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EORSIHEOPEOPPEE FOR EDVCATION FOR SCIENCE

LIBRARY

OF

THE AMERICAN MUSEUM . OF

NATURAL HISTORY

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ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS

PETROPOLITANAE

pro Anno MDCCLXXIX.

PARS PRIOR.

PEL ROPOILI TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXXXII,

AXAYRER S 1230 SITUE RH SURE UM TRIB h

AVE. ape. aC

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(04.55 6459 "^b te dote reete m cien Coon b eb eon to^ 500::022:100::02::00::€0::00:509:€9:€0: 09:60: CO 'OPYC EM, T2: EG ENCIEMNCTENSSEO ENCIPWGTENGI NC TMCO TM

T.A. B L.E.

HISTOIRE DE L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES.

MDCCLXXIX. Janvier —— Juin.

avec une planche de figures,

PHYSIQUE EXPERIMENTALE.

Page Lettre de S. E. Mr. le Comte lvan. Grégorievitfch de Czernifchef, Vice-Préfident du College de lAmirauté , Cbambellan actuel ,^ &» Cbe- valier de Ordres de Ruffe c» de Pologne, à lÁcadémie Lupériale des Sciences - - 8.

Jus Expé^

Eopérioncess Jane Piuflammaiign, [poptanée de, la, [uie, , ..

-mé'e aeec. di M büile$ , pat Mrz kkG.

H

QCCORER c m LEQNPENN E LT 3

Expériences relatives à Pinfammabjlié fpinianée du chanvre éxdu Min, par. le/méme J

HISTO!RE .:NATURELLE.

Defciijtion de l'organe de génération du. Rbinoceros à deux «orneg -- " E OT

Exirai$ de Rapports envoyés à lÁcadémie par Mr. le Translateur Jührig-^r TOTO

Analjfe cbymique d'une. efpéce de. Gomme réfine qui fe produit auiour de la racine du Prenantbes

chordrilioides : par. Mr. ]. G. Géorgi: ira-

22 duite de RABAT ORC RUNE UA METEOROLOGIE Hyver de.1778 2 1779. RI Ek ph :

Pag. 19i à;

54.

64.

65.

6$.

2.

PROMO:

251 Pag.

PROMOTION.. (s $c 77: " . MORTS. - 2^ - * - ^. - ibidem. OUVRAGES, macbines C» imventions préfentées ou communiquées à lAcadémie pendant le. «ours du premier Jemeflre de-l'année 1759. - - $c:

ACTA ACADEMIAE SCIENTIARUM iMPERIALIS PETROPOLITANAE

pro Anno MDCCLXXIX. Pars prior

cum tabulis XÍ aeri incifis,

MATHEMATICA Pag, LEONH. EVLER. JD: formatione foit COH. ünuarem -- 7 - -- 4 mu on om UR 3.

—— —— De tribus numeris quadratir, quorum idm fumma, quam fumma 'proJuchbyrum ex binis fii quadraiun -. - - -4 - 3o.

y(3 L A,

4$ ) vr. ( &8&

L A. EVLER. 44 Differtationem | Patris. praece- dentem commentatio E - - - A. L LEXEIL. De Epicycloidibus im fuperficie Jpbaerica delitibiis. X S o moi LEONH. EVLER. Trigonometria fpbaerica unmi- verfa, ex primis principiis breviter c di- lucide derivata | - | - - - - -

PHYSICO- MATHEMATICA.

LEONH. EVLER. De motu ofcillatorio mixto plurium. pendulorum ex eodem corpore movili

Julpenforum «im 7 ed sci usc Meu hia

—— —— Invefligatio motuum | quibus | laminae e

virgae elaflicae contremifcunt — mU LENS ——. ——- Conietlura cirea. naturam. aéris, pro ex-

plicandis pbaenomenis in atmofpbaera obfer-

Ogüy'- - - —.--.-7'5-*5.-0wdemM

PETR. INOCHODSOF. Defcriptio inftrumenti ad declivitatem locorum. menfurandam apt — -

Pag.

&O.

49

32

89.

103.

4) vir. ( 89

C. G. KRATZENSTEIN. Tubi iconantidiptici fi- ve duplicantis emendatio .— - - NOE

LEONH. EVLER. Anmotatio in praecedentem dif- feriaiontg - - - - - - -

PHYSICA.

C. F. WOLFF. De ceficulae felleae bumanae. duc- tusque bumani cy[flici c» cboleaocbi fuperficie-

bus internis — - - - ite - -

BASIL. ZOUIEW. 4matome mufculi fubcutanei in Erinaco Europaeo Lim. - - - -

— ——— Deftriptio Pifcis non. defcripti, qui perii-

fti ad genus fcarorum Forskalii - - N. OSERETSKOVSKY. Exemplum Electricitatis

praeternaturalis — - . - - ASTRONOMICA.

LEONH. EVLER. Tbeoria parallaxeos ad figu- ram terrae fpbaeroidicam. accomodata - — -

A. I. LEXELL. De aeflimando tempore, quo dia- teer folis ber eireulum quendam five verii-

20I.

205.

225,(22 7]

229.

253.

241.

calem ,

4 ) vm ( $8

calem , five borimonti parallelum tranfire vide-

tur - - - - A.I.LEXELL. Oj/ervationes de problemate, quo quae- situr. elevat;o poli ex obfervata aliituaine fo- lis, ex obíervato quoque tempo e, quo diame- ter Solis filum aliquod , five verticaliter, five borizontaliter difpofitum, pertranfit - — - NICOLAS FUSS. Réflexions fur les princ pales meibodes de corriger les diflances apparentes de la Lune à une Etoile, rélativement aux effets de la Refraction v de la Parallaxe -

STEPH. RUMOVSKI. Ofjfervationes | aftronomicae Peiropoli babitae. 3$ ect aw iw n

Pag.

279.

399.

HISTOIRE.

HISTOIRE

D E

L'ACADEÉMIE IMPÉRIALE

DES

DUTENVES

Hiftoire de x79. P. I. ^

2 ; X X X xxx x xxx 5 X SS OR OR OC X OR RP So o T €

20 FANE AHAASERPIN DD CNHODEQHAP TEE ENDO e PIN Yo t

HISTOIRE DE L'ACADÉEMIE.

MDCCIXXIX,.

Janvier —— Juin.

PHYSIGUE EXPERIMENTALE.

Lettre de S. E. Mr. le Comte 3v Grégorevttfcb de Czeruifcbe», VWice-Préfident du College de l'Amirauté, Chambellan actuel, & Chevalier des Ordres de Rufílie & de Pologne,

A l'Académie Impériale des Sciences de St. Péters- bourg (*). Traduite du. Rufe.

| e 20 Avril à rx heures du foir, on apperqut dans le Port de Cronfiadt une fumée épaifle, qui

a 2 s'éle-

(*) Quoique cette lettre & les expériences füivantes qu'elle a occafione nées foient de plus fraiche date que ne le font les autres écrits

conte-

» vernm ob SAESOUE- RB.

sS'élevoit d'une /frégatte de l'efcadre qui^ fe | préparoit à mettre à la voile, quoique depuis. 5 Jours il n'y eüt ab-- folument point eu de feu Cette fumée parut fortir de la chambre du Maitre d'équipage fermée & cachetée de- puis quatre heures: :on' y avoit porté :& dépofé plufieurs 'chofes néceffaires à Pentier équipement de la frégatte. On forca la porte de la chambre & l'on y vit des toiles à voile rouges *de feu. & étincelantes.

"Toutes les recherches qu'on put faire pour décou- vrir la caufe de cet accident furent infructueufes, & à la fin on auroit été oblieé de laiffer. la chofe dans l'ob- fcurité qui l'euveloppoit eu foupconnant peut-étre des perfonnes innocentes, ainfi que l'année derniere à A'occa- fion d'un f. mblable accident, fi Sa Majeflé Iupériale n'avoit pas daigné Elle- méme mettre für la. voye. les .perfonnes chargées de cet examen,'eu me donnant l'ordre fuivant:

« Comme Nous avons vu. par le Journal que vous » Nous avez :préfenté | touchant l'accident arrivé à la fré- ;gatte. Marie; qu'il y avoit eu dans la chambre ou le »feu s'eft manife(té, | quelques rouleaux: de cordages, & ,»4au milieu d'un hamac, un mélange de fuie & d'huile ,enveloppé, & deftiné à la peinture du vaiffeau, ; Nous ,Nous fouvenons qu'entre autres caufes du feu qui prit ,lannée derniere aux magazins de chanvre, on. avoit ,4allégué que cet incendie pouvoit avoir eu lieu, parceque

» le

contenus dans ce volume, ayant été lues en Aoüt r781; liüm- portance de la découverte dont il s'ágit ici, a déterminé LAca-

;démie à ánticiper le. temps de fa publication "& à l'inférer fans retard dans le volume des fes Actes qui fc trouvoit fous preffe.

HISTOIRE. :

71e chanvre avoit été peut-étre enveloppé de nattes en- , duites d'huile, ou bien amoncelé avec ces mémes nattes: » Ceft pourquoi vous aurez foin d'examiner f[crupuleufe- ,, ment cette obfervation dans le cas préfent."

Jai d'abord communiqué cet ordre au Comité nom- mé par le Collége de l'Amirauté à cet examen, & qui étoit compofe d'un membre du dit Collége, du Com- mandant en chef du Port, & de quelques autres Offi- ciers de Pavillon. Ce Comité réfolut en conformité de Pordre Impérial qu'il avoit pour guide, d'examiner atten- tivement, fi l'incendie en. queflion n'auroit pas pu étre l'effet phyfique d'une caufe qui eüt pu le produire d'elle- méme. Et comme on a Yu effe&ivement par le proces verbal drefífé à cet eff.t, qu'il s'étoit trouvé dans la chambre du Maitre d'equipage, oü la fümée s'étoit ma- niféflée, un mélange de fuie & d'huile, & qu'en l'étei- nant on le vit Jetter des étincelles; on réfolut de faire des expériences là deffus, Pour cet effet on fit le méme mélange de fuie & d'hoilé que celui de la frégatte: oh mit dans un feau 4o livres de fuie,. on y verfa 55 li- vres d'huile de chénevis cuite, que l'on répandit aprés l'y avoir laiffée durant une heure: On laiffa la fuie imbibée d'huile dans le feau autant de temps qu'in pareil mé- lange auífi dans un feau étoit refté dans ]a frépatte , *'eft à dire quatre heures. Enfuite on enveloppa cette maffe de fuic & on la mit dans un hamac, placé à coté de la chambre du Confeil: & pour éviter tout foup- Con; deux membres Gu Comité mirenr leur cachet fur le hamac & fur la porte que "Pon tit garder par une fen- tinelle- Pour plus de íüreté quatre Officiers de Marine

a 3 curent

6 HISTOIREÉE.

eurent ordre d'y avoir l'oeil pendant la nuit, & d'avertir le Commandant en chef, au moindre figne de fumée.

Cette expérience fe fit le 26 Avril à 1r heures avant midi, en préfence de tous les Officiers, qui avoient été nommés pour y afíhfler. Le lendemain à 6 heures, aprés un intervalle de 15 heures depuis l'appofition du fcellé la fumée fe manifefta. Le Commandant en fut averti fur le champ par le plus arvcien Officier de Garde, 1l y ac- courut promptement, vit par un trou de la porte fortir de la fumée du hamac, & avant que de defceller la porte, il envoya chercher les autres membres du. Comité; mais comme la fumée devenoit trop épaiffe & que le feu ccmmencoit à éclater, il fe vit obligé d'ouvrir la porte fans les attendre. — Dés que l'air libre eüt pénétré jus-

x

qu'au hamac, il commeuga à s'enflammer & brula.

Le Collége de l'Amirauté réfolut de réiterer ces expériences en plufieurs endroits & de différentes facons, pour étre en état de mieux approfondir les effets. & les fuites de ce mélange de fuie & d'huile enveloppe de toile: elles ont réuffi pour la plus- part.

Je fuis perfuadé que l'Académie Tmpériale des Sciences prendra cet obJet en confidération, & qu'elle fera des expériences rélatives, qui conduiront à de nou- velles découvertes.

Jai Phonneur de joindre ici une notice de la quantité de fuie & d'huile qu'on a employée, auffi bien

^

quc du temps que le mélange a mis à s'enflammer. J'ai Jugé

HISTOIRE 3

jugé à propos d'y ajouter la remarque, que les mélanges de 3 livres de fuie & d'r: livre d'huile de chénevis cuite, faits dans ma maifon fe font toujours enflammés.

Joan Comte. Czernifcbew.

I. Expériences faites au Port des Galéres.

y. Le 28 Avril à 3 heures aprés midi, on verfía fur eo íb de íuie ordinaire 20 f£ d'huile de chénevis cuite, dont on répandit enfuite un gobelet.

2. À 4 heures du méme aprés-midi, on vería ce go- belet d'huile de chénevis cuite fur 2 ff de ífuie ordinaire, -

Ces deux maffes fürent fcellées & enfermées dans la chambre attenante au Corps de Garde.

Effet. Le lendemain 29 le matin. à ro heures, la premiere maffe enveloppée dans un hamac n'avoit acquis aucune chaleur. La feconde qui étoit res- tée dans une cuve fut trouvée chaude: on l'en- veloppa dans de la toile & on en vit fortir de la fumée vers le foir.

3. Le 29 Avril vers les 5 heures du foir, on verfa 4. í5 d'huile de chénevis cuite fur $ f$ de fuie ordi- naire, & on enferma la maíle dans la chambre du bain.

^

Effet. La chaleur fe manifefta à $ heures du foir, mais elle ne fut fuivie d'aucun embrafement,

4. Le méme foir à 9 heures on verfa fur 20 ff de

fuie

9.

HISTOTIRE.

fuie ordinaire, 1 7: f& d'huile commune, dont on ré- pandit 7 f& au bout d'une heure. La maffe repofa pendant 5 heures: le lendemain 30, le matin à. 5

heures on Penveloppa dans un hamac & on l'en- ferma daus la «liauibre de Corps de Garde.

Effet. La maffe devint chaude au bout de 3 heu-

res; & elle s'embrafa à 12 heures & demie. Le feu qui fortit du milieu fut violent. .

Le 29 Avril à 1o heures du foir, on verfa füf eo íf; de minium zoíb d'huile de chénevis cuite, dont on répandit enfuite 7; ff: on plaga. cette maffe dans le. comptoir. ^ un

*

Le méme foir à rr heures, on verfa fur 3 f& dc fuie d'Hollande 3 f& «d'huile de chénevis cuite:

cette maffe fut. dépofée dans la. chambre de l'Of. ficier auprés des magafins.

En méme: temps on verfa auffi 3 16 d'huile. de chénevis cuite fur ro f5 de fuie commune, & on enferma cette mixtion dans la chambie de la Garde à coté du comptoir.

Le ift Mai à x heure aprés midi, on vería fur 18 íb de fuie commune r3 fb d'huile ordinaire, dont on répandit aprés quelques momens: 5 f6; & la mafle. fut mife dans la chambre du Corps de Garde.

Effet. "Toutes ces maffes acquirent quelque degré de

chaleur fans s'embrafer: & au bout de quelques heures elles fe refroidirent.

Le 1i'*' Mai à 2 heures aprés midi, on prit 1o f$ de

HISTOIRE. 9

de fuie ordinaire & 5 f& d'huile de chénevis com- mune ou crue, dont on répandit enfuite x Í6. à 7 heures du íoir: la maffe fut enveloppée dans un hamac, & enfermée dans la chambre du bain. Effet. Le lendemain 2, à 9 heures du matin, la maífe commenga à donner des indices de cha- leur, & à 6 heures du foir, elle s'embrafa avec violence.

II. Expériences faites dans l'hótel de S. E. Mr. le Comte de Czernifchef.

x & ». Le 30 Avril à midi on prépara les deux mélanges fuivans: 53 15 de fuie d'Hollande avec : f& d'huile de ché- nevis cuite.

3 t5 de fuie d'Hollande avec 3 f& d'huile de ché- nevis cuite.

On enveloppa ces deux maffes d'abord aprés leur mixtion dans des toiles: on pofa la premiere dans le veftibule du bain & l'autre dans un corri- dor ayant deux fenétres expofées au Sud.

Effi. A 6 heures du foir lune & l'autre maffe ac- quirent de.la chaleur: mais il ne s'en fuivit aucun embrWement.

3. Le i" Mai à mili on verfa io 15 d'huile de ché- nevis cuite fur ro í5 de fuie d'Hollande; on laiífa repofer la maífe pendant 5 heures fans la méler: on lP'enveloppa enfin dans un hamac & on l'en- ferma dans le veftibule du bain.

*.

Hiflóire de 1359. P. I. b Il n'en

10 HISTOIRE,

Il n'en réfülta aucune chaleur.

4. Le 3 Mai à 11x heures avant midi, on méla en- femble 3 ff de (uie ordinaire avec r; Í& d'huile de chénevis cuite: cctte maffe repofa durant une heure & fut en(uite enveloppée dans un hamac & tranfportée dans le veftibule fus - mentionné.

Effet. Ele s'embrafa à 4 heures & demie apres midi; on la porta à l'air libre, & elle brula au delà de 3 heures.

$. Le 4 Mai à zo heures avant midi, on répéta l'expérience précédente, & on enveloppa la maffe une heure aprés la mixtion dans de la toile.

Effi. A 2 heures & demie aprés midi, on en vit fortir de la fumée, à 3 heures il en fortit des étincelles, & aprés que la maffe fut expoíée à Pair libre, elle s'enflamma & fe confuma.

6. Le méme jour à douze heures & demie on fit une Ííeconde répétition de la 4^"* expérience en enveloppant la maffe dans un hamac, toujours 1i heure aprés la mixtion.

Effei. Les mémes phénoménes eurent lieu à 5 heures du foir.

5» & 8. Le 5 Mai à 4 heures du matin , on prépara deux maffes pareilles à cellegde la 4* expérience & des fuivantes; on enveloppa Pune & l'autre dans des toiles, & on les enferma dans le veftibule . du bain.

Efft. A 8 heures du matin l'une & l'autre maffe s'embraferent.

IIL Ex-

HISTOIRE. II

r IIT. Expériences faites à Cronftadt le 28 Avril à 5 heures du foir.

Averiiffement. Dans les fix premieres de ccs expéri- ences, on vería fimplement Phuile fur la fuie, & on laiífa repofer les maffes pendant 4 heures, c'eft à dire jusqu'à 9 beures du foir, | On répandit enfuite l'huile fuperflue, dont le poids eft marqué à chaque expérience. Enfin on en- veloppa les portions de fuie ainfi imbibées dans de vieux hamacs & on les pofa dans une chambre à une diftance fufifante l'une de l'autre. Dans les deux derniéres ex- périences, les maffes furent d'abord aprés leur mixtion enveloppées dans des hamacs.

I. 40 Íf de fuie commune. 55 t5 d'huile de chénevis crue dont on répandit au

bout de 4 heures 24 fb. Effet. La maíle s'embrafa le lendemain matin à 5 heures i.

2. 20 Íb de fuie commune, 17; Íb d'huile de chénevis crue dont on répandit

7 ít. Effet. L'embrafement eüt lieu à la méme heure. 5. i10 í5 de fuie commune. s í5 d'huile de chénevis crue dont on répandit s: ib. : Efft. La chaleur de la maffe augmenta jusqu'à S heures ? du lendemain matin: mais il n'y eüt point d'embrafement.

b 2 24. 15

T HISTOIRE

4. 4 ff de fuie d'Hollande. 4. f& d'huile de chénevis crue: on n'en répandit

rien. Effet. La maffe s'embrafa à douze heures & demie de la nuit. t

5. 8 ít de fuie commune. 4. t& d'huile de chénevis cuite, dont on répandit 1 dE Effet. La maffe s'échauffa & fe refroidit alternative- ment fans s'enflammer.

6. 352 15 de minium. Qio í& d'huile de chénevis cuite dont on répandit 745 b. Effet. 1| ne fe manifetta aucune chaleur.

9. 39 Í1b5 de fuie d'Hollande. : f$ d'huile de chénevis cuite.

Effe. La mafle s'embrafa à 9 heures du foir, c'eft à dire au bout de 4 heures, On ne léteignit qu'avec peine: méme aprés l'avoir Jettée dans une cuve remplie d'eau, elle remonta & brula encore pendant quelque temps.

$. 1o íb de fuie commune. 3

* 15 d'huile de chénevis cuite.

Efft!. La maffe s'échauffa, & la chaleur augmenta jusqu'à minuit: elle diminua enfuite, & la. maffe redevint froide,

IV. Ex-

HISTOIRE. 13

IV. Expériences faites à l'Amiraute.

ri. Le 28 Avril à 6 heures 2o! du foir on verfa fur 45 í6 de fuie commune, 25 f& d'huile de chéne- vis crue: r heure aprés, on en répandit 14 íb, & au bout de 4 heures on enveloppa la maífe dans de la toile & on la mit dans une chambre voutée fans fenétres.

Effet. La maffe s'embrafa le 30 à 3 heures 55' du matin; par conféquent 27 heures 35/ aprés l'avoir enveloppée.

2. Le 29 Avril à 3 heures aprés midi, on verfía fur 40 16 de füie commune, 55 ib d'huile crue: on pro- céda comme dans l'expérience précédente, en ré- pandant 27; íb d'huile. La maffe fut mife dans une chambre à deux grandes croifées.

Efi. L'Embrafement eüt lieu le lendemain aprés midi à 2 heures 15', ou 23 heures 45! apres qu'on eüt enveloppé la maffe.

3. A 4heures du méme jour, 29 Avril aprés midi on réi- tera la méme procedure avec 32 15 de fuie com- mune & 16 í5 d'huile de chénevis cuite, dont on ripandit 13 fb. La maífe fut pofée dans une chambre à une feule croifée,

Eft. Le feu y prit le lendemain à 9 heures 45! du foir, 12 heures 45' aprés que la mafíle cüt été. enveloppée.

4. AÀ 5 heures du méme aprés- midi, on verfa fur 6

i6 de fuie d'Hollande, un poids égal d'huile de b 3 ché-

I4 SIAILOS CE'IO OL IRHE.

chénevis crue, & on n'en répendit rien. La maffe fut dépofíée dans la chambre à une croiíée.

Efftt. On obferva de. la chaleur, mais elle ne fut point. fuivie .d'embrafement, |. Au bout de r8 heures. la mafífe fut refroidie.

$. Aó6heures du méme foir, on fit un effai avec 32 f£ de minium, fur lequel on verfa ro 15 d'huile de chénevis cuite, dont on répandit au bout. d'une

heure. 7 f5. On mitia maffe dans .la chambre à deux croiíées.

Effi. M ne fe manifefta aucune chaleur:

6. Le lendemain 3o Avril à S heures du matin, l'ex- périence fut faite avec 10 Íí5 de fuie commune & 4. í& d'huile de chénevis cuite fans en répaudre. La maffe fut encore enfermée dans la chambre à deux croifées.

Effe. La chaleur fe manifefta au bout de 58 heures, mais il ny eut point d'embrafement.

5. Lei Maià i2 heures & demie, on méla enfemblé 2o i6 de fuie commune & r7 í& d'huile de chénevis crue; on enveloppa enfuite cette | maffe daus de la toile & on la transporta dans une chambre, dont les deux fenétres regardent le Sud.

Effet. La maffe s'échauffa au commencement, mais elle ne sS'embrafa pas & íe refroidit au bout de 48 heures.

8. 9. AÀ la méine heure on fit encore deux mixtions pareil-

HISTOIRE. T

pareilles à celle de l'expérience précedente: en employant pour la r*'*,

ioíB de fuie commune & 5 f& d'huile de ché- nevis cuite; & pour la 2^,

3: í& de fuie d'Hollande & 5 f$ d'huile de ché- nevis cuite

On tranfporta ces deux maffes, enveloppées dans de la toile, dans la méme chambre à deux croi- fées vers le Sud.

Effet. Les phénoménes fürent les mémes que dans

IO.

lexpérience précédente, à l'exception, que les maffes fe trouverent déja refroidies au bout de 18 heures.

rr. Le 4 Mai à rr heures avant midi, on fit deux effais; dans le premier on méla eníemble 1o Í5 de fuie commune & s 1&5 d'huile de ché- nevis crue, dont on répandit à midi le fuperflu pefant x1 í&. Dans le fecond effai on employa pour la méme quantité de íuie s 1f d'huile de chénevis cuite, dont on répandit au bout d'une heure i; f6. A 4 heures aprés midi on enveloppa Pune & l'autre maffe dans de la toile & on les mit dans la chambre à deux croifées vers le Sud.

Effet. Ces deux maffes donnérent les mémes phé-

noménes: elles manifetlérent d'abord le la cha- leur, mais elles ne s'embraférent pas, &. au bout de 32 heures, Pune & l'autre avoient

perdu toute chaleur. 2. I$*

zó

12.

HISTOIRE

13. A la méme heure on fit encore deux mix- tions, en employant pour la x*"* 2 16 de (uie d': Hollande. & : t& dhuile de chénevis cuite; & pour la 2?' x 1& de fuie d'Hollande & ; t5 d'huile de chénevis cuite: on mit l'un & l'aute pacquet dans la chambre à deux croifées.

Efféti. | Aucun indice de caléfa&ion pendant 3»

heures.

14. I5. Toujours au méme avant-midi & dans la

méme chambre, on mit les deux mixtions fuivantes, enveloppées dans des toiles:

La i*'* des; f& de fuie commune & 1 t$ d'huile de chénevis cuite.

La 2" de2;16 de fuie d'Hollande & : t& d'huile

de chénevis cuite.

Effet. | Ces deux maffes s'échaufferent au. commen-

cement, & fe refroidirent au bout de quelques heures.

:6. Le 5 Mai à 8 heures du matin, on méla en-

femble 3 í& de fuie commune avec 1: f& d'huile de chénevis cuite: on enveloppa la maffe comme dans les expériences précedentes & on la dépofía

dans une chambre à deux croifées expofées vers le nord.

Effet. A x heure 45! aprés midi, ou bien au bout

de 5i heures, la maffe s'enflamma & le feu fut trés vif,

V. Ex-

HISTOIRE. 17

V. Expériences faites à l'Amirauté le 2 Mai

avec du chanvre, de Phuile de chénevis & de la fuie.

A douze heures & demie on entortilla dans des toiles

les huit mélanges fuivans, & on les mit dans la chambre à deux croifées expofées vers le Nord:

loo

nob o

8.

Du chanvre poiffé & de. l'huile de chénevis crue. Du chanvre poifíé & de l'huile de. chénevis cuite. Du chanvre férancé & de l'huile de chénevis crue. Du chanvre férancé & de l'huile de chénevis cuite.

Du chanvre poifíé, de Phuile de chénevis crue & de la fuic.

Du chanvre poiffé, de l'huile de chénevis cuite & de la fuic.

Du chanvre férancé, de Phuile de chénevis crue & de la fuie.

Du chanvre férancé, de lPhuile de chénevis cuite, & de la fuie.

Le dernier pacquet, oü le chanvre nm'avoit point

été humecté confidérablement fut le feul;- qui^ s'echauffa

^

.& s'embrafa: cela arriva à 4 heures & demie aprés midi

C'eft

à dire au bout de 4 heures. les fept autres pac-

quets, oàü une plus grande portion d'huile avoit été em-

ployée, ne donnerent aucun indice de caléfa&ion, quoi- , C Y

quon ait attendu au delà de 28 heures.

Hifloire de 1339. P. I. c VI.

18 H hS'PQ ER E

VI. Expériences faites à l'Amirauté le 4 Mai à x1 heures avant midi, dans la chambre à deux croifées expofées au Sud.

ri. Une livre de chanvre. poiffe. hume&té d^: tB d'huile de chénevis crue, commeneca d'abord à échantfcs, mais il ne s'enfuivit point d'embrafement, & au bout de $91 heures, la chaleur avoit enticrement difparu.

2». Les trois maffes fuivantes n'ont donné aucun indice de caléfaction, quoiqu'on les ait obíervées pendant 51 heures.

I.) xr íb de chanvre poiffé & ; tf d'huile de: chénevis cuite.

2) xr í6 de chanvre íérancé & ; f& d'huile de ché- nevis cruc..

3.) x í& de chanvre férancé & i í& d'huile de chc- | ncvis cuite.

pn—————— hào omaÁÁ—ÀÓ——nnátiüQ

EXPE-

LIE IST! I-N Éi 19 CMINC VTPINSET RO EIUS ace aur uh e Cb S nb b t EXPERIENCES

- fur l'infiammation fpontanée de la fnie mélée avec differentes huiles,

par Mr. 5. G. Géergi.

'Iraduites de lAllemand.

B. aprés que le bruit fe fut répandu que la frégatte impériale Marie avoit pris feu dans le port de Cronftadt, €e qui ariiva le 20 d'Avril 1781, on commenga à par- ler auff d'un mélange de fuie & d'huile, dont l'inflam- mation fpontanée devoit avoir caufé cet incendie. En fuppofant le fait avéré, il paroiffoit bien paradoxe qu'on n'eüt encore jamais obfervé la réalité ni méme la poffi- bilité d'un pareil phénomene; vu que fans contredit le mélange en queftion s'eftfait, non une fois mais des mil- lions de fois, dans toutes les contrées de l'Europe, & qu'il sS'eft trouvé, foit par accident, foit à deffein, tantót cou- vert, tantót à découvert, tantót dans un lieu, tantót dans uü autre, & cela pendant des intervalles de tems plus ou moins longs. Mais lorsque notre augufle Souveraine

€ 3 cut

20 HIS'TOIARg:E.

eut fait faire des perquifiiions fur les lieux mémes, la chofe fe trouva certaine, & plufieurs expériences réitérées la confirmerent,- Comme il ne s'agiffoit donc plus d'un foupcgon ou d'une fimple probabilité , je me mis auffitót de mon propre chef à faire des expériences là deffus; & peu aprés je me fis un devoir de les continuer par ordre de Son Excellence Monfieur le Chambellan de Domafch- nef, Directeur de l'Académie impériale des fciences.

Les expériences de l'Amirauté ont été faites avant les miennes; & fi elles euffenc pu m'étre communiquées, jaurois omis quelques unes des miennes, ou du moins je les aurois faites d'une autre maniere: j'aurois tiché , en partant du point auquel l'Amirauté s'étoit arrétée, de pous- fer mes recherches auífi loin que poffible. Mais ne pou- vant les obtenir, je fus réduit à confidérer la chofe coms me un probléme à réfoudre, dont cependant la poflbilité étoit démontrée. Les indices que je regus par la complai- fance de Mr. Jean Aib. Euler, touchant l'une de ces expériences qui devoit rarement manquer, & qui é'oit

indiquée dans un rapport du Comité établi à Cronftadt pour cet objet, m'épargnerent beaucoup de peines inutiles; quoique cette expérience méme ne m'ait Jamais réu(li , quand j'ai voulu la répéter. Lorsque, le 13 du mois d'Aoüt, S. E. Mr. le Comte jean Czernifcbef, V ice - Préfident de l'Amirauté communiqua à l'Académie les expériences faites par l'Amirauté , Je trouvai que les miennes pou- voient fervir en partie à les conflater, en partie à leur donner plus d'étendue, & en général à répandre du jour fur toute cette matiére. C'eft pourquoi je vais tranfcrire

ici mes obfervations, telles que je les ai préfentées à l'A- cadé-

H LS TQ INE : 2I

cadémie le 5 de Juillet 178r, en y ajoutant celles que jai faites du. depuis,

Pour éviter les répétitions qui pourroient fe eliffer dans mon récit, jé me crois obligé de faire préallablement les remarques fuivantes.

La fuie ou le noir de fumee d'Allemagne , ett ce que les Allemands appellent fuie de peintre (Mab/er- R.u/; ) & qu'on nomme aufi du noir à noircir: on le vend ici en boétes plus ou moins grandes qui ont la forme de pe- tits tonneaux, fous le nom de fuie d'Hollande ( G5ol/and:s- kaya Sija): je me fervirai indifféeremment de ces divers noms. C'eft une matiére tres fine, trés légere & trés noire daus fon genre. La /uie ou le noir de fumée de Ruffie, eft une fubf'ance plus grofliere , plus pefante au triple ou au quadruple de l'autre, & plus graffe en ap- parence. On la tire des réfidus de la poix, auffi bien que de bois de fapin réfineux. On s'en fert communément pour peintarer le boifage, à caufe du bon- marché. C'eft de cette. derniere efpece qu'étoit le noir que le Barbouil- leur à Cronfladt avoit malheureufement mélé avec de Phuile, & «confervé pour fon ufage. (Voyez Ja Jesre du

Comie de Czernifcbef.)

L'buile dc «cbénevis cuite , c'e(t cette huile réduite par la cuiffon en vernis aprés avoir été mé- lée d'un peu de minium par un procédé aífés connu. Nos Barbouilleurs prennent pour leur vernis qu'il appel- lent o/ive de Phuile de chénevis (&amapii mas/a) parce que cette huile e(t moins chere que celle delin, & qu'elle

c5 ne

" Hisg IR

ne dépofe par tant de íédiment falin. En place de litarge. d'argent, on prend ici fur une livre d'huile environ. une demi- once de minium. C'e(t avec de pareils matériaux. que l'Amirauté a au(li fait fes expériences,

Pour ferrer ou envelopper les maffes, j'ai. toujours. pris de la toile groflere & non-blanchie, qui reffemble beaucoup à celle. dont on fait les e(trapontins à coucher & les voiles des vaiffeaux, hormis. qu'elle eft moins forte,

Les mélanges ont été faits dans une Jatte, ou un affés grand baffin de bois, oà les mafles font toujours de- meurées à découvert jusqu'au. moment que je les ai enve- loppées de toile.

La chambre de lAcadémie qui fert de laboratoire chymique a deux fenétres qui donnent à peu prés à l'eft, & une troifieme presque au fud: clle a deux portes. Pour arréter autant que poffible tout mouvement & toute affüluence de l'air extérieur, fans étre empéché néanmoins dans l'obfervation des phénomenes, je me fuis fervi d'une caiffe de bois de cinq piés de. long, deux de large & pres- que autant de haut, qui étoit munie d'un bon couvercle. Je fis faire des échancrures aux deux extrémités de la caiffe, & les fis fermer par des vitres. Chaquefois qu'il fe manifetta quelque réacion intérieure daus les maffes, on fentit une odeur plus défagréable que n'eft celle de Phuile bouillante, & on vit s'éléver des vapeurs dont les vitres furent humectées,

Pre-

HISTOEXNR E. 23

Premiere expérience.

Le r. de Mai, ]e mé!ai dans. un vafe de verre une livre de noir de fumée de Ruflie avec une pareille quantité d'huile de lin crue ou. non- cuite, & je placai le vafe ouvert dans une cheminée. Cetre maffe visqueu- fe ne fubit pas le moindre changement fenfible, ni ce jour li, ni les jours fuivants. i

Scconde expérience. Un autre. mélange d'ure livre de noir de fumée de Ruíie avec autaut d'huile de chénevis crue, reíta éga- lement inacif.

Troifieme |. expérience. Une livre de noir de fumée. de Ruffie, ayant été mélée avec une livre d'huile d'olive crue, le tout. de- meura froid.

Quatrieme expérience.

Le 4. de Mai. Je fis une matfe femblable d'une livre de fuie d'Hollande ou d'Allemagne , avec de l'huile de lin, prenant 3 livres de cette huile: je plagai cette rnixtion à découvert dans la cheminée; mais elle demeu- ra íans action.

Cinquierme expérience. Une autre mixtion d'une livré de fuie d'Hollande avec g livres: d'huile de chénevis crue ; qut fut placée à. cóté de la précédente, demeura tout auffi inactive.

Sixic-

24 HISTOIRE.

Sixieme expérience, Le 5$ de Mai. Une mixtion d'une livre de fuie d'Hollande avec 3 livres d'huile d'olive commune, laiffée à découvert, me fruftra encore de l'efperance du füccés.

Septieme expérience.

Le ro. de Mai. On mit dans le baffin de bois 5 livres de noir de fumée de Rufüe , on répandit deflus 1: livre d'huile de chénevis cuite, & on fit une pàte de ces deux ingrédients, — Aprés l'avoir laiffee durant une heure à découvert, on la paitrit de nouveau; ce que fe- fant, on la trouva chaude vers le milieu, de facon qu'elle affecdoit Pordorat. Là deffus on la lia bien ferme dans de la toile groffiere, aprés l'avoir encore faupoudrée d'un peu de noir tout fec. Ainfi empaquetée on la mit dans la caiffe qui avoit été préparée dans le laboratoire, & dont il a. été parlé à l'entrée de cette differtation. Aprés qu'elle y eüt repofé durant 5 heures & demie, on fentit Podeur de Phuile bouillante, & le paquet devint chaud. La chaleur alla en augmentant pendant deux heures, aprés quoi elle diminua. Ayant ouvert le paquet le lendemain matin, je ne m'appercus d'aucun changement dans la maffe. Je lenveloppai de nouveau, & la mis en lieu de füreté. Le $5 de Juillet je rouvris le paquet, & je trouvai que la maffe avoit contracté extérieurement une croute feche, & intérieurement une couleur grifitre: ex- pofée à l'air libre, elle s'échaufa fenfiblement; mais elle perdit fa chaleur au bout de quelques heures.

Hui-

HISTOIR EFE. 25

Huitieme expérience.

Une autre maffe de 5 livres de noir de Ruffie & de 2 livres d'huile de chénevis cuite, paitrie & préparée de la. méme maniere, & mife en méme tems que la 'précedente dans la caiffe, demeura froide.

Neuvieme expérience.

'Irois livres de noir de Ruffie, ayant été mélées avec une livre d'huile de chénevis cuite, le tout ayant été bien paitri, puis au bout d'une heure «empaqueté comme ci-deffüs, aprés avoir été faupoudré de noir fec; on ne s'appergut pas de la moindre réaction dans cette

mafle.

Dixieme expérience.

Le 12 dc is Trois livres de noir de Ruffie furent paitries avec 1; livre d'huile de chénevis cuite, & le tout fut traité & préparé comme dans les expériences précédentes. — Mais la maffe ne devint ni plus ni moins chaude qu'elle ne l'étoit.

Onzieme expérience.

le 14 de Mai. Pour effayer fi la fuie & Phuile

en plus grande quantité ne feroient pas mieux diípoíces à s'échaufer & s'enflammer. enfemble qu'en moindre quan- tité, comme il arrive ordinairement à des tas de foin & à d'autres. matieres femblables; j'ouvris toutes les maffes précédentes. qui étoient demeurées froides jusqu'à celle qui avoit fervi à la dixieme expérience inclufivement ce qui fit une maffe totale de plus de 3o livres; Je la pai- Ihe dé x79. P. L d tris;

26 HI SY OOIR E

tris, la laiffai une couple d'heures à l'air, la ferrai bien ferme daus ua fac de toile, & mis le fac en lieu de fureté daus le laboratoire en cas d'inflammation. | Mais plufieurs femaines fe pafferent fans que j'y remarquaffe le moindre changement.

Douzieme expérience.

Le 15 de Mai. On paitrit 3 livres de noir de Rufüie avec r; livre. d'huile de lin cuite, & zr: once de naphte d'A(tracan: la maffe fut poíée au(li tót fur une piece de toile, faupoudrée abondamment de noir fec, liée bien ferme daus de la toile, - & mife dans la caitfe. Elle ne s'échaufa point.

Comme je ne pouvois faire parvenir jusqu'au de- gré d'igniion la chaleur des maffes de fuie & d'huile femblables à celles qui s'étoient le plus fréquemment en- flammées daas les expériences de Cronítadt, & qui, d'a- prés les indices que m'en fournit Mr. PAcadémicien Eu- ler, confiftoient en 1; l d'huile fur 3 l. de noir; Je con- clus de là que la faute en étoit ou aux matériaux ou à la manipulation. C'eft pourquoi Je táchai d'obtenir pour mes expériences les mémes matelots que l'on avoit em- ployés à Cronftadt pour faire les mélanges. Mais au lieu de matelots on m'envoya de la fuie & de lhuile pour une mixtion: il y avoit 3 livres de noir de Ruífie & 4. livres d'huile de chénevis, au lieu d'une livre & demie que je croyois requife. Aprés un léger examen, je trouvai que ces matériaux ne différoient en aucune facon des miens.

"Treizie-

HIS'TOIYIFR—FY,. 27

Treizieme expérience.

Le so de Mai. e paitris les 3 1. de noir de Rufe que j'avois regues de lAmirauté avec i1 l. de Phuile de chénevis qui m'avoit été envoyée en méme tems: je laiffai la maffe pendant une heure à découvert, & procédai pour tout le refte comme dans ma 7* expé- rience, — J'avois retenu un peu du méme noir pour en parfemer la maffe. | Ce paquet demeura auífi fans ré- a&ion; ce qui ne feroit pas arrivé, fi j'y euffe mis toute l'huile qui m'avoit été envoyée, comme je le reconnus du depuis par d'autres expériences.

Quatorzieme expérience.

Pour comparer mes matériaux avec ceux de l'A- mirauté, je pris des miens la méme quantité que dans la r5* expérience, & procédai en général comme dans la 47. & 13^ expérience; mais fans fuccés.

Quinzieme experience.

Le 24 de Mai. Sur 4 l de noir de Ruffie fü- rent veríées 2 ]. d'huile de chénevis cuite, & le tout fut mélé légerement. La fuie refíta feche en grande partie aprés avoir englouti l'huile. Ce mélange fut mis à dé- couvert dans le baílin de bois & dans la caiffe à expé- riences. | Au bout de 9 heures on fentit une odeur dé- fagréable & fétide d'huile bouillante, & un peu de cha- leur. Cette chaleur augmenta durant 5 heures, & fut accompagnée de vapeurs aqueufes qui s'élevoient de la maffe. — Aprés quoi la chaleur fe perdit infenfiblement, & il ne fe fit plus d'autre changement.

d'a Seizi-

28 HISTOLIRE

Seizieme expérience.

s sLe'26 de Mai. Quatre livres de. noir de Ruffie, ayant été bien mélées avec. 3 l. d'huile de chénevis cuite, fans que l'on eüt cependant paitri ces matériaux, on mit d'abord la maffe dans de la toile grofüere , puis dans la caiffe. Point de fucceés.

Dix-feptieme expérience.

Le x de Juin. ^ On verfa lentement & uniformé- ment s l. d'huile de chénevis cuite, fur.'3 1l. de noir de Ruffie.- La fuie engloutit tout le vernis, de facon qu'il n'en refía point à décanter. Au bout de 5 h. fans méler d'avantage cette- compofition, on Peuveloppa de toile groffiere;.. Elle confiftoit en un grand nombre de petites mafífes humides & en partie mollaffes qui étoient entou- rées d'un peu de fuie demeurée à fec: le tout étoit froid. Et c'eft dans cet état que la máffe entiere fut mife dans la caiffe à expériences. S«ize heures aprés avoir été im- bibée & i1 aprés avoir été enveloppée, elle commenga à.odorer &:à séchaufer. | Au bout d'une heure encore il y eut quelques places dont la chaleur étoit à peu prés la méme que cclle.que l'on fent fous une poule qui couve: les exhalaifons qui en fortoient étoient vifibles: à d'au- tres. endroits au contraire le paquet étoit froid. . Aprés Pintervalle d'une demi-heure, l'une de ces places chaudes, de la graudeur. environ d'une piece; de démi-rouble, . dc- vint brune, & quelques moments aprés on la vit incan- defcente: elle s'étendoit infenfiblement & gagnoit un peu par fes bords. |. Au bout d' ; d'heure il en arriva autant

à une feconde place, & bientót aprés à une troifieme. "m "Toutes

'Toutes trois étoient rouges comme de la braife, & il en fortoit une fumée épaiffe de couleur grifitre, & d'une odeur moins fétide que n'avoit été celle de la maffe en- tiere au. commencement de la réaction. La chaleur du paquet n'étoit pas égale dc toutes. parts.

La maffe ayant été ótée de la caiffe & tranfpor- tée dans un air plus libre, le feu fe dévéloppa, formant une flamme de la hauteur d'un empan, mais peu vive, tranquile, & qui donuoit beaucoup de fumée,

Ayant fait une ouverture à une place qui ne bru- loit pas, je tirai du milieu du. pàquet une pctite portion de la maffe; je la trouvai chaude, mais non ardente, molle, d'un noir luifant, d'une odeur forte & répugnante. Quand je fefois des ouvertures dans la maffe, en la pi- quant, il en fortoit peu aprés une fumée fuligineufe, qui s'allumant d'elle- méme, bruloit en flamme. Et en géné- ral le feu. n'étoit proprement partout qu'à la furface, oü fe fefoient des cr&vaffes: il fortoit de ces crevatfes des ex- halaifons épaiffes, qui en 's'allumant formoient ]a flamme. Je mai point vu que la maíle.fe foit .geufiée fenfible- ment, Ííoit pendant la. réaction foit pendant l'ienition. Environ au bout d'une" heure les flammes s'éteignirent, & la maffe ne fit plos que bruler en braiíe. Mais lorsque pour la dégager de' fes" cendres, ou'"'léut ^ pouffée de la planchette' qui la foóutenoit, fur les pavés' de la* chambre, &'qu'elle fe fut par lài^un'peu éparpillée, elle^jectá fübi- tement une flamme violente, jusqu'à 3 pieds de hauteur, qui donna une fumée épaiffe & abondante. ^ Aprés quoi cetté' grande flamme diminua peu à-peü,: & le feu fut

d'?;g réduit

$5 HLrSTOLZLRE.

réduit de nouveau à la fimple incandefcence, d'abord avec fumée, & enfin fans fumée. Au bout de huit heures tout fut confumé. Les cendres étoient grifes tirant fur le noir, & affés compactes: elles pefoient 5; onces.

Dix-huitieme expérience.

Le 4 de Juin. Je répétai l'expérience précédente avec la méme quantité de matieres, je verfai le vernis d'huile de chénevis fur le noir de fumée fans méler aue trement ces matieres, & procédai en tout comme ci-def- fus. Cinq heures aprés l'opération la maffe fut trouvée froide; Je l'enveloppai & la pofai dans la caiffe. ^ Ce ne fut que 4o heures aprés avoir été imbibée & 55 aprés avoir été enveloppée qu'elle commenga à s'échaufer & à répandre de l'odeur. La chaleur alla en augmentant pen- dant 4 heures, de maniere que l'incandefcence fpontanée fe manifeíta 44 heures aprés limbibition. — Cette incan- defcence & la flamme qui s'enfuivit, & qui dura huit heures, préfenterent des phénoménes exactement femblables à tout ce qui arriva dans la r9*expérience. Les cendres pefereut cette fois-ci 5; onces & zr fícrupule.

. Dix-neuvieme expérience.

Le 10 de Juin. Ayant mis dans la jatte ou le baffn de bois 3 l. de noir de Ruffie, je verfai deffus len- tement & uniformément 5 l. d'huile de lin, qui avoit été cuite en vernis avec 2: onces de minium: puis je pro- cédai en tout, tant par rapport aux intervalles de tems que par rapport à la manipulation comme dans la 17* & 18 expérience. — Lorsque j'enveloppai la maffe, je la

trouvai plus pénétrée du fluide que celles que j'avois faites

HISTOIXTREÉE. 31

faites avec de l'huile de chénevis cuite, & oü une partie de la fuie étoit demeurée à fec. Dix-fept heures aprés la mixtion, & r2 heures aprés l'enveloppement la maffe fe mit en réaction, & devint chaude & odorante. La chaleur alla en augmentant durant deux heures confecutives, puis elle diminua, &il ne s'enfuivit point d'autre changement.

Je ne doute pas que l'inlammation fpontanée n'eüt en lieu, fi j'euffe répété cette expérience avec un peu moins de vernis à lhuile, ou, peut-étre méme fans cela dans un tems fec (car c'étoit un jour de pluie). Je foupgonne que P'huile de pavot, celle de noix, & toute autre huile à vernis ou ficcative produiroit le méme effet.

Vingtieme expérience.

Le 16 de Juin. Ayant pris 5 l. de noir de fu« mée de Ruflie, yy fis imbiber lentement 41. d'huile d'o- live, qui avoit été cuite en maniere de vernis jusqu'à l'é- vaporation de toute aquofité, quoique par clle- méme, & fans chaux de plomb. Lorsqu'au bout d'une heure je voulus envelopper cette maífe comme de coutume dans de la toile groffiere, Je la trouvai toute molle, & fans aucun refte de fuie feche. | C'eft pourquoi Je la faupoudrai abon- damm:nt d'autre füie toute feche, & la mis dans la caiffe. Mais il ne s'y manifeíta pas le moindre changement.

Vingt & unieme expérience. A Le 1*7 de Juin. je croyois avoir remarqué que l'inlammation fpontanée exigeoit de petires maffes de fuie imbibies d'huile & entourées de füie feche. C'eft pourquoi je

32 HISTOIR E

je fis imbiber 2 l d'huile d'olive cuite dans 3 l de fuie de Ruffie, ce qui produifit les maffes ou globules en quet- tion, & laiffa une partie de la füie à fec. ^ Au refte je procédai en tout comme dans la 20* expérience; mais aprés avoir attendu plufieurs jours, je me vis frufiré de tout fuccés,

-

Vingt-deuzieme expérience.

Le 2o de Juin. Je répandis 2 l. d'huile de téré- bentine, qui eft la moins conteufe des huiles effentielles , fur 2 | de fuie de Ruffie. X Celle-ci engloutit prompte- ment l'huile. Au bout d'une heure je mélai l'une avec Pautre, & je trouvai ma mixtion compofée de petits a- mas qui ne fefoient point une mafle continue. Je la mis dans de la toile, puis dans la caifíe; elle y demeura froide & Ííans mouvement.

Vingt-troifieme expérience.

Le 25 de Juin. Pour faire un nouvel effài avec une huile empyreumatique, je mis dans la jatte 5 1l. de fuie de Ruffie, & je verfai lentement deffus 3 l. de Diog- got de Ruífe, c'eft à dire d'huile ou de goudron de bou- leau. (que lon fait diftiller per defcenfum dans des creux faits dans la terre, fe fervant à cet effet de l'écorce du bouleau) Je laiffai cette compofition à decouvert pendant 2 heures: puis voulant l'envelopper, j'en trouvai l'odeur plus forte qu'auparavant & je la f ntis tiede. Sans la méler d'avantage, je la mis dans la caiffe: la chaleur Sy augmenta d'abord, mais au bout d'une heure. elle

com-

HISTOIRE. 34

commenga à diminuer, & trois heures s'étant encore écou- lées, toute chaleur fut diffipée.

Vingt-quatrieme expérience.

Je pris de la fuie. de cheminée ou de cuifine toute pure & provenue de bois de bouleau, (ce bois étaut ici le plus commun pour le chaufage). Elle confifloit en petits amas fecs, poreux, fans luflrre: je la fis pulvérifer par le pilon & le crible, de facon que j'en obtins une poudre trés fine. J'en mis 3 livres dans la jatte, & je verfai deffus 1; l. d'huile de chénevis cuite, qui fut aus- fitót engloutie — Aprés avoir laiffé le tout pendant 2 h. à découvert, & voulant enfuite l'envelopper, je trouvai que je pouvois décanter environ r once d'huile qui ne s'etoit pas incorporée avec la fuie. .]e faupoudrai encore ma mafífe glaireufe d'une demi-livre dc fuie de cheminée pulvérifée, & l'ayant enveloppée, je la mis dans la caiffe. Elle demeura auíli froide & inac&ive qu'elle l'avoit été.

Vingt-cinquieme expérience.

Le 26 de Juin. Voulant avoir une maffe moins molle, je pris 3 l. de fuie de cheminée pulvérifve: Je ne verfai deffus qu'une livre d'huile de chénevis cuite, & procédai au reíte comme dans l'expérience précédente. Pour faupoudrer cette maífe, qui ne laiffa pas d'étre hu- mectée d'outre en outre, il me falut encore une 4* livre de poudre de fuie. En l'enveloppant aprés qu 'elle eut re- "pofé pendant une heure, je trouvai qu'elle. avoit con- tracé un peu de chaleur, mais à peine jusqu'à la tiédeur.

Hifloire de 1719. P. I. e Ce

54 HISTOIRE

Ce commencement de chaleur fe perdit ;bientór & ne revint plus.

Vingt-fixieme expérience,

Je répandis une boére à noir de fumée d'Allema- gne dans ma Jatte, & quoiqu'il n'y en eüt qu' : de livre, le vafe en fut plus rempli que de 31. de fuic de Ruffie; Jy verfai autant d'huile de chénevis cuite que la fuie en put humer, ce qui alla jusqu'à 2; l. La mixtion étant reftee à découvert pendant 2 heures & allant étre envelop- pée, fe trouva toute molle. C'ett pourguoi je la faupou- drai: préallablement d'un peu de fuie feche. ^ Ell: demeura pluüfieurs jours dans la caiffe fans le moindre changement.

Vingt-feptieme expérience.

Le 4 de Juillet. | Comme il me fembloit qu'il y

avoit eu trop d'huile ii dyidon dans la 26* expérience , je rris à 10 h. du. matin 2 de livre de noir de fumée d'Al- lemagne, & y verfai ri; l d'huile de chénevis cuite, procédant au refte comme ci-devant, Cette mixtion de- meura fioide jusqu'au 7* du mois, qu'elle commenga à 7 heures du matin à s'échaufer & à odorer. A 9 heures le paauet fut déja affés chaud pour répandre des exhalaifons humides, vifibles;; & qui fembloient trembler. Cette. cha- leur dura à peu prés au méme deg;é pendant.6 heures, aprés quoi elle diminua; & ce ne füt qu'au 8^ du mois vers le foir qu'elle fe: perdit entierement. Le 9 de Juil- let jouvris le paquet, & j'y vis une maffe comme fon- due, visqueufe, & d'un noir luifant. D'oüà lon voit que la reaction ne commenca qu 'au. bout de. prés de 3 jours entiers ,

HISTOLRE. | 35

entiers, & dura 56 heures. ll n'eft point à douter aue je n'euffe obtenu le degré «de. réaction | néceffaire à l'in- flammation. fpontanée, en feéfant encore quelques effais avec moins d'huile ou. avec une plus grande quantité de fuie.

Vingt-huitieme expérience.

Le $ de Juillet. Je réitérai la 17* & r18* expé- rience avec toute l'exa&itude pofible. ^ Lorsqu'au bout de 5 heures on enveloppa la matiere, elle fe trouva tiede, & commenga à affecter lodorat. La chaleur augmcnta pendant 4 heures, aprés quoi elle diminua, de manicre qu'au bout de r4 heures, il n'y en eut plus du tout. Ile xo du mois, au matin, la maffe redevint chaude. & le fut pendant tout le jour & la nuit fuivante: enfin elle fe refroidit vers la pointe du jour, pour ne plus jamais fe réchaufer.

On remarquera qu'ici, environ 40 heures aprés le mélange, & 20 aprés la fin de la premiere reaction, il s'en fit une feconde, qui dura plus de 125 heures. La maffe enfin réfroide fut femblable à celle de lexpérience précédente, à la réferve d'un' peu plus de ténacité.

Vingt-neuvieme expérience.

Le 12 de Juilet. La 175 & 318* expérience a- voient été faites dans un tems ferein; la rg* & 28* au contraire, oü la réacion n'alla pas jusqu'au degré de l'i- gnition, avoient été exécutées pendant des jours pluvieux. Cette fois-ci, voyant que le jour étoit beau, je ré-

! ca pétai

T HISTOIRE

pétai le. méme | procédé avec la derniere exa&itude, en prenant de Phuile:de chénevis cuite, avec cctte feule dif- f'rence, que là fuie de Ruflie, aprés avoir été imbibée d'huile, ne demeura: que pendant 4 heures expofée à l'air libre. En enveloppent la mixtion à 1 heure aprés midi dans de la toile, je la trouvai tiede & odorante. Elle conferva cette méme tédeur jusqu'à 4. h. aprés- midi, aprés quoi elle s'échaufa de plus en plus & trés promptement, répan- dant une odeur plus forte, & des exhalaifons humides. A*7h.du foir, c'eft à dire;to heures aprés le mélange, & 6 h. aprés l'enveloppement, on. vit fubitement une épaiffe fumée, qui fut immédiatement fuivie de l'incandefcence. La flamme Jaillit bientót, & dura quelques heures: enfin lincandefcence continua fans flammes jusqu'au lendemain à midi, ce qui fait en tout une ignition de 17 heures. La cendre pefa 4 onces, 3 dragmes.

Trentieme expérience.

Le !4 de Juillet. — Ayant mis dans la jatte 3 l. de füie de Ruffie, je verfai deffus 3 l. d'huile de ché- nevis crue, la répandant lentement & uniformément, fans méler d'avantage les matieres: je procédai au refte comme dans la 17* expérience, hormis que la maffe fut enveloppée au bout de 4 heures: elle formoit des amas de fuie imbibés d'huile, & comme enfevelis dans le refte de la fuie qui étoit demeurée feche. La réac&ion com- menga 5 heures aprés le mélange & x hcure aprés l'enveloppe- ment: elle alla en augmentant durant 5 heures confécutives. La chaleur augmenta à proportion, auffi bien que les ex- halaifons vifibles qu'elle fefoit monter, & qui (à ce que je vis

E *

HISTOIRE. 37

je vis par des effais que j'avois déja faits & que je fis encore) ne fe laiffoient pas allumer par du papier brulant. Quatre autres heures s'étant écoulées, c'eft à dire 15 heures aprés l'imbibition, la mixtion fe mit à fumer & à s'en- flammer. | Ce fut une flamme foible, & comme mou- rante, qui ne dura que peu; mais l'incandefcence conti- nua pendant plus de r2 heures. La. cendre étoit d'un gris noiràure & pefíoit 16 onces, 6 dragmes.

' Trente & unieme expérience.

Le r6 de Juillet. D'aprés les indices que Mr. 5. A. Euler, membre de l'Académie, me donna touchant les expériences de P'Amirauté, felon lesquelles l'inflamma- tion fpontanée devoit fe manifefter le plus fürement dans des mixtions compofées de deux pates de fuie de Rus- fie & d'une partie d'huile cuite, j'étois porté à croire que javois manqué dans la manipulation pour ma 7, 9, 13 & 14 expérience. C'et pourquoi je les répétai, en obfervant le procédé de la 17'.- Je fis imbiber z1i-.l. d'huile de chénevis cuite dans 3 l. de fuie de Rufílie: au bout de 4 heures jenveloppai la matiere dans de la toile, &c. 7 heures aprés le mélange, elle sS'échaufa & odora, mais Pun & l'autre. affés foiblement. — Elle refta durant quelques heures dans cct état, aprés quoi elle redevint fioide à Jameis.

^

'Trente- deuzieme expérience.

Le 19 de Juillet. La mixtion précédente me pa- roiffoóit un peu feche, & les petits amas de fuüie n'avoient été que peu imbibes, | C'eft pourquoi je veríaà encore

eg deffus

38 HE ISSUES IRL. El

deffus ; de livre d'huile de chénevis cuite: je renveloppai le mélange & le remis doüs la caiffe. Au bout de rr heures le paquet devint chaud & odorant: Fl'incandefcence | coms menca r6 heures aprés l'imbibition. Pendant 6 heures il brula ainfi fans flammes. avec une fumée épaiffe & gri- farre tirant fur le b'anc. Aprés quoi il continua en- core à fcintiller & bruler en flammeche pendant 6 autres heures. La cendre pefoit 7 onces, 3 dragmes.

'Trente-troifieme expérience.

Le 2: de Juillet. Pour trouver la moindre quan- tité de matiere capable de produire l'inflammation fpon- tanée, je fis cette 35 expérience avec r l| de fuie de Ruílie, imbibée d'ril. d'huile de chénevis cuite: au bout d'une heure je FP'enveloppai dans de la toile & la mis dans la caiffe: mais je n'y remarquai aucun changement.

Trente-quatrieme expérience.

Le 24 de Juillet. Une livre de noir de Ruffie, ayant été imbibée de i Ll. d'huile de chénevis cuite, fut auffitót enveloppée de toile & miíe daos la caiffe, — Apres l'efpace. de 6 heures elle. devint tiede & odorante; mais la tiédeur & l'odeur íe perdirent à la fois au bout de quatre autres heures.

Trente-cinquieme expérience.

Le 26 de Juillet. Une livre de noir de Ruffie, fut imbibée d'une quantité pareille d'huile de chénevis cuite, & miíe au bout de 3 heures dans la caiíffe, étant. enveloppée

de

HISTOLIRE. $22

de foile. Six heures aprés le mélange, elle s'échaufa fen- fiblement; mais au bout de 2 heures celle fe refroidit.

Trente-fixieme expérience.

Le 29 de Juiller; Une livre de noir de fümée de Ruffie, ayant été imbibée d'?de livre d'huile de chénevis cuite, fut enveloppée de toile au bout de 2 heures; ce que fefant, je trouvai qu'un feul des amas qui s'étoient formés, avoit contra&té quelque chaleur. | Aprés que ce paquet eut repofé 2 heures dans la caiffe, l'odeur accoutu- mée fe fit fentir avec une chaleur générale, qui s'aug- menta bientót. Six heures aprés le mélange, s'enfuivit lincandefcence fans flammes qui dura 8 heures; & enfin le réfidu de cendres pefa 6 onces, 6 dragmes.

Trente-feptieme expérience.

Le 6.d'Aout. | J'ouvris tous les paquets qui n'é- toient par parvenus jusqu'à l'ienition, & je trouvai que les maffes qui avoient été en réaction étoient devenues plus uniformes, plus gluantes, & plus molles, tandis que celles qui étoient demeurées tout à fait inactives, nec s'étoient. qu'un peu deflechées, Je fis faire un mélange uniforme de toutes ces compofitions differentes; j'en employai une partie à des expériences d'un autre genre, & Je partageai le ree en deux portions égales. J'en mis une moitié dars un pot que je couvris négligemment, & que je po- fai àun endroit für & tranquile du lab: ratoire: mais cette maílé qui pefoit 25 livres demeura inactive.

'Trente-

40 HISTOIRE

Trente-huitieme expérience.

Je mis l'autre moité du méme refle dans un pot femblable au précédent: comme la maffe étoit, auífi bien que la premiere moitié, un peu molle, je Jettai encore deffus x l. de fuie de Rufílie; puis Je couvris le tout lé- gerement d'une planchette, Mais dans lefpace de plufieurs femaines, il ne s'y montra pas le moindre changement.

Du depuis j'ai répété plufieurs fois la 15* & 32»* expérience, & toujours heureufement, avec. cette feule différence que l'intervalle de tems qui s'écoula depuis le mélange jusqu'à Pinflammation ne fut pas toujours égal, ayant été plus court dans un temps ferein, & plus long dans des tems de pluie.

Je pafíe fous filence pour le préfent les ex- périences que j'ai faites avec les cendres qui font res- tées aprés les inflammations précédentes, & avec ces mé- mes mixtions par diftillation &c.

Et afin. que l'on puiffe comparer d'une feule vue mes expériences entre elles & avec celles de l'Amirauté je les rangerai ici en forme de table, y ajoutant le tems qu'il a fait pendant que je m'en fuis occupé.

"Table

HISTOIRE. 41

Table de plufieurs Expériences concernant l'inflammation fpontanée du noir de fumée avec différentes huiles.

H

FEx- Ires & | Noir de

Hifloire de 1779. P. I. f Ex-

4. HISTOIRE.

Tems de ! Ex- lisos &| Noir de | |'ioie [oon Succés, & por mauv, fumée. | Huile. re de piu aprés» | Remarques. enoc^ | tem« máéler. 'le mé&lanoee. Huile de nn iüvelopps | Cuaud apres J n Plu- Noir de chenevis, | Paitri. | de toile au| 3:heutres, qm vieux. j Ruffie, IB 1B. cuite, 1, B | [bout d'r hr.j puis refroidi. — 1 Huile de Enveloppe 8. | Plu- Noir de chenevis, | Paitri. au bout Point de | vieux. | Ruffie, 3 f&.! cuite, 2 tf. ! | dr heure. |changement. Point de | Plu- | Noir de | Huile de .., | Enveloppé [chaugement. 9- | vieux. Ruffie , chenevis, wuhb au bout |voyez la 7* | 5 it. CUTEe P 1 TS IB. d'ir heure. | Expérience. | | Noir de Huile de | IO. Sec. Rufiüie , lin, cuite, | Paitri. | Enveloppé ! Point de | | 3 tb. | ij Tí: | apiés x h. | changement. Point de | | Noir de Huile de changement. Rufe & | chenevis, | Enveloppé | C'étoit un xr. Sec. | d'Allem. | de lig, & | Paitri. | au bout de | affemblace euviron || d'ol. envir. 2 hcures. | des maffes | x4 157 17 Íib. précédentes. | : | Huile de Iin,j 12. | Sereinj| Noir de |cuite, 1; (6.| Paitri. | Enveloppé | Point de. Rutffie, 3 15. | & -Naphte auflitót. |changement. | I. once. |

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HISTOIR E. 43

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l'A mirauté, Point ce füccés. C?é-

Noir de Huile de Enveloppé |toit de mes

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I5. Py Plu- | Noir de chenevis Mele. | Non bout de 9 - vieux DN [^s 4 15. | cuite,. 2 fb. enveloppé. |heurcs, puis

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Sercin. | Ruffie, 4 f$.| chenevis Meélé. enveloppe. change-

| cuite, 3 (B. | ment.

; Huile de Enveloppé| Ln feu au Serein.| Noir de chenevis |Imbibé. au bout is bout de

f 2 kx-

44- HISTOIRE.

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HISTOTTRE 5

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46 HISTOIRE.

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HISTOIREÉE. 47

$4 p MT ZU.

[ente r- 15s | puis refroidi.

Noir de | Huile de | Enveloppé |S'échaufa 6

L'inflanmation fpontanée de la fuie avec de lhui«

le eft une découverte fi importante, aue PAmirauté im- périale de Ruffie, & S. E. Mr. lc Comte de Ceernifcbef, qui en e(t le Vice- Prefident, ne peuvent que s'attendre à là recon» noiffance de tous les amateurs de Chymie, de Phyfique, & méme de fcience économique, pour avoir publié leurs ob-

48 HffI 5 TXOrf RJE:

obfervations là deffus. ^ Cette découverte fert à étendre nos connoiffances fur les réactions des corps, fur la pro- duc&ion & la manifeflation du feu, fur les précautions né- ceffaires pour prévenir des incendies qui pourroient réful- ter de négligence ou d'inattention fur cet objet. Elle mé- rite auffi notre attention, en ce que les matieres qui pro- duifent cette inflammation, étant faciles à aquérir, pour- roient devenir des inílruments dangereux dans les mains des incendiaires; d'autant plus qu'on peut aifément les placer oüà l'on veut, & que leur effet n'étant pas d'abord vifible,. les fcélérats qui s'en ferviroient auroient encore affés de tems pour fe fauver par la fuite.

Pour ce qui eft de mes expériences , Jy ai táché principalement de découvrir quelles font les fortes de noir de fumée & d'huile qui s'enflamment aprés avoir été mé- lées, en qucile proportion il faut prendre ces deux íub- flances, comment il faut les méler & les manier pour qu'elles s'enflamment 1e plus fürement, & en combien pe- tite quantité ces matieres font en état de prendre feu. Or à tous ces égards, fi lon fait attention. aux expé- riences de l'Amirauté &. aux miennes, on pourra en tirer les conféquences fuivantes.

Quant à la fíuie, il paroit que les expériences réufüffent; mieux avec le noir de fumée commun de ce pays-ci, qui femble étre un peu gras, qu'avec celui d'Hol- lande ou d'Allemagne, qui eft fin & fec, & qu'avec la groffiere fuüie de cheminée. Entre les huiles, on n'a trou- vé propres à l'inflammation que celles qui font tirées des végétaux par expreílion, & parmi celles-ci il faut prendre

D les

HISTOIRE 2s

les plus ficcatives: elles produifent l'e&et requis, foit qu'on Jes emploie cuites ou crues. ]l eft vrai que toutes les expériences qui ont réuffi, ont été faites avec de Phuile de chénévis; mais il eft indubitable, qwe fi l'on s'étoit fer- xi tout aufífi fouvent d'huile de pavot, de lin, de noix, ou de toute autre hvile ficcative, les effets auroient été les mémes. La proportion entre lhuile & la fuie ne fau- roit étre déterminée au joíle, La fuie s'allume avec une quantité d'huile dont le poids eft un dixieme, un. cinquie- me, un tiers, ou l'équipollent, ou méme le double du . fien. La proportion la plus füre, eft de prendre un poids égal des deux matieres , ou f; lon veut, un peu plus de fuie, mais plutót cependant plus d'huile que dc fuic.

"Une mixtion légere, ou plutót une. fimple imbibi- 'tion de l'huile dans la fuie, oàü il arrive qu'une partie de ]a fuie demeure fícche & euveloppe en quclque | forte de petits amas humides, une pareille imbibition cft, dis-Je, préférable à une mixtion plus iniime «X au paitriffement. Quand ou méle les matieres plus intimément, il eft bon de les faupoudrer encore de íuie fechz.

L'intervalle de tems depvis la. mixtion Jusqu'à l'in- flammation roule eutre 4 & prés de 48s heures. Comme je confervai affés longtems durant mes expériences les maf- fes avec lefquelles Je .les avois faites Je | n'aurois pu manquer d'appercevoir le mouvement dignitiop, s'il s'"étoit manifefté plus tard dans les matieres qui ne. s'étoient pas d'eberd enflammées: il paroit donc que le délai de l'in- flammation ne va gueres au delà du terme que je viens de marover. ]l eft trés probable que la réa&ion de la füic &

Hifloire de 1779. P. I. g ce

5o IT I'SUENO TORT B;

de l'huile dépend auffi en grande partie de l'état de l'ate mofphére. Car j'ai vu que des mélanges, qui s'enflam- moient ordinairement fans faute, ont manqué leur effet dans un tems de piaie, ou du moins ont pris fem beau- coup. plus tard que de coutume,

. Ti n'eft. pas d'une: néceffité. indifpenfáble d'envelop- per les mixtions dans de la toile grofliere, mais. cela ne laiffe pas de contribuer beaucoup à-afíürer l'effet. — Les. grandes mafífes, quand on fuit les procédés que nous avons indiqués, s'allument beaucoup plus facilement que les pez tites, & méme quelque fois dans des vafes, fans étre en- veloppées de toilc. La raifon en cít, que dans les gran- des la réaction fe fait à plufieurs endroits à la fois, de facon quil sy trouve toujours quelque portion de matie- re plus. difpofée que le reíle à s'échaufer jusqu'au point d'gnition, Cependant dés que l'on a aquis une certaine habitude dans la manipulation, & que Pon. obferve foi- gneufement toutes les précautions dont dépend la réuífite; il arrive. rarement que des mafles plus: petites vous fru(ltrent du fuccés. Néanmoins quand elles font trop petites , la chaleur ne fauroit affés s'accroitre, à caufe de la réfrigé- xation qui provient de l'air extérieur. —

Tl et vrai que Pon peut compter avec affés d'affü- rance fur le. phénomene de [l'inflammation fpontanée., quand on emploie des matériaux convenables en Ju(te proportion, obfervant en outre une manipulation aiféc en elle- méme, mais indifpenfable: cependant ce phénomene ne fe montre pas auffi fréquemment que l'on pourroit fe le figurer d'aprés le fuccés des. expériences: car il ne

. peut

HBSHTDQUDERE .:: S1 peut arriver que trés rarement que le hazard comibine exa&emernt toutes les conditions requifes; & c'eft ce qui fait qu'il-y a^moins à craindre pour les incendies de ce cóté li. S'il n'en étoit pas ainfi; pourquoi n'auroit-on jamais jufqu'ici remarqué ou du moins foupconné l'inflam- 4nation fpontanée dont il s'agit, aprés que l'on.a mélé des 4nilions de fois de la fuie avec de Phuile? ll.faut con- venir méme que jufqu'à ce jour on n'y auroit peut-étre point fait attention, fi l'éfprit pénétrant de notre illuftre Souveraine n'en avoit fait un objet de nouvelles re- cherches , à loccafion de ce qui arriva à Cron(tadt.

Pour ce qui eft de l'explication de ce phénomene, on pourroit fe la faciliter en fefant une analyfe exacte des différentes fortes de fuie, par les moyeons connus dc la Chymie. En attendant je me figure que la chofe fe fait:de la maniere fuivante. Les huiles par expreffion, autant qu'on a pu'^s'en inflruire jufqu'à préfent , confiftent ^jans la comibinaifon .de beaucoup de phiogifiique ou de 4natiere inflammable avec de fP'acide & de Peau. La fuie eft compofée d'une terre :charbonneufe , d'une grande portion. de phlogiftique , d'un peu d'acide, «& d'alkali vo- latil. Quand la fuie a humé Phuile, de fagon que l'une fe '"ucouve €n certaine proportion avec l'autre, les principes de ces deux matériaux agiffent réciproquement les uns fur Jes autres, par Quoi une partie de la matiere inflam- Table fe dégage, & de là fe forme un air phlogiflique ou une Vapcur chargée de matiere infiaammable & d'acide, c'eft i dire d'une forte de foufre a&£rien. — Dans un air libre la chaleur fera réfrigérée à mefure qu'elle fe forme, & l'air phlogiflique déja déespé fe difperfera. ^ Une mafle

2 2 confi-

5? H ISSIFEYOrINRUEI

confidérable fe comprime d'elle- móme plus qu'une moin- dre; la toile comprime encore mieux: ce qui favorife la réacion , garantit la chaleur & les principes degagés d'une trop prompte difperfion, & modifie l'action de Pair extérieur. La chaleur montée par là jufqu'à un haut de- gré, & aidée de l'air extérieur, pcut faire que la ma- tiere inflammable d$Ja dégagée, «& le foufre végétal. im- parfait contenu dans. lair phlogidique, aquierent le mou- vement d'ignition, & produifent l'embrafement. ^ Ce qui prouve que Palkali volatil contenu dans la fuie contribue: auffi au. fuccés, c'eft. l'odeur fétide qui fe fait fentir pen-- dant la réaction, & l'expérience de l'or fulminant, qui. s'alume par une fricicn affes légere..

E. paroit que le fouffie imparfait, divifé eu par- celles. féparées, ne s'allume pas avec vivacité, ni prompte- ment d'un atome à l'autre, & qu'ainfi 11 s'éteindroit bien- tt, fi la fuie feche mélée dans la maffe ne lui fervoit comme d'amorce, pour prendre & augmenter le feu. La. toile dont la maffe eft enveloppée, outre í(on, ufage de compre(lion, fert encore par ía grande combuftibilité. à. favorifer l'embrafement.

Le célebre Mr. Marggraf à Berlin, ayant recu par "Mr. 9. 4. Euler, un avis général de. l'evénement arrivé à la flotte, & des expériences que l'Académie avoit commencé à faire li deffus, répondit le 15 de Juin en ces termes:

« Quand, pour combiner intimément de la fuie: ,,avec de l'hule, on les broye eníemble, & les conferve: , daus

HISOTOIRE. 53

»dans un état de compreTion; il eft trés poffible que le mouvement interae aille au point, que les. parties » conítituantes de ces fubítances fe faififfent réciproque- .,.ment, s'échauffent, & prennent méme feu à la maniere »4du pyrophore, dés que la matiere enveloppée eft ex- »pofée à une promte affluence de Pair extérieur. La »Íuie contenant des parties inflammables & d'autres uri- neafes,- & lhuile de chanvre renfermant un acide na- ,turel avec de la matiere. inflammable; il eft incon- »teftable,'" par des raifons phyfico - chymiques, | que »dans une maffe compofíée de ces deux fübítances, ,il peut aifément fe manifefer au bout d'un cer- ,tain tems un mouvement d'ignition,. & enfin une »flamme. vifibe, &.cela par Pacion & la réacion. du ;,mouvement interne, qui devient de plus en plus vio. »lent, & qui par des caufíes accidentelles. peut étre ,portéé jusqu'au plus haut point; d'autant plus qu'il y a 0ne quantité abondante de matiere inflammable dàns les »deux corps; L'explication de ce. grand Chymi(te au- roit été fans doute encore plus jufte & plus précife, s'il eüt pu étre inftruit alors du détail des expériences. qui. ont été faites, &. de. leur. réuffite..

Les. cendres: des. maffes: confümées par l'inflamma- tion. fpontanée, íont fort chargées de particules ferrugi- neufes, particulierement quand on s'e(t fervi d'huile crue avec la fuie. ]e m'occupe encore à analyfer ces cendres. Un mélange de fuie & d'huile, qui ne s'étoit point en- flammé, ayant été diítillé à la retorte n'a point produit de pyrophore ni de phénomene lumineux. Je me propofe

g 3 de

$4 HIST IrLR.E.

de faire für tout :cela des recherches ultérieures, .dont je publierai les réfultats. En attendant je vais décrire les ex- périences que j'ai faites fur linfilammation fpontanée da chanvre & du lin avec l'huile; afin de contribuer autant qu'il dépendra de moi à perfc&ioner le fyfteme de linflamma- . tion fpontanée, & à'en faire conunoitre les divers genres.

EXPERIENCES S - rélatives à l'inflammabilité fpontanée du chauvre & du lin.

par Mr 7. G. (Geong:.

"Traduit de l'Allemand

(» a plufieurs exemples d'incend'ies qui n'ont eu pro- bablement d'autre caufe que l'nflammation fpontanée du chanvre, du lin, ou des tiflus formés de ces matieres végétales. | Le terrible incendie arrivé à Rochefort en 1756 ne peut gueres étre expliqué autrement. En 1757 le feu prit dans la ville de Bret à un magazin de pré- lart, c'eft à dire de toile à voiles peinte d'un cóté d'une couleur compofée de vernis à lhuile & d'ochre: autant qu'on put s'en inftruire, on ne put attribuer cet accident à aucune négligence, ni à aucune caufe extérieure. (Voyez le mémoire de Mr. Moztel dans l'Hittoire de l'Académie de.Paris, Année 1760). Dans plufieurs ports militaires on a vu, non obítant l'exa&e police qui y regne, des incendies dont il a été impoflble de découvrir 1es «caufes par les

per-

HISTOIRE —

perquifitions les plus foigneufes & les plus féveres. Tl y a environ 20 ans, que le feu prit plufieurs fois à une manufa&ure de cables. établie ici, & à des cabanes faites de poutres: on découvrit enfin que cette manufac- ture employoit à fes ouvrages du chanvre qui s'étoit gáté dans un vaifícau par des touneaux d'huile crevaffés, & que les pauvres gens qui demeuroient dans des mai- fonnettes de bois avoient acheté de ce chanvre peu cou- teux pour en calfater leurs demeures: cependant, comme il y avoit encore d'autres circonftances füfpectes, on ne put rien affirmer pofidvement fur la caufe de ces fié- quens incendies. — Mr. Scbroeter, qui a toujours été at- tentif aux événemens qui fe rapportent à la phyfique, fe fouvient d'avoir entendu dire dans ce tems-là. que les cables- que l'on avoit faits. de ce chanvre humedcté d'huile avoient coutume de s'échaufer quand on les accumuloit en grands rouleaux les uus fur les autres, & qu'on étoit obligé de les difperfer pour leur donner de l'air. L'in- cendie terrible de 1780 qui confuüma nos masazins de chanvre , ne peut avoir été l'effet que d'use ioflammation fpentanée ou de la malice la plus impénétrable, vu les précautions qu'on avcit prifes pour éviter de pareils ac- cidents, & la regle qu'on obferve de ne foufrir aucun feu tant für l'ile oü les magazins íont bátis, que fur tous les vaiffeaux de la Néva. Les foupcons qu'on eut à cette occafion d'une inflammatiou fpontanée porterent Sa Maje(té lmpériale à ordonner des. recherches ph;fiques au fujet dela frégatte qui prit feu à Cronftadt (Voyez la Lettre de S. E. Monfieur de Comte de Czernzicbef, à V'A- cadémie des fíciences).

C'eft

56 H: I3S:£T*O-IoRv Ei

CQ'&ft ce qui donna lieu aux expériences fur l'in- flammabilité fpontanée du chanvre que l'amirauté ajouta à celles qu'elle avoit faites für la fuie & Phuile. (Comme ccs expériences rélatives .au .chanvre nt été en petit nombre & faites en petit, je vais décrire ici les miennes par rapport au méme objet, 1l eft vrai qu'il. n'y en a aucune qui m'ait réuíli jufquici; mais pour ceux qui font des recherches, i| n'eft pas füperflu de favoir quels font les .effais qui ne réu(fíffent point, afin qu'ils ne fe donnent pas la peine de chercher là oà n ne fauroit rien trouver. ]l faut encore remarquer que les mois d'Aout .& de Septembre pendant lesquels je fis mes premieres obfervations, fournirent prefque toujours un tems fec; mais les fuivantes que Je fis en Odobre & Novembre, furent pour la plupart accompagnées d'un «iel humide & pluvieux,

Premiere expérience.

Huit aunes de toile de lin. de Ruffie, groffiere mais blanchie, furent peiutes d'un cóté moyennant une mixtion broyée d'une demi-livre de fuie de Ruffie, & de 3 Íí5 de vernis à l'huii?; & le jour fuivant la pein- ture s'étant paffablement defféchée, on y en mit une fe- conde couche. En triturant la fuüie avec l'huile, on ob- ferva que le vernis étoit devenu plus odorant qu'aupara- vant, & durant le premier quart d'heure il s'y forma tant de petites ampoules d'air, que la mixtion en prit une apparence écumeufe. Le troifieme Jour aprés que cette toile eut été pcinte pour la feconde fois, on la mit en rouleau bien ferme, on Pentoura de ficclle, & on la pofa en lieu de fürete en cas d'inflammation. Mais

il

HOPSCROOFEUREEP —- T

ilne sy manifeta pas la moindre chaleur, ni aucun autre changement. — Au bout de r2 íemaines, on ouvrit «e tapis roulé: la couleur avoit pénétré .d'outre en outre la toile qui en étoit.devenue fort sglutineufe; mais elle fe trouva au refte dans le méme état qu'auparavant,

Seconde. expérience.

Huit aunes de toile de lin grofüere furent peintes, *omme ci devant à la maniere des tapis, avec une cou- leur bien broyée, compofíée de 4 fB de minium & de $3 Q5 de vernis à Phuile: on y mit deux couches de cou- leur: puis, la toile étant paffablement feche, on la mit en rouleau. Au bout de 3 mois on trouva le rouleau confidérablement collé, mais fans autre changement.

"roifieme expérience.

On prit 10 í$ de chanvre commun, qui avoit été bien féché au four, & qui avoit perdu par l'exficca- tion 8 15 fur le. poud, c'eft à dire. un. cinquieme de: fon poids. ^On hume&a ces 1o 16 de chanvre, d'une maniere fort égale, avec ; 156 d'huile de chénevis crue: on mit le chanvre en pelotte: on l'envcloppa d'un mor- cean de natte faite d'écorce de tilleu!, de maniere que la natte ne fcíoit qu'une fois le tour: on ferra le tout auffi ferme que pofíble avec. unc. corde, «& on marqua ce paquet par No. r. . De jour je mettois le paquet au fo- lel .& de nuit dans le laboratoire: durant la premiere fe- maine il regut chaque jour]la chaleur du foleil — Au bout de $8 femaires j'ouvris le. paquet, & my vis aucun chan- gement, à l'exception d'un. pcu plus de féchercfle.

Hiftoire de a779.. P. I. h Qua-

58 H31:;8 ITO IT RES / Quatrieme: expérience. Dix autres livres de chanvre féché furent humec- tées d'une livre d'liujle de chénevis crue; & traitées. em

tout comme le paquet précédent. Le füccés ne fut pas meilleur. Ce paquet étoit marqué No. ».

Cinquieme expérience.

On humec&a ro í5 de chanvre fec avec 5 1í& d'huile de. chénevis crue, on les traita comme les paquets. précédents qui avoient été numérotés par r & 2, & on marqua celui-ci par No. 3. Huit femaines fe paflerent fans qu'on y remarquát la. moindre altération,

Sixieme expérience.

On prit 1o f& de chanvre fec: ou l'imbiba de 4. 16 d'huile de chénevis crue: il s'empara de toute Phuile: & en fut fort mouillé. On en fit un paquet femblable aux autres, qui füt marqué No. 4. I| demeura égale- ment 8$ femaines fans aucun. changement..

Septieme expérience.

Six pelottes. de chanvre: de la groffeur du poing, furent imbibées de la quantité d'huile de chénevis qu'elles purent humer, ce qui prit 2 1f. de cette huile. Je dis- pofai ces pelottes dans un tas de ro 16$ de chanvre fec, de facon que les unes fe trouvoient vers le centre, d'au- tres plus prés de la fürface, d'áutres. au- niveau de la fur-

face. Le tout fut mis dans une piece de natte & lié de cordes.

HISTOIRE. 59

cordes. J'y mis le No, 5. Il ne &y fit point de chan- gement. Je fis cette expérience à l'imitation de celles «ue j'avois faites avec de, la fuie, .& oü j'avois vu que le fuccés dépendoit beaucoup de certaines molécules im- . dbibées d'huile, & .entourées de matiere feche.

Huitieme expérience.

Une natte :d'écorce de bouleau fut imbibée de & 4B d'huile de chénevis. | Dans cette natte furent enve- Aoppées ro í5 de chanvre fec, que. l'on comprima avec des cordes autant que fpofílüble. Le paquet fut marqué No. 6. | Si lincendie des magazins à chanvre a eu pour caufe le contact du chanvre & de lhuile, cette huile ne pouvoit y avoir été introduite que par des nattes huilées. Cependant ce paquet, ayant été ouvert au bout de 7 Ííemaines, ne montra aucun figne de changement. Seule- ment le chanvre avoit. contracé une odeur triés forte de renfermé ou de relant, ce qne. j'avois auff obíervé dans les expériences précédentes.

Je ne fis point pour cette fois d'expériences avec des huiles .cuites ou des vernis, parceque ces verhis ne peuvent gueres fe trouver en contact avec le chanvre ou le lin foit. dans des magazins, íoit dans des vaiffeaux, & y.caufer du dommage. :

Il eft connu que le foin ou 1e blé quand il cft humide .& -entafíé en grande quantité, s'échaufe & s'en- flamme quelque. fois. | Ceci ponrroit aufü; arriver au

hi2 chanvre

6o HISTOIRE.

chanvre & au lin, quand i! y a des ballots qui tombent dans l'eau, qui font liumectés par la pluie ou mouillés de quelque maniere que ce foit. Par cette raifon. Je fis les expériences fuivantes.

Neuvieme expérience.

Je pris xo 16 de chanvre trés fec, je Phumec&ai: unifornément & également de 2 [ff d'eau, Je le liai bien ferme danus-une nmatte' fimple d'écorce, je marquai le paquet No. 7, & le pofai dans le laboratoire. . 1l ne s'en fuivit point de changement. Au bout de 7 íemaines le paquet fut ouvert, il en fortit une -odeur de relant trés forte, & le chanvre étoit devenu friable par la moi- fiffure: i| n'avoit fübi d'autre altération depuis que je. leus empaqueté..

Dixieme experience.

xo Íí& de chanvre, ayant été imbibées d'une ma-. niere uniforme. de 5 ff d'eau de Néva, empaquetées. comme précédemment, & marquées No. $; il ne.s'y ma- nifefta aucun changement. Le paquet ayant été ouvert au bout de 7 femaines, le. chanvre fe trouva fort blanc, & fi friable qua l'aide d'un báton on pouvoit prefque le broyer; il n'étoit pas feulement aifé de le déchirer, mais auffüi de le caffer. L'odeur de relant étoit trés fen- fible. Je le remis en paquet pour voir s'il y manifef- teroit d'autres changements.

Onzieme expérience. Je verfa peu à peu ro Íf5 d'eau de Néva für xo

16 de chanvre fec, qui en devint fort mouillé, fans - qu'on

HISTOIREÉ. 61

qu'on pát néanmoins en exprimer l'eau ài ]a main. Je l'emballai comme ci-devant dans une natte, & le marquai du No. 9. Au bout de 7 femaines je trouvai le chanvre comme dans la ro* expérience: la moififfüre n'étoit gueres plus fenfible, quoiqu'il y eüt plus d'eau. Je le rempaquetai aufli,.

] eft vrai que dans de grands tas .de chan- 'yre ou de lin les effets pourroient bien étre différents de ce qu'ils font dans ces fortes de petits effais. Cepen- dant ces expériences en petit devroient au moins, fi l'on attrapoit une fois le vrai point, manifetter quelque cha- leur ou quelque autre phénomene, qui montreroit la route qu'on auroit à fuivre pour: réuffir en grand, ou pour approcher de la réufüite. Le tems humide qu'il fit pendant plufieurs. femaines confécutives. étoit fans doute un. obílacle confilérable, mais pourtant pas afífés grand pour empécher feul tout fuccés. L'expérience de l'Ami- rauté oü il y a eu inflammation dans un mélange de fuic, de chanvre & d'huile, n'e(t point décifive pour le chanvre, vu que la fuile. & l'huile. fans chanvre. s'enflam* ment. enfemble..

L'expérience journaliere; nous: montre que le lin; le chanvre & les étoupes ne s'échaufent & ne s'enflam- ment pas. par eux- mémes. quand on les a fait entrer avec violence dans. les interítices du bois, foit aux. fenétres, foit auX poutres ou troncs d'arbres des. cabanes, & qu'ils. font expofés aisnfi à une. viciffitude- continuelle de fíéchereffe & d'humidité. Le calfatage des vaiffeaux & les cordages poifífés dont on fe fert daos la marine, piouvent auf(ii

h: 3: futfi-

6» H IS Ty O- DRE

fufüfamment que le chanvre poiffé ne s'échaufe & ne s'enflamme. pas à l'air libre fec ou humide. 1l ne refte donc qu'à favoir ce .qui arrive au chanvre ou au lin, quaud il eft imbibé d'huile, & employé au calfatagc. C'eft à ce fujet que Je fis les expériences fuivantes.

Douzieme experience.

Je pris du chanvre, je l'arrofai d'huile de chénevis crue, employant ; once d'huile pour chaque livre de chanvre, je laiffai à huile le tems de pénétrer le chan- vre: puis Je le mis par couches entre les fürfaces de 4 planches neuves de bois de fapin, paffablement fortes , longues. de 2 piés & larges de 6 pouces. Les. couches de cbanvre étoient de l'épaiffeur d'un doigt. Les planches qui alternoient avec le chanvre, & qui étoient par con- féquent paralleles avec les couches, furent clouées en- femble avec de longs clous de fer rivés, ce qui com- prima le chanvre autant que pofhble: j'avois fait rogner un peu les bords angulaires des planches, aón qu'elles formaffent des crevafles élargies en dehor:. p^ fis entrer dans ces crevaffes à coups de repoufloir & de marteau autant de chanvre huilé qu'elles en purent contenir. — Ce faifceau de planches fi bien calfaté, & marqué No. r, re- pofa da deux femaines dans le laboratoire, puis deux

autres femaines à l'air libre. 1l ne s'y ft pas le mofndre changement.

"Treizieme expérience.

Je fis un autre | faifceau de planches exactement

femblable au précédent, également rempli de couches de chanvre,

IEBYSIE.O ERE 65 chanvre, cloué & calfaté; à l'exception que j'employai r: once d'huile für Ia livre de chanvre. Le chanvre dont j'eus befoin cette fois-ci pefoit envirom 1: ff. Ce faifceau, marqué No. 2, fut poíé à cÓté du précédent & foigneufement obfervé; mais Je n'y remarquai aucun phé- aomene.

Quatorzieme expérience.

Un autre faifceau encore, aufííüi compofé de 4 planches juxtapofées, fut rempli de chanvre qui depuis plufieurs jours avoit été imbibé de 3. onces d'huile par livre: il fut cloué & calfaté comme les précédents, marqué No. 3, & mis avec les autres. Je n'y remarquai rien non plus. '

HIST O-

Planche T.

64. HISTOIRE En Qc 50 459050 4006 50 40 0056 Aq 5 0050-500 5€ 460050 95 oo te

HISTOIRE NATURELLE

T.

Defcription de l'organe de génération du Rhino-

ceros à deux cornes.

M" le Docteur jSparrmanm, «onnu par les obfervations

botaniques & zoologiques qu'il a faites pendant plufieurs années au Cap de Bonne-efpérance, a commu- niqué à l'Académie: le deflin .de l'organe .de génération du Khinoceros à deux cornes, qui eft l'efpéce ordinaire au Cap, & que les obfervations les plus modernes ont déja fait entrevoir comme trés différente du Rhinoceros de lInde. La forme trés caractérifée de cet organe, par lequel le Rhinoceros à deux cornes fe rapproche en quelque facon du cheval, reffemble fi peu à la figure que Mr. le Dod&eur Pa[fJon: a donnée de cette méme partie du Rhi- noceros i une corue, qu'on peut alléguer: ce caracére comme une nouvelle preuve de la différence fpécifique de ces deux animaux.

La Planche T* repréfente un membre du Rhino-

-«eros à deux cornes, en grandeur naturelle: les lettres

aa indiquent le bord coupé du prauee retiré. b b le frein du prépuce. £€ le corps du membre. .

d d

HISTOIRE. 65

dd deux élévations charnues ou caroncules longitudi- nales au deffus de fa bafe.

€e un rebord charnu, qui couronne le gland & s'a- vance au bas en demi-cercie.

ff |e gland ovale & tronqué, ceint d'un bord prefque en forme de champignon.

La proportion de ce membre cít a(fés petite pour un animal, qui a onze pieds de longueur fur íept de hau- teur & une circonférence de r2 pieds: toute. fa lon- gueur n'étoit que de 7 pouces, la circonférence à la bafe

, le grand diamétre du gland' 1 p. 4 lignes, le petit diamétre r pouce: la hautcur des caroncules paraboliques d'environ z p. 6 Ll. leur étendue en longueur 2 p. l'é-

paifleur 3 l.

Dans un Rhinoceros plus avancé en age, dont la longueur excédoit de quelques pieds les mefures données, & qui avoit les cornes bien plus grandes, cette partie ne sS'eft gueres trouvée de la moitié plus grande que dans le premier, — Mr. Sparrmann conclut de ces proportions, que l'accouplement du Rhinoceros ne fauroit avoir lieu de la maniere conje&urée par Mr. le Comte de Buffon.

1I. Extraits des Rapports envoyés à l'Académie par M. le -Translateur Jabrig. I. Teinture en Jaune des Calmoucs.

Une efpéce de Licben, qui couvre en certains en- Hifloire de 1319. P. I. i droits

66 | SEL SUO RE,

droits la furface des deferts les plus arides vers la mer Cafpienne & qui fecmble étre. le méme que Di/lsius a decrit. fons le nom. de Licbemides | ceratopbyllum | obtufius e minus vamofum (Hiftor. mufcor. p. 154. tab. 20 fig. 49) promet une bonne teinture d'un jaune tiraut fur le fouci. Le 'Translateur Jabris la vu employer par les Calmoucs pour teindre leurs étoffes de cotton, avec une addition. d'alun & d'écorce de pommier fauvage. Les gar- cons Calmoucs le máchent & en enveloppent les aftra- gales. d'animaux, qui fervent à leurs jeux, & ces os, aprés avoir repoíé pendant une nuit, fe pénétrent d'une belle couleur jaune, que la páte du Lichen leur commu- nique. | Ce méme Lichen máché fert encore d'un bon cataplafme vulnéraire au peuple Calmouc.

2. Remede des Calmoucs contre les maladies de la peau.

L'Ariflolocbe (Ariftol. Clematiles) au rapport du méme voyageur, eft empioyée par les Calmoucs en dé- cocion, comme un remede externe contre les malad'es de la peau. lis en lavent auffi leurs fiucons de chaffe, loríqu'au printemps ils fe trouvent attaqués de la galle & qu'ils portent mal leurs plumes. Le bain de cette dé- coction de Pherbe feche, dont on fait provifion pour cet effot, fait promptement tomber leur vieilles plumes & favorife le cru des nouvelles.

3. Des Rats d'eau.

Ces animaux, d'aprés les obfervations de Mr. Jábrig fe multiplient trés fort fur les iles du Volga, furtout pendant l'inon-

HISTOIRE. 67

linondation de ce fleuve qvi dure fort avant dans l'été: ils fe tranfportent auffitót que l'eau du fleuve eft rentrée dans fon lit, par une efpece de migration, fur les prai- ries qui le bordent, marchant de tous cótés par grandes troupes & s'écartant aux approches de lhyver fort avant dans les déferts élevés, oü ils deviennent fort importuns par les dégats qu'ils font à l'économie des Calmoucs: ceux-ci s'en vengent de leur cóté en employant les peaux de ces animaux pour des fourrures.

4. Remede des Calmoucs contre des tumeurs gangre- neufes.

Ces tumeurs gangreneufes attaquent les chevaux, le bétail & méme les hommes dans les baffes- terres le long du Volga par une caufe jufqu'a préfent inconnue. Les Cal- moucs recommandent contre ce mal, comme un remede trés efficace une efpece de Srarice quls appellent Tu- fcbut. | Yls découpent cette plante un peu aílringente, & en nourriffent les chevaux attaqués fans leur permettre d'autre aliment.

5. Remede de ces mémes Nomades pour cxciter le faignement de nez.

Ils employent pour fe procurer ce bénéfice, fouvent trés falutaire dans les maux des yeux X les engorgemens du cerveau, d'une efpece de Gramem, décrite fous le nom d'Agroflis bungens, dans l'ouvrage de Mr. Scbreber für lcs Graminées, & dont les Arabes fe fervent pour fcarifier les hémorrhoidaires — Les Calmoucs font des pelottes de cette. plante, dont les feuilles viennent naturellement par

12 petites

68 H PSUPO.I^R Ei

petites touffes*. ils. les introduifent daus les narines & les agitent en différens fens, Jusqu'à ce que l'effet défiré s'en- fuive.

6. De la plante appellée Préganmtbes cbondrilloides.

Cette plante vient communement dans les fables le long du Volga: «lle produit a:tour de fa racine une elpece dé Gomme- réfine fort tenace, qui n'et que le fuc laiteux de certe plante infpiffé dans les fables. Les Calmoucs le recueillent & aiment à le mácher, ce. qui le change en colle exrremement: tenace & élaftique, femblable en qucl- que facon à la ré(ine élaftique du Brefil.

IIT.

Analyfs chymique d'une efpéce de Gomme-réfine qui fe produit autour de la racine du Prenanthes chondrilloides.

par Mr. Géorgi.

Cette réfine que Mr. Jábrig a envoyée du défert des Calmoucs, eft gluante & d'un noir tirant für le verd, tant qu'elle eft fraiche. — Longtems expof?e X lair durant l'été, elle devient un peu plus tenace & plus noire: elle ne pérd que peu de fa mafíe en fe defféchant, Le papier dans lequel on la garde en e(t imbibé comme d'une huile graffe, & cette graiffe fe. montre auffi dans d'autres expériences. |

; Quand

HyYsPOr8E .* 69

Quand on máche cette réfine, elle caufe une grande aflluence de falive, mais la falive n'en change ni de couleur ni de gout, & n'en devient pas méme plus glaireufe qu'elle n'étoit. — Dix grains de réfine ayant été máchés fortement pendant une heure, avoient.à peine perdu un grain de leur poids: elle en devint plus noire, un peu plus g!uante & plus exienfible, fans fouffrir aucun autre. changement.

Elle s'allume ^ aifément à la flamme d'une chan- delle, & produit elle méme une flamme jaunatre, qui donne une "fuie noire & légere en grande quantité. Quand on en allume un morceau en forme de cone & qu'on le laiffe bruler fur du papier blanc, ce papier s'im- bibe tout à l'entour d'une graiffe tfemblable à l'huile. Si on éteint la réfine avant qu'elle ait achevé de brüler, on peut l'étendre comme de la cire à cacheter, mais elle eft trop gluante & trop vifqueufe pour conferver des empreintes. — Si on la laiffe brüler jusqu'à ce qu'elle s'é- teigne d'elle méme, il rete de- 20 grams de réfine 8 grains d'un charbon noir & tenace qui fe laiffe encore paitrir un peu.

Vingt grains, ayant été digérés dans l'eau pendant plufieurs jours & bouillis enfuite, perdirent à peine 2 grains, & les r8 qui refloient n'avoient fubi aucun chan- gement.

Vingt grains furent digérés pendant 24 heures dans lAlkool, c'eft à dire. dans l'etprit de viu le .plas re&ifié ; aprés quoi la teinture ayant 'été ^ décantéé

15 on

70 H.145 T40) IR: E,

on les fit digérer dans de nouvel Alkool, & de méme pour la troifieme fois. ll fe trouva que l'efprit avoit contra&é une couleur jaunátre, «& aprés lévapora- tion il refta x3 grains d'une réfine Jaune fort tenace. Ce reíle fe laiioit encore tn peu paitrir. Une mixtion d'Alkool de vin & d'une quantité égale d'efprit de nitre en réfolut encore 2 grains par digeftion. Le demeurant fut jaune, terreux & aprés la dulcification fans goüt, pefint 7 grains. 1l s'alluma encore à la chandelle & fe changea par là en un cha:rbon noir.

Du vinaigre concentré put à peine par une longue digeflion, de 20 grains en ré(oudre un, & le refte de- meura fans changement. De la Naphte de Vitriol (mais qui étoit céja vielle) de 20 grains en réfolut 8, qui for- moient une réfine jaune fort tenace.

L'huie de Térébentine, de 20 grains en réfolut Q16 par digeítion: le demeurant étoit terieux & fort m«uble ou léger.

Cette réfine fe réfout dans Plhuile d'amande par une longue digeftion; mais à peu prés la moitié de fon poids demeure comme une fange noirátre & indiffoluble. L'huile en devient un peu plus Jaune & n'a que trés peu d'ipreté au goüt.

Une dragme ou 60 grains ayant été mis dans un petit creufet, fe fondirent aifément à une chaleur foible, . en Jjettant une forte écume & une fumée épaiffe qui

avoit quelque chofe de doucátre: la matiere fondue for- moit

HRPSTONF—fYFSE E. pi:

moit autour d'elle-màme un bord de graife. Le réfidu fut un charbon noir & tenace, lequel. étant calciné plus fortemen* fuma encore & s'alluuma. — Aprés un feu plus violent, il reíta r3 grains d'une cendre jaunátre & ter- reufe, qui, dulcinée par l'eau donna deux grains de fel Alkali. Du demeurant, que les acides faifoient encore f.rmenter, on tira 3 grains de terre calcaire moyennant laleide de Salpetre. — Le refte bien dulcifié perdit par la digeftion avec de l'Acide de Vitriol 12; grain apparem- ment de terre alumineufe. Et le dernier refte ne fut qu'un fable de caillou trés fin.

Ces expériences ayant été faites, il ne re(ta plus affés de réfine pour en faire d'autres par la diftillation. Cependant le détail que nous venons d'expofer montre que cette fubítance eft du nombre de celles qui, de cette nature, ne fe trouvent que dans peu de plantes; que cette mafle réfineufe, outre Phuile effentielle qu'on trouve communément dans toutes les refines, renferme de p!us une huile graffe & particuliere; & qu'il entre dans fa texture une partie confidérable d'une terre fine qui mé- lée intimément au reíte de la compofition, fait que le tout réfifte fi opiniatrément à toute diffolution. — Cette rcfine fe montre en plufieurs points femblable à la fa- meufe réfige eliflique de l Amérique; cependant la pótre ne poffede qu'en un degré fort inférieur les qualités les plus remarquables de celle-là qui confiftent. dans une te- nacité & une élaficité extraordinaires,

MÉTÉ-

vL. H LSipT,;O- LbLR.E

ee mma Lf d 4 IB] RGB] EIER BIER JEU EIU IIIA

MEÉTÉOROLOGIE Hyver de. 1778 à 1779.

| SIC RrPUETIUORE

Les jours font marqués fuivant le nouveau ftile.

I.

I: neigea pour la premiere fois le 1o Octobre 1778 & pour la derniere fois le 24 Avril 1779. L'intervalle entre ces des deux termes eft de 196 Jours.

2. lY eéla pour la premiere fois le rx Od&obre, "TTherm. de Delisle 151^, & pour la derniere fois le 19 Avnl, Term, 154^. — Cet intervalle entre la premiere .& la derniere gélée eft de 190 jours.

5. La Néva füt prife pendant 135 jours; depuis le 13 Novembre ou elle fe géla en grande partie par un froid de 162^; jusqu'au rr Avril, oü elle debacla par une température de 145^. Les Glagons du Ladoga ne parurent pas ce printemps: ils furent tous pouflés par le vent fur les cótes du Lac.

4. Depuis le 11 Oc&obre jufqu'au ro Avril fui- vant, le plus grand froid obíervé, a été de 201^ le 2r Janvier matin: Barom. 28, 55, c'eft à dire 285 pouces

de

HISTOIRE. 33

de Paris. — Ciel entierement ferein, Vent de Nord. Eft. Le moidre froid à midi a été de 156^ le 22 Mars: Ba- rom. 27,56, ciel couvert en grande partie, pluye & vent de l'Oueft. La différence entre ces deux froids eft de 65 degrés de Dklisle,

S2 LE froid moyen au matin & au foir a été trouvé depuis le 1" Novembre jusqu'au 1" Mai r6r degrés depuis le 1 Octobre jusqu'au i*" Juin 3559 8 — Le froid moyen à midi depuis le 1^ Novembre jusqu'au 1* Mai 155 degrés

depuis le 1^ Odobre jusqu'au i" Juin — 149 -—

6.. Le froid au matin & au foir a été depuis le 11 Odobre jusqu'au 19 Avril i jour au deli de 200^ le 2r Janvier 3 Jours entre 190 & 200, le 20. 22. 23 Janvier 9 jours entre 180 & 19o , en Décembre, Janvier & Février (*) 26 jours entre 170 & r180 , en Novembre, Décembre, : Japvier, Février & Mars ( **) $9 jou;s entre 160 & 170 , en Novembre —— Avril 97

— €

(Le rr. 1:5. Déc le 77 x9 Janv. le^ 9;-11.- 15. 147-16. Février.

eX Ee og 26. 25 Nov.le 7. 39.12. 2 £-1IO: 13.:15. 16.17 Janv. lé ^2. 3. 7. 4. s. Mars.

^

Hifloire de 1479. P. I. k

: HLSTOILIRE.

97 jours entre 150 & x60 , en Octobre -—-— Nvril

16 Jours entre r40 & r5o , en Novembre, Février, Mars & Avril.

7. Le froid à midi dans ce méme intervalle . de temps, depuis le 11 Oct. Jusqu'au. 19 Avril, a été ob- Íervé

6 jours moindre que r4o^ en Mars & Avril (*)

79 jours entre 150. & .140 , en .O&obre —— Avril (**)

64 jours entre 160 & 150 , en Octobre Avril

52 jours entre 170. & 160 , en Novembre —— Mars

6 jours entre 180 & r7o , en Novembre —— Février

2 jours entre. rgo. & 189, le 22 Janvier & a2 Février

2 jours entre 200 & 1:90; le 20 & 21 Janvier

Ss. L'état du Barometre depuis le 1^ Novembre 1778 jusqu'au 17 Mai 1779: La plus grande élévation 28.83 le 22» Janvier à 9 h. du foir (***) La plus petite élévation 26.23 le 29 Décembre à &'h.'du foir (****)

La (*) Le*2r. 22.125: 27 Mars; Te. 12; 5. Avril ("Ee o13;— 26:065 e 3 s. 24. 28. 29. 30 Nov., le X; 2. 4-I4. l5. I9.!9I. 398: 29. Djec. ipo SE D. le: 5; 5: Ig Du 28 Fevr, le r. 6. g —— 14. 17 -— 20. 23. 24. 26. 28 Mass, le r —— 7. 9. IO. II. I3. I4. IÓ. 19 Avril.

(***) "Therm. 189. cicl ferein, Vent de l'Eft. / aa Therm. r$54, ciel nubileux, vent fort du Sud; enfuite neige.

HI/SSTAO^SI RE: 33

La variation totale - - 2.00, ou deux pouces de

Paris

Le milieu - - 0 -[ 2*5. $3

La hautenr moyenne - 27.9: c. à d. 27 25 pouces de Paris

Le Barometre s'cft trouvé 107 jours au deffus de 27 2; 78 jours au deflus de 28; & 62 jours au deflus de 2$ ,, pouces de Paris.

9. Les vents forts pendant ce méme intervalle de fix mois depuis le i^ Nov. jusqu'au i" Mai, Íouf- flérent:

6 jours du Nord: le 10. 24. Déc. 17. 18 Janv. 13 Févr.

^ 6 Avril.

2 jours du N- E: le 16 Déc. 2 Janvier.

$ jours de PE/: le 11-14, 25 Nov. 18 Déc. 16 Févr, 5 Mars.

$ jours du S-E:!le-93..28. Nov.. 6. 7. 31 Déc 16 Janv. » Mars, 9 Avril.

6 jours du .$u4: le 2. 15 Nov. 29. 30 Déc. 17 Févr. 21 Avril.

$ jours du S-Ou: le 3o Nov. 28 Déc. 26. »$ Janv. 19 Févr. s Mars. 22. 28 Avril.

32 jours de /Oucft: le 22 Déc. 3. 10. 13. 30 Janv. 6. 9. 23. 26 Févr. 6 Mars, 11. 24 Avril.

19 jours du N-Ou: le 2o; 21. 22 Nov. rr. 17. 23. 25s Déc. 9. ir Janv. 7. 20 Févr. 10, 15. 29. 30 Mars, 4.5. 193.,18 Avril.

10. Les vents trés forts regnérent 1 Jour du S-E le 6 Janvier. k 2 5 jours

76 HISTOTREÉE.

5 jours du'SuZz: le 8 Déc. 7. 25 Avril.

9 jours du $-Ow: le 24 Nov. 12..19 ,Déc;| 15. 27. 51 Janv. r8 Révr.: 12.- 16 "Avril

$ jours de 7Ouefl: le 20. 21. 27 Déc. 5. x5 Févr. 14. 28 Mars, 15 Avril.

2 jours du N-Oz: le 1o Février & le x Mars.

rir.. Les autres variations de l'Atmosphere pen-

dant ces fix mois d'hyver Novembre —— Avril zc. font marquées dans la table ci-jointe 1778. PU TORO . Atmofphere, Nov. | Déc. | Janv. | Févr. | Mars | Avril | Somme jours entierement fereins.| 3; x | 61 4| 8| 4| 26 jours entierement couvert| 20 |15 | 13 | 6 (58 "5| $5 Brouilards.;- - - | r'38 | Dy | Pe DE eh Ar) . (médiocre -: - 4.]| 44 Oo] 2 2. | F5 26 Plui ; : | | copieufe - — - odo eu. oL x 2 Neigedo ie -» -2 | XX |a I3 7 | 7 | 9 | 6o ?'écopieufe. - - 390 1 | I | OUEST 3 Grele v ziipn us TUE 9. «0| Gp Io p 12. nU NP MTSE j foibles | o | r (o. ME I I Td Aurores boréales) m Pi diet ew | * | g'[28

La quantité de l'eau de pluie & de neige tombée depuis le 12 Oc&obre jusqu'au r2 Avril a été trouvée de 5. pouces & 25 de Paris.

100

PRO-

HIS TFPGOIr—-FRr—É. "73

ARxUPW. UPLimu- Im GE. Y AREXCWSLEWELitU 9,39 VXUETS UNE xTM. uu UU. EM e iU

PROMOTION-

M* Pietre | Inobodfof, Adjoint pour PA(ftronomie fut recu & proclamé dans PAffembiée du 7 Janvier Aca- " démicien extraordinaire. pour la méme partie.

MORTS

ean Burmann, ancien Profeffeur de Botanique & Direc- teur du Jardin médecinal à Amfterdam.

Recu au nombre des Académiciens externes en 1776 le 29 Décembre dans l'Afiemb'ée folemnelle, par la quelle l'Académie. Impériale des Sciences célebra le cinquantieme anniverfaire de fa fondation.

Décédé le : Janvier 1779.

2*

Grégoire Nicolaievitfcb Teplof , Confeiller -privé, Séna- teur & Chevalier des Ordres de St. Alexandre Nevski & de Ste Anne, Honoraire de l'Académie depuis 1747.

Décédé le 3o "Mars. 1779.

Nous ne donnerons ici qu'une efquiffe légere de la vie académique de ce Mini(tre ami des fciences & ks pro-

48 H LS./Bh.O b.R.E.

prote&eur de ceux qui les cultivoient. Nous ne. touche- rons pas à íes autres mérites envers ía patrie; ils font à jamais configués dans les faftes de l'Etat. :

Mr. Tepiof a fait fes premieres études au féminaire de l'Archéveque de Novogorod Theéopbane Procopowisfcb», d'heureufe memoire: il y obtint méme une place d'Intti« tuteur, & sy diflingua par une traduction latine des Sa- tyres du Prince de Cantemir & par une Géographie de PEmpire- de. Rufhe. qu'il. avoit compofée. . Ces deux ou- vrages cependant ne furent point imprimés.

En i740 Mr. Teplof fut employé à l'Académie des Sciences, d'abord en qualité de Translateur avec la chargé de travailler au. Catalogue du Cabinet d'Hiftoire naturelle, — Cela lui donna Penvie de s'appliquer à cette fcience: il s'adonna furtout à la Botanique & eut pour Maitre le célébre Profeffeur Amman.

I| y fit des progrés fi rapides, que déja vers la fin de Pannée r741, PAcadémie pour récompenfer fon affhiduité & encourager fon zéle, le recut au nombre des adjoints. Mais fon vaíte génie ne fe borna pas à une feule fcience; en r742 il dorna des legons de. Philofo- phie morale & fut également applaudi.

Enfuite Mr. Teplof fut choifi & nommé pour ac- compagner: en qualité de Gouverneur le jeune Comte. Kyrilie Grégorevitfcb Rafoumovski dans les pais étrangers: honneur diflingué qui marquoit le grand cas que l'Impéra- tice Ej/fabetb, de glorieufe memoire, faifoit déja alors de

fes

Hil :$ (£Lo0*1 :R TE; 79

fes .alens, .& la confiance qu'elle avoit en fa droiture. A fon retour le Comte fon éléve ayant été déclaré Pré- fident de l'Académie .Impériale:;des. Scieuces,; Mr. Teplof travailla au Reglement de ce corps &-eut une grand part à fon renouvellement. | Depuis. cette . époque l'Académie le compta parmi fes Honoraires.

Les Ouvrages que Mr. Teplof a donnés au jour font :

I. JHaHie KCacaronreeca 40 duxosodjim Bo o6ne gacmb r, 1751. c. 4. d. Notice concernant la Philofophie en genéral.

2. Hacmuasaenie Cbmy. n(üru&ion à fon fils.

3. Co6panie pasubixb mnbcenb cb npuxoxeniewb moHosb mna mpH roaoca. c. d. d. Hécueil de diverfes chanfons avec la mufique à trois voix.

4. O J3acbsb pasubixb mo6akoBb wysecmpamn- nbIXb Bb Maaoit pocciu c. 4. d. Méthode de plan- ter diverfes efpeces étrangéres de Tabac dans la petite Ruffie; ouvrage que Sa Majelté l'Impératrice a regu trés favorablement & qu'Ele a fait publier & di(tribuer dans tout le país, par une ordre particulier daté du ir Avril 1705.

OUVRA-

so HISTOIRE

s ORA e NUR eter eto fe aem ERA ERI AC IC ADAE

OUVRAGES, MACHINES ET INVENTLIONS

préfentées ou. communiquées à l'Académie pendant le cours du premier fémeftre de l'Année 1779.

Ty* lAffemblée du Lundi, 7 Janvier, 1e Secrétaire de Conferences a préfenté un echantillon de la plante dont les Calmoucs fe fervent pour guérir les faucons de la roigne, & que Mr. le Translateur ábrig a envoyé à l'Aca- démie avec un rapport daté de Yenatayefska le 3 Décembre dernier.. Cette plante fut reconnue étre /'driflolocbe clema- liie. Voyez ci-deflus Hifleire naturelle pag. 66.

il a communiqué la lettre imprimée de Mr. de Magelan für le Refpirateur. ou. Inbaler des Anglois, in- flrument. qui doit fervir à. guérir la toux catarrale par la refpiration des vapeurs de l'eau chaude.

———e

——

enfuite un avis fur une édition des ouvrages de mvufique de feu jeam-Jjacques | Rouffrau | propofee - par foufcription

——- enfin

HIS TOILRE. 81

—— ——— enfin üne lettre de Mr. de Murr, Patricien de Nu- remberg, qui promet de communiquer à l'Académie une dé-

*

couverte importante pour les aftronomes. Voyez ci aprés.

Le r4 Janvier. | Mr. le Prof. Krafi a remis un catalogue imprimé des manufcripts & divers defins du célébre aftronofme de Nuremberg George Chriflopb Eim- Mart, mort au commencement de ce fiecle. Ce catalogue lui a été adreffé par Mr. ze Murr pour étre préíenté à PAcadémie.

Le 18 Janvier. Le Secrétaire a lu. & remis un écrit de Mr. Rortboe], Profeffcur. de Botanique à Copen- hagüen, qui envoie le catalogue des plantes du Jardin de PAcadémie Danoife, & qui fouhaite de recevoir en échange celui du Jardin botanique de St. Pétersbourg. 1 pro- pofe enfuite un commerce épiftolaire entre Mrs. les Bo- tanifles des deux .Académies, & il offre un troc des plantes tant vivantes que féchées, dont l'Académie royale de Copenhaguen pofíéde une colle&ion trés confidérable, contre des plantes de Sibérie & dcs autres contrées du vafte Empire de Ruffie. L'Académie a accepté ces propofitions avec remerciment, & elle a chargé Mr. le Prof. Lepecbin d'envoyer à Mr. Roitboe] le Catalogue qu'il. demande, & de lier avec lui une / correfpondance qui ne fauroit qu'étre trés utile & agréable aux deux Académices.

Le 21 Janvier. | Le Secrétaire a !u une lettre a- dreffée à Meffieurs les Académiciens par Mr. le Prof. Rott- boe! qui envoie de la part de PUniverfité de Copenhaguen

Hifloire de 1779. P. I. i le

85 HISTOIREÉE.

-

le 1" volume des fes mémoires imprimés en 4" fous le titre 4a litteraria Univerfitatis Hafnienfis ad annum. 1778.

Le 28 Janvier, S. E. Mr. le Directeur a préfenté de ]a part de Mr. le Comte de Harrfib, Chambellan de L. L. M. M. Impériales & Royales deux Exemplaires de fon ouvrage intitulé:

Pyrotecbnia fublimis feculi primaevi vel Liber meteoro- rum: 4" Viennae 1778.

Le 4 Février, | Le Secrétaire a lu une lettre de Mr. Jásener de Mofcou, qui envoie un paquet cacheté, à l'adrefle de l'Académie Impériale des Sciences, lequel contient des Expériences fur les moyens de prolonger fa vie & de jouir jufqu'à fa fin d'un parfaite fanté. Comme PAcadémie exiftera toujours, elle a confeillé à Mr. Já- geütr de revenir au bout d'un fiecle lui préfenter fa de- couverte.

Le rs Février. Mr. le Prof. Lexe/] a lu une let- tre de Mr. Meffier, Aftronome de la Marine à Paris, qui communique fee obfervations touchant la cométe apparue le mois précedent.

—— —— Le S^ Kouliben Méchanicien de l'Académie a fait voir un miroir parabolique de ía conítruction, com- pofé de plufieurs petits miroirs plans, qui produit un grand effet, & par le moyen du quel on peut daus des llluminations de réjouiffance, répréfenter des Chiffres de

telle

HISTOIRE 85

telle couleur que l'on voudra en interpofant entre le mi- roir & la lampe qui eft au foyer, des verres colorés. Sa Majefté lImpératrice a daigné applaudir à cette dé- couverte & en gratifier l'artiftc.

Le 22 Février. Mr. le Prof. Gajdeunfládt a remis de la part de Mr. Hab/iiz/ , correfpondant de l'Académie à Aftrachan, une quantité de femences de la Nympbaea Nelumbo; & de la part de Mr. Jábrig un pacquet de l'herbe nommée Epbedra monoflacbya.

Le Secrétaire a lu. & communiqué une lettre cir» culaire de Mr. Pabin de Cbamplain de la Blancberie, qui envoie diverfes feuilles imprimées; le Profpectus d'une correfbondance générale fur les fciemces i les arts; la 1f'* feuille des zouvelles de la république des lettres c» — de aris dédiées à l'Académie Royale des Sciences de Paris; & l'Extraitt du journal] de mes vogayes, ou les caufes Qc» les effets de la débaucbe c» de la mauvaife éducatiom, Mr. de /a Blancberie invite Mrs. les Académiciens de contribuer à la perfec&ion de fon nouveau Journal, & de lui envoyer les notices & les extraits qu'ils fouhaiteroient de rendre publics.

Le x Mars. Le Secrétaire a préfenté de la part de Mr. K/ige], Profeffeur de Mathématiques à Helmftádt Analyifcbe Diopirik. — Leipzig 1778, 4^, ouvrage fuivi d'une tradu&ion allemande & enrichie de diverfes addi- tions que le méme auteur a faite de /Ipffruclion. détaillée

] 2 pour

84. HLST7O0rURE

pour porterles. inflrumens de. Dioptrique au. plus baur. de- gré de perfection par Mr. Fus.

—— —— ila lu un extrait de lettre communiqué à l'A- cadémie par S. E. Mr. le Prince Dimitri: de Gallitzin, dans laquelle "Mr. jeam Power, Docteur eun Médecine à Poleswerth en Angleterre fait part à Mr, Neeadbam de deux guérifons remarquables de la Gangréne pratiquées par Papplicatiom de l'air fixe ou des cataplafmes fer- mentans..

Le $ Mars. Le Secrétaire a lu une lettre de Mr. le Prof. Spiehzann de Strasbourg, qui coiminunique di- «erfes. nouvelles littéraires.

Le rg Mars. Mr. le Prof. Güldenflàdt, a préfenté de la part de Mr. Hab/itz? es obfervations | météorolo- giques que ce correfpondant affidu a faites à Aftrachan pendant le-cours de l'année 1778.

Le Secrétaire « remis de Ia part de Mr. PAffes- feur Engel, les obfervations météorologiques qu'il a faites à Mofcou pendant les fix dernieres aunées 17753,— 1778.

Le $& Avril S. F. Mr. de Domafcbnef, Dire&eur. de. l'Académie, a motifié la. mort du. Confeiller- privé Grégoire | Nivolayevitfcb: Teplof, Séuateur, Chevalier des Ordres de Sr. Alexandre. Nevski & de Ste. Anne &c. Ho- noraire de l'Académie Impériale des Sciences: décédé le famedi 50. Mars. Voyez. ci- deffus pag. 77.

Le

HIS TOIRE. 85

Le. Secrétaire a lu deux lettres de: Mr. de Magei- lan, qui communique diver(es nouveautés littéraires & qui annonce avec éloge un Cours, de Philofophie expérimen- tale par Mr. 4iwoor en s. volumes. in 4^, qu'on imprime par voye de íoufcription.

Le rz Avril. Le Secrétaire a préfenté de la part de Mr. le Conteiller de Cour Bóckmann, Profefieur de Mathématiques à Carlsruh.

Wünfcbe und Aufficbten zur. Vervollkommung der Witte- rungslebre

brochure. de 40 pages in $7", écrite avec beaucoup de chaleur & de zélc pour le progrés des connoiffances mé-

téorologiques.

Le 19 Avril. Le Secrétaire a lr un. Rapport de Mr. Jbrig, daté.de Yenatayefska, qui envoie une tra- duction allemande du D/banga, c'ett à dire, de la Metfte pour les. trépaffés. que les: prétres. Calmoucs..lifent à la fuite des autres prieres pour la délivrance des Ames.

Le 29 Avril. Le Secrétaire a lu. un Rapport de Mr. Sáübriz , qui.envoie une traduction allemande de /'Ar- Jibanab: Nonmu , ou.Priere de facrifice bénit, qu'on fait en préparant. la trés. fainte offrande des. Prétres | calmoucs

nommée: 4rfcbába..

Le 3 Mai Le Secrétaire a remis de la part de | 'Univerfité. Impériale...de- Mofcou les Difcours. que Mrs. Lisa les

$6 | HISTOIREÉE.

les Profeffeurs ' Schaden & "Tfebepotaref, ont prononcés à une Affemblee folemnelle tenue le 22 Avril à l'occafion de PAnniverfaire de la Naiffaace de $4 MA3ESTÉ L'IMPERATRICE: le premier en latin De CATHARINA Magna, Legislatorun Prima omnium, Legislationem ' fuam, Japienti ac divimo prorfus confilio , confcientiae , foro ei pe- euliari cónfecerato ,. directe inaedificanii: autre en ruffe:

O cnocoóaxb nu nymaxb, sBeaymuxb kb .npocsb- nmeniro.

—— ——— ila lu encore un rapport de Mr, le Transla- teur Jábriz, qui communique diverfes obfervations con- cernant les remedes ufités par les calmoucs: voyez ci- deffus pag. 66.

Le ro Mai, Le Secrétaire a remis une Quadra- ture de cercle, qui lui a été adreffée par. un anonyme, dont la lettre eft fans date: elle a été mife au rebut.

Le 17 Mai. Mfr. le Prof. Laxmann, a communi- qué une lettre trés intéreffante de Mr. Ka/m, Profeffeur d'Hiftoire naturelle à Abo. Ce célébre voyageur, aprés avoir mandé quelques nouvelles, aífure que de tous les arbres qu'il avoit tirés de l'Amérique feptentrionale, le noyer blanc 4fuglams alba. le cérifier noir, Prumus virgi- niüna & le Craraegus, (Crus Galli viennent & profpérent parfaitement bien en plein air dans 1a Finlande. Les deux premiers fe recommandent par leurs fruits, & le dernier eft trés propre pour des hayes. Enfuite Mr. Ka/m qui a aufi vogegé en Rufílie remarque que les mines de

fer

HipslTOOI?RABl . | $9

fer aux environs de "Toüula reffemblent parfaitement à celles qu'il a vues en. Virginie.

Mr. le Prof. Gzidenfládt a préfenté un journal que Mr. Fries, chirurgien, a tenu l'aunée pafféeé à Samara, & qui contient diverfes obfervations für Pétat & les va- riations de l'atmofphére & fur les glaces de la Wolga.

Le 24 Mai. Mr. le Prof. Pa//is, a préfenté de la part de Mr. le Confeiller d'Érat Ms//er de Copenha- guen, un mémoire manufcrit : De confervis. paluftribus oculo nudo invifibilibus..

Le Secrétaire a remis le i* volume de louvrage intitulé

Engelbert. Kampfer , Gefcbicbte. | und. Befcbreibung |. von gapan: berausgegeben. con. H'^. Dobm.

Pour lequel l'Académie avoit foufcrit.

Mr. le Prof. Lexe/], a préfenté de.la part de PA- cadémie Royale des Sciences de Stockholm.

Kongl. Vetenskaps. Academiens Handlingar foer Ar x'*778. Vol. 39. quatre cahiers.

Danielis Melanderbjelm. Fundamenta. Aftrronomiae, — Vol. 1.G Ib

Torberni Bergmann Opufcula Pbyfica & Cbemica.

Le 27 Mai, Mr. le Prof. Pallas, a communiqué la lettre de Mr. le Prof. idus à Amfíterdam, qui no- tifie

*

$8 Hi DS 11001 IR T B.

tifie la mort de fon pere eam Burmann, ancien Profef- feur de Botanique, & membre externe. de. l'Académie Impériale, décédé le 7; Janvier. Voyez ci-deffus pag. 77.

Le 3 Juin. . Le Secrétaire a préfenté la troifieme partie du li. Tome de l'Hiftloire & Mémoires de la. So- ciété. formée à Amflerdam en faveur des Noyés, qu'elle a envoyée & adrefíée à l'Académie.

Le 14 Juin. Le Secrétaire. a lu une lettre circu- laire. du Libraire Pierre Fréderic Gofe. de. la. Haye, | qui envoie un Catalogue imprimé des livres qui feront vendus aux plus offrans, le 5o Aoüt & jours fuivans,

Le 2r Juin. Mr. le Prof. Laxmanmn, a préfenté & lu le projet d'un. voyage phyfico-économique, qu'il va entreprendre encouragé par l'approbation de S. E. Mr. de Domafcbuef. Le Secrétaire a été chargé de dreffer con- formement à ce projet, un plan de voyage, qui enfuite íera figné. & expedié à Mr. Laxmann.

MATHE-

MATHEMATICA.

Ada Acad. Imp, Sc, Tom. IIl. P. I. A

Rete Dt CU ty Coon ap eRüms Me Or etre m x $ El 3" 3 c g Sat 3» 2 Se

Á |

un Festas suis ist ctos o i i

DE FORMATIONE FRACTIONVM CONTINVARVM.

Auctore LEuuBBRGESE R.O.

6. Tr.

poesie vniuerfale ad fra&iones continuas perducens reperitur in ferie infinita quantitatum A, B, C etc; quarum ternae .fibi fuccedentes fecundum certam legem, fiue conftlantem fiue vtcunque variabilem ita a fe inuicem

pendent, vt fit fiesta, f'B2gC-bD, f'Czg' --D-r PE,

f". D a" E -- D^ E: etc, Hinc enim deducuntur fequentes aequalitates: fà-g--t—.8-2- y fe tod p -- 7 a ai E SINLADE cuple o de cgi - 9er p a is E LG cuasete,

A 2 | Quod

ec )4( e53e

Quod fi iam pofteriores valores in prioribus continuo fub- ftituantur, fponte emerget fequens fractio continua:

Í^—age£bo X

g' 4- f" p! pit -L etc.

cuius ergo valor per folos duos primos terminos A & B feriei determinatur.

6$. 2. Quoties igitur talis progreífio quantitatum A, B, C, D, E etc. habetur, cuius lex ita faerit com- parata, vt terni quique eius termini fibi fuccedentes fe- cundum legem quamcunque a fe inuicem pendeant, to- ties inde deducitur fractio continua, cuius valor afüguari potet. — Quamobrem fi formula quaecunque ita fuerit comparata, vt cius euolutio perducat ad huiusmodi fe- riem quantitatum A, B, C, D, E, etc. quarum quisque terminus per duos praecedentes determinatur, inde fra&i- ones continuae deriuari poterunt, quod quomodo fiat, commodi(fime per aliquot exempla oftendi poterit.

I. Euolutio formulae. $—x'(a—8x—-'yxx).

6$. 8. In hac formula exponens 7 indefinitus fpectatur, fucceffiue recipiens omnes valores rz, 2, 3, 4, 5, 6 etc., vnde, dummodo fuerit z — o, haec formula euanefcit, pofito x — o, tum vero etiam euancfícit, fumto

a

ec )s( e gI—BLY8Bt.avs

His notatis differentietur ifta formula, vt fiat ds-nax" 'dx—(n-Fx) gx" dx —(n--2)vyx"'*'dx, vnde per partes integrando et integrationem tantum indi- cando fiet nafx" ' dx-(n-- 1) 8f/ x" 4dx-- (n-- 2) yfx"*'dx-r s. Hinc, fi poft quamque integrationem, ita pera&am, vt in-

tegrale euanefcat pofito x — o, ftatuatur x-—— BOE Y,

quippe quo cafu fit red cte

na/x"^' dx- (n-- x) Gfx"* dx 4- (n-- 2) y/x"*' d, quae eft eiusmodi relatio inter ternas formulas integrales fibi fuccedentes, qualem defideramus pro formatione fra- (tionis continuae; quandoquidem hae formulae integrales, fi loco » fucceffiue fcribantur numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc. nobis fuppeditant quantitates A, B, C, D etc.

$. 4. Scribamus igitur loco -» ordine numeros maturales 1, 2, 3, 4, etc. vt prodeant iflae relationes: afdx—2gfxdx--syfxxdx 2ofxdx—3(f/xxdx--4y/x'dx sa/xxdx—aQ[/x dx ayf/xdx 4afx'dx—sg/x'dx--6yfxdx

etc. etc. Hinc igitur habebimus

mrdsciraci Etapa) Gm Peur-—rr,D-—yfs4x—isx

etc. etc, Tunc A 3

—H2 )e6( tse 'unc vero pro literis f, g, 5 habebuntur ifti valores: -Écgmudii- 5 d^ cao ye—e mc g—2g-3 5 -—4 a" -— p etc. B—336 B ys p! —' 5, p! — 6 ^. etc. ex quibus valoribus refultat fequens fractio continua:

sÀ—c:046ay

T TENITI 484 20a'y- 5gB-soay —

6 e -l- etc.

cuius ergo valor eft —PEY4gax»--Y(Bg-aey)

6. s. | Quo haec fractio continua concinnior red- datur, loco a ^y fcribamus 29, et prodibit

eut (B8:r23)728--39 —

s8r69 4841038 " sg 158 6 Q 4- etc.

Quoniam autem haec expreffio capite truncata videtur, adiecto hoc capité ponamus.

660 4 t8 3 4-109 5 8 A- etc, eritque

£z

B3 1T( 09

£— 8-4 gi 9TETD quae exprellio reducitur ad hanc: ;xiga-iY(88-r-29)

7*6. 6. Haec autem fractio continua adhuc ad maiorem fimplicitatem reduci poteít, fi loco À fcribamus 26, vt fit

igaiY(88cr4)-8-26

28-r6* TIECIM 4B4- 208 fil 5 B4-20 etc. Quod fi iam prima fra&io deprimatur per 2, fecunda per 3, tertia per 4, quarta per 5 etc. prodibit fequens forma:

ig4:Y(8ggc49-—84-* —

prem Be 8g ete -

quae eft fimpliciffima, cuius fumma fi tanquam incognita fpectetur, ac vocetur — 2, erit vtique z—8--2, ideo- que zz—(z-r-:, vnde ft z —83:188--:9,' quae eft eadem. n

6. 7. Verum ifta fumma fimpliciffima immediate deduci potet ex ipía formula initio a(lumta acx(-x-yri quam

es )s( eee

quam quoniam nihilo aequalem pofuimus, erit vtique « —Q x--'y xx, eodemque modo ax-gxx--yx',oaxx-—( x -r-yx*, etc. ita vt pro ferie A, B, C, D, ctc. habeamus hanc fim- plicem feriem poteftatum: x, x, x', x', x* etc., tum vero

omnes literae, f, g, b etc. fiunt à, (9, *y etc. vnde ori- tur ifta fra&io continua:

T—-coy Aye T iin AQ prr em. 8 - etc.

vbi eft ;— 8--Y068-- «20, — Huius ergo fra&ionis valor eft s -3-5Y (B 8-1 4 oy), vt ante, ob ay —«.

II. Euolutio formulae.

$—x"(a—x).

6.8. Haec igitur formula euanefcit, ponendo x —; hinc autem fit ds —zax"—'dx—(n-- 1) x* dx, quac expreffio cum duobus tantum conftet terminis, reducatur ad fra&ionem, cuius denominator fit & -j- (3 x, ita vt fiat g,-242X dx (Bna—a(n-r x)) x*4x —g(nv1)x * 4x

a -- (x His ibirer. membris feorfim integratis fiet

$- 122 [7 (na -(r1)2)— Ben rut

ev * quae

e? )»( te

quare fi poft fingulas. integrationes. ftatuamus x — a, vt fiat 4c, T hanc reductionem:

x'dx yd

n4-1)a—nQa)/ — — E (a*t- 1; gf — —

zr (-)a— npa P n ce(br gf n

2aa

$ E,

e 9. Lco 4 fubftituamus nunc fücce(fiue nume- rO$ I, 2, 3, 4 ctc. atgue comparatione cum. formulis generalibus inftituta. habebimus

M dx —- jxdx —— zs d UTE eie D—J.1v;ge CIL. eU

vbi quidem poft integrationem fieri debet x — a. Prae- terea vero habebimus

R--4e aq s au, f! 1a a, etc. £—2a—(a, 8 —3a—2(Qa, &£'— 4a—36(2a, etc. 2 B,nPESED, pc ang, p-— vg.retc. atque ex his oritur fequens fractio continua:

ec (sa Ba a)d &aa (34-28 22-gaa (44—3 g24)4 16aa (5a—4.Q a)- - etc.

6. 1o. Jntegratione autem inflituta fit

dia e — fur fice 2

quandoquidem mmm VINA, debent facto x — o. Nunc ipitur fiat x — a, eritque A agacks Porro

d EAT. & -- xy (4 -— NE E. —a(xcs i3 -— faüdoque x — a fict Be-g 2]«3-Re 8 "TE m il

Aa Acad. Imp. Sc. Toin. HI. P. I. B quam-

eH: )io( Be quamobrem valor noftrae fra&ionis continuae erit 4-B aa cun -- 8a euidens autem eft, nihil de vniuerfalitate perire, etiamfa fumatur a — r; tum enim erit a jT B ex —)r428 E ede CODICE TT M (44— 3 B) .-etc.

$. rr. Tota autem haec expre(fio manifefto vni-

cc pendet a ratione numerorum « et (9; vnde fumamus e&-r et Q—-, atque orietur haec fractio continua :

n1 (14 n)

2— (14-n) beni diet

(s—22)2-9n.- (4—5 j 1)-- 16; 165 (5— — 4. 1) 4- etc... cui fi praefigamus fecundum ordinis legem r t et fum- mam fiatuamus — s, vt fit SIL ELS

(&—3mióm | [CES 4 1) 4- etc etc.

ert g— inEn(—10-4-2) — vr-4-n-—10-4-1) — mz ar NIVEDCWEEIE AE ir FQ RR) l(x-- n)

6$. x2.

cora ) ax ( Eie

$. 12. Exempla aliquot percurramus, fitque primo s — rz, erit

Lio— da l2 TY -L-4 nga. SUA x -l- 16 X -l- etc. Pofito autem z — 2 erit 2 —I --.2 13 ncmpe o-r-8 — I --18 - - —2-132 —O^T29

quae autem expreífio, ob quantitates negatiuas , non fatis eft commoda; quod .cum «cueniat quando z7 1, operae pretium erit eos caífüs euoluere, quibus » vnitate minor accipitur.

$. 15. Quo hoc facilius fieri poffit, reuertamur ad expreífüonem literas « et (3 continentes, atque capite, quod deerat fuppleto, prodit ifta forma:

nma —aà-r-ag jp (22— 8)-- 4a x (3a—29)43- 9 a

(4 & — 8 (8) 4- etc. Ponamus nunc y — s —m et Q — 2 m, vt obtineamus fe-

ex ) 12 ( e ejes

quentem formam:

2g — —m—ium--(n-—m) 5 E

Lr A 24—41m-- 8mí(n-— m)

"n — "d gu—"7m-- 18m .n—m)

EM VES TERME, | 4H— IQ -|- etc.

vnde fequentes cafus fpeciales deducuntur,

Si m-—1i- ctmnza3.eit

2 "p 2-4 2-16 3-F 36 » 2-64 2 -| etc. quae fra&io per 2 diuifa et reducta praebet iftam: c-— i-i- I l2 BT I-j 9 I -i- 16 Ei -- etc. quae iam fupra eft inuenta. Sit y X et 9 — 4 erit 2 * 4-24 Sisi Etui n 6 4- 96 z3--Ó6.1: 4 -i- etc. 4 -- 6.4 5 -1- 6.9 6 -1- 6. 16

4 -1- ete Sit

ec5 Yrs ( $9

Sit W-—r ct n5, etit cris : 6 -4- 352 8-1» 72 IO -]- 128 12 -- cte

III. Euolutio formulae. gun x] 6. 14. Haec ergo formula euanefcit cafibus x— o et x — 1. Quoniam vero hinc fit dscne—'dx—í(n--2zyx"*t'dx, reducatur hoc differentiale ad denominatorem « -1- (9 x v, fietque

d; x*—'dx--(n 8—(n2-2) a) x" 'd x — (n--2 8x" **d x. L &--gxx 15 Hiüc

e$ ):4( ie Hinc iam EN integrando fit

x" ttd x"'t'dx. sna [7 A 0fB-eks) M S en) RI Quod fi iam 5 integrationes ftatuatur x — r, prodibit haec AS ER reductio:

— ((n4-2)a—n8)/*-

* enn gf

s IT Lus Eee —

$. 15. Quoniam hic poteftates ipfius x binario augentur, exponenti z fucceffiue tribuamus valores 1, 3, 5$, 7, 9 ctc. ac ftatuatur: . dx $- ond NN e a--üxx^ .^" a-Füxxi . iackQex Deinde vero literae f, g, 5 cum fuis deriuatis erunt: —a, fiu. sapf- 7n, etc. g—53a-—(.g-—5a—30.'—7«-—59, etc. p.p, xs gipie aio p. EH. vnde nafcitur fequens fractio: continua: B

x —5e— 948

50—3f Em gu Du. 74—5( cr 4928 921—779 4 etc.

$. 16. Quia eft B— dí cns den erit

B-—àifdx-RLp E EI ideoque B—$—35A, Quo valore fubftituto habebimus

«QA

epo lis( iHe

& (3A SARA T 3«—6 -- 9ag 56-354 23* 07 724—568 -- etc. cui, quia caput deeft, praefigamus « -1- (3. -1- a (3; tum au- tem erit fumma (9-1- 4, ita vt habeamus B-d- i-a Prag 34—B t 92Q DURS Mer 7«— 5 Q 4- etc. exilente A — f PET -., integrali ita fumto, vt euanes- cat pofito x*— o, tum vero facto x -— r.

$. r7. Euoluamus primo cafum fimpliciffimum , — T

quo «— 1 et ($— x, vbi erit A — 7, vnde habebimus E--I— --:

z--9

2 --23

2-249 2. - etc fiuc erit

-EERM-EFOC

AERA or

2. 25

2.-i- etc. quae eft ipfa fractio continua olim a Brounkero primum producta, cuius inueftigatio, cum a JPallifio per calculos valde taediofos fit eruta, hic quaíi fponte ex noftra for-

mula fefe prodidit, 6. 1$.

eH ) 6 ( fe

$. 18. Noftra autem forma generalis infinitas ali- as fimiles expreffiones fuppeditat, prouti literae «a et Q wa- rio modo accipiuntur. Ac primo quidem, fi « et (3 fue- rint numeri pofitiui, valor literae A femper per arcum circularem exprimetur, contra vero per logarithmos. Sit igitur primo (9— r, eritque

E Tu d E Ar — 1 Af y,5tang.t— 72A tamg0 vnde nafcitur haec fractio continua: y mu ib cu cuis tang utro 540—3--25a

74 — 5 -1- etc. Hinc igitur fi fumatur &-——3, quia A tang. uo ha- bebimus

i458. 43 Br eise 16 -- 147 20 J- etc. fiuc r$ 3 —4 paa B5 349 I2 -j- 9.25 16 -- 3.49 20-1 etc.

6. 19.

ec2 )ocg2( $e

$. 19. Sit nunc B numemus pofitiuus quicunque, ct quia eít ,

integrando fit A — / Atang. V P. Hinc igitur habe- bimus 1

a acd acf "

: 3«—(i2- 98

! 54 —.3 (etc. Faciamus igitur a--G— 27 et a—g2m, vt (t acm m et Q— n — m, quibus valoribus pofitis erit

V (nn — m m)

Ang Yic^ ree POUR icem 23 -r- 44 4-9 (nn — mm)

2n-d 8m--etc.

n —m-4 -

— 2nd mnn—mm

6. 20. Confideremus etiam cafum, quo Q eft nu-

merus negatiuus, et ponendo (— — "y, erit dx 3A E A— amyxz 55 uer tl. Y cuius integrale eft 13-5 4. I - drop BN ; PET ANTE Eae

facio ergo x — 1 erit o DWEYVY co3y4) y a&—Y y Ada Acad, Imp. Sc. Tom. HII. P. L. C vnde

en; ):s( $e

vnde nafcitur ifta fra&io continua:

—Y 4 AX, —a-y-sY 0l . Ya—vy Y 343- Y—9*Y saay—-isey 7&3 5'y- etc.

hocque modo naci fümus nmouas fractiones continuas, quarum valores etiam per logarithmos exhibere licet, et quae prorfus difcrepant ab illis, quas ante inuenimus.

6. ex. Hic cafus prae reliquis notatu dignus fe offert, quando y —a. Siue, quod eodem redit, « — 1. et vy —1; quia enim tum eft /22—7?* — 7 eo — oo, habe- bimus

—1IrI:0—I

«r9 8 —25 12 — etc. fiue mutatis fignis 1t: 4—9 A ELE 12 — ctc. hinc primus denominator 47519 8—25

12-— etc, debet effe — r. Erit ergo 0—23—9 B, —— 25 12 — etc fiuc

mt32 ) 19 ( C coke

fiie x $ —25 u 2 — etc. «bi denominator debct effe — 3, vnde fit Aum $25 I2 — €Ctc. cnius denominator :debet effc — 5, vnde fit 0—5—49 16 — 81 cx quo ordine facile veritas perfpicitur.

6.:22. Sumamus a4 — 4 ct «y — rz cet nancifcemur hanc fractionem:

—E -L 4 —3—4.1 /3 13—4-9 23—4 25 $3—4.49 — 43 — etc.

Sin autem accipiamus a — 9 ct *y — 1 crit

6 —-1I---——8-—9.r /2 ISUNERCGOS "428 — 9. 9 48 — 9. 25 68—9. 49 $8 — ctc.

C 2 IV Euo-

R42 ) ^40 ( e cose

IV. Euolutio formulae.

£zzxtet(r-)

$. 22. Hic e denotat numerum cuias logarithmus

hyperbolicus eft vnitas, ita vt 4.c** —adxce**. — Hinc ergo erit ds—nx"—' dxe**-E (ao —(n-- 1) x dxe**—ax"*'dxe**, vnde viciffim integrando fit s——nfx^—'dxe*--(a—(n--1))/x" dxe**—afx"*'dxe*. Quod fi ergo pott integrationem ftatuatur x — I. erit

nx" 'dxe** — (n-E3 —a 3 dx C"-rapx"**dyE s

$. 235. | Quodfi jam loco s fucceífiue fcribamus mumeros 1, 2, 3, 4, ac faciamus

Afedx-—ze-3)m B-—fxdrou-5— p

Y ca aa

hp — aS 5-89 Bu, p un etc, prodibit ifta fractio continua:

E —a—-als?a 3—21534 .— dL a4 5 — «& -i- €tc. Adiungamus adhuc fuperne r — &-1- a, erit eius valor a — 1)ec* I a

1—4&-l- ( ne mE

£^ E e^ — 1

vnde

vnde habebitur haec fra&io continua fatis concinna:

e —L-ci1-—u--«a £^ — 1 —— nd 2—4&--24 38—e«6-1-34 vnde patet, fi fuerit &—0, ob e*— 1 —2, fore vtique 1— 1.

Confideremus nonnullos cafus fpeciales; ac

6. 24. primo, fi ft a— 1, crit L-.z6-1 fF, e—4 — 1-2 3-535 3--4 4- - etc, quae fractio facile transfünditur in hanc: I EX £— 31 : Lm m à -r. 3-3 1--; i X - etc vnde fit e€—1-—1-r: Is Hi-a 1 -- etc.

C 3 Haec

eB )s:e( BH

Hacc autem porro a fracionibus partialibus liberata dat; .

e€—1iclc--1 I-j- x 24-2 3 3 4 d- 4 5 -|- ctc. vnde fequitut X Pope 2--2 83-3 - 4-4 4 -- etc.

quae formae ob fimplicitatem maxime fünt notatu dignae, Ex penultima, qua fit | e2--1 X -j- I 2-3-2 3 77-3 4 -|- etc.

fumendo fucceffiue 1, 2, 8, pluraue membra, orientur fe» quentes approximationes:

£-—' 2,0000 E —'9.0099 p'o—:5.6660 f. ——0; oJ pie "ID

e

qui valores, alternatim maiores et minorcs, fatis prompte ad veritatem conuergunt

$. 25.

ed22 ) a8 ( $535

6. 25. Sumamus a — 2 erit 2

—-———r--2 o 4x 1-6 2-18 3 -- etc. Ex hac fra&ione porro deducitur ifta: 2 (e e — x) nons Yu 2-8 3-1 etc.

fimilique modo, fi pro « maiores numeri accipiantur, re- du&io ficri poterit.

$. 26. Poffunt etiam pro « numeri negativi acci-

pi. Ita fi fuerit à — — 1. fiet i zx P ACL. eR T 4—3 Y REN. 6 — etc, quae reducitur ad hanc formam: - E. -- I ; —33-2 0 -- 4 3-3 —5-r4 6 4- etc.

fomilique modo maiores valores expediri poffunt. . 6. 27.

eds )o£( $e

$. 27. Statuamus etiam dq — j;, ac reperietur iíta expreffio :

2(Y e— 1) CET : sca 2l quae liberata a fra&ionibus partialibus euadit I LI ———I-e —1i-4Y pue apu 5 6 j 7--8 9 -- etc. Simili modo fi fümmus a — j erit —————aigebi:3 00 8(Ye—- 1) JE m vede 8:98-L- 3:3 u 11:3 [4 9 ND I4.: 3 -- etc. quae a fractionibus partialibus liberata dat i lzan [5 —1-Ye $du5 €: B4 II-l- 12 14.-j- ctc

At

ens )cs5( ce

At fj ponatur « —2, prodit haec fractio continua:

10:34-88:93 18:3-etc*

quae a fra&tionibus partialibus liberata fit

$.28. His formulis tanquam principalibus ac fim- plicioribus euolutis, fimili modo alias multo generaliores tractare licebit, quae ad fractiones continuas multo magis abfconditas perducent, vti ex cafibus qui fequuntur patebit.

V. Euolutio formulae.

s$— x'(a—bx'*—cx*)*.

-. €. 29. Hinc igitur erit ds (a—bx*—cx'*- (nax" dx —b(n-X0)x" **—'dx — e(n-- 2X0) xt **—" qx), vnde per partes integrando, tum vero ftatuendo a — P x* — (a Et (quod fit fi fuerit x/— — 9:5949*--*2*) habe- bitur ifla redu&io generalis:

Atfa Acad. Imp. Sc. Tom. III. P. I. D nafx

e$ )26( 2t

maf xti de(a —bpx*-—coxit ef UE xt nn d x (a — b xd — gt 4 (2 4-2 A 0)c gatto rt dae (nb torn

6. 50. Quodfi iam hanc formam cum noftra ge- nerali initio tradita comparare velimus, valores pro lite- ra 4 fucceflue affumendi per differentiam 0 augeri de- bent. Deinde non neceffe eft vt primus. valor ipfius 7, vt hacenus fecimus, fumatur — r; ftatuamus igitur eius primum valorem — a, et quaeramus valores binarum fee quentium formularum integralium, fcilicet:

Ac xt MN pr Pond amne s:

Bw xo bx mo xti, quae integralia ita funt capienda, vt euanefcant pofito x —0, quo fado ipfi x ille valor tribui debet, qui red- dat formulam a — b x — x^*— 0. | Quoniam autem hoc in genere exfequi non licet, i(tos valores per literas A et 8 indicare contenti fimus, quos ergo tanquam cognitos fpectemus.

$. 3x. .Praeterea vero literae. f, g, b, cum fuis deriuatis fequentes induent valores: f—aa, f— (a4-8)2, f" — (a-t-2 8) a, f! — (a-4- 3 0)a, etc. g—(a-4-A9)5, g/—(a-4- 8 4-» 0)b, zs UP 06-- A0 5, etc. b-ía4-2A0)c, P— (a 02-2 0) e, b'— (a-- 264-2 ^ 9) c, etc. Ex his igitur formabitur fequens fractio continua:

a6 — (br (a4) (a30)2€ (2-02-0)5-- (a-1- 29 (a4-04- 2)ac (a--2 04 A0)6- a - 8€ (a4-204- 2 0)ae (a-- 30-A0)betc. quac

-B2 ) a9 ( B5

quae forma vtique eft maxime generalis, euius aufem vl- teriori euolutioni non immoramur.

VI. Euolutio formulae. $—x'(x-— x

$. 52. Hinc ergo fit

ds—nx'—'dx(x—x —A6xn**— d x(1x—xt^—', vnde tantum duae formulae integrales orirentur; quam obrem huic differentiali denominatorem arbitrarium tribu- amus à -- b x', vt habeamus:

diu T

(nax*—'dx—(a(n--X6)— b n) x***- dx

RENI p be a

Nunc. igitur, ponendo poít integrationem x — r, deduci- mus hanc reductionem:

vx'-'d OX — 1 "4-0 1: x^—: naf Et -(a(4934)— bn — HU blies

gal wt 6X4 TUE cw Àín-UXNUME oin A NIAU BaeceRUR ac 6x

$. 35. Hic iterum uidens eft valores ipfius 7 per differentiam 0 crefcere debere. ^ Statuatur autem pri- mus valor ipfius z — &, et quaerantur pro quouis cafu oblato binae fequentes formulae integrales:

x*-'dx(r—x»?-: x**5—'dx(ry—x^^*—:

NES C tI apo E TI a--bx a-dtbx

vbi fcilicet poft integrationem pofitum fit x — r. — Qui-

D 2 bus

?

ex )s:&( ihe bus inuentis, cum hinc fiat f-«a, f z(a--9)a, f'z(a4-29)a, f" —(a--30)2, etc. g£—-(s-4-*9)a—ab, g —(a 3-9 4-* 9) a — (a -- 0), g'z(m-429-4-»9)a-— (à -- 29)b, etc. b-(a4d-X9)5, bz (n-8--A0)b, b'— (u--0--220)5, etc.

inde formabitur fequens fractio continua:

€^ — (a 4-A0)a— a 54- (a 3-0) (x 4- X 8)ab TB. COUPE err DURS (a4- 20) (a3-9--X0)ab —s (a7 204-8) a— (&4- 20) 6-181730) (&1- 20 H-A8)a5 etc.

cuius formae vberiore euolutione fuperfedemus.

VII. Euolutio formulae. : $ 3n (P8 (Ur — x) 6. 34. Hinc ergo fit - ds—(x—x)P-' (nx*—'dx -(n--A—o)x" dx —ax"dx), hinc igitur fi poft integrationem — vbique ftatuatur x — rz, quippe quo cafu fit s — o, habebimus hanc reductionem : nfx'—'dxe*(x —xP—'—(nt2—2a)fx'dxe*(1—xP— pafx"tidxe*(a—x*-.

6. 35. In his ergo formulis exponenti z valores vnitate crefcentes tribui debebunt, tum. vero hic mini- mum eius valorem fumamus 7 —0À, atque valores litera- rum A et B ex his formulis erui oportebit, ponendo, poft integrationem x — 1,

Aca rd et*(a Typ liter (C P Yo E: res deinde vero ob hos valores:

f[-—59,

e233 ) a9 (8:3

g-9,]—3-bz, f 4-2, flfT- 3.5, etc. £ —0--A—a, gcÓ-E 1A —a, g—3--2--A—, etc. 2g, pibisg, d etc. fcquitur ifta fra&io continua:

3A a aA Eja T

s; 941A 4 (9t2)a 04-34-A—2 4- etc. Vbi imprimis notari oportct, exponentes X et à neceíla-

rio nihilo maiores accipi debere, quia alioquin formula principalis x"£^*(xr — x) cafibus x — x non euanefceret.

$. 36. Si literis à et À tribuatur valor — r, pro- dibit cafus iam fupra tractatus; ac fi his literis numeri integri affignentur, eiusmodi fractiones continuae orientur, quas per certas operationes ad priores reducere licebit. Verum fi his literis à ct X, vel alterutri, vel vtrique, fra- «tiones affignemus, tum formae orientur ad priores pror- fus irreductibiles, quarumque valor haud aliter quam per quantitates maxime tranícendentes exprimere liceat. Vel- vti fi fuerit à —; et 4 —;, valor literae A quaeri de-

Erg x

ye (X X 3X tegratio ad quantitates maxime traníceadeutes perducit, ita vt valor talium fracionum continuarum prodeat ma-

xime abílruíus.

bcbit ex hac formula integrali: A — y cuius it-

D 3 DE

wet22 ) so ( $89 DE

'TRIBVS NVMERIS GVADRATIS, QVORVM TAM SVMMA, QVAM SVMMA PRODVCTORVM EX BINIS SIT QVADRATVM.

Auctore LU BYUVBEOE-KO.

ME

n Tomo nouorum Commentariorum VIII. tra&aui Pro-

blema, quo tres numeri quaeruntur, quorum tam íum- ma, quam fumma produ&dorum ex binis, vna cum pro- du&o omnium fiant quadrata, cuius Solutio cum non fío- lum -eífet diffücillima, fed etiam ad immenfíos numeros perduxiffct, merito videri poterat, fi infüper noua con- ditio adderetur, folutionem vires Analyfeos penitus efíe fuperaturam. Hoc tamen euenit in quaeflione, quam hic tractabo, vbi praeter tres conditiones memoratas etiam haec poftulatur, vt finguli numeri quacfiti fint quadrati. Interim tamen hac conditione adiccta, poft plures conatus jimritos, tandem modum inueni iftud Problema fatis com- mode refoluendi, vbi adeo numeros fatis modicos afhgna- re licet Problemati fatisfacientes.

-S ]sr( $e $..2. Sint xx, yy, zz, terni numeri quadratí quaefiti, ita vt effe debeat , lxx--yy--zz-—u. ]l.D x xyy--xxzz-4-yyzz —u0, quarum conditionum priori fatisfiet, fumendo qz—pB2BT0q—tf,;,y—2protz—24f; tum enim erit, xx--y--zz-—(pp--4q--rry, vnde fi ponamus x x --J 7 4-2 2 — P^, (umtis x-cpp--4q—rr, yz2pr, z-2q4r,fiet PZpp--qqaurr.

$. 3. Progrediamur nunc ad alteram conditionem, quae poftulat, vt fit

xx(yy--zz)--z2zyy —Q'; quare cum fit

yy--zz-a4rr(ppo-aq) hinc orietur ifta aequatio:

Q'—^rr(pp--a4)(PDp--qq—rryf- 36ppaar',

quae diuifa per fa&orem quadratum 4r r dabit

Sec (ppcraq(pp-aaq—rry-tappaarr, quam ergo formulam quadratum reddi oportet. Ea autem euo- luta literae f et q ad fextam pote(tatem afcendent, litera ve- ro r tantum ad quartam, quae ergo commode inucftigari poffe videtur, fiquidem cafus fponte patet, fcilicet fi Tr—pp-1-qq, dummodo fuerit p p--44 quadratum. Interim tamen hinc ne vnicam quidem aliam folutionem deriuare licet; vnde negotium pror(us alio modo aggredi

opor

ej )ase( $e

oportet, quod fequenti modo egregio fucceffu prac poterit.

$. 4. Pono autem r—p9-—74, ita vt hoc modo nulla reftricio inferatur, quoniam loco. literae r noua in- determinata z introducitur; tum autem noftra aequatio hanc induet formam:

oos (bp 0) (2259 A (x—n9) qq) — appaq(p—nay, quae iam diuidi poteít per g q, ita vt

wiecxgeoc p 49) (21p4-(1 —n7)4) t 4pp(p—nqy, quod quadratum breuitatis. gratia defignemus per R^, ita vt fit Q— 24(p —24) R. Nunc. igitur fa&a euolutione prodibit haec aequatio: R'—a4(123-22)p*—4n(x4-n2)f q--(x2- 6n2n-- m) pp44

--4n(x—nmpqgq' A-(x—nnyq4',

in qua formula pofiremum membrum euafit quadratum; primum vero membrum reddi poffet quadratum, facien- do nz -4- 1 — C3; at vero ad folutionem fufficere poteft, vt pofiremus tantum terminus fit quadratum.

6. s. Pro R^ eiusmodi quadratum ftatuamus, quo fublato tres vitimi termini e medio tollantur, et ex duo- bus prioribus relictis ratio inter f ct 4 determinetur. Hunc in finem ftatuatur

R—- (1—-22)9gg-23- 220 q4-3-apf, et e ita determinetur, vt etiam antepenultimus aufferatur, quod fit fumendo & — :32*"-7*, quo facto acquatio re-

(1—nnu) lida erit:

4 D*

eti )ss( t9 4p —4np qz Ctm gr-- tnoceumg gr

*(1—nn)* 1—1ni

fiue per 4 (r —775) multiplicando, per $' diuidcndo ct

literas f et 4 ad eandem partem transferendo fict, (15—35nn--1355 —)p—s8n(x—nm(s—nn9)4,

quae aequatio. porro per 3 — 7 diuidi poteít, quo fa&o

fit (s —1025--2)p- $n(x —25)4, vnde deducitur p— s:nG-—nm | q .Ss—10nmi2-F-a4*

6. 6. Sumamus igitur,. vt huic aequationi fatis- fiat, q4— 5 — 1025 -- i et b ——8a2(r—munm), ex quibus valoribus colligitur r—p-—nq-n(s--2nn-m). Praeterea vero his valoribus fubftitutis inuenimus R—(x—75)((s—10nn-r-a*f--162n2(s —10n2-t-2') -F 32 (x 4- 2 5)"). Tnuentis autem his valoribus ipfi numeri quaefiti ita for- mabuntur, vt fit 4X—pp4dq49g-—nPpye$131T1T425-25f Ope harum formularum igitur aliquot exempla cuol- vamus.

Exemplum T. 6. 7. Sit »:£292, letitilie! f S: 481; 09 22:5; r—10, vnde fit R — 5035. Erat autem Q—5q4rR-2-4.5'*. 19. r4qo7 Hinc vero ipfi numeri quacfiti ita fe habebunt: X c2 25655; g9— 2. 10. 4852 22/2. 10, I9. 4a Acad. Imp. Sc. Tom. III. P. I. E Quoni-

e$32 ) s4 ( $99

Quoniam autem hi numeri communem diuiforem habent 5, per eius diuifionem deprimi poterunt, fimulque nume- rus P quinquies euadet minor, at vero Q vicies quin- quies minor, hocque modo folutio fequentibus valoribus continebitur:

p..— $955/Q!58 1969429 x 55995. y 1102; poe] Quadrata iam numerorum x, y, z eiusmodi erunt nume- ri, qui Problemati olim tracto fatisfacient. Tales igi- tur numeri erunt,

x* — 265169; 9? — 368645; 2! — 5736, qui numeri funt incomparabiliter minores iis, quos loco citato exhibui; vnde intelligitur , methodum, qua tum temporis fum víüs, non fatis effe accommodatam. — Sum- ma autem horum trium numerorum eft — 555'; íum-

ma productorum ex binis — 35948* et productum omni- um 22513192. 76.

Exemplum |].

6. 8. Sit n — 3, eritque pira Bo24—5 — 0925 qu TlI—r89, qui numeri per — 4 depreíli euadent p-48)4-21;:fh—s459 de. fit R — 14120; hincéquei'Q-— 1$. 25. 2824 Hinc vero ipfi numeri quaefiti erunt X —2895)95—:390;4.857 Z(—:901, fiue deprimendo per zo fiet x2:28;,y-—4325 2-0; P4935 'Q —127083 qui numeri adhuc praecedentibus funt minores, ideoque minimi

^

soc ) 85 ( Stoke

minimi omnium effe videntur qui faàtisfaciant. — Quadrata ergo horum numerorum, quae funt

x*' —484:97—:2396025. 9"—R&I, erunt fine dubio minimi Problemati olim tractato fatisfa- cientes, quippe quorum fumma eft 4355*; fumma quadra- torum ex binis — 12708? et productum omnium 2$* 4525951.

Exemplum III.

$. 9. "Sit 2 mu Welqung ce 3999 — 13) 045,5 fiue, ductis his omnibus numeris in $32, fiet p-93 q-—B82:pes^us vule fib

i —— 055Ig ct ()6—2.52.55. 02215. Tum vero erit

X —229P55. — 29.55,960; €— 2:59.:851 qui numeri per 5 deprimi poflunt, quo facto fit

«4 —258235) y — 2.512; £c I8044 fiue

X —:43. 7, 1535 jJ. zeige Da 45: SE 4s IBIVIED,

$. 10. Haec omnia ex formulae biquadraticae $. 4. allatae prima refolutione funt deducta, ^ Conftat autem methodus, qua ex qualibet refolutione iam in- uenta plures nouae deriuari poffunt; verum hoc modo ad formulas nimis complicatas perueniretur, quod negoti- um hic non fufcipio: praecipue enim in talibus inueftiga-

tionibus id folet intendi, vt folutiones faltem fimpliciores eruantur,

E 2 Euolu-

Operat. I.

ex )s6( $59

Euolutio cafüum. quibus eft 27-1 quadratum.

$. rr. Sit igitur zz7--1 — 14, quod euenit,

quoties fuerit g — * Sr, tum enim erit 7m —25 ^, guo

obferuato retineamus in cálculo literas 77 €t z, critque ae- quatio refoluenda ,

R'—a4mmp-—anmmpq--(m--snnppqq c^aen(r—nnmpq M-(xr—nmunmyq, vbi iam tam primus quam vltimus terminus funt quadra- fa, ideoque praeter operationem praecedentem tres adhuc refpectu primi termini inílitui poterunt, quas ergo ore dine profequemur.

6. 12. Primo igitur ponatur R—2mpp—nmpq--(rx—nm"qq

vbi notetur, numerum z7 tam pofitiue quam negatiue ac- cipi poffe, vnde ergo gemina folutio nafcetur. Huius er-

go valoris pro R. quadrato a fuperiore expreffhone pro R^ fublato orietur fequens aequatio:

$ — 4n--2ommu-—-ommn?-.—a4m?

qQ'. «m—4mmnmn--mmmun--anm--m*? fiue ob zz — m m — x crit

p ——3 (4 n. iom — . mom — m3)

rom I o—55 7 7" -— «in?

6. 13. . Quoniam literae sm et s femper funt fra- &iones, quo eae facilius tollantur, introducamus multipli- catorem indcfinitum A ponamusque

es n(g-3-2m-—»mm -m) et g— A(c-2-8m—5mm-—4m), vndc

eco )sv( S2

vnde ob r—f-—74 fiet r—An(4—4m-A- mm-- 21»). $. r4.. His igitur tribus valoribus inuentis nume- ii quaefiii x, y, z ita ex iis determinantur, vt fit x—fpp--4q4—rr;y-—2pr,;z-—a2q4r. Praeterea vero erit P—55—44--rr; Q—24rR, exiftente R—2mpp—mnspq--(r—nn)qgq.

$6. 15. Vnicum exemplum euoluamus, vt pateat, num- hinc minores numeri fint prodituri quam ante. Su- mamus igitur a — 2 et à — r, fietque 5 — 2 €t'w—- 2: hincque fiet p—iA(x24-i- " - zs g-——UE tS I0—'7-- 10) fiue

b—iA(t-d- n) ete-—A(-id Sumamus A — 128, fietque

b — 3(56 3- 55) 4 — 8(— 61 2- 85); hincque

r —p*3929 8731148 v1 35- Valeat fignum fuperius, quoniam hoc cafü numeri reful- tantes per 13 deprimi poflunt, quo facto reperitur:

p—3.7—21;4-—2.8——16; r—3.11—53, vnde colligimus:

X ——5892;)J-——153865; 2 — — 1056,

E 3 | qui

ec$ )Ja38( $e

qui denuo, reiectis fignis, per 2 deprimuntur, ita vt XL 1:965 y -—lüI6Gp9556:3508. Supra autem iam multo minores numeros naci fumus.

Operat, II.' $. 16. Vt praeter primum terminum etiam duo vltimi tollantur ftatuamus:

R—esmpp--2npq--(x—22)44; vnde orietur fequens aequatio: E uec mm Ne AUN fiue

q 4T n (2--)

p L—s-—«mm-sms ——— hd

fos oM M (ob nn--mm- x) fiue etiam

5 —€& --m)(«—2am— mm) —— «—^sm-—mm

q 4n(2-- 1) $3 ^n Y

Fiat vt fupra

p—A(í.—-2m—mm) et q—A4Ann, hincque erit

rcp—nq-A^(8—2m-—smm) denique

xzpp-r-g9g9-r1rny ycmptarm— 2f,

P—pp--4q-4-rr et Q—24rR, exiftente

R—esmpp--2npq--(r-—nn)qgq.

$ 17. Sumamus iterum, quo res exemplo illufirc- tür, 2? — i, ideoque 5 — -.- i, fietque,

*? p—AG-Tiet4—34. Sumatur A — 16, et figno fuperiore valente erit f — — 1 | et

ec32 ) 59 ( $59

et 4—48; hinc fit rz — 37, vnde numeri quaefiti. pro- deunt x—936;J-—74; 2— 3552; fiue deprimendo yu 4685 y z— 372548 1776. qui praecedentibus adhuc maiores funt.

6. 18. Tollamus nunc tres terminos priores, po- Operat. TIT. nendo

R—2mpp—mnpqgq--7*3:1* 09, ex quo haec refultat aequatio:

g(Tt2ct9* —(a—»n2p)-—-—t(m-—5nn-4-8)p.

16 T. TIL

Ex hac autem forma iam fatis manifeftum eft, nullos nu- meros minores, Pfroblemati fatisfacientes, elici poffe; quamobrem vlteriore euolutione fuperfedemus.

AD

e632 )4o( $5 Mp

DISSERTATIONEM PATRIS DE TRIBVS NVMERIS, QVORVM TAM SVMMA QVAM SVMMA PRODVCTORVM EX BINIS SIT QVADRATVM

COMMENTATIO.

Auctore l A4." EFLERO.

| is Problema de quo hic fermo eft aggreffus, in folu- tionem incidi, particularem quidem at ab Patris Solu- tione plane diuerfam et numeros praebentem, qui nec magni nec in illa folutione contenti funt. ^ Adeoque non incongruum fore arlitror conatus ac repertus meos hic Academiae communicaturus, fupplementi inftar ad Difler- tationem modo indicatam adiicere.

Inchoabo a Solutione maxime fpeciali, quae pri- mo dete&a anfam mihi praebuit íequentem generaliorem inuenire.

6. r. Confideremus hos tres numeros

5(Pp—1), 8p ct 6p,

quorum

- t2 )4r( $9

quorum quadrata primae conditioni manifefto (atisfaciunv: eft enim

25 (pp — 1! 2-650 p 36 pp —

25 (pp — 1) -F 100p p — 25 (pps 1).

At altera conditio poftulat, vt fit

64.25 p p(pp—a1)-36.55 pp (pp—1y--36.6&0* quadratum: vel

2500 f P (PD — 1) 2- 36.645 — c3, fiue, diuidendo per quadratum 4f,

625 (pp —1|-4- 579p p — 3 et euoluendo

625 p' — 674p p -1- 625 03. Fingamus huius quadrati radicem — 25 f$ — v et fieri debet

625 5* —6924pp--625— 625 p'—5o0ppv-r 7v, vnde eruitur. p z— 3 —"*,

674 — PET

$. 2. Hic iam fuccedit, fumendo vov -—49 et €? —7 tam numeratorem fracionis P? quam denominato- rem quadrata euadere: fit enim

625 —yv — 5716 — 24. et

674— $09 — 524 — 1$, vnde pp-—sx et deprimendo per 6*

Pp—t5cetp-—i. Hinc numeri quacfiti

Spp —1-—5 —319Jz5 t6,

qui multiplicati per 9 fequentes dabunt numeros integros Aéía Acad. Imp. Sc. Tom. lI. P. 1. F Pro-

eg$ )42( $5

Problemati fatisfacientes: 35; 96 et 72, qui certe fatis parui funt, comparatione fada cum illis minimis, quos pater inuenit fcilicet:.95 28 ct 432. Noftri. vero. numeri 35; 96 ct 72, conditiones praefcriptas fequenti modo adimplent: tur Ld

85' 4- 96! 4-72! — xa5* |

857. 96* -1- 55^. 72^ 4- 96". 72* — 8088*. Progrediamur iam ad folutionem .generaliorem.

$. 5. Ex Analyfi Diophantea conftat effe (pp—aiay--4bb-—(bb-- I), fimilique modo (qq —1)* -- 444 — (44 1. Multiplicetur prima aequatio per 444 ct fecunda per (pp 1): eritque 444(pp—1)y --16ppaq —4qq(pp- xy, (qq — xy (pp) 44 44 (Pp-F1) — (py (qq-kay. Scribatur in hac poftrema aequatione pro 444(pfp-- zy valor ex prima. erutus, ct obtinebitur fumma trium qua- dratorum numero quadrato aequalis (aq -xY (Pp-- 1 c 4qq(Pp — 1 V 16ppqq. Dp ru mats

$. 4. Anuentis ergo tribus numeris (qq —3)(ppc3 0); 24(0p —1) et 424; quorum quadrata jam primae conditioni fatisfaciunt, fu- pereft vt fumma produ&orum ex binis quadratis reddatur quadratum. — Oportet ergo fit: 449 (49—1) (pp—1y (pp-i-x --16pp44(24—1) (pp) n7 64ppq'(pp—irz uo ! c4 vel

eS l4s( eB Yel. deprimehido per quadratum. 4 4 7, (qq —1y (p — 3* 2- e Pp (eq —1Y (pp o- ;j d 16ppqq(pp—axyca. Eft autem «| | gripe ^ bd * : (p* — 2 ac 4B (pp -i- 1y —(pp xy. Hinc requiritur quadratum fieri debere (pp 3-1) (qq —3) --16pp4 a (pp —xy —c. Quae conditio abit in illam | folutionis fpecialis $. 1. po- nendo p — 2.

6. 5. Sit breuitatis gratia (BB e 9)! — AA ec x6pp(pp—1y —BB, vt quadratum fieri debeat haec formula:

A À (qq — xy -- BB q q, vel

AAq4*-24-(BB—2A4A)942$4-A A, euius radix ponatur — A 4g -1- v, vt fiat "

AA4'--(BB-2AA)44--AAZA Aq -2 Aqq04-vo, Vnde eruitur qq Zu.

6. 6. Hic iterum euenit, tam numeratorem quam denominatorem fra&ionis pro q 4 inuentae euadere quadratum, ponéndo v 9» — A A —B B. Numerator enim AA-—cowv abit in BB, et Denominator in

C sAA-BB-a-2AY(AA-—B B)J qui manife(lo eft quadratum formulae

A--YV(AA—BBJ.

At reftitutis pro A et B valoribus fupra 6$. 5. pofitis

inuenietur T " 2 AA

eps )4( SS AA—BB-—95*'— 12p5-4-38)5* — 12 ' -- r, id eft AA -—BB-—(p*—6p*-4- x)', ideoque V (A A.—BB) — p! —- 6p 3- 1,

ita vt irrationalitas. proríus. e. calcuJo. egrediatur.

$& 7 Fa&co ergo vv —AA—BB abtinetur:

dM — RACE et cm Rus qaem ry , fiue. t—grpU T eT EU ERU hoc eft [—gpis

LO: d Subfücuto eb ionó: pro q valore modo in vento, ob gg —1—$5?-— --*, tres, numeri. Problemati

dig: CIR GS IN fatisfacientes erunt CpRLILUOUMEHN 4p et :pfQ

PP—: Qs Ppb—3 d et multiplicando per (5p — 1) T (65p—p'—1)(bb-1)s 4b(pp—1y; et $pp(pp—a1) Summa. quadratorum. autem. horum: numerorum. fiet (pp.ci- x (94 3-1) (PB — x» quae- ob. 4 qie- 1 ipa transfórmatur... in: (5 9--1- 1Y., ita vt fumma: quadratorum: numerorum: hic inuentorum, non. folum: quadratum; fiat;. fed: adeo: poteftas fexta... Porro: cum fumma. produ&orum. ex; binis, numerorum. quadratis. quadratum. fiat;, cuius. radix:

ee (A gc n) Par 13 ob a 417 (gol) A —(2p4-) et

-"559 las( Sm 20o-—Y(AA-—BB)—$ —65p--1; haec radix abibit in. hanc fórmam :

&b(Db—:)(Db —4p 325 —4p p 1).

$.9. En ergo (olutionem: problematis. propofiti; f» pro: lubitu. affumto, tres numeri quaefiti erunt: | (68b—b'—1)(ppa- 1) — x5 4p(bb—iy—»; &bPP(Db—*)— —85. qui binas. conditiones fequenti modo: implebunt - xx-J-»ry--zz-—(ppA4-i)y; xxyyxxzz--yyzz-t6pp (pp—1)' (p'—4p'd-22p'—4pp4- 1); vel fumto. x —(ppa-1)(«42p —(bp —1)); di —4p(pp-—1)y — 8pp(pp— 1); fiet xXx-JX-3-zz-—(pp-4-i)y; xxy)cxx2zdJy22— 16pp0p—2) (Bb—i)4-t6p')--

Exempla.

6..10. Ponatur f — 2. et. inuenietur-

x——5.(16—9)—35

s—..9-

f£nl— $.24p Ww e

rx--gJy--z2z25 —u125"

xxyyd-xx£z--yyzz--16.49:8937 — 8088" duos: numeros. iam: $. 2. per folutionem: fpecialiffumam. eruimus,

y

F 3 5, EI.

et )a46( $9

6. xr. Pofitio 5 — 3 cosdem numeros octies fum-

tos praebet: at ponendo f — 4 fit — .- xibit 298i (xzcaT.161'7227387 )4 w-— 16.15 — 36008 *

Z — 8. 16. 15 — 1920 Xx--Jyy--z2z-—17-4913' XXxJy A- xx zz 4- yy 22 7 167.157. 508817 - 1221 1440*,

6. 15. Cumpp— x, 2p ct pp -1- x latera triane. guli rectanguli rationalis exprimant, noftra folutio fequenti modo concinnior reddi poterit. Sumantur tres numeri a, b,et c, vt fit aal - bb — cc: quo fado fiunt. numeri Problemati fatisfacientes | Ji

x—c(aa—bb); y —2aab et a—aabb; tum enim erit

xx--»y-d-zz-cet

Xxyy--xxzz--yyzz—a4aabb(a*-- by.

Pro cafu fimpliciffüimo, quo a — 4, b— 3 et c — 5, inue- niemus numeros iam fupra erutos

Nc 382 3 — OB CB 2 2 Ponamus iam 2 — 12; 5 — 5 ct c—13 et obtincbimus hanc nouam folutionem :

X—— 135434, 947251440, 2 —/ 000; vnde fit

xx--Jyy-32zz-—2197'

XXyy--xxzz-yyzsc5.24.21361'— 2563320*. In genere autem erit ^

acommn,b-—mm-—nnctc-mm-i-nm.

6, 13.

e$ )47( $99

$. 13. Formulae pro folutione noftri Problematis modo inuentae ad aliam analyfin conducunt, quae, cum concinnior fit praecedente, hic vtique locum meretur. Sint numeri quaefiti x, y et z, ita vt fieri debeat Xx-4-JJ-4-2z—MM et xxyy-d-xxz2z-d-yzz-—NN. Sumto ian aa -4- b à —«c«c, fit x —am et y — 8m, erit xx--JyJ-—cemm. Pofito ergo z—cn, erit MM-—ec(mm--ns); quare fiat 9 — 294 et n—pp-—494, vt fit MMc-cec(pp--44), ideoque M—ce(pp--44). Deinde cum fit xy-—abmm;, xz-acmn et yz—bemn, fit NN-—mm(aabbmm--aaccnn--bbectn), iue NN-—mm(aabbmm -- c*un), feu NN-—mm(4aabbppqqA-c(pp—qqy)—a. Quod euadc? manife(to fi fuerit

ce(pp—aq)—aapp-—55q4q4. Tum enim erit NN-—mm(aapp--bbqqy et N-—m(aapp--55494). : Vnde f et q ita definiri debent, vt fiat

ccpp—-eceqq—aapp—bbqq, vnde fit dzecEurriemr* confequenter erit p — a et q—b; hinc m-—24ab ec n—aa-— bb: ergo numeri quaefiti! *— 2225; y—-2abb et x—ct(aa—bb). 'Tum autem erit M-c(aa--bb)—oc et N—2ab(a! 4- 557. $. 14.

-5 )as( $53

$. x4. Denique comparationem addam meae So- Tutionis cum illa,:quam Pater in eius differtatione tentauit. Pofuit autem x-c$ppuj-qq-tryycoproetzocegm- ita vt hanc formulam : (bP--q4)(Dp --qq—rTY - ^Dbaarr adhuc quadratum reddere fuperfit. Praefenti noftro cafu erat p — a et 9g — b, exi(tlenteaa-- b b —c«. Erit ergo x-wt—tfrT,; y-—2avr €t — »by. Quadratum" autem effe debet haec formula: ec(cc—rry-- 42aabbrr, quae cafibus r— c et r— o manifefto fit. quadratum: Neuter autem horum cafuum nouos valores fuppeditat. Interim tamen omnino requiritur , vt praeterea cafus in- notefcat: talis. autem cafus eft r — 7^; tum enim haec formula erit *(bb—aay-r-4a' bcc, fiue c(bb—aay--4a b. Eft vero ce(bb —aa)— b* —a', ergo formula

c (bb —aa-r4atbtz (b*—a yr at b (bh ty. Potuifet etiam poni r:-—**. Ar vero nemini certe in mentem venire potuiffet, hos valores in vfum vocare, vel diuinando reperire. Nunc vero pofito r — ^7, numeri quaefiti funt

x 071b) -389)1 vy gait yin eio qc diae

x-—c(bb—aa);y-2aab;z—2abb, quae €eít ipfa mea folutio. At vero ifle cafus cognitus éeducere potefl ad infinitos alios: minimus autem corum certe numeros enormes pro x. y et z effet daturus, qui forte ad Triliones et Quadrilliones adfürgerent.

DE

wc35 ) 49 ( $5$9e DE

EPICYCLOIDIBUS

IN SUPERFICIE SPHAERICA DESCRIPTIS.

Auctore A d. LEXELL.

Eo.

Tus Hermannus in Y. Tomo veterum Commentario- rum, de Epicycloidibus in fuperficie Sphaerae deícriptis , agens, eam ipfis tribuit proprietatem, quod hae lineae cur- uae fingulae rectificabiles effent; verum poftmodum inuen- tum eft, infignem hunc Mathematicum in ratiocinio, quo ad iftam perductus erat conclufionem , humani quid pas- fum fuiffe. Quamuis itaque hae curuae modo dicta pro- prietate non gaudeant, tamen affe&iones, quae illis com- petunt, egregiae omnino funt, et formulis omnino concin- nis fe exprimi patiuntur, quamobrem eas euoluiffe operae pretium erit,

6. ». Si in peripheria circuli cuiusdam S GT in füperficie fphaerica defcripti capiatur pun&um G, atque concipiatur circulum hunc S GI volui fuper alio circulo immobili R IB, cuiua K GM,a pund&o G defcripta, no- bis dicetur Epicyclois fphaerica, Pro natura autem hu- Aca 4cad. Imp. Sc. Tom. 1II. P. 1. G ius

Tab. I. Fig. I.

ej )se( Se

ius curuae explicanda, concipiamus punctum G, quod ini- tio rotationis fuit in B, iam perueniffe in N, ita vt arcus BFN femifün peripheriae circuli B FN conftituat, erit- que per naturam rotationis, arcus B F N — arcui BIK in circulo immobili, et arcus GI — arcui K I pro fitu circuli mobilis IG S. Polo A, interuallo A G, defcribatur circu- lus parallelus G L F E, qui occurrat peripheriae BF N in pun&o F, arcubus autem A P, A D, centra circulorum mobilis et immobilis iungeptibus, in punctis L et E, tum- que iungantur puncta G, P, F, D, arcubus circulorum ma- ximorum, vt etiam A G, A F. Quum nunc in triangulis APG, ANIDE, fit A G-2A EB, PG ED; ATP ZSSUDI erit angulus APG— ADF, etPAGC-— EA F, hinc fiet apesG b — areuE Buivarco(Lautc..FP D, etoR,I c QUEM ex quo colligitur GF — L E et RQ —IB. Nunc vero et KI—Gl e KIB-— femip. BF N,, ideoque TB —ar.FN, hinc RQ-arc FN, atqii et R Q: GF — fin; AI din. A Gs quater fieg! Gs E o— arci b IN: Iac

| m. AU quae proprietas inftar aequationis, naturam curusee K GM

exprimeritis , inferuire poteft. Quia eft arc. F N — ang. FDN.fin.FD, ifta quoque aequatio pro linea K GM adhiberi poteft: G F — ang. F D N, 77/5,

6. 5. Si communi more pro lineis curuis, ir fu- perficie Sphaerae deícriptis, recepto, naturam lineae curuae K G.M. exprimere voluiffemus , acquationem quaerere de- buiffemus inter angulum BAG vel KAG et arcum AG, quae aequatio complicatior fane euadit quam vt pro fe- quentibus quaeftionibus, vbi de tangentibus et radiis cur- uedinis harum Epicycloidum agitur, cum vfu adhiberi queat, Sequenti vero ratione ad huiusmodi aequationem

per-

-5 )js:( $9

pertingere licebit. Dicantur anguli K A G — D, KAT— v, APGC-6, arcus vero AI, PI, AG refpediue expri- mantur per 2, J, v; eritque

ang. GP D- eer cel qne KR ATL feni es

— fin. PI — fin. PI TEGPR * fin. b * Deinde habetur in triangulo fphaerico G P A,

Jt. —— eof. b. fin. ( à 43-5) — fin. b cof. ( a 4 a-r-b) LL cot. (" q) D TEE RGEI NUUS M

vbi fübftituto pro 6 eius valore, orietur aequatio inter «4 et Q, ex qua angulum * per (D determinare oportet, vn- de habebitur quoque angulus 0 per ( expreffüs, quare dabitur aequatio inter (Q et v, quum fit

cof. v — cof. b. cof. (a -- ») 4- fin. 2. fin. (a-- b) cof. 0.

$. 4. Pro tangente Epicycloidis K I M inueftigan-

da, concipiamus ductum effe circulum parallelum gH/fe, proximum ipfi GL E, qui occurrat curuae KGM in puncto H, eritque per proprietatem modo inuentam Epi- cycloidum, H f: f N — fin. AG: fin. AI, hincque Hg:Gg —-Wmn A Gufin. AT. vob «EH e GÓP -H hs et Guo — F f -FENC-/fN. Hinc fiet fin. HG g:fin. GHg—fin. AG:fin.AI — ín. GEB fn AGI-fPGI:üuAGI, et aler- nando, fin.H G g : fin. PG IL — fin. GHg : fin. AGI — fin. HG L-:fin. AG], vnde ób ang. PGg — 9o?, fit cot, P GH : (n; PG I—-fn.ILG L.:co( L Gl , cui analezs giae, ob PGH--PGI—HGL--LGI, aliter fatisfieri nequit, quam ponendo cof. PG H — fin. PG I et fin.HGL —cof.LGIl, hoc e(t angulum 1 GH re&um; vnde fiet arcus circuli maximi G I normalis ad Epicycloidem , et fi huic arcui ducatur per G perpendicularis, is tanget Epi- cycloidem in punáo G. Cacterum haec proprietas mox G 2 ex

wt ) 52 ( C cde

ex ipfa genefi Epicycloidum innotefcit, quippe quum at- cus circuli, polo T, interuallo GI defcripti, non poffit non intime congruere cum arcu Epicycloidis G H.

6,5: Qb4H G«G s — fn Ts Gifig, H GIL —e6m AGP:fin., X G L:quia ang. "P.3:9 9o, (AG L —: 995 et: iG H —990, | wüdg) fin, Hg Gi 3 co PG Lc-fin: AGE et fin. HGL — cof. L GI — fin. AG I, habebimus

HG:Gg--fin. APG. fin. AP: fin. PIG. (in. AT; ex quo quum fit hn.APG: fa PTG —fin'Gl: hu PG conficitur Hg:Gg-— fin.GI. fin. A P: fin. P G. fin. AI, fiue. Hau F f. mA] Exprimamus nunc angulum FD B per 2 V, arcum F B

per u, D O per z, arcus autem A B, BD vt fupra per 4, b, critque elementum Epicycloidis

— ed fin. uP« 6-5. lam uero ob Tang. z — Tang. cof. vp, fit dim Niue Ti ; gets reae v] H EE d Np tang. b. fin. Xp — 25.5 fll. z M ob fin. P fin. «p — fin. ; v.

Multiplicetur haec aequatio vtrinque per

1 A cof. b 2 cof 2f — 2 2, fietque 2adzcofb | 2dw^fim.;ucoflu d Np fin. u Bef3ss; qi cof. P cof. b

hincque colligitur dy fin. y — — 22254 E.,

cof. z*

quamobrem fiet elementum Epicycloidis

e$3$ ) sa ($92

2 4dz fin.(a -4- b) cof. b* Gd 77 Gof. 23 z3* Jm. a

Atqui eft ; i d'z 1m: COf cem Mr e ve (T2 1 1 H-fin.m anzi rhe gti a prex -— ag ur 1 €eoj.z ^ erit igitur arcus Epicycloidis EG 2[fin.(a-i-b)cof. b* fin. - afin.(a-1- b) cof. b2 1 1 3- fin.

n.a * cof. z* jin. a cof. z;

Quantitas autem conítantis C definietur ex illo cafu, quo K G euanefcit, hoc eft vbi z — 5; erit igitur

— 2fin.(a-r- b)fin.b 2 fin. (a -- b)cof. b? ] 1 -4- fin. 5 C jin. a fia.a p €0J. 0 Lo,

ideoque in genere arcus Epicycloidis K G— — lis eb (fin. b — cof. p? m. z - cof. bp Jit -t- fin. b)cof. z ).

cof. z;* (« 217/11. 2) cof. b Patet itaque arcus Epicycloidum non effe rectificabiles, nifi pro cafü cof. b — o, hoc eft fi circulus S GI fuerit maximus, tum vero habebitur K G— 2cor.a(1 —cof. ; ^); ob

ef. b.e Cof: 1t?

to[, Z2 rr et fin.z — fin. /, hinc fiet K G— 2 cot. afin. 1. — Pro cafu vbi z — o, qui erit pro arcu Epicycloidis a K vs- que ad N defcripti, habebitur i(te arcus fic expreffus: 2j EDU nc 5. Ec qof bt (oct 3

Jin.a cof. b Exiftente igitur — 90^, ifta expreffio erit — 2 cot. a, at pofito 2 — 905,4 diet — fin. 2 5,.-L- cof. P p b

6. 6. Pro curuatura elementi G H. aeftimanda, .Tsb I. quaeratur Polus V circuli in füperficie fphaerica defícri- Fig. 2. pti; qui cum arcu GH intimum habet conta&um; inue- nietur autem i(le Polus, vbi bini arcus circulorum maxi- morum inter fe proximi GT, H i ad elementam G H nor- males fe interfecant. lam fumatur in arcu GI elemen- tum Im-li, et iungapntur Ai, Hi, Gà, Pm arcubus

G 3 circu-

et; )s4( $5

circulorum maximorum, Quum vero fit arcus circuli maximi GI normalis ad G H, erit quoque H I ipfi nor- malis, et proxime — G 1, tum vero quoque G z; —H 7, 1m-—Iietang. GI 5 —H Ii, vnde ang. GIH— li. Tab, I lam fi per I1 concipiatur ductus arcus circuli maximi 1T, Fig. 3. tangens arcus G I5, KIi, facile demon(trabitur effe mli-clPs.cof.Pl--IAicof AIL Eft enim in triangu- lo PIz, cot.PIz.cot. IP z — cof. PI, hinc cot. PI — tang. 1 P m. cof. P L, et ob ang. PI T — 9o^, tang. 'E1Im — tang. I P m. cot. P I, fiue T I5 —IP m. cof. P I. Simili- ter demonflrabitur effe T IZ—lIAicof. AT, hinc mli —]IP»cotPI--lIAi cof AI; atqui ob 15 -—1i eft IPz.ün.PI—l1A;ifn. AI, proinde

GIH-— mli-lAi.fin.A L(cot. AIL 4- cot. P I) —LA i./^ AP —IP:m/ AP

Jin.PI fin. AI * Porro fi polo G interuallo G I defcribatur arcus 17, ha- betur S COLD Dfj-c9f. PIG — fin. PIcof.PIG . ang. IG às — — Gy BN IPm SONUZRNGI ME atqui eft

cof. BIG — tang. 2 GE. cot. PT, hinc prodibit

1G m —IP sm. cof.PLtang.;GI, IPzcof PI

nRNUCPRU.- 1 gp p fin. GI — 2 fin. G I. cof. ; GT. Fiet igitur quoque

IHi—IGm

ob

IPzcof.PI "'auuobG P" hincque

GIH

e$ )55( $82 fio. AP " cot.PI fin. AP "col. PT

GMPWHV Al' 2coiGE [fin.Al r-Fcof.GI

Atqui eít GIH:1HV-fid. GIH:6t5. IH V — n. GV:lin.IV, hinc fiet fin. G V :fin. IV LAT : D

vnde ob

fin. G V — fin. GI cof. IV 4- cof. GI fin. IV, colligitur

fin. G T. cot, TV et-cot!G P Ue PG ERROD

fin.ALcof.PI

ideoque fin. G I. cot. I V — fin. AP c cof. G 1 (fin. A P — fin. A T cof. PT)

fin. A I cof. PI

—— jim. A Icof.PI

tumque — fin. 4 P—- cof. G Icof. A Y (in. PY

cot. I V —^ jin. G Y fin, A I cof. FI vel

ILE fin. G I. ftn. A I cof. PI

tang. PV — fin. 4 P -i-cof. G 1coJ. AI jin. PI^

Si PI ponatur — 9o?, fiet cof. PI — o, ideoque tang. PV —0, hincque puncum V cum puncto I coincidet, quod etiam per fe eft manifeftum, «eritque tum Epicyclois GKM curua, quae oritur cuolutione circuli minoris K Iz. Pofito vero AIl—9o? fiet cof. ATI— 0, fin. AP—cof. PI, hincque pro iflo cafu tang. I V — (in. G I.

$. 7. Sequenti autem ratione valor arcus IV quoque determinari poteft. lungatur A V arcu circuli ma- ximi, eritque

cof. A V — cof. AT. co. IV -- fia. AT. fin. IV. cof. AIV.

Huius aequationis differentiale capiatur, folis arcu I V et angulo

e$ )s6( Su

anguío A IV pro variabilibus habitis, eritque: —d.1V cof. ATfin.1V -- 4. TV cof. TV finn AIcoC AIV — d. ATV.fin. Al fin. IV fin. AIV — o, ideoque cot. IV — AT. nn. Am A I V -- d. IV cf. ATI

I V.jm. À I. GJ. A E V Patet vero effe d.1V ——d.Gl--—nmr--—lm.íin.PIG,

tumque d. AIV zd.GIP-—IGm—— LL —-— IE. 5EPIS

jin. Jin.G 1?

his igitur valoribus fub(ítitutis prodit:

Prset cof. P I G —- cof. A I. fin, CT cot. I V — fin. G IJin. A I. cof. PI G ?

tum vero quia eft

cof. P G— cof. P I. cof. GI-4- fin. Pin. GIcof. PIG, confequemur

cof PIG s Sire E BREE iere etn ideoque hoc valore fuffecto:

cot. TV — fin. ATcof. PI(: — cof, C I) -- cof. A I. fiu. BOLA.

i

Jin, G I. zn. AI cof. P I (1 — cojJ. G I) vnde ob fin. GP — (x —cof. GI) (r.-2i- cof. GI P] prodit — jm. AT cof. P T -- cof. AI frm. PI (1 -3- cof. G T) cot: IV — Jin GI x fim. A Ico. PI 3 hà — fin. A P -- cof. AIL fin. PEcof, GT Jin. G 1coJ. P Lfin. AI ?

ob ABS QUIAT PI) cün icu P1 -1- cof, A I fin. P I.

6. 8$. Jam quoque operae pretium erit, vt qua- draturam fpatii IK G I, arcu circuli minoris IK, arcu Epicycloidis K G et arcu circuli maximi G I, compre- henfi, determinemus. Efít vero elementum huius fpatii,

trape-

et2 )sy7( £59

trapeziolum in fuperficie fphaeriea GH;I — GHV —I;V. lam fi femiffs totius fuperficiei fphaericae exprimatur li- tera S, eric AG H V:S— ang. I V i (1 — cof. G V): 360?

et AIV: S— aug. IV i (1 — cof. IV): 360^, proinde

GHiI-c ang. I V i (co. I V — cof. G V) ;5: Nunc vero eít in triangulo E H V,

ang.I V i: I Hi — fin. H I : fin. I V, ideoque

IVi—!ene ob IH; — IG» ec HI-GI; fict igitur

GHilz I G n. 775 (cof. I V — cof. G V) 3. Hinc quum fit

cof. G V — cof. 1G. cof. TV — fin. IG. fin. IV,

loco expreffionis

cof.] V — cof. C V i A EUIS T habebimus

Fig. 3.

3609

cot, IV—cof. IG. cot. IV-- fin.[G — cot, I V(r—cof. IG)4- fin. IG, hincque Dy (co£-TV — cof. G V) — cot. I V. fin. IG(r— cof.IG)

4 fin.IG'7 (1— cof. TG) (cot. 1 V. fin. IG-r- 1-- cof. 1G).

Subfituto nunc pro cot. I V valore fupra inuento, fiet

ec m fin. A P -t- cof. A Ufin. PIcof.GI cot. I V. fin. 1G — OPERAI et — fin. A P -- (fin. P Ecof. A I -21- cof. P Efin. A I) oof. GI cot. TV fin.1G 4- cof. 1G — BM —. fir. A P (1 2- cof. G I) pon jin.AIcofV.PI^ ^?

vnde demum confequemur:

/e-19 (cof. J| V — cof. G V) - (1-cof. 1G) (1 - 4*6 en).

fin.lv

Acta Acad. Imp. Sc. Tom. III. P. I. H Si

-et2 )ss( £x

Si nunc angulus QBF—9»—GIP (Fig. L) ex»rimatur per Q, arcus E.G per 4 et arcus A1, PI vt antea. per a, b, erit elementum

GHil-4d(r- cof. u) (x 4-/- festEB cera) "s

1n. d CO0j. b 2699 Jam vero pro integrali huius differenuialis deter] primum obferuo effe,

d (x —cof.u) z2a2dp—2dN/r cot b, — defignante 2 Xp. angulum FD B. Eft enim per $. 6.

hinc

dQ (1 -Fcof.u) - 2 dN/cof.b, ob 2 cof. iw — t. cof.u, ideoque ; d (x — cof. u) — a d p — 2 d vj cot. b. Tum vero quoque fiet

d b (1— cof. g^) P5 [op 1035 db (x y eof p.

jin. a coJ. b. jin.acoj. b. — 2 d Vj (1 -- cof. u) Est — 4, d p. fen x Jin. d 2-4. d Ny cof. 1 ghe T V EM 23-5 fin. —4dwy (3-2. fin, p? fin. v*

zu 2d, p I 03 NET fin. 5? (x — cof. 2 Xj).

Fiet igitur Lo fin. (a 3- b) — in. (a -i- D) fin. b? f4 6 (x — cof. u*) : TIT p Eo mt

— fin. 2 ELI. Gcrm Psi

Praeterea vero eft f. 4 E ea S. —— fegmento fphae-

nd quod continetur arcu circuli maximi F B et arcu circuli

Uu

62 )s9 ( fue

circuli minoris FB. Hinc pro cafu, quo pun&um G inN incidit, ideoque 2 Xp — 180^, fiet fpatium illud inter E- picycloidem et arcem circuli K 1 B, nec non N B conten- tum, aequale fpatio B FN B -4- 5, /Á«(-- fin £ | vbi: ob

Jin. a BFNB —;(x — cof. 2), erit fpatium illud —i[x— cof. b) (x -- fete no n ar 5) Jiu. au ?

Hinc fi ftatuatur 2 — 90^, fiet hoc fpatium — 5 cot. à, Ob fpatium. B F N.B hoc. in cafu. plane euanefcens. — At pro eau a 09^. flet — 5. (1, — cof. A). (1. cot. à -1- cof. b^). Praeterea quoque obferuare conuenit, fpatium i(lud epicy- cloidicum in genere fic exprimi:

es (a D —2 Vp cof. à 7 2 Vp Pee

360? m.a

34] 1, fin, (a 4-7 5) fin. 5? fin. 2 Np E imi) :

vnde concluditur cafu, quo Q.— v cof. b — sy f 62-9

jJtn. a fpatium. iflud abfolutam admittere quadraturam, ex qua aequatione, quum. fit tang. — tang. V/ cof. 2, valor ipfius

anguli (p vel xp. determinari poteft.

$. 9.. Praeter Epicycloidum fpeciem iam confide-

ratam heic quoque attentionem meretur linea curua, quae generatur, dum voluendo circulum SHI füper 'T 1B, pun&um quoddam G, non quidem in ipfa peripheria cir- culi, fed vel intra eandem v«l extra fuümtum, curuam defcribit. | Etíi enim huius curuae proprietates non ae- que elegantes fint ac iftae, curuae modo confideratae, ta- men nec inueftigatio proprietatum pro hac curua valde operofas requirit disquifitiones. | Concipiamus igitur cur- 2 vam

-—

cor )6e( e ein

vam a pun&o G defcriptam effe M C G, «t du&o arcu circuli maximi PG a centro circuli mobilis SH I ad pun&um G, illum occurrere peripheriae S H I in pun&o H, tumque initio rotationis. punctum H coincidiffe cum pun&o T circuli immobilis T I B, quare erit arcus HI1— arcu TI. Porro fi ftatuamus puncum H perueniffe in N, ita vt NKB aequetur femiffi peripheriae circuli mobilis, erit N K B — arc. TIB, vnde fiet ai. TB ar. NKB—HI-SHI-HI- arc. SH.

Deinde fi Polo A circuli immobilis T 1 B, interuallo A G, defcribatur circulus minor GL F E, qui occurrat. arcubus circulorunr maximorum, polos circuli immobilis A et mo- bilis P, D, iungentibus in punctis L, E, arcubus autem circulorum minorum, polis P, D, interuallis B G et F D, exiftente F D — F G, defcriptis in G et F, tumque iun- gantur AG, AF, DF arcubus circulorum maximorum, erit ob PG-DF, AG-AF, AP-AD,ang. APG- ADF et GAL-— FAE, hinc arc. GL— arc. FE, et ,GF- LE. Eft vero arcus L E: arc. TB — fin. AG: fin. A B, ideoque arc. G F: arc. IB— fin. AG: fin. AB, hincque arc. G P: arc. SH — fin A G: fin. A B; atqui eft arc. S H: arc. QG — fin. PH: fin. P G, vnde, componendo rationes, arc. G F: arc. Q G — fin.'A G. fin. P H: fin. A B. fin. P G, haecque

proprietas inftar aequationis pro curua M C G inferuire poteft.

6. 10. Sit iam per pun&um C curuae MCG, pun&o G proximum, defcriptus, Polo A, circulus parallelus g C f, qui occurrat circulis QGU, R Ff in pun&is g, f, eritque per proprietatem modo demonftatam arc. C f:

arc.

e$ )óér( $3

arc. Q.g — fin. A G. fin. P H« fin. A B. in. P G, hincque arc. G f — arc. C f: arc. Q G — arc. Q g — fin. A G. fin, P H: fin, A B in P G, vel

gC: Ggz fin. AG fin. P H: fin. A B. fin. P G,

Quum igitur fit gC:Gg-—fin.gGC:fin GCg, et GCg—CGL, ob CGL—CGA-—9o^, fiet fin.gG C:cof. CGA —fin. AGfin. PH: fin. AB fin. PG. Praeterea vero eft fin. AG : fin. AI — fin. PI G: fin. AG T et fino. PH : fin. PG — fia. PG TI: fin, PIG, vnde fit: fin. AG.fin. P H:fin. AB.fin.PG — fin. PGI. fin. AGI, quamobrem confequemur fin gG C:— cof. CGA — (in. PGI: fin. AGI, fiue

cof. CGP : fin. PGI— fin. PGL : cof. LGI, ob AGL— 905 huic autem aequationi aliter fatisfieri néquit, quam po- nendo IG C — 90^, ita vt fit

cof.G C P — fin. PGI et fiin PGL-:— cof. LGI

Quare iam patet arcum circuli maximi, a punc&o defcri- bente G ad punc&um contactus I ductum, etiam pro hoc cafu fore normalem ad curuam dcfcriptam, quod caete- roquin ex ipía genefi curuae pateícit. | lmmo in genere, quaecunque fuerit linea curua, quae fuper alia quacunque in fuperficie fphaerica rotatur, fi capiatur puuctum quod- dam G, fiue in priori illa curua, fiue intra eandem, fcu etiam extra, curuae a pun&o G deícriptae ea erit pro-

H 3 prietas ;

emi ) 62 ( 2e

prietas, vt iun&o punc&o G cum pun&o contactus arcu circuli maximi G I, fit 1 G normalis ad iftam. curuam.

$. rr. Pro determinando arcu curuae defcriptae M C.G, habemüs C G : Gg — fin. C g G: fia. CGL — fin.L. G.g:fin. C G.L.sz cofuB. GE 3Botubi (6 MD PGg-9o et. CGI-90, tum vero ob AG L — 90, fit cof. P GL - fin. AG Pet cof. LGLT — fin, A GT; Bines que CG:Gg-— fin. AGP:fin. AGI. Atqui in trian-- gulo A G P. eft fin. AG. fin. A!/GP — fin. A P. Gn. APG et in triangulo AGI, fin. AG.fin. AGI — fin. A l.fin.P 1G, vnde fin. A G P:finn AGI— fin. AP.fin. APG :fin.AL fin.PIG — fin. A P. fin. G I:fin. A I. fin. PG, ob fin. APG:fin.PI G —fin.G I:fin. PG, in triangulo PI G, fiet igitur CG:Gg —fin. A P.fin. GI: fin. AL fin. PG. Si igitur" angulus IPG indigitetur per Vp, arcus vero GP, PI," AT, GI refpectiue per litteras c, 5, à, u et. elementum: Cycloidis C G per d s, erit primum G g — d v. fin. c, hincque.

d 5 — d v. fm. (a— (a-- b) fin. u

7o jm. a ? exiflente

cof. u — cof. c cof. b 1 fin. c fin. b cof. Vy,

db cot. GI — coL PF G.cot PT - mn. F G. fia. PE cor. GPT. Vt formula. differentialis propofita concinnius exprimi queat, füpponamus ex polo P circuli mobilis demiffum effe arcüm P-N normalem ad I G, quem per z exprima- mus, angulos ees IPN,' GPN per.(, Q! et arcus IN, GN ,Per v, v! ihdibieAhus , ita vt fit yp — p 4- Qr et v -- v — s, hincque colligicur

fin.u — fin, v cof, V4 fin. v' cof. v — fin. v.m * -L- fin. t. Fay

qua-

ec$ l6s( $53

| quare erit ^d sp fin. u — (40«- d Q) fixa ac fn v'eof b)

cj. z 5 porro quia habetur " fin, v — fin. b fin. (D et. fin. v' — fin. c fiu. QD, haec formula differentialis fic exprimetur:- ' d vp fin u-(ddQ-rdaq) (Jim- S1. bof. e y. fm. d fin. c eof. b c cof. b .

C0j. z; AES Tum vero quia eft à Tang. z — Tang. 5 cof. (p — Tang. c cof. Qv, fit re a

—u z- cot. — d (p fin. p, et — iu -z d Q! fin. (y, hincque :

4Q o (ist a fet anta

-— Mi fin. qr [Nn b An. a D Jin; b cof. "

cof. z; jnm.qv* cf.z

Ze um m ( cof. b cof. e MA E EET »)

rero c cof. b D 9 $- Dy [inb e), Atqui ob. — r r3 cof. D — tang. z cot. f et cof, Q/ — tang. s cot. e, erit fin. (p— Y (x — tang. z* cot. 7?) — cot. 2 Y (tang. /* — tang. 27) et fin. (y — cot. c Y (tang. «' — tang. z^), fiue fin. (p — 9? y (fin' &* cof. s* — fin: z* cof. $*) — $5 Y (cof. z* — cof, 5^) et !

fin. (i — 2— Y (cof. z* — cof. €),

vnde demum formula differentialis propofita fiet:

7 e EUN

d fin. — —227 dz ftn. c X eof. 21— 2 v m C9J. z,5 cof. b cof. us C0f.23 * fin. 5, Cof. T cof. b Mr L5) — dz Jjin.b «(Cof z? — cof. b? )-— « Gjigmus COb € cof. UUETYO

Vbi

F'ig.2 et 3.

ee )6r( Se

Vbi quidem primum membrum ratione in 6. s. indicata integratur, bina vero pofleriora membra integrationes dif- ficiliores inuoluunt; nam huiusmodi formulae:

dz cof. z;? — cof. b?

S ( ke

€0J. z* "eof, &* A cof. c? integratio iam quidem rectificationes fectionum conicarum fupponit, ideoque formulae iftius generis

dz cof. z* — cof. b? cof. z* LÁ i z^ — cof. c* )

adhuc difficilioris funt indaginuis.

$. 12. Tam pro inueftigando Polo V circuli, qui cum elemento curuae G C in G. intimum habet contactum, ratiocinium confimile ilii, quo in $. 7. vfi fumus, adhi- beri poteft. Breuitatis gratia vero figuris tum adhibitis quoque vtemur, vbi tamen intelligi debet, punctum G non amplius in ipfa peripheria circuli mobilis concipiendum effe. Differentiando igitur primum aequationem cof. A V — cof. A E cof. I V -i- fin. A L fin. IV cot AIV, ita vt folae I V, et AIV variabiles habeantur, fiet:

—d.1V.cof. AT fin. IV -4- 7. YV.fin. AL. cof. 1 V. cof. AIV

— d. AYV.fin. AL fin. IV.fin. AIV —o, hincque ob

d.1V ——d.Gl-—-zamm, et

d. AIV —d.GIP—-—1G, prodibit ifta aequatio:

4-2 m. cof. AT. fin. DV —5s m. fin. AT. cof. TV. cof, ATV

--IG m. fin. AT. fin. TV. fin. AT V — o,

hinc ob

fiet

ea )65( $He

fubftituendo hunc valorem et diuidendo totam aequa-

: um tionem per L—--, fiet

-1- cof. AI. fin.I V.fin. 1G— fin. AT. cof. I. V fin. IG. co. PIG -1- fin, AL. fin. IV. cof. PIG —o, |

eX quo colligitur: cot. JV — cof. A T. fin. Y G -4- fin. AI cof. PIG

jut, A 4. 24. 1G. coJ. c1 G ) : quae formula iterum transformari poteft, introducendo pro cof. P 1G cius valorem 9.27575 9!, eritque inde coto los SUUM ere PEE nn Hic vero ftatim liquet, pofito- PG-—PI, fore huius ex- p'eílionis tam numeratorem quam denominatorem per i —cof. GI diuifibilem, fierique tum

LL. cof. A Ifin. : G (1 -t- cof. 1G ) A- fin; A I cof. ^ G cot. I V — Jin. AT. jin.16. c9. 4 G * ifs. fin. A P -1- cof. A I fin. PG cof.IG

.

Jin; ALjzn. I G co9J. P. G

prorfus vti fupra inuenimus,

$. 15. Cafü quo ponitur PI— 90^ fiet cot. JV — cof. AT. fin- I G? —- fin. A I. cof. PG

— —— —— ———MÁ——

fin. A I fri, 1G. cof. PG

ob fin. P IZ 1, et cof. PI — o, vnde infimul pofito PG—- oo* deducitur Tang. TV — o, ideoque ipfum punctum I erit polus circuli, qui cum curua propofita eandem habet curuaturam. — 'Tum vero fi ílatuatur A1— 90?, fiet cot. T V — mago fiue Tang. I V — fin. I G, quae proprietas igitur pro hac fuppofitione generaliter locum habet. De- nique fi ftatnatur P G — 9o^, fiet

Th. ! — fin. ^ I. cof P I. cof. IG cot. — cof. A T. fm P f. fin. 1G — fin LT: . C0) ze V —jin. AT. fin, IG. cof. c 1. c9. 1 G ?

Aiia Acad. Imp. Sc. Tom. IIl. P. I. I fiue

Fig. 4.

w^ ) 66 ( ord —— cof. I G — cot. 4 T fang. PT. PT. fin. IG? cot. I Voss t jin. in. 1G. cof. TG Ti EUR fiue

m — cot. A L tang. P I tang. I G.

mue J Hint IC :

Caeterum generatim quoque hinc colligitur , quaecunque fuerint curuae in fuperficie fphaerica defcriptae, tam illa immobilis T IB, quam ifta SH I, quae füper priori ro- tatur, tum fimili ratione pro curua rotatione defcripta MCG, definiri poffe polum circuli, qui cum elemento G C eandem habet: curuaturam. | Nam fi curua S HI tangat ipfam 'TIB in punc&o I, fintque P ct A poli cir- culorum, qui cum curuis propofitis in 1 eandem habent curuaturam , diffantia I V puncdi V, qui eft polus circuli cum elemento C G eandem curuaturam habentis , definie- tur per formulam modo propofitam:

V — cof. A T; fin. P T. fin. IG? -1- fin. A I( cof. PG —cof. P I. eof. GT, Jin. A L ftn. 1G (coj. P G — cof. PI. cof. IG.)

cot, I

$. 14, Nunc demum pro inieniendii ped. fpatii, quod comprehenditur inter curuam M C G, circu- lum TI et arcus circulorum maximorum GI, et fimi- lem GI pro initio rotationis, fequenti ratiocinio vtemur. Primum modo confimili, illi in $. 8 adhibiti, elementum huius fpatii H GI? fiet

—IG nm. (cotlV cof GV)

"Tum vero eftI G z; — —4. PIG, ex quo fct elementum iftud: — d. PIG.fin. IG (cot. GV (x — cof. 1G; -4- fin. 2G) —..

Tam igitur fi angulus P IG indicetur littera (, arcus vero IG,AI refpe&iue per z, a indigitentur, erit per $. praeced. cot. I V — 9» a fin, u A fin, x oh Y

tco TE gll CES Ee aca ——

Jin. a fin. u cof. D

hoc-

- )67( 2t

hocque valore introdu&o fiet elementum | commemora- tum, fepofito factore 5

2600 ? — me erg ((cof. a fin. u 24- fin. a cof. D) (1 — cof, u) —- fin. a fin. t^ cof. (D),

m — 890 us) (cof afin. t - fin. a cof. (D (2 4- cof u)),

ob fin. ;* — (x — cof. u) (x 4- cof. z). Vltima vero ifta expreílio concinniorem hanc nanciícitur formam:

—4pfps s (x — cof. u) — db (x — cof. u) (a -- cof. u).

Yam pro hac formula differentiali integranda fiue s, fiue Q, ex calculo elidi poffent ope aequationis cof. c — cof. b cof. u 4- fin. 5 fin. u cof. D; vernm fic irrationalia vix ac ne vix quidem euitari pote- runt, igitur aliam viam tentabimus, introducendo in cal- culum angulum GPI-— w. Quum igitur fit, —dPIG:4.GPI—fin PG. cof. PGI:fin. GI,

tumque habeatur

—— vof. PI— cof. PG cof. CI cof PGI— rr, OSROI, fiet

— d. PIG.üin. GI. -4. G P I(cof. PI— cof. P G. cof. GI),

fiue — d (b fin. 5 — d xp (cof. b — cof, e cof. u) ;

praeterea vero eft,

—— cof. c-— cof. b cof. u ; cof.(p—— 9L ERA, hinc

d (Dn ues a (1 - cof. u) — d ( fs uiesefe. b (1 — cof. u)

Jt. a cof, Jin«a (co , c — cof. bcof. u)

ed d. Vp cot. a fin. b (1 — cof. w) (co. b — cof. c c»f. 24 ideoque

eni A cof. c — cof. bcof. u — d Qiicau.e (1 — cot u) — dp (x — cof. u) — 4 C fin.u* 19 —adQ

-$ )68( 28e

—d V cot. à fin. P ' (1 — cof. un) (eof. ^ — cof. c cof.)

C0;, C — C9J. 0 C9J. 4

-1- d xj (cof. b —cof c cof. :) — d p (x — cof. d).

6$. 15. Heic vero bina priora membra facile per folam variabilem. Ap. exprimuntur, ob cof. 4 — cof, P cof. e -L- fin. b (in. c cof. Np,

et leui adhibita attentione liquet, expretfionem

d Np (1 — cof. u) (co. b— cof. c cof. 1) NP SPEO) UH LG RUEID ip Cc0J. C — c9j, 0 COJ. u

ad huiusmodi formam $ d V (a ue g cof. UN exe S

reduci poffe, eritque Vm cf. c Te cof.c ^ cof.c? : Ge s UU E: et denique cof. E

NO dps Cr bcn ra o bfc à — cof. b. d doj,b , .. Cof. bÀ .. cof.bs./

praeterea vero eft cof. P — cof. c cof. u — cof 5 fin.c^—fin.P fin. c cof. ccof. Np — fin c (fin. e cof. à — fin. b cof. e cof. xp) et cof c — cof P cof.u— fin. b(&n. b cof. c — fin.e cof. P cof. p). Fx formula igitur. propofita confequemur. primum quanti- tates fola dp affectas, quae funt: d xp cot a fin. P (x 4- ES — men) — d x cot. a fin. b cof c^ -1- d Np cof. b fin. c^, deinde occurrent exprefüones fa&ore 4 wp cof. vp affectae, quae funt: — dj cof.p. 277 fin. £^ fin. c cof. c— d Np cof. V fin. fin. ecof.c

— — d vp cof. p r6 fn. b fm code

TRE Jin. a cof. b

denique aderit auoque exprefíio:

$ d yjcot. a fin. 8 cof. c — fiu. € coJ. à coJ-z"* Inte-

Integratio priorum exprefionum per fe e(t manifefta, pro vltima vero notetur effe

d c CU — z: [ —g—1: ,; arc. cof. — -— ideoque pro cafu praefenti, vbi z — tang. c cot, b, fiet

o Ml tang. b cof. Nptang. b — tang.c f —óm € Cof. cof. bcof. Np — v (rang. 5? — tang.c7) arc. cof. ( )-

lang. 6 — tang. c coJ. Wis Iam vero notetur, expreflionem

cof.Nptrg. ^ — tong.c —— —— (fin. c cof. b — cof. c fin. b cof. v) tang.6 — iang.ccoj. vp Jta. b coj. c — jin. b coj. ccoJ. y?

fub forma valde concinna repraefcntari poffe; nam fi an- Tsb. T. gul;s PGI exprimatur per 4, erit per proprietates trian- Fig. 4. gulorum fphaericorum:

cot. pes mísedin.P ph. Bene of V et cot, « — ^f. b (in. c — cof. c fin. b cof. m

Jta. € fin. vp Jin. 6 jin, Np . : f — LL. C. Y fm. hincque fractio propofita Edid. vx tct atque fin. 2: fin.c — fin. «y: fin. D, vnde ifta fractio erit — — ad Quoties-

cunque igitur fuerit cof. « 2 cof. (D, Deoblétoafi: folutio e- rit in poteftate, id quod eueniet dum tang. 5 — tang. c.

6.16. Pro cafü vero vbi z 2 r, fiue tang. b tang. c, pofito z — 9-*—"., fiet

— n coj. vp ? —— 1 21 —— fm.w y (n? — 1 dz E i Y (s Ei dac —1-—n6j. p L ideoque : d z — dy V (n! — 1) - Y(2z—:1:)^- :i—n«ofwy ? hincque d y EN de 1 — p ES qud-himrrrya eft vero d axi f 4L -dPF AY (e—21))5 ideoque fict j: d Y» T MEA mM p y, 1—. co. — y(1?—1)* er

lam vero etiam reílat vt explicemus, quid per l3 [455

'Tab. Y. Fig. 6.

Fig. 4.

$35 ) o ( $ed

f4b(z-—.cof.u) exprimatur. Sit igitur P Polus circuli mobilis S G U, et initio rotationis füpponamus punctum G fuiffe in U, tumque ducantur arcus circulorum maxi- morum P G, PL, GI, vbi igirur GlIerit—uet ang. PIG— (b, hincque facile colligitur, elementum Z QC (x — cof. u) S, effe elementum pro fpatiis L UTL--GML :z, quae concluduntur arcu arculi mobilis GM LU, et arcubus cir- culorum maximorum GI, PL Si in fuperioribus ex- preffionibus ponatur cof. — cof.c, hoc eít punc&um G cum H coincidere, fiet noflra expreffio pro quadratura — d xp (1x — cof. u) (cot. a fin. b -4- cof. b) — d p (x —cof. u) — dw (r—cof.u)7 67-9 — di (x —cof.u,

prorfus vti fupra 6. 8 inuenimus, nam quod ibi erat (D iam eft g90^— (p, tumque loco xp, 2 V adhibuimus. Vl- terius fi ponatur cof. b — o ob 5 — 90^, expreffio ifta 6. r4. tradita fiet:

— d Nj cot. a (x— cof. v) cof. — Xp cof. c cof. u — (x — cof. u), vbi infüper cof. 4 — fin. c cof. vp, cuius integratio cft ma- nifefta. At cafu, quo fimul cof. c — o, formula ifta in hanc abibit:

d Np cot. a (x — cof. u) — d xp cot, « (x — cof. Xj), ob cof. & — cof. e cof. t& — cof. c — cof. b cof & atque angulum Q. hoc cafu — 90^, vnde 4(p— o. De- inde pofito a — 90^, expreffio ifta euadet: d sp (cof. b — cof. c cof, u) — 4 (b (1 — cof. v) — d wp fin. c (cof. b fin. c — cof. c fin. P cof. xp) — d ( (x — cof. z). Denique, pofito c — 90^, fiue cof. c — 0, fiet expreffio i comme-

egi )( $9

commemorata (— d vp 95/5? (x — cof, y) --d p cof. 5 — d (p (x— cof. 0),

cof. u exiftente cof. 4 — fia. c cof. vp, hincque pro hoc cafu in- tegrale Logarithmos inuoluet.

$. 17. dam autem fi ponatur c— 0, hoc eft, punctum defcribens femper cum centro circuli mobilis coincidere, folutiones fupra allatae adhiberi non poffunt, etiamfi curua defcripta iam fit fimpliciffima, quippe quae e(t circulus, polo A, interuallo A P defcriptus. Sic pro formula elementum curuae exhibente $. rr, patet illam hoc cafu locum non habere, ob angulum wp euanefcentem, ideoque d Xp — o. Neque formula $. r2 allata pro inter- vallo circuli ofculatoris locum habere poteít, nam pofito cof. P IG —.-, feret

d ——. eof. AYfin. IG 4 fin AY " cot. I V MUT fi. A E ftn. 1 G E E cof. A I -l- melc: ?

quae tamen manifefto cft — cot. A I.

T RIGO-

Re )gs( fHe TRIGONOMETRIA SPHAERICA VNIVERSA,

EX PRIMIS PRINCIPIIS BREVITER ET DILVCIDE DERIVATA.

HUY asy ond LEoUEO DLiUBhRR. O:

&- x Tab. I. ropofitum fit triangulum fphaericum quodcunque, cu- Fig. 7. ius anguli litteris maiusculis A, B, C, latera autem

minusculis a, 5b, c, in figura adícriptis, defignentur, ita vt iisdem litteris maiusculis eaedem | minusculae opponantur. lam ex centro Sphaerae, cui literam O tribuamus, per fingulos angulos educantur rectae O C, Oa, OP, quae jn centro O angulum folidum conftituent, cuius anguli plani metientur latera trianguli, eorum autem inclinatio- nes mutuae angulos trianguli.

Fig. 8. $.2. His praemiffis capiatur O C ipfi radio Sphae- rae aequalis — 1, vnde ad O C in vtroque plano C O a et

C OP normaliter flatuantur re&ae C a et C ^; tum vero

ex P ad Ca demittatur perpendiculum 2p, quod fimul

ad

wes )75 ( eee

ad planum C O a erit normale; praeterea vero ex f ad O a normalis ducatur f 4, ficque, ducta P q, ea ctiam ad Oa erit normalis. Hoc modo tota figura, qua indige- mus, erit conf(lructa.

$. 8. Cum iam fit angulus C O a lateri 5 ae-

qualis, erit C a — tang. b. et O a — fec. b — ——

Simili modo, ob angulum C O^ — a, erit - C b — tang. €. €t (ites fecca Porro autem, cum fit angulus

I : coJ. a

aOb-e.s 05— erit finc zocmfzc b4— et Ogct

Hinc pro reliquis figurae lineis exprimendis, ob angulum a C b — C, erit à p — C b fin. C — tang. a fin. C. et C » — Cb cof, C — tang. a cof. C,

vnde porro colligitur ap —Ca-Cp-— tang. b — tang. aco. C,

et quia angulus C 2 O — 9c? — 5, habebitur, pa4-afpcof b — fin. b — tang. a cof. b cof. C et aq — a p fin. b — 577 — tang. a fin. 5 cof. C.

Quare, cum inuenerimus O gg hoT fiet Oa-— ^" NE as 5 — tang. a fin. à cof. C,

id 1H Ser ficque erit

E — cof. b -t- tang. a fin. P cof. C, fiue

cof. c — cof. a co!. P -1- fin. a fin. P cof. C dta Acad. Imp. Sc. Tom. 1II. P. 1. K $ 4

eS )yge( Sie

6. 4... Cum iam angulus 2 4 praebeat inclinatio- nem. plani «4 O ^ ad a O C, crit itle angulus gp — A, vnde cx triangulo 2» p 4 primo habebitur

fn A-— bp — jin. a fin. C (fiue fin. C A AT

pg rw me Imi CES fm. o vnde iam fequitur, finus angulorum noftri trianguli pro- portionales. effe finubus laterum 'oppofitorum. | Deinde ac- quatio

cof. A-— ixl — eof. a fin. b — (in. ^ cof. ET bq

Jin. c cum binis praecedentibus coniunc&a totam Doctrinam ífphaericam complectitur, quod autem vberiorem explica- üonem poftulat, vnde fingulas has tres aequationes magis

euoluamus. "

Euolutio primae formulae.

Jin. € — jm. A

ju.c ^ fm.a^

6. s. Cum tam litteras maiusculas A, B, C, quam minusculas 2, b, c, inter fe permutare liceat, fi modo iis- dem litteris maiusculis eaedem minusculae oppofitae relin-

ftn. C C, S yin. 'B e quantur, erit etiam 777 — 5,» ficque prodibit haec ter- gemina aequatio:

ue — fin. mr e Jm. B SEG IfUi BE b ".- jm.c

Deinde etiam noraffe iuuabit fequentes aequalitates : fin. A fin. / — fin. B fin. a fin. A fin, c — fin. C fin. e fin. B fin. c — fin. C fin. &

Euolu-

c2 s ( Sue

Fuolutio formulae. cof. A fin. c — cof. a fin. b — fin. a cof. » cof. C

6. 6. Quia fin. A fin. c — fin. C fin. e, dinidatur huius aequationis membrum prius per fin. A fin.c, pofle-

rius vero per fin. C fin. a, atque obtincbitur

—— cof.a fin, ^ — fm. a co. b cof. E cot. À — jm.9jim.C. à

vnde iam ex datis binis lateribus a et 5, cum angulo in- tercepto C, angulus A reperiri poteft; fimilique modo ex iisdem. datis colligetur angulus B per hanc formulam, ex illa, literas A, B, 2, & permutando, deriuatam:

—— cof.b.[in. a — cof. a fi-. b cof. C cat. B T BC PGNRIOS $

$. 7. Si porro ciusdem, quam hic confideramus, formulae primum terminum per Jute fecundum per ER te,tium vero per il Scie cunus; orietur ifta aequatio memorabilis :

cof. A fin. C — cof. a fin. B — cof. P fin. A cof, C,

Lm co. n. C—— m. 4 coj. C coj. b

litteris B et C, item £/ et c inter fe permutandis erit

cof, ^ fim. B—-. fin. A.cof. Bcof.c c Sue, IL , fiue

cof. a fia. C — cof. A fin. B p^ fin. A cof. B cof. c

quae a propofita aliter non difcrepat, nifi quod literae maiusculae et minusculae inter fe permut.ntur, infuper Vero omnes cofinus negatiue accipiantur,

cof. a —3

$. 8. Quod fi iam huius poflremae aequationis primum membrum per fíin.afin.C, poflerius per fin. A fin.c K 2 diui-

BS )3e[ See

diuidamus, orietur haec aequatio:

cof. & fin. B -4— fin. ^ cof. Bof. c Jin. A fin. « ?

quae infernit lateri a inueniendo, ex datis duobus angulis A, B, cum latere intercepto c; tum vero ex iisdem da- tis etiam latus 5» definietur hac aequatione:

cof. B fin. A -- fin. B. cof. A cof.c Jin. B ftn. c h

COD ss

COL. 4e e

6. 9. Praeterea vero ex eadem formula propofita cafus alias difficillimus, quo ex datis tribus angulis late- ra poftulantur, eruitur. Cum enim fit

cof. A fin. c — cof. a fin. b — fin. a cof. b cof. C, erit fimili modo, literis A et B permutatis,

cof. B fin. c — cof. P fin. a — fin. P cof. a cof. C. Si poflerior, du&a in cof. C, ad priorem addatur, prodibit ifta aequatio:

fin. c (cof. A -4- cof. B cof. C) — cof. a fin. P fin. C* ;

at vero ob fin. à fin. C — fin. B fin. c, aequatio. illa induet hanc formam: ;

cof. A -1- cof. B cof. C — cof. a fin. B fin. C ; fiue

cof. À — — cof. B cof. C -1- fin. C cof. a. Permutatis igitur literis A et C, manente B, fiet

cof. C'— — cof. B cof. A -1- fin. B fin. ^ cof. c, quae ex nollra tertia formula:

cof. e — cof. a cof. b — fin.-a fin. b. cof. C

nafcitur, fi litterae. maiusculae et minusculae inter fe per- mutentur, omnes autem cofinus negatiue accipiantur.

Euolu-

e )vw(

Euolutio formulae. cof. e — cof. a cof, b -1- fin. a fin. b cof. C.

$. 10." Hic ftatim euidens eft, hanc formulam duplicem víum praeftare, alterum, quo ex datis lateribus a, b, c anguli func definiendi, quod fit ope huius for- mulae

—— cf. c — cof. a.cof. b . eof; Cz a RP

alterum vero, quando ex binis lateribus a et 5, cum an- gulo intercepto C, tertium latus c quaeritur, quod fit ope huius formulae:

cof, c — cof. 2 cof. b -1- fin. a fin. 5 cof. C.

6. xz. Nunc igitur hunc vfum etiam ad angulos transferre poterimus, quoniam modo iuuenimus

cof. C — — cof. A cof. B -1- fin. A fin. B cof. c.

-Hinc enim ftatim, fi dentur duo anguli A, B, cum latere intercepto « determinatur tertius angulus C. — Deinde ve- rO, fi dentur omnes tres anguli trianguli fphaerici, quod- wis latus, veluti c, hoc modo definitur:

cof. C -4- cof. A cof. B Jiu. & jin. B k

cof, etum

€. 12. Cum igitur tota "Trigonometria Sphaerica tribus aequationibus fupra inuentis innitatur, permutatio angulorum et laterum generaliter locum habet, fi modo omnes cofinus negatiue accipiantur. In prima enim for- mula:

fm. C" — "in. B fm: finc . — [in.b. — ft.a ?

K 3 h ae

we62 ) v8 ($99

haec permutabilitas per fe eft manifefta, quia nnlli cofi- nus Occurrunt, deinde ifla permutabilitas pro ambabus re-, liquis. formulis; iam eft euicta, vnde fequens "Theorema infigne nafcitur:

'T heorema.

Propofito quocurque triangulo fpbaerico, cuius enguli fimi

A, B, C, et latera à, b, c, femper aliud. trian- gulum analogum. exbiberi potefl, «ums anguli fint complementa laterum. illus ad «uos rectos, laura vero complementa argulorum ad duos recios. | Hoc enim modo omnes finus manent iidem, omnes ve- ro cofinus euadunt negatiui, ideoque etiam tan- gentes et cotangcntes. — Conflat autem tale trian- gulum formari ex Polis tium laterum trianguli p.opofiti.

6. 15. Ad vfum ergo practicum omnia praecepta

fub quatuor formis repracfentari poffunt, quarum binae adeo ita atcte. colligantur, vt altera ex altera formetur,

dum tur,

litterae. maiusculae ct minusculae inter fe permutan-

cofinibrs negatiue fumtis, ita vt fufficiat duas tan-

trm formas memoriae mandaffe. Has igitur quatuor for- mas cum omnibus variationibus, quas tran:pofitione litte- rarum recipere poffunt, ante oculos exponamus.

Forma prima.

G 1:4. Haec forma duos inucluit cafus, quorum

altero ex datis tribus lateribus quidam angulus, altero

vero

e2 )yo ( $9

vero ex datis duobus lateribus, cum angulo intercepto, ter- tium latus inuenitur; :

cof. a — cof. à cof. c 4- fin. b fin. c cof, A.

cof. a — cof. dud. Best. A — nd

cof. b — cof. a cof. c -i- fin. a fin. c cof; B

a edt Mace mn eor p pU cof. C — is Lok * [cof.e— cof. a cof. b -1- (in. a fin. P cof. C,

Forma fecunda.

€. rs. Haec forma etiam duos cafüs continet, quo- um altero ex datis tribus. angulis aliquod latus, altero ve- ro ex datis duobus angulis, cum latere intercepto, tertius angulus quaeritur: .

cof. A -x- cof. B cof. C

cof.a— TY BS cof. A —— cof. B cof. C - fin. Bfin. C cof a

cof. B Z — cof. A cof. C -- fin. A lin. Conc A | cof. C-—cof. A cof. B-r fin. A fin. Bcof. c.

cof. B 3- c9. 4 70i. C cof. 5 — 977 A Jin. c

cof. C 4- c0. ^ it B Jin, A ftn.

cof. é—

Forma tertia.

6. 16. Haec forma eum cafum complec&itur, quo ex duobus lateribus, cum aneulo intercepto, duo reliqui anguli determinantur, quae formulae cum fuis variationi-

bus ita fe habcbunt: cot. B— LL. fin. à cof. 5 — cof.a fin. bco| bcof. C G

—— eof. a fia. b — ftm.a cof. b cof. C cot. ^j, fee Jin. a Jin. C Jin. 5 jin, [SERES Cot. B — 9f: 5 fin. c —fin.beseeeof. 4 | cop (Qt — fin bof. c — e. fin. eco A Jin. jin. A fin.c fin, A

cot, C — —— cof. c (in. a — fin. c cof. acof. B. cot. A — lin. ccof. a — cof. c(in.acof.B — Jn, C fin, B jin. a Jin. B

Forma

e$35 ) so ( $t

Forma quarta.

6$. ry. Haec forma refpicit cafum, quo ex duo- bus angulis, cum latere intercepto, bina reliqua latera de- finiuntur, quae formulae cum variationibus ita fe habent:

p — Hin. A cof. B v cof, A Jin. Beof c

—— cof. A jin. B -4- fin. A cof. Bcof. c cot.a — cáÁÀ ftn. ÁN nod "lus cot. Ji^. B fin. c » cot. — cof. B fin. C 34- (in. Beof. Cof. « 1 cot ( — Jin. C a cof. B fin. C cof. a 37x TEDESOEEORUGT TY WARE Jin, C. ftn. a — eof. C fin, A -4- fin. C cof. A cof. b | cot, 2 — Jn. C cof. ^ 4 cof. C fin. A cof. b cot. € Lr UERTIGUE fin. C fin, b ug Jiu. EY VADER NE 3

6.18. Haec fimplicitas eo magis eft notatu digna, quod refolutio triangulorum rectangulorum | adeo fex for- mulae a fe inuicem prorfus diuerfas requirat. Quod fi enim angulus C fuerit re&us, ideoque c hypothenufa et |a et b ambo catheti, fex formulae .requifitae funt fe- quentes:

cof c — cof. a cof. b

cof. c — cot. A cot. B

fin. a — fin. c fin. A fiue fin. 5 — fin. c fin. B .tang. — tang. c cof. A — — tang. a — tang. c cof. B tang. a — tang. A fin. b — — tang. b — tang. B fin. a

cof. A — cof. a fin. B — — cof. B — cof. b fin. A

quae formulae ex fuperioribus fponte deriuantur, pofito co(; C, — o et fin f — r.

$. r9. Quo autem logarithmi in vfum vocari queant, ex formis fuperioribus aliae eius indolis funt de- riuandae, quae ex factoribus conítent, id quod per certas

transformationes obtineri poteft, quibus ad femiífes tam 1 angulo-

et32 ) sr ( $5

angulorum quam laterum deducimur. — Has autem trans- formationes fequentibus modis fuccin&e inftituere licet.

"Transformatio prima.

Gu ool formula:

L— *cof. qa — cof. b cofe c cof. A — xrmfaugbr fin. c D

commodiífime deriuatur.

Haec transformatio ex primae formae hac

Hinc enim primo fequitur: -—— cof, (5 — c) — cof. a

1 — cof. A — jfin.b ju.c ^-^

DUTELI UE

jin. 5 jm, c -

Hinc cum fit

cce Sc NIaDBes A*, erit x —p cu

Ci sem cof. (b — c) )'e— cof; a: z. tang. ; A*c- c0jJ. a — cof. (6 3- c)? conftat autem effe

cof. P — cof. q — 2 fin. 7—? fin. £1, vnde habebimus

T — Ini bc . fin. Clics -c

tang. ; A — Y

fin.! REIP fin. JEN

'Transformatio fecunda.

$. er. Haec petitur ex formae prioris formula

—— cof. A -i- cof. B cof. C col.a —— . Aun? vnde deducitur 2f —. —cof.(B-r- SD. - cof. a — jun. B jin, ( cof. A -- cof. (B - 2) . ns cof. a — fin. 5 Jin. C. ?

Ada Acad. Imp. Sc. Tom. l1I. P. I. L ficque

eS )s32( iE

ficque erit

tang. ! a? — LL. cof. (B. -4-. C) 4 cof. A.

cof. (B — €) -- cof. A

Cum iam fit cof. P -4- cof. q — 2 cof. P—! cof. *-—*, erit — cof. »a-c—a cof. B9-0--^

kane ro cp t c Em B6 Y C qoe REESE cop EEG

'Transformatio tertia.

$. 22. Hanc transformationem etiam ex prima forma expedire licet, combinandis his duabus formulis:

cof. a — cof. à cof. c — fin. /» fin. e cof. A, cof. b — cof. a cof. c — fin. a fin. c cof. B;

quarum illa per hanc diuifa praebet, cof. a —-—- Cof. b cof. c — Win. bcof. A — fin.Bcof. A cof. b — cof. acofJc —— fin.a cof. B —— Jin. & cof. B

Addatur vtrinque vnitas, fietque

(cof. a -4- cof. Bj (x — cof. c) IE,

fübtrahatur vtrinque vnitas , prodibit

(cof. a — cof: P) (x -1- cof, c) 2558 — 9,

quae aequatio per priorem diuiía dat

cof. a— cof. b — Jin.(B—4) ef. a 4 caf. b cot. i6 — fin.( (Ba- AY

Conflat autem effe

cof, p — cof. q — qd-p Verc Co.p-coq s. 2 PU. yc

vnde colligitur: eis MS (R— &) tang. E z . tang. ok cot. i. p

ez2 )s3( $29

$. 25. Iam in fubfidium vocemus ex proprieta- te. primaria hanc formulam:

D 2 : A —L , vnde dedücimus fin. b — fin-a. —. fin. B — fin. &

jin.5--fi.a —- jn. B-- Jin. A ?

quae epp ad hanc formam: )1—^ cot, ELT

tang. ^—* cot. ^7-* — tang. ?

Quod fi iam AGORA ante inuentam per hanc multi plicemus, prodibit ifta:

fin E ( tang. ity GOf. a : gj ) (fiu 22 fiue extraca radicc fig; — tang. !— cot; 16 — ——,—. fin. —

At vero prior formula per pofleriorem diuif1 dat

b- s tang. — ^ cot. i6 — cof ERA

His igitur formulis refoluitur cafus, quo dantur duo an- guli A et B cum latere interceptgee, et quaeruntur am- bo latera 4 et 2, quod fit ope harum formularum:

Mr fees [mm 3: 2

E EE tang. 2 6. fin. BA 2

Br—AÀ 8 e cof Zr

x ang. ; cof. Te,

126 "T rans-

eS )84( $9 'ransformatio quarta.

$. 24. . Haec fimili modo deducitur ex his for- mulis:

cof; A -4-:cof B cof; C fin) E fin. C col? 5 cof. B -- cof. A cof. C — fin. A fin. C cof. P

quarum illa per hanc diuifa praebet cof. A -i- cof. Bcof, C... fin. Bcof.a —. fin.bcof. a

cof. B-ji- cof. Acof.C —— jin.Acof.b 7 fin.a coJ.b *

Vnde vnitatem tam addendo quam fuübtrahendo fequentes nouae deriuantur aequationes:

(cof. A -4- cof. B) (r -- cof. C) — 765

C. fin. a cof. b Y MT les. —— jin.ib 2a)

(cof. A — cof. B) (1 — cof. C) -s cep * et diuidendo illam per hanc nauciícimur:

cof. A -i- cof. B 1 jm. oem

€of. A — cof. B. cot. ; e fm , fiue

i HA. 2 fin. (b — a)

tang. . tang. ——* — cot. ; C puso t

quae aequatio, multiplicata et diuifa per iítam :

(5E 2

—tane dac cot. * ^

producit

b —a Peek Qp. fins —5

finira * cof 5x

2 GO PESE 2

tang. 2——* — cot. ; C.

quae formulae valent pro

cafu, quo dantur duo latera cum angulo intercepto.

$ 25. Quoniam praecedentium. formarum omnes variationes appofuimus, etiam hos quatuor cafus cum om-

nibus

e5 )s85( S99

nibus variationibus confpectui exponamus. NISI- tete p aptae p

' fin. tang. ; Acc Y ————t—.—

fin, Es ca fg dE ESER

fin. Ee - an (ipu dut ducato

Gus "B-——y z

5.2 fin, 5-E*— 5 fig SEE Re fin. 5-7 — 5 fg, 5t e —« MES T IER xig

z

— cof. Ese er &gof, &-t- P.C

tang." g— Y CRMEN sh co ACE IE o Ec CE

— cof; A Ez. x-B eof A Buc 2

1 eia tang. ; b — Y cof, 29-2—€ Z-* cof Ad b—c 3 2 * 2 ^ — 5 i irai cof. 4-5 —€ cof $t EC tang. B e— CO A d G—Hm cof B-3-C —1 z jd5.; fin bs / eof A tang, ———- — fang. ; € in Paca |tang. ——*cItang.; SEE: n ; m—] i | fin. —À MM pnis tang, c tang, —-2 — tange: g LR B u fin. £275 $ 2 $ ES cof: ee fin. ^ —€ cupti- c tang. ^—- — tang. 1 b SEE ru|tng. ——— -tang.;5 ym. ADEM : visto cof. cel Tin 2-—^ — cops C aries tang. 231-5 - cot. ; uar b c— b fn —— cof. C— EB... H € -— B. — r 2 tang. zx COE. PAR pa-p tang. — —60t;A-—- GERE : EL X fin, 2-5 cot. 4-5 tang, 5—€ — cot. : : : tang aC cob: B muri - Ins COl. z

ea )se( fue

6$. 26. Ex his poftremis formulis iam facile ex- peditur cafus, quem nondum attigimus, quo dantur duo latera cum angulis oppofitis, et vel tertium latus vel ter- tius angulus quaeritur, quorum vtrumque duplici modo fieri poteft. Has ergo formulas cum variationibus appo- namus.

B--A B-- A tang. 5c -- tang, Pc € 17:27 rane ty nrAD pneFof did EONLNOEETI C meuf c CARNET RIS S 2 2 CB 1 C--BEB cof. Y Lix c—b n x y e c5 tang.;4 — tang. — CER: tang. ; a — tang. — cof Cem . 2 . z ATE fin Aot cof. 5-5 tang.:5 — tang. $5—^ — 3. |tang.;Ó — tang. 5 ic 2z A — fiu. 5 cof. 2 a bre (n; 557 pof: $5 :C- BA zc bot.:G —tatp B ie cot.;C- tang. c ;4|cot i g.— c EE b fin, 4 tat E 1 LP C—E 4 2 1 — C c B crat cot. z A — tang. Z fin, £—? cot. 2 A — tang. 2 cof. CAM E J 2 . 2 fin. a -4-c€ cof. 0 -d-c cot, ; B — tang. 4 — 5. |cot. 1 B— tang. 43-5 — — fin. a —€c 2 cof. ü-—6 2

Hoc igitur modo praefens tractatio tanquam fyftema com- pletum totius Trigonometriae fphaericae fpectari poteft.

PHY-

JA PHYSICO- MATHEMATICA.

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235 89 ( $$ LERNEN WENNSENSENENSEWSEWENENENNSWENSNSENSEWENSEU DE MOTV OSCILLATORIO MIXTO | PLVRIVM PENDVLORVM EX EODEM CORPORE MOBILI SVSPENSORVM.

Auctore LB LERO.

$.- 1.

S A A! A" corpus quodcunque, quod libere gyrari Tab. II.

queat circa punctum O, feu potius circa axem hori- zontalem, ad planum figurae, quod verticale eft intelligen- dum, normalem, atque in quotcunque eius punctis A, A/, A^, A! etc. fufpenfa fint pendula A L, A'L', A" TI" etc., quae ergo fingula- motum ofcillatorium recipere poflunt , dum ipfum corpus circa punc&um O ofcillationes peragit; quo pofito quaeritur, qualis motus in hoc corpore et omnibus pendulis oriri debeat, poftquam illis initio motus quicunque fuerit impreífus. Per fe autem manifeftum eft hic non nifi de ofcillationibus minimis quaeftionem effe poffe.

$. 2. Antequam autem in hos motus inquiram, confiderari opportet flatum aequilibrii, in quo corpus cum Aca Acad. Imp. Sc. Tom. III. P. I. M omni-

Eiss s.

e$ )y3o ($53

omnibus pendulis quiefcere poflit. Hunc in fiaem per O ducatur recta horizontalis E O F, et ductis ex O ad fin- gula puncta A, A', A" etc., ex quibus pendula fufpendun- tur, re&is OA, O A', O A" etc, vocentur iftae re&ae O A — a, O A' — a, O A" — a" etc.; tum vero ponantur anguli E.O. A — a5, E O-Al v, iB. O.A" — a" etc.; "has fcilicet diftantias et angulos fimilibus literis defigno , vt, quod de vno dicetur, fimul ad omnia reliqua transferri pos- fit. Porro huius corporis ma(fa vocetur — M, eiusque momentum inertiae refpectu puncti O — M £ £; eius vero centrum grauitatis reperiatur in punco G, pro quo fit diftantia O G — e et angulus EO G —:, qui quidem fo- ret re&us in ftatu aequilibrii, fi de folo hoc corpore effet fermo; verum hic fimui confideramus omnia pendula A L, A! L', A" L'etc., quae fingula fitum teneant verticalem ; ac primo eorum longitudines ita defigaemus: A L —/, A'L/— /', A"L/!-——]' etc., quas tanquam fila grauitatis expertia fpe&amus, quibus appenfa fint corpora L, L', L" etc. Cum iam in hoc ítatu detur acquilibrium , necefle eft vt fumma omnium momentorum refpe&u puncti O nihilo fiat aequalis , vnde oritur fequens aequatio :

Mecof.c-- Lacof. a -4- L'a'cof. o/ 4- L' 2! cof. a! 4- etc. — o.

6. 9. Nunc autem, poftquam hoc corpus cum pen- dulis fuis de ftatu aequilibrii vtcunque fuerit deturbatum,elapío tempore — ; ipfum corpus declinet a fitu aequilibrii an- guló quam minimo — (, ita vt iam finguli anguli a, o/, a" ctc. vna cum angulo e idem acceperint augmentum (D; tum vero fingula pendula declinent a directione verticali finiftrorífum anguls minimis o, o, w^ etc., ac praeterea fint vires, quibus fingula pendula tenduntur T, T^ T" etc. ;

qui-

et )or( $e

quibus pofitis inuefligandum eft, quantis viribus, tam ipfum corpus, quam fingula pendula, ad motum concitentur.

6. 4. Qnuod igitur ad ipfum corpus M, quatenus circa pundum O eft mobile, attinet, id primum a pro- prio pondere, in centro grauitatis G collecto, follicitatur ; cuius vis momentum eft

M. OG. cof. (e2- D) — M ecof. (e -i- QD).

Quia nunc angulus e incrementum cepit (Q, ob hunc an- gulum Q( infinite paruum, erit cof (e 4- D) cof. e — OD fin.e

vnde hoc momentum erit Mecof.ce—M eQ( fin e, quod tendit dextrorfum 1deoque ad inclinationem (Q9 augen- dam, fi quidem pofitiuum habuerit valorem. — Praeterea vcro hoc corpus follicitatur a fingulis pendulis, quatenus fclicee Ba A DO AC LOUAM E. etc, ?vimibusv tT 7 715. 727 tenduntur, vbi fuffüiciet vnicum confideraffe. Igitur ex pen- dulo A L, fi fitum teneret verticalem, oriretur momentum

T.OAfin.OAL-—Tacof. (a 4- QD),

quia fcilicet angulus & incrementum cepit — (Q; quoniam autem hoc pendulum finifirorfum a fitu. verticali declinat angulo e, erit hoc momentum

T acof. (a-3- 53- «) — T acof.« —T a(( 4- 9) fin.

quod pariter ad inclinationem (Q augendam tendit; vnde omnia momenta ex pendulis nata erunt

'T acof.a --'T';! cof o! . FT" a" cof. at - —Ta(Q- )fin.a — 1'a' ((D--«/) fin. a! — T" a" (b 4- «fin. e.

M 2 SU sL

ec; )o2( $5

6$. s. Ponamus breuitatis gratia

T a cof. « -- T' a! cof. à! 4- T" al! cof. al - etc, — P, T a fin. « -4- T! a! fin. a! -- T" a" fin. a" --etc.— Q,, et 'T aofin.a-4- T'a! o!fin. o! 4— T^ a' o" fin. a" -- etc, — €)

ita vt totum momentum , motum gyratorium corporis À accelerans, fit

Mecof.e—Medfin.c--P—QQ— Q0; vnde, cum momentum inertiae corporis M, refpecu pun&i O,

pofitum fit — M &£, principia motus hanc fuppeditant aequationem:

ddO .— Mecf.c—MedQfm.ca-P—oot—ao

2gdt? TIE Mf A tj

Euidens autem eft; quia fingula pendula tantum infinite , P

parum a fitu verticali declinant, tenfiones filorum ipfis

ponderibus L, L', L" fore aequales; vnde, cum fupra pro

ftatu aequilibrii effet

M e cof, e -- L a cof. a -- L' a! cof. a! -- L" a!! cof. a -- etc, — o

erit hic Mecof e-I- P — 0o, ita vt iam habeamus

ddQ —.. Me fin.g — Q.O — o. Exe cg MRR .

exiftente Q —L a fin. a -4- Lo! fin. a! 4- L' at (in. a! -- etc. et Q-—Laufn.a-- L'o'w fin.o! -4- L" a" fin. a!! -- etc,

6. 6. Porro pro motu fingulorum pendulorum de- finiendo vnicum confideraffe fufüciet. «Hunc in finem ex pundo L in axem horizontalem O- E ducatur vertica- ls L P, vt pro pun&o L habeamus coordinatas O P — x et PL — y; tum autem duca etiam verticali 2 À & et ho- rizostali A 2, ob angulum A .Q P — a -4- Q» erit

O o

ec22 ) os ( $52

O a—acof. (a -- Q) et A a—a fin. (a 4: (D). Deinde ob angulum L A2 — c erit Ab--ifin.o et Là —/ cof. a, vnde colligitur OP-xz-acof.(a--Q)--/fin.o—-acof.« —adcpin.a--7u, et^ PL—y;-afn.(a4-Q)--/cof.o— afin. a 4- a cof. a 4-7. $. 7. Vires autem corpus L vrgentes funt primo eius pondus — L, quod tendit ad quantitatem y augendam, tum vero, ob tenfionem fili T, furfum vrgetur vi ZT cof.o— T,

dextrorfüm autem vi — T fin. o — T o; vnde ex princi- piis motus nancifcimur has aequationes:

did XT 5 LE Tl did y. p. arai pr e L Zgamóns5xb hinc, pro x et y valores fubftituendo, habebimus has ae- quationes: ..eddQfm.a-i-1ddo — To et add cof. « A I—Um zgdt? irs L Itrgdiioe —SE TN

ex qua pofleriore intelligitur, tenfionem T" infinite parum

a pondere L difcrepare, quia membrum 523129. * pro in. o

finite paruo eft habendum. Pofito ergo T —L fola aequa-

tio prior nobis relinquitur, quae eft

maid qe tad m

z£dil*^ Tad ps

$. 8. Similes plane aequationes pro fingulis reli- quis pendulis reperiuntur. Verum quo omnes has aequa- tiones concinniores reddarnus, ponamus brcuitatis gratia

afin.e — Db; alfin.a! — b; al fin. a! — b! etc.

qCc0Í.a— €; a'cot. a! — 6 "alea w! 3zpl^s etc.

M 3 fi

et )os( $e

fic enim erit Q—L2?--LI!P--L" bp! 4- L jh 4. ete, et G-—L25o--L'5'o -- L' b! y! —— etc.

vnde erit primo pro motu ipfius corporis

dd —..MeQíms:—oo-2o. gdi1?"- Mkk ? pro fingulis autem pendulis erunt aequationes T. —-baa4Q--ldduw-—.. o; ee ne ilice fidi QS 5. 1. T Q cz uu Hu Ii. b. -eddier d d o! TE UU s —b" dà Q4 r^ ddqg'^. ' m IV. (T4 diutt-o cs ul;

quibus aequationibus totus motus determinatur. Pro fta- tu autem aequilibrii recordandum eft effe

Mecof.e-- Le -- L'cf 4- L" P A LU (3! -- ete; — o,

6. 9. Quia in his omnibus aequationibus incogni- tae (D, o, o^, «e, w/! ctc. vbique vnicam tantum tenent dimenfionem, pro earum refolutione methodo iam faepius adhibita vtamur, vnde primo quidem tantum folutioncm fpecialem reperimus, qua finguli motus inflar pendulorum fimplicium abfoluuntur. Pro angulo ig;itur (D f'atuamus, pen- dulum fimplex, eius motui ifochronum, effe — r, ita vt fit Sun-- 2; vnde deducitur integrando (p F fin (f 4- £V 55); vbi F et f funt conftantes arbitrariae per integrationes in- gteffae; auentitas autem r etiamnunc eft incognita ex reliquis motibus determinanda, pio qua cum plures eru- turi fimus valores, iis coniungendis folutionem generaliffi-

mam completam adipifcemur. 6. 10.

e535 )es( $e

ro. Jn noftris igitur aequationibus vbique loco formulae 249. fcribamus eius valorem — .; tum vero

2gdi* ftatuamus a —- BB il: pip, ut! — P dy etc, vt fit dde — bQ'.ddw —— d$ dde — .W69 ec agdi$ r? zgdi?^ — ToaMugdi T. ? "

quibus fubítitutis omnes noftras aequationes per angulum (Q diuidere licebit, hincque pro fingulis pendulis fequentes

orientur aequalitates : ; L 5&—5!--—b, vnde fit b — —— r l—r Vie eoe ann ded se HI. ADT —E- p — —pt "^n .p!— AL ; "rid em erc: etc. etc, Aequatio autem pro motu ipfius corporis euadet ——9. —li M e(ji.t— 040—290 Mi ? vbi cum ft

Q—L2?--I!)! -- L' L! 4- L" 5! -- etc, et

g —L5bdQOQ--L' bd -- IL" 2" b!d -- etc. his valoribus fubftitutis, fi praeterea loco 5b, b', b" etc. va- ]ores ante inuenti furrogentur, orietur fequens aequatio:

— Mh QO.bbB vy IIebpe | oL —Mefin.e—Q—5— —L— — wu ete

ex qua aequatione quantitatem incognitam r erui oportet.

$. rr. Quo hanc aequationem ad formam com- modiorem redigamus , totam per M efin. e -j- Q. deuida- mus, ponamusque breuitatis gratia

RMAR KT. M e fin, € 2- Q, — — UU

tum

w$5 )o6( $9

tum vero 1581.1. DE DUM — ql iE gl: ete Mejt--Q ? Mefim.td-Q" X ^? Mejfm.t-c-Q —- ) * et impetrabimus hanc aequationem : E n n UC go nid Mic a ese ci tM ne aor 1 aee

quae aequatio, in ordinem redacta pro incognita r, afcen- det ad gradum "vnitate altiorem quam eít numerus pen- dulorum.

$. xz. Totum ergo negotium reductum eft ad re- folutionem aequationis algebraicae , cuius radicem r erui opportet; vnde fi radix quaecunque r fuerit inuenta , ex ea folutio particularis noftri problematis deriuabitur, quae fequentibus formulis continebitur:

QD —F fin. (f 4- £Y 55, u — £5 fin. (fA- £V 28), o! SPP p (yu iy ye), uu— fca (EV

"TRES nes Ee fin. (f -4- z Y *5); etc.

pü—r Sicque hoc caíü omnes ofcillationes, tam ipfius corporis, quam fingulorum pendulorum, erunt regulares et inter fe ifochronae, dum omnes refpondent pendulo fimplici, cuius longitudo — r, vnde tempus vniuscuiusque ofcillationis eribi m X- 2E $. 15. Quotquot igitur quantitas r habuerit ra- dices , ex fingulis talis motus regularis oriri poteft ; finguli autem per fe tantum fpeciem motus fpecialiffimam comple&untur. At vero fi omnes iítae fpecies inter fe quo- modocuüque coniungantur, folutio inde refultabit genera- liffüma, quae omues plane motus, quos hoc fyftema reci-

pere poteft, in fe complectitur, ita vt, quomodocunque to- tum

et22 j o7 ( $e

tum fyftema initio fuerit agitatum et de ftatu aequilibrii deturbatum, verus motus, qui fequetur, affignari valeat.

$. 14. Vt hinc igitur iftam folutionem maxime generalem adipifcamur, omnes valores ipfius r per fequen- tes characteres indicemus: a, 5, c, b, € etc. pro coefficien- te autem F fcribamus fucceffiue litteras Germanicas maius- culas: 9(, 35, €, Q3, & etc. atque formulae folutionem ge- neralem praebentes erunt:

Q — 3C fin. (f i 2 Y 55) 4-85 fin. (f'-- £ Y 8) -1- € fin. (fi! -3- : Y *5) --. etc.

a — 1S fn. (f a £Y 58) d- [5 fin. (f! a7 £Y 58) -- £3 fin. (fV -i- t Y 25) -4-. etc.

o 2E o. (fp c 35) e B Gn (EY f) ce ER fin. (f! 4-2 Y 55) 47. etc.

vll — L5 fin. (f-4- 2 Y 5$) 4- ($7. fin. (f -A- £ Y 5) -r EL. fin. (f -4- 2 Y *8) 4-. etc.

aic dn. "Mgieh rs TEM I fin. (f! --:Y 5€) 4r LL fin (f^--r:Yy *5)-r- etc.

etc. etc. etc.

Hic autem fupponitur, omnes ipfius r valores effe inter fe inaequales; fi enim duo pluresue inter fe effent aequales, folutio haec non amplius foret generalis, fed peculiari ar- tificio opus foret, vt inde folutio generalis obtineatur.

$. 15. Quod quo clarius appareat, ponamus pen- dulorum numerum effe — A, et cum peruenerimus ad Acla Aead. Imp. Sc. Tom. III. P. I. N hanc

-G5 )os( $5

hanc aequationem:

4 n Qm T—I-—Qq]1L-—14——u5—-— ett.

l—r I—Tr I"—r

fi eam, ad fractiones tollendas, multiplicemus per produ&um omnium :denominatorum r(/—r) (/—*r) (/—r) etc. prodibit aequatio ordinis A -- r, fi quidem omnes deno- minatores fuerint inaequales, quod euenit fi omnium pen- dulorum longitudines 7, //, // etc. fuerint inaequales, At fi duae fint inter fe aequales, puta / — 7, aequatio illa fatorem habebit / — r, vnde radix prodiret r — /, qui ta- men valor in noftris formulis locum habere nequit. Si enim ef- fet à — /, valores angulorum «o, o, «/ fierent iufiniti; quod incommodum multo magis turbaret , fi plura quam duo pendula haberent eandem longitudinem; vnde his cafibus aliae radices pro r admitti nequeunt, nifi quae ex noftra aequatione refultant, poítquam ea fuerit diuifa per /— r, vel(7/— ry, vel (/— ry etc., prout plura pendula fuerint inter fe aequalia; quare, ob diminutum numerum valorum ipfius r, non amplius tot conftantes arbitrariae in calcu- lum introducentur, quot requiruntur ad folutionem gene- ralem reddendam.

$. 16. Quin etiam apparet, fi effet à! — ^, tum valores angulorum « et o! datam inter fe habituros effe

e

rationem , fcilicet vt & ad 5, fiue valores fractionum 5 et z- inter fe futuros effe aequales; quod fi vero infuper ]! — | — |, hi tres valores: 241, -5 et; ünter.íe forent aequales , ficque haec pendula fimilem motum ofcillatori- um effent habitura. Neque ergo haec folutio amplius effet generalis, cum iam in ipfo initio his pendulis diuerfus motus imprimi poffet; quocirca his cafibus formulae no-

ftrae

e5$ lo9( $53

ftrae inuentae quadam correctione indigebunt, qua tot no- uae conítantes introducantur, quot ad íolutionem comple- tam poftulantur. Has igitur correciones omnino neceffe erit inueftigare.

$. 17. Ponamus igitur duo pendula longitudine inter fe effe aequalia, fiue effe / — /; hinc autem duae acequationes differentio differentiales primae erunt:

badQ--iddo.—... 2 E di? ——— Qo, et ULddcoó-r-1ddvw -—— "E — o —u; 2 g dl

vnde, fi pofterior per /! diuifa a priore per P diuifa (ub- trahatur, remanebit:

i ddo ddw L—-—-— [^4 TA b [4 ) dde

Hinc fi ponamus fir [^] [m 9. -p 9 — ap et j-— j—2 4, vtfat

$-p-q et 5—p—4 ! litera 9. manifefto exprimit. ydiptes illos aequales , qui ex fuperiori folutione pro $ 6b - prodierunt, ita vt nunc ad alterum quantitas g addi, ab vilia vero fubtrahi de-

beat. Aicanang autem inuenta nunc induet hanc formam : 124 dim T 2ddq-——294, fue 774 —-—4 qua motus penduli fimplicis longitudinis — / exprimitur, ita vt fit q — Sy fin. (2-2- 1: Y ^5). Hinc ergo quaefita cor- re&io pro cafu, quo //—/, in hoc confiftit, vt, fi denotet

Q

valores fupra exhibitos pro — et 5, nunc reuera fit m o—p--Sfn(id-rY f) et E Ip-SÉün.(i-J-:YV i); N 2 ficque

e$35 ) 100 ( &&3e

ficque. duae nouae conftantes 2j et 7 in calculum funt in- troductae. Reliquorum autem pendulorum pariter atque ip- fius corporis motus iidem manent ac fupra funt inuenti.

6. 18. Sint nunc tria pendula 7, /' et /" inter fe aequalia, tum praeter duas füperiores aequationes accedit nunc infuper tertia

UpPrdd(G-alddut.—.

z — ) ? 2gal Nunc igitur ex prima et tertia colligitur: ] (ddu Ud — m 1p Seun6 e-)——t5«- at vero ex fecunda ac tertia l [£555 quy enm [^ gd Wc pud es PRU kd PT

Hinc, fi vt fupra. operemur, reperiemus fimili modo $ » — S fin. (4- £ Y 5£) B " —9y fin. (/ 4-2 Y *;) et m em C (rs y 28) quarum ergo trium formularum fumma "üihilo debet effe aequalis, vnde fequitur fore

cy^fin, 7 137 Sy fin. ?! 2t- Syn, i! 3 otiet

O3 cof. 4 -l- 2» CoL € — 1-729. COINS e tO

vnde numerus conítantium ad quatuor reducitur. — His

notatis, fi 5» denotet quantitatem, quae fupra pro formu-

lis ?, €. 9^ fuit inuenta, nunc, correctione adicéta, habc- bimus LÀ ce ?-—p-24-3 & fin. (i -4- £ V. *£) v ozzp-r--yin (ary nf 2

" — p 4- Sy! fin. ( 4- t£(Y 58),

et '

vbi

et32 ) ror ( $82

vbi conftantes ita comparatas effe oportet, vt fumma tri- um harum formularum fiat aequalis 3 f.

$. 19. Eodem modo ratiocinium erit in(tituen- dum, fi plura pendula inter fe fuerint aequalia; ita vt nunc. fuper hoc problemate nihil amplius fit defideran- dum, quotcunque etiam pondera fuerint appenía. ^ Atque hinc ctiam clari(lime elucet fummus vfüs faecundi(limi prin- cipii Illuftr. Daz. Bernzoulli, quo omnes huiusmodi motus oscillatorios femper ex aliquot motibus pendulorum fimpli- cium compofitos effe ftatuit. — Imprimis vero etiam hinc patet, quam egregie iítud principium cum primis Mecha- nicae principiis: confpiret, atque adeo ex iis immediate deduci queat. Pulcherrime fcilicet hoc principium con- nexum eít cum ea conditione, qua in omnibus huiusmo- di motibus definiendis peruenitur ad eiusmodi aequationes differentiales fecundi gradus, in quibus omnes incognitae vnicam vbique habent dimenfionem, ita vt femper. den- tur eiusmodi fíolutiones fpeciales, in quibus omnes inco- gnitae confítantes inter fe teneant rationes, quo ipfo os- cilationes regulares ac fimplices innuuntur. Tum vero ex omnibus his folutionibus fpecialibus per ipfam .natu- ram huiusmodi aequationum folutio generalis et completa formari poteft.

$. 20. Quanquam autem haec folutio maxime eft generalis, et omnes plane cafüs in fe comple&itur, fiue omnia pendula fint longitudine aequalia fiue inaequalia, fi quidem pro aequalibus correctio | expofita adhibeatur: tamen dantur infuper cafüs, qui peculiarem refolutionem requirunt, qui funt: quando pendula ab ipfo axe horizon- N 3 tali

L EM

tali EOF fufpenduntur, veluti fi pun&um 4A cadat in iftum axem, ideoque angulus A O E —« euanefcat; tum enim diítantia 5 — a fin. a euanefcet, vnde expreííio noftra, pro angulo c inuenta, nullum plane motum huius penduli indicabit, cum tamen vtique motum recipere queat. Hoc autem cafu aequatio differentialis pro hoc pendulo non

amplius inuoluet angulum (p, fed erit fimpliciter

Ld drei 3 dus 2 gd? e

vnde patet, iflud pendulum motum ofcillatorium regula- rem recipere, perinde ac fi ex puncto fixo effet fufpenfum, ita vt eius motus neque ab ipfo corpore M, neque a reliquis pendulis afficiatur. Ac viciffim quoque hoc pen- dulum nihil plane conferet ad motum corporis M; quia enim 5 — o, in quantitatem Q plane non ingreditur; fi- mulque etiam quantitas 7 euanefcit; vnde patet ab hoc pendulo motum corporis M nullo modo perturbari. Eo- dem modo res fe habebit, fi plura pendula ex ipío axe EOF fuerint fuüfpenfa, tum enim fingula libere fuas os- cillationes peragent, neque vllo modo in motum reliquo- rum pendulorum, neque ipfius corporis M effectum exe- rent, quorum igitur motus perinde fe habebit, ac fi illa pendula prorfus abeffent.

INVESTI-

et ) ros ( $s-

INVESTIGATIO MOTVVM. QVIBVS LAMINAE ET VIRGAE ELASTICAE CONTREMISCVNT.

Auctore L. EVLERO.

uanquam hoc argumentum iam pridem tam ab Illu-

fif. D. Bernoulli, quam a me fufius eft pertracta- tum: tamen quia illo tempore neque principia, vnde hu- iusmodi motus determinari opportet, fatis erant exculta, neque ea Analyfeos pars, quae circa functiones binarum variabilium verfatur, fatis explorata, actum agere non vi- debor, fi nunc idem argumentum accuratius inueftigauero, Praeterea vero etiam tot diuerfa motuum genera in huius- modi corporibus locum habere poffunt, quae accuratiorem enucleationem .poftulant; quamobrem hic operam dabo, vt vniuerfam huius rei difquifitionem ex primis principiis dedu- cam, et clarius, quam quidem ante eft factum, proponam. Imprimis autem omnia diuerfa motuum genera, quae qui- dem occurrere poffunt, dilucide fum expofiturus. Quo igi- tur omnia fiant magis perfpicua, duo praemittam Lemma- ta, quorum altero ftatus aequilibrii, altero vero motus

virgarum vtcunque elafticarum et a potentiis quibuscun- que

Tab. Il. Fig. 3.

wf35 ) re4 ( $f99e

que follicitatarum definietur ; vbi quidem tam virgam quam potentias perpetuo in eodem plano fitas effe affu- mo. Demonf(ítrationem autem horum lemmatum pon ad- do, quoniam eam alio loco iam dedi, atque adeo etiam ad eos cafus, quibus motus non fit in eodem plano, ac-. commodaui.

Lemma I.

6. rx. Si virgae wtcunque. elaflicae E Y F. in fin- gulis elememiis poteniiae quaecunque fuerint applicatae, fla- tum aequilibrii definire.

Solutio.

Referatur virga ad axem fixum O V, et pro eius puncto quocunque Y ftatuantur coordinatae orthogonales OX-xet XY-—y, portio autem virgae E Y.—5, vt fit dgi-—dx--dy;tum vero elementi Y y — ds fit mat- fa — Sd 5$, ac in eodem loco elafticitas abfoluta — V , ita vt, pofito radio ofculi — r, vis, feu potius momentum elafticitatis fit — 7; hincque, loco r fubftituta formula dif-

ferentiali, iftud momentum erit —.V(dayddx-—dxdd»y)

vbi fcilicet nullum differentiale pro conftanti eft affum- tum. Deinde omnes potentiae, quibus hoc elementum Y y follicitatur, refoluantur fecundum directiones coordinatarum, * ac ponatur vis inde fecundum directionem Y P refultans — P4s et fecnndum directionem Y Q — Q5: quibus pofitis pro ftatu aequilibrii requiritur, vt fit

fdyfPds—fdx/Qds-V (22222 4de83»).

d 53 Praeter

wt32 ) 105 ( d

Praeterca vero tenfio, qua elementum Y y íecundum tan- gentem antrorfum verfus E tenditur, erit

—-(/P4s—(12/Q4s.

Scholion.

6. 2. Hic affumfimus virgam in ftatu naturali ia directum effe extenfam, ita vt in hoc flatu radius oícu- li vbique fit infinitus. — Sin autem virga naturaliter iam fuerit incuruata, et pro eius puncto Y radius oículi po- natur — e, tum, quia vis elafticitatis eatenus tantum fe exferit, quatenus ifta curuatura in ftatu naturali fiue auge- tur 1iue diminuitur, pro ftatu aequilibrii habebitur iíta aequatio :

fdyfRBds—fdxfQds-— V (8xadz-1d2dd»y) — V.,

d s$ p Caeterum quia formulae integrales /P 45 et /Q d s de- notant fummam omnium virium elementarium , portioni virgae E Y — s applicatarum, manife(tum eft, fi virga in ipfo termino E a viribus finitis follicitetur, eas fimul in his formulis integralibus comprehendi debere,

Lemma 2».

$. s. Si eadem. virga elaflica, quam deferipfimus, quomodocunque [uper eodem plano fuerit proiefa , eius mo- ium inuefligare, boc efl, eius fitum et figuram ad quoduis iempus. definire.

Solutio.

Maneant igitur omnes denominationes, vt modo funt conftitutae, atque elapfo tempore — : (perpetuo in minu- Aüla Acad. Imp. Sc, Tom. 11. P. 4. O tis

e$ ) o6 ( $59

tis fecundis exprimendo) teneat virga figuram in tabula repraefentatam, ita vt portioni E Y — 5 refpondeant coor- dinatae OX — x et X Y —y, quae, quia cum tempore continuo variantur, hic tanquam functiones duarum varia- bilium 5$ et 7 fpectari debent. Hinc igitur colligantur for- mulae (£52) et (122), quibus vncinulis ( ) indicatur, in vtra- que differentiatione folum tempus 7 variabile effe affum- tum, arcum vero $ pro confítante eífe habitum. — Hinc iam ex viribus elementaribus, virgae in fingulis punctis applicatis, formentur fequentes valores:

p-—p-—2() et Ds a)»

28 2 BIN

vbi g denotat altitudinem lapfus grauium in vno minuto fecundo; atque ex his ftatus virgae pro hoc tempore ift- hac exprimetur aequatione:

fdy [P de - f da QUds — V, (sss casae mo fi quidem virga in ftatu naturali iam ita fuerit incurua- ta, vt eius puncto Y conueniat radius osculi e; vnde fi virga fücrit naturaliter recta, ob e — co terminus poflre- mus Y omitti poterit. — Denique, quod ad tenfionem in fingulis punctis attinet, erit fimili modo quo fupra tenfio in y verfus E vergens

— Gf P!d s — 2)/ Q4 s.

His igitur formulis, fi quidem eas euoluere licuerit, totus virgae motus determinabitur.

Problema T.

"Tab. H. €. 4. Si virga datae longitudinis EF, naturaliter (Fig & /re(la et vbique 12m .acqualier. craffa quam. | aequaliter. ela-

fli. a

el ) rey ( Se

lica. oteunque. contremifcat , aequationem. inuenire, qua omnes motus, qui in virga locum babere pojfunt , .coniineantür.

Solutio.

Referat igitur. E F virgam noftram in ftatu natürali conflitutam, cuius longitudo fit E F — «6, «eiusque craffi- ties — cc, ita vt eius volumen fit acc; ac per talia vo- ]umina tam mafífas quam vires follicitantes exprimamus, ita vt, fi dicamus quampiam vim effe — ^, ea tanta fit intelligenda, quantum foret pondus eiusdem materiae, ex qua virga conftat, fub volumine 2^ contentum. . Hinc fi in virga capiatur. portio. E X — x — 5, quandoquidem in vibrationibus minimis arcus $ perpetuo abícifíae x ae- quari poteft, elementi X x — 25 maffüla erit —ceeds, ita vt, quod fupra vocavimus S, hic nobis fit — ec. Tempo- re autem elapfo 7, ob tremorem conceptum .tranfierit puncdum X in Y, pofito X Y — y, et quia vibrationes quam minimae ftatuuntur, iíla applicata y prae abfciffa EX--x, fiue arcu $, quafi euanefcet; ficque idem puscum x alium motum habere nequit, nifi in dire&ione applicatae X Y; vnde motus fecundum directionem x erit

nülüs, ideoque 477 — o; atque hinc ob 24 x — o, ra- dius osculi erit d 53 ALT $251. —ázddy7- ddy?

praeterea vero erit e — oo, Quod autem ad elafticitatem abfolutam .attinet, ea pro fimilibus virgis recte quadrato craífitiei reputatur proporrionalis, ita vt fit V vt c*; vn- de ftatuamus V — 5 «*, vbi 5 denotat quantitatem ab in- dole materiae virgae pendeutem, et quia 3 momentum

O 2 virium

e242 ) ros ( Side.

virium exhibet, vis autem nobis per volumen denotatur, formula T quatuor dimenfiones lineares complecti debet;

vnde patet, literam 5 certam longitudinem referre.

Quia porro virgam a nullis viribus elementaribus vrgeri flatuimus, erit tam P — o quam Q-—o0. Interim tamen, fi fümamus virgam in termino E duas fuftinere vires, alteram in direcione EF — E, alteram vero in directione E f — F. fieri debebit

fPds-SE et fQu as ——F,

Cum igitur ob S— cc poni oporteat [Es S cie Vd dia EE dd yy i '

pip aues em P, ob (522) — o, fr /P'dg —E; tum vero erit

Q'— Q— (£52), hincque porro

prem d d

[Quas —F teas (i22),

His igitur valoribus fübftitutis aequatio pro motu virgae induet hanc formam: ddy(.— — bctdd

Ejg3-—Fx-zE faxfds (52) — 222.

Pro tenfione autem, qua puncdum y verfus E tenditur, ha- bebimus — E — (27) y) fQ'ds, vbi, quia £2 quafi euanefcir, tenfio fimpliciter erit — E, vnde cafu quo E —o tenfio vbique etiam erit nulla.

Differentiemus igitur aequationem pro motu in- ventam, fumto folo elemento 7 s — d x conftante, fietque Wb, LU nml am T eec r ddy)— ,.bediy Edy—Fdx--dsfds(75 rm zt et per 2s diuidendo E22 —F4-Zfds(ue) -- DIET.

rou &. s5

haec

et35 ) 109 ( $s&3e

haec aequatio denuo differcntiata ac per d diuifa pracbe- bit iftam:

Eddy ccfíddy y. b c* d*

tr d PEE ete z( i) RR $ quae, quo difti inter binas variabiles $ et £ clarius ob oculos ponatur, more folito ita repraef:ntetur:

dd e yz ddy d* uec ue pile Pr ts

:E d s*

Corollarium I.

$. $. Quod (i ergo virga a nullis plane viribus externis extendatur, ita vt fit E — 0, aequatio motum virgae determinans erit

sie] m Ae (T), fiue 1 m 4 - (552) —-—bee(g2)

ita vt totum negotium huc fit reducum, quemadmodum ifta aequatio differentialis quarti gradus integrari queat; vbi quidem in limine confiteri cogimur, eius integrale zullo adhuc modo inueniri potuiffe, ita vt contenti effe debeamus in folutiones particulares inquirere.

Corollarium IF.

€. 6. Sin autem accedat vis litera E indicata,

eius duo cafüs perpendendi occurrunt: prouti virga ab ea vel extenditur vel comprimitur. Talis enim virga, quate- nus eft rigida, etiam vires fuflinere poteft, quae ipíam comprimere conantur, cuiusmodi vires eo maiores efle poffunt, quo maior fuerit elafticitas; fi enim effet perfe- &e flexilis, nulla plane vis comprimens admitti poffet, vnde pro quouis elafticitatis gradu indagandum: erit, quan- tam vim comprimentem fuftinere valeat, antequam in- Q à curue-

"Tab, Il. Fig. 5.

wc35 ) Tm Oo ( &cOcn

curuetur, quam quidem quaeftionem iam olim folutam dedi, vbi vires, quas columnae fuftentare valent, fum per- fcrutatus. Quod autem ad alteram vim extendentem atti- net, ab ea virga, quafi effet chorda perfecte flexilis, ex- tendi poterit, ^ Concipiatur fcilicet eius termino E filum feu chorda alligata, quae per foraminulum o fulcri immo- bilis zz 7 traducta circa trochleam T certum pondus P ha- beat appenfum. Hoc igitur modo virga non folum ob propriam elafticitatem, íed etiam ob pondus tendens P motum tremulum concipiet, vnde fonum edet mixtum feu medium quendam inter fonum virgae elafticae pro- prium et fonum chordae tenfíae.

Corollarium III.

.6. 7. Ponamus igitur huiusmodi vim tendentem

effe — cc b, et quia in plagam contrariam dirigitur, erit E-—-—ccb, vnde pro ifto motu habebimus fequentem aequationem : Lp (dà y Ay: on bete AUD Lo] b 22 -— b cc(t2),

quae ergo aequatio, fi fuerit 5 — o, quo cafu elafüicitas euanefcit,, motum chordae peifecte flexilis exprimet; erit enim

2,3) es (082),

quemadmodum contra, fi 5 — o, orietur fonus virgae elas- ticae proprius, fietque

r^ fidid yx d* y. ^

dg ccc P LEITE

et fi cafus ex vtroque fuerit mixtus, habebimus

ze) b CR) be e(22)-

Scho-

et2 )arr( $e

. Scholion.

$. $. Quoniam igitur vires fecundum ipfam vir- gae dire&ionem agentes, quibus ea vel extenderetur vel comprimeretur, ad aequationem finalem magis complica- tam perducunt, eas iu hac tractatione penitus remouea- mus, et noílras inueíligationes ad eos tantum motus re- ftringamus, quos virga, fiue a nullis viribus follicitata, fiue a talibus tantum, quae in virgae dire&ionem normaliter agunt, quas fupra litera F defignauimus, recipere poteft. Ipfam vero virgam hic perpetuo naturaliter rectam et per totam longitudinem vbique aequaliter craffam et aequali- ter eclaíticam ílatuamus, easdem denominationes retinen- tes, quae hactenus funt defícriptae. | Ar quia aequatio fi- nalis per duplicem differentiationem eft orta, etiam prae- cedentes aquationes, quae ad eam deduxerunt, confiderafíle iuuabit, quae funt:

dODng: uuu qM eu ct (2). 1I. mee Pre -— ig Wr. e (222) — —5«* m ez D) -bee(

vbi in priores adhuc vis F, qua virga normaliter vrgeri potett, ingreditur, cuius ratio erit habenda, quando virga non omnino eft libera, fed in vno pluribusue punctis qua- fi. ope ftyli eft fixa, circa quem tamen fit mobilis; vnde ftatim intelligitur, virgam infinitis modis per tales ftylos affigi poffe, quibus cius motus diuerfimode temperetur; quos diuerfos cafus in fequentibus accuratius euoluemus.

Proble-

ec; ) r2 ( $9 Problema II.

$6. 9. Cum virga noflra infinitis modis. contremifce- vb queat, eos cafus in genere inuefligare, quibus eius motus cibratorius euader regularis, feu, minimis ofcillationibus pen- duli cuiuspiam. fimplivis. conformis.

Solutio.

Ponamus igitur longitudinem iftius penduli fimpli- plicis — &, atque vt motus virgae pari modo peraga-

» fdidiyY o mag ee i tur, neceffe eft vt fit. — (72) — — 2; in qua aequatione

cum folum tempus ? pro variabili habeatur, longitudo vero f vt conftans fpectetur, per duplicem integrationem pervenitur ad iftam formulam generalem :

J —M fin. (£ 5- t V *£),

vbi quantitas, M non folum eft conftans, fed etiam fun- &ionem quamcunque ipfius s defignare poteft. Cum igi- tur per acequationem finalem fit

:x (522) — SUR b 6€ ( a8)»

erit étiam 5 cc(9*?) — 2; in. qua aequatione fola quanti- ds "A ? i q

tas $ pro variabili affumitur, cuius ergo integrale inuefti- gari oportet. Quod quo facilius fieri poflit ponamus bre- vitatis gratia P cck—f*, vt remotis claufulis iam fit Vj dee um cui fatisfieri poffe euidens eft huiusmodi valo-

re: y — e, - Quia enim hinc fit

[i P9 E As SEU AEn zu rnA eM, d*y — * gs,

aiu ds*

his fubílitutis prodit ifta acqualitas: 1 — A*f*, fiue n

«232 ) 115 ( $825

A*-—4, vnde fequentes quatuor valores pro litera A eli- ciuntur, fcilicet:

IA jj RuXE:j3 9. X c Yr 4M.AI— v ;

quibus valoribus inuentis conflat, eos ctiam vtcunque combinatos fatisfacere, ita vt ftatuere queamus

$y—1 —SYy—t

s —S$ y-—at!-r-ge^ -- ye. -ràe 7)? quae forma, cum quatuor contineat conftantes arbitrarias, wtique continet integrale completum noftrae aequationis, Notum autem eft bina pofteriora membra imaginaria rc- duci ad finum et cofinum anguli realis *. Hinc igitur

$5 multiplicando per communem factorem N, qui, ob tem-

pus 7; conftans affumtum, pro functione temporis quacun- que haberi poteft, habebimus s

yz N(aei Qe? -- y fin. 2 24- 3 cof. 1); qui ergo valor ante inuento y — M fin.( -- £ V *£). ae-

qualis reddi debet, id quod facilime praeftabitur fta- tuendo:

N — C fin. (4 -1- 2 Y *£) et

s E E: T A s MzzC(ae!-r- 86^ -r y fin. - -- 8 cof. 2), fic enim vterque valor reducetur ad iftam aequationem:

$ — $ NC (fin. (Z4 t Y 2,8)) (ae* -- Qe -F'y fin. E à cof. 7), Vbi iam literae. C, a, Q, ^j, 8, cum angulo Z denotant Véeras quantitates conftautes pro arbitrio accipiendas; quo- modocunque autem accipiantur motus virgae femper ita

€iit comparatus, vt congruat cum ofcillationibus penduli «cla Acad. Imp. Sc. Tom. Il. P. I. P fimpli-

«53 ) sr4 (. $83

fimplicis, cuius longitudo eft — X, vnde tempus cuiusque vibrationis erit — c V vi expreffüm in minutis fecundis, hincque porro numerus vibrationum vno minuto fecundo editarum, erit — 1345, qui numerus etiam pro menfura foni, quem chorda edet, haberi folet.

Corollarium - t.

$. 10, Formulae illae exponentiales, perinde ac

fnus et cofinus, commode per feries infinitas exhiberi poflunt, quae ita y habebunt:

a(r4- £4 S.S 4 - Em x Ez etc.

naf lonia : IR ADIETES $5 — — LL — etc. T 42m C fin. (5o: Y: 58) ga P 1,2] f tenu FOU, EX" fi Medests cB - etc. ud TL ELE etc.

Hinc igitur, fi breuitatis gratia ponamus jzCfn.(Z--:V*8)S, erit per feriem infinitam S— (a -4- 8-49) 3c (a — 8 y) 7 E (a 8— 9) ni Rep EIC g-— v) exi -- (a4 84-9) —— dU ay E t (a—8-- y) —À RENE t etc. Hae igitur feries co magis conuergent, quo maior fuerit quantitas f prae arcu s; vbi recordemur effe fzY beck,

ita vt fimul IQ og dinem penduli fimplicis £ in fe com- plecatur,

- Corollarium 2.

6. rr. Tnuento valore ipfius y, eius quoque valo- res per differentiationem: eruti affignari poffunt: reperietur autem

ep arg ( ie autem (£2)2 $ fin. (Z4- t Y*8) v5 867 4- col; — 81m. 5) GS fin.(Z --: Y :5) (se? Be? —y n. tB cof sj

ds?

(22) € fin. (Z 2- 1Y *£) (xe? — e? —"y cof. 7.--3n. 5.)

P3) £ fin-dd- tV 35) (ae) -Fge7 "ry fin. 7.9 cof. 7)

Corollarium 5. $. 1e. — Quod fi autem tantum tempus : variabi- le accipiamus, ipfum motum cognoícemus, quo fingulae virgae ciebuntur; namque celeritas, qua virqae punctum X . sy . d in dire&ione X Y. mouetur, eft (72), quae ergo per va- lorem inuentum erit

3 -$ dyy—— CV 2£ U i £ m —— 4 rst (sy 3ENS cof. (5-- £V *8) (ae? -- e? Jy fin. 7-0 cof. 7); et quia incrementum celeritatis, per elementum temporis

d; diuifüum , praebet accelerationem , erit ea S

| (53) z 5g in. (£c £V 5) (se -He7 --xfin. *-3cof. 5); ex quibus formulis perlpicitur, quomodo RU EUM, bres

tionibus praefcriptis fatisfiat.

Scholion 1.

6. r5. Quanquam igitur hic tantum motus vi- bratorios regulares €ontemplamur: tamen ob ingentem Quartitátém — cosflantium | arbitrariarum . numerum infinita varietas loeum haberé poteft, prouti iftae conftantes aliter atque aliter determinantur. In hoc autem negotio impri-

P2 mis

e$ ) x6 ( $i

mis ad ftatum virgae eft refpiciendum, "vtrum ea perfe- ce fit libera et nullis plane. viribus coerceatur, an vero alicubi fit fixa vel ope vnius pluriumue ftylorum. Sta- tim enim ac virgae ftatus fuerit definitus, etiam con(ítan- tium 2, Q, '*y, à, ratio non folum perfecte determinatur, fed etiam 'obtinebitur aequatio, ex qua valorem quantta- tis f determinare licebit, hincque igitur ipfa penduli fim- plicis longitudo & elicietur. — Praecipue autem in hoc negotio ad totam virgae longitudinem E Fa, cuius hac- tenus nulla ratio eft habita, refpici oportet. Quod fi au- tem nullas alias vires F admittamus, nifi quae virgae in vtroque termino fint applicatae, ftatus vtriusque termini triplex occurrere poteít, quos igitur cafus hic euoluere conuenict; vbi quod determino E definiemus fimul pro altero F intelligi debet.

I. Primus igitur cafus efto, quo virgae terminus E. plane eft liber et a nulla vi coercetur; tum igitur pofito 5— 0, tribus aequationibus fupra ($. 8.) memoratis fatisfieri oportet, vnde, quia vis F — o et vtrumque iutegrale

d d y z ddy fds(£22) et.fdsfds (777) perpetuo ita accipi fupponitur, vt evaneícat pofito 5—o,

: x SOT od dd9Y — ^. ex prima. pro termino E, vbisco, Dpoitet effe (22)— 05 ex [fecunda autem aequatione nafciur ifta conditio:

(23)— 0, ita vt hic ftatus duas determinationes poftulet.

1L Secundus cafüs efto, quo virgae terminus E ope ftyli ita figitur, vt circa cum libere moueri poffit; quo ergo cafu vis quaedam F ítylum retinens aderit. Primum igi- tur, quia terminus E in fuo loco fixus detinetur, pofito

f-z0, hoc cafu feri debet y — 0; praeterea vero prima memo-

e$32 P) ri ( $e

memoratarum aequationum fupeditat hanc conditionem: (zz? 2») — o; fecunda aequatio determinabit ipfam vim

ds?

F z-4-5c(T2), quam autem noffe parum nobis refert, quia in motum vibratorium non influit; ficque iíte cafus ctiam duas con- tinet determinationes, fcilicet:

yo et (22) — 0;

hnnc igitur vocemus fimpliciter fixum.

IH. Tertius cafus efto, quo terminus virgae E ita muro quafi eft infixus, vt hoc loco non moueri fed tan- tum incuruari queat. Hoc igitur cafu manifeftum eft, pofito ; — o non folum fieri debere y — 0, fed etiam (£2)— 0, quia in hoc termino tangens in ipfum axem incidere debet; hunc autem cafum vocemus infixum.

Cum igitur hi finguli cafus binas determinationes inuwoluant, fi etiam ad alterum terminum F refpiciamus, pro quo habebimus x — s—2, quicunque cafus in vtroque locam habeant, femper inde quatuor orientur determinatio- ues, quibus non folum confítantes illae «, (2, ^y, ó definien- tur, fed infuper aequatio refultabit, ex qua ipfam quanti- satem f, hincque pendulum fimplex £ afüignare licebit,

Scholion 2 $. 14. Cum igitur pro vtroque termino E et F terni cafus locum habere queant, hinc omnino fex cafus diuerfi nafcuntur, quos ordine refolui comueniet, fi qui- dem hoc argumentum in omni extenfione pertractare vo-

luerimus; hos igitur fex cafus fequenti modo defignabimus: P 3 E. Ter-

en ) :x$( fue

]. Terminvs E liber; terminus F liber

]LD -.-- Elibr; - -.- - - - fF fmplic. fixus UL. --- Elibr; - - - 4|;24$ BE infi€us

]V. - - - Efmpliciter fixus; - - - F fimplic. fixus V. - - - Efimpliciter ixus; - - - Finfixus V]l.- -- Einfius; - - - - - F infxus.

Plures quidem cafus videntur occurrere, veluti fi E effet fixus et F liber; fed quia ambos terminos inter fe per- mutare licet , hic cafus in illis memoratis fex iam con- tinetur. His igitur pofitis fex nobis fuperfunt Proble- mata, quae breuiter ordine pertractabimus.

Euolutio caíus I.

quo cio elafticae vterque terminus prorins: eft liber.

Problema. 6. rs. Si virga elaflica a nullis plane viribus fol- licitetur. et plano borizontali poliriffimo libere incumbur, in- eefligare omnes vibrationes regulares, quibus ea coniremifcere

poicft.

Solutio.

Quoniam vterque terminus E et F liber affumitur, pro vtroque erit tam (427)— o quam (Z22)— 90, hinc ergo pro termino E pofito s — o nafcuntur hae duae ae- quattones:

L «3-8—83--0; I. «e— 8 — y —06; pro altero termino F erit r— a, et pofito brcuitatis gra- tia — — e, iftlae oriuntur aequationes:

Il.

ec25 ) zio ( $s5$e

Ut. o. & -1- Q €^ * —y fin, 6 — à coto — o IV. a c£" — 8G £ * — y cof. à.4- à fin. — o.

lam ex duabus prioribus colligitur à - a --Q et y -a-—(, qui valores in duabus pofterioribus fubftituti- praebent: III. a (e?— fin. 9— cof. à) 4- G( e^ 9? 4- fin. Rin IV. a(c"-3-fin.o—cof. «) —- 8(e7*— fin.o— cof. 9)— vnde duplici modo concluditur: ar —e —Tin.i-Fcof. gi fe 3c" gii g5- eai b CLR e "—fimma-—colao ^ é"rfns—coófo ' Statuamus hic breuitatis gratia fin. e -4- cof. 9 — p et (n.« — cof 9 — 4, vt habeamus mule gu m dn eam phos iud. vnde deducitur haec aequatio: —1—44—490—qe—1-opp—pe^—pe ^, fiue 2--pp-494-(4—-p)6* 2-(q—p)6 "—o. Cum igitur fit $pb--44—2etg—p-—-2cof.u, erit 2 — cof. a (c^ -- €^") — o, hincque

2 cof. « — £p ge ; | quocirca totum negotium huc eft reductum , vt ex ifta aequatione valores literae c eliciantur, vbi quidem. ftatim apparet, valorem « —0 fatisfacere; quia autem hinc pritur f-—9o, hincque etiam & infinitum, hoc caíu virga nullum plane motum concipier, fed in quiete perfeuerabit.. Pro

reliquis autem valoribus, quotcunque fuerint inuenti, habe- bimus

e£ ) río ( Ge9e

: TE i - LU at 9$. E bimus f — ——, hincque & — ;L 7; tum vero erit y:*g&—coovYy*bg. EX ada ?

] E "anie emt. -— T2 : quocirca tempus vnius vibrationis erit — mory:gpa hinC-

que ipfe fonus a virga editus — 99*Y*£*, Denique cum fit

cof. 9 — ——M Brit Yin: 9 —

2 e? -- € £-.g ? ex priore autem valore, quo finus e eft pofitiuus, erit

e qu £79 — e? D pi : B EI UH Fw gu—g)ee9? hincque a &e—e9—g£7-4- 1 — £^ — mor rovs ue Mec eR: D uU c-—REXECEE YE : : e — t ds ita vt fit B — wc ; altero autem cafu quo finus o eft

e negatiuus, reperitur [i —4dcu mamus a — r, erit 8 — 4r e^, hincque y — 1 -4- e? et à—zx re, vbi figna fuperiora valent, fi fin. o eft pofi- tiuus, inferiora fi negatiuus. His igitur valoribus inuentis aequatio pro motu virgae perfecte eft determinata, quae quo ici Eu S XXE 3 fimplicius repraefentetur, notetur, g— 35 effe 7 — 4; vnde fi ponatur breuitatis gratia — — 9, vt fit —- — ww, hoc valore pofito aequatio noftra pro motu erit: J- Cfin.(Z4-1 225225) (gie 7 079 E (x - ein dno-F(1 3-€")c(u)

ex qua ad quoduis tempus 7 ftatus virgae elafticae cogno- fcitur, fi modo valor literae w rite fuerit definitus.

—--6"; quare fi fu-

Corol-

exo ) I2I ( eO

Corollarium r.

6. 16. Cum igitur o; denotet arcum circuli, cuius radius eft — 1r, in primo quadrante haud difficulter per- fpicirur, poft cafum « — o nullum alium angulum fatisfa-

* * 2 *

cere; femper enim erit cof. o SBIUCe quod ita often« di poteft. Cum fit per feries

du oM HEURE m et

eretlcr(rvt9.—t— Mur etc. erit

Wr cof. a (6^ 3- e") —2(1—7),

qui.valor manifefto minor eft quam 2, nifi valor ipfius o angulum rectum fuperet.

Corollarium 2».

$. r7. Deinde manifeftum eít, neque in fecundo neque in tertio quadrante reperiri valorem ipfius o, quia in his quadrantibus cofinus funt negatiui, formula autem

EIDIÓS femper eít pofitiua. Atin quarto quadrante, vbi cofinus iterum fiuut pofitiui, dabitur valor non multum tres angulos iili fuperans. Sit igitur e fignum anguli redi, fue g— T, ac ponatuÜr 0— 5e-4- Q, fietque cof. o — fin. (D, vnde fieri debet fin. «b — opi noere 7:785 vbi facile perfpicitur, angulum (p valde eff paruum, quia numerus &'*, ob 3g — 4, 71239 €t €— 2,718286, eft fatis magnus, fcilicet proxime — 111,531, pro quo fcribamus 5. lam quia fin p —(, proxime, «9$— x--( ec c? «cia Acad. Imp. Sc. Tom. ll]. P. I. Q —

eR ) rer (o DH

— 1r — (D, noftra aequatio erit

qoc epp) dec Kon fiue o—.-L proxime; fumi igitur circiter poterit (D — —— — ;,; vnde patet an- gulum Q vix vnum gradum fuperare, ita vt fit a—53-- 1* circiter.

Corollarium 5.

$. 18. Progrediamur ad quintum quadrantem , et manifeftum eft hic iterum dari valorem tantillo minorem quam 5 e; defectus enim aliquot minuta prima non exce- det. Porro vero fextus et feptimus vacui manebant; in octavo autem reperictur o — 7e, tam "prope vt exceffus fentiri nequeat; ficque valores RS MNOP erunt continuo exacius Qg — 9 g, 9 — II,g,. etc.

Corollarium 4.

$6. 10. Quod fi ergo in primo valore exiguum difcrimen vnius gradus negligamus, omnes valores anguli « erunt 36 56, 76, 9g, 11e, etc. qui fecundum numeros impares in infiaitum progrediuntur, vnde noftra virga in- finitos fonos fimplices edere poterit, qui fequentibus nu- meris exprimentur: PREVEDE zePteipho cope. wreevagh iced

NETT ? fag D 2aG- ? 2ad

qui ergo foni fecundum numeros, 9, 25, 49, 81 etc. pro- grediuntur, quorum primus pro fundamentali haberi potett ; proximus vero ad hunc rationem tenebit vt 25:9, quod interuallum complectitur vnam octauam cum tritono. Vnde fi fonus fundamentalis fuerit G, fequens füturus erit cis, qui ergo fonus fimul auditus valde ingratam diffonantiam

referet. Scho-

et^ ! 125 ( eem

Scholion 1. $. so. Quodfi igitur pro fingulis iftis valoribus anguli o formentur valores ipfius y, corum quotcunque in- vicem coniuncti exhibebunt motus, quos noftra virga re- cipere poterit. | Si hoc modo omnes infiniti valores ip- fius e inuicem coniungantur, ac pro quolibet literis. C et ó generatim quicunque alii valores tribuantur, aequatio obtinebitur generalis, quae omnes plane motus, qui in vir- ga locum habere poffünt, in fe complectatur. Haec igitur aequatio generalis, fi valores anguli o per o, o', «", ctc. defignemus, fequentem habebit formam: J— C fin. (£p ;999* 8?) (e** 4- e*C0 7? 27 (x 4- e?)fin.u &-- (1 37 e?) cof. 2o) "m -- C! fin. (Z4-t vuv) (00 (eus AE eto 7 (x 4- e) fin. u v! 4- (x 3- e") cof. ua!) Lat | -- C'/fin. (o pt 797 289) (gis 3- got 9. (x -4- e^) fin. u ul" - (x 47 €") cof. u o). etc. etc. etc.

vbi litera 4 denotat fradionem —-, et figna füperiora va- lent fi angulorum «e, w^, c" finus fuerint pofitiui, inferio«

ra vero fi fuerint negatiui.

Scholion 2. $. ax. Quod fi fonum fundamentalem, quo eft proxime & — 3e, et qui continet motum fimplicifimum, quo virga contremifcere poteft, attentius confideremus, fa- cile colligere licet, curuam, quam virga inter vibrandum induit, axem ad minimum in duobis punctis fecare debere,

Q 2 ita,

'Tab. If. Kip. 06.

eB2 ) afe(o R8

ita vt quafi duos nodos formet. Si enim axem ntüsquam fecaret, dum fingula eius punc&a ab axe recedunt, codem motu continuo vlterius recedere deberent, quia virga a nullis plane viribus coercetur; quod inde etiam perfpicuum eft, quod hoc cafü centrum grauitatis virgac immotum effe debet. Si porro virga in motu fuo vnicum nodum formaret, circa quem quafi gyraretur, motum femel con- ceptum gyratorium perpetuo conferuare deberet. Hinc igitur patet, virgam inter vibrandum ciusmodi formam c1oMf efle habituram, quae fitum naturalem, feu axem EF in duobus pun&is L, M fecet. Hoc idem vero etiam noftra formula declarat: quia enim angulus uw hic fubito tres angulos rectos fuperat, auguli & a, fiue 7, dum quatn. titas 5 vsque ad c augetur, angulos referentà Oo vsque ad 52 continuo afcendentes, quorum finus et cofinus intcrea bis contraria figna recipiunt, vnde duobus cafibus contingere poteft, vt applicata y euanefcat. Fodem modo intelligere li- cet, pro fecundo ipfius o valore — 5 e curuam virgae tres nodos habere debere, pro fequente, «.— 7 e, quatuor, et ita porro. Singuli autem ifti nodr fiue interfectiones cum axe E F pro quouis valore ipfius à. ex hacc aequa- tione elici poterunt: gio i. g90—9 4- (x 4- e?) fin.au-1- (x 3- e")cof. oz —0

quippe ex qua valores literae z — — ipfos modos decla- rabunt. Scilicet literae z, incipiendo a o, continuo maiores tribuantur valores vsque ad I, et caíus notentur, quibus ifta formula euanefcit; fi enim quispiam | valor iam eua- dat valde paruus, per regulam. approximationis veri eius valores facile deteguntur.

Scho-

em )xes( See Scholion 5.

6. 22. Quo haec clarius perfpiciantur, cafum pri- mum, quo G9 — 3e circiter, ideoque eius finus negatiuus, accuratius perpendamus, Erit igitur, primo factore, conftan- te feu. a tempore. pendente, omiffo:

Qyum-ccco (44907 (r —e9)fin.tao4-(x 4-e")cof un cuius valores pro. tribus cafibus 2 — 0, uy— 1 et u —: definiamus, vt applicatas non. folum pro vtroque termino 'E et F, fed etiam pro pun&o- medio O , fcilicet E e, Ff et Oo obtineamus. Primo igitur, pofito u — o erit Eec-—2(r-r 6"); pofito autem 2 — z, prodit applicata

F f — e" i (z-—e")fin.a 4-7 (x 4- e?) cof. o,

. 4 2 qui valor,ob fin. o — — z et cof a, abit in hunc:

Ff-2(r--e"), ficque hae duae applicatae Ee et Ff inter íe erunt aequales; at pro puncto medio O, vbi fit w—;, hincque fin.jo — fin.;g — y, et cof i9 — —,,, eiit applicata

Oozz e pq 9 ciue | ;

— 2 o vyutldtwar ur Y 2, H à qui valor, ob e" — xxr ete! — 10j, abit in 21 — xrr.Y 2; vnde patet." hanc applicatam effe negatiuam ,. prorfus vti figura refert. —Poffumus etiam fimili modo pofitionem tangentium pro his locis. exhibere ex formula

d3)m---e9— e079 4p (x — £9) cof. z:« — (x 4-29) fin. a,

quae formula, pofito z — o, pro termino E praebet:

(2) x—é-r-i—£20-—2(r—&)—-—a(e'-1) Q 5 tum

L RETI tum vero, pofito £ — rz, pro termino F erit (£2) — & — x -- (x — e) cof. o — (x 4 e) fin. a,

2 qui valor, ob cof. o0 — — x. et fin. o — p reiecto termino

e-?, vtpote minimo, reducitur ad (77)— 2 (e*—1); vnde patet angulos Ee L et Ff M effe inter fe aequales. Pro puncto autem medio O, vbi z — i, prodit ($2) — (x — €?) cof. 1o — (x -1- e") fin. 5. — — V 2,

qui valor, fi calculus accuratius inftitueretur, prodiret — o, ita vt tangens in puncto o axi fit parallela. Simili prorfus modo etiam fequentes cafus, vbi o — 5 e, vel 76, vel 9e expendere licebit.

Euolutio cafus II.

Quo alter terminus liber relinquitur, alter vero, circa ftylum mobilis, figitur.

Problema. 6. 28. Si virga elaflica in termino E fuerit. libera, im altero vero F flylo affixa. circa quem iamen libere mo-

veri poffit, inuefligare omnes vibraliones regulares, quibus ea contremifcere. poteft.

Solutio.

Quia ergo pro termino E, vbi s — o, vt ante eft (232) — o et (22) — 0, erit etiam vt ante a--—o—o et a — —y — o, vnde fit y —«— et à —a-r (. Pro altero autem termino fimpliciter fixo, vbi s — 4, pofito

ite-

ens ir: ( ce

iterum. 7 — o, primo debet effe y — o, tum vero etiam Cini) — oc. Prior conditio dat a e 4- 367" -1- y (in. 9 4-7 9 cof. 9 — o, pofterior vero a & -4- ge ?^—-y fin. a —à cof. 6 — o, quae aequationes, loco *y età fub(titutis valoribus, abeunt ia fequentes: a (c^-1- fin. 4- cof. 9) A- G( €^ "^—fia.a -- cof. 9) —0 et a (c"— fin. e— cof. o) 4- Q( € " 4- fin. o — cof.o) — o ; ynde geminus valor oritur

a [67 2— fin. a 4- cof. «) (e 7 ?-rFfin. o — cof. o) B HOME e" fina-Fcofa —PUpsi — cof. g Ponatur iterum fin. n o-—petíin.o— cof. o —4, vt fit IINE "GEN — f RPG D ME-p,

vnde colligitur haec aequatio: —i--pe ?-3-46€—pq-——1-—qe*—pe "—pg

"Tepic fiue f e^ * -- q €? — o, vnde concluditur tang. — pe quocirca habebimus, vel goeg-o pope fin. o — Y z(e94-ecsm) et cof. 9 — Y z(e9 eund -—E vehe era —(49—g? ans ——-———-— 7. Y a(e DUE -zu) et cof. 9 — Yz(&ve).

Ex prioribus valoribus colligitur — LLL AA (c^ 4-6 m)—2te*

2 (e9"--e6t9)--2e

—— -—

y

8

«t2 ) 158 ( Sc?

ideoque $e*"--— 1, vnde fit $— «7^. — Pofteriore vero cafu colligetur a egy B vp eri)epe s eme L—

B ey s(e9-Ae gi9)—ag — Vtroque ergo cafu, fiue finus et cofinus anguli o fint ambo

pofitiui, fiue ambo negatiui, pro fra&ione a idem valor

obtinetur] Quare fi ponatur a — 1, erit (9 — — e**, hincque Y Gm-g-€e.-.et ó— 1-69; quibus valoribus inuentis

aequatio pro motu virgae, fi iterum loco -- fcribamus w,

erit haec: y z C fin (£ 4-1 Y 58) (e »— e 7r - pe? inti o ( «—e* ) cozuu). Quicunque autem: valores pro angulo o ex aequatione

(2e B (Ame ; 1

tatig yr E : erc

eruantur, ex fingulis habetur . 4 uc wo , hincque f* — 5 —bcck, wnde fit kb—— et 428— 99cv7 2 gb ?

—— bcc R aa hincque porro vt ante tempus vnius ofcillationis erit: ku Tad Wy EET ; et fonus a virga elaítica editus — 99***£*. "Totum ergo .

negotium huc eft reductum, vt ex aequatione

omnes valores anguli o eruantur; vbi quidem ftatim liquet, valorem « — o fatisfacere, vnde autem nullus motus fe- quitur; quare pro reliquis valoribus fingulos quadrantes percurramus, Pro primo igitur quadrante per feries

habebimus: fin. «

et3$ ) 120 ( $ed

fin. a ('? -- £7") — 2o (1-299 — 5 w) et

cof. o (e? — 279) — 2o (x —io 0 — 5 w); vnde patet, priorem formulam per totum primum qua- drantem maiorem effe quam pofteriorem , ita vt in hoc quadrante nullus reperiatur valor pro angulo w. In fe- cundo autem quadrante, vbi omnes tangentes (unt nega- tiui, nullus iterum dari potefi, neque etiam in quarto, fexto, octavo et omnibus paribus. Reliquos quadrantes in corollariis percurramus.

Corollarium r.

$. 24. Confideremus igitur tertium quadrantem ,

— (2

gà 4e ab vnitate deficiet, vnde angulus o aliquanto minor erit quam T-1-45". Hinc fumto iterum e pro figno anguli recti ftatuamus o — 7 -4- ie — Q, eritque en MESS ——- 3 — tang. Q tang. — tang. 6 e— 0) — UL 2o Cum igitur fit PS PEIUS

vbi, cum fit o maius quam 7, formula * parum

X ctang. ug. — &-pe9 — ap etm

hinc manifefto eft tang. D — e^ **— in quo ex-

FLIIIEEOL ponente angulum exiguum (p negligere licet, ita vt fubdu- &o calculo reperiatur tang. Q — 44; ficque angulus (D vix vnum minutum füperat, id Vna tuto negligi poteft , ita vt primus valor fit e — * -j-;0 — 225^, cuius tam

finus quam cofinus eft — "dig

4cia dcad. Imp. Sc. Tom. III. P. I. R Corol-

»535 ) iso ( 2s2e

Corollarium 2.

$. 25. Pergamus igitur ad quartum quadrantem ,. vbi angulus « multo minus difcrepabit a. z c -- 45^.

Hic autem tam finus quam cofinus erit — -1- 7—. Simili L4

modo ex feptimo quadrante nancifcimur « — 3 T 4- ie,

tam finu quam cofinu exiftente — — 7,5; nonus vero qua-

drans fuppeditat Q.— 4-7 -r i£; vndecimus o — 5 71 cie, €t ita porro,

Corollarium 5.

$. 26. Cum igitur fit e —7, omnes valores pro

*

angulo « hactenus inuenti fequenti modo progrediuntur: —5mT. —97. Un TT. tus: 17 14 TO-IÉE,; 2 Hm sm S 4 Qr Tz. etc.

vnde omnes. foni fimplices, quos m virga. edere. poteft, fequentibus numeris exprimentur:

ssTcy2gb. mimcy2gb. womcvyogb. ssomcvsgb. 16«a .? 1620. ? ^ 16aa "3 (aa ?

quorum primus fündamentalis cenfetur; vnde fi fecundus fimul exaudiatur, erit primus ad fecundum vt z5 ad 8r hoc eff vt 1:34, feu proxime vt r:3;. Ergo fi fonus fundamentalis fuerit C, fequens erit gis, quem tamen fo- num vno commate fuperabit, ficque harmonia parum gra- ta exiflet.

Corol'arium 4.

$. ey. Cum hic fonus fundamentalis, ceu grauis-

—ocasmcv2gb &ámus, quem virga haec edere potefl, fit — 577257, cafu

autem

et32 ) zsgr ( $53

autem prímo, quo vterque virgae terminus erat liber, ío- nus fundamentalis repertus fuerit — 9$5Y3&£5 — $TcV*£*

20a «ad

ille fe habebit ad hunc vt 25:536, ita vt cafü primo cea- dém virga fonum «edat fere vna quinta acutiorem. Scilicet fi fonus cafu primo editus fuerit g, tum fonus íecundo cafu editus erit grauior Cis, quod interuallum a muficis falfa quinta appellatur. Hic igitur vtique notari meretur, quod fi virga vtrinque libera edat fonum g, tum eadem virga altero termino fimpliciter fixa fubito editura fit fo- num grauiorem Cií, id quod experientia facile compro- bari poteft. .

)

à Scholion r.

. 28. Inuentis igitur omnibus valoribus aneuli « i4 , uos defignemus per o, o, q", w", o" etc, omnes mo- q 8$ tus irregulares, quos noftra virga edere poteft, per combi- nationem generalifrmam formularum ex his valoribus na- tarum in fequenti expreffione continebuntur: -- Quocvagb ut Q(2—u) Jy — C fin, ( -- 7 9971287) (g^ — e 4 (xe) : fin. t 9 -- (x — &'*) cof. u «) 1 ! oo'cyagb ucQ' ^ ,w'(;—u) PET 3; C^ fin, (5I -L- s S5: 87) (e e 4 (x 4 ev) fin. 4 9! 4- (x — e") cof. u «) "| l /H ttv b Un ed e fu , 4 Qu 4C fin. (2 -- z 277v *£*) (e e 0-9. Ex ret) fin. z 9 4- (x — e&*^) cof. ww.

Scholion 5.

$. 29. Examinemus etiam figuram, quam virga indnet dum fonum "principalem purum reddit. Hunc in- KR 2 finem

ee22 ) rss ( Ge

finem euoluamus expreffionem pro applicata y inuentam;

neglecto iterum fa&ore conftánte feu a tempore pendere, atque. habebimus

y zv (e" "4- Gn it 4- cof. ug) — e (e " "—fin. 1 à --cof. ira), vbi iam vidimus, ob «— 7 effe £'" — 2576;

tum vergo loco z fümamus fucceffiue fequentes. valores

dE QS IHBXUGI fhescia so Br ospiti de, TEES E vbi pro poftremo cafu iam nouimus effe y — o.

L Sit igitur & — o, fiue «— o, eritque gp ca $B c. eS

quae ergo eft applicata pro termino E

«osi SES s, fiue £r C. Ont

- rt bee DUE 9 1- fin. 5& -E- cóf. * «o — £9 (p 5^ — fin. zo cof. 1a). Hic autem. ob. & — ^ erit

Pag Wels 55s Cb £g"-— 2,1933 et —i [o 8 —.0,4559; hincque fiet Jy 2286075 — 2576. 0,4559 — — 117z. HI. Si g-—:deu nz. cri6 3b fne cof ie) — e (e:

— ín. 29--cof 20). lam ob

ü -l—

— 45,8104. et e 0,2079, hincque colligitur:

4 25,8104 -1- 2576.0, 792x — 0, 2079.

IV. Sit nunc 4 — ;, fiue s —12, eritque Hm —;0 y — (6^ -crfünlie-cofie)—e'(e *" —fin.fe4-cof.io), vbi eft *g-—:T-—I$35', ideoque 3

:0 i

€. —: 10,550 et e — 0,0948, hincque erit — 10,550. -1- 2576. 1, 3194. — 3387.

XV. SE-BUHC 4 —4-*, fcu .s—-*o, ac fiet *( 2 —tu »y-(& -Ffnfa-ccofis)—e' "(e * —fin.fo--cof.fo) et ob 4, 4

*o —$0 G——m-—IrI805'$9"-—29;I40 etg. ": —06;02534

b

erit 4 — 22,140 -1- 2576. 0,9568 — 2487.

Talis igitur forma quam virga inter vibrandum recipiet Ty jf. in Tabula (fig. 7.) exhibetur, vbi neminem offendat ma- Fig. 7 gnitudo applicatarum, quippe quae per numerum quempi-

am praegrandem diuifae funt intelligendae. — Haec ergo

curua non nifi vnicum habet nodum in puncto O, vnde

fatis tuto concludere licet, fequentem curuam, quae ex

valore 9 — ?* nafcitur, habituram effe duos nodos, fe-

quentém tres, et ita porro.

R 3 Euolu-

«e32 ) x34 ( $93

Euolutio cafus III.

quo alter terminos liber, alter vero muro duni. infixus ftatuitur.

Problema. 6. 30. Si virga claflica in termino E fuerit libera, in alero autem termino F quafi muro. infixa, inuefligare omnes vibraliones regulares, quibus ea .contremifecere poteft.

Solutio.

Conditio ad terminum E pertinens ftatim ^ mobis praebet vt ante ey — & — (/ et 0 — a-- (9; tum vero, po- fito 5 — 4 fa&oque 7 — e, debet cfle tam y —0, quam ($23)— 0; vnde iftas deducimus aequationes:

& & -- (8 €" -1- y fin. o 41-9 cof. 9 — o et

a £" — (8.6—* —- *y cof. o — 9 fin. o — o, in quibus fi loco «y et,ó valores inuenti fubflituantur, prodibunt fequentes :

a (e? 4- fin. o-1- cof.) 4-7 g (€^ ^ — fin. -- cof.e) — o «et

& (€ 4- cof. o — fin. e) — Q (£^ * -- cof. à -- fin.) — o, hincque duplici modo elicitur:

& — —£ ?--fin.g —cof.o — £7 ?-E cof. o4- fin. o

ri — "£"-F[finc--cof.o ^ e?--cof oe—fin.ao* Ponatur iterum, vti hacenus fecimus, fin.o -- cof. Q9 —5 et fin. o — cof. o — g, vt habeamus

mic oe PE Amer

gerere P e-—q

cuius

eS )css ( $e

cuius aequationis. refolutio praebet

2-- (9-50 be) P PAL 0o, vnde ob

$p--44—2etp—q— 2cof. o reperitur

z

EOS vnde patet Cofinum anguli o: femper fore negatiuum , ideoque angulum c in quadrantibus fecundo et tertio, item fexto

et feptimo, item decimo et vndecimo, etc. quaeri de-

bere. Ex cognito autem cofinu e concluditur vel

gy e? — £9 -4rec?

*. — m vel. fin; o — — i cud j-e e 4-6

quos duos cafus follicite a fe inuicem diítingui oportet. At ex priore cafu colligitur :

cof. o —

fin.9 —

,

go y-—egiemae—gere3c-xX Q^ —r4qeeuee ce ? - d^ a Y ex altero. autem valore ipfius fin. colligitur B^ — -— e

Rite igitur his cafibus combinandis impettabimus:. fequen- tes valores: /

a— r,-—-4,y crée età-r-d-e, quibus fubftitutis aequatio pro hoc motu fimplici erit

J — € fin. ($ 4- t V 23)

(e* 9 4- e—9 -E(x 4- e?) finu 4- (x 4- e?) cof. a), vbi, vt ha&enus, denotat y fractionem 5, denique erit vt ante

—um Bg ig eecrsgh j—-i k— "TE Y Rr Pay 2

tempus

eth ) xra6 ( 9

| Merle ED | a tempus vnius ofcillationis — 77. et fonus editus —: wutybEM cis X c Eu

Valores anguli o in corollariis inuefligabimus.

Corollarium r.

. €. 8r. Pro fecundo quadrante ponamus e—e-r(, vbi e iterum eft character anguli recti, eritque cof. à — — fin.Q, ita vt effe debeat

2 fin. T apis — E*$1.:8!

vnde fieri debet et? (in. p -i- e t7? fin, (p — Eft vero per feries

é*9?—e6(r4-0-2-i:c0--:0)e di (1—04-:00— 10) quare cum fit fin. p — —; QD erit e(0-060-i0)--c*:(0b-004:0)-: Hinc fi altiores ipfius (p poteftates negligantur, erit Q— D vbi notetur effe

1 Ew E gg) '7—349104 et € *— 0,2079; ita vt fit

finisce

— 55 0183^ AM

hinc (D — 235, 29.

Cum igitur fit (D — 0,3985, admittamus etiam potefta- tem. (Q.D, eiusque loco fcribamus 0,3985^, quo facto erit

Q- 2 a ue uM -4*1,9985--€ * 0,6015 6,8524 3,4262" vnde

e2 ) n2 ( 28e

vnde fit (D — 16*, 58^ Hic autem angulus adhuc minor prodiret, íi etiam cubi (* rationem haberemus: interim tamen haec methodus nimis eft incerta, vt tantum vero proxime angulum (D elicere queamus, vnde aliam metho- dum ingredi conuenit.

Corollarium 2. $. 52.. Quando angulus (Q, iam propemodum eft cognitus, conuertatur is in minuta fecunda, quorum numce- rus fit 7; hinc quaeratur idem arcus (D in partibus radii, et cum fit 7 — 180^" — 648000, fiat vt 648000": 7, ita n»! ad arcum, qui fit — 7, eritque 5 — ,45,, hincque ]m—lin-— 5,8144251, fiue 2m —1n-4- 4,6855749; tum igitur erit (Q — z/, et effe oportet 2 fin. — zum Hinc iam pro lubitu fumatur aliquis valor pro D, mul- tum a veritate abludens, verbi gratia (D— 12^, eritque 1»—48200', vnde reperitur 2 — 0,20944. Cum ergo fit 2-31—523,5 7079, erit eg: f c-,1, 78023, hinc Jet" — 1,978023. * 0,453429 — 0, 77314. ficque erit gto -qgnzscet g *.7— 0,1686; quocirca debebit effe

fin. Jio matado n eft vero 6,0998 3,0499 lín.i2*--9,31788 et /,25: — 9, 51572,

3,0499 qui pofterior logarithmus quia nimis eft magnus, fignum eft angulum (D maiorem accipi debere. Medium inter hos d éta Acad. Imp. Sc. Tom. 101. P. 1. S duos

"Tab, IL

Fig. 8.

et ):ss( Gee duos valores praebet (p — 15? — 5, vnde ftatim colligitur 8 —0,261i80, hinc e-d- 5G — 1, 83259 et ct *" 2:1,838259. 0, 43429 — 0.79405, ergo dtt"— 6,229380 e£.6 677 —Ibir6067; confequenter es. 2 E ETE , [ fi o cT eft vero eL f unas / Lin. 15^— 9,412996 et [— — — 495905. Si ergo pro fin.(Q, medium inter hos valores accipiamus, ieperietur (p — 16.53. Quia igitur fuperius medium erat nimis paruum , etiam hoc erit aliquantillo. nimis. par- vum, vnde fais tuto concludimus fore (D — 16?.45!, id quod pro noftro inftituto fufficit, eritque ergo Q — g-- 16". 45! — 106". 45!,

fiue erit proxime o — i 7, ita vt fonus hinc . oriundus prodeat cedere qui eft fundamentalis pro hoc cafu, cet fe habet ad fundamentalem cafus primi vt 2 ad ?, hoc et vt 4 ad 25, feu vt x ad 6;, ita vt ifte fonus fit fere duabus octauis cum femiffe grauior quam primo cafu; vnde 6 fonus ifte fuerit C, fonus primi cafus fit gis, fonus autem fecundi cafus 4, Hunc autem motum figura octaua repraefentat.

Corollarium 5.

$. 35. In tertio quadrante | reperiemus fecundum

fonum, ponendo o — 3 e — Q, vnde fit 2 fin. o — EIZD METIDO ;

et

« ec ) 339 ( $9

et quia angulus (D negligi poteít, hinc fequitur, vti fupra $. 17, angulum ( vix vnum gradum fuperare, ita vt pro nofiro inítituto penitus negligi queat. Sequentes vero va- lores ipfius o erunt 56e, 76, 9e, etc. ita vt foni ex omnibus his valorbus oriundi fint:

omcy2gb osmcV2gb 4omTcva2gb srmcVagb et avavai 9 4«aada 4«ba. ? VEDICOE, C.

vnde patet, poít. fonum fündamentalem. fequentes omnes prorfus conuenire cum iis, quos eadem virga cafu primo edebat,

Scholion. $. 34. Quodíü iam omnes valores anguli o defig. nentur per aq, o, o, w etc., et loco E fcribatur u, ae- quatio generalis, omnes plane íonos íeu motus mixtos complectens, erit S AV uaoctysgb Jy — € fin. (5 -- ; S967) | (eic 09 e (1 1 69) fin. uo - (1 -- £*) cof. ua) 1 1 woacyagb zp€' fin. (4! -- £ Sev 36?) (g** 4. e 7 9 LI (x A7 68) fin uo! 4- (x 4- e*) cof. uo) [Ji !l U'o'cy2gb -r- C! fin. (£ pp 9 evigi) (e* 9" 4- ento 9 Lp (x 47 e) fin. w à"-- (1 A- e^) cof.u q) etc. etc.

vbi fignorum ambiguorum füperiora valent pro iis angulis 0, &!, o", quorum finus funt pofitiui, inferiora autem pro negatiuis,

S2 Euolutio

wie ) I4O0 ( eoe

Euolutio cafus IV.

quó virgae vterque terminus fimpliciter ftylo eft fixus.

Problema.

$. 55. Si virgae elaflicae tam terminus E quam F

Jenpliciter fuerit. fixus, imuefligare omes motus, quibus ea coniremifcere poteft.

Solutio.

Pofito igitur tam 5 — o quam s—a, vtroque ca- fu fieri oportet et y — o et (^^2)— 0; ex priore cafu hae deducuntur aequationes:

1)a-1- 8-310 — 0, et 2)a--8—5— d ex quibus ftatim colligitur

&-i-(8— 0 et 8 — o, ideoque 8 — — a.

Alter vero cafus, quo $ — a, ponendo 7 — t, has fuppe- ditat aequationes:

8") « €? -- Q e^ -1- y fin. & -1- 9 cof. & — 0. et

4^) a &*-3- 8 €^ * — y fin. à — à cof. 9 — o, quae, fuperioribus valoribus fubftitutis, reducuntur ad has:

a ("^ — €") y fin. o 20 et a (—6 9) — y fin.439—0, quarum fümma praebet

2a(c"—69)—o, ideoque x — o, differentia vero dat 2-'yfin.o — o, vnde fi fümeremus

'y:— O, tota virga in quiete effet manfura; neceffe igitur eft

Dor ) 4I ( Sede

eft vt fit fin. o — o. Hinc ergo ftatim innotefcunt omnes valores pro angulo «, quippe qui funt:

8—0,0—T NM -— 5m wg qudm ete. quorum primus locum habet in ftatu quietis, fecundus autem fonum fundamentalem hoc cafu exhibet, ex quo, Vt in praecedentibus cafibus, oriuntur fequentes foni:

mcv?gb *mcV2gb »omcyzgb 16mTcVsgb aa ag — ? aa ? aa etc.

qui igitur foni fecundum numeros quadratos r, 4, 9, 16 afcendunt, ita vt, fi fundamentalis fuerit C, ifti foni con-

i

fituant hanc. feriem: C, c, 4, c, gis, d, etc. Quod fi ergo omnes iftos motus generaliter coniungamuüs, formula generalis, omnes plane motus, quos virga noftra recipere poteft, complectens, erit

ca b J z C fin. (Jp 1995287) finm u-- C' fin. (2! 4- 2*7 75Y* £P fin. 2g,

b

^r C"fin.(2/-- 777 17^8 Gn. 3 s0-- C!/fin. (2/1 4-1: 785 Y * E?) in, 4 mg - etc. ete.

5

vbi fcripfimus «4 loco -.

Corollarium r.

6. 56. Quando ergo virga fonum edit fundamen- Tsb. III. talem , eandem recipiet curuaturam quam chordae fimpli- Fig. 1. citer vibrantes, quippe quae erit linea finuum, qualem fi- gura prima refert. Pro íono autem fimplici fecundo, quo o— 2 7, figura chordae erit (fig. 2), habens vnum nodum in medio O. Pro fequentibus autem (onis fim- plicibus numerus nodorum íemper vnitate augetur,

S 3 Corol-

em )c42( ce Corollarium 2.

6. 37. Quodfi fonos fundamentales omnium ho- rum quatuor cafüum, quos hactenus tractauimus, inter fe comparemus , iam vidimus, fi fonus primi cafus exprima- tur per gis, pro fecundo cafu eum fore 4, ac pro tertio C, qui foni his numeris exprimuntur: ?,7;, 2. Hinc cum praefenti cafu quarto fonus fündamentalis exprimatur vni- tate, fonus erit fis; feriem igitur hoc modo referamus :

Jp 4.05 ANpossetidoMhsbent D TE. oa

gis d fis

Scholion.

$. 58. Hic igitur cafüs, quo vterque virgae ter-

minus fimpliciter eft fixus, prae reliquis hac infigni gau- det praerogatiua, quod omnes valores anguli o accurate fine vllo errore definire licuit, propterea quod . formulae exponentiales, quae hanc determinationem turbabant et non parum irregularem reddebant, penitus ex calculo eua- nuerunt; vnde foni hoc cafu editi multo magis ad har- moniam funt accommodati, et quidem adhuc magis quam in chordis fimplicibus vfu venit. Cum enim foni ab ea- dem chorda editi fecundum numeros 1, 2, 3, 4 etc. progrediantur, fere femper plures horum fonorum fi mul audiuntur, inter quos etiam non parum diffoni oc- currere. poffunt. ^ Verum quia a noftra virga alii foni edi non poffunt, nifi qui numeris r, 4, 9, 16, 25 expri- muntur, praeter fundamentalem potifimum exaudietur eius duplex octaua, harmoniam nihil turbans, poftea vero feqne rcur fonus numero 9 refpondens, qui, cum fuuda- menta-

-e32 ) 45 ( S99e

mentalem vltra tres octauas fuperet, ob nimium acumen vix vnquam audietur, ita vt tantum duplex octaua fimul cum fündamentali tinnijat. "Talis igitur virga fonos mul- to puriores reddere ett cenfenda quam chordae fimplices, vnde etiam foni hoc modo editi in mufica peculiarem fuauitatem habere debcbunt.

Euolutio cafus V.

quo virgae elafticae alter terminus fimpliciter eft fixus, alter vero quafi muro firmiter infixus.

Problema. 6. 39. Si wirgae elaflicae terminus E. fuerit. fim- pliciter fixus, alter vero F prorfus infixus, inuefligare omnes morus, quibus ea contremifcere poteft.

Solutio.

Quia terminus E, vbi fit s — o, fimpliciter eft fixus, habebimus ftatim, vti in cafu praecedente, (8C —a et à—o; pro altero autem termino, vbi 5 —a, erit tam y — o quam (22) — 0, vnde pofito 4--— 9 oriuntur hae duae aequa- tiones :

a9 -- B e 9 vy fin.o -1- 9 co. 5 — o,

& €" — G ec" -- y cof. 9 — 6 fin. o — o, quae, fubítitutis praecedentibus valoribus, abeunt in has:

«(E — e 7)-L fin. o —0 et

& (e? -- e 9) 47 y cof. o — o.

Ex

ec35 ) x44 ( S83

Ex priore fit

& ——fn.o T & | —cof.q — — -—;, €X altera. Yero ;—.— x 19385 Y e —e [^ " e " [^ ga—e* ex quibus porro colligitur tang. « — g»pe s: Quae formu-

la plane conuenit cum ea, quam cafu fecundo inuenimus, eritque idcirco, vt ibi, vel ee? e 4e? fin. 9 — y y (erc) et cof. à — y, (roc uai Vel —e-re TÉ fin. 0— y z (694 r2) et cof. 9 — Y 2 (6 eso CC ^ US e n: Ex prioribus valoribus elicitur y Yai(spee ex j .& S1 alteris autem valoribus fit D- v i( c PIN vnde his binis cafibus coniungendis habebimus «a — x, (8 — — rz, ey — rV 2 (£r 679) et à — 0; vbi vt hactenus figno- rum ambiguorum füperius valet, íi anguli o tam finus quam cofinus fuerint pofiriui, inferius autem fi ambo fue- rint negatiui, vnde pro quouis valore o habebitur

yz Cfin. (Z - : Y 8) (e'v— e "V 2 (&*-e *")fin. uo);

xaeterea vero vt hactenus erit 65 — 99*Y*5^, tempus I k aa

LER . . . uat: Toca . 2 Qucv2gb vnius ofcillationis E ctu fonus editus — mua: Corollarium r. Po pani $. 4C. Quia aequatio refoluenda: tang. o — mn

rorfus conuenit cum ea, quam cafu fecundo 1am ref(olui- P , mus

eg ):x45( $9

mus omnes valores anguli o. erunt, vt ibi, fequentes:

CL sme. 097 oA: 327 (etc Q 4. 2 d TD EA n

vnde ctiam omnes foni fimplices, quos haec. virga edere

poteft, fequentibus numeris exprimentur: zsmcV-cgb . s:imcVsgb . 169mC V2 gb . sosmToV»gb. LEicT I ggepm dat EY n ANELaCI AMET S dep FCRC CD

1683 ) TETTE i6qu (68d ; etc. quorum primus etiam pro fundamcentali habetur, et fe-

cundum fuüperiorem determinationem refpondet claui 4 (vide $. 32.)

Corollarium | 2. $. 4r. Quanquam autem hic cafus eosdem plane fonos fimplices producit, quos cafu fecundo inuenimus, tamen ipfa virga maxime diuerías recipit figuras. lta pro fono fundamentali, vbi e — 5*7, ideoque tam finus quam cofinus funt negatiui, fcilicet fin. o — cof. o — — /, , omiffo coefficiente erit

ym----4(49—gU9 1 V 2 (e*9 —- c7*) fin. & v, qui valor pro vtroque termino 5: — o et 4 — 1 fit — o.

Pro reliqua figura cognofcenda, quia fupra iam vidimus 5 P7 : : 5 : efte ei^ oma — 39326, erit. V.2 (€? -:6::9)— 2529 proxi- me. Tribuamus igitur literae & fequentes valores: 1. i, $»55 €t pro fingulis íequentes valores ipfius y prodi- bunt: EIN u-Lerntug-l—a4s"ety—1,7374-- 72 — $8 proxime; II. Sit 4—2, erit uu 7— 90? et y — 4460254-72 — 56 proxime; Met ; amis B Lm P HYPER 1700 EP TIE Siu. erit Ut —7—135^ et y - 10.46-- 7 — 61 proxime ; "epe IV. Situ, erit ug— T — 180^ et y 225,10--0— 23 proxime. la figura repraefentatur per figuram tertiam. Aca Aeud. Imp. Sc. Tom. III. P. I. E Scho-

e$ ) 146 ( $5

Scholion. $. 42. Vt iam omnes plane motus ex inuentís fimplicibus concinne repraefentemus, pro formula irratio- nali V 2 (£*-1- e*) fcribamus chara&erem X, cui pro variis valoribus «, o, «", w"' etc, tribuamus valores Quy 1, O,! etc, et fcribendo, vt hactenus, z loco —;, aequatio generalis erit: D 211: -w c J — C fin. (Z -- 9991385 5) (e — g- 7E: O, fin. y a) 1 1 'Oy2£b , M e -r C' fin. (6! -- 99758 1) (g^ — e —— O fin. g «) Í. "u "X2 b "un x ro m -E: C/ fin. (0! -)- EF eov ERR EELCERPRUP coU t9 ) "m »ll Q^ vella vr goth on cre dre ul Il -F C! fin. (2 4. 9797 Y:87 p) (e € 97 -4- € fin. gu wl!) etc. etc.

vbi fignum fuperius valet pro angulis w, o, o" etc. quo- rum finus et cofinus funt pofitiui, inferius autem vbi funt

negatiui.

Euolutio cafus VI,

quo virgae elafticae vterque terminus firmiter quafi muro eft infixus.

Problema. $. 48. Si virgae elaflicaz vterque t.rminus firmiter fuerit infixus , | inuefligare motus, quibus ea «ontremifcere poteft. Solutio. Hoc igitur ca'u pro vtroque termino debet effe tam y — o quam (72)— 0; pro priore termino ergo ha- bebi-

-9$ )xud wet

bebimus has aequationes:

&-- 824-9220 et a—Q-- y —0, vnde confequimur óc—a-—(8 et y2—2-F( potterior Vero, quo $— 4 et 7. — 0, praebet

a € -- B € * -4- y fin. a -- 8 cof. o — 0. et

a € — 86? -1- y cof. à —À fin. — 0; vbi fi priores valores fubftituantur, orientnr hae aequatio- nes: a. (£? — fin. o — cof. à) -i- 8 (e^ * -4- fin. o— cof. a) et a (&* — cof. a -t- fin. o) — 8 (e "^ — cof. o — fin. e); vnde duplici modo colligitur

y —£- * — fin. a -4- cof. o | € "—fin.o — cof. uw B —-- £-—fin.9—cotwo ; . e".*fimnw-—cofg ? qui valores cum prorfus conueniant cum iis, quos cafu r LI LI » - Ba is primo fumus nacti, inde etiam fequitur fore cof. g— ————5;; É l eg 9?

ficeque ettam omnes valores anguli o iidem erunt, qui primo cafu iam funt exhibiti, fcilicet a — 77, 77, 775 etc, vnde etiam ifta virga eosdem, edet fonos, qui erunt:

emcvVa2gb. osmc 47 gDb . «omevcgb. nmcysagb . E REC TIG! C "x3 c— 5 — TT r] etc.

*&ügq ? *uZ ? «ca ? 42a fe eur) : Praeterea vero etiam erit fin. uy — -t- poppe? vbi fig-

num fuperius valet pro cafibus vbi finus eft pofitiuus, in- ferius fi negatiuus; vnde porro obtinemus z — r, (.— 4- e*, hincque porro 4 2 —(1 -- e?) etóz —(r 2r e"). Aequa- tio igitur pro motu a cafu vrimo in co tantum differt, quod hic coefficientes ^j et 9 contraria figna funt nacti;

$ 4c ficque

eH: ) ras (o fu)

ficque, fi à, ow, «e, uw! denotent omnes valores ipfius «, dequo generalis, omnes motus virgae complectens, erit; Qocvsgb

(e'* 4 e*C —— (s 4- e)fin.u o — (1 4r e*)cof. ua) -T- C! fin. (£- p; ev 83)

(e" 4c ev 07 — (4E e)fin. u a! — (x 47 e") cof. ua!) -- C'^fin. (IL; eee i gb )

(e LAE ea^ (rn) m (1 de fin. u o)! — (1 4r e") cof. 4 ol, etc. etc. etc.

Corollarium r.

6. 44. Quanquam autem omnes motus cum cafu primo perfecte conueniunt: tamen figura, quam virga in- ter vibrandum recipit, toto coelo eít diuerfa, Ad quod oftendendum euoluamus figuram pro fono fundamentali , vbi eft o — 7, cuius finus cum fit negatiuus, figna vales bunt inferiora,-eritque omiffo coefficiente -

Jm coo - 9 q96-U— (r—69)fin.uao-- (x 4 £")cof. ua, vbi e(t c? — xxr. Nunc autem ipfi o tribuamus duos

I

valores ; et 2, ac reperiemus:

$ l.Siu-huo-imc-9o0)er£'9—4)98104. cte "9—(POu hincque y — 4, 8104 -4- 23, 0769 -1- 110 — 138. II. Si 4—2, erit uo— m— 180? et t" — 25,140 et &'' ? — 4,810, hincque y — 23, 146 -1- 4, 810 -- 112— 1x40. Hi autem duo valores, fi calculum accuratius in(tituiffemus, prodiis- Tab. IH.ient aequales. Curua igitur, quam virga hoc cafü induit,

Fig. 4. habebit figuram ErsF, fig. 4 repraefentata, Pro fequen- tibus

9e32 ) 149 ( $82»

tibus autem fonis fimplicibus vel vnus nodus, vel duo, ve! tres füucceffiue ingredientur.

-

à Corollarium 2.

$. 45. Ope formularum , quas pro fingulis his cafibus eruimus, non folum omnes foni, quos eadem virga elaftica, diuerfimode conítituta, edere valet, inter fe com- parari poffunt, fed eriam foni diuerfarum virgarum, quae tam longitudine quam craíhtie inter fe diícrepaut, diiudi- cari poffunt, dummodo craílities in omnibus fuerit fimilis: veluti fi virgae fuerint cylindricae, quo cafu craffities cu- iusque circulo repraefentatur; fi enim talium virgarum diameter craffitiei fuerit — c, longitudo — a, tum fub fi-

milibus circumftantiis foni erunt vt zi? hoc eít directe vt

diameter craífitiei et reciproce vt quadratum longitudinis, ita vt quo craffior fuerit virga pro eadem longitudine, fo- nus edatur tanto acutior; contra vero quo longior fuerit virga pro eadem craílitie, co grauior fonus fit proditurus, idque in ratione duplicata.

Scholion.

6. 46. Hic fcilicet affumfimus, in diuerfis virgis craífitiem fimilem figuram habere, veluti circularem, quip- pe quo cafu virgae func cylindricae et verfus omnes pla- gas aequaliter inflexioni refiftunt.. Verum etiam noftrae formulae ad eiusmodi virgas applicari poffunt, quarum craffities alia quacunque figura exhibetur. Ad quod oftei- dendum confideremus eiusmodi virgam , cuius fectiones transuerfales ad longitudinem normaliter fa&ae fint paral- lelogzamma re&angula AB CD , in quibus ergo duplex

AY" po-

Tab. TIL Fig s.

eps )aso( ie

potiffimum inflexio locum habere. poteft, quarum altera fit fecundum axem AB, quando fcilicet lineae A C et BD circa hunc axem infiectuntur; altera autem inflexio principalis fieri poteft circa axem A C. lllo cafu litera noftra c, quae in fuperioribus formulis ineft, aequabitur la- teri A C, pofleriore vero cafu lateri A B, vtroque vero cafu alterum latus plane non in computum venitur. Litera enim A pendet, vti iam fupra notauimus, ab clafticitate abfoluta materiae, ex qua virgae funt fabricatae. ^ Tta fi virga, cuius longitudo eft — a, incuruetur circa axem A B,

fonus editus erit vt EP at fi virga incuruetur circa axem

Tb. HI. A C, fonus editus erit vt 22, fi fcilicet reliquae circum-

Fig. 6.

Fig. 7.

flantiae fuerint pares. At fi fectio virgae transverfalis fue- rit circulus, diametro A B. defcriptus (fig. 6.), tum pro formulis noftris erit c2 2 A B; vbi perinde et, circa quem- nam axem fiat incuruatio. Hic quidem alios cafus non fumus contemplati , nifi in quibus ambo virgae termini vel funt liberi, vel fimpliciter fixi, vel firmiter infixi. Fie- ri autem poffet vt eadem virga infuper in vno vel plu- ribus locis mediis fimpliciter figatur, quandoquidem hoc paco communicatio inter motus diuerfarum partium non tolleretur: fed omnium huiusmodi cafuum euolutio re- quireret tractationem infinitam. Vt autem ratio, calcuium ad huiusmodi cafum applicandi, intelligatur, fufficiet vnum talem cafum hic fubiunxiffe.

Problema. 6. 47. Si virga elaflica non folum in vtroque termino E et F fuerit RA fixa, fed etiam in pundo quocum- que medio L ope flyli figatur, inuefligare omnes motus, qui- bus ifla virga «oniremifcere poteft. j e

epB )cse( fue -Solutio.

Maneat virgae tota longitudo E F — 2, ac voce- tur portio EL — ^4, ita vt A denotare poffit. fractio- nem quamcunque vnitate minorem. Ac primo quidem pa- tet; fi virga in punco L firmiter effet infixa, omnem plane communicationem inter ambas portiones ELet FL tolli, ita vt vtriusque motus a motu alterius neutiquam perturbetur. "Verum fi in puncto L tantum ftylo figatur, circa quem virga gyrari poflit, tum rmeutra pars motum recipere poteft, quin cum altera is certo modo commu- nicetar. Interim tamen hoc ftilo continuitas curuae per ambas portiones interrumpitur, ita, vt portio E z; L alia aequatione exprimatur atque altera portio L5 F: fcilicet dum hic etiam principio tantum motus regulares inuefti- gamus, qui conformes funt pendulo fimplici — &, pro motu vtriusque portionis primus factor C fin. (i-i -rY X)

.necefíario idem manere debet, quoniam ambae portiones

fuas vibrationes eodem tempore fimilique modo peragere

debent. Alteri autem factores diuerfi effe poterunt ratio-

ne coéfficientium 2, Q, *y, 9. Omiffo igitur primo fa&ore [1

vt ha&enus faciamus 7 — o et 7—4; tum vero pro por- tione EL ftatuamus J m.s .a e" -L e"? -- vy fin uo -- Ocof. uu, pro altera portione L F ftatuamus J - sess al e? -- Q e7"? 4 y! fin. 4o 3- O cof. t, qui coéfficientes a prioribus vtcunque difcrepare poffunt P q P P ,

dummodo obferuetur, pro punc&o L, vbi fit y — A, ex

vtraque formula eosdem valores tam pro (4*) quam pro

(452) prodire debere, quandoquidem anguli, quos vtraque

portio

ee ) xs ( et9«n

portio in L cum axe facit, mneceffario aequales effe de- bent; neque vero etiam radius ofculi in hoc punc&o L vtrinque. diuerfus eífe potcft. ^ His obferuatis pro hoc pun&o L, vbi fit &/ — ^, quia vtraque applicata y eua- nefcere debet, habebimus fequentes quatuor aequationes: I a ?* -4- Q'e—^* 4- vy fin. A a 34-0 cof. A9 — o. H, a/e^9 -1- ge ^ 34- y fin. A o — Il. «2* — Q e-^* -- y cof.A — Ó fin. Ao — ale? — SR €— ^9 -- ey! cof. A 9 —ó' fin. A o. fiue III. (a—2a') 99—(8 — 6) e7^*-4- (y —) cof. &o pisei rn IV. (a.— a!) &^* 4- (B — 8 &?^* — (y — y) fin. A — (8 — à/) cof. & — o. Nunc igitur ad vtrumque quoque terminum fpecemus,.

vnde etiam quatuor refultabunt aequationes, prouti fuerit vel A0. vel A-—ais,terminus -fcilicet E, vbi, y — o;

pracbet :

V. a-- 8-I- 6— 0 et VI. a 4- 8— do terminus autem F, vbi 5 — 1, dat

VII. alc?-- Q!e—* -1- fin. a—F cof o— 0. et

VTIT.. o! £? -1-.G! e- 9 — 4/'fin. o — ó' cof. 6 — o. Nac fcilicet fumus octo aequationes pro definiendis odo coéfficientibus, a; (), y, à et al, Ql, y^; 9',; ac tum fuper- erit adhuc. aequatio, vnde angulum o definiri apportcbit. Incipiamus :ab/aequatione/ V. et VI, ex quibus ftatim col- ligieur. Q.z— — «et à—0; deinde VIT ec VIII, inuicem

additae dant «'e* -[-.(e7* zz o0, fübtractae. vero. dant y! fin.

ei )aiss( $59e

y! fin. o 3-9 cof. o — o, vnde fit

Ql —-- a! e*? et à — — «y! tang. o. 3i valores in prima et fecunda fubftituti praebent

P P

L a (O9—267^9) --*y fin. 3 o — 0 et

HI. a/ (9 — e 6—9).1 V! fin Ao — y! cof.Aatagg.u—0, ex quibus acequationibus reperiuntur valores: y-—-—a ere) yi Erb et y! — — ILLA Guaonf n. MÀ "e fn.Ao fin. Àa— cof. A «tang. a* vnde fit

gU (No — g90—9) tang. c

i fin.Àg9—cof.Amtang.o Ex his valoribus nunc pro reliquis aequationibus «olli- gimus: 8— g'— —a -a!e*9 et

uisi as URN rur aoa g! (e? 9 — e 6 —X) 2x i Ífin..À «9 fin. Ao — cof. ^ a tang. à

aopol. €-(i9—60—)nng.u ^ fin.A« — cof. A o tang. a iNunc autem fit TII. a ((*9 -4- e—?*) — (e9 — e7?^9) cot. À v) — ql (eh eo —9)— (o»— aievrind CELLS Í quae aequatio contrahitur in fequentem formam: à (9 4- 679) — (e^? — e?) cot. À «) — a! ((g^ 9 4. 9673) 4 e» — e(—7X cot, (1—2)8)), quatta vero aequatio praebet iílam: 2a (ew VY ge — 2 qa! (e^* MS dno

4a Acad. Imp. Se. Tom. Ill. P. 1, V ex

ewi )gs4( ue

€x hac poftrema deducitur a £^? s a (2—2)

—— T—

al g^? eg ^ H

vnde capere licebit

quos valores iam in tertia aequatione fubítitui oportet: vnde facta reductióne prodibit

Oc2— 2g 9— (ge— e 0-9) (9 679) (cot. e-- cot. (12) - fiue

o-ca—2g29— (gel GE-») Cau qun) n ' iu MM ; Ji, X qti, (1 —AÀ)u*

Sicque totum negotium huc eft perdu&um, vt ex ifta ae- quatione valores anguli o eliciantur, quem quidem labo- rem, ob formulas tantopere complicatas, fuícipere non aufim, fi quidem hoc loco füfficit methodum . tradidiffe , qua huiusmodi quaeftiones arduae fint tra&andae. ^ Cae- terum patet, Ífi fuerit A — o, vt portio EL fiat infinite parua, nullum motum communem inter ambas partes ex- iftere poffe, id quod etiam calculus oftendet, quippe qui praebet

-

o 75€ 2 (1— 659.

vnde fequitur ,e'? — r, ideoque o — o, quo valore ftatus quietis innuitur, quod idem eueniet, fi ftatuatur À — r1, itum enim terminus F erit quafi muro infixus. At caíus, quo Acci, fingulaeem euolutionem meretur. :

. Euolu-

-65 ) 155 ( $53 Evolutio cafus,

quo virga elaftica EF non folum in vtroque ter- mino E et F, íed etiam in eius medio L

ftylo eft fixa. , 6. 48. Cum igitur. hoc cafu fit A — 1, aequatio 7T.p. ]TL finalis hanc induet formam: Fig 8 1 3 " —!ug, fin. o oO-»-—»52"— gs ux Fea en ,0 bao Y: ( ) ( ) fin. Lo )

quae reducitur ad hanc:

o — 2 (x — e?) fin. 1 e* — (x — e) (e? — x) fin. v, quae per fadorem communem 1 — e? UNS (quippe ex quo oriretur e£? — 1, hinc o — 0,) pro ftatu quietis pro- ducit hanc aequationem:

o 0 — 2 (x 4- e?) fin. i «^ — (e? — x) fin. o, quae, fi loco fin.c fcribatur 2fin.; w cof. 1, abit in hane:

o — (x 4 e") fin. ; e^ — (e? — x) fin. 1 cof. 2o, quae manifefto duos habet factores, alterum fin.; o, al terum vero ^

(1 47 e?) fin. 1 9 — (e£? — 1) co 19 . quorum vterque nihilo aequatus praebet folutionem : am- bas igitur feorfim perpendamus.

6. 49. Pro priore igitur cafu flatuamus fin. ;9— 0, eritque in genere 19 — iz, denotante ; numerum inte- grum quemcunque, ita vt hic iam innumerabiles motus regulares contineantur; ac manifeftum e(t hunc cafum prorfus conuenire cum cafu quarto fupra euoluto, nifi

M oS quod

eu )rs6 ( fue

quod hic fit 1o quod ibi erat a; fcilicet hic pro vtraque portione longitudo tantum eft ; a. Vtraque igitur femiffis eodem modo íuas vibrationes peragit, ac fi feorfim exi- fteret. et in vtroque termino ftylo fimpliciter effet fixa; quamobrem omnes foni fimplices, quos vtraque portio edere poteft, fequentibus numeris exprimentur:

4mcya2gb. mmcvoegb. ss mc V»gb. G«mcyzgb. ga aa ) ag — dall

qui ergo omnes duplici octaua altiores funt quam caíu IV; cuius difcriminis ratio in hoc eít fita, quod longitu- do hoc caíu tantum femiffis eft illius.

6. 5o. Hoc igitur cafu coéfficientes a, Q, vy, 8, et a/, Q^ *y^, à, fequenti modo determinabuntur:

Y 1 1 T o i9 i9 uo giant yp cea klt —E€ Boy E ue * $8

I

i39 -—9.,: 3 (e-e 7 y(e-e) lin.ja—cof.;utang.o

bj H E Lu r 3 y hores di (e anges tang.

Y — Y Li CAS, alzc* 9 — e a giz-es (e —e S3 LEA t

Eft vero:

fin. à cof; tang NELIL, cofo-—cof.;efina fimn.;e eZ o4 * -—

———

cof. a — cof. e' vbi, quia eft o — 2 i m, erít cof. o — z, at fin. ;« — o,

Multiplicemus igitur omnes hos co&ffcientes per fin. ; eritque «—o, (,i— 0, y z—(1—e)(e—21) et ózo;

: porro

wes ) x57 ( $e

porro

al — o, (p —0, y z— (P*e- x) [1 — €, et dàn o. Quia igitur omnes euancfcunr praeter »y et 4/. ac praete- rea e(t ^ — — y, fi. ponamus yy — rz erit y! — — r, pro portione E L igitur aequatio motum exprimens erit

y — € fin. (Z 4- r 99738?) fin. uu et pro altera portione L F

y — — C fin. (Z 4- t 22715£*) fin. ga, vbi eft 4 — Z.

6. sx. Praeterea vero datur adhuc alia folutio ex altero fa&ore oriunda, eX quo fit

e-—ri TIT.

1 m EXEEÉDEISC-, 7 ETT

tang. ; 9 — r.L e? T qui valor congruit cum eo, qui fupra, cafu quinto, e(t erw- tus; totum enim difcrimen in hoc confiftit, quod hic fit 1m quod ibi erat 9, quemadmodum rei natura poftulat, quoniam hic vtriusque portionis longitudo tantum eft ;a. Hinc ergo intelieimus, vtramque portionem EL et L F perinde contremifcere poííe ac fi vtraque in E et P fty- lo fimpliciter effet fixa, in L vero firmiter prorfus infixa,

Hic autemr valores pro: e erunt 5*, ?7, :2*, 77, Z*, etc, "UL or vE MEecal Meri cri vu

L] Li —10

ficque hinc foni orientur duabus ocauis altiores quam cafu quinto. Hic igitur maxime notatu dignum contigit, quod ambas portiones EL et L F duplici modo contremifcere poffunt, altero, qui cum caí(u fuperiore quarto, altcro ve- ro, qui cum cafü quiuto congruit. Caeterum valores coéf-

bw ficienrium

et22 ) x58 ( $95

ficientium perínde fe habcbunt,, vti jam füpra funt euolu- ti, nii quod pro hoc caíu non fit fin. 2 — c.

Scholion.

6. 5». Hactenus perpetuo affümfimus, virgam ela- fücam in ftatu naturali effe rectam. Nihilo vero difficilior euadit invefligatio , fi virga in flatu naturali habuerit fi- guram quamcunque incuruatam. Veluti fi eius fizura na- 'turalis fuerit curua quaecunque E X F, totum difcrimen huc reducetur, vt ipfam hanc lineam curnam EXF pro axe accipiamus, dum ante axis nobis erat linea recta cum figura curuae colgruens. Hic fcilicet fumta . portione quacunque EX— x — s, puncum virgae X alium mo- tum recipere nequit, nifi in directione X Y, ad ipíam curuam normali. Quare fi concipiamus durante motu pun- é&um X translatum effe in Y, ac vocemus hanc applica- tam X Y--y, formulae differentiales, quas theoria nobis fuggeffit etiam hic locum habebunt, atque adeo formula — 195, hic iam exceffum curuaturae in Y fupra curuatu- ram naturalem in X exprimet; quo obferuato aequatio motum determinans manebit prorfus vt ante, fcilicet

zz (234) Lp ee (12), vnde etiam pro fingulis motibus regularibus habebitur ea- dem aequatio integralis:

EIS

J4—C fin.(£ --1Y 28) (9E 3p. -Fy fin. f pB cof. ! £) exitlente f'cbcck. Quare fi tota virgae longitudo EXF flatuatur — a, omnes cafüs, quos fupra pertractauimus et- iam hic fine vlla mutatione locum habebunt, ct ifta vir- ga

eue )aso( fe

ga ommes illos fonos edere poterit, quos fupra. affignaui- mus, prouti fcilicet virgae termini fuerint liberi, vel fim- pliciter fixi, vel etiam firmiter ipfixi, ita vt pro talibus virgis naturaliter incuruatis nulla noua inueftigatione fit opus. Interim tamen hinc ii cafus funt excipiendi, qui- bus virga ita eft incuruata, vt figuram in fe redeuntem referat, quandoquidem fimilis cafus in virgis naturaliter rectis locum habere nequit, quamobrem iítum cafüm co- ronidis loco hic fübiungamus.

Euolutio cafus,

quo virga elaftica in ftatu naturali figuram in fe redeuntem habet, fiue de fonis annulorum elafticorum.

$. 55. Sit igitur figura virgae elafticae circulus AXB C, fiue alia quaecunque curua in-fe rediens, cu- ius tota. peripheria fit — 2,. cra(ífities, vero et elafticitas virgae maneant eaedem vt ante funt ffabilitae ; tum vero pro motibus regularibus, quos haec virga recipere poteft, fit & longitudo penduli fimplicis ifochroni, vnde formetur

á quantitas f— Y bcck; tum pro quacunque portione in- definita A X — » fit Y pun&um, in quod praefenti tem- pore — ; puncum X fit translatum , et iam vidimus, ae- quationem integralem in genere fore,

VES M fin. (£-- t V ££) (ae? dc Be? y fin. $.-- 8 cof. 7). Sicque totum. negotium iam huc eft perductum, vt coéf-

fiientibus a, 3, »y, à debiti valores afügnentur, vbi res longe

Tab. III. Fig. 10.

«032 ) x60 ( $85

longe aliter fe habere deprehenditur ac fupra, quoniam hic neque termini liberi, neque fimpliciter fixi, neque firmiter infixi occurrunt.

6$. 54. At vero ipfa indoles, qua figura virgae in fe rediens affumitur facilem viam nobis aperit hos coéf- ficientes determinandi. ^ Confideremus enim ipfum pun- &um A, vbi e(t 5 — o, quod ita accipi poteft, vt ibi fi- at etiam y — o. Pro hoc ergo puncto, omiffo factore par- tim conítante partim a tempore pendente, fieri debet o—a-r-(--9. lam ítatuamus s — 4, et quia iterum in idem punctum 4A incdimus ponendo breuitaüs gra- tia 2 — 9, fieri oportet : 3 :

o — a &* -4- B e * -4- y fin. à -- S cof. e, atque idem euenire debet, fi ponamus 5 — 24, fiue 34, fiue 44 etc., vnde nafcentur fequentes aequationes:

o-at*9-- e? -r- ry fin. 2 & 4- Ó cof. 2 o,

o — a £'" 4- £79 -4- "y Gin. 3 8 -1- 9 cof. 3 o,

etc. etc,

quibus omnibus fimul fatisfieri nequit, nifi fit a — o, Qo et 9—0; tum vero neceffe eft, vt fimul fiat

fin.o— 0, fin. 20 — o, fin. 30 — o etc. quod in genere eueniet, fumendo t —im, denotante i nu-

merum integrum quemcunque ; vnde vt fupra oritur fo- nus — L/7*"*:^, ita vt foni fimplices progrediantur in hac

progreffione: mcy2gb 4mcvagb sncy:gb (6T CV 2 gb etc. C ARD RERCT.: "T! [ao

$. 55:

ee )a6r( $e

$. 55. Sonus igitur principalis, quem talis virga edere poteft, continetur in formula Ty E reliqui vero foni fimplices fecundum numéros -quadratos 4, 9, 16, 25, progrediuntur, qui cum, mox nimis fiant alti. quam vt exaudiri queant, praeter fonum fündamentalem plerum- que alius non fentietur, nifi duplex octaua, quo ipfo har- monia gratifüma percipietur. "Tales igitur annuli elattici prae chordis muficis hac infigni proprictate funt praediti, vt fonos multo puriores reddant, id quod etiam in inte- gris difcis et catinis campaniformibus euenire debere vide- tur, cuiusmodi corpora inter inílrumenta mufica iam funt recepta, quorumque foni fingulari fuauitate fenfum auditus afficere feruntur. | Caeterum | manente eadem clafticitate hi foni tenent rationem reciprocam duplicatam totius pe- rimetri a, prorfus vti iam fupra circa virgas rectas ob- feruauimus.

LLLA

MATMAATTOMRUCV———————————

Acta Acad. Imp. Sc. Tom. HI. P. I. X CON-

we£22 ) 1:62 ( $52

CONIECTVRA CIRCA NATVRAM AERIS,

PRO EXPLICANDIS PHAENOMENIS IN ATMOSPHAERA JOBSERVATIS.

Auctore L. EVLERO.,

6. zs

LJ

LE Pd nobis in intima naturae myftería penetrare , indeque veras cauffas Phaenomenorum agnofcere neutiquam eft conceffum : tamen euenire poteft , vt hypothefis quae- dam ficta pluribus phaenomenis explicandis aeque fatisfa- ciat, àc fi vera cauffa nobis effet perfpecta, quemadmodum felicifhimo fucceffuü omnes fere motus coeleftes ex hypo- thefi attracionis vniuerfalis determinari folent, etiamfr haec ipfa hypothefis ex Phyfica prorfus fit profliganda.

€. 2. Quam ob rem fortaffe fimilimodo quaepiam hypothefis excogitare poterit, quae omnibus Fhaenomenis aéris et atmosphaerae explicandis fufficiat. — Talem ideam iam ante quinquaginta annos in Tomo IÉ. veterum Com- mentariorum propofui, quae ad plura a&ris phaenomena explicanda fatis apta videbatur , etiamfi facile. aguouiffem , talem aéris flructuram reuera admitti non poffe. Impri- mis

ed$ ) 165 ( $5

mis huius Phaenomeni explicatio: quod, dum aér vapo- ribus eft inquinatus, cius elaflicitas diminuatur, mihi omni attentione digna efít vifa, cum eius cauffa a nemine ad- huc dilucide fit expofita. — llo vero tempore Theoria fluidorum nondum fatis erat exculta, vt iftam ideam pe- nitus euoluere valuiffem ; quamobrem operae pretium fore exiftimo , illam aéris flructuram , quam finxeram, accura- tius examinare, et quaenam Phaenomena inde oriri de-- beant, maiori curua inquirere.

6. s. Naturam aéris autem ita animo concepe- ram, quafi ex innumerabilibus minimis bullulis feu fphae- rulis effet compofitus , quae flngulae cuticula tenuiífima aquofa circumdarentur, intra quas propria atris materia motu rapidiffmo in gyrum circumagatur, in cuius vi cen- trifuga elaflicitas acris produci erat vifa. "Totum negotium igitur huc redit, vt ifta hypothefis accuratius perpendatur, et ad cuiusmodi phaenomena producenda fit accommoda- ta, inquiratur. Nifi enim manifeítas contradictiones inuol- uat, fatis probabile videtur, aéris phaenomena, actu obfer- uata, non multum diícrepare pofíe.

$. 4. Quod igitur primo ad pcelliculas illas aqueas

fiue vaporofas attinet, earum realitas in aqua fpumofa at- que bullis faponaceis manifefto deprehenditur, vnde recte concludere poterimus , vapores in aére adícendentes ita difipari, vt elementa area inftar cuticulae inuoluant, quae fi per omnia elementa aequaliter dispergatur , atmosphae- ra nihil 'de pelluciditate amittet, fin autem intra fphae- rulas a&reas confufe hospitentur, refractio radiorum lucis *torumque tranfitus non mediocriter perturbabitur, vnde in A. acre

-9$32 ) i64 ( S82

aére inferiore nebulae, in fuperiore autem nubes oriri -vi- dentur. Praeterea, quo plures vapores agri fuerint ad- mixti, cuticulae illae, fphaerulas a&reas ambientes, euadent denfiores, quoad fcilicet conítitutio harum fphaerularum fufferre valet.

$. 5. Deinde etiam non defunt rationes, quae fua- dent, propriam aéris materiam in his fphaerulis motu ra- pidiffüimo circumagi, cum aliunde cauffa elafticitatis repeti nequeat. Praeterea cum iam fatis euictum fit, calorem in certa agitatione aetheris confiftere, hinc vtique materia illa aéris in fphaerulis motum quendam recipere debet, qui cum in tali anguíto fpatio fit inclufus, non. aliter nifi per motum vorticofum continuari poteit, id quod eo ma- gis fit probabile , quod aucto calore, indeque propterea motu iflo verticofo, elafticitas aeris quoque augeatur; vn- de manifeftum eít, motum gyratorium in fphaerulis aereis cum cauffa caloris arctifüme efle connexum.

6$. 6. Deinde vero ctiam affumfi, fiagula aeris ele- menta in memoratis fphaerulis per circulos maximos cir- cumagi, vt in iis vndequaque aequalis vis centrifuga, a centro cuiusque fphaerulae recedens, oriatur, haecque hy- pothefis nunequidem cum principis mechanicis neutiquam confittere poffe videtur, cum demonílratum fit, nullum aliüm. motum circa punctum quodpiam fixum in corpori- bus dari poffe, mifi qui peragatur circa axem quempiam fiium. .A tali autem motu alia vis centrifuga generari non. poteft, nifi quae ab axe gyrationis recedat, ideoque in eadem íphaerula maxime effet irregularis, cum certum fit, elaflicitatem aéris in omne» plagas aequaliter tendere.

$7,

02 ) 165 (Ste

^ 6. 7. CObiedio autem: hinc ab illo motu oriunda tantum locum habet in corporibus folidis: in fluidis enim res longe aliter fe habere poteít; atque adeo clare hic de- monítrabo, motum illum inteftinum in fingulis fphaerulis reuera ita comparatum effe debere, ac fi fingula elemen- ta.in circulis maximis circa centrum reuoluerentur. $. 8. Primo autem, cum materia aerea fit homo- genea, omnes eius particulas inter fe aequales. concipere licet, quibus adeo initio celeritates aequales fint impreffae, quibus ergo fingulae, (i effent folitariae , in plano vnifor- miter in directum ferrentur, in fuperficie autem fphaerica in circulis maximis effent progreffurae; vnde fi cuiusque celeritas fuerit —— « et r radius fphaerae, cuiusque vis cen- trifuga foret er jo qua fcilicet a centro fphaerae rece- dere conaretur; vbi g exprimit altitudinem lapfus grauium vno minuto fecundo, fiquidem celeritas per fpatium vno minuto fecundo. percurfum definiatur.

$. 9. Coníderemus iam duas huiusmodi particU* p. [v las À et B, fecundum dire&iones AC et B. C. ita motas, Fig. NN vt in C conuenirent et collifionem paterentur , quippe fine qua corpusculum AA deícriptirum — effet fpatium Ca-—c, alterum vero B C fecundum . dire&ionem C 2 celeritate eadem c. Iam vt videamus quamnam mutatio- nem collifio fit productura, toti fyftemati , mente faltem, imprimamus celeritatem — c, fecundum directionem 5 C, quo pacto corpusculum B in quiete fiítetur in puncto C, corpusculum vero A, fumto C B — C ^ — e, motum habe- bit fecundum diagonalem C D parallelogrammi C B D a, qua retro producta in 4, collifio perinde peragctur, ac fi

X3 cor-

we ) 166 Y e coca

corpufculum A motu ZC in alterum corpusculum B, in C quiefcens ,' impingeret. Con(tat autem, tum corpuscu- lum A in C effe quieturum, alterum vero B celeritatem effe acquifiturum C. D. Tam reflituatur motus mente im- preffus celeritate C 7. — Hoc modo corpus prius A nunc. motum acquiret C » , alterius vero B motus componetur ex motu C D et C», vnde fi compleatur parallelogram- mam C. D a», iftud corpus iam motum habebit C a. Vn- de patet, motus. vtriusque corporis per collifionem inter. fe permutari, ita vt vtriusque motus ab altero continuetur. Hinc cum inter bina corpuscula nullum difcrimen inter- cedat, totus motus fe habebit ac fi vtrumque corpusculum motum infitum fine vlla mutatione. profequeretur , vnde etiam vtriusque vis centrifuga nullam mutationem ob col- lionem fubiit.

$. 1o. Quod fi iam tales collifiones in infinitum multiplicentur, omnes motus nihilominus in circulis fphae- rae maximis, at vero fucceffue ab aliis aliisque corpuscu- lis, peragentur; quamobrem omnes vires centrifugae di- recte a centro recedent, et quidem eadem quantitate E €. rr. In motu ergo vorticofo, quem materiae aéris propriae, in fingulis fphaerulis memoratis, tribuimus, tuto affumere pofiumus, omnes plane motus in circulis maximis peragi, atque fingulas particulas pari vi centrifu- £a a centro fphaerulae recedere conari; quamobrem omnes obicciones, quae olim contra vortices Cartefianos funt mo- tae, omnem vim amittunt. Neque tamen idcirco arbitror, illos Cartefii vortices admitti poffe; at vero illi vortices, per quos Vir Celeb. Daniel Bermouli olim attractionem vni-

wet32 ) 167 ( $s2—

vniuerfalem in mundo explicare eft annifus, hinc fimmam vim acquirunt, ita. vt omnes obiectiones contra factae quafi fponte euanefcant.

Ja 249 2 Contemplemur nunc fphaerufam quamcun- que, naturam: aéris conftituentem , cuius extrema crufta aqua, feu materia vaporofa conftet , intra quam materia acris propria motu ante defcripto in gyrum agatur. Sum- to igitur centro fphaerulae in O, fit O R — r radius to- tius. fphaerulae , feu extimae eius fuperficiei, fitque R S craffities cruftae áqueae, ponaturque O S — 5, ita vt cras- fities cruftae aqueae fit RS —r—5; tum vero fit ST craffities cruftae aéreae gyrantis, quae ergó, pofito O T— r, erit — 5—7. Intimum autem hunis fphaerulae fpatium , a centro O vsque ad T, repletam fit aetheré puro, gra- uitate deftitutd , a cuius fcilicet agitatione materia aris propria perpetuo ad motum cieatur, modo magis modo minus, pro gradu caloris feu frigoris.

$. 13. Hinc ergo, denotante c peripheriam cir-

culi, cuius diameter — r, erit volumen totius fphaerulae —imf';.vnde patet, volumen cruftae aqueae fore 2m(r-—5),et volumen cru(lae aéreae zT (5 —7)5 vo- lumen denique aethereum erit 27 £7. Quod fi iam den- fitatem aquae vnitate defignemus, erit mafia cruftae aqueae $zT(r-5) At fi denfitatem materiaé aéris propriae vocemus à, «erit eius maffa zT O(5£6—7) Quare cum ipfe aether denfitate carevc fit cenfendus , erit tota maffa in fphaerula contenta $ m (77 — 5 41-3 5 — 3 P), quae fci- licet fimul exprimet pondus totius fphaerulae , cuius ra- dius

Tab, IV. Fig. 2.

eG )ai68( $5

dius — r; vnde manifeftum eft, aetherem in medio con tentum recte negligi poffe.

6. r4. Hic autem flatim liquet, denfitatem 3 non ex flatu aéris ordinarii, qui iam ob elafticitatem plurimum eft expanfus, aeftimari debere. Cum enim ar, in fpatio S T inclufus, omni elafticitate deftituatur, quandoquidem demum eius agitatione clafticitas a&ris naturalis produci- tur, ifte aer in noftra. fphaerula, contentus in eo ftatu repe- riri cenfendus eft, ac fi ad, fummum denfitatis gradum iam effet compreffus. Phaenomena autem confulentes depre- hendimus, acrem, naturalem in fpatium quafi octingenties minus comprimi poffe, qui numerus refpondet rationi in- ter denfitatem aéris et aquae; neque ergo errabimus, fi denfitatem aeris, ad furomum compreffionis gradum re- ductum, denfitati aquae aequalem ftatuamus, ita vt fit Ó— x. Probabile autem admodum videtur, acrem ad talem fta- tum redüctum, fimulque omni elafticitate carentem , vix a natura aquae effe difcrepaturum. Hiuc igitur, pofito 9— 1 maffa atque etiam pondus noftrae fphaerulae erit 2 (r^ Lr) fiue aequabitur ponderi maílae aqueae idem volumen ha- bentis.

6. 15. Inueftigemus nunc totam vim centrifugam, quae ex motu gyratorio cruflae acreae S T oriri debet; quem in finem confideremus punctum quoddam medium X, pofita eius diftantia a centro O X — x, eiusque celeritate

cc

gyratoria —0 , erit vis centrifuga in pundo rem Hac fcilicet vi elementum materiae in X conatur a cen- tro O recedere ,. vnde in ifta crufla acrea orietur flatus prefüonis a termino 'T ad S continuo creícens,

$. 16.

* L

eH» )i69( BH

$. r6. Conftat autem, in fluidis flatum preffionis «ommodiffime exprimi- poffe per certam altitudinem, quam fic vyocemus — f, qua defignatur, preffionem fluidi aequa- lem effe ponderi cylindri, ex eadem? materia conflantis , et cuius altitudo fit — f. ^ Pro noftro ergo cafu defignet $ altitudinem . columnae aqueae, cuius pondus aequetur preíhoni in pun&o X, dum fcilicet in eandem bafin pre- mit. Hinc ergo, fumto elemento X x — 4 x, ita vt prefüio dn x fit p -4- d p, euidens eft, incrementum preffionis 2 p aequari debere vi centrifügae, qua elementum X x a cen- tro repellitur; vnde patet fore dp 5.0 x, ficque inte- grando nanciícimur postoa quod. duteprale ita deter- minari debet, vt fumto x — 7 euanefcat, ita vt pro puncto X prefio fit p — 72/7. Quare promoto punc&o X vsque ad 8, preflio hoc loco erit p —22/--. Tanta (ci- licet prefiione ifta crufta aérea, fimulque tota prorfus fphae- rula, conabitur fe expandere, ac reuera fe expanderet, nifi '""ndequaque kin uap; p viribus comprimerctur.

$. 17. Quantumuis autem talis. bullula fiue ex- pandatur fiue comprimatur, in ea femper eadem quantitas materiae manet inclufa, quia neque materiae contentae "exitus, neque nouae iügreffus conceditur. Ponamus ergo quantitatem materiae inclufae aequari globulo aqueo, cuius radius — 4,' qüandoquidetu omnem. calculum ad denfitatem aquae reducimus. Hinc BrRC quantitas materiae in hac. bullüla *contentae erit $ T4, quae cum. partim ex crufla aqueaà partim ex aérea-eiusdcm cum aqua denfitatis con- flet, ponámus maffam aqueam effe $7 4, ita vt quanti-i* tas .materiae a&reae propriae fit $7 (1 —3) 4: quantitas

dia Acad. Inp.. Sc. Tom. lll. P. l..— ? pid. " $0

ems )srg5( i9

ergo aquae pcr a&rem difperfae erit ad quantitatem aéris propriam, vt A:x —A.

$.-18. Supra autem inuenimus, volumen cruffae aqueae effe $m(r—5), vnde erit &&—55 —X«. Dein- de cum volumen materiae aéreae inuentum fit $m (55 — 25), erit 5 —;* —(xr—2)«. Hinc igitur tam 5* quam £? per &' et 5' definire poterimus: erit fcilicet $&? — r' —A a* et £P —:1 —u4. Quare cum altitudinem preffioni debitans inuenerimüs H

pUIL—ilu,entnune pociLIUISe

| 6. r9. Cum porro denfitas reperiatur, fi maffa per volumen odis , quia noftro cafu mafía ef i-a,

volumen autem i7 :7^, erit denfitas hoc loco — Qut fi ergo ondes hanc defignemus. littera 4, d. q—, ideoque 1* — *-, qui valor in noftra formula fubftitutus

praebet ) — £57 —5À; vbi, vt notauimus, g exprimit den- fitatem aéris, dum aquae denfitas vnitate defignatur, ideo- que g femper erit fractio quam. minima. In fuperficie fci-

Hi

licet Terrae erit quafi 4——,5, yel 4 — s

6. eo. Cum igitur q fit fractio tam exigua, erit fatis exacte ) l(r—34)-——»4«4—iXg4 —iN4 et :

J(—$9)—- 4-24 —:(q4 qui pofterior logarithmus a priore fubtractus relinquit

jM (1—2)gaci(x NY) 2n 5(— N) 05 quocirca habebimus pro preffione » hanc formulam: -—£8((i-2)«-;(3—X)4 m 3(* —W)q) | : cuius

e$; ) ryr ($9

euius feriei plerumque fuffciet primum terminum, vd ad fummum bina priora accepiffc.

' 6. et. Tam igitur infignem relationem inter den- fitatem atris q €t altitudinem preffioni debitam f fumus adepti, cum fit

pm65-»Nxariax—3)2Hi(1-»)9),

vbi tam litterae p et 4 quam A determinatos fortiuntur valores. Erit fcilicet f altitudo Barometri aquei, preffio- nem Atmofphaerae aequilibrantem , cuius igitur pars cir- citer decima quarta dabit altitudinem. Barometri mercuria- lis; tum vero etit 4 ad x. vt dehfitas a&ris ad denfitatem aequae. Denique À exprimit portionem vaporum aqueo- rum per Atmofphaeram diíperforum. His obferuatis folus primus terminus feriei pro f inuentae, t^ (1 —2)4, infigne phaenomenon iam nobis egregie explicat. Inde enim patet, quo plures vapores cum. aére fint permixti, quorum quantitas eft vt A, prefhonem $ effe debere tan- to minorem, pro eadem fcilicet aris denfitate 4, atque haec explicatio, quam iam olim loco fupra citato inue- neram, notatu maxime digna eft viía.

Mm ts Neque vero folus primus feriei terminus iftam elafticitatis aéris diminutionem declarat, fed etiam omnes fequentes termini minores funt quam fi effet A—o, nullique vapores in aére verfarentur. — Ceterum hic quo- que notari oportet, etiam litteram c infignem variationem fubire poffe, pro rapiditate motus gyratorii in. noftris

fphaerulis vel bullulis, quae. cum. gradui caloris PIDBORUMY Y.» nalis

eG. )ize( GS

nalis effe videatur , aucto vel diminuto calore etiam. quantitas c.c vel increfcet vcl dimnnuetur..

6. 23. Quin etiam hinc ipfa celeritas c, qua ma- teria a&rea in bullulis gyratur, abfolute determinari pos - teft, pro data fcilicet altitudine f$ et denfitate 4 cum hu- miditare A. Sumto enim primo.tantum feriei termino, qu£ ad hoc inflitutum prorfus fufficit, erit c c — evi vne de patet, hanc celeritatem. dire&e proportionalem effe al- titudini Barometri f, reciproce vero denfitati aéris 7; tum vero, auctam ob humiditatem A, celeritatem c etiam auge- ri. Conftat autem in pedibus Rhenanis effe 6 g — 93 5. lítius igitur formulae radix quadrata dabit celeritatem gy- rationis in paribus pedibus expreffam: Indicabit enim nue merum pedum, qui hac celeritate vno minuto. fecundo

percurrerentur.

Y

6. 24. Cum calor a celeritate procul dubio pen- deat, indagemus. iftam celeritatem | tam pro maximo calore, qui in aére aperto-obferuari folet, et qui in "Ther- mometro Delis/iago refpondet quafi centum gradibus, quam pro fummo frigore, quod refpondet 200 gradibus in eo- dem 'Tllermometro. Pro priore ergo cafu, quia aér ett rarifümus, fümamus 4-— 4, fimulque ipfi p fummam altitudinem tribuamus, quae eft quafi 34. pedum in. Daro- metro aqueo. lpfam humiditatem vero hic penitus nez gligamus, vt fit A— o. Ex his iam valoribus colligitur

€06—93,75* 84 * 1000 — 8187500, ideoque ipfa celeritas c — 1790 ped. quae ergo reípon- det ioo gradibus '"hermometri De/is/iani.

6. 25.

m^ )igs ( See

6. 25. Simili modo pro fummo frigore. 200 egra- dibus. refpondente, fumamus denfitatem 4 — ,5,, altitudi- nem vero Barometri etiam minimam accipiamus, fcilicct $— 31 pedum, hiucque colligitur.

€625 98,75 * 31 x 200 — 2034375; ideoque c — r350, quae ergo celeritas ducentis gradibus 'Thermometri De/isliari refpondet, ita vt differentia inter has duas celeritates fit 360 pedum. Hinc intelligitur, fi plura huiusmodi experimenta inflituantur, haud difficile fore pro fingulis gradibus huius Thermometri refponden- tes celeritates affignare. Quo pa&o i(tud "Thermometrum ad multo maiorem perfe&ionis gradum. euehetur.

$. 26. Eodem modo etiam reliqua inftrumenta, quibus aéris indoles explorare folet, beneficio noftrae for- mulae magis perfici poterunt. Quod. quidem ad Barome- trum attinet, id vix vlla emendatione indiget, fi modo pro quouis caloris gradu ratio denfitatis mercurii habea- tur; quo enim mercurius minorem |liabuerit denfitatem , quod fit in magno calore, tum altitudo baromietrica fecun- dum eandem rationem imminui debet, vt ad certam den- fitatem fixam reuocetur. - Summo. autem frigore ,.. quo Mercurius in fpatium aliquanto minus contrahitur, ideo- que eius denfitás augetar, ob hanc rationem: altitudo Ba- rometri obferuata aliquantillum augeri debebit.

$. 27. Praecipuum autem inítrumentum , quod

ad Theoriam nofiram explorandam requiritur, eft Mano- metrum, nunc quidem fere prorfus obfoletum, quo den- íitas aéris indicatur, ct cuius deícriptio exftat in JPo/fii Y'3 Elemen-

et53 ) r4 ( Be

Elementis | Maibefcos Tomo Il, vt et in- Mémoires de PA- cadémie Royale "de' Paris x 705. — Pro ufu autem noftro optandum effet, vt gradibus arbitrariis in tali inftrumento fignatis adícriberentur numeri, indicantes, quoties denfi- tas at&iis minor fit quam denfitas aquae , quam tan- quam fixam fpectare pofíumus, quippe cuius exiguae variationis, a maiore vel minore calore oriundae, ratie facile haberi poterit. | Pluribus autem experimentis erit &pus, antequam. hoc infirumentum ad fummum perfectio" Ris gradum perducatur.

$. 28. Supereft autem adhuc inftrumentum, hu- miditati a&ris dimetiendae aptum; quod Hygrometrnm appellare foler.. Plura buiusmodi inftrumenta | pafüm .ex- ftant defcripta; verum. valde dabitandum "videtur, num veram aquae quantitatem , per aérem difperfam , declarent, Interim. tamen plurimis etiam nouis experimentis opus erit, haec infirumenta ita inílruere, vt quouis tempore verum valorem noftrae litterae A, hoc eft eam fractio» nem, quae indicet, quotam totius voluminis partem aqua fcu husnidites in. aére occupet, doceat, a quo perfectio- nis gradu etiamnunc plurimum fummus. remoti,

$. 29, Cum igitur in "Thermometro Deisliano gradui 209, quo infigne frigus indicatur, refpondeat ce- leritas 1430 pedum in minuto íecundo, quia congclatio Mercurii adhuc maiorem gradum frigoris poftulat, ci cir- citer refpondebit celeritas 1200 ped. ita vt, nifi celeritas ifta fuerit maior, Mercurius fluiditatem - penitus amittat. Deinde cum gradui. 100 refpondeat celeritas 1790 pe- dum, quia terminus congelationis in gradum 150 cadit, idit

ec32 ) 175 ( $55

cui ergo refpondebit celeritas 1610 ped., celeritate ma« iore opus €rit, ad aquam in flatu fluiditatis. conferuams dam. 1

6. 50. Quia porro gradus ebullitionis aquae in hoc Thermometro eft o, ei propemodum: conueniet ce. leritas; 2150 ped. vbi ergo aqua ebullire incipiet. Et quia in noftra formula altitudo Barometri potifümum ingredi- tur, hinc intelligere licet, cur, aucta aris clafticitate, maior gradus ad cbullitionem aquae . requiratur, et cur, minuta elafticitate, aqua etiam in minore gradu caloris ebullire .queat, quemadmodum experimentis eft compro- batum, cuius, phaenomeni ergo cauffa in noftra formula fime dubio erit quaerenda,

$. sx. Neque vero celeritas, ad quemuis calorís gradum aéri inducendum requifita, tantum ad a&rem fpes &are efl cenfenda,.cuius fcilicet minimae particulae tantà ecleritate commoueri debent, fed etiam in omnibus. plane corporibus. perinde locum habere videtur. Omnes que- que naturae fcrutatores in hoc conueniunt, quod cauffa caloris in motu quodam perniciffimo minimarüm particu- larum confiftat. Quae ergo fententia. nom folum noftrae Theoriae maxime eft conformis, fed etiam ipfam celeri tatem , cuilibet gradui caloris conuenientem, «affignare' va» lemus. Quanquam autem.haec celeritas maxime enormis videatur, tamen perpendendum e(t, in natura dari celeri- tates adhuc incomparabiliter maiores, cuiusmodi eft celé- ritas radiorum lücis, in quibus cum cauffa omnis 'caloris fit quaerenda, mirum non eft, hinc tam infignem celeri- tatis gradum generari poffe.

$. 32.

c9Hio)cr96 ( Ee

$. 52. Sed reuertamur ad noftram formulam fü- pra inuentam et ad folum aé&rem proprie accommodatam, quae haec quatuor elementa: 1^?) altitudinem preffioni- de- bitam p; 2?) denfitatem a&ris 4; 5?) gradum caloris, for-

cc

mula 77 contentum et 4^) gradum humiditatis À complecti-

tur. Ex datis horum elementorum ternis quibusque quar- tum affignari poteft; ita, fi dentur denfitas a&ris q, gradus caloris ems cuius loco br. gr. fcribamus P et gradus humi- ditatis A, hinc altitudo, preffioni debita, f in genere ita exprimitur, vt fit p — b 1:— 7, quam pro faciliori cal-

1—dq culo in- hanc feriem refoluimus:

B-—b(a—2A)g--i(x—22)44--5(1 —2)4' 4- etc) cuius applicatio iam fatis e(t expofita.

6. 53- Ponamus nunc dari primo altitudinem preffioni debitam f, fecundo denfitatem aéris 4, et tertio humiditatem A, hinc gradus caloris b — $, ita definitur, vt fit b— n hincque, logarithmis per feriem ex-

1—q - preffis, erit b—pi((z—44-i(r—494-2i0—»)q a ete] cuius feriei plerumque fufücit folum primum terminum cum fecundo fumfiffe.

6. 34. ^ Sin autem detur altitudo preffioni debita f, meníüra caloris 5, ac tertio humiditas A, inde ad dem- fitatem 4 inueniendam - recurrendum aj ad Mies f p

c —r, ynde pofito br. gr. e ied erit. q.— Eas et

cum ft e

"ES )*77 ($8

et quia b plerümque plurimum excedit 5, cum per fe- riem fit k-acher£to--5.-1- etc.

6 bs

$. 35. Deniaue fi detur altitudo pretfioni debita p, meüfuüra caloris P, et denfitas g, per formulam expo-

nentialem e^ — kc RM humiditas. A ita determinetur,

vt fit A — cim, quae expreffio hoc laborat defectu, vt minimus error, in elementis datis 5, k et 4 commiffus,

enormes errores in valore A producat.

$. 356. Imprimis autem no(tra formula commo- difme adhiberi poteft ad Problema a&£rometricum maxi- mi momenti refoluendum , quo quaeri folet, quanta vi opus fit ad aérem in fpatium quantumuis minus coarctan- dum, cuius ergo folutionem hic fubiungimus.

Problema.

Inuefligare, quanta vis requiratur, ad datum aéris eclumen in fpatium quaniumuis minus comprimendum.

Solutio.

$. 37. Ponamus a&rem comprimendum in tubo cylindrico. contineri, cuius. amplitudo. fit. — ff et comt- preffhonem per emboli iutrufionem produci; tum fi altita- do, preffioni debita, fuerit — p, vis sedenti aequabitur

Acla Aead. Imp. Sc. Tom. IIl. P. I. Z ponde-

ec35 ) x58 (. $59

ponderi columne aqueae, cuius bafis — ff et altitudo — f, ita vt ifla vis per maffam aqueam expreffa fit — ff. Ponamus in flatu naturali, vnde compreffio inchoat, alti- tudinem preffioni debitam efie — a, denfitatem vero aé&ris naturalem — 5; at vero menfurae caloris cum humidita- te, quoniam durante compreffione nullam mutationem pa- tiuntur, fint vt ante P et A, ita vt fit a2 b —95, fiue proxime a — (1 — 2) P.

$. 58. Ponamus nunc intrufione emboli iftud aé- ris volumen iam in fpatium 7 vicibus minus effe com- preffum, ita vt iam eius denfitas fit 4 — z P. vnde quae- ri debet altitudo preífioni debita 9, huic denfitati refpon- dens, que ergo, loco q fcribendo z 5, erit b] —*^**; vnde nifi compreflio iam fatis fit notabilis, fatis exa&e erit p— b(r—2)nb. Hinc patet, preffionem 5 exacte proportionalem effe numero z, fiue preflhonem fíemper denfitati effe proportionalem, nifi compreífio iam fit ve- hementer magna.

6. 59. In maioribus autem compre(fionibus ad- liberi etiam conueniet fecundum feriei terminum, ita vti fit

9-b((x—»)nb--i(x—2A2)nnb b),

cum initio fuiflet f — a, quae ergo altitudo quanto iam fit maior, definiri debet ex^ hac formula:

PB-—mndiudnanb, vnde patet, vim comprimentem plusquam 7 vicibus effe iuaiorem , prorfus vti per experimenta eít obferuatum.

$. 40.

«sts )1y75$ ( B9

€. 40. Sin autem compreffio longe vlterius con- tinuari concipiatur, recurrendum erit ad formulum loga- rithmicam » — 5/ —À*5, quae, comparata cum preffione

1—nb 2

initiali a — ^7 —— dabit p — ;—2nb. 1—AÀb Pl 1—n5 zi )1—bo*

Quia autem pofterior logarithmus eft fatis exa&e (1—2)7, erit

fu —— Lu 1—AÀub. CO nt EEPSGI EC

vnde patet, cafu zn b — x fiue 7 —;, vim requifitam fie- ri infinitam,

6. 41. Quo haec clarius perfpiciantur, ponamus pro ftatu initiali effe P — 4,, fiue denfitatem aeris ad a- quae denfitatem effe vt 1 ad 8o0o, humiditatem autem X penitus ffeponamus, eritque ergo a pre(ho Atmofpherae naturalis, et quaeramus nunc, quotuplo maior prefüo re- quiratur ad acris volumen in fpatium 75 vicibus minus co- ar&andum; tum igitur formula ante data nobis praebebit, P—800/].—*., vbi logarithmis vtendum erit hyperbo-

800— TL

licis. 1ta fi aér in fpatium quadringenties minus com- primatur, hoc eft, fi y — 400, fiet 7 — 554; fcilicet vis, quae tantum effet quadringenties maior, non fufficit, fed requiritur vis 554 vicibus maior. — Quodíi autem condenfatio in fpatium 700^ minus poflulatur, vi opus erit 1663 vicibus inaiore.

$. 42. Operae igitur pretium videtur, pro hac hy- pothefi b — . et A— o tabulam con(lruere, indicantem,

quotuplo maior fiat vis comprimens requifita ad a&rem Z2 in

ef32 ) x80 ( £&2e

in fpatium s cuplo minus redigendum. Sequens tabula igitur ofiendet pro fnguis numeris 7 valorem formulae

P — 8001."

vbi pun. condenfationibus minoribus erit

:nm 1. «3 -—n 2 $00 5 $502 ?

ita vt tantum logarithmis T OE indigcamus, quan- do numerus z vltra ico affurgit.

44, OIOO 5, 0157 6,0226/(250|299, 75 717 0308,2754(336, 97 818,040315300|376, oo 919.0510[350|460, 28 xo|10. 06651400[5544 48 20|20, 254.1450 |661, 54 80139, 577,599,784. 64 40|41,035|550|939, 52 50|[51,630|[602|1109,0 60|62, 369|659|[1359, 2 70|73, 254.| 70911663, 5 80,84, 288,750, 2218, I 90|05., 477,800] infit. 100|106, 82|

225|2

$. 43-

eni )asr( fue

6. &5. Manifeftum eft vires, ad acrem compri- mendum requifitas, in hac tabula exhibitas, iam in fe comple&i preffionem Atmofphaerae; vnde fi tantum vi- res actu adhibendae quaerantur, iubtrahi debet inde illa prefio, feu, quod eodem redit, ab omnibus his viribus fubtrahi debet vis cafui z — r refpondens. Praeterea ob humiditatem, quam hic negleximus, omnes vires hic de- fignatae aliquod incrementum nancifcuntur; fcilicet, fi pro cómpreffione z cupla vis fuerit — 5 -- 7, ob humi- ditatem A i(la vis erit 7 -- (1 -4- A) 7.

De variatione flatus aeris per vniueríam Atmofphaeram.

6. 44. | Quae hactenus funt tradita ad aerem in certo loco exiflentem re(tringuntur. ^ Nunc autem videa- mus, qua lege flatus aéris per Atmofphaeram fiue afcen- dendo fiue defcendendo immutetur. — Hic igitur in certo Tab. IV, Terrae loco A ftatum. a&ris tanquam cognitum affümemus, Fig. 3. hincque verticaliter. afcendendo inueftigabimus, quomodo pro quauis altitadine A Z — z, ftatus aeris fe fit habitu- rus; vbi evidens eít, fi ad interiora Terrae defcendere velimus , altitudinem z tantum negatiuam effe accipiendam, Hic igitur ante omnia pro loco fixo A ftatum aeris defi- niri oportet, fiquidem pro quauis altitudine A Z — z ele- menta calculi cum hoc loco comparari conueniat.

6.45. Sit igitur primo altitudo Barometri aquei pro loco A —a, et pro loco Z—5; fecundo denfitas a&ris in A. fit — b, in Z vero: 2 4; teitioofit hnumiditas in A — 2,

Z. 3 in

«R35 ) I85 ( ec9ke

in Z vero — (Q; quarto denique ponatur celeritas motus gy- ratorii in fubfidium. vocati pro loco A — c, pro Z vero — u. t.

Tum vero pro loco A fit breuitatis gratia —7 — 5, pro loco Z

2. c autem fit 77 — v; vbi notetur, quantitates b et v longi- tudinem plurium milium pedum defignare, propterea quod celeritas c plerumque, inter terminos r4o00o et r$0oo pe- dum continetur. Quia igitur valores litterae c iam ad gradus Thermometri relatos affümimus, pro praecipuis va- loribus celeritatis c valores quantitatis 5 in fequenti tabu- la adiungamus, incipiendo a c — 1200 vsque ad c — 2000 per 5o aícendendo:

b b 1200/15560,1650'29040 1250|16667 1700 (90827 15300/18026,1750 32667 1350|19440 1800| 54560 1499] 2099y 1$50|36507 1450|22427 Louis LIBE! I500|24000,|1950,40560 1550|25627?|2000|42667 1600127307

€ €

6. 45. Quia denfitas a&ris afcendendo decrefcit , euidens cít, íolum primum terminum feriei fupra datae abunde fufficerc ; vnde ftatuere licebit p — (x —D)vq4, quae formula etiam tuto adhiberi poterit, fi in viícera terrae defcendamus. — Hinc igitur denfitas in loco Z erit f$ ug. vnde fi per elementum Zz-—dz vlterius

afcendamus, preffio in z erit ? -i- 2p, quae autem minor erit

/

WE ) *$83 ( eco

erit quam in Z pondusculo aéris in interuallo Z z con- tenti, quod reperiemus, fi eleinentum sx per denfitatem q multiplicemus, vnle fit 25 ——qdz. Ergo, loco q fab?ituto valore modo dato erit dp — — Peso hinc- que dz — — C—7!?7*, quae aequatio, quia tam v quam (Q tanquam, fun&iones altitudinis z funt fpe&andae, ita re-

pracfentari debet: . Doer IT ES cuius integrale eft

) d x ——À quam conftantem C n definiri oportet, vt cafu z — 0, quo fimul integrale f E euanefcere debet, enadat p — a,

vnde 'erit. C —4 a, TETRES y 2 M

6. 46. Sini(trum igitur membrum huius aequatio- nis erit certa fuuctio ipfius z, pendens a ratione, fecun- dum quam tam calor quam humiditas afcendendo fiuc crefcit fiue decrefcit; membrum vero dextrum tantum al- titudinem barometricam tam in A quam in Z inuoluit , cuius logarichmus hyperbolicus fumi debet. Atque hic pe- rinde eít, fiue altitudo Barometri aquei fiue mercurialis in calculum introducatur , quia fractio -— inde non mutatur. Cum igitur fit /— — 7a — 7f, valores horum logarithmo-

rum hyperbolicorum pro fingulis altitudinibus Barometri mercurialis, quae per digitos indicari folent, in fequenti tabula ab altitudine 36 pollicum , ad quam certe infra Terram defcendendo nunquam peruenictur , diminuendo per femipollices, exhibecamus :

Alt.

e63$. ) 184 ( S93

A]t. Alt. Bar. Bar.

Alt. | Losear. Bar. | hypeib.

Logar. hyperb.

36,0|3.583519 26,0 | 3,258997 E essc E 35,5|3:569533,25,5,3:238679 | 15,5| 2,740840 35,0|3.555348|25,0| 3,218876, 15,0]2,708050 345,5|3,540960,24,5|3,198673 | 14.5| 2.674149 34,013,526361|24,0|3,178054| 1450 2,639057 33,5|3,511545|23,5| 5,157001| 13,5 2,602690 53:918.496508|23,0| 3:135494.| 13,0 2.564949 32.5|3,481240,22,5|3,113515| 12,5 | 2,525729 32,9113,465736,22,0|3,091042|12,0| 2,484907 31,5|3,449988,21,5| 3,068053 | 11,5| 2,442347 31,013,433987| 21,0| 5044522|11,0| 2.397895 30,5|3417727129,5| 3,020425 | 106,512,5515375 39,0 |3,401197 29,012,995732 10,0 2,302585 29,5/3,384590!119,5|2,970415| 9,5,2,251292

29,0|3,367296/19,0/2,944439| 9,0| 2,197225 28,513,849904118,5|2,917771]| 8,5,2,140066 28,02|3,832205|18,9,2,890572| 8,0|2,079442 27,5:3,814186|17,5|2,862201, 7,5|2,014903 27,0|3.295837|1'59|2,833218]| 7,0|1,945910 26,5|3,277145|16,5|2,803561| 6,5/ 1,871802

Hic perinde eft quanam digitorum menfura vti velimus, quia tautum ratio in computum ingreditur.

6$. 47. Quod fi tam calor quam humiditas per totam altitudinem £z conftans affümatur, vt fit v — b et

(p — A, aequatio noftra integralis erit —5., — 7 74, vnde | (i —2A)b p?

pro quauis altitudine barometrica altitudo À Z — z inno-

teícit,

ec j)oarss( $9

tefcit, cum fit z —(1—2)51I 5: Vicifim vero pro al- titudine A Z data, pofito

z go 0 —y j^erit 96 ES ; ideoque 5 — eu Quia autem haec fraio —*.5; eft plerumque quam mini- ma, erit proxime pictas res ur qus err e or rim in ideoque

LE PAM aC: P C PINO 23 MAS. $-—a(1 G—3)5 7T 30-3855 stioayas t- ete.)

6. 48. Hic autem cafus vix vsquam locum habe- bit: certum enim eít, per Atmosphaeram afcendendo, gra- dum caloris continuo diminui. Etfi autem ratio diminu- tionis maxime latet, tamen non multum a veritate aber- rabimus , fi valorem ipfius v hoc modo repraefentemus:

v — ——-z , ita vt in altitudine z — f valor ipfius 9 ad

dimidium redigatur; tum enim, cognita hac altitudine f, ifta formula vix a veritate aberrare poterit, Hanc ob rem fumamus V.H, humiditatem vero per totam altitu- dinem inuariatam fpe&emus, vt fit (D — A, quia plane non conflat , quomodo variatio humiditatis in calculum intro- duci poffet, cuius etiam effectus vix fenfibilis effe poteft ,

quia maximus valor ipfius A nunquam &;, fuperare pofie videtur.

$. 49. His igitur valoribus fubflitutis aequatio noftra erit

1 (f A z)ds —— a pius j —I$

Atia Acad. Imp. Sc. Tou. 1HI. P. 1. A a vnde

et ) 186 ( $83 vnde Rad ar in(tituta erit ^s TM. a (i NI (s m ex) hs ex qua aequatione , fi modo Mihi altitudo f; vbi men-

fura caloris v ad dimidium redigitur, ad quamuis altitudi- nem sz aflgnari poterit altitudo barometrica p.

6. 5c. Hic autem occurrit quaefítio maximi mo- menti, quomodo pro quauis altitudine Barometri , fupra Terram afcendendo obferuata, inde ipía eleuatio loci, fiue altitudo A Z — e definiri poffit. Euidens autem eft, ta- lem conclufionem ex fola altitudine Barometri neutiquam deriuari poffe, nifi fimul innotefcat quantitas illa f. Quod fi autem infuper in Z obferuetur altitudo "Thermometri , ex ea valor ipfius v concludi poterit, quandoquidem hic affumere licet, pro quolibet gradu "Thermometri innotes- cere celeritatem motus gyratorii c, fiue noftro cafu qu, vnde fit v — **. nuento igitur vero valore ipfius v, ob

A. Ud - NI : : - e NMETUE viciffim Aqui d DL po tz 5 aq

firema aequatione fubftitutus bbs hanc: SUME T aa

v» -—2(1—2A)bv confequeüter habebimus z — INE 13

6. 5r. Ope igitur huius formulae per folas ob- feruationes barometricas et thermometricas eleuatio cuius- que loci fuper horizontem affignari puc quae, cum fit b —Ltete-li, itae habebit: s/— ru Eur vnde fi Thermometrum iam fit inftru&um, vti fupra mo- nuimus, quacuis altitudo fatis facile affignari poterit ope ob- feruationum. barometricarum et thermometricarum. X Ac fi pro e prodeat valor negatiuus, quod euenit quando $7 a,

DE

inde profunditas infra fuperficiem "Terrae patefcet. 6. 52,

eH )rsy( Sue

6. 52. Quia autem celeritatum c et t valores ad- huc quandam incertitudinem inuoluunt, propterea quod obferuationes multo accuratiores requirunt, quam quidem inflituere licet, optandum effet, vt noftra formula primum ad cafus tales, vbi eleuatio loci aliunde iam eft cognita, applicetur; hinc enim facile accuratiores determinationes litterarum c et 4 concludi poterunt; hocque pacto fimul confiructio Thermometrorum ad maiorem perfectionis gra- dum perducetur. Qui autem indolem noítrarum formu- larum omni ftudio perpendere dignabitur, longe plura ad fcientiam naturalem promouendam inde deriuare poterit.

Aaa DE-

Tab. V.

Yig. r.

ec ) x88 ( Ge

DESCRIPTIO INSTRVMENTI

AD DECLIVITATEM LOCORVM MENSVRANDAM APTL

Auctore P. INOCHODSOF.

D, operationibus Geodeticis, circa communicationem Wol- gae et Tanais explorandam inftitutis, adhibuimus pe- culiare inftrumentum, cuius ope non folum diítantias ho- rizontales omnium linearum pro bafi affüumtarum, fed et- iam earum decliuitates, vt eleuationem vnius extremitatis ratione alterius notam haberemus, atque fectiones aluei Camyíchenkae cum fucceffü menfurauimus. — Succinctam huius inftrumenti defcriptionem, ob fingularem eius ftru- &uram, ct praefertim quum iftud in nonnullis cafibus li- bellationi fluuii Newae propediem fufcipiendae inferuire poteft, non ingratam fore confidimus.

Adpofita figura repraefentat hoc inftrumentum:.

A CB ett affis ex ligno duro et probe exficcato parata, cuius. craífiies fesquipolicem non excedit; longitudo vero cum cruribus ipfi ad angulos rectos fubnexis aliquantum excurrit pedes Londinenfes decem. — Altitudo crurum A F, BD,

ea )ai89( Sie

B D, ab inferiori affis parte duorum pedum; extremitati- bus eorum affüxi funt coni ex orichalco tornati, quorum cufpides decem pedes exad&e diftant. Prope conorum ver- tices prominent. orbiculi, determinaturi quousque crura terrae defigenda fint; . quod in qualibet inítrumeuti collo- catione probe aduertendum: fin autem occurrat folum du- rum, cufpides folumtínodo ponendi, et bene notetur vefti- gium cruris anterioris, vt (equens in eodem puncto locc- tur. Poffunt etiam hi coni ad dicam normam ex ferro parari viliori pretio. —Affis et crura, ne mutationem a. humore fuübeant, pigmento tinguntur.

FGH femicirculus orichalceus affi affixus, atque in gradus integros et dimidios diuifus, quibus ad vitan-

dam angulorum confufionem numeri ferie interrupta ad- fcripti.

KMN regula orichalcea, facile mobilis fupra a- xem chalybeum bene politum, et centro femicirculi in- fertum, cui illa, ne decidat, peculiari cochlea M adnecti- tur. Pars regulae fuperior geítat Nonnium, cuius bene- ficio fingula minuta prima aeítimari poffunt. — Vt ambae diuifiones circuli ac Nonnii propius ad fe inuicem acce- dant, pars haec aliquantum reclinata. — Inferiori vero ex- tremitati adplicatum eít pondus X, regulam in fitu ver- ticali femper tenens: conftat illud duobus globis iunctis, quorum poíticus mouetur in canaliculo femicirculari ex- cauato; atque ope cochleae r, per adnexas regulae lami- nas tranfeuntis, promouctur vel remouetur, prout res exigit, vsque dum. initium Nonnii gradui go"^, in fitu

ÁAa5 infiru-

"Tab. Fig.

V,

25

ege. )roes(. SES

infirumenti-- horizontalij:; exacte. refpondeat... Hoc modo alteratio. ex quacunque caufla orta corrigenda eft,

Collocato iufirumento, fuper folo declini, regula oflendit gradus. et: minuta; ;inclinationis; quam obferuatio-

nem maioris.certitudinis; gratia, excitata regula repetere licet.

Ante operationem ipfam, fequens verificatio infti- tuitur. Locatis principio cruribus D. ad dextram et E ad finiftram, mnotetür decliuitas foli, deinde permutatis crurum locis infirumentum obuertatur et angulus inclina- tionis denuo obferuetur.. Dimidium exceffus vel defectus horum angulorum :a duobus recüs indicat errorem, quo anguli: obferuati/ minuendi vel augendi funt. Poteft etiam

hic. error, fi placet, ope cochleae r tolli, vt fupra no- tatum.

In menfurandis diftantis defignatur funiculo linea recta, ad quam locatur et tranfportatur inftrumentum , ita vt crus pofterius veniat in locum anterioris.

Alterutrum. extremum A vel B priorem occupare poteft locum, modo vnum idemque ad finem vsque lineae praeeat. Duo homines illud transportant, ct tertius ob-

fernat, vt. crura iufto modo ponantur, fimulque capit de- cliuitatis angulos.

Ex figura »^ liquet D — L cof p, E — L fin. (D; tum vero pro (Q fumitur hic 9o^ - Q et fin. (90* 4- (Q) — cof: p; cof. (9o* -- 4) — fin. (p. Hinc

-t52 ) 19r ( S$83e

Hiac 2 Li 3 ; : a" Wi!1 1 CE d h ^ p -rfn. (oo 3- Q) et E— -E T cof. (99? -E Q). Hoc eft di(tantia horizontalis. intra pedes inftrümenti obti- nebitur, íi longitudo ipfius per cofinum anguli-- obferuati multiplicetur; eftque femper pofitiua; quantitas vero de- cliuitatis habebitur, fi eadem longitudo in cofinum dicti anguli ducatur, et fit modo pofitiua modo negatiua, pro-

vt angulus acutus vel obtufus fit.

Quia longitudo inftrumenti ro pedum, diflantiam horizontalem íinus, et decliuitatis altitudinem cofinus an- gulorum obferuatorum ex tabulis depromü indicabant , pofita prima illorum figura pro numero pedum integro.

Quod íi extremum diflantiae menfürandae inte- grum inítrumentum non capiat, refiduum feorfim dimeti- tiendum erit: pofito crure anteriori in ipfa lineae extremi- tate A (fie. 3.), notetur intervallum a5! et habebitur: Tab. V,

d — a d! fin. inclin. Fig. 3:

e— a a! cofin. inclin.; |

vbj :prima cifra finus et cofinus pro parte pedis decima fumenda eft.

—MÁ—————À——————————————Ó—Á—Ó——————A TM ADULTI

TVBI

l

enl )xor( ise TVBI ICONANTIDIPTICI

SIVE DVPLICANTIS EMENDATIO.

Auctore C. G. KRATZENSTEIN.

D transa&ionibus anglicanis clariff. Ieaurat nuper defcrip- fit conftrucionem tubi optici, cuius binae Jmagines obie&orum fub regulari progrefhone tubi aut obiecti cam- pum tubi ab vtroque latere fimul intrant, fibi obuiam eunt, in axi coincidunt, deinde contrarii directionibus

difcedunt et demum fimul in oppofitis lateribus e campo tubi egrediuntur.

Eiusmodi tubum in obferuationibus aftronomicis nocurnis, praefertim in itinere inftituendis, diu exopta- tum obferuatori commodum praeftrare poffe quisque re- rum peritus haud difficulter perfpiciet. Quodfi enim eius- modi tubus pro fimplici in quadrante aftronomico fubfti- tuatur, aut in inftrumento culminatorio adhibeatur, nec reticulo aut filo in foco obieciui, nec illuminatione hu- ius fili amplius opus erit; fiquidem exacta vtriusque ima- ginis coniunctio indicat, obiecum haerere in axi prolon- gato tubi. Contacus limborum vtriusque imaginis inter

fe,»

et32 0) 193 ( ew

fe, (e. g. folaris) in congreffu et digreffu et tempus in- terceptum inter vtrumque contacum eadem momenta & obferuationis requifita fuppeditat aftronomo, quafi is ad- pulfum vtriusque limbi ad fitum reticuli obferuaffet. Val- de autem incommoda eft in obferuationibus nocturnis fi- lorum reticuli illaminatio. Non folum enim in vfu qua- drantis vmbraculo vel alio munimento opus eft, ne oculi fimul collufirentur et ad confpiciendas ftellas inepti red- dantur, fed quoque focio plerumque opus eft, illumina- tionis negotium peragente. In culminatorio quidem ad- paratus illuminationis paullo commodius ipfi tubo infiftere poteft, ipíae tamen fixae primae magnitudinis prope ho- rizontem obferuandae coeio licet fereno difparent, quam primum filum reticuli illuminatur. | De hoc impedimen- to iam olim conqueftus :eft celeberr. Monnier in pracfatio- re ad hiftoriam coeleftem pag. 25. Haud inutile nego- £ium itaque me fufcipere confido, temtando, anne hauc tübi optici fpeciem eousque perficere liceat, vt eadem ae- que commode ac vulgaris «tübus aftronomicus inflrumen- tis, fixarum obferuationibus deílinatis, adplicari queat.

Difpofitionem lentium in tubo iconantidiptico, quam elariff. leaurat in.transactionibus anglicanis expofuit , figu- ra 4 fifit. Scilicet lens obiectiua A in medio perforata Zona fua exteriori imaginem obiecti inuerfam in fuo foco 7D depingit. Altera lens obiectiua minor a eiusdem ob- ie&i imaginem inuerfam, fed minorem, in fuo foco B fi- füt. Hanc imaginem erigit ét per foramen lentis A in huius focum proiicit lens C, cuius focus parallelorum in (Q incidit. Eadem fimul imaginem B imagini lentis A aequalem reddit, Vt huic iutentioni fatisfiat, clariff. Auc- 4a Acad. Imp. Sc. "Tom. AH. P. I. D b tor

Tab IV. Fig 4.

eps )ase( iceye

tor fequentes commendat focorum et interuallorum | pro- portiones: fit e. g. diftantia foci lentis A 12 pedum — 1444; erunt diftantiae focales lentium 2 et C — 34/; interualla & B -—oC-—34';,BC-42",02;.inde refültabit tota. tu- bi longitudo a D — 254" — 21', 2/. Ita quidem erecta imago in focum communerm. D proiecta 41 vicibus maior

erit imagine prima B, et fimul imagiui inuerfae eiusdem

Tab. 1V. Fig. 5

obieci in eodem foco. aequalis. — Eft enim 4B; A LD* —RBhQ.CLD.

Cum idem effe&us multo compendiofiori et come modiori modo. obtineri queat, mihi quidem videtur clar. inuentorem in hac difpofitione aut primam fuam. ideam tantummodo. expofuiffe, aut magis. perfectam. huius. tubi: conftructionem. fibi.referuaffe. n propofita enim lentium: difpofitione. integer tubus duplo fere longior deuenit, quam fubfidia optica id exigunt. Deinde e lente obiecti- va maiori A media pars. exfcindeuda eft, vt radii imagi- nem erectam formantes illud foramen tranfire queant. Denique imàginis primae DB augmentum maius eft illo, quod conditiones inftrumenti expofcunt; inde vero aber- ratio vltra neccílitatem. augetur.

NMfcum itaque negotium in perficiendo lioc tubo in eo veríabitur, vt x) eius longitudo nom fuperet diftan- tiam foci lentis obiectiuae principalis A;. 2) Vt perfbra- tione huius obiectiui non opus fit; $) Vt augmentum imaginis B per lentem € erectae minimum fit, quod in- doles huius tubi admittit. . 4) Ne lens G H (fig. 5.) ima- ginem inuerfam Q.erigens radios luminis ab obiectiuo- ma- iori MN ad imaginem inuerfam D E miílos intercipiat ;.

5) vt

m sm | X195 | ceu

5) vt tam inuerfa quam erecta obiecti imago in foco communi D E aequali propemodum claritate et magnitu- dine appareat; rigorofa tamen vtriusque aequalitas non requiritur,

Vt fingulis hifce conditionibus fimul fatisfieri queat, primo loco ad datam tubi longitudinem augmen- tum diametri apparentis obiccüi ipfi conueniens et aper- tura obieciui minoris, quam illd augmentum expofcit dcterminanda funt. Sint autem diftantiae focales lentis ob- ic&iuae maioris MNN-F; (fiz. 5.) minoris AB — f, lentis inuertentis GH —f, obiectiui compofiti e lentibus MN et AB-QOQ, apertura lentis MN—A, lentis AB a, lentis GH-—2a, excefflus foci huius lentis vltra focum (p — e, laütudo imaginis D E, quam campus tubi comprehendit -— 7, augmentum diametri apparentis — z, augmentum imaginis primae (8p in foco communi D E, quod illam imagini inuerfae, quam lens M N ibidem depingit, aequa- lem reddit — z, ita, vt fit D: F — 1:». Quoniam in hoc tübo aberratio radiorum vtramque imaginem forman- tium paullo*maior eft ea, quam fimplex obieciiuum pro- dücit, fuadeo, vt augmentum datae longitudini tubi aut dilantiae focali F in tabula hugeniana refpondens ad di- midium reducatur, apertura vero longitudini refpondens minori obiectiuo concedatur.

Datae itaque longitudini tubi F in digitis refpon- debit 2 — o, 16 Y F; diftantia foci lentis ocularis

Bs gi-9);9 a. fm — 63113 9X 3$1Eu

Tti quidem minus aügmentum rubi duplo maiori claritate Bb 2 obiecti

—$35 ) x96 ( $e

obiedi apparentis compenfabitur et minor imaginis;prae- cifio minus erit fenfibilis.

Quia vero augmentum 7 imaginis primae in foco (D depi&ae eo magis increfcit, quo maior campus tubi eiusdem longitudinis defideratur, campus modo inuentus c— x,14 in tubo quatuor pedum vltra duos Soles duas- ve Lunas complectens fine detrimento vtilitatis tubi et cum lucro praccifonis imaginis erectae ad eam amplitu- dinem reducitur, vt paullo plus, quam integrum Solenr capiat. Cum enim telefcopium huius indolis non nifi obferuationibus aftronomicis inferuire poffit, eiusmodi cam- pus abunde fufficiet. — Statuendo itaque latitudinem ima- ginum in foco communi vtriusque obiectiui D E — c— S, angulus campi complec&tetur 34^ 22". Inde prodibunt di- ameter imaginis primae huic campo refpondentis

e o — hr — ,

1co, h

diuergentia radiorum extremorum huius imaginis. centrunr obie&iui A B tranfeuntium in loco lentis GH — $7, cui apertura lentis G H — a faltem. aequalis effe debet, immo praeftat, eam illa paullo maiorem effe, vt lens G H om- nes radios illam imaginem formantes excipere queat. Ex altera autem parte diameter lentis G H. vna cum fua ar- milla non transgredi debet angulum. A T D, ne radii ab obiectiuo maiori ad imaginem inuerfam D E tranfeuntes ab illa intercipiantur. Huic requifitofatisfiet faciendo

GHcvel asztct-43580 Bé verooA quise E Quo-

AJ 165 * 100a 4-F " niam interuallum (QD vnitate maius effe debct augmento » imaginis 9 QD, erit eA f—Im$PcI EZ, adeoque .

AG

: CRSURMCOE 54^ nri? 1 aa dii, SY — —— aC T. É EN |o ui? et ES RC TERN , ynde 2F.AT 100 Q [ÀT—2 F: (n4A-0] — mo Aem 1;

et denique 7 — £3; -i- x. Inuento autem augmento 7;

o5 q fingula reliqua quaefita dabuntur. In tubo enim iconan- tidiptico, cuius longitudo vel obiectiui maioris diítantia focalis data — EF, erit

A7 M aieo toii ee oe —r—17 pert —-n(r—21). «loni € — (n 4p 1)? ? ef SEED iwrs en — (n 4-1)? ? GH-—aciuiitAG-E.

Quia e:f — e-Ff- DG, erit diftantia imaginis erectae iü foco. communi a lente GH—DG- -——.F—d(. Vt

eadem imago imagini inuerfae in foco E nobcan aequalis fit, neceffe eit, vt fiat D: F —e-1- f:DG, adeoque

apri F-o—7. e 4- f. Eft vero q com, et e4- [c 1z9,

quibus fubflitutis pro 5.e-i-f aequalitas vtriusque quan-

titatis. elucefcit. — Conftat itaque aequationes inuentas re- quifitis huius tubi omnino fatisfacere.

Ex inuenta diítantia focali (D obiectiui compofiti e lentibus A B et M N diflantia foci f lentis obieciuae fimplicis minoris A B nunc determinanda eft, quae di- ftantiam foci obie&iui maioris F ad diítantiam (D reducere valeat. Eft vero fecundum Dioptricae leges .——- — (p,

FI adeoque f — F7, — —F-.

Vt denique ambae imagines in foco communi ae- Bb sg quali

253 f [DIO «553, )xes [5 920

quali claritate gaudeant, apertura obie&iui maioris A tan- ta effe debet, wt cius zona, obie&iuum minus ambiens arcam apercurae huius lentis aequalem complectatur. Frit itaque A A — 2a24, adeoque A—aY 271,4 4, Qmia vero armilla obieciuum miuus fuftinens partem huius zo- nae tegit, eadem apertura pro varia craíhtie huius armil- lae ad z,5 4 vel z, 6 a augeri poterit.

Licet apertura obie&iui maioris in nofiro tubo ma- ior fit ea, quam tubus hugenianus eiusdem longitudinis admittit, inde tamen confufionis imaginis fenfibile augmcen- tum non metuendum eft, Erit enim illa in nofiro tubo

A a

ad eam jin tubo hugeniano vt 5.:-— — 3:4.

2 (0

In gratiam eorum, qui praxin opticam exercent , diftantias focales lentum et interualla earum in duobus eiusmodi tubis iconantidipticis hic adiungam, quorum alter tripedalis quadranti aí!ronomico, alter 4 pedum inflrumen- to culminatorio adplicari poteft. Pofita fcilicet in primo diftantia focali obiectiui maioris F — 36/, erit apertura eiusiem A — 1,5; 5 — 21; diítantia foci obiectiui mino. ris f — 24/; apertura eiusdem a — c", 96; diftantia foci obiectiui compofiii (D — 14^, 4; lentis GH diftantia foci fzz5,184; interuallüm | A (3 —— 2395, 04 4, 6— 8 NEN e - fm 8^, 64; lentis G H apertura à — o", 21; ad 6^, 2 augmentum diametri apparentis 77 — 17; q — 2, x1.

In tubo meridiano fit F — 4$" — Muic conueniunt

x 1' 0905. Aj r5 velie. c qna esp] — o 7! adn

Qz-ra" 49s p op ME 2 uM I-[ — SEE

A G-—e5',s96. denique Gi -—a o0", 26 ad 0535 etu) — 4

Haud

em5 ):199( $-

Haud quidem me fugit, diftantias focales in praxi ea prfecifione non ob:ineri poffe, quam calculus indicat; fed neque indoles huius tubi eam exigit, quia in vfu eius nihii iatereft, vtrum ambae imagines in foco ocularis ex- ace acquales fint nec ne. [nteruallum enim temporis , quod inter ambos contactus limborum Solis aut Lunae in- tercedit, nihilo minus praecife idem manet, et coincidentia centrorum forfan melius diiudicari poteft, fi vma imago paullo minor et obícurior fuerit altera, ac fi ambae prae- cife aequales fuerint. Multo magis vero eo refpiciendum eft, vt ambae imagines exace im eodem loco vel in ea- dcm diftantia a lente oculari diflin&te formentur, ne pa rallaxis fenfibilis oriatur. Hunc iu finem lens G H eadein ratione faflineatur et per exiguum interualum — mobilis reddatur , qua fípeculum oculare in telefcopio gregoriano fulcitur et mouetur. Deinde. in foco lentis ocularis filum fimplex fericum ita firmetur, vt eius minimae afperitates fine oculi intenfione diflin&e confpiciantur. Dire&o nunc tubo ad obie&um aliquod acutum valde remotum et tecto ebiectiuo minori lens ocularis cum fuo filo ad illam di- ftantiam ab obiectiuo maiori con(ílituatur et firmetur, in qua parallaxis imaginis filum contingentis plane euanefcit. Aperiatur deinde obiectiuum minus, maius vero obtegatur, et examinetur, vtrum imago erecta limbo fuo filam tan- gens fimiliter parallaxi careat, nec ne; fin minus, inter- walium lentium A B et GH ceovsque mutetur, donec illa euanefcat. [n . hoc fitu fingulae lentes probe firmandae funt, ita tamen, vt axes earum fimul in vnam lineam coincidant. Methodus, hanc axium coincidentiam obtinen- di magis prolixa quam difficilis eft, et eadem fere enchei-

refi

eth joo ( iHe

refi abfoluitur,. quam clar. Peffememt in practica compo- fiione telefcopii gregoriani defciipfit.

Qui àberrationem ;radiorum «ex figura lentium fphae- rica oriundam proportionibus radiorum .conuexitatis len- tium inter fe aliquatenus imminuere ftudent, lentibus ob- jedjuis tribuant radios in ratione r ad 6 vcl 7 vel 8, et magis conuexam faciem obiecto obucertant. Lentis G H radii conuexitatum fint in ratione 1 ad 2 Yo! 5, et pla- nior lacies imagini 8 (Q exponatur. Aliqui quidem copti- corum arbitrantur , aberrationem figurae fphaericae debi- tam refpectu confufionis muito maioris e diuerfa radiorum refrangibilitate oriundae plane negligi poffe. Sed experientia me docuit, aberrationem debitam figurae lentium fphacricae in ipfis tubis achromaticis, in quibus. radii conuexitatis et concauitatis debitam proportionem in lente obiectiua compofita non habebant, obiecta confpicua moleíta nebuia obfufcare.

Cum noflro aeuo «methodus innotuerit, quomodo fola encheirefi in laeuigando et poliendo adhibita fpeculis et lentibus figura parabolica, hyperbotica et elliptica in- duci queat, operae pretium foret, vt geometriae fublimio- ris periti opticae practicos vberius inftruerent , quodnam emolumentum in imaginibus obie&orum perfe&ius depin- gendis a qualibet fe&ione conica lentibus inducta expectan- dum fit. Quas enim Cartefius. olim. eiusmodi lentium qualitates expofuit, nouo examine indigere videntur, fiqui- dem valde dubium eít, idem de obiecto latiori radiante valere, quod de puncto radiante valet.

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ANNO-

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TALL

ANNOTATIO IN PRAECEDENTEM DISSERTATIONEM.

«t5 ) 20I ( EI Mer

Auctore FL EFLER:O.

Hsc: tubus, idem obiectum fimul tam fitu erecto quam inuerío repraefentaus, fequenti modo facillime con- ftrui poffe videtur:

Eligatur pro lubitu tubus terreftris. ordinarius, qua- Tab. TV. tuor lentibus f p, qq, rr, 55, inítrucus, cuius fecunda Fig. 9. imago erecta cadat in gv, vnde per lentem ocularem 5 s oculo in O collocato repraeíentetur. Sit huius lentis ocu- laris 5 5 diftantia focalis — : et ratio multiplicationis, qua ifle tubus obiecta auget, fit vt zz: 1. Vt iam tubus aftro- nomicus per eandem lentem ocularem obiecta fub aequali multiplicatione oftendat, eius lentis obiectiuae diftantia fo- calis debet effc — :; s. Haec autem leus obiectiua in me- dio perforata fit, tanto foramine, per quod prior tubus transmitti poffit. Talis autem lens in medio foramen ge- rens haud difficulter parari poteft. Tum igitur prior tu- bus terreftris immittatur per foramen huius lentis obie&i- Aca Acad. Imp. Sc. Tom. IIl. P. I. Ge uae,

«E52 ) 20^ ( Siue

uae, quae fit IIII. At vero interioris itubi portio inter binas poftremas lentes rfr et $5 coütenta penitus auffera- tur, Yt etiam lens obiectiua I] II imaginem fuam inuerfam in ipfo loco g « proiicere queat. | Hoc igitnr modo vtra- que imago per lentem ocularem : ab oculo in .O con- ftituto confpicietur, eodem fcilicet modo, ac fi per vtrum-

que-tubum feorfim fpectaretur. ;

PHY.

LFIELISIC.A.

ec jos ( $3 RIA EADASURE I E EAUR a ione Beat Aute vb t IR DE

VESICVLAE FELLEAE HVMANAE DVCTVSQVE HVMANI CYSTICI ET CHOLEDO- CHI SVPERFICIEBVS INTERNIS.

Auctore Co EIEOO'DEOGU

: S, quis partes corporis humani inueflipare occipiat eo confilio, vt aliquid noui in iis detegat;! huic neque mini- mas, mea quidem fententia, neque quae maxime intra alias abfconditae fint, particulas adeundum erit. Nullus eft ductus in corpore humano, nulla forte artcria vel vena, nulla fane cauitas vafis alicuius aut vifceris tunicati, nul- lusque meatus, qui non ab aliis iam; immo etiam a mul- tis, eodem ipfifimo confilio fit faepius apertus et minu- tifime perluftratus. "Neque in minutioribus fübtilioribus- que particulis auri cumulos inuenire fperato, quae ipfae quippe eae imprimis funt, quas omnium maxime ab aliis iam faepius faepiusque microfcopiorum adminiculo exami- natas effe putes, ^ Si quid forte fperandum fupereft, in iis potius operam locandam eífe partibus arbitror, quae quo- | Cc 3 tidie

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tidie quafi anatomicorum fub. oculis. verfantur, quas ma- nubus quotidie tractant, quae omnium primo, incifo vel aperto cadauere, etiam nolenti occurruat, quas remoaere celeriter, occulta vt inueítigent, magisque larentia, fummo cum ftudio conantur. Ad eas cnim, vtpote a Galeno iam vsque deícriptas, delineatasque et examinatas, animum mi- nus aduertunt.

Quicquid autem fit eorum , quae dixi, nom plane inutilis tamen haec mea interioris flru&urae "veficulae fel- leae, duc&uumque biliariorum inueftigatio fuit. — Quan haud animo inueniendi tamen, fed folo eo confilio, fusce- peram, vt iconem mihi conácerem bonam, quam poffem cum leonina et cum tigridis ftructra comparare, et fin- eularia, quae in his pofterioribus effent, tanto facilius. per cipere atque obferuare..

Piicas continuo. reperi egregias in collo vefciculae; quae tamea non in fingulis corporibus reperiuntur, et ob ipfam hanc caufam procul dubio non fatis. defcriptae: ico- nibusue demon(ratae effe videntur. Cyfticus ductus. ple- nus deinde ett trabeculis et cellulis fingulari ftructura, cuius rei anatomici, nefcio quam ob caufam, nullam, quantum fcio; mentionem faciunt, Et ductus hepaticus, imprimis. chole- dochus, confperfus eft intus lacunis copiofiffimis muciferis, de quibus haec,pauca verba apud Hallerum reperio: effe, qui fibi perfüadeant , fe lacunas (in his ductibus) vidiffe, Operae pretium igitur effe, duxi, de rebus tam dubiis , vel etiam ignotis, vt iconem , quam mihi proprium pri- Yatumque ia vfum comparaueram , vna cum illis, quae tigridis ftru&uram repraefentant, publici iuris faciam, de- fcriptionemque aliquam fuccinctam illi adiungam.

Vefi-

e$32, J sov (. 5$

Veficulài igitur humaná, fecundum longitudinem incifa et aperta, bileque elota, pulchra «ius fuperficies interna, viilofa plerumque dica, apparet, quam tunica efficit tenera, mollis et quafi pulpofa, cuiusmodi omnes fere illae fiue internae fiue externac efle folent, quae te- neram Ííericeam illam, fiue villofam, naturam oftendunt. Ín ea praeter villos, (*) qui apparere videntur, dum ve- ficila fub aqua leniter motatur, rugulae imprimis, quibus vniuerfa interna fuperficies ornata eft, et pori quidam inuciferi notabiles funt.

"Veleti in tigridis ct in leonis veficula, laxior mem- brana eft interna et amplior exterioribus, iisque ea ratione applicata, vt rugulas vndique efficiat, multo quidem quam 4in leone et tigride leuiores minoresque ct fubiüliores, «at fimili fere modo tamen in reticulatam flru&uram difpofi- tus. Tam tervues fünt rugulae, vt filum mediocre craffitie in plurimis fedibus vix excedant, tamque fvbiile reticu- lum, quod faciunt, vt areolae rugis inclutae, lenticulam rarius, faepe vix granulum papauerinum, recipiant. lm- primis in parte «ollo propiori, tum etiam in ipfo fundo, et paffim in ampliori veficulae parte, tencerior eiusmo- di, eoque pulchrior, reticulata flructura obferuatur. — Ob- fcurior alibi eft, idque eo agis quo maiores areolae fant, quas rugae includunt. Nusquam tamen vel plane reticularis fabrica euanefcit, vel in aliam rugarum difpo- ! fitio-

(*) Veros villos, fiue vafa folitaria nuda exfcrta io his tunicis non cxi- fere , Lieberkühnii praeparata docuerunt. — Vifum «eft tamen. re- ceptum et inueteratum nomen reti;ere co magis, cum oculis inermibus vifie hae «unicae omnino fericeam cius modi faciem prae fe ferant.

ej ) sos ( $92

fionem abit, quemadmodum hoc in tizridis et in leo- nis veficula contingit, vbi vndulitae- paim ruzae, paíüm circulares, vel alia ratione difpofitae, iuXta reticulatas in- veniuntur.

Veris tugulis antem membranae internae laxiorís totum hoc ia humana cyftide reticulum deberi, nec fibris illud propriis reticulatim ductis effici, vt (fententia effe videtur nonnullorum anatomicorum, magnae in leonina et in tigridis veficula rugae facile demonítrant, quae ae- que ac plicae, dum membrana interna ab exterioribus membranis feparatur, eo ipfo de(truuntur et euaneícunt.

In iis reticuli areolis, haud tamen in fingulis, fed in paucis modo earum, pori muciferi inueniuntur, fpar- fin per omnem fuperficiem internam , fed adeo rari, di- fiributi, vt in vniuerfa veficulae cauitate vix vltra viginti numerauerim. Minimi funt, fetamque porcinam vix ad- mittunt, et proprio adeo nomine meritoque pori vocau- tur. (Interdum totam areolam fuam occupaut; faepius minorem eius tantummodo partem. — Ab areolis fimplici- bus ipfis autem profunditate íua facillime diftingauntur.

Mucum in his fecerni, feu vifcidum aliquem li- quorem, qui aptus fit ad leniendum parietem — veficulae, et quo munere proinde vero folliculorum | m"ciferorum hi pori fungantur, dubitari non pote(t, cum halitus ar- teriofus ipfe vel ferum arteriofum exhalatum in caueis . eiusmodi, quamuis paruis, collectum, ipía mora neceffa- rio lentorem contrahat, quo ad defendendum parietem

contra acredinem aptus euadit. Quare de omnibus etiam in

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in vniuerfum huius generis poris vel foraminulis caecis; maioribus minoribusue, quae in cauitatibus vifcerum vel meatuum et ductuum inueniuntur, affirmari poteít, effe iu iis hunc finem naturae, vt fuperficies internae viícerum aut meatuum iftorum lubricentur et contra acorem defin- dantur ope liquidi alicuius fpiffiufculi, .quod neceflario in his criptis aut poris generatur.

Quamuis plicae in veficula fellea humana. omnino notatae fint ab Auctoribus; multa tamen incerta, dubiofa, imo ct falfa, in defcriptionibus eoram «continentur. JJig;- Jovus (*) tunicam internam veficulae magmum numerum res fracfentare. atfferit. plicarum. retieularium. - Neque in huma- na vero vnquam, neque in ipía leonis aut tigridis veficu- la, plicae reticulares exftiterunt, neque magnus numerus plicarum eft, quo humana gauderet. Quae rugulae au- tem Phases ,vniuerfam omnino füuperficiem | internam replent, quas Vir. Celeberrimus confüdiffe cum plicis vi- detur, hae adeo vsque a plicis differunt, vt qui vtrasque non diftinguat, eum vix vnquam credas vidiffe veficulae exemplar, in quo plicae rite conformatae fuerint. Idem fummus anatomicus paulo poft (**) addit, dari plicas im- . primis verfus collum veficulae, vbi /omgitudinales fierent, Sed nusquam longitudinales neque in collo neque in cor- pore veficulae, neque «ctiam in ductu cyflico, reperiun-

tur. Deinde idem Auctor in fequentibus (***) plicas om- nino

(*) Expof Anat. Tem. M]. n. 295. (495 Eó8. cit. (***) Ho. 299.

Atta Acad. Imp. Sc. Tom. III. P. I. Dd

eni o)cre( fe

nino a rugis diftinguit, ponit autem rugas, vbi nullae dantur, et cui parti plicas attribuit, eam tamen eiusdem ftructurae efíe afhrmat cum reliqua veficula: Co/um «wefi- eulae inquit eiusdem ftre flruclurae efl quam reliqua. pars veficulae. | Inflru&ium eft intus. pluribus. rugis reticularibus et plicis quibusdam. — Neque autem rugae in collo dantur nec plicae in reliqua veficulae parte. — Ha/lerus in primis "lin. Phyfiol. 6. 688. tum collo veficulae tum duoctui et- jam cyítico rugas adícribit z0/4s quae a flexionibus colli er duclus intus. producerentur. in fivcatoque | folliculo aliqu.m valuulae fpiralis fpeviem. rcferrent ; quae idea autem. remo- tifüma a vero et omnino falía ett, cum plicae colli mis nime a flexionibus eius pendeant, fed fola interna tunica duplicata efficiantur, conftantesque maneant, ctiamfi vefi- cula et du&us ab omni vinculo externo foluantur et ex- tendantur. n Elementis fuis (*) Vir olim perilluftris ita fcripfit: Ferfus ceruicem | plicae | longitudinem magis fequun- lur. Neque quidquam praeter haec pauca "verba de plicis veficulae humanae in magno boc opere reperio. | Nun- quam autem longitudinales plicas in humana veficula vi- di, nec credo, eas vnquam exflitiffe; cum Vir perill. haec verba allegata a JFinslowo potius, cuius is ipfe locus, quem fupra memoraui, in notis ad ea verba citatur, et a Duvernejo, mutuaüe, quam propria experientia edoctus fcripfiffe videtur.

Sunt igitur verae plicae, diftin&ae a rugis, di- flincaeque et independentes a flexionibus, quas collum

veficulae et du&us cyfticus progrediendo cfficiunt. — Hae folum

(*) Tom. Vl. p. 527.

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folnm collum, feu partem, du&ui cylindrico proximam, anguftiorem veficulae ad feptem quafi linearum. longitudi- neni vsque a principio ductus, occupant; nec quidquam iis ffmile in rcliqua ampliori veficulae parte obferuatur. "Iransuerfim collocatae exiftunt ad ductum veficulae, et circulos quafi integros in integra veficula repraefentare videntur; quae fimplices fcilicet plurimam partem et fe- paratae vna ab altera nihil aut compofitionis aut rcticu- latae ftructurae in fe admittunt. In eo, cuius iconem trado, exemplare quinque eiusmodi plicas numeraui, nec facile eas hunc numerum in corpore humano excedere puto. Prima, quae duc&ui cyftico proxima, minima eft et fimi'is fere trabeculis illis transuerfalibus, quibus ductus ipfe occupatur; rcliquae inde, prout cauitas colli veficulae fenfim amplior fit, latiores et maiores euadunt. Secunda et tertia in incifa et aperta veficula femilunares figura plicas referunt; circulares autem in integra effe videntur. lla minor, haec maior eft, vtraque fimplex autem et in- tegerrima. ldem'^ de quarta dicendum, quae figura bi. ris prioribus fimilis, magnitudine tertiae aequalis eft. Quintam autem, fi tanquam vnam confideraueris, com- pofitam in hoc exemplare, et aliquo modo rcticulatam, appellare poffes. — Conftat enim ex quatuor minoribus pli- Cis, iiregulariter connexis, et cum praecedenti quarta quo- que in parte finifteriori cobaerentibus. Tota natura au- tem diucría cft a rugis reticulatis, ampliorem veficulae partem occupautibus, quas vt magnitudine et eminentia multum fuperat, ita contra rcgularitate iis longe eft poít- ponenda. (*)

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*» , E E F ; E TA (^) Loco hirum plicarum in alio corpore non mifi vnicam reperi mas guam

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Hae plicae, vt monui, omnes fola interna veficu- lae tunica duplicata efficiuntur, laminis, quibus conftant, duplicibus teneriori cellulofa coniunctis. Neque euanefcunt; etiamfi ab omni cellulofa externa veficula, imo ab inuo- lucro externo, quod ab hepate habet, liberatur. Eo ma- magis ergo miratus fum , cum in Elementis fupra laudatis (Tom. VL. p. 527.) fcriptum effe viderem, verbis quidem. Buffoniamis: ctiam in leoninae et iu tigridis veficulis vti in felis, lyncis, pantherae et catopardi, plicas ingentes. deftructa cellulofa tela aboleri; quae fane in leonis et ti- gridis veficulis, quas examinaui, nifi veficula ipfa deftru- €&a, íolutisque a fe inuicem tunicis fingulis, multo ctiam minus quam in humana, abolentur.

^ | Plicae

gnam et latam plicam, ea ratione ad oftium du&us cyftici pofi- tam, vt vi quacunque, a p'rte veficulae applicata, hoc oftium. perfecte claudcret..— Comprefferam. digitis veficulam eam, cum integra adhuc omnibus vinculis füis hepati adnata exifteret. — In- tumuit capitulum, feu pars colli extrema, ex qua recuruata du- €&us oritur. Quo magis premebam, «co magis capitulum exten- debatur; in ductu ipfo ne vmlra quidem intumefcentiae aut mo- tus alicuius percipi poterat R«epetii experimentum idem, cum tunica fua externa, quam a peritonato babet, veficula exuta et ab hepate foluta effet. Euentus omnino idem fuit. — Videntur fequentia mihi inde deduci poffe: r) Portionem nonnifi valde exiguam bilis füis temporibus ex veficula paullatim fübrepere et mixtam cum bile hepática in duodenum venire. 2) Hunc mo- tum bilis minime pieftione veüculae, a pleno ventriculo facta, fed vi alia, excitari, quin ipfum id potius, ne quauis fieri pof- fit aut concuffone aut compreflione abdominis, tantis a natura obftaculis, plicis, flexionibus, trabeculis, et cellulis, effe profpe- Cum. Poros muciferos, fuperius deftriptos, in hac veficula non reperi; lacunae vero choledochi du&us, quae defcribentur, copi- ofae fuerunt. -

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Plicae caeterum, vti a rügis, ita ef a valuulis, probe funt diftinguendae; quamuis fabrica his et figura fint faepe fimillimae. . P/ica' fimplex tunicae internae vafis, aut receptaculi alicuius, duplicatura eít, quae intra cauita- tem notabiliter emiaet, et: margiue tenui, plerumque ex- cifo, terminatur; quae fluidum" remorari quidem in fuo progreffu, at iter dirigere fluidi huius aut determinare nul- lo-modo poteft. Ruga minus eminet, nec margine acuto* terminatur, fed dorío: potius, feu facie conuexa, cylindrica, in cauitatem. fpectat. Valuula duplicatura fimilis plicarum eít, cuiuscunque figurae, et ita difpofita', parietique adhae-: rens vafis, in quo continetur, vt fluido, ex altera vafis: parte veniente, ad. parietem applicetur, plenamque fic tran- fituro fluido viam concedat; veniente autem ex parte op- pofita extendatur, et' viam occludat; eaque ratione fluidi iter dirigat. — Hoc folo: mechanifmo. et inde pendente víu valuula fe a plica dittinguit.

Ab his veficulae plicis, quae collum modo tenent, et a rugis reticularibus ,, quae reliquam eius partem am- pliorem occupant, ea luculenter differt ftructura, quae in cy- flici: du&us. cauitate obferuatur. Sunt fila craffa et breuia, fiue trabeculae, vt folent huius indolis particulae vocari; transueríae, irregulares figura, triquetrae, quadrangulae vel teretes, quibus in eo fane, cuius iconem trado, exemplo totus breuis duc&us cyflicus quafi repletus effe videtur. Sunt latiores aliae craffioresque, aliae tenuiores; nonnullae fimplices. funt, pleraeque autem compofitae et quafi rami- ficatae. Extremis plerumque latioribus parietibus. ductus adhaerent; in media fui parte tenuiores exiflunt. Plerae- que transuerfae funt et ab vno du&us pariete recta in op-

Dd s ! po-

w$32 ) 214 (. $55

pofitum tranfeunt; vna tamen vel duae pofíunt longitudi- nales. cenferi. Fabrica harum trabecularum celinloía tela . cíl, tenui interna. membrana ductus inueftita. |

Vti ad nouem vel decem vsque harum trabecula- rum trapsuerfalinum. in toto cyfítico ductu, cuius longitudo pollicem haud. multo fuperat, numerantur; in totidem quo- que. folliculos feu cellulas, cauitas ductus his trabibus quafi ditinguitur. Hae, vt feptula ipfa, variae figurae funt et magnitudinis, profundae tamen omnes et anfra&uofac. Interflitiis variis aut osculis foraminibusque , faepe exi- guis, inter fe comunicant, et bilis lento gradu in iis pro- moueri, nec raro retineri aut diutius comorari, videtur, vt in folliculis veficulae tigridis et leonis, quibuscum hae ductus cyftici cellulae aliquam analogiam habere videntur. In fundis harum cellularum | pori. muciferi quoque paffim obferuantur. Ex ipfa autem tam trabium quam cellula- rum, vel in primo exemplo, conformatione facile patet, fieri non poffe, quin figura, magnitudine et numcro in variis corporibus variae quoque inucniantur. (*)

Haud magis haec cyftici ductus flrucura interna, quam illa veficulae felleae, recte obíernata et intellecta effe vide-

— dmm m — — — —— ——

(*) 1n proximo, in quo hanc ftruGuram inquifui, corpore, vftra wie ginti harum trabecularum reperi. quibus tota ductus cauitas re- pléta esat. "Penuiores erant trabeculae ftd figura fitu fabrica e£ naturi eadem, — 4 ransuerf?ie ab vno dactus pariete ad altcrum extendebantoz, totumque ductum quafi cauernofum intus effcie- bait; vt facile pateret, non nifi lentifüino gradu et reptaudo , fcnfm bilem ex. veficula ad ductum choledochum venire poffe. Cauendum autem ef, ne dudus losgitudinal ter incifus ilico. nie mis extendatur et tabeculae ea ratione. rumpantur.

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videtur. Quam fabricam eius £m vmiuerfum eandem effe ícribit beatus. Ha//erus (*) quam veficulae, eam manifzfto quidem de tunicis huius ductus, nom de interna fuperficie, Vir fummus intellexit. Addit enim, membranas eum ha- bere easdem cum aliqua non manifeítiffima irritabilitate. Verum imn proxime ícquentibus nuliam dubium eft, quiu ipfam cauitatis et fupe':ficiei internae naturam indigitaue- rit. Tumaque rugas ductui attribuit intus, quae a vinculis externis, ductum varie flexum retinentibus, in eius cauitate producerentur. Qua vinculis, inquir, cellulofis extus in ful- cos collizitur ,' ibi intus rugae iunicae villofae et nerueae eminent , quae po[fint aliquam fpiralis fabricae imaginem re- ferre; valuulaeque. nomen. ferre..— Notaui in. fuperioribus, non rugas efle, fed fila craffa transuería, fiue trabeculas, ex al- tero pariete recta iu alterum tranfeuntes, parietibusque fir- miter affixas. Addit deinde Vir Perilluftris haec verba de rugis illis ductus cyftici: o; zamem molles alternae irans- uer/ae aut obliquae piicae. fingulares deorfum , fiue ad inte- Jflinum, concauae fint, meque tamen iter bilis valde moren- tur , efi. videmur morari: Nullum dubium autem eft, quin, quam defícripfi, folliculofa ductus ftru&ura valdopere bilis iter moretur. Caeterum plicas cum rugis in his de- fcriptionibus confundi facile patet, imo confufas effe cum valuulis, fequentia verba docent, quibus, de iisdem femper rugis ductus cyftici loquendo, fic Audor pergit: Prima

valuula m:xima efl, er faepe pene toium oflium veficulae claudit, reliquae éx ordine minores.

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(*] Element, Phyf, Tom, VI. p. 53c.

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Non immorabor extricandis inutiliter litibus priorum anatomicorum , quorum alii valuulas veficulae aut du&ui attribuerunt cyftico, quae nullae neque in du&tu neque in ipfa leonis aut tigridis, nedum in humana, veficula dan- tur; alii perperam, valuulas negando , omnem propterea peculiarem ftructuram internam veficnlae et du&ui negan- dam effe arbitrati funt,

Nec certius tamen conflitit de lacunis ducum hepatici et choledochi. Sequiur tune neruca tunica, inquit Hallerus (*), «cum willofa fuperinduca , ex inieflino. conti- nuata vtraque, buec eleganter. reticulata, iugis teneris, vario duííu intricatis, et. interceptis ferobibus foffulisque, in quibus funt, qui eryptas fe vidiffe perfuadeantur..— Atque haec fünt, quae de his cryptis fiue lacunis in ductibus hepatico et choledocho Vir olim Perillu(tris monuit, vude patet, eum ipfum de exi(lentia harum lacunarum perfuafüm non fuiffe. Se vidiffs aiunt. imprimis Duverney et Malpighi. Negat contra eas Bertrandi,

Nullum fane dubium eít, quin tunica interna chole- dochi du&us originem trahat a villofa inteftinorum , *vel tamen continua ab ea ducatur per totum biliferorum mea- tuum fyftema. Non fequitur perinde, vt eandem propte- rea naturam retineat. | Velut aliter cutis comparata eft corporis externa, eliter villofa iuteftinorum , quae tamen manifefto ex illa continuatur, rurfusque in eam abit; ve- lut adnata oculorum , corneae addita, vehementer a cute eadem differt, cui illa fimiliter continua eft; fic aeque tu-

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(*) Elem. Phyfiol. Tom. VI. p. 507.

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ica interna -choledochi et ductus hepatici diuerfa eít a xillofa inteftinorum. - Nullum indicium villorum in meis quidem exemplaribus reperi. "Tunica vbique laeuis eft in «homine aeque ac in leone ct in tigride. | Neque reticula- tam ftru&uram in his ductibus vidi, nifi in primo chole- dochi ab inteftino initio, et in ea eius parte, quae inter :tunicas inteflini continctur.

Tn ea reticulum confpicitur, imprimis in ipfo du&us in inteflinum introitu, quod tencritate et elegantia ftructu- rae muluun etiam illud fuperat, quo veficula intus orna- iur. inde deorfum ad oftium vsque, quo ductus pancrea- ticus in choledochum inferitur, et porro vsque ad aper- turam huius in inteftinum, fabrica reticularis paulo obícu- 1ior eft. Super eam ícdem autem, qua fe fub inteftini membranas ducus recipit, vsque ad ortum eius ex hepa- tico et cyflico du&u, fimplex et laeuis fuperficies eft, fu- perius quidem, et propius ductui cyftico, flriis longitudina- - libus, leuiter imprefüs notata, inferius autem his acque ct rugis carens reticularibus.

Haec laeuis fuperficies ergo tota lacunis confpería €ít muciferis. ^ Copiofifimae iftae et quafi congregatae exiftunt in media ductus parte, quae, (ílriis et rugis va- cua, laeuis plane et aequalis eft, inde deorfum ad duode- num vsque, fed paulo rariores, occurrunt; rariflimae fus perius in parte ílriata inueniuntur.

Differunt hae lacunae aliquantum a poris illis, qui- bus veficula inflructa eft. Paruae equidem et iflae funt, fed infinuant fefe oblique, quin fere parallelae ad fuper- Acla Acad. Imp. Sc. Tom. HII. P. I. Be ficiem,

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ficiem, fub tenuem ductus tunicam internam , qvae caui- tatem lacunulae tegit, et tenero margine excifo oftium eius format. Saepeque ex oltio fulcus quafi continuatur, in quo liquidum expreffum defluere videtur. ^ Atque in hoc fitu et. conformatione fimiliores hae lacunulae illis fünt ,. quae in viis vrinariis et in vagina muliebri inueniuntur. Pori veficulae contra reca in fuperficiem membranae in- ternae defícendunt et tanquam foraminula. caeca. profunda: apparent.

Ductus hepaticus: aliquam: reticuli fpeciem, fed' ob-- foleti, habet. Tenuiffimae funt rugulae, quae illud effi- ciunt, areolaeque inclufae vix feminis papauerini granulum: admittunt. lilae quidem ad latitudinem. meatus. ductae funt, hae figuram habent transuerfim. oblongam. — Impri- mis tamen ad finem ductus. inferiorem modo, vbi cum: cyfüico ille coniungitur , haec fuübtilior, quafi reticulata;. ftructura obferuatur. — Superius. fuperficies. laeuis. et. aequa-- lis eft, vt in choledocho..

Lacunas quoque, nec raras, ductus. hepaticus habet; imprimis in. parte fua fuperiori, vbi laenuis et aequalis fu- perficies eft. — Hae fatis fimiles fünt choledochi lacunis. Quae autem in inferiori fubreticulata parte rariores oc- currunt, ad poros potius, quales veficula habet, quam ad ilas lacunas refcrendae effe videntur. Atque hoc eo ma- gis mihi notabile vifum eft, cum etiam in ima choledo- chi parte, quae intra duodeni membranas continetur, quae- que fimiliter reticulata eft, mucifera organula reperiantur, quae pariter et rariora occurrunt et cum poris veficulae

fuucura et fitu conueniunt. Haec

et ) 19 ( $89

Haec funt, quae in internis veficulae et ductuum biliferorum fuperficiebus non fatis notata ct defcripta fuifle credidi. Mirum autem videri oportet, vt tanta copia cryptarum muciferarum munitos effe videmus hepaucum du&um ct choledochum , quos tamen bilis modo tranfit ; tam fparfos contra rarosque inueniri poros in ipía veficu- la fellea, in qua bilis colligitur, diutiusque moratur, et imra- jorem acredinem contrahit. Sed ratio fapientis naturac haud plane latet. In vniuerfum minus fenfibiles minusque iiritabiles effe videntur tunicae villofae, :quam illae quae laeues aequales et tenfae funt, fiquidem pariter vtraeque ex cute continuantur. Videnturque ipfi villi, feu parti- €ulae eminentes, quas nerni non ingrediuntur, aliquod mu- nimentorum «contra acredinem genus fuppeditare. ^ Quodfi nunc ipfe primarius maturae finis in fellea veficula fuerit, vt bilis morando maiorem acredinem contrahat; fi inuti- liter ila et praeter neceffitatem muco «onerata fuiffet le- niente, fibi ipfi naturam fuoque fini contrariam fuiffe fa- cile vides. — Villis igitur potius abforbentibus ipfis et ad acredinem in bile procreandam et ad defendendam veficu- lam contra eam acredinem in cyílide, lacunis in ducibus vtebatur, quos bilem celerius tranfire oportebat.

Sed haec ad aliam mos porro ducunt fpeculatio- nem. Saepius, reticulata intus et villofa membrana in- ueftitos cfle, fcriptum eft, hos ductus, choledochum et he- paticum; €t pauci contra Aucores de lacunis loquuntur. An villis ergo et rugis in aliis natura vtitur corporibus , in alis potius muco et lacunis? Confentire videntur ea quae de variis fedibus du&vus choledochi et hepatici no- taui, quae poris erawt inflructae rarioribus, vbicunque re.

Bc2 ticu-

ed ) so ( S8

ticulata fedes, copiofis contra lacunis, vbi laesuis erat. Si vera haec funt; fi faepius fimilia occurrunt. exempla; due plices corporis humani ftructurae. dantur, et duplicibus-ergor nobis ad eam repraefentandam exemplaribus inconibusque opus erit.

Tab. VI. Veficula fellea humana , aperta, cum ductibus cy«- fico, hepatico et choledocho, fimiliter apertis.

4. B. C. "Veficula fellea. 4. fundus. 4. B. Corpus ves ficulae B. C. Collum veficulae. | C. Capitulum, quod, comprefía. veficula. integra, bile turget et in-- tumefcit.

D. Dacus cyíticus, incifus, et, quantum fine laceratione: fieri poteft, apertus.

E. Dudus.hepaticus apertus.

F. G. H. Il. Rami eius, ex foffa transuerfali hepatis ex- cifi.

F. Ramus transuerfalis dexterior, ex lobo hepatis dextro adueniens, (veficula fcilicet, quamuis ex carne he-

patis euoluta, tamen in inferiori fua fuperficie , auerfa ab hepate, incifa eft.)

G. G. Duo rami transueríales finiftri, ex lobo hepatis finiftro orti.

H. Ramus anterior, ab anteriori parte hepatis adductus.

J. Ramus pofterior apertus.

K. Dudus choledochus apertus.

L. Duodeni aperti pars, obiter exprefía.

M. Du-

et» jcer( Ae

M. Duttus choledochus, vbi inter membranas inteftini fe infinuat, angu(tior.

N. Eius pars inter, membranas. inteftini. contenta, ad in- ternam huius fuperficiem aperta.

O. Communis duc&uum choledochi et pancreatici bre- viffimus. truncus ,. quo fe in inteftinum aperiunt , fimiliter. incifus.

4. à. à. Gà. Rugae accidentales, vt fortuito in' collabefcen-- te 'veficula producuntur..

b. b. b. Vilofa, wt in his fedibus rugatis imprimis fu-- perficies interna apparet, dum. veficula: fub fluido aliquo fübmerfa tenetur. Non funt tamen. veri villi..

€; €. €. etc, Pori muciferi, qui non in omnibus veficulís felleis reperiuntur..

4. d, d.. Rugae reticulares conítantes, quibus tota interna fuperficies veficulae ornatur. Manifeftiffimae , eo- que pulchriores, in his fedibus indicatis funt..

t.t. £&. Rugae reticulares, vt paffim occurrunt leuiores obícurioresque, . areolis- inclufis maioribus,

f. Rugulae fimiles. areolis minoribus.

g. Rugulae lineares, quae in fola. hac fede huius véficu- lae reperiuntur. .

b. i. k. I. m. Plicae colli veficulae, 5. Haec prima a ductu cyítico,. inter caeteras minima, poffetque ali- quomodo ad trabeculas ductus cyftici referti. i Se- cunda, maior manifefliorque plica. &. "Tertia et praecedente maior, omniumque latifima. /. Quar-

Ee ta..

7.

5D.

6.

e$355 ) 22 ( S$t2e

ta, 5. Quinta, quae ex pluribus minoribus come pofita eft.

0. f. q. f. 4. t. 9. "Trabeculae transuerfae ductus cy-

ftici. 5. Prima latior in extremitatibus fuis diuifa, quo bilis eam penetrare poteít. 9. Secunda angu- fior. $. Tertia fingularis figurae et fere obliqua. q. Quarta transuería perforata. r. Quinta, s. Sex- ta. 4. Septima. 4. Octaua.

tv. t». "Cellulae inter trabcculas, quas bilis quaerit re- pendo et tranfeundo; vti et inter trabeculas et pa- rietes ductus, anteriorem et pofleriorem, penetrare poteft.

Pori muciferi in fundis cellufarum. Orificium rami anterioris (H.) du&us hepatici. Orificium commune ramorum (G. G. et P.)

Lacunae muciferae fparfae in ductu hepatico. Lacunae fimiles in hac fede copiofiores. Foraminula minima, potius poris veficulae fimilia.

Sedes in :du&u choledocho lacimis vacua , at flriis longitudinalibus ornata.

Sedes in eadem lacunis confertiffima. Hae manifefto differunt lacunae a poris vificulae, quod furfum margine acuto excifo terminantur, deorfum faepius quafi in fulcum fe effundunt, deinde quod maio- res funt.

Lacunae in hac fede rariores.

». Ru-

Cod ) 2253 ( ec)

7. Rugulae reticulares in hac choledochi du&us parte, qua membranas inteftini fubit, quaeque poris et lacunis caret.

$. Rugae reticulares obfoletae in tota hac parte. qua in- ter tunicas inteítini ductus choledochus continetur.

9. Orificium ductus choledochi diffe&um , quo iíte in eam partem du&us aperitur, quae quafi truncus communis eít choledochi et pancreatici ductus.

zO. Orificium duc&us pancreatici.

zr. Superficies interna trunci communis, obíolete: reti- culata.

ANA«

wt )ese( fe Xedetiei ANATOME MVSCVLI SVBCVTANEI IN : T ERINACEO EVROPAEO LINN. ^

| Auctore BASILIO ZOUIEIJ.

(357 magis miramur fingularem in Erinaceo naturam in globum -íe .conuoluendi, eo magis videtur res, in qua facultas haec refidet, "attentionem noftram mereri; attamen multi viri eruditi, qui animal hocce anatomice perquifiuerunt, vel prorfus nullam, vel valde breuem Myologiae eius faciunt mentionem: inter recentiffimos Comes de Buffon hiftoriam. fiam de Erinaceo mon alio nifi hoc fingulari animalis inftinc&u ornauit, de quo tamen in Anatomia ne verbulum quidem dixit focius eius Dau- benionus. | Hinc non propter exiguum huncce defectum tantum quantum curiofae admirationi fatisfacere — volens - mufculum fubcutaneum defcribere fítatui; qui quum non Ófoli huic ferae, fed pluribus mammalium proprius eft, hinc defcriptio mea erit faltem exemplo faciendae iu cae- teris quoque obferuationis,

Dicitur

ens )x:5( B3

Dicitur fubcutaneus a fitu, quod proxime fub cu- tc reperiatur, quamuis inter illum et corium adhucdum tenue firatum pinguedinis inueniri folet, tamen nil impe- dit, quin fibrae temuiffimis fuis apicibus directe, pracíer- fim in dorfo, aut ope cellulofae, vbique cum interna cu- fis facie vniantur. Sublato corio fpinofo, abfumptaque fuper carnes iacente adipe apparet muículus a parte po- fteriore rotundus, quafi fcutum repraefentans, totum dor- fum a nucha per brachia, coxas, ad «caudae bafíin tegens, in medio tenuis, fere tranfparens, fibris longitudinalibus parallelis, transuerfalibusque exiguis ; in circumferentia vero craffus, laxus, fuper latera effluens, fibris circulari- bus, continuis, contiguisque ad latera «um fibris reis mufculi fubcutanei ventralis.

Ex fibris fub margine craffo delitefcentibus emittuntut fafciculi lataeque feries fibrarum ceu appendices ad diüerfas corporis partes tum pro fui infixione, tum pro communicati- one cum reliquo mufculo fübcutaneo partetn pronam inue- Tüente. Tllas, tametfi poffent pro mufculis fpecialibus refpici, a pun&is fixis in offibus ortis inque dor(íalem fcutiformem infertis, habui tamen pro partibus eiusdem, quoniam in lo- co infertionis nullum fignum -di(continuitatis fibrarum ad partes infra memoraudas apparuit, Prima itaque fibrarum feries mufculi, fcutiformis ab interno «eius margine cerui- cem integente panulalum lateraliter exorta dirigitur antror- fum per frontem ac latera capitis relicto in vertice nu- do interítitio, inferiturque vno fafciculo in offa naáfalia, reliquis vero fibris vel in mufculum orb:cularem oculi, vel fub orbita tranfeuntibus in con(tricorem labiorum; inferie ora autem verfus ex €odem loco per latera colli emit- Acta Acad. Imp. Sc. Tom. lII. P.4. E tuntur

we35 ) e26 ( $53

tuntur fibrae latiffima ferie circa humerum fe flectentes ad pecus, vbi totam mediam fterni longitudinem occupant fibi pro infertione;, fed ex ipío flerno furgunt quoque a- liae fibrae,. quae formantes tunicam. collum anterius ple- narie obtegentem . tendunt. tum oblique ad latera faciei poftea cum. fibris ferie ceruicalis fe coniungentes, tum reca ad mentum totamque faciem cápitis inferiorem fe inferentes. cum reliquis, vel in conítrictorem labiorum, vel in. marginem. maxillae, inferioris.

In lateribus. relinquitur primo: amplum foramen pro pedibus anterioribus, quorum. fub. axilla in parua ab illa diftantia fibrae: fubmarginales mufculi fcutiformis coniunguntur cum: fibris rectis. mufculi fübcutanei ventra- li, ita vt vnum. mufculum:. efficiant atque fic defcens dant ad femora vsque, vbi iterum feparantur, doría- lesque concomitantur circularem: füum marginem ad cau- dae baíin, circa quam: illae; rurfum fecedunt vno fáfciculo fat lato deorfum. fe circa clunes infle&entes, confundun- turque ad fcrotum cum. fibris, rectis mufculi fubcutanei ventralis ;.altero. vero, angufliore adeunt caudam. ^

^ ?

Quoad partem: autem. Érinacei pronam iam vidi- mus fupra quomodo. mufculus collum tegeus fe habeat, neque amplius reftat memorandus, quam ventralis et pe- ctorales, qui vltimi quanquam ad rem noítram non per- tinent, tamen quoniam. dire&e; poít detra&dam | pellem fub afpectum prodeunt et.im eundem locum, ia quem fere ventralis. vtriusque- lateris inferitur, non poffunt hic fine aliqua mentione praetermitti. Nafcuntur enim directe ex codem loco fterni, vnde tunica mufcularis partem anteri-

orem

ef )s€( $9

orem colli inueíliens oritur, transuerfaliterque principio fub 4lla decurrentes, poftea emergentes infiguntur in me- dium oflis brachii. Ex eodem ipfo loco ab vtroque bra- chio venit feries fibrarum primum mon valde lata, fed vnitae fimul circa apophyfin enfiformem diffunduntur per totum ventrem mufculum fubcutaneum ventralem e fibris rectis conftituerntes, quae in lateribus cum fibris muículi Ícutiformis dorfalis iunctae, relicto prius pro libero motu pedum anteriorum fÍípatio, glandulis axillaribus implendo;, faciunt trunci quafi tunicam communem; quae iterum non prius finditur quam ad originem femorum, vbi fibrae la- terales rectae fecedunt quaedam poíterius modo fupra de- Ícripto, aliae anterius deícendentes fere recta per ingui- nes cum rectis ventralibus parallelae, et incuruantes fe in Íemicirculum ad.bafin fcroti inferuntur in fibras ad fícro- tum ab altero latere venientes; exteriores vero harum in- curuatarum fibrae poft iniertionem in fe fafciculi a dorfali per clunes venientis fecedunt ibidem integro fàfciculo, &efcenduntque ad caudae bafin, in quam inferuntur.

Ex praemiffa nunc mufculi defcriptione, factaque fibrarum mufcularium directionis commemoratione iam fere. neminem latebit, quem ille vfum et quo modo in animali praeítet; «appendices nimirum antrorfüm in caput retrorfumque. in caudam fe inferentes, atque laterales con- tiguitates cum fübcutaneo ventrali inferuiunt pro retentio- ne mufículi dorfalis fcutiformis in fuo fitu per dorfum ex- panífo, vt nempe in comuolutione animalis in globum. ille extendatur in omnes partes Corpusque totum obtepat; vel «um animal aculeos fuos erigere dorfümque folum con- fingere vellet, ne mufculus dorfalis cum fibris fuis cir-

Ffs culari- Li

ex ) 228 ( Bede

cularibus flu&uet, hae appendices retinent illum in debi- to ei fitu. — Tunicam. fubcollarem pro ratione originis at- que intertionis. fnae patet inferuire tum. pro capitis "ad fternum: addndione, tum pro mufculi dorfalis quoque ad fternum fixatione,. Mufculus fubcutaneus ventralis praeter quod iuuet pedum anteriorum per pectorales complicati- onem inflectit integrum corpus adducendo anum ad ca- put, applicatque fimul ope feiunctorum, faíciculorum cau- dam ad fcrotum.

Explicatio "Tabulae VII.

Fig. r. Erinaceus a tergo repraefentatus;

«a. Muüfculus fubcutaneus dorfüm obtegens.

b.b. Fafciculi ad offa nafíália, tenuesque feries fibrarum ad M. orbicularem oculi et maxillam. inferiorem tendentes, vt melius patet in fig. 2.

c. €. Series fibrarum circa brachium ad pecus tendens.

d.d. Appendices circa clunes fe flectentes, :

£.€. Appendices pro càuda.

Fig. 25.

&. Tunica fübcollaris:

b. b, Mufculi pectorales.

c. c. Interftitia fibrarum longitudinalium pro pedibus ante- rioribus glandulisque fübaxillaribus.

d. Mufculus fubcutaneus ventrem inucíliens.

e.c. Appendices a dorfali in. ventralem venientes.

ff. Appendices a ventrali in. caudam fe inferentes.

pue MMME d —À

[ DE-

«632 ) z29 ( $t$ DESCRIPTIO PISCIS NON DESCRIPTI,

QVI PERTINET AD GENVS SCARORVM EORSIKALILI

Auctore UBI ZO LE I

carus graeca vox antiquiffimis maris meditertanei acco- lis vfitata defignabat piícem faxatilem, fquamofüm efü deliciofiffimum fapidillimumque, hodie obícurus re- fertur a Linnaeo in fyftemate fuo ad Labros; fed cum notae eius fpecificae cum charactere generico Limnacano minus conueniant, et genus ipfum Labri male determina- tum inter affines fuos fparos, fciaenas et percas vacillet, hinc varii auctores tentarunt ex hifce quatuor generibus formare noua accuratius definita; Clariffimus igitur Grozo- vius et poft illum Celeberrimus nofter Pa//as di(tincto huic veterum fcarorum generi indiderunt .nomen Callyo- dontis; K/cnmius idem voluit intelligere füb nomine Sargi; fed Clariffimus Forskal] in itinere fuo orientem verfus in- ftituto obferuaus longe plures in natali eorum plaga, quam quot Grozoui) fuerant noti, Callyodontes maluit po- tius vetus nomen infigni fuae Scarorum colle&ioni refti- tuere et retinere. — ldeoque hic noíter piícis, quem de- fcribendum mihi propofui et e longo iam tempore in Ef 3 inufaeo

eno )scso( $9

mufaeo noftro afferuatus pertinet etiam ad'fcaros Forfka- lii cui ne deficiat quoque fpecifica denominatio, ob por-

rectas eius antrorfüum maxillas addo nomen .maxillofi.

Scarus Maxillofus.

Longitudo totius - - 2 Latitudo maxima fub pinnis pe&oralibus - ——— pone nucham circa exordium pinnae dorfalis

—— Apicis roftri per extrema labia - —— Mediae caudae inter pin. dorf. definen- tem et pinnam caudae - - Craffities fub pinnis pe&oralibus - - —— Capitis per oculos - - ——- roítri ante oculos - - mediae caudae - - E Pars prominens maxillae fuperioris ab extre- mo labio ad apicem T - —— -——. müàxillae inferioris... - Ab apice maxillae fuperioris ad ritum — - A ricu ad nares pofleriores - - A naribus poflicis ad medium pupilae — - A med. pupill. ad bafin pin. .dorf. - Longitud. pinn. dorf. per baün - - - Altitudo eiusdem - - - Diftantia a media pupilla ad exordium. pinnae pectoralis - C TRIN x Longit. eiusdem - : Ue Longit, pinn,. ventr. - 5 T

Forma et magnitudo Cyprini Carpionis.

Poll.

1I.

5-

3.

Lon-

en? )osr( fme Polf. Lin.

Longit. pinn, ani - - z E 2, d Altitud. eiusdem - s SHRRDSR. e Z IO. Longit. laciniae pinnae caudae: - I 2, I. Latitud. caudae per bafim - - I. 9:

Corpus: cathetoplateum, ouato-oblongum , pingue , fqua- .mofum; fquamis magnis, orbiculatis, rigidis, imbri- catis, ftriatis, ciliatis; vittatum, vittis in fpiritu ob- foletis, perque folas maculas in. medio. fquamarum: reftantes recognofcendis;

Caput. proportionale ,. catlietoplateunr, decliue, fquamofunr praeter frontem, genas, gulamque alepidotas; ro- ftro fubporrecto ;; maxillis: ceu dentibus extra os pro- minulis, latis, conuexis, per medium fiffis, margine acuto, fubcrenulato, inferiore: fubeunte fuperiorem, cuius ad. ricus: labiorum. vtrinque lateraliter ex- trorfüum. prominent apophyfes fubulatae, acutae, lon-« gitudine. paulo: extra. labium..

Labia carnofa, ad marginem: adtenuata, fimplicia, ad rictus duplicata, interiora. introrfum: papillo(a..

Nares geminae, füperae, oculis proximiores, remotiufculae, anteriore minore fübrotundo , poíteriore maiore, femiorbiculato;.

Oculi proportionales, füperi, depreffi, rotundi; membrana ni&itante circulari femitecti; iridibus aureo - ni- tentibus,. pupilla. fubglobofa..

Opercula branchialia duplicia , flexilia, ad marginem cute circumdata , arcuato- acuminata, libera, in media fuperficie fquamis teca; membrana branchialis qua- driradiata.

Aper-

ene )ess( fue

Apertura .branchialis in latere, arcuata, ampla, tecta.

Gula, thorax, abdomen, .dorfumque rotunda; lateribus planis, aequalibus.

Linea lateralis duplex; altera dorfo parallela ab aperturae branchialis angulo fuperiore incipiens cumque pin- na dorfi definens, altera ab hocce loco in medio latere inchoans, recta ad bafin caudae tendens.

Anus poft aequilibrium.

Cauda carnofa.

Pinna Dorfi folitaria, longitudinalis , continua , aequalis , coriaceo-radiata , radiis robuftis numero r9. quo- rum nouem priores fimplices, reliqui ramofi.

Pinnae Pec&orales fub linea longitudinali , proportionales , acuminatae, radiis I4.

Pinnae Ventrales paulo poft pinnas pectorales, vicinae, minimae, acutiufculae, radiis robuflioribus, nume- ro 6.; fÍquama inter illas lanceolata , a lateribus oblongo - acuminata.

Pinna Ani aequalis, ab ano per duas tertias partes caudae excurrens, radiis firmis £z. quorum duo folum- modo anteriores fimplices, reliqui ad apicem in ra- mos foluti.

Pinna Caudae íubaequalis; laciniis acuminatis, radiis va- lidiffimis, ad bafin fquamis ftipatis.

Habitat in mari rubro, etiam mediterraneo.

ASTRO-

e$ )sss( fue EXEMPLVM ELECTRICITATIS PRAETERNATVRALIS.

Auctore N. OSERET.S KOVSK &.

(Q' rariora fünt phoenomena in corpore humano ap- parentia, eo- diligentius a: phyficis obferuari atque indagari merentur; per ea enim cognitio corporis humani lucem atque augmentum nancifcitur. Nihil rarius eft. ele- Cricitate praeternaturali, quae in vnico tantummodo ae- gro nouifime eft obfernata, cuius et origo et cauía huc vsque phyficos latet, ^ Vnicum enim exemplum. non fuf- ficit, vt de re tam. momentofa. certi. quid ftatui poffit. Xdcirco Celeberrimus Gaubius, qui hiftoriam illius: aegri, in publicis: le&ionibus, difcipulis fuis faepe narrare fole- bat, opinionem. fuam. hac de re ita proponit: ** Vtrum »mOrbofa affe&io etiam in homine. ignem. ciere electri- Ada Acad. Imp. Sc. Tom. Ill. P. I. Gg ,cum

eR2 )234( $55

,cum poteft, qui filgurante ictu fe íe manifeftet, «cum corpora aliena contactum | minantur? |. Symptoma'tis inau- »ditü fufpicionem nouifh&mum .quidem .excmplum mouit, ,1ec plura tamen deinceps .confirmarunt? (*).

Non dübitaret :omnino vir -eruditifimus, id fieri poffe per morbos, fi compertum :haberet, dari homines, .qui etiam in flatu fano, absque vllo morbo manifefto , practernaturali ;eiusmodi .electricitati (unt abuoxii. In v- troque enim ftatu, «tam mofbofo quam fano, phoenome- non hoc ex eodem profluere principio ;plus quam verifi- mile eft, vel ita faltem mihi videtur. — Exemplum habeo eiusdem phoenomeni, quod tamen non in aegro, fed in homine fano eft obíeruatum ; de cuius veritate eo minus dubitare licet, quod homo ille, quem in exemplum pro- pono, ctiam nunc viuit, viuit et eundem ignem in «car- pore fuo hactenus alit.

Eft ille Mivcbae? Pufibkin, incola vrbis Tobolsk, qui ab anno r775 in hunc vsque diem per fe adeo eft ele&ricus, vt qui ipium tangunt, icu admodum fenfibili exinde af- ficiantur. Neque opus e(t id experiri in ipío eius cor- . pore. fed fufficit tantummodo digito tangere fericea eius tibialia, ftatim ac ca de pedibus fnis detraxit; parem tunc i&um accipiunt illi, qui experimentum hoc inflituere ten-

tant,

(*) Gaubii Inftitution. — Pathologiae $. 669.

e$2 ) sss ( $5

tant. Primus, qui phoenomenon hoc in illo Pufcbkin obferuauit, fuit eius feruus, qui cum detrahere parabatur fericea. de pedibus. domini fui: tibialia,. admotis manibus ilico icum accepit, fcintillam. vidit,. et repulfus attoni- tusque ab incepto deftititt Ex eo ipfo tempore cognouit Puf;bkin, fibi. hoc praeter ,naturam effe,. notumque id fecit in tota vrbe in qua habitat, litteras" etiam fcripfit ad illuftrem: Dominum Meéifíno, Vniuerfitatis: Caefareae Mosquenfis Curatorem, et, quid. cum ipfo agatur, ei re- tulit. Nunc fere. omnes: incolae vrbis "Tobolsk:. per ex- perientiam: norunt, dari in: homine ifto: ignem: electricum, qui fulgurante i&u fe manifeftat,. quam: primum manus alius hominis. vel. quaecunque: alia: pars» corporis ipfi ad- mouetur.

Multifaria autemr experimenta docuerunt, hominem iftum non omni tempore nec fub omnibus circumftantiis tanta gaudere virtutis electricae copia, vt illa clate fe manife(ítet, ítatim ac quis tangere ipfum tentauerit, Si res Ka fe haberet, pateretur omnino bona eius valetudo, qua fruitur, neque ille tangi .fe a quocunque fineret, cum attacus aliorum , certo tempore certisque fub con- ditionibus, vel nunc etiam fit ipfi dolorificus. — Limitata ineft ei virtus electrica, quae non nifi tempore hiemali fe manifeftat; acítate autem, licet omnes adfuerint requi- fitae conditiones, nulla eius apparent indicia. Hieme et- iam requiritur, vt laneum ille plantis pedum fupponat pannum, et pellem, qua induirur, fibi demat, quando alis fe ele&ricum probare íuícipi. — Cum enim pelle in-

Gg 2e dutus

et ) 556 ( EI

dutus ligneo infiftit pauimento, inermis eft adeo vt ab omnibus impune tangatur. —Obferuatum quoque eft, fe- nes, quibus calor internus multum eft irnminutus, a con- tactu cius multo vehementius affici, quam .iuuenes; -et haec obferuatio «tam -vera tamque eft.conftans, vt in genere fatui poflit, eos plus ignis electrici .attrahere, qui minus caloris in fe babent, et vice verfa. Idem enim homo tum .fortiorem tum debiliorem Actum accipit, -prout ma- gis vel minus excalefactus tangere ipfum adoritur; imo et plane nihil experitur, qui corpus fuum. nimio motu fupra modum calefecit; aít idem ipfe, quando quietus accedit, poít contactum Ron impune recedit.

Vxor illius Pufbkin, per commercium cum fuo marito, eiusdem virtutis ele&ricae facta eft particeps, Norunt hoc matronae vrbis Tobolsk , cim quibus ei con- fuetudo intercedit. ^ Accidit enim interdum, idque fem- per lieme, vt, quando fimul conueniunt, et pro more feminarum ofcula fibi mutuo figunt, illico repellantur ab ca ictu ele&rico, quo bafia carum innita perfoluit.

Accepi hiftoriam hanc a viris omni fide digniffi- mis, qui in ipfa fiberia funt nati, et hominem illum ele- C&ricum in praefenti eius ftatu multoties viderunt, multa que pericula cum €o ipfi fecerunt. Sunt illi. Mi o/aus Po- cbodiafcbin , Tobannes — Panaexw et Alexander | Pavluisky , omnes hic Petropoli notifümi, et mihi va'de familiares, qui etiam retulerunt, memoratum illum Pu/cbkin efle jam

in

ez oy ( $2

in aetate fatis provecta, nimirum quadraginta et quinque circiter annos natum, »macilentum, tenuem atque proce- rum, ex nigro -fufcum ,.colericum «et in venerem. propen- filüimum; vitam nunc agere "valde fobijiam, nihilominus in praefenti iam flatu, fub initium hiemis, ardemti labo- rafle fébri, quam momentanei artuvm fuperiorum et in- feriorum 'torpores fatis diu praecefferant, cius que «quafi prodromi fucrunt.

En tota rariffimi phoenomeni hiftoria, qnae at- tentionem cruditorum eo magis meretur, quod nuperrime iluftris «comes Ze Caffini acis Academiae cegiae fcientia- rum Parifinie (*) fimilem inferverit hiftortam de quodam Ruffo, qui diuerfis vitae fuae annis eandem habebat vir- tutem :electricam , quam pifcis torpedo habet. 'Si eius hi- floria, :quae :nondum ad nos peruenit, eadem eft cum no- ftra, tanto magis "wtraque eít vera; Ífi vero anibae funt diuerfae, eo magis «confirmant theoriam in diflertatione de colore (fanguinis (**), :quae iudicio hurus Academiae proximos praemio hono:es tulit, pulcherrime. propofitam, quae his verbis «comprehenditur: ** Nerueum fluidum ignes ,um effe perfuafum habeo. Poterit, inf'ar ele&rici, phlo« »g£ií(to femidecompofito, aliisque peregiinis, cíle modifi-

8.3 , catum,

(*) Hiftoire de l'Acad Royale des Sciences pour l'ann£e 1777. Voyez journal des favam; au mois de Mai 178:.

(**) Differt. de igne, fangnini prae chylo la&deque, *vffentiali, «te. $. XXiV. quae anno z773. Petropoi eft impreffa,

eL ) sss ( $9

,catum. Non. obftat diffufio per totum corpus, cum dif- fundi videamus, in actione citius, praefertim. mentis. ,WNec obftant non videndi tubuli,. cum tubulis non indi- »geat fubtiliffumum fluidum, per folida apta, et fecun- , dum illa, mobile, .ar&iffimae compagis. interftitia liber- »rime penetrans, Pauent theoriae citiffimus. effectus, in- fluxus in fanguinis crafim, digeflionem, corporis robur ,» €t, quas. ab iis. patitur, affe&iones. Peccat modis non- » dum fat perípectis, probabiliter. copia , motu."

ASTRO-

ASIRONOMICA.

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eS ) 24: (^ $23 agis 950050 «5; 99 460950 «$^ 5 g; 50-45 90 t 4^ oot 6g; Ste

THEORIA PARALLAXEOS5. AD FIGVRAM TERRAE SPHAEROIDICAM ACCOMMODAT A.

Auctore L. .E-F.L.E.R-O.

6. x.

(Aun omnía, *quae ad hoc arduum argumentum perti-

nent, clarius exponamus , atque ad praecepta calculi

fimpliciühma .reuocemus, ab ipfo ParaMaxeos fundamento

vniuerfam inuefligationem repeti conuceniet. Sit igitur C

centrum "Terrae, in eiusque fuperficie vbicunque fit. L locus Tab. IX. obíeruatoris, ideoque eius diftantia a; centro recta C L, quae Fig. 1. ad :coelum vsque producta dabit huius loci zenith Z. Sit porro in $ fidus quodcunque, cuius diítantia a centro Térrae C S, quod obferuator «rnet in directione L S, ideoque ipfi.a fuo zenith Z angulo ZL S diítare vide- bitur, :dum «ex ipfo centro C (ub angulo Z C S a zenith diftare videretur. «Quod fi ergo ex L ipfi C S parallela LZ. in: coelum vsque ducatur, monítrabit pun&um 2 lo- cum fideris. geocentricum, dum punctum S denotat eius Atia Acad. Imp. Sc. Tom, AIL. P. T. Hh iocum

»

ej )s42( $9

locum apparentem; ficque angulus S L X: praebebit elon-- gationem loci apparentis a loco geocentrico, ideoque ip- fam Parallxin. ^ Cum igitur angulus S L 2; aequetur. an- gulo CSL, refolutio trianguli C LS fuppeditabit veram relationem inter locum geocentricum — et obferuatum. Semper enim íe habebit diftantia fideris a centro Terrae CS ad finum anguli ZLS, vt di(tantia obferuatoris a centro. Terrae C L ad finum Parallaxeos.

. 6. s. Vt iam clarius intelligatur, quid de his e- lementis tenendum fit in hypothefi Terrae fphaeroidicae, ante omnia comparationem inítituamus cum hypothefi Terrae fphaericae; vbi ftatim recta CL aequabitur radio Terrae, ideoque vbique eandem quantitatem retinet. "Tum vero pun&dum Z obferuatori perpendiculariter imminet, quandoquidem reca C L ad fuperficiem "Terrae eft nor- malis et cum directione grauitatis congruit; tum vero ane £ulus obferuatus S L Z erit elongatio fideris a zenith, at- que in hac hypothefi femper erit diftantia fideris ad ra- dium Terrae vti finus elongationis ad finum Parallaxeos.

$. 35. Quod fi iam figurae Terrae fphaeroidicae rationem habeamus, primo quidem in ipfo fideris loco nihil plane erit mutandum; at vero, quia locus obferuato- ris L non vbique Terrarum eandem a centro C tenet diftantiam, pro quouis obferuatoris loco hanc diftantiam accurate affignari oportet. Deinde, quia haec diftantia CL non vbique eft normalis ad Terrae fuperficiem, ne- que igitur cum dire&ione grauitatis congruit, punctum Z uon femper verticaliter imminebit loco obíeruatoris L,

fed a dire&ione L Z modo magis modo minus declinare poterit;

-G5 )s45( $9

poterit, pro fitu obferuatoris in fuperficie Terrae. — Ne- que ergo angulus S L Z amplius erit elongatio fideris a vero coeli pun&o verticali, quod obferuatoris loco immi- net; neque propterea amplius erit complementum altitu- dinis fupra horizontem , tub qua fidus confpicitur.

6$. 4. Totum negotium igitur iam huc eft. perdu- cum, vt pro quouis lerrae loco L, 2on folum eius ve- ra diflantia a centro, fed «etiam -declinatio verae lineae verticalis a zenith exacte .determinetur. "Tribuamus ergo Terrae eam figuram, :quae ex «obferuationibus exadiffimis eft conclufa , ftatuendo rationem axis Terrae ad di- ametrum aequatoris vt 200 ad 201; praeterea vero ip- fam Terram tanquam Sphaeroídes ellipticum confideremus, ortum ex reuolutione «ellipfis «circa axem. — Principio qui- dem hanc inueftigationem :generaliter incipiamus,

6 s. SSit igitur 'C centrum 'Terrae, CA — a fe- midiameter aequatoris :ct 'C B — 5 femiaxis Terrae, at- que ALB quadrans ellipticus , «uius conuerfione circa axem B C Terrae figura oriatur, punctum vero L deno- tet locum quemcunque in Terrae (uperficie, vnde ad ae- quatorem A C perpendiculum demittamus L P. lam po- namus pro hoc pun&o L abícifam CP — x et applica- tam PL-»y, fitque ipfa diftantia 'C L — V (x x 4-.y y) — 2. Hinc ergo erit ex natura ellipfis y — ? Y (aa— xx). Iam ducta ad curuam normali L N erit fubnormalis

PN-—-—241» — bbx Er odd cu

vude fit interuallum. C N — €*—?2*, ac porro ^ PR (aa — bb) Hh. $C

Tab. IX, Fig. 2,

ep ) 44 ( St

6. 6. At vero, quando in Aftronomia locus 'Ter- rae pro cognito afífumitur, eius eleuatio poli, fiue latitu- do in fuperficie Terrae, tanquam cognita fpe&atur.. La- titudo autem loci L femper. aequalis eft angulo AN L, quem directio "grauitatis, quae femper in N L incidit, cum aequatore conítituit. Vocemus. ergo latitudinem loci L, fiue angulum A NL — (, atque ex eo omnia. reliqua. elementa figurae determinari debebunt. Cum: igitur fit

tang. (p — jt — pia). Grit: tang. D — ,*- Y(a a — x x), vnde colligimus. fore

EA a a cof. "b ae y aacg. Q 4 ob ya. D) Hinc igitur porro erit

— bb fin. * J'— y(aa co D? -i-. 0 b fin. Q2) ^-

Ex his iam. deducimus diftantiam. loci- | a centro. Terrae

X E Co RM VACREN at,cof.a? -E..^* fin, 7 €L-—s—Y71 d Tu2:mpDp

id. quod alterum. eft elementum, , quo in calculo Paralla- X€0s, indigemus.

6. 7. Quod iam.ad alterum. elémentum , (iue. de- clinationem recae. L N.ad L C. attinet, vocemus iftum . ángualum C L N.-- a, et: in. rectam. L N. productam ex C ducamus. normalem. C Q, tum. quia.ex valore: pro x in- vento eft. interuallum

C N.— Udo "m p ob. angulum: C N.Q — Q, erit hoc perpendiculum

C Qc pne. hincque. deducimus

fin,

e$3$ ) 245 ( $85 ' — CQ —. (aa -—b)(in.( cof. b fin. y — OE Y ERES XTTWO vnde porro fiet

—— &a8cof.* -- b b fim. 2 cof. e — y (a* cof. (p* 4- b* fin. Q*)?

confequenter

LLL (a0 — b fin. eor. taDg. 9 — 77 coJ. L7? -- bb Jin. Q*.*

$. 8$. Quia angulus ANL — (p exprimit ampli- tudinem arcus; A L,. inuefligemus quoque curuaturam in ipfo pun&o L,.fiue radium ofculi; quippe cui proportio- nales erunt gradus latitudinis in quolibet Meridiano A L B. Hunc in finem vocemus.arcum A L — s, et conítat radi- um ofculi in L effe —15) quare. ad elementum. 4 5 in- veniendum quaeramus differentialia d x. et d y, quae. repe- riuütur:

—aabbdüfin.O ax D NP WO frg o et

(a a cof. Q* -1- b b fin. UE dpt -J-aab b d cof. QD sjia

(4a cof. Q* 4- b b Gn. Q9)* vnde -colligitur.ipfum curuae elementum 4.5, fiue ipíe ra- dius ofculi

d$: aabb 1 III VIIBBUOUREIHIEM $ 4o (a a cof. (* -4- b b in. Y)* ex quo fequitur, . in aequatore. effe. radium | ofculi —

fub ipfo autem polo.— te

bb rg"

6.9: Transferamus nunc haec ad weram Terrae figuram, qua eft &:a— 200:201, vnde (umto femiaxe Hh 3 C B

Tab, IX. Kig. 5.

e$35 ) 346 4 $e

CB —:1 erit femidiafnetér aequatoris a — x -1- ;, pro quo fcribamus a — r-4- 60, vbi ó tam exigua eft fractio, vt eius poteflates in calculo tuto negligi queant. Hinc ergo pro elemento priore reperiemus

SSMMEN US (1 27 463 cof. Q? A- fin. D? 1 4 «D cof. Ds C Eu MONEO —Y sag

fiue proxime — Pad 93-9 oL D, qui valor adhuc commodius ita exprimitur. CL-zzx-4-i8--16 cof. (p.

6. 1o. Dzinde habebimus

— 2 9 ftn. cof. tang. t — pae 2 9 co. 1o

ct quia poteftates ipfius 9 ;negligimus, «erit fimpliciter tang. o — 2 à fin. D cof. (D — à fin. 2 D;

vnde cum fit à — 4, pro latitudine 4D — 45? erit tang. & — ,4, — 0,0050000, ideoque & — 17^, 11^,

Denique radius ofculi in puncto IL erit

4.29 - — 1 4-29 fin. Q* — 1 4-18 — iàcof. 2 Q.

(x 4- 2 8 cof. * Praeterea vero hinc patet, angulum A C L effe 2 — o, qui ergo angulus femper minor eft quam elevatio poli, ab eaque deficit interuallo cw.

6. 1r. Repraefentemus haec elementa in figura fphaerica folita, vbi A B referat horizontem , femicirculus AV B Meridianum loco obferuatoris refpondentem, 1n

quo V fit pun&um verticale in coelo, quod fimpliciter nomine

000 9-2 )s4y( Bue

nomine verticis indicemus; tum vero P denotet Polum, ita vt arcus BP —(. Nifi ergo polus P vel in B vel in V incidat, puncum, quod zenith vocamus, femper a vertice V difcrepabit. — Si enim in figura. praecedente re&ae C B, CL et NL vsque in. coelum. producantur, prima C B tendebit in polum P, fecunda. C L dabit pun- &um Z, quod eft zenith;. at' tertia N L. in' coelo dabit verticem V. Vnde patet;. haec: tria! puncta, P,. V, Z in idem planum, fcilicet in' planum' meridiani! loci L incide-

re, atque zenith Z.íemper longius a: Polo P'diftare quam.

verticem V, idque interuallo: ZZL V5. quem? angulum. vo- cauimus g. Quare a vertice: V. ad: partem? Polo: oppofi- tam: capiamus interuallum: V Z — o5. eritque: Z: verum zenith loci propofiti;. vnde:fi fidus» quodcunque: obferue- tur in puncto S, eius diítantia apparens: a! zenith erit ar- cus Z S, in quo produc&o exiftet: Iocus: geocentricus eius- dem fideris Z;, fumto fcilicet interuallo S €i aequali Pa- rallaxi, quemadmodum ex prima figura cít manifeftum; vnde patet, refpectu verticis V haec puncta S et X no- tabiliter difcrepare a hypotheíi Terrae fphaericae, hocque

Tab, IX. Fig. 2.

Fig. 3

difcrimen plurimum variare, tam pro variis loci altitudi-

nibus, quam pro fitu fideris S.

6.12. Nunc, quoniam effectus Parallaxeos S X pendet vel ab arcu Z S vel ab arcu Z Zi, praemittamus duo Proble- mata, prouti vel arcus Z S, vel arcu: Z 2 fuerit datus ; vnde oporteat ipfam Parallaxin S 2 definire. In vtroque autem afumamus, praeter diftantiam obferuatoris a centro Ter- raé, quam pofíuimus — xz, ctiam datam effe diítantiam fideris a centro Terrae, quam ponemus — s, ita vt fra- «io -— denotet id quod A(tronomi appellant Parallaxin

hori-

"Tab. IX, Fig. r.

Fig. 3.

$33 2) t48 ( $:2e

horizontalem. Quia autem hacc denominatio defumta eft ex hypothefi "Terrae fphaericae, in fequentibus calculis potius hanc ipfam -fradionem J- retineamus, eiusque lo- cO breu. gr. fcribamus literam r, cuius valor pro Luna vix vltra j affurgit; pro aliis vero fideribus incompara- biliter eft minor. :

Problema praeliminare T.

6. 13. Data diflamtia obferuatoris a centro. Terrae CL-z, vena cum diflantia fideris ab boc centro CS-s, fi cognitus fucrit. angulus Z L S, inuenire angulum ZL 2., bincque Paraliaxin, fiue angulum S.L 33.

Solutio.

Ponatur igitur angulus Z L.S — Z, atque ex trian- gulo CILS ftatim habemus hanc analogiam:

(pst pESnm p inp -, vnde ftatim colligitur

din SL pA 1 fin. £, hocque angulo fübtra&o ab angulo ZLS--2, relinque- tur angulus ZL Z; fiue ZC S. Quod fi jam haec ad fi-

guram tertiam transferamus, erit arcus Z S — ó et arcus SZ --mf[n ,hincque porro arcus Z X.4— 4 — m fin. 6.

$6. 14.. Quia Parallaxis S Z vix vnquam vnum gradum fuperare folet, eius finus ab ipfo arcu non .diícre- pabit, hincque ftatim ipfa Parallaxis in minutis fecundis expreffa obtineri poteít, fi a logarithmo formulae 7 fiu. à fubtra-

ec ) 249 ( $52

fubtrahátur ifte logarithmus .conftans 4,6855749; .ac fi Tak IX. ifte logarithmus a / « fubtrahatur, habebitur Parallaxis ho- Fig. 5. rizontalis vulgo fic dicta, quae cum refpondeat angulo

6 — 90^, euidens eft, puncdum S hoc caíu non in hori- zontem incidere; quippe qui 9o gradibus diftat, non a

zenith Z, fed a vertice V.

Problema praeliminare II. .

6. 15. Data diflania | obferuatoris a centro. Terrae, w- na cum diflamia fideris ab. eodem centro, | fi. cogni- eus fuerit angulus Z 2o fiue ZC S —«, inuenire P«rallaxin, fiue angulum L S C.

Solutio.

Fx L in redam (CS demittatur perpendiculum Fig. r. LM, eritque LM — z fin.y» et CM — zcof.$,. hincque fiet $ M —.— zcof. », vnde iam fequitur tangens an- guli LS C, fiue Parallaxeos, cum fit

tane d NES ien — X3.

$—zcoj. — 1— m cJ. et quia 7 femper eft fra&io fatis parua, erit icc cse i- m cof. wq, hincque deducitur tang. LS C — tang, SL Zi — s fin.-41- m m fin.wcof.« —mfnw--immf[n 23; hic autem angulus, fi ad awgulum ZL X — w addatur, producit angulum Z L S, quem ante nominauimus — Z.

Trausferantur nunc haec ad figuram fphaericam, vbi L Atia Aeud. imp. Sc. To. III. P, T. I" conci-

Fig. 5.

eti; ) aso ( Gti

concipitur in centro Sphaerae, eritque arcus Z Zi —w,

vnde ergo erit | tang. S Zi zm fin. w-1- im m fin. 2 y.

6. 16. Vulgo quidem in determinatione Paralla- xeos hi- duo arcus Z S —Z et ZZ —w. promi(cue. vfur- pari folent: at vero pro Luna difcrimen notabile oriri poteft, quod ex termino ic mc Íi.2 v ac(timari poterit. Sumto enim. T—4, et 4—45^, valor formae ;7: m fin. 2* fiet — 1. Quia nuuc vnitas aequivalet. angulo. 57^, 1 7' — 3437', euidens eft, eius valorem circiter ad femimi- nutum fiue- 30 circiter minuta fecunda affurgi poffe.

6. 17. Haec duo Problemata fundamenta confti- tuunt omnium fequentium inueíligationum circa Paralla- xin; verum antequam omnes quaefliones huc pertinentes rite euoluere licet, tabulam computemuüus, quae pro fin- gulis latitudinibus loci obferuatoris (D exhibeat fequentia clementa:

I*. Diftautiam obferuatoris a centro Terrae CL — z.

2^. Differentiam inter verticem ct zenith, fiue in- teruallum V Z — o, ac

3^. Radium. ofculi pro loco obferuatoris, quem ponamus -— f.

Hic calculus ex formulis ante inuentis facile expedietur, cum fit

g——I-L-i8-*L19cof. 20D

tang. o — à fin. 2 (D

ry Ages Scot, 2 «D, 'Tabu-

eB ) 25r ( Gt

"Tabulam autem hanc conftruemus ad hypothefin B TL —0.Doss

vnde, fi forte valor exa&ior innotuerit, correctiones in-

de fluentes facile affignare licebit. Interim autem, loco 9

hunc valorem fübftituendo, formulae ternae pro tabula

conflrnenda neceffariae hanc formam induunt:

i 992300 -- d cof. 2 (5 Xang. t — e fin. 2 p 4, — 1,002500 — ,, cof. 2 Q.

P

o! uz t | f O^|14.005000, o! o0, 995000 Ij|r,0O004998] O 36 |0,995005 2 |[1,004994. E. I2 op 995018 3|1,004986] 1 48 10,99504I 4 I1, 004976| 2 si or sosens 5 |1,004962] 2 '59 10.995114 6 1,004945] 3. 34 |0,995164. 7|1,004926: 4. 9 10,995223 8 t ee496] 4 44 |0, 995291 9 1,004878. 5 I8 |o, 995367 IO j1,004849| 5 53 |9,995452 II |1,CO4818| 6 26.10, 995546 12 1,004784| 6 59 |0, 995648 18 1,994747] 7 2.10. 995759 14 1,004707: 8 4. |9.995878 15 E eese] 8 36 |0, 996005 16 |1, 004620] 9 y, [9 996140 17|n994573] 9 — 37:9,996282 18 |1,004523] TO bc ced

t aO

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44 45 ea 47i

|I, 004470

es )ss2( iue

ro! I, OO44IS|II I, OO£4358 1I I, 004298|rI

|I, 004257! 12 [I OO4.175| 12 |I, OO4107 |1. 0604039

13 18 13 14. 14. 14 15 15 15 15

I, 003969 I, 005898 1,003825 I, 005750 1, 00386 74. I; 003596 1, 003517 I, 0034.36 I; 005855 1; 005272 1,005189 I, 003105 I, 005020 I; 002934. I, 002896|17 I, 002761|17 I, 002674|17 I, 002587|17 1, 002500| 17 IyGO24r3]|X7 I, 002326]17

16 16 16 16 I6

à

55!! 3 30 56 22 4.6 10 33 54

0, 996590 0, 996755 0,996926 0,997105 0,997290 0, 997482 9, 997679 0, 997885 O, 998OII 0,998306 0,998526 O, 9958750 0; 098978 0; 999212 0; 999450 0, 999692 0; 999935 O, 000285 I; 000433 | 1 000686 | 1 669940 I, OOIIS9S$ I; OOI45Ó6 I, cOI 716 I, 001977 I, 002239 I, 002500 I, OO2*76I I12552593

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14 14. 13 13 13 I2 I2 II II ZI IO IO

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I, OOIIO2 I, OOIOSI I, 000961 I, 000895 I, 000827 I, OcO765 I, 000702 I; 00064.2 I; 000585 I; 0005530 I, O00478 I; 000427 I; 000580 I; 070335 I; 000293

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iud e s 0. L4 7711000253... 7! 32"l 1, cogo ux 78 |r,000216,| :6 59 |1,009552 79 ||r'ooor82! .6 2611,009454. 80 |[15;:000rgr| S S T $1 |1,GO00rI22]| .5 18 | 1, 009653 82 Lxaqaosr e d $3|1,000074] 4. 9|1,999777 . 84|,000055| 3 34 [1,009836 $5 |1,000038| 2 » [secos 86 |r,.000024] 2 24. |I1,009924 87 |[150000z4 I iubet oce $8 1,000006, I 12 |1,009982 $9 1,00coo2| o 586.|1,909995 90|1,000000] 9; Oo |r,oroooo

6$. 18. Circa «hanc tabulam ante omnia eft 'ob- íferuandum, .eam potiffimum Parallaxi Lunae determinan- dae effe deftinatam, quippe quae adeo integrum gradum fuperare folet. Quoniam enim Parallaxes Planetarum vix vnquam íemiminutum primum excedere poffunt, 'hypo- thefis "Terrae fphaericae iis de&niendis omnino fufficit, atque fuperfluum foret iftam tabulam in fubfidinm vocare. Quin etiam, fi quando aliquis Cometa ad "Ferram tam prope accederet, wt xfus hoius Tabulae neceffarius videri poffet, tum plerumque nunquam .eius loca tam exacte definire licet, vt aberratio plurium fecunderum fpectari mereretur.

$. 19. Quoniam igitur haec tabula vnice motui Lunae determinando inferuire eft cenfenda, notandum eftt, in

ej )jess( 89e

in tabulis. lunaribus non eius veram diftantiam a "Terra affignari, fed eius loco Parallaxin horizontalem fub ipfo Aequatore exhiberi folere. — Hanc ergo defignemus litera ae, cuius valor, cum . ante diftantia Lunae a "Terra pofita

fit — s, et femidiamer. Aequatoris — 1-179, erit 1-4 9 S

Quare cum fupra pofuerimus pro Terrae loco quocun-

que eius diftantiam a centro — z, ibique Parallaxin ho-

4 1 b t2— - - ur 3 a, a Y wii a rizonta'em — — 7, femper crit c — CLE Cum igitur pro eleuatione. Poli — (D. invenerimus

z— I-4- 19 -- iO cof. 2 p — 1-1: 9 cof. Q*, . erit

acr

—— q«.(1 -4- 6cof. 2) s 1-93 quae formula, ob —-- — 1 — 9, redücitur ad hanc:

m — a£ (x —9 -1- 9. cot. Q?) — ae (1 — à fin, Q») fiue etiam z—.ae (x —10-- 16 cof. 2 Q).. Quia igitur erat ZlI14-;90-4-;9 cof.2(D, erit quoque — ae (z — 9).

6..20.. Quoniam. igitur Parallaxis Lunae 4equato- rea" pro variis: cius locis in fua orbita ab 54^ vsque ad 62! increfcere. circiter poteft. pro quolibet. eius valore ad omnes latitudines:]oci Parallaxin Lunae. horizontalem fa- cile computare: licebit, quem. infinem fequentem. Tabulam adiiciemus, in qua pro' his nouem Parallaxibus aequatoreis: 54944954..5645 575.9481.59;.60,, 6r: e£» 62. ' Parallaxin horizontalem. ad Latitudines quinis gradibus increfcentes exhibebimus.. Et quia hae Parallaxes ab Aequatore vsque ad Polum continuo decrefcunt, haec Tabula oftendet, quot

minuta

ez; )s56( $53

minuta fecunda a Parallaxi aequatorea fubtrahi debeant, vt Parallaxis horizontalis pro quolibet obferuatoris loco obtineatur, fiue oftendet:. valorem formulae ae — v, qui eft

at (10 —i8cof 20); atque ob à— 4

9, 51 10, 87 I2, I5 I3, 30 I4, 39 15, II 15, 7I 16, 08 (16, 20

|

[

0o

a£— T. s (1 — cof. 2 (D).

Cade. b DV DaeiN

erit '

Valores ae —* exhibens, ad quinos gradus

Latitudinis computata.

Parallaxis aequatorea.,

5555 302581 - 1c 2972 4 stt t| 1-9

o',oo| o^oo| o^,oo o^0| o, oo RE O, I12| O, I3] O, I3| O, 13 9, 504 O, 51| O, n 0, 55| 0, 54 I, ei Io x55 X7! 1, 59 I. 9I I,95| 2,00 2550/5.! 7295107 2,94| 2,99| 3.05] 3, 10. 3, 15 4,12, 4.19) 4, 27) 44 84| 441

5; «5| 555) 5, 635 zn 5, 82 6, pl 6, 94. i5" 4523 EFE E: 8, 25 8, e| 8, 55| 8, 70 8$, 85 9,67| 9, 83 I0, OO | IO, 18 E DT 0Y7! r7 I1, 47| £1, 67 yp'$5 I2,57|12, 59, I2, 821 157* 0$*|.1:5,' 5*7 I3, 55 135, aedes 05|14, 29 | 14, 55

Ij, $6 14, 8$5| 15, I0|15, 36:15, 62

B5$5 139 | 157 6715,05 16, 25| 16, 51

15,99|16, 28116, 58,16, 87| 17. 16 16, 53116,67|16, 97 | 17, 26|17, 56 16, 50| 16, 80117, 130/17, 40117, 79

60! o". o0 O, I3 0, 54 I.I 2, IO , 20 4» 49 5,92 T) 44 9, 00

9, 15

62*

0,09 O0, I4 o, 56 I, 25 2,1 3, 31 4, 65 6,12 4, 68 9, 39

IO, 54 | IO, 721 1O, 9E I2,09/12,92 i3) BOW, '72

14, 78

15, O2

IS, 89 16, 15 16, 39 (27, 672 | 17; 30 13, 45| 1 74

17. 86 18, o0

|

18, 16 1$; 30 6. 23.

12, 4] 13, 96 15, 27 16, 42

18, 03 18, 45 18, 60

eB? )ssz( S

6. zr. Haec tabula vsque ad partes centefimas minuti fecundi eft computata , quo ordo in bis numeris clarius pateret; in víu enim has partes tuto omitt^re li- cebit. 'Tum vero minuta fecunda in hac tabula configna- ta femper a Parallaxi aequatorea fubtrahi oportet, vt pro- deat Parallaxis horizontalis pro latitudine propofita. ta fi Obferuator reperiatur fub latitudine 60?, et Parallaxis ae- quatorea Lunae tempore obíeruationis fit 55', inde fubtra- hi debent r2 mnnuta fec. ficque Parallaxis horizontalis hoc loco erit 54/, 48. Sin autem eo tempore Parallaxis aequatorea fuerit 61, Parallaxis horizontalis erit 61!— r4/ — 60', 46", Ceterum, quamquam haec tabula tantum ad integra minuta prima Parallaxis aequatoreae eft computata, facile tamen erit interpolationem pro omnibus valoribus intermediis inftituere, id quod etiam tenendum eft, fi la- titudo obferuatoris non in hac tabula reperiatur: vtroque enim cafu interpolatio fine calculo , fola aeftimatione fieri

poterit.

$. 22. Quo iam víum huius Tabulae clarius often- damus, primo affumemus, Lunam in ipfo Meridiano effe obferuatam, et docebimus, quomodo inde eius verus locus geocentricus determinari debeat, Deinde quaeftionem in- vertemus, et ex dato loco Lunae geocentrico tempore cul- minationis inquiremus, fub quanam altitudine obferuatori apparere debeat. Porro vero vtramque quaeftionem pro iis cafibus refoluemus, quibus Luna in ipfo Horizonte ob- feruatur. Denique vero procedemus ad Lunac loca quae- cunque alia, quibus non folum diftantia Lunae a vertice, fed etiam eius Azimuth quaeri debebit.

Acta Acad. Imp. Sc. Tom. III. P. I. K k Pro-

Tab. IX, Fig. 4e

ec? ) e58 ( $$

Problema I.

Si Luna im ipfo Meridiano ab- obferuaiore ad da- tam lantudinem: conflituto: im. S- obferuetuy , einsque diflantia a vertice, fiue arcus. V S. inmotefvat , inuc- fügare eius verum locum geoventricum 2. , fiquidem

Bro boc tempore MENT Lunae aequatorea. fuerit €oguita.

Solutio.

$. 25. In Meridiano loci A V B, Horizonte A B infiftente, fit V vertex loci, in quo obíeruator verfatur, et P Polus, cuius eleuatio., fiue latitudo obíeruatoris fit B P — D, vnde ex tabula defumatur interuallum V Z—«; porro vero vocetur arcus V S — f. cuius ergo comple- mentum dabit altitudinem. Lunae obíeruatam, fiue arcum AS. Praeterea fit ae Parallaxis aequatorea Lunae, pro qua poflrema Tabula ftatim dabit c, (iue dam ho- rizontalem pro oco propofito,

$. 24. lam ad puncum S, feu locum Lunae geo- centricum inueftigandum , notemus efle arcum Z S — f — wu, quem in Problemate praeliminaii priori vocauimus s fiquidem hic arcus Z S pracbet diftantiam loci obferuati S a zenith Z, vnde idem illud Problema nobis dabit

SZ -—«nmnf[in,(f—o)— mfin.fcof.&— mcof.f fin. v. Hic autem, ob arcoalum V Z — o tam exiguum , vt cius poteftates tuto negligi queant, fumere licebit cof. o —— z etíin.uo — o, vnde fiet S Z; — m fin. f — ra cof. f, hincque . ergo crit diflantia V i —f—S2Z, cui fi addatur arcus P V — 90^ — Q, prodibit diftantia loci geocentrici Z2 a polo -

P;

-$ ) ase. (0 ve P,«cuims complementum . eft eius. dechnatie, hincque porro tam Lunae longitudo .quam latitudo . per praecepta cognita inueniri poterit, quandoquidem .ex tempore culminatio- nis -innetefcit afcenfio recta;

:$.:25. Verum fi-hyporhefi "Terrae -fphaericae .in

hoc «calculo :effemus vfi, prodiiflet. hoc .interuallum .S.z m ín.f; vade patet, hanc.hypothefin errorem valde no- tabilem producere poffe, cum-fit — 7-« cof. f. Quo hoc clarius perfpiciatur confideretur cafüs, quo 7 — 55, « — 17!, ita vt eleuatio Peli — 445^; tum vero arcum 7 ftatuamus — 30", eritque .errer —; proxime, fiue —- r5", qui error, muta- tis circum(taptiis, propemodum vsque ad 8^ afcendere poteft, «et cum -ifte error 7-wcof. f femper fit -negatiuus., euidens efl, verum punctum Z2, fiue locum .Lunae geocen- tricum, aliquauto dongius:a Polo .P diftare, quam fi Terra fphaerica affümeretur. |.Ex.hoc autem :errore adhuc ma- ier -error in longitudinem .t latitudinem Lunae influere poteft. JAc.fi perpendamus, in altitndine Lunae obíeruata errorem quoque plurium fecundorum committi poffe, dum infuper ipfa Poli eleuatio nunquam ad aliquot minuta fe- cunda «certa effe folet, diftantia a Polo P fortafle vltra 30 minuta fecunda a veritate aberrare poterit. Praeterea in ipfo momento obferuationis, vnde aícenfio recta deduci de- bet, error vnius fecundi temporis, vnde r5" in afcenfione re&a oriuntur, vix euitari poteft. Quin etiam, 'quia haec afcenfio recta a loco Solis computatur, quem raro intra quindecim minuta fecunda affignare exa&um licet, mani- feftum eft, omnes hos errores iunctim fumtos facile inte- grum minutum primum fíuperari poffe; ex quo intelligitur, 3 ei loca

$2 ) s69 ( fife

loca Lunae, ex huiusmodi obferüationibus conclufa, plus quam minuto primo fallere poffe.

6. 26. Cum error hypothefis fphaericae fit - mocof: f, patet, eum duobus. cafibus euaneícere poffe: altero quo G — O, quod euenit, vel quando obferuator fub ipfo Ae- quatore verfíatur , vel fub ipfo Polo; altero vero, quando f-—9o^ hoc eft, quando Luna in Horizonte confpicitur. Hinc igitur afcendendo error continuo increfcet, atque adeo vsque ad verticem V, vel zenith. Z. Si enim pun- &um S in zenith Z cadat, Parallaxis reuera erit nulla , cum tamen in hypothefi fphaerica fit 7 fin. o, cuius valor, cafü quo T — 65! et & — 17! fit x9", Verum quia hic :9 — 13', ideoque altitudo Poli — 45^, Luna nunquam vs- Que ad zenith afcendere poteft. Idem euenit, fi Luna vsque ad verticem aícenderet , tum enim Parallaxis eua- nefceret in hypothefi Terrae fphaericae; reuera autem ite- rum erit c 7 fin.o, quo interuallo Luna magis a Polo re- mouetur. Quo autem applicatio noftrae Tabulae clarius appareat, aliquot exempla fubiungamus.

Exemplum 1. $. 27. Sub eleuatione Poli 40^, so', altitudo centri Lunae meridiuma obferuota efl TT, 80 quo tempore Paral- laxis aequaiorea erat. 61', inuenire verum lovum geocen- tricum.

Hic ergo erat (D — 40^, 50!, vnde reperitur inter- vallum V Z — « — x6', 58", Deinde erit diftantia Lunae Obíeruata ^aà veruce 12?*,30! —f. Porro vero Parallaxis

ae-

anti ) 261 ( C cfc

aequatorea 61! diminui debebit 8", ita vt fit Parallaxis horizontalis t — 6o', 52", Hinc ergo ob f —« — r2^, 1 3,, a! calculus pro interuallo € S ita inftituetur: lv 3,536253 lin. (f — e) — 9, 52553 IS 5,— 2,88806 ergo S Zi — 333! — r2!, 53, quod ergo interuallum, ad altitudinem obferuatam additum, dabit altitudinem Lunae veram — 77^, 42', 55" , fiue fub- tractum ab augulo f, relinquet diftantiam a vertice V Z2 12*, 1*', 7", ideoque cius diftantia a Polo P erit — 61^, 4, 7". At vero in hypothefi 'Terrae fphaericae calculus ita fe habebit: IT — 8,562583 ] fin. f — 9, 33534. 1S 3:— 2,89787 ereg S 5, 990". — 15; xol ficque error huius hypothefis eft 17".

Exemplum 2.

6. 28. Sub eltuatione Poli 5$9*, 56!, in ipfo Meri- diano obferuata efl altitudo. centri. Lunae. 8^, 48', quo tem- pore Parallaxis aequatorea erat. 57, 27, quaeritur locus Lunae geocentricus.

Hic ergo eft ( — 59^, 56, tum vero arcus V S —f-—813,:7. lam a Parallaxi aequatorea fubtrahi opor- t€6 13", ita vt fit c — 57, 14". Hinc ergo erit inter-

Kk: 3 val-

"Tab. 1X.

Fig. 5*

vallum .V Z.—.» —: 14',53^., -xnde, «fit. f—-— 825,2! 7l, hincque porro.5 xI Ls fn.(f-—e)fiue S Zi — 5424 fin. $1", 2', 7*5 calculus igitur, fimnl inftitutus , pro hypothefi. fphae- rica, ita fe habet:

dm -3,53580 m 95595980 dfin.f—9,99495 ^ Jfün.(f—w)-— 9.99466 IS -3539075 158:15:— 5,950406

erzo 8 2,—9394//—56. 947 — ergo S25 —3592!— 56! 2t

ficque .error «tantum .eft 2". —dAltitudo ergo Lunae vera erit . 9,:59', 52! ideoque .diftantia a vertice 80^, 20^, 2 g/l, ita-vt ,., ob. V. P. — 30^, 4! ,. diflantia a ;Polo /fit. v10?, 24;

.28", ficque declinatio Lunae Auflralis — 265, 24/, 8 8^.

Exemplum 5.

$.-29. Sub altitudine Poli 72^, 15! obferuatur .di- iude ceniri Lunae im Meridiamo Septemurionem PEE SU 45, quo tempore Parallaxis aequatorea. fuerit $9, 40, quac; viüur locus Lunae geocentvicus,

Hic ergo .eft.(D — BP. —-72^,15' et arcus "VS —f-80^,15. 1am a Paralaxi aequatorea fuübtrahi .de- bent r6/, vnde fit T — 59', 24" — 3564". | At vero ob Q— 725, 15! erit interuallum V.Z — « — 10!, ficque erit Z.S — $o^, 25'. Scilicet hoc cafu .& vt negatiuum fpe&ari debet refpe&u puncti S, ita vt fumi debeat f -1- 9 — 80*, 25! et iam erit SZ — m fin. (f4-&).

ec35 ) 263 ( S$t2e

] 7 — 3; 55194. 1 fin. (f -- à) — 9, 99390

1S X: — 3, 54584 ideoque. S2 — 3514" — 58', 54! ideoque vera altitudo fuper horizonte erat ro*, 45, 34/.

Problema Il.

Si in duobus. Terrae locis, fub eodem. Meridiana filis, culminatio Lunae eiusque. altitudo fimul obferuen- Iur, ex comparatione barum | duarum obferuationum Parallaxin. Lunae. aequatoream ad idem tempus de- finire.

Solutio.

6. 50. Confideremus hic integrum ; Meridianum , in quo punc&a P: et P! fint ambo Poli. oppofiti, vt. bini obíeruatores citra. et vltra. Aequatorem fupponi- queant ; quandoquidem , vt ex huiusmodi ob(eruationibus conclufio certa deduci queat, obíeruatores a íe inuicern maxime re- moti aífumi debent. Sit ergo prioris obferuatoris in fu- periore Hemifphaerio vertex in V, eiusque latitudo — QD, ideoque arcus. P. V — 90^ — .. Tum vero fit S locus Lunae obferuatus, eiusque diftantia V.S — f. — Alterius ve- ro Obferuatoris in Hemiíphaerio Auftrali vertex fit in V/, cuius latitudo fit — (D', quae ergo refpectu prioris vt ne- gatiua eft fpectanda, ita vt eius diftantia a. Pólo P fit 9o*-r Q: Luna autem ab' eo obferuetur in puncto S', ponaturque arcus: V/S/— fi. Verus autem locus Lunae geocentricus fit in 2, qui ergo vtrique obferuatori eft communis. Hoc autem punctüm; fr vt füpra pro vtroque obferuatore determinetur, neceffe eft, vt fumma arcuum V Z

et

"Tab Tx Fir. 6.

en ) 264 ( f:5e

et V/ZX aequetur fummae ambarum Latitudinum , hoc eft Q-r-Q', ex qua porro aequatione Parallaxis aequatorea Lunae, quae fit — ae, erui debet,

$. 31. Nunc igitur vtramque obíeruationem euol- uamus vt ante, fitque pro priore obferuatore zenith in 25 eritque V Z —ó fin. 2 (D, . Parallaxis autem — horizontalis pro ifto loco erit m — ae(x — fin. Q*). Hinc ergo in- teruallum S X erit — m fin. ZS, hoc ett

S Zi —ae (x — 2 fin, Q*) fin. (f — 2 fin. 2 (p), quae formula transmutatur in hanc:

S Zi cae (in. f — 9 fin. Q* fin. f — 9 fin. 2 P cof. f). Hinc ergo habebimus arcum V Z — f —S X, fiue

V Zi z f — ae (Gn. f — 9 fin. Q* fin. f — à fin. 2 p cof. f).

Ac pofito brev. gr.

fin. f — 9 fin. Q' fin. f —à fin. 2 p cot f — F fiet arcus V Z —f —ae F.

6. 32. Simili modo pro altero obferuatore, cuius vertex eít in V^, fit Z! eius zenith, eritque V' Z' — à fin. 2 Qy, parallaxis vero horizontalis hoc loco, quae fit — m', erit a! —ae(x —ó fin. Q^). Quamobrem, fi iterum brcuitatis gratia ponamus, vt fupra

fin. f! — à fin, q^ fin. f! — 8 fin. 2 (! cof, f/ — F' erit interuallum V! 2; — f' -- ae F.. His inuentis, cum fum- ma arcuum V Zi et V' Z fit (Q-4- Q', habebimus hauc aequationem (D -4- ( — f 4- f! — ae (F -- F*), ex qua ae- quatione elicimus Parallaxin aequatorcam

cs s fh Doro ap Li o3.

6. 33.

e$35 |)oa6s( ;eeoem

$. gg. Reflituamus nunc loco, F. et Fr sglore as- fumtos, eritque Parallaxis quacfita:

—

ac —— fm.f-2- f - jin, j* — 6 (in. f fin. Q* -- Jmm. j* Jin. 2 m. 9 9 [y ro Jin.z0) quae formula ob figuram "Terrae fphaeroidicam fáds qui- dem eít complicata;- interim tamen facili calculo expedi- tur, fumto fcilicet à Z— ,i.- Sin autem Terra perfecte es- fet fphaerica et Ó — Oo , aequatio noítra fatis fimplex eua-

—jfTj— -0—d * deret, cum inde fit ae — MLEUISRIM Praeterea vero íi di

flantia Lunae effet infinita, ideoque 'eius Parallaxis nulla , vtique. foret f -4i- f! — Q -r- Q^, ideoque. numerator «ua-

nefceret.

$. 34. Immediate ergo ex oObferuationibus "con flant quatuor arcus (D, QJ, f', f', atque :negle&tis partibus a pendentibus iam fatis exacte habebitur ae —ÓE ERG quo inuento facile erit inuefligare, quanta fui parte Parallaxis, ob terminos litera à affectos, augere debeat. Perfpicuum enim eft, ob veram Terrae figuram Parallaxin :ge femper ali- quanto maiorem prodire 'debere. Haec :enim :augmentatio 3 fieri debet in ratione:

DIE. & (fim. f fin. D? 4 [in. f Jin. qp ae eof. f fin. 10 4 cof. J! fin, a T 7 fn.fá f-jfn.J

"dim, autem «exemplum completum «afferre non licet, inquiramus tantum in correctionem, quam vera Terrae fi- gura producit, vbi.quidem facile intelligitur, fufficere, fi ar- cus f et f' propemodum tantum innotefcant, Affumamus Ip Eüe Wy sos Br Vy Sv Pr APO rem aue» et f' — 46^, 5o', atque :numeratoris "noftrae fra&ionis qua- tuor partes erunt:

| 4cía Acad. Imp. Sc. Tom. TII. P. T. L1 m

et3- ) 266 ( eexn

l.—0,421r7 i ll. — o, 25864 Ul. -—- o, 71782 IV. —0,64685. Hinc numerator prodit

— 2,02448, cuius pars 200"^ fit o, or9r22, quae; diuifa per fin. f -4- fin. f! — x, 39450, praebet corre- cionem quaefitam — 0, 007259; quae fcilicet eft augmen- tatio Parallaxis aequatoreae ex hypothefi Terrae fphaericae conclufa, quae ergo. fi fuerit Parallaxis — 6o' — 3600, erit — 25/, ita vt vera Parallaxis aequatorea. fit 6o/, 2 5!/

6. 35. "Tales binae obferuationes annis abhinc 27 inftitutae funt a duobus obferuatoribus, quorum alter, Abbas /a Caille, miffus fuerat ad Promontorium bonae fpei, alter vero, Cel. 4e /a Lande, Berolinum , quoniam haec duo loca propemodum fíüb eodem Meridiano fita crede- bantur, cum. tamen deinceps motabilis differentia fuerit de- prehenfa; vnde neceffe erat, ambas obferuationes per mul- tas ambages ad eundem Meridiamum reducere. "Tandem vero, peractis obíeruationibus, ingenti labore conclufionem inde deduxerunt, dum fcilicet chordam , a Berolino intra "Terram ad Caput bonae fpei ductam, in computum traxe- runt, cum tamen noílra methodo idem negotium multo facilius confici potuiffet.

Problema Ill.

Si locus Lunae geoceniricus ad datum iempus, quo Luna per Meridianum dati loci zranfere debet, fuerit cognitus , cona cum Parallaxi aequatorea pro. codem | tempore , inuenire eius altitudinem | apparentem. fuper. Horizonte

loci dati. Solu-

eps )s67( $59 Solutio.

*4. 36. "Quia locus Lunae geocentricus cognitus affumitur, :nota «trit .eius diílantia .a vertice obferuatorig V. .Ponatur:ergo arcus V2 — g, latitudo vero loci fit — b, vnde ex noftra Tabula .definiatur zenith Z, eritque VZ-u-Üín2íp. :Poerro quia etiam Parallaxis ae- quatorea &£ datur, ex:ea €x pofteriori Tabula excerpa- tur Parallaxie "horizontalis *, quae «ex formrlis noftris generalibus €t « — ae (x —9 fin.).

$.:95. Nunc recuramus.ad Problema praelimi- nare fecundum, wbi arcus ZZ X. litera * indicatur; erit ergo « — V Z—VZ-g-—u "Quodá nmc S defignet locum «centri Lunae apparentem, ibi oftendimus, -effe

Z$-mfín.(g—e)--;T71n.».(g — o). Computata ergo hac formula innotefcet interuallum S X, eritque idcirco -diflantia loci apparentis S a vertice V —g£-- ZS, wbi ergo interuallum S Zi; eft effectus Pa- rallaxeos.

$. 38. Quodfi "Terram tanquam fphaericam fpe- &eimus, quia tum puncta V et Z conueniunt, erit in hac Hypothefi

SZ -—mín.g--imm(Ín.»p, "ad facile error commiffus definiri poteft. 'Cum enim

t

fin. (pg —&) —4in.g — o cof. g et

fin, 2 (g — &) — fin. 2 g — 2g coí.2g, difcrimen inter haec duo loca erit

Li*€* 7 0

ens )sés( fee vTocofg--m-mT-ocof5g Hac fcilicet quantitate verus valor ipfius 5 2| minor erit: quam in Hypothefi Terrae. fphàericae. br 6. 39... Quo hoc difcrimen clarius pateat, fuma- mus (D— 45^, ita vt fit o — 17, 11! — 5; deinde fit Parallaxis aequatorea — 61', vnde pro 45^ gradibus fub- trahi debent 9'. ita vt Pa«callaxis horizontalis fit q.E- 60 ,:51^. .. Error igitur, erit x Z.cof. 18*-1- Z7 cof. 386^, — fumto fcilicet g — 18". . Vbi in. pofteriore termino loco alterius 7 fcribi debet fractio j,, ficque error erit

565 i (gr ntioy) eof. 564) — 365r. 0, 00483. Y

11300

i idils !35

confequenter error penitus euolutus erit — r8^/, qui in calculo fatis eft notabilis, atque eo magis Obferuari me- rétur, quod non ceffat, etiamfi Luna proxime. ad verti- cem vel zenith accedat.

Problema IV.

Si centrum Lunae obferuetur im ipfo Horizonte fub data alitudine Poli, ac pro eo tempore detur. Lunae Pa- rallaxis aequatorea, inuefligare bcum | Lunae. geo- centricum. :

Tab TX. 6. 40. Quando hic de locis Lunae obferuatis

Fig. z

fermo eít, femper fupponimus, eam iam refra&ione effe purgatam, quod tam de praecedentibus quam de fequen- tibus probe eít tenendum. Sit iam V vertex obfer- vatoris, cuiüs latitudo fit — Q; tum circulus AVB

referat

e$3$ )269( $93

referat Meridianum et A SB Horizontem, in "quo cen- trum. Lunae obíeruatum fit in S, eritque arcus V S quadrans. circuli, ita vt fit f-—90^; praeterea vero fit arcus in Horizonte A S fiue. angulus A V S — a. Iam pro latitudine loci Q ex noftra. Tabula: excerpatur interual- lum V Z.— e, quod eft à fin, 2 D, et pofita Parallaxi aee quatorea — ae,. inde ex pofteriore- tabula colligatur Pa- ralaxis pro loco propofito, quae fit.— 7, ita vt fit

T — ae (x — à fin. Q)..

Jam cx pun&o Z ducatur: arcus. Z S,. quem | fecundum Problema praeliminare prius-ftatuamus Z S — Z, ad quem inueniendum ex Z ad V S ducatur. arculus perpendicula- ris Zu, et quia triangulum V Z y eft minimum , erit

'" Vu—ucof.a et Zu — u fin. a, atque euidens eft fore.

d —Su- 9o —ucof a.-

Hinc ergo locus Lunae geocentricus reperietur im Zi, ità vt fit SZ — T fin.Z— v. Hic igitur notandum eft, pun- &um X non in circulum verticalem V S fed in arcum Z S cadere.

6. 41. Sin autem Terra effet fphaerica, punctum € vtique caderet in ipfam verticalem V S, ad altitudi- nem Sg — 7T, ita vt error inde ortus fit particula Z c. Hinc enim difcrimen inter Parallaxin horizontalem et ae- quatoream negligere licet, .quia totum negotium redit ad arculum X c definiendum. — Ad hoc autem noffe neceffe

eft, angulum V S Z, qui et — 77, — afin.a, quia ar-

cus Z S a quadrante quam minime difcrepat. Hinc ergo Ll15g erit

D

ei )s7o0( $5

erit error Ec — Tu fin.a, «qui ergo maximus euadet ia medio Horizontis O, hoc eft in cardine wel Orientis vel Occidentis, vbi igitur, ob fin.g — x, erit 22.0 — v. Hoc igitur loco, fi fumamus (p— 45^, wbi fit « — r5! x1", Parallaxin vero * ftlatuendo —.61'..5o^, .ob.g — ;,,, erit eror Zim — 7 — x8.

$. 49. Ob veram igitur Figuram Terrae non fo- jum .Parallaxis in S aliquantillum mutatur, .fed etiam A- zimuthum puncti Z aliquantillum d de s angulo fcie licet Z V S, qui angulus ergo .erit Peri 2E. 2c —'T o fin. a, «uius valor etiam, vt modo vidimus, ia pun&o O vsque ad 18 minnta fecunda angeri poteft, Vnde íi hinc afcen- fio recta et declinatio computentur, hincque porro Longi- tudo et Latitudo, .error fatis notabilis refultare poterit. Verum quia obferuationes horizontales (femper ob refra- &ionem funt incertae , ab ifto errore nihil plane erit me- &uendum.

Problema V.

qub. 1x. Reperiatur nunc locus Lunae obferuatus. vbicunque in S,

Fig. $. baecque obferualio facta fi fub cleuatione Poli Q, quo tempore fuerit Parallaxis aequatorea — ae, im- venire ceruum Lunae lum geocemiricum 25.

Solutio.

$. 43. Pro loco igitur obfernato S nofíe oportet

tam eius altitudinem, fiue diítantiam a vertice V S — f, quam eius Azimuth fiue angulum AV S —a, ita vt qua- tuor

; eni yayr( fie

tuor res nobis fint cognitae, nempe QD, ae, f et a, ex quibus lócum Zi. quaeri oportet..

$..44. Primo igitur ex' eleuatione: Poli (5 quae- ratur interuallum V. Z — o, ex priore tabula; deinde ve- ro ex valore- ae- quaeratur Parallaxis. horizontalis: pro: hoc loco, quae-fit: — 7.. lam ex Z ad arcum V S ducatur arculus. normalis Z4, eritque vt' ante V y —a — cof. a et Z'u— afin. a, vnde cum' arcus ZS — 2. non differat ab'arcu Sw, erit Z—— f — o cof. a... Hine ergo per Pro- blema praeliminare prius erit interuallum

SZ — mün.Z — m fin. (f —uw cof. a),. quod interuallum: vocemus:;— Z,. ita vt' É- nobis- denotet: Parallaxin: S 27.

$545.. Cum igitur. pun&um X cadat! in^ areum c Z S; non folum' eius: diftantia: a; vertice V, fed etiam A- zimuth g' immutabitur.. Primo igitür quaeratur- angulus ZSV, qui erit —;75 — 577.. Tum ex punáo Z. du- catur: arcülus: 22: c- ad. V. S. normalis, eritque

Xs —REfn ms —EWM. Hinc ergo cum fit V Z — V o- et S'o— £, primo diítan- tia a. vertice; V S— f diminuetur ipfa Parallaxi S c — Z, ita: vt' iam fit V 23 — f —£. Praeterea: vero. Azimuth a diminuetur angülo 27V co; qui eft

yes gs intu o 65/5 proxime; Cognita autem punc&i Z. diflantia a. vertice. €i V. vna cum Azimutho Z V Zi; inde more. folito. determinabitur: tam Declinatio quam Afcenfio recta.

Pro-

, Tab. IX, Fig 9.

-—2 )es72 ( $9

E S HTUR

| ^ c TProblema VI.

Si ad datum tempus ex Tabulis lunaribus computata 'fu- erit; Lunae- tam. longitudo quam latitudo, indeque porro Afcenfio vecia er declinatio, inuenire," vbi boc uempore Obferuatori, in dato Terrae. loco conflituto, .eeutium Lunae. fit appariturum. ;

. ':So]utio.

6. 46. Sit loci propofiti latitudo vt ha&enus (D et vertex in V, ita wt fit P'V — 90^ — D,. tum pro lo- co obfíeruatoris cognito, ex afcenfione recta, vnde dedu- citur angulus .horarius V P € et .diftantia loci cogniti .22 a Polo computetur tam diítantia a vertice V Z2, quae fit — £ quam eius Azimuthum, eu angulus A V.Z, qui fit

—- D.

$. 47. Tam ex latitudine (D quaeratur interuallum ^W Z--o, atque Parallaxis horizontalis pro ifto loco — T, fiquidem ex tabulis lunaribus Parallaxis aequatorea con- ftet, quo fa&o ex zenith Z per locum Lunae datum pro- ducatur arcus Z ZS, ponaturque Z Z2 — «, vii in Pro- blemate praeliminari altero, ad quem angulum inuenien dum ex Z in V Z, demittatur perpendiculum Z v, eritque Vv-—a cof.b et Zo-ufin.b, et quia arcus, 22 Z ipfi Zv aequalis reputari poteft, erit X — g — e cof. 5. Quam- obrem locus apparens S reperietur in arcu Z Z, producto ad in teruallum S Z — m fin.w-1-i v TÍin 2*, quae ex- prefio ergo dat Parallaxin Z: S — £.

$. 48.

«$35 1).ev3;( s$exm

6. 48. Inuento ergo pun&o S,primo eius diftan- tia a vertice V S, tum vero Azimuth , fiue angulus ZV S quaeri debet. .Demiffo autem ex pnn&e Z.in arcum V S perpendiculo Zio, érit vtique Sc z S E et Vo V Zi—g, vnde patet fore V'S—g-1-£. Porro vero cum fit an-

| gulus Z S V — 9-5, erit. perpendiculum xXociss ?, quod

jJm.g " diuifum per fin. g- dábit "angulum zVS, qui erit LT

huncque angülum addi oportet ad angulum 5, "vt obciti- atur verum Azimuth lóci S.

jb. ii

6. 49. ' Per fe autem manifeftum 'eft, fólutiones tam huius. quim praecedentis Problematis tuto adhiberi non pofle, nifi loca S et 2; ad fatis notabilem diftantiam a binis "punctis V .et Z cadant. Si enim vertici fatis fuerint propinqua, tunüc totum calculum fecundum prae- cepta '"Trigonometriae fpluericae inítitui conueniet. — Quin etiam totum fpatium inter pun&a V, Z, S, 2; fatis tuto pro plano haberi poterit, ita vt tum erus calculus ad Trigonometriam planam reducatur.

6. 50. Hoc autem Problema poftremum fummum vfum prae(tare poterit in Ecclipfibus folaribus computan- dis. Poflquam enim ex loco geocentrico ZZ inuentus fü- erit locus centri; Lunae apparens S, is cum loco centri Solis in coele facile comparabitur, quod fi pro pluribus temporis momentis durante Ecclipfi répetátur, omnia Phoe- nomena facile, atque adeo exadiflime, determinari po- terunt, cum hoc calculo etiam verae Terrae figurae ra- tio habeatur , quae vulgo plerumque negligi folet. — ,

A&la Acad. Tmp. Sc. Tom. III. P. T. Mm Supple-

Tab. IX, Fig 10.

we52 ) 294. ( e coke Supplementum.

De Diametro Lunae apparent,

pro quouis loco, ad quoduis tempus determinando.

6. 5r. Sit Iz 7x globus Lunae, eiusque centrum in c, vnde ad centrum "Terrae C ducatur recta C c, quae vocetur 5$, et ex C ad Lunam ducantur tangentes C7, CT. Hinc ergo fi fpectator in ipfo centro "Terrae effet confti- tutus, Luna ipfi appareret füb angulo / C/, quem vocemus Diametrum Lunae cemtralem et litera A denotemus, cuius ergo femiffis finus erit C5, ideoque fin ;A — 7. — Quia autem angulus / C / femigradum nunquam notabiliter fu- perare poteít, erit proxime

| PA -SHUD qiepque Maeesixist entis Vbi notetur, numeratorem 7// femper effe quantitatem con- ftantem, dum denominator Cc — ; haud mediocriter va-

riari poteft.

$. 52. Supra autem vidimus, pofita Parallaxi ae-

quatorea — ae, eífe ae — —*9., vbi r-j-8 denotat femi-

$5

diametrum Aequatoris Terrae, ex quo manifeftum eft Di- ametrum Lunae centralem A ad Parallaxin aequatoream at effe vt 7] ad 1i-|1-à, ideoque in ratione conftante. Hanc ob rem ftatuamus A — a ae, atque ex Theoria Lu- nae iflum coefücientem « definire liceret.

6. $5. Verum quia Diameter centralis non datur,

videamus, quomodo íe habeat ad Diametrum horizonta- lem

we e32 ) 275 ( eedem

lem. Sit igitur L locus quicunque in fuperficie Terrae, atque vidimus, eius diftantiam a centro € femper intra limites r et I -j- Ó contineri, exiftente à — ;4. Sit porro angulus CL: rectus, ita vt Luna fpectatori in L in ipfo Hori- zonte appareat. Quanquam enim linea horizontalis L c aliquantum a pofitione normali differre poteft, tamen inde longitudo re&ae s nihil mutatur; vnde fequitur, Diametrum Lunae horizontalem ex L vifam effe ad diametrum centra- lem ex C vifam in ratione reciproca diftantiarum, hoc eft vt Cc ad Lc, quae ratio ab aequalitate tam parum dif- fert, vt differentia tuto negligi queat. Cum enim diítan- tia Cc— s refpe&tu C L fit circiter 6o, erit Le—- Y 60? —1 —— 60— 5; lüüc5emocemt I:r:€20—.: $3 —,5, ficque diameter horizontalis fuperabit diametrum centralem A fui parte 7200"". Quare cum diameter Lunae horizontalis fit quafi 3o0/'— 18c", iflud augmentum tantum valebit partem quartam minuti fecundi, quod ergo tuto omitti poterit, ita vt littera A nobis femper etiam diametrum Lunae horizontalem denotare poflit,

6. 54. Hinc ergo intelligimus , diametrum Lunae apparentem in Horizonte prorfus non a figura Terrae pen- dere atque perpetuo perinde fe habere, ac fi Terra effet fphaerica; vnde cum pofuerimus A — a ae, ex Ephemeri- dibus, vbi tam Parallaxis aequatorea quam diameter Lunae horizontalis rcfertur, ifte coefficiens « colligi poterit, fci- licet valor fra&ionis'2. — Collatis autem ex nouifiimis Ephe- meridibus inter ífe pluribus cafibus, valor nofter, fumto medio, tuto affümere licet « — 0, 545 ita vt proximc fit & —.-P use

Mm 2$ $. 55.

eEdo ) 246 ( eek. l

6. 55. Cognito ergo. valore litterae a, erit A —0,545. at. Hinc facile erit pro. quau's. Paral- laxi. aequatorea a? diamcetrum- Lunae, horizontalem aífigna- re, et cum 4e. variari poflüt a.54^' vsque; ad. 62/, tabu- lam fubiungamuis ,. quae; ad- fingula. femiminuta. prima. dia- metrum horizontalem- oftendat.

Parall. | Diam. ||Parall. | Diam. "LL PST D | A

524. o!! 2:9! 4 8" 5$ o! | ax! 31! $4 30 29/54/58 89 |31: 53 55 0,30 0159 32.. 9 55 30. |390 1559. 59 |32 25 56 30' 51 ||/60 32:42 56 30]39 47|60 30 |52 58 S^urénigasus4 Nói Q T3 T$ 57 go'|81r. 2o||ór s$o'[55 St 58. Oo!5r 37162. Oo [1335 47

Tib IX. 6. 56. Cognito autem Diametro Lunae horizon-

Fig. i tali A4, cui proxime aequalis eft vti vidimus, diameter centra- lis, fiquidem tantum deficit parte quarta minuti fecundi, ex figura, vbi C eft centrum. Terrae, L iocus obferuato- ris, Z eius zenith et S locus Lunae, 'euidens eft, eius dia- metrum apparentam, qui fit — D', íe habere ad diame- trum centralem A in ratione reciproca di(lantiarum, hoc eft vt CS ad LS, ita vt fit D— A.25, vnde fequitur

fore D — A./—7'*, Hinc ad 'Trigonometricam fphaeri-

Fig. 3. Ji. ZLz* & cam reducendo erit D. — A D 2s

Pd

$. 57.

eds )s( iHe

$. $7.. Vocauimus. autem. arcum Z S —Z et ar- cum Z 2. — v, atque. pro data loci latitudine. — (D et Pa- rallaxi — - inucnimus interuallum S 2j — m-íin.é. Hinc ergo erit : D SENATE OR, VR CYATIGEP ew uma sc— sx J«—— (mme)

At vero eft proxime ;

fin. (Z— m íin. &) — fin. cof. (mfin. £) — 7 cof. Z in. 2, ideoque LM

stets ent (s fin.) — v cof. à

et quia cof. fin. — 1.— im mín. vbi quidem poftre- mum- membrum fatis tuto negligere liceret , habebimus

A Ee 1—^ cof. 2 — fin. £^ es "Iranslato igitur denominatore in numeratorem, ob qo 1-4- 244044, quia hic «— 72 cof.Z 4- i fin. Z*,

reperietur

D —A(r-4-m7ccof.£-1- io fin. Z' -4- 7 m cof. 2), fiue

D-—A(r--T-cofZ--:mm(x- cof. 4*)), quod pofltremum membrum num poffit omitti fine errore fenfibili videamus. |Sumamus igitur Tis DUete — o, fiet- que i T(1r-Lc0f4*)— 4, et cum A^ fit circiter 32/,

eius pars 5609"^ facit circiter femi- minutum fecundum , xnde hoc membrum tuto reiicere licet.

$6. 5$. Ex Diametro igitur horizontali A Diame-

ter apparens D erit D— A (r-- -cof.4). Quoniam er- £o in determinatione Parallaxeos fupra vbique arcum Mm 53 2S

P wp

eti) ) 278 ( $83

ZS-é affignaufmus, facile erit omnibus cafibus Diame- trum apparentem D determinare ope fequentis regulae:

Primo tenendum efl, Diametrum apparentem non a ver- iice. Obferuatoris V, fed ab eius zenilb. Z pendere ; ium vero, cognitam e[[fe debere Parallaxin Lunae bo- rizontalem X vna cum Diametro borizontali &. Hinc- que; fi. diflantia (oci Lunae apparentis S a. zenitb Z, fuerit ZZ S — 4, erit. Diameter apparens. boc loco D —A(x--7-cof 2); «vnde patet im ipío zenitb, vbi £ — o, diametrum apparentem fore D — A( x 4- m), ficque non in vertice fed in zenib. Diameter ;Lunae erit. maximus.

DE

eG )s:79 ( $9 DE AESTIMANDO TEMPORÉ, QVO DIAMETER SOLIS PER CIRCVLVM QVENDAM, SIVE. VERTICALEM, SEV. HORIZONTI. PARALLELVM, TRANSIRE. VIDETVR.

Auctore A JSLEXBHEL.L..

EI

Ru. quae. hucusque ab Aftronomis traditae funt, pro aeftimando tempore, quo diameter Solis per filum quod- dam fiue verticale, fiue horizontale, iu Quadrante vel alio Inftrumento aftronomico, tranfire videtur, licet in cafibus plerumque obuiis conclufiones fatis exactas fuppeditent; examine tamen exacius inítituto, facile deprehendetur, eas a rigore geometrico adeo abludere , vt nonnunquam ad conclufiones enormiter a vero aberrantes perducere queant. Vt igitur hac de quaeítione omni in cafu iudicium cer- tum et nulli dubio obnoxium formari poffit, disquifitionem hanc omni rigore inílituere fufcepi, quo ipfo euidens fiet, quid de formulis hucusque adhibitis, ftatuendum fit.

6. 2.

'(Tab. X. n ig. 1

ei )aso( Bue

6. e. Supponamus igitur primum .disquirendum effe de tempore , -quo Diameter Solis areum verticalem ZON percurrit, et flatuamus «centrum Solis tempore, quo bunc arcum tranfit; verfari in O , dum vero imago Solis iftum arcum tangit, centrum Solis repériri in Q, adeo vt ducto arcu circuli maximi N Q, normali ad arcum ZON, N.Q aequetur femidiametro Solis. —'Tum vero fi ponatur P polus Aequatoris, et Z zenith loci, atque iungantur P Z, PO, PQ, OQ; facile patet quaeftionem propofitam nunc eo reduci, vt in quadrilatero PO N Q ex datis arcubus PO, PQ, NQ et angulis PON, QNO, quorum hic redus eít, determinetur angulus O P Q; cognito enim ifto angulo, tempus innotefcet, quo centrum Solis a pun&o Q ad. pan&um OO peruenerit. lam in formulis hucusque ad- hibitis Aftronomi triangulum Q O N vt rectilineum tra-

"m : NONEM : &are confueuerunt, vnde deducitur QOL SI Porro

fi fupponatur P Q — P O, et arcum Q O, defcriptum polo P, interuaállo P O, cum linea Q O coincidere, erit vti «ex

fphaericis conftat, .O P.Q —,77,, vnde fiet ang. O.P Qe e OU QUR^ vbi pro fin. Q O N adhibere folent co. ZO P,

fuppofite nimirum quod ang. P O Q fit re&tus,

€. 3. Cum facile perfpiciatur in hoc ratiocinio varia füpponi, quae-non quidem exacte vera haberi que- ant, videamus qua ratione ad acquationem omni rigore veram, pro determinando valore anguli O P.Q peruenire liceat. Ponamus igitur arcus PO, P.O, N Q, refpe&iue indigitari per literas a, 5, c, angulos antem O P Q, ZOP — 180 — PON, per «a, Q, exiftenee QN O — go". Cum

igitur

we rs: '( eo

igitur fit in "Triangulo Q OWN, fin. N Q — fin. Q O. fin.N OQ, -fi'facilitatis gratia exprimatur Q O . per. e, P O Q per 6 et Q O N per £, erit

"fin. x —3 in. £. fin-c — fin.e^fin. (180^ — 9 —8)—

fin. e. fin. (0 -- 8) -fin..e (fin. 6. cof. Q 4- cof. 9. fin.) —

fin..e. fin. 0 (cof. 8 -1— cot. 0. fin. (2). JAtqui in Triangudlo P OQ ct, fin. Q O. in. POQ — fin. P Q- fin. O.P Q, fen fin. e. fin. 0 — fin, 2. fina, tumque

y" —— €of. b. fin. a — cof. a. cof. x

His igitur -valoribus fubílitutis, prodibit ie aequatio : "fin. c — n. J. (cof. B. fin. a. -- fin. 3. cot. 2. fin.a-fin.G.cof.a.cof.a), ideoque

40-5 — cot. P. fin. a. fin. 8 — fin. a. cof. 3. — cof. a. fin. (3. cof:a.

PR ponatur tang. Q. cof..a — tang. Ó, fiet fim, c — cof. b. ftn. c. fin. D fin. b. cof. prem

— fin. & — cof. «. taug. 9,

"hincque cof. cof. S (fm. c —— cof. L. fin. a 2. fin. B) LL Jin. b, cof. B. — fin. (4 ieu :

vnde ob cognitos valores ipforum a, 2, c, 8, à, innote- Ícet.angulus a.

€. 4; "Pro cafü fpecialii quo » — z, formula ali- quanto fiet concinnior; erit enim 5 — fin. G.cof. b — fin. a. cof. 8 — cof. a. fin. Q. cof. b,

Jm.b *bi quidem, íi ángulus « valde fit exiguus, ita vt ftatui queat cof. o& — 1, fiet

fin.c . — * a XS fin.c Ws fne cof, hinc fin. à — i73»

quae formula cum fuperius allata congruit, fi loco fin. v, Acla Acad. Imp. Sc. Tom. IIT. P. 1. Nn fin,

en ) ase ( iHe

fin.a, adhibeantur ipfi arcus c; a; — Caeterum. pro hoc quo- que cafü valorem exac&iorem ipfius. a fequenti approxi- matione obtinere licebit. Quia eft

fi-5 — fin. a. cof. B - (x — cof. a) fin. Qj. cof. 5,

ob. Whwr ODE OE fiet H5 — 2 fin. ia (cof. 1 a. cof. g:-1- fin. r4. fin: B: cof i),

Jin. b vbi fi iam ponatur cof. ; oa — r, et repu t fin. 1 a. fin. g. : Xt fmoc- cof.? prae cof. 9 euanefcere, fiet 2 fin..; a. El proxi-

me; tum. vero. exactius. erit :- Jis c— fin. a; cof. Q -41- 2fin. 1a* fin. Q: cof. bi—

Ji. 5. fin. c?. €?, cof, b. fin . B : * fin.a. cof. -1- —— 7 5^, ideoque. -Jin.e s fin. e; cof. b. fin. i.d fin, a. — — jm.5. c3. Qi ajfin.b*cof.Q^ — ^

$. s... Caeterum: cum: multo. faciliori et: concinnio- ri ratione. aequatio. pro: determinando angulo a obtineri queat, eam. heic proponere aequum. eft. —Bucantur fcilicet ex punctis. O, N. notmales. ad. arcum. Z O N, aui fibi in- vicem. occürrant in IL. ita. vt. fit ILO — II N — 905; tum- que iungatur arcus P II, qui fi exprimatur per e; angulo OP II per Z indigitato, habebimus. in. triangulo O.P IT,

o—oof. OXL— cof.. OO P:cof P HE fin..O P. fia. EIL cof.. OR H, et in triangulo. Q P IL, fin. N Qz cof. II Q— cof: P Q: cof, P IT-fin. PQ-fin.PII.cof. QPII, fiue. o — cof. a. cof. e -4— fin. a. fin. eco & , et

fin. c.— cof. b«cof. e&--- fin. b; fin. e. cof. (£ — a). In pofteriori aequatione, fübftituto: pro. cof. Z eius. valore —.COf.d60t€: 6... fier

fin. c — cof. e. cof. 0 - fin. e. fin.D.(in.d.fin.a—cof.a.fin.Dcot.a;cof.e, hinc

ü «n2 ) 285 ( $t2e

hinc | fin. c — cof. € cof. 5 — "fin. b fin. e fin. ó fin. a. - — cof. «a fin. P cot. a cof. e.

Quare cum fit in triangulo Q PIT; coíze — fin.«s. fin. Q, ob

cof, P IL — fin. P O. co. P .O IL, «et. fin.:e. fin. & — cof. 2, ob. in. P II. fin. IILP O — fin. P O II, tumque «cot. e— —» fiet his valoribus fuffectis

fin. c — fin. a cof. à fin. (8 — fin. a, fin. 7 cof, — cof. a fin. b. cof. a fin. (. quae aequatio prorfus €adem ít ac illa, ad quam in.$. 3. pertigimus. LI

$. 6. Ex folutione mmodo allata iam perfpicitur, quaeftionem aeque facile rcfolui, «quemcunque fitum ha- buerit arcus .Z O N, mec prorfus requiri, vt hic arcus ad circulüm maximum pertineat. — Sic simirum fupponatur Tab. X, M ON efle arcum cuiuscunque circuli minoris in fuperfi- Fig 2. cie fphaerae coeleftis defcripti, eiusque Polum effe II, Polo Aequatoris in P exiftente, centrum vero Solis, traníe- untis per arcum M O N, fuiffe in Q, et ante tranfitum, dum imago Solis arcum O N rangere videbatur, centrum iftud fuiffe in Q; vnde ducis arcubus circulorum ma- ximorum IIO, IIQ, erunt hi arcus normales ad MON, et Q N acquabitur femidiametro Solis,. Porro concipiatur per O ductum effe arcum circuli maximi R O, qui iftum MON ibidem tangit; tumque iungantur P O, P Q arcu- lus circulorum maximorum. Nunc fi arcus PO, PQ, PII, QN, IIO, exprimantur per 2, 5, €, v, f, et an- guh RUE COPI,U0POQ 56 E,0,9. crit ex tate gulis OP, QP II,

Nn2 cof.

ec2 y 284. (| Giien

cof. IIO — cof. P O. cof. P II 4- fin. PO fin.P TI. cof. OIXP cof, IQ. — cof. P Q. cof; P-IT 4- fin. P:Q fin-P IE; cof; Q P II. feu- introductis litteris: cot. f— cof. a. cof. e -1- fin. a. fin. e cof. 2. cof. (f — c) — cot. b. cof. e -i- fin. b. fin. e. cof. (£ — a) — cof. b: cof. e-r fin. D. fin. e(cof. Z cof.x-tr- (in. Z fin.aà. Ín. pofteriori. aequatione pro cof.Z fübftituatur eius valor- ek E *; fiet cof. (f — e) — cof. P cof-e - — fin. J. (in. e. fin. 2. fin. a. -- 95 7* (cof. f— cof.a. cof e), vnde fi iterum. pro cof. e ue cof. a. cof. f -4- fin. a. fin. f fin. , ob POH—9o9—R OP, tumque fin;e.fin. G— fin. f. cof. Q', haec prodibit aequatio: cof. (f-c) - cof.b(cof:a cof.f.--fin afin.ffin.B) c fin.a-Gn.b fin.f.cof.G IDEM (cof. f— cof. a (cof. a. cof. f ^- fin. a fin. ffin. 8) ^. Em fin. a fig. 5..fin. f. cof. 8 E xl ? ((in..a* cof. f. — fin. a cof. a Gin. f Gin. Q) eu igni a. fin. b.fin. f: cot. B

-1- cof. a fin. V (fin. a cof: f — cof. ein. f.fin. 8) hinc- cof. (f — c) — cof, b (cof:a. cof. f »-[in. a fin. f fin...) Jin.b. Jiu. f. coJ.

— fini.a ET. s: (fin. a cof. f — cof. a fin. f fin. Q.)

6. 7. Si formulas, tam in.$ Praeced. quam s? allatas, attente. confideremus, facile perfpicietur, earum computum facillimo. modo iniri, fi in Triangulo IL P O, ex datis lateribus P O, O II. et angulo P O II; quaeran-

tur

ems )jass( be tur latus. precom OPI; tum enim fiet pro 6. 5,.

iud — fin.c — cof. b. cof. e cof; ( (4: a) TREPITDM b. jin. e

et pro $ praecedente, cof. (8 £—3 a) I cof, f — c) — cof. b, cof. e :

jin, b jm. e Pro priori enim cafu, ad conftru&ionem problematis per- tinebit primum, . vt. quaeratur . cot. — — tang. Q. cof. a, tum enim erit:

fin. € (fin. c — fin. a. cof. b. f-b. fia. B) - — zal s qünsb. cof. A 70s — cof. (5s a),

deinde. vero ob

fin.$ — Yi -— j EUG Ree ieE fin. a fin. 8 -— cof. e,

prodibit formula propofita. Pro pofleriori cafu conftru- &io reducitur ad quaerendum avgulum Z ope formulae

egtid — cof. f. fin. UE. finas c fife fas] dim.G ^ et

cof. e — cof a. cof. f -- M" a. fin. f. fin. Q.

6..8.. Si in formula $. 6. allata, ponatur b — a, fict.

eof (f — e —.eof. a? cof f. —-fin. a. cof. a fin.f. fin. . Jm. €. Jin. f. cof. B

— fin.u-- 2. (fin. a. cof. f— cof. a. fin. f. fin. (9),

fin, » J- cof.

et fi ponatur cof.a — rz, e fiet. vbi angulus «eft. val- .de paruus, obtinebitur, ,

cof. (f — c) cof. f. : fin; a. fin.J- oj a sen. a, feu

2 fin. ; €. fin. (f — ; 2A

| fin. a. fin. f. cof. g.

quae formula, íi ponatur f-—— 99^, prorfus congruit cum. valore approximato; íin.a — 4 ——,. Caeterum cum fit

Nn 3 cof,

fiü.a.—

-— )ss6 ( $83

( —26) — cof. c— obs e yug, inc co CT (fin. a. cof. f—cof. a fin. f fin. "

— fin ;«cof.' o — dites gun. a.cof.f —cof.afin, f. fin.) j fin. f. cof.

fi primum füpponatur

;2 fin, Does cof. (f — c) — cof. 5 feu Jin. a, die J. cof. B

L fin. 76 fin. (f — 2c) 9

; — fin. a. l. fin. f. cof. 8. cof. epe

adhibito "hoc valore pro ri —cof. 4, valorem propio- rem pro fin.a obtinebimus, qui tamen prolixior ett, quam eius vt vfum in calculis atdronomicis facere liceat.

fin.1«

$..9. Hucusque -contemplat «quidem non fümus nifi ilud tempus, «quo centrum Solis a punc&o :Q ad O peruenit, id ít, uod elabitur inter momentum, quo margo Solis arcum M O N tangere videtur, «et illud quo centrum Solis per hunc arcum tranfit. Nunc autem fimul ratio habenda eít temporis, quod inter tranfitum centri per arcum modo dictum et .contacum imaginis ab alte- ra parte huius arcus elabitur; neque enim exiftimandum eft, interualla haec temporum praecife aequalia cffe. Scilicet fi centrum Solis tempore. fecundi conta&us verfe- tur in Q/, puncto conta&us exiítente N', fi iungantur P N! Q', II N', iamque exprimatur P Q' per /', nunc dis- quirendum de formula, quae valorem anguli O P N! — o' exhibet. Cacterum facili adhibita atrentione perfpicietur, aequationem quaefitam huiusmodi effe formae:

cof. (f —p- c) —. cof. b* (cof. a. cof. f. -- ftn. a. fin. f. fin. B) Jin, t. J1n«j, cof. g

-— fin. a! -- — 5. (fin. a. cof. f — cof. a. fin. f. fin. Q).

Jin. j. cof. g

Pro

ef32 ) 2875 ( 52€

Pro illis igitur cafibus vbi anguli «, a/ funt valde parui, ideoque etiam parum inter fe differunt, ita vt fupponere liceat. cof. & — cof: a^; et cof ;(a— o!)— xz. fi infuper fupponatur facilitatis. gratia a — b — b, prodibit,

| —— eof. (f — c) — cof. (f -- c) : fin. & -i- fin. a! — fén. a. fin. 7. c3]. ? ideoque -

1 /) pit fznez fim. f 1o — fin.c fin. E (a T el) 77 jin.a. pJm.f.7c0J. B.^— jinla. coj. B ?

ita vt nunc quidem liquido patescat, valorem approxima- tum ipfius i(c-1- a) per iftam. formulam:.

in. fin. i (a.-- a!) BL ;

1 d NE —- 2c RE " feu etiam per hanc: &-pF a — 25 og. €Xprimi, denotan te c femidiametrum Selis..

$. 10... Caeterum» haec formula multo facilius de- ducitur. ex iflis binis. aequationibus principalibus:

cof. (f — c) — cof: a.cof. e—- fin. a. fin. e cof. ( — a)

cof. (f-- c) — cof..a. cof. e-1- fin.a. fin. e cof. (£ 4- a) vnde habetur:

(f — 9 — eof. (f c): — l

af (990-9 — cof. (^ — e) — cof. ( 4- a!) ideoque-

finc: fim f^ —— & -- ai a'—a

rr -— fin. (£29 fim. (Z 4- ——4), : vbi fi ponatur a .— a! — o, fiet

(acta EE mci [maf fec fin. V a. ^ — fm.afin.eJm.Q — i.a. cof. B? ob

[^ fin. f cof. 8 — fin. e. fin. 2. Tum: vero: fimul patet, fi innotefcat ^— , exacte fore u n. [^d fin. fin. : (a "Hl *al) E DRM. [oa Y WE fin. a. fin. e. tin. (£ 4- 2-4)

— án.

i2 ) "88 ( Bone fin. c fin. Z 7 i. . Cof, f&- ün.(Z ^ £m

vbi tamen, vt in fuperioribus, fupponitur ;5— iti Praeterea quia eft

fin. (5-5 5-5) — fin. 4. cof. (55—5)-r cof. fin. (E59. , —— fin. Z -1- cof. &. fin. (£———5),

hinc LUI CA atoircro I -|- cot. Z fin. (£—*), fin. Z adeoque, ob íin.(£——) valde paruum, loco Y

L— —— Lo adhibere licébi Pg cor. Z. fin. (4 — adhibere licebit

X — cot. £. fin. (*—*); quare fiet Jin. c &! — £in. 1 (e 24- a!) — E (1 — cot. 2. fin. —9), quae formula valorem fatis propinquum ipfius e. ex- primit.

6. rr. Pro inueniendo autem valore anguli 5—- 7 fequenti ratiocinio vti licebit: quia eft j cof, (f — c) — cof. a. cof. e -i- fin. a. fin.e cof (£—a«) et cof. ( f 4- «) — cof. a. cof. € 4- fin. a. fin. e cof. (Z 4- o!) ,

,

fiet cof. (f — MES ue 2. Cof. a. cof. e — có, (G— a) 4«cof. (£ 4- !), hincque iaa tese cof. (d 4-2 (a! — a)) cof. 1 (« ta) vnde

cof,

«5 )s89( $5

cof. f. cof. c — cof. a. cof. e MÀ — r7 c Cof. 4-cof. 1 (a^ -— in. 4. fin. e. cof. 1 (a -4- a") x 4 p d a) — fin. G. fin. : («&! — a), hinc igitur obtinebimus — «cof. f. eof. c -41— cof. a. cof, x -in, 2. fin.-a. fin..e.. cof. 2 (x 4 a)' Vbi quidem fi ponantur cof. ; (a -31- 2), cot ; (a^ — a) vni- tati aequales, tum vero :loco cot. 2, cof. 2, et fin.c. Gin. fubítituantur eorum valores:

f. f. finza. — : C | - cof. f. [ims a. e gc mE a. ftn. p. cof. a:cof. f 4- fin. a fin. f. fin. G,

fin. f.:cof. ., fiet fin. ; (d —«) —

fin. : i (a! —a) —

cot. f. (x —cof^c) , | 2'cot.f. fin. 1 e* fin.acolg — — fiacof.Q. Caeterum quia 'correctio :cot. Z..fin. 1(a! — &) valorem .an- euli Z involuit, facile ;perfpicitur, iis in cafibus, vbi hu- àus correctionis rationem habere neceffe fit, tnultum prae- flare, vt ex inuentis valoribus anguli Z «et lateris e, quae- rantur anguli Z — &, -1- «' per formulas faepius propos fitas, pro quarum faciliori computo ftatuere liccbit ,

cof..a.cof.e — cof.g, vnde fiet 1 —Llieo[ (f — c) —cof- 1 'cof. (6 T d) jm. a, jin. e

2 fin. ;(f-i- c7 g) in. :(g f4- 20) L. fin. a fin. e

Ty ES 4 c) — col. of. (5 -. a!) c EU Dog

2 fin. 1 (f 21-« 4 g ) fin. 1 (g — [- fin.a fin. e '

Aida dMcad. Imp. Sc. Tom. III. P. T, O o $. 12,

ec; ) zoo ( f:

6. 12... Quia eft

fin. c. fin. f- 3) al — a fin. a. fin. e, fin. 1(a!-4- a) - fe ET Er)

zi o.cof, (7) -1- cof, P; (Sue et

cof. f. cof. c — cof..a cof. e T er COf.. e. cof..; (a! — nd y dE Rer a Ts 4. cof. ; (a! — a)

— fin; £. fin. (a — a).

& breuitatis. gratia. ponatur: Leiden a! — v — d: fin. c. fin.f — ME et:

a E ?^ fin. a. fin. e cof. f. TTE: co[,; e" ET em erit ves . — fin. d..cof. d -- cof, Z. fin. d, et ar -- cot. &. cof. d — fin. £. (in. d,

ynde Na quadratis ,. illisque inuicem. additis, obtinebitar

NON

fia. 2 cof. s^ s I , hinc

M* (1 — fin. 5) 47 IN* fin.5* — fin. 5 — fin. s*, ideoque

fin. $* — fin.5t(r —N* 4- M") 4- M* — o, vbi igitur valor ipfius s; ope. aequationis biquadraticae determinari debet, quae tamen inflar quadraticae tractari poteft. Caeterum quia fin. 5^ füpponitur valde paruum, habebitur devi

zl NM ES NECS

tumque porro

fin. f 1 — M?.c0f.:52. .—— M*(r— NT*— M?) UC $S NÉ) —iN HM NUS

$. 13.

e )iosor( $22

6. r3. In fuperioribus fuppofuimus effe 5— 5! — a, Quod fi vero rationem quoque 'habere velimus .difcrepan- tiae, quae inter hos.arcus intercedit, inueftigatio anguli & -1- a! fequenti ratione -expedienda :eft: 'Ob

:cof. (f —«) —' cof. 2 cof..e 4- fin.b fin. e cof. (Z —a),

cof. (f 4-.c) — cof. 9! cof. e -4- fin./2! fin. e cof. ( 4- al), fi prior aequatio mültiplicetur per fin. !, pofterior per fin. ^, earumque :differentia :capiatur , 'erit

cof. (f —«) fin. à! — cof. (f -- c) iv. — cof. e fin. (b — E)

-r fin. 5. fin.&! fin. e. (cof. (£ —2) — cof. ( 4- a!) ),

hincque

cef. (f— c). -fin. E^ — cóf. (f-t- c) fin. b — cof.'e. fin. (5 — 5) B b' jin. b fin. e ETICA

—:e fin. 5 (a^ -- a) fin. (2-4 2— 9), fiue cof. f. cof. c. (fin. 2/ — fin/2) -- tn. f. fin: c (fn. gi- n.) —cofe.fin (P —5)—2 ind finifin,c.fin (^ 9 fim (2. (8 —8)). Tumque :ób fin. / —fin. b — fin. 1 (P — 2) cof. : (P 4.2), fin, 2! 4 fin..b —72 fin. 1 (£^ 4- 5):cof. : ; (b! — B), fin. (b! — 5) — 2 fin. ; (b — 5).cof. * (5! —. 2), colligitar fin. f. fin.:c, fip, *--* cof, *-* -r cof. f cof. c fin. * /-! cof, 5. «cofcefin p-— foo dins — fin. /". fin. b. fin. e. ii 4*5 fin. (6-1 2—: js. eX qua formula, fi ponatur Ud, co[p^ — «q er in. (G-1- €) —1in. 4; prodibit

Oo 2 fin.

e$ ) sos ( ee apa n Pe c.fin; sa-cof f.cof z.cof. cof.a.fià 9-5 cofie. fin. 5

fin. —— 14. —. fin. 2. fin. P'. fin fueünP 2 fuse.fin. a. fin. *— P COT, f-cOTEIE -- COTES vrAn P Amb coL - 7. nd fin. 7". fin. f. cof.

fin. a. fin. Q. fin. cd

"fin. & fin. ^ « Te

ob. cot. e— cof. a: cof. f.—- fin. a. fin, f. fin. (3... et: fin, e fin. Z —— fin.f.cof.g. Heic antem. membrum intermedium, ob fa&orem- fin. *—? ( x. — cof.c) prorfus exiguum, tuto omitti poffe videtur, vnde conficitur al-- a fin. c. fin. a. fin. e. tang. jg fin. (ig, E

2. -— fim.b.fin.b. cof.Q/ fin.5.fin.b^ —* Caeterum. inutile. foret. Heie: prolixius inquirere, quomodo haec expreffio: alteriort approximatione ad. maiorem adhuc exactitudinem perduci. queat, cumr iftis in. cafibus, vbi va- lores. angulorum o!, &, multum inter fe discrepantes. pro- dire queant, fine dubio prae(tabit formulis, omni. rigore veris. vti,

fin. ——

$. r4. Plerumque quidem euenit, vt; arcus. P O, interuallo temporis. angulo O P Q vel O P Q^ refpondens, vix fenfibilem patiatur. mutationem; interim. tamen vt ifta mutatio fenfibilis fieret, quin cognita fupponi non poteft, nifi ipfe angulus OP Q vel O P Q' innotuerit,. negotium ita perfici poterit, vt: primum exquiratur angul. O P Q vel O P Q/, qui pro valore conftanti. ipfius PO. locum habe- ret, quo ipío innotefcet, quantam mutationem declinatio interuallo temporis, quod angulo O P Q vel O P Q' re-

fpon-

xS. )9s( ceo

fpondet, fübierit , vnde. denuo: variatio: anguli OP Q ex mutato valore ipíius. P. Q. innotefcet;. Conftat. autem ex Trigonemetria fphaerica, effc : variationem. anguli: II. P. Q- in triangulo. II.P. Q. ad. variationem. lateris . PQ.--—fin.PQrr: fio. P Q.,. vbr loco-anguli. P Q II . plerisque. in: cafibus an- gulus. P.O II: adhiberi. poterit. .

6: r5. In $. fup. x2, vbi de inueftigando valore anguli $— ^—-* egimus; inuenimus- aequationem : biquadra- ticam" huic. propofito- infernientem:. Conueniet | igitur. vt examinemus;:.. an- ipfa : quaeftionis^ indoles: ad. aequationem biquadraticam: perducat. . Sit igitur. M:;O N* arcus: circuli, quem: centrum Solis. in: puncto: O tranfit; punctis contactu- um imaginis-Solis. exiftentibus in: Q; Q^;. tunt duco 'ad polum: Aequatoris- arcu. circuli: maximi P: O, facile. patet, circulum: Polo. P, . internallo P O-deferiptam ,. circulum M Q N: in. alio- quodam: pancto Q^ fec&urum fore y. ibique centrum. Solis- hunc. arcum | tranfiturum effe; vnde huic puncto- correfpondentes: dabuntur, in' quibus imago Solis arcum. M O'! contingere videbitur. Haec. igitur puncta. fi indigitentur: per^ R',. R^; angulus a defignabit ve! QP O vel: IP; O,.et o^ defignabit vel. O P-Q^ vel. O.P R',. quare iam patet, fim; 5 quatuor- habere poffe. valores. vbi tamen finguli bini: nonnifi fignis: differunt;.fic enim fiet

fin. QP'Q'— —fin.(R PO-- O P-R')— fin.(566^Í—Q P Q^), tumque fin.(RPO -- OPQ')-—fia-(OPQ-- OP R)), nam RPO--OPQ--OPQ'-J-OPR'—560o, ob ; GPQ-O'PIX;IOPQ —R' PO: (

Qaa 6. 16,

fab, X, Fig. »

ewe )evs( cu

76 16. Quae hucusque :e&pofita fuerunt, de :traa- fitu Solis per arcum cuiüscunque circuli in fuperficie fphae- rae coeleflis deícripti .valent, (ideoque .eorum .applicatio facile ad tranfitum :imaginis 'Solis per fila verticalia et; ho- rizontalia ; quadrantis .et ; alius inftrumenti aftronomici fieri poteft. .Filum ,enim verticale ;exprimit tangentem .circuüli verticalis , et filum :horizoatále exprimet tangentem circuli maximi,.per punctum, .vbiibina fila fe .decuffant, ad cir- culum ;verticalem | perpendiculariter .defcripti. |Pro reliquis vero .cafibus, vbi.de tranfitu per alios .circulos quaef(tio.eft, Obferuari «conuenit, :fitum ;huiusmodi .circuli 4n :fphaera.cae- lefti ita determinari , vt per polum Aequatoris ct polum circuli propofiti ducatur .circulus maximus, .circulo ifto án ippunéto M. occurreus, tum .vero deícriptus intelligatur me- ridianus P.Z per polum aequatoris et zenith oci: his enim factis, fitus circuli iftius innotefcet , .ex .cognitis .ar- &ubus YI P, JI M, .et angulo ;Z P.M. vel.Z PAX.

4. x7. «Quoniam in svdlorlbus .approximatis :pro «-1-o! walor anguli R.O P — Q ingreditur, neceffe erit vt oftendamus, qua ratione hunc angulum inueftigare .con- ueniet. Primum igitur, quia tempus quo tranfitus Solis obferuatus eft, cognitum habeatur, .dabitur etiam valor ar- cus P O; tumque fi circulus, per quem tranfitus factus fit, fuerit maximus , ponamus illum occurrere meridiano loci in Z, vnde ex cognitis Z P, PO, Z PO, dábitur angulus ZOP. At fi circulus fuerit minor, ex cognitis angulis ZPII, ZP O, innote(cit OP 1I, vnde ex datis P O, P II et angulo O P II cognofcetur angulus POII—9c^—R OP, vel etiam ex cognitis lateribus P I1, I1O «et angulo II P O, quaerendus eft angulus P O IL. Caeterum confideratio pm

Qe-

ec; )595 ( $99

fterioris huius: cafus in' praxi a(tronomica inutilis eft, quia, dum obíeruatur tranfitus- imaginis: Solis: per filum" quomo- docunque dispofitumr,. facile intelligitur hoc.filum reprae- fentare: tangentem' circuli:alicuius: maximi. -

^

6. 18: Vt autem vfüs: eorum; quae in praeccdes- tibus: allata funt, eo euidentius innotefcat, ad exempla non- nulla: defcendamus.. Ponamus. igitur quaeftionem: effe de tempore, quo imago Solis: filum verticale tranfit, exiftente € -— 15,30; PO — 4 5— 697 et^atigülo P^O»Z —8 — 85*. Per formulanr igiturab Aftronomis'vfitatam, «-r-a/—

Buy " fiet &-- a^ — 6^, 26'/ 24"; Att caleülo feeindum formulas noftras exacte. veras- inftituto ; - reperitur' primum e — 245, 30; 3o" et; Z— 167^, 22/44/65, tum" vero Z — a, 1645, 29, 5,8, et £—- al —— 191, 9'/ o9 7; ita'vt fit a! -- « — 6*; 40'/ 25; 95 a3 9953; 40 78; a'— 3*, 46. 45 x; hinc 2—* — 26', 32^, 1.. "Fum vero'fi formulae: " a!-r- a: fin. cfin. ZZ

n.-: WCE-EHCHS OTI EL x fin. e. cof. g..fin. (Z -- 2) vfum. facere- velimus, reperiemus *7-* — 5*, 20, r5/l, x. ex quo prior: nofter: calculus fatis confirmatur, diffenfu vtrius- que conclufionis:; fcrupuli fecundi vix exfuperante Hoc igitur exemplum .common(trat, variis in ca(ibus fieri pofle, vt formula ab Aftronomis- propofita pro computando tran- fitu diametri. Solis. per: filum -fiue verticale feu horizonta- le, ad erroneas perdücat conclufiones, errore quidem in cafu propofito exiflente 14 minut. primor,, vnde pro tem - pore tranfitus error. 56 fecund.. refüultaret.

6. 19.

epo )2s96 ( cm

4$ x9. ' Approximatio pro valere "ipfius fin. .*—* fupra $. r1. allatá, «cafu quo 9o omnino . incongrua euadit; interim tamen re bene perpenía, .aliam . approxi- mationem pro hoc «cafu adferre licebit. Cum. mc d fit i a al—a .cof, a. cof. e a ml raga: 7 RSEN DE RIAET REUS £ot. or ima. fine; fin-Z. cof. ER " 4 ponatur: iég(o e n7 1, «tutrique" pro. cot: $, .cof. e, ad fin. g introducantur eorum valores

—.tang.[3. cof. a, fin..a. fin. 8 et coí..; «fiet 4 al—a tang Bicofa (1- -co( 2) tang, .cof.a. afin. e : Bii— m TL -————— TULIT ———— €

S. uf, 1 (a! 4-a) -caf. i T (a4-a) ^

pem ——* valde paruum eft,

ars à! -4- g. fin. deu tang. B .cef. a.

Uc — (a! 4- &) fin. 97 cor.-e.

Lob deet fi pfo .cafu -propofito huius -approximatio- nis .vfum facere velimus, gendo à! -uunciu, 065, nato inuenimus a! —«& z- 4724, difienfu a veritate plusquam quinque minutorum primorum exiítente, adeo vt in cafibus

dubis vix vllo cum vfu :khaec approximatio adhiberi queat.

fin.

fen etiam, «quia -plerumque

:$. 20. Quia válores angilorum o/, a, adeo diuerfi effe polfunt; facile quidem perfpicitur, cafus incidere , vbi pro aug. o valores conuemnientes proponi nequeant; quod fiet..vbi f" — ctt», hoc elt, finc? — cof. (a3), vel fin.c 2 fin.(a-1-e — 90). Limes ergo valorem rea- lium ipfius o pre cafu , -quo .a — 67^ «et c — 15, 3o", is erit, vbi — 86^, 26', 43", tum fcilicet fiet e — 235, 15*,

3o",

ec )se7 ( $$

5o!, ideoque a -1-e€ — 90 — 15! 5o" — c, hinc habebitur Zia rso: , "etit u —" r65^, 12^ 59". 4, exiftente £ 22176, 57!,58'",9, ex quo colligitur a^ -- a — 12^, 47, 20/l, 6, et a/ — & — 5^, 16', 41, 6 , ita vt haec differentia angulorum ac, angulum minorem « magnitudine excedat. Manentibus autem valoribus ipforum a et c, fi (9 vltra 86^, 26'/, 42^ augeatur, liquet pro a^ nullos valores rea- les adferri poffe.

6. 21. Praeterea illi quoque incidunt cafüs, vbi neque angulus a valorem Ííortitur realem; patet autem limitem valorum realium pro « ibi conftituendum , vbi ang. 9 — 90^, hoc eft vbi circulus minor, polo P, interuallo P O defcriptus, tangit circulum Z O in O. Pro hoc au- tem cafu valor anguli O P Q — «4, fequentem in modum indagatur. In "Triang. QP II erit cof. II Q — fin. N Q— cof. P Q. cof. P II -1- fin. P Q. fin. P II. cof. Q P II — cof O P. cof. P II -- fin O P. fin P IJ, cof, Q P II — cof. O P. fin. OP (r—cofOPQ), ob OP-3-PO— 9o et OPQ— 180 —QPII, hinc fiet

fil. c— fint 309. fin. i c^ et. fin; 1a?-—

[dem vero et fic demonftratur: fin. N Q— fin. OQ. co. POQc- 2 fin. ; Oe cof. 'OQ.cof.POQ, ow eft

fin, O Q— fin. O P. fin. OP Q. et cols OO E ur

cof. PS 3 tumque denuo EE oS — finmmOOQ, proinde

"cf. PS

fin N Q — 2 fin. O P. cof. O P, fin. 2 O P-Q*.

Acta Acad. Imp. Sc. Tom. III. P, I. PUB $. 22,

Tab. X. lig. 4

Bab. OX:

Fig. 5

eis )2so8 (. Ss2e

$. 22. Denique fi fitus circuli maximi SMN talis fit, vt imago Solis eum in NN tangat, centrum autem Solis non propius quam ad diítantiam dita'n M O, femi- diametro Solis minorem, huic arcui appropinquare poffit , quaeritur valor anguli O P Q, qui refpondet tempori, quo centrum Solis a Q ad O peruenerit, — Adhibita. igitur ea- dem conítru&ione ac in praecedentibus, fi arcus O M lit- tera € exprimatur, erit P II — 9o — a — e, hinc ob co( IT Q — cof. P Q. cof. IP «1 fin; PO diu IUP cof. Q DIL

' fin. c — cof, a. fin. (a -41- €) — fin- a. cof. (a -1- e) cot. a,

tumque fin. c — cof. a. fin. (a--e) 4-fin.a cof (a4-«)—fin.a cof (a--2) (1—cof a)

fiue fin.c — fin, e— fin. a cof. (a -4- e) (1 — cof. a) et fin. z (e —e) cot 2 (e a3- €)

"fin, a. TID. e) FIRME

6. 25. Etiamfi vero cafus exiftant, quibus formula ifta approximatione eruta: fin. Ve LL EE ad valde er- roneas ducat conclufiones: tamen, eo non obfítante, eius víus rite in calculis aftronomicis adhibetur, quod hi cafus non prodeant, nifi vbi angulus valde fuerit magnus. dn- yenimus, autem calculo inftituto pro angulo Q9 — 785, exi- (lente 2 — 67, et c — 15,30", per E uidias noftras omni rigore veras, a! -i- à — 27, 42/, 8", 8, et per formulam ap- proximatione erutam , a!-L-a- 2,42! o", diffenfu non maiore quam 8^, 8, exiflente; vnde fi approximatione vti quis vellet, in determinando tempore tranfitus nonnifi er- rorem femi(lis minuti. fecundi committere poterit. Hinc ieitur concludimus , pro angulis Q^ minoribus quam. 78^,

fine

eR: )z99 ( $893e

fine fenfibilis erroris periculo formulam fiu, 5 — 5. in vfum reuocari poffe.

€& 24. Cum maxima variatio iu declinatione So- lis, interuallo 24. horarum, 25 minuta prima cum dimidio vix excedat, pro inuefítigando anguío o'-j-«, variationis in de- clinatione Solis rationem habere neceffe non erit, nifi illis in cafibus, vbi ang. (9 propius ad 9o? accedit. "Tum vero fi arcus P Q dicatur 5 et arcus P Q^, 7, horum arcuum differentia ab arcu P O inuenietur , . fi primum pro com- putando angulo O P Q' adhibeatur formula: fin. £7-* — 55. tum vero exquiratur variatio in declinatione Solis, refpon- dens tempori per angulum modo inuentum i(a!-- a) expreffo, quae fi- dicatur à, erit. — 2 —9, et //—a-4 9, proxime ; quibus valoribus adhibitis fiet vt antea | fin. c — cof. b. cof. e — fin. 5. fin. e. cof. (Z — a), et

— fin. c — cof. D". cof, e — fin. !. fin. e. cof. (Z -41- a! ).

Quodfi vero valores ipforum 5, b' fatis exacti nondum habeantur, eos denuo noua correctione emendare licebit.

$. 25.. Quae in praecedentibus allata funt, appli- cari quidem quoque poterunt ad tranfitum Lunae per filum quodpiam in foco cuiusdam tubi collocatum; verum tum praeter cautelas modo commemoratas obferuandas, infuper ratio habenda eft fitus Lunae per Parallaxin immutati , nec non motus Lunae in afcenfionem rectam; ita vt loco declinationis verae. adhiberi debeat declinatio | apparens , tum vero conuerfio anguli O P Q in tempus debet fieri in ratione, qua 15? excedunt differentiam inter motum horarium Lupae et Solis on. afcenfionem rectam, fi fcilicet tempus motui Solis accommodatum adhibeatur.

"uunc annm omm ommo ammessi TROU Rn qom

o Un

Pp OBSER-

Tab. XL.

Fig. x.

e35. ) goo (. $59 OBSERV ATIO NES DE PROBLEMATE,

QVO QVAERITVR ELEVATIO POLI, EX OBSERVATA ALTITVDINE SOLIS, ET OBSERVATO QVOQVE TEMPORE, QVO DIAMETER SOLIS FILVM ALI- QVOD, SIVE VERTICALITER , SIVE HO- RIZONTALITER DISPOSIT VM , PERTRANSIT.

Auctore ; NOW 4EXIREL.L.

G4 (EL

Pas, hoc a celebri Anug'orum A(tronomo Lyons in Ephemeridibus nauticis pro Anno r778 propofitum habetur, cumque primo. intuitu valde fpeciofum videatur, omnino merctur Vt accuratiori examini fuübiiciatur. Re autem bene penfitata liquet, Problema eo reduci, vt in triangulo fphaerico Z SP, vbi Z defignat zenith loci, P polum Aequatoris et 'S locum Solis, ex datis lateribus ZS, PS et angulo Z S P, quaeratur latus P Z, feu, vti

VUA Aftro-

et35 ) sor ( S9

Aftronomi loqui folent, vt ex datis altitudine et declina- tione Solis, nec non angulo: paralla&ico , quaeratur eleua- tio poli. Scilicet per obíeruatum tempus,. quod. diameter Solis impendit ad percurrendum: filum: commemoratum , dabitur quantitas anguli parallactici,, vt mox. declarabimus.. Prius autem operae pretium erit, vt examinemus,. quanti errores in. valorem arcus. P Z. deriuentur , ex. illis. errori- bus, qui in obíeruando fiue arcu Z S , feu angulo ZSP commif(fi fuerunt. Nam de arcu P S, cuius. valor ex. tabu- lis defüumitur, vix vllum effe: poteft dubium; modo Longi- tudo geographica loci, in. quo obferuatio: facta e(t, et tem-- pus ipfum obfcruationis: proxime. cognita: liabentur..

$. 2. Primum: igitur, fi quaeratur: variatio ipfius P Z ex variatione S Z oriunda, exprimantur arcus PZ, PS, ZS per z, a, v, et angulus. ZS P per », eritque vt ex docrina triangulorum fphaericorum conftat

cof. z — cof. a. cof. u:- fin. a fin. u cof. «X,

hinc fumtis differentialibus fiet:

—d z fin.z —-du(cof.a.fin.u -fin.a.cof.u.couf.w)—4^ fin a.fin.v.fin,w. Heic igitur fi ponatur w* conítauns, ffet variatio: arcus z ex variatione. d v oriunda

x» cof. a- (in. v. — fin. a. cof. u cof. z;

—— d [ Nuus IDIBNIDEEOERNEEG — DN Iam fi angulus P QS indigitetur per 9, conftat effe : cof. a. fin. u-— fm. a cof. v. cof. v

- fin. a fin. binc cof.a fin. v — fin. a cof. v cof. « — fin. a fin. « cot. 0, ct ems Ji o fina. cot. 0; —; E dz-—dutnoo -—ducof.$,

Jin. z

Cut: 9 :

ideoque erit variatio ipfius arcus P Z, ex variatione arcus Pip. 8 ANC

'Tab. XI, D

Fig

wt32 )j so2 ( $&2e

ZS oriunda, in proportione anguli azimuthalis Pia ideoque. minima. vbi hic angulus fuerit rectus.

1

[ $. 5. Deinde pro variatione arcus z ex variabili- tate anguli w deriuanda, fit

daz- d wet Pm —dwfin.a.fin. D— d fin.v.fin. 0,

z

defignante (D angulum Z P S. Heic igitur liquet, variatio-

nem ipfius z, ex variatione anguli y oriundam, cum angulo increfcere, maximamque cfle vbi Q — 9o?, minimam vero, feu nullam, vbi Q— o, hoc eft in ipfo Meridiano, quod etiam fponte liquet, quia tum erit PZ-— PS --ZS, ideoque valor anguli » in determinationem ipfius P Z non ingreditur. Hinc igitur patet, errores in altitudine Solis commiffos eo maiorem habere influxum ad immutandum valorem arcus P Z, quo propius ad Meridianum obferuatio inflituta fit, cum contra errores, in angulo Z S P com- miffij eo maioris fint momenti, quo maior fuerit angu-.

lus. P. 258.

$. 4. Pro determinando angulo Z SP ope tem- poris, quo diameter Solis filum verticale feu horizontale percurrit , obferuare. conuenit, quod fi in genere N'ON defignet arcum circuli maximi, quem imago Solis in binis PM N, N' tangere vifa eft, cognitusque fupponatur an- gulus P O N', defignante P O circulum declinationis a polo Aequatoris P ad pun&um O duc&um, vbi centrum Solis arcum: N O N' tranfire fupponitur, tumque. intelligatur cen- trum. Sols in Q et Q! exitiffe; co tempore, quo contactus imaginis Solis cum arcu N' ON in pun&is N, N' obfer- uatus eft; fi du&i concipiantur arcus P Q, P Q/, angu!us

QPGI

ez39 ) $03 ( S2

Q P Q^ exprimet tempus, quo diameter Solis per arcum MON tranfit. Quod fi igitur anguli PO N^, QPO, refpectiue per Z et a indigitentur, c autem defignet fe- midiametrum Solis, erit proxime fin. 2a cL EL, fi fci- licet angulus Z£ non valde fuerit magnus, id eít, non prope ad go? accedat, vt hoc prolixius demon(trauimus in differtatione praecedente de aeftimando tempore, quo diameter Solis per arcum quendam fiue verticalem, feu horizonti pa- rallelum tranfire videtur.

$. s. Si angulus « per obferuationes cognitus fupponatur, erit

fin. c

fin. a. fin. 1a?

eof. Z^ 3

applicatione igitur ad cafüm praefentem fa&ca, primum fi arcus N! O N defignet circulum verticalem, erit Z — €, hinc

fin. c fin. a. fin. ta 'QTum vero fupra vidimus effe cof. z — cof. a. col, u -1- fin. a. fin. v cof. «, ideoque pro fin. 2 cof. » introducendo eius valorem, fin. v. fin. c fin. y. fin.c;

cof, z — cof. a. cof. u 4- PURI — cof. a ( cof. re. 2ünza/

eof. d: cof w c

Si igitur ftatuatur fin. c

— Tang. x, fiet

cof. a fin.;«

fiet cof, z — 9*9 4^(»—*) quae formula fatis concinna eft;

cof. ac faltem pro cafu praefenti fimpliciffimam. fuppeditat. folu- tionem.

$. 6,

(-ef52 ) so4 ($e.

6..6. Si vero arcus N'ON defignet. circulum maximum , quem filum horizontale in puncto O tangit, erit cof. — fin. x, ideoque pro hoc cafu ex formula

fin. c Colb eoo d fin. z, fin, i & quaeratur angulus 2, tumque erit X — 90 — à, poftmodum vero erit

(cof. & —'cof. a. cof. u -L- fin. 2. fin. v. cof, 4. , fiue

cof. z — cof. (a — v) — 2 fin. a. fin. v. fin. ; w., vel

cof. z — cof. (a 4- v) 4- 2 fin. a. fin. v. cof. 2 2^ ; üibeue t fin 1 z/— (fin. (£22)) 2-fin.a.fin.s.fin Zw — (6n. (-E5)y -fin.a.fin.v.cof.'s

cof? (cof. (£L?) -fin.a.fin.v.fin jx — (co (5) 4-in.a.fin.v. cof ,

vnde iterum quatuor formulae pro "Tang. z* deriuari pos- funt. ;Caeterum loco filorum fiue horizontalium fiue ver- ticalium filum alio quocunque modo dispofitum hunc in vfum adhiberi poffet, modo .angulus, quem hoc filum cum filo verticali conftituit, cognitus habeatur; nam fi hic an- gulus dicatur &, erit » —.s d- 4, ideoque cognitis angulis 5, £, innoteícet angulus w.

6. 7. In praecedente differtatione $. 25. obferuauimus, formulam fin. à — Ls proxime ad veritatem | acce- . dere, quando angulus Z non nimis eft magnus; ctíig po- natur 67^, hanc formulam vsque ad valorem anguli e— 78^, non nifi in 9" errores inducere. Quare fi de tranfitu per filum verticale fermo eft, concludimus, obfíeruationem eo tüutiores fuppeditare conclufiones , quo propius ad meri-

diem

ec55 ) 305 ( $829

diem inflituta fuerit, ob angulum Z eo acutiorem, , quo propius circulus verticalis Z S ad Meridianum accedit, ideoque nouum hinc prodit argumentum, vt huiusmodi obferuatio, quam: prope ad meridiem fieri poffit, inftitua- tur. lnterim tamen propter defectum formulae errores fenfibiles extimefcendi non funt, nifi pro cafibus vbi Z valorem 78? maiorem fortitur, qui cafus rarius obucniunt.

* 6. 8. Sin vero de tranfitu per filum horizontale agatur, facile perfpicitur, -pro hoc cafu angulum Z4 eo euadere malorem, quo propius firculus P O ad Meridia- num accedit, ideoque formulam fin. ! « — ust. . eo mi-

nus fore exactam, quo propius ad tranfitum per Meridia- num obfernatio inftituta eft, cui infuper accedit, quod in huiusmodi obferuationibus prope Meridianum iuflitutis , al- titudo Solis non nifi variatione lentiffima afficiatur, ita vt errores infignes. in ipfis obferuationibus vix ac ne vix quidem euitare. liceat. ^ Has igitur obferuationes eo tempore inflituere quam maxime conducet, quo angulus azimuthalis P Z S re&o aequetur, quo etiam id commodi cbtinemus, vt error in altitudine commifílus in arcu P Z vix vllam producat variationem. — Praeterea cum inuene- rimus 6. 3. dz-— dw fn.afin.(, intelligitur, errorem vnius minuti primi in angulo parailactico nondum aeque magnum errorem in eleuatione poli producere.

$. 9. | Vt applicatio problematis propofiti ad ca- fus obuenientes eo melius fieri poffit, eam exemplo quo- dam.illuflrare conueniet. Sit igitur pro tranfitu per cir- culum verticalem, tempus tranfitus 5/— 180^, exiften-

Acta Acad. Imp. Sc. Tom. Il. P. I. Q q ie

«32 ) 506 ( ecu

(e PO — 673" 30, Z S — 69*. 12! et! diameter Sofis — aq qIS1U hme etliz-——22759 90 B quor M fin. €

——z.—, inuenitur x — 61^, 10. 44^, hinc cof. a fin. i « y — X, —2.69*. 12, ol! — 61^. 19. 44" — 85. 1h xl

ideoque ob

——. Cof. a. cof. (tv — x) an w-——- 4 cof. z — 9555 D—9, erit z — 37". 40'. 2!!,

et eleuatio Poli — 52?. 19. 5s". Nunc & ponamus ia tempore tranfitus ;, fcrupulis fecundis fuiffe aberratum,

tang. x —

ita vt hoc tempus ítatui debeat 179", 2, fiet 1a — 22!, 24", hinc .yÉI619.17.,15",,9 —x235.54.. 42" et z— 33.23. 301 vnde cleuatio Poli 52?. 56'. 30", differentia a priori con- clufione ad 16 minuta cum dimidio, exfürgente. — Hoc igitur exemplo comprobatur, methodum hoc problemate propofitam inveniendi eleuationem Poli, conclufiones non nifi valde dubias fuppeditare, id quod facile patebit, fi perpendatur, quam infignem influxum leuiufculi errores in obferuando tempore tranfitus habeant ad immutaundum valorem anguli parallactici. Quia enim ett

1 e Mf STC NE ; 1 — ad» ftn. c fin. Y) fin ;&— fin.a coJ.« ? fiet d'a cof. ; a — jm.acj.w ?

fupra autem inuenimus efle 2z — 4 wfin. afin, (D, qua-

xe erit da fin.a' cof w.fin.D 4Za.(in.c fin. (D

2 fin.e fin. 4. - mousse fins» da fin.a'fin. v cof. ww

dz-— * o ——

pom gy ——— 2 fin.c fim z Minima variatio proinde in Zz ex 4a oriunda ibi erit, vbi fin. v cof. x* fit minimum, fiquidem heic z pro» con- flanti haberi poteft. Hinc fiet A-dw

et3$ ) so7 ( $83e

-1- d v cof. v cof. 5»! — 2 d» fin. v fin, w cof. X, feu dvocot.u — 2d tang. v. Iam vero ob cof. z —cof. a cof. v -1- fin. a fin, € cof. &; fiet: d v (— fin. € cof. a -41- fin. a cof. v cof. «J — d fin. a fin. v fin. w— o,

et cum fit cof. a fin. v — fin. acof. v cof. « — cot. 9 in. a fin. 3. fiet dv cot.0-- dwfin. v —0, hincque

; zu .T.lang.vy — cof. p — zm. toe — — a cot. Ó tang. v, ex quo per varias fubflitutiones tandem clicietur 6f i-r finiwt (CH Resim

$. ro. Statuamus nunc, vt in exemplo a Celeb. Lyons alato, tranfitum per filum horizontale fuiffe ob. feruatum, exiftente

cu 16lx39 gs 92a 49,45; P S'z x13*.97. 525, et ZS—85^. c'. o, hinc fiet ang.Z-90 —«4— 26". 353^. 46^, tumque obiünebitur arcus P Z — 587. 29'. 48, et eleuatio poli — 51*. 30". 12". Tam fi fupponatur in obferuando er- rorem vnius minuti fecundi effe commiffum, ita vt fit

:& — qoe rr Bet £ — $67. 28. 24^. hincque PZ—38?. 26. 16", et eleuatio poli — 517. 35. 46"!, vbi iam quidem multo minor variatio prodit, quam in cafu praecedenti, (Cum tameu et hic error fatis fenfibilis fit, liquet, methodum propoítam noa mifi iis in cafibus EA poffe, vbi fufficit eleuationem poli prope cogno- vifíe, :

Qq2a 6. 1n

e$ ) 8598 ( $t$e

$. 11... Cum exemplo modo propofito altitudo Solis non affumta fit nifi 5^, intelligitur, pro- huiusmodi cafu refracionem non folum ad altitudinem Solis immu- tandam valere, fed etiam propter eandem angulum paral- lacdicum Solis immutari. Vt igitur pro huiusmodi cafu verus valor latitudinis loci eruatur, íequenti modo ra- tiones fubducendae erunt. Sit Z S circulus verticalis, vbi verus locus centri Solis. fupponatur $,. per refractionem autem correctus 5, et ducantur circuli. declinationis P S, P s: tum primum ex obferuato tranfitu imaginis Solis per filum fiue verticale feu horizontale et cognito arcu P S, quaeratur angulus parallacticus Z 5 P, tumque ob cogni- tum arcum $ 5, propter effectum refractionis dabitur S.U —SscofzS(Q, hiuncque P; -—PS-—SU.' Fum vero denuo, íi ex obfíeruata duratione tranfitus et arcu. P 5, quaeratur angulus P 5; Z, ex refolitione trianguli Z5P inuenietur valor arcus Z P faltem proxime verus.

6. 12. In problemate hucusque confiderato, prae- ter declinationem Solis et angulum paralla&icum , altitudi- nem Solis cognitam fuppofuimus, ex quibus cognitis la- titadinem oci inuenire oportuit. Verum iam et aliud proponi poteft problema, quo ex datis declinatione, Solis ct angulo parallactico, modo fupra allato inueftigando, nec non tempore vero obíeruationis, quaeratur eleuatio poli, quod eo reuenit, vt in triangulo Z S P, ex «datis binis angulis Z PS, ZSP et latere PS, inueniatur Z P. Erit vero, vt ex doctrina triangulorum fphaericorum conftat |

cot.z — cof. v, (in. D 4 fin. cof. P cof. a. —— cot. Y (in. (D -- cot. a cof. o, "230703 Jm, 9) fin. a EE Jia

defigna-

-9$ )soo(, See

defignantibus, vt antea, z, 2, arcus PZ, P A, et QD, «, angulos ZP S, ZSP. '

$. 15. Si pro hoc problemate quaerantur varia- tiones, qnae in valorem ipfius Z deriuantur, propter er- rores in aeftimandis angulis «, (Q, commiffos, obtinebi- mus primum

—dz — —dmnfin.t — dwfm.Ofi.z2*2 ^ dwfin.v

jin. z jin. a fin. ? feu 2 z — Cjm.lafm.w] (—— jm ÁÀ tumque

—-dz— cof. ». cof. L— —dQOocof

jan. z d (à (5 Jfm.a -— — cot. à fin. (QD) —7 fin.a fin. ? hincque

dio —— dOORUMS S MUS COL. 0 fin. zm.

Jin. a fm. € vbi quidem intelligitur, pro. ang. 0 — 90^, minimos erro- res in valorem ipfius z, ex erroribus in valore ipfius (D commiflis , induci.

EATUR.

Qq 3 RÉFLE-

e$ ) sro ( $89

REFLEXIONS

SUR LES PRINCIPALES METHODES DE CORRIGER LES DISTANCES APPARENTES

DE LA LUNE À UNE ETOILE,

RÉLATIVEMENT AUX EFFETS DE LA RÉ- FRACTION ET DE LA PARALLAXE.

par NICOLAS FUSS.

es obíervations des diftances de la Lune à une étoile fourniffent, de l'aveu de plufieurs Aftronomes du prc- mier rang, le meilleur moyen pour déterminer la longi- tude en mer. La préférence qu'ils donnent à cette mé- thode, lorsqu'on peut Pemployer, fur toutes les autres, dont on peut fe fervir pour cette importante recherche, eft fondée principalement fur les raifons fuivantes: 17) Qu'elle ne demande pas un. Horizon extrémement clair & terminé; que par conféquent on peut 2?) fe contenter de connoitre à quelques minutes prés la hauteur de l'é- tole & du centre de la Lune; 5^) qu'elle ne dépend ni de la latitude de l'obfervateur ni de la déclinaifon de la

ec35 ) arr ( St2e

la Lune, ni d'aucun autre élément, dont les erreurs influuent confidérablement dans la détermination. de la longitude, & quil eft pourtant fi diffücile d'éviter em mer; 42) qu'elle n'exige que la feule diftance ob- fervée avec quelque précifion & ne fuüppofe pas 5^) des calculs auíh longs que bien d'autres.

. La feule difficulté dans l'emploi de cetté méthode confifle à déterminer l'effet combiné de la réfraction qui £iéve tous les-obiets, & de la Parallaxe qui diminue la hauteur de lx Lune. Car ce n'eft qu'aprés avoir dégagé la diftance obíervée de cette double inégalité, qu'on par- vient à la di(lauce vraie qui, comparée à celle qu'on trouve moyennant les Ephémérides pour un autre Méri- dien fixe, donne [a difference en temps & la longitude cherchée du lieu de l'obfervation.

Pour écarter cette difficulté quantité d'Aftronomes fe font occupés de la recherche de cette correction qu'il faut apporter aux. diftances obfervées. — M. Maskelyne, aprés fom retour de l'Isle de S'^ Hélénue, oü ce célébre Aftronome avoit ew loccafion de faire ufage en allant & en revenaut de cette méthode avec le plus grand fucces, n'eut rien de plus preffé que de la recommender comme la plus exacte t tous les marius, & d'en faciliter le cal- cul par des préceptes auffi nouveaux qu'ingénieux. — De- puis ce temps-là on n'a ceffé de multiplier les méthodes. de déterminer l'effet de la réfracion & de la Parallaxe 5. les. unes font recommendables par des formules élégantes, les autres par des tables fubfidiaires toutes calculées pour la

commo»

ef22 ) s:2 (. $89

commodité de ceux qui veulent fe fervir de la. méthode des diflances pour la recherche de la Longitude. (* On ne doit donc plus étre embarraífe .acuellement, que fur. le choix à faire parmi cette. quantité de méthodes, dont les unes font ou plus expéditives ou plus exactes que les autres.

Les réflexions fuivantes. m'ont paru pouvoir con- tribuer à'faciliter ce choix par la réduction. de toutes les formules, produites pour la.diftance vraie, à deux feule- ment, qui fe déduifent de la double Solution du Pro- bléme énoncé de,la maniére fuivante:

Ayant "obfervé: 1*) la bauteur. du Cenire de la Lune; 2?) la bauieur d'uue étoile five C 5^) la diflance de Pétoile au Centre de: la Lune, trouver la diflance vraie, désagée de left de la réfraction d» de la Parallaxe.

Car je ferai voir que toutes les Solutions de ce Probléme qui ont paru. jusqu'ici, ou du moins les prin- cipales, quelques différentes qu'elles paroiffent au. premier corp d'oeil, íe réduifent facilemeut aux deux fuivantes, dont. la premiére n'eft qu'approchante & peut donner dans bien des cas des réfultats fort erronnés; l'autre ett directe & rgoureufe. ^ En comparant enfuite chaque for-

mule

A ———————————————

(*) Le bureau anglois pour les Longitudes a mme fait exécuter d'a- prés le plan de M. Maskelyne & la méthode de M. Lyons une fuite précieufe de tables,' propres à abréger le Calcul de ces corre&ions, & dignes par le travail étonnant qu'elles ont couté, des -

vues généreufes & patriotiques de cette compagnie refpcctable.

ej )sra( $5

mule avec l'une ou l'autre de ces deux Solutions, on fera en état de juger de la commodité de íon calcul & de fon degré d'exactitude. Voici les Solutions:

Solution par approximation.

Soit AB un arc de lhorizon, Z le zénith de l'obfervateur, L le lieu obfervé du centre de la Lune, S le lieu obfervé de l'étoile. Menés par ces points L & S &. par le zénith Z les arcs verticaux ZL A & ZS B. Soit enfuite le lieu vrai du centre de la Lune en / & celui de l'étoile en 5; tirons les arcs LS et / 5 & nom- mons les élémens qui entreront dans le calcul, de la maniére fuivante:

La hauteur apparente de ÓQ, ou l'arc AL — 5 La hauteur apparente de x, ou l'arc BS — // La di(tance apparente de D & *, ou l'arc LS-4 La diftance vraie de D) & *, ou l'arc /5 — 4

La réfradion pour la hauteur de la Lune — r La réfradion pour la hauteur de l'étoile — ^

La parallaxe horizontale de la Lune — 7

La parallaxe de hauteur de la Lune — 7.

Maintenant, puisque l'arc L/ eft le double effet de la parallaxe de la Lune qui abaiffe fon lieu obfervé & de la réfra&ion qui l'éléve, il y aura L/— T cot. b — r, ce que nous nommerons 9, pour avoir L/—30 — v'— r. Enfuite S « fera l'effet de la réfra&ion qui éléve l'étoile, & partant S ; — 7. — Enün /5s eft la diflance vraie qu'il s'agit de trouver.

Ada Acad. Imp. Sc. Tom. III. P. I. Rr "'Lragons

'ab XI. Fig. 3.

ev )arne( ee

'Tragons pour cet effet, du point d'interfe&ion. O pris pour centre, les petits arcs /ÀA & S c, .& puisque. les angles L O7 &: S O s ne fauroient étre bien confidé- rables, nous regarderons les arcs O7 & O X comme é- gaux entre-eux, auíli bien que O 5 & Oc, pour avoir OJI—OL-—LA& Os-O0S-:555 dou lon obteBE la difance vraie /s— d! —O4/---O —OL--OS-LA -I-$c, ou bien, à caufe de OL -4- OS — 4, il y aura jir—d-—d—L^-r-sc.

Confidérons maintenant les triangles L/A & Ssoc qui, à caufe de leur petiteffe, pourrout .étre . regardés comme plans & rectangles, & qui nous fourniront con- féquemment,

LAz-LAcof7bez-LLcoLZlLS

$;& zc Sisi cof; S so as Spscof. Z SL ce qui étant fubítitué dans l'expre(ion précédente pour 4!, donnera la vraie diftance cherchée:

1; —d-—d—LLcofZLS--SscotZSL.

Enfin, en confiderant le triangle Z LS, ox l'om connoit les trois cótés ZL —9o* —b; ZS—9c*—b & LS-4, on trouve par les formules connues de Trigo- nométrie fphérique

cof, Z L.S — fin. b! fec. b cofec. d — tang. b cot. d

cof. Z S L:— fin. P fec. b! cofec. d — tang. P' cot. d. En fnbítituant donc au lieu de cof ZL S & cot. ZSL cts valeurs, & mettant les quantités 0 & »^ à la place de Lj & de S5, on trouve pour 4! l'expreflion. fuivaute:

PE

-5 usrs;( eee

d! — d — 9 fin. P/ (ec. b.cofec. d -1- 9 tang. P cot. 2 ETE 4 1! fin. b fec. D/ cofec. d — t! tang. b/ cot. d.

Solution rigoureufe.

Gardons toutes les dénominations précédentes & confidérons d'abord le triangle Z LS, oü nous connois- Tab. XI. fons les arts ZL — 9o —5; ZS-—9o-—b eLS-—d4, Fg d'oü lon trouve l'angle au zénith L Z S —Z par l'ex- preffien:

"cof. Z — fec. b fec. D! cof. d — tang. b tang. D ce qui étant trouvé, on aura par le triangle Z/5, oü l'on connoit langle 7 Z s — 4, & les cótés C Z1Zo*—(b--3) & Zs— 9o — (b— 1, le cofinus de la vraie diftauce: cof. 5 — cof. d! — fin. (b -1- 8) fin. (b! — «!) -4- cof. Z cof. (b 4- 3) án. (ü —r. |...

Avant.que de comparer, moyennant la confidéra- tion d'un cas particulier, la facilité du calcul de la pre- miére de nos deux formules avec l'exactitude de la fe- conde, il fera bon de faire voir la liaifon qui fubfifte entre Pune & l'autre. Pour cet effet je mettrai dans la derniére exprefüon 4'— d -i- 9, pour avoir

cof. 4! — cof. d — « fin. d,

& cn regardant à & r comme | trés petits par rapport à b & b', on pourra mettre de la méme facon

fin. (5-173) — fin.b -1-ó cof. b; cot: (b-1- 6) — cof. b — —ó fin. 5 fin. CAPRIS a cof. P; cof. (b! — !') z cof. P r'fin. b! Rr &

-Ni )316 ( $93

& il y aura en négligeant le produit à r:] fin.(5 4-8) fin. (b! — ') z fin. P fin. P4-0 fin. P cof. b—r! fin. b cof. p^; cof. Z cof. (b--3) cof. (b—1') z cof. d — LT -- TLfin. b* cof. d

cof, b* in 4| y S fin. b* fin. bf v* fr. b fin, b'* fin. b fin. D/ 4-717 - TIT —

ce qui étant fubftitué dans la derniére expreffion pour cof. d, fournit celle qui fuit: cof. d — u fin. d — fin. b fin. b! 4- ó fin. P' cof. b — r! (in. b cof. b! Jes cof, d— bed s r' fin. b' cof. d

cof. b cof.b' — — fin. b fin. p! 4- Sin- b fin. b. v* fin. b fin. irs cof. b tojNpre aane Or : 8 fin.P! cof. b — Vn pod y SJ i c crRBE — d fin. b cof. cof. cof. D cm dd ] 4 v/fin.b'cof.d |^ r'fin.bfin.b'2— — r'fin. b 4-r' cof. d fim. bt & [4 fin. b cof. b T cj.b cof, b* — EY FURERSTE b UI CENECET

Donc

g-— n. b p Mn begia r'[n.b — r'fm.i'cof.d

cof. b fin coJ. b Jm. d cof.b'Jin.d — cof, b^ jin. d. ? ce qui convient parfaitement avec l'expreffon que nous

a fourni la premiere Solution.

Cette réduction de la formule. rigoureufe à l'ap- proximation précédente fait voir en méme temps, & mieux que les fuppofitions immédiatement employées, qu'il doit étre bien des cas, oü l'expreffon approchante' peut sécarter trés fenfibement de la vérité. Pour ie faire fentir d'avantage on n'a qu'à calculer un cas particulier d'aprés l'une & Pautre de ces expreffions.

Exemple.

Soit la hauteur obfervée du centre de la Lune b — 20*,9!; la hauteur obfíervée d'une étoile fixe - B

eSi$ )ary( Ee

b!—12*2*7'; la di(ílance. apparente de l'une à l'autre d — 38^, 22, 17"; la Parallaxe horizontale — 57!, 24" — 3444"; & il y aura

pati m utat i — 3233" & àó — 3079".

Calcul pour l'expreffion : d' — d — à fin. b! fec. b cofec. d -4- à tang. b cot. d ^ i! fin. b fec. b! cofec. d — r' tang. b! cot. d

lr! — 2,404853

I tg. /'—9,54396 lcot. d—o mono

] r' | — 2,404.83 lfin.b29,53716 Itec.b/—o,010831 Icofec.d—o,20*708

13949, 4884114 0.—. 5,488441 1fin.b'79,33362|/ tg. 52 9,56459 lfec.b —0,02743 |! cot. d-o,1c IO "140 . I1cofec.d—o ,20708

PEL — — 9115440 LURV ES 1,85019

Piu 5.05654 ] III — 2,15940 Dosc. »- T -L- I1 -31- IL — IV .—:56153,2—6,.1 5,9 &.. par- tant d' — 58^, 28/, 18!, 5.

Calcul pour l'expreffion: cof. d!— fin. (5 à) fin. (bl— 1!) 4- cof. Z cof. (b --3) cof. ( b.—1) ; oàü b--ó — A15, o', r9"; bi —r!— 15?, 25!, 46! & cof. 4 — fec. b fec, b' cof. d — tang. b tang. P

l (cc.b— 0,0274294 ] (c. 5 20,0103346 ] cof. d z 9,: 5913180]

10 9,8552288 —0,0810123

ltang. b —9,5645925 tang. b/79,3439585

8,9085508| 0,7742165

[cof (b-3) 59,9 70136410,076847x0 Icof (bB'—r"—9,989783110,70596300

P.coNe V $8625] cole 23a : ,7$281010

lfia. (b--3) 29,5544533 Iün.(b/—r - o, 3311942.

8,8856235 | 9,8487820 Rt Donc

cep$ 0)5818 ( $e

Donc. cof! — 60, 7828819. 6024.73 8j 28555, x— 9 "Par da sirieulé qurécédeste;'Z' —— 58; 088118;:3-— 5

—— ——

. Erreur, de, l'approximation, — 54", 8 ot 3: L ( bs "

Sans. cette. erreur, beaucoup trop confidérable pour étre,tolérée,.dans quelque.cas que c& íoit, i| n'y auroit pas à balaucer,fur.le.choix de ces deux formules, la pré- cédente étant exempte des interpolations qu'il faut faire

"dans Tautre^ pour les fecondes des hauteurs corrigées &

de la diftance apparente, puisqu'il fufiit de prendre les logarithmes , quoiqu'en plus grand nombre, jusqu'à cinq chiffres. décimaux. M my aura méme que des cas extré- mement rares,.oà lom) puifle s'en fervir avec aflés de con- - fauce fans Pemploi de quelques corrections , qvi en ren- dent le: ealcül confidérablement plus prolixe. 7e patrlerai de ces corrections aprés avoir expofé da méthode de M. Lyons par laquelle je yais commencer à parcourir celles qui font venues à ma -connoiffanee.

Solution de M. Lyons. (*) M. Lyons détermine. féparément l'effet de la ré- fraction et celui de la Parallaxe. Pour le premier il con-

us Hn fidére le:triangle-Z L/S.,^ oüà il y à fuivant mes dénomi- nations Z L — 99^ — 5; S cz9o?—ph. LSzdet par- tant; —— jfin.b'— cof d fin. b. * cof. ZL S rdc Pl Jin. b — cof. à fin, b eoft S T; rss mc

Or

MM —————— ——————— ————— ——————— -

(*) "Tables to be ufed with the Afironomical and. Nautical Ephe- meri. London 1766. pag. 44.

et235 ) aro ( $8te-

Or puisque. les angles ZL'S! et Z S'L'! ne différent pas fenfiblemenf de Z L S et Z S L et que les arcs L L' et SS! font l'efet de la réfra&dion en hauteur, que j'ai défignée par r et r/, en abaiffant de L et S fur la di(tance corrigée à l'égard de la réfra&ion L'S' les arcs perpendiculaires LX et So, il y aura L'S'—4--L'A-4-S/c. Donc, àcaufe de, L'A rncot v Ts et; S^ — 1 cot, ZS.L.,; la. diftance corrigée de Peffet de la réfraction fera nb s 4 rcot ZLS Ar! ALES E,

sum lect de la Parallaxe Tx en mettant la Pa- :

ralaxe de hauteur L / — 7 cof. P — m',.la correction de la , Pardllaxe LÀ fera L/co ZL S — aco. ZL S, ce qui étant fouftrait de l'expreffion précédente pour L/ Si, à caufe de 1/— r —Ó, laiffe

d'—d-—écof,ZLS --r'cot,ZS Lou bien

d —q-— in & fin. he Sfün.bcotbd 4, r'fin.b — r'fm.b' cof. d

—

cof. b fm.d "€.bjm.d * co.b'fm.d ^ «eof.b'jin.d ? comme nous l'avions trouvé par la premiére folution.

Remarques.

M. Lyons. paroit. avoir. préféré cette folution ap- prochante à [1a folution rigoureufe pour les belles trans- formations fimplificatives que les formules féparées pour les deux effets de la réfra&ion & de la Parallaxe admet- teht dads plufióurs! cas, ^& pour la facilité qu'elle offre , d'en "abréger' le calen! par des tables fubüdiaires. ^ Auffi doit-on rendre juftice à fon adreffe à remplig l'un & l'au- tre de ces objets.

Il préfente. l'expre(fion pour ef de 1a réfractiou fcof. ZLS -- i co, ZS L. (ous cette. forme: cofec

etj ) sí0 ( G6

cofec. d(tm AL Ves) — cot. d (ritang. b -4- rtang. P)

& il donne dans une table les logarithmes du facteur e EP. Enfüite il obferve à l'égard du fecond membre cot. 2 (r' tang. P/--rtang. b) que la plus grande des deux hauteurs obfervées, par exemple b, nuc fauroit gue- res étre moindre de 1i0?, et que par coníéquent le terme r tag. P peut étre regardé comme conflant & égal à la réfradion pour la hauteur de 45^, égale à e, ce qui don- ne pour le fecond membre de l'expreíffhon précédente cot. d (1! tang. 5^ -i- e) , formule pour laquelle M. Lyons a calculé une feconde table, accompagnée de deux autres fupplémentaires, qui renferment les corre&ions qu'il faut apporter aux nombres de l'autre, pour les cas qui exi- gent plus de précifion.

L'expreffion pour l'effet total de la réfra&ion de- vient encore plus commode, fi l'on fuppofe la réfraction en hauteur proportionelle à la tangente de la diftance au zénith, pour les hauteurs au-delà de ro*. M. Lyozs met en conféquence r — e cot. b. & r' — e cot. P, & à caufe de cot. d — cofec. 4 — tang. ; d, il obtient cette expreffion pour lPefet total de réfra&ion:

1 ecoJec. d ( fin. b — fin. b^ y 2€ tang. 2 d -I- jin.bjm.b —

Formule dont le fecond membre ne furpaffe gueres. 8 fecondes pour les cas, oü les deux hauteurs furpaffent 50 degrés. Quant au premier membre 2etag.;4 fes valeurs fe trouvent calculées dans vne troifiéme table. Et fi l'on demande plus de juftefe. il y a deux autres ta-

fin. b — fin. b! )* bles, Pune pour le membre Rec & lautre pour la

35 ) 321 ( e cge-

Ía multiplication de cette quantité par [a cofécante de la diftance, ce qui fournit la juíte valeur du fecond membre.

Outre ces fept tables pour le calcul de l'effet de la réfradion, il y en a quatre encore pour l'effet de la Parallaxe qui eft 4 cof. ZL S — T cof. b co. Z LS, ou bien cx fin. P cofec. d — m fin. b cot. d; favoir deux tables pour l'ef- fet de la Parallaxe du Soleil, lorsqu'on fe fert de cet aftre au-lieu d'une étoile, une troifieme table trés étendue de logarithmes proportionaux de la Parallaxe horizontale, & une quatriéme contenant les produits des finus veríes de la Parallaxe en hauteur & en diftance dans la cotangente de la dif(tance convertie en fecondes.

On voit par ce détail que M. T yors n'a rien épar- gné pour rendre là formule approchante aufli traitable & auffi exace que poffible. "Mais malgré les artifices em- ployés pour la rendre plus commode, & malgré le travail ingrat & ennuiant de tant de tables qui devoient en abre- ger le calcul, ía méthode me paroit toujours trés com- pliquée, par l'emploi de tant de tables & par les diftin- &ions qu'il y a à faire dans les differens cas qui peuvent fe préfenter. En calculant féparément, comme fait Mr. Lyons, Veffet de la Parallaxe, on gagne à la vérité par Pemploi des hauteurs & de la diftance corrigée, mais on perd d'un autre cóté cet avantage, avec celui des tables fubfidiaires, lorsqu'il y en a, puisque fon calcul demande presque la moitie du temps qu'on emploieroit pour la formule direde , & qu'il faut le corriger encore des er- reurs de lapproximation, fans quoi le réfultat cít presque toujours fenfiblement fautif.

AGa Acad. Imp. Sv. Tom. 1HI. P.I. S s Ces

wt32 .) 322 ( St3e

Ces corrections doivent, monter pour le cas parti- culier que nous avons examiné ci-deffus à 34/!, 8 ,. dinde réfultat doit étre égal à celui qui a été fourni par la fo- lution directe. Voyons ce qu'elles nous fourniront en dé- duifant une formule plus approchante, de la folution ri- gourcufe. !

Pour cet effet il faut remarquer d'abord par rap- port à la fuppofition principale de la folution par approxi- mation ,,..favoir., l'angle; /.S/. 50 — Z S.L. ,,. qu'elle... ne- fan- roit avoir lien,' que lorsque la diftance apparente L S eft trés grande, auflü bien que.la hauteur de l'étoile B. S, puisque pour les petites. diftances les angles L O7 & SO s ne font pas, comme nous avons fuppofé, trés petits, ni les arcs O//& O3, OS & Oc égaux entre- eux ; & pour les petites hauteurs, l'arc S s, effet de la réfraction, eft trop grand, pour qu'on puiffe mettre íaus erreur $8.—95coL. Z S L,

Les mémes réflexions fe préfentent encore plus na» turellement , en jettant les yeux fur le calcul que nous avons fait ci-deffüs, pour déduire l'expref&on approchan- te de la jufte valeur; attendu, que. fi à. n'eft pas extréme- ment petit par rapport à 5b; r! par rapport à 5! & «, par rapport à d, les pofitions de la transformation mention- née ne font plus admiffibles; car au-lieu de cof.ó — rx, cof.g — 1 & cof ;'— 1 il faudra avoir égard aux fecon- des puiffances & mettre cof.ó—— 1 —;0, cofe-i—;o* & cof. ;?! — 1 — 7^, pour avoir

fim.

we ) ses ( $53

fin. (b -- 9) —fin. b -i- à cof. b— 198 fin.b fin. (^ — r!) — fin, b — r! cof. b — i rr! fin. / cof, (b -- 8) — cof. b — 8 fin. b — 183 cof. b cof. ( b! — r!).— cof. 2! -- 7! fin. b — i r! r' cof. b! cof. (d -- &) — cof. d — o fin. 4 — ioc cof. d ce qui donne en négligeant les troifiémes dimenfions: fin. (b --à) fin. (j — r) z fin. b fin. P! --8 fin. P! cof,b—:9*fin.b fin.P/ —T1' fin. b cof. b —81! cof.b cof. b! —1r! rj! fin. b fin. / .- d —Sfm.b D d. e E cof.Zcof.(b--9)cof.(P-r']- on pla fins inci fim. Pr ga eas d» p

x!fim.b'cof.d ^ Or'fin.bfin.b'cof.d — 2 ju coJ. ri cof. b cof. b* ; r! cof. d r' fin. b b!? [im. b 9 r' fin. b? fin. b! 13.l l EX DI dC 7317/2 -- ir!r!fin. P fin. b

& aprés avoir fubítitué ces valeurs dans l'expreffion!

cof. d! — fig. (b -1- 9) fin. (b — 1^) 4- cof. Z cof; (b -1- 8) cof (b'— r!), on obtient celle-ci:

«—d-— d—A--(9^4-1"—")cot. d: 769.5 cof. b* ——MÁL b fin. b' cof. d) - oi A exprime la valeur trouvée par l'approximation Eus cédente.

En calculant cette nouvelle correction: i (8à-I-i'r— 9) cot. d 1- 37 69.95 —fm. 5 Em. bin. br esf, d)

cof. b cof. b*

il.fufüt de prendre pour » la valeur telle qu'elle nait aprés avoir ajouté le terme 203 cot. à la valeur A; & pour convertir tout én fecondes, il faut ajouter au loga- rithme de chaque terme le logarithme de ;,5. — ,,, 7. qui eft 4, 68557 , m Étant ici la demie périphérie du cercle dont le rayon — 1.

$s 2 Cal-

wc. )eot&( $9

Calculons fépatément cháqué tetme de cette cor- rection, pour étre en état de diflinguer ceux qui par leur petitefíc peuvent en génér4 étre negligés:

1:08: 6,6758 ];r'?!— 4, 9086 [;99224,88:1 lcot.d— 10,0998 ^ lcot.d-z6,0998 — /cot.2—:0,0998 lconft. — 4,6856 TOC ee us lconíft. — 4,6856

— ——

I,4.612 -. 9,2940 (—)9,6665 cof! 5.— sis Icot.b —9,972*; |/tg. b — 9.5634.

fin. P — 6,2144 Icof.b'—o, 9898 Itg. b/— 9,9415

cof b--fin,b/71,1535 eet 9,9625 Ico d 9, NATO

cof.b—fin.//—o,7245 log.—9,8601 9,9221 8,7987 I (cof. pa b*)—o,9221 | 9,9596

corr. IV. pars. — 0,9115 |/8 — 3, 4884.|corr. 1 — $8", 95

—— —— ]L—0,0629|lr-—2,4048|—— $-— 0, 20

AUR 6856|—— 3— ^0, 40 fe 21 2 !

o 9,9886[—- 4:— 3, 69

0,5674| 32, 35

Ainfi la fomme des corrections eft — 52^, 4, qui ajou- tées à 587, 28^ 18^ 3. donnent 4'— $85, 28/, so", 7. Or la folution rigoureufe donne d4'— 38, 28, $3, 1 de- Íorte qu'aprés toutes ces corrections laborieufes on s'écar- te encore de la vraie valeur de 2", 4. Cette petite dif- férence n'eft pas à la vérité un objet, fur lequel on doivé S'appéfantir pour en chercher ícrupuleufement l'origine ou pour trouver les moyens de la réparer: vu que les va- riations dans les tables de réfracion & plus ou moins d'incertitude fur la diftance obfervée , en peuvent pro-

duire

-cz ) $ss ( Sue

duire d'auffi gràndes. (*) Mais pourquoi fe fervir d'une méthode qii, poür étre tant-foit- peu exacte deman- de beaucoup plus de temps que ne fait celle qui cons duit d'abord à la jufte valeur? Ce nm'eft pas qu'on ne puiffe donner une forme. beaucoup plus commodé'à cette corre&ion, & en rejetter méme, comme on voit pàr ce& . exemple, quelques termes, tels que ir'r cót.d pour les hauteurs confidérables, & 2 w cot. 4 pour les petites di- flances; mais il ne vaut pas la peine de s'y. arréter , d'au- tant que cela méne à des diftincions néceffaires de diffé- rens cas, lesquelles, fans augmenter proprement la longueur des calculs, peuvent en multiplier au moins les prépara- tifs, ce qui revient au méme. Le ré(ultat de tout cela me paroit Gtre, que la méthode dire&e mérite d'étre mife en ufage préférablement à l'autre dans tous les cas, oü lon n'ofe rejetter toutes les dernieres corrections, ou dans Jesquels ón ne peut íe contenter tout au plus du terme premier ;ó3cot.7, qui fera toujours affés grand lorsque 4 e(t moindre que roo*.

Pour donner um exemple, oü lon pent employer la formule approchante íaus correction, . foit

Pp —48 4T, 27 | -s6, I6!, 5o! ;

d — 1017, 46*, 45^, à — s1', 19! & r' — 34", & il y aura par la méthode directe 7/— 100, 57, 31, 7-

L'approximatioun d-—d-—3OcoLZLS--rcoZSL donne d'— xoo*, 55-315, 0, 3 caufe de anples

Ss 5 ZLS

- (7) Pour le cas préfent les tables cites donnent par exemple 38^, 28/, 56" pour la viaic diítance;

ZLS-u4s55.,58!;& ZSLz-s5*, 9, x4", : deforte. que erreur de approximation m'eft ici. que de: o!!, 25 u l | l ( AK

Pu »

matioh: sio 50 : 5m. 3 d z4-—5cf ZLS-rr'coZSL, en peut auffi avec avantage commencer par calculer les angles ZL S & ZS L, moyennant les formules connues: sib- op ferus Y, S aus oshiomUdia nzh 5 P M tang. 2Z S LE afctam egg e 5-54, Caroon m'a-qu'à chercher deux valeurs A —cof:sfec,(s—4) & B — fin. (s — P) cofec. (s — ), ' on àura facilement " ' p "d E tang | Zi ec yA B& tang. ! Z.S L, psv H & enfin

.Dans..tous .lés cas qui admettent cette: ápproxi-

iQ2

ca

d'—d-—3$cof. Z L:S2 r! cof, ZS L;

Ce procédé qui eft effe&tivement, trés. expéditif, a été propofé par M. Lexel (*) Le notre n'eu différe que par l'emploi immédiat des hauteurs obfervécs, qui nous difpenfe de les réduire aux diftances du zénith.

Je vais. parler encore. de deux autres méthodes, réducibles à notre premiére exprefhon & trés ingénieufes. Elles n'ont d'autre défaut que celui de ne faire qu' ap-

pro-

(*) Dans le mémoire: O/feruationes . cirea. methodum inueniendi longttu- dinem loci ex obferuata. diflantia Lunae a. [iella fixa, inféré dans le fecond volume des A&es de l'Académic p. 355.

ec$ ) 527 (. See

procher de la folution approchante, tout comme celfe dé M. Lyons, favoir en fáifant víage de fes ^tables; car fa folution convient; comme nous avons vu, avec la notre, L'une de ces méthodes appartient à M. Maskelyne, l'autre

à M. JWichel] & elles fe trouvent toutes deux dans PAI- manac nautique ppur. lannée 1773.

Méthode de M. Maskelyne- (* M Pour la détermination de l'effet de la réfractioa ed M. Maskelyne enfeigne i»caleuler un arc A, dont la tangente eít — tang. —" cot.?-— ^, & un autre B,-doht la tangente eft — tang. -ÁGE : ig. gris quoi Peffet total de la refraction eft felon' lui E 2A O[4 Tettre^x marquant la quantité de réfra&ion pour la hauteur de 45*.

Remarques. "Réduifons premiérement cette expreffion aux fime ples arcs A. & B, ,&.à. caufe: de

o: LL mI2TIDE.A tang. B tang. i A 101 —lang.A* & fin. 2 D e- —— -- fang. Bi»

nous aurons

2 TC TOTB. 2 A $E x. duo 1 fg. B" - gm.2B :;7f teng; B 1 —!giig. A? S133 doc z , [] AMO LnmptangeP soisfüS: | EGIT x 5 WEE I $ ; cot. 4d; d.c tang. A 6. noiismixo:qqn

Enfuite. parceque ^ —— fm. b-— fin. b' du b — fim. b! 47 1 cof. 4

ESUE. A — fin. b. -- fin, b! & tang. B 5g Ate bt y 1: — cof. d [or

lu d goo ERE A E TS (5) M. 4 corre, and. eafq « Mathod of tearitg 4he apparent. dif'quce of ihe Mond from a. Siear: &c. Nautical. Almanac 1772. ' Elle y fert de füpplément. (**) Je' me'borne- 3 confidérer la formule qu'il denne pout ce feul ef fct, comme étant préférablement remarquable par fon élégance.

et22. ) 328 (. oid

on trouye

Rs 2 — afin.b fin.b' I — tang. A: 95 us cn : &

:o— fish? 3 fm.abr fiib Pn. cof. d , I- tang. Ba 2 jin. b fi, &' (1 — cj. 4) onc 29xtanpgpsA 4 im fin. 2 B ^" cot. i Z(r — cof. 4) x fin. b* — fin. b'* — * (in. b (in. b^ cof. d j8ne D Jin V D*

ou bien à caufe de cot. ; Z(x — cof. 4) — fin. 4

2x tang. 2 A — x (fin. b — Jin. b^ cof. d) x (Jin. b* — fin. b cof. d) -fim.2B -— Jin. b^ in. d p nu feb finsd9WW.

Or M. Maskelyne a ífuppofé que les effets de la réfra&i- on en hauteur font r — x cot. f. & r'— x cot. /; ainfi il faudra mettre dans l'expreffion précédente x — r tang. b & x-—r'tang.b', ce qui étant fait on obtient pour l'effet total de la réfra&ion en diítance

m (firt. b* — fin. b cof. d) -r r' (fin. b — fin. b' cof. d) c0J.D Jin. à nt ebd —?

exprefüon qui conyient avec celle de M. Lyons & avec la partie de la notre qui renferme la réfra&ion.

M. Maskelyne a facilité le calcul de cette formule par trois tables fubfidiaires, qui fervent en méme temps pour la détermination de l'effet de la Parallaxe. — Mais il faut bien remarquer que cette belle expreffion n'eft qu'une approximation à dicc de méme, puisque pour les hauteurs moindres de 20*on s'écarte de plus en plus de la iufte valeur en mettant

rc:axcot b'&' vis epp,

Les précéptes de M. Maskelyne reníferment bien les cor- reGions Déceffaires pouf approcher d'avantage en cas de bcíoin; mais le calcul, augmenté par là, détruit l'avan-

tage

ec35 ) $290 ( $829

tage de l'élégance de la corre&ion principale; & celüi qu'on eft obligé de faire encore, féparément pour l'effet de la Parallaxe, rend cette méthode plus laborieufe que la plüpart des autres.

Méthode de M. Witchell (*).--

Comme M. Jlicbell, dans l'ouvrage cité, ne don- ne ni Pexpreffion analytique. ni PAnalyfe méme, fur la- quelle fes préceptes font fondés, & que fa méthode me paroit trés ingénieufe, je crois bien faire, en repréfentant les corrections qu'il propoíe, par des formules. La liaifon avec notre formule approchée leur fíervira en méme temps de démonftration.

M, JWitcbell caleule un arc A, dont la tangente eft égale à

cot. ^——" tang, 5— cot. 1 d, & il prétend que la premiere correction à apporter à la diftance obfervée eft égale à la réfraction correfpondante à une hauteur — 90^— (id-- A), & que la feconde cor-

recion fera — — à tang. P tang. (1 d — A), à .. tang.;d —tang. A VU ceu I-l-tang.i4 tang. A ' ou bien

tang. ! d — tang. —*. cot, ^ -* 1 tane. [72 2 Ay SEE" 5s S m TT cot.1d

I -|- tang. ———:^' cot, LEE

Le

(*) Supplément du Nautica! A/manac année 1772. pag. 18. 4a Acad, Imp. Sc. Tom. III. P. I. j Yon

e533 ) sso ( $3

Lc numérateur de cette expreííon fe réduit à

fin.;d fin.b — fin. M. cof. id

cofid [in.b--fin.D fiu. P2 ou bien à

fin. D — fin. b cof. d.

: (fin. b. - fin. 7/) fin. d"

& le dénominateur

I MELIA» prend cette forme:

2 fin. b » 288 ; is jab A jin. b^? d u l'on tire

—— jin. b' — fin. b cof. d

dang: (1d LA) ib Rib.

Jin. 0 jit. d.

cc qui fournit pour la feconde corre&ion:

— 8 tang. P tang. (1d — A) — — EE ey. d)

Enfuite M. Jitcbell fuppofe auffi que les réfra&ti- ons font en raifon des tangentes dcs diíflances au zénith,- favoir r':cot. P; donc l'analogie

cot. 5 : r! — cot. (90? — (14 -- A)) donnera la réfra&ion pour la hauteur 9o? — (4 -t- A), »! tang. (1 3- A)

cot. .b' tions femblables aux précédentes

4 [1 fin. b — fim. b! cof. d tang. (s d -- A) — eb jm.d

qui fera . On trouve par des opéra-

ce qui étant fubititué fournit la premiére correction égale

à "Lin b — fe.b etd. Sc;fa fomme de ces deux corrections cof. b^ jzn. d 1

eft égale à l'expre(fion approchante de motre premiere

Solution.

Pour

5 ):ssr ( $83

Pour corriger les erreurs, qui peuvent naítre de la fuppofition, que les réfracions font proportionelles aux cotangentes des hauteurs apparentes, l'auteur. donne une quatrieme correction pour les cas qui peuvent l'exi- ger. Aufln corrige-t- il les erreurs de l'approximation fondamentale d'une maniére affés facile, dont l'expreffion ne peut gueres différer de la notre pag. 323. Cette belle méthode paroit avoir échappé à M. Lexe//, qui n'en parle pas, quoiqu'elle foit plus facile à calculer que la pré- cedente.

Les deux méthodes fuivantes font rigoureufement vraies: mais leurs formules ne font pas à beaucoup prés au(li faciles à calculer. que celle de notre feconde. So-

lution. Solution. de M. Dunthorne (*).

Puisquil y a dans le triangle ZLS cof. P cof. P' : x — cof. d — cof. (b! — P) : cot Z

& dans lautre triangle Z / s: cof. (b -- 8) cof. (b/— r') : x 2 cof. d! —cof. ( (b—r!) — (b--3)) : cof. Z il y aura cof. d — cof. (b — P) — cof. bcot. b/cof.Z. & cof. dl— cof. ((b'— r!) — (b4-5)) — cof. (5 4- 8) cof. (b/— r^ cof. Z. En mulipliant la premiere de ces ES i uy par cof. (54-5) cof (b! —;') & la feconde par cof. b cof. & prennant la diffe esit oü obtient (A), cof. b cof. 7! (cof. ((b'— r!) — (b --6)) — cof. 4") — cof. (b4-8) cof. ( pi p (cof. (b' — b) — cof. d) 2 o p. t2 Donc

- LLL

( Reguifite "Lbs f an "T to tle nautical Alinauat , rag. m

'Tab XL Fig. 4.

ec. )3s2( $93

Donc .en prennant les logarithmus : 1 (cof. (b! — b) — cof. 4) 4- 4 cof. (b-4-8) 4-1 cof. (b! — 7!) zcof. 54-1 cof. bed (eof (or —r') — (b-H3)) — cof. d!). Puis en mettant l cof. b -- 2 cof. P! — 1cof. (b 4- 0) — cof, (D.—r) Z 1m il ya l (cof. ((b' — 1) — (b 4- 8)) — cof. 4) — I (cof. (b' — b) — cof. 4) — 1m — In; donc 2 — cof. ((b' — 7") — (b 4 9)) — cof. 2 & partant cof. d! — cof. ((b' — 1!) — (b --8)) — 2! Formule. dont M. Danrborge a foulagé le calcul par des tables. pour log.z; & pour 9, qui ne font pas d'une grande reffource & par leur peu d'étendue & par la na- ture de l'expreflion.

Au refte il eft facile à voir que l'équation (A) fe réduit à la fuivante: jj ARREST ET 1 ; (b-4-8) cof. (b^ — r^) cof. (b^ — b

cof. d!—cof. ((b' —1') —(b--8))— 9E06-9)er o — )

co]. à. cof. b* cof. (b.-4- 8) cof. (b^ — r^) cof. d UE cof. b. cof. b* ?

qui étant développée, en mettant

cof. d — (in. b fin. b^ — coj.. b . cof. b' — cof. (ap

prend la forme de notre équation: cof. d! — fin. (b 4-3) fin. (b!— r') 4- cof. Z cof. (b4-8) cof. (b! — r^. (*) Expreffion de M. le. Chevalier de Borda.

La régle de M. 4e Borda. enfeigne à calculer un | arc

(*) Elle fe trouve dans la Coanoijuuce des tempr pour 1780.

et35 ) 553 ( S59

arc M, dont le cofinus eft exprimé par cette forme: cof. * cof. (s — d). cof. (b 4- 5) cof. (b! — r!) cof. cof. b cof. ((b--0)x-(p—1)) ? pour avoir fin. ; d! — cof. : ((b -- 8) -- (bL — r)) in. M, oà ;—— 37-34: deforte qu'il y a fin.; d^ Zcof.; ((b 4-3) 4- (D -r!) ) — 9f-s- eo 6- epe cf. (ny Cette formule trés compliquée fe réduit à la no-

tre de la maniére fuivante: 1 — cof. t — 1 -£-cof. ((b 4-3) 4- (b* — *)) .. . cof. s, cof. (s — d) eof. (b 4- $)cof. (b* — v^) z zr «b*

: cj. b coj« a " ks dic sebsebg- qu m Sa orm -(b--8-- b.— »!) or

z cof: &cof. (s— d) —cof- d -- cof. (2 s —d) — cof. 4-4- cof. (b 4- P!) donc

cof, d! — (4t ef rre Oo e 1 — cof. (b4-3 -- b! — 5),

& en développant cof. ((b 4-8) 4- (b —7)) & cof. (b -- bh, on obtient cof. d! — fin. (54-8) fin. (b! —1") 4- cof. cof. (b4- 9) cof. (D — v), oü

cof. d — fin. b fin. b cof. e CE cof. b «9. b'

Mais on voit fans que je le faffe remarquer, que la der- niére formule a un grand avantage fur l'autre par fa fim- plicité.

Tt5 Nous

et32 ) 534 ( $59

Nous voyons par toutes ces réflexions 1*) que les deux expreffions :

d! — d — 8 fin. P! fec. b cofec. d -- à tang. P cot. d -- r! fin. b fec. b! cofec. d — r! tang. b' cot. d & cof. d! — fin. (b 4-8 (fin. (b/— r') 4- cof. £ cof. (5 4-8) fin. (b/— 7"),

ont été fondamentales pour toutes les Solutions alléguées du Probléme de la correction des diftances apparentes de ia Lune à une étoile. 2^) Que les trois méthodes de Mrs. Maskelyne , Lyons & Witbell, qui ont été déduites de la premiére de ces deux formules, quelque ingénieufes qu'elles. foient, n'étant que des approximations de l'ap- proximation méme, exigent quantité de corrections qui détruifent l'avantage des belles transformations qui en font le principal mérite. — 5?) Qu'elles font d'autant plus incertaines qu'il eft trés diffhcile de di(tinguer exactement les cas, oà lon doit en emploier plus ou moins. 4^) Que la méthode de M. Lyons, qui par la forme des ta- bles fubfidiaires fe préte le plus facilement à cet examen, eft telle, qu'il faut étre bien habitué aux calculs qu'elle exige, s'ils doivent prendre moius de temps que le calcul immédiat de l'une ou l'autre des expreífions fondamen- tales. — 5^) Qu'il en eft de méme à plus forte raifon des deux dernieres expreffions qui conviennent avec la Solu- tion rigoureufe.

ll me paroit donc eue fans qu'on foit obligé de facrifier la commodité du calcul à la juíteffe du ré(ultat on fe ferviroit avec le plus grand avantage de la formule

cof.d! — fin. (b4- 0) fin. (b'— r') 4- cof. Z cof. (b --9) cof. (b! — 1")

pour

ec ) 335 ( $9

pour tous les cas, oü la diftance obfervée eft au- deffous de 9o? & de lautre formule approchée

d —d-—b5ZLS-rr!'cot^ZSL,

x

pour les cas oü cette diftance furpaffe 90^, à moins que les hauteurs ne foient trés petites, & qu'on ne puiífe pas négliger la correction (8 — «)(9 -4- e) cot. 2; foit qu'on calcule cette formule immédiatement de la fagon aflignée ci-deflus, foit qu'on faffe ufage de la régle de M. Lexe//. Car je crois que le travail fera à peu prés le méme pour Pune & l'autre maniere.

L'excellent Mémoire de M. Lexe//, que yai allégué dant la note, pag. 326. contient encore quelques expres- fions pour le finus & pour le cofinus de la demie di- ftance vraie, d'un ufage auífi commode que la formule

cof. d.— fin. (5 4-8) fin. (b'— r') - cof. G cof. (b -- 8) cof. (5/— r!), dont ce célébre Académicien les a déduites. — Mais je ne crois pas devoir m?y arréter, d'autant que je n'ai rien à ajouter à fes trausformations ingénieufes & que leur comparaifon avec la formule fondamentale, par rapport au calcul, eft affés facile par la feule infpection.

Je terminerai cependant ces réflexions par une méthode qui, par fa fimplicité & par la facilité du calcul, doit l'emporter für toutes les autres, tant vraies qu'appro- chantes, aque je connois & dont j'ai parlé jusqu'ici. Elle eft fondée fur la transformation fuüivante de la formule rigoureufe:

cof di— fin. (b -- 8) fin. (b! — £^ -F cof, & cof. (b- 3) cof. (b'— r?) qui équivaut à celle -ci: cof.

eo ) 336 C ccm

cof. d.— fin. (b 4 8) fin. (b.— 1") 4- cof. (b -- 9) cof. (b. — !) cof. Z — cof. (b 4-8) cof. (b! — r!) 4- cof. (5 4-9) cof. (b — r^. Donc cof. d! 2 (1-- cof. Z) cof. (b4-9) cof. (b.— 1!) — cof. (b --8 - b/— y!) ou bien cof. d/— e cof. 1 Z* cof. (b -- 9) cof. (b/— 1!) — cof. (b 4-8 4- DI— »!), oàü il y a, comme ou fait par les Sphériques, cof s 62. (8077 5 (67 P 2)) 6n. (0^7 1(5- Eb )) fin. (9o? — 5) fin. (o? — 2) ou bien, en mettant pour abréger br bokd sg prp Pp - o ilya cof. 1 Z* — cof. s cof. (s — d) fec. P fec. P^, donc cof d! — cof.s cof. (s—d) fec.b fec.b/cof. (54-9) cof. (b'— r!) - cof. e. ll eft bon de remarquer .par rapport à cette LIDEN que comme les angles 5, P, (b--8), (D —1') & (s — d) ne peuvent jamais fürpaffer 90^, le premier membre cof. $ cof. (s — d) fec. b fec. b! cof. (b-- 8) cof. (b —1!, . fera toujours pofitif, à moins que s ne furpaffe 99".

Exemple. Soit b — 64^, 30!) b! —485 802 d—33*, 159m — ssh ext & il y aura. ! $,—317924 BI TM &, 5—d-— 39^, 47, 50" b 2-92 64^,53, 26"; b'—r — 48 19, 10". Donc

ee32 ) sa7 ( $99

Donc : 29 T cof, i 5-8 9. AD45510 - Top ] cof. (s—4) 29, 8855741 VIE- 0522091925 I| T9" 0:3006150 - [— 0, 4410385 Hiec y P" gi ESOTSRPT [f— 0, 3941023 T ————— I cot. (b-- 3) — 9, 6257229 € rts UR.

1 gel) ^ 6 ] cof. (P £79,822 $c6 d'—55^, 16!, 32/!

]. parti 2 Y —— 9, 3445319

I| me paroit impoffible de. donner une forme plus commode pour lexpreífion rigoureufe, & comme elle ne demande-que fix logarithmes: & une feule opération qui eft d'en prendre, la fomme, «elle peut erre employée gé- néralement dans tous les cas avec le plus grand avantage.

Quoiqu'on puiffe raifonnablement fuppofer , que ceux qui font dans le cas d'avoir befoin de pareilles for- mules, foient en état de les calculer, on,a coütume pour- tant de les traduire, en. montrant leur ufage par des pré- ceptes plus détaillés. Je vais faire de méme à l'égard de l'expreífion propofée ici pour la correction des di- ftances apparentes, favoir:

cof. d! & e cof. s cof. (s — 4) fec. b fec. P! cof. (b -- 3) x x €of. (b! — 1') — cof. c ,' pour faire voir qu'elle peut étre rendüe trés intelligible à ceux méme qui ne comprennent rien à la folution qui

l'a fournie, ' Voici. 1$ préceptes qui expliqueront fon ufage. Zac Liitot |

«cia Acad. Imp. Sc. Tom. III. P. I. Vv pp

ei35 ) ass ( S3 T. Prenez les fix logarithmes fuivans:

i & 2. Du cofinus de la demie fomme & de la demie différence des hauteurs & de la diftance apparentes.

3 & 4.- De la. fécante de la hauteur obfervée de la Lune & de l'étoile.

s & 6. Du cofinus de la hauteur corrigée de la Lune & de P'étoile.

II. Rejettez le premier chiffre de la caracériftique de la fomme de ces fix logarithmes:. cherchez le nom- bre qui lui répond & prenez en le double.

IIl. Cherchez le.cofinus de la fomme des hauteurs cor-

rigées, ou celui de fon complément à 180^, fi elle furpaffe 90^.

IV. De ces deux nombres, trouvés par PArt. II & IIT. vous prendrez ou la fomme ou la différence, felon les quatre cas fuivans:

1) Si s 9o & c4 9o, cef leur différence qu'on doit prendre, en lui donnant le figne . «4, lorsque le premier membre eft.le plus grand, & le figne — , lorsqu'il cft le plus petit. 2) Si 5-290" & c7 9o*, il faudra prendre la fomme de ces nombres, qui fera conftam- ment pofitive -1-.

3) Si

e$33 ) ss9 ( $82

3) Si s2.90^ & c 7.90, ou prendra leur dif ference, qui aura le figne -r-, lorsque le fe- cond membre ' furpaffe le premier, & le fi- gne —, lorsque celui-ci eft le plus grand.

4) Sis 2 90? & c 2 90^, on prendra la fomme, qui aura toujours le figne —.

Cette fomme ou différence étant le .cofinus de la vraie diftance, .on n'a qu'à chercher l'angle qui lui répond. Si elle eft pofitive cet angle donne la di- ftance corrigée de Péffet de la réfracion & de la Parallaxe; fi elle eft négative, il faudra prendre íon complément à 180^,

Vv2£ OBSERe

eps )346 ( S53 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE PETROPOLI HABITAE.

Audore | UUUCSTEPHANO RUMOVSKI

Anno 1775. - Eclipfis Olis die $ Auguft.

Die 5 Aug. meridies verus ex altitudinibus Solis correfpondentibus eft — - — ii^, 4o!, 44/45 Die 55 Aug. Cl. D'^ [Ijenieff et ego ob- —feruauimus finem tantum Eclipfeos Solis, quia initium illius contigit fole fub horizonte adhuc latente; Ille tubo Achromatico trium pedum triplici lente obiectiua praedito - - 6. 19.20 t, In

Ego vero tubo Gregoriano 24 pollicum 6. 19. 16 Eodem die merid. verus ex alt. Clis cor-

refpondentibus - - - IÍ. 99:5 40,5 Hinc tempus verum finis Eclipfeos habetur

ex obferuatione Cl. D" Ismieff | - — 6. 41 ex mea - - - -

Ho: e OL SEES- I5.

Anno

etj ) s4r ( $$$ Anno 1778.

Die 31 Em. IL. fatellitis Iouis - - 9^. 58. 12!! t. v.

"Oei d inftituta eft Luna non procul a Ioue remota, et tardius fíatellitem fefe mihi obtuliffe exinde iudico, quod intenfiori iam, quam par eft, fulgere vide- batur lumine.

Die 2, Mart. Em. I. fatellitis Iouis - ir, WGi85.

Obferuatio bona, peracta eít coelo fereno.

Die vo Em. L. Satellitis Iouis - ^- 1o. 38. 48. t.v.

Imm. IV. Satellitis - — - 1r. 46. 2o.

Cum IV Satellites lumine iam diminuto gauderet, tam exiguo interuallo a primo feiunctus fuit, vt cum illo interdum cohaerere viderentur, id circo pofterior obferua- tio non eft exacta.

Die ? er Em. III Satellitis Youis.

10 Ap Dubito, pF Satellitem videam, nam tardius illum ex- pectaueram - - -U09:$0;1. Certus fum de illius praefentia — - - 09. $0. 7.

Obferuatio inflituta eft coelo fereno, aere tran- quillo, fed Luna fplendente.

Die ;; April. Em. 1I. Satellitis. Dubito de praefentia Satellitis — - — - 9. 54. 22. Certus fum fatellitem prodiife - *- ^ - 9. 54. 32.

Vv3 Eodem

es )342( ce

Eodem die Em. I. Satellitis. ) Satells prodit inconfpetum — - - ' 12".55'. eii. Pari lumine cum reliquis fulget « — - r2. 36. o.

Eclipfis Olis die 7! Iunii.

23

Praecedentibus proxime Eclipfin folis diebus non licuit motum horologii per altitudines Solis correfponden- tes explorare ; interim tamen per obíeruationes die 16 et 20 lunii captas conftitit motum horologii ante Eclipfim aeque ac poft Eclipfim Solis fuiffe vniformem, conftanter Ícilicet fpatio diei folaris medii ratardaffe 5"; quamobrem vt in reductione temporis horologii ad tempus verum fenfibilis error ineffe poflit, non facile crediderim.

Video exiguam partem difci folaris Eclipfim iam effe paffam — - 5 eps 55, (8^. o EOM Finis Eclipfis exacte obferuatus - | - 6. 52. $8.

Vir Celeber. Lexe/] in differtatione nuper Acade- miae tradita, plurimas obferuationes huius Eclipfeos in ali- is locis peractas ad computum more íuo reuocauit, ea- rumque comparationem in(ílituit, inanem igitur operam facturus effem, fi finem, .a me obferuatum, non nifi 7" ab obferuatione Cel. Lexe/] deficientem ad calculum re- vocarem. Cum vero conclufiones a Cel. Lexe// ibidem deductae vt plurimum | momentis ab illo Petropoli obfer- vatis innitantur, hoc faltem pretium obfervationi meae erit tribuendum, quod illa ad conclufiones Cel. Lexe/l confirmandas conducat.

Anno

eti ) s45 ( S83e Anno 1779.

Die mt Em. I. Satellitis Iouis.

"Oo a Credo Satellitem ex vmbra prodire 10^. rc. 21". Certus fum de cius praefentia — - — 1o, 1o. 31,

b

Ecipfi Solis die 7 Iunii.

Die 3:7» meridies verus ex altitudinibus Solis correfpon-

10 Iun. H b , ? dentibus - E Onus J dolis :& Gi Maii "2 T ES oO. "E Die ii Ium, 8 » $

Die ;; Iunii. Initium Eclipfis Solis telefcopio Gregor. 24 poll. - -

- - - B 10^, 1 2!, s !lc.h. Finis eodem teleícopio - - EI. 34. 95. Dominus Tchernoi tubo Achromatico 3. ped. 34... 2

Meridies verus ex altitudinibus Solis correfp. o. 12. 9. Hinc computo perac&o tempus aftronomi- cum verum initii eclipfeos die 4

lunii reperitur 7 - ^in did. Quies. Finis per meam obferuationem — - . - 23. 22. r8. Per obferuationem Socii - .- - 29. 22. 2I.

Cum vtrumque momentum initii aeque ac finis exacte fuiffe obferuata mihi perfuafus fim, e re effe exifti maui illa ad computum reuocare. Hunc in finem affum- ta differentia meridianorum Grenouicenfis et Petropolitani 2^. 1'. 16" ex Tabulis Maieri Londini editis fequentia com-

putaui elementa.

Temp.

-Hho)cee( $He

xo. | 20^, b i quum b 1 il b 1 i 18^. 59. 39^. | 19.59.39. | 20.59. 40".

—— mo ER l "|

long. O med. » aa asta afar [ ansa ao | 25:8 2".30/. 9! 8 | 2? 0 2?.5 2/755! 8

"Lemp.- ver NGr.

———

o 1". | 2.25.

"Temp. med. 21^,.59// of.

— — O vera 12,22.57.41,8 59.54,6|2. 23. 2.18. |2.28. 4.41,5 Obliqu. Eclipt.1 253.28. $,5 -

: Diam. Solis| 15. 47,5 I5. 47,5 Long. D vera |2.21. 45.544,82. 22. 33. 26. |2.23. 0,58,2|2. 25. 38152. Lati. 5 Bor. 57. 24 X. 10:498. riu. T 1. 7. 805 Parall. Aequat. OX. L4 :| | 61. 5, ;|

Correct. 60..55,7 60. 57,98 1n 5. 5629705 | boss 1606

Mot. hor. 2) rel. $5, 9.0 $55. 10,5 Log. pro redu&. | | Ípat. in tempus 0. 252] 4525 0.25212671 0,231|9583

Pro initio Eclipfis.

Pofita iam ratione diametri aequatoris ad axem telluris — 201:200, Latitudine Petropolis 59?. 56'. 25" pro computandis parallaxibus Lunae iuxta methodum Celeber. Lexel] habetur diftantia zenith veri a polo 30^. 1 $'. 52 1£—9.9983816. Tempus verum initii Eclipfis 22^. o/, 55! ad meridianum Grenouicenfem reductum et in medium con- uerfum fit 19?. 59, 18^ pro quo habetur:

Longitudo Solis media - DIM", oo", ouf Longitudo 2D) vera - 402. 220 28. US. Latitudo 2 Bor. - - I. O. 46,9 Parall. 2 aequ. — parall. O - 60. 56,5 Parallaxis Longit. - - C12. 53,7 —— . Latit. - EE — 39550553 ; Diam. 2) apparens - - 16: 52,2

et

e632 ) 845 ( S5de

et tempus verum coniunctionis 25^. 5^. 5^. Denotantibus vero, y et m. correctionibus, quas fumma femidiametro- rum Solis et. Lunae, Latitudo Lunae et parallaxis eiusdem aequatorea. admittere poffunt, tempus coniunctionis cor- reum prodit 23^. 5/. 5^ -- 2, 55 0 — 1, 64. -4- 1, 89 7.

Pro fine Eclipfis.

Pro tempore vero obferuationis 25^". 2». r$^. ad meridianum Grenouicenfem redu&o 21^ 21^. 2^. atque in medium conuerfo 21^. 20/. 42^ habetur.

Longitudo Solis media - 21.195 029, 967. £9f^ 6 Longitudo DO vera - - d, 25. X4. 9. 9 Latitudo 2 Bor. - - NT. Pct e - Parall. D aequat. — parall. O - 60. 57. 53 Parall. Longit. - - --. 9. I8, 9 —— Latit. - - — 56. 0,53 * Diam. 2) apparens — - 2 - 16. $374

Vnde tempus verum coniunctionis deducitur 25. 5^. 354^. vel per obferuationem focii 25^. 5*. 37^. quam meae praeferendam effe exi(timo; introductis vero correctionibus à0,y et m orietur expreflio pro tempore coniunctionis:

23^. 5. 37 — 3.89 0 -1- 8, 507 — 1. 98 T fubtrahamus ab hac expreffione prius inuentam et habebi- mus 34/— 6,260 -3- 5,14) —3, 57 1 — C. . Cuius pars tertia (A) 11, 3 —2.09.0 -1- 1, 71 / — 1, 12 1 — O addita ad primam expreífhonem coniunctionis praebet:

25^. 35. 14/4, 5 — o, 98 à -1- 6; 07 J 2- 0, 27 m. Cum nunc correcionum à et 7 limites fint ad modum arci, prout patet ex rei natura, variisque disquifitioni-

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bus Cel. Lexe/], coefficiens vero ipfius y tam fit exiguus, vt non ni(i enormis in Latitudine Lunae error exiguam mue tationem in ipía expreffione producere valeat tempus con- iunctionis ad meridianum Petropolitanum prodit 25^. 3^. 14^ fi ipfas obferuationes nullis erroribus inquinatas flatuere velimus.

Praeter obferuationem Petropolitanam nulla nifi Góttingae habita ad manus meas peruenit, quam fimilem in modum ad calculum reuocaui.

Obferuatio Góottingenfis a Celeb. Maiero peracta ita fe habet: Initium 20*, of. 55^. Finis 213,/99:.22. Pofita igitur Latitudine Góttingae $1*. 31^. 54^. Diftan- tiam zenith apparentis a vero reperi 16*. 44^^,/£— 9.990634. Dein pofita Longitudine Góttingae a Grenouico 39^. 32", pro initio Eclipfis deduxi parallaxin Lunae Longitudinis -- 29/. 54, 1. Latitüdinis — 36/. 51^, 7. Diametrum 5) apparentem 33'. 40", 1. et tempus verum coniunctionis ad meridianum Góttingenfem 21^. 41. 43// -- 2,53 9 — 1. 59 y -1- 1. 79 7. Ex fine vero exiftente parallaxi Longitudinis -- 22. 2$", 5 paralaxi Latitudinis — 32^, 41", 3 et Diametro apparente 5. 45", 2 idem momentum reperitur

215. 42/, 5! —4,860-4- 4455 / — I. 8I T ab hac expreffione fubtra&a priori oritur 22/—7.,190-1- 6,147 — 9; 607 — O

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cuius rurfüm pars tertia (B)2*5,3—2.399 -1- 2,03 y — 1, 20 1 — 0, addita ad momentum coniuncionis ex initio deductum

dabit idem 1^, 41^. 50! — 0,060 21-0, 46 y -- 0, 59 m.

Collatis interfe momentis coniunctionum a correctio- nibus à, y et c fere non pendentibus. Longitudo Petropo- lis a meridiano Góttingenfi prodit 1^. 21^. 24". Aft cum ex aliis obferuationibus conftet eam effe 1^. o i. 44" quam proxime, neceffum eít vt vel Petropolitanis vel Góttingen- fibus obfíeruationibus error 20" circiter infit; Quo. appa- reat, vbi nam ille lateat, comparentur inter fe momenta: coniunctionis ex fine deducta, vt pote maioris praccifionis capacia, et prodit expreflo pro differentia meridianorum

15. 21/32/-1-.0, 990 — r. o5 y —o, T7 quae neglectis corre&ionibus 8 et 7, ítatuendo y — — rg vcl — 12 facile ad confenfum cum fupra allata dest cum contra fimilis expreffho ex initio deducta

1^, 21'. 2011-0, 040 — 0,05 y — O, 40 v non nifi enormen ipfi y valorem tribuendo ad confenfüm reuocari poterit. Vnde apparet vel in Petropolitana vel in Góttingenfi obferuatione /initii Eclipfeos notabilem er- rorem effe commiffum. — Vtra vero peccet per obferuatio- nes in aliis locis peractas erit dirimendum,

Attamen obferuationi Petropoli peractae fequentia fauere videntur: Si obferuatio ifta ponatur erronea, ne- ceífe eft, vt initium Eclipfis 20" citius quam par eft fue- rit obíeruatum , quod minime probabile videtur. Dein

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admiffo hoc errore et neglecta correctione 7r, aequationes fupra allatae A et B debite mutatae pofito y — — rof praebent; ó-— — 6',' pofito "vero y — — 12 dant à — — $" quam proxime; .cum. contra affumto initium Eclipfeos Góttingae 20^ tardius effe obferuatum, quod probabilius eft, eaedem aequationes praebent à — — 2/, 8 vel. à — — 4/l, 4 prout y-—-—io" wel — 12" affümitur, ex quo apparet vero fimilius effe in 'obferuatione Góttingenfi quam in be- — errorem: effe commiffum. |

Pofito iám tempore coniunctionis Solis et Lurae fecundum Eclipticam ad' meridianum Petropolitanum 25^. 3'.14^,. et! Longitudine Petropolis a Grenouico 2^. 1, 16! tempus ^ verüm. coniun&ionis ad meridianum Grenouicen- fem erit 21^. 1, 58^, pro quo Longitudo vera O et 2) eft 55, 23.21, 22! 4, et cum Tabulae Maieri ie eodem uer poris momento dent Longitudinem Lunae 25,25?. 2!. 14^, colligitur correcio. pro Longitudine — 8, 4. CREADO vero Latitudinis —.1o' aut — 2^ ftatui poterit, donec obíerua- tiones in aliis: locis peractae aliud quid fuadae videantur; .

et Longitudo Gottingae a Petropoli ex fine Eclipfis i^ 21. 42!

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