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ABHANDLUNGEN 


DER 


MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHEN CLASSE 


DER KÖNIGLICH BAYERISCHEN 


AKADEMIE ner WISSENSCHAFTEN. 


SIEBZEHNTER BAND. 


IN DER REIHE DER DENKSCHRIFTEN DER LXTII. BAND. 


MÜNCHEN 189. 
VERLAG DER K AKADEMIE 
IN COMMISSION BEI G. FRANZ. 


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Binnen Ar 


Inhalt des XVII. Bandes. 


I. Abtheilung (1888— 1889). 
Fortgesetzte Untersuchungen über das mehrfache Sternsystem [ Cancri von 
H. Seeliger. Mit 1 Tafel 
Ueber die reducirte Resultantee Von A. Brill 


Zur Theorie der Berührungscurven der ebenen Curve vierter Ordnung. Von 


M. Noether a a et oa 
Ueber die Conjugation der Infusorien. Von Richard Hertwig. Mit 4 Tafeln 


II. Abtheilung (18901891). 
Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. 
Von A. Voss 


Das Bayerische Praecisions - Nivellement. Achte Mitteilung von Carl Max 
von Bauernfeind 


. Nachtrag zu den Mitteilungen II und III über die Ergebnisse aus Beobachtungen 
der terrestrischen Refraktion von Carl Max von Bauernfeind 


Ueber Zusammenstösse und Theilungen planetarischer Massen von H. Seeliger 


III. Abtheilung (1891—1892). 
Berechnung von Mischfarben. Von E. Lommel. Mit 2 Tafeln 


Die von optischen Systemen grösserer Oeffnung und grösseren Gesichtsfeldes 
erzeugten Bilder. Auf grund der Seidelschen Formeln untersucht von 
8. Finsterwalder. Mit 3 Tafeln 


Skizzen zu einem speciellen Fall des Problems der drei Körper. Von Dr. E. 
Frhr. von Haerdtl. Mit 4 Tafeln 


Untersuchungen über die Organisation und systematische Stellung der Receptacu- 
litiden. Von Hermann Rauf. Mit 7 Tafeln 


Seite 


491 


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ABHANDLUNGEN 


‚DER KÖNIGLICH BAYERISCHEN 


(ADEMIE ou WISSENSCHAFTEN. 


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7 SSIEBZEHNTEN BANDES 
© 0.2.0200. ERSTE ABTHEILUNG. | 
IN DER REIHE DER DENKSCHRIFTEN DER LXIII. BAND. 


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0°. MÜNCHEN 1889. 
VERLAG DER K. AKADEMIE 
- IN COMMISSION BEI G. FRANZ. 


PER, 


Fortgesetzte Untersuchungen 


über das 


mehrfache Sternsystem CCancri 


H. Seeliger. 


(Mit 1 Tafel.) 


Abh.d.II.Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 1 


In einer Abhandlung, welche im XLIV. Bande der Denkschriften 
der Wiener Akademie!) erschienen ist, habe ich die interessanten Ver- 
hältnisse, welche das mehrfache Sternsystem & Cancri in dynamischer 
Beziehung darbietet, näher untersucht. Die daselbst verwertheten Beob- 
achtungen reichen bis zum Jahre 1880. Wenngleich seitdem 8 Jahre 
verflossen sind, so ist doch selbstverständlich nicht anzunehmen, dass 
das vorliegende Bewegungsproblem jetzt schon, nach einer verhältniss- 
mässig geringen Vermehrung des Beobachtungsmateriales, soweit ent- 
wickelt erscheint, dass die naturgemässen Schwierigkeiten, die sich damals 
einer exacten Bestimmung verschiedener Bewegungselemente entgegen- 
stellten, behoben sein können. Diese werden vielmehr, wie leicht ein- 
zusehen, noch lange fortbestehen und erst nach Verlauf von Zeiträumen, 
deren Grösse noch nicht anzugeben ist, wird es gelingen in dieser 
Richtung einen wesentlichen Fortschritt zu machen. Für die theoretische 
Erkenntniss der Eigenthümlichkeiten des Problemes aber ist dieser an 
sich freilich nicht befriedigende Zustand weniger wichtig. Man kann 
sich jetzt schon eine genügende Einsicht in die vorliegenden dynamischen 
Verhältnisse verschaffen und im Allgemeinen jene Methoden angeben, 
die später eine bessere Bestimmung der vorkommenden Unbekannten 
ermöglichen werden, als dies gegenwärtig möglich ist. 

In der Hauptsache zwar habe ich den Resultaten meiner früheren 
Arbeit nichts Wesentliches hinzuzufügen. Trotzdem schien es mir der 
Mühe werth, eine neue Bearbeitung desselben Gegenstandes zu unter- 


1) Untersuchungen über die Bewegungsverhältnisse in dem dreifachen Sternsystem £ Cancri. 
Wien 1881. Im Folgenden soll diese Arbeit mit I bezeichnet werden. Einen kurzen Auszug der 
genannten Abhandlung findet man in den Sitzungsberichten der Wiener Akademie, Band LXXXII, 
1I. Abth. Maiheft 1881. 
1 


4 


nehmen und zwar zunächst aus dem Grunde, um manches stärker her- 
vorzuheben, als es damals geschehen ist. Wenn sich hierdurch eine 
gute und zum Theil auf directerem Wege erhaltene Controle für die 
Richtigkeit der früheren nicht ganz einfachen Rechnungen ergab, so war 
dies natürlich nicht unwichtig. Mir schien aber eine solche Prüfung 
deshalb eine erhöhte Bedeutung zu besitzen, weil in den letzten Jahren 
Ansichten über die Verhältnisse in dem Sternsystem & Cancri ausge- 
sprochen worden sind, die ich als mit meinen Untersuchungen durchaus 
unvereinbar ansehen muss. 

Die folgende Abhandlung ist in 5 Paragraphen getheilt. 

Im ersten werde ich zur Erleichterung der Uebersicht zuerst die 
Resultate von I kurz anführen und daran eine Darstellung der haupt- 
sächlichsten Resultate knüpfen, welche die vorliegende Arbeit ergeben hat. 

Der zweite Paragraph enthält die Grundlagen der folgenden Rech- 
nungen. Es werden also hier die nothwendigen Formeln entwickelt und 
der Nachweis der Berechtigung gewisser Annahmen geführt, die später 
gemacht werden müssen. 

Im dritten Paragraphen soll die Bewegung der zwei inneren Sterne 
um einander behandelt werden, während der vierte sich mit der Bewegung 
des entfernteren Begleiters und der fünfte speciell mit den auf diesen 
sich beziehenden Beobachtungen beschäftigen wird. 


So 


Der Stern £ Cancri (Z1196; «= 83%6, d = -+ 806’, 1850.0) wurde 
im Jahre 1781 von W. Herschel als dreifach erkannt und zwar wurde 
von ihm an einem Abende die gegenseitige Stellung der 3 Sterne bestimmt. 
Derselbe Beobachter hat noch eınmal, im Jahre 1802, dasselbe Object auf- 
gesucht, die beiden inneren Sterne aber nicht getrennt gesehen, wenigstens 
liegt keine diesbezügliche Messung vor. Infolge dessen ist der physische 
Zusammenhang aller 3 Sterne erst durch W. Struve’s Beobachtung im Jahre 
1826 nachgewiesen worden. Struve bezeichnet die beiden nahe an einander 
stehenden Sterne mit A und B, den entfernteren mit ©. Die Hellig- 
keiten in Grössenklassen sind nach demselben Astronomen: 


A—=59, B=51,0=5.5. 


5) 


Wenngleich die neueren Schätzungen zum Theil etwas andere Hellig- 
keiten ergeben haben, so scheint doch mit ziemlicher Sicherheit hervor- 
zugehen, dass A der hellste, B der schwächste ist und beide nicht um 
eine ganze Grössenklasse von einander verschieden sind. { Cancri hat zwar 
keine grosse, aber doch eine bemerkbare Eigenbewegung. Nach Mädler !) 
ist dieselbe in «+ 10”6 und in d — 11” im Jahrhundert. Wenn auch 
diese Angabe mit unzweifelhafter Sicherheit auf eine Zusammengehörig- 
keit der drei Sterne hinweist, so ist ein Nachweis auf diesen Wege heute 
kaum mehr nöthig. Zu einem Ueberblicke über die stattfindenden Ver- 
hältnisse mag noch erwähnt werden, dass die beiden Sterne A und B in 
etwa 60 Jahren einen Umlauf um einander beschreiben und hierbei eine 
Distanz von 0.6 bis 1:1 einhalten. Der Stern C dagegen hat seit Herschel’s 
Beobachtung bis jetzt um die Mitte von A und B (im Folgenden kurz 
AR 


mit ae bezeichnet) in Positionswinkel etwa 55° beschrieben bei einer 


Distanz von 54”. 

Nach diesen orientirenden Bemerkungen gehe ich dazu über, die 
Resultate meiner früheren Arbeit kurz zu resumiren. 

1) Sowohl eine Prüfung des Flächensatzes, als auch die Berechnung 
einer elliptischen Bahn ergaben, dass man den Beobachtungen von A 
und B beinahe vollkommen genügen kann, ohne eine Einwirkung des 
dritten Sternes zu berücksichtigen. In der allgemein üblichen Bezeichnungs- 
weise sind als solche Elemente für die Bewegung von B um A zu be- 
trachten (I pg. 8 und pg. 52): 


IV, IV, 
T = 1870.393 1870.082 
are 125°405 
De 533 63.260 
= NR 15.643 
eo 20.774 
ar 5.6939 
yes Be 


1) Dorpater Beobachtungen, Band 14. 


Die letzteren schmiegen sich den in I benutzten Beobachtungen besser 
an als die ersteren. Elemente IV, dagegen stellen die allerneuesten Be- 
obachtungen etwas besser dar, weshalb sie im Folgenden benutzt werden. 
In jedem Falle dürfen die aus den genannten Elementen folgenden Po- 
sitionswinkel und Distanzen innerhalb der Zeit 1828 —1880 als die 
Messungen beinahe vollständig darstellend bezeichnet werden. 


2) Hieraus darf aber nicht geschlossen werden, dass der dritte Stern 
C keinen bedeutenden Einfluss auf die Bewegung von 5 um A ausübt. 
Vielmehr hat sich ergeben, dass man für den Stern C sehr bedeutende 
Massenwerthe annehmen kann, ohne die Uebereinstim- 
mung zwischen Rechnung und Beobachtung zu gefährden 
und dass man ziemlich bedeutende Massenwertheannehmen 
muss, um die beste Darstellung im Sinne der Methode der 
kleinsten Quadrate zu erhalten. Infolge der unter 1) gemachten 
Bemerkungen aber ist es natürlich, dass eine wirkliche Bestimmung des 
Massenwerthes ausserordentlich unsicher ausfallen muss. Diese Unsicher- 
heit wird noch vermehrt dadurch, dass die Beobachtungen von C, da sie 
sich nur auf die Projectionsebene senkrecht zum Visionsradius beziehen, 
vorderhand noch keinen Schluss über die Lage der Bahn im Raume. 
welche © beschreibt, gestatten. Ich habe indessen eine Bestimmung der 
Grössen, welche diese Lage bestimmen und ebenso des Massenwerthes 
trotzdem versucht, obwohl das Resultat dieser mühsamen und weitläufigen 
Untersuchung vorauszusehen war. Es hat sich ergeben, das die Genauig- 
keit der Beobachtungen gegenwärtig es noch als völlig gleichgiltig er- 
scheinen lässt, welche Annahme man über die Bahnebene, welche © um 
—_ im Grossen und Ganzen einhält, machen will. Aus Gründen der 
Analogie bin ich schliesslich bei der Annahme, der auch sonst nicht 
widersprochen wird, stehen geblieben, dass C sich in der Projectionsebene 
selbst bewegt. Angemessen der geringen Sicherheit, mit welcher diese 
Annahme gestützt werden kann, und angemessen den geringen Folgen, 
welche eine thatsächliche Abweichung davon hat, wenn sie nur gewisse 
Grenzen nicht überschreitet, können wir diese Annahme auch so formu- 
liren: der Stern © bewegt sich in einer nur wenig gegen die Projections- 


ebene geneigten Bahn. Unter diesen Voraussetzungen, die aber, wie nach- 


7 


drücklich hervorgehoben werden muss, den Beobachtungen durchaus 
entsprechen, wurden schliesslich nach mehrfachen Verbesserungen folgende 
Elemente für die Bewegung von B um A abgeleitet (I. pg. 38 und 40): 


Osculation 1836.2 


m 
Bee 2.368 
T — 1868.022 
» = 1090735 
2= 81.550 (VII) 
i = 15.530 
= 23.007 
n = —5.9675 
a= 0/8532 


B B m 
Hierin bedeutet Er 


A und 5. Die Darstellung der Beobachtungen durch diese Elemente ist, 
wie eigentlich selbstverständlich, etwas besser als durch die rein ellip- 
tischen IV, und IV,. Ebenso von selbst klar ist es aber auf der anderen 
Seite, dass der erlangte Vortheil nur ein geringer sein kann. 


: Masse C dividirt durch die Summe der Massen 


Auf den ersten Blick mag das erhaltene Resultat paradox erscheinen. 
Wir haben auf der einen Seite eine Bewegung, die im Vergleiche mit 
den Verhältnissen in unserem Sonnensystem ganz enorme Störungen auf- 
weist, auf der anderen Seite lässt sich dieselbe Bewegung durch die 
Kepler’schen Gesetze allein beinahe ebenso gut darstellen. Eine einfache 
Ueberlegung aber, die wir nun anstellen wollen, erklärt dieses Vor- 
kommniss vollkommen. 

Zunächst muss hervorgehoben werden, dass die Genauigkeit der Be- 
obachtungen vergleichsweise zu denen, die wir im Planetensystem voraus- 
zusetzen haben, sehr gering ist. Es müssen schon sehr günstige Umstände 
obwalten, wenn das Mittel aus mehreren Beobachtungen der Wahrheit bis 
auf wenige Zehntel Grad im Positionswinkel und einige Hundertstel Bogen- 
secunde in der Distanz nahe kommt. Ausserdem treten die sog. persönlichen 
Fehler hindernd in den Weg, systematische Abweichungen zwischen Theorie 
und Beobachtung auch dort zu erkennen, wo dies ohne dieselben möglıch 


8 


wäre. Im .vorliegenden Falle z. B. werden Fehler von 0.05 bis 0.1 der 
Distanz durchaus nicht mit Sicherheit zu constatiren sein. Hält man sich 
ferner gegenwärtig, dass bei { Cancri die Störungswerthe in Distanz 
diese Grenze nicht viel überschreiten, und dass schliesslich die grosse 
Halbaxe der Bahn so bestimmt wird, dass der beste Anschluss hervorgeht, 
so wird es nicht auffallen, dass in Distanz die Einwirkung des dritten 
Sternes nicht bemerkbar wird. Ganz anders gestaltet sich die Sachlage 
für die Positionswinkel. Die weiter unten folgenden Rechnungen geben 
Störungen im Positionswinkel bis zu 28 Grad und die Thatsache, dass 
diese Störungswerthe durch eine passend gewählte elliptische Bewegung 
ziemlich nahe dargestellt werden, muss einen tieferen Grund haben. Diesen 
findet man in der That im Folgenden. Nennt man die mittleren Be- 
wegungen der Sterne B und © um A, n und», so sind bekanntlich die 
Hauptglieder der im Positionswinkel auftretenden Störungen von der Form 


tat + w EA, cos int—int-+e,) 


wo i und # ganze Zahlen sind. Im Falle nicht bedeutender Excentricität 
kann man den Positionswinkel p in eine Reihe entwickeln von der Form: 


»=0, — & t = WwIA COS (i N, t == Yi) 


Bedenkt man noch weiter, dass im vorliegenden Falle sowohl die 
A,. als auch die 4,. mit wachsenden ö und ‘ rasch kleiner werden, dass 


ferner n’ im Vergleiche zu n sehr klein (w — n) ist, so ist sofort klar, 


dass man die grössten Glieder der ersten Formel mit analogen Gliedern 
in der zweiten dadurch vereinigen kann, dass man die Coefficienten, also 
die Bahnelemente danach bestimmt. Wie lange auf solche Weise die 
Darstellung der Beobachtungen erzwungen werden kann, kann natürlich 
auf diesem allgemeinen Wege nur durch nicht ganz einfache, wenn auch 
nicht schwierig durchzuführende, Entwickelungen gezeigt werden, auch 
muss auf den interpolatorischen Character des ganzen Vorganges hierbei 
Rücksicht genommen werden. Ich habe keinen Grund hierauf näher 
einzugehen, weil ich diese Verhältnisse durch umfangreiche numerische 
Rechnungen, also auf einem völlig einwurfsfreiem Wege, bei & Cancri 
zuerst aufgedeckt und dargethan habe. 


I 


Vielleicht liegen bei anderen dreifachen Sternen die Verhältnisse ein 
wenig anders. Im Allgemeinen aber werden wir Vorkommnisse, wie die 
geschilderten, bei jenen Systemen wiederfinden, in welchen der dritte 
Stern, vergleichsweise zum zweiten, vom ersten weit absteht, also die 
ihm zugehörige mittlere Bewegung klein, wenn weiter die Excentricität 
der Bahn, welche BR um 4A beschreibt, nicht gross ist und schliesslich 
natürlich die Einwirkung des dritten Sternes auf die Bewegung des 
zweiten eine gewisse Grenze nicht übersteigt. Selbstverständlich ist es 
und wurde oben bereits hervorgehoben, dass alles Gesagte nur für be- 
schränkte Zeiten gilt und dass nach Ablauf genügend grosser Zeiträume 
die erwähnte interpolatorische Darstellung durch die Kepler’sche Ellipse 
nicht mehr genügen wird. 

Mir scheint überhaupt die Genauigkeit der Doppelsternmessungen 
und die Kürze der Zeit, über welche sie sich erstrecken, durchaus nicht 
der Sicherheit zu entsprechen, mit welcher man behauptet, dass die 
bisher berechneten Doppelsternbahnen den Beweis geliefert hätten für 
die Geltung des Newton’schen Gravitationsgesetzes in jenen entfernten 
Himmelsräumen. Auch ohne diese Berechnungen würde wahrscheinlich 
Niemand daran gezweifelt haben, dass das genannte Gesetz im Grossen 
und Ganzen auch auf die Fixsterne anwendbar sei. Es handelt sich also 
nur um kleinere Abweichungen, die eventuell zu constatiren wären. 
Solche erscheinen aber selbst in einem Betrage, der in unserem Planeten- 
systeme bereits eine völlige Disharmonie zwischen Theorie und Beob- 
achtung ergeben würde, bei der Genauigkeit, die man den Doppelstern- 
messungen jetzt geben kann, völlig verdeckt. Mit dieser Bemerkung 
soll natürlich durchaus nicht als wahrscheinlich hingestellt werden, 
dass nachweisbare Abweichungen vom Newton’schen Gesetze überhaupt 
existiren. 

3) Die Beobachtungen des Sternes € zeigen Anomalien höchst merk- 
würdiger Art. Otto Struve hatte vor mehreren Jahren darauf aufmerksam 
gemacht, dass seine Messungen mit grosser Deutlichkeit eine periodische 
Veränderung in Positionswinkel und Distanz ergeben, die beinahe voll- 
kommen durch die Annahme fortgeschafft werden konnte, der Stern © 
bewege sich in etwa 18 Jahren in einer Kreisbahn vom Radius 0.2 um 

Abh.d. II.Cl.d.k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 2 


10 


einen Punkt, der wieder in einer Kreisbahn langsam um = fortrückt. 


In der That ist die durch diese Hypothese erzielte Uebereinstimmung so 
auffällig, dass an ihrer Berechtigung schon damals kaum zu zweifeln war. 
Indessen sind bekanntlich die O. Struve’schen Messungen nicht frei von 
systematischen Fehlern und es war demgemäss nöthig, eine in jeder Be- 
ziehung so wichtige und interessante Thatsache auch an den von anderen 
Astronomen herrührenden Messungen zu prüfen und namentlich zu unter- 
suchen, ob die gegebene Interpretation mehr Wahrscheinlichkeit für sich 
hat, als etwa andere mögliche }). 

Mit Hülfe eines grossen Beobachtungsmateriales habe ich diese Frage 
in Angriff genommen und bin zu einer vollkommenen Bestätigung der 
genannten Ansicht gelangt. Die von einander unabhängige Behand- 
lung der Positionswinkel und der Distanzen ermöglichte eine Beweis- 
führung auf zwei verschiedenen Wegen. Ferner war, weil eine rein 
interpolatorische Darstellung gewählt worden war, das erlangte Resultat 
frei von irgendwelchen Hypothesen. Nach mehrfachen Verbesserungen 
bin ich bei folgenden Formeln stehen geblieben (I pg. 65 und 69): 


p = 1450074 — 0952314 000014004? — 2°040sin 20% + 00100 c0s20%t (IM) 


e=5:595 — 0.0253 (,,) + 0:01754 (2) 
(B) 
“ 0) u . fi) 0 
—+ (0.171 cos 20° + 0.010 sın 20°) 5.610 


Hierin ist die Zeit £ von 1850.0 gezählt. 


Beide Formeln geben also beinahe vollkommen übereinstimmende 
Werthe für die Bewegung von © um einen Punkt, der nicht durch einen 
leuchtenden Stern markirt ist und diese Uebereinstimmung schien mir 
sehr in’s Gewicht zu fallen. Ehe man nun aber aus diesem Ergebnisse, 
welches sich nur auf das geometrische Verhalten der von 0 beschriebenen 
Bahn bezieht, die Folgerung ziehen dürfte, dass hier thatsächlich ein 


1) Dass bei solchen Fragen grosse Vorsicht nöthig ist, mag der Umstand beweisen, dass 
aus Otto Struve’s Beobachtungen von AB grosse Abweichungen von dem Kepler’schen Ge- 
setze der Flächen folgen, die nach Hinzuziehung der andern verfügbaren Beobachtungen ver- 
schwinden und auch nach den Untersuchungen des nächsten Paragraphen gar nicht vorkommen 
können. 


11 


ganz ähnliches Phänomen vorliegt, wie etwa bei Sirius oder Procyon, 
musste zuerst, in Anbetracht der hier vorliegenden complicirten Verhält- 
nisse, gezeigt werden, dass dergleichen Anomalien nicht etwa Folgen der 
Einwirkungen der beiden Sterne A und B sein können. Die Frage nun, 
ob Bewegungen, wie sie der Stern Ü zeigt, in einem System von 3 sich 
gegenseitig anziehenden Massenpunkten unter den obwaltenden Verhält- 
nissen stattfinden können, habe ich mit Hülfe eines einfachen und allge- 
meinen Theorems verneinen können, welches fast ohne Rechnung durch 
ein blosses Betrachten der vorliegenden Beobachtungsergebnisse eine Ent- 
scheidung gestattet. Ich komme auf diesen Punkt im folgenden Para- 
graphen ausführlicher zu sprechen. 


Dies waren die wesentlichsten Resultate meiner früheren Unter- 
suchungen. Ich will nun gleich, mit Weglassung aller Einzelheiten, zu- 
sammenfassen, was die folgenden Seiten enthalten. 


Nach den obigen Bemerkungen muss gegenwärtig der Versuch, aus 
den Beobachtungen von A und B die Masse des Sternes € und die Lage 


ı A d ; 
seiner Bahn um a bestimmen zu wollen, als aussichtslos angesehen 


werden. Man wird dieses Problem erst in ferner Zukunft lösen können. 
Dies wird vielleicht nicht früher möglich sein, als bis sich die Bewegung 


Ds, 


von C um De 10 entwickelt hat, dass man eine directe Bahnbestim- 


mung für C mit Erfolg versuchen können wird. Dann wird allerdings 
die ganze Sachlage mit einem Schlage ausserordentlich vereinfacht werden. 


Denn kennt man die Umlaufszeit von € um A, so geben die Kepler’- 


schen Gesetze sofort einen Werth für das oben mit bezeichnete 


14m 
Massenverhältniss. Unter den obwaltenden Umständen, wo also gewisse 
Willkürlichkeiten nicht zu umgehen sind, musste der Vortheil, mit den 
früheren Rechnungen in Contact zu bleiben, von massgebendem Einfluss 
bei der Wahl der Ausgangspunkte der vorliegenden Untersuchungen sein. 
Ich habe also angenommen: 1) der dritte Körper, welcher die Bewegung 
von B um 4 beeinflusst, bewegt sich nahezu in der Projectionsebene, 
2) Seine Masse ist dieselbe wie bei den Elementen VIII. 


Mit diesen Annahmen habe ich nun die ganze Störungsrechnung 
DE; 


12 


nach einer Methode von Neuem durchgeführt, die von der in I benutzten 
in mehreren Punkten abweicht. Wie zu erwarten, ergab sich eine gute 
Bestätigung der früher gefundenen Zahlen. Nach Ausführung der noth- 
wendig gewordenen neuen Ausgleichung erhielt ich als beste Elemente 
für die Bewegung des Sternes B um 4: 


Elemente IX. 
Ösculation 1842.2 


Ir — 2868 

De NIT 

(= 80.190 7 1850.0 
a 197135 

a 22.450 

n = —6.0898 


Die Darstellung der Beobachtungen durch diese Elemente ist eine 
völlig befriedigende. Als werthvolle Prüfung, deren Bedeutung jedoch 
nicht überschätzt werden darf, ergab sich noch, dass Elemente IX die 
W. Herschel’sche Beobachtung vom Jahre 1781 beinahe vollständig dar- 
stellen, während gleiches die Elemente IV, und IV, nicht leisten. 

Die weiter unten folgenden Untersuchungen über die Bewegung des 
Sternes Ü gehen von einer, allerdings unbedeutenden, Unvollkommenheit 
der Formeln (III) und (B) aus. Man kann nämlich, worauf ich im 
folgenden Paragraphen zu sprechen komme, zeigen, dass die nicht 
periodischen Theile der genannten Formeln sehr nahe den Flächensatz: 

o? . — Const. 
erfüllen müssen. Es ist bekannt, dass sich der Schwerpunkt des dyna- 
mischen Systems, dessen sichtbares Mitglied der Stern C ist, nahe nach 
den Kepler’schen Gesetzen um den Schwerpunkt von A und BD bewegen 
muss. Dieser Bedingung ‚genügen die erwähnten Formeln nicht. Es war 
dies auch nicht, nach der Art, wie dieselben gewonnen worden sind, zu 
erwarten, weil die Abweichungen von dieser Bedingung innerhalb der 
Zeiten, für welche die Formeln angewendet worden sind, nur sehr gering 
und durch eine kleine Correctur zu beseitigen sind. Immerhin erschien 
es erforderlich, diese strengere Ausgleichung auszuführen. Der Rechnung 


13 


wurden provisorische Normalörter zu Grunde gelegt, bei welchen die 
persönlichen Fehler noch nicht genügend eliminirt waren. Auf solche 
Weise wurden die Formeln gewonnen: 


2 
p = 145°506 — 0°5151t — 021886 (5) — 10688 sin 200 + 
+- 09349 cos 20% — 0.037 f 


(IV) 


oe = 5'638 — 0.0489 (7) 41.07165 c0s20% 4070341 cos 20% — 0.037 f 


Hierin ist wieder die Zeit von 1850.0 an gezählt und / bedeutet 
die Anzahl Grade resp. Secunden, welche man an p resp. og anzubringen 


= 


: A+B R 
hat, um diese auf 5 bezogenen Grössen von B aus zu rechnen. 


Wenngleich diese Formeln der Wahrheit ziemlich nahe kommen 
dürften, so fordert der systematische Character der übrig bleibenden 
Fehler doch noch zu einer erneuten Untersuchung auf. Ich habe nun 
zunächst durch ein allerdings nicht einwurfsfreies Verfahren die persön- 
lichen Fehler zu ermitteln gesucht und aus den solchergestalt corrigirten 
Beobachtungen neue Normalörter gebildet. Jetzt wurde ein von dem 
früheren völlig verschiedenes Verfahren eingeschlagen. Innerhalb der 
Zeit, über welche sich die Beobachtungen seit W. Struve erstrecken, 
hat der Stern C um den hypothetischen Schwerpunkt, den ich mit $, 
bezeichnen will, schon drei Mal einen vollen Umlauf beschrieben. Es 
lag deshalb nahe, die elliptische Bahn, die er hierbei beschreibt, voll- 
ständig zu bestimmen. Das vorliegende Problem ist eine Verallgemeinerung 
der Aufgabe, welche bei den Betrachtungen über sogenannte veränder- 
liche Eigenbewegungen zu lösen war. Als Unbekannte treten auf die 
Bestimmungsstücke der erwähnten elliptischen Bewegung des Sternes C 
um S, und die Constanten, welche die Bewegung der Projection von &, 
um die Projection des Schwerpunktes von A und B bestimmen. Es 
wäre nun der Unsicherheit, welche dem Resultate nothwendigerweise 
anhaften muss, kaum entsprechend, die vorliegende verwickelte Aufgabe 
strenge nach der Methode der kleinsten Quadrate zu behandeln. Ich habe 
deshalb ein etwas vereinfachtes, aber doch, wie ich glaube, genügend 
sicheres Verfahren angewandt und für die Bewegung von 0 um &, 
folgende Elemente erhalten: 


7.=#1860:127 
07 716,01396 
19568 
io =. 111.35 N) 
n = — 20.460 
A — 0.1106 
= OD 
PO AB 
und für die Bewegung von 5, (pP, 9) um 9 ergaben sich die 


Formeln: 
9, = 145%42 — 0°513 (l — 1850.2) ” 


Dieses Resultat genügt den Beobachtungen, wie im letzten Para- 
graphen gezeigt wird, so gut als man nur erwarten konnte. Eine gute 
Uebersicht in dieser Beziehung giebt auch die dieser Abhandlung bei- 
gefügte Tafel, deren nähere Erklärung unten gegeben wird. 

Was nun aber den Punkt $, betrifft, so kann derselbe wohl kaum 
anders aufgefasst werden, als der Schwerpunkt von C und einem dunklen 
Begleiter. Ich werde im nächsten Paragraphen zeigen, dass mit 
grosser Wahrscheinlichkeit behauptet werden darf, dieser Begleiter be- 
finde sich in einer Entfernung von (©, die einige wenige Zehntel einer 
Bogensecunde nicht überschreiten kann. Diese Annahme genügt gegen- 
wärtig allen Forderungen der Beobachtungen, während gleiches keine 
andere Hypothese leisten kann. Ich für meinen Theil stehe deshalb 
nicht an, derselben eine Sicherheit zuzusprechen, die so gross ist, wie 
sie wenigen Erklärungsversuchen in der Stellarastronomie zukommt, die 
nicht durch den blossen Augenschein sofort bewiesen werden können. — 
Wenn man alle diese Verhältnisse, die im Folgenden eingehend besprochen 
werden sollen, näher in’s Auge fasst, so scheint die Ansicht wohl be- 
rechtigt, dass das mehrfache Sternsystem & Cancri in vieler Beziehung 
eines der interessantesten Objecte am ganzen Fixsternhimmel ist. Wir 
haben hier einen merkwürdigen Fall des Problemes der 3 Körper vor 
uns, das sich vor unseren Augen entwickelt; wir haben ferner die 
Bewegung des Sternes © um 8,, den Schwerpunkt von C und einem 


15 


bis jetzt nicht gesehenen Begleiter, deren Elemente schon jetzt mit 
einiger Sicherheit zu ermitteln möglich ist. Wenn sich nun, was ja auch 
nur eine Frage der Zeit ist, die Elemente der Bewegung von $, um 
den Schwerpunkt von A und B bestimmen lassen werden, dann liegt 
vor uns in der That eine wunderbare Bewegungserscheinung, die trotz 
ihrer Complicirtheit aus einer solchen Anordnung der sich gegenseitig 
anziehenden Massen entspringt, dass mit verhältnissmässig einfachen Hülfs- 
mitteln ein vollständiges Eindringen in die Eigenthümlichkeiten des ganzen 
Systemes möglich ist. 


82. 


Es sollen jetzt einige Entwickelungen vorgenommen werden, die 
den speciellen Verhältnissen, welche & Cancri!) darbietet, angepasst sind. 
Hier haben die beiden Sterne A und B eine kleine Entfernung von 
einander im Vergleiche zu den Entfernungen AC und BC. Es sollen nun 
diese Quotienten als kleine Grössen erster Ordnung betrachtet und nach 
ihren Potenzen entwickelt werden. 

Die Massen der 3 Sterne A, B, C seien m,, m,, m,; die Entfern- 
ungen AB, BC, AC bezw. r, r3, Yı.. Ferner werde die Entfernung 


C Sr mit r, bezeichnet und der Winkel, welchen die Richtung AB, 


nach B hin positiv genommen, mit r, bildet mit o. Legt man in den 
Stern A ein rechtwinkliges Coordinatensystem, dessen Z-Axe mit dem 
Visionsradius, dessen X-Axe in der Projectionsebene mit der Nullrichtung 
der Positionswinkel zusammenfällt und dessen Y-Axe den Positionswinkel 
90° anzeigt und nennt man die auf dieses System bezogenen Coordinaten 
von B und (, z, y, 2 bez. &, Y, 2, so hat man: | 


dee 2 x 2 Be 2 
Ta (m + m) 3 + K mM; 7, _ 
a?’y Y ze 

em (5) 
Bar 2 2 2 en ) 
ar mm) Ms NE,“ 


1) In dieselbe Categorie fällt auch der dreifache Stern & Scorpii u. A. 


16 
worin k die Gauss’sche Anziehungsconstante ist. Durch Entwickelung von 


il 
a 2 
n—Nndgt — rr,CoSO 


1 
ee 2 
N=Nndg? —-rr,coso 


erhält man: 


> BR "\2 
= 14, 7coao tg = Bet 


a. 
aa jil-szwmo+,(,) God 


Nennt man weiter 5 n, & die Coordinaten von ( gegen ein dem früheren 


A 


gleichgerichtetes Coordinatensystem mit seinem Anfang in ee ist: 
1 & 1 1 
5145 We5ytm 3=5:+6 
und durch Einführung dieser Grössen gestaltet sich die erste der drei 


Differential-Gleichungen so: 


d?x x 
LE — k? (m, 4 Mm.) 3 


2 R 2 
k i| — 38} cos 0 - ie 26 + 


1 L 

Das letzte Glied innerhalb der Klammer ist um 2 Ordnungen kleiner 
als die beiden ersten. Es soll von nun an fortgelassen werden. Beachtet 
man weiter, dass 


Sc +ny+ 52 


LIE, 


COSO —= 


so stellen sich die Bewegungsgleichungen in der Form dar: 


ar _ — k?(m, 1m) ni De riRr a |o— 382 setuet2e] 


daR 1 Ian 


d?y { m. | r Extnyttz 
ee a = ee 
d’2 12 i = 
m tm) ze a Sehmts| 
4 
Aus den ersten beiden Gleichungen ergiebt sich: 
d?y d?x m; r Ectny+Le k 
oe IB 3 7,3 3 Fr, (x n—5y) 


1 


Führt man Positionswinkel und Distanz ein durch die Formeln: 
x = 0c0sp | = 0,0089, 
y=zosmnp | n=_sinp, 

so kann die letzte Gleichung geschrieben werden: 


a) k? m 

t ö { 

Tea sin (m —p){ea1 cos (pn —p)+L2, 
v 1 


Aus diesem Ausdrucke, dessen rechte Seite von der zweiten Ordnung 
ist, ergiebt sich, dass nur dann, wenn m, sehr gross ist, eine Abweichung vom 
Kepler’schen Gesetze bemerkbar sein wird. Die Untersuchung des Flächen- 
satzes wird demnach kein zweckmässiges Mittel sein, um eine Einwirkung 
des dritten Sternes auf die Bewegung der beiden inneren zu constatiren. 


Ich habe bei & Cancri durch wirkliche Bildung von eaar (I pag. 16) 


nachgewiesen, dass dort eine solche eventuelle Einwirkung durch die Be- 
obachtungsfehler vollkommen verdeckt wird. Ich will diesen Gegenstand 
noch einmal an der Hand der obigen Formel besprechen, weil ıch an- 
nehmen muss, dass die erwähnte Thatsache von anderer Seite nicht ge- 
hörig beachtet worden ist. Im Anschlusse an die Bemerkungen des 
vorigen Paragraphen setzen wir {= 0 also auch r, =o,. Dann wird also 


a 
= _ _oo5 1) 


1 


Die Constante % ist hier in folgenden Einheiten: Bogensecunde, Grad, 
Jahr, auszudrücken. Bezeichnet also n, die mittlere Bewegung von 
B um A in Einheiten des Radius, a, die zur selben Zeit stattfindende 
grosse Halbaxe in Bogensecunden ausgedrückt, e = 57'29.., so hat man 
bekanntlich: 

k? (m, + Ms) — ng” ag” € 


‘Die Gleichung (1) wird also: 
dp Be a m (re: 
DUDTEE RR TLLN Des 
On Const. + EN @ nn [: sin 2 (p, —p) dt (2) 


Auf die leichteste Weise wird das Integral in dieser Formel auf 
mechanische Weise berechnet. Ich habe diese einfache Rechnung für 
Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Ba. I. Abth. 3 


18 


C Cancri durchgeführt und zwar wurden alle den Stern B betreffenden 
Angaben aus den Elementen (VIII) entnommen. go, und », bedeuten hier 
die Coordinaten des Punktes $,, sind also nach Formel V zu berechnen. 
Nimmt man als untere Grenze des Integrales 1828.2, so kann man 
schreiben 


N 2 Ba he 
Sl (e les m, tm, 
und für / habe ich gefunden: 
1828.2 0.000 
38.2 0.043 
48.2 0.079 
58.2 0.075 
68.2 0.062 
78.2 0.064 


Bei der numerischen Integration wurde zwischen 1828 und 1858 in 
Intervallen von 2, von da ab in solchen von 1 Jahr vorwärts gegangen. 
Ich erinnere noch, dass in I als Mittelwerth gefunden wurde: 

ee? _ _ 4935 
und dass die Abweichungen, welche in dieser Constanten durch die Be- 
obachtungsfehler entstanden, sehr oft mehrere Einheiten der ersten 
Decimale betrugen. Die obigen Zahlen ergeben nun, dass in der That, 


wenn, wie früher angenommen, ——*— einige Einheiten nicht übersteigt, 


m, + m, 


der Flächensatz als so nahe erfüllt angesehen werden kann, als es die 
Genauigkeit der Beobachtungen zulässt. Aber selbst bei grossen Werthen 
für das genannte Massenverhältniss könnte sich höchstens in der Zeit von 
1828 bis 1838 ein Einfluss bemerkbar machen. 

Ich will nun die Gleichungen (I) in eine Form bringen, in welcher 
sie ım Folgenden gebraucht werden. Ohne auf eine, von selbst klare, 
allgemeinere Anwendbarkeit des folgenden Verfahrens hinzuweisen, nehme 
ich gleich © = 0 an. Die Gleichungen (I) schreiben wir nun in der Form, 
welche in der Theorie der speciellen Störungen üblich ist: 


19 


TE — %?2(m, + m,) = x 
d? 
= + %k? (m, + m,) z -f7 (3) 
2 
= + k? (m, + m,) = =. 
- wo also: 
er k?my | $ £ a 
U ze, Ho \? —,) 0 (SC — 7Y) 
km; f NN GE \ 
va WW 3zert nm 
7 al k’m; 
% ei 


Durch Einführung von Positionswinkel und Distanz erhält man: 


k? m, 
 — Tor 0 |cos» — 3 C089, C08(P, — | 
1 
k?m, { . E 
N — e 0 |sin? — 3 sin pP, cos (pı — | (3a) 
f 
IHN k? m; 
0 3 


Es soll nun vorausgesetzt werden, dass man von osculirenden Ele- 
menten ausgeht. Diese. sowie die aus ihnen hervorgehenden Coordinaten 
werden mit dem Index 0 bezeichnet. Setzt man weiter 

on 00 mn ou, 3a da: ren dr 
so sind dx, dy, dz die Störungen in den Coordinaten. Es ist aber zu 
beachten. dass die Beobachtungen die gestörten Werthe x, y ergeben. 
Mit z und r verhält es sich anders. Wären die osculirenden Elemente 
genau bekannt, so wären es natürlich auch 2, und r,. Dieses ist nun 
allerdings nicht der Fall, aber man wird auf Grund der Rechnungen 
in (I) annehmen dürfen, dass die osculirenden Werthe wenigstens näherungs- 
weise bekannt sind. Eine kleinere Unsicherheit in dieser Beziehung wird 
bei & Cancri von keinem Einflusse sein, weil die Neigung i klein ist und 


also die von der 2-Coordinate herrührende Störungscomponente keinen 
3*+ 


20 


grossen Einfluss haben kann. Die Gleichungen (3) schreiben wir nun in 
bekannter Weise: 


d?öx X 2 x BY 
daR = u 1.0) & a 

aröy DER 
15 = Y—R2m + m) (4 — a 

d?dz Z 2, ( 2 20 ) 


Setzt man noch 
2 ; Y. 60s0\3 
-—=tg0; — (a 
tn fl ) 


°_ und man hat: 


sowrdr=- 
cosO 


eng, nn 82} 
N de Pen Au (4) 
ee ne 


Wie diese Gleichungen in der wirklichen numerischen Rechnung 
anzuwenden sind, wird später erörtert werden. 


Die Verhältnisse bei S Cancri werden, wie in $ 1 bereits ausführlich 
besprochen, in höchst interessanter Weise complicirt, durch die Anoma- 
lien, welche in der Bewegung des dritten Sternes C' aufgedeckt worden 
sind. Ich habe oben bereits erwähnt, dass, ehe man an die Erklärung 
dieser Anomalien schreiten kann, zuerst nachgewiesen werden muss, dass 
nicht etwa bloss eine im Problem der 3 Körper (4, B, €) mögliche 
Bewegungsform vorliege. Ich habe diesen Beweis in höchst einfacher 
Weise und völlig streng in meiner früheren Arbeit (I pg. 58 ff.) geführt. 
Derselbe stützte sich auf einen einfachen Satz, welcher mir an sich so 
evident schien, dass ich kein besonderes Gewicht auf denselben legte. 
Die Thatsache aber, dass derselbe Missverständnissen ausgesetzt sein konnte 
und dass Zweifel an seiner Richtigkeit, wenn auch nur vorübergehend, 


21 


ausgesprochen werden konnten, lässt mich demselben nun eine grössere 
Wichtigkeit beimessen. Ich will deshalb die diesen Punkt betreffenden 
Untersuchungen hier zum Theil wörtlich anführen und daran einige 
kurze Bemerkungen knüpfen. Den erwähnten Satz habe ich in I so ab- 
geleitet: 

Ich bezeichne mit 1, m und m die respectiven Massen der drei 
Sterne 4, C und B. Ich lege ferner in den Stern 4 als Mittelpunkt 
ein sonst beliebiges rechtwinkeliges Coordinatensystem der x, y, 2, be- 
zeichne mit &, y, 2 die Coordinaten von © und mit «, y', z diejenigen 
von B, mit r und r die Entfernungen 4C und 4B und schliesslich 
mit e die Entfernung BC. Dann wird die Bewegung von 0 durch die 
Differentialgleichungen definirt: 

rn — m) = — k?m (’ = = n) 
2 ; er Y 
= + %k?(1 +m)5 — km (. 2.) 


indem ich die 2-Coordinate unberücksichtigt lasse. Aus diesen Gleichungen 
ergiebt sich: 


een) 

In analoger Weise betrachte ich die relative Bewegung von € um B. 
Ich lege also nach B den Anfangspunkt eines neuen, dem früheren parallel 
gerichteten Coordinatensystems und bezeichne mit =”, y, 2 und&n,{ 
die Coordinaten von © und von 4. Dann ergiebt eine Wiederholung 
der eben ausgeführten Betrachtung: 


d ( „ dx" 7 dy' Bot „ 1 il 
re R 


Wie man aber sofort übersieht, ist: 
Ey" IE n&" —— — (€ y —n «) () 
Ferner sind bei C Oancri die gegenseitigen Entfernungen der drei 


Sterne so beschaffen, dass für alle Zeiten, über welche sich die Be- 
obachtungen erstrecken 


22 


die in («) und (2) vorkommenden Differenzen 


1 1 1 
r es und — — — 


y3 P% 
sind infolgedessen stets negativ. 
Da sich nun weiter infolge von (y) die Gleichung (/) schreiben lässt: 
d „ da" „ dy 2 RER 1 Ak: a 
ne, -.) er 


so können wir sagen, es muss immer sein 


am Ba) 


ee „s) AR} rn 
"3 ee) ie 


wobei 7’ und 7, zwei Functionen der Zeit bedeuten, die beide zu gleicher 
Zeit entweder positiv oder zu gleicher Zeit negativ sind. 

Bezeichnet man nun mit p und e Positionswinkel und Distanz des 
Sternes C von A aus gemessen, p’ und o” dieselben Grössen von B aus, 
so hat man also: 


02 we di 
er N Be 


oder wenn man die Werthe von go, p, e@' und p” für die Zeitt=h 
durch dieselben mit dem Index 0 versehenen Buchstaben bezeichnet und 
ausserdem setzt: 


70 dp 2 dp dps 
d(e 7) = ze 
N dp )= ED dp 22) dps 
‘le dt m nz 


so kann man die letzten Relationen auch schreiben: 


) (v = = fra 


de a Ede fra 


23 


So lange sich die beiden bestimmten Integrale aus lauter Grössen 
mit demselben Vorzeichen zusammensetzen, müssen also 


le er) 
stets verschiedene Zeichen haben. 

Ich habe die frühere Ableitung dieses Satzes zum Theil wörtlich hin- 
gesetzt, weil ich auch jetzt noch seine Fassung als völlig unzweideutig und 
klar ansehe. Was die Einschränkung „aus lauter Grössen mit demselben 
Vorzeichen“ betrifft, so kann doch wohl kaum ein Zweifel über ihre Be- 
deutung obwalten. Mit etwas anderen Worten heisst sie: 7’ und 7, dürfen 
innerhalb der Zeit ti, bis £ das Zeichen nicht wechseln und da diese 
Grössen sich aus zwei Factoren zusamensetzen, von denen der eine, wie 


besonders hervorgehoben worden, überhaupt immer dasselbe Zeichen hat. 
so kann sich die gemachte Einschränkung nur auf den zweiten Factor 
@y— xy) 

beziehen. Dieses ist der analytische Ausdruck für den doppelten Flächen- 
inhalt des Dreieckes ABC und ändert offenbar sein Zeichen nur dann, 
wenn er durch Null hindurchgeht. Die gemachte Einschränkung be- 
deutet also: innerhalb der Zeit {, bis t dürfen die Projectionen der drei 
Sterne ABC niemals in einer geraden Linie liegen. 

Dass dem genannten Satze die Beobachtungen von © zu wiederholten 
Malen widersprechen, folgt durch einen Anblick der betreffenden Zu- 
sammenstellung in I (pg. 57). Ich nehme aus dieser beispielsweise die 
folgenden auf A resp. B bezogenen Positionswinkel: 


AC 1220; 
p p 
1833.25 148°47 157°02 
- 35.31 145.44 153.65 


36.27 144.13 152.14 
40.25 145.35 152.08 
41.07 145.59 151.87 
42.32 145.20 150.75 
43.29 147.03 151.96 
44.28 148.80 155.14 
45.37 149.54 153.23 


Hierzu die Bemerkung in Erinnerung behalten, dass innerhalb der 
angeführten Zeiten die Projectionen der ABC niemals in einer Geraden 
stehen und ausserdem beide Distanzen stets zwischen 5” und 6” liegen, so 
ist alles gegeben, um den Widerspruch mit dem bewiesenen Satze auf 
den ersten Blick zu entdecken. Von 1833 bis etwa 1840 sind sowohl 
= als auch — negativ. Hierauf wird = positiv; es müsste also 2 
zum mindesten stark negativ bleiben. Wenn man also vielleicht auch das 
Positivwerden dieser Grösse den Beobachtungsfehlern zuschreiben wollte, 
so dürfte sie doch bei der geringen Veränderung von o, nicht der Nuli 


nahe kommen, was doch zweifelsohne stattfindet. 


[2 


Betrachtet. man demnach £ Cancri als ein System von 3 Körpern, so 
sind die Eigenthümlichkeiten, welche die Bewegung des Sternes O zeigt, 
nicht zu erklären. Dass dies aber vollständig der Fall ist, wenn man 
annimmt, dass € in seiner Nähe einen vierten Massenpunkt hat, ist schon 
oben erwähnt worden. Es stellt sich uns also nun die Aufgabe entgegen, 
gewisse Beziehungen in einem solchen System von 4 Massen, von denen 
je 2 einander sehr nahe stehen, aufzudecken. Dies soll jetzt geschehen. 

Die 4 Sterne A, B, C, D mit den Massen m,, m,, m,, m, und den 
gegenseitigen Entfernungen r,,, 71; etc. sollen auf ein festes Ooordinaten- 
system bezogen die Coordinaten 7,...2% %1...%9 2%... haben. X, I, Z 
seien die Coordinaten des Schwerpunktes S, der beiden Massen m, und ms; 
X,, Y,, Z, die Coordinaten des Schwerpunktes 8, von m, und m,. In 
Bezug auf ein Axensystem, das dem früheren parallel gerichtet seinen 
Anfang in 8, hat, seien die Coordinaten der 4 Punkte der Reihe nach 
&, 75 55 5 N, & ete., während die Coordinaten von $, & n, & sind. 
Ferner werde allgemein die Bezeichnung eingeführt: 


DT % Ds 
a al 


ER Ta 


Dann hat man sofort: 
ax, 2 2 5 
ae k“ m; (21) + k"m, (31) + k’m, (41) 


2 
dx, 


Fre k" m, (12) + k’m, (32) + k?m, (42) 


25 
Hieraus ergiebt sich: 


2 
(m, + m,) — — k’tm, m; (31) + m; m; (32) + m, m, (41) + m; m, (42)} 


und auf ganz gleiche Weise: 


(m; + m,) ee = k’{m, m; (13) + m, m, (14) + m; m; (23) + m; m, (24)} 


Bedenkt man, dass: <= X, — X, so folgt sofort: 


z 
z — A Im, m; (13) + m, m, (14) + m, m; (23) + m, m, (24)} 


wo ) 
op M tm, m, + m, | 
(m, + m,) (m; + m,) 
Ganz analoge Gleichungen bestehen selbstverständlich für die Coordi- 
naten 7 und &. Hieraus leitet man sofort ab: 
en 
ılar "ae 


m, m 5 5 
= year & — n)5 (75) n\+ L m |@. — (O5) n| 


13 
mM, mM 
+ |) 8-5] + mE 8] 
Beachtet man nun, dass nach der Definition 
ms + m & = 0 


m & + m, & = (m, + m) & 


so erhält man schliesslich: 


lf.dn _@E el ee 
a RO ie | | 


ls 5) K (+ — +) + m, = en; =) 


r; Ya 


(6) 


Dieser Ausdruck soll nun wieder unter der Voraussetzung entwickelt 
werden, dass die Entfernungen AB und CD vergleichsweise mit den 
Strecken AC, AD etc. sehr klein sind. Zu diesem Zwecke seien r,, ?,, 
Y, r, die Entfernungen der 4 Punkte A, B, C, D von $,. Ferner sei 
o;, der Winkel, welchen die Richtungen von A nach B und von S, nach 

Abh.d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. I. Abth. 4 


9 


- 


6 


C mit einander bilden und o, der in derselben Richtung gezählte Winkel 


zwischen AB und 8,D. Dann ist: 
1 1 ( Va ) 
„= 7 1- 2 ar 
ıl 1 ( Yı ) 
— N me _ O Sn 
E A 1 3 „3 - 
Hieraus ergiebt sich: 
M, m _ mM Ms ER 
er 
und auf gleiche Weise: 
m, m __ Mt Mm Br 
N ru Di n a 
Man hat also: 
EL re & 35 )= (rl 
m, (= — = —+ m, n ee (m, + m,) 
Ebenso leicht findet man: 
1 l S 
ie Elm en 
3 
nn lntn)eong en 
724 rs ER 


Vernachlässigt man die Glieder höherer Ordnung, so kann man 
09,=0,=s setzen, wo s der Winkel zwischen den Richtungen 4B und 


54.8, 18t. 


Nennt man noch r, o, und o, die Strecken 8,8,, CS,, DS; 


und den Winkel zwischen 8,8, und S,C, s, so wird 


Alle diese Ausdrücke 


dn de 
ae" 2) 


ee! 
14 3 Amy 


— Am, 


1 1l 3 
a — a = alt 0Q)cos 


un 


in (6) eingesetzt geben: 


Dr 


(mE — &n mM; —- my) COS 


(15 --5& 9) = (m, — ms) COS 5, 


r* 


_ 3 (m, tm; +M; +m,) (m, 
12 


2) c08S (ng $ FT n)— Far 9 CO8 5} (N3 5 zZ 55 2) 


27 


Berücksichtigt man die Gleichungen: 
fr,ceoss — 55 Lım "€ 
179,008, =E(& + nm — mM) + °&—°) 


und nennt man x, y, 2 die Coordinaten von B gegen A, so kann man 
die letzte Gleichung auch schreiben: 


ale! —n 
a(e a 2) _ 3h?(m, Fee +m,) en, (yEe—na) (ee +ny-+ 62) 


2 = (ME) ESE—H+nm—n) + E& — a 


Hierin sollen nun Positionswinkel und Distanz eingeführt werden, 
indem man setzt: 
2=0c09 | E=com | 3 —&=gcosy 
y=osinp | 7=@sinm | , - n=gsiny 
und wie früher 
beta 
Wird ferner zur Abkürzung gesetzt: 


_ m, m, (m, +m, +m,-+m,) 
BF (m, + m,)® 
B= m, (m, + m, + m, + m,) 
m, (m, + m,) 


so ergiebt sich schliesslich: 


a (a2) 3 k? (m, + m,) , ee „\ 
a lee sin m) +89 eye 


Noch übersichtlicher wird diese Kennel, wenn man setzt: 
= (m, — m. 3% sin? (pp —p)dt 


9=; Sp (m, — | md N) di 


Denn jetzt wird einfach: 


De 
0 =e—ah— Pop (7) 
4* 


28 


m, 7m, 


m; + m,’ 


rechnete Ausdruck ist. Es wurde schon oben erwähnt, dass 


f, ist nämlich nichts anderes als f- wo f der pg. 18 bereits be- 


m; + m, 
m tm, 
voraussichtlich einige Einheiten sein wird. Wir haben es = 2.4 ange- 
nommen. Ferner kann, wie noch weiter unten erwähnt werden wird, 


angenommen werden, dass sehr nahe m, = n,. Hieraus ergiebt sich 


ui ; Br Rz 
= VW RESA 
Aus der pg. 18 ausgeführten Rechnung folgt also, dass das Glied «f, 
wegen seiner Kleinheit jedenfalls nicht in den Messungen zum Vorschein 
kommen wird. Aber auch das zweite Glied ist verschwindend. Sehr 
nahe ist nämlich, wenn u eine Constante bedeutet: 


M—-Y = —- 200 + u 
99 0:25 
0, = 5:44 


und infolge dessen 


BY = 0.0011 = cos (2 u — 40%) 
4 


Es folgt also wiederum, dass eine Abweichung von dem Kepler’schen 
Flächensatze in der Bewegung des Schwerpunktes 8, um $, in den Be- 
obachtungen sich nicht verrathen wird. Dass auch die anderen Kepler’- 
schen Gesetze in dieser Bewegung eingehalten werden, ist nun auch nach 
bekannten Entwickelungen ohne Weiteres anzunehmen. 


Es wäre nun noch die Bewegung von C um &, zu betrachten. Die 
völlige Analogie dieser Betrachtung, mit der, welche bei der Bewegung 
der Sterne B und A um einander angestellt worden ist, überhebt uns 
aber dieser Mühe. Zuerst ist sofort zu sehen, dass hier die Abweichungen 
von den Kepler’schen Gesetzen viel kleiner sein werden wie dort, weil 
die Distanz CS, viel kleiner ist als die Distanz AB; ferner weil voraus- 
sichtlich MIH> 1. Hiezu kommt noch die Bemerkung, dass auch 

i 2 
hier wieder ein beträchtlicher Theil der Störungen sich durch eine 
passende Wahl der elliptischen Bahnelemente berücksichtigen lassen wird, 


29 


schliesslich, dass die relativen Coordinaten von C gegen S8, nur mit sehr 
geringer Genauigkeit aus den Beobachtungen hervorgehen. 

Zuletzt tritt an uns die Frage heran, wie man sich das materielle 
System, dessen Schwerpunkt 5, und zu welchem der Stern © gehört, 
zu denken habe. Mit grosser Sicherheit geht nun aus den Rechnungen 
in I und den folgenden Paragraphen hervor, dass die Projection von 
C in etwa 18 Jahren eine geschlossene, dem Kreise nahe kommende 
Bahn um die Projection von 5, beschreibt. Von selbst drängt sich die 
weitere Interpretation auf, dass dieser Punkt S, nichts anderes ist als 
der Schwerpunkt des Sternes C und eines unsichtbaren Begleiters D. 
Die weitere Verfolgung dieser Ansicht hat nun in allen Stücken eine so 
völlig befriedigende Darstellung der Beobachtungen ergeben, dass es mir 
geradezu unerklärlich ist, wie die Behauptung ausgesprochen werden 
konnte, die Beobachtungen des Sternes C können nicht durch die An- 
nahme eines nahen Begleiters allein dargestellt werden, sondern es müsse, 
wenn auch ein solcher vorhanden sein könne, noch ein fünfter Stern 
supponirt werden, der in grösserer Entfernung von C sich befinden könne. 
Wenn hierbei auf Sterne aufmerksam gemacht worden ist, die sich in 
vielen Bogenminuten Entfernung von 5 Cancri befinden, so muss eine 
solche Meinung als in jeder Beziehung unzulässig bezeichnet werden. 
Die Frage indessen, ob der Stern D sich in grosser Nähe bei © befinden 
muss, wurde bisher nicht discutirt, sie lässt sich aber leicht erledigen 
und zwar in einer Weise, die einen Zweifel gar nicht mehr aufkommen 
lässt. Die Annahme, welche eine ganz befriedigende Darstellung aller 
Beobachtungen ergeben hat war die: die 4 Sterne 4, B, C, D gruppiren 
sich zu zwei Partialsystemen AB und CD. Die Wirkung des zweiten 
auf das erste ist, obwohl sie an sich bedeutend sein kann, nur schwer 
in den Beobachtungen zu erkennen. Ebenso genügt die Annahme, dass 
sich © um D nach den Kepler’schen Gesetzen bewegt. Die Elemente 
dieser Bewegungen lassen sich mit grosser Sicherheit ermitteln, nament- 
lich ergeben sich sehr sicher dıe Umlaufszeiten und die grossen Axen. 
Unter der Annahme gewisser Massenverhältnisse sind auch die oscu- 
lirenden Elemente der Bewegung von B um A sicher abgeleitet worden 
und da eine Veränderung der Bewegungselemente von C um D nicht 
zu constatiren ist, kann sie nicht so bedeutend sein, dass man nicht 


30 


annehmen dürfte, dass die gefundenen, wenigstens in roher Näherung, 
als für dieselbe Zeit geltende osculirende Elemente angesehen werden 
können. Osculirende Elemente erfüllen aber nach ihrer Definition strenge 
die Kepler’schen Gesetze. Bezeichnet man also die mittleren Bewegungen 
von B um A und von C um D mit n und n, und die grossen Halbaxen 
dieser Bahnen mit a und a, so finden die Gleichungen statt: 

(m +m)=edn”; (mm) = dm 


und hieraus 


(m tm) _ er 
(m; +m,)n " \aı 
Nennt man c die grosse Halbaxe der Bahn, welche C um $, be- 


schreibt, so ist 
= Mm; 


= a 
m tm, " 


Mm tm, _ (" Ik Elsk Mm, h 
m; + m, N, € m, + m, 
Bezeichnet weiter der Kürze wegen: 


ehe. ar, 
2m, { in 
so hat man zufolge der letzten Gleichung 


tet) 


N, 


also: 


Nach den Elementen IX (pg. 12) und V, (pg. 14) ist aber: 
A N Ne) 
%=x05487 n = — 6°09 

Es ergiebt sich demnach: 


1-++ z = [0.252] yt 
a, = [9.588 — 10] y% | (%) 
worin die eingeklammerten Zahlen Logarithmen sind. Diese Formeln 
zeigen zunächst, weil £ > 0 sein muss, dass 
y> 9.19 


ist. Zweitens aber geben sie mit grosser Wahrscheinlichkeit eine obere 
Grenze für a’, die mittlere Entfernung der Massen C und D. Berechnet 


3l 


man nämlich für verschiedene y% die zugehörigen a und x, so erhält 
man folgende Zahlenreihe: 


7 


Y a % 

1 0.39 0.79 

2 0.49 1.25 

3 0.56 1.58 

4 0.61 1.83 
10 0.83 2.85 
20 1.05 3.85 
100 1.80 7.30 


Halten wir daran fest, dass die früheren Untersuchungen für y den 
Werth 2.4 ergeben haben, dass überhaupt sehr grosse Werthe von y 
wenig wahrscheinlich und voraussichtlich sogar bei genauerer Unter- 
suchung der ausgeübten Störungen ganz auszuschliessen sind, so dürfte 
mit grosser Sicherheit der Schluss zu ziehen sein, dass der Stern D in 
einem Abstand von wenigen Zehnteln einer Secunde sich von C befinden 
muss. Abgesehen von allem Anderen dürfte diese grosse Nähe der beiden 
Massen die Thatsache genügend erklären, warum der jedenfalls licht- 
schwache Stern D bisher nicht gesehen worden ist. 


83. 
Ich gehe nun zur speciellen Betrachtung der Bewegung des Sternes 
B um 4 über. 


Die in meiner früheren Arbeit (I p. 35) berechneten Störungswerthe, 
welche die Einwirkung des dritten Sternes auf die Bewegung von P um 
A ausdrücken, werden wohl kaum einer Verbesserung bedürfen. Trotz- 
dem habe ich es nicht für unnütz gehalten, diesen Theil der Rechnung 
noch einmal zu wiederholen. Zunächst wollte ich hierdurch eine unab- 
hängige Controle für die Richtigkeit jener Rechnungen erhalten, zugleich 
aber auch die a. a. O. (pg. 33) erwähnte, damals nicht zur Anwendung 
gekommene Methode nun wirklich benutzen. Diese Methode ist oben 
(pg. 20) ausführlich aus einander gesetzt worden. Es wurde also nach 
den Formeln (4) gerechnet und die Integration nach den zuerst von Encke 
gegebenen bekannten Vorschriften auf mechanischem Wege ausgeführt. 
Die ganze Rechnung gestaltet sich verhältnissmässig sehr einfach und 


32 


angenehm, namentlich infolge des Umstandes, dass die Kraftcomponenten 


»% 
X, Y, die Factoren En) und die Coordinaten x, y, alle zusammen 


() 


berechnet werden können und sich deshalb derjenige Theil der Arbeit, 
der sich erst successive von Ort zu Ort erledigen lässt, wesentlich ab- 
kürzt. Die Coordinaten x, y sind durch die Beobachtungen gegeben. 
Statt aber diese durch Beobachtungsfebler entstellten Daten zu nehmen, 
ist es gerathener, interpolatorisch gewonnene Werthe, die sich jenen gut 
anschliessen, in Anwendung zu bringen. weil dadurch ein gleichmässiger 
Verlauf der Differenzen gesichert ist. Ich habe früher gezeigt, dass die 
Elemente IV, dieser Bedingung genügend entsprechen. Wenn dieselben 
auch nicht mehr die neuesten Beobachtungen hinlänglich darstellen, so 
werden sie doch gewiss zur sicheren Berechnung der Störungswerthe 
ausreichen. Ich habe deshalb x und y mit Hülfe der aus den genannten 
Elementen IV, folgende Ephemeride (I pg. 10) berechnet. Als osculirende 
Elemente wurden die am Schlusse der früheren Arbeit gefundenen Ele- 
mente VIII benutzt. Zur Erreichung eines besseren Anschlusses wurde 
jedoch die Osculationsepoche auf 1842.2 verlegt. Die störende Masse ,, 
welche bei diesen Rechnungen als im Schwerpunkte S, vereinigt ange- 
nommen werden darf, wurde den früheren Untersuchungen zufolge ab- 
gerundet 
Mm; — (m, + m,) X 2.37 

angenommen. Dieser Massenwerth ist freilich ziemlich willkürlich. Doch 
ist gegenwärtig, wie oben ausführlich dargelegt, diese Willkür nicht zu 
umgehen. Nimmt man noch den Elementen VIII zufolge 


2, —=.-—5.9675.; = 048533 
und nach den weiter unten folgenden Rechnungen 
0, = 5.438 


so folgt hieraus der in den Störungsformeln (3,) (p. 19) vorkommende 
Factor: 


: DAR 
log — * = 5.9969— 10 
Die folgende Zusammenstellung enthält nun diejenigen Grössen, 
welche in den Störungsformeln vorkommen. Dabei ist zu bemerken, dass 
X und Y in Einheiten der 6. Stelle angegeben sind. 


€ I log x log y log 29 
1826.2 | + 14.1 | — 107.5 | 9.7846 | 9.8896 9.2059 n 
282 | + 35:0 | — 117.2 | 9.8672 | 9.8529 9.2891 n 
30.2 | + 549 | — 125.7 | 9.9284 | 9.8023 9.3513 n 
322 | + 732 | —132.6 | 9.9735 | 9.7342 9.3985 n 
342 | + 90.1 | — 138.1 | 0.0065 | 9.6428 9.4341 n 
36.2 | +-105.3 | — 142.0 | 0.0293 | 9.5157 9.4603 0 | 
38.2 | +119.0 | — 144.6 | 0.0441 | 9.3246 9.4781 nn 
40.2 | +130.8 | — 145.7 | 0.0505 | 8.9561 9.4888 n 
42.2 | --140.9 | — 145.1 | 0.0494 | 8.5063 n | 9.4920 n 
44.2 | 149.2 | — 142.7 | 0.0403 | 9.1870 n | 9.4879 n 
46.2 | +-155.7 | — 138.7 | 0.0233 | 9.4360 n | 9.4768 n 
48.2 | +159.9 | — 132.8 | 9.9966 | 9.5871 | 9.4549 n 
50.2 | +162.1 | — 124.7 | 9.9587 | 9.6923 n | 9.4232 n 
52.2 | + 161.6 | — 114.5 | 9.9062 | 9.7688 n | 9.3766 n 
54.2 | 41583 | — 101.6 | 9.8338 | 9.8241 n | 9.3073 n 
56.2 | +151.9 | — 86.0 | 9.7312 | 9.8617n | 9.2198 n 
58.2 | +142.0 | — 67.8 | 9.5769 | 9.8829 | 9.0772 n 
592 | +135.4 | — 57.4 | 9.1634 | 9.8865 n | 8.9723 n 
60.2 | +127.9 | — 46.4 | 9.3025 | 9.8853 n | 8.8245 n 
61.2 |+118.9 | — 34.6 | 9.0335 | 9.8781 n | 8,5855 n 
62.2 | +108.9 | — 22.1 | 8.1444 | 9.8650% | 7.9794 n 
63.2 |+ 973|-— 89 8.9107n. 9.8434n | 8.2939 
64.2 | + 834.6 | + 44 | 9.2384 n| 9,8125 n | 8.6841 
652 |+ 70.1| + 18.1 | 9.4180 n| 9.7680n | 8.8765 
66.2 | + 545 | + 31.8 | 9.5369 % | 9.7073n | 8.9968 
67.2 | + 37.8 | + 45.0 | 9.6201 n | 9.6221n | 9.0753 
68.2 + 202 | + 573 | 9.6787 n 9.4990 n | 9.1239 
692 + 22 | + 683 | 9.7164n| 9.3033 n | 9.1486 
702 |— 15.8 | + 774 9.7366 | 8.9001 | 9.1527 
712 | — 33.1|-+ 842 9.7405 n | 8.6526 9.1383 
722 | — 493 | + 88.6 | 9.7278n| 9.2247 9.1061 
732 | — 63.8 | + 9.6 | 9.6994 n | 9.4547 9.0563 
742 | — 763 | + 90.1 | 9.6531 n | 9.5939 8.9862 
752 | — 87.1 | + 87.8 | 9.5876n| 9.6898 8.8898 
76.2 | — 95.9 | + 83.6 | 9.4964 n | 9.7589 8.7543 
| 
772 | — 102.9 | + 77.8 | 9.3674n | 9.8097 8.5431 
78.2 | — 108.1 | + 70.9 | 9.1690n| 9.8467 8.1080 
792  —111.9 | + 63.1 | 8.7756n | 9.8748 7.9852 n 
80.2 | — 114.4 | + 54.7 | 8.4651 | 9.8946 8.5048 n 
8312 —1157 | + 45.7 | 9.0706 9.9077 8.7345 n 
82.2 | — 116.0 | + 36.4 | 9.3112 | 9.9154 8.8778 n 
832 | —1155 | + 26.7 | 9.4620 | 9.9185 8.9842 n 
84.2 | —1142 | + 17.0 | 9.5698 | 9.9166 9.0672 n 
852 | —1124 | + 72 | 9.6536 | 9.9116 9.1342 n 
86.2 | — 110.0 | — 2.7 | 9.7206 | 9.9030 | 9.1898 % 
837.2 | — 107.1 | — 12.4 | 9.7757 | 9.8907 9.2369 n 
88.2 | — 104.0 | — 22.1 | 9.8223 | 9.8753 9.2771 n 


Abh.d.Il.Cl.d.k. Ak 


. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 


9 mı My e = 
log k Ar log 3 
7.1542 0.0926 
7.7055 0.0909 
7.6673 0.0865 
7.6389 0.0823 
7.6194 0.0778 
7.6083 0.0738 
7.6062 0.0666 
7.6112 0.0617 
7.6250 0.0547 
7.6476 0.0474 
7.6785 0.0378 
7.7209 0.0258 
7.1733 0.0177 
7.8378 9.9946 
7.9161 9.9739 
8.0097 9.9490 
8.1202 9.9171 
8.1809 9.9004 
8.2479 9.8812 
8.3174 9.8636 
8.3892 9.8440 
8.4615 9.8281 
8.5308 9.8155 
8.5930 9.8130 
8.6423 9.8195 
8.6730 9.8407 
8.6808 9.8755 
8.6646 9.9241 
8.6267 9.9782 
8.5721 0.0307 
8.5068 0.0772 
8.4359 0.1114 
8.3636 0.1369 
8.2925 0.1505 
8.2241 0.1577 
8.1595 0.1601 
8.0994 0.1608 
8.0435 0.1564 
7.9919 0.1519 
7.9446 0.1473 
7.9013 0.1421 
7.8615 0.1365 
7.8255 0.1333 
7.1927 0.1277 
7.7631 0.1228 
7.7365 0.1184 
7.7128 0.1130 
5 


34 


Zu einem etwaigen Anschluss theile ich den Anfang und das Ende 
der Reihe der gefundenen Werthe für die zweiten Differentialquotienten 
mit. Alles ist in Einheiten der 4. Decimalstelle angesetzt. 


R j d2 8x ” f d2 öy £ e d? öz 

! N an f f a? f Dan 
18262 — 55.4 ol 790 =80 SE 10 
282 — 349 ae Ben en En + 235 27° +14 
302 — 198 re ns + 164 an 
84.2 — 1988.6 Te erg 17.6 ee es 
852 — 1901.7 ie +18 en a Be + 3163 an 0.0 
862 — 18180 095 +05 | 5 — 22 1095 —184 +2862 707 +04 
a, an ll +2565 507 +07 
88.2 — 1635.1 Te eo — 10.0 + 227.5 ee 


Die durch doppelte Integration erhaltenen Störungswerthe ergaben 
sich so: 


öx öy ÖX öy 
1326.2 — 0.0224 — 0.0320 | 1865.2 + 0.0780 — 0.1497 
28.2 — 0.0141 — 0.0221 66.2 —+- 0.0690 — 0.1784 
30.2 — 0.0082 — 0.0148 | 67.2 + 0.0516 — 0.2071 
32.2 — 0.0041 — 0.0095 | 68.2 —+- 0.0254 — 0.2328 
34.2 — 0.0011 — 0.0056 | 69.2 — 0.0088 — 0.2518 
36.2 — 0.0003 — 0.0030 | 70.2 — 0.0481 — 0.2614 
38.2 —- 0.0001 — 0.0013 | 71.2 — 0.0889 — 0.2606 
40.2 —- 0.0001 — 0.0003 | 72.2 —- 0.1273 — 0.2500 
42.2 0 0 | 13.2 — 0.1606 — 0.2316 
44.2 —+- 0.0002 — 0.0003 | 74.2 — 0.1872 — 0.2082 
46.2 —+ 0.0010 — 0.0011 | 75.2 -—- 0.2070 — 0.1823 
48.2 -+ 0.0029 — 0.0026 | 76.2 — 0.2202 — 0.1560 
50.2 —- 0.0063 — 0.0049 77.2 — 0.2278 — 0.1306 
52.2 + 0.0116 — 0.0084 | 78.2 — 0.2308 — 0.1071 
54.2 —+- 0.0193 — 0.0135 79.2 — 0.2302 — 0.0860 
56.2 + 0.0296 — 0.0213 | 80.2 — 0.2269 — 0.0675 
58.2 —+ 0.0426 — 0.0333 81.2 — 0.2216 — 0.0514 
59.2 —+- 0.0500 — 0.0416 82.2 — 0.2149 — 0.0377 
60.2 —+- 0.0577 — 0.0521 83.2 — 0.2071 — 0.0262 
61.2 —+ 0.0654 — 0.0650 | 84.2 — 0.1988 — 0.0166 
62.2 + 0.0724 — 0.0809 | 85.2 — 0.1902 — 0.0088 
63.2 + 0.0779 — 0.1003 | 86.2 — 0.1813 — 0.0025 
64.2 + 0.0804 — 0.1233 87.2 — 0.1724 —+ 0.0024 
65.2 —+ 0.0780 — 0.1497 | 88.2 — 0.1635 —- 0.0062 


Sind 9), © die ungestörten d.i. aus den osculirenden Elementen be- 
rechneten Werthe für Positionswinkel und Distanz und p, oe die wirklich 
stattfindenden, so hat man: 


0, COS, = 00089 —(ÜX 


0,8in , = esinp—dy 


35 


Wird noch 
P=mt Ip; e=@+Ie 
gesetzt, so ergeben sich für dp und do folgende strenge Gleichungen: 


A 


Bee a a 


Hierin bedeuten: 
dy — yda xöa® + ydy 20 do 
Az EIERN = —_— 7} = ——— Il DE: 
0? / o? r e+% | 2.) 


Mit Hülfe dieser Gleichungen findet man folgende Störungswerthe: 
Osculation 1842.2 


öp do öp ö0 
0 7 0 7 
1826.2 —032 — 0.039 1866.2 + 17.25 —- 0.085 
28.2 —a 083 — 0.026 67.2 —- 20.81 —- 0.076 
30.2 — 054 — 0.016 68.2 — 24.13 —+- 0.062 
32.2 — 0.32 — 0.008 69.2 + 26.78 —- 0.044 
34.2 — 0.24 — 0.003 70.2 —- 28.39 —+ 0.021 
36.2 — 0.14 — 0.001 | 71.2 —- 28.85 — 0.001 
38.2 — 0 72.2 —+ 28.32 — 0.023 
40.2 — 0.02 0 73.2 —+- 27.00 — 0.042 
42.2 0 0 74.2 = 25.28 — 0.058 
44.2 — 0.02 0 75.2 9333 — 0.072 
46.2 — 0.04 + 0.001 76.2 + 21.36 — 0.081 
48.2 —=0:0% —+- 0.004 772 —- 19.47 — 0.090 
50.2 0:07 —- 0.008 78.2 10.03 — 0.096 
52.2 0 —+ 0.014 79.2 + 16 07 —0.10T 
54.2 + 0.24 —+ 0.023 80.2 —+ 14.60 — 0.105 
56.2 03 — 0.034 | 81.2 13:25 — 0.106 
58.2 + 1.66 —+- 0.048 82.2 + 12.02 — 0.109 
59.2 E50 + 0.055 83.2 —+ 10.89 — 0.110 
60.2 -- 385 + 0.063 | 84.2 —r 9.88 — 0.112 
61.2 + 4.60 —- 0.071 | 85.2 + 8.94 — 0.112 
62.2 + 6.21 + 0.078 | 86.2 + 8.06 — 
63.2 28:28 + 0.083 87.2 + 7.27 — 0-07 
64.2 —- 10.80 —- 0.086 88.2 + 6.53 — 0.110 
65.2 —+- 13.87 —+ 0.086 


Diese Werthe stimmen mit den früher berechneten in Anbetracht 
der veränderten Umstände, unter denen sie zu Stande gekommen sind, 
beinahe vollkommen überein. Zunächst stellt sich nun die Aufgabe dar, 
die osculirenden Elemente VIII so zu verbessern, dass die Beobachtungen 
möglichst gut dargestellt werden. Ich werde weiter unten Alles zu- 


sammenstellen, was sich auf die Beobachtungen bezieht. Hier genügt es, 
5* 


36 


die Normalörter anzuführen, deren Zusammensetzung am genannten Orte 
gegeben wird. Die folgenden Positionswinkel sind wegen Präcession auf 
1850.0 bereits reducirt und unterscheiden sich also um diese kleinen 
Reductionsgrössen von den directen Beobachtungsresultaten. Die Normal- 
örter, um deren Darstellung es sich handelt, sind nun folgende, wobei 
die Gewichtszahlen g gleich mit angeführt werden. 


» I 1% I 
0 7 

1832.2 28.80 36 1.129 24 
36.2 18.33 14 1.171 8 
39.2 8.75 12 1.175 6 
42.2 358.57 28 1.156 24 
45.2 350.17 16 1.118 15 
48.2 339.25 25 1.040 23 
51.2 328.31 26 1.040 23 
54.2 316.03 31 0.991 26 
57.2 301.49 33 0.931 21 
60.2 284.49 16 0.827 14 
63.2 262.76 16 0 693 16 
66.2 235.77 25 0.598 17 
69.2 199.78 25 0.522 18 
72.2 162.72 38 0.586 24 
75.2 129.36 41 0.628 37 
78.2 100.98 35 0.698 35 
81.2 81.48 25 0.851 25 
84.2 64.74 24 0.934 24 
- 87.2 48.94 12 0.904 12 


Zur Verbesserung der Elemente VIII benutze ich, wie ich das schon 
früher gethan, allein die Positionswinkel. Bei Distanzen, die zum grössten 
Theile beträchtlich kleiner als 1” sind, scheinen doch sowohl die zu- 
fälligen als auch die persönlichen Fehler derart zu sein, dass zum mindesten 
keine Verbesserung der Resultate durch Berücksichtigung der Distanzen 
zu erhoffen ist. Bringt man nun an die zuletzt angeführten Positions- 
winkel die ın der obigen Tabelle angeführten Störungen mit umgekehrtem 
Zeichen an, so erhält man osculirende Werthe der p, welche durch die 
Elemente darzustellen sind. Unter B sind in der folgenden Uebersicht 
diese Positionswinkel gegeben. Daneben stehen unter R die aus den 
Elementen VIII hervorgehenden Werthe; ferner ist noch der abgerundete 


Werth von Yg, welcher im Folgenden benutzt worden ist, angeführt. Die 
weiteren Columnen finden später ihre Erklärung. 


1832.2 
36.2 
39.2 
42.2 
45.2 


B 


0 
29.12 
18.47 

8.79 
358.57 
350.20 
339.32 
328.35 
315.79 
300.32 
281.14 
254.48 
218.52 
173.00 
134.40 
106.03 

83.25 
68.23 
54.86 
41.67 


R 


o 
28.54 
16.82 

8.05 
359.10 
349.84 
339.71 
328.56 
315.81 
300.34 
280.99 
254.94 
218.79 
174.10 
133.91 
105.20 

84.81 
69.20 
56.59 
45.67 


B—R 


o 
—+ 0.58 
+ 1.65 
+ 0.74 
— 0.53 
+ 0.36 
— 0.39 
— 0.21 
— 0.02 
— 0.02 
+0.15 
— 0.46 
— 0.27 
— N) 
+0.49 
+ 0.83 
— 1.56 
— 0.97 
he 
— 4.00 


IQ 
Ss 


OUT PEPEDNM OO OL 


ID 


0 
29.61 
17.32 

8.34 
359.27 
349.84 
339.75 
328.58 
315.74 
300.29 
280.65 
254.25 
218.05 
174.09 
134.25 
104.98 

83.88 
67.76 
54.61 
43.33 


werden hieraus, wenn Logarithmen angesetzt werden: 


37 


Die Bedingungsgleichungen für die Verbesserung der Elemente 


[0.7782]d.2+[0.9040] + +[0.7826]42+[0.2583] 104 T+ [0.4790 n] dp+ [1.0367 n] 10 dn—=|0.5466] 1.0613 


0.6021 
0.4771 
0.6990 
0.6021 
0.6990 
0.6990 
0.7782 
0.7782 
0.6021 
0.6021 
0.6990 
0.6990 
0.7782 
0.7782 
0.7782 
0.6690 
0.6990 
0.4771 


0.6325 
0.3553 
0.2576 
9.5363 9 
0.4455 n 
0.6984 n 
0.8979 n 
0.9045 n 
0.5426 n 
0.1043 
0.8404 
9.7902 
0.9062 n 
0.7872 n 
9.9758 n 
0.4628 
0.7254 
0.5976 


0.6124 
0.4906 
0.7145 
0.6210 
0.7137 
0.7101 
0.7835 
0.7747 
0.5896 
0.5864 
0.6979 
0.7141 
0.7825 
0.7675 
0.7625 
0.6845 
0.6887 
0.4724 


0.0671 
9.9461 
0.1830 
0.1127 
0.2440 
0.2970 
0.4440 
0.4630 
0.4713 
0.6105 
0.8426 
0.8736 
0.8368 
0.6788 
0.5450 
0.3640 
0.2888 
0.0131 


9.7710 
9.5571 
0.2948 
0.4348 
0.6814 
0.8054 
0.979] 
1.0551 
0.9262 
0.9115 
0.7540 
0.5979 
1.0848 n 
1.1101 
1.0570 
0.8998 
0.8062 
0.4725n 


0.7945 n 
0.6300 
0.8192 n 
0.6953 n 
0.7653 n 
0.7371n 
0.8088 
0.7929 
0.5888 
0.5179 
0.3274 n 
0.1690 
0.6820 
0.6590 
0.7769 
0.7080 
0.7219 
0.5201 


0.8195 
0.3464 
0.4233 n 
0.1584 
0.2900 » 
0.0212 0 
9.0792 n 
9.0792 
9.7782 
0.2648 n 
0.1303 n 
0.7404 n 
0.4684 
0.6972 
0.9713 n 
0.6857 n 
0.9370 n 
1.0792 n 


1.1250 
0.8786 
0.7953 
0.9208 
0.7899 
0.8450 
0.9965 
1.0740 
1.0975 
1.2103 
1.4162 
1.0122 
0.8103 
0.8547 
9.6365 8 
0.8673 
0.8671 
9.8439 n 


Bei der Berechnung dieser Coöfficienten wurde der Bequemlichkeit 


wegen o aus den Normalörtern genommen. Ferner ist an letzter Stelle der 
Logarithmus der Summe sämmtlicher in derselben Horizontalreihe stehender 
Coöfficienten mitgetheilt. Der Beobachtungsfehler /p im Positionswinkel 
ist bekanntlich abhängig von der Distanz, dergestalt, dass er innerhalb 
gewisser Grenzen mit zunehmender Distanz sich verkleinert. Das Gesetz 
dieser Abhängigkeit ist aber noch wenig bekannt, wird auch wohl von 
Beobachter zu Beobachter variiren und voraussichtlich keinen einfachen 


38 


> .. .. = ° .. „ . 
Verlauf zeigen. Für mässige Distanzen, welche grösser als etwa 1 sind, 
wird man indess vielleicht der Wahrheit nahe kommen, wenn man 4» 


porportional mit , setzt, Dann wäre die Ausgleichung so auszuführen, 


dass man nicht &(4p)?, sondern >(g/p)? zu einem Minimum macht. 
Wenn ich hier dieses Verfahren nicht eingeschlagen, vielmehr die Be- 
dingung >(4p)? = Min. aufgestellt habe, so geschah dies, weil es mir 
zweifelhaft ist, ob man bei so kleinen Distanzen, wie die vorliegenden, 
jenes Gesetz mit Vortheil annehmen darf. Im Uebrigen ist das erlangte 
Endresultat ganz zufriedenstellend und da dasselbe von mehr oder weniger 
willkürlichen Annahmen (z. B. über die Grösse der constanten Fehler) 
gänzlich frei zu machen doch nicht möglich ist, so wird es ziemlich 
gleichgültig sein, ob man nach dem einen oder andern der beiden ge- 
nannten Gesichtspunkte die Normalgleichungen bildet. Die durch die 
bekannte Summencontrole strenge geprüften Normalgleichungen sind nun: 


; 5 

+473.0d2 — 63.7 4 + 4739d} + 2994 (104T)— 417do — 166.1 (10dn) = — 121.1 + 853.7 
— 463.7 4686 — 641 — 59.3 = 2 — 10:5 — MS 7 
- 473.9 — 164.1 7 72475.07 27299.5 — 36.4 — — 117.8 + 856.3 
— 299.4 — 55.3 -+2995 + 254.8 — 69.4 — al — 70.5 1.6198 
— hl — 9837 —E 8647694 —+- 1046.7 — 533.3 —+ 106.9 + 374.5 
— 166.1 — N rfeke) — lt — 533.3 —+- 564.3 — 190.7 — 541.8 


Es war von vornherein klar und eine Ansicht der Normalgleichungen 
bestätigt dies, dass eine unabhängige Bestimmung von di und d“2 zu 
gleicher Zeit mit grosser Unsicherheit behaftet sein muss. Es ist dies 
eine unmittelbare Folge der kleinen Neigung und liegt also in der Natur 
der Sache. Man wird daher offenbar in der Darstellung der Beobachtung 
kaum eine nennenswerthe Einbusse erleiden, wenn man eine der beiden 
genannten Grössen von der Ausgleichung ausschliesst. 

Ich habe dA = 0 gesetzt; dann fällt die dritte Normalgleichung 
einfach fort und in den anderen ist dA wegzulassen. Die Auflösung dieses 
reducirten Systems mit 5 Unbekannten ergibt nun: 


dT — 0.0895 
dQ2 — — 17360 | 
dp = — 0057 
di = — 40395 | 
dn = — 0.1223 


39 


Addirt man diese Correctionen zu den Elementen VIII, so erhalten wir 


Elemente IX. 


Ösculation 1842.2 
Tr SHE 
A 


— 1091735 
‚O,—17:80.1907:1850.0 
6 rl 35 
05, 22.450 
n = —6.0898 


Diese Elemente nähern sich sehr den früher gefundenen (VID). Es 
erübrigt nun noch die Ableitung der halben grossen Axe a. Zu diesem 
Zwecke reduciren wir zunächst die beobachteten Distanzen der Normal- 
örter durch Anbringung der Störungswerthe auf osculirende Distanzen, 
B in der folgenden Zusammenstellung. Jede solche Distanz gibt mit 
Hülfe der Elemente IX ein a, aus welchen Zahlen dann nach Massgabe 
der daneben stehenden abgerundeten Gewichte ao, das Mittel genommen 
wird. 


B Io [7 B—R 
1832.2 1.137 4 0.861 -r 0.003 
36.2 1.172 1 0.865 + 0.007 
39.2 1.175 1 0.866 — 0.008 
42.2 1.156 4 0.862 + 0.004 
45.2 1.118 3 0.856 — 0 002 
48.2 1.036 4 0.827 — 0.031 
51.2 1.029 4 0.872 —- 0.014 
54.2 0.968 4 0.888 —+- 0.030 
57.2 0.891 4 0.908 + 0.050 
60.2 0.764 2 0.890 + 0.032 
63.2 0.610 3 0.833 — 0.025 
66.2 0.513 3 0.811 — 0.047 
69.2 0.478 3 0.780 — 0.078 
72.2 0.608 4 0.880 + 0.022 
75.2 0.700 6 0.852 — 0.006 
78.2 0.794 6 0.854 — 0.024 
81.2 0.956 4 0.891 + 0.033 
84.2 1.046 4 0.893 + 0.035 
87.2 1.015 2 0.813 — 0.045 


Mittel a = 0.8581 


Die Darstellung der Normalörter durch die Elemente IX ist unter 
den Rubriken B— IX für Positionswinkel und B—R für Distanz ge- 
geben. Die dort angeführten Differenzen dürfen sowohl. was ihre Grösse 


40 


als auch die Vertheilung ihrer Vorzeichen betrifft, als befriedigend an- 
gesehen werden. Wenigstens ist die nicht ganz gute Vertheilung der 
Vorzeichen nicht auffallend, wie noch weiter unten erörtert werden soll. 


Zum Schlusse dieser Untersuchungen soll nun noch eine Ephemeride 
nach den Elementen IX mitgetheilt werden. Die Störungswerthe (pg. 34) 
sowie die kleine Reduction auf das jedesmalige Aequinoctium sind hierbei 
bereits hinzugefügt, so dass die folgenden Zahlen direct mit den Beob- 
achtungen vergleichbar sind. Was die Reduction wegen Praecession be- 
trifft, so ist die jährliche Veränderung des Positionswinkels gegeben durch: 


= — + 00051 (t — 1850). 


Ephemeride nach Elementen IX. 


p @ p e 

18262 50.00 0 0.993 18572 301.45 __ 0.883, 
57.0 U WAR 15 = e 12005 =E = 58.2 ''/aac0ı 8. 0.5, 

28. as il 592 290.23 ° 0. 
> 3 nr IE 60 2 Fa: Di Er 
30.2 oe ne 612... 977.20 2 12 Oase 
31.2 Eu 622. DOSE. KoBeee 
32.2 a 632 SOcaaome "Kun. 
389. aloe aaa? 642. apkasım > oo 
842.. 28002 2% 1150 18 = 652 24594 2% 064g” 
95.2 2008 an one, 66:21, 25B oem] 
36.2 Gl Laboe, 672; ı ala, , Zub 
37.2 a OR 68.2. 2lalaeı 0a, 
38.2 11.200. Lie, 69.2:  2009ga , GB, 
39.2 Bm ice 70.2 1BBasm „., as; 
40.2 Sm ne LEE Trac Annan Gras. 
41.2 DAN HT, LADSEEN), 722 16268 _ 5, 0570, E 
422 3692 m em. 73.2:  1n04pau,, „Baal, 
182 356.4 Bil. ale. 742. 129.000... , (0606, 
Aka 2020900, ke 752 19844, 0.680, 
45.2 349,179 DEN N 10308 76.2..011B 69m.  ocbsim.- 
A602 : 30ay.. 0, Aloe 70.2) ı 1ogesım 0687 ge 2 
47,90: 3848.14 0,0, . 100000, 78.2.0170. 0216 Ei 3 
> 

“= me zu | mE Mm. orale 
50.2, 838.39 20° » 7.odgı 1 e1.2: ME ee 
51.2 BOB 100g 2 og 
s22 3255 02 og 332 6979050 oa 
; SEAT Be 198 BE a — 5.13 ont 26 
632. 32086.7,,, ° 0.98007,, 842 6466 2, Bea, 
542) 816.00. 7 POMbBRT. 82 5080. oo AR Fr 
562 811417, 0988. 86.2 El 2 Era 
56.2 306.57 2° 0.908; 87.2 Bo 
57:2 1301.45. 0883772 88.2 1656 40 097412 


41 


Ich habe nun zu erklären, wie die dem Vorigen zu Grunde gelegten 
Normalörter zusammengesetzt sind. 

Im Allgemeinen wurden die Beobachtungen der Zusammenstellung 
entnommen, die ich in meiner früheren Arbeit (p. 40 ff.) gegeben habe. 
Inzwischen sind aber eine beträchtliche Zahl neuerer Messungen ver- 
öffentlicht worden. Ausser den in den bekannten und allgemein zugäng- 
lichen periodischen Schriften enthaltenen konnte namentlich die schöne 
Reihe von Doppelsternmessungen benutzt werden, welche Schiaparelli ') 
kürzlich veröffentlicht hat. Diese Publikation kam in meine Hände kurz 
vor Abschluss der hier mitgetheilten Rechnungen. Zu bemerken ist ferner, 
dass ich die Beobachtungen Dembowski’s?) nicht wie früher aus den 
„Astron. Nachr.“, sondern aus dem inzwischen erschienenen Werke ent- 
nommen habe, welches um Kleinigkeiten gegen die früheren Mittheilungen 
veränderte Jahresmittel enthält. Dieses mir zugängliche Material ist im 
folgenden chronologisch zusammengestellt. Es wurden aber nicht die 
von den Beobachtern angegebenen Resultate direct aufgenommen, viel- 
mehr wurden gewisse Correctionen angebracht, über welche ich nun zu 
berichten habe. 

Die Aufgabe, die Beobachtungen engerer Doppelsterne durch eine 
theoretische Formel möglichst gut darzustellen, hängt von dem äusserst 
schwierigen und in vielen Fällen gegenwärtig noch nicht vollständig zu 
bewältigenden Probleme ab, die constanten oder persönlichen Fehler der 
einzelnen Beobachter abzuleiten und numerisch zu bestimmen. Wären 
diese Fehler während der ganzen Zeit, über welche sich die Messungen 
eines Astronomen erstrecken, der Hauptsache nach wirklich constant, so wäre 
das Problem, wenigstens für die Sterne A und B bei £ Cancri, verhältniss- 
mässig einfach und sicher zu lösen. Hier liegen theoretische Voraus- 
setzungen zu Grunde, die sich sicher verfolgen lassen und die, wie ich 
glaube, durch meine Arbeiten ziemlich sicher verfolgt worden sind. Es 
ist so die Basis vorhanden, welche gestattet, durch successive Näherungen, 
indem man die Resultate der Theorie wiederholt mit den Beobachtungen 


1) Osservazioni sulle stelle doppie. Publicazioni del reale osservatorio di Brera in Milano 
No. XXXIlI 1888. 

2) Misure mierometriche di stelle doppie e multiple fatte negli anni 1852—1878, Roma 
1883 u. 1884. 


Abh. d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 6 


42 


vergleicht, die constanten Fehler mit stets wachsender Genauigkeit ab- 
zuleiten. Zwei Umstände aber arbeiten der Zuverlässigkeit dieses Ver- 
fahrens entgegen. 1) Es ist längst bekannt, dass abgesehen von vielen 
anderen Umständen nicht unbeträchtliche zeitliche Aenderungen in 
den persönlichen Fehlern eines Beobachters eintreten können und wirk- 
lich eingetreten sind. Solche Aenderungen sind z. B. bei Otto Struve, 
dessen Messungen wegen ihrer grossen Zahl und der langen Zeit, über 
welche sie sich erstrecken, von geradezu dominirendem Einflusse sind, in 
starkem Masse constatirt und der Beobachter selbst hat bei der Unter- 
suchung seiner Messungen mehrere getrennte Perioden unterscheiden 
müssen. Solche zeitliche Aenderungen der persönlichen Fehler sind aber 
sehr schwer in Rechnung zu bringen, weil bei den meisten Beobachtern 
die Anzahl der Messungen viel zu klein ist, um bei solchen Untersuch- 
ungen einige Sicherheit zu gestatten. Man wird sich der Wahrheit nur 
durch die Betrachtung der Messungen an vielen Sternen nähern können, 
wobei aber wieder andere nicht zu leugnende Störungen zu befürchten 
sind. Auf diese Weise wird man allerdings durch das Verfahren, welches 
ich in meiner früheren Arbeit angewandt habe, nicht völlig zufrieden- 
stellende Werthe für die persönlichen Fehler erlangen. Man darf aber 
doch erwarten, grosse und besonders schädliche Einwirkungen dieser Art 
zu beseitigen. Zudem giebt der Verlauf der so erhaltenen Correctionen 
immerhin einen Massstab für die Sicherheit der erhaltenen Bestimmungen 
an und die Aufsuchung der mittleren Fehler, wie ich sie a. a. O. ausgeführt, 
giebt in der That einen Anhalt für die Abschätzung der relativen Ge- 
wichtszahlen. Ich muss demnach das von mir eingeschlagene Verfahren 
noch immer als das unter den obwaltenden Umständen (bei dem Sterne C 
aus weiter unten folgenden Gründen in erhöhtem Masse) relativ beste 
bezeichnen. 2) Thatsächlich liegen oftmals die Verhältnisse so, dass die 
verschiedenen Beobachter desselben Doppelsternes sich zeitlich auf ein- 
ander folgen und nur kurze Zeiträume hindurch gleichzeitig sich an den 
Messungen betheiligen. Es ist klar, dass dadurch der innere Zusammen- 
hang zwischen den einzelnen Beobachtern gelockert erscheint und eine Er- 
mittelung der persönlichen Fehler sehr erschwert ist. Bei £ Cancri zeigt 
sich dieser Uebelstand sehr deutlich und in der That ist z. B. der Zu- 
sammenhang zwischen W. Struve, Dawes, Otto Struve ein sehr loser. Dieser 


43 


Umstand tritt noch mehr in den Vordergrund, wenn man die neueren 
Beobachter Dembowski, Duner und Schiaparelli berücksichtigt. Im All- 
gemeinen wird hier zwischen den früheren und letzten Jahrzehnten nur 
durch O. Struve eine Verbindung hergestellt und diese Verbindung ist 
eine nicht zuverlässige, weil leider gerade O. Struve persönliche Fehler 
zeigt, die zeitliche und auch von anderen Umständen abhängige Ver- 
änderungen aufzuweisen scheinen. Die Folgen dieser misslichen Verhält- 
nisse werden sich darin äussern, dass die übrigbleibenden Fehler nicht 
das Verhalten zufälliger Fehler zeigen werden, m. a. W. die Vertheilung 
der Vorzeichen wird nicht den Wahrscheinlichkeitsgesetzen entsprechen 
und man wird an diese nicht jene strengen Anforderungen stellen können, 
die man in anderen Theilen der Astronomie zu stellen berechtigt ist. 

Was vor Allem die neuesten etwa seit 1875 angestellten Messungen 
von £ Cancri betrifft, so erscheint es hier fast unmöglich, die constanten 
Fehler aus der Vergleichung mit der Theorie zu bestimmen. Ich habe 
deshalb auch, wenigstens bei dem Sterne 5, von einer Anwendung dieses 
Verfahrens absehen müssen und konnte dies um so eher, als sich erwarten 
lässt, dass in Zukunft die Sachlage in dieser Beziehung sich besser ge- 
stalten wird. Dies gilt wenigstens, wenn, wie zu hoffen, die Mailänder 
und Pulkowaer Reihen fortgesetzt werden. Auf der anderen Seite muss 
hervorgehoben werden, dass durch den Tod der beiden Beobachter Engel- 
mann und Jedrzejewicz zwei ausgezeichnete Mitarbeiter ausgeschieden 
sind. Vielleicht liesse sich aber doch durch eine eingehende Bearbeitung 
der von ihnen ausgeführten Messungen manches über die persönlichen 
Fehler derselben mit mehr Sicherheit aufdecken, als es jetzt möglich ist. 

Den gemachten Bemerkungen zufolge wurden also die in der früheren 
Arbeit bereits benutzten Beobachtungen mit jenen Correctionen versehen, 
die damals gefunden worden sind. Die neu hinzugekommenen Messungen 
wurden mit Ausnahme von Schiaparelli uncorrigirt gelassen. An die 
Messungen von Schiaparelli (Sp.) wurde zufolge der Angaben des Beob- 
achters (a. a. OÖ. pg. 76) die Correction 

Sp = 4, + 0°40 und Sp = 4, — 0'040 )) 

1) Diese Zahl ist durch einen Schreibfehler entstellt worden. Sp. führt — 0020 an. Ich habe 

indessen bei dem provisorischen Character, den die Benutzung der neuesten Beobachtungen in der 


vorliegenden Arbeit haben muss, diesen an sich geringfügigen Fehler nicht corrigirt, da ich den- 
selben erst nach völligem Abschluss der ganzen Untersuchung gefunden habe. 


6* 


44 


angebracht, wo 4, die Correction bedeutet, die an dıe Messungen von 
Dembowski angebracht werden muss. Für 4, habe ich früher + 0°05 
gefunden. In Distanz war die Ableitung von 4, infolge der vielen 
Schätzungen, welche hier vorkommen, sehr wenig sicher. Ich habe es 
deshalb für besser gehalten, die früher gefundene Correction (vgl. I pg. 44, 
45) zu ersetzen durch die von Schiaparelli gemachte Angabe: 
4, = — 0'109 
In der That scheint hierdurch der Anschluss besser geworden zu sein. 
Die anderen in Anwendung gebrachten Correctionen waren: 
1) W. Struve (8) + 0093 und + 0'004 
3) O. Struve (0.8) I + 1%50 |I 0 
m AO IT 0,030 
Ihn — 0.030 
Es bedeuten dabei im Positionswinkel: II den Fall, wo die 3 Sterne 
4A, B, C bis auf + 10° in einer Geraden zu stehen scheinen, I den ent- 
gegengesetzten Fall. In Distanz sind unter I, II, III die 3 bekannten 
Zeitperioden verstanden, welche bei O. & zu unterscheiden sind. 


3) Dawes (D). Hier sind ebenfalls 3 Perioden zu unterscheiden. Als 
diesbezügliche Correctionen wurden angenommen: 
17.150009) 
er 
III + 0.65 0 
4) Secchi (S). Correction: — 0°%37 0026 
5) Dembowski (4). Aeltere Reihe 4, = + 305 
Neuere Reihe 4, = + 0°05 
6) Duner (Du). Correction: — 3%44 + 0014 
7) Mädler (M). Correction: 
. Periode \ an + 0051 
2. Periode J — 0.145 
8) Bessel. Correction: 0° — 0'120 
9) Engelmann. Beobachtungen aus den sechsziger Jahren erhielten 
die Correction: — 1?72, — 0.040; die neueren wurden in Ermangelung 
besserer Kenntnisse unverändert gelassen. 
Alle übrigen Beobachtungen wurden uncorrigirt verwerthet. 


— 0.065 


' 


45 


Es ist keinem Zweifel unterworfen und wurde oben besonders her- 
vorgehoben, dass die auf die angegebene Weise corrigirten Beobachtungen 
durchaus nicht völlig frei sind von den persönlichen Fehlern. Ebenso 
wenig zweifelhaft dürfte es sein, dass diese letzteren die zufälligen Be- 
obachtungsfehler in den meisten Fällen bei Weitem übertreffen. Ich habe 
diesem Umstande in der früheren Abhandlung dadurch entsprochen, dass 
ich gewisse Gewichtszahlen einführte. Wegen der naturgemässen Un- 
sicherheit, die diesen Bestimmungen anhaften muss, habe ich gegenwärtig 
eine völlig andere und einfachere Abschätzung eintreten lassen. Ich 
habe nämlich einem Jahresmittel, gebildet aus 1 oder 2 Abenden, das 
Gewicht 2 oder 1 und aus mehr als 2 Abenden das Gewicht 4 
oder 2 gegeben, je nachdem der betreffende Beobachter >. 0. >, Bessel, 
D, S, 4, Du, Sp oder einer der übrigen war. Ich möchte nicht 
behaupten, dass diese Gewichtsbestimmung besser sei, wie die frühere. 
Sie hat aber den einen Vortheil, dass einige Beobachter, welche früher 
durch die grosse Zahl von Abenden, an denen sie durch mehrere Jahre 
€ Cancri zu messen pflegten, einen vielleicht allzu grossen Einfluss auf 
die Normalörter ausgeübt haben, in ihrer Einwirkung etwas eingeschränkt 
werden. Diese Einschränkung wird deshalb nur von guter Wirkung sein, 
weil man doch behaupten darf, dass das Zusammenfassen möglichst vieler 
verschiedener Beobachter noch am ehesten die persönlichen Fehler un- 
schädlich macht. Im Uebrigen weichen die neueren Jahresmittel von den 
früher gebildeten nur selten in erheblicher Weise ab und das Resultat 
der Ausgleichung wird durch die Gewichtsannahme nicht wesentlich be- 
einflusst. Eine Ausnahme möchten vielleicht die Jahresmittel von 1880 
an machen. Diese sind aber überhaupt nicht sehr zuverlässig. Sie hängen 
wesentlich von der Richtigkeit der Correction Sp ab und von der Voraus- 
setzung, dass Engelmann und Jedrzejewicz keine bedeutenden Öorrectionen 
erfordern. Das letztere namentlich wird schwerlich der Wahrheit ent- 
sprechen. Man wird deshalb wenig Gewicht darauf legen, wenn die letzten 
Jahresmittel systematische Unterschiede gegen die theoretisch berechneten 
Werthe zeigen. Keinesfalls wird man daraus auf eine nachweisbare Un- 
richtigkeit der letzteren schliessen dürfen. 

Ich gehe nun zur Mittheilung der chronologisch geordneten Sammlung 
der Beobachtungsdaten über. Quellenangabe oder nähere Erläuterungen 
der einfachen Uebersicht scheinen mir nicht erforderlich. 


Jahr Beobachter Positions“ Gewicht Distanz Gewicht 


winkel 
1781.91 __W. Herschel 3.47 = a Pen 
1826.22 > 57.63 4 17144 4 
28.80 D7 39.38 2 1.044 2 
30 39 J. Herschel 35.35 2 u 
31.14 J. Herschel 31.57 2 u — 
31.28 > 30.73 4 1.052 4 
31.30 D 30.87 2 1.034 2 
32.12 J. Herschel 32.12 2 — — 
32.12 D 27.09 4 — — 
32.19 Bessel 3133 4 1.205 4 
32.28 5 28.45 4 1.154 4 
33.14 J. Herschel 26.40 2 — —_ 
33.21 D 26.32 7 1.154 4 
33.27 >3 23.03 4 1.151 4 
35.31 22 21.15 4 1.140 4 
36.27 22 16.30 4 1.201 4 
36.97 D 16.86 4 —_ —_ 
37.23 D 12.49 2 — — 
38.30 D 11.34 2 — - 
40.15 Kaiser 6.13 2 1.246 2 
40.20 D 5.62 4 1.140 4 
40.30 (O2 4.73 4 _ e 
41.16 D DAS 4 1.123 4 
41.31 M 359.00 2 1.101 2 
42.21 M 356.66 2 1.121 p} 
42.22 D 357.52 4 1.134 4 
42.29 05 356.78 4 = = 
42.89 Kaiser 359.90 3 — —_ 
43.12 Kaiser _— — 1.270 2 
43.18 D 356.31 4 1.062 4 
43.19 M 354.92 2 1116 2 
43.30 ME 356.36 „ 4 1.255 4 
44.28 (0523 352.54 4 1.232 4 
44.39 M 352.41 2 1.073 2 
45.31 (2% 350.17 4 1.058 4 
45.95 Hind 348.95 1 _ _ 
46.04 "Jacob 346.50 1 1.200 1 
46.29 (23 346.97 4 1.062 4 
47.08 Hind 341.95 2 — = 
47.29 M 341.02 1 1.077 1 
47.33 oe: 343.90 4 1.053 4 


Jahr 


1848.23 
48.29 
48.30 


49.24 
49.32 


50.29 
50.72 


51.18 
51.22 
51.25 
51.28 


52.16 
52.23 
52.25 
52.32 


53.20 
53.26 
53.30 
53.30 
53.95 


54.20 
54.28 
54.29 


55.10 
55.19 
55.27 
55.31 
55.31 


56.07 
56.21 
56.23 


Beobachter 


M 


Fletcher 
M 
D 
VO 


Fletcher 


Jacob 
M 
Fletcher 
(O2 
Jacob 


D 
M 
Wrottesley 


A 
S 
M 
073 
Winnecke 


A 
Jacob 
Winnecke 
Wrottesley 


0.2 


Pulkowa 
053 
M 


Positions- 
winkel 


338.82 
338.17 
339.63 


334.86 
335.11 


331.74 
328.06 


333.50 
327.04 
328.55 
325.94 


329.02 
325.09 
323.82 
320.97 


322.04 
321.64 
321.06 
318.71 
317.24 


315.96 
316.68 
320.17 


311.64 
312.07 
308.65 
309.76 


307.28 
306.34 
308.64 
309.42 
306.23 
305.51 


299.55 
300.02 
302.54 


299.72 
297.21 
295.59 
297.27 


292.95 
288.42 


283.05 
283.04 
283.98 


Gewicht Distanz 


Do 


1060 
1.084 
1.002 


1.117 
0.892 


1.032 
1.083 


1.056 
1.006 
1.110 


1.057 
0.919 
0.975 


1.220 
0.918 


0.923 
1.150 


0.969 
0.932 
1.034 


1.093 
0.915 
0.848 
1.038 


1.210 
1.001 
1.119 
0.796 
0.853 


0.941 
0,819 
1.140 


0.945 
0.920 


0.832 
0.846 


0.780 
0.872 


Gewicht 


"Y|levv vor | Pe | PP PP, Pam» 


Hoe 


we | 


47 


48 


Jahr 


1861.25 
61.27 


62.31 
62.31 


63.13 
63.15 
63.25 


64.15 
64.30 


65.21 
65.23 
65.36 
65.88 


66.19 
66.27 
66.29 
66.38 
66.40 


Beobachter 


Knott 
Romberg 


(023 


S 
Knott 
Engelmann 


OR 
Du 
Gledhill 


A 
Gledhill 
Du 
Scharnhorst 
O 


Gledhill 
Knott 
Wilson 


Gledhill 
A 
Wilson 
OR 
Du 


Positions- 
winkel 


280.21 
276.70 


272.44 
268.07 


263.17 
268.12 
267.28 


255.08 
253.03 


245.79 
244.93 
241.71 
238.65 


238.45 
237.38 
234.25 
231.52 
232.30 


224.46 


210.94 
214.36 


198.18 
200.21 


137.33 
186.10 
184.83 
181.05 


175.53 
175.10 
174.76 
169.40 
170.48 


166.75 
166.73 
167.80 
162.89 
162.08 
159.86 


150.22 
151.53 


141.43 
141.64 
141.33 
140.54 
139.36 


Gewicht 


mW 


Heer wo 


De He DHDDe+r DDD# wer 


Pepe Bm 


PHeHrß 


DevPM Pr PprePebHr 


Distanz 


0'823 
0.795 


0.822 
0.645 


0.737 
0.659 
0.955 


0.550 
0.623 


0.50 

0.667 
0.638 
0.699 


0.520 
0.602 
0.426 
0.724 
0.758 


Gewicht 


2 
4 


DHrHDDD DDDD VD u DV 


DD 


49 


Jahr Beobachter Pt Gewicht Distanz Gewicht 
o [73 

1875.14 | 130.11 4 0.640 4 
75.26 Sp 129.32 4 0.540 4 
75.28 072 131.07 4 0.617 4 
75.29 Seabroke 133.35 1 0.775 1 
75.33 Du 126.02 4 0.602 4 
76.14 A 119.41 4 0.621 4 
76.29 (O5 118.05 4 0.660 4 
76.34 Du 114.56 2 0.834 2 
77.17 A 108.74 4 0.580 4 
77.23 Sp 108.35 4 0.646 4 
TIS2T. OD 109.37 4 0.720 4 
78.18 A 100.38 4 0.561 4 
73.26 Jedrzejewicz 100.84 2 0.700 2 
73.27 Wilson & Seab. 102.95 1 0.365 1 
78.27 Du 103.06 2 0.714 2 
7329 OR} 100.67 4 0.730 4 
79.27 Sp 95.52 4 0.726 4 
79.28 Seabr. 96.02 2 0.858 2 
79.29 073 93.33 4 0.737 4 
80.22 Verschiedene !) 89.80 2 0.767 2 
80.23 Gledhill 89.47 2 0.767 >, 
80.29 Burnham 85.20 2 0.730 2 
80.32 Seabr. 86.83 2 0.775 2 
81.24 Jedrz. 81.10 2 0.910 2 
81.26 Seabr. 79.70 1 0.950 1 
81.30 Sp 80.66 4 0.779 4 
82.22 Engelm. 76.18 2 1.051 2 
82.25 Sp 75.52 4 0.838 4 
82.26 Seabr. 76.23 2 1.060 2 
82.27 Jedrz. 75.02 2 0.940 2 
83.24 Engelm. 72.45 "2 1.047 2 
83.29 Sp 69.75 4 0.860 4 
83.34 Küstner 683.96 2 0.900 2 
83.35 Seabr. 69.68 2 1.020 2 
84.19 Perrotin 62.67 2 1.060 2 
84.25 Sp 64.33 4 0.834 4 
84.28 Engelm. 67.02 2 0.938 2 
85.29 Engelm. 59.42 2 1.050 2 
85.29 Sp 58.43 4 0.900 4 
86.29 Jedrz. 51.22 2 0.980 2 
86.30 Engelm. 56.28 2 1.076 2 
87.25 Sp 48.83 4 0.829 4 
88.27 Sp 44.14 4 0.897 4 


1) Dieses Mittel, aus I pg. 49 entnommen, ist, wie ich nachträglich ersehe, apokryph. Es 
dürfte nicht unabhängig von den andern Mitteln desselben Jahres sein. 


Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 7 


50 


Die vorstehenden Beobachtungen wurden nach Massgabe der ab- 
theilenden Zwischenräume und mit Berücksichtigung der Gewichte: in 
Ich habe hierbei die für die Positions- 
winkel geltenden Epochen auch für die Distanzen angenommen. Eine er- 


folgende Jahresmittel vereinigt. 


hebliche Ungenauigkeit kann dadurch nirgends entstehen. 


1781.91 
1826.22 


1828.80 
30.39 
31.25 
32.19 
33.22 


35.31 
36.62 
37.23 


38.30 
40.23 


41.21 
42.35 
43.23 


44.32 
45.44 
46.24 


47.25 
48.27 
49.28 


50.30 
51.24 
52.24 


53.26 
54.20 
55.21 


56.19 
57.14 
58.15 


59.28 
60.28 
61.26 


62.31 
63.15 
64.20 


p 
0 
3.5 
57.63 
39.38 
35.35 
30.98 


29.41 
25.02 


21.15 
16.58 
12.49 


11.34 
5.57 


1.09 
357.53 
355.99 


352.50 
349.93 
346.88 


342.93 
339.01 
334.99 


331.00 
328.25 
324.32 


320.83 
316.83 
310.80 


307.08 
300.30 
297.40 


290.69 
283.36 
277.87 


270.26 
264.68 
254.40 


I 


DDr 


rs ooo|w 


| 


[orK- Te} [fe ser) [ Koi > | oa [SS rer) DA [er) 


rer 


[e-o ri == 


K— 

pP 4 

0) nv 

1.5 = 
49.33 0.994 
40.38 1.063 

35.00 >= 
32.20 1.013 
29.23 1.127 
26.09 1.139 
19.75 1.158 
15.37 1.165 

14.07 = 

10.90 = 
5.18 1.163 
2.24 1.158 
358.77 . 1.150 
356.04 1.142 
352.61 1,132 
349.01 1.120 
346.38 1.110 
342.97 1.096 
339.43 1.079 
335.30 1.061 
331.71 1.040 
328.39 1.023 
324.37 1.003 
320.10 0.979 
316.00 0.958 
311.37 0.933 
306.62 0.908 
301.76 0.883 
296.28 0.856 
289.75 0.826 
283.55 0.796 
277.01 0.768 
269.47 0.735 
262.98 0.709 
254.29 0.678 


B—R 
1) 

+ 2.0 = 

+7.70 +0.155 
— 1.00. 10.019 
+ 0.35 en 

— 1122 10.033 
+0.18 0.053 
— 107. #008 
+140  —0.018 
+071 -++0.036 
— 1.58 — 

+0.43 — 

+0,39  +0.012 
—1.15 —0.042 
—124  — 0.022 
—0.05  -+0.028 
— 000 
+ 0.92  — 0.062 
4.0.50  — 0.020 
—0.04  — 0.038 
— 0.42  — 0.029 
— 0,81  — 0.056 
— 0.71 + 0.002 
—0.14  +0.035 
—0.05  — 0.001 
+0.73  -+0.046 
+0.83 + 0.032 
— 0.57 + 0.040 
+0.46  +0.074 
— 1.46 0.017 
+1.12 -+0.146 
+094  +-0.013 
—019 0.030 
+086 0.036 
+0.79  —0.001 
+170  +0.051 
0417 70091 


R B—R 
——— ——n. 
»p g E g D 2 
0 " 0 % f) h, 
1865.38 243.37 10 0.626 8 243.52 0.644 = 01552 0:018 
66.28 235.75 11 0.593 9 234.56 0.620 119  — 0.027 
67.22 224.46 4 = = 224.47 == — 0.01 = 
68.23 212.08 6 0.563 4 212.32 0.580 — 0.74 -—-0.017 
69.35 199.53 6 0.513 6 199.07 0.567 +0.46 — 0.054 
70.27 185.70 13 0.507 8 187.35 0.562 — 1.65 0.055 
71.26 175.40 14 0.557 8 174.59 0.563 — 171952 70.006 
12.25 163.03 16 0.627 8 162.05 0.571 +0.78 +-0.056 
73.24 150.88 8 0.561 4 150.00 0.586 + 0.88 — 0.025 


74.18 140.93 14 0.626 10 139.27 0.606 + 1.66 + 0.020 


75.25 129.38 17 0.604 17 127.935 0.631 TEA 0027 
76.24 117.90 10 0.679 10 118.32 0.659 — 0.42 -+ 0.020 
71.22 108.82 12 0.649 12 109.67 0.687 — 0.85 —0.038 
78.25 101.15 13 0.696 13 101.38 0.718 — 0.23 °—-0.022 
79.28 93.94 10 0.757 10 93.76 0.756 +0.18 + 0.007 
80.27 87.83 8 0.755 8 87.01 0.780 + 0.32 — 0.025 
81.28 80.65 7 0.841 7 80.69 0.810 — 0.04 0.031 


82.25 75.69 10 0.945 10 75.01 0.836 + 0.68 + 0.109 


83.30 70.12 10 0.937 10 69.28 0.865 +0.84 + 0.072 
84.24 64.59 0.917 8 64.46 0.889 =1:0.137272.0:028 


8 
85.29 58.76 6 0.950 6 59,38 0.913 — 0.62 0.057 
86.29 53.75 4 1.028 4 54.77 0.936 — 1.02 + 0.092 
87.25 48.83 4 0.829 4 50.55 0.955 — 172704126 
88.27 44.14 4 0.897 4 46.28 0.975 — OA 0.078 


Die angeführten Jahresmittel wurden, wie durch die abtheilenden 
Zwischenräume angegeben ist, in Normalörter zusammengefasst. Diese 
Normalörter sind pg. 36 angeführt. Hierbei war es, um stets dasselbe Zehntel 
des Jahres in den Zeitangaben zu haben, nöthig eine kleine Reduction 
mit Hülfe von Näherungselementen auszuführen. Dazu wurden bis zum 
Jahre 1879 die Elemente VIII, von da ab die Elemente IV, benutzt. 
Beide zeigen’ innerhalb der Zeiten, während welcher sie angewendet 
worden sind, einen genügenden Anschluss an die Beobachtungen. Im 
Uebrigen muss daran festgehalten werden, dass bei den Positionswinkeln 
sowohl als auch bei den Distanzen die Rechnung einige Einheiten der 
letzten Decimale nicht verbürgen will. Wollte man dies erreichen, was 
bei dem Grade der Genauigkeit der vorliegenden Beobachtungen wohl 
als nutzlos bezeichnet werden darf, so hätten auch die Zeitangaben genauer 
gemacht werden müssen. 


In der letzten Zusammenstellung sind unter R die Werthe, welche 
Ipläss 


52 


aus den Elementen IX folgen, angegeben und daneben die Fehler, welche 
letztere in beiden Coordinaten übrig lassen. Eine Betrachtung dieser 
Fehlerreihe lehrt nun, dass die Darstellung eine durchaus befriedigende 
ist. Wir haben in Positionswinkel 29 positive und 30 negative Fehler, 
welche so angeordnet sind, dass sie 29 Zeichenwechsel bilden. In Distanz 
sind diese 3 entsprechenden Zahlen 29, 26, 23. Das ist aber ein 
Resultat, welches bei Berücksichtigung dessen, was oben über die persön- 
lichen Fehler gesagt worden ist, als sehr günstig bezeichnet werden muss. 
Es muss hiebei noch einmal daran erinnert werden, dass die letzten 
Jahresmittel wenig sicher sind und demzufolge aus den hier auftretenden 
Fehlern, welche allerdings einen systematischen Character zeigen, vorder- 
hand keine weiteren Schlüsse gezogen werden können. 

Es erübrigt nur noch, über die beiden ersten Jahresmittel in obiger 
Zusammenstellung einige Bemerkungen zu machen. 

In meiner früheren Arbeit habe ich bereits nachgewiesen, dass die 
W. Struve’schen Beobachtungen vom Jahre 1826 einen sehr grossen 
Fehler im Positionswinkel enthalten. Ich habe dort diese Annahme auf 
verschiedenen Wegen zu beweisen gesucht und dieser Nachweis war mit 
nicht geringer Mühe verbunden, weil stets alle Ausgleichungen auf zweier- 
lei Weise, nämlich mit Hinzuziehung und mit Hinweglassung der frag- 
lichen Beobachtung, ausgeführt werden mussten. Die Unvereinbarkeit 
derselben mit den späteren Messungen hat sich aber stets mit grosser 
Sicherheit herausgestellt. Einige Vorsicht war in dieser Beziehung nöthig, 
weil damals über einen ganzen Umlauf der beiden Sterne A und B um 
einander noch nicht verfügt werden konnte und weil das angeführte 
Jahresmittel aus den gut mit einander stimmenden Beobachtungen von 
3 Abenden zusammengesetzt ist. Aus diesen Gründen war die auf den 
Nachweis der Fehlerhaftigkeit der Beobachtung von 1826 verwendete 
Mühe und die mit demselben verbundene Weitläufigkeit erforderlich. In 
der vorliegenden Arbeit darauf zurückzukommen, scheint um so weniger 
nöthig, weil dieselbe auch in diesem Punkte die früher erlangten Re- 
sultate vollkommen bestätigt. Die Rechnung wurde mit Ausschluss der 
genannten Beobachtung ausgeführt und der übrig bleibende Fehler von 
beinahe 8 Grad zeigt jetzt, nachdem beinahe ein voller Umlauf von der 
verwendeten Beobachtung erfüllt wird, mit absoluter Sicherheit an, dass 


53 


jene Struve’sche Beobachtung durch irgend welche unbekannte Fehler 
stark entstellt ist. 


Die zweite Bemerkung, die ich zu machen habe, bezieht sich auf 
die W. Herschel’sche Angabe vom Jahre 1781. Ich habe früher (I pg. 47) 
diese Beobachtung ganz unberücksichtigt gelassen und dies auch bei den 
vorliegenden Untersuchungen gethan, indem ich die a. a. O. für dieses 
Verfahren namhaft gemachten Gründe auch jetzt noch für durchaus stich- 
haltıg ansehe. Indessen ist nicht zu leugnen, dass es nicht ohne Interesse 
ist nachzusehen, wie jene frühe und dadurch immerhin werthvolle Angabe 
mit den Resultaten der vorliegenden Untersuchung stimmt. Nach meiner 
Meinung liegt die Sache so. Giebt die Theorie einen erträglichen Fehler 
d. i. einen solchen von wenigen Graden, so ist diese Uebereinstimmung 
immerhin als sehr werthvoller Massstab für die Zuverlässigkeit der aus- 
geführten Rechnungen anzusehen. Im andern Falle hätte man zu unter- 
suchen bezw. zu erklären, wie sich die Abweichung beheben lässt. 
Hierbei wird man wohl im Auge behalten müssen, dass die Herschel’sche 
Angabe nur auf einem Abend beruht und also allerdings von nicht 
unbedeutenden zufälligen Fehlern beeinflusst sein kann. Glücklicherweise 
ist aber auf diesen Punkt näher einzugehen im vorliegenden Falle 
unnöthig, denn die Uebereinstimmung zwischen Rechnung und Beob- 
achtung ist, wie die obigen Zahlen ergeben, eine ausgezeichnete. Sie ist 
eine so gute, dass wohl zufällige Umstände zu einer solchen nahen Ueber- 
einstimmung geführt haben. Es ist nicht uninteressant zu erwähnen, 
wie die in der früheren Abhandlung abgeleiteten rein elliptischen Ele- 
mente die Beobachtung von 1781 darstellen. Ich nehme die beiden 
Elementensysteme IV, und IV,, welche den Beobachtungen von 1828 an 
beinahe vollkommen genügten. Eine einfache Rechnung ergiebt für den 
Positionswinkel für 1781.91 aus 


Elementen IV,: 355.6 
Elementen IV,: 349.4 
Beobachtung: 3°5 


während eine Vergleichung mit Elementen VIII, wegen des grösseren 
Rechenaufwandes, nicht ausgeführt worden ist. Dagegen habe ich die 
Mühe nicht gescheut, eine Vergleichung mit Elementen IX auszuführen, 


54 


gerade weil die eben angeführten Differenzen das Mass des Zulässigen 
wohl überschreiten dürften. Eine solche Vergleichung erfordert die 
Weiterführung der Störungsrechnungen auf pg. 34. Ich habe diese nach 
der oben aus einander gesetzten und angewandten Methode ausgeführt. 
Bei dem mässigen Grad von Genauigkeit, den ich dieser Vergleichung 
zu geben beabsichtigte, bin ich, um die Rechnung nicht gar zu weit- 
läufig anzulegen, in Intervallen von 2 zu 2 Jahren vorwärts gegangen. 
Zu Grunde gelegt wurden auch für die Störungsrechnungen die Ele- 
mente IX, wodurch im Jahre 1826 eine kleine Unstetigkeit in dem Ver- 
laufe der Störungswerthe eintritt, weil die früheren Rechnungen mit VIII 
geführt wurden. Diese Unstetigkeit ist übrigens in den Resultaten gar 
nicht zu merken. 

Was die Methode, welche am besten anzuwenden ist, betrifft, so 
kann man zweifelhaft sein, ob im vorliegenden Falle nicht besser nach 
der Encke’schen Methode der speciellen Störungen zu rechnen wäre, 
weil hier die gestörten Coordinaten nicht durch die Beobachtung ge- 
geben sind. In der That würde ich auch dieser Rechenvorschrift ohne 
Weiteres den Vorzug gegeben und dieselbe angewendet haben, wenn 
nicht die Elemente IV, die fragliche Herschel’sche Beobachtung näherungs- 
weise darstellten und also die aus ihnen berechneten Coordinaten mit 
ausreichender Genauigkeit als die wahren betrachtet werden dürften. Ich 
habe deshalb diese Elemente zur Berechnung der Coordinaten z, y be- 
nutzt, während im Uebrigen unter Zuhülfenahme der Elemente IX als 
osculirende Elemente die Rechnung ganz nach den oben gegebenen Vor- 
schriften ausgeführt worden ist. Das Detail derselben hat in diesem 
Falle kein Interesse. Nur wird es für die Beurtheilung des stetigen Ver- 
laufes der Zahlenreihe nicht unnütz sein, die aus der doppelten Inte- 
gration hervorgegangenen Werthreihen der dx, dy und d'z mitzutheilen. 


d% oY Ö2 
1780.2 — 0.1282 + 0.0265 -r 0.0239 
82.2 ° — 0.1368 — 0.0332 + 0.0266 
84.2 — 0.1457 — 0.0907 + 0.0288 
86.2 — 0.1543 — 0.1429 + 0.0312 
88.2 — 0.1622 — 0,1872 + 0.0336 
90.2 — 0.1686 — 0.2219 + 0.0357 
92.2 — 0.1730 — 0.2462 + 0.0376 
94.2 — 0.1749 — 0.2604 -r 0.0390 
96.2 — 0.1739 — 0.2656 + 0.0400 


98.2 — 0.1700 — 0.2633 — 0.0403 


55 


DEE öy Ö2 

1800.2 — 0.1635 — 0.2550 —- 0.0401 
2.2 — 0.1548 — 0.2436 + 0.0394 
4.2 — 0.1446 — 0.2292 —- 0.0384 
6.2 — 0.1338 — 0.2136 + 0.0372 
8.2 — 0.1229 — 0.1969 + 0.0358 
10.2 — 0.1122 — 0.1793 0.0343 
12.2 — 0.1016 — 0.1608 —- 0.0327 
14.2 — 0.0912 — 0.1514 + 0.0309 
16.2 — 0.0805 — 0.1210 —- 0.0288 
18.2 — 0.0690 — 0.1004 + 0.0264 
20.2 — 0.0569 — 0.0802 —- 0.0236 
22.2 — 0.0446 — 0.0613 —- 0.0202 
24.2 — 0.0327 -- 0,0450 —- 0.0166 
26.2 — 0.0224 — 0.0320 0.0128 


Addirt man diese Correctionen zu den aus Elementen IX folgenden 
ungestörten Coordinatenwerthen x,, %,, setzt also, wie früher 
ecap=un4+dr; oesinp=y-dy 
so ergeben sich die gestörten Positionswinkel und Distanzen p und go. 
Man findet nun leicht 


p 
1780.2 104 
82.2 0.4 
84.2 350.2 
86.2 339.9 


und hieraus mit Berücksichtigung der Üorrection wegen Praecession 
(— 0°34) für den scheinbaren Positionswinkel 


178191 p=1® 


welcher Werth in die Uebersicht (S. 50) aufgenommen worden ist. 


Wie schon erwähnt, stimmt dieser Werth in ausgezeichneter Weise 
mit dem Beobachtungsresultat Herschel’s überein. Man wird sich aber 
hüten müssen, aus dieser Uebereinstimmung mehr zu schliessen, als man be- 
rechtigt ist. Dieselbe giebt nur eine werthvolle Bestätigung der Richtigkeit 
der Rechnung und der Angemessenheit und Zulässigkeit der gemachten 
Hypothesen. Dass das Verhältniss der Masse des dritten Sternes © und der 
Summe der beiden ersten A und B sehr nahe richtig bestimmt erscheint 
oder dass die Annahme, die Bahn von © um den Schwerpunkt von A, B 
liege in der Projectionsebene, genau der Wahrheit entspräche, lässt sich 
natürlich nicht feststellen. Man wird nur sagen dürfen, dass diese An- 
nahmen zu verlassen kein Grund vorliegt und dass die Unmöglichkeit 


56 


diese betreffenden Unbekannten aus den Beobachtungen sicher zu be- 
stimmen gegenwärtig noch fortbesteht. Uebrigens war dies schon nach 
den Ergebnissen meiner früheren Arbeit vorauszusehen. Es wird noch 
eine einige Zeit vergehen, bis in dieser Beziehung eine gründliche Aender- 
ung der Sachlage eintreten wird. 


8 4. 


Zufolge der Resultate meiner früheren Untersuchungen und zufolge 
der oben ($ 2) gemachten Bemerkungen gehe ich ohne Weiteres dazu 
über, die Annahme zu verfolgen, der Stern © bewege sich um einen als 
Schwerpunkt eines dynamischen Systemes aufzufassenden Punkt S,, welcher 
wiederum in Folge der anziehenden Wirkungen sich um den Schwerpunkt 
von A und B bewegt. Wir haben oben ($ 2) gesehen, dass es bei dem 
Genauigkeitsgrad, der den Messungen zugeschrieben werden kann, voraus- 
sichtlich ausreichend sein wird, sowohl die Bewegung von C um &,, als 
auch die des Punktes 8, um den Schwerpunkt von A und B als nach 
den Keplerschen Gesetzen vor sich gehend anzunehmen. 

Zunächst soll die einfache Annahme, die ich in I allein verfolgt 
habe, gemacht werden, nämlich, dass sich die Projection von C um 
diejenige von 5, in einem Kreise mit gleichförmiger Geschwindigkeit 
bewegt. Bezeichnet a den Radius dieses Kreises, p und go den (beob- 
achteten) Positionswinkel und Distanz des Sternes in Bezug auf den 
Schwerpunkt von A und DB, p, und 0, dieselben Grössen von 8, und 
c den Winkel, welchen a mit der Richtung bildet, von welcher die Po- 
sitionswinkel gezählt werden, so hat man 


e cos (P — PD) = + a cos (E — P) 
e sin (P —P) = a sin (CE — Pı) 
Hieraus ergiebt sich 


a sin (E— P,) 


re 02T ındehleraus: 
0,+ acos(ce—P,) 


tg (p —Pı) =: 
Er na 
N — 0 sin (c — Po) — 5 (2) sin 2 (c— Po) 


Da im vorliegenden Falle nn ungefähr — 5 ist, so folgt, dass be- 
0 


97 
reits das zweite Glied (<0°05) zu vernachlässigen sein wird. Der Voraus- 
setzung gemäss ändert sich c der Zeit proportional. », zeigt dasselbe 
Verhalten bis auf völlig belanglose Grössen. Man darf also setzen 


em = —nt+e 
Setzt man noch 
eos 0% asına 4% 
so wird: 
SE Yy 
DE De nn Zeosnt (1) 
9% I) 
Ferner hat man 
®= ++ 2a cos (c—p) 


und entwickelt 


== 1 ZT 608. (nb=.s) De ar | 
e= lt, +5 (,) na 9 


Auch hier soll das quadratische Glied, welches im Maximum 0.005 
werden kann, vernachlässigt werden. Dann hat man 


0o=%-+rcosnt— ysinnt (2) 


Es hat sich in I mit sehr grosser Sicherheit ergeben, dass n einen 
positiven Werth (= + 20°) hat. Dies bedeutet, dass die Bewegung von 
C um $,, dem gewöhnlichen Sprachgebrauche gemäss, gleichgerichtet ist, 
mit der Bewegung von 8, um A. | 

Sowohl 9, und go, ändern sich nach den Kepler’schen Gesetzen mit 
der Zeit. Man kann vorderhand nicht daran denken, aus dem kurzen 
Bogen. über welchen sich die Beobachtungen erstrecken, etwa die ellipti- 
schen Bahnelemente abzuleiten. Wäre das möglich, so wäre das ganze 
Problem, die Bewegungen in dem Sternsystem [ Cancri zu bestimmen, 
ausserordentlich vereinfacht, weil man dann sofort eine gute Bestimmung 
des Verhältnisses der Massenwerthe m,: m, + m, ausführen könnte Man 
muss sich also vorderhand mit einer interpolatorischen Darstellung be- 
gnügen. Zuerst soll angesetzt werden 


p=ß+Pti+ Bf (3) 
und hierbei zufolge der früheren Ermittelungen gleich angenommen 
Abh.d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII Ba. I. Abth. F 8 


58 


Pr 


werden, dass der Quotient B. sehr klein sei. Der Ausdruck für die 
1 


Distanz ist nun nicht mehr ganz willkürlich. Da nämlich die Gleichung 


„dp 
2a) —_— 
Gi const. 
By\? 
stattfinden muss, so ergiebt sich sofort, bei Vernachlässigung von ( =, 
1 
ee (4) 
P, 


In I sind die Gleichungen (1) bis (3) benutzt worden. Dagegen habe 
ich für (4) ebenfalls einen in { quadratischen Ausdruck angesetzt und 
seine Coöfficienten willkürlich gelassen. Es geschah dies, weil ich dort 
die Bewegung von C um S, in Positionswinkel und Distanz unabhängig 
von einander beweisen wollte Ich habe deshalb die aus dynamischen 
Verhältnissen hervorgehende Relation bei Seite gelassen, habe indessen 
versäumt, dieselbe nachträglich durch die gefundenen empirischen Formeln 
zu prüfen. Diese Prüfung fällt zwar nicht ganz befriedigend aus, die 
übrig bleibenden Fehler sind aber durchaus nicht bedeutend. 


Bei der Anwendung der vorstehenden Gleichungen bin ich von der 
Ansicht ausgegangen, dass bei diesen vorläufigen Rechnungen eine 
Neubestimmung von »n nicht nöthig sei. Es wurde also wie früher 
n = + 20° angenommen. Alle übrigen Constanten sollten aber neu be- 
stimmt werden. Verfügt man über Näherungswerthe und bezeichnet man 
durch ein vorgesetztes / die erforderliche Verbesserung, so giebt jeder 
Fehler in Positionswinkel und Distanz folgende Bedingungsgleichungen : 


Ap=AßL4Pt 4 IP — I sinn 27 cos nt+y-f 
0% % (5) 
P, 2 &P,L & 6 
10= 41-1) +48, FR] ln os Tann 
1 16 1 


indem y-/ bezw. y-f, die Äenderung bezeichnet, welche die beiden Coordinaten 
dadurch erfahren, dass man dieselben nicht (wie die Beobachtungen) auf 


ee 


59 . sondern einen anderen die Entfernung AB in einem 


constanten Verhältnisse theilenden Punkt bezieht. Dieser Punkt wird 


59 


dann als mit dem Schwerpunkte von A und B zusammenfallend an- 

gesehen werden können. Die Zahlencoefficienten sind so angesetzt worden, 

A+B 
9} 


[4 


dass f bezw. fi den Betrag bedeutet, welchen man zu den auf 


bezogenen p und e addiren muss, um die auf B bezogenen Coordinaten 
zu erhalten. Im Uebrigen verweise ich in Bezug auf diesen Punkt auf 
die Abhandlung I. 


Liegen eine Reihe von 4p und Jg vor, so wird man aus ihnen die 
7 Unbekannten 


da, ABS Aßı, AP, , Ax, Ay, IE 
nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmen, indem man 


(e4P)? + (do) 
zu einem Minimum macht. 


Der ersten Ausgleichung lege ich folgende Positionswinkel (p ın der 
Tabelle) und Distanzen (oe) zu Grunde. Da ich auf die einzelnen Beobachter 
später eingehend zu sprechen komme und neue Normalörter bilden werde, 
ist es unnöthig auseinander zu setzen, wie ich dieselben gebildet habe. 
Dieselben sind aus den Daten in I hervorgegangen mit Hinzuziehung 
neuer Beobachtungen. 


» B Pr Ap As IV B—IV 
0 [7 0 0 n 0 " {ı) » 
1824.0 160.45 5.566 160.04 —+ 0.41 — 0.043 158.51 5.584 Seien —UDKE 
31.0 155.18 5.878 156.26 — 1208 —+ 0.278 155.70 851 — Er ee 
35.0 151.08 5.916 154.10 — 3.02 —+ 0.316 151.57 795 — 04952220121 
41.0 148.99 5.444 150.86 — ef — 0.156 149.55 485 0.568 ..0:041 
45.0 150.69 5.513 148.70 + 1.99 — 0.087 149.54 563 a 0050) 
48.0 148.33 5.632 147.08 —+ 1.25 —+ 0.032 147.78 als) 7055 0.081 
52.0 142.48 5.714 144.92 — 2.44 + 0.114 143.66 739 une 0.025 
55.0 140.87 5.877 143.30 — 2.43 —- 0.023 141.27 584 — 04052 —0:007 
58.0 139.92 5.488 141.68 — 1876 — 012, 140.58 429 — 0.66 -+ 0.059 
61.0 140.59 5.440 140.06 + 0.53 — 0.160 140.78 417 — 0.20 0.023 
64.0 139.93 5.567 138.44 —+ 1.49 — 0.033 140.13 554 — 0.20 -- 0.013 
68.0 135.91 5.738 136.28 0:37 —- 0.138 136.62 717 —0.71 --0.021 
71.0 133.48 5.726 134.66 ——1.18 —+ 0.126 133.33 660 +0.15 + 0.066 
74.0 132.22 5.578 133.04 — 0.82 — 0.02 131.27 488 —+0.95  -+ 0.090 
78.0 131.53 5.442 130.88 —+ 0.65 — 0.158 130.81 357 = 0.727 20.085 
81.0 130.99 5.472 129.26 3173 -— 0.128 130.44 446 +055 + 0.006 
83.0 129.23 5.465 128.18 —+ 1.05 — 0135 129.31 545 — 0.08  — 0.080 
86.0 126.60 5.417 126.56 + 0.04 — 0.183 126.45 637 +0.15 -—- 0.220 


8s* 


60 


Als Näherungswerthe wurden angenommen: 
mau 20 
Pr = 146°00 — 0540 (t — 1850.0) 
D= 0, 9 0 IH Al0 3 0 


Die Differenzen, welche diese Formeln zurücklassen, sind unter 4» 
und 40 angeführt. Um die Bedingungsgleichungen in passender Form 
aufzustellen, sollen diejenigen Grössen, welche in Graden ausgedrückt 
werden. mit dem Index 0 und die, welche in Bogensecunden angegeben 
sind. mit ” versehen werden. Ist dann noch «' = 57.296, so hat man 
zu setzen als neue Unbekannte: 


eda” x. 
Ten we 
30 — (9 y 
4° = (2) IT u) 
10 Aa (3) 
= (7 
400.4ß0 = (4) 7) 


und die Gleichungen (5) werden: 
elle ‚) sinnt6) 
+10( ‚) eos n1(6) G 


do =10() en Pt ) + 10 cosnt(5) + 10 sinnt(6) ıh 


10 
Dem obigen zufolge ist hier zu setzen: 
ß = 146.00, A, = — 0.540, a= 5.600 


Ferner wurden die Factoren f" und / aus den betreffenden Angaben in 
I (pg. 56, 57) entnommen und die Zeit wurde von 1850.0 in Jahren ge- 
rechnet. 


Die Bedingungsgleichungen sind, wenn die Logarithmen der Coöffhi- 
cienten angegeben werden: 


(2) (3) (4) (5) (6) (7) 
0.7455  1.1605n 0.9734 0.5314 0.9708n 0.4268 — 0.3583 
0.7698  1.0480n 0.7247 05551 0.9940 0.4166 0.8027 n 
0.7720  0.9481n 0.5222 0.96l4n 0.7228 0.3890 1.2520 n 
0.7359  0.6902n 0.0423 — © 0.9877 n 0.2370 1.0078 n 
0.7414  0.4404n 9.5373 0.9866 0.2329 0.0424 1.0402 
0.7507 0.0517n 8.7507 0.8105 0.8867 9.8237 0.8476 
0.7569 0.0580 8.7569 0.8168" 0.8930 9.987 4n 1.1443 n 
0.7464 , 0.4454 9.5423  09916n 0.2379n  9.6156n 1.1320 
0.7394 0.6425 9.9435 0.5253n  0.8642n 9.99%3n 0.9849 n 
0.7356 0.7770 0.2163 0.7955 0.8717n  0.1637n 0.3599 
0.7456 0.8918 0.4358 0.9908 0.2371 0.2370n 0.9188 
0.7588 1.0140 0.6672 — @ 1.0106 0.2136n 0.3270 n 
0.7579 1.0801 0.8002 0.9472 n 0.7086 9.7535n 0.8297 n 
0.7465 1.1267 0.9048 0.9358n  0.6973n  9.4708n 0.6608 n 
0.7358 1.1829 1.0280 0.5216 0.9606 8.9788 0.5487 
0.7382 1.2295 1.1188 0.9833 0.2296n 0.2337 0.9762 
0.7376 1.2561 1.1726 0.9269 0.6884 0.3081 0.7588 
0.7338 1.2901 1.2443 — © 0.9856 0.1067 9.3358 
b) ın Distanz. 
(1) (4) (5) (6) (7) 
1.0000 1.5868n 0.973800  0.5341n 9.6875 = 0.2896 u 
1.0000  1.4506n  0.9730n  0.5341n 0.2084 1.2022 
1.0000  1.3478n 0.6990 0.9375 0.3168 1.2578 
1.0000 1.1261» 1.0000 — © 0.4357 0.9512 
1.0000  0.8708n  0.2397n 0.9934n 0.4733 0.6976 n 
10000 0.4729n 0.8843 0.8081n 0.4766 0.2633 
1.0000 0.4729 0.8843 0.8081 0.4571 1.0885 
1.0000 0.8708 0.2397n 0.9934 0.4238 0.1199 n 
1.0000 1.0749 0.9730n 0.5341 0.3547 0.8073 n 
1.0000 1.2132 0.8843n  0.8081n 0.2205 0.9622 n 
1.0000 1.3180 1.2397 0.9934n 0.9195 0.2766 n 
1.0000 1.4271 1.0000 — @ 0.4483n 0.8980 
1.0000 1.4941 0.6990 0.9375 0.0437n 0.8585 
1.0000 1.5521 0.6990 n 0.9375 0.2220n 0.1005 n 
1.0000 1.6190 0.9730n  05341n  0.2551n 0.9568" 
1.0000 1.6632 0.2397 0.9934n  0.1797n 0.8653 n 
1.0000 1.6904 0.6990 0.9375n  0.1045n 0.8885 n 
1.0000 1.7281 1.0000 — © 9.9568n 1.0206 m 
Die Normalgleichungen nach der Bedingung 
B 
(e4p) + (€ 40) = Min. 
aufgestellt, werden in logarithmischer Gestalt: 
(1) (2) (8) (4) (5) (6) (7) 
3.25527 - _ 3.3628 1.73191 2.1935n 2.164533 = 
- 2.74999  2.66081 2.745559 _ 1.85594 1.79699 1.71425 
= 2.66081  3.34765 5.013779 2.22102 2.23561 1.81365 n 
3.386218 2.74559  3.01379 4.23260n  2.83913 2.56908 2.52012 m 
1.73191 1.85594 2.22102 2.8393 3.25489 0.96848n  1.54370 
2.19435n  1.79699  2.23561 2.569098 0.96848n 3.24636 1.28398 
2.164535  1.71425 1.81365n 2.52012n 1.54370 1.28398 2.04493 
und ihre Auflösung 
()=+ 0.2195 (3) = + 0.2489 (5) = + 0.9454 (7) = — 0.3703 
(2) = — 0.4943 (4) = — 0.1886 (6) = + 0.1955 


a) ın Positionswinkel. 


61 


1.86183 n 
2.31810 
2.54176 
3.30789 n 
3.196753 
2.57548 
1.68547 


62 


Nach den obigen Festsetzungen folgt hieraus: 


2 
© = + 0.038 AB = — 01886 ei = 0.007 
AB = 09494 a = =071650 
AB = + 000249 y = + 0.0341 


Wir haben also jetzt folgende Formeln: 
2 
p = 1450506 — 0°%5151t — 0°1886 23) — 10688 sin 2001 
+ 00349 cos 20% — 0.037 f (IV) 
0 — 5.638 — 0.0489 eo) 4.0165 cos20% + 0.0341 c0s20% — 0.037 f, 


In dieser Form erfüllt in der That der nicht periodische Theil der 


2 r 
beiden Formeln sehr nahe die Gleichung en — Const., nämlich so 


lange als 
(1 + 0.001832) (1 — 0.000871? —1 


und dies ist für die in Frage kommenden t beinahe vollkommen der Fall. 

Die Darstellung, welche die Beobachtungen durch IV erfahren, ist 
in der obigen Zusammenstellung (pg. 59) gegeben. Dort sind unter IV 
die aus der Formel folgenden Positionswinkel und Distanzen nebst den 
Differenzen B—IV angeführt. In der Hauptsache sind jetzt schon die 
auffallenden Abweichungen fortgeschafft. Indessen ist es doch wünschens- 
werth, einen besseren Anschluss zu erlangen. Jedenfalls müssen die Normal- 
örter, welche bis jetzt in ziemlich provisorischer Gestalt vorlagen, mit 
grösserer Sorgfalt gebildet werden. Denn nur dann haben wir ein Recht, 
uns über die nicht wegzuschaffenden Differenzen zwischen Beobachtung 
und Theorie eine bestimmte Ansicht zu bilden. 


Ich habe nun zunächst die persönlichen Fehler, mit denen die Be- 
obachtungen des Sternes C, wie wir sehen werden, in hohem Grade be- 
haftet sind, auf einem .von dem der früheren Abhandlung verschiedenen 
Wege zu ermitteln gesucht. Ich habe nämlich nur nahezu gleichzeitige 
Messungen verschiedener Astronomen mit Hülfe der Formeln IV auf 
gleiche Zeit reducirt und dann verglichen. Bildet man dann ein gewisses 
Normalsystem dadurch, dass man die absoluten Correctionen so bestimmt, 


63 


dass sie im Mittel von sehr vielen Beobachtern nahe Null werden, so kann 
man allerdings völlig unabhängig von den theoretischen Resultaten die 
persönlichen Fehler bestimmen. Dieser Weg ist aber ım vorliegenden 
Falle äusserst unsicher, weil, wie schon früher erwähnt, nahezu gleiche 
Beobachtungszeiten sehr sparsam vorkommen, die Verbindung der ein- 
zelnen Beobachter unter einander also nur lose ist. Ich führe deshalb 
die auf mühsamen und weitläufigen Rechnungen beruhenden Resultate 
nicht an, sondern lasse gleich die Normalörter, welche auf diese Weise 
gewonnen sind, folgen. Es wird dies um so mehr genügen, als ich 
weiter unten die Zusammenziehung des ganzen Beobachtungsmateriales 
ausführlich vornehmen werde und dabei auf die Besprechung der con- 
stanten Fehler zurückkommen muss. 

Die weitere Rechnung wurde also auf folgende Normalörter ge- 
gründet, bei welchen Messungen aus den letzten Jahren berücksichtigt 
werden konnten, die mir erst nach Ableitung der Formel IV bekannt 
geworden sind. 


p 0 Vs My My 

N) 0 7 0 0 

1824.20 127.00 + 32.99 5.317 3 352.8 15.1 
31.20 28.38 5.731 4 216.5 231.9 
35.20 24.39 5.658 A 160.4 150.1 
41.20 22.66 5.290 4 25.6 27.3 
45.20 23.53 5.406 5 324.1 305.5 
48.20 20.82 5.467 5 296.1 244.1 
52.20 15.82 5.596 4 141.8 162.3 
55.20 13.26 5.437 5 87.4 100.9 
58.20 12.88 5.310 5 44.5 39.4 
61.20 13.81 5.388 5 327.1 338.0 
64.20 12.82 5.416 4 306.8 276.6 
68.20 8.90 5.537 4 166.1 194.8 
71.20 6.58 5.549 6 130.6 133.4 
74.20 4.94 5.434 6 ZU 72.0 
78.20 4.33 5.307 7 6.5 350.2 
81.20 4.20 5.520 5 261.7 288.8 
84.20 1.81 5.647 5 206.3 227.4 
87.20 — 0.26 5.593 4 192.2 166.1 


Die beigefügten abgerundeten Wurzeln aus den Gewichten geben zu 
erkennen, dass es keinen wesentlichen Einfluss auf die folgenden Resultate 
ausüben kann, wenn man sich der etwas vereinfachten Rechnung wegen 
erlaubt, von den Gewichten ganz abzusehen. Dies ist in der That im 
Folgenden geschehen. 

Ich will nun zur Darstellung der obigen Normalörter einen viel 
allgemeineren Ansatz machen als es bisher geschehen ist. Offenbar liegt 


64 


hier ein ganz ähnliches Problem vor, wie bei der Bearbeitung der so- 
genannten veränderlichen Eigenbewegung des Sirius zu lösen war und 
wobei es sich darum handelte, aus der scheinbaren Bahn des Sırıus 
am Himmel die Elemente seiner Revolutionsbewegung um den licht- 
schwachen Begleiter oder eigentlich um den Schwerpunkt zwischen beiden 
Körpern zu bestimmen. Ich werde hier eine Methode anwenden, welche 
auch bei jenen Untersuchungen mit Vortheil eintreten könnte und welche 
an die Vorschriften anknüpft, die man wohl als die einfachsten bei der 
Berechnung einer Doppelsternbahn aufstellen kann. 

Die scheinbare Bahn des Sternes © um den Schwerpunkt 8, des 
dunklen Begleiters und C ist eine Ellipse, welche die Projection von &, 
umschliesst. Nennt man x und y die Coordinaten der Projection von C 
in Bezug auf ein beliebiges Coordinatensystem, dessen Anfang nur in 
grosser Nähe von C liegen muss, damit © und y genügend klein seien 
und 5 » die Coordinaten des Punktes S,, so lautet die Gleichung der 
genannten Ellipse: 

P@— Ss’ +r7W—m?’+2I@-y—m)+2:@—9)+2y-)-1=0 (6) 

Die Grössen x und y sind durch die Beobachtungen direct gegeben, 
dagegen sind $ und 7; nur näherungsweise bekannt. Hat man aber die 
Kenntniss solcher Näherungswerthe erlangt, so giebt jede Beobachtung 
von C eine Gleichung von der Form (6) zur Bestimmung der Constanten 
P, y etc. Die so bestimmten Constanten werden nun wieder nur als 
Näherungswerthe zu betrachten sein. Jetzt kann aber aus dem ganzen 
verfügbaren Beobachtungsmateriale eine Verbesserung aller vorkommenden 
unbekannten Grössen leicht und unter Umständen auch sicher abgeleitet 
werden. Bezeichnet man die gesuchten Oorrectionen dadurch, dass man 
vor die zugehörige Grösse ein 4 setzt, so wird die zu erfüllende Be- 
dingungsgleichung so geschrieben werden können. 

Man setze 

21a +ty+9=4 d=a—: 
eure By yon 

dann wird 

48-2? +4y-Y?+ 40-20 y + 4Ie-20 + A8-2y + 4A5-A+An-Btn=0 


worin n die linke Seite von (6) ist, wenn hierin die Näherungswerthe 


65 


eingesetzt werden. Die Verbesserungen 45 und 4n hängen natürlich 
von so vielen Constanten ab, als in den Formeln enthalten sind, welche 
diese Grössen bestimmen. So wird z. B. im vorliegenden Falle, die 
Bewegung des Schwerpunktes S, durch 


S=9cos(ut—v) 
n=0sin (ut—+v) 
genügend genau bestimmt. Hier ist 


45= a (dv-iamn 


0 
An= rn + (dr +iamE 
0 
also 
ee ErAd&+ Br) + (dv Ham (BS— An) 
(0) 


und das ganze Problem hängt von den 8 Constanten 


Baer Ole NO Nr 
ab. In ferner Zukunft, wo es gelingen wird, für die Bewegung von &, 
eine Ellipse zu bestimmen, müssen natürlich die 7 Bestimmungsstücke 
dieser elliptischen Bewegung aufgenommen werden und man hat dann 
ein System von linearen Gleichungen mit 12 Unbekannten aufzulösen. 
Hierzu kommt noch eine Grösse, welche dem früheren y entspricht und 


angiebt um wieviel man sich von der Mitte is nach B (in Einheiten 


dieser Entfernung) entfernen muss, um den Punkt zu erhalten, um welchen 
die Kepler’sche Bewegung stattfindet, der also als der Schwerpunkt von 
A und B angesehen werden darf. Im Folgenden ist auf dieselbe keine 
Rücksicht genommen worden, weil sich oben bei Formel IV und auch 
früher schon in I herausgestellt hat, dass y sehr klein ist. Es kommt 
dies darauf hinaus, dass es bei der Betrachtung der Bewegung des Sternes 
C erlaubt ist, die Massen der beiden Sterne A und B einander gleich 
zu setzen. Es wird nicht unwichtig sein zu bemerken, dass auch die 
Helligkeit der beiden Sterne nicht gerade gegen dieses Resultat spricht. 
Dass freilich, entsprechend einem negativen y, der Stern A heller als 
B ist, muss als ein zufälliges Zusammentreffen bezeichnet werden. 
Abh. d. II. Cl.d.k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 9 


66 


Hat man auf solche Weise einmal genügend zuverlässige Werthe für 
die Constanten ß, y etc. erhalten, so ist die Bestimmung der wirklichen 
Bahn von C um $, durch folgende höchst einfache Formeln!) ausführbar. 
In der üblichen und auch bei allen Angaben dieser und der früheren 
Abhandlung gebrauchten Bezeichnungsweise erhält man folgende Rechen- 
vorschrift. Man setze: 


u=y+° 
v=ß+ 
= dee 


dann ist 


— N x © 
tg 22 = -—; c08 2 “2 hat das Zeichen von u —v 
= 


1 


p*® 2 
tg?i =(u+r)p®®— 2 


: sinä = (— esin. & + [cos 2) cosi 


v — . 
en "eos? 2+0sn22 


z cosA= (8 cos.2 + {sin 0) 


Hiermit sind alle Elemente, welche sich auf Form und Lage der 
Ellipse beziehen, gegeben. Die Elemente, welche die Bewegung in der 
Ellipse bestimmen, berechnet man hierauf gesondert aus den vorhandenen 
Zeitangaben. Durch die rechtwinkeligen Coordinaten sind die Positions- 
winkel p und Distanzen e gegeben, indem 

% — S=0c0sp 
y—n=esinp 

Dann ist bekanntlich die mittlere Anomalie M bestimmt durch die 
(Gleichungen : 


tg (A +v) = seci-tg(p — 2) 


I — 
tg E=tg}v V= 
M=E-—esnE 
Jede vorliegende Zeitangabe t, für welche p und oe also auch M 
gilt, giebt dann eine lineare Gleichung 


M=nt-—e (8) 


1) Ueber die Ableitung derselben soll an einem andern Orte berichtet werden. 


67 


zur Bestimmung der mittleren Bewegung n und der Perihelzeit 7’, indem 
e—=nT gesetzt worden ist. 

Zur Anwendung der vorstehenden Vorschriften !) auf die Bahn, 
welche C um 8, beschreibt, war es zunächst nöthig, zuverlässige Näher- 
ungswerthe für 5 und n zu beschaffen. Diese habe ich im Anschlusse 
an die mit den ersten Normalörtern geführten Rechnungen nach einigen 
Versuchen gefunden. Zunächst ist der leichteren Uebersicht wegen von 
allen Positionswinkeln 127°00 abgezogen worden. Mit anderen Worten, 
die X-Axe unseres Coordinatensystems liegt in der Richtung des Positions- 
winkels 127°0. Unter dieser Voraussetzung lauten die gefundenen Aus- 
drücke: 


& = 5454 cos [1841 — 0°513 (# — 1850.2)] | 


9) 
n— 5'454 sin [18%41 — 0°513 (t — 1850.2)] J 0 


Es hat sich nämlich nach mannigfachen Versuchen herausgestellt, 
dass diese Ausdrücke, die selbstverständlich dem Flächensatze genügen, 
völlig ausreichen und dass es nicht nöthig ist, wie früher, in Positions- 
winkel ein mit t? und in Distanz ein dem entsprechendes mit t propor- 
tionales Glied anzunehmen. Mit diesen Werthen für $ und n werden 
nun die den 18 Normalörtern entsprechenden Bedingungsgleichungen, 
in denen die Coöfficienten logarithmisch angesetzt sind und bei denen 
alle Distanzen mit 10 multiplieirt wurden: 


ß Y ö & C 
0.5016 8.7861 9.9449 n 0.5518 n 961 —=ı1 
0.7372 0.3524 0.8458 0.6696 0.4772 1 
0.8149 9.6112 0.5141 0.7085 0.1066 n 1 
0.2781 9.9611 0.4206 0.4401 0.2815 » 1 
0.2665 0.6255 0.7470 n 0.4343 n 0.6137 1 
9.0425 0.2142 9.9293 n 9.8222 n 0.4081 1 
0.5056 0.0308 0.5692 n 0.5538 0.3164 n 1 
9.3072 0.7663 0.3378 n 9.9546 0.6841 1 
0.0711 0.4319 0.5525 0.3365 n 0.5169 n 1 
9.8777 9.8126 0.1461 0.2398 n 0.2073 1 
9.6716 0.2896 0.2817 n 0.1368 n 0.4458 N 
9.8700 8.2612 9.3666 n 0.2360 9.4316 9 1 
0.0567 9.9012 0.2799 n 0.3293 0.2516 n 1 
7.9365 0.0956 9.3171 9.2692 n 0.3488 1 
0.3433 8.3796 9.6625 n 0.4727 n 9.4908 1 
9.5015 0.4372 0.2704 0.0518 0.5196 1 
0.5632 9.8713 0.5183 0.5826 0.2367 1 
0.2866 8.9493 9.9190 0.4443 9.7757 1 


1) Will man ganz strenge im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate verfahren, so 
müssen, nachdem Näherungswerthe bekannt sind, die bekannten Differentialformeln in passender 
9* 


Hieraus gehen als Normalgleichungen hervor: 


+ 125.96 8-4 38.32y+ 9580 + 61.298 + 11.835= + 34.83 


+ 38.82 48357 — 1349 + 435 — 060 = 27.36 
en: 
uhr E35 9.6 139, 
Er TSEBET EINE TE 8707 —, 5.927 10a 
Die Auflösung dieses Systemes ergiebt 
log ß = 9.3704 
logy = 9.3431 


log 9) == 7.7994 
loge = 8.7312 
log & — EHI) 


Aus den Gleichungen (7) findet man nun leicht, wenn die Werthe 
für die linearen Strecken wieder durch 10 dividirt werden, um dieselben 
in Bogensecunden zu haben, die Elemente 


2—= 71.958 

i —= 109.677 | 

i = 170352 (V)) 
e 1.100 | 

a— 0'217 


Wollte man @ wieder von der gewöhnlichen Nullrichtung (Stunden- 
kreis) an zählen, so müsste man 127°00 hinzufügen. Die Bahn von 
C um S, ist also wenig excentrisch und wenig gegen die Projections- 
ebene geneigt. Gleiches gilt für die Bahn von B um A und gleiches 
ist (wenn dieser Schluss gestattet ist) für die Bewegung des Schwer- 
punktes $S, um den Schwerpunkt von A und B nicht unwahrscheinlich. 
Es scheinen sich also in dieser Beziehung die Verhältnisse bei { Cancri 
denjenigen zu nähern, welche in unserem Sonnensystem herrschen. 

Jetzt hätte nun die oben auseinandergesetzte Methode der Ver- 
besserung der Constanten eintreten sollen. Ich habe aber diese neue und 
etwas mühsamere Ausgleichung nicht ausgeführt, weil sich mir die Ueber- 
Anordnung in Anwendung treten. Ich bezweifele aber, dass es nothwendig sein wird, diesen strengen 


Weg einzuschlagen und die oben gegebene einfachere Auflösung der vorliegenden Aufgabe zu 
verlassen. 


69 


zeugung aufdrängte, dass hierdurch ein engerer Anschluss an die Beob- 
achtungen nicht zu erzielen sei. Ausserdem kommen wir durch die 
folgenden Rechnungen wieder auf dieselben Werthe der die Bewegung 
von S, bestimmenden Constanten zurück und diese sind es doch haupt- 
sächlich, über deren Richtigkeit die neue Ausgleichung hätte Aufschluss 
geben können. 

Bestimmt man nun aus den 18 Gleichungen (8) nach der Methode 
der kleinsten Quadrate, die hier nur als gutes Hülfsmittel ohne tiefere 
Bedeutung im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung auftritt, die Con- 
stanten n und &, so ergiebt sich folgende Formel: 

M = 203°1 — 20°460 (t — 1850.2) (V,) 

Man wird nicht erwarten können, dass diese Formel mit den aus 
den Elementen (V,) berechneten M so gut übereinstimmt, wie bei gewöhn- 
lichen Doppelsternbahnen. Man bedenke nur, aus welchen äusserst kleinen 
Aenderungen gemessener Grössen die Elemente (V,) abgeleitet werden 
ınussten und wie die kleinen Beobachtungsfehler in so sehr vergrössertem 
Massstabe auf die Grösse M übergehen. Es ist aber doch interessant, 
beide Werthreihen zu vergleichen. Ich habe deshalb in der obigen Zu- 
sammenstellung die aus den Elementen direct berechneten Werthe M, 
und die aus Formel (V,) folgenden M, neben einander gestellt. Mit Hülfe 
der durch (V,) und (V,) dargestellten Elemente ergiebt sich nun leicht die 


aueh 
2 


Distanz oe und der Positionswinkel p» des Sternes C von aus, aus 


den entsprechenden Grössen @, und 9, des Punktes $,. Es ist nämlich, 
wenn man mit r und n Distanz und Positionswinkel von © für ein in 
den Punkt 8, gelegtes Coordinatensystem bezeichnet 


Sn (m —P)=rsin(p —n) 
9 608 (P — P) =0 — rcos(p —n) 
oder genügend genau: 
B—p=dp=  sinw—n) 
9%—-e= = —rcsp—n) 
wobei noch bemerkt werden kann, dass nach (9) 
& = 5.454; m, = 18%41 — 0°513 (t — 1850.2) (10) 


Ich führe nun das Resultat dieser Rechnung an. Die berechneten 
Werthe sollen durch ein angehängtes R bezeichnet werden. 


Pr er Be 
0 " 0 2 
1824.20 32.10 5.268 —+ 0.89 —- 0.049 
31.20 28.86 676 — 0.50 —- 0.055 
35.20 24.31 604 —+ 0.08 —+ 0.054 
41.20 22.55 266 Ze Opal + 0.024 
45.20 23.08 442 —+ 0.45 — 0.036 
48,20 20.83 639 — 0:01 — 0.172 
52.20 16.19 653 — (Nr! — 0.057 
55.20 13.55 482 — 0.29 — 0.045 
58.20 13.07 295 — I) 0.015 
61.20 14.00 309 —0419 —- 0.079 
64.20 15.41 515 — 0.59 — 0.099 
68.20 9.40 685 — 0.50 — 0.148 
71.20 5.98 614 —+ 0.60 — 0.065 
74.20 3.92 411 — 1.02 —+- 0.023 
78.20 4.52 275 —1019 —+- 0.032 
81.20 4,71 438 — 051 —- 0.084 
34.20 2.54 631 — 0.73 + 0.016 
87.20 —=092 671 —+ 0.66 —.0.078 


Die Differenz der beobachteten Normalörter (B) und der nach Formel 
(10) berechneten sind hier unter B— R gegeben. Aus diesen Zahlenreihen 
sieht man, dass eine mit der Zeit proportionale Correction im Positions- 
winkel keinen besseren Anschluss hervorbringen wird. Auch die Constante 
in der Formel (10) für p, ergiebt sich im Mittel wenig verschieden. Man 
findet nämlich als nothwendige Correction + 0°01. Den Distanzen da- 
gegen genügt am besten der Werth 0, = 5.439. Man komnit also sehr 
nahe auf die am Anfange der ganzen Rechnung gemachten Annahmen 
zurück, indem man die Formeln erhält 5 


eo) = 5'439 | 


a) 
p, = 18042 — 0°513 (t — 1850.2) | 


Ueberblickt man nun diese Fehlerreihe, so wird es auffallen, dass 
die Darstellung in Positionswinkel entschieden besser ist, wie in Distanz. 
Beide Fehlerreihen sind aber nicht ganz befriedigend. Man könnte nun 
zunächst den Grund der wenig guten Uebereinstimmung in der mangel- 
haft geführten Ausgleichungsrechnung suchen. Abgesehen aber davon, 
dass ich nicht glaube, dass durch eine strenge geführte Rechnung eine 
wesentliche Verbesserung gewonnen werden könne, wäre diese immerhin 
nicht ganz kurze Rechnung meiner Meinung nach unter den obwaltenden 
Umständen ziemlich nutzlos. Jedenfalls haben wir, wie im nächsten Para- 


Tl 


graphen näher aus einander gesetzt werden soll, allen Grund zu der 
Annahme, dass auch die verbesserten Normalörter (pg. 63) noch wesentlich 
durch die den Beobachtungen anhaftenden persönlichen Fehler entstellt 
sind. Es muss also zunächst eine Untersuchung in dieser Richtung vor- 
genommen werden. 

In Rücksicht auf diesen Umstand ist es offenbar gleichgültig, ob 
wir alle Distanzen und Positionswinkel um eine kleine Constante ändern. 
Es ist also auch vollkommen gestattet, statt mit den obigen Werthen 
für 0, und 9, mit den folgenden, äusserst wenig von diesen verschiedenen, 
(bei p, werden nun wieder 127°00 addirt) 


0, = 5.438 | 
9, = 145%46 — 09513 (t — 1850.2) | 


zu rechnen. Ursprünglich wurden die, durch einen unbedeutenden Rechen- 
fehler veränderten Formeln (V) an Stelle von (11) gewonnen. Nach der 


(V) 


gemachten Bemerkung sind diese aber ebenso berechtigt wie jene, wes- 
halb ich eine Correctur der nachfolgenden Zahlen nicht vorgenommen 
habe. Zunächst lasse ich, des Folgenden wegen, eine Ephemeride für 
den Stern © berechnet nach Elementen V, V, und V, folgen. Dieselbe 
dürfte stets die betreffenden Coordinaten bis auf wenige Einheiten der 
letzten Stelle richtig ergeben. 


P_ e P 0 P 4 

1820.2 158.62 5.385 1843.2 150.23 5.291 | 1866.2 138.74 5.620 
21.2 158.47 321 44.2 150.33 351 67.2 137.63 654 
22.2 158.54 272 45.2 150.13 426 68.2 136.45 669 
23.2 158.81 248 46.2 149.64 501 | 69.2 135.26 664 
24.2 159.15 252 47.2 148.88 569 | 70.2 134.10 640 
25.2 159.42 288 48.2 147.88 623 | 11.27 133.03 598 
26.2 .159.51 349 49.2 146.77 657 72.2 132.09 541 
27.2 159.32 425 50.2 145.58 670 | 73.2 131.40 471 
28.2 158.81 502 51.2 144.39 663 | 742 130.97 395 
29.2 158.04 571 52.2 143.24 637 75.2 130.80 322 
30.2- 157.06 625 53.2 142.26 602 76.2 130.91 281 
31.2 155.91 659 542 141.30 535 77.2 131.21 255 
32.2 154.70 670 55.2 140.60 467 | 78.2 131.57 259 
33.2 153.51 661 56.2 140.17 395 79.2 131.86 294 
34.2 152.29 637 57.2 140.02 329 80.2 131.95 sdl 
35.2 151.36 588 58.2 140.12 279 81.2 131.76 422 
36.2 150.49 530 59.2 140.40 253 | 82.2 131.28 494 

‚„ 37.2 149.84 462 60.2 140.76 258 | 83.2 130.54 561 
33.2 149.42 390 61.2 141.05 293 | 84.2 129.59 615 
39.2 149.24 324 62.2 141.13 352 | 85.2 128.49 651 
40.2 149.33 276 63.2 140.94 424 | 86.2 127.32 667 
41.2 149.60 250 64.2 140.46 499 87.2 126.13 665 
422 149.95 255 65.2° 139.71 566 838.2 124.96 645 
43.2 150.23 291 66.2 138.74 620 | 


—1 
DD 


8 5. 


Die Ermittelung der persönlichen Fehler bei den auf den Stern C 
sich beziehenden Beobachtungen ist mit noch grösseren Schwierigkeiten 
verknüpft als bei dem Sterne B. Schon bei diesem treten (vergl. $ 3) 
hauptsächlich dadurch Unsicherheiten in der Vergleichung auf, dass die 
Thätigkeiten der hauptsächlichsten Beobachter zeitlich auf einander folgen, 
ohne eine genügende Reihe nahe gleichzeitiger Messungen aufzuweisen 
und wo letzterer Umstand eintritt, ein Zweifel an der ÜConstanz der 
persönlichen Fehler begründet ıst. Dasselbe findet natürlich auch bei 
dem Sterne C statt, der mit wenigen Ausnahmen dieselben Beobachter 
und dieselben Beobachtungszeiten aufweist wie der Stern 5. Hierzu 
kommt nun aber noch ein Umstand, der ganz besonders ins Auge gefasst 
werden muss. Es unterliegt wohl schon a priori keinem Zweifel, dass 
die persönlichen Fehler bei einer gewöhnlichen Doppelsternmessung ganz 
andere sein müssen, als wenn ein Stern (C) mit einem Doppelstern 
(A und B) verglichen wird. Namentlich dürften sich, was bei der Mehr- 
zahl der Beobachter der Fall war, dann diese Verschiedenheiten bemerkbar 
machen, wenn C direct mit der Mitte von A und B verglichen wird. 
Systematische Fehler, die von der Stellung des Sternes C gegen die Ver- 
bindungslinie AB abhängen, sind dann in hohem Grade wahrscheinlich 
und bei Beobachtern, welche zu einer zeitlichen Veränderung in der Art 
der Auffassung hinneigen, ist in diesem Falle eine vermehrte Veränder- 
lichkeit zu erwarten. Aber auch, wenn direct einer der Sterne A und 5 
mit © verglichen wird, ist eine Beeinflussung durch den dritten Stern 
nicht unwahrscheinlich. Ich glaube wenigstens, dass, wenn solche Ein- 
wirkungen sich herausstellen, man sich darüber nicht wundern kann. 
Bei der Complicirtheit des ganzen Vorganges, und bei der völligen Un- 
kenntniss der Art, wie die genannten Einwirkungen bei dem einzelnen 
Beobachter auftreten, ist es schwer ein zureichendes Verfahren anzugeben, 
um die Messungen von diesen persönlichen Fehlern zu befreien. Man 
könnte vielleicht, wenigstens unter gewissen Voraussetzungen, der Wahr- 
heit sich nähern, wenn man die analogen Verhältnisse bei anderen drei- 
fachen Sternen studirt. Das ist aber ein Weg, den ich, wegen zu grosser 
Weitläufigkeit, hier selbstverständlich um so weniger betreten konnte, als 


13 


ein Erfolg am Ende auch ungewiss war. So bleibt nichts anderes übrig, 
als dieselbe Methode anzuwenden, die ich in meiner früheren Abhandlung 
angewandt habe. Man hat also die einzelnen Jahresmittel mit den als 
besten erkannten Elementen d. h. mit der letzten Ephemeride, zu ver- 
gleichen und aus den Differenzen die in passender Weise gezogenen Mittel 
als persönliche Fehler zu betrachten. Dass eine Vergleichung der so 
gefundenen Correctionen mit den aus gewöhnlichen Doppelsternbeob- 
achtungen gefundenen oder gar die einfache Benutzung der letzteren 
völlig unzulässig ist, bedarf keiner Begründung. Zunächst will ich also 
die genannte Vergleichung ausführen. Die Beobachtungen wurden, abge- 
sehen von eventuellen Schreib- und Druckfehlern, aus meiner früheren Ab- 
handlung einfach herausgenommen und nur die seit jener Zeit publicirten 
hinzugefügt. Ein Nachweis der Quellen dürfte bei der allgemeinen Zu- 
gänglichkeit derselben nicht nothwendig sein. In den folgenden Zusammen- 
stellungen bedeuten: g die Anzahl der Abende, p und g beobachtete 
Positionswinkel und Distanz, Corr. die Differenz: Ephemeride — Beob- 
achtung und zuletzt sind die corrigirten Werthe angeführt. 


1. W. Struve (2). 


g » ö Correct. Corr. Werthe 
0 ’ 0 7 0 7 
1821.98 3 160.03 = (— 1.48) — 160.03 — 
26.22 3 159.59 5.431 (— 0.08)  (— 0.080) 159.59 5.431 
28.99 3 156.15 5.530 —+ 2.05 —+- 0.027 157.97 5.460 
31.27 6 153.21 5.672 —+ 2.62 —0:012 155.03 5.602 
32.28 4 153.18 5.3810 + 1.43 —(yahl 155.00 5.740 
33.27 3 152.12 5.779 + 1.31 — 0.120 153.94 5.709 
Sa 5 149.80 5.670 —+ 1.46 — 0.088 151.62 5.600 
36.27 3 145.40 5.604 rn 2.05 — 0.079 150.22 5.534 
Mittel +1.82  — 0.070 


Nach den Mittheilungen, welche ich in meiner ersten Abhandlung 
machte, sind die Beobachtungen vor 1828 als mit den späteren nicht 
direct vergleichbar anzusehen. Ich lasse diese uncorrigirt und gebe ihnen 
das halbe Gewicht der späteren. 


2. Otto Struve (0. >). 


Ich habe diesmal (vergl. darüber I pg. 73) die Beobachtungen, je- 


nachdem sie sich auf 2 oder A oder B beziehen, einzeln behandelt. 


Die Jahresmittel entnehme ich direct den „Mesures corrigees etc.“ Die 
Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVIT. Bd. I. Abth. 10 


74 


Reduction auf wurde überall nach den Zahlen in I (pg. 56, 57) und 


einer neu hinzugefügten Fortsetzung, die mitzutheilen wohl unnöthig ist, 


ausgeführt. 
a) Beobachtungen AC. 
Correct. Corr. Werthe 
I P _ ZZ nn 
0] " 0 7 0 " 
1840.30 7 149.67 5.369 — 03101096 149.18 5.271 
42.29 4 149.12 5.395 +086 — 0.137 148.63 5.297 
43.30 3 151.68 5.424 ee 151.19 5.326 
44.28 4 150.98 5.531 — u 150.49 5.435 
45.31 8 151.90 5.481 a NN 15141 5.383 
46.29 3 150.55 5.588 — 10.9855 0051 150.06 5.490 
47.35 5 149.59 5.618 — 0.86 — 0.041 149.10 5.520 
48.30 5 147.90 5.642 — 013 0.016 147.41 5.544 
49.32 4 146.46 5.596 +0.17 + 0.063 145.97 5.498 
50.29 3 146.85 5.569 — 1.38 (+ 0.101) 146.36 (5.471) 
51.28 3 143.72 5.725 + 0.58  — 0.064 143.23 5.627 
52.32 2 143.04 5.582 —+0.09 0.051 142.55 5.484 
53.30 2 140.44 5.552 +172 -+0.043 140.831 5.454 
55.31 3 140.19 5.527 4.0.36 — 0.069 140.56 5.429 
57.27 3 139.05 5.513 —+0.98 — 0.188 139.42 5.415 
58.28 1 140.07 5.484 -220:0955—02:07 140.44 5.386 
59.30 2 141.73 5.481 — 1a) 142.10 5.383 
60.27 2 140.73 5.448 —+0.05 — 0.188 141.10 5.350 
61.27 3 141.34 5.489 — 0.29 — (le le re 
62.33 il 140.44 5.226 —+0.66 (+- 0.135) 140.831 (5.128) 
64.30 1 139.81 5.291 0.57 (+-0.215) 140.18 (5.193) 
66.27 1 136.81 = + 1.85 — 137.18 = 
68.28 2 134.19 = ar Fall = 134.56 — 
70.28 4 133.71 En 0.31 = 134.08 = 
71.27 3 130.97 5.456 —+ 0.27  —0.201 131.34 5.358 
78.29 3 132.53 5.342 — 0.33 0.080 132.90 5.244 
79.29 3 132.81 5.375 — 0.96 °—0:046 133.18 a2 


Die einzelnen Correctionen zeigen verschiedene Eigenthümlichkeiten. 
Im Positionswinkel sind nicht unbeträchtliche Schwankungen zu bemerken. 
Im Allgemeinen scheint es hier nöthig, in » 2 Perioden zu unter- 
scheiden. Ich habe (entsprechend I pg. 43) die Abtheilung bei 1853.0 
vorgenommen. Es ergiebt sich dann als einfaches Mittel !) 
I. Periode, Correction: — 049 
II. Periode, Correction: + 0.37 
In Distanz müssen die in Klammer gesetzten Beobachtungen aus- 
geschlossen werden. Sie zeigen ein so abnormes Verhalten, dass die 
Berechtigung dieses Verfahrens näher zu begründen wohl unnöthig ist. 
Das aus allen übrigen gebildete Mittel ergiebt: 
— 0.097. 
1) Die Gewichte der einzelnen Jahre sind bei diesen und allen folgenden Mitteln, welche 
zur Ableitung der persönlichen Fehler gebraucht wurden, niemals in Betracht gezogen worden. 


1864.30 
66.27 
68.28 
69.32 
70.28 
71.31 
72.31 
73.28 
74.28 
75.28 
76.29 


Das einfache Mittel ist in Positionswinkel 


a 


DOVoOoDwOVvEDDHm- 


b) Beobachtu 


»p 

0 
141.10 
135.80 
133.67 
132.90 
134.37 
132.63 
132.27 
132.10 


2 
5.490 
5.610 
5.735 
5.685 
5.743 
5.643 
5.683 
5.447 
5.500 
5.643 
5.420 


4+ 


ngen —; Ü© 
Correct. 
0 7 
— 0.72 0.016 
= +0.013 
- — 0.066 
— 0.68 °— 0.024 
= — 0.106 
— 0.74 —.0.051 
— 0.89  — 0.150 
— 3.00 0.019 
— 670.116 
— 146 0.324 
— 0] 
= 


c) Beobachtungen BC. 


q v 3 Correct. 
1844.28 3 151.27 — — 0.96 — 
45.31 2 151.07 = — 0.99 —_ 
48.30 HOEE1ASS 5.731 — 0.06 — 0.104 
49.32 4 147.19 5.779 — 057 —0.120 
50.29 3 146.49 5.757 — 1.02  —0.087 
51.28 3 143.78 5.991 +052 —0.330 
52.32 4 142.03 5.777 + 1.10 — 0.144 
55.31 b} 140.10 5.679 + 0.45 —0.221 
57.27 3 139.18 5.604 —+0.85  —0.279 
58.28 1 139.86 5.640 +0.28  —0.363 
59.30 2 141.43 5.503 — 0.99 —0.250 
60.27 2 141.72 5.507 — 0.94 — 0.247 
61.27 3 141.63 5.502 — 0.58 —0.205 
62.33 1 140.21 5.460 +0,89 —0.099 
64.30 1! 140.33 5.202 + 0.05 (-+0.304) 
66.27 1 137.14 — 1.52 — 
68.28 2 135.67 _ —+0.69 _ 
70.28 4 133.76 —_ —- 0.26 = 
77.27 3 130.96 5.443 +0.28 — 0.188 
7829 3 131.81 5.361 — 0.21 —. 0.098 
79.29 3) 132.14 5.454 — 0.28 — 0.155 


In diesem Falle musste ebenso wie bei AC verfahren werden. 


Corr. Werthe 
| —— —— 


0 
139.81 


134.51 


132.38 
131.61 
133.08 
131.34 
130.98 
130.81 


5.405 
5.525 
5.650 
5.600 
5.658 
5.558 
5.598 
5.362 
5.415 
5.558 
5.335 


SU 


in Distanz — 0.085. 


Corr. Werthe 
— 


—— 


0 
150.99 
150.79 
147.55 
146.91 
146.21 
143.50 
141.75 


140.26 
139.34 
140.02 
141.59 
141.88 
141.79 
140.37 
140.49 
137.36 
135.83 
133.92 
131.12 
131.97 
132.30 


Positionswinkel ergiebt sich im Mittel als Correction: 
I. Periode — 028 
II. Periode + 0.16 


in Distanz nach Ausschluss der offenbar ganz abweichenden Beobachtung 


von 1864 


Correction — 0.193 


Nach den mitgetheilten Zahlen sind die 3 verschiedenen Methoden 
der Beobachtung mit zum Theil sehr verschiedenen persönlichen Fehlern 


5.250 
5.168 
5.261 


10* 


Im 


76 


behaftet. Diese letzteren aber sind der Natur der Sache gemäss nicht 
sicher bestimmbar, wenngleich jedenfalls zu hoffen steht, dass die gefun- 
denen Werthe wenigstens den Hauptbestandtheil der Reduction auf das 
vorliegende System ergeben. Um nun die dreierlei Beobachtungsdaten 
in Jahresmittel zu vereinigen, habe ich hier, ebenso wie auch später, die- 
selbe Gewichtsbestimmung wie bei Stern B vorgenommen. Es hat also 
ein aus 1 oder 2 Abenden zusammengesetztes Mittel das Gewicht 2, ein 
aus mehr als 2 Abenden bestehendes das Gewicht 4 erhalten. Ein aus 
mehreren der 3 verschiedenen Beobachtungsmethoden a, b und c be- 
stehendes hat die Summe der Gewichte als Gewicht. Ist dieses aber grösser 
als 4, so wurde dieselbe Zahl, also 4, als Gewichtszahl beibehalten. Dieses 
Verfahren ist, wie alle ähnlichen, von grosser Willkür nicht frei. Es 
dürfte aber doch den thatsächlichen Verhältnissen einigermassen Rechnung 
tragen, indem u. A. verhütet werden sollte, dass die Beobachtungen von 
OÖ. & nicht gar zu sehr die von andern Beobachtern herrührenden Mess- 
ungen in den endgültigen Jahresmitteln verdecken. 


Die auf die genannte Weise gebildeten Mittelwerthe sind nun: 


Gewicht p 0 Gewicht p 0 
0 u 0 
1849.30 4 149.18 5.271 1860.27 4 141.49 5.332 
42.29 4 148.63 5.297 61.27 4 141.75 5.350 
43.30 4 151.19 5.326 62.33 4,2 140.59 5.267 
44.28 4 150.74 5.433 | 64.30 4,2 140.16 5.405 
45.31 4 151.20 5.383 66.27 4,92 137.24 5.525 
46.29 4 150.06 5.490 68.28 4,2 135.20 5.650 
47.35 4 149.10 5.520 69.32 4 134.51 5.600 
48.30 4 147.48 5.542 | 70.28 4 134.00 5.658 
49.32 4 146.44 5.542 zulenl 4 132.38 5.558 
50.29 4 146.29 5.564 | 12.31 4 131.61 5.598 
51.28 4 143.37 5.713 73.28 4 133.08 5.362 
52.32 4 142.02 5.534 74.28 4 131.34 5.415 
53.30 2 140.81 5.454 75.28 4 130.98 5.558 
55.31 4 140.41 5.458 76.29 2 130.81 5.335 
57.27 4 139.38 5.413 70.27 4 131.23 5.304 
53.28 4 140.23 5.417 78.29 4 132.44 5.206 
59.30 4 141.85 5.347 | 79.29 A 132.74 5.269 
3. Dawes (D). 
9 ® 2 Correct. Corr. Werthe 
0 [7 0 [7 0 7 

1831.30 1 154.91 5.862 +0.838 — 0.202 155.75 5.619 

32.18 5 153.43 5.876 + 1.29 — 0.206 154.27 5.693 

41.07 6 149.00 54397°° 4056 —0184 149.84 5.254 

43.22 2 149.75 5.433 #048 —.0.140 150.59 5.250 

41814 6 14751 5402 043 0218. 14835 5.520 

54.07 1 140.00 5526 142 -+0.018 140.84 5.644 


UN 


OÖ. & hatte bei seiner Discussion der Dawes’schen Beobachtungen die 
Nothwendigkeit erkannt, 3 verschiedene Perioden zu unterscheiden. Diese 
sind im Vorigen durch die abtheilenden Striche angedeutet. Der Verlauf 
der Correctionen zeigt indess, dass hier diese Unterscheidung im Positions- 
winkel gar nicht und in Distanz nur theilweise nöthig ist, indem bei 
letzterer nur die 3. Periode ein anderes Verhalten zeigt. Im Mittel 
ergiebt sich: 

Correction im Positionswinkel -- 0984 
— 0.185 
gs 


der letzte Werth ist selbstredend ganz unsicher, vielleicht sogar illusorisch. 


Correction in Distanz 


4. Secchi (S). 


Correct. Corr. Werthe 

1855.19 3 140.33 5.388 + 0.27 —+ 0.080 140.35 5.385 
57.29 4 141.20 5.403 — 1.18 — 0.078 141.22 5.400 
65.23 2 ISA 5.555 — 0.03 0.013 139.73 5.552 
66.29 2 137.61 5.650 —+ 1.03 — 0.027 137.63 5.647 


Im Mittel aus schlecht stimmenden Einzelwerthen wird 
Correction in p + 0°02 
Correction in eg — 0.003 
S erhält das Gewicht 4. 
5. Dembowski (4). 


Die Messungen habe ich dem erwähnten Werke entnommen. 


Correct. Corr. Werthe 
I » [ m 
0) 7 0 [2 0 7 

1855.07 6 140.97 5.355 —0.28 —+0.121 141.04 5.424 
56.05 3 140.33 5.290 —0.10 +0.16 140.40 5.359 
56.93 2 139.90 5.445 +0.16 — 0.098 139.97 5514 
58.15 5 139.62 5.146 + 0.49 0.136 139.69 5.215 
63.05 9 140.57 5.473 —+ 0.40 — 0.060 140.49 5.523 
65.17 5 139.72 5.462 —+0.02 0.102 139.64 5.512 
66.27 3 138.97 5.600 — 0.30 + 0.022 138.89 5.650 
67.26 4 137.85 5.577 —- 0.28 +- 0.078 137.78 5.627 
68.22 4 136.67 5.537 — 0.24 +0.132 136.59 5.587 
70.21 3 134.23 5.610 — 0.14 0.030 134.15 5.660 
71.18 3 134.13 5.603 — 1.08 — 0.004 133.35 5.653 
72.23 3 133.17 5.460 — 1.10. +0.079 132.39 5.513 
73.23 3 132.80 5.400 — AD + 0.069 132.02 5.450 
74.09 3 132.67 5.573 — 1.65 — 0.170 131.89 5.461 
aa 4 131.45 5.397 — 0.64 —- 0.073 130.67 5.285 
76.07 1 131.40 5.380 — 0.50 — 0.094 130.62 5.268 
77.29 3 131.70 5.290 — 0.46  — 0.035 130.92 5.178 
78.12 4 130.92 5.445 —+ 0.62 — 0.186 130.14 5.333 


Bekanntlich sind die Messungen bis 1863 als völlig verschieden von 
den folgenden zu betrachten, weil Methode der Beobachtung und Instru- 
ment andere waren. Eine Abtheilung nach dieser Rücksicht ist also 
selbstverständlich. Ich habe aber noch zwei andere Perioden (durch 
Striche angedeutet) unterschieden. Es finden an den erwähnten Stellen 
sehr deutliche Sprünge statt, die bei der Güte der vorliegenden Messungen 
sehr auffallend sind. Ich gebe indessen zu, dass sich gegen die Be- 
rechtigung der Abtheilung besonders in p berechtigte Zweifel hervor- 
heben lassen. 


Man findet nun im Mittel folgende Correctionen: 


v e 

I. Periode —+- 0°07 + 0°069 
Huliene 2008 = 02080 
un > 27078 ee 


6. Mädler (M). 


Auf Grund der Thatsachen, die ich in meiner früheren Arbeit (8. 75) 
erwähnt habe, wurden die Distanzen ganz ausgeschlossen und den Positions- 
winkeln wurde halbes Gewicht gegeben. 


g p Correct. Corr. Werth 
0 0 0 
1841.31 5 151.15 — lo 151.45 
42.20 5 149.34 + 0.61 149.64 
43.19 6 150.86 — 0.63 151.16 
44.39 6 150.82 — (BB) 151.12 
47.29 1 147.33 —+ 1.46 147.65 
51.20 4 144.09 —- 0.30 144.39 
52.25 6 141 84 + 1.35 142.14 
53.25 7 140.81 — 1.40 141.11 
54.28 10 142.10 — 0.86 142.40 
55.27 4 140.25 + 0.32 140.55 
56.29 2 139.78 + 0.38 140.08 
57.27 2 139.28 0 139.58 
58.21 3 140.61 — 0.49 140.91 
59.26 8 139.30 SR 139.60 
60.29 4 140.86 — 0:07, 141.16 
61.25 2 141.43 — 0.38 141.73 
62.31 3 139.25 + 1.86 139,55 


Correction + 0°30. 


79 


7. Duner (Du). 


a ? ö Correct. Corr. Werthe 
0 hr 0 D, 0 

1869.37 3 134.88 5.401 + 0.18 (+ 0.259) 133.32 _ 

70.27 1 135.90 5.360 — 1.87 (+ 0.277) 134.34 — 
71.28 2 135.35 5.500 — 2.40 + 0.094 133.79 5'450 
0233 2 134.40 5.585 — 2.40 —0.053 132.84 5.535 
74.29 2 133.35 5.387 — 240 0.007 131.79 ll 
75.31 6 133.00 5.488 — 2.19 —0.171 131.44 5.438 
76.29 4 131.90 5.398 — 0.97 — 0.119 130.34 5.348 
78.29 3 132.05 5.313 — 0.45 — 0,051 130.49 5.263 


Die Distanzen zeigen grosse Differenzen, auch nachdem die beiden 
ersten, die offenbar mit den späteren nicht vergleichbar sind, ausge- 
schlossen worden sind. Ich habe deshalb den Distanzen nur halbes 
Gewicht gegeben. Es ergiebt sich 

Correction in p — 1°56 
2 in oe — 0.050 


8. Schiaparelli (Sp). 


Correct. Corr. Werthe 
I P & = TR en —n 

1875.25 8 130.41 5.382 + 0.40 — 0.062 131.45 5.386 
7723 7, 130.31 5.287 + 0.91 — 0.032 131.35 5.291 
79.27 6 130.88 5.252 +099 —+ 0.046 131.92 5.256 
81.30 6 130.53 5.441 + 1.18 — 0.012 131.57 5.445 
82.26 8 130.02 5.464 +122 0.034 131.06 5.468 
83.29 6 129.12 5.594 +133 — 0,028 130.16 5.598 
84.25 7 128.17 5.585 +1.36 + 0.032 129.21 5.589 
85.29 5 127.44 5.599 +095 + 0.053 128.48 5.603 


8724 13 126.03 5524 +005 0.140 125.33 5.611 
88.27 12 125.13 5.610 —0.25 0.034 125.03 5.697 


Die letzten zwei Jahresmittel sind aus Beobachtungen mit dem neuen 
18-Zöller gewonnen. Sie sind also nicht direct vergleichbar mit den 
früheren. Man hat demnach 2 Perioden zu unterscheiden und findet 


Corr. p Corr. 0 
I. Periode + 1°04 07004 
I. B — 0.10 — 0.087 


Dass die letzte Correction, die nur aus 2 Abendmitteln gebildet ist, 
ganz unsicher ist, braucht nicht erst hervorgehoben zu werden. 


9. Engelmann. 
Ausser einer älteren Beobachtung vom Jahre 1865, die uncorrigirt 
bleiben muss, liegen nur 3 Jahresmittel vor. Es ist begreiflich, dass 
auch hier eine Berechnung des persönlichen Fehlers unsicher ist. 


1883.13 
85.29 
86.30 


4 


5 


p 
0 
128.05 


126.80 
127.18 


(& 
5.436 
5.437 
5.352 


Correct. 
+254 0.120 
59 70015 
1002 +0315 


Corr. Werthe 


m) en 


() „ 
129.43 5.653 
128.18 5.654 
128.56 5.569 


im Mittel Correction + 1°38 —- 0.217 


10. J. Herschel (h) und South. 


Ich habe .diese beiden Beobachter zusammen behandelt. 


h u. South 


South 


1822.14 


24.49 
25.27 
30.29 
31.15 
32.15 
33.15 


p 
0 
158.28 
159.75 
163.27 
159.22 
157.67 
157.07 
155.40 


Correct. 


0 
+ 0.26 
— 0,52 
— 3.84 
— 2,26 
270 
os 
+0.19 


Corr. Werthe 


{) 
158.28 
157.57 
161.09 
157.70 
156.15 
155.55 
151.88 


Gewicht 


DvyvvHH+hk 


Die erste Beobachtung erhielt keine Verbesserung. Die beiden nächsten 


von South die Correction: — 2°18, während an h die Verbesserung — 1°52 


anzubringen ist. 
kürlich angenommen. 


I P 

0 
1878.26 6 131.30 
80.22 6 131.79 
81.24 4 130.58 
82.27 4 130.23 
86.29 3 126.27 


Die letzte Distanz muss ausgeschlossen werden. 


11. Jedrzejewicz. 
Correct. 

0 rg 
" 0 7 
5.4838 -+0.29 — 0.222 
526 0.16 0.056 
5570 +116 —0.145 
5.600 120025 05 
5.451 0.94 (+ 0.236) 


Die Gewichtszahlen wurden hier, wie auch in I, will- 


Corr. Werthe 


a a 
132.01 5.380 
132.50 5.193 
131.29 5.467 
130.94 5.497 
126.98 — 


Das Mittel der 


übrigen Correctionen ist 


inp 4 0%71 
ine — 0.103 

12. Kaiser 

9 » 5 Correct Corr. Werthe 
3 0 „ () 7 77 
1840.15 7 146.00 5.533 + 1232 — 0.255 149,79 5.253 
42.35 6 147.22 5.589 + 2.77 — 0.329 149.01 5.309 
4333 6 148.10 5691 214 —03%5 14989 5411 
65.36 8 —_ 5.875 _ — 0.300 — 5.595 
66.24 5 137.66 5.752 1.04 — 0.131 139.45 5472 
66.33 7 136.91 5.891 + 1.69 — 0.267 138.70 5.611 
Correction im Mittel 4 1779  —- 0'280 


81 


Unter p und oe sind hier die nach Angabe von I pg. 76 corrigirten 
Coordinaten angeführt. Dadurch ist in der That eine bessere Ueberein- 
stimmung zwischen den nach verschiedenen Methoden angestellten Mess- 
ungen entstanden. 

Die Messungen aller übrigen Beobachter wurden uncorrigirt gelassen. 
Die Gewichtsbestimmung ist dieselbe geblieben wie beim Sterne B und 
unterliegt natürlich denselben Bedenken und Unsicherheiten. 

Ueberblickt man die Reihe der Einzelabweichungen, so fällt es auf, 
dass dieselben oftmals einen regelmässigen Gang zeigen von einem Betrage, 
der durch eine etwaige Fehlerhaftigkeit der Elemente ganz unerklärbar 
ist und ausserdem gleichzeitig bei verschiedenen Beobachtern verschie- 
denes Verhalten zeigt. Jedenfalls ergiebt sich, dass die gefundenen 
mittleren Correctionen nur ganz ungefähr den den Beobachtungen an- 
haftenden Fehlern entsprechen und dass ein Theil derselben duıchaus 
nicht durch eine Constante dargestellt wird. Nach den oben gemachten 
Bemerkungen wird dieses Resultat nicht befremden. 


Ich stelle nun sämmtliche Beobachtungen chronologisch zusammen. 


Jahr Beobachter g p 0 B—R Mittel B—-R 
— 
{1} 0 
Ten soh ergehen ee ra 2 
1802.16 a Blei yo = 
1821.98 >> BB coat een ei 
a So ner ga 
24.49 Sonuch Born ren I : \ 
25.27 a ee a EV LE oserar) — 0.0098) 
26.22 B>) 4A 15959  5"431 -+0.08 + 0"080 
28.99 > 4 15797 5460 —0%8 — 0.09 
30.29 n De ee en I 
31.15 B ee ee 
31.27 5 4 15508 5602 080 —0.058 — 0.37 (8) — 0.082 (6) 
31.30 D 3 oe or, OR 0.089 
32.15 h BE se ae 1.09 Die 
32.18 D 4 15427 5698 —045 1008 _ 
3219  Bessel ee 05 o1ulL2)H 0.073.110) 
32.28 > 4 15500 5740 -+039 +0071 
33.13 h ee 
33.97 x 2 15394 ° 509° +051% 0.050 023 (6) +0:080 (4) 
35.31 >= 4 15162 5600 036 +0018 +036 (4) +0.018 (4) 
36.27 > 4 1509 5534 —023 +0.009 —023 (4) +0.009 (4) 
40.15 Kunser 4 1979 5253 -+047 —0.025 Er 
40.30 0. x en Fels) 004 


Abh.d. II. Cl.d. k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 11 


82 


Jahr 


1841.07 
41.31 


42.20 
42.29 
42.35 


43.19 
43.22 
43.30 
43.33 


44,28 
44.39 


45.31 
45.31 
45.91 


46.00 
46.20 


47.29 
47.35 


48.14 
48.30 


49.32 
50.29 


51.20 
51.28 


52.08 
52.25 
52.32 
52.49 


53.23 
53.25 
53.30 


54.07 
54.28 


55.07 
55.19 
55.27 
55.31 
55.33 


56.05 
56.21 
56.24 
56.29 
56.93 


Beobachter 


M 

D 
> 
Kaiser 


0.2 
M 


03 
Döllen 
Hind 


Miller 
M 
072 
Fletcher 


Wrottesley 


02 
Winnecke 


A 
Jacob 
Winnecke 
M 
A 


Do Heli. PD 


[oz So} 


vDepv»r 


DHerHvwve 


( 
149.84 
151.45 


149.64 
148.63 
149.01 


151.16 
150.59 
151.19 
149.89 


150.74 
151.12 


151.20 
149.90 
152.69 


149.31 
150.06 


147.63 
149.10 


148.35 
147.48 


146.44 
146.29 


144.39 
143.37 


146.67 
142.14 
142.02 
143.72 


142.85 
141.11 
140.81 


140.84 
142.40 


141.04 
140.35 
140.25 
140.41 
139.91 


140.40 
139.92 
141.73 
140.08 
139.97 


B—R 
0 2 

+.0.28 + 0.001 
181 = 
— 0.31 n 
— 1.35 + 0.039 
0.98 +0.049 

0.93 = 

0.36 — 0.043 
+0.95 + 0.030 
— 0,35 70.115 
+0.43 +0.077 
+ 0.83 = 
+112 — 0051 
—.0.18 = 
+ 2.91 = 
— 08 OHNE 
+ 0.49 — 0.017 
ld = 
+0.37 — 0.057 
047° —0400 
— 0.29 -— 0.084 
— IR ln 
+084 — 0.105 

0.00 = 
—093 + 0.052 
43.29 40.064 
— 1.05 — 
1105520095 
+0.77 (— 0.290) 
+ 0.62 = 
— 13) — 
— 1.35 — 0.141 
— 0.58 0.100 
Sp al = 
105 01052 
— 0952 —0:083 
— 0.02 — 
Au 
+.0.63 — 0.030 
+ 0.17 -— 0.047 
— 0.25 —- 0.005 
— 1.57. 0.019 
— US) — 

0.09 + 0.167 


Mittel B—-R 


0 
+ 0.79 (6) 


+0.001 (4) 


— 0.99 (10) + 0.044 (8) 


++ 0.42 (12) + 0.049 (10) 


+ 0.56 (6) 


+1.45 (7) 


+0.31 (5) 
+ 0.06 (5) 


+ 0.06 (8) 


—0.19 (4) 
+ 0.84 (4) 
— 0.62 (6) 


— 0.31 (8) 


— 0.61 (6) 


+0.29 (4) 


+ 0.077 (4) 


— 0.051 (4) 


— 0.037 (5) 


— 0.057 (4) 


— 0.092 (8) 


— 0.117003 
— 0.105 (4) 


+ 0.052 (4) 


— 0.063 (5) 


— 0.141 (2) 


+ 0.100 (2) 


+ 0.19 (14) — 0.036 (12) 


+ 0.28 (11) +4 0.010 (10) 


83 


Jahr Beobachter g p 0 B—R Mittel B—R 
o TEE r 

1857.27 0.8 4 13938 5413 0.65 + 0.088 
57.27 M ey; = 0 u 
57.29 S DNA SE 3 1 or 7 9.08.19) , 4.0.0738) 
57.90 Jacob 2 14004 5355 —005 + 0.041 
58.15 A 4 139.69 5215 042 0.066 
58.21 M 2 140.91 _ + 0.79 — + 0.03 (10) + 0.037 (8) 
58.28 0.8 ae 5 1.0098. H0140 
59.26 M Dane ee 
59.30 025: 4 1185 537 4141 +oogs 70:67 (6) 0.093 (6) 
60.27 045 4 1149 53322 075 40.072 
60.29 M er ee 21 0:627(6))) --0.07% (4) 
61.25 M a ae ee 
61.27 OS Te a oe -oeL.m, 1 0051.(4) 
61.28 . - Auwers De 570310, 1.0.40, 080.209) 
62.31 M N End 
62.33 0,8 42 14059 5267 —052 —o.0ga 0,87 (6) — 0.094 (2) 
63.05 4 A, 7 14009 5535 0 048 0.110 
63.13 Knott 1 1081 548 +015 +0004 —070 (6) -+0.089 (5) 
6318 Romberg ee) 
64.30 0,28 42 140.16 5405 —022 —0101 —022 (4) —0.101 (2) 
65.17 A so oo 0.059 
65.23 s 1 13973 5552 #005 —0.016 
65.36 Kaiser 4 = 5.595 —  +0.020 910 (11) 40.006 (11) 
65.42 Engelmann 2 139.30 5.682 — 0.19 —- 0.104 
66.24 Karen Au eo ao 0.149 
66.27 A 4 13889 5650 022 +.0.028 
66.27 0.8 ao 0.00 014) 0.047. (0) 
66.29 S iz 6a 56 1000 750.094 
66.33 Kaiser Aa seo ee 01 0013 
67.14 A T © 15805 5305 Loss 007 he 
67.26 Barclay 4. ame) 5.027 1.090, 20.098 + 9.23.60). 0.078 (5) 
68.22 A A 136.594 0 15.587, 0.-E 0.16%,=:0.082) Er 
68.28 00 > 42 13520 5650 —115 — 0019 050 @) 0.061 (6) 
69.32 0,8 Au 13A.TE 5.600, 0-00 0.06 
69.37 Du Ba selon een, 118,8). 0.068, (8) 
70.21 A A 125 566  -+006 1.0.00 
70.27 Di DIA un 1031  -  -+0.08 (10) +0.021 (8) 
70.28 VE 10 0134.000 5,658 2007 =E.0.001 
71.18 A 4 13335 5653 030 +0.054 
71.28 Du 21 13379 5450 084 —0.144 +0.07 (10) -— 0.007 (9) 
71.31 0.8 ee 
72.21 Wilson 2 13136 5542 072 + 0.002 
72.23 A 4 13239 5518 032 —0029 _ 
72.31 0.8 ee ones: 9.01.02) FO.0E (I) 
72.33 Du 21 13984 55355 084 0.003 


I 


s4 


Jahr Beobachter 

1873.22 Wilson & Seab. 
73.23 A 
73.28 (0 
74.09 A 
74.13 Gledhill 
74.17 Wilson & Seab. 
74.28 05 
74.29 Du 
75.17 A 
75.25 Sp 
75.27 Wilson & Seab. 
75.28 053 
75.31 Du 
76.07 A 
76.29 O3 
76.29 Du 
77.23 SP 
77.27 (5 
77.29 4A 
78.12 A 
78.26 Wilson & Seab 
78.26 Jedrz 
78.29 083 
78.29 Du 
79.27 Sp 
79.28 Wilson & Seab. 
79.29 (O6 2 
80.16 Franz 
80.22 Jedrz. 
80.31 Seabr. 
81.24 Jedrz. 
81.26 Seabr. 
81.30 Sp 
82.25 Seabr. 
82.26 Sp 
82.27 Jedrz. 
83.13 Engelm. 
833.29 Sp 
83.32 Seabr. 
83.35 Küstner 
84.21 Perrotin 
84.25 Sp 
85.29 Engelm. 
85.29 Sp 
86.29 Jedrz. 
86.50 Engelm. 
87.24 Sp 
88.27 Sp 


a 


SS 


vemme 


FHeoHmpeb PUP PRERDE BER FND pre 


BE PD ODHRp em 


Hahn or 


p 


0 
131.38 
132.02 
133.08 


131.89 
132.39 
131.67 
131.34 
131.79 


130.67 
131.45 
131.44 
130.98 
131.44 


130.62 
130.81 
130.34 


131.35 
131.23 
130.92 


130.14 
131.33 
132.01 
132.44 
130.49 


131.92 
133.68 
132.74 


130.60 
132.50 
133.72 


131.29 
131.37 
131,57 


129.83 
131.06 
130.94 


129.43 
130.16 
128.33 
129,20 


128.95 


129.21 


128.18 
128.48 


126.98 
128.56 
125.93 
125.03 


B—R 
0 

— 0.01 = 
+0.64 — 0'019 
41.72 — 0.103 
+ 0.87 —-0.058 
+ 1.39 _ 
0.69 _ 
—+0.38 0.026 
40.84 — 0.051 
— 0.14 — 0.039 
40.64 + 0.066 
0.63 — 
+0.17 + 0.239 
+0.63 +0.121 
-— 0.28 — 0.018 
— 0.13 + 0.056 
— 0.59 + 0.069 
+ 0.13 0.036 
— 0.01 0.049 
— 0.32 — 0.077 
— 1.40 + 0.074 
— 0.26 

+ 0.42 —+-0.109 
40.84 — 0.056 
— 1.11 0.001 
+ 0.05 — 0.042 
+ 1.82 Er, 
—+0.88 — 0.030 
— 135 40.194 
+0,56 — 0.159 
+ 1.79 —_ 
— 0,45 + 0.042 
— 0.36 _ 
— 0.14 + 0.016 
— 1.38 _ 
— 0.18 — 0.030 
— 0.29 -- 0.002 
— 1.16 + 0.097 
— 0.29 + 0.032 
— 2.09 _ 
— 1.19 — 0.004 
— 0.653 — 0.054 
— 0.32 — 0.028 
— 0.21 + 0.002 
+0.09 — 0.049 
— 0.23 — 
+ 1.36 — 0.098 
— 0.15 — 0.053 
+ 0.15 0.053 


Mittel B—-R 


+094 (10) — 0.061 (8) 


+0.73 (13) + 0.023 (9) 


+ 0.34 (17) + 0.093 (14) 


— 0.40 (8) + 0.036 (6) 


— 0.06 (12) + 0.003 (12) 


— 0.15 (18) + 0.036 (14) 


+ 0.76 (10) — 0.036 (8) 
+ 0.19 (7) — 0.041 (6) 


— 0.30 (9) + 0.029 (8) 


— 0.46 (10) — 0.016 (8) 


— 0.93 (11) + 0.051 (10) 


— 0.42 (6) — 0.037 (6) 
— 0.06 (8) — 0.024 (8) 
+ 0.57 (8) — 0.098 (4) 
Foıs a Foo (4 


85 


In der vorstehenden Zusammenstellung finden sich die mit Berück- 
sichtigung der Gewichte gebildeten Jahresmittel 5— R. Letztere wurden 
nun weiter nach Massgabe der abtheilenden Zwischenräume in folgende 
Normalörter vereinigt, welche also als das Ergebniss der angestellten 
Untersuchungen über die persönlichen Fehler betrachtet werden können. 


B—R $ p 0 
0) 7 ERFR: 0) 7 
1826.2 + 0.38 — 0.009 IS 159.89 5.340 
1832.2 — 0.22 0.040 -16 20 154.48 5.710 
1835.2 + 0.07 + 0.014 Se: 151.43 5.602 
1841.2 — 0.16 + 0.012 24 20 149.46 5.262 
1844.2 +.0.96  -+ 0.033 DHEIE 151.29 5.384 
1847.2 +0.13  — 0.069 18 17 149.01 5.500 
1850.2 — 0.08  — 0.057 a1? 145.50 5.613 
1853.2 — 028 — 0.044 18 9 141.98 5.558 
1856.2 +0.15 + 0.007 34 30 140.32 5.402 
1859.2 +037 0.063 22 18 140.77 5.316 
1862.2 — 0.27 + 0.042 19 ı1 140.86 5.394 
1865.2 — 0.14  — 0.030 32 28 139.57 5.536 
1868.2 — 059  — 0.065 21 19 135.86 5.604 
1871.2 + 0.04 + 0.009 32 28 133.07 5.607 
1874.2 + 0.62 + 0.033 40 31 131.59 5.428 
1877.2 — 0.17 + 0.024 33 32 131.04 5.279 
1880.2 +024 — 0.014 D6D> 132.19 5.337 
1883.2 — 0.64 + 0.007 DT? 129.90 5.568 
1886.2 +026  —.0.049 24 20 127.58 5.618 


Ueberblickt man diese Fehlerreihe, so dürfte dieselbe auf einen be- 
friedigenden Anschluss der Theorie an die Beobachtungen deuten. Im 
Positionswinkel namentlich ist auch die Vertheilung der Vorzeichen eine 
völlig entsprechende und auffallende Anhäufungen desselben Vorzeichens 
finden nirgends statt. Für die Distanzen gilt dies nicht in gleichem 
Grade. Hier sind kleine systematische Abweichungen zu bemerken. Ob 
dieselben ganz allein den nicht völlig beseitigten persönlichen Fehlern 
zur Last fallen, ist natürlich nicht mit Sicherheit zu behaupten. Ich 
möchte aber doch zu dieser Annahme hinneigen, weil das periodenweise 
Praevaliren einzelner Beobachter weit mehr bemerkbar ist wie in den 
Positionswinkeln. Auf der anderen Seite freilich muss nochmals hervor- 
gehoben werden, dass das gefundene Rechnungsresultat kein im Sinne der 
Methode der kleinsten Quadrate wahrscheinlichstes ist. Dieses wäre nun 
nach den letzten Normalörtern abzuleiten. Ich glaube indessen, dass die 
vorliegenden Beobachtungen noch nicht dazu auffordern. Nach mehreren 
Jahren freilich kann sich die Sache anders gestalten. In Folge des rein 
interpolatorischen Characters der Formel für die Bewegung des Schwer- 


86 


punktes 8, kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass mit der Zeit 
dieselbe den Beobachtungen nicht mehr genügen wird. Andeutungen dafür, 
allerdings in höchst unsicherer Weise, enthält die Darstellung der beiden 
Herschel’schen Beobachtungen. Es würde nicht schwer sein, durch kleine 
Correctionen auch diese beiden Messungen besser darzustellen, als es die 
gebrauchten Bahnelemente thun. Der dadurch erzielte Gewinn wäre aber 
ein durchaus imaginärer. Man wird bei jenen Beobachtungen Fehler 
von einigen Graden als möglich gelten lassen müssen, ohne die Ge- 
nauigkeit dieser Messungen zu unterschätzen und dies um so mehr, als 
diese nur auf je einem Abendmittel beruhen. Es muss hierbei noch auf 
einen Umstand aufmerksam gemacht werden. Beide genannten Messungs- 
resultate wurden als auf = 
ersten Positionswinkel ist es beinahe ganz gleichgiltig, ob man annimmt, 


dass ae C oder A, © beobachtet worden ist, weil die 3 Sterne ABC 


sich beziehend angenommen. Für den 


zu jener Zeit sehr nahe in einer geraden Linie standen. Für den Posi- 
tionswinkel vom Jahre 1802 ist dies aber nicht der Fall. Gewöhnlich 
wird angenommen, dass die Angabe sich auf AC bezieht. Da aber nach- 
weisbar Herschel an jenem Abende die Sterne A und B nicht getrennt 
gesehen hat, so scheint es mir bei weitem richtiger, die erwähnte An- 
nahme zu machen. Will man diese Ansicht nicht gelten lassen, so 
verkleinert sich die obige Differenz B—R um ungefähr 3 Grad, so dass 
die Beobachtung beinahe genau dargestellt wird. Auf allzu grosse Ge- 
nauigkeit dieser Messung wird man aber schon, nach der erwähnten 
Thatsache zu schliessen, nicht rechnen dürfen. 


Ein instructives Bild der Bewegungsverhältnisse des Sternes C giebt 
eine graphische Darstellung der scheinbaren Bahn. Herr List hat auf 
mein Ersuchen die dieser Abhandlung beigefügte Zeichnung ausgeführt. 
Hier sind die den Jahresmitteln (pg. 81 ff.) entsprechenden Punkte der Reihe 
nach mit 1,2 etc. bezeichnet und durch eine gebrochene Linie mit einander 
verbunden. Die ausgezeichnete Curve stellt die theoretisch mit Hülfe der 
Ephemeride auf pg. 71 berechneten Oerter dar. Der Massstab ist so 
gewählt, dass 1°® = 0.125. Die Mitte von A und B hat die Coordinaten 


a Er EINE 


87 


und die rechtwinkeligen Coordinaten z, y in Centimetern, welche dem 
Positionswinkel » und der Distanz o entsprechen, sind nach folgenden 
Formeln berechnet, welche eine Drehung der Coordinatenaxen um 188° 
gegen die frühere Lage enthalten: 


S = 0 cos (188° — p) 
n= o sin (1889 — ») 
x = 8 — 20.8 
y=-8n— 19.2 


Ein Anblick der Zeichnung dürfte nun darthun, dass die theoretisch 
berechneten Oerter die scheinbare Bewegung in allen characteristischen 
Eigenschaften in ganz ausgezeichneter Weise wiedergeben. Dass die kleinen 
systematischen Abweichungen in Distanz bei dem gewählten sehr grossen 
Massstab nicht stärker hervortreten, darf ebenfalls als günstig bezeichnet 
werden. 


Nachtrag. 


Der freundlichen Gefälliskeit des- Herrn Geheimraths 0. v. Struve 
verdanke ich die Mittheilung folgender bisher noch nicht publicirter 
Messungen. Leider gelangte ich erst in ihren Besitz, als meine Rech- 
nungen beinahe beendet waren und eine Umrechnung mit grösserer Mühe 
verbunden gewesen wäre. Aus diesem Grunde begnügte ich mich, die 
in Jahresmittel vereinigten Beobachtungen mit der in vorstehender Ab- 
handlung entwickelten Theorie zu vergleichen. An die Messungen Herrn 
O. Struve’s wurden hierbei nur die in Band IX der Pulcowaer Beob- 
achtungen angegebenen Öorrectionen angebracht, während die von Herrn 
Hermann Struve (H. >) am 30-zölligen Refractor erhaltenen Beobachtungen 
ohne jede Correctur benutzt wurden. Hieraus erklärt sich der offenbar 
systematische Character der übrig bleibenden Differenzen, der zum Theil 
sehr deutlich hervortritt. 


A und B 
Beob. Jahr Anzahl p 0 B—R 
0) 7 0 7 
0. 2 1881.28 B) 86.30 0.5880 +5.60  - 0.070 
05 84.26 3 60.63 093 —374 + 0.064 
H. X 86.30 4 49.00 0865, -573  — 0.073 
H. x 37.30 5 4656 090 —3785 + 0.004 
0.5 88.33 3 45.85 10155  —0.19 +-0.039 
H. 5 88.33 2 44.355 0980 —169 — 0.046 
AB 
So und C reduc. aus 
) " 0 " A+B 
0.3 1881.28 3 130.80 5.210 —0.92  — 0.218 Bo: C 
0.2 8.26 3 18021 5524 +06 008 40 
O8 84.26 3 127.69 5.601 —183 — 0.016 B, C 
H.3 86.30 4 127.25 5.551 14005 —0.16 A, C 
HB. 87.30 3 126.57 5.518 4056 —0.145 An 
H. x 88.33 2 12440 5505 041 0155 A, 0 
0.23 88.33 2 123.98 5.635 — 0,835  —0.005 AEG 
(2 88.33 2 123.69 5698 —112 +.0.058 Br 


Er 
BBE BuBB: 


41+tt+-HHH 
I ErreeR 


—H- 


u 


HHTHrH 


nu 


nums 


4 


JHERLEET 
SE 


HEHHHr 


Z. 


HEHEESHEEBFEEER 
+H EHFELEFTE 


TC laner 


iger, 
Eric 


nm 
EraunuBe 


H. ‚Seel 
f 


Ueber 


die reducirte Resultante. 


Abh.d.1I. Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bad. I. Abth. 12 


Die Theorie der Resultante eines Systems von Gleichungen lässt sich 
in einer Richtung erweitern, die, wiewohl zahlreiche Fragen aus dem 
Gebiet der Geometrie und der Functionentheorie dahin weisen, noch wenig 
betreten worden ist. Man kann für ein System von » Gleichungen mit 
n—1 Unbekannten, welches durch eine gewisse Anzahl von Werthsystemen 
der Letzteren befriedigt wird, einen Ausdruck zu bilden verlangen, dessen 
Verschwinden die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür liefert, 
dass noch ein weiteres solches Werthsystem existirt. Haben z. B. drei 
Curven eine Anzahl von Punkten gemeinsam, so ist die Bedingung dafür, 
dass sie durch einen weiteren (der Lage nach unbestimmten) Punkt alle 
drei hindurch gehen, das Verschwinden eines in den Coefficienten der 
Curvengleichungen gebildeten Ausdrucks, in den noch die Coordinaten der 
angenommenen Verschwindungspunkte eingehen. 

In einem früheren Aufsatze (Mathemat. Annalen, Bd. 4, S. 510) habe 
ich diesen Ausdruck die „reducirte Resultante“ genannt und für einzelne 
Fälle hergestellt, ohne jedoch damals zu einem befriedigenden Abschluss 
gelangt zu sein. 

Im Folgenden beehre ich mich der hohen Classe einen Satz mit- 
zutheilen, vermöge dessen die reducirte Resultante als gemeinsamer 
Factor gewisser Glieder einer Entwicklung erscheint, welche durch einen 
übersichtlichen Algorithmus berechnet werden können. Hierdurch ist die 
Bedeutung jenes Begriffs festgestellt, und seine Berechtigung, sofern es 
dessen überhaupt noch bedurfte, nachträglich allgemein erwiesen. 

Es sei gestattet, die Darstellung auf den Fall von drei Gleichungen 


mit zwei Unbekannten, also auf den erwähnten Fall von drei Öurven 
12* 


92 


mit gemeinsamen Schnittpunkten zu beschränken, indem die folgenden 
Ausführungen ohne Weiteres auf den Fall einer beliebigen Anzahl von 
Gleichungen übertragbar sind. 


Il. 


Zwischen je drei binären (ganzen homogenen) Functionen fi, 9, Wı 
— von der Dimension der Indices in den Veränderlichen x, y — besteht 
im Allgemeinen eine identische Relation, die man folgendermassen findet. 
Aus den nicht homogenen Functionen: 


f—0, M—ß, Winsia 
stelle man durch Elimination von © und % die Resultante her, die eine 
ganze Function der willkührlich angenommenen Grössen «, 9, y sein wird: 


r(eßy). 
Setzt man in derselben für @...f,, für B...g,, für y...y, ein, so ist: 
for pa) oh ze 


die gesuchte Relation. 
Denn diese Gleichung ist eine identische, weil man zu jedem Werthe- 
paar x, y Werthsysteme «, P, y finden kann, welche die Gleichungen: 


he 0.09 = 05 my 0 
befriedigen. Die letzteren genügen der Gleichung: 


r (a, ß, )=9% 

welche auch noch bestehen muss, wenn man die «, 5, y durch f;, 9. ı 
ersetzt. Da dies für jedes beliebige Werthepaar x, y der Fall ist, so ist 
(1) eine identische Gleichung. Dieselbe ist ferner homogen hinsichtlich 
x, y. Setzt man nämlich statt x... xt, statt y...yt, statt 2...zt; ferner 
statt o, 5, y bezw. at‘, At‘, yt!, so ändern die Gleichungen (2) sich nicht, 
also kann auch (1) als Foige von (2) sich nicht ändern; (1) ist also 
homogen. 

Man bildet die Resultante aus drei algebraischen Gleichungen zwischen 
zwei (nicht homogen auftretenden) Unbekannten nach Poisson in folgen- 
der Weise. 


(ey), p (ey), w (xy) seien ganze Functionen von & und y. 


u WE 


93 


Dann füge man den Gleichungen: 


fay)=o 
p (ay) = 0 
v(ay) = 0 
die weitere zu: 
t=I)7c 4 uy 
und eliminire x und y aus dieser Gleichung und etwa f=0,9= 0. 


Man erhält so eine Gleichung in t£ von der Form: 


T=TE + Ten + Te”... 7D,=o, 
deren Grad r gleich der Anzahl der Werthepaare «, y ist, welche /= o, 
p = o zugleich befriedigen. Bezeichnet man dieselben durch: 


% Yı; VaYay-- Kr Yr, 
so sind die Coefficienten 7;, dividirt durch 7,, gleich den elementaren 
symmetrischen Functionen der Wurzeln: 
L = Im, + uy; Wale 2... 22.) 
der Gleichung 7 = o. 

Für den Fall, dass die Resultante der beiden Binärformen, welche 
je das Aggregat der Glieder höchster Dimension einerseits in / (xy), 
andrerseits in p (xy) ausmachen, nicht verschwindet, wenn also, geome- 
trisch zu reden, die Curven f = 0, p = o keinen unendlich fernen Schnitt- 
punkt besitzen, ist r = mn, gleich dem Product der Grade von f und y, 
und 7, ist gleich jener Resultante (Serret, höhere Algebra, deutsche Ausg,., 
Null. S 269, 8. 485). 

Die Resultante R aus /, y, w ist nun darstellbar durch das Product: 


R = Toy (8, Yı) W (& %5) . . -- W (& Yo), 

wo p der Grad von wist, Rein Ausdruck, der durch Verwandlung der symme- 
trischen Funktionen der x, y; in die Coefficienten der Gleichung 7 = 0 auf 
rationale Form gebracht werden kann. Der Factor 7,? dient dazu, R zu einer 
ganzen Function der Coefficienten von f und p zu machen, und kann 
nur in Ausnahmefällen (wenn besondere Beziehungen zwischen den Coeffi- 
cienten von f, , w bestehen) durch eine niedrigere Potenz von T, ersetzt 
werden. 


94 


Die Resultante aus /, 9, w verschwindet insbesondere dann, wenn 
die constanten Terme in diesen drei Functionen zugleich verschwinden. 
Daher muss, wenn dieselben A, B, C sind, R in die Form gebracht 
werden können: 


AMBN-ACP 


wo M, N, P die A, B, C noch enthalten können. Eine ähnliche Bemerk- 
ung lässt sich bezüglich der Coefficienten 4’, B', 0’ der höchsten Potenzen 
z" in /, @"’in Q, aP’in w, sowie hinsichtlich der Coefficienten derjenigen von 
y in diesen drei Functionen machen. Denn wenn man mit einer dritten 
Variabeln z2 homogen macht, so bleibt es sich gleich, ob man die Resul- 


tante aus: 
JE PEN 
zum’ zu? zP 
durch Elimination von 2 und = bildet, oder diejenige aus: 
a 
gm? an? aP 


durch Elimination von - und nn. Das Resultat ist in jedem Falle R. 


Sowie nun R verschwindet, wenn A, B, C Null werden, so muss R auch 
mit A’, B’, C’ verschwinden, also von der Form sein: 


A Be 
Wir setzen nunmehr für /, , w die früher betrachteten Functionen: 
Bd r—P,; IN 


dann ist 7, wenn /; und g, theilerfremd sind, gleich der Resultante aus 
diesen Binärformen, und der Coefficient von y'=y" in der Resultante: 


R=r(eßy) 
gleich der /“*" Potenz jener Resultante aus /; und q.. 


Haben f;, %, %, einen Linearfactor gemeinsam, so verschwindet r 
identisch. Denn in diesem Fall kann man durch die Transformation: 


Er, 


95 


wo asc-+-by der gemeinsame Factor ist, /, u %, auf die Form von 
Functionen bringen, für welche der Üoefficient der höchsten Potenz von 
x in allen dreien fehlt. Dann verschwindet aber nach dem Gesagten die 
Resultante, wenn man sie nach der angegebenen Regel bildet. — An ihre 
Stelle tritt ein Ausdruck niederen Grades in «, , y, der wieder zu einer 
Relation zwischen den Formen führt. 

Die Function r (@ßy) kann ferner in solche niederen Grades rational 
zerfallen. So wird im Falle <©=%k=]/ r die i* Potenz eines Ausdrucks, 
der sich übrigens auch direct bestimmen lässt (Vgl. Haase, Bd. 2 der Math. 
Annalen, S. 529, sowie die Note des Verf. ibd. Bd. 5, S. 401). 


2. 


Das Verfahren, durch welches oben die identische Relation zwischen 
drei Binärformen hergestellt wurde, wende ich im Folgenden auf drei 
nicht homogene Formen von zwei Veränderlichen an. Hierbei treffe 
ich mit Herrn Perrin zusammen, der wohl zuerst!) jene Methode 
der Variation von Formen durch willkührliche Grössen «, ß, y für die 
Aufstellung identischer Relationen fruchtbar gemacht hat. Das Ziel, 
welches ich hier im Auge habe, ist die Bildung eines Ausdrucks, der auch 
in dem Fall vorhandener gemeinsamer Werthsysteme noch die Bedeutung 
einer Resultante besitzt. 

Seien wieder f (xy), p (xy), w (xy) drei ganze Functionen von x, Y 
(von den Graden m, n, p), welche für gewisse Werthsysteme &, y zugleich 
verschwinden können. Bildet man die Resultante aus: 


F(lay) — a 
ray) — P 
v (ey) —Y, 


so ıst dieselbe eine ganze Function von «, ß, y: 


R (aPy), 


die wir uns nach aufsteigenden Dimensionen der Grössen «, ß, y geordnet 
denken wollen. 


1) In der kürzlich erschienenen Abhandlung: Sur la relation, qui existe entre p fonetions 
entieres de p—1 variables, Comptes rendus 1888. 


96 


Verschwinden zugleich /, y, w für das Werthepaar: 
Bere 


so ordne man diese Functionen nach Dimensionen der Differenzen x—a, 
y—ban. Bezeichnet man die Dimensionen durch Indices und ist /, das Aggre- 
gat der Glieder niedrigster Dimension in /, g, in g, w, in w, ist also: 


Ed I 


so erhält man durch Einführung dieser Ausdrücke für @, ß,yin R(«eßy) 
eine Gleichung: 

RhpY)= 90, 
deren Glieder von gleichhoher Dimension in x—a, y—b je für sich ein identisch 
verschwindendes Aggregat geben müssen. Um unter diesen die Glieder 
niedrigster Dimension zu erhalten, nehme man in R (aßy)=o die 
Grössen «, ß,y sehr klein an. Haben dann 

= 0, 90 
inz=a, y=b einen Schnittpunkt von der Multiplicität z, so bestimmen 
sich z von den Wurzelpaaren, die bei kleinen Werthen von «a, 5 die 
Gleichungen: 


f-—e=o 9—-P=o 
befriedigen, dadurch, dass man aus: 
f(a+da, b+ödb)—a=o; pl(a+da, b+db)—ß=o 


die kleinen Grössen da, db berechnet. Dies geschieht aber mit Hilfe 
der niedrigsten Glieder in der Entwicklung von f und %; insbesondere 
erhält man, wenn die Resultante aus /;, und 9, nicht verschwindet, aus: 


f, (da, dd) — a=o; Y,(da, db)— PB — 0 
» —ik Werthepaare da, 0b. Setzt man jedes derselben in: 
p(a+da, b +db)—y 
ein, wobei man sich, wenn /, Y, w, keinen Factor gemeinsam haben, auf: 


ı (da, db) —y 


su 


beschränken kann, und bildet das Product der 7 Factoren, so ist das- 
selbe ein Factor der Resultante R(afy) von f—e, 9—P, w—,y. 
Andererseits aber ist dasselbe auch das Resultat der Elimination von 
da, 0b aus den Gliedern niedrigster Ordnung von f—a, —P, w—y, 
geschrieben in da, Ob statt © —a, y—D, und zwar, wenn f, p, ıy, keinen 
gemeinsamen Factor haben, die Resultante r (@/y) aus: 


r; (da, 0b) — = 0 
p, (da, dd) — B = ov 
un (da, db)—y = 0. 


Aus den Gliedern niedrigster Dimension der Entwick- 
lung von R(aßy) nach Potenzen von a,ß,y lässt sich somit 
der Factor r (@«ßy) ausscheiden, und R ist von der Form: 


R(eßy)=r(eßy)P+Klapy), 
wo die Glieder in R’ alle von höherer Dimension sind, wie die in r. P 
auftretenden. 
Weil r («a y), wenn man «, 5,y wiederum durch /, 9, w, ersetzt, 
eine homogene Function von 2—a, y—b wird (8 1), so verschwinden mit: 


r (kp Wı) 
auch die Glieder niedrigster Dimension von R (fpw) identisch. 
Wenn /, 9, w, einen gemeinsamen Theiler besitzen, geometrisch 
gesprochen, wenn die ÜCurven: 


fay)=o; yay)=9% w(ay) = 0 
inz=a, y=b ein oder mehrere Elemente gemeinsam haben (sich be- 
rühren), so tritt an die Stelle von r (@«y), welches alsdann identisch 


verschwindet, eine andere Function, die sich — für kleine Werthe «ßy 
— durch Elimination der gleichfalls kleinen Grössen da, db aus: 


f: (da, db) Ss (da, db) = ee) 

yı (da, 0b) 91 (da, db) 4. - —-P=o 

v (da, db) - Wir (da, db) _ ey 0 
berechnen lässt, indem man sich auf die Glieder niederster Dimension 
in a, ß,y beschränkt. Bei der grossen Zahl von Möglichkeiten jedoch, 


die hierbei auftreten können, verzichte ich darauf, näher auf diesen Fall 
Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 13 


98 


einzugehen, und nehme im Folgenden an, dass r(afy) und die 
analogen Bildungen nicht identisch verschwinden. 

Der Factor P von r kann nun entweder selbst eine Function von 
o, ß,y oder ein von diesen Grössen unabhängiger Ausdruck allein der 
Coefficienten von fg, w sein. Im ersteren Falle giebt es ausser dem 
Werthsystem, für das r verschwindet, noch ein anderes von sehr kleinen 
Grössen «, P,y, für welches R («, $,y) = o wird, also die Gleichungen: 

fay) —e=0; yay)— P=0; yay)—y=o 
zugleich bestehen; das heisst, es giebt noch einen weiteren Punkt a’ b‘, 
für welchen /, 9, w zugleich verschwinden. Ist ein solcher nicht vor- 
handen, so muss der zweite Fall eintreten; P ist von «#y unabhängig. 
Weil r nicht identisch verschwindet, so repräsentirt in diesem Fall 
die Gleichung: 
P=0 

die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass /, y, w einen 
weiteren gemeinsamen Verschwindungswerth besitzen, P muss also die 
„reducirte Resultante“ sein. 

Haben aber f=o, 9=o, w=0 ausser in a,b noch ind), b'; a”, db’; 
.... Punkte gemeinsam, so findet man die reducirte Resultante auf folgende 
Weise: 

Man entwickle f(zy), p (xy), yw (xy): 

1. Nach Potenzen von 2—a, y—b. Seien f, p, % die wirklich 
auftretenden Glieder niedrigster Dimension, und sei: 


(fr po) = 9 
die (nach $ 1) bestehende identische Relation zwischen den Binärformen 
fr Pr W; 
2. Nach Potenzen von &—a, y—b‘. Zwischen den Gliedern 


fir» px, 1 niedrigster Dimension bestehe die Relation: 


£ a (22 Pr, 120) N, 
und so weiter. 
Dann ist das Aggregat der Glieder niederster Dimension, die in der 
Entwicklung der Resultante R(«y) von: 


I 


a 


99 


wirklich auftreten, gleich dem Product !): 
P-r(aßy)r («Py)r (ePy):---, 


wo der Factor P von «, ß,y unabhängig ist, wenn alle gemeinsamen 
Schnittpunkte von f=o, p=o, w» = o bei der Bildung des Products der 
r berücksichtigt sind, Das Verschwinden von P drückt dann die Be- 
dingung dafür aus, dass zu den vorhandenen Verschwindungssystemen 
ab; ab, «a b',.... ein weiteres hinzutritt. Mit Rücksicht darauf, dass 
die Functionen r (@Py)...als nicht verschwindend angenommen wurden, ist 
P=0o.als die nothwendige und hinreichende Bedingung für die Vermehrung 
der gemeinsamen Werthsysteme anzusehen, weil nur, wenn P=o ist, 
sich der Grad der Glieder niedrigster Ordnung in R(«/y) über den 
des Products r.r.r”... hinaus erhöht. Der Ausdruck Pist also 
die reducirte Resultante. 


3. 


Für die wirkliche Darstellung der reducirten Resultante P von drei 
Curven f=0,9=o, w=o, die in den Ponkten a,b; d, b; 2000) PN 
Schnittpuncte von der Multiplieität uw», n; ur‘, a; u ER . bilden, 
genügt es, eines der Glieder ledniaater Ordnime in der lan, 
von R(«afy) zu berechnen und durch das entsprechende Glied des Pro- 
ducts r (aßy).r (aßy).... zu dividiren. 


So z. B. ist der Coefficient /„ von y”+=”+=+...: in R, wenn: 
ee 
gesetzt wird, bis auf einen Zahlenfactor gleich: 
m. [en 
ay® l2c® J 
wo das Einschliessen in Klammern bedeutet: für =ß=y=o, und © 
das constante Glied in dem Ausdruck w (zy) ist. Wenn man ferner 


1) In der oben genannten Abhandlung macht bereits Herr Perrin die Bemerkung, «lass, 
wenn drei Curven ein System von einfachen Schnittpuncten gemeinsam haben, das Aggregat der 
(in diesem Falle homogenen) Glieder niedrigster Ordnung von R (aßy) in ein Product von linearen 
Factoren zerfällt, welche einzeln den gemeinsamen Puncten entsprechen. 


100 


die Resultante von /, p, y. wie in $ 1 durch die symmetrischen Functionen 
der Schnittpuncte der Curven: 
fay)=%5 Pay)=o 

darstellt, so wird: 

Po Teva, 9) V(% Yo): Y(%o%Yo); 
wo T, der Coefficient der höchsten Potenz von t in der Resultante aus 
f(zy), p(xy) und €—Axz— uy (s.$ 1) ist, p die Ordnung des höchsten 
Gliedes in vw (xy), oe die Anzahl der Schnittpunkte von f=o und 9=o, 
die nicht in die gemeinsamen Puncte a,b; «a, b‘;....fallen, und nicht unend- 
lich grosse Coordinaten besitzen. Wenn Schnittpuncte von f und p von 
der letzterwähnten Art überhaupt nicht auftreten, so ist: 


me 70H, 


wo m und n die Gradzahlen von f und p sind. Dividirt man den Aus- 
druck /\, durch den Coefficienten von y” in dem Product: 


r(aßy)r (eßy)r(eßy)---, 
so erhält man die reducirte Resultantee Da nun nach Voraussetzung die 
r, r,... identisch nicht verschwinden, was gleichbedeutend ist mit der 
Annahme, dass f, 9, w, keinen gemeinsamen Theiler haben ($ 1), ferner 


fi, Pu, Yı, keinen, u. s. w., so ist der Üoefficient von y® in r.r.r---- 
gleich dem Product der Resultanten (f ,), (f. Pr), (fr Pu). ... je der 


eingeklammerten Binärformen, erhoben auf die !*, !*,.... Potenz ($ 1). 
Die reducirte Resultante von f,, y ist also: 
I 
= FESTE en 
Haan) 
während die Zahlen n, ,....die Werthe ik, ö%,....hkaben, so dass der 


Grad von P in den Üoefficienten von w wird: 


o= mn ik ih 
—= mn — ik. 


Andererseits sind bekanntlich die in /\, auftretenden symmetrischen Func- 
tionen der 2, %, %%s,.... von der Ordnung p in den Coefficienten der 
Gleichung 7T=o, also von der Ordnung z. B. von 7?. Aber 7, ($ 1) ist 
die Resultante aus den Gliedern höchster Dimension in f und y, also 


101 


von der Ordnung » in den Coefficienten von /, m in denen von y; T, 
hat also den Grad np, mp bezw. in den Coefficienten von fund y. Der 
Quotient P ist hiernach von der Ordnung: 


np — Zil 
in den Coefficienten von f, 
mp — Zkl 
in denen von g. — Vergleicht man diese Zahlen mit der oben erhaltenen 


0, so liegt in der symmetrischen Bildung der drei Ausdrücke ein nach- 
träglicher Beweis für die symmetrische Gestaltung des (unsymmetrisch 
entstandenen) Endausdrucks ?P hinsichtlich der Coefficienten von f, g, w, 
und eine Bestätigung dafür, dass die aus /, auszuscheidenden Factoren 
alle gefunden sind. 

Anwendungen des Vorstehenden auf die Bildung von Resultanten 
aus Correspondenzgleichungen, wie sie in der. Theorie der algebraischen 
Functionen auftreten. behalte ich mir vor an einer anderen Stelle mit- 
zutheilen. 

Andere Beispiele von reducirten Resultanten, auch solche, wobei 
eine Berührung der Curven in den gemeinsamen Puncten angenommen 
wird, findet man in der früher erwähnten Abhandlung des Verfassers 
vom Jahre 1871. 

Handelt es sich um eine Ausdehnung des Obigen auf den Fall von 
vier Flächengleichungen, so bedarf es keiner neuen Betrachtungen, wenn 
die vier Flächen nur Schnittpuncte (von übrigens beliebiger Multiplicität), 
nicht aber Linienelemente gemeinsam haben. Analoges gilt für Gleich- 
ungssysteme mit mehr Veränderlichen. 


Be, 


h 


N i } 
RL 


uk sa a 


a 


« \ # 
a rntarmtal 


Zur Theorie 


der 


Berührungscurven der ebenen Gurve vierter Ordnung. 


Von 


M. Noether. 


Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 14 


Ace “ . 


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Die allgemeinsten quadratischen Systeme von Curven n‘” Ordnung, 
welche eine gegebene ebene Curve 4° Ordnung, 2, an allen Schnittstellen 
in 1“ Ordnung berühren, sind seit Hesse und Steiner (Crelle J. 49, 55) 
vielfach behandelt worden. Insbesondere ist in Bezug auf die 36 »°-Sy- 
steme von solchen Berührungscurven 3° Ordnung, für welche die je 
6 Berührungspunkte nicht auf einem Kegelschnitt liegen, von Clebsch 
(Math. Annalen III) bemerkt worden, dass innerhalb eines jeden dieser 
Systeme diejenigen Curven, welche noch je einen Doppelpunkt haben, in 
8 völlig getrennte oo?-Schaaren zerfallen, welche einzeln selbst wieder 
nur quadratisch in den beiden Parametern sind; die Schnittpunkte von 
je zwei Ourven irgend eines dieser 8- 36 Untersysteme haben ausgezeichnete 
Lageneigenschaften, und diese Untersysteme sind den 8-36 Aronhold’schen 
Siebensystemen von Doppeltangenten eindeutig zugeordnet. 


Dass auch in allen höheren Systemen von Berührungscurven von 
“2 quadratische Untersysteme mit analogen Eigenschaften existiren, ist 
zwar von mir in einer Note in den „Berichten der Erlanger physik.- 
medic. Societät“ !) angedeutet worden, indem ich eine unmittelbar aus- 
dehnbare einfache Methode gab, um jene Unterschaaren von ÜCurven 
3‘ Ordnung aufzufinden, zum Zweck, die von Clebsch a. c. O. angegebene 
Abbildbarkeit der Doppelebene, welche “2 als Uebergangscurve hat, auf 
die einfache Ebene nachzuweisen. In dieser Methode und dieser Abbildung 
hat man alle Mittel zur Untersuchung dieser bemerkenswerthen Unter- 
systeme, die alle auf’s Engste ausgezeichneten Systemen von Doppel- 
tangenten zugeordnet sind. Aber weder verfolgt die Specialuntersuchung, 


1) Heft 10, 1878: „Ueber die ein-zweideutigen Ebenentransformationen.“ 
14* 


106 


welche Herr De Paolis dieser Abbildung gewidmet hat,!) die Untersysteme, 
noch finden sich dieselben sonst irgendwo hervorgehoben. 

Ich erlaube mir daher, eine systematische Behandlung der Theorie 
dieser Systeme (in Nr. I) mit einer Reihe von Ausführungen (in Nr. 3—7), 
im Anschluss an die aus Nr. 1 folgende Abbildung (Nr. 2), hier vorzu- 
legen. Ich thue dies auch aus dem Grunde, weil von den unzähligen 
Sätzen über Lagenverhältnisse der Schnitt- und Berührungspunkte der 
Doppeltangenten und der Berührungscurven von 2 überhaupt, welche 
unsere allgemeine Methode alle als specielle Fälle in sich begreift, bisher 
nur die allereinfachsten ausgesprochen worden sind; beschränke mich 
aber in den Beispielen von Nr. 7 auf einige die Doppeltangenten betref- 
fenden Sätze. 

Ferner benutze ich die Gelegenheit, um in (Nr. 1--4) einmal eine 
vollständige algebraische Begründung der Charakteristikentheorie zu 
geben, die zu den 2 in 1‘ Ordnung berührenden Curven gehört. Diese 
Theorie ist bisher entweder aus transcendenten Beziehungen abgeleitet, 
oder, wenn algebraisch, nur ganz unvollständig begründet und entwickelt 
worden. Der Theil der Begründung, welcher zum Nachweise der völligen 
Gleichartigkeit der 36 eigentlichen geraden Charakteristiken unter sich ete. 
sich der Cremona’schen Ebenentransformationen bedient, findet sich auch 
in der De Paolis’schen Abhandlung (auch implicit in meiner Note über 
Thetafunctionen, Erl. Berichte, 1878). Da diese Theorie, insbesondere der 
letzte Satz von Nr. 4, so unmittelbar und mit so grosser Leichtigkeit 
aus jedem einzelnen Doppeltangentensystem die allgemeinsten von den- 
selben Eigenschaften anzuschreiben erlaubt, so habe ich in Nr. 7 die 
Sätze meistens nur an speziellen einzelnen Systemen ausgesprochen. 


2) „La trasformazione piana doppia di terzo ordine primo genere e la sua applicazione alle 
eurve del quarto ordine.“ (Mem. d. R. Acc. d. Lincei, Ser. 3, Bd. II, 1878.) 


1. Berührungssysteme. 


Die Grundeurve 4° Ordnung, auf welche sich alle unsere Betrachtungen 
beziehen, sei überall mit 
ONE DE O0 


bezeichnet. Sei C($)=o eme 2, an allen Schnittstellen in 1'% Ordnung 
berührende Curve r'* Ordnung; so wird das „System“ der zu Ü gehörigen 
Berührungscurven ©’ an .2 definirt durch die Identität 

6) o-CO=FO—-9:20, 
wo F(&)=o alle möglichen Curven irgend einer Ordnung sind, welche 
durch die Berührungspunkte der Curve ( mit (2 gelegt werden können. 
Solche Systeme gibt es nur eine endliche Anzahl, indem, wenn man 
zu Stelle von © irgend eine der Curven (’ setzt, das System sich nicht 
ändert. Man braucht daher für © nur zu nehmen: 

1) jede der Doppeltangenten von (2, was ebensoviele verschiedene 
„ungerade eigentliche Systeme“, oder kurz „ungerade Systeme“, liefert; 

2) die verschiedenen Curven 3'* Ordnung, die (2 in drei gegebenen 
und drei weiteren Punkten berühren, welche 6 Punkte nicht auf einem 
Kegelschnitt liegen sollen: die „geraden eigentlichen Systeme“, oder kurz 
„die geraden Systeme“; 

3) die Kegelschnitte, die (2 in einem gegebenen und drei weiteren 
Punkten berühren, welche 4 Punkte nicht auf einer Geraden liegen 
sollen: die „Gruppensysteme“; 

4) C(2) als Quadrat einer linearen Function. Dieser uneigentliche 
Fall von 3), in welchem die vier Punkte auf einer Geraden liegen, was 
C(£) zu einem vollständigen Quadrat macht, führt nur auf Ausdrücke cd), 
die vermöge 2(£)= 0 ebenfalls vollständige Quadrate sind, und wird im 
Folgenden nur in $ 6, I berücksichtigt. 

Man kann den Systemsbegriff auch so fassen: Zwei Berührungscurven 
gehören zu einem System zusammen, wenn ihre Berührungspunkte, ein- 
fach genommen, zwei „corresiduale“ Gruppen bilden. Und umgekehrt 


108 


bildet jede zu einer Berührungsgruppe corresiduale (und jede residuale) 
Gruppe von Punkten eine Berührungsgruppe desselben Systems. 

Nimmt man C(&) und die Ordnung von P(£) fest an, und legt alle 
Curven P(£) dieser Ordnung s, so erhält man eine quadratische Schaar 
von Curven (’($)=o, der Ordnung r = 2s—-r, von der Mannigfaltigkeit 
oo 2r—3 (ausgenommen r —=]1), wenn man vermöge der Gleichung 
Q2(&)= 0 reducirt; also eine quadratische »2”—3 Schaar von Gruppen 
von je 2r' doppelt zu zählenden Punkten auf (2. Ohne Reduction durch 
2()=o wird die Schaar der O($=o eine quadratisch ot") 
Schaar, indem zu den 2r’— 3 quadratisch eingehenden Parametern jener 
Schaar noch 4(r —3)(r —2) linear eingehende hinzukommen. Die 
Gruppen von je 2r' Punkten, alle einfach gezählt, bilden auf (2 eine 
lineare Vollschaar, ausgeschnitten von den Ourven P(&$)= 0. 

Im Folgenden sollen ausgezeichnete Theilschaaren der a»! ("—D 
Schaar von Curven O’(£$)= 0 betrachtet werden, nämlich solche, welche 
ausserhalb 2 bewegliche Doppelpunkte besitzen und doch die Para- 
meter in keiner weiteren Irrationalität enthalten, als die Grundschaar, 
also quadratische Schaaren bleiben. Man erreicht dies dadurch, dass 
man die Function 9'(&) in Gleichung (1) zu einem vollen Quadrat werden 
lässt, wobei man aber r im Allgemeinen nicht mehr auf 1, 2 oder 3 re- 
duciren kann. 

Sei nämlich in (1) C(&) = 0 eine irreducible Curve r“ Ordnung, welche (2 
in 2r Punkten @,,%,:---«&,, berühre und d Doppelpunkte P,ßs,:::: Pa ausser- 
halb (2 besitze. Man lege die Schaar P($)= 0 der Curven s‘* Ordnung 
(s>r), welche durch die Punkte « und gehen: 

(2) yEothh 4 hB TB CZo, 
wo die 4, willkürliche Parameter, K eine beliebige Curve (s — r)‘* Ordnung 
und 

t>rs — 4(r—1)(r— 2) — (2r + d)=r(s— 2)—2d — [4(r—1)(r—2)—d] 
ist. Dieselben treffen C=o in einer ‘-Schaar von Gruppen von je 
r(s — 2) — 2d Punkten. Nun wird später gezeigt werden, dass eine Reihe 


von Fällen existirt, in welchen diese Gruppenschaar identisch ist mit 
derjenigen, welche von zu C adjungirten Curven (s — 2)” Ordnung 


(3) +49 + +4Q4+K0=o 


109 


aus C ausgeschnitten wird (so ist unmittelbar klar, dass dies für d= 
Ur —1)(r—2), d. h. wenn das Geschlecht von C gleich o ist, eintritt); 
für diese Fälle also wird nach dem Restsatz: 


4) kb Pt hf thAP)—- PH +aQ tt +Q)=C-D, 
oder 
(4) QE,B+KO— P(ZuQ,+& O)=0(D+-KQ+ K'P,) 
wo D+KQ,+K'P,=o eine Curve der Ordnung 2?s—r—2 ist, welche 
durch die (s—r)(s — 2)+d ausserhalb C liegenden beweglichen Schnitt- 
punkte y, von 
(5) MH Sn Ko od >, 0 Co 
hindurchgeht. Der Curvenbüschel 2‘ Ordnung: 
Pr— oO 0 =u, 
trifft aber C=o in 2l(r(s—2)—2d) +4r—+4d=2rs von e unab- 
hängigen Punkten; man kann also o so bestimmen, dass eine Curve des 
Büschels C zum Factor hat: 
2000 6.0 | 
Dabei wird 0 auch von den Parametern A unabhängig; denn sei 
PR—-oGA=C-0, 


so folgt für C=o 


Vo-%@PtV/QR=o, 
was in Verbindung mit (4) 0 =o, liefert. Wir mögen daher ! =1 
setzen: 


(6) P—-Q2=0.0. 


Hier erhält man in O’(&)=o eine Schaar von Curven der Ordnung 
2s—r, welche die 1s(s+3)—2r—d oder mehr Parameter von (2), 
und etwaige weitere Parameter von Q, quadratisch enthalten, die Curve 
2 je in 2(2s—r) Punkten berühren und je (—r)(—2) + d beweg- 
liche Doppelpunkte y,, die sich aus (5) ergeben, enthalten. Diese Curven 
bilden eine zu C gehörige Unterklasse in dem ganzen zu (' gehörigen 
Berührungssysteme. 


110 


Denkt man sich die ganze $-Ebene mit zwei Blättern überdeckt, 
indem man über jedem Punkt die beiden Werthe von Y.2 aufträgt, 
Blätter, die also längs (2=o verzweigt sind, so kann man die Curve 
C($)=0 in zwei übereinanderlagernde Curven rational trennen, je nach- 


dem man VL eh nimmt. Wir wollen etwa die durch 


Q 

(7) PO. 
bestimmte Schaar betrachten. 

Von den Doppelpunkten y, der Curven (” gilt dann: sie sind nur 
scheinbare, d. h. die beiden Zweige einer (’ laufen an einer solchen 
Stelle in verschiedenen Blättern; und diese beiden Zweige liegen har- 
monisch zu den beiden Richtungen, welche die Curven P=o und Q=o 
daselbst haben. Denn beschränkt man sich in Gleichung (6) auf die 
Glieder zweiter Dimension an der Stelle y,, so sagen dieselben aus, dass 
die 3 Richtungspaare von P?, Q? und C’ in Involution liegen; ist also 


für den einen Zweig von 0 g= a, so ist für den andern Zweig 7= —Aa, 
und für den ersten Zweig wird VY?=— a, für den zweiten VQ=-a. 
Auch bei zwei Curven der Schaar C’ kann man die wirklichen von 


den scheinbaren Schnittpunkten unterscheiden. Hat man für zwei solche 
Curven nach (6): 


2) Do und Er, WO or 
so gilt für die wirklichen Schnittpunkte: 
P+QV2=o, R+Q&YV2=o, 


also 
BO, 2.0, 0, 


Nun ist nach (4) 
PR&—PRQ=0C-N 
wo N=o eine Üurve der Ordnung 2s — r— 2 ist, welche durch die 
(s—r)(s— 2) -+d Doppelpunkte y,, der zu P,Q, gehörigen Curve CO, und 
die (« —r)(s—2)-+d Doppelpunkte y,, der zu P,;Q, gehörigen Curve 6; 
hindurchgeht. Die Curve N= 0 trifft also die Curve C, in 


(23 — r)(2? s—r — 2) — 2(s—r)(s — 2)— 2d 


11T 


wirklichen Schnittpunkten mit 05. — Ebenso sind in (6) die r(s — 2)— 2d 
ausserhalb der 3 liegenden Schnittpunkte von Q@ und P mit (© zugleich 
scheinbare Schnittpunkte von C und (0. — 

Bei den vorstehenden Betrachtungen ist implicite angenommen, dass 
alle (« —r)(s— 2) +-d ausserhalb © liegenden Schnittpunkte y, von P=o, 
Q=0o von den Punkten 5 endlich entfernt liegen. Haben aber die P=o, 
Q=o für alle A eine Berührung in einem Punkte , so wird dieser Punkt 
nach (6) nur fester einfacher Punkt aller (”. 

Die Gleichungen (4), (6) sind für verschiedene A nicht von einander 
unabhängig. Beziehen sich wieder P,@,(; auf irgend eine, P,0Q,,C; auf 
irgend eine andere der Ourven Ü (£$)=o, und ist nur gegeben: 

(8) Br -020=6G:G, 

(9) PQ&—PRQ=0C-N, 
so folgt daraus 

P(PN—Q0)= 9 (Q N2— PC), 
also 

(10) PN—QCG=QM, 

(11) N 

Ferner aus (8), (9) und (10): 

CPRN—&0G)=0QM=Q(Q,9R2— PP), 
also 

(12) O0 RE, CM, 
und aus (12) und (9): 

CM +-NP)=Q(&R2—P), 
also 

(13) M&+NPR=-689 

(14) Pie.020 = (46h: 

(14) ist aber die Formel (6) für die zweite Curve ©’. Endlich folgt 
noch aus (10) und (11): 

CG(RBN+Q&M=Q(N2— M’), 
Abh.d.II.Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 15 


112 


also nach (13): 

(15) M”’—N2=0(0(,, 
womit 0, analog aus CO; hergeleitet ist, wie diese beiden Curven aus C 
es waren. 

Die in Vorstehendem inbegriffenen Fälle, zu welchen auch noch 
solche mit reduciblen Curven © hinzukommen, werden sich alle aus der 
bekannten eindeutigen Abbildung der erwähnten Doppelebene auf eine 
einfache Ebene ergeben. 


2. Abbildung der Doppelebene. 


Die Abbildbarkeit der in Nr. 1 genannten Doppelebene auf eine 
einfache Ebene beruht selbst auf einem solchen speciellen Falle der 
Formel (6) von Nr. 1, der sich direct erledigen lässt. 

Man nehme m Nr. I: r=3,d=1,s=3; und zwar sol 0@, 0 
irgend eine „gerade“ eigentliche Berührungscurve 3‘ Ordnung mit einem 
Doppelpunkt % sein; ihre 6 Berührungspunkte a,--«, mit 42 sollen also 
nicht auf einem Kegelschnitt liegen. Dabei darf C(&)=o sogar eine 
reducible Curve ihrer Art sein, z. B. aus drei Doppeltangenten, die zu- 
sammen zu einem geraden System gehören, bestehen, wobei man irgend 
einen der 3 Schnittpunkte als Doppelpunkt 3 annehmen kann. Solche 
Curven (© existiren also immer. 

In (2) hat man dann {=1, K wird eine Constante, die Q von (3) werden 
zu einem Geradenbüschel durch den Punkt %, und es gilt der Restsatz 
(4) oder (4) für die Schaaren (5). Eine Curve 3'* Ordnung von (5) hat 
mit der entsprechenden Geraden Q aus (5), ausser $ und dem gemein- 
samen Punkte auf ©, nur je einen Punkt y, gemein, der nicht in 
hineinfällt; denn wenn y, an £ rückte, würde in Gleichung (4) 

Pf —-QP=C-D, 
da die P die entsprechenden Q in ß berührten, CD den Punkt $ zum 
3-fachen Punkte, D also $ zum einfachen Punkte haben, d. h. die Ge- 
rade D ginge durch alle drei ausserhalb der 6 Punkte a,--a, liegenden 
Schnittpunkte von A}, =0, P,=o hindurch, und diese 6 Punkte müssten 
auf einen Kegelschnitt liegen — gegen die Voraussetzung. 


ee 


115 


Dann folgt Gleichung (6), auch wenn © aus drei Doppeltangenten 
T,,T,, T, besteht. Denn sei % der Schnittpunkt von 7,, 7, so bestimme 
man oe in P—0Q°2=0o so, dass diese Curve noch durch einen weiteren, 
als die festen Schnittpunkte mit 7, geht: diese Curve wird dann 7, zum 
Factor haben; der Rest, eine Curve 5 Ordnung, die T, und 7, in je 6 
festen Punkten trifft, wird noch 7,7, als Factor enthalten müssen; man 
hat also Gleichung (6). 

Die so gefundenen Curven O’($)=0 werden eine Unterklasse von 
© ° Curven 3'* Ordnung, welche alle 2 in je 6 Punkten berühren, je einen 
beweglichen scheinbaren Doppelpunkt besitzen und sich zu je zwei in 
nur einem wirklichen Schnittpunkt treffen, gelegen auf der Verbindungs- 
geraden N — 0 der Doppelpunkte der beiden Curven. 

Setzt man also 


ey =AHH+AOVLE 


(16) Me. 
0% =008), 
so entsprechen den Geraden Y/,y,=o die Curven C’($)=o, in nur 
einem Blatte genommen, und es werden auch die $,:5:5, sowie -. 


rationale Functionen von %,, %, Y;. Die charakteristischen Eigenschaften 
der Umkehrungsformeln lassen sich unmittelbar angeben. Den beide 
Blätter durchsetzenden Geraden der doppelten $5-Ebene Z£ entspricht in 
der einfachen Y-Ebene eine lineare &°-Schaar von Curven, von der Ord- 
nung der C’, also von der 3'* Ordnung. Diese Curven müssen, da die 
ihnen ein-zweideutig entsprechenden Geraden der Doppelebene Z£ je 4 Ver- 
zweigungspunkte haben, das Geschlecht 1 haben, also ohne Doppelpunkte 
sein; und je zwei der Curven dürfen sich in nur 2 beweglichen Punkten 
treffen, d. h. sie müssen 7 feste einfache Punkte gemein haben. Man 


hat somit: 
(17) os=N(Wy), 05 =T,WY), 0oS=T1;(); 
wo die /' Curven 3'* Ordnung mit 7 gemeinsamen einfachen Punkten 


A),4y'''@, 
sind. 


114 


Geht man umgekehrt von einer solchen Schaar (17) aus, so kommt 
man auf eine doppelte Ebene 2 mit Uebergangscurve (2, 4° Ordnung vom 
Geschlecht 3, die der Jacobi’schen Öurve 


EN ENT, AD 

ee er 
der Schaar (17), einer Curve 6'* Ordnung mit Doppelpunkten in a,,---@,, 
eindeutig entspricht. f 

Es wird vermöge (17) 

FLO=ALW), 
v2 __4W 
Eat): 


(18) 


was die Umkehrung (17) von (16) ergänzt. 

Die wirkliche Ausrechnung der Umkehrung (17) von (16) ist für 
das Folgende unnöthig. Ich bemerke desshalb nur: Fasst man die y als 
Liniencoordinaten der Ebene Z£ auf, so geht wegen der aus (4) folgenden 
Gleichung 

(19) YYdı - %» + D=o 
die Linie (y) durch den entsprechenden Punkt ($); und zwar kann man 
durch Bilden der zweiten Polare von ($) in Bezug auf die linke Seite 
von (6) zeigen, dass in (16) einem Punkte (5) gerade die beiden Doppel- 
punktstangenten (y) derjenigen Berührungscurven 3'* Ordnung, C’($) =, 
entsprechen, die in ($) ihren Doppelpunkt hat; einer Geraden (y) der 
Schnittpunkt auf (y) von irgend solchen zwei Curven O’(&)=o, die ihre 
Doppelpunkte auf (y) haben. Diese Betrachtung liefert ferner aus (16) 
zu (19) eine zweite Gleichung, die rational in den $ und den y ist, und 
zwar von der Dimension 1 in den 5, 2 in den y. Somit kömmt man 
durch diese Rechnung auf den Ausgangspunkt von Aronhold für die (2,1) 
zurück, und der Weg der Abbildung selbst ist im Wesentlichen der 
von Clebsch,?) aber mit Vermeidung aller räumlichen Betrachtungen 

Die Einzelheiten der Abbildung sind folgende: Während den Geraden 
von Y im Allgemeinen in Z in nur je einem Blatte laufende Curven 


1) Aronhold, Monatsber. d. Berl. Akad. 1864. Clebsch-Lindemann: „Vorlesungen“, Cap. über 
Connexe, _ 
2) Clebsch, Math. Annalen III. 


115 


3'= Ordnung mit je einem beweglichen scheinbaren Doppelpunkte ent- 
sprechen, welche 2, noch in je 6 Punkten berühren, entspricht dem 
Geradenbüschel durch einen der Punkte a, nur eine quadratische o'- 
Schaar von Kegelschnitten, die 2, in je 4 Punkten berühren. a, ist also 
Fundamentalpunkt, dem eine Doppeltangente von 2, entspricht, gelegen 
in einem Blatte; derselben Doppeltangente, im anderen Blatte genommen, 
entspricht in Y eine Curve 3° Ordnung aus den 7'(y), welche aber bez. 
a, zum Doppelpunkt hat, und zwar werden ihre Doppelpunktstangenten 
in a, auch solche für die Jacobi’sche Curve 4(y). Diese 7, den 7 Punkten 
a, entsprechende, Doppeltangenten von 2 bezeichne ich bez. mit 


bis, bogy bag 


und den zugehörigen ungeraden Berührungssystemen ertheile ich die 
Charakteristiken 


EBEN TEN. 


Ferner entsprechen den 21 Verbindungsgraden L,(a,a,) und den die- 
selben zu Curven /'(y) ergänzenden Kegelschnitten je durch die anderen 
5 Punkte a weitere 21 Doppeltangenten von (2, im einen, bez. im andern 
Blatte; eine solche Gerade und der ergänzende Kegelschnitt treffen 4 in 
denselben beiden Punkten. Diese 21 Doppeltangenten und die Charak- 
teristiken ihrer Systeme bezeichne ich bez. mit 


bi, (iR). 


Wir haben in unserer Abbildung ein (Aronhold’sches) 7-System von 
Doppeltangenten von 2, ausgezeichnet, konnten aber zu diesem Zwecke 
oben von einer nur aus drei Doppeltangenten 7,7,T, bestehenden Curve 
C ausgehen. Da die C selbst zu den 0’(&)=o gehört, wird sich diese 
Curve C abbilden durch a,-a,-L,(a,, a,), es ist also 


T, — las = bs» = Ik» 


wobei nach der Abbildung diese 3 Linien je in solchem Blatte laufend 
zu nehmen sind, dass Z, mit i,, nur einen scheinbaren, {, mit i, und 4, 
je einen wirklichen Schnittpunkt erhält. Dass solche 3 Doppeltangenten 
in der That ein einziges 7-System eindeutig bestimmen, wird sich später 
ergeben. 


116 


3. Discussion der einfachsten Berührungscurven an 2 
und ihrer Untersysteme. 


Zur Discussion der Berührungssysteme an 2 aus der Abbildung ist 
zunächst zu bemerken, dass zwei übereinander, aber getrennt laufende 
Curven von Z immer gleichzeitig behandelt werden können; sie führen 
auf zwei Curven von Y, die in der durch die Punktepaare von Y ver- 
anlassten involutorischen eindeutigen Ebenentransformation einander con- 
jugirt sind. Bei dieser entsprechen den Geraden von Y Curven 8'* Ord- 
nung von Y, welche die a, zu dreifachen Punkten haben. Die 28 Doppel- 
tangenten mit ihren Bildern und den Charakteristiken ihrer Systeme sind 
in Nr. 2 schon aufgezählt; wir leiten jetzt die Berüährungscurven 2'* und 
und 3** Ordnung, 9 und D”, ab. 


I. Berührende Kegelschnitte, ®®. 


Für irgend zwei Kegelschnitte eines Gruppensystems, 0,0’, gilt 
Gleichung (6) von Nr. 1, wobei @ eine Constante wird. Alle diese Kegel- 
schnitte machen also Y.(2 rational und müssen sich aus den, sich nicht 
selbst conjugirten, Curven 1'* bis 6‘ Ordnung der Y-Ebene ergeben. Es 
finden sich folgende &'!-Schaaren, denen ich Gruppencharakteristiken zu- 
schreibe, die als Indices angeschrieben sind: 


a) 59, Bild in Y: L,(a,), bez. L,(@= 0). 
b) #9; Bild in Y: L,(a, a,a,a,), bez. L,(a, a,a,a,aa}a}). 
e) DR: Bild ın Y: L,(ala,---a,), bez 2, (@a;::-0,)5 


sowie die durch Vertauschung der Zahlen 1---7 sich daraus ergebenden 
Schaaren. 

1.6:3 
1-2-3 
selben unter sich gleichberechtigt sind, sieht man so: Macht man auf 
die Ebene Y eine quadratische Transformation mit den Grundpunkten in 
Ag, Ag, Q,, So erhält man aus den Curven T},(a,,:-:a,) Curven I';(a},::»@,) 
der neuen Y’-Ebene, und den Geraden der letzteren durch a} entsprechen 
die Kegelschnitte b) durch a,,a,, a,,a,; zwischen Y’ und £ herrscht aber 
eine der zwischen Y und Z bestehenden völlig analoge Beziehung. Ebenso 


Dies sind im Ganzen 7—+ u — 63 o!-Schaaren. Dass die- 


117 


folgen die &i) aus den &f}) durch eine cubische Cremona- Transformation 
der Y-Ebene. 

Wir haben somit 63 gleichartige Gruppencharakteristiken, die ich 
so bezeichne (mit den Vertauschungen 1, 2,---7): 

[81], [12], [1234] = [5678]. 

Dabei sind eckige Klammern gesetzt, weil das System [?%] nicht 
der Doppeltangente (ik) zugeordnet ist. Vielmehr gibt es unter den 
Curven L,(a,) die 6 zerfallenden Curven 

a, L,(aja,)(k = 2,:::7); 
d. h. in DS) die 6 in je ein Doppeltangentenpaar zerfallenden Ourven 
bsp > Cın (k=2,..7), 
was ich schreibe 
[sS1]=(@&h) (A, k=2,::7). 
Ebenso in 2% die 6 Doppeltangentenpaare 
7 tin ta(k= 3,7), 
oder 
=) +EI=-UNA+LN &=3,n); 
und in Yu. = Pü, die 6 Doppeltangentenpaare 
bi 3 by4, bis i boy, bu bog, bye a bog, byr j les; 7 -bgn, 
oder 
[1234] = [5678] = (12)+ (34) = (13) + (24) = (14) + (23) 
— (56) + (78) = (57) + (68) = (58) + (67). 


II. 2 berührende ungerade ®'”, ohne scheinbare Doppelpunkte. 


Da diese &°-Schaaren einzeln auf die 28 Doppeltangenten von 2 
vermöge Gleichungen: 


m  ı, 9 
die nur spezieller Fall von (6), Nr. 1 sind, zurückführen, so sind längs 


jeder dieser Berührungscurven die beiden Blätter der Doppelebene ge- 
trennt. 


118 


Man hat: 
a) &P; Bild: Z,(0,---a,), bez. L,(adaz---a,). 
b) 6%; Bild: Z,(alaza,---a,), bez. L,(a,a,az--:a;), 


mit den Vertauschungen 1,---7. Diese Curven $® haben keine schein- 
baren Doppelpunkte, weil sich die beiden Bilder einer solchen Curve nur 
je in 6 Punkten auf 4 schneiden. Wohl aber könnte man jeder der 
28 Schaaren noch an irgend einer Stelle der Doppelebene einen wirk- 
lichen Doppelpunkt geben, nur dass dann die Gesammtheit der ©” Ourven 
mit Doppelpunkt in einer Schaar keine quadratische Schaar mehr bildet; 
stellt man vielmehr mit einer solchen Curve © mit Doppelpunkt P 
Gleichung (6), Nr. 1 für r=3, s=3 auf, so erhält C’, statt eines be- 
weglichen Doppelpunkts, einen festen Punkt in %. In einer Schaar &%) 
ist dagegen als ausgezeichnet enthalten: die zugeordnete Doppeltangente 
{,,, verbunden mit allen doppelt genommenen Geraden. Zwei der Ourven 
einer Schaar &{) treffen sich in 3 wirklichen, auf einer Geraden liegenden, 
und 6 scheinbaren, auf einem Kegelschnitt liegenden, Schnittpunkten. 


III. 2 berührende gerade ®', mit einem scheinbaren Doppelpunkte. 


Die Berührungscurven 3'* Ordnung, deren je 6 Berührungspunkte 
mit (2 nie auf einem Kegelschnitt liegen, bilden quadratische &°-Schaaren; 
und darunter erhält man aus der Abbildung folgende Unterschaaren von 
©”, nur immer in je einem Blatte laufenden, Curven, analog der oben 
zur Abbildung benutzten Unterschaar: 


a) DR; Bild: Z,, bez. L,(a}---0°), 

3) DP; Bild: ZL,(ala,---a,), bez. L,(a}---@.). 

BED, = 9: Bild 2, (0,0), bez. 2.0 0.0.0); 

b,) 2, =D; Bilde 2, (ara, -0,), bezuli, (ar aaa. Ja): 

b,) 29, = 2; Bild: L,(a, a, a, a; a2 a,), bez. L,(al a3a;a, a,a,q}), 
mit allen Vertauschungen der Zahlen 1:-:7. Dies liefert aus a,) und &,) 
1-+7=8 Unterschaaren, denen die Charakteristik 

(0) = (123.78), 


A ET 


119 


und aus b,), b,), b) 1+3-+4=8 Unterschaaren, denen die Charakteristik 
(8123) — (4567) 


zugeschrieben ist; im Ganzen 8:36 Unterschaaren, die sich je zu 8 auf 
36 Charakteristiken (0), (üklm) vertheilen. Die Zuordnung ist so: 

Die Schaaren a,) gehören zum selben »°-System <{®, wie a,); denn 
unter den Bild-Curven von a,) und a,) sind bez. die beiden conjugirten 
Curven 

L, (a), L; (a @&:-@) 


enthalten, die / in denselben 6 Punkten treffen; daher sind die Punkt- 
gruppen, in welchen 7 von den Üurven &,) getroffen wird, corresidual 
zu den Schnittgruppen mit den Curven a,) und dieses überträgt sich auf 
die Berührungsgruppen auf (2 der entsprechenden Curven der Doppel- 
ebene. Aus der o”-Schaar Z, von a,) sind die 7 oo°’-Schaaren von a,), 
die zu (0) gehören, durch Cremona-Transformationen der Y-Ebene abge- 
leitet; so dass diese 7 Schaaren — genau nach dem oben unter Nr. 31. 
gemachten Schlusse — jener ersten Schaar völlig gleichwerthig sind. 
Aber auch die 8 Schaaren b) ergeben sich aus a,), a,) durch Cremona- 
Transformation der Y-Ebene, so dass dieselben sowohl zu einem und 
demselben &*-System & gehören, als mit jenen ersten 8 Schaaren gleich- 
berechtigt sind. Dies für jeden der 35 Werthe (kl m), welche («) ausser 
(0) noch annehmen kann. 

Die 8 Unterschaaren &{” in a,), &) lassen sich durch die 8 Werthe 
8, 1, 2,--7 eines Index von einander unterscheiden. Sie sind einzeln 
8 verschiedenen 7-Systemen von Doppeltangenten zugeordnet; nämlich 
Schaar a,), vom Index 8, dem System: 


a,) bgj5 bon ' ' * Lgr, 


insofern irgend zwei der Doppeltangenten aus diesem System, Zg,, fa 
verbunden mit einer nicht diesem System angehörigen {,, eine der Curven 
&S) von a,) bilden (wobei der Schnittpunkt von t,, mit i,, als scheinbarer 
Doppelpunkt betrachtet wird). Ebenso Schaar a,), vom weiteren Index 1, 
dem System: 


2;) bay kn, bis; 
Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 16 


120 


Schaar b,) mit Charakteristik (8123) = (4567) und Bild Z,(a,a,a,) dem 
System: 

b,) bag, Agız bio; dor das; 
Schaar b,) mit Bild Z,(ala,:--a,) dem System: 

b;) ba br, bon, bopr bp; 
endlich Schaar b,) mit Bild ZL,(a,a,a,aza5a;) dem System: 

b;) bin by, byn, ber; bus, ls, bag. 

Eine andere Zuordnung der Schaaren zu den 7-Systemen ist die: In a,) 
gibt es 7 o!-Schaaren, bestehend je aus einer der 7 Doppeltangenten a,), ig, 
verbunden mit einer o'-Schaar &Q) aus I, Nr. 3, mit Charakteristik [8]. 
Nimmt man dann in Gleichung (6) von Nr. 1 diese oo!-Schaar t,- b£) 
für C’, irgend eine Schaar &® der Schaar a,) für C\, so liefern die 
Curven 3°“ Ordnung, P=0, dieser Gleichung den Satz: 

Die 6 Berührungspunkte irgend einer Curve &f der 
Unterschaar a, mit (2 bilden mit den 2 Berührungspunkten 
irgend einer Doppeltangente 4, aus a) und dem schein- 
baren Doppelpunkte der Curve &{?) ein System von 9 Schnitt- 
punkten zweier Curven 3% Ordnung. 

Dasselbe gilt für die übrigen Unterschaaren und entsprechenden 
Systeme von je 7 Doppeltangenten. 

Die 7-Systeme a,) a) haben noch die Eigenschaft, dass die Summe 
der Zahlen ihrer Charakteristiken, wenn man bei dieser Summenbildung 
je zwei gleiche Zahlen weglässt, zu (o) wird, nämlich 


(81) +82) + -- +87) = (812: --)= (), 
12)+(3)+.-+(8)=(12::-8)= (0); 
analog liefern b,), b;), b;): 
(23)+ 81) + (12)+(48) + + (78) = (4567) = (1238), 
(14) + -+(17)+ (23) + (28) + (38) = (4567) = (1238), 
A17)+27)+B7)+ (87) + (45) + (46) + (56) = (1238) = (4567). 


Wenn nun, wie am Schlusse von Nr. 2, drei Doppeltangenten t,,, ty, 
t,, vorliegen, für welche die Summe der Charakteristiken zu 


(8) + (8%) + (ik) = (0) 


N 


121 


wird, und 2 der Doppeltangenten t,,, i;., werden vor der dritten ausge- 
zeichnet, so gibt es unter den 8 zu (o) gehörigen 7-Systemen a,), 4,) nur 
eines, welches jene beiden, Z,, ig, enthält, nämlich a,); womit die Be- 
hauptung am Schlusse von Nr. 2 gerechtfertigt ist. 


4. Charakteristikentheorie. 


In Nr. 3 haben wir für die 28 Doppeltangenten, für die 36 geraden 
&3-Schaaren von &® und die 63 o!-Schaaren von 5®, und damit für 
alle Gesammt - Berührungsschaaren, Systems-Charakteristiken eingeführt. 

Zunächst lehren die dortigen Betrachtungen, dass der Index 8 dabei 
vor den übrigen Indices 1, 2,---7 nur in der Abbildung mittels a,) 
von III, Nr. 3 bevorzugt war, an sich aber denselben in Bezug auf (2, 
völlig gleichwerthig ist. Die bez. Charakteristiken sind also: 


für die Doppeltangenten: (ik), 
»  » geraden &®9: (0)=(123---78), kim) =(npgqr), 
» » »®: [er], Ekim) = [npqr], 
wo 2, k,:-:q,r von einander verschiedene Zahlen aus der Reihe 1, 2--:8 sind. 
Auf diese Zeichen wende man folgende Rechenregeln an: 
Es ist 
(4) +(%) + (3) >= (4% 05), 
() + (a) = [a] + [a2] = [a @3] ; 
also 
[4] + (0) = (a1 %), 
wobei in einer Charakteristik die einzelnen Zahlen beliebig geordnet, 
zwei gleiche weggelassen werden können, und wobei 
[123.--8])= 0 
gesetzt und in Combination ebenfalls weggelassen wird. Daraus folgt 
schon 
(12-..-8)= (0), (1234) = (5678), [1234] = [5678]. 


Man hat dann den Satz: 
16* 


Ist die Summe zweier Charakteristikencombinationen=o, 
so bilden die beiden entsprechenden Curvencombinationen 
zwei Berührungscurven eines Systems. 

Zum Beweis genügt es, alle Charakteristiken aus Zeichen (?k) zu- 
sammenzusetzen und denselben Doppeltangenten zuzuordnen; und zwar 
braucht man nur den Satz in der Form nachzuweisen: 

Liefert die Summe der Charakteristiken von 2s Doppel- 
tangenten o, so liegen deren 4s Berührungspunkte mit 2 
auf einer Curve s“ Ordnung. 

Der Beweis ergibt sich aus Nr. 3, durch den Schluss von s— 1 auf s. 
Für s=1 ist der Satz selbstverständlich; für s= 2 ist derselbe in Nr. 3, I 
entwickelt. Ist s=3: 


(“)+() +) +) +) +) 0, 

und (a,) + (0) + (0,) = («, % @,) = («) eine ungerade Charakteristik, so wird 

(4) + (8) +) (le) 0, 

(+) + (R) + (le) 0; 
nach dem für s=2 Gesagten bilden also die 6 Berührungspunkte der 
drei zu (a,), (%), («;) gehörigen Doppeltangenten (einfach genommen) eine 
zu den 2 Berührungspunkten der Doppeltangente («) corresiduale Gruppe 
auf 2; ebenso die 6 Berührungspunkte der drei zu («,), («;), (&,) gehörigen 
Doppeltangenten, so dass also diese Gruppe von 6 Punkten auch jener 
Gruppe von 6 Punkten corresidual ist, Wird aber bei s= 3 (a, %«,) — (a) 
eine gerade Charakteristik, so kann man zunächst («@) =(o) annehmen, da 
sich die übrigen Fälle vermöge Cremona’scher Transformationen der F- 
Ebene nach III, Nr. 3 daraus ergeben; es sind dann nur die Zerlegungen 
inöglich 

()= (Rh) EN) + (kD, 
ie nach III, Nr. 3 wieder nur zu einander corresidualen Gruppen von 
je 6 Punkten auf 2 führen, alle dem System (o) angehörig. 
Bei allgemeinem 's zerlege man die Summe 


(1) + (8) + "+ (,) = 0 


(4) +(&) + (a) + (eo) = [e] = (Pı)+ (P}) 
(+ (&) 2 Fr), = el =) 0 


123 


so wird nach den Fällen s=3 und s— 1 (bez. wenn [@a]=o nach den 
Fällen für noch niedrigere s) sowohl die Gruppe der 8 Berührungspunkte 
der («,)---(«,) zugeordneten Doppeltangenten, als die Gruppe der 45 — 8 
Berührungspunkte der («,)--:(@,,) zugeordneten Doppeltangenten zur Gruppe 
der beiden Berührungspunkte der beiden (/,) und (/,) zugeordneten Doppel- 
tangenten corresidual, so dass jene Gruppen zu einander corresidual werden. 

In der Abbildung ist der Uebergang von den (0) zugeordneten Curven 
zu den den übrigen 35 geraden Charakteristiken zugeordneten Öurven 
durch Cremona’sche Transformationen der Y-Ebene bewirkt worden. Ueber- 
trägt man dies auf die Chärakteristiken - Bezeichnung, so erhält man 
folgende erlaubte Charakteristikensubstitutionen, durch welche nun die 
Auszeichnung von (o) aufgehoben werden kann: 

Wenn [s] eine beliebige Gruppen-Charakteristik, so ist 
{s} eine Substitution, welche eine eigentliche Charakteri- 
stik (a) in (as) oder (a) transformirt, je nachdem (a) und (as) 
gleichen oder entgegengesetzten Charakter des Geraden 
und Ungeraden haben; also eine Gruppencharakteristik [a] in [as] 
transformirt, wenn, für [a] = (a,)--(a,), nur eine der beiden Zahlen (a,), 
(a,) durch {s} verändert wird, sonst aber [a] unverändert lässt. 

Man kann dann irgend eine andere gerade Charakteristik, z. B. (4567) 
— (1238), mit (0‘) bezeichnen, die Doppeltangenten mit (X), und zwar etwa 
die 7 von b,) Nr. 3, III der Reihe nach mit (8°1’),----(877’); so vertritt 
dieses System in der Bezeichnung die Stelle des ursprünglichen. 

Damit ist die ganze Charakteristikentheorie!) für unsere Berührungs- 
curven an (2 aufgestellt, und zwar algebraisch begründet. 


5. Die Berührungsschaaren 2%, 2%, 2%, 
I. Berührungscurven ®®% mit je einem scheinbaren Doppelpunkte. 
Zu jeder der 63 Gruppencharakteristiken [@] gehört eine &°-Schaar 


von Curven 4'* Ordnung, &{’, welche (2, in einer o°-Schaar von Gruppen 
von je 8 Punkten berühren. Aus einer solchen Curve C’, welche 2, 


1) S. insbesondere meinen Aufsatz: „Ueber die Gleichungen 8ten Grades und ihr Auftreten 
in der Theorie der Curven 4ter Ordnung“, Math. Ann. XV, $ 7. 


124 


in @,@;:::a@;, berühre, ergeben sieh alle Curven 4'® Ordnung, welche 2, 
in denselben Punkten berühren, in der Form 


GEN 0: 


Man kann dann zeigen: 

In diesem Büschel gibt es eine Ourve mit scheinbarem 
Doppelpunkte; derselbe ist der 9* Schnittpunkt ? der durch 
&,.:&; gehenden Curven 3" Ordnung. 

Zum Beweise leite man die Curve CO’ aus einem in 4 Punkten «,,--@, 
berührenden Kegelschnitt C, mit derselben Charakteristik [«], mittels 
Gleichung (6) von Nr. I her, fürr=23,s=3, d=o. Die Ableitung 
dieser Gleichung gilt, wegen o=d=!(r—1)(r— 2) hier vollständig. 
Man kommt so auf eine in «;:-a, berührende Curve 4'* Ordnung C’ mit 
einem scheinbaren Doppelpunkt Pf. 

Man betrachte dann den Schnitt der Curve € (P?) mit den Curven 
C,(e,:::@,). Unter diesen Curven (, ist P von (6) enthalten, welche auch 
durch 8 geht und C’ in noch zwei weiteren Punkten y,,/%s trifft, welche, 
da @(P) hindurchgeht, mit ß auf einer Geraden liegen. Die ganze &°- 
Schaar der zur Gruppe (/°,y,,/.) corresidualen Gruppen von je 4 Punkten 
auf C’(P?), nämlich die von den ©? Geraden ausgeschnittenen Gruppen, 
müsste also auch von den (, (a, :::«;) ausgeschnitten werden, wenn diese 


nicht zu C’(f?) adjungirt wären. Aber «j,--a, liegen nicht auf einem 


Kegelschnitt (wegen des ausgeschlossenen uneigentlichen Falls von 3), Nr. 1), 
die C,(e,:--o;) bilden daher nur eine &'-Schaar, müssen also alle durch 
P gehen. 


(Oder: die beiden Punkte, in welchen C’ ausser ß und «\,:-a, von 
P geschnitten sind, gehören zu einer »!-Schaar auf C’; also geht durch 
0:0, eine &'-Schaar von Curven 3° Ordnung.) 

Dasselbe folgt, indem man bemerkt, dass in Gleichung (6) von Nr. 1 
an Stelle von C die «o' Kegelschnitte aus der Schaar [«] treten können. 
Die Formeln (8) bis (14) von Nr. 1 lehren dabei den Uebergang von der 
auf zwei solche Kegelschnitte C,,C, bezüglichen Gleichung (8) oder 


B 92.00, 


u re 


125 


mittels (9), d. h, wenn w, eine durch die 4 Berührungspunkte von (, 
mit (2 gehende Curve 3‘ Ordnung ist, mittels 


B,M—w=6GN, 
zu der Gleichung (14) oder 


u — M2=0,0,, 
wo 
(= 0, Mi — 2 Jer M, N, 2=CEN,, 
eine Curve 4‘ Ordnung mit Doppelpunkt in M=N,=o. Nach den- 
selben Formeln aber hat man, wenn man 5, durch B,+-4(,, also C, durch 


K,—0,-341B, 226, ; 
y, durch 
w=WHtAxs 
ersetzt, wo 


%:=0GM, —- B N; 


u 10 ion ale ar HIN? 2, 
und man hat so o! Curven 3'* Ordnung y,, durch die 8 Punkte «,:-«,, 
in welchen 2 von C, berührt wird, und durch den Punkt M; = N, =o. 

Die Abbildungen der 63 Curvenschaaren C,, mit je einem schein- 
baren Doppelpunkte, werden: 

a) 2%; Bild in F: L,(ala,---a,), bez. L,(ala}---a}). 
vb) W,; Bild in F: L,(alaazala,a,a,), bez. L, (ai aa; ar). 
c) 5%; Bild in ‚F: Z,(ala,a;:--ar), bez. L,(mazas:- a). 

In einer solchen &°-Schaar mit der Charakteristik [«] sind ent- 
halten: die zu [@] gehörigen &' Berührungskegelschnitte, verbunden mit 
den doppelt gezählten Geraden der Ebene (entsprechend dem Zerfallen 
von L in L,(a,::-a,) und die bez. Schaar aus I von Nr. 3); ferner 12 
&°-Schaaren von ungeraden berührenden 2®, verbunden mit je einer 
der 12 Doppeltangenten (ik), für welche («@ik) ungerade ist; endlich 
2-16 c”’-Schaaren von berührenden geraden &®, mit je einem schein- 
baren Doppelpunkte, verbunden mit je einer der 16 Doppeltangenten 
(ik), für welche (aik) gerade ist. So hat man als Bild der letzteren, 


126 


wenn man [a] =[81] und (X) = (81) also (aik)=(o) nimmt, die beiden 
Schaaren: 

L;(aja,--a,)-L, und L,(aa,:--@,), 
also Bilder von t,,, verbunden mit der Schaar &$) aus a,) bez. a,) von 


III, Nr. 3; und dieses zeigt zugleich, dass der Satz von III, Nr. 3 ein 
spezieller Fall des obigen in I dieser Nummer ist. 


II. Berührungscurven ®% mit je 2 scheinbaren Doppelpunkten. 


Diese Curvenschaaren, von der Mannigfaltigkeit o0*, lassen sich nach 
den Formeln (2)—(6) von Nr. 1 aus Doppeltangentenpaaren C', mit je 
einem scheinbaren Schnittpunkt, ableiten. Sei 

= I 5 | 
ein solches Paar, so kann man in (2) Nr. 1 setzen: 
P=kW5S—hS)D+K SH Q-hähths 
wo D irgend einen Kegelschnitt durch die 4 Berührungspunkte von 5ı, & 
vorstellt. Denn (4) wird dann, wenn 


D= (& 5).D, %= a 
D(&, + 5) (Ay 5 — A 5) — D (5 — 5) (do$ı + A 5) = 2 (u — A) 55° D. 
Stellt man dann auch hier P—0Q°2=0o auf und bestimmt 0 so, 
dass diese Curve & zum Factor hat, so wird sie, da send, =&=o 
zwei zuP=0o0, Q@=0o harmonisch liegende Zweige hat, daselbst auch die 
Richtung von & haben, also wegen der 4 weiteren Schnittpunkte mit & = 0 


auch 5, zum Factor haben; so dass auch hier Gleichung (6) von Nr. 1 
gilt. Setzt man noch 


so würde 
P—-Q2=55-0, 
wo 
C=khhth + (KE+2D (KH— 24D), 
mit scheinbaren Doppelpunkten in 


Ha EIS =0u KK, 24D=oN: 


Man sieht zugleich aus dieser Ableitung: 

Es gibt 6-63 verschiedene Unterschaaren &® mit je 2 
scheinbaren Doppelpunkten. Eine solche Schaar hat die 
Mannigfaltigkeit ©* und ist einem der 6 Paare von Doppel- 
tangenten zugeordnet, welche in einer der 63 »'-Schaaren 
‚von Berührungskegelschnitten &® enthalten sind. Die 
8 Berührungspunkte einer solchen Curve &® Jiegen mit 
den beiden Doppelpunkten dieser Curve, mit den 4 Be- 
rührungspunkten des zugeordneten Doppeltangentenpaars 
und mit dem Schnittpunkt dieses Paars auf einer Curve 
3. Ordnung. 


Dasselbe ergibt sich aus den Abbildungen dieser »*-Schaaren P®: 
a) 9; Bilder: L,(a;---a,), bez. L,(ajazaz---qa.), 

a) 6%; Bilder: L;(alaza3a,---a,), bez. L,(ala;a,a}--a;). 

b) 2; Bilder: Z,(a,a3:--a?), bez. L,(alazaz---a;). 


kon : 202 1 SDR 


6) D%.; Bilder: Z,(alaja,a,a;a; ar), bez. L,(a, a, a3 a, a5), 


mit den Vertauschungen von 1, 2,---7. 


In a,) ist enthalten i,—- der o°-Schaar von ungeraden Berührungs- 
curven 5%; ferner ti, + der »°-Schaar von ungeraden Berührungscurven 
&$), sowie tt, verbunden mit den doppelt gezählten Geraden der Z- 
Ebene; dagegen die 16, nicht in [12] enthaltenen Doppeltangenten, ver- 
bunden mit je einer der geraden &’-Schaaren von Berührungscurven &" 
aus III, Nr. 3, die 10 übrigen Doppeltangenten nur wieder mit zerfallen- 
den Curven verbunden. Aus der aus der Abbildung von a,) gefolgerten 
Thatsache, dass unter den Curven von a,) tgl, verbunden mit den dop- 
pelten Geraden, vorkommt, schliesst man ebenfalls auf die obigen Curven 
3‘ Ordnung P, d. h. die aus der Abbildung hier folgenden Curven &% 
sind mit den aus den Doppeltangentenpaaren erschlossenen Curven 
identisch. 


Abh.d.II.Cl.d.k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. le 


III. Berührungscurven ®®, mit je 3 scheinbaren Doppelpunkten. 


Man hat folgende Schaaren mit ihren Abbildungen: 

a) PB; Bilder: L,(a,,,), bez. Lu(@adal----ai), 

2) DW; Bilder: Z,(a,a,aia}a?), bez. L,(a?adaza; a; a;«a‘) , 

a) DW; Bilder: Z,(aala}---a2), bez. L,(0,@a; a‘). 

b,) Pu; Bilder: Z,(ata,a,a,), bez. L,(alazaya;a;a;a,), 

b) &%,; Bilder: Z,(a3azaza,a,a?), bez. L,(ai azazaza;aza,). 

c) 2%; Bilder: L,(aa,:---a-,), bez. L,(al a,az:---a:), 

6) DW; Bilder: Z,(aja3alata,a,a,), bez. L,(aj azaza, a;a; a.) , 
mit allen Vertauschungen von 1,:-:7. Dies liefert aus a,), a), 3) 1410 

8 

—+5=16 »°-Schaaren, die alle zur Gruppen-Charakteristik [12] gehören; 
denn in a,) z. B. ist enthalten: t,, verbunden mit der ’-Schaar &{) 
aus III, a) von Nr. 3, mit dem Bild ZL,(a,«;)-L,; etc. Im Ganzen er- 


geben sich so 16-63 Schaaren, zu je 16 den 63 Gruppencharak- 
teristiken zugeordnet. 


In a,) sind wieder als Unterschaaren enthalten: die Curven mit den 
Abbildungen: 


L,(94s);::, Ls(0,%0,), L,(a,@)-ZL,, 
d. h. die 6 Doppeltangenten 


a,) bggy bgayyler, bias 


je verbunden mit einer oo°-Schaar von geraden <&® aus III, Nr. 3. Diese 
6 Doppeltangenten sind in der [12] zugehörigen Kegelschnittschaar nicht 
enthalten, irgend drei von ihnen bilden eine „gerade“ Berührungscurve, 
und die Berührungspunkte aller 6 liegen auf einer Curve 3'* Ordnung 
(da die Summe der 6-Charakteristiken von a) =o ist. Den 16 der- 
artigen Sechsersystemen,!) weiche zu [a] gehören, sind unsere 
zu [e@] gehörigen 16 »°-Schaaren einzeln zugeordnet. 


1) Andere theilweise bekannte Eigenschaften dieser Sechsersysteme werden später (Nr. 5, XV 
und Nr. 7, II) erwähnt. 


Si 


Die Curven P von (2) Nr. 1 liefern den Satz: 


Durch die 8 Berührungspunkte einer unserer Curven $%, 
durch deren 3 Doppelpunkte und durch die 2 Berührungs- 
punkte irgend einer der Doppeltangenten deszugehörigen 
Sechsersystems gehen &” Curven 4” Ordnung; durch die 
ersteren 11 Punkte und durch die 4 Berührungs- und den 
Schnittpunkt zweier dieser 6 Doppeltangenten »' Curven 
44® Ordnung. 


IV. Ungerade Berührungscurven ®®, mit je 2 scheinbaren Doppelpunkten. 


Aus den 28 Doppeltangenten i,= (($S)= 0 ergeben sich vermöge 
(2)—(6) von Nr. 1 für r=1,d=0,s—=3 ebenso viele Schaaren C’($)= 0 
von Curven &%, mit je zwei scheinbaren Doppelpunkten. Dabei wird 
P=o in (5) eine o’-Schaar von Curven 3'* Ordnung, welche 2 in einer 
Vollschaar von Gruppen von je 10 Punkten schneiden. So berührt 
also unsere Schaar &f) die Curve 2 in der Gesammtschaar von Gruppen 
von je 10 Punkten, welche zum System (ik) überhaupt gehören. Die 
Mannigfaltigkeit der Curvenschaar &f) selbst aber wird &°; denn ist 
&,°:@), eine solche Gruppe von 10 Punkten auf (2, so wird man zunächst 
durch a, ---«, und die beiden Berührungspunkte von t,, die eine der &’ 
Curven 3'* Ordnung, P=o, legen; sodann aber kann man für )=o von 
(5) irgend eine der ©' durch den dritten Schnittpunkt von P=o mit 
t,, gehenden Geraden wählen; man erhält so &' Curven 5'* Ordnung 
C(&)=o, welche alle 2 in «,0;::-a), berühren, durch y gehen und 
noch je 2 Doppelpunkte bez. in einem der &! Punktpaare haben, in 
welchen P=o von den »' Geraden Q = o getroffen wird. 


Die Bilder der Curvenschaaren $f) ergeben sich aus den der {,, 
indem man das Bild eines doppelt gerechneten Kegelschnitts L,(a}:---«2) 
hinzunimmt; also: 


9; Bild: Z,(a,a3:---a7), bez. Z,(ala}-:-a?). 


&%; Bild: Z, (aaa. a), bez. L,(aza;-- a.). 


4 


130 
V. Gerade Berührungscurven ®®, mit je drei scheinbaren Doppelpunkten. 


Diese Curvenschaaren ergeben sich einzeln aus den unter III, Nr. 3 
angegebenen 8-36 o°-Schaaren gerader P®, indem man die letzteren 
in (2)—(6), Nr. 1 für CO nimmt und daselbt r=3, d=1, s=4 nimmt. 
Es gibt also auch 8-36 solcher Schaaren $®, und jede erhält die 
Mannigfaltigkeit ©’, berührt also 2 in der zur betreffenden geraden 
Charakteristik gehörenden Vollschaar von Gruppen von je 10 Punkten. 
Ihre Bilder werden aus den &“®. von Il, Nr. 3 unter Hinzunahme des 
Bildes Z, (a, ---a,) einer doppelt gezählten Geraden erhalten; werden also: 

a) DV; Bild: 'Z,(e,---@,), bez. L,,(a---@), 

2) 29; Bild: Z.(@] a -- a2) , bez. ,2, (a, @- 2): 

b)) Bas; Bild: ZL,(arajaza,:-a,), bez. L,(ai az a,aj::a;), 

b,) Dia; Bild: Z,(ala,a,ay--a;), bez. L,(a} aza;a}--q;), 

b,) Di, Bild "Da, 0; a,aL aa:a,), be DL, @ na aaa): 

Da eine solche Schaar, wie die zugehörige &®, einem 7-System von 
Doppeltangenten zugeordnet ist (III, Nr. 3), und 2® in eine solche 
Gerade, verbunden mit co! Kegelschnitten, zerfallen kann, so hat man noch: 

Durch die 10 Berührungspunkte einer unserer Curven 
p®, ihre 3 Doppelpunkte und die 2 Berührungspunkte 
irgend einer der Doppeltangenten des zugeordneten 7-Sy- 
stems, 4, gehen »! Curven 4“ Ordnung, mit dem letzten 
Basispunkt in einem Schnittpunkt der &® mit der 4.. 


VI. Ungerade Berührungscurven ®®, mit je 4 scheinbaren Doppelpunkten. 


Nach der Abbildung hat man folgende &°-Schaaren: 
a) DD; Bild: Z,(a3a,---a,), bez. L,(alazaz:--as), 
%) Diy; Bild: Z,(a,a,a;--a;), bez. L,,(ataja}--a2a)), 
3%) 212; Bild: L,(arazazaja;a,q,), bez. L,(aia;azayasa;a;), 
a) PP; Bild: L,(ata,asa}--a}), bez. L,(aiasa,a}--a}). 
b) DV; Bild: L;(aiada,;--a,), bez. L,(ala}as--a}), 
b,) 29; Bild: Z,(ataz---a;), bez. L,(a?la3-..-a2a}), 
b,) 29; Bild: L,(alaza,a}--a?), bez. L,(atatata:--a}), 


use ee 


131 


mit den Vertauschungen von 1,---7. Dies gibt 27:28 &°-Schaaren, 
je zu 27 einem der 28 ungeraden Systeme (ik) angehörig. 


Die Zuordnung der einzelnen Schaaren zu Charakteristikengruppen 
ergibt sich aus den in jeder Schaar weiter enthaltenen Unterschaaren. 
In a,) ist enthalten als Bild: 


L,(a;:-a,)- L, (a,) - L, (@,) , 


d. h. die Doppeltangente ?,, welcher die Schaar zunächst zugeordnet 
ist, verbunden mit zwei Berührungskegelschnitten eines Systems; ferner 
die Doppeltangente Z,,, verbunden mit der »’-Schaar von [82] zugeord- 
neten Berührungscurven 2® aus I dieser Nummer; die übrigen in der 
Gruppe (12)+(81)=[82] enthaltenen 10 Doppeltangenten nur je mit 
Curvenschaaren $® aus II, Nr. 5, die letzten 16 Doppeltangenten je mit 
Schaaren &® aus III, Nr. 5 verbunden. Somit unterscheiden sich die 
(ek) zugehörigen 27 Unterschaaren &® nach den 27 von t,, verschiedenen 
Doppeltangenten, indem in einer solchen Schaar immer nur eine dieser 
27 Doppeltangenten mit einer 2® aus I, Nr. 5 verbunden vorkommt. 


Dies liefert auch die Abbildung unserer Schaaren nach Nr. 1. Für 
a.) gehe man zu dem Zweck in Nr. 1 aus von 


CO: BE, 


wo P% ein [82] angehöriger Berührungskegelschnitt ist (mit dem Bilde 
a,-L,(a,)), und betrachte also die beiden Schnittpunkte von i,, mit DR} 
als scheinbare Doppelpunkte ?,, %; von C. Die Curven 4'* Ordnung, 
P=o, von (2) Nr. 1, treffen dann nur #ß in o” Gruppen von je 2 
beweglichen Punkten; den durch £, und /, gehenden Kegelschnitten @, 
welche diese Gruppen ebenfalls ausschneiden, kann man also noch vor- 
schreiben, dass in /, die Richtungen von ?, Q@ harmonisch liegen zu denen 
von 0. Dann folgt aber Gleichung (6) von Nr. 1, und damit in den C 
die gesuchte &°-Schaar von 5%. Die vier Doppelpunkte einer 
solchen Curve liegen mit £,,ß, und mit zweien der Schnitt- 
punkte der Curve mit 50 auf einem Kegelschnitt; ihre 
10 Berührungspunkte, ihre 4 Doppelpunkte und die zwei 
Berührungspunkte von 4, bilden die 16 Basispunkte eines 
Büschels von Curven 4” Ordnung. 


132 


VII. Gerade Berührungscurven ®®, mit je 5 scheinbaren Doppelpunkten. 


Man gehe in Nr. 1 für die Curve Ü von einer aus drei Doppel- 
tangenten & 55, bestehenden geraden Berührungscurve $® aus, mit 
3 scheinbaren Doppelpunkten in deren Schnittpunkten /,P,fs (z. B. von 
igjtgoty mit dem Bilde a,-a,-Ls(a;:--a,), zu (0) gehörig). Die Curven 
4'= Ordnung P=o von (2) treffen C nur in festen Punkten; die durch 
Pi, Pa, Ps gehenden Kegelschnitte Q von (3) kann man dann so bestimmen, 
dass die Richtungen von P, @ in , mit denen von $,5 und in /, mit 
denen von $,& harmonisch liegen. Gibt man nun der Curve 


P—oeQ2=0 


einen weiteren Punkt auf 5, so erhält sie nicht nur $, sondern auch 
5& zum Factor und es existirt also wieder Gleichung (6), womit in den 
C’ eine »°-Schaar der gesuchten Curven P® gefunden ist. 

Solcher w»°’-Schaaren existiren also 56-36, je 56 in der 
allgemeinen, einer der 36 geraden Charakteristiken (oe) zu- 
geordneten Schaar von ©. Die 56 Schaaren von (e) sind 
einzeln den 56 Doppeltangententripeln zugeordnet, welche 
in der allgemeinen Schaar der &V enthalten sind. 

Die 5 Doppelpunkte einer &) liegen mit den 3 Schnitt- 
punkten des zugehörigen Doppeltangententripels auf einem 
Kegelschnitt; dieselben 8 Punkte, die 10 Berührungspunkte 
der $® und die 6 Berührungspunkte des Tripels liegen zu- 
sammen auf einer Curve 4 Ordnung. 


Die Abbildung ergibt: 
3) EP; Bild: L,(a}---a), bez. L,(aa2a}-.-a), zug. tatetıo, 
3) $; Bild: L, (a aala,:-a,), bez. L,(olaia2ai:-a), zug. kzkızag- 
bi) Piss; Bild: L,(a,:-a,), bez. L,,(a}--ajaza,a?), ZUg. az tesa, , 
b,) Piss; Bild: L,(a/aza,a,a,), bez. L,,(arazazaraza,a;), Zug. teste kıa, 
b,) Piss; Bild: L,(aja,a,a,a;a;), bez. L,(alatataladaza?), zug. tat bie, 
b,) Pi; Bild: L,(aja;a, a5 a;a,), bez. L, (a aa; 14450), ZUg. kaıbızlae, 


(6) . a 5 a DaB 
b,) Dis; Bild: L,(aigazaja,a,a,), bez. L,(a, adasalatatar), zug. hetıstw 


un u rt er ee 


133 


b,) BR; Bild: L,(a}-:ala;@;), bez. L,(a}--aja;a), zug. batyte; 

b,) 2%; Bild: L,(a, »azala5a;,@), bez. L,(atasazaza,ada?), zug. biotzshis, 
mit den Vertauschungen von 1,---7. In einer solchen w»°-Schaar ist 
besonders enthalten: irgend eine der drei Doppeltangenten des zugehörigen 
Tripels, verbunden mit einer entsprechenden Schaar von »' Curven $® 
aus II, Nr. 5. 


VIII. Ungerade Berührungscurven ®®), mit je 6 scheinbaren Doppelpunkten. 


Man hat die oo°-Schaaren: 
ap Bild Ta), bez E, (a0 Nor), 

a.) DV: Bild: L,(a,aasa,), bez. L,(m aa,a.a.aa)), 

a, 2% Bild: 2,.(0 @-::@,), bez. L,,(a, as.--:a&), 

an DU Bild: Z,(@, @0;:-a), bez. 2.,(ai a,a:..a;a:), 

&$P; Bild: L,(atada}ala,a,a,), bez. L,(a, a aalatat at). 
b,) 5; Bild: L,(a,a.a;), bez. L,(a} ajaza}--a,), 
DEP TDG. (00-0), bez 117(0,02.0:4,.:0,), 
bs), Pa Bild: 7, (a a,.0; aa.) ‚, bez. L,.(a: asasa; a; a).o?), 
b)) 29; Bild: L,(aalalda, a), bez. L,(adata}ar za; ai), 
b,) 23; Bild: L,(aa:azajaja?), bez. L,(ataza,aL aa; a), 
b,) PR; Bild: L,(ada,a}--a?), bez. L,(aja}--:a‘), 
mit den Vertauschungen von 1,-:-7. Dies sind 72-28 Schaaren, zu je 
72 in einem der 28 ungeraden Systeme («) enthalten. 

In a,) mit dem Bild Z,(a,), ist enthalten: 1) die Doppeltangente 2,,, 
verbunden mit 2 Kegelschnitten eines Systems [81]; 2) irgend eine der 
6 Doppeltangenten 

leo, bag," "bar, 
verbunden mit einer &°-Schaar von rationalen $® aus III, Nr. 5. Dieses 
Sechsersystem, welchem unsere Unterschaar 59) aus (81) eindeutig zu- 
geordnet ist, hat die Eigenschaft, mit Z,, verbunden eines der 8-36 Aron- 
hold’schen 7-Systeme von III, Nr.3 zu liefern. Solcher 7-Systeme, welche 
t,, enthalten, gibt es in der That nt 


28 
zu jeder der 36 geraden Charakteristiken gehörigen Systemen. 


— 72, nämlich je 2 unter den 8 


134 


Hiernach leitet man eine unserer Schaaren mittels Nr. 1 ab, indem 
man von einer Qurve 


O = bgo bez bggbgs Lo: 


ausgeht, und in ihr die 6 gegenseitigen Schnittpunkte von fg, Laz, Ley, ia 
als scheinbare Doppelpunkte (P,,--:,) betrachtet r=5, d=6, s=5), 
wodurch man unmittelbar zu (6), Nr. 1 gelangt. Die 6 Doppelpunkte 
einer so abgeleiteten #£{) liegen mit den 6 Eckpunkten ß,---P, des voll- 
ständigen Vierseits dj, £gz fg, t;; auf einer Curve 3‘ Ordnung, die auch durch 
die 3 wirklichen Schnittpunkte von 2{) mit t,, geht; und jene 15 Punkte, 
die 10 Berührungspunkte von &%), und die 10 Berührungspunkte von 
Ügp bog bay kan lg, liegen auf einer Curve 5'* Ordnung. 


IX. Berührungscurven ®%, mit je 4 scheinbaren Doppelpunkten. 


Man hat 63 verschiedene &''-Schaaren, welche (2 in ©’ Gruppen 
von je 12 Punkten berühren, und welche sich aus den 63 «'-Schaaren 
von &® in I, Nr. 3, oder den 63 »°-Schaaren von &® in L,Nr.5 ein- 
zeln nach Nr. 1 ergeben. | 
Die 12 Berührungspunkte und die 4 Doppelpunkte einer solchen 
& bilden die 16 Basispunkte eines Büschels von Curven 4'” Ordnung; 
dieselben 16 Punkte liegen mit den 8 Berührungspunkten einer zuge- 
hörigen &* und deren Doppelpunkte auf einer Ourve 5‘ Ordnung, durch 
deren 10 weitere Schnittpunkte mit &® auch &® geht. Diese 10 Punkte 
und die 5 Doppelpunkte liegen auch auf einer Curve 3'* Ordnung. 
Die .Abbildungen ergeben sich aus Nr. 3, I durch Zufügung von 
Ls (ar: @;), zu 
a) 8; Bild: L,(ala3---a), bez. L,(alas:--@:). 
b) PB; Bild: "Z, (ei --aza;a,ar), bez. L,.(e}--a;aza.). 


c) 29; "Bild: L,(eiaza}--a‘), bez. L,(a? a0; ---@.). 


X. ®©%, mit je 5 scheinbaren Doppelpunkten. 


Dieselben sind nach Nr. 1 abzuleiten aus Doppeltangentenpaaren, 
deren Schnittpunkt als scheinbarer Doppelpunkt betrachtet wird; die so 
entstehenden &'"-Schaaren sind also einzeln den Schaaren &® von Nr. 5, Il 


135 


zugeordnet. Es gibt deren, wie dort. 6-63. Die 12 Berührungspunkte 
einer solchen Curve &®% und ihre 5 Doppelpunkte liegen mit den 4 Be- 
rührungspunkten des zugehörigen Doppeltangentenpaars und dessen Schnitt- 
punkt (und mit je einem Schnittpunkt der beiden Doppeltangenten mit 
p®) auf einer Curve 4“ Ordnung, mit den 8 Berührungspunkten einer 
zugehörigen P® von II Nr.5 und deren 2 Doppelpunkten auf einer 
Curve 5'* Ordnung. Die Berührungsgruppen einer &'-Schaar von $® 
auf (2 bilden eine »°-Vollschaar. 

Die Abbildungen ergeben sich aus II, Nr.5 durch Zufügung von 
L;(a,:--a,) zu 


a) DW; Bild: L,(a, asa5:--a;), bez. L,(a?adaz---a}); etc. 


XI. ®%, mit je 6 scheinbaren Doppelpunkten. 


Dieselben sind nach Nr. 1 einzeln den Schaaren &® von III, Nr. 5 
zugeordnet, bilden also 16-63 &°-Schaaren, welche aber 2 in Voll- 
schaaren, je 16 in derselben Vollschaar, berühren. Durch die 12 Be- 
rührungspunkte einer solchen Curve &, durch deren 6 Doppelpunkte, 
durch die 2 Berührungspunkte irgend einer der Doppeltangenten des 
zugehörigen Sechsersystems (s. Nr. 5, II) und durch einen Schnittpunkt 
derselben mit &® gehen ©” Curven 5'* Ordnung. 

Die Abbildungen erhält man aus III, Nr. 5 wieder durch Zufügung 
von L,(a,45'--Q,) zu 


a) DW; Bild: L,(alaza,--a,), bez. L,(alaza}--ad); etc. 


XII ®®%, mit je 7 scheinbaren Doppelpunkten. 
Die Abbildung einer dieser &"-Schaaren wird: 
a) DS; Bild: L,(aa,---a,), bez. L,(aa:--a). 


Diese Schaar ist zunächst der Gruppe [81] zugehörig. Enthalten ist 
in ihr: 1) Z,,, verbunden mit einer &’-Schaar von 2 aus Nr. 5, V, a,); 
2) irgend eine der 6 Doppeltangenten 


a) bgo, bsgy‘ Tan, 


Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 18 


136 


je verbunden mit einer o‘-Schaar von <b® aus Nr. 5, VI; 3) irgend eine 
der 6 Doppeltangenten 

a) bio, bsy bin, 
je verbunden mit einer o*-Schaar von $® aus Nr. 5, VIII. Dabei ist 
t,, eine der 16 nicht in [81] enthaltenen Doppeltangenten; a,) und a,) 
sind die beiden Systeme von 6 Doppeltangenten, welche, mit i,, verbunden, 
zu den 8 Aronhold’schen 7-Systemen gehören, die der geraden Charak- 
teristik [81] + (81)=(0) zugeordnet sind. Da a,) und a,) zu a,) sich 
ungleichartig verhalten, erhält man also, zu [81] gehörig, 16-2 Unter- 
schaaren. Im Ganzen gibt es 16-2-63 unserer Schaaren. 

Man leitet eine solche Schaar nach Nr. 1 dadurch her, dass man 
von einer zerfallenden Curve 4“ Ordnung, C, mit 4 scheinbaren Doppel- 
punkten ausgeht; nämlich für a,) von einer Doppeltangente Z,,, verbunden 
mit einer geraden Berührungscurve &$ mit einem scheinbaren Doppel- 
punkte (Nr. 3, III), wobei auch die 3 Schnittpunkte von t,, mit Pß als 
scheinbare Doppelpunkte zu betrachten sind. Lässt man auch &f) zer- 
fallen in t,, und einen von den ©! Berührungskegelschnitten [82], so folgt: 

Die 12 Berührungspunkte von &® ausa,) dieser Nummer 
liegen mitden 7 Doppelpunkten dieser Curveauf ©’ Curven 
5'® Ordnung; mit diesen, den 4Berührungspunkten und dem 
Schnittpunkte von &,, i& und mit einem Schnittpunkt von 
to mit 59 auf o! Curven 5’ Ordnung; diese 2 Punkte mit 
jenen 7 Doppelpunkten auf »'! Curven 3'%* Ordnung. 


XIII. ®©@%, mit je 8 scheinbaren Doppelpunkten. 
Die Abbildung einer dieser &’-Schaaren ist: 
DI; Bild: 7, (a a,a,@.a,): 
In derselben sind ausgezeichnet enthalten: i, und %,, je verbunden 
mit einer »°-Schaar von Curven 2® aus VI, Nr.5. Dies sind zwei in 


der Gruppe [8123] enthaltene Doppeltangenten, welche aber aus zwei 
verschiedenen der 6 Paare von [8123] genommen sind. Somit gibt es 


innerhalb einer Gruppencharakteristik [«] - -4—= 60 verschiedene unserer 


Schaaren, im Ganzen 60:63 &’-Schaaren. 


tar 


Um die obige Schaar mittels Nr. 1 abzuleiten, kann man von einer 

Curve 
C= ep: taz - b2 

ausgehen, indem man die 5 gegenseitigen Schnittpunkte der 3 Curven, 
aus welchen (© besteht, als scheinbare Doppelpunkte von (© betrachtet: 

Die 12 Berührungspunkte einer &®, ihre 8 Doppelpunkte, 
die4 Berührungspunkte deszugehörigen Doppeltangenten- 
paars und dessen Schnittpunkt bilden die 25 Basispunkte 
eines Büschels von Curven 5 Ordnung; der letztere Punkt 
liegt mit den acht Doppelpunkten der &® auf »' Curven 
3 Ordnung. 


XIV. ®©®, mit je 9 scheinbaren Doppelpunkten, 


Eine Schaar ist: 
Pi; Bild: L,(a;a,a;). 
In dieser o°-Schaar ist ausgezeichnet enthalten: irgend eine der 
4 Doppeltangenten 
lgı, tg9, leg, lgı, 
je verbunden mit einer »°-Schaar von Curven 2® aus VII, Nr. 5. Die 
4 Doppeltangenten bilden ein Quadrupel derart, dass keine derselben in 
der Gruppe [1234] vorkommt und irgend drei derselben eine gerade 
Berührungscurve &®) bilden. Solcher Quadrupel, [1234] zugeordnet, gibt 
16-15-.8-1 
1-2.3-.4 
unserer o»°-Schaaren $®. 


— 80. Es eıbt somit 80-63 zsleichberechtigte 


Mittels Nr. 1 lässt sich eine solche Schaar aus dem zugehörigen 
Quadrupel als Curve © ableiten, indem man deren 6 gegenseitige Schnitt- 
punkte als scheinbare Doppelpunkte von (© betrachtet: 


Die 12 Berührungspunkte einer &®, ihre 9Doppelpunkte, 
die 6 Eckpunkte des aus dem zugehörigen Quadrupel ge- 
bildeten Vierseits und die 8 Berührungspunkte dieses Vier- 
seits liegen auf einer Curve 5 Ordnung; die 9 Doppel- 
punkte mit jenen 6 Eckpunkten auf einer Curve 3% Ord- 
nung. 

18* 


138 


XV. ©, mit je 10 scheinbaren Doppelpunkten. 


Eine »°-Schaar ist: 
DB Bldı DE). 


Dieselbe enthält besonders: irgend eine der Doppeitangenten 


bsg, bg4 be; , bgs ber» be, 

je verbunden mit einer o°-Schaar von &® aus VIII, Nr. 5. Die 6 Doppel- 
tangenten, denen unsere Schaar, nach [81], weiter eindeutig zugeordnet 
ist, bilden eines der in III, Nr. 5 besprochenen Sechsersysteme. Es 
gibt eine einzige Gruppe, [12], welche keine der Doppeltangenten des 
Sechsersystems enthält; aber zwei verschiedene Gruppen, nämlich ausser 
[81] auch [82], welche alle 6 Linien des Systems enthalten. Zur Gruppe 
[81] existiren aber 32 verschiedene Gruppen, welche zu [81] in analoger 
Beziehung stehen, wie [82]. 

Somit gibt es 32-63 unserer »’-Schaaren. 

Zur Ableitung einer Schaar nach Nr. 1 kann man ausgehen von 
einer Curve 

Clip : bg Liga Los lige bar » 
indem man die 10 Ecken des aus ty: :-t4, gebildeten vollständigen 5-Seits 
als scheinbare Doppelpunkte von (© betrachtet: 

Durch die 12 Berührungspunkte und die 10 Doppelpunkte 
einer 5®, sowie durch die 8 Berührungspunkte von vier Linien 
des zugehörigen Sechsersystems und deren 6 Schnittpunkte gehen 
©'!Curven 6‘ Ordnung; durch diese 6 Punkte und jene 10 Doppel- 
punkte »'! Curven 4“ Ordnung. 


6. Uneigentliche Berührungsschaaren. 


I. Die uneigentlichen, zu [o] gehörenden Berührungscurven sind nur 
solche von gerader Ordnung, welche vermöge 2, —= 0 durch doppelt ge- 
zählte Curven ersetzt werden können. Indessen gibt es doch darunter 
ausgezeichnete Schaaren, auf welche ebenfalls die Betrachtungen von 
Nr. 1 Anwendung finden, und welche der Vollständigkeit halber für 7% 
und #%° aufgezählt werden sollen. 


er er IR 


139 


A. Als 7% hat man so zunächst die Gesammtheit von &° Berührungs- 
curven 4“ Ordnung: 


05-1.0=0, 


ohne scheinbare Doppelpunkte; abgebildet durch L,(al---a); irgend zwei 
der Curven treffen sich in 8 wirklichen und 8 scheinbaren Schnittpunkten, 
die je auf einem Kegelschnitt liegen. 

B. Darin enthalten sind 63 Unterschaaren, von der Mannigfaltig- 
keit &°,; von denen jede Schaar 2 so berührt, wie die Paare der Kegel- 
schnitte eines Gruppensystems [@]. Nimmt man in einem solchen Paar 
statt eines der Kegelschnitte den mit ihm im andern Blatte vereinigt 
liegenden, so erhält man eine ©’-Schaar von #9, je aus zwei 
Kegelschnitten eines Gruppensystems [«a| bestehend, die 
sich in 4 scheinbaren Schnittpunkten treffen, also »? #% 
mit je 4scheinbaren Doppelpunkten. Solcher quadratischer &°- 
Schaaren gibt es 63; die Berührungsgruppen einer Schaar, einfach ge- 
nommen, bilden eine lineare &’-Schaar auf 2. Die Bilder der 63 Schaaren 
sind: 

a), Dis, Bild: D,(ay, bez Lı(aa:::@). 
b) Pu; Bild: Z,(a}--a,), bez. L,(a- aa). 
e) Pf; Bild: 2,(alag---af), bez. L,(a5a;- ar). 
Ist für das System: [«]: 
06 —B=12, 
wo (,,0;,B, Kegelschnitte sind, so wird 


(@+22B, +26)(, +2uB+wW#C)—[G,+(+u)B,+iu0]) = 


= —u) 2. 
Hier steht im ersten Term eine beliebige Curve der &’-Schaar FL, 
als deren Parameter A4+ u, Au aufzufassen sind. Für u= —ı folgt 


daraus, dass die 4 Schnittpunkte von ,=o, =o und die 
4 Berührungspunkte irgend eines zum selben System ge- 
hörigen Kegelschnitts (,+24B,+2%0,=o auf einem Kegel- 
schnitt liegen. Dieser bekannte Satz!) ergibt sich auch als specieller 


1) Ein specieller Fall desselben findet sich zuerst bei Hesse, Cr. J. 49, p. 300. 


140 


Fall unserer Betrachtungen von Nr. 1, angewandt auf zwei Curven #9 
einer Schaar, da man aus denselben unmittelbar schliesst: 

Die 8 Berührungspunkte und 4 Schnittpunkte irgend 
zweier Kegelschnitte einesSystems[«] bilden mit den 4 Be- 
rührungspunkten irgend eines dritten Kegelschnitts aus 
[«] die Basispunkte eines Büschels von Curven 4” Ordnung. 
Man hat zu jenem Zweck nur zu beachten, dass die genannten 8 Be- 
rührungspunkte auf einem Kegelschnitt liegen. 


C. Als ?® hat man zuerst die Gesammtheit der ©" Curven 
Gs TE Q N) 
mit je drei scheinbaren Doppelpunkten, abgebildet durch Z,(a}-- as). 

D. Sodann hat man 28 verschiedene »°-Schaaren von Curven ZN, 
einzeln zugeordnet, ausser [o], den 28 ungeraden Charakteristiken (e). 
Jede Curve hat 6 scheinbare Doppelpunkte. Die Abbildungen der Schaaren 
sind: 

a) Pi; Bild: L,(a}- a), bez. L.(ata;:--Q,). 
b) Fils; Bild: L,(alagaz--a,), bez. Lulaiazaz--a,). 


Diese 28 Schaaren sind einzeln auf die 28 Schaaren von ungeraden 
$® aus U, Nr. 3 derartig zu beziehen, dass je zwei Curven aus einer 
Schaar &Ü auch eine Curve der entsprechenden #2 bilden. Daher lässt 
sich eine Schaar 7% auch aus einer Curve 4“ Ordnung PP-t,, wo t, 
die zu («) gehörige Doppeltangente ist, nach Nr. 1 ableiten, indem man 
die 3 Schnittpunkte von it, mit $® als scheinbare Doppelpunkte von 
P®.t, betrachtet. 

Die 12 Berührungs- und 6 Doppelpunkte von #%, liegen mit 
den 8 Berührungspunkten von &.t, und den drei Schnittpunkten 
von £, mit $® auf einer Curve 5'* Ordnung. Die letzteren 3 Punkte 
liegen mit den 6 Doppelpunkten von 2 auf einer Curve 
3°" Ordnung, diese. 6 Punkte daher auf einem Kegelschnitt. 

Durch die genannten 12 + 6 Punkte von 7% und die zwei Be- 
rührungspunkte von it, gehen &* Curven 5'* Ordnung; diese 20 Punkte 
bilden also den vollständigen Schnitt einer Curve 4” und 5“ Ordnung. 
Und da die ersten 12 Punkte auf einer Curve 3'* Ordnung liegen, so 


Ah ie ee un Mi 


141 


folgt: der Kegelschnitt durch die 6 Doppelpunkte von #0 geht 
auch durch die beiden Berührungspunkte von t&,. 


Analytisch sei 
(Ei In —.8; 


so ıst in Nr. 1 zu setzen 


und 
P=KR,(ıS+ AD) ne LO Dr, 
wo K,,5, willkürliche Functionen ersten und zweiten Grads. Dann folgt 
(6), wo 
El, +.DBOYPH2K, Kt HAB) + KT C+418,0. 


Für die 6 Doppelpunkte von €’ wird P=o, Q=o, ohne dass it, $® 
oder &,=0o dafür o wäre; daher folgt dafür 


DIR, UuUR =D, 


ein auch durch die beiden Berührungspunkte i, = 0, K, = o von £, gehender 
Kegelschnitt. 

E. Ferner hat man 63 verschiedene »°-Schaaren von Curven P% 
mit je 7 scheinbaren Doppelpunkten; einzeln nach [o], den 63 Gruppen- 
charakteristiken [«] zugeordnet; mit den Abbildungen: 


a) PA; Bild: Z,(ala,---a,), bez. L,s(ajaz-- ai). 
6). 1 . b) 3 3 D „3 3 
c) Pin; Bild . Tr (a (de Az un a), bez. I, (@, As Az Eh a7) . 


In einer solchen »°-Schaar #® sind enthalten: die doppeltgezählten 
Geraden, verbunden mit der vorher genannten &°-Schaar von ai die 
aus Kegelschnittpaaren [«] besteht. Die ganze Schaar ea lässt sich also 
aus or nach Nr. I ableiten, für r —A, dA, s=5: 

Die 12 Berührungs- und 7 Doppelpunkteeiner #%) liegen 
mit den 8Berührungs- und 4 Schnittpunkten irgend zweier 
Kegelschnitte des Systems [a] auf einer Curve 5 Ordnung, 
diese 4 Schnittpunkte mit jenen 7 Doppelpunkten aufeiner 
Curve 3'* Ordnung. 


142 


ee IE Pr | 


F. Endlich gibt es 8-36 verschiedene »°-Schaaren von Curven F® 
mit je 10 scheinbaren Doppelpunkten; einzeln den 8-36 Aronhold’schen i 
Sr von Doppeltangenten zuzuordnen. Die Bilder sind: i 


a), 20811077234 ;beza Zi (ai= a), 

%) PR; Fra: L,(al az:--a2), bez. L,o(a,::@;). 

b) FR»; Bild: L, (a @a;), bez. Z,(0@asa}-:a,), 

b;) Pain; Bild: L,(aa ar), bez. L,(mayaya;:-@,), 

b,) Pils; Bild: L,(eiaiasaia;), bez. L,(ai aa; a; nz aza.). 

Als ausgezeichnet treten in einer solchen Schaar PF£)) auf: die in 
irgend 2 Curven der zugeordneten Schaar © von Nr. 3, III zerfallenden 
Curven; solche zwei Curven haben 8 scheinbare Schnittpunkte, welche 
mit den beiden Doppelpunkten der beiden PC zusammen die 10 schein- 
baren Doppelpunkte der speciellen 7% bilden: 

Die 12 Berührungs- und 10 Doppelpunkte einer Gurve 
Y%, liegen mit den 6 Berührungs- und dem Doppelpunkte 
einer zugeordneten & (von Ill, Nr. 3) und mit 2 Schnitt- 
punkten der 2, 7), auf ©’ Ourven 6 Ordnung; jene 22 
Punkte mit den 2 Berührungspunkten irgend einer der 
7Doppeltangenten deszugeordneten 7-Systems auf »' Curven 
6" Ordnung. 

II. Zu uneigentlichen Berührungsschaaren mögen wir auch solche 
rechnen, welche zwar nicht zu [0], sondern zu einem der übrigen Charakteri- 
stikensysteme gehören, aber doch nur aus Curven bestehen, die alle zer- 
fallen. Von den Öurven &®% treten als solche Schaaren noch auf: 

Die 63 &°-Schaaren &), deren Curven aus je 3 Kegelschnitten einer 
© '-Schaar [«] bestehen, den 63 verschiedenen [©] zugeordnet; Curven 
mit je 12 scheinbaren Doppelpunkten. Die Abbildungen sind: 


a) DE; Bild: L;(a}), bez. D,,(aja:---a,), 
b) Ei; Bild: L,(a}--a;), bez. L(al--aiafata}). 
c) 5%; Bild: L,(a°a}-.-a?), bez. L,(a3a3::-a3). 
Die 12 Berührungs- und 12 gegenseitigen Schnittpunkte 


von irgend drei Kegelschnitten eines Systems [«] liegen 
mit den 4 Berührungspunkten irgend eines vierten Kegel- 


145 


schnitts desselben Systems [e] auf ©’ Curven 6'* Ordnung, 
mit den8Berührungs- und 4Schnittpunkten irgend zweier 
Kegelschnitte von [«] auf ©' Curven 6'* Ordnung, mit den 
12 Berührungs- und 12 Schnittpunkten irgend dreier Kegel- 
schnitte von [eo] aufeiner Ourve 6‘ Ordnung. Die 12 Schnitt- 
punkte von irgend dreien der Kegeischnitte aus [a] bilden 
mit den 4 Schnittpunkten von irgend zweien der Kegelschnitte 
aus [e] die Basispunkte von »'Curven 4 Ordnung, und liegen 
mit den 12 Schnittpunkten von irgend drei andern der 
Kegelschnitte [«] auf einer Curve 4 Ordnung. 


%. Speeielle Schnittpunktsätze. 


I. Die Betrachtungen von Nr. 3 führen, nach Nr. 1, nur auf be- 
kanntere Schnittpunktsätze. Nimmt man zuerst inNr.l:r=1,5s=2 
und lässt die Curve C, bez. O,, von (15) Nr. 1 in je 3 Doppeltangenten 
zerfallen, so hat man nach den dortigen Sätzen oder dieser Gleichung (15): 
von den 9 Schnittpunkten von C, mit C, sind 6 scheinbare auf einem 
Kegelschnitte, 3 wirkliche auf einer Geraden gelegen. Genaueres liefert 
die Abbildung in Nr. 3, II: 


Es gibt (5040) verschiedene 6-Systeme von ungeraden Charakteristiken 


(e), (P); (e), (P)); (@3), (Ps) 
der Art, dass die Summe aller 6 zu o wird, die Summe von dreien aber 


2-4mal ungerade, 2-6mal gerade wird. Die geraden Combinationen 
seien hier: 


(«Pa), («PPpı); (ef o,), («PB P3); (aß), (4 PıP); 
die ungeraden: 


(0 0, %,), (oa, Ps), (e P,0,), (ePıß2); 


man theile die 6 Charakteristiken in 3 Paare, wie oben, was nur auf 
eine Weise geht; dann liegen die 3 Schnittpunkte von 4 mit 
Fond mit %; von%, miti,.auf einer Geraden, die 6 
übrigen Schnittpunkte der beiden perspectivischen Dreiecke 


ba ba, bay» ig EB, ip, ’ 
Abh.d.II.Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 19 


144 


also von 1, mit gig, von %, mit igtz,, von t, mit detg, auf 
einem Kegelschnitt. (Hesse, Cr. J. Bd. 55.) 

In dem obigen 6-System kann man die 2 ersten Paare willkürlich 
als 4 Doppeltangenten aus irgend einem Aronhold’schen 7-System wählen, 
wonach das dritte Paar bestimmt ist (Aronhold, a. c. O.). 

Nimmt man aber in Nr. 1 für C und CO’ zwei gerade, in je 
3 Doppeltangenten zerfallende Berührungseurven aus einer Schaar von 
III, Nr. 3, z. B. mit der vorstehenden Bedeutung die beiden Curven 


O=tstzin, teten 


so müssen die scheinbaren Doppelpunkte =1g=o von (, „=1g,= 0 
von C’ und der wirkliche Schnittpunkt £,=t,=o von C mit 0’ auf 
einer Geraden liegen: was nur wieder der vorhergehende Satz ist. Aber 
es folgt weiter: 

Bie 12 Berührungspunkte unseres Systems von 3 Doppel- 
tangentenpaaren liegen mit den 3 Doppelpunkten dieser 
Paare auf einer Curve 3% Ördnung.') 

II. Hat man ein Sechsersystem von Doppeltangenten der Art III, 
Nr. 5, nämlich 


bay lagy' ' "Tagı 


wo [da] =0 und die Summe von irgend drei der 6 ungeraden 
Charakteristiken «,,:--«, gerade ist (es gibt 1008 solcher Systeme), so 
hat man für zwei Curven 


= La, ba, bag» C’= ba, ta, 7 
eine Gleichung 
verzo 


wo aber K kein vollständiges Quadrat wird, weil C und C’ nicht Curven 
einer Schaar von III, Nr. 3 sind. Daher umhüllen jene 6 Doppel- 
tangenten einen Kegelschnitt K (Hesse, Cr. J. 55); daraus folgt 
weiter nach einem bekannten Kegelschnittsatze, dass die drei Eck- 
punkte des Dreiecks t,ta,ta, mit den drei Eckpunkten des 
Dreiecks t.,t..t«, auf einem Kegelschnitt liegen. 


1) De Paolıs, a. e. 0.Nr. 41. 


145 


Dasselbe schliesst man auch aus Nr. 5, III, indem man diese Eck- 
punkte je zu den 3 scheinbaren Doppelpunkten von zwei der dortigen 
rationalen Berührungscurven einer Schaar &® nimmt. So wähle man 
etwa aus a,) ll, Nr. 5 die beiden Curven 

= bozbgslas bar, O4 leolarkıe ler; 

wobei f,, und t,, in beiden Blättern übereinanderlaufen; dann liegen die 
3 Eckpunkte von tgty, 6, mit denen von ty;te,t;; auf einem Kegelschnitt. 
Aber dieser Kegelschnitt geht auch durch die zwei wirklichen Schnitt- 
punkte von C, mit O,, welche hier in die von ti, mit Z,, übergehen, 
d. h. in die beiden Berührungspunkte der Doppeltangente t,. Verallge- 
meinert man dieses, so lässt sich also der obige Satz von II dahin er- 
gänzen: 

Theilt man ein Sechsersystem (a,),---(«,) von 6 ungeraden 
Charakteristiken, deren Summe = o und deren Combinationen 
zu drei alle gerade sind, irgend wie in zwei Theile 


(23), (03), (@5); (4), (05); (0%); 

so gibt es nur eine ungerade Charakteristik («e), welche mit 
irgend zwei Charakteristiken des ersten Theils oder mit 
irgend zwei des zweiten Theils verbunden Gerades, mit 
irgend einer der Charakteristiken des ersten und irgend 
einer des zweiten Theils zugleich verbunden Ungerades 
lieferte Durch die 3 Eckpunkte von i,tata, und die 3 Eck- 
punkte von i,,t.,ta, geht ein Kegelschnitt, welcher auch durch 
die Berührungspunkte von 4, geht. 

Durch dieselben 6 Punkte und durch die 12 Berührungspunkte der 
beiden Dreiecke geht auch eine Curve 4'* Ordnung, welche 2, in den 
beiden Berührungspunkten von {, berührt und welche an jeder der 
6 Ecken harmonisch läuft zu jenem Kegelschnitt und dem diese Ecke 
bildenden Doppeltangentenpaar. 

Derselbe Satz ergibt sich endlich auch aus dem Satze von Nr. 6, ID, 
wenn man eine dortige 7” in eines unserer Sechsersysteme zerfallen 


0, 
lässt; etwa aus einer dortigen Schaar b) die Curve 


bgg bya bg5 i bgg lyr bie 


146 


herausnimmt, deren Bild wird: 
56). u 2 2 
Fe: L;(ai 0 03 0030,45) = 0; 4 Az L3(Q, 0,07) Lz (a Q,Q5Q,) Lz(Qz '- -Q,). 


III. Man lasse in III, Nr. 3 die gerade Curve & in 3 Doppel- 
tangenten zerfallen, so liefert der dortige Satz: 


Nimmt man irgend 2 Paare von Doppeltangenten 
ba ,tB; ba, EBı5 
(Pa), (aß Ppı) 
(aa, P1), (Buß) 


ungerade sind, so gehen die ©' Curven 3® Ordnung, welche 
man durch die 8 Berührungspunkte der 4 Doppeltangenten 
legen kann, auch durch den Schnittpunkt von 4 mit Lg. 


derart, dass 


gerade, aber 


Noch allgemeiner hat man nach dem Satze von Nr. 5, I: 

Seien Z, und ig irgend zwei Doppeltangenten, und 2. 
ein Berührungskegelschnitt, der zu irgend einer Gruppe 
[y] gehört, für welche 


Ye) und 7P) 


ungerade sind und [y«P] verschieden von 0; so gehen die 
©'Curven 3" Ordnung, welche man durch die 8 Berührungs- 
punkte von &,, te, 2, legen kann, auch durch den Schnitt- 
punkt von & mit 5. 

IV. Aus Nr. 3, III und Gleichung (6) von Nr. 1 folgt: 

Sollen drei Gerade, t., tg, t., eine gerade Berührungs- 
curve an eine Öurve 4“ Ordnung, ,, bilden, so können die 
3-2 Berührungspunkte nicht willkürlich auf denselben an- 
genommen werden; aberes genügt, durch den Schnittpunkt 
Sog von t„ und fg und durch einen beliebigen Punkt $, von 
i«, eine Curve 3'® Ordnung zulegen, welche in S,5, harmonisch 
läuft zur Geraden (8,48.,) und zum Paar it, und für die 
6 Punkte den weiteren Schnitt dieser Curve 3% Ordnung 
mit Zutgt., zu nehmen. 


147 


Der weitere Schnittpunkt von (S5,#5.,) mit dieser Curve 3'* Ordnung, 
P=0, ist dann der Doppelpunkt einer Curve 3‘ Ordnung, welche 2, in 
den weiteren 6 Schnittpunkten von (2, und ? berührt. 

V. Aus Nr. 5, III entnimmt man: 

a) Man habe fünf Doppeltangenten 
ba; 85 by, t5; be 
derart, wie 


bay, Ego; koa, bis; Las; 
nämlich so, dass 


(«PB y), («P9), (ed), (Bye), Y IE 


(«Be), (ey), (By 9), (e79, (BI, («Prde 
aber gerade sind; so gehen durch die 10 Berührungspunkte 
derselben und durch die 3Schnittpunkte von £, mit t;, von 
f& mit £, und von fg; mit i5 ©’ Curven 4 Ordnung. (Auch nach 
Ne. 5, V). 


Ferner: 


ungerade, 


b) Sind 5 Doppeltangenten 
La‘ , ip, by; ig, le, 
(OR (0° 8 9), (Ey) 
ungerade, die übrigen Combinationen zu 3 und die zu 5 ge- 
rade sind (wie de, iss, Lar; bie, Zu), So gehen durch die 10 Be- 


rührungspunkte derselben und durch die Ecken des Drei- 
ecks (tvigt,) ©” Curven 4” Ordnung. 


derart, dass 


c) Nimmt man 2-4 Doppeltangenten 
ba; Ip; ty, la; le; tg, by, to 
(«)= (81), (= (82), 7 = (24), ‘= (13), 
(@) = (85), (#) = (86), Y = (8), =(12), 
so liegen deren 16 Berührungspunkte mit den 3 Schnitt- 


punkten (f.t5), (tat,), (igts) und den Ecken des Dreiecks (tv t,) 
auf einer Curve 4” Ordnung. Die letzten 3 Ecken liegen 


derart wie 


148 


mit den 5 aufeinanderfolgenden Ecken des unvollständigen Fünf- 
seits (l,tatgtstst,) auf einem Kegelschnitt. 

Der letzte Theil des Satzes ergibt sich auch aus Nr. 5, V, VII oder X. 

d) Nimmt man aber 2-4 Doppeltangenten jener ersten Art: 


bgı5 Tg, Cor, bızz Ügor Izay Lg sr ae» 


so liegen deren 16 Berührungspunkte mit den 6 Schnittpunkten 


(ber kgo), (baıloa), (ao kız); (ksslzs), (las les) , (ly4 las) 
auf einer Curve 4 Ordnung; und die 8 aufeinanderfolgenden 
Ecken des unvollständigen Achtseits 
(kas bg, lgo biz bgg Igg ly4 byg ly4) 
auf einem Kegelschnitt (das Achtseit ist dadurch ausgezeichnet, dass je 
drei aufeinanderfolgende Linien zusammen eine ungerade Berührungs- 
curve 3'* Ordnung bilden, zugehörig zu einer im Achtseit nicht vor- 
kommenden Doppeltangente). 
e) Von 6 Doppeltangenten der Art: 


bgı 5 Ugo, bog, biz; Lp5r Lge 


liegen die 12 Berührungspunkte mit den 4 Schnittpunkten 
(da bg), (ber 624), (bee bis), (ie; bes) 


auf ©' Ourven 4 Ordnung. Ebenso liegen die 12 Berührungs- 
punkte der 6 Doppeltangenten der Art 
bgs, bpg, Lan; Ua; Le, Le 


mit den 4 Schnittpunkten 


(bestes), (des ter), (lesbar); (kai lee) 
auf ©' Curven 4” Ordnung (auch nach $ 5, VI, zu schliessen). 


VI. AusNr. 5, V folgt, indem man zwei Curven einer Schaar in je 
5 Doppeltangenten zerfallen lässt: 


10 Doppeltangenten der Art: 
lgı, go, by4, biz, b345 bgs bgr , bar, bs, be 


haben die Eigenschaft, dass folgende 15 Schnittpunkte (je 
3 auf einer derselben) 


149 


(Esı go) , (ksı bg ) B) (is 120) ? (is 126) ’ (ie by) ’ 
(des 120) ’ (be, 1269) )) (dis bg7) ’ (&ıs bi), (bis b5;) ) 
(der iss) ’ (bi bz4) ) (ber tz) ) (ker bg) ? (bag 4) D) 
auf einer Curve 3 Ordnung liegen. Dieselben 15 Punkte 


liegen mit den 20 Berührungspunkten der 10 Doppeltangenten 
auf einer Curve 5 Ordnung. 


VII. Aus Nr. 5, VIII erhält man, indem man die beiden Curven 
einer Schaar 
bgı, Uno bası bgız bar; bas, Iasr ları ar Car 
betrachtet, folgenden sich auf 2 Aronhold’sche Systeme mit denselben 
4 Doppeltangenten beziehenden Satz: 


a) Die 6 Ecken des vollständigen Vierseits (tgl letz.) 
liegen mit den 6 Ecken der beiden Dreiecke (kytg,1g,) und 
(tgrtz76;) und mit den 3 Schnittpunkten 


(be; ber) ’ (dee b;:) B) (te; tz), 
auf einer Curve 3" Ordnung; diese 15 Punkte mit den 20 Be- 
rührungspunkten der 10 Doppeltangenten auf einer Curve 
de Ordnung. 
(Die beiden Dreiecke und die genannten 3 Schnittpunkte begründen 
gerade eine bekannte Grassmann’sche Erzeugung der Curve 3° Ordnung.) 


b) Von den 8 Doppeltangenten 
bgız bon, Las; bon, bpo, bar; Is, Lan 


liegen die 3 Ecken des ersten Dreiecks mit den 6 Schnitt- 
punkten 


(ie; bes), (iss ber), (bes 0) $) (bes by), (dar 656) $) (bye b;:) 


auf ©! Curven 3'® Ordnung; diese 9 Punkte mit den 16 Be- 
rührungspunkten der 8 Linien auf »' Curven 5'* Ordnung. 


c) Derselbe Satz gilt, wenn man statt der Linie t, die 
Linie 2, setzt und statt der letzten zwei Schnittpunkte: 


(ba; 6) ) (ber b,6) x 


150 


d) Derselbe Satz gilt auch für die 8 Doppeltangenten 
der Art: 
byı, Laer bıan bio, ba; door bar; Lars 
wenn man die 9 Schnittpunkte nimmt: 
(byı da), (beokıs), (iakıo), (kioler), (berker); Cscker); (erkıa), (ker 645), (ler bos) , 
wie auch aus V, c) dieser Nummer folgt. 


e) Aus Nr. 5, XII oder XIV, als Ergänzung von a): 

Derselbe Satz b) gibt auch für die 8 Doppeltangenten 
der Art: 

bgı, Spo: Saar Las; Unsı baor Ları Los 
wenn man als 9 Schnittpunkte die 6 Ecken des vollständigen 
Vierseits (tz, tsgstg,) und die drei Punkte 
: (ba; bg) , (bes IE (ir 1) 

nımmt. 

Derselbe Satz liesse sich noch für verschiedene anderartige Combi- 


nationen von 8 Doppeltangenten, als b)--e), aussprechen, wie viele Fälle 
von Nr. 5 und Nr. 6 durch geeignete Spezialisirung zeigen. 


VII. Man lasse in Nr. 6, I, F. eine der Curven 6'* Ordnung 7%) in 
eines der Sechsersysteme von Nr. 5, II: 


Isa, bg4, tg; ; bye, bg7 , bı9 
zerfallen; eine zweite Curve derselben Schaar in 


bg, ’ bp , be, 


verbunden mit einer &°-Schaar von $® aus Nr. 3, III; so ergibt sich: 

Die 10 Ecken des vollständigen Fünfseits (dla!) liegen 
mit dem Schnittpunkt (f,/,) und mit den beiden Berührungs- 
punkten von 2, mit (2, auf &’Curven 4 Ordnung. Folglich gehen 
auch durch die 6 Ecken des vollständigen Vierseits (ds lass; las). 
durch den Schnittpunkt (ft) und durch die beiden Berührungs- 
punkte von t, ®! Curven 3'* Ordnung. 

Diese Beispiele mögen genügen, um die leichte und noch weit aus- 
zudehnende Anwendbarkeit unserer Methode aufzuweisen. 


lc 


Ueber die 


Conjugation der Infusorien. 


Von 


Richard Hertwig. 


(Mit 4 Tafeln.) 


Abh.d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. 1. Abth. 20 


Einleitung. 


Durch die Untersuchung von Seeigeleiern, bei welchen durch Ein- 
wirkung von Chloral der Abschluss der inneren Befruchtungsvorgänge 
verhindert worden war, sowie durch die Beobachtung, dass auch im 
unbefruchteten Ei der Eikern ein wenn auch beschränktes Maass von 
Theilungsfähigkeit unter Umständen gewinnen kann, war ich zu der An- 
schauung gekommen, dass zwischen Ei- und Sperma-Kern kein principieller 
Unterschied in der histologischen Zusammensetzung vorhanden ist, dass 
die Bestandtheile, welche dem Spermakern zukommen, chromatische 
Substanz oder Nuclein und achromatische Substanz oder Paranuclein, 
auch im Eikern nicht fehlen. Das Wesentliche der Befruchtung besteht 
nicht darin, dass ein Kern — oder um es allgemeiner auszudrücken — 
ein Befruchtungskörper mit einer specifischen Constitution, welche man die 
männliche nennen könnte, dem Ei eingeimpft wird; es genügt vielmehr, 
dass der befruchtende Kern in einer anderen Zelle entstanden ist. Dieser 
Anschauung zu Folge können die Kerne der Geschlechtszellen nicht die 
Ursache oder die Träger der geschlechtlichen Differenzirung sein; letztere 
vielmehr muss aus anderweitigen mehr nebensächlichen Momenten er- 
klärt werden, dass nämlich die Eier die Aufgabe übernommen haben, 
das für jede Entwicklung nöthige Bildungsmaterial zu liefern und in 
Folge dessen gross und unbeweglich geworden sind, während die Sper- 
matozoen umgekehrt geringe Grösse mit grosser Beweglichkeit verbinden, 
weil sie dafür zu sorgen haben, dass die Geschlechtszellen zum Zweck 
der Befruchtung sich treffen. 

20* 


154 


Diese auch von anderen Forschern getheilte Auffassungsweise führt 
zu bestimmten Consequenzen in der Beurtheilung des Zellenlebens. Wenn 
zur Erklärung der geschlechtlichen Differenzirung nicht ein bestimmter 
Zellentheil, sondern nur die gesammte Zelle herangezogen werden kann, 
so ist von vornherein die Möglichkeit ausgeschlossen, dass sich im Rahmen 
einer einzigen Zelle die Sonderung in männliche und weibliche Eigenschaften 
vollzogen hat; die Annahme, dass es hermaphrodite Zellen giebt, hat dann 
keine Berechtigung mehr, und so kommt denn auch eine von Engel- 
mann und meinem Bruder fast gleichzeitig ausgesprochene, auch von 
mir lange Zeit getheilte Auffassung in Wegfall, dass die Infusorien solche 
hermaphrodite Zellen seien, dass ihr Hauptkern als weibliches Element, 
ihr Nebenkern als männlicher Theil gedeutet werden müsse. 

Die hier kurz skizzirten Erwägungen liessen mir eine eigene Unter- 
suchung der Infusorien und ihrer Copulationserscheinungen wünschens- 
werth erscheinen, zumal als mir die schönen Untersuchungen von Maupas 
sowohl in der vorläufigen Mittheilung als auch in dem von Bütschli 
gegebenen Referat unbekannt geblieben waren. Ich benutzte daher die 
Gelegenheit, als sich in den Zuchtgläsern des Münchener zoologischen 
Instituts grosse Mengen von Paramaecium Aurelias entwickelten und auch 
bald in Copulation übergingen, und legte in regelmässigen Zeiträumen 
reiches Untersuchungsmaterial in Picrinessigsäure, Chromsäure und Chrom- 
osmiumsäure ein. Bei der Wahl der ersten beiden Reagentien war für 
mich der Gesichtspunkt maassgebend, dass sie die am meisten gebräuch- 
lichen Reagentien bei der Erforschung von Kernstructuren sind. Picrinessig- 
säure mit darauffolgender Färbung in Boraxcarmin hatte mir und meinem 
Bruder vornehmlich bei der Untersuchung der Seeigeleier gedient und 
war mir in seiner Wirkung auf Kernstructuren am besten bekannt. Ich 
habe sie daher auch in erster Linie benutzt, da ich mit der Untersuchung 
der Fortpflanzungserscheinungen noch den zweiten Gesichtspunkt verband, 
Klarheit über die feinere Structur der ruhenden und activen Haupt- und 
Nebenkerne der Infusorien zu gewinnen. 

Die in der Wärme eines Brutofens gefärbten Paramaecien wurden 
bald schwächer bald stärker mit Salzsäure-Alkohol ausgezogen und ent- 
weder in Glycerin oder in Nelkenöl aufbewahrt. Letzteres hat vor dem 
Canadabalsam nicht nur den grossen Vorzug, dass die Faserung der 


155 


Spindeln deutlicher zu erkennen ist, sondern erleichtert auch die Unter- 
suchung, weil es ein Drehen und Pressen des Objects jederzeit erlaubt. 
Ich muss Nelkenölpräparate auch noch aus einem weiteren Grunde em- 
pfehlen. Durch langes Liegen in Nelkenöl wird das Protoplasma, wie ich 
es schon früher bei Eiern in Erfahrung gebracht habe, spröde und splittert 
bei Druck oder bei kurzen mit der Präparirnadel ausgeführten Schlägen 
auf das Deckglas in viele Stücke. Durch Zertrümmern der Thiere kann 
man die Kerne und die aus ihnen hervorgegangenen Spindeln vollkommen 
isoliren und untersuchen, ohne dass anhaftendes Protoplasma das Bild 
trübe. Starke Aufhellung in Nelkenöl und Anwendung des Abbe’schen 
Beleuchtungsapparats sind ausserdem nöthig, um über die Vertheilung 
des Chromatins in den Kernspindeln und ihren Entwicklungsstadien Klarheit 
zu gewinnen. Denn gewöhnlich handelt es sich hier um so geringfügige 
Quantitäten, dass ich anfangs die vorbereitenden Stadien der Spindeln 
für achromatisch hielt. 

Für die richtige Darstellung der achromatischen Kernfiguren ist das 
allzu sehr aufhellende Nelkenöl weniger geeignet und die Beobachtung in 
Glycerin oder Wasser vorzuziehen. Ich habe daher ein und dasselbe 
Präparat zuerst in Nelkenöl untersucht, dann zertrümmert, dann mit Alkohol 
ausgewaschen und schliesslich noch in Glycerin übertragen. Man gewinnt 
auf diesem Wege eine genaue Kenntniss auch der feinsten Kernstructuren, 
wie sie sonst gar nicht erreicht werden kann. 

Selbstverständlich habe ich ab und zu auch lebende Thiere beob- 
achtet und dabei die Dauer der Copulation bei einer Zimmertemperatur 
von 14-—-15° R auf 18—20 Stunden bestimmt. Für den Entscheid aller 
wichtigen Fragen ist die Beobachtungsweise aber nicht brauchbar. Wenn 
man die Kernspindeln sehen will, muss man die Infusorien so stark 
quetschen, dass ihre Lebensfähigkeit leide. So werden manche normale 
Vorgänge, vor Allem der Austausch der Spindeln ganz unmöglich ge- 
macht. Wir haben hier einen Fall vor uns, wo die Untersuchung des 
lebenden Thieres durch die damit verbundenen ungünstigen Existenzbeding- 
ungen viel unzuverlässiger ist, als Abtödten der einzelnen Stadien und Con- 
struction der Entwicklungsweise aus Combination der erhaltenen Bilder. 

Auf den Tafeln I—UI habe ich die wichtigsten Copulationsstadien 
abgebildet; ich habe dabei zumeist solche Copulae ausgewählt, bei denen 


156 


das eine Thier in der Entwicklung dem anderen etwas vorausgeeilt war, 
was im Allgemeinen seltener zutrifft. Maassgebend war hierbei für mich 
die Absicht, bei beschränktem Raum eine grössere Vollständigkeit der 
auf einander folgenden Stadien zu erzielen. Sämmtliche Figuren wurden 
bei Zeiss Yıs Ocular 2 mit Prisma gezeichnet, bei der Zusammenstellung 
der Tafel aber etwas verkleinert. Der Maassstab der Verkleinerung ist 
nicht für alle Figuren derselbe Denn wenn auch bei Paramaecium 
Aurelia im Allgemeinen nur die kleineren Thiere copuliren, so sind doch 
die Dimensionen derselben nicht vollständig die gleichen, wie z.B. die Länge 
zwischen 0,1 und 0,13 Millimeter variirt. Im Interesse des Tafelarrangements 
habe ich die einzelnen Copulae annähernd auf dieselbe Grösse reducirt 
und dabei bald mehr bald minder verkleinert, indem ich nur die Grössen- 
verhältnisse innerhalb einer Copula richtig wahrte. Ein derartiges Ver- 
fahren ist statthaft, da ein genaueres Studium lehrt, dass die geringfügigen 
Schwankungen in der Grösse, welche man beobachten kann, nach keiner 
Richtung hin von Wichtigkeit sind. Erstens sind sie nicht maassgebend 
für die Art, in welcher die Thiere sich zum Zweck der Copulation zu- 
sammenthuen. Denn wenn man auch häufig Paarlinge findet, bei denen 
der eine den anderen bedeutend an Grösse überragt, so sind doch ebenso 
häufig Päärchen, welche nur aus kleineren oder nur aus grösseren, unter 
sich gleichen Individuen bestehen. Zweitens kann man aus der Grösse 
der Copulae keinen Rückschluss auf die Dauer der Vereinigung machen. 
Grössere und kleinere Maasse ergeben sich sowohl auf frühen wie auf 
späten Stadien der Entwicklung, so dass man weder ein Wachsthum noch 
eine Verkleinerung der Thiere während der Copulation nachweisen kann. 
Bei den Figuren der Tafeln I—II habe ich das Verhalten der ver- 
schiedenen Kernsubstanzen möglichst genau berücksichtigt; da ich aber auf 
diesen, von den meisten früheren Beobachtern vernachlässigten Punkt grosses 
Gewicht legte, habe ich namentlich von den Veränderungen der Neben- 
kerne noch besonders genaue, auf Isolationspräparate sich stützende 
Einzeldarstellungen bei stärkerer Vergrösserung auf Tafel IV gegeben. 
Nach dem Verhalten der Nebenkerne kann man im Verlauf der 
Copulation 4 Perioden abgrenzen; während der ersten Periode wandeln 
sich die Nebenkerne in’ Spindeln um; die zweite Periode umfasst die 
Theilungen der Nebenkernspindeln; die dritte Periode kann man die Be- 


157 


fruchtungsperiode nennen, da während ihr Nebenkernspindeln ausgetauscht 
werden; in die vierte Periode fällt endlich die Neuanlage der Haupt- 
und Nebenkerne. So ergeben sich für unsere Darstellung 4 Abschnitte, 
zu denen sich noch 3 weitere hinzugesellen. Ich halte es für zweck- 
mässig, bevor wir die Veränderungen während der Copulation erörtern, 
einige Bemerkungen über den gewöhnlichen Bau der Paramaecien in 
einem besonderen Kapitel voranzustellen; ein zweites Kapitel möge über 
den äusseren Verlauf der Conjugation und die während der Conjugation 
erfolgenden Umgestaltungen der Thiere handeln, ein drittes über die 
Theilungen, welche der Gopulation folgen und vorangehen. Die Angaben 
früherer Forscher werde ich im Anschluss an jeden Abschnitt in einer 
besonderen Literaturübersicht besprechen. 

Ich werde mich bei letzterer vorwiegend auf die Arbeiten, welche 
seit Bütschli’s und Balbiani’s grundlegenden Untersuchungen er- 
schienen sind, beschränken; rücksichtlich der älteren Literatur verweise 
ich auf die Bearbeitung, welche die Infusorien in Bronn, Classen und 
Ordnungen des Thierreichs durch Bütschli erfahren haben. 


I. Bemerkungen zum Bau der Paramaeecien. 


Bei der Besprechung des Baues der Paramaecien beschränke ich 
mich auf die Theile, welche bei der Conjugation und Theilung haupt- 
sächlich von Bedeutung sind, das sind die Kerne und das Cytostom. 

Der Hauptkern (Nucleus der alten Autoren, Macronucleus Maupas), 
secundärer Kern Bütschli’s) grenzt beim lebenden Thier unmittelbar 
an das Protoplasma und hat eine ovale Gestalt; in den meisten Rea- 
gentien schrumpft er etwas, so dass ein Zwischenraum zwischen ihm und 
dem Protoplasma entsteht; gleichzeitig verliert die Oberfläche ihr glattes 
Aussehen; Einkerbungen erstrecken sich mehr oder minder tief in das 
Innere hinein und zerlegen den Kern nicht selten in drei ungleich grosse 
Lappen (Taf. I Fig. 2) oder es werden an den Enden fingerförmige Fort- 
sätze deutlich oder leisten- und riffartige Vorsprünge. Derartige Uneben- 
heiten in der oberflächlichen Begrenzung des Kerns sind natürliche 


158 


Structurverhältnisse desselben, wenn sie auch im frischen Zustand nicht 
beobachtet werden. Denn sie treten in gleichförmiger Weise bei der 
Anwendung der verschiedensten Reagentien auf und fehlen constant zu 
bestimmten Zeiten: während der späteren Stadien der Theilung und im 
Lauf der ersten Periode der Copulation. 

Bei der Schrumpfung der Kerne wird auch eine deutliche, fast 
doppelt contourirte Kernmembran in dem Zwischenraum zwischen Kern 
und Protoplasma sichtbar, sie greift in die tieferen Einkerbungen des 
Kerns ein und folgt somit im Wesentlichen den Contouren desselben, auch 
wenn sie durch Reagentienwirkung abgehoben ist. 

Die Substanz des Kerns ist in frischem Zustand fein granulirt, wird 
bei der Gerinnung etwas grobkörniger und färbt sich bekanntlich intensiv 
in Carmin. Carminpräparate ergeben somit das Bild einer rothen Masse 
mit einer feinkörnigen Zeichnung im Innern. Sprengt man durch Zer- 
trümmern kleine Kernstücke ab und untersucht dieselben mit Oelimmer- 
sion, indem man im Abbe’schen Beleuchtungsapparat die Diaphragmen 
ausschaltet, so erblickt man grössere und kleinere rothe Granula von 
unregelmässiger vielfach zackiger Gestalt, welche nach Art eines Reti- 
culums zusammengefügt sind. (Taf. IV Fig. 12.) Das Reticulum wird 
deutlicher, wenn man den Diaphragmenapparat wieder einschaltet, weil 
dann ungefärbt gebliebene Theile sichtbar werden. So habe ich die 
Vorstellung gewonnen, dass im Kern von Paramaecium und wohl auch 
von den übrigen Infusorien zweierlei geformte Substanzen enthalten sind, 
eine chromatische und eine achromatische, dass erstere ein engmaschiges 
Gerüst bildet, in dessen Masse feinste Chromatinkörnchen eingelagert sind, 
zusammengeballt zu grösseren und kleineren Granula. Ich habe nämlich 
bei gewissen pathologischen Entwicklungszuständen der Seeigeleier Kerne 
aufgefunden, welche den Infusorienkernen äusserst ähnlich waren und 
bei denen die geschilderte Structur unzweifelhaft festgestellt werden 
konnte Ferner kann ich meine Auffassungsweise noch stützen durch 
Beobachtungen über. die Art, in welcher sich die Hauptkerne bei der 
Conjugation der Paramaecien und — noch schöner zu sehen — bei der Con- 
jugation der Stylonychien aus den Theilstücken der Nebenkerne entwickeln. 
Ich werde später darauf zurückkommen und begnüge mich hier mit der 
Bemerkung, dass die sogenannten Placenten zuerst runde fast gänzlich 


159 


achromatische Körper von schwammiger Structur sind, dass sich diese 
zu homogenen Kugeln verdichten, in denen erst später das Chromatin 
in äusserst feiner Vertheilung abgelagert wird. 

Die Zusammensetzung aus zweierlei geformten Substanzen ist nun 
sehr viel leichter zu erweisen bei den Nebenkernen. 

Die Paramaeciumart, welche mir zur Untersuchung diente, besitzt 
constant zwei Nebenkerne, während bei allen übrigen Arten nur ein 
Nebenkern vorhanden ist. Ich nenne sie Paramaecium Aurelia, indem 
ich mich der Namengebung anschliesse, welche Maupas eingeführt hat 
und die auch von Bütschli angenommen worden ist. Die Form ist 
demgemäss nicht identisch mit den Paramaecien, welche den Unter- 
suchungen Balbiani’s. Bütschli’s, Gruber’s und Plate’s gedient 
haben; für diese würde Maupas zu folge der Name P. caudatum anzu- 
wenden sein. 

Die Nebenkerne liegen meist dicht bei einander und dicht am Haupt- 
kern, seltener als bei anderen Arten sind sie in eine Nische des letzteren 
eingeschlossen. Wenn sie sich vom Hauptkern und von einander ent- 
fernen, so hängt das wohl damit zusammen, dass die Thiere in 
Vorbereitung zur Theilung sind oder sich zur Conjugation anschicken. 

Rücksichtlich der Structur ist als constant hervorzuheben, dass die 
Nebenkerne kugelige oder ovale Bläschen sind, umschlossen von einer 
zarten Membran. Die eigentlichen Kernbestandtheile, das Chromatin und 
das Achromatin, sind dagegen sehr verschieden angeordnet. Am häufigsten 
habe ich beobachtet, dass im Kernbläschen ein Nucleolus lagert, welcher 
in Reagentien zu einem homogenen stark lichtbrechenden Körper gerinnt, 
dass ferner der Zwischenraum zwischen ihm und der Kernmembran von 
einer feinkörnigen Masse, einem Kernreticulum, ausgefüllt wird. Das Kern- 
reticulum färbt sich gar nicht, der Nucleolus nicht so intensiv als man 
seinem compacten Gefüge nach erwarten sollte; ich halte es daher für 
wahrscheinlich, dass er ausser dem Chromatin auch noch Achromatin 
enthält, welches somit nicht völlig in das Kernreticulum aufgegangen 
wäre. 

Sehr häufig liegt der Nucleolus stark excentrisch in einem Kernende, 
während das andere vom achromatischen Reticulum eingenommen wird; 
zugleich ist er nicht kugelig, sondern calottenförmig, indem die nach der 

Abh. d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 21 


160 


Kernmitte schauende Seite von einer planen Fläche begrenzt wird. Dazu 
kann dann kommen, dass die achromatische Substanz sich der Kern- 
membran dicht anfügt, ebenfalls homogen wird und eine Verdickung in 
der Kernwand bildet (Taf. IV Fig. 13). 

In manchen Kernen ist ausser der begrenzenden Kernmembran nur 
noch eine geformte Structur zu erkennen, ein einfacher homogener Nu- 
cleolus oder ein grösserer nucleolusartiger Körper, welcher Gerüststructur 
besitzt. Ich glaube, dass in beiden Fällen chromatische und achromatische 
Substanz sich gegenseitig durchdrungen haben. Namentlich den letzteren 
Fall erkläre ich mir durch die Annahme, dass die feinsten Theile des 
chromatischen Nucleolus sich im achromatischen Netzwerk vertheilt haben. 
Die Vertheilung scheint mir vorbereitet zu werden durch Zustände des 
Nucleolus, wie ich sie häufiger aufgefunden habe. Sein Centrum war 
lichter, als wäre es von einer Vacuole eingenommen, oder er bestand 
aus mehreren um eine lichte Mitte gruppirten Körpern oder er war in 
feine Körnchen ganz zerfallen. 

Zu den Veränderungen in der feineren Structur gesellen sich er- 
hebliche Unterschiede in der Grösse der Nebenkerne; aus zahlreichen 
Messungen ergiebt sich, dass die Grösse derselben zwischen 0.0037 und 0.0062 
mm schwanken kann. Durch diese Wahrnehmung wurde ich veranlasst ge- 
nauer festzustellen, in welchem Verhältnisse die Maasse zu einander stehen, 
welche 1) Länge und Breite des gesammten Paramaecium, 2) Länge und 
Breite des Kerns, 3) die Durchmesser des Nebenkerns und seines Nucle- 
olus liefern. 

Aus den in Tabelle I enthaltenen Maassen ergiebt sich, dass im All- 
gemeinen der Hauptkern beim Wachsthum des gesammten Thieres eine 
Vergrösserung erfährt, welche indessen demselben nicht vollkommen pro- 
portional verläuft. Grosse Paramaecien haben daher absolut genommen 
grössere Kerne als kleine Exemplare, im Verhältniss zur Körpergrösse 
sind dagegen ihre Kerne klein zu nennen. 

Ganz anders verhalten sich die Nebenkerne; die Tabelle lehrt, dass 
dieselben im Grossen und Ganzen um so kleiner sind, je grösser die zu- 
gehörigen Thiere werden. So kann unter Umständen ein Paramaecium 
doppelt so grosse Nebenkerne besitzen als ein anderes, welches ihm fast 
um U3 an Grösse überlegen ist. 


seien ee Ar be ee ee ee 


161 


Um nun zu ermitteln, in welchen Lebensperioden sich das auf- 
fallende Missverhältniss zwischen Grösse des Gesammtthiers und Grösse 
seiner Nebenkerne entwickelt, habe ich besondere Tabellen angefertigt 
1) für die Paramaecien, welche im letzten Stadium der Theilung standen 
oder an ihrer Form noch erkennen liessen, dass sie sich kürzlich erst 
getheilt hatten; 2) für Paramaecien, welche nach aufgehobener Copulation 
in Regeneration ihrer Haupt- und Nebenkerne begriffen waren; 3) für 
Paramaecien, welche im Begriff standen zu copuliren. 

‚Bei den Thieren der ersten Oategorie sind durchgängig die Neben- 
kerne sehr klein, kleiner sogar als man sie sonst finden würde; sie 
messen noch nicht 0,003 mm. Aus Theilung hervorgegangene Thiere 
sind somit sowohl selbst klein, als auch haben sie kleine Nebenkerne. 

Entcopulirte Paramaecien sind je nach der Zeit, welche seit der 
Copulation verflossen ist, sehr verschieden gross; sie wachsen rasch nach 
beendigter Vereinigung und ebenso vergrössern sich die Anlagen der 
Hauptkerne; nur die Maasse der Nebenkerne bleiben in dieser Zeit ziem- 
lich constant. 

Dagegen sind ausnahmslos bei Thieren, welche zur Vereinigung 
‚schreiten, die Nebenkerne von auffallender Grösse, sie können hier 
einen Durchmesser von 0.0075 mm haben. Man wird daher mit 
grosser Sicherheit den Satz aufstellen können, dass eine Vergrösserung 
der Nebenkerne eintritt, wenn sich die Zeit einer Copulationsperiode 
nähert. Daraus kann man weiter schliessen, dass Vergrösserung der 
Nebenkerne entweder selbst Ursache zur Copulation ist, oder äusserer 
Ausdruck von innerlich sich vollziehenden Structurveränderungen, welche 
die Thiere zur Copulation führen. 

Grosse Nebenkerne sind nun gleichzeitig diejenigen, welche am deut- 
lichsten das achromatische Reticulum zeigen. Während das Chromatin wahr- 
scheinlich an Masse kaum Veränderungen erfährt, ist die Anhäufung der 
auch sonst in den Lebensprocessen der Zelle eine active Rolle spielenden 
achromatischen Substanz beim Herannahen einer Copulation unverkennbar. 

Ueber den Bau des Cytostoms kann ich mich kurz fassen. Die 
Mundöffnung liegt an der Grenze des mittleren und hinteren Drittels am 
Ende einer Furche, welche von der ventralen Seite aus auf die rechte 


Seite des Thieres hinüberreicht; sie ist im Allgemeinen oval, zieht sich 
212 


162 


aber rückwärts in eine feine Spitze aus. Im Umkreis der Mundöffnung 
schlägt sich die Cuticula in das Innere ein und begrenzt einen die Nahrung 
zuleitenden Schlund, an welchem wir zwei Abschnitte als Vestibulum 
und Oesophagus unterscheiden wollen. Die Grenze beider Abschnitte ist 
am deutlichsten während der ersten Copulationsstadien, weil dann die 
Thiere sich in reiner Profilstellung befinden. 

Das Vestibulum ist ein Sack, der, doppelt so lang wie der Durch- 
messer der Mundöffnung, von dieser aus rückwärts in das Körperinnere 
hineinhängt. In Profilstellung gesehen zeigt es besonders schön eine 
Structur, bestehend aus einem breiten Bande, welches in der Nähe des 
oberen Randes der Mundöffnung beginnt, vorwiegend der linken Wand 
des Cytostoms angehört und bis an den Grund des Sackes reicht. Das 
Band ist fein längsgestreift, die Längsstreifen sind von Querstreifen ge- 
kreuzt, letztere geben den Ursprung ab für Flimmerbüschel oder Membra- 
nellen, die man an abgetödteten Thieren als dreieckige Figuren auf dem 
optischen Querschnitt erkennen kann. Ob das Cytostom ausser den 
Membranellen noch weitere Flimmern besitzt, lasse ich dahin gestellt, 
jedenfalls stellen jene den wichtigsten Theil der Beflimmerung dar. Im 
Folgenden werde ich das mit Membranellen bedeckte Band stets als 
Wimperstreifen bezeichnen; wir werden sehen, dass es bei Theilung und 
Conjugation eine wichtige Rolle spielt. 

Der Wimperstreifen erstreckt sich ähnlich dem Peristomband eines 
Stentors, an das er im Bau erinnert, in das Innere des Oesophagus hinein, 
indem er eine schwach angedeutete Spirale beschreibt. Der Oesophagus 
ist ein kurzer Trichter, welcher an der tiefsten Stelle des Vestibular- 
sackes beginnt und bis an sein hinteres Ende von der Cuticula ausgekleidet 
ist. Hier ist die Cuticula unterbrochen und kann die zugeführte Nahrung 
direct in das Protoplasma übertreten. 

Literatur. Ueber den Bau des Infusorienkerns stimmen die 
meisten Beobachter in so fern überein, als sie die eigentliche Kernsub- 
stanz von einer besonderen Membran umgeben sein lassen; nur wenige, 
wie z.B. Jickeli (13; p. 468) stellen die Existenz einer besonderen Mem- 
bran für die meisten Fälle in Abrede. In der Deutung der Kernsubstanz 
selbst gehen dagegen die Ansichten aus einander. Gruber, ähnlich wie 
es früher Balbiani (1; 1861 p. 124) gethan hat, nimmt für Chilodon 


163 


curvidentis (9; p. 4 und 8) eine Zusammensetzung aus dicht zusammen- 
gedrängten kleinen, stark färbbaren Kügelchen an. Bütschli (6;p. 1508) 
spricht von einer wabigen Structur; die Wandungen der Waben seien 
von der färbbaren Kernsubstanz gebildet, die Zwischenräume von 
einer leicht flüssigen Masse, dem Nucleochylema, erfüllt. Am compliecir- 
testen lautet die Schilderung Jickeli’s, welcher nicht weniger als vier 
Bestandtheile aufstellt. 1. Eine Grundsubstanz von Achromatin; 2. eine 
Gerüstsubstanz, d. h. eine besondere Substanz, welche das Kerngerüst 
bildet; 3. „die Substanz, welche Farbstoffe am klarsten widergiebt“ und 
die, wennich Jickeli recht verstehe, hauptsächlich im Gerüst, spärlicher 
in der Grundsubstanz vertheilt ist; 4. Protoplasma, welches von aussen 
in den Kern eintritt. 


Wie leicht ersichtlich liefert jede dieser Darstellungen Anknüpfungs- 
punkte an die Auffassung, welche ich oben vom Bau des Infusorienkerns 
gegeben habe. 


Am nächsten aber kommt ihr die Ansicht, welche sich Maupas 
(21; p. 225) auf Grund von Degenerationserscheinungen des Kerns bei Oxy- 
tricha sp.? gebildet hat; derselbe sagt: il semble que la substance fonda- 
mentale du nucleus & l’etat normal se compose de deux matieres intime- 
ment unies et m&langees, dont l’une possede Paffinite pour les teintures, 
tandis que l’autre y est absolument indifferentee Dans la degenerescence 
la premiere s’altere et disparait peu & peu. 


Während mit Ausnahme Jickeli’s und Maupas’ die neueren 
Autoren im Hauptkerne nur eine geformte Substanz, das Chromatin, an- 
nehmen, liegen für die Nebenkerne zahlreiche Beobachtungen vor, welche 
darauf hinauslaufen, dass abgesehen von der Kernmembran eine besondere 
achromatische und eine chromatische Kernsubstanz unterschieden werden 
können. Eine Zusammensetzung des Nucleolus aus 2 Substanzen, Chro- 
matin und Achromatin, fand Plate bei den Nebenkernen von Spirochona 
gemmipara (26; p. 202) und Paramaecium Aurelia (richtiger wohl P. cau- 
datum) (28; p. 183), Bütschli bei den Nebenkernen zahlreicher anderer 
Infusorien (6; p. 1523). Letzterer scheint hierin aber keine durchgreifende 
Erscheinung zu erblicken, da er Thiere aufführt, deren Nebenkerne ohne diese 
Differenzirung sind. Verschiedenes Verhalten der Nebenkerne nimmt auch 


164 


Jickeli an, welcher 3 Formen unterscheidet, 1. stark färbbare Neben- 
kerne; 2. Nebenkerne, welche fast farblos bleiben; 3. Nebenkerne mit 
deutlicher Sonderung in eine tingirbare und nicht tingirbare Substanz 
(p. 468). Speziell für die 2 Nebenkerne von Paramaecium Aurelia giebt 
Maupas (p. 231) eine Schilderung, welche ich hier wörtlich folgen 
lasse: Ils etaient de forme spherique et composes d’un corpuscule central 
opaque vivement colore par les teintures et ne mesurant que 3u, enve- 
lopp&e d’une couche corticale mesurante en diametre 3u, claire et ne se 
colorante pas. 

Von Maupas (15; Taf. XXI Fig. 14) rührt auch die einzig genauere 
Abbildung, welche meines Wissens vom Bau des Paramaeciencytostoms 
existirt, her. Dieselbe wurde später von Schewiakoff bestätigt und 
von Bütschli auch in seine Bearbeitung der Infusorien aufgenommen. 


Il. Aeusserer Verlauf der Copulation. 


Eine jede Copulation beginnt damit, dass 2, seltener 3 oder 4 Para- 
maecien sich an einander drängen und lebhaft schwimmend sich eine Zeit 
lang um einander herumtummeln. Später kommt es dann zu einer 
innigeren Vereinigung, an welcher aber stets nur 2 Thiere betheiligt 
sind. Obwohl mir bei meinen Untersuchungen mehrere Tausend von 
Paarlingen zu Gesicht gekommen sind, habe ich doch kein einziges Mal 
feststellen können, dass 3 oder gar 4 Thiere zu derselben Copula zusammen- 
getreten wären; ich nehme daher an, dass in den Fällen, wo 3 oder mehr 
Infusorien zusammenschwimmen, die spätere Vereinigung paarweis erfolgt, 
dass die überzähligen Individuen leer ausgehen und sich anderweitig um- 
thuen müssen. 


Die Vereinigung erfolgt immer mit dem vorderen Ende. Dasselbe 
wird von jedem Thier ein wenig ventralwärts eingebogen und fest gegen 
die rechte Seite des anderen Paarlings gedrückt (Taf. I Fig. 2). Die Um- 
biegung ist so sehr ausgesprochen, dass sie sich auch an abgetödteten 
Thieren erhält. 

Eine zweite Vereinigung vollzieht sich, indem die Mundöffnungen, 
welche zunächst ja auf der rechten Seite der Thiere liegen und etwas 


165 


ventralwärts gerichtet sind, fest gegen einander gepresst werden. Dadurch 
wird eine gekreuzte Stellung beider Thiere herbeigeführt, welche sich 
am besten beobachten lässt, wenn man ein Päärchen auf die Kante stellt, 
welche aber in späteren Stadien weniger auffällig ist, wenn die Vereinigung 
eine innigere wird und sich auf die zwischen Mundöffnung und Vorder- 
ende gelegene Strecke ausdehnt. Immerhin ist lange Zeit noch zu sehen, 
dass das vordere Ende eines jeden Thieres etwas auf die linke Seite des 
anderen übergreift. 

Wenn auch die Mundöffnungen bei der Copulation geschlossen werden, 
und bis längere Zeit nach der Trennung jede Nahrungsaufnahme unter- 
bleibt, so ıst doch der Raum des Vestibulums zunächst noch auffallend 
weit geöffnet und bildet einen Sack, der sich am unteren Ende in den 
kurzen Oesophagus verjüngt. Erst spät, etwa 5—6 Stunden vor dem 
Ende der Copulation, ändert sich das Aussehen und zwar, wie die 
Untersuchung mittelst Reagentien lehrt, in Folge des Andringens einer 
der aus den Nebenkernen hervorgegangenen Spindeln. Das die Spindel 
begleitende Protoplasma ruft nämlich 2 Umgestaltungen an dem Infusor 
hervor; erstens treibt es dicht vor der Mundöffnung und auf der rechten 
Seite des Thieres einen kleinen Höcker hervor, welcher sich ein wenig 
in die angrenzende Körperwand des Nachbarthiers einbohrt; zweitens aber 
drängt es auch gegen das Vestibulum an; es presst die linke Seite und 
den Grund einwärts, so dass sie die rechte Seite berühren und dass das bis 
dahin vorhandene Lumen zum grössten Theil verschwindet; nur das 
untere Ende klafft dann noch als ein kleiner, unregelmässiger Spalt, 
welcher an einer Ecke in den Oesophagus sich verlängert. War bisher 
die Flimmerung im Cytostom sehr deutlich und lebhaft, so wird sie von 
jetzt ab kaum wahrnehmbar. Nur in dem engen Spalt sieht man noch 
langsam die Wimpern schlagen. 

Copulirte Paramaecien halten im lebenden Zustand und auch nach 
der Abtödtung fest zusammen. Ich habe versucht, durch Quetschen mit 
dem Deckgläschen oder indem ich die Thiere in ein zugespitztes Röhr- 
chen einsaugte und mit grosser Heftigkeit auf den Öbjectträger heraus- 
blies, lebende Copulae zu sprengen, habe aber immer nur in den ersten 
Stunden der Conjugation Erfolge erzielt und häufig auch dann nur, in- 
dem das eine Thier dabei zu Grunde ging. Gleichwohl muss auf das 


166 


Bestimmteste betont werden, dass bis zur Zeit, um welche das Vestibulum 
theilweise sich schliesst, noch keine Verschmelzung erfolgt ist; die Cuti- 
culae beider Thiere sind im Gegensatz zu anderen Infusorien, wie den 
Stylonychien, bei welchen die Protoplasmakörper frühzeitig zusammen- 
fliessen, vollkommen intact. Die Vereinigung der beiden Thiere kann 
nur durch ein klebriges Secret oder durch Ineinandergreifen der Wimpern 
bedingt sein. 

In den letzten Stunden der Copulation bildet sich jedoch eine schmale 
Verwachsungsbrücke dicht vor der Stelle, wo die Mundöffnung durch das 
Einpressen der convexen Vestibularwand geschlossen wurde. Die Brücke 
geht schräg von der rechten Seite des einen Thiers zur rechten des 
anderen und ist daher in der gewöhnlichen Seitenlage der Thiere nicht 
klar zu sehen. Man kann sie erkennen, wenn man die Thiere auf ihre 
Enden stellt; am schönsten aber bekommt man sie zu Gesicht, wenn man 
Copulae unter dem Deckgläschen stark abplattet und durch Zufliessen 
von Picrinessigsäure abtödtet. Dann habe ich mehrfach gesehen, dass 
beide Thiere sich von einander zurückziehen und nur durch die Proto- 
plasmabrücke vereint bleiben. Die Brücke ist, wie ich später noch ge- 
nauer zeigen werde, von grosser Bedeutung; sie verbindet die beiden 
hügelartigen Vorwölbungen, welche durch die Einstellung einer Neben- 
kernspindel hervorgerufen werden, und dient einem Theilproduct dieser 
Spindel zur Ueberwanderung in das benachbarte Thier. 

Die Verbindungsbrücke wird einige Zeit, bevor die Paramaecien 
auseinandergehen, wieder eingezogen; die Cuticula schliesst sich und auch 
das Vestibulum des Cytostoms wird wieder wegsam. An letzterem haben 
sich aber inzwischen wichtige Veränderungen vollzogen; durch das An- 
drängen des Protoplasma ist der Wimperstreifen desorganisirt und dı er 
hauptsächlich die scharfe Contour des Vestibulums verursacht, ist letzteres 
nur undeutlich zu erkennen mit Ausnahme seines unteren Endes und 
des angrenzenden Oesophagus, welche während der ganzen Dauer der 
Copulation und auch einige Zeit nach Lösung derselben deutliche Ab- 
grenzung zeigen. Da ich lebende Thiere nicht daraufhin untersucht 
habe, kann ich über das Fehlen oder Vorhandensein von Flimmerung nichts 
aussagen; feine Streifung und Körnelung im Cytostom abgetödteter Thiere 
deute ich jedoch als Reste von Wimpern, die vielleicht nicht mehr thätig 


167 


sind; sie sind auch in dem vorderen Theil des Cytostoms nach- 
weisbar. (Taf. III Fig. 1 u. 2.) 

Der hier in seinen ersten Anfängen geschilderte Rückbildungsprocess 
des Cytostoms macht ‚nach Lösung der Copula rasche Fortschritte und 
dehnt sich auf die hinteren Partieen des Vestibulums und den Oesophagus 
aus. Zur Zeit, wo sich die Anlagen der Haupt- und Nebenkerne aus Theilung 
gemeinsamer Spindeln hervorbilden, ist das Cytostom ganz geschwunden 
oder nur noch als ein kleiner Körnerhaufen zu erkennen, welcher am 
linken oberen Eck einer inzwischen neu entstandenen Mundöffnung liegt. 

Die Anlage des neuen Cytostoms habe ich auf das genaueste verfolgt; 
sie beginnt ebenfalls schon vor dem Ende der Copulation und im An- 
schluss an den alten in Rückbildung begriffenen Apparat. Wo an dem- 
selben Oesophagus und Vestibulum in einander übergehen, bildet sich aus 
letzterem ein kleiner Blindsack; die Lage desselben ist constant auf der 
rechten Seite, was besondere Betonung verdient, da auch bei den ge- 
wöhnlichen Theilungen der Paramaecien das zweite Cytostom an gleicher 
Stelle und in vollkommen gleicher Weise vom ersten aus angelegt wird. 
Der Blindsack ist scharf begrenzt und besitzt an seinem Grund einen 
hakenartig gebogenen Wimperstreifen, von dem ich es für wahrscheinlich 
halte, dass er sich von den letzten Resten des früheren Wimperstreifens 
ableitet. (Taf. III Fig. 2.) 

An Thieren, welche sich wieder getrennt haben, kann man die 
weitere Entwicklung der Cytostomanlage verfolgen (Taf. III Fig. 4—9, 
und 13— 15). Dieselbe besteht nicht allein in einer Vergrösserung, 
sondern auch einer Streckung des hakenartig gekrümmten Wimperstreifs; 
ferner in einer allmähligen Ablösung des neuen Cytostoms von dem alten in 
beständiger Rückbildung begriffenen. Man kann die Sonderung am besten 
verfolgen, wenn man die Thiere durch Rollen so legt, dass man genau 
auf die Mundöffnung herabsieht. Stellt man dann etwas tiefer ein, so 
bekommt man schöne Querschnittsbilder, welche zeigen, dass vordringendes 
Protoplasma das anfangs einheitliche Lumen in zwei Hohlräume zerlegt, 
von denen der eine dem neuen, der andere dem alten Cytostom ange- 
hört. Fast einheitlich sind beide Räume noch in Figur 13; das alte Oyto- 
stom ist hier noch ansehnlicher als die neue Anlage, wenn auch weniger 
deutlich contourirt; an der Grenze beider entspringt der Oesophagus. 

Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 22 


168 


Figur 15 gibt die Ansicht der Mundöffnung eines in der Entwicklung 
schon weiter vorgeschrittenen Thiers und daneben das Querschnittsbild 
des Cytostoms in 2 Einstellungen. Die Mundöffnung ist ein an beiden 
Enden ausgeweiteter Schlitz, das Cytostom ist ein Längsspalt, dessen 
grösste Ausdehnung dem neuen Cytostom angehört, dessen erweitertes 
oberes Ende der Rest vom Lumen des stark rückgebildeten alten Cyto- 
stoms ist; bei noch tieferer Einstellung sieht man beiderlei Lumina von 
einander getrennt. Aehnlich liegen die Verhältnisse bei einem anderen 
Exemplar, auf welches sich Figur 14 bezieht. In einigen weiteren Ab- 
bildungen sieht man die Anlage des neuen Oytostoms in sich abgeschlossen, 
das alte entweder noch als kleinen sackförmigen Anhang am linken oberen 
Ende oder an gleicher Stelle nur noch eine undeutliche körnige Masse. 
Schliesslich geht auch diese verloren, das allein zurückbleibende neue 
Cytostom verlängert sich an seinem hinteren Ende in den Oesophagus 
und damit schwinden die letzten Anzeichen, dass das Cytostom des aus 
der Copulation hervorgegangenen Thiers nicht dasselbe Organ ist, welches 
beim Anfang der Conjugation vorhanden war. 

Die geschilderten merkwürdigen Vorgänge, welche zur Neubildung 
der Mundöffnung führen, fallen in die Zeit nach dem Spindelaustausch 
oder der Befruchtung; sie beginnen selten um die Zeit, in welcher die 
erste Theilspindel sich zu strecken beginnt (Taf. III Fig. 6), gewöhnlich 
erst dann, wenn diese sich getheilt hat und die aus ihr hervorgegangenen 
secundären Theilspindeln von Neuem Vorbereitungen zur Theilung treffen. 
Der Neubildungsprocess ist abgelaufen, wenn die Anlagen der Haupt- 
und Nebenkerne sich aus den Enden der secundären Theilspindeln zu 
entwickeln beginnen. Im Grossen und Ganzen verläuft somit die Bildung 
des neuen Cytostoms parallel dem Theilungsprocess, welcher die Anlagen 
der Neben- und Hauptkerne liefert, und verhält sich zu ihm, wie die 
Anlage des hinteren Cytostoms zur Theilung der Nebenkerne bei der später 
zu beschreibenden gewöhnlichen Vermehrung der Paramaecien. 

Suchen wir die Vorgänge zu deuten, so müssen wir sagen, dass das 
neue Cytostom vom alten her als eine Knospe, welche sich allmählig 
abschnürt, gebildet wird. Hierin ergeben sich weitere Vergleichspunkte 
zu den Vorgängen bei der Vermehrung der Paramaecien durch Theilung. 
Bei letzterer entsteht das Cytostom des hinteren Theilsprösslings an voll- 


169 


kommen gleicher Stelle als eine Knospe vom alten Cytostom, welches 
selbst in den vorderen Theilsprössling übergeht. Während aber bei der 
Theilung beide Cytostome erhalten bleiben, geht bei der Conjugation das 
ursprünglich vorhandene, nach vorn und links gelegene zu Grunde. 

Literatur. In seiner Bearbeitung der Infusorien hat Bütschli 
(p. 1609) die Fälle zusammengestellt, in denen eine Conjugation von 
mehr als 2 Individuen beobachtet wurde. Von diesen scheinen mir nur 
die Angaben über die totale Conjugation der Vorticellinen beweiskräftig 
zu sein. Diese multiplen Conjugationen der Microgonidien sind wahr- 
scheinlich nach Analogie der Polyspermie bei Eiern als pathologische 
Erscheinungen zu beurtheilen. Bei der partiellen Conjugation, in welcher 
beide Individuen einander gleichwerthig sind, sind die Bedingungen 
etwas andere und scheint es mir von vornherein zweifelhaft, ob es hier 
zu einer Vereinigung von mehreren Thieren kommen kann. Die Literatur- 
angaben hierüber sind nach meiner Ansicht nicht beweiskräftig genug, 
da aus einigen derselben nicht ersichtlich ist, ob sie sich auf die Zeit 
des losen Herumschwimmens oder auf die Zeit der innigeren Vereinigung 
beziehen, andere wiederum eine abweichende Deutung gestatten. Wenn 
z. B. Plate (28; p. 191) Copulae beschreibt, bei welchen 2 Thiere in 
normaler Weise verbunden waren, das dritte sich dem hinteren Körper- 
ende eines derselben angefügt hatte, so werde ich dadurch an Bilder 
erinnert, welche ich ebenfalls gesehen habe und in einem späteren Auf- 
satz noch behandeln werde. Hier begnüge ich mich mit folgenden Be- 
merkungen. 

Jeder Copulationsperiode gehen lebhafte Theilungen voraus; letztere 
sind bei Paramaecium gar nicht selten unvollständig, so dass beide Theil- 
sprösslinge in Verbindung bleiben. Ich habe nun beobachtet, dass solche 
monströse Individuen mit normalen copuliren können und dann Bilder 
erzeugen, wie sie Plate beschrieben hat. 

Ein strittiger Punkt bei der Conjugation der Infusorien ist die Art 
ihrer Vereinigung; da in dieser Hinsicht die einzelnen Arten sich ganz 
verschieden verhalten, die Paramaecien, um nur selbstbeobachtete Thiere 
aufzuführen, ganz anders wie die Stylonychien, Stentoren oder gar die 
Vorticellinen, so beschränke ich mich auf eine Besprechung der An- 


gaben, welche die Paramaecien behandeln. Hier stehen sich am schroffsten 
22* 


170 


Balbiani und Bütschli gegenüber. Ersterer läugnet eine Protoplasma- 
verschmelzung für alle Infusorien mit Ausnahme der Vorticellinen (3; 1882 
p. 265) und lässt den Zusammenhalt durch die Ausscheidung einer kleb- 
rigen Substanz unterstützt werden (1; 1861 p. 435). Bütschli (6; 1605) 
nimmt dagegen auch für die Paramaecien eine ausgedehnte Verwachsung an, 
welche die ganze Mundnaht, d. h. die Strecke zwischen Mund und Vorder- 
ende ergreift. Gruber (p. 51) scheint sich mehr auf die Seite Balbiani’s 
zu stellen; denn um einen Stoffaustausch zwischen den copulirten Para- 
maecien als möglich hinzustellen, macht er die Annahme: es könne sich 
die Cuticula zum Zweck des Substanzaustausches öffnen und sofort wieder 
schliessen, wozu sie bekanntlich bei Infusorien befähigt sei, oder es könne 
auch durch die Mundöffnungen ein Austausch erfolgen. 

Plate hat in seinen ersten Publicationen (27; p. 36) Hede Ver- 
schmelzung in Abrede gestellt; später hat er sich von der Existenz einer 
Verwachsungsstelle dicht vor der Mundöffnung überzeugt (29; p. 183); hier 
sollen beide Individuen durch einen kleinen Canal in offener Communi- 
cation stehen. Seine Angaben sind richtig, nur lässt Plate unerwähnt, 
dass die Verbindungsbrücke erst in späten Stadien der Conjugation auftritt. 

Die Umgestaltungen der Mundöffnung scheinen bei Paramaecium 
allen Beobachtern entgangen zu sein. Nur Maupas erwähnt die Rück- 
bildung des Schlundes während der Oonjugation. Bei Stylonychien und 
anderen Infusorien dagegen sind Umformungen des Cytostoms und der 
Bewimperung, die sogenannten „Mauserungen“, wiederholt beschrieben 
worden. 


III. Ueber die Veränderungen der Haupt- und Nebenkerne 
während der Copulation. 


a. Erste Periode. Umwandlung der Nerbenkerne in Spindeln. 


Am Anfang der Copulation ist der Hauptkern noch von unregel- 
mässiger Gestalt, häufig hie und da eingekerbt oder in eine feine Spitze 
verlängert; bald aber rundet er sich wurstförmig ab oder er wird ge- 
drungener und nähert sich der Gestalt eines Eies oder einer Kugel. 
Allmählig gewinnt er dann eine sehr charakteristische Form, welche nur 
während der Copulation auftritt und offenbar sehr lange anhält, da 


al 


sie bei wohl ?,3 aller Copulae angetroffen wird. Der ovale Kern ist in 
einer Richtung abgeplattet, so dass er von der Kante gesehen etwa !/3 
so breit erscheint wie bei der Flächenansicht. Bei der gewöhnlichen 
Lage der Copulae bekommt man die Kantenansicht, da die Abplattung 
des Kerns parallel zur Conjugationsebene erfolgt ist. 

Die Ränder der Scheibe sind verdickt, besonders in den Seitentheilen, 
wo sie bei längerer Dauer der Copulation zu ansehnlichen Lappen aus- 
wachsen, welche zwischen sich eine tiefe Längsrinne fassen. Letztere ist 
dem andern Paarling zugewandt und beherbergt häufig in sich einen 
oder beide Nebenkerne während ihrer Umwandlung zur Spindel. Oefters 
habe ich schon während dieses Stadiums beobachten können, dass der 
Rinnengrund sich zu einer niedrigen Leiste erhebt, womit der Anfang 
zum Auswachsen des Kerns in lappige Fortsätze gegeben ist. 

Die Nebenkerne sind gleich von Anfang der Copulation von ansehn- 
licher Grösse, wie ein Blick auf die Tabelle IV lehrt. Der Nucleolus ist 
selten noch ein homogener Körper, gewöhnlich ist er in einige wenige 
grössere oder zahlreiche kleinere Körner zerfallen; er liegt auf einer 
Seite des Kerns und überlässt der achromatischen Substanz das andere 
Ende. Der Uebergang zur Spindel beginnt mit einer Streckung des bis 
dahin kugeligen Kerns in eine ausgesprochene Eiform, deren stumpfes 
Ende den Nucleolus beherbergt; weiterhin gewinnt die achromatische 
Substanz eine undeutlich streifige Anordnung, welche nach der Spitze 
des Ovals orientirt ist. 

Die scharfe Grenze beider Kernsubstanzen verwischt sich, indem die 
Chromatinkörnchen auseinanderweichen und auf die Bahnen der achro- 
matischen Substanz übertreten. (Taf. I Fig. 3, Taf. IV Fig. 14.) 

Eine weitere bedeutende Grössenzunahme des Kerns führt zu einem 
sehr auffälligen Stadium, welches wir das Sichelstadium nennen wollen, 
weil der Kern in einer bestimmten Lage grosse Aehnlichkeit mit einer 
Mondsichel hat. (Taf. I Fig. 3). Die Entfernung der beiden Sichelenden 
ist mehr als 3mal so gross als der Durchmesser des Kerns am Anfang 
der Copulation; auch die Entfernung der concaven und convexen Seite 
ist bedeutender, als dieser Durchmesser war, dagegen ist in der dritten 
Richtung eine Abplattung eingetreten. So gewinnt der Kern ein ganz 
verschiedenes Ansehen, je nachdem man ihn in Flächenansicht oder in 


172 


Kantenstellung betrachtet, eine Verschiedenartigkeit, welche noch dadurch 
gesteigert wird, dass bei ersterer die Contourirung des Kerns ausser- 
ordentlich zart ist, während er bei der zweiten von einer scharf ge- 
zogenen, doppelt contourirten, etwas faltigen Membran eingefasst ist. 
(Taf. IV Fig. 15u.16). Der Inhalt des Kerns ist von Fasern gebildet, welche 
von einer Spitze zur andern ziehen und so zart sind, dass sie bei Auf- 
hellung in Nelkenöl vollkommen unscheinbar werden. Auch die färbbaren 
Bestandtheile des Kerns können auf dem vorliegenden Stadium leicht über- 
sehen werden und treten nur bei gutgeglückter Carminfärbung im Farben- 
bild klarer hervor. Sie bilden einen Haufen feinster Stäubchen, welcher 
entweder ganz auf das eine Ende des Kerns beschränkt ist oder sich in 
einen Körnchenstrang längs der concaven Seite der Sichel verlängert. 

Wenn man dann denKern von einem der Sichelenden aus betrachtet, so 
bekommt man ein charakteristisches Querschnittsbild; auf der convexen 
Seite der Sichel ist der Querschnitt abgerundet, auf der concaven zu 
einer Spitzea usgezogen. Hier liegt ferner ein nucleolusartiger Fleck, der 
optische Querschnitt des Chromatinfadens. 

Zwischen Sichelkern und Kernspindel schieben sich noch einige 
weitere Zwischenformen ein. welche in der Figur 17 Taf. IV abgebildet 
sind. Der Kern hat schon eine typische Spindelfigur angenommen; seine 
Faserung ist aber noch undeutlich wie bisher; die äusserst feinen Chro- 
matinkörnchen liegen diffus im Kern verbreitet oder bilden einen rund- 
lichen Haufen im Centrum des Kerns. Die Spindel (Fig. 18) vervollkommnet 
sich, indem die Faserung so deutlich wird, dass man auf dem Quer- 
schnittsbild jede Faser als besonderes Körnchen wahrnimmt, dass man 
ferner die Zahl der Spindelfasern in der grössten Breite des Kerns auf 
8—9 bestimmen kann. Auch die Aequatorialplatte kommt zur Ausbildung, 
indem die Körnchen sich erst zu einer diffus ausgebreiteten bandartigen 
Zone anhäufen, später sich den Spindelfasern anschliessen. Ein Studium 
der vollkommen fertiggestellten Aequatorialplatte ist bei der Feinheit 
der Elemente sehr schwierig. Ich habe mich nicht davon überzeugen 
können, dass jeder Spindelfaser ein einziges stäbchenförmiges chroma- 
tisches Körperchen entsprochen habe. Vielmehr schien mir die Aequa- 
torialplatte dadurch gebildet zu sein, dass in der Mitte jeder Spindelfaser 
d. h. nahezu gleich weit von beiden Enden entfernt mehrere Körnchen 


173 


in der Längsrichtung der Spindel hinter einander lagerten. Da die Körn- 
chen sehr fein, schwach gefärbt und nicht sehr zahlreich sind, bilden sie 
in ihrer Gesammtheit eine verwaschen rothe Stelle im Verlauf der Spindel- 
fasern. 

Dem Gesagten zu Folge können wir uns von der Umbildung der 
Nebenkerne zu Spindeln in Kürze folgendes Bild machen. Der Process 
beginnt mit einer Streckung des Kerns zunächst zu einem Oval, dann 
zu einer Sichel, endlich zu einer typischen Spindel. Die achromatischen 
Theile des Kerns beginnen frühzeitig sich faserig anzuordnen, bilden auf 
dem Sichelstadium äusserst zarte und feine Fäden, später werden die 
Fäden wieder weniger, in gleichem Maasse aber deutlicher, wahrscheinlich 
indem mehrere der ursprünglichen Fäden sich zu einer derberen Faser 
vereinigen. 

Das Chromatin bewahrt lange eine endständige Lage, erst am stumpfen 
Ende des Ovals später in einer Spitze der Kernsichel. Die Verlängerung 
in einen Faden leitet eine Umlagerung des Chromatins in einen Körner- 
haufen ein, welcher von beiden Enden des nunmehr spindelig gewordenen 
Kerns gleich weit entfernt ist, dessen feinste Theilchen sich auf die 
Spindelfassern vertheilen und so die Aequatorialplatte erzeugen. 

Literatur. Zahlreiche der Entwicklungsformen, welche die Um- 
bildung des Nebenkerns zur Spindel charakterisiren, wurden schon von 
Balbiani (1; 1861 p. 502—505) bei Paramaecium caudatum (vom fran- 
zösischen Forscher P. Aurelia genannt) beschrieben und auf Tafel III 
abgebildet; sie wurden aber in irrthümlicher Weise combinirt, was weiter 
zur Folge hatte, dass Balbiani eine doppelte Bildungsweise der Spindeln 
(seiner Samenkapseln) annahm; in seltenen Fällen wandele sich das „männ- 
liche Ei“ direct in eine „Samenkapsel“ um; gewöhnlich soll zuvor eine 
Theilung eintreten. Als vorbereitende Stadien werden die Kernsicheln 
dargestellt und an diese unmittelbar und ohne Dazwischentreten einer 
Spindel die später zu beschreibenden Theilungsfiguren angeschlossen. 

Mit seinen früheren Beobachtungen steht in einem merkwürdigen 
Contrast die Darstellung, welche Balbiani in seinen neueren Veröffent- 
lichungen gegeben hat (1882 p. 111). Hier lässt er die so auffallenden 
und von ihm selbst früher beobachteten Sichelkerne ganz unberücksichtigt 
und behauptet eine vollständige Uebereinstimmung in der Theilung der 


174 


Nebenkerne und der Zellkerne: formation des deux pöles, des filaments 
bipolaires, de la couche des bätonnets representant la plaque equitoriale 
se divisant en deux demiplaques etc. 

Die Erkenntniss, dass der Sichelkern eine Vorbereitung der Spindel 
ist, verdanken wir Bütschli, welcher schon in seiner grundlegenden 
Arbeit über die Copulation der Infusorien für die Entwicklung der auf- 
fallend grossen Spindeln von Paramaecium putrinum eine wenn auch 
nicht vollständige, so doch in der Combination der Stadien richtige Dar- 
stellung gegeben hat; er hat dieselbe später in Bronn: Ülassen und 
Ordnungen des Thierreichs reproducirt. Ihm schliessen sich Maupas 
und Jickeli an. Maupas, dessen ausführliche Mittheilungen noch aus- 
stehen, begnügt sich mit der Bemerkung, dass die Micronuclei zunächst 
die Gestalt von Hörnern und Halbmonden annehmen, was eine besondere 
Art des Wachsthums des Nucleolus sei, welche durch einfache Zweitheilung 
ersetzt werden könne (16; p. 1571). Jickeli (13; p. 491) lässt ebenfalls die 
Nebenkerne erst die Gestalt halbmondförmiger Körper annehmen, bevor sie 
zu Spindeln werden, fügt dem aber die schon von Bütschli mit Recht 
bekämpfte Angabe hinzu, dass am Aufbau der Spindel Protoplasma, 
welches von aussen eindringt, betheiligt sei. 

Da die Sichelkerne schon von mehreren Forschern richtig beurtheilt 
worden waren, ist es nicht recht verständlich, dass Gruber (10; p. 13) 
sie für abnorme Gestaltungen erklären konnte, welche sich nur ver- 
einzelt vorfinden. 


b. Zweite Periode. Theilungen der Nebenkernspindeln. 


In die zweite Copulationsperiode fallen die complicirtesten Vorgänge, 
so dass der Beobachter einer grossen Menge von Bildern sich gegenüber 
gestellt findet. Ich hätte daher gern den Zeitabschnitt weiter abgetheilt 
und eine Periode der ersten und eine solche der zweiten Theilungen 
unterschieden, allein es erwies sich praktisch undurchführbar, weil die 
Veränderungen des Haupt- und Nebenkerns nicht mehr so eng in einander 
greifen, dass ein bestimmter Zustand des ersteren auch einem bestimmten 
Zustand des letzteren entspräche. Ebenso lehrt ein Blick auf die Tafeln, 
dass zwischen den beiden Individuen einer Copula erhebliche Unterschiede 
vorhanden sein können. Indem beide Erscheinungen sich combiniren, 


175 


kann es vorkommen, dass in dem einen Thier die Veränderungen des 
Hauptkerns, im anderen die Veränderungen der Nebenkerne weiter ge- 
diehen sind. 

Ich beginne auch hier wieder mit den Metamorphosen des Haupt- 
kerns.. Die schon früher erwähnte Dreitheilung desselben in einen mitt- 
leren und zwei seitliche Theile prägt sich zunächst noch deutlicher 
aus. Die Seitentheile wachsen wie zwei Klappen hervor und umschliessen 
einen mittleren im Rinnengrund gelegenen Theil, dessen Aussehen wechselt. 
In Fig. 4 Taf. I besteht er aus zwei hervorsprossenden Höckern oder er 
ist ein mittlerer Lappen, welcher nach dem vorderen oder nach dem 
hinteren Ende des Thieres gewandt ist. Der Lappen ist häufig haken- 
artig eingebogen und an seinem Ende einfach oder doppelt eingekerbt. 
Endlich variiren auch das Grössenverhältniss und die Lagebeziehungen 
der drei Kernabschnitte (Taf. I Fig. 5). 

Jeder der letzteren fängt im weiteren Verlauf abermals an, sich unter- 
zutheilen, wie das am Mittellappen meist schon früh ausgesprochen ist. 
Sie wachsen in Fortsätze aus, welche sich auf Kosten des Hauptkerns ver- 
grössern und einen vielfach gewundenen Verlauf einhalten. So lehrt z. B. 
Figur 1 Taf. I, wie derselbe Fortsatz erst aufwärts steigt, dann umkehrt, 
im Bogen wieder nach vorwärts sich bewegt, dabei einige Ausbuchtungen 
bildet, am vorderen Ende zum dritten Mal umwendet, um mit einem 
nach rückwärts gebogenen Haken abzuschliessen. Anfänglich sind die 
Kernausläufer mit Ausnahme einer kolbigen Endanschwellung überall 
ungefähr von gleicher Dicke, später aber werden manche Stellen faden- 
artig ausgezogen, so dass ein Ausläufer mehrfach sein Caliber wechseln 
kann. Damit wird eine Auflösung in einzelne Stücke vorbereitet, indem 
die verdünnten Stellen schliesslich durchschneiden. Indessen erfolgt die 
Durchschneidung nicht so bald, als man bei oberflächlicher Betrachtung 
wohl annehmen möchte. Häufig gelingt es noch bei einem Kern, welcher 
aus zahlreichen Stücken zu bestehen scheint, den Zusammenhang der- 
selben nachzuweisen. So habe ich es zum Beispiel noch bei einem Thiere 
gefunden, welches am Ende der zweiten Copulationsperiode stand. Fünf 
künstlich verschlungene Ausläufer gingen hier sämmtlich von einer ge- 
meinsamen dreieckigen Hauptplatte aus (Taf. IV Fig. 24). Freilich waren 
die Verbindungen zumeist auf sehr dünne Brücken reducirt. Die drei- 

Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVIT. Bd. I. Abth. 23 


176 


eckige Gestalt der Mittelplatte, welche ich wiederholt beobachtet habe, 
erklärt sich aus der ursprünglichen Dreitheilung des Kerns. Auch in 
der Figur 6 Taf. I ist die Dreitheilung noch deutlich zu erkennen, inso- 
fern von einem kleinen nach vorn gewandten Stück drei geschlängelte 
Kernfäden ausgehen, welche stellenweise namentlich am unteren Ende 
der Kernmasse so verdünnt sind, dass die vollkommene Abschnürung der 
angeschwollenen Kernenden offenbar unmittelbar bevorsteht. Beim Paar- 
ling der anderen Seite ist der Zerfall denn auch schon eingetreten. 

Wenn die Theilung der Nebenkernspindeln ihrem Ende sich nähert, 
ist meist ein einheitlicher Hauptkern nicht mehr vorhanden. Am frühesten 
lösen sich einige Stücke an dem nach rückwärts gewandten Ende ab. 
Dann schreitet der Ablösungsprocess von aussen nach den inneren Partien 
vor. Die Kernbruchstücke haben meist kolbige Formen und sind am 
einen Ende in Fäden ausgezogen; oder es sind spindelige Stücke oder 
die dünnen Verbindungsfäden sind bei dem Abschnürungsprocess isolirt 
worden und haben sich zu kleinen runden Bruchstücken zusammen- 
geballt. 

Im Allgemeinen bekommt man den Eindruck, dass mit dem Aus- 
wachsen und Zerklüften eine Massenzunahme des Kerns eintritt. Denn 
während ursprünglich der Hauptkern auf das mittlere Drittel beschränkt 
ist und dies nur zum kleinsten Theil erfüllt, durchsetzen seine Bruch- 
stücke später den grössten Theil des Paramaecium. Diese weite Aus- 
dehnung kann wohl nur aus einer Volumzunahme erklärt werden, auch 
wenn man in Anrechnung zieht, dass jetzt zwischen die Kerntheile Proto- 
plasma eingedrungen ist. Ich will hier gleich erwähnen, dass auch in 
der nächsten Periode der Copulation, in welcher sich eine weitere Par- 
cellirung vollzieht, die Substanz des Hauptkerns mir nach wie vor zu- 
zunehmen scheint. 

Wichtiger als die Umwandlungen des Hauptkerns sind diejenigen der 
Nebenkerne Diese theilen sich zwei- zum Theil sogar dreimal. Da 
der Theilungsprocess stets nach demselben Princip verläuft, schicke ich 
einige allgemeine Bemerkungen über ihn voraus. (Taf. IV Fig. 22 u. 23. 
Taf. I Fig. 4. 5. Taf. I Fig. 1—3.) 

Das erste bei der Spindeltheilung ist eine Verbreiterung der Aequa- 
torialplatte, die zu einer Theilung in die Seitenplatten führt. Die 


Ikrar 


Theilung selbst habe ich nicht beobachtet, nur das Resultat derselben: zwei 
Seitenplatten mehr oder minder den Spindelpolen genähert. Die Schwierig- 
keit, den Theilungsvorgang selbst zu beobachten, führe ich darauf zurück, 
dass um diese Zeit die regelmässige Anordnung der Spindelfasern getrübt 
wird, indem sie sich schlängeln und dabei sich kreuzen. Die Elemente der 
chromatischen Figur der Spindel werden dabei in unregelmässige Lagerung 
gebracht und in Folge dessen undeutlich; man sieht hie und da auf den 
Spindelfasern bei Anwendung des Farbenbildes undeutliche matt rothe Stellen; 
die ganze Spindel sieht wie gefleckt aus. (Taf. II Fig. 2, Taf.IV Fig. 22.23.) 

Ich habe die Möglichkeit erwogen, dass vielleicht eine Theilung der 
Aequatorialplatte überhaupt unterbleibt und dass ein Theil der Elemente 
nach dem einen, ein Theil nach dem andern Kernpole wandert; ich bin 
aber von dieser Vermuthung zurückgekommen, da auch auf dem Stadium 
der Seitenplatten die Spindelfasern von einem Pol zum anderen ziehen 
und eine jede von ihnen Chromatinkörnchen trägt. Wenn man den op- 
tischen Längsschnitt prüft, so sind ebensoviel Elemente in der Seiten- 
platte vorhanden, wie früher in der Aequatorialplatte, während die oben 
gemachte Annahme die Hälfte voraussetzen würde. 

Nach dem in Fig. 23 Taf. IV gegebenen Bild zu schliessen, scheinen 
nun die zur Theilung führenden Bewegungen der Kernmasse nicht nur in 
Schlängelungen der Spindelfasern, sondern auch in Biegungen des Gesammt- 
kerns zum Ausdruck zu kommen. Letztere führen zu einer äquatorialen 
Einschnürung der Spindel, welche mit einer Verlängerung derselben 
sich combinirt. Indem nun die eingeschnürte Kernpartie immer mehr 
verdünnt wird und sich fadenförmig auszieht, entsteht eine typische 
Hantelform, zwei ovale Endanschwellungen durch ein Mittelstück ver- 
bunden. Die Hantelköpfe bewahren die faserige Spindelstructur und 
haben auch anfangs eine deutliche Chromatinplatte, welche später in 
einen Haufen feinster Körnchen sich auflöst. Das Mittelstück dagegen 
verändert seine Structur in gleichem Maasse, als es zum Zweck der 
Theilung sich in die Länge streckt und dünner wird. So lange es 
noch kurz und gedrungen ist, setzt es die Faserung der Hantelköpfe 
fort; bei mittlerer Streckung sieht man nur zwei seitliche Contouren 
und einen feinen axialen Faden, welcher die Faserung der Hantelköpfe 


in sich vereint. Kurz vor der Durchschnürung kann man auch diesen 
u 93 * 


178 


Unterschied nicht mehr machen und das Verbindungsstück ist ein einziger 
structurloser feiner Faden. 

In der geschilderten Weise bilden sich die zwei aus den Nebenkernen 
hervorgegangenen Spindeln zunächst in 4, und diese wieder in 8 Spindeln 
um. (Taf. I Fig. 4, 5 und 6.) 

Von diesen 8 Spindeln nimmt eine, welche wir die Hauptspindel 
nennen wollen, eine besondere Stellung an und unterscheidet sich dadurch 
von den übrigen, den Nebenspindeln, welche beliebig im Protoplasma des 
Paramaecium vertheilt sind. (Taf. I Fig. 6.) Sie komnit auf die rechte 
Seite des Thieres dicht vor die Mundöffnung zu liegen, richtet ihre Axe 
senkrecht zur Körperoberfläche und befestigt sich mit einer Spitze an 
der Cuticula. Da mit dem Vordringen der Spindel zugleich auch reich- 
liches Protoplasma nach der Umgebung der Mundöffnung hinströmt, 
buchtet sich die Oberfläche hervor in Form eines flachen Höckers, welcher 
den Körper des Nachbarthiers etwas eindrückt; ausserdem aber wird auch 
das Vestibulum des Cytostoms durch die Protoplasmaanhäufung beengt und 
es beginnt jetzt der oben schon beschriebene Verschluss der Mundöffnung. 

Kurze Zeit nach beendigter Theilung haben alle 8 Spindeln dieselbe 
Structur. In der Axe liegt ein ovaler mattroth sich färbender Körper 
oder Strang, in welchem alle unter einander verschmolzenen chromatischen 
Theile enthalten sind; er ist umhüllt von einem Mantel von Spindelfasern, 
die durch grössere Dicke und körnige Beschaffenheit darauf hinweisen, 
dass sie aus Verklebung mehrerer primitiver Fasern entstanden sind. 
(Taf. I Fig. 6, Taf. IV Fig. 24.) Auf dem optischen Querschnitt giebt die 
Spindel um diese Zeit ein äusserst charakteristisches Bild; im Centrum 
ein mattrosa gefärbter Körper und um denselben herum ein Kranz dicht 
gefügter Körnchen, die Querschnitte der Spindelfasern. 

Von diesem Stadium aus entwickeln sich Haupt- und Nebenspindeln 
nach verschiedener Richtung. Die Hauptspindel nimmt an Grösse zu 
und gewinnt wieder die Gestalt einer normalen Theilspindel, indem die 
Fasern reichlicher werden, sich durch das ganze Kerninnere vertheilen, 
indem ferner die Chromatinkörnchen zur Bildung einer Aequatorialplatte 
zusammentreten. (Taf. I Fig. 7.) Bei den Nebenspindeln beginnt dagegen 
ein Rückbildungsprocess (Fig. 6. 7. Taf. IV Fig. 24); sie werden kleiner 
und zugleich homogener, eine Zeit lang kann man noch zwei Bestand- 


VDE 


179 


theile auseinanderhalten, einen chromatischen Körper und eine achro- 
matische Rinde, welche an beiden Enden zugespitzt ist oder auch nur 
an einer Seite in einen spitzen schnabelartigen Fortsatz ausläuft. Später 
sieht man nur einen chromatischen Körper, der durch seine Gestalt noch 
seine Beziehungen zu den Nebenkernspindeln erkennen lässt. Als letzte 
Stadien der Rückbildung endlich sind feine rothe Körnchen zu betrachten, 
die abseits vom Bruchstückhaufen des Hauptkerns lagern. Endlich kann 
man auch nicht die geringsten Spuren von Nebenkernspindeln auffinden 
und ist so zur Annahme gezwungen, dass sie sich aufgelöst haben. 

Ich beobachtete sie noch bei Thieren, welche am Anfang der nächsten 
Periode sich befanden, einige noch von messbarer Grösse, andere so fein, 
dass man sie nur mit Rücksicht auf die beobachteten Mittelformen mit 
einiger Wahrscheinlichkeit als Derivate von Nebenkernen deuten konnte. 

Die Rückbildung erfolgt nicht für alle Nebenspindeln in gleicher 
Geschwindigkeit; so kann es kommen, dass in einem und demselben 
Präparat verschiedene Stadien neben einander vorkommen wie Figur 24 
Taf. IV lehrt. 

Während die Nebenspindeln sich rückbilden, hat die allein zurück- 
gebliebene Hauptspindel eine wichtige Weiterentwicklung erfahren. Die 
Aequatorialplatte hat sich in die Seitenplatten getheilt, (Taf. 1 Fig. 8) 
zwischen beiden schnürt sich die Spindel ein zu einer Brücke, welche als ein 
dünner Faden ausserordentlich in die Länge wächst und sich unter einem 
Winkel bald nach dem oberen bald nach dem unteren Ende knickt (Fig. 9). 
Die kolbig verdickten Enden verlieren bald jegliche faserige Structur und 
liegen nach Durchschnürung des Verbindungsfadens als 2 homogene Kerne 
weit aus einander (Taf. I Fig. 4). Da beide äusserst spärliche Chromatin- 
körnchen enthalten und auch bei sehr starker Imbibition sich fast gar nicht 
färben, sind sie vom angrenzenden Protoplasma weniger unterschieden, als 
alle bisher betrachteten Kernstadien. Dies gilt besonders von dem einen 
der beiden Kerne; wie sich aus der Lage der Hauptspindel mit Noth- 
wendigkeit ergiebt, ist ein Theilproduct dicht unter der Cuticula in dem 
hervorgetriebenen Höcker der rechten Seite gelegen, das andere dagegen 
rückt tief in das Innere und kann sogar in den Haufen von Kern- 
bruchstücken, welche aus dem Hauptkern hervorgegangen sind, hinein- 
gerathen. Das letztere ist dann schwieriger aufzufinden. 


Da die Theilstücke der Hauptspindel sich nicht nur durch ihre 
verschiedene Lagerung unterscheiden, sondern auch durch ihr weiteres 
Schicksal, so wollen wir hier gleich besondere Namen einführen und den 
tief gelegenen Kern den stationären, den oberflächlichen den Wander- oder 
Befruchtungskern nennen. 

In zahlreichen Fällen kommen einige Abweichungen von dem hier 
geschilderten Verlaufe vor (Taf. II Fig. 1—5). Sehr häufig habe ich auf 
dem Viertheilungsstadium beobachtet, dass eine Spindel sich auf der 
rechten Seite des Thiers unter die Outicula nahe der Mundöffnung ein- 
gestellt hatte. 

Dann fanden sich auch die Veränderungen schon vor, welche sonst 
erst später einzutreten pflegen, Verschluss der Mundöffnung und Hervor- 
wölbung des angrenzenden Körperbezirks. Letztere schien mir in einigen 
Fällen besonders auffällig; ja ich gewann sogar den Eindruck, dass die 
Spitze der Spindel in den Körper des Nachbarthiers mit einem spitzen 
Fortsatz eingedrungen sei. Wenn es nun zur Theilung kommt, eilen die 
übrigen Spindel der eingestellten häufig voraus, sie sind schon sämmtlich 
oder zum Theil zweigetheilt oder in das Hantelstadium getreten oder 
ihre Theilproducte sogar schon in Rückbildung begriffen, wenn die ein- 
gestellte Spindel erst die Einleitung zur Tbeilung trifft. 

Die Beobachtung derartiger Präparate hat mich früher zu der An- 
sicht geführt, dass die Differenzirung in Haupt- und Nebenspindeln sich 
schon auf dem Vierspindelstadium vollzieht; ich habe auch diese Ansicht 
in einer kurzen Mittheilung, welche in den Sitzungsberichten der Münchener 
Gesellschaft für Morphologie und Physiologie erschienen ist, vertreten. 
Danach würden nur die Theilproducte von 3 Spindeln zu Grunde gehen, 
die Theilproducte der vierten Spindel dagegen beide erhalten bleiben und 
direct sich in stationären und Wanderkern umwandeln. Die Fälle, wo 
nur eine Spindel vorhanden ist, welche bestimmt ist, sich später in die 
bleibenden Kerne zu theilen, während die Nebenspindeln schon geschwunden 
sind, suchte ich mir durch die Annahme zu erklären, dass die Theilung 
der vierten eingestellten Spindel, für welche ich wiederholt eine Ver- 
zögerung habe feststellen können, aussergewöhnlich spät eingetreten sei. 

Meine jetzige Ansicht, welche sich auf genaue Untersuchung eines 
sehr umfangreichen Materials stützt, geht nun dahin, dass bei Paramaecien 


har 


181 


sicherlich erst von den 8 durch zweimalige Theilung entstandenen Spindeln 
eine sich zur Hauptspindel entwickelt und die 2 Befruchtungskerne liefert 
und dass demgemäss nicht 6, sondern 7 Spindeln zu Grunde gehen. Denn 
ich habe 8 Spindeln öfters aufgefunden, bevor die Veränderung in der 
Gegend der Mundöffnung zu sehen war, und habe ausserdem Thiere be- 
obachtet, bei welchen neben einer unzweifelhaften Hauptspindel, welche 
sich noch nicht in die Geschlechtskerne getheilt hatte, 7 in Rückbildung 
begriffene Nebenspindeln existirten. 

Ich halte sogar den hier beschriebenen Modus für das normale Ver- 
halten, namentlich auf Grund von Beobachtungen an Paramaecium cau- 
datum. Dieses Thier, welches nur einen Nebenkern hat, besitzt natur- 
gemäss auf allen entsprechenden Theilungsstadien nur die Hälfte der 
Spindeln von Paramaecium Aurelia. Den 8 Spindeln von Paramaecium 
Aurelia entsprechen somit 4 bei Paramaecium caudatum. Von den 4 
durch zweimalige Theilung entstandenen Spindeln gehen 3 zu Grunde, 
die vierte erhält sich und liefert die beiden Geschlechtskerne. 

Es frägt sich nun, ob die Entwicklung bei allen Exemplaren einer 
Paramaecienart in ganz derselben Weise verläuft, oder ob nicht vielmehr 
Variationen möglich sind, ob nicht speciell bei Paramaecium Aurelia die 
Variation vorkommen kann, dass auf dem Stadium der 4 Spindeln 
in der oben erläuterten Weise die eine als Hauptspindel die beiden 
Geschlechtskerne, die andern 3 die 6 zur Rückbildung begriffenen Neben- 
spindeln liefern. Sollte diese Variation vorkommen, so könnte sie viel- 
leicht mit einer anderen Abänderung im Zusammenhang stehen, welche 
sich auf die Anlage der ersten Spindel bezieht, deren Besprechung ich 
bis an diese Stelle verschoben habe. Obwohl ich niemals ein Para- 
maecium Aurelia mit verschmolzenen Nebenkernen gesehen habe, so 
kömmt es doch vor, dass die 2 Kernsicheln dicht bei einander lagern 
und dass diese später eine einzige Kernspindel liefern. Die Kernspindel 
ist von ganz aussergewöhnlicher Grösse und enthält auf dem optischen 
Längsschnitt sehr viel mehr Spindelfasern, als man sonst zu Gesichte bekommt. 
(Taf. IV Fig. 20. 22.) Damit sind Verhältnisse geschaffen, wie sie für P. 
caudatum charakteristisch sind; es wäre daher nicht zu verwundern, wenn 
die Differenzirung in Haupt- und Nebenkerne dort schon auf dem Vier- 
spindelstadium zu Stande käme. 


c. Dritte Periode der Conjugation. Austausch der Wanderkerne 
(Befruchtungsprocess). 


Das Paramaecium, wie wir es am Ende der letzten Periode verlassen 
haben, besitzt einen in zahlreiche Stücke aufgelösten Hauptkern. Die 
meisten Stücke sind ziemlich gross, kugelig, oval oder wurstförmig; 
viele haben noch angeschwollene Enden oder sind sogar hantelförmig 
eingeschnürt; ab und zu hängen auch grössere Stücke mittelst eines 
feinen Verbindungsfadens zusammen. Reste von Nebenkernspindeln sind 
zuweilen als kleine Körner noch sichtbar. Die aus der Theilung der 
Hauptspindel hervorgegangenen letzten Abkömmlinge der Nebenkerne, 
die Geschlechtskerne sind homogene oder schwach körnige Körper mit 
einem centralen Haufen chromatischer Körnchen; der tiefer gelegene 
stationäre Kern ist vollkommen kugelig, der subeuticulare Wanderkern 
etwas eckig. 

Die Veränderungen des Hauptkerns während der 3. Periode sind 
unbedeutend und beschränken sich auf eine langsam fortschreitende Zer- 
legung seiner Theile in kleinere Stücke. 

Dagegen fangen die Geschlechtskerne an sich zu vergrössern, wahr- 
scheinlich nur durch Imbibition mit Kernsaft; dabei wird das Chromatin 
wieder deutlicher als ein ovaler Körper, der umgeben ist von achroma- 
tischen Fäden, eine Kernform, wie wir sie früher schon kennen gelernt 
haben, endlich werden die Kerne wieder zu Spindeln mit deutlicher 
Aequatorialplatte. Zählt man jetzt die Fasern auf dem optischen Längs- 
schnitt, so findet man nur 4—6 und entsprechend so viel Chromatin- 
elemente; im Vergleich zu früher hat somit eine Reduction der Spindel- 
fasern etwa auf die Hälfte stattgefunden. 

Während der Erneuerung der Spindelstructur erfahren beide Kerne 
Lageveränderungen. Dieselben sind beim stationären Kern unbedeutend 
und beschränken sich darauf, dass er wieder oberflächlicher auf die 
rechte Seite des Thieres in einige Entfernung vom geschlossenen Cyto- 
stom zu liegen kommt. 

Die Lageveränderungen der Wanderkerne sind nicht nur viel erheb- 
licher, sondern zugleich auch von viel grösserer Bedeutung. Sie lassen 
sich kurz dahin zusammenfassen, dass die Kerne, die inzwischen ent- 


ee We 


Pi 


183 


standene Protoplasmabrücke zwischen beiden Paarlingen benutzen, um in 
das Nachbarthier hinüber zu wandern und dort mit dem zurückgebliebenen 
stationären Kern zu verschmelzen. Da der Austausch meist nahezu 
gleichzeitig erfolgt, müssen sich beide Spindeln auf der Protoplasmabrücke 
begegnen und sich an einander vorbeischieben. 

Den Austausch der Wanderkerne kann man nicht am lebenden 
Thier beobachten, sondern nur aus einem sorgfältigen Studium zahl- 
reicher abgetödteter Entwicklungsstadien erschliessen; man kann aber 
hiebei eine grosse Sicherheit und Genauigkeit der Untersuchung erreichen, 
wenn man das ausserordentlich gesetzmässige gegenseitige Lageverhältniss 
der Kerne gut im Auge behält. 

Aus der Theilung der Hauptspindel hervorgegangen, liegen die Wander- 
kerne bei seitlicher Ansicht der Copula genau über einander, aber durch 
einen weiten Zwischenraum getrennt; ein weiteres Stadium zeigt sie ge- 
nähert, indem sie sich in der Copulationsebene, man möchte fast sagen auf 
der Grenze beider Thiere, aus der rein seitlichen Lagerung rechts mehr 
in eine mediane Lagerung begeben haben. Sie haben inzwischen wieder 
Spindelstructur gewonnen und die Spindelaxe in die Längsaxe der Copu- 
lationsebene eingestellt. (Taf. II Fig. 6, Taf. IV Fig. 27.) 

Auf weiteren Präparaten sieht man das hintere Spindelende in eine 
Spitze ausgezogen und dem Nachbarthiere zugekehrt. Die Spindel be- 
findet sich dann in einer schrägen Stellung; mit dem vorderen Ende 
liegt sie noch in der Nähe ihres Ausgangspunktes, d. h. in der rechten 
Seite des zugehörigen Thieres, mit ihrem hinteren Ende ist sie in die 
Tiefe — also nach der linken Seite zu — vorgedrungen. Dieses hintere 
Ende bohrt sich in das Nachbarthier ein und zwar in die rechte Seite 
desselben. In wie weit jedesmal der Uebertritt schon bewerkstelligt ist, 
lässt sich schwer ermessen, da die Grenzen beider Thiere verwischt, wenn 
nicht ganz geschwunden sind. 

Sehr häufig habe ich gesehen, dass dem eingedrungenen Ende des Wander- 
kerns ein Ende des stationären Kerns bis zu gegenseitiger Berührung ent- 
gegengewachsen ist; es ist mir wahrscheinlich, dass eine derartige Be- 
rührung sich frühzeitig und constant vollzieht. (Fig. 6 u. 9, Taf. IV Fig. 26.) 

Aus den Bildern 7 und 8 schliesse ich nun, dass unter dem An- 
drängen des Wanderkerns der stationäre Kern eine Drehung erfährt, so 

Abh. d. II. C1.d. E. Ak. d. Wiss. XVIT. Bd. I. Abth. 24 


184 


dass sein der Oopulationsebene zugewandtes Ende, welches die Verbindung 
mit dem Wanderkerne vermittelt, nunmehr abgekehrt ist. Vom gemein- 
samen Pol aus divergiren beide Spindeln mit ihren nicht vereinigten 
Enden, die Wanderspindel in der Weise, dass ihr Ende noch in der 
rechten Seite des Mutterthiers nahe dem Ausgangspunkt der Wanderung 
festgeheftet ist. Die Figuren 7, 8, 9 zeigen verschiedene Grade dieser 
Divergenz; wenn dieselbe ganz aufgehört hat, dann haben sich auch 
die zweiten Spindelpole unter einander vereinigt; die Spindelfasern haben 
sich im wesentlichen parallel zu einander gestellt; aus Vereinigung zweier 
Elemente hat sich eine einzige grössere Spindel mit einheitlicher Aequa- 
torialplatte entwickelt. Die ursprünglich vorhandene Verbindung mit 
dem Nachbarthier, welche sich aus der Entwicklungsweise mit Noth- 
wendiekeit ergiebt, wird allmählig jetzt aufgehoben. 

Sucht man sich von der Menge der Spindelfasern eine Vorstellung 
zu verschaffen, indem man ihre Zahl auf dem optischen Längsschnitt 
bestimmt, so bekommt man ungefähr ebenso viel Elemente, als sie den 
aus den Sichelkernen hervorgegangenen Spindeln zukommen, etwa 10. 
Wir sehen somit, dass durch Vereinigung von zwei Spindeln, bei welchen 
eine Reduction der Spindelfasern stattgefunden hatte, die für Paramaecium 
Aurelia normale Zahl der letzteren wieder hergestellt ist. 

Die Figuren 7 und 8 lehren, dass die beiden Paarlinge sich rück- 
sichtlich der Geschwindigkeit, mit welcher die Kernvereinigung zu Stande 
kommt, nicht gleich verhalten; in beiden Fällen ist das rechte Thier 
gegenüber dem linken im Vorsprung. Wird dieser Unterschied ein sehr 
erheblicher, so entsteht ein interessantes Bild, welches ich zweimal er- 
halten und in Figur 9 Tafel II abgebildet habe. In beiden Fällen war 
im rechten Thier die Vereinigung beider Spindeln schon vollzogen, in 
dem einen Fall so vollständig, dass man zwischen den Fasern beider 
nicht mehr unterscheiden konnte, während im andern Fall dieser Unter- 
schied noch gemacht werden konnte. Im linken Thier befand sich eine 
sehr viel kleinere Spindel, die stationäre Spindel, welche durch Conju- 
gation noch keinen Zuwachs erhalten hatte. - Endlich sehen wir in der 
Abbildung noch eine 3. Spindel von der Grösse der zuletzt beschriebenen; 
sie liegt beidesmal unzweifelhaft noch im rechten Thier; es ist die von 
letzterem gebildete Wanderspindel, welche bestimmt ist, nach links hin- 


185 


überzutreten — Figur 9 zeigt den Beginn dieses Uebertritts — und 
sich dort mit der stationären Spindel zu vereinigen. Solche Fälle, in 
denen auf der einen Seite die „Befruchtung“ verlangsamt ist, sind be- 
sonders geeignet um zu beweisen, dass ein Austausch der Spindeln eintritt. 


Zum Schluss sei hier noch die theoretisch wichtige Beobachtung 
nachgetragen, dass sich schon vor der Vereinigung oder selbst vor dem 
Austausch der Spindeln die Theilung der Aequatorialplatte vollzogen haben 
kann (Taf. IV Fig. 26). 


d. Vierte Periode der Conjugation. Bildung der Haupt- und Neben- 
Kernanlagen. 


Durch dichte Aneinanderfügung von 2 Spindeln ist eine ansehnliche 
Spindel entstanden, welche wir mit Rücksicht auf ihr weiteres Schicksal 
die primäre Theilspindel nennen wollen. Sie liegt entsprechend ihrer 
Entstehung auf der rechten Seite des Thieres dicht neben dem Cytostom, 
welches sich in ganzer Ausdehnung wieder geöffnet hat. Die Theilspindel 
theilt sich in der oben schon für die Nebenkerne im Allgemeinen ge- 
schilderten Weise; sie wächst in die Länge und in die Breite; die Spindel- 
fasern schlängeln und krümmen sich, während die chromatischen Körn- 
chen der Aequatorialplatte sich spalten und die Seitenplatten erzeugen. 
Unter fortgesetzter Streckung des Kerns weichen die Seitenplatten aus 
einander (Tafel II Fig. 1) und bildet sich zwischen denselben eine Ein- 
schnürung aus, welche zur Hantelform des Kerns führt. Die Hantel- 
köpfe behalten (Tafel III Fig. 5) sehr lange die faserige Structur, oder 
büssen sie vielleicht überhaupt nicht vollständig ein; das Verbindungs- 
stück dagegen verliert die Faserung immer mehr, je mehr es in die Länge 
wächst, und wird schliesslich ein feiner Faden, welcher zumeist einen 
ansehnlichen Bogen zwischen beiden Hantelköpfen beschreibt (Tafel III 
Fig. 2). Mit dem Durchschneiden des Verbindungsfadens erhalten wir 
zwei undeutliche faserige Körper, welche aber bald wieder zu zwei nor- 
malen Spindeln werden, den secundären Theilspindeln. 

Die secundären Theilspindeln verbleiben in dem Thiere, in welchem 
sie entstanden sind, obwohl zumeist das Fortbestehen der Protoplasmabrücke 


einen Austausch der Spindeln noch ermöglicht. Ein Befund, den ich nur 
24* 


186 


einmal gemacht und in Figur 2 dargestellt habe, muss als ein abnormes 
Vorkommen gedeutet werden. Wenn hier die Theilungsfigur der ersten 
Theilspindel in der Verbindungsbrücke der 2 Paarlinge liegt, so dass die 
eine Spindel im linken, die andere im rechten untergebracht ist, so er- 
klärt sich das wohl aus einer verlangsamten Ueberwanderung des einen 
Wanderkerns. Wahrscheinlich wurde dadurch die Vereinigungsstelle der 
Geschlechtskerne auf die Verbindungsbrücke verschoben. 

Die Lösung der Copulation erfolgt nach meinen Erfahrungen meist 
nach Trennung der Theilspindeln, seltener noch vor derselben. Ein längeres 
Andauern der Vereinigung habe ich dagegen nie beobachtet, so dass die 
nun zu beschreibenden Vorgänge, welche sich an den secundären Theil- 
spindeln vollziehen, immer nur an Einzelthieren beobachtet werden können. 

Zunächst nähern sich die Theilspindeln, so dass man von einem 
bestimmten Stadium an sie stets dicht bei einander findet, die Pole der 
der einen Seite fest vereinigt, die der andern Seite schwach divergirend 
(Fig. 5 u. 7); zugleich nehmen sie an Grösse zu und es lockern sich die 
Spindelfasern, welche zwischen beiden Polen in schwach spiraliger Anord- 
nung verlaufen (Fig. 4). Auch hier führt die Schlängelung der Spindel- 
fasern zur Theilung der Aequatorialplatte; denn wenig vergrösserte Kerne 
zeigen dieselbe vollzogen (Fig. 5). Nach der Spaltung der Aequatorial- 
platte wachsen die Spindeln zum Unterschied von früher betrachteten 
Theilungen ohne eingeschnürt zu werden erheblich in die Länge; zugleich 
rücken die Seitenplatten fast bis zu den äussersten Enden der Kerne. 

Im weiteren Verlauf mehren sich die Unterschiede zur gewöhnlichen 
Theilung der Nebenkernspindeln. Eine äquatoriale Einschnürung unter- 
bleibt, dagegen bilden sich zwei Einschnürungen beiderseits dicht hinter 
den Seitenplatten aus, so dass man am Kern nunmehr 3 Abschnitte 
unterscheiden kann, eine mittlere ansehnliche Anschwellung und 2 die 
Seitenplatten enthaltende Endknöpfe; alle 3 Abschnitte sind noch faserig 
gestreift. (Taf. IIl Fig. 16.) 

Die secundären Theilspindeln sind anfänglich schräg oder gar senk- 
recht zur Längsaxe des Thieres gestellt. Dies ändert sich nun, indem 
die Spindeln sich parallel zu einander und zur Längsaxe des Thieres 
lagern. Da ihnen hierdurch die Möglichkeit zu bedeutender Streckung 
gegeben ist, verlängern sie sich so sehr, dass ihre Enden bis in die 


| 
; 
2 


187 


beiderseitigen Spitzen des Paramaecium hineingerathen und sogar ein 
Stück weit wieder umbiegen können (Taf. III Fig. 9). 

Die Streckung geschieht, indem die 3 Kernabschnitte sich in lange 
Verbindungsfäden ausziehen; namentlich wird das mittlere Kernstück 
hierbei zum grossen Theil aufgebraucht bis auf eine kleine Anschwellung, 
welche noch lange genau in der Mitte zwischen beiden Kernenden liegt. 
Man kann jetzt an jedem Kern 5 Abschnitte unterscheiden, in der Mitte 
eine spindelige Verbreiterung, dann auf beiden Seiten lange Fäden, end- 
lich an den Enden 2 kleine Köpfchen (Fig. 8). 

Die Verbindungsfäden sind zur Zeit ihres Auftretens doppelt contourirt, 
durch Auseinanderweichen der Oontouren entstehen sowohl die spindelige 
Verbreiterung als auch die Endköpfchen. In ersterer sieht man nur noch 
2 leicht gewellte Kernfasern, letztere sind anfangs noch faserig, später 
werden sie feinkörnig, indem wahrscheinlich die achromatische Substanz 
zu einem Reticulum zusammenfliesst. Die chromatischen Körnchen sind 
zu einer undeutlichen Seitenplatte gruppirt, später legen sie sich an ein- 
ander und bilden einen nucleolusartigen Körper. 

Die Art, in welcher die Theilung zu Ende geführt wird, habe ich 
nicht näher verfolgt. Ich kann daher nicht entscheiden, ob die beiden 
Enden sich von einander trennen, indem die intermediäre Strecke gleich- 
sam von ihnen aufgesogen wird, oder indem sie eine Auflösung durch 
das umgebende Protoplasma erfährt; am wahrscheinlichsten ist, dass die 
Substanz der spindeligen Anschwellung und der Verbindungsfäden sich 
auflöst. Denn ich habe Fälle beobachtet,‘ in denen die Endkörperchen und 
Verbindungsstücke noch deutlich zu. erkennen waren, ein Zusammenhang 
aber nicht mehr wahrgenommen werden konnte Ich vermuthe daher, 
dass die Endkörperchen sich ablösen und allein erhalten bleiben. 

So lange beide Kernenden noch fest unter einander verbunden sind, 
lässt sich kein Unterschied zwischen ihnen wahrnehmen. Einige Zeit 
nach vollzogener Theilung ist dagegen auf’s deutlichste erkennbar, dass 
aus den secundären Theilspindeln 2 verschiedene Kernpaare entstanden 
sind, kleinere und grössere; die kleineren sind die Anlagen der bleibenden 
Nebenkerne, die grösseren die Anlagen zu dem neu entstehenden Haupt- 
kern, die sogenannten Placenten. Beide gemeinsam sind von den rund- 
lichen Stücken, welche aus Zerfall des Hauptkerns entstanden sind, leicht 


188 


zu unterscheiden, indem sie den Charakter von Kernbläschen haben, eine 
deutliche Membran besitzen und sich sehr wenig färben. Die Unter- 
schiede zwischen Nebenkernanlagen und Placenten beruhen nun vor Allem 
auf der Art, wie die spärlichen Chromatinbestandtheile auf das achro- 
matische Gerüst vertheilt sind. Bei den Nebenkernen besteht der Zustand 
wie er sich aus der Theilung ergiebt, fort; das Bläschen ist vom achro- 
matischen Gerüst gleichmässig durchsetzt, so dass sogar der Unterschied 
zwischen ihm und der Kernmembran verwischt ist, und in dem Gerüst 
liegt ein chromatischer Nucleolus entweder in Form eines rundlichen 
Körpers oder in Form eines gewundenen Stabes oder endlich als ein 
Complex weniger Körnchen. Bei den Hauptkernanlagen sind dagegen 
beide Kernsubstanzen innig vermenet. Im Innern der Kernblase liegt ein 
rundlicher Körnerhaufen, der sich schwach färbt, wahrscheinlich ein beide 
Kernbestandtheile in sich vereinigendes Reticulum. (Taf. III Fig. 9 u. 10.) 

Die Folge ist, dass bei Betrachtung gefärbter Canadabalsampräparate 
und Benützung des Farbenbildes die Nebenkerne mit ihren intensiv rothen 
Nucleoli hervorleuchten, dass dagegen die Hauptkernanlagen fast gar 
nicht oder nur als matt rosa Flecke auffallen. 

Begreiflicherweise war es mir nun von grossem Interesse zu ent- 
scheiden, in welcher Weise aus den Theilspindeln die zweierlei Kern- 
anlagen hervorgehen. Von vornherein waren 2 Möglichkeiten gegeben, 
entweder die eine Theilspindel liefert nur Nebenkernanlagen, die andere 
nur Placenten, oder jede Spindel liefert auf der einen Seite einen Neben- 
kern, auf der andern die Anlage zu einem Hauptkern. 

Mit Aufwendung vieler Mühe bin ich zu dem Resultat gelangt, dass 
das letztere zutrifft. Der Unterschied zwischen beiderlei Kernen tritt 
sehr bald nach vollzogener Theilung auf; dann kann noch die Lagerung 
bestehen, wie sie aus der Theilung unmittelbar sich ergiebt: in jedem 
Ende des Thieres 1 Paar von Kernen. In mehreren Fällen habe ich 
deutlich gesehen, dass das eine Kernpaar schon zweifellos die Charaktere 
von Placenten trug, das andere das Aussehen von Nebenkernen bewahrt hatte. 

Wir können somit den Satz aufstellen, dass jede primäre Theil- 
spindel sich in zwei gleichwerthige Stücke, die secundären Theilspindeln, 
theilt, dass jede secundäre Theilspindel dagegen bei der Theilung un- 
gleichwerthige Elemente liefert, auf der einen Seite die Anlage zu einer 


Der erw FERN 


189 


Placenta, auf der andern die Anlage zu einem Nebenkern. Wir haben ferner 
gesehen, dass auch im Theilungsprocess zwischen beiden Fällen erhebliche 
Unterschiede bestehen. Die primäre Theilspindel zeigt denselben Theil- 
modus wie die Nebenkerne in der Copulationsperiode vor der Befruchtung; 
die secundären Theilspindeln bilden dagegen dieselben Figuren, wie sie bei der 
gewöhnlichen Theilung der Paramaecien aus den Nebenkernen hervorgehen. 
Für meine Auffassung, dass jede Theilspindel eine „Placenta“ und 
einen Nebenkern erzeugt, kann ich als weiteren Beweis den Umstand 
anführen, dass stets gleichviel Nebenkerne wie Placenten vorhanden sind. 
Es kann nämlich vorkommen, dass Thiere, welche aus der Copulation 
hervorgegangen sind, 4 anstatt 2 Nebenkerne besitzen; dann haben sie 
auch die gleiche Anzahl von Placenten. Ich erkläre mir dieses mehrfach 
beobachtete Vorkommniss durch die Annahme, dass die Theilungsspindel, 
welche aus der Vereinigung der Geschlechtskerne entstanden ist, sich 
zweimal hintereinader theilt und so vier Spindeln liefert, welche sich 
nun erst in Haupt- und Nebenkernanlagen theilen. (Taf. III Fig. 11.) 
Auf die Copulation folgt eine jedenfalls Tage lang dauernde Periode, 
in welcher allmählig die normale Structur des Paramaecium wieder 
hergestellt wird, indem die Theilproducte des Hauptkerns schwinden und 
die sogenannten Placenten den neuen Hauptkern liefern. Die bis dahin 
kleinen Paramaecien wachsen lebhaft und können sogar eine Grösse er- 
reichen, wie ich sie sonst nie beobachtet habe. In dieser Zeit bleiben die 
Nebenkerne im wesentlichen so wie sie aus der Theilung der secundären 
Theilspindeln hervorgegangen sind, mit einziger Ausnahme vielleicht, dass 
die Chromatinkörner einen rundlichen Nucleolus erzeugen. Die Anlagen 
der Hauptkerne erfahren dagegen ein langsam fortschreitendes Wachsthum 
und eine Aenderung ihrer Structur, wobei von dem bisherigen Charakter 
der Kerne nur die scharfe Umgrenzung durch eine weit abstehende Kern- 
membran lange Zeit erhalten bleibt. Der Körnerhaufen im Innern der 
Kernblase wird zu einem homogenen Nucleolus, welcher sich so gut wie gar 
nicht färbt. Nur undeutlich verwaschene rothe Flecke deuten an, dass im 
Kern noch Chromatin enthalten ist. Dieselben nehmen allmählig an Menge 
und Intensität der Färbung zu, so dass die anfangs fast farblose Haupt- 
kernanlage bei Färbungen ein immer tieferes Colorit gewinnt; von den 
Bruchstücken des Hauptkerns ist sie aber auch dann noch zu unter- 


190 


scheiden, einmal weil sie nach wie vor homogen und später äusserst fein 
gekörnelt erscheint, zweitens aber auch weil sie von einer weit abstehenden 
Kernmembran umgeben ist, welche den Kernbruchstücken fehlt (Fig.12u.17). 

In gleichem Maasse als die beiden Hauptkernanlagen an Grösse zu- 
nehmen, in gleichem Maasse schwinden die Reste des alten Hauptkerns. 
Dieselben haben während des in Rede stehenden Zeitabschnitts eine fort- 
gesetzte Verkleinerung erfahren und sind zu rundlichen oder polyedrischen 
Körpern geworden, zwischen denen nur geringfügige Grössenunterschiede 
bestehen. Während sie früher dicht zu einem Haufen zusammengedrängt 
waren, verbreiten sie sich jetzt gleichmässig durch das in lebhaftem Wachs- 
thum begriffene Thier. Dabei geben sie Erscheinungen zu erkennen, welche 
eine allmählige Degeneration wahrscheinlich machen (Taf. IV Fig. 25). Sie 
werden lichter, die Körnelung ihrer Substanz wird gröber und lockerer, 
nicht selten bildet sich im Centrum eine helle Stelle aus. Häufig liegen 
sie den Hauptkernanlagen dicht angefügt; da sie dann aber immer durch 
die Kernmembran getrennt bleiben, halte ich eine directe Verschmelzung 
mit denselben für ausgeschlossen; dagegen scheint es mir sehr wahr- 
scheinlich, dass ihre Substanzen gelöst und von den Kernanlagen zum 
eigenen Wachsthum verbraucht werden. 

Noch sind aber 2 Kernanlagen vorhanden, während ein normales Para- 
maecium nur 1 Hauptkern besitzt. Von vornherein sind 2 Möglichkeiten 
gegeben, in welchen sich diese letzte Umbildung vollziehen könnte. Einmal 
könnten die beiden Kernanlagen verschmelzen, zweitens könnten sie durch 
einen Theilungsact auf 2 Thiere vertheilt werden. Bilder, welche einen 
Verschmelzungsvorgang ausser Zweifel stellen würden, habe ich nicht ge- 
funden, wohl aber habe ich häufig gesehen, dass die Hauptkernanlagen 
an der Grenze des hinteren und mittleren Drittels sich fest an einander 
pressen. Wenn wir berücksichtigen, dass Verschmelzungen ruhender Kerne 
wohl schnell ablaufen, so sprechen diese Beobachtungen zu Gunsten der 
ersten der beiden oben aufgestellten Möglichkeiten. (Taf. III Fig. 12 u. 17.) 

Andererseits habe ich keine Anzeichen aufgefunden, dass, so lange 
als die Hauptkernanlagen getrennt bestehen, eine Theilung des Para- 
maecium zu Stande kömmt. Ich habe zu dem Zweck die Vorgänge der 
Theilung bei Paramaecien, welche noch vor der Copulationsperiode standen, 
geprüft und die bisher noch ungenügend oder gar nicht bekannten com- 


A te Bi A re KK ee en 


191 


plicirten und jedenfalls langdauernden Umwandlungen der Nebenkerne 
und der Cytostome genauer verfolgt. 

Ich werde darüber in einem besonderen Abschnitt berichten und 
beschränke mich hier auf die Bemerkung, dass selbst bei abnorm 
grossen Paramaecien mit doppelter Kernanlage keine Vorbereitungen zur 
Theilung aufzufinden waren. Dieser negative Befund macht die Annahme 
unwahrscheinlich, dass ein Theilungsprocess zur einfachen Beschaffenheit 
des Hauptkerns führt. 

Literatur: Da in den meisten früheren Arbeiten die einzelnen 
Phasen der Copulation nicht auseinander gehalten worden sind, ist es 
mir zweckmässiger erschienen, die Angaben über die Schicksale der 
Nebenkernspindeln im Zusammenhang zu besprechen. 

Der Theilungsprocess der Spindeln wurde zuerst von Bütschli 
(5; Taf. VII, VIII u. XII) bei Paramaecium Bursaria, P. putrinum und 
Stylonychia Mytilus beschrieben, mit Abbildungen erläutert und als eine 
Form der Kernvermehrung richtig gedeutet. In Bronn (lassen und 
Ordnungen des Thierreichs hat er zum Theil seine früheren Abbildungen 
wieder abgedruckt und auch seine frühere Schilderung im Wesentlichen 
beibehalten und nur in so fern ergänzt, als er die inzwischen in die 
Histologie eingeführte Unterscheidung von Chromatin und Achromatin 
anwandte (6; p. 1535). Ich hebe aus Bütchli’s Darstellung die wich- 
tigsten Sätze heraus. „Unter fortgesetzter Streckung des Kerns wird die 
Kernplatte getheilt und ihre Hälften wandern nach den Polen, welche 
sie schon erreichen, bevor eine Einschnürung in der mittleren Region 
eintritt. Stets bleiben die achromatischen Verbindungsfasern zwischen 
den auseinander gerückten Kernplattenhälften sehr deutlich und. klar. 
Sie sind die früheren Spindelfasern, an welchen sich die Kernplatten- 
elemente verschieben, was nicht ausschliesst, dass sie gleichzeitig von ihnen 
bewegt werden. Indem der Kern fortgesetzt in die Länge wächst, runden 
sich seine beiden Enden allmählich kugelig bis ellipsoidisch ab, so dass 
sie sich durch eine Einschnürung von dem strangartigen Mitteltheil 
deutlich absetzen. Den Inhalt der abgerundeten Enden bilden wesentlich 
die Kernplattenhälften, den Verbindungsstrang dagegen die achromatischen 
Verbindungsfasern, welche jedoch jederseits noch eine kleine Strecke in 
die Enden eindringen. Der Verbindungsstrang wächst nun sehr stark 

Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. L. Abth. 25 


192 


aus, wobei er zunächst lang spindelförmig wird, da er in der Mitte am 
dicksten bleibt. Diese Anschwellung erhält sich lang, wird jedoch natür- 
lich immer unmerklicher, je mehr der Strang auswächst; schliesslich 
schwindet sie.“ 

Der Verbindungsstrang „erscheint im Maximum seiner Streckung als 
ein ganz feiner in der Mitte nicht mehr angeschwollener Faden.“ „Dass 
dieser Faden schliesslich mitten durchreisst und seine Reste eingezogen 
werden, scheint zweifellos.“ 

In der beschriebenen Weise sollen sich die Nucleoli sowohl bei der 
Conjugation als auch bei der Vermehrung der Infusorien durch Quer- 
theilung in Tochterkerne verwandeln; nur die Tochterkerne sollen sich 
in beiden Fällen verschieden verhalten. Bei der Quertheilung soll „bald 
meist schon vor der vollen Ausbildung des Verbindungsstranges die Rück- 
bildung der Kernplattenhälften in jedem Tochterkern eintreten,“ d. h. 
ihre Umwandlung in den Zustand des ruhenden Nebenkerns. „Bei der 
Vermehrung während der Conjugation kehren die Tochterkerne nicht in 
den Ruhezustand zurück,“ weil sie sofort von Neuem zur Theilung 
schreiten. Dabei sollen die am Pol einseitig gelagerten Kernplatten zu- 
nächst zur Bildung der Kernplatte wieder in die Mitte rücken. 

Zu diesen Angaben habe ich zu bemerken, dass Bütschli die nicht 
unwichtigen Unterschiede zwischen den Nebenkerntheilungen, welche vor 
der Befruchtung stattfinden, und denen, welche nach der Befruchtung zur 
Bildung der Neben- und Hauptkernanlagen führen, übersehen hat. Seine 
Darstellung combinirt Bilder, welche verschiedenen Reihen angehören; so 
gehören die terminale Lagerung der Seitenplatten und die spindelige An- 
schwellung des Verbindungsstrangs in den zweiten Theilungsmodus hinein; 
die meisten übrigen Angaben beziehen sich dagegen auf die erste Theil- 
weise. Ferner lässt Bütschli die eigenthümliche Schlängelung der 
Spindelfasern unerwähnt, welche in die Zeit der Theilung der Aequatorial- 
platte fällt und die bei der Erklärung des Mechanismus der Kerntheilung 
Berücksichtigung verdient, obwohl er die betreffende Spindelform einmal 
selbst abgebildet hat. (5; Taf. VII Fig. 7.) 

In einer Reihe principiell wichtiger Fragen bin ich dagegen mit 
Bütschli in voller Uebereinstimmung: „dass das Material zum Aufbau 
der achromatischen Spindelfasern schon im ruhenden Kern enthalten ist 


195 


und nicht von eindringendem Protoplasma der Umgebung geliefert wird“, 
dass die Kernmembran erhalten bleibt, dass die Nebenkernspindeln stets 
Chromatin enthalten und dass sie dieses Chromatin im Nebenkern vor- 
finden und nicht erst vom Hauptkern entlehnen müssen. Hiermit ist 
schon gesagt, dass ich die kurze Darstellung, welche Jickeli von den 
Theilstadien der Nebenkerne gegeben hat, nicht für richtig halte 
@3;-Pp- 491): 

Mit den Untersuchungen, welche Bütschli über die Spindeltheilung 
von Paramaecium bursaria veröffentlicht hat (5), erklärt sich Balbiani 
(3; 1882 p. 110) vollkommen einverstanden; damit ist nun schwer ver- 
einbar, wenn er auf der folgenden Seite eine vollständige Uebereinstim- 
mung der Theilung der „Nucleoli“ bei Oonjugation und Theilung der 
Infusorien mit der Theilung der Zellkerne behauptet und diese Ueberein- 
stimmung bis in die Einzelheiten durchzuführen sucht. Denn wie aus 
meinen und Bütschli’s Beschreibungen ersichtlich ist, bestehen zwischen 
der Theilung der Nebenkerne der Infusorien und derjenigen der Gewebs- 
kerne bei grosser Aehnlichkeit doch immer noch sehr erhebliche Unter- 
schiede; so trifft es z. B. gar nicht zu, dass „les bätonnets fusiformes (der 
Seitenplatten) se transforment graduellement en petits noyaux vösiculeux, 
qui fusionnent pour former les deux jeunes noyaux.“ 

Da Gruber und Plate auf die Structur der Kernspindeln und ihrer 
Theilungsphasen nicht näher eingegangen sind, so bleiben uns hier nur 
noch die Arbeiten Maupas’ (15—22) zu erwähnen übrig; bei ihrem 
Charakter als vorläufiger Mittheilungen kann man von ihnen keine aus- 
führlicheren Angaben erwarten. Immerhin ist wichtig, dass Maupas 
ebenfalls eine vollkommene Uebereinstimmung in der Theilung der Neben- 
kerne bei Conjugation und Theilung behauptet; ferner giebt er eine ge- 
nauere Beschreibung des aus der Theilung hervorgegangenen ruhenden 
Kerns. (16; p. 1571) „L’etat le plus important ä& connaitre est celui de 
forme spherique granuleuse, mais qwil est plus exacte d’appeller peletonne. 
La substance fondamentale du nucleole y est, en effet, organis6 en un 
mince filament finement enchevetr&e et peletonne sur lui m&me. Cette 
forme represente l’etat primitif par lequel le nucl&ole et ses produits 
reviennent constamment au debut de chaque nouvelle division“. 

Ob in der That die chromatische Substanz im Ruhezustand der Kerne 

25* 


194 


die Form eines verknäuelten Bandes besitzt oder, wie ich es dargestellt 
habe, aus gröberen und feineren Körnchen besteht, lässt sich bei Para- 
maecium Aurelia wegen der Kleinheit der Kerne mit voller Sicherheit kaum 
entscheiden; ich lege auf diesen Punkt keinen Werth. 

Wir kommen jetzt zu einer Frage, welche bei allen Untersuchungen 
über Copulation der Infusorien im Brennpunkt gestanden hat: Vollzieht 
sich ein der Befruchtung analoger Vorgang, ein Austausch von Neben- 
kernen oder von Theilproducten von Nebenkernen? Bütschli (5; p. 443) 
äusserte sich in seiner Hauptarbeit darüber folgendermaassen. „Eine wirk- 
liche Gleichstellung des Nucleolus und eines Spermakerns wäre meiner 
Ansicht nach nur dann festzuhalten, wenn sich nachweisen liesse, dass die 
Nucleoli der in gewöhnlicher Weise conjugirten Infusorien während der 
Conjugation ausgetauscht würden, denn das wesentliche Kriterium, das 
wir bis jetzt für einen Spermakern haben, ist doch das, dass er in einer 
anderen Zelle (der Eizelle) zur Weiterbildung gelangt. Ich habe es daher 
auch nicht versäumt, genauer auf die wenigen Fälle bei P. Bursaria und 
putrinum hinzuweisen, wo ich einen derartigen Austausch der Nucleoli 
mit Sicherheit glaube annehmen zu dürfen; dennoch haben sich diese 
Fälle bis jetzt so selten gezeigt, dass ich sie nicht für regelmässig 
halten darf.“ 

Die hier angezogenen, auf Seite 295 beschriebenen Fälle sind sehr 
problematisch; die Copula von Paramaecium Bursaria (ein Thier mit 
1 Spindel, das andere mit 3) könnte man allenfalls so deuten, dass wie 
ich es in Figur 9 Taf. I für Paramaecium Aurelia abgebildet habe, der 
eine Wanderkern beim Uebertritt eine Verzögerung erfahren habe; doch 
ist eine solche Deutung nicht gerade wahrscheinlich, da Bütschli nichts 
davon erwähnt, dass in dem Thier mit 3 Spindeln 2 mit einander ver- 
einigt gewesen seien. Das zweite Beispiel (eine Copula von Paramaecium 
putrinum), bei welcher das eine Thier gar keine, das andere Thier 
4 Spindeln enthält (4; Taf. XXV Fig. 2) kann dagegen mit keinem der oben 
von mir dargestellten Befruchtungsstadien in Beziehung gebracht werden. 

Bütschli (6; p. 1622) hat sich daher später auch rücksichtlich 
des Austausches von Samenkapseln zweifelnd ausgesprochen; indem er 
über die sogleich zu referirenden Beobachtungen Maupas’ äusserte: 
„Leider gestatten Maupas’ vorläufige Berichte über den Austausch und 


> an Dar 


195 


die Copulation der Micronuclei bis jetzt noch keine genügende Kritik.“ 
Immerhin glaubt er dem Verfasser als gutem Beobachter Vertrauen 
schenken zu dürfen, zumal als seine Angaben unsern allgemeinen Fr- 
fahrungen über Copulations- und Befruchtungserscheinungen am besten 
entsprechen würden. 

Mit grosser Bestimmtheit sind für die Lehre vom Austausch der 
Nebenkernspindeln Engelmann und Balbiani eingetreten. Engel- 
mann (7; p. 609) stellt den Satz auf, dass „vor oder nach der ersten 
oder zweiten Theilung des Nucleolus die Nucleoli ausgetauscht werden“, 
und spricht ferner die Vermuthung aus, „dass die Reconstruction des Nu- 
cleus die Folge einer von der Substanz der Nucleoli auf die Kernfragmente 
ausgeübten Wirkung sei,“ ohne aber für das eine oder andere triftige Gründe 
in das Feld zu führen; ihm genügt schon zum Beweis die Beobachtung 
„gekreuzter Spindeln an der Grenze beider Thiere, etwas nach vorn 
von den Mundöffnungen, halb im einen halb im anderen Individuum“ 
(p. 611). Balbiani, welcher in seinen ersten Arbeiten lehrte, dass die 
Samenkapseln des einen Thiers zur Befruchtung der Eier des zweiten 
Thiers dienten und zu dem Zweck durch eine besondere Geschlechtsöffnung 
übertragen würden, deutete später seine Beobachtungen um und be- 
hauptete nun, dass von den Nebenkernspindeln eine in das Nachbar- 
thier hinüberwandere. Er habe häufig sowohl bei Paramaecium Aurelia 
(-caudatum), P. bursaria und P. putrinum die betreffende Spindel in der 
Mundöffnung beobachtet. (3; 1882 p. 110, p. 116.) Indessen kann man 
sowohl aus den Angaben wie aus den Abbildungen Balbiani’s mit 
Sicherheit entnehmen, dass er den Befruchtungsprocess selbst nicht be- 
obachtet hat. Was er gesehen hat, ist nach meiner Ansicht die zur 
Theilung eingestellte Hauptspindel, vielleicht auch der aus der Theilung 
hervorgegangene Wanderkern, bevor er in das Nachbarthier hinüberge- 
treten ist. 

Dass Balbiani’s und Engelmann’s Beobachtungen einen Ueber- 
tritt von Nebenkernspindeln nicht beweisen, ist auch die Ansicht Gruber’s 
und Plate’s (10 u. 26—28). Beide bestreiten übereinstimmend diesen 
Vorgang; in der Gegend der Mundöffnung sollen die Spindeln zweier 
Thiere auf einander zu rücken, eine gekreuzte Stellung einnehmen und 
in einen Substanzaustausch treten (Gruber) oder vielleicht auch nur „einen 


196 


energischen Plasmaaustausch zwischen beiden Conjugirenden befördern.“ 
(Plate) Dieses allerdings wichtige Stadium der Spindelkreuzung habe 
Balbiani fälschlich auf einen Uebertritt der Spindeln bezogen; indessen 
sollen die Spindeln wieder in das zugehörige Thier zurückgleiten und 
anderen heranrückenden Spindeln Platz machen, welche vielleicht eben- 
falls derartige Austauschprocesse unterhalten. Das Stadium der Spindel- 
kreuzung nach Plate soll gleich häufig bei Anwesenheit von 1, 2 oder 
4 normal gebauten Spindeln auftreten und wurde von Gruber am 
häufigsten bei 2 Spindeln, seltener bei 1, 3 und 4 Spindeln jederseits 
angetroffen. Ich kenne nun alle die verschiedenen Bilder, welche Gruber 
und Plate beschrieben und gezeichnet haben, von Paramaecium cau- 
datum, welches unter dem Namen Paramaecium Aurelia beiden Forschern 
gedient hatte, und kann sie daher auf Grund genauer Untersuchung 
einer lückenlosen Entwicklungsreihe in richtiger Weise deuten. Es wurden 
beobachtet: 

1. Copulae mit eingestellter Hauptspindel, bei welchen die 3 Neben- 
spindeln vollkommen intact waren (Stadium mit 4 Spindeln), bei welchen 
eine Spindel, in Rückbildung begriffen, einen homogenen Körper gebildet 
hatte und daher nicht mehr als Spindel gerechnet wurde (Stadium mit 
3 Spindeln), bei welchen 2 und 3 Nebenspindeln rückgebildet waren 
(Stadium mit 2 und 1 Spindel). 

2. Copulae mit getheilter Hauptspindel, bei welchen die Theilproduete 
schon wieder Spindelstructur angenommen hatten (das gewöhnliche Stadium 
(mit 2 Spindeln) und ferner solche bei denen sie den Charakter von fast 
homogenen Kernen besassen. (Gruber Taf. I Fig. 11. 12. 13., welche 
etwa in folgende Reihenfolge zu bringen sind 12. 13. 11. und denen 
Fig. 8. 9. 10 nicht voran, sondern nachzustellen sind.) 

In eine neue Phase trat die Lehre vom Austausch der Spindeln 
durch die bisher leider nur in vorläufigen Mittheilungen niedergelegten 
ausgezeichneten Untersuchungen Maupas’. Maupas fand bei dem auch 
von mir zur Beobachtung benutzten Infusor Paramaecium Aurelia im 
Wesentlichen dasselbe, was ich oben geschildert habe, dass die beiden 
„Mieronuclei“ eines Thiers sich zweimal theilen, dass von den 8 Spindeln 
7 zu Grunde geben, die achte sich in einen „männlichen und einen weib- 
lichen Vorkern“ theilt. „Darauf hin tauschen die conjugirten Thiere 


197 


ihren männlichen Vorkern aus, welcher sich mit dem weiblichen Vorkern 
seines neuen Wirths vereinigt und verschmilzt, indem er so einen neuen 
Kern von gemischtem Ursprung erzeugt. Damit endigt der wesentlichste 
Theil der geschlechtlichen Befruchtung.“ (20; p. 356.) Der Austausch 
der Kerne wurde in principiell übereinstimmender Weise bei Paramaecium 
caudatum, Stylonychia pustulata, Onychodromus grandis, Spirostomum teres, 
Leucophrys patula und später auch bei Vorticellen beobachtet. Eine ge- 
nauere Schilderung des Vorganges wurde für Paramaecium caudatum mit 
folgenden Worten gegeben. „Pendant le stade D un seul des corpuscules 
nucleolaires, issu des divisions anterieures, continue & evoluer et se divise 
de nouveau en deux. De ces deux l’un demeure en place pres de la 
bouche; le second corpuscule au contraire va se placer parallelement au 
grand axe de /Infusoire dans la large ouverture du vestibule prebuccal. 
A ce moment cet ouverture est libre, le tube pharyngien ayant disparu. 
Arrives & ce point les corpuscules d’echange ont la forme de fuseaux stries.“ 

„Ainsi disposes ces fuseaux nucl&olaires s’enfoncent peu ä peu dans le 
corps du conjoint oppose, en glissant obliquement l’extremite posterieure 
devancant un peu l’anterieure. A peine engages dans le corps de leur 
nouvel höte, ils se trouvent immediatement attires vers le corpuscule con- 
serve par chacun conjoint. Comme ce dernier a 6&galement une forme 
oblongue, son extremite posterieure entre d’abord en contact avec V’ex- 
tremite posterieure du nouveau venu, puis ils s’accolent longitudinalement 
et finalement se fusionnent.“ 

Aehnliches wie Maupas hat vielleicht noch früher Jickeli beob- 
achtet. Doch lässt sich aus den kurzen Sätzen, in welchen er seine Beob- 
achtungen zusammenfasst, und die ich hier folgen lasse, nicht entnehmen, 
in wie weit seine Untersuchungen beweiskräftig sind. „Den schon oft 
behaupteten, aber immer noch zweifelhaften Austausch von Theilspröss- 
lingen der Nebenkerne während der Conjugation kann ich für Para- 
maecium mit voller Sicherheit bestätigen. Es liegen mir in Dauerpräpa- 
raten alle Stadien vom Vorstülpen der Bauchwandungen durch den 
andringenden Nebenkern bis zum fast vollzogenen Uebertritt vor.“ „Der 
gleiche Rhythmus in den beiden Individuen eines Conjugationspäärchens 
ist auch hier zu erkennen, indem der Uebertritt in beiden Individuen 
gleichzeitig erfolgt. Dadurch erhält man nicht selten Zustände dieses 


198 


Processes, wo die wechselnden Nebenkerne kreuzweise über einander ge- 
legt erscheinen.“ (13; p. 495.) 

Auch nach dem Erscheinen der Arbeiten Maupas’ haben Plate 
und Gruber (11; p. 6) an der Ansicht festgehalten, dass bei der Copu- 
lation kein Ueberwandern von Spindeln in das Nachbarthier Statt hat. 

Schliesslich mögen hier noch einige Bemerkungen Platz finden, 
welche sich auf alle früheren Autoren mit Ausnahme von Maupas be- 
ziehen. 
Während der Conjugationszustände kommen bei Par. aurelia zweimal 
Zustände mit 1 und 2 Spindeln (bei Par. caudatum sogar mit 1, 2 und 
4 Spindeln) sammt den zugehörigen Theilungsstadien vor; das eine Mal vor, 
das andere Mal nach der Befruchtung. Bei Paramaecium Aurelia haben 
wir vor der Befruchtung die direct aus dem Nebenkern entstandene Spindel 
und später ihre beiden Theilproducte, nach der Befruchtung die primäre 
Theilspindel und die secundären Theilspindeln. Diese Zustände von ganz 
verschiedener morphologischer Bedeutung sind nur von Maupas richtig 
unterschieden worden, von allen übrigen Forschern wurden sie mit einander 
verwechselt oder richtiger gesagt für gleichwerthig gehalten. Das kommt 
nun hauptsächlich daher, dass bei den meisten Infusorien der „Zerfall“ des 
Hauptkerns entweder gar nicht (P. bursaria) oder erst nach aufgehobener 
Copulation eintritt. (P. caudatum; P. putrinum). In Folge dessen fehlen 
vor Lösung der Copula die sicheren Kriterien der Zeitbestimmung, wie sie 
uns bei P. aurelia durch die gesetzmässig fortschreitende Umbildung des 
Hauptkerns an die Hand gegeben werden. Ein Thier mit Ausgangsspindel 
(Taf. I Fig. 3) hat bei P. Aurelia einen einheitlichen scheibenförmigen 
Kern, ein Thier mit primärer Theilspindel einen Haufen von Kernstücken. 
Bei Paramaecium caudatum finde ich dagegen auf den correspondirenden 
Stadien stets einen einheitlichen Kern, welcher nur in seinem Ober- 
flächen-Relief geringe Unterschiede aufweist, die leicht übersehen werden 
können. Par. Aurelia ist daher ein zum Studium der Copulation vor- 
züglich geeignetes Object, obwohl es durch die ausserordentliche Klein- 
heit und die schwach chromatische Beschaffenheit seiner Spindeln, sowie 
durch den Haufen der Kernbruchstücke der Beobachtung viel grössere 
Schwierigkeiten bereitet als P. caudatum mit seinen auffallend grossen 
Kernfiguren. Das späte Auftreten des Kernzerfalls bei ihren Unter- 


199 


suchungsobjecten ist wahrscheinlich auch der Grund gewesen, weshalb 
die früheren Autoren von demselben keine so genaue Darstellung gegeben 
haben, wie es hier geschehen ist. 

Von der Art, in welcher nach aufgehobener Conjugation die Kerne 
des Infusors sich reconstruiren, hat schon Bütschli in seinem Haupt- 
werk eine im Wesentlichen richtige Darstellung gegeben, welche die 
noch von Engelmann (7; p. 604) angenommene Lehre von der Genese 
der Placenten aus dem alten Hauptkern beseitigtee Aus den Spindeln 
des Nebenkerns sollen nach ihm sowohl die bleibenden Nebenkerne 
als auch die Anlagen der Hauptkerne, die Placenten Stein’s, hervor- 
gehen; der alte Hauptkern soll entweder zum Aufbau des neuen mit 
verwandt werden, oder ausgestossen oder aufgelöst werden. Dieser Auf- 
fassung sind fast sämmtliche spätere Forscher beigetreten, nur dass sie 
zumeist in Abrede stellten, dass Theile des alten Hauptkerns ausgestossen 
werden. Balbianiı suchte Bütschli’s Darstellung zu ergänzen mit der 
auf keinerlei Beobachtung sich stützenden Angabe, der Hauptkern ent- 
stehe aus den vom Thier selbst entwickelten Spindeln, der Nebenkern 
aus einer bei der Befruchtung eingedrungenen Spindel des Nebenpaarlings; 
die Aneinanderlagerung von Hauptkern und Nebenkern entspreche der 
Verschmelzung von Ei- und Spermakern bei den Metazoen (3; 1882 p. 269, 
p- 320—321). Meine und Maupas’ Beobachtungen sind ein sicherer 
Beweis, dass diese Angaben ganz haltlos sind, ebenso wie die Vermuthung 
Plate’s (28; p. 185—188), dass nur die Hauptkerne aus den Neben- 
kernspindeln entstehen, die Nebenkerne dagegen aus Bruchstücken des 
alten Hauptkerns. 

Der Umstand, dass beim Abschluss der Nebenkerntheilungen (richtiger 
gesagt der Theilungen der befruchteten Nebenkernspindeln) mehrere Pla- 
centen und mehrere Nebenkernanlagen vorhanden sind, hat zu einer 
Controverse geführt, welche ich auch jetzt noch nicht für völlig ent- 
schieden halte. Bütschli nimmt als Regel an, dass die Nebenkernanlagen 
sich bis auf die für das Thier typische Zahl rückbilden, dass die Pla- 
centen je einen Hauptkern liefern und daher durch Theilung auf ebenso 
viel Theilsprösslinge vertheilt werden, als ihre Zahl beträgt. Im Wesent- 
lichen schliessen sich ihm Balbiani und Maupas an. Balbiani 
räumt aber die Möglichkeit ein, dass mehrere Placenten zu einem Haupt- 

Abh. d. I. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 26 


200 


kern verschmelzen; doch solle das nur unter schlechten Ernährungs- 
bedingungen eintreten, wenn man die Copulae ohne neue Nahrungszufuhr 
in ihrem alten Behälter belasse. Gruber und Plate halten das Ver- 
schmelzen der Placenten für die Norm, ebenso wie ich es gethan habe. 
Bei meinen Untersuchungen traf allerdings zu, was Balbiani für ein 
ungünstiges, die normale Entwicklung störendes Moment hält; die ent- 
copulirten Thiere wurden nicht mit neuem Nährmaterial versehen. 


IV. Ueber die Theilung der Paramaecien. 


Eines der ersten Stadien der Theilung, welches zur Beobachtung kam, 
wurde mir von einem 0,147 mm langen und 0,056 mm breiten Thier geliefert, 
bei welchem das Cytostom nahezu in die Mitte des Körpers gerückt war. 
Dasselbe (Taf. IV Fig. 4) war fast ganz geschlossen, so dass man in der Outicula 
der Körperoberfläche nur einen schrägen Spalt erkennen konnte, welcher 
in einen engen, schlitzförmigen Schlund führte. Erhebliche Veränderungen 
waren an ihm keinenfalls vorhanden; nur schien es "mir, als ob das 
Wimperband mehr, als es sonst der Fall ist, in die Symmetrieebene des 
Cytostoms gerückt und somit aus seiner gewöhnlichen Stellung mehr nach 
rechts verschoben wäre. Auch der Kern hatte noch das Aussehen, wie man 
es sonst bei Paramaecien findet, und war im Grossen und Ganzen von 
ovaler Gestalt, unregelmässig ausgezackt und in riffartige Vorsprünge 
erhoben. Einen sicheren Beweis, dass die Verlagerung und die gering- 
fügigen Veränderungen des Cytostoms Vorbereitungen zur Theilung waren, 
lieferte die Untersuchung der Nebenkerne. (Taf. IV Fig. 4.) Beide lagen 
dicht neben dem Hauptkern, waren oval und nach einem Ende birn- 
förmig ausgezogen und in Umwandlung zur Kernspindel begriffen. Der 
in der Metamorphose weiter vorgerückte Kern enthielt im Innern einer 
vollkommen intacten Kernmembran deutliche Spindelfasern, welche den 
chromatischen Nucleolus allseitig umgaben. Letzterer war schon in einen 
Körnerhaufen aufgelöst und lag dem stumpfen Kernende wesentlich 
genähert. Beim zweiten Nebenkern bildete das Chromatin noch einen ein- 
heitlichen ovalen Körper; das Achromatin war zum Theil schon in Spindel- 
fasern verwandelt, welche aber noch nicht regelmässig angeordnet waren. 


201 


Die Orientirung nach den Kernpolen war am spitzen Ende des Kerns 
deutlicher als am entgegengesetzten stumpfen. Das Präparat deutet 
somit darauf hin, dass die Umbildung zur Spindel an einem Pole beginnt 
und nach dem andern fortschreitet. 


Bei 2 weiteren Exemplaren (Fig. 1 u. 5) waren die Veränderungen 
der Nebenkerne kaum weiter gediehen; die Spindelfasern waren ein wenig 
deutlicher, die chromatische Substanz war als ein länglicher Körper in 
die Mitte der Spindel getreten und noch mehr in feine Körnchen ver- 
theilt. Wichtigere Resultate ergab die Untersuchung des Cytostoms. Die 
Mundspalte war geöffnet und klaffte bei dem einen Thier an beiden 
Enden weiter als in der dazwischen liegenden Partie; sie bestand somit 
aus einer grösseren vorderen und hinteren kleinen Oeffnung, welche beide 
durch einen schmalen Spalt zusammenhingen. 


Das Vestibulum besass dicht unter der Körperoberfläche eine kleine 
Aussackung, wie etwa der Oesophagus eines Vogels oder eines Insects 
mit einem Kropf ausgerüstet ist. Die Aussackung, bei dem einen Thier 
etwas ansehnlicher als bei dem anderen, besass ihren eigenen Wimper- 
streifen und ist die Anlage eines neuen Vestibulums; das erweiterte hintere 
Ende der Mundspalte deutet vielleicht jetzt schon die Sonderung einer 
neuen Mundöffnung an. 


Die Untersuchung der 3 soeben geschilderten Stadien lässt uns nur 
über einen Punkt im Unklaren: Wie entsteht der Wimperstreifen der 
neuen Cytostomknospe? Ich vermuthe, dass er sich vom Wimperstreifen 
des alten Cytostoms abspaltet und dass die mediane Einstellung des 
letzteren nur den Zweck hat, diese Abspaltung vorzubereiten. Durch 
genaues Prüfen zahlreicher Paramaecien, deren Körpergrösse das Bevor- 
stehen einer Theilung wahrscheinlich machte, habe ich auch einige Bilder 
gewonnen, welche zu Gunsten meiner Vermuthung sprachen; ich habe 
Cytostome beobachtet, bei denen der Wimperstreifen auf der rechten 
Seite schwache Einkerbungen nahe dem hinteren und dem vorderen Ende 
zeigte; indessen halte ich selbst die Bilder nicht für beweisend. Wir 
nähern uns hier den Grenzen dessen, was beobachtet werden kann; wir 
müssen ferner an die Möglichkeit denken, dass solche Einkerbungen zu- 
fällige Bildungen sind; zu Vorsicht im Urtheilen werde ich ferner durch 

26* 


202 


den Umstand bestimmt, dass ich an den Nebenkernen keine auf Theilung 
hindeutenden Veränderungen habe wahrnehmen können. 

Für die vorgerückteren Stadien habe ich dagegen ein durchaus zu- 
verlässiges und umfangreiches Beobachtungsmaterial. 


Zunächst die Veränderungen des Cytostoms! Die Mundöffnung selbst 
ergiebt wechselnde Bilder, bald ein einheitliches Oval bald mehr eine Achter- 
figur; letztere bereitet eine Sonderung vor, wie sie in Figur 8 darge- 
stellt ist, in welcher die kleinere Oeffnung, welche für das neue Cytostom 
bestimmt ist, eben noch mit der alten Mundöffnung in Verbindung steht, 
eine Verbindung, welche später, z. B. in Figur 2 gelöst ist. 


Der Wimperstreifen (Fig. 6—8) der Vestibularknospe wächst, indem 
er aus seiner gekrümmten Gestalt heraus sich mehr und mehr streckt. 
Sein Aussehen wechselt daher, wobei aber zu beachten ist, dass auch die 
verschiedene Lagerung des Thiers, ob es dem Beobachter mehr seine 
ventrale oder laterale Seite zuwendet, dazu beiträgt, das Bild der Oyto- 
stomanlage zu verändern. 


Je grösser der neue Wimperstreif wird, um so mehr entfernt er sich 
vom Wimperstreifen des Muttercytostoms; zunächst weichen die oberen 
Enden aus einander, später auch die unteren. Das Auseinanderweichen 
erfolgt dabei in der Weise, dass die neue Oytostomanlage nicht nur nach 
rechts, sondern gleichzeitig auch nach rückwärts von ihrem Ausgangs- 
punkt wandert; so dass sehr bald ihr vorderes Ende auf gleiche Höhe 
mit der Mitte des Muttercytostoms zu liegen kommt, ihr hinteres Ende 
dagegen das hintere Ende des letzteren überragt. 


Bis zu diesem Zeitpunkt haben beide Cytostome noch einen gemein- 
samen Hohlraum. Derselbe ist anfänglich weit und wird begrenzt von 
den beiden Wimperstreifen und den dünnwandigen Partieen des Vesti- 
bulums, welche zwischen den Enden der Wimperstreifen ausgespannt sind. 
Indem die verbindenden Wände einander entgegen wachsen und den 
zwischen ihnen gelegenen Hohlraum sanduhrförmig einschnüren, wird 
dieser in 2 Räume zerlegt, von denen der eine dem Vestibulum des alten, 
der andere dem Vestibulum des neuen Cytostoms angehört. Die Art, wie 
die dünnwandigen Partieen zur Begrenzung herangezogen werden, bringt 
es ferner mit sich, dass die schmale Verbindung zwischen den Cytostomen 


203 


nahe dem vorderen Ende des neuen Cytostoms beginnt und hinter der 
Mitte des alten endigt. 

Während der Zeit, in welche die beschriebenen Neubildungen fallen, 
erfährt der Hauptkern keine Veränderungen, welche man mit der Theilung 
des Paramaecium in directen Zusammenhang bringen könnte. In Fig. I 
Taf. IV z. B. ist er noch dreilappig, wie er auch zu Anfang der Conju- 
gation (Fig. 1 Taf. I) sein kann. Gleichwohl glaube ich nicht, dass er 
gänzlich unbetheiligt den die Theilung einleitenden Vorgängen gegenüber 
steht. Dass er im allgemeinen eine mehr concentrirte, rundliche Gestalt 
angenommen hat und seine Oberfläche mannichfaltiger als sonst — auch 
mannichfaltiger als es die Figuren 6 und 8 zeigen — in Spitzen und 
Riffe erhoben ist, deutet auf Verlagerungen im Innern hin, welche die 
Theilung vorbereiten. 

Dagegen haben wir für die Nebenkerne erhebliche Umwandlungen 
nachzutragen, deren zeitliches Zusammenfallen mit den Cytostomveränder- 
ungen aus der Tafel erhellt, indem in die Figuren 6 und 8 zu den Oy- 
tostomen die zugehörigen Nebenkerne eingezeichnet sind. 

Bei der Theilung sind lange Zeit über die Spindeln ganz auffallend 
klein; die neugebildete Spindel hat eine Länge von 0.007 und eine Breite 
von 0.003”, während bei der Conjugation die Maasse auf dem entsprechen- 
den Stadium 0.016 und 0.005”” betragen. Dies sowie der Umstand, dass 
sehr wenig Chromatin vorhanden ist, erschwert die Untersuchung. So 
habe ich auf frühen Spindelstadien das Ohromatin gar nicht wahrge- 
nommen, wahrscheinlich weil es in feinen Körnchen zu diffus zwischen 
den vollkommen entwickelten Spindelfasern vertheilt ist. Auf späteren 
Stadien ist eine deutliche Aequatorialplatte vorhanden. Bei der Spaltung 
derselben treten dieselben Unregelmässigkeiten sowie die Schlängelungen 
der Spindelfasern ein, auf welche ich schon bei den Copulationsspindeln 
hingewiesen habe; sie sind in Figur 8 zu sehen; die eine der betreffenden 
Spindeln zeigt auch, wie die Seitenplatten fast bis an die Enden der 
Spindeln auseinanderrücken. 

Jetzt erfolgt die Dreitheilung der Spindel in ein mittleres bauchiges 
Stück und 2 köpfchenartige Anschwellungen; bei einem Thier habe ich 
gesehen, dass die Faserung durch alle 3 Abschnitte reichte und dass in 
den Köpfchen deutliche Seitenplatten lagen; da dies aber, wahrscheinlich 


204 


ein rasch vorübergehendes Stadium ist, trifft man viel häufiger auf Kerne, 
deren Enden halb körnige, halb streifige Körper mit undeutlicher Chro- 
matinvertheilung sind, während das Mittelstück von wenigen achromati- 
schen Fäden oder nur einem einzigen solchen durchsetzt ist. 

Wir haben jetzt einen Zeitpunkt der Entwicklung erreicht, von dem 

ab die Theilung nicht nur am Cytostom und den Nebenkernen, sondern 
auch an der Körperoberfläche und an dem Hauptkern zum Ausdruck 
kommt. 
In Figur 2 ist der Hauptkern zum ersten Male etwas nach dem 
vorderen Ende des Thieres in die Länge gestreckt und hat eine glatte 
Oberflächencontour angenommen. Bei anderen Thieren gleichen Stadiums 
ist die Streckung noch bedeutender, während die lappige Beschaffenheit 
der Oberfläche des Kerns noch nicht so vollkommen ausgeglichen ist. 
Stets liegt der Kern von beiden Enden ungefähr gleichweit entfernt und 
in dem dorsalen, von der Cytostomgegend abgewandten Abschnitt des 
Thieres. Die Cytostome haben sich von einander abgeschnürt und sind 
auseinander gerückt; das neugebildete hintere liegt von der Medianebene 
des Thieres noch etwas nach rechts, eine nothwendige Folge seiner Ent- 
stehung; bis auf den mangelnden Oesophagus gleicht es dem vorderen 
alten. Die Nebenkerne sind gestreckt und verschmächtigt und bestehen 
aus 5 Theilen, indem das Mittelstück sich spindelig ausgezogen und in 
feine an die Endköpfchen herantretende Verbindungsfäden verlängert hat. 
Die Nebenkerne können noch eine gekreuzte Stellung einnehmen wie in 
Figur 2, sind aber häufig schon zu der Hauptaxe des Paramaecium mehr 
oder minder vollständig parallel angeordnet. Endlich sieht man den 
Anfang der Theilfurche als eine kleine Kerbe auf der ventralen, vom 
Hauptkern abgewandten Seite. 

Ueber den weiteren Verlauf der Theilung kann ich mich kurz 
fassen. Die Cytostome rücken auseinander und stellen sich beide in die 
ventrale Mittellinie des Paramaecium ein, wobei das hintere durch Aus- 
bildung des Oesophagus sich vervollständigt. Zwischen beiden schneidet 
die Theilfurche, die sich ringsum ausgebreitet hat, von allen Seiten 
gleichmässig vordringend durch. Der Hauptkern nimmt Stabform an; 
anfänglich ist er in der Gegend der Theilfurche am dicksten, später 
schwellen die Enden keulenförmig an und verjüngt sich die mittlere 


205 


Partie allmählis zu einem dünnen Fädchen, welches durchreisst, einige 
Zeit bevor die Theilfurche den Thierkörper durchschnitten hat. 

Während der Theilung ist der Hauptkern sehr feinkörnig, niemals 
aber längs gefasert, wie er bei anderen Infusorien sein kann. Nur ein- 
mal habe ich auf einem frühen Stadium der Kernstreckung wahrge- 
nommen, dass die Körnchen der chromatischen Substanz eine regelmässige 
Anordnung in Längs- und Querreihen angenommen hatten und so den 
Eindruck von undeutlicher Längsstreifung hervorriefen. (Taf. IV Fig. 11.) 

Noch früher als am Hauptkern, vollzieht sich an den Nebenkernen 
die Theilung. Dieselben erfahren aber zuvor ein bedeutendes Wachs- 
thum. Zunächst schwillt das spindelige Mittelstück an, indem es von 
Neuem eine feinstreifige Beschaffenheit annimmt. In der Streifung fallen 
am meisten die Randcontouren und ein in der Mitte verlaufender Strang 
auf, welche beide scheinbar an den Spindelspitzen zusammenfliessen und den 
Verbindungsfaden herstellen, der sich in die Endköpfchen der Kernfigur ver- 
breitert. Wie das geschieht, lehrt besser als jede Beschreibung die Figur 9a. 

Durch starke Vergrösserung der Verbindungsfäden wachsen die Theil- 
figuren der Nebenkerne zu bedeutender Länge heran; die Endköpfchen 
werden durch Sonderung ihrer‘ chromatischen und achromatischen Be- 
standtheile zu homogenen farblosen Körpern, in welchen ein chromatischer 
Nucleolus lagert. 

Die damit fertiggestellten Nebenkerne rücken in die Enden der 
beiden Theilsprösslinge und werden durch Verschwinden der Verbindungs- 
stücke vollkommen selbständig. Ob hierbei die Substanz der Verbindungs- 
stücke vom Protoplasma resorbirt oder auf die beiden Nebenkerne ver- 
theilt wird, habe ich nicht durch Beobachtung entscheiden ‘können. 
Ersteres hat mehr Wahrscheinlichkeit für sich, da die Nebenkerne nach 
der Trennung nicht grösser sind als die Endköpfchen der Kerntheilungs- 
figur vor der Trennung. 

In Figur 3 liegen die Kerntheilungsfiguren dicht nebeneinander; 
ebenso häufig kommt es aber vor, dass sie getrennt sind und die eine 
mehr dem vorderen, die andere mehr dem hinteren Thiere angehört. 
Aber auch dann lässt sich stets feststellen, dass die Enden eines Kernes 
in verschiedenen Thieren enthalten sind. 

Aus der Darstellung, welche ich von der Theilung der Paramaecien 


206 


gegeben habe, ist ersichtlich, dass dieselbe mit Veränderungen der Neben- 
kerne und des Cytostoms beginnt, zu denen erst spät Einschnürung der 
Körperoberfläche und Streckung und Theilung des Hauptkerns hinzu- 
treten. Erstere Erscheinungen kommen daher auch früher zum Abschluss 
als letztere. Ob die Veränderungen sich zuerst an den Nebenkernen oder 
am Cytostom äussern, habe ich zwar nicht mit aller Bestimmtheit fest- 
stellen können, indessen spricht die grössere Wahrscheinlichkeit zunächst 
zu Gunsten der Nebenkerne und so halte ich es für sehr wahrscheinlich, 
dass diese den Anstoss zur Theilung geben, welcher sich zunächst auf 
das Protoplasma und die von demselben abhängigen Theile überträgt, 
dass der Hauptkern erst später in Mitleidenschaft gezogen wird und so- 
mit eine mehr passive Rolle spielt. 

Die Theilung der Nebenkerne ist wesentlich von der Spindeltheilung 
bei der Conjugation verschieden, gleicht aber in der Entwicklung der 
dort fehlenden mittleren Spindelanschwellung der Theilung der Neben- 
kernelemente nach aufgehobener Conjugation. 

Das Cytostom des Mutterthiers bleibt erhalten und geht in das Cyto- 
stom des vorderen Sprösslings über; das hintere Oytostom ist keine Neu- 
bildung, sondern ein Abkömmling des Muttercytostoms; indem es sich 
von diesem wie eine Knospe abschnürt, erhält die Theilung des Para- 
maecium einige Aehnlichkeit mit Knospungsprocessen. 

Literatur. Seit den classischen Untersuchungen Trembley’s ist 
der Theilungsprocess der Infusorien so häufig beschrieben worden, dass 
ich unmöglich hier auf alle einschlägigen Literaturangaben eingehen 
kann. Dies ist auch nicht nöthig, da rücksichtlich der meisten Fragen 
zwischen den Forschern grosse Uebereinstimmung herrscht. 

Sämmtliche Beobachter lehren, dass das Cytostom des vorderen Thieres 
vom Mutterthier übernommen, das Cytostom für das hintere Thier da- 
gegen neu gebildet werde. Speciell wurde eine solche Neubildung für 
die Paramaecien behauptet, so noch von Bütschli in seinen neuesten 
Publicationen (6; p. 1566). Nur Balbiani, welcher anfänglich auch 
diese Lehre vertreten hatte (1; p. 81), sprach später (3; 1881 p. 322) 
ohne sich auf Beobachtungen zu stützen die Vermuthung aus, dass das 
hintere Cytostom sich vielleicht im Anschluss an das vordere präexistirende 
entwickele. 


LER Wa 


207 


Für eine derartige Vermuthung war schon ein fester Anhaltspunkt 
gegeben durch meine Untersuchungen über die Knospung von Spirochona 
gemmipara (12; p. 162), welche später von Plate (26; p. 200) bestätigt 
worden sind. Ich zeigte, dass die Peristomanlage der Knospe als Aus- 
stülpung vom Peristom der Mutter angelegt, aber ziemlich früh abge- 
schnürt werde. Wenn ich die damals gegebenen Abbildungen überblicke, 
so ergiebt sich mir eine principielle Uebereinstimmung in den Vorgängen 
zwischen Paramaecium und Spirochona, die so weit geht, dass auch der 
Ort der Ausstülpung an der Grenze von Oesophagus und Peristommulde 
liegt und zwar, wie die Abbildungen späterer Stadien äusserst wahr- 
scheinlich machen, nach rechts von der Uebergangsstelle. 

Für mich unterliegt es überhaupt keinem Zweifel, dass bei allen 
Infusorien das hintere Cytostom während der Theilung als eine Aus- 
stülpung des vorderen entsteht. In den Arbeiten, welche über die Fort- 
pflanzung namentlich von heterotrichen Infusorien handeln, findet man 
vielfach Abbildungen, welche zeigen, dass das hintere Oytostom zunächst 
kleiner ist als das vordere und wie bei Paramaecium an dessen hinterem 
Ende und auf seiner rechten Seite liegt, um erst später sich nach rück- 
wärts in die Medianebene einzustellen. Solche Abbildungen haben ferner 
Sterki (30; Taf. IV Fig. 9) für Stylonychia Mytilus, Nussbaum 
(24; Taf. XXI, Fig. 1, 2) für St. histrio gegeben. Sie erklären sich aus 
meinen Beobachtungen bei Paramaecium, wo ja die gleichen Verlager- 
ungen vorkommen. Ferner erklärt sich aus ihnen die Angabe Schuberg’s 
(29; p. 409), dass das neue Peristom bei Entodinium bursa sich innerlich 
anlege; wahrscheinlich verliert hier die Peristomknospe ähnlich wie bei 
Spirochona während der Abschnürung die Beziehung zur Körperoberfläche. 

Die faserige Differenzirung der Nebenkerne bei der Theilung wurde 
zuerst von Balbiani (1; p. 81) beobachtet und später vielfach von 
anderen Forschern bestätigt. Eine ausführliche Darstellung des Processes 
wurde aber bisher noch nicht geliefert; denn die Schilderung, welche 
Bütschli von Theilungen der Nebenkerne giebt, bezieht sich, wie er selbst 
mittheilt, auf die Vorgänge bei der Conjugation. Was Balbiani (3; 1881 
p- 327) darüber sagt, ist unvollständig und stark schematisirt, wie der 
Leser aus der hier abgedruckten Schilderung entnehmen kann. „Les 
quatre nucleoles (von Stylonychia mytilus) augmentent de volume et 

Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 27 


208 


prennent un aspect strie; ils deviennent päles et se d&robent ä l’obser- 
vation sur le vivant. Il faut pour les voire employer des reactifs et 
particuliörement l’acide acetique. Bientöt chacun s’allonge, se divise en 
deux moities, qui restent r&unies par leur membrane d’enveloppe; il en 
resulte huit corps reunis d’abord par paires par l’intermediaire de la 
membrane. Puis la membrane qui relie chaque paire, continue a s’allonger 
et entraine les articles posterieures au delä de la constrietion mediane 
du corps de /’Infusoire, les placant ainsi dans la moiti& posterieure etc. 
Quand ces nouveaux corps se sont distribues, ils restent encore unis 
pendant un certain temps par la membrane d’enveloppe £tir&e en une 
sorte de filament. Mais bientöt celle-ci se resorbe et les nucl&oles devien- 
nent completement independants.“ 

Was von anderen Beobachtern gesehen worden ist, bezieht sich fast 
auschliesslich auf vorgerückte Theilstadien, nur Nussbaum (24; p. 506 
und 507) hat bei Stylonychia histrio und Gastrostyla vorax frühe Zu- 
stände beobachtet. 

Für die Theilung des Hauptkerns wurde nach Vorgang Bütschli’s 
eine gleichmässige faserige Differenzirung der Kernsubstanz von vielen Seiten 
beschrieben. Bei Paramaecium aurelia wurde dieselbe anfänglich von 
Bütschli (5; p. 282) vermisst, später aber (6; p. 1529) auf Grund 
neuerer Untersuchungen angenommen. 

Vielfach ist die Frage erörtert worden, von welcher Seite der An- 
stoss zur Theilung ausgeht, ob vom Protoplasma oder den Kernen. 
Bütschli (6; p. 1564) fasst die herrschende Auffassungsweise dahin zu- 
samınen, „dass die Anzeichen der Theilung zuerst am plasmatischen Leib 
hervortreten“, „dass ın vielen Fällen unzweifelhafte Neubildungen am 
Plasma (Anlage neuer Wimpergebilde, eines Mundes und contractiler 
Vacuolen) auftreten bevor am Macronucleus und den Micronuclei Ver- 
änderungen bemerkt werden.“ 

Ich selbst habe mich bei Gelegenheit meiner Untersuchungen über 
Spirochona gemmipara (12; p. 183) unentschieden ausgesprochen, zugleich 
aber darauf aufmerksam gemacht, dass bei der Streitfrage nicht nur der 
Zustand des Hauptkerns — wie man es bis dahin gethan hatte — 
sondern auch die sehr früh beginnenden Umwandlungen der Nebenkerne 
in Berücksichtigung gezogen werden müssten. Ich hatte die Nebenkerne 


209 


in Spindelform schon bei Thieren gefunden, bei welchen eben erst die 
Ausstülpung zur Peristomanlage erfolgt war. Noch bevor die Anlage 
sich abgeschnürt hatte, waren schon die Spindelenden zu Köpfchen an- 
geschwollen; die Theilung der Nebenkerne endlich muss erfolgen, kurz 
bevor oder zur Zeit wo die Peristomanlage selbständig wird. 


Etwas später als ich ist auch Nussbaum (p. 506) darauf 
aufmerksam geworden, wie frühzeitig die Nebenkerne Anstalten zur 
Theilung treffen. Er erwägt die Möglichkeit, „dass vielleicht in den 
Nebenkernen die ersten sichtbaren Zeichen der beginnenden Theilung 
gefunden werden,“ freilich nachdem er einige Seiten vorher sich mit 
Entschiedenheit dafür erklärt hat, dass dem Zellplasma die active Rolle 
bei der Zelltheilung zuzusprechen sei. 


Die Beobachtungen Nussbaum’s und meine eigenen Erfahrungen 
an Spirochona und Paramaecium beweisen, dass der oben citirte Satz 
Bütschli’s, wonach die Veränderungen des Nebenkerns später als die 
Veränderungen des Plasmaleibs eintreten sollen, unrichtig ist; er konnte 
nur aufgestellt werden, so lange als man die frühesten Stadien der 
Theilung gar nicht kannte. 


V. Bemerkungen zur Conjugation der Infusorien. 


Die vorstehenden Untersuchungen haben zu dem Resultat geführt, 
dass die Conjugation der Infusorien ein geschlechtlicher Vorgang ist, 
welcher zu einer wechselseitigen Befruchtung beider Paarlinge führt. 
Wir haben gesehen, dass die Nebenkerne sich wiederholt theilen, dass 
von den Theilproducten die meisten zu Grunde gehen, eine Spindel da- 
gegen, die Hauptspindel, erhalten bleibt, welche durch weitere Theilung 
2 Kerne liefert. Der eine dieser Kerne bleibt in dem Thier, in welchem 
er entstanden war, zurück, der andere Kern wandert in den anliegenden 
Paarling über; er wird, da gleiche Processe auch in dem zweiten Thier 
ablaufen, gegen einen gleichwerthigen Kern ausgetauscht. So haben wir 
nach ihrem Schicksal die Theilproducte der Hauptspindel zu unterscheiden 
und haben sie in Hinsicht hierauf auch im speciellen Theil schon mit 
besonderen Namen als stationären Kern und Wanderkern bezeichnet. In 

27 


210 


ihrem weiteren Schicksal erinnern beide an die Geschlechtskerne der 
Metazoen. Wie der Eikern sich mit einem von aussen eingedrungenen, 
einer andern Zelle entstammenden Spermakern vereinigt, so vereinigt 
sich der stationäre Kern mit dem von einem anderen Thiere gelieferten 
Wanderkern. Ei- und Spermakern erzeugen einen in einheitlichem 
Rhythmus sich weiter theilenden Kern, den Furchungskern; in analoger 
Weise treten die beiden Infusorienkerne zum Theilkern zusammen. An 
letzterem kann man eine Erscheinung, welche auch für den Furchungs- 
kern vieler Metazoen festgestellt worden ist, wahrnehmen, sogar noch 
schöner als wie bei diesem, dass nämlich die Substanzen beider Kerne 
und zwar nicht nur das Chromatin, sondern auch die achromatischen 
Spindelfasern eine Zeit lang unabhängig neben einander fortgeführt 
werden. 

Es frägt sich, ob man diesen Uebereinstimmungen nicht bei der 
Nomenclatur Rechnung tragen sollte — Die Namen „Eikern“ und 
„Spermakern“ sind von vornherein ausgeschlossen, da sie die Begriffe 
Ei und Spermatozoon voraussetzen, welche bei kritischer Anwendung nur 
für vielzellige Organismen passen. Aber man könnte an die Bezeich- 
nungen „weiblicher Kern“ und „männlicher Kern“ oder an die von 
v. Beneden eingeführte und von zahlreichen Forschern angenommene 
Bezeichnungsweise „Pronucl&eus mäle“ und „Pronucl&us femel,‘ „männ- 
licher und weiblicher Vorkern“ denken. 

Diese Ausdrücke basiren auf einef Auffassungweise der Befruchtung, 
welche durch v. Beneden eine bestimmte Fassung erhalten hat. Ein 
Vorkern, oder wie er auch genannt wird, ein Halbkern ist ein Gebilde, 
welches nicht alle Eigenschaften eines gewöhnlichen Zellkerns in sich 
vereinigt, welches in Folge bestimmter Entwicklungsvorgänge einen Defect 
erlitten hat und somit unvollständig geworden ist; so würde der weib- 
liche Vorkern nur die besonderen Eigenschaften, welche man die weib- 
lichen nennen könnte, besitzen, der männliche Vorkern umgekehrt nur 
die specifisch männlichen Qualitäten; erst die Vereinigung beider liefert 
einen completen, d. h. einen männlich-weiblichen oder hermaphroditen 
Kern. Consequente Verfolgung dieses Ideengangs führt zu dem Resultat, 
dass die Kerne der Geschlechtsproducte Träger der geschlechtlichen 
Differenzirung sind. 


211 


Wie ich schon in der Einleitung zu dieser Untersuchung hervor- 
gehoben habe, theile ich die hier kurz skizzirte Auffassungsweise nicht; 
für die Metazoen habe ich dieselbe bei einer früheren Gelegenheit schon 
bekämpft und ihr gegenüber die Ansicht ausgesprochen, welche auch 
von Weismann, Nussbaum, Kölliker, Hatschek, meinem Bruder 
u. A. vertreten wird, dass Ursachen von minder fundamentaler Bedeutung 
zur geschlechtlichen Differenzirung geführt haben. Zwischen den ge- 
sammten Geschlechtszellen, dagegen nicht zwischen ihren Kernen, ist eine 
Arbeitstheilung eingetreten der Art, dass die einen, die Spermatozoen, 
bedeutende Beweglichkeit bei geringer Körpergrösse entwickelten, die 
anderen, die Eier, sich mit reichem Nährmaterial versahen und unbe- 
weglich wurden. 

Wir haben nun an der Hand der Beobachtung zu prüfen, in welcher 
Weise sich bei den Infusorien die geschlechtliche Entwicklung vollzogen 
hat, und ob man überhaupt ein Recht hat, von einer geschlechtlichen 
Differenzirung zu sprechen. Maupas, welchem das Verdienst zu- 
kommt die Lehre von der Befruchtung der Infusorien zuerst auf eine 
sichere Beobachtungsbasis gestellt zu haben, hat den Satz vertheidigt, 
dass der Nebenkern oder der Micronucleus das wesentliche Organ der 
Geschlechtsthätigkeit der Infusorien sei; er sei ein hermaphroditer sexueller 
Apparat, welcher durch Theilung einen männlichen und einen weiblichen 
Vorkern liefere (20; p.356); dagegen soll er keine Rolle bei den vegetativen 
Erscheinungen, bei Theilung und Ernährung, spielen (21; p. 259 u. £.). 

Von diesen Sätzen ist nach meiner Ansicht nur der erste unanfechtbar; 
dagegen bestreite ich, 1. dass der Nebenkern ausschliesslich Fortpflanzungs- 
kern ist und auf die Theilung keinen Einfluss habe; 2. dass die Begriffe 
„männlich“ und „weiblich“ und der damit zusammenhängende Begriff 
„Hermaphroditismus“ auf die Mehrzahl der Infusorien schon anwend- 
bar sind. 

Wie ich gezeigt habe, treten die ersten Veränderungen, welche die 
beginnende Theilung ankündigen, am Nebenkern und an dem Cytostom 
auf, am ersteren wahrscheinlich früher als am letzteren. Ich habe daher 
die Vermuthung geäussert, dass der Anstoss zur Theilung geradezu vom 
Nebenkern ausgehe, dass das Protoplasma erst von ihm angeregt werde. 
Ich will diesen Punkt hier nicht zu sehr betonen und auch nicht die Frage 


212 


erörtern, ob im Allgemeinen bei der Zelltheilung dem Kern oder dem 
Protoplasma der Vorrang zukomme. Jedenfalls steht aber fest, dass bei 
allen Theilungsprocessen in thierischen und pflanzlichen Geweben früh- 
zeitig Veränderungen des Kerns und des übrigen Zellkörpers in einander 
greifen und dass bei den Vermehrungen der Infusorien ein ähnliches 
Wechselverhältniss zwischen Körper und Nebenkern besteht. 

In die Zeit, in welcher das ursprünglich vorhandene Oytostom durch 
Ausstülpung die Anlage zu einem zweiten liefert, fällt die Umwandlung 
des Nebenkerns zur Spindel (Taf. IV Fig. 1 u. 4—6) und die Ausbildung 
der Aequatorialplatte. Während die Aequatorialplatte sich in die Seiten- 
platten spaltet (Fig. 6—8), schnürt sich die Cytostomanlage ab; während 
die Kernenden auseinander weichen, entfernen sich auch die beiden Cy- 
tostome von einander und beginnt die Theilfurche, den Körper des Thiers 
einzuschnüren; wie bei der Zelltheilung endlich geht dem Durchschneiden 
der Theilfurche die Theilung der Kerne wesentlich voraus (Fig. 2, 3, 9—11). 

Einen gleichen Parallelismus kann man für die Veränderungen des 
Hauptkerns nicht erweisen. Dieser beginnt sich erst zu strecken, wenn 
die Cytostome seit langem getrennt sind und auch die Theilfurche schon 
gebildet ist. Seine Theilung erfolgt so spät, dass man fast annehmen 
möchte, sie werde durch die vordringende Einschnürung der Körper- 
oberfläche herbeigeführt, wie etwa auch irgend ein anderes Organ durch- 
schnürt werden würde; mit anderen Worten, der Hauptkern zeigt einen 
Modus der Theilung, den man für den Nebenkern erwarten müsste, wenn 
dieser thatsächlich nur ein Geschlechtsapparat sein sollte. Wenn man 
daher bei den Infusorien nach einem Theil sucht, welcher die Rolle des 
Zellkerns bei der Theilung spielt, so kann das nur der Nebenkern sein. 

Schwierigkeiten erheben sich bei dieser Auffassung nur aus der Angabe 
Maupas’, dass degenerirte Stylonychien sich auch nach Verlust der 
Nebenkerne theilen; ich möchte aber hier zur Vorsicht in der Benutzung 
derartiger Beobachtungen rathen. So sehr ich auch Maupas als einen 
ausgezeichneten Beobachter schätze, so halte ich es doch für möglich, 
dass er Nebenkerne, welche in Folge der Degeneration des Gesammt- 
thiers hochgradig verändert waren und vielleicht ihr Chromatin einge- 
büsst hatten, übersehen habe. (21; p. 208.) Ich habe bei degenerirten 
Paramaecien oft Stunden lang nach den Nebenkernen suchen müssen und 


213 


auch dann manchmal nur einen gefunden, ohne desshalb an der Existenz 
des zweiten Nebenkerns zu zweifeln. 

Wir kommen zur zweiten Frage: Kann man bei Paramaecium und 
überhaupt bei allen Infusorien mit partieller Conjugation die Ausdrücke 
Hermaphroditismus, männlich und weiblich schon anwenden? 

Zwischen den copuliernden Thieren sind keine Unterschiede vor- 
handen, welche die Bezeichnungweise rechtfertigen würden; ihre Gleich- 
werthigkeit drückt sich schon darin aus, dass eine gekreuzte Befruchtung 
stattfindet. Unterschiede, welche als sexuelle Differenzirung gedeutet 
werden können, beginnen erst bei den Peritrichen und hier fast aus- 
nahmslos bei den zumeist Colonie bildenden, festsitzenden oder doch 
wenig beweglichen Formen (Vorticellinen und Trichodinen). Analog den 
Metazoen kommt es hier zur Unterscheidung von plasmareichen, schwer 
oder wenigstens minder beweglichen Macrogonidien und plasmaarmen 
ausserordentlich lebendigen Microgonidien; gleichzeitig tritt an die Stelle 
der partiellen Conjugation, welche eine ausschliessliche Kernbefruchtung 
ist, die totale Conjugation, die vollkommene Verschmelzung der Thiere. 
So entwickelt sich bei den Infusorien aus einer geschlechtlichen Ent- 
wicklung ohne Differenzirung der Geschlechter eine geschlechtliche Ent- 
wicklung mit Unterscheidung männlicher und weiblicher Befruchtungs- 
körper. Der Fortschritt erfolgt unter sehr ähnlichen äusseren Bedingungen, 
wie wir sie bei den Metazoen ganz allgemein finden, unter Bedingungen, 
welche die Vereinigung der Befruchtungskörper erschweren. Die Be- 
deutung dieser Wahrnehmung wird erhöht durch den Umstand, dass die 
Befruchtungskörper in beiden Fällen völlig verschiedene morphologische 
Bedeutung haben, bei den Infusorien ganze Thiere sind, bei den Metazoen 
Theile von Thieren, dass in beiden Gruppen daher die geschlechtliche 
Fortpflanzung selbständig erworben sein muss. Wir haben hier gleichsam 
ein von der Natur angestelltes Experiment vor uns, welches lehrt, dass 
unter gewissen äusseren Einflüssen die geschlechtliche Fortpflanzung zum 
Dimorphismus der Geschlechter führt. 

Wir haben daher Veranlassung, diese äusseren Verhältnisse für die 
geschlechtliche Differenzirung ausschliesslich verantwortlieh zu machen, 
wenn nicht der Nachweis gelingt, dass ausserdem noch Momente von 
tiefgreifender Bedeutung wirksam gewesen sind. 


214 


Ich halte es nun bei den Infusorien noch weniger als bei den Meta- 
zoen für möglich, die Ursachen des Geschlechts in den Kernen zu finden, 
weil diese bei der Beobachtung keinerlei Unterschiede erkennen lassen. 
Stationärer Kern und Wanderkern sind Theilproducte eines und desselben 
Mutterkerns; während aller Entwicklungsphasen haben sie dieselbe 
Structur; aus der Theilung hervorgegangen sind sie zunächst schwach 
körnige, fast homogene farblose Körper mit eingestreuten Chromatin- 
körnchen, ungefähr gleichzeitig werden sie zu Spindeln mit Aequatorial- 
platte, ja sie können schon die Spaltung der Aequatorialplatte in die 
Seitenplatten erfahren haben (Taf. IV. Fig. 27), ehe ein Austausch der 
Wanderkerne und damit der einer Befruchtung vergleichbare Act sich 
vollzieht. Keinem der Kerne wird bei diesem etwas zugefügt, was er nicht 
schon vorher hatte; selbst die Fähigkeit zur Theilung hat ein jeder un- 
abhängig für sich, wie die Bildung der Seitenplatten lehrt. (Taf. IV Fig. 26.) 
Bei den meisten Infusorien copuliren weder sexuell dif- 
ferenzirte Kerne, noch auch Kerne sexuell differenzirter 
Thiere, sondern gleichwerthige Kerne, welche iin gleich- 
werthigen, aber getrennt und unabhängig von einander 
entwickelten Thieren entstanden sind. Damit fehlt aber 
die Basis für die Begriffe männlich und weiblich, vollends 
aber für den Begriff Hermaphroditismus. 

Wir haben bei unseren Erörterungen den Hauptkern bisher ganz 
unberücksichtigt gelassen. In Folge der Copulation wird derselbe rück- 
gebildet und ohne irgend ein morphologisches Element zu hinterlassen, 
aufgelöst. Die Rückbildung kann nicht, wie es vielfach geschehen ist, 
ohne Weiteres als Zerfall aufgefasst werden, denn sie erfolgt in einer 
den Degenerationserscheinungen nicht zukommenden gesetzmässigen Weise. 
Der Hauptkern wächst in 3 Fortsätze aus, welche sich an den Enden 
verästeln; ferner scheint er an Masse zuzunehmen, ehe er in kleine, der 
Resorption anheimfallende Stücke zerlegt wird. Der Zweck dieser com- 
plieirten Vorgänge kann unmöglich allein die Entfernung des alten Haupt- 
kerns sein, sondern es müssen sich damit noch weitere Aufgaben verbinden, 
die sich zwar noch nicht genauer fassen lassen, die man aber im Allge- 
meinen dahin bestimmen kann, dass eine Umwandlung des Protoplasma 
herbeigeführt werden soll. 


215 


Wie dem auch sei, jedenfalls kann als feststehend angesehen werden, 
dass der Hauptkern an den Befruchtungsvorgängen selbst keinen un- 
mittelbaren Antheil hat, zumal da seine Veränderungen bei den meisten 
Infusorien, z. B. bei Paramaecium caudatum erst nach Beendigung der 
Befruchtung beginnen. An seiner Natur als Zellkern kann aber bei seiner 
gesammten Structur nicht gezweifelt werden; zur Sicherstellung dieser 
Auffassung hätte es nicht einmal des zuerst von Bütschli erbrachten 
und stark betonten Nachweises bedurft, dass er durch Theilung von einem 
unzweifelhaften Zellkern, dem Nebenkern, abstammt. Auch kann der 
Hauptkern nicht als ein rudimentärer Zellkern angesehen werden, da er 
bei jeder Copulation aus kleinen Anfängen zu einer Grösse, wie sie rudi- 
mentären Organen nicht zukommt, heranwächst. Er muss somit wichtige 
Functionen des Kerns erfüllen, welche der Nebenkern dem Infusor nicht 
leistet. 

Von den Functionen des Kerns im Allgemeinen kennen wir nun 
sicher die Rolle, welche er bei Befruchtung und Theilung spielt; ausser- 
dem ist es durch zahlreiche Untersuchungen fast zur Gewissheit erhoben, 
dass der Kern auch die übrigen Lebensäusserungen der Zelle beherrscht, 
dass Bewegung, Assimilation, Wachsthum, histoplastische und secretorische 
Thätiekeit, mit kurzen Worten die gesammten Stoffwechselprocesse der 
Zelle unter seinem Einfluss erfolgen. Da nun der Nebenkern zweifellos 
ein Geschlechtskern ist und höchst wahrscheinlich auch bei der Theilung 
von Wichtigkeit ist, so können nur die Stoffwechselprocesse dem Einfluss 
des Hauptkerns unterliegen. Demnach wäre der Dualismus der Kerne bei 
den Infusorien, wie schon Bütschli und Gruber vermutheten, aus einer 
Arbeitstheilung zu erklären, welche zur Bildung eines Geschlechtskerns 
(Nebenkern) und eines Stoffwechselkerns (Hauptkern) geführt hat. Eine 
solche Erklärungsweise findet auch schon ihre Stütze in den Maassen, 
welche beide Kerne während der verschiedenen Lebensperioden eines 
Infusors ergeben. Zur Zeit der gewöhnlichen Lebensprocesse tritt der 
Hauptkern durch seine bedeutende Grösse in den Vordergrund, während 
der Nebenkern ausserordentlich klein ist; zur Zeit der Conjugätion er- 
fährt umgekehrt letzterer eine bedeutende Zunahme, und beginnt der 
Hauptkern sich rückzubilden. 

Das Auftreten von zwei functionell verschiedenen Kernen in einer 

Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 28 


216 


einzigen Zelle kann auf zweierlei Weise erklärt werden, entweder durch 
Loslösung bestimmter Kerntheile vom vorhandenen Kern oder durch 
einen Theilungsprocess, welcher unvollständig geworden ist und zu einer 
Trennung der Kerne, aber nicht der Zellleiber geführt hat. Für letztere 
Annahme hat sich Bütschli ausgesprochen und zwar mit vollem Recht. 
Denn thatsächlich bilden sich im Laufe der Conjugation je eine Neben- 
kernanlage und eine Hauptkernanlage aus der Theilung einer gemeinsamen 
Spindel. Ausserdem ist es mir geglückt noch weitere Hinweise zu finden, 
dass der Infusorienkörper gleichsam zweien Thieren entspricht, die anstatt 
sich zu trennen einheitlich geblieben sind. Solche Hinweise erblicke ich 
in der überraschenden Aehnlichkeit, welche die Reorganisationsvorgänge 
der Paramaecien und wahrscheinlich aller Infusorien nach Ablauf der 
Conjugation mit Theilungsprocessen besitzen. Da ich früher schon darauf 
aufmerksam gemacht habe, kann ich mich kurz fassen. Erstens verlaufen 
die Theilungen der Spindeln, welche die bleibenden Nebenkerne und 
Hauptkerne liefern, genau so wie die Theilungen der Nebenkerne während 
der Vermehrung der Paramaecien, sie unterscheiden sich aber von den in 
die Zeit der Paarung fallenden Theilungen der Nebenkerne. Zweitens ent- 
steht das bleibende Cytostom durch Knospung von dem ursprünglich vor- 
handenen Cytostom, und liefert dabei Bilder, welche mit den Bildern bei 
der Theilung vollständig übereinstimmen würden, wenn nicht eines der 
beiden Cytostome, das vordere, rückgebildet würde. Die Reorganisation 
eines aus der Conjugation hervorgegangenen Paramaecium lässt sich somit 
als eine Theilung betrachten, bei welcher sich keinerlei Theilfurche 
entwickelt, bei welcher nur das Cytostom des hintern Thiers erhalten 
bleibt und die Theilproducte der Nebenkerne in zweierlei Kernformen 
sich differenziren. 

Es ist möglich, dass sich für diese Auffassungsweise weitere Beweise 
finden lassen; wichtig würde es sein, wenn sich eine bestimmte Lagerung 
der Nebenkernenden ergeben sollte, wenn bei allen Infusorien die vor- 
deren Enden — die Kerne des Theilproducts, dessen Cytostom verloren 
geht — die Hauptkernanlagen (oder eventuell die bleibenden Nebenkerne) 
liefern würden. Bei Paramaecium Aurelia lässt sich ein derartiger Ent- 
scheid schwer durch Beobachtung erzielen, vielleicht sind aber andere 
Infusorien hierzu geeigneter. 


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217 


Wir haben das Auftreten von zweierlei Kernen bei den Infusorien 
durch die Deutung derselben als Geschlechts- und Stoffwechselkerne zu 
erklären versucht und damit innerhalb einer einzigen Zelle eine analoge 
Differenzirung angenommen, wie sie bei den Metazoen zwischen vielen 
Zellen besteht. Nussbaum und Weismann haben zuerst in ge- 
nauerer Weise durchgeführt, dass man im Körper jedes vielzelligen 
Thieres zwischen somatischen und Fortpflanzungszellen unterscheiden 
muss. Erstere unterhalten die für das Leben der Einzelthiere noth- 
wendigen Stoffwechselvorgänge, letzteren ist die Erhaltung der Art zuge- 
fallen. Die somatischen Zellen haben eine beschränkte Lebensdauer; ihre 
Existenz beginnt, indem sie sich später oder früher durch morphologische 
und histologische Differenzirung von dem zunächst indifferenten Zell- 
material des in Furchung begriffenen Eies absondern, und hört mit dem 
Tode des Individuums auf. Der normale aus eigenen inneren Ursachen 
erfolgende Tod des Einzelthiers beruht auf dem Tod seiner functionirenden 
Zellen. Umgekehrt sind die Geschlechtszellen unsterblich; sie haben die 
Energie zu unbegrenztem Leben, wenn ihnen nicht durch die Ungunst 
äusserer Existenzbedingungen ein Ziel gesetzt wird. Wenn wir uns die 
Organismenwelt unabhängig von ihrer Anordnung in Individuen als eine 
Summe durch Theilung sich vermehrender Zellen vorstellen, so bilden 
die Geschlechtszellen Ketten von Elementarorganismen, welche in ununter- 
brochener Reihenfolge vom Anfang des Lebens an sich durch Theilung 
vermehrt haben und noch vermehren; die somatischen Zellen bilden 
dagegen Verbände, welche nach einer begrenzten Zahl von Theilungen 
stets zu Grunde gehen. 

So ist es nun auch mit den beiden Kernen eines Infusors. Die 
Nebenkerne vermehren sich bei jeder Theilung und jeder Conjugations- 
periode, ohne Anzeichen einer herabgesetzten Lebensenergie zu geben, 
sie sind unsterblich im Sinne Weismann’s; die Hauptkerne dagegen 
haben eine beschränkte Dauer, indem sie sich nur von einer Conjugations- 
periode zur anderen erhalten. 

Die Parallele, welche wir zwischen den zwei Kernarten eines Infusors 
und den zwei Zellenarten eines vielzelligen Thieres gezogen haben, er- 
möglıcht uns weitere Uebereinstimmungen in den Befruchtungserschein- 


ungen aufzufinden. 
28* 


In dem Leben der Eikeime — wahrscheinlich wird man später ein- 
mal sagen können aller Geschlechtszellen — kann man 3 Perioden unter- 
scheiden, 1. die Periode der Vermehrung der Eizellen im Ovar, 2. die 
Periode der Eireife, 3. die zumeist durch eine Befruchtung eingeleitete 
Periode der embryonalen und postembryonalen Entwicklung. Der ersten 
und zweiten Periode gemeinsam ist die Bildung von Zellkörpern, welche zu 
weiterem Leben und aufsteigender Entwicklung bestimmt sind. Dagegen 
sind beide Perioden von einander durch den Charakter der Theilproducte 
unterschieden. In der ersten Periode sind die Theilproducte gleich- 
werthig, aus Theilung von Geschlechtszellen entstehen stets aufs Neue 
Geschlechtszellen; in der dritten Periode dagegen sind die Theilproducte 
ungleichwerthig, indem das befruchtete Ei die Fähigkeit besitzt, bei der 
Furchung sowohl wiederum Geschlechtszellen als auch somatische Zellen 
zu liefern. Da auch parthenogenetische Eier mit dieser Fähigkeit aus- 
gerüstet sind, so ist der veränderte Charakter des Eies nicht aus der 
Befruchtung zu erklären, sondern aus den inzwischen eingetretenen 
Reifungsprocessen, unter denen vor Allem die Bildung der Richtungs- 
körper obenan steht. 

Mutatis mutandis kann man das Gesagte auch auf die Nebenkerne 
der Infusorien anwenden. Dieselben haben wie die Geschlechtszellen der 
Metazoen eine Zeit der Vervielfältigung, in welcher ein Nebenkern durch 
fortgesetzte Theilung immer nur Gebilde seines Gleichen liefert. Das ist 
die Zeit der sogenannten vegetativen Vermehrung des Infusors.. Durch 
die Conjugation gewinnen sie vorübergehend die Fähigkeit, somatische 
Kerne oder Hauptkerne und Geschlechtskerne oder Nebenkerne zu er- 
zeugen, ähnlich einem in Embryonalentwicklung begriffenen Ei. In allen 
bekannten und ebenso in allen von mir beschriebenen Fällen war dieser 
heteroplastischen Entwicklung stets eine Befruchtung vorausgegangen; ich 
werde aber in einem späteren Aufsatz zeigen, dass die Befruchtung nicht 
nothwendig ist und dass auch bei den Infusorien eine Art Parthenogenesis 
vorkommen kann, bei welcher gleiche Entwicklungserscheinungen ohne 
Befruchtung ermöglicht werden. Die Veränderung in der Beschaffenheit 
der Nebenkerne kann daher nur durch die der Befruchtung vorausge- 
gangenen Vorgänge herbeigeführt worden sein, Vorgänge, welche wir 
unter dem Namen „geschlechtliche Reifung der Infusorien“ zusammenfassen 


J 
. 
I 


219 


wollen. Wie der Kern der Eizelle zum Keimbläschen heranwächst, so 
vergrössert sich, obwohl nicht so bedeutend, der Nebenkern der Infusorien 
vor der Conjugation. Beide wandeln sich dann in Spindeln um, welche 
sich wiederholt theilen. Die aus dem Keimbläschen entwickelte Richtungs- 
spindel liefert durch zweimalige Theilung 4 Kerne, meist unter gleich- 
zeitiger Theilung des Zellkörpers in das bleibende Ei und die Richtungs- 
körper. Von den 4 Abkömmlingen gehen 3, die Kerne der Richtungs- 
körper, früher oder später zu Grunde und nur der vierte, der Eikern, 
bleibt erhalten. 

Bei den Infusorien theilt sich die Nebenkernspindel ebenfalls zwei- 
mal, so dass 4 Spindeln entstehen, von denen 3, die Nebenspindeln, de- 
generiren, eine nur, die Hauptspindel, sich weiter entwickelt, um sich in 
die 2 Geschlechtskerne zu theilen. Die Aehnlichkeit mit der Richtungs- 
körperbildung wurde schon von Maupas, welcher die eigenthümlichen 
regressiven Metamorphosen der Nebenspindeln entdeckte, richtig gewürdigt; 
sie liegt so sehr auf der Hand, dass man unzweifelhaft eine physiologische 
Gleichwerthigkeit annehmen muss; dieselbe besteht darin, dass Geschlechts- 
kerne um aus dem Zustand der vegetativen Vermehrung in die geschlecht- 
liche Thätigkeit übertreten zu-können, Veränderungen erleiden müssen, 
welche durch Theilungsprocesse vermittelt werden. Welcher Natur nun 
diese Veränderungen sind, bedarf noch der weiteren Prüfung; denn die 
von Weismann versuchte Erklärung, dass die ersten Reifeprocesse die 
Entfernung des histogenen Keimplasma’s bezweckten, halte ich auf Grund 
der Befunde bei Infusorien für vollkommen ausgeschlossen. 

Eine andere Frage ist es nun, ob es möglich ist, auch eine morpho- 
logische Gleichwerthigkeit durchzuführen und die Spindeldegenerationen 
der Infusorien und die Richtungskörperbildung der Metazoen auf einen 
gemeinsamen ursprünglichen Vorgang zurückzuführen. Hier ergeben sich 
sofort Schwierigkeiten in den Zahlenverhältnissen. Dass bei Paramaecium 
Aurelia 2 Nebenkerne von Anfang an vorhanden sind, kommt dabei 
nicht in Betracht, indem diese Verdoppelung eine nicht vielen Infusorien 
zukommende Eigenthümlichkeit ist. Aber auch wenn wir den gar 
nicht zur Verwendung kommenden Nebenkern und seine Descendenz 
unberücksichtigt lassen, bleibt immer noch die Schwierigkeit bestehen, 
dass beim Ei von 4 Kernen einer zum Eikern wird, bei den Infusorien 


220 


dagegen der 4. Kern sich noch einmal theilen muss, ehe der dem Eikern 
physiologisch vergleichbare stationäre Kern entsteht. Unter diesen Ver- 
hältnissen will es mir wahrscheinlicher erscheinen, dass die Reifungs- 
processe der Infusorien und diejenigen der Eier der Metazoen unabhängig 
von einander entstanden sind und ihre Aehnlichkeit nur gleichartigen 
physiologischen Bedingungen verdanken. Wir gelangen so zu demselben 
Resultat, zu dem uns schon die Vergleichung der Befruchtungsprocesse 
geführt hat. Die Fähigkeit, die geschlechtliche Fortpflanzungsweise aus- 
zubilden, ist wohl allen Organismen gemeinsam. Dass aber diese Fähigkeit 
zur Geltung gelangt, hängt von Ursachen ab, welche weit verbreitet sind 
und daher unabhängig bei sehr vielen Organismen die Sexualität her- 
vorgerufen haben. — — 

Je mehr Fälle bekannt werden, in denen die Befruchtung einen 
besonderen Charakter besitzt, um so mehr wachsen die Aussichten, über 
das Wesen der geschlechtlichen Fortpflanzung, ihre Bedeutung für die 
Organismen und die Ursachen ihrer Entstehung genaueren Aufschluss zu 
erhalten. Mir scheinen nun die Infusorien bestimmt, für die Lösung der 
genannten Fragen eine hervorragende Rolle zu spielen, da sie sich auf 
der einen Seite an die einfachsten Fälle geschlechtlicher Fortpflanzung 
bei einzelligen Thieren und Pflanzen anschliessen, auf der anderen Seite 
schon an die complicirten Vorgänge höherer Organismen erinnern. Bei 
einzelligen Thieren und Pflanzen vereinigen sich ganze Organismen, so wie 
sie sind, ohne besondere Einrichtungen; die Zellkörper und die Kerne, 
welche die Lebensprocesse erfüllen, dienen auch den Zwecken der ge- 
schlechtlichen Fortpflanzung; ein Ruhezustand der Organisation ist zwar 
auch hier vorhanden, er geht aber nicht der Befruchtung voraus, sondern 
ist eine Folge derselben. Conjugirende Noctilucen schliessen ihr Cytostom; 
befruchtete Oosporen der Volvocinen fallen zu Boden, verfärben sich und 
bilden Dauersporen, welche erst nach langer Ruhe zu neuem Leben er- 
wachen. 

Die Infusorien zeigen nun den niederen Zuständen gegenüber den 
bedeutenden Fortschritt, welcher auch allen vielzelligen Thieren und den 
meisten vielzelligen Pflanzen zukommt, dass ein bestimmter Theil des 
Körpers von den gewöhnlichen Functionen ausgeschlossen wird und der 
Geschlechtsthätigkeit vorbehalten bleibt. 


221 


Aus dieser Thatsache kann man entnehmen, dass die Einrichtung 
besonderer Organe der Sexualität keine Folge der Vielzelligkeit ist, 
sondern mit den Aufgaben der geschlechtlichen Fortpflanzung unmittelbar 
zusammenhängt. Da nun Eizellen und Geschlechtskerne im Gegensatz 
zu anderen Theilen des thierischen Körpers vornehmlich ruhende, auf 
ein Minimum der Function beschränkte Körper sind, da Ruhepausen des 
Lebens auch schon bei den niedersten Formen der geschlechtlichen Fort- 
pflanzung vorkommen, so erblicke ich in der Beschränkung der Lebens- 
thätigkeit ein Moment, welches die Aufgaben der geschlechtlichen Fort- 
pflanzung unterstützt oder vielleicht das Gleiche wie diese zu leisten 
befähigt ist. 


In meiner Auffassungsweise werde ich durch das Vorkommen der 
Parthenogenesis bestärkt. Dieselbe lehrt, dass die Befruchtung ausbleiben 
kann und trotzdem ein gleiches Resultat wie bei der typischen geschlecht- 
lichen Entwicklung erreicht wird. Bei der Parthenogenesis bleibt aber 
von der geschlechtlichen Entwicklung nur das Eine übrig, dass ihr Aus- 
gangspunkt von Zellen gebildet wird, welche eine lange Zeit über in 
einem Zustand der Ruhe verharrt haben. 


Somit komme ich zu dem Resultat, dass das Problem der geschlecht- 
lichen Fortpflanzung ein doppeltes ist: 1. warum ist es nothwendig, dass 
von Zeit zu Zeit die Idioplasmen, d. h. die Substanzen, welche für die 
Beschaffenheit der Organismen maassgebend sind, eine Vermischung mit 
Idioplasmen anderer Abstammung erfahren? 2. warum dienen hierbei 
Theile, welche dauernd oder vorübergehend vom Antheil an den Func- 
tionen des Körpers ausgeschlossen waren? In spezieller Anwendung auf 
die Infusorien lautet diese Frage: warum sind für die Conjugation der 
Infusorien besondere Nebenkerne nöthig und warum werden bei der Con- 
jugation Theile derselben ausgetauscht ? 


Bütschli hat den Zweck der Conjugation in eine Verjüngung des 
Organismus verlegt und damit einen ganz richtigen Ausdruck für die 
Erscheinungen während der Conjugation eingeführt. Denn thatsächlich 
sehen wir ja einen wichtigen Theil der alten Organisation zu Grunde 
gehen und an seine Stelle neu gebildete junge Theile treten. Bütschli 
hat nun selbst herausgefühlt, dass das Wort Verjüngung nur eine Um- 


222 


schreibung der Thatsachen liefert, und daher das Bedürfniss empfunden 
sich darüber auszusprechen, warum es zu einer Verjüngung kommen 
müsse. Nach seiner Ansicht sollen nun die Infusorien copuliren, wenn 
bei ihnen die Fähigkeit zur Theilung erloschen oder im Niedergang be- 
griffen ist; aus der Copulation sollen sie dagegen mit einer gesteigerten 
Theilfähigkeit hervorgehen. „Von dem Gedanken ausgehend, dass in 
dem Kern der Zelle ein Stoff angenommen, resp. vorausgesetzt werden 
dürfe, an dessen Vorhandensein die Lebenserscheinungen gebunden seien, 
knüpft er hieran die weitere Vermuthung, dass dieser Stoff im Laufe 
des Lebens und der Fortpflanzung der Gewebszellen der Heteroplastiden 
allmählig verbraucht werde, wogegen die Einzelligen das Vermögen be- 
sässen, den Stoff zu regeneriren. Bei den Ciliaten sammele sich der neu- 
gebildete Stoff im Micronucleus. Nur die Geschlechtszellen der Metazoen 
und besonders die Kerne der Spermatozoen hätten das Vermögen bewahrt, 
ihn zu erzeugen. Bei der Befruchtung werde er daher dem Eikern zu- 
geführt, bei der Conjugation trete dagegen der Micronucleus theilweise 
oder ganz an die Stelle des Macronucleus, welcher das Regenerations- 
vermögen für den fraglichen Stoff nicht besitze.“ 


Die Voraussetzungen dieser Lehre hat schon Maupas bekämpft und 
durch ausgedehnte Oulturversuche den Beweis geführt, dass die Theil- 
fähigkeit eines Infusors weder vor der Copulation herabgesetzt, noch nach 
derselben erhöht sei. Trotz der Entgegnungen Bütschli’s und trotz- 
dem ein so erfahrener Forscher wie Balbiani auf Bütschli’s Seite 
getreten ist, muss ich Maupas vollkommen Recht geben. Mir ist um- 
gekehrt aufgefallen, dass kurz vor der Conjugation die Theilungen ganz 
besonders energisch sind. Um Theilungsmaterial für meine Untersuch- 
ungen zu erhalten, habe ich dasselbe immer Culturen entnommen, bei 
welchen das Auftreten der ersten Copulae eine herannahende Conjugations- 
periode verkündete. Mir scheint es eher wahrscheinlich, dass gesteigerte 
Vermehrung der Infusorien zu einer Copulationsperiode führt. 


Um hierüber volle-Sicherheit zu erhalten, müsste man genaue Zahlen- 
angaben gewinnen, wozu ich bis jetzt noch keine Zeit gehabt habe; dafür 
habe ich aber ein sehr einfaches Experiment angestellt, welches sicher 
beweist, dass die conjugationslustigen Infusorien eine völlig intakte, wie 


N 0 OL 5 


223 


ich glauhe sogar gesteigerte Theilfähigkeit besitzen, dass somit das Gegen- 
theil von dem, was Bütschli und Balbiani annehmen, zutrifft. Ich habe 
Paramaecien, welche zu zweien herumschwammen, isolirt und einzeln für 
sich cultivirt; um noch grössere Sicherheit zu erreichen, habe ich Copulae 
in den ersten Stunden der Vereinigung gesprengt und die Paarlinge eben- 
falls einzeln unter günstigen Ernährungsbedingungen in hohlen Object- 
trägern gezüchtet. Einige der Zuchten habe ich verwandt, um etwaige 
Veränderungen während der ersten 24 Stunden feststellen zu können, 
habe aber nichts Bemerkenswerthes an ihnen beobachtet, andere wiederum 
habe ich Wochen und Monate lang erhalten. Eine nicht einmal mit 
besonderer Sorgfalt geführte Cultur dauerte über 3 Monate, vom Ende 
des März bis über den Anfang Juli hinaus. Zum Vergleich züchtete ich 
mehrere gleichzeitig entstandene Copulae unter vollkommen überein- 
stimmenden Existenzbedingungen. 

Als erstes Resultat ergab sich mir eine auffallende Fruchtbarkeit der 
an der Conjugation verhinderten Thiere; obwohl ich meine Versuche noch 
nicht abgeschlossen habe, so möchte ich doch jetzt schon hervorheben, 
dass die künstlich getrennten Thiere lange Zeit über sich energischer 
theilten als Paramaecien, welche die Conjugation durchgemacht hatten. 
Erstere ergaben in den ersten 5 Tagen nahezu doppelt soviel Individuen 
als letztere, selbst wenn man für die Conjugationspärchen den Zeitraum, 
welcher für Reconstruction der Kerne nöthig war, in Abzug bringt und 
mit der Zeit der ersten Theilungen in beiden Versuchsreihen die Rech- 
nung beginnt. 

Ein zweites Resultat war das Ausbleiben erneuter Conjugations- 
perioden unter den reichlich vermehrten Abkömmlingen eines und desselben 
Mutterthiers; auch kam es zu keinen Conjugationen, als ich Thiere von 
verschiedenerlei Zuchten mischte, sogar von Zuchten, deren Mutterthiere 
früher in Copula gestanden hatten. Nur einmal beobachtete ich eine 
Ausnahme von dieser Regel, indem 4 Copulae in einer Cultur auftraten. 
Ich trennte auch diese von Neuem und fand bei den isolirt gezogenen 
Paarlingen nach wie vor unveränderte Theilfähigkeit. 

Diese Wahrnehmung steht in merkwürdigem Widerspruch mit den 
Ergebnissen Maupas’. Derselbe theilt mit, dass wenn er eine Copula 
isolirte und ihre Descendenten lange Zeit weiter in Inzucht cultivirte, 

Abh. d. II. Cl. d.k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 29 


224 


eine „sexuelle Hyperästhesie“ eintrat, welche zu lebhaften aber unfrucht- 
baren Conjugationen führte. In der vorliegenden Kürze erlauben diese 
Mittheilungen keine Beurtheilung; immerhin muss man in Erwägung 
ziehen, dass die Bedingungen, unter denen Maupas experimentirte, andere 
waren, als bei meinen Versuchen, dass auch vielleicht die verschiedenen 
Infusorienarten, unter abnorme Verhältnisse gebracht, sich nicht gleich 
verhalten. 

Am meisten aber wurde ich überrascht durch ein drittes Resultat 
meiner Experimente Um dem übermässigen Anwachsen der Zahl der 
Paramaecien entgegenzuwirken, tödtete ich von Zeit zu Zeit grössere 
Quantitäten ab und benutzte sie zugleich zur Untersuchung. Da manche 
der Thiere Veränderungen im Bau, wie sie im Laufe der Conjugation 
auftreten, Placenta, Nebenkernanlagen, Bruchstücke des alten Hauptkerns 
zeigten, kam ich auf die Vermuthung, es möchten hier die Veränderungen 
des Nebenkerns ohne Befruchtung auf parthenogenetischem Weg ent- 
standen sein und prüfte von nun an sowohl die alten, wie zahlreiche neu 
angelegte Culturen täglich am Morgen und am Abend, also in Zwischen- 
räumen, welche wesentlich geringer waren als die normale Dauer der 
Conjugation.. Obwohl mit Ausnahme der wenigen oben angeführten 
Fälle keine Copulae zu finden waren, konnte ich auf’s Neue intensive 
Veränderungen an den Kernen wahrnehmen, und zwar Veränderungen 
von zweierlei Art, von denen die einen mehrere Wochen nach Anfang 
des Versuchs begannen und einige Tage den anderen vorauszugehen 
schienen. Die zuerst eintretenden Veränderungen besitzen kein Analogon 
in den Vorgängen einer normalen Entwickelung. Wahrscheinlich zerfällt 
der Hauptkern erst in grössere, dann in kleinere Stücke, obne das regel- 
mässige Auswachsen in Fortsätze, welches im Lauf der geschlechtlichen 
Entwicklung der Paramaecien eintritt. Ich fand bald 2, bald 4 Neben- 
kerne entweder in Form der ruhenden Kerne oder häufiger in Form von 
Spindeln, wie ich sie ebenfalls sonst nicht beobachtet habe. Gleichzeitig 
stiess ich auf Thiere in unvollkommener Theilung. Eines derselben war 
schon tief eingeschnürt, hatte aber noch zwei zusammenhängende Cyto- 
stome; die eine Hälfte des Theilstadium enthielt allein den unveränderten 
Hauptkern und 4 Nebenkernspindeln, die andere Hälfte war rein proto- 
plasmatisch. Ich vermuthe daher, dass Störungen im Theilungsmechanismus 


225 


nicht nur derartige monströse Formen, sondern auch jene Thiere mit 
eigenthümlich abgeändertem Kernapparat erzeugen. 

Ich glaube ferner, dass eine Restitutio in integrum die besprochenen 
Kernmetamorphosen abschliesst, dass dann aber die Reihe der zweiten 
Veränderungen beginnt, welche mit Sicherheit als Parthenogenesis ge- 
deutet werden können. In einer Cultur, in welcher weder beim Abtödten 
der zur Untersuchung entnommenen Probe, noch vorher, noch nachher 
Copulae beobachtet wurden, war fast die Hälfte der Paramaecien um- 
gewandelt: Thiere mit vergrösserten Nebenkernen, mit Sichelkernen, mit 
2, 4 und 8 Spindeln, Thiere, bei denen die Theilung in die Haupt- und 
Nebenkernanlagen vollzogen war. Den Veränderungen der Nebenkerne 
waren stets die Veränderungen des Hauptkerns conform. 

Aehnliches hatte ich schon früher bei Paramaecien, welche in einem 
meiner grösseren Zuchtgläser sich zu erheblicher Menge vermehrt hatten, 
gesehen. Das betreffende Material enthielt aber ausserdem normale Co- 
pulae und kam erst zur Untersuchung, nachdem die Thiere abgetödtet, 
gefärbt und in Nelkenöl übertragen waren. Ich hatte dem merkwürdigen 
Vorkommniss keine Bedeutung beigemessen, weil ich annahm, es sei bei 
dem vielfachen Wechsel der Reagentien ein Theil der Copulae gesprengt 
worden. Wenn ich nun aber in Erwägung ziehe, wie schwer es fällt, 
conjugirte Thiere während des Lebens und nach der Conservirung zu 
trennen, so will es mir wahrscheinlicher dünken, dass auch in der Natur 
unter gewissen Bedingungen die Paramaecien ohne Conjugation Ver- 
änderungen, welche der Conjugation eigenthümlich sind, durchlaufen und 
somit sich parthenogenetisch entwickeln. Solche Bedingungen könnten 
z. B. dadurch geliefert werden, dass Paramaecien, welche von wenigen 
Anfangsformen aus sich rasch vermehrt haben, durch häufige Wieder- 
holung der CGonjugation einander zu ähnlich geworden sind. In der That 
hatte mir das betreffende Paramaecienmaterial wiederholt schon zur Be- 
obachtung der Conjugation gedient. 

Was ich hier mitgetheilt habe, ist ein kurzer Abriss von den Resul- 
taten einer Untersuchungsreihe, welche ich leider noch nicht habe zum 
Abschluss bringen können, da die Materialbeschaffung mit aussergewöhn- 
lichen Schwierigkeiten zu kämpfen hat. So habe ich noch nicht ent- 


scheiden können, in welcher Weise die primäre Theilspindel entsteht, ob 
29* 


226 


zuvor eine Theilung in die beiden Geschlechtskerne stattgefunden hat 
oder nicht; ferner würde es von Wichtigkeit sein zu erfahren, ob die 
Weiterentwicklung der Paramaecien verschieden ausfällt, je nachdem die 
Copulae auf früheren oder späteren Stadien getrennt werden; endlich 
habe ich noch keine genügende Sicherheit darüber, ob die Veränderungen, 
welche ich mit gestörter Theilung in Zusammenhang gebracht habe, den 
parthenogenetischen Veränderungen stets vorausgehen müssen. Ich hoffe 
diese Fragen noch im Lauf des Winters zur Entscheidung zu bringen. 

Für das, was ich beweisen möchte, genügen die Resultate in ihrer 
jetzigen aphoristischen Form; sie zeigen, dass fortgesetzte Theilungen im 
Infusor eine Neigung zur Conjugation veranlassen, dass aber bei künst- 
licher Verhinderung der Vereinigung die Theilungen in lebhaftester Weise 
fortgesetzt werden, bis ein Moment eintritt, in welchem ohne Conjugation 
ein Ersatz des Hauptkerns durch Abkömmlinge des Nebenkerns eintritt. 
Eine derartige Selbsthilfe des Organismus scheint sich mehrfach wieder- 
holen zu können, ehe die Lebensfähigkeit der Paramaecien eine so inten- 
sive Schädigung erfährt, dass die Culturen aussterben. 

Wer die Conjugation der Infusorien erklären will, muss dem Ge- 
sagten zufolge mit 2 Erscheinungen rechnen: 1. fortgesetzte Theilungen 
ohne Conjugation führen zum Untergang; 2. trotzdem besitzt das Infusor 
zur Zeit der Conjugation unverminderte oder sogar erhöhte Theilfähigkeit. 
Wenn wir Bütschli’s Theorie zu Grunde legen, stehen beide Sätze mit 
einander im Widerspruche; sie sind aber sofort in Einklang zu bringen, 
wenn wir annehmen, dass zur Zeit, wo die Conjugation eintritt, nicht eine 
herabgesetzte, sondern eine übermässig erhöhte Lebensenergie besteht. 
Dann hat die Conjugation nicht den Zweck, die Lebensenergie noch 
weiter zu steigern, sondern die gesteigerte Lebensthätigkeit so zu regu- 
liren, dass sie nicht zur Zerstörung des Organismus führt; sie heilt nicht 
die durch physiologische Usur entstandenen Defecte, sondern verhindert, 
dass derartige Defecte durch Uebermass der Function entstehen. Hiermit 
stimmt auch der Charakter der Geschlechtskerne überein. Die Annahme, 
dass sie ganz besonders die Fähigkeit haben, die Lebenssubstanz zu 
regeneriren, ist schwer vereinbar mit der Thatsache, dass sie diese 
Substanz weder verbrauchen, noch im Ueberschuss besitzen. Dagegen ist 
es nur ein Ausdruck für allbekannte Erscheinungen, wenn man sagt, 


227 


dass die Kräfte des Lebens in den Geschlechtszellen sich im gebundenen 
Zustand befinden. 

Das von mir aufgestellte Erklärungsprincip macht aber nicht nur 
verständlich, warum es bei den Infusorien zur Bildung der Geschlechts- 
kerne kommt, sondern auch wesshalb eine Befruchtung d. h. eine Ver- 
einigung von Geschlechtskernen verschiedenen Ursprungs stattfindet. Denn 
es ist klar, dass ein dem Organismus eingefügtes fremdartiges, von einem 
anderen Organismus stammendes Element einen hemmenden und damit 
auch wieder regulirenden Einfluss auf die Lebensthätigkeiten ausüben 
muss und dass dieser Einfluss am günstigsten wirken wird, wenn der 
Unterschied zwischen den bei der Befruchtung betheiligten Thieren weder 
zu gross noch zu gering ist. Letzteres ist der Fall bei Abkömmlingen 
eines und desselben Mutterorganismus, wesshalb diese auf die Conjugation, 
welche nicht wirksamer ist als Parthenogenese, verzichten. 

Wenn man Bildung der Geschlechtskerne und Conjugation derselben 
auf ein gemeinsames ursächliches Princip zurückführt, so erklärt sich, 
wesshalb beide Erscheinungen für einander vicariiren können, wesshalb 
es geschlechtliche Fortpflanzungen ohne Geschlechtszellen und anderer- 
seits Fortpflanzungen mit Geschlechtszellen, aber ohne Befruchtung giebt. 

Da ich voraussichtlich bald Veranlassung haben werde, auf die 
angeregten Fragen noch einmal zurückzukommen, begnüge ich mich 
mit den vorstehenden kurzen Erörterungen; ebenso verschiebe ich bis 
dahin die Besprechung der interessanten Resultate, welche Maupas über 
Degenerationserscheinungen von Infusorien veröffentlicht hat. Ich hoffe, 
dass fortgesetzte experimentelle Arbeiten über die Bedingungen der Con- 
jugation, wie sie von dem französischen Forscher und mir begonnen 
worden sind, bald ebenso zu einer Uebereinstimmung in der theoretischen 
Auffassung des Vorgangs führen werden, wie sie in der Feststellung 
des Thatbestandes schon erzielt worden ist. 


228 


I. Tabelle. 


Maasse gewöhnlicher Paramaecien. 


1. Körper 


0,0875 : 0,044 
0,10 :0,037 
: 0,042 
: 0,044 
: 0,031 
: 0,040 
: 0,041 
: 0,042 
: 0,027 
: 0,040 
: 0,037 
: 0,037 
: 0,040 
:0,041 
: 0,042 


Paramaecien aus Theilung hervorgegangen. 


2. Hauptkern 


0,025 : 0,015 
0,037 : 0,012 
0,032 : 0,012 
0,025 : 0,020 
0,027 : 0,020 
0,037 : 0,016 
:0,018 
:0,017 
:0,016 
: 0,017 
:0,016 
:0,016 
: 0,018 
:0,016 
:0,017 
:0,016 
: 0,019 
: 0,018 
: 0,017 
:0,016 
:0,019 
:0,018 
:0,016 
: 0,016 
:0,012 


I. Tabelle. 


3. Nebenkern 
mit Nucleolus 


0,006/0,002 


| 0,004/0,002 


0,006/0,002 
0,005 
0,006/0,002 
0,006/0,0037 
0,007/0,002 


. 0,006/0,0037 
0,0056/0,0018 


 0,0075/0,0018 


0,006/0,0037 
0,005/0,002 


| 0,006/0,002 


0,0044/0,002 
0,0056 
0,0056/0,002 


| 0,005/0,002 


0,005/0,002 
0,005/0,0018 
0,006 


| 0,0036/0,002 


0,0036/0,0018 


| 0,005/0,0018 


0,005/0,0018 
0,005/0,002 


Körper 


0,094 : 0,044 
0,100 : 0,044 
0,102 : 0,035 
0,106 : 0,035 
0,106 : 0,047 
0,112 : 0,044 
0,119 : 0,044 
0,122 : 0,050 
0,125 : 0,044 
0,125 : 0,044 
0,125 : 0,047 
0,131 : 0,044 
0,131 : 0,050 
0,134 : 0,050 
0,137 : 0,050 
0,144 : 0,050 
0,144 : 0,050 
0,144 : 0,056 
0,144 : 0,050 
0,150 : 0,044 
0,150 : 0,050 
0.156 : 0,056 
0,162 : 0,062 
0,169 : 0,062 


III. Tabelle. 


Placenten 


IV. Tabelle. 


Paramaecien nach Ablauf der Conjugation. 


Nebenkern 
mit Nucleolus 


0,005 
0,0044 
0,0044 
0,0044/0,0018 
0,0044/0,0018 
0,0044/0,0018 
0,0044 
0,0044/0,0018 
0,005/0,0018 
0,005 
0,005/0,0018 
0,005 

0,0044 

0,005 
0,0044/0,0018 
0,005/0,0018 
0,0036 

0,006 

0,0044 
0.005/0,0018 
0,005/0,001 
0,005 

0,005 

4 & 0,0036 


Paramaecien, welche zur Conjugation 


schreiten. 
He Nebenkern e: 
Körper Hauptkern eNusleolas Körper Hauptkern ea 3 

0,067 : 0,043 noch nicht 0,003/0,0015 et :0,035 4 0,027 : 0,012 0,009 

0,070 : 0,045 getheilt 0,003/0,0015 0,106 : 0,035 0,027 : 0,019 0,009 

0,067 : 0,045 0,030 : 0,012 0,003/0,0015 /0,095 : 0,037 0,035 : 0,012 0,009 

0,072 : 0,042 0,034 : 0,01 0,003/0,0015 10,100 :0,035 0,025 : 0,017 0,006 
nn : 0,049 0,037 : 0,013 0,002/0,0015 f0,100 : 0,025 0,031 : 0,015 0,006/0,002 

0,072 : 0,046 0,037 : 0,013 0,002/0,0015 10,112 : 0,035 0,025 : 0,018 0,006/0,002 

0,075 : 0,044 0,041: 0,012 0,0036/0,0018 Kae :0,037 0,025 : 0,017 0,006/0,0018 
a :0,045 0,037 : 0,009 0,002/0,0015 0,118: 0,037 0,031 : 0,015 0,006/0,0018 

0,075 : 0,045 0,037 : 0,012 0,002/0,0015 in :0,044 0,031: 0,015 0,006 
:0,045 0,037 : 0,012 0,003/0,0015 0,131: 0,050 0,047 : 0,018 0,005 

0,09 :0,045 | 0,037 :0,013 0,003/0,0015 


V. Tabelle. 


Copulae auf dem Sichelkernstadium ; 
Maasse der Thiere. 


Di : 0,035 a : 0,031 a : 0,035 
0,112 : 0,040 0,112 : 0,037 0,131 : 0,044 
on : 0,032 En : 0,037 

0,112 : 0,040 0,112 : 0,037 
I : 0,040 ar : 0,040 

0,119 : 0,044 0,112 : 0,044 


Aus den Tabellen I, II und IV ist ersichtlich, dass im Grossen und Ganzen eine Proportionalität 
zwischen Grösse des Thiers und Grösse seines Hauptkerns nachgewiesen werden kann (cf. p. 160). 


229 


Literaturverzeichniss. 


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230 


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18. — Sur la puissance de wmultiplication des Infusoires cilies. Comptes rendus. 
T. 104. 1837. p. 1006—1008. 

19. — Sur la conjugaison des Cilies. Comptes rendus. T. 105. 1887. p. 175. 

20. — Theorie de la sexualite des infusojres cilies.. Ebenda. T. 105. 1887. p. 356. 

21. — Recherches experimentales sur la multiplication des infusoires cilies. Archives 
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22. — Sur la conjugaison du Paramaecium bursaria. Ebenda. T. 105. p. 955— 957. 

23. — Sur la conjugaison des Vorticellides.. Comptes rendus. T. 106. 1888. p. 1607 
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24. Nussbaum. Ueber die Theilbarkeit der lebendigen Materie. I. Mittheilung. Die 
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Bd. XXVI. p. 485—539. 

25. Pfitzner Wilh. Zur Kenntniss der Kerntheilung bei den Protozoen. Morpholog. 
Jahrb. Bd. XI. p. 454— 467. 

326. Plate L. Untersuchungen einiger an den Kiemenblättern des Gammarus pulex 
lebender Eetoparasiten. Zeitschrift für wissenschaftl. Zoologie. Bd. 43. 1886. 


p. 175—214. | 
27. — Ueber die Conjugation der Infusorien. Sitzungsberichte der Gesellsch. f. 
Morphol. u. Physiol. zu München 1886. p. 35—38. 
28. — Studien über Protozoen. Zoologische Jahrbücher. Bd. III. p. 135—200. 


29. Schuberg. Die Protozoen des Wiederkäuermagens. Zoologische Jahrbücher 
Abth. f. Syst. Bd. III. p. 365—418. 

30. Sterki. Beiträge zur Morphologie der Oxytrichinen. Zeitschr. f. wissensch. Zool. 
Bd. XXXI p. 29—59. 


Figur 


Figur 2. 


Figur 


Figur 


Figur 


Figur 


Figur 


Figur 


231 


Tafelerklärung. 


Die Figuren auf Tafel I, II und III sowie Tafel IV Figur 1—3 wurden bei Zeiss !/ıs Oc. I 
oder II gezeichnet und auf eine gemeinsame Grösse reducirt; ich habe daher den meisten Fieuren 
noch die absoluten Maasse in mm in der Figurenerklärung beigefügt; dabei bedeutet a den 
Thierkörper, b den Hauptkern, ce den Nebenkern oder dessen Spindeln. Die Figuren 4—27 Tafel IV 
wurden bei Zeiss 1/ı8 Comp. ocul. 4 gezeichnet. 


1. 


3. 


Tafel I. 


Ein neu vereinigtes Pärchen; Mundöffnungen gegen einander gepresst; Nebenkerne in 
Umwandlung begriffen. a! 0,095: 0,037; a? 0,1:0,035; b! 0,035 ::0,012; b2 0,025 : 0,017; 
ce! 0,009, c2 0,0086. 

Zwei mit einander schwimmende Paramaecien kurz vor der Vereinigung; Mundöffnung 
noch nach rechts gewandt; Nebenkerne noch bläschenförmig. 

Die Vereinigung ist in ganzer Länge erfolgt; Nebenkerne in Sichelform; Hauptkern 
eine schwach gekrümmte ovale Platte. al 0,11:0,04; a? 0,107:0,037; b1 0,034 : 0,015; 
b? 0,035 : 0,020. 

Der Hauptkern beginnt in zwei seitliche und einen medianen Lappen auszuwachsen; Neben- 
kerne auf der einen Seite Spindeln (0,016: 0,0075) auf der anderen Seite hantelförmig 
(Hantel 0,027 lang, Köpfchen 0,009 : 0,005) a! 0,112: 0,04; a? 0,112:0,044; b! 0,044: 0,018; 
b2? 0,038 : 0,011. 

Die 3 Hauptlappen des Kerns beginnen sich zu verästeln; auf der rechten Seite sind 
4 Spindeln (0,009:0,006); auf der linken Seite Theilung derselben in 8 (0,058; 0,008 : 0,005), 
al 0,125:0,037; a2 0,11: 0,35. 

Die Hauptkerne in 3 verästelte Stränge ausgewachsen; von den Nebenkernspindeln sind 
7 ın Rückbildung begriffen, eine als Hauptspindel (0,009: 0,0035) auf der rechten Seite 
des Thieres eingestellt. a! 0,093: 0,035; a? 0,097 : 0,035. 


7—9. Die Stränge des Hauptkerns in Stücke zerlegt; verschiedene Theilungsstadien der 


Hauptspindel; in Figur 7 noch Reste der Nebenspindeln. Maasse für Figur 7: al 0,112: 
0,037; a? 0,1:0,04; e! 0,015 : 0,006. 


Tafel II. 


1—3. Copulae, bei denen schon auf dem Vierspindelstadium die Hauptspindel eingestellt ist; 


Figur 1. Thiere mit 4 Spindeln (a 0,1: 0,037; Spindel 0,0087 : 0,0056), Figur 2. Neben- 
spindeln in Theilung (a! 0,094: 0,04, a? 0,1: 0,044), Figur 3. Hauptspindel in Theilung. 


Figur 4. Hauptspindel in stationären und Wanderkern getheilt. 
Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. I. Abth. 30 


232 


Figur 5. Die Geschlechtskerne fangen an, wieder Spindelstructur anzunehmen; beginnender Aus- 
tausch der Wanderkerne. 

Figur 6. Der Wanderkern des linken Thiers auf der Grenze beider Thiere, der des rechten Thiers 
beginnt mit seiner hinteren Spitze überzutreten und sich mit der Spitze des linken 
stationären Kerns zu vereinigen. 

Figur 7 und 9. Auf der einen Seite die Vereinigung der Geschlechtskerne vollzogen, auf der 
anderen Seite noch nicht; die eine Wanderspindel verweilt daher noch ganz (Figur 9) 
oder theilweise (Figur 7) im T'hier, aus dem sie stammt, so dass dieses 3 Spindeln, 
davon 2 in Copula, enthält. (Figur 7 al 0,106: 0,037, a? 0,093 : 0,035.) 

Figur 8. Beide Wanderspindeln in Vereinigung mit der stationären Spindel begriffen. 


Tafel III. 


Figur 1. Die aus Verschmelzung der Geschlechtsspindeln entstandene Theilspindel in Theilung 
begriffen; altes Cytostom geöffnet. 

Figur 2 und 3. Die primäre Theilspindel theilt sich in die secundären Theilspindeln: vom alten 
Cytostom beginnt sich die Anlage eines neuen auszustülpen. 

Figur 4—12. Entwicklung der Einzelthiere nach Lösung der Conjugation. 

Figur 4. Thier mit 2 secundären Theilspindeln und neugebildetem Cytostom. 

Figur 5. Die secundären Theilspindeln an einer Spitze vereinigt; Aequatorialplatte in die Seiten- 
platten getheilt. 

Figur 6. Primäre Theilspindel in Theilung; Bildung des neuen Cytostoms. 

Figur 7—10. Theilung der secundären Theilspindeln in die Haupt- und Nebenkernanlagen. 

Figur 11. 12. 17. Umwandlung der Hauptkernanlagen (Placenten) und Rückbildung des alten 
Hauptkerns. Figur 11. Thier mit 4 Placenten und 4 Nebenkernen. Maasse für Figur 12: 
a 0,162: 0,062, jede Placenta 0,027: 0,02; ce 0,005. Maasse für Figur 17: a 0,162:0,062., 
jede Placenta 0,035 : 0,020; c 0,005. 

Figur 13 und 14. 2 Stadien der Cytostomneubildung mit zugehörigen secundären Theilspindeln. 

Figur 15. Abschnürung des rechts gelegenen neuen Cytostoms von dem alten links gelegenen und 
in Rückildung begriffenen; dasselbe Präparat in gleicher Lage bei 3 verschiedenen 
Tiefeneinstellungen. 

Figur 16. Die secundäre Theilspindel in Theilung zur Haupt- und Nebenkernanlage. (Stadium 
zwischen Figur 7 und 8). 


Tafel IV. 


Figur 1—3. Ein Anfang-, Mittel- und Endstadium der Theilung. 

Figur 4 und 5. Cytostome und Nebenkerne zweier in Theilung begriffener Thiere. 

Figur 7. Cytostome von 3 in Theilung begriffenen Thieren; ein Cytostom auf dem optischen 
Durchschnitt. 

Figuren 6 und 8 und 10. Hauptkerne, Nebenkerne und Cytostome in Theilung begriffener Thiere; 
in Figur 8 die Nebenkerne eines zweiten Thiers, welches gleiche Form des Hauptkerns 
und des Cytostoms besass, dazu gezeichnet. 

Figur 9. Nebenkern in Theilung, Figur 9a das Endköpfchen stärker vergrössert. 

Figur 11. Hauptkern eines Theilstadium, Andeutung von faseriger Differenzirung. 


Maasse von . a N b ® 
Figur 1. 0,112:0,044 __ 0,019:0,019 

Figur 2. 0,112 : 0,050 0,062 : 0,035 0,025 : 0,008 
Figur 4. 0,147 : 0,060 0,040 : 0,044 0,008 
Figur 5. 0,144 : 0,060 0,016 : 0,019 0,008 


Nebenkernspindeln Figur 8. 0,015 :0,0005; Figur 9. 0,052. 


Figur 12. 


233 


Hauptkern eines Paramaecium im Farbenbild. 


Figur 13. Verschiedene Zustände des Nebenkerns. Grösse 0,003—0,006. Nucleolus 0,002. 
Figuren 14—21. Umwandlung der Nebenkerne zu Spindeln. 


Figur 
Figur 
Figur 
Figur 
Figur 


Figur 
Figur 


Figur 
Figur 


Figur 
Figur 


14. 
15. 
16. 
Ik 
19. 


Beginnende faserige Differenzirung des Nebenkerns. Grösse 0,008—0,01. 

9 Kernsicheln eines Thieres, die eine in zweifacher Ansicht. Maasse: 0,019: 0,01. 
Eine Kernsichel (späteres Stadium) in 3 Ansichten. Maasse: 0,02 : 0,007 : 0,002. 

Zwei Anfangsstadien der Spindel aus demselben Thier. Maasse: 0,02:0,007 und 0,03 :0,003. 
Die linke Spindel ist eine Doppelspindel (0,017:0,01) wahrscheinlich durch Verschmelzung 
von 2 Sichelkernen entstanden, die rechte Spindel eine einfache, da in demselben Thier 
noch eine zweite gleiche vorhanden war (0,016 : 0,005). 


20 und 21. Spindel fertiggestellt. (Maasse: 0,020 : 0,006.) 


22. 


23. 
24. 


25. 


Doppelspindel eines Thieres in Theilung (0,022:0,008); die 2 Spindeln des anderen 
Thieres in Hantelform, davon nur 1 dargestellt; Maasse: 0,028 Länge der ganzen 
Spindel, 0,006 Breite des Köpfchens. 

Spindeln des Vierspindelstadiums, die eine zeigt beginnende Theilung. 

Hauptkern und Nebenkernspindeln eines Paarlings mit eingestellter Hauptspindel ; 
Nebenkernspindeln auf verschiedenen Stufen der Rückbildung. 

Theilstücke des Hauptkerns nach aufgehobener Copulation in Rückbildung. (Farbenbild.) 


26 und 27. Stadien der Befruchtung; Figur 27 früher als 26, auf letzterem waren die chro- 


matischen Theile nur bei den Spindeln des linken Thieres zu erkennen, sie zeigten 
Theilung der Aequatorialplatte vor der Befruchtung. 


4 


1 Tu 0 lumn 


Tafel I. 


bh.d. IT. Cl.d.k. Ak.d.Wiss. NIT Bd.LAbih. 


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6. 


 Abh.d.Il. C1.d.k.Ak.d.Wiss. NVILBA.T.Abth. 


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Tafel IV. 


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2 


C Rrapf, ih. 


4 S 


Inhalt. 


Fortgesetzte Untersuchungen über das mehrfache Sternsystem 6 
H. Seeliger. Mit 1 Tafel a SET EN 


Ueber die redueirte Resultante. Vak A. Brill. 


A Noether: ee NER, 


Ueber die Conjugation der Infusorien. 


MATISCH- PHYSIKALISCHEN CLASSR 
DER KÖNIGLICH BAYERISCHEN | | 
DEMIE oe WISSENSCHAFTEN. 


% 


E SE SIEBZEHNTEN BANDES 
ZWEITE ABTHEILUNG. 
IN DER REIHE Du EN HRINDEN DER LXIII. BAND, 


MÜNCHEN 1891. 
VERLAG DER K. AKADEMIE 
IN COMMISSION BEI G. FRANZ. 


Ueber 


_ die cogredienten Transformationen 


einer bilinearen Form 


in sich selbst. 


Abh.d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. Il. Abth. 31 


In der vorliegenden Arbeit habe ich versucht, die cogrediente 
(congruente) Transformation der bilinearen Formen in sich 
selbst, die für die symmetrischen und alternirenden Formen 
von Herrn Frobenius zum Abschluss gebracht ist, auf den allgemein- 
sten Fall einer beliebigen bilinearen Form auszudehnen. 

Im $ I findet man die nothwendigsten Definitionen und Bezeich- 
nungen zusammengestellt, von denen im Anschluss an den von Herrn 
Frobenius entwickelten Algorithmus der bilinearen Formen!) 
Gebrauch gemacht wird, sowie einige andere einfache Folgerungen aus 
bekannten Theoremen erwähnt. 

Daran schliesst sich in $ II die Entwicklung der allgemeinen Eigen- 
schaften der charakteristischen Function der Substitutionen U, sowie 
solcher Relationen, denen die Coefficienten derselben genügen müssen. 
Dabei ergeben sich einerseits die Theoreme, welche schon Herr Frobenius 
aufgestellt hat, doch schien es mir nicht überflüssig, dieselben von der- 
jenigen Grundlage aus zu entwickeln, die ich bereits in meiner Arbeit 
über orthogonale Substitutionen?) benutzt habe. Andrerseits aber erhält 
man, indem man unter der Substitution eine solche versteht, welche die 
Form in eine beigeordnete — die conjugirte der reciproken — ver- 
wandelt, Relationen, welche in besonders ausgeprägtem Sinne eine Ver- 


1) Vgl. Frobenius, Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen, Borchardt’s Journ. 
Bd. 84, S. 1. Diese Arbeit werde ich im Folgenden mit F' citiren. Vgl. ferner: Ueber die schiete 
Invariante einer bilinearen oder quadratischen Form, Daselbst Bd. 86, S. 44; sowie Kronecker, 
Ueber die congruenten Transformationen der bilinearen Formen, Berl. Monatsb. April 1874. Diese 
letztere Arbeit werde ich mit X citiren. 

2) Voss, Zur Theorie der orthogonalen Substitutionen, Math. Annalen, Bd. XIII, S. 326, 
Ueber bilineare Formen, Göttinger Nachrichten, August 1887. 

3l= 


238 


allgemeinerung der bekannten Eigenschaften der orthogonalen Substi- 
tutionen!) bilden. Bei der Untersuchung der reellen Transformation 
einer reellen Form habe ich versucht, dem Satze des Herrn Weier- 
strass?) über die Elementartheiler der characteristischen Function der- 
jenigen Substitutionen, welche eine definite quadratische Form in 
sich transformiren, eine weitere Ausdehnung zu geben. 


In $ IV gehe ich zur Herleitung der Christoffel-Kronecker’schen 
Transformation?) vermöge einer reciproken Resolvente n'” Grades über, 
jedoch mit der Erweiterung auf den Fall, dass die letztere lauter ein- 
fache Elementartheiler enthält. 


Sodann zeige ich, dass die Transformations-Coefficienten aller nicht 
singulären Substitutionen in vollständigster Analogie mit den Gayley- 
Hermite’schen Formeln, insbesondere in der von Herrn Frobenius 
gegebenen Gestalt, sich darstellen lassen. Dabei ergiebt sich ein System 
linearer Gleichungen zur Bestimmung dieser Coefficienten, 
das in der symbolischen Form 57 + S'!T' = o zusammengefasst werden 
kann®). Nach einer ausführlichen Erörterung der Eigenschaften der 
Formen 7 gehe ich zur Ermittelung dieser Formen selbst über, die sich 
leicht mittelst des bei allen ähnlichen Fragen dieser Art als erledigt 
anzusehenden Problems der vertauschbaren Formen bewerk- 
stelligen lässt. 


1) Vgl. Jacobi, Crelle’s Journ. Bd. 12 8. 7; Baltzer, Determinanten, S. 173. 


2) Weierstrass, Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen, Berl. Monatsb. 
1868. S. 336. 

3) Christoffel, Theorie der bilinearen Functionen, Borchardt’s Journal, Bd. 68, S. 253; 
Kronecker, Ueber bilineare Formen, ebenda, S. 273. 


4) Die Möglichkeit, überhaupt rationale Transformationen einer Form in sich anzugeben, 
ist, worauf mich Herr Klein bei dem Erscheinen meiner Note in den Göttinger Nachrichten auf- 
merksam zu machen die Güte hatte, bereits 1858 durch Cayley (On the automorphiec transfor- 
mation ofa bipartite quadric function. Phil. Transactions 148, S. 39 —46) gewissermassen dargethan, 
der mittelst der Hermite’schen Methode (Crelle’s Journal Bd. 47, S. 309) rationale zunächst nicht 
sogrediente Transformationen einer bilinearen Form in sich angiebt. 

Indessen hat Herr Cayley dabei übersehen, dass seine Formeln — die mit denen des Herrn 
Frobenius übereinstimmen — nur für den Fall einer symmetrischen oder alternirenden Form 
ohne das Hinzutreten der im Texte angezogenen Gleichung eine cogrediente Substitution liefern, 
und auch die Frage, bei welcher besonderen Beschränkung des Characters der Substitution diese 
Transformationen die einzigen sind, gar nicht aufseworfen. 


j 
: 
5 

{ 
= 
4 

j 
7 


239 


Herr Frobenius hat zuerst die wichtige Frage nach der Irredu- 
cibilität der eigentlichen Transformationen einer symmetrischen oder alter- 
nirenden Form von nicht verschwindender Determinante!) in bejahendem 
Sinne entschieden. Eine ähnliche Untersuchung lässt sich auch in dem 
allgemeinen Falle führen, doch muss es weiteren Untersuchungen vorbe- 
halten bleiben, diese schwierige Frage in ihrem ganzen Umfange zu er- 
ledigen, da auch bei anderen Voraussetzungen solche Substitutionen durch 
ein einziges rationales System dargestellt werden können.?) Die Unter- 
suchung der Anzahl der willkürlichen Parameter, von denen überhaupt 
die Coefficienten der Transformation einer Form in sich abhängen, bildet 
den Inhalt des $ XII, und es scheint mir bemerkenswerth, dass dieselbe 
stets durch lineare Operationen gefunden werden kann. 


Sal 
Einleitung. 
In diesem Paragraphen werde ich kurz die wesentlichsten Bezeich- 


nungen und Definitionen, sowie einige einfache Theoreme zusammenstellen, 
die im Folgenden zur Anwendung kommen werden. 

1. Unter dem Produkte?) | 

1) G=.4B 
der beiden bilinearen Formen von n Variabelnpaaren x und y 


4! —— = 4; L,Yx 


B=2b,%,Y 
sei der Ausdruck 
eA oaB 
= = FE = 04%; Yr 
verstanden, so dass 
2) Cr — = 4, by. 
I 


ira, 2... 


1) Ueber die Transformation von Formen mit verschwindender Determinante, die in den 
übrigen $$S der Arbeit ausgeschlossen sind, handelt $ V. 

D)nVel22,B. SV, S. 

SIEHaSKg! 


240 


wird. Bei dieser Definition wird die Multiplication associativ und 
distributiv, dagegen im allgemeinen nicht commutativ. Die 
Determinante der Coefficienten des Productes € wird nach 2) gleich dem 
Producte der Determinanten der Factoren A und B.'!) DBezeichnet man 
die Determinante der Üoefficienten c, einer Form C allgemein durch 
I|C|, so zieht demnach die Gleichung 1) auch die folgende 
|c]=|A1|B] 

nach sich. 

Zwei Formen A und B heissen vertauschbar, wenn ihr Product 
commutativ ist, d. h. wenn 


AB=B4, 
welche Gleichung also die n? in den Üoefficienten von 4 und B linearen 
Gleichungen 
= a,b, = bay: 
ı I 
a I 
repräsentirt. 


%. Unter der conjugirten Form von 4?) versteht man die Form 
An ey, 
welche sich durch gleichzeitige Vertauschung der sämmtlichen Variabeln 
x, mit den y, aus A ergibt. Alsdann gilt der Satz: 
(4AB=.D =D... A). 
3. Die mit jeder beliebigen Form vertauschbare Form?) 


SS 
= L,Y; 


werde durch E bezeichnet. Demnach ıst AE=EA=A4. Formen, 
welche nach dem Typus von E gebildet sind, aber weniger als »n Vari- 
abelnpaare enthalten, sollen durch E, E, . . bezeichnet werden, so dass 
allgemein 

E=NE, 
ist, sobald die Formen #, unter sich kein Variabelnpaar gemein haben. 
Die Form 


1) RS, DI RD A. BJ ELES 9, 


Se EEREEEERE a u Se 


02 A 
= "rt 


enthält also nur die Variabeln » welche in Z,, die Variabeln y welche 
in Es; vorkommen.!) 
4. Wenn die Determinante der Form A nicht verschwindet, so giebt 
es eine einzige vollkommen bestimmte Form X, welche der Gleichung 2) 
3) ART 
genügt, und wenn die Determinante von B nicht verschwindet, so ist auch 


die von X nicht Null. Ist B=o, so muss auch X=o sein. Es giebt 
daher auch eine Form Y, welche der Gleichung - 


AY=ZE 
genügt. Aus der hieraus folgenden Gleichung 
KAPR —>Y, 
oder (YA—E)Y=o, 
folgt aber YA. 


Diese Form Y heisst die reciproke Form von A und wird durch 
AT! bezeichnet, so dass also 


AANZAS A E 
wird. Führt man für die Unterdeterminanten des Coefficientensystems 
der a,, dividirt durch |A| die Bezeichnung «, ein, so ist 
A = Syn: 
wobei dann die Gleichungen 


= a,.0, = = a, = (kl) 
? 


t 


gelten, in denen (kl) das bekannte, für k=/ gleich Eins, sonst aber 
gleich Null zu setzende Symbol bedeutet. 


Zugleich folgt aus 3) durch Multiplication mit 4 
X AB 


und für die reciproke Form eines Productes gilt der Satz 


DES.1. 2)Vel.F.S.6 


242 


(AB.- Dr" = D..B42.)) 


Aus AA=ZR, 
(A)! Bat = E, 
(4') A! — E, 


folgt daher noch 
(dee) —o, 


or (AI) = (AT. 
5. Wird die Form A durch die beiden Substitutionen 
4) Den 
Yr = = Im !im 


in die Form B transformirt, so ist 


5) B= 0,1 Jam Sim: 
Ördnet man den beiden Substitutionen 4) die Formen 
P=2P,%%, 
= gan lm Yes 
zu, so lässt sich die Gleichung 5) in der symbolischen Form?) 
6) D=’PA0Q 


schreiben, falls man rechterhand noch die x und % durch die S und 7 
ersetzt. 

Die Transformation heisst eine contragrediente, wenn die »,, die 
durch Q| dividirten ersten Unterdeterminanten nach den Elementen q,, 
sind, d. h, wenn Q""=P, dagegen cogredient, wenn 9, = 4. Oder 
P=%!' ist. Die Transformation ?=@ heisse nach Herrn Kronecker 
eine conjugirte Transformation von A in B. 


6. Unter der characteristischen Function?) einer bilinearen 
Form A versteht man die Determinante der Form 


A—rE 


in welcher r einen variabeln Parameter bedeutet. Zwei Formen A und 
B heissen ähnlich, wenn ihre characteristischen Functionen dieselben 


DaRas28: 2)ARES..19) 3) Rs. 10. 


243 


Elementartheiler haben, und unter dieser Voraussetzung gibt es eine 
contragrediente Substitution P, welche A in B überführt, so dass die 
Gleichung A 

Par 


besteht. Nach Herrn Weierstrass heisen zwei Formenschaaren 
A—rB und A,—rB, 


äquivalent, wenn die Elementartheiler der als nicht identisch ver- 
schwindend vorausgesetzten Determinanten A—rB| und |,—rB,|, 
_ welche ebenfalls als characteristische Functionen bezeichnet werden mögen, 
übereinstimmen. Nach Herrn Kronecker können zwei äquivalente 
Schaaren aus conjugirten Grundformen immer durch cogrediente Sub- 
stitutionen in einander transformirt werden!), d. h. sie sind einander 
congruent. 


7. Nach dem Verfahren des Herrn Weierstrass findet man unter 
der eben genannten Voraussetzung der Aequivalenz zwei Formen P 
und @ von nicht verschwindender Determinante, welche die Gleichungen 
PAQ—A, 
7250-5, 
befriedigen. Giebt es nun auch noch irgend zwei andere Formen P, 
und @, dieser Art, und wird die Determinante von B als nicht ver- 
schwindend vorausgesetzt, was sich immer erreichen lässt, so muss 
PAQ=P,AQ, 
PBQy=P,BQ,, 
sein. Hieraus folgt aber 
Q=b"PTPBQ, 
oder 
RAN BAD) DB, PBO; 


also, wenn der Factor Q beiderseits fortgelassen wird 


Pu DAB Alb. Pp, “pP. 


1) K. S. 436. 
Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 32 


244 


Setzt man aber 


A:BF==W, 

Pie-P R. 
so 1st 

RW=WR. 


Und ist umgekehrt R eine mit W ertauschbare Form von nicht 

verschwindender Determinante, so sind 

ee 

ON BERBN, 
zwei Formen, welche die Gleichungen 

P,AQ =A,, 

P,BQ4=B,, 
befriedigen. Es giebt daher genau so viel linear von einander 
unabhängige Substitutionen von nicht verschwindender 
Determinante, welche die Schaar A—rB in 4,—rB, trans- 
formiren, als es linear von einander unabhängige Formen 
von nicht verschwindender Determinante giebt, die mit 
W= AB" vertauschbar sind.) 


8. Wird eine Form A von nicht verschwindender Determinante durch 
zwei Substitutionen ? und @ in sich transformirt, so ist 


Val! 
Alle Formen B, welche gleichfalls durch ?/ und Q in sich 
transformirt werden, ergeben sich aus der Gleichung 


Bi—SA, 
falls 

Sr 08) 
genommen wird. Ist nämlich 

BOB, 


so ist auch 
PBANPTA=B 


1) Alle Substitutionen P, Q, welche die Schaar A—rB in sich selbst transformiren, sind 
daher in den Formen P=BA-!R-!, Q=B-1RA enthalten, wo R eine mit A B-1 vertausch- 
bare Form ist. 


oder 
IB Ar = BAT. 
Setzt man aber 
I N), 
so ist PS=SP und B=S5A. Umgekehrt ist dann aber auch 
BB0—RSAQ—S RAN —S7A—.B,. 
wie zu zeigen war!). 
9. Wenn die Gleichung 


UP + P)—=(d + 9Y)U 
besteht, in welcher P,, 0; P;, Q Formen sind, die nur die iin 
E,; E, vorkommenden Variabelnpaare enthalten (also in der- 
selben Weise zerlegbar”’) sind) und die characteristischen 
Functionen von P, und @, sowie von P, und @, keinen ge- 
meinsamen Theiler haben, so ist auch U in derselben Weise 
in zwei Formen U,+Ü, zerlegbar. 
Man hat nämlich durch Multiplication mit Z, und E, 
EUR=QUE,; EUPR—=QUE, 
EUR=QUÜUE,; BUR—=(QÜUE,, 


oder wenn 


EUE=u,; EUB—w,, 

PB UNE, = u5: 5, U2B, 005 
gesetzt wird 

u, P= Qu; w B—Qıw,, 

u, P,— Qs Us; wP, —Qsw;. 


Aus der letzten Gleichung geht aber unter der genannten Bedingung 
hervor) 


so dass 
U=(E,+BE)U(E+E)—=w-+W,, 


1) Herr Frobenius giebt zur Ermittelung solcher Formen B den specielleren Satz: Ist A 
eine Form, welche durch die Substitution P und @ in sich transformirt wird, so ist auch 
f(P)A9(Q) 
eine solche Form. F. S. 30. 
2) F. S. 17. 
3), Vel. ES. 28, Satz X. 


246 


wird. Und zugleich können die Determinanten von «, und %, nur dann 
von Null verschieden sein, wenn die Formen P, und Q, sowie P, und @, 


2 


zu einander ähnlich sind. 


10. Eine Form von der Gestalt + 4(4A')"' heisst nach Herrn Rosanes!) 
antisymmetrisch., Damit eine Form $ von nicht verschwindender 
Determinante antisymmetrisch sei, ist nothwendig und hinreichend, dass 
die Elementartheilerihrer characteristischen Function paar- 
weise von gleichem Grade sind und für reciproke Werthe 
verschwinden, und dass entweder diejenigen Elementar- 
theiler, welche von der Form (e+1)* (e—1)*T' sind, paar- 
weise auftreten, oder dass dieses mit den Theilern der 
Form (e—1)’*, (e+1)’""' der Fall ist. 

Unter der genannten Voraussetzung ist nämlich die Schaar S—oE 
einer Schaar mit conjugirten Grundformen WoW" äquivalent?), also 


P($S-eEQ=W-+oW' 


oder 
SO u 
PQ —=+MW', 
Or — 


Demnach ist 
V=J: pP! Q' pP! Oz 
Setzt man also 


Be: 
oder 

P! O0 = eu 
so wird 

S=+t AA)", 


wie zu zeigen war. 
11. Das Problem, alle Formen ? zu finden, welche der Gleichung 


A AR 


genügen, also mit A vertauschbar sind, ist zuerst von Herrn Frobenius 


1) Borchardt’s Journal Bd. 80, S. 61. 

2) F., S. 22. Diese Untersuchung beruht auf dem wichtigen Satze des Herrn Kronecker 
über die Elementartheiler einer aus conjugirten Grundformen gebildeten Schaar, K. S. 442. Man 
vgl. auch den von Herrn Stickelberger gegebenen Beweis desselben, Borchardt’s Journal, 
Bd. 86, S. 42. 


247 


behandelt worden '). Insbesondere hat derselbe die Anzahl m der linear 
von einander unabhängigen Formen dieser Art angegeben. Bezeichnet 
man dieselben durch 

2% EU N 


so ist 
== De, 


während zwischen den P, keine lineare Relation besteht. Unter denselben 
befindet sich auch die Form E selbst. Man kann aber stets vor- 
aussetzen, dass die Grundformen PR, Formen von nicht 
verschwindender Determinante sind. Genügen nämlich die P, 
nicht dieser Bedingung, so haben die Formen 


Q=P,+h,E 


bei willkürlichen Werthen der A, nicht verschwindende Determinanten. 
Sie sind aber zugleich Grundformen. Bestände nämlich eine Relation 


=P,.Q=9, 
zwischen denselben, so wäre auch 
SB B>SRD=0; 
d. h. es bestände auch eine lineare Relation zwischen den Formen P,, da 
2 Wy.P, 
sein muss. Im folgenden werde ich eine (symbolische) lineare Gleichung 


zwischen Formen als gelöst betrachten, sobald dieselbe auf das 
Problem der vertauschbaren Formen zurückgeführt ist. 


Si 


Die Eigenschaften der cogredienten Transformationen einer bilinearen Form 
in sich selbst. 
Wenn eine Substitution U, deren Determinante |U | selbstverständlich 
nicht verschwindet, die Form SS cogredient in sich trans- 
formirt, so ist?) 


1) F. S. 28, 29. Vgl. auch L. Maurer, Zur Theorie der linearen Substitutionen, Diss. 
Strassburg 1887; sowie meine Note in den Sitzgb. d. bayer. Ak. d. W. Ueber die mit einer bili- 
nearen Form vertauschbaren bilinearen Formen, Juli 1889. 

2 I She) ik 


248 


1) VI VS, 
UESEUTE=1S}: 
also auch 
2) U(SZeS)U=8+oS.. 


Eine solche Substitution transformirt demnach die ganze aus con- 
jugirten Grundformen gebildete Schaar $-+038', insbesondere also 
auch die symmetrische Form $S+$', sowie die alternirende S—S' 
in sich selbst. 

Es ist ferner nach 1) 

U'S(U+eM)=($+ 0 0')=(E+EU))S, 
oder 

3) US(U+eB)=e(Ü’ +08, 
falls unter o' der reciproke Werth von g verstanden wird. 

Bezeichnet man den Werth der Determinante von U durch &, setzt 
man zugleich voraus, dass |$ nicht verschwindet, so folgt aus 1) nach SI, 1. 
2 3% 

und aus 5) 

4) eU+E =" U'+oE) 

Die Substitution heisst bekanntlich eigentlich, wenn & gleich + 1, 
dagegen uneigentlich, wenn & gleich —1 ist. Man hat daher die 
bekannten Sätze: !) 

Bei einer eigentlichen (uneigentlichen) Substitution und 


ungeradem n ist 0=—+1 (e=-——1) eine Wurzel der characteristischen 
Gleichung 


Das Productaller Wurzeln der characteristischen Gleich- 
ung 5) hat den Werth ze. Bei einer eigentlichen (uneigentlichen) 
Transformation ist die Anzahl der Wurzeln 0= —1 immer eine gerade 
(ungerade). Bei einer uneigentlichen Transformation und geradem n sind 
e=-+1 Wurzeln der Gleichung 5). 

Die Gleichung 5) hat nach 4A) nur reciproke Wurzeln, 
mit Ausnahme der etwa vorhandenen Wurzeln von der Form 


DER-e Swan: 


249 


e=-+l1, und die zu reciproken Wurzeln gehörenden Elemen- 
tartheiler haben dieselben Exponenten. Umgekehrt ist durch 
diese Eigenschaft eine Form U vollständig characterisirt, welche eine 
Form von nicht verschwindender Determinante in sich transformirt.!) 
In der That sind unter dieser Bedingung die Schaaren 
rE—UundrU—E 
äquivalent, also 
A(rE—U)B=rU—E, 
oder 
AB) — Ur RAND. ——=R. 


Da ferner U und U’ ähnliche Formen sind, so ıst 


wuw. =un 
also 
WABW"=U,, 
oder 
A WorUN WEB =. B 07! 
d.h. 


UZWEB U WEB: 
mithin ist WB”! eine Form von nicht verschwindender Determinante, 
welche durch U in sich transformirt wird, und aus dieser findet man 
alle Formen dieser Art vermöge der Lösung der Gleichung 

ö BU UP 
in der Gestalt 

SIIP WB" 

Damit eine Form U überhaupt eine Form Sin sich 
transformire, deren Determinante auch verschwinden kann, 
ist nothwendig und hinreichend, dass die characteristische 
Function von U reciproke Wurzeln, resp. die Wurzeln +1 
oder — 1, besitze. — Soll nämlich die Gleichung 


UNSziSIUT' 
überhaupt bestehen, ohne dass alle Coefficienten von S$ Null sind, so 
muss eine n’reihige aus den Coefficienten von U und U”! gebildete 


1) ES. 34. 


250 


Determinante verschwinden, welche die genannte Bedingung für die 
characteristische Function von U repräsentirt. 


Herr Frobenius hat ferner den folgenden Satz bewiesen: 

Ist eine Substitution U in zwei Formen U, +, zerleg- 
bar, deren characteristische Functionen keine reciproken 
Wurzeln haben, so ist jede Form $ (von verschwindender oder 
nicht verschwindender Determinante), welche durch U in sich trans- 
formirt wird, in derselben Weise zerlegbar.') 

Dieser Satz kann in folgender Weise umgekehrt werden: 

Ist eine Form $ (von nicht verschwindender Determinante) zer- 
legbar in $S,+%S,, und haben die Determinanten, 

1S,—S10|; 

5. — 8320| 
keine gemeinsamen Theiler, so ist U in derselben Weise 
zerlegbar. 


Aus der Gleichung 
DRSUSI. —S (SU 
folgt nämlich 
058)" +88)]= HI)" +], 

und damit der zu beweisende Satz, ?) falls die characteristischen Func- 
tionen von 8,($1)' und 8,(85)"", d. h. die vorhin angeführten beiden 
Determinanten keinen gemeinsamen Theiler haben. Insbesondere folgt: 

Ist 5 zerlegbar in S,+%, und ist Ö, eine symmetrische 
respective alternirende Form, so ist U in derselben Weise 
wie Szerlegbar, wenn die Determinanten 8, — S5| respective 
|,+53 nicht verschwinden. 

Durch diesen Satz ist zugleich die Transformation der wie Ö zer- 
legbaren Formen erledigt. 


Ich entwickele nun einige allgemeine Relationen zwischen den Ooeffi- 
cienten einer Substitution U, welche sich freilich auch zum Theil in sym- 


2 251 


bolischer Form darstellen lassen, bei denen aber die explicite Gestalt im 
allgemeinen vortheilhaft scheint. 


Ist 
SS = Ia,%;Yn; 
und 
%,; = >> Cm 5 ’ 


Ba EST < 
Yı = — Cy sn» 


eine (congruente) Substitution U, welche S in sich transformirt, so ergeben 
sich zur Bestimmung der Coefficienten c,, die folgenden n?” quadratischen 
Gleichungen 
1) = a Cm Er = ma; 
mi=1,2-..n, 


Multiplicirt man nun die mit % beliebigen Grössenreihen u, vX 


i) 


i=1,2-::n; a=1,2:...k, geränderte Determinante 


1 | 
GC 108 6, ce as un 

1 k 
651 Cost 0 = 0 Con U... 

1 1 
Ci Eng ae Can 0 U, 2 u, 
dı v Ro DR) 
vr vs EN = ) 


welche durch w(g) bezeichnet werden möge, mit der nicht verschwinden- 
den Determinante 


Kae dm 


Kae 


An = Am 


vertical, und dann horizontal mit der Substitutionsdeterminante 


endlich wieder vertical mit der adjungirten Determinante von 5 


I >: Am 
| 
| 


Rn + mm] 


Abh.d.Il.Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 33 


= 0, MR = = 0; Ay; = (k D) ’ 


so ergiebt sich für ew(e) der Werth 


1 
I-Foc,, 06%, a SU Os Cs, 
1 
06,2 100, - - @Ong Zu; Ars sg 
1 
OCyn Q Con Dr + OCm Su Ais Csn 
Svla,, DERCNE a ern ) 


falls statt der % Ränder nur einer derselben hingeschrieben wird. Zieht 
man die mit 


1 
l—._ 
. 0 
gesetzt wird 
Ian ot cz, Een Ü 
Es Se ee U; 2. 30% 
2) ey()=(—Ne*|c, un a ee NR 
1 y. EVA (wo) .. (ukoh) 
1: V* VE (lv) . . oh) 


falls zur Abkürzung die Bezeichnungen 


Ui= ZUR An, 
Vi= Zr, 
(us vP) = zu; 
END RR: 
eingeführt werden. 


Aus 2) folgt für k=1, wenn man die ersten Unterdeterminanten 
der Determinante 


253 


eı = Ber 

IQ=| 

kan Cm 0 

durch y, bezeichnet, durch Vergleichung der Coefficienten der u, v auf 
beiden Seiten die Identität 


= EYır = 0: Om Yns— 02 4 (0!) (ik), 


wobei unter y;, die zu 4(e') gehörige Unterdeterminante verstanden wird. 
Multiplicirt man noch mit a, und summirt über k, so entsteht 
3) —E >=" Da,yn — 0" 0,4 (0); 
th om m. 
Setzt man hier 
0 


so wird 
Yin — Yır 
und die Formel 3) liefert lineare Gleichungen zur Bestimmung 


der Unterdeterminanten der characteristischen Function 
von U, aus denen man, wenn nur eine der Determinanten 


U+E, |U-E 


nicht verschwindet, die c, finden kann.) 

Die Gleichungen 3) besitzen aber eine weniger übersichtliche Form, 
wie diejenigen, die bei Benutzung einer anderen characteristi- 
schen Function sich ergeben. Es spricht sich das namentlich durch 
den Umstand aus, dass die geränderte Determinante rechter Hand in 2) 
die Grössenreihen U, V an Stelle der ursprünglichen «, v enthält, 
während es bei orthogonalen Formen gerade von besonderem Vor- 
theil erscheint, dass die U, V den u, v gleich werden. Dies lässt sich 
zum Theil aber auch bei beliebigen Formen $ erreichen. 

Setzt man 

(S)" = Za,n;yr, 
(ST = I0,0,Y, 


1) Vgl. meine Note, Ueber bilineare Formen, Nachrichten von der k. Gesellschaft der W. zu 
Göttingen, Juli 1887. 
335 


=D); 
so genügt, die Form Y der Gleichung 
VISy2—=iS')=; 


sie transformirt die Form $ in die Form ($')"", welche ihre beige- 
ordnete heissen möge. Dabei ist 


V+eS)"=(U+ENSN! 
SI +HESN)=- PIE). 
d. h. die Gleichung 
V+eS"=o 
hat auch jetzt nur reciproke Wurzeln. Bezeichnet man auch hier die 
Substitutionscoefficienten, deren Determinante jetzt gleich 


€ 


A 
wird, durch c,, so haben dieselben dem System der n? Gleichungen 
4) =a,. Cm Con — On 
zu genügen. Aus 
VISV (8) 
ergiebt sich durch Uebergang zu den conjugirten und reciproken Formen 
Vs ZISE 
Va: (Sell. — Ss 
oder 
VS" =SV= (8), 


so dass neben den- Gleichungen 4) auch das äquivalente System von 
n” Gleichungen 


5) N a 
besteht. 
Vermöge der Gleichungen 
V-8V = (82 


SVS= (N) 


255 


besteht jetzt zwischen den Formen V und $ eine vollständige Reci- 
procität, so dass man sagen kann: 

Wird durch die Substitution V die Form Sin ihre bei- 
geordnete Form transformirt, so wird umgekehrt durch die 
Substitution & die Form V in ihre beigeordnete transformirt. 

Multiplicirt man nun die Determinante 


Cıt@%ı, Ge tra, - m. Wi 

Gt 9a tea, m. Wi 

6) v (0) — | == Qu, Eng + OGdyu u, . uk 
v v 0008 0 
vk vi OR, ARE) 


zuerst mit der Determinante der a,, dann mit der der Substitutions- 
coefficienten c,, so ergiebt sich vermöge ähnlicher Transformationen 
wie vorhin: 


61T 00, ;; Ge rn, eh BE 
7) ev(0) = (— 120° nt Q' an, Eng 00: Zu vn . vb 
U; U; .. We). Wo) 
Ur U lu): Kurwr) 
falls 
ll 
U N 
ı = Un Ay Oi, 
0 
ha) — 1 ja, 
(u v’) Fall. Ar 


gesetzt wird. Man erhält auf demselben Wege die Gleichung: 


1 1 1 k 
rear, StR: - M . u, 


a 1% Ein Cm FO! ln Con tO'an - - W, u, 
7°) ev(o)=(—1)'e v! vi ie. (uev)) 


V* 1 .. ao) . (ukoh) 


je 


wobei die Bezeichnungen 


256 


1 
V; —— & PR Au Or: 


ä ıt \ 
(wv) Se =v u), Ay; 


>) 


zu gelten haben. 


Bezeichnet man wieder die ersten Unterdeterminanten der character- 
istischen Function 
4I(e) = Ca =i= 00% 


durch y,, so hat man aus 7) für k=1 
8) — E20, =’ E0,;yu— ET AO) (Rs), 
und ebenso aus 7°) 
8°) — EL, Yu =’ E0,yn— 0" Ale‘) (ks). 
Wählt man an Stelle von 4(e) die characteristische Function 
Ald)=|on+ ea), 


so erhält man auf ganz ähnlichem Wege, falls 


Ga 1 0 1 0 
Gt, C, +00, 0 UM us 
9) Y (e) — \ı SE Q&,n Eng Sr OG,n - - u, . u‘ | 
v v, (0) Ron 
| 5 . 
ok v De, 
gesetzt wird, 
er. een . 
10) ey, (0) = ( 1): „| + DO, m Ca TO ENT, a vs 
Y.(0) = Q U! m .. ao). (Wo) 
E s = ai I . . | 
U" U% er (u" v) h (u: v*) 
U" un 1 II h 
ı = 7 <- Und: nr 


SR N. 
— "— U, UV; U, 


0 
E 
0 


257 


also auch, wenn die ersten Unterdeterminanten von 4/,(e) wieder durch 
y„ bezeichnet werden, für k=1 


[ PS 012,20, Vi Fr Or 4, (e') (ks), 


11) n—2 1 n—1l 1 
|—.80,y4= 0 =0,Y4 0 4,(e') (ks). 


Die Formeln 11) können zur Bestimmung der Substitutionscoefficienten 
gebraucht werden, wenn für oe=+1 4(e), dagegen nicht 4,(e) ver- 
schwindet. Ueber den Zusammenhang der Wurzeln beider Gleichungen 
vgl. 8 IV. 

Aus der Gleichung 7) oder 9) ergeben sich weitere Eigenschaften 
der Substitutionscoefficienten von V. 

Es sei ge =« eine Wurzel der Gleichung 4(e)=o, für die der Ex- 
ponent des grössten gemeinsamen Theilers aller k — 1° Unterdeterminanten 
gleich /,_,, der des grössten gemeinsamen Theilers der 4% Unterdeter- 
minanten aber mit /, bezeichnet sein möge, wobei /,</,_, ist. Dann gilt, 
wie übrigens aus der Gleichung 7) folgt, in welcher « an Stelle von o' 


einzusetzen ist, gleiches für die reciproke Wurzel «' = n 
Entwickelt man beide Seiten der Gleichung 7) nach Potenzen von 
e— e, und bezeichnet die Determinante w(e) jetzt durch 


k 


( W-- u 
v Eye 
so ist 

18 


R u le AR ul: uk I 
12%) Me a ee) 1 
wo der von ge unabhängige Coefficient A, für e=« nicht verschwindet. 
Zugleich wird 
1 


a ee 


pi 


er nee oe(gayuh: 
u) 
Trägt man diese Werthe unter der Voraussetzung 
13) u 40, UN; 
hl; Disks 
DR, 


258 


in die Gleichung 7) ein und bemerkt, dass zur Ermittelung der /,“” Potenz 
von (e—.e) rechter Hand die Elemente (w'v’) sämmtlich gleich Null ge- 
setzt werden können, da sie mit höheren Potenzen von o0—« multiplicirt 
sind, so ergiebt sich die Gleichung 


u uk KU nal, 2% vi. vi 
ee ee na 


Von dieser Gleichung sollen zunächst Anwendungen auf den Fall 
gemacht werden, wo $ eine symmetrische resp. alternirende Form ist. 


Ist $ eine symmetrische Form, so werden nach 13) die U? den 
«' gleich, und man hat 


15) ad a) a a le rt 


v -.v* u. u 
Für eine alternirende Form & wird dagegen U!=—-w' und 
damit 
u u" , n— 2k — 2, v..v* 
10) Al = N"e A (u 


Ist nun insbesondere «= +1, so folgt aus 15) 


1,.gf Is SR 
15°) As on Al) Ua 


Q 
v 
und aus 16) 


u. uR 


16°) e A+1 = ee 


da für «= — 1 n nothwendig eine gerade Zahl sein muss, wenn die 
Determinante der alternirenden Form $ von Null verschieden sein soll. 
Aus 15°) und 16?) folgt der Satz: 


Verschwinden die sämmtlichen k— 1“ Unterdeterminanten 
der characteristischen Function 4(e) für eine Wurzel o=e, 
@=-+1, und enthalten die sämmtlichen %4®* Unterdeter- 
minanten noch den Factor (e—a)", l,>o, so ist die Form 


ve 
(e - ai). =_ 


259 


für ein symmetrisches $ symmetrisch oder alternirend, je 
nachdem 

fürre=+1-s und an un. 

fire =—1 eund (— Dee 


gleiches oder entgegengesetztes Vorzeichen haben. Ist 
dagegen $ alternirend, so findet dasselbe statt, je nachdem 


e und (— 1) 
“von gleichem oder entgegengesetztem Zeichen sind. 


Nach Herrn Stickelberger') genügt nun zur Bestimmung der /, 
oder der Elementartheiler die jedesmalige Untersuchung einer bilinearen 
Form H(uwv), welche den ersten ÜCoefficienten der mit gewissen Grössen 
uf, vP; P=1, 2--k— 1 und einer letzten Reihe von Grössen u, v gerän- 
derten Determinante der c„—+-0o,, in ihrer Entwickelung nach Potenzen 
von 0— a bildet. So lange H(wv) nicht alternirend ist, kann man die u 
den v gleich setzen. In dem Falle aber, wo H(wv) eine alternirende 
Form ist, werden zwei aufeinanderfolgende Elementartheiler gleich. Man 
kann dann zwar nicht die u den v gleich setzen, aber bei der Unter- 
suchung der %k-+-1" Unterdeterminanten durch geeignete Wahl der 
Grössen des Randes die verloren gegangene Symmetrie wiederherstellen. 
Es sei nun $ eine symmetrische Form, und das Zeichen von 


&* annl: als] 


positiv, während k von 1 bis k, geht. Dann ist nach 15°) jene Form 
H(uv) eine symmetrische, und man kann die u den vf gleich wählen, so 
lange ß gleich 1, 2:--k, ist. Wird aber jenes Zeichen für k, +1 — burı 
negativ, so wird zugleich A(wv) eine alternirende Form. Es ist dann 
der Elementartheiler e, gleich e,,,. Nun sind alle Zahlen +2, für 
k=1, 2:.-.k, einander nach dem Modul 2 congruent, dagegen k, +1 als 
denselben nach demselben Modul incongruent. Es ist also in der 
Gleichung 


—— 1l + u — I, —+k, — (1 + Kı == l) 


1) Stieckelberger, Ueber Schaaren von bilinearen und quadratischen Formen, Borchardt's 
Journal, Bd. 86, S. 39. 
Abh. d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 34 


260 


die rechte Seite eine ungerade, also e, eine gerade Zahl. Und umge- 
kehrt muss, wenn e, eine gerade Zahl ist, die Differenz rechts aus zwei 
modulo 2 incongruenten Zahlen bestehen. Bezeichnet man daher mit z 
irgend eine der Zahlen, welche kleiner als %k, ist, so ist zufolge der 
Gleichung 


&—- , =. +2 — (kn t+2+Y)- , +h— nt d), 


e, iIncongruent e, (mod 2), 
also e, eine ungerade Zahl. Aus der Gleichung 


zu — &rı en] a ee (ur kı =. 


in welcher e,., =e,, zu setzen ist, ceht dann hervor, dass 
74-H1 ki ’ 2 


Into + kıra=h, + kı (mod 2). 
Es muss also jeder Elementartheiler mit geradem Exponenten 
paarweise auftreten. 
Ist dagegen die Form alternirend, so wird man, so lange das 
Zeichen von 


(1% 


positiv ist, die « den v gleich setzen können. Wird aber e(— yet gleich 
—1, so wird die Form H(uv) alternirend und zugleich 


er — @rı 


In diesem Falle ist aber ,—,,, ungerade, also e, selbst eine un- 
gerade Zahl. 

Damit ist der wichtige Satz des Herrn Frobenius!) bewiesen: Die 
Elementartheiler der characteristischen Function jeder 
Substitution, welche eine symmetrische (oder alternirende) 
Form von nicht verschwindender Determinanteinsich selbst 
transformirt, sind paarweise von gleichem Grade und ver- 
schwinden für reciproke Werthe, mit Ausnahme derer, 
welche für den Werth +1 oder —1 Null sind und einen un- 
geraden (oder geraden) Exponenten haben. 


1) F. S. 41. Dass ein Beweis dieses Satzes mit Hülfe des S. 259 benutzten Ränderungs- 
prineipes geführt werden könne, hat schon Herr Stickelberger angegeben, sein Verfahren jedoch 
nicht entwickelt. Borchardt’s Journal, Bd. 86, S. 43. 


261 


Aus diesem Satze ergeben sich noch einige weitere Folgerungen. 

Verschwindet für eine Form $5 (gerader Ordnung) keine 
der beiden Determinanten |$+$'|, ist ferner g die grösste 
Zahl, für welche noch alle Unterdeterminanten n —q'" Ord- 
nung der characteristischen Function |U—gE)| einer Sub- 
stitution U für o=+1 verschwinden, so ist qg eine ungerade 
Zahl.!) 

Verschwindet dagegen |S— S'|, während $+-$'| von Null verschieden 
ist, so sind die Elementartheiler mit ungeradem Exponenten, welche für 
e=-+1 verschwinden, nicht nothwendig paarweise vorhanden. Bezeichnet 


man daher die ungeraden Exponenten für e=—1 mit 
Pi; Ps; BerN 
so ist 
= 122 =) 
also 25% ==o oder 1 (mod. 2), je nachdem e=—+1 oder =— 1 ist. Man 


hat also auch:?) 


Sind U,V zwei zugleich eigentliche (uneigentliche) Substi- 
tutionen, welche eine symmetrische Form von nicht ver- 
schwindender Determinante in sich transformiren, und ver- 
schwindet die Determinante von |Ü-+4-V|, so verschwindet sie 
mit einer ungeraden Anzahl von Systemen von Unterdeter- 
minanten. 

Diese ausgezeichnete Eigenschaft der Wurzel o=—-1 der charac- 
teristischen Function von U bei einer eigentlichen Transformation lässt 
sich in allerdings beschränkterem Umfange auch erkennen, ohne dass die 
Existenz einer symmetrischen Form von nicht verschwindender Deter- 
minante vorausgesetzt wird. 

Man hat nämlich vermöge U'SU=S die Identität 


17) (TIS$(ULoH=(UoES'10S(U-+0E). 


1) Die Substitution in U ist eigentlich, da das Product der Wurzeln der characteristischen 
Function gleich +1 ist. 

2) Vgl. Stieltjes, Sur un theoreme d’algebre, Acta Mathem. VI S. 319; Netto, über 
orthogonale Substitutionen, Acta Math. IX S. 291, sowie meine Note in den Göttinger Nachrichten, 
Juli 1837. 


34* 


262 


Setzt man hier e=+1 und 


uUS'+-S=W, 
US'—S=V, 
so folgt 
18) WU+oE=W'+0W, 


V(U+0E)=—V'+0V; 
und für o=T-1 
19) (MS +SU+D=(E+T)S+ES(E+D) 
(U'8'+Se(U— H=(E—U')S'—gS(E— U) 
Die Formen 
U'S'+Se, S(U+oE) 
werden dabei durch U in sich transformirt. 

Verschwindet nun |V| nicht, so sind die Elementartheiler von der 
Form (oe + 1)”, (oe — 1)”**! in der characteristischen Function von U stets 
paarweise vorhanden; verschwindet |W| nicht, so gilt dasselbe von den 
Theilern von der Gestalt (e — 1)*, (e+1)’*t!. 

Und ähnlich folgt aus 19) 

Verschwindet |U+E| [|U—E|| nicht, so hat die characteristische 
Function |U'S'—+ Se den Character derjenigen einer Schaar von con- 
jugirten Grundformen A+eA4'[A— oA]. 

Verschwindet dagegen U+E| oder U— E|, so transformirt U eine 
Schaar von conjugirten Grundformen in sich, deren Determinante iden- 
tisch verschwindet. 

Aus der Gleichung 16°) ergiebt sich ferner der Satz: Eine alter- 
nirende Form von nicht verschwindender Determinante lässt 
keine uneigentliche Transformation zu.!) 

Ist nämlich e= — 1, so sind «=-+1 Wurzeln der characteristischen 
Gleichung, und es gilt die Gleichung 16°). Verschwinden also die A 
Unterdeterminanten nicht mehr sämmtlich, so ist /,—= 0. Dann aber bilden 
die Werthe conjugirter k** Unterdeterminanten ein alternirendes System, 
und die sich selbst conjugirten Unterdeterminanten sind daher gleich Null. 
Dies bedingt aber nach einem bekannten Satze, dass alle 4" Unterdeter- 


1) Vgl. Frobenius, Ueber die schiefe Invariante ete. Borchardt’s Journ. Bd. 86, S. 50. 


263 


minanten überhaupt gleich Null sind, was im Widerspruch mit der Voraus- 
setzung steht. Dagegen bilden bei der eigentlichen Transformation einer 
alternirenden Form für eine Wurzel von der Form e=-+1 die X" nicht 
verschwindenden Unterdeterminanten der characteristischen Function immer 
ein symmetrisches System. 

Auf dieselbe Weise ergiebt sich für Z,=o aus 15°”) wenn man 

e—= (— 1)" 
setzt, dass für die Wurzel «&—= +1 die Zahl uk, füra= —1 dagegen 
die Zahl u+n--% eine gerade sein muss. 

Uebrigens gilt nach 15), 16) der allgemeine Satz: 

Bei einer alternirenden oder symmetrischen Form sind 
die zu (eo —o)ı, (01 — 0)» gehörigen Coefficienten der Ent- 
wickelung conjugirter %k“ Unterdeterminanten der charac- 
teristischen Function der Substitution V nach Potenzen von 
e—0a, @1—c, einander proportional, so lange alle Unter- 
determinanten von höherem als n—k-Grade für o=ao ver- 
schwinden. 

Um an die Gleichung 14) für eine beliebige Form S ähnliche Fol- 
gerungen anknüpfen zu können, benutze ich den von Herrn Frobenius 
ausgesprochenen Satz:!) 

„In einem Elementensystem, in welchem alle partiellen Determinanten 
m—-1 Grades verschwinden, verhalten sich die aus irgend m Zeilen ge- 
bildeten Determinanten m‘ Grades wie die entsprechenden, aus irgend 
m anderen Zeilen gebildeten partiellen Determinanten m'® Grades.“ 

Es ist vielleicht nicht überflüssig, diesen Satz, den Herr Frobenius 
mittelst der Betrachtung vollständiger Lösungssysteme linearer Gleichungen 
bewiesen hat?), auf einem etwas anderen Wege herzuleiten. 

Es seien die 4 Determinanten m‘ Grades, 

A 02,06 ie. 
I le 


gebildet aus irgend welchen Elementen «a, b, c, d, 


1) Frobenius, Ueber das Pfaff’sche Problem, Borchardt’s Journal Bd. 82, S. 241. 
2) Ebenda S. 236. 


264 


Ali - » (Am ee a 
Ami - (mm Dann 3 = Damm 
cı1 . . Cm dıı Se dım 
Cni 0 Cmm Amı este mm 


angeordnet und es werde die Determinante 


bu . b Im dio | 
Du Dan 2 Da Amo 
| d;ı s dm Cio | 


| 
Go— 1, 2°-.m 
betrachtet. Dann ist 
Bo — Zag de By; =D; 


wenn man unter DB, die adjungirten Determinanten der Elemente b,, 
versteht, oder 
,B=- DD, — ADB 
Verschwinden nun alle D,, während B zunächst nicht Null ist, 


so folgt 
CB—AD=.o. 


Dies ist aber der von Herrn Frobenius angeführte Satz. Nennt 
man nämlich in einem Elementensystem alle m reihigen Determinanten, 
welche aus denselben Horizontal- (oder Verticalreihen) gebildet sind, ein- 
ander horizontal (oder vertical) zugeordnet, versteht man dann unter B 
irgend eine m reihige Determinante des Systems, unter A irgend eine 
ihrer horizontal, unter C- eine ihrer vertical zugeordneten, so ist D als 
gleichzeitig zu B und (© zugeordnete bestimmt, und es gilt dann die 
obige Identität. 

Ist die k Potenz eines Linearfactors s der Variabeln r, von der 
die Elemente ganze Functionen sind, die niedrigste, welche in allen D, 
vorkommt, so können auch nicht alle m reihigen Determinanten, aus denen 


265 


die B gebildet werden, eine höhere Potenz desselben enthalten, denn die 
D,, sind lineare Functionen der B. Es müssen also solche B vorhanden 
sein, für welche die höchste Potenz des Factors s gleich k,<xk ist. Dann 
aber ergiebt sich leicht aus der obigen Identität 
(Z)"c8B—-4D)=sP 

wo P wieder eine ganze Function ist; d.h. die BC—AD enthalten 
mindestens den Factor s”. 

Ich bezeichne nun die Elemente 

CH + 0%, Ca 40%; 
durch 
Par, Pin 

Setzt man ferner voraus, dass die Unterdeterminanten m + 1'% Grades 
der characteristischen Function 4(e) für o—=« noch alle verschwinden, 
die vom m" Grade aber nicht mehr sämmtlich Null sind, d.h. dass die 
k—=n—-m‘® Unterdeterminanten nicht sämmtlich verschwinden, und be- 
zeichnet man der Reihe nach mit 


Ce u 
k Kom 
517 Sm 
1° Am 


irgend eine Combination der Zahlen n=1, 2---n zu m Elementen, setzt 
man ferner zur Abkürzung 
| Pakı ° © Pühm 


= ik 


_— bu 9, 
| Dimkı 7° Dil | 


und bezeichnet man die analog aus den p,, gebildete Determinante durch 
ID, 50 st 

Fb —LyP,. 

Setzt man ferner 

el 
so ist nach 14) 
Ba ne a: u | 
Pa; * - Dein W + W 


ge 


1 3 
| Pn 4 - . Pn Im Un Sn uk 


266 


| TE 
Ian 1 7ı | 
Pi Pin] On, =ür 0: 

1 1 rı k 

7 p 112 nd »p ine U} " > U} 
1 1 1 k 

» un Pole » NL a “rl: D% 


Multiplicirt man diese Gleichung mit P), und ersetzt jedes Product 
zweier Determinanten rechts durch das entsprechende Product nach dem 
vorher bewiesenen Satze, so wird 


» Al on Pin! [DR u: U% | 
Pln Eee Bin (öf= a Dr 
oder auch 

ea 1 
9, Pja=Q;Pir- 


Aus dieser Gleichung folgt aber durch Vergleichung der Coefficienten 
der willkürlichen Grössen « 


1 1 
PuPj2= PuFPix: 


wenn man unter den 
h,,:-h 


irgend eine Combination der Zahlen 1,2-.-n zu m Elementen versteht, 
oder 


m) 


Po a en 
a) PD 


In analoger Weise schliesst man aber aus 7°) 


Pa Pot - 


b) Par7=p, 


Setzt man nun in a) 
False 
dagegen in b) 
1, 92° .8 
h, tz - EB =); Je ; ln 


Jun Wa Sau Ze Veen 
so wird 


Et ae P,j R Py a Pay 
—— 5 —— 
ER ne Dia 


oder 
Pi eat Pop 
pin 12 c 


Man hat also folgenden Satz: 

Verschwinden die Unterdeterminanten m Grades nicht 
mehr sämmtlich, während noch alle Unterdeterminanten 
m-+-1 Grades für eine Wurzel o=o von 4(e) Null sind, 30 ist 
das Verhältniss der Werthe der conjugirten Unterdeter- 
minanten für die reciproken Wurzelwerthe g=.a, «' ein un- 
veränderliches. 

Ist insbesondere @&—=+1, so folgt: 

Verschwinden für eine Wurzel 09—+1 von 4(e) die Unter- 
determinanten m‘® Grades nicht mehr sämmtlich, dagegen 
noch alle höheren, so bilden die Unterdeterminanten m” 
Grades ein symmetrisches System, d. h. die Werthe conju- 
girter Unterdeterminanten sind stets einander gleich. 

Denn nach dem vorigen Satze sind die Werthe conjugirter Unter- 
determinanten nur um einen für alle Determinanten gleichen Factor ver- 
schieden. Dieser könnte nur dann von der Einheit verschieden sein, wenn 
alle Hauptunterdeterminanten gleich Null wären, womit aber überhaupt 
alle Determinanten m“ Grades gleich Null werden'). Unter einer Haupt- 
unterdeterminante ist dabei eine solche zu verstehen, welche in Bezug 
auf die Indices der Elemente p,. symmetrisch gebildet ist. 


$ III. 


Die reelle Transformation reeller Formen. 


Die besonderen Verhältnisse, welche stattfinden. wenn eine reelle 
symmetrische definite Form durch eine reelle Substitution in sich 
transformirt wird, sind von Herrn Frobenius insbesondere für eine 
orthogonale Form dargelegt worden?). Eine ähnliche Untersuchung 


1) Vgl. die Anmerkung von Herrn Frobenius, Borchardt’s Journal, Bd. 82, S. 242. 
2) E. S. 51 f. 
Abh.d.IIl.Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 35 


268 


lässt sich auch für beliebige Formen führen. Dabei ergeben sich etwas 
allgemeinere Sätze, als deren Specialfall dann das Theorem über definite 
Formen entspringt. 

Ist nämlich «@ eine Wurzel der characteristischen Gleichung 


IQ + E00, 


so sei, nach steigenden Potenzen von o—« entwickelt, 


Ysi —e 
1) a 


wo der grösste Elementartheiler e, mindestens gleich eins ist, und nicht 
alle d,; verschwinden. Zugleich folgt aus der Identität 


2) =(c,+ 004)Ys: = (ks) 4 (0) 


nach 1), wenn man ebenfalls nach Potenzen von e—.« entwickelt 


3) >00, 020,0 


Multiplieirt man, unter 9 irgend eine andere Wurzel, unter Öd, die zuge- 
hörigen Werthe verstanden, mit der Gleichung 3) die folgende 

>00, Heu, 
ferner mit a„, und summirt dann über k und /, so folgt 


4) >0,0,04 = 0,0 


os si 
Die Form 
5) 27 >0,0,0,%0.05 


si 
muss demnach für je zwei nicht reciproke Wurzeln o, ß 
identisch verschwinden. 
Für «= folgt aus 4) 


Für jede von +1 verschiedene Wurzel muss die Form 


N= ZI0,0,04%,Ys 
identisch verschwinden. 
Ist insbesondere die Form $S reell, und 
Da eng 
I; = Pot io; 


269 


so müssen für jede von +1 verschiedene Wurzel die 


Formen 
6) = >20 „(2 PP — Is 40;) %s Yo 
= >0,(Ps96 + QsiPoj) %Yo 


verschwinden. 
Für zwei reciproke Wurzeln « und «', bei denen die zugehörigen 
Werthe der d durch d,,, 0, bezeichnet werden, braucht die Form M 


nicht Null zu sein. 


Dabei gilt der folgende Satz: 
Zu denjenigen reciproken Wurzelpaaren, für welche die Form M 


nicht identisch verschwindet, gehören lauter einfache Elementartheiler 


der characteristischen Function 4(e) 
Differentiirt man nämlich die Gleichung 1) so entsteht 
l2y5 1 84 en; 
7) A ee) FD... 
Durch Differentiation von 2) folgt dagegen 
ge 
=), 


PR Vai = = (C, air 0 ;) 


oder nach Multiplication mit y,, und Summation nach 
1 94 1 
ee 0 Ysi Yn- 


RE 
ZRZI TEN 


J 20 


Setzt man hierin nach 1) 
Isi —dIe 
= — 0,0,(0 0) DI - 


so folgt aus 7) die Identität 
8) (er RL u vl (0 — A) Su IMs 
Bezeichnet man die zu der reciproken Wurzel «' = 2 gehörigen 


Werthe der y durch y;,, so ist 
— d1,(o' — a)" 9 4 - >, 


Ye 
4(e') 
EI) IE). 

35* 


270 


Setzt man diese Werthe in die Gleichung 


2 


G aut ER =. Y = e() 
ein, so wird 

Fade art + Fade tar — N r+: - =elij); 
mithin folgt durch Coefficientenvergleichung 

9) 30,0, 4 (— 1P9’F0,d,=0. 


Setzt man den hieraus für Ya,,d,,; folgenden Werth linkerhand in 


k7 
8) ein, so folgt 
(0 ey) I)E ler Io, Oi; On 2 00 on ze iA° 
Unter der Voraussetzung dass die Form 


M=Ia,0'd U;Ys 


ik "Jh si 

nicht identisch verschwindet, sollen nun in dieser Identität die Exponenten 
der niedrigsten Potenzen von o—« verglichen werden. Wählt man ein 
Werthsystem der z, y für das M nicht Null ist, und ist dann etwa 


>0,0,Y; 


gleich Null, so ist der niedrigste Exponent rechts gleich — (+ 1)-+e, 
o>o; also 
—29= —-(&+1)+B0, 
N) 
oder, da &,>o sein muss, oe=o und ,=1. 

Man hat also folgenden Satz: 

Verschwindet die Form M für irgend zwei reciproke 
Wurzeln der characteristischen Gleichung nicht identisch, 
so sind alle zu denselben gehörigen Elementartheiler gleich 
Eins. 

Hat die Gleichung /(g) = 0 irgend zwei conjugirt complexe Wurzeln 
a und «', zu denen die Werthe d,,, d\; gehören, so folgt aus 4): 
Verschwindet die Form 


Er \ 11 
N=B6 0, dw, ys 


3A 


271 


fürirgend zwei conjugirte Wurzeln nicht, so ist der absolute 
Betrag derselben gleich Eins, d. h. sie sind reciprok, und ist 
umgekehrt der Betrag nicht gleich Eins, so muss N verschwinden. Unter 
der Voraussetzung, dass die Form $ und die Substitution V reell sind, 
sind nun für zwei conjugirte Wurzeln « und «'' auch d und d'' con- 
Jugirt, also 
Or Did, 
N) = Pay 1Iojs 
und 
10) N= I(>(p,Par + Is Io)%ı; — 3 (9s:Por — Psi Io) &i7) %s Yo: 
Ist nun 
>, 59.2,.0,, 10derXaucy> >7.2.q, 


ik 
eine definite Form, so ist N von Null verschieden. Daraus folgt: 

Alle Wurzeln der characteristischen Gleichung einer 
reellen Substitution, welche eine reelle Form $, bei welcher 
> definit ist, in sich transformiren, sind vom absoluten 
Betrage Eins. 

Dann aber sind je zwei complex conjugirte Wurzeln auch reciprok; 
d. h. es wird die Form M mit N identisch. Hieraus folgt weiter: 

Die characteristische Function einer reellen Substi- 
tution, welche eine reelle Form S$, für die > definit ist, in 
sich transformirt, hat lauter einfache Elementartheiler. 

Man kann diesen Satz noch etwas verallgemeinern. 

Es sei « eine imaginäre Wurzel %+y. Dann können in 


Oi — Psi ar iq; 
die Grössen g,, nicht sämmtlich Null oder den p,; proportional sein. Denn 
die Gleichungen 


(u + Bi) m)B4>0; k=1, 2:0, 
können nicht bestehen, so lange y nicht Null ist und die Determinante 
von $ nicht verschwindet, da sonst auch alle »,, Null sein müssten. Da- 
gegen müssen für jede imaginäre Wurzel die beiden Formen 6) ver- 
schwinden, da das Quadrat derselben nicht gleich Eins sein kann. Ver- 
schwindet nun auch die Form N (10), so müssen die Ausdrücke 


ZayPiPon ZriPslor Zr Por Isir Z%rIsIor 
also auch insbesondere 
=0,; (Ps: = 1 Is) (Pr - h 95) 
verschwinden, wobei man unter p,, 9, zwei verschiedene Puncte der 


Mannigfaltigkeit 


DI er 
(,; L, %; == (W) 


zu verstehen hat. Das erfordert aber, dass diese Manniefaltigkeit reelle 
gerade Linien enthält, oder dass sie in ihrer Tangentialmannigfaltigkeit 
sich nicht definit verhält'. Man hat daher den folgenden Satz: 


Ist die Form 3«a,2,%, in ihrer Tangentialmannigfaltıg- 
keit definit, und ist @« eine imaginäre Wurzel der charac- 
teristischen Function einer reellen Substitution, welche 
die reelle Form Sin sich transformirt, so ist die Form N 
nothwendig von Null verschieden, d. h. der Betrag von « ist 
gleich Eins und die zu dieser Wurzel gehörigen Elementar- 
theiler sind sämmtlich einfach. 

Es sei endlich noch eine Eigenschaft der characteristischen Function 
für eine symmetrische Form angeführt. 

Bezeichnet man die Coefficienten der niedrigsten Potenzen der Ent- 
wicklung einer %' Unterdeterminante der characteristischen Function 4 (e) 
nach Potenzen von eg — « durch ? und ebenso für die reciproke Wurzel 
in Bezug auf die conjugirte %'* Unterdeterminante durch P', so gilt nach 
$ II, 14 die Gleichung 

kt n—2k— 2), 
P=s(— 1) no 

Hat nun die Wurzel « den Betrag Eins, und sind ihre zugehörigen 
Elementartheiler alle einfach, so ist k+l,=s, wo s die Multiplicität der 
betreffenden Wurzel. Versteht man unter P speciell eine 4‘ Hauptunter- 
determinante, so ist unter Voraussetzung eines reellen $ und V 

P=A-iB, 
PP=A-—-iB, 


1) Also z. B. so wie ein Hyperboloid erster Art, oder ein hyperbolisches Paraboloid für n =4. 


DD 
u | 
[SS] 


und man hat 
s (n—2s)Pi 
A+iB=(—]1)ee(4-Bi, 
wenn 
Ge a 
gesetzt wird. Setzt man 


A-+iBz=ae”, = —4,tang vw, 
so wird 
v=4lns+(n—2s)y)+mn, 
v=3lac+D+n-2)y)+mın, 
je nachdem e=+1 ist. Daraus folst: 
Das Verhältniss #2 hat für alle k“ Hauptunterdeter- 


minanten, k=1, 2--:s der characteristischen Function ein 
und denselben Werth. 


$ IV. 


Bestimmung der Transformationscoeffieienten mit Hülfe einer Gleichung 
n. Grades. 


Unter gewissen Voraussetzungen lassen sich die im $ III entwickelten 
Sätze noch erweitern. Setzt man 


De 


und benutzt die analoge Bezeichnung auch bei mehrfacher Ränderung 
der characteristischen Function, so besteht die Identität 


uv\ _fu\[v U v 
1) le: 
deren rechte Seite entwickelt lautet 
Zu, U, v, Vz (Ya: Y im rk Yım Yı)- 
Führt man nun an Stelle der Grössen U, <=1, 2--:n die Coeffi- 


cienten «,, ein, und bezeichnet mit /,, l,, l, die Exponenten der grössten 
gemeinsamen Theiler 0”, 1'*, 2‘ Unterdeterminanten um /(e') für irgend 


274 


eine Wurzel 0'—=«' dieser Function, so enthält die linke Seite von 1) 
den Factor 
(0! — ao tl +8 


wo $>o ist. Die rechte Seite wird dagegen, wenn nach 8), & III 


2) 0, =T ar 0, Yin + o4(e')(k s) 


gesetzt wird, gleich 
3) us} g' A Zu, v, 14 Os (Yır Yım 2. Yım Yı) 
== eI(e)E 1% Ym(lusdı > u,v,) ’ 
und der zweite Theil von 3) enthält sicher den Factor 
(0 — a )lo turn, 
wo n—0. Entwickelt man nun y,, Y,„ nach Potenzen von g'—«', so 
entsteht 
Yım == Pim(e! mr a'yA 4- Fr 
Ya = Pi (0 Su a)" Zr ‚a 
= (ee lee)ßa +, 
so dass der erste Theil von 3) mit dem Gliede 
Zu, v, Van Os (Par Pim TR Pam Pa) (o' Te‘ u) ’ 


abgesehen von einer Constanten, beginnt. Da dasselbe einen niedrigeren 
Exponenten 2/, hat, als das zweite, so muss es verschwinden, sobald 


W+l,+8>2], 
ist, was jedenfalls stattfindet, sobald 


I, Te l; >2 I, ) 
oder 
WI >1, FI l, 
ist. Aus der Gleichung 
Zu, v, ge Os (Pr Pim —= Prim Pa = 0, 
folgt aber 


2 Br Bin Bam 0. 


275 


Wenn also der höchste zu irgend einer Wurzel o der characteristi- 
schen Function gehörige Elementartheiler grösser ist, wie der nächst- 
folgende, so besteht zwischen den aus den ersten Unterdeterminanten der 
characteristischen Function hergeleiteten Entwicklungscoefficienten ß,ß' 
welche zu reciproken Wurzeln gehören, das System der Gleichungen 


Pır et Besen 

Pa Bm 
Ebenso erhält man aber 

Prm _ Fir 

Bm De il 


Schreibt man diese Gleichungen in der Form 


[2 &- Bin £ Bim 218 Pon 
Dan = Da ? Pr 7 Pu? 


setzt in der ersten ©= m, in der zweiten m=k, so wird 


Bir Fe Pin Bir Re ß Ik 


ri Sr BR ri ie Pr 
.und hieraus folgt 
Pin _ Pi 
R Bir - 


Bezeichnet man den gemeinsamen Werth aller dieser Quotienten durch 
0, so wird 
5) Di = fox G. 


Die Werthe der Coefficienten /,f', welche zu conjugirten 
ersten Unterdeterminanten in Bezug auf zwei reciproke 
Wurzeln der characteristischen Function gehören, sind ein- 
ander proportional, wenn der erste Elementartheiler W—.|ı 
grösser ist als der Nächstfolgende. 

Insbesondere folgt unter dieser Voraussetzung für die Wurzel 
e=+1 dass die Coefficienten f, welche conjugirten ersten 
Unterdeterminanten zugehören, einander gleich sind. Denn 
für k=i ergiebt sich aus 5) 

=, 
Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 36 


276 


also 
Pu = Pir- 

Für ,=1,=o erhält man wieder den Satz des $ II S. 267. Führt 
man nun die Relationen 5) in die Gleichung 2) ein, so folgt durch 
Coefficientenvergleichung 

6) PIC FA CH == € Man 0 0,;) —0, 

Puls I € @ 0 0.) —o 5 
und zugleich ist 

7) >(c,+ 00, = 0,') 

PIC & En Q,;) Par = 05 

also auch nach 6) 
>(C, = ea" Oc,) Par = (0, 
I(c,— ce" "00, Pa 0. 

Unter der Voraussetzung W— I, >!,— I, bestehen also für eine Wurzel 
e= « der characteristischen Function gleichzeitig die Relationen: 


eat El) — 0, 
„+ o"”eO0o,| =o0, 
le. +o"e0c,|=0, 


ia — ea" "0a, =0. 


und insbesondere für e=+1 diejenigen, welche hieraus für 0=1 folgen. 
Hieraus ergiebt sich der folgende Zusammenhang zwischen den 
Functionen 


1) Ist überhaupt 


a) I (Cs + eo a) hs =0, 
so ist immer auch £ 
b) S(cso+ 0,)hs 0. 


Aus den Gleichungen 
x er 
— Cms Crr Amk — Usı 


folgt nämlich durch Multiplication mit hs und Anwendung von a) 
Say hs rl I Ak Oms Cki hs = —o DAR hs 


mithin das System b). 


277 
4I(e) = lea + 0%, 
Ir) —=/c„+ro, 


Ist ge eine Wurzel von 4(e), welche der angegebenen Be- 
dingung genügt, und o eine geeignete Wurzel von 


8) 4(0) = la, +00, —_0, 
so Ist 
0 00208 
Pe le, 
also 
r= —o00, 


eine Wurzel von S'(r)=o, und zugleich t=0g? eine Wurzel von 


ea = Le, 


—ı0% 


Weiter folgt: 


Hat die characteristische Function 4(e) der Substitution 
lauter verschiedene Wurzeln, so muss die Function A(0) 
lauter einfache Elementartheiler haben. 


Hat nämlich 4(e) die n einfachen Wurzeln 
GE 03 " On; 


so gehört zu jeder Wurzel go, ein gewisses System von Werthen 
Yin, — Fin) 
und man kann den Index %k so wählen, dass nicht alle y gleich Null 
sind. Zugleich ist die Determinante der n’ Grössen 2,; h=1,2%::-n 
nicht Null. 
In den Gleichungen 6) oder 


9) 23,0, + 90,)= 9, 
sr = N 
in denen 


—yn-2 'Z 
,=% 0, 


gesetzt ist, können nun alle o, von einander verschieden sein. Dann ist 
dasselbe der Fall mit den Wurzeln von 8). Ist aber .B o=0, =%,= ---0, 


so hat A(co) eine p-fache Wurzel, zu welcher nach 9) p linear unab- 
36* 


278 
hängige Grössenreihen z,, &,,--@, gehören, d. h. zu dieser p-fachen 
Wurzel gehören nur einfache Elementartheiler von A(0). 

Aus diesem Zusammenhang ergiebt sich gleichzeitig die Herleitung 
der Transformationscoefficienten c,,, zunächst in dem allgemeinen Falle 
einer völlig willkürlichen Form 8, den zuerst die Herren Christoffel 
und Kronecker behandelt haben'). 

Ich nehme an, dass die Gleichung 8) 


RR = a As; 
lauter verschiedene Wurzeln besitze, und dass auch keine derselben gleich — 1 
sei. Dann ist m gerade und die »n Wurzeln 


= (1 


2 do Ayı 
sind paarweise zu einander reciprok. Sind nun 

; an 2 
irgend zwei derselben, so gehört zu jeder je ein System von Grössen 


In; In: 
i=1,2-..n, 


welches die Gleichungen 
= gu (&rı + 2,0%) = 9, 
= 9,0; + a) = 0, 
befriedigt. Multiplieirt man die letzteren mit g,, 9,. und summirt über 
k, so entsteht 
10) = Im Im a u) = IniIw Gr — 0, 


ZI gu In er + AZ In In 09, 
ik ik 


wenn man gleichzeitig in der zweiten Gleichung die Indices j und k ver- 
tauscht und schliesslich 3 durch z ersetzt. 
Setzt man 


= gwIn%r Z L h], 
so folgt 


Un -2,2)= 0. 


1) a. a. ©. Borchardt’s Journal. Bd. 68. 


279 


Es ist demnach [/A] gleich Null, sobald die Indices h und 
! zu nicht reciproken Wurzeln gehören. 


Nunmehr bezeichne man die Unterdeterminanten der 9,5%, h=1, 2---n 
durch 7,,. Dann ist 


> T rm Inn = (m n) u 
und 
SIyluleh) = DT, gn9n%a 
n,1 h,li,k 
— >, Inn U: 
Setzt man ferner 
1 1) Die: —® 0) Ins = 9 
Ss 


wo die ge, vorläufig ganz willkürlich sein mögen, so wird durch Multi- 
plication mit 7), 
12) = F9%In nm 
= 096 Nol ir, 
also 
= CC Gy = 0,9% In I lnlır 
= =29,0[hl Tr. 


Setzt man nun für den Fall, wo [!h] nicht Null ist, d. h. die Indices 
h und ! zu reciproken Wurzeln gehören, 


ee 
so wird 
Tea = Z[h] 1, Tr = Ar; 


‘ und zugleich ist die Determinante der c,„ gleich der Determinante der 
%,, oder gleich 

IR 

zı 
also die Transformation 12) eine eigentliche. 

Diese Transformation gilt übrigens auch für den Fall eines ungeraden 
rn, nur ist dann der betreffende Werth von o,, welcher der einen Wurzel 
2=—-1 entspricht, gleich +1 zu setzen. In diesem Falle bleiben also 
nur 1(n—1) Parameter oe, willkürlich, während im ersten 1n will- 


280 


kürliche Parameter vorhanden sind, wie schon Herr Christoffel an- 
gegeben hat.') 

Um diese Darstellung der Transformationscoefficienten für den Fall 
nur einfacher Elementartheiler der Resolvente n‘”® Grades 8) 
zu erweitern, beweise ich zunächst einen allgemeinen Satz, der sich 
überhaupt auf die Lösungen der Gleichung’) 


In + od, —0 
bezieht. 
Es seien 
01, 02° 0), 
unter einander und von Null verschiedene Wurzeln dieser Gleichung, und 
gi1 212 el. 
Ba HE 
z2l 222 =Dho 
SeSum 5575 
epl &p2 . . Eh. 
SER ee} 


solche p Systeme von je A, Werthen, welche den Gleichungen 


>(c„+0d,)5;= 0 
genügen. Es möge ferner eine lineare Relation zwischen den Werthen 
der £ stattfinden, dergestalt, dass 


> IN — 
a 


oder 
h4 ho 
Re I 2 
Zu, 5 I = RT SF > Om 5 =Ü 
m—z|1 m=] m=z1 
ist für ©=1,2--n. Multiplieirt man dieselbe mit c, und summirt nach 
i, so wird 
14 hy Ip 
= 20) 7 zn 

0) Om Sr dy Sr 0, = 0 5 Ay; St: En Sc 9% pm Sn dı, —0. 

1 1 1 
Unter der Voraussetzung, dass die Determinante der d,, nicht Null 


ist, folgt hieraus 


1) Ebenda, S. 262. 
2) Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man hier die Determinanten der cık, dır als 
von Null verschieden annehmen. 


281 


el c2n 5 = 
[91 Am Ss = 0, az 5% = ne 0, = ym Se —0, 
und somit auch 
&2 pm __ 
(ae) Fans" +99) Fa — 0. 


Aber aus dieser Identität folgt auf demselben Wege 


\ 03 (0; Tas 0) ZU, ni ie u PL gem == 0, 
oder 


(0 — 0)(& — 0) Zn + (9 — 9), — 0)" — 0. 


Indem man dies Verfahren fortsetzt, erhält man 


s=p 0=t 
EN (,— 0)” = 0. 


s=t-+1l o=1 
Da keines der Producte 
0o—=t 
II(0,—0,) 
o—| 
verschwinden kann, so folgt 
Eine lineare NRelation kann zwischen den Werthen der 
& nur dann stattfinden, wenn sie unter den zu ein und der- 


selben Wurzel gehörigen besteht. Sind die letzteren linear 
von einander unabhängig, so sind sie also überhaupt von 
einander linear unabhängig. 

Insbesondere hat man also den Satz: 


Sind die Elementartheiler der Function 
ICa+ 0d,| 
alle einfach, so sind die Werthe der zugehörigen Grössen 


& von einander linear unabhängig, d. h. ihre Determinante 
ist von Null verschieden. 


Hat demnach die characteristische Function 


[Os +20, 
lauter einfache Elementartheiler, so verschwindet die Determinante der 
zugehörigen Grössen g,,; h,e—= 1, 2%---n nicht. Bezeichnet man die letztere 


durch @, so ist 
@?:4 


282 
gleich der Determinante der Grössen [Ih]. Diese Determinante zerfällt 
aber zufolge der Gleichungen 
[?R] =, 
welche für je zwei nicht reciproke Wurzeln bestehen, in ebensoviele par- 


tiale Determinanten, als von einander verschiedene Wurzeln der charac- 
teristischen Function vorhanden sind. Man hat also den Satz: ’ 


Hat die characteristische Function 


Ay + 29) 
lauter einfache Elementartheiler, so gehörtzu jeder kfachen 
Wurzel derselben eine %k reihige Determinante von zuge- 
hörigen Grössen 
(23 
welche von Null verschieden ist.) 
Es seien nun unter dieser Voraussetzung die Wurzeln 

z—=—t1 a fach, 

21 P fach, 

2 27,, 2, 2,tach:; Ih, Deal 


vorhanden. Der Wurzel z=+ 1 mögen die Gleichungen 


= gl 4%) 0, 
= 94(& + &u)==0, 
25 = 
= galen 4 %)—0, 
entsprechen. Die Grössen 
[ h|—= gu 9%, 


in denen die /, h irgend zwei Indices aus der Reihe 1, 9... sind, bilden 
zufolge der Relationen 10) 


in) + [A)—o, 


1) In dem 8. 278 f. behandelten Falle lauter ungleicher Wurzeln sind daher die zu reciproken 
Wurzeln gehörigen [!h] sämmtlich von Null verschieden. 


283 


ein alternirendes System, dessen Determinante nach dem zuvor be- 
wiesenen Satze nicht verschwinden kann.) Man kann daher durch eine 
congruente Transformation von nicht verschwindender Determinante 
nach Herrn Kronecker’) bewirken, dass die alternirende Form 

>, y„[mn] 
übergeht in die canonische Form 

=(X,1,— X, P}), 
welche aus 1« elementaren Formen besteht. Es giebt daher ein System 
von Coefficienten £,, %,9=1,2---« von nicht verschwindender Deter- 
minante, für welches identisch 

13) EX, Bm Yaßm[mn|)==Z(X,Y,— X,Y) 

wird. Setzt man nun 

94 = Zßım Im 

9: = Z PomImis 


0 
2 02: 


so wird der entsprechende Ausdruck [Ih], für die g,, gegeben durch 
rh=ZPmßın [mn]; 
d. h. es wird nach 13) 


14) [1 2) = —[2 1,1, 
B4h—=—[43h—]1, 


[e—le,)=—[e«a-1)=1, 
während alle übrigen Ausdrücke [!A], gleich Null werden. 

Der Wurzel 2=—1 entsprechend, erhält man dagegen nach 10) 
ein symmetrisches System von A?” Grössen [mr], und durch eine ge- 
eignete Transformation lässt sich dann jedenfalls bewirken°®), dass bei ge- 
radem / die aus den den Gleichungen 


1) a ist also nothwendig eine gerade Zahl, wie auch aus dem Kronecker’schen Satze folgt. 
2) K. S. 405. 
3) Vgl. wieder die Transformation des Herrn Kronecker, K. S. 405. 

Abh.d.II.Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 37 


Sen —d,)=0, 


I gp: (a — 0, 
genügenden Grössen g5, gebildeten Ausdrücke 

hen = 172.9: 
die Bedingungen 


15) BAR HE 
[34 = [43]? ='11, 


R—1P=PPR—1=1, 
erfüllen, während wieder alle übrigen Werthe [lh]’ verschwinden. Bei 


ungeradem wird an Stelle der letzten der so eben angegebenen Gleich- 
ungen der nicht verschwindende Ausdruck 


[ART 


treten. 


Da endlich für die von +1 verschiedenen Wurzeln überhaupt alle 
Ausdrücke [mn] verschwinden, sobald sie nicht zu reciproken Wurzeln 
2, % gehören, so bedürfen die übrigen Grössen g, keiner weiteren 
Transformation. Gehört also etwa zu der y, fachen Wurzel z, das System 


In 99m; Ih 2:75 
zu der Wurzel 27' das System 
gm 2; I—l 2:95 
so sind nur die Ausdrücke 
= 959, ini Ok 


von Null eventuell verschieden. Diese Coefficienten sollen der Einfachheit 
halber durch 

I» Ya" In 
bezeichnet werden, so dass der Index 5 alle Werthe von 1 bis n—(@—+-P) 
durchläuft, und die Ausdrücke 


N 


285 


nur dann von Null verschieden sein können, wenn die aus der Reihe 
1--:n— (@+ß) gewählten Indices 7,, j, zu reciproken Wurzeln gehören. 


Vermöge des so bestimmten Systems canonischer Elemente, dessen 
Determinante nicht Null ist, bilde man nun die Gleichungen 
16) Se NN Va 
>(,—)m=0;k=1, 2:::P, 
=(, — 9); 5 I = 2: n—(a+P), 
wobei die Parameter g,, 0°, e vorläufig ganz willkürlich sind. Bezeichnet 


man die Unterdeterminanten der Üoefficienten g, je nachdem sie nach 
1: 


7,» SO findet man wie vorhin 


0 : PR if) 
Ip Ins Ip genommen sind, durch / a 


16) m = Tuer Tal) + + Ural ar — Ira! ga-ır) 
HIHI) HH +, HI YTI) 
+ ET; ls [ju3r] 
und zugleich wird 
17) = C 4 Cyr Gr 
= 0a Tal)  @a-ı 9a Iga-ıe I gar — I gar I ga-ır) 
ODE HITLER + TUT) 
+ 20,0, ul aalud)- 
Die Transformationsbedingungen sind daher erfüllt, wenn man setzt 


910: —9a- 9a 1; 
et; 
0; og — In 05; 0, — ı:  On-ta-+Hßy—1ı Ina +) 1. 


Die Determinante der c, wird nach 16) gleich der mit dem Producte 
aller Parameter o,, 0°, og multiplieirten Grösse 1; d. h. die Transformation 
ist eine eigentliche mit 4» willkürlichen Parametern, während 
bei ungeradem n, wie leicht zu sehen, nur 1(n — 1) willkürliche Parameter 


auftreten. 


Man erhält vermöge eines anderen Systemes canonischer 
Elemente auch uneigentliche Transformationen, sobald A>o 


30% 


286 


ist. Man kann nämlich durch eine cogrediente Transformation bewirken, 
dass die symmetrische zu den /? Grössen [mn] gehörige Form in eine 
Summe von Quadraten verwandelt wird, d. h. dass an Stelle der Rela- 
tionen 15) die folgenden 

Melle 

PA 0; % 
treten. Alsdann treten an Stelle der zweiten Gruppe von Formen auf 
den rechten Seiten von 16) und 17) die Ausdrücke 


N 
(MILIE HN TIIEH- (’ITR, 
Den Transformationsbedingungen genügt man nun durch die Annahme 
Gl; 
und man erhält daher uneigentliche Transformationen mit 1(n—ß) 
oder I(n—ß—1) Parametern, wenn für eine ungerade Anzahl von 
Indices © der Werth — 1 gewählt wird. In der That ist auch für die 


Existenz uneigentlicher Transformationen nothwendig und hinreichend), 
dass die Function 


S+eS" 


einen Elementartheiler von der Form (e—+ 1)’”*T! hat. 


SV, 


Transformation von Formen mit verschwindender Determinante. 


Ich schliesse hieran einige Bemerkungen über die Transformation 
von Formen mit verschwindender ‘Determinante, welche, soviel 
mir bekannt, überhaupt ‚bisher nicht näher in Betrachtung gezogen ist. 

Wenn die Substitution U die Form S-+oS8' in sich trans- 
formirt, so transformirt sie auch die Form $ in sich selbst, 
falls 0° nicht gleich Eins ist. 


1) Vgl. Frobenius, Borchardt’s Journal Bd. 86, S. 47. 


Denn aus 


U (S+ 0) U—S+08' 
folgt durch Uebergang zu den conjugirten Formen 
UMKS'+0S)U=$'+08, 
also auch 
UST —-H)—=SI1— 0); 
mithin unter der genannten Voraussetzung 
USU Ss: 


Wofern daher die Determinante von S-+-o8' nicht identisch ver- 
schwindet, kann man e einen von +1 verschiedenen Werth ertheilen, 
und damit die Transformation auf die einer Form von nicht 
verschwindender Determinante zurückführen. 

Verschwindet aber jene Determinante identisch, so kann $ durch 
eine cogrediente Transformation V auf eine Form > reducirt werden, 
welche nur von den einer Form E, entsprechenden Variabelen x, %,, 
%,Y2, 2, Yn,, wo nn, abhängig ist'). 

Setzt man nämlich 


sl >, 

THU). 3W, 
so ıst 

W'zsW==. 


Falls nun die Determinante S-+0*'| nicht identisch verschwindet, 
kann man gleich |S| als von Null verschieden voraussetzen. Dann ist aber 


1) EWR, > HE W.E, > 
also auch 
u — Ps WAE, 
eine Form von n, Variabeln, welche & in sich transformirt und deren 
Determinante |«| nicht Null sein darf. Und zugleich ist für 3 + BE,—E 
Br WAS W==o} 


oder, da die Determinanten |W| und |®| nicht Null sind, 


1) Vel. K,$ 3, IV. ı £. 


Haan 0: 


d. h. es verschwinden alle Coefficienten W., in der Form 


ok 
WW >W,00, > Wr YA W,;n %,Y 
SH a Wr, %, Yıy S= >= Wr, %,; Yny- 


Damit ist die Transformation vollständig bestimmt, denn die Coe- 
fficienten W,,, sind aus der Gleichung 1) zu entnehmen, während die 
W;.; Wir, vollkommen willkürlich bleiben. 


Wenn aber die Determinante von 2-02" identisch verschwindet, 
so ist, da die Anzahl der in 8 vorkommenden Variabeln durch cogre- 
diente Transformation nicht mehr verkleinert werden kann, 


7 08,.1.85, 


Se — %ı Ya Days ; 2) 


und m eine ungerade Zahl ist, während 8; nur von den in E; vor- 
kommenden Variabeln abhängt und die Determinante von 85 nicht Null 
ist. Man erhält alsdann die Gleichungen 


2) BEWBZESRWR=2, 
(&ı WE, >- 20, 


3) | 
\zZE,WE=0, 


die im Wesentlichen auf die Gleichungen 2) zurückkommen, da die 
Gleichungen 3) linear sind. Aber auch die Gleichungen 2) lassen sich 
noch weiter reduciren. 


Ich betrachte zunächst den Fall, wo 2=S9,, d.h. ich bestimme 
alle cogredienten Transformationen von mVariabeln der 
Form S$, in sich selbst. Setzt man an Stelle von «, 


PFARYE 
so lauten die Transformationsrelationen 


Cr Ca Erle); 


1) Vgl. K.$ 3, IV, 1. 


289 


wo (kl) gleich Eins zu setzen ist, wenn k=!—-1, sonst aber die Null 
bedeutet. Bezeichnet man die ersten Unterdeterminanten der c,. durch 
T,,, so erhält man die Bedingungen 


Tr 
Cs-1,1 = Dr: Csr1,1 =; 0, 
» RN 
le Cs 1,2 — Re, 
' q7 
Gene IE Mes Cr1,n—1 m en 
C; — en 0, Csı1,n — 2: 


Diesen Gleichungen zufolge wird eine grosse Zahl von Üoefficienten 
C„, gleich Null. Führt man die so reducirte Anzahl in das Trans- 
formationsproblem ein, und beachtet, dass die Determinante der c, nicht 
verschwinden darf, so ergiebt sich für die c, folgendes Schema 


N A) do 
0472270 10,0 00 
o—ßBa Po yo 
[) 02.00, 72,0 00 
o—yo—P a Po 
004 70)202. 080,00, 10 

o—Pßa 


0o—d0 —y 


dessen Anordnung sofort verständlich ist, sowie man die der Haupt- 
diagonale parallelen Elemente betrachtet; die «, , y, --: sind dabei 
vollkommen willkürliche Parameter; die Substitution selbst lautet: 


x =ezs, +2, +70, +°%,+--- 


,— a%z 
= mt tButrat-- 
er a®ı 
= 3 — 1m Ruten tut 
ge a®s 


Ei — 0 you Pu Fan, + 


Daraus ergiebt sich: 


290 


Jede Transformation welche die Form S$, in sich cogre- 
dient verwandelt, hat die Determinante o, sie enthält im all- 
gemeinen 9+1 Parameter, und ihre characteristische Func- 
tion hat nur p-+1l einfache Elementartheiler o0—a und p ein- 
fache Elementartheiler von der Form oe —,, wenn m=2p-]1. 

Die Form 

a & Yo pl Yyz +: : * Am-ı Im-ı Ym 
reducirt man durch die cogrediente Transformation 


7, = 0,5; 


auf die Form &,, wenn man setzt 


4, _ 94,4; Qp-ı "4; 

2p+1 — aEFEn e 
0,4, °°Q2p 
As A," A2p—2 
2% ’p 

Op rn 


A, A; "Ap-ı"C, 


Auch bei geradem m—2p lässt sich die cogrediente Transformation 
leicht bewerkstelligen, wie hier beiläufig bemerkt werden mag. Man 
erhält zunächst folgendes System von Üoefficienten c,, 


DON Eier 3% 0 0610 0570, 
1 
07 21020, Nom or ko 
Öle 0m OLHONEECHEO 
a 
GC 2,05 OO 
ONE 0) 10 RO 
1 

0:16,50. 6,3 700 125080 
00 0 0) Oo {0} a) 

iL 
0 [3,5 0 0 [5,9 u 


und eine directe Vergleichung der Transformationsbedingungen liefert 
dann noch p— 1 Gleichungen, aus denen man linear die Werthe der 
Co, Egg, Cge- - - bestimmen kann. 


Ich betrachte endlich noch die cogrediente Transformation der Form 


+ 8%. 


291 


Ist m wieder eine ungerade Zahl 2p +1, so findet man für die 
mit den Grössen u, v geränderte Determinante der Form 


Sa — 08a 
oder 
OA OO u 
—0 7981.50. 0% 2,202 
za I aha 
ae > 
DE WOTONON.: EI Mm 
DOSE 0 


den Ausdruck 
H=— (+0, "+ +0) + ou. +::@) 
Versieht man jetzt die Determinante von 
4) I — 0a + I — 08 


mit einem Rande gebildet aus den Grössen w,, v, ,k=1,2:.n, so ent- 
steht als Werth dieser geränderten Determinante 


5) H\Ss— 085. 


da die Determinante von $.— 08, identisch verschwindet. Multiplicirt 
man ferner unter der Voraussetzung 


PX Cm Crn = Am 


die Form 
A,1ı + Aın U 
m = a 
er An; : + Im Un 
V Un 


mit dem Quadrat der Substitutionsdeterminante, so entsteht, falls letztere 
gleich e und 


6) Do an, 


gesetzt wird, 
7) & Ast = Asbı . 
Abh. d. IL.Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 38 


Ersetzt man in dieser Gleichung die Coefficienten a, durch die der 
Form 4) und berücksichtigt den in 5) gegebenen Werth, so ergiebt sich 
die Identität 

© (d, oe” Sr Vn-2 Oz = ü v,) (%,, -- OU = u, _) 

=, + ma" +0) mt Om + u), 
welche unter der Voraussetzung von 6) besteht. Differentiirt man die- 
selbe nach den Variabeln v,, w, wenn © und 7 irgend zwei Zahlen aus 
der Reihe 

2,4,6, --2p, 2p+?2, 2p+3,-.n 
sind, so folgt, da diese linkerhand gar nicht vorkommen 
0 (Cm 0” 3 Cim—2 Dez: = a; Ca) (Cm = 0 Cim—2 > 3% 0° c,) 

d. h. es sind alle COoefficienten 


Ca, Ca, 5" Ci9ptır 
gleich Null. 
Differentiirt man dagegen nach v,„_s, %„_2; WO i, j irgend zwei Zahlen 
aus der Reihe 
0, 1, 2:..9, 
sind, so folgt 


© ei = (o? In m == 0 Cm, m—2 —- 2 Cm, 1) 
ZUch u r 0C rn 2 0A, er 1) 


und hieraus folgert man leicht, dass alle Coefficienten c,,, welche nur 
ungerade Indices aus der Reihe 


1,3,.-2p +1 
enthalten, Null sind, mit .Ausnahme von 
CH —lmnm—%; 


wobei 


WE 


ist. 
Die Substitution hat daher folgende Gestalt: 


C11%ı - C19%g + E14 Ci +: Cı 2p Cop + > CC 
Cogfg 09484 + 5%: Ca 2p op I ZCHn % 
O3 lg + C3g%g + 03,0 + C36 WC 2p Cap — >09, %, 


Cyobg + 64% 4 Cu% 4 °C, u = Cy% 


029,98 4 Cop,4% 4 "Cop, 2p Cop 4 Z Copn 
Cop+1, 2p+1 Pp-Lı =- Copr1,2% + Cop11,4%4 4°" Copr1,2p op + Z Coprın % 
9% t Cat "Cop 4 Con En 
ss, h=2p+2, 2p+3,::--n. 
Führt man diese Coefficienten in die Bedingung ein, dass die 
9.8; in sich selbst übergehen soll, so ergiebt sich 


094 gg — 6 —CH —O, 


| 
I 


yo Cu ı — Gm» —CH —O, 


C9p2 = Cop6 en Cop 2%p — Copn —z0, 
so dass schliesslich die Substitution die Gestalt 
Ct C19& + E14 a °  C19p Cop Zn ® 
C99 X, 
330g — (9%, + Cy% + - Cz2p op + Z Cz, %,, 
(4, % 


Cz5 5 + 059% 4 Cz4% + * - Cyop Boy + IC, 


Cop2p%2p 
Cp+1,2p+1 Pyp-+ı > Cop-+1,2 02 3- Cop+1,1 0 4° * Cop+1,2p Ip + = Cop 1% 
25) Lt Ca + "059 pt ZCyn %n 


s,h=2p-2, 2p+3,.:.n 
erhält, wobei 


| CC > 033 644 = Cs; 0 = Cypr1,2pr1 Cop, — 1 
sein muss.') 


1) Für die Coefficienten 
Ca, Ca, °C, 


I=1,3,---2p+1 


293 


Form 


ergeben sich Bedingungen, durch welche dieselben linear durch die übrigen ausgedrückt werden. 


38* 


294 


Die characteristische Function jeder Substitution, 
welche die Form +5; in sich transformirt, hat demnach 
den Werth 

(e— oe?" @- oe” M 


wo M die aus denjenigen c,„ gebildete characteristische 
Function ist, die den 


,k=2p—+2, 2p+3,--:n 
entsprechen. 


8 VI. 


Symmetrische und alternirende Transformation einer bilinearen Form in sich, 


Die Substitution U, welche & in sich transformirt, ist eine symme- 
trische, resp. alternirende, wenn 


ÜU—0: 
ist. Die Gleichung U'SU=$ geht dadurch über in 


Aus 1) folgt 
US=(0US)8 = 128(U,S)—=S-U: 


Jede Substitution dieser Art ist daher mit S? vertausch- 
bar. Aber im allgemeinen ist sie auch schon mit S selbst ver- 
tauschbar. Setzt man nämlich 


uUS—-SUZX, 
so wird 
SX=-SUS—- ST, 
XS=UP—-SUS, 
also 
2) SX+XS=0. 


Damit die Gleichung 2) eine von Null verschiedene Lösung für X 
zulasse, ist nothwendig und hinreichend, dass die characteristische Function 
von 5 entgegengesetzt gleiche Wurzeln habe.) Man hat daher in 


295 


diesem Sinne zwei wesentlich verschiedene Transformationen 
zu unterscheiden. Die der ersten Art sind mit 5 vertausch- 
bar, die der zweiten sind es nur mit $S°, können aber nur bei 
Formen speciellen Characters vorhanden sein. 

Ich betrachte zunächst die symmetrischen Transformationen 
der ersten Art. 

Unter der Voraussetzung US= SU folgt aus 1) 

3) E98 
und umgekehrt wird jede symmetrische Transformation, welche dieser 
Gleichung genügt, und mit $ vertauschbar ist, auch $ in sich trans- 
formiren. Denn es ist 


58.02 (SU) 07 —.U SU. 

Die allgemeine Lösung der Gleichung 3) erhält man aber leicht auf 
folgendem Wege. Da die characteristische Function einer Form U, die 
der Gleichung 3) genügt, nur einfache Elementartheiler von der Form 
e+1 haben kann, so ist U der Form 

Eı— E, 
ähnlich, also 
U=V(E— E)V" 
Damit U symmetrisch sei, muss 
VE —-EyV"=VyUE—B)V, 
oder 

4) V’V(E—E)=(E,—E)V'V 
sein. Nun ist V'V eine symmetrische Form W,?) deren Determinante 
nicht verschwindet. Aus der Gleichung 4) oder 


W(E,— E,) = (E,— E,)W 
folgt aber 
EW.E— EWn,, 


EWB=— EWE, 


1) Vgl. F. S. 41. 
2) F.S. 4. 


296 


d. h. es ist W zerlegbar in die beiden symmetrischen Formen W, + W,, 
also auch 
V’V=W-+MW,. 
Nun bezeichne man mit T=7,+-T, zwei cogrediente Substitutionen, 
welche die symmetrischen Formen W,, W, von nicht verschwindender 
Determinante in E, und EZ, verwandeln. Dann wird 


DIVEV LE, 
oder, wenn 

Mr—=7 
gesetzt wird 

22, =. 


Es ist also Z eine orthogonale Transformation.) Und um- 
gekehrt wird, wenn man unter Z eine orthogonale Transformation 
versteht 

2 7a 
also auch 
U=ZT"(B—-E)TZ"=Z(B, —- B)Z. 

Das heisst: 

Jede symmetrische Form, welche der Gleichung 3) ge- 
nügt, ist von der Gestalt 

U=Z(E— E,)Z' 
wenn unter Z eine orthogonale Form verstanden wird. 
Die Bedingung der Vertauschbarkeit von 5 und U geht nun über in 
Z(E,— E)ZS=SZ(B, — 56)JZ), 
oder 
(EL —- B)ZSZ=Z'SZ(E, - B,); 
und dies erfordert, dass auch 
ZSZ 
in zwei Formen 5, +, zerlegbar sei. Daraus folgt: 


Soll eine Form symmetrische Transformationen der 


1) F. S. 48. 


297 


ersten Art in sich zulassen, so muss sie durch orthogonale 
Transformation in die Summe zweier Formen zerlegbar 
sein.') 

Für eine symmetrische Form ist diese Bedingung immer erfüllt, 
und es giebt hiernach ebensoviele symmetrische Transformationen der 
Form in sich selbst, als Zerlegungen dieser Art, die man mit Hülfe be- 
kannter Untersuchungen leicht bewerkstelligen kann, vorhanden sind. 

Eine alternirende Transformation der ersten Art muss 
nach 1) der Gleichung 

5) ur MH 
genügen, d. h. es ist 

U=iV(E— E)V". 
Die Bedingung der Alternanz aber ist, wenn V'V wieder durch W 


bezeichnet wird, 
WE—E)+(E—B)W=o. 


Die symmetrische Form W muss also den Bedingungen 
WE, 0: "BWE;-0 


genügen’) Da zugleich die Determinante von W nicht Null sein darf, 
muss n eine gerade Zahl 2m und die Anzahl der Variabelnpaare in #, 
und £, dieselbe sein.) Die Bedingung der Vertauschbarkeit von S und U 
wird ferner 

SY(E—-E)V"=V(&—E)VS 
oder nach einigen Umformungen 

V'SYV(E— £E)+(E-—#E)V'SV=o. 


1) Dass dies auch hinreichend ist, erkennt man ohne weiteres. 
2) Dies ist auch hinreichend. Denn aus den Gleichungen 
men an 
folgt 
E,ZE,+E,ZE =2,; 
also 
ZEN ER E)Z=o 
3) Man vergleiche den Satz X, F. S. 26. 


298 


Hieraus ergiebt sich wieder 
EI VESVY EN, DER VESV RE, = 0. 
Damit also eine Form $ von 2m Variabelnpaaren durch 


alternirende Transformation in sich transformirt werden 
könne, muss die Schaar 

S+eE 
durch eine cogrediente Transformation V in die Summe 
zweier Formen verwandelt werden können, von denen die 
erste nur die Variabeln ©, %,: - 25 Ymtır Ymt2 "Y%, die zweite 
nur die Variabeln 9, %,: "9m; Imtı, Inge ©, enthalt Dee 
Bedingung ist auch hinreichend. 

Man kann übrigens auch auf anderen Wegen leicht sämmtliche 
Lösungen der Gleichung 3) oder 5) erhalten. Da die characteristische 
Function von U für den Fall U’= E nur einfache Elementartheiler o+1 
besitzt,') so müssen n von einander unabhängige Grössenreihen «, ß vor- 
handen sein, welche die Gleichungen 


PIE r=], or 
=uh=-f s=1, 2:0; =; 
e+0=n 


befriedigen, und die Determinante der «, £ verschwindet dabei nicht. 
Hieraus folgt sofort, wenn man unter y irgend eine der n Grössenreihen 
a oder versteht 


IC CH Ya = Yı5 
oder, da die Determinante der y nicht Null ist 
6465 (lk): 
Soll endlich c,„= c,, sein, so folgt 
6) ze 
p=1, 2:0, 
g=1, 2:0; 


und diese Bedingungen 6) sind auch hinreichend, wenn die Substitution 


1) Vgl. F., 8. 15. 


299 


eine symmetrische werden soll;') diese selbst endlich eigentlich oder un- 
eigentlich, je nachdem o eine gerade oder ungerade Zahl ist. Soll da- 
gegen U alternirend sein, so ist zu setzen 


Dia 40H al, 02.2.0 
on 00 2 1,2250, o+-0=n. 
Demgemäss wird 
PIAAO— — Id, 
= — I_atat, 
Damit c,—+c,=0 werde, muss also 
7) a0, 


ZEP} =, 


sein für alle 


Ss |, Det no, . 


Da die Determinante der «, £ nicht Null sein darf, so folgt noch 
e=0o=%, und es ergiebt sich auch hier, dass die characteristische 
Function der alternirenden orthogonalen Formen je 5 einfache Elementar- 
theiler von der Gestalt o+2 besitzt. Diese Transformationen können aber 
nicht wie die symmetrischen rational hergestellt werden, sondern er- 
fordern die Lösung des Systems von quadratischen Gleichungen 7). 


Dass die Gleichungen 6), 7) hinreichend zur Bestimmung der c,, sind, 
ergiebt sich leicht. Setzt man 


> CH 0), —_ 0, vrz I 2 5 0, 
Sa.h= Ps Sat 2.220: 
ZI CyU; = x 


so wırd 


1) Diese Formeln zur Bildung aller symmetrischen orthogonalen Formeln habe ich in etwas 
anderer Gestalt bereits in meiner Arbeit, Die Linienseometrie in ihrer Anwendung auf die Flächen 
zweiten Grades, Mathematische Annalen, Bd. X, S. 154, angegeben. 


Abh.d.II.Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 39 


300 


a a, 0%, 
0 o 
a a —a® 
1 1 1 

ı n Sr ß; — 0, 


he or ee 


Multiplieirt man diese Gleichung mit der Determinante der «, f, so ent- 
steht vermöge der Gleichungen 6) wenn man 


== (Pg)= (AP); P,9=1, 2-0 
SFr=PN)-a@P); P,Q=1,2-.0 
setzt, 
MD Eaklo) So. Ran ta, 
Ole) 0 
oe ta Alle sale) ee 
. RE) 
ae an RR, ae Ne en JDR Ci 
d. h. es ist 
Cr — Cr 
Ist andererseits 
So, = 00:, r,s=1l, 2:-- m) m=#, 
Ic, = —iß, 


93 Cr u, = X, 
so wird unter der Voraussetzung 


>= (00), 2 dm 


er o_.(1L1) :=.x(lm) Zun; | 
De o (ml). . (mm) —ie" 
(11) » (ml) zo = 200 eidg 
(Im): »- Gum) a non Er 
Ü nee se‘ — Ci 


301 


und hieraus folgt sofort 
6. 0,0. 

Die Bestimmung der symmetrischen resp. alternirenden 
Transformation zweiter Art kann hier nicht weiter ausgeführt 
werden. Ich behandele hier nur diejenigen Transformationen U, für 
welche |U+E| oder U— E| von Null verschieden ist, bei denen also 
die allgemeinen Formeln des $ VII zur Anwendung kommen. 


Soll die Form 
U=(E—TS(E—T Sy-, 


in welcher 7 der Gleichung 


8) ST+S'T'=o, 
zu genügen hat, symmetrisch sein, so folet 
9) TS+ST=o. 
Aus den Gleichungen 8) und 9) folgt 
SM NIS) 
d. h. ST ist eine symmetrische Form Z. Setzt man aber 
AR 
so tritt an Stelle von 8) und 9) die Gleichung 
10) ZS+8SZ=0o, 


welche durch eine symmetrische Form Z befriedigt werden muss. 

Unter der Voraussetzung, dass $ eine Form ist, deren characteristische 
Function entgegengesetzt gleiche Wurzeln besitzt, existiren nun überhaupt 
Lösungen der Gleichung 


XS+8SX=0o. 
Ist aber $ eine symmetrische Form, so wird gleichzeitig 
XS-8X=o, 
also auch 
IR RR), 
so dass in diesem Falle ü 


335 


302 


Z=X+X 
gesetzt werden kann. 

Ist dagegen S eine alternirende Form, so hat die Gleichung 10) 
immer Lösungen. Es existiren daher auch immer symmetrische Trans- 
formationen der zweiten Art, welche eine alternirende Form (von nicht 
verschwindender Determinante) in sich transformiren. In der That ist 
das System der Gleichungen 10), wenn man die Coefficienten von Z durch 
?,. bezeichnet, 

11) a, Put Pr Qu 9 

a er 

Dieselben reduciren sich, wenn die a,, alternirend, die p,, symmetrisch 
N! 
— 
P;, von n homogenen Parametern 9,1, Ps2'''P,, abhängig werden. Eine 
allgemeine alternirende Form lässt also immer symmetrische 
Transformationen mit »nParametern in sich zu. 


vorausgesetzt werden, auf n( ) Gleichungen, durch welche also die 


Sind dagegen die a, symmetrisch, so reduciren sich die Gleichungen 


11) nur auf n nr zwischen den homogenen Parametern p»,, und die 
2 oO Pix 


Bedingung einer gemeinsamen Lösung ist eben das Vorhandensein ent- 
gegengesetzt gleicher Wurzeln der characteristischen Function von $. 

In speciellen Fällen kann die Mannigfaltigkeit der symmetrischen 
Transformationen einer alternirenden Form viel grösser werden. Die 
Kronecker’sche Normalform') der alternirenden Formen von 2a = m 
Variabeln 


= (4 ya — By) (By — %Y) + (Em Ym — Em Ym -ı) 
ergiebt z. B. im ganzen 
Im(m—- 2) 
von einander unabhängige Parameter in der symmetrischen Form Z, 
wovon man sich leicht überzeugt, so wie man beachtet, dass die Coeffi- 
cienten des folgenden symmetrischen Schema’s den Gleichungen 10) 
genügen 


1) K. S. 405. 


303 


11 ls ll 2 1a. AS Ehe 
12 — 11 14 —13 16 —]15 -- 
13 un a 36 - - 
14 —13 34 —33 36 —35 - - 
15 Id 35 Bon. eek 
16 —15 36 —35 56 —55 - - 


in welchem jedes Paar von Ziffern einen völlig willkürlichen Parameter 
bedeutet, und die Form Z wird daher: 


Pıı (21 %ı —%Y5) + Pıs(&ı Ya + %2Yı) 4 Pız(&ı Y%3 + 03 Yı —%Y — %,Y5) 
+94 Yyı 2 Y 4 %oYs + %3Y2) + 915 (& Ys + 25Yı — % Ye — Te Yo) 
ED Ay): 


= 


$ VI. 


Rationale Lösung des Transformationsproblems. 


Es sei U eine Substitution, welche die Form 5 (von nicht ver- 
schwindender Determinante) in sich cogredient transformirt. Dann be- 
stehen die Gleichungen 


1) US UZS, 
RES, 
Setzt man nun 
2) R, = S(Ee— U)(Eo-+ U)", 
so wird 


R,=(Boe+ U) (Ee— US"; 
oder unter Anwendung der Gleichung 
uU! g" — g' U! 
auf den zweiten Factor, der Gleichung 
(Syyeh [OR — Uns" 


auf den ersten 


304 


R=[S)"e+HTUT(EE—- UN) =[S)"E + UST (Er — UT) 
= S'(Ee+ UT) (Be— U”); 


also 
N] E 22 E 
3) nl Oz). 
Man hat demnach durch Vergleichung von 2) und 3), falls 
go=|], 
gesetzt wird 
4) (SR, = — 87 Roi 
Versteht man unter 7 die positive oder negative Einheit, und setzt 
ö) R,= S(En— U)(En+ U)”, 
so muss diese Form der linearen Gleichung 
6) R,u=—S'STR, 
genügen. 
Führt man endlich an Stelle der Form AR, die neue Form 
7) m Sen,S, = &r = U, 025 


ein, so genügt dieselbe der Gleichung 
8) 1,89 = -- 1,8, 
‚oder 
81, = Sn 
wobei vorausgesetzt ist, dass die Determinante 


En+U 


nicht verschwindet. 
Aus der Gleichung 7) folgt aber umgekehrt 

.U(1,S+£)=(E—T,8)n, 

oder 
U=n(E- 1,8) (E+ 1,8)7; 

und nach 8) 
v= n(E— In S)(E — In Sb)ren 

=nlST— SE) — In) 


305 


Hieraus geht hervor, dass die Determinante von U den Werth »” hat, 
da das Product der reciproken Formen rechterhand die Determinante 
—1 besitzt. Da nun bei ungeradem » und eigentlicher Substitution die 
Determinante |U— E verschwindet, so wird diese Transformation im 
allgemeinen nur eine eigentliche sein können, indem 7—= +1 zu setzen 
ist. Denn die Determinante von 


BeTS 


kann im allgemeinen nicht verschwinden, da sie für hinreichend kleine 
Werthe der homogenen Üoefficienten von 7, sich von der Einheit beliebig 
wenig unterscheidet. 

Eine uneigentliche Transformation kann bei geradem n überhaupt 
aus der Formel 8) nicht erhalten werden, da in diesem Falle U+ En 
eine verschwindende Determinante hat. Dagegen wird bei ungeradem » 
und uneigentlicher Transformation n gleich — 1 gesetzt werden können. 

Man hat also den folgenden Satz: 

Jede Substitution U, welche die Form $5 von nicht ver- 
schwindender Determinante in sich cogredient transformirt, 
und für welche die Determinante von 


a 
nicht verschwindet, lässt sich in einer einzigen Art auf die 
Gestalt 


9) OZ_n&—TS)(EI 28) 
bringen, falls 7 der Gleichung 
8) TS+-T'S'=o 
genügt. Unter Zugrundelegung der Form R, welche der Gleichung 
8°) (SY"R+S"R=o 
genügt, wird dagegen U die Form 
9) U=n($+ BR)" (S—R) 
annehmen. 


Dass aber umgekehrt auch jede Form U, welche aus der Gleichung 


306 


9) entnommen wird,- 5 cogredient in sich transformirt, sobald 7 der 
Gleichung 8) genügt, ergiebt sich leicht auf folgendem Wege. 

Man hat nämlich aus 9), wenn in dem ersten Factor 

| m AB ETI) 
und 
(E+-TS\E+-TS)"=E 
gesetzt wird, 
= BE 
Nimmt man beiderseits die conjugirte Form, so ist') 
aaa, 
/ 
also, wenn man diese letzteren Gleichungen mit einander multiplicirt und 
= setzt, 
USU=4(E-+ $S'T')""S(E+TS)'—2(E+S'T)'8S 
— 2S(E+-TS7 —8. 
oder wenn 
S'T=—ST 
gesetzt wird 
DRS — 
4(E—- STJ"'S(E+TS)"—2(E—STY"S—2S(E+-TS)" +8. 
Setzt man nun 

X—=4(E— STJ"S(E+TS)" — 2(E—ST)'S—28S(E+ TS)", 
so wird 

(E—-ST)X=48(E+ TS)" —28—2(E—- ST)S(E-+-TS)", 

(E—-ST)X(E+-TS)=48—2S(E+TS)— 2(E—ST)S=o. 


Wird jetzt vorausgesetzt, dass die Determinanten 


1) Es ist also auch 
U+nE=2n(E+TS)-', 
U-nE=21TS(E+ TS)-\, 
d. h. die Determinante von U—nE verschwindet nur dann, wenn |7| Null ist, falls 7 bereits 
den im Text angegebenen Bedingungen gemäss gewählt ist. 


307 


IE—-ST, |E+TS) 
was immer erfüllbar ist, nicht verschwinden, so folgt aus 
(E—-ST)X(E+TS)=o 
für die Form X 
X ==10: 
d. h. es ist 
USU=X+S=8. 


Damit ist der folgende Satz bewiesen: 

Bezeichnet man mit 7 eine Form, die der Gleichung 8) 
genügt, wobei 8 eine beliebige Form ist, deren Determinante 
auch verschwinden kann, und verschwinden die Deter- 
minanten von 

TS+-E ST—E') 
nicht, so wird durch die Substitution 9) die Form S cogre- 
dient in sich transformirt, und zwar ist die Determinante von 


U+nE=27(E+TS)” 


nicht Null, während die Determinante von U selbst den 
Werth 
m 
hat. 

Der Beweis dieses Satzes lässt sich weit einfacher führen, wenn die 
Determinante von $ nicht verschwindet, was bei der so eben ausgeführten 


Betrachtung nicht vorausgesetzt zu werden braucht. 


1) Diese Bedingungen reducireu sich übrigens, wie man leicht bemerkt auf eine einzige. 
Denn vermöge der Gleichung 8) ist 


ST—oeE=- (S!T!+oE), 
ST-eE=(- Y | TS+oeEl, 
da conjugirte Formen gleiche Determinanten haben. Und wenn |$| nicht Null ist, so folgt aus 
der Identität 
ST-eE=-—-S(T!S!+oE)S" 
ebenso die Gleichung 
ST-eE=(-1"|ST+eE. 
Abh. d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 40 


308 


Durch die vorige Untersuchung wird die Ermittelung 
aller nicht singulären Substitutionen U auf die Lösung des 
linearen Systems 8), welches n? Gleichungen für die Coeffi- 
cienten der Form 7 repräsentirt, zurückgeführt. Alle diese 
Substitutionen können somit durch rationale Operationen bestimmt 
werden, insofern es nur erforderlich ist, das Verschwinden der Unter- 
determinantensysteme der Coefficienten jener n® Gleichungen zu unter- 
suchen. Der eigenthümliche Bau jener Gleichungen scheint es indessen 
nicht zu ermöglichen, eine solche Untersuchung mit den Hülfsmitteln der 
Determinantentheorie allein auszuführen, wenigstens ist mir dies nur in 
den einfachsten Fällen rn = 2, 3,4 in befriedigender Weise gelungen. 

In etwas allgemeinerer Form lässt sich der vorhergehende Satz auch 
so ausdrücken: 

Die vorhergehende Untersuchung liefert alle cogre- 
dienten Transformationen einer bilinearen Form in sich 
selbst auf rationalem Wege, mit alleiniger Ausnahme der- 
jenigen Transformationen, welche mit jeder nicht singulären 
verbunden wieder eine singuläre bilden. 

Ist nämlich V irgend eine Transformation, U eine nicht singuläre 
Transformation, so ist auch 


W=408% 


eine cogrediente Transformation von 5. Ist nun W nicht singulär, so 
lässt sich W auf dem angegebenen Wege erhalten, und es wird 


Ve 07 Ma 


Nur diejenigen Transformationen, deren Product mit jeder nicht 
singulären immer wieder eine singuläre liefert, und die auch nicht durch 
Grenzübergang aus den nicht singulären ableitbar sind, sind daher als 
„eigentlich singulär“ zu’ bezeichnen. Von dieser Art sind z. B. die un- 
eigentlichen Transformationen einer Form gerader Ordnung. 


$ VI. 
Die Gleichung TS TS'=o. 


Bezeichnet man die Coefficienten von $ durch a,, die der Form T 
durch ?,, so hat man das System der n’ linearen Gleichungen zwischen 
den homogenen Unbekannten »,. 


1) — Dos 1 en 93 ul ,28 2%; 


welches mit der Gleichung 
2) TS+-T'8S'=o 


gleichbedeutend ist. Dieses System von Gleichungen ist ein an und für 
sich sehr merkwürdiges. DBezeichnet man nämlich mit N die grösste 
ganze in 3 enthaltene Zahl, so lässt sich dasselbe bei völlig willkürlichen 
Werthen der a,, durch Werthe der p, ösen, welche N lineare homogene 
Parameter enthalten. Es müssen daher im allgemeinsten Falle noch 
sämmtliche N — 1" Unterdeterminanten des Systemes 1) verschwinden. 
Hieraus folgt, dass die Zahl der von einander unabhängigen 
Lösungen des Systemes 1) mindestens gleich N ist, welches 
auch die Werthe der a,, sein mögen, deren Determinante übrigens, wenn 
nicht ausdrücklich das Gegentheil angegeben wird, als nicht ver- 
schwindend vorausgesetzt werden soll. 

Ich entwickele zunächst einige Eigenschaften derjenigen Formen, 
welche der Gleichung 2) genügen. 


Wird die Determinante der Form 7 durch P bezeichnet, so ist 
P—=(-1SR: 
1) Bei ungeradem x verschwindet die Determinante von 
T identisch. 
Ferner folgt aus 2) 
T($S—eoS')+(T+eT)S’=o. 
also: 


2) Verschwindet die Determinante von 7, so muss die 
40* 


310 


 Determinante der linearen Schaar T-+oeT' identisch ver- 
schwinden. 


3) Verschwindet die Determinante von 7 nicht, so sind 
die Elementartheiler von S—eoS' identisch mit denen von 
7’-+erT! 

Das Verhalten der Determinante T+eoT' kann man näher durch 
folgende Betrachtung präcisiren. Multiplieirt man die Determinante 


Pıı Ps oe Pın klar Done: Pr 

FE Pnı Pa - Pan Pın Pon Pam 
— 1 1 1 l 1 L 
Y% 0 %W U, v, ®, 

22 n L} N U 

U, Uy u, u v; v 

mit 

a1 %aı Any &71 0.%15 m 

D on a, E77 ds a 4 Aym Any Ang . 5 Aym 
Fi 1 L 1 1 1 
a a 12 

n n mn N N vr 
De N 2 cz: 


so ergiebt sich zufolge der Gleichungen 


— Pr + Pre = 09 
die Beziehung 


AD —— 10, | Id) 


wo 
ern k k 
A, — pm Ü); Se Pr ve, 
Dr 2 k l 
Pr Sr: 23 Ami U, SF Am Om O) 
Zerlegt man die Zahlen 1,2---n das einemal in die Gruppe 
by tyra; Ay Äg --Üp; 


und ein zweites mal in die Gruppe 


ee La Kae Sen 


so, dass ©-+-a=n, während die Zahlen © von den Zahlen 7 nicht ver- 
schieden zu sein brauchen, setzt man ferner alle U? gleich Null, deren 


311 


Indices r gleich den k,, k,---kg sind, ebenso alle V“ gleich Null, deren 
Indices s gleich den %, %- : :%, Sind, und vergleicht die beiden Seiten der 
vorstehenden Determinantenrelation, so findet man: 


| 
@;1 d;p1 Ge Ag! dj, A ja 2 Aa 

P | Au2 dy,2 Aa A2 7, ur ja | 

| 

yın gm 0 Man Ayjı Ayja Aal 

| 

Priy Pig -.* Prag Pal Pjol -».- DPjal 

Ley Pa, Pi, :» - PDiin Piz? Pie - * Pja2 

| 
| Prig Piz - - Pria Pin Pin - » Pan | 


wobei die letztere Determinante aus P dadurch entsteht, dass in P die 
Elemente in einer beliebigen Anzahl von Reihen durch die Elemente 
irgend welcher Reihen aus den conjugirten Elementen ersetzt werden. 
Es verschwindet daher mit 7| nicht nur die Determinante 
von |T+eT'| sondern überhaupt die Determinante 


PatQıPı Pıat%Pı - - Pınt @nPnı 
Dyy n 0, Pro Des 0305n OR Don T On Pa 
|Pnı t @1Pın Pag 4 0yPon : : Pam + On Pam 
für alle Werthe von @,, @,---o,. Das letztere kann man übrigens 


durch Multiplication dieser Determinante mit A leicht bestätigen. 

4) Verschwindet die Determinante von T, so kann die 
Form 7Tstets durch congruente Transformation ineine Form 
t verwandelt werden, welche weniger als n Variabeln ent- 
hält, und deren Determinante nicht verschwindet. 

Entweder ist dies nämlich von vorneherein der Fall, oder es giebt 
eine Form W von nicht verschwindender Determinante, vermöge der die 
Gleichung 

WTW=A-+t 
besteht, in welcher 


A=&XY- %Y +: %_1 U 


und x eine ungerade Zahl ist, dagegen ? die Variabelnpaare ©,%Y,, - %,%ı 


312 


nicht enthält und eine nicht verschwindende Determinante besitzt. Setzt 
man nun 

ws! (WA —S$ 
so kann die Gleichung 2) auch in der Form 

(WLWWASWI)T) FW TW)(W SW) = 
oder 
(A+Y)s+(A'+t)s'=o 

geschrieben werden, und die Determinante von s ist nicht Null. Durch 
Multiplication mit der der Form A zugehörigen Form E, ergiebt sich 


BASE Aus 9 
oder 
OR gs os 
A Tu CAR 4 
9y Y-t yet en 
Ss as Is! Bi 
oe ag ne? 


Daraus folgt aber 
os! PR: 


==40) = 
Zi ren 


0, 


was mit der Bedingung, dass die Determinante von s nicht Null ist, 
unverträglich ist. Daher kann 7 auch nicht der zerlegbaren Form At 
congruent sein, d. h. es kann überhaupt kein solcher Bestandtheil A 
auftreten. 
Man kann dies auch direct beweisen. Verschwindet nämlich die 
Determinante von 
T= =p4.%Yr, 
so giebt es mindestens ein System von nicht sämmtlich verschwindenden 
Grössen 2, 
Ay Ag pn 
für welches 
=4,n, =0: Kamen, 
wird. Aus den Gleichungen 1) folgt dann durch Multiplication mit 2 
und Summation nach ö 


313 


= 2, Pr 09; 
oder, da die Determinante von S nicht Null ist, 
2, Pu = 9. 


Es sei nun z, eines der nicht verschwindenden z. Dann setze man: 
me Km ax u ey 
3) % 1 NER) Yı 1 zw 
i h [A 


a: +3: % =I. + —-J,, 


An An—1 
%,-1 — Lı-ı Ale EB; X,, Yn-ı = Fa-ı nen Y,, 
Ö D 
LC, = X, 2) Yı = Y, h) 
X En x er Y An Y 
%, u3° N == h> Y, Se N = h° 


&h an 


Führt man diese cogrediente Substitution mit der Determinante +1 
an der Form 7 aus, so ergiebt sich 


T= 394%; = ZYr Par Ku = Pin A Fa 
wo der Index 1 anzeigt, dass die Variabeln X,, Y, rechter Hand nicht 


mehr auftreten. Bezeichnet man die Substitution 3) durch V, so geht 
$ durch die Substitution (7')"' in eine Form s von n Variabeln 


s= >25,X,Y, 


über, deren Determinante nicht Null ist. Die Coefficienten p,,, der trans- 
formirten Form 7 müssen daher den Gleichungen 


Pan by = Per Dir, —o0 


genügen. Verschwindet nun wieder die Determinante der p,,, so giebt 
es auch ein System von Grössen 


En &: 53 Eu 
die nicht sämmtlich Null sind, und für welches 


Pan 4 =o0. 


314 


Dann ist aber auch 
= Pr 4 ar Dan, — 0, 
und hieraus folgt, wenn man mit den Unterdeterminanten der Elemente 
d,, multiplieirt und nach Z! summirt, 
=p ki En = 
Man kann demnach dieses Verfahren so lange fortsetzen, als über- 
haupt die Determinante der aus 7’ durch cogrediente Transformation ent- 
springenden Formen verschwindet. Die Form 7 kann also stets durch 
cogrediente Transformation in eine Form ? verwandelt werden, die nur 
noch die rn! einer Form E, entsprechenden Variabelnpaare enthält, und 
deren Determinante nicht Null ist, d. h. es ist 
MTV ==. 


Dabei ist nicht nur die Determinante von V gleich Eins, 
sondern es ist auch 
4) ZVH=1ı. Bu mo 


Bei geeigneter Bezeichnung der Indices der Variabeln von 7 kann 
man es nämlich so einrichten, dass die Grössen 2, 5, --- welche nicht 
verschwinden, gerade den Indices 1,2--:% (k=n—-n') entsprechen. Die 
Substitution Y ist demnach so beschaffen, dass an Stelle von 


U, Do, Lg, Dppıy © D 


NIe 
die Ausdrücke 

T] 

Qt, % + %p 


Oz % 4 Oy209 + %y 


4°) u a ae 
De — 41,2% = Tr 
2 — 0449404 242 
&,, TC — er — On,% Ir + LT, 


treten. 


315 


Setzt man also 


MS, 
so sind ersichtlich alle Coefficienten 9, ,, gleich Null, d. h. es ist 
EVE=0. 
Da nun 
T=(%)2tV.;, 


BEE SB BR VIE 

ist, so muss die Determinante von E,TE, ebenfalls von Null verschieden 
sein. Es ist dies aber eine der n—n!'* Unterdeterminanten von T, und 
daher ist n! um so viele Einheiten kleiner, als n, wie die um 1 ver- 
mehrte Anzahl der verschwindenden Unterdeterminantensysteme von 7 
beträgt. Insbesondere ergiebt sich aus der angeführten Betrachtung: 

Jede alternirende Form kann durch cogrediente Trans- 
formation in die Kronecker’sche Normalform 


(21 Ya —Yyı)t (Bu —%Y) +: 
transformirt werden, welche nur von einer geraden Zahl von 
Variabeln abhängt. 
5) Aus der Gleichung 
T($S+8S)= —(T' -- T)$' 
folgt, wenn |$-+-$'| nicht Null ist, 
TS = —(T'—T)$($+8$')"'8. 
Die Form 7'S ist also das Product einer alternirenden Form in eine 


symmetrische von nicht verschwindender Determinante. Eine solche Form 
ist aber stets einer alternirenden Form ähnlich. Das heisst: 


Verschwindet |S+S$'| nicht, so ist TS einer alternirenden 
Form ähnlich!) 


1) Vgl. meine Note über die conjugirte Transformation einer bilinearen Form in sich selbst, 
Sitzungsb. d. bayer. Akad. Juni 1889. — Andererseits ist, falls || —S1| nicht verschwindet, 


(S()-ı— E)T 
einer symmetrischen Form ähnlich, wie aus der Gleichung 
(S(9-! — E)T=(8 8) (I (T+T)SUS- N) 
hervorgeht. 
Abh.d.II. Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 41 


6) Die Form 7 kann nur dann eine symmetrische resp. 
alternirende Form von nicht verschwindender Determinante 
sein, wenn Ö selbst eine alternirende resp. symmetrische 
Form ist. Denn aus der Beziehung 


me on 


folgt unter dieser Voraussetzung 

Sees, 
und umgekehrt ist 7’ eine alternirende resp. symmetrische übrigens ganz 
willkürliche Form, sobald $ eine symmetrische resp. alternirende Form 
(von nicht verschwindender Determinante) ist. Auf dieser Eigenschaft 


von 7 beruht die Transformation der alternirenden und symmetrischen 
Formen in sich selbst '). 


7) Ist dagegen die Determinante von T gleich Null und Tsymme- 
trisch, so folgt 
($S-+-8)T=o; 
d. h. es muss die Determinante von $-+-$’ verschwinden. Diese Bedingung 
ist aber auch hinreichend. Denn wenn |$+-$"| gleich Null ist, so kann 
man durch eine congruente Transformation von nicht verschwindender 
Determinante W bewirken, dass 


WS+-S)W'=E, 


wird, wo E, nur die Variabelnpaare x2,%,,- - %,y, enthält. Ist nun 4 
eine willkürliche symmetrische Form der übrigen Variabelnpaare, so wird 


W(S+S8') W'H=o 


oder 

(S+S)W'HW=o; 
also auch 

WEN W Er 
und 


ST-ES7 70. 


1) Man vergleiche die von Herrn Frobenius (F. S. 38) gegebenen Formeln mit der 
Formel 9°) des $ VII. 


317 


Soll dagegen T eine alternirende Form von verschwindender 
Determinante sein, so muss die Determinante von S—$" verschwinden. 
Man kann daher durch eine congruente Transformation W von nicht 
verschwindender Determinante bewirken, dass 


W(S —-$S')W' 
nur von den in EZ, befindlichen Variabelnpaaren abhängt. Bezeichnet 
man also mit 7 eine alternirende Form der übrigen Variabeln, so ist 
($—S'))W'HW=o, 
und für 
7a WEHW=Z2. 7" 
ist wieder die Gleichung 2) erfüllt. 


8) Verschwindet die Determinante von SS" nicht, so 
ist die Determinante von T, wenn sie nicht verschwindet, 
das Quadrat einer rationalen Function ihrer eigenen 


Elemente. Denn es ist 

TS +S')=(T— TS, 
also 7 nur um einen Factor von der schiefen Determinante 7 — 7" 
schwinden. Aus dieser Gleichung geht zugleich hervor: 


VerT- 


Verschwindet die Determinante von T, während die von 
SS" nicht Nullist, so verschwinden auch noch ihre sämmt- 
lichen ersten bis %“ Unterdeterminanten, wo k eine gerade 
oder ungerade Zahl ist, je nachdem n eine ungerade oder 
gerade Zahl ist. 

Man kann diese Sätze noch erweitern. Aus der Gleichung 


5) TS +eS')+(T—eT)8' =» 
folgt: 
(-W"P=A|T'—eT 
| IS +e8'] 
oder für 
Be 
e+l 


GI er T)), 
SSR 8) 


41* 


318 


Ist nun |7’|=P nicht Null, verschwindet dagegen |S+S"|, so ist 


auch 7'—7|=0o; und aus der letzten Gleichung geht hervor, dass Zähler 


und Nenner auf der rechten Seite mit der nämlichen Potenz von r be- 
ginnen. Es wird demnach auch für r=o 
P=4 T—T—r(T+T') 
lser sep os), 

Nun hat Herr Frobenius den folgenden Satz bewiesen: „Ist A eine 
symmetrische, B eine alternirende Form, ist die Determinante r A+B| 
nicht identisch Null, und haben ihre für r =o verschwindenden Elementar- 
theiler alle einen geraden Exponenten, so ist in der Entwickelung dieser 
Determinante nach steigenden Potenzen von r der Üoefficient des An- 
fangsgliedes das Quadrat einer rationalen Function der Coefficienten von 
A’und 2.“ 

Da nach Nr. 3 die Elementartheiler von T'—oT zugleich die von 
$+0oS' sind, so folgt: 

Haben die für o=1 verschwindenden Elementartheiler 
der Function S+oS'! sämmtlich einen geraden Exponenten, 
und verschwindet 7| nicht, so ist diese Determinante das 
Quadrat einer rationalen Function ihrer eigenen Elemente. 


9) Es seien t, T zwei Formen, von denen wenigstens eine, etwa 7, 
eine nicht verschwindende Determinante hat, und welche die Gleichung 
2) befriedigen. Dann folgt nach 5) 


(+ oM)S+ (09), 
THE T)S+ TU 08)=0, 


oder 
d-e)=t(T)(T+eT); 


das heisst, die aus conjugirten Grundformen gebildeten beiden Schaaren 
a, or 


sind äquivalent, sobald die Determinante von £ nicht Null ist. Sollte 
t dieser Bedingung nicht genügen, so kann man jedenfalls an Stelle von 


1) Frobenius, Ueber die schiefe Invariante ete., Borchardt’s Journal, Bd. 86, S. 57. 


319 


t t-+-hT setzen, sobald man unter h eine solche Constante versteht, dass 
't£+-hT| nicht Null ist. Dann aber sind jene Schaaren auch congruent, 
und man hat den folgenden Satz: 

Ist T eine Lösung der Gleichung 2), und verschwindet die 
Determinante von T nicht, so ist jede andere Lösung der- 
selben in der Form 

=hT-V'TV 
enthalten. 

Die Gleichung 

A a a) 
verwandelt sich damit aber in 

WLV SINN VS) = 0, 
oder nach Entfernung des Factors V', wenn noch 

DNT= — 88)" 
gesetzt wird, in 


VS(S) —S(S) WW; 


d. h. die Form V ist mit der antisymmetrischen Form $(S')-' 
vertauschbar. Es lassen sich daher aus einer Lösung von nicht ver- 
schwindender Determinante der Gleichung 2) alle anderen mittelst des 
Problems der vertauschbaren Formen herleiten, und insbesondere ist jede 
Lösung, deren Determinante gleichfalls nicht verschwindet, dieser Lösung 
congruent. 

10) Der so eben bewiesene Satz lässt sich in der folgenden Form 
erweitern: 


Je zwei Formen R, T welche der Gleichung 2) genügen, 
und deren Unterdeterminantensysteme bis zu derselben 
Ordnung verschwinden, sind einander congruent, sobald sie 
gleichzeitig durch zwei auf dieselben Indices erstreckte 
Substitutionen V, W von der Gestalt 4) in Formen von 
nicht verschwindender Determinante cogredient transformirt 
werden. Seien nämlich 

EASY: 
TEWRW, 


320 


die beiden Formen von nicht verschwindender Determinante welche nur 
die Variabelnpaare einer Form E, enthalten, in welche nach Nr. 4) 7 
und R cogredient transformirt werden können, so ist 
EVNSE UV TS, 
We 1 u Var 520. 
Multiplieirt man unter der Voraussetzung 
B=B+E, 
diese Gleichungen mit 
Dre, 
so entsteht 
mi MV SS. 
(GT aW = —E Mihsısz): 
Es ist ferner nach Nr. 4) 
V=EVE+EV, 
oder 
E=EVEVT'+B,; 


also 
H—HVEV IH NA 
Multiplieirt man also die vorhergehenden Gleichungen mit 


EVE+B, EWBE+B, 
so wird 
BV/EE)NttEBV=—- HS'S”", 
EWE(t"TBEW"=-ES'S". 
Da nun nach Nr. 4) die Determinanten von ZVE und EKWE, 
nicht verschwinden, so kann man setzen 


BEN —ZP, N EWMETER); 
und es wird 
Pet +eB) P=QAlet')"T+eB]Qr, 
oder 


P@)" [+] PP= Que)" Tr + er ]Qr". 


321 


Die beiden Formen ö-+- ot und r-—+ or! sind also äquivalent, daher 
auch congruent. D. h. es ist 


UmEle = 
wo U, eine Form von nicht verschwindender Determinante der in EZ, vor- 


kommenden Variabeln ist. Bezeichnet man mit U, eine Form der übrigen 
Variabeln, deren Determinante ebenfalls nicht Null ist, und setzt 


U—u-%, 
so ist 

DEU; 
oder 

(EBENEN WE ER, 
wie zu zeigen war. 
11) Multiplicirt man die mit den Grössen u,, v, geränderte Deter- 

minante der Coefficienten 9,, von 7 


6) Pr u; 
Io, [/) 4 


mit der Determinante von S, und bezeichnet die ersten Unterdeterminanten 
der 9, durch P,,, so ergiebt sich 


7) ZP m = N" FE P,o. 
Durch Multiplication der Gleichungen 7) mit den p,, und Summation 
nach & folgt aus 7) 
Pay, == — I) =ZP, OP im ’ 


mit P mus also auch 
ZPıdn 


verschwinden. Da aber andererseits 
SP,9, lie 0, 
ist, so folgt, falls die P, nicht sämmtlich verschwinden 
Sl 


Verschwindet die Determinante von T, ohne dass ihre 
ersten Unterdeterminanten sämmtlich Null sind, so bilden 


322 


diese letzteren ein symmetrisches System, d. h. die Werthe 
conjugirter erster Unterdeterminanten sind einander gleich. 


Man erhält daher aus 7) 
ZP,len -— N") = 0. 


Hat also bei ungeradem n, wo P verschwindet, die Func- 
tion S—eS' nicht mehrere Elementartheiler von der Gestalt 
(e— 1)‘, so sind die ersten Unterdeterminanten der Formen 7 
demselben Systeme von ÜCoefficienten proportional, falls sie 
nicht sämmtlich verschwinden. 


Der nämliche Satz gilt bei geradem n, falls |S +0" nicht mehrere 
Elementartheiler von der Form (e—1)" enthält. 


Dieser Satz lässt sich aber erweitern. Verschwinden die k— 1'* 
Unterdeterminanten von 7 noch sämmtlich, die A" dagegen 
nicht alle, so bilden die letzteren ein symmetrisches System, 
d. h. die Werthe conjugirter %“* Unterdeterminanten sind 
gleich, und unter denselben befinden sich auch nicht ver- 
schwindende Hauptunterdeterminanten. 

Man hat nämlich 


, 1 2 . 
Pıı Pr WM uk 
a en 
1 2 17 . 77 
Pnı - - Pın Un Un. : uk 1 
We. 0 04.0.0 ,0 
Aın » - Im 
Were 0 0. 9.0.40 
1 
Sina ou 
1 | 
—H 1b pin ai te Pin An Un. - ur 
En i w; Gy w), 0) > Re 
1 k 
| “ W,, 0 0 
falls 
17/2 = Zw! [04 


genommen wird. 


323 


Ebenso wird aber 


1 % 
Br: Dr ho 
| 
| 
a a 
: 1 er | 11 ın 
Din 2 Da, N U | 
ae NS TONNSEER 0 
Any An 
N  ) 


gleich der in voriger Gleichung rechts stehenden n—+% reihigen Deter- 
minante, wenn 
V: > Zw, Os: 


genommen wird. Es gilt daher die Identität 


1 1 ke ’ 1 k 
ER Mad LO 

k 
Pri “Pan Un - us Br ( 1 yet p ar. 05 Pan Un . u, 
U en a A Fe DAS 3 VE3D 5 12 
a N ae) AMANSLO" 20 


unter der Voraussetzung 
en Aral pin rl 
W; Dr Zu, Os, % Las zu, Os; 
1=1,2%.--Kk. 


Dies ist aber die nämliche Identität, welche im $ I, S. 265° ff. 
untersucht wurde, und damit ist zugleich der angegebene Satz bewiesen. 


8 MX. 
Fortsetzung. 


Ein besonderes Interesse besitzt der Fall, wo bei geradem n die 
Determinante von T nicht Null ist, oder bei ungeradem n die ersten 
Unterdeterminanten von 7 nicht mehr sämmtlich verschwinden. 

Nach $ VII, Nr. 5 haben die beiden Schaaren von conjugirten 
Grundformen 

oeS+S' und eT'—T 
Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 42 


324 


dieselben Elementartheiler, wenn die Determinante von 7 nicht ver- 
schwindet. Setzt man in der zweiten Schaar o0= —-o, so sind nach dem 
Kronecker’schen Satze die Elementartheiler von der Form 


(e-+1%, (1 
Bu N 
stets paarweise vorhanden. Das heisst: 


Verschwindet die Determinante von T nicht, so muss 
die aus conjugirten Grundformen gebildete Determinante 

1) eI+ 8 
nur paarweise Elementartheiler von der Form (e+1)e. ent- 
halten. [Und umgekehrt muss, wenn diese Bedingung nicht 
erfüllt ist, die Determinante von 7 stets verschwinden.] 

Aber diese Bedingung ist auch hinreichend. Sind nämlich die 
Elementartheiler der Function 1) von der Form (e+1)® paarweise vor- 
handen, so lässt sich nach einer Bemerkung des Herrn Frobenius') 
eine Form 

oeX— X 

construiren, welche genau dieselben Elementartheiler besitzt, und deren 
Determinante nicht Null ist. Denn es ist möglich, eine Schaar 0X — X! 
mit conjugirten Grundformen zu bilden, welche vorgeschriebene Elementar- 
theiler hat, vorausgesetzt, dass dieselben paarweise von gleichem Grade 
sind und für reciproke Werthe verschwinden, mit Ausnahme derjenigen, 
die für e=1 von einer ungeraden, und für e= —1 von einer geraden 
Ordnung verschwinden. Dann aber giebt es nach dem Weierstrass’- 
schen Satze zwei Substitutionen ?P und @ von nicht verschwindender 
Determinante, vermöge welcher 

PS X, 

US er, 

wird. Es ist also auch 

PSQ=—Q!SP. 

Setzt man nun 
(W)"PS=T”, 

‚S’ P' Os — (3 


325 


so wird 
Fl— 3 TUT), 
oder 
TS+T!'S8'=o; 
und die Determinante von 7 verschwindet dabei nicht. Daraus folgt: 

Wenn die Form gerader Ordnung |oS+S" nur paarweise 
Elementartheiler von der Form (e-+1)e, (o— 1) hat, so lässt 
sich immer eine Form 7 von nicht verschwindender Deter- 
minante finden, welche der Gleichung 1) genügt. Zur wirk- 
lichen Ermittelung aller Formen 7 dieser Art, von deren Existenz in 
& XI Gebrauch gemacht werden wird, kann man freilich weder die so 
eben gegebene Methode (Vgl. $ I, Nr. 7), noch den in $ VIII, Nr. 9) 
angeführten Satz benutzen, da die so erhaltenen Formen 7’ keineswegs 
von einander linear unabhängig sind. Der obige Satz lässt sich auch in 
der folgenden Form aussprechen: 

Wenn die Determinante g8+5S' nur paarweise Elementar- 
theiler von der Form (e +1), (e—1) hat, so giebt es unter 
denjenigen Transformationen U, für die die Determinante 
von U+ En nicht verschwindet, auch solche für die auch die 
Determinante von U—En von Null verschieden ist. 

Ich gehe nun zu dem Falle über, wo bei ungeradem » eine 
Lösung 7 existirt, deren erste Unterdeterminanten nicht mehr 
sämmtlich verschwinden. Dabei mögen folgende Bemerkungen voraus- 
geschickt werden. Lässt sich die Form 7’ durch die cogrediente Trans- 
formation V in eine Form ? von nicht verschwindender Determinante 
verwandeln, welche nur die in E, vorkommenden Variabelnpaare enthält, 
so ist 

IVTSSITV+t=o, 
und demgemäss 
tEV "S(S)"VE-+t=o, 
SS VEn=i0; 
Setzt man also 


V"SS)"V =0540440%40 
= Z=b;n L, Yrı ze > %, Ya = PR Ty Yn, = Dix, T,, Yrı 


42* 


326 


so ist nothwendig, dass o,, d. h. dass alle Coefficienten b,,, gleich Null 
sind, dass ferner die Zahl der in E, vorkommenden Variabeln eine ge- 
rade ist, und dass die Gleichung 


2) in 4t1=o 
Lösungen von nicht verschwindender Determinante besitze. Da ferner die 


Determinante von o, gleich Eins ist, so ist auch die von o, gleich Eins. 
Aus der Gleichung 

to, — Ee)+t!—+to=o 
folgt aber, dass die characteristische Function von 0, ausser reciproken 
Wurzeln mit gleichen Elementartheiler-Exponienten Elementartheiler von 
der Form 

(en) (0) 5 
nur paarweise besitzen darf. 

Genügt umgekehrt o, diesen Bedingungen, so existiren 
zwei Formen P, @ von den in E, vorkommenden Variabeln, 
für welche 

Pi — E9J)Q=X+oX 
wird. Daher ist 
P,0= X, DO =ZERXE 
mithin auch 
Q’P'= -—Po,Q, 
oder 
("Po +PQ"=o; 
mithin ist die Gleichung 2) erfüllt, sobald {= (Q')"' P gesetzt wird. 

Damit also bei ungeradem n eine Lösung T vorhanden 
sei, für welche die ersten Unterdeterminanten nicht mehr 
sämmtlich Null sind, muss $($’)"' einer Form ähnlich sein, 
welche von der Gestalt 


n—1 


et Ya Ynlcı 9% Hgg - 0,10, 1) 4 In Yn 


ist, und in welcher der erste Theil eine Form o, bezeichnet, 
die den soeben angegebenen Bedingungen genügt. Hieraus 
lassen sich aber die Bedingungen herleiten, denen $ selbst zu genügen hat. 


327 


Ist nämlich aligemein 
— = >b 2, Yı 
eine Form der n— 1 Variabeln 7,y, -2,_1%,_ı und 


F= P-+y, Ca %, — De en) TE AUF 


so hat die characteristische Function von F' dieselben Elementartheiler 
wie ®, bis auf einen zu der Wurzel o=--1 gehörigen, der einen um 
eine Einheit höheren Exponenten besitzt. 


Bezeichnet man die % fach mit beliebigen Grössenreihen 


u oe, A tnzels 


1, 
u AAN 
geränderte Determinante der characteristischen Function von & mit 
ua. -uf 
® vo re u 
so ergiebt sich leicht für die ebenso geränderte Determinante der charac- 
teristischen Function von F der Ausdruck 


Mo) Sa 53 ae 1 [« ( en = Bunt, ( h zen) 


vlv:. vol yi Ve 


und der mit A bezeichnete Theil enthält nur Producte der “, !Y; h=1, 
2---%k mit Determinanten die weniger als % Ränder enthalten. Es sei 
nun 0 —g, ein Wurzelfactor, der in den 9» Unterdeterminanten der 
characteristischen Fnnetion von & l,mal enthalten ist. Dadurch, dass 
an Stelle der willkürlichen Grössen « in den letzten k Formen des obigen 
Ausdruckes die gesebenen ÜOoefficienten « eintreten, kann die Multiplicität 
dieses Wurzelfactors in denselben gleich /,+5, werden, wo 5>r. Da 
aber alle in A befindlichen Glieder denselben in der Multiplicität /,_, ent- 
halten, und 4_,>Z% ist, so sind die Wurzelfactoren der drei Glieder 


(1— 0) ee)"; Ile —e)"; Io—o)"t& | 
und so lange o, von 1 verschieden ist, muss daher jene Multiplicität genau 


gleich , sein. Ist aber ,—=1, so kann dieselbe gleich /,—+1 oder /, 
sein, je nachdem S>1, oder S=o ist. Daraus folgt: 


328 


Die characteristischen Functionen von F und $ haben 
dieselben Elementartheiler in Bezug auf alle von o—1 ver- 
schiedenen Wurzelfactoren. 

Nun habe ich in den Sitzungsberichten der k. bayer. Akademie') den 
folgenden Satz bewiesen: 

„Bringt in einer k— 1 fach geränderten Determinante, deren Elemente 
rationale Functionen eines Parameters e sind, die Ersetzung einer Reihe 
willkürlicher Grössen « durch gegebene Grössen « keine Aenderung für 
den Exponenten /,_, des in dieser k— 1 fach geränderten Determinante 
enthaltenen Wurzelfactors hervor, so ist dies auch bei keiner der höher 
geränderten Determinanten der Fall“. Bezeichnet man also die betreffen- 
den Exponenten für die characteristische Function von ® in Bezug auf 
die Wurzel e=1 durch 


Gh bh u um, 
in Bezug auf F durch 
Ag Ay dyn Apı An Ayıı 
so gilt der Satz: 
Ist, 5 Bonistlauıch 1, =: 
Da nun ,=4,-+1, so ist die Reihe der Exponenten für ? 
+, At, H1-- LH], Lamb Ira 
wobei p irgend eine der Zahlen 
| 
sein kann. Das heisst: 


Die characteristische Function von Fhat auch in Bezug 
auf die Wurzel o=1 dieselben Elementartheiler, wie &, mit 
Ausnahme eines einzigen, nämlich des Elementartheilers 
mit dem Exponenten 


1 


der um eine Einheit grösser ist. 


1) Ueber einen Satz aus der Theorie der Determinanten, Sitzb. d. math. phys. Classe, 
November 1889. 


329 


Es kann übrigens eine Aenderung in der Zahlenreihe der Exponenten 
nur an einer Stelle stattfinden, wo zwei aufeinander folgende Elementar- 
theiler nicht gleich sind. Ist nämlich 


l,_ı Fr L, e— L, al li 3 


und wäre 
LU — = — 1, 
lea, 
bon 

so ist 
hahaha—; 


,—hnzltb,—stı 
was unmöglich ist, da 

hy-1 El ne 
sein muss. 

Hat umgekehrt die Form F dieselben Elementartheiler 
wie D mit Ausnahme eines einzigen von der Form (e—.«)‘, der 
einen um eine Einheit höheren Exponenten hat, wie der 
correspondirende von &, so ist F der Form # ähnlich, ver- 
mehrt um die Form 


Yy[&8%ı + Bir Be] 80, Y,- 


Denn die Normalformen') von $& und F unterscheiden sich, wenn der 
Elementartheiler (o— a)! in &, (oe — a)! in F vorkommt, bei geeigneter 
Bezeichnung der Variabeln nur um die Glieder 


& LnYn - %n—1 Un: 
Es ist also 


V"FV—-WBW =an,y. + %,_1Yn 
wo die Form W von nicht verschwindender Determinante nur von den 


in $& vorkommenden Variabeln &,%, - -&,-ı%9,-ı abhängt. Daraus folgt 
aber 


I) RB. 84 21. 


3930 
(W-+ E,) Be" F AUS: E,) an »p = (W+ E,) (« %, Yn +2,21 Y.) (BR — 2) 


oder nach einfacher Rechnung 


oW 
(= nz E,))" F( VL Ww-! Ez E,))=FP+ X,Y, TInay, 


womit die Behauptung erwiesen ist. 
Wendet man diesen Satz auf die vorliegende Frage an, so folgt: 
Damit bei ungeradem n nur die Determinante von T, 
nichtaber noch die ersten Unterdeterminanten von Tsämmt- 
lich verschwinden, ist nothwendig und hinreichend, dass 
die sammtlichen Elementartheiler von 


S+es'| 
von der Gestalt (e+1)' paarweise vorhanden sind, mit Aus- 


nahme eines einzigen von der Form (e—1)°, der einen um 
eine Einheit höheren Exponenten hat, als der folgende 


Bars: 


X. 
Lösung der Gleichung 7S+ T'S'=o. 


Ich werde in diesem Paragraphen zeigen, wie die Lösung der 
Gleichung 
1) ST+-S'T'=o, 
oder 
TS+T'S'=o, 
auf das Problem der vertauschbaren Formen zurückgeführt werden kann. 
Aus 1) folgt durch Elimination von 7" 


2) LS(S'), —(S)7.S7—0. 
Setzt man 
SS) = RR 
so wird aus 2) 
A 0X 7, 
d. h. jede Form 7, welche der Gleichung 1) genügt, wird 


3sl 


durch die antisymmetrische Form X cogredient in sich 
transformirt. 

Setzt man 

IS), 
so ist nach 2) 
3) SS a rE RS (Sn: 
d.h. die Form Y ist mit der antisymmetrischen Form X ver- 
tauschbar. Ferner folgt aus 1) 
715 Y.(8,)0.—0, 
oder 
Su Sm Yo: 

Demnach wird 

4) IE 

Jede Form 7, welche der Gleichung 1) genügt, ist also 
von der Gestalt 4), falls Y die Gleichung 3) befriedigt. 

Dieser Satz lässt sich in der folgenden Weise umkehren. 

Bezeichnet man mit Y irgend eine Lösung der Gleichung 
5), so stellt der Ausdruck 4) alle Lösungen der Gleichung 
1) vor. 

Denn aus 4) folgt 

NS — 55.75  %; 
2m 7° (8.99%. -(5,7.78(8)-) 8) 
— 5 %S, 
also 
ST, —0: 

Die Anzahl der linear unabhängigen Formen 7, welche in dem 
Ausdrucke 4) enthalten sind, werde ich im nächsten Paragraphen be- 
stimmen. 

Man kann auch einen anderen Weg zur Lösung der Gleichung 1) 
einschlagen. 

Aus der Identität 

HE) TSHMITHT (SH 08) HT! — To)(S'— 08) 

Abh.d. II. Cl.d.k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 43 


332 
folgt insbesondere für 
0-02 1 

5) CHPCHHEM-TNE—-N)=o. 

Man kann nun versuchen, die symmetrische Form T’+-T!, sowie die 
alternirende Form 7! — 7 für sich zu bestimmen. Dies kann zunächst 
in dem Falle geschehen, wo $-+-5$"| nicht Null ist. 

Aus der leicht zu beweisenden Identität 

(SHF)STIS - S)=(S' — SIT (S+8)), 
folgt nämlich 
SUN—S)\(S+S')' = (St Se (SL me. SS 


Setzt man nun 


6) W=SE-SE-ST-EHTT (8), 
so genügt die Form W der Gleichung 
7) SWıS'W'—o, 


denn es ist 
WW —= — (S')("—-8)(S + S') 
nach 6) gleich 


— (S')"SW. 
Da ferner 
E+8SW=(8'—S)\($S+-S"+E 
= (9 — 8-8 +8')($ + 8) 
= 2,8 (8 +9), 
so folgt: 


Die Determinante von E+-SW ist nicht gleich Null. 
Aus der Gleichung 5) folgt ferner 


Pe ET 
und durch Uebergang zu den conjugirten Formen 
T+T=W'$S(T—- T=—Ws$S(T'—T). 
Genügt also die alternirende Form 7T'—T der Gleichung 


(T-T)SW=WsS(T—T), 


333 


so ist 
(T+T)= —(T!—- T)SW. 
Schreibt man an Stelle der vorstehenden Gleichung 
(7'—- T)$s)wWSs= WS[(7'—T)S$] 
so hat man: 
Jede der Formen (T'—T)S ist mit der Form WS ver- 
tauschbar. 


Und umgekehrt erhält man aus jeder Lösung Z der 
Gleichung 


8) ZWS=WSZ 
eine Lösung (7"—T)$8, welche der genannten Bedingung 
genügt. 

In der That folgt aus 8) für Z=TYS 

9) r W=WSY, 


und durch Uebergang zu den conjugirten Formen 
Y's' W! — w'sYy! 
oder nach 7) 
3) 745. K — IE S/7: 
mithin aus den beiden vorstehenden Gleichungen 9) und 9°) 
(M-NSW=WS(T'—Y). 
Es ist also auch 
10) T— T=!'— Y=($)"Z2'—Z97, 
und 
T+T= —[($\)"Z2'—ZS7]8W, 
also endlich 
11) 2 T=[ZS7"—(S')" ZU E+SW). 


Hiermit sind alle Lösungen von 1) gefunden, und die Anzahl der 
linear unabhängigen Formen T ist gleich der Anzahl der 
linear unabhängigen Formen von der Gestalt 

Zen (1) 
43* 


334 


wobei Z mit WS vertauschbar ist, da die Determinante von Z+SW, 
wie oben gezeigt, nicht verschwindet. 

Verschwindet dagegen die Determinante der alternirenden Form 
$S'—S nicht, so kann in analoger Weise die Bestimmung von 7 auf die 
einer symmetrischen Form zurückgeführt werden. Denn aus 5) folgt 
alsdann 

12°) — (7 — T)=(T+T')\($ +8) (S' — 8)" 
also auch 

19) (T+HMICHHE- HT =-(K-STUSHSNTHT) 

Setzt man nun 

SUSHI - HF HEHE" F, 
so genügt die Form V der Gleichung 

12?) SV+8V=0o, 
und die Determinante von 


SYt E=28(— 9, 


ist von Null verschieden. Die Gleichung 12) verwandelt sich also in 


15) (7+7T)8]V8S=VSs[(T'+T)$]. 
Aber auch umgekehrt folgt aus jeder Lösung X der Gleichung 
14) KUS=EIVISER 


eine symmetrische Form T—+T7', und zwar wird, wenn man ganz wie 
vorhin verfährt 
T+-T=-X!-SYIX, 

also auch nach 12°)- 

15) 2T= [XS +(S)"X]SVY+E), 
und die Anzahl der linear von einander unabhängigen Formen 
Tist gleich der Anzahl der voneinander linear unabhängigen 
Formen von der Gestalt 

ZI (HT. 

Die Anzahl der linear unabhängigen Formen in den Darstellungen 

11) und 15) lässt sich aber leicht angeben. 


’ 
! 
2 
j 
2 


a 
= 


Sind nämlich 
AN, 
die k von einander linear unabhängigen Formen welche der Gleichung 
14) genügen, so ist 
MSV=ZSV X), 
also auch 
BSER RSS (S)ESVEXLS, 
oder nach 12°) 
SE S | VS VS) 8]: 
Die Formen X, haben also die characteristische Eigenschaft: 
Ist X, eine Form, welche der Gleichung 14) genügt, so 
genügt auch 
(So 5 
derselben Gleichung; d. h. die letztgenannten Formen sind 
lineare Combinationen der X, 


Setzt man nun 
n 

16) (SE XS — >, 2.8 
1 


‚= Z(hYX,, 
so wird 
NS, 500%, jr, BIST; 
d. h. zwischen den Formen P, bestehen so viel lineare Relationen, als 
zwischen dem System der Coefficienten 


th, i=1, 2--:%k 
enthalten sind. 8 
Aus 16) folgt aber durch Uebergang zu der conjugirten Form 
XS" F0a,X;, 
oder 
X, = Za,($)" X, 8, 
also nach 16) 
17) X, = Fa,0, X, 


336 


Da nun zwischen den Formen X, keine lineare Relation besteht, so 
ist diese Gleichung eine Identität, also 
Sa, = (hl): 
Die Coefficienten «,„,, als Coefficienten der bilinearen Form 
A010, V, 


mm 


aufgefasst, genügen also der Gleichung 
AM. 


Die characteristische Function von A hat also') p einfache Elementar- 
theiler von der Form o—1 und k—p einfache Elementartheiler e+1. 
Mithin giebt es k—p linear von einander unabhängige Grössenreihen 


20; s=1, 2-...k—p, 
für welche 

Z[le,t(hölu=o; :=1, 2--K, 
ist. Es bestehen also auch zwischen den Formen P, nicht mehr als 
k—p linear von einander unabhängige Identitäten 

>.P,0, 0, S.—= 1, 2, ::k—H 


d.h. die Zahl der linear von einander unabhängigen Formen 
ist gleich p°). 


aRSESlD. 

2) In derselben Weise lässt sich, worauf ich hier noch aufmerksam machen möchte, auch 
das Problem lösen: 

Alle symmetrischen oder alternirenden Formen zu finden, welche durch 
eine Substitution U, die eine Form $ von nicht verschwindender Determinante 
in sich transformirt, in sich selbst übergehen. 


Ist 
1) ul SU; 
so sind alle Formen 7, die gleichfalls durch U in sich übergehen, nach $ I Nr. 8 gegeben durch 
2) N, 
wenn 
3) PUI=U!P. 


Bezeichnet man die vollständige Lösung von 3) durch 


I 


3 
3 


337 


Analoge Betrachtungen gelten auch für den Fall wo die Deter- 
minante von ($+-S$') nicht verschwindet. In dem Falle, wo beide 
Determinanten gleich Null sind, ist eine Reduction auf das Problem der 
vertauschbaren Formen auf diesem Wege nicht mehr ausführbar. Aber 
auch hier lässt sich die Bestimmung der Formen T'+7T, T'—T ge- 
sondert vornehmen. 

Setzt man nach 2) 


FELD VEHHFLEIUF-TDITT IE —5)V=0, 


so kann man die Substitution V stets so wählen, dass die symmetrische 
Form in E, übergeht, wo E, nur die n, Variabelnpaare &,%, --2,Y, enthält. 


so ist die zu erfüllende Bedingung, dass 7 symmetrisch oder alternirend werden soll, ausgedrückt 
durch 
4) DiesPr ED0NSZ PS, . 
Setzt man aber in der aus 3) folgenden Gleichung 
pP! u! = Ust pP! 
für U-1 den aus 1) folgenden Werth: 
Sal UNSI(S I) uU! gı 
ein, so erhält man: 
Ss pP! STH [0% = u! ‚g" pP! Sau: 
d. h. es ist 
5) SPST—=NByP; 
und nach 4) 
>, PR, —=-- 30,5 P,, 


oder wegen der Unabhängigkeit der Formen Ps 


6) = 20,P%- 
Aus 5) folgt aber: 
VER — NS nr 208% 


P,=23ß,8'PjS' — SPBaßy Pi 
Buy (s3)- 


Die Anzahl der von einander unabhängigen symmetrischen und alter- 
nirenden Formen, welche hiernach durch die Anzahl der einfachen Elementar- 
theiler von der Form (ot1) der characteristischen Function der Form 


und hieraus erhält man 


SP %; Yr 


bestimmt ist, ist demnach insgesammt stets gleich der der linear unabhängigen 
mit der gegebenen Substitution U vertauschbaren Formen. 

Ich muss mich hier damit begnügen, auf die mannigfache Bedeutung hinzuweisen, welche 
diese Betrachtung für die Geometrie der quadratischen Formen hat. 


338 


Setzt man also 
ea ee a? 
VS Ve Seen y) 9 =t, 
so wird 
18) d-P)E +! —b)(s' —s)=0. 
Hieraus folgt erstens 


EYE —)B= 0, 


und dies sind n(n—n,) lineare Gleichungen für die In(n — 1) Coeffi- 
cienten der alternirenden Form !—t. Aus der Gleichung 


+) +) — 9))H; 
in welche 18) nun übergeht, ergeben sich noch nn, lineare Gleichungen 
für die In(n-+-1) Coefficienten der symmetrischen Form t-+Ht.. 

Eine besonders elegante Lösung ergiebt sich so in dem Falle, wo 
E,=E ist, d. h. die Determinante von & 4-8" nicht Null ist. Setzt man 
s'—s— 0, 

so folgt aus 18) 
+) --@—)o=o, 
oder als Bedingung für (t! —t) 
( —t)o = oft! —!). 
Ist umgekehrt X eine Form, welche mit der alternirenden Form o 
vertauschbar ist, so ist 
D—ti=X' —X, 
!-+t= — (X'—X)o, 
also 
2t= — (X'— X)(0-+ EB). 
Es möge nun angenommen werden, dass die ersten Unterdeterminanten 
der characteristischen Function von 0 
o—eEl=|V |" — S—-e($S-+8')|V| 


für keine Wurzel derselben sämmtlich verschwinden, dass also nament- 


339 


lich auch |S'— $| nicht bei geradem n, und ohne seine ersten Unter- 
determinanten bei ungeradem n verschwindet. Ist nun') 
e—E=ntme ++ ae", 
so besteht zwischen den Potenzen der Form o die Relation 
wa" -+00--a,0"= 0, 
während die Formen 


n—1 


000270 20%; 


von einander unabhängig sind. Da nun o eine alternirende Form ist, 
wird bei geradem n = 2p 


o—E=,+%e+a0+:--0,0%; 
also 
+0’ —+- -a,0®t'=o. 


Mithin sind die 9=} alternirenden Formen 


von einander unabhängig. 
Ist dagegen n=2p-+-1, so wird 
| — eE|= no+me’—+ -- RE ae ; 


n—l 


d. h. es sind nur die p="- alternirenden Formen 


ee 


von einander linear unabhängig. Da ferner unter der angegebenen Vor- 
aussetzung die einzigen mit o vertauschbaren Formen die linearen Com- 
binationen der Potenzen von o sind, so ergiebt sich der folgende Satz: 


Wenn die characteristische Function 


1 —8— 084 8')| 


oder 

S— AS" 
keine Wurzel besitzt, für welche ihre sämmtlichen ersten 
Unterdeterminanten verschwinden, und auch für = —|1 


1) Ve. F.S. 11, &. 
Abh.d. II.Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 44 


340 


nicht verschwindet, so ist die Gesammtheit der linear von 
einander unabhängigen Lösungen der Gleichung 
TS-+T'S'=o 
dargestellt durch 
! -t=0,04+0,0° + :-0,,_, 07} 


— !+)=0,0"+0,0°+ :-0,_,0? 
oder 
— 2:=(0,0+0,0°+--@,,,0”')(E-+ 0) 
wobei die Anzahl der p von einander unabhängigen Para- 
meter « gleich der grössten ganzenin % enthaltenen Zahl ist. 
Für zerlegbare Formen kann man die Lösung der Gleichung 1) 
nicht unerheblich vereinfachen. 
Ist S eine m S +8&+ +5, zerlegbare Form, und sind 8. und 85 
irgend zwei Bestandtheile derselben, so folgt aus 
ST+S'T'=o 
nach Multiplication mit E, und Ez 
S1-1-8,.72=0, 
ST+ 5 12308 
oder, wenn 
HELB,; te, TE = baß, 
EsTEg=tg; Ex IR Eg =1pa, 
gesetzt wird, und 
1 1 
aß» Epa 
die conjugirten Formen von L«g, tea Sind: 
19) Sala 1 Sole = 09, 
Spte+ Sp; — ur 
Salan-ı- Salea 0, 
Set, + Splap — 8 
Aus den beiden ersten Gleichungen 19) ergeben sich die Coefficienten 


der beiden Formen’ t., tz. Aus den beiden letzten aber folgt durch 
Uebergang zu den conjugirten Formen 


341 


20) — tg — SS, !Ba — Ipa 5 Sz, 
ea ae! 
21) = SE. 


Hieraus geht hervor: 


Haben die beiden characteristischen Functionen 
Sa — 0 S.l, 185 — 08%] 
keinen gemeinsamen Theiler, so ist 
bap = baß — [Ba — EBa 05 
d. h. es ist dann die Form 7 in derselben Weise zerlegbar. 
Haben dagegen jene Functionen einen gemeinsamen Theiler, so existirt 
eine von Null verschiedene Form t;., welche die Gleichung 20) 
Sa Saga — lpa 8; 8," 
befriedigt. Bezeichnet man den gemeinsamen Werth der beiden Seiten 


dieser Gleichung mit 
Ser laß, 
so ist auch 


Eehen| Y IN—=I = I\—1 1 
ES 


oder 
l ee) yl — wre —14l 
— tb lag da da =5;8; ar 


d. h. es ist auch die Gleichung 21) erfüllt. Zugleich wird 


ba + &ß = laß Ze Ba 


derjenige Bestandtheil von 7, welcher zu den beiden Bestandtheilen $,, 5; 
von $ gehört, denn nach den vorstehenden Gleichungen sind auch die 
beiden letzten Gleichungen 19) befriedigt. 


Setzt man aber, um 20) zu lösen, 
SP 
= pn YigYapr 
ÜBa = —L;uxB Dia Yng 


wobei die Indices anzeigen, dass nur die in den entsprechenden Formen 
44* 


342 


S«, S; vorkommenden Variabeln vorhanden sind, so besteht für die (a) 
Coefficienten bar das System von («ß) Gleichungen 


21) —brump (Grata mp "aka epmp) . 
Setzt man 


ler Am Bsp Erz aka A,gmp — Myump, lasß ? 
so folgt bei gleichzeitiger Vertauschung von !, und k., sg und ng 
h 


kamß, lusß — asp, kamß 

Die Determinante des Systems der Coefficienten in den Gleichungen 
21) ist daher eine schiefe, und ihr Verschwinden mit der oben ange- 
gebenen Bedingung eines gemeinsamen Theilers äquivalent. Und so hat 
man den Satz: 

Die Anzahl der Parameter, durch welche die Form 8. + 5 
in sich nicht singulär transformirt wird, ist um eine gerade 
resp. ungerade Zahl grösser, als die Zahl der Parameter, 
durch welche $, und S; in sich transformirt werden, je nach- 
dem das Product der Ordnungen von &,, 54 gerade oder un- 
gerade ist. 

Nach Herrn Kronecker') kann jede bilineare Form von nicht ver- 
schwindender Determinante durch congruente Substitution in ein Aggregat 
elementarer Formen von der Gestalt 


BE ER ER 


verwandelt werden, wo 
E=nY +%Yo + Don-2Yn-ı 
+ el& Yo 4 2eyı +" Don-ı Yan-o)» 
und c’ nicht gleich Eins; 
B=oy+nYy+ Up — %Yyı +%Y+ yo + By, — Ya 
+ 7 0m Yon_ı 4 In Y2n-2 3 


und » eine gerade Zahl 2»; 


1) K. 8. 430. 


E 


343 


Heron & 
E = —IyYı 4 2,9% — I Ya — CoYı — ToYz + 83 Ya — %Yı — %rYs 
= nn — Lu Ym-ı = Iam-ı Ym-2 


und rn eine ungerade Zahl 2p-+-1; 
E' = 00,9 + 21% — %Yı t %2Yı + %ıY2 + %3 Ya — %2Y; 


a BR 
zu Setzen ist. 

Die Determinante von E-+oE' enthält nur die Elementartheiler 
(c+0)", (1+oc)*; die von E,+e0E, nur die Elementartheiler (1-+ 0)”, 
(1-+ 0)”; die von E°-+09E" nur die Elementartheiler (oe —1)?F', (o—1)?*'; 
die Determinante von E’°-+oE” enthält endlich bei geradem » nur den 
elementaren Theiler (1+-.0)"*', während derselbe bei ungeradem »n gleich 
(1—o)"t ist. 

Für Formen von der einfachen Gestalt der elementaren Formen 


 E, E, E®%, E®, welche im ganzen 
2n, 4p, 2(2p+1), +1 


Variabelnpaare enthalten, lässt sich leicht die Anzahl der homogenen 
willkürlichen linearen Parameter bestimmen, welche in den Lösungen 
der Gleichung 
ST+S'T'=o 
auftreten. Die betreffenden Resultate mögen hier kurz angeführt werden. 
1) Ist 
S=HYyt%Yat 
+e@%+RYyı ::°) 


und N die Zahl der Variabelnpaare in $, so hat man in 7’ 1N resp. 
4(N-+ 1) Parameter, je nachdem N gerade oder «ungerade ist. Die 


nicht singulären Substitutionen für E sind daher — wie im 
allgemeinen Falle — von n Parametern abhängig. 
2) Ist 


Say +2 Yo Yz + 5 Yı + Ser 
+ pp — Dyı -%Y%—%Y- 


344 


und versteht man unter N dieselbe Zahl wie bei 1), so enthält die 
Form 7 für 

N=4p, 2@p-+1), 2p+1 
im ganzen 


4p, Ap+1,p-+1 


willkürliche Parameter. Die nicht singulären Substitutionen für 


E, sind also von 4p Parametern abhängig. 
3) Ist 


S=— 2% + 9% — Ye + %Yı) — 91934 8 Ya — (BY 4 Lay) 
so beträgt die Zahl der Parameter in 7 
4p, Ap+3, p-+1 
je nachdem 
N=4p, 2(2p+-1), 2p-+1 


ist. Die nicht singulären Substitutionen für E’ sind daher 
von 4p+3 Parametern abhängig 


4) Ist endlich 
$=cX%Yy + (& Y — Yıro)t (XaYı + %ı Yo) + (a3 Y2 — %oYy) + (2, Ya + 8y)+ 


so erhält ınan für 7, ganz wie im allgemeinen Falle 4 N resp. 1(N—1) 
Parameter, und daher sind auch die nicht singulären Substi- 
tutionen für Z’ nicht durch eine grössere Mannigfaltigkeit 
ausgezeichnet. 

Es hat hiernach keine Schwierigkeit, die Zahl der Parameter zu 
bestimmen, durch welche eine bereits auf elementare Formen reducirte 
Form in sich transformirt wird'). Indessen beruht diese Reduction durch 
congruente Transformationen selbst auf Operationen’), die bisher auf 
rationale noch nicht zurückgeführt sind. 


1) Vgl. insbesondere auch die Bemerkungen auf Seite 340—342. 


2) Vgl. die mit K. bezeichnete Arbeit des Herrn Kronecker, sowie C. Jordan, Sur les 
transformations d’une forme quadratique en elie m@me, ‚Journal de Math&matiques, Annee 1888, 
S. 349. 


8 XI. 
Irredueibilität des Systemes der eigentlichen Transformationen. 


Durch die vorstehenden Untersuchungen können alle Substitutionen 
U gefunden werden, für die wenigstens eine der beiden Determinanten 
IU+ E| oder |U— E| von Null verschieden ist. 


Wenn dagegen die characteristische Function 
4A()= U—eE 
von U unter der Voraussetzung einer eigentlichen Substitution sowohl 
für o=--1 als auch für ge = —1 verschwindet, so muss /(e) von einer 
geraden Ordnung m für eg = — 1 verschwinden. Sei ferner /(0) = 4, (e) 4, (0), 
wo 4,(oe) das Product der Elementartheiler, die für o0= —1 verschwinden, 
und U, eine Form der Variabeln &,%,, : - %,Y„, welche dieselben Elemen- 
tartheiler hat, wie 4,(0) und ebenso U, eine aus den Variabeln «,.,, 
Ynıı  - %,Y„ gebildete Form mit den Elementartheilern von 4,(e). Dann 
ist die Form 
U=U-+DU, 
der Form U ähnlich, also 
Glea 205 U, U, 
und - 
DSUZS. 
Hieraus folgt 
EiEDIG (GES CACUEL IC H.SG ; 
also, wenn 
(ESG —=S,, 
gesetzt wird 
(Ga UNG SAGE 8, 
oder 
SSR 
Hieraus folgt aber'), dass S, ebenso in zwei Formen S, + S, zerleg- 
bar ist, wie die Form U, n U,-+7,. 


1) Vel. $ II, S. 250. 


346 


Daher wird 
USU,=S, 
USU,e Ss: 

Nun verschwindet die Form 4,(e) nur fürre=—1, also ist die 
Determinante von #3, — U, nicht Null, und ebenso ist die Determinante 
von E,+-U, von Null verschieden, da 4,(e) den Theiler o=—-1 nicht 
enthält. Es werde nun angenommen, dass eine Form H, der m Variabeln- 
paare 2,%,,- :%,%,„ vorhanden sei, deren Determinante nicht ver- 
schwindet, und der Gleichung 

1) HS, + H!8S!=o 
genügt, und es sei ferner 

E,+U =: 

2) u er 

1 Y Hs ER Der 
Beabpeg 
also auch 

3) 75, 7m, 0 

4) 88.21. 

Setzt man ferner 

5) T,=@[(T, +2%H) +26, 


wo h einen willkürlichen Parameter bedeutet, so ist wegen 
$=@(S,+%8)8, 
"= @(S+8)0, 
EEE HS = EHI, 
ST =E (+8) EI + SE)" AT, +2hHA)"+T)6@ 
= (HS) HR A) EEE HS) TG 
= @ (SI, + S))(T,S,+2hH,S)"@+ 6'857 T,G. 
Mittelst der Gleichungen 1), 3), 4) wird hieraus mit Bezug auf 5) 
S"T,=@ (TI, 42H Ss) TE —-E'TlG 
=--@((T+2hH) + T@=—7,, 


Demnach genügt die Form 7, der Gleichung 
6) Pi —ISESTT,. 
und der Parameter h kann dabei jeden Werth oberhalb einer 


gewissen Grenze annehmen, da die Determinante von Ä, nicht 
Null ist. 


Es ist ferner nach 5) 
(TH +2kH+S')(C)"(S +7) 

er ST LoRH) TG, 
= (7, +24) +E, +8, +%85'7T,]@, 
- [n-m. + 2ru 
=218 U)" (+4 0)" rHS]eG; 

und ebenso 

(DL +2AkH+SS)\(E)"($S—-T)= [IT +2hH)S —E+ EB, — 85'T,)]@, 
—2U - U) 78 E7U)' ThH,S]6. 


++ B,+27%H,S,| 6, 


Aus diesen beiden Gleichungen folgt 


S+ DS —Z)=Ee"[E— U)" tRHS +B+ UT" x 
x [U (BE — 0)" +RH,8, + U,(B,+ U,)]@ 

Die Determinante der Potenz mit dem Exponenten —1 wird hier 
auch für A=o nicht unbestimmt, da die Formen E,-—U, und &,+J, 
kein Variabelnpaar gemeinsam haben und ihre Determinanten nicht ver- 
schwinden. Demnach wird 

MS Selen: U) =U, 
R=6 
denn es ist 
(BE — UV)’ HB +O,)’T =(B—0O)+(B+0,). 
Das heisst: 


Unter der angegebenen Voraussetzung lässt sich die 
Transformation U mit Hülfe eines Grenzprocesses aus der 


vollständigen Lösung der linearen Gleichung 6) 


Abh.d. II. Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 45 


348 


T=—$S'S"T 
herleiten, indem man die willkürlichen Parameter als Func- 
tionen einer Variabeln h auffasst. 


Es beruht aber die vorstehende Betrachtung auf der Möglichkeit, 
eine Form H, von nicht verschwindender Determinante zu finden, welche 
der Gleichung 1) genügt, und hierzu ist nothwendig und hinreichend '), 
dass die Elementartheiler der characteristischen Function 


So Sı| 
von der Form (e—1)«, (o+ 1)? nur paarweise auftreten. Die Elementar- 
theiler von |$ +08" sind aber zusammengenommen gleich denen von 


IS tes und |5+oS}. 
Diese Bedingung ist zunächst erfüllt, wenn die Determinante 
+8), 


was bei geradem » stattfinden kann, überhaupt nicht verschwindet. Ist 
dagegen n eine ungerade Zahl, und hat die Function 


S+e8 
nur die einfache Wurzel g=—1, während |$+S"| nicht Null ist, so 
kann die zu einer geraden Zahl von Variabeln m gehörige Function 

Sı + oSi| 
nicht für e=—1 verschwinden, da sie in diesem Falle mindestens den 


Theiler (o+1)’ haben müsste, für den überdies alle ersten Unterdeter- 
minanten noch Null werden. 

Man hat also den folgenden Satz: 

Die sämmtlichen Substitutionen, durch welche eine all- 
gemeine bilineare Form $ von nicht verschwindender Deter- 
minante eigentlich in sich transformirt wird, bilden ein 
irreducibeles System. 

Durch eine andere Specialisirung ergeben sich auch die beiden 
wichtigen von Herrn Frobenius bewiesenen Sätze über den irreducibelen 


1) Vgl. $ IX. 


349 


Character derjenigen eigentlichen Transformationen, welche eine symme- 
trische resp. alternirende Form von nicht verschwindender Determinante 
in sich transformiren, dessen darauf bezüglicher Untersuchung') die vor- 
stehende nachgebildet ist. 


$ XI. 


Ueber die Anzahl der Parameter, von denen die Coeffieienten der Transformation 
in sich selbst abhängen, 


Da jede Form ihrer conjugirten ähnlich ist”), so besteht die Gleichung 

1) SIR.S PR. 

Ist umgekehrt 5 eine gegebene Form von nicht verschwindender 
Determinante, und ist » eine Form, welche der Gleichung 1) genügt, so 
existirt auch immer eine Form P von nicht verschwindender Determinante, 
welche dieselbe befriedigt. Denn für 

P=p—oE 
wird 

SE.56 PD; 
und umgekehrt kann man aus den Lösungen P von nicht verschwindender 
Determinante jede Speciallösung herleiten. Die Aufgabe, bei gegebenem 
S alle Formen P zu finden, welche der Gleichung l) genügen, 
reducirt sich also auf die Bestimmung aller Formen dieser Art, deren 
Determinante von Null verschieden ist. 

Da aus 1) folgt 


BS' 082 — P(S5.-.08), 
so sind die Schaaren conjugirter Formen 
12,82 08. Rund 8, 08 


äquivalent, also auch congruent. Mithin existirt eine Substitution W, für 
welche 


1) BE. S. 44 fi. 
2) F. S. 21. 
45* 


BSl,08 PL — W.S!:508) W 
wird, und es ist 


PS WAS“W. 
Die Gleichung 1) geht demzufolge über in 
2) (SYZESEWZZW(SN)258, 
und zugleich wird 
3) DW 38 Wis) T%: 


Demnach ist dieForm W mit der antisymmetrischen Form 
(S')'S vertauschbar. Und umgekehrt sind in der Gleichung 
3) alle Lösungen der Gleichung 1) von nicht verschwindender 
Determinante enthalten, sobald W der Gleichung 2) genügt. 

Denn aus 

P=UW.-S\ WS, 
oder 
P' — W'SW, 
folgt 
SWS W=. WS" WS) 3 Pi} 
Es seien nun 
I P, gi Di 
die « von einander linear unabhängigen Lösungen der Gleichung 1), 
deren Anzahl durch eine Untersuchung der Determinante des Systems der 
linearen Gleichungen 1) bestimmt werden kann; ferner 


W,, mW, var W. 
die m von einander linear unabhängigen Lösungen der Gleichung 2), also 
W==pß,W, 


Mm 


die allgemeine Lösung von 2). Dann wird 
4) WS W=ZEP,P.(W:8' W,+ WS" W,) 


unter der Voraussetzung, dass bei gleichen Indices © und % der Term in 
der Klammer nur einmal hinzuschreiben ist. 


Setzt man 
du == Ww; $' WAS); 


Ä 
3 
| 


so wird 
0. 8= W:8' W,(S)-"S= 8(8-' WS W,), 
also 
RS} — Sr- 
Die Form 
Ra = 047 Qu = (WS W, + WS! WS) 
genügt also der Gleichung | 
R.8= S.Ry; 
mithin wieder der Gleichung 1). 
Es ist daher 


BRa= 1a Ps 
u 


wo die r,=r,, numerische Üoefficienten sind, und aus der Gleichung 4) 
folgt nunmehr die Identität : 


FR > 
5) N 
u 


aus welcher wegen der Unabhängigkeit der ?, folgt 
6) EP Pers; 
Sales 2 2-00 
In diesen Gleichungen muss jede der Grössen /, wirklich enthalten 
sein. Denn da in der Form 
175% 


die Determinanten von W, und S$ nicht verschwinden, so kann dieselbe 


[2 


nicht Null sein. und daher enthält der Ausdruck W' S!W selbst den Term 
PB: WS’ W,, 


der sich gegen keinen anderen aufheben kann. Dagegen können die 
rechten Seiten der Gleichungen 6) etwa nur m <m von einander unab- 
hängige Functionen der /, enthalten, welche durch 


B,, B,-- B 


m) 


bezeichnet sein mögen. 


Sind nun umgekehrt die Grössen «, d.h. ist die Form P willkürlich 

als Lösung von 1) gegeben, so ist 
PS 30.8 W.: 

d. h. es giebt dann stets Auflösungen der Gleichungen 6), diese sind 
also von einander unabhängig. Von den Grössen B sind daher 
m, — u willkürlich. Und da aus den Grössen B nur m, Parameter /, 
bestimmt werden können, so folgt, dass bei gegebenen Werthen 
der « die Grössen noch 


m — u 


willkürliche Parameter enthalten müssen. 

Diese Zahl ist aber, wie leicht zu sehen, gleich der Anzahl der 
Parameter, die in denjenigen Substitutionen enthalten sind, welche $ in 
sich selbst transformiren. 

Ist nämlich U eine Substitution, die $ in sich transformirt, so ist 

UNS UT 8, 
also auch 
Ve IE, 
Bezeichnet man mit W, irgend eine willkürlich gedachte Lösung 


dieser Gleichung 2), deren Determinante nicht Null ist, ferner mit 
W., W,--W, 


m? 


die Gesammtheit der von einander linear unabhängigen, so ist 


U—-(2B,W)W,. 
Setzt man 
w@W—PS,, 
so kann P als eine völlig willkürliche Lösung der Gleichung 1) ange- 


sehen werden, so dass also die Coefficienten « in der Gleichung 


P—20P. 
u 
selbst willkürlich sind. Zugleich wird aber 
P— WS UW., (Ser 
= FB, W)IERWIE"; 


353 
man erhält also vermöge der auf S. 351 ausgeführten Betrachtung wieder 
zur Bestimmung der P die Gleichungen 6), wie zu zeigen war. 

Man erhält also folgenden Satz: 

Die Anzahl der willkürlichen Parameter, durch welche 
eine Form $ von nicht verschwindender Determinante in 
sich cogredient transformirt wird, ist gleich 

Mm — u 


wo m die Anzahl der linear von einander unabhängigen mit 
(S'J"'S vertauschbaren Formen, u die Zahl der von einander 
linear unabhängigen Formen P ist, die der Gleichung |) 
genügen. 


Sei, um diese Theorie auf ein Beispiel anzuwenden, $ eine symme- 
trische Form. Dann ist ($')"S—=E, also m—=n?’. Dagegen ist die Zahl 
der von einander linear unabhängigen Formen, welche der Gleichung 1) 

Sea MS 


genügen gleich 1n(n-+-1), da hierzu nur erforderlich ist, dass PS eine 
symmetrische Form ist, also u—=4n(n-+-1). Mithin beträgt die Zahl 
der Parameter 

"—Inn+1)=!inn—1). 


Ist dagegen $ alternirend, so findet man auf demselben Wege 
mn’, und für die alternirende Form 


SB — PS (Ss 2. 
u=+In(n — 1), also 
m— u=In(n-]). 
Man kann nun endlich leicht zeigen, dass die Zahl m — u gleich der 


Anzahl der willkürlichen Parameter ist, welche in den nicht singulären 
Substitutionen auftreten, die vermöge der Gleichung 


7) ST+HST'=o 


bestimmt werden. 


354 


Bezeichnet man mit 
11; T, er 1 
die von einander linear unabhängigen Lösungen der Gleichung 7), so ist 
ZT: 
und zugleich nach $ X, 4) 
T= a8 W, ?73 W; Sen) 
sowie 
SWS IW.S SID 
also 
8) Do Zee: 


m 


Da die Grössen $ von einander unabhängig sind, so können nicht 
alle 0 reihigen Determinanten der Matrix 


ß,ı 2 ; Bm 
Pz\ Ps 5 2% Pgm 
Bei Bor : : Pom 


verschwinden. Den Gleichungen 


9) u. 0, o—=1, 2- "®, 


genügen daher m —o von einander linear unabhängige Systeme der 
Grössen a. Bezeichnet man diese durch 


1 1 1 
a & rt Om 

2 2 2 
q &, Om 
ame amZe ..- gm- 0 


m 
so verschwinden auch die m — go reihigen Determinanten der Matrix aus 
den o* nicht sämmtlich. Es sind demnach die Formen 


a W, +: Wa=Z,, 
2 2 
a Ww, + + Om Wan = TER 


ame m, + .. ame IR, = m—0) 


m 


A rd nn 


355 


linear von einander unabhängig, welche zufolge der Gleichungen 9) die 
Gleichung 

STZ—-ZS0"=o 
oder die Gleichung 1) befriedigen. Die Anzahl dieser Formen ist aber 
gleich u. Demnach ist 


UZM—0, 9—=M — U. 
Hieraus folgt der Satz: 


Die nicht singulären Substitutionen, welche eine Form 
S in sich transformiren, enthalten ebenso viele willkürliche 
Parameter, wie die allgemeinste Substitution dieser Art 
überhaupt. 


Abh.d. II. Cl.d.k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 46 


356 


mn un 


un 


un wm Un WM Um wm un Um Won 


. Einleitung 


. Die Eigenschaften der cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in 


Inhalt: 


sich selbst 


. Die reelle Transformation reeller Formen 


Bestimmung der Transformationscoefficienten mit Hülfe einer Gleichung n. Grades 


. Transformation von Formen mit verschwindender Determinante 

. Symmeitrische und alternirende Transformation einer bilinearen Form in sich 
. Rationale Lösung des Transformationsproblems 

. Die Gleichung ST+ T!S!=o 


Fortsetzung . . 0 


. Lösung der Gleichung 78 + TIS!=o : : 
. Irredueibilität des Systemes der eigentlichen Transformationen 


. Ueber die Anzahl der Parameter, von denen die Coefficienten der Transformation 


in sich selbst abhängen 


Seite. 
239 


247 
267 
273 
286 
294 
303 
309 
323 
330 
345 


349 


Das 


Bayerische Praecisions-Nivellement. 


Achte Mitteilung 


Carl Max von Bauernfeind. 


Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 47 


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Ergebnisse 


des in 


Verbindung mit der Europäischen Gradmessung in Bayern 


ausgeführten 


Präeisions-Nivellements. 


Achte Mitteilung 
von 


Carl Max v. Bauernfeind. 


Meine vor zwei Jahren erschienene letzte Mitteilung über das 
Bayerische Präcisionsnivellement spricht die Hoffnung aus, dass die nächste 
die letzte sein und nicht blos sämtliche Beobachtungen nebst deren 
Reduktionen für die im rechtsrheinischen Teile von Bayern noch auszu- 
führenden Messungen, sondern auch eine neue Ausgleichung und Koten- 
berechnung des gesamten Höhennetzes dieser sieben Provinzen enthalten 
werde. Diese Hoffnung lässt sich indessen in dem hier bezeichneten Um- 
fange nicht erfüllen, weil das in den Jahren 1888 und 1889 noch ge- 
sammelte Beobachtungsmaterial einen viel grösseren Umfang annahm, 
als damals vorausgesetzt werden konnte, und weil man dasselbe nicht 
ein Jahr unberührt liegen lassen kann, um es dann mit den seit 20 Jahren 
in Bayern gewonnenen Ergebnissen in Einem auszugleichen und auf Grund 
der erst kürzlich von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme 
in Preussen erhaltenen zuverlässigen Koten dreier an der Nordgrenze von 
Bayern gelegener Anschlusspunkte bei Kahl, Elm und Öbersiemau die 
Höhen unserer Festpunkte über Normalnull zu berechnen. 

Empfiehlt sich ein solches Verfahren schon aus dem Grunde nicht, 
weil es erstens eine weise Vorsichtsmassregel ist, ein mit grossen Kosten 


erworbenes Beobachtungsmaterial sobald als möglich durch den Druck 
47* 


360 


gegen Unfälle aller Art, wie Feuer- und Wassersgefahr, Diebstahl, Un- 
leserlichwerden u. dgl. sicher zu stellen, und weil zweitens die Bearbeitung 
und das Studium der Ausgleichung sämtlicher Bayerischer Nivellements 
wesentlich erleichtert wird, wenn die massgebenden Zahlenwerte gedruckten 
Mitteilungen zu entnehmen und in diesen wiederum nachzusehen sind, so 
gibt es noch einen triftigen weiteren Grund, aus der in Aussicht ge- 
stellten einen und letzten Mitteilung deren zwei zu machen, wovon die 
erste (gegenwärtige) alle Beobachtungen und die zweite (künftige neunte) 
die neue Ausgleichung und Kotenberechnung enthält, und dieser Grund 
ist der allzugrosse Umfang, den die gegenwärtige Mitteilung annehmen 
würde, wenn sie allen schon vorhandenen und noch zu beschaffenden 
Stoff allein aufnehmen sollte. 

Dass aber das in den letzten zwei Jahren noch einzuheimsende 
Material einen so grossen Umfang angenommen hat, wie es thatsächlich der 
Fall ist, erklärt sich einerseits aus dem Bestreben, das Bayerische Präcisions- 
nivellement so zu vervollkommnen, dass es sich den besten Arbeiten dieser 
Art gleichstellen kann, und andererseits aus dem Wunsche, dieses Nivellement 
nicht blos zu seinem ursprünglichen Zwecke, der Untersuchung der Höhen- 
lage aller europäischen Meeresspiegel, sondern hauptsächlich auch zu zwar 
untergeordneten, aber sehr wichtigen technischen Höhenmessungen im 
Lande selbst zu befähigen. 

Behufs der Beschaffung neuer Fixpunkte erster Ordnung, an welche 
die Nivellements der Baubehörden und des topographischen Bureau überall 
angeknüpft werden können, erschien es vor allem notwendig, das ehe- 
malige alte Polygon Nr Ill, welches von Nürnberg über Regensburg, 
Straubing, Landshut nach München und von da über Augsburg, Donau- 
wörth und Nördlingen nach Nürnberg läuft, durch eine von Regensburg 
ausgehende und an der Donau bis Offingen sich hinziehende Querlinie in 
zwei noch immerhin ansehnliche Polygone zu teilen, um mehrere Fest- 
punkte an der Donau und gleichzeitig, in Verbindung mit dem ebenfalls 
neuen Präcisionsnivellement der Strecke Würzburg-Nördlingen, den Vorteil 
zu erreichen, unsere westlichen Nivellementslinien unabhängig von dem 
Württembergischen Präcisionsnivellement ausgleichen zu können, das wir 
dem unserigen an Güte nicht gleichstellen können, da es nur als Eisenbahn- 
Nivellement hergestellt worden ist. 


361 


Dann waren infolge einer strengen Kritik, welche wir an unseren eigenen 
Nivellements ausübten, Wiederholungen von Nivellementsstrecken in einigen 
Schleifen angezeigt, welche zwar an der Grenze liegende kleine Schluss- 
fehler hatten, aber doch verbesserungsbedürftig waren, wie z. B. die Linien 
Nürnberg-Bamberg und Weigolshausen-Würzburg. Dazu kamen einige 
Nivellierungen, welche, strenge genommen, eigentlich nicht unmittelbar 
unter die Aufgaben der Gradmessungskommission gehörten, aber derselben 
von dem K. Staatsministerium des Innern für Kirchen- und Schulangelegen- 
heiten zur Ausführung und Verrechnung übertragen wurden, wie z. B. 
die Nivellements der Strassenstrecken zwischen Oberstaufen-Weiler-Scheidegg- 
Oberreitnau und Weiler-Scheffau-Scheidegg, welche für die Herstellung 
einer hydrographischen Karte des Bodensee’s nötig waren. Aehnliches 
gilt von den Wiederholungen der Nivellements zwischen Höhensteig bei 
Rosenheim, Irschenberg bei Aibling und Kampenwand bei Hohenaschau; 
nur wurden diese nicht seitens der K. Staatsregierung verlangt, sondern 
nach wiederholter strenger Prüfung der geodätischen Grundlagen meiner 
zwischen den genannten Punkten ausgeführten Beobachtungen und Unter- 
suchungen der terrestrischen Strahlenbrechung vorgenommen. 

Endlich haben wir auch zur vollständigen Durchführung meines 
Planes, mit dem Bayerischen Präcisionsnivellement auch die Höhenlagen 
aller bedeutenderen Bayerischen Gewässer festzustellen, noch mehrere An- 
schlussmessungen machen müssen, z. B. am Alpsee bei Immenstadt, am 
Schliersee, Ammersee, Tegernsee, Simssee und Waginger See, zwischen 
dem Kanalhafen bei Keiheim und der Station Saal der Bahnlinie Ingol- 
stadt-Regensburg und an verschiedenen Pegeln der Donau, des Inns, der 
Traun, der Mangfall u. s. w. 

Wir wissen jetzt, dass alle neuen Polygone, deren Zahl doppelt so 
gross ist als früher, gut schliessen und nur sehr kleine sog. Kilometer- 
fehler haben; wir können deshalb auch von der in der nächsten Mit- 
teilung zu veröffentlichenden Ausgleichung des ganzen Bayerischen Prä- 
ceisions-Nivellements ein sehr günstiges Ergebnis erwarten. 


A. Erweiterungen des Präcisions-Nivellements im Jahre 1888 


zwischen Würzburg, Rothenburgo.T., Dombühl und Nördlingen. 


Die im Herbste des genannten Jahres ausgeführten Nivellierungs- 
arbeiten hat nach meiner Anordnung und unter meiner Aufsicht und 
teilweise speziellen Mitwirkung der Assistent der K. Bayer. Erdmessungs- 
kommission, Ingenieur Karl Oertel besorgt. Sie nahmen die Zeit vom 
15. September bis 12. Oktober, also 28 Tage in Anspruch, wovon indess 
nur 20 wirkliche Arbeitstage waren. Die ganze Nivellementslinie setzt 
sich aus folgenden Eisenbahn- und Strassennivellementsstrecken zusammen: 


1. Die Linie Würzburg-Steinach-Rothenburg o. T. wurde neu 
nivelliert, ist aber seitens der Generaldirektion der K. Verkehrsanstalten 
mit einem Nivellement IL, bezw. Ill. Ordnung überzogen, sodass die 
meisten Fixpunkte und Höhenmarken schon angebracht waren. Die Länge 
dieser Strecke ist 66,884 Kilometer, die Anzahl der Instrumentenstände 
584, die mittlere Zielweite 57 m, die wirkliche Arbeitszeit 10,5 Tage, 
daher die mittlere Arbeitsleistung pro Tag 6,4 Kilometer oder 56 Instru- 
mentenstände. 


2. Rothenburg 0. T.-Dombühl ist im Gegensatz zur vorangehen- 
den Strecke mangels einer direkten Bahnverbindung auf der Strasse 
nivelliert worden, hier mussten sämtliche Fixpunkte und Höhenmarken 
neu angebracht werden. Die Länge dieser Strecke ist 21,492 Kilometer, 
die Anzahl der Instrumentenstände 295, die mittlere Zielweite 36 m, die 
Arbeitszeit 3,5 Tage, daher die mittlere tägliche Leistung 6,2 Kilometer 
oder 70 Instrumentenstände. 

3. Dombühl-Nördlingen ist gleichfalls in das Nivellementsnetz 
II. Ordnung schon einbezogen. Es war die Länge 53,980 ‚Kilometer, 
die Anzahl der Instrumentenstände 402, die mittlere Zielweite 67 m, 


363 


die Arbeitszeit 6 Tage, die mittlere tägliche Leistung —= 9,0 Kilometer 
oder 67 Instrumentenstände Die Länge aller drei Strecken zusammen 
beträgt 142,57 Kilometer, und da die für das Nivellement notwendige 
Zahl der Instrumentenstände 1281 war, so war für die ganze Strecke 
die mittlere Zielweite 55 m und die mittlere tägliche Arbeitsleistung 
7,12 Kilometer. 

Die Anzahl der durch die vorstehend verzeichneten Nivellements neu 
in das Bayerische Höhennetz I. Ordnung eingemessenen Fixpunkte be- 
trägt 94, wovon 73 in Stein gehauen, die übrigen 21 Metall-Höhenmarken 
mit Bolzen sind. 


Die Konstanten der Instrumente. 


Wie gewöhnlich, wurde Instrument Nr I ausschliesslich benützt. Die 
Konstante desselben für die Distanzmessung wurde zweimal, vor Anfang 
und am Ende der Messungen bestimmt. Es wurde erhalten 


in Weigolshausen, am 10. September nachm.: coty = 139,641 + 0,012 
in Nördlingen, am 11. Oktober früh: cot p = 139,759 + 0,079 


die Zielweiten für sämtliche Strecken wurden also, unter a den Latten- 
abschnitt zwischen den äusseren Fäden verstanden, berechnet aus 


E = 139,700 a + 0,78 m 


Wegen der neuerdings hervorgetretenen starken Veränderlichkeit der 
Latten Nr VI und VI (vgl. VII. Mittlg., S. 65) wurde von der Benützung 
derselben abgesehen, es wurden vielmehr die Reversionslatten Nr VIII 
und IX verwendet, welche ohnedies durch den Wegfall der einen (oberen) 
Fussplatte eine Vereinfachung des Nivellierverfahrens bieten. Diese Latten 
wurden vor der Abreise und nach der Rückkehr mit den bekannten 
Breithaupt’schen Messingmasstäben unter dem Mikroskop abgeglichen 
und es wurde erhalten 


Latte VIII. 
Richtige Teilung: Verschobene Teilung: 
Im September: 1 Mr; = 1,000232 m+ 0,0084mm 1Mr = 1,000224 m + 0,0099 mm 
Im Oktober: „ = 1,000248 m + 0,0105 mm „ = 1,000230 m + 0,0073 mm 


Im Mittel: 1M;= 1,000240 w.M. 1 Mı = 1,000227 w. M. 


“ Latte IX. 
Richtige Teilung: Verschobene Teilung: 
Im September: 1 My, = 1,000178m +0,0149mm 1M,=1,000176 m + 0,0088 mm 
Im Oktober: „ = 1,000190 m + 0,0214 mm „ = 1,000217 m + 0,0077 mm 
Im Mittel: 1M;=1,000184 w. M. 1 Mr, = 1,000196 w.M. 


Nimmt man alle vier Werte einfach zusammen, so erhält man als 
Gesamtmittel für beide Latten ; 
1M, = 1,000212 w.M. 


Man sieht hieraus, dass die Latten VIII und IX ihre Länge sehr 
konstant erhalten haben, denn nach früheren Bestimmungen betrug die 
nominelle Meterlänge derselben im Herbst 1887 (siehe VII. Mittl., S. 68): 


1M, = 1,000210 w. M. 


Mit dem obigen, für 1888 ermittelten Werte der nominellen Latten- 
meterlänge wurden alle gemessenen Höhenunterschiede reduziert. 

Eine weitere Untersuchung der beiden Latten, welche bis jetzt noch . 
fehlte, bezog sich auf das Verhältnis der mittleren Breite der weissen 
Centimeterfelder zur mittleren Breite eines Lattencentimeters. Es wurde 
jeder einzelne Centimeter mit einem Silbermasstab gemessen, und aus- 
gedrückt in Einheiten dieses Letzteren, erhalten: 


Latte VIII. Latte IX. 
m  — ———— —— mn 
Richtige Tlg. Verschob. TIg. Richtige Tlg. Verschob. Tlg. 
1. Mittlere Breite der weissen Felder g Fr = in 
(aus je 300 Messungen) .... 0,9882 0,9875 0,9838 0,9863 
2. Mittlere Breite aller Felder (aus 
je 600 Messungen) ....... 0,9993 0,9986 0,9950 0,9996 
3. Verhältniszahl der in (1) und 
(2) ausgedr. Felderbreiten .. . 0,9889 0,9889 0,9858 0,9868 
Als Mittel aus (3) wird erhalten 
“= 0,3810. 


Es wären somit alle geschätzten Centimeterbruchteile B zu verbessern 
um — 0,0124 B. Da aber, selbst bei sehr grossen Abteilungen, die Unter- 
schiede der Summen aller B im Vor- und Rückblick den Betrag von 
1 bis 2 Centimeter nicht überschreiten, ist der Einfluss dieser Verbesserung 
auf die gemessenen Höhenunterschiede = Null. 


365 


Durch das neue Präcisionsnivellement der in Rede stehenden Linien, 
speziell der Strecke Würzburg-Steinach ist eine Unsicherheit beseitigt, 
welche bei Herstellung des Nivellements dritter Ordnung auf der Linie 
Würzburg-Ansbach und der Kotenbestimmung des letzteren Punktes auf- 
getreten war. Es wurde nämlich durch die Ingenieure der General- 
direktion der K. Bayerischen Verkehrsanstalten die von Würzburg aus 
ermittelte Meereshöhe der Höhenmarke am Bahnhof zu Ansbach um 
rund 25 cm anders gefunden, als diejenige, welche sich im Mittel aus 
den von Nürnberg, Gunzenhausen und Crailsheim ausgehenden Nivellements 
ergab. Diese letztere stimmt aber vollständig überein mit der inzwischen 
durch das Präcisionsnivellement gefundenen, denn es ist nach Mittleg. VII, 
S. 57 die Kote der © in Ansbach 451,0993 m, und mit der bisher 
angenommenen Meereshöhe des Horizonts unserer Koten = 861,0798 m 
wird die Meereshöhe dieser © — 409,9805 m. Die Generaldirektion gibt 
(II. Mittlg. derselben, S. 12 und S. 25, Nr 1759) 409,981, also genau 
dasselbe. Leider lässt sich den etwas unklaren Mitteilungen der General- 
direktion nicht entnehmen, in welchem Sinne die Differenz von 0,25 m 
auftrat. Die definitive Kotenberechnung der Fixpunkte auf der Linie 
Würzburg-Ansbach wurde dann in der Weise durchgeführt, dass die oben 
schon erwähnte Kote der © in Ansbach festgehalten und die Anschluss- 
differenz von 0,25 m proportional der Wurzel aus dem Abstand von dieser 
Höhenmarke abgeglichen wurde. Die nachfolgende Vergleichung der aus 
dem neuen Präcisionsnivellement (mit der Meereshöhe des Horizonts 
861,0798) berechneten Meereshöhen mit denen des Nivellements III. Ordnung 
zeigt, dass damit so ziemlich das Richtige getroffen worden ist, wenngleich 
die mit der Nivellierung dieser Strecke und der nachträglichen Reduktion 
der Aufnahmen betrauten Ingenieure der K. Generaldirektion, wie ihren Mit- 
teilungen zu entnehmen ist, nur mit Widerstreben sich zu einer derartigen Be- 
seitigung dieses ungewöhnlich grossen Anschlussfehlers entschlossen. Noch 
ist zu bemerken, dass beide Nivellements von der © 943 in Würzburg aus- 
gehen, jedoch von verschiedenen Koten derselben: das Nivellement III. Ord- 
nung von der in unserer II. Mitteilung gegebenen Kote 666,9721 m = 
194,1077 m Meereshöhe, das neue Präcisionsnivellement dagegen von der 
Kote 666,9495 m (S. 369 der gegenwärtigen Mitteilung) und entsprechender 
Meereshöhe 194,1303 m. Der Unterschied der Meereshöhen ist 0,0226 m; 

Abh.d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 48 


366 


um diesen Betrag müssten also alle Meereshöhen der auf der Strecke von 
Würzburg bis Steinach beiden Nivellements gemeinschaftlichen Fixpunkte 
verschieden sein, wenn die durch das obenbeschriebene Verfahren erhaltenen 


Meereshöhen des Nivellements III. Ordnung richtig sein sollen. 
Meereshöhe 
en Fixpunkt Präc- | General- | Differenz 
Nivellem. Dir. 
BE 73 FREn SER” In 3| Sn gern 
1950 EBahnbiüekenn 193,82 193,80 | +0,02 
1951 EP] Bahnbrüce . . ... 180,65 180,63 | +0,02 
1952 © zu Heidingsfeld . . . 186,15 186,14 | +0,01 
1953 [)J Bahndurchlas . . . 182,32 18231 | +0,01 
1954 ED) Bahndurchlas . . . 179,58 179,57 | +0,01 
1955 [) Bahndurchlas . . . 179,54 17955 | — 0,01 
1956 © zu Winterhausen . . 190,25 190,25 0,00 
1957 [2] Bahndurchlas . . . 184,57 184,57 0,00 
1958 © zu Gossmannsdorf . . 183,47 183,47 0,00 
1959 Fl Bahndurchlass . . . 180,15 180,16 | — 0,01 
1960 © zu Ochsenfut . . . 194,24 194,25 — 0,01 
1961 DO) Bahndurchlas . . . 199,39 199,40 | — 0,01 
1962 © zu Marktbreit ... 208,96 205,96 0,00 
1963 F] Babhndurchlas . .. 218,10 218,11 | — 0,01 
1964 = Bahngrenzsten . . . 246,58 246,59 — 0,01 
1965 [] Wegdurchlas. . . . 276,84 276,84 0,00 
1966 MlEBähnbrücker 22 255,01 285,01 0,00 
1967 U] Wegdurchlas. . . . 300,01 300,00 | + 0,01 
1968 © zu Herrmberstheim . . 311,08 311,08 0,00 
1969 EB) Bahndurchlas . .. 310,49 310,49 0,00 
1970 [J Wegdurchlas. . . . 324,00 324,01 — 0,01 
1971 © zu Uffenheim . . . . 314,34 344,34 0,00 
1972 EC]. Bahndurchlas . . . 369,99 369,99 0,00 
1973 EI] Wegdurchlas. . . . 383,03 383,03 0,00 
1974 © zu Ermetzhofen . . . 382,74 382,74 0,00 
1975 [J Bahndurchlass. . . . 392,52 392,52 0,00 
1976 KmsBöhndurchlasy = 380,62 380,63 — 0,01 
1977 [J Bahndurchlas . . . 372,22 372,22 0,00 
1978 ObzımStemache 2 me 371,29 371,30 | — 0,01 


Wie man sieht, sind die Schwankungen der Differenzen in der letzten 
Columne nicht bedeutend, woraus zu schliessen ist, dass der grosse An- 
schlussfehler der Nivellements III. Ordnung in Ansbach in der That durch 
allmählige Summierung von Nivellementsfehlern entstand. 

Wie in den früheren Mitteilungen gilt die auf Seite 368 abgedruckte 
Uebersicht der Abkürzungen und Erläuterungen unverändert auch für alle 
Fixpunktsverzeichnisse des gegenwärtigen Heftes. 


367 


Fixpunkt-Verzeichnis 


für die im Herbst 1888 ausgeführten Präcisions-Nivellements-Strecken: 


1. Würzburg-Steinach-Rothenburg o. T., 
2. Rothenburg-Schillingsfürst-Dombühl, 
3. Dombühl-Nördlingen. 


48* 


368 


Nr 


Erklärung der Ueberschriften und Zeichen. 


Laufende Nummer der Höhenmarke oder des Fixpunktes; und zwar bezeichnen 
die mit arabischen Ziffern gedruckten Zahlen die gewöhnlichen Fixpunkte des 
Präeisionsnivellements im Umfange der Polygone, während die mit römischen 


* Ziffern gedruckten Zahlen den teils innerhalb, teils ausserhalb der Polygone 


JO O2323zuU3nu > 


[K 


=] 


liegenden Hauptfixpunkten zugehören. 

Nummer einer Abteilung zwischen zwei benachbarten Fixpunkten, nach der 
Reihenfolge der Aufnahme; 

Anzahl der Stände des Instrumentes in einer Abteilung; 

die in derselben angewendete mittlere Zielweite in Metern; 

die Distanz zweier sich folgenden Fixpunkte in Metern ; 

deren Höhenunterschied in Metern; 

wahrscheinlicher Fehler von H in Millimetern; 

derselbe Fehler, reduciert auf D=1 Kilometer, in Millimetern ; 

messingene Höhenmarken (Bolzen mit centraler Bohrung) in verticalen Wänden; 
wagrechte in Stein gehauene und mit einer Rinne umgebene Vierecke, welche 
zur Bezeichnung von Fixpunkten dienen ; 

dergleichen, mit den eingemeisselten Buchstaben HM (Höhenmarke), oder auch 
viereckige Cementplatten, in rauhe oder bröckelnde Steine eingesetzt; 

wagrecht geebnete Steinflächen zur Bezeichnung untergeordneter Fixpunkte; 
Planiehöhe (Schwellenoberfläche) der Eisenbahn. 


Die Kunstbauten der Bahnen sind teils auf grössere Strecken fortlaufend, 


teils nach den bei dem Baue bestandenen Sectionen numeriert. 


Die eingeklammerten Abteilungen f,,..Y bilden Zweignivellements zu Höhen- 


marken und Fixpunkten, auf deren Koten das durchlaufende Nivellement sich nicht stützt. 


Bei Wiederholungs-Nivellements sind die laufenden Nummern der Fixpunkte 


diejenigen der darauf Bezug habenden früheren Mitteilungen; Fixpunkte ohne Num- 


mern oder solche wit grösseren Abweichungen gegen die früher gefundenen Koten 
sind neu. 


369 


.Würzburg-Steinach-Rothenburg. 


ala) 0.) Hu | lee | ur 


943. (© an der gewölbten Wegbrücke für die Staatsstrasse von Kitzingen nach 
Würzburg an der Würzburg-Ansbacher Linie, Mitte des östlichen Wider- 
bei Kilometer 274 + 860% (vgl. S. 421) 


6 — 1,3726 666,9495 


Gewölbte Bahnbrücke bei Kilometer 273 + 745” , östliche Stirn, OD) auf einem 
Brüstungsstein, 0,28% über Pl. 


7.10 99 DT — 1,0638 0,4 0,2 0,4 667,2589 


Gewölbte Bahnbrücke mit 1 Oeffnung nordwestlich vom Dorfe Heidingsfeld, 
[] in einer Deckplatte der südöstlichen Stirn, bei Kilometer 272 + 65”; 
0,04® über Pl. 


2.20 42 1677 + 18,1757 0,7 0,5 0,5 680,4346 
[] in der Treppenstufe vor der Eingangsthür zum Bahnmeisterbureau, links 
unterhalb der Höhenmarke in Heidingsfeld; 0,93% über Pl. 

3 18 44 1576 — Srelles 0,6 0,4 0,5 676,6147 
© am Betriebshauptgebäude in der Station Heidingsfeld, Perronseite, Eck- 


lisene des vorspringenden Mittelbaues, links neben dem Eingang zum Wart- 


im II. Klasse 
4 1 — 1,6808 ! 674,9339 


Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 268 + 965% , [] auf einer Deckplatte 
der nordöstlichen Stirn; 0,50% unter Pl. 


eg a oe 06 0805 678,7616 


Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 267 + 160”, östliche Stirn, [_] auf 
dem Deckstein des südlichen Flügels; 0,37% über Pl. 


2 183 69 1795 + 2,7431 0,8 0,6 0,6 681,5047 


Öffner Bahndurchlass bei Kilometer 265 + 380%, südliches Widerlager, [_] auf 
der nordöstlichen Eckdeckplatte; 0,09% unter Pl. 


! & is 69 1782 + 0,0326 0,6 0,3 0,4 681,5373 


370 


Würzburg-Steinach-Rothenburg. . 


als|z|o | Hu |v || W| Ro 


[] auf der Treppenstufe vor dem Eingang zum Wartsaal II. Klasse zu Winter- 
hausen, links unterhalb der Höhenmarke; 0,97% über Pl. 


4 19 67 2540 — 8,9216 0,8 0,6 0,5 672,6157 
| © am Betriebsgebäude der Station Winterhausen, Perronseite, links neben 
der Eingangsthür zum Wartsaal II. Klasse 


799 670,8358 


Öffner Bahndurchlass bei Kilometer 261 + 523”, südliches Widerlager, [_] auf 
der nordöstlichen Abdeckplatte des östlichen Flügels, 0,05% unter PI. 


ei 59 1293 + 3,8984 0,5 0,2 0,4 676,5141 


[_] unter der Höhenmarke zu Gossmannsdorf, in die untere Treppenstufe ge- 
hauen; 0,69% über Pl. 


2) 43 1649 + 2,9211 0,7 0,5 0,6 679,4352 


© am Haltstellgebäude zu Gossmannsdorf, Perronseite, links neben der 
Eingangsthür zum Wartsaal 


3 1,8205 677,6147 


Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 258 + 345%, nordöstliche Stirn, 7] auf 
der südöstlichen Flügeldeckplatte; 0,74% unter Pl. 


I 17. .As0 N 1535 + 1,4940 Bot no oe 


[_] unter der Höhenmarke zu Ochsenfurt, in die Treppenstufe gehauen; 0,82” 
über Pl. 


DNB al 194947 TO e 
So am Betriebshanptgebäude der Station Ochsenfurt, Perronseite, westliche 
Er 


3 — 1,5943 666,8406 


Gedeekter Bahndurchlass bei Kilometer 251 +530=%, [7] auf der östlichen 
Deckplatte der Stirne am Einlauf; 0,92® unter Pl. 


I - .35 58 4049 — 6,7405 1,0 1,0 0,5 661,6944 


Pr 


371 


Würzburg-Steinach-Rothenburg. 


wlalı|z] Diw| +H lee Kote 


[] unter der Höhenmarke zu Marktbreit, in das Perronpflaster gehauen ; 
0,89m über PI. 


2. 17 43 1469 —ı 7,8897 0,6 0,4 0,5 653,8047 
© am Betriebshauptgebäude der Station Marktbreit, Perronseite, südöstliche 
Ecklisene 

I; — 1,6808 652,1239 
Öffner Bahndurchlass bei Kilometer 248 + 675” und Bahnwärterposten Nr 73, 


südöstliches Widerlager, [_] auf der nordöstlichen Eckdeckplatte; 0,08” 
unter Pl. 


21? 62 1486 — 10,8254 0,6 0,3 0,5 642,9793 
[Jim Sockel der Läutebude bei Bahnwärterposten Nr 72, südwestliche Ecke; 
0,19” über Pl. 

2 6 56 668 — 6,9203 0,6 0,3 0,7 636,0590 
[_] auf dem Bahngrenzstein Nr 38 westlich der Bahn bei Kilometer 245 + 707”; 
0,32m unter Pl. 

327026 68 2192 — 21,5618 0,5 0,3 0,3 614,4972 
Gedeckter Strassendurchlass für den Seitengraben nordwestlich der Bahn 


bei Kilometer 242 4 700%, [_) auf der südwestlichen Deckplatte; 0,24m 
unter Pl. 


4 28 54 3000 — 30,2561 0,7 0,5 0,4 584,2411 
Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 241 + 680%, östliche Stirn, [_) auf 
dem südlichen Eckgesimsstein ; 2,01% unter Pl. 

5 8 63 1012 — 8,1736 0,4 0,2 0,4 576,0675 
Gedeckter Strassendurchlass für den Seitengraben südwestlich der Bahn bei 


Kilometer 240 + 395%, [7] auf der mittleren Deckplatte der südöstlichen Stirn; 
0,14" über Pl. 


6 10 64 1279 — 14,9957 0,4 0,2 0,4 561,0718 


372 


Würzburg-Steinach-Rothenburg. 


| 
alslzI on | zu || m|w| zo 


© am Betriebsgebäude der Station Herrnbergtheim, Perronseite, südliche 
Ecklisene; 2,28” über Pl. 


ei) 62 1245 — 11,0734 0,4 0,2 0,4 550,9984 


Gedeckter Strassendurchlass nordöstlich der Bahn an der Ueberfahrt bei Goll- 
hofen, [] auf der Deckplatte der nordwestlichen Stirn, bei Kilom. 237 + 605%; 
0,67% unter PI. 


I 16 49 1578 — 2,1255 0,6 0,4 0,5 947,8729 


Schiefer offner Bahndurchlass über die Gollach bei Kilometer 237 + 760m, 
linkseitiges Widerlager, [_] auf der nordöstlichen Eckdeckplatte; 0,02m 
unter Pl. 


2 8 BB) 844 + 2,7186 0,4 0,1 0,4 550,5915 


Schiefer gedeckter Strassendurchlass für den nördlichen Bahngraben bei Kilo- 
meter 234 + 850=, (] auf der mittleren Deckplatte der westlichen Stirn ; 
0,06= über Pl. 


Sell 60 1906 — 13,9127 0,6 0,3 0,4 597,0788 


[| unter der © zu Uffenheim, in die Bodenplatte gehauen; 0,88m über Pl. 
4 1 68 2054 — 18,3528 0,6 0,3 0,4 518,7260 


© am Betriebsgebäude der Station Uffenheim, Perronseite, links neben der 
Eingangsthür zum Wartsaal II. Klasse 


5 — 1,9812 516,7448 


Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 229 + 620=, [7] auf der nördlichen 
Flügeldeckplatte der östlichen Stirn; 0,45® unter Pl. 


li 25 66 ° 3205 — 27,6308 09 0,8 0,5 491,0952 


Gedeckter Strassendurchlass für den südwestlichen Seitengraben der Bahn bei 
Kilometer 228 + 360%, [_] auf der mittleren Deckplatte der nordwestlichen 
Stirn; 0,03 über Pl. 


2 12 92 1255 — 13,0382 0,5 0,3 0,5 478,0570 


373 


Würzburg-Steinach-Rothenburg. 


SEIEIEHEETHEZEIEIEE? 


© am Betriebsgebäude der Station Ermetzhofen, Perronseite, südwestliche 
Ecklisene; 2,46” über Pl. 


a al 69 2349 + 0,2859 0,8 0,6 0,5 478,3429 
Offner Bahndurchlass bei Kilom. 224 +530%, [_] auf dem östlichen Flügel- 
deckstein des südlichen Widerlagers; 0,17% unter Pl. 

20 55 2182 — 9,7791 0,7 0,5 0,5 468,5638 
Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 223,0, [_] auf dem südöstlichen Flügel- 
deckstein der südwestlichen Stirn; 1,71% unter Pl. 

DD 64 1529 + 11,8965 0,5 0,2 0.3 480,4603 


Offner Baradchle bei Kilometer 220 + 775%; nordöstliches Widerlager, 
[) auf der südlichen Eckdeckplatte; 0,11” unter Pl. 


See 62 2216 —+. 8,4065 0,5 0,3 0,4 488,8668 


"DD Enks unterhalb der Höhenmarke zu Steinach, in die Treppenstufe vor dem 
Fenster des Expeditionslokals gehauen; 1,06” über Pl. 


4 22 43 1031 + 2,6159 0,5 0,3 0,5 491,4827 

© am Betriebshauptgebäude der Station Steinach, Perronseite, an der Lisene 
zwischen den beiden Läuteapparaten 

h) ii — 1,6942 489,7885 

Öffner Bahndurchlass bei Kilometer 222 + 176%, [_] auf der südwestlichen 
Flügeldeckplatte der südöstlichen Stirn; 0,14% unter Pl. 

ee Rt) 64 2448 — 31,8100 0,6 0,4 0,4 459,6727 

Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 224+25®, [_] auf der Deckplatte der 
westlichen Stirn; Pl. 

2,14 66 1848 — 8,6606 0,5 0,2 0,3 451,0121 

© am Haltstellgebäude zu Hartershofen, Perronseite, südliche Ecke; 
2,25m über Pl. 


B) 8 56 897 — 1,3174 0,5 0,2 0,5 449,6947 
Abh.d.II. Cl.d.k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 49 


374 


Würzburg-Steinach-Rothenburg. 


a |] a 


[|] auf einem Bahngrenzstein 15% südöstlich der Bahn, an der Ueberfahrt 
für den nach Schweinsdorf führenden Feldweg, bei Kilometer 226 + 120”; 
0,48% unter Pl. 


17 12 50 1205 + 9,7717 0,5 0,2 0,5 459,4664 
Öffne Blechträgerbrücke bei Kilometer 227 + 420%, [_] auf dem nordwest- 
lichen Flügeldeckstein des nordöstlichen Widerlagers; 0,04® unter Pl. 

2 14 47 1303 + 5,5282 0,4 0,2 0,4 464,9946 
(edeckter Bahndurchlass bei Kilometer 228 + 730%, [_] auf dem nordöstlichen 
Flügeldeckstein der südöstlichen Stirn; 0,90% unter Pl. 

3 12 55 1314 — 9,0960 0,4 0,2 0,4 455,8986 
[) auf einem Bahngrenzstein nordwestlich der Bahn, am Ende des Bahnhofes 
zu Rothenburg o.T.; 0,79% unter Pl. 

4 12 70 1671 — 16,7846 0,3 0,1 0,2 439,1140 
[] unter der Höhenmarke zu Station Rothenburg o. T., in den untern Sockel- 
vorsprung gehauen; 0,76% über Pl. 

5 3 70 420 — 2,1110 0,3 0,1 0,5 437,0030 
© am DBetriebsgebäude der Station Rothenburg 0.T., Perronseite, links 
neben dem Eingang zum Expeditionslokal 

6 — 1,6430 435,3600 
= auf einem im Boden festgewachsenen Stein an einer ehemaligen Bastei vor 
dem Spitalthore zu Rothenburg o.T. 

a 46 1394 + 14,6240 0,6 0,3 0,5 451,6270 
© an der Spitalkirche zu Rothenburg o.T., nördlicher Hof, erster Strebe- 
pfeiler links vom Seiteneingang 

2 3 38 227 — 0,3780 0,4 0,2 0,9 451,2490 
[) auf dem südlichen Ahweisstein an der südwestlichen Ecke des Hauses 
Nr. 19 im Dorfe Gebsattel; 0,94% über Bodenhöhe 

3 834 40 2699 + 35,8048 0,7 0,5 0,4 487,4318 


Rothenburg-Schillingsfürst-Dombühl. 


a ssz ln, lm ln | Bote 


[) auf der untersten Treppenstufe der kleinen, südwestlichen Freitreppe vor 
der Kirche im Dorfe Bockenfeld, nordwestliche Ecke 


4 26 54 2795 — 8,6703 0,8 0,6 0,4 478,7615 

[) auf dem Abweisstein an der westlichen Ecke des Hauses Nr 43 im Dorfe 
Diebach ; 0,97% über Bodenhöhe 

St 33 2468 — 10,7508 0,7 0,5 0,4 468,0107 

Gedeckter Strassendurchlass Lit. a 31 bei Kilometer 30 + 361” der Staats- 


strasse von Ansbach nach Rothenburg o.T. (Zählung ab Ansbach), [|] auf 
der Deckplatte der nördlichen Stirn 


67716 45 1430 — 4,5912 0,4 0,1 0,3 463,4195 


= unter der ® in Bellershausen, in’s Pflaster gehauen 


ir 46 1567 — 9,4895 0,5 0,2 0,4 453,9300 


© an der Kirchhofmauer im Dorfe Bellershausen, rechtseitiger Thor- 
pfeiler am Haupteingang 


8 — 1,7790 452,1510 


Gedeckter Strassendurchlass für den südwestlichen Strassengraben bei Kilo- 
meter 26 + 613%, [_] auf der nordwestlichen Deckplatte; 0,40% unter 
Strassenplanie 


1 126 38 1955 — 26,9322 0,9 0,7 0,6 426,9978 
[] in der obersten Treppenstufe vor dem südwestlichen Eingang der prote- 


stantischen Pfarrkirche im Markte Frankenheim-Schillingsfürst, rechts neben 
der Thüre 


2 34 32 1468 — 70,5443 0,7 0,4 0,5 390,4535 
Gedeckter Strassendurchlass Lit. a 2 an der Strasse von Schillingsfürst nach 


Dombühl bei Kilometer 14512” (Zählung ab Schillingsfürst), [_] auf der 
östlichen Stirndeckplatte 


3 26 29 1508 + 4,8878 0,6 0,4 0,5 361,3413 
49* 


376 
Rothenburg-Schillingsfürst-Dombühl, 

w|als|z| o| u v|m|w| Ro 
Gedeckter Strassendurchlass Lit. a 3 bei Kilometer 2+884®%, [] auf der 
nordöstlichen Stirndeckplatte 
4 19 36 1364 — 18,3183 0,6 0,4 0,5 342,5230 
)] auf dem ersten Abweisstein an der Strassenbiesung oberhalb Dombühl, 
bei Kilometer 3 + 797% 
5 14 33 930 + 7,8125 0,5 0,2 0,5 350,3355 

Dombühl-Nördlingen. 
Nr alslz|o| zu | |e| rn] Tor 


[] auf der Trittstufe vor dem Eingang zum Wartsaal III. Classe zu Station 
Dombühl; 0,70® über Pl. 


6 al 31 1914 + 37,9010 0,9 0,7 0,6 388,2365 


Ko) am Betriebsgebäude der Station Dombühl, Perronseite, westliche Ecke 


| 7 1 — 1,8371 386,3994 


Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 121 + 930m (Zählung ab Augsburg), 
[_] auf der Stirndeckplatte am Einlauf, nördliche Ecke; 0,53% unter Pl. 


1 24 71 3005 + 12,5426 0,9 0,7 0,5 400,7791 


Blechträgerbrücke bei Kilometer 119 + 890®, [7] auf der nördlichen Eckdeck- 
platte des rechtseitigen Widerlagers; 0,11” über Pl. 

2 9 74 1330 + 5,4940 0,9 0,8 0,8 406,2731 
Blechbalkenbrücke bei Kilometer 118 + 260”, rechtseitiges Widerlager, [] auf 
der nordwestlichen Eckdeckplatte; Pl. 


3 12 68 1630 + 2,3592 0,6 0,3 0,5 408,6323 


377 


Dombühl-Nördlingen. 


alılzlo.| zu |v|w|w | Wo 


| 


U) auf der Trittstufe rechts unterhalb der Höhenmarke zu Dorfgütingen; 
0,65" über Pl. 


4 3 49 293 — 0,5766 0,4 0,2 0,7 408,0557 
© am Haltstellgebäude zu Dorfgütingen, Perronseite, zwischen den Ein- 
gangsthüren zum Expeditionslokal und zum Wartsaal 
5 1 — 1,7837 406,2720 
Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 116 + 745%, [_) auf der Stirndeckplatte 
am Einlauf, südliche Ecke; 0,82” unter Pl. 
r 56 1226 + 2,3321 0,6 0,3 0,5 410,3878 
[) auf der Trittstufe vor dem Eingang zum Expeditionslokal zu Station 
Feuchtwangen; 0,93% über Pl. 
2.28 64 3592 + 2,5507 0,8 0 0,4 412,9385 
© am Betriebsgebäude der Station Feuchtwangen, Perronseite, links neben 
der Eingangsthür zum Expeditionslokal 

le ih — 1,7692 411,1693 
Blechbalkenbrücke bei Kilometer 110 + 805%, südwestliches Widerlager, [_] auf 
einer Abdeckplatte der südöstlichen Flügelmauer; Pl. 
ir, 69 2334 — 19,5199 0,7 0,5 0,4 393,4186 


Wegbrücke bei Kilometer 109 + 520%, nordwestlicher Pfeiler, [_] auf der 
südwestlichen Sockelecke in der Pfeileröffnung; 0,34% über Pl. 


210 63 1269 — 17,5591 0,5 0,2 0,4 375,8595 
[) auf der Trittstufe vor dem Eingang zum Gepäcklokal zu Schopfloch, 
links unterhalb der Höhenmarke; 0,56% über Pl. 

3 22 60 2653 + 28,0909 0,6 0,3 0,3 403,9504 


© am Betriebsgebäude zu Schopfloch, Perronseite, rechts neben der 
Wartsaalthür 


4 1 — 1,8742 402,0762 


378 


Dombühl-Nördlingen. 


ea Ir alzneD SE Bl a 


Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 104+ 320%, [7] auf der südlichen 
Eckdeckplatte der Stirn am Einlauf; 0,10% unter Pl. 


AT, 72 2437 + 11,8242 0,6 0,3 0,4 415,7746 


Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 102 + 25%, [_] auf der Stirndeckplatte 
am Einlauf, südliche Ecke; 0,09% unter PI. 


2915 69 2083 + 4,3065 0,7 0,5 0,5 420,0811 
Gedeckter Bahndurchlass im Bahnhof Dinkelsbühl bei Kilometer 100 + 645%, 
[_] auf der Stirndeckplatte am Einlauf, südöstliche Ecke; 0,42% unter Pl. 
Se 70 1679 — 0,2807 0,6 0,4 0,5 419,3004 
© am Betriebsgebäude der Station Dinkelsbühl, Perronseite, südliche Ecke; 
2,80% über PI. 

4 2 52 207 — 3,0978 0,3 0,1 0,7 416.7026 
Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 97 + 15%, linkseitiges Widerlager, 
[_] auf der Flügelabdeckplatte der Stirn am Einlauf; 0,97% unter Pl. 
192] 65 2714 —+ 7,0143 0,7 0,5 0,4 423,7169 
Blechbalkenbrücke bei Kilometer 94 + 95%, nordwestliches Widerlager, |] auf 
einem Deckstein des südwestlichen Stirnflügels; Pl. 

2530 60 3611 + 1,5875 0,9 0,9 0,5 425,3044 
— auf einem Randsteine des ersten Perrons in der Station Wilburgstetten, 
gegenüber der Höhenmarke; 0,30% über Pl. 

3 


6 82 975 — 1,9236 0,4 0,1 0,4 417,3808 


€ 


© am Betriebsgebäude der Station Wilburgstetten, Perronseite, links neben 
der Eingangsthür zum Wartsaal III. Klasse; 2,26% über Pl. 


4 1 — 2,2639 415,1169 


[|] auf einem Bahngrenzstein nordöstlich der Bahn bei Kilometer 91 + 710%; 
0,91® unter Pl. 


ie 10 70 1402 0 0,7 0,4 0,5 411,4289 


379 


Dombühl-Nördlingen. 


z| DD +H len] Role 


= auf einem Bahngrenzstein nordwestlich der Bahn bei Kilometer 90 + 805”; 
0,14” unter Pl. 


2 6 75 903 — 7,3183 0,3 0,1 0,3 404,1106 

Blechträgerbrücke bei Kilometer 88 + 25%, östliches Widerlager, [_] auf einer 
Deckplatte des südlichen Stirnflügels; Pl. 

SR) 73 2770 — 15,1555 0,7 0,5 0,4 3889551 

[D) auf der Trittstufe links vor dem Eingang zum Wartsaal in der Station 
Fremdingen; 0,70% über Pl. 

4 24 69 3309 + 27,6987 0,8 0,6 0,5 416,6538 

© am Betriebsgebäude der Station Fremdingen, Perronseite, links neben 


der Wartsaalthüre 
ls 1 — 1,7479 414,9059 


Gedecekter Bahndurchlass bei Kilometer 81 + 550”, [) auf der Stirndeckplatte 
am Einlauf; 0,71% unter PI. 

124 66 3172 + 9,7502 0,7 0,5 0,4 426,4040 
(Gedeckter Strassendurchlass für den südöstlichen Bahngraben bei Kilometer 
79+170®%, 7) auf einer Deckplatte der südwestlichen Stirn; 0,17” unter Pl. 
2 Er 70 2373 — 6,0717 0,9 0,8 0,6 420,3323 
© am Betriebsgebäude zu Station Marktoffingen, Perronseite, zwischen 
den beiden Wartsaalthüren; 2,54” über Pl. 

3 il 65 129 — 2,5272 0,2 0,0 0,6 417,8051 
Blechträgerbrücke für Strasse und Bach bei Kilometer 75 + 680%, recht- 


seitiges Widerlager, [_] auf dem nordwestlichen Eckbrüstungsstein; 0,20” 
über Pl. 


ll 70 3344 —-10,2147 0,6 0,4 0,3 428,0198 
© am Betriebsgebäude der Station Wallerstein, Perronseite, zwischen den 
beiden Wartsaalthüren 


2 9 77 1392 — 3,1045 0,5 0,3 0,4 424,9153 


380 


Dombühl-Nördlingen. 


als|z| o| zu |w|w|wW| oe 


Fachwerksbrücke bei Kilometer 71 + 680%, südliches Widerlager, [_] auf der 
äussersten Deckplatte des westlichen Flügels; 0,04” über Pl. 


er ie 75 2604 + 10,8055 0,7 0,4 0,4 435,7208 


429. [[] rechts oberhalb der Bayerischen Höhenmarke in Nördlingen, in den Sockel 
der Ecklisene gehauen; 0,70= über Pl. 


2 N 70 1544 — 5,1762 0,6 0,3 0,5 430,5446 


430. Bayerische & am Betriebshauptgebäude der Station Nördlingen, Perron- 
seite, im Sockel neben der nordwestlichen Ecklisene 


3 1 + 0,2404 430.7850 


B. Wiederholungen, Erweiterungen und Anschlüsse des 
Präcisions-Nivellements im Jahre 1889 


in mehreren Provinzen des Königreichs und an dessen nördlichen Grenzen. 


I. Die Arbeiten im Frühjahr 1839 


welche ebenfalls der Assistent der K. Bayerischen Erdmessungskommission, 
Ingenieur Karl Oertel im Auftrage dieser Stelle nach meiner Anordnung 
und unter meiner Aufsicht und teilweisen speziellen Mitwirkung vornahm, 
umfassten folgende Nivellierungen: 


1. das Präcisionsnivellement Oberstaufen-Weiler-Scheidegg-Oberreitnau mit 
dem Doppelnivellement Weiler-Scheffau-Scheidegg; 

2. das Präcisionsnivellement Immenstadt-Alpsee; 

3. die Wiederholungsnivellements Prien-Aschau-Kampenwand, dann Rosen- 
heim-Höhensteig und Aibling-Irschenberg; 

4. das Präcisionsnivellement vom Bahnhof Schliersee zum See daselbst. 


Ihre Zahlenergebnisse sind im Fixpunktverzeichnis Nr II zusammen- 
gestellt und deren Ermittlung ist nachstehend noch weiter erläutert. 


38l 


Zu Nr 1. Die Herstellung eines Präcisionsnivellements von Ober- 
staufen über Weiler und Scheidegg bis zum Anschluss in Oberreitnau 
wurde im Interesse der von einer internationalen Kommission neu herzu- 
stellenden hydrographischen Bodenseekarte ausgeführt. Nachdem ein 
erster, schon Anfangs April unternommener Versuch zur Ausführung des- 
selben durch starken Schneefall vereitelt worden war, erfolgte diese bei 
ziemlich günstiger Witterung in der Zeit vom 22. April bis 4. Mai. In 
diese Zeit fielen im ganzen 8 Arbeitstage, wovon 6 zur Ausführung des 
Präcisions- und 2 zu der des Doppelnivellements nötig waren. Die Länge 
der nivellierten Strecken setzt sich zusammen aus 37,625 Kilometer Prä- 
cisions- und 12,855 Kilometer Doppelnivellement, während die Anzahl 
der Instrumentenstände betrug: 

a) für das Präcisionsnivellement 608, woraus eine mittlere Zielweite 
von 36 m und eine mittlere tägliche Leistung von 6,3 Kilometer 
oder 101 Instrumentenständen folgt; 

b) für das Doppelnivellement 195, der eine mittlere Zielweite von 33 m 
und eine mittlere tägliche Leistung von 6,4 Kilometer oder 98 In- 
strumentenständen entspricht. 

Die Anzahl der neu angebrachten Fixpunkte beträgt im ganzen 33, 
worunter sich 2 Höhenmarken mit Bolzen befinden. Wegen Mangels 
anderer Gegenstände mussten die Fixpunkte häufig auf steinernen Treppen- 
stufen vor Häusern u. dgl. angebracht werden, was ihrer Dauer nur wenig 
Abbruch thun dürfte, dagegen ihr Auffinden sehr erleichtert. 


Vorstehende Skizze zeigt die Situation der beiden obigen Nivelle- 
ments. Die starke Linie gibt den der Eisenbahnstrasse folgenden Ver- 
Abh.d.Il.Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 50 


382 


lauf des durchgehenden Präcisionsnivellements, die schwächer ausgezogene 
Linie das auf Strassen hergestellte neue Präcisionsnivellement zwischen 
Oberstaufen und Oberreitnau, die strichpunktierte Linie das Zweignivelle- 
ment zwischen Scheidegg und Weiler nach Scheffau, die gestrichelte Linie 
endlich die Landesgrenze. 


Die Konstanten der Instrumente. 
Die Konstante des distanzmessenden Fernrohrs im In- 
strument Nr I wurde zweimal bei guter Witterung bestimmt. Am 
2. April 1889, Nachmittag, in Oberstaufen, ergab sich bei 0° Temperatur 
cot 9 = 140,56 + 0,10 

und am 3. Mai 1889, früh, in Immenstadt, bei + 18°C Temperatur: 
cotip 159,37 = 0.11 

Hiernach waren Zielweiten und Entfernungen zu rechnen aus der Formel 
E = 139,97 « + 0,78 m 


Die beiden Reversionslatten Nr VIII und IX 


wurden nach der Rückkunft mit den bekannten Breithaupt’schen Meterstäben 
unter dem Mikroskop abgeglichen und ihre Längen wie folgt gefunden: 
Latte Nr VIII: Direkte Teilung 1M, = 1,0002159 m + 0,0091 mm 
Verschobere „ 1 M, = 1,0001750 m -+ 0,0072 „ 
Latte Nr. IX: Direkte > 1M, = 1,0001550m-+ 0,0150 „ 
Verschobene „ 1M, = 1,0001649 m + 0,0094 „ 
Es ıst daher im Mittel für alle 4 Lattenteilungen zu setzen: 
1 M, = 1,0001777 m 
und nach Massgabe dieser Zahl wurden die gemessenen Höhenunterschiede 
vergrössert. 

Zu Nr 2. Die Höhe des Alpsee’s bei Immenstadt wurde gelegent- 
lich der Heimreise nach Abschluss der obigen Arbeiten vom nächst- 
gelegenen Fixpunkt auf der Bahnlinie aus im Interesse der hydrogra- 
phischen Erforschung des Königreiches eingemessen. 

Zu Nr 3. Die Erfahrung, dass noch jedem Beobachter Mangels 
genügender Kontrollmittel bei Herstellung von Präcisionsnivellements auf 
Strassen, wo Steigungen und Gefälle starkem Wechsel unterworfen sind, 


383 


Ablesefehler von ganzen Metern passierten, legte in Verbindung mit der 
Erscheinung, dass die aus dem gemessenen Höhenunterschied zwischen 
Höhensteig und Kampenwand gerechnete wahre Zenitdistanz von den 
in den Jahren 1852 und 1885 daselbst gemessenen Zenitdistanzen um 
Beträge abwich, welche durch Einwirkung der Refraktion allein nicht 
genügend erklärt werden konnten, den Verdacht nahe, dass auch hier 
ein solcher Ablesefehler begangen worden sein könnte. Da die nivellitische 
Messung dieses Höhenunterschiedes nur einmal (im Herbst 1881, von 
Höhensteig bis Rosenheim und von Prien bis Hohenaschau durch den 
Assistenten K. Oertel, von Hohenaschau bis zur Kampenhöhe durch den 
Privatdozenten Dr. Decher) erfolgte, konnte ein solcher Fehler sehr 
wohl vorliegen. Es wurden deshalb im Juni 1889 von Prien aus die 
früheren Nivellements und zwar in der Weise revidiert, dass vom ge- 
nannten Punkt aus ein Flugnivellement zur Ausführung gelangte, durch 
welches grobe Fehler sofort aufgedeckt werden mussten. Bis zum Fix- 
punkt Nr 1629 (siehe VI. Mitteilung) war Alles in Ordnung; von hier 
ab, wo der Anstieg zur Kampenwand, der sogenannte Reitweg, beginnt, 
stellten sich jedoch alsbald erhebliche Abweichungen ein. Zunächst zeigte 
es sich, dass der Höhenunterschied zwischen den Fixpunkten Nr 1629 
und 1634 im Jahre 1881 uın etwa 2,7 m zu klein und der nächstfolgende 
um ebensoviel zu gross angegeben worden war. Nun wurden bei Aus- 
führung des Nivellements einige der in Stein gehauenen Fixpunkte erst 
nachträglich hergestellt und von Fixpunktsnägeln in ihrer unmittelbaren 
Nähe, deren Höhenlage beim durchlaufenden Nivellement erhalten wurde, 
aus eingemessen. In Folge unklarer Aufschreibung dieser Anschluss- 
messung wurde der Höhenunterschied zwischen Fixpunkt Nr. 1634 
und dem ihm benachbarten Fixpunktsnagel mit verkehrtem Vorzeichen 
in Rechnung gebracht, wodurch die Kote des Fixpunktes natürlich ent- 
stellt wurde Die Weiterführung des Flugnivellements ergab denn auch 
die Richtigkeit der Kote zu Fixpunkt Nr 1635 und eine Revision und 
Richtigstellung der Rechnung für Nr 1634 die im nachfolgenden Fix- 
punktsverzeichnis Nr II mitgeteilte neue Kote, mit welcher das Ergebnis 
des Flugnivellements ebenfalls genügend übereinstimmt. 

Die nächste Abteilung zeigte sich jedoch schon wieder fehlerhaft 


und zwar um den Betrag von rund 1,5 m, um welchen das Flugnivellement 
50* 


384 


den Höhenunterschied zwischen Nr 1635 und 1636 grösser ergab. Nach- 
dem eine Wiederholung des letzteren hieran nichts änderte, auch der 
Höhenunterschied der nächsten Abteilung in Ordnung war, wurde ein 
genaues Nivellement dieser Strecke ausgeführt. Es ergab sich aus dem- 
selben der Höhenunterschied zwischen den Fixpunkten Nr 1635 u. 1636 zu 


— 149,9766 m 


also um 1,4344 m grösser, als im Jahre 1881, wo er — 148,5422 m 
betrug. Die Weiterführung des Flugnivellements ergab die Richtigkeit 
aller Koten bis auf die des letzten Zwischenpunktes, Nr 1642. Hier fanden 
sich am nämlichen Felsblock in einem Abstand von rund 2 dm zwei 
regelmässig behauene und durch ein [] bezeichnete Flächen vor und es 
bezog sich der im Jahre 1881 gemessene Höhenunterschied zwischen den 
Fixpunkten Nr 1641 und 1642 auf den unteren, der zwischen Nr 1642 
und 1643 (Pfeileroberfläche) im Jahre 1882 (durch Dr. Schmidt) ge- 
messene Höhenunterschied aber auf den oberen Punkt (1642°). Es ändert 
sich aus diesem Grund die Kote der Pfeileroberfläche nochmals und 
zwar um den Abstand beider Punkte Nr 1642, welcher durch genaues 
Nivellement gefunden wurde zu 


— 0,2020 m, 
sodass die Gesamtänderung der Kote der Pfeileroberfläche (Nr 1643) 
4 H= — 1,6364m 
beträgt, die Kote zu Nr 1643 selbst wird nunmehr also 
— 704,5830 m 


Die Pfeilerhöhen in Höhensteig und Irschenberg erwiesen sich als 
richtig. 

Zu Nr 4 Die Einmessung des Schlierseespiegels erfolgte von der 
Höhenmarke © Nr 2570 des Nivellements zweiter Ordnung aus. Die Kote 
dieser Höhenmarke wurde der dritten Mitteilung über die genannten 
Nivellements, S. 87, entnommen. 


385 


11. 


Fixpunkt-Verzeichnis 


für die im Frühjahr 1839 ausgeführten Präcisions-Nivellements-Strecken: 


1. Oberstaufen-Weiler-Scheidegg-Oberreitnau, 
2. Scheidegg-Scheffau-Weiler, 

3. Immenstadt-Alpsee, 

4. Bahnhof Schliersee-Markt Schliersee, 

5. Hohenaschau-Kampenwand. 


386 


I. Oberstaufen-Weiler-Scheidegg-Oberreitnau. 


536. 


| 


w | w? | w | Ver, Kote 


| 
A | J | Z | D +4 (verbessert) 


Höhenmarke & am Tunnel nordöstlich von Oberstaufen (vgl. Mittle. I, 
S. 102) 


73,1800 


[] auf einer Dohlenabdeckplatte im Tunnel, 8 m von der Höhenmarke entfernt 
il 1 8 + 1,5824 74,7624 

U] auf der untersten Granitstufe an der Stockwerkstreppe des Bahuwärter- 
hauses Nr 82, linksseitige Ecke; 0,19 über Bahnplanie 

2.19 71 2692 + 9,3058 84,0682 

Gedeckter Strassendurchlass Lit. e 11 bei Genhofen, [_] auf der westlichen 
Deckplatte am Einlauf 

3.22 33 1455 — 30,1606 53,9076 

U) auf der backsteinuntermauerten, steinernen Trittstufe vor dem Haus Nr 7 
im Dorfe Hanschenkel, links der Thür 

4. 32 16 995 — 82,4576 — 28,5500 


Gedeckter Strassendurchlass Lit. a 10 bei Kilometer 9+ 335 m, [_] auf der 
mittleren Deckplatte am Auslauf 


Dot 18 608 + 33,3783 4,8283 


= (ohne Dauer) auf einer zur Ueberdeckung des Strassengrabens dienenden 
Steinplatte, bei Kilometer 8-+ 595 m, vor der kleinen Kapelle 


6" 721 18 743 + 50,6032 95,4315 


Gewölbte Strassenbrücke Lit. a 9 im Dorfe Burkhartshofen, [] auf der öst- 
lichen Eckdeckplatte der Stirn am Einlauf 


7 8 21 334 —+ 19,4714 74,9029 


Gewölbte Strassenbrücke Lit. b 8 bei Kilometer 7 +575 m (gegenüber der 
Mühle), [_] auf der nordwestlichen Eckdeckplatte der Stirn am Auslauf 


85 .10..384 b782 2191121 94,0150 


387 


Oberstaufen-Weiler-Scheidegg-Oberreitnau. 


Nr 


len Kote 


A | J | Z | D een 
I 


U[) in der Bodenplatte vor dem Eingang zur St. Josefskapelle im Markte 
Simmerberg, rechtseitige, hintere Ecke 


9238 26 1738 + 16,3127 110,3277 


Gewölbter Strassendurchlass Lit. d 5, [_] auf der Stirndeckplatte am Einlauf 


10 38 17 1286 —+ 87,7495 198,0772 
[) auf der untersten Stufe der linken Seitentreppe vor der Kirche im Markte 
Weiler 

11 20 37 1467 —+ 34,0069 232,0841 


a an der Pfarrkirche im Markte Weiler, Südfront, südwestliche Ecklisene 
al — 2,1514 229,9327 


Gewölbte Strassenbrücke über die Rottach bei Bremenried, [_] auf der östlichen 
Eckdeckplatte der südlichen Stirn 

ia 31 43 948 -+ 25,8250 257,9091 

[) auf der untersten Trittstufe der Freitreppe vor dem Hause Nr 234/15 im 
Dorfe Bremenried, an der Strassenabzweigung nach Scheffau 

Br 26 26 325 — 11,0417 246,8674 

[) auf der dritten Stufe der Freitreppe vor dem Hause Nr 143 im Dorfe 
Böserscheidegg ; 0,4 m über Bodenhöhe 

21 59 21 2452 — 155,4856 102,4235 

[] auf der untersten Treppenstufe vor dem Eingang des Hauses Nr 1644 
(Gem. Scheidegg), rechts der Strasse 

SER 24 916 — 48,7776 593,0459 

[) auf einem festgewachsenen Steinblock rechts der Strasse, etwa 60 m unter- 
halb der Kapelle 

4 12 33 801 — 13,9881 39,6578 


388 


Oberstaufen-Weiler-Scheidegg-Oberreitnau. 


A | J | Z | D HE Gerne) w | w? | w | Kote 


Nr 


[) auf der untersten Trittstufe der Freitreppe vor dem Hause Nr 18 im Dorfe 
Scheidegg 


Sg 24 528 —+ 18,8878 48,5456 


[2 an der Pfarrkirche zu Scheidegg, östliche Ecke der südlichen Langseite, 
rechts neben dem Fenster der Sakristei 


| 6 2 40 160 — 1,6365 56,9091 


Eiserne Strassenbrücke Lit. ce 8 bei Kilometer 7 + 800 m (Zählung ab Gmünd), 
U) auf dem westlichen Flügeldeckstein des rechtseitigen Widerlagers 


172.18 32 1148 + 44,1452 102,6908 


Eiserne Strassenbrücke Lit. e 7 bei Kilometer 6--489 m, [_] auf der nord- 
westlichen Eckdeckplatte der südwestlichen Stirn 


2 20 39 1319 —+ 9,4287 112,1195 


Gedeckter Strassendurchlass Lit. b 3 oberhalb Emsgritt bei Kilom. 24-385 m, 
[) auf der Deckplatte am Einlauf 


Sn 27 4081 + 167,7068 279,8263 


Blechträgerbrücke über die Laiblach Lit. a 155 bei Kilometer 154 + 388 m, 
rechtseitiges Widerlager, [_] auf dem südlichen Abdeckquader 


4 52 26 2673 + 124,3363 404,1626 


Gedeckter Strassendurchlass Lit. a 157 bei Kilometer 1564 165 m, [7] auf 
der Deckplatte am Einlauf 


De 42 1777 — 42,0622 362,1004 


592. Strassen- und Bahndurchlass im Bahnhof Schlachters, nordöstliche Stirn 
des Wegdurchlasses 


6 14 54 1502 — 13.17.96 348,9208 


553. (Gewölbte Bahnbrücke mit einer Oeffnung bei Kilometer 211,6 (neu gerichtet) 
7.049 49 4790 + 40,0325 389,5533 


389 


Oberstaufen-Weiler-Scheidegg-Oberreitnau. 


Nr 


A | J | Z | D HE (rnbomen) 


w | w? | w | Kote 


554. Fixpunkt unter der Höhenmarke zu Oberreitnau, in der schiefen Treppenwange 


St 46 1008 + 5,4181 394,9714 


555. Höhenmarke © am Stationsgebäude zu Oberreitnau, nördliche Schmalseite, 
nahe der östlichen Ecke 


9 — 1,2069 393,2645 


2. Doppelnivellement Weiler-Scheffau-Scheidegg. 


Nr | A | J | Z | D u (verbessert) w | w? | w | Kote 
| 
[) auf der untersten Trittstufe der Freitreppe vor dem Hause Nr 234/15 in 
Bremenried (vgl. 5. 388) 
246,8674 
Gewölbte Strassenbrücke oberhalb Bremenried, [_] auf einer Deckplatte der 
südwestlichen Stirn 
j 8 57 1309 + 4,6402 251,5076 
| I Steinplatte vor dem Haus Nr 197/12, links der Strasse 
| 2) 11 66 1444 — 8,0213 243,4863 
[_] auf der Trittstufe vor dem Haus Nr 1984/13, links der Strasse 
2 8 43 690 — 8,1737 243,3339 
[] auf der zweiten Stufe (v. u.) des linkseitigen Freitreppenarmes vor dem 
Haus Nr 178 im Dorfe Siebers 
3 14 1481 — 2,5818 240,7521 
[] auf der obersten Steinplatte der Freitreppe vor dem Hause Nr 25 im 
Dorfe Neuhaus 
4 26 2576 + 21,0523 261,8044 
Abh.d.II. Cl.d.k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 51 


390 


Doppelnivellement Weiler-Scheffau-Scheidegg. 


Nr | A | J | Z | D +u (verbessert) w | w? | w | Kote 
[_) auf der untersten Stufe der Freitreppe vor dem Haupteingang zur Kirche 
im Dorfe Scheffau 
De 797 — 73,2315 188,5729 
[A auf der untersten Stufe der Freitreppe vor dem Hause Nr 49 im Weiler 
Lindenau 
| el) 1520 — 31,9687 156,6042 
[| auf der untersten Treppenstufe vor dem Hause Nr 43 im Weiler Hagspiel 
2 44 2366 — 54,5642 134,0087 
[_] auf der untersten Stufe der Freitreppe vor dem Hause Nr 100 im Dorfe 
Häuslings (Gem. (Scheidegg 
3 10 860 + 6,4505 140,4592 
[] auf der obersten Steinplatte der Freitreppe vor dem Hause Nr 109 im 
Dorfe Forst (Gem. Scheidegg) 
4 30 1115 — 78,3536 62,1056 
[_] auf der untersten Trittstufe vor dem Hause Nr 18 in Scheidegg 
5 28 1661 — 3,5600 58,9456 
3. Immenstadt-Alpsee. 
Nr | A | | Z | D +u (verbessert) w | w? | w | Kote 
528. Gewölbter Bahndurchlass ca. 800% westlich vom Bahnhofgebäude in Immen- 


stadt 


1 


132,8070 


Wasserspiegel des Alpsee’s bei Immenstadt am 3. Mai Vormittags 11, ge- 
messen bei dem Dorfe Bühl 


ln 86 1718 + 3,5877 136,3947 


391 


4. Schliersee (Bahnhof) - Schliersee (Seespiegel). 


Benni | w | Kor 


© am Betriebsgebäude der Station Schliersee, Perronseite, Ecke des west- 
lichen Pavillons (diese Kote ist der III. Mitteilung über die Nivellements 
II. Ordnung der Generaldirection der K. Bayer. Verkehrsanstalten [S. 87] 
entnommen) 


73,146 


Wasserspiegel des Schliersee’s am 16. Juni 1839, Vorm. 10 Uhr, westlich 
vom Dorfe Schliersee gemessen 


1 4 + 10,386 83,932 


9. Verbesserungen zu Mitteilung VI über das Bayerische Präcisions- 
nivellement, S. 73 u. 74. 


als|z| »| #u | |m|w | Ko 


1634. [_) in einem Felsvorsprung am östlichen Ende der Brücke des Reitweges zur 
Kampenhöhe, bei Ruhebank Nr 6 


I. 74 — 171,0421 70,9327 
1635. [) in einem F elsvorsprung der „Burgerschlagwand“, am östlichen Ende der 

Ruhebank Nr 12 des Kampenweges 

2.86 — 180,8185 — 109,8858 


1636. [] auf einem Felsstück unterhalb der Kapelle bei Ruhebank Nr 19 des 
Kampenweges, links seitwärts vom Wege 


366 — 149,9766 — 259,8624 


1637. = auf einem Felsblock links des Reitweges bei Ruhebank Nr 20 


4 18 — 49,4306 — 309,2930 
1638. = auf einem Felsvorsprung am rechtseitigen Rande des Steinlinggrabens, bei 

Ruhebank Nr 21 

5 28 — 73,5848 — 382,8778 


Sl 


392 


Verbesserungen zu Mitteilung VI über das Bayerische Präcisions- 
nivellement, S. 73 u. 74. 


Nr | A | J | Z | D | H | w | w? | w | Kote 
| | 
1639. = auf einem vorspringenden Felsstück links am Reitwege, gegenüber der 
„Schlechtenberger Alpe“ 
67,43 — 81,7362 — 414,6140 


1640. [7] auf einem links vom Reitweg stehenden Felsblock unterhalb der Bank 
Nr 24; 2,02" unter dem Sitzbrett der Letzteren g 


1 22 — 893,9636 — 468,5776 


1641. [) auf einem Felsvorsprung bei Bank Nr 27, links am Wege 
8 47 — 119,1750 — 587,7526 
1642. [] auf einem zu Tage tretenden Felsen links seitwärts vom Weg, unmittel- 
bar unter der Bank Nr 30 auf der Kampenhöhe 
9.45 — 111,7974 — 699,5500 


1642®2. |] auf demselben Felsstück, unmittelbar über dem Vorigen 
LOHR — 0,2020 .— 699,7520 


1643. Oberfläche des zu Refraktionsbeobachtungen errichteten, massiven Pfeilers auf 
der Kampenhöhe 


11 38 — 4,8360 — 704,5880 


Genauigkeit der Anschlüsse. 


Der Anschlussfehler an der Höhenmarke © 555 zu Oberreitnau be- 
trug, wenn man von der Kote der Höhenmarke © 536 in Oberstaufen 
ausgeht, /,—=-+-0,0274m. Hält man an den Koten dieser beiden 
Höhenmarken, wie sie’aus dem durchgehenden Präcisionsnivellement er- 
halten worden sind, fest, so war dieser Anschlussfehler entsprechend dem 
Quotienten 4,-4:L (wo die Entfernung des betreffenden Fixpunkts vom 
Ausgangspunkt © 536 ist und L die Gesamtentfernung von 35,907 Kilo- 
meter bezeichnet) zu verteilen. 


3953 


Setzt man für L und /, die erhaltenen Zahlenwerte (letzteren in mm) 
ein, so ist also die Verbesserung für irgend einen Fixpunkt, dessen Ent- 
fernung vom Ausgangspunkt Z ist 


v, = — 0,763 -! Millimeter. 
Der mittlere Fehler pro Kilometer wird 
27,4 
nr - — +46 mm 


also .etwas grösser, als sonst erlaubt ist, was aber hier nicht weiter in 
Betracht kommt. 
Die kleine Schleife Weiler-Scheffau-Scheidegg-Weiler schloss mit 
4, = — 68,1 mm, die Länge des Doppelnivellements beträgt 12,86 Kilom., 
daher die Verbesserung der Koten desselben 
V,—= + 5,298 - 2 Millimeter. 


Das vorstehende Fixpunktsverzeichnis enthält bereits die gemäss den 
Ausdrücken für V, und V, verbesserten Koten der betreffenden Punkte. 


II. Die Arbeiten im Herbst 1889 


welche von den gleichen Personen geleitet, beaufsichtigt und ausgeführt 
‚ wurden, wie die des Frühjahrs, umfassten folgende Nivellierungen: 


1. das Präcisionsnivellement Nürnberg-Bambers;; 

2. die Grenzanschlüsse bei Lichtenfels, Hof und Kahl; 

3. das Präcisionsnivellement Weigolshausen-Würzburg; 

4. das Präcisionsnivellement Offingen-Donauwörth-Regensburg. 


Ihre Zahlenergebnisse sind im Fixpunktverzeichnis Nr III zusammen- 
gestellt und nachstehend folgt eine Uebersicht der nivellierten Längen, 
der hiefür erforderlichen Instrumentenstände, der angewendeten mittleren 
Zielweiten und der Arbeitstage, in denen die bezeichneten Strecken ver- 
messen wurden. 


Strecke Länge Instr. Stde. Mittl. Zielweite Arbeitstage 
Nürnberg-Bamberg. . . . . . 62,934 km 509 62 m 8 
Untersiemau-Staffelstein . . . . 16,192 „ 168 48 „ 


Nm DW 


Hof, neuer Bhf. — Hof, alter Bhf. 2,704 „ 21 64 


394 


Strecke Länge Instr. Stde. Mittl. Zielweite Arbeitstage 
Weigolshausen-Würzburg. . . . 31,709 km 220 72 m 3 
Kahl-Tandeserenzer er sr 13 Moe - 
Offingen-Donauwörth . . . . . 46,898 „ 319 18 „ 4 
Donauwörth-Regensburg . . . . 126,515 „ 891 1, 
Zweignivellement in Ingolstadt. . 1,525 „ 12 base | 131 

Ä Saal-Kehlheim . 4,969 „ 37 Due a 
E in Regensburg . 1,927 „ 14 08 - | 
Zusammen 297,362 km 2204 67m 33 Tage 


Da die Gesamtlänge 297,4 Kilometer und die Anzahl der Arbeitstage 33 
beträgt, berechnet sich die mittlere tägliche Leistung zu 9,0 Kilometer 
oder auch zu 67 Instrumentenständen, während die mittlere Zielweite 
bei einer Gesamtsumme von 2204 Instrumentenständen sich, wie oben an- 
gegeben, zu 67 m ergibt. Die letztere Zahl erscheint vielleicht etwas gross, 
es muss aber hier gleich bemerkt werden, dass das zum Nivellieren so 
ausserordentlich günstige Wetter, welches erfreulicherweise fast während 
der ganzen Arbeitsdauer vorwaltete, diese Zielweiten ohne jede Einbusse 
an Genauigkeit erlaubte. 


Die Anzahl der neu angebrachten Fixpunkte und Höhenmarken 
beträgt für die obengenannten Strecken zusammen 158, wovon 117 in 
Stein gehauene Fixpunkte, 32 Höhenmarken mit Bolzen und 9 Pegel- 
nullpunkte sind. Auf der Donauthalbahn waren die meisten Fixpunkte 
und Höhenmarken schon vorhanden, da dieselbe ın den Jahren 1882 und 
1883 Seitens der Generaldirektion der K. Verkehrsanstalten mit einem 
Nivellement zweiter Ordnung versehen worden ist. Doch mussten die 
meisten der in Stein gehauenen Fixpunkte nachgerichtet werden, weil 
ihre Oberflächen nicht mehr eben und horizontal waren. 


Die Veranlassung zur Herstellung der vorbenannten Präcisions- 
nivellements Nr 1 mit Nr 4 war eine sehr verschiedenartige und ist nach- 
folgend begründet. 


Zu Nr 1. Die Strecke Nürnberg-Bamberg war schon im Jahre 1869 
nivelliert worden. Die Polygone, in welchen diese Strecke seitdem Seite 
geworden ist, zeigten aber fast alle Schlussfehler von gleichem Sinn 
und teilweise abnormer Grösse, wodurch allmälig der Verdacht erweckt 
wurde, dass der im Jahre 1869 für diese Strecke ermittelte Höhenunter- 


395 


schied nicht ganz richtig sein möchte. In wieweit dieser Verdacht ge- 
rechtfertigt war, wird sich weiter unten zeigen, thatsächlich ergab das 
neue Nivellement den Höhenunterschied der beiden Endpunkte um nahe- 
zu 9 cm kleiner, als das alte. Es sei hier noch bemerkt, dass das neue 
Nivellement zwischen Nürnberg und Eltersdorf der neuen (im Jahre 1875 
verlegten Süd-Nord-)Bahnlinie entlang, also über Fürth und Vach geführt 
wurde. 

Zu Nr 2. Die Grenzanschlüsse bei Lichtenfels, Kahl und Hof wurden 
auf Anregung der trigonometrischen Abteilung der K. preussischen Landes- 
aufnahme hergestellt. In den beiden ersteren Fällen hatte dieselbe un- 
mittelbar an der Landesgrenze Granit-Grenzpfeiler mit Bolzen setzen 
lassen und letztere ihrerseits einnivellier. Durch die diesseitige Ein- 
messung der Bolzen bei Obersiemau und bei Kahl wurden die Anschlüsse 
an das genannte K. preussische Nivellement in diesen Hauptpunkten per- 
fekt gemacht. Die Messung des Höhenunterschieds zwischen den Höhen- 
marken am alten und neuen Bahnhof in Hof geschah, um dem oben- 
genannten Institut einen weiteren Anschluss an das Bayerische Präcisions- 
nivellement mit Zuhilfenahme Sächsischer Nivellementsstrecken von Gera 
aus über Ronneburg und Plauen zu ermöglichen. 

Das Nivellement Obersiemau-Lichtenfels wurde einerseits zur mehreren 
Versicherung bis an die Preussische Höhenmarke im Dorfe Untersiemau 
geführt, andererseits bis zur Höhenmarke in Staffelstein, weil jene in 
Lichtenfels beim Bahnhofumbau zerstört worden war. Auf Befehl der 
Generaldirektion der K. Verkehrsanstalten wurde allerdings durch Bahn- 
ingenieure wieder eine Höhenmarke am Bahnhof in Lichtenfels ange- 
bracht und eingemessen (Siehe VII. Mittle., S. 11). Da jedoch diese 
Messung für den wichtigen Zweck des Grenzanschlusses nicht zuverlässig 
genug zu sein schien, so wurde, wie schon bemerkt, bis zur nächst- 
gelegenen Höhenmarke in Staffelstein zurückgegangen. 

Zu Nr 3. Die Strecke Weigolshausen-Würzburg wurde schon 
im Jahre 1888 einer Neunivellierung unterzogen, welche die Kote der 
Höhenmarke © 943 zu Würzburg um mehr, als 0,07 m kleiner ergab, 
als das 1871 ausgeführte erste Nivellement dieser Linie. Die Richtigkeit 
dieser Abweichung musste zunächst aus inneren Gründen angezweifelt 
werden, weil das im Jahre 1886 von Weigolshausen über Arnstein 


396 


nach Gemünden geführte Nivellement fast genau für dieselbe Kote für 
die dortige © 917 ergab, wie das im Jahre 1871 von Weigolshausen 
über Würzburg nach Gemünden geführte. Es hätte also, die Richtig- 
keit des ersteren Nivellements vorausgesetzt, der in Anbetracht der Kürze 
der Strecke bedeutende Anschlussfehler von 7,5 cm auf der Strecke 
Würzburg-Gemünden wieder ganz aufgehoben werden müssen, was an sich 
nicht sehr wahrscheinlich erschien. Der Hauptgrund aber, die Richtigkeit 
des 1888 ausgeführten Nivellements der in Rede stehenden Linie in 
Zweifel zu ziehen, war die während der Ausführung desselben, natur- 
gemäss erst allmälig entdeckte Unzuverlässigkeit der beiden Lattenträger, 
die erst in Würzburg durch geeignetere ersetzt werden konnten. Wie 
sehr die erwähnten Zweifel berechtigt waren, geht aus den Resultaten 
des dritten Präcisionsnivellements der Linie Weigolshausen-Würzburg vom 
Herbste 1889 hervor, welches die Kote der © 943 in Würzburg gegen 
die 1871 erhaltene fast unverändert lässt. Es ist dies ein neuer Beweis 
dafür, dass die Genauigkeit von Nivellementsarbeiten in höherem Grade 
von der Zuverlässigkeit des Gehilfenpersonals abhängt, als man gemeinig- 
lich anzunehmen geneigt ist. 


Zu Nr 4. Das Präcisionsnivellement der Strecke Donauwörth-Regens- 
burg wurde hauptsächlich in der Absicht ausgeführt, das frühere, grosse 
Polygon III durch eine Querlinie zu teilen und auf seine Richtigkeit zu 
prüfen, während durch das Präcisionsnivellement der Strecke Offingen- 
Donauwörth die nördliche Grenze für das frühere Polygon V bis an die 
Donau, also nahe bis an die Landesgrenze verschoben wurde. Dem Be- 
streben, hydrographische Studien und Forschungen durch Schaffung mög- 
lichst vieler festen Punkte in der Nähe der wichtigeren fliessenden oder 
stehenden Gewässer zu unterstützen, wurde auch hier durch Ausführung 
mehrfacher Zweignivellements und Einbeziehung von Pegelnullpunkten 
an der Donau und an der obersten Haltung des Ludwigs-Donau-Main- 
Kanals in das Bayerische Höhennetz erster Ordnung Ausdruck verliehen. 


Die Konstanten der Instrumente. 


Die Konstante des distanzmessenden Fernrohrs am Instrument Nr I, 
welches mit den Latten Nr VIII und IX zur Ausführung aller vorstehend 


397 


besprochenen Arbeiten diente, wurde der vielen Eisenbahnfahrten halber 
öfter als sonst bestimmt, nämlich 


a) in Fürth am 10. September abends cotp= 139,26 + 0,040 
b) „ Bamberg en h nachmittags „ = 139,27 + 0,070 
c) „ Weigolshausen „ 30. 5 morgens „= 139,28-5.0,046 
d) „ Neuoffingen „ 8. Oktober morgens „ = 139,44 + 0,039 
e) „ Gundelshausen „ 26. 5 abends = 19941'0:056 


Es wurden demnach die Entfernungen und Zielweiten aus den Latten- 
abschnitten a berechnet, wie folgt 


a) für die Strecken Nürnberg-Bamberg, Staffelstein - Untersiemau, 
Hof (neu)-Hof (alt) aus 
E — 139,26 a + 0,78 m 
b) für alle übrigen Strecken aus 
E = 139,44 a + 0,78 m. 


An den beiden Reversionslatten VIII und IX wurde zunächst nach 
der Rückkunft von den Nivellementsarbeiten im Algäu (Frühjahr 1889) 
eine kleine Aenderung vorgenommen. Nachdem nämlich bei der Aus- 
führung dieser Arbeiten wiederum ein, glücklicherweise sogleich aufge- 
fundener Meterfehler sich eingeschlichen hatte, wurden zur Abhaltung 
oder doch sofortigen Kenntlichmachung eines solchen diejenigen Seiten 
beider Latten, welche die verschobene Teilung tragen, in verkehrtem 
Sinne und von 10,0 aus beginnend beziffert, sodass also stets die Summe 
der beiderseitigen Ablesungen für jede Latte 10 m plus dem Betrag der 
Verschiebung der hinteren Teilung gegen die vordere, d.i. rund 10,035 m 
betragen muss. Nach der Rückkehr, im November 1889, wurden beide 
Latten unter dem Mikroskop wit den zwei Breithaupt’schen Meterstäben 
abgeglichen und erhalten. 


| Direkte Teilung 1 M, = 1,0003024 m + 0,0073 mm 


Latte VII 
|Verschobene ,„  1M, = 1,0003090 m + 0,0103 , 
te IX | Direkte 5 EM, = 1,0002567 m + 0,0170 ,„ 
| Verschobene S IM, —1.0002971 m>20,.0089 


Im Mittel aus allen vier Lattenteilungen findet sich hienach für die 
nominelle Meterlänge 
1 M, = 1,0002913 m. 
Abh.d. IT. Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 52 


398 


Bei Berechnung der vorstehenden Lattenabgleichungen und Ver- 
gleichung der erhaltenen Resultate und ihrer mittleren Fehler mit den 
Ergebnissen früher ausgeführter Abgleichungen dieser beiden Latten fiel 
es uns auf, dass die Meterlängen nicht nur, sondern auch deren mittlere 
Fehler ein ziemlich gleichartiges Verhalten bei allen Abgleichungen 
zeigten. Die nachfolgende Uebersicht der vier vom Ingenieur Oertel 
ausgeführten Abgleichungen, in welchem alles in Einheiten der siebenten 
Dezimale zu verstehen ist, wird das oben Gesagte bestätigen. 


Latte Teilung 1888, Sept. 7 | 1888, Okt. 16] 1889, Mai 17 | 1889, Nov. 6 
> a I =  — — er 
VIII Direkte 2319 + 84| 2485 |+105| 2159 |+ 91| 3090 | #103 
| | I} 
VIH Verschobene | 2241 + 99| 2299 | + 73| 1750 |+ 72] 3024 + 73 
108 Direkte 1783 | +149| 1896 |+154| 1550 + 150| 2567 | + 170 
| 
IX Verschobene | 1755 |+ 88| 2170 |+ 89| 1649 |+ 94] 2971 |+ 89 
' 2025 | | 2213 | 1777 | 2913 
| | 
| | 
En 


Man sieht sofort, dass durchgehends die 4 Lattenteilungen ziemlich 
gleichmässige Aenderungen von einer Untersuchung zur andern zeigen, dass 
sie also durch die inzwischen stattgefundenen Einwirkungen der Wärme und 
Feuchtigkeit ziemlich gleichmässig beeinflusst wurden. 
nähere Betrachtung der mittleren Fehler, dass dieselben für die direkte 
Teilung der Latte IX durchschnittlich doppelt so gross sind, als diejenigen 
für die übrigen Lattenteilungen, woraus geschlossen werden muss, dass 
diese Teilung den anderen dreien an Genauigkeit nachsteht. 


Ferner zeigt eine 


Zur Reduktion der beobachteten Höhenunterschiede auf die wahre 
Meterlänge diente für die Beobachtungen im Herbst 1889 das Mittel der 
beiden, in diesem Jahre ausgeführten Abgleichungen, nämlich 


1M, = 1,0002345 m. 


Grenzanschlüsse. 


Abgesehen von dem neuerdings wieder hergestellten Anschluss an 
das Sächsische Präcisionsnivellement bei Hof wurden nunmehr die An- 
schlüsse an die Nivellements der K. Preussischen Landesaufnahme bei 


399 


Coburg und Kahl auch unsererseits definitiv festgelegt; ein dritter An- 
schluss an die ebengenannten Preussischen Nivellements in Elm, der von 
Uns im Herbst 1887 vorbereitet worden war, wurde laut Zuschrift des 
Chefs der trigonometrischen Abteilung der K. Preussischen Landesaufnahme 
in Berlin an den Verfasser dieser Mitteilung vom 7. Nov. 1889 im Lauf 
des verflossenen Sommers gleichfalls vollzogen. Die Ergebnisse dieser 
drei Anschlüsse sind: 


1. Nivellementsgrenzpfeiler bei Öbersiemau, Bolzen 6950 
(vgl. „Nivellements der Trigonometrischen Abteilung der K. Preussischen 
Landesaufnahme‘“; Band VII, S. 87) 


Preussische Meereshöhe (Höhe über N.N.). . 315,91 Verrinee a 
En oalinber en an: far nn. .. 545,372 , De 
861,287 m 
Kontrollnivellements: Horizont: 
| Bolzen 6949 a LE ec anamm 
Bayerisch 553,210 „ 


861,293 „ 


Höhenmarke in | Preussisch 299,676 m| 
Untersiemau Bayerisch 561,617 „ J 


2. Nivellementsgrenzpfeiler mit Bolzen 6565 
bei Kahl (vgl. „Nivellements etc.“ Band V, S. 58) 


Izenssische Höhe über-N..N. « «4. 7%... 112,184 m 
EengenischenKote,r 0. a. na 50 749,191 , 


861,375 , 


3. Bayerische Höhenmarke ® am Betriebs- 
gebäude im Bahnhof Elm (vgl. Zuschrift des Chefs der 
trigon. Abt. der Preuss. Landesaufn. vom 7. Nov. 1889, 
Nr 1913°* und Mitteilung VII des Bayer. Präcis.-Niv., 
293!) 


1) Sämtliche Koten des Nivellements Gemünden-Elm, wie sie in der VII. Mitteilung, S. 91 
bis 93 mitgeteilt sind, bedürfen einer Verbesserung von + 0,0011 m, weil sie von einer unrichtigen 
Kote der © 917 in Gemünden ausgehen. Es ist auf S. 91 für diese Kote angenommen 699.7810, 
während es nach S. 48 derselben Mitteilung heissen soll: 699,7821. Ausserdem ist auch an alle 
Koten dieses Nivellements die bekannte Verbesserung von + 0,01 m anzubringen. 

52* 


400 


PreussischeV Höhe überuNu,N. 1.4.20 320,0 0 
1 r horizont 
Bayerische Kote N u ER Ne. 9 73 { 1orizonts 


861,353 m 
Es ist also im Mittel aus diesen drei Anschlüssen die 
Höhe des Bayerischen Generalhorizonts über Normalnull = 861,5385 m 
Wollte man noch die aus den 
preussischen (bereits ausgegliche- 
nen) und bayerischen Nivellements- ; j 
linien entstehenden Schleifen in das } ” 
Auge fassen, so hätte man (vgl. Be 
nebenstehende Skizze, wo die punk- wo" 
tierten Linien Preussische, die aus- «#& 
gezogenen Linien Bayerische, die 
Zahlen bei den preussischen Linien die Bolzen-Nummern sind, von denen 
sie ausgehen): 


Vacha Dorndorf 
EL 


6905 & Coburg 


1. Elm-Gemünden-Kahl-Elm. 


Länge Höhenunterschied 

Preussisch: Elm-Hanau-Kahl . . . . . 69,51 km 207,896 m 
Bayerisch: Elm-Gemünden-Kahl . . . 116,80 „ 207,919, 
1, =18051 km 4 = 0,023m 

VZ=- H3,05 = 41 en 


3. Elm-Gemünden-Obersiemau-Vacha-Elm. 


Bayerisch: Elm-Gemünden-Obersiemau . 197,01 km 4,101 m 
Preussisch: Obersiemau-Vacha-Elm RA Bihcer 4,166 „ 
L—414,87km 4=0,065 m 

v2=#203% vw=t 3 Imm 


Die Schlussfehler und die mittleren Fehler für 1 Kilometer werden 
also für beide Schleifen durchaus nicht zu gross, besonders wenn man 
noch bedenkt, dass die Höhenunterschiede der Preussischen Linien durch 
die dortige Netzausgleichung für den Schluss der beiden obigen Schleifen 
ungünstiger sich gestalten, als die aus den direkten Beobachtungen ab- 


401 


geleiteten Höhenunterschiede. Würde man diese letzteren nehmen, so 
käme im ersten Fall 

4=0,017 m und u=-+1,24 mm 
und im zweiten Fall 

4= 0,044 m und «= +2,16 mm 
Da jedoch, wie bemerkt, die Preussischen Höhen bereits ausgeglichen und 
endgiltig festgelegt sind, bleibt nichts übrig, als die ganzen Schlussfehler 
4A, wie sie oben abgeleitet sind, auf die Bayerischen Linien zu verteilen. 

Ueber weitere Anschlüsse und zwar an das Sächsische Prä- 
cisionsnivellement bei Hof (und mittelbar also wieder an das der 
Preussischen Landesaufnahme bei Ronneburg) ist folgendes zu bemerken. 

Diese Anschlüsse beziehen sich auf die Punkte Hof (alter Bahnhof), 
Franzensbad und Asch, wo durchgehends die an den Bahnhöfen ange- 
brachten Bayerischen Höhenmarken auch Sächsischerseits einnivelliert 
wurden. 

Bekanntlich sind die Höhenunterschiede dieser Punkte, weil ihre Er- 
hebungen im Jahre 1869 ungenau waren, Bayerischerseits im Jahre 1882 
neu gemessen worden, und es sollen deshalb hier auch nur die aus dieser 
Neumessung erhaltenen Koten in Betracht kommen. 

Es wurde nun gefunden 

1. Bayerischerseits die Kote der Höhenmarke 


a) in Hof zu . . . 355,7795 m unter dem Bayer. Generalhorizont 
b) in Franzensbad zu. 410,9548 „ (Mittlg. VI, S. 34) 
Dei Asch zu 27.09, 219,6848  , 


9. Sächsischerseits die Höhe dieser Punkte über N.N. (siehe S. 135 
u. ff. des „Sächs. Landesniv.“) 


a) Hof. . . 505,449 also Höhe desBayer.Gen. Horiz.— 861,229 m üb.N.N. 
b) Franzensbad 450,198, „ n : 8611593, : 
ce) Asch . . 641,522] , k N Scl20 nn 


Die Anschlüsse an die Nivellements der K. Preuss. Landesaufnahme 
ergaben dagegen mit genügender Uebereinstimmung im Mittel für die Höhe 
des Bayer. Generalhorizonts über N.N.: 861,338 m (s. S. 400), während im 


402 


Mittel aus den obigen drei Anschlüssen käme: 861,190 m, also um 0,148 m 
weniger. Will man sich von der Kote des Sächsischen Normalpunktes 
frei machen, so kann man mit Hilfe der Preussischen (durch die Landes- 
aufnahme ermittelten) Höhe der Sächsischen Höhenmarke Nr 196 zu 
Ronneburg und dem Sächischen Höhenunterschied Ronneburg-Hof die 
Höhe der © in Hof neuerdings berechnen. Es ist aber die Höhe der 
Höhenmarke zu Ronneburg über N.N. nach dem VII. Bd. der „Nivell. der 
trigon. Abteilung der K. Preussischen Landesaufnahme‘“, S. 86 gefunden 
Wordenszuir mat. netz er) un. ee NEN 
und nach dem „Sächsischen Landesniv.“, S. 135 u. ff. ist 

der (ausgeglichene) Höhenunterschied Ronneburg-Hof gleich 


505,449, 284, 113, N ee Fi et. ma 
sodass hieraus in ziemlicher Uebereinstimmung mit der Sächs. 
Kotes folgt a nl R WE Fa u ee Susi IDEE 


Dies beweist, dass die Höhe des Sächs. Normalpunktes über N.N. ziemlich 
richtig ist und es hat somit bei den obigen Differenzen sein Bewenden: 
die gerechneten Höhen des Bayerischen Generalhorizonts würden nur noch 
um 15 mm kleiner, also noch ungünstiger! 


Angesichts dieser starken Abweichungen, welche die aus den 3 Säch- 
sischen, so nahe beisammen liegenden Nivellementsanschlüssen sich er- 
gebenden Höhen unseres Horizonts unter sich und denjenigen gegenüber 
zeigen, welche aus den Anschlüssen mit den Nivellements der K. Preus- 
sischen Landesaufnahme sich ergeben, dürfte eine weitere Rücksichtnahme 
auf diese Anschlüsse nicht zu nehmen sein. Ueberhaupt scheinen die 
Sächsischen Nivellements sich nicht gerade allzugrosser Genauigkeit zu 
erfreuen, insbesondere diejenigen Linien nicht, welche hier für uns in 
Betracht kommen. Berechnet doch Nagel selbst auf Seite 66 des 
„Sächsischen Landesnivellements“ den mittleren Kilometerfehler desselben 
zu + 5,52 mm für das erste, + 4,52 mm für das zweite Nivellement und 
für die aus beiden folgenden mittleren Höhenunterschiede CHR Ze 
K=Sr 3,5 0'mm. 


403 


Abschlüsse von Nivellementsschleifen. 


Zur besseren Uebersicht folgt hier zunächst eine Skizze desjenigen 
Teiles des Bayerischen Höhennetzes erster Ordnung, welcher im Nach- 
stehenden in Betracht kommt. 


g00f_. 
J Weigolshsn. 


Neirnberg 


: Q 


Nordlngen 


OMrinchen 


Die punktierten Linien bedeuten die Landesgrenze, die an den Eck- 
punkten eingetragenen Ziffern sind die in unseren früheren Mitteilungen 
enthaltenen Nummern der zugehörigen Höhenmarken, für welche im Nach- 
stehenden die Höhenunterschiede und Längen der einzelnen Polygonseiten 
gelten. 

Wie schon auf S. 394 erwähnt wurde, war der Hauptgrund für die 
Herstellung eines neuen Präcisionsnivellements der Linie Nürnberg-Bamberg 


404 


der Umstand, dass alle. Schleifen, welchen diese Linie angehörte, verhältnis- 
mässig grosse Schlussfehler von gleichem Sinn aufzuweisen hatten. So 
unter anderen die beiden Schleifen II und II’ früherer Bezeichnung, deren 
Schluss auf 8. 11 der VII. Mitteilung schon näher besprochen wurde. 
Mit dem neugefundenen Höhenunterschied für die Strecke Nürnberg- 
Bamberg ändert sich die Zusammenstellung für diese beiden Schleifen 


a. a. O. wie folgt: 


Nr Strecke Nivelliert Länge in km nz 
1. Polygon Il. | 
1 Neuenmarkt-Bamberg 1883 74,992 —- 107,8774 
2 Bamberg-Nürnberg 1839 62,934 — 69,8092 
3 Nürnberg-Regensburg 1873 100,923 — 29,5538 
4 Regensburg-Weiden . 1873 86,969 — 3 
5 Weiden-Neuenmarkt . 1882 79,736 + 49,1437 
L = 405,554 A=-+ 0,0402 
VL= 20,14 4«= + 199mm 
2. Polygon Ib. | 
1 Neuenmarkt-Bamberg | 1583 74,992 —- 107,8774 
2 Bamberg-Nürnberg | 1889 62,934 — 69,8092 
3 Nürnberg-Kirchenlaibach . | 1882 94,422 — 152,5904 
4 Kirchenlaibach-Neuenmarkt | 1882 40,119 + 114,5463 
. | L=272,467° ° 4—+0,0241 
| VL= 16,51 u =+ 146mm 


Wie aus dieser Zusammenstellung ersichtlich ist, werden also jetzt 


die Schlussfehler 4 dieser beiden Schleifen und damit die mittleren Fehler 
«u pro Kilometer bedeutend kleiner, als mit dem 1869 erhaltenen Höhen- 
unterschied zwischen Bamberg und Nürnberg, mit welchem nach Mitteilung VII, 
S. 11 sich die folgenden Schluss- und Kilometerfehler ergaben: 


Für Polygon II: 4= — 0,0485, also u = + 2,41 mm 
HR: 41 = —0,0646, 95, u oda 


Ausser diesen beiden Schleifen lassen sich mit der Strecke Nürnberg- 
Bamberg als Seite noch folgende vier Schleifen bilden: 


” ” 


3. Nürnberg-Bamberg-Weigolshausen- Würzburg-Nördlingen-Nürnberg, 
4. Nürnberg-Bamberg-Weigolshausen-Würzburg-Dombühl-Nürnberg, 


5. Nürnberg-Bamberg-Gemünden-Würzburg-Nördlingen-Nürnberg, 
6. Nürnberg-Bamberg-Gemünden- Würzburg-Dombühl-Nürnberg. 


| 
Strecke 


| Nivelliert 


Länge in km 


Für diese letztgenannten 4 Polygone wird unter gleichzeitiger Hinzu- 
nahme des neugefundenen Höhenunterschiedes für die Strecke Weigols- 
hausen-Würzburg erhalten: 


Höhenunterschied 
in m 


DD m 


or 


pvp 


»oxm - 


[s) 8 


Abh.d. II. Cl.d.k. Ak. d. Wiss. 


3. Nürnberg-Bamberg-Weigolshausen-Würzburg- 


Nürnberg-Bamberg | 


Bamberg-Weigolshausen 
Weigolshausen-Würzburg . 
Würzburg-Nördlingen 
Nördlingen-Nürnberg 


4. Nürnberg-Bamberg-Weigolshausen-Würburg-Dombühl-Nürnberg. 


Nürnberg-Bamberg . . . .... | 
Bamberg-Weigolshausen | 
Weigolshausen-Würzburg . 
Würzburg-Dombühl vor | 
Dombühl-Nümbeag ... .... | 

| 


5. Nürnberg-Bamberg-Gemünden-Würzburg-Nördlingen-Nürnberg. 


Nürnberg-Bamberg 

Bamberg-Gemünden . 
Gemünden-Würzburg | 
Würzburg-Nördlingen . . 2... | 
Nördlingen-Nürnberg | 


Nördlingen-Nürnberg. 


6. Nürnberg-Bamberg-Gemünden-Würzburg-Dombühl-Nürnberg. 


Nürnberg-Bambergs . ..... | 
Bamberg-Gemünden . | 
Gemünden-Würzburg 
Würzburg-Dombühl . 
Dombühl-Nürnberg 
| 
| 


|| 
I) 


XVII. Bd. II. Abth. 


1889 62,934 — 69,8092 
1886 69,627 -r 8,0512 
1889 31,709 — 55,3765 
1888 142,356 —+ 236,1645 
1369 101,181 — 119,0702 
L = 407,807 A = — 0,0402 

VL= 20,19 gar ea 
1539 62,934 — 69,8092 
1886 69,627 + 8,0512 
1889 31,709 — le 
1888 88,376 —+- 280,5501 
1886 68,004 |  — 163,4273 
L = 320,650 A=—:0,0117 

vVL= 17,9 u = + 0,65 mm 
1889 | 62,934 — 69,3092 
1886 110,160 — 80,1679 
1871 39,918 + 32,8416 
1885 142,356 —+- 236,1645 
1869 | 101,181 — 119,0702 
L = 456,549 A= — 0,0412 

VL= 21,37 u= + 1,93 mm 
1889 | 62,954 — 69,8092 
1886 110,160 —  80,1679 
1871 39,918 + 32.8416 
1888 88,376 — 280,5501 
1886 68,004 | — 163,4273 
L = 369,392 A=—0,0127 

Vz= 19,22 u= + 0,66 mm 


53 


406 


Der neue Wert für den Höhenunterschied Weigolshausen-Würzburg 
wurde bereits in den vorstehenden Schleifen Nr 3 und 4 benützt. Eine 
sehr wirksame Probe für seine Richtigkeit, sowie auch für die der 1871 
gemessenen Strecke Würzburg-Gemünden bildet noch die kleine Schleife 
im Nordwesten des Netzes: Gemünden-Weigolshausen-Würzburg-Gemünden. 
Für diese aber kommt: 


Höhenunterschied 


Strecke , Nivelliert | Länge in km 


7. Gemünden-Weigolshausen-Würzburg-Gemünden. 


1 Gemünden-Weigolshausen. . . . | 1886 40,533 + 88,2191 
2 Weigolshausen-Würzburg . . . . | 1889 31,709 — 55,376 
3 Würzburg-Gemündn . . ... | 1871 39,918 — 32,8416 


L=112,160 4=-+0,0010 
VYL= 10,39 u= + 0,10 mm 


Also auch diese siebente Schleife wird durch die Messungen vom 
vergangenen Sommer gleichwie die sämtlichen vorhergehenden zu einem 
sehr günstigen Schluss gebracht. 


Es erübrigt noch die Untersuchung derjenigen Schleifen, welche 
durch die Neunivellierung der Donauthalbahn, nämlich der Linien Offingen- 
Donauwörth und Donauwörth-Regensburg neu entstanden sind. Es sind 
dies die folgenden: 


8. Offingen-Donauwörth-Augsburg-Offingen, 

9. Donauwörth-Regensburg-München-Augsburg-Donauwörth, 

10. Offingen-Donauwörth-Regensburg-München-Augsburg-Offingen. 
11. Donauwörth-Nördlingen-Nürnberg-Regensburg-Donauwörth. 


in m 


Strecke | Nivelliert | Länge in km 


| Höhenunterschied 


8. Offingen-Donauwörth-Augsburg-Offingen. 


Offingen-Augsburg U TER.) 53,211 + 49,1589 
Augsburg-Donauwörth . . .» . . | 1869 43,949 — 84,3392 
Donauwörth-Ofingen . » .» . . ) 1889 46,898 + 35,1822 


| L=144058 4=-0,019 


| VL= 12,00 #«= + 0,16 mm 


9. Donauwörth-Regensburg-München-Augsburg-Donauwörth. 


Donauwörth-Regensbug . . . . ı 1889 127,422 — 65,2111 
Regensburg-München . . ... | 1872 147,226 —+- 181,5187 
München-Augsburg . . . ... 1870 60,567 — 31,9722 
Augsburg-Donauwörth . . ... | 1369 43,949 — 84,3392 


L=379164 4=-— 0,0038 
VL= 19,7 u= + 0,20 mm 


10. Offingen-Donauwörth-Regensburg-München-Augsburg-Offingen. 


Offingen-Donauwörth . . .. . 1889 46,898 — 35,1822 
Donauwörth-Regensburg . . . . 1889 127,422 — 65,211 
Regensburg-München . . ... 1872 147,226 —+ 181,5187 
München Augsburg u. mr rE® 1870 60,567 — 31,9722 
Augsburg-Ofineen . . » ... . | 1870 53.211 | — 49.1589 


L=435324 4=-— 0,0057 
VL= 20,86 u= + 0,27 mm 


11. Donauwörth-Nördlingen-Nürnberg-Regensburg-Donauwörth. 
Donauwörth-Nördlingen . . . . 1869 31.698 | + 24,2709 
Nördlingen-Nürnberg . . . . . 1869 101,181 — 119,0702 


Nürnberg-Regensburg . . . . . 1873 100,923 + 29.5535 
Regensburg-Donauwörth . . . . 1889 127,422 + 65.2111 


L = 361,224 A= -— 0,0344 
VL= 1901 «= + 1,79 mm 


53* 


Wie aus den vorstehenden 11 Schleifenabschlüssen zu entnehmen ist, 
gestalten sich dieselben unter Einführung der im Herbst 1889 neu und 
wiederholt gemessenen Höhenunterschiede äusserst günstig; die Beträge 
für die Schlussfehler und die mittleren Fehler pro Kilometer halten sich 
durchwegs auf erfreulich geringer Höhe. 

Es mag hier noch gestattet sein, über die Ausgangskoten des Prä- 
cisionsnivellements im nördlichen Bayern in Beziehung auf einen Punkt 
Klarheit zu schaffen, dessen schon mehrfach Erwähnung geschah, der 
aber doch bis jetzt noch nicht eingehend für sich und die Folgen, 
die er nach sich zieht, behandelt wurde. Bekanntlich wurde bei der 
Berechnung der Niveilements von 1869 ein Fehler von 1 cm begangen 
und zwar zwischen den Punkten 241 und 242 (S. 72 der I. Mittlg.). Da 
das Nivellement in Neuenmarkt begonnen und in der Richtung über 
Lichtenfels, Bamberg, Nürnberg etc. bis Lindau geführt wurde, haben wir 
bisher angenommen, dass der genannte Fehler die vorausgehenden Koten, 
also die von Neuenmarkt bis Mainroth nicht beeinflusse, sondern alle 
nachfolgenden. Ein eingehenderes Studium der I. Mitteilung zeigte aber, 
dass die Koten von Lindau aus rückwärts gerechnet wurden, so dass 
also gerade umgekehrt alle Koten bis Mainroth (in Bezug auf den 
Bayerischen Eisenbahnhorizont) richtig, die nachfolgenden dagegen bis 
nach Neuenmarkt und ferner die Koten aller von diesem letzteren Punkte 
abgehenden Nivellements um den Betrag von 1 cm zu klein sind. 


Dementsprechend sind zu verbessern um + 1 cm: 

1. Die Koten aller Fixpunkte (1— 241) zwischen Mainroth und Neuen- 
markt, also auch sämtliche Koten des Fichtelgebirgspolygons in 
Mitteilung I; 

. Die Koten derjenigen Hauptfixpunkte und Zweignivellements, 
welche von einem der Fixpunkte Nr 1 bis 241 aus bestimmt 
worden sind (V. Mitteilung); 


[5] 


3. Die Koten des von Neuenmarkt ausgehenden Wiederholungs- 
nivellements des Fichtelgebirgspolygons in Mitteilung VI, S. 26 
bis 46; 

4. Die Koten der ebenfalls von Neuenmarkt ausgehenden Wieder- 
holungsnivellements a) Neuenmarkt-Kulmbach-Lichtenfels, b) Ober-- 


409 


kotzau-Hof, c) Kirchenlaibach - Markt Redwitz-Eger, d) Coburg- 
Lichtenfels-Bamberg auf Seite 14 bis 30, ferner die Koten der 
Wiederholungsnivellements Bamberg-Schweinfurt-Gemünden -Kahl 
auf S. 40 bis 53 der VII. Mitteilung. 

Aus dem gleichen Grunde sind nachfolgende Verbesserungen in ver- 
schiedenen Mitteilungen nothwendig (einige Druckfehler sind gleich bei- 
gefügt). 

In VII, Seite 7: die Fussnote muss lauten: 


„Im Jahre 1869 wurde nach Mitteilung I, S. 71 die Kote von 
„Neuenmarkt = 511,7368 gefunden. Diese war jedoch um 0,01 m 
„zu klein, wie die Rechenlisten von Mainroth bei späterer Revision 
„durch Dr. Haid nachwiesen. Mit der verbesserten Kote 511,7468 
„für Neuenmarkt wird s’ = 85,3261 m.“ 


Ferner kommen hiezu noch die auf S. 399 bereits erwähnten Ver- 
besserungen für die ganze Strecke Gemünden-Elm, welche daher rühren, 
dass bei der Berechnung der Koten dieser Strecke nicht die neue Kote 
der Höhenmarke © 917 zu Gemünden benützt wurde Es sind somit 
alle auf S. 91 bis 93 der VII. Mitteilung um + 0,0011 m zu verbessern, 
immer abgesehen von der Verbesserung —- 0,01 m. 


In VI, Seite 12, Zeile 10 v. u. statt 0,0006 m lies 0,0094 m 


A R 0,062 mm „ WITE nm 

loan eV: 5 38,9968 5 37,9968 

2,0 lIvu ,„ — 0,0006 „ + 0,9994 

I Er ae AR „.391.1530 ..392,1650 
Kaya Sotte 16, .„ ıEl:v.o. %,- 192,7315 02a 

A a ee AN 5 38,0092 31.9992 

Ale, Faekam „ + 0,0239 »„ —+ 0,0139 


(womit auch unsere frühere Ausgleichung unbrauchbar würde, wenn sie 
es nicht aus andern Gründen schon wäre). 


In II, Seite 8, Zeile 9 v.o. statt 0,0143 m lies 0,0243 m 
5 ee 5 0,54 E 0,93 


410 


Endlich sei bei dieser Gelegenheit noch eines im Fixpunktsverzeichnis 
für die Strecke Partenstein-Kahl und daher auch in Mitteilung VII ent- 
haltenen Versehens Erwähnung gethan. Auf Seite 50 der Letzteren muss 
bei Fixpunkt Nr 880 statt — 1,6248 stehen + 1,6248 (dieser Vorzeichen- 
fehler ist beim gleichen Fixpunkt schon in Mittlg. II stehen geblieben und 
von da vermutlich in das erwähnte Fixpunktsverzeichnis übergegangen. 
In Mitteilg. II muss es auf S. 43, Zeile 8 v. o. heissen —- 1,6252 statt 
— 1,6252). Demzufolge wird in Mitteilg. VII die Kote der © 879 zu 
Kahl 748,5416, statt wie es irrtümlicherweise heisst: 751,7912. Weitere 
Folgen hat dieser letztere Fehler nicht. 


411 


I. 


Fixpunkt-Verzeichnis 


für die im Herbst 1889 ausgeführten Präcisions-Nivellements-Strecken: 


1. Bamberg-Nürnberg, 

2. Staffelstein-Lichtenfels-Landesgrenze, 
3. Hof, vom neuen zum alten Bahnhof, 
+ 
5 
6 


Weigolshausen-Würzburg, 


. Kahl-Landesgrenze, 
. Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg 


mit Abzweigung Saal-Kehlheim 


412 


I. Bamberg-Nürnberg. 


Nr alsız| vo | zu Ir | wol 


319. Höhenmarke © am Betriebshauptgebäude zu Bamberg, am Mittelpfeiler des 
Korridors (vgl. Mittlg. VII, S. 30) 


619,6242 


318. Fixpunkt unter der Höhenmarke am Betriebsgebäude zu Bamberg, in die 
oberste Treppenstufe gehauen 


1 + 1,5394 621,1636 


322. D) auf dem Bahngrenzstein Nr 204 östlich der Bahn bei Kilometer 1 + 970”; 
0,70% unter PI. 


2216 62 1971 — 1,4955 0 0,5 0,5 619,6681 


U) Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 5 + 615®, westliche Stirn, mittlere 
Deckplatte; 0,09® über Pl. 


3.28 73 3625 — 5,0618 0,8 0,6 0,4 614,6063 


323. [) Gewölbter Bahndurchlass mit 2 ÖOeffnungen nördlich der Haltestelle 
Strullendorf bei Kilometer 7 + 470”, westliche Stirn, südlicher Gesimsstein, 
0,16m über PI. 


4 12 17 1837 —- 1,7908 0,7 0,5 0,5 612,8505 


324. [|] Gewölbter Bahndurchlass mit 2 Oeffnungen bei Kilometer 11 + 65m, öst- 
liche Stirn, südlicher Gesimsstein*); 0,10” unter PI. 


9. 28 64 3573 — 1,1321 0,7 0,5 0,4 611,7184 


325. [| unter der Höhenmarke am Betriebsgebäude zu Hirschaid, in die Treppen- 
wange gehauen; 0,70% über Pl. 


6 2 31 149 — 0,9360 0,2 0,1 0,7 610,7824 


a ee ©, am Betriebsgebäude der Station Hirschaid, Perronseite, 
rechts neben der Eingangsthüre zum Expeditionslokal 


| 7 — 1,5405 609,2419 


*) In der I. Mitteilung, S. 81, steht fälschlicherweise „nördlicher Gesimsstein“. 


ee 


413 


Bamberg-Nürnberg. 

Nr a er: ve lwelw| Ko 
327. [[) Wegdurchlass westlich der Bahn bei Kilometer 13+ 865%, nördliche 

Stirndeckplatte; 0,12% über Pl. 

E23 57 2642 — 3,4067 0,8 0,7 0,5 607,3757 

[] Schiefer gedeckter Strassendurchlass für den westlichen Seitengraben der 

Bahn bei Bahnwärterposten Nr 9 und Kilometer 14 + 345%, nördliches Wider- 

lager, östliche Deckplatte; 0,08% unter Pl. 

2 5 48 478 — 0,3536 0,6 0,4 0,9 607,0221 
328. [_] Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 15 + 290%, westliche Stirn, nörd- 

liche Deckplatte; 0,15% über Pl. 

3 6 79 946 + 0,0993 0,4 0,2 0,5 607,1214 
329. [[] Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 16 + 885%, westliche Stirn, nörd- 

licher Gesimsstein, innen an der Brüstung 

+ ı1 76 1613 — 0,5423 0.6 0,4 0,5 606,5791 
331. Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Eggolsheim, Perronseite, 

nördliche, einspringende Ecke; 1,57% über PI. 

5 2 52 207 — 1,9389 0,2 0,1 0,5 604,6402 

Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 18 190®, [_] auf der westlichen 

Stirndeckplatte; 0,94® unter Pl. 

ee IN 57 1173 + 2,5255 0,5 0,3 0,5 607,1657 
332. Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 19-90”, westliche Stirn, [_] auf 

dem obersten, südlichen Flügeldeckstein; Pl. 

2 8 56 894 — 3,0301 0,5 0,3 0,5 604,1356 
333. Offner Bahndurchlass bei Kilometer 23 + 102=, südliches Widerlager, [_] auf 

dem obersten Deckstein des östlichen Böschungsflügels; 0,08” unter Pl. 

o.,81 65 4003 — 6,1990 al 1,2 0,5 597,9366 
336. © am Betriebshauptgebäude der Station Forchheim, Stadtseite, nördlicher 

Pfeiler der mittleren Oeffnung zur Vorhalle; 1,37= über Bahnhof-Planie 

4 8 64 1017 — 3,1051 0,3 0,1 0,3 594,8315 
Abh.d.II.Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 54 


414 


Bamberg-Nürnberg. 

Nr | so] 2 Dr | ur | 
337. Gewölbte Bahnbrücke mit 3 Oeffnungen bei Kilometer 25-+ 480%, westliche 

Stirn, [I] auf der nördlichen Gesimsplatte; Pl. 

10215 46 1392 + 2,6017 0,7 0,6 0,6 997,4332 
338. [[] Bahngrenzstein hei Kilometer 26 + 200%; 1,58” unter Pl. 

2 7 52 724 + 1,1098 0,5 0,3 0,6 598,5430 
339. Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 27 + 645%, [_] auf der östlichen Deck- 

platte; 0,19% unter Pl. 

3 48 1642 — 1,8680 0,8 0,7 0,6 596,6750 

Offner Bahndurchlass bei Kilometer 29 + 625%, nordöstliches Widerlager, 

[] auf dem Böschungsanfänger am Einlauf; 0,08% über Pl. 

4 13 76 1972 — 2,9999 0,6 0,4 0,4 593,6751 

Schiefer, gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 30 +770®, [_] auf der nord- 

östlichen Deckplatte der Stirn am Einlauf; 0,29% unter Pl. 

b) 8 zn! 1143 — 0,6965 0,5 0,3 0,5 592,9786 
341. Höhenmarke © am Betriebshauptgebäude der Station Baiersdorf, Ortseite, 

links neben der Eingangsthüre; 1,71% über Bahnhof-Pl. 

6 6 62 739 — 2,6358 0,3 0,1 0,3 590,3428 
342. Offner Bahndurchlass bei Kilometer 33 + 130%, nördliches Widerlager, [] auf 

dem obersten Deckstein des westlichen Böschungsflügels; Pl. 

2 71 1699 + 0,0875 0,5 0,2 0,4 590,4303 
343. ÖOffner Bahndurchlass bei Kilometer 33 + 865”, nördliches Widerlager, [_] auf 


dem obersten Deckstein des westlichen Böschungsflügels 

2 6 62 738 — 0,7532 0,4 0,1 0,4 589,6771 
Öffner Bahndurchlass bei Kilometer 34—+ 812%, [7] auf der mittleren Deck- 
platte des nördlichen Widerlagers; Pl. 


St 43 936 — 1,1261 0,4 0,2 0,5 588,5510 


415 


Bamberg-Nürnberg. 


Nr 


Az, Di tel a 


344. Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 36 + 507%, westliche Stirn, [] auf 
dem obersten Deckstein des südlichen Böschungsflügels 


4 7 50 696 — 0,7592 0,4 0,2 0,5 987,7918 


345. Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 37 + 45% (vor dem nördlichen Tunnel- 
portal), [] auf einer Deckplatte der östlichen Stirn 


Sl 65 1422 — 1,3222 0,5 0,2 0,4 586,4696 
346. Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 37 + 410% (vor dem südlichen Tunnel- 

portal), [)] auf der östlichen Stirnplatte 

6 6 60 720 — 0,1894 0,5 0,3 0,6 586,2802 


347. Fixpunkt unter der © am Betriebsgebäude zu Erlangen; 0,48% über Pl. 

7 ) 79 1426 — 3,6061 0,7 0,5 0,6 582,6741 
le tamete © am Betriebsgebäude der Station Erlangen, Perronseite, 

zwischen der 6. und 7. Thüre von Süden her 

Ir — 1,7164 580,9577 

349. Schiefe gewölbte Bahnbrücke bei Kilometer 39 + 550%, westliche Stirn, [_] auf 

dem südlichen Gesimsstein innerhalb der Brüstung; Pl. 

I 5) 71 710 — 0,5448 0,4 0,1 0,4 582,1293 
350. Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 41 + 675%, westliche Stim, [_] aut 

der nördlichen Flügeldeckplatte; 0,06% über Pl. 

2 14 76 2117 — 6,9354 0,7 0,5 0,5 575,1939 
352. [_] auf der Umfassungsmauer der Wage in der Station Eltersdorf, westliche 

Schmalseite, dieht an der Wand; Pl. 

3. 012 76 1815 — 1,6675 0,4 0,2 0,3 573,9264 

Bahnbrücke über den Ludwigs-Donau-Mainkanal bei Kilometer 46 + 850% und 


Bahnwärterposten Nr 28, rechtseitiges Widerlager, [_) auf dem Abdeckstein 
des nördlichen Böschungsflügels; Pl. 


4 28 59 3394 — 3,1324 1,0 0,9 0,5 970,3940 
54* 


416 


Bamberg-Nürnberg. 


als|z| on | su |vlelw]| 


U) auf der Trittstufe vor dem Eingang zum Wartsaal II. Klasse am Bahn- 
hof zu Vach, linkseitige Ecke; 0,92% über Pl. 


b) fl 73 1019 + 0,6496 0,4 0,1 0,4 571,0436 
Bahnbrücke bei Kilometer 50 + 450®, nordöstliches Widerlager, [_] auf der 
äussersten Deckplatte der südöstlichen Stirn; Pl. 

6 23 59 2668 — 6,7788 0,9 0,7 0,5 564,2648 
Bahnbrücke bei Kilometer 51 + 135”, [_] auf der südöstlichen Ecke des west- 
lichen Widerlagers; Pl. 

m 6 58 695 — 2,8785 0,4 0,2 0,5 561,3863 
U) auf der Trittstufe vor der mittleren Durchgangsthüre am Bahnhof zu 
Fürth, rechtseitige Ecke; 0,92” über Pl. 

8 29 61 3550 + 3,0086 1,1 1,2 0,6 564,3949 
Höhenmarke © am Betriebshauptgebäude zu Fürth, Perronseite, rechts neben 
dem Durchgang unterhalb der Uhr 

9 1 — 1,6319 562,7630 
DT) auf der Treppenstufe vor dem Eingang zum Wartsaal III. Klasse der 
Station Doos, rechtseitige Ecke; 0,70% über Pl. 

1 2 51 2254 — 3,4957 0,9 0,9 0,6 560,8992 
Gedeckter Strassendurchlass für den südöstlichen Bahngraben an der Ueber- 


fahrt bei Neuseeleinsbühl, Kilometer 3+475®% (Zählung ab Nürnberg) und 
Bahnwärterposten Nr 1; Pl. 


2 20 60 1908 — 2,7677 0,7 0,5 0,5 558,1315 
364. [_] unter der ©& am Bahnhofgebäude zu Nürnberg, in die Treppenwange 

gehauen | 

8.27 65 3487 — 6,2155 1,3 ler 0,7 551,9160 


365. Höhenmarke © am Bahnhofgebäude in Nürnberg, Stadtseite, Mittelbau 
rechts neben der westlichen Thüre 


4 — 2,1010 549,8150 


417 


2. Staffelstein-Lichtenfels-Landesgrenze. 


ee 


289. Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Staffelstein, Vorhalle gegen 
die Stadt hin, westlicher Pfeiler (vgl. Mittle. VII, S. 27) 


597,0195 


= auf dem 26. Kilometerstein 
l 4 32 254 + 3,2153 0,2 0,1 0,4 600,2348 
Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 27 + 994%, [_] auf der mittleren Deck- 
platte am Auslauf 
2 18 65 2336 + 1,7395 0,6 0,3 0,4 598,7590 
Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 29 + 370%, [_] auf der Stirndeckplatte 
am Einlauf 
310 68 1364 —+ 1,4443 0,5 0,3 0,4 600,2033 
[) auf der östlichen Deckplatte eines ehemaligen, jetzt aufgefüllten Durch- 
lasses an der Ueberfahrt am südlichen Ende der Station Lichtenfels, bei 
Kilometer 31,0; 0,19® über Pl. 
4 18 53 1915 02706 0,7 0,5 0,5 598,9327 
262. Fixpunkt unter der Höhenmarke am Betriebsgebäude in Lichtenfels, in den 
vorspringenden Sockel gehauen 
5 5 59 594 — 0,5175 Ua ba 0,5 598,3152 
263. ce © am Betriebshauptsebäude der Station Lichtenfels, Stadt- 
seite, Mitte des südwestlichen Pavillons 
IR — 1,2611 597,0541 
Gedeckter Strassendurchlass Lit. b2 bei Kilometer 1+510® an der Staats- 


strasse Lichtenfels-Coburg (Zählung ab Lichtenfels), [_] auf der Deckplatte 
am Einlauf, südliche Ecke 


E14 49 1666 — 14,3761 0,7 0,5 0,5 583,9391 
Gedeckter Strassendurchlass Lit. a4 bei Kilometer 3,0, 7] auf der Stirndeck- 
platte am Auslauf, westliche Ecke 

28 9 43 1632 — 43,8356 0,5 0,3 0,4 540,1035 


418 


Staffelstein-Lichtenfels-Landesgrenze. 


wa lc) zen.) zelal I lwlw| Ko 
| 
U) auf dem gedeckten Durchlass für den südlichen Strassengraben unterhalb 
des Grenzsteins Nr 82, bei Kilometer 4 + 430” 
3 20 36 1427 — 37,7306 0,5 0,3 0,5 502,3729 
Gewölbter Strassendurchlass Lit. a7 bei Kilometer 6 + 40%, [_] auf dem aus- 
springenden Schlussstein der Stirne am Auslauf 
4 18 41 1462 + 4,8963 0,6 0,4 0,5 507,2692 
Nivellementsgrenzpfeiler mit Bolzen 6950 der K. Preussischen Landesaufnahme 
an der Landesgrenze, 200% östlich vom Dorfe Obersiemau 
5, 2 37 1555 + 38,1041 07 0,4 0,5 545,3733 
Bolzen 6949 der K. Preussischen Landesaufnahme am östlichen Ausgang des 
Dorfes Untersiemau; 70% vom ersten Haus entfernt (der den Bolzen tragende 
Steinpfeiler hat sich nach hinten gesenkt) 
6.2716 56 1802 —+ 7,8366 0,6 0,4 0,4 553,2099 
Höhenmarke der K. Preussischen Landesaufnahme an der Kirche in Unter- 
siemau, Ostseite des Turmes 
7 6 37 439 + 8,4075 0,4 0,2 0,6 561,6174 
3. Hof, neuer Bahnhof - Hof, alter Bahnhof. 
;  — 
Nr ll D | HR Ir lee! Kote 
197. Höhenmarke & am neuen Betriebshauptgebäude zu Hof, Perronseite, zwischen 
den Thüren zum Königssalon und zum reservierten Zimmer (vgl. Mittlg. VII, S. 19) 
364,0307 
64. Fixpunkt an der Südwestecke der ehemaligen Einsteighalle im alten Bahn- 
hof in Hof 
1.21 65 2704 — 7,0646 0,7 0,5 0,4 356,9661 
65 


Höhenmarke © am alten Bahnhofgebäude in Hof, Mittelpfeiler der ehe- 
maligen Einfahrt in die Einsteighalle 


2 1 18 — 1,1866 355,779 


419 


4. Weigolshausen-Würzburg. 


alaız| Do.) 30 || |w | oo 


960. Höhenmarke & am Betriebshauptgebäude der Station Weigolshausen, 
Perronseite, links neben dem Eingang zum Wartsaal I. und II. Klasse (vgl. 


Mittle. VIL, $. 45) 
611,5730 


959. Fixpunkt unter der Höhenmarke zu Weigolshausen 
il + 1,4641 613,0371 


958. Gewölbte Bahndurchfahrt bei Kilometer 70+780” (Zählung ab Bamberg), 
nordwestliche Stirn, [_] auf dem nordöstlichen Eckgesimsstein; 0,31” über Pl. 


2 Al 76 2590 — 8,5294 0,8 0,6 0,5 604,5077 


957. Gewölbte Bahnbrücke nördlich der Station Essleben bei Kilometer 71 + 583%, 
nordwestliche Stirn, [_] auf dem nordöstlichen Eckgesimsstein; 0,14” über Pl. 


3 B) 80 239 — 1,0148 0,2 0,1 0,2 603,4929 
956. Gewölbte Bahnbrücke über den Langenfeldbach bei Kilometer 76 + 30", nord- 

westliche Stirn, [_] auf dem südwestlichen Eckgesimsstein; 0,31” über Pl. 

4 30 74 4420 — 13,2296 en! 1.1 0,5 590,2633 
954. [_) unter der Höhenmarke in der Station Bergtheim, in die linkseitige Treppen- 

wange gehauen; 0,60% über PI. 

b) 8 78 1251 — 0,3994 0,3 0,1 0,2 589,8639 
955. ([Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Bergtheim, Perronseite, 

links neben der Eingangsthür 

6 — 1,4254 588,4385 
953. Gewölbte Bahnbrücke bei Kilometer 79 + 470”, westliche Stirn, [_] im süd- 

lichen Brüstungsstein 

1, 14 77 2147 + 4,1548 0,5 0,3 0,3 594,0187 

Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 81-135", westliche Stirn, [_] auf 

der nördlichen Deckplatte; PI. 

Fe! 76 1663 — 7,0006 0,5 0,3 0,4 587,0181 


Weigolshausen-Würzburg. 


Nr 


asia o | su vl m|w| zo 


952. D) in der Umfassungsmauer der Wage in der Station Seligenstadt, Mitte 
der nördlichen Langseite; Pl. 


Sn 73 1597 — 6,4144 0,5 0,3 0,4 580,6037 


951. Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 83 + 865%, [_] auf der südlichen Deck- 
platte der westlichen Stirn; 0,48% unter Pl. 


4 8 70 1125 + 1,8207 0,3 0,1 0,3 582,4244 


950. Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 84 +770%, nordwestliche Stirn, 
[_] auf der nordöstlichen Eckdeckplatte; 0,07® unter Pl. 


h) 6 75 900 — 1,7677 0,4 0,2 0,5 584,1921 


949. Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 87 + 815”, südöstliche Stirn, [_] auf 
der nordöstlichen Eckdeckplatte; 0,16% unter Pl. 


6 20 76 32089 10,597 09 02 00 Fo 


je im Sockel der Warnungstafel östlich der Bahn bei Kilometer 88 + 795%, i 
an der Ueberfahrt unterhalb Rothhof; 0,60% unter PI. | 


7 7 zu 992 + 5,4527 0,3 0,1 0,3 600,1845 


948. [_] in der Umfassungsmauer der Wage in der Station Rottendorf, nord- 
westliche Ecke; Pl. 
8 28 78 4358 + 19,5246 0,8 0,7 0,4 614,2564 


947. Gewölbte Bahnbrücke bei Kilometer 95 + 405®, südliche Stirn, [] auf dem 
östlichen Eckgesimsstein; Pl. 


GB LER, - + 9,4547: 4 10,8 21.0056 JO 


945. Gewölbte Wegbrücke für die Staatsstrasse von Kitzingen nach Würzburg bei 
Kilometer 97 + 475%, nordöstliches Widerlager, [] in der Dohlenabdeckplatte 
an der nordwestlichen Ecke; 0,06% unter Pl. (An der alten © 946, welche sich 
über diesem Punkt befindet, ist der Schild abgerissen und die Bolzenöffnung vernagelt) 


107719 55 2080 + 17,4176 0,5 0,3 0,4 641,1287 


421 


Weigolshausen-Würzburg. 


Nr tz nn Sc al www | Hole 
Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 98 + 422%, [_] in der westlichen Eck- 
deckplatte der südlichen Stirn; 0,19% unter Pl. 

EI 7 72 1013 + 8,1027 0,4 0,2 0,4 649,2314 

942. Blechträgerbrücke mit 2 Oeffnungen bei Kilometer 275 + 770” (Zählung ab 
München), westliche Stirn, [_] auf einem Brüstungsstein des nördlichen Wider- 
lagers, Innenseite; 0,57% über Pl. 

12 20 64 2578 + 26,2412 0,7 0,5 0,4 675,4726 

[_] unter der Höhenmarke 943, in die Dohlenabdeckplatte gehauen; Pl. 

id «8 60 967 — 7,1499 0,4 0,2 0,4 668,3227 
943. Höhenmarke © an der gewölbten Wegbrücke für die Staatsstrasse von 

Kitzingen nach Würzburg an der Würzburg-Ansbacher Bahn, Mitte des öst- 

lichen Widerlagers 

14 — 1,3732 666,9495 

9. Kahl-Landesgrenze. 

w|alı|z| 5 | zu Iwlmlw| Ko 
879. Bayerische Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Kahl, Perron- 

seite, zwischen den beiden Thüren (vgl. Mittlg. VII, S. 50) 

748,5516 

880. Fixpunkt unter der Höhenmarke in Kahl, in die untere Einfassung des Keller- 


fenster-Lichtschachtes gehauen 
1 —+ 1,6249 750,1765 


Nivellementsgrenzpfeiler mit Bolzen 6565 der K. Preussischen Landesaufnahme 
an der Chaussee Aschaffenburg-Hanau, dicht an der Landesgrenze 


2 13 76 1989 — 0,9852 0,5 0,2 0,3 749,1913 


Abh.d.II. Cl.d.k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 55 


6. Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


419,7664 


wel | DE Seht lm || Kol 

638. Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Offingen, Rückseite, rechts 
neben der Eingangsthüre (vgl. Mittlg. II, Seite 17) 

637. Fixpunkt unter der Höhenmarke in Offingen, in die rechtseitige Treppen- 


wange gehauen (neu gerichtet) 

1 + 1,6868 421,4532 
© am Betriebshauptgebäude zu Neuoffingen, Perronseite, Pfeiler zwischen 
dem Wartsaal III. Klasse und dem Büffet; 2,50” über PI. 

2 20 67 2699 — 1,7063 0,8 0,7 0,5 419,7469 
Schiefe eiserne Fachwerksbrücke über die Donau mit 2 Oeffnungen bei Kilo- 


meter 169+ 760% (Zählung ab Regensburg), [] auf dem oberen Pfeilerkopf; 
1,42% unter PI. 


1 6 76 9722 + 3,1894 08 0,1 0,3 422,9363 
[] im Sockel des Bahnwärterhauses Nr 76 bei Kilometer 168 + 640%, süd- 
östliche Ecke; 0,46% über Pl. 

er, 80 1 + 0,5849 0,4 0,1 0,3 423,5212 
[) im Sockel des Bahnwärterhauses Nr 75 bei Kilometer 166 + 725%, süd- 
östliche Ecke; 0,56% über PI. 

3 13 80 2075 + 3,0547 0,6 0,4 0,4 426,5759 
[) im Sockel des Bahnwärterhauses Nr 74 bei Kilometer 165 + 225”, nord- 
östliche Ecke; 0,45% über Pl. 

4 68 1494 + 0,8081 0,4 0,1 0,3 427,3840 
(] auf der Trittstufe vor den Eingang zum Wartsaal III. Klasse in Gundel- 
fingen, rechtseitige,.hintere Ecke, links unterhalb der Höhenmarke; 0,74” über Pl. 
Dr 68 2318 + 1,7775 0,6 0,3 0,3 429,1615 
© am Betriebshauptgebäude der Station Gundelfingen, Perronseite, nord- 
östliche Ecke 
l; 1 -— 1,8188 427,3427 


423 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


sn.) m I lem) Kate 


Bahn- und Wegdurchlass bei Kilometer 161 + 510”, südöstliche Stirn, 7) auf 
dem Abdeckstein des südwestlichen Böschungsflügels; 0,37” unter Pl. 


1 9 77 1392 — 4,2442 0,6 0,3 0,5 424,9173 


[] im Sockel des Bahnwärterhauses Nr 72 bei Kilometer 159 + 885", nord- 
östliche Ecke; 0,42% über Pl. 


el orange or, 050103 04 7,421,5146 


[) in der Trittstufe vor dem Eingang zum Wartsaal III. Klasse im Bahnhof 
zu Lauingen, linke, hintere Ecke; 0,81® über Pl. 


3.712 74 1774 + 1,4960 0,4 0,2 0,3 423,0106 
Höhenmarke © am Betriebsgebäude zu Lauingen, Perronseite, Pfeiler 
zwischen den beiden Wartesälen 
Ik 1 — 1,7098 421,3008 
[|] im Sockel des Bahnwärterhauses Nr 71 bei Kilometer 156 + 610%, süd- 
westliche Ecke; 0,49% über Pl. 
10 75 1498 + 0,5944 0,5 0,2 0,4 423,6050 
[_] auf dem Bahngrenzstein Nr 68 südlich der Bahn bei Kilometer 155 + 350%; 
0,87® unter PI. 
2 8 78 1253 + 3,1138 0,5 0,2 0,4 426,7188 
[] auf der Trittstufe vor dem Eingang zum Wasserhaus in der Station 
Dillingen, linke, hintere Ecke; 0,08% über Pl. 
3 14 74 2083 + 0,5238 0,6 0,4 0,4 427,2426 
Höhenmarke © amı Betriebsgebäude zu Dillingen, Perronseite, nordöstlicher 
Ausbau, nordöstliche Ecke 
4 1 — 2,2804 424,9622 
ED) im Sockel des Bahnwärterhauses Nr 69 bei Kilometer 151 + 425%, süd- 
westliche Ecke; 0,82” über Pl. 


2 7713 za 1844 + 2,1000 0,5 0,3 0,4 429,3426 
55* 


424 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


a zn +H Ilm | ot 


Bahnbrücke über die Eggau bei Kilometer 149 + 970%, rechtseitiges Wider- 
lager, [_] auf einem Brüstungsstein der oberen Stirn; 0,28% über Pl. 


2 s) 81 1451 —+ 5,2148 0,4 0,2 0,3 434,5974 
— auf dem Kilometerstein Nr 149 in der Haltestelle Steinheim; 0,70” 
über Pl. 

3 6 80 964 — 0,4483 0,4 0,2 0,4 434,1091 
Bahnbrücke über den Schlangenbach und den Deisenhofer Weg bei Kilo- 


meter 146 + 925%, linkseitiges Widerlager, [_] auf einem Gesimsstein der 
unteren Stirn; 0,03% über Pl. 


4 13 S0 2070 + 6,2350 0,3 0,1 0,2 440,3441 


(_] auf der Trittstufe vor dem Eingang zum Expeditionslokal in Höchstädt, 
linke, vordere Ecke; 0,67= über Pl. 


5 7 65 904 — 0,6219 0,5 0,2 0,5 439,7222 
Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Höchstädt, Perronseite, 
östliche Ecke 

6 1 — 1,3308 437,8914 
Bahndurchlass für den Sonderheimer Graben bei Kilometer 144 + 500”, süd- 


östliche Stirn, [_] auf dem Abdeckstein des nordöstlichen Böschungsflügels; 
1,61® unter Pl. 


Er 78 1718 — 1,6868 0,3 0,1 0,3 438,0354 


Bahndurchlass für den Lutzinger Graben bei Kilometer 143 + 165%; südöst- 
liche Stim, [_] auf dem Abdeckstein des südwestlichen Böschungsflügels; 
1,60% unter Pl. 


% 10: .66.- 1897.0...00750 ma 01 Ws 2 
[J) auf der Trittstufe vor dem Wartsaal am Stationsgebäude zu Blindheim, 
rechts unterhalb der Höhenmarke; 0,79" über Pl. 

310 61 1956 + 2,2931 0,6 0,3 0,4 440,6044 


nn 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


Nr 


alajz | D.) m | m W| wor 


| 


| 


Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Blindheim, Perronseite, 
mittlerer Wandpfeiler 


4 1 — 1,7106 438,8938 
Offner Bahndurchlass bei Kilometer 138 + 535% für den Schwenninger Graben, 


nordöstliches Widerlager, [_]| auf dem Abdeckstein des nordwestlichen Bösch- 
ungsflügels; 0,07% unter Pl. 


17 79 2674 — 0,9339 0,5 0,3 0,3 439,6705 


= auf dem Kilometerstein Nr 137; 0,37% über Pl. 

210 76 1529 — 1,1994 0,4 0,2 0,3 438,4711 
Bahndurchlass bei Kilometer 135 + 695%, [_] auf einem Abdeckstein der süd- 
östlichen Stirn; 0,06% unter Pl. 

3 8 sl 1298 —+ 1,7503 0,5 0,3 0,4 440,2214 
Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Tapfheim, Perronseite, 
südwestliche Ecke; 2,52% über Pl. 

4 8 81 1302 + 2,0670 0,3 0,1 0,3 442,2884 
Blechträgerbrücke über den Bollenbach bei Kilometer 133 + 290%, südwest- 


liches Widerlager, [_] auf einem Brüstungsstein des südöstlichen Flügels; 
0,36® über Pl. 


1 8 69 1097 + 6,0267 0,2 0,0 0,2 448,3151 
Offner Bahndurchlass bei Kilometer 131 655%, südwestliches Widerlager, 
[|] auf einem Gesimsstein des südöstlichen Flügels; 0,13% unter Pl. 

2»1..12 68 1629 + 7,5914 0,5 0,3 0,4 455,9065 
Öffner Bahndurchlass bei Kilometer 130 + 45%, südwestliches Widerlager, 
[) auf einem Gesimsstein der südöstlichen Stirn; 0,09% unter Pl. 


Dr eier 00 01.05 4574084 


[] im vorspringenden Sockel an der nordwestlichen Ecke der Lokomotiv- 
remise im Bahnhof zu Donauwörth; 0,20% über Pl. 


4 77 78 2667 + 0,0918 0,8 0,7 0,5 457,5202 


426 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


w|alolz|on.| +H leln| Kote 


1457. Fixpunkt unter der © 1458 am Betriebshauptgebäude zu Donauwörth, in 
die rechtseitige Treppenwange gehauen; 0,97® über Pl. (vgl. auch Mittle. V, 

8. 47). 
5 B) 63 628 — 0,8864 0,4 0,2 0,5 456,6338\ 
1876: 456,6335J 


1458. ( Höhenmarke © am Betriebshauptgebäude zu Donauwörth, Stadtseite, rechts 
neben dem Hauptportal (vgl. auch Mittg. V, 8. 47) 

b — 1,6852 454,9486 

1876: 454,9467J 


Eiserne Fachwerksbrücke über die Donau am östlichen Ende des Bahnhofes 
Donauwörth, linkseitiges Widerlager, [_] auf einem Brüstungsstein des unteren 
Flügels, bei Kilometer 126 + 355%; 0,39% über Pl. 


I RSS aa +05 01° 00° 027 2208 


Blechträgerbrücke für das Hochwasser der Zusamm und der Donau, recht- 
seitiges Widerlager, [_] auf einem Brüstungsstein des oberen Flügels, bei 
Kilometer 125 + 350%; 0,45% über Pl. 


2.020 +00 er aeg 


Schiefe Blechträgerbrücke mit 2 Oeffnungen über die Schmutter, linkseitiges 
Widerlager, [_] auf einem Gesimsstein des nördlichen Stirnflügels, bei Kilo- 
meter 124 + 280”; 0,05 unter Pl. 


3 7 76 1066 + 1,5095 0,5 0,2 0,5 458,7662 


Blechträgerbrücke für das Hochwasser des Egelseebaches bei Kilom. 122 + 370%, 
linkseitiges Widerlager, [_] auf einem Gesimsstein des nördlichen Stirnflügels; 
0,08% unter Pl. . 


4 12 79 1906 — 0,3194 0,4 0,2 0,3 458,4468 


Blechträgerbrücke bei Kilometer 119 + 725”, westliches Widerlager, [) auf 
einem Gesimsstein des nördlichen Stirnflügels; 0,05” unter Pl. 


aelT 77 2630 — 0,0572 0,7 0,6 0,5 458,3896 


De Zu EZ 2025 = 


427 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadf-Regensburg. 


AI“ D | +H lei Kote 


Blechträgerbrücke bei Kilometer 118 + 430%, östliches Widerlager, [] auf 
einem Gesimsstein des nördlichen Stirnflügels; 0,05% unter Pl. 


6 8 8 1291 + 0,0566 0,3 0,1 0,3 458,4462 
Höhenmarke © am Haltstellgebäude in Genderkingen, Perronseite; 2,13” 
über Pl. 

7 7 172 1013 — 2,5472 0,5. 0,3 0,5 455,8990 
Eiserne Fachwerksbrücke über den Lech, rechtseitiges Widerlager, [|] auf 


dem Brüstungseckstein des oberen Stirnflügels, bei Kilometer 116 + 385%; 
0,41® über Pl. 


1 8 72 1158 — 0,2296 0,5 0,3 0,5 459,6694 
[) auf der Trittstufe vor dem Eingang zum Wartsaal III. Klasse in Rain, 
rechte, hintere Ecke; 0,68% über Pl. 

N) 54 2148 — 0,6378 07 0,5 0,5 455,0316 
Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Rain, Perronseite, Pfeiler 
zwischen den beiden Wartsaalthüren 

3 1 — 1,7330 453,2986 
Blechträgerbrücke bei Kilometer 112 + 955%, westliches Widerlager, [_) auf 
einem Brüstungsstein der nördlichen Stirn; 0,39% über Pl. 

ie a1 45 1267 — 2,0162 0,6 0,4 0,6 453,0154 
Wegdurchlass nördlich der Bahn bei Bahnwärterposten Nr 52 und Kilometer 
110 + 665®, [_] auf der östlichen Stirndeckplatte; 0,39% unter Pl. 

2 24 47 2280 + 4,3892 0,8 0,6 0,5 457,4046 
Gewölbte Bahnbrücke bei Kilometer 109 -+- 690%, [_] auf emem Brüstungs- 
stein der nördlichen Stirn; 0,50% über Pl. 

3 6 81 973 + 1,4814 0,3 Vt 0,3 458,8860 
Wegdurchlass südlich der Bahn bei Kilometer 107 +570®, östliche Stirn, 
[_] auf dem nördlichen Flügelabdeckstein; 0,42” unter Pl. 


4 14 76 2114 — 0,8646 0,8 0,6 0,5 458,0214 


428 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


alsız|lo| u ||| w| ro 


Höhenmarke &) am Betriebsgebäude der Station Burgheim, Perronseite, 
östliche Eeke; 2,49m über Pl. 


50 40 805 — 2,5107 0,5 0,2 0,5 455,5107 
Gewölbte Bahnbrücke bei Kilometer 105 + 440%, [7] auf einem Brüstungs- 
stein der nordwestlichen Stirn; 0.41%, über Pl. 
ie «18 5] 1327 + 2,1180 0,6 0,4 0,5 457,6287 
Bahndurchlass für den nördlichen Bahngraben bei Kilometer 103 + 885%, 
[] auf dem östlichen Stirndeckstein; Pl. 
De 65 1560 — 1,8955 0,6 0,3 0,5 455,1332 
[_) auf der Trittstufe vor dem Eingang zum Wartsaal in Unterhausen, recht- 
seitige, vordere Ecke; 0,90% über Pl. 
3 23 63 2920 — 13,8237 0,9 0,8 0,5 441,9095 
ee © am Betriebsgebäude der Station Unterhausen, Perronseite, 
südöstliche Ecke 
Ih 1 — 1,8685 440,0410 
Bahndurchlass bei Kilometer 98 + 510”, [] auf einer Abdeckplatte der nörd- 
lichen Stirn; 0,76% unter Pl. 
17, 71 2423 + 11,7262 0,7 0,4 0,4 453,6357 
Gewölbte Bahnbrücke bei Kilometer 96-+ 840”, [_] auf einem Brüstungsstein 
der nordwestlichen Stirn; 0,44m über PI. 
2a 76 1662 + 7,2000 0,4 0,2 0,3 460,8357 
U] im Sockel der Läutebude bei Bahnwärterposten Nr 45, Mitte der Bahn- 
seite; 0,66% über Pl. 


B) 4 75 596 + 2,7331 0,2 0 0,3 463,5688 


a a ra 


Höhenmarke © am Betriebshauptgebäude der Station Neuburg a. D., Perron- 
seite, nordwestlicher Anbau, südwestliche Ecke; 2,77® über Pl. 


4 18 45 1637 + 4,4072 0203 0,4 467,9760 


a EDER UWE un 


429 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


| 
Nr az mul zur ||| Wil Mor 
| - 

Gewölbte Bahnbrücke bei Kilometer 94 + 325%, 7] auf einem Brüstungsstein 
der nordwestlichen Stirn; 0,39% über Pl. 

1 2 69 275 + 2,4485 0,5 0,2 0,9 470,4245 
Gewölbte Bahnbrücke über den Längenmüllerbach bei Kilometer 92 + 595%, 
[) auf einem Brüstungsstein der oberen Stirn; 0,31% über Pl. 

2, "u 78 1723 + 8,4292 0,4 0,1 0,3 478,8537 
Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 89 + 845%, nördliche Stirn, 7] auf 
dem Abdeckstein des östlichen Böschungsflügels; 1,27= unter Pl. 

3 232 62 2734 + 4,4724 0,7 0,4 0,4 483,3261 
Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Rohrenfeld, Perronseite, 
westliche Ecke; 2,51% über Pl. 

4 3) TR 1381 — 2,8519 0,5 0,2 0,4 480,4742 
I] im Sockel des Bahnwärterhauses Nr 41 bei Kilometer 86 + 385%, südöst- 
liche Ecke; 0,50% über Pl. 

ı 14 79 2225 + 3,3335 0,7 0,5 0,5 483,8077 
Wegbrücke über die Schornreuter Grabenkorrektion bei Kilometer 84 + 465”, 
westliche Stirn, [_] auf einem Gesimsstein des nördlichen Böschungsflügels; 
0,14® unter PI. 

2u2 80 1914 + 2,0900 0,6 0,3 0,4 485,8977 
Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Weichering, Perron- 
seite, Pfeiler zwischen dem Gepäcklokal und dem Wartsaalfenster; 2,31” 
“über Pl. 

3 8 80 1283 — 1,4621 0,5 0,3 0,5 484,4356 
Hölzerne Strassenbrücke über die Ach bei Kilometer 81 + 310%, linkseitiges 
Widerlager, | ] auf dem nordwestlichen Gesimsstein des oberen Flügels; 
0,06% über Pl. 

ia 12 78 1867 + 3,5501 0,5 0,2 0,3 487,9857 


Abh.d.IIl.Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 56 


450 


alslz|o| u Ielm|w | Koi 


] im Sockel des Bahnwärterhauses Nr 36 bei Kilometer 77 + 20%, südöst- 
liche Ecke; 0,58% über Pl. 


a0 728 79 4267 + 2,2569 0,7 0,5 0,3 490,2426 

Gewölbte Bahnbrücke bei Kilometer 74 675%, [_] auf einem Brüstungs- 
stein der südwestlichen Stirn; 0,30" über Pl. 

3 2 78 2339 + 2,7382 0,6 0,3 0,4 492,9808 

Linkseitiger Turm am Einfahrtsthor der Donaubrücke in Ingolstadt, U) auf 


dem Wulste des vorspringenden Sockelgesimses, in der Mitte desselben; 1,45” 
über der Höhe des Uferpfades 


ı' Ad2 64 1525 —+ 1,4606 0,6 0,4 0,5 494,4414 
Nullpunkt des Donaupegels in Ingolstadt, berechnet aus den Ablesungen auf 


dem korrespondierenden Pegel an der, den rechtseitigen Thoreingang flan- 
kierenden Festungsmauer 


2 1 + 3,1006 497,5420 


Fixpunkt unter der Höhenmarke zu Ingolstadt; 0,91 über Pl. 


4 B) 77, 765 —= 0,0921 0,4 0,2 0,5 492,3887 


Höhenmarke © am Betriebshauptgebäude des Zentralbahnhofes zu Ingol- 
stadt, Perronseite, Pfeiler zwischen dem Königssalon und dem Wartsaal 


III. Klasse 
5 — 1,6805 - 490,7082 


[)] im Granitsockel der Läutebude bei Bahnwärterposten Nr 34 und Kilo- 
meter 72 + 195%, 0,22% über Pl. 


an 3) TB TOR, + 1,3283 0,4 0,2 0,3 493,7170 


Strassenbrücke über die Sandrach bei Kilometer 70 + 197%, linkseitiges Wider- 
lager, [_] auf dem Eckgesimsstein des unteren Stirnflügels; 0,03” über Pl. 


2 °713..°76 1987 St 95850.° 04 0008 03 A 


DE Ed 


Bu EEDTRETDBES 


431 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


Bla su 2 Di Se Hl Im le|r | Ko 


Eiserne Fachwerksbrücke mit 4 Oeffnungen über die Paar bei Kilometer 
67 + 965”, linkseitiges Widerlager, Gesimsstein des oberen Flügels, [) inner- 
halb der Brüstung; Pl. 


So r15 74 2232 —+ 0,3666 0,6 0,4 0,4 496,6686 

Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Manching, Perronseite, 
zwischen der Thüre und dem Fenster des Wartsaals; 2,54” über PI. 

4 10 68 1359 — 1,3603 0,4 0,2 0,4 495,3083 

Offner Bahndurchlass bei Kilometer 64 4 785% für den Achgraben, östliches 
Widerlager, [_] auf einem Brüstungsstein der nördlichen Stirn; 0,14% über Pl. 
NE: 78 2181 + 3,8886 0,7 0,4 0,4 499,1969 

Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 63 + 170”, [_) auf einem Gesimsstein 
der nordwestlichen Stirn; 0,26% unter Pl. 

210 79 1582 + 0,7121 0,5 0,2 0,4 499,9090 

Blechträgerbrücke über den Moosgraben bei Kilometer 61 + 755%, linkseitiges 
Widerlager, [_) auf einem Brüstungsstein der unteren Stirn; 0,25% über Pl. 
3 & 73 MA07 — 0,4983 0,3 0,1 0,2 499,4107 

Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Vohburg, Perronseite, 
zwischen den beiden Wartsaalthüren; 2,32% über Pl. 

4 33 70 1831 — 2,0701 0,5 0,2 0,3 497 ,3406 

Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 57 + 810%, nördliche Stirn, [_] auf 
dem Abdeckstein des westlichen Böschungsflügels; 0,19% unter Pl. 

1=,13 81 2106 + 2,6987 0,7 0,4 0,5 500,0393 

[] im Sockel des Babnwärterhauses Nr 26 bei Kilometer 55 + 520”, süd- 
westliche Ecke; 0,62” über Pl. h 

Am: sl 2280 + 2,2819 0,4 0,2 0,3 502,3212 


[] auf der Trittstufe vor dem Eingang zum Wartsaal III. Klasse in Münchs- 
münster, linke Ecke; 0,76” über Pl. 


a 12 77 1844 + 0,6394 0,4 0,2 0,3 502,9606 
56* 


432 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


SS EIEIENEFEEIEIEDE" 


se © am Betriebsgebäude der Station Münchsmünster, Perron- 
seite, zwischen den beiden Wartsaalthüren 


4 1 — 1,7070 501,2536 
Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 52 +120% für den Kaltenbach, 
[|] auf einem Gesimsabdeckstein der unteren Stirn; 0,07= unter PI. 
ze) 78 1555 —+ 1,0579 0,6 0,4 0,5 504,0185 
(Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 50+ 795%, Stirne am Auslauf, D auf 
dem Abdeckstein des linkseitigen Böschungsflügels; 0,14® unter Pl. 


2 8 82 1510 + 1,4505 0,4 0,2 0,4 505,4690 


Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 48+ 690% für den Moosgraben, 
untere Stirn, [_] auf dem Abdeckstein des rechtseitigen Böschungsflügels ; 
0,112 unter Pl. 


3 13 81 2099 + 0,8426 0,5 0,2 0,3 506,3116 


U) auf der Trittstufe vor dem Eingang zum Wartsaal II. Klasse in Neu- 
stadt a. D., linke vordere Ecke; 0,69” über Pl. 

4% 10 79 2375 — 0,1475 0,6 0,4 0,4 506,1641 
Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Neustadt a. D., Perronseite, 


zwischen der Thüre zum Wartsaal III. und dem Fenster des Weartsaals 


je Klasse 

5 1 — 1,5977 504,5664 
Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 44 850%, [7] auf einem Abdeckstein 
der norwestlichen Stirn; 1,12” unter Pl. 
1 9 80 1444 + 1,2069 0,4 0,2 0,4 507,3710 
Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 42 4 825”, Stirne am Einlauf, [] auf 
einem Abdeckstein des rechtseitigen Flügels; 0,04% unter Pl. 


Ze |, 68 2027  -— 6,3343 0,6 0,3 0,4 501,0367 


433 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


w|a|s|z| D | +H ee Rote 


Blechträgerbrücke bei Kilometer 41 + 435%, westliches Widerlager, [_] auf 
einen Gesimsstein des nördlichen Flügels; 0,04% unter Pl. 


s u 2 236 —-AmS 0A 02 083  496,6142 


Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Abensberg, Perronseite, 
nordöstliche Ecke; 2,36% über PI. 


4 135 393 1585 — 8,3410 0,6 0,4 0,5 488,2732 

Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 38-++ 250%, [_] auf einer Deckplatte 
der nordwestlichen Stirn; 1,38” unter Pl. 

Ser) 79 1590 + 2,6945 (52 08 0,4 490,9677 

Gewölbter Bahndurchlass bei Kilometer 36 + 785%, [_] auf einer Deckplatte 
der westlichen Stirn; 0,13% unter PI. 

2 9 81 1458 — 7,1000 0,5 0,2 0,4 483,8677 

Gewölbte Babnbrücke über einen Holzabfuhrweg bei Kilometer 34 + 430”, 
U] auf einem Brüstungsstein der westlichen Stirn; 0,43% über Pl. 

3uuadd 78 2347 —+ 6,9558 0,7 0,4 0,4 490,8235 

Gewölbte Bahnbrücke über den Hopfenbach bei Kilometer 33 + 460%, [_] auf 
einem Brüstungsstein der westlichen Stirn; 0,45% über Pl. 

4 6 sl 968 + 4,3717 0,4 0,2 0,4 495,1952 

U] auf der Trittstufe vor der westlichen Thüre des Wartsaals in Thaldorf; 
0,68% über PI. 

Se 74 1786 —+ 6,0008 0,7 0,5 0,5 501,1960 

Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Thaldorf, Perronseite, 
zwischen den beiden Thüren des Wartsaals 

6 1 — 1,6737 499,5223 

Gewölbte Bahnbrücke bei Kilometer 29 + 275% über den Hopfenbach und 
einen Feldweg, [|] auf einem Brüstungsstein der nördlichen Stirn; 0,40” über Pl. 


Br 16 74 2379 + 8,0202 0,6 0,4 0,4 509,2162 


434 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


w|a|lsız| Do | +u iv lw|lw| Ro 


Gewölbte Bahnbrücke bei Kilometer 26 + 390® über den Hopfenbach und 
einen Feldweg, [_] auf einem Brüstungsstein der nordwestlichen Stirn; 0,40m 
über Pl. 

2019 76 2375 + 4,5745 0,5 0,3 0,3 513,7907 


[_] unter der Höhenmarke in Kehlheim, in den Sockel gehauen; 0,64® über Pl. i 
I z2R 68 3559 — 4,6075 0,7 0,5 0,4 509,1832 


Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Kehlheim, Perronseite, 
! zwischen dem Wartsaal II. Klasse und dem Gepäcklokal 


2 — 1,8199 507,3633 


Eiserne Strassenbrücke über die Donau in Kehlheim, [_] auf der östlichsten 
Abdeckplatte der Böschungsmauer am linkseitigen Donauufer, unterhalb der 
Brücke 

3 Ri 53 751 + 10,5601 0,3 0,1 0,4 519,7433 

Nullpunkte der Donaupegel an der eisernen Strassenbrücke, aus den Ablesungen 


auf denselben berechnet 
a) des-korrespondierenden, in das rechtseitige Widerlager eingehauener Pegels 


+ 2,7975 522,5408 
b) des Holzpegels am ersten rechtseitigen Pfeiler 

—+ 2,7484 522,4917 
c) des korrespondierenden, in das linkseitige Widerlager eingehauenen Pegels 

+ 2,7420 522,4853 


Oberste Haltung des Ludwigs-Donau-Mainkanals in Kehlheim, Kammerschleuse 
Nr 1, Unterhaupt, [] auf einer Abdeckplatte der nordwestlichen Schleusen- 
mauer, unmittelbar über dem dort befestigten Pegel 


A :A 82 N 659 00 0— 5544 „03 10, re 


a) Pegel am Schleusenunterhaupt 
—+ 4,3760 524,5649 
b) Pegel am Schleusenoberhaupt 
+ 2,7566 521,5455 


ms ee sy yvVWWWp en ee TUE 


zn der Kanalpegel an der Schleuse Nr. 1 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


alala| m.) zu |v|m| m] Ko 


Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Saal, Perronseite, zwischen 
den beiden Wartsaalthüren; 2,44” über Pl. 


3 sl 79 1735 — 0,4230 0,6 0,3 0,4 513,3677 
Gewölbter Strassendurchlass für den südlichen Seitengraben der Bahn, nörd- 
liches Widerlager, [_] auf dem östlichen Stirndeckstein bei Kilom. 23 + 45%; 
0,53@ über Pl. 

1,5710 80 1595 + 3,9115 0,4 0,1 0,3 517,2792 
Blechträgerbrücke bei Kilometer 20 + 410®, südwestliches Widerlager, U auf 
einem Gesimsstein des nordwestlichen Flügels; 0,06% unter Pl. 

2: SFR 77 2618 — 1,3211 0,6 0,3 0,3 515,9581 
[) auf der Trittstufe vor dem Eingang zum Wartsaal III. Klasse in Abbach, 
linke vordere Ecke; 0,87% über Pl. 

3, 210 70 1404 — 5,0897 0,4 02 0,4 510,8684 
Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Abbach, Perronseite, öst- 
liche Ecke 

4 1 — 1,7038 509,1646 
Blechträgerbrücke bei Kilometer 17 +280%, südliches Widerlager, [7] auf 
einem Gesimsstein des westlichen Flügels; 0,12” über Pl 

a a! 78 1720 + 0,9231 0,7 0,4 0,5 511,7915 
[_] auf der unteren Treppenstufe vor dem Eingang zum Wartsaal in der Halte- 
stelle Gundelshausen; 0,76% über Pl. 

ud 76 2129 — 1,5333 0,6 0,3 0,4 510,2582 
Höhenmarke © am Haltstellgebäude zu Gund elshausen, Perronseite, zwischen 
dem Fenster und der Thüre des Wartsaals 


3 1 — 167.63 508,5819 


Gewölbte Bahnbrücke für einen Waldweg bei Kilometer 13 + 635", westliche 
Stirn, [_] auf dem Abdeckstein des südlichen Flügels; 0,82" unter Pl. 


x . 10 75 1504 + 4,9203 0,4 0,2 0,3 515,1785 


456 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


| 1 
w|a|lı]z2] D | A: vielen Ka 


[) im Granitsockel der Läutebude bei Bahnwärterposten Nr 4 und Kilo- 
meter 11 + 3727; 0,35 über PI. 


2 14 81 2256 + 3,9994 0,5 0,2 0,3 519,207 


[) im Sockel der Läutebude bei Bahnwärterposten Nr 3 und Kilom. 9+395”; 
0,20m über Pl. 
3019 52 1970 + 2,4006 0,5 0,3 0,4 921,5785 


Gedeckter Bahndurchlass bei Kilometer 7 + 645%; 7] auf einem Gesimsstein 
der westlichen Stirn; 0,81” unter Pl. 


4 12 73 1745 — 3,4457 0,8 0,6 0,6 518,1328 


Höhenmarke © am Betriebsgebäude der Station Sinzing, Perronseite, nord- 
westliche Ecke; 2,36% über Pl. 


b) 3 80 1445 — 5,3409 0,5 0,2 0,4 512,7919 


Eiserne Dorsch bei Sinzing, rechtseitiges Widerlager, [_] auf der süd- 
östlichen Gesimsplatte innerhalb der Brüstung bei Kilometer 5 + 150% 
0,30= über Pl. 


1 8 75 1205 + 2,5899 0,4 0,2 0,4 515,3818 


1163. Höhenmarke ©) am Betriebsgebäude der Station Prüfening, Perronseite, 
neben dem Eingang zur Expedition; 2,46” über Pl. (vgl. Mittlg. III, S. 27) 


Ai! 72 1581 — 8,8267 0,5 0,2 0,4 
1873: 511,5497 


XXI. [ Höhenmarke © an der Kumpfmühler Wegbrücke für die Staatsstrasse von 
Regensburg nach Kehlheim in Regensburg, in der gewölbten Durchfahrt 
für die Zufuhrstrasse zur Güterhalle, Mitte der Stadtseite (vgl. Mittle. V, 
S. 39) 
EN 75.2864 + 7,9512 0,8 0,6 0,4 en 
1877: 519,5105 


| [|] auf einer Abdeckplatte der rechtseitigen Ufermauer unter der eisernen 
Donaubrücke in Regensburg 


Ih 6 19271 +11,6593- 0j637 0,87 047 Ge 


437 


Offingen-Donauwörth-Ingolstadt-Regensburg. 


Nr 


ae eer. |» 


w | Kote 


an den sichtbaren Teilen derselben 


a) Nullpunkt des in den rechtseitigen Thorpfeiler gehauenen korrespon- 
dierenden Meterpegels, vor dem kleinen Thor „am Wiedfang“ (am 
rechten Donauufer) 


+ 13,6185 533,1248 

b) Nullpunkt des korrespondierenden Holzpegels am städtischen Leihhaus, 
unterhalb der steinernen Brücke (am rechten Donauufer) 

+ 13,9134 533,4197 

c) Nullpunkt des in die Ufermauer eingehauenen Meterpegels am link- 


seitigen Donauufer, dicht unterhalb der eisernen Strassenbrücke nach 


E der Donaupegel in Regensburg berechnet nach den Ablesungen 
| Unterwöhr 


+ 14,2514 999,1971 


1106. Höhenmarke & am Bahnhofgebäude in Regensburg, aus © 1163 in 
Prüfening und dem 1873 gemessenen Höhenunterschied zwischen & 1106 
und ®© 1163 berechnet 


3771 4-.,8,6046 520,1597 
1872: 520,1540 


Abh. d. II.Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 57 


III. Die Arbeiten im Frühjahr 1890. 


Um alle im rechtsrheinischen Bayern noch beabsichtigten Nivellier- 
ungen in der gegenwärtigen VIII. Mitteilung vereinigen’ zu können, liessen 
wir in der Zeit vom 28. März bis 4. April ds. Jhrs. noch die Höhen der 
Wasserspiegel einiger grösseren oberbayerischen Gebirgsseen, sowie die Null- 
punkte mehrerer Flusspegel, welche bisher noch nicht eingemessen worden 
waren, durch doppelte Nivellements bestimmen. 

Es sind zu diesem Zweck durch unsern Assistenten K. Oertel fol- 
gende Nivellements ausgeführt worden: 


1. Wilzhofen-Diessen-Ammersee, 
. Schaftlach-Gmund-Tegernsee, 
. Enndorf-Simssee, 

. Traunstein-Wagingersee, 


a $ wm 


. Inn- und Mangfallpegel in Rosenheim, 
6. Traunpegel in Traunstein. 


| Die Zahlenergebnisse dieser Nivellements finden sich im nachfolgen- 
den Fixpunktsverzeichnis IV. 


IV. 


Fixpunkt-Verzeichnis 


für die im Frühjahr 1890 ausgeführten Doppel-Nivellements: 


1. Wilzhofen-Diessen-Ammersee, 

2. Schaftlach-Gmund-Tegernsee, 

3. Endorf-Simssee, 

4. Traunstein-Waginger-See, 

5. Pegelnullpunkte in Rosenheim und Traunstein. 


502 


440 


I. Wilzhofen-Ammersee. 


Nr 


als|z| o| su |v|w|w | Ko 


1504. Gewölbte Bahnbrücke mit 3 Oeffnungen über den Grünbach bei Wilzhofen, 


[_] auf der östlichen Brüstung in der Mitte, bei Kilometer 48 + 390”; 0,25% 
über Pl. (vgl. Mittlg. V, S. 55) 


273,9881 
Strassendurchlass Lit. a 45 an der Staatsstrasse von Weilheim nach Augsburg, 


nördliches Widerlager, [_] auf der Deckplatte am Auslauf; 0,66% unter 
Strassenplanie 


l + 2,0867 276,0748 
= auf dem Abweisstein an der untern Stirn der Strassenbrücke am obern 


Eingang des Dorfes Pähl, beim rechtseitigen Widerlager; horizontal abge- 
arbeitete Fläche des pyramidenförmigen Kopfes 


2 + 12,2787 288,3535 

[_] auf der mittleren Treppenstufe vor der Kapelle im Dorfe Fischen, nörd- 
liche Ecke | 

3 + 25,1901 313,5436 

[_] auf der obersten Stufenplatte des Öffentlichen Brunnens vor dem Rathhaus 
im Markte Diessen 

4 + 3,3311 316,8747 

Höhe des hölzernen Landungssteges für das Dampfschiff in Diessen, am 
äussersten Ende (Oberkante des Bretterbeleges) 

b) + 9,63 326,50 


Mittlerer Wasserspiegel des Ammersees am 28. und 29. März 1890 
6 + 1,79 328,29 


441 


2. Schaftlach-Gmund-Tegernsee. 


Eee] om 


1474. 


1473 


© am Betriebsgebäude in Schaftlach, Perronseite, nördliche Ecke (vgl. 
Mittlg. V, S. 52) 


101,6193 
[) auf dem Sockel der Signal-Glockensäule am nordwestlichen Ende des 


Bahnhofes Schaftlach, nördliche Ecke (ist beim Bahnhofumbau versetzt 
worden, wodurch die 1878 gefundene Kote sich änderte) 


1 + 2,2490 103,8683 
Öffne Bahnbrücke 125% oberhalb der Haltestelle Moosrain, linkseitiges Wider- 
lager, [_] auf dem nordöstlichen Stirnflügel 

2 + 0,1735 104,0418 
Hölzerne Strassenbrücke Lit. b 49 über die Mangfall im Dorfe Gmund, 
linkseitiges Widerlager, [_] auf der Abdeckplatte am untern Flügel 

3 + 27,1597 131,2015 
Freitreppe vor der Westfront des herzoglichen Schlosses in Tegernsee südlich 
der Kirche, 7] auf dem rechtseitigen Wangenstein des südlichen Treppen- 
Hügels 

4 + 0,7672 131,9687 
Höhenmarke © an der Schlosskirche zu Tegernsee, Südecke der Westfront 
5) — 2,2390 129,7297 


Nullpunkt des Meterpegels an der Schiffhütte unterhalb H.-Nr 49 
6 + 6,69 136,42 


Mittlerer Wasserspiegel des Tegernsees am 31. März 1890 (0,09® über M. W.) 
7 — 0,47 135,95 


442 
. 3. Endorf-Simssee. 
Nla | du) 2 Do ar: en 
| e I. Bi 1 a A er | 
821. Gewölbte Bahndurchfahrt bei Kilometer 77 + 390% und Bahnwärterposten 
Nr 37 bei Endorf, = auf der nordwestlichen Brüstung; 0,47® über Pl. 
(vgl. II. Mittlg. S. 37) 
370,8358 
— auf dem Abweisstein an der südwestlichen Ecke des Wohngebäudes in 
der Grottenmühle 5, 
ji -+ 17,9176 388,7534 
Mittlerer Wasserspiegel des Simssees unterhalb der Grottenmühle am 
1. April 1890, Abends 6% 
2 + 2,81 391,56 
4. Traunstein-Waginger-See. 
ni ar ze Seil lie! Kote 
845. Gewölbte Bahnbrücke und Durchfahrt mit 5 Oeffnungen über die Traun in 
Traunstein, ©) (Cementplatte) am südwestlichen Widerlager (vgl. II. Mittlg. 
S. 39) 
265,1139 
| 
846. Bahngrenzstein nördlich der Bahn, oberhalb des Weilers Hufschlag (hat sich | 


seit 1871 um 0,011” gesenkt) > 
1 — 12,0805 253,0334 


—= auf dem 5. Kilometerstein an der Distriktsstrasse von Traunstein nach 
BR: ‘ 
Waging 


2 + 3,6925 256,7259 


(sewölbter Strassendurchlass Lit. b 9 an der Wegabzweigung nach Otting, 
[_] auf dem östlichen Brüstungsstein der nördlichen Stirn 


3 + 104,7734 361,4993 


443 


Traunstein-Waginger-See. 


> Ä tr 
Nr | A | J | Z | D | Seal | w | w? | w | Kote 
| { WE 
[) auf der linkseitigen Treppenwange der Freitreppe vor dem Schulhause zu 
Wasıing 
4 —+ 35,1162 396,6155 
oe © am Schulhaus im Markte Waging, linkseitige Lisene am 
Eingang 
Ik — 1,8440 394,7715 
Dielenoberkante des hölzernen Landungssteges an der Ueberfuhr von Waging 
nach Tettenhausen 
6 —+ 22,39 419,00 
Mittlerer Wasserspiegel des Waginger Sees am 2. April 1890, Abends 7%. 
7 + 0,37 419,37 
9. Pegelnullpunkte in Rosenheim und Traunstein. 
Nr | A | e | Z | D | +H | w | w? | w | Kote 


817. Gewölbte Bahnbrücke mit 7 Oeffnungen über den Inn bei Rosenheim, 
[) am nordöstlichen Widerlager (vgl. II. Mittle., S. 36) 


409,0410 
Nullpunkt des korrespondierenden Pegels unter der eisernen Strassenbrücke 


über den Inn bei Rosenheim, am linkseitigen Widerlager 
r —+ 11,2181 420,2591 


ee des Flusspegels im Inn, unter derselben Brücke 
2 + 11,2149 420,2559 


Nullpunkt des Flusspegels in der Mangfall, oberhalb der Strassenbrücke über 
dieselbe in Rosenheim, rechtseitiges Ufer 


3 zT 419,3187 


444 


Pegelnullpunkte in Rosenheim und Traunstein. 


alsjza|o | u | |w|w| Ko 


Nullpunkt des korrespondierenden Pegels am rechtseitigen Widerlager derselben 
Brücke 


4 —+ 10,2837 419,3247 


846. Bahngrenzstein nördlich der Bahn bei Traunstein, oberhalb des Weilers 
Hufschlag (vgl. S. 442) 


253,0334 
De des korrespondierenden Pegels am linkseitigen steinernen Wider- 


lager der hölzernen Strassenbrücke über die Traun, gegenüber dem städtischen | 
IRRE in Traunstein 4 


—33,0121 286,0455 


Nullpunkt des eigentlichen Flusspegels unter der nämlichen Brücke, am ersten 
linkseitigen Brückenpfeiler 


+ 33,0018 286,0352 


Nachtrag zu den Mitteilungen II und III 
über die 
Ergebnisse 


Beobachtungen der terrestrischen Refraktion 


von 


Carl Max von Bauernfeind. 


Abh.d.II. Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. Il. Abth. 


Karten 9 LI NTAMET, er Tr H, 


\ 


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IF nonupllattıN 


sn 100 ee 


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ER 


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De Br, 

— Y Pu 

wit ba er IE% 3 
1 


4 
0 


Nachtrag zu den Mitteilungen II und II 
über die 
Ergebnisse 
aus Beobachtungen der terrestrischen Refraktion 


von 


Carl Max von Bauernfeind. 


Nach meinen in den Astronomischen Nachrichten der Jahre 1864 
(Nr. 1478—1480) und 1866 (Nr. 1587—1590) veröffentlichten Abhand- 
lungen über „die atmosphärische Strahlenbrechung auf Grund einer neuen 
Aufstellung über die physikalische Konstitution der Atmosphäre“ wächst 
der Krümmungshalbmesser der Lichtkurve stetig von unten nach oben, 
und er wird an der oberen Atmosphärengrenze oder da, wo das Licht- 
brechungsvermögen des Dunstkreises aufhört, unendlich gross, was an- 
zeigt, dass von dort ab die Lichtkurve in eine Gerade übergeht, die sich 
bis zu den Sternen erstreckt. Hieraus folgt nicht blos eine Abnahme 
des Strahlenbrechungskoeffizienten mit der Höhe, sondern auch eine Ver- 
schiedenheit der Teilrefraktionen 42 und 427 an den Enden eines die 
Atmosphäre ganz oder teilweise durchdringenden Lichtstrahls, wobei, 
wenn 4z die Refraktion für den unteren und 4z jene für den oberen 
Endpunkt bezeichnet, stets 42> 42 ist. 

Die Richtigkeit dieses letzteren theoretischen Ergebnisses an der 
Hand der Erfahrung nachzuweisen, nachdem das erstere durch die trigono- 
metrischen Höhenbestimmungen der Russischen Vermessungskammer im 
Kaukasus längst bestätigt war (vergl. Astron. Nachr. Bd. 67, Nr. 1590, Seite 87 
und 88), bildete die wesentlichste Aufgabe der Refraktionsbeobachtungen, 


welche ich zwischen den Jahren 1877 und 1885 auf Kosten der Baye- 
58* 


448 


rischen Kommission für die Europäische Gradmessung (nunmehrige „Inter- 
nationale Erdmessung“) zuerst im Fichtelgebirge zwischen den Punkten 
Döbra und Kapellenberg und dann in den Vorbergen der Bayerischen 
Alpen auf den Punkten Höhensteig (7) bei Rosenheim, Irschenberg (7) 
bei Miesbach und Kampenwand (X) bei Hohenaschau mit Hilfe tüchtiger 
Assistenten, die vorher meine Schüler waren. durchführte und worüber ich 
in den Jahren 1880, 1883, 1888 in drei den Denkschriften der K. Baye- 
rischen Akademie der Wissenschaften einverleibten und auch durch Sonder- 
abdrücke verbreiteten Abhandlungen, „Mitteilungen“ benannt, berichtete. 

Bei einer so ausgedehnten Unternehmung, die nicht weniger als 
neun wissenschaftlich gebildete Mitarbeiter und drei praktisch geschulte 
Gehilfen forderte, ist es trotz aller Geschicklichkeit und Gewissenhaftigkeit 
derselben nicht ausgeschlossen, dass hie und da Messungsfehler gemacht 
werden, die der Leiter des Unternehmens bei genauester Prüfung der 
Beobachtungshefte nicht entdecken kann, wie z. B. wenn hei der nivel- 
litischen Bestimmung des Höhenunterschiedes zweier Stationen einmal 
Rück- und Vorblick verkehrt aufgeschrieben oder auch, ohne dass der 
aufschreibende Gehilfe es bemerkte, in umgekehrter Reihenfolge ab- 
gelesen worden, oder wenn die Zahl der ganzen Meter um eine Einheit 
falsch bestimmt wird u. s. w. Einige solche Fehler kamen leider bei 
‚dem im Jahre 1881 von zwei tüchtigen Assistenten ausgeführten Prä- 
zisionsnivellement zwischen Höhensteig und Kampenwand (9—.K) vor, 
wie sich im Jahre 1889 durch die von dem gegenwärtigen Assistenten 
unserer Erdmessungskommission vorgenommene dritte Bestimmung des 
bezeichneten Höhenunterschiedes zuverlässig herausstellte. Nach dem Be- 
richte des Assistenten Oertel war von Höhensteig bis zum Fixpunkte 
Nr. 1629 bei Hohenaschau Alles in Ordnung; von da ab, wo auf dem 
Reitwege zur Kampenhöhe nivelliert worden war, stellten sich alsbald 
einige erhebliche Abweichungen ein. Zunächst war nämlich im Jahre 
1881 der Höhenunterschied zwischen den Punkten Nr. 1629 und Nr. 1634 
infolge unrichtiger Aufschreibung eines eben neu aufgenommenen Schreib- 
gehilfen um etwa 2,7 m zu klein und der Unterschied zwischen den 
Punkten Nr. 1634 und Nr. 1635 um ebensoviel zu gross gefunden 
worden, wodurch sich also die Kote des Punktes Nr. 1635 als richtig 
darstellte. In der nächsten Abteilung steckte nach dem auf ihr zuerst 


449 


vorgenommenen Flugnivellement ein Fehler von nahezu 1,5 m. Nach- 
dem eine Wiederholung des Flugnivellements an diesem Ergebnisse nichts 
änderte und auch der Höhenunterschied der folgenden Abteilung in 
Ordnung war, wurde ein genaues Nivellement der Strecke von Nr. 1635 
bis Nr. 1636 ausgeführt, welches in der That den Höhenunterschied ihrer 
Endpunkte um 1,4344 m grösser ergab, als im Jahre 1881. Die Weiter- 
führung des Flugnivellements ergab die Richtigkeit aller Koten bis auf 
die des letzten, mit Nr. 1642 bezeichneten Zwischenpunktes. 

Dieser war an Einem Felsblock zweimal durch horizontale, regelmässig 
behauene und durch Quadrate begrenzte Flächen bezeichnet, welche letzteren 
aber mehr als zwei Dezimeter vertikalen Abstand hatten. Bezeichnen wir 
den unteren dieser zwei Punkte, welcher im Jahre 1881 bestimmt worden 
ist, mit Nr. 1642 und den oberen, im Jahre 1882 von einem anderen 
Assistenten bei der Einmessung der Oberfläche des auf der Kampenhöhe 
stehenden Pfeilers benützten Fixpunkt mit Nr. 1642°, so entstand bei 
Bestimmung der Kote des Beobachtungspunktes auf der Kampenwand, 
welcher die Nr. 1643 führt, durch Verwechselung der Punkte 1642 und 
1642° ein neuer Fehler von —+ 0,2020 m, so dass nunmehr die Gesamt- 
änderung des im Jahre 1881 bestimmten Höhenunterschiedes 7 K betrug: 


4 H— 1,4344 + 0,2020 = 1,6364 m 


wofür man auch 1,636 m schreiben kann, wenn man die Koten nur auf 
drei Dezimalstellen angeben will, wie ich dieses kürzlich bei Besprechung 
des vorliegenden Falles in der 7. Auflage meiner „Elemente der Ver- 
messungskunde“ (Band II, Seite 454) gethan habe. 

Dieser Fehler, der selbstverständlich für die von K abwärts gezählten 
Vertikalabstände (Tiefen) mit dem negativen Vorzeichen versehen, also 


4 H—= — 1,4344 — 0,2020 = -—— 1,6364 m 


geschrieben werden muss, hätte allerdings von vorneherein durch zwei 
ganz von einander unabhängige Nivellements vermieden werden können; 
dass es nicht geschah, lag lediglich in finanziellen Erwägungen, die ich 
jetzt um so mehr zu bedauern habe, als sich schliesslich die Baye- 
rische Erdmessungskommission doch entschliessen musste, für das dritte 
Nivellement so viel aufzuwenden, dass die Gesamtkosten der dreifachen 


450 


Nivellierung denen zweier ganz gesonderten Präzisionsnivellements gleich 
kamen. 

Auf Grund der nun einmal bestehenden Thatsache muss ich hier 
leider über einige Verbesserungen der in meinen Mitteilungen II und II 
enthaltenen Messungs-Ergebnisse und der aus ihnen gezogenen Schluss- 
folgerungen berichten. So schwer mir dieses der geehrten Leser dieses 
Nachtrages wegen fällt, so gereicht es mir doch andrerseits zu grosser 
Befriedigung, dass durch die notwendig gewordene Aenderung einiger 
früherer Angaben die Uebereinstimmung zwischen meiner Theorie der 
terrestrischen Strahlenbrechung und den faktischen Refraktionswerten 
sich wesentlich erhöht. und zwar in dem Sinne, wie ich dieses schon in 
der dritten Mitteilung vom Jahre 1888 auf Seite 21 (Abhandlungen der 
math.-phys. Klasse, Bd. XV], Seite 537) bei Besprechung des hypothetischen 
Falles, dass der Höhenunterschied 7 K um 2 m grösser wäre, als er 1881 
gefunden wurde, im Voraus angedeutet habe. Hätte ich doch damals 
die Vollendung meiner Abhandlung bis nach der Ausführung des dritten 
Nivellements verschoben! 

Verfolgt man nun den Einfluss des in der Gesamthöhe HK be- 
stehenden Fehlers von 1,6364 m schrittweise, so ergeben sich zunächst 
nachstehende Aenderungen: 


l. Die richtigen Meereshöhen der Instrumentenaxen betrugen im 
Jahre 1881: 
für Höhensteig (ZH) unverändert: 484,000 m 
„ Jrschenberg (I) unverändert: 753,626 „ 
»„ Kampenwand (X) verbessert: 1565,968 „ 


Die Höhenunterschiede der Instrumentenaxen waren mithin damals: 


für HI unverändert: x, = 269,626 m; logx, = 2,4307618 
„ HK verbesert: %,= 1081,968 „; logz, = 3,0342144 
„ IK verbesert:: %= 812,342 „; log, = 2,9097389 


2. Die wahren Zenitdistanzen in den einzelnen Vertikalschnitten 
(II, Seite 10) berechneten sich mit Rücksicht auf den Fehler 1,6364 m 
wie folgt: 


un 


Pi a An, 


In#«H 7 war Z= 89°.,10' 52*,69 


TC H 90 58 23 ‚93 
H==K adınn3, «A6lli9n 
KH 93.713 ,89 
KR: 38 ATIa, BT 
Ka 91.3110 ;34 


Als Mittelwerte der beobachteten Refraktionen (II, Seite 35 und 36) 
ergeben sich aus diesen verbesserten Zenitdistanzen nunmehr folgende: 


a) zwischen 4 und X, und zwar 
in 2 46.,0 —- 16,0 = 60,0 
in K: 35 +16 7=51 ,7 
im Mittel beobachtet: 55 ‚9 

b) zwischen / und X, und zwar 
in „954,8 —21.02.0, = 857,8 
in K: 71 ,4+10 ,0=81 4 

im Mittel beobachtet: 83 ‚6 


Ein Blick auf die Ergebnisse in den einzelnen Stationen zeigt sofort, 
dass nunmehr die Mittel der beobachteten Refraktionen für die obere 
und untere Station erheblich besser übereinstimmen als früher, und dass, 
den Anforderungen der Theorie entsprechend, auch jetzt noch die auf 
den unteren Stationen beobachteten Refraktionen etwas grösser sind, als 
die auf den oberen. 


3. Die aus den Ablesungen an den meteorologischen Instrumenten 
nach der Formel 


r=vpll—2y+(2+2 4) — DEZER 


theoretisch berechneten Refraktionen werden durch den Fehler der geo- 
metrischen Höhenmessung nicht beeinflusst; es bleibt nach wie vor in 
Uebereinstimmung mit Mitteilung III (Seite 6, bezw. 522) das Mittel 
derselben: 

a) für 4— K=55",8 und b) für 7—K = 90",8 
so dass also durch den mehrfach genannten Fehler in der Höhenmessung 
die bemerkenswert gute Uebereinstimmung zwischen beobachteter und 


452 


berechneter Refraktion, besonders für die Seite 7 — K nicht gestört 
wird. Da übrigens bei gegenseitigen, zum Zwecke von Refraktions- 
bestimmungen angestellten Zenitdistanzmessungen, wie leicht ersichtlich, - 
der Einfluss eines nicht zu grossen Fehlers im Höhenunterschied der 
beiden Beobachtungsorte sich in den beiden Punkten stets in gleicher 
Grösse, aber im entgegengesetzten Sinne geltend macht, so können die 
mittleren Ergebnisse gegenseitiger Beobachtungen von solchen Fehlern 
überhaupt nicht beeinflusst werden. 


4. Die eben erwähnte gute Uebereinstimnmung zwischen den beob- 
achteten und den berechneten Refraktionen geht, wie früher, zum Teil 
wieder verloren, wenn die ersteren wegen der in den drei Stationen 
stattfindenden Lotabweichungen und Fernrohrbiegungen verbessert werden. 
Die Beträge der in den sechs Vertikalschnitten dem Normalpunkt der 
Bayerischen Landesvermessung gegenüber stattfindenden Lotabweichungen 
sind bereits in der III. Mitteilung (Seite 9, bezw. S. 525) nach der da- 
maligen vorläufigen Reduktion der einschlägigen astronomischen Beob- 
achtungen zusammengestellt. Die inzwischen erfolgte Schlussreduktion 
dieser Beobachtungen ergab nachstehende endgiltige, gegen früher etwas 
veränderte Werte: 


für 7 in der Richtung 7 — I den Wert = + 0',89 


Bee R EG 5 ee): 
ae ; I—H „ N! 
RR: " I—K_,„ a ‚»=—+]1 ‚32 
MIRUNSE x N > 97 
a : Rh „zeig 


Die Biegung des Fernrohrs für die im Jahre 1885 zwischen HZ und 
K angestellten Refraktionsbeobachtungen bleibt unverändert und es beträgt 
somit für diese Beobachtungen die Gesamtverbesserung der beobachteten 
Refraktionen 
in H: +5",08 —5",15 = — 0',07 
in K:ı—8 A 450, = 190,95 


In der Ill. Mitteilung sind zunächst noch die auf Seite 14 (bezw. 
Seite 530) angegebenen wahren (ellipsoidischen) Zenitdistanzen für die 


- 453 


Refraktionsbeobachtungen vom Jahre 1885 zu berichtigen. Es ist 
nämlich für 
H—-K (Heliotrop) Z, = 87° 3' 46",91 + 12*,41 = 87° 3' 59",32 
H—.K (Signaltafel) Z, = 87 3 46 91— 7 ,26=87 3 39 ‚65 
K—H (Heliotrop) 4,=93 7 13 89—+ 9 28=93 7 23 ‚17 
Demgemäss müssen auch die Mittel der beobachteten Refraktionen 


(III, Seite 17, bezw. Seite 533) um + 16,7 verbessert werden, so dass 
man als Mittel der beobachteten Refraktionen erhält 


in H (nach K): 69",0 — 16",7 — 52",3 
in K (nach H): 36 6 +16 ‚=53 ‚3 


Die Mittel der berechneten Refraktionen mit 55”,3 und bezw. 56,0 
bleiben auch hier unverändert, und es ist auch hier die Uebereinstimmung 
zwischen Beobachtung und Rechnung sofort ersichtlich. 


5. Nach den vorstehend mitgeteilten Zahlen wird nunmehr die 
Summe der Verbesserungen der im Jahre 1885 gemessenen Zenitdistanzen 
wegen Biegung des Fernrohrs und wegen ‚Lotabweichung für 7—K 
= +0,07 (früher + 2",92) und für K— H = + 12",95 (früher + 11",60). 
Die aus diesen Summen entspringenden Verbesserungen der trigono- 
metrisch bestimmten Höhe betragen somit jetzt für A — K: — 0,007 m 
und für K—H: — 1.285 m. Hiezu kommt nunmehr die weitere Ver- 
besserung wegen des Fehlers in der geometrischen Höhenmessung mit 
1,636 m, welche für die Differenzen 


nivellierte minus trigonometrisch bestimmte Höhe 


das Vorzeichen + erhält für die Messangen in Z und — für jene in Ä. 

Berechnet man für die im Jahre 1885 in HM und K angestellten 
Refraktionsbeobachtungen die Mittel der sämtlichen aus denselben er- 
haltenen Differenzen der trigonometrisch bestimmten Höhen gegen die 
nivellierte (aus Mitteilung II, Tafeln 1A und 2A, Seite 46 und 49, 
bezw. Seite 562 und 565), so folgt für den Vertikalschnitt 


H--K: As =-—-0,046m und für K—-H: Ar = 12,595 m. 
Diese Mittel an den obenstehenden Verbesserungen angebracht, geben 


nunmehr die verbesserten Mittel 
Abh.d. II. Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 59 


für H—.K: für K— RB: 
Mittel aller 42° = — 0,046 m —+ 2,595 m 
Nivellierfehler = + 1,636 m — 1,636 m 
(da) = + 1,590 m -- 0,959 m 

Korrektion für Lot- 
ablenkung u. Biegung 0,007 m + 1,285 m 
4x —= + 1,597 m 4 2,244m 


Wir haben nunmehr die auffallende Erscheinung. dass die ver- 
besserten Höhendifferenzen 4x (welche bekanntlich, wenn der Höhen- 
unterschied von unten nach oben positiv genommen wird, für H—K 
„nivellierte minus trigonometrisch bestimmte Höhe“, für K — H dagegen 
umgekehrt „trigonometrisch bestimmte minus nivellierte Höhe“ bedeuten) 
für die beiden Stationen von gleichem Vorzeichen und nahezu gleicher 
Grösse sich ergeben. Es ist also der verbesserte Höhenunterschied (h), wie 
er auf trigonometrischem Wege bestimmt wurde, auf der unteren Station 
um fast denselben Betrag kleiner, um den er auf der oberen Station 
grösser ist, als der nivellierte Höhenunterschied (H), d. h. es ist unten 
+42 = + H—hund oben +42 = — H— (—A=—+h—H Um 
diese Erscheinung zu erklären, kommt man zunächst auf die Vermutung, 
dass der nivellierte Höhenunterschied HZ beider Stationen einer weiteren 
Verbesserung bedürfe, welche davon herrühren könnte, dass das Geoid in 
der Richtung #7 —K sich über das Ellipsoid um einen merkbaren Betrag 
erhebt (was ja an sich höchst wahrscheinlich ist), um den also der nivel- 
lierte Höhenunterschied gegen den der ellipsoidischen Oberfläche ent- 
sprechenden trigonometrisch bestimmten falsch erhalten wird. Aber eine 
hiedurch bedingte Verbesserung des nivellierten Höhenunterschieds 4 
würde ebenso, wie eine aus irgendwelchen anderen Gründen notwendige, 
die Differenzen 4x nicht gleichzeitig zu Null machen, es würde viel- 
mehr, wie man sich leicht überzeugt, die eine grösser und die andere 
kleiner werden. Dagegen würde /& in beiden Fällen gleich Null sein, 
wenn die auf beiden Stationen gemessenen Zenitdistanzen um etwa 
20” kleiner wären. Nachdem aber nunmehr die gemessenen Zenit- 
distanzen von den Fehlern, welche durch die Lotablenkung und die 
Fernrohrbiegung hervorgerufen wurden, befreit sind, könnten weitere 
Fehler dieser Zenitdistanzen, besonders in dem angegebenen Betrag, nur 


455 


dadurch veranlasst worden sein, dass während der Dauer der Messungen 
die Konstitution der Atmosphäre infolge der Bodenstrahlung nicht so 
beschaffen war, wie sie jede Refraktionstheorie voraussetzen muss, dass 
nämlich in beiden Fällen die untersten Luftschichten nicht die dichtesten 
waren. Der Einfluss eines solchen abnormen Luftzustandes ist aber bereits 
in der II. Mitteilung (Seite 42 ff.) besprochen worden. Auffallend bleibt 
aber die Uebereinstimmung der Messungsergebnisse von 1885 mit denen von 
1881, welche unter diesen Gesichtspunkten nur durch die nicht gerade 
. wahrscheinliche Annahme erklärt werden kann, dass der abnorme Zustand 
der Luft während der zeitlich so sehr auseinanderliegenden Beobachtungs- 
perioden fast ganz derselbe gewesen sei. Allerdings ist zu bemerken, 
dass diese Perioden beide Male in die gleiche Jahreszeit fielen, nämlich 
1880 in den August, 1885 in 7 in den Juli, in X in den August. 


6. Schliesslich mag es gestattet sein, zu bemerken, dass sich der 
Fehler von 1,6364 m auch in den Höhenunterschieden zwischen den 
Stationen H, K und /, K geltend macht, welche aus den im Jahre 1881 
gleichzeitig mit den Zenitdistanzmessungen auf den Punkten HZ, I, K 
angestellten Barometerbeobachtungen berechnet worden sind. Obwohl 
diese Höhenunterschiede nicht in den oben genannten „Mitteilungen“ 
enthalten sind, sondern in einer gesonderten von mir verfassten und in 
den Denkschriften unserer Akademie (Band XIV, 3. Abteilung Seite 113 
u. ff.) gedruckten Abhandlung „Neue Beobachtungen über die tägliche 
Periode barometrisch bestimmter Höhen“. so habe ich es doch unter- 
lassen zu dürfen geglaubt, hievon in der Ueberschrift gegenwärtigen 
Nachtrages etwas zu sagen. Das Mittel der in der eben genannten Schrift 
aufgeführten 340 Beobachtungen (gleichzeitigen Ablesungen am Baro- 
meter, Thermometer und Psychrometer) betrug damals 


zwischen 4 und K: +4 1,85 m und 
R K und I: —+ 3,47 m. 


Bringt man an beiden die Verbesserung wegen der Höhenmessungs- 
fehler mit — 1,64m an, so wird nunmehr das Mittel des barometrisch 
bestimmten Höhenunterschiedes 


zwischen 4 und K: +4 0,21 m und 
er K und /: + 1,83 m. 


Es stimmen also auch hier die neuen Mittel besser mit einander 
überein als früher, und es mag hierin ein weiterer Beweis für die Richtig- 
keit meiner Aufstellungen und Entwicklungen über die Konstitution der 
Atmosphäre, die Ursache der täglichen Perioden barometrisch und trigono- 
metrisch bestimmter Höhen, sowie über die Theorie der astronomischen 
und der terrestrischen Strahlenbrechung gefunden werden. 


Ueber 


/usammenstösse und Theilungen 


planetarischer Massen 


von 


H. Seeliger. 


Abh.d. II. Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. Il. Abth. 60 


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a; x 


u 
= 
ng 


al 


> 


’ 


Täglich erleben wir das Schauspiel des Zusammenstosses kosmischer 
Massen mit unserer Erde Wir werden hierdurch nothwendigerweise zu 
der Erkenntniss geführt, dass der interplanetarische Raum keineswegs 
leer ist, vielmehr eine nicht unbeträchtliche Zahl kleiner Massen enthält, 
die wir als planetarische bezeichnen können, da sie in der Hauptsache nur 
der Attraction der Sonne folgend sich nach den Kepler’schen Gesetzen 
um diese bewegen müssen. Infolge dieser Beobachtungsthatsachen, denen 
man allerdings erst seit verhältnissmässig kurzer Zeit erhöhte Aufmerk- 
samkeit schenkt, bietet sich von selbst die Aufgabe dar, die Einwirkung 
solcher fortwährenden Zusammenstösse eines Planeten mit kleinen kos- 
mischen Massen auf die Bewegung des ersteren zu untersuchen. Diese 
Aufgabe soll im Folgenden nach einigen Richtungen hin, welche einiges 
Interesse darzubieten scheinen, behandelt werden. 

In mechanischem Sinne ist die Explosion planetarischer Massen d. h. 
die Theilung infolge innerer Kräfte als das Umgekehrte einer Vereinigung 
zu betrachten, so dass sich bei der Besprechung des genannten Problemes 
von selbst Bemerkungen über die Reactionskräfte, die bei solchen Theil- 
ungen ausgelöst werden, darbieten. Hierher gehören nach dem heutigen 
Stande unserer Kenntnisse in fast unzweifelhafter Weise die Ausströmungs- 
erscheinungen bei den Cometen und von ihnen wird also auch im Fol- 
genden kurz die Rede sein. 

Der Uebersicht wird es förderlich sein, wenn ich mit wenigen Worten 
den Inhalt der folgenden Artikel angebe. 


Art. 1. Die Grundgleichungen für die Bewegung eines Körpers, der von 
einem continuirlichen Strome planetarisch bewegter Massenpuncte 


getroffen wird. 
60* 


460 


Art. 


Art. 


Art. 


Art. 


Art. 


Art. 


JNTAR, 


Einige im Wesentlichen bereits bekannte Sätze über die relative 
Bewegung eines Meteorschwarmes gegen die Erde. 

Berechnung der Geschwindigkeitsveränderung eines Planeten in- 
folge des Zusammentreffens mit einem Meteorschwarm. 


Verfolgung der Hypothese, dass Meteore aus allen Gegenden 
des Sonnensystems mit gleicher Wahrscheinlichkeit dem Planeten 
begegnen. 

Berechnung der im Vorhergehenden auftretenden Integralaus- 
drücke. 

Ableitung der säcularen Aenderungen der Bahnelemente eines 
in einer Kreisbahn um die Sonne laufenden Planeten. An- 
wendung auf die Bewegung der Erde und des Mondes, wobei 
sich die Gelegenheit darbietet, auf eine von Oppolzer gegebene 
Erklärung des bekannten empirischen Coefficienten der Accele- 
ration der mittleren Mondbewegung zurückzukommen. 
Anwendung auf die Cometen. Die in Art. 4 entwickelten Formeln 
führen auf eine Widerstandsbewegung, bei welcher die störende 
Kraft proportional dem Quadrate der Geschwindigkeit des Cometen 
ist, so dass hierdurch die bekannten Anomalien des Encke’schen 
Cometen in formeller Beziehung eine Erklärung finden können. 


Die Ausströmungserscheinungen der Cometen können, wie Bessel 
gezeigt hat, sehr bedeutende Anomalien in der Bewegung dieser 
Himmelskörper hervorrufen. Sie können aber nicht, wie viel- 
fach behauptet worden ist, ohne neue und zweifelhafte Hypothesen 
einzuführen, in ihrer Wirkung mit derjenigen eines widerstehenden 
Mittels identificirt werden. Auch die in neuerer Zeit wiederholt 
beobachteten Theilungen cometarischer Massen haben wahr- 
scheinlich nichts mit explosiven Erscheinungen zu thun. 


I: 


Im Folgenden soll stets nur der Fall in Betracht gezogen werden, 


in welchem zwei bewegte Massen zusammenstossen und nach dem Zu- 
sammentreffen mit einander verbunden bleiben. Analog hierzu ist bei 
der Theilung anzunehmen, dass diese plötzlich vor sich geht und eine 


461 


Trennung dauernd bestehen bleibt. Da von selbst klar ist, dass die 
zweite Erscheinung denselben mechanischen Gesetzen folgt, wie die erste, 
so soll vorläufig der Fall des Zusammenstosses allein behandelt werden. 

Für diesen aber gilt unter allen Bedingungen das Prinzip von der 
Erhaltung der Bewegung des Schwerpunctes und hieraus allein müssen 
sich alle anderen Folgerungen ergeben. 

Haben die Schwerpuncte der beiden Massen m, und «u im Augenblicke 
unmittelbar vor dem Zusammenstosse die Geschwindigkeitscomponenten 


Ar day de dS dn dI 
A er 
und sind 
dz dy de 


de Bist 
die Geschwindigkeitscomponenten des Schwerpunctes der vereinigten Massen 
unmittelbar nach ihrer Vereinigung, so ist 
%o ds 
(m +97, = 4 z mie 


= 


dy di 
mt) m tu (1) 


da dz, ni 
(m, — u) Fr == ern u nn 


Wenn ferner ein System beliebiger Massenpuncte m, in beliebiger 
Bewegung begriffen mit dem Massenpuncte u zusammenstösst, so wird 
der Werth des Ausdruckes 


Em (nn rel ne) 
und die anologen Ausdrücke für die beiden anderen Coordinaten durch 
den Zusammenstoss nicht geändert, wie sich augenblicklich aus (1) er- 
giebt. _ 
Die Rotationsverhältnisse eines Körpers, welche unmittelbar vor dem 
Zusammenstosse durch die Grössen 


d dx 
m ( — Arrz 3) Pic 


462 


gegeben waren, sind nach dem Zusammenstosse mit dem Massenpuncte u 
gegeben durch 


dy dy d& ) (&® ds 
= 4 Amen NEE N gr Ze) 9 
Em(z Yy7 in, (&0 en + u Sr 15,) (2) 


wo dann Sm = Em, t u ist. 


Es soll zunächst (1) anders geschrieben werden. Bezeichnet man: 


a; 


I 


und analog für die andern Coordinaten, so hat man 


0, 
a0 00, 


dz ı (AG 22 
note 
woraus sich ergibt, dass nur die relative Geschwindigkeit gegen den 
Schwerpunkt des Körpers vor dem Zusammenstoss eine Rolle spielt. Wenn 
nun ein Planet (m) in einen Strom discreter Massenpuncte, d. h. also in 
ein System planetarisch bewegter kleiner Massen, eintritt, so werden eine 
gewisse Zeit lang in continuirlicher Folge Zusammenstösse und eine Ver- 
mehrung der vorläufig als punctförmig zu betrachtenden Planetenmasse 
m stattfinden. Sieht man weiter, was stets erlaubt sein wird, von der 
Anziehung ab, welche Sonne und Planet durch die kleine Masse erfahren, 
so wird man das in (1) benutzte Coordinatensystem in die Sonne legen 
dürfen, weil nur die relative Bewegung der auffallenden Massentheilchen 
gegen den Planeten in Frage kommt. DBezeichnet dann ıı die Masse, welche 
in der Zeiteinheit auf den Planeten fällt und beachtet man, dass für 
eine sehr kleine Zeit di das Zeichen 4 in das Differentialzeichen d über- 
geht, so kann man die Gesammtbeschleunigung, welche der Planet in der 
Richtung einer Coordinate z. B. der x-Coordinate erfährt, leicht berechnen. 
Diese besteht in jedem Zeitmoment aus zwei Theilen. Zunächst bewirkt 
die Anziehung der Sonne in üblicher Bezeichnung die Beschleunigung 


Näa d  — 


463 


k2(1 au 


Y3 


Ausserdem aber wird durch den Zusammenstoss nach den obigen Formeln 


die Beschleunigung erzeugt: 
1 (d$ _ da) 
m \dt dt 


Es ergeben sich so, wenn man noch in erlaubter Weise = mit @ Gr ; ete. 
vertauscht, die Differentialgleichungen der Bewegung: 
d?x 2 Eule dr 
EEE HE 
2 y_m(dn __dy 
. gr ee ln =) (8) 


er mar 4m): in @ I =) 
Die Masse m ist natürlich auch mit der Zeit veränderlich, indem 
m—=m + Im 
(4) 


Am= [wat | 


io 
ist. Man kann die durch (3) definirte Bewegung auch als ein Störungs- 
problem auffassen. Dann bereitet die Integration, etwa durch die Methode 
der Variation der Üontanten, keine besonderen Schwierigkeiten. Als 
Störungscomponenten treten hier auf: 


DE ud 
wi wine zaftkd 
TRETEN -%) (5) 
rm ne lt dt 
22 RTRCHE dz 
a ac | en ei 
Man könnte noch zweifelhaft sein, ob die Anwesenheit einer Atmosphäre 


[3 
diese Gleichungen nicht wesentlich insofern ändern könnte, als man für = 


nicht die kosmische, sondern die durch den Luftwiderstand fast vollkommen 
vernichtete Geschwindigkeit, mit welcher thatsächlich der Zusammen- 


464 


stoss mit dem festen Planeten erfolgt, zu nehmen hätte. Hält man aber 
fest, dass auch die äussersten Lufttheilchen noch zu dem System, das 
wir Planet nannten, gehört, so sieht man sofort, dass der Schwerpunct 
dieses Systemes sich nach den Gleichungen (1) bewegen muss, wo also 


2 
e die Geschwindigkeit ist, welche die auffallende Masse beim Eintreten 


in diese äussersten Luftschichten besitzt. Man hat also bei etwaigen ge- 
naueren Rechnungen darauf zu achten, dass man den Radius des übrigens 
im folgenden stets als kugelförmig betrachteten Planeten angemessen zu 
vergrössern hat. 

Die Ermittlung des Störungscomponenten ist nun sehr einfach, wenn 
dE an at 
eu alla al 
ziehen sich aber auf einen mit planetarischer Geschwindigkeit um die 
Sonne bewegten Massenpunct, sie sind also abhängig von der Anziehung 
der Sonne sowohl als auch des Planeten. Vernachlässigt man die 


die Geschwindigkeitscomponenten gegeben sind. Diese be- 


letztere, so sind die gesuchten relativen Geschwindigkeitscomponenten 
in der einfachsten Weise bekannt. Von vornherein erscheint aber eine 
solche Vernachlässigung als durchaus nicht statthaft, weil im Gegentheile 
die relative Geschwindigkeit zweier zusammenstossender planetarischer 
Massen bekanntlich sehr nahe so berechnet werden kann, als ob die 
Sonne gar nicht und nur der anziehende Planet vorhanden wäre.!) Jeden- 
falls ist eine nähere Untersuchung dieses Zusammenhanges nothwendig. 
Ehe dies geschieht, soll noch die Gleichung (2) umgeformt werden. 
Dieselbe bezieht sich auf ein festes Coordinatensystem. Führt man nun aber 
relative Coordinaten ein und zwar in Bezug auf den Schwerpunct des 
Körpers mit der Masse m, vor dem Zusammenstoss, dessen Coordinaten 
=, Y,Z, seien und in Bezug auf den Schwerpunct des ganzen Körpers nach 
dem Zusammenstoss mit der Masse m und den Coordinaten ZYZ, indem 
man setzt 


er M =Zm 
u / 
ut % M==m, 


& nos M =M, tu 


= 


1) Vergl. Laplace me&canique celeste, livre IX, Chap. I. 


465 


so kann man (2) auf eine sehr einfache Form bringen. Bezeichnet man 
zu diesem Zwecke der Einfachheit wegen allgemein: 


ab d 
la) 


so geben zunächst die Definitionsgleichungen für den Schwerpunct: 
Zn y]=Zm&y]—M[£Y] 
Im, [20 Yen Mr 
Nach (2) haben wir also: 
Smley]—- En, %l=uEn - MEN + MI5L)] 
Nach leichten , findet man aber für die rechte Seite 


d En [5 7] 


Wir haben demnach: 


Ka lade ‚dy ‚da,' M, (.„d NBE 
Zm (0% _y92)_ zn (m Ve nn) 


Das erste Glied enthält die Coordinaten in Bezug auf den neuen 
Schwerpunct der Gesammtmasse, das zweite in Bezug auf den Schwer- 
punct des Körpers vor dem Zusammenstoss, während rechts die Coor- 
dinaten des auffallenden Massentheilchens « in Bezug auf den ursprüng- 
lichen Schwerpunct des Körpers vorkommen. 


Von einer weiteren Untersuchung des Einflusses auf die Rotation 
auf Grund der letzten Gleichung soll abgesehen werden, weil eine Auf- 
forderung hierzu durch die Beobachtungen bisher nicht erfolgt ist. In- 
dessen ist es äusserst leicht auf Grund der bekannten Theorie der Rotation 
der Planeten, die Veränderung der Rotationsaxe im Raume und im Planeten- 
körper abzuleiten. Diese Veränderungen werden aber voraussichtlich stets 
minimal sein, da die kosmischen Massen sehr klein sind und nahezu in 
symmetrischer Vertheilung auf den Planetenkörper auffallen. - 


2. 


Die Bewegung der kleinen Massen gegen einen Planeten kommt 
mit der geocentrischen Bewegung eines Meteors überein, welche von 
Abh.d. II. C].d.k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 61 


466 


Schiaparelli!) und Hoek?) näher untersucht worden ist. Einige dieser 
Sätze bilden den Ausgangspunct der folgenden Betrachtungen und sollen 
hier erwähnt werden. 

Wir wollen gleich annehmen, dass ein Meteor, dessen Bewegung 
untersucht werden soll, zu einem Meteorschwarm gehört. Da die ein- 
zelnen Theile eines solchen keine nennenswerthen Anziehungen aufeinander 
ausüben, diejenigen Theile aber, welche auf die Erde fallen, räumlich von 
einander nicht sehr getrennt sind, so werde angenommen, dass dieselben sich 
in parallelen Richtungen bewegen, ehe sie in die Attractionssphäre der Erde 
gelangen. Die heliocentrische Bewegung der Meteore darf als eine sehr 
rasche angenommen werden. Man kann deshalb nach Laplace die an 
sich sehr verwickelte Bewegung eines solchen Körpers näherungsweise so 
behandeln, dass man die beiden Grenzfälle. wo nämlich nur die Anziehung 
der Sonne oder nur die Anziehung der Erde diese Bewegung bestimmt, 
sprungweise in einem passend gewählten Zeitmomente an einander grenzen 
lässt und die geringen Bahnveränderungen, welche in der kurzen Ueber- 
gangszeit vor sich gehen, wo die Anziehung der Sonne und Erde von 
gleichem Range sind, vernachlässigt. Es wird dies bei der geringen 
Genauigkeit, die hier gefordert wird, unzweifelhaft gestattet sein. Dann 
wird jedes Meteor mit einer leicht bestimmbaren Anfangsgeschwindigkeit 
v, relativ zur Erde in deren Anziehungssphäre dringen und um den 
Erdmittelpunct als Brennpunct eine Hyperbel beschreiben. Die Ge- 
schwindigkeit an der Erdoberfläche, die als eine Kugel mit dem Radius 
I angenommen werde, sei v, ferner a und e halbe grosse Axe (also in 
diesem Falle eine negative Zahl) und Excentricität der Bahnhyperbel. 
Setzt man noch der Kürze wegen die Erdmasse = 1, so ist 

a a a 


a v 


Nimmt man die Richtung der Asymptote der Hyperbel und zwar 
derjenigen, welche die Bewegungsrichtung des Meteors vor dem Zusammen- 
stosse mit der Erde angiebt, zur X-Axe eines Coordinatensystemes, dessen 


1) Entwurf einer astron. Theorie der Sternschnuppen. Stettin 1871. 
2) Monthly notices 1868. 


467 


Anfang im Erdmittelpunkt liegt, während die Y-Axe in der Ebene der 
Bahn so angenommen wird, dass das Meteor von ihrer positiven Seite 
herkommt, so ist in dem Flächensatze 


dy RE gs 


in sehr grosser Entfernung von der Erde zu setzen 


also 
yw»—=kVa(ll— e) 
Bezeichnet weiter « den Winkel, den die Asymptote mit der grossen 


Axe der Hyperbel bildet, so ist cos« =. woraus folgt 


Me a 020 
a ıst für alle Bahnen desselben Schwarmes constant. Als Grenzfälle sind 
folgende zu betrachten: 1) wenn das Meteor central zur Erde fällt, ent- 
sprechend den Werthen e=1lundy=o. 2) wenn die betreffende Bahn- 
hyperbel die Erde berührt. In diesem Falle ist a(1—e)= KR und dem- 
zufolge, wie leicht zu sehen: 


y=-yı=R- 
0 


Diese beiden Hyperbeln schliessen alle Sternschnuppen ein, welche auf 
die Erde fallen. Bezeichnet man demnach mit A, die Anzahl der Stern- 
schnuppen, welche auf die Erde fielen, wenn die Erdanziehung vernach- 
lässigt würde, alle Bahnen also gradlinig wären und mit A die Anzahl der 
thatsächlich mit der Erde zusammentreffenden, so ist 


en EN 

an in) 

Die Richtung des Radiationspunctes bei Vernachlässigung der Erd- 
anziehung wird gegeben durch die Richtung der Asymptote der Bahn- 
hyperbel, während die Tangente an diese in jenem Puncte, wo sie die 
Erdkugel schneidet, den beobachteten Radiationspunct angiebt. Bezeichnet 


€ und z die Zenithdistanz des ersten bezw. zweiten Radianten, ferner y 
61* 


2) 


468 


den Winkel, den die genannte Tangente mit der grossen Axe der zuge- 
hörigen Hyperbel bildet, so ergeben sich leicht folgende Formeln: 


ecosy=cos2 [—2=y—u 
Hieraus findet man mit Hülfe des Flächensatzes 


Rvsinz = —av,tga | 


2 2 
5 5 ® V® 
siny= sine au 2 | 


8) 


2v% 


und weiter die Formel für die sogenannte Zenithattraction &— z: 


Es soll nun der Einfluss der Erdanziehung auf die Häufigkeit der 
Sternschnuppen für einen bestimmten Beobachtungsort abgeleitet werden. 
Nennt man D die Anzahl Meteore, welche in der Zeiteinheit durch die 
Flächeneinheit einer auf der oben festgelegten X-Axe senkrechten Ebene 
hindurchgiengen, falls keine Erdanziehung vorhanden wäre, so wäre die 
Anzahl N, der Meteore, welche durch einen unendlich schmalen Kreisring 
vom Radius % unter denselben Bedingungen hindurchgiengen: 


N. = 2EDyag 


Dieselbe Anzahl fällt in derselben Zeit infolge der Erdanziehung auf 
eine unendlich schmale Kugelzone der Erde, welche von zwei unendlich 
nahen kleinen Kreisen begrenzt wird, deren Pol die Richtung der Asymptote 
ist und deren Winkel-Distanzen von diesem C und &-+d{ sind. Bezeichnet 
also d' die Dichtigkeit des wirklichen Sternschnuppenfalles, d. h. die Anzahl 
der Meteore, welche in der Zeiteinheit auf die Flächeneinheit der Erde 
fallen, so ıst auch 


N, = 220 R2sin CAz 


und infolge dessen: 
°__ ydy 


DT” Rsinüöd£ 


Nun ist aber C&=2-+y—.a und nach der Formel für die Zenith- 
dg—«) _siny-e) | 


TEN AFE ET} ferner nach dem Flächensatze Rvsinz = yvy. 
b 67 


attraction 


469 


Hieraus folgt 


| su(2=e)) - % 
yıı Rn 


sinz JRvceosz 


woraus sich sofort ergiebt 


ö i & ) sin? 2c0s2 
D % 2sinZsin = cos (2—4L) (4) 


Die Formeln (3) und (4), letztere in weniger einfacher Gestalt, sind 
bereits von Schiaparelli a. a. O. abgeleitet worden. 


3. 


Wir können jetzt die Zunahme der Geschwindigkeitscomponenten 
eines Planeten, wofür wir im Folgenden die Erde nehmen werden, durch 
den Zusammenstoss mit einem Meteorschwarm leicht berechnen. Wegen 
der Symmetrie, welche um die gemeinschaftliche Richtung der Asymptoten 
aller Bahnhyperbeln stattfindet, wird eine Zunahme nur in dieser Richtung 


stattfinden. Wir haben nach Art. 1 die Summe > me zu bilden, wo m 


die auf einen Punct der Erde in der Zeiteinheit auffallende Masse und 
= die Geschwindigkeitscomponente derselben in der Richtung der Asymptote 


ist. Nennt man nun D die Masse, welche in der Zeiteinheit durch die 
Flächeneinheit einer auf der Asymptote senkrechten Ebene in sehr grosser 
Entfernung von der Erde hindurchgeht, so ist die Masse, welche auf 
die oben betrachtete sehr schmale Kugelzone fällt 


2nDydy 


Bezeichnet noch u den Winkel, den diejenige Tangente an die Bahn- 
hyperbel, welche die Erde in einem Puncte jener Zone schneidet, mit der 
Asymptote bildet, so hat man 


zm& — A= >21 Dyvcosu-dy 


Die Summe I kommt einer Integration in Bezug auf y zwischen 


470 


den Grenzen y=(0 und y=y, => gleich. Da man nun weiter hat 
‘0 


u=y-—.o, 80 ist: 


4 


A=27Dv[cos(y — o)-ydy 
0 


Aus den Formeln (3) des vorigen Art. folgt aber, wenn man zur 
Abkürzung setzt: 


"+ 
meTT" (1) 
und berücksichtigt, dass: 
IR! 
tgae = z 
h - = 
siny= — 
— 
Yı+ n 


für A die Formel: 


a? ira 
a=2ade (vaulı, an en 


Diese Integration kann man nach den gewöhnlichen Regeln aus- 
führen. Es ist am vortheilhaftesten in der Endformel nur 4 beizube- 
halten. Dann ergiebt sich nach leicht durchführbarer Rechnung: 


A=2nDRn(.) a2 log +1 +5 
Setzt man demnach 
= AL — 1)lognat“ + a Da —A (2) 


so hat man einfach 
A=nR2Do(t) f 
— n 


Aus der Definition der Grösse D folgt, dass: 
nR?D 


471 


die Meteormasse ist, welche bei Vernachlässigung der Erdanziehung in 
der Zeiteinheit auf die Erde fiele. Wegen (2) des Art. (2) ist also die in 
der Zeiteinheit auf die Erde fallende Masse u: 


N) en also: A= ufv (3) 
0 


Man kann noch bemerken, dass D selbstverständlich von der Ge- 
schwindigkeit v, abhängt und mit dieser wächst. Um also vergleichbare 
Resultate zu haben, muss man bedenken, dass 

DZU),0, 
ist, wo D, die räumliche Dichtigkeit des Schwarmes ist d. h. die Masse 
in der Raumbheit. 

Die negative Richtung der Asymptote ist aber das, was man den 
scheinbaren (von Zenithattraction natürlich befreiten) Radiationspunct 
nennt. Bezieht man die in Art. 1 vorkommenden Coordinaten auf das 
System der Längen und Breiten und bezeichnet man Länge und Breite 
des scheinbaren Radiationspunctes mit # und f’, so werden die Art. (1) 
vorkommenden Grössen jetzt so dargestellt werden: 


de den... R=D, u , a 
a m eco | 
1 klin _dy\__„ED% Bee; 
=: Y)= Ku „„feosß'sind (4) 

Dee. RO ae I IDEEN, 
ie) en a 


Hierdurch ist Alles gegeben, um den Einfluss des Zusammentreffens 
mit einem Meteorschwarm auf die Bewegung eines Planeten berechnen 
können. 

Was die Grösse A betrifft, so ist Folgendes zu bemerken: v ist stets 


grösser als v,. Als mögliche Grenzfälle treten auf -- =] und - — ie 
[0] (0) 
Im ersten Falle ist = 1, im zweiten A—= ©, während / die Werthe 1 
bezw. 0 annimmt, so dass also f und & positive echte Brüche sind. Bei den 


kleineren Planeten ist indessen f stets sehr nahe gleich 1. So z. B. ist 
selbst in dem ungünstigsten Falle, wo nämlich die Sternschnuppen gleiche 


472 


Bewegungsrichtung mit der Erde haben, bei Voraussetzung parabolischer 
heliocentrischer Bewegung f = 0.99. Die parabolische Geschwindigkeit der 
Sternschnuppen ist freilich vorderhand nur eine Hypothese, aber eine 
solche, welche im grossen und ganzen den mittleren Verhältnissen bei 
den Meteoren Rechnung trägt. Es ist übrigens klar, dass eine Ver- 
grösserung von v, den Werth von / nur noch mehr der Einheit nähert. 
Jedenfalls soll im Folgenden direct = 1 gesetzt werden, weil dies in 
den Fällen der Anwendung vollkommen genügt. Den oben erwähnten 
und benutzten Zusammenhang schreiben wir schliesslich, um Alles bei- 
sammen zu haben, noch etwas anders. Bezeichnet g die Intensität der 
Schwere an der Oberfläche der Erde, so hat man: 


G=20R | 
=-uo+1G | & 
4. 


In den der Sonne näheren Theilen des Planetensystemes bewegen 
sich sehr viele grössere und kleinere Meteorschwärme. Gegenwärtig kennt 
man bereits mehrere Tausend solcher Ströme, welche die Erdbahn kreuzen. 
Ob das Beobachtungsmaterial aber ausreicht, um nähere Angaben, wie die 
Radianten und die Zahl der auffallenden Meteore mit der Länge der 
Erde in ihrer Bahn variiren, machen zu können, ist ohne genauere 
Untersuchungen nicht festzustellen. In Ermangelung solcher soll nun die 
möglichst einfache Hypothese betrachtet werden, die freilich vielleicht 
der Wahrheit nicht sehr nahe entsprechen wird, selbst wenn man von 
einigen sehr mächtigen Strömen, so den Leoniden und Perseiden, absieht, 
nämlich, dass die heliocentrischen Radianten gleichmässig am Himmel 
vertheilt sind, mit andern Worten, dass Sternschnuppen aus allen Gegenden 
mit gleicher Wahrscheinlichkeit herkommen, wenn von der Anziehung 
und Bewegung der Erde abgesehen wird. Ob man sich hierdurch dem 
wahren Zustand nähern wird, der durch den Einfluss der schwächeren 
ıadianten erzeugt wird, muss also dahingestellt bleiben, wenngleich dies 
gegenwärtig als wahrscheinlich gelten darf. 

Wie schon erwähnt, soll stets /= 1 angenommen werden. Ferner 
nehmen wir an, was die Allgemeinheit in keiner Weise beeinträchtigt, 


En 4. Br, 4; 


4753 


dass der Planet (Erde), dessen Bewegung untersucht wird, sich in der 
Ecliptik bewege. Sind dann w, P, A, ungestörte heliocentrische Ge- 
schwindigkeit des Meteores, Breite und Länge des wahren Radiations- 
punctes, V und Z Geschwindigkeit und Länge des Apex der Planeten- 
bewegung, während alle früheren Bezeichnungen bestehen bleiben, so hat 
man: 

w cos ß cosA = v,cosß' cosA — VcosL 


wcosßsinA = v,cosß sink — VsinL 
wsinß = v,sin 
Hierbei ist darauf geachtet, dass der Radiationspunct die Gegend des 
Himmels angiebt, woher die Bewegung erfolgt, der Apex dagegen an- 


zeigt, wohin sich der Planet bewegt. Aus den angeführten Gleichungen 
ergiebt sich: 


v=w—+V”’-+2wV cosßcos(A — L) 
”=u+@ 


Die Gleichungen (4) des vorigen Artikels werden jetzt: 


(= —— (w cos ß cosA + YcosL) W 
2) = — N (w cos PsinA+ VsinZL) W 


Mm 


Je De ip: W 


Mm 


worin 


EN w-- Pr +G+2w V eosß cos (A — L)]: 
>; w* + V?+2wV eosßcos(A— L) 


Es handelt sich nun um die Auffindung der Mittelwerthe von (1), (2) 
und (3), wenn die wahren Radianten gleichmässig am Himmel vertheilt 
sind. Diese erhält man, wenn man mit dem Flächenelemente cos ? dP di 
multiplicirt, darauf in Bezug auf die ganze Kugeloberfläche integrirt und 
das Resultat durch 47 dividirt. 

Setzt man also 

Abh.d.II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 62 


IT 


ro 27 
AA — [eos? #43 [ Weosad3 
er ) 


2 


IT 


In 2 
u [eos? #43 | Weinaaı. 
0) 


+ 27T 
Anl—= feosßaß[ war 


so wird 
=" mA} VCcosL) 
= — WB VCsin]) 


Man sieht also, was übrigens von vornherein klar war, dass die Bahn- 
ebene des Planeten nicht geändert wird. Führt man A— L=xz ein, so 
kann man die obigen 3 Integrale auf 2 zurückführen, nämlich auf 


IT 


2 


U - ‚[eos? aß | Weosada 
0 [Ü 


1) 


2 EL 


l 
6 — „je P a9 | Was 


Denn es ist, wie sofort zu sehen 


AcosL+BsnL=() 
AsinL— BcosL=V0 


A=fN)co8Z; »B— Ns 


475 


W hat hier selbstverständlich die Bedeutung: 


(w + PP +G+2%Vcosß cos a)! 
w2 + V?+2w V eos ß cos x e 


m 


Man hat also jetzt 
V)=— 


We (om VOlsinL 


R?rD, 
er lao + VO}eosL 


(2) 


Diese Störungscomponenten drücken aber eine einfache Widerstands- 
bewegung aus, denn die störende Kraft wirkt allein in der Richtung 
der Tangente der Bahn. 


5. 


Die Doppelintegrale (I) und © lassen sich stets in endlicher Form 
angeben. Es ist das auf den ersten Blick etwas merkwürdig, weil die 
Integrale in Bezug auf x elliptische sind. Diese Reduction beruht auf 
der allgemeineren Bemerkung, dass man das die allgemeine Function f 
enthaltende Integral 


PLA 


J= |cosed«|f(cos«cosy)dy 
ra 


sofort auf ein einfaches Integral zurückführen kann, wenn man / inner- 
halb der Integrationsgrenzen in eine Potenzreihe entwickeln darf. Wird 
nämlich für f(z) die Form 


f)=Ah+ A? + A2P°+.... 


vorausgesetzt und bezeichnet man 


23 

2 
TE ® bi: a en! 
5 U = | cos OL 5 on 0 

a 

J 2.4.6...2n 1 

2 2n--1 er. h 

Uns = [eos Ra np lbre 


62* 


476 
so wird 


‚[fteoszeosy) day = a{A+ 4 U,cos’w + A, U, cos'o + EN: h 
0) 


und demzufolge 
J=1{/4,+40U9+A4U,U,-+....} 


Nun ist aber 
1 


D,, D,,+1 — Intl 


und hieraus folgt 
= "I4+34%+14-+....} 
Den Ausdruck rechts kann man aber sehr leicht summiren. Es er- 
giebt sich sofort: 


Su 
J=2-|f@ds 


Auf ein Integral von der Form J lassen sich nun (I) und C sofort 
zurückführen, Setzt man nämlich zur Abkürzung 


2wV 2wV 
Ta mr 0 guys A) 


so ıst 


Ei? WENN (1 + beoszeosy)? 7 
U= Eee fa 2] DRIN 1+ Pcosxcosy = 


ET Y?+ 2)! (1 +beoszeosy)! ] 
U= 7... w=-.V? ee | 1+ Pcosxcos y 
Nach dem obigen Integralsatz ist also: 
+1 
we + 7° MKEID, 
traue RE de=K 
azs V?: +6): -| 1+ßz 
= (2) 
+ 
w + V° ee 
wtr +8 | 1+ße Hr: 


Zi 


477 


x 


Zunächst hat man sofort 
2 $ 3 
J+BK=;,.|1 +9’ — (1 —)| (3) 
Das Integral .J lässt sich auf eine einfachere Form bringen durch die 
Substitutionen e 
1 = = —: = — 
Ir P 2 %, a BR c ß 


Dann wird nämlich 
ı+ß 


1= 4. | @+en 
neh 
und wenn die Integration nach bekannten Regeln ausgeführt wird: 
ne n z 
a (4) 
[V1+b—Va Vi—b+Yal 
. len Vs 8 _ Va 


Diese strengen Formeln (1), (2), (3) und (4) lösen die Aufgabe 
allgemein und sie werden bei den grossen Planeten in der That anzu- 
wenden sein. Dazu liegt aber gegenwärtig wenig Veranlassung vor. Es 
sollen vielmehr solche Anwendungen derselben gemacht werden, die sehr 


bedeutende Vereinfachungen zulassen. 


6. 


Um zunächst die Verhältnisse bei der Erde in Betracht zu ziehen, 
so wird es jedenfalls erlaubt sein, die Erdbahn als Kreis anzunehmen. 
Ferner ist in Kilometern und Zeitsecunden ausgedrückt V rund 30 und 
@=125. Die parabolische Hypothese w—= VV 2 ist zwar in neuerer Zeit 
vielfach angezweifelt worden; es scheint aber doch, dass sie geeignet ist, 
bei rohen Mittelwerthen als Grundlage zu dienen. Sie soll deshalb hier 
angenommen werden. Man überzeugt sich auch leicht durch eine einfache 
Rechnung, dass es, obwohl damit nicht viel Mühe verbunden ist, unnöthig 
wäre, die strengen Formeln anzuwenden. Vielmehr erhält man bis auf 
wenige Procente richtige Werthe, wenn man @=0 setzt, also die Erd- 


478 
A 


anziehung ganz vernachlässigt. Dieses Resultat war von vornherein 
keineswegs selbstverständlich. 
Machen wir die erwähnten Annahmen, so folgt nach Art. 5, (1) 


b — ßB = Ta) — ( 
und man findet 
(I) = 0.3007 
= 1.6507 


Hiermit werden also die durch den Zusammenstoss mit den Meteoriten 
erzeugten Störungscomponenten 


2 
(= en, V’cosL 


2 
.. » V?sinL 


(1) 
(= — 


= 
|| 
[0] 
=>) 
| 
> 


Diese Gleichungen definiren demnach eine Widerstandsbewegung, 
deren Charakter vollständig bekannt ist. 

Es erübrigt noch, den Widerstandsfactor etwas anders zu bestimmen. 
Nach Art. 3, (3) ist die Masse u, welche in der Zeiteinheit, als welche 
in gebräuchlicher Weise der mittlere Sonnentag gewählt wird, auf die 
Erde fällt, definirt durch: 

0 = aD & 
also im vorliegenden Falle: 


se D, R? cos ßdß a ee @-+2wV cos ß cos(A— L) 
A Vwr + 9? 2% Veosßcos(A— L) 


oder wenn auch hier @ vernachlässigt wird: 
| u aDinO 
Setzt man dies in (1) ein, so wird: 
1)=— „+ V cos L 


\= 5) 
I 2 Z26 
(2)= — —-AVsinZ 
Mm 


479 


Hierzu kommen noch die Glieder, welche von der Massenvergrösserung 
der Erde herrühren. Man wird annehmen dürfen, dass diese der Zeit 
proportional vor sich geht, also setzen: 


Am= ut 


und die Störungscomponenten werden nach Art. 1, (5) 


X—= —k2ut —"1VcosL 
r Mm 

v— — hut" ıVsinl (2) 
12 MV 

= 


Für die kreisförmige Erdbahn mit dem Radius « ist Z= 90°’ +.nt, 
wo n die mittlere Bewegung der Erde bedeutet. Die Störungscompo- 
nenten R und 5 in der Richtung des Radiusvectors, bezw. senkrecht 


darauf, sind dann: 


= an 


u A 
= S=-— "ran 
a m 


Hierdurch entstehen bekanntlich in der mittleren Länge / säculare Glieder. 
Diejenigen, welche von der Massenvergrösserung herrühren, sind, wenn 
die Sonnenmasse gleich 1 gesetzt wird: 


AU um 
während infolge des Zusammenstosses die Glieder zu Stande kommen: 


Pa X 
A,=3nk Ü 


Hieraus folgt, das 41, gegenüber 41, gänzlich zu vernachlässigen 
ist. Denn man findet 


72 =34. =rund 610000 

Wenn z. B. im Jahrhundert so viel meteorische Masse auf die Erde 
fiele, dass hierdurch eine gleichmässige Schicht von 1 mm Höhe und der 
mittleren Erddichte entstände, so würde wenn ? in Jahrhunderten ange- 


geben wird, rund: 
Ab —.0. 127 


480 


Etwas anders gestaltet sich die Sache, wenn man die Mondbewegung 
untersucht. Es soll dies jetzt geschehen, weil ein ähnlicher Versuch 
bereits vorliegt. Bezeichnet man die heliocentrischen Coordinaten des 
Mondes m’ mit xyz’, seine heliocentrische Geschwindigkeit mit 7’ und 
nimmt man der Einfachheit wegen die Neigung der Mondbahn gegen 
die Ecliptik gleich Null an, so wird die Breite der heliocentrischen 
Mondbewegung Null sein, während die Mondlänge L’ ist. Die der Erde 
zugehörigen Grössen sollen, wie früher, mit denselben ungestrichenen 
Buchstaben bezeichnet werden. Dann hat man für Mond bezw. Erde die 
Gleichungen: 


dx Sa SE ee 
TE +%2(1 tm) = kim k? m a V cosL 
2 uhn 20, NE TER re Me 
es (14m) — — km nn köm — „hVeosL 


Hierin bedeutet selbstverständlich 7 die Entfernung Mond—Erde und 
für die Mondmasse m haben wir zu setzen: 


mm, nt 
wo w die tägliche Zunahme der Mondmasse ist. Für die geocentrische 
Coordinate & des Mondes ergiebt sich also durch Subtraction: 


d?E 
dt? 


(m + m) = (2 — 5 V'eosL’ +1 VeosL 


FREIE 2 
Die durch den Zusammenstoss erzeugte störende Kraft ist demnach: 
X= —k’(u+ Bi) Er & » V cosLb 4 Z AV cosL 


ey _ Ei V'sinD - ‚VsinZ 
Wir wollen nun die Bahn des Mondes um die Erde als Kreisbahn 
mit dem Radius « und der mittleren Bewegung n’ annehmen. Dann 
sind die Störungscomponenten R und $ in der Richtung des Radius- 
vectors und senkrecht darauf: 


R=—k(u+u) APR er in 1) ansin(n —n)t 


, 


m 


S=—-Sxran ie % — „h)ancos(n —n)t 


481 


Wenn man nur die säcularen Glieder aufsucht, so fallen die zweiten 
Glieder auf den rechten Seiten fort. In der mittleren Mondlänge A 
erhält man so nach dem Vorigen folgende Säcularveränderungen: 


1) Infolge der Massenvergrösserung 


HA ee "nt? 


m + m’ 


2) Infolge des Zusammenstosses 
AA, — EI 
” m 


Man wird die Dichtigkeit der auf den Mond fallenden Meteor- 
schwärme gleich derjenigen, welche mit der Erde zusammentreffen, an- 
nehmen können und demzufolge, da auch die heliocentrische Mondbewegung 
sich nur wenig von der heliocentrischen Erdbewegung unterscheidet, A—=4 
setzen dürfen. Es wird also genügen zu setzen 


an (5) 


wo R den Mondradius bedeutet. Wählt man nun wieder die obigen 
Annahmen als Beispiel, so folgen in runden Zahlen die Werthe 


2 


AA, 0:38 
AAN I 
Der Zahlenwerth für 4/4, stimmt absolut nicht mit den Rechnungen 
überein, welche Oppolzer in einem sehr interessanten Aufsatze in Nr. 2573 
der „Astronomischen Nachrichten“ ausgeführt hat. Dort wird eine 
Massenanhäufung von derselben Grösse wie in dem obigen Beispiel be- 
handelt und die daraus sich ergebende Acceleration in der mittleren 
Mondbewegung bestimmt. Oppolzer findet für denjenigen Theil, welcher 
aus der Vergrösserung der Mondmasse entsteht . . . 0.87 
von der Wirkung des Zusammenstosses herrührt . . . 0.26 
endlich wird die Rotationsdauer der Erde durch die eingetretene Massen- 
vermehrung derselben geändert, was auf den Mond übertragen eine Acce- 
leration hervorruft 
InbBetrzase sone Ale anna 15 0.68 
Abh.d.II.Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. II. Abth. 63 


482 


Alle drei Posten geben zusammen 1.81. Da nun bekanntlich die Störungs- 
theorie etwa 5“ in der mittleren Mondbewegung unerklärt lässt, so 
folgert Oppolzer, dass im Jahrhundert eine Menge kosmischen Staubes 
mit der Erde vereinigt wird, welche einer Schicht von 2.8 mm Höhe 
von einer Dichte gleich der mittleren Dichte der Erde gleich kommt. 
Aus dem Vorigen folgt, dass das Zahlenresultat Oppolzer’s unrichtig ist, 
indem der Einfluss des Zusammenstosses 35 mal so gross ist als Oppolzer 
angenommen hat. Der begangene Fehler hat darin seinen Grund, dass 
Oppolzer der Meinung war, „es wird in dieser Hinsicht nur jene Masse 
in Wirksamkeit treten, die in dem Volumen enthalten ist, welches der 
Mond in seiner relativen Bewegung um die Erde durchstreift.“ 

Auch die weitere Annahme ÖOppolzer’s, dass die staubförmige Masse 
sich in absoluter Ruhe relativ zur Sonne befinde, dürfte wohl nicht 
haltbar sein, wodurch übrigens das Zahlenresultat nicht viel geändert 
wird. Indessen scheint es doch wünschenswerth, die Sachlage direct unter 
den von ÖOppolzer betrachteten Umständen klar zu stellen, um den er- 
hobenen Widerspruch gegen das Resultat eines so bedeutenden Astronomen 
völlig zu begründen. Die heliocentrische Geschwindigkeitszunahme durch 
die Aufnahme ruhender Massen ist gegeben für den Mond durch 


da 2 Eurer 
Bann 
und für die Erde durch 
HE LER ol106 
de m GE 


also wird die Zunahme der relativen Geschwindigkeiten 


a w d& u w I 
7 dt ko: U m)dt 
ae uw dn u N 
A m dt (— m) dt 


was mit den obigen Formeln vollkommen übereinstimmt, wenn man 
»=4h=]1 setzt. In der That muss dies aber geschehen, wenn die Meteor- 
massen keine heliocentrische Bewegung zeigen. Diese Formeln ergeben 
für die Acceleration der mittleren Mondbewegung 7.3 also rund 28 x 0.26. 

Nach dem Vorstehenden wäre also die Oppolzer’sche Schicht auf 
etwa '/ mm zu reduciren. Ob hierdurch der Erklärungsversuch wesent- 


483 


lich an Wahrscheinlichkeit gewinnt, ist natürlich eine ganz andere Frage, 
die voraussichtlich zu verneinen sein wird. Herr Braun hat in Nr. 2582 
der A. N. eine solche Erklärung abgelehnt, weil die nothwendige Massen- 
vergrösserung der Erde viel zu gross sei, und diese Ablehnung durch 
Gründe gestützt, denen man eine gewisse Berechtigung nicht wird ab- 
sprechen können. Einige Einschränkungen wird man freilich wohl machen 
können, ohne mit den Beobachtungen in Widerspruch zu gerathen. 


1% 


Ein weiteres Beispiel der directen Anwendung der obigen Formeln 
geben die Cometen ab. Man wird hier ohne Zweifel von der Anziehung 
absehen können, welche diese Körper auf die Meteorschwärme ausüben. 
Ferner wird man sich erlauben können die Cometenbahnen als Parabeln 
anzusehen. Es ist das freilich bei den periodischen Cometen nur in 
nicht gar weiter Entfernung vom Perihel erlaubt, wird aber den Gesammt- 
erfolg schon deshalb wenig ändern, weil die Annahme viel für sich hat, 
dass die Dichtigkeit der Meteorschwärme in der Nähe der Sonne grösser 
ist und rasch mit der Entfernung von ihr abnimmt. Unter diesen Vor- 
aussetzungen ist also w—= V zu setzen und man erhält für die Störungs- 
componenten die Ausdrücke 


(= — "DV °cosL. 
= — your 


Da ausserdem im vorliegenden Falle von einer Vergrösserung der 
Masse abgesehen werden kann, so ergiebt sich hier die bekannte Wider- 
standsbewegung, wie sie beim Encke’schen Cometen constatirt worden 
ist. Man mag über diese Erklärung der Anomalien in der Bewegung 
des Encke’schen Cometen denken wie man will, jedenfalls genügt sie 
den Beobachtungen vollkommen und lässt auch die sonst räthselhaften 
Veränderungen in der Widerstandsconstanten vollkommen erklärlich er- 
scheinen. Denn wir haben gar keinen Anlass, D, als unabhängig von 
Ort und Zeit anzunehmen, ja sogar sprungweise Aenderungen desselben 


haben in keiner Weise etwas Auffallendes. Desgleichen wird die, wie es 
63* 


484 


scheint, von den Beobachtungen geforderte Annahme, dass D, mit der 
Entfernung von der Sonne abnimmt, nichts Ueberraschendes bieten. 

Ich gehe nicht darauf ein zu zeigen, wie sich die hier und wohl 
auch früher schon gelegentlich erwähnte Hypothese über das sogenannte 
widerstehende Mittel vortheilhaft von andern unterscheidet. Desgleichen 
sollen andrerseits gewisse Schwierigkeiten, die sich ohne Zweifel angeben 
lassen, unerörtert bleiben. Nur einen Punct möchte ich hier erwähnen. 
Es war mir seit langer Zeit auffallend, wie man dieses Mittel mit dem die 
Bewegung des Lichtes vermittelnden Medium identificiren konnte. Von 
Astronomen ist diese Ansicht wohl kaum ernstlich ausgesprochen worden, 
in physikalischen Büchern und populären Schriften findet man aber noch 
heute diese Erklärung erwähnt. Abgesehen davon, dass diese Annahme sich 
nicht damit verträgt, was doch von den Beobachtungen gefordert wird, 
dass das Mittel die translatorische Bewegung des Sonnensystemes mitmachen 
müsste, bereitet die Annahme, dass die Dichtigkeit dieses Mittels von der 
Entfernung von der Sonne abhängt, fast unüberwindliche Schwierigkeiten. 
Zum mindesten, wenn man selbst eine auch sonst nicht als zulässig er- 
scheinende Zusammendrückbarkeit dieses Aethers gelten lassen wollte, 
würden daraus infolge der Lichtbrechung in einem nicht überall gleich 
dichten Medium scheinbare Anomalien in der Bewegung der Planeten 
Mercur und Venus sich ergeben, von denen nichts bekannt ist. Freilich 
kann man wohl kaum Zahlenresultate in dieser Richtung anführen, aber 
diese Untersuchung müsste jedenfalls angestellt werden, ehe man dem 
Lichtaether solche ungewohnte Eigenschaften beizulegen sich entschliesst. 


8. 


Wie schon am Anfange dieses Aufsatzes bemerkt worden, folgt die 
Theilung planetarischer Massen infolge der Auslösung innerer Kräfte, 
da sie in mechanischem Sinne einer Explosion gleichkommt, genau 
denselben Gesetzen, wie der Zusammenstos. Man hat nur die sich 
abtrennende Masse als negativ, also das mit w behaftete Glied eben- 
falls negativ anzusetzen. Solche explosive Erscheinungen traten bisher 
in einer Ausdehnung, die zu näherer Betrachtung auffordert, nur bei 
den Cometen auf. Hier ist aber das Problem ein sehr einfaches, weil 


485 


weder eine Verkleinerung der Cometenmasse in Rechnung gezogen zu 
werden braucht, und weil infolge der allem Anscheine nach sehr kleinen 
Cometenmasse gleich nach der Abtrennung von der gegenseitigen An- 
ziehung beider Theile abgesehen werden darf. Die erste, übrigens leicht 
zu berücksichtigende, Vernachlässigung ist erlaubt wegen der geringeren 
Genauigkeit der Beobachtungen und weil die Umlaufszeit sich noch bei 
keinem Cometen so genau hat bestimmen lassen, dass dieser Umstand in 
Frage käme. Die zweite Vernachlässigung wird noch dadurch plausibler, 
dass die Ausströmungen und Theilungen der Cometenmassen mit grosser 
Geschwindigkeit vor sich gehen, wenn anders die betreffenden Theorien 
als zutreffend anerkannt werden. 

Bessel hat in einem interessanten und in neuerer Zeit vielfach citirten 
Aufsatze!) den Einfluss der Ausströmungen auf die Bewegung der Cometen 
in einigen Richtungen untersucht, hieran aber Folgerungen geknüpft, 
gegen die sich, wie ich glaube, nicht unwesentliche Bedenken erheben 
lassen. Aus diesem Grunde soll hier auf diesen Gegenstand mit wenigen 
Worten eingegangen werden. 

Als gesichertes Beobachtungsresultat werden wir ansehen können, 
dass die die Schweifbildung hervorrufenden Ausströmungen von der Sonne 
hervorgerufen werden und zunächst in der Richtung nach der Sonne 
hin stattfinden. Die Reaction, welche hierdurch auf die Hauptmasse des 
Cometen ausgeübt wird, geschieht also in der positiven Richtung des 
Radiusvectors. Dies gilt natürlich nur für den mittleren Zustand. Hieran 
wird aber durch die von Bessel zuerst erkannten und studirten perio- 
dischen Schwankungen der Ausströmung nichts geändert, vielmehr zeigen 
diese gerade, dass die Richtung des Radiusvectors eine Gleichgewichtslage, 
also eine mittlere Lage, darstellt. Es ist das auch von vornherein sehr 
wahrscheinlich, weil die Ausströmungen jedenfalls durch Kräfte hervor- 
gerufen werden, die in der Sonne ihren Sitz haben, gleichgiltig ob dies 
in letzter Instanz thermische, electrische oder irgend welche andere sind. 
Ferner ist durch die Beobachtungen festgestellt, dass die Intensität der 
Ausströmung mit der Annäherung des Cometen an das Perihel zunimmt, 


1) Bemerkungen über mögliche Unzulänglichkeit der die Anziehungen allein berücksichtigenden 
Theorie der Cometen. Astron. Nachr. Band 13. Abhandlungen Bessel’s herausg. von Engelmann 
Band I pag. 80. 


486 


meistens nicht im Perihel sondern später das Maximum erreicht und 
überhaupt nach dem Perihel stärker ist als sie in den entsprechenden 
Puncten vor der Sonnennähe war. Es ist dies eine ganz ähnliche Er- 
scheinung, wie wir sie sehr oft beobachten. Hierher gehört z. B. die 
Thatsache, dass nicht Mittags, sondern einige Stunden später das Maximum 
der Temperatur eintritt u. s. £. 

Giebt man dies zu und ich glaube, dass neue Hypothesen nothwendig 
sind, um das Gesagte zu bestreiten und nicht um es zu bekräftigen, so 
folgt aber, dass die Ausströmungen bei periodischen Cometen niemals 
so wirken, wie das sogenannte widerstehende Mittel. Das Characteri- 
stische der Wirkung des letzteren besteht darin, dass die mittlere Länge 
im quadratischen Verhältnisse der Zeit zunimmt. Um also die eben 
gemachte Bemerkung zu rechtfertigen, ist es erforderlich zu zeigen, dass 
ein solches Glied als Folge der Ausströmung nicht auftritt. 

Nennt man g die Geschwindigkeit, mit der die Masse « in der 
Richtung des Radiusvectors zur Sonne ausströmt, so sind die störenden 
Kräfte der Reaction auf die Bewegung des Cometen mit der Masse m: 


ux 
a 
7 u 
en 


Hierdurch entsteht die störende Kraft R in der Richtung des wachsenden 
Radiusvectors 


BR io 


und die Differentialgleichung für die Störung 7! in der mittleren Länge 
ist, unter Beibehaltung der üblichen Bezeichnung für die übrigen Elemente 


d(4 ; 
N a jominvae 
e 


dt a?n en re: m 


Hieraus folgt 


ES lc ee Burg 
di= an fornat | & [ohinoae 


487 


Das erste Glied ist stets negativ, das zweite, solange man sich vor 
dem Perihel befindet, sicher positiv. Vom Perihel fängt dasselbe zu 
wachsen an, weil sin v positiv ist und wächst. Da nun den obigen Aus- 


einandersetzungen gemäss 9, nach dem Perihel grösser ist als in den 


Puncten mit demselben v» vor dem Perihel, so wird das zweite Glied 
für einen Punct mit positivem v kleiner sein als es in einem Puncte mit 
demselben aber negativem v war. Es wird also überhaupt, wenn man 41 
dadurch bestimmt, dass man einen periodischen Cometen von Umlauf zu 
Umlauf verfolgt, die mittlere Länge mit der Zeit abnehmen. 


Dies ist aber gerade das Gegentheil von dem, was man beim Encke’- 
schen Cometen beobachtet hat. Will man also die Ausströmungserschein- 
ungen zu einer Erklärung der Anomalie in der Bewegung des Encke’schen 
Cometen verwenden, so muss entweder die Hypothese gemacht werden, 
dass im Durchschnitt die Ausströmung vor dem Perihel intensiver war 
als nach demselben, eine Hypothese, die ich, wenigstens nach dem gegen- 
wärtigen Stande unseres Wissens, als sehr wenig wahrscheinlich betrachten 
muss oder man muss ganz bestimmte und vorderhand nicht bewiesene 
Annahmen über eine Abweichung der Richtung der Ausströmung von 
der des Radiusvectors voraussetzen. Ich halte es deshalb für nicht ge- 
rechtfertigt, wenn man in neuerer Zeit auf diese Erklärung für die Ano- 
malien in der Bewegung des Encke’schen Cometen zurückgekommen ist. 


In anderer Richtung sind aber die im Bessel’schen Aufsatze ent- 
haltenen Anregungen von der grössten Wichtigkeit. Man erhält bei 
durchaus nicht extravaganten Annahmen so bedeutende periodische 
Störungen, dass man sich billigerweise verwundern muss, dass so be- 
deutende Einflüsse bei Cometen mit starker Schweifbildung bisher nicht 
bemerkt sein sollten. Wir besitzen seit Bessel’s Zeit sehr viele gut 
beobachtete und umsichtig berechnete Cometenbahnen, nirgends haben 
sich aber bisher Differenzen zwischen Berechnung und Beobachtung er- 
geben, die nicht auf andere Weise erklärt werden könnten. Hierdurch ist 


man aber doch zu dem Schlusse berechtigt, dass die Grösse 9, bei allen 


diesen Cometen sehr klein sei und da andrerseits die nicht kleinen Werthe 
für g, welche die Bessel’sche Theorie der Schweifbildung ergiebt, als 


488 


ziemlich gesichert angesehen werden können, so muss geschlossen werden, 


4 . ers - 
dass — nur einen minimalen Bruchwerth annehmen kann, dass also die 


ausströmende Masse selbst gegen die sehr kleinen Cometenmassen ver- 
schwindend klein ist. Diese Ansicht über die ungeheuere Dünnheit der 
Materie, welche die Cometenschweife bildet, steht auch sonst mit allen 
Beobachtungen im Einklang und sie schliesst sich den in neuerer Zeit 
gemachten Versuchen über die Zerstäubung belichteter Metallmassen in 
vieler Hinsicht so eng an, dass vorderhand die Vermuthung eines Zu- 
sammenhanges beider Erscheinungen, wie auch von anderer Seite bereits 
ausgesprochen worden ist, wenigstens nicht unbedingt abzuweisen ist. 


Ueberhaupt hat man wohl keinen Grund die Ansicht festzuhalten, 
dass im oder vom Cometenkerne aus bedeutende Massen durch explosive 
Kräfte umgesetzt werden, denn dann müssten nothwendig Reactionswirk- 
ungen eintreten, von denen bisher nichts beobachtet worden ist. Sehr 
interessant ist in dieser Beziehung der grosse Comet 1882 II, welcher 
mehrere Kerne zeigte, die während seiner Sichtbarkeit mehr oder 
weniger hervorgetreten sind. Die erschöpfende Bearbeitung, welche Herr 
Dr. Kreutz!) für die von ihm als Hauptkern bezeichnete Verdichtung 
durchgeführt hat, hat Alles in die schönste Uebereinstimmung gebracht. 
Desgleichen hat sich nach den Untersuchungen des Herrn Tisserand ?) 
gezeigt, dass die Bewegung der zweiten helleren Verdichtung durch die 
Kepler’schen Gesetze allein geregelt wird. Es kann also eine nennens- 
werthe Einwirkung der beiden Kerne aufeinander während der Sichtbarkeit 
nicht stattgefunden haben und eine Theilung im obigen Sinne musste 
jedenfalls früher sich vollzogen haben. Dies wird sich aber schwer sicher 
feststellen lassen. Wenn man sich ein Bild von solchen Erscheinungen 
wie die Theilung des Biela’schen Cometen, des plötzlichen Auftauchens 
von Nebencometen in grösseren oder kleineren Entfernungen vom Haupt- 
kern u. s. f. machen will, so wird dies, wenn die Zukunft nicht ganz 
durchgreifende Richtigstellungen bringt, wohl kaum anders ausfallen 
können, als dass man annimmt, die physikalischen Bedingungen für Er- 


1) Publication der Sternwarte in Kiel. 1888. 
2) Bulletin astronomique. 


Di ange 


489 


scheinungen, welche Cometen genannt werden, könnten an mehreren 
Stellen, wenn auch in sehr verschiedenen Graden, gegeben sein. Halten 
wir den engen Zusammenhang zwischen Sternschnuppenschwärmen und 
Cometen fest, so würde also ein solcher Schwarm bald da bald dort die 
physikalischen Bedingungen erlangen, welche ihn als Cometen erscheinen 
lassen. Die Mitwirkung störender Planeten bei der Ausbreitung solcher 
Schwärme braucht selbstverständlich in keiner Weise ausgeschlossen werden. 
Das bekannte Vorkommen von Cometensystemen, die Theilung des Biela’schen 
Cometen, der Pogson’sche Comet und der wahrscheinlich mit ihm iden- 
tische Sternschnuppenfall verlieren dann in astronomischer Beziehung das 
Auffallende und Merkwürdige, das ihnen noch anhaftet. Dass hiermit 
über die physikalische Erklärung der Cometen noch nichts gesagt ist 
und gesagt werden soll, versteht sich von selbst. 


Es ist zu bedauern, dass der Biela’sche Comet, der für solche Fragen 
noch immer das geeignetste Object ist, bisher keine so eingehende Be- 
rechnung gefunden hat, als zu wünschen wäre. Es mag dies zum Theil 
darin liegen, dass die genannte Aufgabe nicht immer in jener Beschränkung 
angefasst worden ist, die vorläufig Aussicht auf Gelingen darbietet, dass 
man vielmehr gleich von Anfang an sich vornimmt, den Cometen durch 
möglichst viele Erscheinungen zu verfolgen. Es kommt vielmehr bei 
der wichtigen Frage, die sich beim Biela’schen Cometen darbietet, nämlich 
nach dem Verhalten der beiden Cometen, die sich im Jahre 1845 an 
Stelle des einen Cometen zeigten, wesentlich auf eine möglichst sorg- 
fältige Verbindung der beiden Erscheinungen von 1832 und 1845 an. 
Die weitere Verbindung 1845—1852 wird dann erst in theoretischer Be- 
ziehung wichtig, denn bekanntlich hat Hubbard nicht mit voller Sicher- 
heit festellen können, welche Oerter in beiden Erscheinungen zu demselben 
Objecte gehören. 

Wenn eine Theilung durch explosive Kräfte stattgefunden hat, so 
lassen sich die Beziehungen zwischen den Elementen der beiden Theil- 
cometen und dem ursprünglichen, aus denen sie hervorgegangen sind, 
sehr leicht ableiten. Denn es ist in Bezug auf ein festes heliocentrisches 
Coordinatensystem im Augenblick der Trennung: 


Abh.d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII, Bd. II. Abth. 64 


490 
dx dx dx 
(m, IM) 3 ae er + m 
d dı d 
(m, + m.) 7; = Mm, . ma z 
2 


(m, tm) 0) en: mM 


wo m, m, und % Yı2 %%Ys2, die Massen und Coordinaten der beiden 
Theile, 2% 2 die Cordinaten für den ursprünglichen Cometen bedeuten. 
Sehr einfach gestalten sich hieraus die folgenden Beziehungen zwischen 
den halben Parametern p, den Neigungen © und den Knotenlängen (2 
der drei Bahnen: 


ER ö Mm EEE a 
cos? = Cosi — COS 2; 
Vr m, er m, ——— Ypı 1 E= m, tm, Vp; 2 
Fr N Mm 
sin? cos @ —= 1 p, sin 2,c08 2, sin 2, cos (2, 
V» m, tm, Vp 1 a m, Sa er 2 
et Dr Ze Ha 4 
Vpsinisin2 = _Yp, sin ö, sin 2, = en N: “3 


Se Mm; 

Die Controle, welche diese Formeln, für eine im Uebrigen nach 
den obigen Bemerkungen nicht wahrscheinliche Hypothese über den : 
Theilungsvorgang abgeben, wird aber meistens nur bei sorgfältig geführten 
Störungsrechnungen von Werth sein können. 


Druckfehler: 


pag. 480, Zeile 2 v. u. vor der zweiten Klammer lies — statt +. 


22% 


En 


het a 


Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. 
Yon A, VB rt 2 RE ee 


Das Bayerische Praecisions - Nivellement. 
VOR BRAUEREIEN ee 3: 


Nachtrag zu den Mitteilungen II und Ill über die Ergebnisse aus Hebec 
der terrestrischen Refraktion von Carl Max von ae > ee. : 


Akademische Buchdruckerei von F. Straub. 


ABHANDLUNGEN 


DER 


DER KÖNIGLICH BAYERISCHEN 


9 


DEMIE oe: WISSENSCHAFTEN. 


\ 


SIEBZEHNTEN BANDES 
DRITTE ABTHEILUNG. 
_ IN DER REIHE DER DENKSCHRIFTEN DER LXIII. BAND. 


MÜNCHEN 189. 


Er _ VERLAG DER K. AKADEMIE “ 
0.2... IN COMMISSION BEI G. FRANZ. \ we 


Pie 20 


E 


Bereehnung von Mischfarben. 


Von 


E. Lommel. 


P- 


(Mit 2 Tafeln.) 


oa e Abd Ws, KVl Ba UT Abth. 65 


u 


Bis in die neueste Zeit hat man, um den Farbenton einer Mischung 
beliebig gegebener einfacher Farben zu .berechnen, sich der Newton’schen 
Regel bedient. Diese Regel besteht bekanntlich in Folgendem. Der Umfang 
eines Kreises vom Radius 1 wird in sieben Theile getheilt, welche den 
Zahlen 4, I In & 15 15 4 proportional sind, und in dieser Reihen- 
folge den sieben Hauptfarben Roth, Orange, Gelb, Grün, Blau, Indigo, 
Violett des prismatischen Spectrums entsprechen, mit allen ihren Ueber- 
gängen vom Roth bis zum Violett. Man sucht sodann für jeden dieser 
sieben Kreisbogen den Schwerpunkt, und denkt sich in demselben das 
Gewicht des zugehörigen Bogens angebracht. Der gemeinschaftliche 
Schwerpunkt aller Bogen oder des ganzen Kreisumfangs ist der Mittel- 
punkt des Kreises, und diesem Punkt entspricht als Mischfarbe aller 
Spectralfarben das reine Weiss. Sind die einfachen Farben in anderen 
Verhältnissen gemischt als im weissem Sonnenlicht, so hat man die Ge- 
wichte in den einzelnen Schwerpunkten mit den zugehörigen Verhältniss- 
zahlen zu multipliciren. Sucht man jetzt den gemeinschaftlichen Schwer- 
punkt, so wird er im allgemeinen nicht in das Centrum des Kreises fallen, 
sondern excentrisch in einer Entfernung r vom Mittelpunkte liegen. Die 
Mischung hat alsdann den Farbenton, welchen der Radius, der durch 
diesen Schwerpunkt geht, auf dem Kreisumfange angibt, und die gesuchte 
Mischfarbe ist aequivalent der Mischung aus einer Menge r der entsprechen- 
den homogenen Spectralfarbe und aus einer Menge 1—r von Weiss. _ Die 


Zahl r gibt sonach den Sättigungsgrad der Mischfarbe an. 
65* 


494 


Wenn nun auch die Eintheilung des Newton’schen Farbenkreises 
aus einer nicht haltbaren Vergleichung der Farbenreihe des Spectrums 
mit der musikalischen (phrygischen) Tonleiter entsprungen ist, so gibt 
dieses Verfahren doch gute Resultate, und war lange Zeit das einzige 
Hilfsmittel, um Mischfarben durch Rechnung zu bestimmen. Biot!), 
Fresnel?), Abria®), Jamin®) u. A. haben dasselbe mit Erfolg hiezu ange- 
wendet. Jedenfalls sind die Voraussetzungen, auf welchen das Newton’sche 
Verfahren beruht, nämlich dass jede Mischfarbe als eine Mischung einer 
gesättigten Farbe mit Weiss angesehen, und dass diese Farbe durch eine 
Schwerpunktsconstruction gefunden werden könne, theoretisch nicht an- 
fechtbar, wie Grassmann?°) gezeigt hat, und die aus diesen Voraussetzungen 
gezogenen Folgerungen stehen mit den Thatsachen im Einklange. 


In neuerer Zeit hat Maxwell®) im Anschluss an die Young’sche 
Vorstellung von nur drei physiologischen Grundempfindungen, vermöge 
welcher jede einfache oder zusammengesetzte Farbe durch eine lineare 
Function dreier Grundfarben ausgedrückt werden kann, durch Versuche 
die Üoefficienten bestimmt, mit welchen man die Quantitäten der Grund- 
farben multipliciren muss, um die verschiedenen einfachen Farben zu 
erhalten. In der Farbentafel nehmen die von Maxwell gewählten drei 
Grundfarben, nämlich Roth von der Wellenlänge 630 Milliontel-Millimeter, 
Grün 528 und Blau 457 die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks ein, 
und der Ort einer jeden Farbe wird gefunden als Schwerpunkt dreier in 
den Eckpunkten des Farbendreiecks angebrachter Gewichte, deren Grösse 
proportional ist den relativen Mengen der drei Grundfarben, welche nöthig 
sind, um diese Farbe hervorzubringen. Der Ort des reinen Weiss ist der 
Schwerpunkt, der sich ergibt, wenn man die Ecken des Dreiecks mit 
Gewichten im Verhältniss von 3,973 — 6,520 — 6,460 belastet. 


1) Biot, Traite de Physique, t. IV, p. 68. 1816. 


2) Fresnel, namentlich in seinem M&moire sur le calcul des teintes des lames cristallisees, 
Quevres, t. I. p. 609. 


3) Abria, Sur la diffraction de la lumiere, Journal de Math. de Liouville, IV, p. 248. 1838. 


4) Jamin, M&moire sur la couleur des metaux, Ann. de Chim, et de Physique, 3. serie, 
t. XXI, p. 322. 1848. 


5) Grassmann, Pogg. Ann. Bd. LXXXIX. p. 69. 
6) Maxwell, Phil. Trans. L. R. S. p. 57. 1860. 


495 


Auf Grund der Maxwell’schen Daten hat in neuester Zeit Lord 
Rayleigh!) die Farben dünner Blättchen berechnet. Es geschah diess 
mit Hilfe umfangreicher Zahlentabellen, und da eine grosse Anzahl von 
Punkten bestimmt werden muss, so nahmen die Rechnungen eine grosse 
Ausdehnung an. 


Bei diesen Methoden ist das Resultat der Rechnung, welches den 
Ort der Mischfarbe in der Farbentafel angibt, ein rein numerisches. 
Weder das eine noch das andere Verfahren ist fähig, einen analytischen 
Ausdruck zu liefern, der z. B. für die Farben dünner Blättchen oder 
diejenigen der Beugungsfransen das Gesetz der Farbenfolge als Function 
der Dicke des Blättchens oder des Beugungswinkels angäbe. 


Das mir öfters fühlbar gewordene Bedürfniss, die Reihe der mannig- 
faltigen Mischfarben, welche die mit weissem Lichte hervorgebrachten 
_ Interferenzerscheinungen zeigen, in eine übersichtliche Formel zusammen- 
gefasst zu sehen, gab Veranlassung zu vorliegender Arbeit. Die Aufgabe, 
die wir uns stellen, ist hienach die folgende: Wenn für irgend eine 
Lichterscheinung der Intensitätsausdruck für jede homogene Farbe als 
Function der Wellenlänge gegeben ist, aus diesem Ausdruck Formeln 
herzuleiten, welche bei Anwendung einer weissen Lichtquelle die Wellen- 
länge des Farbentons der Mischfarbe, deren Sättigungsverhältniss und 
Helligkeit darstellen, als Functionen derjenigen Veränderlichen, die in 
jedem Falle die Verschiedenheit der Farbenmischung bedingen. 


Als Begrenzung der Farbentafel behalten wir die Newton’sche 
Kreislinie bei, und denken uns längs ihres Umfangs das „ideale Spectrum“ 
Listing’s?) aufgetragen, in welchem die Farben nach den Differenzen 
ihrer Schwingungszahlen angeordnet sind. Auch von Bezold°) ist in 
seiner Abhandlung: „Ueber das Gesetz der Farbenmischung und die 
physiologischen Grundfarben“ zu dieser Eintheilung der Farbentafel 
gelangt, welche bei grosser Einfachheit eine gute Uebereinstimmung mit 
den Beobachtungen darbietet. 


1) Lord Rayleigh, On the Colours of Thin Plates, Transactions of the Royal Society of 
Edinbursh, Vol. XXXIII. Part I. p. 157. 1886. 


2) Listing, Pogg. Ann. Bd. CXXXI, p. 564. 
3) v. Bezold, Pogg. Ann. Bd. CL. p. 241. 1873. 


496 


Bezeichnet man nun mit a die von irgend einem Anfangspunkte gezählte 
Bogenlänge dieses Farbenkreises, so besteht zwischen der Wellenlänge A 
und der ihr anzuweisenden Stelle auf dem Kreisumfang die Beziehung 

mut, 
wo a und b noch zu bestimmende Constante sind. 

Sind auf diese Weise die homogenen Farben des Spectrums, mit 
den Intensitätsverhältnissen, mit welchen sie für jede Schwingungszahl 
im Sonnenlicht vertreten sind, längs des Kreisumfanges aufgetragen, so 
betrachten wir diesen als ringsum gleichmässig belastet. Alsdann fällt 
der Schwerpunkt sämmtlicher Farben in den Mittelpunkt des Kreises, 
welcher sonach den Ort des Weiss darstellt; auf jedem Radius des Kreises 
herrscht die Farbe, welche dem. Punkte des Umfanges zugehört, nach 
welchem der Radius gezogen ist, und zwar um so gesättigter, je mehr 
man sich auf dem Radius vom Mittelpunkt nach aussen gehend dem 
Umfange nähert. 

Nehmen wir di@ Intensität des Weiss im Mittelpunkt als Einheit 
der Lichtstärke an, so ist, wenn auch der Radius des Kreises gleich 1 
gesetzt wird, die Lichtstärke für die Einheit der Bogenlänge 1/2”, und 
dy/2rı für ein Bogenelement dy. 

Gemäss dieser Annahmen über Vertheilung und Intensität der Farben 
müssen je zwei homogene Farben, welche an den Endpunkten eines Durch- 
messers liegen, zu einander complementär sein, da ihr Schwerpunkt in 
den Mittelpunkt des Kreises fällt. 

Kennt man daher aus der Erfahrung die Wellenlängen zweier 
complementärer homogener Farben, so ist hiedurch die Constante b in 
obigem Ausdruck bestimmt. 

Bezeichnen wir nämlich mit A, und 4, die Wellenlängen zweier 
complementärer einfacher Farben, so muss 


l b 
Te 


und sonach 


497 


sein. Bei der angenommenen Maasseinheit für die Lichtmengen ver- 
schiedenfarbigen Lichtes, nach welcher solche Mengen, welche gemischt 
Weiss geben, als gleich angesehen werden, würde also für complementäre 
homogene Farbenpaare das einfache Gesetz gelten, dass die Differenz 
ihrer Schwingungszahlen constant ist. 

Zur numerischen Bestimmung der Constanten b wählen wir zwei 
complementäre einfache Farben, welche unserem Auge beim Betrachten 
des Spectrums nahezu gleich hell erscheinen, und zwar wählen wir aus 
den Beobachtungen von Helmholtz!) das Roth A = 656,2 und das 
Blaugrün 4 = 492,1, und finden hieraus: 

b = 0,00101636, logb = 7,0070490 — 10. 

Die Constante a, von deren Wahl die Lage des Anfangspunktes der 
Bogenzählung auf dem Kreisumfange abhängt, wird in der Folge ebenfalls 
aus Beobachtungsdaten bestimmt werden. 

Bei der angenommenen Farbenvertheilung müssen ferner je drei, 
vier, fünf u. s. f. einfache Farben, welche in den Eckpunkten eines dem 
Kreise eingeschriebenen regelmässigen Drei-, Vier-, Fünfecks u. s. f. liegen, 
zusammen Weiss geben. — 

Ist nun irgend ein Intensitätsausdruck, z. B. für eine Interferenz- 
erscheinung, als Function f (1/4) der Wellenlänge oder der Schwingungs- 
zahl gegeben, so hat man, um die drei Merkmale Farbenton, Sättigung 
und ‚Lichtstärke der Mischfarbe zu finden, die Mittelkraft und deren 
Angriffspunkt für die rings am Kreisumfang angreifenden parallelen Kräfte 


N b 
ae y)- dp 
zu bestimmen. Die Mittelkraft M oder die Lichtstärke der Mischung 


ergibt sich, wenn man vorstehenden Ausdruck über den ganzen Kreis- 
umfang (von 0 bis 2) integrirt: 


DIT 
en! b 
u. |fa4 3.0.4, 
0 


und die Coordinaten x und y ihres Angriffspunktes (Schwerpunktes) ergeben 
sich aus den Formeln: 


1) Helmholtz, Handbuch der physiologischen Optik, p. 277. Leipzig, 1867. 


498 


27 
1 b 
Ma= a [ra +, ner dp, 


u bu 
My= | re 5 y)sinpdg. 
0) 


Der Winkel des Radius, auf welchem dieser Punkt liegt, mit dem 
Anfangsradius, oder das Azimut des Farbentons der Mischung wird als- 
dann bestimmt durch die Gleichung: 


DT 
[r« + _ y)smgpdgp 
tg p = . — & , 


27 


; b 
[ra + 3,9) 00944 
0 


wodurch vermöge der Beziehung 
1 b 
0 —- 5m P 


auch sofort die Wellenlänge dieses Farbentons bekannt ist. Die Strecke r 
endlich, um welche der Schwerpunkt von dem Centrum des Kreises absteht, 
oder das Sättigungsverhältniss wird gegeben durch: 


ee 2. 9 St 
r=Ve+y c0sp sing 
Als nächstliegendes Beispiel mögen die Farben dünner Krystallblättchen 
dienen. Der Intensitätsausdruck ist in diesem Falle bei gekreuzten Polari- 
sationsebenen, wenn von der Dispersion abgesehen wird: 


Be 
A 


und bei parallelen Polarisationsebenen: 
| oe 
4 
wenn unter d die Dicke der Luftschicht verstanden wird, welche der 
durch den Krystall hervorgebrachten Verzögerung entspricht. Dieselben 


Ausdrücke gelten übrigens angenähert auch für die Farben dünner 


499 


isotroper Blättchen resp. im reflectirten und im durchgelassenen Licht, 
also für die Newton’schen Farbenringe. 


Im ersteren Falle hat man: 


27 


1 5 b 
u= 3, |sntra(o+7,0)-a 


0 


27 


Bi b 
=, (1 — cos2nd(a4,.9))dy 


0 


= ,(1 sin 27r d(a+b) — sin2sr da 
2rbd ): 


oder: 


1 SI bd 
eh! —cosad(2a +2) ”,,.) 


Es ist ferner: 


1 N b 
Ur = 5, |sintnaa+ Zn-cp-ag 
0 


27T 


= | (cos — cos 22 d(a—+ 2,9). 0sg) dy 


v 


27 


2 au |[eosenaa - (1—5a)g) +eos @nda+l1+ba)g)]dr 


1 /sn@zd(a+b)—2n)—-sin?rzda sn(@rzd(a+b)+2nr)—sin2rrda 
2 ( & ea 4 ee 


8 1—bd 1+ba 
j! . 2 t 1 

= 9 u 

— „Ginad(a +5) —sin2ada)(,—,; on! 

= LT eosnd(2a-+ b)sinnbd. aba 

2) 1— rd 


Berechnet man in ähnlicher Weise My, so hat man schliesslich: 


Abh.d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 66 


500 


& 3 bd 
N — 5, eoend(?a+b)sinndbd. —em 
1: n 
May; —;_sinnd(da+b)sinnbd. —an: 


Das Azimut der Mischfarbe wird demnach gegeben durch die 
Gleichung 
eg tgaced(2a+b) 
N T bd 


Für die complementäre Erscheinung bei parallelen Polarisations- 
ebenen hat man, wenn man die analogen Grössen mit Accenten bezeichnet, 


augenscheinlich: 
M=1-M, Man, = -—- Mo, M'y=-—-My, 
tgyp =tgy, sinp = — sing, COSP = — Cosp. 


Durch diese Gleichungen und insbesondere durch die einfache Formel: 


tg d(2a + b) 
bd 


an 


ist nun das Gesetz der Farbenfolge ausgedrückt. 

Fasst man zunächst den Fall gekreuzter Polarisationsebenen in’s 
Auge, so erkennt man, dass das Azimut der Mischfarbe von einem 
Grenzwerthe %, für d=o, der durch die Gleichung 


bestimmt wird, und in den vierten Quadranten des Farbenkreises fällt 
(da, wie wir später zeigen werden, cos, positiv, sin g, negativ ist), bei 
wachsendem d abnimmt, und Null wird, wenn 


nd2a+b)=2n 


geworden ist. Von hier an kehren die Farbentöne, abgesehen von Sät- 
tigung und Lichtstärke, in derselben Ordnung wieder und durchlaufen 
die ganze Farbenskala jedesmal, wenn nd(?2a—+b) um 2r wächst, und 
jede solche Farbenreihe oder „Ordnung“ endigt mit dem nämlichen dem 
Azimute Null zugehörigen Farbenton. Bezeichnen wir den Werth von 
d, welcher der vorstehenden Gleichung genügt, mit 2d, so tritt dieser 
Farbenton, mit welchem jede Farbenordnung schliesst und die folgende 


501 


beginnt, ein für d=2J,40,60..., und der complementäre im Azimute 
g=n wiederholt sich jedesmal, wenn d=0,30,50... wird. Ebenso 
wiederholt sich die dem Azimut 9=2n entsprechende Farbe bei d= 
10,30,2d.... und die zugehörige Ergänzungsfarbe im Azimute =1n, 
Dana 20,20, 10... wird, 

Die Grösse 20 ist hienach diejenige Dicke der Luftschicht, mit 
welcher die Reihe der Farben erster Ordnung endigt und diejenige zweiter 
Ordnung beginnt. Diese Luftdicke ist aber aus der Erfahrung bekannt; 
sie beträgt 550,6 Milliontel Millimeter, und ist gleich der Welleniänge 
derjenigen Stelle im Spectrum, welche unserem Auge am hellsten er- 
scheint. 

Hiedurch ist aber die bisher unbestimmt gelassene Constante a eben- 
falls gegeben, denn nach obiger Gleichung muss 


rn Nine) 
2a+b= = 5,,3 = 0,0036324 


und demnach, da 5 = 0,00101636 bereits gefunden ist, 
a = 0,0013080 
sein. 


Nachdem nun in der Gleichung 


1 b 

nr Arion 
die beiden Constanten 

a = 0,0013080 

b — 0,0010164 
bekannt sind, ist es leicht, die Stellen anzugeben, welche die Fraun- 
hofer’schen Linien auf dem Umfang des Farbenkreises einnehmen, indem 


man zu jeder Wellenlänge A das zugehörige Azimut @ berechnet. Man 
findet so: 


4 p 
A 760,4 90 31 
a 718,3 29 49 
B 686,7 52 30 
CE 656.2 76 28 
Di 539i6:.,. 197,28 


66* 


4 p 
E 526,9 208 57 
b 518,3 220 40 
F 486,1 265 24 
@G 430,7 3590723 
H 396,8 360° +69 20 


Aus derselben Gleichung ergeben sich für die Hauptazimute 
p=(0; In; n; In, 2 
der Reihe nach die Wellenlängen 
1 = 764,5; 640,2; 550,6; 483,0; 430,2. 


Die Farbenreihe des Kreises beginnt, wie man sieht, bei = 0 mit 
dem äussersten Roth und endigt bei = 360° mit dem Anfang des 
Violett, und das Violett selbst legt sich, aus dem vierten in den ersten 
oder fünften Quadranten hinübergreifend, über den Anfang des Roth. 
Dieses Verhalten deutet darauf hin, dass in diesem den beiden Endfarben 
des Spectrums gemeinsamen Gebiete die purpurnen Farbentöne Platz zu 
finden haben, welche zu den gegenüberliegenden grünen complementär sind. 
Ergibt sich bei Berechnung eines Farbengemisches ein in diese Region 
fallendes Azimut, so ist die Mischfarbe als Purpur zu bezeichnen. 

Will man den Farbenkreis in Sectoren theilen, welche den Farben- 
eindrücken auf unser Auge entsprechen, so dürfte die folgende Eintheilung 
die passendste sein, welche mit der von v. Bezold!) gewählten sowohl 
in der Benennung der Farben als auch in der Breite der zugehörigen 
Sectoren übereinstimmt. 


pP 4 
Purpurviolett 0°— 20° 765— 1733 ; 430—420 
Purpur 20 — 38 733—707; 420-411 
Carmin 38 — 58 707—679 ; 411—402 
Hochroth 38 — 80 679— 652 
Orange 80 —108 652 — 620 
Gelb 108 — 140 620—587 
Gelbgrün 140 —180 987 — 551 


1) v. Bezold |. c. 


503 


p A 
Grün 180— 238 551—505 
Blaugrün 238 —278 505—478 
Cyanblau 278—310 478 —458 
Ultramarın 310 —338 448 —442 
Blauviolett 338— 360 442 — 430 


Den Purpurtönen (Purpurviolett, Purpur, Carmin), welchen in unserem 
Farbenkreis je zwei Wellenlängen (Roth und Violett) entsprechen, liegt 
das complementäre Grün diametral gegenüber. Statt der Newton’schen 
Bezeichnung „Indigo“ ist die Benennung „Ultramarin“ gewählt, nach 
dem Farbstoff, welcher den in dieser Region herrschenden Farbenton 
am richtigsten wiedergibt. Selbstverständlich können die angenommenen 
Farbengrenzen nicht als absolut feste angesehen werden, da die Farben 
allmählig in einander übergehen, und unser Urtheil namentlich an den 
Grenzen unsicher ist und ausserdem noch von der Helligkeit beeinflusst 
wird. Für eine bestimmte mittlere Helligkeit aber dürfte die Eintheilung 
angenähert richtig sein. 

Führen wir in unsere Formeln die Grösse d ein, d. i. die halbe 
Wellenlänge der hellsten Stelle des Spectrums, so lauten dieselben (für 
gekreuzte Polarisationsebenen): 


il rd snscbd 
M =zi1 cos, m 

1 bd TE 
M=5,, 7 pm 008g slanba, 

1 1 eidar. 
My=,, 1 pp au 5 sinnbd. 


Die Coordinaten x und % entsprechen den Punkten einer Curve, die 
in ihrem Verlaufe auf der Farbentafel die Farbenfolge versinnlicht, indem 
ihr Radiusvector: 


Vı-(1- 22a2) cos: = 


ee 1 snzbd 
en ad sinabd ’ 
u ng 
welcher vermöge der Gleichung 
tg dd" 


504 


als Function des Polarwinkels p anzusehen ist, bei wachsender Dicke (d) 
der Luftschicht in rückläufiger Bewegung den Umkreis durchläuft, durch 
seine Richtung den Farbenton, durch seine Länge den Sättigungsgrad 
der Mischfarbe angibt, und für d=20,40,60... im Azimute =0 
jedesmal die Grenze einer Farbenordnung überschreitet. 


Für d = 0. ist stets M=4 und x=0, das Azımut  sonach 
ir oder 27 je nachdem y positiv oder negativ ist. Da in diesem Falle 
wegen M=M auch „= —y und r =r ist, so sind hier die comple- 
mentären Farbentöne bei gleicher Lichtstärke auch von gleicher Sättigung. 


Wird die Dicke d oder der Gangunterschied unendlich klein, so 
verschwindet zwar die Lichtstärke M und wird Null für d= 0; die Farbe 
aber nähert sich einer bestimmten Grenze, und erreicht dieselbe, wie 
oben bereits erwähnt wurde, in dem Azımut 


7T 
tg (i ZT bd’ 
indem die Coordinaten und der Radiusvector für d= 0 die Grenzwerthe: 


U ERNCD2O: = 666 DREH me 
names Hope vr 


annehmen. Von diesem Punkte, welcher, da &, positiv, y, negativ ist, 
im vierten Quadranten liegt, geht die Farbencurve aus. 
Für die von uns angenommenen Werthe der Constanten b und d 
ergibt sich: 
2, = 0,015462 %— — HlT339IE r, = 0,174286, 
9 = 360° — 84954 37“ 
und als Wellenlänge der Grenzfarbe: 
1, = 479,7 (Cyanblau) 
statt welcher jedoch,‘ da die Lichtstärke M = 0 ist, Schwarz gesehen 
wird. 
Bei der complementären Erscheinung nähert sich mit verschwindendem 
d das Azimut dem von dem vorigen um 180° verschiedenen Grenzwerth: 


= 1800 84105137! 


505 


und der Farbenton dem complementären Orange von der Wellenlänge 
), = 634,4, 

welche Farbe jedoch ebenfalls nicht gesehen wird. Denn da jetz « = 0, 

yY=0( und M’=]1 ist, so wird die Mischfarbe bei voller Lichtstärke 

reines Weiss, und die complementäre Farbencurve beginnt im Mittel- 

punkt des Kreises. 

Wenn nbda=2n,3n,4n.. oder d=2/b, 3/b, 4/b... wird, so ver- 
schwinden x und y gleichzeitig, und die Lichtstärken M und M’ werden 
gleich 4; die Ourve geht alsdann in beiden Fällen durch den Mittel- 
punkt des Kreises oder durch Weiss. 

Ist dd=1 oder d= 1/b, so wird zwar ebenfalls M=M'=1, da- 
gegen hat man jetzt, weil für bdd=1 


snxsbd _m 
1—b!d 2 
ist 
= 30085, y=—38n,5; Da gwpy=—t,,=tgp) 
7E 7C ’ 7U 7E 
0” = —3008,5 ) Mi sSIn 5 > a: Pan: p—In 5° 
, 2 er j 
en, Ta 


und numerisch, da 


= — 11,22780 = 4n — 76041’ 40" 


ist: 
p= 76°41°40", A=656 (Hochroth bei C) 
und für die complementäre Erscheinung: 
o, = 2590 A1740% % —492 (Blaugrün). 

Mit unbegrenzt wachsender Dicke nähert sich die Lichtstärke dem 
Werthe 1, mit immer kleiner werdenden Schwankungen ober- und unter- 
halb dieses Werthes, und der Farbenton nähert sich dem Weiss, da er- 
sichtlich sowohl x als y mit zunehmendem d gegen Null rücken. 

Die Geschwindigkeit, mit welcher bei gleichmässigem Anwachsen der 
Dicke d des Blättchens der Farbenton sich ändert, wird ausgedrückt 
durch den Differentialquotienten: 


506 


u ndö"—zsin2zdö! 
dd sin?sr dd! +b2d?eos?rr dd! ' 


Hieraus ergibt sich in den Hauptazimuten = 0, in, n, 2n, 2n 


Su IRAGE 7U 
für d=(n+1)0: Id Grm 
R N N Intl 
für d= 2 d: og dm 
und in Zahlen: 
d 2 d | a 


dd 1 dd 

15) — 0,001597 |, d — 0,040784 
0,004790 |\20. 0,020392 
0,007983 | 30 0,013595 
0,011176 |46 0,010196 
25| 0.014869 


lo ol 
Q- 


1-1 


Man ersieht aus dieser kleinen Tabelle, dass in den niedrigeren 
Farbenordnungen der Farbenwechsel in den Azimuten 9=0 und y=n 
weit rascher erfolgt als in den zwischen liegenden Azimuten p=1!n 
und 9=3n, bei gleicher Zunahme von d; d. h. das Purpurviolett und 
das hiezu complementäre Gelbgrün sind, in den niedrigeren Ordnungen, 
„empfindliche Farben“ oder „Uebergangsfarben,“ welche bei geringer 
Aenderung des Gangunterschiedes sich am raschesten ändern. Die Maxima 
der Empfindlichkeit oder der Geschwindigkeit Jy/dd fallen übrigens nicht 
genau mit den Hauptazimuten = 0 und y=n zusammen: es tritt ein 
solches z. B. nicht genau bei d= 20, sondern wenig davon abweichend 
bei d=2d— 1,0 oder bei = 7°12° im Purpurviolett ein, und be- 
trägt daselbst: 


dp 
— — —0,09 
Fr 0,020625. 

Um unsere Theorie mit den Beobachtungen zu vergleichen, berechnen 
wir die Farbenskala, welche von Billet’) nach Beobachtungen von 
Brücke?) zusammengestellt worden ist. 


1) Billet, Traite d’Optique physique, T. I, p. 490, 1858. 
2) Brücke, Pogg. Ann. Bd. LXXXIV. 


507 


Die Rechnung nimmt dabei folgenden Gang. Aus der Gleichung: 


torrdd-" 


bestimmt sich sofort für jede gegebene Luftdicke d das Azimut 9, welches 
auf dem Farbenkreise (falls man nur noch die leicht ersichtlichen Vor- 
zeichen von & und y berücksichtigt) die zugehörige Mischfarbe unmittelbar 
angibt. Will man daher blos den Farbenton der Mischung finden, so 
genügt diese einzige Gleichung, welche eine fast mühelose Rechnung ge- 
stattet. Hiemit ıst das anmuthige Farbenspiel der Seifenblasen in die 
knappe Formel eines einfachen Gesetzes gefasst. 

Die der Mischfarbe zugehörige Wellenlänge ergibt sich alsdann aus 
der Gleichung: 

Bl 
Setzt man nun, behufs bequemer logarithmischer Rechnung, 


ıd sinsehbd 


gg eosy, 
so ist die Lichtstärke: 
M —sin- 
und der Sättigungsgrad r bestimmt sich mittels der Gleichung: 
bDd? cosw 
1; - 
I 1—b2d2 cosp 


Hiedurch sind aber auch die entsprechenden Grössen für die com- 
plernentäre Erscheinung sofort gegeben; denn man hat: 
, 1 MB 
y=yHn, Pa 
M' =1—M=co?4y, 
M'r =Mr oder ! =rtg?iw. 
Die bei der Rechnung zu benutzenden Constanten sind, wie oben 
bereits angegeben: 


a= 0,0013080, b —= 0,0010164, DE 913 
Die Ergebnisse der Rechnung sind in der am Schlusse folgenden 


Tabelle zusammengestellt. Die Ueberschriften „Anfang schwarz“ und 
Abh.d. II. Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XV. Bd. III. Abth. 67 


508 


„Anfang weiss“ entsprechen resp. der Erscheinung bei gekreuzten und 
bei parallelen Polarisationsebenen, oder den Farbenringen mit schwarzer 
und mit weisser Mitte. Die Columne d enthält die gemessenen Werthe 
der Luftdicke oder des Gangunterschiedes, wobei noch die Vielfachen der 
Grösse d', die in der Anordnung der Farbenreihe eine so wichtige Rolle 
spielt, angegeben sind, die CGolumnen „Farbe beobachtet“ enthalten die 
zugehörigen von Brücke!) beobachteten Farbentöne. Unter p steht, für 
die erste Erscheinung, das berechnete Azimut der Mischfarbe; das Azimut 
p für die complementäre Erscheinung ist nicht angegeben, da es sich 
von stets um r unterscheidet und somit durch die Angabe von 
bereits bestimmt ist. Die Columnen A und 4 enthalten die berechneten 
Wellenlängen der Mischfarben. Die Lichtstärken M und M’ und die 
Sättigungsverhältnisse r und r' sind in Procenten angegeben, d. i. auf 
100 als Einheit bezogen. Die Rubriken „Farbe berechnet“ benennen die 
Farben nach ihrer Lage auf unserem Farbenkreise, ohne Rücksicht auf 
Lichtstärke und Sättigung, welche beiden Umstände noch mitberück- 
sichtigt werden müssen, wenn der wirklich wahrgenommene Farbenton 
beurtheilt werden soll. So ist z. B. für d=o der Lichteindruck in 
Wirklichkeit nicht Grünblau (die oben berechnete Grenzfarbe), sondern 
Schwarz, weil die Lichtstärke M=o ist, und für die complementäre 
Erscheinung nicht Orange, sondern Weiss, weil die Sättigung r=0 ist. 
Ebenso ist für d=234 die Mischfarbe ihrem Orte in der Farbentafel 
nach Grün, jedoch von geringer Sättigung (r—=6!/o) und grosser Licht- 
stärke (M = 91/0). Die hiezu complementäre Farbe ist nach ihrer Lage 
im Farbenkreise Hochroth, jedoch von geringer Lichtstärke (M’—= 9,5%) 
und hohem Sättigungsgrad (r =61"/). Die Rechnung stimmt sonach 
auch hier mit der Erfahrung vollkommen überein, denn das schwach- 
gesättigte lichtstarke Grün ist in der That „Grünlichweiss“, und das stark 
gesättigte lichtschwache Roth ist „Braun,“ wie die Beobachtung fordert. 
Berücksichtigt man in. dieser Weise zu jeder berechneten Farbe die zu- 


1) Von den Farbenbenennungen Billet’s habe ich nur eine abgeändert, beziehungsweise nach 
Brücke’s Beobachtungen richtig gestellt. In der Farbenreihe mit weissem Anfang. ist nämlich bei 
d=259 in der Billet’schen Tabelle „Rouge clair“ oder „Hellroth“ angegeben. Brücke hat aber 
an dieser Stelle nur dunkelrothe Farbentöne beobachtet. Dass letztere Angabe richtig ist, zeigt 
ein Blick in den Polarisationsapparat auf eine keilförmige Gypsplatte. Auch das darauffolgende 
„Carminroth“ ist sehr dunkel. 


509 


gehörige Intensität und Sättigung, so ergiebt sich eine sehr befriedigende 
Uebereinstimmung zwischen Beobachtung und Rechnung. Insbesondere 
stimmen auch die von Brücke beobachteten Maxima der Lichtstärke 
mit den Maximis unseres Ausdruckes M genau überein. Derselbe findet 
nämlich die hellste Stelle in der ersten Farbenordnung (Anfang Schwarz) 
bei dem Uebergang des Weiss zum blassen Strohgelb, und die hellste 
Stelle der zweiten Ordnung beim Uebergang des Hellgrün zum Gelblichgrün. 

Auf der Tafel I sind die beiden Farbencurven mit den Radienvec- 
toren r und r nach den Daten dieser Tabelle in den Farbenkreis einge- 
‘zeichnet; diejenige für gekreuzte Polarisationsebenen ist ausgezogen, die 
complementäre für parallele Polarisationsebenen punktirtre. Am Rande 
des Farbenkreises sind die Bezeichnungen der Farbensectoren nach von 
Bezold und die Lagen der Fraunhofer’schen Linien angegeben. Die 
Azimute der zu einander complementären Grenzfarben Orange und Grün- 
lich-Blau werden durch den punktirten Durchmesser angezeigt. 

Auf diesem Durchmesser liegt, nahe der Grenze zwischen Blaugrün 
und Cyanblau, der oben bestimmte Punkt, von welchem die erstere Curve 
ausgeht, wenn der Gangunterschied von Null an zunimmt. Sie nähert 
sich von hier aus fast geradlinig dem Weiss, und geht auf der grünen 
Seite sehr nahe daran vorüber; das Weiss erster Ordnung erscheint in 
der That sehr schwach grünlich. Die Curve geht sodann mit rasch 
wachsender Sättigung durch Gelb, Orange und Roth und erreicht im 
Carmin den höchsten Sättigungsgrad, worauf sie rasch durch Purpur 
und die erste Uebergangsfarbe hindurch das Ende der ersten Farben- 
ordnung erreicht. In der zweiten Ordnung geht die Curve bald durch 
ein stark gesättigtes Blau, im Grün jedoch wird die Farbe wieder schlechter, 
das Grün zweiter Ordnung ist matt; dafür aber übertrifft das Gelb zweiter 
Ordnung dasjenige der ersten an Reinheit, wogegen die rothen Farben- 
-töne hier hinter denjenigen der ersten Ordnung an Tiefe der Sättigung 
zurückbleiben. Die Curve gelangt sodann durch die zweite Uebergangs- 
farbe hindurch zum Ende der zweiten Farbenordnung. Das Blau der 
dritten Ordnung ist viel matter als dasjenige zweiter, die Farbe bessert sich 
schon im Blaugrün, und erreicht ihre höchste Reinheit im Grün, welches 
dem Grün zweiter Ordnung an Schönheit weit überlegen ist. Dagegen 


ist das Gelb dritter Ordnung nicht so rein wie dasjenige erster und 
67* 


510 


zweiter Ordnung; die Sättigung nimmt noch ab im Roth, wird aber im 
Purpur gegen Ende der Ordnung wieder etwas vollkommener. In der 
vierten Ordnung nähert sich die Curve, nachdem sie mit abnehmender 
Färbung Blau und Grün durchlaufen, rasch dem Weiss. 

Die Curve gibt nur den Sättigungsgrad der Mischfarben an, nicht 
aber ihre Lichtstärke, auf welche doch, wie oben bereits gezeigt wurde, 
bei Beurtheilung des Farbentons ebenfalls Rücksicht zu nehmen ist. Man 
könnte sich, um das Diagramm nach dieser Richtung zu vervoliständigen, 
die Intensität als dritte Coordinate in dem zugehörigen Curvenpunkte 
auf der Ebene der Farbentafel senkrecht errichtet denken, und dieselbe 
etwa durch Schattenconstruction in derselben Zeichnung ersichtlich machen, 
welche hiedurch freilich sehr verwickelt würde Man kann aber auch 
die Licktstärke M als zum Polarwinkel p gehörigen Radiusvector auf- 
fassen, und den Gang der Intensität wie jenen der Sättigung durch eine 
in dem Farbenkreise verlaufende Curve veranschaulichen, wie dies auf 
Taf. II geschehen ist, wo die ausgezogene Ourve für die Lichtstärke bei 
gekreuzten, die punktirte bei parallelen Schwingungsebenen gilt. 

Unter Mitberücksichtigung der Intensität ergibt sich z. B., dass das 
Roth erster Ordnung, obwohl gesättigter als das Roth der zweiten Ord- 
nung, dennoch wegen seiner geringen Lichtstärke im Vergleich mit 
letzterem ziemlich unscheinbar sein muss. Blau und Gelb der zweiten 
Ordnung und Grün der dritten Ordnung vereinigen einen beträchtlichen 
Sättigungsgrad mit grosser Lichtstärke, und erscheinen daher als reine 
und glänzende Farben. 

Die mit Weiss im Mittelpunkt des Kreises beginnende Farbencurve 
der complementären Erscheinung geht zuerst mit geringer Sättigung und 
grosser Lichtstärke durch die Grenzfarbe Orange rasch in Roth über; 
auch hier zeigt sich das Roth erster Ordnung gesättigter als dasjenige 
zweiter, und übertrifft hierin sogar noch das Roth der ersten Ordnung 
im vorigen Fall, bleibt jedoch wegen sehr geringer Lichtstärke an Glanz 
hinter dem Roth zweiter Ordnung zurück, welches bei etwas geringerer 
Reinheit hinreichende Intensität besitzt. Das Blau zweiter Ordnung ist 
stark gesättigt, aber viel dunkler als das schöne Blau der dritten Ord- 
nung, und das Grün letzterer Ordnung wetteifert an Lichtstärke und 
Reinheit mit dem Grün gleicher Ordnung im vorigen Fall. Durch Rein- 


5ll 


heit zeichnen sich noch aus das Gelb und Orange der zweiten, und das 
Grün der vierten Ordnung, welches der entsprechenden Farbe der vorigen 
Reihe überlegen ist. Im Ganzen zeigt übrigens diese Farbenfolge einen 
ähnlichen Verlauf wie die vorige. 


Bemerkenswerth sind noch die Durchschnittspunkte einer jeden der 
beiden Farbencurven, welche zeigen, dass man denselben Farbenton von 
gleicher Sättigung bei zwei verschiedenen Gangunterschieden erhalten 
kann. Bei der ersteren Curve gehört der erste Durchschnittspunkt, nahe 
der Grenze zwischen Roth und Orange, der ersten und zweiten Farben- 
ordnung an; ein Blick auf die Tafel II ergibt, dass diese Farbe in der 
zweiten Ordnung heller ist. Die zweite und dritte Ordnung zeigen zwei 
solche Durchschnittspunkte, den einen im Blau, den anderen im Gelbgrün, 
mit geringem Unterschied in der Helligkeit. Bei der zweiten Farben- 
curve liegt ein den beiden ersten Ordnungen gemeinsamer Punkt im 
Roth, mit grösserer Lichtstärke in der zweiten Ordnung. In der zweiten 
und dritten Ordnung finden sich zwei Durchschnittspunkte, im Blau, 
dunkler in der zweiten, hell in der dritten, und im Gelb, hell in der 
zweiten, dunkler in der dritten Ordnung; ferner gibt es noch zwei der 
zweiten und der vierten Ordnung gemeinschaftliche Punkte im Blau- 
grün und Gelbgrün, beide mit grösserer Lichtstärke in der zweiten 
Ordnung. 


Derselbe Gang der Rechnung und Discussion findet Anwendung 
auf jede Lichterscheinnng, für welche der Intensitätsausdruck als Function 
der Wellenlänge gegeben ist; nur werden die Integrationen nicht immer 
so einfach auszuführen sein, wie in dem mitgetheilten Beispiel der Farben 
dünner Blättchen. Für die Beugungserscheinung eines engen Spaltes 
z. B. hat man: 


(5) _ sim®zßsinyArt 
1) (aßsingArı)2 ? 


wenn f die Breite des Spaltes, x den Beugungswinkel, folglich Asing = d 
den Gangunterschied der Randstrahlen bezeichnet. 


Die Integrale: 


512 


27 


: b 
sine d(a+ 9) 
M | BET 


au | (nd(a+,.-p)) 

1 sin? d(a+ ,;9) 
Max=; 5 cospdyp, 

(„dat z,; PM) 


2 


ı [snwaa@+ 29) 
;— — sinpdgp 
(dat zn) 


My 


führen alsdann auf die transcendenten Functionen Integralsinus und 
Integralcosinus, und lassen sich mit Hilfe von Tabellen dieser Functionen 
leicht berechnen. Ohne für jetzt auf diese Rechnungen ausführlich ein- 
zugehen, beschränken wir uns darauf, die Mischfarbe zu ermitteln für 
den Fall, dass xd sehr klein ist. Entwickelt man den Intensitätsausdruck 
in eine convergente nach Potenzen von d fortschreitende Reihe und bleibt 


bei der zweiten Potenz von d stehen, so wird: 


b 
sin’md(a+,,_9) 712 d? 
—=1-"(ut5,9) =1-", (+04 
(dat ZN) > tr) L 
Da nun 
27 27T . 27 
[eospdo=0, [pesgar=9, [peosyap=4n, 
v 0 0 
27 27 237 
fsingas =N, [osinpag = — 2n, [p*singag = —4n? 
0 (0) 0 


ist, so ergiebt sich: 


2 d? 2 2 
M =1— "(at ab1 4) 75,20%} 3), 


Mxı=—1b?d?, 


er 2 E- 
My=Iinbd’2a+b)= 5 


5135 


Demnach nähert sich das Azimut der Mischfarbe mit verschwindendem 
Gangunterschied, d. h. wenn entweder der Beugungswinkel oder die Breite 
des Spaltes immer kleiner wird, einem Grenzwerthe , welcher durch 
dieselbe Gleichung 


7U 
tg = — v5 


bestimmt wird, welche wir bei den Farben dünner Blättchen bereits ge- 
funden haben. Da x unmittelbar vor dem Verschwinden von d negativ, 
y positiv ist, so ist diese Grenzfarbe das oben schon erwähnte Orange 
A=634. Für d=0 selbst wird sowohl x als y und somit auch die 
Sättigung Null, und M=1; es herrscht also in der Mitte der Erscheinung 
reines Weiss mit voller Lichtstärke, welches nach beiden Seiten hin in 
das Grenz-Orange übergeht. 

Es leuchtet übrigens ein, dass dieselbe Grenzfarbe jedesmal auftreten 
muss, wenn der Intensitätsausdruck sich in eine Reihe von der Form 


d? d* 
entwickeln lässt, wo A, B u. s. f. positive Constante sind. Denn man 
hat alsdann: 
u 1 Adelar) ab 46) 1 0,0202 1.3), 
Abd: 
Be Da? 
_ Aba® _ Aba: 
ln: 
Nimmt dagegen der Intensitätsausdruck, in eine Reihe nach steigenden 
Potenzen des Gangunterschiedes entwickelt, die Form 


= AR. 


Mzx = 


an, so findet man: 


A 2 )2 
m een, 
Ab? d* 
Mı= 7a: 
2 
uy- _i®. 


Ind’ 


514 


in allen diesen Fällen also erlischt die Lichtstärke M mit verschwindendem 
Gangunterschied, die Coordinaten 2 und y aber und mit ihnen die 
Sättigung r convergiren gegen dieselben oben bereits gefundenen Grenzen: 


6b? ö% 65bÖ 650 


— oT om RER = — — NEED 
Lo. — 72 (b? 02 +3) ’ Y— „ (02 6% +3)  N= „02 (b2° 3) Vn —b 0) 5 


und die Grenzfarbe ist jetzt, da «, positiv und %, negativ ist, das zu 
jenem Orange complementäre Cyanblau 4 = 480. 

Die beiden complementären Grenzfarben bilden demnach eine Er- 
scheinung von grosser Allgemeinheit, welche unter den verschiedensten 
Umständen immer in derselben Weise auftritt. 

Insbesondere dürften auch die Farben trüber Mittel, das Blau im 
auffallenden, das Orange im durchfallenden Licht, die „Grundphänomene“* 
der Goethe’schen Farbenlehre, unseren beiden Grenzfarben entsprechen. 

Nach der Theorie von Clausius!) wäre das Blau des Himmels 
nichts anderes als die Grenzfarbe Cyanblau mit der Wellenlänge 480, 
und nach meiner?) Theorie der Abendröthe, welche dieselbe als Beugungs- 
erscheinung erklärt, entspricht die Grenzfarbe Orange mit der 
Wellenlänge 634 der Farbe des Abendroths. 


1) Clausius, Die Lichterscheinungen der Atmosphäre (Grunert, Beiträge zur meteorologischen 
Optik), Leipzig, 1850. 
2) Lommel, Grunert’s Archiv, Bd. 36, 1861. Pogg. Ann. Bd. 131. 1867. 


Anfang schwarz. 


Die Farben dünner Blättchen, 


Anfang weiss. 


515 


| 
d Be Farbe berechnet (1) A|r |M|M’|r |X |Farbe berechnet Re er 
0| Schwarz Grünlichblau 2r—84055',480117,4| O0 |100 | O0 634/Orange Weiss 
40 Eisengrau Grünlichblau 2n—85 16 480117,1) 5,2) 94,8| 0,9635 Orange Weiss 
97|Lavendelgrau Grünlichblau 2#—87 11 481/15,7|28,0| 72,0| 6,1/637 Orange Gelblichweiss 
158] Blaugrau Grünlichblau x+-87 50 484|12,6/61,0| 39,0|19,7643| Orange Bräunlichweiss 
218| Hellgrau Blaugrün "4-73 52 494| 7,9|86,6| 13,4/50,6/659| Orangeroth Gelbbraun 
234|Grünlichweiss |Blaugrün x-+64 59 1500| 6,3/90,5|| 9.,5160,6 671|Roth Braun 
259, Fast rein weiss [Grün n-+35 34 522| 4,3193,7| 6,3163,8 7710| Carmın Dunkelroth 
2367| Gelblichweiss Grün-Gelbgrün a+-19 18 535) 3,9/94,0| 6,0/61,3,734| Purpur Carminroth 
275|Strohgelb, blass | Gelbgrün 4 551| 4,0. 93,8) 6,2160,1 765 Purpurviolett Braunr.,‚fastschw. 
281| Strohgelb Grüngelb a—12 51 562| 4,2/93,5| 6,5/60,6/437| Blauviolett Dunkelviolett 
306 Hellgelb Gelb an —49 36 597| 7,389,8| 10,2/64,8458| Ultramarin Indigo 
332 Glänzendgelb Gelb n—65 56 61312,5/82,8| 17,2]60,2 468| Cyanblau Blau 
430| Orangegelb Orange 85 5 646|44,1/43,1|| 56,9]33,4486| Grünblau Grünlichblau 
505| Röthlichorange | Carmin 48 9169362,523,1| 76,9]18,7 512) Grün-Blaugrün |Bläulichgrün 
536| Warmes Roth |Purpur 17 9 |737|58,6 21,5 78,5116,1)536 Grün Blassgrün 
551/Dunkleres Roth | Purpurviolett 0) 765157,8 22,1 77,9116,3,551 Gelbgrün Gelblichgrün 
565 Purpur Blauviolett 2r—16 6 |439/58,223,4|| 76,6|17,81565 Gelbgrün Hellerün 
575| Violett Blauviolett 2 26 4 |44459,0/24,7| 75,3119,41574|Gelbgrün Grünlichgelb 
589| Indigo Ultramarın 27—38 -3 451/60,1 27,1] 72,9122,31585] Gelbgrün-Gelb |Lebhaft gelb 
664| Himmelblau Cyanblau 2779 91|47654,9144,5| 55,5.44,01628 Orange Orange 
728| Grünlichblau Blaugrün 4-70 10 |496,43,1)56,9)| 43,156,8/664, Hochroth Bräunlichorange 
747|Grün Grün a+58 57 |504,40,0)58,9| 41,1)57,4|678| Hochroth-Carm. |Hellcarminroth 
826 Hellgrün Gelbgrün E14 551 137,0 59,2] 40,8/53,5/765| Purpurviolett Purpur 
843| Gelblichgrün Gelbgrün ”—-12 59 1562,38,857,9| 42,1/53,4437| Blauv.-Purpurv. | Violettpurpur 
866| Grünlichgelb Gelbgrün a—29 14 |577/42,0|56,0| 44,0/53,4/446| Ultram.-Blauv. |Violett 
910/Reines Gelb Gelb x=—57 41604,48,0152,3| 47,452,7 462) Cyanbl.-Ultram. |Indigo 
948 Orange Orange z—80 12 1629150,450,3| 49,751,11477 Cyanblau Dunkelblau 
998] Lebh. röthlichor.| Hochroth 67 11 66849,5/50,3| 49,7/50,0 499| Blaugr.-Cyanbl. \Grünlichblau 
1101 Dunkel violettr. | Purpurviolett 0 765|46,7155,2| 44,8157,6 551 Gelbgrün Grün 
1128| Hell bläulichv. |Blauviolett 27 —15 24 |438/45,6 55,9 44,1157,81564 Gelbgrün Gelblichgrün 
1151| Indigo Ultramarın 2n—28 38 446 44,2 55,8 44,2)55,9)576 Gelberün-Gelb |Unreines Gelb 
1258| Grünlichblau Blaugrün a+74 9149441,4/47,9, 52,1/38,0|659| Hochroth Fleischfarbe 
1334| Meergrün Grün z+21 14 |533/54,0 40,7 59,3 37,0,731 Purpur Roth 
1376| Glänzendes Grün Gelbgrün 7 551 56,4 39,2] 60,836,3[765 Purpurviolett Violett 
1426| Grünlichgelb Gelbgrün =--23 37 |972 46,7 40,8| 59,2)32,2/443 Ultramarin Graublau 
1495| Fleischfarbe Orange @=—71 21 |619 26,2]47,7|| 52,3/23,9/471|Cyanbl.-Blaugr. |Meergrün 
1534| Carminroth Hochroth 70 14 166421,7/52,3| 47,7123,71496| Blaugrün Schön Grün 
1621, Matt Purpur Purpurviolett 12 33 744/22,6 58,1) 41,931,4/540 Grün Matt Meergrün 
1652| Violettgrau Purpurviolett 0 765 21,4 58,0| 42,029,61551 Gelbgrün Gelblichgrün 
1682| Blaugrau Blauviolett 2n—11 52 |437|18,9)56,9| 43,1/25,0 1561| Gelbgrün Grünlichgelb 
1711, Hell Grünlichbl. | Ultramarin 2r7r—24 44.443|15,655,2| 44,8119,21573|Gelbgrün-Gelb |Gelbgrau 
1744| Bläulichgrün Ultram.-Cyanbl. 27—44 40 455 11,452,9| 47,112,8592| Gelb Malvenroth 
1811|Schön Hellgrün |Blaugr.-Grün z-+-65 12500) 7,0/49,0| 51,0) 6,71670| Hochroth Carminroth 
1927 Hell Graugrün |Gelbgrün 7 551 3,0148,9| 51,1) 2,8765 Purpurviolett Grauroth 
Abh.d.II.Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 68 


748 


1 
{} 
' 
{ 
ı 
\ 
\ 


chjarben. 


75 


W/ 


el Berechnung von 


Die 


von optischen Systemen 


grösserer Oeffnung und grösseren Gesichtsfeldes 


erzeugten Bilder. 


Auf grund der Seidelschen Formeln untersucht 


von 


S. Finsterwalder. 


(Mit 3 Tafeln.) 


 Abh.d.Il.Cl.d.k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 69 


„rtiatlıteTaa 


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> 
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1 
I 
P} £ 


TE Eee | 580 £ 


u 


Solange man sich bei der Untersuchung der Wirkungsweise cen- 
trierter dioptrischer Systeme und der von ihnen erzeugten Bilder räum- 
licher Objekte auf die nächste Umgebung der Axe solcher Systeme be- 
schränkt, kann man bekanntlich jedes noch so komplicierte System dieser 
Art durch eine einzige Linse von endlicher Dicke ersetzt denken, welche 
innerhalb der angegebenen Beschränkung von jedem Gegenstand ein Bild 
in gleicher Grösse und Lage erzeugt, wie jenes System. Dass dieser 
Ersatz nur in der Theorie, nicht aber in der optischen Praxis seine Be- 
deutung hat, liegt einesteils darin, dass er nur unter Voraussetzung ein- 
farbigen Lichtes gilt, andernteils, dass er sich nicht auf die in der Regel 
. vorhandenen Abweichungen der ursprünglich von einem Punkte ange- 
gangenen und dann gebrochenen Strahlen von einem gemeinsamen Ver- 
einigungspunkt ausdehnen lässt; Die ganze optische Leistung eines 
Systems: Achromasie, Schärfe und Richtigkeit der Bilder liegt also ausser- 
halb des Geltungsbereiches jenes Ersatzes. Um dieselbe von vorneherein 
beurteilen zu können, muss man entweder, wie es von seiten der aus- 
übenden Optiker zumeist geschieht, eine genaue numerische Rechnung 
für den Gang einer grösseren Zahl von Strahlen durch das System an- 
stellen und aus dem Resultate derselben auf die vorhandenen Abweichungen 
zu schliessen versuchen, oder man muss die Theorie derart zu erweitern 
streben, dass sie ein ausreichendes Gesammtbild der eintretenden Ab- 
weichungen liefert. Im ersteren Falle sind langwierige Zifferrechnungen 
unvermeidlich. Dieselben bestehen allerdings nur in der oft wiederholten 
Anwendung weniger, leicht verständlicher Formeln, welche zuerst Herr 
Professor L. v. Seidel auf eine für die rechnerische Praxis bequeme 
Form gebracht hat!). Im letzteren Falle dagegen scheint zunächst die zu 
erwartende Compliciertheit der Formeln ein ernstes Hindernis nicht nur 


1) Sitzber. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. vom 10. Nov. 1866. 
69* 


520 


für die Ableitung, sondern auch für die schliessliche Anwendung zu bieten. 
Indessen hat sich herausgestellt, dass für die in der Praxis vorkommen- 
den optischen Systeme gewisse Vereinfachungen eintreten können, welche 
uns gestatten, die Abweichungen der gebrochenen Strahlen zwar nicht 
absolut genau, aber doch mit genügender Annäherung allgemein zu be- 
rechnen und in geschlossenen Formeln auszudrücken. Die von Gauss 
zum Abschluss gebrachte Theorie der centrierten optischen Systeme, auf 
welche sich der erwähnte theoretische Ersatz derselben durch einfache 
Linsen stützt, geht von der Voraussetzung aus, dass alle Strahlen mit der 
Axe kleine Winkel einschliessen, deren dritte und höhere Potenzen ver- 
nachlässigbar sind. Insofern sie nur Strahlen berücksichtigt, welche die 
Linsenflächen in nächster Nähe der Axe treffen, ist sie nur für Systeme 
von kleiner Oeffnung und sofern sie blos für Objektpunkte in der Nähe 
der Axe gilt, auch nur für Systeme mit kleinem Gesichtsfeld anwendbar. 
Zuerst entstand das Bedürfnis nach Berücksichtigung der Abweichungen, 
die mit Vergrösserung der Oeffnung eintreten; ihm genügte die von 
Euler, Schleiermacher, Grunert, Bessel, Gauss, Seidel u. A. 
entwickelte Theorie der sphärischen Aberration oder der sogenannten 
Abweichung wegen der Kugelgestalt. Später, unter dem Einflusse der 
Photographie entwickelte sich die Notwendigkeit neben der ausgedehnteren 
Oeffnung auch ein grösseres Gesichtsfeld in Betracht zu ziehen und die 
Abbildung von Objekten zu untersuchen, die sich in einiger Entfernung 
von der Axe des optischen Systems befinden. Mit der ungleich schwie- 
rigeren Frage nach dem Einfluss der Entfernung des Objektes von der 
Axe auf die Güte des nun nicht mehr in der Mitte des Gesichtsfeldes 
liegenden Bildes hatte sich zuerst wohl Petzval!) beschäftigt, ohne sie 
indessen einer genügenden Beantwortung zuführen zu können. Erst Herrn 
Professor L. v. Seidel?) ist es gelungen, auf ebenso allgemeine, wie 
relativ einfache Weise die Abhängigkeit des in einem Linsensysteme be- 
liebig oft gebrochenen.Strahles vom einfallenden derart darzustellen, dass 
der Einfluss der Oeffnung und des Gesichtsfeldes auf die Güte der Bilder 
zum Ausdruck kommt. Dabei hat v. Seidel die durch Gauss einge- 


1) Bericht über dioptrische Untersuchungen. Sitzber. d. k. k. Ak. d. Wiss. Wien 1857; 
eine frühere Schrift unter gleichem Titel war 1843 in Pest selbstständig erschienen. 
2) Astronomische Nachrichten Nr. 1027 #. 


E 
L 


a BEER UBER 


Es 


521 


führte Reihenentwickelung auf Glieder dritter Ordnung ausgedehnt, nach- 
dem er gezeigt hatte, dass Glieder vierter Ordnung nicht auftreten und 
demnach die Schlussformeln bis auf Glieder von der fünften Ordnung 
genau sind. Später sind ähnliche Untersuchungen wie die Seidel’schen 
aber merkwürdigerweise ohne Kenntnis derselben unternommen worden, 
so 1870 von Dr. Zinken!) gen. Sommer in Braunschweig, die an 
Allgemeinheit, Eleganz und Anwendbarkeit weit hinter den Seidel’schen 
zurückblieben, und erst ganz neuerdings (1890) hat Herr Dr. M. Thiesen?) 
in Charlottenburg genau dieselbe Aufgabe behandelt, die v. Seidel vor 
35 Jahren allgemein gelöst hatte Er ist denn auch auf ganz ver- 
schiedenem Wege zu wesentlich denselben Resultaten wie Seidel ge- 
langt, wenngleich seine Formeln noch nicht in gleichem Masse zur rech- 
nerischen Anwendung vorbereitet sind wie die Seidel’schen. 

Herr Professor v. Seidel begnügte sich nicht mit der Aufstellung 
der erwähnten Formeln, welche zur Untersuchung eines Linsensystems 
mässigen Gesichtsfeldes und mässiger Oeffnung ausreichen, sondern er 
bestimmte auch die Brennfläche, welche die von einem leuchtenden 
Punkte ausserhalb der Axe ausgegangenen Strahlen nach ihrer Brechung 
umhüllen. Dieselbe findet sich in den gelehrten Anzeigen der K. b. 
Akademie der Wissenschaften vom Jahre 1857 beschrieben; ihre Gleichung 
ist — allerdings ohne Beziehung der Coefficienten auf die Constanten 
des Linsensystems — in einem Briefe Seidels an Kummer, der in 
den Sitzungsberichten der K. Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom 
Jahre 1867 abgedruckt ist, angeführt; über die Ableitung derselben ist 
bisher nichts publiciert worden. 

Eine weitere Aufgabe wird der analytischen Dioptrik bei Betrachtung 
der Wirkungsweise neuerer photographischer Objektive, welche bei sehr 
ausgedehntem Gesichtsfeld relativ geringe Oeffnung besitzen, gestellt, 
nämlich die strenge Berücksichtigung der Winkel, von welchen ersteres 
abhängig ist, wogegen man sich in Hinsicht der Oeffnung auf den bei 
der Gauss’schen Theorie erreichten Genauigkeitsgrad beschränken kann. 
Die Lösung dieser Aufgabe führt auf die Theorie der sogenannten astig- 


1) Untersuchungen über die Dioptrik der Linsensysteme. Braunschweig 1870. 
2) Beiträge zur Dioptrik. Sitzungsberichte der K. Ak. d. W. zu Berlin 1890. 


922 


matischen Strahlenbündel, jener Gebilde nämlich, welche als Elemente 
eines beliebigen, in einem itropen Medium optisch darstellbaren Strahlen- 
systemes aufgefasst werden können. Ein solches astigmatisches Strahlen- 
bündel besteht bekanntlich aus der Gesammtheit der Strahlen, welche 
zwei unter sich und zur Axe des Bündels senkrechte und diese 
schneidende unendlich kurze Brennlinien treffen. Solcher Art sind auch 
die unter beliebig grossem Winkel aus einem Linsensysteme austretenden 
unendlich dünnen Strahlenbündel und es handelt sich darum, die Ele- 
mente derselben (z. B. die Abstände der Brennlinien von einem bestimmten 
Punkte der Axe des Bündels) durch die entsprechenden Elemente der 
zugehörigen Bündel der einfallenden Strahlen auszudrücken. Dies hat 
u. A. Herr Professor Lippich!) in Prag 1877 ausgeführt. Um das 
Verhältnis der Seidel’schen Theorie zur Theorie der astigmatischen 
Strahlenbündel richtig zu beurteilen, ist zu bedenken, dass erstere die 
letztere bei grossen Gesichtsfeldwinkeln natürlich nicht ersetzen kann; 
dafür leistet sie aber bei mässigen Gesichtsfeldwinkeln insofern weit mehr 
wie die andere, als sie nicht blos eine unendlich kleine Oeffnung berück- 
sichtigt; sie gibt vielmehr die Elemente beliebig vieler über die Oeffnung 
verteilter astigmatischer Strahlenbündel, aus denen sich schliesslich die 
Brennfläche zusammensetzt. 

So erscheint die Seidel’sche Theorie auch gegenüber der von den 
astigmatischen Strahlenbündeln noch hervorragend geeignet zur Unter- 
suchung der Bilder der meisten und wichtigsten optischen Instrumente. 
In der folgenden Untersuchung soll nun auf Grund der Seidel’schen 
Formeln, welche von ihrem Urheber bereits zur Klärung einer Reihe 
wichtiger Fragen der Dioptrik verwendet worden sind, eine möglichst 
umfassende Darstellung der Abhängigkeit reeller Bilder von dem Ge- 
sichtsfelde, der Abblendung und der Lage der Schirmebene, auf welcher 
man das Bild auffängt, in Angriff genommen werden. Hiebei erweisen 
sich einige Transformationen der Seidel’schen Formeln und namentlich 
die Ableitung .der Gleichung der Brennfläche mit voller Bedeutung der 
Coefficenten als notwendig. 

Ein besonderer Wert wurde auf die exakte graphische Dar- 


1) Denkschriften der K. K. Akad. d. W. in Wien 1877. 


E 


EEE WERDET EEE WEEETETWT 


523 


stellung typischer Fälle gelegt, deren Reproduktion in mehreren Tafeln 
am Schlusse der Abhandlung beigegeben ist. Bei der Durchführung der 
dabei nötigen Rechnungen hat sich auch das letzte Bedenken gegen die 
Anwendbarkeit der Seidel’schen Theorie, das in der möglicherweise uner- 
träglichen Rechenarbeit begründet war, endgiltig gehoben. Im Vergleiche 
zu dem bei der gebräuchlichen Berechnung einzelner Strahlen nötigen 
Rechenaufwand bedeutet die Benützung der Seidel’schen Formeln eine 
ganz wesentliche Ersparnis, die um so wirksamer wird, je complicierter 
das System und je zahlreicher die zu berechnenden Strahlen sind. Da 
die Seidel’schen Formeln die Abweichung der Strahlen als Funktion der 
Gauss’schen Näherungswerte ergeben, so genügt die genaue, etwa 7-stellige 
Durchrechnung eines oder zweier Strahlen, die in der Nähe der Axe ein- 
fallen und mit dieser in einer Ebene liegen, während alle Correktionen 
nur auf etwa 2—3 Stellen bekannt zu sein brauchen. Zur genauen 
Durchrechnung der Strahlen und zur Ableitung der Coefficienten in den 
Seidel’schen Formeln daraus empfiehlt sich die Benützung einer Rechen- 
maschine; für die Ausführung der Correktionsrechnungen selbst genügt 
der Rechenschieber. 

Die folgenden Untersuchungen sind in 7 Paragraphen nachstehend 
angeführten Inhaltes gegliedert: 

1) Zusammenstellung der Seidel’schen Formeln aus den Astrono- 
mischen Nachrichten Nr. 1027 u. ff. und Erläuterung der dabei ange- 
wandten Bezeichnungsweise. 

2) Untersuchung des Systems der gebrochenen Strahlen und seiner 
Brennfläche im allgemeinen Falle unter Annahme des leuchtenden Punktes 
ausserhalb der Axe. Die Abbildung der Brennfläche in eine Ebene durch 
Einführung elliptischer Parameter. Die Lage derselben gegen die op- 
tische Axe des Systems. 

3) Specielle Fälle der Brennfläche namentlich bei gehobenem Kugel- 
gestaltsfehler in der Axe und bei Erfüllung der Fraunhoferbedingung. 

4) Untersuchung der Abbildung der Ebene der Blende in die Ebene 
des auffangenden Schirmes, welche durch die von einem leuchtenden 
Punkt der Axe ausgegangenen und im Linsensystem gebrochenen Strahlen 
vermittelt wird. Fünffache Ueberdeckung der Schirmebene mit Schnitt- 
punkten von gebrochenen Strahlen. 


5) Helligkeitsverteilung in den Lichtflecken, welche im allgemeinen 
an stelle scharfer Bilder leuchtender Punkte auftreten. 

6) Begrenzung der Lichtflecke bei wechselnder Grösse und Lage der 
Blende. Diskussion der Möglichkeit, die Verschiebung der Blende zur 
Verbesserung der Bilder ohne Einbusse an Helligkeit zu benützen. 

7) Geometrische Untersuchung über den Zusammenhang der Brenn- 
fläche der. gebrochenen Strahlen mit der Centrafläche der Flächen 
2. Grades. Erzeugung des Systems der gebrochenen Strahlen durch 
einen Mechanismus. 

Alle Untersuchungen beziehen sich zunächst auf Strahlen einerlei 
Farbe; sie geben daher über die Achromasie eines optischen Systems 
keinen direkten Aufschluss. Einer Weiterführung derselben mit Berück- 
sichtigung der Dispersion stehen keine wesentlichen Schwierigkeiten im 
Wege. Andrerseits ist kaum ein praktisches Resultat von der Erweiterung 
der gewöhnlichen Theorie der Achromasie auf Glieder höherer Ordnung 
zu erwarten. 


81. 
Die Seidel’schen Formeln. 


Im Folgenden werden principiell Indexbezeichnungen für die Bestimmungsstücke 
eines centrierten optischen Systems und der in einem solchen verlaufenden Strahlen | 
eingeführt und zwar in der Art, dass alle auf brechende Flächen bezügliche Grössen, 
wie z. B. Krümmungsradien, Einfallshöhen mit geradem Index, wobei 0 der ersten 
brechenden Fläche entspricht, versehen werden. Alle auf die Medien sich beziehenden 
Grössen, wie z. B. Brechungsexponenten, Dicken, Neigungswinkel und Vereinigungs- 
weiten der darin verlaufenden Strahlen, sollen ungerade Zahlen als Index tragen und 
zwar sei das der brechenden Fläche mit dem Index 0 vorausgehende Medium durch 
den Index —1, das nachfolgende durch +1 charakterisiert. Die Richtung des Fort- 
schreitens sei durch die der einfallenden Strahlen gegeben; Radien oder Vereinigungs- 
weiten, welche vom Scheitel der brechenden Fläche ab gerechnet in dieser Richtung 
liegen, gelten als positiv.’ 


ee IR ER 


Ein dioptrisches System ist zunächst durch seine natürlichen Bestimmungsstücke: 
die Krümmungsradien o der Linsenflächen, die Dicken d der Medien auf der Axe 
gemessen und die Brechungsquotienten n derselben gegeben, welche laut obiger Be- 
zeichnung in nachstehender Aufeinanderfolge geordnet sind: 


N_5 005 Nyy 5 O5 Nr Ag5 irre: N, ,_19 d,,_5 9,3 Mapı 


525 


Statt dieser Bestimmungsstücke hat nun v. Seidel mit grossem Erfolge neue 
eingeführt und zwar solche, welche sich auf einen von ihm so genannten Normal- 
strahl beziehen, der von einem Punkte der optischen Axe ausgehend und stets unend- 
lich kleine Winkel mit derselben bildend das System durchläuft. Diese neuen Be- 
stimmungsstücke sind die Entfernungen h,, von der Axe, in welchen der Normalstrahl 


jeweils die brechenden Flächen trifft, und die Winkel o welche derselbe in den 


2:41 
einzelnen Medien mit der Axe bildet, beziehungsweise, da ja beiderlei Grössen unend- 

Fig. 1. lich klein sind, beliebige end- 
liche Multipla derselben. Siehe 
beistehende Figur 1, in wel- 
cher der Verlauf eines Nor- 
malstrahles durch ein System 
mit 4 brechenden Flächen dar- 
gestellt ist. 


t / 1% Ib: 
Der Quotient Fan stellt dann beispielsweise die Entfernung des Ausgangspunktes 


unseres Normalstrahles vom Scheitel der ersten brechenden Fläche dar. Statt der 
Brechungsquotienten n,,,, sollen deren reciproke Werte »,,,, eingeführt werden. 
Es stellt sich nun heraus, dass die Grössen h, o, v das dioptrische System ebenso gut 
bestimmen wie die ursprünglichen 0, d, n. Um von den h, 0, v zu den eo, d,n zu 
gelangen, dient folgendes Gleichungssystem: 


e Br N,;; h,, H 
Da Br 9 
ot Or Potı De 1) 
N, — hysto 1 
N,,=»,, —v : ben Mn 
D 2:ı—1 2ı-+1? 2:1 9) I 2i--] m 
il 2:1 


Will man umgekehrt von den 0, d, n zu den h, 0, v übergehen, so kann man 
folgenden von Seidel angegebenen Alvorithmus benützen!): „Man bildet sich die 


Constanten &,, &, @ .... nach den Gleichungen 
NN 
2:i—1 2:1 2: 
u, a le 5 
2 0, tg 
n as. dyrı 
2:1 nn 
4 h ; 
wählt hierauf A, und o_, so, dass —°- gleich dem Abstand des Ausgangspunktes des 


—l 


Normalstrahles vom Scheitel der ersten brechenden Fläche ist; man macht «_,=n_,0_,, 


1) Astr. N. 1027, S. 294. 
Abh. d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 70 


526 


%, =h, und berechnet mit diesen Anfangswerten alle späteren # nach der Gleichung 


Km *,+ *%,_,; alsdann hat man allgemein: 
% 
en “ 
No; a 
2i-Hl 


Um nun die Lage eines Strahles vor der Brechung zu bestimmen, wählt 
v. Seidel die zwei Pare von Coordinaten 7_, &_, 7_, ©_, der Punkte, in welchen 


der Strahl zwei bestimmte, zur Axe des Systemes senkrechte Ebenen A_, B_, trifft; 


in ähnlicher Weise soll der gebrochene Strahl auf zwei Ebenen A,, B, im zweiten 


Mediun und so fort A,,,., D;, „| Im 2ö--1ten Medium bezogen werden. Die Ebenen 


Ay, BD, :.. Ay Ba;2, Sollen jedoch in bestimmter Weise von den Ausgangsebenen 


A_,„ D_, abhängig sein; sie sollen sich nämlich dort befinden, wo nach den Gauss’schen 


Näherungsformeln die reellen oder virtuellen Bilder der Ebenen A_, und B:, in den 
betreffenden Medien entstehen. 


Denkt man sich durch den Schnitt der Ebene A_ 


1 1 


, mit der Axe einen Normal- 


2 


strahl mit den Bestimmungsstücken h, o gelegt, so ist, wie schon erwähnt, der 


= 


Abstand der Ebene A_ 


, vom Scheitel der ersten brechenden Fläche, r der Abstand 


1 
i h, 3 
der Ebene A, vom gleichen Scheitel, 2 der Abstand der Ebene A, vom Scheitel 


1 
der zweiten brechenden Fläche u. s. f. Führt man noch einen zweiten Normalstrahl 
ein, der durch den Schnitt der Ebene 5_, mit der Axe geht und dessen Bestimmungs- 
stücke durch % 0° bezeichnet werden, so lassen sich die Abstände der Ebenen B in 
ganz ähnlicher Weise ausdrücken. Die Entfernung der Ebenen A,,,, und B,,,,, ist dann 


} ige € Nysr0 N 5219 


G 
Or 0 9419 a a 


2:1 


2i 


» . re a 2 . B ur . s . 
Dabei sind natürlich die %, o und h o’ nicht von einander unabhängig, da sie ja 
beide aus den ursprünglichen e, d entsprungen sind. Hieraus ergibt sich die Gleich- 
heit folgender Ausdrücke: 

14 ’ 24 ’ ‘ ’ 12 G 
Mo No br NO, = NO, R wo, ho, A h,0,—h,0, 


u a an =..-179) 


= 
N v, v, Br 


Mittels Einführung des Wertes 7 und mit der weiteren abkürzenden Bezeichnung: 


% 
a v5 Pyirı TH; 


Sehr 
h h 


pP=1 2p—2 "2p 


ENDE EEE GENE 


527 


” .. . . GB . 
kann man die Abhängigkeit der h’ und © von den h und o in folgenden Formeln 
ausdrücken: 


+ 


G ’ : Mi 
_—- m _— Ve ——— = 
[0] ol er — (0,5, G,.r) (% T2) är h 
2i 
Ph Miro) & BL 1 ee Na 
a Ber Soc Pa a Pastı 9,41) re DENT ee ) 


. 
4 ’ 
Va Pa aim Par ar —Parpı 9m) X — T2) 
3 
h„_h,—-T2) 


(Für <—0 fallen die Summen 3 zur Rechten ganz weg.)!) 


Wählt man die Coordinaten, deren man sich in den verschiedenen Ebenen 
Ay Ba; zur Fixierung der Punkte bedient, in welchen sie von den Strahlen ge- 


troffen werden, entweder als rechtwinklige Nas ©: die unter sich 


=2;+41? Nor Baspı 
parallel sind und von dem Schnittpunkt der Ebenen mit der optischen Axe aus 


jeweils ihren Ausgang nehmen, oder Polarcoordinaten r deren 


3er Yarın Üortı Pas 
Pole in der optischen Axe liegen und deren Winkel von parallelen Geraden aus 
zählen, so drückt sich die Forderung, dass nach den dioptrischen Näherungsformeln 


die verschiedenen Ebenen A,, unter sich und die Ebenen B,, unter sich durch be- 
liebige, das dioptrische System durchlaufende Strahlen ähnlich auf einander abgebildet 
werden, einfach durch Proportionalität der linearen Coordinaten aus. Es mögen die 
Buchstaben n &, 7 €, rv, r v' die aus den dioptrischen Näherungsformeln folgenden 
Werte für die Coordinaten der Treffpunkte eines Strahles in den Ebenen A, B be- 
zeichnen; ihre Proportionalität lässt sich dann nach einem bekannten Zusammenhang 
zwischen Bildgrösse und Convergenz der Strahlen in folgenden Formeln darstellen: 


’ 


© 0 (0 0 02 (0 
—] —il D ’ ’ 
a N El: 7 pn nm... H 
A », v, a v, v, 
’ 
o o [F ’ 
al [02 [02 - —il ’ [02 6977 ’ ’ 
a en, = Z: il 30 —- Z’ , 4a) 
y —1 y 1 =3 ’ v SE] v 1 y 3 
—; 1 3 eh 1 3 
L£ 
—1 0, 05 07 ’ c, 0% ’ 
Be Me Nnon.d DB; Me R 
v = v v zZ! v v 
— 1 3 ll 1 3 


Die Grösse H, Z, R, H’, Z’, R könnte man als reducierte Coordinaten der 
Durchschnittspunkte zwischen dem Strahl und den Ebenen bezeichnen, indem man 
sich nämlich die Coordinaten n & r, 7 € r' in den verschiedenen Ebenen mit passend 
gewählten Massstäben gemessen denkt, wodurch überall dieselben Masszahlen für die 


1) Astr. N. 1028, S. 315. 
70* 


28 


Coordinaten der einem bestimmten Strahl zugehörigen Durchschnittspunkte einerseits 
für die Ebenen A, andererseits für die Ebenen B gefunden werden. Die Abweichungen 
nun, welche die Coordinaten der wahren Durchstossungspunkte von den genäherten 
q 7. AR: P ‚ 
2:41 Arzan Ivyın Anyım Abyam Ar zn Ivy 
ausgedrückt werden; mit den reducierten Massstäben gemessen (soweit sie linear sind) 


durch IH, 5, 42,1» AR,ın AHA IRyn Es ist dann z. B. 


zeigen, mögen durch A n,,, 1, AL 


vr 
Rele (H-+ AH, ,..) — ot Op Any 


Gr 
er; 1 2 2 2 ‚ 
o + (H+AH,.) Na +4 2:1 4b) 
2:-H1 
DER 
ZEUR+AR, ,) rap + I rap u 5 f. 
Kerr, 
Wenn man nun an die Berechnung dieser Abweichungen 4IB,;} 2.0.0 daeum 


Vergleich zu den Näherungswerten der Bestimmungsstücke H, Z, H’ Z’ eines Strahles 
als Correktionsglieder zu gelten haben, schreitet, so zeigt sich der grosse Vorteil, der 
in der geschiekten Wahl der vier Bestimmungsstücke liegt, darin, dass der Ausdruck 
des Correktionsgliedes eines jeden von ihnen, welches sich auf die erste Brechung 
bezieht, nicht von den vier Üorrektionsgliedern der vorhergegangenen Brechung, 
sondern nur von einem derselben abhängt und von den übrigen Bestimmungsstücken 
nur die Näherungswerte enthält. 

Es mögen der Einfachheit halber alle auf den Strahl und das Medium vor der 
2iten Brechung bezüglichen Grössen, die eigentlich durch den Index 2:—1 gekenn- 
zeichnet sein sollen, durch ein unter den betreffenden Buchstaben gesetztes Minus- 
zeichen markiert werden, und in gleicher Weise die nach der 2!" Berechnung ver- 
änderten Grössen durch ein untergesetztes Pluszeichen an stelle des Index 2i+1. 
Dann sind die reducierten Polarcoordinaten der Durchschnittspunkte des Strahles in den 


Ebenen: 4A B 
vor der Brechung: R+Z/R,v+AJv; RAR, v+AV 
und in den Ebenen: A B 


+ + 
nach der Brechung: R+4JR,v+Av; RLAR,v+AV 
. = + + 


Den Unterschied: 4R—AR resp. Ju— dv der zu den konstant bleibenden 
+0 + - 


reducierten Coordinaten R, v, vor und nach der Brechung hinzuzufügenden Correktions- 
glieder hat nun v. Seidel durch folgende Formeln ausgedrückt, welche bis auf Glieder 
5. Ordnung der als unendlich klein von der ersten Ordnung vorausgesetzten Coordi- 
naten R, R’ genau sind: 


GN 2 
rar Im= Ar on",.) (Mo 720) | 
+ - -- ++ 
(— 0) (0 — 0 
— IE NN ED ll 
+20) wo —n 0) 
=, 
R RreosWw—v)|2Al=_—+ vo — vo ie 
3= ( ) ( = @g 4) 
oo or 
ne era 
NN Serge . IIIb 


+ Fe-9r0—r0) 


| N ) | 
Ey N ee ee) 
ae IE n“ 2 ES 


2TER(dv— dv) —= R sin (V— v) X alles Folgende: 
+ —_ 


0—0\? 
mu (278) vo— vo, RN): 
N ) 
(0 0)(0- 6) 
—2R Reos(v—vo)h = _ + —_ + (vo— vo) m N 
NN al 


ee u T a 
+e(n Ar ent regern) m 


Die entsprechenden Formeln für 4R'— AR’ und /v'— Av‘ werden aus obigen 
+ + 0 


abgeleitet, indem man folgende Grössen vertauscht: 


R und /R mit R' und JR 
v und Zv mit v’ und Zv' 
h mit h‘ 
o und co mit o’ und o‘ 
+ = + - 
T. mt —T 
Nehmen wir nun an, das dioptrische System habe k+1 brechende Flächen 
0, 2,... 2%, so können wir die obigen Formeln 2% +1 mal unter einander schreiben 
und jedesmal an Stelle der Plus- und Minuszeichen unter den Buchstaben die Indices 
2:41, 2:—1 der der jeweiligen 2;!® Brechung nachfolgenden, beziehungsweise 
vorangegangenen Medien setzen, ferner die nichtmarkierten Buchstaben h, N (T, R, 
R', v, v‘ bleiben durch alle Brechungen konstant) mit dem jeweiligen Index der 
brechenden Fläche versehen. Werden ferner die Objektpunkte in der ersten Ebene 


530 


A_, liegend vorausgesetzt, so können wir die /R und Jv gleich O0 nehmen. Addieren 


= = 

wir dann die rechten und linken Seiten der # + 1 unter einander stehenden Gleichungen, 
so bleibt rechts blos 2T’4/R,,,, und 2T’RAv,,,, übrig, d. h. die reducierten Ab- 
weichungen der Coordinaten des Durchschnittspunktes in der letzten Ebene von den 
Näherungscoordinaten. Die wirklichen Längen-Abweichungen ergeben sich aus den 


y 
reducierten durch Multiplication mi en. Auf der linken Seite finden wir nach 
IR-L1 
der Addition die gemeinsamen, aus den reducierten Näherungscoordinaten gebildeten 
Faktoren der Einzelformeln wieder; es treten nur an Stelle der von Brechung zu 
Brechung variablen Teile Summen von 2%+ 1 Gliedern, deren allgemeine Glieder 
aus den oben mit I bis VII bezeichneten Ausdrücken leicht zu bilden sind, indem 


4 4‘ 
g oe On h 


‘ ” 
mans», w. 0,0, 0470. dureh, vu, Yozrın Open Opern 5 
“+ -+- + 
N,, ersetzt. 


Obwohl die so erhaltenen Schlussformeln bereits zur Berechnung der Wirkungs- 
weise eines gegebenen dioptrischen Systemes sehr geeignet sind, so macht sich doch 
bei Beantwortung der Frage nach der Construktion eınes Systems von vorgegebener 
Wirkung der Umstand störend geltend, dass die ursprünglichen Bestimmungsstücke 
des zu suchenden Systems — die o und d — sowohl in den ) und 0 wie auch in den A‘ 
und o‘ enthalten sind. Mittels der schon angeführten Zusammenhänge (3) zwischen 
h, o und h‘ 0‘ lassen sich indessen die letzteren eliminieren und es erscheint dann 
thatsächlich die Wirkung des dioptrischen Systemes durch eine einzige Serie von 
Bestimmungsstücken ausgedrückt. Auf diese Weise erhielt v. Seidel folgendes System 
von Formeln, welches wir zum Ausgangspunkt unserer weiteren Betrachtungen 
machen werden: 


AR, 11 = AR’? cos (v’—v) — BR'?R(1-+ 2cos? (v'—v)) + OR'R? cos (v'— v) — DR® 
RAv,, —=R'sin (w—v){ AR'®—-2 BRR' cos (v’—v) + ER?} 


_S0) 3 _2IWLTSQ oo _3SVD+HTEN FT ASIHIH) 
RR ET DT ae 73 
p- 2 SVWTH TSF AESYHSENLTEH) 
2.20% 
SD+2TS2)+T?S() 
er EHEN 
i=k 0 er on 2 Be 
Se hr, ZZ (Won Br ParHi = (1) 
=o 25 = 5) 
i—k v=K 


SA)=))()T,=))}(2) 


i=0 i=0 


531 


ik ll 
sSG)=-I,@)T,=- 2,8) 
i—k N,, v—k 
sy-%(9-,")-3@ 
i=k 
S6)=- I)AT,, 
V N,, N, 
a (92 9) Del Ngn_gNop 
a N 
0, Sr ; di, „_, = > 
Ba rt 2 Por a7 rl 
N’ m Pac 


Die Ebene A_, des ersten Mediums wurde als mit dem Objekt zusammenfallend 


vorausgesetzt. Die Ebene B_, desselben Mediums kann man sich an jene Stelle ver- 


1 
setzt denken, wo sich die für die Abgrenzung der eintretenden Strahlen entscheidende 
Blende eventuell die Fassung der ersten Linse befindet. Ist jene Blende in einem 


anderen Medium, so nehme man die Ebene B_, dort an, wo das (genäherte) Bild der 


wirklichen Blende in dem ersten Medium sich befindet. Dann ist einesteils die 
Grösse R abhängig von der Entfernung eines Objektpunktes von der optischen Axe, 
mit anderen Worten von dem zur Verwendung kommenden Gesichtsfeld, andernteils 
die Grösse R‘ von der Stelle, wo der einfallende Strahl die_ Diaphragmenebene 
trifft und, wenn man die äussersten Strahlen, die das Diaphragma noch durch- 
lässt, berücksichtigt, von dem Betrage der wirksamen Oeffnung des dioptrischen 
Systemes. Die Seidel’schen Formeln sind also vollkommen geeignet, ein beliebig 
gegebenes centriertes optisches System auf seine Wirkung bei verschiedener Bean- 
spruchung desselben in bezug auf Grösse des Gesichtsfeldes und der Oeffnung 
_ zu studieren. 


82. 


Die Brennfläche des Systems der gebrochenen Strahlen. 


Für die Weiterverwertung der Seidel’schen Formeln namentlich zur Unter- 
suchung der Brennfläche der von einem Punkte ursprünglich ausgegangenen und dann 
in dem dioptrischen System gebrochenen Strahlen empfiehlt es sich, an stelle der 
Polareoordinaten R, v, R‘ v‘ wieder rechtwinklige Coordinaten einzuführen, wie sie 
bereits bei Ableitung der Formeln benutzt wurden. Setzt man also: 


H=Reosv;, Z=Rsiınv Seh ET 6) 
H'—R!eosv"; Z— R!sınv‘ AZ=4ARsinv+ R4Ivcosv)), 
so gehen die Formeln in folgende?) über: 
AH=H(AR?+ER?—2B(HH'+ZZ'))— H(BR'"®-+DR?’— (C—E)(HH'+ZZ')) 
AZ=Z (AR? -+ER?—2B(HH'+ZZ'))— Z(BR'?-+ DR—(C—E) (HH'+ZZ‘)) 


: 0—E ER e 
Für die Grösse —,— soll weiterhin @ gesetzt werden; es ist dann 


ICE ERS) 2) 
Fe DER 273 


Wir nehmen nun an, es befinde sich in der Ebene A_, ein leuchtender Punkt 


in der Entfernung n_, von der optischen Axe. Das rechtswinklige Coordinatensystem 
lässt sich dann immer so verdrehen, dass die £_,-Coordinate 0 ist; es wird dann 
auch Z=0 und die Formeln vereinfachen sich folgendermassen : 
AH=H'(AR®+ EH?—2BHH)— H(BR?+DH?—-2GHH') 
» IZ=Z (AR®?+ EH?—-2BHH') 


Nun soll eine Parallelverschiebung des Coordinatensystems in der Richtung der 


8) 


H‘'-Axe um den Betrag H’, = aa eintreten; es wird dabei: 
H=H,+H, 
IH=H,(ARZ+( _. ra wo m) N 
= ls mu ud ” 


1) Von hier ab wird bei den Üorrektionen AR und Av der Index 2k-+1 fortgelassen, da 
diese Unterscheidung unnötig wird. 
2) Dieselben erweisen sich identisch mit den von Herrn A. Thiesen neuerdings direkt 
abgeleiteten (s. Beiträge zur Dioptrik, Berl. Sitzb. 1890): 
3-4 y=-n be redg:—23mm ty) m Her tIe: 28 mm + Yı Yo) 
y-hr=n(l6ortE&o— 23m + YıY)) - (Hei t+ Io 28 (u + Yı Ya) 


y bedeutet die Vergrösserung, bei welcher das System benützt wird; daher ist: 


P2rH1 YO c+1 ’_ı —1 
%—-My=4AH- a, wenn wir = (H-+AH) Su er und =H 
+1 2-4 Ze Z 
NE EN Portı 
setzen, ferner: C= A es en, Ss=B = = s 
Fu Kr a, SA 2:1 
Ne ee a GNS», : 0 NA 00 
-2( .) U Pet sl a (0 2 
=] ey Han 9%-L1 2 Y_ı ’_ı 2-1 


"533 


ID — BR 
4 me), wobei R',?== M°,2-2 2.2 


AZ= zer ) 9) 


So lange wir nur Strahlen betrachten, die von dem angenommenen leuchtenden 
Punkt in der Ebene A_, herkommen, ist 7 konstant; es empfiehlt sich daher, auch 


in /H den blos von H abhängigen Teil abzutrennen und zu schreiben: 


AH=AH,+4H, 
2B(AG— BY) + A(BE—AD) 


wobei: JH, = 72 jale 
0 
_ 28 IISDEI-SIIHSVENEH-IWSH) 
s.()? 
Es werde zur Vereinfachung 
AB—BER SMSE—5 2) Sell 
A m 2TS(1) Id. 
AG@—B? ° SMESH)— S(2) Er 2 
A In 2TS() ir 
gesetzt, dann reducieren sich die Formeln 9 auf folgende Ausdrücke: 
AB, DB, AR rrr (2er 2?) 12) 


AZ=Z (AR 2-4 LM) 


Die Correktionsglieder /H, und J/Z sind nunmehr ganz symmetrisch aus den 


| neuen Coordinaten in der Diaphragmenebene B_, aufgebaut. Jedes derselben ist als 


Produkt zweier Faktoren dargestellt, von denen der eine die Glieder gerader, der 
% andere die ungerader Potenz der neuen Coordinaten enthält. Ersterer bleibt bei blosser 
Veränderung der Vorzeichen der Coordinaten konstant, letzterer behält seine Grösse 
mit geändertem Vorzeichen bei. Daher entspricht einer symmetrischen Anordnung 
der Schnittpunkte der einfallenden Strahlen in der Diaphragmenebene B_, auch eine 
symmetrische Anordnung der Schnittpunkte der gebrochenen Strahlen in der Bild- 
ebene A,,,,- 

Auf Grund dieser symmetrischen Gestalt der Formeln 12 ist es leicht, zur 
Gleichung der Brennfläche der gebrochenen Strahlen zu gelangen. Diese Brennfläche 
muss offenbar in allernächster Nähe der näherungsweisen Bildebene A,,,, zu liegen 


kommen und ihre Dimensionen in der Richtung der optischen Axe sind von der 
zweiten Ordnung der Grössen H, Z, H', Z' zu veranschlagen, da die Abweichungen 
der Schnittpunkte der gebrochenen Strahlen in der Ebene A,,,, der dritten Ordnung, 
die Neigungen der Strahlen gegen einander aber der ersten Ordnung angehören. 
Denken wir uns einen aus dem dioptrischen System austretenden Strahl durch 
seine Schnittpunkte PAR Q mit den Ebenen A,, 2 Dos bestimmt. 
Abh.d. 11. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 71 


534 


Die Entfernung der beiden Ebenen ist gleich: 


a rg "ar an Non Fin 1 TPonpı | 13) 
Or or Orr Forrı Os Farrı 

Die Coordinaten des Durchschnittspunktes P mit der Ebene A,, „ı Sind in redu- 
ciertem Masse: + AH, + 4AH,, Z+JZ, die des Schnittpunktes Q@ mit der Ebene 
Bun: H'+4H'=H',+H'\,+J4H', Z'+4Z' Irgend ein benachbarter Strahl 
P'Q' wird von dem ursprünglichen geschnitten, sobald PP' parallel zu QQ' ist 
denn dann liegen beide in einer Ebene. 

Die Bedingung hiefür wird in folgender Formel ausgedrückt: 

d(H+AH,+4H,) _ d(#', +H',+4H) 
d(Z+4Z) = d(Z'+4Z') 

Sie vereinfacht sich, wenn man bedenkt, dass 4, JH,, Z und H‘, blos von 
den Coordinaten des leuchtenden Punktes abhängen und demnach hier als konstant 
zu betrachten sind. Ferner kann man die Grösse 3. Ordnung JH‘, 41Z' gegenüber 
den Grössen erster Ordnung Z/', und Z' vernachlässigen. Wir setzen damit nur an 
stelle des Strahlensystems das durch die Verbindungslinien der entsprechenden Punkte 
P und @ bestimmt ist, ein solches, welches die Punkte P mit den Näherungswerten 
von Q verknüpft. Dessen Brennfläche kann aber von der des erstbetrachteten Strahlen- 
systems nur um Grössen verschieden sein, die ohnedies ausser Berücksichtigung bleiben, 
nämlich um solche 4. Ordnung in Richtung der optischen Axe und solche von der 
5. Ordnung senkrecht dazu. Somit erhalten wir die Gleichung: 


o(AH,) ; 9(A4H,) n 
ar Mar, ve Fa ze ” 
AZ BRAIN, SZ am - 


Dieselbe geht durch alpin in folgende Differentialgleichung zwischen 
H', und Z‘, über: 


rn °%(AZ) 2(4H,) ) 2(JH,) 
ıN% 4 4 * 2% * 
(d H',) +dH‘, az( zZ om —- (dZ‘) —3Z — 0745) 

Sie Se die Fortschreitungsrichtungen in der Ebene B,, 1, für welche 


benachbarte Strahlen sich schneiden. Dieselben Fortschreitungsrichtungen lassen sich 
auch mittels der ersten Näherung auf die Diaphragmenebene übertragen. 

Wir setzen nun die aus den Formeln 12 folgenden Werte der Diftferential- 
quotienten von JH, und AZ nach H‘, und Z ein. Dieselben sind: 


AH, 

ie NN Bi ya Zar, 
2(4H,) 

7, 


16) 


—24ZH., 


u eu 


995 


2(4Z) 
NENNE Hd 
oH‘, re 16) 
d) 
(AZ 
ET nat aaa LH 
%) RR 5 
Die Differentialgleichung 15 geht dadurch in nachstehende Form über: 
dl ar 017% MH? 
BEN ae BE EN N erznay Sg oe ee EN ee n 
a, a, 7 )-azy=0 17) 
: Ber e | > 
Das Produkt der Wurzeln dieser in 1Z quadratischen Gleichung ist gleich —1; 


d. h. die durch sie in jedem Punkte der Ebene definierten Fortschreitungsrichtungen 
stehen senkrecht zu einander. Dieser Umstand stimmt mit der von vorneherein fest- 
stehenden Eigenschaft des Systems der gebrochenen Strahlen als Normalensystem 
überein. Bei einem solchen müssen nämlich die durch einen Strahl und die beiden 
benachbarten ihn schneidenden Strahlen gelegten Ebenen die sog. Brennebenen senk- 
recht zu einander stehen. Da alle Strahlen des Systems nur wenig von der senk- 
rechten Richtung 'zur Ebene B,;ı, abweichen, so wird auch das durch jeden der- 


selben gehende rechtwinkelige Brennebenenpar von der Ebene B nach zwei bis 


2k-+1 
auf Winkelgrössen von der ersten Ordnung rechtwinkligen Geraden st 
Wird die Differentialgleichung integriert, so geben die Integraleurven eine Zu- 
sammenfassung der gebrochenen Strahlen nach Developpablen. Das allgemeine Inte- 
gral der Differentialgleichung ist durch folgende Schar confokaler Kegelschnitte ge- 


geben, wobei A die Integentionskonstante bedeutet: 


Le Z'? a 
serser, I = 18) 
A “ 


Denken wir uns diese in den reducierten Coordinaten geschriebene Gleichung 
in den Massstab der Diaphragmenebene übertragen, so definiert sie dort eine bestimmte 
Schar confokaler Kegelschnitte.e Legen wir durch den leuchtenden Punkt als Spitze 
und die Kegelschnitte der Diaphragmenebene Strahlenkegel, so haben dieselben die 
Eigenschaft, dass ihre Erzeugenden nach der Brechung im dioptrischen System 
Developpable bilden. 


Es kann daher der Satz ausgesprochen werden: 


Ordnet man die von. einem Punkt ausserhalb der Axe eines 
dioptrischen Systems aus einfallenden Strahlen so nach Kegeln 
an, dass die Erzeugenden derselben nach ihrem Durchgang durch 
das dioptrische System Developpable bilden, dann werden diese 
Kegel von einer zur optischen Axe senkrechten Transversalebene 
nach einer Schar confokaler Kegelschnitte geschnitten. 


mlz 


536 


Die reellen Brennpunkte dieser Kegelschnitte sind auf der Z’- oder H',-Axe, je 


— positiv oder negativ ist. 


MH? 
A 

Es liegt sehr nahe, in die weiteren Formeln elliptische Coordinaten einzuführen. 

Wir schreiben zu dem Ende die Gleichung 18 nochmals mit dem Parameter « an 

und drücken dann H',* und Z,? durch die beiden Parameter A und u aus. 
; I @&2+4M) W240 

ER 5 AMEBR 

Diese Parameter sollen nun auch in die Ausdrücke für die Correkturen einge- 


führt werden. Das ergibt, nachdem man die Gleichungen zum Quadrat erhoben und 
berücksichtigt hat, dass: 


nachdem die Grösse 


19) 


MH’+A(-+u) 


Me 7 ist, folgendes: 20) 
2 AlulB MH DH +AAHUu)] 
(IRRE — NE S 
Az — (MH’+ AU) (MP+AW[M+D)H’+4A(u+N] | 
= TE 


Man kann jetzt wieder von den reducierten Coordinaten Z‘ und H', und den 
ebenfalls in reduciertem Masse ausgedrückten Correkturen /Z und /H, zu den wirk- 


lichen auf die Ebenen Dont und Ayacı bezüglichen Werten Narr er Angoarı 
Abgyrı übergehen, indem man die Beziehungen 4a und 4b benützt: 
0 0 
no u AZ ACH 
* En KOR--1 : Ba 2R1 
0“ 0% 
1 rn 2k-+1 n%, h TR! mn 2k-Hl (ee 
a 2:41 Du AH 
Dann ergibt sich: 
72 N hu Ad Pan \° c2 (MHP+AMN(MH+Au) Berz ei 99 
* 2 IARER, BO] = ee - AM’. a, 2% 
Y »._.AuABM+DH+AAHU) [ Parr 
( N 91-41) > - MH: RT Yen 
; 23) 
y (M H®+ AM) (MH + AwW(M+LDH+AA+W) ( Porı \' 
( En). ae AMH: Zn 


Die Entfernung der beiden Ebenen B,,,, und A 


x > T», k-4-1 


4 
or rı orrı 


a4 Ist nach Früherem 13): 


997 


Die 4 Gleichungen 22 und 23 bestimmen das System der gebrochenen Strahlen. 
Der Anfangspunkt O, der Ooordinaten in der Ebene A,, liegt um eine kleine Grösse 


V,7; h 
3. Ordnung: Ang, =IH, on über dem Näherungspunkte des Bildes des leuch- 
2k--1 
tenden Punktes. Der Anfangspunkt O0‘, in der Ebene Burn befindet sich um die 


Por 
oyrı 
Der Strahl 0’, O,, welcher dem Wertepar A=0, u=0 entspricht, wurde von Seidel 
gelegentlich als ausgezeichneter Strahl bezeichnet. Um ihn herum gruppiert sich 
das Strahlensystem symmetrisch. Die Strahlen, welehe Punkte der Ebenen A,, a 
Jon 4 verbinden, für die ein Parameterwert konstant ist, bilden eine abwickelbare 
Fläche. Die Rückkehrkanten aller solehen abwickelbaren Flächen erfüllen die beiden 
Mäntel der Brennfläche. 

Es soll nun die Rückkehrkante gefunden werden, welche einer Developpablen 
“== const entspricht. Bezeichnet für einen Moment dS die Entfernung zweier be- 
nachbarter Punkte der Curve «—=const in der Ebene B,,,, und ds die Entfernung 


Grösse 1. Ordnung: 7'y9,41, = H's über dem Schnittpunkt mit der optischen Axe. 


der entsprechenden Punkte in der Ebene A,,,,, ferner x die Entfernung des Schnitt- 
punktes 7’ der durch die beiden Punktepare bestimmten Strahlen von der Ebene A,, 1 
in der Richtung des ausgezeichneten Strahles gemessen, dann findet folgende Pro- 
portion statt: 

ds % 

dS Koeeo tr 
wobei den kleinen Winkel 1. Ordnung des ausgezeichneten Strahles mit der optischen 
Axe bedeutet. Da x von der 2. Grössenordnung, K aber eine endliche, d. h. mit 
den Krümmungsradien vergleichbare Grösse ist, so kann man bis auf (Grössen 
4. Ordnung genau auch schreiben: 


En 
OS 
d d *2 d ZIR 
Nun ist für «= const. 3° — ( a 2) — er >44) ‚ daher: 
ds Anroap döggr 
I(Anzsıı) Pryyr d(AH,) Frrı dAH, Traz 
an ae) _ a ee — ee) 
near Oprrı Forrı dH', Ort dH, or 
Dar aan ann: a 
und: PT THAT IR =(3M-+D)H’+A(A-+u), 
woraus folgt: 
LEEREN i F 
= — -[EM+LD)EPTACIH+«) 25) 


2k-+1 


538 


Damit ist die in der Richtung des ausgezeichneten Strahles liegende Coordinate 
eines Punktes der Rückkehrkante durch A und u ausgedrückt. Um ein Gleiches auch 
für die Coordinaten y und 2 in der Richtung der /n, und S[-Axen thun zu können, 
denken wir uns durch jeden Punkt der Ebene A,, 47 statt des durch ihn gehenden 
Strahles eine Parallele zu der Richtung, die der entsprechende Strahl der Gauss’schen 
Näherung hat, gezogen und auf ihr die Grösse x abgetragen, wodurch man den 
Punkt F' erhält. Diese Parallele wird, wenn es sich blos um Entfernungen 2. Ordnung 
von der Ebene A,,,, handelt, nur um Grössen 5. Ordnung von dem wahren Strahl 


abweichen, da ja die Winkel des wahren Strahles denen des genäherten bis auf 
Grössen 3. Ordnung vleich sind. Ebenso wird die Grösse x, welche als Entfernung 
unseres Punktes F von A,,,, in der Richtung des ausgezeichneten Strahles gemessen 
gefunden wurde, nur um Grössen 4. Ordnung von der Entfernung jenes Punktes F 
auf dem wahren Strahle gemessen unterschieden sein, da die Richtungen, in welchen 
die verglichenen Entfernungen 2. Ordnung gemessen wurden, beide bis auf Winkel- 
grössen 1. Ordnung senkrecht zur Ebene A,,,, standen. Somit wird der Punkt IR 
bis auf Grössen 5. Ordnung in der Richtung der 2 und y-Axen und bis auf eine 
Grösse 4. Ordnung in der Richtung des ausgezeichneten Strahles mit dem Punkte F 
coineidieren. Der Punkt F", den wir bei der beabsichtigten Genauigkeit mit F ver- 
wechseln können, hat folgende Coordinaten: 


y' | (a 
er 2e=4JC SE 26) 
Nach Einführung der Parameter A und « mittels der Gleichungen 22, 23 und 25 
ergibt sich: 
_—4BpA® Pay »_ AMELANKME HAM) Yon, 
a en AME? 


2 
g 2-1 


Pr Por-tı ” 
= BM+DIHAGIH A] 

Diese 3 Gleichungen für die Coordinaten eines Punktes der Rückkehrkante der 
Developpablen stellen zugleich die Gleichungen des geometrischen Ortes derselben, 
also der Brennfläche, in Parameterform bezogen auf ein System geodätischer Linien 
M=const. und dazu konjugierter Curven A= const. dar. 

Eliminiert man noch den Parameter « der geodätischen Linien mit Hilfe der 
letzten Gleichung, so erhält man: 


a | Foptı 


2 
2k-H1 
a 


4 2k--1 


v 


AMEH: FO; 


om ei 
2p-HI 


28) 


: — 44? ya Va 
y— (12-8 —- @M+DMP—-34a\ 
MH Tr, ar et 


ud 14 


599 


v— MH’ 
—— 


[4 


Setzt man hierin AA= ‚ so eroibt sich: 


2 


2 


en. MHY% (3>v— ME°—2[ a a Br 
Sram ine Alla In; 


21 Ik 

ii 0° y 29) 
er one 2 | 2\3 2) Ben 2k-1 za 2 2k-Hl 
Y WERE ®— MH’) (voran [x Tan (M-+ nn) 2 


Die schon erwähnte Gleichung derselben Fläche, welche v. Seidel in dem 
Briefe an Kummer citiert, lautet: 


— k’=(v+4)(8v— A— 2x) 
ky=(wW— A) (3v+A— 22). 


Mit derselben wird die hier abgeleitete Gleichung identisch, wenn man die Grössen: 


30) 


4AMB’o,,., MH?’ DH 
2 > ’ kg or age, (M AB 2) . 
Yartı Try. 
mit folgenden: k Ä A ; © vertauscht. 


Die Fläche steht in sehr naher Beziehung zur Centrafläche eines elliptischen 
Paraboloides. Wenn die Gleichung des letzteren folgendermassen geschrieben wird: 


I + —22—(+)=0, 31) 


[4 


so ist die Gleichung der Öentrafläche: 


ca 0 en 


BY? b = 
I W 
ala — b)Y’—= (5) (30+ a 2 
Sie geht in die Seidel’sche Gleichung der Brennfläche über, wenn: 
on . 
X=#, Y=y, Z= V“ 2, ferner: oo —=4A ala—b)=k gesetzt wird: 


Die Gestalt der Brennfläche wurde von Herrn L. Schleiermacher!) diskutiert 
und durch ein Modell versinnlicht. Da in der Richtung der x-Axe alle Dimensionen 
von einer anderen Grössenordnung sind als in der Richtung der beiden anderen Axen, 
so sind die ersteren im Vergleich zu den letzteren stark verkürzt dargestellt. 

Ohne die Diskussion, die keinerlei besondere Schwierigkeiten bietet, hier um- 
ständlich zu wiederholen, soll das Resultat derselben in einer Weise dargestellt werden, 


1) Mathematische Modelle, angefertigt im math. Institut des K. Polytechnikums zu München. 
Abteilung II. Unter Leitung von Prof. Dr. Brill. Eine photographische Reproduktion des Schleier- 
macher’schen Modelles siehe Tafel 1. 


540 


an die sich die spätere Weiterverwendung der Brennfläche naturgemäss anknüpft. Wir 
bilden nämlich die Brennfläche in eine Ebene mit den rechtwinkligen Coordinaten A u 
ab, indem wir jedem durch ein Parameterpar bestimmten Punkt der Fläche den- 
jenigen Punkt der A u-Ebene zuordnen, dessen rechtwinklige Coordinaten eben diese 
Parameter sind. Die y-Coordinate der Fläche ist nur dann reell, wenn A und «u ent- 
gegengesetztes Zeichen haben, die z-Coordinate ebenso, wenn ein Gleiches mit den 
Ausdrücken MH?’-+ AA und MH?’—+ Au der Fall ist. Es entsprechen daher reelle 
Punkte der Fläche nur jenen Punkten der Au-Ebene, die in zwei in nebenstehender 
Figur 2 unschraffiert gelassenen Streifen liegen. 

Jeder der Streifen entspricht einem Mantel 
der Brennfläche; jedem Punkt Au desselben 
gehören 4 symmetrisch in Bezug auf die 
XY- und XZ-Ebene gelegene Punkte eines 
solchen Mantels an. Der Streifen ist also 
gleichsam die Abbildung von einem Vierteil 
des entsprechenden Mantels. Für A=0 und 


>) 
je - hat die Brennfläche Parabeln 


als Rückkehrkanten in der X Y- und X Z-Ebene, 
da für diese Parameterwerte y? resp. 2? pro- 
portional mit A® resp. (MH? + AA)? und da- 
mit proportional mit der Veränderung von X 
wird, welches ja linear von A abhängige, ist. 
Für die Parameterwerte A=0u=0 hängen 
die beiden Mäntel im Punkte O zusammen. 
Ebenen Schnitten der Brennfläche parallel zur 
X Y-Ebene entsprechen Gerade 34 + u = const. 
Die Schnitte mit den beiden Coordinatenebenen 
xy und xz zerfallen in die schon erwähnten 
Rückkehrkanten (dreifach 
zählende apollonische Pa- 
rabeln von gleichem Para- 
meter) und in einfach zäh- 
lende Neil’sche Parabeln. 
In der XZ-Ebene berührt 
die apollonische Parabel die 
Neil’sche in zwei Punkten 
mit den Parametern A=0 
#==0; denselben, in wel- 
chen die 2 Mäntel zusam- 
menhängen. Die Fläche ist 


541 


neunter Ordnung. Die beiden Mäntel durchschneiden sich in einer Doppelkurve 12. Ord- 
nung, die indessen mit der Eigenschaft der Fläche als Brennfläche nichts weiter zu thrn 
hat. Den Geraden «== const der Ebene entsprechen geodätische Linien der Fläche, den 
dazu senkrechte Geraden A=const dazu conjugierte Curven, welche daher einen ähn- 
lichen Verlauf haben müssen, wie er in der Figur 3 angedeutet ist. Wenn man in 
dem Gleichungssystem der Fläche die Parameterwerte A und u vertauscht, so wird 
dadurch die Fläche selbst natürlich nicht geändert; es ändert sich eben nur die Bedeutung 
der Parameter; A —-const werden geodätische Linien, «u — const conjugierte Curven. 
Ein Parameterpar A u repräsentiert einen Strahl, oder genauer gesagt 4 symmetrisch gelegene 
Strahlen, von denen jeder in zwei Punkten, die auf verschiedenen Mänteln liegen, die 
Brennfläche berührt. Hiedurch werden auch die beiden Mäntel der Brennfläche punkt- 
weise aufeinander bezogen, beziehungsweise abgebildet und diese Abbildung überträgt 
sich ebenso auf die Streifen in der Au-Ebene. Zwei Punkte dieser Ebene, für welche 
die A und w-Coordinaten dieselben Werte in vertauschter Anordnung haben, die also 
symmetrisch zur Geraden A—u liegen, entsprechen demnach solchen Punkten der 
Brennfläche, in denen ein und derselbe Strahl gleichzeitig berührt. 

Unter den ebenen Schnitten der Brennfläche parallel zur z2yEbene ist jener 
ausgezeichnet, welcher durch den Punkt A—0 u=—-0 geht. 


: Tryan 
Für ıhn ist <= 6M+DEH und 3A+u=0, odr u= — 34. 
Pr 
Dies gibt für die z und Y-Coordinate: 


oe u: je aeHH FAN (MR SAN | Fort 


3 ne | 33) 
NH. 00, n Di ann 
Aus der ersten Gleichung folgt: ?=+y un ve = 
2 = 34Av, Ort 


Entwickelt man die linke Seite der zweiten Gleichung und ordnet man nach 
geraden und ia Potenzen von A, so folgt: 


AMEH?’ 2° BETH — 4 M* H® + 24 M’ H* 4? 4? -- 12 AM — 32 MH? 433, 
Worrı 
Nun en man auf beiden Seiten und führt den Wert für 4? ein: 


lau Ss HH _4MeH°+ Hr Ay ee /udL + AM 


Vor Yarrı A v’ 91 
b) m oe 

2 m mmeyy er 

Yortı 
Fr 4 M® H® ‚a- ! +4V/3M H°y Ya V M a 
A Fr Orr A) 34) 
Zi 128 MH®y 3 Part Ve M 
3V 3 O5 


Abh. d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 


I 
[0 


Fig. 4. Diese Gleichung stellt zwei in Bezug auf die z-Axe symmetrisch 
liegende, dreispitzige Hypoceyeloiden dar; und zwar beträgt der Radius 
des äusseren Bahnkreises: 


Lynn AL, 
v3 ee A 


der des inneren rollenden Kreises ist ein Drittel davon. (Fig. 4.) 
Die weiteren Schnitte der Brennfläche parallel zur yz-Ebene 
bestehen, wie am einfachsten aus der Abbildung in der Au-Ebene 


Tv 
. ee 2k--1 c 
zu ersehen ist, für: ee een aus einem 
2k-Hl 
ovalen und einem asteroidenartigen Zweige (Fig. 5); wenn: 


Is » 
za EM L)B}, aber > ne Our 


2k-+1 0 21 


aus zwei ineinanderliegenden, spindelförmigen Zweigen (Fig. 6); 


wenn ferner  < me (2 M-+ L) H’ aber > eg 
sr rt 
Fig. 6. aus einem solchen, endlich, wenn & noch kleiner als letzterer Wert ist, 
wird die Schnittkurve ganz imaginär. 

Aus der Form, welche v. Seidel der Gleichung der Brennfläche ge- 

geben hat, ersieht man am einfachsten, dass alle durch dieselbe definierten 

Flächen, abgesehen von ihrer Lage zum dioptrischen System und von 

einzelnen Ausnahmefällen, die im nächsten Abschnitt erledigt werden, in 

affiner Beziehung zu einander stehen, wobei indessen das Verhältnis der 

2- und y-Coordinaten unverändert bleibt. Für ein und dasselbe diop- 

trische System und vorgegebene Objektebene sind die Grössen A, M, T, h, o, v con- 

stant; es ändert sich nur mit dem jeweils benützten Gesichtsfeld proportional die 

Grösse H. Die Längsdimensionen der Brennfläche hängen, wie aus der Gleichung 25 

für die &-Coordinaten hervorgeht, in quadratischem Verhältnis von Z und damit vom 

Gesichtsfeld ab; die Querdimensionen dagegen, wie sich aus den Gleichungen für 2? 

und 2, oder noch einfacher aus dem Ausdruck für den Radius des Hypocyeloiden- 

kreises ergibt, von den dritten Potenzen der Grösse H. Je mehr man sich demnach 

von der Mitte des Gesichtsfeldes entfernt, um so grösser wird das an sich kleine Ver- 
hältnis der Querdimensionen zu den Längsdimensionen der Fläche. 

Was nun die Lage der Brennfläche im Raum gegenüber der optischen Axe und 
der genäherten Bildebene bei verschiedener Lage des leuchtenden Punktes in der 
Objektebene betrifft, so ist es nützlich, zunächst die einzelnen &- Axen der Coordinaten- 
systeme zu verfolgen, auf welche die Gleichung der Brennfläche bezogen erscheint. 


- 


543 


Diese x-Axen sind die jeweils ausgezeichneten Strahlen 0‘, O, der zu den Brenn- 
flächen gehörigen Strahlensysteme. Dieselben liegen mit dem leuchtenden Punkt und 
der optischen Axe ın einer Ebene. Alle in Betracht kommenden leuchtenden Punkte 
sollen in derselben Ebene durch die optische Axe angenommen werden, was in an- 
betracht der Symmetrie des Linsensystems in bezug auf die optische Axe offenbar 
zulässig ist. Von den Punkten 0‘, und 0, liegt der erstere in einer Entfernung: 


v B v 
2R-HI 24H 

je Ho Ho *_, der zweite dagegen in der Entfernung: 
or or 


N t Mon = (Hr IH,) — von der Axe. Wenn wir von dem Üorrek- 
Orr 
tionsgliede Ang syrı absehen, sind beide Entfernungen proportional der Grösse H und 


ihr Verhältnis beträgt: —- Seil 
A ori 


Daher werden alle Verbindungslinien 0‘, O in erster Näherung durch einen 


bestimmten Punkt W der Axe gehen, dessen Abstand & von der Ebene B,, +, durch 
nachstehende Formel ausgedrückt wird: 
ey! ‚ K ä BTy Port ! 35) 
100% 4 E Er 4 
Gr Mogrtı Mortı or (BO,,,, — 40 2441) 


Wir können daher folgenden Satz aussprechen: Die Symmetrieaxen (ausge- 
zeichneten Strahlen) der Brennflächen, die zu den leuchtenden Punkten 
einer Objektebene gehören, convergieren nach einem Punkte W der 
optischen Axe. 


Nunmehr betrachten wir die Lage einzelner ausgezeichneter Punkte der Brenn- 
fläche auf dem jeweiligen ausgezeichneten Strahl. Als solche bieten sich drei dar: 
Die Scheitel « und 8 der beiden Rückkehrparabeln und der Punkt y, in welchem die zu 
Fig. 4 gehörige Schnittebene die Axe trifft. Für diese drei Punkte sind die «-Coordi- 
naten, die bis auf hier zu vernachlässigende Grössen den Entfernungen von der ge- 
näherten Bildebene gleichgesetzt werden können, folgende: 


v, 

PRROER Dr  : 
sr 

N ey Aal REED WER 
Port 
V,, 

PARRER ORT u 0 13 M)B: 
orrı 


-1 
ww 
* 


544 


Sie sind alle dem Quadrate des Gesichtsfeldes proportional. Durch die Punkte « 
lässt sich demnach mit der hier angestrebten Genauigkeit eine Kugel legen, deren 
Radius o, sich folgendermassen ausdrückt: 


2 
Nortı 


ta 2 
Es ist nämlich 7,,,, bis auf Grössen 3. Ordnung der Entfernung des Punktes « 
von der optischen Axe gleich und x bis auf Grössen 4. Ordnung dem Abstande des- 


selben Punktes von der Ebene Aygrı Die Formel stellt daher bis auf Grössen 


2. Ordnung den betreffenden endlichen Kugelradius dar. Setzt man nach 4a: 


und den entsprechenden Wert für x, so erhält man: 


en S(l) Pr 
= oT  SOSMW-—-SQ) 2 


Analog für die Radien 95, 0,: 


re SM r;r 
ee TOIKTOEEITE)ESEITE; -” 
g,= Den 38) 
= E33) 158% 


Nimmt man statt @ oder # einen zwischen, oder ausserhalb beiden liegenden 
Punkt d, dessen Abstandsverhältnis von «@ und £ wie p:1 ist, so werden alle ent- 
sprechend liegenden Punkte auf den verschiedenen ausgezeichneten Strahlen auf einer 
Kugel vom Radius 0, liegen, der sich, wie leicht zu sehen, aus den Radien 9, und 9g 


folgendermassen berechnet: 


1 1 ll 
Be N 
95 0 0, a a 


Alle diese Kugeln berühren die Ebene A in der optischen Axe; jede von 


OR+1 
ihnen schneidet aus den verschiedenen Brennflächen unter sich ähnliche Brennfiguren, 
aus, deren Dimensionen vom Centrum des Gesichtsfeldes gegen den Rand zu mit der 
dritten Potenz der Entfernung von der Axe wachsen. Man kann daher beispielsweise 
den Satz aussprechen: 

Eine Kugel vom Radius g,, welche die genäherte Bildebene A,,,, im 
Schnittpunkte mit der optischen Axe berührt, schneidet alle zu den leuch- 
tenden Punkten der Objektebene A_, gehörigen Brennflächen nach einem 
Par dreispitziger Hypocyloiden, deren Dimensionen mit der dritten Potenz 
der Entfernung des leuchtenden Punktes von der optischen Axe wachsen. 


545 


83. 
Specielle Fälle und Ausartungen der Brennfläche. 


Für einen leuchtenden Punkt in der optischen Axe ist die Grösse H gleich Null 
und damit vereinfachen sich die Formeln derartig, dass die Brennfläche zur Rotations- 
fläche wird. Es ist dies indessen nicht die einzige Möglichkeit, die Brennfläche zur 
Rotationsfläche zu machen; es gibt vielmehr dioptrische Systeme, welche für jeden 
beliebigen leuchtenden Punkt ausser der Axe — innerhalb unserer Näherung — eine: 
Rotationsfläche als Brennfläche liefern. Um dieses zu erkennen, müssen wir auf die 
Formeln 12 zurückgreifen. Wenn wir hierin die Grösse M=0 setzen, was dem 
Verschwinden des Ausdruckes S(1) $(3) — 5(2)? gleichbedeutend ist, so gehen die- 
selben in folgende Form über: 


AH, — H',(AR'2+LH®) 
NZZ (ARN: - LH): 
Durch Quadrieren und Addieren beiderseits erhält man: 
(42H, + (dZY—= (IR, —R'y (AR + LH’), woraus: 
AR, RAR, TH. 40) 
Durch Division beiderseits: 
AH, _ H% 


WITZ =) 


Daraus erkennt man, dass die Schnittpunkte der Strahlen in den beiden Ebenen A,,, en 
und B,,,, 
Richtungen symmetrisch liegen, wenn dies in einer Ebene der Fall ist. Entsprechende 
Punkte beider Ebenen miteinander verbunden geben demnach Strahlen, welche den 
ausgezeichneten Strahl alle schneiden und um ihn herum symmetrisch gelagert sind. 
Das confokale Kegelschnittsystem der Ebenen DB geht, wie aus den Formeln ersichtlich 
ist, in eine Schar concentrischer Kreise: R’,—const. und das Büschel ihrer Radien: 
H',; 
ZH 


um die betreffenden Anfangspunkte der Coordinaten O, und 0‘, nach allen 


— const. über. 


Für den Meridian der Brennfläche lassen sich dann die Formeln ableiten: 


25 
= Ta GARZLLE) 


DR) 
— v, 1. 
A A woraus: 
Or 
ee 1 F, , 
nic E Ben 2 (« - 2k4-1 IE u) 42) 
Toy A Part 


546 


Diese Gleichung stellt eine Neil’sche Parabel dar, deren Spitze von der Ebene 
i be L Trap e Ä BER - 
A,,,, um die Grösse ee absteht. Die Tangente in der Spitze ist die 
2k-+1 
Rotationsaxe der Brennfläche. Alle Spitzen der Brennflächen, die den leuchtenden 
Punkten der Objektebene zugehören, liegen wieder auf einer Kugelfläche, deren Radius 
durch den Ausdruck: 


REN nn SDrs,L BI. 
Tarn” SOSU) 50) 


43) 
gegeben ist. 

Da der Parameter der Neil’schen Parabel von der Grösse HM (dem Gesichtsfeld) 
unabhängig ist, so sind in diesem Falle alle Brennflächen kongruent. Daher der Satz: 
Wenn für ein gegebenes dioptrisches System und eine gegebene Objekt- 
ebene der Ausdruck: S(1)$(3)— 5?(2) verschwindet, so sind alle Brenn- 
flächen, die zu leuchtenden Punkten der Öbjektebene gehören, con- 
gruente Rotationsflächen, mit einer Neil’schen Parabel als Meridian, 

Mr 
S(4)S(1) — S°’(2) 
Verschwindet auch S(1)8(4)— 8(2)?, ohne dass S(1)—0 wird, was das Ver- 
schwinden von $(2) und $(4) nach sich zieht, so geht jene Kugel in die ge- 
näherte Bildebene über. 

Wird in den Formeln 12 H—-0 gesetzt, also der leuchtende Punkt in der Axe 
angenommen, so werden dieselben auch von M unabhängig und in diesem Falle ist 
daher die Brennfläche dieselbe, gleichviel ob M=—-0 ist oder nicht. Die Formel 42 
gilt daher stets für die Brennfläche des leuchtenden Punktes, der in der Axe liegt. 

Es ist bisher immer die stillschweigende Voraussetzung gemacht worden, dass 
S()—2 AT? nicht verschwinde. Denn sonst wäre ja die Reduktion der Gleichungen 8 
auf die symmetrische Form nicht ausführbar gewesen, da diese eine Coordinatenver- 


deren Spitzen auf einer Kugel vom Radius 0g,— liegen. 


schiebung um Es notwendig machte. Nur in dem einen Falle, wo H=0, 


das heisst der leuchtende Punkt in der Axe angenommen ist, fällt diese Verschiebung fort 
und für diesen Fall gelten also auch unsere Gleichungen, wenn A—-0 gesetzt wird. 
Dann wird aber der Parameter der Neil’schen Parabel, die den Meridian der Brenn- 
fläche bestimmt, unendlich gross, es existiert überhaupt keine Brennfläche mehr, alle 
von dem leuchtenden Punkt der Axe ausgehenden Strahlen schneiden sich nach der 
Brechung bis auf Abweichungen 5. Ordnung wieder in einem Punkt. Wenn dem- 
nach S(l)—0 wird, so ist der Kugelgestaltsfehler des dioptrischen Systems 
in der Axe gehoben. Unter dieser Voraussetzung ist eine symmetrische Gestaltung 
der Formeln für einen leuchtenden Punkt ausserhalb der Axe, wie sich herausstellen 
wird, überhaupt ausgeschlossen. Wenn A-—-0 ist, vereinfachen sich die Formeln 8 
zunächst folgendermassen: 


547 


JAH—=H(—3BH” + HH (E+26)— BZ”) — DH?° 
4Z—Z'(EH’-—-2B HH‘). 
Die erste von beiden lässt sich durch Parallelverschiebung des Coordinaten- 
systems in der Richtung der H'‘-Axe noch weiter reducieren: 
Be . ed en 
AH—=HH'H(E—-@)-2BH',)—- BHR/— DRH?° 
AZ—HZ (H(E--6) —-2BH',). 
Es soll wieder der von der Oeffnung unabhängige Teil von /H abgetrennt und 
mit 4H, bezeichnet werden. 


H 44) 


45) 


IE SQHLT2SE) HS) + T’SC) 


AH=AH,+4H, AH, =—- DH’= WE Jalz 
Die beiden Gleichungen: 
AH,„=HH,.(HE—- @-2BH,„)-BHR)/ 46) 


AZ—HZ H(E—-G@)—2BH‘,) 
werden nun ganz analog den Gleichungen 12 weiter behandelt. 
Um die Strahlen des austretenden Strahlensystems nach Developpablen zu ordnen, 
bilden wir die Differentialgleichung 15, wobei wir folgende Werte für die Differential- 
quotienten einzuführen haben: 


AH, 
a) h 
SEN, | 
Can (E-@9)—6BHH', 
2AZ R 
ZI DE=G—2BER', 
04Z 
ee ee Zi 
a ol, u 2BHZ 
So erhalten wir: 
(aH'n’—2dH',dZ Hr azy=0 47) 


Das allgemeine Integral wird: Z’=4#+24H', und stellt eine Schar confo- 
caler Parabeln dar. 

Geht man von den reducierten Coordinaten auf diejenigen der Diaphragmenebene 
über, und ordnet man die einfallenden Strahlen in Kegel, welche die confocalen 
Parabeln der Diaphragmenebene zu Leitlinien haben, so werden die Strahlen eines 
Kegels nach ihrer Brechung wieder Developpable bilden; daher der Satz: Werden 
in einem dioptrischen System, bei welchem für eine bestimmte Entfer- 


548 


nung der Objektebene der Kugelgestaltfehler in der Axe gehoben ist, die 
von einem Punkt ausserhalb der Axe ausgehenden Strahlen so nach 
Kegeln geordnet, dass die Erzeugenden eines Kegels nach ihrer Brechung 
Developpable bilden, so schneidet eine Ebene senkrecht zur optischen 
Axe die Kegel nach einem System confocaler Parabeln. 

Wir führen nun wieder statt der Grössen H',, Z' die Parameter der confo- 
calen Parabelschar ein: 


IE ern u — Z’—=—ul 48) 
at +4 )) du i 
AH, — # T-HIH(E-6) + B+W]— BH( = RN 


AZ BEINE OL BA Lu): 


Dann gehen wir von den reducierten Coordinaten auf jene der Ebenen Ayyrı 


Bysrı über und erhalten: 
, En Vor 
lg aD 5 E —; 5 — U ea 50) 
2-1 2k+1 
1 N i s Ne 297: 
A a - G)+ B(A+u)] BH( — )! — 
| IkH1 
en) 


v2 R 
A) MEIHE-Q+Bü+N? , —- 
2-1 

Um zur Gleichung der Brennfläche zu gelangen, sei als Coordinatensystem jenes 
gewählt, welches von den Geraden An,,,,,=0 als y-Axe und Ad, als 2-Axe 
und ausserdem von der Verbindungslinie des Ursprungs dieses Coordinatensystems der 
Ebene A,,,, mit dem Punkte Z’—0 H',—0 der Ebene B,,,, als x-Axe ge- 
bildet wird. Letztere Verbindungslinie tritt nunmehr an die Stelle des ausgezeich- 
neten Strahles. 

Unter dieser Voraussetzung lässt sich die Formel 24: 


_ _4IH,) , Tyan _ AH, 2A Port 


N, a 24 
d4dH', or ad OH‘, 0 + 
direkt anwenden. Wenn man nun: 
(AH. > H(E-6) ging 
n wu - — BH(@+u)—BH— 
° 4‘ 
. — — : setzt, so ergibt sich: 
Porı 
x=H{IH(E-G)+B@A + W T — —: 52) 


2 
orrı 


549 


Ebenso gelten für die y und z-ÜCoordinaten die Gleichungen 26: 


} N or e ae 
Y— Any % FR Aa dx 
Hieraus folgt noch Einführung von A und u aus 48 und 49: 
v r, N 
y= rt BH (32 + 6Au— u?) 
Og+ 4 
Var 
2=—- —  ABRH’Nu 53) 
© 


Il 
Par 
x&= H{[H(E— G) + B(3) + )] T — — 


2 
ort 


Wie man aus dieser Gleichung der Brennfläche ersieht, ist die letztere symmetrisch 


v 
zur z&y-Ebene. Führt man an stelle von x einen um: ©, =H?(E— @) nz 
2 2k--1 
Przarı 
verschiedenen Wert x, ein, so dass: %—=BH— — —- (34--.u), so zeigt sich, dass 
21 


die Brennfläche auch symmetrisch zur Ebene —=x, ist. Aendert man nämlich 
gleichzeitig das Zeichen von A und u, so ändert sich weder Grösse noch Vorzeichen 
von y und 2, dagegen das Vorzeichen, wenn auch nicht die Grösse von &,. 

Nach Art der Ableitung geben die Curven w=const geodätische Linien, die 
Curven A=const dazu conjugierte Linien der Fläche, die selbst aus 2 Mänteln besteht. 
Wir wollen dieselbe wieder in eine Au-Ebene abbilden, so dass einem durch das 
Parameterpar A, «u definierten Punkte der Fläche der Punkt mit den rechtwinkligen 
Coordinaten A, «u der Ebene entspricht. Da z nur für Parameterwerte von entgegen- 
gesetztem Vorzeichen reell wird, so entsprechen nur dem 2. und 4. Quadranten der 
Au-Ebene reelle Punkte der Fläche. Jeder der Quadranten ist das Bild eines Mantels 
der Fläche. (Fig. 7.) 

Die Schnitte mit Ebenen &, = const werden durch 
Gerade abgebildet, die in beistehender Figur 7 strich- 
punktiert sind; die geodätischen Linien sind durch 
punktierte, die conjugierten Curven durch ausgezogene 
Linien angedeutet. Die conjugierte Curve A=0 ist 
eine in der z&y-Ebene verlaufende Parabel O0 von 
der Gleichung: 


ee Den DH Be Par TBHu, 
USE 0°, k+1 
\ N NN NN \ - o = k 
NN E ni Ba oklah,,.2 54) 
N oder: y=— Up. 2 
41T? BH», En 
Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 73 


Fig. 8. Dieselbe ist Rückkehrkante der Fläche, da für #—=0 
'  z?=( wird. Die geodätische Linie A=0 liegt ebenfalls in 

der &y-Ebene und zwar ist dieselbe ebenfalls eine Parabel OT, 

deren Oeffnung aber der vorgenannten entgegengesetzt ist. 


De 3 Yon x 
ya Ba, 3 PH 
Oyr+1 3 Ik 


Tirase y5 e” 


ZEHN 


Letztere ist, da fir u=0 2=0 wird, eine einfache 
Symmetrielinie des Mantels. Siehe Figur 8, welche eine Hälfte 
des Mantels darstellt. Auf Tafel I Figur 2 sind die beiden 
Mäntel in ihrem Zusammenhange abgebildet. 

Wird 322 +6uA — uw =0 gesetzt, oder u=(8-+2V3) A, so erhält man den 
Schnitt mit der x2-Ebene: : 


v2 2 
a em otre 
2k-+1 
56) 


2 


WET, nr 
2 HBN 7 (6423) 
6 2k-Hl 


Die erste der beiden Gleichungen zerfällt in zwei solche, welche aber nur reelle 


Coefficienten haben, wenn V3 mit negativem Zeichen genommen wird: 
v —— 
= +2 —"H_BHRV2aV3--3 
Te 


ZI BHTA6-2V3) 57) 
2-1 


1 
z=H 5 


V 
x 


a, ip 1% A 
v1 BHT? (3 — V3)2 
Der reelle Teil des Schnittes mit der &2-Ebene zerfällt demnach in zwei sym- 
metrisch gelegene, im Anfangspunkte sich berührende Parabeln. 
Was die Schnitte mit Ebenen parallel zur y2-Ebene anlangt, so ergibt sich der 


2 


4 | 


Schnitt mit der Ebene z,=0 als besonders einfach. Für ihn ist u—=— 34 also: 
Po v, k-+1 
y=-—- 6. BHN 2=12, —- BUB’M 
Os e 2k--1 
v Sr we . 
oder = +2 HH BHRV3 y=+V3z 58) 


0, k-+1 


A m a 


551 


Er zerfällt demnach in ein Geradenpar. In demselben durchschneiden sich die 
beiden Mäntel. Jeder Schnitt parallel zu der Ebene 2—= x, besteht aus zwei Zweigen, 
von denen einer einer halben Hyperbel, der andere einer Neil’schen Parabel ähnlich 
sieht. Siehe nachstehende Figur 9. 

Fig. 9. Wie aus den Gleichungen 53 unschwer zu entnehmen ist, 

3 unterscheiden sich die möglichen speciellen Brennflächen, abge- 

sehen von ihrer Lage im Raum und ihrer absoluten Grösse 
nur durch das Verhältnis der Querdimensionen zu den Längs- 
dimensionen. Dieses Verhältnis ist, wie aus den Ausdrücken 
für die Parameter der Parabeln 54, 55, 57 ersichtlich wird, 
von der ersten Grössenordnung und proportional dem Gesichtsfeld. 

Ueber die Lage der speciellen Brennfläche gegenüber dem 
optischen System gelten ganz ähnliche Bemerkungen wie im 
allgemeinen Falle. Hat der leuchtende Punkt verschiedene Distanz von der optischen 
Axe, so werden die 2-Axen der Coordinatensysteme, auf welche die den verschiedenen 
Lagen desselben zugehörigen Brennflächen bezogen sind, in erster Näherung gegen 
einen Punkt der optischen Axe convergieren, dessen Entfernung e von der Ebene 


B,,., ähnlich wie im allgemeinen Falle berechnet wird. Sie ergibt sich hiebei zu: 
Br GR ee 59) 
2 Bo, (8 9% — 2 B O'zr) 


Die Entfernung der zur y2-Ebene parallelen Symmetrieebene der Brennfläche: 


Vs; 
%o—- (E-G6)7 oo H° ist dem Quadrate der Entfernung des leuchtenden Punktes 
2R--1 
von der optischen Axe und damit auch dem der genäherten Entfernung des Bild- 
punktes von der Axe proportional, woraus wieder folgt, dass die Punkte der x-Axe, 
für welche @—=x, ist, auf einer Kugelfläche liegen, welche die genäherte Bildebene 


im Schnitt mit der optischen Axe berührt und deren Radius sich zu: 


Po = Por 


TEE 


berechnet. 60) 


Satz: Ist der Kugelgestaltsfehler eines dioptrischen Systems in der 
Porti 
8(3) — 5 (4) 
aus den Brennflächen, die zu den verschiedenen leuchtenden Punkten 
einer Objektebene gehören, je zwei (unendlich kleine) Stücke von Ge- 
raden aus, die unter einem Winkel von 60° zusammenstossen. Je nach- 
dem die Grösse $(2) positiv oder negativ ist, kehrt sich der Scheitel des 
Winkels gegen den Rand oder gegen die Mitte des Gesichtsfeldes. 

13* 


Axe gehoben, dann schneidet eine Kugel vom Radius o= 


{eb} | 
[>| 
ID 


5(2) 
272 
verschwindet.!) Hier lässt uns wieder die vorhin angewendete Coordinatentransfor- 


Wir kommen nun zu dem Falle, dass die Grösse BD — 


neben A oder S(1) 


mation A'’=H',4-H', im Stich, da B,—4,H unendlich gross würde. Die 


Formeln 8 lauten in diesem Falle: 


AH=H(E2Q)EP— DR: 


ARAzER 26 > 
Es bedarf hier keiner weiteren Verschiebung des Coordinatensystems H‘ Z‘ mehr, 
dagegen wird man für /H= 4H,-—+ 4H, schreiben, wobei wieder 4H, = — DR? ist. 
So ergibt sich: 
AH,=H(E+2G02 
(E+26) = 


47 — Zu H- 
Die Abbildung der H’Z'-Ebene in die 4H,4Z-Ebene ist in diesem Falle 
einfach eine affine. Das Strahlensystem, welches die entsprechenden Punkte der 
Ebenen A,,,, und >; „, verbindet, wird ein lineares; an stelle der Developpablen 
treten Ebenen, die sich in den Direkticen (Brennlinien) schneiden. Die Brennfläche 
selbst degeneriert in die beiden Direkticen und besteht aus 2 geraden Brennlinien. 
Die Curven der Ebene H’Z', welche den Developpablen entsprechen, sind die Ge- 
raden H'=A, Z'=u. Die entsprechenden Curven der Ebene JH, 42: 


AH,=ME+2G)P, AZ=uER®. 63) 


Von den reducierten Coordinaten auf diejenigen der Ebenen A,,,, Ds,,, über- 
gehend, erhält man: 


‘ Portı = Yo x 
/) eh 0‘ — H? 64) 
Zahl OR-L1 
Y ' - 2 4t Ze { 
Dean ne Sonne EH 65) 
2k-H-1 ort 


Führt man als x-Axe die Gerade, welche die Punkte mit den Parametern 
A=(0 u=0 verbindet, ein, während die y und z-Axe mit der /n und J{-Axe der 
Ebene A4,,, hr zusammenfallen, so erhält man für die &-Coordinaten der Brennlinien: 


v, 
2, =—(E+20)HT - 
2k-1 66) 


v 
9 2k--1 
EN 2 m. 
%, =EH?’1 Pr 
2k-H1 


1) Die Diskussion dieses Falles findet sich bereits in den astronomischen Nachrichten 1027 ff. 


r 


99 


(ob)! 


In ersterer schneiden sich die Strahlen, welche den Punkten der Geraden 
«== const, in letzterer die Strahlen, welche denen der Geraden A= const entsprechen; 
erstere ist daher parallel zur 2-Axe, letztere zur y-Axe. 

Diejenigen Punkte der x-Axe, in welchen sie von den Brennlinien geschnitten 


wird, haben wieder Entfernungen x,, &, von der Ebene A die dem Quadrate des 


2k-H1? 
Gesichtsfeldes proportional sind. Sucht man diese Punkte für alle leuchtenden Punkte 
der Objektebene auf, so liegen dieselben auf zwei Kugelflächen, deren Radien oe, und oe, 


durch die Formeln: 


Vorrı Yortı 


2 Sorzrsep, 2 50 on 


bestimmt sind. 


Herr Professor v. Seidel hat in den Astronomischen Nachrichten nachgewiesen, 
dass bei dem von Fraunhofer konstruierten Objektiv des Königsberger Heliometers 
die Bedingung $(2)=0 nahezu erfüllt ist und knüpft daran den Vorschlag, die Be- 
dingung, unter welcher die Brennflächen in Brennlinien degenerieren, Fraunhofer- 
bedingung zu nennen. Innerhalb der Grenzen unserer Näherung fällt dieselbe mit 
der Abbe’schen Sinusbedingung zusammen, wie Seidel in einem Vortrag in der 
Sitzung der k. Akademie der Wissenschaften auseinandergesetzt hat. 

Die beiden durch die Coordinaten- «, und x, bestimmten Punkte fallen dann in 
einen einzigen zusammen, wenn die Grösse @ zu Null wird. Da S(1) und S(2) 
bereits gleich Null vorausgesetzt sind, so bedeutet das Verschwinden von @ dasselbe 
wie 5(3)=0. Tritt dieser Fall ein, so entspricht jedem leuchtenden Punkt der 
Öbjektebene ein bestimmter leuchtender Punkt, in dem sich die gebrochenen Strahlen 


; v, 
schneiden. Alle diese Bildpunkte liegen auf einer Kugel vom Radius: 0, = — 


se 


welche die genäherte Bildebene A in der Axe berührt. Damit diese Kugel zur 


2R-t1 
Ebene werde, muss auch noch 8(4) verschwinden. Dann bildet sich die Objektebene 
thatsächlich scharf auf die Bildebene ab. Aber noch nicht correkt. Zwar wird das 
Correktionsglied JZ=0, aber IH= — DH? zeigt an, dass der wahre Bildpunkt 
von dem durch die Näherung bestimmten Ort um eine Grösse absteht, die der dritten 
Potenz des Gesichtsfeldes proportional ist. Erst, wenn auch D verschwindet, was 
8(5)=0 bedeutet, findet eine punktweise, vollkommen scharfe und korrekte Abbildung 
‘der Objektebene auf die Bildebene statt. 

Das Verschwinden der 5 Summen $(1), $(2), (3), 5(4), $(5) ist not- 
wendige und hinreichende Bedingung für das Zustandekommen eines 
scharfen und correkten Bildes. 


eb} | 
bi | 
> 


8 A. 
Die Lichtflecke an stelle der scharfen Bilder leuchtender Punkte. 


Abbildung der Blendenebene in die Schirmebene durch die von einem leuchtenden Punkt 
ausgegangenen Strahlen. 


Nach den Untersuchungen der vorigen Paragraphen über die Brennfläche der 
gebrochenen Strahlen ist es unmittelbar klar, dass ein leuchtender Punkt durch ein 
dioptrisches System in der Regel nicht als scharfer Punkt abgebildet wird. Wenn 
wir die gebrochenen Strahlen mit einem Schirm auffangen, so wird — selbstverständ- 
lich vorausgesetzt, dass in erster Näherung ein reelles Bild zu stande kommt — bei 
keiner Stellung des Schirmes ein scharfes Bild erscheinen, sondern stets ein mehr oder 
minder ausgedehnter Lichtfleck. Nach Massgabe der Lage, Grösse und Helligkeits- 
verteilung dieses Lichtfleckes und der Veränderung desselben, einesteils bei verschiedener 
Abblendung des Linsensystens, andernteils bei verschiedener Entfernung des leuchtenden 
Punktes von der Axe und endlich bei Verschiebung des Schirmes ist die optische 
Leistung zu beurteilen. Dies ist von hervorragenden Autoritäten auf dem Gebiete der 
optischen Praxis betont und geübt worden.!) Streng genommen ist indessen diese 
Beurteilung nur dort gerechtfertigt, wo die Projektion auf einen Schirm wirklich 
Zweck des optischen Systems ist, also hauptsächlich bei photographischen Objektiven. 
. Dass die Sachlage bei optischen Systemen, die zur ÖOcularbeobachtung dienen und 
welche demnach für sich betrachtet ein virtuelles Bild des Gegenstandes liefern, nicht 
unwesentlich anders ist, geht schon daraus hervor, dass beispielsweise bei sonst scharfer 
Abbildung die Krümmung des Bildfeldes in ersterem Falle sehr störend wirkt, während 
sie im letzteren Falle sogar zur Verbesserung des Bildes beitragen kann, falls ihr 
Radius der deutlichen Sehweite nahe kommt. Eine strenge mathematische Behandlung 
des zweiten Falles hängt von der Erledigung gewisser Fragen physiologischer Natur 
ab, bezüglich der Auffassung der Unschärfe eines astigmatischen Strahlenbündels mit 
sehr geringer Distanz der Brennpunkte durch das Auge. Er soll hier ausser Acht bleiben. 

Ehe zur Untersuchung der Lichtflecke selbst übergegangen wird, soll die Ordnung 
des Systems der gebrochenen Strahlen abgeleitet werden, da ihre Kenntnis für das 
Folgende von Wichtigkeit ist. Wir suchen zu dem Zweck die Anzabl der Strahlen 
auf, welche durch einen Punkt der Ebene Ayıı gehen. Wir gehen dabei von den 


Gleichungen 12 in reducierten Coordinaten aus: 
AHB,„=H',(AR+(L-+2M)B?) 12a) 
IZ=ZZARRT LE 12b) 


1) Dr. A. Steinheil, Ueber den Einfluss der Objektivkonstruktion etc. Sitz.-Ber. der math.- 
phys. Classe der k. b. Akademie der W. 1889 Bd. XIX. 
A. Steinheil und E. Voit, Handbuch der angewandten Optik 1. Bd. 


[eb 
ou 
(eb) 


Aus der ersten Gleichung folgt: 
AZ ADLER EMEH 
al 


Setzt man diesen Wert in die zum (Quadrat erhobene zweite Gleichung, so 


Zr 


ergibt sich: 
AH ZA ENDEN) H: 
Au 


7,7 — * (AH,—2MHH',). 68) 

Das ist eine Gleichung 5. Grades für H‘,; zu jeder Wurzel derselben finden 
sich aus der Gleichung 12a) 2 gleiche und entgegengesetzte Werte für Z, von denen 
aber nur der eine der Gleichung 12b) genügen kann. Es gibt also zu einem be- 
stimmten Wertepare 4H,, JZ 12 Wertepare H'‘,, Z‘, welche den Gleichungen 
genügen. Berücksichtigen wir den Umstand, dass /H, und JZ einen Punkt der 


Ebene Ayının ebenso 7‘, und Z’ einen solchen der Ebene 5 festlegen und die 


IR+1 
durch die Formeln 12 zusammengebundenen Punkte auf Strahlen des Systems liegen, 
so folgt, dass durch einen Punkt der Ebene A,,,, 5 Strahlen des Systems der ge- 
brochenen Strahlen gehen, die natürlich zum Teil imaginär sein können. Da die 


Ebene Ay, in Bezug auf das Strahlensystem keine ausgezeichnete Rolle spielt, so 


folgt, dass das System der gebrochenen Strahlen 5. Ordnung ist. Für M=0 redu- 
ciert sich die Ordnung auf die dritte, wie aus der Gleichung unmittelbar zu ersehen 
ist; wir haben es dann mit dem schon betrachteten Fall zu thun, in dem die Brenn- 
fläche Rotationsfläche wird. In dem Falle A=(0 muss man von den Gleichungen 46 
ausgehen und findet dann auf ganz analogem Wege, dass hier die Ordnung 4 ist. 
Die Klasse des Strahlensystems ist im allgemeinen Falle gleich 3. Denn, denken 
wir uns eine beliebige Ebene €, welche die Ebene A,,,, nach der Geraden ©: 
«a4H+P4AZ+y=0 und die dazu parallele Ebene P,,,, nach den Geraden ©: 
«H'+PZ'-+y,—=0 schneidet, so werden den Punkten ersterer Geraden © in A, ,, die 


k--1l 
Punkte einer Curve 3. Ordnung in B entsprechen, wie man durch Einsetzen der 


2-1 
Ausdrücke von AH und JZ nach den Gleichungen 12 erkennt. Diese Curve 
3. Ordnung wird von der Geraden &' in drei Punkten geschnitten, welche mit den 
drei ihnen entsprechenden Punkten von © verbunden die drei Strahlen des Systems 
liefern, die in der beliebigen Ebene € liegen. Für A=0 erniedrigt sich die Klasse 
auf zwei. Das für A=0 und 5= 0 Orditung und Klasse gleich eins werden, wurde 
schon erwähnt. 

Nach diesen Vorbemerkungen gehen wir dazu über, den Schnitt des Systems 
der gebrochenen Strahlen mit einer Ebene auszudrücken, die in geringer Entfernung & 
von der genäherten Bildebene A,,,, parallel zu dieser angenommen wird. Dazu 
dienen die Gleichungen 26: 

Nor 


N N 
ent 75: 


y=4n 


556 


wobei wir nunmehr unter x, y, 2 nicht mehr wie früher die Coordinaten eines Brenn- 
punktes, sondern eines beliebigen Punktes des durch Angszızs Ibarıı gehenden 
Strahles bezogen auf das gleiche Coordinatensystem verstehen. 


Wir führen zunächst die reducierten Coordinaten H7',, Z', R', ein und erhalten: 


Porrı Va 7 "rt Z' 
= —& . AIR —ı 
Y AH, x MR Oprr13 8 Gyr Am Or 
0° .. Br Mi 
y-H, [AR +G+ am Ir» Ze | er 69) 


Bol Goran 


Po Yon 
= Z AR +2H er | 2 


y 
2k-H1 % k-H1 


Wir können aber auch. an stelle derselben ihre Ausdrücke in den elliptischen 
Parametern A und u setzen und beiderseits quadrieren: 


0° ; 
iu Aleu+ Dr ZH Aut] 2 

Trzar 1 

_ ae \ 

MH orrı 70) 
o, : 
(MI AN (MH + Au) |a+D#—- Ze AH] ya 

2 2R-1 2er] 

AMH’ Porrı 


Das erste Gleichungspar ist der analytische Ausdruck für jene Abbildung der 
Blendenebene B_, (worauf wir uns die reducierten Coordinaten H', Z‘ bezogen denken) 
auf die Schirmebene, die durch die Schnittpunkte des von einem bestimmten leuch- 
tenden Punkt ausgegangenen Strahles vor und nach der Brechung in dem Systeme 
geometrisch definiert wird. 

Das zweite Gleichungspar vermittelt eine Beziehung zwischen den Punkten der 
Schirmebene und den Parametern A u eines Strahles, welche wir als Abbildung der 
Schirmebene auf die Aw-Ebene, die wir schon bei der Diskussion der Brennfläche 
benützt haben, auffassen. 


Endlich können wir die Gleichungen 19: 


Be 79. za (MH°’+ AN (MH’+ Au) 
em AMH?: = 


zur Definition einer Abbildung der Schirmebene auf die A u-Ebene benützen. 

Von den drei Abbildungen interessiert uns zunächst die erste, welche Blenden- 
und Schirmebene betrifft. Die beiden andern zusammen sollen eigentlich nur die 
erste ersetzen und die Einschiebung der Au-Ebene hat nur den Zweck, die Auf- 
findung ausgezeichneter Curven in der Blenden- und Schirmebene zu erleichtern. 


997 


Es sollen nun die für das Folgende wichtigen Eigenschaften der drei Abbildungen 
kurz betrachtet werden. 
Bezüglich der dritten ıst zu bemerken, dass einem Punkte A « vier symmetrisch 


gegen die Axen verteilte Punkte der Ebene 5_, entsprechen. Damit dieselben reell 


a) 
seien, muss der Punkt Au in den schon früher bei der Diskussion der Brennfläche 
bemerkten zwei Streifen (s. Fig. 2) liegen, für welche sowohl A und u entgegengesetztes, 


als MH°’-- AA und MH’-+ Au gleiches Vorzeichen haben. Umgekehrt gehören 
zu einem Punkte der Ebene B_, zwei Punkte 4 u. Sind nämlich «@ und £ die 


i (Hg? Air 
Wurzeln der quadratischen Gleichung: ir nem — ], dann genügen die 
—_— 


Parameterpare A=a u=f, A=ß u=a den Abbildungsgleichungen 19. Die ent- 
sprechenden Punkte der 4 u-Ebene liegen symmetrisch zur Geraden «= auf die beiden 
Streifen verteilt. Man kann daher auch einen Streifen unterdrücken und sich dafür den 
andern doppelt mit Punkten Au überdeckt denken. Mechanisch würde dies so ausgeführt, 
dass wir die eine Hälfte der Au-Ebene um die Linie A=u in die andere Hälfte 
umklappen, wodurch beide Streifen mit den entsprechenden Punkten zur Deckung 
kommen. Siehe Figur 2. Den Begrenzungen dieses Streifens, die durch 40, 


2 
Zu gebildet wird, ent- 


A 
5 i E MH’ Me 
spricht die doppelt gezählte Z‘-Axe; der Begrenzung A = — Er positiv die 
doppelte H‘,-Axe. Einer beliebigen Curve des Streifens, unter welchem Winkel sie 
auch dessen Begrenzungen treffen mag, entspricht eine symmetrisch zu beiden Axen 
liegende Curve der Blendenebene, welche die Axen im allgemeinen senkrecht durch- 
schneidet. So z. B. geht die Gerade: A+«a u+P—=0 in die bieirkulare Curve 


4. Ordnung: 


u positiv und u—0, A negativ, aber absolut kleiner als 


= ei = see nee 


2 MH’ Ne Pe 


| Are 
71) 


über, welche für @—=1 in einen doppelt gezählten Kreis, für # —0 in zwei zur Z'-Axe 
symmetrisch gelegene Kreise zerfällt. In letzterem Falle findet eine Ausnahme von 
dem senkrechten Durchschnitt mit der Z'-Axe statt; hier geht aber auch die Gerade 
A+a u+fß—0 durch den Anfangspunkt, in welchem das Bild der Z’-Axe unter 
einem rechten Winkel gebogen erscheint. Jeder Curve, die durch den Anfangspunkt 
der Au-Ebene einfach hindurchgeht, entspricht eine Curve mit Doppelpunkt auf der 
Z'-Axe. Berührt eine Curve der Au-Ebene den Rand des Streifens von innen, 
so hat die entsprechende Curve der Blendenebene Doppelpunkte. So gehört zu 
der Hyperbel: 
Abh.d. 11. Cl.d.k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 74 


(5) | 
[eb] | 
[0 0) 


ja nein en 
Ta +i+-u+a Wir =), 72) 


welche die A und «-Axe berührt, das Par von Kreisen: 
Z°+H,Fo%=}%, 73) 
welches auf der Z’-Axe Doppelpunkte hat. 

Weit komplieierter ist die Abbildung der Schirmebene auf die A u-Ebene. 
Einem Punkte Au entsprechen zwar auch 4 symmetrisch verteilte Punkte der Schirm- 
ebene; aber einem Punkte der letzteren entsprechen nicht weniger als 10 Punkte A u. 
Nach dem früher Bemerkten gehören zu einem Punkt der Schirmebene 5 Punkte der 
Blendenebene und zu jedem derselben wieder 2 symmetrisch zur Geraden A=u 
gelegene Punkte der Au-Ebene. Reellen Punkten der Schirmebene entsprechen 
wiederum blos Punkte innerhalb der bekannten Streifen der A u-Ebene, von welchen 
wieder der eine unterdrückt und dafür der andere doppelt mit Punkten bedeckt 
werden soll. Innerhalb des einen Streifens gehören immer blos 5 allerdings doppelt 
zählende Punkte zu einem Punkte der Schirmebene. Die Ränder des Streifens ent- 
sprechen, wie bei der vorigen Abbildung die 2 und y-Axe und zwar, wie sich später 
zeigen wird, in ganz analoger Weise; ausserdem bilden sich auch die Geraden der 
A u-Ebene, die beim Nullsetzen der quadratischen Faktoren der Abbildungsformeln 70 
auftreten, in die Axen der Schirmebene ab. Von besonderem Interesse sind endlich 
jene Punkte der Schirmebene, welchen zusammenfallende Punkte der A «-Ebene 
und was hieraus folgt, auch zusammenfallende Punkte der Diaphragmenebene ent- 
sprechen. Dieselben bilden nämlich den Uebergang zwischen denjenigen Partien, 
welchen fünf, drei oder ein reeller Punkt der Diaphragmenebene entsprechen. 
Dieser Uebergang findet aber an dem Schnitte der Schirmebene mit der Brennfläche 
statt, da die letztere die Teile des Raumes gegeneinander abgrenzt, welche fünf, drei 
oder einen reellen Strahl durch einen gegebenen Punkt haben. In der A u-Ebene ist 
die Grenze einfach durch die Geraden: 


0 
GM+DEP—-— —- +4@l4m)=0 25) 
2k-+1 
Ger 
und 38M+L)EB—x-— "+ 4Al@-+3u)=0 gegeben. 
5 Proyıy 


In der That gehen die Gleichungen 70, wenn man mit Hilfe einer der obigen 
Gleichungen & eliminiert ih die Gleichungen 27 der Brennfläche, wobei nur einmal 
) und « vertauscht sind, über. Diese beiden Geraden stellen demnach das Bild der 
Schnittkurve unserer Schirmebene mit der Brennfläche dar. Wir nennen diese Schnitt- 
kurve die Brennlinie der Schirmebene. Danıt haben wir die bei der Abbildung aus- 
gezeichneten Linien der A u-Ebene erschöpft. Sie mögen zur Uebersicht noch einmal 
zusammengestellt werden: 


UL $ ul 2 


559 


a) At 

b) u=0 : ; | Diese 3 Geraden entsprechen 
0) QM+ D)H—x — AT | der z2-Axe der Schirmebene. 
d) MH? +Al=0 

e) MH?+Au=0 | Diese 3 Geraden entsprechen 


Tv 


(MDR —x Por ee | der y-Axe der Schirmebene. 
2k-pl 


Tv 


an Diese 2 Geraden entsprechen 


der Brennlinie der Schirm- 


0? N 
h) BU+DP— +43 n=o| ebene.) 
IR-p1 


0% 
gs) (3 M-+L)H?— Er 


Zeichnen wir auf der A u-Ebene eine beliebige Ourve, welche alle oder einige 
dieser 8 ausgezeichneten Geraden schneidet und in dem bekannten Streifen verläuft, 
so entspricht ihr in der Schirmebene eine ganz bestimmte Curve, welche jenen 
Schnittpunkten entsprechend eine Reihe von Besonderheiten aufweist. Dieselben lassen 
sich an der Hand der differentierten Abbildungsgleichungen 70 leicht verfolgen. 


lot: 5 Kee q On 
dy— EN ge ja en Se ee N 
“ - VA | a = ur.) l 
0 3 
a ——-(AGR +) +@M+D)B’— a "-)| 
Va 2rrı /- 74) 
y 0% 
= a LEID (dort W+EMtI IR a) 
20,1, HVAM VMH?®+AR 
VMH?+A) On a 
+d A re 
Va (AR 3W+ EM) 1.) 


Für A = 0 oder u = (0) wird — ganz unabhängig von dem Verhältnis von dA:d u — 
dy unendlich gross im Vergleich zu dz; 
dieses Verhältnis unbestimmt. Einer solchen Fortschreitungsrichtung der A «-Ebene 
entspricht dann keine bestimmte der Schirmebene, sondern im allgemeinen zwei ge- 
trennte (Doppelpunkt). Analoges gilt für d) und e); daher: 

Ueberschreitet die Curve der Au-Ebene eine der Geraden a), b), d), e) 
innerhalb des Streifens unter beliebigem endlichen Winkel, so durchsetzt 


die entsprechende Curve der Schirmebene eine der Axen unter rechtem 


1) Auf Tafel III sind zwei verschiedene Fälle solcher Geraden octupel abgebildet. 
74* 


560 


Winkel; berührt erstere Curve eine der Geraden, so hat letztere auf einer 
der Axen einen Doppelpunkt. 3 

Wenn c) oder f) erfüllt ist, so tritt bei beliebigem Verhältnis dA:dwu keine 
Besonderheit des Verhaltens von dy:dz ein; da aber den Geraden c) und f) Sym- 
metrieaxen der Schirmebene entsprechen, so muss zu jedem eine solche Symmetrieaxe 
unter spitzem Winkel schneidenden Zweige noch ein zweiter symmetrisch gelagerter 
vorhanden sein, der mit ersterem einen Doppelpunkt bildet. 

Schneidet die Curve der Au-Ebene eine der Geraden c) und f), so hat 
die entsprechende Curve in der Schirmebene einen Doppelpunkt auf 
einer der Symmetrieaxen. 

Wenn endlich g) oder h) erfüllt ist, wird der Wert von dy:dz im allgemeinen 
ganz unabhängig von dA und du und zwar gleich dem Werte von dy:dz in dem 
entsprechenden Punkte der Brennlinie auf der Schirmebene. Nur wenn g) erfüllt ist 
und gleichzeitig dA:du=0, oder h) erfüllt und da:dA=(0 wird der Wert von 
dy:dz ein anderer. Da an den Brennlinien, die den Geraden g) und h) entsprechen, 
der Uebergang von der fünffachen zur dreifachen bezw. von der dreifachen zur ein- 
fachen Ueberdeckung stattfindet, so muss das Bild einer Curve, welche g) oder h) 
passiert, an der entsprechenden Brennlinie notwendig in den ursprünglich innegehabten 
Bereich zurückkehren, da sich jenseits der Brennlinie keine reelle Fortsetzung findet. 


Fig. 10. 


Ebene 4 u. Schirmebene. 


561 


Fig. 12. Diese Umkehr kann bei einer Berührung der 
Brennlinie eintreten oder auch bei Bildung einer 
Spitze, welche an der Brennlinie aufsitzt. 

Wenn die Curve der Au-Ebene eine 
der Geraden g) oder h) quert, so berührt 
die entsprechende Curve der Schirmebene 
die Brennliniee Ausgenommen sind nur 
die Fälle, in welchen erstere Curve die 
Gerade 9) in der Richtung u=const, oder 
die Gerade h) in der Richtung A=const 
durchsetzt; dann setzt sich nämlich die 
7 Curve der Schirmebene mit einer Spitze 
an die Brennlinie. 


© 
oe. 


F Zur Erläuterung sei in Fig. 11 für ein bestimm- 
< tes System der Geraden a) .... h) (siehe Fig. 10) 
die entsprechende Brennlinie der Schirmebene und 
der Verlauf der Curve, die der punktierten Geraden A = const entspricht, dargestellt. 
(Diese Curve ist der Schnitt einer Developpablen des Systems der gebrochenen Strahlen 
mit der Schirmebene). 


Entsprechende Öurven sind durch gleiche Punktierung, entsprechende Punkte 
durch eingeschriebene Zahlen kenntlich gemacht. 

Wie man aus dem Verlaufe der Curven in der Nähe der Brennlinien im Ver- 
gleich zu den entsprechenden der A u-Ebene ersieht, werden die auf verschiedenen 
Seiten des Bildes der Brennlinie in der Au-Ebene gelegenen Punkte auf die eine 
Seite der Brennlinie abgebildet, so dass die Verteilung der Punkte in der Schirmebene 
nahe der Brennlinie ähnlich ist, wie sie durch Umklappen der einen Hälfte des Streifens in 
der A u-Ebene um eine der Geraden g) oder h) erhalten wird. Durch solche Zusammen- 
faltungen und damit parallel gehende Verdehnungen des Streifens lässt sich ein ganz 
“ anschauliches Bild der verwickelten Verhältnisse der Abbildung gewinnen. Siehe Fig. 12. 
Sie stellt den deformierten und gefalteten Streifen vor und ist ein Viertel des Con- 
tinuums, auf dem sich die Parameterwerte A «u ohne Unterbrechung eindeutig durch 
Punkte darstellen lassen, die über den entsprechenden Punkten der Schirmebene liegen. 
Man sieht leicht, dass das gesammte Continuum den inneren von dem sternförmigen 
Teil der Brennlinie umschlossenen Teil fünffach, den von der elliptischen Figur be- 
srenzten dreifach und den ausserhalb beiden liegenden einfach überdeckt. 

Es unterliegt nun weiter keinen Schwierigkeiten, die Diaphragmen- und die 
Schirmebene direkt in Beziehung zu setzen. Den beiden Geraden g) und h) der 
A u- Ebene entspricht eine bieirkulare Raumkurve 4. Ordnung, die wir aus Gleichung 71 


en, 
erhalten, wenn wir = be undedr— (@ M+LH—x u) :3 A setzen. 
3 Przur 


562 


a2 2 02 
3AlZ? HM )+LE’— 2 -)+6 Bauen X 
( *F Tyan ( Tvoyr, ) 
ur 75 
ReACES rn, > )- 12AMA2H 20V 
2R-+1 


Diese Curve trennt dann in der Diaphragmenebene die Gebiete, welche zu den 
verschiedenen Teilen der Brennfigur beitragen, z. B. Fig. 13. 


Ries. 
Diaphragmenebene. Schirmebene, 


Hier sind entsprechende Teile des Diaphragmas und der Brennfigur in gleicher 
Richtung schraffiert und entsprechende Punkte mit gleichen Ziffern bezeichnet. 


Wenn wir die Voraussetzung machen, dass der Kugelgestaltsfehler in der Axe 
des optischen Systems verschwinde, also A gleich O sei, werden die Gleichungen, welche 
die Abbildung der Blendenebene in die Schirmebene definieren, ganz erheblich einfacher: 


« 


” 0? $ 
a (m, (H(E— GC 2BHu on, 2 


Por Por 
et u (PP(E-@)—2BHN,— u x 
O5 ; Tyan 


Wir können uns bei der weiteren Betraehtung sogar den Umweg über die 
A u-Ebene ersparen, sobald wir uns überzeugt haben, dass die Curven der Diaphragma- 
ebene, welche in Brennlinien der Schirmebene übergehen, einfach Hyperbeln mit 


parallelen Asymptoten werden. Zu diesem Zwecke haben wir aus den drei Gleichungen 
48 und 52: 


EEE 


a 


565 


V 
m, Z’=—Au, s=HIH(E- + B(l+W] TG 
S 2k-1 


die Parameter A und « zu eliminieren. 
PH —A—u 


20°, H(E--G6) 
2R-t1 eh am: 
BHT»,,., B ua 
ee HD6G) 
N ee 
Aue H(E— 6) 
3BHT»,., Te on 
%0°,, EN: 
ZT EBBERE ‘ 2k-H1 ER \ 
2>—3(H4+ 3BHT»,, 3B 
| 77 
ar 1 ( ER, H( DI G) je ) 
TEE ar B 


Der Neigungswinkel der Asymptoten beträgt 60°. Die reelle Axe liest stets 
in der 7'‘,-Ebene. Den Charakter der Brennlinien in der Schirmebene haben wir 
bereits kennen gelernt. Fig. 9. 

Fig. 14. 
Diaphragmenebene. Schirmebene. 


Hiernach gestaltet sich die Verteilung der Gebiete in der Abbildung so, wie es 
in vorstehender Figur 14 durch Schraffierung und Bezifferung angedeutet ist. Da das 
Strahlensystem in diesem Falle 4. Ordnung ist, so kommen in der Schirmebene vier- 
fach, zweifach und gar nicht überdeckte Stellen vor. 

Besondere Beachtung verdient der Fall, bei dem die Schirmebene in der Sym- 


SER 

. es 2k--1 , 

metrieebene der Brennfliche = x, = 2 El M2(E—G) angenommen wird. 
2-1 


564 


Hiebei gehen die Brennlinien in ein Par unter einem Winkel von 60° geneigte 
Gerade über. Vergl. Fig. 9. Die Gleichungen 76 reducieren sich folgendermassen: 


a2 EHE 5 1 2 
ee een Aelyren 
Or 78) 
Dh i 
Er er TEN 
Or 


Die Hyperbel 77 degeneriert in ein Geradenpar: Z?—3H',*=0, welches 
auch einen Winkel von 60° einschliesst, aber gegenüber den Brennlinien um 90° 
verdreht erscheint. 


Die zwei konjugierten Hyperbeln der Blendenebene, welche durch die Gleichung: 
Z®—-3H 2 =-o0? 79) 


gegeben sind, werden bei der Abbildung in eine einzige Hyperbel verwandelt von 
der Gleichung: 


a?» 
24-H1 2 
je Jah 80) 
2T-H1 


> y — 32 


Gerade wie: Z'’=H‘.-const. sehen wieder in Gerade: y==2- const. über; 
7 g Y ) 


’ 2 AN, en 
aber einer Geraden: 7 =c entsprechen zwei Gerade: Z. =c+V/e—3. 
2 


Ausserhalb der Geraden: = =c, welehe c=-+YV 3 entsprechen, findet also keine 


reelle Abbildung mehr statt. Topologisch kann man sich die Abbildung der Blenden- 
ebene in die Schirmebene durch nachstehende Zusammenfaltung der ersteren ver- 
sinnlichen. Fig. 15. 

In den Fällen, wo das Strahlen- 
system 3. Ordnung wird, sind die Brenn- 
flächen stets Rotationsflächen, die hier 


in Betracht kommenden Schnitte daher 

+ LS Kreise. Ebenso ist die Curve der Dia- 
HE phragmenebene, welche den Punkten der 
Brennlinie entspricht, ein Kreis. Das 
Innere der Brennlinie auf der Schirm- 
ebene wird von den Bildpunkten, der 


5 Blendenebene dreifach, das Aeussere ein- 
fach überdeckt. 


Fig. 15. 


D*} 


ram 


, 


565 


8:8. 
Die Helligkeitsverteilung des Lichtfleckes. 


Es ist zu erwarten, dass der Lichtfleck in seinen verschiedenen Teilen sehr ver- 
schiedene Grade von Helligkeit besitzt, da nicht nur die verschiedenen Gebiete eines 
solchen, wie wir eben bei der Diskussion der Al#ildung von Blenden- und Schirm- 
ebene bemerkt haben, Licht von fünf, drei oder einem Teil der durch das Diaphragma 
tretenden Strahlen bekommen, sondern auch die Strahlen verschieden stark gegen die 
Schirmebene zusammengedrängt sind. Um hierüber Aufschluss zu erhalten, stellen 


wir folgende Betrachtung an. Wir begrenzen in der Blendenebene B_, ein be- 


1 


stimmtes Flächenstück F‘'_.. Durch den Rand desselben geht ein Kegel einfallender 


1 


' Strahlen. Die gebrochenen Strahlen schneiden die Ebene P,,,, nach einer Curve, 


die das Flächenstück F",,,, 
ebene ein Flächenstück F,,,,. Ersteres ist bis auf Grössen 3. Ordnung dem Flächen- 


begrenzt und ebenso bestimmen dieselben in der Schirm- 


stück F'_, der Blendenebene ähulich, letzteres hat Dimensionen, die überhaupt nur 
von der dritten Grössenordnung sind. Die einfallenden Strahlen denken wir uns von 
dem leuchtenden Punkt aus nach allen Richtungen gleich dicht geschart. Als Mass 
für die Menge der einfallenden Strahlen, die in dem von F'_, begrenzten Kegel ent- 
halten sind, können wir demnach jenen Teil F*, einer Kugel vom Radius 1 um den 
leuchtenden Punkt als Centrum gelten lassen, welcher von dem Grenzkegel der ein- 
fallenden Strahlen umschlossen wird. Das Verhältnis nun der Fläche F", zu der 


entsprechenden Fläche F,,,, soll als mittlere Helligkeit ö,, des Lichtfleckes innerhalb 


des Flächenstückes F',, us bezeichnet werden; also: 
0, = F — Fi Ds B Fan 81) 
” — Forpı EN, Pan Fafı 
Der Bruch N °_ ist bis auf Grössen 2. Ordnung dem Quadrate des Verhält- 


7 


—1 
nisses zwischen dem Kugelradius 1 und der Entfernung K_, des leuchtenden Punktes 
von der Blendenebene gleich, da die Strahlen, welche F*, in F'_, projicieren, alle 
Neigungen von der ersten Grössenordnung gegen die Axe haben und daher annähernd 
senkrecht auf der Blendenebene stehen. 


Wir setzen also: en ( Ne ) as 
DE PN u 
Das Verhältnis 7 =! weicht von dem Verhältnis der Figur in der Diaphragmen- 
2R+1 


ebene zu der durch die erste Näherung bestimmten Figur der Ebene Barı nur um 


v o' = 
& Re L 1 Ir1 
Grössen 3. Ordnung ab. Letzteres Verhältnis ist aber gleich: ( an L 


= 4 or 
Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 75 


566 


Genähert kann man also die mittlere Helligkeit des Flächenstückes Por der Schirm- 
ebene wie folgt schreiben: 
) f] 2 / % 1% u 
ER ( ge, ) ( 0 orrı ) Erz ee F 2k-1 82) 
nu ? 2 Gr %,2 > 
nn Porı Four Jr) 2r1 Porta 


. # 2 S u 
Ob wir dabei unter F',, 
folgenden verstehen, ist für die hier angestrebte Genauigkeit gleichgiltig; wir werden 
daher das letztere thun. Um aus dieser mittleren Helligkeit ©, diejenige eines ganz 


dem wahren Inhalt oder den aus der ersten Näherung 


bestimmten Punktes des Lichtfleckes abzuleiten, nehmen wir einen Grenzübergang vor, 


ARE und damit auch Fr 


mehr und mehr verkleinern, bis sie schliesslich unendlich klein, selbst im Vergleich 
zur 3. Grössenordnung, geworden sind. Dann kann man das Flächenstück F' 


indem wir die Dimensionen der Figuren F,, F_, F 


2I-HI 
als ein Rechteck mit den Seiten ds,, ds, ‚, die zu den Elementen der Curven A = const., 


w==const. parallel sind, ebenso es Flächenstück F, als ein solches mit den 


ZRH 
Seiten d4As,, d4s, auffassen und daher für die Helligkeit © in dem durch die Para- 


meterwerte A gekennzeichneten Punkt der Schirmebene folgenden Ausdruck setzen: 


2 
ER "13H a 2 [ ' 83) 
1 Mor-ı \ ae on Ns u= const 


Für die Differentialquotienten lassen sich folgende Umschreibungen machen: 


(=) _ d4Is du e day du dz du 

ee de .dsiey du ® EEE mer: Algen 

Ze rd As. dA udn AR NEN 
ds Be ar a a oe Te an 


wobei folgende Gleichungen zur Ausführung der Differentiationen nötig sind: 


DET PIE j 5 Pr Portı 
-V a (SU+DH > ARE a 


a ea 
; 27) 


AM \ 


MH’+A)) (MH+A Ge Yo; 
|] er es Me aine. AQ+ | et 


Ik-H1 2K-H1 


Zu men +]. 
| Tran 


a Se per 2=/ (MH°+ AA) (MH? + Au) Par 
en NT Re AMEH?: Ge 


567 


woraus nach leichter Rechnung folgt: 


d4ds : Poyıı 
— (BEM- SD HE m .+ 3 
u eu ne Dr Aa+Em 
3 84) 
dds 5 To 
=(M+L)HP° — 2a — — —-+4A0BI+u 
( ds PeEN, ER Tr, 
Schliesslich wird: 
® .©@ DR 
a [out nm Ze 1a+3W|x 
Mo | Pont 85 
S 5) 
eg re a \ 
xlentne—e ZH +4@14W 
Porti J 


Diese Formel gibt die Helligkeit eines Punktes der Schirmebene in der Ent- 
fernung x von der genäherten Bildebene als Funktion der Parameter A und u. 

Es wird daher das Nächstliegende sein, die Verteilung der Helligkeit zuerst in 
der Au-Ebene zu studieren. Setzen wir @= const, so erhalten wir die Gleichung 
einer Öurve gleicher Helligkeit i, einer Isophote. In der Au-Ebene werden die 
Isophoten eine Hyperbelschar mit gemeinsamen Asymptoten, welche den gleich Null 
gesetzten Klammerfaktoren in dem Nenner des Ausdruckes für © entsprechen. Für 
die Asymptoten ist also die Helligkeit unendlich gross. Die Asymptoten der Hyperbel- 
schar sind aber, wie aus einem Vergleich mit Formel 25 ersichtlich ist, die Bilder 
der Brennlinien in der Schirmebene. Für eine beliebige Isophote ist der Betrag der 
Helligkeit proportional dem Quadrat der reellen Axe der entsprechenden Hyperbel. 

Wir können daher folgenden Satz aussprechen: 

Die Isophoten der Lichtflecke in der Schirmebene werden in die 
Ebene der Parameter Au als eine Schar von Hyperbeln mit gemeinsamen 
Asymptoten abgebildet. Die zugehörige Helligkeit ist den Quadraten der 
reellen Hyperbelaxen proportional. Den Asymptoten selbst entsprechen 
die Brennlinien der Schirmebene Für sie wird daher die Helligkeit 
unendlich gross im Vergleich zu den übrigen Teilen des Lichtfleckes. 

Wie aus der Diskussion der Abbildung von Schirm- und Diaphragmenebene 
erinnerlich ist, entsprechen einem Punkte der erstgenannten Ebene bis zu 5 Parameter- 
pare Au oder 5 Punkte der Diaphragmenebene und daher auch 5 verschiedene Hellig- 
keiten, die sich übereinander lagern. Die aus den Hyperbeln construierten Isophoten 
geben demnach immer nur die Helligkeit, die von einem einzelnen Strahle herrührt, 
die Gesammthelligkeit ist gleich der Summe der von den einzelnen Strahlen her- 
rührenden Teilhelligkeiten. 

Aus dem Verlauf der Hyperbelschar der 4 u-Ebene geht hervor, dass die Hellig- 
keit ausser in den Brennlinien kein Maximum haben kann, wohl aber Minima. 


192 


568 


Solche treten auf, wenn eine Hyperbel eine der Geraden, welche den Streifen be- 


grenzen, von Aussen berührt, oder wenn sie durch den Punkt A= — 


A 


hindurchgeht, ohne in den Streifen einzutreten. Vergl. Tafel II. 


Wenn der Kugelgestaltsfehler in der Axe gehoben ist, lässt sich die Helligkeit 
in einem Punkte der Schirmebene in ganz ähnlicher Weise nur noch einfacher 
berechnen. Man kann hier statt der Parameter Au gleich deren Ausdrücke in den 
reducierten Coordinaten der Diaphragmenebene einführen und gelangt dann zu fol- 
sendem Werte: 


0° OR DO gr H(E—G) n 
ee = Zur . 4 En zu INGA"! 
(STPRTT (#4 + 3BHT»,.,, er a 
86) 
a ( On __ H(E—6) ) 
N BET), B 


Der Klammerausdruck im Nenner stellt gleich O0 gesetzt diejenige Hyperbel der 
Diaphragmenebene dar, welcher der Brennlinie in der Schirmebene entspricht (vergleiche 
Formel 77). In letzterer ist also auch in diesem Falle, wie vorauszusehen, die Brennlinie 
unendlich heller als alle übrigen Teile. Die Curven der Diaphragmenebene, welche den 
Isophoten der Schirmebene entsprechen, sind Hyperbeln mit gemeinsamen Asymptoten. 

Ganz besonders einfach werden die Isophoten, wenn wir die Schirmebene so 

Vor = . ee = D . 
wählen, das ©=x, E07, — wird. Die Brennlinien in dieser Schirm- 
2R-F1 
ebene zerfallen, wie wir früher sahen, in ein Geradenpar, das einen Winkel von 60° 

einschliesst. Die Formel für die Helligkeit reduciert sich hiedurch auf: 


12 2 
Deore 1 


4 B? H?: T?»? 3 EWR SEAL 3 


87) 
O%-1 


Auch die Abbildungsformeln für die Schirmebene vereinfachen sich beträchtlich: 


vv, 
y=——B@H2+Z%)H 
5441 78) 
vv, , 
De re HNZAEE 
Oo 


Ohne Schwierigkeiten lässt sich hier die Elimination der H', und Z' ausführen 
und man gelangt schliesslich zu der einfachen Gleichung der Asymptoten in der 
Schirmebene =, selbst: 


0% 7,02, 
Se 88) 


10’57B° 77 1 


Y—3i= 
2x1 ® 


569 


Da in diesem Falle der Winkelraunn zwischen den Brennlinien vierfach über- 
deckt wird und da ferner die vier übereinander liegenden Schichten, wie sich aus 
dem Vergleiche des über die Abbildung früher Gesagten mit der Formel für die 
Helligkeit ergibt, in jedem Punkte gleiche Helligkeit besitzen, so folgt, dass die 
Gesammthelligkeit gleich der vierfachen Einzelhelligkeit jedes Punktes ist. 

Satz: Wenn bei einem dioptrischen System, dessen Kugelgestalts- 
fehler in der Axe gehoben ist, die Schirmebene die Brennfläche symme- 
trisch schneidet, so sind die Isophoten dortselbst eine Schar von Hyperbeln 
mit gemeinsamen Asymptoten, den Brennlinien. Die Helligkeit ist den 
reellen Axen der Hyperbeln umgekehrt proportional. 

Es sei endlich der Fall in Betracht gezogen, dass bei einem Linsensystem nicht 
blos die Bedingung S(1)=0, die den Kugelgestaltsfehler in der Axe vernichtet, 
erfüllt sei, sondern auch die Fraunhoferbedingung S(2)=0. Für alle Punkte der 
Objektebene ist dann reiner Astigmatismus vorhanden und die Brennflächen sind in 
Linienelemente degeneriert. Auf der Schirmebene treten mit zwei Ausnahmen keine 
Brennlinien auf; die Abbildung der Diaphragmenebene in die Schirmebene ist ein- 
deutig affin; gleichen Flächen der Diaphragmenebene entsprechen auch gleiche Flächen 
der Schirmebene und hieraus folgt, dass die letztere gleichförmig beleuchtet erscheint. 
Geht die Schirmebene gerade durch eine der beiden Brennlinien, so koncentriert sich 
alles Licht auf einem unendlich schmalen Streifen, der dann auch unendlich hell ist. 
Die Helligkeit in einer beliebigen Schirmebene lässt sich durch Zurückgehen auf die 
Formeln ermitteln: 


2 2 2 
a ee (ma@+29—. a (PE-: zu 89) 


Trrsarı Tozar Tr 
on 
Dieselbe hat ein Minimum für — T- = H°(E+6) 
Tv 
2r-+1 
: : ’ _, 0, +1 : : ; 
Dasselbe wird gleich: = — @ Ten und liegt gerade in der Mitte 


2k-1 
zwischen den beiden Brennlinien. 


$ 6. 
Begrenzung des Lichtfleckes durch Abblendung der einfallenden Strahlen. 


Für die Gestalt des Lichtfleckes ist nicht die Verteilung der Helligkeit allein 
massgebend, sondern auch die Begrenzung desselben. Diese geschieht durch die 
Strahlen, welche den Rand der massgebenden Blende passiert hatten. Bei der 
mannigfachen Ueberdeckung mit Helligkeit, die ein Lichtfleck im allgemeinen auf- 
weist, darf indessen nicht angenommen werden, dass ausserhalb der Curve, in welchen 
die Randstrahlen die Schirmebene schneiden, nun gar keine Helligkeit mehr vorkomme- 


570 


Es verlaufen vielmehr die durch die Randstrahlen in der Schirmebene gegebenen 
Curven in den einzelnen Blättern, mit denen man sich zur Herstellung der Eindeutig- 
keit die Schirmebene überdeckt denken muss und grenzen dort jeweils Hell und 
Dunkel gegen einander ab. Wo blos eine Ueberdeckung der Schirmebene stattfindet, 
bilden sie thatsächlich die Grenze des Lichtfleckes, in anderen Teilen kann die Hellig- 
keit eines zweiten Blattes über die Grenze des ersten hinausreichen und dann bildet, 
wenn nicht ein Ast der Grenzkurve im zweiten Blatt, ein Stück der Brennlinie, die 
ja stets den Uebergang zweier Blätter vermittelt, die thatsächliche Grenze des Licht- 
fleckes. Im ersteren Falle ist die Grenze häufig unscharf, weil an ihr unter Um- 
ständen nur mehr eine geringe Helligkeit vorhanden ist, in letzterem Falle aber ist 
immer der Contrast der „unendlich hellen“ Brennlinie gegenüber der unbeleuchteten 
Schirmebene massgebend und die Grenze daher sehr scharf. 

Die Abbildungsmethode’ gibt uns ein bequemes Mittel, die Grenzeurven des 
Lichtfleckes zu untersuchen. Wir setzen in der Folge stets eine kreisförmige, centrisch 
zur optischen Axe gelegene Blende voraus, die wir zunächst in der Ebene B_, ge- 
legen annehmen. Ihre Gleichung ist dann: 


a ae 


Gehen wir auf die reducierten Coordinaten über, so haben wir: 


42 
H': — Z' —— y2 Bor za Tr? 90) 
—1 


Führen wir die auf eine parallele Axe Y’=H', = bezogenen Coordinaten 


H',=H'— H‘, ein, wodurch wir die Anwendung der Abbildungsformeln 70 ermög- 
lichen, so ergibt sich: 


VEhbs + Fi: + ZZ” — IP 91) 
Wir können auch hier wieder die Parameter A u einführen und erhalten folgende 
Gleichung für die Punkte, welche den Grenzen der Blende entsprechen: 


MI a, ee 
I am, en =) 


Allerdings gehören den Parameterwerten A u, die obige Gleichung erfüllen, auch 
die Punkte des zum Blendenkreis in Bezug auf die Z’-Axe symmetrisch gelegenen 
Kreises: (H’.— H',” + Z”=T’ an, was bei der Weiterverwendung der Formel zu 
berücksichtigen ist. Diese Formel stellt für verschiedene Werte des Radius I’ ein 
System von Hyperbeln mit parallelen Asymptoten dar, welche die Geraden A=0 u=0 
berühren. Unter ihnen befindet sich ein Geradenpar, dessen Schnittpunkt in den 
NEE 

Aue 


Anfangspunkt fällt. Es entspricht dem Kreise mit dem Radius Z’= H''+ 
Siehe Tafel III. Fig. Ib und IIb. 


571 


Um die Grenzkurven der Lichtflecke wirklich zu verzeichnen, kann man ent- 
weder von den Formeln 69 und den Kreisen in der Blendebene oder von den Formeln 70 
und den Hyperbeln in der Au-Ebene ausgehen. Man hat im ersteren Falle zu einer 
genügenden Anzahl von Punkten des gewählten Kreises in der Blendenebene mittels 
der Formeln 69 die Punkte der Schirmebene zu berechnen, oder wohl auch zu konstruieren 
und die letzteren unter Berücksichtigung der zu erwartenden Singularitäten durch einen 
Curvenzug zu verbinden. Hat man die bieirkulare Curve 4. Ordnung (vergl. Formel 75) 
in der Blendenebene, welche der Brennlinie entspricht, verzeichnet, so ist die Einteilung der 
Blendenebene in Gebiete, die den verschieden von der Brennlinie abgegrenzten Blättern 
der Schirmebene entsprechen, leicht auszuführen und aus dem Verlaufe des Kreises 
zu der Curve 4. Ordnung lässt sich ersehen, welchem Blatte die jeweils betrachteten 
Partien der Grenzkurve angehören. Zur genauen Unterscheidung ist die Berechnung 
derjenigen Punkte der Grenzceurve, in welchen sie die Brennlinie trifft, notwendig; 
dieselbe setzt voraus, dass man die Schnittpunkte des Kreises mit der biecirkularen 
Curve 4. Ordnung der Blendenebene kennt. 


Einfacher wird die Verzeichnung der Grenzcurve unter Benützung der A «-Ebene 
und der Formeln 70. Zwar hat man hier an stelle des Blendenkreises die entsprechende 
Hyperbel zu konstruieren, aber die Brennlinie wird dafür einfach durch zwei Gerade 
repräsentiert. So oft die Hyperbel diese Geraden schneidet, berührt die Grenzeurve 
die Brennlinie. Eine Ausnahme tritt nur dann ein, wenn die Tangente an die 
Hyperbel im Schnittpunkte mit dieser Geraden parallel zu 4 oder «-Axe (je nachdem 
man es mit der einen oder anderen Geraden zu thun hat) verläuft; dann setzt näm- 
lich die Grenzcurve in Spitzen auf die Brennlinie auf. So oft die Hyperbel eine der 
andern bei der Abbildung ausgezeichneten Geraden schneidet, treten für die Grenz- 
curve entweder Doppelpunkte oder senkrechte Schnitte mit den Symmetrieaxen der 
Schirmebene auf, was gelegentlich der Besprechung der Abbildung schon erwähnt 
wurde. Nicht vergessen darf endlich der Umstand werden, dass, wenn man alle zu 
den Punkten Au der Hyperbel gehörigen Punkte der Schirmebene aufsucht, die ge- 
wünschte Grenzeurve doppelt, nämlich auch noch einmal an der z-Axe gespiegelt 
erhalten wird. Lässt man die ungehörige Hälfte fort, so gehen die Doppelpunkte 
der z-Axe in einfache Punkte über; die Grenzcurve liegt dann unsymmetrisch zur 2-Axe. 
Der Lichtfleck, welcher abgesehen von der Blende nach der y und z-Axe 
symmetrisch wäre, verliert diese Eigenschaft bezüglich der z-Axe bei 
beliebiger Abblendung. 


Die Unsymmetrie liegt darin begründet, dass der Mittelpunkt unserer Abbildung 
der Blendenebene in die Schirmebene nicht mit der optischen Axe zusammenfällt, 

BiHly 
DE, Au 
dieser Unsymmetrie hängt linear von der Grösse des Gesichtsfeldes ab und verringert 
sich gegen das Centrum desselben hin. 


sondern in ersterer um die Grösse 7‘, _ verschoben ist. Der Betrag 


Nunmehr soll die Frage zur Erörterung gelangen, ob sich nicht durch Ver- 
schiebung der Blende die Beschaffenheit des Lichtfleckes beziehungsweise die Qualität 
des von einem leuchtenden Punkte entworfenen Bildes verbessern lässt. Dass eine 
solche Verbesserung allerdings auf Kosten der Helligkeit durch Verkleinerung des 
Blendenradius möglich ist, ist bekannt und soll später noch besprochen werden. 
Es lässt sich aber zeigen, dass durch eine Verschiebung der Blende auf der Axe eine 
erhebliche Verbesserung des Bildes bewirkt werden kann, die um so wertvoller ist, 
als sie nicht auf Kosten der Helligkeit geschieht. Man kann nämlich durch geeignete 
Wahl der Blende die Unsymmetrie der Grenzfigur gegenüber der einen Symmetrieaxe 
der Helligkeit zum Verschwinden bringen. Versetzt man nämlich die Blende aus 
der Ebene B_, um eine Strecke m in der Richtung der Lichtbewegung und ver- 


grössert sie derart, dass noch dieselbe Liehtmenge hindurchgeht, so werden die Strahlen 
des leuchtenden Punktes ebenso abgeblendet, wie wenn in der Ebene B_, eine zur 


optischen Axe excentrisch gelegene Blende vorhanden wäre, welche durch Projektion 
der wirklichen Blende auf die Ebene B_, vom leuchtenden Punkt aus entstanden 


gedacht werden kann. Bezeichnen wir mit n_, die Entfernung des leuchtenden 
Punktes von der optischen Axe und mit ÄX_, den Abstand von Objekt und Blenden- 


ebene, dann wird die fingierte Blende in der Ebene 5_, um einen Betrag gleich 
m 


m+K_, Te 


excentrisch zur optischen Axe liegen. Wählen wir m so, dass dieser 


Blend: ; e j 
Betrag gleich 7, _ I ee gleich der Verschiebung H'‘, des Coordinaten- 


1 A o' 
—1 
Bo 
As Be 


so fällt der Mittelpunkt der fingierten Blende mit dem Mittelpunkt der Abbildung in 
der Ebene B_, zusammen. Man hätte auch die Betrachtung so führen können, dass 


—| 


systems (im Masstab der Ebene B_, ausgedrückt) wird, also: m = K_ 


man alles auf die Ebene der wirklichen Blende bezieht und vom leuchtenden Punkt 
aus die Ebene B_, auf jene projiciert. Bei passender Wahl der letzteren wird dadurch 
der Mittelpunkt der Abbildung in die optische Axe versetzt. 

Durch die neue Abblendung wird eine zur Helligkeitsverteilung symmetrische 
Begrenzung des Lichtfleckes erzielt. Dabei ist es wesentlich, dass die Grösse m, welche 
den Ort der neuen Abblendung bestimmt, unabhängig von 7_,, d. h. von der Lage des 


leuchtenden Punktes ist und dass also für alle leuchtenden Punkte der Objektebene die 
Lichtflecken der Schirmebene symmetrisch werden. Die Grenzeurven vereinfachen sich 
hiebei ganz bedeutend. Sie entstehen nun entweder aus den Kreisen: ZH’ +Z"=T? 


AUCH: 


der Blendenebene, oder aus den Geraden der A u-Ebene: A+-u-- ge 12 


welche die Hyperbeln ausarten. Sehr einfach lässt sich nunmehr die Elimination 
ausführen, die direkt zur Gleichung der Grenzcurven in der Schirmebene führt. 


Bizaiera u 


a u ee 


575 


Dieselbe ergibt: 


y? 2? 2 


E er — T[?_ 24-1 
0%, 2 02, 2 02 
(Ar+ + 2m mn ) (Ar+Im a ) rt 
Tray Tv, 
2k-F-1 
Wir erhalten für verschiedene Radien Z' der Blendenöffnung ein System von 
Ellipsen, welches die Brennlinie einhüllt. Jede Ellipse berührt in 4 reellen und 
4 imaginären Punkten. 


0? 0%, 
Für FL LH?®= AT? und 2 —  — (L+4+2M)H?= AT? vedu- 
Trz,r Tyzur 


eiert sich die Ellipse auf eine Doppellinie, welche 2 Spitzen der Brennlinie mit ein- 
ander verbindet. Obwohl demnach für diese Werte des Radius der Blendenöffnung 
die Grenzcurve keine Fläche mehr umschliesst, so hat der Lichtfleck dennoch Aus- 
dehnung nach allen Seiten; es bildet eben die Brennlinie seine Grenze. Die Figuren 
auf Tafel III sind bestimmt, in einem konkreten Falle den Verlauf der Grenzeurven 
bei verschiedener Grösse der Blende darzustellen. (Vergl. die am Schlusse der Ab- 
handlung beigegebene Erläuterung der Tafeln). Fig. labc zeigt einen Fall, ın 
welchem die Grenzceurven unsymmetrisch zu der Brennlinie liegen. Der Strahl, der 
durch den Mittelpunkt der Blende geht, bildet sich nicht im Centrum des Licht- 
fleckes ab. Fig. 2abc zeigt dagegen den symmetrischen Fall, in welchem die 
Grenzeurven Ellipsen werden. Zwei von denselben sind sehr nahe in Doppellinien 
ausgeartet. Fig. 3a b zeigt einen ebenfalls symmetrischen Fall, aber in einer 
anderen Schirmebene. In dieser ist die Brennlinie ein Hypocycloidenpar und be- 
deutend kleiner als bei der vorhergehenden Schirmebene. Wie man aus Fig.2abcdef 
auf Tafel II ersehen konnte, war auch der Raum innerhalb der Brennlinie bedeutend 
heller als bei der vorhergehenden Schirmebene. Dagegen ist die Ausbreitung der 
Randstrahlen hier eine bedeutend stärkere als vorher. 


Es soll nun der Fall betrachtet werden, dass S(1)=d ist. 
Hiebei treten zu der Gleichung des Blendenrandes in der Ebene B_: 


(H,+ + Zr =T? 90) 
(wobei aber H',= n. ) an stelle der Formeln 70 die folgenden: 
Von 025 
y-= Ze (m (BG) DENE —_—— - BuR.| 
2k-+1 2% 
v 0% ie 9 
Be Luz, (A: (B-0y- DBHH., a) 
O5 Portı 


Aus 90 und 76 wäre durch Elimination von H', und Z' die Gleichung der Grenz- 
curve des Lichtfleckes zu bestimmen. Die Brennlinie wird in der Blendenebene B_ 
durch die Hyperbel: 

Abh. d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 76 


1 


974 


©0* EN GySe 
ze Sl, Zus! u N ) 
( 3BHT»,,,, 3B 
um 1 ( % On E H(E— Da 93) 
Elan \ BIENEN b 


abgebildet. Ihre Schnittpunkte mit dem Blendenrande geben, wenn man sie in die 
Schirmebene abbildet, die Punkte, in denen die Grenzeurve die Brennlinie berührt, 
also von einem Blatte ins andere übertritt. Wenn alle 4 Scehnittpunkte reell sind, 
ist die Figur, welche Brennlinie und Grenzlinie bilden, im allgemeinen von einem der 


Fig. 16. 


a. b. © 


beiden in Fig. 16a und b abgebildeten Typen, je nachdem die Schirmebene auf der 
einen oder andern Seite der Symmetrieebene der Brennfläche schneidet. Den Ueber- 
gang vermittelt der 3. Typus (Fig. 16c), welcher in der Symmetrieebene auftritt. 
Bei diesem sind die beiden geraden Brennlinien Doppeltangenten der Grenzeurve. 

In dieser Symmetrieebene lässt sich die Gestalt der Grenzeurve durch Verschiebung 
der Blende noch ganz erheblich vereinfachen. Versetzt man nämlich die Blende in 
eine Ebene, welche un die Strecke 

Go 


de —il 
A Sn Feen 4 


in der Richtung des einfallenden Lichtes von B_, aus verschoben ist und projiciert 
man die Ebene B_, vom leuchtenden Punkt aus auf die neue Blendenebene, so fällt 
der Mittelpunkt der Hyperbel, die nunmehr in ein Geradenpar ausgeartet ist, auf die 
Axe und die neue Blende wird symmetrisch zu diesem Geradenpar liegen. Da weder 
die Abbildung noch die Helliskeitsverteilung in diesem Falle symmetrisch in Bezug 
auf die Z-Axe ist, so kann die symmetrische Lage der Blende zum Geradenpar keine 
symmetrische Begrenzung des Lichtfleckes zur Folge haben. Sie bewirkt aber, worauf 
ich durch eine Bemerkung des Herrn Professor v. Seidel aufmerksam gemacht worden 


i 


575 


bin, dass die Grenzeurve des Lichtfleckes einfach ein allerdings excentrisch gelegener 
Kreis wird, der beide Brennlinien berührt. Dies lässt sich leicht beweisen: 

Die Gleichung der fingierten Blende, welche durch Projektion der neuen Blende 
vom leuchtenden Punkt aus in die Ebene B_, entstanden gedacht werden kann, 
habe die Gleichung: 


Her 07, — Rn. 
Die Abbildungsformeln für die Symmetrieebene der Brennfläche als Schirm- 
ebene lauten: 


Vor 
y=— —H-BH@H‘®+2°), 
2K-Hl 95) 
innen 


Orr 


Durch Elimination von Z', und Z ergibt sich die Gleichung der Grenzcurve: 


2% Pyyrı ut (v Orr u 7») (v Or Sing r?) 
Por ek Portı BH Portı BH 
BH», IB HrY2 
@+(y+2 Ir-H1 12) E PH pa 96) 
Ir ° or 


Denkt man sich T variabel, so stellt diese Gleichung eine Schar von Kreisen 
dar, welche zwei unter 60° gegeneinander geneigte Grade, die Brennlinien berühren. 
Der Durchmesser eines solchen Grenzkreises ist dem Quadrate des Radius Z' der Blende, 
also der Fläche derselben proportional. Bei konstanter Grösse der Blende ist der 
Durchmesser der Grenzeurve und damit des ganzen Lichtfleckes dem Gesichtsfelde 
(ausgedrückt durch die reducierte Entfernung H des leuchtenden Punktes von der Axe) 
einfach proportional. Wir können daher folgenden Satz aussprechen: 


In einem Linsensystem mit gehobenem Kugelgestaltsfehler bildet 
sich ein leuchtender Punkt ausser der Axe in einer geeignet gewählten 
Schirmebene und bei geeignet gewählter Stellung der Blende in einen 
Lichtfleck ab, der von einem Kreise und zwei unter 60° gegeneinander 
geneigten Tangenten desselben begrenzt wird. Der einfallende Strahl, 
der durch den Mittelpunkt der Blende geht, trifft nach der Brechung 
den Schirm im Schnittpunkt der beiden Tangenten, woselbst der Licht- 
fleck am hellsten ist. Alle Strahlen, welche auf einem zur Blende kon- 
eentrischem Kreise einfallen, treffen nach der Brechung den Schirm 
wieder in einem Kreise, der dieselben Grenztangenten berührt. Vergleiche 


Tafel III Fig. 5a und 5b. 
16% 


576 


817: 
Ueber den Zusammenhang der Brennfläche der gebrochenen Strahlen mit der 


Centrafläche der Flächen 2. Grades. Mechanische Erzeugung des Systems der 
gebrochenen Strahlen. 


Die Gleichung eines dreiaxigen Ellipsoides werde in folgender Form ange- 


nommen: 
2 


ai R 
aan 


Für die Normale in einem Punkte «‘ y' z' desselben gelten bekanntlich nach- 
stehende Beziehungen zwischen den laufenden Coordinaten x y 2 und denen des Fuss- 
punktes x’ y' 2’: 


x 


97) 


4 4 D 
Z 


N 
a (a+b5  (a+e) 


Führt man die Entfernung oe zwischen den Punkten x yz und x‘ y’ 2‘ ein, so 
kann man an stelle der Proportion 98 folgende drei Gleichungen setzen: 


98) 


e— 2 y—y:2e—2' = 


4‘ 


s— 2 —=0,— 


a’ p 
Se ER UERREN , <a/ 2 y" a; 
re 2 a Far Faro N 
A 


Es sollen nun die Längen 0, 0, e, der Normalen vom Fusspunkt bis zu den 
drei Durchschnittspunkten mit den Coordinatenebenen berechnet werden: 


ON ap, 
0, = —(a+ b)’ p, 
05 =—(a+ ce)’ p. 


Wir nehmen nun die Grössen db und c klein im Vergleich zu a an und ent- 


{ b C 
wickeln nach Potenzen von m und: 
. “u 


zus = ze’ +y”+2' by'’—+ cz‘ 
vr a* + m ai (a-+ c)* U at A a’ 


® 2 y" 2"? & RB «+ y”’+ 2% by'’—+ cz’ 
a + Dan a Tan 7 Er 


577 


2 


Aus der zweiten Gleichung setzen wir den Wert von #°° + y'”—+2z'* in die erste 


ein und erhalten damit: 


1 by” az 1 by’ cz'° 
»-V er, m ee 100) 


a? a 


Hieraus ergibt sich für 0,, @,, 95: 


uf Auicteet), 


Balz ah)är nee a(1+ 2b by”’—+cz'’ 
ne (+ ee) 
re by'’’+ cz 
a > 73 ): 
AR @rjzo)l FEN U ( 2c by’ ez‘ 
Bach a (1 a? )--a us a a? ): 
Bilden wir die Differenzen: 0, — 0,, 0, — 0, 
9, —0,=2b 
a 101) 


so finden wir, dass dieselben innerhalb der bei der Entwicklung innegehaltenen 
Genauigkeit constant sind. 

Daher können wir folgenden Satz aussprechen: Die Normalen eines drei- 
axigen Ellipsoides, dessen Axen sich nur um kleine Grössen von der 
ersten Ordnung unterscheiden, werden von den drei Hauptebenen in 
Punkten geschnitten, welche bis auf Grössen zweiter Ordnung gleiche 
Entfernung von einander haben. 

Umgekehrt kann man behaupten: Bewegt sich eine Gerade so, dass drei 
auf ihr festliegende Punkte in drei zu einander rechtwinkligen Ebenen 
gleiten, so beschreibt sie ein Strahlensystem, das mit dem Normalensystem 
eines Ellipsoides von nahezu gleichen Axen identificiert werden kann. 

Da die Entfernung der Punkte auf der Geraden nach 101 gleich den doppelten 
Unterschieden der Halbaxen des Ellipsoides sein muss, so werden, falls jene Entfer- 
nungen endlich angenommen sind, die Halbaxen des Ellipsoides unendlich gross, da sie 
gegenüber den Unterschied zweier von ihnen stark überwiegen müssen. Das hindert 
aber nicht, dass das Strahlensystem, das von der Geraden beschrieben wird und dessen 
Brennflächen nun endliche Dimensionen besitzen, alle allgemeinen Eigenschaften des 
Normalensystems eines Ellipsoides besitzt, und, wie wir sehen werden, noch manche 
specielle dazu. Obwohl durch die Art der Herleitung ausreichend bewiesen erscheint, 
dass bei der angegebenen Bewegung auch unter Voraussetzung endlicher Entfernung 
der Fixpunkte die Gerade wirklich ein Normalensystem, d. h. ein solches mit zu 
einander senkrechten Brennebenen beschreibt, soll, da dies einfach geschehen kann, 
eine direkte Herleitung dieser Eigenschaft aus kinematischen Prineipien nachfolgen: 


578 


Die Punkte, in welchen die Gerade @ die 3 Ebenen trifft, werden mit A, DB, C 
bezeichnet. In jedem derselben werde ein Lot zur zugehörigen Ebene errichtet, die 
dann ein System von 3 untereinander senkrechten Geraden bilden. Denke ich mir 
die Gerade @ um eine ausserhalb ihr liegende Axe unendlich wenig gedreht, so 
werden im Allgemeinen die mit @ verbundenen Fixpunkte aus ihren Ebenen heraus- 
rücken. Schneidet aber die Drehaxe die drei Lote, so wird jeder Fixpunkt in seiner 
Ebene fortrücken. Alle momentanen Drehaxen, welche die drei Lote schneiden, sind 
mit den Bedingungen für die bewegte Gerade @ verträglich und umgekehrt. Diese 
momentanen Drehaxen sind Erzeugende eines Hyperboloides, das durch die 3 Lote 
bestimmt wird und ausserdem die Gerade @ enthält. Das Hyperboloid ist ein ortho- 
gonales, da 3 Erzeugende, die 3 Lote nämlich, unter sich orthogonal sind. Es ent- 
hält unendlich viele Tripel orthogonaler Erzeugender und zu jeder Geraden auf dem 
Hyperboloid gehört eines; also auch zur Geraden @. Die zwei Geraden G‘ und @“, 
welche mit @ ein orthogonales Tripel von Erzeugenden bilden, haben die Eigenschaft, 
dass, wenn man G@ um eine derselben als Momentanaxe unendlich wenig dreht, die 
Nachbarlage von @ die Anfangslage schneidet, also @ bei der Bewegung aus einer 
Ebene, die senkrecht zur betreffenden Momentanaxe steht, nicht heraustritt. Diese 
Ebene ist also Brennebene des von der Geraden @ erzeugten Strahlensystems; es 
existiert noch eine zweite der andern zu @ senkrechten Momentanaxe entsprechende, 
welche senkrecht auf dieser steht. Da die beiden Momentanaxen einen rechten Winkel 
bilden, so ist ein Gleiches auch von den zu ihnen senkrechten Brennebenen der Fall. 
Das von der Geraden @ beschriebene Strahlensystem ist demnach ein Normalensystem. 

Irgend ein Punkt der Geraden @ beschreibt bei der Bewegung bekanntlich ein 
Ellipsoid. Es seien die Entfernungen desselben von den Fixpunkten eg, e+ 2b, 
0+2c, die Winkel der Geraden mit den Axen «, ß, y, dann sind die Coordinaten 
eines Punktes der beschriebenen Fläche: 


z=00c08@ y=(e+2b)cs® z=(e-+2c)cosy 102) 
und ihre Gleichung wird: 


ar y? e . 
erg t vs n 


+20) 

Unter allen möglichen Flächen befindet sich, wie ausdrücklich hervorzuheben ist, das 
Ellipsoid 97, von welchem wir ausgegangen sind und zu dem die Geraden normal stehen, 
nicht, dasselbe wird also nicht von irgend einem festen Punkt der Geraden beschrieben. 

Wie aus den Gleichungen 102 hervorgeht, beschreiben alle Punkte der Geraden @ 
räumlich affıne Figuren; es sind daher die einzelnen Ellipsoide, welche von den 
Punkten von @ beschrieben werden, durch das Strahlensystem affın auf einander 
bezogen. Beschreibt ein Punkt einen ebenen Schnitt seines Ellipsoides, so thun 
dies alle. Je weiter die Punkte auf der Geraden gegen das Unendliche zu liegen, 
um so kreisähnlicher werden die von ihnen beschriebenen ebenen Schnitte, da die 


579 


Ellipsoide selbst immer kugelähnlicher werden. Die Regelfläche, welche von den Ge- 
raden gebildet wird, die ebene Schnitte der Ellipsoide aufeinander beziehen, wird 
daher von der unendlich fernen Ebene nach einem Kreise geschnitten, oder ihre Er- 
zeugenden sind einem Kreiskegel parallel. Ordnet man die Einzellagen der Geraden @ 
nach Regelflächen, welche durch parallele ebene Schnitte eines Ellipsoides X hin- 
durchgehen, so werden diese Regelflächen wegen der affinen Beziehung der Ellipsoide 
auf einander von allen Ellipsoiden nach parallelen ebenen Curven geschnitten und 
speciell von den kugelähnlichen, weit vom Centrum abliegenden Ellipsoiden nach 
Curven, die sich von parallelen Kreisen mit gemeinsamer Axe senkrecht zu ihren 
Ebenen um so weniger unterscheiden, je ferner die sie beschreibenden Punkte auf der 
Geraden liegen. Alle diese Regelflächen werden daher Richtungskegel mit gemein- 
samer Axe haben. Die erwähnte Zusammenordnung nach parallelen ebenen Schnitten 
des Ellipsoides: # ist auf doppelt unendliche Weise möglich; jeder entspricht ein 
System von Kreiskegeln mit gemeinsamer Axe und allen möglichen Oeffnungswinkeln 
als Richtungskegel der Regelflächen. Es werden daher bei allen möglichen solchen 
Zusammenordnungen alle möglichen Kreiskegel als Richtungskegel erschöpft und wir 
können umgekehrt den Satz aussprechen: 

Sondert man von den Lagen der Geraden @ diejenigen aus, welche 
einem gegebenen Kreiskegel parallel sind, so bilden dieselben eine Regel- 
fläche, welche auf unendlich verschiedene Arten durch Verbindung ent- 
sprechender Punkte zweier affiner Kegelschnitte erzeugt gedacht werden 
kann. Sie ist daher vierter Ordnung und ein ebener Schnitt derselben ist im 
allgemeinen eine rationale Curve vierter Ordnung mit 3 Doppelpunkten. 

2 2 

Hase Fre 

e+ 2) 
ten Grade ist, folgt unmittelbar, dass zu eimem Punkte x, y, 2 sechs Werte von o, 
also sechs verschiedene Lagen der Geraden, oder auch 6 Ellipsoide, die von Punkten 
der Geraden beschrieben sind, gehören. Hat die Gleichung bei gehöriger Wahl des 
Punktes x yz zwei gleiche Wurzeln o, so fallen zwei von den sechs Geraden und 
ebenso zwei von den sechs Ellipsoiden zusammen. Das erste bedeutet, dass der 
Punkt &, y, 2 auf der Brennfläche des Strahlensystems liegt, das zweite, dass er sich 
auf der Enveloppe der Ellipsoide befindet. Da beide Bedingungen zugleich erfüllt 
und durch die Diskriminante der Gleichung sechsten Grades ausgedrückt werden, so 
folgt der Satz: 

Die von allen Punkten der bewegten Geraden erzeugten Rllipsoide 
umhüllen die Brennfläche des Strahlensystems der verschiedenen Lagen 
der Geraden.!) 


= 1, die in 0 vom sechs- 


5 x? 
Aus der Gleichung: —. 
er iS (@ 


1) Ein analoger Satz gilt allgemein von den Flächen, welche Punkte einer Geraden bei 
beliebiger Bewegung beschreiben. Auch sie umhüllen die Brennfläche, die von den Einzellagen 
der Geraden gebildet wird. 


80 


Aus den Diskriminanteneigenschaften der Gleichung sechsten Grades in o lassen 
sich nun die Eigenschaften der Brennfläche, ihre Rückkehrkanten, ausgezeichneten 
ebenen Schnitte, Doppeleurve etc. genau ebenso herleiten, wie es Clebsch für die 
Centrafläche des Ellipsoides aus der entsprechenden etwas allgemeineren Gleichung 
sechsten Grades gethan hat.!) 

Von der gewöhnlichen Centrafläche unterscheidet sich unsere Brennfläche wesent- 
lich darin, dass die drei Hauptebenen statt der Evoluten von Ellipsen Asteroiden 
enthalten. Sonst haben beide die Rückkehrkegelschnitte in den Hauptebenen, sowie 
die eigentümlichen, den Kreispunkten entsprechenden Knotenpunkte gemein, nur be- 
steht bei der Brennfläche zwischen den Axen der Rückkehrkegelschnitte die Relation, 
dass immer zwei nicht demselben Kegelschnitt angehörige oder in derselben Richtung 
liegende gleich gross sind. 


Es lässt sieh nun unschwer nachweisen, dass zwischen der Seidel’schen Brenn- 
fläche und der Brennfläche der Geraden @ ein einfacher Zusammenhang besteht, in 
der Art, dass erstere ein specieller Fall der letzteren wird, wenn man eine der 
Grössen b und c unendlich klein im Vergleich zur andern nimmt und sich ausserdem 
auf Lagen der Geraden, welche von einer Axe des Coordinatensystems nur wenig 
abweichen, beschränkt. Der Beweis könnte an den Gleichungen der Flächen selbst 
geführt werden, ich ziehe es aber vor, nachzuweisen, dass durch das geeignet modi- 
ficierte Strahlensystem der Geraden @ dieselbe Abbildung zweier unter sich parallelen 
Ebenen vermittelt wird, welche wir zwischen den Ebenen B,, 1 und A,, 3 durch 
das System der gebrochenen Strahlen gefunden haben. 

A BC seien die Schnittpunkte der Geraden @ 
mit den Ebenen X=0, Y=0,Z=0. AB werde 
BX mit c, ACmitb=c—.a, BC mita bezeichnet. Die 
Coordinaten von A seien y, und z,, die von COX ,%, 
endlich die von Punkt P, der auf der Geraden @ 
in einer Höhe A über der Y Z-Ebene gelegen ist: 


Kies. 


z=hy=y, 22, 
Man findet dann: 


hz.; 
z Ay ae A =a(1-——); Yen 


N(y, —ı h(e—a 
ya Ph zn), (1 - 2) 


% c% 


1 
Die Neigungscosinus «a, ß, y der Geraden @ drücken sich folgendermassen durch 


die Coordinaten aus: 


1) Vergl. Salmon-Fiedler. Analytische Geom. d. Raumes II. Teil S. 337 ff. und Crelle’s 
Journal, 62. Bd. 8. 64. 


u TE 


581 


% Y & 
= a 3 A 3 
a an ae? er 
e+@+Y-l. 
©; Y3 ARE 
(a — c)* Ag 2 ie (c— a)? u 


Es sollen nunmehr blos Strahlen in Betracht gezogen werden, welche in un- 
mittelbarer Nähe der X-Axe liegen. Wir nehmen daher y, und z, klein im Ver- 


' 4 z 
gleich zu ce an und entwickeln nach Potenzen von —3- und —®-: 
c 


c 
h 
2,83 {= 7 =: 7; ) 
(ce —a) 1 2 a7 ap 
an wi 3 23 
=,,|! c—a (1 2. Dr Fr 2(c—.a)? )| 
zZ 
ea RE T nee hen, 
2 
= 3 le a) 2e&le— a) (le —a—h)— (y(ce—)’+23c)h]. 
h y3 25 \ 
le I 
ar Bela —-Wle—a:+z3cH)h. 


Er: (e -— a)? 


Jetzt soll auch die Grösse a, ferner die Differenz c—h sehr klein gegen c sein 
und gegenüber c vernachlässigt werden: 


20, (e«@-a-h) Tr Ei +23). 
104) 


j 
2” y,=Ys (« (e— h) — - Ywa+ 2). 


In den so erhaltenen Formeln müssen die Grössen c— h und a von der Ordnung 
der Quadrate der y, und z, angenommen werden, damit die rechte Seite homogen 
wird. Die z, und y, werden dann von der Ordnung der Cuben von 2, und 9,. 

Die eben entwickelten Formeln sind bis auf die Constanten identisch mit den 
Abbildungsformeln 12, aus welchen wir die Brennfläche des Systems der gebrochenen 

Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 7 


X 


582 


Strahlen abgeleitet haben. Man kann daher jenes Strahlensystem genähert auf kine- 
matischem Wege erzeugen, was in folgendem Satz ausgesprochen werden möge: 
Sind auf einer Geraden drei Fixpunkte gegeben, von denen zwei sehr 
nahe im Vergleich zur Entfernung des dritten bei einander liegen, und 
bewegt sich die Gerade so, dass die drei Fixpunkte auf den drei Ebenen 
eines orthogonalen Coordinatensystems gleiten, so beschreibt sie dabei 
ein Strahlensystem, das in der Nähe einer der ÖOoordinatenaxen mit der 
aus den Seidel’schen Formeln folgenden Näherung des Systems der in 
einem centrierten optischen Apparat gebrochenen Strahlen zusammenfällt. 
Die Speeialisierung, welche wir bei der kinematischen Erzeugung des neuen 
Strahlensystems im Vergleich zum alten eintreten liessen, kann am besten an den 
kugelähnlichen Ellipsoiden veranschaulicht werden, als deren Normalen wir die Strahlen 
des Systems betrachten können. Der halbe Winkel, welchen im allgemeineren Falle die 


Normalen in den Kreispunkten einschlossen, berechnete sich nach der Formel typ = z 
Nachdem in der Specialisierung ce sehr klein gegen db angenommen wurde, ist auch 
dieser Winkel unendlich klein und es rücken je zwei Kreispunkte des Ellipsoides sehr 
nahe zusammen, wodurch dasselbe mehr den Charakter einer Rotationsfläche mit be- 
stimmter Axe bekommt, ohne seine allgemeine Kugelähnlichkeit einzubüssen. Dabei 
reduciert sich auch die Ordnung des Strahlensystems von der sechsten auf die fünfte; 
wie man an der Gleichung 103 sieht: 


2 Ya 2? 
Stra TR Fage Be: 5 
IB: y 2? ( 4c 
et, 
7 + 20) App @ 
a y 402? 2 
a ei a 


Letztere Gleichung ist nur mehr vom fünften Grad in 0. 

Für das specialisierte Strahlensystem gilt ebenso wie vom Aheeeriee der Satz, 
dass die Strahlen, welche den Erzeugenden eines Kreiskegels parallel sind, eine Regel- 
fläche 4. Ordnung bilden. Diese Regelflächen haben nun eine ganz besondere Be- 
deutung bei der Anwendung auf das Linsensystem. Dieselben umgrenzen nämlich 
das austretende Strahlensystem, wenn das eintretende durch die Strahlen, welche am 
Rande einer kreisförmigen Blende auftrafen, begrenzt war. Die letzteren bilden näm- 
lich in erster Annäherung einen Kreiskegel; einen solchen werden daher auch die 
austretenden Strahlen in erster Annäherung bilden. Nun haben wir früher das System 
der gebrochenen Strahlen in der Nähe der Brennfläche bis auf Grössen fünfter Ordnung 
dadurch bestimmt, dass wir durch die mit der Correktion dritter Ordnung versehenen 


Punkte der genäherten Bildebene A,, „„ı Parallele zu den genäherten Richtungen der 


583 


gebrochenen Strahlen zogen und diese Parallelen innerhalb Distanzen zweiter Ordnung 
von A,,,, ab gerechnet mit den wahren gebrochenen Strahlen verwechselten. Ohne 
uns also von der erstrebten Genauigkeit zu entfernen, können wir behaupten, dass in 
der Gegend der Brennfläche die Begrenzung der austretenden Strahlen stets eine 
Regelfläche mit geradem Richtungskegel ist. Die Schnitte einer solchen mit einer 
beliebigen Ebene, also auch mit der Schirmebene sind Curven vierter Ordnung mit 
3 Doppelpunkten. Von dieser Art sind also unsere Grenzcurven. 

Dabei ist noch gar nicht vorausgesetzt worden, dass die abgrenzende Blende 
centrisch auf der optischen Axe sitz. Wenn letzteres der Fall ist, dann liegt die 
Axe des Richtungskegels in einer Ebene mit der optischen Axe, die gleichzeitig Sym- 
metrieebene für die Brennfläche ist. Dann wird auch die Regelfläche vierter Ordnung 
symmetrisch und ebenso ihre Schnitteurven mit der Schirmebene. Von den 3 Doppel- 
punkten der Schnitteurve muss dann notwendig einer in die Symmetrieaxe fallen. 
Die Raumeurve dritter Ordnung, welche im Allgemeinen als Doppelcurve der Regel- 
fläche vierter Ordnung auftritt, muss nun ebenfalls symmetrisch werden, was dadurch 
ermöglicht wird, dass sie in eine in der Symmetrieebene liegende Gerade und in 
einen sie schneidenden zu jener Ebene symmetrischen Kegelschnitt zerfällt. Wird die 
centrische Blende in der Axe noch so verschoben, dass sie die früher ermittelte gün- 
stigste Stellung einnimmt, dann fällt die Axe des Richtungskegels der Regelfläche mit 
dem Schnitte der beiden Symmetrieebenen der Brennfläche, nämlich mit dem ausge- 
zeichneten Strahl zusammen. Die Regelfläche hat nun ebenfalls zwei Symmetrie- 
ebenen wie die Brennfläche; ihre Doppelcurve ist in zwei, zum ausgezeichneten Strahl 
senkrechte und eine im Unendlichen liegende Gerade zerfallen. Die Schirmebenen, 
die alle durch die letztgenannte Doppelgerade hindurchgehen, schneiden die Regel- 
fläche ausserdem nach Ellipsen, die also in diesem Falle als Grenzeurven auftreten. 

Satz: Unter Voraussetzung einer kreisförmigen Blende, deren Ebene 
senkrecht zur Axe des optischen Apparates steht, wird das aus dem 
Apparataustretende, ursprünglich von einem Punktausgegangene Strahlen- 
bündel angenähert durch eine Regelfläche vierter Ordnung begrenzt. Die 
Grenzcurven der von ihm auf verschiedenen Schirmebenen erzeugten Licht- 
flecke sind rationale Öurven vierter Ordnung mit 3 Doppelpunkten. Wird 
die Blende centrisch zur optischen Axe gesetzt, so gestaltet sich die Be- 
grenzung des Strahlenbündels, wie des Lichtfleckes symmetrisch zu einer 
durch die optische Axe und den leuchtenden Punkt gehenden Ebene. 
Verschiebt man endlich die Blende an die ausgezeichnete Stelle der Axe, 
so wird das Strahlenbündel und der Lichtfleck nach zwei Ebenen sym- 
metrisch begrenzt und die Grenzcurven des letzteren werden Ellipsen.!) 


1) Eine Reihe von Sätzen über die Regelflächen vierter Ordnung als Grenzflächen von 
Strablenbündeln finden sich in allgemeinerer Form in der Abhandlung von Herrn 0. Böcklen 
in Reutlingen: „Ueber die Krümmung der Flächen‘, Crelles Journal Bd. 96, namentlich im $ 


mm% 


dd 


584 


Geometrische Betrachtungen der Art, wie sie in diesem letzten Paragraphen 
angedeutet sind, haben mich zur Ausführung der vorangegangenen Entwickelungen 
veranlasst, sie haben ihren Gang begleitet und ihre Resultate kontroliert. Dieselben 
knüpften sich zumeist an die von Seidel seit Langem publicierte Form der Gleichung 
der Brennfläche. Sie stehen damit auf demselben Fundamente, das Seidel vor einem 
Menschenalter in der Dioptrik gelegt hat, das aber, so weit meine Kenntnis reicht, 
von allen neueren Autoren ignoriert wurde. 


„Die Normalenregelflächen des Ellipsoides“. S. 169. Trotz der vielen interessanten geometrischen 
Resultate, welche die erwähnte Abhandlung zu tage fördert, halte ich die Tendenz derselben, 
durch Einführung der Normalenbündel von Flächen zweiter Ordnung an stelle des Sturm’schen 
Conoids für die Erklärung der Accommodation des Auges weiteren Spielraum zu gewinnen vom 
mathematischen Standpunkt aus für verfehlt. Entweder begnüst man sich mit der Berücksich- 
tigung der zweiten Potenzen des Verhältnisses der Pupillenöffnung zur Brennweite des Auges, 
dann ist das Sturm’sche Conoid die ausreichende Begrenzungsfläche des Strahlenbündels. Oder 
man nimmt noch die Glieder dritter Ordnung hinzu, dann muss man aber auch alle nehmen und 
darf nicht ohne triftigen Grund einzelne fortlassen. Letzteres geschieht aber bei der Art und 
Weise, wie Herr Böcklen die Normalenbündel der Fläche zweiter Ordnung einführt. Da eine 
allgemeine Wellenfläche keine vollständige Berührung dritter Ordnung mit einer Fläche zweiter 
Ordnung eingehen kann, so begnügt sich der Verfasser mit einer „teilweisen“ Berührung dritter 
Ordnung, die sich z. B. auf die Normalschnitte durch die Tangenten an die Krümmungslinien 
nicht erstreckt, und daher streng genommen nur eine specielle Berührung zweiter Ordnung ist. 
Aus ihr werden dann die Constanten des Normalenbündels der Fläche zweiter Ordnung abgeleitet. 
Bemerkenswert ist hingegen, dass für mässiges Gesichtsfeld, wie es die Seidel’sche T’heorie voraus- 
setzt, thatsächlich die Wellenfläche der gebrochenen Strahlen in grösserer Entfernung von der 
Brennfläche eine vollständige Berührung dritter Ordnung mit einer kugelähnlichen Fläche zweiter 
Ordnung eingehen kann. Ob das auch für grosses Gesichtsfeld noch zutrifft, müsste erst unter- 
sucht werden. 


985 


Erläuterung zu den Tafeln. 


Die Figuren la, 1b und lc der Tafel I stellen den allgemeinen Fall der Seidel’schen 
Brennfläche nach einem Gipsmodelle von L. Schleiermacher dar und zwar Fig. 1a die Combination 
beider Mäntel, Fig. ib und lc jeden der beiden Mäntel separat (v. S. 538 des Textes). Die 
Fläche ist näherungsweise die Brennfiäche des Systems von Strahlen, das aus einem seitlich von 
der optischen Axe gelegenen Strahlenbündel durch Brechung in einem centrierten Linsensystem 
entstanden ist. In Wirklichkeit hat man sich jedoch die Querdimensionen der Fläche von einer 
geringeren Grössenordnung vorzustellen, als -die in der Figur vertikal gedachte Längsdimension. 

Fig. 2 Tafel I stellt die beiden ineinander gesteckten Mäntel der Brennfläche für den Fall 
vor, dass der sog. Kugelgestaltsfehler in der Axe des Linsensystems gehoben ist. Die beiden 
Mäntel schneiden sich hier in einem Geradenpar, zu dessen Ebene die Brennfläche symmetrisch 
liegt (v. $ 3 S. 546). 

Die übrigen in den 3 Tafeln zusammengestellten Figuren beziehen sich auf zwei bestimmte 
Linsensysteme und dazu gewählte leuchtende Punkte, nämlich: 

A) eine Convexlinse aus Crownglas von folgenden Dimensionen: 

00 = 69,25 mm, d, = 8,0 mm, 0% = — 216,195 mm, n, = 1,52964 für gelbe Strahlen. 

Der leuchtende Punkt befindet sich in unendlicher Entfernung und die Richtung nach dem- 
selben schliesst mit der optischen Axe der Linse einen Winkel von 6° ein. 

B) das von Bessel beschriebene Fraunhofer’sche Heliometerobjektiv, resp. die- 
jenige von A. Steinheil angegebene Modifikation desselben, bei welcher für die gelben Strahlen 
der Kugelgestaltsfehler in der Axe verschwindet. Dasselbe besteht aus einer Crown- und Flint- 
glaslinse und hat folgende Dimensionen: 

& = 838,164", 46,0", 0, — 333,768”, dz= 0,0", 0, 340,326", d,—4,0'", 05 — 1168,926 
v-ı=1,0, v) = 0,653967, v, = 1,0, v, = 0,610083, »; = 1,0 für gelbe Strahlen. 

Aus ihnen berechnet sich nachstehendes System von Bestimmungsstücken h, o (v. S. 525): 

o-ı = 0,0, 0, = 0,041285, 03 = 0,221270, 0, = 0,020675, 07 = 0,083382 
ho = 100,0, Ti, = 99,7523, h, = 99,7523, h; = 99,6696. 


Aus diesen hinwiederum folgen die 5 Summen S(1) bis 8 (5), für welche jedesmal der Be- 
trag der positiven und negativen Glieder für sich angegeben ist (v. S. 530): 


S(1)=—5,508553 -+5,50874 = + 0,00021 
$(2) = — 0,111980 -+-0,1083838 = — 0,003597 
S (3) = — 0,0028800 +-0,0020082 = — 0,0008718 
S (4) = — 0,0046632 +- 0,0031744 = — 0,0014888 


S (5) = + 0,00011783 - 0,00011635 = + 0,00000148. 


586 


Wie man sieht, ist $(1) bis auf ca. 0,04 0/oo des Betrages der positiven Glieder gleich 0, 
also die Compensation der positiven und negativen Glieder nahezu vollständig. Eine Compen- 
sation bis auf einige %/0 tritt auch bei $(2) und $(5) ein. Erstere wurde nach v. Seidel’s 
Vermutung von Fraunhofer angestrebt, letztere ist bei geringen Linsendicken immer in ähn- 
lichem Grade vorhanden. Die Vereinigungsweite der Strahlen parallel zur Axe beträgt 1126,70" 
von der letzten Fläche ab gerechnet. Das halbe Gesichtsfeld beträgt beim Heliometerobjektiv 48'. 

Der leuchtende Punkt liegt in unendlicher Entfernung und die Richtung nach demselben 
bildet mit der optischen Axe einen Winkel von 48'. 


Alle Figuren der Tafel II, sowie Fig. 3a und 3b der Tafel I, welche von Linsen erzeugte 
Lichtflecke darstellen, sind negativ zu denken, d. h. in Wirklichkeit sind die dunkel darge- 
stellten Partien hell und umgekehrt. 


Die Figuren der Tafel II mit Ausnahme von Fig. 3 beziehen sich auf die unter A) be- 
schriebene Linse und sollen die Helligkeitsverteilung in einem Lichtfleck allgemeiner Art ohne 
Rücksicht auf die Begrenzung durch ein Diaphragma darstellen (v. $ 5, S. 565). Sie sind in 
100 facher Vergrösserung gezeichnet. Die Fig. 1a bis le (bezw. 2a bis 2e) beziehen sich auf 
einen Lichtfleck, der auf einer Schirmebene entsteht, die sich in der Entfernung von 93,78 (bezw. 
92,45) mm hinter der letzten Linsenfläche und 2,22 (bezw. 3,55) mm vor der Vereinigungsstelle 
der centralen Parallelstrahlen befindet. Fig. 1a (bezw. 2a) stellt die Verteilung der Helligkeit 
in der Au-Ebene dar (v. S.567 und Textfigur 10 S. 560); die Fig. 1b, 1c, 1d (bezw. 2b, 2c, 2d) 
die Helligkeit in den einzelnen Blättern der Schirmebene, endlich Fig. le (bezw. 2e) die bei 
Aufeinanderlegung der Blätter resultierende Gesammthelligkeit des Lichtfleckes. Die den Isophoten 
beigesetzten Zahlen geben den Grad der Helligkeit an. Als Einheit gilt die Helligkeit, welche 
der Schirm bei Entfernung der Linse von dem in unendlich grosser Entfernung angenommenen 
leuchtenden Punkt erhalten würde. Die Schirmebene der Fig. 1 ist so gewählt, dass sie durch 
die Knotenpunkte der Brennfläche hindurchgeht und daher die Brennlinie in ein Hypocyeloiden- 
par zerfällt (v. 8. 542). 


Die Figuren der Tafel III, nämlich la, 1b, 1c, 2a, 2b, 2c, 3a, 3b beziehen sich auf die 
Begrenzung des Lichtfleckes bei Abblendung der einfallenden Strahlen (v. $ 6, S. 569). Dabei ist 
wieder die Linse A vorausgesetzt. Fig. 1c, 2c und 3b stellen die Blendenebene dar und zwar 
in der Grösse, dass die Einheit des Masstabes lem in Wirklichkeit bedeutet. Die Fig.la, 2a, 3a 
beziehen sich auf die Schirmebene, für sie ist die Einheit des Masstabes gleich 0,lmm. Die 
Schirmebene ist in Fig. la und 2a in 92,45 mm Entfernung von der hinteren Linsenfläche ange- 
nommen, für Fig. 3a beträgt diese Entfernung 93,78 mm. Die Blendenebene ist jeweilig durch 
koncentrische Kreise in 10 flächengleiche Ringe, die verschieden grosser Abblendung entsprechen 
und einen centralen Kern geteilt, durch dessen Mitte die optische Axe hindurchgeht. Die Ein- 
teilung der Blendenebene ist durch Farbentöne hervorgehoben. Die Blendenebene in Fig. 1c hat 
man sich an der Vorderfläche der Linse gelegen zu denken. Fig. 1b gibt die Abbildung der 
Blendenebene in die } «-Ebene wieder, Fig. 1a stellt dagegen die Abbildung der Blendenebene 
in die Schirmebene dar. Entsprechende Gebiete sind jedesmal mit gleichen Farbentönen versehen. 
Die feinpunktierte, aus zwei ellipsenähnlichen Zweigen bestehende Curve der Blendenebene 1c 
gibt den Ort der Schnittpunkte der Strahlen, welche die Schirmebene in der Brennlinie (Fig. 1a) 
treffen (v. Textfigur 13 S. 562). Die Fig. la, 1b, 1c stellen den allgemeinen Fall dar, wo der 
Lichtfleck trotz koncentrischer Abblendung der einfallenden Strahlen durch eine unsymmetrische 
Curve vierter Ordnung begrenzt wird. Bei günstiger Wahl der Blende kann man, wie die Fig. 2a 
und 3a zeigen, diese Unsymmetrie vermeiden (v. S. 572). Hiebei ist die Blendenebene in einer 
Entfernung von 20,9 mm vor der ersten Linsenfliche angenommen. Die punktierte Curve der 
Blendenebene, welche der Brennlinie des Lichtfleckes entspricht, liest nunmehr symmetrisch zur 
optischen Axe und die Curven, welche bei verschiedenen Abblendungen den Lichtfleck begrenzen, 


ee A 


587 


werden Ellipsen mit gemeinsamem Mittelpunkt (v. S. 573). Ihre Bilder in der A «-Ebene 2b 
sind Gerade. Die Schirmebene bei Fig. 2a liegt an derselben Stelle wie bei Fig. 1a; bei Fig. 3a 
dagegen 93,78 mm hinter der letzten Linsenfläche wie bei Fig. le Tafel II. Die punktierte Curve 
der Blendenebene Fig. 3b besteht aus 2 Kreisen (v. S. 557, Formel 71 im Falle # = 0). 


Die Fig. 3a und 3b auf Tafel I, die Fig. 3 auf Tafel II und die Fig. 4a, 4b und 5a, 5b 
auf Tafel III illustrieren die Wirkung des Linsensystems B (Heliometerobjektiv). Fig. 3 Tafel II 
zeigt die Helligkeitsverteilung der Brennfigur in der Ebene, welche durch den Brennpunkt des 
Objektivs hindurchgeht in 1000 facher Vergrösserung (v. Textfig. 16a, S. 574). Dabei ist als Ab- 
blendung der einfallenden Strahlen der innere Rand der Objektivfassung von 158mm Durch- 
messer angenommen. Fig. 3a Tafel I zeigt in gleicher Vergrösserung den Lichtfleck in der 
Symmetrieebene der Brennfläche bei voller Oeffnung; Fig. 3b denselben Lichtfleck, wenn die 
rechte oder linke Hälfte des Heliometerobjektivs abgeblendet ist. Dabei ist angenommen, dass 
der leuchtende Punkt in der Trennungsebene des Objektivs liege. Die Fig. 4a, 4b und 5a, 5b 
auf Tafel III illustrieren die Abbildung der Blendenebene in diejenige Schirmebene, welche die 
Brennfläche symmetrisch teilt (v. Textfigur 15, S. 564). Sie zeigen auch, wie sich bei Veränderung 
des Blendendurchmessers die Begrenzung des Lichtfleckes ändert. Bei Fig. 4a ist die Blenden- 
ebene an der Vorderfläche des Objektivs angenommen. Die Strahlen, welche auf dem punktierten 
Linienpar der Blendenebene 4b auffallen, schneiden nach der Brechung die Schirmebene in den 
Brennlinien. Fig. 5a und 5b entspricht einer Blendenebene, die sich 1211,9” vor der vordern 
Linsenfläche befindet. Hiebei tritt die S. 575 erwähnte einfache Begrenzung des Lichtfleckes durch 
Kreise ein. Diese Abblendung wäre theoretisch die günstigste; ihre Anwendung setzt aber einen 
um die Hälfte grösseren Durchmesser des Objektivs voraus, oder es müsste der Durchmesser der 
Blende gegenüber dem Öbjektivdurchmesser auf die Hälfte reduciert werden, falls das Gesichts- 
feld von 2 >48’ aufrecht erhalten werden soll. Zu bemerken ist schliesslich noch, dass die Ein- 
heit des Masstabes der Tafel III in den Fig. 4a und 5a 0,01mm, in den Fig. Ab und 5b da- 
gegen 50 mm bedeutet. 


# 


he vB Pae7 


1 


En Et 


Tafel I, 
bhandl. d. k. b. Akademie d. Wiss. II. Cl. XVII, Bd. III. Abth. 


1a 


3b 


Ged. von J. B. Obernetter, München. 


BD 
u 


500 


2d 
Min. 915 


1000 


1000 E 
2000 500 
4000 
2000 3000 
4000 : 16000 
3000 Be ® 16000 
16000 = f 
6000 8000 1000 
4000 
2000 
2c 2000 4000 
Min. 1580 8000 
16000 
580 
a 16000 
8000 
2000 
1e 4000 
i = 8000 8000 
Min. 8000 äber 16000 16000 Mn 
16000 
S000 3 
4000 16000 
8000 
2000 \ 
005 4000 
1000 2000 


915 


2e 


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54 


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gejssew 


Skizzen 
zu einem speciellen Fall des Problems 


der drei- Körper. 


Von 


Dr. E. Frhr. von Haerdt!. 


(Mit 4 Tafeln.) 


Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 78 


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Vorrede. 


Die vorliegende Abhandlung fällt ihrem Inhalt nach nahezu völlig mit 
jener Untersuchung zusammen, welche ich als Manuscript zur Concurrenz 
um den von der kgl. dänischen Gesellschaft der Wissenschaften gewid- 
meten Preis eingereicht hatte und welcher am 20. Februar 1891 die 
goldene Medaille zuerkannt worden ist. 

Eine merkliche Erweiterung hat nur der fünfte Abschnitt durch 
Aufnahme jener Resultate erfahren, welche die wiederholte genaue 
Störungsrechnung mich hat finden lassen. Der Schluss des Termins 
hatte mich hier noch mitten in den diesbezüglichen Rechnungen überrascht. 

Die übrigen Abschnitte haben nur Aenderungen formaler Natur er- 
fahren. Es schien mir nämlich wegen des negativen Charakters der 
Resultate gerathen, an manchen Stellen die Darlegung noch zu kürzen 
und mich hier bloss auf die Wiedergabe der Hauptpunkte zu beschränken, 
während ich in dem oben erwähnten Manuscript, namentlich bezüglich 
der numerischen Werthe, detaillirtere Angaben gemacht hatte. 

Schliesslich erlaube ich mir noch an dieser Stelle Herrn Professor 
Thiele meinen ergebensten Dank zu sagen. Mehreren werthvollen Be- 
merkungen, welche er die Güte hatte, mir nach Durchsicht des Manu- 


scripts mitzutheilen, habe ich thunlichst Rechnung getragen. 


’ 


78* 


Einleitung. 


Dass wir uns heute von den Bewegungserscheinungen in einem System 
von mehr als zwei Körper keine oder eine nur höchst unvollkommene 
Vorstellung zu machen im Stande sind, glaube ich, kann nicht geläugnet 
werden, und ich erblicke mit Gylden') hierin die Hauptursache, wesshalb 
uns die Lösung des Problems der drei Körper so schwierig erscheint. 
Von Gylden ist auch meines Wissens zuerst auf einen Weg hingewiesen 
worden, auf dem diesem Uebelstand möglicherweise abgeholfen und die 
Erweiterung unseres Vorstellungsgebietes erreicht werden könnte, näm- 
lich die Untersuchung einer Reihe von Specialfällen dieses Problems, denn 
es lässt sich erwarten, dass man durch eine grössere Zahl derartiger 
Untersuchungen — wenngleich jede an sich, uns nur ein Bild der Be- 
wegung im speciellen Fall zu geben, im Stande ist — schliesslich doch 
aus deren Zusammenstellung zu zureichenden Vorstellungen der Bewegung 
im allgemeinen Fall gelangen oder doch wenigstens dieselben so weit 
ausbilden wird können, dass wir nicht mehr, wie heute, gezwungen sind, 
auf die Bewegungserscheinungen in einem System von nur zwei Körpern 
zurückzugreifen. Wie weit auf diesem — gewiss naturgemässen — Weg 
ein Beitrag zur Lösung des allgemeinsten Falles in Aussicht steht, lässt 
sich allerdings im Voraus auch nur näherungsweise nicht beurtheilen, 
doch, glaube ich, wird man diesen Weg schon desshalb als einen wissen- 
schaftlich berechtigten ansehen müssen, als er uns dazu führt, , uns mit 
den einfacheren Fällen eingehender zu befassen, deren Lösung zu ver- 


1) H. Gylden, Eine Annäherungsmethode im Probleme der drei Körper. Acta Mathema- 
tiea I u. a. ©. 


595 


suchen und zu zeigen, ob und wie weit wir heute schon im Stande sind, 
der auch hier schon auftretenden Schwierigkeiten Herr zu werden. 

In der vorliegenden Arbeit erscheint zum erstenmal die numerische 
Rechnung in den Dienst des Problems gestellt. Nach meiner Meinung 
handelt es sich nicht nur darum, die Existenz einfach periodischer Be- 
wegungen zu beweisen, sondern in den einzelnen Fällen auch die geo- 
metrischen und mechanischen Bedingungen aufzusuchen, denn es steht zu 
erwarten, dass man hiebei zu brauchbaren Annäherungsformeln gelangen 
wird. Das nöthige Material zu solchen Untersuchungen zu liefern, sind 
aber numerische Rechnungen vorzugsweise geeignet. 

In unserem Planetensystem ist die Massenvertheilung eine derartige, 
dass während eines mässigen Zeitraumes der Einfluss der Planeten auf 
einander im Vergleich zu jenen der Sonne sehr gering bleibt. Die 
Bewegungserscheinungen sind demnach auch nahezu dieselben, wie jene 
in einem System von nur zwei Körpern. Dieser Umstand setzt uns um- 
gekehrt aber auch wieder in Stand für einen beliebigen, nur nicht zu 
weit entfernten Zeitmoment von den in unserem System stattfindenden 
Bewegungserscheinungen sofort wenigstens ein genähertes Bild zu entwerfen. 

Verlassen wir aber unser Planetensystem und nehmen wir an, es 
liege uns z. B. ein mehrfaches Sternsystem vor, so gestalten sich die 
Verhältnisse wesentlich ungünstiger und schon auf die einfachsten Fragen 
über die in demselben stattfindende Bewegung werden wir die Antwort 
schuldig bleiben müssen. 

Die vorliegende Untersuchung behandelt einen der einfachsten Fälle 
in einem derartigen System. Um den Leser mit demselben vertraut zu 
machen, gebe ich in Uebersetzung das von der königlich dänischen Ge- 
sellschaft der Wissenschaften gestellte Problem hier wieder: 

„In einem Doppelstern, bestehend aus zwei gleichnamigen Körpern 
A und B, sind die beschriebenen Bahnen Kreise. Ein dritter Punkt €, 
mit unendlich kleiner Masse, bewegt sich so in der Bahnebene der 4 
und B, dass er zu Beginn der Bewegung auf der Verlängerung der 
Linie AB steht und zwar in einem Abstand von A, welcher halb so 
gross ist, wie der Abstand von B bis A und ferner, dass er um A eine 
Kreisbahn beschreiben würde, sofern B nicht vorhanden wäre. Bei Be- 
ginn sind alle Bewegungen nach derselben Seite gerichtet.“ 


ir 


Nehmen wir die Linie BAC als X-Axe eines rechtwinkligen fixen 
Coordinatensystems, dessen Ursprung in A liege, an, und bezeichnen 
ferner mit &, y, die Coordinaten, mit m die Masse des Körpers 5, mit 
% % die Coordinaten des Körpers Ü und zwar in der ungestörten (Kreis) 
Bahn, die Störungen in den einzelnen Coordinaten mit 57, so sind die 
thatsächlich stattfindenden, also gestörten Coordinaten xy desselben 
Körpers C, dargestellt durch =, +°, y=%-+n, und mit Berück- 
sichtigung der obigen Festsetzungen über die Massen ((=0, A=b=m), 
gehen die bekannten Differentialgleichungen zur Berechnung der Störungen 
in den rechtwinkligen Coordinaten über in: 


dt? In 20: r3 R r? 
an Fe 7? Yı)Y Yı | 2 Yo Y 
re m| a + km EL. 


Die Einheit der Distanz und der Masse können wir nach Belieben 
wählen, nur darf nicht übersehen werden, dass jede Verfügung hierüber 
zugleich eine bestimmte Zeiteinheit bedingt. 

Ich habe n„—=4r,=1 genommen, und ferner m so gewählt, dass 
es das Product k’m, wo k die Gauss’sche Constante bedeutet, gleich der 
Einheit macht. Die obigen Gleichungen vereinfachen sich demnach noch 
weiter und zwar wird: 


des il % 1%: 
da 03 y3 \ 8 


BO N ee 
dt -| ® a 8 Hl 
Die Berechnung der zweiten Glieder rechts vom Gleichheitszeichen 
bietet absolut keine Schwierigkeit. In den ersten Gliedern sind aber die 
Störungswerthe $n, also jene Werthe enthalten, die wir zu bestimmen 
suchen. Dieser Umstand erschwert zwar deren Berechnung, doch ge- 
staltete sich dieselbe hier trotzdem sehr einfach, da hier nicht die äusserste 


Genauigkeit erreicht werden musste. Einige Worte dürften genügen, die 
Art der Berechnung derselben klar zu machen. 


in. 


595 


Dass ich überhaupt mich entschlossen habe, die Störungen in den 
rechtwinkligen Coordinaten zu ermitteln, findet seine Erklärung in dem 
Umstand, dass es bei dieser Art der Berechnung sofort möglich ist, sich 
vom Lauf des gestörten Körpers ein Bild zu machen. Indem ich die 
gestörten Ooordinaten von Intervall zu Intervall auf einem graduirten 
Blatt eintrug und deren Schnittpunkte durch eine Curve verband, ge- 
stattete mir schon der Verlauf der Curve einen beiläufigen Schluss auf 
den Werth der gestörten Coordinaten des nächstfolgenden Intervalls zu 
ziehen. Der Differenzengang der Störungsincremente ermöglichte aber 
stets einen noch genaueren Werth voraus zu extrapoliren, so dass der 
direct berechnete Werth meist völlig mit dem angenommenen zusammen- 


fiel und eine Wiederholung der Rechnung — von wenigen Fällen abge- 
sehen — überflüssig wurde. 
Dass 7%, = 608%, Ct—=%- 8 —rcosv 21 0. 608%, 
% and, y=-Yyy-+n=rsinv Y—-r,Sinv, 
ferner: = (a — 20) 4+(WYı —Y) 


endlich zu Beginn der Bewegung der obigen Festsetzungen gemäss: 
0 0% — 180) 


zu nehmen ist, so glaube ich, ist durch die Ueberschrift die Bedeutung 
der Zahlen in nachfolgender Tafel genügend klar gethan. Wie man aus 
derselben ersieht, wurde der speciellen Störungsrechnung jenes Intervall 
zu Grunde gelegt, welches einer Bewegung des störenden Körpers B im 
Betrag von 1°15’ in seiner Kreisbahn entspricht und die Rechnung so 
weit geführt, bis B zwei volle Umläufe beschrieben hatte. 


z Diff l 
Y Diff | 
en nn — ei 0 | Diff ) Dif 
1.00000 7 Ben. 2: D 
+ 0.99917 | __ g3 | 0.00000 | —_—__ Di 
Losge71 | 26 0.043623 | t 4362 + 3.0000 | Fu TROFE ER 
0.992363 | aog , tr 9.08716 + 4354 42999 | 1 + 1.0000 \ i 
|+0.98094 | 589 -0.13054 | + 4338 BETT oo ne 0 00 
-10.97965 | 729 —+- 0.17368 —+ 4314 + 2.9997 ı | + 1.0005 ar 4 2 30.0 +2 
+. 0,97077 | _ „888 +021651 | T 4283 19.995 | 7 2 ST Dee 459.9 12 
+.0.96033 | — 1044 1 0.95895 | 1 4244 19999 | 2 11.002117 2 7295| t2 
as 0.300953 | t 4198 toggg | 2 +-1.0033 | 1 12 958.8 12 
+ 093488 | _ 1348 +0 34938 | T 4145 tog0ss — ? + 1.0047 | 1 14 12 977 72 
—+-0.91994 _ 1494 | t 0 38324 + 4086 99984 * oo 14 561 72 
1 0.903358 | 27 1636 +. 0.419343 | T 4019 +29980| * + 1.0083 | F 19 17 239 | 72 
+ 088583 | 1775 1 0.46287 | T 3244 199975 > +1.0104\1 21 19 52.0.2102 
+ 0.86675 | — 1908 +.0.50152 | 7 3865 +2.9969 Z © Froızı23| 54 17. | 2 
+.0,84638 | 2037 +.0.53939 | 7 3780 +99968 6 41.0152 | T 23 94 429,12 
+ 0.894177 | 2161 -.0,57620 | + 3688 9997| © + 1.0179 | 1 27 27 1.5 +2 
-1.0.80197 | 2280 -0.61213 + 3593 BERN nl +-1.0208 | T 29 29 31.012 
| +.0.61706 | 1 3493 EN + 1.0939 | + 31 31 535| 72 
+ 0.755301 | 2202 -1.0.68093 | 7 3387 199936 7 41.0971 | 7 32 34 148| 12 
1.072696 | 2605 1.071369 | + 3276 4.99998| 8 + 1.0305 | 3% 36 34.9 | 7 2 
10.699938 | 2703 +.0,74530 | 3161 Re + 1.0339\1 34 38 538 1 2 
+.0,67198 | 273 -Lo.77574 | T 304 +99911| > 11.0375 08 a 
—- 0.64317 _9ggı | T 9 80498 + 2924 +.99901| _ 10 + 1.0411 -+ 36 13 9279| 2 
1 .0.61356 | z2el .0,83298 | + 2800 +. 90891 | 10 2 1.0448 02 is. 8 | 
+ 0.583232 | — 3034 +.0.85971 | + 2673 + 2,9880 | _ 11 + 1.0486 | 1 38 47 56.4| 72 
os rosa | 1720 +29869| Z 4 +1.0524| 73° 50.2 3. AES 
10.520553 | 3166 1.0.90930 , T 2414 1499857 2 + 1.0562 | 7 38 52 19,612 
+ 0.488299 | 9224 +. 0.93210 | 7 2280 1.999845 | 12 1.0600 , T 38 54. 29.1052 
a 4.0.95356 | 1 2146 +99832| 1? + 1.0638 | F 38 56 372| 172 
4.0.40235 | 3220 +.0.97367 | 1 2011 Bosse 1.0676) 1788 58 4838| 1 > 
.0.38873 | — 3362 -.0,99239 | T 1872 9.9803 | 12 + 1.0713 1 37 60 491| F2 
1.0.35476 | 3397 + 1.00973 | + 1734 +9,9787 | 16 + 1.0750.| 1 27 62 53.1172 
-1.0.32050 | — 2426 + 1.02568 | 1 1595 199771| 2 16 +10785 +35 64 55.6 02 
+ 0.298601 | 3449 + 1.040924 | 1 1456 +99754| 0 17 +-1.0820 | + 32 66 56.7 7? 
+ 0.951323 | — 3469 + 1.05340 | + 1316 +9.9735 | 19 + 1.0858 \ +33 68 566 | 1 1 
+ 0.216419 | — 3483 1.068517 | 7 177 199715 720 + 1.0885 | 1 32 70 55.2 +1 
nella A | 10 9.9694 | m =} +1.0915 | + 30 72 52,5| 7 1 
oe 41.084517 897 oe 10948 > 71486 Tl 
nee ae +1.09208 | 757 1 o/9gAg 2 21.0971 1127 76 43.5 1 
1.0.07876 | — 2490 +1.09835 | 7 617 +99621 | 26 + 1.0996 | 72 7s 371 t1 
1-.0.04197 | 7 3379 + 1.103038 | 1 478 rd +10 2 80 29.7| 71 
—+-0.00733 —_ 3464 | T 1-10643 + 340 | + 29566 _.9g | + 1.1040 ne a 
— 0.029719 | 3443 rosa 201 9.9536 | 20 +11057 | +17 84 117 | b1 
—_ 0.06134 | — 3422 +110907 | 63 oe 4110720, 12 er 
— 0.09527 | 3393 110833\ 2 7% E.5,0469| = 2? 110851433 87 496 41 
—_.0.19887 | 3360 1.106253 | _ 210 499439 | 37 0 89 37.2 | FI 
—o.1sa1ı | = 3324 1120978) 348 1.9.9399 | 40 +11100| + 8 91 24.0 | FE! 
_.0.19493 | 3282 + 1.09799 | 479 99349 | 3 1.1103 a0 © 93 10.0 11 
— 0.229730 | 2227 20 2.9304 | #3 os ee 94 553| 11 
0.235917 | 3187 08a | 90956 | 0.8 + 1.1099 0702 96 39.9 | 1 1 
_.0.29050 | 3133 11.075592 0° 4.9.9905 | 21 oa 98 239 | 11 
032135 | 3075 + 1.06548 | — 1011 +29151 | 4 2.1.1070 Im 1 7371 
035138 | 3013 a +2.9093 | 28 + 1.1064 =: so3\ rl 
0.3808. | — 2946 1.042137 | 1270 —+ 2.9031 9, + 1.1044 — 20) 03 32.8| + 1 
— 0.40959 a rss +.2.8965 | 66 ol 105 15.0 H1 
_ag60 | T 101213 1596 |, t 2889 __ 70 | + 1.0990 __ 99 | 106 57.0 rl 
|— 1653 [9.8820 | 7? + 1.0957.| = 33 108 38.7 T1 
_.g0| 7 1.0919 _.3g | 110 20.3 mt 
— 44 | 112 19 Zeh 
Sell 


% v B4 Diff. Yy | Diff | 6) Diff. r 
0 0) 
137.5 248.75 |— 0.43759 9719 7 0:99560 _ 1779 42-8740 | _ 54 |+1.0875 | 
140.0 | 250.00 — 0.461478 9936 4-0:97781 | 1905 12-8656 | 90 + 1.0826 
112.5 251.25 | 0.49114 | 554, 4 0.95876 | 9099 12.8566 _ 95 |+ 1.0772 
145.0 252.50 | 0.51661 | _ 5153 |+0.93847 | 9159 + 2.8471 19] |+ 1.0713 
147.5 1253.75 | 054114 5555 + 0.91695 | 59751428370 | 196 + 1.0647 
150.0 | 255.00 1— 0.566469 |_ 555] + 0.894120  oa96 | + 2.8264 one 
152.5 | 256.25 | 0.58720 | 914] + 0.87024| 551,14 28151| 7 1,9 + 1.0498 
155.0 | 257.50 |— 0.60861 | _ 599g | + 0.845807 | 9637 |4 2.8082 | 15, 41.0414 
157.5 258.75 | — 0.62887 | 1997 | + 0.81870 | 575, |+ 2.7905 E34 72.0223 
160.0 | 260.00 | 0.64794 _ ]780 + 0.791183 | 597514 2.7771| _ 145 + 1.0226 
162.5 | 261.25 | 0.66574 | _ 1547 1 0:76288 | 9093 427628, 157 + 1.0121 
165.0 | 262.50 | 0.68221 _ 150g |+ 0.732485 511] 12.7477 | 129 + 1.0009 
167.5 | 263.75 | 0.69729 | _ 1369 + 0.70134| 305, |+ 2.7318 | _ 169 | + 0.9890 
170.0 | 265.00 | 0.71089 | _ 1905 + 0.66909 | 334, | + 27180 | _ 178 + 0.9762 
172.5 | 266.25 | 0.72295 _ 1943 |+ 0.63568 | 545, |+ 2.6972 _ 193 + 0.9627 
175.0 | 267.50 | — 0.733838 _ 97] + 0.601137 3.66 |+2.6784 900 + 0.9483 
177.5 | 268.75 | 0.74209 | 597 |+ 0.56547 | 3077 42.6584 _ 5,] + 0.9330 
180.0 [270.00 | 0.74896 | _ „95 |+0.52870 3,8, |+ 2.6373 _ 554 |+ 0.9168 
182.5 [271.25 | 0.75391| _ 59, 40.490883 | 3994 42.6149 | 525 |+ 0.8996 
185.0 | 272.50 |— 0.756682 _ "7, +0.45189 3099 | + 2.5913 951. | + 0.8815 
187.5 273.75 | 0.757566 | 59 40.411907 419) + 2.5662 | 5e; |+ 0.8624 
190.0 | 275.00 |— 0.5597 | 97 + 0:37089 | 4198 + 2.5397 | 999 | + 0.8421 
192.5 | 276.25 \— 0.75190 | 673 + 0:32891 | yogg + 25117 | 997 |+ 0.8207 
195.0 | 277.50 — 0.74517 || 958 +-0.28598 | 1560 2.4820 | "3161 0.7982 
197.5 | 278.75 |— 0.7859 |} 1995 | + 0.24218 |” Aang 1 2.4504 | 354 10.7744 
200.0 | 280.00 |— 0.72293 1599 \+ 0.19759 |  ,55] | 2.4170 | 35, |+ 0.7494 
202.5 | 281.25 |— 0.70694 | 196] + 0.15228 | x0,|+ 2.3815 76 |+ 0.7231 
205.0 | 282.50 — 0.68733 | | 9356 +0.10638 | 4034| 2.3439 _ 100 + 0.6955 
207.5 | 283.75 — 0.66377 9799 + 0.06004 | _ A656 | t 2:3089 | 454 + 0.6665 
210.0 | 285.00 | — 0.63589 3967 |+ 0.018348 | _ \59 + 2.2615 | __ 4,0 + 0.6360 
212.5 | 286.25 |— 0.60322 1 3798 | 0.03302 | 1609 | + 2.2165 __ 47, + 0.6041 
215.0 237.50 |— 0.56524 I 1ggg | 0.07911 | _ 4513 | + 2.1688 | „05 | + 0.5707 
217.5 288.75 — 052141 |] 5095 — 0.194242 13,0 42.1183 | >, |+ 0.5360 
220.0 | 290.00 | -— 0.47106 5761 016774 | yogı | 7 2.0649 225 + 0.5000 
222.5 | 291.25 |— 0.41345 + 6569 — 020855 | 3679 |+ 2.0090 | 579 40.4631 
225.0 292.50 |— 0.34783 || 7499 — 0.2427 5955 [41.9511 | 25, |+ 0.4256 
227.5 | 293.75 |— 0.27354  gg1g — 0.27582 on + 1.8995 |. |+ 0 3885 
230.0 295.00 |— 0.19036 +.9138,— 0.29733 _ "gg5 41.8353 | 255 +-0.3530 
232.5 296.25 | — 0.09898 9690 — 030596 |, 975 +-1.7831| 49, + 0.3216 
235.0 297.50 |— 0.00208 | 9995 | — 0.29721 0999 | 41.7426 | 90] + 0.2972 
237.5 | 298.75 + 0.09487 ar 0.267291 516g + 1.7205 + 19 |+ 0.2836 
240.0 300.00 |+ 0.18404 ah En — 021561 ||| 935 41.7224 [7 9,6 + 0.2835 
242.5 301.25 40.258214 1 ...9 — 0.14629 a" 7985 | + 1.7470 + 499 |+ 0.2968 
245.0 302.50 + 0.31403 en — 0.066441 9873 1.7899 1 515 40.3210 
247.5 | 303.75 |4-0.35192 | 995, + 0.01729 8303 | 41.8439 1 597 + 03523 
250.0 305.00 |-+ 0.37447 ia ‚+ 0.100321 7976 + 1.9026. [598 |+ 0.3877 
252.5 | 306.25 |+ 0.338469 54 + 0.18008 rsog + 1.9624 |] 559 + 0.4248 
255.0 | 307.50 + 0.38523 5 709 + 0-25536 | 7935 |+ 2.0213 567 |+ 0.4622 
257.5 | 308.75 |+-0.37821 | _ „997 1 0.32571 1 6535 | + 20780 14 540 |+ 0.4991 
260.0 | 310.00 + 0.36524 |_ | 764 + 0:39106 1 6049 + 2.1320 7 5]] | + 0.5351 
262.5 | 311.25 |-+ 0.34760 a + 0.45155 |} 2,5, |+ 2.1831 492 | + 0.5698 
265.0 312.50 + 0.32623 9190 + 0.50739 + 5145 |t 2.2313 | 754 | + 0.6032 
267.5 | 313.75 |+ 0.30187 _ 9676 + 0-55884 FR Zi + 2.2767 se 4197 | 7 0.6352 
270.0 315.00 |+0.27511 | _ 997] | 0.60615 4343 + 23194 7 499 | + 0.6657 
272.5 | 316.25 -+ 0.246410 — 3029 | + 0.64958 4.3977 + 23596 1 378 + 0.697 
Abh. d. II. Cl.d.k. Ak.d. Wiss, XVII. Bd. III. Abth. 


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492.5 426.25 |— 0.309011 4028 —- 09664 1482 +30111 Z 4 +1.0148 7,5 [12 163 
195.0 427.50 |— 0.26829 | 1 4110| — 097994 | 17°0 42.0107 | Z 5 |+1.0160| T14 |614 13 
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512.5 1486.25 |+-0.02526 |] 417, — 102972 7° 43.0066 5 | +1.0300 | 157 681 17.6 
515.0 437.50 |-+.0.06498 7 4175 — 1.030687 9 +3.0058 _ 5 |+1.0327| 153 1633 36.4 
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+ 0.23994 
+ 0.27257 
+ 0.30506 
—- 0.353737 
—- 0.36944 
—- 0.40124 
—- 0.43272 
+ 0.46384 
—+- 0.49457 
—- 0.52485 
—+-0.55463 
—- 0.58387 
—-0.61254 
—+-0.64058 
—-0.66796 
—- 0.69462 
++ 0.72052 
—+-0.74562 
—+-0.76987 
—-0.79322 
—- 0.831563 
—- 0.383705 
—+-0.85743 
—+-0.87673 
—+-0.89491 | 
—+0.91192 
+ 0.932771 
+ 0.949224 
+ 0.95547 
—+0.96736 
—+-0.97787 
—-0.98697 
| 0.99462 
—+-1.00079 | 
—+-1.00545 | 
—-1.00857 | 
—-1.01013 
+-1.01010 
—-1.00847. 
—+-1.00522 | 
—-1.00034 | 
+ 0.99383 
+ 0.98568 
—- 0.97589 
—+-.0.96447 
—-0.95143 
-- 0.93679 
+-0.92056 | 
—+- 0.90279 
+ 0.88348 | 
—- 0.86267 | 
+ 0.84040 | 


+0.81671 |” 


Diff. 


< 8279 
—+ 8273 
—- 3263 
—- 3249 
ar Baal 
—+ 3207 
+ 5180 
+ 3148 
—- 3112 
— 3073 
— 3028 
+ 2978 
2924 
+ 2867 
+ 2804 
12738 
+ 2666 
2590 
—- 2510 
+ 2425 
- 2335 
-r 2241 


1051 


e Dift. r Diff. v Diff. 
0 ‘ 4 
ee 469 41.0904 | 437 |1089 123 | |, 45.1 
2. 1.1.0935 1090 55.4 
+2.8955 185 |+1.0961 ER 1092 38.6 | 11 13% 
--9.9015.| F 60 | 1.0982 1092 2a an 
+9.9171 EI +1.0998 Au 1096 02 am 
+2.9921 | 4%, 1.1010 | '7 1097 50.6 a I 
+ 2,9973 1.1017 1099 35.6 
1.9.9319 Bu +11020| 7 3 |ı1o1 ar. a m 
+2.9362 | 74, +11020| _ , 1108 72 BE 
+2.9103 | 5, |+1.1016 | Z 1104 54.0 am, ei 
+2941 1738 |411010| 210 1106 41.67 83 
+ 29477 738 |41.1000| 213 1108 29.971 490 
+29510 15] -+1.0987 | 216 1110 1011777 501 
2541| 1a |+1o97ı Is 112 92] 7 z71 
+2.9570 132 +1.0953| 25, 11 03|77] 590 
+ 2.9597 1734 41.0932 | 5, 1115 923177] 531 
20623 | 1736 41.0909 | 56 1117 4841777 549 
Hasız 12, +10888| 57 [1119 99:61] 553 
20669 13, 41.0856 | 55 [1121 349177 48:6 
+ 2.9690 1735 |+1.0827| 3, [1128 315] 97 
-H29710| 179 | 1.0786 | Z 55 [1125 292|777 590 
+ 29729 115 |4+1.0762| 23, [1107 28215 a 
+ 29ma7 , 115 | + 1.0780 | 234 |129 84.75 16 
+ 2.9768 | 118 |+1.0696| 37 [1181 30.075 99 
+agrze| F12 |+1.0659| 236 [1138 329 75 43 
+ 2.9792 | 715 |+1.0623 | 237 1185 37275 57 
-+2.9805| | 5 |+1.0586 | _ 35 1187 429 | | 9 70 
+aasız| E13 | +ıoss| Zgg [1139 09175 gu 
2989911, 4-1.0510| 39 1141 583175 99 
2980| E15 | From! gg |u 8215 113 
-1. 2.9850 1.1.0433 1146 195 
1 9,9859| 5 9|+ 1.ossa| = 32 |1148 32.2175 127 
Tosses| + 2 + 1.0857 | Z27 |1150 462 5 15% 
+2.9876 | U 7 [41.0320 wi 17 3 I 
1.9.9883 | 1 7 |-+ 1.0283 isst an 
998901 t 7 + 1.0246 | = 27 | 1157 36.817, 1 
9985| + 31 1.osuı | 32 |1159 56.3 |75 19.5 
+2.900| 5 2 |+1.0178| Z35 |1162 EN 
2.9904 | 7 4 + 1.0146 i164 391m 
+2.9908| X & +1o1s| 235 |1167 22 an, ae 
99911) T 2 |+ 1.0085 1169 26.5 | 12 52 
29913 t 2 [1.0057 | 28 |ırrı 51.9115 254 
29915 + 2 + 1.0082 | = 2 |117a 182 5 20 
+29916| 7) +1.0008 | Z 39 |1176 45.5 4%, 
9,9916 2.0.9986 | _ 22 | 1179 13.7 De 
1 99916| _ 9 | o.ose| — 20 |nısı 42.61IT, 50; 
99915| = 2.40.9949| 37 |1ı82 18217, 28 
999131 2\ogesı| Z15 1186 225 7, N 
9910| 3 |+osaaı | 13 |11s9 13.27, an 
1999061 = ++ 0.9910| = 1 |1ıgı 4275 ale 
+2.9902 | Z 5 +0.9902| I 8 |1194 15.8 3, a 
9 7 5 i 
ae = &\ Fosana| — 3!1100 1nalra a 
+ 2.9884, Z 2|+0.9894 |, 3 |1201 51.2| 175 318 
+2.9877| 2 7|+0.9896 | 5 | 1204 23.0173 315 


io EEE 


Vo v4 c Dif. Y 
0 0 
962.5 | 661.25 — 0.5940 |__ gug9 | + 0.79166 
965.0 1662.50 0.62929 | 3307 +0.76528 
967.5 1663.75 — 0.06286 | 3504 + 0.73763 
970.0 665.00 | — 0.69529 3795 + 0.70876 
972.5 666.25 |— 0.72651 3005 + 0.67872 
975.0 | 667.50 — 0.756146 _ 5au, + 0.641760 
977.5 668.75 | — 0.78510 9799 |+ 0.61544 
980.0 | 670.00 — 081239 5.9, + 0.8233 
982.5 | 671.25 — 0.83829 5210 +-0.54833 
985.0 | 672.50 -- 0.86276 | 3300 + 0.51348 
987.5 | 673.75 — 0.88576 502) +0.47786 
990.0 | 675.00 — 0.90727 _ Iy05 + 0-44157 
992.5 1676.25 — 0.927236 12,6 + 0-40465 
995.0 677.50 - 0.94572 | 1690 |+0.36720 
997.5 1678.75 | — 0.96262 | 163, + 0.32927 
1000.0 | 680.00 — 0.9776 1377 + 0.209093 
1002.5 | 681.25 — 0.99173 | _ 15, + 0.25225 
1005.0 | 682.50 — 1.003893 | 1061 + 0.21332 
1007.5 | 683.75 |— 1.01454 | = 100, |4-0.17420 
1010.0 | 685.00 — 1.02358 _ 70, +0.13496 
1012. | 686.25 |— 1.03104 480 + 0.09563 
1015.0 687.50 |— 1.03693 | 223 |+0.05636 
1017.0 688.75 —1.01126 _ 37 +0.01715 
1020.0 | 690.00 |— 1.044103 _ 135 | — 0.02193 
1022.5 691.25 — 1.04526 33 | — 0.06080 
1025.0 692.50 — 1.044977 180 |— 0.09941 
1027.5 | 693.75 — 1.043177 359 |— 0.138770 
1030.0 | 695.00 — 1.0388 7 376, — 0.17562 
1032.5 | 696.25 |— 1.035121 595 — 0.21310 
1035.0 | 697.50 — 1.02890 | 745 | — 0.25008 
1037.5 | 698.75 | -- 1.02125 396 | 0.286351 
1040.0 | 700.00 |— 1.01219 7 1044 — 0.3235 
1042.5 | 701.25 |— 1.001757 1089 | — 035754 
1045.0 | 702.50 — 0.98995 7 1313 — 0.39204 
1047.5| 703.75 |— 0.970682 1 141, — 0.12579 
1050.0 | 705.00 | — 0.96238 1 1.7, — 0.45875 
1052.5 | 706.25 |— 0.94666 1 12,7 — 0.149087 
1055.0 | 707.50 | 0.92969 167, — 0.5210 
1057.5 | 708.75 — 0.9150 1 1028 — 0.55239 
1060.0 | 710.00 |— 0.89212 1 3955 — 0.58171 
1062.5 | 711.25 |— 0.87157 3169 — 0.61001 
1065.0 | 712.50 |— 0.819887 3990 |— 0.6374 
1067.5 1713.75 — 0.82708 | 3399 | — 0.66337 
1070.0 715.00 |— 0.80320 7 5193 | — 068835 
1072.5 | 716.25 =- 0.77827 | 9595 — 0.71214 
1075.0 | 717.50 — 0.752832 7 5695 |— 0.73469 
1077.5 1718.75 — 0.725837 5799 | — 0.75596 
1080.0 | 720.00 | — 0.69747 7 5105 |— 0.77591 
1082.5 | 721.25 |— 0.66865 1507, | — 0.79449 
1085.0 | 722.50 |— 0.638938 7 3055| — 0.8164 
1087.5 | 723.75 |— 0.60834 130%, — 0.82734 
1090.0 | 725.00 |— 0.57692 1 335, | — 0.841153 
1092.5 | 726.25 | — 0.541470 7 3507 — 0.85416 
1095.0 | 727.50 |— 0.51173 7 322. | — 0.86518 
1097.5 | 728.75 — 0.478041 3137 — 0.87453 


| 


Dift. 


— 2638 
— 9765 
— 2887 
— 5004 
— 3112 
— 3216 
— 3311 
— 3400 
— 3485 
— 3562 
— 3629 
— 3692 
-—- 3745 
— Hs 
— 3834 
— 3868 
— 3893 
-— 3912 
— 3924 
— 5931 
— 8929 
— 3921 
— 3908 
— 3887 
— 3861 
— 3829 
— 3792 
— 9748 
— 3698 
— 3643 
— 3584 
— 3519 
— 3450 
— 3375 
— 3296 
— 3212 
— 3123 
— 3029 
— 2932 
— 2830 
— 2723 
— 2613 
— 2498 
— 2319 
— 2955 
— Alan 
—1%6B 
— 1358 
— iM 
— 1570 
— 1419 
— 1263 
— 1102 
— EB 
764 


0 


+ 2.9869 
+ 2.9859 


—+ 2.9849 | 


2.9838 | 


—+ 2.9826 
+ 2.9814 
—+ 2.9800 


+ 2.9786 


2.9771 | 
+ 2.9756 | 


+ 2.9739 
2.9721 
+ 2.9702 
+ 2.9682 
+ 2.9661 


+ 2.9640 | 


+ 2.9618 
+ 2.9595 


+ 2.9571 
+ 2.9546 


—+ 2.9520 


+2.9492 


+ 2.9463 
+ 2.9433 
+ 2.9402 
+ 2.9370 
+ 2.9336 
+ 2.9300 
+ 2.9263 
+ 2.9225 
+ 2.9184 


42.9141 
+ 2.9096 


+ 2.9049 


+ 2.9000 | 


+ 2.8948 
+ 2.8893 


Diff. 7 
| 
_ 10\+ 0.9901 
10 + 9.9908 
2 47 |+ 0.9917 
_ 19 | 0.9929 
—_ 19 |+ 0.9943 
_ 14 |+ 0.9958 
_ 147 0.9976 
—_ 157 0.99% 
NT 
—_ 17 r.1.0040 
_ 18 |7 1.0064 
—_ 19 1.0090 
sy Lo 
1.0185 
a ae! 
5552010203 
_ 93 | 1.0232 
5 1.0263 
—_ 95,7 1.0294 
_ 96 |+ 1.0824 
—_ 9g + 1.0355 
—_ 99|+ 1.0385 
— 307 1.0414 
= 31 11.0443 
—_ 39 |+ 1.0470 
—_ 34 | 1.0497 
—_ 361 1.0522 
__ 37 \r 1.0546 
58 1.0568 
_ 41 |7 1.0588 
| 10607 
—_ 45 | 1.0623 
_ 47 |r 1.0637 
_ 49 tr 1.0648 
_ 59, | 1.0656 
—_ 55 11.0661 
—_ 57 |+ 1.0663 
—_ 60 |+ 1.0663 
_ 3 |+ 1.0658 
_ 66 |+ 1.0650 
—_ 70 |+ 1.0639 
_ 74 \+ 1.0623 
_ 78 |+ 1.0602 
—_ go |+ 1.0578 
—. g7 |+ 1.0549 
—_ 94 |+1.0515 
96 |+ 1.0477 
_ 109 + 1.0433 
_ 107 |+ 1.0884 
113 |+ 1.0329 
—_ 119 |+ 1.0269 
— 105 \+ 1.0203 
_ 139 |+ 1.0130 
_ 139 |+ 1.0052 
—_ 147 |+ 0.9967 


SD 
SI 


DEEEREREREREN 


Be 
= 
a 


HH 4444444 


HHrHHmbeskHrmiHhkHrHrHHHHesHmd Hd Hm. Hd mm Ho Hl DD DD DIR DR IR DIR DR DIR DIR DR IR DPD IR ID DR DD IR DK NK DD ID DDR DD 


604 
RHEIN FEIERTEN BEE nn en __________ 
vo 2 x | Dik y Diff 0 Diff D Diff v Dif 
7 = T — = — 
1100.0 | 730.00 | — 0.414367 0.882 + 2.7085 +0.9875 3 18. En 
00.0 730.00 \— 0.414367 088217 |... 2.7085 | .987 1323 18.0 
1102.5 | 731.25 — 0.408651 359] — 0.38803 586 [1 2.6930 | 139 |4-0.9775 109g 1325 17.3 KL 
1108.0|792.50 | OS7E0 | Bere Oeprnaln 210 1 anzu 2178 Tanss 114 1a aislt > 
3733.75 |, 0.306881 Sog a eo ln 182 og ln 
Dede FERN ee ae ra Berl je 
nano masse | 4 3751 | oassao IF 405 | aaoız | 202 |t 0.0165| 128] 1335 51 5 
117.5 | 738.78 | — 0.18773 BE —- 0.88203 ER 626 1 0.5804 | "555 0.9018 | 147 1337 59.1 BE ; 
Diele ee ee 
| 2aBi6o | oorassı 3841| 2 0.auage 1 150. 25000 | 7 20L Krossaı I see, 
es see | ons | 152 Ep anaa 1 1012 | 12 1ans | 17260 1 oessz| = 19 Tea ara: 
1150.0 | 745.00 | 0.00300 | 3885 | 0.51306 1888 || 94545 17280 1 0.8140| 7 397 | 1350 16.5 de 2 
1139,5 746.25 +-0.04203 Bi — 0.79218 Ei 2178 42.4249 I 315 H- 0.7983 Saas Is ER 5 
a ae Bl 2 5 
Ha Po Kram ar Samen Fa oaiam San For a Ian al 3 
1140.0 | 750.00 |-+- 0.153621 3654 | _ 070794 1 3140 1.9.3935 | 320 40.7244 — 241 | 1399 16 I 2 4 
11425 731.25 | 0.18929 IH 3560 | Q,67298 112496 |} 2.2886 |= 20, 40.6991 — 253 | 1995 493 I > 
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Einen besseren Ueberblick über die Bahn und die Bewegung des 
Punktes C, als durch Vergleich obiger Zahlen möglich wäre, gewinnt 
man auf graphischem Wege. Bevor ich jedoch hiezu die nöthigen Er- 
läuterungen gebe, will ich nur noch einige Bemerkungen, die Genauig- 
keit der obigen Zahlen betreffend, machen. 

Obwohl bei Berechnung obiger Zahlen, welche durchwegs fünfstellig 
geführt wurde, mit möglichster Sorgfalt vorgegangen wurde, unterliegt 
es wohl keinem Zweifel, dass die Ungenauigkeit der Resultate, nament- 
lich der späteren, eine wesentlich grössere sei und zwar aus folgenden 
Gründen: Erstlich ist für unsern Fall, wo die Störungen sehr grosse 
Beträge erreichten, die Berechnung der Störungen in den rechtwinkligen 
Coordinaten an sich nicht sehr geeignet, da die Zerlegung der Störungen 
nach den beiden Axen dieselben noch grösser erscheinen lässt, wie sie in 
der That sind. Auch war der Betrag der einzelnen Störungsincremente 


607 


manchmal so gross, dass es nöthig gewesen wäre, um die letzten Ein- 
heiten sicherzustellen, wenigstens sechsstellige Tafeln anzuwenden. In 
Folge der doppelten Summation, welche nun über diese Incremente aus- 
zuführen ist, addiren sich aber nicht nur diese Fehler der einzelnen Incre- 
mente, sondern deren Unsicherheit geht wesentlich vergrössert auf die 
späteren Resultate über. Ist aber in solcher directer Weise der Fehler 
einmal bis zu einem merkbaren Betrag gestiegen, so beeinflusst er auch 
weiter in indirecter Weise die Genauigkeit der Resultate, denn aus der 
Zugrundelegung eines fehlerhaften Werthes der gestörten Coordinaten 
resultirt nothwendig wieder ein fehlerhafter Werth des hiemit berech- 
neten Störungsincrements. 


Warum ich demungeachtet die Störungen der rechtwinkligen Coor- 
dinaten ermittelte, ist bereits früher motivirt worden und dass ich hier 
auch auf die Erreichung einer grösseren Genauigkeit kein besonderes 
Gewicht legte, findet seine Erklärung in dem Umstand, dass ich vorerst 
nur ein beiläufiges Bild von der Bewegung des Körpers C gewinnen 
wollte, was durch die obige Rechnung auch in denkbar kürzester Zeit 
erreicht wurde. 


Wirft der Leser einen Blick auf die Tafel I, so bemerkt er im 
Centrum einen grösseren Punkt A, der die Lage des Oentralkörpers mar- 
kirt, ferner zwei concentrische Kreise, wovon der kleinere (--) die Bahn 
des Punktes C darstellt, welche derselben beschrieben würde, wenn der 
Körper B keinen störenden Einfluss auf ihn ausüben würde, während 
der grössere uns die Bahn des störenden Körpers B versinnlichen soll. 
Dieser letztere Kreis wurde statt mit dem Radius 2 bloss mit dem 
Radius 1.5 beschrieben, damit sich das Format der Zeichnung nicht 
allzu gross gestalte.e Von den Punkten (1) beginnend, hat man sich die 
Bewegung in der Richtung der Pfeile vor sich gehend zu denken. Die 
gleiche Nummer führenden Punkte theils in der Bahn des störenden 
Körpers B, theils in der wahren (gestörten) Bahn des gestörten Körpers C’ 
markiren den jeweiligen gleichzeitigen Stand dieser zwei Körper. Die 
dritte schlingenförmige Linie gibt uns also ein Bild von der relativen 
Bewegung des Körpers © um-den Punkt A. 


Die Hauptmomente lassen sich in folgende Sätze zusammenfassen: 
..80* 


608 


1) Innerhalb einer Zeit, welche der doppelten Umlaufszeit des stören- 
den Körpers B entspricht, bleibt der Körper Ü bei dem Körper A, also 
jenem Körper, den er auch in der ungestörten Bahn hätte umkreisen müssen. 

2) Eine Wiederholung des Anfangszustandes, d. h. dass die drei 
Körper sowohl in einer Linie stehen, als dass auch die Entfernung AC 
nahe gleich der Einheit wird, tritt innerhalb dieser Zeit dreimal ein, 
sohin entspricht diese Periode einer Zunahme der Länge des störenden 
Körpers von rund 240°, aber erst nach 3 x 240° ist auch die Position 
der Verbindungslinie der drei Körper nahezu dieselbe wie zu Beginn 
der Bewegung. 

3) Innerhalb jeder Periode beschreibt der Körper € eine w-förmige 
Schlinge um den Körper A, nähert sich hiebei demselben einmal bis auf 
eine Distanz von rund 1 der anfänglichen Distanz, und zwar fällt der 
Moment des Periheldurchgangs nahezu zusammen mit dem Zeitpunkt, in 
welchem der Körper C die Verbindungslinie der Körper A _B schneidet. 
Die drei Körper stehen sohin wieder nahe in einer Geraden, doch nimmt 
der Körper C nun seinen Platz zwischen A und B ein. 

Bisher haben wir das rechtwinklige Axensystem als fix angenommen 
und zwar fiel der Ursprung mit dem Punkt A zusammen und die + X-Axe 
war durch jenen Punkt gelegt worden, welchen der Körper C bei Beginn 
der Bewegung einnahm. Eine bessere Vorstellung darüber, wie nahe die- 
in den einzelnen Perioden beschriebenen Bahnen zusammenfallen, gewinnt 
man aber aus dem Anblick der Tafel II, welche die relative Bewegung 
des Punktes Ü um 4 bezogen auf ein bewegliches Coordinaten- 
system wiedergibt. 

Das bewegliche System wurde derart gewählt: 

Von der Anfangslage X A Y ausgehend, drehe sich das rechtwink- 
lige Axensystem mit gleichförmiger Geschwindigkeit um den Punkt A 
in derselben Richtung wie die Bewegung der Körper B und C statt- 
findet und ferner führe ‚es gerade eine volle Umdrehung in jener Zeit 
aus, welche der störende Körper B benöthigt, um einmal seine Bahn zu 
durchlaufen. Die Coordinaten des Punktes (Ü' bezogen auf das neue be- 
wegliche System sind dann definirt durch: 

r=rcs w— nt) 
y=rsinw— nd 


609 


Da die obige Tafel uns sofort: , =wy, + nt—=180 + nt gibt, so 
berechnen sich leicht die neuen Coordinaten nach: 


= —rcos(v! —v,) 
y=—rsin (w—v,) 


Durch Construction der solcherweise berechneten Coordinaten ge- 
langte ich zu der auf Tafel II wiedergegebenen Figur, welche näher zu 
erläutern wohl nicht nöthig sein dürfte. 

Während der zwei ersten Umläufe fallen, wie man bemerkt, die 
Bahnen nahezu zusammen. Der dritte Umlauf weist stärkere Differenzen auf. 

Ich habe bereits früher auf die Ungenauigkeit der obigen, der Con- 
struction zu Grunde liegenden Zahlen hingewiesen. Die Frage liegt dem- 
nach nahe: sind die Differenzen zwischen den einzelnen Umläufen nicht 
etwa bloss scheinbare d. h. durch die Ungenauigkeit der Rechnung be- 
dingte? Wäre dieses der Fall, so hätten wir es hier mit einer rein 
periodischen Bewegung zu thun, sind aber diese Differenzen reell, so 
belehrt uns sofort ein Blick auf Tafel II, dass nicht nur die Differenzen 
sehr rasch anwachsen, sondern dass auch die Bewegung in verhältniss- 
mässig ausserordentlich kurzer Zeit einen völlig andern Charakter an- 
nehmen müsste. Die Frage nach dem periodischen oder nicht perio- 
dischen Charakter der Bewegung einer Entscheidung näher zu bringen 
oder zuzuführen, war das nächste Ziel, dem ich zustrebte, und ich glaube, 
auch zustreben musste. 

Dass die bisherigen Resultate uns hierauf aber noch keine definitive 
Antwort zu geben erlauben, bedarf wohl nach den obigen Bemerkungen 
über deren mögliche Unsicherheit keiner weiteren Begründung. 


2. 


Wenn man auf numerischem Weg eine Entscheidung der im Voran- 
gehenden definirten Frage erreichen will, kann man in zweifacher Weise 
vorgehen. Man wird nämlich entweder auf allgemeine Störungen über- 
gehen oder aber nochmals, jedoch mit grösserer Genauigkeit, specielle 
Störungen berechnen, wobei es aber klar ist, dass man sich hier auf die 
Wiederholung des ersten Sechstels der vorangehenden Rechnungen wird 


610 


beschränken können, denn wie man aus Tafel II ersieht, ist eine Perio- 
dieität nur dann möglich, wenn zwischen den beiden Bahnhälften (1 —5) 
und (5 — 9) Identität und Symmetrie herrscht, was wieder zur Bedingung 
hat, dass das Perihel auf die verlängerte Linie Ü A zu liegen kommt. 
Letzteres müsste bei v,—= 240° stattfinden. 


Ich habe, — was, wie ich mir hier selbst zu bemerken erlaube, 
nicht sehr praktisch war, — zuerst den ersterwähnten weiteren Weg 


eingeschlagen, doch hatte mich hiezu einerseits die nahe Uebereinstimmung 
der einzelnen Umläufe verleitet, andererseits erhoffte ich auf diesem Weg 
zu einem weit allgemeineren Resultat zu gelangen. 

Es sollen nun erst jene Ausdrücke abgeleitet werden, welche der 
Berechnung der allgemeinen Störungen zu Grunde gelegt wurden. 

Interpolirt man aus der früher gegebenen Tafel der gestörten 
Coordinaten für jene Momente, wo v—v, beziehungsweise = — 180°0); 
— — 157030; =—135°0’ ist, also für je 221° die entsprechenden 
Werthe von r und v, so erhält man die in folgendem Täfelchen wieder- 
gegebenen Werthe: 


1.0000 
4.1.0431 
+ 1.0872 
+ 0.7110 
0.4973 
+.0.3845 
+0.3238 


+ 0.2918 
40.2835 
0.2906 
+ 0.3204 
+- 0.3811 
0.4891 
+ 0.6895 
+ 1.0697 
+ 1.0584 


+4+++4+++ 


1.0124 
+202 30 | + 1.0526 Hi Ir 
+25 0|+1.0738 | 7 ,.o, 
+247 30 |+0.7106 | 5979 
+270 0405027 | 114] 
+292 30 [40.3916 |  .., 
+315 0403325 | 2yg 
+337 30) #0.2977 |, 
+360 0|+0.2882 | 97 
+382 30 40.2979 | 39] 
+405 0 |+0.3300 | 697 
+427 30 40.3921 |) 1795 
+450 0|40.5026 |) aog1 
+472 30 | +0:7117 |) 9097| 
+495 0|+1.0744 | 7"... 
+517 30 | + 1.0886 


Schon bei dem Anblick der vorliegenden Zahlen drängte sich mir 
die Ueberzeugung auf, dass sich r und v als Reihen nach Vielfachen von 
(v—v,) nummerisch genähert darstellen lassen. Das Interesse, welches 
dieser Umstand an sich beansprucht, erhöht sich aber noch wesentlich 
dadurch, dass, wie wir sehen werden, die Darstellung eine über Erwarten 
gute wird. 


Schreiben wir den Radiusvector in der Form: 


r=6&- 6, C08s(W —v,) + (5, C082 (W —v,)—..... 


+5 sin — 9%) + ssin 2? W—v,)—+ ..... 


so lassen sich bekanntlich die Entwicklungscoefficienten c, und s, nach 
bekannten Formeln sofort berechnen. Indem ich zuerst die 15 speciellen 
Werthe von r, welche für: v—. —=— 180°0' bis: v—v,—= + 15730), 
hierauf jene, welche von v—»,— + 180°0’ bis v— v,—517°30’ gelten, 
zu Grunde legte, erhielt ich die nachfolgenden nummerischen Ueli ann. 
in der Entwicklung des Radiusvectors. 


C,c0os8 (v — v,) 


s-sin 7 (v — v,) 


612 


I 


= + 0.62006 


— 0.42907 cos (w — v,) 

+ 0.08290 cos2 (v—v,) 
—+- 0.04480 cos3 (w — v,) 
-— 0.06640 cos 4 (v — v,) 
+ 0.04347 cos 5 (v — v,) 
— 0.00862 cos6 (v — v,) 
— 0.01745 c0s7 (v— v,) 
—-0.01381 cos8 (w — v,) 


— 0.00507 sin (0 — v,) 

—-0.00190 sin2 (w — v,) 
+ 0.00200 sin3 (v — v,) 
— 0.00432 sin 4 (vw — v,) 
+ 0.003565 sn 5 (w — v,) 
— 0.00162 sin 6 w— v,) 
+ 0.00067 sin? @ — v,) 


II 


r=+0.62555 


— 0.42907 cos (w — t,) 

—- 0.07941 cos2 (w— v,) 
—+ 0.04480 cos3 (w — v,) 
— 0.06304 cos4 (vw — v,) 
+ 0.04347 cos5 (w — v,) 
— 0.00559 cos6 (w — v,) 
— 0.01745 cos7 w— v,) 
+ 0.01396 cos8 (w— v,) 


— 0.00507 sin (v — v,) 

+ 0.00075 sin2 (e— v,) 
+ 0.00199 sin3 @ — v,) 
+ 0.001385 sin 4 (v — v,) 
+ 0.00364 sin 5 (v — v,) 
+ 0.00165 sin6 w— v,) 
—- 0.00067 sin 7 (— v,) 


Sowohl die Differenzen der Cosinusglieder, wie sämmtliche Coeffi- 
cienten der Sinusglieder liegen unter der Grenze der Unsicherheit der 
zu Grunde gelegten Werthe des Radiusvectors. Vernachlässigt man 
letztere ganz und nimmt das Mittel der Cosinus-Üoefficienten, so resultirt: 


(r) = + 0.622830 

— 0.42907 cos (w — v,) 

+ 0.08115 cos2 ( — v,) 
+ 0.04480 cos3 (v — v,) 
— 0.06472 cos 4 (v — v,) 
-+ 0.043847 cos5 (w— v,) 
— 0.00710 c0s6(w — v,) 
— 0.01745 cos7 (v —v,) 
+ 0.01388 cos8 (w — v,) 


Diesen Ausdruck für den gestörten Radiusvector habe ich für eine 
grosse Zahl beliebig gewählter Werthe von («—v,) mit jenen Werthen 
verglichen, welche uns die Haupttafel der gestörten Coordinaten für r 
gibt. Die grösste Differenz erreichte den Betrag von — 0.016, doch 
wurden die meisten Werthe des Radiusvectors fast völlig durch obigen 
Ausdruck (r) dargestellt. Die Behauptung, dass obiger Ausdruck (r) als 


615 


eine erste Näherung an den wahren Werth anzusehen sei, erscheint dem- ‘ 
nach zur Genüge gerechtfertigt. 

Die numerischen Werthe der Üoefficienten in der Entwicklung für 
die Länge, wenn 


v—nt-+ 6,4 O0, cos — v,) + (05C082 (— v9) —+ .... (,c0s8 (v —v,) 
+8, sin  —v%) + 8sin 2w—v,)+.... S,sin 7 w— v,) 
angenommen wird, berechnen sich ebenfalls leicht durch mechanische 
Quadratur, nur muss vorher von den speciellen Werthen von v, welche 
in obigem Täfelchen angesetzt sind, das Glied »t in Abzug gebracht werden. 
Da mit Rücksicht auf die oben getroffene Wahl über die Einheit 
der Masse und der Entfernung die mittlere Bewegung des störenden 
Körpers B mit m —=1*:.57°29578 anzunehmen ist, und sich ferner — 
von einer kleinen Correction, deren Betrag die Unsicherheitsgrenze der v 
nicht überschreitet, abgesehen — n:n,—=5:2 verhält, resultirt für » der 
Werth n=3.57°29578—= 711619725. Es mag hier noch beigefügt 
werden, dass die Dauer der Periode: 8.37758 Zeittheile beträgt, und 
dass als Zeiteinheit jene Zeit anzunehmen ist, welche der störende 
Körper B benöthigt, um 28.64789 Grade in seiner Bahn zurückzulegen. 
Auch hier zeigte es sich wieder, dass bei Zugrundelegung der Werthe 
von v® zwischen v— 9, — —180°0’ bis v—v,— + 15730’ einerseits, und 
v—v, = 180°0° bis v— v, —=517°30’ andrerseits, für die Coefficienten C 
und $ nahezu dieselben Werthe resultirten, ich lasse daher gleich die 
Mittelwerthe folgen. Es ist: 


(0) = + 71.619735 1 

— 48.71580 sin (o—v,) 

+ 6.18601sin2 (w— v,) 
+ 4.35290 sn 3 w—v,) 
— 5.936889 sin 4 w—v,) 
+ 3.03586 sin5 (w—v,) 
— 1.02105 sin6 ®-v,) 
— 0.05451sin 7 w—v,) 


+ 1.11975 
+ 0.24527 cos (v--v,) 
— 0.12121 cos2 (w—v,) 
Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. sl 


614 


(v) = — 0.16946 cos 3 (P—v,) 
+ 0.25104 cos 4 (v— v,) 
— 0.07391 cos 5 (w—v,) 
— 0.01504 cos 6 (w—v,) 
+ 0.11061 cos 7 (v—v,) 
— 0.11205 cos 8 (o—v,) 


Beschränkt man sich hier auf die Mitnahme der ersten acht Glieder 
und vergleicht die hieraus folgenden Werthe von v mit den Tafelwerthen, 
so überzeugt man sich leicht, dass letztere durchwegs bis auf einige 
Grade dargestellt werden. Wir werden demnach auch hier die ersten 
acht Glieder in obiger Entwicklung von (v) als erste Näherung an- 
sehen können. 


Durch die bisherige Entwicklung erscheint der Radiusvector und die 
Länge in der gestörten Bahn näherungsweise durch Reihen dargestellt, 
welche nach Vielfachen der Differenzen der Längen des gestörten und 
störenden Körpers fortschreiten. Wir werden aber in der Folge auch 
von Reihen Gebrauch machen, welche nach Vielfachen von (n —n,)t fort- 
schreiten, ich will daher deren Entwicklung gleich hier anschliessen. 


Mit Zugrundelegung des obigen Werthes von n —n, —= 42971835 
lassen sich sofort die Momente bestimmen, wo (n—.n,)t beziehungsweise 
—(, —22°30, —=45°0 etc. wird. Interpolirt man nun weiter für diese 
Momente aus der Tafel der gestörten Coordinaten die zugehörigen Werthe 
von r und v und benützt dieselben zur Bestimmung der numerischen 
Werthe der Coefficienten, so gelangt man zu den folgenden Ent- 
wicklungen: | 


(")= + 0.9474 @)—= 71.619795: 

+ 0.2070 cos (n—n,)t — 61.4030 sin (n—n,)t 

— 0.2040 cos 2 (n—n,)& —+ 35.1430 sn 2 (n—n,)t 
+ 0.0898 cos 3 (n—n,)t — 17.3200 sin 3 (n—n,)t 
— 0.0590 cos 4 (n—n,)t + 11.1070 sin 4 (n—n,)t 
+ 0.0378 cos5 (n—n,)t — 6.8690 sin 5 (n—n,)t 
— 0.0305 cos 6 (n—n,)t + 4.3150 sin6 (nr —n,)t 
+ 0.0236 cos 7 (n—n,)t — 2.0240 sin” (n—n,)t 


— 0.0121 cos8 (n—.n,)t 


(r) = — 0.0017 sın (n—n,) t 


— 0.0081 sin 2 (n—n,)t 
—+ 0.0004 sin 3 (n—n, )t 
— 0.0032 sin A(n—n,)t 

0 sind (n—n,)t 
— 0.0013 sın 6 (n—n, )t 
—+ 0.0003 sin 7 (n—n,)t 


() = — 0.3520 


+ 0.7750 eos (n—n,)t 

— 1.2200 cos2 (n—.n,)t 
+ 0.7330 cos 3 (n—n,)t 
— 0.5030 cos 4 (n—n,) t 
—+ 0.6540 cos5 (n—n,) 
— 0.6420 cos6 (n—n,)t 


+ 0.3940 cos 7 (n-—-n,)t 
— 0.4400 cos 8 (n—n,)t 


Der Vergleich dieser Entwicklungen für (r) und (v) mit den Tafel- 
werthen ergab wieder nur geringe Differenzen, ja durch eine Correction 
von —- 0.0214967 des mit der Zeit multiplicirten Coefficienten lässt es 
sich erreichen, dass die obigen Ausdrücke während des ersten Umlaufs 
fast völlig die gestörten Coordinaten darstellen. Aus diesem Grund habe 
ich auch bei Berechnung der allgemeinen Störungen mit Zugrundelegung 
der vorstehenden Reihen statt 716197250 den Werth 716412217 an- 
genommen. 

Stellt man diese Entwicklungen von v® der vorangehenden gegen- 
über, so bemerkt man wohl eine geringere Convergenz der Coefficienten. 
Besonders auffällig ist aber der Umstand, dass hier sowohl in der Reihe 
für den Radiusvector als für die Länge ein regelmässiger Zeichenwechsel 
eintritt, welcher Umstand mir dafür zu sprechen scheint, dass die Ent- 
wicklung nach Vielfachen von (n—.n,)t die naturgemässere sei. 

Da das Verfahren, welches uns zu den vorstehenden Entwicklungen 
für den gestörten Radiusvector und die Länge geführt hat, rein inter- 
polatorischen Charakter hat, ist es selbstverständlich nicht erlaubt, hier- 
aus etwa auf die Form der Integrale der Differentialgleichungen unseres 
Problems oder auf den periodischen Charakter der Bewegung zu schliessen. 
Von der Erwägung ausgehend, dass die vorstehenden Ausdrücke (r) und 
(v0) aber wenigstens zu Beginn der Bewegung als eine Näherung anzu- 
sehen sind, können wir dieselben der Berechnung der allgemeinen Störungen 
zu Grunde legen. 

Denken wir uns zu diesem Zweck: r—=(r)+e und v=(w)+yx ge- 
setzt, ferner die Differentialgleichungen für oe und y aufgestellt und inte- 


grirt, so wird e und % klein resultiren müssen, wenn die Bewegung eine 
81* 


616 


rein periodische ist, oder wenigstens innerhalb eines längeren Zeitraumes 
sich nahe wiederholt. Ergibt sich aber o und x gross, so gestattet uns 
dieses sofort einen gegentheiligen Schluss. 


3. 


Bevor ich an die Darlegung der Berechnung der allgemeinen Störungen 
schreite, welche ich erstlich mit Zugrundelegung der Reihen nach Viel- 
fachen von (w— v,) führte, will ich gleich vorausschicken, dass dieser 
Weg das Ziel nicht habe erreichen lassen und ich diese Rechnungen als 
aussichtslos habe abbrechen müssen. Ich gebe aber trotzdem in Kürze die 
Hauptmomente hier wieder, da aus denselben auch der Grund hiefür erhellt. 

Bezeichnet man mit oe und x beziehungsweise jene Beträge, um welche 
(r) und (v) zu verbessern sind, damit diese Näherungen den wahren 
Radiusvector und die Länge in der gestörten Bahn völlig darstellen und 
bezeichnen wir letztere mit r und v, so ist ja 


= (Da v—= (0) 4%. 


Werden nun weiter diese Ausdrücke in die bekannten Differential- 


gleichungen: 
dv 
ar 3% 20 | 
dt 2 1 
der dB 4 rn 
Be oh em | 


in welchen für unseren Fall: «=1, F=0 zu setzen ist, substituirt und 
wird durchwegs nach Potenzen der kleinen Grössen o und % entwickelt, 
so werden wir zu zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung in o und 
7 gelangen, deren Integration uns o und x zu liefern hat. 
Da das Verhältniss ,] rund den Werth 4 behält, ist eine Ent- 
1 


wicklung der Störungsfunction') nach steigenden Potenzen von 1] 
1 


möglich und zwar gilt: 


: £ £ ! r.]0 - 
1) Ich war bei der Entwicklung und numerischen Rechnung von 2 bis eg gegangen, 
1 


doch beschränke ich mich hier auf die Angabe der Anfangsglieder. 


617 


Bu %- et = | cos(v —vı) U. 8. W. 


a 
Denkt man sich einstweilen auf der rechten Seite statt 7-| 
{ =] 
unseren obigen Werth des gestörten Radiusvectors 2] substituirt, so 
1 


möge der Werth, den die linke Seite annimmt, mit (2, bezeichnet werden. 
= 

r, 
wickelt man diese Posten erst nach steigenden Potenzen der kleinen 
Grösse go, vernachlässigt ferner alle Glieder mit ge° und denkt sich nach 
Substitution derselben auf der rechten Seite alle Glieder, welche be- 
ziehungsweise 0 und oe’ als Factor haben, zusammengefasst, so nimmt die 
rechte Seite die Form an: 


2er +e At 
und die Entwicklung ergab für (2, und (2, beziehungsweise: 


= — (> IH == - )- Zt 


1 


> er ) + ]eos@—») u. 8. w. 


1 27 NZ 
= 4r? = 32r3 oe 


el teen nen 


z 


Man hat nun durchwegs für 1]. = | zu substituiren. Ent- 
1 


ID 


Auf der rechten Seite der vorstehenden Ausdrücke hat man sich 
durchwegs (r) statt r geschrieben zu denken, doch liess ich der kürzeren 
Schreibweise wegen die Klammer weg. 

Durch Differentiation des obigen Ausdrucks (2) für (2 nach o ge- 
winnt man sofort: 


und nach »v differenzirt, wird: 


ee 28, 
9% =| e) +) 


618 


wenn man sich bloss auf die Mitnahme der Glieder erster Ordnung in 
Bezug auf oe beschränkt. 
0, und (2, haben die Form: 


hl + nl -) eos — 2) + han 
Die nl) enthalten Shen die v—v,). Die hierin vorkommen- 


1 


den v» sind aber bekanntlich bei der Differentiation als constant anzu- 
sehen, wir haben daher: 


Fe — (ine), Jin)... 

men anime 

ee a... 005 I: 
nen 


Die Entwicklung der auf der rechten Seite der Differentialgleich- 
ungen (1) vorkommenden Grössen erscheint hiemit erledigt und durch 
Substitution des Werthes von r,—2 und der numerischen Beträge von 


2] ergaben sich sofort auch die numerischen Beträge der Üoefficienten 
1 


in der Entwicklung der partiellen Ableitungen der Störungsfunction. 
u, 


“(1+ FF) ist für unseren Fall und wenn wir uns auf die Mit- 


nahme der Glieder erster Ordnung in Bezug auf go beschränken, unmittel- 
bar hinzuschreiben: 


u, 1 1 20 
a +N)= er (2) m (r)® 
und erforderte dessen Berechnung nur die negativen Potenzen von (r), 


welche sich durch mechanische Quadratur leicht berechnen liessen. 
Durch Differentiatiöon von w)=«a,t + a, sin(v — v,) + %sin2 (W— v,) 


+ -- + wo: 9 = + NL, v—=(v) + % ist, überzeugt man sich leicht, dass: 
do _ Zr d(v) ee —,+n,1 In 1 dy 
dt dt dt Zn] a 


wird, wo /= a, cos (w —v,) + 20,c0s2(v —v,)—+--::: geschrieben wurde. 


619 


Einige sehr einfache Entwicklungen lassen sofort auch erkennen, 
dass mit Vernachlässigung aller Glieder zweiter oder höherer Ordnung 
in Bezug auf oe und x, so wie deren Producte die folgende Form für 


@v dr wie ar resultirt: 
De dt dt? : 


d?v . 


Fra en ‚sind — v,) + 2,sini(v — 0) 7, wre SK, ‚cosiw— no) = 

er _ — — term sin? — v,) + I’n,siniw— v,) = 

dr rg, cos —v,) + Ep; cos — U), dx er >9,C082(v — v,) Ex 
dr - . 4 ; de 


Substituirt man nun diese entsprechenden Werthe in die zwei obigen 
Differentialgleichungen, so resultirt folgende Schlussform für die zweite 
derselben: 


-— sun > (,cosiw —v)e + =D, ini @—n) EX + &E,cosi(w — v 


— > F,cosi (v—v,) 


dy 
= dt 


während die erste übergeht in: 
£ d?y RE dy x do 
26,008: —v) 7a + ZHsinsw—v) 7, + I cosilv = 
+ EK,siniw—v)e= = L,siniw — v,) 


Aus den vorliegenden kurzen Bemerkungen erhellt die Bedeutung 
der Coefficienten 0, D, etc. Für dieselbe ergab eine näherungsweise 
geführte Rechnung folgende Werthe (in Theilen des Radius): 


BE. D-104. = 1110., H=-446.. 
Bere ee dı,. mM 791. 
ea. P— 0.18. 


und durchwess zeigte sich bei den Coefficienten mit höheren Indices eine 
so ausserordentlich langsame Convergenz, dass man bis :—=20 gehen 
müsste, um die erforderliche Genauigkeit in der Entwicklung zu erreichen. 

Schon hieraus erhellt, dass eine genauere Entwicklung ganz be- 
deutende Zeit und Mühe erfordern würde. Nicht dieser Umstand war 
es aber, der mich bewog, in der Fortsetzung der Rechnungen einzu- 
halten, sondern die Erwägung, dass mir auf keinem Weg eine, wenn auch | 


620 


nur näherungsweise Integration der so beschaffenen Differentialgleichungen 
erreichbar scheint. Von der Erwägung geleitet, dass vielleicht die Methode 
der unbestimmten Coefficienten uns dem Ziel näher brächte, bin ich von 
dem Versuch der Berechnung allgemeiner Störungen jedoch noch nicht 
abgestanden und habe die Differentialgleichung nochmals mit Zugrunde- 
legung von (r) und (v) als Reihen nach Vielfachen der mittleren Ano- 
malien entwickelt. 

Die Methode der unbestimmten Coefficienten lässt sich hier schon 
aus dem Grund nicht anwenden, da sich wegen der auftretenden Factoren 


dv d?v ae vr A: Si 
(=) und ( 7 =) die linke Seite übermässig complicirt. 


Den Ausgangspunkt für die weiteren Rechnungen bilden demnach 
die obigen Reihen von (r) und (v) nach Vielfachen von (n—n,)t wo: 
n—= 71°6412217; n, = 28°6478900, und wir setzen wieder: 


r-n)+o5 v-W+z2 
Die Entwicklung der Differentialgleichungen für oe und x gestaltet 


sich hier viel kürzer und einfacher wie früher, da sich die auftretenden 
Ableitungen von (r) und (v) nach t unmittelbar durch Differentiation 
obiger Reihen ergeben. 
Legen wir wieder die obigen Differentialgleichungen zu Grunde und 
berücksichtigen wir, dass: | 
der d*(r) d*o 


dr de dt? 
NER, d(v) 1% d(v) dw) dy 
()=09|7]- ol n|- 72) Ob dit 
1 2 
Dr (r)? Sr (r)? pP 


Y 


so sieht man sofort, dass sich die numerische Entwicklung der linken 
Seite der ersten Differentialgleichung ohne nennenswerthe Mühe ergibt. 


a aa de End d? 
Da: EEE ran DD ze 
d(w) u d(r) dy SR; 
ae 2) dt ‚ 12@) dt dt a) dt 


gilt dasselbe auch für die linke Seite der zweiten Differentialgleichung. 


621 


Es erübrigte demnach nur mehr die Berechnung der partiellen Ab- 
leitungen der Störungsfunction. 

Eine analytische Entwicklung der Störungsfunction gestaltet sich hier 
ziemlich weitläufig, ich habe es daher vorgezogen, die partiellen Ablei- 
tungen derselben direct durch mechanische Quadratur zu berechnen. 

Es ist bekanntlich: 


2 1 j - 

re Fr — „|rrsin@—v) 
| el cos —v) ——— 
or RR |r \ ı) A? 


und mit Beschränkung auf die ersten Potenzen von o und % weiter: 


rr, sin(@ —v,)= (r)r, sin [w) — v,] + e.r, sin [w) — v,] + x (r).r, cos |[(w) — v,] 


lich: r, cos(«— v,) = r, cos[(w)— v,] — xr, sin |[(v) —v,) 
= 4° 3(n nr eos[o)— ve. 4° — 3 @)rısin[@) — 024° 
wo: AK—(r) rn — 2% (r)r, cos[®)—v\]. 


Substituirren wir diese Werthe in (2) und schreiben der Kürze 
halber für: 


r, sin [(v) — v,] = 2 sin [(v) — v,] = 


r, cos |(v) — v,| = 2 cos[(v) —v,]|=J 


1 1 
ferner: ee: 
£ di » 
KIN 
Nash. 
I DENE SG; 
2 By 
M— ZEN ZEN 


so gehen die obigen Ausdrücke über in: 


1) +oK+zL 


= - Pr 2]+eu+rK 


Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 82 


622 


Nachdem für aequidistanze Werthe von (n—n,)t erst (v) und (r) mit 
Hülfe der obigen Reihen berechnet worden war, wurden hiemit weiter 


für jedes Intervall die zugehörigen i, j, J, K, L und M bestimmt. Die - 


Anwendung der mechanischen Quadratur auf diese speciellen Werthe 
lieferte schliesslich die nöthigen numerischen Coefficienten der oe und % 
freien, wie der mit oe und % multiplicirten Posten in den partiellen Ab- 
leitungen der Störungsfunction. 

Die Entwicklung der einzelnen Posten der obigen Differential- 
gleichungen erschien hiemit vollendet und resultirten aus deren zeichen- 
gemässen Zusammenfassung die folgenden zwei Differentialgleichungen für 
e und %, in welchen ich nur der Kürze halber statt (a —»,)t durch- 
wegs N schreibe: 


“2 — 9.649450 — 1.88780 2 

+ 14.05545 cos N. 0 + 0.246635 N  --0.18565sin Ney 
— 13.75896 cos 2 No — 0.555887 cos 2N „ — 0.03257 sn 2N,. 
+ 12.06121cos 3N, + 0.33447 cos 3N , + 0.01903 sin 3N, 
— 11.42242 cos AN, — 0.293855 cos AN „ + 0.00216 sin AN, 
2 9.51468 cos 5BN, + 0.20586 cos 5N , — 0.01150sin 5N, 
— 8.272927 cos 6N, —0.14005 cos 6N , + 0.01869 sin 6N, 
+ 7.00402 cos 7N, —.0.03083 cos 7N , — 0.02139sin 7 N, 
— 5.72964cos 8N, + 0.28534 cos 8N , + 0.02032 sin 8N, 
+ 4.8395lcos I9N,„ — 0.16904 cos 9N „ — 0.02246sin IN, 

- 4.10690 cos 10 N, +1.0.09861cos1ON , + 0.02138 sin 10 N, 
+ 3.52423cosIlN, — 0.05945 cos IIN „ — 0.01909sin11N, 
— 2.383496 cos12 N, 1.0.03501cos12 N , -1.0.01590 sin 12 N, 
+ 2.73417 cos13 N , — 0.01910 cos13N , — 0.01226 sin 13 N, 
— 2.50539.cos 4 N, -1.0.00848 cos AN , + 0.00834 sin 4 N, 
+ 2.37805 cos 15 N, — 0.00224 cos I5N , — 0.00424sin 15 N, 


1.17063 cos 16 N, 


—= + 0.38220 
— 0.80031 cos N 
+ 0.71255 cos2 N 
— 0.46877 cos3 N 
+ 0.28023 cos 4 N 
— 0.07189 cos5 N 
— 0.20821 cos 6 N 


I 


DE ut A a 


623 


— -- 0.49252 cos 7 N 
— 0.58193 cos 8N 
+ 0.13299 cos 9 N 
— 0.15318 eos 10 N 
+ 0.15018 cos I11N 
— 0.14261 cos 12 N 
—+- 0.12697 cos 13 N 
— 0.10594 cos 14 N 
+ 0.07798 cos 15 N 
— 0.04191 cos 16 N 


+ 0.94710 _ AT Ten N . + 0.08969 x 

+ 0.32199 cos - 4 0.49230sın 2N „ — 0.10243 cos N-y 
—0.32803 cos 2N „ — 0.23279sn 3N „, — 0.02378 cos 2 N, 
+0.10341cos 3N „ + 0.16663 sin AN „ + 0.00758cos 3N „ 
— 0.05552 cos AN „ — 0.10834 sin 5N „ + 0.0036l1cos 4N „ 
— 0.02888 cos 5N „ + 0.11951sın 6N „, — 0.000659 cos 5N „ 
— 0.02655 cos 6N „ — EP V2SsneNe + 0.00591 cos 6N „ 
+ 0.02289 cos 7 N „ + 0.04013sin 8N „ — 0.004411 cos 7 N, 
— 0.00669 cos 8N „ + 0.08296 sin 9N „ + 0.00850 cos 8N „ 
—0.01229 cos 9N „ — 0.05329sin10N „ — 0.01297 cos 9 N, 
+ 0.00710 cos 10N „ + 0.02998 sin 11N „ + 0.01099 cos 10N „ 
— 0.003863 cos11N „ — 0.01866 sin N „ — 0.00905 cos I11N „ 
+- 0.00207 cos 12 N „ + 0.01148 sin 13 N „, + 0.00720 cos 12 N „ 
— 0.00118 cos 13N „ — 0.00680 sın N „ — 0.00571cos13N „ 
+ 0.00065 cos 14N „, 4- 0.003521 sin 153 „ —+0.00461 cos 14N „ 
— 0.00029 cos 15N „ — 0.00088 sin 16N „ — 0.00395 cos 15 N „ 
—- 0.00007 cos 16 N „ + 0.00187 cos16 N „ 
+ 1.88780 S8 1.0.37071sin N-e — —0.00146sn N 
— 0.240663 c05 NE — 0.86679sin 2 N, -+ 0.01085 sin 2 N 
+ 0.55587 cos 2N „ — 0.77197 sn 3N, + 0.01098sin 3 N 
— 0.33447 cos 3N „ — 0.87901sin 4N, + 0.03264 sin 4N 
+ 0.293855 cos 4N „ + 0.76085 sn 5N „ — 0.03936 sin 5 N 
— 0.20586 cos 5N „ — 0.61184sin 6N, + 0.05167 sin 6 N 
+ 0.14005 cos 6N „ — 0.18334sin 7 N, + 0.25490sin 7 N 
+ 0.03083 cos 7 N „ + 1.73320 sın 8N, — 0.93139 sin 8N 
— 0.28534cos 8N „ — 1.16407 sn I9N, + 0.47927 sn 9N 


82* 


624 


+ 0.16904 cos 9 na + 0.76136 sin 10 N-o = — 0.20897 sin 10 N 
— 0.09861 cos 10ON „ — 0.50979 sin 11N „ + 0.08805 sin 11N 
+ 0.05945 cos 11IN „ + 0.33116siın 12 N „ — 0.01976 sın 12 N 
— 0.03501 cos 12 N „. — 0.19862 sm 13 N „ — 0.02277 sn 13 N 
4- 0.01910 eos 13N „ + 0.09744 sin 14N „ —+ 0.05327 sin 1& N 
—0.00848 cos 14N „ — 0.02951 sın 15 N „ — 0.06698 sin 15 N 
+ 0.00224 cos1l5 N „ + 0.05605 sın 16 N 


Eine erste Näherung der vorliegenden Differentialgleichungen als 
bekannt voraussetzend, ist es nicht schwer ein geeignetes Näherungs- 
verfahren für die Integration anzugeben, das uns dem Ziel näher brächte. 
Gerade in der Gewinnung einer ersten Näherung liegt aber die grosse 
Schwierigkeit. Und ist es mir nicht gelungen, dieselbe zu überwinden, 
denn wenngleich einige Versuche einer genäherten Integration, welche ich 
mit Vernachlässigung der mit kleineren Coefficienten behafteten Glieder, 
also unter Annahme vereinfachter Gestalt der obigen Differential- 
gleichungen versuchte, auch zu numerischen Resultaten führten, so er- 
kannte ich jedesmal das Unzulängliche derselben. 

Dass die hier als Ausgangspunkt dienenden Reihen für (r) und (v) 
rein interpolatorischen Charakter haben, habe ich bereits früher bemerkt. 
Da wir aber sahen, dass die Sinusglieder in (r) gleichwie die Cosinus- 
glieder in (v) im Vergleich zu den übrigen sehr klein sind und die Mög- 
lichkeit nicht ausgeschlossen erschien, dass dieselben vielleicht bloss ihren 
Bestand der Unsicherheit der zu Grunde gelegten, aus der speciellen 
Störungsrechnung resultirenden, Zahlen verdankten, hiezu aber noch ferner 
das Moment kommt, dass unter Annahme von (r) und (v) in der Form: 
(r) = Z(,cosin—n,)t, W)= > 9,sini(n—n,)t, also als Reihen nach Viel- 
fachen von nur einem Argument, die Darstellung der Bewegung eine 
sehr befriedigende wird, habe ich unter der selbstverständlich nur be- 
schränkt zulässigen Annahme derselben Form auch für 0 und x ver- 
sucht, ob sich nicht etwa doch aus den obigen Gleichungen irgend ein 
Nutzen ziehen lässt. 

Unter dieser Annahme über die Form von 0 und %, durch deren 

2 2 
a - a n wie . 4 gewinnt, wird 


ja die Methode der unbestimmten Coefficienten anwendbar. Bezeichnen 


directe Differentiation man sofort 


A 


625 


wir mit O©, die gesuchten Üoefficienten in o, mit $, jene in x, so erhält 
man bekanntlich e und x, wie deren Ableitungen als Function von (, und 
S, in obige Differentialgleichungen substituirend, hierauf die Coefficienten 
derselben Cos- und Sin-Functionen rechts und links gleichsetzend, so viel 
Bedingungsgleichungen als gesuchte Coefficienten, aus deren Auflösung 
sich schliesslich die C, und $, ergeben. 

Denken wir uns für einen Augenblick, dass die C, mit Hülfe von 
‘ Gleichungen eliminirt wären. Mit Hülfe der restirenden Gleichungen 
kann man sich dann jeden S Coefficienten als Function aller übrigen dar- 
gestellt denken, also wäre z. B.: 


Set, ,8;—+ IN, 

Nun ist sofort klar, dass wenn die Bestimmung von S, überhaupt 
einen Sinn haben soll, die Producte «, ö, mit wachsendem » abnehmen 
müssen und der letzt mitgenommene Posten so klein sein müsste, dass 
wir ihn gegen die ersteren vernachlässigen dürfen, denn ist das nicht 
der Fall, so wird jedesmal bei Hinzunahme eines weiteren Postens (z. B. 
@„r1 8,21) der Werth von $, ein anderer. Die Zahl der anfänglich zu 
Grunde gelegten unbestimmten Coefficienten darf also nicht nach Be- 
lieben angenommen werden, sondern muss mindestens so gross gewählt 
werden, dass die Vernachlässigung der nicht mehr mitgenommenen die 
letzt erhaltenen Resultate nur mehr um Bruchtheile ihrer Werthe anders 
ergeben würde. 

Die Rechnung hat mir nun gezeigt, dass man für © ü=10, welche 
Annahme bereits eine Auflösung von 21 Gleichungen mit 21 Unbekannten 
erforderlich machen würde, ist noch zu klein] eine so grosse Zahl 
nehmen müsste, dass die numerischen Operationen die Grenze der Aus- 
führbarkeit übersteigen. 


4. 


Neben der Beantwortung der Frage über die Bewegung des Körpers C 
in unserem Problem wurde von der k. dänischen Gesellschaft der Wissen- 
schaften auch gefordert, dass für den Anfangs- und Schlussmoment eine 
intermediäre Bahn mit einem Contact dritter oder höherer Ordnung 
gegeben werde. 


626 


Obwohl durch die im Vorausgehenden wiedergegebenen Versuche 
einer allgemeineren Lösung mehr Zeit in Anspruch genommen worden 
war, als ich erwartet hatte, so hätte die mir noch zu Gebot stehende 
Frist doch ausgereicht, um wenigstens dieser Forderung zu genügen, denn 
die Berechnung einer intermediären Bahn auf dem gewöhnlichen Weg 
ist eine Arbeit, die sich in wenigen Stunden erledigen lässt. Wie wir 
aber gleich sehen werden, tritt uns hier eine Schwierigkeit entgegen, die 
es erforderlich macht, einen von dem gewöhnlichen wesentlich ver- 
schiedenen und weitläufigeren Weg einzuschlagen. 

Die Bestimmung einer intermediären Bahn mit einem Contact dritter 
Ordnung für irgend einen Moment besteht bekanntlich darin, dass man 
von einer Gleichung, deren Integration vollständig gelingt, ausgehend, 
den in dieser Gleichung auftretenden Parametern solche Werthe gibt, 
dass sich sowohl die resultirende Bahn der wirklichen möglichst nahe 
anschliesst, als auch der Bedingung genügt wird, dass in dem bestimmten 
Punkt die Coordinaten, wie die Geschwindigkeiten als auch die nach- 
folgenden Ableitungen mit jenen, welche in der wahren Bahn Geltung 
haben, zusammenfallen. 

Denkt man sich die Störungsfunction in zwei Theile zerlegt: 


2—(2) + FE) 
wo /(r) eine Function bloss von r darstellt und berücksichtigt, dass das 


Verhältniss —. hier stets kleiner als die Einheit bleibt, mithin die Ent- 


wicklung gilt: 
1 1 ia 372 
De I r, 4 = 1 7 c82 Ww—v) +: --- 


ri 


so ergibt sich sofort die Zulässigkeit, die Function f(r) proportional mit 
r’ anzunehmen. Wir wollen aber vorderhand über F(v) und f(r) noch 
keine bestimmte Festsetzung treffen, sondern nur annehmen, dass sie zwei 
ganz beliebige Functionen seien, die erstere bloss abhängig von v, die 
zweite bloss von r und dass sie den Gleichungen genügen: 
ee, 
er di = a) 
dr den 29128 ’ 
ar ae 


y? 


a 


627 


Es lässt sich leicht zeigen, dass die vorliegenden Gleichungen auf 
Quadraturen zurückgeführt werden können. Führt man nämlich statt 
der Zeit eine neue unabhängige Variable w ein, welche durch die Gleichung: 

ame Ve 

dt Y? 
definirt sein soll, wobei Yc eine Constante bedeutet, so wird mit dv 
multiplieirt: 


De dw 
Gerede amı ea en 1 .y 
ferner: Zr \=Ye ag TERIIHEDNN 72 F () 


und mit r” gekürzt und integrirt, hat man schliesslich: 


ERIRNG a 
| u Zen en) 
wo C die Integrationsconstante bedeutet. 


Ebenso lässt sich auch für die zweite Gleichung das Integral sofort 
geben. Die letzte Gleichung geht nämlich in Verbindung mit: 


© . v 
dt Ve — 
1 dv\? e f duN2 € PAL® 
über ın: ya (aeyoe ze #8) 
und durch Substitution in die zweite der obigen Differentialgleichungen wird: 


d?r ce u 
de 9 a 


=) 


y? 
Bezeichnet man mit —h die Integrationsconstante, so überzeugt man 
sich durch Differentiation sofort, dass die folgende Gleichung: 


I 
gerade das Integral der obigen ist. 
Schreiben wir die obigen Ausdrücke etwas anders: 
dr? 
+2) —h 
PN dv: ie dr? 


eo a 


r2 


= 


628 


so wird integrirt: 
dr 


V+ ern 


dv Ved () 
Ww — WW, — 2 = — SURFETABIALEN" 
| C+-— Fo) | V = 0, 2m ap 


und hiemit erscheint die Integration vollständig durchgeführt. 
In den „Undersökningar af Theorien“ etc. I geht Gylden bekannt- 
lich von den beiden folgenden einfachen Annahmen aus: 


F(v) = — eosin(kv— L)’ 
(n=4twr 


wobei die 4 Grössen o,A, L und u, Constante bezeichnen, welche so be- 
stimmt werden müssen, dass die zweiten und dritten Differential- 
quotienten in der wirklichen und scheinbaren Bahn dieselben werden, 
und die weitere Entwicklung der Quadraturen gestaltet sich sehr ein- 
fach, da man durch geeignete Substitution die obige Gleichung für r auf 
die Normalform der elliptischen Integrale zurückführen kann. Da sich 
in der eben erwähnten Abhandlung auch das hier einzuschlagende Ver- 
fahren eingehend dargelegt findet, glaube ich mich auf einen Hinweis 
darauf beschränken zu können. 

Für unsern Fall reicht man aber, wie mir die einschlägigen Rech- 
nungen gezeigt haben, mit der Annahme der obigen einfachen Formen 
nicht aus, denn die berechnete Bahn gab nicht nur die charakteristische 
Form der wirklichen Bahn kaum näherungsweise wieder, sondern es 
resultirt auch ein völlig anderer Werth für die Periode. 

Durch eine andere Annahme über /(r), insbesondere durch Mit- 
nahme noch eines weiteren Gliedes mit r’, wodurch man allerdings schon 
auf hyperelliptische Functionen geführt würde, zweifle ich nicht, dass man 
dem Ziel näher kommen könnte, doch complicirt sich nicht nur die 
fernere Entwicklung der Quadraturen sehr, sondern ich halte es für 
wahrscheinlich, dass auch dann noch die Uebereinstimmung keine be- 
friedigende werden wird. 


629 


Die einzig sicher zum Ziel führende Methode scheint darin zu be- 
stehen, dass man die Zeit durch eine partielle Anomalie ausdrückt und 
zwar so, dass die Substitution während nur eines kurzen Zeitraumes 
gültig bleibt. Setzt man z. B.: 


sin(n—n,)t=/Isn en 


wo %k beliebig ist, so kann dieses Modul so gewählt werden, dass die 
Substitution gültig bleibt, während (n—n,)t sich von — 30° bis + 30° 
ändert und dass sämmtliche Entwicklungen äusserst convergent werden. 
Man hätte so: 


cos(n—n)t=dn I w 


— (n—.n,) sin (n —n,)tdt— Re en 2& „dw 
7T TU TU 
2 m—n)ai—k2&on ode 
IT TU 
k—4 
Es wäre nun leicht, die sin» n—n,)t und cosr (n— n,)t, wo r eine 
ganze Zahl bedeutet, zu bilden und nachher die Entwicklungen von (r) 


und (v) nach Vielfachen von w herzustellen. Durch ähnliche Reihen 


5 22 
müssten auch 


902 : 
und — dargestellt werden und man würde schliess- 


lich also auch % und g durch entsprechende Reihen erhalten, wobei man 
sich wieder auf die Mitnahme der ersten Potenzen derselben wird be- 
schränken können. | 
Wiederholte Annäherungen zu machen, wäre übrigens hier leicht 
Er rar dd d’v > 
a a und 77 genau für den 
Zeitpunkt t—=0 dargestellt würden. 


und so zu bewerkstelligen, dass 


5. 


Wie ich bereits früher erwähnte, steht uns noch ein zweiter Weg 
zur Verfügung, um die Frage nach der Periodicität zur Entscheidung 
bringen zu können und zwar besteht er in der Wiederholung der spe- 
ciellen Störungsrechnung. Da ich zu Beginn der vorliegenden Arbeit 

Abh.d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 83 


630 


hauptsächlich darauf Gewicht gelegt hatte, rasch zu einem, wenn auch 
nur beiläufigen Bild der Bewegung zu gelangen, was das erst einge- 
schlagene Verfahren wegen seiner grossen Einfachheit auch in der kür- 
zesten Zeit hatte erreichen lassen, hier in erster Linie es aber auf eine 
grössere Genauigkeit ankommt, habe ich von einer Wiederholung der 
speciellen Störungsrechnung nach obigem Verfahren abgesehen. 

Indem ich nun die zur Anwendung gebrachten Formeln hier wieder- 
gebe, will ich gleich vorausschicken, dass dieselben sich auf ein fixes 
rechtwinkliges Coordinatensystem beziehen, dessen Ursprung jedoch mit 
dem Schwerpunkt des Systems zusammenfällt. 

Bezeichnet man mit r, r, r die Distanzen des gestörten Körpers © 
(nu = 0) beziehungsweise von dem Körper B (Masse m'), A (Masse m) 
und dem Schwerpunkt & des Systems AB, ferner mit x, %, die recht- 
winkligen Coordinaten von C, mit x, y, jene von B und zwar bezogen 
auf jenes Coordinatensystem, dessen wir eben erwähnten, so gelten be- 
kanntlich für die Bewegung von C um $ die folgenden Differential- 
gleichungen: 


OR le 5 a ET | 
ame [izn) jean 
da me (FR) ( en 


2 3 3 
dr 73 rı 


Führt man die polaren Coordinaten ein durch die Relationen: 
% == T 608% %=r' cosv! 
Y—rSsinv Yyı—r'sin v! 


und ersetzt, nachdem man die obigen Gleichungen mit — y, und &%, oder 
beziehungsweise mit x, und %, multiplicirt und addirt hat, die rechtwinkligen 
Differentiale durch die polaren, so erhält man: 


z (r av = m Brrsin@—o)| | 


del’ dr ar 
dr ER ao fe! 1 Niylı m 
In —r()—m kr co) te 


Trifft man hier dieselbe Wahl über die Einheiten wie früher, so 
ist ja: 


mi milk 1 
AS SB nl 
v—=ua+nt=18041r 
und indem wir zugleich für r und r die neuen Variablen t und g ein- 


führen, welche den folgenden Relationen genügen sollen: 


m 


o w|s 


L—n 
so gehen die obigen Differentialgleichungen in Polar-Coordinaten für 
unsern Fall über in: 


d dv =; 1 1 
ara + Vene] 
d?q ir 7 dan: do\ u TER 1 1 
de  2q (2) - IVgese— 91-5} 
En 
E nr ra | 


Aus den Dreiecken BSC und CSA findet sich aber leicht: 
n=1-+r-2rcsw—v)=1+9—2 V geosw— 1) 
R=1+r—2rcsw—v)=1+g-+2YV gcosw—1i) 

mithin wird: 
r, = 
aya 
welchen Werth wir in die zweite der obigen Differentialgleichungen sub- 
stituiren wollen. Es resultirt hienach: 


cos (v — tl) — 


@g 1 /(dq‘ dv ER Khan; 
a) = ra Ne) - Sue) 


Die rechte Seite lässt sich noch etwas vereinfachen, wie man sofort 
erkennt, wenn man dieselbe so schreibt: 
IE u LT) 
ae) ee) al" er”) 


Ze N) 
g3z 


632 


Schreiben wir endlich der Kürze halber noch: 


er Lumen v 
p Fr q 
PER dp 
Par 


so gehen die obigen Differentialgleichungen. über in: 
P—=+4Vgsinß—Y[n’—r] 


gap pe — — Uhr HH) 1 Nr’ +r)} 


er 

Letztere Gleichung lässt sich aber integriren. Bezeichnen wir mit c 
die Integrationsconstante, so repräsentirt der folgende Ausdruck das 
exacte Integral unseres Problems. 


1 >) 2 Dr wi —ı —ıı __ 
871 Say? p— AI +r )=c 


Die anfängliche Winkelgeschwindigkeit von CÜ um den Schwer- 
dr, 
dt 


punkt $ beträgt in unserm Fall: „=1.5, ferner ist —(), a 
mithin wird: 9, =4m==6 und: 
22 


e=2(,—1)— ,- —— 6.833333 


Mit Hilfe der mechanischen Quadratur lässt sich aus der vorher- 
gehenden Gleichung: 


P—=8glatrr' 4r5))+p+c}— 4p? 


q zwar durch einfache Integration erhalten, doch entspringt hieraus für 
die Rechnung kein Vortheil, da sich hiebei, namentlich zu Beginn der 
Rechnung, wo die g’ noch klein sind, diese nicht mit der erforderlichen 
Genauigkeit ergeben. 

Man kann die Integralgleichung — abgesehen von ihrer Verwendung | 
als Controllformel — aber dazu verwerthen, um in der zweiten der 
obigen Differentialgleichungen q’ zu eliminiren und erhält so: 


dell Ver +Hrn)+3etT tr )+p+ ch 


Die Bestimmung der Anfangsconstanten für die summirten Reihen 


633 
unterliegt keiner Schwierigkeit, wenn man beachtet, dass für =0 die 
Relationen erfüllt sein müssen: 

Po— 6 
Sobald nun p und g mit Hülfe obiger Gleichungen bestimmt er- 


el 94. 


. . ’ 
scheinen, resultirt v nach: 


und ist hiebei die Integration so zu bewerkstelligen, dass für = 0, v,— 0 wird. 
Die folgende Tafel gibt die Resultate der in solcher Weise (7stellig) 
geführten Rechnung, doch setze ich gleich statt der polaren Coordinaten, 
die mit ihnen nach: 
3, — 7 CO80 


Y— rSiInV 


berechneten rechtwinkligen an und beschränke mich ferner auf die 
Wiedergabe der Werthe für das Intervall £=5\. 

Die mit & und y überschriebenen Verticalreihen enthalten die recht- 
winkligen Coordinaten von (©, jedoch bezogen auf das Coordinatensystem, 
dessen Ursprung in A liegt, sind mithin direct mit den oben gegebenen 
Werthen vergleichbar, während endlich /& und 4/y in Einheiten der 
fünften Decimale die Differenzen der neuen Werthe gegen die erst er- 


haltenen darstellen: 


t|% a Yo ® 4x Yy Ay 
0° 0 | + 2.000 0000 0.000 0000 | + 1.000 0000 0 + 0.000 0000 0 
>| 10 | + 1.983 1281 | + 0.260 8504 | + 0.986 9334 — 1| + 0.1736947 | +1 
10 | 20 | + 1.933 1143 | + 0.516 0796 | -+ 0.948 3063 | —- 5|-+- 0.342 4316 | + 5 
15 | 30 | + 1.851 6976 | -+ 0.760 4042 | + 0.885 7719 |— 6| + 0.501 5851| +7 
20 | 40 | -+ 1.741 5672 | + 0.989 1552 | + 0.801 8746 | — 10 | + 0.647 1350| + 7 
25 | 50 + 1.606 1005 ++ 1.198 4483 | + 0.699 7929 | — 14 | + 0.775 8300 | +9 
30 | 60|--1.4490951 + 1.385 2406 | + 0.583 0697 | — 15 | + 0.885 2406 | +8 
35 | 70| + 1.274 5265 | + 1.547 2937 | + 0.455 3745 | — 18 | + 0.973 7173| +5 
40 | 80) + 1.086 3703 | + 1.683 0741 | + 0.320 3258 — 17 | + 1.040 2865 , +5 
45 | 90 | + 0.888 4865 | + 1.791 6240 | + 0.181 3797 | — 19 | + 1.0845172 | +1 
50 100 | + 0.684 5667 | + 1.872 4310 | + 0.041 7791| — 19 | + 1.106 3865 | — 4 


t On) &xo Yo x Ax Y Ay 
55 | 110 + 0.478 1278 + 1.925 3041 |— 0.095 4486 — 18 .4-.1.106 1521| — 8 
60 | 120 + 0.272 5447 |+ 1.950 2761 |— 0.227 4553 |— 16 + 1.084 2507 | — 13 
65 130 |+ 0.071 1130 + 1.947 5193 |— 0.351 5053 — 13 +1.041 2117| — 16 
70 | 140 — 0.122 8590 + 1.917 2894 | — 0.464 8792 |— 10 + 0.977 5968 | — 21 
75 | 150 |— 0.305 9260 |+ 1.859 8861 |— 0.564 7451 |— 6 + 0.893 9604 | — 24 
80 | 160 — 0.474 3336 |+ 1.775 6409 |— 0.647 9818 |— 4 ,+- 0.790 8329 | — 30 
85 | 170 |— 0.623 7678 + 1.664 9364 — 0.710 9235 )—  3/+ 0.668 7417 | — 35 
90 , 130 1— 0.748 9653 |+ 1.528 2990 |— 0.748 9653 —  11|+ 0.528 2990 | — 40 
95 | 190 | — 0.843 0672 + 1.366 6334 |— 0.755 9115 |)+ 6 |+ 0.370 4387 | — 45 
100 | 200 — 0.896 4391 |+ 1.181 8576 |— 0.722 7909 + 14 + 0.197 0496 | — 54 
105 | 210 |— 0.894 3730 + 0.978 7413 |— 0.035 5539 + 34 + 0.012 8156 , — 66 
110 | 220 — 0.812 4686 + 0.771 1961 |— 0.470 4484 + 611|— 0.168 4965 | — 76 
115 | 230 |— 0.611 9725 + 0.608 3794 |— 0.189 3542 + 101 |— 0.297 9282 | — 60 
120 240 — 0.315 0910 + 0.650 1424 |+ 0.184 9090 + 87 |— 0.215 8830 | — 27 
Wie man sich durch einen Blick auf die /x und /y überzeugt, 


findet hiemit die oben ausgesprochene Vermuthung, dass die Resultate 
der ersten Rechnung möglicherweise ungenauere seien, allerdings ihre 
Bestätigung, doch erreichte die Ungenauigkeit lange nicht jenen Betrag, 
um welchen die Oovordinaten zu corrigiren wären, damit das Perihel sym- 
metrisch zu liegen komme. Da letzteres schon bei w—=238"45’ statt- 
findet, bestätigen beide Rechnungen in gleicher Weise die Nicht-Periodi- 
cität der Bewegung. 

Es scheint mir sehr wahrscheinlich, dass man durch eine, von der 
hier gemachten, nur äusserst wenig abweichende Annahme über die 
Anfangsgeschwindigkeit es erreichen könnte, dass die nahezu periodische 
Bewegung zu einer rein periodischen wird, und dass man dann mit 
mehr Erfolg auf dem erst eingeschlagenen Weg wird weiterschreiten 
können, der uns das Ziel hier schon wegen der Unzulänglichkeit der 
Ausgangswerthe für r und v nicht hat erreichen lassen. 

Dass bei äusserst geringer Modification, wie dem Einwirken eines 
weiteren Körpers sich die Bewegung unseres Körpers sofort wesentlich 
anders gestalte, was sich aus den obigen Differentialgleichungen erkennen 
lässt, war aber a priori nicht zu ersehen. 


635 


Anhang. 


Im Anschluss an die obigen Rechnungen erlaube ich mir hier noch 
eine Reihe von Resultaten mitzutheilen, welche sich auf einen ähnlichen 
speciellen Fall des Problems der Drei Körper beziehen, wie dem im 
Vorangehenden behandelten. Die hier mitgetheilten Rechnungen wurden 
gleichzeitig mit: der Berechnung der speciellen Störungen für unser 
obiges Problem geführt. Mir vorbehaltend, gelegentlich darauf näher 
zurückzukommen, theile ich die Arbeiten jedoch auch bereits heute mit, 
da dieser zweite Fall, wenngleich er zu keiner so auffälligen Bewegung 
wie die erste führte, mir doch nicht ohne Interesse erscheint und unsere 
Vorstellung über die Bewegung eines dritten Körpers in einem, dem 
obigen analogen System nicht unwesentlich erweitert, also sich enge an 
das Vorausgehende anschliesst. 

Die folgenden Rechnungen beziehen sich auf das nachfolgende Problem: 

„In einem Doppelsternsystem, bestehend aus zwei gleichnamigen 
Körpern A und B, sind die beschriebenen Bahnen Kreise. Ein dritter 
Punkt C©, mit unendlich kleiner Masse, bewegt sich so in der Bahnebene 
der A und B, dass er zu Beginn der Bewegung auf der Verbindungs- 
linie AB steht und zwar in gleichem Abstand von A und B und ferner, 
dass er um A eine Kreisbahn beschreiben würde, sofern B nicht vor- 
handen wäre. Bei Beginn sind alle Bewegungen nach derselben Seite 
gerichtet.“ 

Dieses Problem unterscheidet sich also, wie man hieraus ersieht, nur 
in Bezug auf den Anfangszustand von dem obigen. 

Was die Art der Berechnung und die Genauigkeit der Schluss- 
Resultate betrifft, glaube ich mich hier mit einem Hinweis auf die dies- 
bezüglichen Bemerkungen zu dem ersten Fall beschränken zu können. 


636 


Bezieht man die Coordinaten auf ein fixes rechtwinkliges Axen- 
system, dessen Ursprung in A liegt und dessen X Axe mit der Ver- 
bindungslinie der drei Körper im Moment des Beginns der Bewegung 
zusammenfällt und bezeichnet mit xy die rechtwinkligen gestörten 
Coordinaten des massenlosen Körpers CO, mit x' y' die Coordinaten des 
störenden Körpers B, nimmt ferner AC=]1, so wird AB=23=r, 
Indem ich noch ergänze, dass auch hier die Massen so gewählt wurden, 
dass mk’= 1 wurde, erübrigt wohl zum Verständniss der nachfolgenden 
Tafelwerthe in den ersten Verticalcolumnen nichts mehr. 

Wie man sich leicht durch einen Blick auf die nachfolgenden Werthe 
von g überzeugt, nähert sich hier der gestörte Körper beträchtlich dem 
störenden. Aus diesem Grund wurde es nothwendig, das der Störungs- 
rechnung zu Grunde liegende Intervall im Laufe der Rechnung mehr- 
mals abzuändern. Das grösste Intervall, das zur Anwendung kam, ent- 
spricht einer Bewegung des störenden Körpers von 1°25, das kleinste 
von 0°0521. 

Die in den letzten Verticalcolumnen angesetzten Werthe (x, Yı) 
haben die Bedeutung: 

DD) 

N=y—Y 
und die Construction derselben liefert uns demnach ein Bild von der 
relativen Bewegung des Körpers C um B. 


®g vl x Diff. Yy Dift. [0 Diff. 24 Diff. Ya Diff. 
0 0 

0.0 | 0.00 |+1.00000 | 0.00000 +1.0000|__ | 1.00000 — 0.00000 | 

2.5 | 1.25 |+0.99977 | 73 |+-0.04362 En +0.9998| 7 | — 0.99976 = 25 |—0.00001 | 2 
5.0 | 2.50 |-+0.99906 | = 16 1+0.08715 |} 35, |40.9991 | „5 009904 | 7 35 |—0.0000g | „3 
7.5 | 3:75 |-40.99790| 7 158 4018049 11 4906 |0.9978| 2 78] 0907827} 175 — 0.00selr 4 
10.0 | 5.00 |-+-0.99632 | 7 195 -+0.17355 |} 7970 |+0.9960| = 55 |—0.99607|F 335 | —0.00076| = 73 
12.5 | 6.25 |-+0.98436 | 55, |-+0.21625 |} 7526 |+0:9987 | = 59 |—0.98875| 7 395| — 0.00148| 7108 
15.0 | 7.50.|4-0.99205 | 7 960 |+0:25851 1174775 |-+0.9008 |” 351 0.99085 17 557 |— 0.002541 7 145 
17.5 | 8.75 |40.98945 | 7 989 |-+0.30026 | F 4116 |-+0.9872 | 35 | 0.887261 254 | — 0.003990 | "159 
20.0 | 10.00 |4-0.98663 | 7 597 |+-0.34142 |} 4055 |+ 0.9829 | 5 | — 0.9828 | 557 | — 0.00588| — 936 
22.5 | 11.25 |4-0.98366 | 30, |+ 038194 73955 |-H 0.9778 | 7 59 — 0.907791 | 293 | — 0.0824 | 597 
25.0 | 12.50 4-0.98062 | 7309 |-+-0.42177 |} 2009 |+0.9720, gg] — 097188 | g99| 0.0111) 7340 
27.5 | 18.75 |4-0.97700 | 99, |+-0.46086 1 3290 -+0.9652 | 79 | — 0.96509 | 7 793 | — 0.01451 | T 306 
80.0 | 15.00 |4-0.97469 | 97] |+-0.49916 13749 0.9573 | 90 — 0.957167 39, |— 001847 | T 458 
32,5 | 16.25 |+0.97198 | 7 54, 40.586651 13857 | 40.9488 | 7,0, — 094812 | 7 1095| — 0.0280) 7 505 


De SE a en a nn I 200 m 


®) pt a nr 
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Yy Diff. 
0) a Q Dif. x ni 
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.0625 |41.: 2 +131509 + 641 +00817| &|_o. 565 E 
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327.500 163.7500|— 2.141622 | 1242 | o6gag7 | 1137 [I 05117 7108 _ g4ggıaj 1134| O.1asaıl 2 21 
398.125 1164.0625| 2.43015 | 13% 4 0.67348 1149|} 0.5901 |+ 10% |_ 0.507031 101] 0.124301 101 
328.750 116437501 244361 | 1246 | oesıez | 161 | Oi5390|t 991 -o51752 1049} o.12319| 2 111 
329.375 164.6875|— 2.45661 | 1500 4-0.65015 | 1172 40.5415 7 33 — 0.2761] 100914-0.121981 2 131 
330.000 165.0000|— 2.46918 | 1604 |+ 0.63831 | 1397 |4-0.5507 [1 „33 |— 0.587337 „95614 0.120671 600 
332.5 [166.25 |- 251527 |7 3996 |+-0.59004 17 7951 |+0.5820 [1 59, |— 0.572501 7 509. H-0.11467 7 705 
835.0 1167.50 |-2.55518 | 341, + 0.54050| 7 goe0 + 0.6121 [1 355 — 0.60253| 7 357,4 0.107621— 790 
337.5 168.75 — 2.8924 | 957, + 0.48990 | = 2749 40.8356 11 195 — 0.627677 SoggH-0.09972] 7 gg 
340.0 170.00 | 2.61796 | 5377 40.4381 | 2355 40.6548 |} 12, |— 0.64835  1oug4- 0.091111 959 
3125 17125 |-2.64153 | 1963 |+ 0.388616 | 2985 40.0699 1 175 | 0.664817 19464 0.08191| ggg 
345.0 [172.50 |— 2.6606 | 1295| + 033328 | 7 2941 + 0.8811 [1 176 — 0.677277 12604 0.072231 7 1094 
3475 113.75. |— 2.067398 | 1905 |+0.97987 | 935, 40.0887 7 25 | 0.685871 280 +0.06214| 7 1945 
Sue es lies gene 

25 |— 2.687 -- 0.6917 E0. 
350.0 |177.50 |—-2.68714 11 son |+ O.11724 | 9457 +.0.6896 ” 05 — 0.68905 a8 26° 4-0.03000 — N 
857.5 178.75 | 2.68208 |} 998 +0.06250 | 2447 + 0.6827 7108| 0.682551 10951 0.018877. 1194 
360.0 1180.00 |-- 2.67220 +0.00763 +0.6721 — 0.67220 A 0.00763 


Damit man sich leichter ein Bild von der Bewegung des Körpers C 


in dem vorliegenden Fall machen könne, habe ich wieder zur graphischen 
Darstellung gegriffen. Wirft der Leser einen Blick auf Tafel III, so benierkt 
er im Centrum der zwei concentrischen Halbkreise einen Punct, welcher 
die Lage des Körpers A angiebt. Der kleinere der zwei Halbkreise mar- 
kirt die ungestörte Bahn des Körpers C, die anfänglich hackenförmig, dann 
epicyklisch gekrümmte Linie dessen wahre (gestörte) Bahn, während der 
grössere Halbkreis die Bahn des störenden Körpers B versinnlicht. Die Rich- 
tung der Bewegung wurde auch hier durch Pfeile markirt und bezeichnen 
die fortlaufenden gleichen Nummern in der Bahn von B und © die jewei- 
lige gleichzeitige Lage dieser zwei Körper in ihrer Bahn. 

Während im früher behandelten Fall der gestörte Körper wenigstens 
für einen längeren Zeitraum bei dem Centralkörper, den er auch in der 
ungestörten Bahn hätte umkreisen sollen, blieb, entfernt sich hier der 
gestörte Körper sofort von demselben, um bald ganz zu dem störenden 
Körper überzugehen, den er schliesslich als Trabant und zwar in einer 
lang gestreckten und sehr excentrischen Ellipse umkreist. 


Au a A A Da Din 


644 


Die relative Bahn von Ü um B gibt Tafel IV wieder. Wie man be- 
merkt, fallen die ersten zwei Umläufe wieder weit näher zusammen als 
der dritte mit den vorhergehenden, doch berücksichtigt man auch die 
grosse Unsicherheit der obigen Werthe, welche hier schon durch die 
ausserordentliche Annäherung des gestörten an den störenden Körper 
bedingt wird, so erscheint doch die Möglichkeit ausgeschlossen, als ob wir 
es hier bloss mit einer scheinbaren Differenz zu thun hätten. 

Grösseres Interesse bietet nur der erste Theil der Bahn bis zur An- 
näherung an den Körper B dar. Die Anfangsgeschwindigkeit so zu ändern, 
dass die Körper 5 und O zusammenstossen, ist hier ein Leichtes. 


Er GE Te Br 


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oT 60 80 ZOO 90 go To go za ro o 


3 


3 Au Bi Ze U re 


2 
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— 
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u a 


Untersuchungen 


über die 


Organisation und systematische Stellung 


der 


Receptaculitiden. 


Von 


Hermann Rauff. 


(Mit 7 Tafeln.) 


Abh. d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 85 


‚land. 5 ni! 


Vorwort. 


Das in den nachfolgenden Blättern bearbeitete Material gehört dem 
Kgl. Museum für Naturkunde in Berlin, der Sammlung der Kgl. Berg- 
Akademie und Geol. Land.-Anstalt dort, der Sammlung des Naturhisto- 
rischen Vereins für Rheinland und Westfalen in Bonn, dem Provinzial- 
Museum der physikal.-ökonom. Gesellschaft in Königsberg, der Kgl. Geolog. 
Sammlung in Göttingen, den Sammlungen des Staates in München, dem 
Museum in Reval, dem Reichsmuseum in Stockholm, der Privatsammlung 
des Herrn E. ©. Ulrich in Newport, Kentucky, sowie mir selbst. 

Ich kann nicht unterlassen, für die freundliche Unterstützung, die 
mir durch reichliche Zusendungen aus diesen Sammlungen zu Theil ge- 
worden ist und die Resultate dieser Arbeit allein ermöglicht hat, den 
Herren Beyrich, Dames, Hauchecorne, Jentzsch, von Koenen, 
von Zittel, F. von Schmidt in Petersburg, der mir die Revaler 
Stücke übergab, Lindström und Ulrich nochmals auch an dieser Stelle 
meinen verbindlichsten Dank abzustatten. Insbesondere aber fühle ich 
mich Herrn von Zittel tief verpflichtet, der mich zur Bearbeitung der 
fossilen Spongien veranlasst und damit auch die Anregung zu dieser 
Arbeit gegeben hat. Seine wohlwollende Theilnahme an dem Fortgang 
meiner Untersuchungen und unser Gedankenaustausch darüber befruch- 
teten meine Studien und beeinflussten auch ihre Ergebnisse; denn ich 
muss hervorheben, dass Herr von Zittel die in den nachfolgenden 
Zeilen vertretene Anschauung Gümbels, wonach der Kalk in den ein- 
zelnen Elementen der Receptaculitenwand und seine fiedrige Structur 


nicht secundär, sondern primär sind, schon vor mir bestätigt und ver- 
85* 


648 


theidigt hat, während ich selbst anfänglich glaubte, die Hinde’sche 
Hypothese, dass die Receptaculitiden hexactinellide Spongien wären, stützen 
und weiter ausbauen zu können. Aber das erwies sich als völlig un- 
durchführbar, und wie ich hoffe, wird die neue Reihe von Beobachtungen 
und meine Beurtheilung dieser davon überzeugen. 

Hinsichtlich der wahren Natur der Receptaculitiden kommen meine 
Untersuchungen nur zu einem schmerzlichen Ergebnisse, wodurch die 
interessanten Körper aus dem Systeme wieder ausgestossen werden, um 
weiter obdachlos umher zu irren. Vielleicht gelingt es aber einem Glück- 
licheren, weil besser Unterrichteten, auf Grund der Einsicht, die wir nun 
von ihrem ganz eigenthümlichen Bau gewonnen haben, ihre wahren Be- 
ziehungen aufzufinden. Die Hoffnung auf eine solche Möglichkeit dürfte 
es rechtfertigen, dass ich diese Arbeit auch ohne ihren wichtigsten Ab- 
schluss veröffentliche. Möchte sie wenigstens als Grundlage für weitere 
Betrachtungen dienen können. 

Das Thema ist hier im Wesentlichen nur so weit behandelt, als es 
die Erforschung der Organisation und der allgemeinen Charaktere er- 
heischt, welche die Vertreter dieser Gruppe auszeichnen. Von einer 
neuen Revision aller Arten wurde Abstand genommen, weil das Material, 
das mir zur Verfügung stand, dazu doch nicht ausreichte; namentlich 
fehlten mir die amerikanischen Vorkommnisse. Einige Bemerkungen 
über ältere und mehrere neue Arten, die man in dieser Arbeit verzeichnet 
findet, behalte ich mir für einen Nachtrag an anderer Stelle vor. 


a a a aa da 


649 


Einleitung. 


Je weiter wir zurückblättern in der Urgeschichte des organischen 
Lebens auf unserm Planeten, um so fremdartiger wird der allgemeine 
Charakter der Lebewesen, die vor ausserordentlichen Zeiträumen die Erde 
bevölkerten, und um so mehr wächst die Anzahl derjenigen Organismen, 
die ihrer Deutung und systematischen Einreihung im Thier- oder Pflanzen- 
reiche grosse Schwierigkeiten bereitet, oder selbst der Erkenntniss ihrer 
Beziehungen zu den voraufgegangenen oder nachfolgenden Verwandten 
bis jetzt unüberwindliche Hindernisse entgegengesetzt haben. 

Zu diesen ganz problematischen Körpern gehört auch die Gruppe 
der Receptaculitiden, die ausser Receptaculites selbst noch die 
Gattungen Leptopoterion,!) Ischadites und Polygonosphaerites 
umfasst und auf die palaeolithischen Formationen vom Unter-Silur bis 
zum Kohlenkalke beschränkt ist. 

Die nachstehenden Untersuchungen wurden durch die irrthümliche 
Annahme veranlasst, dass die Receptaculitiden hexactinellide Spongien 
wären, zu denen sie Hinde 1884 gestellt hat.?) Sie fielen damit in das 
Gebiet einer monographischen Arbeit über fossile Spongien, deren erste 
Abtheilung im Druck ist und den 40. Band der Palaeontographica bil- 
den wird. 


1) Leptopoterion E. O. Ulrich (1889). Eine andere von Ulrich aufgestellte untersilurische 
Gattung Lepidolites (1879) gehört zu Ischadites, wenigstens ihre typische Art, die ich unter- 
suehen konnte: Lepidolites dickhauti Ulrich (ein wahrhaft barbarischer Name). Ich werde 
an anderm Orte in dem vorerwähnten Nachtrage darauf zurückkommen. 

2) &. J. Hinde. On the structure and affinities of the family of the Receptaculitidae. 
Quart. Journ. Geol. Soc. London. vol. 40. 1884. p. 795 ff. 


Welche Schwierigkeiten die Receptaculitiden ihrer Deutung entgegen- 
gesetzt haben, geht daraus hervor, dass man über ihre systematische 
Stellung die widersprechendsten Ansichten geäussert hat. Man hat sie mit 
Coniferenzapfen, mit Korallen, Crinoiden, Foraminiferen, Dactyloporiden, 
embryonalen Formen von Spongien (im phylogenetischen Sinne), eigen- 
thümlich entwickelten Hexactinelliden und selbst mit Tunicaten verglichen. 

Die Geschichte unserer Kenntniss der Receptaculitiden ist desshalb 
von nicht geringem Interesse, aber ich brauche hier nicht dabei zu ver- 
weilen, weil ich auf den Abriss bei Gümbel!) und die geschichtliche 
Einleitung in Hinde’s Abhandlung?) verweisen kann. 

(Frühere Arbeiten) Nur dies sei kurz vorbemerkt: Defrance°) 
hat im Jahre 1827 die Gattung Receptaculites nach devonischen Ver- 
steinerungen von Chimay in Belgien aufgestellt. Aber erst im Jahre 1859 
erfuhr der eigenthümliche Wandbau der Körper eine eingehendere Unter- 
suchung durch Salter,*) der in Folge dessen die Receptaculiten zu der 
Foraminiferen-Gruppe der Orbitoliten stellte. Billings°) dagegen ver- 
glich sie mit den Gemmulae der Gattung Spongilla, der bekannten 
Süsswasserspongie. Dames°) erklärte sich wieder für ihre Foraminiferen- 
natur, wobei er allerdings von einer wesentlich anderen Anschauung über 
ihren Erhaltungszustand ausging, als Salter. Zu einem ähnlichen Resul- 
tate wie Dames gelangte scheinbar auch Gümbel.') Auch er theilte 
die Receptaculiten den Foraminiferen zu und zwar der Familie der Dacty- 
loporiden. Aber dies Resultat war nur scheinbar ein ähnliches, weil 
die Dactyloporiden später als Kalkalgen erkannt wurden. Nächst Gümbel 
hat George Hinde?) unsere Kenntniss des Gegenstandes am meisten 
gefördert, und es schien, als ob er zu einem befriedigenden Ergebniss 
über die Natur dieser räthselhaften Versteinerungen gelangt wäre. Nach 
eingehender Darlegung seiner Untersuchungen versuchte er den Schluss 


1) Gümbel. Organisat. u. syst. Stell. der Rec. Abhandl. der Bayer. Akad. Wiss. 1876. p. 169. 

2) Hinde, a. a. O. p. 795—803. 

3) Defrance. Diet. des Scienc. Nat. t. 45 p. 5. 

4) Salter. Geological survey of Canada. Figures and Descriptions of Canad. organ. remains. 
Dec. I. 1859. p. 43. Taf. 10, Fig. 17. 

5) Billings. Geological survey of Canada. Palaeozoie fossils. Vol. I. 1865. p. 378. 

6) Dames. Devon. Ablag. bei Freiburg in Niederschlesien. Z. d. Geol. Ges. 20 Bd. 1868. 
p: 483—488. Taf. 10, Fig. 1. 


651 


zu rechtfertigen, dass die Receptaculitiden eine eigenthümliche Familie 
der Kieselspongien bildeten. Die Einzelelemente, die ihre Wand zu- 
sammensetzen, verglich er mit den Spiculen der Hexactinelliden und 
die einzelnen Theile jener Elemente mit den sechs z. Th. umgestalteten 
Strahlen eines differenzirt ausgebildeten Hexactines. Der Vergleich war 
überraschend, und obwohl man viel dagegen einwenden konnte, im 
allgemeinen befriedigte er, und viele Paläontologen haben Hinde’s 
Anschauungen getheil. Auch ich glaubte anfangs bei dem Kapitel 
Receptaculites und Verwandte für meine Spongien- Monographie 
nach Hinde’s Arbeit kaum mehr thun zu können, als nochmals eine 
kritische Sichtung der Arten zu versuchen, namentlich der in Deutsch- 
land vorkommenden. Bei näherer Prüfung ergab sich jedoch, dass auch 
im Bau der merkwürdigen Körper noch vieles aufzuklären und zu er- 
gänzen war, und vor allem ergab sich der, wie ich glaube zeigen zu 
können, sichere Nachweis, dass Gümbel Recht behält und dass die festen 
Theile der Receptaculitiden ursprünglich kalkig und nicht kieselig waren. 
Damit wird aber jeder Versuch, die Receptaculitiden mit den Hexactinel- 
liden zusammenzustellen, von vornherein abgeschnitten. 


I. Ueber den Bau der Receptaculitiden-Skelete. 


(Diagnose zur ersten Orientirung. Terminologie.) Indem ich nun 
zur Darlegung meiner Untersuchungen übergehe, bemerke ich für die 
erste Orientirung und zur Terminologie zunächst folgendes: 

Die Receptaculitiden (Receptaculites, Leptopoterion, Ischa- 
dites, Polygonosphaerites) sind sphaerisch gestaltete, kuglige bis 
birnförmige, (nach meiner Auffassung sämmtlich) ringsum geschlossene 
Körper mit centralem Hohlraume. Ihre einzeilige Wand ist aus zahl- 
reichen, gleichgestalteten, kalkigen Einzelelementen oder Meromen !) 
zusammengesetzt, die sämmtlich im Quincunx zu einander stehen und 
spirale Reihen bilden. Die aus rhombischen oder hexagonalen Täfelchen 
zusammengefügte Oberfläche lässt einen Wachsthumsanfang von bestimmter 
Construction erkennen, den ich unteren Pol oder Nucleus (Hinde, 
Billings) nenne; der obere Pol oder Apex wird in ähnlicher Weise 
durch bestimmt geordneten Zusammenschluss der Täfelchen markirt. 

Die von den Täfelchen gebildete Aussenseite werde ich ausschliess- 
lich, auch bei den schüsselförmigen Receptaculiten, als solche oder als 
Aussenfläche ?) bezeichnen; dementsprechend auch nur von einer Innen- 
seite oder Innenfläche®?) der Schalenwand reden, nicht aber zugleich wie 
Hinde von Unter- und Oberseite, weil ich der Ansicht bin, dass die 
schüsselförmigen Receptaculiten nur Bruchstücke von ursprünglich ge- 
schlossenen Formen sind, und dass das, was Hinde „Upper layer“ nemnt, 


1) u2oos, einzelner Theil. 

2) Outer or under surface bei Hinde a. a. O. p. 822 erste Zeile; Aeussere Decke, Gümbel; 
External integument, Eetorhin Billings. 

3) Inner or upper layer Hinde; Innere Hülle Gümbel; Internal integument, Endorhin Billings. 


655 


die Innenfläche der untern Hälfte, also der untere Theil der Innen- 
seite des Organismus ist. 


"Jedes Einzelelement oder Merom besteht aus sechs Theilen: einem 
äusseren Täfelchen (Lamnul), dessen Grundform der Rhombus ist, und aus 
fünf darunter liegenden, sich unter nahezu rechten Winkeln treffenden 
Armen (Brachialen). 


Die Täfelchen!) oder Lamnule legen sich mit ihren Rändern eng 
aneinander oder selbst übereinander und bilden die dicht gefügte Aussen- 
fläche von sehr zierlicher Zeichnung. Die kürzere Diagonale der rhom- 
bischen Täfelchen ist in der Regel meridional gestellt; doch kommt auch 
der andere Fall vor, dass die so gerichtete Diagonale die längere ist. 


An der Innenseite eines jeden Täfelchens liegen in der Richtung 
seiner Diagonalen vier sich unter annähernd rechten Winkeln kreuzende 
Arme, die Tangential-Arme?) oder Tangentiale Zwei davon 
sind den beiden Polen zugewandt und sollen desshalb Meridional- 
Arme oder Meridionale heissen. Der dem untern Pole zugewandte 
Arm wird von mir distaler Arm?) oder das Distal, der davon ab- 
gewandte: proximaler Arm) oder Proximal genannt. Die beiden 
andern Arme sind die Lateral-Arme°) oder Laterale. 


Dementsprechend bezeichne ich nach Hinde’s Vorgang die vier Ecken 
des rhombischen Täfelchens als meridionale (distale, proximale Ecken) 
und laterale Ecken. 


Etwa senkrecht auf den vier Tangentialarmen, die unter dem Täfelchen 
liegen, steht ein fünfter nach innen gerichteter Arm (das Radial), der 
bei Receptaculites Säulchen (oder das Columell)®) genannt wird. Bei 


1) Head-or summit plates Hinde; rhombische Plättehen Gümbel; rhomboidische Tafeln 
Dames; Rhomboidal plates of the ectorhin Billings. 

2) Horizontal-rays Hinde; Epistyle, Stützarme Gümbel; Kanäle Dames; Stolons Billings. 

3) Proximal-ray Hinde; Radial-centripetaler Ast Gümbel; Radial stolon Billings. 

4) Distal-ray Hinde; Radial-centrifugaler Ast Gümbel; Radial stolon Billings. Die hier 
vorgenommene Vertauschung der Hinde’schen Benennung für die beiden Meridional-Arme wird in 
der Folge gerechtfertigt werden. 

5) Lateral-rays Hinde; Concentrische Aestehen Gümbel; Cyclical stolons Billings. 

6) Vorschläge zur Einführung einer allgemein gültigen internationalen Bezeichnung der 
Meromglieder. 3 


Abh. d. 11. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 86 


654 


Ischadites sei er schlechthin als Radialarm!) oder Radial bezeichnet, 
weil hier das Wort Säulchen auf seine Form nur wenig passt. Das 
Radial (Säulchen) ist an seinem innern Ende conisch verdickt; diese 
Anschwellung nenne ich den Fuss des Säulchens oder Radials (das 
Pedicul), während ich das rhombische Täfelchen mit den vier Tangential- 
armen zusammenfassend als Köpfchen des Meroms (das Capitul) auf- 
führen werde. 

Bei Polygonosphaerites ist das Radial verkümmert. 

Das Radial (Säulchen) ist der Länge nach von einem Kanale durch- 
zogen. Die vier Tangentiale umschliessen je einen axialen Körper von her- 
vorstechend spindelförmiger Gestalt. Ich werde diese viel zu besprechen- 
den Axentheile kurz proximale, distale und laterale Spindeln nennen. 

Nach diesen allgemeinen Bemerkungen wende ich mich den eigenen 
Beobachtungen zu und beginne mit der Darlegung der Verhältnisse bei 


Receptaeulites, DEFRANCE. 


(Isolirtes Merom.) Meine Untersuchungen gingen von theilweise 
oder ganz isolirten Einzelelementen der Wand aus, die aus geeigneten 
Eifler Exemplaren von Receptaculites Neptuni, Defr., dem typischen 
Vertreter der Gattung mit der Nadel herauspräparirt waren. 

Das Köpfchen eines solchen Meroms ist in Taf. 1, Fig. 4, 5, 6 in ver- 
schiedenen Ansichten abgebildet. Es zeigt, dass von den vier Tangential- 
armen nur drei (d, /, !) fest mit dem rhombischen Täfelchen verwachsen 
sind, während der vierte, mit pr bezeichnete Arm stark aufwärts (Fig. 5), 
d. i. nach innen gerichtet ist und sich vollständig von dem mit » 
bezeichneten Theile des Köpfchens (Fig. 5) abhebt. Nicht nur pr, sondern 
auch die andern Arme erscheinen an diesem Köpfchen durch Abbruch 
zu kurz, was die Präparation verschuldet hat; sie ragen in Wahrheit 
über die Ecken des rhomhischen Täfelchens hinaus. 

(Form der Tangentialarme.) Was die Gestalt der Tangentialarme 
anbetrifft, so sind d und die beiden ! (Taf. 1, Fig. 4) spindelförmig, da 


1) Vertical ray Hinde; Säulchen Gümbel; Cylindrische Röhre Dames; Cylindrical tube or 
hollow spiculum, tubular skeleton Billings; Cells Hall, Meek; Trou rond Defrance. 


| 


655 


sie an ihrem Vereinigungspunkte mit dem Säulchen zusammengezogen sind, 
und ihr grösster Durchmesser etwa in der Mitte zwischen dem Centrum 
und den Ecken des Täfelchens liegt. pr dagegen hat im allgemeinen 
eine conische Form (Fig. 4, 5); doch kommen auch leichte Abschnürungen 
an seinem centralen Theile vor. Die drei Arme d, /, I, die dem Täfelchen 
anliegen, sind nicht scharfwinklig davon abgesetzt, sondern wölben sich 
sanft an seine Unterfläche an. 

(Proximaler und distaler Arm) Aus allen Beobachtungen ergiebt 
sich nun, dass der so stark nach innen gerichtete Arm pr stets vom 
untern Pole abgewandt, der nach aussen strebende, mit dem Täfelchen 
verbundene d dagegen ausnahmslos dem untern Pole zugewandt ist. 
Hinde hat mit Beziehung auf den Nucleus oder Wachsthumsanfang jenen 
Arm pr den distalen, diesen d den proximalen genannt. Er hat damit 
dem Nucleus, offenbar in-der Ansicht, dass die schüsselförmigen Exem- 
plare die ursprüngliche Form der Receptaculiten darstellen, und diese 
also eines Apex überhaupt entbehren, eine bevorzugte Bedeutung vor 
dem andern Pole eingeräumt, die ihm, wie ich glaube, nicht zukommt. 
Der Apex ist bei Ischadites thatsächlich als ein Schlussstück des Körpers 
vorhanden und dürfte auch bei Polygonosphaerites und Recepta- 
culites niemals gefehlt haben, wenn er hier auch noch nicht aufge- 
funden worden ist. (Ein Punkt, der weiterhin noch zu beleuchten sein 
wird.) Es scheint mir daher naturgemässer und eine Erleichterung für 
das Gedächtniss zu sein, nach Analogie der Knochenenden den nach dem 
Innern gerichteten Arm als den proximalen, den andern als den distalen 
Arm zu bezeichnen und also Hinde’s Benennungen umzukehren. 

(Nabel zur Verzapfung der Meridionalarme) Der in Taf. 1, Fig. 5 
mit v bezeichnete Theil umschliesst auf seiner nach innen zu (in der 
Abbildung nach oben) gelegenen Seite eine halbkreisförmige Rinne, eine 
Art Nabel (n in Fig. 6; in Fig. 4 die unter pr liegende und durch 
diesen Arm fast ganz verdeckte Einbuchtung), der dazu dient, die Spitze 
des distalen Armes des meridional anstossenden Täfelchens aufzunehmen 
(vergl. Taf. 2, Fig. 4). Die Abflachung der dem Nabel zugewandten 
Seite des proximalen Armes in Taf. 1, Fig. 6 ist wohl keine durch Bruch 
oder durch die Präparation entstandene Zufälligkeit, sondern eine Folge 


der Uebereinanderlagerung und gegenseitigen Berührung der hier zu- 
86* 


656 


sammenstossenden Arme, da ich sie auch an andern Köpfchen meiner 
präparirten Stücke mehr oder weniger deutlich wahrgenommen habe. 

(Winkelgesetz) Die Richtung der beiden lateralen Arme / ist in 
der Projection Taf. 1, Fig. 4 nicht genau senkrecht auf derjenigen der 
beiden meridionalen Arme pr und d, sondern schwach dagegen geneigt, 
und zwar so, dass der rechte distale Centriwinkel spitz, der linke stumpf 
ist, wenn man das Köpfchen von innen betrachtet (vergl. Fig. 4a, worin 
diese Schiefe etwas übertrieben dargestellt ist). Betrachtet man das 
Täfelechen von aussen, so kehren sich diese Verhältnisse natürlich um 
und der rechte distale, sowie der linke proximale Centriwinkel des 
Plättchens werden zu stumpfen Winkeln. Diese Regel erleidet oft da- 
durch eine Ausnahme, dass durch eine geringe Verschiebung des Täfelchen- 
mittelpunktes (Kreuzungspunktes der Spindeln) die nach den Ecken 
strebenden lateralen Arme ihre gemeinsame Richtung verlieren und sich 
etwas winklig gegen einander stellen (vergl. besonders einige Täfelchen 
in Fig. 3 auf Taf. 6). Jedoch berühren solche Unregelmässigkeiten die 
Beziehungen der Laterale eines Meroms zu den Lateralen der seitlich 
benachbarten Merome niemals; vielmehr sind diese Beziehungen für die 
Aneinanderfügung der Merome stets und ausnahmslos solche, als ob jenes 
Winkelgesetz in jedem einzelnen Falle vorhanden und normal eingehalten 
worden wäre. Es wird davon noch die Rede sein. 

(Umriss der rhombischen Täfelchen) Die Täfelchen sind nicht ge- 
nau von rhombischem Umrisse; sondern die gegenüberstehenden parallelen 
Begrenzungslinien sind leicht gebogen, und zwar sind die distalen, dem 
untern Pole zugewandten Ränder stets die concaven, die proximalen 
Ränder stets die convexen Seiten (Taf. 1, Fig. 2, 4, 10; Taf. 3, Fig. 1, 
5, 7 u.a). Oft freilich ist auch die Ausschweifung der Ränder nur 
sehr schwach, und die Rautenform tritt vollkommener hervor. An den 
meridionalen Ecken, seltener an einer oder der andern lateralen Ecke 
sind die Tafeln stets mehr oder weniger leicht abgestumpft, so dass 
eigentlich ein ungleichseitig-, aber symmetrisch -sechseckiger Umriss 
sie begrenzt (Taf. 1, Fig. 8, 10 u. a). Da aber die beiden Ab- 
stumpfungskanten nur sehr kurz sind, so bleibt doch der Eindruck der 
Raute überwiegend, und wir werden desshalb die Plättchen auch weiter- 
hin als rhombische bezeichnen, im Gegensatz zu denen von Polygono- 


657 


sphaerites, wo diese Abstumpfung breiter wird. Dass übrigens sowohl 
bei Receptaculites als namentlich auch bei Ischadites daneben aus- 
gesprochen sechsseitige Täfelchen mit breiten Abstumpfungskanten vor- 
kommen, kann vielfach beobachtet werden. (Vergl. in Taf. 3, Fig. 7 
besonders die nach dem rechten Rande zu gelegenen Täfelchen). 

(Oberfläche der Täfelchen.) Die Oberfläche gut erhaltener, durch 
Verwitterung nicht veränderter Täfelchen zeigt parallel den Rändern und 
meist diesen nahe, zuweilen aber auch mehr im centralen Theile eine 
stumpfe, gerundete Kante (Taf. 1, Fig. 10), von der die Fläche sowohl 
nach den Rändern wie gegen die Mitte hin leicht abfällt. Das Maass der 
centralen Einsenkung ist aber geringer als der Abfall nach den Seiten, 
so dass die Täfelchen doch im Ganzen flach aufgewölbt sind. In ihrem 
Mittelpunkte findet man zuweilen ein kleines knopfförmiges Gebilde (Taf. 1, 
Fig. 8, das Täfelchen links unten; Fig. 10 links), in andern Fällen ein 
nadelstichfeines Loch. Ob das letzte als eine Ausmündung des Central- 
kanals im Säulchen ursprünglich vorhanden war, oder als ein erstes 
Stadium eingetretener Verwitterung des Täfelchens zu betrachten ist, 
wodurch der Kanal geöffnet wurde, konnte ich nicht mit Sicherheit ent- 
scheiden. Doch ist es nach meinen Präparaten wahrscheinlicher, dass 
der Kanal ursprünglich nach aussen geschlossen war. Die distale Ecke 
des rhombischen Täfelchens ist meist etwas aufgetrieben (Taf. 1, Fig. 10). 
Diese Anschwellung verliert sich in der mittleren Einsenkung. Aehnliche, 
aber stets schwächere Auftreibungen zeigen auch vielfach die andern 
Ecken (sehr deutlich öfter bei Ischadites, vergl. Taf. 6, Fig. 3). Die 
unverletzten Täfelchen sind mit feinen concentrischen, den Rändern 
parallel laufenden Linien bedeckt, die gewöhnlich am Rande und auf der 
erwähnten stumpfen Kante am deutlichsten hervortreten, und sich hier 
selbst zu leichten Falten verstärken können (Taf. 1, Fig. 10; in Fig. 8 
das linke, untere Täfelchen). 

(Selbstständigkeit der Täfelchen) Das eigentliche rhombische Täfel- 
chen ist ganzrandig (Taf. 1, Fig. 10) und nur ein sehr dünnes Plättchen. 
Es wird von einer gleichflächigen, aber zickzackrandigen (Fig. 4, 8) 
Unterlage getragen, die aus den Armen d, /, ! und aus flügelartigen 
Ausbreitungen zwischen ihnen (f in Fig. 4, Taf. 1) gebildet wird. Dass 
es in der That ein discretes Glied des Köpfchens ist, geht aus ver- 


658 


schiedenen Beobachtungen hervor: 1) Es ist concentrisch gebaut, und bei 
einer leichten Verwitterung treten die erwähnten seinen Rändern parallelen 
Linien als feine scharfe Leisten heraus. Der darunter liegende Träger da- 
gegen, der auf seiner Unterseite mit randlichen, kleinen Falten bedeckt ist 
(Fig. 4), zeigt bei der Verwitterung radiale Structur (Fig. 8). Doch scheint 
auch in den Täfelchen neben der concentrischen Anordnung eine radiale 
Faserung vorhanden zu sein. — 2) An den herauspräparirten Köpfchen 
Taf. 1, Fig. 5, 6 ist dicht unter der Oberfläche eine Naht oder Naht- 
furche mehr oder weniger deutlich wahrzunehmen; sie ist manchmal 
durch Auswitterung oder einsitzenden Mergel schärfer markirt. Eine 
dieser Naht entsprechende scharflinige untere Abgrenzung des Täfelchens 
findet man auch öfter in Dünnschliffen (Taf. 3, Fig. 2, 3). In einem 
Falle, in einem Eifler Specimen waren die Täfelchen durch Eisenocker 
des einbettenden Mergels ledergelb gefärbt, und diese ledergelbe Färbung, 
die durch opake Körnchen und Staubtheilchen bewirkt wurde, schnitt an 
jener untern Abgrenzung geradlinig ab. Diese Grenze ist also wohl ur- 
sprünglich und scheint zunächst ein Hinderniss für ein tieferes Eindringen 
der färbenden Partikelchen gewesen zu sein. — 3) Am meisten sprechen 
aber einige Dünnschliffe von Djupviker Ischaditen für die Selbstständigkeit 
des Täfelchens. Man sieht hier (Taf. 5, Fig. 2), wie die äussern Lagen 
der Köpfchen (die Täfelchen) von den zugehörigen Tangentialarınen durch 
 dunkeln Mergel deutlich getrennt sind und wie abgehoben erscheinen. 
Man kann den Weg, auf dem diese Ablösung geschieht, verfolgen; sie 
nimmt an der Grenze zwischen distalem Arm und Täfelchen ihren An- 
fang, wahrscheinlich in der distalen Ecke. Das rechts liegende Merom 
in Taf. 5, Fig. 2 und andere gleichartige Präparate zeigen, dass die 
Täfelchen dabei in der proximalen Ecke am längsten mit ihrer Unter- 
lage verbunden bleiben. Beginnende Ablösung wird vielleicht durch die 
erwähnten Nahtfurchen ausgedrückt. 

(Aetzungen der Täfelchen) Der scharfe Unterschied zwischen der 
gelben Aussenschicht und ihrer grauen Unterlage in dem eben ange- 
führten Eifer Stück veranlassten mich, Aetzungen an den gelben 
Plättchen vorzunehmen, um über ihre Beziehungen zu den unterliegen- 
den Armen noch weitern Aufschluss zu erhalten. Die Resultate dieser 
Aetzungen sind in Taf. 2, Fig. 1, 2, 3 dargestellt. Fig. 1 zeigt die am 


659 


leichtesten, Fig. 3 die am stärksten geätzte Stelle Es ergiebt sich dar- 
aus, dass das Täfelchen, — ich setze nach dem mikroskopischen Befunde 
voraus, dass ihm die gelbe Lage entspricht — über dem distalen Arme 
und in der centralen Einsenkung seine geringste Dicke hat. Zunächst 
wird nämlich beim Aetzen die gelbe Lage um den Mittelpunkt herum 
weggenommen, und es tritt von ihm ausgehend eine dunkler gefärbte 
keulenförmige Figur hervor (Fig. 1), die ihre Spitze im Centrum, ihr 
gerundetes Ende in der distalen Ecke des Täfelchens hat; diese Käulen 
sind auch die Ursache der S. 657 erwähnten Auftreibung in der distalen 
Ecke (Taf. 1, Fig. 10; Taf. 2, Fig. 1 bei a). Bei fortschreitender Aetzung 
treten zwei weitere gleichgestaltete Figuren hervor, die nach den late- 
ralen Ecken streben. Anfangs erreichen sie diese noch nicht, in dem 
Maasse aber, wie die Aetzung tiefer greift, wandern ihre gerundeten 
Enden diesen Ecken entgegen, während das distale Käulchen sein abge- 
rundetes Ende über die untere Ecke fort in das nächste Täfelchen mehr 
und mehr hineinschiebt, um hier mit einer kurzen Spitze zu enden (Taf. 2, 
Fig. 2). Ist dies Stadium erreicht, so sind die centralen Spitzen aller 
drei Käulen schon wieder verschwunden. Treibt man die Aetzung noch 
weiter, so werden die Täfelchen und die Arme d, /, 2 mit ihren Spindeln, 
die in den keulenförmigen Figuren blossgelegt wurden, gänzlich weg- 
gelöst; dafür erscheinen die proximalen Arme mit ihren Spindeln und 
bleiben schliesslich allein zurück (Taf. 2, Fig. 3), mit den Umrissen, wie 
die isolirten Merome sie schon kennen gelehrt haben. 

Diese Bilder lasssen schon klar erkennen, wie die Köpfchen in 
einander greifen und verbunden sind; sie haben mir den ersten Aufschluss 
über den wahren Sachverhalt gewährt. Aber einen noch müheloseren 
und überzeugenderen Einblick gestatten richtig angefertigte Dünnschliffe. 
Bevor ich jedoch zu diesen komme, muss ich nochmals zwei Punkte über 
die Beziehungen des Täfelchens zu den unterliegenden Armen und über 
seine Structur berühren. In dem besprochenen Eifler Stück war auch 
in dem proximalen Theile des Täfelchens die gelbe Schicht nicht dicker 
als an den andern Stellen. Nachdem diese Schicht abgeätzt war, kam 
die innere Lage des in Taf. I, Fig. 5 mit v bezeichneten, verdickten 
Theiles ebenfalls als dunkler, (im Mikroskop klarer) Kalkspath heraus. 


660 


(Seitliche Flügel der Tangentialarme.) Wird nun aber durch die 
gelbe Schicht wirkich das Täfelchen bezeichnet, so wird man die nach 
innen gewandten Theile von v als seitliche Ausbreitungen der lateralen 
Arme aufzufassen haben (Taf. 1, Fig. 4), die sich gegen die Innenseite 
des Täfelchens legen und verschmelzen. In der That ist in dem isolirten 
Merom (Taf. 1, Fig. 5) über dem verdickten Theile v ebenfalls die oben 
(S. 658) erwähnte Nahtfurche deutlich markirt. In gleicher Weise wären 
nach dem Befunde von Taf. 2, Fig. 2 dann auch die lateralen Arme mit 
dem distalen Arme unter dem Täfelchen seitlich aus- und zusammengezogen, 
wie eine Haut zwischen gespreizten Fingern (vergl. Taf. 1, Fig. 4). 

(Secundäre Aussenzone der Meromglieder) Gümbel’) hat angegeben, 
dass die Oberflächenschicht (der Täfelchen) von einer besondern, sehr 
dünnen kohligen Substanzlage gebildet zu werden scheine, die eine zellige 
Structur wahrnehmen lasse. Ich kann nicht zweifeln, dass diese Substanz- 
lage in den Oberkunzendorfer Stücken, worin sie Gümbel gefunden hat, 
mit unserer ledergelben Schicht identisch ist und nachträglich in der- 
selben Weise, wie diese durch Ocker, durch kohligen Staub gefärbt wurde. 
Das einbettende Kunzendorfer Gestein ist reich daran, und die ganzen 
Merome, auch Arme und Säulchen sind dadurch gefärbt und erscheinen 
äusserlich oft tief schwarz. Eine besondere kohlige Schicht habe ich 
niemals nachweisen können, weder an der Aussen-, noch an der Innen- 
seite der Körperwand, wo sie nach Gümbel?) auch vorhanden sein soll. 
Die zelligen Elemente aber, die diese Schicht zusammensetzen sollen, 
sind ebenfalls eine secundäre Erscheinung, ein Zerfall des ursprünglich 
fasrigen Kalkes in Körner, die gewöhnlich um einen rundlich-eckigen 
oder eckigen Kern einen wasserklaren Saum zeigen. Diese körnige 
Structur bleibt auch nicht auf das Täfelchen beschränkt. Ich fand sie 
als einen Randsaum auch an andern Theilen der Köpfchen; der Saum 
folgte den unregelmässigen Begrenzungslinien abgebrochener Arme, was 
für die Beurtheilung seiner Natur entscheidend ist (Taf. 3, Fig. 2, 3). 
Ebenso tritt er am Säulchen auf, wie am Füsschen (Taf. 3, Fig. 4); oder 
das ganze Säulchen zeigt diesen Zerfall (Fig. 3, 4). Wenn nicht zugleich 


1) a. a. O. p. 185, 186, 187. 
2 3.02. SITE 


661 


andere Umstände, die bereits aufgezählt worden sind, für die Selb- 
ständigkeit des Täfelchens sprächen, würde man also die scharfe Naht- 
linie unter der Oberfläche der Köpfchen in Taf. 3, Fig. 2 und: 3 kaum 
dafür anführen dürfen, wie es oben geschehen ist. 

(Gesetzmässige Zusammenfügung der Arme.) Die eigenthümliche 
Tektonik der Wand wird am leichtesten an richtig angefertigten Dünn- 
schliffen, besonders an Radialschnitten erkannt. Bei ihrer Herstellung 
ist nur zu beachten, dass der Radialschnitt genau in die meridionale 
Diagonale der Täfelchen fällt, oder vielmehr, dass diese Diagonale in 
dem Schliffe selbst liegt. Ein solcher Radialschnitt ist in Taf. 2, Fig. 4 
abgebildet. Der Nucleus ist in der sich verschmälernden linken Fort- 
setzung des abgebildeten Wandstückes zu suchen. £ ist das Täfelchen im 
Kopf eines jeden Meroms, d der mit dem Täfelchen verbundene distale 
Arm, pr der nach innen geneigte, vom Täfelchen isolirte proximale Arın. 
Zunächst wird hier ersichtlich, dass die in Taf. 1, Fig. 4—6 abgebildeten 
Arme nicht ihre ganze Länge zeigen, also in Wahrheit über die Ecken 
des Täfelchens herausragen. Der proximale Arm ist vielfach so weit 
verlängert, dass seine Spitze das nächste ihm zugewandte Säulchen fast 
berührt (vergl. auch Taf. 2, Fig. 3); zuweilen bohrt er sich sogar tief 
in dies Säulchen ein (Taf. 3, Fig. 5). Der distale Arm — oft eben- 
falls weit gegen die Mittellinie des benachbarten Säulchens vordringend — 
ist in der beschriebenen Verdickung, die über dem proximalen Arme liegt 
(Nabel » Taf. 1, Fig. 5, 6), wie verzapft. Der distale Arm liegt ausnahms- 
los zu oberst (aussen), darunter folgt aber nicht sogleich der proximale 
Arm, sondern zwischen diesen und den distalen Arm schieben sich die 
Enden der lateralen Arme der seitlich anstossenden Täfelchen ein. Das 
sind in Fig. 4, Taf. 2 jedesmal die zwei hellen Flecke (2) zwischen den 
meridionalen Armen. So viele Stücke und Steinkerne ich untersucht habe, 
eine Ausnahme von dieser Regel habe ich in keinem Falle bisher beobachtet. 

Auf ein Uebereinandergreifen der meridionalen Arme hat besonders 
Schlüter!) bei einigen Exemplaren von Polygonosphaerites bereits 
aufmerksam gemacht. Aber seine Angaben darüber sind unsicher und 
schwankend, desgleichen seine Abbildungen ?), die die wahren Verhältnisse 


1) Zeitschr. Deut. Geol. Ges. Bd. 39, 1837. S. 5, 18. 
2)Fibıd. Nat], Ki. 6, Dat o,Rie.2, 


Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 87 


662 


noch an keinem einzigen Merom richtig und bestimmt zum Ausdrucke 
bringen. Dagegen giebt eine Figur bei Hinde!), die aber nicht er- 
läntert ist, die Lage der Arme so genau wieder, dass man das Gesetz 
fast daraus ablesen könnte. 

(Lagerung der Lateral-Arme.) Nicht minder gesetzmässig und con- 
stant als die gegenseitige Lage der meridionalen Arme ist die der beiden 
lateralen Arme. Es ergiebt sich aus Taf. 2, Fig. 2, 3, 5, 10, 11 und 
aus allen bisher untersuchten Stücken von Receptaculitiden, mit Aus- 
nahme von zweien, dass von den beiden neben einander liegenden Arm- 
enden /, ! das dem rechtslateralen Arme zugehörige stets höher als das 
andere (nach dem obern Rande der Zeichnung zu), dasjenige des links- 
lateralen Armes dagegen stets darunter liegt. Dabei ist es gleichgültig, 
ob man die Täfelchen in einer Richtung vom untern oder vom obern 
Pole aus betrachtet; man kann also die Zeichnungen, worin ich den 
distalen Arm stets nach unten gerichtet habe, auch auf den Kopf stellen, 
ohne die Regel zu ändern, weil sich die Benennungen der lateralen Arme 
dann vertauschen. Nur muss man die Täfelchen stets von aussen be- 
trachten; blickt man von innen darauf, so kehren sich die Verhältnisse 
natürlich um, und das rechte Laterale kommt über dem linken zu liegen. 
Tatıy ABB, 111% 

Durch diese Regel wird das oben (S. 656) ausgesprochene Winkel- 
gesetz bei Receptaculites selbst, so viel mir bis jetzt bekannt ist, stets 
erfüllt, wenigstens in jedwedem Falle nach seinem constructiven Zwecke. 

(Deztracclive und sinistracclive Lagerung.) Die erwähnten beiden 
Ausnahmen habe ich bei Ischadites gefunden. Die Lagerung der 
Lateralarme ist aber bei ihnen nicht etwa regellos geworden, sondern 
es ist eine vollständige Perversion eingetreten: die linkslateralen Arme 
liegen bei ihnen durchgängig über den rechtslateralen — immer die 
Köpfchen von aussen betrachtet. Es ist das eine Verschiedenheit, die 
man mit derjenigen der rechts- und linksgewundenen Schneckenschalen 
vergleichen könnte. Auch bei diesen bilden ja die dextrorsen Schalen die 
Regel, während die sinistrorsen nur vereinzelt vorkommen. Das Winkel- 
gesetz der Lateralarme kann also in zwei Ausbildungsformen erscheinen. 


1) Monogr. Brit. Foss. Spong. Part 1. 1887. Taf. 4, Fie. 2d. 


663 


Die allgemeine Form, wobei der rechte über dem linken Lateralarme 
liegt, und die Richtung dieser Arme von unten links nach oben rechts 
ansteigt (Taf. 2, Fig. 2, 3, 5, 10, 11), wollen wir die dextracclive 
Lagerung nennen, die andere, bei der das Gegentheil der Fall ist, die 
sinistracclive Lagerung (Taf. 7, Fig. 9; Textfiguren 8 und 9). 


(Länge der Lateral-Arme.) Die lateralen Arme scheinen bei den 
typischen Vertretern von Receptaculites immer kürzer zu sein, als 
die meridionalen, und unter dem distalen Arme ihr Ende zu erreichen; 
denn ich habe auch bei tiefgreifender Verwitterung (Taf. 2, Fig. 10, 11) 
ihre Spindeln nie über die distalen Spindeln hinausragen sehen. 

(Lage der Spindeln) Die Dünnschliffe (Taf. 2, Fig. 4, 5) geben 
auch über Lage und Form der eigenthümlichen Spindeln Aufschluss. 
Die distale Spindel zieht sich hart unter dem Täfelchen hin; die proxi- 
male Spindel beginnt ebenfalls dicht unter der Oberfläche und ist mit 
dem proximalen Arme gleich stark nach innen geneigt. Die kleinen 
hellen Kreise spl einerseits (Fig. 4), welche die Querschnitte der lateralen 
Spindeln nahe am Centrum des Täfelchens sind, und die Lage der Enden 
der lateralen Arme oder ihrer Spindeln !, zwischen den beiden meri- 
dionalen Armen andererseits, lehren, dass auch die lateralen Spindeln 
nach unten, d. h. nach innen gerichtet sind und ebenfalls hart unter 
dem Täfelchen spitz anfangen. Die distalen Ecken der Täfelchen schieben 
sich mit den darunter liegenden distalen Spindeln unter die proximalen 
Ecken der anstossenden Täfelchen (bei « Fig. 4). 


Der Tangentialschnitt Taf. 2, Fig. 5 lässt durch die Richtung der 
lateralen Spindein deutlich das Winkelgesetz erkennen. Dass man in diesem 
Schliff die Unterschiebung der lateralen unter die distalen Spindeln nicht 
beobachten kann, erklärt sich durch die Lage des Schnittes, durch seinen 
Abstand von der Oberfläche, weil die Spindeln ja schräg von aussen 
nach innen verlaufen. 


(Form der Spindeln.) Die Spindeln haben ihren grössten Durch- 
messer unter den Ecken der Täfelchen, oder selbst erst unter den an- 
stossenden Plättchen (Taf. 2, Fig. 1, 2, 4, 5, 10, 11). Ihr grösster 
Durchmesser fällt also nicht mit demjenigen der sie umschliessenden 
Arme zusammen (vergl. Taf. 1, Fig. 4, 5, 6; Taf. 2, Fig. 3, 4). 

87* 


664 


(Ansatz der Spindeln am Kanal des Säulchens.) Die Spindeln liegen 
mit ihren centralen Spitzen unter dem Mittelpunkte des Täfelchens; aber 
sie setzen hier nicht in gleicher Höhe an, sondern ihre Spitzen liegen 
etwas übereinander. Die Spitze der distalen Spindel scheint stets zu 
oberst, dicht darunter die der proximalen, dann erst die der lateralen 
Spindeln zu liegen, weil bei geätzten Köpfchen, wie in Taf. 2, Fig. 9 die 
meridionalen Spindeln ein zusammenhängendes Leistchen bildeten, das 
über die Spitzen der lateralen Spindeln vorstand. Doch sind die Beob- 
achtungen hierüber unzureichend. Aber das scheint sicher zu sein, dass 
die distale Spindel immer höher ansetzt als die andern. 

(Form der Säulchen.) Die Köpfchen werden von den Radialen, bei 
Receptaculites Säulchen genannt, getragen. „Die äussere Form der 

„Säulchen unsre einer merkwürdigen Mannigfaltigkeit.!) Sehen wir 
„vorerst von ihren (centralen) Enden ab, so 
„ist der Schaft der Säulchen im allgemeinen 
„von cylindrischer Form, jedoch nur in sel- 
„tenen Fällen einigermassen regelmässig, viel- 
„mehr in der Mitte oder näher an der inneren 
„Fläche etwas ausgebaucht und gegen die 
„Enden zulaufend. Auf diese Weise gewinnen 

Fig. 1. „die Säulchen oft eine mehr Spindel- als 

Säulchen von Receptaculites „Cylinder-ähnliche Form.“ (Siehe die neben- 

RDLEN ee Sarken in stehende Skizze). „Nicht selten ist die äussere 

schnürungen unter den Köpfchen und 

über den Füsschen. Eifel. „Wandung selbst etwas aus- und eingebogen, 

Skizze naclı einem Dünnschliff in R wellig.“ (Taf. 1, Fig. 7: Taf. 9% Fig. 4). R Die 
3/1. Original in meiner Sammlung. Steh B ö 2 

„Verjüngung nach aussen und innen ist meist 

„eine allmähliche, zuweilen aber auch eine rasche, und an den Enden 

„stellt sich regelmässig eine Einschnürung ein, die nach innen minder 
„stark zu sein scheint, jedoch auch hier häufig beobachtet wurde.“ 
(Vorstehende Figur; Taf. 1, Fig. 5, 6, 7; Taf. 2, Fig. 4). 

(Conzentrischer Aufbau der Säulchen) Länge und Dicke der Säul- 
chen sind am untern Pole der Wand am geringsten und nehmen nach 
dem Rande der schüsselförmigen Stücke immer mehr zu. Die Beziehungen 


1) Gümbel, a. a. ©. p. 193. 


665 


ihrer Dimensionen, die mannigfachen Schwankungen unterworfen sind, 
zur Entfernung vom Nucleus, würden bei Besprechung der Arten näher 
darzulegen sein, worauf ich jedoch in dieser Schrift nicht eingehen 
werde. Durchschnittlich beträgt die Länge das 3—5fache des Durch- 
messers, doch kommen Fälle vor, wo sie das 15 — 20fache, ja selbst 
bis zum 45fachen des Durchmessers beträgt. So sind also die Säulchen 
meist kurz und dick, zuweilen aber auch langgezogen schlank, „abge- 
„sehen !) von Deformationen, die sie durch Druck, Quetschungen und Ver- 
„schiebungen reichlich erlitten haben. Sie finden sich mitten entzwei ge- 
„brochen, seitlich schief gedrückt, gewaltsam gekrümmt und gebogen, 
„selbst zusammengequetscht. Sie?) lassen meist eine concentrische schalige 
„Absonderung erkennen, welche sich im Querschnitte durch concentrische 
„dunklere Kreise, im Längsschnitte (Taf. 2, Fig. 4) durch dunklere 
„Längsstreifchen bemerkbar macht. Die Linien deuten auf eine schichten- 
„weise Verdickung der Säulchen durch Anlage neuer krustenartiger Ver- 
„dickungsmassen und auf eine mit dem Alter zunehmende Verstärkung der 
„Säulchen. Gümbel konnte an einzelnen Exemplaren beobachten, dass 
„an zerbrochenen Säulchen dergleichen Verdickungslagen sich rindenartig 
„abblättern, und dass die dadurch blossgelegte Oberfläche einer tieferen 
„Schichtenlage ebenso vollständig glatt ist, wie die der Aussenfläche.“ 


(Dicke und dümne kadialarme in demselben Specimen.) Dass diese 
allmähliche Verdickung der Säulchen bei Lebzeiten des Organismus ge- 
schehen ist, wird durch ein interessantes Stück des Göttinger Museums 
(Taf. 3, Fig. 1) wohl zur Evidenz bewiesen. Darin sind neben den ge- 
wöhnlichen, dicken, unförmlichen Säulchen, wie sie Receptaculites im 
alloemeinen charakterisiren, ganz schlanke dünne Radialarme entwickelt, 
wie sie Ischadites auszeichnen. (Taf. 3, Fig. 2, 3, 4). Die Länge der 
schlanken Arme beträgt (und darauf bezieht sich die oben gemachte An- 
gabe) das 40—45fache ihres Durchmessers.. Wenn sie auch besonders 
dem obern Theile des Stückes angehören (oberhalb B C), so kommen 
sie doch auch zwischen den dieken Säulchen vor. Uebergänge zwischen 
beiden Arten von Radialen von dem untern zum obern (ältern zum 


1) Gümbel, a. a. ©. p. 194. 
2) Gümbel, a. a. O. p. 193. 


666 


jüngern) Theile hin konnte ich nicht bemerken; vielmehr schien mir 
der Gegensatz zwischen beiden überall ein ganz unvermittelter zu sein. 
Ebenso sieht man an den seitlichen Bruchflächen des Stückes, dass dünnen 
Armen auf der einen Seite (bei BD), auf seiner andern Seite (unterhalb ©‘) 
dicke Säulchen entsprechen, die zu demselben concentrischen Täfelchen- 
kreise wie jene gehören. Man kann also nicht annehmen, dass die 
schlanken Arme lediglich den jüngern, die andern den ältern Theilen 
des Receptaculiten angehören. 

Wegen dieser gesetzlos erscheinenden Vertheilung beider Arten von 
Radialarmen könnte sich die Frage aufdrängen, ob die dicken, plumpen 
Säulchen nicht sämmtlich erst nach der Versteinerung durch secundäre 
Kalkanlagerung entstanden sind, auf deren eigenthümliche Bedeutung für 
die jetzige Erscheinungsweise und Erhaltungsart mancher Receptaculiten 
ich noch näher eingehen werde. Eine solche secundäre Incrustation 
kommt ja mit einer räthselhaften Constanz bei den in Kalkspath umge- 
wandelten amerikanischen Astraeospongien vor, wovon noch nicht ein 
einziges Exemplar gefunden sein dürfte, das nicht die unregelmässigen 
klumpigen Verdickungen der ursprünglich zierlichen Sternchen in ge- 
ringerm oder stärkerm Grade bis zur vollständigen Unkenntlichkeit 
dieser zeigte. Aber diese Bildung erweist sich schon durch ihre Unregel- 
mässigkeiten und einige merkwürdige Umstände, wovon ich bei den 
Spongien sprechen werde, sogleich als eine secundäre. 

Bei unserm Receptaculiten jedoch sind bestimmte Beziehungen zwi- 
schen der Dicke der Säulchen oder Radiale und dem Durchmesser des 
axialen Theiles darin vorhanden, und das muss eine ursprüngliche Eigen- 
schaft sein. 

Es verhält sich nämlich: 

Axdchm.: Slchdchm. wie 5:30 (4:35, 4:33) bei den schlanken Radialen 
01:0: nl, heicken 2 
wie 10 bis 15:50 a las dielssten 2 
(Mikrometer-Zahlen). Die Axendurchmesser wachsen also mit den 
Säulchendicken. 

(Zunahme der Wandstärke) Yerner herrscht, wenn wir von den 
einzelnen schlanken Radialen absehen, hier, wie überhaupt bei sämmt- 
lichen untersuchten Receptaculiten mit dicken Säulchen das Gesetz, dass 


667 


der Durchmesser dieser, wie ihre Länge, vom Wachsthumsanfang an nach 
aussen oder oben gradatim zunimmt; eine solche Durchmesserzunahme 
als eine Function der Wandstärke und Entfernung vom Nucleus ist durch 
secundäre Anlagerung nicht zu erklären. Eine nachträgliche Verdickung 
müsste sich auch in den Tangentialarmen in ganz andrer Weise bemerk- 
lich machen, als es alle Präparate und besonders auch die zahlreichen 
untersuchten Steinkerne zeigen; trotz mancher Störungen und Entstellungen 
herrscht doch überall eine solche Regelmässigkeit, und namentlich bleiben 
auch die Tangentialarme stets so gesondert neben einander, dass an 
spätere Verdickung wie bei Astraeospongia nicht gedacht werden 
kann. Endlich zeigen die dicken Säulchen des Göttinger Stückes in aus- 
gezeichneter Weise die schon von Gümbel beschriebene fiederstreifige 
Zeichnung (Taf. 3, Fig. 2), die ich mit Gümbel für ursprünglich halte. 

Für eine allmähliche, wahrscheinlich in Absätzen erfolgende Ver- 
dickung der Säulchen bei Lebzeiten des Organismus sprechen dagegen 
Beobachtungen wie die in Taf. 3, Fig. 4 wiedergegebene Man sieht 
hier an der centralen Anschwellung des Säulchens einen innern (ältern) 
Theil scharf abgesetzt gegen eine äussere (jüngere) Zone, die aber durch 
ihre einsinnig fiederstrahlige Zeichnung!) sich gleichartig gebaut erweist, 
wie der innere Theil des Füsschens. Aehnliches, nur nicht so scharf, 
zeigen auch die übrigen centralen Enden der Radialarme, in demjenigen 
Dünnschliffe, nach dem die Zeichnung angefertigt ist, wie in einem andern. 
Für das eigenthümliche Zusammenvorkommen von dicken und dünnen 
Radialarmen an ein und demselben Stücke bleibt wohl nur die Annahme 
übrig, dass in dem Göttinger Exemplare ein irgendwie verursachter Aus- 
nahmefall vorliegt. Die Regel wird bei Receptaculites durch kurze, 
dicke Säulen vertreten. Aber dieser Fall scheint ein Fingerzeig für das 
Wachsthum der Säulchen zu sein, die, vielleicht anfangs dünn und schlank, 
sich erst in höherm Alter verdicken und die Wand mehr und mehr 
versteifen. Dann weist er auch auf die nahen Beziehungen, die zwischen 
Receptaculites und Ischadites bestehen und hilft einige Schwierig- 
keiten erklären, die sich mir öfter bei der Abgrenzung und Bestimmung 
der Gattungen entgegen gestellt haben. 


1) wenn auch nicht so deutlich wie im mittlern Theile. 


668 


Ueber die Textur des Kalkes ın den Säulchen hat Gümbel, der 
zuerst Dünnschliffe anfertigte, wichtige Beobachtungen gemacht: 

„Der Kalk“, sagt Gümbel’), „aus welchem die meist dicken 
„Wandungen der Säulchen bestehen, ist oft fein faserig krystallinisch und 
„könnte als Aragonit genommen werden. Ich halte die Structur jedoch 
„für eine uranfängliche organische, bedingt durch die ursprüngliche 
„Beschaffenheit der Kalksubstanz, welche die Säulchen bildete, einmal, 
„weil der Kalkspath eine eigenthümliche, federförmigstrahlige, bei reiner 
„krystallinischer Ausbildung nicht vorkommende Faserung zeigt, bei der 
„die feinen Fäserchen etwa so um das innere Kanälchen schief geneigt 
„stehen, wie die Fasern einer Feder zur Spuhle Dazu kommt sodann, 
„dass die Richtung dieser Neigung immer constant convergirend nach 
„aussen und divergirend nach innen ist. Darin sehe ich einen sehr ent- 
„schiedenen Beweis für die Richtigkeit der Annahme, dass dieser faserigen 
„Structur eine organische Bildung zu Grunde liegt, weil wohl sonst bei 
„bloss zufällig strahliger Ausbildung des Kalkspaths die Fasern ebenso 
„oft auswärts als einwärts geneigt vorkommen oder auch senkrecht ge- 
„stellt sich zeigen würden. Uebrigens bemerkt man zahlreiche parallele 
„und unter dem Spaltungswinkel des Kalkspaths sich durchkreuzende 
„Linien innerhalb der faserigstreifigen Ausfüllungsmasse, welche den fer- 
„neren Beweis liefern, dass wir es hier weder mit Aragonit, noch mit 
„fasrigem Kalkspath, sondern mit organischer Structur zu thun haben. 
„In Dünnschliffen gewinnt das Bild dieser Faserung eine grosse Aehnlich- 
„keit mit jenen der Kalkstäbchenschicht der Muschelschalen. Diese Faser- 
„structur ist von ganz besonders grosser Wichtigkeit für die Beurtheilung 
„der Natur der Säulchen.“ 

Hierzu ist zu bemerken, dass die Fiederung des Kalkes in den 


Säulchen doch nicht immer die angegebene Richtung, Convergenz nach 


aussen, Divergenz nach innen einhält. Ich habe sie wie Gümbel in den 
dicken Säulchen des erwähnten Oberkunzendorfer Stückes aus dem Göt- 
tinger Museum (Taf. 3, Fig. 2) in ausgezeichneter Deutlichkeit gefunden; 
dagegen ist sie in einem Eifler Stück (Taf. 2, Fig. 4) nicht einsinnig 
vorhanden; vielmehr strahlen hier die Faserchen von einzelnen meist an 


1) Gümbel a. a. O. p. 192. 


PR Ve u GE | 


669 


der Grenze gegen den Axentheil gelegenen Punkten, die wie Krystalli- 
sationscentra erscheinen, sowohl nach unten, als auch nach oben aus. 
Allerdings die von Gümbel angegebene Richtung ist auch hier die vor- 
herrschende. Ob diese Structur des Eifler Stückes noch die ganz ur- 
sprüngliche, oder schon eine später erworbene ist und etwa das erste 
Stadium der Umwandlung aus der fasrigen in eine körnig-krystallinische 
Textur darstellt, wagte ich bisher nicht zu entscheiden. Es hat mir für 
diese Frage an ausreichendem Materiale gefehlt, da die Stücke, in denen 
der Kalk nicht körnig-krystallinisch ist, nicht häufig sind. Jedenfalls 
halte ich mit Gümbel die fiedrige Streifung auch deshalb für ursprüng- 
lich, weil die Axentheile und besonders die Spindeln der Tangentialarme 
da am deutlichsten und besten erhalten sind, wo jene Streifung vor- 
handen ist, dagegen im allgemeinen um so mehr verschwinden, je mehr 
der Kalk in den Meromen eine körnig-krystallinische Beschaffenheit an- 
genommen hat. 

Die von Gümbel angeführten zahlreichen, parallelen und sich durch- 
kreuzenden Linien dagegen sehe ich nicht als ursprünglich an, sondern 
als secundär. Sie leiten die Umwandlung der fasrigen in die körnig- 
krystallinische Textur ein. Zahlreiche Zwillingslamellen entstehen, und 
der fasrige Kalk wird dadurch in mehr oder weniger zahlreiche körnige 
Kalkspathindividuen zertheilt, worin die fasrige Structur theils noch er- 
halten ist, theils nicht und um so mehr verschwindet, je mehr die Zahl 
der Körnchen und Zwillingslamellen wächst. In den dünnen Radialarmen 
(Taf. 3, Fig. 3, 4) besteht die Wand um den Axentheil herum aus 
dunkleren Kalkkörnchen mit meist scharfeckiger Umgrenzung, die je von 
einer wasserhellen Zone umrindet und dadurch mit einander verkittet 
werden. Der Axentheil der Säulchen in diesen Armen ist der Quere nach 
vielfach zerrissen, und die einzelnen Strecken sind um einen kleinen Betrag 
gegen einander verschoben, so dass neben der Einwirkung der Atmosphä- 
rilien, die das Gestein durchzogen und wohl in erster Linie die Umwandlung 
bewirkten, hier und in andern Fällen vielleicht auch Druck eine Rolle 
dabei gespielt hat. Das scheint auch daraus hervorzugehen, dass die 
Zwillingslamellen vielfach nicht geradlinig, sondern mehr oder weniger 
gebogen, selbst stark gekrümmt sind, auch den Umrissen der zusammen- 
gestauchten Säulchen folgen. Bei manchen der dickeren Säulchen des 

Abh. d. IT. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 88 


& 


670 


Stückes ist nur die äussere Zone körnig geworden, während der innere 


Kern noch fiederstreifig und zusammenhängend geblieben ist. 


erhält der Axentheil eine 


Fig. 2. 


Im Gestein durch Druck und 
Atmosphärilien stark entstelltes und 
angegriffenes Säulchen von Recep- 
taculites erassiparies Rauff. Die 
ursprüngliche fiedrige Structur ist 
in eine körnig-krystallinische umge- 
wandelt, auch die dunkle Erfüllung 
des Axenkanals ist in körnigen Kalk- 
spath verändert. 

Dünnschliff in stark 3/1. Ober- 
kunzendorf bei Freiburg i. Schl. 

Das Original im Berliner Museum 
zeigt noch Reste der Fiederstreifung 
und der Zuwachs-Linien, die den 
concentrischen Bau bezeiebnen; diese 
Einzelheiten sind in der Skizze hier 
fortgelassen. 


(Sind die Spindeln Kanäle gewesen?) 


Oefter 
zackig-unregelmässige Begrenzung, gemäss 
grösseren eckigen Kalkspathkrystallen, die 
ihn umsäumen (siehe nebenstehende Skizze). 
In manchen Fällen gehört die körnig- 
krystallinische Structur nicht mehr dem ur- 
sprünglichen Materiale der Receptaculiten an. 
Dies ist vielmehr nach der Einbettung der 
Körper im Gestein und seiner Verhärtung 
vollständig ausgelaugt, und die Hohlräume 
sind nachträglich wieder mit Kalkspath er- 
füllt worden. Dann sind die Axentheile und 
Spindeln nie mehr vorhanden und können 
nicht mehr vorhanden sein. Jedoch ver- 
schwinden sie ebenso vollständig im ersten 
Falle bei genügend weitgehender Umlagerung. 
(Structur des Kalkes in den Köpfchen.) 
Die Structur des Kalkes in den Tangential- 
armen ist ganz gleichartig derjenigen in den 
Säulchen, fiedrig-streifig, schräg geneigt 
gegen die Axen der Spindeln und conver- 
girend gegen das Centrum des Täfelchens. 
(In Taf. 2, Fig. 4 ziemlich rein erhalten 
und durch anders gerichtete Fiedern nur 
wenig gestört.) 
Die Axentheile in den Radial- 


und Tangentialarmen sind bisher stets als Kanäle, oder wenigstens als 


ursprüngliche Hohlräume angesehen worden. 


Für die Axe des Säulchens 


dürfte diese Auffassung zutreffen, nicht so für die Spindeln. 
Der Axentheil der Säulchen ist im allgemeinen cylindrisch oder 
leicht spindelförmig und an seinen Enden fast plötzlich zusammengezogen 


(Taf;n2,” Fig). 


bei den schlanken Radialen. 
sich bei diesen wie 1:6 bis 9, bei jenen wie 1:3 bis 5. 


Er ist weiter bei den kurzen plumpen Säulchen, enger 


Die entsprechenden Durchmesser verhalten 
Er besteht 


671 


manchmal, nicht eben häufig, besonders in seinem innern der Körper- 
höhle zugewandten Abschnitte aus dem unveränderten klastischen Materiale 
des einschliessenden Gesteins (Taf. 3, Fig. 8). Man darf (daraus schliessen, 
dass er in der That ein Kanal gewesen ist. Das äussere Täfelchen scheint 
er nicht durchbohrt zu haben, die centrale Pore darin, die man zuweilen 
findet, scheint späterer Entstehung zu sein (S. 657), dagegen stand er 
durch eine ziemlich weite Oeffnung mit dem grossen innern Hohlraume 
des Receptaculiten in Verbindung (Taf. 1, Fig. 3, 9; Taf. 2, Fig. 4, 7; 
Taf. 3, Fig. 10 etc... Gewöhnlich allerdings ist im Kanal klastisches 
Material nicht vorhanden, sondern durch einen körnig-krystallinischen 
(Fig. 2 auf vorig. Seite) oder auch längsstreifig-späthigen Kalk ersetzt 
(Taf. 2, Fig. 4; Taf. 3, Fig. 2). Aber ich nehme an, auch im letzten 
Falie. dass die ursprüngliche, klastische Erfüllung eine secundäre Um- 
wandlung erfahren hat, weil die Farbe dieser Axentheile von der Be- 
schaffenheit und Farbe des einbettenden Gesteins abhängt. Sie ist im 
allgemeinen um so dunkler, je dunkler das Gestein ist; heller bei den 
in lichteren Mergel eingebetteten Eifler Stücken (Taf. 2, Fig. 4), fast 
schwarz und undurchsichtig- bei den dunkeln und kohligen Kalken von 
Oberkunzendorf (Taf. 3, Fig. 2).') 

Die Spindeln dagegen zeigten nie etwas ähnliches, immer bestanden sie, 
gleichgültig ob die Stücke aus hellem oder dunkelm Gesteine herrührten, 
aus dem relativ reinsten Materiale, farblosem oder von allen Theilen der 
Merome doch am wenigsten gefärbten Kalkspath. Sie zeigen in Dünn- 
schliffen öfter, besonders in ihrer Aussenzone einen streifigen (vielleicht 
schaligen) Aufbau, dessen feine Linien in den centralen Spitzen conver- 
giren (Taf. 2, Fig. 4). Ungestört zwar und die Textur einer Spindel 
ganz beherrschend waren diese Linien nicht entwickelt oder nicht er- 
halten, immer waren sie in Folge der Späthigkeit des Materiales unter- 
brochen oder abgeschnitten, auch verschoben oder ganz unterdrückt. 

Wären die Spindeln ursprünglich Kanäle gewesen, so dürfte man 
erwarten, sie öfter ebenfalls mit klastischem Gesteine oder wenigstens mit 
demselben gefärbten Kalke erfüllt zu finden, wie den Axenkanal des 


1) Dieser Umwandlung klastischen Materiales in Kalkspath wird in meiner Monographie 
der fossilen Spongien eine eingehendere Betrachtung gewidmet sein. Sie spielt bei den ver- 
steinerten Spongien eine grosse Rolle und erklärt viele merkwürdige Einzelheiten. 

g8* 


672 


Säulchens. Das dürfte man auch dann erwarten, wenn sie vollständig 
abgeschlossene Hohlräume waren, also weder mit dem Kanale des Säulchens 
in Verbindung standen, noch an den Armenden sich nach aussen öffneten. 
Denn es wäre sehr unwahrscheinlich, dass nach dem Absterben des 
Organismus die zarte und an den Spitzen der Tangentiale sehr dünne 
Armwand nicht öfter sollte verletzt und durchgebrochen sein, so dass 
das Sediment in den Hohlraum einfliessen konnte. Mehrfach sind an den 
Armenden die Armwände weggelöst, nur die hellen Spindeln sind vor- 
handen und werden direct vom Gesteine umhüllt (Taf. 3, Fig. 3; auch in 
Taf. 2, Fig. 4); aber nie, wie gesagt, waren in unsern Präparaten diese 
durch Sediment ersetzt. Jedenfalls standen sie mit dem Centralkanal des 
Säulchens nach Ausweis aller meiner Präparate nicht in Verbindung, ihre 
feinen, scharf getrennten Spitzen wie in Taf. 2, Fig. 1, 4, 5, 10, 11 u.a. 
machen nie den Eindruck, als ob sie die Ausmündungen von Kanälen in 
einen andern Kanal wären. Alle diese Umstände machen es wahrschein- 
lich, dass die Spindeln schon ursprünglich solide Axen der Tangential- 
arme von etwas anderm Bau, als die Armhüllen, aber keine Kanäle waren. 

(Füsschen) Hinsichtlich der centralen Enden der Säulchen weichen 
die Resultate meiner Untersuchungen wesentlich von denen ab, die 
Billings, Gümbel und Hinde gefunden haben. 

Der centrale Endtheil der Säulchen ist nichts weiter als eine conische 
Anschwellung dieser (Taf. 1, Fig. 7) bis zur gegenseitigen Berührung 
ihrer Ränder. Er ist an der Innenfläche weder mit einem besondern 
Täfelchen bekleidet, wie das Köpfchen an der Aussenfläche, noch von 
irgendwelchen Kanälen durchzogen. Taf. 1, Fig. 3, 7, 9, Taf. 2, Fig. 4 
zeigen die Form dieser centralen Anschwellung. Sie entsteht offenbar 
dadurch, dass sich die Querschnitte der cylindrischen Säulchen durch gegen- 
seitigen Druck zuerst zu regelmässigen Secksecken umformen. Weiter 
nach innen zu (unten zu, Taf. 1, Fig. 7) wird der Querschnitt unregel- 
mässiger durch radial laufende Falten und Wülste auf den Kegeln, gleich 
als wenn deren Seitenflächen durch ungleiche Pressungen gegen einander 
aus- und eingestaucht wären. Dass in der That der Querschnitt der Ver- 
dickung anfangs, d. h. da, wo die Säulchen eben zur Berührung kommen, 
regelmässig-sechseckig ist, ergiebt sich aus der geätzten Stelle (Taf. 1, 
Fig. 3 rechts); vergrössert 2, Fig. 8); die stehen gebliebene Mergelmasse 


673 


zeigt hier solche Umrisse. Es ergiebt sich ferner aus vielen Steinkernen, 
namentlich solchen, bei denen die innere Fläche der Wand abgerieben ist. 
(Gleichwerthig damit ist Taf. 4, Fig. 1.) 

Die centrale Endfläche des Füsschens ist von unregelmässig rhom- 
bischem, von fünf- oder von sechsseitigem Umrisse. Die rhombische Form 
ist die vorherrschende, sie ist überall gewissermassen als die angestrebte 
zu erkennen (Taf. 1, Fig. 3, 9). Die Ecken sind öfter zu Nasen ausge- 
zogen, die den Nasen etwas ähnlich sehen, die auf der Aussenfläche durch 
die distalen Spindeln hervorgebracht werden (Taf. 1, Fig. 3), aber durchaus 
nicht dieselbe Bedeutung haben. Die Endfläche (Taf. 1, Fig. 9) zeigt 
ebenso wie der seitliche Theil der Verdickung (Fig. 7) meist, aber nicht 
ausschliesslich, radial verlaufende breite Falten und Wülste und dazwischen 
liegende, breitere Rinnen, die sich häufig angenähert rechtwinklig durch- 
kreuzen und dabei oft eben so orientirt sind, wie die Arme der zuge- 
hörigen Köpfchen. Ueberhaupt sind die rhombischen Linien der cen- 
tralen Endflächen angenähert ebenso orientirt wie die Tafelumrisse der 
Aussenseite..e. Dennoch kann kein Zweifel darüber bestehen, dass die 
Wülste und Nasen an den Füsschen mit besondern Armen oder Kanälen 
darin, wie man sie, analog den Armen und Spindeln in den Köpfchen 
angenommen hat, nichts zu thun haben. Alle Wege, die zur Auffindung 
solcher Arme und (hohlen) Axen führen konnten, die genaue Beobachtung 
der unverwitterten und der in den verschiedensten Verwitterungsstadien 
befindlichen Verdickungen, das Studium von Steinkernen, namentlich aber 
von Aetzungen und Dünnschliffen (Taf. 1, Fig. 3, vergrössert 2, Fig. 7, 8; 
Taf. 2, Fig. 4, 6) haben stets nur ein negatives Resultat und niemals 
das geringste Anzeichen für das Vorhandensein solcher Analogien gegeben. 
Die von Billings und Hinde beobachteten sich rechtwinklig kreuzen- 
den Kanäle in den Füsschen verkieselter Merome!) dürften sich so er- 
klären, dass nach der Auflösung des ursprünglichen Kalkes im verhärteten 
Gesteine der secundär abgesetzte Kiesel nicht zur vollständigen Wieder- 
erfüllung ausgereicht hat, so dass die so benannten Nasen im Füsschen 
hohl geblieben sind und nun wie von Kanälen durchzogen erscheinen. 


1) Hinde, Geol. Soc. 1884. Taf. 37, Fig. 3i, 3j. Die andern von Hinde abgebildeten 
Merome 3h, 3k, 31, 3m zeigen keine Kanäle in den Füsschen, nur die Falten darauf. 


674 


Mir liegen isolirte, verkieselte Merome aus Canada vor, welche die Nasen 
zwar nicht zeigen, bei denen aber alle andern Theile, Säulchen und 
Tangentialarme einen weiten, nur von einer dünnen Kieselwand um- 
schlossenen Kanal enthalten. Der Kiesel hat sich von den Wänden der 
Hohlräume aus schichtweise abgesetzt. Wären Nasen vorhanden (vergl. 
dazu die deutlichen Nasen in den beiden links liegenden Durchschnitten 
von Füsschen Taf. 2, Fig. 6), so müssten auch sie unter solchen Um- 
ständen hohl sein und zugleich nach aussen offen, weil die Verdickungen 
der Füsschen so dicht an einander stossen, dass ihr Kalk öfter mit ein- 
ander verwachsen erscheint, oder weil doch die trennende Gesteinschicht 
so dünn ist (Taf. 2, Fig. 4), dass sie bei der Auslaugung der Merome 
sehr leicht durchbrochen und entfernt sein wird. 

Die Art aber, wie die centrale Endfläche des Säulchens die Verhält- 
nisse des Köpfchens gewissermassen nachahmt, dürfte eine Erklärung in 
den Druckverhältnissen finden, denen die sich verdickenden centralen 
Enden der Säulchen bei ihrer gegenseitigen Berührung unterworfen waren. 
Diese Druckverhältnisse werden durch die verschiedene Entfernung der 
Säulchen in radialer und concentrischer Richtung oder, was dasselbe 
ist, durch die Relation der Längen der beiden Diagonalen in den rhom- 
bischen Täfelchen der Aussenfläche bestimmt. Dadurch müssen die ur- 
sprünglich runden, dann regelmässig sechsseitig gedrückten Enden der 
Säulchen einen angenähert rhombischen Umriss erhalten, der ebenso 
orientirt ist, wie die Täfelchen des Köpfchens, und dadurch werden häufig 
rechtwinklig sich kreuzende Falten und Wülste auf der zusammen- 
gedrückten Endfläche entstehen. Auch die an dieser Endfläche auf- 
tretenden concentrischen Linien und Runzeln (Taf. 1, Fig. 9) zeigen nicht 
etwa ein besonderes Glied des Füsschens an, das dem concentrisch ge- 
streiften Täfelchen der Aussenfläche entspricht, sondern sind nur der 
Ausdruck des schaligen Aufbaus der Säulchen. 

(Besondere Form der Füsschen bei Receptaculites orbis) Bei Recep- 
taculites orbis Bichw. konnte eine neue Eigenschaft der Füsschen fest- 
gestellt werden. Ihr Profil im Radialschnitt (Taf. 3, Fig. 8) ist nämlich 
nicht gleichseitig, sondern unsymmetrisch und lässt sich am besten mit 
der Form eines Stiefelchens vergleichen, mit einer längern, flachern 
Spitze und einem kürzern, stumpfern, steilern Hackentheile, (= Ab. in 


675 


nachstehenden Skizzen.) Dass die Form gesetzmässig ist, geht daraus 
hervor, dass die Stiefelchen in den beiden Seiten des Schliffes rechts und 
links vom Mittelpunkte symmetrische Lage haben, so dass ihre Spitzen 
alle nach aussen gerichtet sind, also unter dem proximalen Arme liegen, 
(der gewöhnlich auch das längste Glied des Köpfchens ist). Wir erkennen 
die Form ebenso in dem Dünnschliffe eines andern Stückes wieder 
(Taf. 3, Fig. 9). 


Fig.3 und 4. Füsschen von Receptaculites orbis Kichw. in 4/1. Ab= Hackentheil des 
Füsschens. Symmetrische Lage von Ab in Fig. 3 und 4 zu beiden Seiten des Nucleus. Unter- 
Silur von Oeland. Original im Stockholmer Museum. 


(Aeussere Formen von Receptaculite.) Die erhaltenen Stücke von 
Receptaculites zeigen meist eine schüsselförmige (Taf. 1, Fig. 1), oder 
selbst flachtellerförmige Gestalt (Taf. 4, Fig. 1); seltener sind kegel- und 
becherförmige Körper (Taf. 3, Fig. 1, 6; Taf. 4, Fig. 7), die aber alle 
„den mannigfaltigsten Modificationen und Verzerrungen theils in Folge 
„besonderer Wachsthumsverhältnisse, theils durch nachträgliche Pressung, 
„Belastung oder durch Druck“ unterliegen. (Gümbel, 8. 181). 

(Unterer Pol) Der untere Pol ist in der Regel stumpf gerundet 
und häufig leicht eingesenkt (Taf. 1, Fig. 2; Taf. 6, Fig. 7), seltener 
zitzenförmig (Taf. 3, Fig. 7), zuweilen fast kurz stielförmig. (Gümbel, 
Taf. A, Fig. 1, 2.) Die Anordnung der Täfelchen und ihre Form am 
untern Pole, ebenso die Art, wie neue Täfelchenreihen eingeschoben 
werden, hat bereits Hinde!) für Ischadites beschrieben und abgebildet. 
Wir bringen hier noch einige Ergänzungen. Bei Receptaculites ist 
dieser Pol in gleicher Weise wie bei Ischadites gefügt; doch wurde 
eine Ausnahme beobachtet, die S. 676 gekennzeichnet ist. Sonst bildeten 


1) Hinde, Geol. Soc. 1884. p. 812, 819; Taf. 36, Fig. 1f; Taf. 37, Fig. 2a. 


676 


stets 8 gestreckte Täfelchen den Wachsthumsanfang. Sie sind distalseitig 
verlängert und stossen mit schmalen Spitzen im Centrum zusammen. 
(Taf. 1, Fig. 12, abgewittert, so dass die Täfelchen fehlen. Taf. 6, 
Fig. 1, 7.) Die Säulchen unter den 8 innersten, lanzettförmigen Täfelchen 
liegen nicht unter deren Mitte, sondern nahe deren proximalen Enden 
(Taf. 1, Fig. 12), so dass man diese centralen Plättchen als solche be- 
trachten kann, die aus normal gebildeten rhombischen Täfelchen durch 
Verlängerung ihrer distalen Ecken bis zur vollständigen Erfüllung einer 
mittleren Lücke entstanden sind. Nur bei einer Art, Receptaculites 
crassiparies.n. sp., und in einem einzelnen Falle (weiteres Beobachtungs- 
material dazu fehlte) wurde der Nucleus nicht aus 8, sondern nur aus 
4 kürzeren, rhomboidischen Täfelchen gebildet (Taf. 3, Fig. 5). 

(Vermehrung der Spiralreihen) Auf den Nucleus folgen ein oder 
zwei Kreise von je 8 zu einander und zu den 8 mittleren Täfelchen alter- 
nirend gestellten Plättchen, und erst im dritten oder vierten Kreise beginnt 
die Einschiebung neuer Spiralreihen, durch die die Vergrösserung der 
Körper bewirkt wird. (Taf. 4, Fig. 1.) Diese Einschiebung wird durch 
ein besonders gestaltetes Täfelchen (Interpositum) bewirkt, bei dem die 
proximale Ecke zu einer breiten, oftmals distalwärts eingebuchteten Kante 
abgestumpft ist. Das erste Täfelchen der neuen Reihe hat im allge- 
meinen die Form eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen breitere Basis 
an das Interpositum grenzt. Ein bestimmtes Gesetz für die Anordnung 
dieser Interposita und somit für die Einschiebung der Spiralreihen habe 
ich nicht auffinden können. 

Die Einschiebung neuer Reihen scheint von einer gewissen Maximal- 
grösse der Täfelchen, die nicht überschritten wird, abzuhängen; jedoch 
wächst diese Grösse mit der zunehmenden Vergrösserung der Körper, so 
dass also jeder höheren Altersstufe eine höhere Maximalgrösse der Täfelchen 
entspricht. Ist diese erreicht, so erfolgt jene Einschiebung. 

Billings hat in treffender Weise die spiralen Curven, in denen die 
Täfelchen angeordnet sind, mit den bekannten Figuren auf den Kapseln 
der Taschenuhren verglichen. Diese Aehnlichkeit tritt aus noch darzu- 
legenden Gründen auf den obern Hälften von Ischaditen (Taf. 6, Fig. 2) 
noch mehr hervor, als bei den bisher bekannten Receptaculites- 
Stücken, die sämmtlich Untertheile sind. 


677 


(Ursprünglich geschlossene Form von Receptaculites.) Bis jetzt scheint 
noch niemals ein vollständig geschlossener Receptaculit, wie ihn Billings’!) 
bekanntes Diagramm darstellt, gefunden worden zu sein. Dennoch glaube 
ich annehmen zu müssen, dass alle teller-, schüssel- und becherförmigen 
offenen Stücke nur unvollständig erhaltene Exemplare sind, bei denen 
die eine Hälfte des Körpers abgebrochen oder sonst wie zerstört worden 
ist, und dass die vollständig geschlossene Wand um einen innern Hohl- 
raum herum, wie sie Billings’ Reconstruction zeigt, der Wahrheit am 
meisten entspricht. 

Gümbel vermeinte vollständige Exemplare in seiner Abhandlung 
Taf. A, Fig. 1 und 2 abgebildet zu haben. Wie war in diesen Stücken 
die Randfläche, die die Wand oben abschliesst, beschaffen? Nach der 
Anordnung der randlichen Täfelchen auf der Aussenfläche offenbar nicht 
anders, als in seiner Fig. 5, also nicht anders, als in jedwedem Quer- 
schnitte der Wand. Gümbel führte an, dass an einem Exemplare von 
Oberkunzendorf die Täfelchen über den Rand fortsetzen (S. 182). Ich 
kann das nur für eine Folge von Verdrückung halten, so lange nicht klar 
gestellt worden ist, wie die Säulchen, die zu diesen Täfelchen gehören, mit 
ihren centralen Enden sich zu einander und zu denjenigen Säulen ver- 
halten, die die Wand normal durchsetzen. Man kann sich hier gar keine 
gesetzmässigen Beziehungen vorstellen; aber man kann doch auch nicht 
annehmen, dass der sonst durchaus regelmässige Bau, der die Körper 
beherrscht, hier auf einmal aufgegeben worden wäre. Es scheint mir 
deshalb, dass die Täfelchen nicht schon ursprünglich auf jener Rand- 
fläche sassen, sondern zufällig darauf geschoben worden sind. Ungedeckt 
aber und offen, wie inGümbel’s Fig. 5 kann die Randfläche wohl auch 
nicht gewesen sein. Lagen Weichtheile zwischen den Säulchen, wie wir 
vermuthen, so wären sie dann oben vollständig entblösst gewesen, während 
sie doch seitlich, nach aussen und innen wie durch kräftige Panzer ge- 
schützt waren. Ich möchte desshalb vorläufig annehmen, dass die Wand 
von Receptaculites in gleicher Weise wie die von Ischadites oben 
zusammengewölbt war, dass aber die obere Hälfte in Folge ihrer Einrich- 
tung leicht zerstört wurde. Auch unter den silurischen Ischaditen Böhmens 


1) Billings. Palaeoz. Foss. Canada. p. 378. 
Abh. d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 89 


678 


(Acanthochonia Barrandei Hinde), die in der Etage E ziemlich häufig 
gefunden werden, hat man mit Ausnahme eines von Schlüter!) beschrie- 
benen krugförmigen Exemplares stets nur napfförmige Stücke und zwar 
nur Untertheile gefunden, und auch bei den andern Ischaditen sind Unter- 
theile viel häufiger, als vollständige, geschlossene Exemplare. 

Wenn es gelänge ein Polstück von Receptaculites zu finden, bei 
dem der nach innen weisende, also der proximale Arm nach dem vor- 
handenen Pole hin gerichtet wäre, so würde damit der Beweis erbracht 
worden sein, dass auch Receptaculites einen obern Pol besitzt; denn der 
vorhandene Pol würde der obere sein. Die Richtigkeit dieses Satzes wird 
sich noch bei Ischadites ergeben. Ein solches Polstück habe ich aller- 
dings bis jetzt vergeblich gesucht; das kann aber gegen seine ursprüng- 
liche Existenz nicht angeführt werden. Wie gesagt, sind auch bei 
Ischadites die Obertheile viel häufiger zerstört als die Untertheile. 
Die Merome und Plättchen in der obern Hälfte sind nämlich viel kleiner 
und zarter als die der andern, und scheinen ausserdem eine gewisse 
Verschiebbarkeit gegen einander besessen zu haben, während die untern 
Merome starr und unbeweglich mit einander verwachsen waren. 


Diese Betrachtungen über die ursprüngliche Gestalt der Receptacu- 
liten veranlassten mich, in der Terminologie die Bezeichnung Hinde’s 
„Inner or upper layer“ ?) einzuschränken auf Innenfläche, die nicht zugleich 
„Oberseite“ ist; ebenso halte ich es für präciser, auch bei Receptaculites 
die „Aussenfläche“ nicht zugleich als „Unterseite“ zu bezeichnen. 


Mit der gewonnenen Kenntniss des interessanten, gesetzmässigen 
Baues der Receptaculitenwand und der innern Beschaffenheit ihrer ein- 
zelnen Glieder lassen sich nun alle die so überaus mannigfaltigen Er- 
scheinungen, die durch Verwitterung an der Aussenfläche der Körper 
erzeugt werden und auf Steinkernen und Abdrücken auftreten, auf die- 
selben Grundlagen zurückführen, die sich immer gleich bleiben. Wir 
können also Gümbel nicht darin beipflichten, dass „die sehr wechselnde 


1) Sitzber. Niederrh. Ges. Bonn. 1887. p. 128. 
2) Geol. Soc. 1884 p. 804 wird zwar nur „inner layer“ vorgeschlagen, p. 824, 3. und 4. Ab- 
satz dagegen jene doppelte Bezeichnung wiederholt gebraucht. 


679 


Ausbildung der Tangentialarıne“ das sehr verschiedenartige Aussehen der 
entkalkten Steinkerne zur Folge hätte (a. a. OÖ. p. 189). 

(Sculptur der angewitterten Täfelchen.) Jetzt wird sogleich die Be- 
deutung und gegenseitige Lage der spindelförmigen Körperchen verständ- 
lich (Taf. 1, Fig. 8), die meist erhaben aus den angewitterten Täfelchen 
heraustreten, selten leicht vertieft in den Plättchen liegen oder nur mit 
ihren Rändern ein wenig darüber hervorstehen (Taf. 1, Fig. 8, auf den 
unteren Täfelchen). 

Die Structur des Kalkes im Köpfchen ist eine strahlig-krystallinische 
um den Mittelpunkt herum (vergl. S. 670). Zugleich ist aber eine meist 
reichliche Zerspaltung des Kalkes, auch Zwillingsbildung vorhanden, die 
entweder nur eine Richtung paralleler Lamellen, oder — und das ist das 
gewöhnliche — zwei sich durchkreuzende Liniensysteme besonders hervor- 
treten lässt (Taf. 2, Fig. 5). Aus diesen beiden Factoren nun, central- 
strahligem Gefüge und durch spätere Umlagerung entstandenen Spaltungs- 
körpern resultirt die Anordnung der Leistchen und Lamellen, worin die 
Täfelchen bei der Verwitterung aufgelöst werden. Die Lamellen sind zwar 
alle nach innen, aber doch nicht alle central gerichtet, sondern liegen 
zugleich mehr unter sich parallel und meist angenähert parallel den beiden 
Richtungen des rhombischen Umrisses. Manchmal tritt dafür eine körnige 
Beschaffenheit der verwitterten Täfelchen auf (Taf. 1, Fig. 8, obere und 
untere linke Täfelchen), die, wie man das verfolgen kann, mit einer 
parallelen Quertheilung der radialen Lamellen beginnt und eben der Durch- 
kreuzung zweier Liniensysteme ihre Entstehung verdankt. Eine solche 
Körnelung kommt aus gleichen Ursachen auch an den Füsschen vor (Taf. 1, 
Fig. 9 oben rechts). Bei manchen Täfelchen treten durch die Verwitterung 
auch leicht gebogene und geschlängelte Leistchen hervor. (Taf. 1, Fig. 8. 
die beiden oberen Täfelchen der rechts liegenden Reihe). 

Die zackig gekräuselten Ränder der Köpfchen in Taf. 1, Fig. 8 sind 
erst bei der Verwitterung in Folge des strahligen Baues der Träger ent- 
standen, oder wenigstens so stark zerschlitzt worden, wie es nun der 
Fall ist; denn ganzrandig waren sie ja auch ursprünglich nicht wegen der 
radialen Falten auf der Unterseite der Köpfchen (vergl. Taf. 1, Fig. 4). 

(Dreieckige und herzförmige Verwitterungsfiguren.) Nicht selten sieht 


man auf der Aussenfläche eigenthümliche dreieckige bis herzförmige 
89* 


680 


Figuren (Taf. 1, Fig. 2 rechts), die dadurch entstehen, dass die Ver- 
witterung auf den proximalen (hellern) Theil der Täfelchen etwas ener- 
gischer und schneller wirkt, als auf den distalen (dunklern) Theil, gleich 
als ob jener weniger widerstandsfähig wäre. Diese Erscheinung ist nicht 
zu verwechseln mit ähnlichen herzförmigen oder dreistrahligen Figuren, 
die bei tieferer Auslaugung der Köpfchen, jedoch in ihrem proximalen 
Theile auftreten (Gümbel, Taf. A, Fig. 32; Hinde, Geol. Soc. 1884, 
Taf. 36, Fig. 1i, 1j). Bei Besprechung der Steinkerne werden wir dar- 
auf zurückkommen. 

(Erhaltung der Spindeln) Unter allen Theilen des Meroms leisten 
die Spindeln bei der Verwitterung den meisten Widerstand. Diese eigen- 
thümliche Thatsache wiederholt sich gleichmässig bei allen Vorkomm- 
nissen und bei allen Gattungen der Receptaculitiden. Sie spielt bei Er- 
zeugung der mannigfaltigen Verwitterungsgebilde eine wichtige Rolle und 
hat frühere Forscher verschiedentlich zu Missdeutungen geführt. Die 
Spindeln bleiben oft, von ihrer umhüllenden Armwand befreit, ganz allein 
unverwittert zurück, und dann erhält die Aussenfläche eine Beschaffenheit, 
wie sie in Taf. 2, Fig. 10 und 11 dargestellt worden ist. Schlüter’) 
hat solche isolirten Spindeln als „Nadeln“ einer besondern Art, Recep- 
taculites eifeliensis, gedeutet und abgebildet. 

Die Erklärung des wahren Sachverhaltes geben unsre Abbildungen. 
Fig. 10 nach einer Stelle, die etwa in demselben Stadium ist, wie das von 
Schlüter benutzte Fragment es war, Fig. 11 noch stärker verwittert. 
Dass die im Centrum der Rhomben (Fig. 10) zusammenlaufenden „Nadeln“ 
in der That nichts andres als die Spindeln sind, wird durch Fig. 11 er- 
wiesen, da man hier deutlich um die „Nadeln“ herum auch die rinnen- 
förmigen Abdrücke der Arme wahrnimmt, in denen sie eingeschlossen waren. 

Theilweise haften an den Spindeln noch fetzige Reste der umhüllen- 
den Arınwand (Fig. 11). Die Trennung der distalen von der proximalen 
Spindel, die Ueberlagerung jener über und das Untertauchen dieser unter 
die andern Spindeln sind deutlich zu erkennen. Die von Schlüter ge- 
zeichnete Querlinie aber. auf den 'meridionalen Ecken (der einst vor- 
handenen Täfelchen), die er als die Grenze von proximalem und distalem 


1) Zeitschr. Deutsch. Geol. Ges. Bd. 39. 1887. Taf. 2, Fig. 5, 6. 


681 


Arme angesehen hat, ist nur ein anfangs schwacher Eindruck auf der 
distalen Spindel (vergl. Taf. 1, Fig. 8 auf den distalen Spindeln einiger 
der untern Täfelchen). Er rührt von dem Täfelchenrande her, der über 
die Spindel läuft und wird bei stärkerer Verwitterung zu einer Art 
Abschnürung (Taf. 2, Fig. 10 und noch mehr in Fig. 11), wodurch man 
versucht sein könnte, das Ende der distalen Spindel zur proximalen Spindel 
zugehörig zu rechnen. Die abgebildeten Stellen zeigen ferner die gesetz- 
mässige Lagerung der beiden lateralen Spindeln, die rechte in der Zeich- 
nung stets oben, die linke überall unten, also die normale dextracclive 
Ausbildungsform des Winkelgesetzes. 

(Weitere Verwitterungserscheinungen und Steinkerne) Zuweilen sind 
bei vollständig erhaltenen Spindeln die Täfelchen in der Weise abge- 
wittert, dass ihre Ränder und rhombischen Umrisse nicht mehr aufzu- 
finden, oder nur stellenweise noch ganz schwach angedeutet sind. Dann 
erscheint die Oberfläche der Körper rectangulär gegittert, wie bei Ischa- 
dites in Hinde, Monogr. Brit. foss. Spong. Taf. 2, Fig. la, wo die 
stehengebliebenen Leistehen unzweifelhaft die Spindeln, nicht die Arme 
selbst sind. In solchen Ischaditen aus Gotland bestanden manchmal die 
Spindeln aus Brauneisen oder einem Gemisch von Eisenkies und Braun- 
eisen, waren aber zugleich von einer dünnen Kalkspathhaut noch umhüllt. 

Bei der allmählichen Verwitterung der Köpfchen von aussen müssen 
zuerst die distalen Arme, weil sie am höchsten liegen, gänzlich ver- 
schwinden. Dadurch werden jene Dreiecke und Dreistrahler auftreten, 
die auf der vorigen Seite erwähnt wurden (vergl. Gümbel, Taf. A, Fig. 32; 
Hinde, Geol. Soc. 1884. Taf. 36, Fig. 1i, 1j). 

Alsdann werden die lateralen Arme herausgelöst und es wird ein 
Aussehen erzeugt, genau wie in der geätzten Stelle Taf. 2, Fig. 3. 

Ist der Kalk der Köpfchen ganz weggeführt, aber die umgebende 
Gesteinsmasse nicht gleichzeitig durch Verwitterung oder Abrollung abge- 
schabt, so erhält man Steinkerne, wie sie von Hinde (Geol. Soc. 1884. 
Taf. 36, Fig. 2 und namentlich im Monogr. Taf. 2, Fig. 1b, 2, 3) vor- 
trefflich abgebildet worden sind. Die charakteristischen feinen Einschnitte 
an den Rändern der rhombischen Felder (Monogr. Taf. 2, Fig. 3; Gümbel, 
Taf. A, Fig. 4 bei a) rühren von den randlichen Falten und radialen 
Leistehen auf der Unterseite der Köpfchen her (unsre Taf. 1, Fig. 4). 


682 


Es ist klar, warum an diesen und andern Ganz-Steinkernen der proxi- 
male Arm nicht eine seiner ganzen Länge entsprechende, nach aussen 
geöffnete Rinne hinterlässt, sondern diese Rinne sich als ein kurzes 
Kanälchen noch schräg in die Gesteinsmasse einbohrt (Taf. 7, Fig. 1, 5, 7). 
Dieser schräg nach innen gerichtete Arm war eben durch Gesteinsmasse 
von den darüber liegenden Armen getrennt (vergl. Taf. 2, Fig. 4). 

Wird die Aussenfläche des Steinkerns abgerollt oder durch Verwitterung 
abgeschabt, so dass die erhabenen Ränder des Rhombus verschwinden, so 
entstehen, wenn die innersten Theile der Arme noch nicht gänzlich weg- 
gelöst sind (also Halb-Steinkern-Zustand) wiederum rectanguläre Gitter 
aus Kalkspath oder Brauneisen, deren Leisten aber nicht über die Ober- 
fläche hervorragen. (Hinde, Geol. Soc. 1884. Taf. 36, Fig. 1a, 1b u. Ih). 

Ist bei abgeschabten Stücken endlich aller Kalk der Köpfchen voll- 
ständig entfernt, so erhalten wir rechtwinklig sich kreuzende Furchen. 
Anfänglich erkennt man hierin noch den Abdruck eines jeden Armes 
(Taf. 7, Fig. 1); oft aber werden die schmalen trennenden Wälle zwischen 
diesen Abdrücken auch durchbrochen und dann werden die Furchen zu- 
sammenhängend und fortlaufend (Taf. 7, Fig. 3 im obern Theile; Fig. 6). 
Schliesslich werden auch die Wälle zwischen den Furchen abgerieben, 
und es bleiben im Gesteine nur die reihenweise und im Quincunx ge- 
stellten Löcher, worin die Säulchen gesessen haben, als letzte Erkennungs- 
zeichen von Receptaculitiden zurück (Gümbel, Taf. A, Fig. 3; Hinde, 
Geol. Soc. 1884. Taf. 36, Fig. 1b, lc, Ik). 

(Steinkerne von Oberkunzendorf.) Nicht unbesprochen darf ich die 
meist sehr stark verdrückten Steinkerne von Oberkunzendorf lassen, die 
Dames beschrieben hat. Eine kleine charakteristische Partie eines 
solchen Steinkernes ist in Taf. 2, Fig. 12 in fünffacher Vergrösserung 
abgebildet. In den Abdrücken der Köpfchen findet man einige schmale 
Schlitze (s), die zusammen mit den breiteren Furchen, die die Arme 
und ihre Spindeln hinterlassen haben, eine Art mehrstrahligen vertieften 
Stern bilden. Solche Sterne waren es wohl, die Dames!) zu der An- 
nahme bestimmt haben, dass zwischen den vier „Kanälen“ (Spindeln), 
die nach den Ecken des Täfelchens laufen, noch mehrere „feinere Kanäle“ 


1) Zeitschr. d. Deutsch. Geol. Ges. 1868. Bd. 20. S. 483. 


683 


vorhanden wären, die nach den Rhombenseiten der Köpfchen strahlen. Ich 
muss annehmen, dass die Schlitze (s) erst nachträglich entstanden sind: dass 
nämlich bei der scharfen seitlichen Verquetschung das Gestein unter den 
Köpfchen mehr oder weniger strahlig aufgerissen worden ist. Die Furchen 
und Schlitze!) sind weder in allen sonst gleichartigen Steinkernen von 
Oberkunzendorf, noch in allen Abdrücken der einzelnen Köpfchen eines 
Steinkernes, noch gleichmässig in den einzelnen Abdrücken der Köpfchen 
vorhanden, und selbst bei einer gewissen Regelmässigkeit erwecken sie 
immer zugleich den Eindruck des Zufälligen. Ich habe sie nur an ver- 
drückten Steinkernen von Oberkunzendorf gefunden; nicht-ausgelaugte, 
kalkige Exemplare desselben Fundortes haben niemals besondere Gebilde 
erkennen lassen, die den Schlitzen entsprächen. Kanäle oder den Spindeln 
gleichwerthige, im Innern der Köpfchen eingeschlossene Theile konnten 
die Schlitze schon aus dem Grunde nicht sein, weil sie zu erhabenen 
Leisten auf der Unterseite der Köpfchen werden, wenn man sich die 
leeren Formen dieser wieder ausgegossen denkt. 

(Weitere durch Verwitterung erzeugte Figuren.) Unter den Figuren, 
die durch Verwitterung entstehen, kommen noch andere Sternchen mit 
mehr als 4, nämlich auch mit 6 bis 8 Strahlen vor, die aber durch wesent- 
lich andere Ursachen hervorgerufen werden, als die Sterne an den Ober- 
kunzendorfer Stücken. Einmal entstehen sie dadurch, dass die Täfelchen 
sowohl dicht um die festeren Spindeln herum, als auch an ihren Rändern 
sich durch Auswitterung gleichmässig vertiefen und Bilder erzeugen, wie 
an der untern linken Seite der Fig. 2 auf Taf. 1. Der Mittelpunkt dieser 
Sterne liegt also in den Ecken der Täfelchen. Häufiger noch ist der um- 
gekehrte Fall, dass mit den Spindeln auch die Ränder der Täfelchen erhaben 
stehen bleiben, wodurch wiederum Sterne erscheinen, die bis zu 8 Strahlen 
haben, und deren verdickte Mittelpunkte in den am meisten erhabenen 
Theilen der distalen Spindeln liegen, d. h. wiederum in den Ecken der 
Täfelchen. Manchmal bleiben neben den Täfelchen-Rändern nur die 
distalen Spindeln, oder selbst nur ihre dicksten Strecken auf den Ecken 
der Plättchen stehen, während alle übrigen Theile der Köpfchen bereits zer- 


1) Die Schlitze sind manchmal mit Brauneisen erfüllt, wodurch die sternförmigen Figuren 
sich noch schärfer vom Gestein abzeichnen. 


684 


stört worden sind. Dann entstehen jene eigenartigen Zeichnungen (Taf. 1, 
Fig. 11), die wie vierbeinige Insecten, wenn man das sagen könnte, aussehen, 
besonders, wenn noch der Zusammenhang der Ränder unterbrochen ist. 

(Poren an der innern Wandfläche von RBeceptaculites occidentalis und 
Recept. orbis) DBillings und Hinde!) haben bei Receptaculites 
occidentalis Salter in den Ecken der „innern Täfelchen“, deren Exi- 
stenz sie annehmen (vergl. 672, 674), Durchbohrungen beobachtet, worauf 
ich erst hier zu sprechen komme, weil ich diese Durchbohrungen für 
secundäre, durch die Art der Erhaltung veranlasste Poren ansehe. Zwar 
stand mir Receptaculites occidentalis nicht zur Verfügung, aber 
die merkwürdigen Löcher kommen auch bei unserm Rec. orbis vor, 
der wahrscheinlich mit jenem identisch ist, und so dürften Rückschlüsse 
von diesem auf die amerikanische Art erlaubt sein. 

Für die Besprechung dieser Frage lagen mir besonders zwei wichtige 
Stücke?) vor, die sich beide in gleicher Weise dadurch auszeichnen, dass 
die sehr flache Wand des Receptaculiten 
dicht über den centralen Endflächen der 
Säulchen von dem unterliegenden Ge- 
steine abgerissen ist (vgl. nebenstehende 
Skizze). Jedes Exemplar besteht so 
aus zwei aufeinander passenden Gegen- 
stücken. Der eine Theil des Berliner 
Stückes (Re No. 39 A) ist Steinkern, die 
Säulchen sind also zu Röhren geworden; 


br 
tr 


Wandstück von Receptaeculites or-- die Füsschen dagegen bilden in dem 


bis Eichw. Unt. Silur. Oeland. 1 Gegenstücke (Re No. 39 B) eine dünne 
tr = Angenommene Trennungsfläche 


— Fläche geringsten Widerstandes, nach Kalklage auf dem Gesteine. Auf dieser 
der etwa die Zerreissung der Wand erfolgt. Kalklage stehen kleine Kegel (Taf. 34 
Skizze in 10/1 nach einem Dünnschliff b $ ! 

alBtoekhnter Nee Fig. 10), welche die abgebrochenen und 
durch Verwitterung gerundeten Säulen- 

stümpfe (Füsschen) sind und in entsprechende trichterförmige Vertiefungen 


des aufgelegten Gegenstückes hineinpassen (Taf. 3, Fig. 10a), d. h. in die 


1) Hinde, Geol. Soc. 1884. p. 824, 825, Taf. 37, Fig. 3 c—g. 
2) Aus dem Berliner Museum für Naturkunde, Re No. 39; und aus dem Provinzial-Museum 
zu Königsberg, Re No. 1. 


685 


centralen Enden der ehemals von den Säulchen erfüllten Röhren. !) Zwischen 
den kleinen Kegeln (Fig. 10) liegen Vertiefungen, die wie die Knoten 
ziemlich regelmässig im Quincunx geordnet und offenbar mit den bei 
Recept. occidentalis bekannten Poren identisch sind. Diese Ver- 
tiefungen erweisen sich bei genauer Betrachtung theils als wirkliche 
Durchbohrungen der Kalkdecke, theils jedoch und in vielen Fällen auch 
als einfache Einsenkungen. Aus diesem Grunde möchte ich die wirk- 
lichen Durchbohrungen als eine Folge von Zerstörung betrachten. Man 
könnte einwenden, dass diejenigen Vertiefungen, welche die Kalklage 
nicht durchdringen, nachträglich durch Kalk wieder verklebt worden 
wären. Ich will dann dagegen auf einen andern bemerkenswerthen Um- 
stand aufmerksam machen. Fast keine dieser Einsenkungen nämlich liegt 
in der Mitte zwischen den sie umgebenden vier kleinen Kegeln (Füsschen) 
(Taf. 3, Fig. 10), sondern jede ist hart an einen Kegel herangedrängt 
und nach diesem zu am meisten vertieft, ja sie untersticht ihn vielfach, 
wenn ich mit diesem Ausdrucke der Bildhauer die Erscheinung vielleicht 
charakterisiren kann. Uebereinstimmend damit sind auf dem Gegenstücke 
(Taf. 3, Fig. 10a) kurze Zäpfchen?) vorhanden, die jenen Einsenkungen 
in Fig. 10 entsprechen und hier in 10a vielfach deutlich über die trichter- 
förmigen Vertiefungen überhängen, in die wieder die Kegel von 10 (Füsschen) 
hineinpassen. Diese Zäpfchen geben auch über die Gestalt der in Frage 
stehenden sogenannten Poren bessern Aufschluss, als die Poren selbst; 
man ersieht aus ihnen, dass sie meist nicht kreisrund, sondern viel- 
fach gestreckt, eckig, halbmondförmig und sichelförmig sind. Die unter- 
stechende Lage der Vertiefungen in Fig. 10 und die überhängende der 
entsprechenden Zäpfchen in Fig. 10a, sowie ihre weitere bedeutsame 
Eigenschaft, dass sie nicht in der Mitte zwischen den 4 Säulchen, son- 
dern immer hart an demjenigen Rande der Säulchen stehen, der dem 
Centrum des Stückes, also dem untern Pole zugewandt ist, dass sie also 
zur Peripherie gleichsam hindrängen, stellt ihre Beziehungen zu der 
S. 674 beschriebenen, eigenthümlichen Form der Füsschen von Rec. 
orbis zweifellos klar. Würde das Taf. 3, Fig. 8 im Durchschnitt abge- 


1) Theilweise ist der Kalk der Säulchen auch noch erhalten. 
2) Auch von Gümbel beobachtet, a. a. ©. p. 208. 


Abh. d. 11. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 90 


686 


bildete Stück zum Steinkerne, und würde die Wand dann in gleicher 
Weise, wie eben angegeben, zerrissen werden, so müsste die Mergel- 
erfüllung, die in den proximalen Ecken zwischen den Füsschen sitzt, 
feine, schräg von oben und innen nach unten und aussen!) laufende 
Stäbchen?) bilden, und es würden am Sternkerne dieselben nach der Peri- 
pherie hindrängenden, überhängenden, schrägen Zäpfchen erscheinen, wie 
in Taf. 3, Fig. 10a. Sie würden jedoch, wie man sieht, sehr viel dünner 
sein als diejenigen in Fig. 10a (in beiden Figuren 5 fache Vergrösserung), 
und die Ausmündungen der Lücken könnten an der innern Wandfläche 
als Durchbrechungen gar nicht auffallen; ihre Weite würde nämlich nach 
Dünnschliff Taf. 3, Fig. 8 in max. 0,14 mm betragen. Aber selbst 
diese feinen Ausmündungen, die im Schnitt sich ja kaum von einfachen 
Trennungslinien unterscheiden, scheinen nicht ursprünglich vorhanden 
gewesen, sondern erst nachträglich entstanden zu sein. Es zeigt sich 
nämlich an Dünnschliffen eines 
andern Stückes (Taf. 3, Fig. 9), 
dass der stumpfe Theil der Füss- 
chen (Hackentheil der Stiefelchen) 
vielfach schräg tief eingefaltet 
ist (vergl. nebenstehende Skizze 
bei B). Diese Einfaltung nun, 
Füsschen von Receptaculites orbis, Eichw. der ein Wulst auf der Endfläche 
SifestpreussinphiengGesühtebe, des Füsschens entspricht, scheint 
a nniener Band die erste Ursache für die Durch- 
zerstört wird. G — Ursprüngliche Grenze zwischen brechung der innern Wandfläche 


den Füsschen. i zu sein. Die innere Wandfläche 
Skizze in 10/1 nach einem Dünnschliff in der 


Sammlung der Berliner Berg-Akademie. 


erweist sich in den bezeichneten 
Dünnschliffen im allgemeinen un- 
durchbrochen, aber es ist schwierig, nach den nicht sehr günstigen Prä- 
paraten genau festzustellen, wo die Grenze zwischen je zwei Füsschen 
eigentlich ist. Wenn man nur die besten Bilder zu Rathe zieht, so 
scheint diese Grenze überall bei den mit @ bezeichneten Punkten der 


1) Auf Fig. 8 bezogen. 
2) Längs den Seiten ihres ungefähr rhombischen Umrisses schliessen die Füsschen mit breiter 
Berührungsfläche dicht aneinander. 


a ER u Se‘ 


687 


vorstehenden Skizze zu liegen. Diese ursprüngliche Grenze ist bei den 
in Rede stehenden Dünnschliffen oft mit Kalk verklebt und dadurch ver- 
borgen. Sie dürfte in gleicher Weise auch in Taf. 3, Fig. 8 durch 
secundäre Kalkansätze, die hier ohne Zweifel eine gewisse Deformation 
der Merome bewirkt haben, jetzt verschoben sein. Dafür erscheint die 
spätere Durchbrechung der Füsschen, die von der Einfaltung ausgeht, nun 
als neue Grenze. Vor dieser Falte liegt die dünnste und schwächste 
Stelle des Füsschens (Nase?), (Taf. 3, Fig. 9), die am leichtesten verletzt 
oder auch durch Vermergelung in Gesteinsmasse umgewandelt werden 
kann!), wodurch in der proximalen Ecke eines jeden Täfelchens eine 
kleinere oder grössere Lücke entstehen wird. 

Zu gleichen Resultaten führt auch das schon erwähnte Stück aus 
dem Königsberger Provinzial-Museum. Taf. 4, Fig. 1 lässt auf eine dicht 
über den Füsschen abgerissene Trennungsfläche blicken, während die cen- 
tralen Enden der Säulchen, wenigstens zum grössten Theile, auf dem 
Gegenstücke sitzen. Auch auf diesem Gegenstücke sind zwischen den 
stehengebliebenen Füsschen, die also wie in Taf. 3, Fig. 10 erscheinen, 
Einsenkungen vorhanden, mit- derselben Neigung sich gegen die Säulchen 
zu drängen und sich hier am meisten zu vertiefen. Aber sie sind seichter, 
desshalb undeutlicher und liessen die Durchbohrung der Kalkschicht nicht 
beobachten. Es ist nun ein günstiger Umstand, dass die Trennung der 
beiden Gegenstücke nicht überall über dem verdickten Fusse der Säulchen 
stattgefunden hat, sondern dass an einigen Stellen die Merome unzerrissen 
geblieben sind, so dass man Taf. 4, Fig. 1 (eine Partie im linken, eine 
im rechten Theile des Stückes) z. Th. auch auf die Endflächen der 
Füsschen sieht. Diese Endflächen (von meist deutlich rhombischem Um- 
risse, so dass man, ohne ihre Lage zu den Säulchen zu kennen, sie leicht 
mit den äussern Täfelchen verwechseln könnte), sind in der 8. 675 be- 
schriebenen Weise gewulstet und gefaltet, und zwar sind die Wülste nach 
den Ecken zu vielfach am stärksten ausgeprägt, um dann an den Ecken 
selbst plötzlich steil abzufallen, so dass hier relativ starke Einsenkungen 
erzeugt werden (Taf. 4, Fig. 1, auf der rechten Hälfte des Stückes. Diese 


1) In Taf. 3, Fig. 9 sind mehrere Säulchen und Füsschen im Stadium begonnener Ver- 
mergelung, die zuweilen den Kalk der Merome vollständig in eine feinporöse, schwammige Masse 
verwandelt. 

90* 


688 


Einsenkungen sind in der Zeichnung der grössern Deutlichkeit wegen 
schärfer markirt, als sie auf dem Original erscheinen). Wirkliche Durch- 
bohrungen aber konnten niemals beobachtet werden, und selbst wenn 
einige Einsenkungen, die von den stärksten Wülsten umgeben sind, zweifel- 
haft bleiben sollten, so ist doch sicher, dass die grösste Zahl der Ecken 
nicht durchbohrt ist. Auch sieht man auf dem Gegenstücke keine Zäpf- 
chen, die solchen Durchbohrungen entsprächen. 

Diese Beobachtungen dürften die Annahme rechtfertigen, dass die 
„Poren“ in der innern Wandfläche weder für Gattung noch Art charak- 
teristisch sind, dass die Füsschen mit ihren Rändern sich gegen einander 
pressen und eng aneinander schliessen mit Ausnahme der über den Ecken 
gelegenen Stellen, dass die hier bleibenden Lücken auch dann, wenn 
keine Durchbrechung der innern Wandfläche stattfand, an 
Steinkernen als kurze (schrägliegende) Zäpfchen erscheinen werden (vergl. 
auch Taf. 4, Fig. 2), dass aber vermöge der Einfaltung der Füsschen (bei B 
in der Skizze S. 686) die sehr dünnen, an den Falten hängenden Kalk- 
stückchen (Z) leicht fortgebrochen oder fortgelöst wurden, und hierdurch 
die Poren, die von sehr verschiedener Weite und weder bei allen Exem- 
plaren, noch an allen Stellen und Füsschen eines Exemplares vorhanden 
sind, in der innern Wandfläche entstanden. Sollten aber solche Durch- 
brechungen bereits an dem lebenden Receptaculiten aufgetreten sein, so 
ist doch so viel sicher, dass sie nicht die Ausmündungen besonderer 
Kanäle, die die Füsschen durchzogen, sondern nur einfache Lücken da- 
zwischen gewesen sein können. 

(Merkwürdiger Steinkern in Backsteinkalk.) Bevor ich die Betrach- 
tung über Receptaculites schliesse, muss ich die Aufmerksamkeit noch 
auf einen merkwürdigen Steinkern in einem Backsteinkalk-Geschiebe von 
Wartin in Pommern lenken, der auf nichts anderes als auf Recepta- 
culites bezogen werden kann. 

Auf einer cylindrisch etwas eingewölbten Fläche des Stückes (Taf. 4, 
Fig. 2) sehen wir eine höchst zierliche Täfelung mit strahlig-angeord- 
neten feinen Rippen auf den einzelnen Facetten. Ueber dieser getäfelten 
Fläche, jedoch durch einen schmalen Zwischenraum davon getrennt, liegt 
ein flaches, von feinen Röhren durchbohrtes Gesteinsstück, das nach allen 
seinen Verhältnissen: Länge, Dicke und Form der Röhren (Säulchen), 


689 


Vorhandensein und eigenthümliche Lage der kurzen Zäpfchen auf der 
innern (dem Beschauer zugewandten) Fläche nur der Steinkern der Wand 
eines Receptaculites orbis Kichw. sein kann, obgleich selbst Spuren 
der Köpfchen (wenn wir von den gerippten Facetten zunächst absehen) 
und ihrer Tangential-Arme fehlen. Dieser Mangel aber wird dadurch 
vollständig erklärt, dass die Köpfchen häufig, bei den böhmischen Ischa- 
diten (Acanthochonien) fast ohne Ausnahme durch eine kalkige Incrusti- 
rung mit einander verschmelzen, wie wir das bei Ischadites genauer 
kennen lernen werden (vergl. Taf. 5, Fig. 10, 1). Wird der Kalkspath 
einer solchen Incrustation, die im Gestein eingeschlossen ist, später wieder 
weggelöst, so muss in dem Steinkerne ein durchlaufender Zwischenraum 
an Stelle der Köpfchen entstehen, wie es hier der Fall ist. 

Dass nun die Facetten in der That auch zu der darüber liegenden 
Receptaculitenwand gehören, geht schon aus dem Umstande hervor, dass 
die Entfernung der punktförmigen Knöpfchen, von denen die Rippen auf 
den Facetten ausstrahlen (Taf. 4, Fig. 2, 3), in der Längsrichtung des 
Stückes gemessen genau so gross ist, wie die Entfernung der Röhren 
(Säulchen) von einander; im der Quere gemessen ein wenig; grösser. 
Diese Differenz aber ist eine nothwendige Folge der Oberflächen-Krümmung. 
Es sind also genau so viele Facetten vorhanden als Säulchen, und beide 
sind in gleichlaufenden Reihen angeordnet.!) Der äussere Umriss der 
Facetten stimmt mit der Form der Receptaculiten-Täfelchen überein: 
Rhombus mit zwei concaven, zwei convexen Seiten und zwei abgestuzten 
(meridionalen) Ecken. Die Sculptur der Facetten kann ohne Zwang auf 
den radialen Bau der Täfelchen oder ihrer Träger zurückgeführt werden, 
wie er in angewitterten Köpfchen, so in Taf. 1, Fig. 8, besonders den 
rechts oben liegenden, hervortritt, deren leichtgekrümmte Radialleisten 
noch quergetheilt sein und dadurch in Körner zerfallen können (vergl. 
S. 679). Ob den gerippten Facetten eine ursprüngliche ÖOberflächen- 
sculptur zu Grunde liegt, oder ob ihre körnig zerhackten Strahlen erst 
später durch Corrosion entstanden sind, lässt sich noch nicht entscheiden. 
Jedenfalls müssen sie wohl so, wie sie sind, vor der Einbettung, oder 


1) Dass über jedem Knöpfchen der Facetten ein Röhrchen liegt, dass also die Verlängerung 
eines jeden Röhrchens auf ein Knöpfchen trifft, liess sich bei dem engen Zwischenraume nicht 
direct und mit Sicherheit beobachten. 


690 


wenigstens vor der Verhärtung des Gesteines vorhanden gewesen sein, da 
sie so gleichmässig und scharf darin abgedrückt sind. 

Das runde Knöpfchen auf den Facetten (Taf. 4, Fig. 5), von dem 
die Rippen ausstrahlen, stellt das vertiefte Centrum der Täfelchen dar. 
Es erscheint allerdings bei allen Täfelchen gleichsinnig an dieselbe meri- 
dionale Ecke gerückt, aber man bemerkt, dass die Facetten mit ihren 
Rändern dachziegelförmig über einander liegen, als ob man den Abdruck 
überschobener Plättchen vor sich hätte, wobei die eine Hälfte eines jeden 
Plättchens verdeckt wäre. Und in der That ist es so. Bei einer solchen 
Ueberschiebung muss der sichtbar gebliebene Theil eines jeden Täfelchens 
in seinem Umrisse ähnlich bleiben (im mathematischen Sinne) dem ganzen 
Täfelchen, und es wird also hierdurch dessen charakteristische Form nicht 
verschwinden, sondern vollständig gewahrt bleiben. Diese dachziegel- 
förmige Ueberlagerung der Täfelchen ist bei Receptaculites nicht 
unbekannt; aber namentlich im obern Theile von Ischadites kommt 
sie öfter in solcher Regelmässigkeit vor, dass sie nicht durch Verdrückung 
entstanden sein kann, zumal die unterschobenen (distalen) Arme sich oft 
dabei tief in das benachbarte Köpfchen eingebohrt haben und davon um- 
wachsen worden sind (Taf. 5, Fig. 9, 8 rechts). Stets ist dabei die distale 
Seite die unterschobene, die proximale Seite des Täfelchens die über- 
greifende. Vielleicht gehört auch unser Steinkern und Abdruck im Back- 
steinkalke dem Obertheil eines Receptaculites orbis an. 

Ein von den Facetten (Taf. 4, Fig. 2) genommener Kautschuk-Abdruck 
müsste, so wird unsre erste Erwartung sein, die ursprüngliche Oberfläche 
des Receptaculiten mit dachziegelartig übereinander greifenden Täfelchen 
darstellen, und der nicht sichtbare Theil eines jeden Täfelchens müsste 
darin als der untergeschobene, verdeckte erscheinen. In Wahrheit ist nun 
aber in einem solchen Kautschuk-Abdrucke (Taf. 4, Fig. 4) gerade das 
Umgekehrte der Fall. Der hierin fehlende Theil eines jeden Täfelchens 
(oberhalb des punktförmigen Radianten, von dem die Rippen ausstrahlen) 
würde im Gegentheil, wenn man sich ihn ergänzt denkt, der überdeckende 
sein. Da nun bei der grossen Regelmässigkeit der Facetten an einen 
nachträglichen Verlust der fehlenden Täfelchen-Hälften nicht zu denken 
ist, so könnte es scheinen, als ob die Täfelchen hier abweichend gebaut 
und die Strahlpunkte der Rippen allgemein an den Rand gedrängt wären. 


691 


Doch trifft das nicht zu, und die Sache erklärt sich vollständig, wenn 
wir annehmen, dass auch hier wie in Taf. 5, Fig. 9 der proximale (in 
dieser Figur nach rechts gerichtete) Theil des Täfelchens von der da- 
runter liegenden, unterschobenen, distalen Hälfte des Köpfchens durch 
Gestein (schwarz) getrennt ist, und dass es der Abdruck dieser distalen 
Seiten der Täfelchen ist, der in den Facetten unseres Steinkernes vorliegt. 

Nach S. 685 stehen die Steinkernzäpfchen an der innern Wandfläche 
von Receptaculites orbis stets hart an demjenigen Rande der Säulchen, 
der dem untern Pole des Receptaculiten zugewandt ist. Nach der Stellung 
dieser Zäpfchen in Fig. 2, Taf. 4 können wir bestimmen, dass die Facetten, 
wenn sie die sichtbaren Theile übereinander geschobener Täfelchen im 
Abdrucke sind, in der That deren distale Hälften repräsentiren. Danach 
darf man es als zweifellos gelten lassen, dass keine Anomalie in Bau und 
Form der Täfelchen vorliegt, dass die Rippen nicht von einer Ecke der 
Täfelchen, sondern von ihrem Mittelpunkte ausstrahlen, und dass die 
proximalen Hälften der Täfelchen nicht fehlen, sondern dass diese proxi- 
malen Hälften, zwar eigentlich die übergreifenden (aussen liegenden), in 
Taf. 4, Fig. 2, 3 von den sichtbaren Facetten, d. h. von den distalen 
Hälften überdeckt, und hier also unterschoben erscheinend, noch im Ge- 
steine vorhanden sind. 


Leptopoterion, ULRICH. 


Diese untersilurische Gattung ist von E. O. Ulrich 1889 aufgestellt, 
und der Hinde’schen Auffassung über die Receptaculitiden gemäss, als 
eine Hexactinellide gedeutet worden.!) Ich hatte jetzt Gelegenheit, das 
Original von Leptopoterion mammiferum Ulr., der einzigen be- 
kannten Art, zu untersuchen. Aber eine Darstellung dieser merkwürdigen 
Form, von der eine Abbildung noch fehlt, muss ich mir für den S. 648 
erwähnten Nachtrag zur Besprechung einiger Arten versparen, weil die 
Tafeln zu dieser Arbeit bereits abgeschlossen waren, als ich Leptopote- 
rion erhielt. Das wichtigste Unterscheidungsmerkmal gegenüber Recep- 
taculites liegt darin, dass die dünne Wand, mit kurzen Radialen, aussen 


1) The American Geologist, Bd. 3, No. 4. S. 239. — Tabular List and Classification of 
American Palaeozoic Sponges. Geol. Survey of Illinois. Bd. 8, 1890. 8. 239. 


692 


von minutiös kleinen rhombischen Täfelchen bekleidet wird, die über die 
ganze Oberfläche hin, an den Polen wie auf den Seitenflächen etwa von 
einerlei Grösse sind. Im Uebrigen sind die Merome gerade so gebaut 
und zusammengefügt, wie bei Receptaculites. 


Ischadites, MURCHISON. 


(Bau von Ischaditess.) Der Bau der Merome und die Art ihrer 
Zusammenfügung bei Ischadites sind in allen wesentlichen Punkten die- 
selben wie beiReceptaculites. ischadites ist nur durch die schlankere 
Form seiner Merome und besonders die im allgemeinen bedeutend grössere 
Länge der Radial-Arme, also durch eine viel grössere Wandstärke und 
kleinere centrale Körperhöhle von Receptaculites getrennt. 

Der innere Hohlraum wird ringsum von einer Wand: umschlossen, 
so dass zwei Pole und dementsprechend eine untere und eine obere 
Hälfte an den kugligen, ei-, linsen- oder birnförmigen Körpern zu unter- 
ssheiden sind. Der untere Pol ist genau so zusammengesetzt, wie bei 
Receptaculites (Taf. 6, Fig. 1; Taf. 1, Fig. 12). 

(Sogen. Osculum bei Ischadites) Was die von Hinde beschriebene 
Oeffnung am Apex, das sog. Osculum betrifft, so habe ich durch eine 
erneute Prüfung derselben Stücke, die auch Hinde untersucht hat, die 
Gewissheit erlangt, dass ein solches Osculum in der Grösse, wie es Hinde, 
Geol. Soc. 1884. Taf. 36, Fig. 1a, 1b abbildet, ursprünglich nicht vor- 
handen war, dass es überhaupt nicht, oder doch nur als eine relativ sehr 
feine Oeffnung vorhanden gewesen sein kann. Zwar zeigen die mir vor- 
liegenden Stücke von Djupvik auf Gotland, woher die besterhaltenen 
Ischaditen kommen, ohne Ausnahme Lücken in dem Täfelchenbelag des 
obern Poles; aber die unregelmässigen Begrenzungen dieser Lücken be- 
weisen unzweideutig, dass sie, wenigstens in ihrer jetzigen Form, nicht 
ursprünglich vorhanden waren, sondern erst durch Zerstörung der zarten 
Köpfchen hervorgebracht, oder doch bis zu ihrer jetzigen Ausdehnung 
erweitert worden sind. Auch bei den Originalen zu Hinde’s Fig. 1, 
1b, 1d auf Taf. 36, Geol. Soc. 1884, die mir ebenfalls zur Verfügung 
standen, ist sogleich ersichtlich, dass das gezeichnete Osculum mindestens 
eine nachträglich erweiterte Oeffnung ist. 


693 


Ich habe nun den nur leicht verletzten obern Pol eines Djupviker 
Ischaditen von 30 mm Durchmesser etwas abgeschliffen. Dabei ergab 
sich das in nebenstehender Figur skizzirte 
Resultat. Lassen wir die im centralen Theile 
vorhandenen (nicht ausgefüllten), zerstreuten 
Querschnitte von Radialarmen unberücksich- 
tigt, — wahrscheinlich gehören sie zum 
Kreise I, sind aber herausgedrückt — so 
haben doch die mit I bezeichneten gleich- 
starken Querschnitte gewiss auf einem con- 
centrischen Kreise gelegen, der im Gebirge 

Fig. 7. durch Druck verzerrt worden ist. Denkt 
Angeschliffener Apex von Ischa- man sich die jetzt verzerrten Reihen I bis IV 
A Bug: Dar 8 wieder ausgerichtet, so würde der innerste 
zeichnen die Radiale der in conceen- Kreis I noch nicht 1a mm Durchmesser 
trischen Reihen I—IV liegenden haben; die zu seinen Radialarmen gehörigen 
„erome, deren Köpfohen abgeschl mafelchen aber müssten schon bei normaler 
fen sind. Die punktirten Figuren 
sind Ergänzungen. Ausbildung etwa zusammenstossen; nament- 
Be AN Ne Sigel, lich aber dann, wenn sie vielleicht, der Länge 
der proximalen Arme gemäss, also den lang- 
gestreckten Anfangstäfelchen des untern Poles entsprechend, ebenfalls ver- 
längert gewesen sind (vergl. Taf. 1, Fig. 12; Taf. 6, Fig. 1).') 

Auch die Oeffnung in dem Taf. 7, Fig. 1, 2 abgebildeten Ischa- 
dites Murchisoni Eichw. sp. ist durch Ausbruch von Meromen, wenn 
nicht überhaupt erst entstanden, so doch jedenfalls erweitert worden, da 
die Gesteinsausfüllung des Innenraumes an ihrer obersten Spitze noch 


1) Zu gleichen Resultaten führten zwei mediane Dünnschliffe im Stockholmer Museum: 
Re No. 3a und 4a, die den obern Pol enthalten. In 3a befindet sich hier eine Lücke von nur 
0,35 mm, die ursprünglich wohl noch enger war, denn der Dünnschliff zeigt Verletzungen an den 
Köpfchen, die die Lücke umrahmen. In 4a ist ein Zusammenschluss des obern Poles in der That 
vorhanden; aber man muss wegen der auswärts gerichteten Stellung der Radialarme in diesem 
Schliffe vermuthen, dass der Pol nachträglich eingedrückt worden ist. Es blieb desshalb leider 
unbestimmbar, ob der Zusammenschluss nicht erst durch die Eindrückung erfolgt ist. Bei einem 
dritten Exemplare, obschon bei ihm der obere Pol auch etwas verletzt ist, glaube ich doch eine 
Seite des Wirbels, in dem die innersten Täfelchen dicht zusammenstossen, unter der Lupe noch 
erkennen zu können (Mus. Stockholm. Re No. 6). 


Abh.d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 91 


694 


Spuren von verschmolzenen Füsschen zeigt, deren Radıale und zugehörige 
Köpfchen nicht mehr vorhanden sind. 

Für die Existenz einer Oeffnung am Apex dürfte danach ein genügender 
Beweis noch fehlen. Vielmehr weisen die Beobachtungen zunächst nur 
darauf hin, dass am Apex die schwächste Stelle des Körpers war, die am 
leichtesten zerstört wurde. Nachdem einmal hier der Zusammenschluss der 
Köpfchen, gleichsam der Schlussstein verloren gegangen war, wurden auch 
die anschliessenden Merome, da sie proximalseitig den Verband verloren 
hatten, gelockert und nach und nach ausgebrochen. Dagegen findet man 
an fast keinem der Djupviker Stücke den Nucleus dadurch verletzt, dass die 
Köpfchen ganz fehlen, sondern nur dadurch, dass ihre Täfelchen abgerieben 
oder abgewittert worden sind. Am Nucleus musste also wohl eine viel 
innigere Verbindung der Merome bestehen. Dem entspricht es auch, dass 
die Bruchstücke, die gefunden werden, ganz überwiegend Untertheile, nicht 
Obertheile sind. Ich konnte das an mehreren hundert Exemplaren von 
Ischadites bestätigen, wovon mir aus dem Stockholmer Museum allein 
einige 270 von Wisby, Petesvik bei Hablingbo und Westergarn vorlagen. 
Nur die (21) Stücke von Eksta Djupvik zeichneten sich allgemein da- 
durch aus, dass bei innen noch Unter- und Obertheil vorhanden war. 


(Unterschied von Unter- und Oberseite) Die untere Seite von Ischa- 
dites ist immer aus grösseren Tafeln zusammengesetzt, als die obere, 
bei der die Zahl der Täfelchen sehr stark vermehrt und ihre Grösse 
vermindert wird. Diese Vermehrung der Täfelchen auf der Oberseite 
rührt daher, dass die einmal vorhandene grösste Zahl von Täfelchen in 
einem concentrischen Kreise die Zahl der nach dem Apex laufenden 
Meridional- oder Spiralreihen bestimmt, dass also die in dem Untertheile !) 
neu eingeschobenen Reihen in dem Obertheile nicht wieder eliminirt 
werden, sondern dass hier nun auf allen concentrischen Kreisen gleich 
viele Täfelchen stehen (Taf. 6, Fig. 2). Wenn also beispielsweise ober- 
halb des äquatorialen Randes keine neue Reihe mehr eingeschoben wird, 
dieser Rand 20 Täfelchen im Umkreise trägt, jede Meridionalreihe aber 
von diesem Rande ab bis zum Apex 17 Täfelchen zählen lässt, so würde 


1) Nur selten erfolgt noch auf dem Obertheile die Einschiebung einiger neuen Reihen. Vor- 
handen in Mus. Stockholm, Re. No. 1, 2, 20. 


695 


die ganze Oberseite von (20 X 17) + (20 x 16) = 660 Täfelchen be- 
deckt sein. An manchen Stücken ergiebt sich eine noch bedeutend 
grössere Zahl von Täfelchen. 

(Ursache der leichtern Zerstörbarkeit des obern Poles) Der Umstand, 
dass nicht einzelne Täfelchen, sondern immer ganze Reihen bis zum obern 
Pole hin eingeschoben werden, enthält vielleicht die Erklärung für seine 
leichte Zerstörbarkeit. Der untere Pol ist stets aus zwei oder drei mal 
8 Täfelchen in zwei oder drei Ringen zusammengesetzt; dann erfolgen 
Einschiebungen und zwar rücken die neuen Interposita mit der Ver- 
grösserung des Körpers immer weiter nach oben (Taf. 6, Fig. 1). So 
konnte der Nucleus und der ihm zunächst gelegene untere Theil bald in 
Ruhe und unveränderlich verharren, während der obere Theil, um weiter 
wachsen, d. h. um neue Reihen einschieben zu können, beständig eine ge- 
wisse Bewegungsfähigkeit seiner Merome bewahren musste. Für jede neue 
Täfelchenreihe musste sich ein Spalt bis zum Apex hin öffnen, und so 
allmählich sich das auch vollzogen haben mag, alle einzelnen Glieder des 
Obertheiles mussten sich in einem gewissen Grade gegen einander ver- 
schieben können. Die Glieder des Untertheiles waren also je zonenweise 
von einem gewissen Alter des Organismus an in ihrer gegenseitigen Lage 
fixirt und desshalb vielleicht in irgend einer Art inniger und fester mit 
einander verbunden, als es die Glieder des obern Theiles überhaupt 
werden konnten. Die Festigkeit wird alsdann vom untern zum obern 
Pole hin immer mehr abgenommen haben, die Zerstörbarkeit in derselben 
Richtung immer grösser geworden sein. 


Der Bau der Merome und die Art ihrer Zusammenfügung sind, wie 
schon erwähnt, ganz dieselben wie bei Receptaculites. Der nach, 
innen gerichtete, proximale Arm zeigt auch im obern Theile der Ischa- 
diten stets zugleich nach dem Apex. Ich konnte desshalb S. 678 sagen, 
dass, wenn man ein Receptaculites-Bruchstück fände, bei dem die 
nach innen gerichteten Arme zugleich nach dem vorhandenen Pole dieses 
Bruchstücks hinweisen würden, dies auch den Beweis für die geschlossene 
Form von Receptaculites erbrächte. 

Die Abbildung des von F.Römer als Receptaculites carbonarius 


(Leth. palaeoz. p. 291, Fig. 53) beschriebenen Specimens aus dem schle- 
91* 


696 


sischen Kohlenkalke von Rothwaltersdorf, des einzigen bisher im Carbon 
gefundenen Vertreters der Familie, scheint mir im Sinne unsrer Dar- 
stellung auf dem Kopfe zu stehen. Das von Römer nach unten gestellte, 
abgestumpfte und eingesenkte Ende mit den zahlreicher werdenden Spiral- 
reihen und den sehr kleinen langgezogenen Täfelchen (vergl. Taf. 6, Fig. 2) 
kann wohl nur demjenigen Theile angehören, der nach dem obern Pole zu 
liegt. Dürften wir annehmen, dass die Gattungsbestimmung zutreffend ist, 
so wäre der Zweifel über die geschlossene Form von Receptaculites, 
wie uns scheint, danach wesentlich vermindert. Nach Römer’s Angabe 
jedoch, dass die innere Höhlung eng ist, liegt nicht Receptaculites, 
sondern Ischadites vor.!) 

Das Auftreten der Gattung Ischadites im Carbon ist nicht mehr 
befremdend, nachdem ich sie auch im Ober-Devon nachgewiesen habe. 
Bisher war Ischadites aus dem Devon überhaupt noch nicht bekannt; 
aber ein Theil der früher als Receptaculites aufgeführten, ziemlich 
häufigen Versteinerungen im untern Ober-Devon von Stolberg bei Aachen 
gehört dazu (Taf. 7, Fig. 3, 4). Schlüter hat diese Formen als Sphaero- 
spongia Vichtensis beschrieben (Zeitschr. Deut. Geol. Ges. Bd. 39. 
1887, p. 17, Taf. 2, Fig. 1, 2). Die von ihm in seiner Fig. 2 mit b 
bezeichneten Kreise sind nicht Reste von Deckplatten, sondern die Quer- 
schnitte der Radialarme. 

Taf. 5, Fig. 2—9 sind Abbildungen nach Dünnschliffen von Djup- 
viker Exemplaren von Ischadites Königi Murch. Die Spindeln sind 
in diesen Präparaten im allgemeinen nur sehr undeutlich, oder überhaupt 
nicht mehr zu erkennen, in einzelnen Fällen aber auch noch scharf ab- 
gezeichnet (Fig. 3, 4, 5, 7). Der Kalk ist meist körnig-krystallinisch 
‚geworden. Auffällig ist die starke Einsenkung, welche die Täfelchen des 
Obertheiles häufig zeigen (Fig. 3, 8), und die starke Aufrichtung ihres 
proximalen Theiles, namentlich in Fig. 8. Von der häufigen Ueberschiebung 
dieses Theiles haben wir bereits S. 690 gesprochen. Ebenso S. 658 von der 
Ablösung der Täfelchen von ihren Trägern. In dem schon erwähnten Dünn- 


1) Diese Vermuthung wird auch von Hinde getheilt (Geol. Soc. 1884. S. 845), allerdings aus 
einem andern Grunde: nämlich weil Römer angiebt, dass das obere abgebrochene Ende bis auf eine 
enge Oeffnung geschlossen zu sein scheine. Das hat Römer aber wohl nur aus dem engen innern 
Hohlraume gefolgert. Wenn dies Ende, wie wir annehmen, der Nucleus war, so war es ganz geschlossen. 


697 


schliffe Mus. Stockholm Re No. 4a sind bei 9 unter 13 Meromen die 
Täfelchen abgehoben, und zwar bei 5 vollständig, während sie bei 4 
proximalseitig noch mit den Trägern darunter zusammenhängen. 

Die Tangentialarme von Ischadites sind verhältnissmässig länger 
als die bei den typischen Receptaculiten. Die Lateralarme eines Täfelchens 
reichen mit ihren Spitzen oft bis an, oder bis über dessen zweitbenach- 
barte meridionale Mittellinien. Daher sitzen in Radialschnitten zwischen 
distalem und proximalem Arme manchmal drei, selbst vier Querschnitte 
von Lateralarmen: in der Mitte zwei stärkere Kreise, daneben ein oder je ein 
kleinerer Kreis (vergl. Fig. 10, 11 auf S. 698, 699). Der distale Arm ver- 
längert sich vielfach so stark, dass er sich in das Köpfchen des nächsten 
Meroms einbohrt und davon umwachsen wird (Taf. 5, Fig. 8, 9, 3). 
Dementsprechend scheint oft auf den verwitterten Täfelchen wie in Taf. 6, 
Fig. 3 eine meridional verlaufende Spindel — es ist die distale — die 
Mittelpunkte zweier Täfelchen zu verbinden. Auch Hinde hat sich wie 
Schlüter über diese Spindeln getäuscht, indem er sie für die Arme selbst 
gehalten hat (Geol. Soc. 1884, p. 812 oben, Taf. 36, Fig. 1g). So musste 
er das entblösst liegende Spitzchen s (unsre Fig. 3) als zum Täfelchen 7 
gehörig und als Fortsetzung des vermeintlichen Armes v betrachten, . 
während in Wahrheit die Verhältnisse umgekehrt sind, und s zusammen 
mit seiner Verlängerung v, die von 7' überdeckt wird, die distale Spindel 
des oberhalb 7’ liegenden Meroms bildet. In Taf. 6, Fig. 3 ist dieselbe 
Stelle wiedergegeben, die auch Hinde abgebildet hat. Die Lateral- 
Spindeln, die auf Hinde’s Figur ganz fehlen, die durch die Spindeln 
verursachte wulstige Prägung der Täfelchen, ihre concentrischen Linien 
und manche andre Einzelheiten, die wir schon bei Receptaculites 
beschrieben haben, sind bei hinreichender Vergrösserung auch hier recht 
deutlich sichtbar. Bemerkenswerth ist noch die Form des in der Mitte 
der Figur liegenden Interpositums mit seinen leicht gekrümmten Lateral- 
Spindeln. Aehnlich gebogene Lateral-Spindeln kommen auch bei Recep- 
taculites vor, z. B. in Taf. 2, Fig. 11 links unten. 

Die Lateralarme befolgen das Winkelgesetz, wie wir es 8. 662 für 
Receptaculites kennen gelernt haben, d. h. seine dextracclive Form. 
Aber zwei Ausnahmen habe ich bisher gefunden, in denen sinistracclive 
Ausbildung herrscht, bei denen also, wenn man die Täfelchen von aussen 


698 


betrachtet, die linken Lateralarme über den rechten desselben concen- 
trischen Tafelkranzes liegen. Der erste Fall betrifft das Bruchstück eines 
Exemplares von Ischadites rectus Rauff.') 
Es ist in Taf. 5, Fig. 9 abgebildet und ist das 
einzige Specimen dieser Art, das ich gesehen 
habe. Bei Z und r sind seine Täfelchen theils 
fortgebrochen, theils abgewittert, bei 2 bis auf 
die distalen, bei r bis auf die proximalen Arme. 
8 Die sinistracclive Lagerung der Lateralarme er- 
Sinistracelive Lagerung der E E 
Lateralarme bei Ischadites Seht man aus den nebenstehenden Fig. 8 und 9, 
rectus Rauff. Stelle 2 der die mit der Camera nach / und r aufgenommen 
Ve an amp worden sind. Den zweiten Fall habe ich bei einem 
Ischadites Königi Murch. (Ischadites 
Lindströmi Hinde?) von Petesvik auf Gotland 
constatirt. Regel ist auch bei diesen Vorkomm- 
nissen der Species die dextraccelive Lagerung 
Fig. 9. der Lateralarme, so dass der Unterschied hier 
Stelle r der Fig. 9 auf Taf.s jedenfalls nicht specifisch ist. Ob er es bei 
nal. Ischadites rectus ist, bleibt festzustellen. 
Nicht immer liegt der distale Arme direct 
unter dem Täfelchen, wie das bei Receptacu- 
lites (Taf. 1, 2 etc.) der Fall ist, sondern zu- 
weilen ist er ganz davon getrennt und ziemlich 
weit davon abgerückt, ebenso wie die Lateral- 
arme (nebenstehende Fig. 10). Der Träger unter 
Skizze nach einem Schnitte dem Täfelchen, der ein nagelkopfartiges Profil 
vonIschaditesMurchisoni 3 i : > PEWE 
Eichw. sp. In 5/l. Unter- annimmt, wird hier also nicht mehr wie in Taf. 1, 


Silur. Lyckholm’sche Schicht Fig. 4—6 von den drei Armen d, J, ! und ihren 
(F1) von Kurküll in Estland. 


Original im Revaler Museum. 


Fig. 8. 


Fig. 10. 


verwachsenen seitlichen Flügeln gebildet, sondern 
tritt als eine besondre endständige Verdickung 
des Radiale auf. Eine solche Trennung sämmtlicher Arme vom Täfelchen 
habe ich bei mehreren Exemplaren von Ischadites Murchisoni (Eichw.) 


1) Von Eichwald, Leth. ross. I. S. 485, Taf. 27, Fig. Sa, b, e mit Escharipora recta 
Hall verwechselt. 
2) In meiner Sammlung. 


699 


Hinde beobachtet. Durch die ziemlich weite (bis cr. 1 mm weite) und mit 
Gestein ausgefüllte Lücke, die zwischen den gedrängt aneinanderliegenden 
Armen einerseits und den Täfelchen andererseits vorhanden ist (vergl. Fig. 10 
S. 698), glaubt man in Durchschnitten nach dem 
ersten Eindruck zwei übereinanderliegende äussere 
Hüllen der Wand zu gewahren, wie in neben- 
stehender Figur 11. Ob diese Abweichung im 
Bau der Köpfchen für Ischadites Murchisoni 
specifisch ist, vermag ich nicht zu sagen; in zwei 
Exemplaren, die noch im Gestein eingeschlossen 
waren, herrschte sie. Die andern untersuchten 
Stücke hatten ihre Köpfchen verloren, wie in 
Tata, Big. 
(Centrale Enden der Radialarme.) Die Radiale 
von Ischadites enden innen nicht spitz, wie 
Fig. 11. das bisher angenommen wurde, sondern mit Ver- 
Querschnitt u. Längsschnitt diekungen, die den Füsschen von Receptacu- 


von IschaditesMurchisoni ]jtes-entsprechen, sich dicht aneinanderdrängen 
Eichw. sp. In 1/1. Oberes 


Untersilur. Lyckholm’sche 
Schicht (F 1) von Kurküll in stande um den innern relativ kleinen Hohlraum 


ie Pe eine geschlossene Wandfläche bilden (Taf. 6, Fig. 5, 
nach andern Stücken ergänzt. 6, 4; Taf. 7, Fig. 2; Textfigur 11). Die langen 
dünnen Radialarme, die nicht cylindrisch, sondern 
in einer mittlern Strecke noch besonders zusammengezogen sind, müssen 
als sehr leicht zerbrechlich gelten. Ihrer Zartheit und geringen Wider- 
standsfähigkeit ist es wohl zuzuschreiben, dass sie sehr häufig nur unvoll- 
ständig, zerbrochen und ohne ihre centralen Enden gefunden werden. 
Ihre Dünne erlaubt auch, dass sie leicht gänzlich vermergelt werden, 
wie das z. B. theilweise, nämlich in ihren äussern Theilen in Taf. 6, 
Fig. 5, 6 der Fall ist, oder dass sie, wenn die Versteinerungsmasse aus 
Kalkspath besteht, leicht gänzlich in solchen umgewandelt werden. In 
beiden Fällen gehen sie, und besonders schnell ihre centralen Enden im 
Gesteine gleichsam unter. 
In Taf. 6, Fig. 5, 6; Taf. 7, Fig. 2 sind die centralen Anschwellungen 
gestreckt-dütenförmig, tief und weit ausgehöhlt und hierdurch dünn- 


und im unverletzten und nicht verdrückten Zu- 


700 


wandig; in andern Fällen sind sie kurz kegelförmig, wie das Mundstück 
einer Trompete. Specifisch ist der Unterschied nicht, und die starke 
innere Erweiterung ist vielleicht secundär. 

(Krümmung der Radialarme) Die Radiale sind häufig leicht (Taf. 7, 
Fig. 2, 4), und wenn der Nucleus eingesenkt ist, dem Grade dieser Ein- 
senkung entsprechend, selbst stark gekrümmt (Taf. 6, Fig. 4), weil ihre 
Enden auf der äussern und innern Begrenzungsfläche der Wand etwa 
senkrecht stehen wollen. 

(Zerstörung und Incrustation der Arme) In den Djupviker Ischa- 
diten, nach denen die Zeichnungen der Taf. 5 angefertigt worden sind, 
ist die allmähliche Auflösung der Merome oder einzelner ihrer Glieder in 
dem klaren Kalkspathe, der häufig das Versteinerungsmittel im Innern der 
Körper bildet!), gut zu verfolgen. Die Arme verlieren zunächst ihre 
licht-gelbbraune Farbe, die sie in Dünnschliffen dieser Stücke haben, 
bleiben aber anfangs durch feinste, graue Staubtheilchen, die ihrem Kalke 
eingelagert sind, noch undeutlich unterscheidbar. Später verschwinden 
nach und nach mit diesem Staub ihre Conturen gänzlich, und endlich bleiben 
oft nur die äussern Enden der Radiale unter den Täfelchen als nagel- 
und nagelkopfartige Gebilde übrig, während von den Tangentialarmen 
und den innern Theilen der Radiale keine Spur mehr zu finden ist. 
In Taf. 5, Fig. 2, 8, 9 ist ein Theil der Glieder dieser Auflösung in dem 
umhüllenden Kalkspathe bereits anheimgefallen. 

Eine andre Umänderung, auf deren Bedeutung für das Verständniss 
mancher Erscheinungen schon mehrfach hingewiesen worden ist, ist eine 
eigenthümliche Incrustation der Merome oder einzelner ihrer Glieder, be- 
sonders der Köpfchen, mit Kalkspath. Ein derartiges Beispiel ist Taf. 5, 
Fig. 10 abgebildet. Die Conturen der körnig-krystallinisch gewordenen 
Arme sind in der secundären Umhüllung vollständig verschwunden. Uner- 
klärlich ist es mir geblieben, dass sich in diesen Verdickungen, die sich 
durch ihre plumpen und unregelmässigen Formen sowohl, als dadurch, 
dass zwischen ihnen auch noch unveränderte Glieder vorkommen, als 
spätere und zufällige Incrustationen zweifellos kennzeichnen, doch gewisse 
Eigenthümlichkeiten wiederholen. So zeigen sich Taf. 5, Fig. 10 in den 


1) Das einschliessende Gestein ist ein dichter bläulichgrauer Mergelkalk. 


701 


Winkeln, in denen die verdickten Köpfchen mit den Säulchen zusammen- 
stossen, mehr oder weniger tiefe mit Mergel erfüllte Einbuchtungen e. 
Das wiederholt sich auch an andern Exemplaren, und die diesen Ein- 
buchtungen e entsprechenden Zäpfchen, Wülste, oder erhabenen Ringe 
zeigen sich auch an Steinkernen. So auf der den Facetten zugewandten 
Fläche des in Taf. 4, Fig. 2 abgebildeten Steinkernes. Diese in Taf. 4, 
Fig. 6 vergrössert wiedergegebene Fläche ist ja wegen der voraufge- 
gangenen vollständigen Incrustation der Köpfchen und der nachherigen 
Lösung des Kalkes durch einen schmalen Zwischenraum von den Facetten 
getrennt (vergl. S. 688). Bei dem Stücke Taf. 4, Fig. 7!), womit noch 
einige andre Stücke von Kuckers bei Reval übereinstimmen, darf man 
ebenfalls eine solche Incrustation der Köpfchen und spätere Entfernung 
des Kalkes voraussetzen, weil die jetzige Sculptur der Oberfläche hierdurch 
vollständig erklärt wird und nur hierdurch erklärt zu werden scheint. 

Merkwürdigerweise greift die Incrustation niemals auf die Aussen- 
fläche der Täfelchen über. 

(Acanthochonia — Ischadites) Während in Taf. 5, Fig. 10 fast die 
sämmtlichen incrustirten Köpfchen durch einen schmalen, mit Mergel 
erfüllten Spalt Z noch von einander getrennt bleiben, wurde eine voll- 
ständige Verschmelzung der Köpfchen bei sämmtlichen untersuchten böh- 
mischen Ischaditen (Acanthochonien) gefunden. Alle zeigen die 
gleiche Erscheinung, dass unter der sehr gut erhaltenen Oberfläche eine 
breite Zone krystallinischen Kalkspaths mit reichlicher Zwillingsbildung 
liest (Taf. 5, Fig. 1). Die Köpfchen sind in dieser Zone vollständig oder 
bis auf wenige Reste aufgelöst, die gerade noch erkennen lassen, dass die 
Köpfchen normal gebaut und zusammengefügt waren. Dieses Band ist nichts 
andres als die erwähnte, vollständige Verschmelzung der incrustirten 
Köpfchen und Radialarme bis auf eine gewisse, bei den einzelnen Exem- 
plaren wechselnde Entfernung von der Oberfläche hin. Die Kalkspath- 
zone umschliesst häufig einen klastischen Kern, worin die Radiale noch 
getrennt liegen. Aber sie sind hier meist auch schon incrustirt und ver- 
dickt, wie aus ihren wechselnden Dimensionen hervorgeht. Ursprünglich 
waren sie gewiss durchweg ebenso schlank und dünn, wie bei den nor- 


1) Receptaculites Damesi n. sp. 
Abh. d. II. Cl.d. k. Ak.d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth, 92 


702 


dischen Ischaditen. Dann bleibt aber in den übrigen Verhältnissen 
Ischadites gegenüber kein Unterschied mehr bestehen. Denn dass die 
Radiale von Acanthochonia innen spitz enden, wie es allerdings bisher 
nur beobachtet worden ist, dürfte nach der Berichtigung, die Ischadites 
in dieser Beziehung erfahren hat, nicht mehr wahrscheinlich sein, obschon 
ja auch Ischadites die Füsschen durch Verlust meistens eingebüsst hat. 
Dass aber die napfförmige Gestalt der Acanthochonien, worauf in erster 
Linie Hinde'!) die Gattung begründet hat, nicht die vollständige Körper- 
form darstellt, habe ich schon oben berührt. Schlüter?) hat eine 
krugförmige Acanthochonia gefunden und aus diesem Grunde die 
Selbständigkeit der Gattung bereits angezweifelt. Auch die meisten nor- 
dischen Ischaditen sind nur in Untertheilen erhalten, weil die Merome 
des obern Theiles wahrscheinlich leichter aus ihrem Verbande heraus- 
gelöst wurden, als diejenigen des untern (S. 695). Nur die Djupviker 
Stücke sind vollständige. Wenn man aber wahrnimmt, wie auch bei 
ihnen allen über oder unter dem äquatorialen Rande ein Bruch der 
linsenförmigen Körper stattgefunden hat, so muss man sagen, dass es 
besonders günstigen Umständen zuzuschreiben ist, dass hier Ober- und 
Untertheile immer vereint geblieben sind. Nur aus minder günstigen 
Umständen dürfte es sich erklären, dass bei den böhmischen Ischa- 
diten (Acanthochonien) erst in einem Falle, bei Receptaculites aber 
noch niemals Obertheile beobachtet worden sind. 


(Incerustation der Füsschen) Dieselben Kalkspathincrustirungen wie 
an den Köpfchen kommen an den Füsschen vor, und die Art und Weise, 
wie die Ansätze beginnen und fortschreiten, bewirkt auch hier einige 
sehr merkwürdige und noch etwas dunkle Erscheinungen. Ich verweise 
da zunächst auf die Dünnschliffe aus einigen Russischen Receptaculiten 
Taf. 4, Fig. S—12, die durch ihre kurzen, aber dünnen Säulchen den 
Uebergang zu Ischadites bilden®). Die centralen Verdickungen der 
Säulchen sind durch secundären Kalkansatz — wie auch durch Auflösung 
und Fortführung ursprünglicher Substanz -—— vielfach entstellt und ver- 


1) Hinde, Geol. Soc. 1884, p. 819, 820. 
2) Sitzber. Niederrh. Ges. Bonn. 1887. p. 128. 
3) Receptaculites Damesi n. sp. 


703 


unstaltet. Man kann jedoch dabei nicht übersehen, mit welcher Constanz 
ein Gesteinstäbchen s zwischen je zwei Säulchen, wenn auch nicht bei 
jedwedem Füsschen, so doch in allen Schliffen wiederkehrend, den ganz 
unregelmässig geformten Kalkansatz durchbricht. Nach der Lage der 
Schnitte entsprechen diese Gesteinstäbchen den alternirend gestellten innern 
Wandporen von Receptaculites orbis (S. 684). Das zeigt neben den 
Dünnschliffen vornehmlich 
ein Präparat (nebenstehende 
Fig. 12), dessen beide Schnitt- 
flächen durch zwei benach- 
barte meridionale Säulchen- 
reihen gelegt sind. 

Auf jeder der beiden 
Schnittflächen ist zwischen 
je zwei Säulchen auch ein 


Fig. 12. 


; y Gesteinszäpfchen vorhanden 
Die ausgezogene Contur bezeichnet die Grenzen der 


inerustirten Füsschen auf der Vorderseite des Präparates, und angeschnitten, und wie 
die punktirte Contur die Grenzen des incrustirenden Kalk- die Säulchen, so alterniren 


spaths auf der Rückseite. ya “ 
s = Gesteinzäpfchen, die auf der Vorderseite ange- auch die Zäp fchen auf bei 


schnitten sind, & die auf der Rückseite liegenden, nicht den Seiten des Präparates''). 
bis an die Vorderseite reichenden Gesteinzäpfchen. Es ist so, als ob die Ge- 


sıs hat den Kalkspath (weiss) nicht vollständig er fall d h 
durchbrochen. s und + alterniren regelmässig mit den EEESANEND. InE FE 
Radialen $ und X. Lücke s mit dem wach- 


Skizze nach einem Präparate von Receptaculites : 
senden Kalkansatze gleich- 
DamesiRf. In 4/1. Untersilur. Jewesche Schicht (D) von : 8 


Kuckers bei Jewe. Original im Berliner Museum. sam mitwächst. Die Er- 

scheinung ist dunkel, aber 
sie findet doch auf Taf. 5, Fig. 10 ihr Analogon in der Incrustation der 
Köpfchen. Auch hier verschmelzen die incrustirten Köpfchen aus unbe- 
kannten Ursachen nicht miteinander, sondern werden durch feine nur 
0,05 bis 0,3 mm breite, mit Gestein erfüllte Lücken (L) von einander 


1) Wir sind hiermit nochmals auf die problematischen Poren der Innenwand gekommen. 
Man wird aber nicht behaupten können, dass die Präparate Taf. 4, Fig. 8—-12 und die oben- 
stehende Skizze ihre Ursprünglichkeit wahrscheinlicher machen; vielmehr deuten die Verhältnisse 
auch hier darauf hin, dass die Durchbrechung zwischen den Füsschen (vergl. besonders Fig. 9, 10) 
erst nachträglich stattgefunden hat. 
99,* 


704 


getrennt gehalten, während andrerseits bei den sog. Acanthochonien 
die Verwachsung zu einer zusammenhängenden Kruste immer stattge- 
funden hat. 

(Merkwürdige Steinkerne im Backsteinkalke.) Durch solche eigen- 
thümlichen Fortwachsungen des incrustirenden Kalkes, vorwiegend nach 
einer Richtung hin und von ursprünglichen Formverhältnissen in ge- 
wissem Grade beeinflusst, möchte ich mir die Entstehung gewisser Stein- 
kerne im Backsteinkalke erklären, über deren Besonderheiten sonst kein 
nicht entkalkter Receptaculit Aufschluss zu geben vermochte. In den 
hohlen Röhrchen (Taf. 6, Fig. 10—12), die von aussen nach innen diese 
Steinkerne durchziehen, haben die Säulchen gesessen. Sie münden in 
einen innern kegelförmigen Raum, worin eine gestreckt rübenförmige 
Axe aus Gestein sitzt. Diese Axe wird von zahlreichen Gesteins- 
pfeilerchen getragen. Sie durchsetzen den Innenraum quer zwischen 
seiner Wandfläche und der Axe und entsprechen den in Taf. 4, 
Fig. 8—12 mit s bezeichneten Stäbchen, die nach der Entkalkung der 
betreffenden Stücke ähnliche Pfeilerchen zwischen einem Ausgusse des 
Centralraumes und der Wandausfüllung zwischen den Säulchen bilden 
müssten. Die Pfeiler in Taf. 6, Fig. 10 sind theils gerade, theils ge- 
krümmt oder etwas wellig, auch scharf umgebogen, ihre Durchmesser 
wechselnd selbst innerhalb eines Pfeilerchens, der Querschnitt unregel- 
mässig rundlich oder kantig. Fraglich bleibt es, ob der ganze Innen- 
raum in Taf. 6, Fig. 10, 10a oder nur die axiale Spindel die ursprüng- 
liche Körperhöhle darstellt, ob also die Incrustation der Füsschen, die 
wir voraussetzen dürfen, von ihren Endflächen nach innen, oder an den 
Säulchen entlang nach aussen fortgeschritten ist. Diese Steinkerne ge- 
hören höchst wahrscheinlich zu Ischadites Murchisoni, Zichw. sp. 
Diese Art kommt auch in ganz gestreckten Formen!) vor, und der innere 
Hohlraum, der die Längsaxe bildet, ist nicht immer so weit, wie in 
Taf. 7, Fig. 2, sondern öfter auch viel enger, enger noch als in Fig. 11 
auf S. 699 (z. B. nur !/ıo des Durchmessers der äussern Form). 
Dem untern Abschnitte der weitern Körperhöhle von Taf. 7, Fig. 2 
würde der ganze Innenraum in Taf. 6, Fig. 10, 10a entsprechen, 


1) Tetragonis sulcata Eichwald (Leth. ross. I. S. 432. Taf. 27, Fig. 5) gehört dazu. 


705 


einer ursprünglich schon sehr engen Höhle nur die axiale Gesteins- 
axe darin. 

Auch die Köpfchen dieser Stücke waren vor der Entkalkung in- 
cerustirt. Das wird aus der Beschaffenheit ihrer Oberflächen ersichtlich: 
Von den Eindrücken der Tangentialarme sind nur in Taf. 6, Fig. 12 an 
wenigen Stellen noch undeutliche Spuren erhalten. Auf den Rändern der 
vertieften rhombischen (Fig. 12) oder rundlich-rhombischen (Fig. 11) 
Felder dagegen, besonders in den Ecken, erheben sich Knoten, Leistchen, 
oder scharfe kleine Kämme von Gesteinsmaterial, die den schmalen 
Lücken (!) in Taf. 5, Fig. 10 entsprechen und in Taf. 6, Fig. 12 vielfach 
den Steinkern mit dem umhüllenden Gesteine verbinden. In den Zäpf- 
chen, die in Fig. 12 auf den Ecken der Felder stehen, würde man ohne 
Kenntniss der eigenthümlichen Incrustationen nur Poren vermuthen 
können, die den äussern Täfelchenbelag durchbrochen haben. Aber solche 
Poren sind niemals beobachtet worden, und ich sehe deshalb in jenen 
Zäpfchen nur eine weitere Stütze für die gegebene Erklärung der innern 
Pfeilerchen. Die Axen an Sternkernen aus dem Backsteinkalke hat auch 
Geinitz!) beobachtet, und zwar, soweit ich mir hierüber aus der Be- 
schreibung und den Abbildungen ein Urtheil bilden kann, sowohl an 
Steinkernen von Ischadites Murchisoni, als an solchen von Ischa- 
dites Königi. Den innern von den Pfeilerchen durchzogenen Hohlraum 
dieser Steinkerne hat er, der Billings’schen Anschauung folgend, als 
Endorhin bezeichnet. Nach den vorstehenden Untersuchungen kann je- 
doch eine derartige selbständige Innenschicht unter den Säulchen auch 
hier nicht angenommen werden. 


Polygonosphaerites, F. RÖMER. 


(Gattungsuame) Da der Name Sphaerospongia Pengelly auf 
einer irrthümlichen Auffassung über die Natur der Receptaculitiden beruht 
und die Zugehörigkeit zu den Spongien ausdrückt, so ist F. Römer’s?) 
Gattungsname Polygonosphaerites vorzuziehen. 


1) Zeitschr. d. Deut. Geol. Ges. Bd. 40. 1888. S. 17. 
2) F. Römer, Lethaea palaeozoica, S. 296. 


706 


(Form) Die bisher bekannt gewordenen Exemplare von Poly- 
gonosphaerites zeigen sämmtlich eine mehr gestreckte oder mehr 
gedrungene kegel- bis birnförmige Gestalt, und diejenigen, bei denen die 
Täfelchen erhalten sind, charakterisiren sich äusserlich vorzüglich durch 
deren ausgeprägt sechsseitige Umrisse, die aus den rhombischen Um- 
rissen, wie sie die vorigen Gattungen zeigen, durch breitere Abstumpfung 
der meridionalen Ecken entstehen (vergl. S. 656). 

Am obern Pole geschlossene Körper sind noch nicht gefunden 
worden. Jedoch wird der Zusammenschluss auch bei Polygono- 
sphaerites nicht gefehlt haben. Jedenfalls erwiesen sich alle Stücke 
an ihrem obern Rande verbrochen. Das von Kayser abgebildete!) 
Specimen von Polygonosphaerites tesselatus Pill. sp. aus dem 
Mitteldevon von Villmar in Nassau zeigt oben eine ebene Abstutzungs- 
fläche; merkwürdigerweise sind die am Rande dieser Fläche sitzenden 
Täfelchen scharf umgeknickt, so dass die Täfelchen mit ihrem distalen 
Theile auf der Seitenfläche des Stückes, mit ihrem proximalen Theile 
auf der Abstutzung liegen. Ein eigentlicher Bruch war an ihnen nicht 
zu erkennen, dennoch ist wohl anzunehmen, dass ihre Umknickung erst 
im. Gebirge erfolgt ist. 

(Stachel (2) auf den Täfelchen) Die hexagonalen Täfelchen sind, 
wie bei den vorigen Gattungen, von feinen, concentrischen Linien?) be- 
deckt. In ihrer Mitte findet man an gut erhaltenen Exemplaren häufig 
einen gerundeten Knopf. An Stelle dieser Knöpfe habe ich an einem 
interessanten Stücke von Gerolstein (Taf. 7, Fig. S), das schon früher 
Gegenstand der Untersuchung?) war, und dessen Aussenseite mit einer 
Kruste von Alveolites suborbicularis überrindet ist, stachel- oder 
dornförmige Fortsätze gefunden, die senkrecht auf den Plättchen stehen. 


1) Als Pasceolus tesselatus et Rathi bestimmt. Zeitschr. Deut. Geol. Ges. Bd. 27, 1875, 
Taf. 20, Fig. 2b; die Umknickung der Täfelchen (Fig. 2c) von Kayser nicht abgebildet. 

2) Kayser, ebenda Fig. 1c; Hinde, Geol. Soc. 1884. Taf. 37, Fig. 1b; Hinde, Monogr. Brit. 
foss. Spong. Taf. 4, Fig. 2. 

3) F. Römer (Zeitschr. Deut. Geol. Ges. Bd. 35, 1883) hat dieses Stück für den Abdruck 
eines Dietyophyton gehalten und dementsprechend den Kautschuk-Ausguss als die ursprüng- 
liche Oberfläche abgebildet, Fig. a, p. 706. Die ebenfalls irrthümliche Bestimmung seiner Fig. b, 
p. 706, deren Original in unsrer Taf. 7, Fig. 5 nochmals zur Abbildung gelangt ist, hat Schlüter 
schon berichtigt (Zeitschr. Deut. Geol. Ges. 39. Bd. 1887, p. 15 vorletzter Absatz). 


707 


Ich wurde zuerst darauf aufmerksam, als ich den Rand des Stückes 
genauer betrachtete. Ein Dünnschliff vom Rande bestätigte die Wahr- 
nehmung. Man sieht darin (Taf. 7, Fig. 9) einen 3 mm hohen konischen 
Dorn von dem Täfelchen emporragen. Ob Form und Länge dieses 
Anhanges seine ursprüngliche Gestalt wiedergeben, lässt sich nicht beur- 
theilen, weil man nicht weiss, ob der Schnitt den Stachel vollkommen 
median, oder etwas schräg getroffen hat. Auch scheinen Veränderungen 
durch Corrosion bereits stattgefunden zu haben. Dass dieser Dorn nicht 
etwa das Säulchen eines fremden Meroms ist, das der Aussenfläche des Poly- 
gonosphaerites zufällig aufgeklebt worden ist, ergiebt sich unzweideutig 
aus der Lagerung der Tangentialarme. Sind diese auch stark deformirt, 
so lassen doch die noch eben sichtbaren Durchschnitte der beiden Lateral- 
arme (l, Taf. 7, Fig. 9) keinen Zweifel daran zu, was proximaler, was 
distaler Arm ist. Wollte man die Zeichnung auf den Kopf stellen und 
den Dorn als Säulchen eines fremden Meroms betrachten, so würde man 
bemerken, dass das Gesetz der Arm-Verbindung nicht mehr erfüllt würde; 
es würden dann die beiden lateralen Arme über den meridionalen liegen. 
Bei einem zweiten aus der Mitte des untern Theiles von Taf. 7, Fig. 8 
herausgenommenen Schnitte wurde zwar der längere Dorn wie in Fig. 9 
nicht wiedergefunden, dafür aber stark 1!/a mm lange Knöpfe, die an 
ihrem Grunde eingeschnürt sind (Fig. 10). Offenbar haben diese Knöpfe 
Umformung erlitten. Am Rande des Stückes dagegen habe ich des 
weitern an vier Stellen theils durch Anschleifen, theils durch Präparation 
mit der Nadel längere (2—3 mm lange), cr. 1 mm dicke Dornen bloss- 
gelegt. Es scheint danach, dass die erwähnten, von Kayser und Hinde 
abgebildeten Knöpfe auf den Täfelchen von Polygonosphaerites tes- 
selatus nur die Rudimente längerer dorn- oder stachelartiger Anhänge 
seiner Aussenfläche sind. Der umrindende Alveolites hat in dem Eifler 
Stücke diese Anhänge vor Abbruch und Zerstörung bewahrt. 
(Tangentialarme) Die Anordnung der Tangentialarme weicht auch 
bei dieser Gattung nicht von der allgemeinen Regel ab. Das Winkel- 
gesetz ist bisher nur in der dextraccliven Ausbildung bekannt (Taf. 7, 
Fig. 8, 11, 12). Da man in diesen Abbildungen von innen auf die Täfel- 
chen blickt, so muss der rechte laterale Arm in den Zeichnungen unten, 
der linkslaterale dagegen oben liegen (vergl. S. 662). Die Tangentialarme 


708 


sind wie bei Ischadites relativ länger als bei Receptaculites; ebenso 
wachsen die Lateralarme über die Meridionalarme hinaus (Taf. 7, Fig. 11). 
Manchmal nehmen einzelne Lateralarme mehr diagonale Richtung an. 

(Fehlen der Radialarme) Radiale sind bisher bei Polygono- 
sphaerites nicht beobachtet worden. Hierin liegt der wichtigste Unter- 
schied gegen Ischadites und Receptaculites. Vielleicht aber waren 
Rudimente der Radiale vorhanden. Hinde führt knopfförmige Ver- 
dickungen an, die vom Vereinigungspunkte der Tangentialarne in das 
Innere vorspringen. In unsern Stücken waren solche Knöpfe nicht zu 
bemerken. Wenn sie vorhanden waren, so mussten die proximalen Arme 
(Taf. 7, Fig. 12) sich in sie eingebohrt oder sie sogar vollständig durch- 
wachsen haben, was nach den Beobachtungen bei Ischadites (S. 697, 
Taf. 5, Fig. 7, 8), bei dem sich der distale Arm öfter!) in das benach- 
barte Köpfchen einbohrt, ja nicht ohne Analogie wäre. 


II. Systematische Stellung der Receptaculitiden. 


Nach den Ergebnissen der vorstehenden Untersuchungen wird man 
bereits die Schwierigkeiten überblicken, die einer Einreihung der Recep- 
taculitiden in irgend eine der bekannten Organismengruppen entgegenstehen. 

Um seine Hypothese zu begründen, dass die Receptaculitiden hexac- 
tinellide Spongien wären, hat Hinde die unerlaubte und von der Mine- 
ralogie nie bestätigte Annahme gemacht, dass es wahre Umwandlungs- 
pseudomorphosen von Kalk nach Kiesel gäbe. Er meint?), dass die 


1) Vereinzelt auch bei Receptaculites beobachtet, Taf. 3, Fig. 3. 

2) Quart. Journ. Geo]. Soc. 40. 1884. S. 809. The facts brought forward by Gümbel do not, 
however, appear to me to be sufficient to prove the organic nature of this fibrous crystalline 
structure. The constant direction of the radiation of the fibres may be attributed to the fact, 
that the vertieal axis of the spicular ray is the centre from which the rays diverge to the surface 
of the spieule. That the faint concentrie and parallel lines, noted by Gümbel in vertical and 
transverse sections of the spieules, may indicate their mode of growth by the addition of con- 
centric layers seems extremely probable, but such markings might yet be shown even on 
the supposition that caleite had replaced silica, and so far from being directly 
opposed to the supposed relationship to Sponges, as Gümbel asserts they are, in 
fact, strong evidences in favour thereof, since the spicules alike of caleareous and siliceous 
sponges are built up of concentric layers deposited round a central axial canal. 


709 


feinen parallelen, bez. concentrischen Linien in Längs- und Querschnitten 
der Säulchen die sich umschliessenden Cylinder anzeigten, woraus alle 
Kieselnadeln der Hexactinelliden um einen Axenkanal herum aufgebaut 
sind. Diese Annahme ist unzulässig, denn niemals sind in verkalkten 
Kieselnadeln die ursprünglichen Structuren bewahrt worden, und niemals 
können sie bewahrt worden sein, weil die Umwandlung so vor sich geht, dass 
im verhärteten Gestein der Kiesel der Spicule weggeführt, und in die ent- 
standenen Hohlräume dafür körnig-krystallinischer Kalk wieder abgesetzt 
wird. Es ist dabei gleichgültig, ob die Kieselnadeln zuerst vollständig 
ausgelaugt werden und hohle Röhren hinterlassen, die erst in einer spätern 
Periode wieder mit Kalkspath gefüllt werden, oder ob die Lösung des 
Kiesels und der Absatz des Kalkes mehr Hand in Hand gehen und etwa 
gleichzeitig geschehen. Der Process bleibt im Wesen derselbe, er ist in 
beiden Fällen so zu sagen eine einfache Ausfüllungs-Pseudomorphose. 

Wohl kann der Axenxanal in verkalkten Kieselspiculen vorhanden 
sein; dann nämlich, wenn er vorher mit Sediment vollgestopft wurde. 
Er kann dann bei der Lösung des Kiesels als ein Gesteinsfaden unver- 
letzt zurück bleiben, um später von Kalk wieder umschlossen zu werden, 
ebenso unverletzt, wie die Gesteinswand, die die Nadel umhüllt und deren 
Dimensionen und feinste OÖberflächenverzierungen trotz des Lösungsprocesses, 
wodurch der Kiesel entfernt worden ist, oft auf das schärfste bewahrt hat. 
Aber niemals wird in solchen verkalkten Nadeln die ursprüngliche 
Schichtung des Kiesels überliefert, niemals ist auch bisher eine fasrige 
Structur des Kalkes darin beobachtet worden, stets ist sie körnig- 
krystallinisch. Nun wäre es ja denkbar, dass in den weiten, ausgehöhlten 
Gliedern der Receptaculitiden der secundäre Absatz des Kalkes nach Art 
der Sinterbildungen langsam und schichtweise von den Wänden aus er- 
folgt wäre. Man trifft solche Erfüllungen zuweilen in Spalten des Ge- 
steines; dann aber stehen die Kryptokryställchen des Kalkes immer senk- 
recht auf den Flächen der Schichten. Die Structuren in den Meromen 
und in jedem einzelnen ihrer Glieder müssten sich also nach deren Ober- 
flächen richten. Das ist ja aber hinsichtlich der Faserung des Kalkes 
durchaus nicht der Fall. Vielmehr sind in den best erhaltenen Exem- 
plaren die Structuren in allen Gliedern gleichbleibend einsinnige: Conver- 
genz der fiederstelligen Fasern nach aussen, nach den Täfelchen zu. 

Abh. d. IIL.Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 93 


710 


Waren die Spindeln Hohlräume in kieseligen Sklettheilen, so könnten 
sie in den jetzt kalkigen Meromen nur dadurch erhalten worden sein, 
dass sie vor der Entkieselung bereits mit einem Stoffe erfüllt wurden, 
der bei der Auslaugung des Kiesels unangegriffen stehen blieb. Wo in 
verkalkten Hexactinellidennadeln die Axenkanäle sichtbar sind, da sind 
sie das immer dadurch, dass sie aus dunkeln Gesteinsfäden bestehen, 
die sich von der klaren Kalkspathumhüllung abheben. Wir haben da- 
gegen S. 671 gesehen, dass bei den Receptaculitiden die Spindeln der 
Tangentialarme aus dem relativ reinsten Kalkspathe gebildet werden, und 
dass noch in keinem Falle eine Verdrängung dieses Materiales durch 
Sediment beobachtet worden ist.') Es wäre aber zu erwägen, ob nicht 
vor der Entkieselung in die hohlen Spindeln Kalkspath zum Absatz ge- 
langt sein könnte. Das wäre vielleicht nicht unmöglich, da die Nadel- 
wände der Kieselspongien in der That eine gewisse Diffusionsfähigkeit 
für Flüssigkeiten zu besitzen scheinen, wie ich an andrer Stelle darlegen 
werde. Aber der beobachtete Abschluss der „Hohlräume“ in den einzelnen 
Armen (S. 664, 672) entspräche wieder nicht dem Axenkreuze der hexac- 
tinelliden Spicule, weil bei diesen die Kanäle der einzelnen Arme im 
Kreuzungsknoten zusammentliessen. Oeffneten sich aber die hohlen Spindeln 
an den Armenden nach aussen, wie es häufig bei hexactinelliden Nadeln 
gefunden wird, oder mündeten sie auch nur in den Üentralkanal des 
Säulchens, so ist kein Grund anzugeben, wesshalb sie nicht gerade so 
gut wie dieser und wie die weit feineren Kanäle bei den Hexactinelliden 
mit Sediment erfüllt sein sollten. Es kommt weiter hinzu, dass die 
Axenstränge der Hexactine nie von vornherein dick spindelförmig sind, 
sondern stets nur einen äusserst feinen cylindrischen Faden bilden. Es 
kommen wohl nachträglich spindelförmige Erweiterungen vor, aber von 
solchen zufälligen Bildungen kann bei den Spindeln der Receptaculitiden 
nicht die Rede sein, da ihre Form ganz constant ist, und ihr grösster 
Durchmesser, wie wir S. 663 gesehen haben, eine bestimmte Lage im 
Arme einnimmt. Wollten wir aber von alledem absehen und dennoch 


1) Wenn die Spindeln aus Eisenkies oder daraus entstandenem Brauneisen bestehen, so 
bedeutet das nur eine Verdrängung des Kalkes, denn dann sind auch andre Theile der Merome, 
z. B. die Wände der Säulchen etc. theilweise oder gänzlich verkiest, und oft auch andre Reste 
im Gesteine, die zweifellos ursprünglich kalkig waren, z. B. Schalenreste von Conchylien u. s. w. 


DER 


annehmen, dass die Spindeln hohl waren, aber schon vor der Entkieselung 
mit Kalkspath ausgefüllt wurden, so bliebe es doch unerklärlich, warum 
der Kalk, der später an Stelle des Kiesels getreten ist, in den Armwänden 
eine gänzlich andre Structur besässe, als derjenige in den Spindeln und nicht 
mit diesem structurell und optisch gleichartig sein sollte!), warum er 
eine Structur hätte, die bei verkalkten Nadeln der Kieselspongien und 
überhaupt bei nachträglich mit Kalkspath wieder ausgefüllten Hohlräumen, 
worin Organismenreste gesessen haben, niemals angetroffen wird. 


Diese Thatsachen und Erwägungen: die cylindrischen Lagen, die die 
Säulchen aufbauen, die einsinnig fiedrige Structur des Kalkes in den 
5 Armen, der Mangel eines Beweises dafür, dass die Spindeln Hohlräume 
waren, und wenn sie es dennoch waren, die begründete Annahme, dass 
sie dann nicht mit dem Üentralkanale des Säulchens in Verbindung ge- 
standen haben, die,constante Form der Spindeln und ihre stets abweichende 
Structur gegenüber den Armwänden, das alles schliesst schon die An- 
nahme aus, dass es sich hier um die Verdrängung kieseliger Skelettheile 
von Hexactinelliden durch Caleit handeln kann.?) 


(Der Kalk der Receptaculitiden ist ursprünglich) Vielmehr haben 
die festen Theile der Receptaculitiden schon ursprünglich 
aus fasrigem Kalke bestanden, und ihre innere Structur ist 
uns in den gut erhaltenen Exemplaren überliefert worden. 
Mit dieser Ueberzeugung muss aber jeder weitere Versuch fallen, die 
fraglichen Fossilien bei den hexactinelliden Spongien unterzubringen, 
denn Hexactinelliden, deren Skelet nicht aus Kiesel, sondern aus Kalk 
bestände, das ist nach dem heutigen Stande unsrer Kenntniss ein höl- 
zernes Eisen. 

Das enthebt mich denn auch der Mühe, auf die Beziehungen näher 
einzugehen, die zwischen den Receptaculitiden und den Hexactinelliden 
sonst bestehen sollen, die doch aber in der That nicht in dem Maasse 
vorhanden sind, als es von Hinde dargestellt worden ist. Ich erinnere 


1) so dass die Spindeln ihre Grenzen gegen die Umhüllung verlieren und sich darin gleich- 
sam auflösen müssten. 
2) Die Entstehung verkieselter und mit Pseudo-Axenkanälen ausgestatteter Merome ist 
schon S. 673, 674 besprochen worden. 
93* 


712 


nur daran, dass die Umbildung eines einzelnen Strahles zu einem flachen 
rhombischen, oder sonst wie regelmässig gestalteten Täfelchen bei keiner 
Kieselspongie je beobachtet worden ist, denn die von Hinde!) ange- 
führten plattigen Kieselkörper an der Oberfläche von Plinthosella, 
Ragadinia, Pholidocladia etc. sind nicht mit den Lamnulen gleich- 
werthige Gebilde, da bei ihnen immer mehrere Arme zu einer Scheibe ver- 
schmelzen; ebensowenig etwa die rundlichen Schildchen der Amphidisce in 
den Gemmulae von Tubella und Parmula?), weil diese Amphidisce keine 
hexactinen, sondern diactine Nadeln sind, bei denen nur das Ende eines 
Strahles, aber nicht der ganze Strahl zu einer Scheibe oder einem Schirme 
umgewandelt wird. Auch für die centralen, gefalteten und gewulsteten 
Anschwellungen der Säulchen (Füsschen) fehlt jede Analogie bei den Hexac- 
tinelliden. Ich erinnere ferner daran, dass auf der Aussenfläche keine 
Ostien vorhanden sind, bei Receptaculites Neptuni und mehreren 
andern Formen auch jedenfalls keine entsprechenden Oeffnungen auf der 
Innenfläche, und dass die Nähte zwischen den Täfelchen und Füsschen doch 
nicht ohne weiteres den Ostien gleichzusetzen sind, wenn sie auch vielleicht 
demselben Zwecke gedient haben, dass auch die Existenz eines Osculums 
sehr fraglich ist, und die Lücken zwischen den Säulchen ein Wasserkanal- 
system, wie es die Hexactinelliden besitzen, nicht darstellen können. 
Denn diese Lücken sind nach dem innern Hohlraume, der also das Para- 
gaster der Spongien darstellen würde, nicht weit geöffnet, sondern im 
Gegentheile durch die aneinander gedrängten Füsschen dicht geschlossen. 
Eine derartig geschlossene, undurchbrochene Wandfläche des Paragasters 
wäre bei den Hexactinelliden, im Besondern bei ihren einfachst ge- 
bauten Vertretern mit einschichtigem Wandgerüst, die man zur Ver- 
gleichung hier heranziehen könnte, unmöglich. Bei ihnen müssen an 
der Innenfläche immer genügend weite Lücken im Gerüste vorhanden 
sein, durch die das Entoderm zur Bildung der Geisselkammern sich in 
Divertikel ausstülpen kann., Diese Divertikel bilden die ableitenden Kanäle 
und münden mit relativ weiten Oeffnungen in das Paragaster ein. 


1) Hinde, Geol. Soc. 1884. p. 830 letzter Absatz. 
2) Vosmaer. Klass. u. Ordn. d. Thierr. 2. Bd. Porifera, p. 346, Taf. 27, Fig. 1, 2; Carter, 
History and classification of the known species of Spongilla. Ann. & Mag. VII. 1881. p. 96, 98. 


713 


Auf Billings Hypothese (S. 650) brauche ich nun auch nicht 
zurückzukommen. Sie ist überdies von Gümbel!) bereits vollständig 
widerlegt worden. } 

(Receptaculitiden als Foraminiferen) Alle Versuche, die Recepta- 
eulitiden bei den Foraminiferen unterzubringen, zuerst die von Salter, 
der die Zwischenräume zwischen den Säulchen für die ursprünglich festen 
Theile und die Merome für Kanäle hielt, dann diejenigen von Dames 
und Gümbel gingen von der Annahme aus, dass Kanäle, welche die 
einzelnen Glieder der Wand durchziehen, wie bei den complieirter ge- 
bauten polythalamen Rhizopoden ein zusammenhängendes System bilden. 
Dies ist aber durchaus nicht der Fall, mögen nun die Spindeln Kanäle 
gewesen sein oder nicht, und ebensowenig kann von Kammern, Septen 
und Septalöffnungen etc, von durchbohrter oder undurchbohrter, aber 
zusammenhängender Schalenoberfläche die Rede sein. Bei einigen winzig 
kleinen Monothalamien besteht die Schale wohl aus rundlichen, vier- 
eckigen oder hexagonalen Plättchen (von Chitin oder Kiesel, was nicht 
sichergestellt ist), die auch mit ihren Rändern übereinandergreifen und 
borsten- bis stachelartige Fortsätze tragen können, ja bei der Gattung 
Arcella besteht die Schalenwand aus zahlreichen, hexagonalen, hohlen 
Prismen, die auf einer dünnern, innern Schalenschicht ruhen, und deren 
Anordnung ebenfalls die guillochirten Kreise der Taschenuhren hervor- 
rufen.) Mit diesen ganz äusserlichen Merkmalen sind aber auch alle Be- 
ziehungen und Aehnlichkeiten wieder erschöpft, und ich vermag sonst keinen 
Zusammenhang zwischen Rhizopoden und Receptaculitiden aufzufinden. 

(Receptaculitiden als Kalkalgen.) Nicht viel besser steht es um die 
Vergleichung mit den Dactyloporiden, die Gümbel versucht hat. Die 
Dactyloporiden sind Kalkalgen (verticillate Siphoneen), bei denen um eine 
einzellige, gegliederte Axe quirlständige, sich mehrfach theilende Zelläste 
(Wirtel) angeordnet sind. Die Zellwand scheidet sowohl auf der Axe, 
wie auf den Wirteln eine dicke Kalkkruste ab.?) Zwischen den Zell- 
ästen sitzen kuglige Sporangien, die sich ebenfalls inkrustiren können. 


1) Abh. Bayr. Akad. II. Cl. 12. Bd. S. 177—179, 200—201. 

2) Bütschli, Bronn’s Klass. u. Ordn. d. Thierr. 1. Bd. Protozoa, p. 20, Taf. 3, Fig. 10, 12, 13; 
ar 2 Rre, 12, ID, gie. 

3) Schimper. Zittel’s Hdb. Paläont. 2. Bd. p. 30. 


714 


So entstehen gegliederte, aus dichter Kalkmasse bestehende Cylinder mit 
einem innern (oft eingeschnürten) Hohlraum, bei denen jedes Segment 
eine Anzahl blasenförmiger, nach aussen meist blinder Höhlungen (Spo- 
rangien, Gümbel’s Kammern) umschliessen kann und von mehr oder 
weniger zahlreichen, radialen Kanälen durchzogen ist, die entweder ein- 
fach sind, oder sich büschelförmig, wie die Finger einer Hand, nach 
aussen theilen und in zahlreichen feinen Poren an der Oberfläche der 
Cylinder ausmünden!) (Ausmündungen von Gümbel’s Zwischenkanälen). 

Gümbel selbst ist auf eine vergleichende Betrachtung zwischen 
Dactyloporiden und Receptaculitiden gar nicht näher eingegangen. Seine 
Ansicht über die gegenseitigen Beziehungen erfahren wir nur aus einem 
kurzen Satze: „Ausser der Aehnlichkeit im Kanalsystem“, sagt er?), „und 
„der dichten Beschaffenheit der Schale ist es besonders die Zusammen- 
„setzung des Gehäuses aus einzelnen Plättchen (wie z. B. bei Thyrso- 
„porella cancellata), welche beide Gruppen von Foraminiferen in 
„ihrer natürlichen Stellung einander näher bringt.“ 

Man kann danach wohl annehmen, dass Gümbel die hohlen Säulchen 
der Receptaculitiden gleichwerthig mit den primären Kanälen (einfachen 
Zellwirteln) erachtete, die von dem Centralraume eines jeden Segmentes 
ausgehen, während er in den Spindeln der Tangentialarme diejenigen 
Glieder erblickte, die er bei den Dactyloporiden Zwischenkanäle nannte. 

Waren die Spindeln Kanäle und standen sie mit dem Centralkanale 
des Säulchens in Verbindung, so wäre, wie mir scheint, lediglich die Exi- 
stenz von Kanälen, die sich nahe der Oberfläche verzweigen, das einzige 
übereinstimmende Merkmal beider Organismengruppen. Wo aber sind 
bei Receptaculites die sterilen Aestchen (zweiter Ordnung), die mit 
zahlreichen Poren an der Oberfläche ausmünden, wo die Conceptacula 
der Siphoneen? Man müsste denn in den Kanälen der Säulchen die 
sterilen Aeste, in den Spindeln der Tangentialarme etwa die Sporangien 
wiederfinden wollen. Einer solchen oder ähnlichen Auffassung hat, wie 
es scheint, auch Steinmann°) Ausdruck geben wollen. Er meint, dass 
die Deutung der rhombischen Täfelchen keine Schwierigkeiten böte, wenn 


1) Gümbel. Die sog. Nulliporen ete. 2. Theil. Abh. bayer. Akad. Wiss. 11. Bd. 1874. 
2) Ä Receptac. Abh. bayer. Akad. Wiss. 12. Bd. 1876. p. 201. 
3) Steinmann. Zur Kenntniss fossiler Kalkalgen. Neues Jhrb. Miner. etc. 1880. II, p. 138. 


A A 


715 


man die Täfelchen als Kalkabsonderungen fertiler Aestchen ansähe. Diese 
Auffassung liesse sich doch nur discutiren, wenn wir irgend ein ähnliches 
Beispiel für das Vorkommen wirklicher Täfelchen bei den Siphoneen 
hätten. Dies ist aber nicht der Fall, denn die in Feldchen getheilte 
Oberfläche mancher Siphoneen, z. B. von Thyrsoporella cancellata 
Gümbel!), deren rectanguläre Felder nur cr. 0,1 x 0,2 mm gross sind, 
lässt sich hier nicht anführen, ebenso wenig etwa die von erhabenen 
Leistehen begrenzten Felder bei Sycidium.?) Jedes dieser Felder be- 
zeichnet allerdings auch einen einzelnen von der Axe ausgehenden ver- 
zweigten (oder unverzweigten) Ast, ist aber gleichsam nur der Querschnitt 
durch die Kalkincrustation, welche die Aestchen zweiter (oder erster) Ord- 
nung umhüllt, während die Täfelchen der Receptaculitiden als besondre, 
selbständige Glieder eines jeden Einzelelementes aufzufassen sind. 


Bei allen Siphoneen streben die Aestchen zweiter Ordnung schräg 
nach aussen, also nach vorwärts mit Beziehung auf die Wachsthums- 
richtung der primären Wirteläste, von denen sie abzweigen. Die 
Tangentialarme der Receptaculitiden dagegen sind schräg nach innen 
gerichtet, das würde eine Verästelung der primären Wirtel (Säulchen) 
nach rückwärts bedeuten. Und wo fände man bei den Siphoneen ein 
Beispiel für die durchaus gesetzmässige und nie vermisste regelmässige 
Verschränkung der Tangentialarme? 


Der Umstand, dass die Zwischenräume zwischen den Säulchen (oder 
zwischen ihren Kanälen) nicht vollständig mit Kalk ausgefüllt werden, 
würde keine Schwierigkeiten bei der Vergleichung mit den Siphoneen 
bereiten, wenn solche Lücken auch bisher nur bei der noch etwas prob- 
lematischen Cylindrella silesiaca Gümbel?) beobachtet worden sind. 
Könnte man bei den Receptaculitiden an Kalkalgen denken, so würde 


1) Abhandl. Bayer. Akad. 11. Bd. 1874, Taf. D. I. Fig. 14a. 

2) Deecke. Ueber einige neuen Siphoneen. Neues Jhrb. Miner. etc. 1883. I, Taf. 1, Fig. 1, 1b. 

3) Gümbel. Nulliporen. Abhandl. bayer. Akad. Wiss. 11. Bd. 1874. p. 281, Taf. D, IV; 
Fig. 44—4d. Bei der Gattung Uteria (Gümb. ebenda Fig. 5a) werden nur die Zellaxe und die 
äussersten Spitzen der Wirtel inerustirt, so dass zwischen einem innern und einem äussern Kalk- 
eylinder ein continuirlicher Hohlraum bleibt. Die bei Munieria baconica (Deecke, N. Jhrb. 1883, 
Bd. I. Taf. 1, Fig. 6, 8) vorhandenen Hohlräume entsprechen auch nicht den Lücken zwischen den 
Säulchen, da es nicht Lücken zwischen den Aesten der einzelnen Wirtel sind, sondern zwischen 
den einzelnen übereinander gereihten Segmenten, aus denen die Kalkalge sich zusammensetzt. 


716 


vielleicht die oft unförmliche Gestalt und die wechselnde Dicke der 
Säulchen innerhalb derselben Art verständlicher sein und ebenso würden 
die merkwürdigen Incrustationen (S. 702 etc.) vielleicht eine glattere Er- 
klärung finden. Aber vor der Hand besteht hier die grosse Schwierig- 
keit, dass überall, wo diese Incrustationen beobachtet worden sind, 
namentlich also bei allen sogenannten Acanthochonien, die innere Struc- 
tur der Merome fast gänzlich oder gänzlich zerstört worden ist, und die 
einzelnen Glieder in der körnig-krystallinischen Masse aufgelöst erscheinen, 
so dass man diese Bildungen nur spätern Absätzen und Umwandlungen 
zuschreiben kann. | 


Eine fernere wesentliche, bis jetzt nicht auszugleichende Differenz 
besteht in Gestalt, Grösse und in der ganz verschiedenen Art des Wachs- 
thums dieser und jener Organismen. Die kalkabsondernden Siphoneen 
sind fast immer langgestreckte, einfache oder verzweigte dünne Röhrchen }), 
deren Durchmesser nur in wenigen Arten 5—6 mm erreicht, oder wenig 
darüber hinausgeht. Ebenso ist eine Länge der einzelnen Segmente von 
12—15 mm schon eine aussergewöhnliche, dagegen sinken beide Maasse 
bis auf 0,1 mm und noch weiter herunter. Nun stelle man diesen win- 
zigen Verhältnissen die z. Th. dagegen ungeheuren Dimensionen der 
Receptaculitiden gegenüber. Jene wachsen fadenförmig in die Länge, 
diese kuglig auch stark in die Dicke; jene durch verticale Ueberein- 
anderlagerung einzelner Segmente mit Quirlästen, diese durch Einschiebung 
neuer Spiralreihen von Täfelchen. Denn die geschlossenen Formen der 
Ischaditen etwa mit den einzelnen Segmenten der Siphoneen in Parallele 
zu bringen, ist schon deswegen unmöglich, weil bei den Receptaculitiden 
wenigstens ein Pol zweifellos geschlossen war, die einzelnen Segmente 
der Siphoneen aber zum Durchtritt der Zellaxe naturgemäss oben und 
unten durchbohrt sind, und nur das jüngste Glied, die Vegetationsspitze 
davon eine Ausnahme machen und oben geschlossen sein kann. 


Wir mussten auf eine,vergleichende Betrachtung der Receptaculitiden 
und kalkabsondernden Siphoneen etwas näher eingehen, weil ihre Ver- 
wandtschaft — wenn auch stets ohne tiefere Begründung — wiederholt?) 


1) Acetabularia ist schirmförmig auf dünnem Stiele. 
2) Gümbel, Steinmann, Deecke. 


717 


ausgesprochen worden ist. Jedoch wird man zugeben müssen, dass diese 
Auffassung noch nicht gerechtfertigt erscheint. 


Auch in andern und höhern Organismengruppen suche ich ver- 
geblich nach Beziehungen zu den Receptaculitiden, und ich möchte des- 
halb vorziehen, zunächst keinen Vermuthungen Raum zu geben, die sich 
nicht besser begründen liessen, als die früher ausgesprochenen. Es scheint, 
als ob die Zwischenglieder noch zu entdecken wären, welche die Recep- 
taculitiden mit andern bekannten Geschöpfen verbinden und Licht über 
ihre systematische Stellung verbreiten werden. Im Augenblicke müssen 
wir uns wohl mit einem „Ignoramus“ bescheiden und können nur sagen, 
dass die Receptaculitiden eine eigenthümliche Familie bilden, die nach 
ihrem Absterben weder in den frühern Perioden noch in der Jetztwelt 
ähnlich organisirte Vertreter zurückgelassen hat. 


(Resultate) Die Resultate der vorstehenden Untersuchungen lassen 
sich in Kürze dahin zusammenfassen: 


1) Die Receptaculitiden (Receptaculites, Leptopoterion, Ischa- 
dites, Polygonosphaerites) sind freie, kuglige bis birnförmige, 
ringsum geschlossene Körper mit centralem Hohlraume, deren kalkige, 
einzeillige Wand aus gleichgestalteten Einzelelementen zusammengesetzt 
wird, die quincunxial angeordnet sind und spirale Reihen bilden. Die 
schüsselförmigen Exemplare sind nur Untertheile oder Bruchstücke davon. 


2) Jedes Einzelelement (Merom) besteht aus 6 Gliedern: einem äussern 
 Täfelchen (Lamnul), dessen Grundform der Rhombus ist, vier darunter 
liegenden und sich kreuzenden Tangentialarmen, und einem Radialarım 
(Säulchen oder Columell), der, auf dem Täfelchen, resp. den vier Tangential- 
armen etwa senkrecht stehend, nach innen ragt. 


3) Die Oberfläche lässt einen obern und untern Pol unterscheiden. 
Der untere Pol oder Nucleus, der den Wachsthumsanfang bezeichnet, 
beginnt mit einem Kranze von 8 (oder 4) Täfelchen, der obere Pol oder 
Apex wird durch eine ' wechselnde, aber stets sehr grosse Zahl von 
Täfelchen geschlossen. Die Einschiebung neuer Täfelchenreihen erfolgt 
durch besonders gestaltete Plättchen (Interposita). 
Abh. d. II. Cl.d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 94 


718 


4) Die vier Tangentialarme verlaufen unter den Diagonalen der 
Täfelchen. Zwei von ihnen liegen immer in einer Meridionalebene; der 
nach dem untern Pol hinweisende Arm (distaler Arm) ist zugleich schräg 
nach aussen gerichtet, und von wenigen Ausnahmen abgesehen, mit der 
Innenfläche des Täfelchens verwachsen, der nach dem obern Pole zeigende 
_(proximale) Arm dagegen verläuft schräg nach innen und ist von dem 
Täfelchen stets ganz getrennt. Die beiden andern Tangentialarme (Lateral- 
arme) liegen in einer zweiten Radialebene, die nicht ganz senkrecht die 
erste durchschneidet. Vielmehr durchkreuzt sie diese in der Regel so, 
dass, wenn man das Täfelchen von aussen betrachtet, der zwischen dem 
distalen und dem rechten lateralen Arme liegende Neigungswinkel dieser 
Ebenen stumpf ist. Es kann aber auch der umgekehrte Fall vorkommen, 
dass dieser Winkel spitz ist. Es giebt also zwei Ausbildungsformen 
dieses „Winkelgesetzes“ der Lateralarme, die aber an demselben Indivi- 
duum niemals zusammen erscheinen. 

5) Dem Winkelgesetze entsprechend erfolgt die Zusammenfügung der 
Einzelelemente in eigenthümlicher Weise: 

Bezeichnet: II 

II IV 
I 
die alternirende Stellung von 4 Meromen, von denen I dem untern, 
II dem obern Pole zugewandt ist, so verbinden sich die 4 nach dem 
Mittelpunkte der Figur gerichteten Tangentialarme dieser 4 Merome in 
der Weise, dass das Ende des rechten Lateralarmes von III und dasjenige 
des linken von IV sich zwischen den distalen Arm von II, der am meisten 
nach aussen, gewöhnlich dicht unter dem Täfelchen liegt, und den proxi- 
malen von I, der am meisten nach innen gerückt ist, zwischenschieben. 
Aber während sich die Enden des distalen und proximalen Armes in 
einer Meridionalebene übereinander befinden, liegen diejenigen der 
Lateralarme in einer Tangentialebene nebeneinander und zwar ist in 
der Regel der rechtslaterale Arm von III — die Täfelchen stets von 
aussen betrachtet — ‚über dem linkslateralen von IV gelegen (dextrac- 
clive Lagerung). In einigen Fällen ist aber auch das umgekehrte Ver- 
halten beobachtet, wobei der rechtslaterale Arm von III unter dem links- 
lateralen von IV liegt (sinistracclive Lagerung). Beide Lagerungsweisen 


719 


treten nur getrennt auf; entweder herrscht an einem Individuum aus- 
schliesslich die eine, oder die andre. 

6) Der Radialarm ist der Länge nach von einem Kanale durch- 
zogen. Die Tangentialarme umschliessen spindelförmige Körper, die bis- 
her für die Ausfüllungen von Kanälen angesehen wurden, die aber wahr- 
scheinlich schon ursprünglich solide Axen waren. Jedoch war ihre Natur 
und Bedeutung noch nicht sicher festzustellen. Sie bestehen aus hellem 
Kalkspathe, der zuweilen (bei der besten Erhaltung?) eine längsstreifige 
Structur zeigt. Die Linien convergiren dann in den centralen Spitzen 
der Spindeln. 


7) Diese Spindeln erweisen sich bei der Verwitterung gewöhnlich am 
schwersten zerstörbar und bleiben häufig isolirt zurück, während die sie 
umschliessenden Armhüllen ganz aufgelöst und verschwunden sein können. 


8) Das sehr wechselnde Aussehen der Oberflächen der theilweise 
oder vollständig entkalkten Stücke wird nicht durch eine verschiedene 
Zusammenfügung oder wechselnde Ausbildung der Arme hervorgebracht, 
sondern lediglich durch den verschiedenen Grad der Verwitterung oder 
Abreibung, wobei der distale Arm, welcher der Oberfläche zunächst liegt, 
zuerst, der proximale zuletzt zerstört wird. 

9) Die Radialarme (Säulchen) schwellen an ihrem centralen Ende 
konisch an bis zur gegenseitigen Berührung und faltenbildenden Stauchung 
ihrer Ränder. Diese Verdickungen der Radiale (Säulchen), die zusammen 
eine geschlossene Wandfläche um den innern Hohlraum bilden, tragen 
weder auf ihrer centralen Endfläche ein besondres Plättchen, wie die 
Köpfchen, noch sind sie von irgend welchen Querkanälen durchzogen. 

10) Die innere Wandfläche ist undurchbohrt. Die zuerst von Bil- 
lings beobachteten Porenkanäle darin sind secundärer Entstehung. 

11) Die Gattung Leptopoterion hat wie Receptaculites eine 
relativ dünne Wand mit kurzen Radialen bei sehr weitem innerm Hohl- 
raume. Die Lamnule sind winzig klein und dabei ohne Grössenunter- 
schiede, an den Polen wie auf den Seitentheilen des Körpers etwa gleich 
gross. Dementsprechend die Dimensionen der andern Meromglieder. 

12) Die Gattung Ischadites unterscheidet sich von Receptacu- 


lites durch die schlankere Form aller Arme, besonders die grössere 
94* 


720 


Länge der Radiale, wodurch die Wand viel dicker, der innere Hohlraum 
viel enger wird. Bau der Merome und Art ihrer Zusammenfügung sind 
dieselben, wie bei Receptaculites. Die Radiale von Ischadites enden 
innen nicht spitz, sondern wie bei Receptaculites mit konischen Ver- 
dickungen, die sich wie dort zu einer dichten, innern Wandfläche anein- 
ander legen. Eine Oeffnung am obern Pole ist in einigen Fällen nach- 
weislich nicht vorhanden gewesen, und es ist deshalb möglich, dass sie 
überhaupt fehlte. 

13) Die Gattung Acanthochonia ist identisch mit Ischadites. 
Ischadites reicht bis in’s Oberdevon, (Carbon?). 

14) Bei der Gattung Polygonosphaerites fehlt von den 6 Gliedern 
des Meroms das Radiale. Die Tangentialarme folgen in Bau und Zu- 
sammenfügung demselben Gesetze, wie es bei den vorigen Gattungen gilt. 
Bei einem Specimen trugen die Täfelchen auf ihrer Aussenseite je einen 
senkrechten Dorn. Die auf der Mitte der Täfelchen sonst gewöhnlich 
vorhandenen Knöpfe sind vielleicht die Rudimente solcher ursprünglich 
längern Anhänge, die leicht abgebrochen wurden. 

15) Die Receptaculitiden sind nicht kieselige, sondern kalkige 
Organismen gewesen, und die gut erhaltenen Exemplare haben ihr ur- 
sprüngliches Material und dessen Structur bewahrt. Die verkieselten 
Stücke sind pseudomorph. 

16) Die Receptaculitiden können desshalb nicht zu den hexac- 
tinelliden Spongien gehören. Aber auch zu den Foraminiferen und Dac- 
tyloporiden oder verticillaten Siphoneen zeigen sie keine Beziehungen. 
Ihre systematische Stellung bleibt noch ganz zweifelhaft. 


Prnhalt: 


Seite 
Vorbemerkung 647 
Frühere Arbeiten ; 650 
I. Ueber den Bau der Receptaculi- 
tiden . 652—708 
Diagnose zur ersten en Termi- 
nologie 652 
Receptaculites 654—691 
Isolirtes Merom . 654 
Form der Tangentialarmd 654 
Proximaler und distaler Arm 655 
Nabel zur Verzapfung der erden 
arme . 655 
Winkelgesetz ae, nelelaee 656 
Umriss der rhombischen Täfelchen . 656 
Oberfläche der Täfelchen 657 
Selbständigkeit der Täfelchen 657 
Naht unter den Täfelchen und Alena 
dieser 658 
Aetzungen der Täfelchen u. re Träger 658 
Seitliche Flügel der Tangentialarme 660 
Gümbel’s kohlige Schicht aufd. Täfelchen 660 


Gesetzmässige Zusammenfügung d. Arme 661 


Lagerungsweise der Lateralarme 662 
Perversion des ersten Winkelgesetzes. 

Dextracclive und sinistracclive Lage- 

rung der Lateralarme 662 
Länge der Lateralarme . 663 
Lage und Form der Spindeln 7663 
Ansatz der Spindeln am Kanal des 

Säulchens . 664 
Form und nıknkcher eb der 

Säulchen . 664 
Dicke und dünne Badia ans (Säulchen) 

in demselben Specimen 665 
Zunahme der Wandstärke : 666 
Ursprüngliche und secundäre Structur ae 

Kalkes in den Säulchen . 668 


Seite 
Structur des Kalkes in den Köpfchen 670 
Axenkanal der Säulchen. Sind die Spin- 
deln Kanäle gewesen? 219670 
Centrale Enden der Säulchen (Füsschen) 672 
Besondre Form der Füsschen bei Rec. 
orbis 674 
Jetzige Gestalt von Beceptaculiteg 675 
Bau des untern Poles und Vermehrung 
der Spiralreihen 676 
Ursprünglich geschlossene Form eh Recent 677 
Verwitterungserscheinungen . 678—684 
Sculptur der angewitterten Täfelchen 679 
Spätere Entstehung der zackig-gekräusel- 
ten Nähte zwischen den Täfelchen ete. 679 
Dreieckige und herzförmige Figuren auf 
der angewitterten Aussenfläche 679 
Erhaltung der Spindeln bei der Verwit- 
terung 680 
Weitere Ver witterungserscheinungen nk 
Steinkerne i 681 
Receptaculiten (Steiaketne)) von Ober- 
kunzendorf mit sternförmigen Figuren 
in den Abdrücken der Köpfchen . 682 
Weitere sternförmige und andre Figuren 
durch Verwitterung : 683 
Poren an der innern Wandfliche v von Bee 
occidentalis und Rec. orbis.. 684 
Merkwürdiger Steinkern im Backsteinkalk 688 
Leptopoterion 691 
Ischadites 692—705 
Bau von cha diten : 692 
Sog. Osculum bei Ischadites . MBEE692 
Unterschied im Täfelchenbelag auf Unter- 
und Oberseite 694 
Leichtere Zerstörbarkeit des Abe Polen 695 
Ischadites carbonarius F. Röm. und 
verticale Verbreitung der Gattung 696 


7 


Eigenthümlichkeiten der Tangentialarme 
u. daraus resultirende Verwitterungs- 
erscheinungen 

Sinistracclive Lagerung der a ne 

Trennung aller Tangentialarme von dem 
Täfelchen 

Radialarme mit centr ler Aneehwellung 
wie bei Receptaculites 

Krümmung der Radialarme . 

Auflösung der kalkigen Arme im war 
steinerungsmittel (Kalkspath) 

Incrustation der Köpfchen mit Kalkspath 

Incrustation der böhm. Acanthochonien 
Acanthochonia =Ischadites 


Incrustation der Füsschen 

Merkwürdige Steinkerne im Back ellealie 
Polygonosphaerites . 705 
Gattungsname 


Die besprochenen oder berührten Arten 


Receptaculites Neptuni, Defrance 
Receptaculites crassiparies, Rauff 
Receptaculites orbis, Eichwald 

(= Receptaculites occidentalis Salter) . 
Receptaculites Damesi, Rauff 
(Receptaculites carbonarius F. Römer, siehe 

Ischadites carb. 

Leptopoterion mammiferum, Ulrich . 
Ischadites Koenigi, Murchison 

(= Ischadites Lindströmi, Hinde) . 

(= Acanthochonia Barrandei, Hinde) . 
Ischadites Murchisoni, Pichwald 

(= Tetragonis suleata, Pichwald) . 
Ischadites (Lepidolites) diekhauti A 0. 

Ulrich) Rauff . E 
Ischadites rectus, Rauf . . 

(= Escharipora recta (Hall) bei Bichnald) 
Ischadites carbonarius, F. Römer sp. 
Ischadites Vichtensis (Schlüter) Rauff 

(= Sphaerospongia Vichtensis Schlüter) 
Polygonosphaerites tesselatus, Phillips sp. 

(= Sphaerospongia tesselata, Phill. sp.) 

(= Pasceolus tesselatus et Rathi, Kayser) 


(= Dietyophyton Gerolsteinense, Z, Römer „ 


— 708 


Seite 


697 


698 


698 


699 
700 


700 
700 


701 
702 
704 


705 


Seite 
Form und Oberfläche 706 
Dornförmige (?) Anhänge auf der Maren: 
seite der Täfelchen h 706 
Anordnung der Tangentialarme . 707 
Fehlen des Radialarmes . 708 
II. Betrachtungen über die systema. 
tische Stellung der Receptaculi- 
tiden . 708—717 
Hinde’s Hypothese, oräch die Receptacu- 
litiden hexactinellide Spongien sind. 708 
Ursprünglichkeit des Kalkes bei d. Recep- 
taculitiden, die keine Hexactinelliden 
sind 1 711 
Receptaculitiden als Horeruiferen 5 713 
Receptaculitiden als Kalkalgen . 713 
Unmöglichkeit, die Receptaculitiden ein- 
zureihen . 717 
Zusammenfassung d. ee 717—720 


sind folgende: 


S. 654—684 Taf. 1, Fig. 1-12; Taf. 2, Big. 11. 
„ 665, 682 Taf. 2, Fig. 12; Taf. 3, Fig. 1—6. 

„ 674, 684 Taf. 3, Fig. 7—10a; Taf. 4, Fig. 1—6. 
2.791,5102,7103,. Nat. g47 Rie= 712} 

„ 691 

„ 692 —705 Taf. 5, Fig. 1—10; Taf. 6, Eis, 1- 8: 
„ 698 Taf. 6, Fig. 4. 

ae Ton Abehe, 3), Biken ala Abeke, (0, Wire Il 1b co 

„ 698, 704 Taf.z6, Big. 10—19;2 Tat, 7, Bie.1522 
08 

„ 649 

„ 698 Als (&, Mier, B) 

„ 69% 

„ 696 Taf. 7, Fig. 3, 4 

„ 1705—708 Taf. 7, Fig. 5—12. 

„ 706 


mo 


ph, Re N {7 
x Ks 


SER 


g. 11. 


12, 


Tafel 1. 


Fig. 1--12. Receptaculites Neptuni Defr. Mittel-Devon. Eifel. 


Bruchstück eines sehr grossen Exemplares. Mittel-Devon von Gondelsheim, im west- 
lichen Ausheben der Prümer Mulde. Wahrscheinlich untere Calceola-Schichten. Original 
in meiner Sammlung. 


Aussenfläche vom Untertheile eines Wandstückes mit verschiedenen Verwitterungsbildern 
auf den Täfelchen. Die Partie um den Nucleus leicht eingesenkt. Gerolstein. Original 
in meiner Sammlung. 

Innenfläche des vorigen Stückes. Die Merome des Bruchrandes herauspräparirt. 
Köpfchen eines isolirten Meroms von innen gesehen. In 5/1. d=Distal, pr = Proximal, 
Il= Laterale, sp = Spindel, f= seitliche Flügel der Arme d, !, !, die zum Träger des 
Täfelchens verschmelzen. Auf den Lateralen eine zarte Querstreifung, die wahrschein- 
lich auch dem distalen Arme nicht fehlt; vergl. Taf. 2, Fig. 12. 


. Diagramm, um die schiefwinklige Durchkreuzung der Arme zu zeigen. 


Das in Fig. 4 abgebildete Merom von der Seite gesehen. d, pr, ! wie in Fig. 4. 
t= Täfelchen, v = proximale Verdickung unter dem Täfelchen = seitliche Flügel der 
Lateralarme, n = Nabel zur Verzapfung der Meridionalarme, $ = Säulchen. 


Dasselbe Merom in meridionaler Richtung gesehen, den proximalen Arm gegen’ den Be- 
schauer gewandt. Die Buchstaben wie in Fig. 5. Auf ! die zarten Querstreifen. 


Abgebrochenes Säulchen mit dem Füsschen. In 5/1. 
Ein Theil der angewitterten Oberfläche von Fig. 2 in 5/1. 
Die centralen Endflächen dreier Füsschen aus Fig. 3 in 5/l. 


. 4 Täfelehen mit gut erhaltener Oberfläche in 5/1. Gees bei Gerolstein. Original in 


meiner Sammlung. 

Verwitterte Oberfläche (aus der Nähe des untern Poles), auf der neben den Täfelchen- 
Rändern die distalen Spindeln erhalten sind. In 1/1. Gees bei Gerolstein. Original 
in meiner Sammlung. 

Nucleus mit den 8 lanzettförmigen, innersten Täfelchen. Die Köpfchen bis auf Reste 
der distalen und lateralen Spindeln herausgewittert. In 5/l. Gees bei Gerolstein. 
Original in meiner Sammlung. 


a SZ 


a 


Rauff: Reeentaculitiden 


linker distaler 
Centrivinkel. 


Rose gez. 


Abh. d.K. Bayr Akad. I. Cl. Bd. XVIl.3. 


Ri 


Fig. 10, 


Fig. 12. 


Tafel 2. 


Fig. 1-11. Receptaculites Neptuni Defr. Mittel-Devon. Eifel. 


2, 3. Geätzte Täfelehen. In 5/1. Fig. 1 leicht geätzt, Fig. 2 stärker, in Fig. 3 die 
Köpfchen so weit herausgelöst, dass nur noch der Kalk der proximalen Arme (pr) er- 
halten ist. 7 die Bettehen, worin die Lateralarme gelegen haben. Der dunkle Kalkspath 
in Fig. 3 (Fig. 2) mit strahlig-krystallinischer Structur um die Kanalausfüllungen der 
Säulchen. Die hellen Radien sind die Grenzen von Kalkspathindividuen, keine radialen 
Kanälchen. Gees bei Gerolstein. Original in meiner Sammlung. 
Meridionaler Radialschnitt durch ein Wandstück. Dünnschliff in 5/1, so geschnitten, 
dass die meridionalen Diagonalen der Täfelchen in dem Schliffe liegen. d = Distal, 
pr = Proximal, = Laterale (oder deren Spindeln), spl = Lateral-Spindel am Centrum 
dicht unter dem Täfelehen. « = Unterschiebung des Täfelchens unter das distal benach- 
barte Plättchen. Gerolstein. Original in meiner Sammlung. 


Tangentialschnitt durch die Köpfchen, dicht unter der Oberfläche. Dünnschliff in 5/1. 
Die distale Spindel hier wie in allen übrigen Figuren, mit Ausnahme von Fig. 12 nach 
dem Unterrande der Zeichnung gerichtet. Gerolstein. Original im Berliner Museum. 


Querschnitt durch die Füsschen, dicht über den centralen Endflächen. Dünnschliff in 5/1. 
Von demselben Stücke wie Fig. 5. 


Angeätzte Endflächen der Füsschen (von Taf. 1, Fig. 3), zeigt wie die mehr rhombischen 
Umrisse der Endflächen in sechseckige Querschnitte der Füsschen übergehen. 
Ausgeätzte Füsschen (von Taf. 1, Fig. 3); der stehengebliebene Mergel sechseckige Felder 
umschliessend, in derem Grunde die dunkeln rundlichen Säulchen. 


Aneeätzte Spindeln auf verwitterter Oberfläche. In 10/1. Gees bei Gerolstein. 


11. Aussenfläche in der Weise verwittert, dass nur die Spindeln isolirt zurückgeblieben 
sind. In Fig. 10 noch Reste der Täfelchen mit den zackig-gekräuselten Nähten. Fig. 11 
stärker verwittert, zeigt deutlich die Rinnen, worin die die Spindeln umhüllenden 
Tangentialarme eingebettet waren. In 5/1. Gees bei Gerolstein. Original in meiner 
Sammlung. 


Receptaculites crassiparies, n. sp. Ober-Devon von Oberkunzendorf in Schlesien. 


Abdruck herausgelaugter Köpfchen in einem stark verdrückten Specimen. In 5/1. Die 
Proximalarme sind in dieser Figur nach links oben gerichtet. s= aufgerissene Schlitze 
im Grunde der Abdrücke. Auf den Seitenflächen dieser die radialen Falten scharf ab- 
geprägt. In den beiden rechts oben liesenden Köpfchen Reste der Nahtfurche unter 
dem Täfelchen, und in den Abdrücken der Distalarme eine zarte Querstreifung wie in 
Taf. 1, Fig. 4 auf den Lateralarmen. Original im Berliner Museum. 


Rauff: Reeentaculitiden 


Rose gez. 


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Tafel 3. 


Fig. 1-6. Receptaculites crassiparies, n. sp. Ober-Devon von Oberkunzendorf in Schlesien. 


Fig. 


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210. 


Stark verquetschtes und zerrissenes Stück, das ursprünglich birnförmig gewesen zu sein 
scheint. Original im Göttinger Museum. 

Merom mit fiederstreifiger Zeichnung in dem dicken Säulchen, von Stelle C des Stückes 
Fig. 1. Nach Dünnschliff in 5/1. 


Merome mit schlanken Säulchen, von Stelle B des Stückes Fig. 1. Der proximale Arm 
des linken Meroms tief in das Radial des rechten Meroms eingebohrt. Nach Dünn- 
schliff in 5/1. 

Sehr dünnes Radial von Stelle A des Stückes Fig. 1 mit verdickten Füsschen und fieder- 
strahliger Zeichnung darin. Nach Dünnschliff in 20/1. 


Anordnung der Täfelehen im Nucleus des Stückes Fig. 1, mit nur. 4 Centralplättehen. 
i= Interposita. In 3/1. 

Senkrechter Schnitt durch den untern Pol, zeigt die ‘grosse Wandstärke an diesem. 
Etwas verdrückt. In 1/l. Original im Berliner Museum. 


Fig. 7—10. Receptaculites orbis Bichwald. Unter-Silur. 


Untertheil. Aus glaukonitischem Kalkstein. In 1/1. Oeland. Original im Stockholmer 
Museum. Re No. 292. 


Meridionaler Radialschnitt durch ein Specimen mit dicken Säulchen, den untern Pol in 
der Mitte einschliessend (Unterseite in der Zeichnung nach oben gestellt). Dünnschliff 
in 5/1. Die unter der centralen Innenfläche (untere Begrenzung der Figur) liegende 
Kalklamelle gehört nicht zum Receptaculiten, sondern wird von undeutlichen Resten 
einer Stromatopore gebildet. Oeland. Original im Stockholmer Museum. Re No. 293a. 


Schnitt wie in Fig. 8 durch ein Specimen mit schlanken Säulchen. Dünnschliff in 5/1. 
Silur-Geschiebe von Czerwinskin Westpreussen (wahrscheinlich baltischen Ursprungs). 
Original in der Sammlung der Berliner Berg-Akademie. 


Die von ihren zugehörigen Säulchen abgerissenen Füsschen von aussen, also von den 
Köpfchen aus, nicht von dem centralen Hohlraume aus gesehen. In 5/l. Erhabene 
Knöpfchen = Säulchen; die daneben liegenden Löcher — Poren der innern Wandfläche. 
Reval. Original im Berliner Museum. 


g. 10a. Gegendruck des Stückes Fig. 10. Die flachen Vertiefungen auf den den Poren der 


Fig. 10 entsprechenden Gesteinszäpfchen hier sind nur in Folge der Zerreissung des 
Gesteines entstanden. 


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Fig. 


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Fig. 


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Fig. 


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Tafel 4. 


Fig. 1-6. Receptaculites orbis Zichwald. Unter-Silur. 


Die Wand eines grossen tellerförmigen Exemplares (Bruchstückes) ist hier über den 
Füsschen in der Weise zerrissen, dass die Säulchen in dem abgebildeten Stücke, die 
Füsschen in dem Gegendrucke liegen. Wir sehen also in Fig. 1 von innen her auf die 
Querschnitte der Säulchen über den Füsschen. An einigen Stellen sind die Merome je- 
doch unzerrissen geblieben, so dass man an diesen (eine Partie in dem linken, eine in 
dem rechten Theile) auf die rhombischen Endflächen der Füsschen blickt. Diluviales 
Silur-Geschiebe von Alt-Wehlau bei Wehlau. in Ost-Preussen. Original im 
Provinzial-Museum zu Königsberg. 


Backstein-Kalk-Geschiebe von Wartin in Pommern. Original im Berliner Museum. 
Die rhombischen Facetten der Fig. 2 in 5/1. 

Kautschuk-Abdruck der Facetten von Fig. 2 in 1/1. 

Die Facetten des Kautschuk-Abdruckes in 5/1. 


Ein Stück der vom Beschauer abgewandten, den Facetten zu liegenden Fläche des von 
Röhren (Säulchen) durchzogenen Wandstückes (Steinkernes der Wand) der Fig. 2 in 3/1. 


Fig. 7—12. Receptaculites Damesi n. sp. Unter-Silur von Kuckers bei Jewe. 


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Jewe’sche Schicht (D). Estland. 


Bruchstück eines ‚grossen kegelförmigen Exemplares. Die Köpfchen vollständig abge- 
wittert, so dass nur noch die Querschnitte der dünnen Radiale die Oberfläche charak- 
terisiren. Original im Berliner Museum. 


&. 8—12. Radiale Dünnschliffe durch die Säulchen, um die secundären Kalk-Incrustationen der 


Füsschen mit den regelmässigen Durchbrechungen (s) zu erläutern. In 2/1. Originale 
im Berliner Museum. 5 


Taf: #. 


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Tafel 5. 


Fig. 1—10. Ischadites Königi Murchison. POber-Silur. 


Isch. Kön. = Acanthochonia Barrandei Hinde. Meridionaler Radialschnitt. Dünn- 
schliff in 10/1. Im obern Theile des Schliffes die breite Kalkinerustation, welche die 
Köpfchen vollständig eingehüllt und das den Körper zuerst ausfüllende Sediment fast 
ganz verdrängt (verkalkt) hat. In der hier abgebildeten Stelle noch Reste der Merome 
zu erkennen — rechts und links orientiren besonders die Querschnitte einiger Lateral- 
arme; meist jedoch sind alle unter den Täfelchen liegenden Glieder vollständie in der 
Inerustation verschwunden. Unter dem äussern Kalkbande das Gestein mit unzähligen 
Schalenresten erfüllt, darin einige eingeschwemmte, deformirte Köpfchen und ein längerer 
Radialarn in seiner ursprünglichen Lage. Bubovice in Böhmen. Etage E2. Original 
im Münchener Museum. 

Drei Merome aus dem obern Theile eines 15 mm breiten Exemplares von Djupvik auf 
Gotland. Die Täfelchen überschoben, ganz oder theilweise abgelöst und durch dunkeln 
Mergel von ihrem Träger getrennt. Proximalarm nur am rechtsliegenden Merom erhalten. 
Enden der Arme abgebrochen oder im Kalkspathe aufgelöst. Querschnitte der Lateral- 
arme deutlich. Dünnschliff in 20/1. Original im Stockholmer Museum. 


Zwei Merome vom aequatorialen Rande eines linsenförmisgen Specimens von 30 mm 
Durchmesser, in 20/1. Die Spindeln z. Th. noch deutlich. Der distale Arm des rechts 
liegenden Meroms in das andre Köpfchen hineingeschoben. Djupvik auf Gotland. 
Original im Stockholmer Museum. 


Das linksliegende Merom der Fig. 3 in 36/1. 


Merom aus dem untern Theile desselben Stückes mit stark verdicktem Proximalarm und 
deutlicher Spindel darin. Auf der Mitte des Täfelchens ein gerundetes Knöpfchen. 
Dünnschliff in 20/1. Original im Stockholmer Museum. 


Merom aus dem obern Theile desselben Stückes. Schliff nicht meridional, sondern seit- 
lich vom Radialarm geschnitten, daher der grosse Querschnitt der Lateralspindel. In 20/1. 
Original im Stockholmer Museum. 


Abweichende Form eines Meroms aus dem untern Theile desselben Stückes. Der lange 
proximale Arm am Säulchen stark zusammengezogen; letzteres unter dem Köpfchen 
auch abgeschnürt. Proximale Spindel noch nicht verschwunden. Dünnschliff in 20/1. 
Vier Merome im Verbande, etwas über dem aequatorialen Rande desselben Stückes. 
Linke Seite stark überschoben. Der am rechten Rande der Figur liegende distale Arm 
tief in das nebenliegende Merom eingebohrt. Original im Stockholmer Museum. 
Schnitt aus dem obern Theile eines linsenförmigen Exemplares von 18 mm Durchmesser. 
Die Täfelchen stark unterschoben. Proximale Arme bis auf schwache Andeutungen in 
dem umhüllenden Kalkspathe als Versteinerungsmittel ganz aufgelöst; distale Arme noch 
erkennbar, z. Th. tief in die benachbarten Merome eingebohrt. Djupvik auf Gotland. 
Original im Stockholmer Museum. 
Incrustation der Köpfehen, deren Glieder in dem incrustirenden Kalkspathe vollständig 
aufgelöst worden sind. = nicht incerustirte Lateralarme. e=mit Mergel erfüllte Ein- 
buchtungen, die an Steinkernen auch wieder auftreten. L=sehr schmale Zwischen- 
räume zwischen den incrustirten Köpfehen, die nur an einer Stelle mit einander zu ver- 
schmelzen beginnen. Dünnschliff in 5/l. Von einem cr. 7050 mm grossen flachen 
Bruchstücke von Westergarn auf Gotland. Original im Stockholmer Museum. 
Re No. 288a. 

Ein andres Stück ebendaher zeigt die gleichen Rigenthümlichkeiten solcher Incrustation. 


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Tafel 6. 


Fig. 1-8. Ischadites Königi, Murchison. Ober-Silur. 


Fig. 1. Anordnung und Formen der Täfelchen im untern Theile. Die Zahlen am Rande der 
Figur bezeichnen die Reihenfolge, nach der die Einschiebung der Spiralreihen erfolgt ist. 
i= Interposita. Mit der Camera in 3/l aufgenommen. Bubovice beiPrag. Etage E 2. 
Original im Münchener Museum. 


Fig. 2. Anordnung und Formen der Täfelchen im obern Theile. Ohne Einschiebung von Spiral- 
reihen. Der vollständige Schluss des obern Poles mit langgestreckten sehr kleinen 
Tätelchen ist nicht direct beobachtet, aber wahrscheinlich. Nach einem linsenförmigen 
Exemplare von 15 mm Durchmesser. Mit der Camera in 3/1 aufgenommen. Djupvik 
auf Gotland. Original im Stockholmer Museum. 


Fig. 3. Vergrösserte Oberflächenpartie am Nucleus eines (von Hinde Quart. Journ. Geol. Soe. 
1884, Taf. 36, Fig. 1 abgebildeten) Specimens von cr. 15 mm Durchmesser. s = distale 
Spindeln nicht zu den Täfelchen 7, sondern zu denjenigen Täfelchen gehörig, auf denen 
die s liegen. v= Aufwulstungen der Täfelchen, die durch die unter 7 tauchenden 
Spindeln s hervorgebracht werden. In 5/1. Djupvik auf Gotland. Original im 
Stockholmer Museum. 

Fig. 4. Grosses Exemplar mit tief eingebuchtetem unterm Pole. Radiale stark gekrümmt, mit 
Resten der centralen Verdickungen. Ueberschobene Köpfchen, wie stets mit unter- 
schobenem Distaltheile. Proximale Arme überall abgebrochen. In einem gekritzten 
Geschiebe. Wisby auf Gotland. Original im Stockholmer Museum. Re No. 295. 


Fig. 5. Der abgebildete Querbruch eines halbeiförmigen Fragmentes zeigt in ausgezeichneter 
Weise die verdickten, centralen Enden der Radiale. Die Köpfchen meist in sandig- 
kalkiges Gestein umgewandelt. Nur die Täfelchen auf der Aussenfläche z. Th. noch gut 
erhalten. Diluvial-Geschiebe von Schwerin. Original im Göttinger Museum. 

Fig. 6. Einige Radiale der Fig. 5 in 3/1. 

Fig. 7. Untertheil von Ischadites Königi (Acanthochonia Barrandei). Bubovice bei 
Prag. Etage E 2. Original in meiner Sammlung. 


Fig. 8. Bruchstück eines wahrscheinlich eiförmigen Specimens. Unterer Pol. (Aus zeichnerischen | 
Gründen nach oben gestellt. Bubovice. Original in meiner Sammlung. > 


Fig. 9. Ischadites rectus Zaujf. Unter-Silur. Lyckholm. Lyekholm’sche Schicht (F 1) 


mit sinistraceliver Lagerung der Laterale. Bei ! sind die Köpfchen bis auf das Distal, bei r bis 
auf das Proximal zerstört. Original im Revaler Museum. 


Fig. 10—12. Ischadites cf. Murchisoni Pichwald. Backsteinkalk-Geschiebe aus der 
Umgegend von Berlin. 


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Steinkerne. Fig. 10a der untere Theil von Fig. 10 in 3/l. Originale im Berliner Museum. 


Taf. 6. 


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2. 


Tafel 7. 


Fig. 1, 2. Ischadites Murchisoni Zichwald. Unter-Silur. Reval. 


Steinkern. Original im Münchener Museum. 
Vertical-Schnitt durch das vorige Stück. Radiale leicht gekrümmt. 


Fig. 3, 4. Ischadites Vichtensis Schlüter sp. Unteres Ober-Devon. Stolberg bei Aachen. 


Fig. 
Fig. 


Fig. 


Fig. 


3. 
4. 


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Verdrücktes Stück. Oberfläche stark abgewittert. Original in meiner Sammlung. 
Verticalschnitt durch dasselbe Stück mit leicht gekrümmten Radialen. In 1/1. 


Fig. 5—12. Polygonosphaerites tesselatus Phillips sp. Mittel-Devon. 


Steinkern. Gerolstein. Original in meiner Sammlung. (Aus dem Nachlasse des Apo- 
thekers Winter in Gerolstein). 


Steinkern, stark verwittert, so dass zusammenhängende Längsfurchen entstanden sind. 
Gerolstein. Original im Berliner Museum. 
Steinkerne von etwas andrer Form als die vorigen. Eifel, wahrscheinlich Gerolstein. 
Original in der Sammlung des Naturhistorischen Vereins in Bonn. 


Bruchstück mit gut erhaltenen Tangentialen. Die Aussenfläche der Täfelchen mit 
Alveolites suborbicularis vollständig überrindet. Original in meiner Sammlung. 
(Aus dem Nachlasse des verstorbenen Apothekers Winter in Gerolstein.) Gerolstein, 
Calceola Mergel. 


. 9 u. 10. Radialschnitte durch die Meridionalarme des Stückes Fig. 8. d= Distal, pr = Proxi- 


mal, =Lateralarme. Stark deformirt. In Fig. 10 die Arme durch Incrustation ver- 
schmolzen. Dünnschliffe in 5/1. 

Mit der Nadel präparirte Tangentialarme des von Kayser Zeitschr. d. Deut. Geol. Ges. 
Bd. 27. 1875. Taf. 20, Fig. 2 abgebildeten Specimens. Von innen gesehen, die links- 
lateralen Arme liegen daher ebenso wie in Fig. 8 über den rechtslateralen. In 5/1. 
Villmar in Nassau. Originale im Berliner Museum. 

zeigt die Lage der Täfelchen zu den unterliesenden Armen desselben Präparates. Von 
innen gesehen. pr = Proximale. 


Rauff: Reeentaculitiden laf. 7 


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Rauff & Rose gez 


‚Ibh.d.K Bayr Akad. IC. Ba. AN. 5. 


4 TE 


Inhalt. 


Berechnung von Mischfarben. Von E. Lommel. Mit 2 Tafeln 


Die von optischen Systemen grösserer Oeffnung und grösseren Gesichtsfeldes 
erzeugten Bilder. Auf grund der Seidelschen Formeln untersucht von 
S. Finsterwalder. Mit 3 Tafeln 


Skizzen zu einem speciellen Fall des Problems der drei Körper. Von Dr. E. 
Frhr. von Haerdtl. Mit 4 Tafeln 


Untersuchungen über die Organisation und systematische Stellung der Receptacu- % 
litiden. Von Hermann Rauf. Mit 7 Tafeln 


. . . . . 


Akademische Buchdruckerei von F. Straub. Ken 


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