung  abgeleitetjizeaDy  ^OOglC 

Lileiaturxtgr.  U.  Zeilscbr.  f.  Malh.  a.  I'hys.  V.  I 


2  Literaturzeitung. 

Wir  lassen  eine  kurze  Inhaltsangabe  der  theoretisclien  Entwickelungen 
des  Verfassers  folgen.  Derselbe  beginnt  mit  der  Erklärung ,  dass  man  in 
der  mechaniscLen  Wärmetbeorie  die  Wärme  nicht  als  Stoff,  sondern  als 
Bewegungsform  betrachte.  Da  nun  der  Begriff  einer  Bewegungsform 
an  sich  nichts  Messbares  enthält,  so  wäre  es  erwünscht,  ehe  überhaupt 
von  Aequivalenz  der  Wärme  und  Arbeit  die  Rede  ist,  zu  erfahren,  wo- 
durch die  in  einem  Körper  enthaltene  Wärmemenge  gemessen  werden  soll, 
ob  etwa  durch  die  lebendige  Kraft  der  Molecularbewegung  oder  wodurch 
sonst.  Im  §.2  erfahren  wir  nämlich  historisch,  dass  die  lebendige  Kraft 
der  Wärmebevegung  nicht  die  ganze  im  Körper  enthaltene  Wärmemenge 
darstellt,  sondern  dass  ein  Theil  der  dem  Körper  zugefUhrten  Wärme  oder 
mechanischen  Arbeit  noch  zu  Anderem  verbraucht  wird.  Da  man  nun 
a  priori  nicht  wissen  kann,  wie  gross  dieser  Theil  ist,  welcher  zu  innerer 
Arbeit  verwendet  wird ,  so  ist  auch  nicht  abzusehen ,  auf  welche  Weise  die 
Richtigkeit  des  Priucips  der  Aequivalenz  der  Arbeit  und  Wärme  geprüft 
werden  soll.  Die  im  folgenden  Par4igraphen  gegebenen  Beispiele  beseitigen 
die  Schwierigkeit  nicht,  denn  dass  z.  B.  die  bef  der  Expansion  eines  Gases 
für  das  Gefühl  verschwundene  Wärmemenge  überhaupt  nicht  mehr  vorhan- 
den oder  verbraucht  sei,  folgt  ebenso  wenig  mit Nothwendigkeit  aus  der 
Vorstellung  der  Wärme  als  Bewegungsform,  wie  aus  der  altern  Vorstellungs* 
weise;  es  kann  also  nicht  zum  Beweise  des  Priucips  der  Aequivalenz  der 
Arbeit  und  Wärme  dienen,  sondern  es  ist  im  Gegentheil  erst  eine  Folgerung 
aus. diesem  Princip.  Der  Beweis,  dass  wirklich  Wärme  verschwindet^ 
während  Arbeit  geleistet  wird,  und  dass  das  verschwundene  Wärmequantum 
der  geleisteten  Arbeit  proportional  ist,  kann  nur  ans  der  Betrachtung 
eines  vollständigen  Kreisprocesses  hergeleitet  werden,  wo  der  vermittelnde 
Körper  sich  am  Ende  wieder  in  demselben  Zustand  befindet  wie  am  Anfang. 
Jedenfalls  hätte  die  Darstellung  des  Grundprincips  der  mechanischen 
Wärmetheorie  an  Schärfe  nicht  unerheblich  gewonnen,  wenn  dasselbe,  wie 
es  von  Helmholtz  geschehen  ist,  auf  das  mechanische  Prineip  der  leben« 
digen  Kräfte  gegründet  worden  wäpe^  woraus  sich  insbesondere  von  vom 
herein  eine  präcisere  Begriffsbestimmung  der  „innern  Wärme'*  des  Körpers 
ergeben  hätte.  Es  ist  dieselbe  nämlich  identisch  mit  der  „mechanischen 
Energie"  von  Thomson  oder  der  „Wirkungsfunction"  von  Kirchhof^ 

Es  folgt  die  Ableitung  der  Hauptgleichungen  der  mechanischen  Wärme- 
theorie, welche  von  der  üblichen  Form  dadurch  etwas  abweichen,  dass 
Druck  und  Volumen  als  unabhängige  Veränderliche  genommen ,  die  Tem- 
peratur als  Function  beider  betrachtet  wird.  Die  Unabhängigkeit  der 
Car  not 'scheu  Temperaturfunction  von  der  Natur  des  vermittelnden  Kör- 
pers wird  ähnlich  wie  bei  Clapeyron,  Clausius  und  Reech  aus  der 
Betrachtung  eines  umkehrbaren  Kreisprocesses  hergeleitet,  indem  aus  der 
entgegengesetzten  Annahme  folgen  würde,  dass  ohne  Aufwand  von  Wärme 
oder  Arbeit  Wärme  von  einem  Körper  niederer  Temperj||qLr  ^u^%9©  Körper 


Literatorseitang. 

bdherer  Temperatur  über^fUhrt  werden  könnte.  Inwiefern  dies  ,>nnge- 
reimt ^*  wSre,  ist  nicht  einzusehen,  da  nichts  darin  liegt,  was  der  Grtind- 
▼orstellnng  oder  dem  ersten  Grundsatz  der  mechanischen  Wärmetheorie 
widerspricht.  Es  ist  yielmehr  die  Unmöglichkeit  einer  solchen  Ueberftih- 
rung  eine  völlig  neue  tind  für  sich  bestehende  Hypothese,  was  vom  Ver- 
fasser nicht  genug  hervorgehoben  wird.  -7-  Ungern  vermisst  man  an  dieser 
Stelle  den  Satz  über  die  innere  Wärme  (Wirkungsfunction)  eines  Körpers, 
welchen  W.  Thomson  aus  der  Verbindung  beider  Prineipien  der  mecha» 
nischen  Wärmetheorie  abgeleitet  hat  und  der  von  Kirch  hoff  in  verallge- 
meinerter Form  entwickelt  und  in  so  eleganter  Weise  zur  Herleitung  der 
Gesetze  der  Dampfbildung,  sowie  der  Absorption  von  Gasen  und  der  Lö- 
sung von  Salzen  im  Wasser  benutzt  worden  ist. 

In  dem  Kapitel  fiber  die  permanenten  Gase  werden  diejenigen  Gase 
ausführlich  behandelt,  welche  das  M^ariott ersehe  und  Gay-Lussac'sche 
Gesetz  genau  befolgen,  unter  der  Voraussetzung,  dass  beide  specifische' 
Wärmen,  bei  constantem  Druck  und  bei  constantem  Volumen,  von  Dichtig- 
keit nnd  Temperatur  unabhängig  sind.  Es  wird  aus 'der  Differenz  der  spe- 
cifischen  Wärme  das  Wärmeäquivalent  =  424  Kgrm.  bestimmt  und  nach- 
gewiesen, dass  die  Ca^not^sche  Temperaturfunction  der  absoluten  Tem- 
peratur proportional  ist«  Femer  ergiebt  sich ,  dass  die  innere  Wärme  der 
Masseneinheit  des  Gases  seiner  absoluten  Temperatur  proportional,  übrigens 
aber  von  Druck  und  Dichte  unabhängig  ist  (May  er 'sehe  Annahme).  In 
einigen  Anmerkungen  werden  die  Modificatiouen  besprochen,  welche  die 
Formeln  erleiden  würden,  wenn  man  die  specifischen  Wärmen  nicht  als 
constant,  aber  als  Functionen  der  Temperatur  allein  betrachtete.  Die  so 
gewonnenen  allgemeinen  Besultate  wejden  auf  die  speciellen  Probleme  der 
Erwärmung  eines  Gases  bei  constantem  Druck  und  bei  constantem  Volu- 
men, der  Volumenänderung  bei  constanter  Temperatur,  der  Copipression 
nnd  Dilatation  in  einer  für  Wärme  undurchdringlichen  Hülle,  des  Verhal- 
tens bei  plötzlicher  Aenderung  des  Druckes ,  endlich  auf  den  Kreisprocess 
der  calorischen  Luftmaschine  angewendet.  Der  Einfluss  der  Abweichungen 
vom  Mariotte*8chen  und  Gaj-Lussrac'schen  Gesetz,  sowie  die  Ver- 
suche, welche  von  Joule  und  Thomson  über  die  Abkühlung  der  Gase 
beim  Ausströmen  durch  enge  Oeffnungen  oder  poröse  Körper  zur  PrüAing 
der  Richtigkeit  der  May  er 'sehen  Annahme  angestellt  worden  sind,  und 
die  von  diesen  Physikern  aus  ihren  Versuchen  gezogenen  Folgerungen  sind 
leider  nicht  berücksichtigt  worden. 

Besonders  ausführlich  wird  im  dritten  Kapitel  über  die  Dämpfe  im 
gesättigten  und  überhitzten  Zustand,  das  Verhalten  des  gesättigten  Wasser- 
dampfes untersucht,  dessen  Eigenschaften  am  besten  bekannt  und  von  der 
grössten  praktischen  Wichtigkeit  sind.  Die  Versuchsresultate  von  R  e  g  - 
nault  über  die  Spannkraft  und  die  Gesammtwärme  des  gesättigten  Wasser- 
dampfes werden  der  Untersuchung  zu  Grunde  selegt.    Die  theils  aus  deh> 

*  w  o        o         jigiüzea  Dy  x^j  vyv_/p^nL 


Literatnrzeituiig. 

y^rsnchen  von  Begnault  unmittelbar  bekannten,  theils  durcb  Anwendimg 

der  Principien  der  mecbanischen  W&tmetheorie  auf  diese  Versuchsresultaie 

aicb  ergebenden  Zahlenwerthe  der  verschiedenen  in  Betracht  kommendea 

Fonetionen  sind  für  Temperaturen  von  5  au  5  6rade,n  innerhalb  des  Inter- 

valles  von  0  bis  200^  und  für  Spannkräfte  von  Viertel-  au  Viertel- Atmosphäre 

fdr  das  Intervall  von  ^  bis  10  Atmosphären  auf  zweckmässige ,  die  Ueber- 

sicht  und  den  praktischen  Gebrauch  erleichternde  Weise  in  Tabellen  zu- 

sammengestellt.     Wie  schon  Clausius  gezeigt^  lassen  sich  mit  Hilfe  des 

Caroio tischen   Princips    die   Volumina   der  Gewichtseinheit  gesättigten 

dp 
Dampfes  aus  den  bekannten  Werthen  des  Differentialquotienten  -—  und  der 

Verdampfungswärme  r  berechnen.  Die  Verglelchung  der  numerischen 
Resultate  ergiebt,  dass  die  Dämpfe  im  gesättigten  Zustand  nicht  dem 
Mariotte-Gay-Lussac'schen  Gesetze  folgen,  sondern  dass  dieBelatioa 
zwischen  Druck  (p),  Volumen  {v)  und  absoluter  Temperatur  (J)  mit  hin* 
reichender  Genauigkeit  durch  eine  für  die  Rechnung  bequeme  empirische 
Gleichung  von  der  F<trm 

T 

Apv^=^  Blog  — 
n 

dargestellt  wird ,  wo  A  das  Wärmeäquivalent  der  Arbeitseinheit  (^i^) »  B 
und  n  aus  den  Versuchen  zu  bestimmende  Constante  sind.  Nach  Zusammen- 
atelluDg  der  allgemeinen  Formeln  für  gesättigte  Dämpfe  werden  nach  ein- 
ander sieben  passend  ausgewählte  specielle  Probleme  behandeH,  welche 
alle  wiebtigern  Fragen,  die  in  der  Theorie  der  Dampfmaschinen  von  Inter- 
esse sein  können,  vollständig  erschöpfen.  Soweit  diese  Fragen  schon  früher 
von  Clausius  behandelt  worden  sind,  stimmen  die  Resultate  des  Verfas- 
sers mit  denen  von  Clausius  überein.  Dem  Verfasser  gebührt  das  un- 
zweifelhafte Verdienst ,  durch  weitere  Ausführung  der  von  Clausius  auf- 
gestellten Principien  die  Grundlsgen  zu  einer  neuen  vollständigen  Theorie 
der  Dampfmaschinen  gegeben  zu  haben ,  welche  die  veraltete  Theorie  des 
Grafen  P%mbour  zu  ersetzen  bestimmt  ist.  Es  steht  zu  hoffen,  dass  der 
Verfasser  sich  des  fernem  Ausbaues  dieser  Theorie  annehmen  wird.  Die 
Discussion  des  vorhandenen  Materials  über  überhitzte  Dämpfe  führt  zu  dem 
Ergebniss,  dass  sich  aus  Mangel  an  experimentellen  Grundlagen  über  deren 
Verhalten  noch  keine  hinreichend  sichern  Schlüsse  ziehen  lassen. 

Das  vierte  und  letzte  Kapitel  enthält  die  Anwendung  der  Grundsätze 
der  mechanischen  Wärmetheorie  auf  feste  und  flüssige  Körper.  £s  verdient 
bemerkt  zu  werden,  dass  die  Formeln  des  Verfassers  auf  feste  Körper  nur 
insoweit  anwendbar  sind,  als  man  berechtigt  ist,  ihren  Zustand  als  durch 
zwei  unabhängige  Veränderliche  p  und  v  vollständig  bestimmt  zu  betrach- 
ten, also  z.  B.  unter  Voraussetzung  eines  von  allen  Seiten  gleichförmigen 
Druckes.  In  diesem  Sinne  sind  dieselben  auch  vom  Verfasser  stillschwei- 
gend   verstanden    worden.      Es    werden   zuerst    die   von   W.   Thomson 

uigiiizea  oy  v^jOOV  ln^ 


Literaturzeitung. 

theoretisch  al^eleiteten  und  durch  Versuche  von  Joule  bestätigten  Resul- 
tate über  die  Erwärmung  von  Flüssigkeiten  durch  Compression  behandelt. 
Es  werden  sodann  die  Bestimmungen  von  Aim^  und  von  CoUadon  und 
Sturm  über  die  Compressibilitftt  des  .Wassers  und  Qaecksilbers  benutzt, 
um  aus  den  entwickelten  Formeln  der  Werth  des  VerhIÜtnisses  der  specific 
sehen  Wärmen  bei  constantem  Druck  und  bei  eonstantem  Volumen  abzulei- 

ft 
ten.     Es  ergiebt  sich  für  Quecksilber  —  =  1^353  und  da  nach  Regnault 

c  =  0,03332  ist,  c,  =  0,02935,  ftir  Wasser  —  =  1,0012  mithin  c,  =0,9088. 

Den  Schluss  bildet  die  Untersuchung  über  die  Abhängigkeit  des 
Schmelspunktes  vom  Druck.  Die  Entwickelungen  von  W.Thomson 
über  die  Teraperaturveränderungen,  welche  mit  Formänderungen  elasti- 
acher  Körper  verbunden  sind  {Quarierly  Joum,  of  Math,  i,  57)  und  die  zu 
ihrer  Bestätigung  von  Joule  angestellten  Versuche  {PhiLMag.  [^$er.]  XI V. 
226,  J'F.öSS,  XVL  54)  sind  noch  nicht  benutzt. 

*  Die  Darstellung  ist,  abgesehen  von  den  anfangs  erwähnten  principiel- 
len  Schwierigkeiten,  klar  und  anschaulich  und  das  Ganze  erscheint  wohl 
geeignet,  den  Leser  auf  leichtere  Weise  als  das  früher  möglich  war,  mit 
den  bisher  gewonnenen  Besultaten  der  mechanischen  Wärmetheorie  be« 
kannt  zu  machen.  Die  äussere  Ausstattung  lässt  nichts  zu  wünschen  Übrig. 

JOCBMANN. 


Das  Pyfhagoxtisehe  Dreieck  und  die  ungerade  Zahl.  Ein  Beitrag  zur 
Einleitung  in  das  Studium  des  rechtwinkligen  Dreiecks.  Von 
Karl  Thomas.  Berlin,  Herbig. 
Der  Verfasser,  der  sich  selbst  für  einen  Nicht -Mathematiker  erklärt, 
will  mit  seiner  Schrift  den  Beweis  liefern,  dass  derjenige,  der  überhaupt 
richtig  zu  denken  verstehe,  auch  über  mathematische  Dinge  richtig  denken 
werde  (S.  8) ,  er  glaubt  ferner  eine  brauchbare  Einleitung  in  das  Studium 
des  rechtwinkligen  Dreiecks  geliefert  zu  haben  (S.IO)  und  vindicirt  endlich 
seiner  Arbeit  eine,  wenn  auch  nur  kleine,  wissenschaftliche  Bedeutung, 
welche  in  dem  Satze  gesucht  werden  soll:  „dass  für  das^roblem  vom 
rechtwinkligen  rationalen  Dreieck  die  absoluten  Primzahlen  mit  ihren 
noch  immer  unbekannten  Gesetzen  fast  in  den  Hintergrund  gedrängt 
werden,  dass  an  die  Stelle  derselben  zwei  durchaus  bestimmte  Zahlenreihen 
treten ,  für  die  geraden  Zahlen  die  Zahlenreihe ,  die  aus  der  Gleichung 
d=  2f*'  hervorgeht,  für  die  ungeraden  Zahlen  die  Zahlenreihe,  deren  all- 
gemeines Glied  d=  (2f* — 1)*  ist,  beides  für  f4  =  1  bis  f*  =  oo.  Die  Be- 
deutung xdieser  Zahlenreihen  für  das  rationale  rechtwinklige«.Dreieck  liegt 
in  der  Bedeutung  des  Buchstabens  cf,  der  nach  der  einen  Seite  hin  den  Un- 
terschied zwischen  der  Hypotenuse  und  einer  der  ^o^^^^i^J^^J^e^^o^o^^l^^iflc 


6  Ijitcratttrzeitung. 

net,  näcb  der  andern  Seite  hin  die  Anzahl  der  unmittelbar  aufeinander  fol- 
genden ungeraden  Zahlen  bedeutet,  die  sich  zum  Quadrate  einer  ganzen 
Zahl  aufi^ummiren.  Die  Methode,  allgemein  für  die  kleinste  dieser  d  unge- 
raden Zahlen  die  Stellenzahl  zu  finden,  ist  zugleich  die  Methode  fUr  die 
Darstellung  des  Systems  der  rationalen  rechtwinkligen  Dreiecke.  Diese 
Methode  bedarf  der  absoluten  Primzahlen  nicht  und  die  Darstellung  des 
genannten  Systems  und  dessen  Zurückfuhrung  auf  die  entferntesten  For- 
melelemente kann  unabhängig  von  der  absoluten  Primzahl  erfolgen/' 

Hierauf  ist  zu  antworten :  ad  l^  der  erwähnte  Beweis  war  vollkommen 
überflüssig,  da  schon  Plato  wusste  und  den  Sokrates  an  einem  Beispiele 
zeigen  lässt,  dass  zur  Mathematik  keine  absonderliche  Logik,  sondern  nur 
gesunder  Menschenverstand  erforderlich  ist.  Ad  2^  Die  Lehre  vom  ratio- 
nalen rechtwinkligen  Dreieck  gehört  nicht  zur  Theorie  des  Dreiecks ,  son* 
dem  iu  die  unbestimmte  Analytik;  von  einer  Einleitung  in  das  Studium 
des  rechtwinkligen  Dreiecks  kann  hier  gar  keine  Rede  sein.  Ad  3,  Die  all- 
gemeine rationale  Auflösung  der  unbestimmten  Gleichung  a^  +  b*=st*y 
nämlich 

ist  so  alt,  dass  man  sie  dem  Pythagoras,  Archytas  oder  Plato  enge- 
schrieben hat,  und  eben  so  alt  ist  ohne  Zweifel  die  Oonsequenz 

c  — 6  =  2^,  c  —  a  =  {p^q)\ 
worüber  der  Verf.  so  viele  Worte  macht.   Auch  die  Gleichung  1+3  +  5-f*,. 
+  (2/1  —  l)=n*  kommt  schon  im  Alterthume  vor,  z.  B.  bei  Nicomachus. 
Es  war  daher  sehr  überflüssig,  dass  der  Verf.  seine  Studien  drucken  Hess. 

SOHLÖMILOH. 

Theorie  der  Zörperbeweg^gen  in  specieller  Erörterung  der  Pendelbe- 
wegungen.   Von  G.  A.  Baurmbistbr.  .  Leipzig,  Eduard  Heinrich 
Mayer. 
Die  VrsaoheiL  der  xnnelimenden  Fallgesohwindigkeit  bei  Körperbewegun- 
gen.  Von  Demselben.    Ebendaselbst. 
Zur  Charakteristik  des  Verfassers  werden  folgende  Citate  ausreichen. 
In  der  zweiten  Schrift  heisst  es  S.  28 :  „Der  Verfasser  macht  keine  An- 
sprüche auf  ipathematische  Kenntnisse,  er  w€i8S  aber,  dass  es  eine  physi- 
kalische Mathematik  noch  nicht  giebt,  dass  alle  desfallsigen  Rechnungen 
der  Physik  nutzlos  sind,   theils  weil  sie  auf  falschen  Prämissen  beruhen, 
theils  weil  man  das  Naturleben  übersah  und  nur  die  Form  im  Auge  hatte.*^ 
Auf  S.  7  der  ersten  Schrift  findet  sich  die  ebenso  apodiktische  Behauptung: 
„Eine Theorie  der  Pendelbewegung,  welche  der  Kritik  Stand  halten  könnte 
und  nur  einigermassen  ausreichend  wäre,  hat  ihren  Schöpfer  noch  nicht 
gefunden."    -Solch  bodenloser  Ignoranz  gegenüber  bedarf  es  begreiflicher- 
weise keiner  Erörterung.  Schlömilch. 

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Bibliographie 

vom  1.  November  bis  1.  December  1859. 


Feriodische  Bchriften. 

Bericlite  über  die  Verhandlungen  der  K.S.Gesellschaft  der 
Wissenschaften  zu  Leipzig.  Mathem.-phys.  Cl.  1859.  I.  u.  IL 
Leipzig,  Hirzel.  k  %  Thlr. 

Beine  Kathematik. 

F^AUX,  B.,  Buchstabenrechnung  und  Algebra  nebst  Uebungs- 
au  f  g a b en.     Paderborn,  Schöningh.  11%  Ngr. 

Baltzer,  R.,  Die  Elemente  der  Mathematik.  1.  Bd.  Gemeine  Arith- 
metik, allgemeine  Arithmetik  und  Algebra.     Leipzig,  Hirzel. 

1  Thlr.  6  Ngr. 

MooKiK,  F.,  Lehrbuch  der  Arithmetik  für  Untergjmnasien. 
1.  Abth.     10.  Aufl.     Wien,  Gerold's  Sohn.  16  Ngr. 

WiscKiiBR,  A.,  Allgemeine  Transformation  der  bestimmten 
Doppelintegrale.  (Akad.)  Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.  3  Ngr. 

ScHLÖMiLCH,  0.,  Grundzüge  einer  wissenschaftlichen  Darstel- 
lung der  Geometrie  des  Maasses.  1.  Tbl.  Planimetrie  und 
ebene  Trigonometrie.     3.  Aufl.     Eisenach,  Bäreke.  1%  Thlr. 

Sai/OUon,  J.,  Lehrbuch  der  reinen  Elementargeometrie.  4.  Aufl. 
Wien,  Gerold's  Sohn.  2%  Tlr. 

MocKiK,  F.,  Geometrische  Anschauungslehre.  1.  Abth.  4.  Aufl. 
Ebendas.  12  Ngr. 

FiALXowSKT,  N.,  Theilung  des  Winkels  u^d  des  Kreises  oder 
Bi-,  Tri-  und  Polysection  jedes  Veliebigen  Winkels  in 
72  neuen  Methoden.     Ebendas.  2  Thlr. 

Angewandte  ■  afhematik. 

Schmidt,  R.,  Theoretisch-praktische  Anleitung  zum  geometri- 
schen Zeichnen,  zur  Schattenconstruction  und  zur  Perspective. 
3.  Ausg.     Leipzig,  Förstner'sche  Buchhandlung.  1  Thlr. 

Matthiessen,  L.,  Neue  Untersuchungen  über  frei  rotirende 
Flüssigkeiten  im  Zustande  des  Gleichgewichts.  Kiel, 
Akadem.  Buchhandlung  in  Comm.  ^g,^,^^^ ^^ OJÖfeg Ic 


8  Literaturzeitung. 

Laroiadi&r,  A.  P.,  Einleitnng  in  die  technische  Mechanik  für 
Gewerbe-  und  Indastrieschalen.     Frauenfeld,  Haber. 

1%  Tblr. 

Zedner,  O.,  Grundzüge  der  mechanischen  Wärmetheorie.  Mit 
besonderer  Rücksicht  anf  das  Verhalten  des  Wasserdampfes,  Freiberg, 
Engelhardt.  1%  Thlr. 

Kedtekbacher,  f.,  Resultate  für  den  Maschinenbau.  4.  Auflage. 
Mannheim,  Bassermann.  5  Thlr. 

Hansen,  P.  A.,  Auseinaudersetsung  einer  zweckmässigen  Me- 
thode zur  Berechnung  der  absoluten  Störungen  der  klei- 
nen Planeten.   3.  Abhandlung.   Leipzig,  Hirzel.     2Thlr.  12Ngr. 

LiTTROW,  K.  V.,  Privatleistungen  auf  astronomischen  Gebiete. 
Ein  Vortrag.  Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.  7  Ngr. 

LÖW7,  M.,  Bahnbestimmungen  des  ersten  Kometen  1857.  (Akad.) 
Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.  4  Ngr. 

BRüNNOW,r.,  Tables  of  Victoria  with  regard  of  the perturbalions 
of  Jupiter  and  Saturn,   New-York,  Weslermann  ^  Comp.  1%  Thlr. 

Physik. 

Emsmann',  A.  H.,  Physikalische  Vorschule;  ein  Torbereitender  Cur- 
sus  der  Experimentalphysik.     Leipzig,  0.  Wigand.  %  Thlr. 

PisKO,  F.  J.,  Lehrbuch  der  Physik  für  Oberrealschnlen.  Brunn, 
Winiker.  '    2  Thlr.  8  Ngr. 

Ettingshausen ,  A.  v.,  Anfangsgründe  der  Physik.  4.  Auflage. 
Wien,  Gerold's  Sohn.  8%  Thlr. 

ScHABUS,  J.,  Leichtfassliche  Anfangsgründe  der  Naturlehre. 
7.  Aufl.     Ebendas.  18  Ngr. 

Knochenhauer,  K.  W.,  üeber  die  Theilung  des  elektrischen 
Stromes.   (Akad.)   Wien,  G^rold*s  Sohn  in  Comm.  4  Ngt. 

Prestel,  M.  A.  f.,  Beobachtungen  über  die  mit  der  Höhe  zu- 
nehmende Temperatur  in  der  unmittelbar  auf  der  Erd- 
oberfläche ruhenden  Region  der  Atmosphäre.  (Akad.) 
Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.  8  Ngr. 

Reslhuber,  A. ,  Berichte  über'  die  am  21.  und  29.  April  1850  zu 
Kremsmünster  beobachteten  Nordlichter.  (Akad.)  Wien, 
Gerold's  Sohn  in  Comm.  2  Ngr. 

Wüllerstorf-Urbair,  B.  v.,  Zur  Vertheilung  der  Winde  auf  der 
Oberfläche  der  Erde;  nebst  Schreiben  von  M.  F.  Maurt  an  Hrn. 
y.  Wöllersdorf.    (Akad.)  Wien,  Oerold's  Sohn  in  Comm.  %  Thlr. 

PÄCLET,  E.,  Traite  de  la  chaleur  consi^eree  dans  ses  applica- 
Hans.   S.  edit,    Tome  I  et  IL   Paris,  Masson.  8  Thlr. 


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Literaturzeitung. 


Recensionen. 

Stadien  über  die  Körper  im  sphftroidalen  Zustande.  Neaer  Zweig  der 
Physik.  Von  M.  G.  H.  Boütigny.  Nach  der  dritten  Auflage  des 
französischen  Originals  übersetzt  von  R.  Arendt.  Leipzig,  F.  A. 
Brockhaufi.  8.  S.  801. 
Die  Erscheinung,  um  welche  es  sich  in  dem  vorliegenden  Buche  han- 
delt, ist  in  Deutschland  unter  dem  Namen  des  Leidenfrost'schen  Ver- 
suchs bekannt.  Der  Versuch  in  seiner  einfachsten  Gestalt  besteht  darin, 
dass  man  einen  Löffel  stark  erhitzt  und  dann  Wasser  hineintröpfelt;  der 
Tropfen  beh&tt  seine  Kugelgestalt  bei  und  um  so  vollständiger ,  je  höher 
die  Temperatur  des  Löffels  ist,  er  verdampft  sehr  langsam  und  erst  wenn 
der  Löffel  nicht  mehr  erhitzt  und  abgekühlt  wird,  verwandelt  sich  der  Trop- 
fen itiit  Explosion  in  Dampf.  Was  diese  Erscheinung  interessant  macht 
und  sie  als  paradox  erscheinen  lässt,  ist  der  Widerspruch ,  in  welchem  sie 
sich  mit  der  gemeinen  Erfahrung  befindet,  dass  wenn  man  Wasser  in  einem 
Löffel  über  Feuer  hSlt,  dieses  um  so  schneller  verdampft,  je  heisser  es 
wird ,  bis  es  zuletzt  bei  einer  bestimmten  Temperatur  ins  Sieden  kommt. 
Leidenfrost  war  der  Erste,  der  die  Erscheinung  genauer  untersucht  und 
seine  Experimente  undSpeculationen  1756  in  einer  Schrift  de  aquae  communis 
qualitatibus  veröffentlicht  hat.  Seit  dieser  Zeit  sind  die  Versuche  oft  wieder- 
holt und  abgeändert  «worden.  Schon  vor  Boutignj  (der  seit  1836  sich  mit 
der  Erforschung  des  merkwürdigen  Phänomens  ununterbrochen  beschäftigt 
hat)  wurde  beobachtet,  dass  beinahe  alle  Flüssigkeiten  und  selbst  feste 
Körper  auf  heissen  MetaMächen  die  Gestalt  eines  Tropfens  annehmen,  der 
nur  langsam  verdampft  und  dessen  Temperatur  ebenfalls  constant  ist.  Eine 
vollständige  Erklärung  der  Erscheinung  und  der  sie  begleitenden  tXmstände 
haben  wir  bis  heute  noch  nicht  und  der  Grund  davon  liegt  wohl  darin,  dass 
die  Massbestimmungen,  auf  welche  hierbei  theoretische  Untersuchungen  zu 
fuss^n  haben,  sich  hauptsächlich  auf  die  Temperatur  beziehen.  Die  Auf- 
gabe, um  deren  Lösung  es  sich  hierbei  zunächst  handelt,  dürfte  wohl  so  zu 
fassen  eein:  „welchen  Einfiuss  hat  die  Temperatur  auf  die  Adhäsion  über-  , 
hanipt  und  wie  verhält  sieh  insbesondere  ein  Tropfen  gegen  strahlende  unä^l^^ 

LUerfttarstf.  d.  Z«lUehr.  f.  Math.  n.  Phyi.  V.  2 


10  Literaturzeitung. 

gegen  geleitete  Wärme?*'  Unter  diesem  Gesichtspunkte  betrachtet  nun 
freilich  Boutignj  die  hierher  gehörenden  Erscheinungen  nicht.  Seinen 
eigenthümlichen  Ansichten  zufolge  gehen  die  Körper  anf  heissen  Ober- 
flächen in  einen  neuen  Aggregatznstand  über,  der  von  dem  festen,  tropf- 
bar flüssigen  und  gasförmigen  Zustande  verschieden  ist;  diesen  neuen  Zu- 
stand nennt  er  den  sphäroidalen  Zustand  und  basirt  die  Erklärung 
desselben  auf  folgende  charakteristische  Fund  amen  taleigenschaften : 

1)  Die  abgerundete  Form  y  welche  die  Materie  auf  einer  bis  zu  einer 
gewissen  Temperatur  erhitzten  Fläche  annimmt; 

2)  Die  permanente  Entfernung,  welche  zwischen  dem  sphäroidalisirten 
und  dem  sphäroidalisirenden  Körper  besteht; 

3)  Die  Eigenschaft,  die  strahlende  Wärme  zu  reflectiren; 

4)  Die  Aufhebung  der  chemischen  Wirkung ; 

5)  Die  Beständigkeit  der  Temperatur  der  Körper  im  sphäroidalen  Zu- 
stande. 

Hiernach  lautet  die  Definition  folgendermassen :  ^Ein  auf  eine 
heisse  Fläche  geworfener  Körper  ist  im  späroidalen  Zu- 
stande, wenn  er  eine  abgerundete  Gestalt  annimmt  und  auf 
dieser  Fläche  ausserhalb  der  chemischen  und  phjsikali- 
schenWir kungs Sphäre  verharr t;  dann  reflectirt  er  die  strah- 
lende Wärme  und  seine  Holecule  sind,  in  Bezug  auf  die 
Wärme,  in  einem  Zustande  von  stabilem  Gleichgewicht,  das 
heisst,  sie  zeigen  eine  unveränderliche  oder  nur  zwischen 
sehr  engen  Grenzen  schwankende  Temperatur,  während  die 
der  erhitzten  Oberfläche  unbestimmt  erhöht  werden  kann/' 

„Diese  Definition,  welche  den  Fehler  hat,  ein  wenig  lang  zu  sein  und 
an  einigen  Stellen  gegen  bekannte  Begeln  zu  Verstössen,  könnte  kurz  fol- 
gendermassen  gefasst  werden" : 

„Ein  Körper  befindet  sich  im  sphäroidalen  Zustande, 
wenn  seine  Temperatur  auf  einer  Oberfläche,  die  er  nicht 
berührt  und  deren  Temperatur  beliebig  erhöht  werden  kann, 
unabänderlich  bleibt;  oder:  Alle  Körper,  deren  Temperatur 
auf  einer  Oberfläche,  mit  der  sie  nicht  in  Berührung  stehen, 
und  deren  Temperatur  beliebig  gesteigert  werden  kann, 
unveränderlich  bleibt,  befinden  sich  in  sphäroidalem  Zu- 
stande." 

„Wenn  man  —  fährt  Boutignj  weiter  fort  —  mit  dieser  Erklärung 
die  von  Liebig  für  flüssige  Körper  gegebene  vergleicht,  so  erkennt  man 
ohne  Weiteres  die  Grundverschiedenheiten  dieser  beiden  Arten  von  Kör- 
pern. Lieb  ig  sagt:  „„Die  flüssigen  Körper  nehmet^  die  Form  der  Ge- 
fasse  an,  in  welchen  sie  enthalten  sind ,  ihre  Molecnle  sind  sehr  beweglich« 
Wenn  sie  in  Ruhe  sind,  so  nehmen  sie  eine  horizontale  Oberfläche  an."" 

Wir  lassen  auf  diese  Definitionen,  nach  deren ^^^ji^^^s^ji^jgjnaj^wohl 


Literfttorseitiin^,  1 1 


zireifbln  darf,  ob  Bontigny  überhaupt  weiss ,  was  tnan  unter  einem  Aggre- 
gatsnstand  bh  yersteben  bat,  ein  R^nrn^  des  gansen  Werkes  folgen,  wobei 
wir  uns  an  das  yom  Verfasser  selbst  gegebene  halten  wollen.  Der  erste 
Theil,  welcher  die  üebersehrift  „Physik"  trägt,  soeht  folgende  Fragen  z^ 
beantworten : 

1)  Welehes  ist  die  niedrigste  Temperatur,  bei  welcher  das  Wasser  in 
den  sphäroidalen  Zustand  übergehen  kann? 

2)  Welches  ist  das  Oesets  der  Verdampfung  des  Wassers  im  sphäroi- 
dalen^  Znstande? 

3)  Welches  ist  die  Temperatur  der  K5rper  im  sphäroidalen  Zustande 
und  ihres  Dampfes? 

4)  Durchdringt  die  strahlende  Wärme  die  Körper  im  sphärdidalen  Zn- 
stande oder  wird  sie  von  denselben  reflectirt? 

5)  Können  alle  Körper  in  den  sphäroidalen  Znstand  übergehen? 

6)  Findet  awischen  den  Körpern  im  sphäroidalen  Znstande  und  den 
Oberflächen,  auf  welchen  sie  entstehen,  Berührung  statt  oder  nicht? 

7)  Spielt  ^er  sphäroidale  Zustand  des  Wassers  irgend  eine  Rolle  bei 
den  Explosionen  der  Dampfkessel? 

8)  Welches  ist  die  physische  Constitution  der  Körper  im  sphäroidalen 
Zustande? 

Die  Resultate,  zu  denen  Boutigny  gelangt,  sind  folgende;  Die  niedrigste 
Temperatur,  bei  der  das  Wasser  den  sphäroidalen  Znstand  annehmen  kann, 
ist  + 142^  C;  —  die  Temperatur  des  OefÜsses,  in  welchem  man  irgendeinen 
Körper  sphäroidaltsiren  kann,  mnss  um  so  höher  sein,  je  höher  der  Siede- 
punkt derselben  liegt;  -*-  das  Wasser  im  Sphäroidalen  Zustande  verdampft 
um  so  schneller,  je  höher  die  Temperatur  des  Oeftsses  ist,  und  seine  Ver- 
dampfungsgesehwindigkeit  ist  speciell  bei  +  300^50mal  geringer  als  beim  Sie- 
den; —  die  Temperatur  der  Körper  im  sphäroidalen  Zustande 
liegt,  wie  hoch  auch  die  des  einschliessenden  Gefftsses  sein 
möge,  stets  tiefer  als  die,  bei  der  sie  sieden;  sie  ist  der 
letztern  proportional  und  für  Wasser  =£ -f- 06,6®  (?).  Infolge 
dieses  Gesetzes  gelang  Boutigny  die  Lösung  des  Problems:  innerhalb 
eines  sur  Weissglut  erhitzten  Raumes '  Wasser  zum  Gefrieren  zu  brin^ 
gen;  -^  die  Temperatur  des  Dampfes  der  Körper  im  sphäroidalen 
Zustande  ist  gleich  der  des  einschüessenden  GefÜsses,  tiiit  andern  Wor- 
ten: das  Gleichgewicht  der  Wärme  stellt  sich  stets  zwischen  detri 
Dampf  der  sphäroidalisirten  und  dem  Räume,  welcher  sie  einsehüesst, 
her,  nie  aber  zwischen  diesem  Räume  und  den  sphäroidaHsirten  Körpern  | 
—  die  Körper  ia»^  sphäroidalen  Zustande  besitzen  ein  fast  absolutes  Re- 
flexionSYermögen  für  die  Wärme;  —  alle  Körper  können  in  den  sphäroida- ' 
len  Zustand  übergehen  (?) ;  —  zwischen  den  Körpern  im  sphäroidalen  Zn- 
stande und  den  Oberflächen ,  auf  welchen  sie  entstehen ,  findet  keine  Be- 
rührung statt ;  —  der  sphäroidale  Zustand  des  Wassers  ist  die  HauptursaoM  C 


i3  Literatafzeitmig, 

der  aogen^aoteo  donnernden, ExploaloiiQn  der  DampfkeMel;. —  die  Metalle 
sind  bis  jetst  nur  im  fe9ten,  sphäroidalen  und  gaBfÖrmigen  Zustande  Atiidirt; 
—  sänuntliche  beobadktete  and  im  vorliegenden  Werke  beschriebenen  Er- 
scheinungen verlaufen  in  der  Muffel  d.  h.  innerhalb  eines  aUenthalben  von 
weissglühenden  Wänden  eingeschlossenen  Baumes,  unter  der  Glocke  der 
Luftpumpe  und  im  Focus  eines  Brennglases  ebenso  wie  an  freier  Luft;  — 
ein  zur  Flüssigkeit  verdichtetes  Gas,  schweflige  Säure,  welches  in  diesem 
Zustand  bei  — 11^  siedet,  in  einer  rotbglühenden- Schale  unter  die  Glocke 
der  Luftpumpe  gebracht ,  verflüchtigt  sich  nur  langsam  und  siedet  nicht 
mehr,  wenn  es  sphäroidalisirt  ist. 

Das  sind  die  Resultate  aus  72  Versuchen,  die  B.  im  ersten  Theile  mit- 
theilt« Welcher  Art  diese  Versuche  zum  Theil  sind,  und  welches  Vertrauen 
die  numerischen  Angaben  verdienen,  werden  wir  unsern  Lesern  am  anschau^ 
liebsten  machen,  wenn  wir  einige  derselben  hierhersetzen. 

Die  Temperatur  des  Wassers  im  sphäroidalen  Zustande  anlangend, 
sagt  B.,  dass  aus  seinen  Versuchen  hervorgeht,  dass  sie  zwischen  96^  und 
96°  liegt,  er  abes  geneigt  ist,  anzunehmen,  dass  sie  wirklich  0i,5"  ist.'  B.  hat 
auf  verschiedene  Weise  versucht ,  diese  Temperatur  zu  messen ,  aber  nur 
einmal  ist  es  ihm  vollstäbdig  gelungen,  und  diesen  einzigen  Fall  beschreibt 
er  im  zwölften  Versuche  wie  folgt:  „Eine  halbkugelförmige  Silberschale  von 
0,043  Meter  Durehmesser,  45  Gramtn  schwer  und  23  Cubikeentimeter  Inhalt 
wurde  ttber  der  Flamme  einer  guten  Aeolipjle  mit  verticalem  Blasrohr  er- 
hitzt. Sobald  sie  rothglühend  war,  goss  man  mit  Vorsicht  12  — 15  Gramm 
destillirtes  Wasser  hinein  und  senkte  in  dasselbe  die  Kugel  eines  äu  diesem 
Versuche  construirten  Thermometers.  Das  Quecksilber  stieg  stets  bis  96,5®, 
oft  auch  bis  109®,  einigemale  bis  103®.  Daa  Wasser  kochte  nicht,  aber  es 
wurde  durch  Dampfblasen,  Welche  sich  nur  schwer  zwiachen  der  Wand  der 
Schale  und  dem  Tropfen  entwickeln  konnten,  durchbrechen;  diese  berühr^ 
ten  die  Thermometerkugel  und  veranlassten  ein  Steigen  ttber  den  Siede- 
punkt des  Wassers^  £ine  andere  Fehlerquelle  war  die  erhöhte  Temperatur 
des  Mittels,  in  dem  sich  die  Thermometerröhre  befand.  Als  das  Thermo- 
meter die  Temperatur  zwischen  96®  und  102®  zeigte,  wurde  die  Flamme  der 
Aeolipyle  ausgelöscht.  Jetzt  ist  die  Dampfeirtwickelung  weniger  beträcht- 
lich und  geschieht  mit  Leichtigkeit  an  der  Wand  der  Schale ;  das  Thermo- 
meter füllt  schnell  bis  auf  96,5®  und  bleibt  oonstant  auf  diesem  Punkte,  so. 
lange  sich  das  Wasser  im  sphäroidalen  Zustande  befindet.  Sobald  es  jedoch 
seinen  Znstand  ändei^t,  und  die  Schale  noch  heiss  genug  ist,  um  es  zum 
Sieden  zu  bringen,  was  fast  immer  der  Fall  ist,,  steigt  das  Thermometer  auf 
100®,  um  alsbald  nach  den  Gesetzen  der  Abkühlung  au  sinken.  Es  wären 
nun  wohl  hier  einige  Correctionea  anaubringen  für  den  Fall,  dass  die  Ther- 
memeterröhre  isolirt  w&re;  allein  man  kann  sich  durch  das  G^ftdil  vörai- 
chern,  dass  ihre  Temperatur  der  des  Wassers,  in  welche  die  Kagel  taoekt, 
sehr  nahe  steht.  Die  Correetionen  sind  daher  überfittsj^gie^^ai^C^/cU^hwia*- 


literatarzeituDg.  13 

d«nd  klein  ausfallen  mitsstea/*  —  Dodh  dies  ist  nkht  der  einzige  Fall,  wo 
B.  seine  langer  als  Thermometer  benutzt.  Man  lese  z.  B.  den  65.  Versnch : 
,,£in  eiserner  Topf,  zu  drei  Viertheilen  mit  Wasser  gefüllt,  wird  mittels 
eines  Hakens  über  einem  Feuer  anfgeh&ngt.  Sobald  das  Wasser  im  vollen 
Sieden  ist,  zieht  man  das  GefKss  vom  Feuer  und  hält  unmittelbar  darauf  die 
Hand  darunter.  Man  bemerkt  mit  Erstaunen ,  dass  der  Boden  kalt  oder 
fast  kalt  ist ;  eine  halbe  Minute  später  erreicht  er  die  Temperatur  des  Was- 
sers und  bringt  man  jetzt  die  Hand  wieder  an  denselben  Ort ,  so  wird  man 
sie  nicht  ohhe  Unbequemli<)hkeit  dort  lassen  können."  Wie  undeutlich  flbri- 
gens  bisweilen  B.'s  Beschreibungen  seiner  Versuche  sind  und  wie  wenig 
Zutrauen  seine  Angaben  verdient,  mag  man  an  dem  55.  Versuch  ersehen: 
„Man  mache  die  gusseiserne  Schale,  die  zum  fünfzigsten  Versuche  gedient 
hat,  glühend  und  hänge  ein  Stück  Eis  von  I0O-— 150  Gramm  derart  an  einem 
feinen  Eisendrahte  auf,  dass  es  sich  vom  Mittelpunkt  der  Schale  in  einer 
gewissen  Entfernung  befindet.  Ein  Thermometer  befestigt  man  so,  dass 
seine  Kugel  über  dem  Mittelpunkt  der  Schale  und  nur  etwa  2 — 3  Millimeter 
vom  Boden  entfernt  ist.  Das  Eis  schmilzt ,  geht  in  den  sphäroidalen  Zu- 
stand über,  ohne  vorher  den  flüssigen  zu  passiren,  und  das  Thermometer 
zeigt  constant  eine  Temperatur  von  96,5^"  Dieser  Versuch ,  in  welchem 
die  constante  Temperatur  von  96,5^  wohl  etwas  zu  bezweifeln  sein  dürfte, 
kann  übrigens,  wenn  man  kein  geeignetes  Thermometer  hat,  auch  ohne 
Thermometer  folgendermassen  angestellt  werden :  „56.  Versuch.  Man  macht 
eine  Silberscbale  von  5 — 6  Centimeter  Durchmesser  glühend  und  wirft  ein 
Stück  Eis  von  3 — 5  Gramm  hinein.  Sobald  sich  ungefähr  die  Hälfte  davon 
im  sphäroidalen  Zustande  befindet  ^  fasst  man  die  Schale  mit  der  Pincette 
und  schüttet  den  Inhalt  schnell  in  die  Hand  oder  auf  den  Bücken  dersel- 
ben. Man  wird  zuerst  ein  Gefühl  von  Wärme ,  danach  von  Kälte  haben, 
jenes  durch  das  Wasser  im  sphäroidalen  Zustande,  dieses  durch  das  Stück 
Bis  veranlasst,  welches  die  Temperatur  des  Wassers'schnell  auf  C®  erniedrigt." 
Ebenso  wenig  wie  mit  diesem  lässt  sich  mit  dem  09.  Versuch  etwas  anfan- 
gen, „Man  macht  einen  gusseisernen  Cylinder  von  0,067  Meter  Höhe  und 
0,076  Meter  Durchmesser,  m  welchem  ein  Kugelsegment  von  0,028  Meter 
Tiefe  und  57  Cubikcentimeter  Inhalt  ausgehöhlt  ist,  glühend,  zieht  ihn  vom 
Feuer  und  reinigt  ihn  sorgfältig,  darauf«  giesst  man  destillirtes  Wasser  hi- 
nein, welches  in  den  sphäroidalen  Zustand  übergeht;  dasselbe  geräth  in  die 
tumultuarische  Bewegung,  auf  welche  im  zwölften  Versuche  aufmerksam 
gemacht  wurde.  Ma»  giesst  so  lange  Wasser  hinzu,  bis  die  Schale  benetzt 
wird  und  ein  deutliches  Sieden  stattfindet;  fährt  nian  dann  noch  femer  mit 
dem  Wasserzusatz  fort ,  so  kommt  ein  Augenblick ,  wo  jedes  Zeichen  des 
Siedens  verschwindet:  cHe  Temperatur  des  Wassers  kann  jetzt  bedeutend 
unterhalb  100^  sein.  Aber  diese  Euhe  dauert  nur  einen  Augenblick ,  das 
Wasser  kocht  von  Neuem  sehr  stark  und  verschwindet  schnell.  Giesst  ma;i 
eine  Minute  später  einige  Tropfen  Wasser  in  das  Gefäss,  so  gehen  diese  in 


li  LiteraturseitoBg. 


den  spbftroidalen  ZusUnd  über/'  Diese  Beispiele  mögen  genügen,  um  dem 
Leser  unser  Urliheil  begreiflicli  zu  machen,  wonach  wir  die  Bftutigny^schen 
Versuche  und  Beobachtungon  für  völlig  unzureichend  halten  ,  die  expe- 
perimentelle  Grnndlage  für  eine  Theorie  des  LeidenArost'schen  Versuches 
zu  bilden.  Vergleichen  wir  ausserdem  den  Inhalt  des  Boutigny'schen  Buches 
mit  dem  anderer  Schriften,  die  denselben  Gegenstand  behandeln ,  z.  B.  mit 
Abflchnitteil  aus  M,  L.  Frankenheim's  Lehre  von  der  Coh&siony 
die  1835  erschienen  ist,  —  und  wir  wählen  gerade  diese  Schrift,  weil  sie 
ein  Jahr  vor  der  Zeit  erschienen  ist»  wo  Boutiguj  anfing,  sich  mit  dem  Lei- 
denfrost'schen  Phänoonen  zu  beschäftigen,  so  müssen  wir  allerdings  ge- 
stehen, dass  B/s  mehr  als  zwanzigjährige  Bemühungen  die  Auflösung  des 
Problems,  das  wir  oben  nannten ,  nicht  sehr  gefördert  haben.  Wir  finden 
bei  Boutigny  eine  unverzeihliche  Unkenntniss  in  der  Literatur  des  Gegen- 
standes* dessen, Erforschung  er  sich  zur  Lebensaufgabe  gestellt  hat,  und 
was  noch  schlimmer  ist,  eine  völlige  Unbekanntschaft  mit  den  AnfKogea 
der  rationellen'  Physik.  Der  Gedanke ,  eine  grosse  Entdeckung  gemacht 
und  hiermit  ein  neues  Princip  zur  Erklärung  aller  Naturerscheinungen  auf 
der  Erde  und  ^^  den  Uimmelsräumen  gefunden  zu  haben,  hat  ihn  der  Ruhe 
eines  nüchternen  Forschers  beraubt  und  ihn  zum  Verfasser  des  vorliegen« 
den  Buches  gemacht,  das  in  mehr  als  einer  Hinsicht  ein  Curiosum  genannt 
zu  werden  verdient.  Bleiben  wir  einstweilen  jedoch  noch  beim  ersten 
Theile,  bei  der  Physik,  stehen,  so  finden  wir  in  demselben  allein  40  Seiten 
den  DampfkesselexplosioivBn  gewidmet.  Doch  auch  hier  ist  aus  der  Leetüre 
nicht  viel  Frucht  zu  holen.  Was  eine  Discuasion  der  Erscheinungen  ist, 
davon  scheint  Boutigny  keine  Idee  zu  haben.  Er  berichtet  nach  den  Zei- 
tungen von  mehreren  Dampf  kesselexplosionen,  aber  nirgends  erkennt  man 
ein  Bestreben,  die  Umstände,  unter  denen  sie  erfolgten,  zu  sammeln ;  doch 
die  Umstände  mögen  sein  welche  sie  wollen,  der  Grund  fiBr  eine  Explosion 
oder  für  den  Untergang  diner  Dampfmaschine  überhaupt  liegt  für  Boutigny 
stets  amr  Hand  und  im  sphäroidalen  Zustande  des  Wassers :  so  raisonnirt  er  z.B. 
über  den  Untergang  des  Dampfschiffes  Butterfly^  der  fern  von  den  Blicken 
der  Menschen  stattfand  und  bei  welchem  Ereignisse  alle  Diejenigen  umkamen, 
welche  sich  am  Bord  des  Schiffes  befanden!  (S.7&.)  Wir  treffen  hier  übrigens 
auf  die  Erklärung  des  genialen  Mechanikers  Perkins,  dessen  Name  von 
Boutigny  ganz  in  den  Hintergrund  gedrängt  wird.  Die  Ursache  der  einen 
Art  von  Dampfkesselexplosionen,  bei  denen  eine  Oeffnung  des  Sicherheits- 
ventils oder  eine  Abnahme  in  der  Spannkraft  des  Dan^fes  vorhergegangen 
ist,  hat  Boutigny  zur  Construction  einer  neuen  Art  von  Dampfgeneratoren 
geführt,  eines  Systems  welches  ebensogut  auf  schwächere  Dampfkessel  (Vt 
Pferdekraft)  wie  auf  die  grössten  anwendbar  ist.  Er  beschreibt  diese 
Dampfkessel  auf  S.  91  bis  S.  123. 

Der  zweite  Theil  des  vorliegenden  Buches  ist  der  Chemie  gewidmet* 
Der  Verfasser  giebt  selbst  folgendes  R^snm^  darüber  ;^i^J^^|  ^^^;Ql|^|ning 


Literaturzeitnng.  1 5 


gewisser  Körper  m  den  sphäroidalen  Zustand  bietet  ein  vortrefVicfaes  Mittel 
der  Oxydation  oder  der  langsamen  Verbrennung,  der  Action  und  Reaction, 
der  Analyse  und  Synthese,  ond  der  Ozonisation.     Der  Dampf  der  Körper 
im  sphäroidalen  Zustande,  der  sich  sehr  langsam  entwickelt,  be^det  sich 
so  an  sagen,  m  sUUn  nascenft,  d.  h.  tmter  den  günstigsten  Bedingungen  der 
Zersetzung  und  Verbindung."    Ueber  die  Erscheinung,  welche  B.  die  Be- 
spiration   der  unorganischen  Materie  genannt  hat,'  können   wir 
hier  nicht  näher  eingehen  und  verweisen  Diejenigen ,  die  Lust  haben  soll- 
ten,  Boutigny's  eigenthümliche  Ansichten  kennen  zu  lernen ,  auf  das  Buch 
selbst.    Wir  wenden  uns  vielmehr  zu  dem  dritten,  letzten  und  schwächsten 
Theile,  der  Theorie,  und  folgen  hier  uin  so  lieber  dem  vom  Verfasser  ge- 
gebenen R^sum^,  als  es  uns  schwer  fallen  würde,  aus  190  Seiten  voll  wun- 
derlicher Ansichten  und  Phantasien  die  Gedanken  des  Verfassers  heraus- 
zulesen.   Die  Definitionen,  die  Boutigny  vom  sphäroidalen  Zustande  giebt, 
haben  wir  schon  oben  angeführt.    Das  folgende  sind  wieder  die  Worte  un- 
seres Autors:    „Die  Körper  im  sphäroidalen  Zustande  werden  nicht  durch 
ihren  eigenen  Dampf,  sondern  durch  die  Repulsion skraft,  welche  die  Wärme 
in  den  Körpern  erzeugt,  ausserhalb  ihrer  chemischen  Wirkunsgsphäre  ge- 
halten.    Es  besteht  zwischen  allen  Theilen  eines  Körpers  im  sphäroidalen 
Zustande  eine  Attraetionskraft,  welche  bewirkt,  dass  er  sich  so  verhält,  als 
wäre  er  auf  einen  im  Räume  isolirten  materiellen  Punkt  reducirt.  Bis  hier- 
her ist  das  Wort  sphäroidaler  Zustand  nur  zur  Vermeidung  von  Umschreib- 
ungen angewendet  worden ;  jetzt  suchen  wir  ihm  eine  ähnliche  theoretische 
Geltung  zu  erwerben,  wie  den  Worten  fester,  flüssiger,  gasförmi- 
ger Zustand.     Unter  den  zahlreichen  Eigenschaften,  welche  die  Körper 
im  sphäroidalen  Zustande  von  den  Körpern  in  den  drei  Aggregatzuständen 
unterscheiden 9  heben  wir  hervor:   die  Temperatur  der  Körper  im  sphäroi- 
dalen Zustande  ist  einzig  und  unveränderlich,  während  die  der  Kör- 
per im  festen,  flüssigen  und  gasförmigen  Zustande  unendlich  vielfältig 
und  veränderlich  ist.    Mit  andern  Worten:  die  Körper  im  sphäroidalen 
Zustande  befinden  sich  in  Beziehung  zur  Wärme  in  einem  Zustande  stabi- 
len Gleichgewichts,  während  in  den  drei  andern  Zuständen  die  Kör-' 
per  in  der  gleichen  Beziehung  in  einem  Zustande  labilen  Gleichge- 
wichts sind.     Man  hat  früher  gesehen ,  dass  die  Körper  im  sphäroidalen 
Zustande  constant  auf  einer  Temperatur  unterhalb  ihres  Siedepunktes  ver- 
harren ;  dies  ist  eine  Eigenschaft  der  Materie  in  diesem  Zustande,  d.  h.  eine 
Wirkung,  deren  Ursache  unbekannt  ist.    Wenn  man  die  Theorie  Ampire^s 
über  die  Ursache  der  Wärme  annimmt,  was  meinerseits  geschieht,  so  er- 
giebt  sich ,  dass  die  Temperatur  für  die  Körper  im  sphäroidalen  Zustande 
dasselbe  ist,  was  der  Ton  für  die  vibrirenden  Körper ,  und  dass  die  Ur- 
sache des  sphäroidalen  Zustandes  mit  Recht  in  vibrirenden  Bewegungen 
gesucht  werden  kann.     Die  Volumina  der  Sphären  der  Körper  im  sphäroi- 
dalen Zustande  stehen  in  umgekehrten  Verhältnisse  zu  ihrem  specifischen 

uigiüzea  oy  x_j  v^ \_/p^  Iv^ 


16  LiteratumeituQg. 

Gewicht,  uad  ihre  Massen  sind  einander  gleich.  Hieraus  folgt, .  dass  die 
Körper  im  sphäroidalen  Zustande  dem  Attractionsgesetze  folgen  und  Satel* 
Uten  der  Erde  bilden.  Da  die  Körper  im  sphäroidalon  Znstande  die  Eigen- 
schaft der  planQtaren  Körper  besitzen^  kann  man  nach  Analogie  schiiessen, 
dass  diese  die  Eigenschaften  jener  haben,  und  so  gelangt  man  aur  Kosmo- 
logie, —  mit  der  wir  aber  den  Leser  verschonen  wollen.  Nur  noch  einige 
theoretische  Sätze  Boutigny^s  sei  uns  gestattet  anzuführen :  „Eine  einzige 
Kraft  herrscht  in  der  ganzen  Natur :  die  Attraction ,  ihr  Gegensatz  ist  die 
Repulsion,  welche  nichts  Anderes  als  geringe  Attraction  ist.  AJle  Körper  ver~ 
halten  sich  gegen  glühende  Oberflächen  gleich,  woraus  man  schliessen  kann, 
dass  die  Materie  homogen  ist.  Der.  Aether  bildet  das  primitive  Holecül  der 
Materie.  Der  Wasserstoff  ist  der  erste  materielle  Körper,  den  wir  kennen,  er 
ist  cpndensirtßr,  wahrnehmbarer  und  wägbarer  Aether.  Sein  Atomgewicht  ist 
ein  Multiplum  von  dem  des  Aethers  oder  der  unbekannten  Z^ischenkörper, 
deren  Atomgewichte  ihrerseits  wieder  Multipla  von  dem  des  Aethers  sind. 
Die  Molecüle  aller  Gase  sind  kugelförmig,  iiohl  und  gleichgross;  sie  unter- 
scheiden sich  nur  durch  eine  mehr  oder  weniger  grosse  Wanddicke.  Durch 
Condensation  und  Fall  auf  eine  bis  zu  einer  gewissen  Temperatur  erhitzten 
Oberfläche  gehen  die  Körper  in  den  sphäroidalen  Zustand  über.^^ 

Wir  enden  hiermit  die  Besprechung  des  Boutigny'schen  Buches ,  das 
nichts  Thatsächliches  über  den  Leidenfrost'gchen  Versuch  enthält,  was  nicht 
schon  in  jedem  guten  Lehrbuche  der  Physik  aufgenommen  wäre.  Unsere 
Becension  würde  zu  einem  Buche  so  dick  wie  das  Boutigny'sche  selbst  an- 
schwellen, wollten  wir  alle  Sonderbarkeiten  und  wunderlichen  Speculatio- 
nen,  die  jede  Seite  desselben  füllen,  anführen.  Wenn  Boutigny  von  sich 
selbst  sagt;  „Ich  bin  ein  Mann  des  Laboratoriums  aber  kein  Schriftstel- 
ler". —  so  wollen  wir  gegen  diese  letztere  Einsicht  keinen  Widerspruch 
erheben.  Die  Welt  hätte  genug  gehabt,  wenn  Boutigny  seine  Versuche  al- 
lein mitgetheilt  hätte«  Doch  können  wir  dem  Uebersetzer  nicht  beistimmen, 
der  die  Arbeiten  des  Verfassers  als  werthvolle  Grundlagen  ansieht,  welche 
einer  weiteren  Verbreitung  wütdig  sind ,  und  welche  die  rechnende  Physik 
zum  Aufbau  einer  vollständigen  Theorie  des  Phänomens  und  aller  damit 
zusammenhängenden  Erscheinungen  benutzen  kann.  Das  Bemühen  des 
Ueb^rsetzers ,  ein  möglichst  treues  Abbild  des  Originals  zu  liefern,  was 
sicherlich  keine  leichte  Arbeit  gewesen  war,  ist  ihm  hinlänglich  gelungen: 
es  ist  nicht  seine  Schuld ,  wenn  das  Lesen  des  Buches  keinen  befriedigen- 
den Eindruck  hinteslässt.     Die  äussere  Ausstattung  des  Buches  ist  sehr 

gut.  Dr.  ß.  HOFFMANK. 


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Literatur^eitung.  17 

Stadien  tber  die  Integratioii  linearer  Difbrentialgleichnngen,  Von  Simon 
Spitzbb,  ProfesBor  an  der  Wiener  Handelsakademie.  Wien, 
Gerold'»  Sohn.   18dO. 

Wie  den  Lesern  onserer  Zeitschrift  bekannt  sein  wird,  liat  sieh  der 
Verfasser  bereits  seit  längerer  Zeit  mit  der  Integration  verschiedener  Diffe* 
rentialgleichungen  heschftitigt  und  die  Resultate  seiner  Untersuchungen  in 
▼ielen  kleineren,  hier  und  da  zerstreuten  Abhandlungen  veröffentlicht  Die 
vorliegende  Schrift  vereinigt  die  früheren  und  ausserdem  bisher  nqge- 
druckte  Arbeiten  des  Verfassers  zu  einem  systematischen  Ganzen,  welches 
zwar  an  Umfang  (72  S.)  nicht  bedeutend ,  dem  Inhalte  nach  aber  sehr  be- 
merkenswerth  ist. 

Der  erste  Abschnitt  beschSftfgt  sich  mit  der  linearen  Differentialgleich- 
ung zweiter  Ordnung 

(a,  +  b^x)  y'+  («1  +  6,0?)  y'  +  («o  +  ^o^)  y  =  0, 
die  bekanntücb  schon  von  Euler,  Laplacc,  Mainardi,  neuerdings  auch 
von  Petzval  und  Weiler  behandelt  worden  ist.     Namentlich  hatte  La- 
place  gezeigt,  dass  ihr  durch  bestimmte  Integrale  von  der  Form 

genügt  werden  kann,  wenn  die  Function  tp  (u)  und  die  Jntegrationsgrenzen 
auf  passende  Weise  bestimmt  werden.  Dieses  sehr  elegante  Verfahren  führt 
aber  in  vielen  Fällen  nur  tu  particulären  Integralen  und  es  blieb  daher 
immer  noch  die  Frage,  ob  die  Laplace'sche  Methode  nicht  so  modificirt 
werden  könnte,  dass. sie  unter  allen  Umständen  das  allgemeine  Integral  lie« 
fort.  In  dieser  Richtung  bewegen  sich  hauptsächlich  die  weitläufigen  Un- 
tersuchungen von  Petzval,*)  ^owie  die  vorliegende  Arbeit  des  Verfassers; 
durch  die  letztere  ^tlrfte  aber  der  Gegenstand  wohl  voUstäadig  erledigt 
sein.  Der  Verfasser  geht  nämlich  alle  möglichen  einzelnen  Fälle  durch 
ui^d  weiss  in  jedem  Falle  durch  glückliche  Substitutionen  das  allgemeine 
Integral  zu  entdecken.  Gleichzeitig  vermeidet,  der  Verfasser  die  doppelten 
Formen,  welche  man  sonst  unterscheiden  musate,  jenacbdem  x  positiv  oder 
negativ  war,  auch  besitzen  die  meisten  der  vom  Verfasser  gefundenen  In-» 
tegrale  endliche  Grenzen,  sodass  ein  Fortschritt,  in  dreifacher  Beziehong 
vorhanden  ist.  . 

Der  zweite  Al)8chnitt  hat  die  Integration  binomischer  Gleichungen  von 
der  allgemeinen  Form 


/ 


•)  Trotzdem  dass  Prof.  Petzval  dieselben  Bu^shstaben  wie  Laplace  benutzt, 
nimmt  er  gleichwohl  mit  einer  merkwürdigen  Hartnäckigkeit  die  ganze  Methode, 
nebst  deren  Anwendung  auf  binomische  Differentialgleichungen  und  Differential-, 
gleichungen  für  sich  in  Anspruch.  Damit  hängen  jedenfalls  auch  die  unrichtigen  Ci- 
tate  zusammeii ,  deren  sich  Prof.  Petzval  da  bedient,  wo  er  zu  längst  bekannten  Re- 
sultaten gelang.  uigmzea  oy  v_j  v^' vy -^  IC 


1 8  LiteratarzeituDg. 

zum  Gegenstande  (wohin  z.  B.  die  Riocati'fldie  Gleiclmng  gehört),  die 
bereits  Kummer  für  den  Fall  eines  ganzen  und  positiTen  m  integrirt  hat. 
Indem  der  Verfasser  die  Kummer'sche  Methode  erweitert ,  gelangt  er  auch 
in  Fällen,  wo  m  negativ  ist,  iu  den  Integralen  solcher  Differentialgleichun- 
gen.    So  findet  sich  z.  B.  für  die  Differentialgleichung 

x^yi^  =  y 
folgendes  Integral 

(       _  ü  „  4d  _  *!?i 

worin  {i  eine  primitive  Wurzel  der  Einheit  bedeutet.  Daraus  können  nach* 
her,  wie  der  Verfasser  zeigt,  die  Integrale  der  Differentialgleichungen 

^2«-l  y(«-l)  _  y^       ^2«-2  y(i.-2)  _  y  u.  S.  W, 

ohne  Mühe  abgeleitet  werden. 

Referent  schliesst  diese  Anzeige  mit  dem  Wunsche,  dass  der  Verfasset 
die  nöthige  Müsse  zur  Fortsetzung  seiner  Arbeiten  nicht  vermissen  möge« . 

SOHLÖMILCH. 


AusfUirliohes  Lehrbuch  der  Elementargeometri«,  Ebene  und  körperliche 
Geometrie.  Von  H.  B.  Lübsen.  Vierte  Auflage.  ,  Hamburg,  O. 
Meissner. 

Das  Buch  fängt  mit  folgenden  Worten  an:  „Die  ursprüngliche  Ge- 
schichte aller  menschlichen  Kenntnisse  vor  der  Sündfluth  ist  bekanntlich  in 
d«r  Sündfluth  untergegangen,  und  Alles,  was  man  über  einzelne,  vermeint- 
lich gerettete  Bruchstücke  berichtet ,  verliert  sich  in  reine  Muthmassungen 
und  Fabeln ,  die  keinen  Glauben  verdienen.  Auch  noch  gleich  nach  der 
Sündfluth,  als  man  die  Welt  wieder  von  vorne  anfing,  hat  sich 
die  erste  Spur  der  allgemeinen  Geschichte  in  tiefes,  nie  zu  lichtendes  Dun- 
kel gehüllt.  Erst  lange  nachher,  als  die  egyp tische  Finsternis 8 
riss,  (wovon  in  den  meisten  Schulen  noch  ein  Stück  zu  sehen 
ist)  bricht  eine  Art  Dämmerung  in  der  Geschichte  an  u.  s.  w.'^  —  Man 
weiss  in  der  That  nicht,  ob  man  bei  dieser  Einleitung  sich  mehr  über  die 
Qieschmacklosigkeit  im  Vorbringen  abgedroschener  Witze  oder  über  die 
Dreistigkeit  im  Aburtheilen  wundern  soll ;  wie  viele  Schulen  Deutschlauds 
hat  denn  der  Verfasser  so  genau  revidirt,  dass  er  sein  wegwerfendes  ürtheil 
auch  nur  einigermassen  begründen  könnte  ? 

Was  nun  den  materiellen  Inhalt  des  Buches  betrifft,  so  besteht  der- 
selbe, streng  genommen,  nur  in  einem  auf  das  nothdürftigste  beschränkten 
und  möglichst  populär  augerichteten  Auszüge  aus  Euklid.  A«f  die  gewöhn- 
lichen Erklärungen  und  einfachen  Sätze  von  Linien  und  Winkeln  folgt  in 
Buch  3  die  Congruenz  der  Dreiecke,  femer  enthält  Buch  4  die  Lehre  „von 
den  Perpendikeln**  (sie  muss  sehr  wichtig  sein,  da  ihr  ^r^erfasser  ein 


Literaturzeitong.  19 


besonderes  Bach  widmet),  B.  5:  die  Parallellinien,  B.  6:  Summe  der  inneren 
und  äusseren  Winkel  einer  geradlinigten  Figur,  B.  7:  Vom  Kreise,  B.  8: 
Vom  Parallelogramm  und  Flächenmaass ,  B.  0:  Der  Pjthagorüische  Satz,*) 
B.  10:  Von  den  Proportionallinien,  B.  11  :  Von  der  Aehnlichkeit  der  Figu- 
ren, B.  12:  Proportionen  am  Kreise,  B.  13:  Regelmässige  Vielecke,  Quadra- 
tur und  Bectification  des  Kreises.  Aeusserst  dürftig  ist  der  Inhalt  des 
«weiten  Theiles;  nach  den  gewöhnlichen  Sätzen  von  der  Lage  der  Ebenen 
und  Geraden  kommt  nur  die  Ausmessung  der  Körper,  wobei  die  Inhalts- 
gleichheit zweier  Pyramiden  tou  gleichen  Grundflächen  und  gleichen  Höhen 
einfach  daraus  geschlossen  wird,  dass  Querschnitte ,  in  gleichen  Höhen  ge- 
nommen,  gleiche  Fläch^i  besitzen.  ^ 

Von  einem  Principe  der  Anordnung  des  Stoffes^  ja  auch  nur  von  einem 
Streben  nach  Uebersichtlichkeit  hat  Beferent  keine  Spar  entdecken  können, 
und  während  man  sonst  in  den  meuten  neueren  Werken  anerkennenswert)^ 
Versuche  zu  einer  natürlicheren  Gmppirung  der  geometrischen  Sätze  findet, 
steht  der  Verfasser  noch  auf  jenem  alten  Standpunkte,  wo  man  zufrieden 
ist,  wenn  man  nur  Alles,  gleichgültig  in  welcher  Ordnung,  bewiesen  hat. 
Möglich,  dass  dies  Ma,nchem  für  ein  in  sehr  bescheidenen  Grenzen  gehalte- 
nes Privatstudium  genügt;  als  SchuJbueh  aber  möchten  wir  Herrn  LObsen^s 
Werk' nicht  empfehlen.  SoHLÖiaiiCH.  * 


*)  Der  Verfasser  erklärt  ihn  für  den  wichtigsten  der  ganzen  Geometrie  und  sagt 
dann :  „Wir  haben  deathalb  auch,  dem  Py thagoras  za  Ehren,  diesem  Satze  ein  ei^es 
Buch  gewidmet ;  unter  anderen  Umständen  würden  wir  ihm  (dem  Fjrthagoras  oder 
seinem  Satze?)  einen  Tempel  gebaut  haben/* 


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Bibliographie 

vom  1.  Deoomber  1859  bis  1.  Februar  1860. 


Periodische  Sclirifteii. 

j^b handlangen,  mathematische,  der  K.  Akademie  der  Wissensehaf- 
ten  za  Berlin.  Ans  dem  Jahre  1858.  Berlin,  IHmmlor's  Verlagsfaand- 
lang  in  Comm.  ^  1%  Thlr. 

Abhandlungen,  phjsikalische,  der  K.Akademie  der  Wissenschaf' 
ten  zu  Berlin.   Ans  dem  Jahre  1858.     Ebendas.  6  Thlr. 

Memoires  de  Vacademie  imperiale  des  sciences  de  P^iersbourg. 
Serie  7.    Tome  L   No,  1  —  1^.    Peiersbourg.   Leipzig,  Voss. 

Memoires  präsentes  ä  Vaeademie  de  PSters-bourg  pnr  divers  sn- 
vanis.   Ebeadas.    Tome  VIIl,  6  Thlr.    Tome  IX.  6  Thlr.  17  Ngr. 

Melanges  mathemaiiques  et  asironomiques  iirde  du  buUetin  de 
Vacademie  de  Peiersbourg.  Tome  VJII,  1  livr.  Ebendas,    %  Thlr. 

Melanges  physiques  et  chimiques  tirds  du  bulletin  de  Vacademie 
de  Peiersbourg.    Tome  UL  h.elQ.livr.   Ebendas.  1  Thlr. 

Astronomisches  Jahrbuch  für  1862.  Herausgegeben  von'J.F.ENCKE 
unter  Mitwirkung  von  Wolpeks.    Berlin,  Dümmler.  3  Thlr. 

Astronomische  Nachrichten,  begründet  von  Schumacher,  fortge- 
setzt von  A.  Hansen  und  F.  Peters.  52.  Bd.  No.  1  und  2.  Hamburg, 
Perthes,  Besser  &  Mauke.  pro  compl.  5  Thlr. 

Wochenschrift  für  Astronomie,  Meteorologie  und  Geogra- 
phie. Neue  Folge«  S.Jahrgang.  1860.  Herausgegeben  von  Heis. 
Halle,  Schmidt.  pro  compl.  3  Thlr. 

Archiv  der  Mathematik  und  Physik.  Herausg.  von  J.  A.  Grunert. 
34.  Theil,  1.  Heft.    Greifswald,  Koch.  pro  compl.  3  Thlr. 

Beine  Mathematik. 

MossBRüGGER,  L. ,  Auflösung  der  algebraischen  Gleichungen 
aller  Grade.     Aarau,  Sauerländer.  27  Ngr. 

Schwager,  H.,  Die  Elemente  der  Arithmetik  und  Algebra. 
1.  Tbl.   Besondere  Arithmetik.   Würzburg,  Kellner.  %  Thbr. 

Zeume,  W.,  Die  Geometrie  der  Körper.    Iserlohn,  Bä4^cker.  24  Ngr. 

ScHRÖN,L.,  Siebenstellige  gemeine  Logarithmen  der  Zahlen 
von  1  bis  108000  und  der  Sinus,  Cosinus  etc.  Nebst  einer  Intor- 
polationstafel.    Braunschweig,  Vie weg.  uigiizeaDy  ^»^v^vj^X  Thlr. 


LiteratarzeituDg.  21 

Hermite,  Theorie  des  equaiions  modulaires,  et  la  resolution  de 
Vequation  du  cinquieme  degre,  Paris,  1%  Thlr. 

Angewandte  Mathematik. 

Bremiker,  C,  Das  Bisico  bei  Lebensyersichernngen.  Berlin, 
Nicolai^scbe  Verlagshandlung.  ^  %  Thlr. 

Koog,  Abriss  einer  Geschichte  der  astronomisch-trigonome- 
trischen Vermessungen  im  südHchen  Deutachland  und 
der  Schweiz.    Tübingen,  Fues  in  Comm.  ^J^  Thlr. 

TuxEN,  6.  £.  und  J.  C,  Lehrbuch  der  Navigation  mit  zugehöri- 
ge'U  Tafeln.   2  Bde.   Altena,  Mentzel.  8  Thlr. 

Weisbach,  J.,  Lehrbuch  der  Ingenieur-  und  Maschinenrao- 
chanik.  3.  ThL  0.  und  10»  Liefrg.  Braunschweig^  Vieweg  &  6ohn. 
pro  Liefrg.  9  —  12  2  Tlilr^ 

Weisbach ,  J. ,  Der  Ingenieur.  Sammlung  von  Formeln ,  Tafeln  etc. 
1.  Abth.    3.  Aufl.    Braunschweig,  Vieweg.  24  Ngr. 

Stefan,  lieber  ein  neues  Gesetz  der  lebendigen  Kräfte  in 
bewegten  Flüssigkeiten*  (Akad.)  Wien,  Oerold^s  Sohn  in  Comm. 

4  Ngr. 

Kennoott,  A.,  Netze  zur  Anfertigung  von  Krjstallmodellen. 
1.  Heft.   6.  Aufl.   Wien,  Lechner.  9  Ngr. 

Phyiik. 

Encyelopädie  der  Physik.  Bearb.  von  Brix,  Decher  etc.  Herausg. 
von  Karsten.    6.  Liefrg.    Leipzig,  Voss.  2%  Thlr. 

Fortschritte  der  Physik  im  Jahre  1857.  DnrgCBtellt  von  der  physi- 
kalischen Gesellschaft  zu  Berlin.  13.  Jahrg.  Bedigirt  von  A.  Krönig 
und  0.  IIagen.   2.  Abth.    Berlin,  Reimer.  1%  Thlr. 

Kunzek,  A.,  Lehrbuch  der  Physik  mit  mathematischer  Be- 
gründung« 2.  Aufl.   Wien,  Braumüller.  3%  Thlr. 

Moritz,  A.^  Lebenslinien  der  meteorologischen  Stationen  am 
Kaukasus.     Petersburg,  Leipzig,  Voss.  ^  Tbk. 

Päclet's  vollständiges  Handbuch  über  die  Wärme  und  deren 
Anwendungen.  Nach  der  8.  Aufl.  des  Originals  deutsch  bearbeitet 
von  Hartmann.    1.  Lief.   Leipzig,  Gerhard.  1%  Thlr. 

Arago's  Werke.  Herausgegeben  von  W.  6.  Hankel.  8.  Bd.  Leipzig,  0. 
Wigand.  1%  Thlr. 

Fecilner,  G.  Th.,  Elemente  der  Psychophysik.  1.  Tbl.  Leipzig, 
Breitkopf  &  Httrtel.  1  Thlr.  U  Ngr. 

Araoo,  f.,  Oeuvres  compldles,  publikes  par  A.  BarRAL.  Tome  XL 
Leipzig,  0.  Weigek  2  Thlr. 


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Mathematisches  Abhandlungsregister. 


lieber  die  AbkiirzuDgen  und  sonstige  Einriclitang  dieses  Registers  vergl.  Bd.  lY 
dieser  Zeitschrift.  Auf  Register  eines  anderen  Bandes  als  des  laufenden  wird  von  nna 
an  durcli  die  dem  betreffenden  Bande  zukommende  römische  Ziffer  verwiesen.  Eine 
arabische  Abhandlungsiiffer  ohne  römische  Ziffer  besieht  sich  stets  auf  den  laufenden 
Band. 


1859. 
Erste  Hälfte:  1.  Januar  bis  30.  Jani. 

A. 

Anolytiseli«  Geometrie  der  Xbeae. 

1.  Ueber  ^ine  auf  die  Bestimmung  der  Lage  der  Punkte  in  einer  Ebene  durch  ihre 

Entfernungen  von  zwei  gegebenen  festen  Punkten  gegründete  analytische 
Geometrie  mit  Rücksicht  auf  niedore  Geodäsie.  Grunert.  Grün.  ArchiT 
XXXII,  444. 

2.  Sur  let  eoardonn£e9  courvilignea pUmes  queiconquet.  Aoukt,  Compt.  rend.  XLVIII, 84^. 

3.  Weitere  Untersuchungen  über  Grenzverhältnisse  bei  Curven.     Völler.     Grün. 

Archiv  XXXII,  97.  [Vergl.  Bd.  IV,  No.  248.] 

4.  Ueber  einen  allgemeinen  Satz  aus  der  Cunrenlehre«  Weile  r.  Grün.  Archiv  XXXII, 

418  [vergl.  Bd.  IV,  No.  248]. 

5.  Sw  te  nombre  des  points midüples  d'une  curbe  algäbngue,    Abel  Transon.     N,  am, 

nuah,  Xrill,  142. 
0.  On  the  form»  ofinfinUe  branches  ofcurves,     Frost.     Quart,  Joum,  Math.  Ill,  164. 

7.  l)imonstratUm  de  deux  theorhnes  de  M.  Steiner  se  rapportant  aux  namudes  tibaissies  de 

detur  pomts  sur  wie  courbe  du  degrä  n  et  ausc  angles  droit*  drconsarits  d  cette 
courbe.    Dewulf.    N,  arm.  maih,  XVIII,  174. 

8.  Nöte  on  the  incipient  caustic,     Holditc h.     Quart.  Journ,  Math.  III ,  88. 

9.  On  the  nfh  caustic  by  reflexion  from  a  drcle,  ffolditek.  Quart.  Joum.  Math.  II,  301. 

10.  Theorems  on  polar  conics  with  respect  to  curves  ofthe  thbrd  dass,    Smith.    Quart, 

Joum.  Math.  II,  327. 

11.  Oft  <A«  intersecHon  i>f  tangents  drawn  trough  two  painta  on  a  cwrve  ofthe  third  degree. 

S,  Roberts.    Quart.  Joum.  Math.  III,  HS. 
Vergl.  Ellipse,  Kegelschnitte,  Kreis^  Krümmungskreis,  Normale,  Quadratur. 

Anolytisehe  Oeometrie  des  TJanmee. 

12.  Die  Theorie  der  Pole  und  Polaren  bei  Curven  höherer  Ordnung;  mit  einer  Einlei- 

tung: Zwei  Coordinatensysteme.  W.  Fiedler.   Zeitschr.  Math.  Phyg.  IV,  93. 

13.  Ueber  &ei  geometrische  Transformationen.  O.  B  ö  k  1  e  n.  Gran.  Archiv  XXXII,  83. 

14.  Ueber  die  mittleren  Radien  der  Linien,    Flächen  und  Körper.      Drobisch. 

Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  1. 

15.  Sur  quelques  formides  qidpeuoent  itre  utiles  dans  la  thiorie  des  swrfaces  courhes.  Baehr, 

Grün.  Archiv  XXXII,  221. 

16.  Thioräme  sur  le  ebne.     A.  A.  Ter  quem.     N.  ann.  math.  XVIII,  205. 

n .  On  curves  of  the  third  Order.     Salmon.     PhiL  Mag.  XVII,  71.        ^nnn](> 

^  u\gmzeo  oy  ^JVJvJWlK^ 


Literatorzeitang.  23 

18.  SuHe  Hnee  del  terz'ordine  a  dojn^a  curoatura.     Cr  emona.     Amiali  mal.  IJ,  19. 

VergL  Oubfttor,  Oeodftaie,  isotherme  Linien,  Kriimmongskreis ,  Lozodromische 
Linie,  Normale,  Oberfl&ohen,  Oberflächen  2ter  Ordnung,  Sphärik. 


19.  Präposition  in  the planetary  theory,     Frost.     Qtutrt.  Jotcm.  Math.  JI,  353. 

20.  The  planetary  theory,     Frost,     Quart.  Jotem.  Math.  II,  358. 

21.  Heber  die  Berechnung  der  planetarischen  Stöningen.     Grunert.    Astr.  Nachr. 

L,  33. 

22.  Allgemeine  Störungen  der  Metis.     L  e  s  8  e  r.     Astr.  Nachr.  L,  193. 

23.  Uebpr  die  Gauss*  sehe  Auflösung  des  Keppl  er 'sehen  Problems.     Strehlke. 

Grün.  Archiv  XXXII,  433. 

24.  Calcitl  de  Vacc^liration  siadaire  du  moyen  tHouüement  de  la  lune.     Adams.     Compt. 

rend.  XLVIII,  247. 

25.  Calcul  de  raccSl&ation  s^culmre  du  moyen  mouvemenl  de  la  lune.   Delaunay.   Compt, 

rend.  XLFIII,  817- 

26.  Equations  ofmotion  ofthe  moon.     M^  Clean.     Qmrt.  Joum.  Math  III,  86. 
Vergl.  Geschichte  der  Mathematik  87. . 

AttEftOtittii» 

27.  Note  ofthe  theory  of  attracHon.     Cayley.     i}ttart,  Joum,  Math,  II,  338. 

28.  On  Rodrigues'  method  for  the  aitraction  of  elHpsoids.     Cayley,     Quart,  Joum.  Math. 

//,  333. 


»Integnl«. 

29.  Sur  un  cas  special,  qui  se prisente  dans  la  transformation  des  iutiffrales  rnidtiples,  Bou- 

n  iakowsky,     Petersb,  Acad,  BulL  XVII,  437. 

30.  Swr  les  integrales  tnnomes.     Besge.     Joum.  Mathtfm.  XXI F,  194. 

31.  Sur  une  integrale  dS/hue  midtipl^.     Liouville,    Joum.  Mathim.  XXI F,  155. 

32.  Bemerkungen  über  ein  vielfaches  Integral.     Genocchi.     Zeitschr.  Math.  Phy«. 

IV,  75. 

fi 

33.  On  the  mullipie  integral  fdx  dy  . .  ,  dz,     Schla  efli,    Quart.  Jown,  Math,  II,  269, 

///,  54,  97. 
Vergl.  Imagin&res  109,  110,  Reihen  193. 

BlquadratiMke  Form. 

34.  Composizione  di  una  funzione  bxquadraiica  ed  a  quattro  indeterminate,     Tortolini, 

Annali  mat,  II,  9. 

BrwttUii*. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  9. 

ۥ 

GombinatAiik. 

35.  On  the  Classification  of  polygam  of  a  ghen,  manber  of  sides.    De  Morgan.    Quart. 

Joum,  Math.  II,  340. 

Cnbatnr. 

36.  Ueber  die  Inhaltsberechnung  der  Körper.  L  i  g  o  w  s  k  y.  Grün.  Archiv  XXXII,  24 1 . 
Vergl.  Quadratur  189,  Stereometrie  219. 

Cubische  Formen. 

37.  Sur  la  rMuction  des  formes  cubiques  ä  deux  ind^lerminSes.    ff  er  mite*     Compt.  rend, 

XLVIII,  351. 

Detamdiuuititt. 

38.  La  teorica  dei  cooarianti  e  degli  invarianti  delle  forme  binarie  e  le  stie  principafi  applh- 

caziom.    Brioschi.    AnnaH  mat.  II,  82  [vgl.  Bd.  IV,  No.  d^a  oy  vj  v^v^^lC 


24  Literatarzeitang. 


39.  Sur  Vlfttforiant  le  ptus  simple  d^vne  foiustkn  quadratique  bv-temaire  et  sur  fe  Risultmd 

de  iroiM  fanctums  qundratiques  temaires,     Cayl  cy.     Grelle  LVU,  189. 

40.  //  Determinante  dt  Sylvester  ed  Ü  risuttante  di  Etdero.     Hesse,     Annali  mai,  II,  5. 

41.  Vergleich  zweier  Formen  der EliiaiiiAtioiifl-Kesaltaiite.  Borchsrdt.  Grelle LYII, 

183. 

42.  Th^orhne  de  Michael  Roberts.     DelBeccaro.     N,  ann.  math,  XFIII,  IZ, 

43.  Ueber  die  Determinante  17+(flu  +  Äj.)l»{rt.+ii)|»...(fl«  +  6»)p.    Zehfus».    Zeü- 

8chr.  Math.  Phys.  IV,  233. 
Vcrgl.  Gleichungen,  Sturm's  Function. 

I>et6mii2ia]iteA  in  geometrischer  Anwendimg. 

44.  Application  de  la  notwelle  analyse  mix  svrfaces  du  second  ordre.     Painvin,     jY.  ann» 

math.  XVIII,  33,  49,  89. 

45.  Etant  donnies  trois  courbes  planes  de  Vordre  m  trouver  le  lieu  des  points  de  contad 

des  courbes  d ordre  m  qui  passefit  par  tes  points  dintersection  des  cowbes  A  ei  B 
touchant  la  troisieme  C.     Faure,     N.  ann»  math,  XFIII^  237. 

46.  Equation  d'un  cercle  touchant  des  droites.     Cayley,     N.  arm.  math.  XVIII,  222. 

47.  üeber  das  grösste  Tetraeder,  welches  sich  einem  Ellipsoid  einschreiben  lässt.   S. 

Spitzer.     Grün.  Archiv  XXXIl,  194. 

Differentialgleichungen. 

48.  Integration  einiger  Gleichungen   durch  Aufsuchung  des  intcgrirendeu'  Factors. 

W  o  1  f  e  r  8.     Grün.  Archiv  XXXII,  239. 

49.  On  the  integfating  factor  of  Pdx^Qdy^Rdz  =  0.     De  Morgan.     Qwtrt.  Joum. 

Math.  II,  323. 
50;  Zur  Integration  einiger  linearen  Differentialgleichungen  der  zweiten  Ordnung. 
Weiler.     Grün.  Arohiv  XXXII,  184. 

51.  Sia*  une  Equation  diffirentielle.     Besge.     Joym.  MathSm.  XXIV,  72. 

52.  Note  über  Differentialgleichungen.     S.Spitzer.     Grün,  Archiv  XXXII,  127. 

53.  Studien  über  Differentialgleichungen.   S.Spitzer.   Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  37. 

54.  Heber  die  Integration  der  Differentialgleichung  a?« .  -~  =  +  y  durch  bestimmte 

Integrale.     S.  Spitzer.     Grelle  LVII,  82  [vergl.  Bd.  IV,  No.  375]. 

55.  Note  sur  Vintegration  des  dquations  de  la  forme  ac«  .  ■—  :r=By  par  des  integrales  dS- 

finies,  £  designant  le  nombre  + 1,  m  e^  »  des  nombres  eniiers  et  potUifs  joumig  a  la 
condäion  m > n.     S.  Sp itzer.     Compt. rend,  XL VIII,  746. 
.     d^t 

56.  Note  sur  les  iquations  de  la  forme  g*»»  ■—r-  =  az  dans  lesqueües  u  est  un  nombre  com- 

stant.     S.  Spitzer.     Compt.  rend.  XL VIII,  995. 

57.  Aufsuchung  derjenigen  Differentialgleichung,  welcher  durch  eine  gegebene  Func- 

tion genügt  wird.     S.  Spitzer.     Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  73. 
Vergl.  Hypergeometrische  Reihe,  Isotherme  Linien,  Mechanik  150,  Singulare  Auf- 
lösungen. 

Differeniengleichnngen. 

58.  Neue  Intcg^ationsmethode  für  Differenzen-Gleichungen,  deren  Goefficienten  ganze 

algebraische  Functionen  der  unabhängig  Verlinderlichen  sind.     6.  Spitzer. 
Grün.  Archiv  XXXII,  334. 

Ellipse. 

59.  Construction  der  Ellipse  durch  Zusammenfügung  von  vier  Linealen.     Grunert. 

Grün.  Archiv  XXXn,  355. 

60.  On  the  conjugate  diameters  of  an  ellipse,     Smythe.     Quart.  Jowti.  Math.  III,  185. 

61.  On  the  coincidence  of  the  tno  rays  in  a  doubly  refracting  medium,    ^ace.     Quart. 

Joum.  Math.  III,  47. 


Slliptiiöhe  Functionen. 
Vergl.  Gleichungen  96. 


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Literatarzeitung.  25 

F. 
Fnaotioiioii. 
O'i.  iSuf  les  fonctiuns  rationelles  Unfaires  prises  aidoant  un  ntodiäe  pr emier  ei  sitr  les  subsli- 
tutions  auxquelles  conduit  la  considiratiün  de  ses  fonctions.  J.  A.  Serret,  Compt. 
rend.XLVni,  112.  178,  237. 
Ö3.   Mimoire  sur  le  nombre  des  valeurt  que  peut  acqnerir  une  /bnctioti,   Mathieu.    Contpi, 
rend.  XLFIII,  810  [vergl.  Bd.  IV,  No.  327]. 

64.  /o^(«4.|)<  J  +  44-..+  — <  l  +  to^(t«  +  l).     Michiiux.     N.  atm,  rnath.  XVIil 

Ö9.  —  Astier,  ibid  71.  —  Lemmonnier,  ibid.  150.  —  Schloemilch  ibid.  172. 

rt5.  Stir  la  limite  de  ——-  H +  ...+--.    De  Mofitebelio.   N.  ami.  math.  XriJL 

n-4-ln-|-2  2n 

6(5.  —  Chabirand.  ibiä^  147. 

(Mi.  6'w  la  fonction  y  =  log  tang  \J^  +  ^)>     Genocchi.     N.  arm.  math.  XVI  11,  1 1 8. 

Veig>l.  Gammafunctionen,  Imagin&res,  Sturm's  Function,  Trigonometrie  222. 

Oamiiiafiuictloii. 
(17.  Leber  eine  mit  der  Gammafunction  verwandte  Transcendente  und  deren  Anwend- 
ung auf  die  Integralrechnung.    Kinkelin.     Grelle  L VII,  122. 

GeodAsie. 
fS8.  Formeln  zur  Berechnung  der  geodätischen  Breiten,  Längen  und  Asiranthe  auf  dem 
Erd.sphäroid.     v.  Andrä.     Afitr.  Nachr.  L,  1(51. 

Oeometrie  (desoriptlYe). 
(50.  Neue  analytische  Entwicklung  der  Theorie  der  stereographi»chcn  Projt;ction  mit 
neuen  Sätzen  und  Formeln  und  nouen  Eigenschaften  doTRolben.     Grün  er  t. 
Grün.  Archiv  XXXII,  250. 

Geometrie  <  höhere ). 

70.  Transformation  des  propriiiis  mitriques  des  figures.     Fauri.     N,  ann,  math,  XFIII, 

181. 

71.  ftinH-alisatimi  de  la  thdorie  de  Vinvohition.     De  Jonquikres.     Anunli  mat.  11^  86. 

72.  fiote  sur  le  nombre  de  coniqttes  qui  sont  determin^es  pttr  cinq  condifions,  lorsque^  pttrmi 

ces  conditions,  il  existe  des  normales  donnies.  De  Jonquieres,  Journ,  Mathim. 
XXIV,  4V). 

73.  Ucber  einige  geometrische  Sätze,     v.  Staudt.     Grelle  LVII,  88. 

74.  Solution  de  detix  problemes  de  giometrie  ä  trois  dimettsions     De  Jonquierex.   Jottm, 

Malhem.  XXIV,  81. 
Ib.  Note  sur  les  cubiques  gmiches.     Cremona.     N.  ann.  math.  XVIII,  199, 
7(5.  Zur  Theorie  der  dreiseitigen  Pyramide.    Joachimsthal.    Grün.  Archiv  XXXII, 
I07[vergl.  Bd.  IV,  458]. 
Vergl.  Determinanten  in  geometri.«*cher  Anwendung,  Kegelschnitte. 

Oesohidite  der  Xathematik.. 

77.  Considerations  sur  les  poiismes  en  gener al  et  sur  ceux  d'Euclide  en  particulier,  .  Exo- 

men  et  refntation  de  l'intaprelation  donnie  par  M.  Breton  {de  Champ)  aux  lex  lei- 
de Pappus  et  de  Provlus  relatifs  aux  porismes.  A.J,ff.  Vincent.  Journ.  Malhem. 
XXIV,  9. 

78.  Question  des  porismes.     Breton  {de  Champ).     Journ,  Mathem,  XXIV,  153. 
70.  Zur  Biographie  Kepl^r's.     Michael.     Astr.  Nachr.  L,  1 7. 

80.  Sar  Vinvention  des  exposants  f^actionnaires  ou  incommefisurables .    Prouhet,     N,  arm, 

math.  MVIIl  Bulletin  de  bibl.  42. 

81.  Note  historique  supplimenttnre  sur  le  calcul  de  n.  Bierens  de  Haan.  N,  arm,  math. 

XVIII,  Bulletin  de  bibl.  46.      - 

82.  Biographie  von  Abraham  Sharp.     Grüner t.     Grün.  Archiv  XXXII ,- 337.  i-^ 

N,  ann,  math,  XVIII,  Bulletin  de  bibl,  47.  uigmzea  oy  ^j  viOglC 

Litcrataritg'.  d.  Zeittchr.  f.  Math.  u.  Phy*.  V.  8 


26  ,         Literatarzettung. 

83.  Swr  la  reciification  de  la  mithode  d'approximation  de  Netvton.     Prouhet.     N,  arm, 

nuith.  Xvni,  ßulletm  de  bihU  39, 

84.  Necrolog  von  Gustav  Lejeune-Dirichlet.    Borchardt.    Orolle  LVII,  91. 

85.  Necrolog  von  Wich  mann.     Peters.     Astr.  Nachr.  L,  79. 
80.  Necrolog  von  Johnson.     S latter.     Astr.  Nachr.  L,  113. 

87.  Bemerkung  über  die  Nomenclatur  der  Asteroiden.  Laiigie  r    Astr.  Nachr.  L,  27. 

Oleiohungan. 

88.  A  proofthat  eoery  equation  has  tts  many  roots  oh  it  fuis  dimenswns,  Gh tiUis.  PhiL Mag. 

XVUy  112.  —  Airy.  ibid.  177.  —  ChaUis.  ibid.  283. 

89.  OriUrium  pour  q'tme  Agitation  du  deqre  n  ait  au  moina  tm  couple  de  racines  imagiiudre», 

Brault,     N.  ann.  math  XFIII,  217. 

90.  Einfachere  Ableitung  der  früher  mitgethcllten  Sätze  über  die  reell&n  Wurzeln  der 

dreigliedrigen  algebraischen  Gleichungen.   Drobisch.    Zeitsch.  Math.  Pbys. 

^A  IV,  «j. 

■«•*  Ol.  Sur  la  iiifdte  superiettre  des  racines  negatives  deduUes  de  la  formule  tatx  diffirences  de 

Newton.     Vitasse      N.  mm.  math.  XFlIl,  213. 

92.  Sur  la  resolution  par  radicaux  des  Squatiotis  dont  le  degre  est  tote  pw'ssance  d'un  nombre 

Premier.     Betti.     Compt.  rend.  XLFIIL  IS2. 

93.  Zur  Auflösung  der  cubischen  Gleichungen.     Spitz.     Grün.  Archiv  XXXII,  435. 

94.  Methode  pour  la  resolution  des  iquations  littdrales  du  trois lerne  et  du  quatrieme  degre. 

Jourdain,     Jourti.  Mathhn.  XXIV,  205. 

95.  ffote  sur  les   equtitions  du  qutUneme  degre.      Michael  Roberts.     N.  ann.  math. 

XVIII,  87. 
90.  Die  Transformation  und  Auflösung  der  Gleichungen  fünften  Gradi's  nach  Je  r  rard 
und  H  e  r  m  i  t  e.     Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  77. 

97.  Note  sur  la  resolution  de  Täquation  du  cinquieme  degri.     P.  Joubtrt.     Compt.rend. 

XLVIIly  290. 

98.  öbservations  on  the  theory  of  eqxuilions  of  the  fifth  degree.     Co  ekle.     Phil.  Mag. 

XVII,  350. 

99.  Ueher  ein  die  Elimination  betreffendes  Problem.    Borchairdt.   Berl.  Acad.  Ber. 

1 859,  370.  —  Grelle  L VII,  111. 
Vergl.  Determinanten. 


Eomogone  Funetionen. 
iOO.  Neue  Eigenschaften  der  linearen  Substitutionen,   welche   gegebene  homogene 
Functionen  des  zweiten  Grades  in  andere  transformiren,  die  nur  die  Quadrate 
der  Variabein  enthalten.     Hesse.     Grelle  LVII,  175. 

Hydrodynamik. 

101.  On  the  central  motion  of  an  ehistic  fluid  and  on  the  theory  ofTurtini's  beats.  Challis. 

PhiL  Mag.  XVII,  21. 

102.  Ueber  Difiusion  von  Salzlösungen  im  Wasser.     Beez.     Zeitschr.  Math.  PhjH. 

IV,  212. 

103.  Ueber  das  Gleichgewicht  schwimmender  Körper.   Clebsch.     Grelle  LVII,  149. 

104.  Theorie  der  Luftschwingungen  in  Röhren  mit  offenen  Enden.     Helmholt z. 

Grelle  LVII,  1. 

Hyp0fb6L 
Vergl.  Functionen  05. 

Eypergoometrisehe  BeilM. 

105.  Ueber  die  Differentialgleichung  der  hypcrgeometrischcn  R«uhe.     S.  Spitzer. 

Grelle  LVn,  78.  -  Borchardt.  ibid.  81. 
Vergl.  Differentialgleichungen  54. 

I. 

Imaglains. 
100.  Sur  le  sens  geom^trique  des  qumUU4s  hnaginaires.    Zehfuss.    Gruur-Arehiv  XXXII, 
*^4.  uigiiizea  oy  VjOOQ  LN^ 


LiteratuTKeltttog.  ^ 


1 17.  Die  Rechnung^  mit  Bichtun^szahlen.     Blecke.     Grün.  Archiv  XXXII,  470. 
108.  Qtiaietmion  investfgaiions  connected  mlh  Fr esners  nfmfesurface.     Tait.     Ouari  Jatan 
.VtfM. ///,  190  V««'«  «/«m«. 

100.  Notwelie  Ihäorie  des  fonctions  de  vftriables  imayinaire$.     Marie.     Jaum.   Mathim» 
2L\Irf  1*1. 

1 10.  Siar  ies  fonctions  d'mte  variabie  imaginmre    Bertrand,  Compt.  rend.  XLVIII,  427 

IntcrpolatioiL  . 

11 1.  Sttr  Vinterpolatiun.     Hermite,     Compt,  rend.  XLVIII,  (53. 

1 12.  Sur  finterpofation.     Houche.     N,  atm.  math.  XVIII,  2«. 

113.  Ueber  das  loterpolationsprobleoi.     Grane rt.     Grün.  Archiv  XXXII   140 
Vergl.  Gleichvngen  00.  ' 

Itotti«nii«  Unioi. 

114.  NouoeUe  thiqrie gäneraie  des  Hg nes  isothermes.  HatondetaGoupilliere    Commi 

jend.XLVIII,mi.  ^f^mpi 


KagtL 

Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  16. 

Xegelsehaitte. 
li&.  Ueber  drei  characteristische  Eigenschaften  der  KegeLschnittslinien.  2«mpieri 

Grün.  Archiv  XXXII,  3 1 0.  —  G  r  u  n  e  r  t.  ibid.  330. 
110.  Conigue  donnie  par  des  points  ou  des  tetngentes.     De  Jonqihres.     N»  ann.  maih 
XVIII,  215 

117.  Neue  Methode,  durch  beliebig  gegebene  Punkte  Berührende  an  Kegelschnitte  zu 

ziehen.     Grunert.     Grün  Archiv  XXXII,  425. 

118.  On  the  equaiion  to  the  asymptotes  ofany  conic section  /*(«,  /J, y)  =  0.  Wolstenhotme, 

Quart  Joum.  Math.  III,  182. 
110.  On  the  conics  whic/t  touch  four  given  lines.    Cayley.     Quart.  Journ.  Mathim,  III ^  04. 

120.  Sur  le  trianyle  inscrit  et  circonscrit.     Hart.     N.  ann.  math.  XV III,  I||6^ 

121.  Theoreme  sur  tm  angle  droit,  dont  le  sommet  est  sur  une  courbe  du  second  ordre, 

ßeynac.     N.  ann.  tnaih  XVIII,  85. 

122.  Lieu  giomitrique  de  certain  point  dans  Ies  conxques.   Ter  quem.  N.  ann.  maih.  XVIN, 

163. 

123.  Par  un  point  fixe  donnäe  dans  le  pfeoi  d'une  conique  passe  une  sicante  mobile ;  trouoer 

le  lieu  geometrique  du  point  d'intersection  des  dettx  normales  mai^es  ä  la  conique 
aux  deux  points  oit  la  sicante  coupe  la  conique:  A.  Ter  quem.  N.  ann.  math. 
XVIII,  77. 

124.  Ueber  die  Bestimmung  der  vier  gemeinschaftliehen  Durchschnittspunkte  zweier 

Kegelschnitte.     Spitz.'  Grün.  Archiv  XXXII,  108. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  10,  Ellipse,  Geometrie,  höhere  7,  Hy- 
perbel, Krümmungskreis  132,  Normale  150,  100,  Parabel,  8phlirik21l4  Ver- 
wandtschaft 220. 

K«tt«abrttAh«. 
Vergl.  Reihen  100,  107,  Zahlentheorie  242. 

Srdi. 

125.  Trouoer  Viquaiion  du  cercle,  qui  coupe  ä  angle  droit  trois  cercles  donnis.  S&uillart. 

N.'ann.  maih.  XVIII,  224.  ~  Chabiraud.  ibid,  230. 

126.  Ona  particular  case  of  CastUlon's  problem.    Cayley.     Quart,  Journ.  Math.  III,  157. 

127.  Swr  Ies  quaire  cercles  qui  touchent  trois  cötSs  d*un  triangle.  N.ann.  math.  XVIII,22Z. 

128.  Des  relaiions  qui  existent  entre  Ies  rayons  des  hmt  cercles  tangents  ä  trois  autres,  et 

entre  Ies  rayons  des  setze  sphbres  tangentes  d  quaire  autres.  Mention.  Petersb. 
Aead,  Bull.  XVII,  465,  481. 

120.  Ueber  die  Relation  zwischen  der  Entfernung  der  Mittelpunkte  und  den  Halbmes- 
sern zweier  Kreise,  von  denen  der  eine  um  und  der  andere  in  dasselbe  Vieleck 
beschrieben  ist.     Grunert.     Grün.  Archiv  XXXII,  68. 

130.  On  the  circular  points  at  inftniiy,    S,  Roberts.    Quart.  Journ.  Math.  III,  W^^T^ 

uigiTizea  oy  v_jv>VJVlv». 


28  Literatarseitnng. 

XrttauBViiftkrflli. 
131 .  Note  on  the  radius  ofabsoluß^  ntrvatyre  at  tmy  point  of  a  curve.     Quart.  Joum.  Math, 

11,  356. 
lÄ?.  ünthe  circte  ofcurvature  of  a  conic  aection.   Smythe.   Qwo't,  Joitm.  Math.  JU,  183. 

133.  Ueber  Krümmnngshalbmesser.     Lobatto.     Grün.  Archiv  XXXII,  121  [vgl  Bd. 

IV,  No.  138]. 

1 34 .  Des  centres  de  cauröure  sticcessifs .     Halon  de  In  Goupill\er*i      Joitm.  Mntkim . 

XX  ly,  183.  -  ^ 

135.  PropriHes  den  lignes  de  cotarbttre  de  feliipsoide,  A  ort  st,  Compt  rend.  XLVlIl,  880. 
13«.  Recherehes  g4omitr\ques  rehUives  tat  Heu  des  positiöns  stteeessives  des  centres  decow- 

bitte  d'une  caurbe,  qtäroule  surune  droite,  Mannheim.  Joum.Math4m.  XX/r,93. 
137.  Sur  la  courbure  d'une  särie  de  «urfaces  et  de  iignes      Hirst.     Annali  mat.  IJ,  95. 


li. 

LogaritlimexL 

138.  On  the  logoryclic  curve  mid  the  geometricat  origin  of  logarithtns.  •  ßooth.     Quart. 

Joum.  111,  38,  127. 

Loxodromif  eh«  Uni«. 

139.  Theorie  der  lozodromischen  Linien  auf  dem  Ellipsoid  nnd  anf  der  Ku^el.     Pla- 

fpemann.     Gmn.  Archiv  XXXII.  1 . 


Mazima  imd  Ifiniina. 

140.  Dei  crileri  per  distingueve  i  massimi  dei  minimi  valori  di  una  funztone.     ßrioschi. 

Annali  mat.  11  ^  Ol. 

141.  Zwei  Sätze  über  das  grö»sto  Product  aas  ganzen  Zahlen  von  gegebener  Summe. 

O  e  1 1  i  n  g  e  r.  Crello  LVII,  90. 

142.  Sur  ime  qnestion  de  mtuiimtm  relative  atia:  polygönes  rcguliers.     Morgue.     N.  tfnn. 

math.XFill,  158 

143.  Veher  grösste  einem  Kllipsoide  oiniceschriebenc  cckiere  Körper.     S.Spitzer. 

Grün.  Archiv  XXXII,  439. 
Vcrgl.  Determinanten  in  geometrischer  Anwendung  47. 

Maohaiu)^. 

144.  Sur  le principe  de  la  movidre  actiun.  ßraschmunn  Pelet-sb.  Acad.  Btill.  Xyil,  487. 

145.  Entwicklungen  über  ein  Kapitel  von  Po is so n^s  Mechanik  nach  .T.  Liou  ville. 

Fiedler.     Zeitschr.  Math.Phys.  IV,  49. 
1 4Ö.  Sur  la  moniere  de  ramener  ä  la  dynautique  des  corps  libres  celle  des  corps  qu'on  snp- 

pose  gen4s  par  des  obstaclcs  fixes.     Poiusot.     Joum.  Mathim.  XXJy,  171. 
.147.   On  motion  and  (wceleration  ofmotion.     Frost.     Quart.  Joiarn.  Math,  111,  71. 

148.  On  the  motion  of  a  body  referred  to  momng  axes.     Slesser.     Quart.  Joum.  Math, 

//,  341. 

149.  Sur  la  quantiU  de  mouvement,   qid  est  transmise  ä  un  corps  pta-  le  c/toc  d'un  point 

massif  qui  vient  le  frapper  daus  loie  directum  donuie.   Poinsot.     Joum.  Mathäm. 
XXI  f^,  161. 

1 50.  Direct  demonslration  of  JacobVs  amonical  formidae  for  the  Variation  of  Clements  in  a 

disturbed  orbit,     Bay-ward.     Quart.  Journ  Math.  HL  22. 

151.  Theoretical  considerations  respecting  the  relation  of  pressure  to  density,     Challis. 

Phil.  Mag.  X WA  401 

152.  Ueber  die  GleichgewichtHÜgur  eine«   biegHameu   Faden.»*.     Clebsch.     Trelle 

LVII,  93. 

153.  yote  on  the  equilibriwu  of  ßexiblc  surfaces.     Behant.     Qwtrt.  Joum.  Math.  1/1,  OS. 
151.   Memoire  sur  la poussee  des  terres  avec  ou  sans  surchnrge.  Saint-Guilhem.   Joum. 

Matkem.  XXIV,  hl. 
155..  Ueber  den  geometrischen  Zusanim(;nhang  dor  Maschinen.   Noeggerath.  Zeit- 
schr. Math.  Phys.  IV,  171. 
VergK  Astronomie,  Attraction,  Hydrodynamik,  Schwerpunkt,  Trägheitsmoment. 

uigiiizea  oy  >^j  vyv./'i  LV- 


Literaturseitang.  29 

MeOiod«  der  kl«taut«i  Qnadnto. 

156.  Sur  un  hutrwuent  destini  A  fadliter  Vapplicaiion  wm^rique  de  la  mäi/toäe  de»  t/toindrett 

carres  et  ä  contrbler  les  räsulttiis  ohtenus  pnr  cette  methode.     Bouniahomsky. 
Pftersb.Acad.  Butt.  XVII,  289. 

ModnlargleiohiingeiL. 

157.  Swla  tk^orit  den  egwUitms  vtodulmrea.     Her  mit*:,     Compt.  rend,  XL  V 111,  940. 

158.  Sur  Vabiässemeni  de  Ciqitalwn  imdulaire  de  hiiiiiemt  deqi'i,    Hermite.    Annali  iktU, 

//,  5Ö,  —  Kronecker,  ibid.  131. 

M. 
Hoxmale. 

159.  Ueber  die  Normalen  der  Kctjclschnitte.    Grunert.     Grün.  Archiv  XXXII,  129. 
IW).  Sur  leg  normales  mix  couröes  du  second  ordre.     Mention,     Peiersb.  Aead.  BulL 

XFII,  305. 
161.  Sur  tene  sur  face  engendp^epar  des  normales,    7"  er  quem.  N.  ann.  maih,  XV Uly  102. 


Oberfläohea. 
162.  Investigatioh  of  ihe  conditiunH  /or  tm  umbilicus.  Stone    Quart,  Jowit  Muth.  111,  146. 
\^Z.  Onthewavesurface.     Cayley.     Quart.  Journ,  Math  III,  iQ,  i 42. 

164.  Memoire  sitr  la  figto'e  de  la  terre  consid^rie  comme  peu  di/fevente  d'tme  sphere. 

Ossian  Bonnet.     Annali  mal.  II,  46,  113. 

165.  Intomo  alle  super ficie  della  seconda  classe  inscritte  in  una  stessu  super fide  sviluppa- 

bile  della  quarta  classe.     Creme  na.     Annali  mat.  II.  65. 

166.  Des  vinf/t'Sept  droites^  gm  en  ge?i^al  existent  sur  une  sur  face  du  troisieme  degre.  De 

Jonquieres.     N.  ann.  math  XVIII,  1 29. 

167.  Sto'  quelques  propriMs  des  surfaces  du  troisieme  ordre.     Brioscki.     N.  ann.  maih, 

XVIII,  138.  .  ' 

Vergl.  Imaginäres  108,  Mechanik  153. 

ObeiiULdien  iweiten  Chrftdos. 
li'>8.  lieber  den  mittleren  Radius  des  dreiachsigen  Ellipsoides.    IS chlö milch.     Zeit- 
schr.  Math.  Phya.  IV,  •>4>. , 

169.  Propriitis  focales  des  surfaces  du  deuxikme  ordr^:  d' apres  Mr,  Heilermann.    De- 

wulf     N. ann. math.  XVIII,  ^ü. 

1 70.  Sui  punti  focali  nelle  super  ficie  di  secondo  grado.  I)el  Beccaro,  Annali  mat.  II,  30. 

171.  On  a  property  of  confocal  sio'faces  of  the  second  degree.     Ferrers.     Quart.  Journ, 

Math.  III,  155. 

172.  lieber  confocale  Ellipsoide.     Zehfuss.     Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  166. 

Vergl  Attraclioo  28,  Determinanten  in  geometrischer  Anwendung  47,  Geometrie, 
höhere,  74,  Loxodromische  Linie,  Maxima  and  Minima  143. 

bpeimtloiuealoiiL 

173.  On  an  application  of  the  cfUcuIus  of  Operations  to  the  transformation  of  trigonoipetric 

series.     Donkin.     Quart.  Journ.  Math.  III,  \. 

174.  A  theorem  in  the  calculus  of  Operations  with  some  applications.    Greer.  Quart.  Journ. 

Math.  III,  148. 

P. 

PanOMl. 

Vergl.  Quadratur  190,   191. 

Perspective. 

175.  Neue  Methode  zur  Entwerfung  perspectivischer  Zeichnungen  nebbt  einer  streng 

wissenschaftlichen  Darstellnni?  der  Perspectivo  Überhaupt.    Grunert.  Gmn. 
Archiv  XXXII,  361. 

FUuiimetrie. 

176.  Construction  der  mittleren  Proportional«'.    Krüger,     (irun.  Archiv  XXXII,  355 1 

[vergl.  Bd.  IV,  Xo.  433].  Digitized  by  <jwvy^lC 


30  Literaturzeitung. 

177.  Ueber  don  goldnen  Schnitt.     Gran  er t.     Gran.  Archiv  XXXII,  360. 

178.  Ueber  den  Fermat*  sehen  (geometrischen  LehrsaU.   Blindo  w.     Grün.  Archiv 

XXXII,  125. 

179.  Ueber  eine  Aufgabe  der  Elementargeometrie.     BchlÖ milch.     Zeitschr.  Math. 

Phys.  IV,  244. 

180.  Ueber  eine  durch  einen  Eckpunkt  eines  Dreiecks  gezogene  Linie.     Lobatto. 

Grnn.  Archiv  XXXII,  128.—  Blindow  ibid.  124.  (Vgl. Bd.  IV.  No.  193 d. 430.) 

181.  Die  Verhältnisse  der  Seiten  eines  rechtwinkligen  Dreiecks  zu  bestimmen,  in 

dem  sich  die  Abschnitte  der  Hypotenuse,  in  welche  dieselbe  von  dem  auf  sie 
von  der  Spitze  des  rechten  Winkels  gefällten  Perpendikel  getheilt  wird,  wie 
m:  n  verhalten.     Grün  er  t.     Grün.  Archiv  XXXII,  479.  * 

182.  Th^reme  sur  des  transvertales  en  nombre  impair  passant  par  un  mime  poifii.     Poi- 

irassoH.  N,  arm.  math.  Xyill,  184.  —  De  Chauliac  et  De  Boysson. 
ibid.  207. 

183.  Si  on  prend  deux points  quelcofiqttes  M  ei  N  sur  les  lignes  AB,  CD,  gu*on  Hre  les 

droites  NFA,  NEB,  MED,  MFC,  qti'onjoigne  EF,  cHte  draite  pivote  auiour 
d*wi  point /Lee.     Vernier.     N.am.  math.  Xrill,  IdS.   —  ForLibid  HO.   — 
Poitrasson.  ibid.  186. 
VergV  Imaginäres  107. 

PotiBtUL 

184.  MHnoire  sur  fa  tk^oriedu  potentiel cylindnque.  H aton  de  Iti  Goupilliere.  Compt. 

rend.  XLVIII,  345. 

185.  Nowelie  thione  ginirale  du  potentiel  cylindriqxte.      Haton  de  la  Goupilliere. 

Compt.rend.  XLVIII,  988. 
Vergl.  Hydrodynamik  104. 


Qnadntiielit  Fonn. 

186.  Sur  la  riduction  des  formes  qiuidraliques  positives  d  trois  ind^terminies  entieres,    Lt 

jeune-Dirichlei.     Jonrn,  Mitth^m  XXIV,  209. 

187.  Ueber  eine  symbolische  Formel,  die  sieh  auf  die  Zusammensetzung  der  binären 

quadratischen  Formen  bezieht.     Schlaefli.     Grelle  LVII,  170. 

188.  Sro'  la  forme  a?»+y«+5  (s»+/*).     J>  Liouv  ille,     Joum.  MiUhäm.  X7UV,  47. 

Quadratur,     v 

189.  Note  on  areas  andvoUanesintriHnear  andquadriplanar  coordsnates.  Slesser  Quart. 

Joum.  Math.  II,  357. 
VM).  Ueber  einen  allgemeinen  Satz  von  den  Flächen  ebener  Curven.     Schlömilch. 
Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  163. 

191.  Neue  Methode  die  Quadratur  der  Parabel  zu  bestimmen.  Völler.  Grün.  Archiv 

XXXII,  420. 

192.  Sur  une  aire  logantfumque.     Vernier,     N.ann.math  XVIII,  \A%. 
Vergl.  Functionen  65,  Stereometrie  214. 


Bailiea. 

193.  Ueber  die  Discontinuität  gewisser  unendlicher  Reihen.     Schlömilch.     Zeit- 

schr. Math.  Phys.  IV,  161. 

194.  Note  sur  les  sMes  divergentes.     Catalan,    N.  arm.  math,  XVIII,  195. 

195.  Ueber  Summirung  einer  gewissen  Art  von  Reihen.     Lottner.     Grün.  Archiv 

XXXII,  111  [vergl.  Bd.  IV,  No.  234]. 

196.  Sur  une  nouvelle  sine.     Tchibychef.     Petersb.  Acad.  BuiL  XVII,  257. 

197.  SeHe  de  Tchebichef.     N.  ann.  math.  XVIII,  193. 

198.  Sur  lasirie  de  Schwab.     De  Virieu.     N  atui.  math.  XVIII,  234. 

.^    ,      AiA  —  a)     A{A''a){A^b)  ^  a  ^       ^    ,  ^  ^     r    ^ 

199.  l ^^ — T— ^  +  --^ i ^-f...=:0,oi«üirfim  desfacteuis  A—a,  A—b,  A-c 

ab  a.b  .  c 

deüient  mä.     N.  ann.  math.  XVI 11,  219. 

200.  Sur  Viquaiion  0  =  ly  —  '^  -f"*^  f'^T  '^^  --  Francoise.  N.ann  math  XVIII  • 


^""'  uigiiizea  oy 


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Literaturzeitnng.  31 

201.  Sur  la  vaiettr  de  la  somme  —  +r-  H +.-.  +  zi»«^«''  ^iftni  ies  termes  et  wie  pro- 

ffm      ffm      f>m  fm 

gressian  arithmitigue  croi$sante,     Lebesgue,     iV.  ann.  malh  XFIII,  S*2. 

4 

202.  Sur  UTie  sirit  dont  la  somme  est  — .     De  firieu.     X  ann.  math.  Xf^IlI,   129.   — 

Getto  echt  ibid  161. 
Vergl.  Operationscalctil,  Trigonometrie  223. 

m. 

SehifBEfthrttknnd«. 
20«').  Ueber  die  Schiflffahrt  auf  dem  grdsBten  Kreise,  ein  Beitrag  zur  Nautik.  G  r  une  rt. 
Grün.  Archiv  XXXII,  303. 

Bokwcfpiiiikt* 

204.  Elementare  Ableitung  der  Guldin^schen  Regel.  Grnnert.  Grün.  Archiv  XXXII, 

348. 

205.  Ueber  den  Schwerpunkt  eines  dreieckigen  gleichmässig  beschwerten  RahmeuB. 

S  t  r  e  h  1  k  e.     Grün.  Archiv  XXXII,  433. 

BingnUbre  AxMvutgmL' 
206    Note  on  the  shigtUar  sohtlions  of  di/ferentiid  eguntions     Ctiyley.  fßwfrt  Jowm.  Math. 
UL  36. 

207.  Eine  Bemerkung  über  die  besonderen  Auflösungen  der  Diiferentialgleichnng  der 

zweiten  Ordnung  mit  zwei  Veränderliehen.  Weiler.  Grün,  Archiv  XXXII,  286. 

SphflrUc. 

208.  Formulen  fnndamentiHeR  de  Vanalyse  spheriqne.     Vannson,     N.  min.  mat.  Xf^IIL  5 

[vergl.  Bd.  IV,  No.  456]. 

209.  Ueber  die  Gleichheit  des  Flächenraumes  bei  symmetrischliegenden  sphärischen 

Scheiteldreiecken.     Feaux,  Griene  r  t.     Grün.  Archiv  XXXII,  1 18. 
21ü.  Die  Radien  der  in  und  um  die  regulären  Polyeder  beschriebenen  Kugeln.  Som- 
mer.    Grün  Archiv  XXXII,  289. 

211.  On  a  theorem  relating  to  spherical  conics.     Cayley.     Quart,  Jown  Math.  IIl^  53. 
Vergl.  Kreis  128,  Loxodromische  Linie,  Schifffahrtskunde. 

BttffoOBivtfto« 

212.  On  PoinsoVs  fbur  netv  regidtn-  soHds.     Cayley.     Pkil.  Mag.  XVII,  123,  209. 

213.  Remajqttes  sur  In  pyramide  triangulnire.  Mention»  Petersb.  Acad.  Buil  XFII,  113. 

214.  Ueber  den  Mantel  eines  Kugelrumpfesx    Esch  er.     Grün.  Archiv  XXXII,  188. 

215.  Proposition  on  the  tetrahedroft.      Wotstenholme.     Quart,  JoiamJMajh  III,  H9. 

216.  Sitr  les  hauteurs  d'im  tetraMre.     De  Chuutiac  et  Pugens     N.  atm. math.  XV III, 

206. 

217.  Thiorkme  stcr  les  hauteurs  du  tetraedre.    Chordonnel  et  Darboux,    N.  ann.  math. 

XVIII,  232 

218.  Determination  of  the  nmtiial  inclination  of  tnxj  opposite  edges  of  a  tetrahedron  in  tei'ms 

of  the  magnitudes  of  the  edyes.     Quart.  Jown.  Math.  III,  145, 

219.  Sttr  !e  votume  d'un  tetraedre.  De  Chauliac  et  Pugens.  S.  ann.  math,  XVIII,  201. 

Staxm'a  Fonotionen. 

220.  Demonstration  of  a  theorem  of  Mr.  Cayley*s  in  relation  to  Sturm' s  ftmetions. 

Zeipel,     Quart.  Joum,  Math,  III,  108. 

T. 

Trigheitimomont 

221.  Zur  Theorie  der  Trägheitsmomente  und  der  Drehung  um  einen  Punkt.  C I  e  b  s  c  h. 

Grelle  LVII,  73. 

TrigonoiiMfcrio. 

222.  Beweis  der  allgemeinen  Gültigkeit  der  Formeln  für  sin  {a  4-  ß)  und  cos  (a  4-  ß). 

Spitz,     Grün.  Archiv  XXXII,  2\^4, 

223.  Oeometrical  summation  oftfvo  trigonotnetric  series.     Croker.     Quart.  Joitpi^  Math^\ 

///,  181.  uigmzedby  VjOOyiC 


Zi  LiteraturEeitang. 

224.  Bestimmung  eines  Dreiecks  aus  der  Grundlinie ,  der  Hohe  und  der  Summe  der 

Quadrate  der  beiden  andern  Seiten.     Grnnert.     Grün.  Archiv  XXXII,  478. 

225.  Sohäion  nouvelle  de  deux  prohlemes  relatifs  au  triangte.    Mention.     Peiersb.  Acad 

BuU.  XVIl,  310 
220.  De  prohlemUe  quodam  geometrico      Lindmann      Grün.  Archiv  XXXII,  94. 

227.  Zu  der  Lehre  vom  Viereck.     Baur.     Zeitsehr.  Math.  Phvs.  IV,  236. 

228.  Note  on  a  theorem  in  spherical  trigonometry      Cayley.     Phil.  Mag,  XVJI,  \^i.    — 

Air y.  ibid.  IIQ.  ^ 

Vergrl.  Spharik  209. 

V. 

▼ttiaüontreeh&iing. 
Vcrgi.  Mechanik  152. 

y^rwaadttehaft. 

229.  On  a  theorem  relnling  to  homoyrapMc  ßgitren    Cayley.  Qumt.  Jom».  Math.  III.  177. 

230.  Relation  circuiairc  dt-  Moehins.     N,  ann.  mnth  Xyill,  1H7. 


ZaUoafkearie. 

23 1 .  Sw  quelques  formutes  gtnerales  qui  peuvent   etre  utiles  dans  ia  theorie  des  nombre» 

Liouvitle.    Jovm.  Mathem.  XXIF,  1.  73,  111,  195  [vergl.  Bd.  IV,  No.  483]. 

232.  Eine  unbestimmte  Aufgabe.     C  a  n  t  o  r.     Zeitsehr.  Math.  Phys.  IV,  232. 

233.  7rotiver  ttn  triangle  dont  les  col^s  et  Iti  swface  formeiit  tme  ^qiddiff^ence  en  nombres 

entiers.     Lebesgue.     N  ann.  math.  XVIII,  44. 
231.  Der  Fcrmat'sche  und  der  W  ilson 'sehe  8atz  aus  einer   gemeinschaftlichen 
Quelle  abgeleitet.     Toe plitz.     Grün.  Archiv  XXXII,  104. 

235.  Le  produit  de  quatre  nombres  entici-s  m  progression  anthmetique  ne  saterait  etre  le 

biciirre  d^im  nombre  rationnel.     B ertön.     N.  mm .  math.  X VIII,  191. 

236.  Sur  la  possibiliti  dein  decomposition  des  nombres  en  trois  ctrtrds.     LeJ  eunc-  Di- 

r  ich  fei.     Jowm  Mathem.  XXIV.  233. 

237.  Trotwer,  parmi  les  puissances  porfmies  des  nombres  entiers,  Celles  qin  ontpour  racines 

ta  somme  des  chiffres  necessaire  ä  leur  cxpression  dans  tm  systkme  de  numeratitm 
donni.     B ertön.     N.  fmn  mat.  XVIII,  209. 

238.  lieber  vollkommene  Zahlen.     Cautor.     Zeitsehr.  Math.  Phys.  IV,  160. 

239.  Sttr  la  trans forma tion  des  modales  dans  les  congruences  dupremier  degre.     Bounia^ 

kowsky   .  Peiersb.  Acad.  Bidl.  XVII,  128. 

240.  Transformalion  fies  modales  dans  les  crmgructices  du  pi^emier  dcgrc     B oun iak o  w .« - 

ky.     N.  mn  mal.  XVIII,  168. 

241.  Resolutio  congittentittrum  primi  gradiis  per  formtUas  novas.    Z  ehfuss.     (»run.  Archiv 

XXXII,  422, 

242.  Sur  Viqnntion  x}  —  ny^=\   dans  laquellc  on  suppose^  que  n  reprcscnte  im  nombre 

entier,  positif,  non  carrt.     Gerono.     N.  ann.  nuith   XVI IL  122,  153. 

243.  On  the  equation  ''('«l  "H  ^(^  ll  J    ''^^^^^C  ^)'  ''f2)+...-f  ÄC;«)^'^^^^^! 

Sylvester,     Qutirt.  Jörnen .  Math .  III,  1 86 . 

244.  Ueber  den  biquadratischen  Charakter  der  Zahl  ,,zwei**.     Dirichlet.     Grelle 

LVII,  187. 

245.  D^mnstration  de  Virriductibilitö  de  r equation  aux  racines  primitives  de  t^mite.  Le- 

besgue      Jown  MathM.  XXIV,  lOb. 

246.  Tafel  der  aus  5*^"  Einheitswurzeln  zusammengesetzten  primären  complexen  Prim- 

factoren  aller  reellen  Primzahlen  von  der  Form  5fi-i- 1  in  der  ersten  Viertel- 
myriade .     R  e  u  s  c  h  1  e.     Berl.  Acad.  Ber.  1859,  488. 
Vergl.  Biquadratische  Form,  Ciibische  Form,  Functionen  62,  Qnadrati-rhe  Fprui. 


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Literaturzeitnng. 


Recensionen. 
• 

Witoitttng  iB  die  Xeebaidk.    Zum  Selbstonterrieht  mit  Rflcksicht  auf  die 

Zwecke  de»  praktischen  Lebens,  von  H.  B.  LIjssen «    Zwei  Bände. 

Hamburg,  O«  Meissner.   1858  und  1850. 

Das  vorliegende  Werk,  welches  dem  Vorworte  zufolge  hauptsächlich 
Leser  Ton  beschränkterem  mathematischen  Wissen,  denen  namentlich  die 
Sprache  der  Trigonometrie  nicht  geläufig  ist,  in  das  Studium  der  Mechanik 
einführen  soll,  xerfUlt  in  sechs  Theile,  deren  drei  erste  den  ersten  Band 
bilden  nnd  sich*  mit  der  Statik  fester,  tropfbar  flüssiger  und  Inftformiger 
Kdrper  beschäftigen,  während  die  drei  letzten  den  Gesetzen  der  Dynamik, 
bezogen  auf  die  drei  Aggregatzustände,  gewidmet  sind. 

Der  erste,  die  Statik  fester  Körper  behandelnde  Theil  wendet. sich 
ttadi  einer  Smleitungv  in  welcher  die  Grundbegriffe:  Buhe,  Bewegung,  Zeit, 
Geschwindigkdt  und  Kraft,  sowie  einige  Grundsätze  der  Statik  besprochen 
werden,  zunächst  zur  Zusammensetzung  und  Zerlegung  Ton  Kräften,  welche 
auf  einen  Punkt  wirken.  Das  Kräfteparallelogramm  wird  hierbei  häufig 
als  Bewegungsparallelogramra  aufgefasst,  in  einer  Weise,  welche  einer 
strengen  Kritik  gegenüber  dem  Verfasser  selbst  ungenügend  erschienen 
sein  mag;  wenigstens  wird  es  nur  hierdurch  erklärlich,  dass  derselbe  Ge- 
genstand an  einer  späteren  Stelle  wieder  aufgenommen  und  durch  einen 
strengeren  statischen  Beweis  in  ein  klareres  Licht  gestellt  worden  ist, — 
Aus  dem  Kräfteparallelogramm  werden  in  bekannter  Weise  die  ftir  Zusam- 
mensetzung und  Zerlegung  paralleler  Kräfte  gültigen  Grundgesetze  herge- 
leitet y  an  den  hierbei  erlangten  Begriff  des  Mittelpunktes  paralleler  Kräfte 
reiht  sich-  die  Theorie  des  Schwerpunktes.  Referent  vermisst  in  dieser 
Theorie  sonächst  einen  al%emeineren  Begriff  des  Schwerpunktes,,  als  den 
Ton  der  Sehweskraft  hergeleiteten,  da  an  späteren  Stellen  des  Werkes  die- 
-ser  Punkt  ohne  Weiteres  als  Mittelpunkt  paralleler,  den  Massen  proportio- 
naler  Kräfte  aufgefasst  wird,  ebne  dass'irgeadwo  die  Berechtigung  zu  die- 
ser Begriffserweiternng  nachgewiesen  ist.     Was  ferner  über^dieJJh^oM^ 

Litenitnrztg-.  d.  Zcitschr.  f.  Math.  u.  Phys.    V.  4 


34  Literaturzeitung. 

der  Stabilität  gesagt  wird,  dürfte  den  praktischen  Bedürfnissen  gegenüber, 
welche  der  Verfasser  an  anderen  Stellen  besonders  im  Auge  behält,  nicht 
Yollkommen  genügend  sein.  Wie  endlich  die  der  Schwerpunktstheorie  an- 
gehängten Betrachtungen  über  die  Bewegung  eines  Papierdrachens  und 
über  die  Wirkung  des  Windes  auf  ein  Schiffssegel  hierher  gehören,  ist 
durchaus  nicht  abzusehen;  wenigstens  wäre  die  bei  ersterem  Beispiele 
wahrscheinlich  zur  Vermittelung  dienen  sollende  Voraussetzung,  dass  man 
sich  den  Winddruck  im  Schwerpunkte  jenes  Kinderspielzeugs  concentrirt 
zu  denken  habe,  soweit  sie  überhaupt  wahr  ist,  nachzuweisen  gewesen.  — 
Den  in  den  drei  ersten  Büchern  der  Statik  entwickelten  allgemeinen  Lebren 
folgt  im  Buch  IV.  und  V.  die  Theorie  der  einfachen  Maschinen,  nebst  Anwend- 
ungen auf  einige  zusammengesetztere  Apparate,  z.  B.  Käderwerk,  Brücken- 
wage u.  8.  w.  Endlich  schliesst  sich  hieran  die  Theorie  der  Reibung ,  mit 
Anwendung  auf  einige  der  vorher  besprochenen  Apparate.  Was  bei  der 
Lehre  von  den  einfachen  Maschinen  über  daa  Princip  der  Tirtaellen  Ge- 
schwindigkeiten,  hergeleitet  aus  der  „um  die  Idee  Tergrössert  gedachten 
Kraft"  gesagt  ist,  möchte  schwerlich  geeignet  sein,  in  den  Lesern  klare  Be- 
griffe zn  erwecken ;  wie  aber  als  Folgerung  aus  diesem  Principe  hingestellt 
werden  kann,  es  sei,  um  eine  Last  im  Gleichgewichte  zu  halten,  oder  sie 
KU  bewegen,  eine  Maschine  anzuwenden,  „1)  wenn  nioht  Kfaft  g^nug  Tor- 
banden  ist,  es  unmittelbar  zu  thun,  2)  wenn  die  Kraft  billig  zu  haben  ist, 
3)  wenn  sie  ganz  umsonst  zu  haben  ist,"  dies  ist  dem  Referenten  vollkommen 
unverständlich.  —  Die  Bücher  VII.  bis  IX.  enthalten  für  vorgerücktere  Le- 
ser Ergänzungen  und  Aufgaben  zur  Statik  fester  Körper,  wobei  lum  Tbeil 
auch  von  der  Trigonometrie ,  sowie  von  den  Grundlehren  der  Goordinaten- 
Geometrie  Gebrauch  gemacht  ist.  Zunächst  wird  in  strengerer  Weise  naek 
Poinsot  die  Lehre  von  der  Zusammensetzung  der  Kräfte  wieder  ange- 
nommen, woran  sich  die  Theorie  der  Kräftepaare  nebst  allgemeineren  £nt- 
wickelungen  über  die  Znsammensetzung  paralleler  Kräfte  anreiht.  Die 
Aufgaben  enthalten  Schwerpunktsbestimmungen,  sowie  die  Theorie  der 
Kniepresse,  der  RobervaPschen  Wage  u.  s.  w. 

Die  Hydrostatik  behandelt  in  drei  Büchern  die  Ghmndeigenschaflen 
tropfbar  flüssiger  K/>rper,  die  Gestalt  der  freien  Oberfläche,  den  Drack  aof 
die  Wände  eines  die  Flüssigkeit  einschliessenden  Gefässes,  sowie  die  Lehre 
vom  Auftriebe  und  vom  Schwimmen  der  Körper.  Bei  den  üntersnehungen 
über  die  Oberflächenbeschaffenheit,  sowie  über  den  Druck  einer  tropfbaren 
Flüssigkeit  beschränkt  sich  der  Verfasser  auf  den  einfachen  Fall ,  we  nnr 
die  Schwerkraft  in  Frage  kommt,  was  fttr  eine  Einleitung  in  das  Studinnft 
der  Mechanik  allerdings  hinreichend  ist.  Nicht  gerechtfertigt  erscheint  es 
aber,  dass  die  hieraus  erwachsenden  Beschränkungen  der  gewonnenen  Re^ 
smltate  nirgends  genügend  hervorgehoben  sind ;  so  allgemein  hingestellte 
Lebrsätse,  wie  z.  B.  in  S«  104:  „Die  freie  Oberfläche  einer  ruhigen  tropf- 
baren Flüssigkeit  ist  immer  horizontal  ,**  können  sonst  bei  Anftngem ,  ftlr 

uigiüzea  Dy  x^j  vy  v_/^LN^ 


Literaturzeitung.  35 

weldie  ja  das  Bach  einzig  bestimmt  ist,  grosse  Missverständnisse  hervor* 
rufen. 

Die  Aerostatik  beginnt  mit  einem  zehn  Seiten  langen  Excnrs  über  die 
Geschichte  der  Theorie  des  Luftdruckes,  welche,  mit  dem  weissen  Saloma 
anhebend,  sich  zujc  Arcbimedeischen  Lehre  yom  Abscheu  der  Natur  gegei^ 
den  leeren  Raum  wendet,  die  richtigeren  Ansichten  Galilei's  und  Toricelli's 
Yorftthrt,  und  mit  Herrn  v.  Drieberg  und  dem  auf  Fanny  Elsler's  grosser 
Zehe  lastenden  Drucke  schliesst.  Auf  einer  nicht  viel  grösseren  Seitenzahl 
werden  dann  das  Mariotte'sche  und  Gay- Lussac 'sehe  Gesetz,  Auf- 
trieb der  Luft,  Theorie  der  Pumpen  nnd  des  Hebers,  Höhe  der  Atmosphäre 
und  barometrisches  Höhenmessen  abgehandelt.  Bei  Gelegenheit  des  Gay- 
Lassao'schen  Gesetzes  gedenkt  der  Verfasser  der  Idee,  die  durch  Erwärmung 
▼erdichtete  Luft  als  Motor  zu  benutzen  und  fertigt  dieselbe  mit  den  Worten 
ab,  es  lasse  sich  zur  Erreichung  dieses  Zweckes  keiue  andere  Vorschrift 
geben,  als  welche  man  Knaben  giebt,  um  Sperlinge  zu  fangen  —  eine  läpr 
pische  Bemerkung,  die  gegenüber  den  ernsten  auf. diesen  Endzweck  gerich« 
taten  praktischen  und  theoretischen  Bestrebungen  als  einem  wissenschaft- 
liehen Werke  nnangemessen  bezeichnet  werden  muss.  Noch  ist  zu  bemer- 
ken, da8s  der  Ansdehnungscoefficient  0,00366  für  Erw&rmung  der  atmosphä- 
rischen Luft  um  1^  Gels,  bekanntermassen  nicht,  wie  Herr  Lübsen  an- 
giebt,  von  Gay-Lussac  herrührt,  dass  femer  in  der  Laplace'schen  Formel 
für  das  barometrische  Höhenmessen  der  mit  Rücksicht  auf  den  Feuchtig- 
keitsgehalt der  Luft  aufgenommene  Coefficient  0,004,  sowie  das  arithmeti- 
sche Mittel  aus  den  an  den  Endstationen  beobachtete  Temperaturen  nicht 
„aufs  Gerathewohl^'  eingeführt  sind. 

'In  der  Dynamik  fester  Körper,  welche  sich  im  Vergleich  mit  den  vor- 
hergehenden Abschnitten  durch  eine  wunderliche  Anordnung  des  Stoffes 
auszeichnet,  werden  zunächst  die  phoronomischen  Grundformeln  für  gleich- 
förmige und  gleichförmig  geänderte  Bewegung  entwickelt,  woran  sich  die 
Bewegungen  einer,  vorläufig  in  einem  Punkte  concentrirt  gedachten  Masse 
unter  Wirkung  der  Schwerkraft,  zunächst  in  verticaler  Jäichtung,  danji  auf 
der  schiefen  Ebene,  endlich  in  krummer  Linie  bei  der  Wurfbewegung,  an* 
reihen.  Was  hierbei  in  $•  24  über  die  Berechtigung,  bei  einem  excentrischen 
Stosse  die  bewegende  Kraft  parallel  zu  sich  selbst  nach  dem  Schwerpunkte 
sa  verlegen,  gesagt  ist,  muss  als  völlig  verunglückt  bezeichnet  werden,  da 
vor  Feststellm^  der  dynamischen  Bedeutung  dieses  Punktes  die  angewen- 
dete Verlegung  als  eine  reine  Willkühr  erscheint,  und  in  ganz  gleicher 
Weise  auf  jeden  andern  Punkt  bezogen  werden  konnte,  üebrigens  scheint 
das  ganze  Kapitel  von  der  Wurfbewegung  für  einen  andern  Leserkreis  be- 
stimmt, da  in  demselben  mathematische  Grundlagen  vorausgesetzt  werden, 
deren  Kenntniss  an  anderen  Stellen  höchstens  in  den  Anmerkungen  be- 
rttoksicbtigt  wird.  In  dem  hierauf  folgenden  Abschnitte,  welcher  sich  mit 
der  Theorie  der  Centrifiigalkraft  beschäftigt,   wird  gelegentlich  auch  ein  i 


36  Literatnrzeitung. 

Maas  für  die  Massen  eingeführt,  und  zwar  benutst  der  Verfasser  eu  diesem 
Endzwecke  die  Gewichtseinheit.  Lässt  sich  nun  auch  bei  der  Proportiona- 
lit&t  von  Masse  und  Gewicht  vom  rein  praktischen  Standpunkte  aus  die 
Wahl  dieses  Maases  vertheidigen,  so  erscheint  sie  doch  namentlich  deshalb 
verwerflich,  weil  sie  nur  zn  sehr  geeignet  ist,  die  bei  AnfUngem  so  häufig 
vorkommende  Verwechselung  der  Begriffe  von  Masse  und  Gewicht  zu  be- 
fördern. In  einer  Anmerkung  zu  S«  H  verwahrt  sich  zwar  unser  Verfasser 
entschieden  gegen  diese  Begriffsverwechselung,  doch  mag  gerade  das  von 
ihm  gewählte  Maas  Veranlassung  gewesen  sein,  dass  sein  eigener  Ausdruck 
nicht  an  allen  Stellen  eine  strenge  Trennung  der  beiden  Begriffe  erkennen 
lässt.  —  Bis  hierher  war  im  ganzen  Verlaufe  der  Dynamik  noch  nirgends 
des  Principes  der  Beharrlichkeit  der  Materie,  wenigstens  in  bestimmter 
Fassung,  Erwähnung  geschehen,  wenn  es  auch  selbstverständlich  in  ver- 
steckter Weise  allen  vorhergehenden  Entwickelungen  zu  Grunde  lag;  da» 
folgende  Buch  ist  daher  bestimmt,  in  einer  etwas  weitschweifigen  Abhand- 
lung über  das  Trägheitsgesetz,  das  Princip  von  Gleichheit  der  Wirkung  und 
Gegenwirkung,  Theorie  des  Kreisels,  Gyroscop  und  Foucatilt's  Pendel- 
versuch diesem  Uebelstande  abzuhelfen.  Hieran  reihen  sich  in  den  drei 
folgenden  Büchern  die  Grundlehren  vom  Stosse  fester  Körper ,  femer  eine 
Beihe  auf  die  geradlinige  Bewegung  unter  Wirkung  constanter  Kräfte  be- 
züglicher Aufgaben  und  endlich  die  Theorie  der  Trägheitsmomente.  Den 
Schluss  der  Dynamik  fester  Körper  bilden  die  Theorie  des  Pendels  und  ein 
von  der  Wirkung  oder  Arbeit  der  Kräfte  handelnder  Abschnitt,  in  welchem 
auch  das  Princip  der  lebendigen  Kräfte  zur  Erwähnung  gelangt  und  auf 
die  Theorie  des  Schwungrades  angewendet  wird.  Die  Herleitung  des  Ge- 
setzes der  Pendelschwingungen  für  kleine  Schwingungsbögen  mittektVer- 
gleichung  der  ungleichförmigen  Bewegung  des  einfachen  Pendels  mit  einer 
Componente  der  gleichförmigen  Bewegung  im  Kreise  ist  zwar  nicht  unele- 
gant, würde  aber  jedenfalls  dem  Verständnisse  der  Mehrzahl  der  Leser,  für 
welche  das  Lübsen^sche  Buch  bestimmt  ist,  näher  gerückt  worden  sein, 
wenn  dabei  die  Anwendung  der  Trigonometrie  hätte  ausgeschlossen  werden 
können.  Die  von  Möbius  in  den  Elementen  der  Mechanik  des  Himmels 
S.  26  benutzte  Methode,  die  im  Wesentlichen  auf  demselben  Princip  beruht^ 
hätte  hierbei  Nachahmung  verdient.  —  In  Betreff  der  Arbeit  der  Kräfte  ist 
noch  zu  erwähnen,  dass  dieser  von  der  Dauer  der  Wirksamkeit  einer  Kraft 
unabhängige  Begriff  nicht  gehörig  von  dem  das  Element  d^  Zeit  in  sich 
schliessenden  Begriffe  des  Effectes  einer  Maschine  getrennt  ist. 

Die  Hydrodynamik  und  Aerodynamik  sind  verhältnissmässig  kurz  be- 
handelt ;  der  Verfasser  beschränkt  sich  hierbei  auf  die  Gesetze  des  Auaflna- 
ses  der  Flüssigkeiten  aus  Gefässen  und  auf  ihren  Stoss  und  Widerstand  ge- 
gen feste  Körper.  Mit  Rücksicht  auf  den  noch  unentwickelten  Zustand  der 
hydrodynamischen  Theorien  ist  für  ein  Buch,  wekhes  nur  zur  Einleitung  in 
das  Studium  der  Mechanik  dienen  soll,  diese  BegchrSnkunff  gerechtfeitigt. 

uigiTizea  d/V3  vy  v./'i  LV- 


Juiteraiurzeitung.  3? 

Was  die  DarsteUniigsweise  in  dem  vprliegeadeu  Werke  betrifft,  so  em^ 
pfielilt  sieh  dieselbe  im  Allgemeinen,  mit  Ausnahme  einzelner^  zum  grossen 
Theile  in  der  vorhergehenden  Inhaltsangabe  ge^rügter  Funkte,  durch  grosse 
Klarheit  der  Behandlung  der  einzelnen  Materien,  die  nur  zuweilen  aus  Be- 
sorgniss  vor  zu  geringer  Einsicht  des  Lesers  gar  zu  sehr  in  die  Breite  geht. 
Die  mathematische  Entwickelung  derjenigen  Disciplinen,  welche  mit  Be- 
quemlichkeit durch  elementare  Hülfsmittel  bewältigt  werden  können,  ist 
grösstentheils  tadellos.  Weniger  gelungen  sind  dagegen  nicht  selten  die- 
jenigen FartieeU;  welche  für  eine  strenge  Behandlung  die  Einfährnng  des 
Begriffes  der  Grenze  nothwendig  machen;  der  Fundamentalsatz,  dass  eine 
unendliche  Zahl  unendlich  .kleiner  Yeinachlässigungen  sehr  wohl  einen  end- 
lichen Fehler  erzeugen  kann,  ist  hierbei  in  der  Begel  unbeaci^tet  gelassen. 

Noch  hat  sich  Beferent  gegen  eine  tadelnswerthe  Methode  auszuspre* 
chen,  mit  welcher  sich  der  Verfasser  an  einigen  Stellen  über  schwierigere 
Punkte  hinweghilft  und  die  im  Grunde  auf  einer  Täuschung  des  Lesers  be- 
ruht. Dieselbe  besteht  nämlich  darin,  ein  zu  entwickelndes  Gesetz  an 
einem  Beispiele,  in  welchem  sich  die  Vorbedingungen  besonders  einfach  ge- 
stalten, klar  darzulegen  und  hierauf  die  allgemeine  Gültigkeit  des  gewon- 
nenen Resultates  sofort  als  selbstTerständlich  hinzustellen.  So  wird,  um  nur 
ein  besonders  grelles  Beispiel  dieser  Art  vorzuführen,  in  S.  105  und  106.  der 
Dynamik  die  Formel  für  die  Lage  des  Stossmittelpunktes  für  den  Fall  ent- 
wickelt, dass  Massen  über  eine  gerade,  um  einen  ihrer  Punkte  drehbare 
Linie  vertheilt  sind,  und  der  Verfasser  fährt  hierauf  in  $•  107  fort:  „Es  ist 
ohne  Weiteres  einleuchtend,  dass  die  vorhergehende  Formel  nicht  blos  für 
eine  schwer  gedachte  gerade  Linie  (Stange) ,  sondern  für  alle  solche  um 
eine  Achse  schwingender  Körper  gilt,  welche  durch  eine  durch  den  Schwer- 
punkt und  rechtwinklig  durch  die  Drehachse  gehende  Ebene  in  zwei  sym- 
metrische Hälften  getheilt  werden  und  wo  zugleich  die  Kichtnng  des  Stosses 
in  dieser  Ebene  rechtwinklig  auf  der  vom  Schwerpunkte  auf  die  Achse  ge- 
dachten Senkrechten  stattfindet."  ,  Sollte  Herr  Lübsen  wirt^lick  geglaubt 
haben,  dass  die  Noihwendigkeit  der  in  diesem  Satze  enthaltenen  Bßding^ 
«ngen  seinen  Lesern  „ohne  Weiteres*'  einleuchtend  sein  solle,  «o  hat  er 
denselben  hier  viel  mehr  zugetraut,  als  sich  mit  der  von  ihm  anderwärts 
gewählten  Darstellungs weise  in  Einklang  bringen  lässt. 

Das  Vorstehende  wird  genügen,  den  Beweis  zu  liefern,  dass  Alles,  was 
im  vorigen  Jahrgange  dieser  Literaturzeitung  S.  109  über  die  Vorzüge  und 
Mängel  der  Lübsen'schen  Bücher  gesagt  ist,  auch  auf  dieses  Werk  Auweud; 
nng  findet,  mit  welchem  der  Verfasser  das  Gebiet  der  angewandten  Mathe- 
matik betritt.  Innerhalb  der  Kreise ,  unter  denen  seine  anderen  Bücher 
vielfach  verbreitet  sind,  wird  auch  das  vorliegende  güQstig  aufgenommen 
werden  und  Referent  glaubt  gern ,  dass  es  ungeachtet  seiner  Mängel  da- 
selbst manchen  Nutzen  bringen  wird.  0.  Fort.   - 

•        ,    .     ,  *  _  ,  Digitizea  Dy 'vj  v>Ov  IC 


38  Literaturzeitang, 

Die  Anwendung  der  Algebra  anf  praktische  Arithmetik,  enthaltend  die 
Rechnungen  des  Geschäftslebens  von  W.  Bbrkhan.  Halle,  H.  W. 
Schmidt. 
Der  Verfasser  zeigt  an  gntgewählten  Beispielen  dnreh  allgemeine  Zahl- 
seichen nnd  dnrch  Ziffern  in  den  drei  ersten  Kapiteln  die  Anwendung  di- 
recter  und  indirecter^  der  einfachen  und  zusammengesetzten  geometrischen 
Proportionen  und  der  Kettenregel  von  der  Einheit  auf  die  Mehrheit  schlies- 
send  in  sehr  klarer  Weise  und  fasst  die  erkannten  Wahrheiten  in  kurze 
Kegeln  und  Lehrsätze  zusammen.  Es  ist  mit  Hecht  nur  zu  tadeln ,  dass 
der  Proportionsform  von  vornherein  das  Wort  geredet  wird ,  währenddem 
der  Verfasser  selbst  durch  zwei  gleiche  Brüche  zu  dieser  Form  gelangt 
Kef.  glaubt,  dass  mau  die  Proportionen  als  antiquirt  betrachten  solle.  Auch 
wird  es  unzweckmässig  erscheinen ,  in  Gelehrtenschulen  nach  alten  Regeln 
zu  rechnen ,  wo  man  namentlich  für  den  theoretisch  -  mathematischen  Un- 
terricht, der  insbesondere  betrieben  werden  soll,  die  volle  Zeit  in  Anspruch 
nimmt. 

Im  rV.  Kapitel  werden  die  Theilungs  -  und  6 eselisch aftsrechnnngen 
durch  Anwendung  der  Algebra  gelehrt.  Die  hier  aufgeführten  Beispiele 
sind  gut  gewählt;  nur  sind  einige  Aufgaben  nicht  präcis  gestellt;  wie  die 
allgemeine  S.  47,  $.  47,  in  welcher  es  heisst:  „nach  Verlauf  einer  unbestimm- 
ten Zeit  gewinnen  sie  damit  eine  Summe  von  G  Thlr. ;  es  muss  offenbar  die 
Zeit,  nach  welcher  der  Gesellsohaftshandel  abgeschlossen  wurde,  angegeben 
werden,  da  die  Gewinnste  hiervon  abhängen.  Bef.  hat  sich  bis  jetzt  mit 
dieser  sonst  üblichen  Auflösungsweise  nie  begnügen  können.  Der  Verf. 
giebt  selbst  in  der  Anmerkung  $.32  zu,  dass  sich  Capitalien,  Zeiten  und 
Zinsen  nicht  wie  Ursache,  Zeit  und  Wirkung  verhalten.  8.  l&l  wendet  er 
diese  Verfahrungsw^ise  wiederum  an ,  giebt  aber  hier  zu ,  dass  sie  streng 
genommen  nicht  allgemein  zulässig  sei.  Ref.  wird  später  darauf  zurück- 
kommen. 

Die  Vermischiyigsrechnungen  im  V.  Kapitel  irind  ausführlich  behandelt 
und  auf  Mischung  mit  Metallen,  auf  die  Kronprobe  von  Archimedes,  die 
Richmann'sche  Hegel  etc.  angewendet.  In  den  unbestimmten  Aufgaben 
soll  es  offenbar  statt:  „wie  viel  muss  man  von  jeder  Sorte  nehmen,"  „wie 
viel  kann  man  nehmen,"  heissen. 

Der  Verf.  hat  zur  Lösung  der  Mischungen  mit  zwei  und  drei  etc.  Sor- 
ten interessante  Regeln  aufgestellt.  Ref.  ist  auch  hier  der  Ansieht,  solche 
bestimmte  oder  unbestimmte  Aufgaben  immer  durch  die  von  Schülern  ge- 
bildeten Gleichungen  lösen  zu  lassen.  Das -viele Regeln  bilden  taugt  nicht«; 
sie  bilden  weder  die  Ein-  noch  die  Umsicht,  noch  weniger  die  eigentliche 
Fertigkeit;  denn  im  weitesten  Sinne  hiess  dies  die  mathematischen  Kennt- 
nisse in  Form  von  Kochrecepten  geben.  Dass  der  Verfasser  hiervon  selbst 
kein  Freund  ist,  zeigen  seine  übrigen  Schriften.  ^ 

Die  Vereinigungsrechnungen  des  VI.  Kapitels  können QIi)$clfäiischte 


Literatuneitung.  39 

Aafgaben  zu  den  vorhergegangenen  betrachtet  werden.  Beferent  findet 
swisoben  den  Arbeitarechnnngen  und  Terminrechnnngen  keine  Analogie} 
etwa  die,  dass  man  in  beiden  multiplicirt? 

Aufg.  4,  S.  134,  hält  Ref.  mit  einfaeher  Versinsung  für  unrichtig 
gelöst;  denn  würde  der  Schuldner  etwa  nach  3  Monaten  Z  Thlr.  be^ahleni 
80  würde  sich  das  Kapital  um  1%  Thlr.  vermehren,  statt  vermindern;  es 
mttsste  dann  Zins  von  Zins  bei  der  nXchsten  Abaahlung  gerechnet  werden» 
was  die  Aufgabe  nicht  verlangt.  Eine  Zinsrechnung  kann  überhaupt  nur 
durch  die  Mathematik  richtig  gelöst  werden,  wenn  bestimmt  ang^eben  ist, 
ob  einfache  oder  ausammengesetzte  Zinsen  gerechnet  werden  sollen.  Es 
soll  diese  Aufgabe  richtig  mit  einfacher  Versinsung  gelöst  werden.  Es  ist 
Jemand  am  Anfange  des  Jahres  k  fl.  schuldig;  er  trXgt  nun  nach  «  Monaten 
Ar, ,  nach  b  Monaten  Ar«  ab ;  wie  gross  ist  der  Best  der  Schuld  am  Ende  des 
Jahres  zn/»%? 

Zahlt  der  Schuldner  k^  nach  a  Monaten,  so  sind  diese  zu  zerschlagen 
in  ein  Kapital  %  am  Anfange  des  Jahres  fi&llfg  und  in  den  Zins  aus  diesem 
Kapital  vom  1.  Januar  für  a  Monaten,  so  dass 

P  ♦ 

12  _     100  Af|     _     120QAf 

^^-^^lÖo"'  *~,_.  ap  — 1200  + ap""^' 
100  +  — 
^12 

ebenso 

1200Ar, 


'       1200  + 6p 
Der  Rest  des  Kapitals  am  Anfange  des  Jahres 
_  1200  Art  1200Ar, 

~  1200 +«p       1200  + 6p  "^ 

Der  Zins  aus  R  vom  1.  Januar  bis  Ende  des  Jahrejs^;  also  die  Schuld 

am  Ende  des  Jahres  =  R  +  j—  =  (l  +  t^)  ä- 

Im  VIII.  Kapitel  sind  die  allgemeinen  Formeln  für  das  Rabattiren  und 
Discontiren  aufgestellt  und  viele  Zahlenbeispiele  schliessen  sich  auf  das 
Oeschäffcsleben  angewendet  an.  Ref.  hätte  nur  gewünscht,  dass  man  hier 
die  Erklärung  des  Interusurinms  von  Hoffmana  gegeben  und  allgemein 
nachgewiesen  hätte,  dass  das  Discontiren  in  Hundert  zu  Ungereimthei- 
ten führe.  In  Aufgabe  4,  S.  149  ist  von  unverzinslichen  Kapitalien  ge- 
geredet, sie  wird  auch  m  dreifacher  Weise  vom  Verfasser  richtig  gelöst ; 
in  der  4.  Auflösungsweise  wird  zuerst  der  mittlere  Zahlungstermin  gesucht 
und  dadurch  gelöst;  wenn  sich  hierdurch  ein  Unterschied  ergiebt,  so  ist  die 
Ursache  offenbar  die,  weil  hier  die  Kapitaliw  verzinslich  betrachtet  werden 
oder  Rabatt  in  Hundert  gerechnet  wird. 

Das  IX.  und  X.  Kapitel  enthält  die  sogenannten  Terminrechnungen  in 

uigiüzea  oy  ^wJvJOV  IC 


40  Litefraturzeitnng* 

sehr  ansführliclier  Weise,  wie  sie  keine  andere  Schrift  enthalten^  mag.  Ob- 
WoU  der  Verfasser  selbst  zngiebt  (S*  idl),  dass  die  bisherige  Löaang  der 
mittleren  Zahlungstermine  nicht  allgemein  aulässig  sei,  so  giebt  er  weder 
den  innem  Grund  an,  noch  sacht  er  eine  richtige  Lösung  mit  einfachen 
Zinsen.  Das  IX.  Kapitel  enthält  lauter  Aufgaben,  die  mit  wenig  Ausnah« 
men  enthalten,  ob  die  Kapitalien  „versinsHch*^  oder  „unverzinslich^^  zu  be- 
trachten sind.  Sind  verschiedene  Kapitalien  nach  verschiedenen  Zeitfristen 
verzinslich  zu  zahleu ,  so  können  an  jedem  Tage  dieselben  mit  ihren  ent- 
{^rechenden  Zinsen  bezahlt  werden  ohne  des  Gläubigers  oder  Schuldners 
Schaden ;  es  möchte  somit  das  Sachen  eines  allgemeinen  Verfalltages  gar 
keinen  praktischen  Werth  haben,  nur  etwa  dann,  wenn  der  mittlere  Zinsta^ 
gesucht  werden  soll ,  fttr  mehrmonatliche  Fristen.  Für  diesen  Fall  wird 
richtig  sein,  wenn  man  mit  Ar« ,  Ar^  .  .kr  die  Kapitalien  und  mit  eL^  b  ,.^c  die 
die  entsprechenden  Zeiten  und  mit  x  den  mittleren  Verfalltag  bezeichnet 

*~~Ä:,  +  /r,  +  ...  +  /r, 

In  dieser  Weise  werden  die  Aufgaben  vom  Verfasser  nicht  aageachaut; 
dies  geht  aus  Anm.  S.  151  hervor.  Behalten  wir  die  Bezeichnungen  bei 
und  nehmen  der  Kürze  wegen  j^-^jp^ap^  etc.  und  die  Kapitalien  als  unver- 
zinslich an,  so  müssen  die  Ansprüche  des  Gläubigers  und  Schuldners  gleich 
sein  Atj  +Ar,  +  . .  +  Ar**.  Sucht  man  den  haaren  Werth  JF  der  Ansprüche 
des  Gläubigers,  so  erhält  man 

n  ^_     100  Art     ^      106  Ar,       ,  lOOAr^ 


100  +  ajp       100  +  6p    •  100 +  cp 

Der  haare  Werth  der  Ansprüche  des  Schuldners,  Nutzniess^s : 

2)Z>_Ar,  +  Ar,  +  ..  +  Ar,       ^^^^^^ +  ___+..  + _^ 


somit 
also 


3) 


100  +  «p       lOO  +  bp  '    100  +  cjp 

D+fV^k,  +  k,  +  ,.+kr] 

WpH  lOOZ) 

^~    100   '  *~  Wp 

apkt     ^     bpkt  cpkr 


_100    100  +  qp       100 +  6p  100 +  gp 

*~7         lOOÄT,       ,       lOOAr,      ,  ,       lOO^r    * 


100  +  ap       lOO-t-^p  '    lOO  +  cp 

Nach  gehöriger  Reduetion  wird  im  Allgemeinen  dieser  Ausdruck  die 
Form 

.  _€p  +  E_  C       EF—CQ 

^  ^~Fp  +  G~  f'^  'f(Fp  +  G) 

annehmen.  Y^   '        t 

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^  LiteraturseHttJi^.  •  41 

£s  iBt  ako.  der  Zinaftisa  in  der  Weise  abhängig,  dasB  derVetiaütag  um 
80  später  fälH,  je  kleiner  deo:  Ztnsfuse.p  i»t  und  so  amgekebrt.  Wird  p  =  0, 
(Lii,  der  Schuldner  hat  keine  Nutzniesauug  ansBUspreehen ,  die  Capitalien 
sind  verzinslich,  so  verwandelt  sich  3)  in 

_  o^i  +  ^  Ar,  +  ..  +  ehr 

^  ""  *,+Ä,  +  ..  +  *^ 

Die  Gleichung  3)  giebt  die  richtige  Lösung.  Klarer  tritt  die  Bichtigkeit 
hervor,  wenn  man  in  derselben  Weise  diese  Aufgabe  mit  Zinsessinsen  l(>st; 
es  ist  dann 


Ar,         ^.         k^     _  j.     4.        ^  ** 


('+^r  ('+iSi)'  ■  (-+1^)'. 


*==^,  +  A:,  +  ..  +  /r, 


So  verfährt  der  Verf.  S.  207  und  208  mit  Zinaeszinsen. 

Es  sind  demnach  die  meisten  Aufgaben  des  Kap.  IX  und  X  un-r 
ricfatiggelöst;  zugleich  wird  einleuchten,  warum  die  Auflösungen  der 
meisten  Gesellschaftsrechnungen  mit  Recht  Missteauen  erregen»  / 

Ref.  ist  übrigens  weit  entfernt,  dem  Verf.  den  geringsten  Vorwurf  bu 
machen;  denn  es  wird  in  allen  mir  bekannten  Schriften  so  verfahren« 
Oettinger  hat  den  Versuch  gemacht,  der  politischen  Arithmetik  eine  durch^^ 
greifend  wissenschaftlicho  Form  zu  geben,  er  verföhrt  ebenso.  Im  Kapitel 
über  das  Interusurinm  greift  er  sogar  in  der  T hat  das  vorher  von  ihm  selbst 
als  richtig  dargestellte,  als  unrichtig  an.  Meier  Hirsch,  Eisenlohr  etc.  ver- 
fahren ebenso.  Es  wimmelt  von  arithmetischen  Aufgabensammlungen,  welr 
che  gar  keinen  Anspruch  machen  können  auf  die  allgemeine  Richtigkeit 
ihres  Inhalts.     . 

In  den  folgenden  Kapiteln  sind  sehr  interessante  Aufgaben  über  Zin>  < 
sesziasrechnnngen^  Berechnung  der.Volksmetigen,  der  Forsten,  Ablösung«.* 
kapitaiien,  Waldberechnung  enthalten.  14^ur  wäre  es  wünsohenswerth  ge- 
wesen, wenn  das  Leinitz^sche  Interusnrium  mehr  seine  Anwendung  bei  den 
Zinsessinsrechnungen  gefunden  hätte  und  gerade  auf  Aufgaben,  wie  sie  im 
IX.  und  X.  Kapitel  enthalten  sind. 

Als  Anhatfg  sind  verschiedene  Aufgaben  über  kaufmännisches  Rechnen 
die  Regula  falsi  und  die  merkwürdige  Eigenschaft  der  Zahl  9  als  Divisor 
beigegeben. 

Wenn  Ref.  Manches  sieh  erlaubte  zu  tadeln,  so  geschah  dies  nur  desr 
wegen,  um  überhaupt  auszusprechen,  dass  in  der  politischea  Arithmetik 
Ti^e  Ungereimtheiten  vorkommen ,  viel  alter  Kram ,  der  als  Ballast  nach- 
gescUeppt  wird,  den  man  abschütteln  sollte. 

Es  enthält  diese  Schrift  ein  sehr  schätzbares  Material  für  Schüler  und 
Lehrer  und  zeichnet  sich  vor  andern  dergleichen  Schriften  aus  und  es  kaun 
somit  deren  Gebrauch  nur  empfohlen  werden. 

Bruchsal.  Dr.  Schlscuteb» 


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42  Liieraturzeitang. 

Das  Batwerfen  geographiiolier  XarteimetBe  in  YerUadnng  mit  dem 

fhemaÜMshaa  Untorridhte  am  Obergymnatiam.  Von  Vinzens  Adam, 
Professor  am  k.  k.  Gjnmasmm  in  krünn  (Separatabdrack  aus  dem 
Programm  für  1858  desselben  Gymnasiums). 
Der  Herr  Verfasser  macht  im  Eingange  der  genannten  Abhandlung  die 
gewiss  sehr  treffende  Bemerkung,  dass  es  zur  Belebung  des  mathematischen 
Unterrichts  wesentlich  beitragen  würde,  wenn  man  den  rorgerflekteren 
Schülern  einen  Gegenstand  zur  Anwendung  darbieten  würde,  der,  wie  daa 
Entwerfen  von  Eartennetzen  ihr  Interesse  durch  ihren  geographischen 
Unterricht  ebensowohl,  als  durch  die  Aufmerksamkeit  in  Anspruch  nimmt, 
•welche  man  in  neuerer  Zeit  geographischen  Studien  und  Darstellungen 
überhaupt  (insbesondere  auch  in  Oesterreich)  schenkt.  Der  Verfasser 
hat  nun  in  seinem  Schriftchen  das  für  den  genannten  Zweck  Wissens- 
wertheste  und  Wichtigste  über  Kartenprojectionen  zusammengestellt  und 
wird  dadurch  sicherlich  denjenigen  seiner  Herren  Fachgenossen  nützen, 
welche  diesem  Gegenstande  bis  jetzt  ihre  Aufmerksamkeit  noeh  nicht  ge- 
schenkt haben  sollten.  'Die  mathematische  Darstellung  der  Netzconstmc- 
tionen  setzt  nur  die  einfachsten  Begriffe  in  der  Stereometrie  und  Kennt* 
nisse  in  der  Trigonometrie  vorans  und  ist  insofern  gewiss  dem  beabsichtig- 
ten Zwecke  entsprechend.  Der  Construction  des  Netzes  folgt  in  der  Kegel 
die  Angabe  der  Eigenschaften  desselben  und  die  Angabe  der  Anforderun- 
gen, die  durch  das  Netz  wirklich  erreicht  werden.  Was  die  äussere  Aas- 
stattung  anbelangt,  so  trägt  es  sehr  zur  Deutlichkeit  bei,  dass  jede  Netz- 
eonstmction  mit  in  den  Text  eingedrucktem  Holzschnitte  des  betreffenden 
Netzes  versehen  ist.  Dr.  Emil  Kahl. 


Die  Oeometrie  der  Körper.  Von  Dr.  W.  Zshice,  Director  der  Provinzial- 
Gewerbschttle  zu  Hagen.     Iserlohn,  Julius  Bädeker. 

Unter  Voraussetzung  der  Bekanntschaft  mit  den  gewöhnlichen  Sätzen 
über  die  gegenseitige  Lage  unbegrenzter  Geraden  und  Ebenen  beschäftigt 
sich  das  vorliegende,  118  Seiten  zählende  Werkehen  vorzugsweise  mit  der 
eigentlichen  Ausmessung  der  Körper.  Im  ersten  Theile ,  'welcher  nur  28 
Seiten  umfasst,  werden  die  einfachsten  Fälle  behandelt,  nämlich  Oberfläche 
und  Inhalt  von  Prisma,  Pyramide,  Obelisk,  Cjlinder,  Kegel  und  Kugel  be- 
stimmt ;  der  zweite^  weit  reichhaltigere  Theil  erörtert  allgemeine  Methoden 
zur  Berechnung  der  Körper  und  zeigt  deren  Gebrauch  an  einer  grossen  Zahl 
geschickt  gewählter  praktischer  Aufgaben ;  im  Anhange  sind  Erlänterungea 
und  Beweise  einiger  im  zweiten  Theile  benutzten  Eigenschaften  der  Kegel- 
schnitte hinzugefügt.  Dieser  allgemeinea  Inhaltsangabe  mögen  einige  spe- 
eielle  Bemerkungen  folgen. 

Im  ersten,  gewissermaasen  dem  elementaren  Theile  flndet  man,  der 
Natur  der  Sache  nach,  weniger  Originelles  als  später,  doch  ist  anerkennend 
hervorzuheben ,  dass  der  Verfasser  immer  von  möglichst  allgemeinen  Ge- 

Digiüzea  oy  v3  v^v./'i  ln^ 


Literatnrz^ituDg.  43 

sichtspunkten  ausgeht  und  hierbei  manchen  Satz  beweiat ,  den  man  in  den 
Lehrbüchern  der  Stereometrie  entweder  gar  nicht  oder  nicht  begründet  an- 
trifft. Dahin  gehört  a.  B.  der  fmchtbare  Satz^  dasa  zwei  über  denselben 
Ornndflächen  stehende  Körper  inhaltsgleioh  sind,  wenn  ihre,  in  gleichet 
Höhen  genommenen  Querschnitte  gleiche  Flächen  besitzen ;  der  Verfasser 
beweist  dieses  Theorem  mit  derselben  Orenzenbetraehtung ,  die  sonst  nur 
speciell  für  die  Pyramide  angewendet  wird. 

Von  besonderem  Interesse  ist  der  zweite  TheiL  Hier  wird  zunächst 
die  barycentrisohe  Methode  der  Körperberechnnng  (Guldin*sche  Begel)  auf 
elementarem  Wege  begründet  und  auf  circa  24  Aufgaben  angewendet.  Hie« 
ran  knüpft  sich  eine  Modification  jenes  Verfahrens ,  welche  dem  Verfasser 
eigenthümlich  zu  sein  scheint  und  auf  folgendem  Satze  beruht:  In  einer 
Ebene  mögen  zwei  parallele  Gerade  x  (Rotationsachse)  und  y  (Hülfsachse) 
liegen  und  um  h  von  einander  entfernt  sein ;  ausserhalb  oder  innerhalb  die- 
ser beiden  Parallelen  liege  ferner  in  der  nämlichen  Ebene  die  Fläche  Q^ 
welche  bei  der  Drehung  um  x  das  Volum  F, ,  dagegen  bei  der  Drehung  um 
y  das  Volumen  Vy  erzeugt;  dann  gilt  immer  die  Relation 

worin  das  obere  oder  untere  Zeichen  zu  nehmen  ist,  jenachdem  Q  aussei*- 
halb  der  Parallelachsen  oder  zwischen  denselben  liegt.  Durch  dieses  Theo- 
rem wird  man  von  der  speciellen  Lage  des  Schwerpunktes  der  Erzeugungs- 
fläche unabhängig  und  kann  daher  von  vielen,  schon  ziemlich  complioirten 
Körpern  (Hohlkehlen,  Schraubenmuttern,  Walzen  zur  Eisenfabrication  etc.) 
die  Volumina  sehr  leicht  bestimmen.  —  Von  nicht  minderem  Interesse  sind 
die  folgenden  Erörterungen  über  die  Volumina  schief  abgeschnittener  Kör- 
per (Hufe),  sowie  die  Anwendungen  der  Simpson'schen  Regel  und  der  Sum- 
menformel ♦) 

♦)  Der  Verfasser  beweist  dieselbe  auf  die  gewöhnliche  Weise  mit  Hülfe  des  bino- 
mischen Satzes ;  elementarer  imd  kürzer  dürfte  folgende  Einleitung  sein.  Ersetzt  man 
in  der  Gleichung 

a — 6 
einmal  jedes  b  durch  das  grössere  a,  so  wird 

ersetzt  man  dagegen  jedes  a  darch  das  kleinere  h^  so  wird 

In  der  ersten  Ungleichung  nehme  man  nach  einander 

ü  =ss  If  2,  3}  •  •  •  •  K, 

6  =  0,  1,2 n— 1, 

in  der  zweiten 

a=2,  3,  4,  «• .  .n+l) 

6=1,2,3,..,./!, 
und  addire  alle  entstehenden  Ungleichungen ;  dies  giebt 

und  hieraus  folgt  der  obige  Satz,  wenn  man  mit  (*  + 1)  n^-^^  dividirt  und  it  in's  l^nend- 
Uche  wachsen  läset.  ^  t 

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44  Literaturzeitang. 

1*4.2*4. 3*  +  ...  +  «*         1        .,. 
Z,m -^-^^ =  j^-pj,  für  «  =  CO  , 

snr  Berechnung  yon  Kappen  nnd  Zoneii  verocbieclener,  von  Flächen  zweiten 
Grades  begrenzter  Körper«  Den  Beschlctss  macht  die  Berechnung  regel- 
müssiger  Gewölbeformen. 

Trotz  seines  geringen  Umfanges  enthält  das  Buch  doch  sehr  viel 
Schätzenswerthes  und  verdient^  selbst  abgesehen  von  seiner  nächsten  Be- 
stimmung (für  Gewerbeschulen),  schon  als  reiohaltige  Sammlung  elementar 
und  elegant  behandelter  stereometrischer  Aufgaben  auch  in  weiteren  Krei- 
sen bekannt  und  benutzt  &u  werden.  Die  äussere  Ausstattung  entspricht 
dem  Inhalte. 

SOHLÖMILCU. 


Bibliographie 

vom  1-  Februar  biß  l.  April  1860. 


PeriodiBche  Schriften. 

Monatsberichte  der  K.  Preuss.  Akademie  der  Wissenschaften 
zu  Berlin.  Jahrg.  1860,  1.  Heft.  Berlin,  Dümmler.  pro  compl.  1%  Thlr. 

Annalen  der  Physik  und  Chemie  von  PoaoENDORF.  Jahrg.  1860. 
No.  1.     Leipzig,  Barth.  pro  compl.  9%  Thlr. 

Memoires  de  Vacademie  de  soiences  de  Petersbourg.  ViL  seriey 
Tome  IL     Leipzig,  Voss.  '  4%  Thlr, 

Seine  Hathematik. 
Kummer,  E.  E.,  Die   allgemeinen  Reciprocitätsgesetze  unter 
den  Besten   und  Nichtresten  der  Potenzen,  deren  Grad 
einePrimzahl  ist.    (Akad.)  Berlin,  Dämmler  in  Oomm.   1^  Thlr. 
Waqner,  W.,  Bestimmung  der  Genauigkeit,  welche  die  New- 
ton^sche  Methode  zur  Berechnung  der  Wurzeln  darbie- 
tet. Leipzig,  E.  Fleischer.  6  Ngr. 
SiMBRKA,  W.,  Die  trinären  Zahlformen  und'Zahlwerthe.  (Akad.) 
Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.                                                      14  Ngr. 
MüLLBR,   J.,  Anfangsgründe  der  geometrischen  Disciplinen. 
3  Theile,     Braunschweig,  Vieweg.                                              1%  Thlr. 
Davon  einzeln  verkäuflich : 

Geometrie  und  Stereometrie,  2.  Aufl.  ^t  Thlr. 

^  Ebene  und  sphärische  Trigonometrie,  2.  Aufl.  %  Thlr. 

Analytische  Geometrie  der  Ebene  und  des  Raumes.       %  Thlr. 

uigiTizea  oy  ^._j  vyv^'i  lv. 


Literaturzeitnng.  4  5 

FiftCHER,  J.  G.,  Leitfaden  zum  Unterricht  in  der  Elementar* 
geometrie.   1.  CursoB.  3.  Aufl.  Hamburg,  Perthes,  Besser  &  Manke. 

6Ngr. 

Becker,  P.W.,  Lehrbuch  de^Elementargeometrie.  2. Tbl.  l.Abth. 
Stereometrie.     Oppenheim  a.  R.,  Kern.  18  Ngr. 

Ecklid,  Sammlung  geometrischer  Aufgaben  und  Lehrsätse. 
Aus  dem  Englischen  von  Potts,  übersetzt  von  H.  v.  Aller.  Hanno- 
ver, Hahn.  24  Ngr. 

M09NIK,  F.,  Lehrbuch  der  Geometrie  für  Oberg'jmnasien.  6.  Aufl. 
Wien,  Gerold's  Sohn.  1  TWr. 

Koppe,  K.,  Anfangsgründe  der  reinen  Mathematik.  4. Tbl.  Ebene 
Trigonometrie.   3.  Aufl.     Essen,  Bädeker.  16  Ngr. 

Uhde,  A.,  Die  ebene  Trigonometrie.  Braunschweig,  Vieweg.  ^Thlr. 

•WiEGAND,  A.,  Lehrbuch  der  ebenen  Trigonometrie.  4.  Aufl.  Halle^ 
Schmidt.  *A  Thlt. 

Wittstein,  Th.,  Vierstellige  logarithmisch  -  trigonometrische 
Tafeln.     Hannover,  Hahn.  %  Thlr. 

Angewandte  Mathematik. 

Fischer,  Ph.,  Grundzüge  des  auf  menschliche  Sterblichkeit 
gegründeten  Vericherungswes.ens  1.  Abth.  Bestimmung  der 
Sterblichkeitsverhältnisse.     Oppenheim  a.  R.,  Kern.      1  Thlr.  12  Ngr. 

FOHLKE,  K.,  Darstellende  Geometrie.    1.  Abthlg.    Berlin,  GKrtner. 

1  ThlK. 

ScHBLLBACH,  K.  H.,  Ncue  Elemente  der  Mechanik;  bearbeitet  von 
G.  Arendt.     Berlin,  G.  Keimer.  1%  Thlr. 

Lejeume-Dirichlet,  Untersuchungen  über  ein  Problem  der  Hy- 
drodynamik. Aus  dessen  Nachlasse  hergestellt  von  R.  Dedekind. 
Göttingen,  Dietrich.  16  Ngr. 

Riemann,  B.,  Ueber  die  Fortpflanzung  ebener  Luftwellen  von 
endlicher  Schwingungsweite.     Ebendas.  %  Thlr. 

ScHEFFLER,  E.,  DieElasticitätsverhältnissevou  Röhren,  welche 
einem  hydrostatischen  Drucke  ausgesetzt  sind.  Wiesba- 
den, Kreidel  &  Niedner.  12  Ngr. 

Niemtschik,  R.,  Ueber  die  directe  Constructionsmethode  der 
verticalaxigen  Krystallgestalten  aus  den  Kantenwin- 
keln.   (Akad.)    Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.  16  Ngr. 

Argelander ,  F.  W.  A. ,  Astronomische  Beobachtungen  auf  der 
Sternwarte  zu  Bonn.  3.  Bd.  Bonner  Sternverzeichniss ,  1.  Sect. 
Bonn,  Marcus.  5  Thlr. 

AlliS,  M.,  Ueber  die  Bahn  der  Nemausa.  (Akad.)  Wien,  Gerold's 
Sohn  in  Comm.  ,  2  Ngr. 

uigitizea  oy -v^j  vyv_>r  Vl_\^ 


46  Literaturseituog. 

LÖWT,  M.,  Ueber  die  Bahn  der  Eagenia.    Ebendas.  3  Ngr. 

8gbi£Le,  L.,  Theorie  der  Aasweichgeleise  und  Bahnkreazan- 

gen.     Leipzig,  Schräg.  1  Thir. 

Taschenbuch  des  In geniears,  herausgegeben  von  dem  Verein  „die 

Hütte.''     1.  Hälfte,  3.  Aufl.     Berlin,  Ernst  &  Korn.  1%  Thlr. 

LowNDES,  The  Engineers  Handbook,    London^  Longman.  16  sh. 

Physik. 

Die  Naturwissenschaften,  bearbeitet  von  Dippbii,  Gottlibb,  Kopps 
u.  s.  w.   2.  Aufl.    1.  Bd.   2.  Abth.    Essen,  Bädeker.  1  Thlr. 

ScROEDLfiB,  F.,  DasBuchder  Natur.  11.  Aufl.  1.  TU.  Physik,  phj- 
sikal.  Geogr.,  Astronomie  und  Chemie.  Braunschweigi  Vieweg.  1  Thlrl 

£mshaiih,  A.  H.,  Leitfaden  zur  physikalischen  Vorschule.  Leip- 
zig, O.  Wigand.  6  Ngr. 

Pisxo»  F.,  Lehrbuch  der  Physik  für  Untergymnasien.  2.  Aufl. 
Wien,  Gerold's  Sohn.  1  Thlr- 

ScRABUS,  J.,  Orundzüge  der  Physik.  2.  Aufl.  Ebendas.  2 Thlr«  12  Ngr. 

Weiss,  F.,  Die  Oeschichte  der  Satellitenbildung.  Einleitung 
zur  Geschichte  der  Erde.  2%  Thlr. 

Blaserita,  Mach  und  Peterin,  üeber  elektrische  Entladung  und 
Induction.     (Akad.)     Wien,  Gerold^s  Sohn  in  Comm.  6  Ngr. 

Clement,  K.  J.,  Das  grosse  Nordlicht  am  29,  Aug.  X8&9  und  die 
Telegraphenverwirrung  in  Europa  und  {Nordamerika. 
Hamburg,  Perthes -Besser  &  Mauke.  1  Thlr. 

Bjüion,  P.,  Atlas  du  magnetisme  ierresire  avec  un  texte  contenant 
Vexplications  de  tout  les  faite  magnitiques  suivant  lee  loie 
physiques.     PariSj  Mattet- Bachelier.  16  Fres. 


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Literatnrzeitung.  47 


Joannifl  Kepler!  opera  omnia 

edidit  Chr.  Frisch.    Francofurti  et  Erlangae^  Heyder  &  Zimmer. 

VoLL    1858. 

Eine  Ehre,  deren  sich  mancher  wenig  bedeutende  Schriftsteller  in 
Dentsohland  rtihmt,  war  einem  der  grössten  Namen  unseres  Vaterlandes 
bisher  nicht  widerfahren:  wir  betassen  keine  Gesammtausgabe  der  Werke 
Kepler's.  Und  doch  gehört  Kepler  zu  den  wenigen  Aaserwählten,  bei  de- 
nen jedes  Epithet  überflüssig,  die  nicht  dem  Fachmanne  allein»  sondern 
jedem  Gebildeten  bekannte^  rnhmgekrönte  Gestalten  sind.  Kein  besonderer 
Gau  kann  ihn  sein  eigen  nennen,  die  Orte  seiner  Gebart,  seiner  Ersiehang 
and  selbstständigen  Thätigkeit  machen  ihn  zum  Deutschen  im  allgemein«- 
steil  Sinne  des  Wortes.  Er  hat  den  deatschen  Geist  für  immer  and  alle 
Zonen  Terherrlicht  durch  Tiefe  der  Gedanken  und  unverwüstlichen  Humor 
durch  Ausdauer  sonder  gleichen  und  angebrochene  Phantasie ,  durch  aner- 
schütterliche  Ehrenhaftigkeit  und  seltene  Urtheilskraft.  Und  die  Producte 
dieses  Geistes  existiren  grossentheils  nur  in  wenigen  Exemplaren  oder  sind 
geradezu  blos  handschriftlich  vorhanden.  Sollen  die  widerlichen  Erbärm- 
lichkeiten, welche  einen  der  edelsten  Menschen^  die  es  je  gab,  sein  ganzes 
Leben  hindurcb  verfolgten,  sich  noch  an  seinen  unsterblichen  Arbeiten  fort- 
setzen, und  uns  Epigonen  beschieden  sein,  die  allenthalben  zerstreuten  Er- 
zeugnisse seiner  Hand  nach  und  nach  dem  Untergange  geweiht  zu  sehen, 
wie  seine  Zeitgenossen  einst  umsonst  die  Stätte  sachten,  wo  seine  irdischen 
Ueberreste  ruhen? 

In  acht  vaterländischer  Weise  hat  Professor  Frisch  seit  vielen  Jahren 
in  aller  Stille  daran  gearbeitet,  diese  Schmach  von  uns  abzuwenden ,  und 
tritt  nun  mit  einem  völlig  geordneten,  aus  den  verschiedensten  Quellen  mit 
bewundernswürdiger  Aufopferung  gesammelten  Materiale  für  nicht  weniger 
als  acht  ziemlich  starke  Bände  vor  die  Verehrer  Kepler's  hin,  deren  Zahl 
Legion  —  sein  sollte.  Zwei  bereits  erschienene,  den  ersten  Band  bildende 
Hefte  enthalten:  Mysterium  Cosmographkcum ,  Apologia  Tychonis,  Calendan'a 
Opera  Astrologica  y  mit  wichtigen,  hauptsächlich  ans  Kepler 's  Briefwechsel 
geschupften  Commentaren,  und  zeugen  für  die  Umsicht  und  Sorgfalt,  welche 
hier  aafgewendet  wurden,  um  uns  die  Werke  des  unvergänglichen  Todten 
in  würdiger  Gestalt  vorzuführen.  Aber  das  treffliche  Unternehmen  stockt 
—  aus  Mangel  an  Theilnahme.     Schon  einmal*)  erhob  ich  meine  Stimme 


♦)  Angflbiirger  Allgemeine  Zeitung,  14.  Juli  1857,  Beilage. 

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48  Literaturzeitung. 

im  Vereine  mit  meinen  Collegen :  Argelander,  Hansen,  Encke, 
Grould,  Peters,  Rümker,  Strnve  d.  ä.  n.J.,  Zech,  leider  nicht  mit 
der  gewünschten  Wirkung  zu  Gunsten  dieser  so  höchst  verdienstlichen  Pu- 
blication,  die  nicht  nur  eine  alte  Schuld  Deutschlands  an  einen  seiner  herr- 
lichsten Söhne  bezahlen^  sondern  die  heutige  Welt  in  den  Stand  setzen  soll, 
an  der  Quelle  zu  schöpfen,  was  ihr  nachgerade  unzXhlige  Male  unlauter 
geboten  wurde.  Ich  wähle  heute  zu  diesem  wiederholten  Aufrufe  ein  Or- 
gan, das  als  Eeliquie  des  deutschen  Reiches  doppelt  berufen  ist,  sich  Sr. 
Kömisch  kaiserlichen  Majestät  Mathematikers  anzunehmen.  Möge  die  pa- 
triotische Begeisterung  für  einen  anderen  grossen  Deutschen ,  deren  Nach- 
klänge wir  noch  vernehmen,  sich  auch  hier  bewähren !  Kepler  litt  im  Leben 
hauptsächlich  unter  der  unglückseligsten  aller  Spaltungen  unseres  Vater- 
iJandes ;  möge  die  Erinnerung  an  ihn  versöhnt  werden  durch  die  Einigkeit, 
mit  der  wir  beitragen  zur  Errichtung  eines  Denkmales,  das  in  unseren  Ta^ 
gen  von  der  Presse  dauernder  und  erfolgreicher  gegründet  wird  als  durch 
Meissel  und  Marmor !  Wenn  nur  einige  Länder  noch  dem  von  Prenssen  und 
Oesterreich  gegebenen  schönen  Beispiele  in  Unterstützung  dieses  Unter* 
nehmens  beitreten,  wenn  insbesondere  öfiPentliche  Biblioth eisen  es  nicht  ver- 
schmähen, ein  Werk  zu  erwerben,  das  jeder  derselben  zur  Zierde  gereichen' 
wird ,  so  ist  die  Bereicherung  nicht  bloss  der  deutschen ,  sondern  der  ge- 
sammten  Literatur  um  einen  wahren  Schatz  gesichert,  dessen  universeller 
Charakter  in  der  glänzenden  Liberalität  der  russischen  Regierung  einen 
sprechenden  Ausdruck  gefunden  hat.*) 

W  i  e  n ,  17.  Dec.  1859. .  0.  Y.  littrow. 


*)  Die  Redaction  hofFt  durch  Abdruck  dieses  auf  Veranlassang  der  Kaiserlich 
Leopoldinlsch-CHrolinischen  Academie  zuerst  in  der  Leopoldina  No.  9  erschienenen 
Aufrufes  einer  eben  so  mühevollen  als  überaus  yerdienstUchen  Arbeit  neue  Gönner 
erwerben  zu  können. 


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Literaturzeitung. 


Recensionen. 

Heber  Zahlensysteme  und  deren  Oesehiohte.  Von  Joseph  Kri^t.  Am 
Schlüsse  des  Schuljahies  1859  yeröffentlicht  vom  Director  der 
k.  k.  Oberrealschale  der  königlich  freien  Hauptstadt  Ofen. 
„Das  Menschengeschlecht  als  Eins,  dnrch  geistige  Interessen  zum  Gan- 
„zen  verbundene,  aufzufassen ,  das  ist  es',  was  uns  mehr  denn  je  noth  thut, 
„und  was  der  Zweck  des  cnlturgeschichtlichen  Unterrichtes  sein  soll.'*  In 
diesem  Satze,  welcher  der  kurzen  fjinleitung  des  uns  vorliegenden  Pro- 
gramms entnommen  ist,  spricht  sich  das  pädagogische  Olanbensbekenntniss 
des  Verfassers  aus.  Wohl  ist  es  so,  wie  er  sagt,  und  w^re  unser  Zweck 
ein  politischer  statt  eines  wissenschaftlichen,  wir  könnten  darüber  Betrach* 
tungen  der  ernstesten  Art  anstellen.  Eine  Betrachtung  nur  können  wir 
nicht  zurückhalten,  die  freilich  nichts  weniger  als  neu  ist  aber  zu  denen  ge- 
hört, welche  nie  oft  genug  wiederholt  werden  können.  An  jenen  Ausspruch 
weiter  knüpfend,  stellt  nämlich  der  Verfasser  die  Anforderung  an  dua  Leh«- 
rer  de»  verschiedensten  Disciplinen ,  sich  dessen  zu  erinnern ,  dass  keine 
Wissenschaft  auf  einmal  entstanden,  dass  jede  ihren  Entwickelungsgang 
gehabt,  dessen  Darstellung  sicher  mit  in  den  Unterricht  gehöre.  Ganz  be- 
sonders lag  es  in  seinem  Wunsche,  die  Mathematiker  seines' Vaterlandes 
zur  Berücksichtigung  dieser  Methode  anzuregen,  und  wenn,  wie  es  scheint, 
diese  Hoffnung  nicht  in  Erfüllung  geht,  wenn  bis  jetzt  noch  kein  österrei- 
chisches Organ  die  vorliegende  Abhandlung  auch  nur  besprach,  so  mag  der 
Verfasser  sich  getrost  sagen,  dass  nicht  die  Unrichtigkeit  seines  Principes 
daran  die  Schuld  trägt,  sondern  die  Unzulänglichkeit  derer,  an  die  er  sich 
direct  wandte.  Es  ist  aber  einer  der  reformbedürftigsten  Missstände  des 
Unterrichtswesens  in  fast  allen  Ländern ,  dass  man  zu  glauben  pflegt ,  den 
mathematischen  Unterricht  an  Mittelschulen  oder  auch  in  niederen  Klassen 
höherer  Schulen  könne  ein  Jeder  ertheilen ,  der  nur  selbst  die  Elemente 
der  Wissenschaft  begriffen  hat^  Man  wird  keinen  Philologen  mit  der  Er- 
klärung des  Cornelius  Nepos  beauftragen,  von  dem  man  nicht  weiss^  dass 

Liler.la«ly.  d,  Zeifchr.  f.  Math.  u.  Phys!    V.  uigmze^oy  x^  v^v^glC 


50  Literaturzeitung* 

er  Tacitas  zu  verstehen  im  Stande  ist,  allein  bei  der  Mathematik  genügt 
es,  wenn  der  Lehrer  so  viel  weiss,  als  er  mitzntheilen  hat!  Es  giebt  na- 
türlich überall  ehrenwerthe  Ausnahmen,  aber  sie  dienen  nur  dazu,  die  Regel 
zu  bestätigen.  Und  wie  will  man  vonXeuten,  denen  das  omnia  secum poriare 
so  leicht  fallt,  verlangen,  dass  sie  lehren ,  zu  dessen  Erlernung  ihnen  kaum 
je  Gelegenheit  geboten  war?  Beferent  ist  gewiss  davon  entfernt,  deshalb 
weniger  den  Wunsch  zu  hegen ,  es  möge  in  weitere  und  weiteste  Praxis 
übergehen,  was  er  selbst  mit  aller  Kraft  zu  verbreiten  anstrebt,  nur  möchte 
eres  ermöglicht  sehen,  dass  solchen  Anforderungen  genügt  werde,  und 
deshalb  muss  immer  und  immer  wiederholt  werden:  Soü  die  Mathematik  an 
den  Schulen  so  segensreich  wirken,  wie  sie  es  im  Stande  ist,  so  muss  vor 
Allem  die  Stellung  des  Mathematiklehrers  eine  höhere  werden,  dann  erst 
kann  man  denselben  Maasstab  an  seine  Leistungen  legen.  Um  so  erfreu- 
licher ist  es,  wenn  auch  jetzt  schon  eine  ganze  Anzahl  von  strebsamen 
Männern  trotz  der  Ungunst  der  Verhältnisse  ihre  WissenschafI  von  einem 
höheren  Standpunkte  zu  betrachten  wissen;  wenn  namentlich  auch  an  Or- 
ten, wo  die  literarischen  Quellen  nicht  so  leicht  zugänglich  sind ,  doch  ein- 
gehende Bearbeitungen  einem  gründlichen  Studium  unterworfen  werden. 
Von  diesem  Gesichtspunkte  aus  können  wir  dem  vorliegenden  Programme 
nur  unsere  Anerkennung  aussprechen. 

Der  Verfasser  hat  sich  bestrebt,  die  bisherigen  Forschungen  über  die 
Geschichte  der  Zahlensysteme  und  der  Zahlenreiben  zusammenzustellen 
und  hat  dadurch  ein  tibersichtliches  Gesammtbild  gewonnen,  an  welchem 
nur  wenig  zu  retouchiren  scheint.  £s  sei  uns  erlaubt,  aus  Interesse  an  dem 
Gegenstande,  die  geringen  Ausstellungen  zu  machen,  welche  uns  dabei  sich 
ergaben. 

Ueber  die  verschiedenen  Arten  der  Zahlensysteme  spricht  sich  der 
Verfasser  im  ersten  Theile  des  Programms  ziemlich  vollständig  aus.  Neu 
war  uns  dabei  namentlich  die  Erwähnung,  dass  der  magyarischen  Sprache 
vielleicht  ein  Siebenersystem  zu  Grunde  liege.  Hier  könnte  noch  eines 
anderen  seltsameren  Systems  Erwähnung  geschehen,  wekhes  bei  den  Osse- 
ten, einem  Volksstamme  des  Kaukasus,  in  Gebrauch  sein  soll.  Der  be- 
kannte Reisende  Kohl  will  nämlich  bei  denselben  ein  Octodeeimalsystem 
gef^inden  haben  (vergl.  dessen  Reisen  in  Südrussland  H,  216).  Femer 
möchten  wir.  auf  die  Vermengung  des  Decimal-  und  des  Duodecimalsystems 
aufmerksam  machen,  welche  bei  den  alten  Deutschen  existirte  und  deren 
Ueberbleibsel  noch  in  den,  wenn  auch  nicht  durchweg  deutschen  Zahlen- 
namen: Gross  =Ä  144,  Schock  =  60,  Mandel  =  15,  Dutzend  =  12  nachklin- 
gen, während  das  sogenannte  grosse  Hundert  =120  in  den  skandinavischen 
Sprachen  als  Storhundrud  von  dem  kleinen  Hundert,  Lillehundrud  =100 
unterschieden  wird.  In  der  deutschen  Sprache  ist  diese  letztere  Unter- 
scheidung jetzt  zwar  verschollen,  kam  aber  besonders  bei  den  Strafbeding- 
ungen germanischer  Gesetzgebung  vielfach  in  Betracht.     Nähere  Unter- 

uigiTizea  oy  v_i  v^v^'pi  lv- 


Literaturzeitung.  51 


Buchungen  über  diegen  Gegenstand  wären  von  mathematischer  Seite,  noch 
wünschenswerth ;  Material  dazu  findet  sich  bei  Sachse,  historische  Grund- 
lagen des  deutschen  Staats-  und  Reclitslebens.  Heidelberg  1844,  S.  247  fig. 
Das  aweite  Kapitel  des  Programmes  behandelt  die  dem  Gegenstande 
nach  weit  yerwickeltere  Geschichte  der  Zahlensysteme  und  Zahlenzeichon. 
Der  Verfasser  unterscheidet  S.  58  (nach  Nesselmann,  wie  er  selbst  angiebt) 
drei  Klassen  von  einfachen  Zahlenseichen:  l)  Willklihrliche  von  der  Buch- 
stabenschrift unabhängige  Zeichen;  2)  die  Buchstaben  des  Alphabets  in 
ihrer  gewöhnlichen  Keihenfolge;  3)  Anfangsbuchstaben  oder  Abkürzungen 
der  Zahlworte.  Zu  der  ersten  Klasse  werden  mit  Nesselmann  die  indisch- 
arabischen  ZifiPern  gerechnet,  zu  den  Beispielen  für  die  dritte  Klasse  fügt 
der  Verfasser  „eine  von  Prinsep  entdeckte  indische  Zahlenschrift"  hinzu. 
Hierin  liegt  aber  ein  offenbar  aas  einem  Missverständnisse  hervorgegange- 
ner Widerspruch.  Prinsep  schreibt  gerade  den  indisch -arabischen  Ziffern 
selbst  einen  solchen  stenographischen  Ursprung  zu.  Sie  können  also  nur 
entweder  mit  Nesselmann  zur  ersten  oder  mit  Prinsep  zur  dritten  Klasse 
gerechnet  werden.  Beides  zugleich  ist  unmöglich.  Referent  hatte  seit 
Veröffentlichung  seiner  letzten  Untersuchungen  über  die  Geschichte  der 
Zahlzeichen  die  Gelegenheit,  Prinsep's  Originalabhandlung  zu  studiren 
{James  Prinsep ,  Essays  on  Inöian  antiquities,  edited  by  Edward  Thomas^  London 
1858.  I,  145;  II,  70 — 84),  ohne  freilich  dabei  die  volle  Ueberzeugung  von 
der  Kichtigkeit  der  Hypothese  desselben  gewinnen  zu  können«  Unsere 
Zweifel  beziehen  sich  Indessen  nur  auf  die  Identität  seiner  Zahlzeichen  mit 
Buchstaben.  Zugeben  müssen  wir  hingegen ,  dass  der  Uebergang  von  den 
Zeichen  Prinsep^s  in  die  spätere  Form  indischer  Ziffern  kein  schwieriger 
ist.  Die  allmäligen  Veränderungen,  welche  z.  B.  die  deutsche  Buchstaben- 
schrift noch  in  den  letzten  4  bis  5  Jahrhunderten  erlitten  hat,  sindnoch  viel 
bedeutender,  und  ähnlicher  Weise  haben  in  allen  Kunstprodncten  einzelne 
Formverändernngen  immer  stattgefunden,  sowohl  beim  Sichverbreiten  von 
Nation  im  Nation,  als  beim  Wechsel  der  Zeiten  f  als  auch  bloss  nach  dem 
Geschmacke  des  jedesmaligen  Verfertigers.  Warum  sollte  dieses  bei  den 
Zahlzeichen  sich  anders  verhalten  ?  Wir  erinnern  nur  an  unsere  heutige 
Sieben ,  deren  verticaler  Theil  bald  als  gerader  Strich ,  bald  unten  nach 
rechts  gekrümmt,  bald  mit,  bald  ohne  Schleife  abgebildet  wird,  und  solche 
Varianten,  die  uns  heute  nicht  im  Mindesten  auffallen ^  kamen  selbstver^ 
ständlich  überall  vor,  wo  die  Zahlensehrift  Volkseigenthum  war»  Wir  müs- 
sen deshalb  auch  dem  Verfasser  widersprechen,  wenn  er  S.  70  unsere  Ziffern 
nicht  formverwandt  mit  den  von  den  Arabern  gebrauchten  Zahlzeichen 
nennt.  Eine  Verwandtschaft  findet  allerdings  statt,  nur  keine  Identität. 
Ja,  eine  Verwandtschaft,  glauben  wir,  beabsichtigte  der  Verfasser  an  ande- 
ren Stellen  gar  nicht  in  Zweifel  zu  ziehen,  da  er  S.  66  an  den  semitischen 
Ursprung  der  unseren  Ziffern  zunächst   stehenden  apices   des  Boethius 

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52  Literaturzeitung. 

Ein  weiterer  Pnnkt,  worin  wir  nicht  mit  dem  Verfasser  tibereinstim- 
men können,  ist  die  Controverse,  ob  das  Werk  de  numerortim  divisione  von 
Gerbert  oder  von  Beda  herrühre.  Der  Verfasser  meint  S.  71,  Ohasles  habe 
sich  für  die  Antorschaft  des  letzteren  ausgesprochen.  Dieses  ist  nur  theil- 
weise  richtig.  Chasles  sprach  diese  Meinung  in  seiner  Geschichte  der  Geo- 
metrie (Uebersetzung  S.  529)  freilich  aus,  aber  schon  S.  589^  desselben  Wer- 
kes treten  bei  ihm  Bedenken  über  diese  Ansicht  auf,  und  in  der  etwa  7 
Jahre  späteren  Abhandlung  in  den  Comptes  rendus  vom  29.  Januar  1843  ist 
er  vollständig  «u  der  entgegengesetzten  Meinung  bekehrt,  für  welche  auch 
Heferent  in  seinen  Untersuchungen  Über  diesen  Gegenstand  noch  einige 
weitere  Gründe  beibrachte. 

Endlich  fühlen  wir  uns  verpflichtet,  einen  Irrthum  zu  berichtigen,  dem 
wir  selbst  früher  huldigten.  Wir  fassten,  wie  der  Verfasser  S.  72,  den  Ur- 
sprung des  Werkes  Algorithmus  als  durch  Zusammensetzung  aus  AI  und 
Sgi'&Hog  entstanden  auf  und  verwarfen  die  Hypothese  Rainaud^s  (vrgl.  diese 
Zeitschrift!,  73).  Neuere  Forschungen  von  Buoncampagni ,  über  welche 
Chasles  in  der  Academiesitzung  vom  6.  Juni  1859  Bericht  erstattete ,  haben 
dagegen  aufs  Glänzendste  bestätigt,  dass  die  Ableitung  aus  dem  Namea 
des  arabischen  Mathematikers  Mohamed*ben  Moussa  Alkharesmi  die  einzig 
richtige  ist.  Der  Hauptbeweis  gründet  sich  anf  ein  Manuscript  der  Univer- 
sitätsbibliothek zu  Cambridge,  welches  die  Ueberschrift  trägt :  Algoritmi  de 
numero  Indorum  und  mit  den  Worten  beginnt:  Dixit  algoritmi  u.  s.  w.  So 
wird  auch  die  Orthographie  des  bekannten  Werkes  des  Spaniers  Savacorda 
aus  dem  12.  Jahrhundert  leicht  erklärlich,  während  bisher  Ysagoge  alchorismi 
immerhin  Schwierigkeit  machte. 

Möge  der  Verfasser  diese  Bemerkungen,  welche  bei  dem  Lesen  seiner 
Abhandlung  sich  uns  ergaben,  nicht  übel  deuten.  Das  zur  Anhänglichkeit 
gesteigerte  Interesse  an  einem  Gegenstande,  dem  man  jselbst'eine  ganze 
Reihe  von  Jahren  nachgeforscht  hat ,  steigert  ebenso  auch  den  Kriticismus 
und  lässt  es  wünscbenswerth  erscheinen,  jeden  Mangel  auszumerzen,  so  ge- 
ringfügig er  sein  mag.  Gantor. 


Lehrbueh  der  Physik  von  Dr.  Karl  Stammer.  Lahr,  Verlag  von  Schauen- 
burg  &  Co.    Erster  Band  mit  170  Holzschnitten.  1858.  Preis  1  Thlr. 
10  Ngr.   (Bei  Einführung  in  Schulen  1  Thlr.)     Zweiter  Band  mit 
156  Holzschnitten.  1859.   Preis  1  Thlr.  (Bei  Einführung  in  Schulen 
25  Ngr.) 
Dieses  Lehrbuch  gehört  zu  einem  Cyclus  organisch  verbundener  Lehr- 
bücher der  medicinischen  Wissenschaften,   welcher  seit  einiger  Zeit  bei 
Scbauenbarg  &  Co,  in  Lahr  erscheint.     Der  besondere  Zweck  des  Werkes 
erklärt  die  Menge  und  die  im  Interesse  des  Studirenden  der  Medicin  ge- 

uigiüzea  oy  x^  vj'v_/p^LV- 


LiteraturzeitUDg.  53 

troffene  Auswahl  des  bebandelten  Stoffefi ,  sowie  die  Methode  der  Darstd- 
lang,  welche  m  diesem  Falle  von  einem  ausgedehnten  Gebrauche  der  Ma- 
thematik abzusehen  pflegt.  Der  Verfasser  bemerkt  in  seinem  Vorworte 
ttber  die  Ausführung  des  Buches  im  Einzelnen  folgendes :  „Dieses  Lehrbuch 
der  Physik  soll  die  Vorlesungen  nicht  etwa  überfltissig  machen,  sondern 
Tielmehr  zu  deren  Verst&ndniss  behülfHch  sein,  den  Lernenden  zugleich 
zum  eigenen  Stadium  anführen  und  nützliches  Wiederholen  durch  Hin* 
Weisung  auf  Bekanntes  und  leicht  Einzuprägendes  b^fordei'n/^  Demgemäss 
hat  der  Verfasser  die  Beschreibung  von  Experimenten  hinweggelassen, 
welche  bei  den  Vorlesungen  einzelne  Thatsachen  mit  grösserer  Deutlichkeit 
erhellen,  andererseits  *—  und  dies  empfiehlt  das  Lehrbuch  zum  Gebrauch 
für  die  Schüler  -^  hat  der  Verfasser  durch  Aufgaben  und  Beschreibung 
leicht  anzustellender  Versuche  anzuregen  «gesucht ,  welche  den  einzelnen 
Ajbtheilungen  des  Baches  angefügt  sind.  Erstere  erfordern  nur  die  Kennt- 
niss  sehr  einfacher  arithmetischer  Operationen,  letztere,  die  Versuche,  sind 
so  ausgewählt,  dass  sie  von  jedem  angestellt  werden  können,  der  sich  einige 
üebung  im  Biegen  von  Glasröhren  und  im  Gebrauche  der  Feile  angeeignet, 
wobei  die  Kosten  der  Versuche  immer  nar  sehr  unbedeutend  sind. 

Die  beim  Schüler  zum  Verständnisse  des  Buches  noth  wendigen  mathe- 
matischen Vorkenntnisse  haben  sich  nur  auf  die  einfachsten  Begriffe  der 
Arithmetik,  ebenen  Geometrie  und  Stereometrie  zu  erstrecken.  Die  Reich« 
baltigkeit  des  dargebotenen  wissenschaftlichen  Materiales  lässt  im  Allge* 
meinen  nichts  zu  wünschen  übrig  und  es  ist  besonders  anzuerkennen,  dass 
der  Verfasser  auch  durch  ausführlichere  Behandlung  technischer  Anwen- 
dungen der  Physik,  z.  B.  Telegraphie,  Photographie,  sowie  durch  einen  Ab- 
schnitt über  Meteorologie  anregend  ztt  wirken  gesucht  hat.  Was  die  An- 
ordnung des  Stoffes  im  Allgemeinen '  anbelangt ,  so  finden  wir  im  L  Bande 
folgende  Abschnitte :  1)  allgemeine  Eigenschaften  und  Bewegungsgesetze 
der  Körper;  2)  Gleichgewicht  und  Bewegung  der  Körper;  3)  Wärmelehre ^ 
4)  Magnetismus.;  5)  Elektricität;  6)  Elektrodynamik.  Der  IL  Band  enthält: 
7)  Anwendung  des  Elektromagnetismus;  8)  die  Wellenbewegungen;  9)  Aku- 
stik; 10)  das  Lieht;  11)  Meteorologie. 

Was  die  Anordnung  des  Stoffes  und  die  Darstellung  im  Einzelnen  an- 
belangt, so  erlaubt  sich  Referent  gegen  Einiges  Bedenken  zu  erheben. 
Dies  betrifft  zunächst  den  1.  Abschnitt,  in  welchem  unter  anderen  die  Gra- 
vitation als  allgemeine  Eigenschaft  der  Körper  aufgeführt  und  bereits  das 
Gravitionsgesetz  ausgesprochen  wird,  ohne  zu  erklären,  was  man  unter  der 
Entfernung  zweier  Körper  von  einander  zu  verstehen  hat.  Ebenso  wird  im 
Eingange  des  zweiten  Abschnittes  ohne  Weiteres  von  der  gleichförmigen 
und  gleiehförmig  beschleunigten  Bewegung  von  Körpern  gesprochen, 
während  der  Leser  mit  Recht  erwarten  muss,  dass  man  ihm  erklärt,  ob 
man  hierunter  Bewegung  der  Körpertheile  in  parallelen  Bahnen  zu  ver- 
stehen habe  oder  vielleicht  irgend  eine  andere  Art  Bewegung  meint.    £^^ 


54  Literaturzeitung. 

Absicht  des  Verfassers,  die  Statik  und  Dynamik  kurs  zu  bebandeln,  konnte 
auch  erreicht  werden,  ohne  der  Deutlichkeit  zu  schaden,  man  muss  sich  im 
Gegentheil  gestehen,  dass  die  gewünschte  PrScisiou  der  Vorstellungen  und 
Begriffe  bei  einer  sonst  guten  Anordnung  sehr  zur  Kürze  befähigt  haben 
würde,  weil  man  in  diesem  Falle  dem  Schüler  weit  eher  eine  offengelassene 
Lücke  selbst  auszufüllen  zumuthen  darf.  Was  den  Abschnitt  über  Magne- 
tismus anbetrifft,  so  bekennt  Referent  selbst,  dass  es  einige  Mühe  und  ^oit 
kostet,  die  Begriffe,  die  magnetischen  Messungen  zn  Omnde  liegen ,  Schü- 
lern beizubringen,  welche  nicht  wenigstens  das  Binomialtheorem  schon  ken- 
nen, allein  es  geht  doch,  namentlich  wenn  man  gewisse  einfache  Vorstellun- 
gen einführt,  die  dem  Schuld  das  Lernen  ungemein  erleichtern.  Denkt 
man  sich  z.  B.  die  Beschleunigung  betrüge  beim  freien  Fallen  nur  1  Milli- 
meter (während  sie  in  unsern  Breiten  ca.  9800  ICilliraeter  ist),  so  kann  man 
die  absolute  Krafteinheit  definiren  als  die  Schwere  einer  Masse  von  1  Milli- 
gramm« Man  kann  ferner  als  Nordpol  eines  Magneten  den  Mittelpunkt  der 
parallelen  Kr&fte  definiren ,  welche  auf  den  gesammten  freien  Nordmagne- 
tismus des  Stabes  in  dem  Falle  wirken  würden,  in  welchem  man  sich  den 
Magneten  einem  unendlich  entfernten  magnetischen  Punkte  ausgesetzt 
dächte.  Li  derselben  Weise  kann  man  den  Südpol  definiren.  Die  Verbin- 
dungsgerade  beider  Pole  ist  die  magnetische  Achse.  Es  sei  d  die  Mittel- 
punktsentfernung zweier  Magneten,  /  und  r  seien  die  zwischen  ihren  Polen 
enthaltenen  Längen  ihrer  Achsen,  beide  so  klein,  dass  die  zweite  und  höhe- 
ren Potenzen  von  /  und  l'  gegen  die  nämlichen  Potenzen  von  d  ohne  erheb- 
lichen Fehler  vernachlässigt  werden  dürfen,  so  lässt  sieh  für  diesen  Fall  zei. 
gen ,  dass  die  Magnete  in  der  Entfernung  ebenso  auf  einander  wirken,  als 
wenn  ihre  freien  magnetischen  Fluida  in  ihren  zugehörigen  Polen  concen- 
trirt  wären.  Ein  Magnet  wird  durch  diese  Vorstellung ,  was  seine  F«me- 
wirkungen  anbelangt,  einer  mathematischen  Linie  gleich,  welche  an  beiden 
Enden  gleiche  Mengen  ungleichnamigen  Magnetismus  toägt.  Man  findet 
ferner  die  Vorstellung  berechtigt,  dass  die  ebenbeschriebene  Nadel  wie  eine 
Nadel  von  der  Kraft  1  wirkt,  wenn  ihre  Länge  1  Millimeter  beträgt  und 
wenn  an  jedem  Endpunkte  die  Menge  1  von  Magnetismus  sich  befindet. 
Man  denke  sich  eine  solche  Nadel  von  der  Kraft  i  s^ikrecht  gegen  die 
Ebene  des  magnetischen  Meridianes  und  in  horizontaler  Lage  festgehalten, 
diese  Nadel  wird  vom  Erdmagnetismus  an  beiden  Enden  durch  zwei  gleiche 
Kräfte  angegriffen ,  beide  der  Iticlination  parallel  aber  entgegengesetzt  ge- 
richtet. Jlian  nennt  die  Grösse  einer  solchen  Kraft  die  Grösse  der  Inten- 
sität des  Erdmagnetismus  am  Beobachtungsorte.  —  Li  ähnlicher  Weise,  wie 
oben,  dabei  gehörig  elementar  gehalten,  ist  es  sicher  möglich,  dem  Schüler 
präcise  Begriffe  zu  bieten.  Dann  werden  Gesetze  wie  das  der  Fernewir- 
kung  von  Magneten  gehörig  verstanden ;  es  ist  dies  in  Dr.  STAMiTKa's  Werk 
nicht  wohl  möglich,  da  das  Gesetz  angegeben  ist,  ohne  nur  zu  erklären,  was 
man  unter  Kraft  des  Stabes,  Entfernung  zweier  Stäbe  au  verstelu^  »kat. 


Iiitoratiirz6ituiig«  55 

Für  das  besprochene  Werk  bilden  die  Aufgaben  (gegen  100),  die  dem 
Vorwort  des  VerfatserB  zufolge  zum  Theil  den  Sammlungen  von  Friek  nnd 
Fliedner  entnommen  sind,  eine  recht  zweckmässige  Zugabe;  dasselbe  ist 
von  den  fast  ebenso  zahbeichen  Versuchen  zu  sagen  y  die  gewiss  nicht  ver- 
fehlen werden ,  den  Schüler  zur  eigenen  Anschauung  der  Erscheinungen 
und  zum  fleissigen  Studium  anzuregen. 

Das  Vorhergehende  zeigt,  ^ass  das  besprochene  Lehrbuch,  obwohl 
über  Einzelnes  Ausstellungen  gemacht  werden  mussten ,  doch  andererseits 
recht  gute  Seiten  hat  nnd  dass  es  dem  Schüler  eine  fruchtbare  Anregung 
zum  Studium  der  Physik  geben  wird.  Am  Schlüsse  dieser  Besprechung 
möge  noch  der  netten  äusseren  AusstaUung  gedacht  werden ,  welche  die 
Verlagshandlung  dem  genannten  Werke  gegeben  hat.  Dr.  Kahl. 


Die  Elemente  der  Hatliematik.  Von  Dr.  RrcHARo  Baltzbr,  Oberlehrer 
am  städtischen  Gymnasium  zu  Dresden.  Erster  Band,  enthaltend  : 
Gemeine  Arithmetik,  allgemeine  Arithmetik,  Algebra.  Leipzig, 
S.  Hirzel.    1860. 

Wie  der  Titel  andeutet,  zerfallt  der  vorliegende  Band  in  drei  Bücher, 
über  deren  Inhalt  sich  der  Verfasser  in  der  Vorrede  folgendermaassen  aus- 
spricht: 

„Das  erste  Buch,  welches  Ton  der  gemeinen  Arithmetik  handelt,  ent- 
hält einen  kurzen  Abriss  des  Rechenunterrichts  zur  Vorbereitung  auf  die 
allgemeine  Arithmetik.  Es  braucht  heute  nicht  mehr  gerechtfertigt  zu 
werden ,  dass  ich  die  Hegel  de  tri ,  gegründet  nicht  auf  die  Lehre  von  den 
Proportionen,  sondern  auf  die  Berechnung  der  Mehrheiten  und  Einheiten^ 
weit  in  den  Vordergrund  gerückt  habe.  Einige  Aenderungen  im  Vortrag 
der  Lehre  von  den  gemeinen  Brüchen  und  den  Decimalbrüchen  mögen  für 
sich  selbst  sprechen;  das  Über  die  Genauigkeit  von  Zahlenangaben  und 
Rechnungsresultaten  Mitgetheilte  kann  als  eine  Ergänzung  vieler  Rechen- 
bücher betraehtet  werden. 

„Das  zweite  Buch,  die  allgemeine  Arithmetik  enthaltend,  besteht 
eigentlich  aus  vier  Abschnitten ,  von  denen  der  erste  die  vier  Species ,  der 
zweite  die  Potenzen,  Wurzeln  nnd  Logarithmen,  der  dritte  da«  Binomial- 
theorem,  der  vierte  die  Combinatorik  znm  Gegenstände  hat.  Man  findet 
darin  insbesondere  die  Lehre  von  den  Wurzeln  der  Einheit  und  den  Loga* 
ritbmensystemen,  den  Gebrauch  der  Gauss'schen  Tabelle  bei  der  Zinsrech- 
nung, die  Zerlegung  der  Exponentialreihe ,  die  Bildung  der  Permutationen 
durch  Vertauschung  von  Paaren,  die  Determinanten,  die  figurirten  Zahlen. 
Zugaben  zu  den  einzelnen  Abschnitten  bilden  einige  Elemente  der  Zahlen- 
lehre ,  der  Zinsrechnung ,  der  Lehre  von  den  Kettenbrtichen  und  von  der 
Wahrsch^nliehkeit 

uigiTizea  oy  '" 


ioogle 


56  Literaturzeitung. 

^jDsLS  dritte  Buch^  dessen  Gegenstand  die  Algebra  ist,  handelt  snerst 
von  den  Proportionen,  von  den  Fanctionen,  von  der  analytischen  Methode. 
Das  Bedenken  ^  welches  gegen  die  Aufnahme  des  Begriffs  Function  in  die 
Elemente  erhoben  werden  kann,  habe  ich  nach  angestellten  Versuchen  auf- 
gegeben; die  schärfere  Fassntag  der  algebraischen  Grundbegriffe  bietet 
Veichlichen  Ersatz  für  die  kleine  Mühe  der  Abstraction,  durch,  welche  jener 
Begriff  gewonnen  wird.  Bei  der  Erklärung  der  analjtisehen  Methode  ist 
die  Znrttckführung  von  Rechnungsaufgaben  auf  die  Auflösung  von  Glei- 
chungen und  die  Zorückführung  von  Constructionsaufgaben  auf  die  Con- 
struction  von  Hülfsfiguren  in  genauerer  Analogie  aufgeaelgt,  als  es  ge- 
wöhnlich geschieht.  Auf  diese  Einleitung  folgt  das  gewöhnliche  Material 
der  elementaren  Algebra,  wobei  man  die  Eintheilung  der  Gleichungen  in 
identische  und  nicht  identische,  und  der  letztern  in  algebraische  und  trans- 
cendente,  sowie  die  Bestimmung  von  Unbekannten  durch  Systeme  von 
Gleichungen  mit  der  erforderlichen  Genauigkeit  auseinandergesetzt  findet. 
Die  Gauss^sche  Auflösung  der  quadratischen  Gleichungen,  die  Bestimmnn* 
gen  über  die  Wurzeln  einer  biqnadratischen  Gleichung  und  die  Keduction 
der  reciproken  Gleichungen  werden  vielleicht  nicht  unwillkommene  Zuga- 
ben sein.  Den  letzten  Abschnitt  bilden  zunächst  einige  Bemerkungen  über 
transcendente  Gleichungen  und  die  Auflösung  der  numerischen  Gleichun- 
gen, insbesondere  der  algebraischen  nach  Newton^s  Methode ,  deren  Werth 
aus  meiner  der  Urquelle  entnommenen  Darstellung  besser  einleuchten 
dürfte ,  als  aus  den  zumeist  anzutreffenden  Reproductionen«  Die  hierauf 
folgende  Behandlung  der  Diophantischen  Aufgaben  konnte  wenigstens  in 
Betreff  der  Aufgaben  ersten  Grades  einige  Vollständigkeit  erreichen.  Den 
Schluss  macht  der  Fundamentalsatz  der  algebraischen  Analysis  von  der 
Zerlegbarkeit  der  ganzen  rationalen  Functionen,  aus  dem  noch  die  Ratio- 
nalisirung  der  irrationalen  algebraischen  Functionen  abgeleitet  worden  ist« 

„Wo  es  nöthig  schien,  habe  ich  Beispiele  mit  vollständiger  Ausführung 
als  Paradigmen  aufgenommen ;  Beispiele  zur  Einübung  sind  unter  den  ein- 
zelnen Paragraphentiteln  aus  der  weit  verbreiteten  und  anerkannten  Samm- 
lung von  Heis  citirt  worden.  Besondere  Mühe  aber  erforderte  die  Auf- 
suchung der  geschichtlichen  Nachweise ,  welche  ich  den  einzelnen  Sätzen 
und  Problemen  hinzuzufügen  wünschte;  obgleich  meine  Arbeit  in  dieser 
Beziehung  von  gegebenen  Bibliothek  -  Beständen  begrenzt  war  und  von 
den  Mängeln  eines  ersten  Versuches  nicht  frei  sein  mag,  so  wird  man 
doch  mancherlei  wissenswerthe  und  wenig  bekannte  Notizen  angemerkt 
finden.*^ 

Ein  Blick  auf  diese  Inhaltsangabe  zeigt,  dass  der  Verfasser  bedeutend 
mehr  giebt,  als  in  den  gewöhnlichen  Lehrbüchern  der  Arithmetik  und  Algebra 
geboten  wird ;  dahin  gehören  z.  B.  die  Bestimmung  der  Menge  von  Zahlen, 
welche  kleiner  als  eine  gegebene  Zahl  und  relativ  prim  zu  ihr  sind ,  die 
Sätze  von  Format,  Wilson,  einige  Theoreme  von  Gauss  undLejeune- 

uigiTizea  oy  v_i  v^v^^'i  lv- 


Literaturzeitung.  57 

Dirichlet,  der  allgemeine  binomische  Satz,  die  Reihen  für  e^,  cosx^sinx^ 
Einiges  über  Determinanten  und  über  algebraische  Functionen  etc.  Eef. 
gesteht,  dass  er  diesen  Reichthum  nicht  recht  mit  dem  Begriffe  von  „Ele- 
menten der  Mathematik^'  zu  vereinigen  weiss.  Der  grösste  Theil  der  vom 
Verfasser  aufgenommenen  zahlentheoretischen  Sätze  findet  bei  den  nach- 
herigen Operationen  an  dekadischen  Zahlen  keine  Anwendung  und  gehört 
eben  desswegen  nicht  zu  den  Elementen;  dasselbe  gilt  von  den  angeführten 
Reihenentwickelnngen ,  welche  ein  ganz  ungenügendes  Bruchstück  der  al- 
gebraischen Analysis  bilden  und  womit  kein  Schüler  irgend  etwas  anzufan- 
gen wissen  wird.  So  hätte  z.  B.  auf  die  Entwickelnng  von  c*  auch  die  von 
ly  folgen  Ynüssen,  wenn  der  Verfasser  wenigstens  die  beiden  conjngirten 
Aufgaben  „zu  einer  Zahl  den  Logarithmus  und  umgekehrt  zu  einem  Loga- 
rithmus die  Zahl  zu  finden*'  vollständig  lösen  wollte;  dass  aber  nur  die  Lö- 
sung der  zweiten  Aufgabe  gegeben  wird,  ist  eine  offenbare  Halbheit,  und 
ebenso  verhält  es  sich  mit  den  Entwickelnngen  von  cos  x  und  *i>i  Xy  denen 
die  Reihen  für  Aresin  x  und  Arctan  x  gegenüber  gestellt  werden  müssen. 
Jedenfalls  hätte  der  Verfasser  besser  gethan,  sich  auf  das  Nothwendige  zu 
beschränken  und  der  algebraischen  Analysis  einen  besonderen  Band  zu 
widmen.  Die  Sache  hat  aber  ausserdem  noch  eine  andere  Seite.  Jener 
Reichthum  auf  dem  geringen  Räume  von  17  Bogen  ist  nämlich  nur  dadurch 
möglich  geworden,  dass  der  Verfasser,  obschon  er  keine  blossen  Andeutun- 
gen zu  Beweisen  geben  wollte,  doch  zu  einer  Kürze  der  Beweisführung  ge- 
griffen hat,  die  vielen  Lesern  in  der  That  nur  Andeutungen  liefern  wird. 
Eigentlichen  Schülern  dürfte  beim  Selbststadium  ein  grosser  Theil  des  Bu- 
ches anverständlich  bleiben  und  Referent  möchte  es  daher  als  Schnlbnch 
keinem  Lehrer  empfehlen,  der  nicht  das  Glück  hat,  lauter  Talente  ersten 
Ranges  zu  unterrichten.  Um  so  bereitwilliger  erkennt  aber  Referent  an, 
dass  des  Verfassers  Werk  für  Lehrer  von  Werth  sein  wird;  namentlich 
sind  es  die  sehr  reichhaltigen  historischen  und  literarischen  Nachweise, 
welche  dem  Buche  viele  Freunde  erwerben  werden.  Schlömilch. 


Literaturxtg.  il.  Zeit«chr.  f.  Math.  a.  Phys.  V. 


Bibliographie 

vom  1.  April  bis  1.  Juni  1860. 


Periodische  Schriften. 

Berichte  über  die  Yerhandlungen  der  K.  S.  Gesellschaft  der 
Wissenschaften  zu  Leipzig.  Math.-pbys.  Classe.  1859,  III  und 
IV.    Leipzig,  Hirzel.  %  Thlr. 

iilthandlungen  der  K.  S.  Gesellschaft  der  Wissenschaften  zu 
Göttingen.   8.  Bd.  (1858  und  1859.)    Göttingen,  Dieterich.    9%  Thlr. 

Sitzungsberichte  der  Kaiser  1.  Akademie  der  Wissenschaften 
zu  Wien.  Math.-naturw,  Classe.  Jahrg.  1800.  28  Nummern.  Wien, 
Gerold's  Sohn  in  Comm.  16  Thlr. 

Astronomische  Nachrichten,  begründet  von  Schumacher,  fortgesetzt 
von  Hansen  und  Peters.  53.  Bd.  No.  1.  Hamburg,  Perthes,  Besser 
&  Mauke  in  Comm.  pro  compl.  5  Thlr. 

Bremiker,  C,  Nautisches  Jahrbuch,  oder  vollständige  Ephemeriden 
und  Tafeln  f.  d.  J.  1802.    Berlin,  Reimer.  %  Thlr. 

— — ,  Annuaire  nautigue  pour  Van  1862.    Ebendas.  Vs  Thlr. 

Beobachtungen  der  Kaiser l.Universitäts-Sternw arte  zuDor- 
pat.  15.  Bd.  1.  Abth.  Herausgegeben  von  Maedler.  Dorpat,  Gläser 
in  Comm.  2  Thlr. 

Beine  Mathematik. 

Gallenkamp,  W.,  Die  Elemente  der  Mathematik.  2.  Aufl.  1.  Theil 
(Arithmetik,  Algebra  1.  Abth.  und  Planimetrie).    Iserlohn,  Bädeker. 

%  Thlr. 

Köhler,  H.  G.,  Logarithmisch  -  trigonometrisches  Handbuch. 
7.  Ster.-Ausg.   Leipzig,  Tauchnitz.  27  Ngr. 

Meyer,  G.  F.,  üeber  BernouUi'sche  Zahlen.  Inaug.  Dissert.  Göt- 
tingen, Vandenhoeck  &  Ruprecht.  "  %  Thlr. 

MiNK,  It.,  Geometrische  Formenlehre.    Crefeld,  Schüller.     %  Thlr. 

,  Lehrbuch  der  Geometrie.    3.  Aufl.    Ebendas.  27  Ngr. 

Schneider,  J. ,  Anfangsgründe  der  Stereometrie.  Wien,  Beck's 
Universitätsbuchhandlung  in  Comm.  uigmzea  oy  ^^OOQlö  Ngr. 


Literaturzeitüng.  59 

ScHELLBACU)  K.  H.,  Matbematiscbe  Lehrstanden.  Aufgaben  ans  der 
Lehre  vom  Grössten  und  Kleinsten.  Bearbeitet  und  herausgegeben 
von  A.  BoDB  nnd  £.  Fischer.   Berlin,  Reimer.  1  Thlr. 

Bemt^  C.  V.,  Constrnctive  Metboden  stir  Umwandlang  der  re- 
'  gelmässigen  Polygone  in  Kreise  von  angenfihertem  Flä- 
cheninhalte.  Wien,  Gerold^s  Sohn.  8  Ngr. 

PiHAN,  A.  F.;  Expose  des  signes  de  numeration  usitis  chez  les 
peupies  orientaux  anciens  et  modernes,    PariSj  Chaüamel  aine. 

7  Frcs, 

Haan,  B.  de,  Exposi  de  la  theorie  des  proprieiSs^  des  formules 
de  transfartnation  et  des  tnethodes  d^ävaluation  des  inte-, 
grales  definies.   Partie  1  e^  2.   Amsterdam^  van  der  Post     4  Fr.  60  C. 

Angewandte  Mathematik. 

Spitzer,  J.,  Anleitung   zur  Berechnung  der  Leibrenten  und 

Anwartschaften.   Wien»  Geroid's  Sohn.  1  Thlr. 

BoGKER,  J.,  Abriss  der  Mass  künde.   Ebendas.  12  Ngr. 

Wedell,  H.  V.,  Das  militärische  Aufnehmen.     Berlin,  Mittler. 

1  Thlr; 

,  Theorie  des  Planzeichnen«.   Ebendas.  %  Thlr. 

Heger,  E.,  Flächentheilung  und  Ertragsberecbnungsformeln. 

Giessen,  Ricker.  %  Thlr. 

KüLP,E.,  Statik  und  Dynamik   fester  und   flüssiger  Körper. 

(1.  Bd.  d.  Lehrb.  d.  Experim.-Physik.)    Darmstadt,  Diehl.  2  Thlr. 

Grube,  J.,  i>e  cylindri  et  coni  altractione,    Dissert.  inaug.    Göttingen, 

Vandenhoeck  &  Ruprecht.  18  Ngr. 

Thon,  Th.,  Der  Sonnenzeiger  oder  Anweisung,  alle  Arten  von 

Sonnenuhren  herzustellen.    Leipzig,  Hunger.  %  Thlr. 

Pratt,  J.  H,  ^  Treatise  on  Attractions,  Laplace''s  functions  and 

the  figure  of  the  earth.    London,  Macmillan,  6  sh.  6  d. 

Jeans,  H.  W.^  Navigation  and  nautical  astronomy,  London,  Longman, 

9  sh. 
Steichen,  M.,  Memoire  sur  la  machine  ä  vapeur,   {Extrait  des  annales 

des  travaux  publiques,)   BruxelleSy  Muquardt,  %  Thlr. 

Kepleri,  J.,   Opera  omnia,  erf.  C.  Frisch.    VoL  IIL     Frankfurt  a.  M., 

Heyder  &  Zimmer.  4  Thlr. 

Physik. 

MÜLLER,  J.,  Grundriss  der  Physik  und  Meteorologie.     7.  Aufl. 

Braunschweig,  Vieweg.  1%  Thlr. 

,  Mathematischer  Supplementband  hierzu.  Ebendas.  %  Thlr. 

Abagg's  sämmtlich^Wcrko.    Herausgegeben  von  W.  G.  Hamkel.    15^ 

Band.    Leipzig,  0.  Wigand.  uigmzeaDy  ^•^2>'Tij^C 


60  Literatarzoitung. 

Fechner,  G.  Th.,  lieber  einige  Verhältnisse  des  binocularen 
Sehens.   Leipzig,  Hirzel.  1  Thlr,  20  Ngr. 

PiSoLET^s  vollständiges  Handbuch  über  die  Wärme  nnd  deren 
Anwendungen.  Deutsch  bearbeitet  von  Hartmann.  2.  Lieferung. 
Leipzig,  Gerhard.  2  Thlr.  12  Ngr. 

Baumoartneb^  A.  V.,  lieber  de^  Grundder  scheinbaren  Abwei- 
chung des  mechanischen  Wärmeäquivalentes  bei  ver- 
schiedenen Gasen.  (Akad.)  Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.  3  Ngr. 

Du  Bois-Reymond,  Untersuchungen  über  thierische  Elektrici- 
tat.   2.  Bd.  2.  Abthlg.    Berlin,  Reimer.  2  Thlr. 

Fritsch,  K.,  Ueber  die  Störungen  des  täglichen  Ganges  eini- 
ger wichtigen  meteorologischen  Elemente  an  Gewitter- 
tagen.   Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.  14  Ngr. 

Weisse,  M.,  Variationen  der  Declination  der  Magnetnadel, 
beobachtet  in  Krakau.    Ebendas«  18  Ngr. 

Schulze,  F.  E.,  Beobachtungen  über  Verdunstung  im  Sommer 
1850.  Gekrönte  Preisschrift.  Rostock,  Stiller^sche  Hofbuchhandlnng 
in  Comm.  8  Ngr. 

Ritoen,  F.  V.,  Betrachtung  der  Kometen  als  Sterne  in  früher 
Gestaltungszeit.    Giessen^  Ricker.  2  Thlr. 


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Literaturzeitung. 


Recensionen. 

AnfirngsgrOnd«  der  gaometriseheii  BiaoipliiioiLy  ftir  Gymnasien,  Real-  und 
Gewerbesebulen  bearbeitet  yon  Dr.  Joh.  Müller,  Professor  der 
Pbysik  an  der  Universität  an  Freiburg.     1.  Theil:  Ebene  Geo- 
metrie ;  2.  Theil :  Ebene  und  sphärische  Trigonometrie ;  3.  Theil : 
Analytische  Geometrie  der  Ebene  n.  des  Raumes.   Braunschweig, 
Vieweg  &  Bohn.  1860. 
Gegenüber  von  Werken ,  die  sich  dur^^h  elegante  Ausstattung  und  an- 
schauliche Figuren  sehr  bemerklich  machen,  wird  Genauigkeit  und  Aus- 
führlichkeit zur  doppelten  Pflicht  für  die  Kritik,  damit  das  Publikum  sich 
nicht  von  dem  glänzenden  Aeusseren  bestechen  lasse.     Hierzu  kommt  im 
vorliegenden  Falle  noch  der  Umstand,  dass  der* Verfassen  durch  seine  Be- 
arbeitung von  PouiUefs  Physik  und  der  Verleger  durch  viele  gute  Ver- 
lagsartikel sehr  bekannt  sind;  man  wird  es  daher  natürlich  finden,  wenn 
Referent,  seiner  sonstigen  Gewohnheit  entgegen,  die  vorliegenden  Schul- 
bücher etwas  eingehender  bespricht. 

In  der  Vorrede  nimmt  es  der  Verfasser  gleich  anfangs  als  ausgemachte 
Sache  an,  dass  der  Erfolg  des  mathematischen  Unterrichts  verbältniss- 
mässig  nnr  sehr  gering  sei  — ;  dies  mag  vielleicht  für  die  Nachbarschaft 
des  Verfassers  gelten,  im  Allgemeinen  aber  muss  Referent  diese  Behaup- 
tung bestreiten.  Wer.  z.  B.  die  preussiscken  und  die  nach  demselben  Muster 
eingerichteten  Realschulen  der  Nachbarstaaten  (z.  E.  die  Gothaische  unter 
Looff's  Leitung)  kennt,  wird  wissen,  dass  gerade  in  der  Mathematik  sehr 
Anerkennenswerthes  geleistet  wird ;  das  Gleiche  kann  man  auch  von  den 
Realschulen  Oesterreich's  sagen,  die  sich  noch  besonders  durch  ihre  Pflege 
der  graphischen  Methoden  auszeichnen.  Den  Grund  jenes  angeblich  ge- 
ringen Erfolges  sucht  der  Verfasser  darin,  dass  der  Vortrag  der  mathemati- 
schen Disciplinen  meistens  zn  abstract  gehalten  werde ,  wodurch  er  für  die 
Naturwissenschaften  unfiuchtbar  bleibe.  Weiter  heisst  es:  „Die  mathe- 
matischen Vorkenntnisse,  deren  man  für  ein  gedeihliches  Studium  der 

LUT«lar.M^.  d.  ZeiUchr.  f.  M.lh.  u.  Phy..    V.  uigmzer^oy  ^^^glC 


62  Literaturzeitung. 

Physik  bedarf,  sind,  wenn  es  sich  nicht  gerade  nm  die  schwierigsten  Fra- 
gen handelt,  weder  sehr  umfangreich,  noch  schwer  zugänglich;  es  bedarf 
nur  verhAltnissmässig  weniger  aber  klar  verstandener  Sätze  etc/'  Mit  einem 
Worte ,  der  Verfasser  will  den  Leuten  in  der  Geschwindigkeit  soviel  oder 
sowenig  Mathematik  beibringen,  als  gerade  zum  Verständniss  von  Pouil* 
let-Müller's  Fhjsik  nothwendig  ist.  Gegen  diesen  Zweck  lässt  sieh 
direct  nichts  einwenden,  jedoch  müssen  wir  Mathematiker  im  Interesse  un- 
serer Wissenschaft  verlangen,  dass  der  Verfasser  das  Wenige  ordentlich 
und  genau  behandele  und  sich  nicht  etwa  darauf  beschränke,  seinen  Lesern 
die.  Sachen  nur  plausibel  vorzusteUen.  In  wie  weit  diese  Forderung  erfüllt 
ist,  wird  das  Folgende  zeigen^  • 

Nach  einer  kleinen  Einleitung  und  den  einfachsten  Sätzen  von  'den 
Winkeln  und  Parallellinien ,  welche  letztere  sehr  kurz  abgefertigt  werden, 
geht  es  an  die  Bestimmung  des  Dreiecks  durch  drei  seiner  Bestandtheile. 
Den  Anfang  macht  die  Construction  des  Dreiecks  aus  seinen  drei  Seiten ; 
dass  hier  zwei  Dreiecke  entstehen  und  sich  mithin  auch  die  Frage  auf- 
drängt, ob  diese  Dreiecke  congruent  oder  verschieden  sind,  inoommodirt 
den  Verfasser  nicht  im  Mindesten;  es  heisst  einfach:  „da  sich  die  Kreise 
sowohl  über  als  unter  der  Basis  schneiden,  so  lässt  sich  das  verlangte  Drei- 
eck sowohl  über  als  unter  der  Basis  construiren**.  Nach  dieser  Probe  von 
mathematischer  Strenge  wundert  man  sich  nicht  mehr,  wenn  die  Ausmes- 
sung eines  Rechtecks  (Verfasser  sagt  consequent  „längliches  Rechteck ^^) 
durch  schachbretfbrmige  Zerlegung  in  Quadrate,  und  die  Aehnlichkeit  der 
Dreiecke  durch  Theilung  mittelst  Parallelen  zur  Basis  erledigt  wird ,  ohne 
dass  irgendwo  von  irrationalen  Verhältnissen  die  Rede  ist,  obschon  der 
Verfasser  beim  geometrisehen  Mittel  etc.  auf  irrationale  Zahlen  stüsst.  Mit 
gleicher  Leichtigkeit  wird  auch  die  Rectification  des  Kreises  abgemacht. 

Den  Begriff  der  Stereometrie  nimmt  der  Verfasser  so  eng  als  möglich : 
„die  Elementar-Stereometrie  beschränkt  sich  auf  die  Berechnung  der  Ober* 
fläche  und  des  körperlichen  Inhalts  von  Prismen,  Pyramiden,  Cylindem, 
Kegeln  und  Kugeln'^  Also  nichts  von  den  Lagen  der  Geraden  gegen  Ge- 
rade oder  geg%n  Ebenen  oder  zweier  Ebenen  gegen  einander.  Glaubt  denn 
der  Verfasser  wirklich ,  dass  es  für  ein  „gedeihliches  Studium'^  der  Natur- 
wissenschaften (b.  B.  Trägheitsmomente ,  Polarisation,  Wellenbewegungen 
etc.)  ganz  überflüssig  sei,  die  Bedingungen  kennen  zu  lernen,  unter  denen 
z.  B.  eine  €^erade  auf  einer  Ebene  senkrecht  steht  oder  ihr  parallel  ist  etc.  ? 
Diess  wäre  doeh  nur  möglich,  wenn  man  unter  Physik  weiter  nichts  als 
eine  Sammlung  von  Thatsachen  versteht,  die  in  nothdürftiger  Ordnung  ne- 
ben einander  gestellt  und  durch  Experimente  (womöglich  recht  glänzende) 
illnstrirt  werden«  Auf  diesem  Standpunkte  ist  der  Physiker  kaum  mehr  als 
der  höhere  Feuerwerker;  wer  nur  einen  Schritt  in  der  Theorie  thun  will, 
muss  solide  mathematische  Kenntnisse  sur  Basis  haben,  und  weil  alle  phy- 
sikalischen Prooesse  nicht  in  der  Ebene,  sondern  im  Ranme  ror  sieh  gehen, 

uigiüzea  oy  x^j  v^v^^'i  ln^ 


Literatorzeitang.  63 


ist  gerade  eine  gewandte  Anschanang  der  im  Ranme  m()glielien  Lagen  gans 
nnerläaslicb.  Hieraacii  weiss  Beferent  in  der  That  nicht  recht  za  «iigen, 
welchen  Lesern  er  die  ,,£Ieinente  der  ebenen  Geometrie  und  Stereometrie'^ 
em]^fehlen  sollte^  ein  Gymnasium  oder  eine  Bealdchnle ,  die' sieh  mit  einem 
solchen  Mangel  an  wisseaschaftHchem  Geiste  zufrieden  gäbe ,  wftre  in  der 
That  zn  beklagen ,  Und  nur  an  Handwerker-  und  Sonntagasehulen  dürfte 
der  Gebraoch  des  Werkchens  unbedenklich  sein. 

Nicht  viel  höher  steht  die  Trigonometrie.  Der  Verfasser  beschränkt 
sich  auf  die  Betrachtung  der  Winkel  zwischen  0*  und  180*^  und  auf  die  Be- 
rechnung von  Dreiecken.  Auch  hier  ist  zu  bezweifeln ,  ob  man  damit  aus* 
kommen  wird ,  denn  schon  in  dem  einfachoy  Falle ,  wo  mehrere  Kräfte  in 
einer  Ebene  auf  einen  Funkt  wirken ,  sind  Winkel  all^r  vier  Quadranten 
nicht  zu  vermeiden,  ebensowenig  da,  wo  es  sich  um  Vielecke  handelt. 
Eigenthümlich  genug  nimmt  es  sich  aus ,  wenn  in  der  sphärischen  Trigono- 
metrie plötzlich  Normalen  zu  Ebenen ,  Neigungswinkel  zwischen  Ebenen 
etc.  auftauchen  und  gewisse  Sätze  der  Stereometrie  in  Anspruch  genommen 
werden  f  während  doch  von  all  Dem  kein  Wort  in  dem,  vorhergehenden 
Bande  zu  lesen  ist.  Wo  soll  denn  da  jene  vom  Verfasser  beabsichtigte 
Klarheit  und  Verständlichkeit  herkommen  ?  Endlich  muss  Referent  noch* 
die  Bezeichnungsweise  rügen ;  in  der  ebenen  Trigonometrie  nennt  der  Ver- 
fasser A,  B^*C  die  Seiten,  a,  j?,  y  die  Winkel,  in  der  sphärischen  Trigono- 
metrie dagegen  bezeichnet  er  mit  a>  ^>  /  die  Seiten  und  mit  a,  &,  c  die 
Winkel.  Diess  ist  altmodisch  und  zugleich  inconsequent ,  wobei  die  Ana- 
logie zwischen  Aen  Formeln  der  ebenen  und  der  sphärischen  Trigonometrie 
gänzlich  yerloren  geht. 

Am  dürftigsten  ist  der  dritte  TheiL  Wer  einmal  bis  zur  analytischen 
Geometrie  der  Ebene  und  des  Raumes  vordringt,  hat  schon  gründlichere 
Studien  im  Sinne  nnd  dann  erscheint  Das,  was  der  Verfasser  giebt,  nach 
allen  Seiten  hin  ungenügend.  Nimmt  man  hierzu  die  Unbehülflichkeit, 
womit  die  Rechnung  geführt  wird,  so  kann  man  sich  kaum  des  Gedankens 
erwehven,  dass  der  Verfasser  hier  nicht  mehr  in  seinem  Fahrwasser,  dass 
er  überhaupt  gar  nicht  Mathematiker  genug  ist,  um  eine  analytische  Geo- 
metrie schreiben  zu  k^nen.  Auf  Seite  24  z.  B.  soll  der  Winkel  bestimmt 
werden r  den  eine  Kreistangente  mit  der  or- Achse  bildet,  und  zu  diesem 
Zwecke  sucht  der  Verfasser  den  Grenzwerth  von 


h 

für  verschwindende  h.    Statt  nun  diesen  Bruch  in 

2x  +  h 


}/r*—{x  4-  Ä)*  -f-  ]|/r*  — a:» 
umzusetzen,  benutzt  der  Verfasser  den  allgemeinen  binomischen  Satz, 
ohne  au  bedenken,  dass  die  Leser,  für  die  er  schreibt,  4^|^|pi^^liAh[e 


64  Literäturzeitung. 


etwas  von  diesem  Theoreme  wissen  können.  In  dem  allgemeineren  Falle, 
wo  bei  einer  beliebigen  Curve  y^=zf(x)  ist,  postnlirter  ganz  analog,  dass 
f[x'{'h)  in  eine  nach  Potenzen  von  h  fortschreitende  Reihe  verwandelbar 
sei  (Taylor'scher  Satz!)  — -  ein  ganz  unnützer  und  für  Anfänger  ungang- 
barer Umweg.  —  Der  analytischen  Geometrie  dea  Kaumes  fehlen  gerade 
die  wichtigsten  Fundamentalformeln.  Sind  z.  B.  a,  ^,  f  die  Winkel,  die 
eine  Gerade  mit  den  Coordinatenachsen  einschliesst,  so  hat  man  bekanntlieh 

€0^  a  +  CO**  ^  4-  co^  y  =  1  • 
aus  den  Bichtungswinkeln  zweier  Geraden  bestimmt  sich  der  Winkel  ^  zwi- 
schen den  Geraden  nach  der  Formel 

coi  %  =  cos  tti  cos/t^  +  cos  ßi  cos  /?£  +  cos  Yi  cos  yj ; 
aus  den  Gleichungen  einer  Geraden 

ya:zBx+by       Z  =  CX  +  C  ' 

erhält  man  fttr  deren  Richtungswinkel 

cos  u:  cos  ßicosy  ==:^l  :  B  :C] 
ist  ferner  .  .     ' 

Ax  +  By  +  €z  =  J) 
die  Gleichung  einer  Ebene  und  sind  «,  /?,  y  die  Richtungswinkel  einer  Norr 
•malen  auf  derselben,  so  gilt  die  Proportion 

cos  tf  :  cos'ß  :  cos  y^^AiBiC 

u.  s.  w,  • 

Von  allen  diesen  Hauptsachen  findet  sich  gar  nichter.  —  Der  Verfasser  laast 
es  einfach  bei  der  Aufstellung  der  Gleichungen  von  Geraden  und  Ebenen 
bewenden,  ohne  damit  irgend  etwas  anzufangen,  ja  ohne  auch  nur  die 
Fundaroentalaufgaben  (z.  B.  Senkrechte  von  einem  Punkte  auf  eine  Gerade 
oder  Ebene)  zu  berühren.  Mit  anderen  Worten ,  es  werden  einige  Werk- 
zeuge der  analytischen  Geometrie  producirt,  aber  vom  Gebrauche  derselben 
ist  nicht  weiter  die  Rede.  —  Als  Beispiele  für  krumme  Flächen  benutzt 
der  Verfasser  die  Cylinder-,  Kegel-  und  Umdrehungsflächen;  sonstige  Flft- 
cben  zweiten  Grades  kommen  nicht  var,  obsohon  das  dreiachsige  E^ipsoid, 
Hyperboloid  etc.  manche  Anwendung  in  der  Mechanik  und  Physik  finden ; 
ebenso  fehlen  die  vielfach  gebrauchten  Schraubenlinien  und  Flächen.  Gleich 
ungenügend  sind  die  Durchschnitte  von  Flächen  mit  Ebenen  behandelt; 
mit  den  einfachsten  trigonometrischen  Formeln  für  das  rechtwinklige  ebene 
Dreieck  können  leicht  die  Gleichungen 

a;  =  a  +  ic'  cos  'tff-^y  sin  ^  cos  O 

y=:b  +  x'sin^  +  y  cos  ^  cos  d' 

y  =  y  sin  d 
entwickelt  werden ,  welche  den  Durchschnitt  jeder  beliebigen  Fläche  mit 
jeder  beliebigen  Ebene  sofort  bestimmen;  statt  dessen  beschränkt  sich  der 
Verfasser  auf  den  ganz  speciellen  Fall,  wo  ein  gerader  Kegel  von  einer 
Ebene  geschnitten  wird,  und  schweigt  über  jeden  anderen  Fall  gänzlich. 
Nach  diesen  Mittheilungen  v^ird  man  es  wohl  nicht  unbescheiden  finden, 

uigiüzea  Dy  ^^j  vy  v^'Ti  LV- 


IJteratarzeitang,  05 


wena  Referent  dem  Verfasser  den  Ratb  erth^ih ,  seine  Hterarisehe  Thätig- 
keit  auf  das  Gebiet  der  Physik  zu  beschrfinken  nnd  die  AbfaBsnng  matbe- 
malischer  Lehrbücher  den  Leuten  von  Fach  zu  überlassen. 

SCHLÖMILCH« 


Di«  «bene  Trigonometrie ,  bearbeitet  von  Avo.  Uhdb,  Dr.  phil.,  Sehnlrath 
und  Professor  am  Collegio  Caroliao  in  Brannschweig.  Braun- 
schweig,  Vieweg  &  Sohn.  1860. 
So  sicher  man  den  Torhin  besprochenen  gleichzeitig  erschienenen  Wer- 
ken von  Prof.  Müller  ansieht,  dass  sie  yon  keinem  Mathematiker  herrührea, 
so  dentlidi  merkt  man  an  den  ersten  Seiten  des  Torliegenden  Baches,  dass 
hier  ein  Mann  von  Fach  und  geübter  Lehrer  die  Feder  führt.  Zunächst 
wird  in  einer  kurzen  und  klaren  Einleitung  die  Aufgabe  der  Trigonometrie 
bestimmt ,  dann  werden  die  zu  Gebote  stehenden  Mittel  er(}rtert  und  es  ist 
hierbei  recht  gut  motiyirt,  warum  man  von  dem  rechtwinkligen  Dreieck 
und  dessen  Seitenverhältnissen  ausgehen  muss.  Darauf  folgt  die  lineare 
Bedeutung  der  trigonometrischen  Functionen ,  eine  Erklärung  der  trigono- 
metrischen Tafeln  nnd  dann  sogleich  die  Berechnung  des  rechtwinkligen 
Dreiecks,  welche  durch  mehrere  sehr  gut  gewählte  Beispiele  erläutert  ist. 
Nun  erst  geht  der  Verfasser  an  die  Erweiterung  der  Begriffe  der  Winkel- 
functionen  auf  stumpfe,  übersturapfe  und  negative  Winkel;  zu  diesem 
Zwecke  betrachtet  er  di«  beiden  rechtwinkligen  Dreiecke ,  in  welche  ein 
beliebiges  Dreieck  ABC  durch  die  Höhe  CD  zerlegt  wird  und  zeigt,  dass  die 
Gledchnng  c=^acosB+bcosA  sowohl  für  spitzwinklige  als  für  stumpf- 
winklige Dreiecke  gelten  kann,  wenn  der  Cosinus  eines  stumpfen  Winkels 
als  negativ  in  Rechnung  gebracht  wird.  Diese  geschickte  Motivirung  des 
Zeichenwechsels  der  trigonometrischen  Functionen  kommt  im  Wesentlichen 
auf  den  Begriff  der  Projection  zurück  und  wäre  vielleicht  noch  einfacher 
geworden ,  wenn  der  Verfasser  den  Begriff  der  Projection  in  den  Vorder- 
grund gerückt  hätte  ^  wie  es  Referent  in  seinen  Grundzügen  der  Geometrie 
gethan  hat.  Es  folgen  nun  die  Formeln  für  sin  {a  +  ß),  cos  (a  +  ß)  etc. 
nebst  den  daraus  entspringenden,  wobei  der  Verfasser  das  rechte  Maass  zwi- 
schen dem  Zuwenig  und  dem  Zuviel  gut  getroffen  haben  dürfte.  Die  Be- 
rechnung des  schiefwinkligen  Dreiecks  basirt  der  Verfasser  auf  die  drei 
Grundgleichuttgen 

1)  bsinA=zasinBj 

2)  bsinA^={c*'^bcosA)ianB^ 

3)  Ä*  =  &*+ c*  — 26cco*^, 
denen  er  nachträglich 

4)  c  =  bcos  A  +  acos  B 

und  die  beiden  Mollweide'scheu  Relationen  hinzufür^t.   j,y^9gg  D^^£^i§^^^ 


66  Literatarzeitang, 


Standpunkte  ans  («nd  diesen  hebt  der  YerfksserB  beamiders  kervor)  können 
jene  Gleichungen  nicht  sämmtlioh  als  fundamentale  gelten,  denn  da  es  sieh 
immer  um  die  Bestimmung  von  drei  Unbekannten  handelt ,  so  brancht  man 
nur  drei  Gleichungen;  eine  derselben  ist  die  geometrische  A+B+C:=l&ify 
mithin  sind  nur  noch  zwei  trigonometrische  Beeiehungen  aufzustellen,  und 
hierzu  eignen  sich  jedenfalls  No.  1)  und  4)  am  besten.  Nach  Entwickelung 
der  oben  genannten  sechs  Formeln  geht  die  Erörterung  der  einzelnen,  bei 
Dreiecksberechnungen  Yorkommenden  Fälle  sehr  rasch  von  statten  und 
wird  durch  Zahlenbeispiele  erläutert.  Den  Beschluss  bildet  ein  Anhang 
mit  zwei  geodätischen  Aufgaben  und  einem  Abschnitte  Aber  die  Bestimmung 
des  Dreiecks  durch  einen  Winkel,  eine  Seite  und  die  Summe  oder  Differenz 
der  beiden  anderen  Seiten. 

Indem  Referent  bekennt,  dass  er  der  klaren  und  präoisen  Darstellung 
des  Verfassers  mit  Vergnügen  gefolgt  ist,  erlaubt  er  sich  noch  einige 
Wünsche  für  eine  etwaige  zweite  Auflage  des  netten  Bücfaelchens»  Erstens 
möchten  einige  Andeutungen  über  die  Berechnung  der  natürlichen  trigono- 
metrischen Tafeln  gegeben  werden ;  der  Verfasser  verweist  in  $.  8  kurz  auf 
die  Hülfsmittel  der  Analysis,  was  jedenfalls  nicht  historisch  und  ebenso- 
wenig gut  pädagogisch  ist.  Dabei  fände  sich  auch  Gelegenheit,  über  die 
Functionen  der  Winkel  nahe  bei  Null  und  nahe  bei  00®  das  Nöthige  zu  sa- 
gen ;  Ungleichungen  wie  1  —  i#*<co*d<l,  ^  —  ^d^<,sin  d.<  &  sind 
nichts  weniger  als  überflüssig  und  werden  in  der  Analysis,  sowie  in  der 
praküschen  Geodäsie  häufig  gebraucht.  Femer  wäre  eine  kurze  Herleitung 
der  allgemeinen  Formeln  der  Polygonometrie  wünschenswerth,  damit  die 
in  den  ersten  Worten  von  S.  1  angedeutete  allgemeine  Aufgabe  auch  ana- 
lytisch ihre  allgemeine  Lösung  fände.  ScBLÖMitCH. 


Xathematisohe  Lehrstondaii,  von  K.  H.  Sohellbach  ,  Prof.  am  Friedrich- 
Wilhelms- Gymnasium  und  an  der  Kriegsakademie  zu  Berlin.  Auf- 
gaben aus  der  Lehre  vom  Grössten  und  Kleinsten ;  bearbeitet  und 
herausgegeben  yon  A.  Bodb  und  E.  Fischsr  ,  Dr.  phil.     Berlin, 
Reimer.  1860. 
Schon  bei  verschiedenen  Gelegenheiten  hat  Prof.  Sehellbach  in 
kleineren  Aufsätzen  Proben  der  eigenthtimlichen  Virtuosität  geliefert,  wo- 
mit er  Aufgaben,  welche  die  Kräfte  der  Elementarmathematik  zu  über- 
steigen scheinen,   ebenso  einfach  als  elegant  zu  lösen  versteht  (s.  z.  B. 
Crelle's  Journal ,  Bd.  16,  17,  45) ,  und  Referent  hat  es  im  Interesse  des  Un- 
terrichtes oft  bedauert,   dass   der  Verfasser ,  wahrscheinlich  von  Berufs- 
geschäften  vielfach  in  Anspruch  genommen ,  niemals  ein  grösseres  Werk 
dieser  Art  veröffentlichte.    Desto  erfreulicher  ist  es,  doch  noch  ein  zusam- 
menhängendes Ganzes  erscheinen  zuaehen,  welches  im  Sinne  des  Meisters 

**  '  uigiüzea  Dy  ^wJ  vyv./'i  LN^ 


Lit«ratarzeitang,  67 

von  seinen  Sckülenr  bearbeitet  und  herausgegeben  wurde;  Referent  beeilt . 
sich,  die  Leser  der  Literatnrzeitang  mit  dem  Inhalte  des  Baches  bekannt 
zn  machen. 

Es  sind  hauptsächlich  drei  Methoden  zur  elementaren  Behandlung  der 
Aufgaben  über  Mazima  und  Minima,  welche  der  Beihe  nach  erörtert  und 
auf  sahlreiohey  meistens  auch  sehr  interessante  Beispiele  angewendet  wer- 
den. Das  esste  Verfahren  besteht  in  einer  blossen  Umformung  der  gegebe- 
nen Function,  wobei  es  darauf  ankommt,  die  letztere  als  Summe  eines  oon- 
stanten  und  eines  Teränderlicheu  Theiles  darzustellen.   So  kann  z«  B. 

umgesetzt  werden  in 


y  =  -\ac  +  2yah)  +  \y7{^)  +  //^^] 


woraus  schleich  erhellt,  dass  y  den  Minimalwerth  — {ac  +  ^'^nb)  bekommt, 
wenn  das  noch  übrige  Quadrat  verschwindet,  also 


:-.±/I 


genommen  wird.  Besonders  häufig  ist  diese  Methode  in  dem  Falle  anwend- 
bar, wo  sich  die  gegebene  Function  auf  eine  einfache  trigonometrische 
Form  bringen  lässt.  Ein  sehr  elegantes  Beispiel  hierzu  bietet  die  Bestim- 
mung des  grössten  Vierecks  mit  vier  gegebenen  Seiten  a,  6,  c,  d.  Setzt 
man  nämlich  , 

\{a+h  —  c  +  d)^c\  \{a+h  +  c  —  d)  =  d\ 

ferner  L  (a,  ft)  =  a  und 

y  -777««%«  =  ^«  g>,      y   -ryCOS^a  =  smi(f^ 

so  findet  sieh  für  den  Inhalt  des  Vierecks  die  einfache  Formel 

V  =  j/ab'cd\  cos  (g>  —  '^) , 
die  sofort  erkennen  lässt,  dass  V  den  Maximalwerth  "/ab'cd'  erreicht, 
wenn  9=1^;,  mithin 

genommen  wird. 

Die  zweite  Methode  bezieht  sich  speciell  auf  quadratische  Functionen 
y  =  a;i(^+  bx  +  c 
and  beruht  auf  der  bekannten  Bemerkung, <das9  der  Wertb  von  o:  reell  und 
eindeutig  sein  muss;  lösst  man  daher  die  Gleichung  nach  x  auf,  nämlich 

I     > 


=.__i+7/zr 

*        a«*;'  4a'-      «    '     .-.-...Google 


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Literaturzeitong. 

80  bestimmt  sich  der  Maximal-  oder  Minimalwerth  Ton  y  durch  das  Ver- 
schwinden der  Wurzel  und  ist 

—  —  —         —         ^ 

Die  dritte  und  allgemeinste  Methode  kommt  im  Grunde  auf  das  Ver- 
fahren der  Differentialrechnung  hinaus,  erseheint  aber  hier  in  elementareai 
Oewande.  Wenn  nämlich  die  Function  y  =  ^  (a;)  von  x:ssa  bis  o:  =  | 
wächst  und  von  a:  =  |  bis  a;:=&  abnimmt,  mithin  für  a:  =  |  ihr  Maximuns 
y  =  i}  erreicht,  so  durchläuft  y  im  aweiten  Intervalle  rückwärts  die  Werthe 
(ganz  oder  theilweis),  die  es  im  ersten  Intervalle  hatte ;  einem  individuellen 
Werthe  des  y  entsprechen  daher  im  Allgemeinen  zwei  verschiedene  Werthe 
des  Xy  deren  einer  <  £  und  der  andere  >»$  ist,  und  nur  dem  y=i7  ent- 
spricht der  eine  Werth  o:  =  |.  Oder  geometrisch,  wenn  y  =  f{x)  als 
Gleichung  einer  Curve  angesehen  wird,  so  schneidet  eine  in  der  Höhe 
y  <  ij  parallel  zur  x  -  Achse  gelegte  Gerade  die  Curve  zweimal ,  während 
eine  in  der  Höhe  ti  gele^gte  Parallele  die  Curve  berührt.  Demnach  giebt 
es  zwei  verschiedene  Werthe  x  und  x^ ,  welche  dasselbe  y  liefern  d.  h.  die 
Gleichung /'(a;)=/'(a:,)  oder  ^(o:) — /'(a?i)  =  0  befriedigen;  diese  lässt  sich 
meistens  durch  x — Xi  diyidiren  und  enthält  die  Bedingung,  welcher  x  und 
Xi  genügen  müssen,  wenn  f{x)  und  f{x^)  gleich  sein  sollen.  Setzt  man 
nachher  oti  =  x  =  £,  so  erhält  man  die  nöthige  Gleichung  zur  Bestimmung 
Von  |.  Ganz  ähnlich  verhält  sich  die  Sache,  wenn  rj  ein  Minimum  ist. 
Als  erstes  Beispiel  benutzt  der  Verfasser  die  Ermittelung  des  grössten  Cy- 
linders,  der  aus  einem  geraden  Kegel  geschnitten  werden  kann  und  dessen 
Basis  auf  der  Kegelbasis  ruht.  Bezeichnet  r  den  Radius  der  Basis,  h  die 
Höhe  des  Kegeis,  x  den  Halbmesser  der  Cylinderbasis  und  V  das  Cjlinder- 
Volumen,  so  hat  man 

und  für  einen  zweiten  Cylinder  von  gleichem  Inhalte  und  anderer  Basis 

woraus  durch  Vergleichung  und  Division  mit  x  —  iCj  folgt 

r  {x  +  0?,)  —  (a:'  +  xxi  +  x^*)  =  0. 
Der  Radius  von  der  Basis  des  grössten  sich  selbst  entsprechenden  Cjlin- 
ders  wird  nun  durch  die  Gleichung 

r.2S— 3S*  =  0  oder  |  =  |r 
bestimmt.  —  Nach  dieser  Methode  behandelt  der  Verfasser  eine  grosse 
Reihe  von  Aufgaben,  welche  theils  der  Geometrie,  theils  der  Mechanik  und 
Physik  entnommen  sind.  Wir  nennen  unter  diesen:  Rechtläufigkeit ,  Still- 
stand und  Rückläufigkeit  der  Planeten,  die  Gesetze  der  Spiegelung  und 
Brechung,  Brechung  des  Lichts  in  einer  Kugel  (Theorie  des  Regenbogens), 
Brechung  des  Lichts  in  einem  Prisma  (Theorie  der  Höfe,  Nebensonnen  und 

uigiTizea  Dy  v_j  Vv'v^'i  LV- 


Literaturzeitung«  69 

Ndbenmonde) ,  grösster  Gl  ans  der  Veniis ,  Form  des  K^Jrpers  Ton  grösster 
Ansiehang  eto«  Die  Hierbei  vorkommenden  Oleichnngen  höherer  Grade 
and  transcendenter  Form  -werden  sorgfältig  disentirt  nnd  deren  nähernngs- 
weise  Auflösungen  an  vollständig  ausgerechneten  Beispielen  gezeigt. 

Das  vierte  Capitel  enthält  Aufgaben  mit  mehreren  Veränderlichen. 
Das  zu  Grunde  liegende  Princip  ist  sehr  einfach  nnd  lautet  folgender- 
maassen:  Wenn  u^=f{x,  y,  z)  zu  einem  Maximum  oder  Minimum  gemacht 
werden  soll,  so  denke  man  sich  für  den  Augenblick  zwei  von  den  drei 
Grössen  x^  y,  z  als  bekannt  oder  gebe  denselben  vorläufig  irgend  welche 
von  der  dritten  Variabelen  unabhängige  Werthe ;  man  hat  es  dann  nur  mit 
einer  Function  einer  einzigen  Variabelen  zu  thun  und  verfährt  daher  wie 
früher.  Da  aber  die  übrig  bleibende  Variabele  ebensowohl  x  als  y  als  z 
sein  kann,  so  hat  man  die  Methode  dreimal  anzuwenden,  indem  man  der 
Reihe  nach  y  und  z»  z  und  oc,  x  und  y  als  Constanten  ansieht. 

Im  fünften  Capitel  finden  sich  vermischte  Aufgaben,  von  denen  na- 
mentlich die  Untersuchungen  über  die  kürzesten  Linien  auf  Cylinder-, 
Kegel-  und  abwickelbaren  Flächen  besonderes  Interesse  gewähren.  An- 
hangsweis  wird  die  Stein  er 'sehe  Methode  zur  Lösung  isoperimetrischer 
Aufgaben  mitgetheilt  (Crelle^s  Journal ,  Bd.  24). 

Nach  dieser  Inhaltsangabe  bedarf  es  wohl  kaum  noch  einer  Empfeh- 
lung des  Buches,  welches  auf  dem  kleinen  Räume  von  154  Seiten  des  Lehr- 
reichen so  Viel  bietet.  Schlömiloh. 


Heue  TTAtersuchungen  über  frei  rotirende  Flüssigkeiteii  im  Zustande  des 
Oleiehgewiehts.  Von  Dr.  C.  Matthiessen,  Docent  an  der  Kieler 
Universität.  Kiel,  Akademische  Buchhandlung. 
Im  Anschluss  an  seine  früheren  Arbeiten  über  denselben  Gegenstand 
liefert  der  Verfasser  in  dem  vorliegenden  Schriftchen  eine  Monographie, 
welche  alle  bekannten  und  einige*  neue  partielle  Lösungen  des  berühmten 
PiH>blemes  der  Gleichgewichtsformen  rotirender  Flüssigkeiten  enthält.  An 
die  Möglichkeit  einer  allgemeinen  analyttschen  Lösung ,  selbst  unter  der 
Voraussetzung  homogener  Flnida,  glaubt  der  Verfasser  nicht,  er  geht  daher 
auch  nicht  analytisch ,  sondern  synthetisch  und  systematisch  zu  Werke,  um 
möglichst  viele  einzelne  Figuren  zu  finden ,  welche  den  Bedingungen  des 
Gleichgewichts  genügen.  In  der  That  empfiehlt  sich  dieses  Verfahren  durch 
Einfachheit  und  Anschaulichkeit  ebensowohl  als  doroh  die  Resultate,  welche 
der  Verfasser  damit  ersielt  hat,  „indem  als  Vermehrung  der  bisher  bekann- 
ten Gleichgewichtsfiguren  bezeichnet  werden  können:  l)  die  absoluten 
Ringkörper  und  concentrischen  Ringsysteme,  2)  die  Hohlkörper  (Hohlcylin- 
der  und  Hohlkugel) ,  3)  die  Kugel  als  Gleichgewichisfigur  gewisser  rotiren- 
der Bewegungen,  4)  die  eiförmigen  Sphäroide".  ^OOqIc 

LUoratarztg.  d.  ZeiUchr.  f.  Math.  u.  Phys.  V.  8  ^ 


70  Literaiurzeituog« 

Bei  geriogem  Umfang«  (74  Seiten)  ist  des  Inhalt  des  Werkchens  ein 
sehr  reichhaltiger ;  die  Darstellung  vereinigt  Klarheit  mit  Eleganz  und  giebt 
von  dem  Scharfsinn  des  Verfasser»  ein  sprechendes  Zeugnis«. 

SCHLÖMILCH. 


Bibliographie 

vom  1.  Juni  bis  1.  August  1860. 


Periodische  Schriften. 

Amtlicher  Bericht  tiber  die  34.  Natnrforscherversammlung  in 
Carlsrnhe  1858.  Herausgegeben  von  Eisenlohr  und  Volz.  Carls- 
ruhe ,  Müller'sche  Hofbuchhandlung.  2  Thlr. 

Denkschriften  der  Kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften  zu 
Wien.  Mathem. - naturwissensch.  OL  18.  Bd.  Wien,  Gerold's  Sohn 
in  Comm.  10  Thlr. 

Memoires  de  Vacademie  des  sciences  de  Peiersbourg.  7  serte. 
Tome  IL    No.  4—6..   Leipzig,  Voss.  1  Thlr.  27  Ngr, 

Beine  Mathematik. 

Mdller,  J.  H.  f.   Beiträge  zur  Terminologie  der  griechischen 

Mathematiker.     Leipzig,  Teubner«  ^  8  Ngr. 

Schmidt,  J.  P.     Die  Lehre  von  der  Quadrat-  und  Cubicwurzel, 

den  Gleichungen  zweiten  Grades  und  den  Progressionen. 

Trier,  Lintz'sche  Buohh.     Verl.-  Conto,  %  Thlr. 

FüBSTENAü,  E.  Darstellung  der  reellen  Wurzeln  algebraischer 

Gleichungen    durch  Determinanten.    Marburgs  Elwert^sche 

Universitätsbuchhandlnng.  12  Ngr. 

EoGNER,  J.    Die  Multiplication   mit  Vortheil  nebst  besonderen 

Erörterungen    von   Vortheilen   bei   der   abgektirzten   Multiplication. 

Wien,  Gerold*s  Sohn.  8  Ngr. 

Kdlik,  J.  P.     Beiträge  zur  Auflösung  höherer   Gleichungen 

und  der  cubischen  Gleichungen  insbesondere.   Prag,  Storch  in  Comm. 

1  Thlr. 
LüBSEN,  H.  B.     Ausführliches  Lehrbuch  der  Analjsis.     2.  Aufl. 

Hamburg,  Meissner.  /^      iVs  Thlr. 

Digitized  by  VjOvy^LV- 


Literaturseitting.  71 

WoLFF,  F,     Lehrbuch  der  Geometrie.     1.  Theil:  Planimetrie,  Tri* 

gonometrie,  Theilangslehre.  7.  Aufl.  Berlin ,  G.  Reimer.  1%  Thlr. 
Seeoer,H^    Die  Elemente  der  Geometrie.     Schwerin,  Hildebrand. 

%  Thlr. 
3auling,J.  T.    Geometrische  Constructionsaafgaben.     Altena, 

MentzeL  2  Thlr. 

WiBOAND,  A.   Lehrbuch  der  Mathematik.  2.  Cursus  der  Planijpetrie. 

5.  Aufl.   Halle,  Schmidt.  %  Thlr. 

F^üx,  Lehrbuch  der  Planimetrie.   2.  Aufl.   Paderborn,  Sche>ningh. 

%  Thlr. 
Maok,  L.     Goniometrie  und  Trigonometrie.     Stuttgart,  Metzler's 

Verlagsconto.  1%  Thlr. 

LüBSEN,  H.  B.   Ausführliehee  Lehrbuch  der  ebenen  und  sphft- 

Tischen  Trigonometrie.  3.  Aufl.  Hamburg,  Meissner.  24  Ngr. 
Gbrlach,  H.     Lehrbuch  der  Mathematik.    3.  Theil.     2.  Oursus  der 

Arithmetik;   Elemente   der   ebenen  Trigonometrie.     Dessau,  Aue's 

Verl. -Conto.  %  Thlr, 

Leibnitzen^s  mathematische  Schriften,  herausgeg.  von  Gerhardt. 

•        2.  Abth.   2.  Bd.   Halle,  Schmidt.  %  Thlr. 

Catalan,  E.     Traiii  ilimeniaire  des  sSries.     Paris.  1%  Thlr. 

Serret,  P.  Thiorie  nouvelle  geometrique  et  mecanique  des  lignes 

ä  double  courbure.     Paris.  2%  Thlr. 

Angewandte  Mathematik. 

WiEOARD,  A.  Grundzttge  der  Feldmesskunde.  3.  Aufl.  Halle, 
Schmidt.  6  Ngr. 

FiALKOwSKY,  B.  Die  zeichnende  Geometrie  (Constructionslehre) 
mit  Anwendung  auf  Maschinen-;  Sitnationszeichnen  etc.  2.  Auflage. 
Wien,  Wallishauser.  3%  Thlr. 

Redtbnbachbr,  f.  Theorie  und  Bau  der  Turbinen.  2.  Auflage. 
Mannheim ,  Bassermann.  10  Thlr. 

Magnus,  G.  Ueber  die  Abweichung  der  Geschosse.  2.  Aufl. 
Berlin,  Dümmler.  24  Ngr. 

Murmann,  A.  Ueber  die  Bahn  der  Europa.  (Akad.)  Wien,  Ge- 
Told's  Sohn  in  Comm.  2  Ngr. 

LittroW;  K.  y.  Andeutungen  über  astronomische  Beobach- 
tungen bei  totalen  Sonnenfinsternissen.  (Akad*.)    Ebendas. 

3  Ngr. 

Heis,  E.   Die  Sonnenfinsterniss  vom  18.  Juli  1860.  Halle,  Schmidt. 

6  Ngr. 

Schaub,  f.  Leitfaden  für  den  Unterricht  in  der  nautischen 
Astronomie  in  der  k.  k.  Marine.  2.  Aufl.  Wien,  Gerold's  Sohn. 

1%  ThWp 

uigiiizea  Dy  x^j  vyv^^'i  Iv^ 


72  Literatnrzeitung. 

Beech,  M«  Theorie  de  Vinjecteur  aUtomoleur  des  chaudieres  ä 
vapeur  de  M.  Giffard.     Paris,  MalUi-Bacheüer.  3  Frcs. 

Dayid,  E.  Parties  proporiionelles  calculees  de  seconde  en  se- 
conde  pour  la  ddclinaison  du  soleil,  la  declinaison  de  la 
lune,  son  ascension  droitey  son  passage  au  tneridien  etc.  etc. 
Paris.  1%  Thlr. 

Physik. 

Gayarret,  J.  Lehrbuch  der  Elektricität.  Deutsch  bearbeitet  von 
B.  Arendt.    4.  Lief.  Leipzig,  Brockhaas.  1  Thlr. 

Prestei.,  M.  A.  f.  Die  jährliche  VeränderuDg  der  Temperatur 
der  Atmosphäre  in  Ostfriesland.     Jena,  Frommana.     1  Thlr. 

GuTOT,  A.  Grandzüge  der  yergleichenden  physikalischen 
Erdkunde;  nach  des  Verfassers  Vorlesungen  bearbeitet  von  Birn- 
baum.   Leipzig,  Hinrich^s  Verl.-Conto.  1^  Thlr. 

MüiiLER,  J.  Auflösttugen  der  Aufgaben  des  mathematischen 
Supplementbandes  zum  Grundriss  der  Physik  und  Me- 
teorologie.   Braunschweig,  Vieweg.  .  %  Thlr. 

Knochenhauer,  K.  W.  lieber  das  elektrische  Luftthermometer.« 
(Akad.)    Wien,  Gerold^s  Sohn  in  Comm.  8  Ngr. 

WüLLERSTOKF - Urbair,  y.  Ucber  das  Verhalten  und  die  Verthei- 
lung  der  Winde  auf  der  Erdoberfläche,  sowie  insbeson- 
dere über  die  Windverhältnisse  am  Gap  Hörn.  (Akad.) 
Eben  das.  16  Ngr. 

Dauber,  H.  Ermittelung  der  krystallographischen  Constan- 
ten und  des  Grades  ihrer  Zuverlässigkeit.  (Akad.)  Eben- 
das.  14  Ngr. 

LiTTROW,  K.  V.  Ueber  das  Mikrometer  bei  lichten  Linien  bei 
den  Wiener  Meridianinstrumenten.   (Ak.)    Ebendas.     5  Ngr. 

Beitlinger,  E.  Ueber  die  Einwirkung  der  Elektricität  auf 
Springbrunnen.    (Akad.)   Ebendas.  4  Ngr. 

Hauer,  K.  v.  Krystallogenetische  Beobachtungen.  Erste  Belhe. 
(Akad.)    Ebendas.  2  Ngr. 

P]£clbt's  vollständiges  Handbuch  itber  die  Wärme.  Nach  der 
3.  Aufl.  deutsch  bearbeitet  von  Hartmann.   2.  Bd.   Leipeig,  Gerhard. 

4%  Thlr. 

Becquerel,  M.  jRecherches  sur  la  tempirature  des  vegetaux  et 
de  Vair  et  sur  celle  du  sol  ä  diverses  profondeurs,  (Acad.) 
Paris. 


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Literaturzeitung. 


Recensionen. 

Beiträge  sor  Terminologie  der  griechisohen  Mathematiker  von  Dr.  J.  H. 

T.  MüLLBR,  Oberscbulrath  und  Direetor  des  Realgymnasioms  sn 

Wiesbaden.  Leipzig  bei  B.  G.  Teubner.  1860. 
Es  sind  nur  2%  Druckbogen,  welche  der  Verfasaer  unter  dem  Titel 
von  Beiträgen  veröffentlicht,  aber  wer  den  Inhalt  prüft,  wird  über  die  Fülle 
erstaunen,  welche  in  dem  kleinen  Eauma  zusammengedrängt  ist,  und  da- 
durch nur  begieriger  auf  solche  Gegenstände,  wekhe  in  diesem  Schriftchen 
absichtlich  unberührt  gelassen  wurden.  Mit  einei^  Worte,  die  ganze  Kritik 
der  vorliegenden  Brochüre'  lässt  sich  durch  den  in  Süddeutschland  ge* 
bräuchlichen  Ausdruck  wiedergeben-:  „Sie  schmeckt  nach  mehr^^  Wir 
wollen  versuchen,  jetzt  in  Kurse  zusammenzustellen,  was  uns  alles  geboten 
wird,  sowie  was  der  Autor  uns  halbwegs  für  die  Zukunft  verspricht.  Beides 
sind  wesentlich  Worterklärungen.  Wer  nur  irgend  welche  Zeit  auf  das 
Studium  der  griechischen  Mathematiker  verwandt  hat,  wird  aber  wissen, 
dass  gerade  in  den  Wörtern  die  grösste  Schwierigkeit  liegt,  dass  z.  B.  das 
Wort  Porigma  zu  weitschweifigen  Streitschriften  geführt  hat  und  täglich 
führt,  wovon  auch  ein  neues  Werk  von  Chasles  Zeugniss  ablegt,  auf 
welches  wir  un«  vorbehalten  näher  einzugehen.  Nicht  weniger  bestritten 
ist  der  eigentliche  Sinn  der  Methoden,  welche  als  Analysis  und  Syn- 
thesis  bezeichnet  werden,  und  auch  das  Wort  ötöo^isvov  (z.  B.  die  Data 
des  Euclid)  bedarf  nicht  bloss  für  den  Laien  einer  näheren  Erörterung. 
Solcherlei  sind  die  Gegenstände,  welche  der  Verfasser  künftiger  Bearbei- 
tung vorbehalten  bat.  In  dem  bis  jetzt  Vorliegenden  bat  er  sich  nach  sei- 
nen eigenen  Worten,  um  ein  kleines  abgeschlossenes  Ganzes  zu  geben,  auf 
die  Behandlung  der  Kugel,  des  Kegels  und  Cylinders,  des  parabolischen 
und  hyperbolischen  Konoides  und  der  Sphäroide,  unter  Einschaltung  des 
lediglich  hierfür  Erforderlichen  aus  der  Lehre  von  den  Kegelschnitten  be- 
schränkt»   Die  Schriftsteller,  welche   er  .dabei  benutzt ,iig,i)i^yh£6ond^lC 

Lileralui-2tg.  d.  ZeiUchr.  f.  Math.  u.  Phys.  V.  9 


74  Literaturzeitung. 

Euclid,  Theodosius,  Archimed  und  Apollonins  von  Pergae.  Es 
ist  leicht  begreiflich,  dass,  wie  der  Verfasser  sagt,  mit  den  Namen  auch 
die  Sachen  gekommen  sind ,  und  so  finden  wir  wenigstens  die  Hauptsätze 
erwähnt,  welche  den  Griechen  in  Bezng  auf  die  genannten  Theile  der  Ma- 
thematik bekannt  waren.  Ebenso  natürlich  ist  es,  dass  das  hier  Gebotene 
nicht  bloss  für  den  Mathematiker  von  Fach ,  sondern  anch  für  den  Philolo- 
gen des  Wissenswerthen  genug  enthält;  wir  erwähnen  nur  die  Bemerkung, 
dass  die  archimedischen  Schriften  mit  geringen  Ausnahmen  nur  im  dori- 
schen Dialecte  existiren,  ferner  die  Ableitung  des  Wortes  „Sphäre*'  als 
„Knäuel  aufgewickelten  Garnes**,  „Potenz**  als  schlechte  Uebersetzung 
von  dvvafiig  u.  s.  w.  Der  Verfasser  würde  daher  durch  Fortsetzung  seiner 
Arbeit  Gelehrte  der  verschiedensten  Eichtungen  zum  Danke  verpflichten. 

Cantor. 


Exercice»  d' Analyse  numerique,  extraits,  cmnmentaires  ei  recherches 
relalifs  ä  Vanalyse  mdSlermmee  et  ä  la  iheorie  det  nombres.  Par 
V,  A.  Le  Besgue,  professeur  de  In  FacuÜe  de  seienees  de  Bordeaux 
etc.    Paris ,  Leiber  ^  Faraguet. 

Der  Verfasser,  durch  mehrere  zahlentheoretische  Arbeiten  in  Liou- 
ville^s  Journal  rühmlichst  bekannt,  giebt  in  dem  vorliegenden  kleinen 
Schriftchen  (150  Seiten)  eine  Sammlung  von  Aufsätzen,  deren  nächster 
Zweck  ist  „«  faire  voir  en  quoi  consiste  la  tkeorie  des  nombres,  et  ä  donner  wie 
idee  des  methodes  qu'elle  emploie,  Uebrigens  kann  das  Werkchen  recht  gut 
als  Elementarlehrbuch  der  Zahlentheorie  gelten ,  wie  man  aus  der  folgen- 
den Inhaltsangabe  ersehen  wird. 

Nach  einigen  einleitenden  Sätzen  beschäftigt  sich  der  Verfasser  xv- 
nächst  ausführlich  mit  der  Auflösung  der  unbestimmten  Gleichungen  ersten 
Grades  und  mit  den  sich  hieran  knüpfenden  Eigensehaflen  der  Zahlen, 
z.  B.  Ermittelung  der  Menge  von  Zahlen,  welche  kleiner  als  «ine  gegebene 
Zahl  und  relativ  prim  zu  ihr  sind,  Sätze  von  Gauss,  Fermat  und  Enler 
hierüber  etc.  Darauf  folgt  die  Theorie  der  Congruenzen  nebst  den  zahl- 
reichen Consequenzen ,  die  sich  mittelst  derselben  ans  dem  Fermat'sehen 
Satze  ziehen  lassen.  Der  nächste  Abschnitt  ist  der  Zerlegung  der  Zahlen 
in  Quadrate  und  Biquadrate  gewidmet,  woran  sich  dann  verschiedene  Un- 
tersuchungen über  Eigenschaften  der  Primzahlen  reihen,  z.  B.  Wilson^scher 
Satz ,  Anzahl  der  Primzahlen  unter  einer  gegebenen  Grenze  etc.  Den  Be- 
schluss  machen  einige  Mittheilungen  über  den  Gebrauch  imaginärer  un4 
irrationaler  Zahlen ,  sowie  über  die  Benutzung  divergenter  Reihen  bei  zah- 
lentheoretischen Untersuchungen. 

Der  Verfasser  verspricht  im  Fall  einer  günstigen  Anfnahne  das  Werk 
durch  einen  zweiten  Thell  zu   ergänzen,   welcher, i^^a^'^^PÜ^ßl^^vP^^i'' 


Literatttrzeitang.  75 

^uensen  Und  besonders  die  Congruenzen  zweiten  Grades  bebandeln  soll; 
Referent  ist  ab«rzeugt,  dass  der  Verfasser  Veranlassung  zur  Erfüllung  sei- 
nes Versprechens  6nden  wird.  Schlömilch. 


Tratte  elemenlaire  des  series  par  E.  Caialan,  docieur  Ss  sciences  etc. 
Paris ,  Leiber  4r  Faraguet.  1860. 
Das  vorliegende,  132  Seiten  zählende  Werkchen  zerfällt  in  VII  Capi- 
tel  folgenden  Inhalts.  In  Cap.  I  werden  die  Grundbegriffe  über  unendliche 
Reihen  festgestellt;  der  Verfasser  unterscheidet  convergirende,  divergirende 
und  unbestimmte  (oscillirende)  Reihen.  Cap.  II  enthält  in  grosser  Aus- 
führlichkeit die  Kennzeichen  für  die  Convergenz  und  Divergenz  der  Reihen, 
wobei  Referent  nur  den  einfachen  und  leicht  beweisbaren  Satz  vermisst, 
dass  die  Reihen 

dl  cos  n  +  a2cos2(o  +  a^cosZai  +  .•• 

Ol  sin  a>  +  ^t  *•'*  2«  +  a,  «m  3  w  + . . . 
jederzeit  convergiren ,  wenn  Lim  ö„  =  0  und  od  kein  Vielfaches  von  n  ist. 
Cap.  III  beschäftigt  sich  mit  den  elementaren  Methoden  der  Reihensummi- 
rung ;  dieselben  beruhen  hauptsächlich  auf  dem^  freilich  nur  selten  anwend- 
baren Kunstgriffe,  das  allgemeine  Glied  (p(n)  einer  Reihe  in  eine  Differen» 
von  der  Form  i/^  («  +  l)  —  ip  (n)  zu  zerlegen.  In  Cap.  IV  theilt  der  Ver- 
fasser eigene  Untersuchungen  über  die  näherungsweise  Summirung  der 
Reihen  mit,  wobei  er  sich  auf  einfache  geometrische  Betrachtungen  stützt. 
Üap.  V  enthält  die  Entwickelung  der  Functionen  in  Reihen  theils  mit  Hülfe 
des  Maclaurin'schen  Satzes,  theils  nach  anderen  Methoden.  In  Cap.  VI  wird 
die  Summirung  der  Reihen  ausführlicher  behandelt;  die  hauptsächlichsten 
Methoden  kommen  darauf  hinaus,  die  gesuchte  Summe  entweder  als  Integral 
einer  Differentialgleichung  oder  als  bestimmtes  Integral  darzustellen.  Der 
Verfasser  beschränkt  sich  hierbei  auf  die  einfacheren  Fälle.  Cap.  VII  ent- 
hält die  Transforipation  der  Reihen;  hierzu' giebt  der  Verfasser  nur  zwei 
Methoden,  die  Bildung  von  Differenzen  (nach  Euler)  und  die  Einführung 
complexer  Zahlen. 

Einige  Hauptfragen  sind  unerledigt  geblieben,  z.  B.  unter  welchen 
Umständen  die  Summe  einer  Reihe  eine  continuirliche  Function  ist ,  ob  und 
unter  welchen  Bedingungen  die  Differentiation  einer  Reihe  erlaubt  ist  etc. ; 
auch  fehlt  die  Lehre  von  den  Doppelreihen,  die  gerade  bei  Transformatio- 
nen eine  wichtige  Rolle  spielt.  Schlömilch. 


Einleitung  in  die  teohnische  Mechanik  für  Gewerbe-  und  Industrieschulen 
und  zugleich  n^t  Rücksicht  auf  das  Regulativ-  für  die  Aufnahms- 
prüfungen am  eidgenössischen  Polytechnikum  in^Zünch  be^beitet^ 


76  Literaturzeitungi 

von  Anton  Ph.  Largiadeb,  Professor  an  der  Industrieschale  in 
Frauenfeld.     Frauenfeld  und  Leipzig,    Druck  und  Verlag  Ton 

J.  Huber.    1860. 

Nach  dem  Inhalte  der  Vorrede  ist  die  vorliegende  Schrift  zunächst  im 
Interesse  der  schweizerischen  kantonalen  Gewerbe-  und  Industrieschulen 
abgefasst,  insofern  dieselben  Vorbereitungsschulen  für  das  eidgenössische 
Polytechnikum  in  Zürich  sind.  Sie  soll  nämlich  „eine  weitere  Ausführung 
derjenigen  Lehren  der' Mechanik,  deren  Kcnntniss  von  den  Bewerbern  am 
Aufnahme  in  den  ersten  Jahrescurs  der  Bau-,  Ingenieur-  und  mechanisch- 
technischen Schule  gefordert  wird,*^  enthalten  und  ein  Leitfaden  sein,  aus 
welchem  sich  Jedermann  Gewissheit  über  den  Umfang  der  Kenntnisse  in 
der  Mechanik  verschaffen  kann ,  die  ein  Aspirant  für  den  ersten  Jahres- 
curs der  erwähnten  Fachschulen  besitzen  muss.  Der  Umfang  des  Buches 
war  hiernach  im  Wesentlichen  von  dem  Regulativ  für  die  Aufnahmeprüfun- 
gen*) des  Züricher  Polytechnikums  abhängig;  doch  hat  sich  der  Verfasser 
bemüht,  demselben  eine  solche  Abrundung  zu  geben,  dass  es  ein  auch 
ausserhalb  der  angegebenen  Grenzen  gewiss  brauchbares  Lehrbuch  der 
Elemente  der  allgemeinen  Mechanik  nebst  deren  Anwendung  auf  die  Gleich- 
gewichtsbedingungen und  Bewegungser^cheinungen  an  festen  Körpern  ge- 
worden ist.  Die  nachfolgende  Inhaltsangabe,  welche  der  Referent  zugleich 
zur  Erörterung  einiger  wenigen  Punkte,  in  denen  er  mit  dem  Verfasser 
nicht  ganz  einverstanden  ist,  benutzen  will,  möge  dieses  Urtheil  recht- 
fertigen. 

Das  ganze  Buch  zerfallt  in  dreiHaupttheile;  der  erste  beschäftigt  sich 
mit  der  mathematischen  Bewegungslehre,  der  zweite  mit  der  Mechanik  des 
materiellen  Punktes,  der  dritte  enthält  die  Mechanik  fester  Körper;  in 
einem  Anhange  sind  die  einfachen  Maschinen  abgehandelt. 

In  der  mathematischen  Bewegungslehre  werden  nach  Aufstellung  der 
nöthigen  Vorbegriffe  zunächst  die  Formeln  für  gleichförmige  und  gleich- 
förmig geänderte  Bewegung  eines  Punktes  entwickelt,  woran  sich  einige 
allgemeine  Bemerkungen  über  ungleichförmige  Bewegungen,  sowie  über 
die  Bewegung  eines  Systems  unter  sich  fest  verbundener  Punkte  schliessen. 
IJei  diesem  letzteren  Theile  fehlt  der  auch  in  elementarer  Form  leicht  zu 
führende  Beweis,  dass  auf  die  hierbei  betrachteten  beiden  Bewegungsarten: 
„Fortschreiten"  und  „Drehung",  jede  Bewegung  eines  festen  Systems  von 
Punkten  zurückgeführt  werden  kann.  Eine  Sonderbarkeit  ferner ,  welche 
der  Verfasser  mit  mehreren  Lehrbüchern  der  Mechanik. gemein  hat,  besteht 
darin,  dass  er  bei  Berechnung  der  Geschwindigkeit  eines  zu  einem  rotiren- 
den  System  gehörenden  Punktes  die  Radien  als  unbenannte  Zahlen,  die 
Winkelgeschwindigkeiten  dagegen  als  benannte  Zahlen  in  Rechnung  stellt. 


*)  Der  Verfasser  schreibt  oonsequent  „  Anfnahmsprüfungen " ;  überhaupt  ist 
seine  Schrift  von  Provinzialismen,  wie  „innert**  für  ,j innerhalb **,  „ferners"  statt 
„ferner**  n.  dgl.  m.,  sowie  von  stylistischon  Härten  nicht  gäxiz  frei.  _jv^v^-c  l^ 


Literatiirzeitung.  77 

Da  der  Begriff  der  Winkelgeschwindigkeit  von  der  Proportionalität  der 
Bogenlängen  und  Kadien  bei  gleichem  Centriwinkol ,  also  vom  Verhältnisfei 
des  Bogens  zum  zugehörigen  Halbmesser,  nicht  aber  umgekehrt  d^r  Begriff 
des  Badius  von  einem  Goschwindigkeitsverhältnisse  abgeleitet  ist,  so  dürfte 
diese  Eigenthümlichkeit  schwer  zu  rechtfertigen  sein.  —  An  die  Betrach- 
tung der  einfachen  Bewegungen  reiht  sieh  die  Lehre  von  ihrer  Zusammen- 
setzung ,  die ,  soweit  hierbei  nur  gleichförmige  und  gleichförmig  geänderte 
Bewegungen  eines  Punktes  in  Frage  kommen,  mit  grosser  Vollständigkeit 
abgehandelt  wird.  Die  aus  gleichförmiger  und  gleichförmig  geänderter 
Bewegung  zusammengesetzte  parabolische  Bewegung  wird  hierbei  durch 
das  Beispiel  der  Wurfbewegung  im  leeren  Haume  weiter  erläutert;  ferner 
giebt  dieselbe  Bewegungsart  Gelegenheit,  davon  die  Normalacceleration 
abzuleiten.  Den  Schluss  der  mathematischen  Bewegungslehre  bildet  die 
Untersuchung  der  relativen  Bewegung  zweier  Punkte,  welche  durch  geo- 
metrische Betrachtungen  veranschaulicht  wird.  Einfacher  würde  sich  diese 
Untersuchung  gestaltet  haben,  wenn  der  Verfasser  die  einfache  Bemerkung 
aufgenommen  hätte,  dass  die  relative  Bewegung  zweier  Punkte  durch  eine 
ihnen  ertheilte  gemeinschaftliche  Bewegung  nicht  gestört  wird ,  dass  also, 
wenn  man  dem  System  der  beiden  Punkte  eine  gemeinschaftliche  Bewegung 
ertheilt,  welche  die  des  einen  aufhebt,  dadurch  die  des  anderen  in  eine 
absolute  umgewandelt  wird. 

Der  zweite  Theil,  die  Mechanik  des  materiellen  Punktes,  erörtert  zu- 
nächst die  mechanischen  Grundbegriffe,  welche  nachher  auf  die  Unter- 
suchung der  Wirkung  einer,  sowie  mehrerer  Kräfte  auf  einen  freien  mate- 
riellen Punkt  angewendet  werden.  Die  Lehre  von  der  Zusammensetzung 
der  Kräfte  stützt  sieh  hierbei  auf  das  Kräfteparallelogramm,  welches  in  be- 
kannter Weise  auf  das  Parallelogramm  der  Bewegungen  zuritckgefiihrt 
wird.  Da  die  Berechtigung  zu  dieser  Znrückftihrung  sich  auf  den  Grund- 
satz stützt,  dass  bei  gleichzeitiger  Wirkung  mehrerer  Bewegungsnrsachen 
in  jedem  Augenblicke  jede  derselben  ihre  Thätigkeit  unabhängig  von  allen 
anderen  äussert,  so  wäre  es  zur  schärferen  Begründung  der  so  wichtigen 
Lehre  yon  der  Zusammensetzung  der  Kräfte  wünschenswerth  gewesen, 
dieses  Princip  mit  Bestimmtheit  hervorgehoben  zu  sehen.  Es  ist  diess 
übrigens  ein  Mangel,  der  sich  nicht  allein  in  dem  vorliegenden  Lehrbuche, 
sondern  in  dem  grösseren  Thei)e  derjenigen  vorfindet,  welche  in  gleicher 
Weise  das  Kräfteparallelogramm  ableiten.  —  Im  weiteren  Verlaufe  des 
zweiten  Theiles  wird  der  Begriff  der  mechanischen  Arbeit  erörtert  und  mit 
den  davon  abhängigen  lebendigen  Kräften,  sowie  mit  dem  Princip  der  vir- 
tuellen Geschwindigkeiten  in  Zusammenhang  gebracht.  Hieran  reiht  sich 
die  Untersuchung  der  W^irkung  von  Kräften  auf  einen  unfreien  materiellen 
Punkt  nebst  der  Theorie  der  Centrifugalkraft ;  als  besonderes  Beispiel  einer 
Kraftwirkung  auf  einen  nicht  frei  beweglichen  Punkt  wird  zum  Schlüsse 
die  Bewegung  eines  materiellen  Punktes,  der  unter  *^^^^^%^J^ea^^C^H58u4?lc 


78  Litoraturzeitung. 

Schwerkraft  eine  vorgeschriebene  Bahn  beschreibt,  nähert  erörtert,  wobei 
auch  die  Bewegnngsges&tze  des  einfachen  Pendels ,  soweit  dies  in  elemen- 
tarer W^ise  möglich  ist,  entwickelt  werden. 

Der  dritte  Hanpttheil,  die  Mechanik  fester  Körper,  serfKlIt  in  zwei 
Unterabtheilungen ,  die  Gleichgewichts-  und  die  Bewegnngslehre  fester 
Körper.  Die  Statik  behandelt  nach  einem  Einleitnngscapitel ,  in  welchem 
die  nöthigen  Grundbegriffe  und  Grnndgesetze  festgestellt  werden,  in  den 
Capiteln  2  bis  5  die  Lehre  von  der  Zusammensetzung  von  Krftften,  die  an 
einem  festen  Systeme  materieller  Punkte  angreifen,  in  naturgemässem 
Fortschritte  von  den  einfachsten  Fällen  bis  zu  der  allgemeinsten  Znsam* 
mensetzungsaufgabe.  Namentlich  ist  dabei  die  Lehre  von  den  Kräfte- 
paaren in  vollständigerer  Weise  erörtert  und  zur  Anwendung  gebracht,  als 
dies  gewöhnlich  in  elementaren  Lehrbüchern  zu  geschehen  pflegt.  An« 
den  allgemeinen  Gleichungen  für  Zusammensetzung  der  Kräfte  werden  in 
Capitel  6  die  sechs  allgemeinen  Gleichgewichtsbedingungen  abgeleitet, 
worauf  das  Gleichgewicht  an  nicht  ganz  freien  Körpern  zur  Besprechung 
gelangt.  Den  Schluss  der  Statik  bildet  die  Schwerpunktstheorie ,  wobei 
Referent  nur  den  allgemeinern ,  von  der  Schwerkraft  unabhängigen  Begriff 
des  Schwerpunktes  als  Mittelpunkt  eines  Systems  gleichgerichteter,  den 
Massen  proportionaler  Kräfte,  welche  an  allen  Punkten  eineii  materiellen 
Systems  angreifen  ^  vermisst.  Die  Aufnahme  dieses  Begriffes  wäre  um  so 
Wünschenswerther  gewesen,  da  die  Gesetze  der  Schwerpunktsbewegung 
eines  festen  Körpers  von  ihm  allein  abhängig  sind.  —  Die  Dynamik  fester 
Körper  beginnt  mit  der  Wirkung  von  Kräften  auf  ein  freies  festes  System. 
Das  hierbei  Über  die  Bewegung  des  Schwerpunktes  Gesagte  entbehrt  in 
Folge  des  eben  angegebenen  Mangels  einer  strengeren  Begründung.  Im 
2.  Cap.  der  Bewegungslehre  wird  aus  dem  Begriffe  der  lebendigen  Kraft 
eines  festen  Körpers  der  Begriff  des  Trägheitsmomentes  abgeleitet  und 
hierauf  die  zwischen  den  auf  parallc^lele  Achsen  bezogeneuen  Trägheits- 
momenten stattfindende  Relation  entwickelt  j  die  Berechnung  von  Träg- 
heitsmomenten homogener  Körper  war  durch  den  elementaren  Standpunkt 
des  Lehrbuches  ausgeschlossen.  Das  3.  Cap.  beschäftigt  sich  mit  der  Zu- 
sammensetzung der  Centrifugalkraft  an  einem  um  eine  feste  Achse  rotiren- 
den  Körper  und  dem  hiervon  herrührenden  Druck  auf  die  Achse;  im  4.  Gap. 
werden  die  Bewegungsgesetze  des  materiellen  Pendels  auf  die  des  ein- 
fachen Pendels  zurückgeführt;  im  5.  endlich  sind  die  einfachsten  Fälle  der 
Gesetze  des  Stosses  fester  Körper  entwickelt.  Man  wird  aus  dem  letzten 
Theile  dieser  Inhaltsangabe  ersehen,  dass  die  in  der  Dynamik  abgehan- 
delten Theorieen  in  einem  loseren  Zusammenhange  stehen ,  als  dies  in  den 
übrigen  Abschnitten  des  vorliegenden  Lehrbuches  der  Fall  ist,  bei  denen 
sieh  überall  eine  naturgemässere  Verbindung  der  einzelnen  Lehren  erken- 
nen lässt.  Finestheils  der  zunächstliegende  Zweck  des  Buches,  welcher 
.dasselbe  an  ein  feststehendes  Programm  anknüpft,  andemtheils  der  elemen- 

uigiiizea  oy  v_i  vy  v^'Ti  ln^ 


Litcratarzeitung.  79 

tare,   allgemeineren  dynamischeB  Ui^ersnchungen  widerstrebende  Stand- 
punkt desselben  mag  hierbei  anr  Reehtfertigung  dieaen. 

Im  Anhange,  welcher  von  den  einfachen  Maschinen  handelt^  sind  die 
sogenannten  mechanischen  Potenzen  als  mathematische  Maschinen  (ohne 
Berücksichtigung  des  Reibungswiderstandes)  nach  ihren  Gleichgewichts« 
bedingttngen  untersucht.  An  die  Theorie  der  schiefen  Ebene  knüpft  sich 
hierbei  diel<ehre  Von  der  Stabilität;  die  Bedingungen  des  Gleichgewichts 
am  Hebel  sind  durch  die  Theorie  der  gemeinen  Waage  und  der  sogenann" 
ten  Strassburger  Brückenwaage  näher  erläutert. 

Was  die  Behandlung  des  Stofifes  betrifft,  so  hat  der  Verfasser  naeh 
der  Vorrede  neben  möglichst  grosser  Anschaulichkeit  überall  eine  möglichst 
streng  mathematische  Durchführung  der  betreffenden  Lehren  au  erzielen 
gestrebt;  der  Referent  kann  nach  Durchsicht  des  Buches  das  Urtheil  ab- 
geben, dass  dieses  Ziel  grossentheils  erreicht  worden  ist.  Der  Stellen,  die 
vor  einem  atreng  mathematischen  Gewissen  nicht  vollkommen  zu  rechtfer- 
tigen sind,  lassen  sich  nur  wenige  ausfindig  machen;  namentlich  dürfte  je- 
doch hierher  die  Auffassung  der  Rotationsflächen  als  unendlich  dünner 
Rotationshohlkörper  und  der  erzeugenden  Linien  als  unendlich  schmaler 
Flächen  bei  Uerleitung  dei^  Guldin^schen  Regel  zu  rechnen  sein.  —  Die 
mathematischen  Vorkenntnisse,  welche  das  Lehrbuch  bei  seinen  Lesern 
voraussetzt,  überschreiten  nicht  die  elementaren  Lehrsätze  der  Algebra, 
der  Geometrie  und  der  ebenen  Trigonometrie.  Nur  an  wenigen  Stellen, 
namentlich  bei  der  allgemeinen  auf  Zusammensetzung  der  Bewegungen 
und  Zusammensetzung  der. Kräfte  bezüglichen  Untersuchungen  sind  die 
Grundiehren  der  analytischen  Geometrie  benutzt  worden ;  doch  finden  die- 
selben,  soweit  sie  wir  Anwendung  gelangen,  im  Buche  selbst  ihre  Erläu- 
terung. 

Zum  Schlüsse  hält  sich  Referent  frot^  der  gemachten  Ausstellungen 
berechtigt,  auf  das  bereits  im  Eingange  ausgesprochene  Urtheil  zurückzu- 
kommen ,  dass  die  vorliegende  Schrift  wohl  geeignet  ist ,  auch  ausserhalb 
der  Kreise,  für  welche  sie  zunächst  bestimmt  wurde,  zur  Einleitung  in  das 
Studium  der  technischen  Mechanik  zu  dienen..  Für  das  Privatstudium 
dürfte  sie  sich  noch  durch  die  nicht  unbeträchtliche  Anzahl  durchgerech- 
neter numerischer  Beispiele  empfehlen ,  welche  die  vorgetragenen  Lehren 
in  ein  klareres  Lieht  zu  setzen  bestimmt  sind.  O.  Fobt. 


Die  CentralprojeetMa  ak  geometrisohe  Wifaenaeluift,   von  Dr.  O.  W. 

Fiedler.     Chemnitz  1800.     41  S.  4^ 
Wenn  allen  Wnkten  A^  By  C , . .  einer  geometrischen  Gestalt  gewisse 
Punkte  aybyC...  einer  Fläche  nach  einem  bestimmten  Gesetze  entsprechen, 
so  nennt  man  dio  Gesammthcit  der  letzteren  das  Bild  oder  die  Projection 

uigiüzea  Dy  %._j  vyOy  IV^ 


80  Literaturzeitünff, 


o' 


jener  Gestalt  und  Ale  Fläche,  in  der. sie  liegen,  die  Bild-  oder  Projcc- 
tionsfläche.  Zu  den  einfacbaten  Gesetzen  der  Abhängigkeit  der  Punkte 
a,  5,  c  . . .  von  den  Punkten  A^  B^C  ,  • ,  gelangt  man,  wenn  man  die  Geraden 
Aa^  Bb,  Cc  . .  ,  in  Betracht  zieht  und  annimmt,  dass  dieselben  entweder 
einer  bestimmten  Richtung  parallel  sein  oder  sich  in  einem  einzigen  Punkte 
schneiden  sollen.  Nimmt  man  ausserdem,  wie  dies  am  häufigsten  geschieht, 
zur  Bildfläche  eine  Ebene ,  so  erhält  man  die  gewöhnliche  Parallel  -  oder 
Centralprojection  der  Gestalt  ABC.  Die  Aufsuchung  der  Beziehung  zwi- 
schen einer  geometrischen  Gestalt  und  ihrem  Bilde  oder  ihrer  Projection 
kann  von  einem  zweifachen  Gesichtspunkte  aus  unternommen  werden :  ein- 
mal sucht  man  Vorschriften  auf  zur  richtigen  Projection  des  gegebenen 
Gegenstandes  oder  sucht  umgekehrt  von  der  gegebenen  Projection  zur  geo- 
metrischen Bestimmung  der  dargestellten  Raumgestalt  xu  gelangen,  das 
andere  Mal  will  man  aus  den  Eigenschaften  der  Projection  Eigenschaften 
des  ursprünglichen  Objectes  herleiten.  Im  ersten  Falle  gelangt  man  -zn 
einer  Theorie  des  Zeichnens,  im  anderen  zu  einer  Methode  der  geometri- 
schen Untersuchung.  Ist  nun  die  Parallel-  und  Centralprojection  als  Me- 
thode der  Untersuchung  in  neueren  Zeiten  vielfach  und  mit  grossem  Er- 
folge angewendet  worden,  und  hat  die  Darstellung  geometi*ischer  Gebilde 
mit  Hülfe  der  Parallelprojection  einen  hohen  Grad  wissenschaftlicher  Aus- 
bildung erhalten,  so  ist  dagegen  der  Darstellung  geometrischer  Gestalten 
mit  Hülfe  der  Centralprojection  bis  jetzt  eine  systematische  Bearbeitung 
noch  nicht  zu  Theil  geworden.  Eine  solche  systematische  Bearbeitung  d«r 
Centralprojection  oder  Perspective  zu  versuchen,  ist  der  Zweck  der  vor- 
liegenden Abhandlung.  Sie  beabsichtigt  weder  erschöpfende  Vollständig- 
keit noch  nimmt  sie  Rücksicht  auf  das  Praktische  der  Perspective ;  sie  will 
weiter  nichts  als  die  Grundgedanken  der  Methode  der  Centralprojection 
niederlegen,  auf  denen  die  Wissenschaft  weiter  gebaut  werden  kann.  Wir 
können  dem  Herrn  Verfasser  für  seine  Bemühungen  nur  Dank  wissen  und 
wollen  unsern  Lesern  eine  nähere  Angabe  des  Inhalts  der  Abhandlung 
nicht  vorenthalten. 

Die  Abhandlung  zerfällt  in  zwei  Abschnitte ,  von  deneti  der  erste  die 
ebenflächigen  Raumformen,  der  zweite  die  krummen  Ober- 
flächen, insbesondere  die  Kegelflächen  behandelt.  Die  Theorie  an- 
derer Flächen,  wie  die  der  Drehungsflächen,  der  Rückungsiächen ,  der 
Umhüllungsflächen,  ist  nicht  gegeben.  ^Der  erste  Abschnitt  enthält  drei 
Theile  mit  folgenden  Ueberschriften : 

A,  Von  der  Darstellung  der  geometrischen  Grundgebilde 
(Punkt,  Gerade,  Ebene)  und  ihrer  Anwendung  zur  Auflösung  von 
Aufgaben. 

In  diesem  Theile  werden  die  Principien  der  Centralprojection  ent- 
wickelt. Die  Grundgedanken  aber  sind  in  Kürze  folgende:  Das  Projec- 
tionscentrum  ist  bestimmt  durch  den  Hauptpunkt  und  den  Distanz- 

uigiüzea  oy  %_j  vj'\_/pc  lv. 


LiteralurzGitung,  81 

kreis,  d.  b.  durch  dofi  Eusspaiikt  der  Senkrechten  vom  Projectionacentmin 
auf  die  Bildebene  und  durch  den  nm  den  Hauptpunkt  als  Mittelpunkt  mh 
der  Distanz  des  Projectionscentrums  von  der  Bildebene  als  Halbmesser  be- 
schriebenen Kreis.  Eine  Ebene  ist  bestimmt  durch  ihre  Sp«r  und  ihre 
Fluchtlinie,  d.  b«  durch  die  beiden  geraden  Linien,  in  welchen  jene 
Ebene  und  eine  Parallelebene  durch  das  Projectionscentrum  parallel  mit 
der  ersten  gezogen  worden  ist,  die  Bildebene  durchstiiiht.  Ein  Punkt 
endlieb  ist  bestimmt  durch  zwei  sich  schneidende  G-erade,  deren 
eine  seine  projicirende  Linie  ist.  Nach  der  Discnssion  der  Darstellung  der 
Ebene ,  der  Geraden  und  des  Punktes  werden  die  Principien  angewendet 
zur  Auflösung  folgender  Aufgaben,  die  sich  aus  der  Verbindung  der  drei 
geometrischen  Grundgebilde  ergeben«  Aufgabe  I.  Durch  einen  Punkt  zu 
einer  geraden  Linie  eine  Parallele  zu  ziehen.  Aufgabe  IL  Durch  einen 
Punkt  und  eine  gerade  Linie  eine  Ebene  zu  legen.  Aufgabe  HL  Die  ge- 
rade Verbindungslinie  zweier  Punkte  zu  bestimmen.  Aufgabe  IV.  Durch 
eine  gerade  Liiiie  eine  Ebene  zu  legen,  die  einer  anderen  geraden  Linie 
.parallel  ist.  Aufgabe  V.  Durch  einen  Punkt  eine  Ebene  zu  legen,  welche 
zwei  geraden  Linien  parallel  ist;  und  als  specieller  Fall  die  Aufgabe: 
durch  einen  Punkt  eine  Ebene  zu  legen ,  die  einer  gegebenen  Ebene  paral- 
lel ist.  Aufgabe  VI.  Eine  Ebene  darzustellen,  die  durch  drei  gegebene 
Punkte  geht.  Aufgabe  VII.  Die  Dnrchschnittslinie  zweier  Ebenen  anzu- 
geben. Hieran  schliessen  sich  die  beiden  folgenden  Aufgaben:  den  Durch-, 
Schnittspunkt  von  drei  Ebenen  zu  bestimmen  und  den  Durchschnittspünkt 
einer  geraden  Linie  mit  einer  Ebene  zu  oonstruiren.  Aufgabe  VIIL  Eine 
Schaar  Ebenen  zu  verzeichnen,  die  durch  denselben  Punkt  gehen.  Auf- 
gabe IX«  Durch  einen  Punkt  eine  gerade  Linie  so  zu  ziehen,  dass  sie  zwei 
andere  gerade  Linien  durchschneidet.  Und  hierzu  die  Aufgabe:  In  einer 
gegebenen  Richtung  ein€^  -Gerade  zu  ziehen ,  welche  zwei  gegebene  Gerade 
schneidet.  Aufgabe  X.  Die  Normale  zu  zeichnen,  welche  von  einem 
Punkte  aus  auf  eine  Ebene  gefällt  werden  kann,  und  an  diese  sieh  an- 
schliessend die  Aufgabe:  Durch  eine  gerade  Linie  zu  einer  Ebene  die 
Normalebene  zu  legen.  Aufgabe  XL.  Durch  einen  Punkt  eine  Ebene  zu 
legen  ^  die  zu  einer  geraden  Linie  normal  ist.  Hierbei  die  Aufgabe ;  Die 
Senkrechte  von  einem  Punkt  auf  eine  gerade  Linie  zu  construiren.  Auf- 
gabe XII.  Die  gemeinschaftliche  Normale  zweier  geraden  Linien  zu  be- 
stimmen. 

B.  Von  der  Ableitung  der  wahren  Grösse  und  Lage  proji- 
cirter  Kaumformen. 

Die  Bestimmung  der  wahren  Gestalt  und  Grösse  einer  Eaumform  re« 
dueirt  sich  in  ihren  letzten  Elementen  auf  die  Bestimmung  der  wahren 
Grösse  einer  begrenzten  Geraden  und  eines  Winkels.  Diese  Elemente 
werden  in  ihrer  wähnen  Grösse  dadurch  dargestellt,  dass  man  die  Ebene, 
in  der  sie  liegen,  um  ihre  Spur  dreht,  sie  her  ab  seh  lag;  t«  bis  sie  mit  der 

^        '  ■       *  '  Lffgiiizea  Dy  x^j  vy  v./'i  LN^ 


82  Literaturzeitnngi 


Bildebene  znsammenf&llt.  An  die  Anflösnog  des  Hauptprobleme  dieaes 
Theiles:  einen  Punkt  mit  einer  Ebene,  welche  ihn  enthält,  in  die  Bildebene 
herabzuschlagen,  reihen  sich  sur  Erläuterung  folgende  vier  Aufgaben: 
1*  die  wahre  Länge  einer  geradlinigen  Strecke  zu  construiren;  2.  die  wahre 
GrSsse  des  von  zwei  geraden  Linien  gebildeten  Winkels  zu  bestimmen; 
3.  den  Neigungswinkel  einer  geraden  Linie  gegen  eine  Ebene,  und  4.  den 
Neigungswinkel  zweier  Ebenen  zu  construiren. 

Wie  dieser  Theil  die  Lehre  vom  richtigen  Qebrauch  central-projectivi- 
scher  Zeichnungen  enthält,  so  der  folgende  dritte  die  Anweisung  zur  rich- 
tigen Projection  einer  gegebenen  oder  definirteu  Raumform.  Die  lieber- 
Schrift  lautet: 

C  Von  der  Ableitung  der  Projection  aus  gegebenen  Ele- 
menten der  Grösse  und  Lage. 

Die  Hauptaufgabe  dieses  Theiles  ist:  einen  in  der  Bildebene  gegebe- 
nen Punkt  in  eine  bestimmte  Ebene  zurückzuschlagen,  d.  h.  eine 
Ebene,  welehe  den  gegebenen  Punkt  enthält,  durch  Drehung  um  ihre  Spur 
in  die  Lage  zurückzuftthren ,  welche  ihr  zukommt.  Als  Aufgaben  zur  An- 
wendung findet  man  hier  die  folgenden  gelöst:  1.  Auf  einer  geraden  Linie 
von  einem  ihrer  Punkte  aus  eine  gegebene  Länge  abzutragen;  2.  durch 
einen  Punkt  eine  gerade  Linie  zu  ziehen ,  die  mit  ein^r  anderen  geraden 
Linie  einen  voi^eschriebenen  Winkel  bildet;  d.  eine  gerade  Linie  zu  be- 
stimmen aus  einem  ihrer  Punkte ,  ihrer  projicirenden  Ebene  und  dem  Win- 
kel ,  den  sie  mit  der  Bildebene  einschiiesst ;  4.  durch  eine  gerade  Linie  eine 
Ebene  zu  legen,  die  mit  der  Bildebene  einen  vorgeschriebenen  Winkel  bil- 
det; eine  gerade  Linie  zu  bestimmen  durch  einen  ihrer  Punkte,  durch  ihre 
Ebene  und  den  Winkel,  den  sie  mit  einer  anderen  Ebene  einschiiesst; 
6.  durch  eine  gerade  Linie  eine  Ebene  so  zu  legen,  dass  sie  mit  einer  an- 
deren Ebene  einen  bestimmten  Flächenwinkel  bildet;  7.  durch  einen  gege- 
benen Punkt  eine  Ebene  so  zu  legen ,  dass  die  geraden  Linien ,  in  denen 
sie  zwei  bestimmte  Ebenen  sehneidet,  mit  der  Durchscbnittslinie  dieser 
letzteren  bestimmte  Winkel  bilden.  —  Der  erste  Abschnitt  enthält,  wie  sich 
aus  der  gegebenen  Uebersicht  seines  Inhalts  ergiebt,  vollständig  das  System 
der  Mittel,  durch  welche  von  jeder  bestimmten  ebenfläohigen  Raumgestalt 
die  Centralprojection  gezeichnet  werden  kann.  Der  Verfasser  lässt  dem- 
selben Betrachtungen  über  die  Veränderung  des  Projectionscentrums  und 
über  die  Mittel  folgen,  durch  welche  Raumformen  nach  Zahl  und  Maasa 
bestimmt  werden  können. 

Der  zweite  Abschnitt  der  vorliegenden  Abhandlung,  welcher  die  Dar* 
Stellung  der  krummen  Oberflächen  zum  Gegenstande  hat,  bespricht  aus- 
führlicher die  Darstellung  der  Kegel-  und  Cylinderflächen,  ihrer  Durch- 
schnitte mit  Ebenen  und  geraden' Linien,  ihrer  Tangentialebenen  und  Tan- 
genten, ihrer  Normalen,  ihrer  gegenseitigen  Durchdringung.  Daran  sohlieast 
sieh  die  Daratelluns:  des  eliiptiaeheB  einfachen  Hyperboloids  und  des  hyper- 

o  X  tf  M.     uigiTizea  Dy  >^J  vy  v^^'i  rvf 


Literaturzeittttig.  83 


bauschen  Parabaloids  und  die  Angabe  der  wichtigsten  Eigenschaften  dieser 
Oberflllcb^n  in  der  Form,  in  welcher  sie  in  der  Gentralprojection  auftreten. 
Zuletzt  folgen  noch  Andeutungen  über  die  Darstellung  anderer  Regelflächen. 

Im  Schlusswort  kommt  der  Herr  Verfasser  noch  einmal  auf  die  schon 
in  der  Einleitung  erwähnten  Schriften  von  J.  H.  Lambert:  „Die  freie 
Perspective,  oder  Anweisung,  jeden  perspectirischen  Aufriss  von  freien 
Stücken  und  ohne  Grundriss  zu  verfertigen  *S  sowie  auf  das  Werk  von  B. 
£.  Cousinery:  j,Geome'irie  perspective*'^  (Paris  1828)  zurück.  In  beiden 
Schriften  finden  sieh  schon  die  Prindpien  der  CenU*alprojection  aufgestellt, 
die  wir  oben  mitgetheilt  haben. 

Um  die  Besprechung  der  vorliegenden  Abhandlang  nicht  su  weit  au»* 
zudehnen,  wollen  wir  von  den  Resultaten  nicht  sprechen,  zu  welchen  eine 
Yergleichung  der  selbstständig  ausgebildeten  Gentralprojection  mit  der 
Parallelprojection  führt;  ebenso  wenig  auf  die  geometrische  Bedeutung  der 
Centralprojection  zurückkommen.  Beiden  Gegenständen  sind  die  letzte«! 
Seiten  der  Abhandlung  gewidmet.  Nur  eine  Bemerkung  sei  uns  zum 
Schlüsse  noch  erlaubt,  nämlich  die,  dass  es  der  Darstellung  des  interessan- 
ten Inhalts  der  Abhandlung  zum  grossen  Vortheil  gereicht  hätte,  wenn  dem 
Styl  mehr  Sorgfalt  gewidmet  worden  wäre,  als  dies  an  vielen  Stellnn  der 
Fall  gewesen  ist.  Der  berühmte  Verfasser  der  „Geometrie  descripHve''  konnte 
auch  hierin  als  Muster  gelten.  Trotz  dieser  Bemerkung  legen  wir  aber  die 
Abhandlung  mit  dem  Wunsche  ans  der  Hand ,  dass  sie  recht  viele  Leser 
finden  und  zum  weiteren  Ausbau  der  geometrischen  Wissenscliaft  der  Cen- 
tralprojection anregen  möge.  Dr.  Rddof  Hoffmann.   . 


Bibliographie 

vom  1.  August  bis  1.  October  186(K 

Periodische  Schriften. 

Astronomische  Nachrichten,  begründet  von  C.  Scbumachbr,  fort- 
ges.  von  P.  A.  Hansen  und  C.  A.  F.  Peters.  54.  Bd.  No.  1.  Ham- 
burg, Perthes,  Besser  &  Mauke.  pro  compl.  5  Thlr« 

Archiv  der  Mathematik  und  Physik,  herausgeg.  v.  J.  A.  Grünert. 
35.  Thl.    1.  Heft.    Greifswald,  Koch's  Verl.  pro  compl.  3  Thlr. 

Fortschritte  der  Physik  im  Jahre  185S.  Dargestellt  von  der  phy- 
sikalischen Gesellschaft  zu  Berlin.  14.  Jahrg.  redig.  von  0.  Hagen. 
1.  Abth.    Berlin,  6.  Reimer.  \%  Thlr. 

Bibliotheea  historico  -  naturalis,  ph^sico  -  chemica  et  maihcma* 
iica,  -ffrf.  E.  A.  ZüCHOLD.  10.  Jahrg.  I.Heft.  Januar  —  Juni  1860. 
Göttingen ,  Vandenhoeck  &  Rnprecht.  8  Ngr. 

Memoires    de  VAcademie    de    seiences   de    VInstilut  de  France. 


Tome  30.    Paris. 

uigiüzea  oy  '" 


ioogle 


84  Literaturzcitwng. 

Melanges  mathematiques  et  aslronomiques  tires  du  bulletin  de 
Vacademie  de  St,  Petersbourg.  T.  3,  livr,  2.   Leipzig,  Voss.  12  Ngr. 

Melanges  pkysiques  et  chimiques  tires  du  bulletin  d^  Vacademie 
de  St.  Petersbourg.    Tome  4,  livr,  1  —  4.     Ebendas.  2  Thlr. 

Beine  Mathematik. 

Kummer,  E.  E.  Gedächtnissrede  auf  G.  P.  Lejeane-Dirichlet. 
(Akad.)     Berlin,  Dümmler  in  Comtn.  12  Ngr- 

Gallenkamp,  W.  Die  Elemente  der  Mathematik.  2.  Aufl.  2.  Tbl. 
Arithmetik  und  Algebra,  Stereometrie  und  Trigonometrie.  Iserlohn, 
Bädeker.  %  Thlr. 

Sass,  J.  B.  Buchstabenrechnung  und  Algebra.  3.  Aufl.  Altona, 
Schlüter.  1  Thlr. 

ThomaS;  K.  Die  Potenz  und  die  ganze  Zahl^  das  Eins  und  Eins 
der  Mathematik.     Leipzig,  Wagner.  %  Thlr. 

Schwarz ,  li.  Beiträge  zum  mathematischen  Unterrichte  (neue 
Parallelentheorie  und  Begründung  der  Bruchlehre).  Hagen,  Butz  in 
Comra.  %  Thlr. 

Vega - Bremiker.  Logarithmisch-trigonometrisches  Handbuch. 
24.  Aufl.     Berlin,  Weidmann.  1%  Thlr. 

Bremiker,  C.  Logarlthmisch  -  trigonometrische  Tafeln  mit 
sechs  Decimalstellen.  Berlin ,  Nicolai'sche  Bucfabdlg.     1%  Thlr. 

Meissel,  E.  D.  f.  Sammlung  mathematischer  Tafeln.  1.  Lief. 
Iserlohn,  Bädeker.  %  Thlr. 

Claus,  C.  Leitfaden  für  den  ersten  Unterricht  in  'der  Plani- 
metrie.    Lübeck,  Dittmer'sche  Buchh.  6  Ngr. 

Escher,  H.  Die  mathematischen  Verhältnisse  der  Kreislinie. 
Zürich,  Meyer  &  Zeller.  .    6  Ngr. 

DiLLiNG,  A.  Det  rechnende  Geometer.  Sammlung  von  Aufgaben 
und  Beispielen  aus  der  algebr.  Geom.  Langensalza,  Schulbuchhdig. 
d.  Thür.  L.  V.  1  Thlr. 

Kinkelin,  H.  Grundriss  der  Geometrie  (Planimetrie  und  Stereome- 
trie).    Zürich,  Meyer  &  Zeller.  12  Ngr. 

Zehmb,  W.  Lehrbuch  der  ebenen  Geometrie  nebst  Repetitions- 
iafeln.    3.  Aufl.    Hagen,  Butz.  10  Ngr. 

Wenok,  J.  Die  construirende  Geometrie  als  Grundlage  für 
das  geometrische  Zeichnen.     Leipzig,  Klinkhardt.         12  Ngr. 

Fasbender,  E.  Anfangsgründe  der  beschreibenden  Geometrie, 
der  analytischen  Geometrie,  der  Kegelschnitte  und  ein- 
fachen Keihen.  Für  Realschulen  als  Ergänzung  zu  den  mathem. 
Lehrbüchern  von  Koppe.    Essen ,  Bädeker.  %  Thlr. 

Böklen,  O.  Analytische  Geometrie  des  Raumes,  enth.  die  Theo- 
rie der  krummen  Flächen,  der  gewundenen  Curven  und  der  Linien 
auf  Flächen.    Stuttgart,  Becher's  Verlag.  Cood  '^^*'^' 

igi  ize      y  O*"^ 


Litcraturzeilung.  85 

Sbrenüs  von  Antissa.  lieber  den  Schnitt  des  Cylinders.  Aus 
dem  Griechischen  v.  E.  Nizzb.    Stralsund,  Hingst.  %  Thlr. 

Angewandte  Mathematik. 

Kböhnke,  H.  Handbuch  zum  Abstecken  von  Cnrven  auf  Eisen- 
bahnen etc.     3,  Anfl.     Leipzig,  Teubner.  18  Ngr. 

Place,  J.  Uebej  die  Prüfung  der  Glasmikrometer.  Inaug.  Dis- 
sert.     Berlin,  G.  Reimer.  %  Thlr. 

Seebekger,  G.  Grundziige  eiiier  neuen  Methode  für  angewandte 
Perspective.    München,  literarisch    artist.  Anstalt.  14  Ngr. 

HoRNSTEiN,  K.  lieber  Helligkeitsmessungen  bei  kleinen  Fix- 
.  Sternen.  Mit  einem  Anhang:  Ephemeriden  für  ;die  Helligkeit  der 
Asteroiden  im  J.  1860.    (Akad.) 

Encke,  J.  f.  lieber  den  Kometen  von  Pens.  8.  Abhdlg.  (Akad.) 
Berlin,  Dümmler  in  Comm.  12  Ngr. 

Huber,  Ph.  Mechanik  für  Gewerbeschulen,  Realschulen  etc. 
2.  Aufl.     Stuttgart,  Krais  &  Hoffmann.  1%  Thlr. 

Brix,  A.F.W,  lieber  die  Reibung  und  den  Widerstand  der 
Fuhrwerke  auf  Strassen  von  verschiedener  Beschaffen- 
heit.   2.  Ausg.    Berlin,  Ernst  &  Korn.  2%  Thlr. 

Helmuoltz  und  Piotro:wsky.  lieber  Reibung  tropfbarer  Flüs- 
sigkeiten.   (Akad.)    Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.  12  Ngr. 

Hauer,  K.  V.  Krystallogenetische  Beobachtungen.  2.  u.  3.  Reihe. 
(Akad.)    Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.  10  Ngr. 

Armengaud  Fräres  et  Amouroux.  Nouveau  cours  de  dessin  in- 
dustriell comprenant:  le  dessin  lineaire,  les  eludes  de  projeciions  etc. 
Paris ,  Lacroix  4"  Baudnj.  25  frcs. 

La  Gournerie.  Traitä  de  geometrie  descriptive»  1  Partie.  PariSy 
Maltet -Bachelier,  ,  10  frcs. 

Physik. 

Araqo's  sämmtliche  Werke,  herausgeg.  v.  G.  W.  Hankel.  16.  Bd. 
Leipzig,  0.  Wigand.  2  Thlr. 

Fecilner,  G.  Th.  Elemente  der  Psychophysik.  2.  Bd.  Leipzig, 
Breifkopf  &  Härtel.  2  Tlilr.  21  Ngr. 

DuB.  J.  DerElektromagnetismus.  Berlin,  Springer's  Verl.  3%  Thlr. 

Hubert,  Ph,  Grundzüge  der  technischen  Naturlehre.  2.  Aufl. 
Stuttgart,  Krais  &  Hoffmann.  21  Ngr. 

Ferrel,  W.  The  motions  of'fluidsand  solids  relative  to  the  eartk's 
surface:  comprising  applicalions  to  the  tvinds  and  the  currents  of  the 
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BoASE,  H.  S.  The  philosophy  of  na  iure:  a  systematic  treatise  on  the  cau- 
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DowNES,  0.6.  On  the  physical  Constitution  of  comets,  London, 
Layton.  ^^ ^  LJigmzed  by  GoOgfe 


Mathematisches  Abhandlungsregisten 


Die  Petersburger  Academ  16  publicirt  seit  dem  27.  Juni  1859  ihre  Siizungsbericlite 
unter  dem  Titel:  Bulletin  de  Cacademie  imperiale  des  sciences  de  St.  Petersboitrg.  Von 
diesem  Datum  an  wird  desshalb  eine  neue  Abkürzung  benatzt ,  nämlich  ßiiU.  Acad, 
JPetetvb. 


1859. 
Zweite  Hälfte:  1.  Jali  bis  31«  December. 


Analytisehe  Geometrie  der  Ebene. 

247.  Sitr  les  courbes  du  troisihne  degre.     Abel  Transon.     N.  ann,  math,  XVIII ^  266. 

248.  Ueber  eine  Gattung  von  Cuxven  vierten  Grades,  welche  mit  den  elliptischen 

Functionen  zusammenhängen.     Siebeck.     Grelle  L VII,  :i59. 

249.  Le  Heu  des  sommet,  des  (tngles  droits  circonscrits  ä  wie  coierbe  de  la  classe  n  est  une 

courbe  de  degri  r?  —  n.     Salmon,     N.  ann.  malh.  XVIH^  314.   [Vergl.  No.  7.] 

250.  Ueber  die  Construction  der  Tangenten  gewisser  ebener  Curven.     Wiegers. 

Grün.  Archiv  XXXIII,  106. 
25 i.  Ueber  Grenzverhältnisse    bei  Curven.     Völler.     Grün.  Archiv  XXXIII,  350. 
[Vergl.  No.  3.] 

252.  Memoire  sur  les  polaires  incUn^es,     Dewulf,     N,  ann.  matA.  XVIII^  322. 

253.  Ueber  Fusspunktlinien  verschiedener  Ordnung.  Wetz  ig.  Zeitsehr.  Math.  Phys. 

IV,  319. 

254.  Theorems  oti  related  aa-ves.    Holdiich,    Quart,  Jovam,  Math.  III,  271. 

255.  Enveloppes.     Salmon,     N.  ann.  math,  XVIII,  36ö. 

250.   Transformation  des  propridiäs  des  figures,     Faure,     N,  ann.  math,  XVIII,  381. 

257.  Sw  le  thioreme  segmentair  de  Carnot,     Ter  quem.     N.  ann,  math.  XVIII,  347. 

258.  Relatiotis  entre  les  points  et  tangentes  multiple.  Salmon.  N.  ann.  math.  XVIII,  365. 

Vergl.  Brennpunkte,  Convexität,  Doppeltangente,  Ellipse,  Evolution,  Gescichte 
der  Mathematik  340,  Hyperbel,  Kegelschnitte,  Krümmungskreis  381,  Mecha- 
nik 395,  Parabel,  Quadratur,  Bectiiication. 

Analytisohe  (Geometrie  des  Baumes. 

259.  Sur  le  Systeme  de  coordonnccs  triliteres  et  quadriliteres.     Ter  quem.     N.  ann.  maih» 

XVII f.  Bull,  de  bibl.  65. 

260.  Allgemeine   Theorie    der    geradlinigen   Strahlensysteme.     Kummer.     Grelle 

LVII,  189. 

261.  Les  propriitis  commimes  d  tm  Systeme  de  deuä:  lignes  de  courbure  d'une  meme  surfitce 

du  second  ordre  et  d  un  Systeme  de  deux  lignes  droites  situ6es  däns  tm  meme  plan: 
Aoust.     Compt.  rend.  XLIX,  729. 

262.  Auflösung  einer  geometrischen  Aufgabe  (Grelle  LI,  100).  Bacaloglo.  Zeitsehr. 

Math.  Phys.  IV,  366. 

263.  Sw  les  lignes  de  courbure  et  les  lignes  geodäsiques  des  swface»  developpables  doni  les 

gönöratrices  sont  paralleles  d  Celles  d'ime  surface  rigUe  queiconque,    Mo  lins, 
Journ,  Mathim.  XXIV,  347.  uigmzea  oy '»^v^v^-c  l^ 


Literaturzeitang*  87 

264.  üeber  einige  Sätze  der  höhern  Geometrie.  B  o  e  k  1  e  n.  Grnn.  Archiv  XXXIII,  111. 

2t$5.  Note  sitr.  Ita  seciions  Umquts,    Garlin.    N.  arm.  nutlh,  XVIII^  310. 

2tW.  On  Contour  and  Slope  Ivtet.     Cayley,     Phil.  Mag  XFlii,  2Ö4. 

7tl.  SuUe  figure  imerse.     Tortolinu     Annali  inat.  II ,  \%\). 

208.  Sopra  alcune  linee  e  super/ide  curve  derioate,     Tor  to Uni.     Annaii mal.  //,  316.     • 

260.  Note  sur  les  covrbeg  et  siirfaces  deiivdes.    Roberts,     Compl.  rend,  XLIX,  74?. 

Yergl.  Cubatur,  Determinanten  in  geometrischer  Anwendung  290,  291 ,  Krüm- 
XQUiigslinieu,  Oberflächen,  Oberflächen  2ter  Ordnung,  Perspective,  Sphärik. 

Astronomie. 

270.  Entwickelung  der  rechtwinkligen  Coordinfiten  eines  Planeten  nach  aufsteigen 

den  Dimensionen  der  planetarischen  Massen  nach  Raabe.    Fidler.    Astr. 
Nachr.  LI ,  280. 

271.  Calctd  des  variations  siriilaires  des  mot/ens  motivements  du  pirigee  et  du  noettd  de  Cor- 

bite  de  la  Urne.    De  launag,    Compt,  rend.  XLIX,  300. 

272.  Sta*  VequaUon  seculaire  du  mögen  mouvement  de  la  bäte.   De  Ponticoiilant.  Compt, 

rend.  XLFIII,  1023,  1122.  —  Delaunay.    ibid.  1031. 

273.  Ueber  Declinationsänderung  bei  Circummeridianhöhen  der  Sonne.     Schanb. 

Astr.  Nachr.  LI,  109. 
Vergl.  Geschichte  der  Mathematik  334,  335,  338. 

AttnutloB. 

274.  A  matkemaiical  theory  6f  attraetive  forcett.    Challh.    Phit,  Mag.  XFllI,  321. 

275.  Atkeory  oftheforce  ofgravity.    Challis.    Phil.  Mag.  XVIll,  442. 

276.  Rivherche  analitiche  sopra  le  attrazioni  eservitate  da  ima  Hnea  piena  verso  un  pimto 

maleriale  collocuto  nel  stto  pttmo  ed  in  pto'ticolare  sulV  attrazione  dei  quadrtmle  di 
un  ellissa  v erso  ii  centro .    Tortolini,    Annali mat  11,  244. 

B. 

BemouIIi^Bche  Zahlen. 

277.  Sur  les  differences  de  iP  et  sur  le  calcul  des  nombres  de  Bemoulli,     Catalan,     An- 

niUi  mat.  11,  230. 

Bestimmte  Integrale. 

278.  Swr  quelques  in4galit6s  concemant  les  integrales  ordimnres  et  les  integrale»  aux  diffi^ 

rences  finies.     Bouniakofsky      Pelersb.  Acad.  Bull   XVII,  535 

279.  Applicazione  di  una  forntola  d'integrale  definito  multiplo  alt'  integrazione  di  tma  classe 

di  equazioni  a  derivate  parziali  e  a  coeffidenti  constatUi.     Tortolinu     Atmali 
mat,  11,  2ü0. 
Vergl.  Elliptische  Functionen,  Gammafunctionen. 

Brennpunkte. 

280.  Note  sur  les  foyers  des  courbes  planes,    Ter  quem,    N.  ann.  math,  XVII I,  399. 

Cartographie. 

281.  Sio'  les  eartes  giographiques,    Tissot,    Compt.  rend,  XLIX,  673. 

Ooubiuiloiik. 
^2.  On  the  analytical  forms  catted  Trees.    Cayley.    Phü.  Mag.  XVIII^ZIA, 

Convezität 

283.  Sur  tme  proposilion  relative  d  la  convexite  des  courbes,     Gerono,    N.  mm.  math. 

XFIII,  397. 

Cnbatnr. 

284.  Zur  Bestimmung  der  Rauminhalte  und  Schwerpunkte  von  Körpern  zwischen  zwei 

Parallelebenen  und  einer  zusammenhängenden  Umfläche.    Matzka.    Grün. 
Archiv  XXXIU,  121. 


B«ciBi«lbrftehe. 


285.  Zur  Theorie  der  periodiai.hen  Decimalbrüche.  Sturm.  Grnn.  Archiv  XXXIII,  94 

««>v«*^  uigiüzea  Dy  x^j  vy v_7 V  i> 


LV- 


88  Literaturzeitung. 

Betomiijuuitoii. 

286.  yoiio7ts  SUmentmre»  sur  les  hmtrianfs,  covariants,  dlscrimtnanttt  et  kyperditermintmUt. 
Terquem,     N.   ann.  ma(h.  XVIlIy  249,  2Ö9,  44(5.  —  Blerzy.    ibid.  AW. 
[Vergl.  Bd.  IV,  No.  288  J 
*  287.  La  ieoritadei  covaritmti  e  degti  invarianti  delle  forme  hmarie  e  le  sue  principaH  appU- 
cazioni.     Brioschi,     AnnaH  mat.  II,  265.     [Vergl.  No.  88.] 

288.  On  the  vtUue  of  cet'tain  determinants,  the  terms  of  nMch  are  the  sqttared  diHances  of 

pointn  in  spinne  or  in  Space,     Cayley,     Quart.  Joum.  Mtük,  III,  275. 
Vergl.  Elimination ,  Gleichungen. 

Determinanten  In  geottetrisclier  Anwendung. 

289.  AppHcation  de  la  noimelie  analyse  aux  sierfaces  du  second  ordre.    Painvin,    N,  am. 

mntk.  X.FIII,  407.     fVergl.  No.  44.] 

290.  On  a  nem  analyticai  represetUation  ofcuroes  in  Space.    Cayley.    Quart.  Joum.  Math, 

in,  225. 

291.  On  the  relation  whirh  connects  the  mutual  distances  of  five  poinls  in  space.     Salmon. 

Quart.  Journ.  Math.  III,  2H2. 

292.  Demonstration  d*un  theorevie  de  mecanique  efionci  par  Euler.     Oerono.     N,  ann. 

math.  XVIII,  390. 

Differentialgleieliiingen. 

293.  On,  the  Solution  of  di/ferentiat equations.  S  Roberts.  Quart.  Jouni.  Math.  III,  216. 

294.  Integration  der  partiellen  Differentialgleichungen  erster  und  «weiter  Ordnung. 

Weiler.     Grün.  Archiv  XXXUI^  171. 

295.  Ditnonstration  d'uii  thdoreme  de  Jacob  i  par  rapport  auproblhne  de  Pf  äff.     Cay- 

ley.     CrelleLFII.2n. 

296.  Sur  quelques  iquations  diffirentielles.    Min  ding.    Joum.  mathim.  XXIV,  273. 

297.  Sur  les  integrales  afgebriqnes  des  Equations  diff&rentielles  de  la  micanique.  Mas  sie  u. 

Compt:  rend.  XLIX,  352 

298.  Sur  le  changement  de  la  variable  independante.     S.  Spitzer.     Compt.  rend  XLIX, 

48.270.     [Vergl.  No.  56.] 

299.  Studien  über  Diffon  ntialgleichnngen  von  der  Form  (OTj:*+na?+p)y"+rya?+r)+y' 

4.«y  =  0.     S.Spitzer.     Zeitschr.  Math.  Phys,  IV^  "iöL 

300.  InteKJ^ation  der  linearen  Differentialgleichung  a?2»y«  :=Axy4-ßy.  S.  Spitzer. 

GruTi.  Archiv  XXXIII,  413. 

301.  Zur  Integration  einer  linearen  Differentialgleichung   der  Form  y(«)=^x"»y" 

^-Äa;«— Jy'4-Ca;«-2y.     8.  Spitzer.     Grün.  Archiv  XXXIII ,  11». 

302.  Integration  di-r  Gleichung  («« -f  6y  +  c)  -; — r-  +  ai  -—-  +  ft^  --  =  0.    S.  S  pit- 

ax  ay  ax  ax 

z  e  r.     Grün.  Archiv  XXXIII ,  46 1 . 

303.  Integration  der  partiellen  Differentialgleichung  (x  +  y)  ^-.-l-^-  m,  (x  +  y)  -y^ 

ax  ay  da: 

+  in,  (a?  +  y)  -7-^  +  w  z  r=  0.     S.Spitzer.     Grün.  Archiv  XXXIII ,  476. 

Vergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  255,  Bestimmte  Integrale  279 ,  Diffe- 
reuzengleichungen  306. 

DUferentifllqaotient 

304.  Sur  quelques  formules  poia*  tu  di/ferentiation.     Cayley.     Annali  mat.  II,  214. 

305.  Note  über  Differenz-  und  Differentialquotienten  von  allgemeiner  OrdnungszahL 

S.Spitzer.     Grün.  Archiv  XXXIII ,  1 16. 
Vergl.  Mechanik  405. 

Differenzengleiehnngen. 

306.  Ueber  ein  zwischen  Differenzcngleichungön  und  Differentialgleichnngen  statt- 

findendem Reciprocitätsgesetz.     S.Spitzer.     Griin.  Archiv  XXXIII,  415. 

307.  Svcr  la  diffirence  w»V/w<r  dtime  fonction  est  eonstanle,  la  fonction  est  alg^brique  entiere 

et  du  degre  m.     Ger  oho.     N.  ann.  math.  XVIII,  389. 

Doppeltftngenten. 

308.  On  the  double  tangent  of  aplane  ciirve.   Cayley.    Phil.  Mag.  y^VIU,  471.    [Vergl. 

Bd.  IV,  No.  247.]  ^,g,^,^^,  ,y  GoOgL^ 


LiteraturzeitttDg. 


Batticitat. 

309.  Zar  Theorie  der  Elastidtät.   Ken  mann.   Grelle  LYII,  281. 

Xlimi]iatio&. 
ZIO.  Methode  d'Himination.    Cayley.    N.  ann.  math.  XVIII,  ^91, 

311.  Ueber  ein  die  Elimination  betreffendes  Problem.     Borchardt.     Annali  tnat. 

//,  2Ö2.    [Vergl.  Nr.  99.] 

Sllipse. 

312.  Pf^opriiU  de  l'eliipse.    Lino  de  Pombo.    Compt,  rend.  XLIX,  756. 

Vergl.  Attraction  276. 

SUiptische  TtmotioAML 

813.  The  higher  theory  of  elHptic  Integrals  treated  from  JacobTs  functions  as  üs  hatis. 

New  man,     PMl.  Mag  XV III,  394. 

814.  8ttr  fa  transformation  des  fonctions  eiliptiques  de  tapremiere  esp^e,    Baehr.    Gnm. 

Arthiv  XXXm,  854 
315.  On  the  comp(trison  ofhgperboiic  arcs.     Merrifield,     Phil.  Mag.  XVIII,  4ÖI. 
Vergl.  Analytiache  Geometrie  der  Ebene  248,  Variationsrechnung. 

Syolntion. 

310.  On  the  n^  tvolutes  and  isvmhUes  of  cumes.  fHolditcK    Quart.  Joum,  Math, 

III,  23(5. 

EiqpoiLt&tialgTttMe. 

317.  Uebor  den  Werth  von  ««+*».    Dienger.     Grün.  Archiv  XXXIII,  481. 

F. 
Taetoriell«. 

318.  tJe))er  Facnitätenreihen.'  Bchlömilch.    Sächa.  Acad.  Ber.  —  Zeitschr.  Math. 

Pbya.  IV,  390. 

Flgnrlrt»  ZaUea. 
819.  Ueber   den  Zosammelüiang  der    Gleichung  «*^y*=sz*  mit  Dreiecknahleii. 
8 1  n  r m.     Gran.  Archiv  XXXIII ,  92. 

7iuiotioii6&. 

320.  Fondamenti  di  tma  teorica  generale  delle  fi^nzioni  di  wul  variahüe  complessa.     Rie- 

mann.     Annali mai.  II,  288. 

321.  Bechnang  mit  rationellen  symmetrischen  Functionen.   Hoppe.   Zeitschr.  Math. 

Phy».  IV,  353  ^ 

322.  Sur  ttne  dasse  de  fotictions  qui  pewent  s'expnmer  rtxtionetfement  les  ttnes  par  Us 

autres.     Woepcke      Joum.  Mathim.  XXIV,  339. 

823.  On  an  andfytical  theorem  relating  to  the  distributitm  of  electricity  npon  spherical  sur^ 

faces      Cuyley.     FhU  Mag.  XVIII,  119,  ni3. 

824.  Ueber  eine    transcendente   Function.     Schlömilch.     Zeitschr.  Math.  Phys. 

IV,  4;«. 

Vergl.  Bemonlli'scho  Zahlen,    Elliptische  Functionen,    Ezponentialgrössen, 
Gammafanctionen ,  PartialbrHche ,  Tabelle ,  Trigonometrie. 

G. 

Oa3B]iiafkiBetio&. 

325.  Entwickelung   einer  neuen  Reihe    für   die   Gammafunction.      Schlömilch. 

Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  431. 

326.  Deduction  simpte  de  fexpression  r{x).     Zehfuss.     N.  am.  math.  XVIII,  356. 

[Vergl.  Bd.  IV,  No.  87.] 

327.  Von  den  Gammafonctionen  und  einer  besonderen  Art  unendlicher  Producta. 

Bauer.     Grelle  LVII,  256. 

Geodlsia. 

328.  Ueber  ^ie  Genauigkeit  einer  besonderen  Art  von  NivelUrinstrumenten.  Winck- 

Ur.    Zei«.chr.M.ti..Phy».IV,  438.  u,g„zea  ov  Goodc 

LiteralurBtfr.  d.  Zeitschr.  f:  Math.  a.  Phys.   V.  10  ^ 


dO  Literaturzeitung. 


Geometri»  ( höhere  )• 
820.  Sur  diverses  giomitries.    Ter  quem     N.  trnn.  matk.  XVIII,  445. 

330.  JSote  sur  lathimne  des  polaires  röriproques.  Mannheim,  N  ann.  math.  XVIII^  308. 

331.  Discussion  d'vn  problewe  relatif  a  la  construction  des  coniques.     De  Jonquieres. 

N.  ann.  nuäk.  KV III,  404. 

332.  Par  wie  point  fixe  donne  dans  le  plan  d'ime  conique  passe  une  s^cante  mobile,  irouver 

le  Heu  geomHrique  du  point  d'intersection  des  deux  jäormales  metiees  d  la  conique 
aux  denx  points  oü  la  sicanle  coupe  la  conique.     De  Jonquieres.     N.  ann. 
vuitk  XVIII,  2öl,  406.     [Vergl.  No.  123.] 
Yergl.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  264,  Krümmnngskreis  381« 

Oesehiohte  der  Vathematik. 

333.  Les  trois  liwres  de  porismes  d'ICueäde,  ritablis  pöur  la  premiere  fois  d apres  la  noiice 

ei  les  lemmes  de  Pappus  et  conformiment  au  sentiment  de  R  Simson  sur  la  forme 
des  inonc^s  de  ces  propositions.     Chasles.     Compt.  rend.  XLVIII,   1033. 

334.  Berechnung  einiger  alten  Finsternisse  mit  Hülfe  der  Hansen*schen  Sonnen-  und 

Mondtjifeln.     Hartwig.     Astr.  Nachr.  LI,  33. 

335.  Ueher  eine  Sternbedecknug  in  Ptolemäus^  Almagest.     Encke.     Astr.  Nachr. 

LI,  »7. 

336.  Stir  Vorigine  du  mot  algorisme  d'apres  Boncompagtii,     Chasles      Compt,  rend. 

XLVIII,  1054. 

337.  Einige  Aufgaben  aus  dem  Arabischen  des  Abraham  Aben  Ezra.     Schnitz- 

1  e  r.     Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  383. 

338.  Recherches  sur  Vastronomie  indienne.     Biot.     Compt  rend.  XLIX,  571. 
3Hft.  Die  Professur  des  Ramus.     Cantor.     Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  314. 

340.  Note  historique  sur  les  vourbes  planes.     Ter  quem.     N.  mm.  math.  XVIII,  Bulletin 

de  bibl.  72. 

341.  Sitr  le  thöoreme  de  Tinseau.    Prouhet,    N.  ann.  math.  XVIII,  Bulletin  de  bibl.  59. 

342.  Bibliographie  de  la  pm-tition  des  nombres,    B ellavitis.    N.  ann.  math.  XVIII,  443. 

343.  Sur  plusieurs  Berits  relatifs  au  comte  Jacques  Riceati.     Bald.  Buoncompagni. 

N.  ann.  math.  XVIII,  Bulletin  de  bibl.  61.  • 

344.  Lettre  autographe  de  Legendre.     N.  ann.  tnath.  XVIII,, Bulletin  de  bibl.  49. 
315.  Necrolog  von  G.  L  ejeune-Dirichlet.     Tortolini.     Annali  mat.  II,  196. 

346.  Zum  Andenken  an  Alexander  v.  Humboldt.    Baer.     Petersb.  Acad,  BuiL 

XVII   529. 

347.  Ueber  Alexander  V.  Humboldt.     Encke.     Berl.  Acad.  Ber.  1859,  637. 

348.  Fimerailles  de  M,  Poinsot.    Discours  de  M.  Bertrand.  — Discours  de  3f.  Ma- 

thieu.    Jowm.  Mathem.  XXIV,  427. 

OleiehusgeB. 

349.  On  the  theorem  ihat  every   tdgebraic   eqiiation   has  a  root.      Airy.      Phil.   Mam. 

XVIII,  230. 

350.  Sketch  ofa  proof  of  the  theorem  that  every  algebraic  equation  has  a  root.     Cauleu. 

Phil.  Mag.  XVIII,  436. 
35 i .  Sur  la  thäorie  des  iquations  algebriques.    Michael  Roberts.    Atfludi  mat.  II,  330. 

352.  £ssai  de  risolution  des  ^quations  par  les  s&ries  et  les  logianthmes.    Valz,     Compt. 

rend.  XLIX,  705. 

353.  Approxitnation  to  the  roois  of  algebraic  equations  in  a  series  of  aliquot  parts.     Kor- 

ner.    Quart.  Joum.  Math.  III,  251. 

354.  Sur  les  limites  des  racines,     Toussaint.     N,  ann.  math.  XVIII,'  310.    -[Vergl. 

No.  91.J 

355.  Sur  wie  limite  superieure  du  nombre  des  racines  commensurables  d*une  iquation.     De 

Montebello      N.  tmn.  math.  XVIII,  256. 

356.  Sur   les  divisettrs  commensurables  du   sccond  degri,      Prouhet.      N.  ann.  math. 

XVIII,  257. 
*dbl .  *  Dimostrazione  delV  irreduitibilita  dell'  equazione  formata  con  le  radici  primitive  deW 
uniiä*     Lebesgue.    Annali  mat,  11^  232^ 

358.  On  the  theory  of  groups  as  depending  on  the  symbolic  equation  ßf^zzi.     Cayley. 

Phil.  Mag.  XVIII,  34. 

359.  Solution  abr^gSe  des  Equations  du  troisihne  et  du  quatrüme  degri  dans  wt  cas  parti- 

eulier.     Montucci.     Compt.  rend  XLIX,  295. 

360.  Zur  Auflösung  biqnadratischer Gleichungen.  Spitz«  Grün.  Archiv  XjLXIII,  442. 

uigiiizea  oy  x^j  vy  v^^p^  lv- 


LiteratarzeitnDg.'  91 

361   OUervaiim*  tm  ihe  thear^  of  equatiota  af  tke  fiftk  degret.     Co  ekle,     Pkü,  Mag» 
XVIII,  ftO,  342,  hm,     {Ver^l.  No.  98.] 

362.  SvT  la  r680lution  des  ^qtuUioM  du  cinqideme  degre,  Fergola,  Compt  rend.  KUX,  267. 

363.  Solution  d'une  Squaiiun  transiendente.    Burat  et  Bos.    N.  mm.  ntath^  X^III,  282. 

364.  IntOTHO  ad  ima  equazione  trinomia.    GenocchL    Annali  mat,  II,  253. 

365.  Sur  l'equation  generale  du  «»^«»*  degrä  d  deiuc  variables  dans  laquelie  on  faxt  Darier  un 

des  coeffirients.     Woepcke.     Joum.  Matkim.  XXIV,   329. 
Yergfl.  Determinanten,  Klimination,  Functionen  321. 


Hydrodynamik. 

366.  Ergebnisse  vergleichender  Versuche  über  d«n  Ansflnss  der  LuTt  und  des  Wassers 

unter  hohem  Drucke.  Weißbach.    Der  Civilingenieur,  Neue  Folge,  V.  Bd., 
1.  Heft.  —  Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  264. 

EyperbeL 

367.  Si  sur  la  diagondle  dun  recta^gee  comme  corde  Ott  dicrit  wi  cercle  le  Heu  des  exirimi- 

t6s  d'un  diametre  partdiele  ä  Vauire  diagotiale  est  une  hyperbole  iquilatere*    D  ^« 
Charme  ei  Banachiewicz,     N.  ami,  math-  XFIH,  280. 
Vergl.  £lliptii;che  Functionen  315. 

1. 

Imagiaires. 

368.  Nouoelle  thdorie  des  fonclions  de  variables  imaginedres,     Marie,     Joum,  Mathim. 

XXIV,  305,  369.     [Vergl.  No.  100.] 
Vergl.  Exponentialgrösse,  Functionen  320,  Verwandtschaft. 

teationalgrÖsMiL 

369.  lieber  das  Ration alraachen  des  Nenners  in  Brüchen  Ton  der  Form 

— T-r^ TZ TT—.    Unferdinger.     Gran.  Archiv  XZZIII,  104. 

Xog^Uehnitle. 

370.  On  ihe  System  ofconies  hamng  double  contact  mth  each  otker,  Cayley*  Quart.  Jounu 

III,  246. 

371.  Thioreme  de  M.  Chasles  sur  un  quadrilatere  eirconscrit  ä  une  conigue.     Housel, 

N.  ann.  math.  XVIII,  352. 

372.  Intorno  alle  coniche  inscrilte  in  una  stessa  superficie  sviluppabile  del  quart*  ordine  (« 

terzaclasseU     Cremona.     Annali  muL  II,  201. 
Vergl.  Ellipse,  Geometrie  (höhere)  331,   Gleichungen  360,  Hyperbel,  Kreis, 
Parabel,  Quadratur  438,  Verwandtschaft« 

XettenbrÜohe. 

373.  lieber  die  Zähler  und  Nenner  der  Näherungswerthe  von  Kettenbrüchen.  Heine. 

Grelle  LVn,  231. 

374.  Einiges  über  Kettenbrüche.     König.     Grün.  Archiv  XXXIII,  309. 

375.  lieber  periodische  Kettenbrüche.     Simon.     Grün.  Archiv  XXXIII,  448. 

376.  lieber  unendliche  Kettenbrüche.    S.  Spitzer.    Grün.  Archiv  XXXIII,.  418. 
•  377.  Darstellung  des  unendlichen  Kettenbruches 

^(aO==n(2a?-fl)-f  "*  m 

in  geschlossener  Form.     S.Spitzer.     Grün.  Archiv  XXXIII,  474. 

Kreis. 

378.  lieber  den  Kreis,  der  durch'  die  Aehnlichkeitspnnkte  zweier  Kreise  bestimmt  ist. 

N  o  e  gg  e  r  a  t  h.     Qrnn.  Archiv  XXXIII ,  329.  r 

379.  Cercle  de  neufpoints.     fujet  et  Fraufoise,    N.  ann.  mail^j,^m^^%^^lC 


92  Literatunseitung. 


360.  Des  retationtt  gut  existent  entre  les  rayons  des,  hidt  eercles  tangents  d  ircis  mUres  ei 
efttre  les  rayons  des  setze  spheres  tangentes  ä  quatre  autres.    Mentioiu   N,  ann, 
matk,  XVIll,  438.     [Vergl.  No.  128.] 
Vergl.  Anal}  tische  Geometrie  der  Ebene  249. 

KrflmmwigBkreli. 
381    Constniction  du  centre  de  eowrbure  de  VipicycMde»     Mannheim.     N,  ann.  wutth. 
Xrill,  371. 

382.  Ueber  die  Krüromnng  der  Flächen.  Bacaloglo.  Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  312. 

383.  Sw  la  coierbure  des  surfaces.    B abinet.    Compt.  rend.  XLIX,  418. 

384.  Sur  Ui  coitrbure  dune  s^e  de  surfaces  et  de  lignes.     Birst.     Anncäi  mat.  //,  148. 

[Vergl.  No.  137.] 

385.  Note  de giomitne  inflnUisimale.  Mannheim.  Anmdi  mat.  II,  208.  [Yergl.  Bd.  lY» 

No.  389.] 
Yergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  251. 

Tff4>mmMfiff«H-nlAii . 

386  n  Sur  les  lignes  de  courbure  de  la  sur  face  des  ondes.     Combescure.     Annali  mal. 
II,  278.  —  Brioscki.  ihid  285. 

387.  Einige  Bemerjcnngen  über  die  von  den  KrümmungsTinien  anf  dem  Eüipsoid  ge- 

bildeten Vierecke.    Plagemann.     Qnm.  Archiv  XXXIII,  390. 

LogaritSimmi. 

388.  Sur  la  sdne  logarithmique  d'Euler.   ^,  «mh.  math.  XFIII,  362.    [Yergl.  No.  65.] 

Yergl.  Gleichungen  352. 

IE. 
Vailflui  "*^  Mütfana. 

389.  Bettx  tliSoremes  de  maxfmwns  arithtnologiques.  Oeitinge  r.  N.  ann,  math,  XFllI,  443. 

390.  Sur  wie  ligne  droite  satisfaismtt  ä  une  condition  de  minimum,     Jaufroid,     N.  ann, 

math.  Xrill,  376. 

391.  Inßuence  maximttm  des  erreurs  dans  la  mesure  des  trois  cotis  d'un  triangle  sur  les 

angles.     N.  imn.  math.  XFIIl,  277. 
Vergl.  Oberflächen  414. 

KaflhanilL 
992.  Fereussion  d'un  Corps  animS  par  des /orces  quelc&nques.    Poinsot.   Joum   Mathfm. 

XXIV,  421. 
398.  Sta^  la  mtmih'e  de  ramener  ä  la  dynandque  des  corps  lihres  cetle  des  corps  que  ton 
supj)ose g^6s  pm' des  obstnctes  fixes.     Poinsot.     Compt.  rend.  XLIX,  5. 

394.  AMT  la  qnmtiti  de  mouvement  qin  est  iransmise  ä  un  corps  par  le  choc  d'un  point  ma»sff 

qui  oienl  le  /rapper  dans  wie  dire<tion  donnie.  Poinsot.   Compt.  rend.  XL VIII, 
1127.  —  Phil.  Mag.  XVIII,  211.     [V«rgl.  No.  149] 

395.  Ueber  die  Bewegung  eines  schweren  Punktes  auf  einer  vertieal  stehenden  Plan* 

curve.     S  c  h  1  ö  m  11  c  h.     Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  300 

396.  Zur  Bestimmung  des  Querschnitts  eines  Körpers,  dessen  absolute  Festigkeit  in 

Anspruch  genommen  wird.     Zetzsche.     Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  3-11. 

397.  Ueber  eine  Aufgabe  aus  der  analytischen  Mechanik.     Bacaloglo.     Zeitschr. 

Math.  Ph^s.  IV,  309. 

398.  Einige  Theoreme  der  Mechanik.    Dahlander.    Zeitschr.  Math.  Phys.  lY,  443. 

399.  Travail  dans  la  poulic  mobile.    Buch.    N.  ann.  math.  XVIII,  3ö3. 

400.  Strr  CinßncHce  du  moteoement  de  la  roiation  de  la  terre.     Perrot.     Compt.  rend.  • 

XUX.  «37.  —  Bahinet.    ibid.  038,  659,  686,  769.  —  Bortrand    ibid. 
(558,  Ötj5.  692.  —  Delannay.  ibid.  688.  —  Picbert.  ibid.  693. 

401.  Ueber  die  Berechnung  der  SteigLöhe  der  Raketen.     Kahl.     Zeitschr.  Math. 

Phys.  IV,  279. 

402.  Mouvement  des  gaz  de  la  poudre  dans  Väme  des  bouches  d  fett.     Picbert.     Compt. 

rend.  XLIX,  757.  829,  900,  953.- 

403.  Theorie  der  circularpolarisirenden  Medien.     Clebsch.     Crelle  LYII,  317. 
4U4.  Sopra  alcune  proprietä  della  propagazione  della  corrente  elettrica  nei  flli  telegrafici 

dedotte  daUa  teoria  di  Ohm.     Kelter.     Annali  mat.  j^y,zM^^^^^^^L\^ 


Literaturzeitung.  93 


405.  Ueber  eine  Umfl^estaliniig  der  Ampere *8chen  Fonnel.   Roch.    Zeitschr.  Math. 

Phjs.  IV,  295. 

406.  Ueber  magnetiäche  Momente.    Roch.   Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  37$. 

407.  Ueber  Magnetismns.    Roch.     Zeitscbr.  Math.  Phys.  IV,  415. 

Vergl.  Attraction,  Determinanten  in  geometrischer  Anwendung  292,  Differen- 
tialgleichungen 297,  Elasticität,  Functionen  323,  Hydrodynamik,  Schwer- 
punkt, Trägheitsmoment. 

Vathod«  dar  Uabiftaa  Cknadrato. 

408.  Ueber  die  Bestimmung  der  drei  Gleichungen,  welche  dienen,  ans  gemachten 

Ablesungen  am  Limbus  eines  Winketinstrumentee  die  Excentricität  desseU 
ben  zu  berechnen.    Andres.     Gmn.  Archiv  XXXIII ,  95. 

Mlttelgrdsseiu 

409.  Moyennes  gioiuilriques,  arithmetiques,  harmoniques,    Schloemilch,    N,  mm,  meth, 

Xriir,  353.     [Vergl.  Bd.  IV,  No.  173  ] 
Vergl.  Bestimmte  Integrale  278. 

Vodvlaigleiohimgcn. 

410.  Sur  tu  thiorie  des  iquatknu  modulairef,     Hermite.     Campi.  rtnd.  XLFIIl,  1079^ 

1095.  XUX,  10,  110,  141.     [Verg^  No.  157.] 

Vermale. 
Vergl.  Geometrie  (höhere)  332. 

a. 

OberflIehaA. 

411.  Ueber  die  Gleichung  der  Berührungäebene  an  eine  Fläche.     Baur.    Zeitschr. 

Math.  Phys,  IV,  3fi9. 

412.  Ueber  den  Grad  der  abwickelbaren  Fläche  ^  die  einer  Fläche  mter  Ordnung  dop- 

pelt umschrieben  ist.     Bischoff.     Grelle  LVII ,  278 

413.  Sur  la  sur  face  qui  est  tettveloppe  des  pfans  conduits  par  Ics  points  d'un  elHpsoide  per- 

pendiculuirement  aux  ruyotis  metüs  par  le  cenire.    Cayley    Atmali  nuU.  II,  108. 

414.  Note  sur  une  dasse  partictUiire  de  surfaces  ä  aire  minima.    L  am  arte.    Joum,  Mo- 

thim.  XXI K  241. 
AXfi.  On  derived  surfaces.    Birst.     Quart,  Joum.  Math.  III,  2i0. 
410.  Note  ou  the  Cartesian  equation  to  the  roave-sta-face.     Tait.     Quart.  Joum,  Math, 

III,  269. 

417.  On  cones  of  the  third arder.     Cayley.     Phil.  Mag,  XVIII,  4:^9. 

418.  Memob'S  sur  la  figure-de  la  terre  considMe  comme  peu  diffirent  d'une  sphire.     Os- 

sian  Bonnet.     AtmaH  mat.  II,  180.     [Vergl.  No.  104] 
Vergl.  Carthographie ,  Krümmungskreis  382,  383,  384,  Krümmungslinien  386. 

dierfläohen  nraiten  Oradat. 

419.  Sur  des  surfaces  du  second  oi^dre,  qm  passent  par  une  comque  et  cortpent  un  plan. 

Chabirand.     N.  ann.  math,  XVIII ,  24-*. 

420.  Diterminer  le  Heu  giomitiHque  des  milieux  des  cordes  d'une  sttrfuce  du  second  degri 

qui  passe  par  tm  point  donni.-  Oirono.    N.  ann.  math,  XVI II,  305. 

421.  Eine  Eigenschaft  der  conjugirten  Diametralebenen  des  Ellipsoids.  Dahlander. 

Zeitschr.  M^th.  Phys.  IV,  437. 

422.  Equations  les  plus  simples  des  hyperholoides  ä  une  nappe  et  a  deux  nappes,  Gärono, 

N.  ann.  math.  XVIII,  893. 

-C«        ««         2« 

423.  Condition  pour  que  deux  geniratrices  rcctiiignes  de  Vhyperboloide  -j  +  vt 3  =*  1 

se  coupent  sous  un  angle  droit,     Gerono.     N.  aim.  math.  XV III,  343. 

424.  Les  huuteus  d'un  tetracdre  sont  les  geniratrices  cTun  meme  hyperboloide  ä  une  nappe, 

Bellac.     N.  ann.  math.  XVIII,  350. 

425.  Thd&rhne  sur  un  hyperboloide  de  rivotution.  Chardonnet.  N.  an»,  math.  XVIII,  Z2f^. 

Vergl.  Krfimmungslinieii  387. 


Oparatioaacale&L 


420.  On  a  theorem  in  the  cm^ftlus  of  Operations,     Waltoru    Quart,  Jäuhu 


ifl/^'Mle 


94  Literaturaeitung. 


Parabel. 
Vergl.  Qnadratar  440. 

PartialbrÜelie. 
427.  Sur  la  dScomposition  des  fracttotis  raiioneüts  et  la  theorie  des  risidus,     Rouch^, 

Compt.  reiid.  XLIX,  803. 
42S,  Sur  In  decompositiun  des  fraciians  raiioneUes.     V leite.     Compt.  rend,  XLIX,  746- 
[Vergl.  Bd.  IV.  No.  löL] 

429.  Decontposiäoji  d'une  fvaction  ratwneüe  irreduclible  d'tme  ceriaine  forme.     Gerono. 

N.  ann.  inath.  XFIII,  34tJ. 

PenpeatiT«. 

430.  Elementare  Theorie  der  azonomctrischen  Projection.    Schlö milch.   Zeitachr. 

Math.  Phy».  IV,  361. 

431.  Zur  Axonometrie.     Mann.     Zeitschr.  Math.  Phya.  IV,  284. 

PiMiImctiie. 

432.  Zac  Lehre  vom  Dreieck.    Unferdini^rer.     Gran.  Archiv  XXXIII ,  420. 

433.  Les  projections  du  som/tet  d'un  triangle  rectiligne  sur  les  quatre  hissevtrices  des  deuac 

autres  angles  sonl  en  Hgne  droite.     Figne.     N.  atm.  math,  Xf^III,  265. 


duadratiaeha  Torrn. 

434.  lieber  die  Anzahl  der  verschiedenen  Klassen  quadratischer  Formen  von  nega- 

tiver Determinante.     Krouecker.     Crellc  LVII,  248. 

435.  Sur  le  resultant  des  trois  formes  quadratiques  temaires.  Her  mite.  Grelle  LVII,  371. 

436.  De  la  composition  des  formes  bbudres  du  second  degri,     Lejeune^Diricklet. 

Jouim.  MtUhHu.  XXIP^,  389. 

437.  Thöoremes  relatifs  aux  formes  hinaires  quadratiques  qui  reprisentent  les  viimes  nom- 

bres.     Schering.    Joum.  Mai/iäm.  XXI F',  253. 

(Quadratur. 

438.  Quadratur  sämmtlieher  Kegelschnitte.    Voeller.     Gran.  Archiv  XXXIII,  433. 

[Vergl.  Bd.  IV,  No.  248.] 

439.  Beweis  des  Völler *schen  Satzes.     Baur.     Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  366. 

[Vergl.  No.  190.] 

440.  Demonstratio  t/teoremtUis  Lambertini  de  sectoribus  paraboiicis  quadrwidis.  L  in  dm  an. 

Grün.  Archiv  XXXIII,  478. 

441.  Zu  der  Quadratur  der  Epicycloide  und  der  Hypocycloide.     Baur.     Zeitschr. 

Math.  Phys.  IV,  311. 
Vergl.  Geschichte  der  Mathematik,  Mechanik. 

QaadratwvneL 
Vergl.  Kettenbrüche  375,  Tabellen. 


Beetiilcation.  * 

442.  TMorhne  sur  les  roulettes.    P,  Serret.    N.  ann*  math,  XFIII,  341. 

Vergl.  Elliptische  Functionen  315. 

'  BeiheiL. 

443.  Notes  on  certain  infinite  series.    Grea.    Quart.  Joum,  Math.  III ^  262. 

444.  Remarques  sttr  quelques  sdries.     Le  Besge.     N.  ann.  math.  XFIIIf  433,  460. 

1  1  1 ^_1 

^^'    1.2.3...n"*"  2'".*37.  (n^i)  "*"  3.4..  (n  +  2)"^ (n  -  1).  1 .2 .  »...  («—  1)' 

Boutery.     N.  ann.  math.  XVIII,  242.  —  De  Virieu.  ibid.  273. ' 
Vergl.  Factorielle,  Gammafunctionen  325,  Gleichungen  352,  353,  Logarithmen, 
Taylor'sohe  Reihe.  ^  , 

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Literaturzeitung.  95 

Sehwerpimkt 
Yergl.  Cjibatur. 

Sphflrik. 

446.  Ditermination  du  centre  et  du  rayon  de  la  sphere  reprisentie  par  une  certcdn  equation» 

Gerono.     N.  ann.  maih,  ^iVlll,  346. 

447.  Si  daiis  un  triangle  spherique  on  donne  un  angle  compris  entre  deux  cötis  vainahfes, 

mais  donl  la  sCmrne  des  tangentes  est  constaiUe  le  Heu  de  la  rencontre  des  trois 
•        hauteus  dans  chnque  triangle  est  une  drconf&rence  de  grand  cercle.     Challiot, 
N,  ann,  math.  XVllI,  336. 

448.  Etant  donni  un  angle  forme  par  deux  grtmds  cercles  et  un  pointy  mener  pm"  ce  point  un 

troisiemt  cercle  qid  forme  auec  les  deux  autres  un  tfiangle  sphdrique  de  surface 
donnie.     Chanson.     N.  ann.  math.  XV III,  335. 

449.  On  the  employment  of  the  gnommdc  projection  of  the  sphere  in  Cryställography,    Mil- 

ler.   Phil.  Mag.  XV III,  37. 
Vergl.  Trigonometrie  462,  463,  464. 

Stereometrie.  . 

450.  TMoremes  sur  la  t^traedre.     De  Stau  dt.     N.  ann.  math.  XVIII,  441. 

451.  Sectios  du  tore  par  un  plan  tangent  ä  cette  surface  et  passant  par  son  centre,    N.  ann. 

math,  XVIII,  258. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  265 ,  Cnbator. 

TabeUe. 

452.  Construction  einer  compendiösen  Tafel  der  reciproken  Werthe  zur  Erleichterung 

sehr  exacter  Rechnungen.    Lehmann.    Astr.  Nachr.  LH ,  1. 
Vergl.  Wahrscheinlichkeitsrechnnng  467,  468. 

Taylor*B0he  Beihe. 

453.  Neue  Restbestimmung  der  Taylor^schen  Reihe.     Win  ekler.     Zeitschr.  Math. 

Phjs.  IV,  291.  —  Annali  mal.  II,   185. 

Tr&gheitsmc  ment 

454.  Ueber  die  elementare  Bestimmung  der  Trägheitsmomente.     Zehme.     Zeitschr, 

Math.  Phys.  IV,  445. 

Trigonometrie. 

455.  Ueber  einige  goniometrische  Formeln,    Wiegers.    Grün.  Archiv  XXXIII ,  338. 

456.  Gänöraltti  des  f&rmu/es  pota'    «m(/i  +  Ä)   et    C05  (« +  ä).     Spitzf    N.  ami.  maih. 

XVIII,  4.\9.     [Vergl.  No.  222.] 

457.  Einfache  Begründung  der  ebenen  Trigonometrie.     Unferdinger.     Grün.  Ar- 

chiv XXXIII,  42U. 

458.  Expression  mn4monique  de  l'aire   du  tHangle  rectiHgne,     Sacchi.     N.  ann.  math, 

XVIII,  247. 

459.  Das  pythagoräische  Dreieck.     Cantor.     Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  306. 

460.  A  quelles  con^ditions  doioent  satisftdre  les  c6t4s  et  les  angles  d'un  Parallelogramme  pottr 

quil  soit  possible  d'inscrire  un  carri  dans  ce  Parallelogramme.  Murent.  N.  ann. 
math.  XVIII,  451. 

461.  Essai  sur  le  prohleme  de  Fiiss.     Mention.     Bull,  Acad.  Petersb.  I.  15,  33. 

462.  Das  sphärische  Dreieck  darge.stellt  in  seinen  Beziehungen  zum  Kreis.     Unfer- 

dinger.    Grün.  Archiv  XXXIII  ,14. 

463.  Das  sphärische  Dreieck  mit  seinem  Sehnendreiecke  verglichen.  Unferdinger. 

Grnn.  Archiv  XXXIII,  89.  ^ 

464.  Ueber  die  Vergleichung  sphärischer  Dreiecke,  deren  Seiten  gegen  den  Halb- 

messer der  Kugel,  auf  welcher  sie  liegen,  sehr  klein  sind,  mit  ebenen  Drei- 
ecken von  gleichen  Selten.     Grün  er  t.     Astr.  Nachr.  LH,  49. 
Vergl.  Maxima  und  Minima  391. 

V. 

VariationBrechnQng. 
405.  Star-  les  4quations  diff4rentielles  du  vahul  des  variations.     Hichelot.     Compt.  rend. 
XUX,  64 1.  —  Annan  mal.  II,  333. 

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Literatnrzcitung. 

466.  Die  Brennpunkte  eines  Kegelschnittes  als  solche  Punkte  der  Ebene  anfgefasst, 
in  welchen  je  zwei  entsprechende  Pnnkte  zweier  kreis  verwandten  Systeme 
vereinigt  sind.     Sieb  eck.    Gran.  Archiv  XXXIII,  462. 


'Wahrseheinlichkeitsreohnuiig. 

467.  On  a  lest  for  ascertaining  rvhelher  an  observed  degree  of  uniforTnity  or  the  reoecse  in 

Tables  of  Suuistics  is  to  be  iooked  upon  as  retnarkable.    Campbell.    Phil.  Maa, 
XVni,  359.  ^ 

468.  On  the  conslruction  of  life -tables.    Farr.    Phil.  Mag.  XVUl,  467. 

460*  Sur  laprobabUit4  des  hypotheses  d' apres  les  ivenementa,   Ostrogrädskk,   Petersb, 
Acad.  Bull.  XFIl,  516. 
Vergl.  Methode  der  kleinsten  Quadrate. 

K. 

Zahlentheorie. 

470.  Sur  quelques  farmules  gin^ales  qid  peuvent  itre  utiles  dans  la  thiorie  des  nombres, 

Liouville.     Journ.  MalMm.  XXIV,  281. 

471.  Swr  la  prendkre  dimonstraixon  donnie  par  Gauss  de  la  loi  de  r4ciprocit4  dans  la  th4orie 

des  räsidus  quadratiques.   Lejeune- Dirichlet.   Journ.  Mathim.  XXI V,  401. 

472.  Sur  la  cor  acter  e  biquadratique  du  nombre  2.    Dirichlet.    Journ,  Math6m.  XXIV, 

367.     [Vergl.  No.  244  ] 

473.  On  a  theorem  in  nttmbers.     Lanavicensis.    Phil,  Mag.  XVIII,  281. 

474.  lieber  eine  Eigenschaft  der  geometrischen  Progression  1,  3,  9,  27.    ünfer- 

dinger.    Gran.  Archiv  XXXIII,  106. 

475.  Theoreme  arithmätique.     Liouville.     Journ.  Math4m.  XXIV,  271. 

476.  Nombre  de  solulüms  d'une  congruence  du  pr ender  degrä  d  plutieurs  inconnues.     Xe- 

besgue.     Journ  Mulhim  XXIV,  366. 

477.  Zerlegung  der  Gleichung  ä* — /'^^  =  ±1  in  Factoren.     Koenig.     Gmn.  Ar- 

chiv XXXIII,  1. 

478.  Allgemeiuste  Auflösung  der  Gleichung   a;'  +  y"  =  z*  in  relativen  Primsahlen. 

Hoppe.     Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  304.  #  . 

479.  Ueber   die   Auflösung   der   Gleichung  ar^-f^^« — y    in   relativen  Zahlen. 

Hoppe.     Zeitschr.  Math.  Phys.  IV,  359. 

480.  Recher ches  nouvelles  lur  les   nomtres  premiers.      De   Polignac.      Campt,  rend. 

XLIX^  «50.  386.  624.  724. 

481.  Ueber  die  Anzahl  der  Primsahlen  unter  einer  gegebenen  Grösse.    Biemann. 

Berl.  Acad.  Ber.  1859,  671. 

482.  Zerfällung  der  Primzahlen  innerhalb  des  ersten  Tausend  in  ihre  aus  siebenten 

Wurzeln    der    Einheit    gebildeten    coroplexen  Primfactoren.      Beuschle. 
Berl.  Acad.  Ber.  1859,  «94. 

483.  Thäoreme  concemant  les  nombres  premiers  de  la  form  24 /»  +  7.    Liouville.    Jotem. 

MalMm.  XXIV,  399. 

484.  Sulla partizione  dei  numeri,  e  sul  numero  degli  inoarianti.    Bellavit is.    Annali  mat. 

II,  137. 
486.  Note  on  a  theorem  of  M.  Bellavitis  on  the  partition  of  numbers.     Lanavicensis, 
Phil.  Mag.  XVIII,  283. 
Vergl.  Becimalbrüche ,   Figurirte  Zahlen,    Geschichte   der  Mathematik  342, 
Mazima  und  Minima  389 ,  Quadratische  Formen ,  Trigonometrie  459. 

0 

486.  Note  svr  les  vitMts  instantanSs.    Ter  quem.    N.  ann.  matk.  XVIII  ^  834. 


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