§ 4.] Green'sclier Satz. 27

JBeide Integrale zusammeii bilden die Summe aller "Werthe

U'Ax'Gm (nx) dS,

gebildet fur die gesammte Oberflache S YOU T.
Demnach:

— l^-j'-Ax dr = + fu- Ax cos (nx) dS + f U- ^ dx.

•r tf T

Zu dieser Gleichung addiren wir zwei andere, die entstehen,
wenn wir x durch y, bezw. % ersetzen. Bedeuten AXt Alh A,
"wie es der Bezeiclinung entspricht, die rechtwinldigen Com-
ponenten eines Yectors A, so bildet sich miter deni Flachen-
integral der Ausdruck

Ax cos (n x) +• Ay cos (ny) + A» cos (n «) = An
und wir erhalten:

(11)

Diese Gleichung ist eine Verallgemeinerung derjenigen, welche
als der ,,0-reen'sche Satz" bezeichnet wird. Bedingung ihrer
Gultigkeit ist, class

Z7, Ax, Ay, A*

innerhalb x einwerthige und stetige Functionen Yon x,y, % seien.
Es sei nun diese Bedingung nicht durchweg erflillt: es. seien
zwar U, Ax, Ay, A% noch einwerthig, und U auch durchweg
stetig in T; hingegen mogen in T Flach en Sik Yorhanden sein,
an denen AN unstetig ist, wenn N die Normale YOU Sik be-
zeichnet. Sincl diese Plachen geschlossen, oder haben sie
ihre Randcurven auf der Oberflache S YOU r, so zerfallt durch
sie T inRaume n, tk, innerhalb deren die Stetigkeitsbeding-
ungen erflillt sind. Haben die S& andere Randcurven, so er-
reichen wir die gleiche Zerfallung, indem wir die Sik passend
ergahzen. Eltr jeden Eauin n gilt nun die obige Gleichung;
seine Oberfl'ache wird gebildet durch Plachen Sik und durch
Theile YOB S. Wir addiren alle so entstehenden Gleichuiigen.e Eaigel ganz innerhalb S