FOR THE PEOPLE FOR EDVCATION FOR SCIENCE LIBRARY or THE AMERICAN MUSEUM or NATURAL HISTORY NINE Su A! iu j T ANC TA ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE pro Anno MDCCLXXX. PARS PRIOR. PEE KOP OG TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXXXIIIL | aH DECOEID irc aco Rd gui UMEN NES -—— — AER EUTVAS eI. EP p t — L iP. - ENS ou DE ox eon or^ nt M i X". ze im | EE DEOS ROS 2p 5 hac - * s. : UMS , b ra ! ! pn. | j i . 4 i | E A c aom pini | — UM ^u SCR ATW d i " 2 ? ' RV uU | Mr su? Lb Ew hj j Jj Er I ". E (' . * ^ T ob] LJ I 4r PN Y D 1^À ; re " , E y d "à e oce or mquit FP Raaba cement ZI 0 LO ' NEA TIR: 4*5 RAI |] DUPESUM TTL / uj (g55 8M) "eoe Qe ^? (e C oS Ca Ce dun re uy" Cere i Cie» EINGAGTIAZWUAIX EG" La TK'a NUR NT Ra EXTR X a Uta Ea m CERE XT T3. YO SENKT TA, ESO ERA, EMINET DNA T. Tip Top. HISTOIRE DE L'ACADÉEMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES. MDCCLXXX. Janvier —— Juin. VISITE de Leurs Altefles Impériales - —- ; Pag. s. ME/'TEOROLOGIE. Hyver de 1779 à 1780. - - - - [3 Marcbe de Vlaiguille magnétique obfervée pendant Paurore boréale du 29 Fevrier à la Haye &' à Franeker: exiraite d'une lettre de M. le Prof. van Swinden - - E - IO, Extrait d'une. lettre de M, le Brigadier Cbevalier. de Prekling, concerman: laurore borcale ob- Jervée à Pleskow le 2 Mars. - - ^- 15. qug Quan- F- ^ guoys &f x - t?» IV. gq* * Page. Quantité de l'eau de pluie obfervée à St. Pétersbourg en 1778. 1779 C 1780 par M. Lexell - r7. Haururs de Teau dams ]a Néva obfervées par M. Lexcell e» 1778. 1779 év 1780. - 19. OUVRAGES, Macbines c Inventions préfentées. ou communiquées à PAcadémie pendant. le cours du premier fémeflre de. l'année. 1780. - 26. ACTA ACADEMIAE SCIENTIARV M IMPERIALIS PETROPOLITANAE ad Annum MDCCLXXX. Pars prior. Cum tabulis XI. aeri incifis. MATHEMATICA Pag. LEONH. EVLER. Supplementum. ca'culi integralis pro integratione formularum | irrationaiium. -2.8 —— -——- Nova meibodus fracliones. quascunque. ra- tionales in fractiones fimplices refolvendi — - — $2. —— —— Exolutio Producli infiniti (r-x)(ri—x')(i—x')(1 - x*).etc. in feriem fimplieem — - — 7 - - - 47. —— —— De mirabilibus proprietatibus. numerorum f«quagondium - - - - - 9. : 96. NICO- Se V. NICOLAS FVSS. In:égration. d'uve / efpéce re- marquable d'équations différeitielles dans l' A- nalyfe des fonclions à deux variables, par liniroduction de nouvelles variables - — - LEONH. EVLER. Problematis cuiusdam | Pappi Alexandrini conflrucfio " - 5 NICOLAVS FVSS. Solutio Problematis Geometrici Pappi Alexandrini - E ^ PHYSICO-MATHEMATICA LEONH. EVLER. De motu libero plurium corpo- rum filis colligatorum fuper plano borizontali —— -—— De wi fluminis ad maves furfum traben- das applicanda - - eds t —— —— De flatum. aequiübrii maris a viribus SSo- lis et Lunae follicitati —- — - LAC W. L. KRAFFT. Difguifitio de Methodo couftru- endi tabulas pro motu proieclilium in aére refilenie - E - - - PHYSICA C. F. WOLFF. De pullo monflvofo, Tialtoy Pet bus, totidemque alis infliuclo — - P. S. PALLAS. Galeopitbeeus volans. Camellii de- fcriptus - - - - - IOH. LEPECHIN. TORAIEEAR : i (ue d serminatae - )X 3 Page. IO7, II9. 152. 154. 2093. 208. 223. IG: *4 VL a£ Y, * . L G. GEORGI. Adipis porcinae , recentis. &. ran- cidae , examen cbemicum — - 4 - ASTRONOMICA LEONH. EVLER. Determinatio facilis orbitae. co- metae culus tranfitum. per ecüpiicam bis obfer- uare licuit - - - - - —— -—— De variis motuum generibus, qui in fa- teilitibus planetarum. locum babere poffunt - —— —— De motibus maxime irregularibuss qui in [vflem;te mundano. locum | babere. poffent , vena cum meibodo buiusmodi motus | per. tem- poris fpatium | quantumuis magnum —profe- quendi . ? ^ * - A. Ll. LEXELL. Recbercbes fur. Ja mouvelle pia- nite, découverte par M.Heríchel &* nomuée Georgium Sidus - - - i uns —— —— Sulutiones quorundam problematum | aftro- nomicorum ad doctrinam de mou planetarum c" comtiarum. in. feélionibus conicis periinen- Hum - - - - - - PETRVS INOCHODZONWN. Determinatio l-titudinis et longitudinis erbis Orcl, dedu&la ex objerua- tionibus aflronomicis Anno 1981. babilis — 7 NICOLAS FVSS. Nouvelles recbercbes fur. les inégalités dans le mouvement de la. crre caufees par l'adlion de Venus - - -« 243. 255. 280. 303. 379. *x, VIT. e Page. STEPH. RUMOVSKI. Locus Lunae ex occulia- pone *y virginis anuo 1780 die $ Martii ob/eruata deierininatus — - - ^ $99. ERRA- E R K AT A. Pag. 594. Poftremorum quinque logarithmorum cha- racteriftica efl 6. HISTOI- HISTOIRE D E L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES BAdPANLDES Hifire de 1780. P. 1, a , MD [-] A (45 1845! Ce4op eden toten ceo toAptOt te Ceo te Mb9 teMbp tede tede Qi Segre Se Se irc" Carr, ups tum tug cturos xg CRRSOGEKG. CD RERO eG. RR RERO S: QR CO. COR) GRO. GIRL 3) HISTOIRE DE L'ACADÉMIE. NODE TRE. Janvier —— Juin. D vendredi 24 Janvier, l'Académie eut l'honneur de rece- voir la vifite de Leurs ^ltefles Imperiales Monfeigneur le Grand Duc & Madame la Grande Duchefle./ àccom- paenés de Son Altefle Séréniffime Monfeigneur le Prince Frédéric Guillaume Charles de Würtemberg- Stuttgard, frere de Madame. Ces Auguftes hótcs. arri- verent entre onze heures & midi. S. E. Mr. le Directeur & Mefüieurs les Académiciens prépofés au Cabinet d'Hifloire naturelle recurent Leurs a 2 AI- 4 HTST'OTR.E Alteffes au bas de l'escalier qui méne à la Bibliotheque, & Les conduifirent par tous les Cabinets & Deépartemens academiques. L'A(lemblée ordinaire des Académiciens & Adjoints Les recut enfuite dans la falle de Conferences , & Mr. le Prof. Gülzenfládt eut Phonneur de montrer un Corfac, efpece de petit Renard, que Mr. Hab/itzP, Cor- rcífpondant de PAcadémie venoit d'envoyer d'Afltrachan pour le Cabinet académique, Leurs Alteffes Impériales & Monfeigneur le Prince de Würtemberg fe rendirent de là au. Departe- m.nt de Geographie, à l'Imprimerie des Eftampes & en- fin au grand Globe de Gottorp; d'oü Elles retournerent à la Cour, aprés avoir témoigne au Dire&eur & aux Aca- dcmidens Leur fatisfa&ion dans les termes les plus gra- cicux. M E- HISTOIRE. ; PUN DA ADIAbA Ab IA EPA cum atio qur mb aut berba mb es MÉTÉOROLOGIE. Hyver de 1779 à 1780, fuivant le nouveau ftile. I. | neiga pour la premiere fois le 31 Octobre 1779 & pour la derniere fois le 5 Juin 1780. L'intervalle en- tre ces deux termes eft de 219 jours. : 2, l| géla pour la premiere fois le 13 Octobre, 'Thermométre de Délisle 154^, & pour la derniere fois le 5 Mai, Therm. r52?. Cet intervalle entre la pre- miere & la derniere gélée eft de 206 jours. 39. La Néva fut prife pendant r42 jours, depuis le 1 Décembre oü elle fe couvrit des glaces du Ladoga par un froid de i70 degrés, jusqu'au 21 Avril qu'elle débacla par une température de i457. Les glagons du Lac de Ladoga parurent le 29 Avril, & la riviere les charia jusqu'au x. de Mai. a 3 4. De- r3 HISTOIR E. 4. Depuis le 15 O&obre jusqu'au. 5 Mai fuivant, le plus grand froid a été obfervé de r95* le xg Février matin: Barom. 28. o8 ou 2$,5 pouces de Paris, ciel fe- rein, puis brouillard & petit vent du Nord. Le moindre froid ou la plus grande chaleur à midi a été de 129^le 26 Avril: Barom. 27. 75, ciel nubileux, petit vent du Sud, enfuite pluie. La difference entre ces deux températures extré- mes e(t de 66 degrés de Delisle. s. Le froid moyen au matin & au foir a été trouvé; depuis le 1*^ Novembre jusqu'au 1*" Mai, 162 degrés depuis le 1 Ocobre jusqu'au 1i*'Juin, 157 — Le froid moyen à midi; depuis le 1^ Novembre jusqu'au 1*^ Mai, 155 degrés depuis le 1" Octobre Jusqu'au 1*^ Juin, 149; ——, 6. Le froid au matin & au foir a été depuis le 15 Odobre jusqu'au 5 Mai: 2 fours au delà de rgo^ le 17. & r$. Février. 15 jours «ntre 180 & 190* en Janvier & Février. (*) 25 jours entre 170 & r$0 en Novembre — Mars. (**) 62 jours entre 160 & 170 en Novembre — Avril. 57 jours entre 155 & 160 en Octobre — Mai. 45 jours entre 140 & x50 en Octobre, Novembre, Fé- vrier — Mai. 2 jours entre 130 & 140 en Odobre, le 25 & 26. 3. Le —————— ————— ——— s s o ms lc —— —— (*) le 2 — 3.12. 13. 14 Janvier, & le 15. 16. 19. 20 Février. (**;j le 3» Nov, a. 8 -— 15. 18. 2o. 28 29 Déc. 1. 9 22. 25.26 28 - 51 Janvier, s. 6. 9, 1o. 14 Féyr. & le 1. 2, 3 Mars. AW rs og 178 8. J 5. Le froid à midi dans ce méme intervalle de 206 jours d'hyver a été: r jour moindre que r30? favoir le 26 Avril. 22 jours entre 140 & 130^ en Od&obre, Mars — Mai. (*) 67 Jours entre 150 & 140 en Odobre — Décembre, : Février — Mai. : 61 jours entre 160 & r50 en Novembre — Avril. 40 jours entre 170 & 160 en Novembre — Mars. 153 jours entre 180 & i70 en Décembre — Février. (**) 2 jours entre. 190 & i80 le r7. r$. Février. /. ..$. État du Barométre depuis le 1" Novembre 1779 jusquau x* Mai 1780: La plus grande élévation 28. 98 le 9 Février à midi. (***) La plus petite élévation 26.88 le 5o Octobre matin (****) & le 4 Décembre à 4 heures du foir. (*****) La variation totale - 2. ro ou 2j, pouces. Le milieu 7 2 25.99. La hauteur ,moyenne. 27. 86 c. à. d. 27;5 pouces de Paris. Le Barométre a été $0/jours.au deffus de 272; 57; jours au deffus de 28 & 32l Jours au deflus de 28,5 pouces. 9: Des mA—À—ÀÁ—À ———M —— MÀ —9ÀÁ—— —— (*) Le 18 -— 3o Oct. 16 Mars, 17. 23. 25. 28. 30 Avril, & le x. 5. 5 Mai, (*) Le r Déc. 2 — 6. 12. 13 25. 28 Janvier, & le 9 16, 19 Février. (9*) 'Therm 1-2, ciel entierement ferein, & calme, (**) 'Therm. 142, ciel couvert, forte pluie & vent du Sud, UUM'A CDherm. 148, ciel couvert, neige, pluie & un gros vent du - Ou. $ HISTOIRE. 9. les vents forts pendant ce méme intervalle de 6 mois d'hyver ont fovfllé: 6 jours du ord le 4 Nov. 13. Janv. 4. 5. r4. Févr. 7; Mars. 5 jours du N- E. le 5. 5o Nov. x9 Févr. 6 jours de "Ef le 8 Nov. 2. 13 Déc, 3. ?1 Janvier, 25 Avril. 6 jours du S- E. le 6. 7. Nov. x5 Déc. 23 Janvier, 2o Févr. 19 Avril. i1 jours du Sud le rr. r4. x6. 20. 22 Nov. 26 Déc. 20. 22. Janv. 28 Févr. 4. 16 Mars. Io jours du. S - Ou. le 7. 12. 20. 23. 31r Déc. 26. 27 Févr. 5. 19 Mars, *? Avril. 12 Jours de 7/Ow/fl le x. 21. Nov. 30 Déc. 2. 16 Janv. 13. 24 Fevr. 10. 1r. 15. x8 Mars, 14. Avril. 9 jours du N- Ou le 7. 1o. 12 Janv. x Févr. 29. gr Mars, 1. 2. 13 Avril. 1o. Les vents trés forts font venus: $ jours du Nord: le 3 Nov. 18 Janv. 5 Mars, 1 jour de Efl le x Décembre. i jour du S- E. le 25 Février. 9 jours du Sud le 17. x8 Nov. 14. I9. 24. 25. 2*5 Déc. 19 Jonv. 5 Avril. 6 jours du S- Ou, le 19 Nov, 4. 22. Déc. 6. 22. 30 Mars. 4 Jours de /'Oucfl le 21 Déc. xr. x5 Janv. 4 Avril. ri.Les HETSTOTYPRE 9 ir, Les autres variations de l'Atmosphére pen- dant ces 6 mois d'hyver font annotées dans la table fui- vante : ! 1780. 1779. Atmosphére, Nov 1 Iii Janv. | Fevr. [ Mars. | Avril |Somme. Jours entier, fereins| 2 3 4- 6 6 I 22 Jours entier. couv.| r7 II I4. I3 IO IO | 75 Brouillards SET I 5 5 5 2 4. 22 Pluie ; uniidud drob. 3 | * ii 7 5 | 3t copieufe 2 o [e] (e) le) | o 3 Neige ; médiocre I3 I5 I5 8 i3 | 6 | 68 copieufe 2 Sd TAE Oo I 2 8 Ink. Hór foibles 2 2 [e 2 [e o 6 " 3 refplend. 1 o Oo | I | z I 4- La quantité de l'eau de pluie & de neige tombée depuis le z2 Odobre jusqu'a! ri2 Avril a été trouvée de 3j pouces de Paris. Hiflóire de 1780 P. I. b Mar- PTS HISTOIRE. Qn aS SU 6X, HEY, KR X fX f PE Py yf Marche de l'aiguile magnétique obfervée pendant l'Aurore boréale du 29 Février 1780 àla Haye & à Franeker. Extraite d'une lettre de Mr. le Prof. 5. H. ven Swin- dem datée de Franeker & addre(lée au Secrétaire de Conférences j. A. Euler, le 23 de Mars. J. me fers à Franceker de trois aiguilles aimantées, pla- cécs dans une grande chambre, & à des diflances . trop grandes pour qu'elles puiflent agir l'une fur l'autre. La premiere aiguille marquée No. A eft à chappe de verre & faite à la facon ordinaire, Les deux autres No. 4 & No. 6. font faites fous ma direction d'aprés les principes établis dans la feconde partic de mes Re- cbercbes fur les Aiguilles aimantées qui ont partagé le Prix de l'Académie de Paris en 17737. |l en c(t de méme de Paiguille No. 5. que mon frere l'Avocat S. P. van Swin- den emploie à la Haye. Ces trois dernicres aiguilles ont à peu prés les mémes dimenfions & portent des Nonius pour l'Obfervation des minutes. Les HISTOIRE, II Les aiguilles No. 4. & A, qui étoient d'accord en 1775, différent à préfent de plus d'un degré: la pre- miere No. 4 marquant la plus grande déclinaifon. — Les aiguilles No. 4 et. No. 6 font d'accord à quelques mi- nutes prés: tantót l'une prévaut, tantót Pautre.. L'aiguille No. 5 employée par^ mon frére n'indique qu'une décli- naifon rélative: ainfi Je fuppoferai qu'elle a été. d'accord avec No. 4; le 29 Fevrier à 8 heures du matin, Comme il ne s'agit. ici que des variations, j'indi- querai par o (zero) la plus petite déclinaifon.. de. chacune de mes trois aiguilles: elle a eu lieu à, 9 h,, 45! du foir pour toutes les trois, Dans.ce moment le No. 4. furpas- foit de 5r minutes le No. A, & de 2 minutes feulement le No. 6. | , Ces éclairciffemens préallables m'ont paru néces- faires. Voici maintenant le tableau des mouvemens des aiguilles No. A, No. 4, No. 6 à Franeker. & de lai- guille No. 3 à la Haye. b a An. HISTOIRE An. 1780 à Francker ila Haye Le 29 Févr. SH A. | No. 4. | No. 6.| N. 5. avant midi.| min. ! min. | min..| min. à P h. 38 36 31 40 40 35 40 4o 40 | 35 | 4I € .42 42 37 41 II. 4 42 42 | 37 4.I (12. E 45 |. 89 41 aprés: icy n» | EAS P nth 2s Sg P 'd 48 1 $0 | 40 | 40 35 2 9 P gaq Ss | 50 3 | 25 | 20 13 48 ' 4 20 20 13 46 5 | ssa | 35 | 6 2 29 50 D ws | 35 | 6o | OL L'. 3 30 i | 82 7 45 | | 98 $ 55 | 85 | 85 149 Dp : 8 30 Lo X4 | IIO | IIS | 3 8 45 | 45 78 | $5 o 9 I$ | 6 61 |xa2-158 9 20 | | —592 Me Pep à * — 3, cell à dire 3' plus à J'E(t que le point que j'ai pris pout. Zero. HISTOIRKEÉE. I3 An. 1780. à Frareker fir Haye Le 29 Févr. ! No. A.] NO. 4. | No. 6. | No. 3 aprés midi. | min min | min. | min, 9 39 580,41 4170 180 IO 9 45 | fe] | [e [e | I2 IO IO IO 5 | 10;I2 | , 80 | go 28 IO 20 | | | 52 10 27 64. 73 | 75 10 45 | 40 | 35 40 | II ,40 35 | 49 |. 40 II 20 | | | | II1$3 11.80 45 5o! 4s | Il 45 50 | 73 | 79 1103-109 12 55 | 90 | 35 | 13 Bédi | 77 L2. 30 | | | | 94 1 Mars E matin | | | 6 h. 30 | 58 38 | 4I E/ o | 1 4T 40 variation | | | | totale le | 29 Févr. 64. | 170 | I80 I52 Ces variations ont été, comme l'on voit, trés con- fidérables. Les aiguilles No. 4 & No. 6 ont eu à peu prés la méme marche, excepté à 9 h. du foir. Mais le No. A a beaucoup différé des deux autres aiguilles à b 3 tous 14. HISTOIRE tous égards, íoit pour le moment de la plus grande dé- chnaifon, foit pour la grandeur totale de la variation: cependant cette aiguille eft également mobile: auíü eft elle revenue le lendemain au point d'oü elle étoit partie: la veille fa différence du No. 4 étoit de sS0!, quelque fois de 54/: le lendemain de 51i/4à 56': mais pendant la du- riéc du phénoméne la différence a quelquefois été dc 171/ ou 2^ si! comme ài 9 h. 5o! du foir, & quelque- fois feulement de 42, comme à 9 h. (*) Ces différences rentrent dans les idées générales que j'ai propofées dans le mémoire cité & que j'avois déduites d'un trés grand nombre d'obfervatious: favoir que ces variations dépen- dent en grande partie des aiguilles mémes & des change- mens qui arrivent aux forces de ]eurs parties homologues. Les variations obfervées à la Haye comparées à celles de Francker produifent des phénoménes aflés remar- quables quant aux momens auxquels les plus grandes & les plus petites déclipaifons ont eu lieu. La plus grande a été obfervée à 9 b. 3o! pour les aiguilles No. 4 & No. 6: clle étoit alors la plus petite à la Haye: de (forte qu'à cet inflaot la différence entre les aiguilles No. 3 et No. 4, fuppofée nulle à $ h. du matin, montoit à 160/ ou 2^ 4c!. La déclinaifon a été la plus grande à la Haye à 8 h. du foir, enfuite à 9 h, & à xx h. a20': elle ctoit alors à Francker à pcu prés au terme moyen, ou beaucoup au deffou:: & la grande différence qu'il y a eu à Francker méme à 9 h. du foir, entre le No. 4 & le No. 6 eft trés remarquable. Peut-étre le No. 4 a-t- il rcelle- "(*) En ajoutant à la difféence que donne la Table, les 5t minutes , dont No. 4. furpaffoit N. A. pag. 11. HISTOIREÉE. 15 réc!lement varié pendant que j'allois de. No. 4 au No. 6: car on fent bien que je ne faurois obferver les trois ai- guills à la fois: or par la difpofition des boufioles | dans ma chambre, je commence Fl'obíervation alternativement pir No A ou No, 6 & le No. 4 eft toujours la feconde aiguille que J'obferve. Les jours précédens & fuivans la marche des trois aiguilles a été trés réguliere, & la déclinaifon de mo- yenne grandeur: «excepté le 2 de Mars entre 9 & ro h. du foir: Paiguille No. A a varié dans cet intervalle de 10/ Ou. l'aiguile No. 4. de 27' Ou. l'aiguslle No. 6 de 26! Ou; variations qui font irrégulieres tant par leur grandeur, que parcequ'elles fe font faites à l'Oueft & non à PEft. Le Ciel étoit alors fort couvert & il pleuvoit; mais on m'a dit que la nuit il y avoit eu une trés belle Aurore boréale. Le lendemain matin à 6 h. le No. A étoit rétrogradé de 6/ E, le No. 4 de 22! E, & le No. 6 de 2*7! E. E xr ari d'une lettre de M. le Brigadier Chevalier 4e Breizg addreffée à M. le Prof. Bear & communiquée à l'Académie dans fa Séance du 1 Mai. de Pjeskow le x4 Mars 1780. NI eumes le 20 Février v. ft. (*) une Aurore bo- réale des plus refplendiffentes. Le Ciel qui fe trouvoit cou- (*) C'efl à dire le 2 Mars nouveau Stile, 16 HISTOIR E. couvert le matin, s'éclaircit vers midi, & le temps fut trés calme. L'aurore boréale commenga vers 1o h. & obtint à minuit fa plus forte fplendeur: elle paffa notre zénith & couvrit les trois quarts de tout l'horizon: il ny avoit que l'efpace entre PE(t & le Sud que ne fut pas enluminé, Les jets furent terminés & reffembloient à des faifceaux de fuíées qui furent lancés au delà du zénith. Le Barométre étoit pendant ce temps à la hau- teur de 2$ ;5 pouces d'Angleterre (*) & le Thermometre de Réaumur à 14 degrés au deffous du point de congé- lation. Ce froid s'augmenta vers le matin du 21: Février jusqu'à 16 degrés. Le plus grand froid que nous avons eu cet hyver a été de 24 degrés le 7 de Février au ma- tin, Au refle cette aurore boréale n'a pas été jusqu'ici fuivie d'autres, & les froids ont depuis diminué confi- dérablement. (*) 27, 87 pouces de France, ou 27 pouces ro lignes & demie, Quan- HISTOIRE. 13 indi 59 «59050 4)609 5095 9050 S446 go $049 90 50 «69080 950050 Quantité de l'eau de pluie obfervée à Saint-P€- tersbourg en 1778, 1779 & 1780. par M. Lexell. Années Mois 1778. |1779. | 1789. - Janvier — | pouces lo, 422'0, 260 Février d'An- |0, 349|0, 214. Mars gleterre !o, 735,0, 665 Avril * |oj467 l^ 588|1, 348 Mai l1; 600 /12,'281' 1, 088 Juin 0,522 |o, 728| pouces Juillet 39,019 Ir, 446 ,d'Angle- Aoüt I,446 |1,084]| terre. Septembre | 2, 605 12, 276 O«&obre 10,769 |o, 923 Novembre| 1,005 |o, 620 Décembre | 1,019 Vs $35 L'Inftrument employé pour faire ces obfervations eft un entonnoir quarré de fer blanc, dont chaque cóté contient 20 pouces d'Angleterre. La pluie en fort au moyen d'une pipe foudée à l'entonnoir, & s'écoule dans un réfervoir fait pour la ramafler, ^ Enfuite en verfant Hifloire de 1780. P. I. c l'eau T HISTOIRE. Peau de ce réfervoir, on en détermine la quantité par une mefure cubique de cuivre Jaune, dont chaque cóté eit de 2 pouces d'Angleterre, & dont la hauteur eft di- vifee en 20 parties égales. En (íuppofant donc. qu'il eft tombé une pouce de pluie, il y aura dans ]le réfervoir 4oo pouces cubiques d'eau, parceque l'ouverture de l'entonnoir eft de 400 pouces en quarré. X Mais comme la mefure con- tient $8 pouces cubiques, il faudra la remplir 5o fois pour épuifer les 400 pouces cubique du réfervoir, & par conféquent la quantité de la mefure marquera la cinquan- tieme partie d'un pouce d'eau de pluie tombée. De méme chaque divifion latérale en marquera une millieme partic. Malgré le foin employé pour noter auífi exace- ment qu'il a été pofüble la quantité de l'eau de pluie tombée, on ne fauroit garantir ces obíervatiots comme entierement éxactes, và qu'on n'a eu d'autre emplacement pour cet inflrument que la gallerie de l'obfervatoire , oü méme on n'a pas pu-FPeloiguer afÍés du! bátiment, pour qu'un vent un peu fort venánt de ce. coté. i ,' n'empechat pas l'inflrument de reccvoir toute la quantité de pluie qu'il recevroit, fi rien n'empechoit la pluie d'y tomber de tous cotés, On prétend auffi avoir remarqué en Angle- terre, qu'il tombe à unc certaine hauteur de la terre une quantité de pluie beaucoup moindre, que tout prés d'elle. —A—————————————M 19 HISTOIR E. es par , € Hauteurs de l'eau dans la Néva obferv Mr. Lexe/ en 1778. 1779 & 1780. & O H "Mc WVwuwwoO N65 4-00 r- 1-0'0On-cd'0ac^o'orrco LN EM ME MIEPECEPUI TS 2o|waowd uH dar oddOiwontorusata- e arem iai deren prc desee EIE ELM Ex ei qi dn MB ed, qi co £9 ^U cp) 66 Cip Caceta du sito. cvs OO Luev dU a fli Co CAe T mn nues CE RE IR ier Te qoslceoea f ese SECEUE T T2170 71 Q9 lea «€ «4c 47c01'0'0 r6 nu icoda-c*Ocdn4oonotuddarxa EE etri te Eee tpe e| p -— 4- 4 d Q-'O-ÀO 9 d d € O Ww O €^ O € c d PF 0^ 4nr4-o«&4 s ly Leigh D F9 H8 T; RSS T: LU ER IHR EEHHI I "y a dii ie c rcm OI HE HER ED. Ere u215395*4582434239 522522328129 5423223 * on Ans HLISTOLRE Année 1779. Févr. | Mars| Avr. | Mai. | Juin. | Juill. Ca[cs[ 6 cip -6| v3 4-3| —2 4xi| Fxp——51---2 -—35] «5l 435] —R].—4| —1 -3| —*4 4r —-81 o VHS i| —5| «o VULODGCENI MICH Wi us ns -6| *3 cT5| Fol 43| 2| —8, co 6| -5 42| 4o -s[2 "8| F1, -MrIi| SÍ —r1, 4o T3 -e| «s To 344 | *- : T-90| —2| 4-0] —2| ro ed £s &s| 4| 2a T4] r2| 4TU-TPI—€3 72 T4 is 5| —2| —5| —3 3] Y a«| rad. : and. 4-5 RI"-o] —g Ejus vy T4 A3 —6i! —23] —2 T YID. 4i 1246 6| 5 —2| —1| —3| —3| --4l o " ct-T1|—24|—10! —23| -ro Lo 2 Cose Rd 2 c4-5| 3l] —4||—5 ipm TLTUCIS r3! 4b 2| 3l —4| —3| 9 -2 s: —-4| —2| —1 To! c^t4! —241 —4| —3| —? | 9: -:| -5 Ld| fa Tt6| —51 —6] —x|] —4 | 4l | -5 —3 Jour du mois — — ——M — — ——À HQ — po————— — —— ————— —M — —— — — LEGO HPSTOIXLR EÉE. Année 1779. Aoüt|Sept.|O&à.. | N [»] D-LIIO | | | oH oO -I Dg. HOHMHMnH ——— ———— 2T 22 Jour du mois b 0M m poo o-[Lowud0H0eM Année 1780. Janv. | Fév. Mars —1| c9 —1| 4o --o| 4-6 T$ 2| c3 |! F3] 49| r2 To| —1| cct 4-9| —2]| c4 —2| —1, 4-6 P Tto] 4cr|[- 12 2j —1|-r 11 -- I *e| -- 6 4-3 HT, 9 2 Er Taper to] 4-6 4o M to| x4| 5 —2| 8 Hs —1| *2| 45 "MENS *s| —2 2| 7 -2| 45 *6| —21 F4 ini —a|-; 4-5 1-719 7E4--&8pL-Ha «x 5| 4a Co| -8| c2 —1| «8| c3 —2| t9 *3| -H 23 — Hs HISTOIR . Avr. | Mai. —4 —4 —6 —8 —'T —6 leg t2 -- I — I — I Tto is T4 "15 "Hi51 5 --o im Re- BEYSYgoI1m-s 23 Remarques fur ces obfervations. ri. L'Echelle qu'on a employée pour évaluer les hauteurs. de l'eau dans la Néva, e(t divifée en Verfchoks, dont 16, comme il eft connu, font unc Arfchine de Ruflie. Or cette mefure étant égale à 26 pouces, 6;; lignes, me- fure de France, ii eít trés aifé de réduire ces obferva- tions, qui marquent la hauteur de l'eau, au deffus ou au deffous de fa hauteur moyenne exprimée en Verfchoks; i quelque autre mefure connue. 2. ;Pour établir une valeur exacte de la hauteur moyenne, on a déterminé pour chaque mois fíéparement les hauteurs moyennes & enfuite de ces déterminations , dont la différence n'étoit pas fort fenfible, on a pris un réfultat moyen, qui devoit marquer la hauteur moyenne de l'eau. En procédant de cette facon, la divifion de l'e- chelle marquée par 26 Verfchoks eft trouvée correfpondante à la hauteur moyenne, Cependant en cas que quelque fau- te fe- foit gliffee dans cette détermination , on peut aifé- ment la découvrir pas les obíervations mémes, oii pourtant il paroit raifonable, d'exclure de cette recherche celles , qui s'éloignent plus que de ro Verfchoks de la hauteur moyenne. 3. Pour l'ordinaire ces obfíervations ont été faites le matin, vers 8 ou 9 heures. On auroit bien pu fe donner la peine de les répéter plufieurs fois le Jour; mais ordinairement cette aífiduité auroit été fuperflue, lorsque la havteur de Peau d'un jour à l'autre, ne change que fort peu. 4. 24. H.LSTOLR E. 4. Quand on fe propofe de faire ufage de ces obfervations , àfin d'en conclure les caufes, qui peuvent avoir quelque influence, pour faire, ou baiffer, ou mon- ter l'eau dans la riviere; il faut néceflairement les com- parer avec les obfervations météorologiques faites chaque jour & fur tout celles qui marquent l'etat du ciel, la dire&ion & la force du vent & la quantité de pluie. Ainfi la raifon, pourquoi dans le mois de Juillet 1778 la hauteur de l'eau étoit presque toujours au deflus de la hauteur moyenne, eft probablement, qu'il romboit dans ce mois une quantité de pluie trés confidérable. Mais l'an 1779 dans le mois de Juillet, la hauteur de Peau étoit pour la plus part du tems au deílous de la hauteur moyenne; auíi ne tomboit-il pendant ce mois, que fort peu de pluie. 5. Depuis le tems, que ces obfervations ont été commencées, leur Auteur a auífi remarqué les crues extra- ordinaires de l'eau dans la Neva, dont les principales font; lAn HISTOIRE 25 PAn 1778. e 2 d'Aouft à ro^. avant midi -- 26 Verfchock. IO. 30. - - 28 I2. - - - 832. 2. aprés midi 4- 34- MID 1-689 — PAn r779. le 5 d'Avril à $s'" avant midi -- 26 Verfchock. ue vo PTT DM IO. - - --18 le 8 Sept. pendant la nuit - .r 26 le 10 Décemb. pendant la nuit 4- 55 le 12 - - à 2* aprés midi 4-36 PAn 1780. le »9 Mai à 7". matin -F22 Verfíchock. Hifloire de 1780. P. K hard QU- T HISTOIRE. "fei rp ua is rri Eu Rer, Au s fuf OUVRAGES, MACHINES E Ti INVENTIONS préfentées ou communiquées à l'Académie pendant le cours du premier fémeftre de l'année 1780. D» l'Affemblée du Vendredi 10 Janvier, M. le Pro- fcffcur Gldenflüit a lu une lettre de M. ,E/teidein* datée de Witeera le 24 Déc. 1779 (*) qui lui mande qu'ayant mis le 23 au foir pendant un froid de 205 de- grés, trois onccs de mercure dans une taffe de porcelai- nc, au grand air; c«tte maffe s'étoit trouvée gelée le len- demain matin, le '"TIhermomeétre ayant baifié jusqu'au 224 degré: & qu'elle. n'a enfuite répris fa fluidité par- faite qu'au. 209* degré. Le 17 Janvier M. l'Adjoint Ozereiskofsky a. remis un extrait des expcricnces faites fur l'electricité de la glace €-— ——— M —M ——— — ——— (^) Situé dans le Gouvernement de Novogorod fou; une latitude de 6o" 52 & à 6 degró à | Ex de St, l'éecsbourg. HIISTGOITR;. 27 / slace par M. 4ebard, académicien de Berlin, que Mes- fieurs de l'Univerfité de Strasbourg lui ont adreffé pour le préfenter à Mrs. le Phyficiens de lAcadémie de St. Pétersbourg. ( *). Le 20 Janvier, Le Secrétaire de Conférences 5. A. Euler a préfenté de la part de M. Jean Bernoulli A- fltronome royal à Berlin, le 6* cahier de fes nouvelles littéraires de divers pays. -—— . —— ila lu une lettre adreffée à S. E. Mr. de Do- mafcbnéz, par fe P. Drojat, Prétre au verbe incarné, da- tée de Grénoble le 25 Nav. 1779, qui envoie deux mé- moires qu'il dédie à Sa Majefté l'Impératrice; favoir Nouveaux phénomenes d'optique; ou propriétés fingu- lieres, qu'a un cercle, ou un autre corps d'une figure quelconque, percé d'un petit. trou. Nouvelle maniere trés-fimple de déterminer par le cal- cul, quel que puiffe étre le rapport de la réfraction, le foyer des rayons, foit paralléles, foit divergens ou convergens, dans leur incidence fur unc lenrille quelconque. —— -—— ila lu une lettre de S. E. Mr. le Prince Di- miri de Goliüzin, Envoyé extraordinaire de la Cour Im- périale à la Haye, qui fait mention d'une nouvelle efpéce d 2 de (*) Ces expériences n'ont pas reuffi à St, Pétersbourg malgré qu'il y fait des froids plus grands que de 20 degrés de Réaumur Les glaces fe. font toujours manifeflés comme des conducteurs & jamais comjne des corps ifolans. 28 HISTOIRFE. de TThermométres propres pour mefurer les grands degrés de chaleur, imaginée par M. .«bard académicien de Bcrlin. Le 24 Janvier. Vifite de Leurs Alteffes Impéri- ales Msgr. le Grand-Duc & Madame la Grande- Du- cheffe, accompagnées de S. A. S"* Msgr. le Prince F;é- deric - Guillaume de Würtemberg frére de Madame. Voyez ci-deffus pag. 3. Le 51]anvier. Un Chirurgien a remis de la part de S. E. Mr. le Gouverneur Général de Smolensk Prince de Repmin, un monítre humain à deux vifages dont une payfanne eft accouchée aprés l'avoir porté fept mois. (*). Le 3 Fevrier. Le Secrétaire a préfenté de la part de M. Seopul, Confeiller & Profeffcur à Pavie, le catalogue imprimé des plantes du nouveau Jardin bota- nique inflitué par Ordre de S. M. l'Impératrice - Reine. Lec 5 Fevrier. Le Secrétaire a lu une lettre de M. le Prof. van Ssvinden à Franeker, qui envoie le Plan de fon Traité fur lAurore boréale, tel qu'il fe trouve inféré au Journal des favans, & qui fait part des fes rc- marques fur quelques agitations extraordinaires de l'ai- guile magnétique obfervées en 1780. Le 24 Fevrier. |. M. PAdjoint Géorgi a lu une lettre adreffee à M. le Prof, Pajlat par M. ]e Translateur gàb- (*) Peu de temps sprés la naiffance de ce monflre, la mére accoucha encore d'une fille bien conformée, mais qui mourut d'abord aprés la naiffamce. La imére s'efl rétablie & vit encore. HISTOIRE ag Sfábrig, qui communique les obfervations intéreffantes & en grande partie minéralogiques qu'il a faites dans le Dé- fert entre l'Oural & la Volga. Le 9 Mars. Le Secrétaire a préfenté un écrit circulaire, par lequel M. le Docteur S$ragg à Vilna invite les médecins à donner leur fentiment für une amaurofe ou goutte [íeraine, dont fe trouve attaqué le fils d'un Seigneur Polonois. Le 15 Mars. Le Secrétaire a préfenté de la part (EP, RE gherr de Vaufenville , Effai Phyfico- Géonrétrique contenant 1? la Déterminas tion du centre de gravité d'un fecteur de cercle quelconque. e? La Réfolution. géometrique du Probléme de la quadratüre définie du cercle: ex- pofé à la cenfure du Public & dédié à Sa Sainteté & aux Monarques. L'Auteur fomme lAcadémie d'examimer cet effai & de lui en communiquer fon fentiment. L'Académie de fon coté ayant fermement réfolu de ne plus répondre à ces prétendus inventeurs de la quadrature de cercle, la brochure de M. de Faufenville a été. mife au rebut, —— -— — M. le Prof. Güldenfládt a rémis de la part de M. Hablizl, correfpondant de PAcadémie à Aftrachan deux poiffons confervés dans l'efprit de vin; un Serougba & un Eflurgeon, qui ont été dépofés au cabinet d'hiftoire naturelie. d 3 Le 30 HISTOIRIE Le 5c Mars M. le Prof. Gülde:flüdt a encore re- mis de la part de M. Habliz? une. efpéce d'efturgeon coa- fervé dans de l'efprit de. vin & nommée .Schipcoffera qui a été dépofé au cabinet d'hiftoire. naturelle. —— —— M. le Prof. Laxisann a préfenté une collection de fíeménces de la part de M. le D. He/émius Démon- ftrateur en Botanique au: Jardin de PUniverfité: d'Abo. Le 1 Mai. Le Secrétaire a préfenté Obfervation d'une Aurore boréale trés refplendiffante annotée par M. le Brigadier Chevalier de Brek/ing à Pleskow le 20 Fevrier 17$0. & de la part de M. le Prof. van Swigden à Francker: Marche de l'aiguilie aimantée obfíervée à la Haye & à Francker pendant PAurore boréale du 29 Fevrier 17 80. voyez ci-deffui pag. 1o & r5: —— — —— M. le Prof. Laxmann a remis diverfes femences rares, que M. le Prof. 4//ioni de Turin lui a envoyées pour l'Académic. Le $ Mai. Le Secrétaire a préfenté: 1) de la part de l'Académicien externe, M. B. Wijfon à Londres Rcafons for diffenting from the Report of the com- mittec appointed to confider of M. Wilfovs; Expe- riments by Samuel! Musgra«e. A HUgfSiE.O IrR E. 31 2) de la part. de M. Latmay, de l'Académie Impériale & Royale des Sciences & Belles- Lettres de. Bruxelles. Mémoire fur lOrichalque des anciens, précedé de quelques obfervations für le Lapis aerofus de Piinc. 3) de la part de M. P'Abbé Mayer, Aftronome de S. A. Séréniffime Msgr. l'Electeur Palatin De novis in. coelo fidereo phaenomenis in miris ftel- larum fixarum comitibus Mannbemii detects. Le :8 Mai. Le Secrétaire a préfenté de la part du Lord Vicomte Mabon, "Principles of Electricity containing divers new Theo- rems and Experiments together with an Analyfis of the fuperior advantages of high and pointed Conductors. Le 5 Juin. Le Secrétaire a préfenté de la part de l'Auteur M. Louis Bertrand, Profeffeur de Mathéma- tique à Généve, Developpement nouveau de la partie élémentaire des Mathématiques, prife dans toute fon étendue. Le 19 Juin. Le Secrétaire a préfenté de la part de la Societé royale des Sciences de Londres, Philofophical 'Transa&ions of the royal Society of London. Vol. LXIX. for the Year 1779. Part lI. & 35 HISTOIRE. & de la part de M. de Magellan à Londres: 1. Defcription & ufages des nouveaux Barométres; pour mefurer la hauteur des montagnes & la pro- fondeur des mines. », Effai fur la nouvelle Théorie du feu élémentaire & de la chaleur des Corps: avec la défcription des nouveanx Thermométres, deítinés particulie- rement aux obfervations fur ce füjet, MATHE- MATHEMATICA. Acla Acad. Imp. Se. Tom. IV. P, I. A * E REM RD I o n LM MM ^ € N Ku PPP S PSI sg P PPP LP LPS pf SVPPLEMENTVM CALCVLI INTEGRALIS PRO INTEGRATIONE FORMVLARVM IRRATIONALIVM, Auctore L. SE EL LIEROO: Problema I. $." T. Si funtiio X praeter ipfam variabilem x etiam formu- lam irraiionalem s — V (a -|- b x) inuoluat: ita tamen, vt X Jit. funtlio rationalis binarum quantitatum x et s, formulam differentialem X d x. ab. irrationalitate. liberare. Solutio. Cum irrationalitas tantum in formula $7 Y (a -- 5a) infit: hanc tantum ita per idoneam fubítitutionem tolli A 2 Oportet , eo )4( $9 portet, vt inde valor ipfius x non fiat irrationalis. — Hoc autem pracftabitur, ponendo a-j-bx— zz, wt fiat $—z et x — ——, hincque d x — 2 z dz; quibus valo- ribus fubítitutis tota formula differentialis X dx, ad ra- tionalem, nouam variabilem z comple&ens, perducitur. Ex TEL. LY I. 6. 2. Si fuerit d y — iu , feu dy-79 E fito Y (a 4- b x)- z, fiet dy — dz B Eripe ,- vnde faca íubfítitutione colligitur y z— Y (a MUEEYAIC. C. Exemplum z:. 6.3. Si fuerit dy—dxY(a--5x)—:5sdx, fumto Mi deeds erit y —zdx—izzdz, vnde integrando fit y — 7, z*, et facta fubftitutione prodit J — d (a 2-5 xy 2 C. Quod integrale fi debeat euanefcere facto x0, fiet C — — ——^, ideoque 2 (a - bx) — —2aYa 35. Exemplum 5. dx * * $. 4. Si fuerit dy — ,——5,—, facta fubftitutione Y (a A- b. x) — 2 , erit — 5(zxz-——aldz..szzdz-sadz dy AM mE vnde ed )s( $55 vnde fit integrando y — SP —i;2- C, et facta refti- tutione y — a (2-bx) —iY(a2-bx)--C —fYott3(bx—ia)-4-C. Exemplum 4. d 6, X. Si fucrit d y — Au. Wadia fubftitutione (a 47 b x) Y (a-- b x)— z erit 2y — $2; quae formula porro ob dais abit in d y — i55, qua integrata fit y —— feu facta reftitutione , y — a bz? -— 2 ; P3yuGPs C. Vbi notetur, 2 bya' Problema 2. $. 6. Si fuerit X. funtlio quaecunque. vairionalis, bi- pro C fumi debere 3 zarum quantitatum x et s, exiflente scV (a-- b x), formu- lam differentialem X d x ab irraiionalitate liberare. j Solutio. Ponatur Y (a4-bx)z2, vt fit sy—z, erit a-Eb.x— s, hinceqe x —5——* et dx 545 ; quibus. valoribus fubítitutis tota formula fiet rationalis. : - Exemplum 1. $. 9. Si fuerit dycb-n43.—— 405, pofitó Y (a 4- b x) A 3 Y (a e$ )6( cde Pa. E^ Y (a 4- b £E8-- fubflituto valore hinc nato deziegem erit d y — ——*, vnde integrando fit Jy—.24 2225 Y (4 -i- b. x)! 4- C. Exemplum. 2. 6$. 8. Si fuerit d y — —35—— — 5, pofito y (a 4- b xj y Mi. b x)-z fiet dy — 12*, hinc integrando fir z — Y (a-- 5 x) 4- C. Exemplum 5. $. 9. Si fuerit dy — dx V (a A- b x) — 5d x, fac- ta fubfitutione fit d y — 5557, hinc integrando yis on Qaia d (9 x poe: Problema 5. 6. 10. Si fuerit X. funclio rationalis binarum. quan- * | n titalum X et sS, exiflente s — Y (a -- b x), formulam diffe- rentialem X d x ab irrationalitate liberare. Solutio. n Ponatur Y (a--bx)—z, vt fit s—2z, erit a--bx— s", , &£"—a »'gu hinc x — m et d x-— -— quibus . valoribus fubftis eS )7( $5 fübftitutis formula propofita X 2 x certe fiet rationalis , f modo numerus exponentialis 7 fuerit integer. Exemplum r1. $. rr. Si fuerit dy — .—5£.— z:3*, pofito y (a 4 b x) y (a-- b x) — z ob valorem inde natum 4 x — ge ge £e dg ; vnde integrando colligimus habebitur 4 — : 2" —-'-L- C, fiue re(titutis valoribus T — J-4gm;ü445x)^ ^ oLÜCzpg 3 ST ek y (0-5 x) y 3x Exemplum 2. 6. 12. Si fuerit dy — - zs — I er. pofito Y (a 2a- b x» Y (a -- b x) z et fübítituto valore. 4 x — Toe nz "dz ; fiet "o Uam e D MIN TT euius integrale dat J—pu X a-Ebxu " usto fiue n a--b5x EXZDEMNET dy — MA» Ex -eH2 )s( $259 Ex his autem exemplis iam apparet, integrationem non impediri, etiamfi exponentes z €t A non fuerint numeri integri. Problema 4. 6. 13. Si fuerit X. funclio rationalis binarum. quan- titatum X et s, exiflente s V (a--b V(£-- g x)), quae for- mula ergo dupücem irrationalitatem inuoluit, formulam diffe- rentialem X d x ab bac duplici irrationalitate liberare. Solutio. Ponatur iterum Y (a-- 5 V(f--g x))-z, vt fit «—z, erit fümtis quadratis a-- PY (f 3- g x) — zz, hinc bY(f-4-gx)-—zz-—a: ac fumtis denuo quadratis bb(f--gx)—(zz-ay, vnde colligitur rI-—- ELM — L d FS d x — tL E. Quibus valoribus fubfítitutis tota formula reddetur ratio- nalis. Corollarium. 6. r4. Perfpicuum eft, eodem modo irrationali- tatem tolli poffe, fi fuerit multo gencralius s — Y (a 4- b Y (f 4- g x). Pofita enim hac formula — z, fiet a--bY(f--gx) et b Y(f-- g x) Z z^ — a. Porro à^ (f -- g x) - (z^ — aj"^, et hinc colligitur t 1— e$ )»5( $53 .rem XPINEeR IT i n—1 yn 4)m—1 dx— 25 dz (z"—a) b"g Sicque etiam hoc modo tota formula rationalis euadet, rua , ideoque & .-. Problema 5. $. 15. Si furrit X. funclio rationalis binarum quam nitatum s er x,-exiflente s. — V 7, formulam aifferentia- lem X d x ab irrationalitate. liberare. Solutio. ; Ponatur V t1* — zm, et fumtis quadratis ;erit qb — LU EI. 22, hineque x — LÁ vnde differentiando colligitur — 2bfmdz—*agmdz dx -— (6—&22) Hisque valoribus fubftitutis formula propofita X 4 x ad rationalitatem, erit. perducta. Exem plum I. x .dxy(fJd-gx) 6. 16. Si fuerit dy 4 TIL vu pofito yuan epntdy 555, Joc-Ex et fubítituto loco 7 x valore fupra inuento colligitur — 2(^f—ag)dz. dj xTLAROE quae formula, vti iam fatis conflat, reduci poteft ad ta- , dz : . er à : lem: f; , cuius autem integratiosyel per logaritlimos vel per arcus circulares expedietur, Atta Acad. Imp. Sc. Tom, IV. P. I. B Exem- eto ) 1o ( een Exemplum 2. $.' 17. Sit fpecialius d y — UU , vbi fci £—-—1,a— 1 et b — 1, ideoque gE-— y(rx) € 4zdz " Y(1—z) et dx — (14-z2zj:? quibus valoribus fubftitutis fiet d y — — 2. Statuatur €rgo: PEE ry — CEz* UPS cB/- —J;5 vnde fumtis differentialibus fiet: a —^—^:zq » — A--B--(B-4 zz (0--zz? — (1272) i--zz'- (r--zaz) Oportet igitur effe A -j-B— 4 et B— A —o0, ideoque A-—2 et B 2; et quia f/ $5 —A tang. z, adipifcimur yd A tang. z; CUOCITCA fada reftitutione, ob I-j- £2 — .——. obtincbitur yzY(1r—xx)-F 2 A tang. V it. Cum igitur huius arcus tangens fit V — 7, erit eius finus — y V? et cofinus — Y 27; anguli vero dupli finus erit Y (1— xx) et cofinrs — — x, vnde fict 2 A tang, Y. 1——* — A cof. — x — 7 -- A fin. v; quocirca integrale quacfitum erit y—Y(1—-xx)--24-A fin. x 5- C, quod fi ita capi debeat, vt cuanefcat pofito x — o, crit C-—1-—7, ideoque y 2 Y(1—xx) —1-- A fin, x. 'Tum igitur, fi fumatur x — r, fict y —7 — x , qui valor in fractüonibus decimalibus dat o, 5707963. e Pro- Problema 6. 6. 18. Si fuerit X functio rationalis. binarum. va- viabilium x et s, exiftente s — irem , formulam differens iialem. X d x. ad. rationalitatem perducere... Solutio. eu iV eS TET MET — 2"; hincque x —[* — coníequenter dx-—t n(bf—ag)z"- N dor Ee ^ «à-— -ggy hisque uh fubftitutis tota formula propofita X Zx* ad rationalitatem erit perducta. ' Problema 7, 6. 19. Si fuerit X functio binarum quantitatum x e 5 exiflente $ —V(a--bxx), formulam differentia- lem * ab irratbnalitaie. liberare. Solutio. Ponamus fz—-Y (a-- b xx)—z, erit a-- bxx-zz, hinc & x —*57—*, et quia In funcione X tantum qua- dratum x x, eiusque ergo poteftates pares occurrunt: hac fubftitütione iam functio X euadet rationalis, Sumtis vero logarithmis 27x — /(zz — a) —15, differentiando fit dzu—sizdz da dz DIL, ideoque * — Ez. 6 Hoc ergo modo Poudtà propofita X.4* prorfüs reddetur rationalis, j B 2 Exem- BS )re( Me Exemplum 1. $ 20. Si fugrit 1 xdx mA reu dr EEDEEEENTUN Pofito ergo Y (a --b x x) c: z erit dy — 42 ,- vnde Me ligitur integrando y — 4--— ce e Exemplum 2. 6. 21. Si fucrit - Jus xdr — dz g* d y — V(ad-oóxX) — x "*^53 9? ponendo Y(a--bxx)— zh vt fit - —2—230 LIEN FyItthetgpftlIl RAE, erit dy —j'; dz(zz—a), hincque integrando adipifcimur J— —(2—324); vnde fa&a reflitutione. prodibit inte- grale quaefitum y — à357** Y (a -- b x x) 4- C. Exemplum 5. 6. 22. Si fuerit - Wy n dx x*, v(a--5zx) $ XE UNE, hinc pofito VA n Robin nit y fier 59 PD vnde fumto integrali fiet y — ; quocirca facta reflitutione refültat y — nobel rn C. ^s Problema 8. (^ $. 29, Si fuerit X ducti raiioualis binarum quan- titajum. x" et s, exiflen'e s — y (a4-bx », formulam diffc- reniialem X ^ ad raiionalitaiem perducere. "m Solu- Solutio. Pofito- zzv (a ba) 2er fict d e 3h em et. E M : Quia igitur in Apt apr X tanum potes: — flas x^ occurrit, ea rationalis reddetur, íi hi valores fub- fuütuantur. Tum vero fumtis logarithmis habebitur 5mÉbix* bum iini e T E ct: differentiando | STI dx* ms"'ds * —n(a*—a) ficque tota formo JUR fiet rationalis. Exemplum. 6. 24. Sit | uU MM Urat | " 454 2 T € n Y (a -i- b?) dr fa&taque fubflitutione orietur haec aequatio: "m -—2 ; "dy— La ali : bn S ie qua integrata prodibit ^ E: ! ES 0x PLU n UA kasd ics uw v cm daa üb(m—1i)^ mb(m—1) Y (ask o x "7 C, fiue a 1n a -R b x" nÜbg — S ERIT C. nb(m-— m CS AES B 3 Pro- Bio )r&( fHe Problema. $ 25. Si fuerit X. fundlio rationalis quantitatum xx L. |. exiftente s— Vit, formulum differemialem X2: * agb irr litate liberare. Solutio. -S a4-bxxi- : a4-brr PARAR —VTISE mz, eritque 74777 — xz, hinc x x — t... vnde fundio X penitus. fit. rationalis. Porro fontis logarithmis PL 2/1x-—lI(fzz—a)-l(b—gzxz differentietur, wt prodeat 2dz 3fzdz gzda l- |of(bf—acg)zdz x aiwncififi &52 — (2a—a)(6 —gzz)? Vnde fit 2A E (5 Et ry zz-«)(b— g zz)? . ficque ui formula diflerentialis fiet rationalis, - Exemplum. : : -- dz ; ? $. 26. Si fuerit dy — ;777,:,,, repracfentemus hanc formulam ita: ' [| Hic crgo crit TS o LI Na. i d , £235. s adir 93712 Ha vt dy , erit autem itu zx dz T —i1GI.p Videt dy cuius formulae integratio per logarithmos expedietur, fi fucrit £ numerus. pofitiuus: fin autem fucrit negatiuus per arcus HP Oyas( fue arces circulares abfoluetur. Sit igitur 1?) £ — -1- D b, erit dyc 2A ., ideoque - .t Respon y aeris SX Wish et reflitutis valoribus fupra indicatis erit cms te (s fr EE pv rbRs SEE Pa 7m 8B V --bhbxx)—^oza.—.b Y f N Sit 2?) g quantitas negatiua, puta g — — 5 5, erit — dz DORUM dra dy — :45bz4- Uia bbzsz? vnde colligitur SURE en bx y—;j,Atang. bz — EA tang. yd uA Vbi manifetum eft, f effe debere quantitatem. .pofitiuam, quia alioquia formula differentialis effet imaginaria. Corollarium. 6. 27. Hiuc ergo fi proponatur formula d$ —Y (r--xx) ub fzxetgo—:r, ex cafü priore ob 5 — -4- 1 erit [AMRRE( 2x) x). . At fi fuerit | dc NUT D ge perte ERU, y((— x x) ut | E 3 | colligitur ex cafü pofteriore y — A tang. ;(——7;, vnde concluditur [qu An x— A cof Y (1 — x x). Problema 1:0. 6. 28. Si fuerit X fun(lio ratjonalis quanitatum a" Lon ) x6 ( fe bx 1 x" eb 5$, exiftlente s — y Neh A) ormulam differce- T ? «f4-gx 7" " : | dif talem. X **. rationalem effic ere. r Solutio. bx* : Ponatur. * — Y. Mea ii en — z, etitque fx , q a--bx fz—a fries ^ hinc x'— P "d "TA tum antem fumtis logarithmis erit ^nix—l(fz'—a)—l(b—gz)- et diffcrentiando ; Yo nC AR RET Ae (bf—ag)z"-^'dz, * — fF-a * b-g& —(fe-a)jb-gs)' quibus valoribus fubftitutis formula propofita fit rationalis. jj Problema irr.* | 6. 29. Si Jueti; X functio "ralionajis binarum quan- titatum x^ et s, pifent p-—YPIEU de 2 formulam 4if- MUSEI fereniiaem X 4.7 ab omni. irraiionalitáte - liberare. ( ] | PAVTTRECEN Solutio. Statuatur VET critque — dr .. ns | màs f£ 3 — 5 ^. T-Ii b-—gu" hinc ec3$ ) 17 ( $t$e hinc fümtis logarithmis erit sis—l(fz" i ad —l(b—gz"), hinc differentiando ndx. m(bf—ag)z"—'dz "eol TUNE — "M (b — g g TM dx. wmOpyeaia dan n(faz"*—a)b—gs")' quibus M fubflitutis irrationalitas formulae propofitae penitus tollitur. , ideoque Problema r2. €. 50. Si fuerit X funclio rationalis quaecunque binarum quantitatum x et s, exiftlente sc Y (a Qx 4-y XX) formulam differeniialem X. d x ad rationalitatem. perducere. Solutio. Hic duos cafüs a fe inuicem diftingui conuenit, prout ^ fuerit vel quantitas pofitiua vel negatiua, T. Sit ey quantitas pofitiua, ac ponatur «y — cc ef Q — 25c, vt habeatur —Y (a 2- 2bex--ecx x) — Y (a—bb-t-(b--cx)), vbi loco & — 5 5 breuitatis ergo fcribatur e, vt fit — Y (e -- (b -r- c xy). lam ftatuatur s — b -- c x -- £, eritque 35—c6- (b -- ex) —(b -- cx) --2(b--0x)8 -- 22, Acla Acad, Imp. Se. "Tom. IV. P. I, C vnde enl )aás( eee vnde fequitur | e—zz—2z(b-4-cx) fiue b-A4- cx — t7, hincque colligitur — PEL E X s feu xlIt—-*bs—u- 2cz L2 2€z Aequatio autem 5 -- c x — *—Z* differentiata praebet d is C km EET AEST RSEN 2z2 1 £z vnde deducitur (mái " ü dx-—955*9, at ob "b-r-6x— LE. fiet ,— —$65*, - 22z2 His ergo valoribus fubftitutis formula noftra X 4 x redde- tur rationalis. Poflquam igitur eius integrale fuerit in- ventum loco z valor ante inuentus Y (e -- (b 4- c xj) —à— cx erit fubftituendus. H. Sin autem ^ fuerit quantitas negatiua, ponatur y-L-—e6cectg8—-—25c, vt habeatur $—Y(a—2bcex-—ceex x) — Y(a--bb — (b--ex)y)» vbi euidens eít, quantitatem «-|- P P neceffario cffe debere pofitiuam, quia alioquin 5 euaderet imaginarium. | Quam- obrem ponamus breuitatis gratia a -4- P b — a a, vt fiat x— Y (aa —(b-Fcx)), ad quam formam rationalem cffi- ciendam flatuamus Y (aa— (b--exy) —a—(b-r-cx)z, vndc fumtis quadratis erit aa —(b--cxyj —aa-—2az(b--ex)-A- (b - cx) zz quae aequatio reducitur ad banc: | —(b--ex)zcz—aez-r-(b--cx)zz, vnde reperitur ba- ee ):1o( S5 b cx — DI ideoque T ITE SO NA llla autem aequatio differentiata dat l—- cdx isse eem. studs itd t vnde fit ! dx Porro autem , cum fit $z2a-— (bv xysz,c0obQb-LéX--—2t 1-3- 22 , quocirca, fi loco x, 5$ et d x inuenti a(1 —z z) Aa ck mm hi valores fubftituantur, formula propofita differentialis X dx euadet rationalis , et per variabilem z exprimetur, cuiüs integrale . poftquam fuerit inuentum , loco z vbique eius reftituatur valor atfum:tus z -——a«—Y (aa —(b-r- cxy), ' et integrale obtinebitur per folam variabilem x expreffüm; erit $— Exemplum T. 6. 31. . Si fuerit d d x Jc YGcGX quae formula ad cafum priorem pertinet, erit d —dàx.——. dz —. dz(e-d--) —oed2z2 deu c c2 0b dm TE t2 cuius integrale eft y — — 17 2; reftituto ergo valore & —Y (e -A- (b -- e xy) — 5 — c x, erit J —-—il(Y(e-4- (b--exy)—5—cx)-- C, Quod integrale fi euanefcere debeat pofito x — o, fiet C —3 IY (PA P5) — 5y. C 2 Corol- ? en; )so( Se Corollarium. $. 532. Si ponatur ^ —o et c — t, fiue dy — — s erit integrale y--—li(V(e-i-xx)—x)4-1Ye—l quae formula reducitur ad hanc; HH l y (6 —— x x) -- )- Lo y € Cum vero poiro fit d. Y (e A- x x) — i - erit freta xz) Si igitur hae duae formulae combinentur, habebitur ifta Lom notatu digna: Adrx--Bxrdx — Aq ern ra BY (er x x). V(e-r- xx) ; LA y(e4A- x x) —-& Exemplum Il. 6. 53. Sit d y — Im quae formula ad cafüm fecundum eft referenda, ita wt fit My zum Cum igitur fit sad *(r — z z) —a[:— t) dx ——— zip ets a, etit E dz J — $a A DER vnde fit integrando y — — A tang. t. Quia igitur eft i-am [a.a e (b cx»), erit TR b--cx *^A tang. ev ee er a C. Corollarium. 6. 34. Sit igtur iterum 5 —0 cet e — r, feu formu« eps )er( $9 formula differentialis propofita 4 J— reperieture que y-—2Atang5—Y62—23. 4. C, Quia igitur tangens huius arcus eft ey tan- . gens dupli arcus erit ACE XETY ita ut fit Jy — A tang. x . Y (Gaa—xx)' huius autem arcus finus erit 7; ficque integrdle quaefi- tum F[oILja- Afin -. Quia porro d. Y (aa —x x) — — a, erit uum dizi 1 — fout m Y (aa x x), quocirca ifla generalior conficitur integratio: l'ESCE T. 2t — A tang. 9 hd — BY (aa — x x). y (2 09 — x x) Problema 1:5. 6. 85. Si fuerit V funtlio rationalis binarum quan- sitatum v" et s, exiflente s.— Y (a ——- Q v" A- *y v"), | for- aulam differeniialem V v^-' d v ab. irrationdlitate liberare. Solutio. Ponatur 6" — x, erit MIS Br-auMtepee TS hic ergo iam erit V fun&io rationalis binarum quantita- tum x et 5, exiftente 3 — Y (a 4- Q8 x -- yx x) € :3 et Cm9S yan ( 9 et formula abairrationalitate- liberanda erit. HET qui ca* fus prorfus conuenit cum problemate praecedente, ideoque eandem habebit folutionem. - 8. f ^ ' - - "1 » e1 ) á £F» s " » - Scholion, Dr 6. 56. Praecepta hactenus tradita ad omnes fere formulas differentiales, quae quidem adhuc tra&ari potue- runt, extenduntur. Jnterim tamen eiusmodi cafus occur-* rere poffunt, quibus idonea fubílitutio, ad irrationalitatem tollendam neceffaria, non tam facile perfpicitur* fed acri iudicio demum inuefligare licet, in quo negotio cum praecepta gcnerália tradere nondum liceat , exempla quac- dam particularia fpeciminis loco in medium áatferamus. * Exemplum I. 6. 59. Si propofita fuerit! baec formula irrationa- lis: dP — 263 T Aer cius integrale P. inuefligare. Si quis hic eiusmodi vti vellet fübftitotione, qua formula Y (1 -i- x*) ad rationalitatem perduceretur, oleum et operam effet perditurus, interim tamen fingulari artifi- cio fequens fubflitutio negotium conficere poterit. Statua- 1 A r-d-x* - tur E EP eritque I cTPP—gesxz hinc. —»* 1 -x. Y 14-5 08— T3 tum vero erit differentiando dp-cum im (^ — x x) , ex quibus valoribus colligitur : ap .— dsvuie- uz) yi-pR-— (6—m-xYy( 9) quae e$ )ss( $e quae feliciter cum formula ipía propofita conuenit; ita vt fit EET d 5a. ;; £5: 4P Ya, fiue d P —J4. 1p vnde colligitur integrando OP—AH( (22- p2) 4-9) Quare fi loco f et Y (x -4- P p) valores dati fubftituantur, haec weper integratio fatis memorabilis : mci un ER d x (x 4- x x) ] Xie xn owe [rnb rrr ete Fd: v Exemplum 2. 6. 38. Si propofita fuerit baec formula irrationalis: d x (r — x x) 5 GCexJvegup Uus Amtegrale Q inuefligare. : XV 23 — Ad hoc praeftandum fiat —577— — 4, eritque Y (1 ue q)— D EAS tum vero erit 4q — $50 -—* 9, atque hinc colligitur (1 EU EE Ll 21d x(r-—:xcm8 vea-ad' - o emrypukg uM ag vnde fit mix d d — utra WP f. Reftituto ergo pro q valore affumto. ifla obtinebitur inte- gratio: Q— d x(x—xx) A fin. - T Pied) WILENU UE y: Scholion. 6. 59. Cum iflae duae formulae: dx(d-xz)ys. dz(r—xx)v2a (6 —zx)y (c4 x et (1 xx)y 147 x9) ? pet- ec; )c:€( He perductae fint ad has fimplices: 2É:[gs dq " yu PP Y(—439? quarum vtraque facile ab irrationalitate liberatur, iflae ip- fae formulae propofitae opc idoneae fubftitutionis ab irra- tionalitate liberari poffunt; vnde mirum non eít, earum integralia fiuc per logarithmum fiue per arcum circularem exhiberi potuiffe. Satis enim iam e(t oftenfum: omnium formularum differentialium rationalium | integralia femper vcl per logarithmos ct arcus circulares, vel adeo algebrai- ce exhiberi poffe; quod igitur etiam de illis formulis ir- rationalibus eft tenendum, quas certae fubílitutionis ope ad rationalitatem perducere licet. Vnde viciflim plures Geometrae concluferunt: fi quae formula differentialis nullo plane modo ab irrationalitate liberari queat, tum eius ine tegrale etiam neque per logarithmos nec arcus circulares, multo minus algebraice exprimi poffe, fed ad aliud genus quantitatum tranfcendentium referri oportere. — Ceterum combinatio duorum praecedentium exemplorum manudu- cit ab folutionem fequentium. Exemplum 5. 6. 40. Si propofita fuerit baec formula. differentia- li: dy — —7*^2—9., eius imegrale. inuenire. Hanc formulam per neutram fubfiitutionem ante vfurpatam rationalem reddere licet: vtraque tamen iuncta negotium confici poterit; namque eius integrale per loga- rithmos et arcus circulares fequenti artificio expedietur: Formula enim. propofita in binas fequentes partes difcerpi poteft, quae funt dy exs )os( cbe zoAde(r--xx). E AK mns. [1:5 x) Y (x 4- à*) (i-r x) Y (1 4-x*)! quippe quarum fumma ipfam formulam noftram propofis tam producit; prodit enim idx(r-- «xy --idx(x —xxy dy —-——— dy-— 4 (1—-x)Y( 4 x) Mx dio (sedo 27 — d xy(:-xt*) —üu-—x)yü4x) 7^ :r—x* — Quod fi ergo duo praecedentia exempla in fubfidium vo- centur, manifefto fiet d y —14P-1-i4Q;, confequenter integrale quaefitum erit. y —;P-1-;Q, quod fequenti modo exprimere licebit: dx v (1237 x*) eT a iydeetici- a ds / Dagripceg 1—4AX* ^ ay PEL )1—XxX Afin. T7 Ge Exemplum. 4. $. 41. Si propofita fuerit baec formula differentialis ; — 0 2x x xdzx zx dy G—EQKGGUE) eius integrale inuefligare. Haec formula fimili modo ac praecedens tractari poteft; difcerpatur enim in fequentes duas partes: dem xb 0o üx(rrix ax) (1 —xx)Y (x4 I-- x) (zx x) aic-x)' quippe quae coniunctae producunt dy-—idx(r--xxy—idx(r—xxy x ————À — M ——X xao ad Xe x X. (uu vid (r7x)Y(a-4-x) (-x)YG-or x) Acla Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. D quae em. )c6( 25 quae cum fit ipfa formula propofita , erit ex praecedenti bus exemplis d y 2; 4d P-—;4Q, confequenter y 2; P—1Q, hinc integrale quaefitum ita repcrictur expreffum: NEM ^ — UCET 1 vV(12-x')9- x ya r xy [r—MieeerG———R mend! 271 A fin. Oz Scholion. €. 42. Haec duo poftrema exempla fi nullo plane modo ope cuiuspiam fubftitutionis ad rationalitatem per- duci poffent, infigne praeberent documentum , quod con- clufio fupra memorata quandoque fallere poflit: Re autem attentius perpenfa inueni, omnia haec quatuor exempla ope vnica fübflitutione immcdiate ad rationalitatem per- duci ideoque integrari poffe; id quod of(lendifle vtique operae crit pretium. Alia refolutio quatuor poftremorum exemplorum. 6. 43. Statuatur pro primo exemplo hue tou - : -PTUÉÁT, CUM 9 — eritque V (1 -4- v v)— 3430 —— — 1. E tum vero Y(r—9ov)— ;—z4, vnde fit 1--.UU ll»d-x2x ——x* y TU mI. Y (1 —v) — Ti At differentiando adipifcimur — jdm: 2 Wy. dv —( yox)" Cum nunc fit | —5 — V (x — 9"), crit — dxysy/(i—v') v dxd43 . d v — Yy(0 x4)? fiue y0o-7w)— y? quae aequalitas maxime eft notatu digna. Quod fi iam haec es )27( $$ haec aequatio multiplicetur per Y/ Pent: rr, nafcetur haec aequatio: do... dz(r--xx»)va 1—-v v —[(1—xx) (1-4 x)? ficque erit f ds[ur-&z) - — i-rado, c 1, Jr (1—xx)y(i4dx*)—— yz 101—797 772y42*31-—9" Deinde aequatio Kd: dv mE dx | yit v(1—v5) — vy (12-7) multiplicetur per Ie c—e——X4 X MO SIE M ac prodibit formula exempli fecundi dx(r—2xx) — a1 do JoxzSAWGpPO Yyà e emn A tang. v. Porro eadem aequatio d v d x ——— I Yyi'v(: —w*) — Y (1 x) diuidatur per Y.(x-—9)— LE et prodibit 144 2x* .*; dv-v .—dzy(x-;-x*) y4 4&9 W':rlae ^ "quae eft ipfa formula exempli tertii, ita vt iam fit y dax.OrizAy POENTSNPPTTIETAME 2 He do 1—X* y2)«4—vv* — à3ya J 1-- v0 2y2 7 1— vv? quod integrale cum ante inuento egregie conuenit, "Tan- dem poftrema aequatio hic inuenta: 1 dip td xwv d x y (1x) Ya" 39€ — INE WI axa ducatur in vg 9 — "25, vt prodeat : Uvdo. cxxdxy(i--x*). 2xXxdx ya'r-4 — (u-at)0x) — (-x)y025? vnde pro exemplo quarto colligitur xxdx Ea Y vv"dv-—.. 1 dv Wie TM Ecl uw 1—7072? D 2s vnde ec$ )ss( ce $nde cum fit v — -5*—, erit Yon)? dew —31:]:i—v—3i]YX11'z)xvs i59. —*"8571:-97^* Yi x')—xvV23 —ajiyCrextü4exvi) Lyon ex 2I (1—xxJ)t TR 01—XxX i: Deinde vero eft f —X— — A tang. v — A fin. ————, — A fin. xy: ad-vVv yi) &e-xkK Scholion. $. 44. Quanquam autem haec quatuor exempla ad rationalitatem reducere licuit: tamen conclufio füpra memorata, quod omnes formulae integrales, quae nullo modo rationales effici queant, ad aliud pertincant transcen- dentium genus, neque per folos logarithmos et arcus cir- culares expediri poffint , non folum manet fufpeca, fed etiam falíitas eius euidenter ob oculos poni poteft. Sit enim functio X-— vU rx) b a AL AM 3 * Y (14x) Y (ax 4x) tum certe formula differentialis X 7 x nullo modo ad ra- tiomalitatem perduci poterit; interim tamen fingulos cius partes adx bdx cdx XU ui Diae VR ie) Y (1 x) Y (1 4- x') feorfim rationales effici et integralia per logarithmos et ar* cus circulares exhiberi poffunt. —Coronidis loco hic fequens problema notatu dignum adiungamus, Pro- "S o )sos( $59 Problema. €. 45... Formularum integralium f LS et f; — valores. per. feries. inucfligare, pro cafibus, quibus ponitur tam €9 — I Quam x — i. Solutio. í Ré nS xy : . Cum pofito 9l» Yt fupra fecimus, eui- dens. fit,. fumto x — o fore etiam v — o, et fumto x — x fore v — rz, ita vt hae duae quantitates x et o fimul eua- neícant et. fimul. vnitati aequentur: hinc deducimus iítam aequationem differentialem. attentione digni(limam: 3 UL ds Y2/V()—v5) ^ v(icmx)? quas: ergo: ambas. formulas: in: feries: conuerti oportet; erit autem; 2.4,6 o 2f ls rr 7 IT :m -J- 3 y'-L etc. et 1 y ——Jy—lxyti*at "109. $a icr raf r TPRÉTU. B eat, - etc. ]Mla: itp per: d v. mgiplicate, e et ARS praebet : nis 13 "nx Tn-3— WE L.U! 4 gp L— --F- etc. vnde: bp v.— I: valor: huius. integralis- erit 1 4 ze ui -L I4. zd [IDE BLUE HUS 1. 3.5, v 4 etc 2.35.9 2.4.6. 13 2.4.6, 8, 17 quam fefigna littera: A. indicemus.. Simili: modo altera fe- ries in d x der Migpecr gn f tu —— M5 3*9 LE etc. yG04-x*) — 2, 5 2. 40 6. 13 "OM D 35 cuius en? )so( $5 cuius valor fato x — rz erit — X -— 4 mes 0 0 n» 5] ap. 2*5. etc. e. 4. 9 2. «, 6. 13 3. 4. 6. 8, 17 quem littera B defignemus, ira vt fit:B — ;&, fiue AC BY; vnde patet , priorem feriem fe habere ad pofleriorem vt y2a:z Schohion. $. 46. "Valor formulae integralis. // — yü-., etiam hoc modo per feriem inueftigari ad Cum fit . Koh — (r- -4- v L120 . Y (x — v*) E : Li (rz-24-vv) *—3:1—iov-FIiot— Z7 wv-retc. notetur effe LS 5-—:*. Deinde pro integratione reli- quorum terminorum ponatur oncqo 4 qo" do dai P1- hd "n I T B rmn hen ruere J v V (1-vv)* quae aequatio differentiata dat qi "m A^? Bo" Vis er -(n-pi)Ac"V rz—voo— v jd o0) Yrs , vnde per Y (r— v v) multiplicando prodit g'*'—(n-- x)Ae"—(n--1) Av"* — Ao" ** Be". Hinc termini in quibus ineft c"** inter fe aequati prae- bent 1 — — (z-- 2) A, ideoque A — — 5 termini vero o" continentes pracbent o—(m-J3-1)A«- B, vndc fit B-— 7, ita vt in genere fit o" dv ^ ven) 1 quod p"*'do T Mana Wires) PES tem e$ )sr( $E «quod integrale vti requiritur euanefcit pofito v — o. Po- matur nunc 7 — x, critque: oU**de —n-cr. wv'do o "Y(r—vv) po mand: arr — y v)! hinc ergo pro 7 fcribendo- fücceffiue valores o, 2, 4, 6, $8, etc. erit Lfirieou II. eee iix) HL. [I —Bi m etc. etc. quibus valoribus adhibitis erit cafu v — rx. fyn—-my—1—3x Exam man Trete 12, 22 FAS ^S A 32, 1,5., —- 3 C Ic DLE 27, 47 4? P eR ci. STEM CERE 2 2^, 42, 67, er T — etc.) áta vt fit ex peibleiaipé3c cedente jx-r omm -—— NEC 2.5 2,49 2,.4,9, 11 -—ii d Ru m vnde fit "TUR fralris nonni DP E a bua Bb oae. i NOVA eu: )s3s:( $9 NOVA METHODVS FRACTIONES QVASCVNQVE RATIONALES IN FRACTIONES SEM LUE RESOLVENDI. Auctore L. EVLERO. OCC S — fra&io quaecunque propofita, cuius tam numera- tor P quam denominator Q fint fun&iones rationales integrae quantitatis variabilis z, denominator autem Q fit productum ex quotcunque factoribus fimplicibus for- mae z 3- a, fiue aequalibus fiue inaequalibus inter fe: et notum eít, i(tam fra&ionem femper refolui poffe in fra&diones fimplices, quarum denominatores finguli for- mentur ex factoribus ipfius Q, numeratores vero fint quan- titates conílantes, fiquidem variabilis z in numeratore P ad pauciores dimenfiones aflurgat quam in denominatore Q, quoniam aliter practer iflas fractiones fimplices infuper partes integrae eílent adiiciendae. — Qui cafus cum nulla laboret difficultate, propterea quod partes iftae integrae facile reperiuntur, dum numerator P per denominatorem Q acu diuiditur, fufficiet eiusmodi tantum fra&iones con- fiderafe, in quarum denominatore Q variabilis z ad al- tiores pote(lates afcendit quam in numeratore P. Tum igitur, et3$ )ss( $99 igitur, quando pro fingulis factoribus denominatoris Q in- ventae fuerint fractiones fimplices ipfis refpondentes, fum- ma omnium harum fra&ionum aequabitur fra&ioni pro- pofitae $. Primus quidem in Introductione mea ad Ana- lyfin infinitorum methodum tradidi fatis fimplicem, cuius ope ommes iftae fra&iones partiales pro fingulis. denomi- natoris facoribus reperiri qucant, fine vllo refpectu ad reliquas habito, quarum ratio antehac teneri debebat. Poftmodum vero itam methodum magis excolui, et quem- admodum ope calculi differentialis facilius ad — quosuis vfus accommodari poffit, vberius oftendi. Nunc autem penitus noua Idea fefe mihi obtulit eandem refolutionem perficiendi, quae plerumque negotium non mediocriter fubleuare videtur. Imprimis autem ad funciones tren- Ícendentes mira facilitate accommodari poteft, vnde ope- rae pretium fore exiftimo, fi iftam nonam methodum ad- curatius expofuero, 6. ». Sit igitur z — z factor fimplex denominato- ris Q, fiue folitarius, fiue quotcunque fibi aequal&$ admict- tens. Ac priori cafu inde fractio fimplex oriunda erit z—- Sin autem denominator binos huiusmodi fa&ores aequales inuoluat, fcilicet (z — 2)", tum refolutio binas da- - | - a bit fra&iones fimplices ————- -1- P ; at fi factorem z z— a) z—a habeat cubicum (z — a), fra&iones fimplices inde ortae e- a g 'y L . s runt ———j,-l-u——»"-z-—.» &tita porro pro altiori bus poteftatibus. "Totum igitur negotium huc redit, vt pro fingulis huiusmodi factoribus numeratores. «, (9, vy, etc. definiantur, pro qua inueftigatione iam olim praecepta Ata Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. E dedi, B3 )se( $9e dedi. Noua autem methodus, | quam hic fum. traditurus , huic. innititur nipcipin adig pofito z — a omnes iítae fra&iones partiales euadant infinitae, dum reliquae. omnes: manent finitae magnitudinis, ideoque prae illis quafi. eua- nefcant. Hinc fi in. fractione. propofita à ftlatuatur z — a, ca vtique eriam. in infinitum excrefcet, eiusque valor de- bite euolutus, pracbebit ipfas illas fraciones fimplices ia infinitum. abeuntes, id quod hic accuratius fum perfe- cuturus. 6. 5. Ne igitur hic confideratio infiniti moram ficeffat, (latuamus non z —a-—o, fed z — a — uw, denotan- te & quantitatem infinite paruam atque adeo ipfam eua- nefcentem , ac ATWUU tam in numceratore P quam in- denominatore Q^ vbique z — a -4- e, quo faco numerator. P euoluatur in huiusmodi formam: P—A--Bo-r-Ceoo-4-De'-- etc. denominator vero Q, quia per hypothefin euanefcit pofito z-—a, talem induet formam: Q—9(o-- 99 0 9 4- € v 4- D u* --. etc. vbi fi factor z— a fuerit folitarius, primus terminus 9(o neceffario aderit. Sin autem denominator Q factorem ha- beat (z — a)', erit 9(— 0, ac denominator a termino $8o* incipiet. Quodfi vero denominatoris fa&or fuerit (z — aj', primus terminus in denominatore erit & &', et ita por- ro, ita vt fi in genere factor füerit (z — a)", infima potes- ta$ in denominatore fit 9? o". 6$. 4. Haec quidem fuübflitutio, ponendo z—a-«o, operationes tantum vulgares algebraicas poftulat: interim tamen -5 )w( S9- tamen per nota. principia differentialium ^ mirificé fubleuari poteft. Nam fi in genere loco z fcribatur $ 4-«, functio ipfius &- dhacoate P. accipiet iftum: valorem: T pug àdP.j wudd y ud jet d*Je Bg Sot&é(p o: -E- ete. nda i n ,de 8d 5 ge tes. edet. Hoc. co ;modo ;ftátim forma tam -numeratoris: P: quam deaominatoris ..Q... fecundum . poteftates.. ipfin$! w;. difpofita reperietur, |tantumque ; opus »eft , vt in .fiügulis. termiüis loco z vbique fcribatur & Quousque. gutem iftas expres? fiones pér potefítates ipfius | & continuari oporteat, ex pri- mo denominatoris. termino, feu infima. poteftate .ipfius w facile Sridicibutt, vnde. fequentes, cafus, euoluamus. 53. u ) — 7 ..Cafus " -j TOT n ; Quo denominatoris Q ador. eft Zz—4d. 1. 2: d zi " Y — Hoc igitur cafu non erit 9$(—0, vnde frac- tio noftra f , fato 2 — à-1- o, induet hanc formam ET d-Bo-ECur- Dus ir en. w' 9| 3ESB diae € a? 4- Jui dé; vbi fracio ifta per diuifionem : euoluatur tantum. vsque * primam poteftatem &, propterea quod in fra&ione prae- fixa , haec littera vnicam tantüm habet dimenfioiem , vnde hóc cafü tam numeratorem P quam denominatorerti Q ad duos tantum terminos extendiffe füffücit, ita vt fit Lx». Nunc igitur ex euolutione iftius fractionis *, Oriatur quotus « -1- (à, eritque E IET IET A His utem valoribus inuentis fractio noftra difcerpitur ii has partes: -|- à, quarum cum prima tahtum fiat infini- E 2 ta, 2 )s6( $9 ta, fi loco « reftituamus« valorem z — a, fractio fimplex hinc refultans erit. -5—.. Hoc igitur modo facillime frac- tiones fimplices ex fingulis denominatoris Q facforibus fa- litariis formae z —a obtinentur; neque adeo opus eft, va- lorem ipfius (3 noffe, vnde fufficere potuiffet' tantum pri- mos terminos: A et 9( indagaffe. —Orimr autem A ex numeratore P, pofito. z —4a; at 91 oritur. ex formula 13., pofito. 'itidem/£ — a. ^ Cum enim pofito z — a fiat Q-—o, fi loco £ fcribatur a-i- e, prodibit 9 —*9- ' 6. 6. Interim tamen bonum eft, ctiam valorem ipfius (3. noffe, quoniam inde quaeflio non parum curiofa facile poteft refolui. Cum enim ex facore z—a deducta fit fra&io —7—, fi pro réliquis omnibus terminis fcriba- z—a? mus litteram R, erit vtique 7— .-9—-4-R.. Quod fi ergo defideretur fumma omnium reliquorum terminorum R, cafu quo ponitur z — 2, fiue z —a -- 6, quippe quae fumma éft finita, ex aequatione modo inuenta fiet R —ti—.——. ideoque pofito z — a -- a, erit €$-——G3 mn [. go * R—f--g—r- ficque valor litterae 3, quem inuenimus, exprimit fummam omnium reliquorum terminorum pro caíu z —a. Erat auem Q— $— .- $. 7. Facile autem patet, hoc modo pro omni- bus fa&oribus fimplicibus denominatoris Q easdem prodi- re fractiones partiales, ad quas methodus antehac expofita deducit. Si enim. ponamus 7— z7-5— -- R, ac per a —a multiplicemus, fiet / P (s wi32 0) 87 ( «$37 n RGIS-—a--R(s- a). Qnia nunc nouimus, numeratorem quaefitum « effe con- ftantem, pro eo femper idem valor prodire debet, quic- quid pro z fcribatur. Ponatur igitur z — a, vt ratio re- liquorum terminorum R ex calculo egrediatur, fietque g — FeI-3, pofito fcilicet z Z2 a; tum autem tam nume- rator quam denominator euanefcit, vnde fi eorum loco fua differentialia ponantur, fiet — m ALPE, TiO rim Pofito igitur z — a erit « —F* 4o m Pdz dQo.* fimus, cafu z —a fieri P— A et 49-— 9(, ita vt et hinc dz etiam prodeat a (—& At vero fupra affum- Cafus II. Quo denominatoris Q fa&or eft (z — a)'. 6. 8. Hic igitur in forma, ad quam noftram frac- tionem D pofito z —a 4-9, conuertimus, erit 3(— o, vn» de fra&io pro hoc cafu ita referri poterit: 1 A3- Bto-- C too Hic fcilicet poteftates ipfius o non vltra fecundam pro- tendimus. — Nunc illa expreffio in hanc formam: a («4-7 8 o -- y 99), . reducatur, et reperietur calculo fübduco —R. eg. EP OI Ls a—gB—s-wiY—-&-w-w€g His igitur valoribus inuentis noftra fractio jp dehet in has partes: 5; -F P --»y, quarum binae priores, ob az z—a, E 3 prae- EP )858( $53 praebent iftas tractióf$ partiales: mE at quan- titas *y aequabitur fummae omnium reliquorum termino- rum, fiquidem in ilis ftatnatur z —« , mota ] | 101 , N J ZI — Cafus. IIT. | ribpil Quo denominatoris factor eft (z — a). €. 9. Hic igitur ob $— o et 95 — o fractio e- voluenda erit e * pIE« Bv Mete 1 -quae- reducatur ad hanc formam: "a z(&-4-8«-r-yeuo--3w), ! ) ope harum aequalitatum : —a€; B— a Q2-86€; C—a€-r-824,y€; D-—z«84-8€--yQ9--9€, quibus valoribus inuentis ex denominatoris Q fa&ore cu- bico (z — ay obtinentur -iftrae. fractiones partiales: m E uobincL A. At vero à exhibet fummam omnium reliquorum termi- norum, fi in ipfis vbique ícribatur z — a. Facile autem intelligitur, hoc modo etiam ad altiores poteflates pro- cedi poffe. $. 10. Haec methodus ctiam fuccedit, fi factores denominatoris fucrint imaginarii, fcilicet" formae z—a--bV-—r, tum autem, quoniam etiam fa&tor eri z —- a — b -—i, binae fractiones partiales hinc ortae — . * a -e33 1 59 (^ $t3O c a facile in factorem duplicatum: realem: contrahentur, cuius denominator erit (z — a)* -i- h 5. Hoc igitur fequenti ex- emplo oftendi(fe iuuabit. m cq ——byu Exemplum. Si fraciio propofita refoluenda fuerit E up eam in fracliones fimplicer refoluere. Solutio. $. rr. Hic igitur primo omnes: angulos (D. quaeri oportet, quibus denominator tang. (p— cof. (D euanefcit. Ponatur igitur tang. (p — cof. p — o, fiue fin. D — cof. ^ — o, ita vt fit € fin. Q* -i- fin. D — 1, vnde colligitur fin; (p-— — ARS, ficque pro fin. (D duo habentur valores: fin-(pc —:—€*5 et fin. ( — — £—*£, quorum prior cum fit vnitate minor, dabit valorem rea- lem pro angulo Q. Cum enim fit proxime y:—! — 0,618034, erit (D — 38". 10^. 2o, quem auuiMid breuitatis gratia ponamus — Z, ita vt fit fin. — o, 618034. et cof. Z — 0, 786151 atque tang, 2 — o, 786154, ideoque vti pofuimus cof. Z — tang. Z. et32 j4o( $9 6. r2. Alter autem valor pro fin. (D inuentus dat fin.(D-- — 1,618034, qui cum fit vnitate maior, mon- ftrat hunc angulum effe imaginarium, ad quem definien- "i 4- 4 dum notetur effe cof.(y — x —* &irod , qui valor cum manifefto maior fit vnitate, et quidem pofitiuus vta- mur hac formula: — gd rg! cof. (m 4- € Y — 1 a cum e ab 2 Quodíi ergo faciamus Q—9o—-m«—-é6Y—i—é6y—s:-r, erit LED fin.:pz — i quamobrem debet effe : —1 ? — — -4- 1,618034. — d d pro quo numero breuitatis gratia feribamus e, vt fit e -- 67! — 2 t, vnde colligitur e! — (M Y ((e— 1) zz RB Y CU TI .Y:, et fubflituto valore fit à — 2,0581*71:0. Hinc igitur fiet €—1.2,0581710, fumendo fcilicet logarithmum hyperbo- licum, qui reperitur fi logarithmus vulgaris multiplicetur per 2,59025851, Cum igitur logarithmus vulgaris fit O0, 3134816 erit : 0 — 0, 3154816. 2, 50258951 — O, 7218177. $. 15. Inventis igitur his veloribus pro 4 ct e, ex priore (0 — 4 omnes anguli (D, quibus nofler denomi- nator eS )4r( $5 nator tang.(D — cof. (D euanefcit, funt in genere 2im--Z et (2i-- 1) 1 — £, quippe qui anguli omnes eundem habent finum; vnde coi- liguntur omnes factores fimplices reales. Pro imaginariis autem tantum loco £ fcribi oporter 0 Y —1 — i, ficque fimul obtinentur omnes fa&ores imaginarii. $. 14. Primo igitur denominatoris noftri fa&or fit p—2im-—Z, ponaturque hic 'facdoór ——'«, ita vt fit Qp-2im----u, eritque fin. D — fin. (£ -1- v) — fin. Z cof. « 4- cof.Z fin. — fin, Z 4- a cof. Z, quoniam non vltra primam dimenfionem ipfius o progre- di neceffe eft. Deinde vero erit cof. (p — cof. (Z 4- o) — cof. Z — « fin. Z, denique tang. QD — tang. ( -4- w) — tang. 2 -- zs. Hinc igitur denominator erit tang. Z — cof. £ -1- o (fin. Z -- az); 'at vero per hypothefin eft tang. 4 — cof. Z — o, wnde:de- nominator ifte erit w (fin. Z -— p ird. Vbi notetur, fi accu- ratius procedere voluiffemus, in denominatorem intuper terminum o* iogreffurum fuiffe, quem autem hic negligere licet, quia nullus factor bis occurrit, — Hinc ergo nafcitur valor infinitus noftrae fractionis fin. in. 2. Le fin. 6 cof. Tas t (fin. Ln uy q (fin. Z cof. rage Bv ex quo haec fractio partialis «deducitur: Acla. Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. F fin. ec. )42( $5 fin. € cof, &* ja.d4 cy. E-XYEI-S 4 quare fi pro / omnes numeros tam pofitiuos qiu negas tiuos *ftatuamus, prodibit iíta feries fracionum: fin. 2 cof. 2: TUL*I ASA por MUK Up EL de DOEX RTI LM m1 o0. ud PE: -— E. etc.) At fi pro 4 fcribamus 0 Y —x —i7m, feries fra&ionum imaginariarum erit fin. | fin. d cof. ds. h 1-Ffin.Z co. Z^ N4a-10—0 Y—1 XV I Bis cANA ECIAM AD 6. 15. Pro altero cafu, quo in genere erat factor Q — (2i -- 1) 1 -4- £ — o, erit Q—(si--1)mz —44- e hincque fin. — fin. (Z — € ) — fin. Z — a cof. 2, tum vero cof. — — cof. (Z — «) — — cof. Z — « fin. Z et tang. D — — tang. (4 — «) — —tang. £ o a^, quare totus denominator crit — tang. Z -i- cof. 4 -4- a (Z5 -- fin. e) — w(ün.Z-- 75) ob — tang. 4 -- cof. á — o, vnde pars infinita noflrae fra&ionis erit fin. Z i5 fin. Z cof. P « (fin. Z 4- av) ^ e(14- I- fin, à cof, e") Nune wee35 ) 4s ( ce Nunc igitur, fi loco «a fcribamus valorem affümtum Q— (2i-- 2-2, orietur forma generalis fra&ionum fimplicium fim.g co. m v I (4 jm.2c0. 0)* — (2i ) ma 6* Loco i ergo fücceífiue fcribamus omnes valores GUSES 3, 5 Qa ci SA hod EtC. et colligetur fequens feries fractionum: fin. T Jin. d'cof. €? I 1 I 3 47 jn. Q ON emp M a uc M RT rp EK LIXLI INA ELEM MD Quodf iam hic pro 2 fcribamus 0 Y — x —; 7, orientur fractiones imaginariae, quae erunt finácot2* — | ETC MSIE 1--finZcoZ ND-im40Y—:i Q-—im-0Y—rz X i t WEITE Mn Y nim jore Up ete-) $. 16. Colligamus nunc primo feorfim omnes fra&iones reales, ct cum omnes habeant eundem coeffici- entem conftantem —/"- f 4 . ante omnia in eius va- Y -- fin. Q'cof, 9^ lorem numericum E Primo igitur cum fuiffet fip. d —€of. Z^ —o, erit.-cof. 2 — fin. , : . . m fin. ez E ifte coefficiens — —"7-7—.; porro vero erat n. &* -- fin. Z — x, ideoque. fin. Z^ — x — fin, Z vnde E coefficiens d $ Denique vero pro factoribus realibus eruimus fig d — *—, vnde nofter coefficiens e- — 4:5 LR SML vadet LÉ—y; 5, cuius ergo valor erit o, 2763932, E] 10 Es | pro -p2 )4€( $9 pro quo: breuitatis gratia: fcribamus. a, et omnes fractionee m: reales in ordinem redactae. erunt po— -—rtamiuat afectan dem m gces cete. erro t aetes air — pest ete $. 17. Pro partibus autem imaginariis idem coef- ficiens communis fin. Q cof. Q1 ian aH 1-4 jin, Q cu, Q3? ob cof. P — fin. C et fin. 2 — 1 — fin. E transmutatur vt ante in hanc formam: L4 At vero pro partibus 1magioariis inuenimus fin. c in quo iam inuoluitur fubftitutio ante memorata Z-6 Y —1—: 7. Hoc ergo valore fubflituto coefficiens communis. erit s--Y5sl—s-4-"*4s $-4-v5 10 , ideoque in numeris o, 7236068, pro quo numero fcriba- mus Q, ita vr fit «-1- g.— r, hanc ob rem bini ordines. fra&ionum imaginartarum erunt NPIEDNACSBENUP COPPIRTUN S WEDIFSN - B $—-Y-ixis Q-WV-i-in * Q—iY-iXim des *-(V alium ax Mrd h. doaces EO Q4W-ixi- QrY-i-is *OYiY-irim i EP Reg 2 ets etc. Q4OÜOV—1—iT Hinc ereo fi binae harum fractionnm im vnam. fümmam coligantur, imapinaria fe mutuo: deftruent, ac prodibit fequens feries: p -wS )a45 ( $e (s: a- m). EM i "g(2o-—: &-7) (QD: a- 1 m)t 4- 0-9- (D—i-y- F8 (a pon ESAE 7 T) (O-ixyk-$89 ^ (Q—imyT00 vbi notetur effe 60 .— 0, 5210210. — AW UAE e tc. 6. 18, Quoniam- partes imaginariae- commode fe contrahi funt paffae, vt fimilís contractio in parribus rea- libus fuccedat ftatuamus 4 — i7 --*» et ambage. feries ita fe habebunt: j VISA Seo, a TALL al apris AP A Ko 4 PEOR Qcimcw-$G-—i] c Made [^A EQ E T E Q—-iT—^ js T—^ [4 a c dca idobs NS dec ALPE SDEROETNIS Fes Q—-irc4w Qin» Q$—imnc43 ed & -F etc. c oii PE DATA Wu] | Qiu Ó—ic-ma Hic ergo cuilibet termino conuenit quafi focius, binisque contractis orietur fequens. feries a(2—m) «(2 Q--3m) (p—inz—w« (Qainz*—ww a( ES Jg (s A rera rn (D—-iz—x*w (pcimy— vbi notetur, cumr fit 43 — 2— 1 T, quoniam in T ioa radii eft Z —0,6662405 fore w— — o. 9045558, ideoque 53.4 — 9, 5182214, cum ante fuiffet 0 09 — 0, 52102x0.. dn Se F3 6. xg. wet: ) a6 ( $99 $. rg. Quae igitur bictenus funt allata hnc re- deunt, vt fra&io propofita m aequetur binis fe. quentibus feriebus iun&im fumtis: ' «(2b — m Uit 4 (2-37) (b—im!—"w» (D-cimy*—wn a(2—5m) a (24-77) : s NFL T Pn ———— ———— etc. (Dp—im)—"-. (Doaim'—un Ee -g(20---). , go-am) (D-rimy 00 (D-—imy4.00 g(2 D-r 5m) E o—7) (NSETNWT pry-ép Ue Hinc igitur fequitur, fi fümatur t o, quo cafu fractio ipfa in nihilum abit, fore 4 c|ígmT ^q NIIT 4.507 4.70" er o tc. e- ""TT—^4701 97 7 —4»Y 25 T7 —34* 49TT—4.107* etc. 4» Re - 9 nx pc. $ s ^; afa NH A 8T TT 43-400 Irz TI TII "III TID CN etc. Ceterum boc exemplum perquam idoneum cft vifum, quo applicatio ad factores imaginarios illuflraretur. "n ^ EVO- 5 )a47( $53e — EVOLVTIO.. . PRODVCTI. INFINITI (x-x)(r-xx)(x—x)(r—x*)(x—x')(ri—»x') IN SERIEM SIMPLICEM. Auctore L EVLERO. $. x. pue dfe FR FOE | et etc. facife patet fore: ; T —-x(1—x) (1 x) e) (a I-X4)1-xx)(17x?)- etc. quae feries cum iam fit infinita, . quaeritur, fi finguli eius termini euoluantur, qualis feries fecundum fimplices pote- ftates ipfius x fit. proditura. .. Cum igitur duo primi ter- mini 1— x iam fint euoluti, loco reliquorum omnium fcri- batur littera A, ita vt fit 5 — x — x — A, ideoque -xx(r—x)-x'(1—x) (x—xx)4-x*(1—2x) (1—xx) (17x?) etc. $. 2. Quoniam hi termini omnes factorem habent communem ri — x, eo euoluto finguli termini discerpentur in binas partes quas ita reprae(entemus: Acxx--x'(1—xx)43-x'(1—xxX(1—x?)19-x(1—xx) 1x—x)( 17x) —Jdx'— Xt (c-xx)—3x51—xx)(1—x)—2x (xxx) 1x—x*)(1—x*) ' Hinc BS )us( f8e Hinc iam binae pattes cadem poteftate ipfius x affcctae in vnam .contrahantur, ac.re(ültabit pro.A fequens forma: AcIxx-—x3 -—x(r—xx)—x*(i-xx)(ir—x?9. —X' (x —2x) (x —x") (x—x*) — etc. vbi duo termini primi x x — x* iam funt euoluti; fequen- tes autem procedunt per has poteítates: x, x?, x, x'*, x? quarum exponentes binario creícunt. $. 3. Ponamus munc (imili modo vt ante A—xr— x*— B, ita vt fit B—-r-x'(1—xx)--x'(r—x x)(1—x") Jr x"(r—xx)(r—x')(1i -x*)-4- etc. «nius omnes termini habent fatorem communem 1— xx, quo euoluto finguli termini in binas partes difcerpanttr, xti fcquitur: B-x^ 43*(1—x?)-x"(1—x?)(1—x*?)-x"(1— x?)(1—x*(a--x*) ete, —X"x (rex) 3x" (1—xy(r—xt)—x*(x—áx)yXi-x)(-x:)etc. Bic iterum bini termini, qui eardem pote(ílatem ipfius .x babent pracfixam, in vnam colligantur et prodibit: B—x-—x*-—x»*(1—x)—24"(1 —x)(x —x*) — x" (1 —x*) (x — x?) (1 — x*) —etc. vbi iam poteflates ipfius x crefcunt ternario. $. 4. Statuatur. nunc porro B — x? — x" — C, ita vt fit C — x'*(1— x)-Ex" (x —x*)(1— x ^t x"(i—x)(r— x*)(x — x*) -- etc. ct iam finguli rermini per euolitionem fa&doris x — x" in binas partes rcfoluantur, fietque: Cz e$5 )49( $53 C-x-Ex(xr—x9- x? (—3x*)(1—2x5)-x"*(1-x*)(x-x9Y(1-x?) —ax"—x"' (1—x*)—2x" a —àx)(1—2x5)--x"(1-x*)(1-x*)( x-x^) etc. vbi denuo membra, quibus eadem poteítas ipfius x prae- fixa, in vnum contraca praebebunt Qma6—at—xt*—x)-—x?(x—3x)(r—x) — x** (x — xt) (x — x5) (x — x*) etc. vbi poteflates praefixae quaternario crefcunt., 6. 5. Statuatur C — x5— x? —D, vt fit D-—s''(1€—x5-4-x7(-—x9)1-—x) 4- x?*(x — x*) (x — x*) (x — x^) etc. qui termini per euolutionem factoris 1 — x* in binos di- fcerpantur hoc modo: D-—x Ex? i—x)4-x(1—x5—x5294-x"a-x»)a-x5(-x) -x"—x"(1—x9)—3x" (3—3x)(1—x5)—x''(1-x*(1- x^) 1- x") ete. Nunc binis vt hactenus contrahendis colligitur D-—x*—x5—x?(ri—x)—x5(r—x»)(ri— x) —x9(r—x*)(i—x')(r—»x) etc. Hic igitur poteftates ipfius x quinario crefcunt. 6. 6. Statuatur D — x^ — x" — E, ita vt fit E — x^(1—x*)-Fx'5(r—x:)(r—x^) -Fx9(r—3x)(i—x*)(r—»x) etc. ac refolutione in binas partes vt hactenus inflituta prodit EcxU-xU(1i—x)-4x9 r—2x5-x)-a-x rixa) —x—x*(1—x^)—-x*(1—x*)(1—x^)—x^(1-x*(x-x")(1-x*) etc. Contracis vero binis terminis in vnum prodibit Ada Acad. Imp. Sc. Tom. IF. P. I. G E— et )so( $8 E—x*—x!—x"(1—x5)—x* (1 x5) (1—x') —x*(1—x*)(r—x')(r—»x') etc, vbi poteftates ipfius x íenario crefcunt. $. 7. Cum lex, qua iítae operationes vlterius funt continnandae fatis fit perfpicua, fi poftremi valores pro fingvlis littcris A, B, C, D, inuenti ordine fubítituantur, pro ferie quacfita reperiemus fequentem formam: S—i—x,—xi-Fx5,clx x'",—x: x", Tax— x", — x*?-Ex*, etc. Hic igitur tota quaeftio huc reducitur, vt ordo definiatur, quo exponentes poteflatum ipfius x continuo vlterius au- gentur, quandoquidem cx operationibus inít;tutis iam fatis cft manifeflum figna terminorum -.- et — ita alternatim fe excipere, vt ambo geminentur. - $. $. Qouo igitur in hanc legem inquiramus, videa- mus quomodo in fingulis litteris ifti numeri fint orti. Hunc in finem primos faltem cuiusque litterae terminos in cius forma prima exhibitos ordine difponamus A-—xx(r—-x)| 723-F 4-233b1-4- 3-8-bic ida B—x(ri—zxv*)|i15—24-F1124--2-- 9742-42-43 C—x"(1—x')(2625--2125-F3--18-5-F 34 3-F15 D—x"(r—x')!40264 34 26-4- 44-302 6-4 2-4 - 26 kE—x^(i—x*)|57273-F502*37-r5-F45-2 74 5-450 40 etc. etc. Hic fcilicet ex euolutione litterae A vidimus, numerum 7 oriri cX aggregato 3 -- 4, tum vcro 4 oriri ex I -l- 3» ac denique 3 ex rz -- 2, quae ergo rcfolutio dabit 7—9-E4-3-4-14-3-— 3-4- 127 1 4m 2 At- es )sr( $$ Atque idem ordo in fequentibus litteris eft obfervatus, vbi vltimi numeri procedunt ordine 2, 7, 15, 26, 40. 6. 9. Ex his iam manifeftum eft, numerorum 2, 7, 15, 26, 40, 57, etc. differentias progreffionem arith- meticam confítituere , vnde horum numerorum terminus generalis erit: 2--5(n— I)--:G—20—0 —me et, Exponentes autem, qui hos antecedunt, erant 1i, 5, 12, 22, 35,51 ab illis numeris z,2, 53, 4, 5, etin genere ipfo nu- mero 5, ita vt exponens, qui formulam £——-* praecedit, futurus fit —^—^. 6. 1o. Nunc igitur feriem fimplicem inuentam quae aequalis eft producto infinito propofito (x-x)(1—xx)(x—x')(1—x*) etc. perfe&e cognofcimus. Cum enim haec feries inuenta fit: £—i—x—x-HHx-Fx—x"—xs5Lan- xt —4 —Xx^-rx'-. etc. certi nunc fumus, in ea alias poteftates ipfius x non occurrere, nifi quarum exponentes contineantur in hac for- mula generali: 5*"—*, et quidem ita, vt fi n fuerit numerus impar, bini termini inde nati habituri fint fignum — , qui autem ex paribus oriuntur fignum -1-, Alia inueftigatio eiusdem feriei. $. 11. Eadem feries fecundum poteftates ipfius x procedens etiam f[equenti modo inuefligari poteft. Cum fcilicet fit G 2 [E— e$; ) 2 ( ie $—r—x—xx(r—-x)-x'(r—-x)(r—-xx) —x'(r—x)(r-x*)(r—sx*) etc euoluatur flatim. fecundum membrum — x x (x — x), vt fiat A ; 1t $—1i—x—xxJ4x'—x'(ri—x)(r—-xx) rs —x'(r—xj(ir—xx)(ri—x') etc. - ac ftatuatur s—1—x—xx-- À vt fit 33 A-—x'—x(r-x)(i—-xx) ' —x'(x—x)(x—xx)(r— x)-— etc. cuius fingula membra per euolutionem facoris 1—x in. duas. partes difccrpantur, vt prodeat | Acx'—x'(1—-xx)—-x'(1—xx)(1—x)) -x'(1—x?)(y—x?)(1—x*) Mxr-xx)bexr—xx(i—2x)x'(u-—x)1i—x)i-x?) Hic iterum bina membra cadem poteflate ipfius x affecta contracta praebcbunt: A-—-xFx(i-xx)x(r—xx)(r—x) Tx"(r—x')(r-x)(r—x') etc. 3 6. 12. Hic nunc iterum fecundum membrum cuol- uatur, vt prodeat: A-—x-Fxy-x-LB(r—xx)(r-x) Tx"(r—x)(r—-x' )(r-x*) etc. Jam ponatur A— x'-i- X - B, vt fit B—x*—x*(1—xx)(1—x")— x" (1—5xx) 1—x")(1—x*) etc. quare fi vbique factor xr — x x euoluatur , obtinebitur B-x/—x*(1—x?)-x' (1—x* (1—x*)-x' (1-x')(1—x*)(1—x*) 4x" (1—2x)-x"(17—x") r—xt Hx (1—x")(1—x)(r-x) tum vero contrahendis binis membris orietur B—x"-Ex*(1—x')--x"(1z—x')(1—x*) TxU(r—áx)(r—x)(Q 2!) etc. $. 13. emus )ss( Se $. 15. Euoluatur pariter fecundum membrum ac ftatuatur B — x --.x5 — C, eritque n C—x'—x" (r—x)(x—x)-9x' (15x) (1-x*)(1—x)— etc. Nunc termini euoluantur fecundum "factorem 1 — x^, fict- que: Cox"—xv"(1—x—x"(1—x)(1—x)—2x(—x»a-x1-x) T (1—x*)H-x (1—* (xx) H-x (x—x* (xx? (r7?) Hinc binis membris contrahendis fiet Qs xu xx») u) Mx (r—xt)(i-sx)(xr-—2x^) etc. ' $. r4. Euoluto nunc hic iterum fecundo mem- bro flatuatur C — x^ -1- x^* — D, eritque |OD-—x?— x? (1— x*)(1x—x*) 7 x** (12x*) (12x75) (17x*) etc. vbi euolutio fa&oris x — x* producet Dzx"—x" (1-4) x" (17x*)(x—*) 2x (x—x*)(x—x5)(( 1x7) "X" (1—x* Hex (1x5) (x—x*)2-x**( x—2)(x—2x5)(1—2x")etc; Hinc binis membris contractis fiet : D — x" x^(1—x)M4x5(x—x)(r—x') TXx^(i-x)(i-x')(i—x/) etc. 6. 15. Euoluto fecundo membro ftatuatur denuo D — x^ -- x^ — E, eritque E-x"—x' (x-x*) (x —x*) — x*(x — x?) (172x5) (x—2x) etc. et euoluto fa&ore fecundo r — x: fiet E-x'—x"(1—x*)— x" (1—x* (x—x")— x (x—x5)(1—a7)( 1—X!) TA" (1X Hex *(x—2x) x—2x7)-x*(x—x^ (1x (x—x")etc. G 3 binis- eS )se( $28 binisque terminis collectis elicitur —x"x"(r-x'M«x"(ir-x)(i-x*) Tx"(1—x')(r—-x)(r—x')etc. 6. x6. ruentis igitur his valoribus litterarum A, B, C, D, E, fi finguli fucceffiue fubftituantur, refulta*. bit ifta feries: I—x—xXxX,-FE xr x, —xU—x 5, papa, —3a5—3x*5, 2. etc. Hic autem ordo exponenüum facilius perfpicitur. Cum enim in valoribus litterarum A, B, C, D, primo conftitu- tis primi termini fimplices effent x', x*, x'', x", x*, ex- ponentes manifefto funt numeri trigonales triplicati, vnde generatim pro numero 7 erit ifte exponens **"—**. Ve- rum hi termini fequuntur binas poteftates ipfius x pro- cedentes per eandem differentium s, vnde numerum 5 ab hac formula bis fubtrahendo orientur binae poteftates in feriem: quaefitam ingredientes , quarum exponentes confe- quenter erunt *"—** er t*7—*, T $. 17. Hinc igitur viciffim patet, feriem gy—2i—x—aix-ci pr —axt—ax-aU-rai a" - etc. in infiaitui continuatam habere infinitos factores, qui fci- licet erunt (1—x), 1— xz, 1— 3, 1—2x5 I—x, etc, ita vt fi primo diuidatur per 1 — x, tum "vero quotus per 1— Xx, ifte quotüs porro per 1 — a*, hocque modo in in- finitum diuifio continuetur, vltimum quotum refultantem vnitati aequalem cífe oportebit. «52 )s5( ese 6. 18. Quod fi ergo propofita fuerit ifta aequatio in infinitum excurrens: Ey A ppp xm Ata xs etc —0, eius omnes radices facile affignari poffunt, Primum enim radix erit x — r, deinde binae radices quadratae ex vnitate, tum vero ternae radices cubicae ex vnitate, porro quater- nae radices biquadratae ex vnitate , fimilique modo qui- nae radices poteílatis quintae ex vnitate, et ita porro, inter quas igitur ipía vnitas infinities occurrit; at vero — rx ibi reperietur, vbi radix poteflatis paris eít cxtrahenda. DE -2 )se( $t D E MIRABILIBVS PROPRIETATIBVS NVMERORVM PENTAGONALIVM. Auctore L. EVLERO, 6. r. d claffem numerorum pentagonalium non folum cos refero, qui vulgo proprie ita nominari folent & in formula ———-" continentur, fed ctiam eos, quos ifta formula: —73-* fuppeditat; ita vt formula generalis om- nium horum numerorum fit ———-*, ex qua igitur na- fcitur fequens geminata nümerorum feries, fi loco m fuc- ce(íhue fcribantur ordine numeri O, I, 2, 3, 4, ctc. " iesu qoe 6 Numeri O, 1,5, 08 2 8241 25, 5 0.25; 7 420 B 26, 49, 57 pentagon. Quilibet fcilicet. numerus pro s affumtus duos producit numeros, quos hic fibi inuicem fubfícripfi, ita vt feries fu- perior contineat numeros pentagonales proprie ita dictos, inferior vero cos, quos bic quoque ad eandem claflem refero, ct qui oriuntur fi fuperior feries retro continue- tur. Lori ) 57;( $9 tur. Hic autem binos coniunctim exhibeo, qui ex eodem numero z in formula ——"—:* oriuntur, quoniam in fe- quentibus eos horum numerorum difítinguemus, qui vel ex numeris paribus vel imparibus pro s affumtis nafcuntur. 6. 2. Quod fi hos numeros ordine magnitudinis in vnam feriem coniiciamus, orietur ifta progreffio: O, I, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 5 1, 57, Ctc. cuius ordo manifeflo eft interruptus, quoniam progreífio differentiarum hinc fit I, 1, 35, 2, 5, 3, 7; 45 9; 5, 1I, Ctc. quae mixta eft ex ferie numerorum naturalium et impa- rium. At vero ifta feries ad continuitatem perduci po- teít, fi poft tertium quemque terminum certa fractio in- terpoletur. Scilicet inter terminos 2 et 5 conflituatur ^, tum "vero ? inter 7 et 12, porrp 7 inter 135 et 22, ita vt feries completa fit qon our 375099 E Qu P3290 10M ubi S» "BEC" fic enim feries differentiarum lege continua procedet, dum erit I,$,3» 2» 1» p» 9» $) 3 4» etC. Manifeflum autem eft, illam feriem oriri, fi omnes nu- meri trigonales per 3 diuidantur. Hinc igitur iam pul- chra fe offert proprietas noftrorum numerorum pentago- malium, quod finguli ter fumti euadant numeri trigonales. $. 3. Tales autem proprietates, quas immediate ex formulis generalibus deriuare licet, etiam in aliis nu- meris polygonalibus locum habere poffunt, ad quas igi- Acta Acad. Imp. Sc. Tom. IF. P. I. H tur e52 )ss( $9 tur non refpicio; cum mihi potius propofitum fit quas- dam proprietates admirabiles commemorare, quibus nu- meri pentagonales prae omnibus reliquis polygonalibus funt praediti. Atque hic occurrit illa infignis horum nu- merorum proprietas, qua iam olim oftendi, iftam nu- merorum pentagonalium feriem tam arcte cum progreffio- ne, quam fummae diuiforum numerorum naturalium. con- ftituunt, effe connexam, vt cius ope adeo lex iftius fe- riei maxime irregularis affignari poffit, id quod breuiter repetere operae pretium erit. 6. 4. Quod fi quilibet numerus N cum fuis di- viforibus in vnam fummam colligatur, quam fummam hoc charactere: / N indicemus, ex numcris naturalibus fe- quens nafcetur feries primo intuitu maxime irregularis: N [1,:2,:95 4» $4639 2118,29, EOS 3E vbi termini tam inordinate progrediuntur, dum modo crefcunt modo decrefcunt, vt vix quisquam eorum |le- gem deteget , quandoquidem ifta feries ordinem numerorum primorum manifefto in fe inuoluit, $. s. Interim tamen demonf(lraui, iftam progres- fionem, quantumuis irregularem, ad claffem ferierum re- currentium effe referendam, et fingulos eius terminos fe- cundum certam legem ex praecedentibus determinari poffe, Quod fi enim /N denotet fummam omnium diuiforum huius numeri N, ipfo non excepto, inueni femper fore /NZ/(N —1)2-/(N —2)—/(N —5) /(N -7) -/(N —12) /(N — 15) — f/(N —22) —/(N — 26) 4- etc. vbi et22 ) so (889 vbi numeri, qui füccefüue ab N fubtrahuntur, coaftituunt manifefto noftram feriem numerorum pentagonalium I, 2, 5, 7, I2, 15, 22, 26, 35, 40, etc. ita vt termini, ex numeris imparibus pro fs affumtis ori- undi habeant fignum -1-, qui vero ex paribus nafcuntur figmoum —. Tum vero, quouis cafu has formulas eo vs- que continuari oportet, quoad numeri poft fignum f Ícripti non euadant negatiui; at fi occurrat formula f(N — N), eius loco fcribi debet ipfe numerus N. ta fi fumamus N — r2», erit fi2:fir--fio—f47-/fs--fo ideoque erit — - fi2z-17-]-18—9$9--6-p[-12 — 28. At vero fi füumamus N — 15$, erit fig z f12-pfii—f8—f6-- fs fue erit f13 — 28-1- 12 — 135 — 12 4- 1 — 14. 6. 6. Quoniam igitur ordo, quo fummae diuifo- rum progrediuntur, merito maxime irregularis videtur, ne- mini certe in mentem venire potuit, eum per numeros pentagonales explorari potuiffe, ex quo ifta fípeculatio v- tique maxime e(t admiranda. — Afferam autem adhuc ali- am eiusmodi proprietatem, quae quidem cum expofita ar&iffime eft connexa, attamen ad plures non minus ad- mirandas proprietates perducit, quae omnes pariter in na- tura numerorum noftrorum pentagonalium funt fundatae. H 2 $. 7. et )e6o( $53 $. 75. Fundamentum autem omnium harum mi- rabilium proprietatum in euolutione huius producti infiniti : S — (1—x)(1- x. (x -x" (1—2x*)( 17x? (1—x^) (1 —x7) (etc. continetur: demonftraui enim, fi finguli hi fa&ores actu in fe inuicem multiplicentur, tum denique refultare itlam feriem : S—1:—x' — x* E x - pv! — x^ — x 4 x" 4 x" — etc, vbi exponentes ipfius x conítituunt noftram feriem nume- rorum pentagonalium, ratione fignorum autem -]- et — ambo alternatim geminantur, ita vt qui exponentes ex numeris paribus pro 7 affümtis oriuntur, eae potceílates ha- beant fignum --, reliqui vero ex imparibus ortis fignum —. Haec igitur non minus admirationem noftram mere- tur quam proprietas ante commemorata, cum nulla certe appareat ratio, vnde vllus nexus intelligi poffit inter euo- lutionem illius producti et noftros numeros pentagonales, 6$. $. Cum igitur feries ifta poteflatum ipfius x aequalis fit producto illi infinito, fi eam nihilo aequalem flatuamus, vt habeamus hanc aequationem : oc—i—x'-—x-rx!'c«-x—x"*—»*x*.--»x"-r»x'5-— etc, ca omnes casdem inuoluet radices, quas productum illud nibilo aequatum includit. Ex primo fcilicet factore 1— x erit x — 1; ex fecundo factore 1 — x x erit vel x 24- x yel x — — 15; cx tertio facore 1 — x' naícuntur hae tres radices: o -—— r -— & o V — s o ——L1-V-1I, 1) x221, 2) xz—t—3, g) x2 —t—r*—* ex quarto autem factore x — x' — o oriuntur hae qua- tuor radices: 17) eES j)s6r ( S63 1*) x — Rs 0) x0 Àrandh)e auem — i et j)x-—Y-—ry quintus àütemi fa&or 1 — 3*-— o (uppeditat has quinque radices: I 39) * xri: £- 1M soie f (onmyces nans) 5 II DWRLEPITM ZW "t. € -— n — 3?) x —tuüniveYEs ouf, ap) yc cukNScE YI ier ag) 5^) x ———vky izyCae-y:3 fextus autem factor praebet has fex radices: 19) xE-r,2 xL—2,39) xf 4^) y — £u. 5?) Kuss CRUCE S, 62; utes? Ule. ecei | $. 9. Hinc igitur patet, omnes radices cuiuscun- que poteflatis ex vnitate fimul effe radices noftrae | aequas tionis. Ac fi rem in genere confideremus, ponendo 1—x"—0, primo patet, vnam radicem femper effe x — rz, ac fi n fuerit numerus par, aliam radicem fore x — — t, Pro reliquis autem radicibus confiderari debent factores trinomiales formulae 1 —x^, qui, vii alibi fatis eft expo- fitum, in hac forma generali contincntur: - T" I — 2 X cof, —7 -- * x, fumendo pro ; fucceíhue omnes numeros integros ipfo 13 non maiores. Hoc autem-fa&ore nihilo aequato eruuntur iftae duae radices: , x — cof, :1* Y — 1 fin. £77. et xc cof. —Yy a fin. —7. Hinc enim vicilm fit H 3 oH ec ) 62 ( $$ x*"—cof2im--Y-—zrfn.2im, Eft autem cof. 2i 7 — 1 et fin. 277 — 0, ideoque x* — r5 vnde, fi pro » et i fücceíline omnes numeri integri acci- piantur, haec forma: x-—cof*!* 4 Y — x fin. *7* praebebit omnes radices noftrae aequationis o—1r—x—x'-Lx-rx!—x"—x-rx"-4- x'f — etc. ita vt iflius aequationis omncs plane radices aílgnare va- leamus. $. xo. Quod fi ergo omnes radices iftius aequatio- nis litteris a, 8, "y, 9, c, etc. indicemus, cius factores erunt ——*, ls mi —. p, et. vnde ex natura ac- quationum colligimus fore fummam omnium harum frac- tionum: ; -i- B7 5--5-r- etc, — 1, fummam vero pros du&orum ex binis —— x, tum vero fummam productorum €x ternis — o, fummam productorum cx quaternis — o, fummam producorum ex quinis —— 1x, fummam producto- rum ex fenis — o, fummam produ&orum ex feptenis ——1i, etc. Hinc autem porro conciudimus fore fummam quadratorum illarum fractionum, fcilicet Arr - he ete c8, fummam cuborum e: 7 dit yg: etc. — 4, fummam biquadratorum d^ di 4-7 d P ctc. — 7, ct ita porro; vbi quidem nullus ordo perfpicitur. 6. 1r et; )6s( $5 $. x1, Quod autem hic de fractionibus 7, à, y, etc. diximus, etiam de ipfius radicibus a, (9, ^y, etc. valet. Si enim « fuerit radix noítrae aequationis, per ca quae oftendimus haec radix continetur in hac formula: cof. —* - Y — 1 fin. *77, Hinc autem fit I Y ZLTE im Hc Ud ure ee i Ecko prese Gear wr & . COÍ. 27 -- Y— 1 fin. 77 ^ m quae itidem eít radix noftrae aequationis; vnde patet, fi i fuerit radix noítrae aequationis, etiam a fore radicem. 6. 12. Denotet igitur « radicem quamcunque ae- quationis 1 — x" — o, quandoquidem tum etiam erit ra- dix noítrae aequationis 1—XxX—xx--x -r-x -—x"—xss-r-etc. —0, tum igitur erit a^ — 1. Praeterea vero etiam omnes po- teffates ipfius à radices fimul erunt aequationis 1 — x"—o. Si enim loco x fcribamus «a fiet 12 x"-x—a^", Cum autem fit a^ — r, paret etiam fore a^" — x, ideoque i1— a4" ——0, quod idem manifeftum eft de cubo a? et omnibus poteftatibus altioribus. Hinc igitur fequitur fore GNI Nr —2* ta rre Sicque in genere erit o!" - ^ — o^, 6. 13. Si igitur « denotet radicermi quamcurique noftrae acquationís, ita vt fit a" — 1, fi in ea loco x fcribamus a, certe euadet haec feries: 1 — a —a --a5 --a' —a"* —a'5 -- a" 4- etc. — o. Prae- e )64( t9 Praeterea vero etiam ponendo x — a a erit L — d) —o' 4 a4? --a'* — a) — a? 4 a** -- ete, —6, et in genere fi loco x fcribamus a/, denotante 7 numerum quemcunque integrum, etiam fiet I—a — a! -rF ai! d! — ani —aui 4. at .b etc, — 0, Atque hoc ctiam valebit, fi pro i numeri negatiui accie piantur, fi quidem oftendimus, radices quoque effe 4, /;, FT *, etc. 6. 14. Quoniam hic affümfimus « effe radicem aequationis 1 — x* — o, percurramus ordine cafus, quibus eft vel x vel 2, vel 5, vel 4, etc. Ac primo quidem, fi n — rz, neceffario eft & -— r, quo valore fubftituto no- ftra aequatio generalis induet hanc formam: I— I—I-d-I1I-F-FI—1:—1r1-F-rI-Lrr etc. quae feries manifefto ex infinitis periodis conflatur, qua- rum fingulae continent hos terminos: 1 — 1 — 1 -- 1, vn- de cuiusque periodi valor e(t — o, ideoque ctiam infinitae. periodi fimul fumti fummam habebunt — o. Quoniam au« tem continuata concipi debet, fi percurfis iam infinitis. periodis infuper vnus terminus accedat, fumma erit — o; fi-tres accedant, fumma crit — 1 et fi quatuor accedant — o, quo cafu tota periodus cft adiecta; quare, cum nu- merus infinitus nusquam terminetur, fumma feriei infini- tae medium tenebit inter 4 fümmas modo memoratas 1,0, —1, O, quod medium reperitur, fi aggregatum harum quatuor fummarum per numerum, hoc eft per qua- ternarium diuidatur; tum autem manifefto prodit o, quae ergo vera cenfenda eft fumma noftrae feriei, 6. 15. ec ) 65 ( cte €. rs. Simile fcilicet ratiocinium hic adhiberi poteft, quo vulgo oftendi folet fummam feriei Leibmizia- züae r—ri--ri—i-Fr—r--r-—r- etc. effe —:; hoc autem conceffo veritas praefentis afferti fponte elucet. Cum enim fit X—r--r-—r-|ri-—ri-ietc.— i, erit —1I-L-ri—r--zx-—r--I-—etc ——£ ergo combinandis his duabus feriebus erit Y—i-——zi-FrLF-r-—ri-—ri-Lr-pFri-—r-etc.—o. 6. 16. Confideremus nunc cafum quo n— 2 ct &0X-— 1, vbi quidem eft «à vel -41- 1 vel — x. Retineamus autem litteram « pro vtrauis earum defignanda, et cum fit bh" —wrild VII Góc duse Es &tC, fa&a fubftitutione noflra aequatio generalis hanc induet formam : 1—o6—I-g-Fa—1—a-p1|--r—-a—14-2--a4 — 1— a --1 etc, quae feries pariter per certas periodos progreditur, quae continuo replicantur, atque vnaquaeque earum conítat ex his o&o terminis: y—-m—E-ra46-4—1-—*--I, quorum fumma eft o, ficque numerus quantumuis ma- gnus talium integrarum periodorum certe euanefícit. At fi vero infuper vnüs, vel duo, vel 5, vel ad eo 8 ter- mjni accedant, fummae fequenti modo fe habebunt: Acla 4cad. Inp. Sc. Tom. IF. P. I. I fi in- et ) 66 ( S5 fi infuper accedat fumma erit vnüs terminus I duo - - - I—a« £res 2iumei jl» —a quatuor — - - o quinque - - a fex - dad | d — I feprem - - — t octo -* -5..- | re] quarum o&o fuümmarum aggregatum eft o, vnde tuto concludimus totius huius feriei, quam inuenimus, in infi- nitum continuatae fumma,n effe — o. 6. r7. Hinc patet, fummam huius feriei periodi- cae perinde nihilo aequari, quemcunque valorem habucrit littera «a; verus enim valor ipfius a, quo eft «z— x, iam in confiderationem cft ductus, dum ipfae periodi ex eó funt natae; quamobrem haec feries in duas partes difpefci poteft , quarum altera contineat fíolas vnitates, altera ve- ro folas litteras a; ac neceffe eft, vt vtriisque fumma feorfim nihilo fiat aequalis, ita vt fit I—I—I-FI, -FrI—1—I1-F-I, X I—1—I-FI, Ctc. —o —a-J-a-4-a—«4, —a4-«X--«4—*X, —a«ra--«—«, etc. 2 o, vtriusque autem vcritas ex pofitis principiis fit. manifefta. 6. 18. Simili modo res fe habebit in radicibus cubicis ipfius r, ponendo 24' — x, et quoniam periodi ad plures. terminos excurrent, feriem generalem per binos terminos fibi fubfcriptos referamus, vt fit in genere et )67( $9 r—a --oe6 —a^*-a"-—as5 ete) — —ae* 3a! —a«5 aac etc$ Quod fi iam fumatur &* — x, vt fit MEE. d Um. Kum. — d5.EtC prodibit fequeus progreffio periodica: r—a Fo —1i-Fa —a -pri| —a pa —1-4a —o'4 1| —a da —r-4daé-—a|-t1 —a-Fa —1-4a —a|-r 1 nihilo aequalis, vbi quaelibet periodus conítat duodecim terminis triplicis generis, fcilicet x, a, a. Ac facile ap. paret, terminos cuiusque generis feorfim fumtos feriem exhibere nihilo aequalem, vnitates enim con(lituunt hanc feriem: etc. I—I—I-FI, --1—I—I-LI, -Fr—-1i—1-F-r, etc. — o litterae vero « et aa conflituunt fequentes feries: —& -F& «4 —4&, —X 4444-4, —a-ra-ra —a ,etc.—ó —a« ra^ -4-a -*, —a'-E«-ra«&^—a', —a^'-rFa'-r«—«, etc.z o. Harum autem fingularum fummas nihilo aequales effe ma- nifeítum eft. $. 19. Confideremus porro etiam radices biqua- dratas vnitatis, fitque a4* — 1, ac prodibit fequens fcries periodica: 1—4 -ka —1 -pa^—a^4 d^—a 4-1|-a. cx —1 -L- etc. —q«-Fa/—w--a^—Ii -F«a-—a [91 —e- bea -l- etc. vbi fingulae periodi conftant ex fedecim terminis, qui ad quatuor genera relati praebent fequentes quatuor feries, fingulas nihilo aequales: I2 I— E or d et32 ) 68 ( $9 I—I- I-XI,-F1—I—I-GI,; 41—1-—1-HI, etc. —o —u -kta-F& —4, —u-rFa-FEx —u, —ax-rx-F& —«, etc. — o —a'-k.a^--a^—a*, —a-rFa-rx —«. —a-ra-ra-—maw, etc. zo -Fa'—a'—a'--a', -Fa'—a'—a'-rF«, -Fa'—a'—a-ra', etc. Z 9 $. 20. Quamquam hinc nofira conclufio pro ra- dicibus altioribus iam fatis e(t confirmata, tamen neceffe eft infuper cafum, quo a' -— r, euoluere, quandoquidem hic non omnes poteflates quinta inferiores occurrent, Sit igitur o5 — 1 et haec feries periodica prodibit: : I—a F1 —a^-ka! —14ca —1 -ka—a^4-1|-« -1 1 tC. —a*--a^—1 -ka —1-ra* —a^4-1 -a |H-1—a)-Fa* 5d. vbi poteflates c' et a* penitus excluduntur. | Quare cum quaclibet periodus 20 conftet terminis, reliquae potcftates faepius occurrant neceffe cft; fingulis autem |. feorfim fum- tis tres fequentes feries periodicae occurrunt : I-F1—1—1—I-—I-FI-cI,1-FI1-1—I —I—Id4IAI, etc.—O —a-F4à-Fa—a, —a- 4 --a —a, —a «a -F« —a, ctc. — o — d^-r a^— a^-- a! -Ed — à c a?—6,— a 7 x —a aec. o Hinc iam veritas feriei ipfarum « ex praecedentibus cft manifefta; binae reliquae autem, quarum periodi octo ter- minis conítant, fi fecundum principia hactenus ftabilita examinentur, ctiam nihilo aequales deprehendentur, quo- niam non folum termini fÍolius periodi fe mutuo deflru- unt, fed etiam termini ferici fnmmatricis inde formatae, Íta cx (ferie vauitatum oritur haec feries fummatrix : 1.2, 1,0, —1,—2,— I, 0: cuius fumma itidem euancícit, quod idem vfu wenit in ferie quadratorum, 6. ar. H2 )69( S3 $. er. Ex his iam abunde patet, eandem pro- prietatem etiam in radicibus altioribus locum effe habitu- ram, ex quotcunque etiam terminis fiagulae periodi fuerint compofitae;. .quod .certe eo magis eít mirandum, cum - illa proprietas in nullas alias feries poteftatum competere polit, atque penitus propria fit feriei numerorum pen- tagonalium. 6. 22. Vt autem rem in genere ob oculos ponae mus, fii a^ — zx, vnde nafcuntur periodi ex 4 7 terminis conítantes , qui erunt vel 1, vel z, vel a^, vel o? etc. Plerumque autem. non omnes poteftates. inferiores quam &* occurrent, vnde periodi fingularum poteílatum ipfius a« plerumque pluribus quam 4 terminis conítabunt, | Semper autem non folum ip termini cuiusque periodi fe mutuo deftruent, fed etiam termini feriei fuümmatricis. lta fi confideremus . poteítates a^, exiftente r numero minore quam z, exícrie noftra numerorum pentagonalium omnes excerpantur termini, qui per z diuifi hoc idem refiduum r relinquant. — Ac fi cuique horum terminorum fuum de- bitum fignum praefigatur, talis prodibit feries : -Ea-ba -bat-koat-d- ate bos «4b etc. quae femper eX certis periodis ratione fignorum --.et — conflabit, idque ita, vt cuiusque periodi omnes termini fimul fumti fe mutuo deftruant atque idem etiam in ferie fummatrice eueniat. $. 23. Vetum hae proprietates hactenus comme- moratae ;níuper innumerabiles alias non. minos admirat das poll fe trahunt. Si enim « fuerit radiX cuiusque po- l 3 Le(Latis et )7o( $9 teftatis » ex vnitate, ita vt 1r — fit fa&or formulae Y—a^, euidens eft, eum etiam fore factorem formula- yum r— x! ", 1 — x^", r — x*",etc. in infinitum. Quare, cum hae formulae omnes fint factores noftrae: progreflionis 1-*—-4x--4 --:2-—x*— ec n. eadem radix a in hac aequatione non tantum femel fed adeo infinities occurrit, ita vt ifta aequatio infinitas ha- beat radices ipfi a aequales. | ^ 6. 24. Nouimus autem ex natura acquationum , fi aequatio quaecunque i Y-4-Ax-rT-Bxx-4-C3s'-4-D x*- etc.— 0, habeat duas radices aequales a, tum etiam a fore radi- cem aequationis per differentiationem natae, fcilicet: A--2Bx--53Cxx-r-4D »-r ctc. —0, ac fi habeat tres radices aequales 4, tum infuper « quo- que erit radix iftius aequationis per differentiationem na- tae, poftquam fcilicet illam aequationem diffcrentialem per x multiplicauerimus 1'1A 2- 22. Bx -- 8. C x x A- 4. Ds* 4- etc. —0, vnde fi haec aequatio habuerit A radices acquales, quae fingulae fint — a, femper crit 1A 4r 25* Ba 247 5^ Caa-r- 4^ Da!-- etc. — 0, vnde fi vniformitatis gratia hanc aequationem per c mul- tiplicemus, erit quoque 1 Aa-r- 2^. Ba! 47 3^. Cà? 417. 4, Da* 4 etc. — o. 6. 25. Cum igitur pofito a' — x nofílra aequatio ex numeris pentagonalibus formata — es )v"t( c I—'-—3x -r-a-r-aa —x*-ax*-r-etc. o; habeat infinitas radices :pífi & aequales, erit quoque « ra- dix omnium aequationum in hac forma generali conten- tarum: — 1^ x — 2^ a* 2L 5^ x5 AL 9^ a? — 12^ x'* — ete, — 6 quicunque numerus integer pro A accipiatur. Semper igi- tur erit — 1^ a.— 2^ a? - 5a 4 3^ à? — 12^ a? — etc, — 0, 6$. 26. / Ad hoc clarius oftendendum füumamus & — I1, eritque femper — 13 — 2^ .- 5^-- 2 — 125 — 15^ 2. etc — o, ac pro cafu A — o veritatem iftius aequationis iam pro- bauimus. Sit igitur À — 1 et mon(trandum erit, huius feriei diuergentis infinitae : —1—2-1-5-L-7—12-— 15-1-22 -1- 26 — etc. fummam effe — o. Quoniam autem haec feries eft in. terrupta, feu potius ex duabus feriebus mixta, vtramque fcorfim contemplemur, ponendo $——1--5—12-1-22— 35 -- etc. et 1——2-|-7— 15 -4- 26 — 40 1 etc. atque oftendi oportet fore s 4-.£ — o. $. 27. Ex doctrina autem ferierum, quae fignis alternantibus procedunt, veluti A— B-4- C— D - etc. conflat, huius feriei in infinitum — progredientis füummam e(Te —IA—i;(B—A)4-;(C— 2B-4-A)— 5 (D—35 C4- 3 B— AJ etc. quae -H2 )7( f4e quae regula ita commodius per differentias exponitur, fci- licet ratione fignorum fepofita. Ex ferie numerorum A , B, C, D, E, ctc. formetur feries. differentiarum, dum quilibet terminus illius feriei a fequente fubtrahitur, quae fit a, 5, c, d, etc. Eadem porro lege ex hac ferie differentiarum formetur feries fecundarum diffe- rentiarum , quae fit a, 5, c', d', etc. ex hac porro feries tertiarum differentiarum, quae fit a^, 5b", c, d, £^, etc. atque. hoc modo vlterius donec ad differentias conftantes perueniatur. Tum autem ex terminis primis omnium ha- rum ferierum fumma feriei propofitae ita determinatur, vt ea fit: ;A—ia-r;a!— , a! 4r j, a! — 1 al! 1. etc. 6$. 28. Hac regula ftabilita, cum fignis mutatis fit —$2251—54-12—232-4-35— 51.4 79, —. etc. et —$2-—'74014—29643-40-—57-4-:72,— 6t. hi termini fequenti modo difponantur ac differentiae fub- fcribantur : I, 5, I2, 22, 35, 51, 70 etc.|2, 7, 15, 26, 40, 57, 7*7 etc. 4» 7) 19, 13, 16, 19 | $, 8, 11, 14, I7, 20 335. 5,.5 3 | 3,355353 0, 0,0, 0 nas, 0,.0 Hinc igitur colligitur fore Li * 3 — —$24,-—ií--1-—-—1,fiue 5 — ;, porro —p-i1—i-ci—u fiue ; — —, vnde manifeflo conficitur cffe 5 -1- ; — oc. eji )7s3( S89 6$. 20. Quanquam ipfae rationes, quibus hae pro- prietates innituntur, nullum plane dubium relinquunt: ta- men haud inutile crit, iftam veritatem etiam pro cafu A — 2 oftendiffe, fiue. reuera effe — 1* — 2* e 5* -- 3* — x2* — 15* 4- 22* -- etc. — o. Difcerpatur enim haec feries itidem in duas, quae fint mutatis fignis: 4$ L—-rLa'—s*-L12'—22*-1- $5*—,51*-4- etc. ] — 2'— 3! -- 15* — 26' -- 40' — s'7* -1- etc. ac pro prioris fumma inuenienda in(lituatur fequens operatio: Series — I, 25, I44, 484, 1225, 260I, 4900 Diff. I. 24, II9, 340, 741, 1576, 2299 Diff II. 95, 221, 401, 6535. 923 Diff. III. i126, 180, 294, 28$ Diff. IV. 54, 54, 54. Diff. V. 0, Q Hinc igitur erit £Sa—33À515 um *-d-as—4& Simili modo pro altera ferie Series 4» 49, 225, 676, 1606, 3249, $929 Diff. I. 45 176, 451, 924, 1649, 2680 Diff. II. 131, 275. 473, 725, IOSI Diff. III. 144. 198, 252, 306 Diff. IV. 545 54., 54. Dif. V. 0,0 Aca Acad, Imp. Sc. Tom. IF. P. I. K Hinc -w; )7€( $9 Hinc concluditur EIi—-T-- T—*-H5&5-—5 Quamobrem cui&um eít totam fummam fore 5 -[- t — o. $. 30. Confideremus nunc etíam radices quadra- tas, fiue fit à^ — x, hincque orietur ifta feries : —1iMa— 23^54-5Mka-p- 3 a—125— 15a 22^ --F26^— etc. — 9, wnde fi terminos vnitatem et « continentes a fe inuicem fcparemus, binas obtincbimus feries nihilo aequales, fcilicet: — 2^ — ra^... 22^ 4- 26^ — 40^ — 19? 4 92^-F ctc. — 0 et — 1* & -- 5^. & -- 3. (t 1s^. &— 35". a -- 5A*. [s -d-5s94*. 4 dE. 50i Quod fi vero harum ferierum veritatem codem modo, quo ante fumus vfi, oftendere vellemus, vnamquamque in qua- tuor alias feries difcerpi oporteret, vt fcilicet tandem ad differentias conítantes perueniremus, — Atc vero f(i quis hanc operam fufcipere voluerit, certus effe poterit, ag- grcgatum omnium fummarum partialium fore — o. $. 3x. Nunc generaliffime totum negotium: com- plectamur, fitque o^ — 1, et quaeramus feriem, quae con- tineat. tantom poteftates a". Hunc in finem ex omnibus noflris numeris pentagonalibus excerpamus eos, qui per 7 diwifi relinquunt. idem refiduum r. Sint igitur itli nume- ri pentagonales A, B, C, D, E, ctc. omnes fcilicet for- mae eB; )7s( $e mae wyz-i-f, et cuiusque fignum. -1-, quod ipfi conuenit, follicite notetur. "Tum autem fempet erit -L A^-BOB'-bBOO'-- D^ acere — 0, quicunque valor integer exponenti ^ tribuatur. ^ ÁAtqué ia bac forma generaliffima omnes feries, quas ha&enus erui- mus, et quarum fummas nihilo aequari oftendimus, con- tinentur. INT É- 5 [v] e$ )y6 ( f:9e INTÉGRATION d'une efpéce remarquable d'équations différentielles dans. l'Analyfe des fon&tions à deux variables, par l'introduction de nouvelles variables; gn | NICOLAS FUSS. S. z marque une fon&ion quelconque des deux varia- bles x & y, & quon défigne par les caractéres (4^7 B J q 8 P dx (£2 (f); &c. les différentielles de sov die: en prennant la feule x pour variable; par (23) » ($58), S). &c. les différenticlles de la méme fonéiion pour la wariabilité de la feule y; par (2225); (iu) (2225) etc. les différenticlles, en ne prennant x variable qu une fois, & ainfi de fuite, & qu'on forme de ces différens ordres de différentielles Ics expreffions fuivantes: P—x($2)4- (25), Q—ar(i2)4 2xy( ica) X GE), : R2 (Z3) 3275 (525) 3 XY (5245:) 17 (331) etc, etc. il s'agira de trouver les intégrales complettes de ccs équa- tions : P-—o, ep ) 77 ( Sue P—0,11— 548 —0,/8 — 6, eft & des équations compofées de celles- là: Az--BP-—o Az --BP--CQ--o, Az--BP-J4-CQ-J4-DR-—o, etc. objet qui pourra étre rempli trés facilement par l'ufage de deux nouvelles variables ; & 4 de la fonc&ion pro- pofée. Mais. avant que d'introdnire ces nouvelles variables, il fera bon de chercher la relation qui fübfifte entre les formules P, Q, R, S, etc. dont chacune peut étre tirée de celle aui la précéde immediatement , comme on verra par le Probléme tfuivant. Probléme r. Trouver le rapport quil y a entre les expre(fions P, Q, R, S, eic... leurs. différentielles. Solution. A caufe de P — x (25) 4- y (22) on aura (22) — ($2) 4- x ($25) 2-5 (328. ) et D- PM (5) 73 (553) c * G5) donc x (22 3) d-7 (55) — x ($3) 4-5 (£5) 4a (15) i 2 y C32) "LA^ (G0)s équation qui fe reduit évidemment à celle- ci: x (15) 2- y (32) zxP--Q. K 3 L'ex- e$ )78( $s5e L'expreffion Q—x Gara cy(5)--y (322) donne. (2$) — 2x (255) 4-6 (22) 45 2 y T "^R ? (33:45) 27 X" GE). & (25) — 2» ($22) a.» 1x)4-2: icd "r2 xy (132.) Ae ao (S18 ix:25 )* 4'oü lon tire x (G5) tr (15) — v GS) rex 25) -- 2 »* (251) 2-9 (2 2) r2 Y (4555) T3 5J' (35550) 9» (23) ou bien z (22) --» (19) — 2 Q -i- R. De la méme maniére en cherchant de l'équation R les différentiells (75) & (23), la premiére multipliée par x ajoutée à l'autre mbltipliée par ) donnera la relation fui- vante x (25) 4- y (45) 2 8 R -- S; & cette opération continuée pour l'expreffion S fournira x(2)2»(25)— 48r T, & ainfi de fuite; d'oü lon voit facilement comment cha- que cxpreífion peut étre déduite de la précédente. Le Probléme fuivant enfeignera la transformation des diffé- rentielles de la fonction z, exprimées par x & y, pour d'autres variables ; & wv. Pro- ep ) 79 ( S5 Probléme o. Quand z exprime ume fondion quelconque de deux variables x &* y, &* quau lieu de ces variables on en in- iroduit deux autres t c» u, telles que x —tu éy y—u, trouver les valeurs des. différentielles 4a) (25); (252), (a5); v 5); &c. exprimées par ces nouvelles variables. Solution. Soit pour les premieres variables dz —mdx--ndy & pour les nouvelles Zz — Mdt-i- N du, pour avoir ($2) m, (32) — m G3) — M; (22) —N & puisque xcciw,,-—ujdx-tdu-rud(o dye, nous aurors mdx--ndy-mtdu--mudt--nduzdz-Mdi--Ndu, & partant M-—mu&N-mrt-r-5, d'oà l'on tire —&s—N—micN-IM, ou bien, eu introduifant au lieu de sy z, M, N les diffe- renticlles, nous auroris (8)-(22)— 4055 (5) C) O74 G- Soit pour les différentielles fecondes ; (75) — & nous aurons (45) — v, & partant (£57) — (3) —iGpP d x? d x (en vertu de l'équation 9() , donc (52) - (582) — (52), i enH2 )so( $3 (à caufe de (12) — w, ou bien dx--udi) d'ol l'on tire (€ ($52) — c (8). Enfuite, à caufe de ( ji)—v , ou aura en prennant. les diff. rentielles n (42252 — uns (£3 $3 Or, en mettant bu Fécuidii (8) v à la place de z on obtient £i)-- D mais € -—i(411), donc (32)2—-2(D-iUA)Ó SR GD-IGY) & partant [43s T—5— E109] 3-11 202 BENE) Enfin puisqu'il y a en vertu de l'équation 25; A ed HA e^ 45) — v u dt (pour bibe s on aura 443) — (29) — (GE) — 4 Ey T du di ( par E yc de $5). Mais zi) --d-u(nau) i idu) 7 (£)- (f) & partant (5) — 2 00-5 Gne e acm Pour les troifiémes différenticlles nous mettrons pour abréger €. (22)2 4 Dv, à 2) (1v —1 (£2) (en -B3 )sr( S2 (en vertu de 9() & l'équation € différentiée. donne dv... 1» (d'e| dr ) EE FI de forte que ( (£a vl nícs É ui FN On a de plus (77-) — (;25.), & en mettant au lieü de (5 ) l'exprefhon déduite de €, favoir : (522)— 4 (55) on aura T "d n (—Á Erzy )— 0 d u 05 )- Or nu dd a )m— zx (za) & t 4d v t diz "Ur r)-—u us (25) - ce qui Tm fubftitué, donne dd 1 diz t. ,45z (2255) &— 2 (29) 2 nan) 7 ar (an )- Enfuite en mettant l'expreffion trouvée ci deflus dd LE udo tí 44 tt,;4dd dd oe (557) — En)". rez 1-5 (28) rl eu) pt FEZ "C nous aurons iB)—CIP—UUES donc | G EDT RI e gs) - Ls t t (45 2 dz TEVOLET —5 (zeaa2 (e A nj. Enfin en prennant la différentielle de o" pour y variable, on aura (57 cy ce qui donne dz d a (15) o C3 d'oü, à caufe de "uu cc-GDAa Uu GA) -uG5a) -- LE (455) sit (2) i (72), & Adla Acad. Imp. Sc. Tom, IF. P. I. L r3 ea )s2( fue f! (dw. d a Carm 2 mee) ^ eG RO Ve ond e 4 B ; xd ;GL-L i) " | on obtiendra podr (73) cette expreffion : d z LE NI stíddz ni 4d € LOU (d'zw | Gs rar ATEPE (827 nA, t Ge Ge C». "Oo Nous avons donc pour le premier ordre des áit fcrentielles : cR (2s ——r(i)-t Pour le PRU ordre : Eds) cue (3. 1 ae 227) — ( iiR)-- ; FE ip) i GE Tim E » y u 15») 2- 41 (92) 54 242) A- Z2 (557) 2 (122). dtdu Pour le troifiéme ordre: Gi). | em d GÀíi)-—- 554 5G5*EJ— 4 T sj, » c» d E d d d! [57 — adr ora tiu) V e Cap) a qs) — 8 (ry - rae -- unes - qw at- Ss u- u G miu zi (r "RES is (3 - I| feroit fupeérflu de contimuer ces opérations pour les ordres fupérieurs. 1l fuffit d'avoir montré par ces détails le procédé qu'il faudra fuivre pour cet effet. Pro- et2 ) 88 ( gt Probléme Ill. ' Transformer les expreffions P, Q, Ry, S, etc. en intra- duifant les nouvelles variables. Solution. Si dans l'équation P —x (725) -- y (25) on met f£ au lieu de x, & uv au de de y, & qu'on íubftitue aux T2), (5) les valeurs 1 (15) & (gs) — t (2. on obtient P—:()4€:— I" v D—u(nu Les équations marquécs par 9f et 35, en mettanr P à la place de z, donnent $39—i6)&(3—G5-LGD, d'oh, à caufe de P — £ (22), l'on tire (i9 — G4, et G9 - O^ «eu to) & partant | *ü D) 52 35] 5-0 e) Fi (es). slOE x(t ?) 4.» (39)— P-rQ, comme nous avons yu dans le premier Probléme, ce qui fournit cette équation : u Ha Cu-?-EFQ-—9À65-2-Q, Vd au donc Qu (dis). Les mémes équations du fecond Probleme 9( et 95 donnent (2) 109) et $0 — G1) G1 L2 ou en )s&( $53 ou bien, 1 caufe de Q — 6 (722), il y aura 13)-u (Iris) &( 15)— 24a Pe) ru(um) & partant x (9 4-5 G2) z 2 32) pu (73), ce qui, à caufe de x(19) 2-7(13) 2 2Q -- R, donne l'équation 25 (22) wn (73) -2Q-FRZ2w (32). R, de laquelle on tire R— (22). Il y a donc par les nouvelles variables: P-u(j, Q-w()R-e(3» Scu. Corollaire. La relation entre les P, Q, R,S, que nous avons trouvée dans le premier Probléme, eft encore trés remar- quable pour ces formules exprimées par les nouvelles va- riables.. Car P — u/ 27), donc u($1)—u(23) -- w (222) — P -- Q, d y? g(;9) — 2w (1259 4- y! (23) — 2Q 4- R. u(45)—53w(72)-2- ut (£2) —3R 2r S, d u* & ainfi de fuite; rapports dont nous pourrons faire ufage dans la fuite pour l'intégration des équations Az--BP-4-CQ-- ctc. —0, à laquelle ec$3 ) 85 [ $9 à laquelle nous ferons précéder celle des équations fim. ples dans les Problémes fuivans. Probleme r. Trouver l'imégrale complete de cete équation. différenii- elle: u (22) — o. Solution. Dans l'équation (22) — o la quantité 7 eft. ouver- tement conítante; en prennant l'intégrale on a z égal à une quantité conftante, pour laquelle nous écrirons une fon&ion quelconque FP de la conítante ;, de fíorte que zccP:t. Fn revenant aux anciennes variables x et y on auroit F: - pour l'ntégrale de cette équation différen- tielle: x (75) 2- y (25) —Q Probléme 2. Trouver limégrale complette. de. cette. équation. difféven- iielle du fecond. degré: uu (122) — o. Solution. Comme la quantité 7 eft auffi conflante dans cette équation (742) 2o, dont la premiere intégrale 47) eft égale à une quantité conftante, nous la mettrons égale à une foncüon F':7, pour avoir (0 ERE QUE. dont l'intégrale z—conft.--u F':; —F:r--uE':r. L 3 En -fw; ) s6( $9 En exprimant cette équation par les variables x et y, nous aurions l'intégrale nIÉF:f-yF:r, pour cette équation differentielle du fecond degré: S2,;ddz ddz d dz —. Az (Tm) 2xy(f—)2» 6 525—o Probléme 5. Trouver Tlintégrale complete. de. cette. équation. différen- tielle du troifiéme degré: w' ($-3-) — o. Solution. Aiant donc (75) — o, fi nous marquons par des fonétions de la conítante 7, favoir par F:7, F':7, F":r, les conftantes qui entrent par l'intégration, nous aurons (412) — FE! 11, (15 2 F' 9$ -- w F": fet z--rF:r-rT-ur::--1:3E: Ainfi en reprennant les variables x et y on a azPISEOpEPU E pour l'intégrale de l'équation différentielle que voici: x' (52) F3! y Get) 8 3 Gz152 47" (252) — 6. On voit aifément comment procéder pour les ordres fupérienrs, & il ne ícra pas difficile d'affgner, en fuivant le méme raifonnement, l'intégrale d'une équation de cette cfpéce d'un ordre quelconque. — Nous allons finir ce. mé- moire par montrer lufíage de lintroducion de nos non- velles variables dans l'intégration des équations plus com- pliquées, pour lesquelles il fera bon de dcbuter par cette obfervation. Ob- e )sv( $e Obfervation préliminaire. M. Euler à demontré dans un. mémoire qui roule fur la méme matiére, que l'intégrale de l'équation — 25V—x(QD-o-rGD et V — y" 9:7, oà 9( marque une fonction quelconque. Chés nous il y a xcopu,y-—u5,(1-105, (par l'équation marquée par 9() & Cpar l'équation. marquée 25); donc x) -—6,-—uw(. Ainfi lintégrale de l'équation y V2 4 (27) fera V —u'9t:r, 9| étant une fondion de /, Probléme 1. Trouver Pintégrale de cette. equation. différentielle : /Az-r-BP-o. Solution. Soit V— az & nous aurons en vertu du lemme précédent 2 z — g^ 49::&rV-—muaz & u()-au($:)—nv—nas. Or £ (22) P, donc zaz-4P, ou bien —7222z-FaP—0, équation qui, comparée avec la propotée À z -4- B P — o, fournit a B & nac — A, & partant 5 — — 5 — a, doü Pon tire en fubftituant, B z — 1^ 9(::, & en divifant par B, puisque 9Í e(t une fonction arbitraire, on pourra mettre z — ^ D : f, Pro- et32 ) ss ( T Probléme 2. Trouver lintégrale complete de. cette. équation. différen- tielle du fecond degré: A --BP-i- C Q—0. Solution. K do Mettons az-j-bP à la place de V du lemme, pour avoir a z 3- b P — y" 9(::, & puisque nV-naz--nbP & ui -—auw(i5-bu(jD, — on aura naz--nbP-—au(i9--bu(5, ' ou bien, à caufe de u (4s —y uu u(1) —P--Q (corollaire du Probléme IIL), on aura —naz--(a—(n—a)b)P--5bQ—o. Cette équation. comparée avec la propofee donne b-C; azB-(1—1)C & AZ—naz—-nB-n(n—-1)C ou bien n(n—1)C--nB--A—oO0 :doà il faut déterminer la lettre z, — Soyent les deux ra- cines de cette équation. quarrée 2 — a, 27 — Q, & les va- leurs correfpondantes à a & 5»: a! & b', en fubftituant dans l'équation a z -j- à P — w^ 9(:7 on aura az--bP-—wu9:t1; a! z -- b P —w935:1; d'oh en éliminant P, à caufe des fon&ions 9( & 95 arbi- traires, on tirera une exprefíbon pour z dc la forme fui- ante: z — wu Q : £47 uP Q : rz. Pro- eg ) $9 ( $e Probléme 5. Trouver Pintégrale de «eie équation. di ifférentielle. du troi- Jiàme degré: Az j-BP--CQ-- DR — o. Solution. Sot V—az--bP-r-cQ-—w9:7, & nous aurons naz--nbP--ncQ-au(i5) -bu(iD) eu 22) ou bien —naz- (a—(n—1)5)P-F(ó—(n—2) c) Q-- cR —o, équation dont la comparaifon avec la propofée donne cz D; &zC 4-(1—2)D; azB-r (1-1) C -(0—1) (2—2) D & n(n—1) (a— 2)D 4-2 (n— 1) C--nB-4- A —o. Soyent les racines de cette équation 5—«, n—(, n — y, & les valeurs correfpondantes aux a, b, c, foyent al, bi, cl, pour 2» — (8 & a", 5", ,"^, pour 2 — y, nous aurons: az--bP-recQc-uw 93r az-- b P-2-cQcu8S:t az -- b" P 4- e Q— wu! €:t d'oà lon tire aifément, aprés avoir éliminé les P & Q, une expreffhon pour z de cette forme: z-—u 0D:r--u) 0 ::--uY0":r. On voit affés de quelle facon on doit continuer ces opérations pour les équations des. degrés fuüpérieurs & méme ea général pour une équation indéfinie Az--BP--CQ--DR--ES-4- &c. 23 9 Ada Acad. Imp. Sc. Tom. IF. P. IF. M On ems5 )go( f On trouve au refte dans le mémoire cité de M. Euler des éclairciff. mens. touchant les cas, oà les racines a, Q, y renferment une ou plufieures imaginaires, auífi bien que relativement à ces cas, oit deux ou plufieures de ces racines deviennent égales entre- celles. Dans le premier cas l'inté- grale ne pourroit étre réclle, dans l'autre cas elle ne feroit plis que particuliere, puisqu'il n'y auroit. pas autant de fon&ions arbitraires que le nombre des intéegrations exige. L'un & l'autre. inconvénient peut étre*redrefíé par les rédu&ions expofeées dans le mémoire cité. —— —À ——— À—s"— —— ———— PROBLE- e$ )or( ee PROBLEMATIS CVIVSDAM PAPPI ALEXANDRINI CONSTRVCTIO. Auctore Il. EVLER C. 'Theorema. Si a terminis re&ae cuiuscunque A B ad circuli cuius- Tab. I. cunque punctum quoduis P ducantur rectae A P Fig. 1. et BP, circulum fecantes in A et B, tum vero punda F et G ita capiantur, vt fit A F— LS 2€t5 GIU tum femper erit FR.EK—GPGs-AEF.HG -Demonflratio. Repraeftntetur pofitio rectae A B cum punctis F et G refpcétu centri illius circuli O, ac ponatur A Oc a, BO — P, radius circuli O 9 — Oz —* et AB—c; tum vero fit F O — f,'G'O — g, eritque A P. Aa — An. A m. Ei vero Ag —a--r et A m—ac- r, ideoque AP.Aacaa-—rr. M 2 Simili "Tab. I. Fig. 2. e$ )o2( $s3 Simili modo erit BP.Bo —B».By—(6--70(b—r), : fiue BP.B5—bb-—rr. Eodem modo colligitur fore FP.Ff—ff—rr e GP.Gg—gg-—rr. Sumtis igitur AF-—**—rttet BG hr, z 7 demonflrandum eft fore ue ut A d — (aa—rr)t^b—rr) ff—-tft—gg—rr—te:—t20»—r9, quem in finem fequens Lemma in fübfidium crit voe candum. Lemma. Si ex trianguli A O B. pun&o O ad lateris oppofiti AB punc&um datum F ducatur recta OF, erit FO:—A9-.524 20. AF . A F. BF, Demonítratio. Demiffo ex E in A B' perpendiculo O ITI erit AO'— AIF 4- IIO' Z (AF H- F II --- F O^ - F IT', fiuc AO'—AF'--FO'--2AF.FII; eodemque modo crit BO'—BF'--FO'—-aBF.F It. Si prior harum aequationum du&a in B F ad alteram in A F ductam addatur, prodibit A O*. eti» Q)ox(( Se AO*.BF4-BO*. AFZBF(AF--FO»--A F(BE-F O?) fiue M E. i ' AO*.BF--BO-AF—FO*.AB--BF. AF. AB, vnde £ — AO BF-r-E A PpOo'— aodpuBeL A. Q. E. D. Continuatio prioris demonf(trationis. " Ponaur AF — ——"rT-——a4, BG— D BA—à, Tab. 1. eritque n ilimiffig- 1. ae PETER ét « MERECE Iam ex Lemmate erit w 4 ^. EESdo Mes af Wette eto - a et fi loco aa et 55 fubítitaantar valores modo dati, ha- bebitur eff errare, fine ff— ra ' 9bnt Cum porro fit |. ^ i GO-cchorardaoryr AF.BF, ! eodem modo demon(tratur fore egg—cerr-r-agec, vegg—rr—«&Q hincque .- d 4 | « ff—-trrzgg-—rrzEn—IDOb—r (Q.ECD; Hinc fequens formari poteft 'Theorema. Si ex trianguli A B C pun&o O ad bafin AB duae Fig *. ducantur rectae inter fe aequales OF et OG, erit AO*—AB.AF —BO'—4A B. BG. M 3 Demon- eH) )sk( S Demonfítratio. Demiffo ex vertice O :perpendiculo O II, erit FY—GII—-C;FG. Cum igitur fit AQ'—AF'--FO'--23AF.FII, fiue AQ'—AF'-4g-FQOQ'-- AF.FG, erit AQ'—FQ'2-AF.AG. Simili modo erit B O! — FO' -- BF. BG. Ex priore fit. FO'—AQ'—AF.AG, vnde FO'-AF.BG—AOC'—-A-BEB.AF. Ex altera fit EQ'—BO'—-BEF.BG, confequenter FO'CAF.BG-—BO'—-AB.BG, vnde fequitur L ; AQ'—AB.AF-—BO'—AB.BG. Q. E. D. Corollarium. Quotius igitur fuerit AQO'—-AB.AF—BO'- AB. BG—A;, bisae rectae F O er G O crunt. inter fe. aequales, fimul- que erit FO! - AF. BG— A. Quod fi ergo capiatur AF-*^9—4 etBG— 195.9 erit FO — GO. ^t im praecedente Thcoremate erat AF zt BGcc'*--t, vnde A—trn ABpcleÉne go T9 et FO'—rr —'AT.B G. Piroble- eg32 ) es ( $523 Problema. Ciredlo dato, centro O defcripto, triangulum 2 5 c Tab. I. infcribere, cuius tria: latera 4 P, ac, b &, produca, Fig. 3. per data tria puncta C, B, À, tranfcanr. Confítru&io. Sint A, B, 'C, tria puncta data, quorum diftantiae à centro circuli O fiot AO —a, BO —^2, C Oe, ra- dio circuli exiftente — x. Iam ex pun&o B capiatur in- — HALE LY - A X — BF(aa-:) terualium. B F — —LÀ— eritque F O DI-OML. Tum iuncta reca F C, fuper ea capiatur interuallum FX—E9:5—:5— BF(aa— 1) FC (OASBSEC . dle — FK(cc-——) Iam ex centro O talis ducatur radius O 9, vt fit cofinus anguli K O ; — 9275. "um bifecetur angulus BF C recta FS, cui ex puncto z parallela agatur recta mb, eritque » unus angulorum trianguli quacfiti, ad quem fi ex puncdo A ducatur recta A B, ea produca circulum in. C fecabit. Ex hoc puncto C ad B ducatur recta CB circulum fcecans in 2a; tum vero latüs 7 a productum per tertium pun&um datum C traufibit, eritque a P c trian- gulum quaefitum. , eritque Corollarium 1. Sint duo pun&orum datorum A et C infinite di- Fig. 4. ftantia in. retis ABA, CBC fe mutuo in B decuffan- tibus. Ex B dacatur recta Beca, refecans a circulo ar- cum c4, cui in peripheria infiftant anguli, angulo C B A aequa- 'Yig. 6. et )oe( Be aequales, tum ductis ex a re&is ab ipi CBC, et bc ipfi ABA parallelis, erit a» c triangulum quaefitum, Corollarium 2. Cadant omnia tria pund&a data ad diftantías infini- tas in rectis OA, OB, OC; tum rectae O A parallela agatur recta Pc ad diftantiam a centro OX — co. BOC; tum ductis rectis Pa ipfi O C et ca ipfi OB parallelis habebitur triangulum quaeficum. Scholion 1. Ceterum hic probe notandum eft, . con(tructionem fupra da:am duas folutiones fuppeditare, prout angulus K O m dextrorfum fiue fioiftrorfum accipitur. Praeterea vero, cum tria puncta A, B, C, iuter fe fint permutabilia, fex diuerfis modis confiru&io hic data inflitui poteít, qui ergo. omnes easdem binas folutiones praebere debent, cu- ius rei tamen nulla ratio patet. ' Scholion 2. iL sfoi Hoc Problema «etiam pro fphaera refolui poteft, ita vt circülo minori in fphaera defcripto triangulum fphac- ricum ac inícribi debcat, ita comparatum, vt cius latera producta ab, ac, bc, tranfeant per data tria pun&a in fphaerae fuperficie, C, B, A. Concipiatur enim planum, fphaeram in centro circuli O tangens, feper quo trian- gulum planum modo praefcripto iam fit conftructum; eius- que translatio ad fuperficiem fphaerae erit facillima, cum omnes anguli circa centrum in fuperficie tam plani quam fpheerae fint ijdem, diflantiae vero punctorum datorum A, B, C ct angulorum triangflli a, b, € a ccntro O ín tangentes abeant. SOL V- Sec: )o7( $59 SU Ly T10. PROBLEMATIS GEOMETRICI PAPPI ALEXANDRINI. Auctore NICOLAO FUSS. petere geometrici, cuius confítru&ionem Ill. Eulerus Tab, fr. : in differtatione praecedente tradidit, cafus fimplicior Fig. r. occurrit in Co/letionum ;Matbematicarum Pappi, Alexandrini LibroVII, vbi Problema ita proponitur: * Circulo A B C, * pofitione dato; et datis tribus pun&is D, E, F, in li- «* nea recta, infle&tere D A E, et facere BC in directum *jpfi CF". Huius Problematis conftrucio, ipfius Pappi eiusue. Commentatoris. Corumendini verbis expreffa, ita fe habet: *Sit circulus AB C, data autem in re&a linea * tria punda D EF, | Et quadrato eius lineae, quae a * puncto E ducta circulum contingit aequale ponatur rect- *t angulum D E'H, et datis duobus punctis H F, ab ipfis **jn circulum infletatur H CF, ita vt B G parallela. fit «f HF, iundaque. E C ad A producatur. | Dico recam Aia Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. N » lineam Tab II. Fig. 2 et; Jos ( $3 *]ineam effe quae per AED tranfit. ^ Quoniam vnum- * quodque re&angulorum A E C, DEH aequale eft qua- * drato. lineae a pun&o E cotingentis, erit rectangulum * AE C aequale re&angulo D EH. — In circulo igitur "fant punta DH CA, Et quoniam angulus BG C. an- *gulo CH F eft aequalis, angulus autem B G C aequalis *angulo BA C in circulo, erit angulus B A C aequalis "ipfi CH E: et funt in circulo ACH D pun&a, ergo * AB in cadem reca linea conítituitur in qua eft B C." Problema hoc Solutioni prioris latius patentis an- fam praebuit, cuius conflru&cionem autequam agegredia- mur, Paefppi cafum fimpliciorem more noflro conftruxiffe iuuabit, quem in finem fequens Problema praemittamus. Problema t. Dato circulo, céntro O, . radio OM defcripto, datirque tribus punctis D, E, F, in direcum iacentibus, cir- culo triangulum AB C. infcribere, cuius latera, pro- ducta fi opus tfl, per terna illa puncta tranfeant. — Conftru&tio. Iungantur pun&a D, E, F, reda DF, et cum data fint interualla D E, EO, vna cum radio circuli - M O, füper re&a DE capiatur internallum EHz E9779, ductaque recta H O fuper eadem reca D E fumatur in» terualum H K — F9— *9*, am ex puncto K ducatur rca K G circulum tangens in pun&o G, et ex G aga- tur eti) )oo( $$ tur re&ae D F' parallela GB; tum reca D B producta dabit punctum A, ex quo fi ducatür recta A E circulum in C fecans, reca B.C produ&a per punc&um F traníi- bit, eritque À B C triangulum quaefitum. Scholion, Veritas huius conftru&ionis, ingeniofiffimae Papi Solutioni fimilis, ex demonftratione conftructionis Proble- matis fequentis generalioris patebit, vbi tria puncta data D, E, F, non in direcum, fed vtcunque fita affümuntur, quippe ad quem cafum praecedentis conftrucionis mo- menta etiam applicari poterunt. Problema 2». Dato circulo, centro O, radio OM defcripto, datisque Tv. Y. tribus punctis D, E, EF, «teunque. fitis, infcribere Fig. 3. circulo. triangulum. & B C, ita comparatum, «t eius laera, fi opus efl producia, per data tria. puncta iranfeant. . Conflructio. lungantur pun&a D, E, O, rectis DO, EO, quip- pe quae datae funr, vna cum radio circuli M O. | Capia- tur in reca D E interuallum EH-—E9—-"9', Ex H ad tertium punctum inter datos F ducatur recta HF, fu- per qua capiatur interuallum H K — K2' — *9*, — Super eadem reca HF fumatur interuallum H R —'MO, et demiffo ex R in D E perpendiculo R S, centro O, ra- Na. dio "Tab. IL Fig. 1, ems )1c0o( $8- dio HS defcribatur circulus dato concentricus. Quo fac- to ex K agatur re&a KG, circulum minorum tangens in T, maiorem vero fecaos in G et I. Tum ex G agatur rc&a G B parallela re&ae D E, ductisque rec&is D B et FB, circulum, priori producta, fecantibus in A et C, re&a AC produc&a per punc&um E tranfibit, eritque A B C.triangulum quaefitum. Demonftratio. Sit AB C triangulum quaefitum, cuius terna la- tera AB, AC, B C, producta, per data tria puncta D, E, F tranfeant. Ex B recae D E paralella agatur recta B G, atque ex G per puncum C ducatur reda G H, rec- tae DE occurrens in H. Du&a porro reca HF, ci nor- maliter agatur B I, atque ex G. per I ducatur G K, rectae MF occurrens in K; et nunc demonftrandum eft fore 1). EH — 989; 27. HK — 8o xo, Primo erit angulus EHC-BGC, tum vero BGC —BAE, quia eidem arcui infiftunt. Triangula igitur ECH et EDA, ob angulos EHC et EAD aequales, et commu- nem angulum ad E, erunt fimilia, vnde colligitur fore EC:EH-—BEBD:EA, confequenter erit EC.EA—ED.EH. Du&a autem ex E per centrum O recta E w, circulum fecans in M et m, crit EC.EA—EM.Em- (EO—MO) (EQ 4- M O), crgo ep; )31xor( Ge ergo EC.EA-ED.EH-EO:-—MO*, ideoque : — EO'-——Mo BEHH-— DUE ——* Quod eral vnum. Porro erunt anguli H F C et IB C aequales; 1B. O vero aequalis eft angulo eidem arcui infiftenti IG C. Tri- angula igitur H F C et HG K, angulum communem | ad H angulosque HF C, H GK aequales habentia, funt fimi- lia; confequenter erit HC:HF—HK:HG, vnde fit : HF.HK-—HC.HG. At du&a ex H per centrum O reca H M'! O » £et HC.HG—HM'Hz'—(HO—-MO)(HO-4-MO) ideoque HF.HK—HO'-MO"", vnde prodit HK-—T"9*mo, Quod erat alterum. Hic quidem fuppofüimus effe vi noftrae Conftruc&tios nis rectám BI recae HF parallelam, — Hoc reuera fieri . fequenti modo oftenditur: Cum in confirndtione fumferis mus interuallum HR radio circuli dati O M aequale , ducdaque normali R S circulus minor defcriptus fit radio OTC-—HS, erit TI — R S, ideoque angulus EHR-—TOI-—GBI, N 3 con« Tab II. Fig. 2. efi ) rof ( Sue confequenter, quoniam re&a BG parallela eft re&ae D E, per conftru&ionem, recta B I etiam ipfi HF parallela fit neceffe eft. Q. E. D. Corollarium 1. Si pun&um E intra circulum cadat, ita vt habea- tur EO 4M O, crit E9—7"?*. quantitas negatiua ; vnde patet, hoc | cafu "inti, EH, quod ia con(lru&ione a pun&o E. verfus D erat fumtum, in fenfum contrarium . fuper reda DE producta fumi debere. Corollarium 2. * Si pun&um H intra circulum cadat, id quod eue- nire poteft, fi vnum alterumue pundorum D & E in cir- culo fuerit fitum, vel etiam , fi re&a D E tantum circu- lum fecet et portio eius intra circulum cadat; tum, ob HO-ZMO, ideoque quantitatem. 9*9 "Peessiham , pun&um K, quod in conflruáione noftra a H verfus F erat fumtum , nunc in contrariam plagam cadit & inter- uallum H K fuper recta F H. producta fumendum erit. Scholion r. Semper autem duas. infle&ere | licet. re&as K T, quae circulum minorem tangant, altera in "T, quemadmo- dum fupra eft fa&um, altera. ex parte oppofita in T^ vn- de duo triangula nafcuntur. plane inter fe diuerfa, quorum terna latera per data tria puncta tranfibunt. Dcterminato enim puncto K, vti tupra docuimus, & defcripto, fecundum conftru- &ionis praecepta, circulo minore concentrico, primo ex K agatur wE33 ) 193 ( Fd agatur recta K. G,. minorem circulum tangens in T: ;maío- rem vero fecaus in I & G ; tum, ex "fuperiore. interfe&tio- nis pun&o G recae D E parallela agatur G B, ductisque B.A. verfus D, BC verfus F,, A € puxdem, E; verfus , habebitur triangulum quaefitum prius. - Iam. iterum ex K agatur reca KY circulum. minorem ex altera. parte tans gens in (T/, maiorem vero fecans in. G^ et 1l'; nunc vero ex inferiore interfectionis pun&o G' re&ae D E vel GB parallela agatur G'/B', & recta D B/ dabit pun&um A, recta E A', producta, dabit punctum C/, & C! B/ producta per tertium punctum F tranfibit, eritque A' C/ B/ alterum triangulum. quaefito fatisfaciens et a priori plane diuerfum. Scholion 2a. Eodem quo hic pun&a D et E tracauimus modo operationes etiam refpectu pun&orum D et F, vel E et F inftitui poterunt; vnde ires conftru&iones oriuntur, qua- rum quaelibet duas praebet Solutiones. "Tum; vero, quem- admodum hic punctum E pro termino-a quo in determi- natione puncti H fuerat affumtum , ita etiam pun&um D pro hoc termino ufürpari poterit. Eodem modo res fe habet refpecu punc&orum E et F, et D et F , quorum quodlibet pro termino a quo in determinatione pun&i H fumi poteft. Verum cmnes duodecim conítrudiones hoc modo oriundae non nifi binas illas Solutiones, de quibus fupra locuti fumus, producunt, quemadmodum tentanti vel ex conftru&ione pro quouis cafu inftituta, vel ex ana- lytica Problematis noftii tractatione patebit. — Problema enim eft planum, eiusque Solutio analytica ad aequationem fccuns et3$ ) 104 ( c9 fec&hdi gradus perducit, ex qua, duas tantum Solutiones locum habere, manifeftum eft. - Geometricam huius: veritatis demonftrationem com- pletam dedit Cel. Caffillan in A&orum Academiae Regiae Borufficac Tomo pro Anno 1776. PHYSI- PHYSICO . MATHEMATICA. Aca Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. O eS ) aie? ( oe QURE RcEereuwememDpsmt a me uet Ee Iu t. DE MOTV LIBERO PLVRIVM CORPORVM FILIS COLLIGATORVM SVPER PLANO HORIZONTALI. Aud&ore L. EFVLE RO. Problema r. e S duo corpora A ei B, filo AB —a colligata, fuper pla- ry 1v. uo borizontali vteunque proiiciantur, eorum motum. deter-. Fig, r. minare. Solutio. Elapfo tempore 7? habeant corpora fitum in figura repraefentatum, et pro vtroque ponantur coordinatae OP z xp PiAS— y 6t, OQ cx iepQB-'; porro ponatur angulus B A 5 — f , eritque Ap--acofp et Bp —afin.p, vnde fit x!—&-racof 5 et y —y -1- a fin. p. O 2 Iam eB2 ) 108 ( 325$- lam fit tenfio fili A B — P. qua corpus A fecundum di- rectiones fuarum coordinatarum protrahitur viribus Pcof. p . » rj 3 ! ^T" Wi "X £1 . et P fin. p corpus vero B iisdem viribus retrahitur ; vnde principia motus fequentes praebent acquationes: L 4442 — p cof. p; I I. 2243 c Pay! LAg92 -—— TI. flm — P cof. 5 IV. B5 — — P fin. 5. Hinc iam ftatim prima ae tertía additae dant Addx--Bddx' -—o et fecunda et quarta dat Addy--Bddy-—o; ex quibus integratis colligitur - Ax--Bx'—dát-- y A y -4- B)! — y 1 24-6. Hinc cognofcimus, ambo corpora ita moueri, vt eorum commune centrum grauitatis in linea recta vniformiter pro- grediatur, Quod fi nunc toto fpatio aequalem motum in directionem contrariam mente imprimamus, centrum gra- uitatis in quiete manebit, quod ergo ponamus effe in ipfo pun&o O, ac pro hoc cafü motum corporum inueftigemus, quo inuento, centro grauitatis iterum motus vniformis recilineus, quem. dempfimus, imprimatur, et prodibit ve- 1u5 motus amborum corporum, hocque modo obtinebimus vt fiat: Ax--Bx' —o ct Ay -- B7! — o. Cum igitur fit x! x-racof.p et y! — y -1- a fin. 5 hinc 32 nen toe" hinc fiet ( A 4- B) x-1- Ba cof. ? — o et (A--B)y 4- Ba fia. p vnde porro colligitur (A4- B) (oto 977] SNB qu ideoque Y (x x4-XJ) — zz» vbi Y (x x -- y y) denotat diftantiam corporis A a centro Tab. IV. O, quae ergo manet conítans, perinde ac diftantia alterius Mig. a corporis B ab O, Sit igitur A OB fitus, amborum cor- porum poft tempus — /, eritque A O B linea recta — a, ac diftantiae . AO-—. et BO-— 4 — A--B A--B' Supere(t ergo tantum vt angulus A OP vel B O Q, quem flum A B cum axe conftituit, definiatur; hic vero angulus cum fit f, ex aequationibus prima et fecunda definiri poteft, vnde fit: A dd x fin. p — Va Ek fiue d d x fin. P — d d y cof. p — Quare, cum ex fupra inuentis id TS pU crc AGE — his valoribus fubílitutis fiet — fin. f. d 4. cof. p -4- cof. p. d d. fin. p — o. Eft vero: d d.cof. p — — d d pin. p — d p* cof. p. et d d. fin. p —d d p cof. p — d p* fin. p, vnde fit 2d p — o, ficque adipiftimur p — «? 4-5 vnde difcimus, celeritatem angularem fili A B, quae eft TP AN effe conftantem, quocirca folutio no(lri problematis ita fe habet: Quomodocunque noftra corpora filo A B colligata O 5 pro- "Tab. TV. Fig. z en2 )rro( He proiiciantur, eorum motus ita erit comparatus, vt eorum commune centrum grauitatis g vniformiter in directum progrediatur, interea vero ambo corpora circa hoc ipfum pun&um £g vniformiter gyrentur, prouti fcilicet motus primo impreffus poftulat. Problema 2. 6. 2. Si tria corpora A, B, C, filis AB—a et B C— b connexa, etcunque. fuper plano borizontali proiici- antur, eorum motum inuefligare. Solutio. Ponantur pro fingulis corporibus coordinatae OPeT2HPAT- 17 00-—52, 0B-y. Om Ro -— tum vero inclinatio filorum, fcilicet anguli B A » — f et CB4-—4, hincque ftatim fit x -— x-Facofp; x'— x*-Facof.p-Fbcof. 4 y —y--afin.p — 3"— y 4r a fin. p -- b fin. q. Porro denotet P tenfionem fili A B et Q tenfionem fili B C, ex quibus oriuntur fequentes aequationcs ; L Uu COLP :gá4t! — I. 5722, — P fin. p; III, 2242; — — P cof. f -- Q cof. 2; JV piids — — P fn. p 4- Q fin. 2; V. £435 — — Q cof. 4; VIL £757 —-— Q fin. 4j qua- en )arr( iHe quarum prima, tertia et quinta additae manifefto praebent Addx--B4dx'-r-Cddx'—o; fimilique modo II. IV et VI additae praebent Addy--Bddy-r-Cddy'-—o; quibus vt ante motus aequabilis recilineus centri gra- vitatis communis indicabitur, qui motus cum iam vt cognitus fpe&cari poífit, centrum grauitatis quafi in O fi- xum iam concipiamus, hincque: habebimus. has: aequa- tiones : A x -- Bx/-4- C y/ 0 et Ay 4- Bj -- Cy^—o, hincque porro colligimus fequentes aequationes: (A--B-- C) x4: (B 4- C)a cof. p4- Cb cof. q4— 0 et (A 4- B-- C) y 4- (B 4- C) a in. 4- C» fin. 4 —o vnde ipfae coordinatae fequenti modo exprimentur: y — -(BXO9Oacof.p— - C bcof. bcof. 4. M irs — (B-- C)a fin. * — m A--B-r-c T WuA-ESB--C —— Aa cof. p — C b cof. q —- ^ a fin. p — C b fin. q a "e ^A--B--C -F De 7 Ad-B--C al! — ^ a cof. 5 -1- (A 37 B) beof. 9 git o Bain. p b 3- (A 3- B) b fin. q A --D-4-C ? A-cB-cC Nunc igitur fupereft vt bini anguli f et 4 definiantur. Hunc in finem ex aequationum Iet II eliminemus tenfio- nem P, vnde fit 24 xfíin.p —4d y cof. p — 0; fimilique modo ex V et VI, eliminando tenfionem Qi, habebimus dd x'íin.q—d dy! cof. q — 0; quarum prior, reflitutis valoribus, abit in fequentent: -1- (B 4- C) a (cof. p. 4d. fin. p — fin. p. d 4. P E: -i- C b (cot. p. d d. fin. g — fin. p. d d. cof. q) 9. 7 h. pofterior vexo eodem modo tractata pracbet -i- (&- e. )1n( l5 -t- (A 4-B)b(fin.g.dd.cof.q —cof.q.dd.fin.g)) — — - -1- A a ( in. q. d d. cof. p — cof. q. d d. fin. p) eo Ad has aequationes refoluendas notemus effe: cof. p. d d. fin. p — fin. p. d d. cof. p — d dp cof. p. d d. fin.q — fin. p.d d. cof. q — d dq cof. (qg—p). — d q' Gn. (q — p) fin. g. 2 d. cof. 4 — cof. q. d . fin. g ——— 4 dq fin. g d d.cof. p —cof. q. d d. fin.p — —4 d pcof. (q —p) — d p' fin. (4 — p). Hi ergo valores in fuperioribus aequationibus fubftituti pracbent.iftas : ; (B4.C) add p-4-C b(d dq cot. (q—p) — d4' fin.(g—p)) o et — (A--B)b d dq —A a(ddpcof. (q—p) --d p' fin (q—p)) — o. Ponamus K gsm et &7- Bg, vt habeamus has duas aequationes: 1r.mddp--ddqcof(q—p)—4dq fin.(q—p)—o 2. nddq--ddpcof. (q - f) -- d p' fin. (q—p) —o ex quibus ambos angulos incognitos Pp ct 4 elicere opor- tet, id quod fequenti modo fuccedet. - Integrentur hae duae aequationes, quod fieri licet more folito, ac reperietur: mdp dqcof.(q—p) —fdpd q fin. (q— p) 2 conft. a d Q-- dp cof. (q— p) Ff d p d q fin. (q— p) z conft. vnde patet, füinmmam harum formularum a formulis inte- gralibus fore liberam, ita vt hinc adipifcamur hanc ae- qua- $32 ) II3 ( eed quationem integratam: 9. mdp--ndq--(dp--dq)cof. (q —*)-iadt. Deinde vero ifta combinatio: 1*. 2p --2*. dq fit integra bilis et praebet hanc aequationem: mdp --rindq-rdpdqcof(g—p) idu ita vt nunc loco binarum aequationum differentialium fe- cundi gradus habeamus fequentes duas aequationes tantum primi gradus: ; L 2mdp--2ndq--F2(dp--dq)cof.(q—p)—adt; ll. 4mdp'--4ndq' A- 4dpdqcof.(g —2)— 84r; quarum tamen vlterior refolutio non parum dexteritatis poftulat. Sequenti autem modo negotium expediri poterit, Faciamus fcilicet fequentes fubfítitutiones: Primo fiat q— p — D, vt fit dq—dp—d Q; ac ponamus porro | dp— (—)40 et 24— (t—)40, denique vero etiam ponatur d;—0 44, vt omnia elementa ad idem differentiale (p reducamus, hocque modo no- firae aequationes induent formas fequentes: L (m-2-5)u--n—m--2ucof.( D —a? V, (m--n)uuJ-2 (n—m) u4- m 4- n 4- 2 (uu—1) cof. 5— 809 : TE D2 ?€&0-bm-uUur ex quarum priore colligitur y — —77 7— ej. lam cum aequatio altera fit | uu(m--n-4- 2cof.(D) J-2u (n— m) d-m-- n —2 cof. (oz 00, in hac loco 4 valor modo inuentus fubítituatur et prodibit Acla Acad, Imp. Sc. Tom. IV. P. I. P [6] ess )rrn&( $5 gi—iit—io mate mpra "n—m im Tm a n o-- 3 cj. m -- n -- a Oy. --m--n—2cof. Qo, quae porro reducitur ad hanc formam: aa00 -- 4mn— 4cof.Q* —(66 (m-A- n 4- 2 cof. D), ex qua aequatione commode clicitur — 4 (m n — cof. ' ' 00 — EAE ita wt fit -"— 2 Y (m n e cof. Q') — v iBima-n4a-36. 0) — aa)" Quia ergo potuimus Z7 — 6 4, erit dt — 2:40 v(mmn—co.d' — — Y(B(ma-n4-3cj.$)j —aa)* Sicque iam habemus relationem inter tempus 7 et angu- lum Q. ita vt inde ad quoduis tempus angulus ( defi- niri poffit. * Quodfi iam loco € hunc valorem fubftituamus, nan- cifcemur pro u iftam formulam: u-— (n — m) e» 2 a V(m n — cf. Q') — m-4-n 4 2f ' m-na-a€9. Q v (Bin 3- a 4-3 cof. Q) — aa)" ita vt hic u per folum angulum Q definiatur. Hinc ergo quaeratur integrale / u d Q, quo inuento innotefcent ambo anguli P et 4: erit enim p—ifudp—iO et q—ifudo-r iQ, vbi integrale /: dp nouam quantitatem conflantem in- cludit, quemadmodum ctiam 7/0 4(p conftantem arbitra- riam comple&itur, ita vt cum literis « et ( omnino qua* tuor conftantes arbitrariac in noflra folutione continean- tur, prorfus vt integratio completa poftulat. Statim enim dedu&i fumus ad fex aequationes differentiales, quarum duae autem inferuiebant vtrique tenfioni P ct Q defini- endis, ita vt tantum quatuor ipfam folutionem contineant; at et )rrs( $90 at vero duae aequationes integrales initio ftatim inuentae A x 4- B x!-4- C x! — 9: -- 95 et Aj-2-Bj--C5"-—Ge:-r39 iam continebant quatuor conítantes arbitrarias, etiamfi eas nihilo aequales affumfimus, vt commune centrum gra- vitatis ad quietem redigeremus; vnde patet, per quatuor ilas conftantes nunc introductas íolutionem | completam reddi. Quod autem ad iftas conftantes attinet, maui- feftum eft. conftantem (8 neque euanefcentem neque ne- gatiuam accipi poffe, quia. aliquoquin formula pro tem- pore fieret imaginaria; quin etiam femper effe debet B zia ac fi angulus MEME ad 180? augeri poflit, tum effe oportet (8 - — 7 —. Circa quantitates autem zz et z n-— (A -t- B) (B 4- C) notaffe iuuabit effe 7 ; quae quantitas fem- per vnitate maior eft, nifi fuerit B — o, qui autem ca- fus ad problema prius reuolueretur; tum vero erit — aa À(B--C) EC UR HEUBE: qois Du we—mBood quae quantitas in infinitum augeri MA. fi fiat vel a—o m "P a Ly c(Ad-B). vel ? — o, minima autem euadet cafu quo 2 — Y T6, tum autem eius valor minimus erit — 2 V acm ec qui ergo femper binario eft maior. At fi fumere velimus tam a4 —0 quam ( — o, peculiarem hic cafus euolutionem poítulat, cum inde fit 4mn-— 4cof. Q* — o; inde enim fit z & — cof. Q", quod P a autem vo ) 116 ( EI autem ob 5s r nunquam fieri poteft, nifi fit B — o, hoc eft nifi corpus B abfit, quo cafu fieret Q — o vcl Q-:i8o0'hinceque u ——7— ;—; foret autem 7 -- nt a. Hoc igitur cafu nullus plane motus fequerctur , fed omnia tria corpora in ftatu quietis perpetuo períeuerarent. Poftquam autem motum trium corporum A, B, € feliciter determinare nobis contigit, operae quoque pre- tium erit tenfionem vtriusque fili inueftigare, quam ex ipfis primis aequationibus elici oportet, vbi L cof. p -- H.fin. p dat P — Auro IA, Cum igitur fit MEECETDEETECIT TT NUN pr E Ax. À-3-B--C erit pro tenfione X eS — a (B4-C) (eof. p. d d cof. p 3- 4x fm. p d d. fin. p) — b C (cof. q. d d. cof. p4- fin - q d d. fin. p) A ve (A 3- B -3- C) 3 gdt* quae aequatio euoluta praebet Tuc: .a (B 4- C) dp* — b C (ddp fin. (4 — p)-— dp'of(q— —p. E — (A-2a-B--C):gdt!* Pu id vt fupra breuitatis gratia & 7-5 * — », fietque P mdp* — ddp in. (g — f) -- d f ci ef. (o — P). àCbó— —-(A3-B43-C)*Ega? Vtamur hic porro fuperioribus valoribus introductis fcil. q—p—Q, dpci(u—1)4Q, dq—i(ud4- 1)4Q, et di—0dQ, eritque $? — !—^, hinc *72 — 54, T3 et "n — 25 M quibus valoribus fubftitutis habebimus: et )ary( eU P m (u— Y — 1$ d. 73 fin. 4- (u — 1) cof b. AGLI —$g99(A—-B-- C) vnde tenfio quaefita erit: Sap aii p T1 zu dedo (uai — id 4T fin. -r (u—1)' cof. $ vbi, quia literas 4 et € per angulum (p determinauimus, tota haec expreffio ad quantitates finitas reducetur. Eodem au- tem modo etiam altera tenfio Q definiri poterit, neque vero opus erit has füubítitutiones. actu. euoluere , cum inde nullae formulae concinnae expectari. queant. , Cafus fpecialioris euolutio. ^ - : $. 5. Mluftremus folutionem | noftri Problematis cafu fimpliciffimo, quo tria corpora A, B, C funt inter fe aequalia; tum vero fint etiam ambo fila A et B eius- dem longitudinis, ac primo pro fingulis coordinatis habe- bimus fequentes valores: x z—;a(2cof.p-- cof. 4); y -— $a(2 fin. p 4- fin. 9); x!— $a(cof.5—cof.4); y! — ia (fin. p — fin. g); x! — $a (cof. p -- 2 cof 4); y" —3a (inp 4- 2 fin. 4) ; vnde vtique fequitur fore x -r- x! 4- x! — 0 et y 4 y! 47 y! — o, quemadmodum fcilicet hypothefis noflra poftulat; qua commune centrum grauitatis trium corporum in puncto O ad quietem reduximus, ita vt tota determinatio ad ambos angulos p et q fit perducta; pro quibus inuenien- dis, ob numeros 7 — m — 2, folutio generalis fupra data ita omnia ad angulum (Q accommodat, vt fit M. EIE l3 tum eS ) ns( $e «um vero, fumto u —O& V (« —— cof. Q3) 8 4- cof. Q v id (« 2-3 co. Q) — a a) ex hoc valore nanciícimur: p-iudo-io et q— ifudip--:Q. 6. 4. Quod íi eadem methodo motum plurium corporum, filis connexorum inueftigare velimus, nullum eft dubium, quin fimilibus artificiis in fubfidium vocandis tota folutio ad ternas aequationes differentiales primi gradus reduci queat, in quibus fcilicet inünt terni anguli f, g ct r, fub quibus terna fila ad axem inclinantur. "Ve- rum vtcunque labor ifte fuccefferit, femper ad formulas vehementer intricatas perueniri neceffe eft, quam ob cau* fam iftam inueftigationem vlterius non proíequor, DE ej$5 ) 119) See DE VI FLVMINIS AD eere SVRSVM TRAHENDAS APPLICANDA. Auctore L. EVLERO, $. 1. aui, quae aduerfis fluuii curfum, in directione a V protrahi 1 Tab. IV, debet, applicetur vtrinque rota, palmulis, vti A a, in- Fig. 4 filru&a, quae impetum aquae, fecundum directionem V 4 impingentis, excipiant, ita vt vtraque rota ab hac vi cir- cumagatur circa axem C , ambas rotas iungentem, qui idem axis intus in naui gerat cylindrum, cuius radius fit CR, circa quem fanis OR circumuoluatur. Funis autem in O obici fixo fit alligatus. Quibus ita paratis manifeftum eft, dum rotae ab incurrente aqua in gyrum aguntur, cum iisque fimul cylindrus, tum totam nauem a fune OR pro- trahi verfus O debere, propterea quod longitudo fünis OR, dum cylindro circumuoluitur, continuo fit breuior, hocque modo nauis verfus (O accedere cogitur. 6. 2. "Tali igitur machina inflru&a, examinemus quanta celeritate nauis contra curfum fluminis fit afcenfus- Ia, -585. ) xeo (| $9 . in- finém' pon imo ritas ii ': | ra | in fi yr e flunii un dum ionem $^. fit celeritas, qua pun&um pálíndlae ^g tiréa/axern C. in directiome aa mouctür —uj. 3?. vero fit v ccleritas, qua nauis contra curfum fluminis promouetur. Praeterea vero vocetur radius rotae Ca — a et radius cylindri C R — r; hinc ergo celeritas, qua pun- &um R circa axem C gyratur, erit ^7; quare cum longi- tudo funis O R. hac ipfa celeritáte curtetur, euidens eft, fore celeritatem. nauis 9 — ^5, vnde ergo fit u — 7. $. 3. Vt nunc ipfam vim, qua aqua in palmu- lam impingit, rite determinemus, fpectemus punctum a tan- quam centrum palmulae; at P 5 exprimat fuperficiem vtri- vsque palmulae fimul impetum aquac excipientis. Hic fci- licet; ambas. palmulas, quae vtrinque vim fluuii fuftinent, " iun&im confideramus ; deinde hic quidem iftas palmulas in fitu verticali contemplamur, ita vt impulíi aquae in eas fit perpendicularis; quoniam vero mox in fitum obliquum detruduptur, vis aquae impellens vtique diminuetur; fed quia. fequens palmula B 5 aquae immergitur, illa iactura hoc modo quafi compenfatur, ita vt fine notabili errore impulfiopem aquae ita definire liceat, quafi fluuius nor- maliter in fuperficiem — £ » impingerct. 6$. 4. Cum igitur fuperficies plana — 5 5 impe- tum fluuii excipiat, eiusque vis proportionalis fit quadra- to celeritatis relatiuae, qua aqua fuperficiem ferit, cuidens eft, fi fuperficies 5 5 quiefceret, tum fluuium in cam incurrere celeritate fua z- e. At vero ipfae - palmulae motu fuo fugiunt quafi impetum aquae celeritate — wv, | ita eS )aim( 29e ita vt aqua tantum exceffu illius celeritatis fuper hanc, hoc eft celeritate € — 4 incurrere fit cenfenda. ^ Hoc mo- do res fe haberet fi nauis quiefceret, quia vero ea cele- ritate — 49 contra fluuium mouetur, palmulae quoque tan- ta ccleritate aduerfüs fluuium affürgunt, vnde vera celeri- tas impulfionis erit c—4 -- v. Sicque vis impulíus erit vt bb (e — tu -- vy. 6$ 5s. Quo nunc iftam vim ad menfuras abíolue tas réuocemus, denotent litterae &, 4 et v fpatia, quae his celeritatibus vno minuto fecundo percurri poffent, at vero fit g altitudo, per quam grauia uno minuto fecundo delabuntur; hisque conftitutis notum eft, vim illam, quam quaerimus, acqualem effe ponderi maffae aqueae, cuius volumen — *56—-*'7, hanc ergo vim defignemus lit- terà P, ita vt fit P-obb(ce-—ua-vy. Quoniam igitur iam fupra inuénimus « — ^, , hoc valore fubflituto erit P — bb (cr — v (a — r)3 ^grr f $. 6. Inuenta iam hac vi, qua palmulae in pun- &o a fecundüm directionem a vrgentür, confideremus vim, qua funis OR tenditur, quae fit — Q, ac manifetum eft hanc vim Q in R applicatam acquilibrari debere cum vi P in a applicata, id quod euenit quando momenta harum virum Tefpectu axis C inter fe aequantur. Hinc igitur adipifcimur iflam aequationem: Pa — Qr, ita vt fit tenfio funis Q — **, c Ada Acad. Imp. Sc. Tom. lV. P. I. Q D. n -. ):e( $9 200 0$ s Praeter has autem. duas vires P et Q prae- cipue adhuc confiderari debet refi(tentia ,^ quam nauis in motu fuo patitur, quamque dcefignemus littera R. | Haec autem vis ctiam proportionalis eft quadrato celeritatis, qua aqua in nauem incurrit; vnde quia celeritas fluuii eft — c, nauis autem in directione contraria mouetur celeritate — 9, erit celeritas relatiua e -4- v, ideoque refiftentia huius qua- drato proportionalis.. Quod autem ad nauis figuram atti- net, denotet ff fuperficiem planam, quae candem rcefitten- tiam patiatur, quam ipía nauis, fiquidem aqua directe in- currat, quam fuperficiem vocari liceat refiftentiam nauis abíolutam, qua cognita tota refiftentia R aequabitur pons deri maffae aequeae, cuius volumen — 47-77, ita vt fit R— f(cAM- vy " *& ^ ) M & End gis 2 i A 6. 8. Iam ex his tribus viribus P, Q, R, quibus nauis follicitatur, cius motum verum determinare poteri- mus. Primo antem nauis furfum pellitur a tenfione funis Q ; tum vero non folum vis refiflentiae R in plagam contra- riam vrget, fed etiam vis P, quam. palmulae in di cdlione a c füftinent, quamobrem fi motus nauis iam ad vhiformi- tatem fücrit perductus, id auod. mox a primo initio fieri folet, neceffe eft, vt illae vires fe mutuo in aequilibrio te- neant, ideoque habebitur iflae aequatio: Q — P -i- R. — ,! $. 9. Quoniam igitur iam fupra inuenimus Q —**, haec aequatio induet hanc formam: *——"JÀ —R, quare fi loco P et R valores fupra inuenti fubftituantur, aequa- tio refultabit ifta: GL ff( (e -- v y. " Quod we$3 ) re ( $89 Quod fi iam ex hac aequatione radicem quadratam ex- trahamus, colligitur: Bor o) y ?—r-—f(c-r-2v), fiue b(c meyer — f(c 4-9) €x qua ergo aequatione celeritas nauis v innotefcit. 6. ro. Pendet igitur ifta nauis celeritas v a fe- quentibus elementis: 1*. a celeritate fluuii — c; 2*. a fu- perficie palmularum, impetum aquae in rota excipientium, quam füppofuimus — A ^; 3*. a refiflentia nauis abfoluta, quam per füperficiem 8 s indicauimus; et 4?. a ratione, quam radii rotasaum Ca —a ad radium cylindi CR —r tencnt, Neutra enim harum duarum quantitatum a et * abfolute in calculum ingreditur, fed tantum relatio, quam inter fe tenent. $ rix. Quo igitur noflram aeqnationem fimplicio- rem reddamus, ftatuamus *—* — zz, vtfit ^. — —'. , tum a— nn4dai autem noftra aequatio erit b(c-nnv)n— f(e- v), ex — e(nb— qua aequatione colligimus 9 — EXT vnde patet, hanc celeritatem 9 tantum a ratione, quae inter quantitates / eC intercedit, pendere. lta fi ponamus. 7 — 2, erit — c(n—2A) L— n-—--— D — EA fne s cL Ex qua aequatione fitim intelligitur, nauem. afcendere plane non poffe, nifi fuerit 7 $- A, fiue nnzoNM. Erat autem 2 --*—" et AA 74, quamobrem ante omnia neceffe eft fip 277 pp €X qua conditione radius cylin- dri r ita definitur, vt fit f d ul Q2 6. r5. e$35 ) te4 ( $80 $. 12. Cum igitur eífe debeat 7? 7 A, hic impri- mis quaeritur, quantus valor numero 7 tribui debeat, vt celeritas nauis 9 euadat maxima; quemadmodum. enim ea euanefcit cafu 5s — A, ctiam manifefto euaneícit fumendo »——oo, quo cafu fadus cylindri r euanefceret, Dabitur . $25. ac-X ergo certus valor pro numero z, quo ifta fra&io: 77» omnium maximum valorem adipifcitur. Ad hunc igitur valo- rem inueniendum differentiale i(tius fractionis, ex variabilitate numeri » orivndum, nihilo aequale ftatuatur, vnde fequens emerget aequatio: 257' — ^ (377-1- 1), vnde ergo pro quouis valore A per refolutionem aequationis cubicae ma- xime idoneus valor numeri 5» erui poterit. 6. 13. Neque vero opus cft ad refolutionem aec- quationis cubicae confugere: Eodem enim iure, quo litte- iam A tanquam datam fpecamus, poffümus ipfam quanti- tatem z, quafi data eflet, [pe&tare, tum autem facillime A defi- nicetur; erit fcilicet A — m Hinc igitur, conftituta pro. lubitu ratione inter a et r, feu inter radios rotae ct cylindri, vnde fit n 2 Y ——"., valor ipfius ^ dabit rationem LT. vnde colligitur / à — 24, ideoque fuperficies palmularum ad maximum effe&um producendum rcquifita, $. 14. Quod fi vero. fumamus 2 — —"—, ipfa uni" €cleritas, qua nauis contra flumen afcendit, fatis fimpliciter (nn--1) exprimetur, namque ob 4 —A — 77 7 et — sn'(nn-:) — € n -dA— :sna-d-* , fict 9 — 1. Erit igitur v — —— maxima celeritas, quae naui imprimi poterit, dum palmulis rotarum tanta fuperficies tribuitur, quan- ef22 ) 125 ( 982 quantam pro A b inuenimus, fcilicet 5 5 &- 7. Vnde intel- ligitur, quo celerius nauem promonueri defideremus, eo mi- norem numerum pro 7 aífumi debere; tum autem nume- rus À eo minor refültat; hinc autem porro fuperficies pal- mularum 2b eo maior prodit. Vnde fequitur, quod qui- dem per fe eít perfpicuum, quo magis palmulae rotarum amplificantur, eo maiorem celeritatem naui imprimi poffe. Maxima autem celeritas quouis cafu obtinebitur, fi inter radios rotae et cylindri ea ratio ftabiliatur, quam numerus n poftulat, fcilicet vt fit r — — $. 15. Quo igitur quouis cafu facilius iftum ef- feum maxime lucrofum diiudicare valeamus, fequentem tabulam computemus, quae pro pluribus valoribus numeri n» refpondentes valores numeri A exhibeat. ^ Pro v au- tem fucceffiue fumamus valores 7, 1, 1, 2, 2, 3 etc. fe- miíle vnitatis crefcentes , vsque ad decem, id quod fuffi- cit, cum ex valore 7 — xo pro nauis celeritate v tantum pars trecentefima celeritatis fluuii obtineatur; tam exiguus autem effectus vix attendi meretur. "n EPA À TII x 4913949020 E 0,I14285— 5-i E : 119,6989700 |o,50000- cen ue à |9,9400021 l^ 8709 -r ; Ln eA 2 |0,0901766 1,2307] — ime a |0»1992829 Hs] E e 3 |o,2852958 |1,92857—:1 | 5 s Pio coo pde ms ps 4|9;,4170139 |23,61224— 5| 5|; Q 3 f ena )ags6 ( fue n" 1 A —EE ;10,47003095 2.95142—ip |! lass 5 |0,5171^64 13.289472 5v LE 5 ' . AEQIESU MEA 3,626720 Ae |i | sir 6 |0,5950572 !3.96330 25» | s | " [o.6334092 |4,29942— 55 i ;of 4 !0.6660624. 14.635147 57 p |"r ^ LH 6964040 |es7654- S; i5 Dept $ ,0.7247427 15.305702" | si | 4 [0.7515286 [Tr er "Zr 9 0,276367 1597541277 |: | die 7? |o,8000313 |6.31003 - 1 p 10, 0,8224655 now Í re 35 6. 16. Ex hac iam tabula conficiatur alia, ad vfum practicum imprimis accommodata , cuius prima columna exhibeat planitiem. palmularum bb, qnae fimul impetum aquae excipiat. Exprimetur autem ea per füperficiem f f, refiflentiam nauis mctientem , critque ^ à —77. Sccunda. columna referat radium cylindri C R — r ad radium rotae Ca-— a relatum, vbi erit r — ——. Tertia columna ex- hibeat celeritatem 9, qua nauis actu contra fluuium aflur- git: ca exprimetur per celeritatem ipfius fluminis c, eritque € — -—. Quarta denique columna exhibeat. celeritatem t, Qua palmulae rotae in gyrum mouentur; pro qua eít uy—— LEE. e LE riu r inu ita vt rantum opus fit tertiam partem ipfius c ad v infu- per addere, Omnes. autem .iflos valores in fractionibus accumalibus exprimamus. bb et35 ) x25 ( $59 QU [/4 bb —— ——— —— 49,000. ff 4, 000. ff 1,518./f|0, 308.4 |0, 148. € |O, 481.c 0,660.ff 10,200. 410,083. 610, 417.6 0, 399. ff |o, 158.4 |0,053.0|0, 887. € o, 269. ff|0, 100.a|0,037. 610, 37 1. € o, 194. ff 9, 075.0 |9; 027. € 0,361.c o, 146.ff Pd ^V pd liie 0,354. € o, 115. ff 19,04 7.a10,017.0|0, 349. € 0,092.ff|9,038.a|0,014.6/0, 347. € 0,076. /f|9,032.a|0,011.0|0, 344- € 0,064. ff |09,027.4|0, 009.0|0, 342. € 0,054. ff|9,023.a|0,008.6|0, 341.6 . 0,046. ff 9,020.a|0,007.0|9, 340. € 0,040.ff|9,018.a|0,006.c10, 339.6 0,035.ff19,016.a|0,005.0|9, 338.6 0,031. ff|9,014.4|0,004.0|0, 337-6 0,028. ff| 0, 012.a|0,004.c|0, 337-6 0,025. ff|0,011.4|0,9003.c|9, 336. € 0,023. ff!0,009.a!0, 003.010, 336. € $. 17. Vt vfum huius tabulae exemplo illuftremus, ponamus palmulas rotarum tantas effe, vt earum fuperfi- cies bb fit pars tertia refiftentiae abfolutae f f, (iue / » —0,533/f. cum quo numero in prima columna proxime conuenivnt nu- meri O0, 399 et o, 269 ideoaue medium inter iis tenet. Hinc. ex fecunda columna fiet circiter r — o, 119 a, fiue radius cylindri nonae parti radii rotae aequalis capi debe- bit. Tum autem nmauis contra curfum fluminis promo- uebi- Lo — I,353. € 0,3383. 0 1T 0607.6 Qe o o, 800.Q 0, 500.a & 'o€-2 ) des ( 9e vebitnr celeritate 0, 0460, fiue aequabitur circiter parti vicefimae lecundae celeritatis fluminis; celeritas autem ro- tae circa medium palmularum erit quafi — 0, 379 e fiue aliquanto maior erit quam tertia pars celeritatis fluuii. $. 18. Quod autem ad víum pra&icum huiusmo- di machinarum attinet, merito dubitamus, an vnquam con- Íultum effe poffit, talem machinam adhibere, Cum enim eius apparatus haud exiguos fumtus requirat. plerumque praeftabit operas hominum adhibere, quandoquidem naues iis carere nequevnt, praccipue cum tantus effectus a fatis mediocri hominum numero obtineri poffit; Interim tamen problema in fe fpe&atum vtique diggdum videri debet, vt €ius folutio per principia mechanica euolueretur. Supplementum, in quo totus nauis motus determinatur. 6. r9. Maneant omnés determinationes vti fupra funt fa&ae, nifi quod iam « fit quantitas variabilis , ac celeritatem poft tempus 7? minutorum fecundorum acquifi- tam denotet. Deinde tenfio funis Q nunc ante e&plorari debet quam motus explorari poteft, Praeterea nunc in computum duci debent 1*.) Maffa feu pondus totius nauis, qvac fit — N, per volumen aequae acquiponderans cx- primendum; 27^.) Pro motü gyratorio noffe oportet mo- mentum inertiae rotarum circa axem gyrantium , quod fi MAX. $. 20. BE in ( fue ; e; 6. 20; Cun m quaeflio War. circa dupli- cem motuni; álterum' progrefiuufi; quo tota nauis con- tra curfum fluminis progreditur, cuius celeritas — v, al- terum vero gyratorium; cuius. celeritas angularis — 2: pro priore vis acceleratrix . erit 29——7.— 5, ipfa autem ac- celeratio — -57., vnde haec oritur aequatio: Ndv Egan b R. Pro motu antem gyratorio, pofita breuitatis gratia diftan- tia a — 4r, momentum virium accelerantium erit Par-VQ9-, acceleratio autem huius motus, ob celeritatem vd ME . d v . T xem angularem — 2, erit ÓfÍIS ; vnde nafcitur i(la, aequatio ; EE dU ess MMIbes Cic gr 2&at Quod fi iam ifta aequatio. per praecedentem diuidatur, o- rietur ifta: 75 — ,T— —-9., ex qua aequatione tenfio funis Q, hac&enus incognita, determinari poteft. $. 2r. Hunc in finem ponamus breuitatis. ergo M kh E uu c4, Vt habeamus z P—Q-—a(Q—P-—R), vnde dedicimus (yan emet c5 ime ft x Q2P-R— Im H)PBEMR rares ü -- i1 L qui valor in prima acquatione fubítitutus praebebit hanc: Ndv [m —iP—R $gdt1-— Wal? | vnde iam elementum temporis commode ita definitur: :gd tps d v N(x23- 1) (m — 3) *— R* 6. 22... Subftituamus. nunc loco virium. P et R valores iam ante inuentos, qui erant Acia Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. R P— eS ):ao0( $9 p—t-: IDOL et R cc, vnde aequatio praccedeus induet hanc formam: dt dv : TN(aG- 3) — (m —1)86(c —(m— :) v? —(e2- v pr" Quo. iam haec acquatio- commodior reddatur, ftatuamus m—1c-gmetf-—aAb, wt fia bb Ot uU dv ) 23N(aG- 1) ^ nn(é —nnv) —AX(c-- v?* $. 25. Quia igitur denominator hic eft differentia duorum quadratorum ,. ifta formula refolui poterit in duas partes, quae fint bbdt ,. Ad - Bd *N (a 4-1) — (n4-ÀA)jc —(n' —À)v (a —2A)c — (n5 4-3) v? wnde calculo fubducto reperitur — — (n! — A) FS". n? 4- À À — aep eux) et LESE IIGTUDEL vnde patet, vtramque formulam fimpliciter ad logaritli- mum. deduci; vnde integrale, ita fumtum, wt euanefcat pofito. v — o, erit X An -t-nubbc,..—J(n-d-Xce—(n*—XÀX3v» ]nd- X (X 3- 1) NN — "(n—2X) — (a5 4- XAjv n —A Hinc patet, demum po!ít tcmpus infinite magnum fieri v — *—**, quae erat celeritas iam ad flatum vniformi- tatis reducta. $. 24. Hic igitur operae pretium. erit cafüm ace curatius euoluere, quo celeritas ad vniformitatem: reducta. fit maxima, pro quo fupra inuenimus. 2.5" — X (x 4- 3» 9). Quamobrem in aequatione noftra inuenta: loco. X valorem: " ('. 1 hinc natum fcribamus A— —L"—.-, vnde fit 9 3jnon ' " s Moss Nt i m— dp eng n-i A———» err 7 Ny. —m ENTIS TEAM I mn |) RRA ef32 ) orsr (o 29e quibus fubflitutis aequatio tranfit in hac formam: An(o-cnwbbeg —J(:--snn)c—nn(31n—3)v |. | 1-d-$nm5 (& 3-1) N X (rA- nn])(c— s n n v) ):d-nmn" $. 25. Quo hinc facilius -celeritatem v pro^ quo- vis tempore £? obtineamus, ponamus An(v--nn)bbc (a 3- 3) N —A fitque cà! — T, ita vt ex 7; hinc facile afgnetur T, tum autem erit: T —1:5me—nnGnn—2)v — (14 5nn)(c —Óann v) vnde fit 7 — (1--5€n)(T — 1) E € ^ —5s5Tnn(id-snn)—nmn(s mm)? quae exprefíüo pro initio, vbi 7 — o et T — rz, manifefto euanefcit. $. 26. Ponamus tempus infinitum iam effe elap- pcd . H o LL 1 fum, feu effe T — co, hincque orietur vt ante Tif Vt autem inue(tigemus, quam cito celeritas v ad hunc va- lorem proxime propinquat, confideremus cafum, quo A— r1. et "TE — e, vnde ob e 2, 71828 poít 7 minuta fecunda valor ipfius T circiter ad 1ooo exíurgit Hinc patet, elapfis 7^ celeritatem o nulla amplius incrementa capere, hocque adeo multo citius eueniet, fi fuerit À 2 1, con- tra autem tardius, fi A -Z r. iz $. 27. Denique adhuc notetur fra&ionis — valo- rem fequenti modo fatis concinne exhiberi poffe: [] -— *&mn(r--snn) "—(T-—1G--sun) R 2 DE eme )rafr( ee BA onsnpen si mu 2 STATV AEGVILIBRII MARIS A VIRIBVS SOLIS ET LVNAE SOLLICITATI' a Auctore L. -E-X-L Ej 0 6. r. um olim quaeftio de fluxu et refluxu maris fummo ftudio fit pertractata, atque adco tres differrationes ab Academia Regia Scientiarum Parifina praemio fint. con» decoratae, hoc argumentum jam penitus exhauftum vide- bitur, ita vt nihil amplius | defiderari queat. | Quoniam vero illo tempore theoria de aequilibrio et motu fluido- rum adhuc parum erat exculta, plurima ibi occurrunt, quae vel nimis operofe et per plures ambages ex primis principiis funt deducta, vel ctiam hypothefibus precario affumtis et a veritate alienis funt fuperílructa. Variae opi- niones a veritate abhorrentes inualuerunt, cuiusmodi funt, quod quantitas aeílus marini potilhmum ab interna Ter- rae flructura, quae nobis penitus eíl incognita, atque ad- co etiam a grauitate fpecifica aquae pendeat, ita vt, fi ca cílet esi; ) 138 ( $$ effet.vel maior vel minor, etiam aeftus marini inde pro dirent vel. minores vel maiores, cum tamen. fecundum vera principia huius Theoriae poftmodum ftabilita hae circumftantiae | nihil ad fcopum conferant. 6. 2. Qnanquam autem hic praecipua quaeftio circa motum maris verfabatur, tamen omnes, qui eius enodationem illo tempore fufceperunt, vnanimi confenfu agnouerunt, nihil iu hac re determinari poffe, nifi ftatus acquilibrii, in quo, oceanus, a viribus tam Solis quam Lu- nae agitatus, aequiefcere queat, accuratae definiatur; vnde etiam iftum aequilibrii ftatum ex principiis turi temporis cognitis determinare funt conati , dum ex viribus, qui- bus fingula pun&a in fuperficie maris Iiosantor. eam curuam inuefligarunt, quae ad omnes earum virium di- rectiones medias effet normalis, quod. principium vtique in natura rei eft. fundatum, fed difhcillimas enolutiones ana- lyticas. poftulat, quas vix, ac ne vix quidem, expedire li- cui. Tum vero etiam ad canales vsque ad centrum Ter- rae excauatos confugerunt et in eam figuram maris in- quifüuerunt, vt omnes ifte columnae fierent aequiponde- rantes, quae inueftigatio vtique exa&am cognitionem firu&urae internae globi terraquei requirebat, quam quis- que pro arbitrio ita finxerat, prouti fcopo propofito ma- xime conuenire videbatur, cum tamen nuncquidem acum fit, inde vix "ya ad hunc fcopum- conferri. $. 9. Cum igitur poft illud tempus theoriam de aequilibrio fluidorum ita mihi excolere et in lucem con- ftitnere. contigerit, vt nihil infuper defiderari queat, his veris principiis infiftens iflud argumentum denuo fum. fus: R3 ceptu- Tab. V. Fig. 1. et32 ) rs4 ( $9 cepturus, quoniam hinc ad accuratam cognitionem ftatus aequilibrii maris a viribus quibuscunque folicitati perue- niemus, qua omncs illae opiniones peruerfae penitus re- moueantur. Practerca vero per haec noua principia tota ifta inue(tigatio a maximis illis difficultatibus, quibus ante premebatur, penitus liberabitur; atque h'c imprimis fum- mus víus principii minimae acionis, quod illuftriffimo Pracfidi de Maupertuis acceptum referre debemus, clariffi- me elucebit, cum eo vtentes plurimas casque difficillimas integrationes euitare queamus, Ab iíto igitur principio inchoémus. Principium Vniuerfale Aequilibrii Fluidorum. $. 4. Si fingulae fluidi particulae Z ad quotcun- que virium centra fixa C, C/, C" vrgeantur, viribus, quae fint cuicunque functioni diftantiarum proportionales, tum fuperficies fluidi A Z B erit in aequilibrio, fi fumma ac- tionum, quas vires in fingula pun&a Z excrunt, vbique fuerit eadem. Hinc ergo fi vocentur diftantiae S A—CM ei IT YE es lp ALME AMET: o ipfae autem vires ad haec centra tendentes fint Z, Z/, Z/, etc., tum quia a&iones harum virium per iflas formulas exprimuntur: f/Zd4z, f Zidz!, f Z/dz', pro flatu aequilibrii ftatim habemus iftam aequationem : C —/Zdz--fZdsz--J/fZ'4s', vbi C/ denotat quantitatem conflantem ex circumflantiis dcfiniendam. Statue e$ ):1ss( $53 Status quaeflionis. $. s. Confideremus igitur totum globum terra* queum, fiue circumquaque aqua circumfüfum, fiue ex ali- qua tantum parte, cuius figura foret perfecte fphaerica;,. fi nullae vires externae adeffent; eius centrum fit in C, radius vero C A vnitate defignetur. Hic enim a motu vertiginis. Terrae animum. ab(trahimus, ita vt totus glo- bus in perfe&a quiete verfetur, et fingulae eius particulae a fola grauitate verfus centrum C vrgeantur, viribus vt- cunque a diftantia pendentibus. In ipía. autem. fuperficie vis grauitatis. vnitate exprimatur. Quamcunque. enim le* gem. grauitas ad. centrum. accedendo. tenuerit, fi mutatio- mes, quae. eius figurae a viribus externis induci poffunt, refpectu totius magnitudinis. Terrae fuerint quam. minimae, prouti. eas fore nouimus prope fuperficiem, vis grauitatis nunquam. ab: vnitate difcrepare cenferi poteft. "Tum vero facile. intelligitur, quamcunque. mutationem vires. externae fuperficiei aquae induxerint in hypothefi perfectae quietis, tum etiam. admiffo motu. vertiginis eandem mutationem verae figurae Terrae, quae tum erit fphaeroidica, accidere dcbere , quandoquidem: etiam hoc cafu differentia a figura. fphaerica eft quam, minima, Tota enim inucfligatio in eo verfatur, vt, quantum fuüperficies aquae a viribus externis vltra: ftatum naturalem fiue attollatur flue. deprimatur, in- quiri. debeat, ac tum perinde erit, fiue: figura naturalis fuerit fphaerica, fiue paulisper ab ea' recedat. His igitur conftitutis quaeftio eo redit; vt dum. vel Sol vel Luna in quocunque coeli loco: verfentur, ibique tamquam fixi. concipiantur, pro fingulis punctis in fuperficie maris affum- tis quantitas actionis a viribus hioruma corporum. mata rite defi 1 : - v s "TN - eti) ) :6[( i5 definiatur. Vires autem tam Solis quam Lunae quadrato diflantiarum reciproce proportionales affumemus. - De quantitate a&ionis a viribus Solis et Lunae orta. 6. 6. Quoniam pro ftatu aequilibrii maris inda- gando ad quoduis tempus tam Sol quam Luna in eodem coeli loco permanere concipi debent, fiquidem pro fin- gulis momentis ftatus aequilibrii variatur, ponamus diftan- tiam Solis a centro Terrae perpetuo — a, diftantiam ve- ro Lunae ab eodem centro — 5, quae igitur pro diuerfo luminarium fitu diuerfos valores rccipere poflunt, inter Quos médium fümendo hae diftanriae per radium Terrae vritate dcfignatum ita definientur, vt fit a — 24000 et b — 60; circiter. — Praeterea vero vis Solis abfoluta tanta fit, vt in diftantia a centro Solis — « aequetur vi graui- tatis — 1; pro Luna autem fit iffa diftantia, in qua eius Vis grauitati aequaretur — 9, vnde, fi diftantia a Sole fue- rit — z, vis Solis erit **; fin autem z fit diflantia a Lu- na, vis ibi ad Lunam tendens erit 4 ita vt hoc lo- «o quantitates ca et (29 idem denoteüt, quod vulgo per maífam Solis vel Lunae indicari folet. ^ Colligitur autem ex nouiffimis parallaxis folaris determinationibus, fore &0—5355426, vnde fit a4 — 596, ita vt in diftantia Solis tot femidiametris Terrae aequali vis Solis acquetur ipfi vi grauitatis in fuperficie Terrae. Pro Luna autem quan- titas 8 (8 a. Newiono aeftimata ett ;,, Celcb. autem Ber- noulli oftendit, cam efle notabiliter minorem, ita vt pro- pemodum acítimari po(lit 8 — ;,, vnde fieret 88 — ,;. $. 7. et ) r57 ( $$ $. 7. His igitur pofitis, fi diftantia fiue Sofis fiue Lunae a punc&o quocunque Z fuerit — z, crit vis hoc pun&um follicitans, fcilicet Z — £*, pro Sole, et Z — 9, pro Luna. Hinc ergo quantitas actionis pro Sole erit f[Z4dz-—*5* et pro Luna — —8€& Sit igitur C cen- trum Terrae et S centrum Solis, ac ponatur diflantia CS-—a; tum vero confideretur in füperficie maris, poft- quam fe iam ad aequilibrium compoíuerit, punctum quod- cunque Z, cuius diftantia a centro Terrae, quae iam erit aliquantillum fiue maior fiue minor vnitate, fit C Z — r, angulus vero S C Z vocetur — QD, eritque difítantia ZS-—z-Y(aa—a2arcof.O-- ri), ficque quantitas actionis erit — —a25 SMUICCEETTII M Proprio DU! modo pro Luna, cuius diftantiam a centro Terrae poni- mus — P, fi eius elongationem ab eodem puncto Z fta- tuamus — wp», erit a&io Lunae in pun&um Z B8 —y0$-s3broV-Frr* $. 8. Hic autem probe perpendendum eft, So- lem et Lunam eatenus tantum in punctum Z agere, qua- tenus actio difcrepat ab ea, quae in centrum Terrae ex- eritur. Cum igitur hoc centrum in S in directione C S follicitetur vi — 2^, punádum Z a pari vi in directione contraria Z X vrgeri cenfendum e(t, exiftente Z X paral- lela ipfi C S; ad eam igitur ex C ducatur perdendicula- rs C X, voceturque interudllum Z X — x. — Hacc igitur vis ad puncum fixum, in recta Z X infinite remotum, tra- here cenfenda eft; ita vt diftantia, quam in genere pofüi- mus — z, hic fit x-i- eo. — Quia igitur ipfa vis, quam 4a Acad. Imp. Sc. Tom. IF, P. I. S pofui- 'Tab. V. Fig. 3. "Tab. V. Fig. 4. es ):x88 ( $$ pofuimus Z, hic eft conftans —25, erit eitis actio;in pun- &um Z ] & 55g] TO EURMEUN E lg! meus] Cum igitur ob angulum SCZ-— fit ZX- x-r cof Qy ifta. a&io erit €27*2, vnde a&io tota a Sole oriuiida- ià pun&um Z erit: ; tnm) " PICTETYIIT $-crD "un aaron, , fimilique modo tota a&io a Luna in punctum Z exerta: edic g3r cof. : 65 imp pp 4 "| (Y bó —abrco. Vy -rr) Aequatio pro ftatu aequilibrii maris a viribus Solis et Lunae follicitati. $. 9. Hic igitur ante omnia vis grauitatis, qua punctum maris quodcunque Z ad ipfum centrum "Terrae C vrgetur, confiderari debet, quam, quia nullam mutatio- nem fenfibilem fubire poteft, ob variatam diftantiam CZ —r, vwnitate defignamus, ita vt hoc cafu fit z — r ct Z-:. Hinc ergo actio grauitatis in pun&um maris Z crit — r. Quam ob rem fi curua A ZB denotet fuper- fidem maris iam ad acquilibrium reductam; tum vero hoc tempore Sol et Luna verfentur in punctis S et L, ita vt diftantiae fint CS — a et C L — », anguli veroSCZ- (p e LCZ- V, fumma omnium acionum, quibus puncum Z vrgetur, erit: aa aar cof. "IUTEUTYII A Bor el ud' "P per cof, yp T " quac Lr— LugissBÜ La d^ y(6b—sorcócjy--rr) e ) 159 ( $5 quae ergo pro ftatu aequilibrii debet aequari quantitati conftanti, quam .defignemus littera C, atque hoc modo pro figura, quam mare accipiet, ftatim nanciícimur iftam aequa. tionem finitam atque adeo algebraicam: a x r cof. t C—r-q— rS TTPDIYSY aa ^ — Wm UEED 24 p. lon Hinc. igitur praeftantia huius methodi , principio minimae a&ionis iunixae, clariffüme elucet, cum. nobis .ftatim aeaua- tionem algebraicam pro ftatu deeft maris fit largita, dum olim ifta determinatio per calculos moleftiffimos, ex hypothefibus precario affümtis, deriuari debuerit. Hi enim calculi plerumque. abftrufiflimas fecionum conicarum pro- prietates requirebant, fimulque ita erant comparati, vt nullo modo pateret, quomodo ad aequationem algebraicam perueniri poffet, nifi adhibitis approximationibus. Hic au- tem nulla adhuc approximatione fumus vfi. | $..10. Nunc . autem facillime eas approximationes , quaead fcopum noftrum erant accommodatae, expedire po- terimus. Cum enim diftantiae 2 et 5 fint praegrandes ra- tione radii C Z — r, euoluamus in genere hanc formulam I irraionalem: (aa — 41) *,quae praebet fequentem feriem: 1. 3. Q? 1,3, 5. 07 He 2,40? sie «e 1 etc. Nunc igitur pro. Sole habemus XY — 2arcof.(Q— rr, vn- de elicimus 1 —i-d uS ME CI — 8 cof. Q* ) y(aa—s?arcefQ-rr) — "T T € (3— 5 cof. Q*); S2 fimili et33 ) r4o ( $$ fimili autem modo erit pro Luna: Mesed.-2i TN V($b—sore.crr) — —j- T —IT(r-scotws) —— (3 — 5 cof. V). Quoniam VN hic prima membra conftantia fub con(tan- te C compledi licet, tota aequatio in fequentem formam contrahetur: o— CF r-E*577 (1 — 3 cof. Q*) 4-227959 (5 — s cof. *) -F PET ( x — 3 cof. q^) -- 8871 9E9 (4 — 5 cof. xp). Quod fi ergo breuitatis gratia ftatuamus *-* — A et ** — 9f, egs 7* "ETRLS tum vcro ep — B et 9? — 33, aequatio noftra erit: 2b* ocC-r-FArr(x—3cof.Qv)--8( rn cof.((3 — 5 cof.) TBrr(x—3cof. Nj) -- 93r cof. yj (3 — 5 cof. Np?) mox autem patebit litteras A, B, 9(, 25, fractiones cffc quam minimas. 6. rz, Haáenus radium Terrae in flatu naturali vnitatc expreffimus. — Quoniam vero exceffum vel defec - tum quantitatis r fupra vel infra hanc vnitatem in mene furis abfolutis, fcilicet pedibus, defideramus, ponamus radi- um Terrae naturalem. — £, ita vt fit vti fupra oftendimus & -— 596 k et (3 — 1; tum vcro pro diftantiis mediis Solis et Lunae a — 24000 k et b — 60 k, tantum opus eft, vt hac littera & omnes termini aequationis inuentae ad cun- dem dimenfionum numerum reducantur; vnde cum in ter- mino . principali, qui eft r, vnica fit dimenfio, etiam in reliquis terminis vnica dimenfio ineffe debet; quare quia litterae &, 8, a et b iam vnam dimenfionem continent, aequatio noftra fequenti modo exhiberi debet: o -— edj$ ) r4r( 2e oc C r p £217 (x—3cof.Q!) 4- 57259 (3 — s cof. QY) -1- £877 (1— 3 cof. sp?) -- £37725X (3 — 5 cof. p) quae ergo a praecedente non differt, et hoc nobis prae- ftat commodum, vt nuuc radium Terrae & tuto per quam- cunque menfüram abfíolutam exprimere poffimus, veluti .in pedibus. Ex men(uris autem actu inílitutis ifte radius terrae k deprehenfus eít continere 19601352 pedes pari- finos. $. 12. Quoniam igitur íam certi famus diítan- tiam r non vltra aliquot pedes a radio naturali & differre poffe, ftatuamus r — k-i- vc, ita vt v fit quantitas quam minima ptae k, ideoque rr-—kk--2kvoet r —E-rT5£kko, quibus valoribus introdu&is aequatio noítra pro quantitate v9 determinanda ita fe habebit: o — C -2- &-4- *2** (1 — 5 cof.) 4- 22899 (9 — cof. dy) -1-885* (1 — a cof. Vp*) 4- BP s (5 — 5 cof, Vp?) -1-v (14-225 (1—3 cof. Q*) 4- 225&99 (9 — cof. dy) -1- £85. o((1— 8 cof?) 4-889: (5 — 5 eof. Np*)), vbi ergo C-1- k quantitatem minimam exprimere debebit, Quod fi ergo loco C -i- & fcribamus — c et priores ter- minos ad alteram partem aequationis transferamus, aequa- tio noftra hanc induet formam: v (x -i- $85 (1 — 3 cof. d) -- $5k9£9 (S. cof. d) -- E^ (x — a cof. p^) 4- FEHESE (3 — s cof, vj?) — e — £25* (x — g cof. *) — 1*9 (5 — cof, i) — S (cof, y?) - £USEv (s — 5 cof 7), 53 vbi » ah / - N e$ ) ria ( $99 vbi c eft conftans per integrationem ingreffa, quam quo- vis cafu ita determinari oportet, vt totum mare in ftatu mutato adhuc candem cid quantitatem contineat atquc in flatu naturali. . . Euolutio numerica Aequationis inuentae per Pedes Parifinos. —— 6. 15. Primo igitur littera c certum. numerum pedum defignabit, ex quantitate omnis aquae, quam. mare continet, definiendum; tum vero, vt fupra vidimus, eít &—— 596 k, Q —5, pro diflantiis .autem mediis. Solis et Lunae fumamus a- 24000 k et b — 6ok. Hinc ergo pro acquationis nofítrae parte priore habebimus vt fe- quitur: ! auk — S". —-0,0000000257 aakk — | $5* .— Q,.0000000000 10* 1, 14000* et — Lg 0,0000000728 Bot — ui 0,0000000006 vnde patet, pro prima parte noflrae acquationis fine vllo errore fcribi poffe v. ^ Pro altera autem .aequationis parte habebimus: «akh — 596.h — n 25183 22! E» 2. 24000) iie wi o, obcoo Bkk — k — Eo — re o 79896 gut — »sb* 77 9.64. is c0, 00399. Hinc ec ) 148 ( $83e Hinc igitur aequatio. noftra hanc induet formam : €9—:c—0, 25183 (1—3 cof. Q") .— 0, 70896 (1— 3cof. N*). —0,00000 cof. (5— $cof.*)—o, o 119 9cóf. Np (3— -75cof A vnde valor ipfius v in pedibus Parifinis elicietur. $. 14... Ponamus breuitatis gratia iftos. valores nu- mericos modo inuentos, pro Sole: 0, 25185 — s, pro Luna autem: O, 70896 — 4 €t Y — O,O01197, vt fit: y cc - m (3 cof. Q* — x) 2-4 (3: cof. ^ —.) -1- » cof. xp (5. cof. Np* — 3). Vbi Rotetur, valorem ipfius zz, ad Solem pertinentem, fatis effe iuftum, dummodo ad diftantiam mediam Solis et Ter- rae referatur, at vero valores z €t v» quodammodo adhuc effe incertos, quoniam a mafífa Lunae pendent, pro qua affümfimus litteram. Q.— ; £, quemadmodum praeceffio acquinoxiorum poftulare videtur; fieri igitur poffet vt ali-- quanto maior vcl minor accipi deberet. Praeterea vero etiam hi valores. ad diftantiam mediam Lunae .a Terra funt accomodati , vnde eos, fi Luminaria fuerint in A- pogeo, paulisper diminui, in Perigeo autem augeri opor- tet, Quare cum excentricitas Solis fit quafi 4, fi Sol fuerit in Apogeo, littera 7; diminui debet in ratione tri- plicata diftaupiag. fiue vt. 1:(r--,), quae ratio proxime eft vt 1:155, Ynde pro Apogeo Solis fit 5 — 0, 23924, pro Perigeo autem .tanto maior, id eít s — o, 26442. Deinde quia Lunae excentricitas eft quafi ;,, pro eius A- pogeo valor litterae z diminui debet fua parte fexta, ita vt fit. — 0, 59080, pro Perigeo vero tantundem augeri, fietque 7 — 0, $2712. Littera denique v», quae biqua- ! drato "Tab. V, Fig. 5 et ) 1:44 ( oe drato diftantiae reciproce eft proportionalis, pro Apogeo fiet y — 0, co93r, pro Perigeo vero y» — 0,01463. Hoc igitur modo harum litterarum valores minimi, medii et maximi ita fe habebunt: Valor| min. med. max. 3m [o,25924|0,25183|0, 26442 n !0,590801l0, 708961!0, 82712 » |0,00931[|0, 01197|0, 01465 Sufficiet autem hos valores noffe, quoniam ridiculum fo- ret, in hoc negotio minutiis inhaerere. Applicatio Formulae inuentae ad fuperficiem Sphaericam. 6. 15. Repraefentet iam circulus A B C D globum terraqueum , in cuius fuperficie notentur puncta S et L, quibus hoc tempore Sol et Luna verticaliter immineant, ita vt Sol verfetur in zenith loci S, Luna vero in zenith loci L, et quaeramus flatum maris, quem pro hoc lumi- narium fitu effet accepturum. — Confideremus igitur in maris fuüperficie quodcunque puncum Z, quod fupra li- bcllam naturalem ab actione luminarium attollatur per in- teruallum — v, in pedibas Parifinis determinandum. Hinc ergo ad pun&a S et L ducantur arcus circulorum rnaxi- morum ZS ct ZL, qui vocentur ZS — i et ZL — v, ac manifeflum eft angulum (D exprimere diflantiam Solis a puncto zenith loci Z, fimilique modo angulus «p dis- tantiam Lunae ab eodem zenith, quibus pofitis fpatium cleuationis v fupra libellam definietur hac aequatione: y -— efe? ) 145 ( $59 e —c-r-m(a cof. Q? — 1) 4-m (3 cof. p — 1) - -- » cof, «p ( $ cof. p — 3); vbi quantitas conílans c quouis cafü ita debet determina- ri, vt faca mutatione ftatus etiamnunc cadem copia aquae in mari propofito reperiatur. 6.16. Ad hanc igitur conftantem c inueniendam , Tab. V. tota figura eius maris, cuius ftatus quaeritur, probe eítFig 5» perpendenda, nifi quacílio inítituatur de vniuerfo oceano totam Terram ambiente. Sit igitur a c d mare illud vn- dequaque claufum et terminatum, cuius ftatus acquilibrii pro defcripto luminarium fitu defideretur; eius quoduis e- lementum circa pun&um Z fitum defignetur per d S , cui ergo infiftit columna aquea altitudinis —— v, ita vt eius volumen fit v 2 S. . Haec igitur formula differentialis in- tegretur, eiusque integrale per totum fpatium ab. cd ex- tendatur, vt obtineatur tota mafífa aquea huic fpatio in- fiftens, quae cum effe debeat nihilo . aequalis, ex aequa- tione /v d S— o colligetur valor conftantis c. Perfpicuum autem eft, hoc fieri non poffe, nifi per totum fpatium 4 bcd valores negatiui ipfius v valoribus pofitiuis aequiua- leant, Ex quo facile intelligitur, valorem iflius con(tantis c non folum a figura maris: propofit. a P c d, fed etiam a pofitione. luminarium S-et L potifümum pendere, ita vt pro quouis alio fitu ifta inueftigatio de nouo inftitui debe- at. Deinceps autem videbimus, quomodo hanc rationem expedire conueniat. - A: 6. 13. Hic autem affumamus, iftius litterae c vas lorem. iam rite effe affignatum, et fpatium a & c per to- Aca Acad. Imp. Sc. Tom. lV. P. I. T tam wt ) 146 ( $99 tam "Terrae füperficiem effe extenfüm , vt, quantam aqua in fingulis Terrae locis fiue fupra libellam attolli fiue in- fra eam deprimi debeat, definire queamus. Ac primo quidem facile patet, aquam maxime eleuari debere in loco quodam inter pun&a S et L fito, qui fit in. E, quando- quidem nouimus, ab vtriusque luminaris actione feorfim confiderata aquam maxime attolli in eo loco, cui lumina- re verticaliter imminet. Ponamus igitur di(tantiam lumi- narium SL — Z, ac translato pun&o ind.finito Z in E habebimus arcum $ E — D, arcum vero LE — Z— (p— y, ita vt fit dp —— d4Q. Quare pro maximo valore ipíius 9 inueniendo, eius differentiale nihilo aequemus , at ob dp — —4( prodibit ifta aequatio : — 6m fin. Pe gtdut s Vrcot Nj -4E- x 5 v fin, i cof, xp* — $3 v fin. vp — «bi cum » fit valde paruum prae m et 7, erit proxime: — m (in. Qo cof. (D -- n fin. vj cof. p — 0 , fiue m (in. 2 (0 — n fin. 2 Np — n fin. (2 4 — 2 Q), ficque pundum E ibi reperietur, vbi erit mín.2SE-nfín.2LE. »* . 6. 18. Cum, igitur fit fin. (2 Z — 2 (D) — fin. 2 Zcof. 2 D— cof. 2 Z fin. 2 (b, hinc colligitur fore tang. 2 oz Quacratur er- * M — n (in, 2 go angulus 0, cuius tangens fit — .——7 PT et cum ca. "T dem quoque fit tangens anguli 6-- 180^, hinc nancifccmur duos valores. pro angulo Q, quorum alter erit p — ; €, alr vero pz 406-1- 9o, Prior igitur manifefto dat lo- cum wet ) n0 ( $53 cum E, vbi aqua maxime eleuabitur, poflerior vero eum locum, vbi maxime deprimetur, qui ergo a loco E in- teruallo quadrantis erit remotus in arcu SL produ&o. Simul vero etiam patet, in locis diametraliter oppofitis aquam fore vel maxime eleuatam vel depreffam. 6.19. Haec autem, quoniam ad diítantiam quam- cunque inter luminaria fpectant, nimis funt. generalia, quam vt inde conuclufiones concipnas deriuare queamus, Infra autem has. determinationes ad cafus particulares aes commo4dabimus. | Nunc autem rem. in genere con(iderans tes videamus ftatum aquae tam in ipfo loco S qvam in loco L. Pro priore igitur, translato punáo Z in $, erit Q-—2o et p — £. vnde fit 9 —c--2m-- n(3cof. d^ — 1) --»cof. Z(5 cof. * — 8); at vero translato Z in L erit Q— Z et y — o, hincque v —ec-- m(acof.Z —1)-2- 2 n-- 2 v. Sin autem pun&um Z ita capiatur, vt ambo arcus S Z et L Z fiant quadrantes, tum ob (D— 9o? et p — 9o? erit 9 —6-—1 —15y xbi ergo aqua femper erit maxime. de- preffa. : Applicatio ad hypothefin , qua tota "lerra aqua circumdata ponitur. $ 20, | Contemplemur nunc cafum, quo tota Ters ra effet fluida, vel faltem continuo maris tra&u cincta, €t qvaerámus valorem quantitatis conílantis e pro quouis fitu amborum luminarium, wt inde vera eleua io ^ maris fuper libellam naturalem. in omnibus. locis aílgnari queat. T 2 Ad "Tab. v, 5 ) 148 ( S Ad hoc igitur neceffe eft, vt formula integralis fo 4 S per totam Terree fuperficiem extendatur et valor refultans ni- hilo aequetur; fic enim perucnietur ad aequationem, ex qua quantitas c facile determinari poterit, — Vbi noesetur, differentiale d S exprimere clementum quodcunque fuper- ficiei fphaericae. 6. 2r. Cum igitur valor quantitatis 9 ex quatuor partibus fit compofitus, quarum prima eft ipfa conftans vc, quae quaeritur; fecunda, actio a Sole orta m(3cof. Q* —1); tertia, actio principalis a Luna orta 7 (5 cof. y* — 1); quar» ta denique, correctio iflius actionis —v cof. Vp (s cof. N^ — 3): fingulas iftas partes in elementum fuperficiei 2 S ducamus ct integralia per totam fuperficiem / Terrae extendamus, quo facto aggregatum omnium nihilo aequari debebit. Pri- ma igitur pars, feu conftans c ftatim praebet fcd S — cS, vbi loco S totam fuperficiem Terrae affumi oportet. Hic iterum radium Terrae vnitate dcfignemus, quando- quidem non quantitas abfoluta fpectatur, ac pofita ratio- ne diametri ad peripheriam vt 1:7, notum eft, totam füperficiem Sphaere effe — 4 7, vnde integrale ex prima parte ortum erit — 4 7 c. 6. 22. Pro fecunda parte » (3 cof. Q* — 1) circa pundum S in fuperficie fphaerica defcribamus circulum, interuallo S Z — (p, eritque fin. (p radius huius circuli in plano confiderati, eiusque propterea peripheria —2 7 fin. (p. lam tribuamus arcui S Z —(p incrementum | infinite par- vum Zz — d (p, iquod in peripheriam 2 7 fin. (p du&um dabit incrementum areae iflius areae circularis in fuperficie fphaerica, quod ergo erit — 240p fin. (D; quamobrem iftud ec ) 1:490 ( S53 iftud incrementum per fecundam partem (5 cof. d - 1) multiplicetur, et integrari debebit ifta formula : 2mmddQ fn.Q(s cof. d — x). Hunc in finem ponamus cof. p — x, eritque d p fin. (p — —4 x, et formula integranda. euadet — — 2 m md x (3 X x — 1), cujus ergo integrale fit 2mm(x—x)-- C—2omm(cof. — cof.) 2- C, quae conftans C autem euanefícit, quia integrale inuentum fponte fit — o, fumto arcu. (Q— o, ita vt integrale ex hac parte ortum fit 2 77 7 cof. D fin. (^, cuius valor vt per totam fuperficiem fphaericam extendatur, arcus inde- finitus (D fumi debet femicirculo aequalis; vnde, cum fiat fin. D— o, euideus eft, integrale ex fecunda parte ipfius 7$ natum fponte fieri — o, atque hinc fimul manifeftum eft, etiam integrale ex tertia parte oriundum ad nihilum reduci. 6. 23. Pro parte quarta ipfius o in figura loco S fümatur pun&um L, voceturque arcus LZ — 5Z — yp, et quia elementum fpatii circularis nunc erit 2.7 4 wv fin, vp, formula differentialis ex quarta parte nata erit 2 y 7 d vp fin, Np cof. xp (5 cof X^ — 9). Faciamus hic iterum cof. p — x, vt habeamus hanc for- mulam: —2»-xdx(sxx— 3), cuius integrale eft —2ym(ixt—ixx)-—2v»m(icof Np'—icof.X)4- C. Erit autem C — iv» s. Extendatur nunc hoc integrale per totum Sphaeram, ponendo wp — 180, atque etiam haec quarta pars euadet — o. Ó E 6 24. Tab V. Fig, 7. eB )sso( fue 6. 24. Hinc igitur patet, fi tota terra continuo oceano eflet obducta, tum femper fore conftantem e— o, in quocunque loco coeli ambo luminaria verfentur, ita vt pro hac hypothefi femper valeat ifta aequatio: ni 5ggH v — m (3 «of. Q* — 1) 4- 2 (3 cof. y^ — x) -i- Y cof. Np (5 cof. Np* — 3), i2 vnde pro fingulis Terrae locis eleuatio aquae fupra libel- lam in pedibus pariünis definiri potérit. Scilicet fi valor ipfius v prodeat pofitiuus, eleuatio fupra libellam naturas Jem indicabitur; vbi autem obtinuerit valorem negatiuum;,. ibi depreffio infra libellam indicabitur. Haec autem omnia intelligenda funt de ftatu aequilibrii, quem actio luminari- vm Terrae effet inductura, fi tam Terra quam ipfa lumi- Maria perpetuo in codem loco quiefcerent. Ia hac igitur bypothefi fequens Problema refolui poterit. ! Problema. 6. 25. In hypothefi Terrae quiefcentis et oceano continuo circumdatae, fi dentur in coelo loca Solis et Lu- pae, vbi per.aliquot tempus commorari concipi debent, vt totus Oceanus fe ad ftatum aequilibrii componere. pof- fit, in omnibus Terrae locis fiue cleuationem fiue depres- fionem aquae fupra vcl infra libellam naturalem deter- minare. Sol. tio. Referat circnlus AEBF fuperficiem Terrae, vbi A et B firt Poli borealis et auflralis, femicirculus vero AEB repraefentet primum meridianum, tum vero puncta S et L ca fint loca, qu.bus Sol et Luna verticaliter immineant,. pro ef$3 ) xsr ( $93 pro quibus du&is meridianis A S et A L, 4£nt longitudi- nes EAS —Z et EA L — x, diítantiae vero a polo bo- reali A vocentur AS —f et AL —g. lam proponatur "Terrae locus quicunque Z, cuius longitudo fit EA Z—u, et diftantia a Polo A Z — z. Quo igitur pro hoc loco quantitas v poffit definiri, eius diftantiae a punctis S et L, fcilicet arcus Z S (pet Z L — Xp. quaeri debent. Pro pri- ore Z S — Ó ex triangulo fpaerico Z A S, in quo haben- tur latera AZ —z et AS —f, cum angulo | intercepto ZASC-—ó- wo, deducitur: cof. S Z — cof. D — cof. f cof. z 4- fin. f fin. cof. (Z — cv). Simili modo ex triangulo Z A L, in quo habentur latera ZA-—z et AL—g, cum angulo intercepto ZAL—Z»—a, colligitur cof. L Z- cof. p 2 cof gcof. z -- fin. g fin. z cof. (q— o). His igitur duobus angulis (D et «p inuentis, erit eleuatio aquae in loco Z fupra libellam natüralem: v — m (3 cof. Q* — x) 4- s (3 cof. Jj? — x) -t- Y cof. vj (5 cof. Nj — 3), vbi litterarum z, 7? et v valores pro ratione diftantiae tam Solis quam Lunae ex $. 14 íunt defumendi, Corollarium 1. $. 26. Quod fi ergo locus Z in ipfo polo boreali A accipiatur, vt fit z—o, ftatim. habebitur D- f et yg, vnde pro hoc loco erit v — m (3 cof. f* — 1) -4- n (3 cof. g* — 1) 4-v cof. g (s cof. g' — 3). Sin autem punctum Z in polo auítrali B accipiatur, fiet — e eH? )ase( fHe "9 — 18c* — f et Vy — 180" — g, Deb MM et pro hoc loco erit vm (a eof. f* — 1) 4- n (3 cof. g' — 1) vcof g (5 cof. g* —3). vbi vltimum membrum contrario figno eít affe&um. - Corollarium 2. 6. 27. Si pun&um Z in aequatore accipiatur, vt fit z — 96^, manente longitudine indefinita EA Z — o, rc- perietur . cof. (o — fin.f cof. (£—w) et cof. «y — fin. gcof. (xq — wu), vnde cleuatio aquae erit, vzm(sfin.f^ cof (£ —«)' — 1)-- n (3 fin. g' cof. (» —«)' — 1) -1-» fin. g cof. (n — 9) (s fin.g* cof. (n — u)* — 3). Corollorium 5. | 6. 28. Si Sol et Luna fuerint in coniunctione, vt fit *—4Z et g — f, erit cof. (D— cof. «p — cof. f cof. £ 4- fin. f fin. z cof. (s — «), quibus inuentis cleuatió in, loco z reperietur: v — (m4 n) (6 cof. * — 1) -2- cof. (s cof. — 3). Sin autem Sol ct Luna fuerint in oppofitione, erit y —Z —180 et g — 180^ —f, vnde cum fit fin. 4 — — fin. Z, cof. « 2 — cof. Z, fin. g — fin. f, et cof. g — — cof. f, fequitur fore cof. ( — cof. f col, z -)- fin. f fin. 2 cof. (/ — q) et cof, qj — — cof. f cof. z — fin, f fin. z cof, (4 — «). Sicque » et ) rss ( 28$e Sicque patet fore cof. p — — cof. D, ex quibus eleuatio aquae in z colligitur: v z— (m -4- 2) (3 cof. (p* — x) — v cof. (p (s cof. Q* — 3). Scholion, 6. 29. In hac hypothefi commode accidit, vt pro omnibus locis Solis et Lunae quantitas conítans c eun- dem valorem nancifcatur. Sin autem mare vndique clau- fum proponatur, quod tantum modicam portionem fuper- ficiei Terrae occuparet, tum pro quouis fitu luminarium valor iftius quantitatis copftantis e feorfim computari de- beret, quod vtique calculum non parum moleftum poftu- laret. Plerumque autem fufficiere poterit differentiam tantum inter eleuationem aquae in variis locis talis maris determinaffe, ita vt tum non opus fit veram quantitatem litterae c definire. Ceterum quoniam hoc loco mihi tan- tum fuit propofitum, pro quouis fitu Solis ac Lunae, (ta- tum aequilibrii, in quo maria acquiefcere queant, cx veris principiis determinare, hoc argumentum vlterius non pro- fequor, neque quicquam de Phaenomenis fluxus et reflue xus maris hic attingam, quippe quae iam dudum fatis dilucide funt tractata. —Ó—ÓP RR RR Atfa Acad. Imp. Sc. Tom, IV. P. 1 i4 DIS- et ):s( $e DISQVISITIO D E METHODO CONSTRVENDI TABVLAS PRO MOTV PROIECTILIVM IN AERE RESISTENTE. Auctore W. L. Krafft. 6. 3. quam in difficillimo problemate, de proie&ilium mo- tu in hypothefi refiftentiae medii, celeritatis quadra- to proportiopalis, fummi Geometrae tanto ftudio ct tam felici fucceffu funt verfati, vt, quantum Analyfeos adhuc excultae ferunt vires, id, theoriam quod attinet, ceuolus tum cenfendum fit: quod primarium in hac re momen- tum eft et ad practicom vfum omnium maxime defidera- tur, ad tabularum ballifticarum non nimis operofam con- furu&ionem redit, quae nec difficilis aut. complicatae ap- plicationis in ipfa praxi fint, et experimentis, quantum opus eft, congruant, Neque etiam practico huic víui de- fuit mathematicorum fagax induflria; inprimis enim lil. Eult- eo )iss( $e Eulerus in Commentariis Berolinenfibus anni 1753 non plenam modo tradidit huius problematis folutionem, fed ex eadem quoque ;abula; con(ftruere ba/liflivas docuit; et in iisdem Commentariis anni 1773 lll. Lamberius | fcalae balliflicae , ipfis his tabulis fuper(tru&ae , conftrucionem haud mediocri ingenio in lucem protulit; quo tamen egregio labore vtroque id cffe&um effe nondum conftat, vt, bal- lifficam qui exercent artem, tabulas in promtu habeant, ex quibus in aére refiftente, calculo non operofiore, quam in vacuo ex tabulis Be/iZorianis, dati iactus amplitudinem computari liceat. Quamuis enim Ill. Comes 4e Graeue- miiz octodecim ciusmodi tabulas ad ductum theoriae Eu- lerianae computauerit, quae, fi fpecies traiectoriarum in- ter octodecim iftas intermediae commoda interpolatione definiri poffent, ad omnem artis ballifticae vfum practicum fufficere videri poffent: tamen, fi vel maxime iítae tabu- lae facillimae ad praxin adplicationis effent, ad expcri- menta iftas adplicanti facile patebit, iis in cafibus, in quibus traiectoria globi inter octodecim iftarum fpeci- erum binas intermedia eít, ab «experimentis faepe ni- mium diffentire eas, atque adeo fub certis iactuum con- ditionibus plane non applicabiles effe, non vitio theoriae, aut tabularum erroribus, fed ob vnam interpolationis in- fufficientiam. — Adde, quod in ipfo tabularum a Comite Graeuenitz conftru&arum vfu binae amplitudinis iactus partes pro traiectoriae ramo afcendente et defcendente feparatim computandae fint, et quod ii cafus, qui ob in- terpolationis infuffücientiam ex tabulis modo dictis com- putari non poffunt, fi quis eos ex ipfis formulis funda- mentalibus computare vellet, calculos requirant operofis- fimos. Quae cum ita fint, operae mihi pretium vifum Va eft, "Tab, IIJ. Fig. 3. ets )ss6( che eft, inquirere, annon folutionum hoc de problemate a fummis Geometris datarum vna alterane modo a talibus incommodis libero ad vfum pra&icum reuocari queant, et inter alias folutionem a Cel. Bezou'io datam hoc fco- po fcrutatus in alíquem con(lru&ionis tabularum metho- dum incidi, quae fatis facili et commodo calcolo exhiberi poffunt, et ex quibus, fimpliciffima Logarithmorum tra- €«atione, integram computari licet iactus fuper plano ho- rizontali amplitudinem, quibusque, fi qua opus interpola- tione fit, ea tam anguf(lis circumfcribatur limitibus, vt et- roris nimium inde non fit pertimefcendum ; quod igitur qualecunque tentamen, fi quis forte eius in arte balli(tica víus effe poffit, hic exponere mihi propofitum eft; vnde ipfam problematis folwtionem ad -Ewerianae et Bezoutia- nae theoriae ductum hic, mutatis nonnullis et fcopo mco accommodatis, praemitti: neceffe cft. $..2. Globus, cuius maffa —M, et in aére pon- dus — P, proiicia'ur ex puncto A fecundum | dire&ionem A B fub dato ad horizontem angulo B A C — I celeritate iniiali — c, debita alutudini — 5, vt fit c—2V gb, defignante g alütudinem, per quam grauia prope terrae fuperficiem primo minuto fecundo ex quiete libere, dela- buntur. Globi per aétem lati fit traie&oria AM N C, et ad curuae pun&um M, ad quod peruenerit globus. poft elapfum tempus — £, fit in axe horizontali A C. abfciffa. AP — x et applicata PM — y, arcus vero AM c t, cu- ius elementum M —ds inclinetur ad. horizontem angulo mMnzcQ, vt fit dy —d x. tang. C. In. pando, M fit globi fecundum tangentem M 5 celeritas , A ASA 1x dcbita e$2 ) 157 ( $i debita altitudini — v, hincque &— 2 Y £v, et a£ris. in globum refiftentia — R, motui eius in directione tangen- tis z; M oppofita, aua fecundum binas diréctiones 5 M et m5? refoluta, follicitabitur globus fecundum directionem abfciffae A P vi — — R.cof. et fecundum directionem applicatae P M vi —— P—R.(in.(p; vnde, fumto tempo- ris elemento d; conftante, ex principiis mechanicis ha- betur d d x — —R.co. et ddy .——P-—R. fi. sgdtü^-- m z5Bdit- M "Combinatis his duabus aequationibus colligitur taug. Q. dd x — dd y — 81^ "nde ob 4 y — d x. tang. D, hincque T e ei Quas rit UT ES 29 $5 — EN € di? 2o di- - aedes quo valore in prima aequatione fubftituto erit dade Ed dx — P.cJ.D * Pofita nunc aris refiftentia quadrato cleritatis propot- tionali, fit m — X dikfÜ. RM quo valore fubftituto habebitur p.dt* dàx.—— dO ) " UM odas.—- ef. ps hincque integrando ; d** ..f do Conft. 5. ana 13" * cof. Q3? vbi quidem ex Meepne calculi integralis conftat, effe ' J. — : tang. (D. fec. D 2- ; Log. hyp. tang. (45? ; qQ), V 3 inte- ; fiue eB. ):ss8( ce integrali íta fumto, vt enancfcat cafu-D— 0j et cum. hinc fit 15 — *? (Cont. — f 75) et 17 defignet globi in traie&oriae puncto M celeritatem horizontalem, haecque fuerit initio iactus — «. cof. 1, opor- tet, vt fit "MA RT ó . LJ Gee One D— —ütÓ— , 2^ (Contt. — /. dg) pofito poft integrationem (D— I, vnde quantitatis con(tan- tis per PANT qe integrationem ingrcífae valor colligitur C-—- aant: tang. I fec. 1 -- ; Log. hyp. tang. (4.5*4- ; I). Hoc igitur quantitatis conflantis C valore notato, erit peces. AL X e" 2 2A(C Jar 32)" vnde ob 2Pp^ — arg j* habebitur PASE oa dieair.i ec | 4^ & col. ' (C — -f a5 adeoque "ERAT M.tang.Q. d — . iis 4^ £. cot. Q* (C— -fim Pro aequationum harum differentialium primi gradus in- tegratione Cel. Bezour duplicem proponit approximatio- nem, quarum vna ftatuit Fa. — a. tang. (p; altera autem f. dn — tang. (p -1- ». tang. Q*, vt fit a — ; fec. (D 4- 1 cotang. P. Log. byp. tang. (45*--: D) et &-— ec35 ) rso ( £$s3e p — itang. (D. fec. D --; Log. hyp. tang. (454-105) — tang. (b tang. Q' TQ ex quorum valorum variabilitas quanta fit, vt innotefcat, pro vtroque fubiunctam computaui tabulam , o a b o? | 1, ooooo|o, 16666 25?|1, 035 14.|O, 16161 45 |1, 14779 |0. 14779 65^|1, 5343310, 11618 95*|2, 20349|0, 08641 85715, 8724910, 03730 ex qua patet, priorem a D—o ad (D—45* et vltra parum excedere vnitatem parumque vatiari; poíteriorem vero et femper effe perexiguam atque adeo inter limites (o — o et (D— 65^ non nifi a valore o0, 17 ad valorem O, I2 decrefcere ; vnde has quantitates intra memoratos pro vtraque limites, approximatione parum erronea, pro con- ftantibus haberi licebit, Hac igitur tantisper hypothefi facta, pofitoque tang. — p; 2 —D et b —j; habebitur pro priori approximatione — —Ddbp — —D.pdp dxz- c—.? et d y — TM, hincque integrando, cum integralia cafa (D — I euanefcere debeant, x — P Log.hyp. € —21!^&9 et '€ — a tang.I Y j- — (Log. hyp. DET. -— c (tang. I- tang. Q)) Pro eB )16o0( $e Pro pofteriori antem approximatione, fit aequationis cu- bicae p -À- Bp— BC — o radix realis — k, vt fit kÀ'BR-BC-—o; eritque BC—Bp-p'- s (hne 5) (B -2- &-- kp-- p); hincque. wt d p dx —mu—sy E Esci et dy—ac3süci tip -P quae aequationes, pofito pc PxB-—E cB uur f, adhibitaque fractionis vtriusque refolutione ia fractiones partiales, in has abeunt: gx DEÉSTORO MM OUR. d; fae d-. af ) dyzi-DEA( 124 4.29 (Bii). d J'-4 4k — —4 — (B Mraw. quarum, pofito breuitatis gratia T kg — gg; colliguntur integralia x — Conf. —DE. (1^ g. hyp. 2 Jm P rAn. tang. 1) yzConft.- DE. A Loghyp —7. vif. n — £g. Arc. tang. ) fiue, pofito ad contrahendas "rn 7 HR Arc. tang, 2 — X et fumto Arcu N tali, vt fit ?£ — tang, N, babcbitur x 2 Conft. DE (Log.hyp. zm -- 2X). co. (N -4- X) y — Conft. — D E & (Log. hyp. —2"-—— —g X), quae integralia cum. euanefcere- debeant: ca(u (D — I adeo- que e$ ) 16: ( $9e tang.I 4- ; E f tang. 1 -2- i£ M, y ponamus que fi fuerit X — Arc. tang. ita, vt ifta integralia euanefcere debeant cafi X — M, va- de integralia habebuntur completa ataque ipíae formulae Bezoutianae x z D E (Log. hyp. 27 229. -4- **.(M — X)) CO (N —- M) 7 -DE .E (Log.hyp. ^ 79 — g (M — X)). cof. (N -4- M) Binarum harum methodorum non mifi priorem Cel. Be- z0uP ad practicum vfum applicat neque etiam hanc ipfam ad conftru&ionem vsque tabularum perduxit; pofteriorem vero ob nimis complicati in ea et perquam operofi calculi neceffhtatem priore minus ad ipfam praxiu valere exifti- mat; atuero cum cx fuperioribus conftet, quantitatem 5 potiori iure, quam quantitatem 4, atque adeo inter mul- to latiores limites valorum anguli (D pro con(ftante hab:cri poffe: in eo iam labor nofter verfabitur, wt artificia in- veftigemus, quorum ope pofíterior haec methodus non calculis folum multo concinnioribus ad propofitum quod- vis exemplum applicari, íed ad ipfas quoque tabulas bil- lifticas conftruendas reuocari queat, quarum víus practicus non nifi fimplicem logarithmorum tractationem roquirat. $. 3. Hunc in finem ante omnia quantitatum ex iactus conditione datarum, adcoque a iactus obliquitate I, globi pondere P, eiusque celeritate initiali ; et ab aeris re- fiflentia R pendentium valores accuratius definiri oportet. Occurrit vero in fuperioribus formulis 4Atia Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. X 1) DEIN I) Cogffciens A, cum fuerit R Aw —4Ag9. Po- fita iam globi diametro — 9, et diametri ad peri- pheriam ratione — 1 : 7; aequabitur, ex communi phyficorum hypothefi, aeris in globum refiftentia R ponderi. cylindri a&rei, cuius volumen — *5:* fiue ponderi cylindri aquei, cuius volumen — *57*, pofita ratione grauitatis fpecificae aquáe et ae* ris — b:1. Si ergo à et v in pedibus, eorum- que partibus decimalibus, exprimantur, itgue. pe- dis aquae cubici/ pondus — a; crit R — *35*. 4; hincque Alcdti. Cum igitur in fequentibus calculis pede rhenano. vtamur; erit g — 15, 625. ped.; €t a — 64 libr. vnde cum communiter ftatua- tur 5 — 850; erit À — o, 69947309. 9. Talis foret ipfius A valor, fi a&ris refiftentiam commu- ni huic hypothefi exacte confentaneam füppona- mus. Si vero ex lll. Eu/eri fententia, experimen- tis Robinfi mis fuperftru&a, etiam illius. refiftentiae aeris rationem haberi oporteat, quae ex eo naíci- tur, quod globus infigni per acrem velocitate la- tus vacuum poft fe, non plane momentaneum, re- linquat, totamque tantisper ex anteriori parte pres- fionem atmofphaerae fuftineat; valor ipfius A inde haud parum augebitur; vnde ponamus À —- 0, 00047309. p. 0' ita, vt in communi pro rcefiflentia a&ris hypothefi fit — 1; ex Ill. autem Eu/eri calculis .— 3,0615; ceterum | ipfe hic ipfius p. valor expetit ope €xactius determinari poterit. 2) et3 ) 163 ( $e 2) quantitas C, exiftente C itang.l. fec. I 4-1 Log. hyp.tang. (45^ 2-: D uu su cuius pofterior pars, fubftituto ipfius A valore, ia hunc 1056,888. —-zp abit. Huius igitur quan- titatis conftantis C valores pro fingulis proiectio- num obliquitatibus ex datis globi pondere, diame- tro et celeritate initiali ope fequentis tabulae faci- le computate licet, cuius prima columna. angulum proiectionis per quinos gradus, altera valorem 1 tang. I. fec. 1 -41- ; Log. hyp. tang. (45? 4 £ I); tertia denique logarithmum quantitatis E R- come ple&itur. Y| ;tg. Lec. 1-7 Log.tg. Gs") Eo ra NN 'o?10, 6669602 5 Pg 2$. 0240294. Í | óilooooa. OoOoo000. 5*|o,087660. . ^» . . * B » 603011532. Xo'[o;1737286.. . ..* - « »|.3, 0573264 «.6,02773. 1$5/09,271142./6. 54.75 8. 054.14.18. 6,063500. 20?|0, 371854. » 4 4. ^ « MH y. 16; 11577. 299/87 48200 D IROTEXOTAS, fOb4790 1725385 18792. jo"|o, 607986. 5.4 ^. « «.|3, 1489682. T. . 6; 28183. 395 10,752914 70v 25.193. 1923004 6, 40387. 40 |0,9209139 . e$» » . «5| 3» 255532145| « . 6,56160. 51X,142 2228 V. Cs | 5»: 3250594.] - - 6, 76622. se*| 1,4328DEnis «a. ([3:4078944-| - - 7,93476* 552|1,822062, . . 4. 4. » .|3: 5068468.| . . 7,39456* 60*,2,38903809. «4» . . » ,13» 6260894. «.7,89354* 657|3,290396. . . « . . . « .|3: 7721328.| . « 8,60676* q914»884250. 4. 5. «|9:9559260.| ....9,70608* X2 3) e$ )164( $e $) quantitas B, exiftente B — ;, fiue yt tang. (D* 7 ttang.Ó fec.D4- ;Log.hyp.tang.(45*2-: (D) tang. cui CeL Bezour valorem tribuit conftantem pro tota traiecoriae extenfione, atque eum quidem, quem reuera ipfo iactus initio habet. ^ Cum fcili- cet valor ipfius (Q im ramo traiectoriae afcendente a(-I ad (pz o extendatur , valor autem ipfius 5 ($. 2) a(— 65^, qua raro folet maior effe iactunm ob- liquitas I, vsque ad (pz o non nifi quinque parti- bus centefimis varietur: is ipfi valor conftans com- modifme tribuitur, quem in ipfa hac valoris fui in fe iam exigua variabilitate diutifime feruat, quique ipfe eius valor initialis eft. Ceterum cum in hac hypothefi valor, qui ipfi 5 in aequatione dx —.—;- L5 tanquam «conflans tribuitur, t minimus omnium eorum, quos quantitas j in toto traiectoriae ramo afcendente reuera fucceíliue ob» tinet: intelligitur, ia&us pro folo ramo afcendente amplitudinem iffa approximatione paulo minorem vera reddi. la ramo curuae defcendente, fi pona- tur appulfus globi, ad horizontem: recidentis ,, ob- liquitas — Z, valor ipfius anguli (paQ-— o ad (p— —Z extenditur: hinc, cum quantitas 5 pro codem angulo (p fine negatiue fiue pofitiue. fumto valorem feraet eundem, et valor eius initialis pro- pe fit inter omnes intermedius, quos in toto ra- mo defcendente obtinet: amplitudo iactus pro foe lo ramo defcendente ex hac hypothef computata quam proximc cum vera coincidere cenfenda eft; ita, ec35 ) x65 ( $83 ita, vt, approximatione im practico vfu certe pa- rumnrerronea cuiusque exiguus error ad paulo abbreui- anam veramiactus amplitudinem tendit, ftatui dh tang. l* foit E fec.I--1 Log. hyp-tang.(457^4-i tib ung.i quos valores pro: fingulis proiectionum per quinos gradus angulis in quarta fuperioris tabulae. columna exhibuimus. 4) valor & ex aequatione cubica &*--BE —BC —o . definiendus, pro cuius radice reali inueníenda re- . folutio ad fcopum noftrum commodiffime ita infti- tuitur: Ponatur k — x -1- y ; eritque € y —BC-r-(x-4-»)(sxy-2-By—0; quem in finem ftatuamus x'"-P9» -BC —0, e6 3 cy --B— o vnde eum fit z— — 7L, valore hoc in priori ae- quatione fübíiituto: erit ^! — BC. — — o hinque gc y (reb. €X qua aequatione inuento valore y erit £ — J—— 5) Hisce igitur m vir; in habebitur D-— 33» 82045. rcm E-— —irenme : B-r-ik Í—Y(-eik)y £o. I& N — Arc. tang. 7^; | M— Arc. tang. tang. T 4- Ri. vbi quidem conftat, cum fit D— P. v, hane quan- tiratem in pedibus rhenauis expreffum iri. X 3 $. 4 et32 ) 166 ( $90 &$. 4. Hifce praemiffis patet. —— ^ Y) haberi a/tiiudinem iacfus, fi integrale pro traiectoriae adplicata y fupra innentum ad (Q-—-0, quod in fummo obtinet traiectoriae apice extendatur , ad- eoque fi ponatur X — Arc. tang. $5 pofito itaque boc arcu — H, habitaque ratione reduétionis lo- garithmorum lybesbolisomm ad communes tabu- lares et arcuum circularium in minutis primis ex- prefforum ad partes radii decimales, erit Altitudo iactus — 2,50258509 D E & (Log. tab. cof. (N -i- H) j- Log. tab, cof. (N -- M) —0,90012633. g (M-H) 2) Idem hic arcus H 1oco X in aequatione pro ab- íÍcifla x fupra inuenta fubftitutus dabit i;us pro Jolo ramo a[cendemte amplitudinem, fiue cum fit x-2-- Hi (M — X) erit Amplitudo iactus pro folo ramo afcendente mIAUMEM -I- 0, 000290888. 27 (M — H), habita fcilicet ratione reductionum modo dictarum. 9) haberi toam ia&fus. amplitudinem, fi yere pro ab- fciffa x.fupra inuentum ad p— — 4 extendatur, adeoque fi ponatur X — Arc. tang. ——— PP— tag ang Pofito. itaqne /hog. &arGD. s cum idem .;hic an- eX gulus e$ yrey( cube gulus in àeqWatione pro adplicata y loto X fubftis tutus efficere debeat y — o; pro definiendo hoc arcu Z. fequens habebitur aequatio Log. hyp. 9^8 772. — &(M— Z) — €oJ. (N -4- M) .. fiue, reductione modo dicta inflituta , peius M—Z-V et N--M— R, erit Log tab.cof; (R-V)-0,000126331.g.V—Log.tab.cof.R;. ex qua aequatione inuento angulo V in minutis primis expreffo, erit Amplitüdo tota iacus — 0, 000290888. ^; EYD 4) háberi , inüento arcu V , angulum Z, fub quo globus ad birizóntem revidit ; ^e enim fit Z —M—V; erit tang. (M — V) — —— SES $ ; adeoque tang. à — i k 4- f. tang. (V — M). 5) haberi. celeritatem globi in fümmitaté trale(loriae et inuento angulo Z, celeritatem. appulfus globi adbori- zoniem recidentis: cum enim. in traiectoriae puncto quocunque M fuerit ($. 20 globi celeritas erit P . pis cof4p*(C — J. 1 vnde pofito —o, quo cafü f; 5 2 ewanefcit($. 2.); erit celeritas globi in vertice traiedtoriae — Y. ao et eo )168( S51 et globi ad horizontem impellentis celeritas " —y D P ; I 24. cof.Z' (C-- i tang 4 (ec. G 4-; Log. hypg («54-12 $ s. Antequam huius calculi fatis operofi com pendium exponimus: eum cxemplo illuftradie iuuabit. Comparemus hunc in finem methodum hic traditam cum tabulis Euerianis: | Exemplum. Globus, cuius diameter 6 poll rhen. et pondus — 5 ponderis pedis aquae cubici rhcnani, proiicirur fuf» angulo 45^ «eleritate initial — 485, 7. ped. rhea (*). Quaeritur amplitudo ia&us fuper plano horizontal, Cam pondus pedis aquae cubici rbenani fupra po- fuerimus — 64.libr. erit pro hoc exemplo P—s57,6;30—0,5;c— 485,7; 1— 45" et in lll. Euleri hypotbefi pro rcfi(lentia aéris erit p 73,9615. Hifce pofitis, habebitur Ex tabula $. 4. ., . . B—6,756622. Ex eadem tabula . . . C—r,82212. 93, $2045. p —-— Dc-—2545.ped.rhen. Ex (*j 'n Comm. Berl fopra allegatis Wl. Eulerur hoc. exemplum ex fuia tabulis computauit; ibique dicit, effe globi celeritatem initialem — 11222520& V aa (5 & — 15 5 — 15, 625 ped. rhen. et £ — 2544. ped. rhen, Hinc ergo prodit celeritas ifla initial — 495, 7. ped. then. wt ja6o( Cx refolutione. ined €ubicae: —— — Arc. t tang, f ug I--; 5 Arc. tang. ! |(ONZASM. Arc. tang. E ^" hinc j Log. tab. cof. (R — V) — o, ooo M-Hz ex M lbi peo » angulo V colligitur. aequatio - etie bk —1,40884. E — o, 53190. f— 2, 87312. £ — 2, 40712. N,53*..39! 52! .M.z 30? 40!. 39. 4H 5347 20! 31^. H-— 13546 g5/. N--H-63? 26! »4!, X46? :54! 9; 80409. V 2 8,9938380. cui fatisfacit angulus V — 50*. 48^. 6 — 3048, 6 Stabilitis hifce elementis calculi, ex (La pupa formulis prodit Eun Ex tab: Euj. Alütudo iactus - -* - - 1257. ped. rhen. | 1235. ped. rh. Amplit. iactus pro ramo afc. 2133. -—— 2139. B Hle Amplitudo. iactus tota - - 3774. — [3779 —— Celeritas globi Tecidentis - 276. —— 296. —— Celeritas globi im vértice! -^ 209. —— ^| 209. —— 2/. 60? 13. Angulus recidentiae globi - 60" 2 (06$. 6. perimentis confentiret: valores tamen. k,. fet. g Aca Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. : Quantumuis vero. haec. methodus. cum ex- yna cum apgu- ENS ) yo ( ide angulis N et M; et aequationis potilhmum termino [oza- rithmico et arcu circulari. complicatae refolutio calculos requirunt operofiores, quam vt in ipfa praxi ad itas formulas recurri poífit; ncque magis patet, quomodo hac formulae, in quibus modo memoratae quantitates, a pon- dere partim et diametro globi, partim a iactus obliquita- te et ccleritate initial pendentes, diuerfimode inter fe complicantur, ad conítrucionem tabularum reuocari ques ant; id quod fequenti commodi(lime fieri ratione reperi. Totus fcilicet calculus pro dato quolibet iactu in- ftit&hendus a valore £, per quem quanritates f et g vna cum angulis N et M determinantur, ($. 3.) adeoque ab aequatione cubica &' - BE — B C — o, in qua data funt B et C per conditionem | iactus, primario pendet; cuius aequationis refolutionem $. 3. datam iam fequenti modo adornari conueniet: : Sumto angulo 2 o tali, vt fir P — S. tang. 2, fiue tang. 2u0-— sv». C 7s - y3? erit * — 7 (tang. 2 u 4- fec. 20) — 751 tang. (45* -u) adeoque I y : kv. (Y tang. (5*2 9) — ; SAI 3 Y tang. (45? -- 9) Si igitur fumatur angulus 2 vp talis, vt fit V tang. (45? -1- «) — tang. (45^ -1- V) erit k — *?. (tang. (45* -4- Vy) — cotang. (45* -i- V)) fiue E — *7?., tang. 2 v. Quaro ej$ ) 7r ( $8 Quare ob &' --BE —B C — o, habebitur €; — .? tang. 2 vj anc a 6) Y.Bis.a X6 cof. 2 Xp vnde fi pro fingulis valoribus anguli 2 «p a 2 x — o ad 2 vp — 9o? quaerantur valores A viciffiin ex quantitati- bus B et C per ia&us conditionem datis angulus 2 Xp cor- refpondens definiri poterit; per quem angulum omnes quantitates ad abfoluendum calculum — neceffariae determi- nantur; erit enim k — *77? tang. 2 yy; tang. N — 75:3) Í— TT tang. M merry p mo fiue £g — Y? (ün.2Ny-I-cofec. 2 /); tang. M Ern pofito tang. » — *-72&4. Cum igitur hinc fit ($. 4.) O, 000126331. £ — 0,000109406. (fin. 2 Np -- cofec. 2 Y) O, 000290888. 7; — 0,000251916. cof. 2 vj. cotang. 2 Xj erit, pofito horum valorum priori — A, pofteriori — II, refoluenda aequatio Log. cof. (R — V) — A V — Log. cof. R. et tota iactus amplitudo — II. V. D. ped rhen.; vbi loga- rithmi tabulares et arcus circulares in minutis primis ex- pref intelliguntur. Cum igitur in coníiruendis ad hanc methodum ta- bulis ballifticis pro fingulis valoribus 7 ex iactus condi- tione datis angulos 2 Xp refpondentes vna cum angulis N et valoribus A et II noffe oporteat: ifta elementa fequen- ü tabula exhibuimus: Y 2 C (4 I" $5 2p wN A 2 e cand 5" 2B te | RETE 0,000000 .|90*. c'. o", e Ac 0,020117 88, 16. 7. |o,006277|6 6,014450 , 0,040588 86.32.2'. Hal oi 0,007209. 0,060757 » $4. 49. 13. |0,002096 |0,004800 0,081271. t 88. .6. 59. |0,001576 0,003594: .$1193056 81. 24. 56. . 0,001265!0,002868 .. "e —|———I——— € 0145158 6. n: 44.. 16. | 6,001058 0,002384 - 0.144629 ?| ,;? 4. 51. |0,00091110,002036 - 0,166556 8. os 26. 50.|0,000802 0,001775 mo nS 9g. 7T 59. 22. [0,000716 0,001571 | (0,212045 73. I4. 37. [0,000649 |o 0,001407 0,235758 | xx. 7x. 42. 44. [oresoss o,oora72 [s] ida 12. | 70 1 I1. 43. [0,900549 | 0,001159 ,2855530|13. |68. 42. te IE o,ec0511 [oic 1663 ide X4 167.15. 55. |0,000478, 0,000980 0,339020 | 15. |65. 51. 14. |0,c00451|0,000908 . 0,567404 | 16. | 64. 28. 46. 0,000427 0,000845 0,39 7024.| 17. ja 8. 32. |0,000406|0,000788 0,427997]|1$. |61. 50. 344 | 0.000388, 0,000737 A oM 19. [60. 34-53. |o;ccc57: 0,000691. 0,494511|20. | 59. 21. 28. 10,000357 0,000651 0,530333 21 EF 10. 1 8. |0,000344.| 0,000613 0,565069|22. |57. 1:23. |0,9200353|0,000578 0,607892125.155. 54. 40. p 0,000546 , 0,64.99 86 | 24. Á 50. 9 0600313 0,900517 0,694554|25. |[53« 47. 46. (0,000305|0,000490 0,69 eB )1:75( $9 "T 17] N ^ NI n ipee 0,694554 0,74.1 814. 0,792009 ! Uy TE — E gom —n 25^. eT 0,009305 26.|52.47.29- 9,000297 2". :5. X. 49. I5. 0,845402|28. |50. 53- I. 0,902279.29, |49. 58. 45. 0,962963 |50.- 9,000291 0,000284. 0,000279. 0,0002 3. 0,000419 0,90039*7 0,000378 ——— 0,000359 0,900541 0,000525 — |— 9,000269 0,000264 9,000260 6,000257 0,000425 3: 1,927800,31.'|48. 15.53. 1,097179|32. |47. 27. 10- 1,171529133.: (46. 40. 12. 1,233321 94. les $4. 53. 1,537983 35. [45s B. 16.. ci——— rà — — 1,4. 9400 0,000294. —— 0,000251 6,000248 0,000245. 0,000242 0,000240 36 Le 29.13. 1,528933|37- dowpis- 1,636399(38. |43.. 9. 38. 1,752610|39. |42. 32. 2. ecl i 55. 48« 2,015107 4 perso. 55. 109,000258. 2,163577 (42. | 40.47. 20. [0,0002536/|0,000208 2,225238 |43-. | 40.14. 59- | 0,000235|0,00019*7 2,501580!44. [39.4.3. 5.1. |0,000233 [0,000188 2,694300|45. [45. 13.53. [0,000232.|0,0001*78 2,905335 46. |as. 45. S. 10,000231 0,000169 3,136894. |47. 5:38. 17. 19. |0,00023010,000160 3,391518148. | 7. 50 37. |0,000? 290,000152 3,672122|49..|37. 24. 57. | 0,000228|0,000 144. 3,982077, 50. à 9:16. [0,000227,0,000136 0,00026* 0,000254. 0,000242 0,000250 —— 0,000219 ——— |. $5 [ocossis 0,000509 0,000280. (0,000464. .. 0,00044I . 5,98 ems o) oye ( i9 c zn Bb WU 3,982077 —— o! 16", 0,000227 10,000136 4,325285|[51. |56. 56.33. | 0,000226|0,0c0128 4,706283152. 156. 13.44. | 0,000225 10,00012I 5,3 30371153. |ss . $1. 50. [0,000224] 0,000114 $,0603748,54- |35. 5O 48. 10,000224., 0,000107 6,155585155. 55- a5. 10. |3€ 0,0002253|0,00010I 6,728955 $6. 34. 51. P 0,000225 |0,000095 7.599640! 57. 54. 32. 38. | 06,000222|0,000089 8,158072|58. | 34. 14. 49. |0,000222|0,000083 9,919152159. 133. 57. 45. | 6,000221| 0,000078 10,00000|60. | 33. 41. 24. (0,000221 |0,000073 11,12280|61. |53. 25. 46. ,0,000221|0,000068 12,41567, 62. 13,90508/|63. 15,65738, 64. 17,66041[|65. 66. 67. 68. lai 20,03800 22,850*70 26,20214. 30.22725 35,1c 10336 79. 4I, 41,06662 !71. 48; 4365972. |3 57,65234,773. 69.52776|74- $4,33902]|*75- 1 ; 33. 10. 49. | 0,090220 |0,000063 52. 56. 52. |0,000220[0,000058 32. 42. 54. |0,000220|0,000054. 42. 29. 55. |0,000220!0,000050 $2.13. 33. |0,000220|0,000046 32. $.47. |0,900219|0,00004.2 51. 54. 37. 1 9.000219|0,000038 3I. 44. 1! |e:eco219 0,000035 31. 54. O. ,0,000219|0,0000531 31, 24. 32. |0,000219|0,000028 . 15. 53. |0,0002191[0,000025 4.14 , e 19|0,000022 30. $9. 23. [0,000219 / 0,000020 $0. 52. $./|[9,9000219]0,000018 $4, -GS )azs ( $e — v3 2 iid N A .n 84,33902 7$". 30*.92!. 3. | 0,000219 | O,0006r8 103.9645] Us 39. 45. 13. |0,000219 |0,000015 150,1184. 7 30. 38. 54. |0,000219|0,000013 165,7513 EE 39. 33. 44. | 0,006219 |0,0000r1 215,5694.|. 79. | 309. 27. 44. | O,000219 | 0,000009 SOS s 30. 22. 52. |0,0002 r9|9.000008 394,7896,81. | 50. 18. 50. 10,000219/|0,000006 5$62,8426,82. | 30. 14. 35. [0,000219/|0,000005 841,1230[83. | 3O. I1. 9. 10,000219|0,000004. 1336,998|84. | 30. 8. 11. [0,000219/|0,00000$ 2512,270185. |30. 5.41. (|0,600219|0,60006€ (0 m—— | — ---—— 4519,252 id 39. 3.38.|0,000219 |0,00000 1 Io371$,o01 30. 2. 2.|0,000219/!0,00000r $6187,07 A jO. 0.54. j0,000219|0,060660 289562, 8| 89- od 9.14. |0,006219,0,0606660. ^ eo 199. €. Oo. [0,900219/|0,060006 Tabula pro angulo *. 1 | 95 J|! [1 5 o*.1 o*. ol, ol 25*. 1 3*.59 18/1509. 1 57*.5 5! 31^, 5. | 3.32.15.||30. | 21. 45. 4- i55. |42. 17. 29: 10.) 7. 5.27.||35. 125. 36. 22. | 60. 14.6. 52. 55. 15. | IO. 40. 23. ||40. |29. 34. 9. 65. 51. 41. 50. 20. 114. 18. 3. 1145. 133. 39. 39. 70. 156. 47. 17. 6. ^7 eti ) ave ( $9 6. 5. Víum huius methodi tabulaeque, quam prac- mifimus, fubfidiariae fequentia illutrabunt exempla : * | Exempl L Pro iadu 6. s. dato quaeritur ampli- tudo füper plano horizontali. r3 1 Cum pro hoc iadu fit - «4 - - | Kg — 0, 700491. erit ex. praecedenti tabula 2-002 ew mas ov.ga!. 23.010:i2002.01 C1 .ot) ÓN 2:53. 49. 12. 90,0] CI£900 | ( f YS i C A 6j 000504. irt "3I — 0, 000487. et cum fit ex praecedenti tabula | -. 2j — 33". 39/. 3o". eerit.— - M — 39o.-40. 36. IO TA RARP C MRAIBU, died RIS 48. & 2O0( no IS Ol.8 .A ot SLIC,.AICOI vnde ex refolütione aequationis. logarithmicae, -qui- vnicus eft calculus operofior, reperitur. V — 3049. min. prim. .ex quo, cum fit, vt.ante - - Dc--2545. ped. rhen. erit tota iacus amplitudo, yt ante, — 3775. ped. rhen. s Exempl. IT... Bombarda, cuius diameter r. ped. rhen. et pondus — 158. libr. quarum. 64. efficiunt: pondus pedis aquae cubici rhen. proiicitur füb angulo 1 5^. celeritate initiali — 4o0. ped. rhen. : Quácritur amplitudo ia üs fu. per plano horizontali. prd dios L4 I T tas PIT. '".oQ hp. | 4 ££?.9.K.O0E] .?X Erit ergo pro hoc iau... "B «027, pe — 138; 9— 15 £— 400; I — 15". et flatuamus, vt ante, p. — 3, 0615. z 3 Hinc et ) i77 ( $50 Hinc habebitur j *» Ex tabula $. $. - - B—6,065300. et (C -—— 0. soc 5. Porro habebitur - - - DZ- 1524, 4. ped. rhet Hinc cum fit "E - va 239713. erit ex tabula $. 6. - - * swp—ir* 9. 42, NU 28. O. A — 0,000587. Il — 0,001254. Et cum fit ex eadem tabula - 5 — 1o*. 40". 25". erit n7: - , M.EZ 2. 20-45. adeoque - - R— 689. 48. 45. quibus inuentis, cx refolutione aequationis logarithmicae prodit - - - - V. sz I45549!, — 889. hincque tota iactus amplitudo —— 1699. 4 ped. rhen. Ex tabulis vero Eulerianis ———-— 1719. — —— et ex ipfa experientia Belidorii —— 1705. —— —-— ita, vt amplitudo ex fuperiori methodo pro hoc iactu come putata non nifi 6 pedibus minor fit ea, quam Belidorius experimento reperit, a quo tabulae Eulerianae itidem non nifi r4. pedibus in exceffu difciepant. $. 8. Quamuis vero etiamnum , inprimis ob ae- quationis termino logarithmico et arcu circulari compli- catae refolutionem , nimis operofi fint hi calculi, quam vt promtus eorum in ipfía praxi et expeditus efle vfus queat: tamen , quod praecipuum eft, methodus hic expo- fita facili negotio ad tabularum ballifticarum conftructio- nem applicari poteft, quarum vfus non nifi fimpliciffimam Logarithmorum tra&ationem requirit, quod vt exemplo Acla Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. Z pa ei ):( $5 patefcat, confiruendae fint tales tabulae pro angulo pros jeQionis 45^; ita, vt fit tang. M — 0, 69363. fin. (35^. 39'. 30" -1- 2 vp). Cum igitur iam angulus R — N 4- M cum valoribus A et II vnice ab angulo 2 Xp pendeat; pro fingulis angulis ? vp habebitur aequatio pro definiendo valore V , qui in IL D du&us dabit amplitudinem ia&us, cui datus ifte an- gulus 2 Ap competit; neque vero aequationum harum lo- garithmis et arcubus circularibus complicatarum refolutio- nes multum negotii faceffunt, cum fcilicet, angulo 2 «p. per fingulos gradus crefcente , etiam angulus R cet valor A, adeoque tota iíta aequatio non nifi paruas fubeant varia- tiones; harum aequationum refoluta prima, etiam fubíe- quens facili labore refoluitur. Neque ctiam opus eft, cal- culos inde a valore 2 «p — o incipi, cum enim fit ; — i tang, I fec. I -i- ; Log. hyp. tang. (45*. -i- i 1 abre wa n E minimus poffibilis ipfius C valor erit : tang, I. fec. I -4- 1 Log. hyp. tang. (45? 24- ; I) pofito fcilicet ^. — o. adeoque affumta celeritate | globi initiali — «v; quo pofito erit B—INEH hincque C — tmepICO-EmET), Cafu ergo 1— 45^; minimus poffi- vB bilis ipfius .& valor erit — 0, 441256; cui in tabula 6. 6. refpondet angulus 2 Xp — 15". 24". 46"; a quo igi- tur ipfius 2 Xp valore tabulam inchoari oportet, Ceterum cum ex quantitate .£, per conditionem iactus et aflumtam pro aeris refiftentia hypothefin data colligatur angulus 2 Vp dato iacui competens; argumentum tabulae crit 5 fiue fimpliciter C, ob B conftans in tota tabula; quare, cum dato valore ,^, detur ctiam valor ^. ($6. 3.); conftitui pote- ecs ) 3:79 ( $94 poterit t. argumentum totius tabulae; Porro cum fit tota. iactus amplitudo II V D — 33, 82045. II. V. co&fficiens 35, 82045. TY in tabula exhibebitur, qui in i ductus totam dabit iactus amplitudinem. Hisce principiis fuperfíiructa eft fequens tabula, in qua Euleriana pro aeris refiftentia hypothefis eft affüumta, ita, vt pofuerimus p. — 3,0615. Ceterum pro víü eiusmodi tabularum notari oportet, íi celeritas globi initialis non ex theo- ria, aut penduli ope, aliave ab aéris refiftentia independen- te methodo, fed ex. iactus cuiusdam probatorii amplitudi- ne quaerenda fit; tum in ea definienda eandem affumi de- bere, quae in tabulis, pro aéris refiftentia hypothe(n , fi deinceps, celeritate globi initiali ex ia&u probatorio cogni- ta, iisdem his tabulis ad computandas eiusdem globi ea« dem pulueris pyrii quantitate proie&i fub aliis proiectio- num angulis amplitudines vti velimus. At vero etiam ad definiendam ex iactus probatorii amplitudine celeritatem globi initialem tabulae noftrae facilem admittunt inuerfio- nem et ad formam in praxi percommodam redigi fe pa- tiuntur; pofita enim iacus amplitudine — £2; cum fit (,—IIVD-—533,82045. 1. 3; crit m 237 — 98, 82045. EY 5 haec vero quantitas in tabula eft exhibita, eiusque eft ar- gumentum zc &*;; pofito itaque hoc argumento ZA: erit &* — 5 facili ergo labore conftruitur noua tabula, cuius erit argumentum — 9-3*, et quae exhibet valores refpondentes 4 , qui in z; ducti dabunt quadrata celerita- tum initialium, Z2 Tabu- eG )1:$o( $$ "Tabulam itaque pro angulo proiecionis 45". fub duplici hac forma exempli cauffa hic exhibebimus: 'Tabula Prima pro inuenienda amplitudine iactus globi fub angu- lo 45^ fuper plano horizontali in aére refiftente proiecti, ex datis pondere, diametro et celeritate initiali globi. Argumentum: Pondus globi diuifüum per productum quadratorum diametri et celeritatis initialis globi. Argunientum 0, 000000, O, 000072. 9,000201. | X, Log. Coefficient, | Log. Interpofat. eo 1, 6189926. X, 50232408 43; 8792860. 4» 5793457 dede 5. | 1,4264457. |. 45 8942458. 0, 000478 1, 3650593. 4, 2496433- O, 000628. 1, 5119830. | 4; 1323637. O, 000386. I, 26405'71. 4, 0255108. 0, 0009 54. 1, 2197464. | O, Oo0I11$32. 1, 1780971. 3 8400731. 0, 001322. 1, 1584525. | 3, 75891 11. O, 001525. I, 1004050. | 3.6805007- 0, 001737. 1, 0655417. 5, 6045008. 9, 001965. | I, 0276924. | 3, 5282166. ! Argu- 39304917. «Hi ):sr( fue Argumentum Log. Coefficient. | Log. Interpolat. O, 0022IO. O, 9926262. 3. 4585696. O, 0024 7I. Oo, 9581521. | 3: 3877717- O, 002751. 0, 924.1544. 3,3176442- 0, 003052. O, 8905589. | 2501518. s eetass. O, 8571832. 5, 1820652. O0, 0053723. O0, $240147. | 3, £1519295. 0,004098. | 0, 7999457. | 8, 0481934. O, 004.503. O, 7579166. 2, 9805222. 0, 004941. o, 7249365. | 2, 9160762. O, 005415. O, 6917319. 2, 8481377. s.eesose.| 0, 6584242. 2, 780538314. O, 0064.89. o, 6250284. 2, 7134312. e| 0, 5915351. | 2;6455244. 0; 007762. 0, 5573717. 2, 5775029. cuegepen. d 0, 5250226. | 2, 5069847. O, 009283. 0, 4884042. 2, 43784383. o, oxesss. | 0, 4533155. | 2, 8665981. O, OIIIIS. 0, 4177526. 2, 2950707. o oxa7. | O, 5816878. | 2, 2218495." Oo, 0133490. 0, 3450807. 2, 1484919. CO, 014633. o, 3078164. | 2, 0730490. O, 016068. O, 2699125. | 1, 9965894. O, 017666. O, 2512560. I, 9181005. 0,019450. | O, 1918490. bal 1, 8386578. Oo, 0214.46. O, 1516046. I, 7576477. Z3 Argu- e2 )a182( Gà Argumentum | Log. Coéfficient. |Log. Interpolat. - 0, 025689. o, 1103849. ] 1, 6752118. O, 026216. O0, 0683941. 1, 5885757. Mene 0, 0251172. | I, 50053306.' 0,032317; 9, 9807449. 1, 4106483. Oo, 036012. 9, 9352622. I, 3185320. 0,040242; | 9, 88842357. | 1, 2228779. 0, 045106, | 9, $402164. I, 1259251. 0,050725. 9» 7593461. | 1,0247555. O0, 057251 9; 1387794- O, 9185863. 0,964.873 9 6ess691- y O; 8104641. 0,073832. 9, 6503271. 0,:6993220, —— 9, 5728717. | Oo, 5810869, 0; 09705 4. 9, 5139536. O, 4584-448. O, 112219. «sovosT. | O0, 3307*7 88. 0, 150590. 9, 3855174. O0, 1978331. 0, 155056. d 0, 0569290. 0, 180822. 9, 2451811. 9, 9097618. 0,215542. 2i 9, 7525511. 0, 259530 9, 0891203: 9, 5879781. 6; 316985. | aU 9, 4105652, 0, 390024. e| $, 9139069. | 9, 2233404. O, 488559. 8, 8153747. 9, 0208556. O0, 622805: | 8, 7099855. 8, 8012291, 0, 810495. | 8, 5955830. | 8,5573610. 1, 081057. 8$, 4719390. 8, 3027439- Argu- wet )i88 ( $e Argumentum I, 485707. 2; 118846. 8, 167268. '$,035475- 8, 709814. | M M M A —À— KA —— à e$ MÀ I7, 024616. 40, 378427. Log. Coefficient. 8, 3328347 8, 1775489. 8, 0017315. 7; 7987962. 7: 5610079. 7, 2703947. 6, 8965717. Log: 'Interpolat. —— 8, 0093381. 7: 6793016. 7» 30923746. 6, 888558r. 6, 5293455. 5, 6634545. 4; 7614436. 136,333125.| 6,5692481. 8: 3319086. 1090, 985747. | 5; 4683489. ev —. (9 In conftruenda hac, exempli loco, tabula, ab ini- tiali fupra dicto valore 2 Np — 18^ 24! 46" per fingulos anguli 2 Xp, gradus- iziegros fumus progreffi. ^ At vero, pro ipfa praxi balliftica fi conftruendae forent tales tabu- lae, ab initiali valore anguli 2 Xp, pro quo fit tabulae ar- gumentum — o, ad gradum proximum, per fingula huius anguli minuta prima progredi oportebit; et ab eo inde gradu, vsque dum logarithmus interpolatorius fatis decre- verit, ad fingulos anguli 2 Xp femigradus tabulam extendi conueniet. Ceterum cum in hac tabula füppofitum fit ]p-— 3,0615; ea, quae de definienda ex iacu quodam probatorio celeritate globi initiali modo notata fünt, huic de aéris refiftentia hypothefi in tabulae ad experimenta applicatione conformari neceffe eft, "Tabula et:5 ) r84 ( $2 ""labula Secunda. pro inuenienda celeritate initiali globi fub angu- lo 45* fuper plano horizontali in aére refiftente ad datam diftantiam proiiciendi, ex datis pondere et diametro globi. ELI fiu ult ——— 225222 L:::: :70D Argumentum: Diftantia ducta in quadratum diametri globi et diuifa per spondus globi, Argumentum | Log. Coéfficient. | Log. Interpolat. SS Gre RR 41, 590558. 4, 1408267. 2,9568753. 3r, $20781. 3. 6975865. | 2,592293539. 26, 695974. 8: 4741513. 2, 4012577. 253. 176095. | 3; 3207831. ES 2, 2734.178. 20, 5$ 108 14 8,2021580. 1 2,1757953. 18, 567821. | 3, 1043620. | 2, 0989255. 16,586180. | 3,0205151. 2, 0359928. 15, 069458. | 2, 94601 86, | I,9828173. 15, 754758. | 2. 8789455. 1, 9578059. 12, 601000. 2, 8174056. | I, 8977513. 1, 575550. 2, 7602241. | 1, 5655798. 10, 6584.10. | 2, 7065202. 1, $526626. Argu- Argumentum —— 9, 831644. 9, 081387. 8, 397586. 9, 772110. 7,197525. 6, 668295. 6, 179391. 5, 726860. 5, 308070. 4, 917360. — — —À 4» 5545328. 4; 217240. $; 9024.30. 3, 608873 8. 334438. ———— —— 3, 078961. 2, 839982. 2, 616692 2, 408173. 2, 213506. 2. 031498. I, 861712. x, 703162, 1,555423. 1, 417766. dicta Acad. Imp. Sc. ———— —Á—— ecj$ ) x85 ( $&$e 2, 65564635. 2, 6070940. 2, 5604616. 2; 5154270. 2, 4717227. 2,4291267. 2, 3874468. 2, 84655302. 2, 8062270. 2, 2664.149. 2, 2269833. 2, 1878529. 2, I14$8702. 2, 1 IOOI!4. 2, 0711773. 2,03822923. 1,9932855. 1, 9540805. 1, 9146279. I, 8748430. 1, 8846645. 1; 7940252. I, 7528560. I, 7110875. I, 6686571. Tom. IF. P, I. - Coefficient. Log. Interpolat. I, 8048533. 1, 7799675. I,7576723. 1, 7371602. 1, 7185217. 1; 7013584. 1, 6855882. 1, 6720288. 1, 6570991. I, 64.4.7176. —— —— — — —À I, 634.8212. I, 6231850. I, 6136548. I, 605742I, I; 5965394. 1, 5877819. 1, 5805496. I,5740611. 1, 5674366. I, 5603676. 1, 5561403. 1, 5495701. I, 5465081. 1; 5406296. 1, 5369453. Aa Argu- Arcumentum 1, 289592 1, 170318. I,059551. 0,956652. O, 861514, 0, 773435. O, 692176. O, 61-7086, 0, 54-7998. O, 484807. O, 426901. O, 374000. €, 325577. 6, 282297. ra] ei oi a peiet O, 207521. 0, 175866. C, 147660. O0, 122778. O I0OO$878. —— —— O, O$T848. O6, 065569. O0, 051284. 0, 639408. 6, 029644. -32 ) 186 ) f$ 1 4 Log. Coefficient. 1, 6254566. I1, 5814.586. 1, 5365088. I, 490566r. 1, 4455461. ——— ———— 1, 3953128. 1, 5457651. 1, 29477784. I, 2422140. I, 1879551. I, 1317628. 1, 0755156. 1,0129$862. 0, 9499348. O, 884092 r. O0, $151497. 0, 7427419. c, 6664668. O, 5858128. O0, $001966. O, 4089088. O0, 51108585. o, 2056477. 0, 6912496. 9. 9661516, Log. Interpolat; | 1, 5337774 I, 5285827. I1, 5276647. 1, 5227966. 1, 5205105. ———— 1, 51826353. 1, 51535530. I, 5127799. 1, 5110987. 1, 5091180; 1, 5069850. ; 5051680, 1, 5037276. I, 3021859. I, 5SOI 4074. —rÜÓá— M —á— I, 5009885. I, 500845 8. 1, 499'7050. I, 498865r. I, 4980272. I; 4913694. I, 484.7116. I, 4818752. I, 47905388. I, 4762024. . e$ ) 157 ( $8 Log. Interpofat. — Argumentum as Cogfficient. O, O215I19. 9, 8280669. 1, 4755660. O, 015050. | 9, 6739005. 1, 4705296. O, 010040. 9, 4993153. | 1, 4676931. 0,006292. | 9,2979596. I, 4587324. o, 003639. 9, 0599911. I, 4497716. —— | ——— — 6,001864. | 8,7689227. | 1,4453090. 1 O, 000788. 8, 3938506. (0, 000234. 7; 8653987. O0, 000029. | 6, 9622048. O, O000OOC. | . $. 9. Vtriusque iam huius tabulae vfüm paucae fe- quentes docebunt regulae et fübiuncta illuftrabunt. exempla: Problema 1. Datis slobi pondere — P et diametro — 9, tor- menti eleuatione — I, et obiecti fuper horizontali: plano feriendi diftantia — (Y; quaeritur celeritas initialis, qua- cum globus proiici debet, vt fcopus feriatur. 'Totus iam calculus ex fuperiori tabula fequenti operatione, fimplici logarithmorum additione, abfoluitur: L) Exprimatnr obiecti feriendi diftantia et globi diame- ter in pedibus rbenanis eorumque partibus decima- libus, pondus vero globi in eiusmodi libris et partibus earum decimalibus, quarum librarum 64. efficiunt pondus pedis aquae cubici rhenani. Dis- tantia obieci multiplicetur per quadratum diametri Aa2 globi ej ) 188 ( $3 ) globi et productum diuidatur per pondus plobi; habcbitur argumentum exempli — 3-9, IL) Cum hoc argumento in Tabula, dato angulo proiec- tionis refpondente, quaeratur argumentum proxime maius, eique correfpondens excerpatur Logarith- mus Coéffcientis et Logarithmus Interpolatorius. Ad Logarithmum Coéflicientis addatur logarithmus ponderis globi per diametri quadratum diuifi; nu- merus, horum logarithmorum fummae refpondens, erit quadratum celeritatis initialis quaefitae prope verum ; quod vt exactius habeatur, fiquidem diffe- rentia inter argumentum exempli propofiti et argu mentum tabulae proxime maius notabilis fit, IL) Ad Logarithmum huius differentiae addatur loga- rithmus interpolatorius et logarithmus ponderis globi per diametri quadratum diuifi, fupra iam in- ventus; numcrus trium horum logarithmorum fum- mae rcfpondens erit correctio quadrati prope veri modo inuenti, quae correctio femper eft fubtra- &iua; habebitur ergo quadratum ,verum hincque ip- fa ccleritas initialis quaefita vera in pedibus rhe- nanis expretfa. Exemplum r1. In differtatione ]ll. Euleri fupra citata et Com- mentariis Berolinenfibus inferta fequens exemplum occur- rit, quod iam fupra $. s. ad calculum reeocauimus, Globus, diametri dimidii pedis rhenani, et cuius pondus — 4 ponderis pedis aquae cubici rhenani, fuper plano et )ai189( $3 plano horizontali füb angulo 45^ proiicitur celeritate initi ili — 485,716. ped. rhen. et ex tabulis Eu/eriamis prodit. ia- &us amplitudo — 3779. ped. rhen. Inuerfo iam cafü, ponamus obiec&i feriendi diftau- tiam eíle 5779. ped, rhen. et quaeri celeritatem initialem , globo huic imprimendam, vt fub memoratis circumfítan- tiis feriatur obiectum; quod imuerfimz problema ex tabulis ifis folui non poteft. Ex tabulis hic exhibitis operatio fequenti facili cal-- culo abíoluitur: Cur: fit Pox:57,6;.2 270, 45,0,— 3179. erit argumentum exempli — 3*9 — 16, 403211. Iu tabula, angulo proiectionis 45" refpondente, in- venitur argumentum proxime maius -— 16,586180 cui refpondet Logarithmus coéfficientis | — 3, 0208151. addatur Log. £- — 2,83624825, erit Log. quadrati prope veri cel. quaefitae — 5, 3827976. adeoque quadrat. prope verum celer. quaef. — 241433 hincque ipía celeritas initialis quaefita prope vera m 491. quae igitur non nifi 5 pedibus maior eft vera, Vt exaáius definiatur, capiatur argumentorum differentia —. 0,182969 — e Ad cuius Logarithmum — 9,2623776. Aa3 adde et ):soo( $9 adde Logarithmum interpolatorium tabulae — 2,0559928 et Logarithmum p -— 2,5624825 —— habebitur Log. corre&ionis fubtra&tiuae 3,6608529. ' Hinc Corre&io. — — 4518. erat autem quadratum cel. prope verum — 241433 Hinc quadratum. verum celeritatis quaef. — 256855. et ipfa celeritas quaefita — 4.86, 6. quae igitur non nifi nouem partibus decimalibus a vera — 485,7 in exceffu aberrat. Exemplum 2. Globus, cuius diameter — rz. ped. rhen. et cuius pondus — 158 libr. quarum 64 efficiunt pondus pedis a- quae cubici rhen. proiicitur fub angulo 45^? celeritate ini- tiai — 4co. ped. rhen. atque ex tabulis Eu/erianis colligitur amplitudo ía&us fuper plano horizontali — 2467. ped. rhen. Inuerfo igitur cafu, quaeritur celeritas initialis glo- bo imprimenda, vt fub datis hifce circumftantiis obiectum feriatur ad 2467. ped. rhen. remotum. Erit ergo P — 158; 9 — 1; £1 — 2467. Hinc argumentum exempli — 579 — 17, 876812. In tabula angulo proiectionis 45? refpondente, inuenitur argumentum proxime maius — 18,367821. 3, 1043620. 2,15398791. 5$, 2442411. 175455. 419. quae cui refpondet Log, coefhcientis adde Log. j Hi -———— erit Log. quadrati prope veri cel. quacef. hinc quadratum prope verum cel. quacf. atquc ipfa celeritas quaefita prope vera IBI quae igitur adhuc 1:9 pedibus maior eft vera. Vt exactius. definiatur, 2 capiatur argumentorum didikentis — 0, 491009. Ad cuius Logarithmum — 9,6910895. adde Logarithmum interpolat. tabulae — 2,0989235 et Logarithmum 2, 1398791. $8? "habebitur Log. correct. fubtractiuae — 8,9298921. Hinc ipfa correctio L—— 8509. Erat autem quadratum prope verum cel. — 175485 .Hinc quadratum verum cc]. quacfitae is 166976 et ipía celeritas quaefita - 408. quae igitur o&o pedibus maior eft ea, quam in calculo ex tabulis Ew/erianis inftituendo fuüppofuimus; neque vero etiam maior confenfüs in hoc exemplo fperari poterat, cum cafus propofitus inter duas fpecies tabularum a lll. Comite de Craeveniiz fecundum methodum Eulerianam confiruéarum medius fit, hincque amplitudo iactus non nifi fumto medio proportionali computari potuerit, quae approximatio inter angulos afymptoticos quinque graduum interuallo diftantes nimis incerta eft. ^ Ceterum et hanc differentiam partis ;, totius propemodum pro nulla effe reputandam ob experimentorum , fummo ftudio inftituto- rum, difcrepantiam incomparabiliter maiorem, ex fíequene ti exemplo abunde patebit. Exemplum 5. Inter experimenta Parifiis a Ill. Domino 4e Beau- voir inftituta fequens huc pertinens occurrit: - Diame- eI )res( $9e Diameter globi erat xr poll ro. lin. pedis regii galici, et pondus globi r42 librarum, quarum 7o efü- ciónt pondus pedis aquae cubici gallici. (*) ^ Proiicieba- tur hic globus íub angulo 45^ pulueris pyrii libris 31, idemque iactus, feruatis, quam fieri potuit, exa&iílime omnibus circumftantiis iisdem quinquies repetebatur, ia- &uumque amplitudines crant 490; 5565; 505; 489; €t 554. hexapedarum gallicarum; ita, st differentia inter maxi- mam et minimam amplitudinem füerit — 65 hexapedis — $90 ped. gall. media vero amplitudo — 515. hexaped. ; vnde patet, vim motricem feu ccleritatem initialem , non obftante reliquarum iactus circumftantiarum aequalitate , in- figniter variaffe; quae variationes ex tabulis hic exhibitis iam facile ad calculum reuocantür, ec fequenti tabula exhiben- tur: Cum fícilicet pes gallicus regius fit ad rhenanum vti 1000: 10535; €t 65, 1 librae gillicae efficiant pondus pedis aquae cubici rhen.; erit pro tabulis noftris P — 144; et — 1,0206, affumtisque fingulis horum | iacuum ampli- tudinibus fequentes prodeunt celeritates globi initiales: Tactus| Amplitudo ped. rhch.| Cel. globi initial. I. 4. 304397 - - . . «. 509. ped. rhen. IL 144498 - TW" 9771...» $OUS VEM TS HL. |.. 3:6 - «7 -5-]95.. 880 T M LM IV. T,.7 gOBBim, 0e "1. JOSEP kn rjo108. 08 reato 0. SEES M et Variatio itaque ccleritatis initialis a maxima ad minimam ad 83. ped. rhen, excurrit et mcdia inter omnes 540 ped. rhepn, fuit; ex quo tamen ipío patet, haec experi- menta —————————————— —Ó— MÀ (*) vid. Cours de Mathematiques à l'ufape du Corps Royal de l'Artillerie par M, Bezout Tome 1V. pag. 456. et5 ) xos ( S83 menta non mediocri cura fuiffe inftituta, fi perpendamus, quod in Cel. Hu:tomi di(fertatione "Transactionibus Angli- canis inferta, de vi pulueris pyrii legitur, accidiffe ipfi in experimentis circa globorum celeritatem initialem pendu- lorum ope infítitutis, vt haec celeritas, circumtantiis omni- bus, quantum fieri poteít, iisdem, vltra trecentos pedcs , íceu partem totius plus quam dimid'am variauerit. €. 10. Haec igitur allata exempla cum fufficiant pro often- denda facili applicatione tabulae, cuius ope ex datis globi pondere et diametro, eleuatione mortarii et obiecti ferien- di diftantia colligitur celeritas initialis, globo , vt propofi- tum feriat fcopum, imprimenda; et cuius ope, quod pri- marium in re balliftica problema eít, ex data ia&ws pro- baiorii fic dicli amplitudine computari queat etiam in aére refiftente aeque facile, ac in vacuo, celeritas initialis, globo a data pulueris pyrii quantitate impreffa; fequitur alterius tabulae hic exhibitae vfus in refoluendo fequenti problemate : Problema 25. - qi Datis globi pondere — P; diametro — 3 et celeri- tate initiali — c cum angulo proiectionis — 1; quaeritur amplitudo iactus fuper plano horizontali, Hoc problema ex tabula füperiori facili et promp- to calculo refoluitur: I) Exprimatur globi pondus in libris, quarum 64. effi- ciunt pondus pedis aquae cubici rhenani; diameter globi eiusque celeritas initialis in pedibus rhenanis corumque partibus decimalibus. Diuidatur pondus 4cia Acad. Imp. Se, Tom. IV. P. I, B b globi ec5 ) ro4 ( $93e globi per produ&um quadratorum diametri et cele- ritatis initialis globi; habebitur argumentum Exem- pli — gu. JI.) Cum hoc argumento in tabula, dato proie&ionis an- gulo refpondente, quaeratur argumentum proxime minus, eique correfpondens excerpatur Logarith- mus coeffcientis et Logarithmus interpolatorius. Ad hunc Logarithmum coéfficientis addatur Loga- rithmus ponderis globi per diametri quadratum dis uifi; numerus horum Logarithmorum fummae re- Ípondens erit amplitudo iactus quaefita prope vera in pedibus rhen, expreffa; quae vt exactius habea- tur, fiquidem differentia inter argumentum cafus propofiti et argumentum tabulae proxime minus notabilis fit, Jl) Ad Logarithmum huius differentiae addatur Loga- - rithmus.. interpolatorius ct Logarithmus ponderis globi per diametri quadratum diuifi; numerus trium horum Logarithmorum fummae refpondens erit correctio amplitudinis prope verae modo inuentae, quae correctio femper eft fubtra&iua; habebitur ergo vera iacus amplitudo in pedibus rhen. cx- preffa, Exemplum 1. Globus, diametri dimidii pedis rhen. et ponderis 57. 6 libr. quarum 64. cffüiciunt pondus pedis aquae cubici rhcnani, proiicitur fub angulo 45^. celeritate initiali —-c —— e$ ):95 ( fe — 485,'7 ped. rhen. [Quaeritur amplitudo ia&us fuper plano horizontali. Ex tabulis hic exhibitis calculus ita fe habet: Cum üc P-—329565:9 —0,5; 6— 485,7. Erit ergumenlum exempli — ;25 — o, 000976. 1n tabula, angulo proiectio- nis 45^ refpondente , inuenitur argumentum proxime minus S nue iie - - — 0, 000954. cui refpondet Log. coéfficientis — 1x, 2197464. addatur Log. — - - - r72,5624825 erit Log. amplitudinis prope verae — 3, 5822289 hinc amplitudo iactus prope vera — 3821. Vt exactius definiatur capiatur argumentorum differentia — o, 000022 Ad cuius Logarithimum - |- — 5,5424223 adde Log. interpolatorium tabulae — 5, 9504917 et Log. S - - - —— 2,86245255 habebitur Log. correct. fubtractiuae — 1, 6353969 hinc correctio — - - - L— 43 erat autem amplitudo. prope vera — 5821 Ergo vera amplitudo iactus, vt ante 6. 5 et 7, - Bae 3778 ped. rhen. Exemplum z. Globus, cuius diameter — zr. ped. rhen. et cuius pondus — 138 libr. quarum 64 efíhciunt pondus pedis aquae cubici rhenani, proiicitur fub angulo 45?. celeritate initiali — 4o0. ped. rhen. Quaeritur amplitudo iactus fu- per plano horizontali. Bb a Ex e$ ) 196 ( $93 Ex tabulis Hl. Euleri, computando hoc exemplum pro binis tabularum fpeciebus, inter quas cadit, et ex bi- nis amplitudin:bus iactuum ita inuentis fumendo propor- tionale debitum, colligitur amplitudo iactus — 2467. ped. rhen, Ex fuperioribus tabulis calculus facile ita expeditur: Cum fit P — 138; à — 1 et e — 400; erit argumentum exempli — 45 — o, 000862. "In tabula, angulo proiectionis 45*. refpondente, inuenitur argumentum proxime minus - | — 0,000786, cui refpondet Log. coeffcientis — — 1, 2640577. addatur Log. $- - - 7. —L2,1$59$791. erit Log. amplitudinis prope verae — 3, 4039368. hinc amplitudo iactus prope vera — . .2535.ped.rhen. Quae vt exactius definiatur, - t; capiatur argumentorum differentia — o, o00076. Ad cuius Logarithmum Movie E W, S8ORE SÉ. adde Log. Interpolat. tabulae - | — 4,0255108. et Log. g- —- "4 - c4 t-2,199 89 pd habebitur Log. correct. fübtractiuae — 2, 04620355. hinc correctio amplitudinis ^ - — M rw" Erat autem amplitudo prope vera — 2555, Ergo amplitudo iactus veta - — 24.24. ped.rhen. quae ergo ab Hl. E:eri tabulis 45 pedibus feu parte ,, to- tius in exce(fu ob rationes fupra $. 9, allegatas differt. Vt nunc tabulas noflras ctiam ad experimentum adplicemus , reuocemus ad calculum id experimentum , "quod w^ )xoy ( $$$ quod ex eorum , quae Ill. de Beauvoir Parifiis inftituit ,. numero. fupra recenfüimus; vbi quidem nunc fuüpponamus globi celeritatem | initialem. mediam. fupra ex ipfis his ta bulis conclufam, cum hic non nifi de methodo harum ta- bularum. exemplis. illuftranda quaeftio. fit.. Exemplum 5. j Globus cuius diameter xx poll ro lin; pedis regii gall. et cuius pondus r42 libr. gall., proiicitur fub angulo 457^. celeritate initiali 5zz, 7 ped. gall ^ Quaeritur ampli- tudo ia&us fuper plano horizontali. Cum, reductis menfura gallica ad rhenanam et pon- dere globi ad eiusmodi libras, quarum 64 efficiunt pon- dus pedis aquae cubici rhenani, in hoc exemplo fit TI t4, 0 — L)O9O0 gita 520 P erit argumentum exempli — 5: — 0,000474, In tabula, angulo proiectionis 45?. refpondente inuenitur argumentum. O0, 000478, quod tam prope ad argumentum exempli accedit, vt tantillae differentiae rationem habere etfi. facile, tamen fuperfluum. foret :- Huic argumento refpondet Log. cocfüc. — - - -- 1, 3650393 cui addatur Log. 4v 075 -0252,1406513 habebitur Log. amplitud. quaefitae — 5, 5056896. ideoque amplitudo iactus quaefita — 3203. ped. rhen, quide non' nifi 16 pedibus feu ,;, totius a media iactus amplitudine — 3197.differt, cum in ipfis experimentis in- ter eosdem iactus differentia amplitudinum vltra 400 ped. adcoque vitra ; totius fuerit reperta. Bb 3 V. 11, eti) ) ros ( $5 $. rr. Ex hisce igitur exemplis aliisque concludi poffe videtur, tabulas ballifticas methodo , in fuperioribus expofita conflructas et fatis cum experientia confentire et, cum earum víus non nifi fimplicilfimam Logarithmo* rum tractationem exigat , ad praxin apprime aptas effe; qua applicationis practicae facilitate exigua illa a fummo theoriae rigore aberratio, quam in methodo memorata ap* proximationis neceffitati indulfimus, optime compenfatur, inprimis cum fummus thcoriae rigor ob varias in rormen- torum explofione circumítantias, in quas nullum eft artis imperium, vacillante executionis incertitudine abforbeatur, Neque tamen de gradu praecifionis eiusmodi tabu- larum ante iudicari velim, quam praeter ea, quae ad ca- rum confiructionem , pag. 183. monita funt, etiam argu- menta earum ad paullo vlteriores , quam quidem in fupe- rioribus, fractiones decimales fuerint euoluta, Ceterum etiam id notari connenit, quod, licet in fuperiorum tabu- Jarum conítru&ione determinatam quandam pro aéris refi- ftentia hypothefin affumíerimus ponendo p. — 3,0615, ($. 5.) tamen ex praecedentibus perfpiciatur, eas etiam ita adornari poffe, vt valor j. mancat indefinitus, Cum fcilicet fit C — Tang. Mir. s 2 Ww 6. 6. vB s et C- 9-4 - EA lh - 5. e, €9J. 7 pofito !tang. lec. Ll pen hyp. tang. ( 45^-1-;1)- O erit (24! tang. a qp (15/82) -6). M — LE it » L * . P x ita, vt tabulae argumentum ctiam conflitui poflit kde €t cum fit tota iactus amplitudo II. esi$ ) 199 ( $52 IL VoELE- 35. 82045, TT. (^8; coéfficiens, 33, 82045. II V in tabula exhibebitur, qui in $53 ductus totam dabit ia&us amplitudinem ; quales tabu- lae definiendo per experimenta valori ipfius |. inferuire poffunt, Adde, quod etiam tabulas pro certo quodam ipfius |. valore conítru&as ad alium valorem (j4) facile reducere liceat; quem in finem talis tabulae argumenta per ^? multiplicari, et ad Logarithmum co£fficientis in ta- bula exhibitum Logarithmum | ipfius ,-, eiusque duplum ad Logarithmum interpolatorium addi oportebit; exactius vero, fi ex tabulis pro valore jx conftructis propofitum aliquod exemplum in hypothefi valoris (4 ) computare velimus: fiat argumentum | exempli Xu et ad Logarithmos coéfficientis et interpolatorium in tabula pro argumento proxime minori exhibitos addatur Logarithmus ipfius di qui calculus fequenti exemplo illuftrabitur: lactus $. 5. de- fcripti quaeratur amplitudo in communi pro aeris refiften- tia bypothefi. Erit ergo (y) — 1. $. 3; et j.— 5,0615. Hincque Argumentum - - - 4^. — 0,002990 At argumento tabulae proxime minori - - - — o, oo2751 euius differentia - .- - - - 720,000239 competit Log. coefficientis Log. Interpolat 0, 9241544. | 3, 3176442 adde Log. 5 — 2,3624825 | 2, 3624825 Log.(j, —0,4859343 | 04859343 Log. diff. — 6, 3783979 erit Log, amplitud.— 3, 7725712 | 2, 5444589 — Log. Corr. prope verae. Hinc e$35 ) 2co ( $s$e Hinc amplitudo prope vera — 5925 et correctio — — 350. adeoque vera iactus amplitudo — 5573. ped. rhen. $i nunc iactus huius amplitudinem ex ipfis formulis funda- mentalibus $. 4. datis computemus: erit B — 6, 756622; C —3,21225; D— 7794. ped. rhen, k—2,010746; f — 3,13026; £g — 2,053853. R — 787. 42. 32^, V — 38^. 4!. 45'! — 2284, T. vnde tota iactus amplitudo — 0,000290888. 7 — $568. ped. rhen. quae ab ca ex tabulis modo inuenta fenfibiliter non differt. PHY- PHYSICA Mdla Acad. Imp. Sc. Tom, IV. P. I. € ec u * z "T3 ZUR «Ha d »ri1$71 UD wig RU TT MP SCR Ré. 1 J'ASDGLMCLMIMEPEULCILL 7 7 0 SN i "NS "Lu ERIT TUNI v - M a n Lal. " dde intr s PRI Ww. DX dips RN "n Jd à i z P p" E 2 dieu ie No zm Se T Jd tm INA UIS "s us yh E Te J. Mt TS13 XN foi pre wy tr dw » Ms wm EDU ^ No ay vete UNS EU uos t 1 EE. R 4" 0: 54^ 41M u PS PUN CEUECUME MP uo iid kebixq j* ns Lec LAS PEE B0. Fra HA Ce vo qd o 4774 zn " Mio mA e EC dt Mura us ji E "n " L * , T x MS E 1 - - e * 4 ms dd 1 de Je o d D pm » 4 A 4N , : cM LI .- ined ] s * li- am i M d n , * KU y * - M^ i : " : I et SUBEN izid ! 4 M NI C * M ^ , y ) ^ M , ' "^. - a Li LJ " l , US e ET^ 1c " T3 " » , : , ha í et ) »o3 ( $t3e Que 429, ooh afe fo DE PVLLO MONSTROSO, QVATVOR PEDIBVS, TOTIDEMQVE ALIS INSTRVCTO. Auctore C. F. JFOLF F. bud anni 1777 cum «ex ouis, quae gallinae incubanda fuppofueram , aliquot reflarent, ex quibus pulli non pro- dierant; haec aperui. Reperi alia fterilia, alia pullis fae- cunda, fed mortuis. (nter haec vnum erat, ex quo pul- lum, quem hic trado, monfítrofum extraxi. líte, vt reli- qui mortui omnes, duodeuiginti circiter dierum effe vide- batur, fiquidem partibus corporis omnibus perfe&is, plu- misque gaudebat et folo tumore abdominis, quo vitellus continetur, a pullis natis differebat. Capite, collo, thorace et abdomine fimplex eft hic pullus et rece formatus , folis extremitatibus duplex, bigeminas alas gerens bigeminosque pedes. Et ipfe vitel- lus fimplex eft, vt totum ouum fuit. Cc'2 Ex- -B55 )co4( 2:9e Extremitates autem ita difpofitae funt vt facile na- tmrales a praeternaturalibus et accefforiis dignocas. llae enim non modo maiores fed folitis locis fitae quoque funt. Alae lateribus thoracis folito modo adfident , et pedes e regione iliaca vtrinque egrediuntur. Praeternaturales au- tem pullo, hactenus recte formato, additae , in ima eius regione lumbari, vel potius in ipía fede offis facri, collo- catae exiftunt; ea quidem ratione , vt pedes fuperius fint pofitae, alae inferius. In ea nimirum regione, quam os facrum in ani- malibus occupat, duo femora apparent, ita collocata , vt radicibus fuis ad fpinam dorfalem conueniant, extremitati- bus autem, genua referentibus, extrorfum diuergant. His tibiae cum tarfis, metatarfis ct digitis fuis ca ratione in- articulantur, vt pedes ifti monftrofi furfum extendantur , firumque habeant, pedibus naturalibus et toti pullo oppo- fium. Quo pullum, fi pedibus illis infilere vel incedere vellet, inuerfum, capite directum deorfum, incedere opor- teret. Alae pedibus fitu refpondent. Proxime infra radi- ces femorum illae radicibus fuis loco uropygii adhaerent, lude vtrinque extenduntur €o modo, vt coflis deorfum marginibus pennatis furfum refpiciant, adeoque alis natura- libus recta opponantur. Hac fitus conformitate alae pedesque omnino ad vnum pullum pertinere videntur, fecundarium, et diuerfum a pullo, cui fuperfluae adhaerent, fed imperfectum, ct ita po'tum, quafi capite et collo intra anum vel paulo ma- gis antrorfum intra pubem primarii pulli abíconditus, pe- re wi35 ) sos ( $$$ &ore et abdomine autem in os facrum eius immerfus effet, et folis alis pedibusque furfum directis emergeret. Haec fere externa huius pulli monftrofi conforma- tio eft, de qua tamen aliquid addendum erit, poftquam internarum partium conditionem expofuero. Vt autem partes accefloriae offis facri imprimis fedem et vropygii et ani et pubis occupare videntur; ita omnino quoque orificium ani extus fru(tra quaefiui. Alae accefforiae ra- dicibus fuis in fede vropygii inter fe confluunt, regionem. que ibi interfcapularem pulli fpurii efficiunt (Tab. VI.) fub his alis igitur orificium ani quaerendum effe cenfe- bam. lncipit autem continuo a margine alarum deorfum tumor abdominis, vitellum continens, flauus et deplumis, fiae vllo orificii veftigio. . Neque de ani defectu dubita- bam cum et Ha//erus in caniculo monfítrofo, cui tertius pes poflerior loco caudae erat excretus, eundem defec- tum inueniffet, et mihi fimilem obferuare contigiffet in monftro humano tripede. Sed haec res me fefellit et in- teftina exitum monftrauerunt, vbi eum haud quaefiueram. Incifo tumore abdominis, quo vitellus continetur, vidi illius tunicam tenuem et pellucidam, per quam fla- vus vitellus tranfparet, continuationem effe abdominis. Hac tunica remota, virellus eximi poterat et feparari a canale inteflinorum tenuium, cui angufto collo adhaeret. Tum vifcerà abdominis apparuerunt, ^ Magnus mole ven- triculus, vt folet in pullis, fimplex primo, in confpectum yenit cum hepate; deinde retro illum paruum volumen inteftinulorum ; quo euoluto cognoui, praeter aliquas ap- pendices, canalem fimiliter fimplicem effe. Duodenum Cc3 enim eB ) 206 ( 28e enim fimplex a fimplici ventriculo producitur. Hoc in fimplex ieiunum et ileum continuat, quod tandem in duos canales diuiditur, quorum alter in craffa inteítina abit alter autem inte(tinulum producit, aliqua longitudine pro- cedens, tum fine «caeco claufum. Deinde loco duo- rum inteftinorum «aecorum, quae in gallinis funt, tria erant in hoc pullo aequali longitudine «et figura fimi- li, vt quaenam eorum 3aturalia, quod acce(forium | ef- fet, definiri non poffet. (Caetera viícera omnia tho- racis et abdominis fimplicia ct naturalia funt. Ipfi re- nes, ipfumque inteftinum recum fimplicia funt. | O- mnia ita formata ita pofita funt, qualia pullo primario, ad quem pertinent, «onneniunt. Quod referri poffet ad pullum fpurium, mihil quidquam apparuit. Vt collo er- go vt capite, vt abdomine et ibo vifceribus quoque hic caret omnibus. Profequendo autem inteftinum rectum, nullum e- ius finem intra abdomen reperi, qui faccum caecum ree ferret. Stylo in cauitatem inteftini adacto, exitum huius, et verum orificium ani externe inter plumas detexi, Hoc iuxta femur finiftrum pulli fecundarii, quod pulli primarii accefforium femur dextrum «ít, in ea fede aperiebatur, quae iuxta marginem dextrum ofüis facri eft, Maguitudo ea eft, vt aciculam aegrius admittat. Hoc fitu orificii confiderato apparet, illud fecun- dario non minus quam primario pullo conuenire, ct wtri- que commune effe. Vnde porro fingularis haec pullorum compofitio accuratius intelligitur ct cuinam. mon(trorum generi illa proxime accedat, — Connati funt proprie, pans cctus -W$ )*oy( fue feQus pullus primarius ct imperfe&us | fecundarius. regione peluis inferiori , vnde fitu et pofitione fibi inuicem oppo- fiti funt, Ve deus 5 dos Acockra pedes alterius, alae con* tra alas dirigantur. ; Hactenus ergo hic pullus monftrotus conuenit cum monfítro Duverneii in. actis Parifinis defcripto, et cum alio, quod in mufíaeo Academiae no- ftrae conferuatur; iu quibus puellae integrae totis pelui- um partibus inferioribus, diductis cruribus, connatae funt, vt vuluae et ani, folitis locis denegatis vtrinque inter v- triusque puellae crura exiífant. Differt autem ab his mon- ftris. humanis, quod minor et imperfecus pullus pelui non modo fed toto fui, quatenus exítat, corpore pelui maioris innatus fit, colloque capite thorace et abdomine careat. Tabulae VT, huc pertinentis, prior figura pullum a tergo demonftrat, cuius in regione facrali füperius ac- ce(lorii pedes, quibus: pullum. inuerfum incedere oporteret, naturales, quibus ille erectus fertur, inferius, inter Vtrose que alae apparent. accefloriae. Figura pofferior vifcera repraefentat, in quibus ni- hil praeter naturam eft, exceptis caecis inte(tinulis, qug» rum tria recto adiun&a funt, loco folitorum duorum, GAL E- £33 ) 208 ( $59 GALEOPITHECVS. VOLANS, CAMELLIIL DESCRIPTVS A P. S. PALLAS. rodeat tandem, quam dudum promiferam (4), ante fexdecim fere annos parata defcriptio animalis ex Indiae orientalis contirenti et Infulis rariffimi, quod Zoo- logis, etiam recentiffimis, vel perfundorie tractatum, vel prorfus non ex autopfíia cognitum fuit. Contigit nempe mihi in variis, quae paffim perluftraui, Mufeis quatuor huius animalis, fub Linneano Lemuris volamtis nomine ae lias fatis noti, diuerfae aetatis fpecimina examinare; in quibus, quicquid obferuaui, fcripto prodere iuuabit, dum Zoologus aliquis peregrinator lndicos nobis aperiat the- fauros, Antequam proprias obferuationes exponam, non alienum. erit Auctorum, qui Animal de quo dico adtige- runt, excerptum apponere. — Primus, ni fallor, mentios ncm eius fecit Bonitius (biflor. Ind. natur. ad calcem Pifo- nif (a) Spiceg. Zoolog. Fa/cíc. III. P4 e$i$ ) 209 ( $tXe mis cap. 16. p. 68.), idemque plura fere, quam quisquam alius, de eodem reliquit. Scribit, **in Guzurata ludiae * dari. Vefpertiliones (vt non male vocat) «irabiles, qui * gregatim, anferum fylueftrium more, volent, circa ve- * fperam in aére oberrantes vel ex arboribus pendulos; * quique vti mole fua, qua felem aequant, ita et forma * fingulari, aduenis fint miraculo. Belgas illis nomen Si- * miarum alatarum indidiffe." — Adiecit Bontius iconem a- nimalis, rudem illam quidem, attamen ex vnguibus, pel- le corpus totum ambiente ct variegatione velleris apprime dignofcendam. Defcriptio quoque eius fatis verax eft; in qua praefertim notandum, quod dicat: *'zripedales repe- * riri, cauda fpithamea; «e//ere fupra cuniculorum more * molliffimo, ano nigroque vario veftiri; capi;e effe ob- * Jongo, adfpe&u foedo, rictu imbelli, demribus exiguis, ad * rapinam compofitis; auriculis paruis, membranaceis, ro- *tundis, et vzgues habere in omnibus pedibus quinos, * quibus mordicus obuia quaeque retinet, imprimis arborum * fructus, quos depopulatur.? Poft Bontium in Mifcellan. Nat. Curiof. Dec. I. an. 9. £&b 130. Obf. 194. f. 455. Hellbigius inter varia Indiae curiofa recenfet Feles volantes, quo füb nomine Sviuros petauriflas (b) intellexiffe videtur , et Simias volantes , huc verofimillime facientes, quas in Halmahera infula reperiri acceperat; noui caeteroquin nihil de earum indole atque forma adferens. Melius (b) Miftellanea. Zoolog. Hagae Com. 1766. edita p. s4. tab. 1. Pine nant fynopf. of quadrup. p. 29a. t. 27. Atia Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. D d eH? )so[( f Mclius de hiiloria huius animalis meruit Camelli , in Faunula Infularum Philippinenum per Pe/iuerium Ac- ds Anglicis fafciculatim inferta. — Extat defcriptio, quam de Galropitbeco feu Cato-fimio volante, fuo, vt fatis con- cinne appellauit, communicauerat Came//lius, anglico idio- mate in orum angl. vol. XXIII, n. 277. p. 1065. ea- demque latine in. Vj. XXF. m. 505. p. 2197. Recenfen- tur ibi nomina auimalis barbara apud Infularum Philippi- carum incolas vfitata, Bifayarum Co/ago ct Caguang, Pam- pangorum et Taghalanum Gizua. Deícribitur animal mole felis, forma fimiae fed graciliore, longitudine a capite ad caudam trifpithamali, latitudine inter expanfa brachia bi- fpithamea, inter extremos digitos trium fpithamarum; trunci latitudo vulgo palmaris ponitur, pellis vero vtrin- que cexpanfae fpithamea, — Sed addit Camellius in Pam- panga prouincia dari tantos, vt Chinenfium vmbracula, feu fpithamarum fcx amplitudinem cxacquent. Co/orem (pau- lo aliter quam mihi defcribendus eít) fufcefcentem — indi- cat, in dorfo flriis albidis, trunco longioribus, per mem- branas olaticas breuioribus, eleganter varium. . Faciem adfimilat Cercopitheco , et explicat quomodo animal pelle totum corpus ambiente expanía, adinftar Sciuri volantis , ab vnius arboris cacumine ad medium alterius, /emto quafi volatu defcendat, tumque vt in aliam fefe librare queat, huius iterum in cacumen faltabundum enitatur. — Narrat denique Pu/os geminis matrum mammis vnguium pariter ope et fuctione adhacrefcere; vicum autem dubium pro- nunciat, tamen verofimillime iu fructibus arborum pofi- tum, € quibus animal vix vnquam dcfcendit. ^, Tconcem wf32 ) 21x ( eco Iconem Galeopitheci a Camellio transmiffam, fed rudem et inconditam, e folis fere pedum falculis, ambeunte membrana, lineolisque velleris dignofcendam Petiverius Gazopbylavio fuo inferuit (Oper. Vol. I. tab. 9. fig. 8. ca- tal. m. 175.) Paulo meliorem deinde communicauit Seba (tbefaur. Vol. I. p. 93. tab. 58. fig. 2. 3.), quae tamen neque proportionem palmarum recte feruat, neque flrias velleris exprimit, et in coloratis exemplaribus huius ope- ris prorfus alieno colore, gryfeo-fufco, vniformi obduc- ta cernitur. Idem eft vitium iconis Fri/fvbianae , Sebana etiam peioris, cui pellis farca /ufei Academiae Regiae Berolinenfis pro archetypo fuit, puluere et antiquitate fuf- cata, totaque (quum eam vidi) depilis, vti et pi&ura Frifcbii, meo quidem iudicio, optime refert," quancuam auctor pilos molles, talparum velleri fimiles adfuiffe dicat (Icon. avium claff. VIII, tab. 104.) et colorem quoque vel- leris, fcd alium plane, quam fufcum iftum iconi illitum , defcribat, —Nefcio fic etiam vnde fumferit Frif;bius quae de Fele fua «volante (fic enim praeeunte Seba vocauit , fed Martis volanti nomen, neício quo fundamento, ap- tius fore putat) ibidem retulit: **celerrimi effe volatus, * jn inferiore tamen regione a&ris morari, vbi gyratim * volans praedam fe&etur;" — haec enim omnia fupra adlatis Boniij atque. Camellii, fide dignifimorum per au- topfiam aucorum, e dire&o fere contradicunt, Non praetermittendus, etiam hic, Va/eztym, qui in verbofo opere belgico (Oud er nieutv Ooffindien Vol. III. $. 269.) Galeopitheci quoque videtür mentionem feciffe. Habet autem haec quae huc poffunt referri: ,, Nautas na. »uis cuiusdam (?r 5acbr van Boero) quae Anno. 1677. Dd 2e » prope et )ci( fe » prope Ternatam in infula Halemahera (Philippinenfibus » proxima) adpulerat, vidiffe Animal quod in arboribus ver- »fabatur, ex vna in alteram transuolans. ^ Habuerunt fta- »tim pro Sciuro, fed caput acutius vifum eft, fimiliusque » capiti Didelphidis orientalis ( quam in Moluccanis infu- »lis vulgarem effe docet Idem). Villo innuitur fuiffe ci- »nereo, flria a roftro per doríum ducta nigra. Neque in hoc folo vitiofa e relatis defcriptio: ,, pellis laterum a pri- »morum pedum digitis vsque ad digitos pofticorum ex- » panfa dicitur; ,, rece vero ,, pilo veftita et fubtus inítar » abdominis alba,, defcribitur. , Quum per arbores fal- »tabat animal has pelles fimul extendebat. — Inquilini vero »afleruerunt fimilia animalia ibi prius nunquam apparuiffe. * E quo concludi poffet Galeopithecum volantem continen- tis Indiae, praecipue transgangcticac, atque Philippicarum infuülarum maxime inquilinum, rarius in proximas tranfire, et in Moluccanis, quas Belgae tenent, ignotum fere effe, quemadmodum etiam ad curioforum in Belgio Mufea ra- rifüme peruenire folet. Galeopithecum denique noftrum fübindigitat Nieu- bofius ( Gedenkwaardige brafilian. Zee en Lantreize p. 283:) vbi de Sciuro petaurifla agens addit: ,, Dari analoga ani- , malia fpecie fimiarum, inflar huius Sciuri. pellibus inter » pedes alata, quibus dentes vnguesque peracuti, oculi au- »tem viuidi ferique adípe&us fiut. * Immo forfan ct huc referendus effet locus in Re/atiomibus german. Miffionario- rum. Halenfibus. Continuat. 26. Vol. 3. p. 74. vbi fit men- tio Vefpertilionum magnitudine paruae felis, quos Milfio- nariorum aliquis inter ramos arboris rhizophorae anteme - ridianis horis fufpenfos et ad folem fibilantes vidit; nifi ala- eB: )irs( $8e alarum fimul volatura fere biulnaris, et volatus longin- quus indicarentur. : * Praeter iftos itaque nullus, quantum memini, itine- ratorum Galeopithecos expreífis verbis adtigit. — Miror etiam Briffnium, quod nullam eius notitiam operi fuo in- feruit, atque Ce/. Allamand qui Epitomen, quam eius dedit, fingulari hacce fpecie, in Belgio tamen fatis nota, non auxit, Plane etiam neglexit illud Buffouur, ne quidem inter animalia dubia, quorum elenchum in fine Operis te- trapodologici fubnexuit, eiusdem mentione iniecta; vt vi- deatur .Sebae et Camellio omnem in hoc fidem denegaffe. Magis aequus fuit l/uffr. Linnaeus atque fecundum ea, quae proftabant, animal in .$y/fewute fuo ad genus natura- le reducere tentauit; neque longe a veritate abfuit, Le- muris volantis titulo illud recenfens. ^ Eft enim vere me- dia et ambigua fpecies inter Lemurum et Vefpertilionum anomalas gentes , cuius adfinitatis ex vtraque parte mo- menta figillatim exponam. Cum Lemuribus, quas Profimias non male vocat Briffonius, fimilitudinem omuem conficiunt: Capitis forma; fimplices auriculae atque nafus; oris flructura praefertim interior; emiium primorum inferiorum fitus | inclinatus; szammarum fitus pe&coralis, et geminae fingularum papillae; gracilitas colli et totius rum, armorumque fimul longitudo. Conueniunt etiam vtcunque: digitorum mumerus, myjlacis teneritudo, coflarum atque vertebrarum numerus et c/auicu- larum pracíentia quae tamen Vefpertilionibus pariter con- tigerunt, Dd 5 Plura eH )rn( fe Plura vero, fateor, in Galeopitheci volantis confor- matione occurrunt, quibus a Lemurum etiam anomalis fpeciebus, quarum vna (c) dentibus atque tarmfis, non digi- tis difcrepat, abhorret, et quorum in nullo genere, praeter Vefpertiliones, analoga exempla inueniuntur. Talia funt: deniium forma anomala , primorum inferiorum crenae , fu- periorum defe&us; aurium (riae transueríae, quarum lo- co potius lobuli feu laminae intus transuerfae Lemuribus; peéum primorum longitudo infignis et magni digiti; po/i- cum diuaricatio nulla, ne in plantis quidem, quarum digiti aequales, vt in Vefpertilionibus femper funt; emguium feu falceularum magnitudo; pemis cum fcroto exfertus, omnium- que maxime fe//is volatica, omnes artus, inde a collo, ipfamque caudam, vt in Vefpertilionibus deorfum inflexam, in vnum connectens, et im/er digitos quoque, maxime pal- marum expanf». — Vt alia nuuc omittam, € quibus omni- bus. quis eft? qui non videat per Galeopithecum volantem Naturam Vefpertiliores (nimium abnormia a reliquis mam- matis animalia) ferici quadrupedum et fpeciatim Lemurum generi, inter Simias et Didelphides intermedio, arctiffimo affinitatis vinculo innecere voluiffe; quemadmodum Pho- cas, per Trichechum ad Cetaceorum formam nimium ten- dentes, per anomalam Lutram marinam Kamtfchatico - Ame- ricanam (*), terreflrrium ferarum faeclis temperato tian- fitu continuauit. Equi- (c ) Lemur Spectrum, de quo varia monui in Nou. Speciebur Qua- diu. € Gir. ordWe p. 275. «t quem. fub nomine [arfier habet Baffon uj. (*) F fpeciminibus pro Mufeo Petropolitano adlatis didici, quod dm» ter primores (fupra feni), infra tantum quaterni, pedum fitus, pro- por- e$ )si5( S59 Equidem Galcopitbecus volans fecundum characteres dentium atque pedum, pelli volaticae habituique additos, peculiare genus videtur folus con(tituere, Si tamen generi cuidam naturali, inter iam confirmata, fit addendus (in vniuerfüum enim genera ex vnica anomala fpecie creata pauciffima mihi arrident et vix vlla, praeter maximarum quadroüpedum aliqua, naturalia funt) debet ad Vefpertilio- nes migrare, quibus inconftantiffimum . effe dentium nu- merum, alibi fatis probaui. Interim Came/lii nomen grae- cum feci, vt dubium animal appellarem, aptius enim non inueni (e) et nouum fingere nolui. Specimina, e quibus fequens defcriptio Galeopitbeci colamis coaluit, funt: primo, foe/us elegantiffimus, quem e Mufeo Academiae. Lugduno. batauae humaniter conceffit. Ce/. Allamand , iu fecunda Tabula fig. x. naturali magnitudine delineatus; deinde — iumiora animalia duo, alterum in Mu- Jto Grouefleyniano quod Hagae- Comitum latebat, alterum in Mufeum Academiae Petropolitanae e Belgio trauslatum , euius iconem Ta£u/a VIL. fiftit; — denique pellis far&a adulti, Frifcbio defcripta, mihique a Celeb. Gledit/cbio per- humaniter communicata, cuiüs cranium et pedum. offa de- linea- portio. et flructura, maximeque po/licorum forma remos Phocarum referentium , cum totius corporis habitu atque circumceaefura, et breuitate caudae, infignem Lutridis cum Phocarum genere affinita- tem praeferunt. ! (c) Poffet aliquis. locum Ariftotelis (Hifl. Anim. Lib. I. cap. s.) Galeopitheco noftro adplicare, vbi dicit cute volare animalia quae. dam, vt VFulpeculam et Vefpertilionem, | — Potuit autem Ve- fpertiliones magnos, canino capite, hoc nomine fubintellexiffa Sta- grita. e$ ) 216 ( $$ lineari curaui. Ex horum confideratione collecta funt, quae hic traditurus fum; pleniora fpero, quam vllus antea me- moriae prodidit, lucemque Animanti remoti(limae lndiae addicto faltem aliquam adlatura. Defcriptio Galeopitheci volantis. Tab. I. et II. Mo/et adultorum minoris felis, funt autem forma longiores et graciliores. C.put oblongum , macilentum , minime buccatum , roftroque vix adtenuato , obtufo, rotundato. (Tab. VEHI. fiz. x. b.) Nares lunatae, transuerfae, approximatae. La- bia tenuia, fuperius integrum, obfoleta flria inter nares exa- ratum. Ricus mediocris. Pili teneri per labia et men- tum fparfifimi, vix myftacis nemine digni (Tab. VIL). Os intus fpatiofum. — Pa/atum planiufculum, laeue, medio longitudinali ftria eleuatum , et transuerfis vtrinque rectiusculis, circiter octonis fcamnatum. — Carina oris aequa- liter concaua. — Lingua in faucibus tantum adnata, maxi- mam partem libera, carnofa, lata, dcprefía, rotundata, te- nuiter papillofa, extremo margine cxt.nuato, papillis cilia- to (vt in Didelphidum genere). — Fumguíi duo obfoleti verfus bafin, et (lria fuperius verfus apicem longitudinalis ( Tab. PIIL fig. s.). ; D«n- ep )o1y( Qe Dentes: primores adultis in maxilla. fuperiore nulli; in inferiore fex (Tab VII. fig. 2. 5. a a.) pronati, diftan- tes, lati, breues, margine peéctiaati , radice breui , conica, depreffa, 'alueolis. fragiliffimis: male inhaerentes. | Horum par medium octies dentati, proximi nouies , extimi denticulis. breuioribus, craforibus viene quinis. , Kaniarii inii n$ nomiff forma gloffopettas con- tracas referentes, mucrone miedio éxtus'conuexi, acutiífi- mi, et denticulis vtrinque circiter ternis ferrati. «Horum. iufra verus vtrinque tantum vnicus (fig 2. 5. & b.) , proxi- müs (2) anteriore parte: canino, pofteciore molatibus fimi- lis; at fupra laniarii duo (fig. 2. (;. 0. 4. c. d.) quorum pofteriór . cra(fior , maiorque. molaribus. adoroximatus eft; praeterea acce[forius ante prier cll Wieasikglus tridentatus. (fie- 2. a. fig. 4. b.) n (a9 EERTNETTE Wert ; Molüres conferti , ih iso quaterni, truncati, prominentiisque conicis muricati et inter íe co&untes (fig. 2. et 5. dd. fig. 4. e— f... In duobus ea/u/is mihi. vifis ,» quorum adnltiorem exprimit Tab. Fil. dentium primorum medii pe&inata co- rona primi paier; reliquorum adliuc. veftigium nul- lum. 23. 692 1102. .«e0jisib -- maar Oculi : ad: latera capitis. maiusculi ; fiffura palpebra- rum SongitudiMu Cilia nulla Auriculae tantum bafi vellere veftitae y. paruae, te- nues, rotundatae, verfus meatum contractae; intus flriis Acla Acad. Imp. Sv. Tom. IV. P. I. | NI- creber- eB$ )srs( Ge creberrimis, transnerfis, fubtiliter: fcamnatae, vt. in Vefper- tilionibus. Ó 3| sebo Collum. elongatum ; corpus gracile , aborax | fterno- planiusculus, poftice- compreffior. Pedes primores (maxime antibrachio) longi, maci- lenti; omnes pentadactyli. —Tibiae pofticorum curuatae , muículis adductoribus laxe ab inguine defcendentibus fub- adítrictae femori. : Digiti palmarum magni , exteriores tres acquales , duo interiores. gradu breuiores; plantarum aequales, practer pollicem: omnes plano- compretii , doríali margine cute continua nexi (Tab. VIII. /ig. 1.) , pollices paulo laxiore, Vngues (fig. 6. 7. ec.) maximi, flauefcentes , compreffo- lati, velut femicordati, fubtus in argutam aciem extenuati et mucrone exquifite incuruo, acutifümo adunci. n Foetu Mufei Lugduno-bataui (Fig. 1.) vngues vix extra cuta- neas vaginas proruperant. X | Pellis &olatica. a. bafi maxillae. inferioris incipit, fen- fimque in latitudinem expanía pedibus omtibus, caudaeque veli inftar obtenditur, tenuis, limbo cratfiufculo, .integerri- ma; fuperne digitos conne&it totos et in plantis arctius conftringit, caudam vero vsque ad apicem fracnat atque vt in Vefpertilionibus, verfus abdomen intorquet. - Anus ad bafin caudae, in finu quem efformant pli- cae duo ab imo inguine veríus caudam conmuergemtes. Pe- "i* cxos, cum /ceroto didymo ante pubem exfertus ( Tas, VIL i E33 ) 210 («8f fi£- "y Papillae máümmarum vtrinque. in thorace gemi- nae, fupra fecundam tertiamque coftam approximatae, ob- foletiffimae mafculis. ' Vaeri; wtrinqué folitarii veftigia in femineis exuuiis notaui, | -« Fellus tenerum ,. breuipile, laeuifimum, fubtus ra- riuscuülum , et in iuuioribus. vix wllum , vt. in. Lemurum Simiarumque" catulis prona. parte femper. nudis. .— Susura pilorum infignis-a vertice, per ceruicem vsque ad fcapue las f.re longitudinalis. — Foetts, quem: delineaui ( Taé. FII. fig. 1.) ;. plane :depilis. Color (cutis vbique .albidus; ) velleris in iunioribus (Tab. VM ) fubtus albo-pallidus; fupra (vt icone expres- fum eft) variegatus, e gryfeo-luteícente cinereus, in capite immixtis pilis nigricantibus fufceíceus. —.Srrigae vtrinque duo atrae, parallelae ,. per pellem ceruicis dilatatam longi. tüdinales, quae ad brachia in lineolas tenuiores fparguntur. Dorífum .et pars membranarum corpori proxima lineolis transuerfis nigris, fupra fcapulas et femora creberrimis et anafítomofantibus, virgato- reticulata, — 4rea gryfíco- lutea, immaculata, fupra genua pedum. pofticorum. | Puzda fpar- fa nigra. per ambitum membranae. volaticae , praetertim verfus: caudam. ,. In adulto Galeopitheco Mu/ei. Berolinenfis Frifcbius fufcum.depinxit vellus. Ego fpecimen a Tineis totum. depilatum; inueni, vix apparentibus in dorfo paíüim rcliquiis pilorum. fufco - gryfeorum. Menfurae. Specimen adultum./.:Myufei Academiae Berolinenfis, ex: tenfa nempe animalis pellis, ab extremo roftro. ad caudae Ec 2 api- eB )aso( &9$e apicem. aequat. A". 9^. 6"., , caudae. longitudo fere 7". cranii pedumqve magnitudo Ta4. VIII. accurate expreffa eft, — — Menfurae Speciminum iuniorum, quae cx Mufeis Grouefleyniano atque Peiropolitano pro. dcfcriptione habui, comparatae hoc modo habent: m munitis x slaimosd t8 DEB CQA Te - Longitudo corporis totid$ a roftri ex- — "' — | . tremo'ad- ortum caudae "- « 6', 6! 6, g/l. ——— caudae - T3. bes a2079.,0— 3. T4 -——— capitis, ad nucham | - 3 ."-3$* —-x- £4 -—— —— circinnon - .- * ^ I-10. — -: -: Diftantia oculorum a nafi apice - X O.19. — O.rO. Longitudo fciffurae palpebrarum - ^- O0. 4. — O9. 4 -——— jnterualli ab oculo ad aurem ^ - O0. 4i. — O. 5- -—— coli circiter - ^- - .- XX 2£ — I. Bj. —— humerorum 2 0-7 - Y. 44 — X. 5i —— antibrachii * - 313] ^^ 4.06. —3. 7e ——— tarpi cum metacarpo * - o. 6. — 6. 7i- —— phalangum priorum - : Oo. 3i. — O. 4. ——. phalangum vltimarum — - sU oj'aAR 0; 041 Latitndo verticalis phalangum | media Oo. B5 ww Longitudo vnguium ab articolo - - 0. 3. — - 7 —— partis extra cutem prominentip - O. Ij. — -- —— femorum " - qoos - I. 9$. Xy 9E —— tibiarum ^ - " - EID PI DEL 6;. —— tarfi cum metatarfo — - 200 009 om 0.59. —— digitorum phalangis primae — - |o 21 — 0. $. —— —-— fecundae phalangis - » $4. — O. 8» —— vnguium . ORTHUIUSI'- o, $. — - - Inter pedum priorum expanforum vngués -. - — 9. 2. ——— —— pofticorum expanfor. vngues - - — 6.4 035 )2z( eco Ex Foetu tandem menfuras fequentes confignaui: Longitudo tota ab apice roítri ad extremum caudae 4". 6, —— -——— caudae - - - - I. 06. Interuallum inter expanfías palmas - - 3. 10. Diftantia vmbilici a gula . - - TOME —— —-— - a genitali — - - - - O. S3 Reliquas proportiones figura exaciffima (Tab. VIII. fig. x.) fideliter exponit. Anatomica. Tab. VIII. fig. 2 — 7. In vnico fpecimine potui obferuare Hepar, quod erat bipartitum: dextra portio integra, latior; fimjfra mul- to longior, ad lumbos longitudinaliter defcendens, in tres fiffa lacinias, quarum infima erat angufti(fima. Linguam et denies fupra defcripfi. | Cranium prae- fertim fingulare: $Jicis a proceffu fupraciliari verfüs occiput tendentibus, figura Zygomatis et fuperioris maxillae, pa- lati conftitutione, aliisque Tabulae. noftrae fig. 1 — 4. 'gra- phice expreffiss | — Coflae duodecim, quatum feptem ve- rae. -— Adfunt etiam in fceleto Clauiculae. Pedum digiti omnes, praeter falculam, biarticulati ; fed pollices tantum vníca phalange et offe metacarpi vel metatarfi breuiore et robu(liore conítant. PPa/anges om- nium digitorum primae, vt et phalanx pollicis (Ta. V;ll. fig. 6. 7. ccc.) compreffae , fubarcuatae , fubtus acie ge- mina, verfus extremitatem decrefcente criftatae atque pro " Ee 3 ten- eS )cn( iHe tendinibus canaliculatae. Extremae phalanges (d d 4) tectae, teretiuscu ae , longiores. — Officula /efamoidea ad omnes articulos mctacarpi cum phalangibus fupernae; cet cartis» laginca rortu/a ad articulos priorum et extimarum phalan-. gum fubtus. Fakularum officula (eee.) ad condylum vse que cornea vagina obdu&a. — In plantis os meiatar/i ex-. timi digiti ad carpam obtufe produ&um (fig. 7. g ) vtin. homine. Tar/ur quoque (a.) aftragalo (f.), quem inclu- dunt malleoli, et calcaneo (5.) humanae ftructurae perfi- milis. — Radius in anticis pedibus verfus carpum nullus, fed fola e/ma (fig. 6. 4.), ope carpi breuiffimi (a.) me- tatarío (5.) commiffa; Radiis vero fuperne vlnae coadu- natus, Yt in Vefpertilionibus. In liquore afferuatis obferuaui mufculum füb axiUa ortum , interne brachium legentem, a cubito infigni tcn- dine ( Tab. VIII fig. x. aa.) in velum late excurrere et. comitantibus vafis fanguiferis fpargi verfus marginem. Eo- demque modo in Vefpertilionibus vafa alas adeunt. In poflicis pedibus /urrorius robuftus, latus, a fum- mo inguine oritur, et adrenuatus in tendinem anguloque. fubtenfus, tibiam fortiter adducit. — F/exores etiam laxius: femori accubant. SER- eto ) 525 ( 6$*$e SERTVLARIAE SPECIES DVAE DETERMINATAE. Ab IL LEPECHIN. T parte pofteriore actorum Academiae pro ann. 1978 4A propofüi fpeciem nouam fertulariae fub nomine /ertu- lariae obfoletae circa promontorium Kanin Nos le&ae; nunc in medium profero nouas fpecies duas, ibidem repertas, quae primo intuitu referunt fpecies fertulariae iam fatis cla- re defcriptas atque delineatas fub nomine /errulariae abie- tinae et fertulariae cupreffinae (a). Aft multae adfunt no- tae characterifticae, quae noftras a dictis feparandas fua* dent; quaeque familiam fertulariae adaucturae, propriam fibi denominationem iure expoftulant. Prima igitur ea- rum efto. Sertularia pinafler. Sertularia. pinnata, pinnis fübalternis, cylindricis ; .ob- calyculos. plerumque fexfariam difpofitos, echinatis ; ouariis vtricularibus turgidis, fubdiaphanis, ofculo fimplici. De- -aCÉ ^) Confer celeberrimi Pa//gs Elenchi Zoophytor. p.133. no. 81 et pag. Y X41. no. $9. ej )scn( e9 ; r Defcriptio. Í ! » Us - . Pro radice inferuiunt ipfi fibrillae reptantes, tefla- ceis aut lapillis infixae. — kx his exeunt flirpes cornei, vt plurimum fimplices, aliquando inferne diuifi, verfus inferiora coloris brunnei, fed quo magis aícendunt, eo pellucidiores atque lutefcentes cuadunt, extrema tamen eorum tanquam adufta apparent; altitudo vix vltra dimi- dium pedem excurrit. Ramuli alternatim pinnati, rotun- di, filiformes, inter denticulos caulis, plerumque ternos, albicantes oxoriuntur. —Calyces non, pro vti in feriula- tia. abittina appoximate alterni, fed vndique ramulos, plerumque íexfariam, ambiunt, ofculoque ocute effufo, prominulo, cos echinatos reddunt, ita vt fere ramulos defoliatos pinaftri referant. ^ Ouaria non raro per vtrum- que latus ita denfe difpofita, vt quafi imbricata videantur, wtricularia, fubdiaphana, vweríus fuperiora obícure flaua. ofculo fimplici, annulo craffiore brunneo cin&o. Fig, r. repraefentat partem trunci cum ramulo per mycrofcopium adaudos, (4) calyculum feparatum, (2) ouarium, Fig. 2. habitum et magitudinem naturalem, | 1. | " Sertularia. Cupreffoides. Sertularia caule paniculato, ramis dihotomis fpar- fis, calyculis vix ofculo priminulo, fimplicibus, oblique truncatis, ouariis ouatis ofculo fubtubulofo, trunco ramis- que articulatis , commiffuris biannulatis. De- ep )oc:( ce Defícriptio. Radiculam . format tuberculum applanatum cartila- gineum. Cáüles fimplices, aliquando inferne ramofi, fub. diaphani, coloris flauicantis, vix pedem dimidium excur- rentes, articulati, articulis feu commiffaris omnibus bian- nulatis. Rami paniculam efformantes, vlta medium cau- lem plerumque detriti, vti in fertularia Thuia, exeunt ex caule alternatim oppofiti, modo ex omnibus plagis pro- trufi, patentes, crebri, ramulorum furculis eandem. diuifi- onem feruantibus. — Huc vsque fere omnia fertularia no- fira habet communia cum S. Cupreffina. A(t rachis ramu- lorum multo latior et minus ferrata eft in noftra, quam in illa; quia calyculi veficulares oppofiti vix prominuli ofculo, quod eft fimplex, oblique truncatum, ariftis den- ticulisque nullis. Ouaria ex oblongo ouata, bafi fubatte- nuatà, fubdiaphana tenerrime - rugofa, modo e latere dextro, modo ex finifüro, non raro per vtrumque difpo- fita. Fig. 3. Siftit ramulum per mycrofcopium auctum (a) calyculos feparatos. (55) ^ Ouaria. (c) comiffüras ar« ticulorum biannulatas, Fig. 4. habitum et magnitudinem naturalem. 4« ila Acad. Imp. Se. Tom. IV. P.. I. Ff ADI- T ) 226 ( eue ADIPIS PORCINAE, RECENTIS ET RANCIDAE, EXAMEN CHEMICVM. Auctore I G. GEORGI. 6. 1x. cedente pinguedo in omnibus adeo animalibus abundet, et magnam in fano, morbidoque eorum ftatu vim exferat, quantumuis etiam in Oeconomia praeftat vtilitatis: atta- men pauca circa illam in chemicis acta funt, neque, quod fciam, rancidus adipofae fubítantiae ftatus a quopiam mi- nutiofe examinatus fuit, Sugeeffit autem Clariff. D. Oraeux, qui in P.íte Moscuam Anno 1772. deuaftante famam in- fignem aflecutus cft, multum lucis acceffurum | theoriae morborum epidemicorum, e confideratione corrupti ftatus adipis, quam infignem in his morbis fcenam ludere ex ob» feruationibus fuis perfuafus cít; et hinc mata eft adipis analyfis quam hic trado, quacque nifi omnia Phyfiologiae atque "Therapiae dubia foluat, tamen ad illuftrandim huius animalis fubflantiae maturam qualitercunque conducere poterit, | & ?. ej ) 2:7 ( $e 6. 2. Deficiente mihi pro experimentis inftituen- dis adipe humana pura, quam PPbarzracopoea Ro(fica Auno 1778 edita e ferie officinalium iure exclufit, Sui//lam adi- pem pro analyfi elegi , ^ cuius natura ad iftam propius ac- cedit et quam in fufficienti copia iam rancidam, adeoque ftatim experimentis aptam, obtinere facile erat. Praeterea fuilla adeps nondum a quoquam examini chemico fubiecta fuit; humana autem faepius et accurate a Celebb. Viris &ba- de$ (a), Segner (b) et Crell (c). | Neceffaiia autem pro comparatione fuit analyíis adipis etiam recentis, quam igitur prius exponam. Experimenta circa adipem Suillam recentem inftituta. 6. 5. Animalium diuerforum pinguedines, quae con- fiftentia inter -febaccam folidam ct oleofam fluidam media occurrunt, conueniunt in genere cum rcliquis pinguedinofae fubftantiae fpecicbus: infolubilitate ad menftrua aquofa et fpirituofa ; faponificatione cum falibus alcalicis; productione hepatis fulphurei, percoctionem cum fulphure; diffolutio- ne plumbi calcinati in fpeciem vnguenti vel faponis; coa- gulatione cum acidis. mineralibus concentratis ; plenaria con- fumptione per ellychnium lampadis vel candelae ; ignitione Ípontanea in calore fexcentorum circiter graduum fcalae Fa- renheitianae, aliisque; differunt autem inter fe confiftentia, colore, guítu, magis vel minus prompta ranciditate; quae quidem differentiae fenfibus noflris facile, at vix chemicis experimentis deteguntur, quippe quae nimium deftruunt, et K- gene- (a) Diff. de Ferro in Sanguine humano 4. Gott, 1753. (b) Segneri Diff. de Acido pinguedinis, Refp. Kop. 4. Gott, 1754. (s) Crell. CAemifch Gyournal. P. I. p. 102. et ) ss ( $9 generatim ex omni pinguedine tantum oleum empireuma- ticum, phlegma acidum et carbonem igni refiftentem pro- ducunt. Horum principiorum proportio, nec non indoles in variis adipis fpeciebus tantum differt, vt in chemica quoque analyfi facile occurrat. Segmerus (Diff. de Acido Pineuedinis) adipem fuillam dicit deftillatione vix quidquam phlegmatis fuppeditare, carbonis autem ita parum ex eo fupereffe, vt oleum eductum fere aequet pondere maflam adipis adhibitae. Hinc infignis ab aliorum animalium pin- guedine differentia fequeretur; experiehtiae autem non re- fpondet Segneri affertum, vt in fequentibus apparebit. Experimentum r. $. 4. Adeps íuila recens et pura comminuta, in retorta arenae impofita, lento calore folui, et tranquille foluebatur, nullo aéris indicio dato. Chartae probatoriae in collo retortae fuspenfae (caeruleae inducta rubediue) indicabant, etiam leni caloris gradu acidos emanaffe vapores. Experimentum 2. 6. s. Diffoluta calore, perque linteum caute pere colata adeps, aquam tepidam copiofam, qua abluebatur , pinguinofe turbidam reddidit. lla aqua percolata et eua- porata, refiduam dedit mucaginem cineream, ex vnciis decem pondus quadraginta granorum aequantem, fine vllo Salini cuiusdam indicio. Experimentum 5. Adipis vncia, in quatuor vnciis alcoholis digefta , tin&uram flauefcentem effecit, quae aquam inftillata turba- bat, indicio, 0/coff quiddam folutum fuiffe. Expe- -Bi y) fe Experimentum 4. 6. 6. Adipis fuillae recentis, igne: folutae, de- cem vnciae e rctorta, rétipiente «adglutinato in(trüctá;' fenfim aucto in balneo -arenáe^ et demüm fortiffimo igne deftillaui. Intra octodecim" horarum fpatium: prodiit : 1. Oleum. flauefcens buiyrofum ad. iif. 2. Oleum nigricans fluidum ad $)v. $vj. et cum vtro- que, praefertim: fimul: cum priore. 8. Pblegma acidum, flauum, cuius pondus fegregati ae- quauit 4). $vijJ. Refiduum fuit Carbo niger, durus, quem in retorta dl reliqui... Oleum, bili, pungente et FERE eA dal. et '"vàpori- bus oculos et guttur adficiebat. Chartae coloratae acidam horum vaporum indolem indicarunt, quare oleum quatuor circiter unciis aquae ablutum, et aqua dehinc feparata fuit. ^ Phlegmatis odor et- iam volatilis erat, fed minus acer. Experimentum 5. 6. 7. Oleum ablutum rraecedentis proceffus füpra carbonem refiduum cohobaui. Sic prodiit: 1. Oleum fluidius, fufco-flauum et 2, Dein Oleum nigrefcens, vtriusque. Zvjfi. quae dido: rem minus volatilem, raphani rufticani aemulum edebant ; 8. Phleciiiirs Jiifl, flaui, acidi, priori fimilis Ff 3 Ex- e$; ) :so ( $83 Experimentum ó. Oleum, propter vapores acidos, denuo ablutum et iterum fuper refiduo .cohobatum fuit, — Prodiit tunc e fu-. fcouirefcente . colore, pondere fex vnciarum; Phlegmatis. autem. femidrachma adfuit, —^Refiduum praecedentium. tri-- um deflillaionum Caput mortuum pondus vnciae cum fcfquidrachma aequauit. Oleum iterum ablutam fuit. Experimentum 7. €. $. Oleum tertiae deftillationis, denuo e Retorta noua deftillabam. — Tranfiit ftatim Oleum flauum, limpi- dum, tenue, boni odoris, quantitate Ziifi. dcin rubro - flaaum, magis empireumaticum ad $iij, fimul cum vtro- que Phlegmatis 358i. Adfuit iterum refiduum carbonaceum pondere fesquidrachmae, quod cum priore effecit pondus unciae cum tribus drachmis. Phlegmatis quatuor fimul deftillationum prodiere ad ij. 3j6. Amillum igitur his proceffibus fuit pondus $viif. & 9. Olea praecedentis experimenti, fibi relicta, intenfiorem fenfim acquifiuerunt colorem, tandemque tur- bida funt facta. Vlteriora in hoc oleo tentamina non inftitui, cum perfe&e effet fimile illi quod e febo bouillo obtinuit et accurate examinauit Cel. Cre// (Chem. lourn. l. p. 75) Experimentum $8. €. 10. A Phlegmate quatuor deftillationum (Exp. IV. ad vij); itidem ab aqua, qua Oleum iterato ablu- tum - eH2 ) 281 ( $83 tum fu't, flocculi fece(ferant, quos filtro feparaui. Rea- gentia in liquidis folam acedinem, pinguinofitati iunctam indicarunt. Quandoquidem vero acidum pinguedinis fola deftil- latione depurari et concentrari nequit, faturaui liquorem contrito et puriffimo fale tartari (e nitro et cryftallis tartari), quod huius falis fesquidrachma exactiffime ef- fe&um eft. Liquor faturatus euaporatione nullas produxit cryftallos, fed fal informe, nigrefcens, empireumatici odo- ris, a&£rei humoris bibulum, quod pondus Sii. gr. XL. aequauit, In vafe porcellaneo hic Sal fluxit facillime, fu- mans et fpumefcens infigniter. — Poftquam ceffauerat fu- mus, reliquum folutum et per filtrrum traieum euapora- vi. lterum defuit forma cryftallina, fed maffa falina la- mellofa remanfit, quae non fatis faturata, humidum aris attraxit. Tubo ferruminatorie oppofita intumefcebat ea- dem, fumum luminofum emifit et refiduum mere alca- licum album tandem. exhibuit. Tllaftr...Segnérus. (Diff. citat.) et Cel. Crell. (1. c. p. 60. Part. 1I. p. 112. et 1V. p. 47.) folita fua diligen- tia et acumine acidi pinguedimis naturam, eiusque ad al- cohol,. falia varia,; terras et metalla relationem indaga- runt, vt vlteriora in hoc tentamina fuperflua mihi vide- rentur; neque exieua e falibus faturatis expulfa acidi co- pia futhciebat. — Crelljus praeterea (loc. cit.) docuit ingee niofe, quomodo acidum. illud e vulgari fapone copiofe parari poflit. & XX. eti )ess( $8 6. rr. Carbonaceum rcfiduum Exper. 6 et 3, cu- jus coniuncim pondus vnciam. cum tribüs drachmis ae- quabat, erat exaridum, nigrum, durum, quafi fcorifica- tum; empiceuma oluit et cum acidis efferbuit. Hoc pul- "verifatum fequentibus experimentis iníeruiit. Experimentum 9. Elixivatio ope aquae praebuit liquorem alcalinum afbum, e quo grana quinquaginta falis imperfecte cryftal- lifatüi «cbtinui, quod in aére ficcitatem fermauit. — Acidi witriolici ad- farurationem' huius falis tantundem infumfi, quantum ad eandem quantitatem falis alcali mineralis re- quiritur; prodiitque inde fal mirabilis Glauberi perfectus, "Durarte faturatióne nihil calcarei neque heterogenei prae- cipitabatur. Refiduum carbonis deficcatum vix cuidenter 'cum acidis feruefcebat. ; Experimentum 1o. 26. r5." Elota terra carbonum nigra (Fxper. IX.) a -aelicto pblogifle erat depuranda, quod calcinatione in tefta quinque horarum fpatio ad contínuum ignem lambatorium, et circumagitatione continua vix cffeum eft. — Primum cinerea fic evafit, dein rubefcens, leuiorque vt ponderis tantum 3j. cum gr. Xll. fupere(let. — Ex hifce cineribus particulae. copiofae Magneti adhaerefcebant; cum acidis ef- fciuefcebant' acriter. et; clotae ope aquae deflillatae , iterum gr. vfi Salis alcalí. mineralis puri exhibuerunt. Experimentum rr. 6. 13. "Ferra edulcorata ( Exper. : 10.) cum acidis etiamnum ferucfccbat, ideoque in tribus drachmis. acidi nitrofi ec32 ) s85 (. $999 nitrofi digefta fuit. Phlegma acidum percolatum et aqua ad edulcorandum refiduum terreum adhibita, folutione Salis tartari faturabantur. —Circa faturationis punctum ap- paruit demum praecipitatum quoddam albidum, quafi mu- 'cilaginofum , quod edulcoratum et ficcatum gr. XI. pondus aequabat t pura fuit zerra calearea. — Ex refiduo denique particulae adhuc martiales fatis. copiofe magneti adhacferunt. Experimentum 12. &. 14. 'Vt praefens forte pars argillofa huius ter- rei refidui in apricum educeretur, cum drachma Olei Vi- trioli digeflum fuit; tum effufüm acidum in porcellaneo va- fe arenae impofito fupra ignem euaporaui, relictam vero infolubilem partem aqua edulcoraui. Praecipitatum ablu- tum argillofam quidem, feu a/uminarem terram referebat, fed fufcam, licet nullas particulas magneticas pracberet, Pondus ficcati fuit granorum trium cum. dimidio, . Reli&a vltimo terra fubtilifüümam | arenam | quar'fü- Jam xeferre. vifa eft, ferro plane carebat et pondus $3165 et iv granorum aequauit. Experimentum 15. $. 15. Haec eadem refidua terra cum drachma et XL granis falis tartari intrita et crucibulo candenti infufa, ftatim cum intumefcentia fluxit. Scoria vitrificata refrigerata humore aéris madefcere vifa eft; cum crucibu- lo aquae immiffa in gelatinam cineream diffoluta fuit, e Acla Acad. Ímp. Sc. Tom. IV. P. I. Gg qua LX qua, copiofiore alhibita aqva, gr. xxxiifi rerrae filiceae fordide albae, obtinui. $. 16. Secundum allegata experimenta patet: 1. Faports adipis fuillae recentis dum fupra ignem dif- fluit, aciZos e(le (Exp. r.). . 2. In decem unciis eiusdem adipis recenter igni diffo- lutae muciliginis grana XL, dum exficcatur , conti- neri (Exp. 2.). 8. Eandem quantitatem adipis non ablutae deflillatione pracbere, poft quatuor cohobationes, vncias quin- que cum dimidia veri o/eij tenuiflimi, haud ingrate olentis (Exp. 7.); porro 4. Phlegmatis acidi iisdem deftillationibus prodire 4ij Siifi, quod fimul cum aqua acidula, ad abluen- dum oleum adhibita (Exp. citat.) ceri acidi con- tinet grana XLV. 5. Pofl quartam defítillationem fupereffe ex fupra dicto quanto adipis carboris fixi vnciam cum tribus drachmis ( Exp. 6. 7.); in quo contenta crant: Salis alcali mineralis gr. LV. (Exp. 9. 10.). Terrae calcareae gr. X!. (Exp. 11.) - - aluminis gr. iiifi. (Exp. 12.) - - filiceae gr. XXXII. ( Exp. 13.), atque - * particulae marüales magneti adhaerefcentes (Exp. 11.) BATA ^ f. Bal- et9; ) 285 ( $99 j Calcinatione carbonis periiffe phlogiíti ad Six, et particulas etiam fixas diflipatas variis proce(üibus. Pondus feptem cum dimidia drachmarum; quod in deflillaionibus euaporatione vel adhacfione ad vafa chemica amiffum füit, itemque gr. xxxi, quae in analyíi refidui perierunt, fupra enumeratorum produ&torum. et conflitutiuarum partium pondera proportione iuíta augere debent. $. 17. F Jfebo bouillo Cel. Crell (Diar. chem. P. I. p. 68.' eadem fere proportione obtinuit o/eum poft de- ftillationum. fimilem numeram, et Pb'egmatis acidi tantun- dem, in quo etiam acidi paene eadem quantitas contenta fuit, vt in phlegmate fuillae adipis. ^ Curbonacei autem refidui maior fuit copia in experimentis Cre/lianis, fcili- cet e triginta duobus vnciis fcbi, decem vnciae cum $3vj. carbonis, E carbone idem. zerrae cáleareae et filiceae tantillum cum veftigio 7/er/ae argillofae obtinuit. Sal e carbone elixiuatus, erat acidum pbo/pboreum, terra calca- rca faturatum, — Ferri nullum aderat vefligium. Differt igitur febum bouillum a porcina adipe: 1. Maiore terrei fixi copia, 2. Sale phofphoreo et 3. Martialium particularum defectu, Porcina vero adeps priuum habet x Sal Alcali oi- nerale et 2. Particulas mariiales. Gga | Expe- 955 ).256 ( ees * * * * à 4n B *. * PUE digeftione recentis Adipis Porcinae inftituta. 6. r8. Scquentia experimenta inftituta funt, wt obferuarem mutationes, quas in recenti adipe calor mo- deratus, febrili circiter aequalis, diu continuatus, produ- cerct. Experimentum 14. Adipis fuillae recentis fumfi vncias XVT. et in re- torta, vefica obturata, in balneo arenae, fuftentato, lam- padis ope, calori aequabili, inter 98 et 166 gradus Ther- mometri. Farcnbeitnani medio, commifi. Poft quatriduum fÍedimentum tenaciufculum , nigreícens feceífit. — O&iduo adeps fupra fedimentum flaua facta eft, vt exempta par- ticula et refrigerata pulchre flauefceret; poftea color fen- . fim in fufcedinem tendere coepit. Subinde chartae colo. ratae in retorta fufpenfae fuerunt, quae acidam vaporum indolem prodebant. ^ Poft decimam diem fubinde bullac aéreae in adipe affurgcbant. Poft feptemdecim dierum digeftionem adeps rc- frigerata, fupra cxiguum fedimentum nigrefcens fufcida erat facta, guítu vappida, foctorem naufeofum füubuolati- lem Ífpargens, qui oculis nocere, cosque obfufcare vifus eft. Expe- eS )cs( 5 ' Experimentum 15. 6. 19. "Vt experirer, nonue portio adipis digeftio- ne in zucilagimem mutata fuerit, itemque an adeps ablu-- tione denuo reftitui in priftinum ftatum poflet, vncias e- ius binas faepius aqua feruida ablui curaui, et refrigera- tam fingulis vicibus aquam effudi. Prima aqua naufeofi erat odoris, absque íalfedinis indicio vllo; fequentium ab- lutionum aqua pinguinofo- turbida, quafi mucilaginofa e- vafit. Poft filtrationem trans linteum euaporata rcliquit mucum cinereum, cuius ficcati pondus drachmam aequauit, quique facile aqua diffoluebatur. ^ Adeps nunc euafit cine- rea, fine odore naufeofo, multum quidem emendata, at non ad priftinum gradum. i . Experimentum 16. $..20. Digeftae adipis vncia, cum quadruplo al- coholis digefla, tincturam effecit guítu et odore admo- dum naufeabundam, quae inítillata aquae lactefcebat, po- fleaque guttulas oleofas in fuperficie formabat. Experimentum 17. €. 21. Decem vnciae adipis recentis, digeftionem paffae, e retorta balneo arenae impofita, inflar recentis Experimento 4. adipis deftillatae funt. Initio ftatim aeris bullae copiofae afcenderunt; tranfit mox o/eum butyrace- tm, fÍordide flauum, dein fluidius coloris faturati, fimul vtriusque vnciae 2viifi. cum focia fPblegmatis vncia — O- lei pariter et phlegmatis odor volatilis, pungens, attamen Gg 3 multe etis )ess ( G3 multo minore gradu quam recentis, crudae, adipis (Ex- per. 4... Vapores olei chartis tinétis notam acedinis im prefferunt, vnde aliquod aquae vnciis illud ablut, quod de fubfequentibus etiam deflillationibus intelligi volo. Experimentum 18. * $. 22. Oirum praecedentis tentaminis fupra pro- prium carbonem cohobaui. —Tranfiit limpidum, obfcure . flauum et pondus vnciarum fex aequauit. Simul prodiere Phlegmatis acidi drachmae tres. — Vtriusque producti odor minus pungcrs fuit quam e prima deftillatione, Experimentum 19. Oleum illud tertio per eandem retortam, carbone intus loricatam, c«ohobatum tranfiit limpidum, obícure flaaum, pondere vnciarum V. et totidem drachmarum, Acidi phlegmatis fimul prodiit fcsquidracbma. Vtrisque odor fuit parum empyreumaticus. Carbo, a tribus hifce dcflillationibus refiduns, qni fractae Rctortae iotus intime adhaerebar, pondus *ifj ac- quaeit. Similis illi," quem recens pracbuit adeps, neque vlrerius, vti nec oleum deftill'ationes paffum, chemice e- xaminatus fuit. " Experimentum 20. $. 25. Phlegma ex his dc(tillationibus (Exp. 16. 19.) colle&um cffecit meníuram fcfcunciae cum femi- drachma ; 1" (t wet35 ) 239 ( $95 drachma; flauum, volatile, empireumatico odore, in char- tis probatoriis acidi effectus «exferuit. Aliquantum acidi etiam aqua prodebat, (Exp. citat), quae abluendo oleo inferuierat. Vtrumque igitur liquorum fale tartari puro, contrito faturaui exactiime eoque quinquaginta grana fa- lis huius adhibui. Liquor filtratus neutralifatus, praebuit fa'em fimillimum illi, quem adeps recens (Exp. 8.) fup- peditauerat, drachmam cum quadraginta granis acquabat, et nulla vlteriore depuratione curatus fuit. €. 24. Igitur decem vnciis adipis recentis, dige- ftione tractatae, continebatur: i. Mucilago, cuius deficcatum pondus aequauit drach- mas V. (Exp. 15.) 2, Pb/egma acidum, tribus deflillationibus ad Zifi. 38. (Exp. 17 — 19.) idque, fimul cum lotura olei, grana quinquaginta acidi dedit. 3. Oleum pellucidum rufo-flauum, quod poft tertiam deflillaionem (Exp. 19.) pondus 2v et $v. ac- quavit: 4. Carbonis terrei eodem Exp. 19. fuperfuit fefcuncia. Producta igitur, pondere maffae adhibitae drachma- rum quinque et dimidiae valore minora fuerunt, iufta- que ex hoc amiffo pondere proportione augenda funt. Si cum his conferas producta adipis recentis non digeítae, apparebit: 1, Ran- em ) 4o ( $$ : Ranciditatem infignem digeftione fuiffe inducam adi- pi (Exp. 14. cet); s. Mucofitatem maiorem ortam, et muci plus feceffiffe (Exp. 15.); 3. Acidi partem deítru&am (Exp. 20.): Supereft nunc analyfis comparatiua adipis fponte rancidae ficae, quam in altera huius Differtationis parte propediem exponam. DETER- ASTRONOMICA. Acla Acad, Imp. Se. Tom. IV. P. I. - ime. 7 ay " » "n NM T cs Ie A * E 4d. Onde " Mea Um : "n yu cm E N A MIT "$5 P " ' j Mera 2 M bo dn piro; MIR forro Di esce ! K d UN l Pa " Ps i Hu ;" Pes * ^». - Á , e fia E "7, 4 t 1$, ^4 4 u ie bj "^ HY , - v h [ m A Ad : 4 NA I MN - : | b. M, Mi i 'a "i 1 451 Musas : / 5 &. RAM " " | iB i r /Á * L] y E , , AND n LN L 20 b an! T" Y 4 J * i 4 1 n i i ] , 1 bibul VOU, ' : val VN CS 4 [L N t| MUN ES w wsT ELI et3 ) 48 ( $9 pb DE ib Ab Ato CI s b qut POR VEDD EISDINS OR S DETERMINATIO FACILIS ORBITAE COMETAE CVIVS TRANSITVM PER ECLIPTICAM BIS OBSERVARE -LICVIT. Amüiqre L..JB KLERO. $. r. (2... fi eueniat vt cuiuspiam Cometae vterque tranfi- tus per planum eclipticae obferuari poffit, etiamfi hoc ra- rifime contingat, tamen iíte cafus ideo fumma attentione dignus eít cenfendus, quod drcae tales obferuationes fufi- ciant, ad orbitam Cometae parabolicam perfecte determi- nandam, idque methodo directa; ita vt ad nullas approxi- mationes fit confugiendum , dum contra ex aliis obferua- tionibus motus Cometarum neutiquam methodo directa de- finiri poteft, fed demum poft plura tentamina appropin- quando erui foleat, atque adeo fperari nequeat, vnquam fore, vt eiusmodi methodus directa detegatur, cuius ope ex aliquibus obferuationibus orbitae Cometarum certo de- terminari queant. Hh a $. 2. etl )se( eee $ 2. Ponamus igitur eiusmodi Cometam appa* rere, cuius tranfitum per eclipticam bis obferuare liceat, ita vt eius latitudo in vtraque obferuatione nulla fuerit deprehenfa. His igitur temporibus neceffe eft vt Cometa in ipfa linea nodorum fit verfatus; altero fcilicet in nodo aícendente, altero. vero in defcendente, cuiusmodi igitur duas Tab. X. obferuationes fequenti modo ad calculum reuocemus. Re- Fig i. praefentet tabula planum eclipticae, in quo punc&um S fit centrum Solis, ac tempore prioris obferuationis Terra fue- rit in pun&o T, ponaturque eius diflantia a Sole S T—a; cometa autem apparuerit in directione T Z, atque innote- fcet angulus S T Z, quem vocemus — «a. Cum igitur co- meta nullam habuerit latitudinem, neceffe eft vt alicubi in ipfa linea T Z haeferit, cuius locum ponamus fuiffe in runcto Z, eritque re&a ex Sole duda S Z $2 linea nodo- rum, fiue interfectio orbitae Cometae cum ecliptica, cuius. pofitio cum etiamnunc fit incognita, vocemus angulum. TSQ-OD, quae adeo erit vnica incognita, quam in caleulum introduci neceffe eft. Hinc igitur erit angulus externus T Zi —«a--Q(, vnde cum habeatur diftantia. S T - a, repcrictur diítantia Cometac a Sole 8 Z — 22:55. 6. 5. lam elapfo tempore — O , quod cxprima- mus per motum mcdium Solis interea percurfum, ita vt O defignet certum quendam angulum, cuius menfura fit arcus ipfe O in circulo cuius radius — x, dum huius circuli tota peripheria 2 7 rcpraefentat quantitatem vnius anni, come- ta iterum in ipfa ecliptica fine lotitndiue obferuetur; iu- terea autem "Terra progieíía fit per angulum. T S I'—6; cometa vero apparueiit in dire&ione T! Z/, cxiftente an- gulo S 'I' Z'— a, Neceffe igitur cft vt hoc temporc Co- meta eno j)c45( $90 meta veríatus fit in linea nodorum $2 S retro S ?5 conti- nuata, atque adeo in ipfo pun&o Z. Cum igitur fit an- gulus T/ $ Z/ — 18? — — 0, erit angulus externus T' Z' 0$ — 180?-r-al—p-— 6, Monde ipfe angulus T'Z' S — 4-06— " Pofita cine diftantia S T! — a, fiat n. (D -i- 6 — a!) : à! — fin. o! : S Z/, vnde TRA diftantia S Zi — — Wim Sic itaque na&i fumus duas Cometae a Sole diítantias , fcilicet —— | ejn.a [1 a* fin. a' SZ-— fin. (a 4- ) et $Z/— 7 jin. (0 2-9 aj quae adeo in directum fibi funt oppofitae, ita vt BM lia vera inter haec duo loca interiecta fit 180^. 6. 4. Referat nunc tabula planum ipfius orbitae cometae, in quo fit S centrum Solis et reca Q2 ?S inter- fecio orbitae cometae cum plano eclipticae, in qua fint pun&a Z et Z/ bina illa loca Cometae obferuata. Hic au- tem ponamus diftantias S Z — f et S Z/ — g, ita vt fit ...& fin. mH" mH |. Tráfifins a^ f— Jin. (a A- Q) uM: —— fin (a-6—a) ? in quibus formulis vnica ineft quantitas incognita, fcilicet angulus Q. Praeterea vero nouimus, cometam de loco Z perueniffe in locum Z/, elapfo tempore — O. Sit igitur parabola Z II Z/ orbita a cometa interea defcripta, cuius axis fit recta ILS, ideoque II eius perihelium, cuius diftan- tia a Sole ponatur S II — 5, ideoque femiparameter orbitae — 2p; tum vero vocemus angulum II S Z — vr, eritque angulus IIS Zi — 180^ — 4p, Hinc iam ex natura para- bolae erit Ta^. X. Fig. 2. et3; ) s46 ( See Sz-2g-.——b. Pu 1 £5 I-— Cof. WV Wm ex quibus aequationibus tam diflan'ia p quam angulus wp facile determinabuntur, fiquidem quantitates f et g vt co- gnitae fpectentur. $. 5. Cum igitur ex priore aeauatione fit cof. ; Ny Z^, ex pofleriore vero fin. ; p - 7, his additis fit J- -- f —p ita vt fit p — LO quo valore inuento: erit cof. v? - EI et fin. SIX 3i vnde colligitur tang. ; jV —Y B ct fin. p — 5*75. Dummodo igitur binae diftantiae Z ct £g fuerint cognirae, orbita parabolica Cometae perfecte erit determinata. Vcrum quia ipfae di(lantiae f et g adhvc in- cognitam, fcilicet angulum QD, inuoluunt, infuper indigemus vna acquatione , cuius ope etiam hanc incognitam detere minare liceat. 6. 6. Yütam autem nouam aeqvationem nobis fupe peditat confideratio temporis O, quo Cometa de loco Z per II vsque ad Z/ peruenit, quandoquidem huic tempori area a Cometa interea defcripta eft proportionalis. Quod fi enim haec area ponatur Z II Z/— S, ac diftlantia Terrae a Sole media defignetur littera c, quia huius orbitae femipara- meter eft — 2 p, ex theoria motus planetarum con'!lat fore S—:O0cY 2c5; quamobrem tantum opus crit vt in quan- titatem huius areae inquiramus, 6. 75. Quoniam pofuimus angulum II S Z — vj, vo- cemus tantisper diftaniam $Z--2, ct quia cx natura para- eni )s( $9 parabolae eft. s — GL y quaeramus primo aream II S Z, quam defignemus per ZZ, ita vt fit 4 i — iz z d Vp , eritque dzx-— Jed : eol. ; vp* Ad hanc formulam integrandam ftatuamus tang. ; Vp — 7; eritque fin. ; V — a eg 8t. Cof iP — voa: e Lbs cn ideoque habebimus dt dE-— 5. —ppdt(xz-rtt), (1 4-4 1) cot. 2 p* vnde integrando nancifáimur aream X —95:--ippr, cxiftente fcilicet 7 — tang. ; V. $. $. Hinc autem facile deriuatur altera area ILS Z/, quam vocemus. — 2/, fi modo in formula praece- dente loco vp fcribamus 1 80?-Xp, ideoque loco ; vy fcribendum erit 90? — ; V, cuius tangens cum fit cot. ; «p — $, ftatim re- peritur area ifta Z/ — £? .-?^. His igitur duabus arcis iungendis colligitur tota area ZI Z —S-—zm--Z' —?t(rr-4- aJ. Cum igitur fit S —£*('7— , angulum wj iterum intro» ducendo erit " I 3 S. zc DENIM us fiue | 3 Mün.; wp cof. i Vp —L Be im s '"Vinyj/ 77 sf. $4. 9» edi )s4s8( $5 $. 9. Hac igitur area S inuenta relatio fupra me- morata inter tempus ct hanc aream nobis füppeditat hanc acquationem: —.-—i19cYVaocp, g jt, 5 quae diuifa per Y p fit VYh-i190rVoe, fue PXILRUA uus —i9eVae vnde radicem cubicam extrahendo prodit aiP-—Yi9cVae. Supra autem vidimus effe p— L5, et in, p — fv/E :A15, vnde fit 2*5 — Y (f -4- £); J4- g* ita vt dcdudi dion ad hanc aequationem: Y (f-g)aYiOcYac fumtisque quadratis crit f-- g — € Y*QQ. Subüituamus igi tur loco f ct g valores fopra inuentos, et habebimus hanc aequationem: t à! fin. a : ig —üns —c/100 fin.(a4- D) fin. (D 4-8 — a) in qua cum vnica UE incognita, fcilicet angulus Q, to- tum negotium huc eft perductum, vt ex hac aequatione valor anguli Q eliciatur, quod quomodo commodifüime praeftlari pofüt in fequentibus oflendemus, & 10, Quo refolutionem huius acquationis faci- lius fufcipere queamus, eam fub hac forma repraefentemus: a cir ajo EMIS vine: co D cxt , jin. (€ — y) Jm. (€ -t- Y) 2 1ta eds ) 249 ( S$t9- ita vt fit A-—afin.a, B—a'fn.a, C—cY:0 0; tum vero Qo —'y-—a-r-Q et o-4- y —o--0$—a hincque 20-—a-4-20Q--06—2a! et 2 — 06 —a —o! qui ergo pofterior angulus. prorfus eft cognitus , cum fit qz EE, at vero angulus incognitus erit CXpR dune Lcd ita vt fi determinatus fuerit angulus o , tum futurus fit angulus quaefitus (Q — & -j- 5—2—*. Nunc igitur pro an- gulo c inueniendo aequatio noflra a fracionibus liberata erit A fin.( à -- y) -- B fin. (o— y ) 2 C fin. (a 4- *y)) fin. (a — y) quae porro cuoluta praebet A fin. cof d ds yr -FBfin.ocof.^y — B cof. « fin.y ex qua angulum q definiri oportet. Quem in finem fi poneremus fin. à — 5, tum foret cof. g — V(x —55); at- que hanc aequationem, vt ab irrationalitate liberetur, denuo quadrari oporteret. Hanc autem operationem fequenti mo-* 'do euitare poterimus. — C (fin. w*cof.4— cof. fin.*y?) $. 1r. Scilicet. quo haec aequatio ftatim rationalis . 1 —— - 1 LN o reddatur , flatuatur tang.; o — x, eritque fin. ; o — PICS) uy: A 1 " 3 et cof. ; 9 — ;— 5, vnde porro fit rI—Xxx c 2x amm fin. gj secet cof. 9 — —— I, quibus valoribus fübftitutis aequatio noftra erit "Acta Acad. Imp. Sc. Tom, IV. P. I. li £X e$ )c:so( $5 sz ef.Y (A -1- B) 4- €—22/-Y (A — B) ) Ud xXx : — E LL Y S I RE din. yn). Ponatur bad porro breuitatis. gratia (A -i- B) cof.»y —F et (A — B)fin,y —G et multiplicando per (ri -- xx) acquatio noftra refoluenda erit 2Fx(t1-- x x)--G (x — x) — C (4 x x cof. y? — (x — x xy fin. ^), quae euoluta reducitur ad hanc aequationem quarti gradus: (G — C fin.) x* 2 F x' 4- 2C x x (1 4- cof. y?) —aFx—Cfn.,—G—o, ex qua, fi forte duas vel omnes adeo radices habeat rca- les, totidem orientur folutiones noftri problematis, quas rum quae reuera locum habeat facile definietur, fi infuper tertia quaepiam obferuatio in fubfidium vocetur, vnde fimul inclinatio orbitae ad eclipticam innoteícet. 6. 1s. Ex qualibet autem radice huius aequationis inuenta x ftatim colligitur angulus o, cum fit tang.; 97x, tum vero ex cognito angulo o dceriuabitur angulus u^ '—a—t! Q-—a-r-f—i—* ex quo cognofcetur vera pofitio lineae nodorum, cum fit angulus Q S T — (. Deinde vero ex cognito angulo (D vtraque difítantia Cometae a Sole definietur, cum fit ft - ! fin, a SZ-z- Í— 5x "n. & erm i--- a n,a« n (a 4- QD) T" y fin. Qer- ey 4 A — -— QE fiue f — — ^. € E T gas exiftente y 2 !à—*—5, quibus inventis habebitur diflantia perihelii a fole $1 —-—;.t [2-87 atque fimul cognofcetur angulus IIS Z — vy, cum fit tang. ecos ) s51 ( Gede ta; V/ — Y £. Sic igitur tota Cometae orbita perfe&e erit erminata, et nihil aliud reftat, nifi vt eius inclinatio ad cticam affignetur, id quod ex qualibet alia obfer. vationbi Cometae latitudo fuerit obferuata, facile praé- ftabitur. I3. Quin etiam ex iis, quae iam funt allata, teus, quo Cometa per perihelium II tranfierit, hàud dif- f&er aflignazi poterit. Si enim tempus, quo cométa ex lo Z in perihelium peruenerit, ponatur — T, quoniam fua inuenimus aream IISZ — Zi —pp(r--ir), exi- fiie z— tang. ; p — Y f, erit per relationem inter arc- anet tempus Z2 22 ; Té Y 2c, vnde tempus iftud. quae- fita erit 22 | 2pVp(rd-ip wii Lie ocn ao Rodin ay REA Cn igitur fit p — ; ££. et f—Y E, his valoribus fubfti- tus reperietur tempus quaefitum — AIT A if) T xdv E] (fA-2ycY2c fiue cum fit fA-g—cY2090, ideoque (f -- gf 2 eve. :9 ene T SITE D, ficque tempus tranfitus per perihelium erit cognitum, fi modo per x iufta radix aequationis illius quarti gradus fuerit affümta, id quod aliae obferuationes in fubfidium VOcatae mox decident, li 5» 6. x4. "Tab, X. Fig. 3. «ec33 ) 252 ( 3e2e 6. 14. Maxime notatu digna eft aequatio, ad quam . fumus perduci, quae crat f 4- g — c Yy:0o O, propte quod f-i-g exprimic diftantiam pun&orum Z ct Z^c eft duorum locorum Cometae in fua orbita, quae €Xje vifa fibi funt oppofita, quare cum quaelibet reca pso-. lem duca vicem lineae nodorum gerere poflit, qolo tempore, quo Cometa ex vno termino huius recae gj. terum defertur, quantitas huius rectae, fiue diflantia tot bina illa loca fibi oppofita abíolute afífignari poteft, quod operae pretium crit fequenti theoremate complect, 'Theorema generale. pro motu Cometarum in orbitis parabolicis. 6. 25. Si Comcta in orbita parabolica quacunq, FIIG circa Solem, in eius foco S$ pofitum, circumferati, atque innotefcat tempus, quo Cometa ex loco quocunq: F in eius oppofitum G fuerit delatus, ex ceo Qquanti& huius rectae F G abfolute aíügnari poteft. Ex tabulis e nim folaribus excerpatur motus medius Solis illi tempoi refpondens, qui cum detur in fignis, gradibus et minuti, ponatur — N gradibus; tum fiat vt 560*: N — tota pe ripheria circuli 2 ad O, ita vt fit O —*7'T. Tum ar qt coge tem fi diftantia media Solis a Terra ponatur — e, di- ftantia illorum duorum locorum F et G, fiue reta FG femper aequabitur huic formulae: cY2 O O. Ex quo in« telligitur, cubum huius rc&ae F G. femper proportiona- lem effe quadrato temporis, quo Cometa ex F in G per- vencrit, 6. 16. ef5 ) 258 ( $e €. 16. Cum autem aequatio vlima quarti gradus, ad quam pertigimus, plures habere queat radices x, vide- amus quomodo ex iis eam, quae reuera locum habet, di- gnofcere valeamus... Hunc in finem in fubfidium voce- mus tertiam quandam obferuationem, qua tam longitudo quam latitudo cometae fuerit determinata, atque pro hoc tempore ex orbita iam cognita. quaeratur locus cometae in füa orbita, qui fit V, ita vt pro hoc tempore innotes- cat tam diftantia Cometae a Sole S V, quam angulus feu argumentum latitudinis (2 5 V. Ponatur igitur diftantia S V — « et angulus ille $2 S V — * ; 6. 17. Nunc igitur in plano eclipticae iterum fit reca S Q linea nodorum cometae, ac pro tempore ter- tiae obferuationis verfetur "Terra in 7, fitque diftantia S:— b. Sit iam verus cometae locus in z, vnde ad pla- num eclipticae demittatur perpendiculum z x ductisque redis / x 4 et 2 z, quia tam longitudinem quam latitudi- nem cometae obferuatam effe affumimus, hinc innotefcent anguli S; u et £uz. — Ac fi ducta intelligatur recta S z, etiam cognitus erit angulus $2 5 z 2 «, cum ipfa diftantiae Sz-v. Vnde fi ex puncto x ad lineam nodorum ducatur normalis x 9, iungaturque recta f z, erit f z — v fin. «et Sp-— vcof.«, hincque innotefcet ipfum punc&um;x, ideo- que et recta z x hincque porro perpendiculum z x,. ex quo defnietur inclinatio orbitae cometae, fiue angulus xpz. Simul vero patet, fi calculus hoc modo inftituatur, non folum inueniri poffe inclinationem orbitae ad eclipti- cam, fed etiam facile iudicari poffe, vtrum | determinatio- nes ex theoria deductae, fcilicet diftantia v cum angulo w, congruant cum quantitatibus per obferuationem datis nec ne. li Ss $. 18. Fig. 5 ee3$ ) ss4 ( $52 $. 18. Quod quo clarius appareat, ad fequentia momenta attendatur. 1) Ex triangulo S7, in quo dan- tur omnes anguli cum latere S rz, dabuntur latera S u et f?u. 2) Ex diftantia S z cum angulo $2 S z dabuntur re- €&ae S5 et f z, poflquam fcilicet ex loco cometae z ad lineam nodorum ducta eft perpendicularis z 5. —3) Hinc igitur conftabit interuallum £p, ideoque, duca in plano eclipticae ex punc&o 5 normali ad lineam nodorum px rectae !1& occurrente in punc&o x, ex interuallo uf ct angulo 755 definietur tam interuallum f x quam uu x, quo oblato a recta ? s remanebit interuallum 7 x. 4) Por- ro ex obferuata latitudine feu angulo xz concluditur e- leuatio cometae fupra eclipticam, fcilicet recta xz, ita vt jam determinata fint tria latera trianguli rectanguli z px; quamobrem fi deprchendatur fore reuera zp'— px^-Exz', id fignum erit iuftam radicem aequationis illius quarti gradus cííe affumtam; fin autem haec acaualitas non lo- cum inueniat, alia radix i'lius aequationis confiderari cal- culusque fimili modo inftitui debebit, Poftquam autem ve- ra radix fuerit inuenta, ita vt fit p z^ — p x'-r- x z', tum angulus zpx dabit inclinationem orbitae cometae ad eclip- ticam. Hoc igitur modo iis cafibus, quibus cuiuspiam co- metae ambos tranfitus per eclipticam obferuare licuit, eius *era orbita parabolica abfolute fine tentamine vel appro- Ximatione determinari poterit. DE ess )s.( fe DE VRIiyIS MOTVVM G;4NERIBVS. QVI IN SATELLITIBV PLANETARVM LOCVM HABEREpOSSVNT. Auctore L. EFVLE RC 6. 1. ( seam nunc quideni tabulae lunares tan vltra v- num minutum primum a veritate aberrare perhiben- tur, tamen, quantum adhuc in ipía theoria fit defideran- dum, exinde intelligi poteft, quod, fi orbitae [unaris excen- tricitas multo maior exi(teret, vel etiam fub maiore an* gulo ad eclipticam inclinaretur, cognuitio motus Lunae e- tiamnunc fere penitus lateret, ita vt in computo eclipfi- um fortaffe adhuc pluribus horis eíffemus aberraturi, Cum enim in praefenti ftatu determinatio loci Lunae circiter 50 correciones exigat, pro maiori excentricitate et in- clinatione forfitan centum correctiones vel adeo ne mille quidem fufficerent. Ob tantum autem corre&ionum nurme- rum, etiamfi fingulae effent exactae, enormes errores pla- ne cuitari non poffent, $, 2. Owen ww . ^ . p. l $T ». í H^ ) 5s eae $. 2. Multo maior y? incertitudo effet metuen- da, fi luna ad multo maior! Ciftantiam a terra fuiffet remoti, quippe quo cafu &n€S Corre&iones nnnc qui. dém adhiberi folitae nui! amplius locum inuenire pofe. fent, propterea quod hoctafu mox incertum eflet futi- rum, verum talem Lupn ad ordinem fatcllitum - potius referri conueniat, quamd planetas primarios, ficque hoc cafu omnia fübfidia, 4ibus Aftronomi ha&enus vfi funt, omni víu effent cari!3, €t nos adhuc in cra(üílima ignoratione talis mtus verfaremur. | Ex quo abunde intelligere licet, noram theoriam motuum cocleftium ad- huc maximo defe«u laborare, et, nifi infignia incrementa in Analyfi detegàtur, meliorem fucceffum nullo modo fpe- rari pofle. $. s. His igitur fummis difficultatibus perpenfis nulía alia ia patere videtur, hanc fcientiam ad maiorem perfe&ioms gradum euchendi, nifi vt plures huiusmodi motus omni ftudio perpendantur, atque tales cafus fingan- tur, qui continuo propius ad eiusmodi motus nobis ad- huc penitus abfconditos accedant. Hunc in finem vtique 4 cafibus fimplicioribus inchoari conueniet, dum fcilicet omnes circumítantiae , quibus difficultates multiplicantur, quantum fieri poteft, remoueantur. Quemadmodum e- nim in Geometria, ante quam problemata difficillima fol- wenda fufcipiuntur, plura alia fimpliciora praemitti folent, quae continuo propius ad illa perducant, ita etiam in As- tronomia fimili methodo verfari conuenict. 6. 4. Vt igitur in omnes motus, *qui in Lunam cadere poffunt, feliciori fucceffu inquiramus, primo Lu- nam Ha )isy( fe nam in ipfo plano eclipticae circumferri affüumemus, de- inde quoque ipfam terram motu vniformi circa Solem in circulo reuolui ftatuemus. — Praeterea vero, ne a&io Lunae terram afficere queat, maffam Lunae tanquam minimam fpe&abimus , vnde haec quaeftio nobis euoluenda pro- ponatur: Problema. Si, dum terra motu. aequabili in circulo. circa Solem pra- mouetur, corpori cuipium , quafi Lunae, extra terram in ipfo plamo eclipticae pofito, motus quicunque. im- primatur , | iruefligere motum , | quo. boc corpus, ex ceniro terrae. [peclatum , progredi videbitur. 6. s. Quoniam motus, qualis ex centro terrae fpectabitur, defideratur, ipfam terram tanquam quiefcen- tem et fixam in T fpecabimus, vnde in ipfo plano e- clipticae recam pariter fixam T A ducamus, a qua ad quoduis tempus elongationem noftri corporis, feu Lunae, affgnari oporteat. Elapfo igitur quocuuque tempore re- periatur Sol in $, Luna vero in L, et quia nunc Sol circa terram. vniformiter in circulo promoueri videbitur, eius diffantiam a terra T S vnitate defignabimus. ^ Praeterea vero, quia motus Solis eft vniformis, ipfe angulus A T S, quem vocemus — 0$, commodiffimam | menfuram tempo- iis nobis fuüppeditabit. Pro Luna autem ponamus eius di- ftantiam a terra T L — v, ciusque longitudinem, a dire- &ione T A computatam, feu angulum A TL — $. Tum vero ftatuamus breuitatis gratia angulum STL-QOQ-—0?-7, eritque re&a SL — Y(1—29cof.«4-- v v), quam breui- tatis. gratia defignemus per s. Praeterea ex pundis L Atia Acad. Imp. Se. Tom. IV. P. I. Kk et Tab. X Fig. 5. ed2 ) sss ( $9 et S ad recam TT A demittantur perpendicula L X et SP, et pro puncto L vocatis coordinatis T X —x et XL — y, erit x — v cof. Q ct y — v fing. D, pro Sole autem erit T P —cof.0 et S P — fin. 0. 6. 6. Nunc vt principia motus huc applicemus , primo ipfe angulus A T S — 6 nobis exprimat menfuram temporis, ita vt elementum temporis fit 70; deinde ipíam Solis maffam pariter vnitate defignemus, cuius refpectu fit maífa terrae — s: cuius valor ex vera parallaxi Solis de- ducitur 5 — ,,4., , Lunae autem maíffam, vt iam notauimus, nullam flatuamus. His pofitis Luna primo follicitabitur ad terram vi — ;—, in dire&ione L T; fecundo autem ad So- lem trahitur vi — ;;,indirecione L S. Tertio vero, quia terram in quiete fpec&amus, vires, quibus terra follicitatur, contrarie Lunae applicari oportet , vnde cum Sol terram attrahat vi — zr, in dire&ione T S, eadem vis — x Lunae applicata eft intelligenda fecundum directionem S T. 6. 72. Nunc fingulas has vires fecundum binas di- rediones coordinatarum x et y refolui oportet, vnde pri- m ma vis — ^. fecundum L T per refolutionem dabit pro dire&ione X T vim — ^? — "5? et pro directione L X "v vim — 22 — 7/759, Secundo vis fecundum L S, quae eft z-, dabit pro dire&ione 'T X vim — 94 —* — DIREDT. et pro directione XL vim — 45-» —/* fm E— nfi De- nique tertia vis — r, in directione ST agens, pracbet pro directione X T vim — cof. 6 et pro directione L X vim — fin. €; vnde colligendo tota vis in directione X T vr- gens erit ems ) 25» ( S3 moof;D ^ cof. 8 -4- v cof. b , BMC ry ron pue tota autem vis in directione L X vrgens erit ums fnere. LL fin, 9. $. 8. lam per principia motus his viribus pro- portionales effe debent accelerationes corporis L fecundum easdem dire&iones , quae cum fint 42? et $52, fumto temporis elemento Z0 conf(ítante, conftituta maffarum et temporis ratione vt fecimus, iítae accelerationes — per I-j-7 multiplicari debent, vt viribus illis euadant aequa- les, quae cum coordinatas x et y diminuere tendant, bis nae M GU motum corporis L determinantes erunt 9 ir(aietr- ddz moo a Oi volo. cof d et "digi U-— ETESTI ; u , " 2. (z--m day zc — mfmQ y. n.0— s/n. 9 — fin, A Vbi loco r- 77 tuto fcribere n r, non folum quia mafíía s tam eft parua, fcilicet 4:15, fcd etiam quia nobis maífas corporum coeleftium tam accurate noffe non con- ceditur. €. 9. Quo has aequationes propius ad vfum noa» ftrum accommodemus, notaffe iuuabit effe x cof. p 2- y fin. (D— v. et y cof. (p — x fin. Q — o. Hinc differentiando habebimus dxcof.(--4yfin.(B—4v et dycof.(p—dxfin.p-v4(; porro igitur differentiando reperietur ddxcof.Q-i-d dy fin.:D—ddv —«e d Q* et ddycot.(D—ddxfin.D— 24vd(-3-vdaq. Quodí nunc loco dd x et dd valores fupra dati fubfti- Kk2 tuans e$ ) 6o ( $9 tüantur, prodibunt fequentes nouae aequationes: e (1i24- m)(ddv—-vdq1) m cof. v v7 * T dj? * vv ! u$ ut cof. q; o (1--m)tsdvd(-i-vddqQ) — fin. » 2^, Cm RAI — H4 fin. 3. Hoc fcilicet modo non folum coordinatas x et y, fed etiam angulorum ( et 0 tam finus quam cofinus ex calcu- lo expulimus; interim tamen hi ambo anguli in angulo, 5 continentur, fiquidem eft 7; — (p — 6, 6. 10. Quoniam in his duabus formulis innume- rae diuerfae motuum fpecies continentur, videamus ante omnia, vtrum inter eas eiusmodi detur fpecies, qua Luna circa Terram vniformiter in circulo reuolui queat , nec ne? Hunc in finem ponamus diftantiam Lunae a terra , quae debet effe conftans, v — x, et cum eius celeritas an- gularis fit —? faciamus j2—n, ita vt fit 2p —n4à et dd p — o. His autem valoribus introductis ambae no- fiac aequationes cuadent: 15. cGanm(rx J-m)-—-—G-cGa- cof et 2^, o — — 61-9 -- fin. », vbi erit «4 — Y (1 —2acof.5 4- aa). $. 11... Ex fecunda aequatione ftatim patet, eam fubfiffere non poffe, niG fit vel fin. — o, vel & — 1. At vero pofterius fieri ncquit, ni(i angulus w fit conftans, prop- terea quod effe deberet cof 2 —:a. — Quia vero eft d(p-—nd$, ideoque —z0, crit 5 —(n— 1), qui angulus conítans effe nequit, nifi 7 — 1. Hic autem cafus iam in priore continetur, quo effe debet fin. 7; — o, id quod duplici modo fieri poteft, vcl fumendo 5 — o, vel 4 —1$9o. Quare cum fit 5 —(» — 1) 0, priore cafu dcbet ciTe ema )c6r( Be effe 5 — 1. Pro altero vero cafu, quo 7»; — 180*, ex valore differential! 2p — 049 fit Q—n 0 -- o, ideoque 3 —í(^n— 1) ó-L-a— 1$0*, quod fieri nequit, nifi fit » — x et & — 180", ficque duos habebimus cafus euoluendos, alterum quo 5 — o, alterum Yciv epo 7;— 180". Vtrumque ergo feorfim euoluamus. $. rs. Sit igitur primo *«4—- o, ideoque fin. 7 — o et cof. ; — 1, vnde fiet ; —x — a. Quare cum pofteriori aequationi iam eít fatisfadum, fumendo s — x prior aee quatio hanc praebet conditionem: — 7T Li Tag 7)—-uz duum quae vnicam tantum continet incognitam d, cuius ergo va- lorem hinc determinari oportet, Reducitur autem iíta ae- quatio ad hanc formam: oca (rx—ayf(x--m)—- m(x —ay 2-a' (2 —a) quae aequatio ad quinque dimenfiones exfurgit. Quia aus tem z; eft fractio quam minima, haec aequatio fubfitere nequit, nifi ipfa quantitas a fit quam minima; tum autem loco (1 —4)' fcribere licebit r, quo facto habebimus a(x-4-m)-m--2sg-90, vnde colligitur [4 «a 5 t. TM OU 1 —— oL q' — 2. ideoque ac Y 7.—Y 6. 18. Sin autem fit 4, — 180? et. cof, 4 — — 1, ob »— x et 4&4 — x -|- a prior aequatio dabit o-—-4-a(r-4-m)- — locis vbi etiam facile patct a effe debere minimum, atque adeo, Kk 3 facta ev )s62:( Bde fa&a cuolutione et neglectis terminis minimis, prorfüs vt ante prodibit à' — —7—. Hi autem valores proxime tan- tum funt veri, et aliquod difcrimen prodiret, fi approxi- mationem vlterius profequi vellemus , quod autem operae pretium non videtur, cum fuflciat itum valorem ipfius a proxime nofíe. Euolutio cafus, quo Luna motu vniformi in circulo circa terram reuolui poffit. 6. r4. ]am oftendimus, hoc fieri non poffe, nifi angulus S'TL —5-—(p-— 90 fuerit vel nullus vel. 180 £raduum. Priore igitur cafu Luma perpetuo Soli maneret coniunca, feu in perpetua coniun&ione cum Sole cernere- tur; pofteriori vero cafu perpetuo in oppofitione Solis ver- faretur, ideoque pleno lumine luceret. Vtroque ergo cafu talis Luna reuolutiones fuas fingulis annis abfolueret, et tempus menítruum exacte cum duratione anni conueniret. 6. 15. Deinde etiam vidimus, diflantiam talis Lus nae a terra effe a — Y 7. Cum igitur fit 5 — 1. erit & — ,i,, fiue haec diftantia aequabitur centcefimae parti di- ftantiae Solis a Terra. Quarc cum diflantia media verae Lunae a Terra fit quafi ;;. diftantiae Solis, talis Luna quadruplo longius a terra diftaret quam vera Luna, ideo- que in femidiamcetris terrae cius diflantia foret circiter 240 femidiametrorum terrefirium. Vnde patet, quantopere tempus pcriodicum talis Lunae a regula Kep/eri effet. di- Ícrepaturum, quoniam fecundum hanc regulam tempus pe- rio- eR» )268 ( fe riodicum talis Lunae fe habere deberet ad tempus men- flruum vt 8:1, vel talis Luna o&o menfibus fuos circui- tus abfoluere deberet, cum tamen integrum annum poftu- let, ratio autem manifefto fita eft in eo, quod vis centri- peta terrae in maioribus diflantiis continuo magis a vi So- lis diminuitur. $. 16. Quoniam porro talis Luna etiam a Sole perpetuo eandem diítantiam feruaret , dum fcilicet priori cafü, quo 7-— o0, cius diftantia a Sole perpetuo foret — 1— 4, pofteriori vero cafü, quo w-— 180", ea foret — 1-4, talis Luna ex Sole fpectata etiam circulum dee fcribere cerneretur, idque motu vniformi, quandoquidem perpetuo terrae coniuncta maneret, eodemque tempore fuas reuolutiones perageret; perpetuo enim vel in coniunc&ione inferiore, vel in fuperiore verfaretur. €. 17. Maxime notatu dignus eft ifle cafus, quo exiftere poflet corpus coelefte, quod tam circa terram , quam circa Solem circulum defcribere cerneretur, quate- nus enim circa terram in circulo reuoluitur, eatenus rite tanquam fatelles terrae fpectari poteft, quatenus autem circa Solem in circulo reuoluitur, eatenus pro planeta primario haberi poteft. Quare cum diftantia a terra fit a — ,5,, ad hanc vsque diftantiam fphaera lunaris extendenda merito videtur, ita vt omnia. corpora, quae intra hoc fpatium cir-. ca terram voluuntur, ad claffem fatellitum. merito referri queant; quae autem extra hoc fpatium curfum fuum ab- foluunt, ea ad claffem planetarum. principalium numerari debeant. $. 18. wee32 ) s64 ( $50 6. 18$. Quemadmodum autem terrae fiam fphae- ram lunarem affignauimus, ita etiam reliquis planetis fuae fphaerae fatellitiae conftitui poterunt. Formulae enim fupra datae ad planetam louem transferentur, fi diflantia me- dia Iouis a Sole vnitate defignetur, littera vero » ma(fam Youis denotet, quae cum fit circiter ;;,,, radius fphaerae fatellitiae Iouis reperietur a -Y aT Ex quo fequitur, quaecunque corpora círca louem intra hanc di(tantiam re- uoluuntur, ea inter cius fatellites e(íe numeranda, dum contra omnia, quae extra motus fuos peragunt, ín ordi- nem planetarum principalium redigi debeant. Simili modo íphaera f(atellitia Saturni ad di(tantiam ,, fuae di(tantiae a Sole extendenda reperictur, Propior applicatio fuperiorum formularum ad motus lunares. $. 19. Quoniam igitur ad genus lunare alia cor- pora referri non conuenit, mifi quorum diflantia a terra non excedit partem centefimam diftantiae Solis a Terra , in formulis noftris diftantia T L — v femper minor fpe- &ari poterit quam ,,, vnde cum ifta di(tantia fit valde exigua, valorem litterae & — V(x —29cof.» 4- v v) fatis commode vero proxime exprimere licebit; erit enim i Aà-(r—avcofw--v«v) ; vnde fi altiores ipfius € poteftates negligere velimus , erit à -cri-3vcof 5; fin autem etiam poteftlatem fecundam vv admittere vellemus, foret b—ai43cof59—ivv-r-107cof.w. Verum quia 9 femper minus cft quam ,;,, hos poftremos ter- «m2 ) 2:65 ( $99 terminos facile negligere licebit, ita vt fufficiat fumfiffe ds — 1-3 cof. *. $. 20. Hoc autem valore introducto binae aequa- tiones motum determinantes fupra $. 9. inuentae erunt; o ddv—vdq.. A. d $ — 29 v(1—38 cof. s!) et PON 2ivdO pris —- 35 v cof. « fin. «. Cum igitur fit cof. * — 1-1- 1cof. 2 * et cof. «fin. « — i fin. 2 €, hae aequationes induent fequentes formas: j. $4v0y9i9 —— e oiv (1-3 cof. 2 v) et 2. 24»49--v340.— fo fin 2 v. Hinc iam multo facilius cafus deriuari poteft, quo cor- pus circulum motu vniformi defcribit. Pofito enim v—a et 2p — 24d 0, hae aequationes dabunt — TL 15. —anm-c— 7 --ia(x--8cof.2 5) et 0 2. o0-—-—iafín.2Y, Vbi vt ante effe debet vel » —0, vel 5 — 180^, tum vero 72 —:t. Pro priore cafu autem vtrinque erit cof. 2 4 — rz, 3 ynde ifta aequatio fiet 34'— 7, ideoque a —Y 7, vt ante. 6. 21, Caeterum hinc videri poffet, etiam fümi poffe »—90o*. Quoniam enim hoc modo pofteriori ae- quationi fatisfit, tum "autem ob 2(—7nd490 eft angulus Q—50--«, ideoque w—(n—1)9--a— 90^, foret vtique a — 90^ et * — r. At vero pro priore aequa- tione habebitur cof. 2* — — r, vnde prodiret o — Tad Acla Acad. Imp. Sc. Tom, IV. P. I, L1 qui -S )s:66( G5 qvi ergo cafus manifefto locum habere nequit. Quemad- mium autem hinc cafum elicuimus, quo motus corpo-: ris fit ci'cularís, ctiam operae pretium erit in eos cafus injuircre, vbi motus tantum quam minime, feu infinite parum a circulari difcrepat, Inuefligatio cafüum, quibus motus Lunae infinite parum a circulari effet difcrepaturus. 6. 22. Quia motus proxime in circulo abfoluj dcbet, diflantia v femper quam minime a conf(tante dif- crepare debet, Ponatur igitur v — a(1 -4- «cof. 2 »), vbi & fractionem prae vnitate quam minimam denotet, ita vt eius poteflates tuto negligi queant. Ex ipfa cnim ac- quationum forma facile intelligitur, partem iftam mini- mam inuoluere debere cofinum anguli 2* — Deinde quia ctiam motus proxime debet effe vniformis, ftatuatur fi- mili modo 4? — n(x --(8cof. 25), ita vt etiam f fit fracio quam minima. Hinc cum fit 24 — 4 D — 4 6, erit $»—mn(r--(cof2*)— x, fiue 3$? —n—1, * Ob Q fracionem minimam. His pofitis erit $;— —2aa(n-—1)fn. 2» et fs —4aa(n— y cof. 2x, tum vero habebitur 446 -——s2n(in—)fin. 2. $. 25, His iam valoribus introductis pro aequa- tione poíteriore habebimus d vddd eg$ ) 267 ( st 2249 — — san (n— x)fin. 2 w et eS —— 4naa(n— x) fin. 2 ». His porro valoribus introductis aequatio pofterior erit —2an((n—1)fin. 24 — 442 (n—1) (in. 24 — — ia fin. 23, negle&a in parte dextra particula infinite parua. Hinc pee a fin. 2 diuidendo habebimus 4 n(n— 1)(8-1- 22) — 3, ideoque e d4-2a«-— vd —1)^ Vnde iam patet, quia a ct Q debent effe fractiones quam minimae, hunc cafüm locum habere nom poffe, nifi fue- rit numerus 7 íatis notabilis, hoc eít nifi Luna admodünt celeriter circa terram reuoluatur. $. 24. Expediamus nunc etiam priorem aequatio: nem, pro qua erit primo dép 22—4a0(n— x)! cof, 2, deinde vero etit : * si? —ann(x -- (a 4- 2 8) cof. 2 Porro s ho dextra habebitur 7 (x -- a cof. 24)7? — 7- (x — 2a cof 2x), ac desicic 19 (1 4- 8 cof. 24) — 1a (1 4- (a 4- 3) cof. 2 y) —ia4(1--3cof. 24), ob 4 minimum. Ex his igitur prior aequatio colligituz fore —4aa(n—1ycofow—amn(x -- (a-1- 2 Q)cof. 2v) zz 7 (x 2acof. 2,5) 4- ia (x 47 3 cof. 2 5j). Ll2 In qua e$ ) 6s ( $93 In qua aequatione duplicis generis termini occurrunt: alteri abfoluti, alteri vero per cof. 27 affe&i, quos ergo feor- fim inter fe aequari conuenit, Ex terminis igitur abfo- lutis orietur —ann--—-7---ia, fiue nn—z— 3 vnde fit —nn-F i; at alteri termini, per cof. 2» diuifi, praebent —4aa(n—1y —ann(a-- 2 Q) — 75 -- ia, fiue 48 (n — xy -- nn (a 4-2 8) 3-1 — — 552. $. 25. "Tres igitur adepti fumus conditiones, quas adimpleri oportet, ex quarum fecunda 7 — nz 4 i, ftatim deduci poteft diflantia a — Y —*" .. Quodfi por- 2nn--1 ro in tertia aequatione loco 5, fcribatur valor nm -4- i, €a crit 4&(n—iy --n2(z-I-28) 2-12 —2ann—a, fiue 4«a(n—1y--3ann-- 28nn--a--i—o. . Prima vero conditio dederat (2 -1- 2 & — up Vnde fit «n (n — B—————— j;724 qui valor in illa aequatione fubftita- tus producit 4a(n— 1) 4- —— —ann-r-a--1—0, fiue a(3nn—8n--5) — uu -i:— EI 2(8—: a 3(1— jj vnde elicitur a — —5—s(*» — 9 3 (n —1)pn (51 — 3]? hincque gm TERES 4n(a—31? (3a— 5)* Pro diflantia autem a inuenimus -— ym. 2n7-1a $. 26. epe owes roo $. 26. Hic autem probe notandum eft, hos valo- res locum habere non poffe, nifi numeri a et (3 fuerint valde exigui, vt earum quadrata et producta tuto negligi queant; vnde ftatim patet, id fieri non poffe, nifi nume- rus 4: accipiatur praegrandis. Ad hunc limitem aeftiman- dum, quoniam pofuimus v—a(x--a«cof.2w) et — n (x A- G cof. 2€); .hinc quaeramus ipfüm angulum Q, qui erit Q—n-r-(nf49cof. 2€, vbi quia eft | dw-dQ-d — (n—31)46, erit dà — 22-5 vnde fit [d co. aw — f 12991 — nim | quamobrem habebimus (po 0 -- Ei; ex qua forma facile intelligitur, dummodo pofterior pars non füperet a- liquot minuta prima, terminos neglectos tuto omitti pof- fe. At vero vnum minutum primum in partibus radii eft 0,00029, vnde fi fumamus z- roo, valor formulae t j 2(n—:1) producit tantum 0,000142, ideoque femi-minutum pri- mum. Ex quo tuto concludere licet, limitem, quem nu- merus 75 fuperare debet, fatis tuto conftitui poffe 7 — 50. Pofito autem 7 — 5o fit Bp — 0,001159, hincque 200, 497, 145 np — 5o. B —0,00059, 2 (n — 1) 93 quae fractio valet fatis exacte duo minuta prima; quam- obrem ftatui poffe videtur, quamdiu numerus z maior fü- erit quam 50, formulas inuentas tam exacte cum verita- te coníentire, vt error prorfus fentiri nequeat; contra ve- Ll15g IO, et )s:7o0 ( $8 ro, quo minor numerus s accipiatur quam 50, tum for- mulas noftras continuo magis a veritate effe aberraturas, propterea quod his cafibus terminos, quos negleximus, non amplius. omittere licet. ' 6. 23. Confideremus igitur propius cafum quo * — 5o, et quoniam. iam inuenimus effe (3 — o, oo1159, H - PA 3(*n—::) quaeramus .etiam valorem ipfius « — — s Ii düi reperitur 2 — — 0,000425. Pro diftantia autem a inueni d É SER Na ; enda, quia inuenimus a' — —7*7" — , erit asc Ug avem. ob m uw. Cum igitur fit 22 » -- 1 — 5001, erit 7; — 8,92c9056, ideoque /; — 2,97365352 , coníequenter ; — 941, ideoque a— ,. Quare cum diftantia. Solis, quam hic vnitate defignamus, contineat. fatis exacte 24000 fíemidiametros terrae, diftantia huius Lunae a terra erit quafi 25 femi- diametrorum. terrefirium, ideoque plus quam duplo minor, quam difrantia Lunae verae. Hinc autem motus talis Lu- nae per fequentes duas aequationes exprimetur: 1^. g.— a (1 — 0, 000425 cof. 2 4); 2^. (D — 500 -r- 0, 00059 fin. 24 fiue in minutis fecundis (p — 5o 0 -|- 122" fin. 2 . $. 28. "Talis igitur Luna in diftantia a Terra 25 femidiametrorum terreflrium propemodum circulum motu vniformi eflet defcriptura, eiusque tempus periodicum praecife foret pars quinquagcefima vans anni, ideoque fu- as reuolutiones perageret temporc 7^, 7". Jnterim tamen in eius motu. quaedam exiguae inacqualitates. deprehen- dentur e» )sui( $9 dentur ab elongatione huius Lunae a Sole pendentes, quas ergo, vti in vera Luna fieri folet, variationem ap- pellare liceat, quibus tam diítantia a terra, quam locus medius, in formula 506 contentus, afficietur; has ergo pro praecipuis angulis * hic ob oculos ponamus. Variatio y — Oo vel — r80"[w — 45* vel — 225? Diftantiae — 0,000425 à o Longitudo | o | 122 Variatio «| — 9o" vel — e Y — 155? vel — 515? Diftantia O0, 000425 à pu 109 Longitudo | Oo E r22* Scilicet in coniuncionibus et oppofitionibas diftantiarm mediam 4 diminui oportet particula ,2,, quae tantum fa- cit partem nonagefimam quartam femidiametri terrae, fi- ve circiter 9 milliaria Germanica; tum "vero longitudo nulla eget correctione, Contra vero in quadraturis di- ftantiam Lunae augeri oportet particula Z, longitudo au- tem pariter nulla correctione indiget, At vero. in ocanti- 9 [:] bus, vbi 4 — ie yel. sf 3c ur ; diftantia nullam cor- redionem poftulat, longitudinem vero (D priori cafu au- geri, pofteriori vero diminui oportet quantitate í22/, hoc eft 2^ 2". Multo minus autem motus talis Lunae a cit- culari vniformi foret difcrepaturus, fi eius diftantia minor eflet quam 25 femidiametrorum terrae. 6. 29. Quodíi velimus, vt talis Luna in ipfa fü- perficie terrae renoluatur, ita vt fit a — 4,45; hinc primo com. eto ) 272 ( $93 computari debet valor numeri 7, qui indicat, quot reuo- lutiones talis Luna intervallo vnius anni circa terram cf- fet pera&dura. Cum igitur inuenerimus &/ 4-i1— 4, erit nn]--i—.3.240' ideoque 5 — Y 3. 240' ex quo reperitur z — 6459. "Toties fcilicet talis Luna vno anno reuolueretur, qui numerus per 365 diuifus oftendet quoties talis Luna tempore 24 horarum circumferetur, fci- licet 17 2, quod fatis egregie conuenit cum calculo Hage- nii, Euidens autem cft valores a ct (3 hoc cafu prorfus cuancfcere. $. 50. Quanquam autem his cafibus, quibus di- ftantia a. non. vltra 25 íemidiametros terreílres | exfurgit, eius diftantia a terra exiguam variationem patitur, ita vt orbita non perfecte fit circularis, tamen tali orbitae ab Aftronomis nulla excentricitas tribui folet, propterea quod inaequalitates a folo angulo v pendent, dum effectus ex- centricitatis ab Anomalia pendet, cuius hic nullum ve- ftigium apparct. Quemadmodum ctiam diítantiae verae Lunae a terra, haud exiguam variationem paterentur, et- tiamfi cius excentricitas euaneícerct. 6. 51. Cum determinationes hactenus inuentae tanquam cxaciffimae fpecari queant, dummodo diftantia talium Lunarum non notabiliter 25 femidiametros tcrre- fires fuperet, hoc intelligi oportet, quando orbitae omni cxcentricitate carent, ita vt omnes inaequalitates tam in diflantia, quam motus celeritate a fola elongatione Solis, fiuc angulo *; pendeant, ad cuiusmodi motum producen- dum manifeflum «ft tali Lunae initio certum motum im- primi et35 ) 275 ( $93 primi debuiffe. Sin autem motus impreffus tantillo fuerit maior vel minor, inde ftatim orietur quaepiam excentri- citas, quae, dummodo füerit fatis parua , fequenti modo definiri poterit. Inueftigatio motuum, qui oriuntur, fi in cafibus praecedentibus praeter variationem etiam quam minima excentricitas acceflerit. $. 52. Quoniam pro effectu ab excentricitate oriundo certus quidam angulus in computum trahi debet, qui anomalia vocari folet, defignemus iftum angulum lit- tera 4, pro quo ponamus 24 — idÓ, quem numerum i ex ipfis formulis noítris determinari oportet, Simili igi- tur modo, quo fupra angulum * in calculum introduximus, nunc quoque angulum Z introducamus, ideoque ponamus v — a (x -4- a cof. 2 4 4—- *y cof. 2) ; 2 ES (1 4- B cof. 2 «| -3- 8 cof. 2); vbi ea fupponimus cocfficientes , et à. effe quam mi- nimos, ita vt earum combinationes tam inter fe quam cum litteris & et (9 negligi queant. Hinc igitur fimilis cal- culus inftitui debebit, vt ante, et quoniam litterae « et (8 iam funt inuentae, hic tantum habebimus has formulas: v — a (1 -- y cof. Z) et 49? —n(x -i- 8 cof. Z). d 6 Praeterea cum per litteras « et (9 omnes termini angulum 7? vel 2 *« inuoluentes iam ex aequationibus principalibus fint fublati, nunc fufficiet has aequationes confideraffe; ddv—vàqQ? m A 8 ———20-:U et 2*. aiii cnl — o. Acla Acad. Imp. S. Tom. IV. P. I. M m $. 53. t3 ) e74 ( Ste $6. 53. His obferuatis, cum fit 2 Z — i49, per dit ferentiationem nancifcemur dnd — LR IN dd — $2 . 4s — —ia'y fin. d et $22 —— iid ay cof. 2; tum vero 42? — — i nó fin.Z. Praeterea vero habebimus 2» £51 H7 y cof. 2) — (x — 2 y cof. 2). Hinc igitur pofterior aequatio induet hanc formam: —2inawyfin.óá—ianó fin. 4 —o, vnde oritur ^» — — 19. Prior autem aequatio fa&a fubfti- tutione induet hanc formam: —iia'ycof.Z—ann—anu(29-- y )cof. Z ——uZ. p i?*cof.ó-r-i4a-ria'y cof. 6; aad hinc termini abfoluti praebent, vt iam fupra inuenimus, z.—a(nna-i) reliqui vero per acof.Z diuifi dant —iiy—nn(28-r y)— 7 -riy— (22nn--1)y. Ante autem inuenimus à — — 2 y, vnde fit —ii--3nn—ann-4-i, ideoque i; —mn—i fiue ; — Y (nn—1). Ipfa autem quantitas hinc non defi- nitur, fed arbitrio noftro relinquitur ; tam paruus autem valor ipfi tribui debet, vt hypothefis confiftere poffit. 6. 34. Hic quantitas ifla ^; idem denotat, quod vulgo excentricitas vocari folet, at vero angulus 4 eít ano- malia media et tempori 0 ita proportionalis, vt fit ee —4 Vs») vbi notetur, fi effet i— », tum anomaliam Z — 5 ipfi motui et )s:5( $95 motui medio fore aequalem, ideoque lineam abfidum quie- fcere, Quia autem hinc valor ipfius 7 tantillo fit minor, fcilicet i — 2 — , motus anomaliae aliquanto tardior erit, ideoque linea abfidum aliquantillum progreditur; tum vero formulae motum determinantes erunt: v-a(r--«cof.2*«--'ycof.ó) et 42 —n(x -«- Qcof. 2 4 -41- 8 cof. 2). Ex pofteriore colligitur Q-—n-4--82 fin, 2 X — 22Y/n.$ 2 (n— 1) vbi meminiffe conuenit effe, vti fupra inuenimus 2e 2 " E s(2n—1) Ter a TY: "iiis 2(n—1)?(sn—s) t 4n (ne1)7(371—5) quibus ergo motus talis Lunae accurate exprimitur, fi mo- do fuerit » 2 50, fiue a -$ 25 femidiametrorum terre(trium, ipfa autem excentricitas ^» tam parua, vt inaequalitas inde in motu orta, fcilicet —, in angulum conuerfa, non vltra aliquot minuta prima afcendat; quod ob ; — 7 proxime euenit, fi y» non fuperet 0, 00029, qui eft valor vnius mi- nuti primi. Ex his enim formulis ad quoduis tempus tam diftantiam talis Lunae a terra, quam eius veram longitu- dinem affignare licebit. Quod autem ad ipfum motum ab- fidum attinet, quoniam tempore vnius anni 7 reuolutiones peraguntur a termino fixo, at vero, reuolutiones a linea abfidum computando, pauciores reuolutiones, fcilicet /— 2 — 5 abfoluuntur, linea abfidum interea procefüiffe cenfenda eft per 2.560^ — **, Vnde fi 1 2 50, motus annuus apo- gaei erit T 5^, 24!; quo maior autem fucrit numerus 7f, eo tardior erit ifle motus. Mm 2 6. 55. Tis X. Fig. 6, et )svz6( $2 $. 35. Vt ifte motus lineae abfidum clarius per- cipiatur, fit 'T II re&a ad apogaeum II ducta, voceturque angulus A T II — v, Luna autem verfetur in L, ita vt fit angulus A T L — ( et anomalia II T L — Z, eritque (Q— 7 --4. Cum iam fecundum motum medium fit 2p—md4d0 et dij -—id0, crit d m —(n— 1) 40, vbi 47 denotat. celeri- - tatem lineae abfidum, vnde, tempore per angulum 0 ex- preffo, linea abfidum promouebitur per angulum (7z— 1 )6, ideoque tempore vnius anni, quo fit 0 — 360^, linea ab- fidum progredietur per angulum (5 — 1 ) 560", Ex quo pa- tet, fi effet ; — », tum lineam abfidum perfecte quieícere. In cafu vero oblato vidimus effe ; — Y (nm —3)—nm —--i vnde fequitur, interuallo vnius anni apogaeum Lunae pro- moueri per angulum *—^ ficque quo maior fuerit numerus n, hoc eft, quo minor fucrit difítantia a, «eo tardiorem .fore motum apogaei; contra vero ceo celeriorem, quo mi- nor fucrit z. Hoc autem tantum intelligi debet , quando n so et a «25 femidiametrorum terreflrium; pro ma- ioribus diffantiis autem, vbi motus magis erit perturbatus, promotio lineae abfidum aliam fequetur rationem, namque pro Luna vera eít propemodum 7 — 13, vnde pro motu annuo apogaei ifta formula tantum praeberet ;;. 20^, qui ta- men reucra propemodum duplo eít maior. €. 56. In cafibus igitur hactenus tractatis, quibus f" SO et cXcentricitas ^» tam exigua vti fupponimus, dc- terminatio loci talis Lunae duas tantum corrcc&iones po- flulat, quarum altera ab angulo 2 ;; pendet, quac variatio vocatur, altera vero ab angulo Z, quo anomalia defignatur. Quando autem excentricitas ^y notabiliter maior eft quam o, ens )er( ce 6,00029, hoc eft quam ,,4,, tum infuper in calculum in- troduci neceffe eft terminos, qui oriuntur ex combinatio- ne binorum terminorum, qui iam angulos 2 € et Z con- tinent, vnde nafcuntur noui anguli, fcilicet 2 Z, atque adco porro 34, 44 etc. ac praeterea etiam anguli 2 *« 4- Z ; imo etiam porro 2 » -- 22, 2«-I- 3 etc. Ex quo in- telligitur , quo maior fuerit excentricitas y , co pluribus opus effe correcionibus ad locum talis Lunae determi- nandum. $. 37. Haec ita fe habent, quando numerus reuo- lutionum quotannis peractarum non notabiliter minor cít quam 50, fiue diflantia media non multum fuperat 25 fe- midiametros terreftres. — Confideremus nunc etiam cafus, quibus diftantia a multum fuperat hunc limitem. Ac pri- mo quidem omnem excentricitatem remoueamus , ita vt omnes inaequalitates a folo angulo w pendeant, et quo- niam tum binos pluresue huiusmodi angulos inuicem com- binari oportet, praeter angulum 2 « etiam eius multipla in:computum ingredientur, fcilicet 4 €», 6 v etc.; tum ve- ro, aucta diftantia a vel o, feries pro ,, inuenta vsque ad tertium terminum extendi debebit, vnde in noftras aequa- tiones etiam anguli 7 €t 3» ingredientur, a quibus eae correciones pendent, quae parallacticae vocari folent, quo- niam a vera diftantia Solis a Terra pendent. 6. 38. Quodfi iam praeterea excentricitas quam minima accedat, cui refpondeat anomalia Z, praeter angu- los ante memoratos infuper introducentur anguli 2*4 Z; 4^ -- £ ac fortaffe etiam 6 X -- Z; tum vero etiam ex parallaCticis natae: « -- et 5 » 4- d. Sin autem excentri- Mm $3 citas es )s78( ie citas maior euadat, vt etiam angulorum 24, $ Z, 4 2 etc. ratio haberi debeat, per combinationem infüper accedent anguli 2» -- 22; 4*«-- 22; 6*-- 22; ctc. itemque porro anguli 2* 2- 54; 4*«-—- 52; etc, quin etiam "«-F 24; 3*4 -- 2 &. Vnde patet, quo maior fuerit diftan- tia Lunae a Terra, fimulque excentricitas, numerum angu- lorum, a quibus omnes corre&iones pendent, continuo ma- gis increfcere, atque adeo tandem tam magnum euadere poffe, vt ob ipfam multitudinem determinatio fiat incerta, praeterquam. quod labor, oinnes iflas correctiones per cal» culum dcfiniendi, mox vires Analyfeos effet fuperaturus. $. 359. Haec clariora reddentur, fi tabulas pro motu verae Lunae determinando contemplemur, quae pri- mo manifcfto inuoluunt angulos 2 €, 4 *», item 3€», ex quibus coniunctis variatio Lunae emergit; deinde fecundo angulos d, 22, 3 £ et 44, qui coniunctim exhibent aequa- tionem centri; tertio vero infuper accedunt anguli per combinationem orti, fcilicet: 212-4; 4412-6; 24 E 255 4 - 25; 234-- 85; tum vero etiam w»-1- Z; 5*-- £. Hae fcilicet correctiones folae fuffcerent, fi terra circa Solem vniformiter in cir- culo reuolueretur, fimulque tota Lunae orbita in eclipti- cam incideret ; verum ob motum Solis inaequabilem, ano- malia ctiam Solis et, ob inclinationem orbitae Lunaris, etiam argumentum Latitudinis in computum ingrediuntur, quos duos nouos angulos cum fingulis praecedentium combinari oportet, Ynde tantus corre&ionum numerus originem traxit, $. 40. His perpenfis abunde intelligitur, fi dare- tur ciusmodi Luna, quae in multo maiori diftantia circa ter- en. )ag( fx terram reuolueretur, tum numerum omnium corrcétionum tantopere multiplicatum iri, vt motus plane non amplius per huiusmodi tabulas repraefentari poffet , ideoque nobis ctiamnunc foret inperfcrutabilis; quamobrem | fümmopere neceffe erit, in alium modum maxime diuerfum, huiusmo- di Lunae motum repraefentandi, iuquirere , cuius quidem adhuc ne vel minimam notionem nobis formare valemus. Hae autem difficultates eo magis increícent, quo propius Orbita talis Lunae ad limitem fphaerae lunaris fupra fixum, fcilicet a —,5, accefferit. Ac fi talis Luna cxifteret, fateri cogeremur, nos nullam prorfus ideam eius motus ne mente quidem concipere poffe, talemque motum prorfus fore inextricabilem , nifi forte noftra fcientia analytica in- fignibus incrementis fuerit locupletata. $. 41. Cum igitur, quo propius diftantia talis Lu- nae ad limitem fupra definitum a — ,;, appropinquauerit , eius motus continuo magis fiat irregularis, atque adco vi- res noftri ingenii fuperet, eo magis eft mirandum, quod in ipfo limite e — 5 contingere poffet, vt Luna motu adeo vniformi in circulo circumferretur. Verum iftum ca- fum comparari conueniet cum eiusmodi ftatu aequilibrii , qui labilis feu caducus appellari folet. Veluti quando acus cufpide infiftit: fimul ac enim quam minime ob hoc ftatu fuerit aberratus, tota machina in ruinam delabitur. Simili modo fi motus huiusmodi Lunae quam minime a motu illo regulari deficiat, fubito maxime euadet irregularis, neque vllis regulis vel tabulis comprehendi poterit. —————— — — —— I € DE pia ) 280 ( Sede DE MOTIBVS MAXIME IRREGVLARIBVS, QVI IN SYSTEMATE MVNDANO LOCVM HABERE POSSENT, VNA CVM METHODO HVIVSMODI MOTVS PER TEMPORIS SPATIVM QVANTVMVIS MAGNVM PROSEQVENDI. Auctore L. EFLERO. 6. r. n praecedente differtatione nobis licuit limites naturales definire, quos inter planetas primarios et fecundarios flabilire conuenit, ^Oftendimus enim fphaeram lunarem a centro terrae vsque ad partem centefimam diftantiae So* lis extendi, quandoquidem in hac diftantia cuenire poffet, wt corpus certo modo proicctum, tam circa terram, quam circa Solem, circulum motu vniformi defcriberet; fimilique modo fphaeram fatellitiam louis circiter ad partem deci- mam quintam eius diflantiae a Sole, Saturni autem ad partem vicefimam circiter diflantiae a Sole porrigi obfer- vauimus. Quibus limitibus conftitutis. omnia corpora, quae intra cos rcuolutiones fuas peragunt, ad claffem Sa- telli- wR32 ) 25I ( C cce tellitum, quae autem extra eos motum fuum abfoluunt, inter planetas principales referri conueniet, $.2. Quanquam autem in ipfis his limitibus mo- tus exiftere poteft maxime regularis, quippe qui in cir- culo vniformiter peragerctur: tamen hic íe maximum paradoxon obtulit, in hoc confiftens, quod fi motus vel minime ab ifta regularitate difcrepauerit: in eo ftatim ma- ximae perturbationes fe admifceant, quas nullo adhuc mo- do in Aflrronomia vfitato ad certam legem reuocare lice- at. Ncque enim his cafibus tales perturbationes more ío- lito per certas tabulas aequationum , proxime faltem, re- praefentari poterunt, quaecunque etiam talium tabularum argumenta in fübfidium vocentur; atque hae perturbatio- nes eo erunt maiores, quo propius huiusmodi motus ad ipfos limites defignatos acceflerint, $. 5. Hinc intelligitur, tria genera huiusmodi mo- tuum maxime perturbatorum conítitui debere, quorum primum ea complectatur corpora, quae totum fuum mo- tum intra limites defignatos circa planetam primarium abfoluant, quae ergo ad claffem Lunarum feu fatellitum referri oportet. Quae autem corpora extra fphaeram lu- naremr feu fatellitiam non procula limitibus motum fuum circa Solem abfoluunt, ea fine dubio planetis principalibus annumcrari debebunt, etiamfi eorum motus tantopere pere turbetur, vt nullis plane aequationibus ad certam legem reduci queat, "Terüum denique genus eiusmcdi compre- hendet corpora, quae ita oblique moucantur, vt modo ex fphaera lunari egrediantur, modo fe iterum in eam immergant; talia enim corpora alio tempore tanquam fas cia Acad, Imp. Sc. Tom. IV. P. I. Nn telli- ef32 ) 282 ( $t9e tellites, alio vero tanquam planetae principales fpe&ari debebunt, cuiusmodi motus quemadmodum faltem menti vero tantum proxime rcpraefentari queat, nequaquam ad- huc intelligere licet. Si enim talia corpora in fyftemate nofiro folari occurrerent, eorum motus nobis adhuc pe- nitus foret ignotus, ita vt eius loca in coclo nunquam fine craflífimo errore praedicere valeremus. 6. 4. His fummis difficultatibus perpenfis, quilibet facile agnofcet, quam diu in tanta ignoratione circa hu- iusmodi motus verfabimur, nos nullo modo fperare poffe, vt vnquam ad accuratam cognitionem omnium perturba- tionum, quibus vel planctae primarii, vel fatellites re vera premuntur, pertingere valeamus. — Quamdiu enim nobis impoíhbile manebit, motum alius Lunae, quae ad diftantiam vel duplo, vel triplo, vel adeo quadruplo maio- rem circa terram reuolucretur, perícrutari, nullo modo perfe&am cognitionem omnium inaequalitatum verae Lu- nae affequi poterimus. Simili modo quoniam, fi inter orbitas louis et Saturni exifteret planeta primarius, cius motus nobis plane futurus effet imperícrutabilis, hinc ma- nifefto fequitur, etiam nullam perfecam cognitionem ome nium perturbationum, quae in motu Saturni obfíeruantur, exípectari pofle. 6. s. Haec autem tanta impedimenta nullo modo fuperari poterunt, nifi maxima incrementa in fcientiam noftram analyticam inferantur. Cum enim omnes motus, quantumis fuerint perturbati, nunc quidem fine vlla diffi cultate aequationibus analyticis comprchendi qucant, totum negotium ad idoneam harum acquationum refolutionem reuo- etS ) 285 ( $59 reuoluitur, .Ad hoc antem tanta incrementa defiderantur, qualia vix adhuc, vel ne vix quidem, fperari poffe viden- tur, Interim tamen nullum eft dubium, fi talis motus reuera in mundo exifíleret, quem per longum. temporis íÍpatium nobis obfcruare licuiffet, quin Aftronomi in eius- modi artificia incidiffent, quibus veio faltem proxime ta- lem motum ad certam legem quodammodo reuocare po- tuiffent. Hanc ob rem fi fatis longam feriem talium ob- feruationum , quales eiusmodi corpus füppeditaret, ob ocu- los exponere poffemus, earum contemplatio víu certe non effet caritura, eaque fortaffe tutifimam viam nobis aperi- ret ad pleniorem cognitionem huiusmodi motuum appro- pinquandi. $. 6. Quanquam autem vix vlla ípes fupereft, aequationes analyticas, quibus tales motus continentur, perfe&e refoluendi: tamen iam pridem eiusmodi metho- dum propofui, cuius beneficio huiusmodi motus quantum- vis irregulares quafi gradatim ita profequi licet, vt fi mo- do pro certo quodam tempore talis corporis tam locum quam motum mnouerimus, inde ad quaeuis temporum iu- terualla fequentia verus locus fatis exacte determinari queat. Haec igitur methodus nobis iftum eximium vfum praeftare poteft, vt fi talis motus exifteret, longiffimam feriem obferuationum exhibere valeamus, quibus per lon- gum temporis fpatium vera loca talis corporis in coelo definiantur, quarum ergo contemplatio nos ad pleniorem cognitionem manuducere poterit. 6. 7. Vt igitur hanc viam ineamus cet impedi- menta minoris momenti remoueamus, fingamus terram in Nna2 plano "Tab. XL Fig. 1. wet ) 284 ( ScTcn plano eclipticae motu vniformi circa Solem in circulo reuolui, cuius radium vnitate exprimamus , eiusque motus commodiffimam temporis menfuram fuppeditabit. Deinde maífam Solis pariter vnitate defignemus, cuius refpecu maffa terrae fit — m, exiftente z — ,.5... lam in ipfo plano cclipticae moueatur tale corpus lunare, cuius mo- tum fcrütamur, atque ad certum quodpiam tempus, dum terram in T quiefcentem fpectamus, fit centrum Solis in S, exittente T S — 1, Luna autem, quam confideramus, in L, cuius diftantiam a Terra vocemus T L — v, ct an- gulus ATL-—(Q, pro Sole vero ponatur angulus ATS- 6, qui ergo nobis imenfuram temporis praebebit, cuius cle- mentum 4 in fequentibus aequationibus conílans eít af- fumtum. Praeterea vero ponamus breuitatis gratia angu* lum STL-OQ-é-* ct diflantam Lunae a Sole LS—u, ita vt fit u — Y(1—29cof.3 -- v €), quibus pofitis motus quaefitus i(tius Lunae L binis fe- quentibus aequationibus exprimetur: o (:--m)(ddv—vdQ$*')—— m. EXT v j Gem PE PTOET TVS cof. *j (1 v) - 7. o- (12- m) (advd(Q-iI- vdd) — 1 2^. TR 0 —— fin. 7] (1 dir LAM vti fcilicet in praccedente differtatione oftendimus. 6. $. Hae aequationes tam funt generales, vt ae- que pateant ad omnia corpora, quae tam intra fphac- ram lunarem quam extra in plano eclipticae reuoluuntur. Quoniam autem hic nobis potiffimum eft propofitum in motus lunares inquirere, ita vt diflantia v nunquam fus peret partem centefimam diftantiae Solis, fiuc 5, fatis Cx- wA ] 285 ( C tX exa&e flatuere licebit 5; — r.-- 5v cof. jj, et quoniam frac- tio 5 — 1, eft quafi euanefcens, loco r-j-m tuto fcribere licebit r, vnde binae aequationes modo traditae fequentes formas adipiícentur : n uie ——£-Liv (x J- 3 cof. 277) et II. sRuspcodqc ——3qÍin.2, ex quibus quemadmodum motum iítius Lunae gradatim profequi queamus, vt ad quoduis tempus, poftquam fuerit in L, eius locus innotefcat, hic imprimis explicemus. 6$. 9. Sumamus igitur pro certa epocha iftam Lu- nam fuiffe in L, cuius tàm diílantia a Terra TL —^«ov quam angulus A T L — ( fuerit cognitus, perinde ac lo- cus Solis, feu angulus A T S — 0, quo fimul tempus ifti- us epochae definiatur, fi quidem ponamus ipfo motus ini- tio Solem fuiffe in A, Lunam vero in I. Hinc igitur pro epocha affumta etiam datus erit angulus STLi-5—0-—(. Praeterea quia etiam motus huius Lunae in L vt coguitas Ípectatur, etiam dabitur tam eius motus, quo a Terra re- cedit, cuius celeritas eft a quameius motus angularis, cu- ius celeritas celeritas eft 2E quae binae celeritates cum fint cognitae, ponamus Ef) et cR et cum hinc fit dije ddv — dp dd .d4 d(* —— d$ dà et "dé — d$? his valoribus fub(titutis noftrae ambae aequationes erunt o dp ES P. 5—ggvo—— 2 -- iv (x 4- 3 cof. 27) o vd ERR 3; IP. 254-1 21— — 1 v fin. 2 7. Hinc iam cognofcimus mutationes momentaneas, quas lit- Nn $3 terae ec32 ) ss6 ( 8$s2e terae f et q accipiunt; erit enim $5—449v— 2 --iv(xr-- s cof. 2 5) et 44 —-— 14 —ifin.25, dum ipfarnm quantitatum c et (Q mutationes momenta« "T ncae funt 75 — p ct I: — 6. ro. Ex cognitis autem his mutationibus, feu differentialibus primis, etiam differentialia " elici po- terunt, Cum enim fit Z4 —-dQ —a 0, erit 49. — q — x, vnde diffcrentiando podes V. 22?—p 44-21-24 v 30 241-22? -1- 1 p (1 241- 8 cof. 2j) —53v(q—1)fin.25 o ud4g-—— 1 d 11,5554 eie. i5 Be -- P513— s (g —x)cof. 2 quae expreífiones reducuntur ad Prim p. 44?— —3p4q 4- 522 4-1 p (1 4- 8 cof. 2 jj) — 59v (24 — 1) fin. 25 o dd im ( s X W. 4f — e(oqq-1-1)-- 351 -- £81 ac tttm — 58 (2 4 — 1) cof. 2 *. Similique modo etiam altiora differentialia, fi opus fuerit, dcfiniri poterunt. $&. zz, His autem differentialibus inuentis, tam fi- tus quam motus noftrae Lunae, quae nunc erat in L, ad datum quoduis tempus hinc clapfum, quod fit — o, affipnari poterit, Si enim pro tempore ab initio clapfo 0-- o, quod defignemus per à, quatuor quantitates fi- tum ct motum continentes ponantur f', 4', v' et (p', eas tales et ) sy ( $3 tales fun&iones ipfius 0-1- « effe oportet, quales ipfae quantitates primitiuae 5, qg, v et (OQ erant functiones ipfius 0 tantum; vnde ex principiis calculi differentialis conftat fore : Mx dvo o?ddv Q7 d* » c* d* v D —v--uj-d- 122.0 0/ RUbacmrtconunE Ue dv Hinc igitur, fi loco 27 fcribatur 5, habebitur vi v- up PAP ARP dp pete, atque eodem modo tres reliquae. quantitates definientur: Q/—d-24-«eq-1- 85-47 21-4 974 1 etc, gp EH EE ae rper ete: d Q9? dd« [GERE auci iim iv eqs 17656 6. r2. Si has feries in infinitum extendere velle- mus, ad quoduis tempus «o, poft epocham clapfum, quan- tumuis fuerit magnum, tam fitum ouam motum Lunae affignare valeremus, quod quidem laborem infinitum exi- geret. Veium etiam manifeftum eft, has feries eo prom- tius conucrgere, quo minus accipiatur interuallum tempo- ris 9; quam ob caufam ipfi maiorem valorem tribui non conueniet, quam vt füufficiat, tres tantum, vel ad fümmum quatuor terminos illarum ferierum fumfiffe ; tum quouis ca- fu haud difficulter diuidicabitur, quovsque hoc temporis interuallum & augere liceat, ne error fenfibilis fit metuen- dus. Poftquam autem hoc modo ad tempus 0 —i- o fuerit peruentum , in eo conítituatur noua epocha, a qua pari modo vlterius per fimile tempus « progredi licebit; haec- que operationes, quoties lubuerit, repeti poterunt, Vnde perfpicuum eft, hac ratione plurima Lunae loca per fatis mag- eQiS ) 2988 ( &e$e magnum temporis interuallum affignari, ac talem obfer- vationum fcriem pro lubitu vlterius continuari poffe. $. 18. Quoniam inuefligatio altiorum differentiae lium binarum quantitatum $ et 4 fatis moleflum calculum poflulat et mox ad enormem terminorum numerum ex- crefcit: hoc labore facile fuperfedere poterimus , fi modo interuallo temporis o aliquanto minorem valorem tribua- mtus; tum autem iftas operationes pluries repetere oporte- bit. Neque vero etiam neceffe crit, in his determinationi- bus fummum rigorem obferuare, quafi talis motus in coclo rcuera exifteret ; fed quoniam noflrum inflitutum ceo tan- tum dirigitur, vt ex contemplatione fatis longae feriei hu- iusmodi obferuationum certum quendam ordinem et legem, quafi diuinando cliciamus: parum referet, vtrum loca as- fignata fummo rigore fuerint computata, fiue parumper a veritate difcrepauerint. Qui ergo talem laborem fufcipere voluerit, haud exiguum fructum in Aftronomiam attulifIe erit cenfendus, Exemplum. 6. r4. Ponamus primo initio, cum Sol verfaretur -in A, corpus noflrum lunare in ipfo plano eclipticae ad diffaniam a Terra TI-co0,cos ita normaliter ad directic- ncm T A fuiffe proic&um , vt cius motus angularis circa Terram duplo rapidior fucrit quam motus Solis, atque ex hac determinatione flatus naturalis inucftigabimus motum, quo hoc corpus deinceps eft progreffurum. In hoc igitur tempore primam epocham conflituamus, pro qua propterea habebimus fcquentes conditioncs: 1i*. e$3$ ) 289 ( $t$ 1^, Longitudinem Solis € — o, eius diftantia a Terra perpetuo manente — r. | 2^. Longitudinem Lunae Q - o, ideoque etiam »— o. 3". Diftantiam Lunae a Terra v — 0,008, ideoque ] v — 7,9030900. 4^. Quia prima motus directio in puncto I erat ad ream T A normalis, habebimus 72 — 9 — o. *. Quia motum angularem Lunae pss duplo JL UPPAN ftatuimus quam motum Solis, erit 49 — q — 2. $. r5, His iam pro prima epocha conflitutis, ex formulis noftris fupra inuentis erit: d p — " dq — 1". $$—4.0,008 — 7-31 -29; 27. 43 — 6. Pro priore antem formula erit 4 9v — 0,052 ; dcinde ob "T — iuo ,. Id6009e oS — 4 ATTISYS . erit T Z5 909,0946875 et 29 — 0,016, | vnde habebimus 4? — 0, 001x125. Simili modo pro diffe- rentialibus fecu&dis ipfarum p et q habebimus 3549-0; *z*— 0, ip( 12-8 cof. 2w; 3v(24— 1) fin. 2X — o, ideoque fiu Tum vero ob —4q(244--1) —— 18; —- — 28, 48756; $pbq — ES 9i AL EE vv SEEN ar 22:9, erit T$ fÍ2-38,9625. (t Acla Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. O o 6. 16. et32 ) sgo ( &$s$$e 6. 16. Hinc iam, poftquam elapfum fuerit tempus — ua, pro ftatu corporis lunaris habebimus fequentes de- terminationes : É.4 -oa. 2^. 9/ — 0, 008 -- u. 0 -]- u*. 0, 000562 -1- , u*. 0. 5". ('—co--224-;w.0-—20.0,595375 4^. p'—0-1- 0.0,001125 -1- iu. o, $*. d — 2. -- 9. O — a. 1, 78125. Vbi iam pro « quaeuis tempora, dummodo fatis fuerint exigua , affumere licebit. Quia autem tempora per ipfum motum. Solis, feu angulum 6$ exhibere inflituimus , per fingulos. gradus. progrediemus ,, ponendo fucce(liue à — z*; à — 2^; 9 — 3^; etc. vbi notetur tempus vni gradui re- fpondens fore — 1^, o^", 21^ ln fubfidium autem calculi apponamus valores ipfius e in partbus radii, fimulque logarithmos adiungamus. ee oun ——— — 9. |0,017452/0,034904. 0,055235610,0698$08,0,087260 10. |8,241845|8.542875|8,718966|8,843905|8,940815 19*.,6,4835690| 7,085750|' 5437932, 5687810| 7,881630 L'.|4,72553515,628625 6,156593 [6,531715 6,822445 tà ——.z*. k--4- P uer 4. Q5 —— ————— $. r7. His praemi(ls facile erit ad fingula tem- pora per 1^, 27, 3^, 4^, etc. expreffía et ab epocha elapfa ftatum noftrae Lunae affignare; vbi tantum notetur, quo- niam longitudo. P. in. gradibus ct minutis exprimi debet , formulam inuentam in genere ita effe repracfentandam ; Q' —O-r-v(gqa- im 4] H7 1. ^2 -1- etc. ) at- e632 ) 291 ( S$te2e atque in membro pofteriore factorem « in gradibus, alte- rum vero facorem vncinulis inclufüm in partibus radii exprimi debere. Quo obferuato ab ipfa epocha per fin- gulos gradus progrediamus, ac ftatum noftrae Lunae in fequenti tabula repraefentemus: igc3NA E r2 gsc4-. aycu. o] une. e. |1?, o! 25, o! 3^, o! 42, 6! 55, o! quo Oh. [3*5 29h 4.*, sol. 1u5 iof es eut d zs. e! 15,99. ben so" i195 so" Ja, $wf 9'. |o,008000/0,00800010,008001 |0,008003|0,008004. . p. [oieecoro [eocons 0,000059|0,000078|0,000098 q'. i 1,999458, 1,99783011,995117; 1,991319! 1,986457 Videtur igitur in hac epocha prima fatis tuto ad tempus «c — 5? progredi licere, neque a terminis neglectis, feu altioribus poteftatibus ipfius o vllum notabi- lem errorem effe metuendum; hanc ob rem cum primam epocham ad tempus 6 — o conftituerimus, fequentes epo- chas ad tempora 0 — 5^; 6 — 10?; etc. conítituamus. Epocha fecunda. 6. 18. Secunda igitur epocha conftituatur ad tem- pus 0—5^, pro qua ergo elementa noftra erunt: 0625*4,0! |]|o—-o,008004 |/v— 7,903307 ($-9^58! |p—0.000098 |/p—5,991226 4-4558' |q21,986437 |/4—0,297075 24— 95, 56!| Nunc pro differentialibus primis 2 et 7g quaeran- tur fequentes valores: Qo 2 gqu 193 ) :93 ( $29 'P?3 — 0,048540 0.25) —0; 258753 v coíí2$—0,011826 q49—0,031458 — 0, 046575 v -:o6, oo04002 [2 S. L—e vnde colligitur fore 2b — 0,00039t et $4 — — o, 307283. Pro differentialibus autem fecundis quaeri oportet, fequen- tes valores: 3p44-—0,001154 XP. — 09.001140 v ip — 9,000049 ! p cof. 2 X — 0, 000144 6vqg(ín 25 — 0,016417 3 v n, 2 — 0, 004142 vnde colligitur 44? — — 0,012090 et 752 — — 3, 141799. Quodíi iam iterum fucceffiue pro «e fcribamus Da d. Ht prodit fequens tabella: q(244--1)- 17,555237 4 -— 53,19022 -EP4 — 0,001782 Bin. 23— 0,006356 3(24— 1)c0f. 24 — 8, 78490 e cca e zu ua -— 5. G — 4, ug Q.|ir.5$7 ]:i3555' [155,55' |:7551i' [r9 4s' &. |6^, o! v Pia $^ o! 9^, o! 10^, ol w.|s^5sv |6,55' 8558! |o,sr' |zo* 4s' v. |0,008006, 0,008007,0,008009, 0,C0$011I [0,008013 p. |0,990103|0,000104.|0,000 102| 0,000096 [0,000086 q. 11,980598' 1,97379311,966053 1,957349'1,947691 6. 19. Si hos calculos attentius confideremus, de- pichendimus, valores ex formulis differentialibus fecundis ddp et$2 ) 293 ( $&$e dd^ et dd fA et 43. oriundos tum demum notabiles euafiffe, vbi fumfimus w — 5^, quippe qui pro « — 3?, tam parui pro- dierunt, vt tuto negligi potuerint. Quam ob rem, fi inter- valla non ,yltura o — 3^ conftituere velimus, formulas dif- - ferentiales fecundi gradus fine errore praetermittere lice- bir; vnde totus calculus mirifice contrahetur. Nam quo- niam inueítigatio iftarum formularum haud parum pro- lixum. calculum | poftulat,; hoc modo labor maguopere fu- bleuabitur; quamquam enim tum numerus epochaium mul- tiplicari dcbet, tamen totum negotium multo minori ope- ra confici poterit. €. 20. Quodfi ergo pro initio cuiuspiam epochae habeantur primo anguli 0 et (, vnde prodit « — (p— 0, vna cum quantitaübus 7, p ct 4, inde ftatim colligantur valores : P-—qqv—jJ--iv(t--8cof 2») et g P6 —ifin 24, quibus inuentis erit pro fequente Mu vbi (/20-F a. r.p GOo--a(q-2-io512) a. V — 9-4 op a- Lu. d? 9. p —p-r uie 4. Q4 — q 4-951; vnde fi flatim flatuamus «& — 3^, crit pro euolutione ha- rum formularum: ] à — 8, 718966 et 1o? — 5,437932, vnde calculum vt füpra pro epocha fequente 0 — 10? ex- pediamus, Oo 3 Epo- et ) :94 ( $99 Epocha tertia. qua 0 — 10*. 6. 21. Hic ergo ex iam inuentis erit " ( — 19^, 48!|v — ).—10^ o|p— 43 — 9548'|4— 2)] — 19^, 36! O, OO80I5 O0, 000086 s | o — 7, 903795 lp — 5,934498 |q2-0,2.9520 Hinc iam calculos in extenfo hic apponamus: Pro 2f. /|q4--0,519940 lv —7,903795 1007 — 8,482835 ]. 209 — 0, 030397 lm — 4,477121 lov — 5,807599 ]— — 8,669531 Jl 2, — 0» 046723 Ill. i9 — o, 004006 11 — 0,176091, 1o —*.9093795 ——— 119 — 8,079886 lcof. 24 — 9, 974977 Tio cof. 2$9— 8, 055963 JV.ivcof.27]— 0, 011323 Hinc fequitur d Pro H- 1p — 5, 934498 Iq — 0, 289520 lpq — 6,224018 19 — 7, 903795 ]&3 — $8, 320223 P3 — 0,020903 I.**4— 0, 041806 IL. ; fin. 27 —0,503177 hinc £7— — 0,544983 I*1-(—) 9, 736383 lo — 8,718966 *43— (—)8,455349 ILP*e ^ ergo 577 — — 0,028533 Cum nunc ob & — 5 fit dp et )995 ( $93 dnm o00997| Qc 19", 48! -- 3 (d t Lu. 2 (—) 6; 998695 | erit v (VIE f oxn9*. 26h, [i5 7785 229906 Deinde reperitur d! — 1, 919158. Praeterea erit v7! — 0,008016 et 2! — 0,000034. n7à n, X 9. E le — 7,487932 ]e2—(—)5, 717661 i (24. 436627 Mnyd hne eI 4? z —0,0000027 ergo Quocirca in fine huius epochae, pro quo eft $ — r3? rcliqua elementa ita fe habent: Qy — 25^, 36! f! — 9, 000034 «9! — 0, 008016. |4' — r1, 919158. Quarta epocha. vbi. 0 — 15*. €. 22. Elementa pro initio: huius epochae ita fe habebunt: (p — 25*, 361v — 0, 0080167 v — 3, 903957 6 — 13^, oli» — 0, 00003417 — 5, 531479 y — 1s, 2| |— 1, Me O, 285110 23] — 5^ 12! j Hinc iam calculus, vt fupra fa&um eft, euoluatur, iterum- que fümatur o — 3^, et valores pro fine huius epochae 8$ — 16^, ita fe habebunt: Q^ — 325289! E, 000085 &!— 0,008015 |g/— 1,884868. Quinta etj )s:96( $93 » Quinta epocha. | vbi 0 — 16". 6. 25. Elementa pro initio huius epochae funt fequentia: oL 33e x o,c08015|]v — . 7,903903 0€ — 16, o'lp — —0,0000851/p — (—) 5, 929419 ] —315,18'|q— — 1, 88486 pts 0, 275281 25 — 30^, 36 Hinc iam pro fine huius epochae fequentes prodierunt valores: Q cms 56, 55! 5! — —0,0002$75 o! — 0, 008006 qQ- 1,846984 Sexta epocha. vbi 06 — 19*. 6. s4. Elementa pro initio huius epochae ita fe habebant : qt—56^,553'|o — 0,008006|]v — . *7,903415 $—1:9*, o'|p — —0,000287|/ p — (—) 6, 457882 93 —17,55'|q-— Á1,846984|!q— — 0,266463 23 —35'^, 46! Hinc jam pro fine huius cpochae valores ita fe habcbunt: Q—242,33! ]|p!—-—0,000o4847 v! —0,007993|4 — 1,821005 hocque modo, quousque lubucrit, progredi licebit. $. 25. Qnae ha&enus compotauimus, in fequenti tabella coniunctim repraefentemus, quo facilius progreffio talis. motus perfpici queat, vbi diftantiam Solis a terra loco unitatis per 10000co cxprimcmus. 0 e525 ) 297 ($92 ' | o | 7 v b 65; oL 6977 o'T do BluBacO o HM Ey Ol 1:9. 89000 I9 2,0| 3559| 1,598000 39 350 MU 2,598001 59 439| 7,59| 2,59|8003 78 5,9 iint 4,588004 98 600 HER Ohest5 57 HA des I0O3 7,0 en) 6,55|8007 IO4. 8,0|15,53]| 7,53|8009 102 9,09 |17,51| 8,51|$0rr 96 10,0|19,48| 9,498013 86 II,0 [21,44 ]|IO , 44 | 8014 69 12,0|235,4O0,|II,40O,$015 51 13,0 |255,36|12, 56 |8016 34 145,0 |27539,13,27,8016,— 5 15,0|29,25|I14,25|8016|— 45 I6,0 |315»18/(15,18/g015|— $85 17,0|33» 10|16, 10 |go14|-— 152 1850,35» 2,17, 2!gorol— 220 19,0 [36553 [17,53 |8006|— 287 20,0,38543|18,43!8006/— .387 2130 40»33|19,33|7993|— 487 22,0|425»22120,22 79831— 588 25309 |44»10|21,10/|7972| — 726 2450|45557.21,57]17959| — $864 2550 47'44|22,44.|7942|— 1002 26,0 |49»30125,530|7924|— 1184 275,0]|51»15|24,15|*7901]|— 1366 2850152559|24, 59 |7876|— 1549 2950 |54543|25,43 |7847|— 1776 305,0/56,26|26,26 |7815|— 2c03 Atia Acad. Imp, Sc. Tom. IV. P. I. Pp 7 2, 000 I, 999 I, 997 I, 995 I, 991 I, 986 I; 980 I, 974 I, 966 I, 957 I, 948 I, 938 1,928 I, 919 1, 907 1, 896 I, 884. 1, 872 1, 859 I, 847 1, 834 I, 821 I, 808 I, 795 I, 783 I, 770 I, 759 I. 749 I, 738 I, 730 1, 722 Hunc eg5$ ) :98 ( $59 Hunc «calculum tantum. fpeciminis loco hic appofui- mus. Optandum autem foret, vt quis laborem fufcipe- ret, hanc fericm maiori cura multo longius vsque ad iu- tegram reuolutionem, atque adeo duas pluresue profequen- di, tum enim facilius iudicari poterit, vtrum certus ordo in progreflione horum numerorum dctegi queat, nec ne. $. 25. Quanquam in hoc exemplo diftantia v ab initio creftere incepit, tamen mox maximum valorem affequituür, a quo deinceps iterum decrefcit; ficque nul- lum ef! dubium, quin tale corpus totum fuum motum intra fphaeram lunarem fit peracturum. — Sin autem hoc corpus ab initio in lI oblique fuiffet proie&um, tum eui- dens eft, id mox e fphaera lunari cegreffurum ct in re- gionem planetarum primariorum tranfiturum fuiffe; hoc igitur modo tandem ad tantam diftantiam a terra re- mouebitur, vt ea non amplius refpectu diftantiae Solis tanquam infinite parua fpectari qucear, vnde ctiam cius diftantia a Sole quam pofuimus, — t — (1 — 2 v cof. 2 7j) non amplius per formulam 1 --ccof.;, exprimi po- tcrit, fed ad plures terminos progredi oportebit. Quin etiam fieri poterit, vt hoc corpus ad tantam diftantiam a Terra recedat, vt ifta formula non amplius per feriem conuergentem exhiberi queat, ficque neceffe erit ipfam litteram o in calculo retinere, id quod femper continget, quando corpus motum fuum extra fphaeram lunarem abfoluit. Quemadmodum igitur his cafibus motum profes qui conucniat, in fequenti problematc doceamus, Proble- et )599) Ss Problema. Sj daretur corpus coeíefle, quod mon procul extra Jbbaeram lunarem fuiffet proieium , eius moium | continuo grof-quendo. inuefligare. Solutio. 6. 24. Cum igitur tale corpus non amplius tan- quam fatelles Terrae confiderari poflet, eius motum potius ad Solem referri conueniet. Conftituto igitur centro Solis in puncto fixo S, affüumamus iterum Terram circa Solem motu vniformi in circulo A'T reuolui, cuius radium SAC-ST vnitate defignemus, atque bic iterum angu- lum AST — 60, quem auouis tempore defcripferit, vt an- te pro menfura temporis accipiamus, maneatque pariter vt ante maffa Solis — 1, cuius refpectu vocetur maffa I er- rae — m, ficque hoc cafu in formulis fupra datis has duag maflas x et zz inter fe permutari oportcbit. 6. 25. Ponamus nunc, dum Terra egrediebatur ex. pun&o A, corpus quodpiam coelefte in 1 fuide quomodo- cunque proiecum, ita vt diftantia S I non multo fuerit minor maiorue quam diftantia S A — 1; vbi tamen affu- mimus, diflaniam A I maiorem fuiffe radio fphaerae lu- naris, quem cenfcre poffumus — ;5,;tum vero, elapfo tem» pore quo terra angulum TSA-— confecerit, iftud corpus in ipfo plano eclipticae peruenerit in L, voceturque nunc eius diffantia a Sole SL-— ^, eiusque longitudo feu angulus AS L — (D, fitque vt ante breuitatis gratia angue us TSL—(0OD-— 6-35; at vero diftantiam a Terra voce- mus nunc L Tz w, ita vt fit «— Y (1—2 cof. -r- v«) Ppa vhi Tab. XI Fig. 2. et:2 ) soo ( Gee vbi cum diflantia v non multum difcrepet a diftantia — z, euolutio huius formulae in feriem non amplius locum ha- bere poterit, quippe quae non amplius foret conucrgens. Quod quo clarius appareat, haec formula ita repraefente- ? i L tal 1 v cof. v . * i tur: u— Y(x4- oo) V(1— 32222), vbi cum coefficiens —, non multum difcrepet ab r, notum e(t talem for- mulam Y(x 4-mcof 5', in qua propemodum fit 7 — r, nullo modo in eiusmodi feriem conuerti poffe, quae pro omnibus angulis 7; conuergat. €. 26. Quoniam igitur hic ipfam quantitatem 4 in calcnlo retinere coacti fumus, formulae $. 7. pro mo- tu determinando ad hunc cafum accommodabuntur, fi mo- do ambae maffae x et ws inter fe permutentur. Hinc igi- tur binae aequationes motum quacfitum definientes ita fe habebunt: |J Ge mdd» 4$) — L2, —fmcof. a (1 — 4) 7 53 P I], (03:29602540394409 — sy fin, 5 (x — 4) vbi cum fit m — ,.., loco 1 -1- 5, tuto fcribi poterit ri, Verum vt hae formulae ctiam valere queant, íi loco terrae fuübftituatur alius planeta primarius, veluti lupiter, cuius maffa multo eft maior, retinebimus multiplicatorem (xm). Calculus enim perpetuo eodem modo inftitui de- bcbit pro quouis alio planeta loco terrae affumto, fi mo- do eius motum tanquam circularem et vniformem fpecta* re vclimus, 6. 27. Quodfi iam. motum corporis L per inter- valla fatis exigua, vt ante fecimus, profequi velimus, pro cius -$3$ ) so: ( 283€ eius loco quocunque L quantitates v et (D cum angulo ? pro cognitis habebimus, vnde fimul erit 7 2(p— 0. Prae- terea vero, quia etiam motum corporis in L vt cognitum dad 153. do —— fpectamus, ftatuamus vt ante 7; — 5; et 2; — 4, vnde e- rit 4? —g — 1, quibus pofitis ambae noftrae aequationes erunt. P. (14-5) 132—944) 5—5;—mcof.j (1-5) —22 et Ir. (x 4- m) (2p q 4- *85) — smhugzux-sh 5 vnde valores binarum formularum differentialium fb et E definiri poterunt. $. 28. His autem valoribus inuentis, quoniam prae- fens tempus per angulum 6 exprimimus, poftquam hiuc clapfum fuerit tempus — o, pro tempore 6 -1- o valores eorundem elementorum, quos per v!, 0^, (y, p et 4! de- fignemus, fequenti modo determigabuntur (!—0-- 0 Q-o--uwg--iw.24, 3! — (qQ! — 9. Simili modo erit Mino s. IMMER ac denique etiam l| — d t p —p*3* et 4 — 4 LT fi modo interuallum o non nimis magnum accipiatur, cuius limitem quouis cafu facile diiudicare licebit, quem vt vidimus plerumque vsque ad 3" augere licebit, Im- primis autem hinc neceffe erit valorem ' colligere, quip- Pp3 pe et 3 ) sos ( $253 [e qui fequente interuallo erit u! — V(x —2«'cof. »/ 4- o! «!), quibus obíeruatis motum talis corporis quousque lubuerit profequi licebit; calculus autem ob formulam irrationalem w aliquanto mole(tior euadet quam fupra. Facile autem intelligitur, hinc motus maxime intricatos refultare poffe, quos nullo plane modo adhuc cognito faltem vero proxi- me ad ordinem quendam reuocare liccbit. RE- eH? 0) sos ( f8 RECHERCHES SUR LA NOUVELLE PLANETE. DECOUVERTE PAR MR. HERSCHEL ET NOMME GEORGIUM SIDUS. par di» 3/L LB X EE L, v E E? réfléchiffant für les progrés confiderables qu'a fait lAftronomie pendant ce dernier fiecle, tant par rap- port à la Théorie du mouvement des corps céleftes, que rélativement à la perfection des Inftruments dont les A- ftronomes fe fervent pour faire leurs obfervations, & la grande fcrupulofité qu'on met dans l'art d'obferver; il étoit à peine à fuppofer qu'il manquát encore aux Aftronomes la connoiffance de quelques uns des aítres qui principalement conftituent notre fyftéme Planétaire, ou qu'il reftàt à dé- couvrir quelque nouvelle Planéte. ^ Comme il y a déja presque vingt deux fiecles de paffés depuis qu' Eudoxe célebre Philofophe Grec apporta d'Egypte la connoifance des cinq Planétes principales du Syfíléme Solaire; il eft certainement trés fürprenant, que pendant un fi long e- fpace -$32 ) sc4 ( $596 fpace de temps, quelque Planéte ait pü échapper aux loins attentifs des Aftronomes. — Cependant fi l'on. confi- dere que les cinq Planétes principales découvertes par les Egyptiens & Chaldéens, ne font pas plus eloignees du Soleil, qu'elles ne fe préfentent à la vue fimple, & qu'elles fe font d'ailleurs aifément diflinguer des étoiles fixes par ]eur erandenr apparente & par leur lumiere; on doit pré- fumer que s'il exifte des Planétes dont la diftance du So- leil furpaffe celle du Saturne deux ou plufieurs fois, elles ne peuvent qu'avoir une lumiere bien foible, un Diametre fort petit & un mouvement extremement lent, en forte que leur découverte doit avoir incomparablement plus de difficulté, que celle des cinq Planétes connues iusqu'ici. 6$. 2. C'eft. donc par un bonheur extremement rare & inattendu, que Mr. Her/cbel célebre par fes nou- velles découvertes Optiques X Aftronomiques, a réuffi à découvrir au mois de Mars de lAnnée r78r, dans la conflellation des Jumeaux une nouvelle étoile à la quelle il remarquoit uu mouvement propre trés fenfible & dont toutes les apparences fembloient indiquer, qu'elle méritoit d'étre comptée parmi les Planetes. Car les Cométes étant environnées d'une nébulofité, on ne remarque rien de pareil à cette nouvelle étoile, au contraire elle eft trés bien terminée, & quelque petite qu'elle foit, on obferve pourtant que ía lumiere differc a(lez de celle des étoiles fixes. D'ailleurs le peu. de changement qu'on obferve dans fa Latitude, (par quoi il cít aifé de prouver, que linclinaifon de fon orbite à l'Ecliptique eft. fort petite) & fon mouvement qui fe fait felon les oidres des fignes, comme ecclui dcs autrcs Planétcs, fogt autant. d'indications ! pour wt52 ) so5 ( Ste pour ranger cet Aítre nouveau parmi les Planétes princi- pales du Syfléme Solaire. | C'eft au(fi par ces raifons, qu'auffi-tót que Mr. Herfcbe] eut fait part de cette im- portante découverte à la Societé Royale des Sciences de Londres, le Doc&eur. Maskelyne .& les autres Aftronomes Anglois qui avoient obfervé la nouvelle étoile, parois- foient perfuadés, qu'elle pourroit bien étre une nouvelle Planéte. | Cependant comme les apparences ne font pas affez décifives pour former une conclufion füre & infail- lible fur cette quettion, il reftoit encore à examiner, fi le mouvement de cette nouvelle étoile pourroit étre ex- pliqué par une orbite fort Fe — ou Tor circulaire. p e 6. s. Depuis que plufieurs Aftronomes fe font. occupés de ce fujget & qu'ils ont méme publié, le: réfultat. de leur recherches; j'efpere qu'il me fera d'autant plus permis de donner un Expofé des calculs que j'ai faits für cette matiere, que je fuis certainement le premier, qui ait effayé de calculer le mouvement de cet Aítre dans une orbite- circulaire, comme je pourrois le prouver par le temoignage de plufieurs A(ítronomes Anglois & Fran- coi, Mais avant que de détailler le réfultat des calculs, que j'ai faits für cette étoile pendant mon féjour à Lon- dres, d'aprés les obfervations. que Mr. Maske/yne. a eu la bonté de me communiquer, & qui ont été faites pen- dant la premiere apparition depuis le 17 de: Mars . jus- qu'au 28 de Mai 1781; j'indiquerai en peu de mots les tentatives que quelques Aftronomes & Mathématiciens de lAcadémie de Sciences de Paris, ont faites pour expliquer le mouvement de cette Planéte par une orbite Parabolique. Ada Acad. Imp. $e, Tom. IV. P.L. ^ Qq Dans - em )33o6 ( Zeb Dans unt lettre de Mr. Meffier à Mr. Mafkelyne. du. mois: de Mai ou Juin r78: il étoit marqué, que Mr. Mécbaim: avoit trouvé pour la nouvelle étoile, ces Elémeus d'uae: orbire Parabolique: .. Longitude du Noeud 2*. 28^. 39; Inclinaifon de l'orbite 14; Lieu du Périhélie 8*. o^. 19; . Diftance du Périhélie o, 459874 ; Paffage par le Périhélic 1781. 23 Mai à r* 32', temps moyeu de Paris. Ces. Elémens m'ayant été communiqués par. Mr. Mafkelyne je füs curicux de woir comment ils s'accor* deroient avec les obíervations; mais je trouvai à ma grauüde furprife ,. qu'il y avoit des obfíervations, qui s'en €loignoient ,. de plus d'un. dégré. Et réflechillant en- fuite un peu fur cet objet, je remarquai que comme l'in« clinaifon de lorbite eft extremement petite, on peut con- fidérer cette orbite, comme fi elle étoit décrite dans le plan méme de l'Ecliptique. Or il aife de, voir, que lors- «u'j| s'agit de trouver une ligne Parabolique. qui fatis» faffe à trois lieux Géocentriques d'un Af(lre, (itués dans le plan de PEcliptique, la nature du Probleme fournira deux folutions dont l'une fera la vraie & fatisíera à toutes les obfervations, mais l'autre. quoiqu'elle rempliffe les trois obíervations propofées différera confidérablement du refte des obíervations; (*) Et ayant eníuite enuepris moi-mé- me | -—————— !——————————— s o !ne c A —ÓÀ ÀÀ— 4*) C'eft auf par cette, méme eiifon, que Ia Théorie du. moave- ment dins une orbite Parabolique calculée par. Mr. le Baron Pacaffi, e trouve (i peu d'accord avec les obícrvation. | Voyez le. Ephcmtüdes de Bera pour 1 Aa. 1785. pag: 187. 5 ):8o7 ( $t$- me la recherche d'une orbite Parabolique. pour la. nouvelle - étoile, je.trouvai,que dans celle qui fatisferait. aux. ob(er- vations faites. pendant la premiere apparition, la diftance Périhélie ,devroit furpaffer au moins huit fois la di(tance du Soleil à la terre. Ayant communiqué ces réflexions à Mr. Magellan qui féjournoit alors à Paris, il eut la bonté de communiquer les réfultats de mes calculs à l'Académie des Sciences de Paris. ls fervirent à convaincre ceux des Académiciens, qui doutoient des réfultats trouvés pac le digne & refpectable 'Préfident de Saron, lequel en exa- minant quatre obfervations de ce nouvel Aflre, avoit trouvé, qu'une orbite Parabolique .dont la. diftance Périhélie égale . 14. fois celle: du Soleil à la terre , fatisferoit affez bien 'aux Obfervations faites -durant la premiere : apparition. "Dans les Flémens du (mouvement Parabolique, que Mr. - feaurat a inferés dans la Connoiffance,de.temps pout 1784, d'aprés les calculs de Mr. de Ja -P/aee , la diftance: Péri- ;.hélie. eft. fappofée 9 fois plus grande que. celle .du Soleil .à la terre. — Or .d'aprés les .obfervations | de..la premiere apparition, il étoit au(fi vraifemblable .que.la..diftance. Pé- rihélie fut fuppofée. 18 fois, que. 9 fois plus, grande, que celle. du Soleil. à.la terre, comme nous verrons bien-tót. .$..4. En faifant.ufage de. l'obfervation ,de la, nou» velle étoile. faite: par. Mr.. Herfcbe] lui méme, | 'An, 1581 le 17 de Mars à x^^. 45! Temps moyen de Greenwich &. de. celle que- Mr. Mafkelyne -a. faite à; l'Obfervatoire de ' Greenwich: le. 11 .de Mai à.8^. 28! du temps moyen, j'ai trouvé qu'une orbite -circulaire , . dont le rayon eít égal à 18,928 (fois: la.diftance . moyenne du Soleil. à la terre , fatisferoit à. ces | deux .obfervations .& que Ja. Longitude Qqas Hé- $32 )3os( $53 Héliocentrique de la nouvelle Planéte eft: E x 17811e17Mars àrc^. 4o! Temps moy. deGren. 2*.25*.30..2s!!.6 rrMai $8.28. (2.28. 9.53.45 Au moyen de ces füppofitions j'ai calculé les lieux de la nouvelle étoile pour les autres moments obfervés à Green- wich, dont les réfultats font répréfentés dant la Table qui fuit: Temps moy.dcGreenv. 178r. Mars r7. ro*. Longitude de l'étoile. obfervéc. calculée. 40'. |2'.24?.29'.46!. | 224^. 2.9.4.6" Avril |. x. 9. 58. 1-24. 49. 80. | - 24. 45. 59. " 1, 514 Differ. 9. IO. 4I. "* $965.59. 1 9i | 7.139. 2. EC, 77 E» Efe 18. 8. 0. |1- 25. 22, 14. |: 25.21.27. |— 43. May 2s. 8. 309. |-25.58.36.| - 25. 57. 48. | 48. II. 8. 28. - 26, 24. 32. | - 26. 24.. 32. 4228. 9. 02. | 7 27:39. 594| 7 27. 20- 37- | --.38- Quoique cette orbite circulaire ne différe pas trop confi dérablement' des obfervations faites pendant l'intervalle de temps entre le 17 de Mars & le 28 de Mai; cependant comme l'angle que l'aftre a décrit autour du Soleil entre les deux obfervations: employées dans le calcul, n'e(t que de 359', 26" à peu prés, il eft aifé de voir que de petits changements dans Pune ou l'autre obfervation pourroieas un peu changer r— circulaire en queftion. 6. $. Le mouvement de la nouvelle étoile étant extrémement lent, puisque dans l'hypothéfe de Porbite circulaire, il ne fait que: 4*. 20! à peu prés par an, j'ai bientór congm que pour les obíervations faites pendant la premiere apparition, c'eft à dire depuis le 1'* de Mars jus- £3 ) 309 ( $53 jusqu'au. 28 de Mai, on pourroit trouver des orbites Pa- raboliques qui fatisferoient à ces obfervations, & que mé&- me la détermination de ces orbites admettroit une- trés grande Latitude. Et ce fentiment s'eft trouvé en(uite vé- rifé par les calculs qui m'ont convaincu que pour fatis- faire aux obfervations du. 17 de Mars & »8 de Mai, on peut employer des orbites Paraboliques, dont les diftances Périhélies varient depuis 6 à 8$ fois la di(tance du Soleil à la terre, jusqu'à 20 à 22 fois, fans qu'il en réfulte des erreurs trÓp grofliéres dans les obfervations intermédiai- res. On a moyen de s'en convaincre par la Table qui donne le réfültat de mes calculs dans l'Hypothéfe de l'or- bite Parabolique: Elémens de Porbite..- Diftance "Temps du Périhélie compté Périhelie, |uie du vinee de Mars 1781. 6. "VT Se TP PTS 2867, 9606 [T irs. 344. 8 | 31OI, 7468 IC, $. 24. 49. I5 3244, 469r 12. Seine -S« 55 | 3283, 6554 14. 34 1de 16. 34. 3200, 5067 16. 4. 21. 43. 53 | 2960, 6953 Longitude de ÜAffre. Temps moyen de Grcenwich r*78r. Dift. Périh. | Avril 1. 9*. 58^ | Avr. 18. 8^. o^| May 22. 95. 6! 6, | 25,2 4*. 4.67, 3 2! | 2,2 5?.19*.294 | 27.269. 59. 1^4 3. 255 479...8 --2 20. O0 2-2. 59. 15 10. qi. «7.36 |- - 20. 43 kt 59. 23 12. e-:548.5 1-7 21.20 1-.-. 59. 33 34. v 48.237 |-- ense |-- 59.47 16. -—-148e50 -.- 22,20 |-.*. 59.53 obíervée [- - 49. 30 l -* 2, 14. | - vIEnTag Ja" ri -5 ) s1:0 ( $st- Yi eft donc prouvé par ces recherches que pour 'fatisfaire AUX obíervations faites pendant la premiere apparition, .on peut trouver une infinité d'orbites, ce qui doit d'autant moins paroitre fingulier, que l'angle décrit. par. l'A(tre aa- tour du Soleil n'eft que de 5x^ à peu prés. Quoiqu'il.ea foit, méme ces premiéres obfíervations fervent à établir un élément fort effentiel du mouvement de la nouvelle Planéte, favoir fa diftance actuelle au Soleil ; car quelle que foit l'efpece de fon orbite, on ne fauroit douter, que fa diftance au Soleil n'égale à peu prés x9 fois la di(tan- ce moycnne du Soleil à la terre, 6. 6. Ayant recu aprés mon retour à Pétersbourg plufieurs obiervations de la nouvelle Planétc, faites vers la fin de l'An 1781 & au commencement de l'An 1752 à Paris, Milan, Touloufe, Stockholm etc ; je croyois que ces obfíervations me fourniroient. un moyen .trés .propre à déterminer l'orbite circulaire plus exactement, que je n'a- vois fait & qu*lles ferviroient méme à examiner fi une Parabolique fatisfait aux; obfervations ou. non? Pour l'or- bite circulaire je commengai d'abord mes recherches par la combinaifon de l'obfervation de Mr. Her/cbel du 17 de Mars 1581 avec celle, qui a été faite à Milan par Mr, Oriani le 22 d'Octbre dc la méme année, Ces deux . Obfervations m'ont fourni une orbite circulaire dont le rayon eft égal à 18, 91724 fois la diftance moyenne du So- Aleil à la terre & les Longitudes Hcliocentriques | déduites de là font: /1781le15 Mars 10*.40! Tems moy.de Greenv.2*.23*,30^.375,7 22d'Od.17.23. $9. O.. 8. 14, 4 Afn qu'on puifle juger de l'exaditude de ces n-— i et Jsrr( € il eft bon de répréfenter comment les lienx calculés de la nouvelle Planéte, s'accordent avec les obíervés. Longitude de la Planété calculée, obferv. 2*, 24^. 29". 46'*. -- o^, - 24. 48. 6. |J- 14. 24. 8 C MPN-OWCOS 4-53. " 2$, 224 I4. 4o « S86 S. S8. J- 38. - 26. 24. 4O. — 8. -'S7." OV. I2. — 232. 3. O. 24. 22. — 1I. wb S. 56. 2. --- 19, — 13. 'Temps moyen de Greenv. 1781. Mars 17. 10". 4o. o^, Avrl 1:1. 9. 58. o 9. QNO: 45. O. IB c ow 5 o [6] Mai 2. $8. 50. IE; 8$. 28. Au" ug. 6. 8 Juill. 19. 15. ro. 56. 29. I5. 26. 55. Aoüt. 8. 15. 58. 48. £9; 24. $65 25. | | | | | | | | 2^ E89. 99. | Eapctogg etn (X4. x6 3'71. 6. l 2. 40. 45. | T8. - 2. 52. $32. 4 12. | l | | | Od&ob. 10. 10. 5. o. | - 2. 54. 29. 410; 22, 27. O-|-* 2.49. CO. MO Nov, 4. 24. 25. | - 2. 84. 46. -- 16. 14. 85. 15. | - 2. x8. 32. T34 20. 26,.28. | -- 2,^ "1... 0. 437. Decemb. 4. 35 55. | -. 1x. 35. 39. T 32. T2 X. EI. rX4e -. 0, 24. 20 To4 $782. Janv. s. -- I, I4. 12. 23. IO. 12. 29. 57. 17. | -- 1. OO. 23. 40. 25. | - 29. 33. 49 T 49. Ferr. 20. T 1.14. i NIS | - 28. 53. 58. - 28. 49. 56. 1l F1. cIu- ef22 )as:2 ( $9 Comme presque. tous les lienx calculés d'apris ees Elé- mens, fe trouvent en défaut, depuis l'obfervation du 2$. d'O&obre il en faut conclure, que le rayon de J'orbite circulaire doit encore étre un peu diminué, Et en cf- fet fi l'on compare l'obíervation du 17 de Mars ry78$r avec celle du 235 Fevrier 1752, on trouve qu'une orbite circulaire fatisfait à ces obfervations en prenant le rayon €gal à, 18, 86425 fois la diffance moyenne du Soleil à la terre, d'on l'on tire lcs Longitudes Héliocentriques pour "Temps moy. de Grcenv, le 15 Murs 1781 à rc? 4c. 2*. o5. 515. S", a5 23 Fevr. 1782 9. 55 $6.41» 41.29... Ee TD'aileurs lobfervation du 17 de Mars étant 'peut- étre fujette à caution, aufífi bien que celle du x d'A- vrl] 1781, j'ai peníé d'y fubítituer celle du .9 d'Avril 1781 & moyennant cela, j'ai trouvé que pour fatisfaire aux obíervations du 9 d'Avril 1781 & 2*5 Fevrier 1782, on peut employer une orbite circulaire, dont le rayon é« gale 18, 88612 fois la diflance moyenne du Solcil à la terre; ce qui fournit les Longitudes Héliocentriques 'Tems moy. de Greenv. 1581]e 9 d'Avril 16^, 41, 2'. o. 4.8. 19! 6 ; 17$2 25 de Fevr. 9. 55. 5. 3X. AI. Br, Wi En fin en faifant la combinaifon de l'obfervation du 9 d'Avril, avec celle de Mr. JVargentin faite à Stockholm le 21 d'Ocob. 1782 à 8^. 5o'. 25" Temps moyen de Green- wich, par la quelle il a trouvé la Longitude de la nous velle Planéte 5'. 7^. 20'. $6", on parvient à unc orbite eirculaire dont lc rayon — 18, $780 fois la diftance moy- enne ef33 ) sxs ( $55e enne du Soleil à la terre & par la quelle les Longitudes Héliocentriques font déterminées de cctte maniere: "Temps moy. de Greenv. 17811le9 d'Avril xo^. 41. $5. 2"*. 48/25! » 1782 21 d'O&ob. 8. 5o damn M. Du Comme tous ces calculs s'accordent affez bien enfemble, il feroit fuperflu d'entreprendre d'autres combinaifons des obfervations; car comme il eft prouvé par celles- ci, qu'une Orbite circulaire s'accorde à peu de chofe prés avec les Obfervations, de meme on a raifon de préfumer que .quel- que exace que foit une orbite circulaire pour. une petite portion de lPorbe de la Planéte, elle ne manquera pas de s'en éloigner à mefüre qu'on augmente la portion de lorbite décrite par la Planete. Et méme patrcequ'en. aug- mentant l'intervalle entre les obfeívations, on eft obligé de diminuer le rayon de l'orbite circulaire; cette dimi- nution femble indiquer que lorbite de la Planéte ne fau- toit étre exactement circulaire, mais qu'elle a une excen- tricité fenfible, Cependant quelle que foit cette excentricité, il e(t bien vraifemblable, que la di(lance moyenne dans la vraie orbite Elliptique décrite par la Planéte ne fur- paffera pas r9 fois la diftance moyenne du Soleil à la terre ; d'eà il faut auffi conclure, que le temps de la ré- voluion de la Planéte autour du Soleil ne fürpaífera pas $2 Ans & ro Mois, comme de l'autre coté il eft prouvé, qu'il fera certainement plus grand que 82 Ans & 1 Mois. 6.7. Quoi qu'il foit donc conftaté, auffi bien par les calculs que j'ai faits que par des recherches faites par plufieurs autres Aftronomes, qu'une orbite circulaire eft «dela Acad, Imp. Sc. Tom. IV. P. I. Rr trés et: )sr4( $9 trás bien d'accord avec les obfervations, cette preuve af- firmative n'eít pas encore affez concluante, pour demon. trer que le nouvel Afíltre ne fauroit fe mouvoir que dans une orbite à peu prés circulaire. Mais pour établir la verité de cette propofition, i1 faut commencer par prouver, qu'une orbite Paraboliqne ne fatisfait pas aux obfervations & enfuite que méme des orbites Elliptiques re fauroient étre fatisfaifantes, à moins qu'elles n'ayent une excentri- cité trés peu confidérable. Pour vérifier la premiere par- tie de cette. discuffion, j'ai cherché des orbites Parabo- liques, qui fatisfiffent aux obfervations faites le 17 de Mars 1781 et le 23 de Janv. 1752, dont la derniere a été faite à Stockholm par Mr. Jargentim. | En faifant plufieurs fuppofitions pour la diftance Perihelie, j'ai trouvé les autres Elémens tels, que Je les ai repréfentes dang cette Table: Dift. pr du Périhél.| "Temps du Périh. compte de Mars 1781 10 Miti d i 33295, 5577 I4 |5. 6. 56. Hn 3501, 5152 16 " 29. 1$. s | 3140, 4724 18 |4. 16. 53. y 9408, 9470 Enfuite j'ai examiné quels font les lieux calculés d'aprés ces Elémens, correfpondants aux obfervations faites le 28 de Mai 1781 & le 22 d'O&obre de la méme Année. "Temps et )so:r ( $e Temps moy. de Greenv. 1781. 28 Mai 9". 2»'l25 O&. x5*. 44! Longit. obferv. |2*, 27?. 15. 59! | 5*.. 2^. 49'. o" Dift. Perih. | Differ. entre le calcul & Pobferv. IO — $!. 53! --. rz. 5E 14. - | — 9. 22 — 20. 49 obi — II.41 — 28. 37 I8 | esUE3s 7 | — 85. 44. Le réfültat de cette recherche eft, que pour une diftance Périhélie 1o fois plus grande que celle du Soleil à la terre, la Longitude obíervée le $8 de Maii 1781 fur- paffe la calculée de 35'. 33" & que fi on augmente la di- ftance Périhélie cette différence ira auffi en augmentant. Mais pour l'obfervation du 22 d'O&obre la Longitude obfervée- differe de la calculée de i'. 531" & fi l'on aug- mente la diftance Périhélie cette différence fera diminuée & méme bientót la Longitude obfervée fürpaffera la calculée. Xl faut donc en conclure, que fi on vouloit rendre l'obfer- vation du 22 d'O&obre tout à fait d'accord avec le cal- cul, il faudroit qu'on augmentát un peu la diftance Péri- hélie, mais en, revange on augmentera en méme temps Perreur pour lobfervation du 28 de Mai; & au contraire fi l'on táchoit de diminuer Perreur de Pobfervation du 28 de Mai, ce qui ne peut fe faire, fans diminuer la diftance Périhélie, erreur de l'obfervation du 22 d'O&o- bre en fera confidérablement augmentée, 1l eft donc cer- tain que quelques Elémens d'une orbite Parabolique qu'on choifide, on ne fauroit éviter pour les obfervations faites depuis le 17 de Mars 1781 jusquau 23 Janvier 1782 Rr 2 des eti ) sx6 ( $£0e des erreürs de trois Minütes & comme il n'eft pas vrai- femblable que de. telles erreurs foient commifes dans les obfervations, furtout lorsqu'on en trouve pour plufieurs Jours cohfécutifs; i| eft co me femble évidemment prouvé, qu'une orbite Parabolique ne fatisfait en aucune maniere aux obí^rvaions. Afin que nos Lecteurs foient en état de juger du dégré d'exa&itude des Elémens Paraboliques pour la diftlance Périhélie ro, il vaudra la peine d'ex- pofer les lieux calculés d'aprés ces Elémerns pour quelques obfervations faites depuis le 17 Mars 17$1, jusqu'au 27 Fevr. 1782. Temps moy.de Greenv.| Longitude de la Planéte obíervée calculée 1781 Mars r7. 10^. 4c! | 25. 24^. 29!. 4.61 | a*, 24^. 2 9l. 469 Mai 28. 9, 2 27. 19. 59 27. 16. 26 Jul:19.15,11|3. 0:24 1f |$g. 0.213. $ Sept. 1.16. 1 2, 21. I2 2. 19. fi O&ob. 22, 17. 27 2. 49. O 2. 50. 8I Dec. 14. 6. o CE LUE I. Ij. d 1782 J]anv4..zx. '2. 07 Oo 25. 34 | Oo, 27. 16 23. 5.40 2. 29. 34. 29 |2. 29. 34. 29 Febr. 27. 9.55 28. 5I. $9 | 28. 49. 39 6. 8$. Pour achevet notre démonflration, il ne nous refleroit donc qu'à prouver, que des orbites Ellip- tiques, dont lExcentricité eft un peu remarquable ne Íauroient fatisfáire au mouvement de la nouvelle Planéte; mais comme pour celle des orbites Paraboliques, qui ape proche le plus des obfervations, on me trouve que des eireurs de &Q9is Minutes, dc méme on peut s'imaginer ,' que et35 ) s:i7 ( 88e que pour les orbites Elliptiques les erreurs. deviendroient encore plus petites & que par cette raifon il faut des ob- fervations de quelques années pour déterminer la vraie quantité de l'excentricité. Tout ce qu'on pefít faire en attcndant, c'eít d'exclure. fucceflivement plufieurs fortes d'Ellpfes & en continuant ce travail on ne manquera pas à la fin, de trouver la vraie & celle: qui feule remplit les obfervations. | Cependant on trouveroit moyen d'a- breger cette difcuffion trés confidérablement, en faifant ufage de la trés importante remarque de Mr. Boe cé- lebre Aftronome de Berlin, le quel en fe donnant l4 peine d'examiner plufieurs étoiles fixes du Zodiaque mars quées dans les Catalogues, remarqua qu'une de celles que le célebre Mr. Mayer de Góttingue avoit obfervées Pan 1756 dans le figne des poiffons, ne fe trouvoit plus à la place oà Mayer l'avoit vue. — En tenant compte des Elémens de la nouvelle Planéte, il paroit en verité bien vraifemblable, qu'elle fe foit trouvée le 25 de Sept. 1756 à l'endroit oàü Mayer a obfervé cette étoile, qui ne fe trouvoit pas dans les Catalogues de Flamfieed y ou d'autres alors connus; au moins la différence qu'il y a entre le calcul & l'obfervation, peut étre expliquée en partie par l'incertitude für la diftance moyenne & em partie auífi per l'équation du centre inconuc. Cette ob- fervation fervira donc aux Aftronomes pour faciliter leurs récherches fur cette Planéte, && on peut fe flatter que Pexccntricité ne- manquera pas d'en étre determinée affez exa&ement, vü que le lieu de la Planéte pour cette: ob- fervation eft éloigné du lieu pour l'obfervation faite le 17 de Mars 1781, de plus de 10c*. | Rr3 6. 9. et^ ) a:8 ( dee €. o. Jai toujours fuppofé dans mes recherches fur l'orbite de ce nouvel Aflre, qu'elle eft décrite. dans le plan de PEcliptique, croyant inutile de pouffer l'ex- acitude plus loin, vü que l'inclinaifon de l'orbite eft ex- trémement petite, — Cependant la Longitude du Nocud & linclinaifon de l'orbite étant des Elémens trés importants dans la Théorie du mouvement des A(lres; il me fera permis d'obferver, que faifant plufieurs combinaifons des obíervations & prenant une quantité moyenne entre tous les réfultats, qui en ont été deduits, j'ai trouvé la Longi- tude du Noeud 2* i2*. 5c'. 15" & linclinaifon de lor- bite 46'. 55". Mais-comme dans ces déterminations il y a pour les expreíihons de la Longitude du Noeud des differences d'un dégré & 28 Minutes & pour celles de linclinaifon de l'orbite des différences de 4/. 2$/; les va- feurs trouvées pour ces Elémens pourroient bien admettre des corrections fort fenfibles. ^ Un des moyens les plus fürs pour déterminer ces Elémens avec plus d'exa&itude fera de n'employer pour cet ufage, que des obfervations faites dans les oppofitions de la Planéte, au moins on gagnera par ce moyen cet avantage, qu'il n'y aura presque aucune incertitude à craindre par rapport aux Longitudes Héliocentriques , qui donnent l'angle décrit autour du So- lcil entre les deux obfervations. Les obfervations dont nous avons fait ufage pour déterminer la Longitude du Noecud & l'inclinaifon de l'or- bite, font celles - ci: Temp. e$ ) 3:9 ( $89 Longitude. | Latitude. 25, 24?. 29!. 46! | 11!. 48,4. 35. 3. 19 i: 55,3 Temp. moy. de Greenv. 1781 Mars 17. ro^, 4c! | Avril. 9. 10. 4I O&ob, 22. 17. 27 94. 2. 49. O |1I4. 16,0 1732 Janv. 23. 5. 49 |2. 29. 34. 29 | 15. 22. Fevr. 20. 6. 25|2. 28. 55. 12 qi.4 0... 20 28. 54. 26 Mars 16. 6. 17 28. 52. 20 Jail 93. 1x4. 5813. 4. 49. 37 |15- 25359 Aout r*. I3. 533 6. ad IZqQIG. IO Od&ob. 2. 1o. 13 epo. sg | IT IO I5. 8. 48 H2 099. QT [ET 37 21. 8. 50 74. 20. 56 [17. 44 De là on a tiré ces conclufions: Obfervat. combinées . Longit. du |Inclinaifon Noeud de l'orbite 1781. 1*7 Mars. 22 Octob. | x. 12*. 59!. 26! | 47'. 10" 1782. 25 Janv. I2. 4I142 79 D404 I3 20 Fevr. I2. 26. 53 |e- 27 21 Fevr. 12, 929. $3 145.15 1781. 9 Avril 1782 16 Mars 12. 597.,55 |t 5I 25 Juil. 9. 293. 46.4412 15 Aout 15...6.. 25 m 42 2 Ocob. 129.94 364 | ASLLTS 15 O&ob. I3. 31. 38 |48. 4O 21 O&ob. I3« 204.993. |48. 05 — lo — — Quantité Bias | x. 12. 50. 15 | 46. 35 6. 10. 4- e )sso( $9 '6&. 10. Le diamétre de la nouvelle. Planéte étant extrémement petit, ce feroit en vain que les Aítronomes ticheroient de le déterminer au moyen des mefures faites. par des Micrométres appliqués aux Inftruments. Aítrono- miques: les erreurs qu'on pourroit commettre dans. ces Obfícrvations ne manqueroient pas de les rendre infru&u- eufes, | Et fi quelque Aflronome en venoit à bout ce ferojt affurément Mr. Herfcbel lui- méme, qui ayant pro- curé à fes Tele(copes une force d'aggrandiffement, qui furpaffe de beaucoup celle que les meilleurs lInítruments Aftronomiques, foit Telefcopes, foit Lunettes Dioptriques ont pofledé iusqu'ici, pourroit auíli déterminer le plus commodémement & exac&ement de fort petites quantités & méme iusqu'à des dixiemes parties de fccondes. Ce- pendant les effais qu'il a faits à l'égard de la nouvelle Planéte, n'ont pas trop bien réuífi, car ayant trouvé le 13 de Mars 1781 que le Diamé:re étoit à peu prés 5", il croit Pavoir trouvé le 15 d'Avrii de. 5: environ. Mais fi l'on fait attention à la trés grande diítance de cette Planéte à la terre, on congoit aifement qu'ua fi grand changement dans le Diamétre ne fauroit étre ad- mifüble. Je foupgonnerois donc que la différence dans ces mefures, vient de ce que Mr. Her/cbel employoit pour la derniere obfervation un oculaire beaucoup. plus fort, que pour la premiere. — Mr. //ashel;ue ayant examiné cette. Planéte avec un Telefcope de fix pieds, qui eft à lobfervatoire de Greenwich évaluoit le Diameétre à 5^". Les Aftronomes de Milan léfiment de. 6" à 7" et Mr. Mayer de Manheim croit le pouvoir évaluer à ro". Les Íentiments des Aflronomes etant donc fi peu d'accord entre eux par rapport à ce fujJet, J'ai cru que pour fixer mon et )ser( ite mon jugement, le meilleur expedient feroit de comparer la nouvelle Planéte, avec quelque autre dont le Diameétre foit connu. Et comme il arrivoit que la Planéte fe ttou- voit l'année paffée au mois d'Avril et Mai, dans le vois finage de Mars, j'ai examiné lequel des deux Aftres pa- roitroit le plus grand & j'ai trouvé que le Diamétre de Mars furpaffoit confidérablement celui de notre Planéte. Or Mars étant dans ce temps-là dans les environs de fon Apogée, fon Diamétre ne fuürpaffoit pas 5"; d'oü je conclus que le Diamétre de la nouvelle Planéte eft cer- tainement plus petit que 5" & méme j'eftime, qu'il ne furpaffe pas 3". Suppofant donc que ce Diamétre foit effe&ivement de 5/, parceque la Planéte eft vue d'une diftance presque r9 fois plus grande que celle du Soleil à la terre; fi la Planéte étoit aufi éloignée de la terre que le Soleil, elle fe préfenteroit à nous íous un angle de 557" à peu prés; d'oà il faut conclure qu'elle fürpatfe en grandeur les autres Planétes, excepté Jupiter & Satur- ne & qu'elle eft à peu prés 56 fois plus volumineufe que la terre. Mais fi fon Diamétre étoit comme Mr. Mayer le foutient de ro" elle furpafferoit méme Saturne en grandeur & ne différeroit que fort peu de Jupiter. 6. rr. Le mouvement de cette nouvelle Planéte, de méme qu'il fert à nous convaincre, que cet Aftre doit étre compté parmi les autres Planétes du Syítéme Solaire, fait auffi en méme temps foupconner, qu'il pourroit y avoir plufieurs autres Planétes, à des diítances plus confi- dérables du Soleil. Car fi l'on confidere, que la diftance des étoiles fixes, n'a presque aucun rapport fenfible avec les dimenfions connues du Syítéme Planétaire; il n'y a rien dAcla Acad. Imp, Se. Tom, IF. P. I, $5 qui AH et$3 ) 5322 ( $t$e qui empéche d'imaginér que les limites de, ce Syftéme s'étendent encore cent fois plus loin que l'orbe de Saturne & méme au de-li fi l'on veut, Le mouvement des Co- métes qui d'aprés les fentiments des A(tronomes fe fait dans des orbites Elliptiques trés excentriques, fait pré fumer que parmi ces A(ítres il y en a, dont les Aphélies fe trouvent plufieurs centaines de fois plus cloignées du Soleil, que la terre. Mais fi l'on aimoit mieux croire que la plus grande partie des Cométes paffent dans d'au. tres Syflémes, il faut au moins avouer, que celles des Cométes dont on connoit le retour, doivent étre comptées parmi les habitans du Syfítéme Solaire. — D'abord on fait que la célebre Cométe obfervée en 1759 & dont la der- niére Période de révolution étoit de 77 Ans, eft dans fon Aphélie à peu prés 56 fois plus éloignée du Soleil que la terre, en forte que fa diftance Aphélie furpaffe presque deux fois la diflance de la nonvelle Planéte. Les Co- métes obíervées en 1552 & 166: ont des Elémens fort rcflemblans, d'oà l'on a conclu que la Cométe obfervée en 1661, cílla méme que celle de 1532, fon temps Périodique fera donc de 129 Ans, par conféquent fa di- flance Aphélie furpaffera la diftance du Soleil à la terre so fois. De méme les Elémens des Coméies obfervées en 1264, 1556 [e reflemblent trés bien, & fi.c'eít la méme Cométe qui a reparu, fon temps Périodique fera de 292 Ans & (ía diftance Aphélie à peu prés $7 fois plus grande que celle du Soleil à la terre. On voit donc que fi on vouloit borner l'étendue du notre Syílémce So- laire à une diftance cent fois feulement plus grande que cclle du Soleil à la terre, il y auroit pourtant affez de. place. depuis la Planéte dérnierement découverte jusqu'à ccs ei ) se8 ( $52 ces limites pour y placer plufieurs Planétes. — Quelque difficile que foit la découverte de ces corps céleftes, qui par la foibleffe de leur lumiere & la lenteur de leur mou- vement, échapperont peut-étre longtemps aux recher- ches des Aflronomes; cette táche. laborieufe & pénible he manquera pas pourtant de nous procurer des connois- fances plus complettes & plus étendues fur la vraie confti- tution du Syftéme Solaire. | Supplément aux recherches fur la nouvelle Planete. I. Afin de détruire tous les doutes, qui pour. roient fe préfenter par rapport aux calculs par les quels jai prouvé qu'une orbite Parabolique ne íauroit fatisfaire aux obfervations faites depuis le 17 de Mars 1781, jus- qu'au 23 de Janvier 1782, fi par hazard la premiére de ces Obfervations, qui.eft celle du 17 de Mars ne fe trouvoit pas affez exa&e; J'ai cru qu'il valoit bien la peine de faire le calcul de VPorbite Parabolique en employant des obfervations plus éloignées entre elles. | Pour cet effet a- yant cherché des orbites Paraboliques, qui fatisfont aux obfervations du 9 d'Avril 1781 & du 2r d'Oc&obre 1782 (dont la derniére a été faite à Stockholm par Mr. JFar- geniig) & fuüppofant les diftances Perihélies de ces lignes Paraboliques, fucceffivement 6,8 & xo fois plus grandes, que la diftance moyenne du Soleil à la terre, j'ai trouvé les Elémens de ces orbites déterminés de la maniere qui fuit: Ss2o Diftance 1781 Temps moy. dec Green, Avr. 9. 1o*. 41! el )524( $e 6 | 8 6*, 19*. 6!. 3!! | 6*. 8^. 15!. 2. 3037,6784|33285,0674| 352552789 10 5'. 28*. 10! 1 al Diftance Périhél, Lieu du Périhél. Temps du Périh. comptéd'Av. 1781 Enfuite ayant entrepris le calcul pour plufieurs lieux ob- fervés de la nouvelle Planéte, je les ai trouvé déterminés d'aprés ces Elémens, de cette forte: Longitude de la Planéte 6 8 Yo 25,25?. $3.19! | 2*.25?. 3. 19" obfervée 2.25". 3!.19'|2'.259. 5.19" Mai 28. 9. 2 27. 14. 52 27. I3. O 27. I2, 52 27. 19. 59 Juil. 19. 15. I1 |3. O.16. 4 (3, O. 10.29 |3. O. 6.10 |[5, 0.24. 1I Sept. 1. 16. 1 2. 12, 20 2. 4.14 I. 58.17 | 2.21.12 Oà. 22.17. 27 2, 37. 22 2. 30. 15 2. 25. 16 2.49. O 1782 Janv. 1. 7. 37 |2. 29. $4.52 |39. O9. O.533 O. 4.56 |3. 0.25.34 Fevr.27. 9. 55 28. 5.27 |2.28.20. 7 |2.28. 29. 33 aen 51. $3 Avr.27. 7. 55 29. 15. 32 29. 27.47 29. 39. 41 29. 58.34 Juil. 23.14.58 |3. 4.39.17 |3- 4-34-23 153. 4 37- 39 |» 4 49.937 Aout 13.153. 55 5.54. 5 5.55. 19 5. 56. 19 6. 4.11 Qi. 2.10. 12 | 9. 20. 23 9. 18. 49 9. 18. 32 93. 19. 58 21. $8.50 9. 20, 56 | 7. 20. 56 9. 20. 56 7. 20. 56. $. 2, e$35 ) 325 ( $52 $. 2, U eft d'abord clair que presque tous les lieux calculés de la Planéte fe trouvent en défaut & méme quelquefois d'une quantité trés confidérable comme de 30 à 4o Minutes. Depuis la premiére obfervation jusqu'à celle du 22 d'O&obre 1781 le premier Syítéme des Elémens donne les réfultats qui s'éloignent le moins des obfervations; mais enfuite depuis l'obfervation du x de Janvier 1782 jusqu'à celle du i7 d'Aout de la méme Année les réfültats trouvés d'aprés ce premier Syftéme different beaucoup plus des obfíervations, que les lieux calculés d'aprés les deux derniers. De là on conclut, que fi l'on táchoit de trouver une orbite Parabolique, la quelle en méme temps qu'elle fatisfairoit aux obfervations du 9 d'Avril 1781 & du 22 d'O&obre i782, füt aufi d'ac- cord avec quelque obfervation intermédiaire; cette orbite Parabolique ne manqueroit pas de fe trouver pour un grand nombre d'obfervations en défaut au moins de $30 Minutes. Par exemple íi l'obfervation à la quelle on fe propofe de fatisfaire eft celle du 22 d'O&obre r78r, on voit bien que cela fe fera par une orbite Parabolique dont la diftance Périhélie eft à peu prés fois 4 plus grande que celle du Soleil à la terre; mais en réflechiffant fur la maniére dont les erreurs des lieux calculés d'aprés nos trois hypothéfes procedcent, il eft éuident, que pour une diftance Périhélie 4 fois plus grande que celle du Soleil à la terre, le lieu calculé pour le moment obfervé le 27 d'Avril 1782, différera de l'obíervation presque d'un dégré entier. En revange fi l'on táchoit de fatis- faire à cette obfervation du 27 d'Avril 1782, en méme temps qu'aux celles du 9 d'Avril 1381 & du 2x d'O- Gobre 1782, ce qui s'effe&ueroit par un orbite Parabo- $s3 lique wi )as:6 ( ie lique dont la diftance Périhélie eft 15 à 14 fois plus gran- de que celle du Soleil à la terre, il cít aiíé de s'apper- ccvoir qu'il en refulteroit pour l'obfervation du 22 d'Oco- bre 1781 des erreurs de 5o Minutes à peu prés. ll eft donc inconteflablement prouvé qu'une orbite Parabolique ne fauroit abfolument fatisfai.e & méme les erreurs deve- nant fi confidérables , on a raifon de préfumer, que des Ellipfes dont les Excentricités font tant foit peu confidé- rables fe trouveront tout à fait exclues, 6$. 5. Pour mieux conftater la Longitude du Noeud de la nouvelle Planéte & Pinclinaifon de fon orbite, j'ai combiné JPobfervation de cet aflre faite par Mr. Mayer à Góttingue le 25 de Sept. 1756 avec quelques unes de celles qui ont été faites l'Année paffée à Stockholm par Mr. WP'argentim, Vintervalle de temps entre ces obfervas tions étant fi confidérable, il eft évident que quand mé- me on fe feroit trompé un peu par rapport aux Longi- tudes Héliocentriques de la Planéte, cela ne changeroit que fort peu dans les Elémens que Je me fuis propofc de déterminer. Pour cet cffet yai confervé lobfervation de Mr. Mayer réduite à fon lieu Héliocentrique, telle que Mr. Bode Ya préfenté dans les Ephemerides de Berlin pour 1785: favoirla Longitude Héliocentrique r1. 1 7?. 29*. 21^ & la Latitude Auftrale 44^. 45^. — Or on trouve par la combinaifon de cette obfervation avec celle que Mr. JÉar- gein a faite à Stockholm le 17 d'Aoüt 17825, la Longi- tude du Noeud »*. 11? 55^, 25^ ^ & V'inclinaifon de l'orbi- te 44^. 58^; & par la combinaifon de l'obfervation de Mr. Mayer avec celle que Mr, JFargentin a faite le 13 d'Ocobre 17$2: la Longitude du Nocud 2*. 11*, 424, 55^ & we ) 327 ( Tor & linclinaifon de l'orbite 44^. 59". D'oü il eft clair fur- tbut par rapport au dernier élément, que quelques pe- tits changements dans les obfervations, avec lesquelles, celle de Mayer eít combinée, ne cauferont que de pe- tites variations dans les réfultats. $. 4. Dailleurs fi l'on füppofe qu'il y a une cor- re&ion de 1i0o/ à ajouter pour l'angle que la Planéte a décrit autour du Soleil entre les deux obfervations, il en réfültera une correction négative de 21^ pour la Longitude du Noeud & aufíli une corre&ion negative feulement d'une feconde pour l'inclinaifon de l'orbite. On voit donc que la détermination des deux Elémens en queftion, au moyen de la combinaifon de Pobíervation de Mr. Mayer avec quelqu'une de celles, qui ont été faites depuis la découverte de Mr. Herfcbel, eft presque indépendante de toute Théorie; car ifuppofant méme (ce qui ne fauroit étre) que felon la vraie "Théorie la Longitude Héliocentrique pour le 25 de Septembre 1756 düt étre diminuée d'un dégré entier, ce changement produiroit pour l'angle entre (es deux lieux Héliocentri- ques une correcion additive d'un dégré & de là il ne réfulteroit pour la Longitude du Noeud qu'une correction de 5^. 50^ à peu prés à fouftraire & pour l'inclinaifon de lorbite une correction de 6^ auffi négative. ^ Quoique la Latitude Héliocentrique obfervée le 25 Sept. x7$2 foit fort peu affectée par les défauts de la Théorie, au moins en tant qu'on fuppofe que l'orbite eft une Ellipfe fort ap- prochante du cercle, cependant les fautes commifes dans là Latitude Géocentrique obfervée font d'une affés grande conféquence. Car fuüppofant que la correction de la Lati- tude foit de 30^ & additive, la Longitude du Noeud fe trouve- Ta et32 ) sss ( $8994 ra par la premiére combinaifon 2*. r2*. rof. 6" & ['in- clinaifon de l'orbite 45^. 27^. En tout cas, l'obfervation du 25 de Sept. 1756 eít certainement fort propre pour déterminer l'inclinaifon de l'orbite de la Planete, ayant €té faite lorsque cet Aftre fe trouvoit vers la limite de fa plus grande Latitude auftrale. 6. 5. Les obfervations des oppofitions des Plané- tes étant à plufieurs égards trés intéreffantes puisqu'elles donnent les Longitudes Héliocentriques fans aucune con- fidéraion de la Théorie; j'ai cherché loppofition de la Planéte avec le Soleil dans le mois de Decembre 1781, par les obfervations , qui ont été faites par Mr. Mecbain à Paris le 20 & 22 Decembre & par Mr. Mayer à Man- heim le 2z & 23 du méme mois. Voici les obfervae tions: Temps moy. de Greenv. Longitude de la Planéte, 1781. Déc. 20. 85.49'. 14^ ^- 3'.0*.56'. 1", 21.11. 26. 38 "50. 2B. E SEUBD AUEEL C 9$. UG ESI" S 23.11. I8. 20 * 3.0.47. 52. Ayant enfuite calculé les lieux du Soleil pour ces quatre moments du temps & les diflances du Soleil à la terre , fi l'on fuppofé la diftance de la Planéte au Soleil 18,886, on trouvera les lieux Héliocentriques de la Planéte dé- terminés en forte: 1781. Déc, 20. &'.49'.14" .- 5$. 0*. 51^. 25", 21. II. 26. 38 » $9. O. $2. 14. SES ADEM CC Rs $3. 6258€ 23. 1I. IB. 20 -— 3* [m 53- 35. Donc R35 ) $59 ( C eo«e Donc pour le 2r Dec. rs? temps moyen de Greenr. on aura la Longitude Héliocentrique: Par la F'*& Obfervation 5*. o*. 52/. 25^, II^. Obfervation 3. o. 52. 26. III". Obfervation 3. o. 52. 44. IV"*. Obfervation 3. O. 52. 21. La quantité moyenne eft 3^. 0o*. 52/, 29!, mais comme le réfultat pour la troifiéme- obfervation paroit un peu douteux, en donnant l'exclufion à ce réfultat, nous aurons la Longitude Héliocentrique pour le 2x Décembre à rs*. "'emps moyen de Greenv. 3:. O^. 52!. 24". Par confé- quent le moment de l'oppofition du Soleil & de la Pla- néte fera le 2x Decembre :781 à r$^. 5'/. temps moyen de Greenwich, la Longitude du Soleil étant alors 95. o*. 52^. 24". Or la Latitude Géocentrique ayant été obfer- vée 15^. 5^ à peu prés, il s'enfuivra, la Latitude Hélio- centrique 14/. 27^. — Quoique la confidération de la 'Théo- rie de la Planéte, entre dans cette détermination du temps de la conjonction; chacun voit pourtant quil y eft pour fi eu de chofe, qu'il ne peut s'en fuivre aucune erreur fenfible dans le réfultat. D'ailleurs l'accord furprenant des obfervations du 20, 21 & 25 de Décembre, fournit une preuve inconteftable, que la Longitude de la Planéte trouvée pour le temps de l'oppofition e(t fort exacte. — Ada Acad. Imp. Sc. Tom, IF. P. I, np Nd SO- egi? ) 530 ( $&2 SOLVTIONES QVORVNDAM PROBLEMATVM ASTRONOMICORVM.; AD DOCTRINAM DE MOTV PLANETARVM EE COMETARVM IN SECTIONIBVS CONICIS PERTINENTIVM. Auctore: 4A 3. LEXELEL. $. r. m im inueftigandis Elementis orbitae pro Cometm - Anno 1770 obferuato, occupatus e(Tem, in. plura in- cidi Problemata Aftronomica, quorum. folutiones. pro ne- gotio. meo. perficiendo, mihi eruere necefle erat; inter quae,. nonnulla equidem. non. prorfus. obuia effe,. mihi vifa funt, vnde. confido. omnino: operae pretium fore, vt eorum fo- lutiones accurate: exponam. — Quac autem. heic tradenda funt Problemata, fingula in eo verfantur,. vt fi cognita: fücrint bina. loca. Planetae. vel Cometae Heliocentrica, tum que praeterea: detur. quodpiam. Elementorum: ad eius orbi- tam pertinentium; vtpote vcl axis maior ,. vel parameter ,. vel excentricitas,. ipfa orbita horum datorum ope dcter* minetur. ln principiis Mathematicis Philofophiae. Nat. H- luítris; ec22 j ssr ( $t$e luftris Newtoni, Lib. Y . Se&. IV., folutiones quidem tra- duntur variorum Problematum ad hoc genus pertinentium; verum quum omnes iftae Solutiones Geometricae fint et per conftructiones perficiantur; facile intelligitur, eas no- firo inflituto non accommodatas effe, quippe quum hic fo- lutiones praeprimis defiderentur analyticae et quorum ape plicatio ad cafus datos motuum Cometarum vel Planeta- rum per calculum numcericum perfici qucat. Problema 1. &. e. Si dentur bina lora Planetae vel Cometae Heliocentrica et parameter orbitae in qua bic Planeta wel Cometa mouetur, reliqua Elementa eiusdem orbitae inuenire, $. 5. Ponamus axem orbitae .À M N a Planeta de- fcriptae effe A B, Perihelio in A exiftente, «& bina loca Planetae cognita effe M. atque IN, ita vt pro datis haberi queant diftantiae F M, FN et angulus M'F N. $i igitur indigitentur F M per c, F N per e! et anguli AFM, AFN per D et QY refpectiue, problematis noftri folutio eo re- ducitur, vt valores horum angulorum (p et (Y inueftigen- tur; quippe quibus inuentis, ex dato fimul parametro, ex- centricitas nullo negotio eruetur. JDicatur itaque femipa- rameter orbitae b, excentricitas autem e, et quum fit € (x 4- ecof. D) — 2 et c^ (x 4- ecof. Q') — 5, fiet Ib d2ERIB ; , dece 70 e cof, Q/ — — — 1, hincque cf. c (b—c) . co. d* — e(b—e) ? ideoque cof. Q&' — cof. D e(b— c^) —c'(b — c) cof. Q' -- cof. (b — c(5 — c j4- c' (5b— c)? fcu Tang. 1 (Q — p) Tang. : (8 4-0) — Poi "Tte quae Tab. XI. Fig 3. etj )ssr( i9 quae aequalitas etiam fequentibus modis exprimi poteft: Tang. 1 (Q/ — Q) Tang. i ([/ 2- C) bib) s c eeb o "Ts (5 c Tc ) —2 c pos j Cognito igitur angulo M F N — LQ-—oO, ipe formularum traditarum. inueniri poteft : (QJ -i- D), hincque elicietur AFM—Ózci(Qt--0)-;:(t-—4) et AFN-—;i(Qt-4-0)-4-:(0'—0), b—c b — c tum vero erit € — L5 — z5-y. Ex quibus denique re- liqua orbitae Elementa fponte innotefcunt; erit enim di- * is ov b - * * 4 pe P b ftantia Perihelii — ve diflantia Aphelii — .—— et fe- miaxis maior — 6. 4. Si quis loco angulorum (et QJ, huius Pro- blematis folutionem , per inueftigationem excentricitatis e adgredi vellet, folutio quidem non adeo concinna prodiret, interim tamen forfan haud praeter rem crit, eiusdem heic meminiffe. Quum itaque fit MFEN—0—0Dp-—23, vnde cof. Q — cof. 2 à cof, (p — fin. 2 à fin. D, tumque habeatur cof, Q — t—*; cof. (p — —— 2 fuffe&is pro cof. ^, cof. (j, eorum : valoribil crit bM L5—*. cof 20— fin. (fin. 28 et ieu: —— e —b fin. v7.7: hinc fit i DA din eL 8 :(b—ci(b—ev)cf.:b (b—c» - TÉ 4" cot. 20 e 60, jin. 309. — Ts € e? Jin. 287 idco- et ) 333 ( Ge ideoque e. —- 2(5—c)(b-—e) )6f 28... (b—cty — c? fin.3 3? C c^ fin, 2 0? c^? fin. 2863 " Exprimatur breuitatis gratia — per m et L per z, fict- que ge [rtc Rem x)enot) )eof. 25 (n—1:) e T fin.29? fin. 29? -l- fs. 2952 ? fiue € fin2à!—(m—z1y—2(m—zx)(n—21)cof.28 BiU qst rmn x) ra) ics 60h 9] —(m-—nY*-- 4(m—x)(n—1)fin.0*, hinc € fin. 20* — (m —sy (x 4 enm in) : vnde fi ftatuatur m E AURAUs ect 'anos 0, fiet (m —n) TEM Er T —n efin20—"— eté—udt o .dv L— etb— e $. 4. Quum fit zT — EU ULUA, fi ponatur (p — 29 31- D, erit cof. — cot: 28 cof. (D— fin. 2 8 fin. (b, hinc cof. ^ — c(b —c') — S md ecu. Cof 29-—fin 29.Tang., ex qua aequatione, angulus (D erui poteft, id quod coms modiífime fiet, fi ponatur c( b — c) wi c'(b—c) fin, 21$ COt. SI tum enim erit Tang. (D — cot. 2 9 — cot. 2 €, ideoque n INS (1»—29) Tang. o — fin. 2 «Jin. 2 à ? verum tamen formula pro Tang.;(Q-1-() fupra allata commodior omnino effe videtur. Wed i 6. 5. et35 )os4( $5 Eu Quo mclius applicatio formularum füpra tra- ditarum patefcat, exemplo quodam eandem illuftrare € re erit, Ponamus itaque efle: € — 0, 6798945 ; €! — 1, 0864448; Lb-0,0808000 et (— ( — 89^. 43!. 8", et calulus pro formulis 6. 2. allatis erit: L2—0,3010500 L.5—0,0808000 L. j- — 9, 2202300 L.c — 9, 324416 L. ;/ — 0,03560077 L. E: -0,0886793 L. (4 —c)— 9, 6091143 L. D. — 9, 7322318 9, $768765 L.cot. 1 (D/.—)— 0, 0021398 L. tg.;(C/ 4- 0)7 9, 8799073 L.b5 —0,0808000 L.; — 0,1675584. L. 5*— 0, 2483584 P.—1270,7715790 L. 5 — 0,0808000 L.L—9,9639923 L. 5 — 0,0447923 1 —0,1086445 oO a" 4! — 1,086444$ € — 0, 6798945 €! —6€ — 0, 4065503 e! t € — 1, 7663393 20^ 5 1, 2265931 D z:f 4-7 —:7*—0,5398062 Q 4-0) zs Tt is!^gg (—p)—44. 51. 34, Q — 81.58.46, 8 Q—-— 74421, 7 L. 5.—1 — 9,88753753 L. cof. d — 9, 9960257 L.e— 9, 8915496. e — 0, 77865 L.(5.—1)— 9,0360078 L. cof. ! — 9, 1446578 L.e— 9, 89153599 Hinc eti )385( $8 Hinc quum bini valores pro e inuenti , tam prope inter fc conueniant,. id indicio eft calculum bene effe inftitutum. $. 6. Si ope formulae 6. 3. allatae angulus (D ín- ueftigandus fit, calculus hunc in. modum. procedetz L.(2.—1)—9,0360078 [ LF—29,88753;0 L(E—1)—9,8873758 WCHEU L.fin. 2à — i: L.cot. 2*4— 9, 1486577 » fadi yasiiet L.F —L.(5-— 1)in.28— 9, 8873701 gw— 8172:59'.5',3 L.íin. 20 — 9, 9999948 250 —89.48.8, O L.fin. 2:4— 9, 9957345 NU -rw-—B 42 9,9957293 L.fin. (208—234) — 9, 1289665 (p — 7*. 44*. 21^, & Ebdg L.cot. — 9o, 8667630 vbi valor ipfius (D nom nifi decima parte fcrupuli fecundi a prius inuento differt. Denique in fubfidium vocata for- mula pro e $. 4. allata, inuenietur angulus 0— 5 1^. 5 8^. 19^, 7 —n1-0,6629255, hincque Log.e — 9, 8913498 , qui valor cum. fupra: inuentis admodum. bene. confentit.. Problema 2. $. ^. Datis binis locis Planetae el Cometae He- liocentricis. et. exeentricitate. orbitae, inuenire reliqua. eiusdem orbitae Elementa. Excentricitatem heic eo fenfür accipio, quo in Aftro« 2omia communiter accipi folet, ita. vt. defignet. rationem inter: et;2 ) s56 ( $99 inter diflantiam foci a centro et femiaxem maiorem or- bitae, ideoque fi femiaxis maior vnitate defignetur, excen- tricitas ipfam diítantiam foci a centro exprimet. Retentis igitur iisdem denominationibus ac in Problemate praece- denti, habebimus €(x -t- ecof. p) — e'(x -p- ecof. (/), hinc e! — e— e(ecof. (D — c! cof. Q/). Statuamus nunc efle (D -- (b — 2: et Q/ — (p — 29, ideo- que Q/ —:-1- 9 et D—:— 0, erit cof. (p — cof. e cof. à -1- fin. c fin. à. et cof. Q — cof. e cof. à — fin. e fin. à, proinde c! — c— e((e—«) cof. & cof. à -- (c 4- c) fin. « fin. 9), vnde colligitur & — — cof. e cof. à -- £3 fin. e fin. à. Ponamus itaque £—-* tang. à — tang. «4, fietque ext — — cof. e -I- fin. e tang. 5; , hincque : . & 9, — — cof. e cof. v -- fin, c fin. s — — cof. (e -- €), cuius aequationis fubfidio inuenietur angulus e-1- 7j, hinc- que cognito iam angulo * dcterminabitur e, ideoque (—:—0 et Q/ —e-1- 0, tum vero erit b — e(x 4- ecof. (p) — c (x -i- ecof. Q*). 6. 8. Tum hac quoque ratione negotium perfici poteft: ob Q — 20 -1- Q,, crit cof. / — cof. 2 0 cof. (p — fin. 20 fin. (D, hiacque e! —e— t(ecof. — e cof, 2 0 cof. (b -41- c! fin. 2 0 fin. (p); quac« eti )ssv( B8 quaeratur nunc cot."y — —7233, eritque cede t7 0t. ny cof. (QD -1- fin. o, nec non rr yt c cof. y cof. (D-1- fin, y fin. (D— cof. (y — —Q), per quam formulam inuenietur angulus ^, — (D, hincque ob datum angulum ^y innotefcet (p. Denique fi aequatio cuius ope $. 4. inueftigauimus valorem ipfius e, euoluatur, confequemur : €^ fin. acd LUE e A —2b(i--à&é)(r-— cof. 25) -t- 2 (1— cof. 26), quae aequatio Mtruire poterit determinando valori ipfius P, quod tamen quum non nifi operofo fatis labore praeftari pofüt, folutionibus fupra allatis merito acquiefcere licebit. $6. 9. Quo vfus formularum fupra allatarum eo cuidentius ob oculos ponatur, earum adplicationem fequen- ti exemplo illuftrare placebit. Sit € —0,6300508 (! — 1, 1159575, (Q—0— 895254. 31,0, hinc à 44. 49^. 45"5, 5 ponatur item effe L e£ — 9, 9500000 , eritque calculus: c! 25 141159578 L. tang. Ó — 9, 9958962 € — 0, 6700308 L. c -- c —: 0, 25183787 c! E c2 1,5859881 0, 2477749 c — 620, 4459265 L.c/—- 62 9, 6492633 L. tang. 4 — 0, 5985116 Acla Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. V v sm -W. )ss8( ce & — — 95^. 51^. 114,6 e?) — 112. 42. 20, 8 "le—31-19- 7 CHER EL. 0— 44. 439. 45, 5 $-— 7 7. 52. 36,3 Q'c 81. 34. 54, 7 L.e— 9,9500000 L. cof. D — 9. 9958829 L.ecof. D— 9, 9458829 I-recof. D — 1,$828418 L.c— 9, 82609431 L.(14- ecof.Q) — 0, 2748138 L.b — o, 1009085 L. (1 -- e) — 0, 2767491 9, 5241594. L. (1 — e) — 9, 03642583 L.az-0,"7877344 L. cof. * — 9, 5881132 L.:— 0,0500000 9, 4381152 L. cof. — 9, 8515271 L.— cof. (4-4) — 9, 5865861 L.e—9,9500000 L. cof. / — 9, 1655298 L. e cof. Q — 9, 1155298 I -- e! cof. (Y — 1, 13047553 L. c — 0,0476438 L.(1-recof.d) — 0, 0532608 L. b — 0, 1009086 b — 1, 2615620 —-DiftPerih.—o, 6670515 Sem. maior Za— 6,133$630 LY Problema 5. 6. xo. Si vt fupra bina cognita fuerint loca He- liocentrica. Planetae vel Cometae, praetereaque. detur. eius diflantia Peribelii, reliqua orbitae Elementa. determinare. Indigitetur diftantia Perihclii per 2, reliquae autem denominationes in prioribus allatae mancant, eritque g— et )s39( $9 d— ——;. Quum autem fit ibIeEe c et E DH Va hinc colligetur r--e o mj et upe c eom b feu quod eodem redit 5 (1 — cof. q, 1 rc. diSMEU—ÓÀdÁÉE hincque vnde colligitur fin.;^ ^xr— $2 . fin 3 Y(1—3)- fün;Q" :—-2 (üniQ Y(-i) Vt haec formula eo commodius tractari queat, flatuamus: $ — cof. a; $ — cof. al, eritque. fin.;D | Y(r—cofa) | fin.ia fn.;Q! Y(r—cota) fina ex quo deducitur fin. 1 Q/ — fin. 1 D . fin.io!— fin. !a fin.;Q-Efin.: ^ fin. 1! 4 fin. ; a? hincque tang.?(Q/— D) — , tang. : (a! — a) tang. ;(D'--Q) — tang. i (e aa)" ideoque fiet tang. ; (b! -- )— tang. ; (ij — (D) tang. 1 (a! 4- a) cot. 1 (a^ — aj, Deinde ob I-1€e Vv2a eR? )ae( fH 1 J- e cof. — 2 — (1 4- £z) $ — (a 4r- e) cof. a, iet Po 1 — cof. a fin ;c^— — €ol.a —cof, p — fin. ; (D— a) lin. ; (D -1- a) fin. ; a^ — o——Á———— WOEOTTUAPTVRS fin. ; (&! - a a^). fin. ; (27 a^" caeterum ad inueniendum valorem ipfius e, adhiberi quo- que poterit formula e — z^; inuenta autem exe centricitatc, reliqua orbitae elementa prouti diftantia Peri- helii et femiaxis maior nullo labore inueítigantur. fin.;Qy fin.iau fn. 1D fín:ia $ igitur ftatuatur Q! — e 3 et (pz c— 9 erit ('—ioza9 ue Q, hinc . 1 — fin. 8 cof. 1 D -t- cof. à fin. 1 b, quo E: in noftra formula c confequimur 6. rr. In fuperioribus inuenimus fin. ; fin. à cot. 10 ac età m eis, ideoque fin. ! &! po LÁ —-— - ct.3; oí LR fin. | & fin. d r cuius formulae ope valor anguli (Q innotefcet, Tum vero fi in aequatione 6. 8 allata: e fin. 205 — D^ (4 — 32523 4-2) — 2 b (£272) (1— cof. 29) -- 2 (x — cof. 29), loco b fübftituatur d(r-Fe), prodibit aequatio, quae praee tcr et30 ) s41: ( $99 ter quantitates cognitas, folam incognitam e comple&itur, ex qua autem non nifi operofo aliquantum labore, valor huius incognitae e£ elicitur, quamobrem huius aequationis vlteriori euolutioni nihil eft vt immoremur. 6$. 12. Species fecionis conicae exvalore ip* fius e innotefcit, quippe quum fi fuerit e $1, fectio co- nica certe erit ellipfis, fin autem fit e 2 r, haec fectio in hyperbolam abibit, tumque pofito e — r1, fectio coni- ca erit Parabola. Quum igitur fit Ou Ee , indo- les huius fractionis. naturam fectionis conicae declarabit. Pro ellipfi igitur habebimus 1 — cof. a cof. &, — cof. (D hinc . r-2ocof.a—cof(Q et x -j- cof. D Z 2cof.a, fiue eof.1Q* $ cof a, pro Parabola erit cof.i Q* — cof.« et pro Hyperbola. cof. d* 2 cof a. Tum vero ex formula deyerem vu zargo Crit pro Ellipfi: e! —c — c cof — e! cof., fiue 5 -- cof. Q^) & c (1 4- cof. Qj), hoc eft — zb Au s pro Parabola co "E cof. ! d» (! eof. 2d» — i et pro Hyperbola a - coti 6. 18. In folutione noftra 6. rio. allata, füppo- nitur datam effe di(tantiam Perihelii, non vero di(ítan- tiam Aphelii, quippe quum pro hac pofteriori füp- pofitione, iftae conditiones $ — cof. à et £ — cof; a/, ne- quaquam locum habere queant. Interim tamen fi pro eafu Ellipftos data fuerit diftantia Aphelii, confequemur huiusmodi aequationem : Vv3 1 -- et )s42 ( $53 -)-YG-9 —4*Y(^—32 6. 14. More confueto nunc quoque adplicationem folutionis fupra allatae exemplo quodam illuftrare conue* niet. Ponamus igitur effe —0,6745280, 12 0,8250919; 4 — 0,9158540 et Q/ — (D — 172*. 44!, 1o". tang. ; (OQ — D) tang.; (f 4-0) - L4—29,8290000 L;—9,9165023 ———— L cof. à — 9, 7455023 a. — 56*. 10. $4 ,4.5 ! (a--a')- 27. 0. 26',29 z;(a—«a)— 1. 5. 2,48 :(D—4)-43.11. 2, 5 L tang. :( 0'— D) 79, 9724518 L tang. ; (a—4') 28,2769625 $,2494143 L tang. 1 (a -- a!) 9,70 90735028 L tang. ; (€! 4- QD) —$,542 IIIS & 4- a! — 108. üG—a-—TS 5 EE (t-o)--— '(Q—d) — 43. 11... 2, 5o Ld—9,8290000 Li-99618262 L cof. o 2 9,7908262 a'z 515.50! 45. v e — 56, IO, 575 45 ——— ——— —— ———— I. 45, 17 1, 595. 43, 91 ; Q' — 41. 11. 18, 59 ;(pc—45. 10. 46, 41 et )s43( S9 1 ((D— a) — 73*. 16'. 15", x3 i(D--a)z—17. 5. 17, 68 L fin. 1(D—a) — 9, 9812187 L fin. ; (D4-2) Z 9, 4681172 9, 4493359 L fin.;&^ — 9, 3458172 8964813 7879186 Ld*-9,8290009 £56, L (1-- e) — o, 2523476 L5 — 0, 0813476 (D — al) — 15*. 15'.54!, 73 i(D'cra)—6*7. 6.42, 45 L fin.:(D'—a!)— 9, 4204304. L ün(D2)- 9,9643848 9,3848152 L fin. 14^ — 9, 2812954. Le-c9,8964802 Ld-—9,8290«00 L (1—e) 2 9.3265025 Laco,5024975 Problema 4. 6. 15. S; cognita fupponantur bine loca Cometae vel Planetae in orbita fua, eiusdemque orbitae femiaxis ma- ior, reliqua orbitae Elementa inuefligare. Denominationibus fupra adhibitis in fubfidium vo- catis, confequimur € (x -- e cof. QD) -— «e! (x 4- e cof. (), | vnde colligitur € — e—c "i. ^7 ecof. Q — c cof. d ? hinc e (1 -L € cof. Q) — c (e cof. — c' cof. Qd 4- c' cof. (0 — c cof. () c cof. Q — c coJ. dv — ett (cof. — cof. d) —— 7, — ZW VM — d gceqqq -5-—a( e) fict igitur e e et )s44 ( $853 ae aii nO 2e gr. gh (c — cy* (c coj. D — c cof. d) — ^57 (e. O — ea P? ideoque multiplicatione per (c aro c! cof. Q/f inftitütà: 7? (cof. b — cof. d) (c cof. b — c! cot. Q) — (e cof, p — c! cof. QJ — (e — e), quae aequatio in hanc euoluitur: £2 (c cof. d* — (c -4- c!) cof, p cof. D! 2 c! cof. ) — 2 cc! (x— cof. (Dcof. $/) — c fin. * — c'* in. *, fiue quod codem redit in iftam: £z (Cc €) (1— cof. p cof. Q/) — c fin. (D! — c! fin. (D/*) — 2 «4! (1—cof. D cof.) — e (in. Q? — c^ (in. *. Ponamus nunc effe (y -- (p — e et (Q/ — 0 — 9, erit cof. Q^ cof. (D — ; cof. ó — i cof, e, tumque fin, — 1—2/:2 - 1-1cof.(e—9)— ;—i (cof.e cof.à--in.c fin.3) et fin.Q'' ede i! cof (e43) 2 1-1 (cof.ecof.ó —fin. c find), Quum igitur per fuperius inuenta fit: 2 £c (Ct — 2) (1—cof. (cof. (/) — 2c* (Z— 1) fin. — 2 (!* (£ — 1) fin, D! — 0, pro cof. Q, cof. (, fin. Q^ et fin. Q/* fuffe&is eorum valo- ribus, ad hanc pertingemus aequationem: € c! (5X5 — 2) (2 — cof. 5 — cof. c), — c£! (£ — 1) (1 — cof. c cof. 9 — fin. e fin. 9) — (' (2 — 1) (1 — cof.c cof. à 4- fin.c fin.9) — 0. Ex hac autem aequatione deducitur, (' — e et32 ) s45 ( $92 (c! — c) (a (e' 4- e) — c c!) fin. e fin. — c (c— a) (1— cof.à cof.e) —e"(c—a) (1 —cof.c cof.) 4 cc! (c 4- c — 2a) (2 — cof. — cof. e) —o Yam fi ad hanc aequationem fimul addatur et inde fub- trahatur € c (c -- c — 2 a) (1 — cof.e cof. 9), erunt termini per (1 — cof. e cof. à) multiplicati — £^ (c! -- a) (x— cof. e cof.3) — c^ (c4-a) (1x— cof cof.) -- e €! (e 4- c! — 2a) (x — cof. e cof. 9), qui ergo contrahuntur in itum terminum -1- a (e! — cy (x — cof. à cof. &), deinde reliqui termini erunt € €! (c4- c! — 2a) (2— cof.à — cof.e—1 -- cof. ecof, 3) — e e! (e - e! — 2a) (1 —cof.à) (1x —cof.e). Hinc tota aequatio noftra íatis concinne hac ratione exe primetur: (cl— c) (a (e c) — c e^) fin.8 fin. e 4- a (/—6)* (x— cof.S cof.e) —coé(2a—«6—0c)(1—cof. 0) (1—cof.£) —o, ex qua iam dato angulo 3, angulus ce inueítigari poteft et viciífim, $. 16. Hunc in finem aequatio noftra ita euolua- tur, vt illi termini feorfim tra&entur qui incognitum angulum ó continent, quo facto erit (c! — c) (a (e'--. c) — e c^) fin. 8 fin. e — a (e— cy cof. £cof. 5 T 2660 (2a— 0 — c) fin. 12 cof.ó4-a (é—6y —2c0(2a—c—«)fin.1ie—0. Aca Acad. Imp, Sc. Tom. IV. P, I. X x Nunc e$ ) 9346 ( $5 Nunc quaeratur angulus Q vt fit N (e'— €) (a Ce tee] to66) fbi v ues roa Q et 2 cc (2a—6 — c) ia. 1€ — a (é — e cof. e s 5 IAE aer 1- C) n e - a (0 e^o n nil " acc (2a—c— e) fin. ie&—a (é — cj cof.e eritque tang. Q fin. -1- cof. ó — M, hincque cof. (à — (3) — M cof. g, hinc quum detur M cof. 8, cognofcetur cof. (5 —(), ex quo ob cognitum angulum (Q, dabitur angulus à. 6$. r7. Quum in fuperioribus fit 2c (c 4- c — 2a) (1— cof. (p cof. /) — se' (ce— a) fin. * — 2 4" (c — a) fin. D^ — o, ob 2 fin. Q^ — 1 — cof. 2p; 2 fin. (p — 1 —cof. 2 Qj, fiet 2c c (c -- e — 2a) (1x — cof. D cof. — c^ (c! — a) (x — cof. 2 p) — 2 &'* (c — a) (x — cof. 2 (p^, tumque quum fit (' — c — (D, erit cof. QJ! — cof. « cof. (p -41- fin. c fin. D. et cof. 2 (p — cof. 2 & cof. 2 (p -1- fin. 2 £ fin. 2D, hinc prodibit ita aequatio: 0— 2c €! (c -4- €— 2 a) (1 — cof.e cof. Q» — fin. e fin. (p cof. QD) —£'(é'—a) (1—cof.2(p)—c" (c —a)(1—cof. 2c cof. 2(D—fin. cfin. 2D), tum vero ob 2 cof. e$ )s47( $9 » cof. — 1 — cof. 2D, et 2 fin.(Dcof.(p— fin.» (D, haec aequatio ita transformabitur: c ce (c x c — 2. a) (2 — cof. Ey qulitcoL2 7 fin.e fin. » (D) — e (e! — a) (x — cof. 2 QD) — £^ (c—a)) ( 1— cof.2 &cof.2 (D — fin.2 c fin.» D) - o, cuius aequationis ope nunc quidem angulus (p inueftigari poteft, interim tamen aequatio fupra allata pro hoc in- fRituto commodior effe videtur. Denique fübfidio aequa- tionis $. $. allatae, quae ob &' — 1 — ^ in hanc abit: (1 — 2) fin. 29* — & (& — *2E2? 4-2) — 2 b (i -i- 2) (x — cof. 28) 4- 2 (1— cof. 28), valor ipfius 5 inueftigari poteft, quod tamen non nifi o- perofo aliquantum labore praeftabitur. 6. 18. Nunc igitur reftat vt vfum formulae no- ftrae $. 16. allatae, exemplo illuftremus. , Supponamus itaque effe: c :,0238911, 6—0,6$71881; 0 — 3, 5019276 et angulum € — 95?, 49'. 38". LÀ c! — 1, 0758911 L (c! 4- c) —0,2457789 € — 0, 6871881 L-q-33o55595975 € d 6— 1, 7610792 L a (c! 4- c) — 0,7645464. € —c—0,58867030 , (d 0)— 5,8149554 18 -6,60538552 L c! — 0,030960o3 $0—(-.06224,8427760 L:r-— 98349756 L 6(/c—9,8680359 L.2a4—c—:0 — 0,6850943 Lcé(2a—c—6)z 0,5531302 Ax La-— ec )348( $9 La-o,51$7675 L (d — cy — 9,1747552 L a (c! — cy — 9,695522 4 (c 4- c) — 5,8149554 € £ — 0,7379650 a(c--c) - ce 2 5,0769904. 2c (2a—c-c) fin.58à — A a (c — cy cof. — C a (e - cy m D A — 3, 9566445 D — 90,4957677 A—D-3, 4428768 À — 3, 9366445 C ——0,05015313 A-C— 3, 9867762 L(A—D)—0,5569215 L (A — C) — 0,6006218 LM-— 9,9562997 L cof. 8 — 9, 9532877 Lcof.(9—6) — 98895574 L (in. 16 —9,8704830 L fin. ; & —9,7409660 L 2 —0,3010300 Lec (2a4—6— 0) —0,5551502 L2cc! (2a-c-c)fin./?—0,5951262 L a (c! — c) —9,6935227 L cof. £ — 9,0065899 L a (ct! — c) cof. £ — 8, 7001126 L a (c 4- c) — cc 20, 7056064. L (c — 0) —9,5873776 L fin. £— 9,9977500 L.B —0,29075340 L (A — €) —0,6c06218 L tang. — 5, 6901122 B -—26*. 6'. 1", o1 ó—(3—39. 8. 55,.35 Ó — 65. 14. 53, 26 t€ — 95. 49. 38 t--Oóc1iÓ6:r. 4.35, 26 t—0 — 30. 34. 40, 74 Q! — 80. 32. 15, 63 zig. 13.80, 99 6. 19. »-t32 ) s49 ( Ste 6. 19. Nunc pro inucíliganda excentricitate in fubfidium vocare licebit formulam € — zz-5- L.c— 9, 8379756 L. &'! — 0, 0309603 L. cof. (p — 9, 9843509 L. cof. Q! — 9, 2158740 L. e cof. D — 9, 8214265 L.«' cof. Q' — 9, 2468343 c! cof. q/ — o, 1765364L.(ccof«p-'cof.')79, 6869317 ccofAD-ce'cof. D! 20, 4863307 L.e — 9, 9004459 I-e cof. Q — rz, 7679025 1 cof. Q — 9, 9843509 L. e cof. D — 9, 8847968 L.c—9,8370756 L.(rx-Fe)—0,2540987 L.(1 --ecof. Q)— o, 2472371 L.(1—6)—9,3114485 ——— L.5—0,0843127 L. (x — &) — 9, 5655470 L.(1-re)— 0, 2540987 L.5 — 0,0845127 L.d-—9,8502140 L.a,— 0, 3187654 Quum igitur valor pro a inuentus, cum eo fatis bene con- gruat, quem. in calculo fuppofuimus, id indicio eít com- putum bene effe inftitutum. 6. 20. Problematibus modo allatis, quae potuiffi- mum auidem cccurrere folent, propter affinitatem mate- riae adhuc bina adiiciemus, licet inueftigatio orbitarum pro Planetis vel Cometis, rarius ad eadem perducere foleat. Problema 5. Sj copnitis binis Planetae vel Cometae locis Helio- eeniricis, infuper detur femiaxis coniugalus orbitae in qua Aftrum. morum fuum perficit, indolem buius orbitae indagare. Xx 3 Si e )s535o( $5 Si denominationes fupra adhibitae retineantur, fe- miaxis autem coniungatus orbitae per f indigitetur, erit vti ex doctrina Se&ionum Conicarum conflat: &—f Y (x — €), Quum igitur fupra 6$. 15. inuenerimus: a metr — b—fV(1—e)et Cue erit quadratis vtrinque fumtis: e* c^ (cof. (p — cof. C! J Z f* (ecof. (p— c! cof. C^ — f: (I c) quae acquatio euolutione facta ita erit comparata: T (cof. Q' — 2 cof. D cof. $! 4- cof. () — 4 z e! ( x — cof. (/! cof. (p) — e' fin. (p* — c^ fin. (b^, vnde iterum ifthaec deducitur, 2(x — Z5) (x—cof. cof.) - (x — 7.) fin. * — (x — 25.) fin. p^ — o. Si igitur vti in antecedentibus, ftatuatur (y -i- (D — «e et Q'—d0-—29, fiet 2 cof. Q cof. (/ — cof. 8 -4- cof. € , tumque 2 fin. Q* — x — cof. e cof. à — fin. e fin. ; 2 fin. Q^ — x — cof, e cof. à -|- fin, e fin. Ó, his igitur valoribus fubftitutis noftra aequatio in fequen- tem abibit: 2 (x — /*) (2 — cof. 3—cof. c) — (175) (x—cof.e cof.à—fin.e fin.à) (1 — 47 ) (x — cof. cof. à -4- fin.efin.3) — o, quae etiam fequenti modo repracfcntari poteft: ozf (4 — s) fin.efin. 0-417 2 (1 — Z*) (1 — cof. à) (1 — cof t) —(x — 42 )(1 — cof &cof. 3) — (1 — Z- ) (1 — cof. ecof.) 4 2(1— 27) (1 —cof.ecof.à), vnde eto ) ssr ( $t2e vnde demum habetur (c^ — & ) fin. c fin. Pose ey Dur cakabof. 3) -- 2c (T — x)(x—cof.à)(x —cof.e) — 0. . Huius igitur aequationis ope, cognito angulo à, Sols € facile dcterminabitur. $. 2r. Ad aequationem modo allatam facile quo- que pertingere licebit, fi perpendatur aequationem $. ai- ductam fub huiusmodi forma repraefentari poffe: — (4! — c) fin. 8 Gin. e -- (e -i- e!) ( x — o£ 8) ( 1— cof. c) mE (x-—cofà)(x— cof), fi igitur haec aequatio multiplicetur per e«' et fubtraha- tur ab aequatione finali $. x5. allata, refiduum dabit: a(«c-r-c)Cce'— c) fin. fin.e-F a (c! —e)' (x — cof. cof c) —2c(a—*7.) (x—cof.) (1—cof.e) zo, vnde ob a5—/^,. aequatio $. praecedenti allata ftatim elicitur. Caeterum fi cui volupe fuerit, loco anguli e, al- tervtrum. angulorum (D vel [/, vel potius eorum dupla in- ueftigare, haud obfícurum effe poterit, quomodo in fubfi- dium vocata. aequatione : 2(1— 45) (1—cof.(pcof. 9) — (1 — £7) in. * —(1—422)fin.Q^—o, iftud negotium facile perficiatur. Problema 6. 6. »2. Datis binis Planetae vel Cometae locis He- liocentricis et diflaniia focorum in orbiia , inuenire reliqua Elementa eiusdem orbitae. In- e$ ) 3528 [ $e Indigitetur nunc femiffis diftantiae focorum per líe- teram £g, eritque vti ex Conicis conftat g — —*.. Quum igitur fit — ect'( eof. b — cof. ^) dis ct—c b— cc. —co.d et € —37 Qp—c'o.q ? fiet his valoribus adhibitis "e (e — €) (cof. (p— cof. Q/) Z (e cof. (p— c! cof. (^) — (;/—o)* et facta euolutione: ——— MBs CREE OFT od — e? fin. Q* — c^ fin. (Y^. Si nunc vt fupra flatuatur. Q -i- p — e; Q/ — 0 — 5 fet 1S (5 —) fin. 1e fin. 18 — 2 cc! (2— cof.e— cof.à) — c&* (x — cof. c cof. à — fin. e fin. 8) — «^ (x — cof. c cof. à -1- fin. e fin. 3), vnde colligitur (c — &') fin.cfin.8 -- («^ — e)! (x — cof ecof. 0) — 2c (x —cof.e) ( x — cof. à) qon) fin. ie (n. 1d — o. Ad hanc autem aequationem ctiam ope illius, quae $. 20, adhibita eft, facile peruenietur; quum enim fit P cc (cof.(p—cof. Q^) 2 c cf fin. 1e (in. 10, "a c-—c 7?" e -—c s tumque fit f* — —. et g — 55, erit 7. — 7*, hincque g-64 2 c c^ fin. 1e fin. 18 EL f Inde autem multiplicando vtrinque per 4««c4.fin. efin. 9, fiet e$ ) a8 ( $89 fiet eee (ot) fin, ie fin. :3 — 1729 fin.;e fin. ; 8* — 77 (x —cof:e) (x — cof.3). Quum igitur $. 20. inuencrimus: (c^ — & ) fin. cfin.8 4- (c! — e)! (x — cof. ecof. 9) 2-2 cc! (52 — 1 )(x— cof. )( x—cof.:)—0; inde colligitur vti fupra habuimus: (c^ — e) fin.efin.9 4- (e^ — c) ( x — cof.ecof. à) —2cc'(x—cof.e) (z —cof.à) TU tU fn.iefin.;à — 0, «uius ope dato angulo e, angnlus 9 inueftigari debet, 6. 25. Facile autem perfpicitur aequationem huic negotio inferuientem, fi ad formam algebraicam reducatur; quarti effe gradus, ideoque quatuor omnino folutiones ad- mittere, vbi tamen fieri poteft, vt illarum folutionum non nifi binae ad valores deducant reales. — Caeterum ita com- modiffime aequatio noftra refolui poffe videtur, vt conci- piamus eam exortam effe ex multiplicatione binarum hu- jusmodi expreffionum: cof.:0 -- mfin.1à -- n — o et cof. 1à -I- m* fin. 19 4- »! — o. Hinc enim orietur productum: cof. 19* -- (m -- m) cof. 19 fin. 10 -4- m m fin. 9* -r- C4 4- n^) cof. 18 -41- (m nf -- m n ) in. 19 -1- n2 — 0, fiue ob 2 cof.;0*— r-|-cof.ó; ofin.:0: — 1— cof.à; 2 fin. 16 cof. 19 — fin.5; Acla Acad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. » gh. I-- -—$ jss4( $9 I-i-uu--(x-—mimn'coftó -- (1 4 m! ) fin. 8 47 2 (1 4- n^) cof. à 4- 2 (m nf 4- m! n)fin.;0 4- 222! —0. Quum vero in aequatione propofita nullibi occurrat cof. 8, flatiim | perfpicitur. fore 7^ — —75 , vnde iftud produ&um hanc nancifcetur formam: (x — m m^) cof. 8 4 (unt -- m^) fin. 47 2 n (m— m fin.:à --1i-1-mm!-—2 —o. Quum igitur ex acquatione modo allata fit : 2 cc! — (6* 4- c! cof. e cof. à 2 cct. fin. 18 find A eI AL | Bec.finó | qé—eyw o Eee estis (c —c) Ts 4«Cc* CAR -3- (c A- c, jin, € Ip ci tang. j á (be— [e] , hinc fiet i— mm! acc —(c" 4 c)cof.e, n -- n! (c^ — e?) tin. en(m-—m). | 2 cc m'--m g(«-e)cof.ie 1--m m —2n? RT "M T - m*-4-m — (6 4-6) Jn. € ce ect tang.;£, quarum aequalitatum ope, quantitates incognuitae 7», s^, s deterininandae funt. 6. 24. Breuitatis gratia defignentur quantitates datae : 2cc — (c 4- c)cof.c, 2 cc , ( €? — c' ) fin.c : £ (« 4- c) cof. ie ' rts GT tang. ;t | (&4 c) in. w—t re- et32 ) 855 ($92 refpeciue per litteras À, 2 M, v eritque: 1—7m^ —.«4. n(m'— m) .— 1-[- m m!—zs5n* — y: mam — '? "m'--m — Mv qi! A4- in ? hinc fi ad primam harum aequationum addatur. vltima prodibit : 2 (r—m)- (4v) (n! 4-8), hinc m "Oy I— at ex aequalitate fecunda eft q-okbUW-enmis. hiBedue fit (m'—m) p(m'4- m (m/z m). (m! — m )? — I —(A-4c») a E et quum fit m'u-i(m'--my-—i(m my hoc valore in aequatione prima fubftituto, etit 4—(m'-- my--(m'—myo-cax(mm ), ideoque | AOL 4--(m-—myc-(m--my--4»(m-A- m), at in fuperioribus erat QUSE my-4- Detrism (ui -- m), hinc demum colligitur Qn 4r :^) (44 — QUE DET) —ASEUM my CE et fübftituto valore ipfius 7 -- m4, prodibit aequatio tertii gradus, quae folam incognitam ;;7/ — m inuoluit. Concin- nius autem ad huiusmodi aequationem fequenti ratione perueniemus: quum fit 4. m! m —— (m! 4—- my. — (m! — my. erit 4. — 4.m m! — 4,— (m Jv my A (i — my — 4 (ma m), deinde ob m!— ; —"--"), hoc valore fubftituto, col- ligitur: Yy a2 | 4-— ec. ) 856 ( G9 4 — (m 4- my A- EET — a4 A(m -4- m), hincque p^ (mi—A- my -A- 2 («— (m! 4- m y — & ^ (m-m))— 0, atqui ob 2 (x— m )- (^4-») (m! 4- m), erit »* 2 x — 9D (m!4- m), vnde demum fiet po (m - my (x — 9992 (nim) (4——(m' my —4» (i'm) )20, quae cuoluta praebet: (E23) (m! 4- my -- (n! A- my (y! —x 2A (A9) — (m' -i- m) (613 23- 2v») 43- 4 — 0, fiue pofito ?*" — $; (4-v)q d (gà —12422(*4-))— 4 (2 v») 1—0, cuius tamen aequationis refolutionem vlterius profequi im- vtile foret. €. 25. Quemadmodum refolutio Problematis vlti- mo loco allati, per refolutionem aequationis biquadraticae abfoluitur , ita facie perfpicitur reliquorum Problematum folutiones, in terminis Algebraicis expreffas ad aequationes quadraticas reduci ; idcoque fingulas harum folutionum du- plices dari, quas quemadmodum comparatas effe oportet, nunc accuratius expendere haud inutile erit, quum id in praecedentibus plane fit praetermiffum. Quod igitur atti- net problema Primum, ftatim patet pro angulo i(Q-F() duplicem emergere valorem ex formula tang. ; (Q^ 4- p — cot. i (C — D). Pe , et32 )s57 ( $e fi enim ponatur tang. — cot. 1 (d — (D) LRL , erit 1(Q^ -- ) vel —Z, vel — 180-1- Z, pro exemplo $. s. allato priorem iam confiderauimus folutionem , pro altera autem erit: i(Qé-Eo)-oeoiT. 7124,35 hinc D — 2617.58/.46^,5 s(Q—O)- 4451.34. Q-2172.15.98)/3 valor autem pro e hinc deducendus cum priori prorfus confentit, nifi quod negatiuum accipiat valorem, quod in- dicat angulos anomaliarum | ab Aphelio effe computatos , ideoque haec folutio a priori nihil prorfus difcrepar, $. 26, In Problemate autem fecundo, dum inuen- ns -- cns — com tus fuerit — cof. (e-1- 7) — Z7, fi flatuatur. cof. LT erit -1- 7; vel — 180—2, vel — 180 -1-Z, in exemplo $. 9. allato priorem horum cafüum contemplauimus, pro pofteriori vero erit: &€-- € — 2443. 17. 39, 2 L. e — 9, 9500000 "u/ — IMESRENXEI, 6 L. cof. Q/ — 9, 9070170 e —. 191028. 27,6 L. e cof. Q! — 9, 8570170 à 044 45.45, 5 e cof. D! — — o, 7194772 (pt—: az6i 20. 13,1 1 -- e cof. Q' — -- o, 2805228 L. t — 0,0476478 zz 126.342, 42 1 T4571 L(rrecof. $)— 9,4479681 L. 5 — 9, 4956159 haec igitur folotio a priori prorfus diuerfa eft. Quod Pro- blema Tertium attinet, binae folutiones illi fatisfacientes ad eandem reducuntur, id quod ex valore pro taug. !((^4- $)) Ny 3g mox et32 )558) Bs mox patet; verum de valore quem ibi pro excentricitate attulimus , Vix obuium effe poterit, evndem non nifi vni- cam admittere determinationem. — Perfpicuum avtem idem x mox fiet, fi quaeramus valorem ipfius 7 ope formulae b x—cof.Oo po: —)— -F. fue —— e (ái—il(—9)— P. i " i-i Quum enim effet 1? gl EDAD — ade: — cot. à , fiet fin. ! « fin.à cotif'-r fin. a"— efin.' a/fin.'acof.ó--fin.la'cof. 25 rss mBOl ma ) cot.; ^4 1 fin. ; af 21 fin. 1 a^ fin.! & cof. à--fin. 1a. hinc r — cof. (:0— fin. a^ (1 — cof. 28) fin. 1 a^ — 2 fin. 1a! fin. a cof. à 4- fin. ! "x hinc ob 2 fi 1 —i—i(r—-0)—i(ri-cofa)— T fiet $—i1(1:—4 -)—) , (ün 144— 2 fin.1 a fin. 1 a^ cof. 6 -fin. ju) dr. " 1 — cof. 20 e Innento igitur per hanc aequationem 4, innotefícet quoque ;. ob jci-i, $. 27. Problema Quartum binas iterum admittit folutiones, quum enim inuentus fit cof. (ó — (3) — M cof. , fi ponatur M cof. 8 — cof. p, erit — 9. vel Z 4, vel -— y, priorem cafum in exemplo 6. 18. allato confiderauimus. Vcrum cnimucro fi ponatur: g- e33 ) 559 ( $9 g—8-239^. 84.55.55 Jic: 9.8370756 ob B mdhreD IL. QI L. cof. Q — 9. 7646151 fiet 0 —— 13. 2.53, 44. L. c cof. — 9, 6016907 € — 95. 49. 58, OO L. «/ — 0, 0309603 t 809 46. 7.56 t 6 EÓ — 82. 46. 44. 5 L. cof. (4 — 9, 8751957 £ —Ó — 108. 52. 31, 44 Lidia i5 193 Qf — 41.23. 225, ? L.'«* cof: (^ —— 9, 9061560 Q — 54.26.15, 72 c! cof, Q! — o, 8056676 € cof. (D — 0, 3996600 L6 9.9788454. of. c dd ahi E. cof; Qu.9) 764615: O, 4C 60076 4 -— ErcotQ 999751997 — "1. 04.. 0)— 9,873716 UR ded m 7434585L (ecol. (Q^-ecof.p)-9, 6085342 L. e cot. Q^ — 9, 8540391 SACER e cof. Q4 — 9, 854039 lips di gosndA Lac -— 018550756 L. «4 — 0, 0309603 L.(1--ecofXD) — 9. 6493986 — L.(1-recot.D/)— 9, 45551537 L. b — 9, 4864742 L. b — 9, 4864740 L.(1--e)— 8,67571286 L.(1—26)—0,2905804 8, 9677090 Iia — 0,5187650 Denique Problema Quintum quoque binas fuppeditabit fo- lutiones, quippe quum in hoc Problemate aequatio deter- minando angulo ó inferuiens ciusdem plane fit formae, ac ila, qua hic angulus in Problemate Quarto determinatur. 6. 28. (Tab. XI. Fig. 4. o$32 ) sóo ( $e 6. 28. Praeter Problemata modo commemorata , varia quoque alia tradi poflunt, quorum folutiones cum praecedentibus affinitatem quandam habent. Ex hoc ge- nere iflud eft Problema, quo quaeritur orbita Cometae vel Planetae per bina eius loca data tranfiens, et in qua femiparameter per excentricitatem diuifa cognita habetur, cuius omnino facilis eft folutio per formulam $. 22. tradi- 2 c c! fin. 1 fin. ! c mp ct alia eiusdem generis Problemata vix vnquam in Aftro« nomia occurrere foleant, invtile effet iisdem vlterius ex- plicandis , operam impendere. Multo autem maiorem at- tentionem meretur Problema, quo ex datis binis Planetae vel Cometae locis Heliocentricis, et dato temporis inter- uallo inter momenta quo Aflrum in his locis verfatum fuerit, quaeritur vera ciusdem Aflri orbita. At tamen fiquidem in genere fupponatur hanc orbitam ad Sectiones Conicas pertinere ct fpeciatim | inter Ellipfes referendam effe; notum efl, tempus quod dato angulo anomaliae re- fpondet, non nifi tranfcendenter ope huius anomaliae de- terminari , vnde refolutio huius Problematis non nifi per feries infinitas praeftari poterit. . Verum quum hoc b tam, qua crat — — e $. 29. Occsfione. data nunc quoque folutiones Geometricas nonnullorum Problematum in fuperioribus pro- pofitorum adiungere placet, quippe quod huic materiae il- lufirandae non parum infcruiet. Nunc igitur propofitum iflud fit Problema; quo datis binis punctis fe&ionis coni- cae M, N, foco F et femiparametro principali, quaeruntur rclioua fe&ionis Elementa. — Heic vero mox liquet omne ncgotium eo redire, wt fitus axis principalis F T U inda- gctur, ef )sa6r( $t getur, quippe quo inuento determinatio alterius foci et re- liquorum Elementorum nullam habebit diffücultatem. Sup- ponamus igitur iam inuentam efle directionem axis F T'U, fumtisque M V, N X femiparametro principali aequalibus, ducantur re&ae V T, X U, iftis MFE,NF normales, quae axi in punctis T et U occurrant; tum vero ducta fuppo- natur T Y normalis ad N F ct ipfi U X parallela, et iun- cantur M T, NU. Quia igitur M V aequalis femipara- metro principali, et V T normalis ad V M, erit iuncta T M normalis ad Sectionem Conicam in pun&o M, Si- mili quoque ratione erit U N normalis ad Sectionem Co- nicam in puncto N. Tum vero fi puncta M, N iuncta fuppo- nantur cum altero foco f, patet per ea quae in conicis demonftrantur, angulos F M f, F N f bifecari per rectas M T, Nu vnde fiet MF: Me M SMIJÁ-EN-LIN QEfK—N EiUEuAmas er DR OERIXE:YHEH,-hine erit NF:ME-—XF:YF, quum igitur dentur N P, MF, XF,dabitur Y F, ideoque punctum Y, hinc reca Y F. nor- malis ad NF, ideoque punctum T in quo rectae VT, Y T fe interfccant. $. 5o. Solutio Problematis igitur ita componetur, vt per X ducatur linea X Z ipfi N M parallela, tum vero centro F interuallo F Z, refecetur F Y, et ducatur Y 'T normalis ad N F, et V T normalis ad M F, harum recta- rum interfectio 'T cum puncto F iuncta, dabit axin prin- cpalem orbitae, Ex conftrudione enim allata patet. effe YE:XF-zME:NF;;hin TF:UFE-IME:NFE.et alternando T F: MF— UF:NF, cx quo patet effe TF:MF in data ratione, hincque colligitur axcm principa- lem fíectionis conicae cum linea F T U coincidere , fi ca Ala Acad. Imp, Sc. Tom. IV. P. I. 2 quae "Tob. XE. Fig. 3. Fig. 4 elo )sgés( Bee quie in 6$ praecedenti allata funt in vfum vocentur. ' Cae- terum fi ad rigorem. Geometricum huius demonftrationis duidquam defideretur, illi defe&ui fupplendo fcrupulofius non eft vt inuigilemus, quia mox aliam. conftruc&ionem huius Problematis adferemus; praemifío nimirum Theore- mate quodam Geometrico admodum cleganti ab ll. Euw/ero primum inuento. 1M 'Theorema Geometricum. 6. 51. | Si ex foco F fe&ionis comicae erigatur ad axem principalem A B normalis F E, qui curuae occurrit in E, et fi infuper ex. foco ad curuam ductae fuerint lineae quaecusque F M, F N, 1umqué linea N M producatur, vs- que dum lineae F E, fi opus cff produtfae, occurrat in P & ex P in lincam F L, quae angulum MEN bifecat, duca- tur norinalis P R. ipfis F M, FN im m, n occurrens, erit Fm-—Fn, aequalis femiparametro principali Sedlionis co- hicae. 2 fes 1 : Cum hoc Theorema Geom:tricum variis quidem rationibus. demonflrari poffit, tum illam praecipue: demon- flrationem - heic. adferre conílituimus, quae maxime concin* Da videtur. Si-iseitur fepponantur ductae Lincae M T, NU ad féctionem conicam normales, quae axi principali i puné&is T et U occurrant, tumque U X, T V. norma- Is ad rectas FN, F.M; fimili ratione ac fupra demone flrabitür effe M V — N X aequalis. femiparametro princi- pai et F T:FM—FU:FN. Deinde fi ex punctis M et N in rectam F P noimales demittantur M I, NK erit AIMFE eR2 )363( S25 AIMFoVEFET et KNFoFXU, hinc IM:FV—FM:FT—FN:FU-—KN:EX, ideoque IM:;KN-—FV:F X, tumque PM:PN—FV:FX—FM- EF:FN — EF, ob MV —EE-N.X. Porro fi concipiatur recta. N S ipfi .F M parallela, erit an- gulus N Sg —— FMnz-Fam-—NaS hineqqg NS — N rm. Nunc vero ett ob M zz parallelam. ipfi N S, PM: PNLMmNG Mm UNE M-v Fm:FN—En ideoque fiet FM—FE:FN-FE—FM-Fm:FN— Borjá quamobrem oportet effe F E — F m —F z. $. 52, Hinc igitur Problematis noftri Primi fe- quens elicitur conftructio: centro EF, radio F E — femipa- rametro principali, refecentur. F ;z; — F z, tum vero ducta reca zzP quae ipfi INN.M productae in P occurrat, fi iungatur P F, ad eamque perpendicularis erigatur À F B, coincidet haec re&a cum emiaxe principali fectionis co- nicae. Vnde quum fectionis conicae detur focus, femipara- meter principalis,..et.axis principalis pofitione cognitus fit, ipfa conftru&io obuia eít. Ex "Theoremate enim praecedente liquet, nullam aliam rectam per F ductam praeter illam A F B pro axe principali liaberi- poffe. 6. 53. Progrediamur .nunc ad Problema noftrum fccundum, quod more Geometris vfitato expreffum . po- flulat, vt datis fe&ionis conicae foco et binis in illa pun- is , decribatur fe&io conica per data illa puncta tranfiens X5 x et Tab. XI Fig. 3, —$ )$64( $8 et quae fpecie fit cognita. Quum cnim per excentricita- tem intelligamus proportionem intér diftantiam focorum et femiaxem principalem; fi haec excentricitas fupponatur data, fpecies fectionis conicae omnino erit cognita, omnes enim fe&iones conicae eadem excentricitate praeditae prorfus. inter fe funt fimiles. — Huius Problematis folutio quum iterum eo reducatur vt fitus axis principalis A F B inuetti- getur; fupponamus hunc axem effe ductum eiusque verti- cem A, tum in FAÀ producta fumatur AD: AF, vti àxis principalis ad diftantiam focorum et per D concipia- tur DH G normalis ad. axem principalem, tumque ex pun&is M, N, in re&am D G ducantur | perpendiculares MG, NH. Quum itaque in conicis demonflrctur effe GM:FM-ZHN:FN--—DA:AF, nunc Problematis conftructio | obuia fiet; nam ob datas FM, FN, dabuntur magnitudine MG, N H, ideoque da- bitur pofitione Jinea G D, quippe quae tanget binos circulos centris M, N et interuallis M G, NH defcriptos ; hinc dabitur linea DB normalis ad GB, eritque ipfe axis principalis fuper hac linea fitus. Conftructio hinc dedu- cenda prorfus coincidet cum illa, quam in Principiis: Phil. Nat. llluftris Negozi Lib. I. Se&. 1V. Prop. XX. Caf. x, allatam inuenimus. : €. 54. Nunc igitur aliam quoque folutionem (ub- iungere haud fuperfluum erit. Quum itaque fit AFIMoceVET; erit IM:MF—VF;:FT, hinc alternando IM:VF—MF:FT, eft vero VF—-MF—-EF—MFE-Er, per Theorema fupra demonflratum, ideoque IM ec35 ) 3865 ( $59 IM:Mm—MF:TF in ratione data. Porro ob ang. F MN — MP qs 4- F m R. et ang. FNP:-—ang.Nz S — ang. MP —FuR—MPm; fict FMN—-FENP-—2M?Pzm, ideoque dabitur angulus MPm—i(FEMN-FENE), praeterea quum detur angulus PMz, triangulum PM m crit fpecie datum, hincque ratio P M:M z/ erit data, tum vero ob datam rationem 1M: M zi; dabitur ratio PM:IM in triangulo ad I re&angulo, hincque dabitur angulus PM I et recta IM erit pofitione data, nec non AF B, quae priori eft parallela, 6. 55. Con(lructio autem Problematis hinc dedu- cenda, ita commodi(iime abfoluitur: vt fumta pro lubitu linea P M fuper ea defcribatur femicirculus, tumque in illo aptetur linea M I, quae ad P M datam habeat ratio- nem, hoc eft vt fit IM: PM -— 1. Mm cM. Mm'PM efin.PmM . fin i(FMN-F FNM). cof ML F eco. MFL ^" ecot MEL? deinde vero ducatur linea A F B ipfi MI parallela, erit- que axis principalis fectionis conicae (vti ex praecedentibus conftat) fitus fuper hac linea A F B. Vel etiam conftru- &io Problematis fequentem in modum adornari poteft: Ob finn MPF IL — fin. MP m e fin. P PmM 42.3 dabi- Fig 3 et2 )3566( i3 dabitur angulus MPF, hincque fuper M F defcribatur fegmentum circuli quod anguli — M P F capax eft, reca NM producta iíti fegmento occurrens in P, dabit lineam FP ideoque axem A F B ipfi FP perpendicularem, 6. 36. Si vt fupra ducta intelligatur re&a DH normalis ad D B, quae M N productae in Q occurrit, et M I produ&a concipiatur vsque ad' G, tumque iungatur reta Q F, ert QM: GM—PM:IM et GM:MF—IM:Mm-—r:e; hinc ex aeau0 QM:MF-—PM:M m ex quo liquet rectam QF fore ipfi PR parallelam et normalem ad FL, vnde dabitur punctum Q. Porro erit QM —— IM —— IM Mm — 1 FM QM 77 PM — Mm' PM. — * Qn? hincque G M — 7, vnde.ifta deducitur conftrucio, fuper QM defcribatur femicirculus, in quo aptetur GM: MF-r:e, inuenietur fitus axis principalis ducendo per F lineam DB ipi GM parallelam , atque haec quidem conftru- &io illa a Mewiono propofita aliquanto facilior efle vi- detur. 6 57. Operae pretium nunc quoque erit, vt o- ftendamus quomodo Analyfis noflra in fuperioribus $. 7. alata, ad hanc perducat conftructionem. — Quia igitur ibi habcbatur tang. 7j — tang. 0, 277— , adplicatione ad noftram Figuram facta, erit cor. L PR — cot. (FMN -FN M) -- FO M) -—— tang. MEL NIS FM? hioc LPR — 90 — 5. Porro quum fit — cof. —5:2 ) s67 ( $83 — cof. (c -- $4) — ZEN , fiet fin. (A F L — LPR)ZIÁT. D Tel EC ER, nunc vero eft fiu(AFL— LP 83) —fin.(905-- PFL—L P R) apte ng LER) Sto E FIMa ideoque Li — & P4» hincque e— f, quod omnino confen- tit cum iis, quae fupra dedo ata cud €. 59. Problematis tertii folutioncom quandam Ge- ometricam fatis concinham quum adepti non fuerimus; ad Problema quartum progrediamur, pro quo folutio Geometrica admodum facilis et vnicuique fere obuia fta- tim occurrit. Scilicet quum ibi quaeratur fectio conica da- tum habens focum, per bina puncta data tranfiens, et cuius axis principalis etiam magnitudine fit datus, quia in Elementis Sec&ionum conicarum demonftratur, binas rectas FM, f M ex focis F, f fc&ionis conicae ad quod- vis eius punctum M ductas, fimul fumtas aequales effe axi principali fcctionis, ob datas F M, FN ct fümmas FM-4-f M, FN-- f N, dabuntur itidem rectae f M, fN, ideoque punctum f feu alter focorum, qui nimirum defi- nietur interfectione binorum circulorum centris M, N et interuallis datis M f, N f defcriptorum, $. 59. Quum folutio Problematis quarti Geome- trica tam facile expediatur, fingulare forfan videri poffet, quod folutio per Analyfin perficienda aliquanto. ab(trufior vidcatur. Verum enim vero fi ipfam hanc folutionem Gcometricam attente perpendamus, facile patebit folutio- nem et:2 ) 36s ( t4 nem Analyticam ex ea deriuandam vix facilius adornari poffe, ac 6. 15 praefitimus. Id enim hic agitur, wt da- tis pro quadrilatero F M f N, fingulis lateribus, F M, M f, FN, Nf, cum angulo MF N, quaeratur angulus quem al- terutrum laterum MF, NF cum diagonali F f conftituit ; cuius Problematis folutio expeditiorem | folutionem admit- tere non videtur, ac illa quae $. 15 allata eft. Immo quia in hoc cafu fpecieli Problematis propofiti, fumma late- rum FM--Mf-—FN-N f, folutio Problematis eo ipfo aliquanto fit concinnior, quam fi nulla huiusmodi laterum relatio fupponerctur. 4 $. 40. Problematis fexti quum quatuor omnino habeantur folutiones , conftruc&ionem Geometricam per re- Gam ct circulum non admittit, verum defcriptiones l:uea- rum fecondi generis feu fecionum conicarum requirit; et quidem mox liquet, fi focis M, N ct axi principali —FN-FM defcribatur hyperbola, tumque centro F ra- dio Ff, circulus, interfeciones huius circuli cum ifta hyperbola, praebere punc&a in quibus alterum focum fe- éionis quacfitae flatuere oportet. Hinc fi eueniat, vt ifte circulus hyperbolam in quatuor punctis interfecet, Proble- matis quatuor omnino erunt folutiones; at fi binae tan- tum dentur interfeciones folutionum realium numerus bi- narium non excedet, reliquis duobus in imaginarias ab- euntibus. $. 41. Antequam huic disquifitioni finem impo- namu*:, monui(íe nonnulla attinet de folutione Problema- tis 11^, cafu quo excentricites fupponatur — r, id eft fi Íc&io conica fuerit Parabola, "Tum vero fiet e (1 4- e$2 ) s69 ( $92 € (1 4- cof. Q) — «e! (1 4- cof. Q^, hincque Y ls Epf.s Foe Di. nec non Yer ed cof. ! p — cof. o «Yd -— Ye cof. 1 D 4- cof. 1 D UTR EO C71 tang. ; (v — (D) tang. ; (QC -- £) — 323 ideoque fi ftatuatur Ys — cof. A. fiet tang. ; (D/— () tang. ; (D/-- D) z Lá — tang. iA, proinde tang, ; (QD -4- (D) — cot. ; (t/ — QD) tang. ; ' fiue 4éla Acad. Imp. Se. Tom. IV. P. I. Aaa DE- eg )syo( $$ DETERMINATIO LATITVDINIS ET LONGITVDINIS VRBIS OREL, DEDVCTA EX OBSERVATIONIBVS ASTRONOMICIS ANNO 1781 HABITIS. Audctorc PETRO INOCHOD ZO. P rficiendae Geographiae Rufficae, quae noftris dicbus no- vam induit faciem, annuit AVGVSTISSIMA IMPERA- 'TRIX, vt mitterentur obferuatores ad determinandum fitum locoram magni EIVS imperii cclebriorum, — Inter haec prima ftatio vrbis Orel, quae iacet ad fluuium Ocam ct diftat a fonte ipfius 73 werftis, mihi erat conftituta. Ia- flrumenta, quibus ab illuftrilbma | Academia fcientiarum ad obferuationes has faciendas inílructus, fuere fcquentia egregiae bonitatis: 1, Qua- e$; )sgr( $8 x. Quadrans duorum pedum Londini a Siffon fabre- factus. ». Bina horologia pendula Parifiis a le Paute conf(lructa, 3. Tubus achromaticus Dollondianus r2 pedum. 4. Tubus achromaticus 3"" pedum eiusdem artificis. 5 Telefctopium Gregorianum $80 pollicum heliometro intiru&um a Short elaboratum. 6. Pyxis magnetica declinatoria Parifiis con(ftructa. 7. Acus inclinationis Petropoli fabricata. 8. Thermometra et Barometra ibidem confítructa. Examen quadrantis. x, Ad horizontem Fa&is in trabe quatuor metis, quarum diftantiae erant 22; pollicum, aequales nempe differentiae altitudi- num tubi, dum quadrans e fitu erecto in fitum inuer- fum conuertitur; hacque trabe ad diflantiam dimidiae circiter werftae erecta, cepi fucce(Due altitudines trium fuperiorum metarum in fitu quadrantis recto, et trium proxime inferiorum. prioribus refpondentium in fitu inuer- fo. Ex repetitis operationibus fequentes pro errore qua- drantis reperi valores: Aaa Dies iio )'sz2 ( e c!en Dies ope. | 78t2€ metae error 5 OP* | acf. [in fitu reco | defa- [in fit. inuerf. quadrant. - rationis per per gum l |[—0*26'45"| M 4 0-385209!15'D48;" 5 Aug 1! |— 0.34.17 | III O0. 43. 56 |5-.49; II |—-0.241:r.45 | IV Oo. $3. 26 5 5. 59: 1 ü o, 26. 45 IL |. 9,38. 22 5. $. AB: Aug. ll |—0.534.28 ! III o. 45. 58 |5. 45 D 3H .[—0 26551 1v | ^9. gb e! Iron l — O0, 20.55 Ir * 4s. 5 s' | s.- 46: a Aug.| MW |i 9.834. 33 | THE- |» o24600:| $27 44 | Ur j—o0242. &lI 11V 0.53.94 |5. 44. |] |—o:57 P E T gU. $E T Prom & Sep. | II |— 0.34.45 , III (946 151525 45 lI |[— 0.42. 8 IV E uS. $353 5. 52 Ex omsiiws mcdius- 8lo4 1$2 407&15 ip mub idus mut 'a. Ex altitidinibus fixarum ad Aufirüm | et' Boream captis i? onfhiovr Teii23 UH H (ffiUltL T Quom wuAibcatio huius inramepei. ad Senith,,. ob. prominentiam, Nonnii fitum penduli deturbautem,, tuto i4 fitui non poffit, elcgi fixas fub cadem. fere alritudine ad. Auflrum et ad Boream culminantes: in illarum numero occurrunt «a, à Lyrae et * Pegafi, inter has vero 9 Dra- conis, Q et ^y Cephei. Collatis obíeruationibus cum cal- «ulo deprehendi errorem fubtra&iuum, vt fequitur. Ex e52 ) 575 ( $9 Ex « Lyrae et 9 Draconis in altitudine 75? Ex Ex Ex io 20 Aug. t d mu n MEM Mors. Sf e: Sept. » 23 TÀ A v 6 2, £ Sep. - - T - - 6.3 NUN dasDiUe XUC. UoEIT2i-e, $2959 E med. RRESNIE- 6 Lyrae et Q Cephei in altitudine 73? 26 Aug, C00 aee Ho S AER n 5 Sap. 5 "nma amm. MI ES med. CIT 3j Pegafi et ^» Cephei in altitudine 66? 23 Aug. s: - E zi u z 3 Sept. 5. 5I 26 Aug. 2 P e x Seft. z 3j 3. 5I SUPREME cR cji tUe Mte 5.54 med. S. 50 His addi poffunt aliac comparationes & Lyrae et Q Cephei - : 6. 2 à Lyrae et 9 Draconis - — - 8., 50 Q Cygni et ^y. Cephei ^ * 5. 53 y Lyrae et Cephei - . $^ 54 eadem et «y Cephei - - k.tsa Medium ex omnibus 5. 53; Aaa $3 Ex et )s74( $93 Ex allatis exemplis fatis liquet, errorem .Qua- drantis prope Zenith parum differre ab errore eiusdem ad horizontem: difcrepantia paucorum fecundorum partim obferuationibus partim tabulis et reductionibus adícribti poteft. Hinc fumto ex vtroque medio prodit ille — 5! 50" quem a vero 5 fecundis vix abludere verifimillimum eft. Determinatio latitudinis ex altitudinibus Solis et fixarum meridianis. Pofitionem meridiani determinabam ope circuli a- zimuthalis, pedi Quadrantis adnexi, cuius diameter eft 12; pollicum. — Capiendo altitudines Solis correfpondentes in ipfo tubi centro, notabam gradus et minuta in circulo memorato; atque ex obíeruationibus matutinis et pomeri- dianis fumebam medium, cui ob variationem declinationis Solis hanc applicui correctionem, Denotantibus P cleuatione Poli D declinatione Solis boreali ?» corre&ione meridiei in fecundis, correctio quaefita — 747.957 — 15 m cof. D cofec. (P — D) quae in minuta prima commutata eodem modo ac corre- &io meridiei applicatur, in fignis nempe defcendentibus additur, in afcendentibus fubtrahitur. | Pofito hoc modo Quadrante in meridianum, differentia inter appulfum cen- tii folis ad filum -micrometri verticale, et meridiem ve- rum per altitudines correfpondentes repertum, raro ad 6 vcl $ fcrupula temporis fecunda affurgebat. Circa em Oa ( Ves Circa altitudines Solis et fixarum meridianas no- tandum venit, eas, vt fpatio parceretur, ab errore Qua- drantis fupra definito iam purgatas eífe; porro in comipu- tanda declinatione Solis differentiam meridianorum inter Parifios et Orel rotunde 2: horarum affumtam; Declina- tiones vero fixarum apparentes ex tabulis ephemeridum anni currentis calculatas; tabulam denique refracionis D, de la Caille adhibitam. Eo alt. obferu. Tub femid. oO, Declin. O | eleu. Poli Altitud. limbi auftralis. 3 Aug. | 4^1 2.47] o!. 45" | 17^.24^.59" 5 25.56!.4.61i 5 53. 40. 4.2 O. 44 bus 49| 16.52.26 39 6 53.24. 5 | O. 44 | 16. 35. 56 46 Aititud. limbi borealis. 7 $3. 39. 4| Oo. 44 | I5. 49|16.19. 8 | 522.565) E 52.47.24 | 0. 45 às. Mrs 23 3 51..59.-L50 6:54 V4 dee Sra] 25 15 $1. 15.45 to. e sas | 49 16 50. $7.69 es 51115. 36.47 27 17 50. 37. 40 1517.52 | 33 x8 50. 18.29 to 5o | Io. 58 EX 24. 19 49. 58. 40 (s 52[I2 358.34 | 56 21 » 18.50 | o. 52 | 11. 58.45 39 23 48. 38.26 | o. 55 ? II. I8. IO 3o 2 48. 1'7. 40 L . 119. 57. 87 44. 25 pe 6 to. 54 [15:52] io. ag. ;| 34 27 is 6 | o. 55 , 9. 54-55 | 37 3o 46.10.55 | o. 58 I5. 54| 8. 50. 46 | *3 Dies wB2 )s76( $93 Dies obf. "- pe $t. Nou alt. obferu. | —- EL. mid. e| Declin. O | eleu. Poli 3 Sept.|44*.45.25 | 14. 1" 5s S 9?.25.' 18/|5: 525.5 6.4.9! 4- 44. 21.20 Es ; pO ce 4 6 43. 36.42 | 1. 4 | 6. 16.2 42 " |a I4. «| Y. 5 sse | TAM 48 $ 2. $ I. 4.0 12..70 $. 31, 16 358 I2 4I. 20.22 | 3 T 4I I. IO Y^. 15 40. 57.2 : gp dd 8. 56.55 37. I4 40. 34.80 | 1. x2 T ss | 3. 13. 50 50 15 SOLXE,TDA. IE. E85 , 8. 95. AX 42 1$ 39. 1.58 I. I5 I5. 59 I. 40. 50 3I 22 37. 28. 10 1. 20 16. o 6... 55 Medium ex omnibus 52. 5657. Altitudines fixarum meridianae. Dies obf. Decl.appar. LI EI It. LI fr - . S Nou Nom. fix.| alt. obferu. | refract. MCA TA Latitudo 1o Aug |9 Hercul. |627.10'.55"| o. 55"| 2.5*. DLE .56..4.5il a Ophiuc.149. 48.14. lo. 56 112. 44. 12 54. |e - c |447.57 |1. 14 | 4. 40. 24 4I 24. 6 HerculL |74. 21. 8 lo. rz 57. 13.32 43 a Lyrae. |75. 89. 10 |o. 17 |s 35.28 35 $0 a Lyrae |75.39.12 lo. 15 85.29 84 G. -..- |70. 11. o |o. 24. |93. , 7. 26 5o 0 -.*. |78:41.33 lo. 20156. 38... 5 52 F1 Scpt. E Lyrae |75. 39.14. |o. 17 |38. 35. 50 53 h » [30. 10.59 lo 483. 7.2 52 90 * - [73 41. 35 |o. 20 56. 55. 5 | 50 eB35 ) s757 ( $52e Aca Acad. Imp. Sc. Tom, IV. P. I. EUM Nom. fix. | alt. obferu. rinse 9 Sept. |-y Lyrae |69*.28'. o"|o', 25 y Aquar. |34. 35. 58 | 1. 56 *» Pegafi |66. 8.49 |o. 50 aVrf.mai.|25. 54.40 |2. 15 y Cephei|66. 52. 46 Win 29 6. - -|ja Lyra |75. 39.14. [0^ 17 yd. f*. £O [Oy 24. l 49s dais 32 10. 19 -» e 60. 97.953-LO. 25 óDraconis |75. 40.22 |o. 17 a Sagittar.| 54. 55.58 |O. 47 Y Cygni |76. 57.47 |o. 16 5 Q Cephei 173. 20.58 |o. 20 y Aquarii|34. 55-58 | t. 56 w Pegafi |66. 8.54 ,0. 50 aV rf. mai.|25. 54.58 | 2. 15 ry Cephei |66. 32. 40 10. 29 y. - l Cygui |70. 15.10 |o. 24 p Cephei |73. 20.50 !o. 20 | Y. omoccHBSBEIAN do. 29 Z5.- -jco Lyrae, 1235950016 !o. 1* B. MEGSED. 59.10.24. Ó - - |71.41.32 !O. 19 Iv - 24 169;29.50 |O. 25 à Dracon. [| 75. 40.25 |o. 17 Q Cephei 173. 20.58 |o. 2o 7 Pegafi |66. 8.54 0. 30 ly Cephei 166. 52.55 D 32.24. 2. 285. iu : : E 2 1S 5. 6. 24. 8. 55. .27 Decl.appar. ad diem obf. 15! 48 7 T9 34 530 6 16 T 94 [9) : 1 48 8 48 35 «58 I8 56 Uso Latitudo. 5 25.5 6.4.0 -H8))sy8 ( $He enr Nom. fix. | alt. obferv. |refraét. DicepRE Latitudo, 15 Sept.|a Lyrae |75^.39'.1 8" car! asas v [ss'ieta" 4« - l40.11.10 lo. 24. 133. 7. 28 42 8 Dracon. |75. 40. 24. |O. 17 |e 16.4.9 | 56 19 -- [Aldebaran!sg7. 3.50 lo. so 116. 3.55 55 22 - - |a Lyrae |75.39.12 |o. 17 |38. 35. 31 | 56 Q - - i70.11. 840.24. (33. 7.29 : 45 l5 Dracon. | 75. 40. 23 Io; 17 |67. 16 50 | - - s6 Medium ex omnibus 52. 56.45 Hinc fequitur latitudinem vrbis Orcl, fine fenfibili errore flatui poffe 52^. 56'. 4.0". De longitudine geographica eiusdem vrbis. Pro ftabilienda longitudine duas emerfiones fatelli- tum louis obferuare mihi licuit, Alias vero apparentias coceleftes huic fcopo inferuientes et quae hic videri potu- iffent, tempefítas nubila reddidit inuifibiles. L Emerfio a? fatellitis die ;, lulii obferuata tubo Dol- londiano Satelles ex vmbra emergit 9^. 55'. 5o" temp. ver. clarior apparet 9.. 36, 34 Eandem emerfionem D. Tscbernoi telefcopio Gregoriano notauit 9. 35. 45. II. Emcrf, 1"! fatell. die 4; Aug. obf. 7. 47. 25 dub. Jg. 4T. $30 certa, Socius ea )a79 (fe Socius impeditus 2o fcrupulis fecundis tardius ean- dem obferuauit. De vtraque obferuatione a me faca non habeo quod dubitem ; ambae enim inítitutae coelo fauente, loue bene terminato et fafciis fat confpicuis, ^ Motus horologii per altitudines Solis correfpondentes diebus obferuatiounes has praecedentibus et infequentibus captas bene exploratus. Deficientibus obferuationibus correfpondentibus ni- hil reftat agendum nifi vt comparentur illac cum mo- mentis ex ephemeridibus depromtis: Emerfio 24 (atellitis Parifiis e calculo ^. 2rf, ro" collata cum obferuatione mea praebet diffe- rentiam. meridianorum 2, 14. 138 Emerfio autem 1"/ ibidem notata BH Cas Us 1A. dat differentiam 2,—-14«. A6 Media igitur differentia meridianorum 2.1 34. 42 Ob maiorem certitudinem contuli easdem cum calculis ephemeridum Berolinenfium: prior ibi notata g^. 5^. r5" dat differentiam | 15. 50/. 57/; altera vero 6^. r7. 57" praebet i^, 29'. $5"; medium ex vtraque r^. 30/. rs! Cum iam longitudo Berolini a Parifiis fit — o". 44/. r0! longituto vrbis Orel a Lutetiis Parifiorum eruitur 2^. 14/. 25, Quum conclufiones hae tam egregie inter fe confentiant, longitudo media ftatui poteft 2^. 14^. 25"; adeoque in par- tibus aequatoris 33?. 57'. et a meridiano primo 53? 37/5 quam fi pro exacta afferere non audcam, illam tamen Bbb2 haud —eDc; )sso( St haud procul a veritate declinare ct pro vfu geographico fufficientem eífT: confido. De declinatigne & inclinatione acus magneticae. Declinationem acus magneticae obferuaturus probe examinaui latus pyxidis parallelum effe lincae per cardi- nes feptentrionalem et auftralem tranfeuntis: dein appli- cato latere. pyxidis ad planum quadrantis in meridiano. confiflentis, ex repetitis facpiffime obferuationibus inueni declinationem 9? a Septentrione verfus Occafum; nullam- que fenfbilem mutationem animaduerti. — luclinationem acus deprehendi ioter 65 ct 75 gradus; verum his expe- rimentis ob vitium | inflrumenti ex itinere acceptum non fum contentus, iisque rcferendis fuperfedeo. N OU- wet32' ) 58r ( Gee NOUVELLES RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS DANS LE MOUVEMENT DE LA TERRE CAUSÉES PAR L'ACTION DE VENUS; par NICOLAS FUSS. E? caleulant la table des corrections du lieu de la Ter- re dérangée par l'a&ion de Venus, laquelle fe trouve dans le fecond Volume des nouveaux Actes de l'Acadé- mie, à la fin du fecond: mémoire für ce fujet important, je n'eus pas, à la verité, beaucoup de confiance en la mé- thode qui fervit de bafe à mon calcul, Cette méthode, quoique trés belle em elle méme & préférable à certains égards à celle que fon illuftre Auteur avoit propofée dans le XVY. Volume des nouveaux Commentaires, ne me pa- rüt pas fufceptible , dans l'exécution, d'un degré fuffifant de précifion, à moins de faire des calculs capables de rebuter le plus intrépide calculateur. —J'avois appris à me défier des approximations fuivies de fübítitutions trop fouvent repétées. Mes doutes cefferent pourtant, lorsqu'a- prés avoir achevé ma table j'ai vu qu'elle s'accordoit affés bien avec celle de feu Mr. 4e /a Caille, aux différences Bbb 3 prés e252 ) ss2 ( $9 prés qui ont du naitre de fon rapport des malífes, adopté avant la derniére détermination de la Parallaxe du Soleil. J'avois perdu de vue la comparaifon de fa table avec celle du premier mémoire de Mr. Eur, qui auroit achevé de me jetter dans l'incertitude, fi j'y euffe fait attention. Frappé cependant de la différence entre les deux tables de Mr. Euler, dónt je m'appercus pendant l'impres- fion des deux derniers mémoires, j'ai toujours peníé à réfaire mon calcul, lorsque Mr. Lexe//, Geométre auffi con- fommé qu'habile Aftronome,, engagé par les follicitations de MM. de /a P/;ce & de /a Lande fe mit à examiner le premier mémoire & y apporta les corrections qui fe trouvent dans fon mémoire iníéré au VI*. Volume des Aces. La table qui eft à la fuité de ce mémoire s'ac- corde trés bien avec la mienne, à quelques petites diffé- rences prés, que j'ai d'abord attribuées à la fuppofition differente de la diftance moyenne de Venus au Soleil & du rapport des maffes; & cet accord inattendu a du dilíli- per naturellement Jusqu'au moindre doute fur la certitude de la feconde méthode de Mr. Euler, qui paroit l'empor- ter auff; fur la premiere par la facilité du calcul. En parcourant de nouveau cette méthode j'ai vu qu'elle peut non feulement étre préfentéc d'une maniére plus lumineufe & plus fuivie, mais que le calcul numéri- que, dont je n'avois mis quc le réfultat dans le fecond mémoire, cft fusceptible d'une grande diminution de tra- vail, c'cft ce qui m'a engagé à le réfaire, & j'en vais préfenter ici les détails à la fuite de la Théorie méme, quce je vais reprendre, fans m'arréter pourtant à toutes les pe- epis ) 389 ( $99 petites. opérations préliminaires, me refervant la liberté d'é- tre plus étendu dans les paffages, oü je me fuis écarté de la route tracée par Mr. Euler, urtout dans la réfolution des équations principales que fourni(ent les principes du MT vement, & dans ledéveloppement du binome (1—7cof.5) : en gardant cependant pour l'une & l'autre les mémes dé- nominations. €. r. Soyent O, B, A, les lieux du Soleil, de Venus & Tab, XI. de la Terre, pour le moment de la conjon&ion des deux Fig. 6. Planétes, tous trois daus le plan:de lécliptique, & fuppo- fons qu'aprés un intervalle de terops 7, répondant au mo* yen mouvement de la Terre 0, les deux Planétes ayent décrits les angles Ao $5 —dO & Bo9-—w, nous au- rons l'angle d'élongation $ O 9 7 5 — p — (. Soyent les diffances au Soleil O$ — v & O9-—2, & la diftance des deux Planétes $ 9 — w — Y (aa-4j-vv —2avcof.3). Enfin nous exprimons la mafle du Soleil par l'unité & celle des deux Planétes, que nous fuppofons égales, par m. Cela pofé la force dont le Soleil agit fur la "Terre dans la direction & € fera — —— , & celle de Venus qui agit dans la direction & 9 — —7—-. A ces deux forces il faut ajouter une troifiéeme provenant de l'a&ion de Venus fur le Soleil dans la direction 9 O — 7. — Mais ces trois for- ccs fe réduifent à deux, parce que la force felon & 9 équi- vaut à bi autres , l'une felon & O — 2?, l'autre felon Q 9-7 de Dre que les deux forces qui agiífent fur la aU? : Terre dans les dire&ions 5 O & 9 O font, la premiere —i-m — m ma — UE dz d »la feconde .— 77 —.s* 6. 2. en )ss4( $93 6. 2. Soyent les ordonnées pour le lieu de la Terre OX-——x,X5$—)y, &les forces qui agiffent dans la di- recion de ces ordonnées feront: felon G9 X-— (CE? 4- Pepe e NE 2r) cof. Ap fclon X à Z — (E -- 55) fin. — (7 — 25) in. p qui doivent étre égales aux forces abcéletat los t & 242, d'oà l'on tire les deux équations fuivantes : d —— uy cof. (— 75 cof. (p— 7. cof. p E75 cof. Vp 45 —— E? fin.(D—77 in. Q — 75 fin. Vp 77 fin. Vj qui combinées fourniffent ces deux Mox ddycof. p —dd x fin. —— m "a dye MU L— i ng-42 fin. 7; d d x cof. D -i- d dy fin. p — Amo mo m à caufe de y —D — 3. Mais les fedt dimid de lPabfcife x— cof. & de lordonnée y — « fin. (D étant: ddx-—ddocof (—2dvd(pfin.D—«4Q(* co(.(p—ved d pfi. c: ddy-ddev fin. Q-- 2d vdQpcof.(Q—v4Q fin.(p-pv d d cof. on en tire par les mémes combinaifons: d À y cf. 91d zfn.Q — 2dud9 4:229 d d x c»f. M D VL. "Hm am map , ce qui donne les deux équations fuivantes : dvdQ--odd? m ma 1440 0449 — — fin. «4 4- i fin. 7» ddv—ovodQ — —3--m "mo. m , " 2 cof. 2. —4d8 —— ww» ow z, Cof. w 7 25 cot. 7] $. 5. Avant que de réfoudre ces deux équations il faut m Obferver que pour les termes affc&és du coeflcient 7;, coni- 32 ) $85 ( etos comme trés petits, on pourra dans l'expreflion de la di- ftance w —Y(aa-r-vvo—2a«cof. 5) mettre à la place. de v la diftance moyenne de la Terre au Soleil que nous fuppofons — 1, & nous aurons : tU zt CE -r-aa—2 acof. y) — Y 1-4- 1-78 p 15 Egg COb 91, ou bien 2 Au OR co 8 TVí(xr-kaa)(z—"cotwy, en mettant pour abréger p — d'oü ;yes obtient A DE 2i e d (1 — n cof.) ? (1x 4- aa) f ou bien — — p (x — nicof. 45 *,en méttant —— (14-aayf En fübfituant donc cette valeur dans les deux équations principales, elles prendront la forme fuivante: L2 Li 229497 odd 9 —— 7 fin. - y afin. «(1 — ncof.3).*, —vaQs 4 120. — Y zi ddv— 249 Un — — 7 cof «-F Ia ccof. ; (1720f. 7) LJ 2 —p(1—mcota)^, d'oü il s'agit de tirer la valeur de v & de (Q exprimée par l'angle d'élongation 7j. 6. 4. Soyent pour cet effet nos deux équations ^ 2 2. TON 2do29 ea iM. P & det "UM icm cr & mettant v—1i--pkp & 39—21-r-&4, Acla Acad. Imp. Sc. Tom, IV. P. I. TRE G € la enH2 )3s6( Sx la premiére de ces équations, multipliée par v — 1 -- p f, deviendra odo o9d09 — M (x d- p )P— p P, à caufe de p^ infiniment petit du fecond degré. L'inté- grale de cette équation cft 2239 — C 4- y JP 40, ou bien, en fubftituant & mettant la conftante. C — r1 Gr gRpY (x kg rMT2:ppctpRq-i-cp/Pde, d'oü l'on tire /P406 —25-- 4. 6. s. La feconde équation devient E —QGMREG EJ MB SÁT —MQ, ce qui à caufe de (x4-kp)(x-- p 0 — 327 ppc 294 & (Eu 00€" l(i-q«m)(:—24p)-1i-cm—2gnp vv 177i] p fe reduit à- Bi4^--m—3pp—294—prQ, d'oü l'on déduit eb op mau 2k /P dà Q, d'oh enfin il réfulte i$2a-p—Q-rifr4P—--, oü il y a P-—-Ekn.«--afin.g(1—5cof.2) qc M^ s) t (c meo EMIL! jaa i LI en mettant pour abréger | 7 — — "e B [2^] Soit et )ssv( $99e $. 6. Soit (1-n2co[.x) 5 — A -1- B cof. 4 -1- C cof. 2 4 -- D cof. 5 € -4- etc. & parceque cof. y fin.z— 1fin.(y -1- 2) — ifin.(y—2) & cof. y cof. — 1 cof. ( y — 2) -1- icof. (y 4-2) ; on aura P-—Aafin.«--iBafin.2«--; Cafin. 5 7-4-:D a fin. 4s-.-etc. —iCafia.X —;Dafin. iq BAA 3 UR t 4. — etc. —kfin.7 ou bien, fi Pon met pour abréger 5—ia(2A—C)—k; eoíi nga D); —ia(C-—E); € — i'a(D —F); etc. on aura pour P la férie fuivante: P —35 (in. 7j 4- €fin. 2 4 -- 9 fin. 5 « 4- € fin. 4. 5(4- etc. $. 7. Pour convertir la valeur de Q en férie, foit Q.— A! 4- Bícof x 4- C'cof 2 »4- D' cof 32] 4- &c. &^ parceque Y acof»(r—mcofg) '— --A acof.»--;Bacof. Jia tofisis F&c. -Hi Ba--iCacof.*2-:Dacof 2, --iEacof. 5€4-& c. —(i—mcofg) *— —A-—Bcof*« —Ccof2;—Dcof.3*x— &c. — kcof. qz — k cof. « on aura pour les coéfficiens A^, B^, C^, &c. ces valeurs: A'—iBa—-A; Bp/—ia(2A-4-C)—-B-&k; C/—;ia(B--D)—C; D/—ia(C--E)-D;&.. qui étant déterminés, la férie adoptée, fgavoir: C. o. Q eno )sss( Ss " QE A c B cof; ^ C^ cof. 2 i-- D' cof. 3 4 t &c. pourra étre mife en ufage. ud 6. 8. .Pour exprimer par une ferie femblable la valeur de ip d- p, db ne refle à déterminer que l'intégrale 2/P49, qui en mettant dézzid^fe trouve étre 2/P40—2ifPdu—-2A—'/:8cof.*—' cof. 2» — 1 cof. 5; — &c. à laquelle fi l'on ajoute Q — 7-, on aura p A2 A— I -E(B'— *2)cof 5j --CC'—7/€) cof. 2 4 4- ( D'- 71 S) cof. 3 X 4- &c. ou bien, fi l'on met A A 2A—IA9, B/—59$— 529; C2 |e234. D'—19—323$5 &c | on aura di pp 9-3 co vcr eof 4 7] - 9! cof. 3 3; -- &c. €. 9. Tout dépend maintenant de la valeur de f, ; qiti doit étre. telle. que. 22? -1- ? foit égal 3 la férie que nous venons de trouver. Suppofons cette valeur pa cof.» 4 "y cof. 2 5 4- 0 cof. 3 4-17 &c., & nous aurons 44 — — 5 cof. —*Ycof. 2 «— 7 cof. 5 X— &c. & partant 445p —2«-- 8(1— 5; )cof. * 4- y (x — 1$) cof. 2 -- à (1 — 2-)cof. 3 »4- &c. férie egi; ) 389 ( $e férie qui eft égale à la précedente, en mettant a, — 9I; Bem s ic^ rig E a —1IS.)Re — $. xo, Ayant trouvé $ on-en déduit facilement q—/P4d6—2p, ce qui fournit la férie fuivante: q—A-— 2a-—(i35--2 8) cof 4j - (3i € - 2 y) cof 25] — (14 4r 29) cof. 57; -- &c. ou bien en mettant pour abréger A —2a- a; i85--28—— DC p 2 —— y!; ii 20 ——0;&c. la lettre 4 fera exprimée par cette férie: q — a" 4- Q'cof. 2] 4- "y'cof. 27) 4-0! cof. 57] -F e cof. 4.57 4- &c. $. rz. De cette valeur de 4 on déduit 22 — x -1- j. a! -1- y. (2! cof. 2] 4- J'y! cof. 2 2j -1- etc. & de là d — (xal) d 0 -- p. i'd; cof wd p d y Id cof. 23-ete. férie dont Pintégrale nous fournit d'abord Q — (x 4- p a!) 6 4- i Qin.» -41- 1 e iy fin. 27) -4- 5p i fin. 5 €» -- etc. oü le premier terme (x -- j. a!) € doit étre égal à la lon- gitude moyenne de la Terre 0; nous aurons par conféquent a —A-—204--0,et partant A—2a, et les deux corre- «tons cherchées pour la diftance & la longitude de 1a Terre feront v — 1 — y (&-- Q cof. z 4- y cof. 2 2-9 cof. 3 2- etc.) Q— 6 — p.i (gin. X F1 y, fin. 2 7 4-59 fin. 3 4p etc.) Gce 3 Pour ej3 )590( i5 €. 15. Pour déterminer maintenant les premiers co- efhciens A, B, C, etc. auxquels tous les autres fe rap- portent jusqu'aux derniers, foit 3 EU, (r—5cof.») *— A--Bcof. «4- Ccof. 23 -- etc. V et en prenant les différentielles logarithmiques ay m sndwfi. —— — B d vin.» —2 C d "fin. 2» — etc. V — a((—ncof.*») — Ad Bc.» 4- Ccof. 37) 4- D cof. 3 d- etc. on aura cette équation: QXtfin. € — L— :Bfinow-- «Cin. : »-- 6 Dfin. y» H- etc, — S 1—ncoj.« — AdJ-Bceof.m4-Ccoj.:Yy--Dcj.:«4-et. —. V! ou bien 32 Vfin.w—S-i-n Scot. —0o0. Orilya 5 V(n.X— 3n A fin.»y 4- 1n B fin. 27 -4- in C fin.5 «-4- etc. —ig C[íin.w—inD fin.2 X —1nEfin,. 35 *«— etc. nS cof. 4— cnBfn.2»-E-2nCfin. 5 «4 etc. 4-22 C fin. - 51 Dfin.25- 4 6 E fin.5 7 4- etc. —S$-2-— 2Bíin.*»— 4D fin.2xy —6 Dfin. 5 4—etc. 6. 15. Pour rendre cette exprefüion égale à zero, il fiudra faire évanouir chaque terme féparément, ce qui fournira les déterminations fuivantes: 55^ A 2B—inC, ou bien gr$—2-—ing i $54B -— D :nBLI4G-—inD SC 4—ino Le E "nC—6D-inE üp-—Ó6—ihüg '"Dt-8sE—ZnF :n2 — —inzt d'oü l'on déduit facilement en fractions continues: a—3ang-—a-i.inn eg )so:( $95 8—z.7nn 1 (9 c— etc, & cn général y — (rom a(r-x) — (r2) (r2 m a(rr2)- (r2 (r8 nm z(r-3)— (3-2 (0922 2 (r4- 4) — etc. oü le nombre r eft pour la fra&ion 6 égal à 1; pour la fracion c il eff — 5; pour b ily atf-— 3; & ainfi de fuite... Et fi ce nombre r eft afíés grand , au lieu. de cette fracion continue. on pourra fe fervir, fans fe tromper fenfiblement daus les premiéres lettres a, b, €, etc de la fraction fuivante: p— (ran Z- 2 (rx 1)— (r1) (r2) 12 — 2(r4-2)— (r4-2) (r3-3) 11 MEE ————— (r-3)— (r3) (r4), 2 (r 4-4) — etc. qui € )sef( $93 qui divifée par r-i- 1 & déprimée íe rcduit à doà lon tire $$—o2orf—nne& f—31-EY(i—nmn) ce qui donne 9 — (r1) x -Y(x —2)) Ayant trouvé cette valeur, il fera facile de dé- terminer, en remontant, les valeurs des caractéres a, 5,c, b, &c. Car ddl L a -— 2 — i -- e Y m 4 — d'oü l'on tire CH les coéfficiens cherchés LT snB. AT LESE — DED.. A Bez $C —«D— E —*$^ &c. "TEE URS. 4 —— M LL DDEM. 4€ ) CN «b r] ctc. $. 14. ll ne rele donc plus que la lettre A à determiner, pour laquelle il faut avoir recours au déve- loppement a&uel du binome, qui donne (1—n cof) ;- 1--incof.w4- 2 n' cof T EE"Tcofo-r-&.c. Or il y a par les transformations connues cof. * —1-r- cof 2* cof. »' — 1cof. 3 -1- i cof. 5f cof. 5* — Z4 -- 1 cof. 23) -1- ; cof. 4.3 cof. ^! —— cof. 3 -- 4 cof. 5 € -- 4 cof. 553 cof, ?^ — -*5 -- gs cof. 2» -1- ;, cof. 4 4 2- 4 cof. 65 3. 5, 6 &c. d'oü e$ )8593 ( $3 d'oà lon Min... en prenant les termes abfolus adhi 1.3 qu 5. 9 1.3. 5 $.5.7.9, 11, TX Acicignim- c. a IA Ln i nf.L &c. 2.4.6 2. 4, 0$ 8, 10, I2 & cette RUE 2 Mu B icoien à celle - ci: —— 3.5 5.5 7. ncs AccrqdLig- B pl IB .D8gq $3.52. D: q* 1. c, Mais cette (éric eft trop peu convergente, pour qu'on puiffe s'en fervir avec füccés. Voilà pourtant un moyen trés facile de la rendre afléz PRU EEEUS 1 -— 3.53 4,2 s.5 ?. 3. 5 7,9 IY. RADHEI Puisque A — 1 4-55 MIEIQB*$6 OI. n5 -- &c. 12.12 '"z on aura zm A zn zi mp m, P ^" -- &c, & la différence de ces deux féries nous fournira (i—-n27)A-—1i—4im"—Z4.LXm—Qu.7.7* 0 — &c, & nous aurons enfin pour À cctte expreffion: A: Vs üt— Di.Ri. 7.9 n -- &c.) .8 4. 4- 12, 12 (1-1 m"— 1 oem dob car on voit qu'on n'a qu'à changer loordre des dénomina- teurS 4.45 8.85 I2.12; &c. ce qui facilite le calcul nu. mérique des co&(hiciens, que nous allons faire. $. 15. Pour cet effet il faut connoitre la valeur de a qui eft fuivant Ha/ley a — 0,725533, d'oà l'on tire 9] — ——1-0,949*5 et 1n — 9, 977608 1-4 & partant Acla 4cad. Imp. Sc. Tom. IV. P. I. Ddd np -c3$ ) 394 ( ci Coéfficiens | Logarithmes | Termes ln —9,955216|0, 062500|8, 795880 '|0, 05638 ln* —9,91043210,01464$8|8, 165778 |o,0r192 ]n* — 9, $865648|0,006409|7, 806769 |90,004370 lm" —9,82086410,003580|7, 553865 |0,00257 1n^—9,7176080|0,0222$2|7, 3558546 |0,00156 1n" —9,73129610,001581,7, 198896 |0, 00085 1n*—9,686512|0,001159|7,064248 |0,00o56 1n'5—9,64172$|0,000887,7, 947799 |9,00039 1n" —9,596944|0, 000700|7, 844980 |0, 00028 ]»? —9,552160[|0,000566,7, 75315309 |0,00020 1n*—9,507376|0,000468|7,670075 [0,000015 15*—9,462592|0,000393|7, 594271 |o, oco1t La fomme de ces douze termes fait 0, 07957, à laquelle fi l'on ajoute pour les fuivans 0, 00055, On aura — P$ — 0,07970 |. 0,920530 ..—. A —— 9; 3927. qeeurn&k 91—248 6. 16. Pour les cara&éres à, b, c, &c. nous nous arréterons au quinziéme p, oü r-— 14, & nous aurons p— 15 (i14-Y(1—an)) 2 19,6953 ocag — 18,4166 n-a6— M -— 15,1226 im-24-—--—— ——15, 8214. 1,55 n"l —. IZ a-e — 14,5171 f—2o0-— 7 L— 15,2117 E—L I — 11,9065 525 16 Dm — 10,6022 9—14—75,— — 9,2994 -$32 ) 595 ( $E [civem — 7,9989 es Lib ip c "e u0"moIs b— &——t — 5,4990 cc ó—-t— t— 54, I2:39 bcm -:2,59:7 qu E L- m 65046 J] auroit fuf, à la verité, de s'arréter au caractere ( ou f; mais comme les exprefhons font trés fimples, j'ai trouvé mieux d'aller un peu plus loin, d'autant que tout le refte de notre calcul dépend de ces quantités a, 5, 6,056. $. 17. Ces valeurs étant trouvés, on en déduit les co&ffciens du binome qui, en y jJoignant le premier, feront b. ds pr, | — "AC 6,8940 B "UAE 83 G-— X s, 3507 C— a — 19, 8868 | H-— LS —4,0755 Dco 946 I T — 98,1032 E— D - 8,8445 | &c, 0C $. x8. La quantité £, qui entre dans la déter- mination des coefficiens 25 et B' fe trouve 3 pl SG d. 5931 & la fuite de ces coéfficiens fera: Dádd 2 a9 e-2 )396( fu $5-*a(2A—C)-k- —1,82141 A! —:a B— À — —3,5603 € —:a(B— D) -—— -- 1, 9840 Bí-'a(2A4-C; —B—4-—8,4549 Gy —:a (C— E) — 24- 1, 8256 C—: ! a(B--D)— C 2—3,8065 € -*a(D—F) 4-2, 5550 D'-ta(C--E cc NE 4 $ -:a(E— —G) — -- 1, 2744, E'Z 1a (D-- F) CE-—2,5028 6 —:a(F—H) —-- 1 ,O194| F/—2:a(E-4-G)—F—-—1,7709 $ z1a(G —1)— -4- o, 8020 |G'-ia(F4-H)—G- —1,3534 &c. Hi-1a(G--1)— H--—1,0289 &c. €. 19. Dans les coéfficiens fuivans il entre la quantité — (x -- a aj! — 1,8799; & la quantité i — 33- Pour déterminer celle-ci il faut rc- marquer, qu'en regardant le mouvement des deux Pla- nétes comme uniforme, il y aura *$$ — 1 & 4* — 72, le ) — 338 ? mouvement diurne de Venus étant r^. 56", e 576$/ & sels de la Terre 59'. 8" — 554$". On aura donc — dy. dQ.—:no g a —"5.- 3; 54 & partant i— €* —1,59819. Donc les coefficiens: 22:0 9/— A 2A — 2 —24 — 5,2496 G CE —76€2—53,5454 PERCEP ——2,6350 |y -F'—718-7—2,5856 —-C'— jug ——6,9773 eser c: 2 D'—'72 ——4,9153 | f C H'— 7 $-— 1,3951 : &c, $. 20. Par rapport à la conflante A il faut remar- quer que, puisque à — A —22—0 & « — 9I, il y aura &(—l1AIZÜWMIA-—5,2406 & e$32 ) s97 ( 299 & partant A — 3, 4957. Nous aurons donc enfit a -—9!. -*x,747| g — (28-53) | —- 12,565 B—-— —— 4327y——iGy ii E) — 18, 120 LX i / v—LI- mürneamgul-iQPEIPS)— x62 SU 2? ; T — 1,948|ic — —i(264-;i€)—— 0, 492 cL G : 9| : . : csse cmdgs 16 —-J(065- pq) 10; *99 d ics 9, 294|: 5 ——: (25-0 :iO)—— 0,093 s ]g-—-——- — 914] g——:(206ii$)— 0, O£I ; EE &c. C. 6. 21. Ces valeurs étant trouvées, les corrections cherchées feront € — 1 — y (e4- cof. «4- y cof. 2 2; 4-8 cof. 5 « -- &c.) (Q —0— yi (8 in.» 4- iy/ fin. 2 « 4-19" fin. 3 77 4- &c.) oü, eun mettant la diftance moyenne de la Terre au So- lel — 1ooocGd EH y a p — 1,519 & gu 2—o, o1, d'oü il fera facile de cakuler la table füivante, cn donnant à langle 7j fücceffivement les valeurs o^, 10?, 20^, 50?, &c. $. 22. Cette table convient parfaitement, quant à la forme, avec celle de feu M. 4e /a Caille. Quant à la correction des Longitudes, elle eít plus petite dans la Ddd 3 miennne ,-6$ )as8 ( $$ mienne d'un tiers à peu prés. Les corrections de diflances ne différent pas tant: La plus grande correction étant d'aprés dé /a Cai/e de 31 & 26 d'aprés ma table. 6.23. En comparant notre table avec celle de M, Lexcll, nous voyons que les corrections des Lonsitudes font les mémes dans l'une & l'autre: La petite différence dans celles des longitudes n'eft d'aucune contequence. 6. 24. Si nous confrontons cette nouvelle table avec celle que j'ai calculée autrefois fur les mémes principes, nous voyons que les legéres différences qui s'y trouvent, ne pcuvent venir que des valeurs de a & de w! un peu différentes de celles quc j'avois adoptées en calculant la premiére table, 6. 25. 'Tant que nous ne ferons pas mieux inflruits fur la maffe de Venus, l'une & l'autre de ces deux. nou- velles tables, calculées en différent tems, par dcux diífé- rentes perfonnes &, ce qui plus cft, d'aprés deux mé- thodes entiérement différentes, doit donc mériter la con- fiance la plus entiére des Aflronomes. TABLE - - O HM w- ze ie —— M—M M ————— MM M ———— — M — — — — — M — E [9) - - - QOO S SH Mu - m - E) m 32 - - OQ On ODBDIWMn D ug M-b-IOcGc -I He 'o n nunO Oo - - E E t0 D p ^» p D C92 Q9) D D D HM HH to E lugo HO Q' Ong -IOcwco'onHn€ Oo o 'O Qe » Q5 C2 - Mw oc i ———— — — —M — — À — M o — — - —— — - O OQVoo r- O 1^ -«F-eoc 4 O OV oo F- O € «c0 O OQVoo p^ O i 4e 0 f OJr €0 c c& c c& c c à ci c& c& HH M Hon Mon Pag. 39 8. | VENUS. IV E In ASDOG USWOESNCUT: DIFFÉRENCE DES LONGITUDES HELIOCENTRIQUES DE 9 ET 4. DÉRANGÉ PAR L'ACTION D TABLE DES CORRECTIONS DU LIEU DELA TERRE ———— ——M—— ———M— M M—ÓÀ—À—— ÓMÓER enüidure Ei ic€ n ^ e e r ev o e MN Lu wA SEN e (mw ume ied lm, es Tes) Dese lec ax) rao Vs NOS UN VeL s LORDNS ROSAS jb tasa (0 0 www wc -:-: 4: -:0cd0c5c5cd0 dc ^ .MnHOOoOoDo0 ^ €^ "M O ev WS UIN. Tw dev. INI es ex dew EV av ad e DU res Ne Hod dox &uorneoodoóó CES LL CE CU US E qeu og. vou on decocto MI Ó e ^6 6 oO0Oco0Goccoodóóoococdoóoóóóoddódóadódadóéóddososr io o o Mo oH Ho ok oM oH Ho oH kB o HM oH Hh HH e € OQ ''0c0 r- 4-7 - 0 1^ O 4 O ^O t O 1n O à OV eco r- ^ Gc pF- H8 Q.l | s xPOX-R c5 c5 d wow wo O0 O0 O6 9 I4 e 1A PIE eor e METER UO M oM ko okM o kB o HM o MB oM oM ko H D D n ——— ———————— APT RONEPIEÓT NUR TR e Ren, emm 3 je59996-4ro0-2ccwocrrreowcaocosa Qljoof$*4$4005204ó6ó6Go8G8d666ó6346ó6dódó4óu4uud4 MuHHHHHnnnnnnnnnunnunnunnnnnnnnunnnusmul ———M——BÓ MM MÀ M Á—À aa a € € ái iaa à EN w- NU MED MdB ra cM LAM hM DE uo ur En UO H lé s OoooOooO0nHn-dcHuüdddcddcecd:dsod.ZSdZd4GAmasaóo66 ed HM d c5 4 1 o eneusreansraeneexononase]i ctc CE D mc E XS —— —Ó— —Ó — —À À— ——— ————— — —— —— —— — (URP SUPCR UMP UB MT, SM MUN UM IRE IN Red ERNEUT ET IE U RET T TOP TUS ENT CSS EATUR UU oou LCALUEN mM OO O00 0 0 occ rm rrG6ouwuwct4éodgd&4ó0óÓd0o0oridgduumu Lo MH HH H M oH zl M oM H H ———— ————— La LEN] oM HM el) —————— —— — ———— — — — —MÀM —À M —— AMA i —— & jJo e «0a o0 oo Io 0 ms 106 rro o» xl H leeócccecczossedaqaoscóódascosóós| Om co sdcwO0rooooOonctcco-iumuorrcocooncdscodiuuomrco3o0oo zi Degr. JU EZELLDELILECEEEEE EIER E UE ec ) 3599 ( $939 LOCVS LVNAE EX OCCVLTATIONE «y VIRGINIS ANNO r780. DIE 5; MARTII OBSERVATA ET] DETERMINATVS, Auctore STEPHANO RUMOVSKI. blau: ad quod occultationem »y Virginis obferuaui motum fuifíe vniformem conclufi ex altitudinibus Solis correfpondentibus, reperi enim: Die 5. Martii ft. vet. merid. verum — o. 2^. 5441, 4. ——. rem ^ 1 T 2 Oo. 3. 58, 4 —— 10. ,—— 8 AUS eb - 0.4 I8, 4 Hinc acceleratio horologii fpatio diei Solaris medii a die 5 ad 9 Martii colligitur 39^, 1 et a die 9 ad 1o Martii 3 8^. 8. Die 2; Martii. Immerfio *y m ad limbum 2) lucidum 4^. 264. 59^. t. h. Emerfio eiusdem ad limbum obfcurum 15. 25. 52. Momentum primum certum eft ad vnum minutum fecun- dum, poflerius vero non item , quia oculo non in id ip- fum punc&um, ad quod Emerfio contigit, dire&o ftellam exili iam interuallo a limbo Lunae fciunctam confpexi ; vera ec )4co( $5 vera igitur Emerfio aliquot fecundis, attamen paucis, a me obíeruatam pracceíferit neceffe eft. Momentis horologii ad tcmpus verum reductis habebitur Peiropoli lmmerfioypy m - - - I 4^. 2.27. 48. Emerfio - - - - - 35. 2I. AN Eadem occultatio obíeruata eft Stockbolmiae lmmerfio - - -. £95. 25. DM —— Emerfio - - - I4. 28. 98H Gedani Immerfio E E - I3. 393. 4T7- ——- Emerfio J^ MTS - I4. 38. MB conferatur Calendarium aftronomicum Bcerolinenfe pro an- nO 1783 pag. 112 et 152. Antequam ad conclufiones ex obíeruationibus his deducendas progrediar, non abs re erit, vt Elementa lo- cum ftellae et Lunae. fpectantia ob oculos ponam. Ex Calendario aflronomico Berolinenfi pro anno r7$0 Lon- gitudo flellae pro initio anni eft 6*. 7^. 64^. 16". ct ob Prae- ceffionem -1- 11^, Aberrationem -1- 19^, 9 et Nutationem — i^, » Longitudo flellae ad tempus obferuationis fit 6". 3^. 67. 45,5. . Latitudo vero 2*. 48^. 56^. Bor. Porro ex Tabulis Z/aieri Londini editis die 2, Martii 12^, 224, 44^ fiue 12^". 5o*. tempore medio Grenovicenfi eft: Longitudo-COlis media - -. Xi', 995.' "Lu (9 Longitudo Olis vera - - Q,. X2 f. BU Motus horarius Olis - - 2. 27, 8 Obliquitas Eclipticae - - 253. 28. 10, 5 Longitudo 2) vera - - 6. 6. 43. 544 6 Latitudo 2) Bor. - - 8. 45, 24.7 Motus horar. O in Longit. 36. 58, in Latit, — 2.15,2 Parall. aequat. - - - 60. 30, Diam. 2 horiz. - - - $2. 58, 3 Pofito t2 )aor( fue Pofita iam differentia meridianorum Petropolitani et Grenovicenfis »^. 1^, 16/, ratione diametri aequatoris ad axem telluris — 201:200 pro Immerfione Petropoli ob- feruata reperi Parallaxin Lunae in Longitudinem 4- 6'. 5$. » in Latitudinem — 53^. 42^, $. Diametrum Lunae appa- rentem 53^ 14/^,2 et denotantibus Ó, y et m correctiones, quas Diameter, Latitudo et Parallaxis Lunae horizontalis admittere poffunt, tempus verum coniunctionis ex Immer- fione prodit: 15^, o1, 44! -4- 1.64.8 — 0, 27 y 31- 0, 48 7. Pro Emerfione vero computo inftituto reperi Parallaxin in Longitudinem -4- 54. 30^, 4, in Latitudinem - 56^. 15", 9. Diametrum Lunae apparentem 533^. 114, 3. et tempus ve- rum coniunctionis : 15^. 04. 56" - 1.630 -I- 0, 189 -1- 0,08 7 Hinc 8" -1- 8, 220 —0,45 J -4- 6, 35 * —9O. 1mmerfio Stockholmiae obferuata fimilem in modum ad computum feuocata, pofita Longitudine illius a meridiano Grenouicenfi i?, 124, $^, dat Parallaxin Lunae iu Longitu- dinem --13.15/, in Latitudinem — 5o*. 59^, 1, Dia- metrum Lunae apparentem 33'. 16", 1 et tempus verum - coniunctionis : : 14". ty 49! -- I,775 à — o, 65 y -- o, 90 "T Pro Emerfione autem reperitur Parallaxis Lunae in Lon- gitudinem — 6^, 15", 4. in Latitudinem — 53'/. 49", Dia- meter Lunae apparens 35^ 14^: Hinc tempus verum con- iunctionis : 14^. 114, 56^ — 1,620 -- 0,06 y -- 0, O0 T ac tandem 13^--8,379 —0,71)-- 0,80 T— O0. — Ada Acad. Imp. Sc. Tom. IF. P. 1. Ece Pro oniuncionis t$ ) 4o: [ $$$ Pro Immerfione Gedari obfernata, pofita. illius: Longitudi- ne a Grenouico 1^. r4^ o" inuenitur, Parallaxis. Lunae. in Longitudinem -- 9*. 54^, 4. in. Latitudinem- —,48^..5 7^, 2, Diameter Lunae appareüs 55'. 15", 5 et tempus verum 14". 15. 55! -- 1,820 — 0, 83. H- 0, 947. Emerfio autem dat tempus verum coniunctionis 14^. 1 9f. 274, quae licet pro exacte obferuata ia Calendario. aftronomico Berolinenfi annuncietur , attamen illam ad aliquot minuta prima erroneam cfífe exinde patet, quod momentum coü- iunctionis ex ea deductum. plus, quam par eft, differat ^a momento coniun&ionis! ex Immerfione elicito, et quod dif£- "ferentia bat roi ne Stockholmiam ct Gedanum inter-ex Emerfione 74. 51^. refültet, cum per alias obferuationes conílet cam -duo minuta prima non fuperare. | Sepofita itaque obferuatione Gedaunenfi remancebunt, fequentes. ae quationes , adimpleniae: 8^ -1- 3; 170—0,467-F 0,35 12.0 15-1-5,537 0 —0, 71) -l- 6, 80 3$ — O. Quibus, fi ponatur 7 — o, fatisfaciunt 0 — o^, et.y — 20^, pofito vero 7 — 1' prodit: à — 0, 5 et; gy — 22/4 aíl «cum per varias disquifitiones Celcber. Lexell. Dianietrum JLunae e Tabulis depromtam minuendam potius. quam. augendam effe conftet, vero fimile eft alterutrius harum aequátionifm "mumerum abfolutum corre&ione aliqua indigere j; Yt' pro .ó "prodeat valor. negatiuus; admiffo vero exiguo: érrore in Emerfione Petropoli obferuata requifito hoc fatis" fieri -po- terit; pofito enim veram Emerfionem Petropoli,. prout fua- det circumttantia fupra commemorata, duobus minutis -fe- cundis praecefüffe illam, quae in computo hoc cft adhibi- — Mf, —e$9$ ) 4o8 ( $99 i ta, et retento - — o prodibunt eiusmodi aequationes, qui- bus fatis fit 9 — 1^, 5 et y — -j- 11^, pofito vero Emer- fionem tribus minutis fecundis Juífto tardius effe obferua- tam reperitur à — — 2^4, 4 et y — 4- $^. Hinc momenta pro tempore coniun&ionis et differentia meridianorum Pe- tropolitani et Stockholmienfis habebunt fe vt fequitur : Temp. coniun&, Differ. merid. Petropoli ex Immerfione 15^. 04. 38^. ^ ob. 48*. 58^. ex Emerfione 15. o. 538. O, 48. 58. Stockholm. ex [mmerfione 14. rr. 40. ex Emeirfione 14. ir. 40. Retentis valoribus à — — 2^,4. et y — -4- $^. Im- merfio Gedani obferuata dat tempus cóniunctionis 4^; 154 44". Hinc Longitudo illius a Petroburgo prodit 464. 54^ verfus occafum et a Stockholmia 24^ 44^ verfus ortum. Pofita iam Longitudine Stockholmiae a Grenouico 1^. 124. $^ tempus verum coniunctionis ad meridianum Grenouicen- fem habetur 12^. 59^. 52^, pro quo Longitudo Lunae ett 6. 7?. 6*. 54, 6 et cum Longitudo ftellae fit 6*. *5?. 6*, 45',"7 concluditur correctio "Tabularum in Longitudinem -- 114; quodfi Longitudo Stockholmiae a Grenouico fta- tuatur maxima, quam praebent non nullae obíeruationes fc. 1^, 12^ 24^ prodit correctio "Tabulatum in Longitudi- nem -- 20^, 4, Ex quo apparet correctionem Tabularum in Longitudinem pro tempore obícruationis non maiorem -l- 20^" nec minorem -j- 11^, in Latitudinem vero -i- $^ aut -- 11^ fítatui debere. ——— € —— MP ——eÁ Am ntes, iri ua dp iMN aiv ive «a fosichtott Ni M Hi ; M EI fioe ufi UN m ali vidi i» etos t T itm Emi diii ^ov 7e eoirtemm | ot ler abuse eaoina 2 nee u "eos ipi oo "s dgiie z í I" jer "ut KJ aut bul. L2. nl -duha Ldrad mp.4JccDetrap. Yum. IT P PZLAÍ. [o] ! — a -dua Arad gm. cceÓmon. Tem.iUIguiI — - eta. Ioad .Jonp . dc. Petrapol. Tore. Z0. P.I Zab . m. E. Mela od up. do. Petrqpol. gom. 2. PI ms rais ex - -deta Mou. Ionp. vi Petiopol gom. I P. Eu o m. 72 d C ' L : L eta. Aou Ionp. de Petizpol Tom. It P Ir gub GN 71! ^x eta deu. Zur. Sc. etrgpal. Tom. ZF. P.I Tab. ES a Mead . Ip. Sc.-Petramt. Tom. E. P.I. Tab Jr. 7a. Au .Dnp . Kc. Fetrapol .Zom. £9. PI.Tab.v. -Acta. au mp . dc. FPetapotd. Yom. Fr. PT.Tab. v. ata dead Imp c, Petropot. Torn. IV urs £L Ta. VIL. data Adecad. Emp dc. Fetrapot. Torn. IV Fars 1 Ta. VI. fcza- eae. mp. ee. Zetropot. Jv. 7p. 1 Jaé4. ZU. Ieta. deae. op. ee. Zetropot. fórn. I7p. 1 Fab. FH. data oa Br. Jc Petropol Torn. 1V. PI. Tal. VIII lead. Enp. Sc. Petrapol. Tom. IW. P. 1. Ta^. XX. Ada. Acad. Fnp. Sc. Ittrapol. Jom. IW. P. 1. Tab. IX. APR de. PePop.Zom. JEU Id-c6.X. F.6. teta. aud. Ip. Jc. Petri ap.Tom. E Pg cmé.xX. -—-» — "uet tegat Bop. ve Jep.ZUsn. 41K P £OITAÉSOXI. pA &cuL- fo (6. rs ZZ MVA nef Je paa ULCv Men F Ep, gun E», Ab eco Mer 00 pe. 1097 4. DM. alien Mec vol aan up d a. 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