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ACTA MATHEMATICA
ZEITSCHRIFT JOURNAL
HERAUSGEGEBEN REDIGE
G. MITTAG-LEFFLER
STOCKHOLM F. & G. BEIJER. © BERLIN 1809 PARIS MAYER & MÜLLER. = A. HERMANN, MARKGBAFENSTRASSE 51, CENTRAL-TRYCKERIET, STOCKHOLM, 7
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L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE WEIERSTRASS
PAR
H. POINCARE
à PARIS.
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Ce qui me frappe dans la carrière mathématique de Weierstrass, c'est la remarquable unité de la pensée, persistant à travers l'étendue et la variété de son oeuvre.
Dés le début, il s'est proposé un but bien déterminé, il a créé des méthodes pour l'atteindre; et, sil a essayé quelquefois ces méthodes sur d'autres problémes, il n'a jamais perdu de vue l'objet final de ses re- cherches.
Au reste il a pris soin lui-méme de nous en avertir.
En 1857, il entrait à l'Académie de Berlin et dans son discours de réception, il s'exprimait ainsi:
»Je dois maintenant expliquer en quelques mots quelle a été jusqu'ici la marche de mes études et dans quelle direction je m'efforcerai de les poursuivre.
Depuis le temps, où sous la direction de mon maitre Gudermann, je fis pour la premiére fois connaissance avec la théorie des fonctions ellip- tiques, cette branche nouvelle de l'Analyse mathématique a exercé sur mon intelligence un puissant attrait dont l'influence sur le développe- ment de ma pensée a été décisive.
Cette discipline, fondée par Euler, cultivée avec ardeur et succès par Legendre, s'était d'abord étendue dans une direction unique; mais elle venait depuis dix ans d’être bouleversée entièrement par l'introduc- tion des fonctions doublement périodiques découvertes par Abel et Ja- cobi. Ces transcendantes, dotant l'Analyse de grandeurs nouvelles dont les
Acta mathematica. 22. Imprimé le 26 février 1898, 1
2 H. Poinearé.
propriétés sont remarquables, trouvaient aussi des applications en Géome- trie et en Mécanique, et montraient par là qu'elles étaient le fruit normal dun développement naturel de la science.
Mais Abel, habitué a se placer toujours au point de vue le plus élevé, avait trouvé un théoréme qui s'étend a toutes les transcendantes résultant de l'intégration des différentielles algébriques et qui est pour elles en quelque sorte ce qu'est celui d'Euler pour les fonctions ellip- tiques. Enlevé à la fleur de l’âge, il n'avait pu poursuivre lui-même sa grande découverte, mais Jacobi en avait bientót fait une seconde non moins importante; il avait démontré l'existence de fonctions périodiques de plusieurs arguments dont les propriétés principales sont fondées sur le théoréme d'Abel et par là il avait fait connaitre la véritable significa- tion de ce théorème.
La représentation effective de ces grandeurs, dont lanalyse n'avait encore aueun exemple, l'étude détaillée de leurs propriétés devenait done lun des problémes fondamentaux des Mathématiques; et, dés que j'en eus compris le sens et l'importance, je résolus de m'y essayer.
C'eüt été une véritable folie, si j'avais seulement voulu penser à la solution d'un pareil probléme, sans m'y étre préparé par une étude approfondie des moyens qui devaient m'y aider et sans m'étre exercé d'abord sur des problémes moins difficiles . . .»
Ainsi, il a eu depuis ses débuts, l'ambition de créer une théorie complète et cohérente des fonctions abéliennes. Des son entrée dans la carrière, encore élève de Gudermann, il voit avec netteté le but vers lequel il marchera toute sa vie, il ne l'oubliera jamais et cherchera sans cesse à s'en rapprocher.
On croirait voir un savant ingénieur attaquant une place trés forte; à travers la complication des travaux d'approche, à travers les longues peripéties du siége, l'unité de sa pensée persiste et reste toujours visible.
Cependant, bien entendu, les instruments qu'il créait ainsi pouvaient servir à bien d'autres besognes; à droite et à gauche de la grande route qu'il suivait, il a ouvert bien des voies latérales et il sy est engagé assez avant pour nous montrer où elles conduisaient. Il y a guidé les premiers pas de ses éléves et leur a assigné à chacun un but. Aussi quelque nombreux qu'aient été ces éléves, son héritage a été assez riche pour que chacun d'eux ait pu sy tailler une large part.
L’oeuvre mathématique de Weierstrass. 3
2 Pour atteindre son but, le grand géométre avait trois échelons à gravir: ;
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Approfondir la théorie générale des fonctions, d'abord celle des fonctions d'une variable, puis celle des fonctions de deux variables; c'était là la base sur laquelle toute la pyramide devait s'élever.
2°. Les fonctions abéliennes étant l'extension naturelle des fonctions elliptiques, il fallait perfectionner la théorie de ces derniéres transcen- dantes et la mettre sous une forme ou la généralisation devint facile.
3°. Il restait enfin à attaquer les fonctions abéliennes elles-mêmes.
9.
Mais ce serait mal le comprendre que de penser qu'en poursuivant un dessein unique, il a négligé les autres parties de l'Analyse. Quand il abordait d'autres problémes, ce n'était pas uniquement pour s'exercer, comme pourrait le faire croire une des phrases de son discours acadé- mique que jai citées plus haut. Nul au contraire n'avait l'esprit plus large, et, s'il restait ainsi attaché à son plan de campagne, c'est qu'il en attendait des résultats d'une portée universelle.
Tel un général marche directement sur la capitale de l'ennemi, sachant bien que, dés qu'il l'aura atteinte, tout le pays tombera en son pouvoir.
Il révait done sinon pour lui-même, au moins pour ses successeurs, de bien plus vastes conquétes. Si ces espérances, qui à ses débuts de- valent lui sembler bien lointaines, ont fini par se réaliser en grande partie, c'est qu'il n'est pas resté seul. Son enseignement a formé de nombreux disciples, et a donné au maitre toute une armée, qui acceptait sa direction, et qu'il lancait en avant, ne pouvant aller partout lui-même,
C'est pour cela qu'il est si difficile de rendre un compte exact des travaux mathématiques de Weierstrass; ce n'est pas seulement parce que son oeuvre imprimée est considérable; c'est surtout parce que cette oeuvre ne le contient pas tout entier.
4 H. Poincaré.
Longtemps les plus importants de ses ouvrages sont restés inédits et c'était dans son enseignement oral qu'il prodiguait les trésors de sa science; que de richesses encore aujourd'hui, ne nous sont conservées que par la mémoire de ses auditeurs.
Heureusement les éléves se pressaient en foule autour de sa chaire et allaient ensuite porter au loin son influence. L'esprit de Weierstrass inspirait aussi non seulement ceux qui avaient eu le bonheur d'entendre sa parole, mais ceux qui n'en avaient recu qu'un écho indirect. Aussi dans l'oeuvre de beaucoup d'entre nous, il pourrait légitimement revendiquer une part.
Dans ses derniéres années, sa santé l'avait obligé à abandonner cet enseignement; il vieillissait entouré du respect et.de l'admiration de tous, s’occupant tranquillement de la publication de ses travaux avec la joie de voir son oeuvre continuée par les hommes qu'il avait animés de son esprit.
Théorie des fonctions.
4.
Au commencement du siecle, l'idée de fonction était une notion à la fois trop restreinte et trop vague. D'une part en effet les fonctions discontinues, les fonctions dépourvues de dérivées, ou étaient inconnues ou étaient regardées comme des créations purement artificielles, indignes de l'attention du géomètre.
On excluait done de l'analyse tout un domaine qu'elle s'est depuis annexé; mais d'autre part on aurait été bien embarrassé sil s'était agi d’enoncer, d'une manière nette et précise, les conditions nécessaires et suffisantes pour conférer à une fonction le droit de cité. La frontière entre les fonctions analytiques et les autres était loin d'étre complete- ment tracée.
En réalité, comme par un héritage dû aux fondateurs du calcul infinitésimal, qui s'étaient d'abord preoccupes des applications, on se reportait inconsciemment au modele qui nous est fourni par les fonctions considérées en mécanique et on rejetait tout ce qui s'écartait de ce modéle; on n'était pas guidé par une définition claire et rigoureuse, mais par une sorte d'intuition et d'obscur instinct.
L oeuvre mathématique de Weierstrass. 5
Cette définition, il fallait la donner; car l'analyse ne pouvait qu'à ce prix acquérir la parfaite rigueur.
Aujourd'hui tout est bien changé; on distingue deux domaines, l'un sans limites, l’autre plus restreint, mais mieux cultivé. Le premier est celui de la fonction en général, le second celui de la fonction analytique. Dans le premier, toutes les fantaisies sont permises et à chaque instant nos habitudes sont heurtées et nos associations d'idées rompues; nous y apprenons ainsi à nous défier de certains raisonnements par à peu prés qui paraissaient convaincants à nos pères; à nous abstenir de telles conclu- sions qui leur auraient paru légitimes. Dans le second, au contraire, ces conclusions sont permises; mais nous savons pourquoi; il a suffi de placer au début une bonne définition; et on a vu reparaitre une rigoureuse logique.
Voilà le chemin parcouru; nous allons voir comment Weierstrass a contribué à nous y guider.
Je citerai d'abord une note lue à l'Académie de Berlin le 18 juillet 1872, et ou Weierstrass a cité des exemples de fonctions continues d'un argument réel, qui pour aucune valeur de cet argument, ne possedent une dérivée déterminée. | Il y a cent ans, une pareille fonction eut été regardée comme un outrage au sens commun, Une fonction continue, aurait-on dit, est par essence susceptible d'être représentée par une courbe et une courbe a évi- demment toujours une tangente.
Un pareil raisonnement n'a aucune valeur mathématique; il est fondé sur une intuition, ou plutôt sur une représentation sensible. Mais cette représentation est grossière et trompeuse.
Nous croyons nous représenter une courbe sans épaisseur; mais nous ne nous représentons qu'un trait d'une faible épaisseur. Nous voyons de méme la tangente sous la forme d'une bande rectiligne de faible épaisseur; et quand nous disons qu'elle touche la courbe, nous voulons dire simple- ment que ces deux bandes empiètent l'une sur l'autre sans se traverser. Si c’est là ce qu'on appelle une courbe et une tangente, il est clair que toute courbe a une tangente; mais cela n'a plus rien à voir avec la théorie des fonctions.
On voit à quelles erreurs nous expose une folle confiance dans ce qu'on prend pour l'intuition. Par la découverte de cet exemple frappant, Weierstrass nous a donc donné un utile avertissement et nous a appris
6 H. Poinearé.
à mieux apprécier les méthodes impeccables et purement arithmétiques dont il a, plus que personne, contribué à doter la Science.
Du méme coup, il enrichissait le domaine des fonctions non ana- lytiques, ou tant de surprises nous attendent encore.
5 e).
Mais ce n'était là qu'une courte excursion hors du chemin si droit quil s'était tracé et dont il ne s'est jamais longtemps écarté.
Sur ce chemin, ce qu'il rencontrait, c'était le domaine des fonctions analytiques, qu'il devait d'abord explorer à fond, s'il voulait atteindre son but.
La théorie moderne des fonctions analytiques a eu quatre fonda- teurs, Gauss, Cauchy, Riemann et Weierstrass.
Gauss n'a rien publié de son vivant; il n'avait pour ainsi dire rien communiqué à personne et ses manuscrits n'ont été retrouvés que long- temps après sa mort. Il n'a donc exercé aucune influence.
Les trois autres geometres qui ont contribué a créer la notion nouvelle de fonction ont suivi des voies bien différentes.
Cauchy a précédé les deux autres et leur a montré le chemin; mais néanmoins les trois conceptions restent distinctes et cela est fort heureux, puisque nous avons ainsi trois instruments entre lesquels nous pouvons choisir et dont nous pouvons souvent combiner l'action.
Pour Cauchy la définition de la fonction conserve encore un peu de l'indécision qu'elle avait chez ses devanciers. Il impose seulement aux fonctions analytiques quelques conditions restrictives, comme celle d'avoir une dérivée continue. Tout repose sur un théoréme trés simple relatif aux intégrales imaginaires et sur la notion de résidu. Une fonction quel- conque peut étre représentée par une intégrale définie et devient ainsi maniable pour l'analyste, quelque vaguement définie qu'elle ait été au début. C'est là un avantage précieux et aujourd'hui encore les »résidus» nous donnent la solution de problémes que nous ne pourrions résoudre sans eux.
La théorie de Cauchy contenait en germe à la fois la conception géométrique de Riemann et la conception arithmétique de Weierstrass, et
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L'oeuvre mathématique de Weierstrass.
il est aisé de comprendre comment elle pouvait, en se développant dans deux sens différents, donner naissance à l’une et à l’autre.
Pour Riemann, l’image géométrique joue le rôle dominant; une fonc- tion n'est qu'une des lois d’après lesquelles les surfaces peuvent se trans- former; on cherche à se représenter ces transformations et non à les analyser; leur possibilité même n’est établie que par un raisonnement sommaire auquel on n’a pu, beaucoup plus tard, donner la rigueur qu’au prix de modifications profondes et de détours compliqués.
Weierstrass se place à l'extrême opposé; le point de départ est la serie de puissances, »l'éléement de la fonction» qui est confiné dans un cercle de convergence; pour poursuivre la fonction en dehors de ce cercle, nous avons le procédé de la continuation analytique; tout devient ainsi une conséquence de la théorie des séries et cette théorie est elle-même établie sur des bases arithmétiques et solides. Nous sommes débarrassés des doutes qui, au siècle dernier et dans la première moitié de ce siécle, assaillaient souvent les penseurs à propos des principes du calcul infini- tésimal, et aussi de ceux que pouvait provoquer par ses lacunes la théorie des fonctions analytiques de Lagrange. Tout cela n'est plus aujourd'hui que de l'histoire ancienne.
La conception de Weierstrass présente un double avantage:
1?. Elle est, comme nous venons de le voir, parfaitement rigoureuse et cette rigueur est obtenue par des moyens les plus simples.
2°. Elle s'adapte avec une grande facilité à la généralisation, et peut s'étendre aux fonctions de plusieurs variables.
Entre ces trois conceptions gardons-nous de choisir; chacune a son rôle nécessaire. Avec l'instrument de Riemann, l'intuition verra d'un seul coup d'oeil l'aspect général des choses; comme un voyageur qui examine du haut d'une montagne la topographie de la plaine qu'il va visiter et apprend de la sorte à s'y orienter. Avec linstrument de Weierstrass, l'analyse éclairera successivement tous les recoins et y fera pénétrer l'absolue clarté.
En un mot, la méthode de Riemann est avant tout une méthode de découverte, celle de Weierstrass est avant tout une méthode de démon- stration.
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H. Poincaré.
6
La principale contribution de Weierstrass aux progrés de la théorie des fonctions est la découverte des facteurs primaires.
Les plus simples des transcendantes sont les fonctions entiéres qui n'ont de point singulier qu'à l'infini. Une pareille transcendante est toujours le produit d'une infinité de »facteurs primaires»; chacun de ces facteurs est lui-méme le produit d'un polynóme du premier degré par une exponentielle dont l'exposant est un polynóme de degré q; le facteur primaire est dit alors de genre q.
A cette découverte se rattache la classification des fonctions entiéres en genres dont l'importance arithmétique a été récemment mise en évi- dence par M. Hadamard. Une fonction est de genre g, lorsque tous ses facteurs primaires sont de genre q au plus.
Weierstrass a trouvé là également le moyen de construire une fonc- tion entiére ayant des zéros donnés.
A ce théoréme se rattache directement celui de M. Mittag-Leffler sur les fonctions méromorphes.
Ces deux théorémes permettent la construction facile des fonctions G(u) et g(u) qui ont été comme nous le verrons plus loin, les principaux instruments de Weierstrass dans la théorie des fonctions elliptiques.
C’est sans doute cette perspective qui a dirigé dans cette voie les efforts du grand géomètre allemand; mais il en a retiré bien d'autres fruits. La portée de la méthode nouvelle dépassait en effet de beaucoup la question particulière qu'il avait voulu résoudre et pour laquelle il l'avait créée.
Elle s'étendit sans peine, grace aux travaux personnels de Weier- strass et a ceux de M. Mittag-Leffler, aux fonctions qui présentent des points singuliers essentiels isolés, puis à celles qui admettent des singu- larités plus compliquées et méme des lignes singuliéres.
C'est done une des méthodes les plus générales de l'analyse.
C’est dans cet ordre d'idées que Weierstrass a été conduit à étudier la représentation des fonctions par les séries dont les termes sont des fractions rationnelles.
L'oeuvre mathématique de Weierstrass. 9
Il a, en multipliant les exemples, bien montré comment une pa- reille série peut représenter dans deux domaines différents deux fonctions | différentes; à cette occasion, il a éclairci la notion des limites naturelles d'une fonction et par là la notion fondamentale de fonction analytique elle-même. C’est depuis ce mémoire que toute obscurité a enfin disparu.
7.
Mais, pour l'étude des transcendantes abéliennes, la théorie des fonc- tions d'une variable ne suffit pas; il faut approfondir celle des fonctions de plusieurs variables.
Aussi l'llustre géométre allemand n'a cessé de s'en préoccuper; il devait y rencontrer des difficultés nouvelles; car il se trouvait privé de l'usage des facteurs primaires qui lui avaient été si utiles dans ses re- cherches sur les fonctions d'une seule variable.
Il a pu néanmoins, mettre hors de doute une foule de théorémes qui lui étaient nécessaires pour son objet, et qu'on admettait souvent sans en avoir compris le véritable sens et la portée. Sa tàche lui a été facilitée par l'emploi continuel d'une des notions qu'il avait créées, celle des éléments de fonction.
8
Pour avoir le droit de représenter ainsi toutes les fonctions par des séries et pour pouvoir sans crainte se servir de cette représentation dans toutes les questions de calcul intégral, il fallait faire voir qu'on peut égaler à une série de puissances toute fonction implicite tirée d'un sys- téme d'équations dont les premiers membres sont des séries de puis- sances; ou lintégrale d'une équation différentielle dont les coefficients sont des séries de puissances. Cet important théoréme devait étre pour Weierstrass une des pierres fondamentales de son systeme.
On sait qu'il a été établi pour la premiére fois par Cauchy.
En 1842, Weierstrass publia une mémoire ou il démontre de nouveau cette proposition d'une maniére analogue à celle de Cauchy.
Il avait éte devancé à son insu par le savant francais, mais il con- serve néanmoins une large part d'originalité. L’uniformite de la con.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 26 février 1898. 2
10 H. Poinearé.
vergence, la facon dont les éléments de fonctions se déduisent les uns des autres par continuation analytique sont des questions qu'il étudie à fond.
D'un autre cóté, au point de vue didactique, son 1node d'exposition présente de grands avantages; sa »fonction majorante» est plus simple et plus maniable que celle de Cauchy; les inégalités du début sont tirées des propriétés élémentaires des séries, et non plus de la considération d'intégrales imaginaires. C'est la un progres, il y avait intérêt à montrer quand cette considération est indispensable et quand on peut s'en passer.
On voit par cet exemple comment la facon dont le mathématicien allemand concoit la fonction dérive de la conception de Cauchy, mais en l'allégeant. d'un bagage inutile.
Weierstrass a appliqué lui-méme cette méthode à une foule de questions et méme a la démonstration de l'existence des racines d'une équation algébrique. Mais c'est surtout entre les mains de ses disciples qu'elle a donné ses principaux résultats. M™° Kowalevski l'a appliquée aux équations aux dérivées partielles, et M. Fuchs aux équations diffé- rentielles linéaires avec le succès que l'on sait.
9.
Un dernier travail qui se rapporte indirectement à la théorie des fonctions est celui que l’illustre mathématicien a consacré au principe de Dirichlet. Par un exemple frappant, il a montré combien est fragile la démonstration de ce principe dont on s'était longtemps contenté.
C'est sur ce principe pourtant que Riemann avait voulu bátir toute sa théorie des fonctions; cette assise fondamentale n'était pas solide et si on ne voulait la voir s'écrouler en entrainant tout l'édifice dans sa chute, il fallait soigneusement l'étayer; c'est ce qu'ont fait depuis M. Schwarz et d'autres disciples de Weierstrass.
Fonctions elliptiques.
10.
La forme que Jacobi avait donnée à la théorie des fonctions ellip- tiques était loin d'être parfaite; les défauts en sautent aux yeux.
L'oeuvre mathématique de Weierstrass. 1i
A la base nous trouvons trois fonctions fondamentales sn, cn et dn. Ces fonctions n'ont pas les mémes périodes; pour lune 4K et 2iK, pour l’autre 4K et 2K 2iK'; pour la troisième 2K et 4iK'. Si on veut les rapporter toutes trois à un méme systéme de périodes, il faut prendre 4K et 4iK'; mais parmi les transcendantes qui admettent ces périodes, les fonctions de Jacobi sn, cn, dn ne sont pas les plus simples; elles ont quatre infinis et les plus simples n'en ont que deux.
Dans le systéme de Weierstrass, au lieu de trois fonctions fonda- mentales, nous n'en avons plus qu'une g(w) et c'est la plus simple de toutes celles qui ont mémes périodes. Elle n'a qu'un seul infini double; et enfin sa définition est telle qu'elle ne change pas quand on remplace un systéme de périodes par un autre systéme équivalent; au contraire cette substitution produirait entre les fonctions de Jacobi des permutations dont la loi est inutilement compliquée.
Dans la plupart des problèmes, il suffit de considérer g(u) et l'in- troduction de sn, en, dn ne serait qu'une cause artificielle de complica- tion. Sans doute il en est d'autres oü cette introduction serait plus na- turelle; mais dans ceux-là méme, Weierstrass les remplace avec avantage par les trois fonctions
Vol) — « » Vie(u) — « » Vig (v) e,
Les formules qui les relient les unes aux autres sont remarquablement
symétriques et peuvent se déduire les unes des autres par permutation circulaire. Il n'en était pas de méme avec les anciennes transcendantes sn, en, dn; le module entrait dans la relation qui relie sn à dn, il n'entrait pas dans celle qui relie sn à cn. Rien ne justifiait cette dis- symétrie qui était parfois génante.
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D'autre part, le rôle prépondérant que joue le module k se comprend mal. Le module £4 n’est pas la plus simple de toutes les fonctions modulaires, puisquà un méme systéme de périodes peuvent corres- pondre plusieurs valeurs du module. Le róle du module n'est pas le méme par rapport aux deux périodes et il en résulte une dissymétrie artificielle dans les formules.
12 H. Poincaré.
Pour calculer le module, il faut résoudre une équation du 4° degré; cette résolution est évitée, si on prend pour arguments fondamentaux les coéfficients du premier membre de cette équation, ou plutót les invariants de ce polynóme. Ce sont ces invariants que Weierstrass a appelés g, et g,. L’invariant absolu
est la plus simple de toutes les fonctions modulaires; c'est l'élément essentiel et naturel qui doit remplacer k, comme j$(w«) a remplacé sn, en, dn.
12.
Une autre catégorie de transcendantes dont l'importance est fonda- mentale, ce sont les fonctions 0. La encore les notations de Jacobi ne sont pas sans inconvénient. Les formules de transformation rebutent la mémoire par leur défaut de symétrie.
Les quatre fonctions 6 et H de Jacobi ne sont qu'un cas particulier de fonctions beaucoup plus générales, les fonctions 6 des différents ordres, comme M. Hermite l'a montré dans un mémoire aussi concis que sub- stantiel. Mais ces fonctions de M. Hermite peuvent elles-mémes étre généra- lisées et il existe toute une catégorie de fonctions que Briot et Bouquet ont, je ne sais pourquoi, appelées intermédiaires et qui se reproduisent multi- pliées par une exponentielle quand la variable augmente d'une période.
Parmi elles, quelle est celle qui doit étre choisie comme élément simple? Ce ne peuvent étre les quatre fonctions de Jacobi dont les apports sont les quantités sn, cn et dn déjà condamnées pour les raisons que nous avons exposées plus haut. Ce ne peut étre non plus une des fonctions de M. Hermite, car dans ces fonctions les deux périodes ne jouent pas le méme róle; de sorte que ces transcendantes prennent une infinité de formes différentes quand on remplace un systéme de périodes par un autre équivalent.
Weierstrass s'est préoccupé dés ses débuts de ce choix d'un élé- ment simple et il a adopté d'abord la fonction qu'il a appelée Al et qui ne change pas quand on change le système de périodes mais de façon que le module reste le méme.
L'oeuvre mathématique de Weierstrass. 13
Il a abandonné plus tard cette fonction Al en méme temps que le module lui-meme, et il a choisi comme élément nouveau la fonction 6 qui, d'aprés sa définition, ne change pas quand on remplace le systéme des périodes par un autre systéme équivalent quelconque.
Les formules atteignent ainsi leur maximum de simplicité. Mais cependant la fonction © n'a pas définitivement détróné les fonctions # et en particulier celles de M. Hermite comme g(w) a détróné sn, cn et dn.
La simplicité du développement des 6, la rapidité de la convergence, l'élégance de leurs propriétés, leur assure une place importante et de cette place elles ne seront jamais délogées.
Il faut seulement savoir passer rapidement de 6 aux 0 et des 8 à ©.
15.
Il y a bien des manières de commencer l'exposition de cette im- portante théorie. Celle que Weierstrass a préférée est bien curieuse; il se demande à quelles conditions une fonction peut admettre un théoréme d'addition.
Cette prédilection s'explique aisément; car c'est ainsi qu'il se pro- posait d'introduire ses auditeurs dans le domaine des fonctions abéliennes quand il en aurait achevé la théorie; cette facon de présenter les choses lui plaisait par sa généralité, qui rendait facile l'extension qu'il avait en vue. On trouvera les formules de Weierstrass relatives aux fonctions elliptiques réunies dans un recueil que M. Schwarz publie avec un soin extréme; mais on ne se rendra complétement compte de la marche de ses idées qu'en se reportant aux mémoires originaux.
Fonctions abéliennes.
1A.
Weierstrass, comme je l'ai dit, s'est toute sa vie préoccupé des fonc- tions abéliennes; dans la premiére période de sa carriére, il s'efforce d'étendre à ces transcendantes, et en particulier aux fonctions hyperellip-
,
tiques, les propriétés connues de sn, cn et dn; à cette époque, il n'a
14 H. Poincaré.
pas encore donné sa forme définitive a sa théorie personnelle des fonctions elliptiques; il devra done plus tard remettre au point les résultats qu'il a obtenus alors.
Mais à ce moment survint la publication du mémoire de Riemann qui exerca une grande influence sur le développement de cette discipline. Les fonctions hyperelliptiques cessérent de jouer un róle à part dans les préoceupations des analystes et on envisagea les fonctions abéliennes en- gendrées par les courbes algébriques les plus générales. Mais les théo- rémes déjà démontrés par Weierstrass s'y étendaient facilement.
Dans cet ordre d'idées, tout repose encore sur létude des intégrales abéliennes et sur celle des fonctions rationnelles de deux variables z et y liées par une relation algébrique. A cet ordre d'idées se rattache un important travail de Weierstrass dont les résultats sont exposés dans une lettre adressée à M. le Professeur Schwarz. Là sont définies les singularités vraiment essentielles des courbes algébriques, celles qui ne sont pas altérées par les transformations birationnelles et que l'on appelle aujourd'hui »points de Weierstrass». Le géomètre berlinois a montré égale- ment comment les rapports mutuels de ces singularités nous font connaitre les transformations birationnelles d'une courbe en elle-méme.
15.
Mais les fonetions abeliennes definies par Riemann ne sont pas les fouctions périodiques les plus générales, que la methode de Riemann semble impuissante à atteindre. Nous savons en effet que le nombre des modules d'une courbe d'ordre p est égal à 3p — 3; le nombre des
De one 5 . 5 . z ı pp-i coefficients arbitraires d'une fonction 9 à p variables est égal à DES
ces deux nombres ne sont égaux que pour p — 2 et pour p — 3; pour p > 3, le second est plus grand que le premier. Il y a donc des fonc- tions 60 qui ne correspondent pas à des courbes algébriques.
Weierstrass fut ainsi conduit à aborder la question par une autre vole et à chercher quelles sont les fonctions périodiques les plus générales. Et d'abord une premiére question se présente; combien une fonction de n variables peut-elle avoir de périodes? Le probleme avait été résolu par Jacobi qui avait montré que le nombre maximum de ces périodes
L'oeuvre mathématique de Weierstrass. 15
est 25. Weierstrass a donné une démonstration nouvelle du théorème de Jacobi et a nettement marqué les conditions dans lesquelles il est applicable.
Il s'est ensuite occupé d'étudier les propriétés des fonctions les plus générales qui dépendent de » variables et admettent 2» périodes. Il a reconnu qu'elles jouissent de propriétés analogues à celles des transcendantes elliptiques.
Entre # +1 fonctions, qui ont mêmes périodes, il y a toujours une relation algébrique; d'ou il suit d'abord que ces fonctions admettent un théorème d'addition et satisfont a des équations différentielles.
Enfin Weierstrass a démontré qu'une pareille fonction est toujours le quotient de deux séries 6 et que les fonctions abéliennes les plus générales peuvent se déduire de celles de Riemann par le procédé connu de la »réduction des intégrales abéliennes».
Le but était atteint.
Divers. 16.
Je m'étendrai peu sur les autres travaux de Weierstrass, malgré leur importance et leur variété.
Deux mémoires déjà anciens ont été consacrés aux facultés analy- tiques, qui avaient été l'objet de recherches nombreuses et anciennes, souvent assez mal conduites et qui se raménent trés simplement aux fonc- tions eulériennes.
La question des unités complexes a aussi occupé Weierstrass dans ses derniéres années; on avait concu de trés grandes espérances à la suite de l'invention des nombres complexes; on en attendait les mémes surprises qu'avaient données les imaginaires. Il faut y renoncer; on sait mainte- nant que tous les nombres complexes, je veux dire tous ceux dont la multiplication est commutative, se raménent aux imaginaires et ne nous apprendront rien de plus. ij
La découverte de M. Hermite qui a démontré la transcendance de e, bientôt suivie de celle de M. Lindemann qui a établi la transcendance de z, attira il y a une quinzaine d'années, l'attention de tous les géo-
16 H. Poinearé.
metres; elle ne pouvait échapper a celle de Weierstrass qui a notable- ment perfectionné les démonstrations de ses devanciers.
Citons encore un mémoire sur la représentation des fonctions d'une variable réelle par des séries de polynómes; deux autres sur la théorie des formes quadratiques; un travail sur un probléme de calcul des va- riations; un autre sur le théoréme fondamental de la géométrie pro- jective, etc.
Ces exemples suffiront pour montrer comment, en restant toujours fidele au méme esprit, il a touché a toutes les parties de la science mathématique et avec quelle souplesse s'adaptaient aux problèmes les plus divers les méthodes fécondes qu'il avait créées.
Conclusions. LT
En terminant cette rapide analyse, je voudrais pouvoir caractériser en quelques mots l'esprit qui dans tous leurs travaux a animé le maitre et ses disciples.
C'est d'abord un souci constant d'une parfaite rigueur.
Pour cela, Weierstrass renonce à se servir de l'intuition, ou du moins ne lui laisse que la part qu'il ne peut lui óter. Les notions in- tuitives sont analysées et réduites en leurs éléments; parmi ces éléments, les philosophes en trouveraient certainement qui conservent le caractére intuitif; mais ceux-là sont rejetés hors du domaine des mathématiques pures, qui peuvent se développer sans eux; les physiciens seuls auront à s'en occuper. Ceux qu'on conserve sont analysés à leur tour et cette analyse est poussée jusqu'à ce qu'on arrive à l'élément ultime, le nombre entier.
De là à l'égard de la géométrie une certaine méfiance qui est le caractere propre de l'Ecole de Berlin; pour ainsi dire elle ne cherche pas à voir, mais à comprendre.
Tout dérive done du nombre entier et participe par conséquent de la certitude de l'rithmétique; le continu lui-même se ramène a cette origine et toutes les égalités qui font l'objet de l'Analyse et ou figurent
5
L'oeuvre mathématique de Weierstrass. 17
des grandeurs continues ne sont plus que des symboles, remplacant une multitude infinie d'inégalités entre nombres entiers.
Les notions analytiques sont done pour Weierstrass, comme pour Kronecker, des constructions faites avec les mêmes matériaux, les nombres entiers. Mais il y a une différence entre les deux conceptions; Kronecker est surtout préoccupé de mettre en évidence le sens philosophique des vérités mathématiques; le nombre entier étant le fond de tout, il veut qu'il reste partout apparent; pour lui, les seules opérations licites sont laddition et la multiplication; ce n'est que par une concession aux pré- jugés contemporains, qu'il consent quelquefois à admettre la division.
Tel n'est pas le point de vue de Weierstrass. Des qu'il a élevé une construction, il oublie de quels matériaux elle est faite et n'y veut plus voir qu'une unité nouvelle dont il fera l'un des éléments d'une construc- tion plus grandiose. Il peut le faire sans crainte, car il en a, une fois pour toutes, éprouvé la solidite.
Ces unités intermédiaires ne sont sans doute que des auxiliaires; mais notre esprit est si faible qu'il ne peut s'en passer; car il ne peut percevoir à la fois tous les détails d'un grand ensemble. Ces artifices sont done nécessaires si l'on veut marcher toujours en avant et c'est là justement ce que veut Weierstrass. Kronecker, lui aussi, a fait bien des découvertes; mais s'il y est arrivé, c'est en oubliant qu'il était philosophe et en délaissant lui-même ses principes qui étaient condamnés d'avance a la stérilité.
Weierstrass procède donc par construction en partant du nombre entier; il marche ainsi toujours du simple au composé. Il se distingue par cette tendance d'autres analystes qui partent du général et de l'in- déterminé et qui le déterminent ensuite de plus en plus par des hypo- thèses restrictives. De la le contraste entre sa facon de concevoir la fonction analytique et celle de ses devanciers.
Une autre pensée semble l'avoir guidé.
En 1875, il écrivait à M. Schwarz:
»Plus je réfléchis aux principes de la théorie des fonctions — et c'est ce que je fais sans cesse — plus je suis solidement convaincu qu'ils sont bâtis sur le fondement des verités algébriques et que, par consé- quent, ce n'est pas le véritable chemin, si inversement on fait appel au transcendant pour établir les théorèmes simples et fondamentaux de
Acta mathemalica. 22. Imprimé le 16 février 1895 3
18 H. Poincaré.
l'Algèbre; et cela reste vrai, quelque pénétrantes que puissent paraître au premier abord les considérations par lesquelles Riemann a découvert tant d'importantes propriétés des fonctions algébriques.»
Je pourrais citer d'autres exemples oü il s'est inspiré de la méme idée. Il est constamment efforcé d'aller au but par le chemin le moins détourné, qui n'est pas toujours le plus rapide ni le plus élégant, mais qui est le seul logique.
19
UBER DIE INTEGRATION PARTIELLER LINEARER DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN DURCH VIELFACHE INTEGRALE
VON
HJ. MELLIN
in HELSINGFORS.
In der vorliegenden Arbeit beabsichtigen wir zu zeigen, dass die vielfachen Integrale mit veränderlichen Parametern in der Theorie der partiellen linearen Differentialgleichungen (mit rationalen Coefficienten) formell ebenso verwendet werden kónnen, wie die einfachen Integrale schon längst in der Theorie der gewöhnlichen linearen Differentialgleich- ungen benutzt worden sind.
Ebenso wie die bekannte LAGRANGE’sche Beziehung zwischen adjungirten Differentialausdrücken als die gemeinsame Quelle der in der letztgenannten Theorie angewandten Methoden der Integration durch bestimmte Integrale zu betrachten ist,’ giebt es auch für partielle lineare Differentialaus- drücke eine analoge Beziehung, aus welcher mit Benutzung vielfacher Integrale ähnliche Folgerungen gezogen werden können, wie aus der ersteren mit Benutzung einfacher Integrale.
Der Kürze halber beschrinken wir uns im Folgenden auf partielle lineare Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen. Man wird aber ohne Mühe finden, dass und wie sich alle Ergebnisse un- serer Untersuchungen auch auf Gleichungen mit beliebig vielen Ver- änderlichen ausdehnen lassen.
! Man siehe SCHLESINGER, Über die Integration linearer homogener Differential-
gleichungen durch Quadraturen (Crelles Journal, Heft 2, Bd. 116) sowie meine gleich- zeitige Arbeit Über gewisse durch bestimmte Integrale vermittelte Bexiehungen zwischen linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten (Acta Soc. Seient. Fenn., Tom. 21).
Acta mathematica, 22. Imprimé le 16 fevrier 1898.
20 Hj. Mellin.
In einem folgenden Aufsatze werde ich zeigen, dass die auf Verwend- ung bestimmter Integrale basirte Integrationsmethode ebenfalls auf Systeme simultaner linearer Differentialgleichungen übertragen werden kann.
Die bestimmten Integrale kónnen demgemäss nicht nur in der Theorie der gewóhnlichen sondern auch in der Theorie der partiellen linearen Differentialgleichungen, gleichviel ob es sich von einer einzigen Gleichung oder von einem Systeme simultaner Gleichungen handelt, den Potenz- reihen als Ausdrücke an die Seite gestellt werden, welche zur Darstellung von Lósungen solcher Gleichungen geeignet sind.
1 de $3 Pe) —e v. (— Y .(«) db] k=0 r= d me Pest d’ x d* 1 e EP mp 29 Gr: 1) da’ [P.(”) 9] dark-ıv
ist eine nahe liegende Verallgemeinerung der vielfach angewandten Formel
lo d*d pn d Fd" d*—-— Jae ERO TANE = P Ice y ¢ £] 7 dar Goo dak — "pu dx = a
Auf der rechten Seite dieser Formel sind die einzelnen Glieder voll- ständige Ableitungen erster Ordnung. Aus dem Nachfolgenden wird sich ergeben, dass die rechte Seite ebenfalls auf eine Form gebracht werden kann, deren Glieder vollständige Ableitungen wachsender Ord- nungszahl sind. Benutzt man zunächst der grösseren Allgemeinheit halber Differentiale an Stelle von Ableitungen, so überzeugt man sich durch den Schluss von » auf m+ 1 von der Gültigkeit der Formel
k
(1) Bao DI Con y'()) epe d]
deren Richtigkeit für k — 1 und k= 2 leicht bestätigt wird. Nach Transposition des ersten Gliedes der rechten Seite wird also die linke
Uber die Integration partieller linearer Differentialgleichungen. 21
Seite gleich einem vollständigen Differential erster Ordnung, nach Trans- position der zwei ersten Glieder gleich einem vollständigen Differential zweiter Ordnung, u. s. f.
Nimmt man an, dass sich die in (1) bezeichneten Differentiationen auf eine einzige unabhängige Variable x beziehen, so ergiebt sich durch Division mit dx'
qk E BV mpm eiim Beyer
p v=0
Durch zweimalige Anwendung dieser Formel folgt
Cds: een n wy a8 [9*9 oky d ET TE Ce 1) > = 1) C) 2x I =
p-0 h k h o" k 9” gh—p+k—y =) fo = re NS LÁ ^ h ( 1) ( ) C.) Qa ( ) ,) ay” € data a , 1-0 y=0 E " und es ist somit ok IE /hN /k gouty gh—ntk—-y Oe > eem em Pe? ax" Qy* ah \/ \v/ daray? SOU Mit Benutzung dieser Formel ergiebt sich die noch allgemeinere Beziehung m,n 2 9htko g >» Pyle ; y) aa" oy* n,k=0 : m,n h,k » 2) i» h k out» Q^—n-k—v x at ^ Ss = guest ) | le (Pug) | Zu u u) Ny] dat oy | ^ aa 9y*—" h,k=0 p,v=0 1 : x
welche als eine Erweiterung der LaamAxGE'schen Beziehung auf partielle lineare Differentialausdrücke zu betrachten ist. Transponirt man nämlich nach der linken Seite alle Glieder, wo # und » beide auf einmal gleich der Null sind, so kann diese Beziehung folgenderweise geschrieben werden
min min ) gitke ath syd gtk (3) 7 ) Pu (a , y) 22^ iy g » (= Ly ; or^ EPL [Pu (x ‚Y) e] h,k=0 . h,k=0 .
Cd. 2 — 5 P(o, D) + — Q(e,qd) a; P (e. e) Li ay €t e);
1 Qf. Hy. HobMGREN. Sv. Vet.-Akad. Hand. Bd. 5. N:o Ir. (Formel 33).
22 Hj. Mellin.
wo P und Q gewisse in ç und & bilineare Differentialausdriicke bezeich- nen. Die beiden auf der linken Seite stehenden Differentialausdrücke werden bekanntlich adjungirte Ausdrücke genannt.!
Die für gewöhnliche adjungirte Differentialausdrücke gültigen Sätze kónnen auf partielle adjungirte ausgedehnt werden. So gilt auch für die letzteren der Reciprocitdtssatz, nach welchem, falls ein Differential- ausdruck aus mehreren zusammengesetzt ist, sein adjungirter aus den adjungirten der (symbolischen) Factoren in umgekehrter Reihenfolge zu- sammengesetzt ist.
In $ 3. soll der Reciprocitätssatz wenigstens für einen speciellen, bei unseren Untersuchungen wichtigen Fall bewiesen werden.
Anmerkung. Es verdient besonders hervorgehoben zu werden, dass die Formel (1) überhaupt für jede iterirbare Operation $ gültig ist, welche den folgenden formalen Gesetzen gehorcht:
(p + 9) = 9g + 99, (ed) = ghd + Pig, 8 Const. =o.
Aus diesen Gleichungen folgt durch den Schluss von » auf n+ 1:
k
pag — (— 1! Y (— 9
y=0
Je [gag].
k v7 Für solche Operationen 4 gilt somit auch die LAGRAxGE'sche Beziehung.
: : : d d : Symbole derartiger Operationen sind d, T ad, TT» sowie das Lre’sche ae a
: : etos : 1 Symbol einer infinitesimalen Transformation, wovon x
€ . B ll dz Fall Ist.
§ 2. Bei den weiteren Untersuchungen werden ausschliesslich homogene lineare partielle Differentialgleichungen mit in æ und y ganzen rationalen Coefficienten betrachtet. Es erweist sich dabei als sehr vortheilhaft, wenn
* €. f. DarBoux, Leçons sur la théorie générale des surfaces. I. Partie, $ 357.
to
3
Uber die Integration partieller linearer Differentialgleichungen.
man, ausser der gewöhnlichen, nach den Ableitungen der abhängigen Ver- änderlichen geordneten Form, ebenfalls zwei andere, sofort näher anzu- gebende Formen berücksichtigt, auf die eine solche Gleichung stets ge- bracht werden kann. à
Wird eine homogene lineare partielle Differentialgleichung mit in x
und y ganzen rationalen Coefficienten
PUES GE y hy ees (4) > C; er m0 Pont y nach Potenzen der beiden unabhängigen Variabeln geordnet, so ergeben sich als Coefficienten Ausdrücke der Form
hk k xd leah Gal Uses) TW 92^ 9y* rm ou] \dy 9r OY,
also homogene lineare Differentialausdrücke mit constanten Coefficienten. Unsere Differentialgleichung kann somit auf die symbolische Form ge-
bracht werden S 9 6 Lay fal = , >) = TE ov OY
Dies ist die eine der fraglichen Formen. Soll die Gleichung (4) auf die andere der betreffenden Formen gebracht werden, so multiplicirt man sie — falls in irgend einem Gliede die Zahl y kleiner ist als h oder die Zahl » kleiner als k — mit den niedrigsten ganzzahligen Po- tenzen von x und y, die bewirken, dass » und » in keinem Gliede kleiner sind als resp. h und k. Hierauf kann man auf jedes Glied der Differentialgleichung die bekannte Symbolische Formel anwenden: ’
a d o d d j d Y \ du” X care (er — jen (un + 1 Je
Werden die einzelnen Glieder weiter nach Potenzen der beiden Symbole
! Bekanntlich benutzt man die Symbolik
, À «las: dis va d ( =) "odds de”
nicht verwechselt werden darf.
d" c
d t welche also mit z^ da"
24 Hj. Mellin.
9 9 : o e 2 : D s und ies entwickelt, so kann die Differentialgleichung auf die Form ® y ;
2 h 9 k xS Cla: v(s =) (vz) Or 0: On oY
PE
gebracht werden:
Wird die linke Seite ferner nach Potenzen von x und y geordnet, so ergeben sich als Coefficienten Ausdrücke der Form
/
Y Ak) 9 em 2:49- CR Pera re) (us) e— F(* 45, 2
h,k
und die Differentialgleichung erhàlt schliesslich die Gestalt
9 9 hk T (0 —,9—]9o — O. Y syFu(os yale
h,k
Die beiden Arten von Ausdrücken F(Z, le und F(x TEST
die sich besonders in der englischen Litteratur +. spielen in manchen Beziehungen die Rolle von elementaren Differentialausdrücken. Während ein aus zwei oder mehreren (nicht elementaren) Differentialausdrücken zusammengesetztes symibolisches Product sich im Allgemeinen mit der teihenfolge seiner Factoren ändert, so sind die beiden Producte
M Eri \ 9 9 (>; m sese und F, (x EE MAC
von der Reihenfolge ihrer Factoren unabhàngig. Einige, diese elementaren Ausdrücke betreffende, bei den weiteren Untersuchungen erforderliche Formeln sollen hier hervorgehoben werden.
omn 1 - " Beachtet man, dass ————e'^*" — «^4^g'^*", so folgt leicht: 92" Oy” 9 9 ] u v (5) (zs) = fee. x
Diese Formel lässt sich noch folgenderweise erweitern:
i 2 Qu ey 9 (. A ourdvy (6) (u le ment = 35) fe, ent].
Uber die Integration partieller linearer Differentialgleichungen. 25
In der That ist nach (5):
9 © ucr+vy]) __ 9 9 9 9 ad 2 =) [g(v , we ls (= / = [e 2 =e
a 9 (ONE X t tamer NC) A EE HE - ]- 2. Dre, de e]. Die Gültigkeit der Formeln
9 9 (7) E CE [ey] = Fle, o)a*y^, (8) Fay „er e| = xy Fri +p, 9 3; St e)e wird dadurch erwiesen, dass man ihre Richtigkeit für Glieder der Form
5 9 m 2 An Olas) (vz)v
bestätigt.
§ 3.
Die erweiterte LAGRANGE'sche Beziehung gestaltet sich nun besonders einfach für die oben besprochenen elementaren Differentialausdrücke. Mit Benutzung von (2) erhalten wir
m,n , m,n h,k dee NON Ns , o (i! NOE == ( y IE k Qt < oh-n+k ^ hk pha k € Ak m " c nn =; ¢
n,k=0 Ou" OY AO pyv=0 4) \v/ 9x 9y" |’ Ox 9y ’
gouty A ay, 9 \—u 9 \4—» = we Tan Sal > h.. (h—p 4- 1)k..(k—v + 1) Ol — =) (— a |.
[Y —0 h=p,k=y Diese Formel kann, wenn man zur Abkiirzung
env
Eo C! dd Ee d lv) apr be ADP ON N 01,0)
„Cup! © —1\0%0) und
setzt, folgenderweise geschrieben werden
myn
E AR do ee bine 9 Os) = Marz ara ae u,
Acta mathematica. 22. Imprimé le 16 février - 1898, {
26 Hj. Mellin.
Mit Hülfe dieser Formel ergiebt sich die verallgemeinerte La- GRANGE'sche Beziehung in der Form
9Y evt arr E 1 oe
27 1 hk uyv=0 | oy
thy) 9 9 ^h ae efi (ire
Hier bezeichnen m und » zwei solche ganze Zahlen, dass keine der Fune-
fen
tionen Z£,(p, c) in Bezug auf p von höherem als dem m' und in Bezug
auf o von höherem als dem n“" Grade ist. Transponirt man nun wieder nach der linken Seite alle Glieder, wo # und » beide auf einmal gleich der Null sind, so hat man
hak f. 9 o aol ok do elem RD f our stg Oo = ==P¢, 9$) 5, Q(p. D)
wo P und Q in e und & bilineare Differentialausdrücke bezeichnen. Auf Grund der am Sehlusse des $ 1. gemachten Anmerkung leuchtet ohne weiteres ein, dass auch die folgende Beziehung stattfindet
M 2 E) í 9 CRE (11) om a^y' Fu s. ger FA —y; ey? Pg, 9) v; Qe. 9),
wo P und Q in e und 4 bilineare Differentialausdrücke sind. Der in $ 1. erwähnte Reciprocitätssatz soll nunmehr für den Fall nachgewiesen werden, dass der betreffende Differentialausdruck aus ele-
/ Q9 9 à mentaren Ausdrücken Ho. zusammengesetzt ist. Aus (9) folet, av = 5 mun T 9 ol 5 wenn wir der Kürze halber f an Stelle von fi SLT schreiben und den
: z 9 9 . adjungirten von f, also den Ausdruck Amand allgemein durch
f bezeichnen:
97
Uber die Integration partieller linearer Differentialgleichungen. 27 wo P und Q in e und ¢ bilineare Differentialausdrücke bedeuten. Hier er-
: ve : 9 9 setze man, unter # eine beliebige Function verstehend, ç durch ur):
efie] — [wd] ge — 5. P + 25 0
und wende auf das zweite Glied links die vorangehende Formel an, so folgt à x CMa Ne UE n. tan
wo P", @ in ç und d bilineare Differentialausdrücke bezeichnen. Hiermit ist der Reciprocititssatz für den Fall bewiesen, dass der betreffende Diffe- rentialausdruck aus zwei elementaren zusammengesetzt ist, wenn wir nàm- lich als allgemeine Definition zweier adjungirten Differentialausdrücke D(g) und D(d) die Beziehung festsetzen
= 9
$D(g) —en(9) o P 7.0
mit der Bedingung, dass P, Q in ¢ und ¢ bilineare Differentialausdrücke bedeuten. — Der betreffende Satz kann hierauf durch das obige Verfahren für Differentialausdrücke, die aus drei oder mehreren elementaren zu- sammengesetzt sind, bewiesen werden. Es ist auch nicht schwer zu sehen, wie der Satz allgemein zu beweisen ist. Für unseren gegenwartigen Zweck genügt aber schon das.oben dargelegte.
$ 4.
Nunmehr gehen wir zu den Anwendungen der im Vorhergehenden entwickelten Beziehungen über. In der Formel (10) sei ¢ eine Lösung der Differentialgleichung
~ / 9 2 ii (1 2) > f (— 9% Oe RE à LA y d = Oo,
h,k und man setze ge — e*^*'". Benutzt man die Formel (5) und integrirt in der z-Ebene längs einer Linie (x), in der y-Ebene längs einer Linie (y),
so folgt
28 Hj. Mellin.
» f, (wu , v) ler (x, y)x'ydx dy
hk (x) (vy)
EJ n]
= | | (S P +2 Q)dray.
t (x) (v)
Hieraus ergiebt sich der Satz:
Bedeutet g(x,y) eine Lösung der Differentialgleichung (12) und sind die Integrationswege x und y so gewählt, dass die Bedingung
fa a
| | = Bi; 5; )drdy = ©
t LA (x) (v) identisch erfüllt wird, so besitzen wir in
(15) P ee) [fer be , y)da dy
(x) (y)
eine Lósung der Differentialgleichung o^rk 3 (14) D fuot ous —2O.
In jedem Gliede der obigen Bedingungsgleichung kónnen die Inte- grationen wenigstens theilweise ausgeführt werden, was natürlich ein sehr wichtiger Umnistand ist. Ist die Integration in Bezug auf x zwischen a, und «,, die in Bezug auf y zwischen f, und f, erstreckt, so kann die genannte Gleichung folgenderweise geschrieben werden:
Br % a; Pa J dv | P+ fax | Q— o. A a a À
Diese Gleichung ist nun sicher erfüllt, falls die beiden Grössen
Rz
| Pens vts d) ; Q(estw ; d) a
A identisch verschwinden.
Durch das bestimmte Integral (13) wird nun die Integration von (14) zurückgeführt auf die der Gleichung (12), welche deshalb ex analogia
Uber die Integration partieller linearer Differentialgleichungen. 29
die Larrace’sche Transformirte der partiellen Differentialgleichung (14) genannt werden kann.
Werden (12) und (14) mit einander verglichen, so findet man, dass die Gradzahl jeder dieser Gleichungen in Bezug auf die unabhängigen Veränderlichen gleich der Ordnungszahl der anderen ist. Sind beispiels- weise die Coefficienten von (14) linear, so ist (12) eine Differential- gleichung erster Ordnung. Ist A in allen Gliedern von (12) gleich der Null, d. h. ist (12) eine partielle Differentialgleichung, wo die Variable y nicht explicite vorkommt, so ist (r4) eine gewóhnliche Differential- gleichung mit v als Parameter. Kommt umgekehrt v in (14) nicht ex- plicite vor, so ist (12) eine gewóhnliche Differentialgleichung mit y als Parameter.
Zwischen den beiden Gleichungen (12) und (14) existirt aber zugleich eine bemerkenswerthe Reciprocität, infolge deren sie sich gegenseitig durch be- stimmte Integrale integriren.
Setzen wir nämlich in der Formel
A i oh+k a | px jiu x [Fra iu , v) D 9] — 62 fut 4,0 );ass 4 =2 pur, d) 4-2 Q(r, 0)
ou 2v
¥ gleich einem Integral der Differentialgleichung (14) und 9 — e^, so folgt durch Integration in der w-Ebene langs einer Linie (w), in der v-Ebene làngs einer Linie (v) und mit Benutzung der Formel (6):
zl LI iE | [ward ı jg — — [fur ( u,v)e"-"] h,k
(u) (Q9) a? ^ k 2 2 . e Uu i o A od rh, k p—Uux—vy =| jl du dv M I: ( aj! a) y'e 2 (u) (Qv) d 9 | h —ur—vy qi = Dh wm Bot 5) qu [ fe V (wu, v)dudv ak 9% y/ | (u) (v)
a
"a 7 2 N ^ | in (i ot Bt 3) Q')dudv.
t
(u) Qv)
30 Hj. Mellin. Hieraus ergiebt sich der Satz:
Bedeutet W (u,v) eine Lösung der Differentialgleichung (14) und sind die Integrationswege (u) und (v) so gewählt, dass die Bedingung
ia (s Le += Q' )dudv =o
(u) (v)
identisch erfüllt wird, so besitzen wir in
(15) o (x, y) = Incas V (wu , v)dudv
(u) (v) eine Lösung der Differentialgleichung (12).
Der Zusammenhang zwischen den partiellen Differentialgleichungen (12) und (14) wird also durch die beiden Integralformeln (13) und (15) vermittelt.
$ 5.
In diesem Paragraphen sollen einige Satze aus der Formel (11) ab- geleitet werden.
Multiplicirt man die genannte Formel mit z—5- und ersetzt d durch æyd, so erhält man mit Benutzung von (8):
y | : : 2 9 hok DEL CPS 1» ye DEUX nn 10 = — Af a
Nunmehr sei d eine Lüsung der Differentialgleichung
ox
(16) DLE a 2 n y 2 Dey e — 0, Dr oy
während ¢ eine beliebige Function der Form y(ux, vy) bedeute. Alsdann ergiebt sich durch Integration
Uber die Integration partieller linearer Differentialgleichungen. 31
^ hk 9 9 a * > f [ moe ,Y)x y Fa(o - PAC , vy)
hk (x) (y)
9 9^ => | fe aydılz gm v Fan. v S. Jy (uv , vy)
h,k (x) (y) (1 7) =D Falusy asso f d (ac ym, vy) x" y dx dy = an i Ag EC | = | | (v uH Tt oy Q)ar dy.
(x) ()
Durch passende Specialisirungen von y kónnen hieraus verschiedene Sätze abeeleitet werden. Setzt man z. B. y(x,y) = x’y’” und benutzt die e Me , t Formel (7), so hat man den Satz:
Bedeutet (x ,y) eine Lösung der Differentialgleichung (16) und sind die Integrationswege (x) und (y) so gewählt, dass
2
| | (r^ = P+x = Q)dedy =0
t c
(zr) (y)
ist, so besitzt man in
(18) lo, a = fee, J) x^ y dx dy
(Gr) (y) eine Lósung der Differenzen-Gleichung
(19) EF(p, o) V (p +h, o E) =
Die Ermittelung von Lósungen der partiellen Differenzen-Gleichung (19) wird also durch das Integral (18) zurückgeführt auf die Integration der partiellen Differentialgleichung (16). Es giebt bekanntlich auch einen analogen, von LarraAcE herrührenden Satz über gewöhnliche Differential- und Differenzen-Gleichungen.
32 Hj. Mellin.
Kommt o in den Coefticienten von (19) nicht explicite vor, so ist (16) eine gewöhnliche Differentialgleichung mit y als Parameter. Ist k in allen Gliedern von (19) gleich der Null, so ist (16) eine partielle Differentialgleichung, welche durch die Substitution y = e" in eine Gleich- ung übergeht, wo die neue Variable 7 nicht mehr explicite vorkommt.
In der Formel (17) wollen wir nunmehr y(x,¥)=e*t’ annehmen. Alsdann ergiebt sich der Satz:
Bezeichnet (v ,w) eine Lösung der Differentialgleichung (16) und sind die Integrationswege (x) und (y) so gewählt, dass
3: EET © D) 51:93 "A IN (v PaL Q)drdy o
(x) (y)
ist, so besitzt man in
Du, v) = Ne (x, y)dady
(x) (y)
eine Lösung der Differentialgleichung
= 3 9X ote y Fu ,9 ) @ = o.
du) ou! out
In unserer Formel (17) wollen wir schliesslich CRT eto (my)
annehmen. Alsdann hat man
ke ON ; > Flu a dre) IC — ux) (1 — vy)? "h(a, y)x" y dx dy
h,k-0 E)
19
> Sum: 18 ee 3 J (v Sofa ds 2j Q)dedy. (x) (uy)
Hieraus ergiebt sich durch Rechnungen, die im Wesentlichen mit denjenigen übereinstimmen, welche im folgenden Paragraphen ausgeführt werden sollen, der folgende Satz:
Uber die Integration partieller linearer Differentialgleichungen. 33
Bedeutet (v,y) eine Lösung der Differentialgleichung (16) und sind die Integrationswege (x) und (y) so gewählt, dass
BS. QUE E ees (Oe ee Ee (gy 0) dn dy = ©
(2) QD
ist, so besitzen wir in
V (wu , v) = — ur) (x — vyY ^ d(z , y)dx dy
(x) (v)
eine Lósung der Differentialgleichung
yn £s >: 7 à > F, (u 9 es E PT CH Br? ym % nF tos ur | — © N a a | Qum—h Jun aut Out — | à
$ 6. In diesem Paragraphen sollen zweifache Integrale der folgenden Form
benützt werden
(20) d (u, v) = i) i (u — 2) (v — yy e(m ,y)dxdy.
Setzen wir in der verallgemeinerten LAGRANGE'schen Beziehung
m,n m,n
€ rl x — hl ó— e > ay ha 2p s)?
Pe, 9) +5 (e. 9)
€ gleich einer Lösung der Differentialgleichung
myn
(21) Yaryı al Je = =o
h,k=0
Acla mathematica, 22. Imprimé le 16 février 1898 5
34 Hj. Mellin.
und d gleich dem Ausdrucke (w — x)" ' (v — y)" ", so folgt durch Integra- tion längs den Linien (x) und (y):
min
(2 2) Y i f^ dye (a (x Y) Fax (— ~ == = \ ty! (u m rend (o Jc y) = 1] h,k=0 (x) (» i = | f(& T ere , 9) dod.
Le t
(x) (y)
a
Nun wird sich einerseits ergeben, dass eine einfache Beziehung zwischen einem Integral der Form
>
Deu, vo) — | | drang iof — >, — = [ey (n — x) ! (p — ERE]
t t
(x) (Qn
und dem specielleren Integral
Wu) = | f aedvee dl, 5) — em
LZ (x) (y)
existirt Da offenbar
^ 2 ;;) zy- (v —9y7*] — f. lu]
ist, so findet man andererseits, dass sich das letzte Integral durch (20) folgenderweise ausdrücken làsst
(23) V (u er 2.) Ou, 9).
Auf solche Weise wird sich schliesslich für @(w,v) eine homogene li- neare Differentialgleichung ergeben, wofern die Integrationswege so gewählt sind, dass die rechte Seite von (22) identisch verschwindet. Die erforderlichen Rechnungen sollen jetzt nàher ausgeführt werden. Aus der evidenten Formel
s; (—2) u (uy — (a 1)(u — à = (uz. —at1) i 27
Ou
Uber die Integration partieller linearer Differentialgleichungen. 35
folet durch wiederholte Differentiation und Anwendung derselben Formel
x" 2^ (uy = (u —a + 1) A (u —a == h\(u— a).
Qu" ou
Auf Grund einer bekannten Formel! kann diese Beziehung folgenderweise geschrieben werden: h h
4 o — 9 oS a— (24) a 2 (u — x)" = u [u (u — xy].
Man hat somit auch
Q^tk o9^-k
ay TET [(u — 2) (v — y] = wv? SETS [w^ ^v? (u — zy (v — yy].
Den beiden Seiten dieser Formel fügen wir jetzt den Ausdruck
9^ : 3 A +, —7 symbolisch als Factor hinzu und multipliciren nachher
mit @(x,y). Dann ergiebt sich durch Integration längs den Linien (x)
und (y) und mit Benutzung der obigen Bezeichnung: gitk gutk
^ []
o o Jy = ut v ur eo ur : (25) autour — "* Qu^ Qv* [ ]
Nimmt man nun auf beiden Seiten von (2) die Ableitung
omn om—h+n--k gitk
Qu"Qv" du™—hayn—k ur out
und benutzt die Formeln (23) und (25), so folgt
gm—htn—k = aı+k A / 9 9 | ut vg = | vr as ( Ze, 2) ® |
m,n
ATE 9um—^ au" | ou! Qv* ou’ dv omtn Q = 9 P 9 ( ) ] ] RE = — (7 Jac aw. Qu" 9v" | | (s Ar oy Y Y (z) ()
1 - d" e d d d Aus der bekannten Formel z" E n4 A (x TE n 4- I)o dae :
x x da da da
folgt, wenn man dureh z"—^« ersetzt und die Formel (8) benutzt: E 9 9
/ d / d dr > (^ TEM a + ) cv (æ—_— a + nye = ra [2-29].
da \ da dar‘
36 Hj. Mellin.
riebt uns schliesslich den Satz:
Diese Gleichung &
bedeutet ç(x,y) eine Lösung der Differentialgleichung (21) und sind
die Integrationswege (x) und (y) so gewählt, dass
a a
© 3 | | B any oy Q)dx dy — o
e e (Gr) (vw)
ist, so besitzen wir in
(26) Q(u, v) = N f (u — x)*"(v — yf e(c , y)dady
eine Lósung der Differentialgleichung
m,n
gm—h+n—k | CMS o^tk h—a „k—ß ( 9 9 09) Y ae EA | « Chama P 27 =) | =o.
N,k=0
Durch diesen Satz wird die Ermittelung von Lösungen der Diffe- rentialgleichung (27) zurückgeführt auf die Integration der Gleichung (21). Überdies lässt sich aber zeigen, dass die Beziehung zwischen den beiden Gleichungen eine solche gegenseitige ist, dass auch die Integration der ersteren (21) durch Quadraturen auf die der letzteren (27) zurückführ- bar ist.
Da offenbar der adjungirte Differentialausdruck einer Summe gleich der Summe von den adjungirten der Summanden ist, so ergiebt sich mit Hülfe des am Schlusse des $ 3. bewiesenen Reciprocitätssatzes:
o^rk x gm—h+n—k h—0. „k—ß 3419 B f u v Qu! ov |^ v Qu m—^ Qv—k 4
Qm—h-cn-k ? ok wae 17x) 9 5) u^ v* Wh , —) À 91,n—^ 9 yn— ou ouf |. ou’ dv
9 ’ 9 ,
m,n
(38) @ Y A == hk=0
m,n
= (= L1) s Ur
A,k-0
wo P, Q in ® und V bilineare Differentialausdrücke bezeichnen. Hier
Uber die Integration partieller linearer Differentialgleichungen. 37
ersetze man nun ® durch eine Lösung der Differentialgleichung (27) sowie 7" durch den Ausdruck
(29) Y= (u — xy" (0 — yy.
Alsdann verschwindet die auf der rechten Seite befindliche Summe, während die links auf # sich beziehenden Operationen eine sehr ein- fache Form annehmen werden.
Ersetzt man nàmlich in der Formel (24) « durch h—a, so folgt
ur E [w^ (u — zy] = (— 1)'a(a — 1)... (a — h + 1)z (u — a)".
Mit Benutzung dieser Formel ergiebt sich, dass ein Ausdruck der Form
hk —htn—k yh een o^ er om n au! av" OU oto io^
bei der Annahme (29) in den folgenden übergeht (— 1)"*"a (a— 1)...(a--m4- 1) 8(8 —1)...(B—n-r 1)" y (u— x) ^^ (v—y) FT.
Ersetzt man also in (28) ® durch eine Lösung der Differentialgleichung (27) und ¥ durch den Ausdruck (29), so folgt, wenn man die Con- stante (— 1)"*"a...(a—m-+ 1)8...(8—n + 1) durch C bezeichnet:
m,n
; 9 9 : Co, 0) rea ds a) n ten] h,k=0 N — CD 5 S Jh kf 9 9 ; a\—a 1 (45 \—f—1] __ 9 P ()' = CO(u, v) » T'Y Tu a JF(u — x) (yo Sy) E DL pe h,k=0 C
Integrirt man nun schliesslich in der «-Ebene längs einer Linie (x) in der v-Ebene làngs einer Linie (v), so hat man den Satz:
Bedeutet ®(u,v) eine Lösung der Differentialgleichung (27) und sind die Integrationswege (u) und (v) so gewählt, dass die Bedingung
a 275 ; 3 E ps || (ze: + 5, € )dudi ES
(u) Cv)
38 Hj. Mellin. identisch erfüllt wird, so besitzen wir in
"E if [ (u — 2)" (v — y) ^^ d(u , v)dudv
Jo (u) (v)
(30) [4 (x ;
eine Lösung der Differentialgleichung (21).
Der Zusammenhang zwischen den Differentialgleichungen (21) und (27) wird also durch die beiden Integralformeln (26) und (30) vermittelt.
S:
Sehen wir von dem Integral (18) ab, so sind die übrigen in der vorliegenden Arbeit angewandten Integrale in den allgemeinen Formen
(A) f f (ux, vy)e(r,y)dzdy und (B) [Sew—»: v—y)e(«, y)dxdy @ & (x) (v)
enthalten, wo wir eg und 4 als Lösungen von linearen Differentialgleich-
ungen denken wollen. Die Ausdrücke
et , cay ; (1 m Zee (n — y}
— mit denen d zu identificiren ist, damit diese Integrale in die von uns erörterten übergehen — können als Lösungen der einfachsten line- aren Differentialgleichungen bezeichnet werden. Zwei allgemeine Fragen treten hier nun ungezwungen hervor:
Vorausgesetzt, dass e und 4 beide als Lösungen von gegebenen li- nearen Differentialgleichung definirt sind, lässt sich dann auch eine li- neare Differentialgleichung angeben, die von dem betreffenden Integrale (A) oder (B) bei passender Wahl der Integrationswege (x) und (y) be- friedigt wird? :
Vorausgesetzt, dass die eine von den Functionen ¢ und ¢ als Lósung einer gewissen linearen Differentialgleichung fixirt ist, lasst sich dann die andere als Lösung einer solchen Gleichung bestimmen, dass das betreffende Integral (A) oder (D) bei passender Wahl der Integrationswege einer vor- gelegten linearen Differentialgleichung Genüge leistet?
Was nun speciell die erstere dieser Fragen betrifft, so lässt sie sich, wenn die eine von den Functionen e, & passend beschränkt wird, verhältniss-
Uber die Integration partieller linearer Differentialgleichungen. 39
mässig einfach und übersichtlich beantworten. Verfasser erlaubt sich
hier die Hauptergebnisse mitzutheilen, zu denen er in seiner Arbeit Über
gewisse durch bestimmte Integrale vermittelte Beziehungen zwischen linearen
Differentialgleichungen mit rationalen Coeffieienten' für den Fall gekommen
ist, dass e und @ gewöhnliche lineare Differentialgleichungen befriedigen. Alsdann gelten folgende Sätze:
bezeichnen d und e Lösungen von den resp. Differentialgleichungen
ee Drr(el)e@)=o
und ist der Integrationsweg (x) so gewählt, dass eine gewisse Bedingungs- gleichung erfüllt wird, so befriedigt das Integral
y = fe
die Differentialgleichung
d \ d / d d d fe (w zu) fw 2) fu Xp 1) fv em 2) xe fi tih 3r
d d d \ d d ; + uF, (w age x) Kv d ) fw 7 1) cp fu, —N-+ 2)y
(oad, d d d Ac ni -— iw (nr Qon a, + 1) fn) eL ut >
+ wu al gl = + i )g( = + 2) ve -g(u 2 +n— 1 yr
Diese Gleichung ist nun sehr übersichtlich aus den Ausdrücken zu- sammengesetzt, welche in den Differentialgleichungen der Functionen ¢ und d vorkommen.
Ein besonders bemerkenswerther specieller Fall tritt ein, wenn » — ı ist, d. h. wenn nicht nur die Differentialgleichung von ¢ sondern auch die von @ eine hypergeometrische ist.
^ Acta Soc. Seient. Fenn., Tom. 21.
40 Hj. Mellin.
In dem folgenden Satze haben wir zur Abkürzung f und g an Stelle von f.) und s.) geschrieben. Ferner bedeutet g" die symbolische n° Potenz von g, rend g die erste Ableitung von g bezeichnet.
Bezeichnen d und g Lösungen von den resp. Differentialgleichungen
PO 29 oto.
n d Dr (Jet) 225 v=0 (à
und ist der Integrationsweg (x) so gewählt, dass eine gewisse Bedingungs- gleichung erfüllt wird, so befriedigt das Integral
UE fou — x)e(x)dx
(2) die Differentialgleichung gy + 9" [xg —f)fy o=) +9" " [ng + 9 —f [xg — f )fy zu + [29 + (n — 1)g' — f ug + (n — 2)g —f]... [ng — F]ry. Ein besonders einfacher und bemerkenswerther Fall tritt auch hier
ein, wenn 2 — 1 ist, d. h. wenn nicht nur die Differentialgleichung von d sondern auch die von ç eine LaPraAcE'sche Gleichung ist.
Helsingfors, April 1896.
4]
UBER DIE INTEGRATION SIMULTANER LINEARER DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN DURCH BESTIMMTE INTEGRALE
VON
HJ. MELLIN
in HELSINGFORS.
In diesem Aufsatze wollen wir zeigen, dass die auf Verwendung be- stimmter Integrale basirte Integrationsmethode ebenfalls auf Systeme si- multaner linearer Differentialgleichungen übertragen werden kann. Der Kürze halber beschränken wir uns hierbei auf Systeme von zwei ge- wöhnlichen linearen Differentialgleichungen zwischen zwei abhängigen Veränderlichen. Aus der folgenden Darstellung wird sich aber leicht ergeben, dass unsere Sätze ohne weiteres auf beliebige Systeme gewóhn- licher linearer homogener Differentialgleichungen mit rationalen Coeffi- cienten ausgedehnt werden können. An der Hand der vorangehenden Arbeit’ kann man ferner finden, dass ganz analoge Sätze auch von Sy- stemen partieller linearer Differentialgleichungen gelten müssen.
Ses
In den LacRnANGE'schen Beziehungen
' Über die Integration partieller linearer Differentialgleichungen durch vielfache Integrale.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 24 février 1895. 6
42 Hj. Mellin.
wo f(y,¢) und g(y,¢) in y und g, resp. in y und 4 bilineare Diffe- rentialausdrücke bezeichnen, wollen wir y =e annehmen, während ¢ und ¢ zwei zusammengehórende Lösungen der Differentialgleichung
(1) Y4(- )re- Xe(— 30e
bedeuten sollen. Beachtet man zugleich die bekannte Formel / d ur ur f ( ae — f (we.
so folgt aus den obigen Beziehungen durch Addition und Integration
in der x-Ebene längs einer Linie (x):
Y) u Mer gr + Yalu u) feta oda
(x) (x)
"d = | n [£(€^, e) + NES d)] dx.
(x)
Hieraus ergiebt sich der Satz: Bilden g(x) und (x) ein System von Lösungen der Differential-
gleichung (1) und ist der Integrationsweg (x) so gewählt, dass die Bedingung
ae À Tee, €) + gle ee g)]dx = L0 (x)
identisch erfüllt wird, so besitzen wir in
(2) d (u) = fe*e(z)dz, = fest Vite i (2) ein System von Lösungen der Differentialgleichung m d x x (3) Y £003, P+ Lgl) ZY ale
Zwischen den beiden Gleichungen (1) und (3) existirt zugleich eine solehe Reciprocität, dass sie sich gegenseitig durch bestimmte Integrale
integriren.
Uber die Integration simultaner linearer Differentialgleichungen
43 Um dies zu zeigen setzen wir in den LaGranGe’schen Beziehungen
m
OF HOF 0 m af 0)
PONG ds UA y —1Ys) -
)as V ii d (x: 7),
wo f'(y, 0) und g'(y, V) bilineare Differentialausdrücke bezeichnen, X == Cu
, während ® und % Lösungen der Differentialgleichung (3) be deuten. Beachtet man zugleich, dass
1-2] ae
so ergiebt sich aus den obigen Beziehungen durch Addition und Integra- tion in der «-Ebene längs einer Linie (w):
= (—; AE fede Y s(— 1)n fe du
v=0 (u)
en e = | au (€ , D) + g(e "^, ¥)\du. (u) Hieraus ergiebt sich der Satz: Bilden
Q(u) und Wu) ein System von Lösungen der Differential- gleichung (3) und ist der Integrationsweg (u) so gewühlt, dass die Bedingung
| [Fe 0) 4- ge", ju = o
(u)
identisch erfüllt wird, so besitzen wir in
(4) o(2) = fe 9(u)du, d(x) = Yi V (uw) du
(u)
ein System von Lösungen der Differentialgleichung (1)
44 Hj. Mellin.
Der Zusammenhang zwischen den Differentialgleichungen (1) und (3) wird also durch die Integralformeln (2) und (4) vermittelt.
An Stelle einer Gleichung wollen wir jetzt zwei Differentialgleichungen zwischen den abhàngigen Veränderlichen betrachten. Versteht man unter F(y,v),6(y. d), F'(y, 0), (y, ) bilineare Differentialausdrücke, welche in Rücksicht auf die unten noch hinzukommenden Differentialgleichungen genau ebenso zu definiren sind, wie oben f(y, €), g(y , d),f'(y, 9), g (y , t) in Bezug auf die Gleichungen (1) und (3), so hat man ohne weiteres die folgenden Sätze:
Bilden g(x) und d(x) ein System von Lösungen der simultanen Diffe- rentialgleichungen
| are p= True
(5) 5 3 M r(- jee +L6(—Z)ary =o
und ist der Integrationsweg (x) so gewählt, dass die Bedingungen
"d | Zire, "* 1€) + 9 (€^, d)]dx — o,
(2)
[ ate, ua g) + G(e“*, d)] dx es |
(x)
erfüllt werden, so besitzen wir in
= fee )dx, E(u) = J €* 4 (a)aw
(x) (x)
ein System von Lösungen der simultanen Differentialgleichungen Y 403 v=0 ae m Vs (memo = à du’ = A du’
(wu) = = gu
(6)
Uber die Integration simultaner linearer Differentialgleichungen. _ 45
Bilden umgekehrt @O(u) und Wu) eim System von Lösungen der si- multanen Differentialgleichungen (6) und ist der Integrationsweg (u) so ge- wählt, dass die Bedingungen
^d " fi du [F(e"^, ) + g'(e ^, ¥#)|du = o,
IE du [F'(e a , 9) + G'(e zd "du =O
Qn)
erfüllt werden, so besitzt man in
e(z)— le D(u)du, d(x) = eee Eu) du
(u) (u)
ein System von Lósungen der simultanen Differentialgleichungen (5).
Die beiden Systeme (5) und (6) integriren sich also gegenseitig durch Quadraturen.
Sti2e
Wir benutzen jetzt LAacRANGE'sche Beziehungen der Form
early — Del Be
y=0 DELICe "ET Dal: wel‘)
wo f(y,g) und g(y,¢) bilineare Differentialausdrücke bezeichnen. Wir denken uns y als eine beliebige Function der Form y = y(ux),
in welchem Falle allgemein f(x + )x (us) = Qu )y(ux) ist, und wählen
die Functionen e und ¢ als Lösungen der Bifferonlialgleichung
(7) Dei) +Ya(— ra—1)a"p =o.
46 | Hj. Mellin.
Dann ergiebt sich aus den obigen Beziehungen durch Addition und Inte- gration làngs einer Linie (x):
(8) Y £u) fe x’ g dx +¥ 9 (ut ) fx (ux) a’ d dx
y=0 v=0
= {elo 9) + gy, Pax. (2) Wählt man die Functionen e und d so, dass sie, ausser der Gleichung (7) noch der folgenden genügen
m'
(9) i er a + X6(— —1)e"f — o,
so besteht gleichzeitig mit (8) die Beziehung
(10) 5; ha ux) x’ e dx x7 (ur 2) dno "pdx
= [9 + Oy, glee,
wo F(y,¢) und 6(y,4d) in Bezug auf (9) ebenso zu definirende bilineare Differentialausdrücke bedeuten, wie f(y, ¢) und g(y.d) hinsichtlich der Gleichung (7).
Durch passende Specialisirungen von 7 kónnen aus den simultanen Gleichungen (8) und (10) verschiedene Sätze abgeleitet werden. Setzt man beispielsweise y(#) =’ und benutzt die bekannte Formel
/ d 2 f (wu 5) w^ — wf(p), so hat man den Satz:
bilden g(a) und (a) ein System von Lösungen der simultanen Diffe- rentialgleichungen
Uber die Integration simultaner linearer Differentialgleichungen. 47
und ist der Integrationsweg (x) so gewählt, dass die Bedingungen
j| E [f(u^o*, e) + g (u^ a , 2)]dx =o,
(x)
(z [F(u’2?, e) + G(u^x*, d)]dx = o
(x)
erfüllt werden, so besitzen wir in
(p) = fela)erde, Jy — f d (r)a* du
(x) (x)
ein System von Lüsungen der simultanen Differenzen-Gleichungen
I f (p)0(p + ») +X gp)" (o +») — o,
X F,(o)0(o + ») + Z 6(p)(o + ») — o. In den Formeln (8) und (to) wollen wir zweitens y(a) = e* an- nehmen. Alsdann ergiebt sich der Satz:
Bilden g(a) und g(a) ein System von Lösungen der simultanen Diffe- rentialgleichungen (11) und ist der Integrationsweg (x) so gewählt, dass die Bedingungen
T | 3; Lf (e^, 9) +9", p)ldx = o,
(x) "d L u qa VF (€^, e) + 6(e^, d)]dx = o Gr) erfüllt werden, so besitzen wir in
Qu) = fee(x)ax, UY u) EE fies d (2) da (x)
(x)
48 Hj. Mellin.
ein System von Lösungen der simultanen Differentialgleichungen
» ^ (« 3.) is Oot You =) E y — o, Del) + Ye (ur) sete
In den Formeln (8) und (10) wollen wir schliesslich y (x) = (1 — x)^^ annehmen. Durch Rechnungen, die im Wesentlichen mit denjenigen über- einstimmen, welche im folgenden Paragraphen näher ausgeführt werden, ergiebt sich alsdann der folgende Satz, wo p die kleinste, die beiden Be- dingungen p>m,p>n erfülende ganze Zahl bezeichnet, während g dieselbe Bedeutung hinsichtlich der Zahlen m’ und »' hat:
Bilden g(a) und (x) ein System von Lösungen der simultanen Diffe- rentialgleichungen (11) und ist der Integrationsweg (x) so gewählt, dass die Bedingungen
| Ef — uzy—,e) +g9((1 — ux), d)]dx — o,
(x)
IE 32 [F((1 —ua)*", e) + 6((1 — ur)", d)]dx = 0 e
erfüllt werden, so besitzen wir in
Du) = IN — uz) e(x)dx, E(u) = fa — ur) d(x)daz
(x) (x)
ein System von Lósungen der simultanen Differentialgleichungen
“~~ { d dr d" dp-v d n14—Y p—a v—a pe 2 f» mL dur i dur Da; Ys (n e : dur " y Y= 0,
du
m’
14 da .d' d^ di d » Flu — ju EES $ -4- 6,(w ut ——— ui (Or es ©), — € dus du’ — uod v= =
tu du du’
49
Uber die Integration simultaner linearer Differentialgleichungen
53 zh Je m2 >= £(— i) "4 = £ t(¢ 4) y=0 v=0 Y gr.) ge Dal =) 4 — $9.2»
wo f(e,y) und g(¢, y) bilineare Differentialausdrücke bezeichnen, wollen wir y = (u — z)^ annehmen, während ¢ und d ein System von Lösungen
der Differentialgleichung
(12) Yet(1)e* ra(r)s—0
Aus den obigen Beziehungen folgt dann durch Addition und
bilden. Integration : d y \a—1 : / 7 .\a—1 (13) dvgt(—“)peru—ay +S. (aryg(— St" ar] v=0 (x)
Fügt man den beiden Seiten der in $ 6. der vorangehenden Arbeit
abgeleiteten Formel
-
14) | (14 Su Acta mathematica, 22. Imprimé le 24 février 1895,
50 Hj. Mellin.
den Ausdruck = =) symbolisch als Factor hinzu und multiplieirt ax .
nachher mit ç(x), so ergiebt sich durch Integration
zr ^ «—Y] — de Lm à d PR zm Js je Es ar) wt qu | da gf(— us 7 — cy e (x) ur LAON LU Re magst | dne n meu) fu ore (oye. 2
Nimmt man nun auf beiden Seiten von (13) die p* Ableitung — unter p die kleinste, die beiden Bedingung p m, p > n erfüllende ganze Zahl verstehend — so erhàlt man mit Benutzung der letzten Formel
m
NS dE OA u^ d
= du? du? y=0
GE a d" n, d eS + > LT +5, | Jf ( — ay o(x)dx y=0 (x)
v7) [ware (nde
Hieraus ergiebt sich schliesslich der Satz:
Bilden g(x) und (x) ein System von Lösungen der Differential- gleichung (12) und ist der Integrationsweg (x) so gewählt, dass
| = (f(e , BZ 2a) + g(d, (u — N] dx —=o
(x)
ist, so besitzen wir in
D(u) = fu—s2y ¢(2)da, Yu) = f (u — 2)" d(x)dz (2) (x) ein System von Lösungen der Differentialgleichung
aS Zul c) Y aoe * sS woo.
— dur du” — dur" dus =
Uber die Integration simultaner linearer Differentialgleichungen. 5l
Wir werden zeigen, dass auch umgekehrt die Integration von (12) durch Quadraturen auf die der Gleichung (15) zurückführbar ist.
Da der adjungirte Differentialausdruck einer Summe gleich ist der Summe von den adjungirten der Summanden, so ergeben sich, wenn man auch den Reciprocitätssatz benutzt, die Beziehungen
dy VE pol CEs Y dur a a £(=) 9
( d Fr d" d?»—" d
v—ı. a
=> u u y AUNT | dw" qu a du
d’ d?— — (—1yw aa = mie Ya(— TIL du’ de dur > a 29 Moan
wo f’(®,y) und g'(V,) bilineare Differentialausdrücke bezeichnen. Wir wählen nun ® und ¥ als Lösungen der Differentialgleichung (15) und ersetzen y durch den Ausdruck
(16) = war.
Alsdann verschwindet die linke Seite der durch Addition der obigen Be- ziehungen entstehenden Gleichung, während die unter den Summations- zeichen auf y sich beziehenden Operationen eine sehr einfache Form an- nehmen werden.
Ersetzt man nämlich in der Formel (14) « durch v— a, so folgt
y
w= [ut (u —gy-*-*| = (— 1ya(a— 1)...(a—v» + 12 (u— a)".
Mit Benutzung dieser Formel ergiebt sich leicht, dass ein Ausdruck der
Form d" dp
u’ a M u” = du’ dur" X
bei der Annahme (16) in den folgenden übergeht
(— nya(a— 1)... (ap + Hawa.
Cx Lo
Hj. Mellin.
Wählt man also in den obigen LaGrance’schen Beziehungen ® und J^ als Losungen der Differentialgleichung (15) und ersetzt y durch den Ausdruck (16), so folgt durch Addition
coy x (Ju e Op pue "s(— ua
v=(
= 00> vf(7. (u — 2) + ME vg ( Je) —a 1
— 3 0, Wr) £9, War) au wo zur Abkürzung a(a—1)...(a—p+1)=C gesetzt wurde.
Integrirt man nun schliesslich in der w-Ebene längs einer passenden Linie (w), so hat man den Satz:
Bilden ®(u) und Wu) ein System von Lösungen der Differential- gleichung (15) und ist der Integrationsweg so gewählt, dass
late, (u — 277») + g'(¥, (u — 0)? )]du = o
(u)
ist, so besitzen wir in
e(z)-— f ( —a) ^ D(u)du, f(x) = fe — x)" J(u)du
(u) (u) ein System von Lösungen der Differentialgleichung (12).
An Stelle eimer Gleichung betrachten wir jetzt zwei Differential- gleichungen zwischen den abhängigen Veränderlichen und verstehen unter F(ge,y), (d. y), F'(0,y), C(, y) bilineare Differentialausdrücke, welche in Bezug auf die unten hinzu kommenden pol ebenso zu definiren sind, wie oben f(e, y), g(9, y) , f'(0, y) , g'(V, y) hinsichtlich der Gleichungen (12) und (15). Wie oben bezeichnet p die kleinste, die beiden Bedingungen p>m, p>n erfüllende ganze Zahl, während q die- selbe Bedeutung hinsichtlich der Zahlen m’ und n’ hat. Aus dem Vor- angehenden ergeben sich dann ohne weiteres die nachstehenden Sätze:
Über die Integration simultaner linearer Differentialgleichungen. 53
Bilden g(x) und (a) ein System von Lösungen der simultanen Diffe- rentialgleichungen
v=0 v=0 (17) E * ji xil E d xr Fs.) jn De 645,)9 — 9:
und ist der Integrationsweg so gewählt, dass die Bedingungen
fare. (u— zy) + g(d , m — x)" ')|dx = o,
(x)
= Fl ke) 2) ES Gd, (u — x)" )jdx — O
(x)
erfüllt werden, so besitzen wir in
d(u) = f(u — x) e(v)dz, Yu) = if (u — x)" d(x)dx
(x) (x)
ein System von Lósungen der simultanen Differentialgleichungen
Le E Ip ih d . »2 Lua ane Ze du )@ a 2 nor : yu “9. 22 i
= (@) dau?—" du* c LP » du’ 2 y=0 (18) m Ja- y de n Ja de € 2 —- d | TE w^ — u” IE (2 —— U (e 9 == du dw? ;) " um s dur? dw’ le du 1 v= v=
Bilden umgekehrt (wu) und Wu) ein System von Lösungen der si- multanen Differentialgleichungen (18) und ist der Integrationsweg (w) so gewählt, dass die Bedingungen
FAUX u — ay) + 9'(¥", (wu — a) )]du = o,
(u)
(ze LD, (u — zy *—) + (V, (u—ay-* )]du = (u)
54 — Hj. Mellin.
erfüllt werden, so besitzen wir in
= f(u—zy- D{u)du, g(a) = Jh (u —2)- Vudu
(Qu)
ein System von ge e; simultanen Differeniaglichungen (1 2
Helsingfors, Mai i50
THEOREME SUR LES SERIES ENTIERES
PAR
JACQUES HADAMARD
à BORDEAUX.
1. Soient deux séries de Maclaurin (1) Fe) = Ge Ge dan gee. (2) e(t) = b, + bit +..+5b1-+. »
convergentes dans des cercles ayant pour centre l'origine et pour rayons respectifs k et J. La série
(3) pr) = ab, + a bm +... + nuum" +...
dont chaque coefficient est égal au produit des coefficients correspondants des séries (1) et (2), a son rayon de convergence au moins égal à Kl. Nous allons démontrer, plus généralement, que la fonction g(x) m'a (et cela dans tout le plan) d'autres points singuliers que ceux que l'on obtient en multipliant les affixes des différents points siuguliers de f(z) par celles des différents points singuliers de e(t).
2. Une expression analytique bien connue de &(x) est la suivante
I + 7 j ; (4) p(x) = I ffe?) e(te-7)48,
Care z et ¢ étant deux nombres fixes quelconques de modules respectivement inférieurs à k et / et satisfaisant à la relation
(5) gl = m.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 24 février 1895.
Eg
56 Jaeques Hadamard.
A intégrale (4), nous allons en substituer une autre donnant aussi la valeur de g(x) et comprenant la premiere comme cas particulier.
Pour cela, r ayant une valeur déterminée quelconque, nous ferons encore correspondre à chaque valeur de z une valeur de ¢ par l'équa- tion (5); mais, au lieu de laisser z fixe, nous supposerons qu'il tourne autour de l'origine en décrivant un certain contour C; alors, le point correspondant ¢ tournera également autour de l’origine, mais en sens in- verse, en décrivant le contour J” qui correspond à C; on aura d'ailleurs évidemment
dz dt (6) a oe
De plus, à une valeur de z extérieure à C, correspond une valeur de ¢ intérieure à JZ’, et inversement. Nous supposerons:
o
1? que la fonction f(z) est holomorphe à l'intérieur du contour C
et sur ce contour; 2° que la fonction g(t) est holomorphe à l'intérieur du contour J’
et sur ce contour.
3. Cela posé, formons l'intégrale
> dz
(7) T= J re
prise le long du contour C, dans le sens direct, laquelle équivaut, en vertu de la relation (6), à l'intégrale
3 it a ( Je. prise (dans le sens direct) le long de J’, puisque le sens direct sur l'un des contours correspond au sens rétrograde sur l'autre.
L'intégrale I ne dépend pas du choix du contour C, tant que celui-ci vérifie les deux conditions spécifiées tout à l'heure: autrement dit, si l'on remplace le contour C par un contour C" satisfaisant aux mêmes conditions, l'intégrale n'est pas changée. Cela résulte immédiatement de
; 3 1 /a 3 ce que la fonction _f(2)¢(-) est holomorphe entre C et C’.
rc
Théorème sur les séries entières. 57
D'ailleurs I est, pour un choix déterminé du contour C, une fonction holomorphe de x.
Donc / est une fonction holomorphe de z tant que cette quantité et les contours C , Z’ varient de manière que les conditions du n? précédent ne cessent pas d'être vérifiées.
Si enfin le module de x est inférieur a kl, on peut supposer les contours C, J’ respectivement intérieurs aux cercles de convergence des séries (1) (2) et, par conséquent, utiliser les développements de f et de €: il vient alors immédiatement
I = 2ird(x).
5357 I : c : : En un mot, l'intégrale z; fournit la continuation analytique de la série (3).
4. Il reste à examiner pour quelles valeurs de x nous pourrons construire les contours C, /' possédant les propriétés demandées.
Soient S, X deux aires comprenant l'origine, que nous supposerons, pour fixer les idées, simplement connexes et dans lesquelles les fonctions f,¢ sont respectivement holomorphes. Donnons-nous encore, pour un instant, la valeur de x: le lieu des points z, tels que les points ¢ corres- pondants soient situés sur le contour de E, est une certaine courbe fermée c, et un point ¢ sera à l’intérieur ou à l'extérieur de Y, suivant qu'il correspond à un point z extérieur ou intérieur à c,.
T
Toutes les courbes c, correspondant aux diverses valeurs de x seront d'ailleurs semblables entre elles.
Nous appellerons produit des aires S et Y, et nous désignerons par la notation SZ, l'aire lieu des points æ tels que la courbe c, soit com- prise tout entiére à l'intérieur de S: aire qui est limitée par la courbe lieu des points z tels, que c, touche intérieurement le contour de 5.
5. Ce produit ne dépend pas de l'ordre des facteurs; car la dé- finition précédente peut évidemment se remplacer par celle-ci:
L'aire SX est formée par les points dont les affixes ne peuvent pas être obtenues en multipliant l'affixe d'un point extérieur à S par celle d'un point extérieur a Y.
Acta mathematica, 22. Imprimé le 2 mars 1898, &
58 Jacques Hadamard.
6. A quelle condition cette aire SY sera-t-elle connexe? Considérons toutes les courbes c, qui passent par un point déterminé a, et supposons quil existe un are aa, intérieur à toutes ces courbes (ou pouvant avoir des points communs avec quelques unes d'entre elles) et partant du point a pour aboutir à un point a, plus rapproché de l'origine que le premier.
ul: a, à RA Alors, si lon pose z, — —x, on voit que la courbe c, sera intérieure a
à c,, quel que soit x; et méme on pourra aller de # a x, par un arc
\
(à savoir l'are semblable à aa) tel que, pour tout point y de cet arc, la courbe c, soit intérieur à c,. Si done le point x est intérieur à l'aire SY, il en est de méme de
tous les points de l'are zz,, et aussi de l'are ‘a,x, joignant le point c,
au point d'affixe x, =; et ainsi de suite. En un mot, on peut, sans sortir de l'aire SX, passer de tout point x intérieur à cette aire a des points infiniment voisins de l'origine.
Done l'aire SY est connexe.
Il est clair, d'ailleurs, qu'on obtiendra une autre condition égale- ment suffisante, mais non nécessaire, en substituant, dans ce que nous
venons de dire, l'aire S à l'aire X et inversement.
7. L'aire SX est celle dans laquelle nous pourrons faire varier x sans que la définition et les propriétés fondamentales de l'intégrale 7 cessent de subsister.
Si, en effet, x est intérieur à cette aire SY, on pourra prendre pour le contour € l'un queleonque de ceux qui contiennent c, à leur intérieur, tout en étant eux mêmes intérieurs à $.
Au contraire, si x est extérieur à l'aire SY, le contour de X cor- respond à une courbe c, qui sort de l'aire S et il en sera, a fortiori, de méme de tout contour J intérieur à X.
8. Soient décrits, avec l'origine comme centre, un cercle de rayon K > k dans le plan de la variable z, un cercle de rayon L > 1 dans le plan de la variable ¢. Supposons que, dans ces cercles, les fonctions f(z), g(t) aient chacune un certain nombre de points singuliers que nous supposerons isolés, pour simplifier: soient
a, (11,9, ..., 0)
or eo
Théoréme sur les séries entiéres.
les points singuliers de f(z),
b, (91,2, p)
ceux de g(t). Nous joindrons les premiers à la circonférence de rayon K, les seconds à la circonference de rayon L, par des rayons ou, plus géné- ralement, par des spirales logarithmiques toutes semblables entre elles et ayant l'origine comme pôle.
Nous pourrons prendre, pour les aires S et X, celles qu'on obtient en pratiquant, suivant ces spirales, des sections dans les deux cercles précédents. L’aire SY sera alors celle qu'on déduira d'un cercle C ayant pour rayon la plus petite des quantités kL et IK, en y pratiquant des sections suivant des spirales logarithmiques semblables aux précédentes et partant des points
=1,2,...,n) Cu ri a,b,. (ea)
Done la fonction ¢ est holomorphe à l'intérieur de l'aire ainsi dé- finie; comme, d'ailleurs, la forme des spirales logarithmiques employées est arbitraire, les seuls points singuliers de d(x), à l'intérieur du cercle C, sont les points c,,. C'est le résultat méme que nous avions en vue.
9. Ce résultat peut être considéré comme généralisant, à un certain point de vue, celui qui figure dans ma these’ et qui se rapporte aux points singuliers de la série
(8) ZC, Gn Co
1 C, = fV(t)tnde. " )
Il présente, comme ce dernier, cette particularité d'étre valable dans toute l'étendue du plan, tant en dehors qu'à lintérieur du cercle de convergence: en un mot, de fournir une propriété du prolongement ana- lytique d'une fonetion donnée par son développement en série de puis- sances.
' Journal de M. Jordan, 4° série, tome 8; 1892; n° 35 —37.
60 Jacques Hadamard.
On doit toutefois observer qu'il lui manque, pour servir a la con- naissance de ce prolongement analytique, un autre caractère important: ce caractére est l’invariance vis à vis de la transformation par laquelle on passe du développement de f(x) à celui de f(x + h) (h étant une constante quelconque).
Les difficultés que l'on rencontre dans l'étude des fonctions d’après leur développement taylorien tiennent, en effet, à la complication des for- mules qui lient entre eux les coefficients de ces deux développements (sup- posés ordonnés suivant les puissances de x); et l'un des problèmes dont la solution serait le plus essentielle pour cette étude est la recherche de fonctions des coefficients invariantes, non seulement vis à vis de la trans- formation que ces formules définissent (ce qui ne présenterait aucune difficulté, au moins pour les petites valeurs de h, et serait, d'autre part, sans utilité), mais encore par cette transformation, combinée avec l'addi- tion d'un polynome quelconque à f(x).
Malheureusement nous ne connaissons guére, dans cet ordre d'idées, qu'un seul exemple d'invariance ou plutôt de covariance: c'est celui des dérivées de f(x) et, plus généralement, ainsi que je l'ai remarqué,’ du symbole
T
Dzf(x) = fic — 2)*f(z)dz.
Quoiqu'il en soit, on serait trés probablement conduit à des applications intéressantes par l'examen des cas où la série (x) aurait un rayon de convergence supérieur au produit des rayons de convergence primitifs k
et |: ce qui pourra se produire lorsque la quantité | Va
m
ne tendra pas
, “1 I régulierement vers 7e 10. En terminant, signalons quelques formules analogues à la for- mule (4) et relatives aux séries de la forme a,e ^". Solent
(9) F(u) —Xa,e-*
m
(10) D(v) = Zoe °°!
* loe cit., n? 31, note.
Théorème sur les séries entières. 61
deux telles séries, absolument convergentes pour certaines valeurs de A(w) * et de R(v). Considérons la quantité
+A
(11) 1 SF + wi) (v — wi)dw. Comme on a F(u + wi)d(» — wi)
= X q,5,,6 Ont cos A, — Aww + i sin (A, — 4,)w], m,m le développement de l'expression (11) comprendra deux parties: l'une (celle qui correspond à m =m’) sera égale à Y(u + v), où l'on a posé
(12) V (uy M aib e's:
mm
Quant aux termes restants, qui sont de la forme
‚sin (An Pay, An’) A (Am ard Am’) A
—(Am U+Am' : (13) (LUE een , (m+m')
ils constituent un ensemble qui tend vers zéro pour À infini; car chacun deux tend vers zéro et, d'autre part, la série qu'ils forment est unifor-
mément convergente quel que soit A, puisque ses termes sont plus petits en valeur absolue que ceux de la série
—(AmU+Aw' t $5 aspire ere)
,"m*"m m,m
laquelle est absolument convergente, d'aprés les hypothéses faites sur F et ©. Si donc nous appelons valeur moyenne de f(w) l'expression
1
R(u) désigne la partie réelle de w.
62 Jaeques Hadamard.
il viendra
Val. moy. (F(u + wi) Ov — wi)) = Wu + v). On aura ainsi
Val. moy. [€(u + wi)€(v — wi)] = C(u + v),
¢ étant la fonction de Riemann; et, plus généralement, le symbole D représentant une différentiation,
Val. moy. [D?C(u + wi).D'C(v — wi)] = D'**C(u + v).
Les fonctions
ont des développements identiques a celui de ¢, aux signes des termes pres. On aura donc
Val. moy. [C(u + wi)(1 N 2) ec OE Ut. wi)(1 EC D)
'e[2(u 4- wi)] &[2(v — wi)
— Val. moy. (Ge + wi) E(v = wi)
) = C(u + v),
et autres formules analogues. En particulier, pour « réel, il vient Val. moy. |¢(u + wi)|? = £(2u), Val. moy. | D?¢(u + wi)|? = D'"C(2u), Val. moy. | (uw + wi)(1 — ne Cu)
(porti? roy
(14) Val. moy. Flu Eon
Il est intéressant de remarquer que le second membre de cette
» : : I derniere formule reste fini, pour 4 compris entre = et 1; et on peut se
Théorème sur les séries entières. -63
demander si la formule ne subsisterait pas pour ces valeurs de w; ce qui exigerait, bien entendu, la réalité de racines de l'équation '
(15) de c wi) = ©.
Cenon, 18 août 1897.
1 Il est probable qu il ne faudrait pas chercher à démontrer la réalité des racines
de l'équation (15) par des considérations de cette espèce, non plus que par toute autre voie reposant sur la décomposition de €(w) en produit. Cette décomposition ne permet, en effet, d'utiliser que les propriétés suivantes de la fonction C:
1° C(u) (pour R(u) > 1) est le produit de facteurs de la forme
les nombres p sont positifs et croissent indéfiniment;
: E ui — I == u 2° Eu) est uniforme dans tout le plan et égal au quotient, par A - AN )
; f : In d'une fonction entitre de genre zéro par rapport à (u —;) . Or rien ne porte à croire quil n'existe pas une infinité de fonctions satisfaisant aux : ° 3 I conditions précédentes, sans avoir leurs zéros situés sur la droite (uw) = z
Bien entendu, il se peut que les racines de léquation (15) soit réelles sans que la formule (I4) soit vraie et sans même que son premier membre ait un sens.
! uude B Fr. L Gite ash use Mie CEE TU) 2 |
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SUR LES SERIES DE TAYLOR QUI ONT UNE INFINITE DE POINTS SINGULIERS
PAR
E. FABRY
à MONTPELLIER.
1. Une série, ordonnée suivant les puissances entières de la variable, définit une fonction analytique; sil existe sur la circonférence de con- vergence des points non singuliers, la fonction est définie pour des points extérieurs au cercle de convergence par de nouvelles séries déduites de la premiére. Mais il y a des cas oü ce prolongement analytique est impossible, c'est à dire oü tous les points de la circonférence de con- vergence sont singuliers M. Frepnorm en a indiqué un exemple (C. R. 24 mars 1890). M. Hapamarp a montré (Journal de Liouville, 47"* série, t. 8) que la circonférence de convergence est une coupure pour la série Xa,z», où c, représente une suite de nombres entiers tels que
Cy41 — Cy
reste supérieur à une quantité & fixe. M. Borer a montré c
3
y
(C. R. 5 octobre 1896) que cela a lieu dans le cas plus général où €,,1— €, 7 kyc,. Enfin j'ai démontré (Annales de l'Ecole normale, octobre 1896), qu'il en est de méme toutes les fois que €,,, — c, aug- mente indéfiniment, et méme dans des cas plus généraux où la série peut étre complete.
M. Borer (C. R. 14 décembre 1896) considere comme les plus gé- nérales les séries dont les coefficients sont choisis arbitrairement, et in- dépendemment les uns des autres, et démontre que dans ce cas le pro- longement analytique est impossible. J'ai donné (C. R. 18 janvier 1897)
Acta mathematica. 22. Imprimé le 2 mars 1898. 9
66 E. Fabry.
une nouvelle démonstration de ce théoréme, en partant de considérations plus simples, qui permettent de présenter le résultat sous une forme plus générale. C'est cette démonstration qui sera développée dans la premiére partie de ce mémoire. Je donnerai ensuite, sous une forme nouvelle et plus générale, quelques-uns des théorémes que jai déjà signalés (Annales de l'Ecole normale), et jen déduirai des séries particulières ayant pour coupure une portion déterminée de la circon- férence de convergence.
Pour étudier la nature d'un point de la circonférence de convergence, on peut, par un changement de variable, ramener le rayon de convergence à l'unité, et le point considéré a coincider avec z= 1.
2. Soit f (2) a, Fazer EE aret une série dont le cercle de convergence a pour rayon 1, c'est à dire telle que la limite supérieure, pour » = co, de y|a,| soit égale à 1; celle de zL|a,| est alors o. ¢ étant une quantité positive aussi petite que l'on
voudra, on peut trouver des valeurs de » supérieures à tout nombre donné, telles que |a,| > (1 — e)*, et il existe un nombre tel que pour toute valeur de » supérieure on ait:
| a,
Zr ee
Soit # une quantité réelle comprise entre O et 1:
SHE) 2) = 2 — t)" fc) - Y 5 e — 0 n=0 — f"(t) n+ (uv + 1)... (n + p) Ir m a, dE Panne —— TE ee SF An ppl ae "aces in LZ... Up : ES T n/fr(t) Si la limite superieure de fn J POU ICO, Best ee cette nou- 2 = velle série aura pour rayon de convergence 1 — /, et z — 1 sera un
point singulier de f(z).
Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. 67
Pour calculer l'ordre de grandeur des coefficients, remarquons que l'expression
N I eg ; À augmente avec ” si br et diminue si k = 0; car les logarithmes de
deux termes consécutifs ont pour différence:
; EIFEL. HT ! kr ee SS 2v(y + 1) ee Un 2 a) as n(n —ı) 2 a ae m
expression qui reste négative si k — o, et positive si k > deduit: , 1 1 TONG Ne quus nace e(") Vn > [n = () mean 2 m > () Ven 1 et
Ls v^ +p (* + Py (s +p t)'< (Q + D) pe v^ +p (* ar p (* tp JE np n ("Up | n|p "np \ m p
D'autre part |a,,,| « (1 + ¢)"'”, e étant aussi petit que l'on voudra,
^n
: : f : pourvu que n soit assez grand. Il en résulte que, dans m’ il est inutile de tenir compte des termes qui suivent a,,,, p étant compris
t entre ES et LE 1. En effet:
x [Ce + y) v^ +p/n+p\" (n+p,\P vl e\n+tr i 22 tes! |n |v si Li e) np ( n ) ( P ) » n+p+I Ser + p + In + p + 2) | NES E De
Dans cette suite, le rapport de deux termes consecutifs est
x NODI E +4 et de (ea ep
! la théorie des intégrales Eulériennes donne pour [n une valeur plus approchée,
qui est iei inutile.
68 E. Fabry.
si & est choisi assez petit, ¢ et A restant fixes. Alors
p I + À - n+ p LY nr = perg LUI ! e) + L n p E t+ 4 +2L i—2L( - 09:1)
expression qui differe aussi peu que l'on voudra de
deut DE
L( +) — HS L( +f) =n
I gm 0
0 étant une quantité positive qui augmente avec À. Soit 6’ compris entre O et 0, sin est assez grand, on aura
, (9 WS Sat <=)"
jr |» 1
^ : : t— À — À De méme si p est compris entre n TUS; et pct 1, (A« £), dans la
v=p
(n+p ; ch 0
somme 4, + à, t Or ;
reste plus grand
que 1, et le module ae cette somme est plus petit que
| cpu / eh p (* + py (: + p Nk (+ aa + ep EP (ee) (eoe nj)
il en résulte:
I | (a+) I nt» .L ye ml Tain <; L(p 4 1) + eere + €) v=0 le u
qui a la méme limite que
Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. 69
car la différence de ces deux expressions diminue, si A augmente entre o et f.
Donc si, dans 4 , on ne conserve que les termes tels que p reste
ra — jl t+ us et n-——,, la somme des termes supprimés a un
module plus petit que x EP
compris entre n°
Si la racine n®™ a pour limite su-
érieure ——, aprés la suppression de ces termes, il existera une suite aap
illimitée de valeurs de » telles que I— e\” I— "^ ees) Bei) | di VINO c 5S ee I n |o
a t Ti i D’autre part, si tend vers BE If
Dee n |n | p j
reste compris entre les deux quantités
es
im
t tend vers 1, et
a DO? pe a
et But: LIT. Zn
Ti p 2n np 2n
3 i PA I qui ont la méme limite er
"ou LE) Mettons en facteur ce coefficient 1 | (^, et posons n + p = m n|p Fie (m + 1). .. (m + y) On = a, Qn An ,U / RSEW que ¢m(t) Se re oe aC ce. Co d)
p(p — )--.(p—v-t 1 Gs ite eh ..(m — v + I)
Tana. Ml Et m -+ @
70 E. Fabry. \ . , H D où p augmente indéfiniment avec m, de façon que — tende vers ¢, et
DH, Ov A <a =< 1, Mna
3 an ; 2 m à comprenant les termes a,,, où v>p| 1 + AT), et ceux où v «n I —45). Y Pp p
qui sont ceux que nous avons supprimés. Si Vi¢m(t)| a pour limite supérieure I, pour mM = co, on aura, pour une suite de valeurs de n:
f^(t) Sa TE) n T n s [n [> —0) (=) 2(—)
n/ | eng] £ tendant vers o, et v Ee x
En posant z — /e", £— 1 correspond à z — e", et l'on est conduit
aura pour limite supérieure
au théoréme suivant: Soit \(m-+y) p
gu(2) =) auf ——
où » prend toutes les valeurs entières comprises entre — Am et + Am, wi p * o myT—————À OS 12 2o E tendant vers 1, et o<A<t<ı. Si y[|e,(z)| a pour limite
supérieure I, pour m — co, 2 — e" est un point singulier de f(z). ¢ peut ici varier avec m, pourvu qu'il reste compris entre deux
DoD : Dp limites comprises entre Oo et 1, er tendant vers 1.
2kz Y Wes pi
TL k=0
3. Laissant ¢ fixe, donnons à « les valeurs «a +
est égal à ne” si » est un multiple de n, et nul pour les autres valeurs entieres de ». Si n Àm, on a
n—1 2k
DIC -)) = nic
Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. (al
2l 7
Parmi les arguments «+ il y en a done au moins un tel que
| Pm (£67) | = | On
et il y a une infinité de valeurs de w vérifiant cette inégalité.
Si V|a,| ne tend pas regulierement vers 1, on ne prendra dans ¢,, que des valeurs de m telles que \//a,,| tende vers 1. Soit alors A, une quantité positive plus petite que |4,
, telle que (/4,, tende vers 1. On pourra choisir 4, tendant vers 1 aussi lentement que l'on voudra, et ne prendra que les valeurs de m telles que |a, | > A,,, ce qui est toujours possible. Posons alors
Pn(te”) > A
m
a chaque valeur de m correspondent une infinité de valeurs de © qui vérifient cette inégalite. Si un are de la circonférence de convergence ne contient aucun
point singulier, {|ç,(tevi)| a une limite supérieure plus petite que 1 pour toutes les valeurs de w correspondantes, et l'on peut trouver une quantité s telle que
e, (Ee) | S (1 esr ey" < Ae:
pour toute valeur assez grande de m. Aucun des arguments w ne se trouvera alors sur cet arc, a partir d’une valeur déterminée de m.
Si les points singuliers de la circonférence de convergence sont en nombre limité, les valeurs de w auront des limites déterminées en nombre fini, lorsque m augmente indéfiniment.
Considérons le cas général ou les coefficients a sont donnés arbi- trairement, c'est à dire indépendemment les uns des autres, avec la seule
aye I condition que - L|a,
ait pour limite supérieure o. On peut former des
fonctions c, n'ayant aucun terme a commun, en prenant pour m une
. À y suite de valeurs m,m,...m,... telles que m,(—) augmente constamment, I+4 :
de sorte que m,,,(1—A)>m(1 + À) Cela a lieu, par exemple, si
At 2À : | m, — (1 +2) | reste fini, 42 ———, pourvu que » soit assez grand. On a ainsi une suite de valeurs de m, à chacune desquelles correspond au moins un argument @,,; ces arguments se déduisent de coefficients «a
72 E. Fabry.
distincts, et peuvent être choisis arbitrairement en méme temps que les a correspondants. Au delà de toute valeur de m, il y aura des argu- ments @, sur un arc quelconque, et tout arc du cercle de convergence contiendra des points singuliers.
Si un point du cercle de convergence n'était pas singulier, il y aurait un arc, comprenant ce point, ne contenant aucun point singulier; et au delà d'une valeur déterminée de m il n'y aurait aucun argument o,, sur cet arc, ce qui limite le choix des coefficients a correspondants.
| CMT NRI ; I A une suite illimitée quelconque de fonctions g,,, telles que = Ll.
tende vers 0, correspond ainsi au moins un point singulier. Mais en général on pourra toujours en déduire une infinité. En effet, » étant un nombre entier fixe, posons:
—1 Qh 2k | I E ME Ir a+ —r}i 1 (m ++ hn) |p 7 ay 2 n ( ( n ) ) M [id in aud ny 1———————— | Om (te ) = x > € Om te = — Antn+nnt € K p EUER hn) m
on a
y—1 Qk 2k — — zi + —m)i , (m+1) I > e ” ‘dn (ues )) = GL E en (me) |»
v em | (p t p) m
si n» > Am + |p). al
Cen ae (+e) |m
<a JA I | I | i Si len L|a,,,| tendent vers o, m | Antal
. 50 E I s vers O; et, si 4, est choisi assez petit, m Am tendant vers o, parmi les
Me . ; » arguments a+ —"z il y en aura au moins un pour lequel |, (fe?)| > A,,, y
T
2k : : , : + ri et il existe au moins un nombre entier % tel que al tel a )) Mais d, ne contient que les coefficients a de la forme a,,,,,,; en faisant varier y, on peut former » expressions ¢ n'ayant aucun terme
= Age
commun, à chacune desquelles correspondent des arguments a, pourvu
I . que m Llanral tende vers o, au moins pour un terme de chacune de ces
. \ 121 n5 . . r n suites, ou E tend vers o. Les coefficients a de c, sont ainsi décom- L
posés en n suites, à chacune desquelles correspond en général au moins
Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. 73
un argument a, et l'inégalité |¢,,(te”)| > A, sera vérifiée pour l'une des 2kz n arbitraires, ces n arguments a sont aussi indépendants, et en général les
valeurs © — à + de chacune de ces » suites. Les coefficients a étant
Dm P S n n séries de n termes a + -, nuront aucun terme commun; de sorte
que l'on obtiendra ainsi au moins n valeurs distinctes de w. Et comme n peut étre aussi grand que l'on voudra, il y aura en général, pour chaque valeur de m, une infinité de valeurs de © qui ne tendront pas vers une limite unique, mais donneront une infinité de points singuliers quelque soit la suite de fonctions c, considérée. On est ainsi conduit au théoréme suivant:
Dans le cas général où les coefficients de la série Ya,z" sont supposés arbitraires et indépendants les uns des autres, la circonférence de con- vergence est une coupure.
4. Soit a, — a, + ia;. Si les parties réelles 4, des termes de ¢ sont de méme signe, pour une suite illimitée de valeurs de m telles que
m
— La; tende vers o, |g,(f)| |a;| et le point z — 1 est singulier. On
arrive à un résultat beaucoup plus général en considérant les change- ments de signes successifs de la suite a}. Parmi les termes de ¢,,, considérons ceux d’indices successifs m,
mth, mth +h,,...,m+h+h+...+h, et m—h..., m—h, —h,—...—h,. Soit h le plus grand et A’ le plus petit des nombres 7, , h, , ..., Jh, , hi, hs, ..., hi. Supposons que # augmente indéfiniment
h : a e ; ak avec m, — tendant vers o, les derniers indices étant choisis de facon que Mm
h+h,+..:+,=h+m+..+4,=H=Nh ou N est un nombre entier, et
Am < H « àm +h.
Dans la suite des termes a’ de ¢,,(¢), considérons ceux qui changent de signe a partir de a’,. Supposons qu'entre 4,
m
et api» le nombre
des changements de signe soit au plus a/,, entre a, et Gia ra AU
m+hy plus “ah,, et qu'en général entre aà5,,,,,.,,4, , et G4 i uai il y ait au
Acta mathematica. 22. Imprimé le 7 mars 1598. 10
74 E. Fabry.
plus ah, changements de signe, et ah, entre ayn, €t a, gu rae Le nombre total des changements de signes entre a; 44, et Gym est ainsi au plus égal à 2aH.
Soit
(m+) | p MN pes y | ——= > H | 2-4
5 asus d.t) — N A, Om te yy 23 Dr rey
ou les coefficients A seront définis par l'identité
th
E 35 ^a) ( = an) F(z)—z A A, = \ze e ze | CS a
k=—ı
alors
vri yz T , , k Di y . u—wv . Uty . Vua—v . Lu +y X aor = Fle i) = 4*.sin + T Sin — Te SIN z Sin 7; k j 4 4C ae 2H 2H ds
ces quantités réelles s'annulent et changent de signe pour les valeurs y — sse Dis — Yi, — 94... — 9,, et ne sannulent pour aucune autre valeur de » comprise entre — H et + H, si aucun de ces indices » et »' n'est supérieur à 4.
Prenons pour ces indices » ceux des termes «;,, qui changaient de signe, de facon que les parties réelles des coefficients de ¢,,(¢) soient toutes de méme signe. On peut en outre prendre pour » deux des indices successifs qui restent, ou ceux des termes extrémes, de facon que dans chacun des x +n’ intervalles, m + h, +..+h, ,am+h +..+h,—1, il y en ait un nombre compris entre ah, — 2 et ah, + 2, et que
CHEMIN
Alors
|Pn(t)| > al 2A,
et il existe une valeur de k, comprise entre — aH et + aH, telle que
| 4 [2 (29) comuna] (t)|> | am | 24: k€mn 2u + ı!" Bali aT) ea
Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. 75
Mais on a:
Es in a Sin in ni = Aa (sin, Sein =. Pe sin a) x (sin m) X (sin pth d ae (sin Ps th, - ieh =x (s abe Ser (sin zs + hs ve + Wem zs nm) x | sin gen 3H x En = = (A) x Gn 2 - x) aen ms Ave t on
et
I : 2L2 2h +h 2h m us (ee ie +17 EL)
m m
expression qui tend vers o. D'autre part
27 Sind t pen ido 2T7LA, = (e ) rm ? t
et | 4,| < M, M étant le maximum du module de Fe“).
i net " e = F(e*) = e" 4" sin (5-2) sin (
Yu oO . AV, e) sin — —|g8In | — zs x C H =) (OH à =)
l l As h, h, hi 16 h; M . Les arcs z-! db s + tA ett tor t^ i chy divisent la circon-
: 4 ; h' h y férence en n+ »' parties comprises entre z— et z—. Changeons l'ordre H H o
-0 [en]
E. Fabry.
: ; h des notations, et représentons, pour le moment, par Ty celle de ces
: h h. h 4 parties sur la quelle tombe ©, par 77: ap en 73 les ares suivants, ht pp. Eh NE 4 h 3 zh, Fae - étant compris entre z et z—z zp. De méme 7r,
zh, Th : a lh; ee; 7 S ES seront les ares qui précédent o, z : H ^ étant
aussi compris entre z et 7—7 On a alors:
h H
7 PRON ta ho TIR e DRE nr am due) ee ACHETE (sin 25) (sin n=) X -.. (sin pete)
. h h. Gh —2 3 h hi E » ah'y—2 X (sin 27") X «(sing ts xd )
ota. NU if h, 4d ha ; hth, +...+hn\™ aH = 0 E er 1 0 1 d EA | (sin zü) (sin d DITE ) DU. (sin ea TE =)
2
AR h hi hy A h 2 a i hin as x (enr) des (sn z tt bii ) | :
2H 2H " I . 27h . (N—1)zh lof AS Vars 0 (a7) ein Tr NG
I 2 h 2ah Am + h\° ~ LM <7 (A+ e)La + Le =),
h TA, i B A I h expression qui tend vers o, en méme temps que 7; et —. L : 1 , X4; ae à T c Quel que soit k,—L 7, reste supérieur à une quantité qui tend m Ax
tend vers o, il y aura un arc w compris entre
m
MET vers O; et, si —L|a; Mm
— az et + az, tel que v|g,(te")| ait pour limite supérieure 1, et il y aura un point singulier sur l'arc + az.
Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. 77
Dans le cas où les nombres h n'augmentent pas indéfiniment, on peut toujours réunir plusieurs groupes de termes, de facon à former de nouveaux groupes pour lesquels le nombre de termes devient infini avec m. On peut également poser a, = e"(a; + ia,), f pouvant varier avec m. On est ainsi conduit au résultat suivant:
Théorème. Soit 8 un arc variable avec m, et a;,, la partie réelle de 4,,,€ ^ (v restant compris entre — Am et + Am). La suite de ces termes étant divisée en parties contenant chacune h,,h,,...,h, termes con- secutifs, et p,, p,,..., p, changements de signes de la suite totale, telles
que |. reste plus petit que a,, toutes les quantités E tendant vers o;
: I an si, pour des valeurs de m telles que — L|a/,| tende vers o, les quantités Tn
a, ont une limite inférieure 4, pour m — co, il y aura un point singulier sur l'arc compris entre — az et + az.
5. Si les termes 4 de ¢,,(¢) ont q changements de signe, i tendant
Den € vers O, on pourra diviser ces termes en n groupes de h termes, à et am > (A ce h tendant vers o, par exemple en choisissant h de facon que ds reste qm
compris entre deux nombres fixes. Alors « tend vers o, et l'on peut énoncer le résultat suivant:
Théorème. Si les parties réelles a; de a,e~” ont, entre n=m+dn,
. G q changements de signes, 4 tendant vers o pour des valeurs telles que m
I : : : — L\a,| tende vers o, le point z = 1 est singulier. m
Soit a,=p,e’". La partie réelle de a,e”” a le signe de cos (v, — f).
Formons les différences ©,,, — ®, comprises entre — 7 et +7 et
X|o,,,— «,| où n reste compris entre m — Am et m + Am. Si, pour
toutes les valeurs de # comprises entre A, et A, + 7, o, cos(w, — f) a,
dans ¢,,(¢), au moins g changements de signe, Y|o,,, — «,| sera su-
perieur ou éval à gr, et si Y¥|w,,,—o,|<e il y aura au moins une D Ts n+1 n
valeur de # pour laquelle le nombre des changements de signe est plus
: € NT : petit que -. Done, si — X |«,,, — c,| tend vers o, on peut déterminer Y m
78 E. Fabry. f de facon que E tende vers o, sans que c, — f tende vers o, de sorte
I . L I ;
que „ L|cos (wo, — )| tend vers o; et si End db — X|o,,,— c,| tendent m m
vers O, le point z — 1 est singulier.
Si on pose z= fe", w,,,; — ©, est remplacé par «&,,, — ©, — c, ce qui conduit au résultat suivant:
Théoréme. Si, pour une suite illimitée de valeurs de m, telles que I Ux : „La tende vers o, les différences w,,,—, des termes compris
m | entre m— Am et m + Am tendent vers w, sauf pour un nombre q de ces termes, 4 tendant vers o, le point z — e "* est singulier.
T
Cela peut avoir lieu pour plusieurs points, et méme pour une in- finite. Soit par exemple la série:
270 einem) n
ou n[e(n + 1) — e(n)] tend vers o, lorsque » devient infini. Alors
h I en + 3) — e(n)| «3 Ele(n + )— ein +» — )|(n +» — 1) tend vers o, si : reste fini; et @n4,41— &,,, — eg (m) tend vers o, pourvu
que | | reste fini.
» m : I A toute suite de valeurs de » telles que - Lp, tende vers o, corres- Uu pondent des arcs ç(n) — 2kz, dont les limites donnent des points sin- guliers. Et si ces limites forment une suite continue, on obtiendra des ares du cercle de convergence qui seront des coupures. Considérons, par exemple, la série: ; 4 Le p em k o<9®< if 0
(Ln)! ^ '
n[ Lin + 1) — In’) < | (Ln + j— (ny | <
Soit k un nombre entier qui augmente indéfiniment, pendant que & tend
HP . s , I 5 vers O, mals aussı lentement que l'on voudra, (par exemple Ep Sl
Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. 79 1 1 1 1 3 Pea Tir P PET ME 0 nureste comprisrenntezer 9 a cet getto te (En) 2kz a pour limite a. Il en résulte que la circonférence de convergence est une
1 ; : coupure, pourvu que - Lp, tende vers o, au moins pour une suite de 0 valeurs de n correspondant a chaque valeur de a, ce qui a lieu, par . I n exemple, si - Lo, tend vers o pour des valeurs », telles que bam, n y
Ny+1
tende vers o; et en particulier si reste fini.
y
Pour la série 277'9,£7"*^*? où n[e(n + 1) — e(n)] tend vers o, 0,,; — 0, à la méme limite que asing(n), qui reste compris entre — a et +a.
Ainsi la série 227'9,e^"smu»" où p, remplit les conditions précé- dentes, a comme coupure l'arc compris entre — a et + a. Mais il ré- sulte du théorème général, que, si les modules o, sont choisis arbitraire- ment, tout le cercle de convergence est une coupure. Il existe cependant des cas assez étendus oü nous pourrons démontrer que la coupure est limitée à l'arc + a.
S EG ny Dn DC . 6. Si van a une limite superieure plus petite que — le
-t point z — 1 n'est pas singulier. Mais rl Eee [n « les(t)|t De Ar 2(—) .
.. m . Pour chaque valeur de m choisissons p de facon que, — tendant toujours P 1
vers ¢, m — p prenne toutes les valeurs entières. Cela a lieu, par exemple, si mt > p > mt — ı. Alors, si \//g,(t)| a une limite supérieure plus petite que 1, on peut choisir 9' o puis m assez grand pour que e, ()| < (1 — 9)" et, pour toute valeur assez grande de »
f*(t) <(1 —ey( + Er (C zy
[n I — ft, I — t,
, on aura
n il en résulte que v F9 a une limite supérieure plus petite que ae | |n it
par suite:
80 E. Fabry.
Théorème. Si, t et « restant fixe, on forme ¢,,(te”) en choisissant
p eA p de facon que À tende vers ¢, m — p prenant toutes les valeurs entières, m
et si V|e,(te") a une limite supérieure plus petite que 1, pour m — co, DR re : z =e” n’est pas un point singulier de f(z).
Pour appliquer ce théoréme, nous allons étudier l'ordre de grandeur de c, (fe") dans des cas particuliers.
Soit (atm
ACC OA m
on à plani cde et
= INSEL) 2g?
(i Lu ME
(ia ou Ons, = (m + v + ı)m +v+ 2)...(m+ » + h).
Représentons par ¢,,,(2) ce que devient c, lorsque «,,, est remplacé par »", » variant de — p à + co; c'est à dire:
2 (m+y) lp P |(m—v) |p 2) = [UE YN Oy a de E fe) 7 37 pls ZONE ae on a P T, E m E xí ge m C mo p (n4 1) | (1 Ze Aal Om, gis (m "P 1) 5, et en général p (n4 A) x > | TT mA #7 2) (Fas — Dinh <t Om ln TE ON + € m0 2 où Z2,2,...2,, représentent les coefficients de »*,» , y^, ..., y^! dans
Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. 81
le développement de (» + m + 1)( + m+2)...{v+m+h) Et l'on en déduit
Guia gee Ai Gale)
, (1— 2)" d,(z)
est un polynôme de degré h en x, et en supposant |z| suffisamment
. A , a où d, est un polynôme en z de degré ^. Posons x — - =e
etit, on aura £)
(m+ v) ane (m 4 v)
h (t—2)"+1 = h „ptv — _ 2 q* y—p»—n— (1—2)^^ 9. (2) = t 2o (er > met) pes
\n n + I . ica cpi sp
(n + Y)(n + 2) er
I TEE pee pr i Cap)
h D Celui h h A (h — . - == (— x) (n Er : ze al ire i — py TV =: o p}- XT et
dale) = (2 — 1r + le — tsp! — (p— 1)] E (n. + ae + 2t B ry zu" peo 2(p A. 1) ae (p E 2)'] JA (RER) à h kh ' ; == s 2 p: X 2 2» — p DE 1) + on — 2)" —... FE (h — p) | ^
Le dernier coefficient
l h "E h — ya P"— pP) +...+ (—p +h) = p» | —-(p-— 1) e]
l (0 — n|t» — D$ (p—2y- 4 ...|2 |^ formule qui se démontre en donnant à h des valeurs entières successives. Et
— (p yy 4 16D — 2 — uo Cayo»
1.2
-p|py—io-— Dr pig 2)" |
+ of (p — 7 (pp — gy... |
Acta mathematica. 22. Imprimé le 14 mars 1895. 11
82 E. Fabry.
en donnant à A des valeurs eroissantes, on en déduit que cette expression est nulle si v> A, et a une valeur positive plus petite que
h(h — 1)... (h — » + 1)p*” si o<y<h. Par suite, pour toutes les valeurs z = fe", si o « f € 1, on a:
UIT
1
I.) < (1 5p + hM(v-Üp
(are N np fe ace ein +Np+(n+ mt]
et
| £o Be) Ele, = Later [ACT + t)p + (n + ht)"
n
m |p n ets x ELI Ty el vers JUS e. Im ( ) 2 | res tev
a pour limite
1—t
(1 — ty z
(1 — £)* + 4t sin?”
Soit a un are fixe aussi petit que l'on voudra, supposons que © ne
prenne que des valeurs comprises entre a et 27— a, et soit @ une quan- I
Bu: oe ee : (rd) 5 EVE, tité positive fixe plus petite que 1 (; Eee Tea) . Pourvu que
m soit assez grand, on aura
gr um I + )p- + h)t h | Emr (fe )l << (1 0) ( ) (n A \
i =v et si l'on suppose mé-— 1 < p< mt ; 2m + h^ lesa) <a)” Si, dans ç,, on ne conserve que les termes où |v| < Am, soit p le plus
petit nombre entier supérieur à Am; on supprime des termes dont la somme a un module plus petit que
p (m — y) | IP
ES
I FL TET
vl vn
Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. 83
h = E
81» — —-, le rapport de deux termes consécutifs est y ^qu + y y m + y h + mt a prm; de TR, in rt LN
Il en résulte que la somme des termes supprimés est plus petite que
(m — po) IP „mt [p = 4) |' + mt en h+ mt + p(t — à (= =p) n? (pty) |m I1—t I—t p(t — I)
A41 =p p ( p i) (* -— a)" p—p\# « ep m p—pN —g m (m — 2)
m+p p m + y "(ee)" p CET 2—1 Hey m — m ar I—í Lr p )
Mais
pita
"a m + pL LT tu p p 202, uen er)
a pour limite (1 + 2) L(1 + 2) — (t + àL( + 1) <o et il existe une
quantité fixe © telle que
m+ ps t (* + EY( p y T. t — 1 — 0 (> m pt <( )
— m 1 p a — N Jt il en est de méme pour (* E) ( P ) ( Bie ) et l'on peut trouver m Diet (m — p)t .
une quantité fixe 0 telle que pour toute valeur assez grande de m, l'en- semble des termes que nous supprimons ait une somme plus petite que
= l ? t h+1 5 4 Hd ^ d (1 — ey (moy + (= 7) j 0 étant très petit en méme temps que 4;
si dans €,, ON suppose |v | <Am, 2, ¢ et « restant fixes, © 20, on peut trouver une quantité 9 telle que, pour toute valeur de m dépassant un
^mt + LA^! 2 is t ) |
Si l'on suppose h < Am, on peut écrire de même
nombre déterminé
gs, (t| < (c — e| (O07 cx
at " 2+ À h | Smjn (te ) | < (1 + 8) 1 "T n) .
84 E. Fabry. 7. Supposons maintenant que la série f(z) soit telle qu'à chaque valeur de m corresponde un arc a, «,,,€" étant une fonction continue
A|< Rm. Crest à dire que tous les coefficients de ¢,, pourront se mettre sous la forme
» —vai = A y WV ya ( V O my = 6 > h "m EC L -
h=0
de », développable en série convergente, pourvu que
0 r ; y la série F étant supposée convergente sl |—
X R, cette quantité R
m restant fixe. Soit M le maximum du module de F(Re”), on a
Ir
* F(Re) . 2A | NU ASIE
R^ ghoi
M 1 m
0 Soit z= tet", © étant arbitraire, mais sans étre nul, de façon que || reste toujours supérieur a un arc fixe. On a alors oo
3 < 4A, : pm(iet) =Y Doté")
m^ h=0
Si l'on sépare les termes pour lesquels h>Am, en supposant A< R, on a:
y h À Am R > 4,(=) I< 22M (5) u—;
h> Am D
et
atw)i m 1 ak: A fentes] or) (5)
h<Am ^ de
tn Ip In tv 4 M(x) R—A |m (1 — ty**
Si ¢ et A sont assez petits, et m assez grand, cette expression peut se mettre sous la forme (r — 6)" M, ou 9 reste supérieure à une quantité
5 E MERS 20-77 MI uy fixe, quand m devient infini. De sorte que, si XE tend vers o, Ve, (£49)
aura une limite supérieure plus petite que 1. Et il n'y a pas d'autres points singuliers que ceux provenant des limites des arcs a. Si un arc de la circonférence de convergence est tel que, pourvu que m dépasse
Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. 85
un nombre déterminé, « ne se trouve jamais sur cet arc, il ne contiendra aucun point singulier. Considérons la série Xb, ging) zu
ou g(n) est réel, g(z) étant une fonction analytique de la variable z, qui n'a aucun point singulier à distance finie, pour les valeurs z = pe” ou |w| reste plus petit qu'une quantité donnée, et où p reste plus grand qu'un module déterminé. Supposons en outre que ¢(n + npe") — ç(n) tende vers o, lorsque n augmente indéfiniment quelque soit w, pourvu que o <A. Et soit 5, = d(n), d(z) étant une fonction analytique, qui n'a aucun point singulier à distance finie, pour les valeurs z = pe" ou
|w| et ; restent plus petits que des quantités données, 7 L| eue)
tendant vers o, lorsque À devient infini, pour toutes les valeurs de © telles que |w| ne dépasse pas un are donné. Alors
GR Ci = ea). (m + y). e ty)[¢(m+yv)—¢(m)]} N . . . 2
pourra se développer suivant les puissances de », si =| < À. pourvu | m
que A soit choisi assez petit. Et, si = <A [12
LM Llé( j E d (m + »)| m m
+ PE [em +) em)
qui tend vers o. Il ne peut done y avoir, sur la circonférence de convergence, aucun point singulier en dehors de ceux donnés par les limites de e "€".
y I . "ms . N Si = L|, | tend vers o, pour toutes les valeurs infinies de », il résulte [2
du théoréme général, démontré au n?
3, que l'on obtiendra les points singuliers de la circonférenee de convergence en cherchant les limites de e-#®, pour » — co. Si pour une suite de valeurs de n, ¢(n) — 2kz
at
tend vers a, € ^ est un point singulier de la serie.
Par exemple la série
2 (n ) cu eo" sin (Ln)
86 E. Fabry.
ou O<a<r, O <Ü<1, (n) étant une fraction rationnelle, où méme une fonction algébrique continue de », admet comme coupure l'arc compris entre — a et + a, et n'a pas d'autres points singuliers sur la circonférence de convergence.
. RD . L a . . . 8. Si une serie contient des termes tels que L|an| ait une limite 7L
supérieure plus petite que 1, on peut les supprimer sans changer les points singuliers situés sur la circonférence de rayon 1. Supposons la suite des indices m + » de cg, (v restant compris entre — Am et + Am) divisée en parties égales successivement à hy Moy +, Pay, telles que, parm h, termes consécutifs d'un groupe, il n'en reste que p,, les A, — p, autres
c AI oreo VEER. 8 à cuam ER ER ayant ete supprimés; et soit a, le plus grand des rapports gw o done 1 2
drm, € B toutes les quantités — tendant vers o. Soit une suite de valeurs de m Mm
L iml telles que L [an] n
tende vers o, et « la limite inférieure de a, pour cette
suite. En appliquant à la série Xa,z'e"" le théorème du n° 4, on voit qu'elle a un point singulier sur l'arc + az, et la série Xa,z" a un point singulier sur lare compris entre © —- az et © + az, c'est à dire sur tout arc de la circonférence de convergence égal à 2a.
Ye . [i ^ Si entre «,,,, il ne reste que q termes, J tendant vers o en méme m
L | Om |
temps que Re le theoreme du n? 5 montre de méme que tous les 0
points de la circonférence de convergence sont singuliers.
G
Sir a pour limite inférieure o, considérons les termes «a
5 m4,' pour
q . des valeurs de m telles que 4 tende vers o, » restant compris entre m
sy 7 CYe L a . — Am et + Xm (4 <a). Si [am] a, pour cette suite de termes, o m
comme limite supérieure, pour m = co, le cercle de convergence est une coupure, car on peut remplacer À par A— AX, et il existera des termes
L Am Ll am+y| a, pour tous
L | Cm + y |
€ . . tels que et + tendent vers o. Si au contraire m ces termes, une limite supérieure plus petite que o, on peut les supprimer
sans changer les points singuliers de la circonférence de convergence.
Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. 87
Mais cela n'indique rien sur le nombre des points singuliers, ainsi que le montre l'exemple suivant:
f(z) = Xi d(n).el-ttesoml
O X 0 — 1, d(z) remplissant les mêmes conditions que dans les exemples
précédents, et pouvant être une fonction rationnelle ou algébrique. «,,,
; . . | y | est alors développable suivant les puissances de » pourvu que la À,
(A LM
et a pour limite supérieure o, de sorte que cette fonction n'a qu'un
point singulier, z — 1, sur la circonférence de convergence. Mais si n
1 1 ; en ER : reste compris entre &**®” et e+?”"79 où le nombre entier k augmente 5 Ad Lla,| AW. UE indéfiniment, —— a pour limite supérieure, pour # = co, — 1 + cosa, TL
et l'on peut supprimer tous ces termes sans que la série ait, sur la cir-
conférence de convergence, d'autre point singulier que z — 1. Il ne reste 1 1
A er ON alors que les termes pour lesquels » est compris entre e 9 et 6217497,
Mais
1 1 1 T—
— = or num gr 22a) P —(9kz-- a) " — os A (Ezra)
augmente indéfiniment avec 5. Parmi les groupes de termes consécutifs qui restent on peut done en supprimer un nombre quelconque, ce qui supprime les fonctions c, correspondantes et ne change pas les autres. On a ainsi une série, n'ayant sur la circonférence de convergence qu'un seul point singulier, et dans laquelle il peut manquer un nombre quel- conque de termes consécutifs, pour » — oo.
Montpellier le 13 mai 1897.
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2
SUR LES PROPRIÉTÉS DU POTENTIEL ET SUR LES FONCTIONS ABÉLIENNES
PAR
H. POINCARÉ
à PARIS.
§ 1. Introduction.
Une courbe de genre p dépend de 3p — 3 modules; les fonctions 0 à p variables qui dérivent d'une courbe algébrique par le procédé de RrkMANN dépendent donc de 3p — 3 paramètres arbitraires. Les fonctions 6 les plus générales de p variables dépendent de
2
paramètres arbitraires. Pour p=2 et pour p= 3, les deux nombres sont égaux et l'on a:
p(p + 1) 3p—3 =P Ps.
2
Pour p>3, le premier nombre est toujours plus petit que le second. Il y a donc des fonctions 4 qu'on ne peut obtenir par les procédés de RIEMANN.
Nous arrivons done à cette conclusion que les fonctions définies par RrEMANN ne sont pas les fonctions les plus générales qui ont p variables et. 2p périodes. Nous sommes ainsi amenés à nous poser la question suivante:
Toutes les fonctions qui ont p variables et 2p périodes peuvent- elles être regardées comme un quotient de fonctions 8?
Acta mathematica. 22. Imprimé le 25 mai 1898. 12
90 H. Poincaré.
WEIERSTRASS s'est préoccupé de cette question et est arrivé a de- montrer que la réponse doit étre affirmative.
Mais sa démonstration est restée longtemps inédite et n'était connue que de quelques-uns de ses éleves.
M. Picarp et moi, abordämes le méme probleme en 1883, et publiàmes à ce sujet une note dans les Comptes Rendus (décembre 1883). Nous connaissions le résultat de WEIERSTRASS; mais nous ignorions les procédés par lesquels il y était parvenu.
Quand la démonstration de WEIERSTRASS ayant été enfin imprimée (oeuvres complétes, tome 3) je pus en avoir connaissance, je reconnus la complete identité des deux démonstrations.
La démonstration de M. ArrELL est au contraire complètement diffé- rente de celle de WEIERSTRASS.
Mais elle se rattache à un probleme différent, étroitement apparenté à celui qui nous occupe, et dont je dois d'abord dire quelques mots.
Soit une fonction de plusieurs variables; elle est meromorphe, c'est à dire que dans le voisinage d'un point quelconque, elle peut étre égalée au quotient de deux séries de puissances, convergentes dans une certaine étendue. Est-elle toujours le quotient de deux fonctions entières, c'est à dire de deux séries de puissances, foujours convergentes?
La réponse doit étre affirmative. C'est ce que j'ai démontré dans le tome 2 des Acta mathematica.
En s'appuyant sur ce résultat et sur les propriétés de certaines équa- tions aux différences finies, M. ArPELL a donné une démonstration en- tiérement nouvelle du théorème de WzrensrRAss (Journal de Liouville 1891).
Mais en réflechissant sur la démonstration contenue dans mon mé- moire cité plus haut du tome 2 des Acta, je me suis apercu qu'il suffit d'y changer peu de chose pour en tirer une troisieme démonstration du théorème de WEIERSTRASS, entierement différente des deux premieres.
C'est cette 3° démonstration dont je voudrais faire l'objet du présent mémoire.
Je dois m'appuyer sur les propriétés du potentiel dans l'espace à n dimensions. Ces propriétés sont bien connues et je n'aurai le plus souvent qu'a les rappeler. Mais quelques-unes d'entre elles présentent un
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonetions Abéliennes. a1
EE)
certain intérét; on me pardonnera si, à l'occasion, j'y insiste un peu plus quil n'est nécessaire pour mon sujet.
C'est ainsi que les $$ 4 et 5 pourraient être supprimés sans que la démonstration en souffrit le moins du monde.
J'observerai que la démonstration que je donne ici est plus simple que celle que j'ai donnée dans le tome 2, où j'ai employé un détour inutile, dans la crainte un peu puérile de redémontrer des théorèmes
déjà connus.
G
5
2. Fonctions harmoniques.
Une fonction V de n variables
est dite harmonique dans un certain domaine:
ne
Si dans ce domaine elle est finie, continue et possede des dé- rivées des deux premiers ordres.
2°, Si dans ce domaine ses dérivées du second ordre satisfont à l’equation de LAPLACE:
dcin dr du de; da?
si le domaine s'étend à l'infini, il faut de plus que la fonction V s'annule à l'infini.
Considérons les # variables x comme les coordonnées d'un point dans l'espace à » dimensions; la distance du point mobile x, , z, , ..., v,,
4, ,-.., & est égale par définition a
au point fixe a, , a,
T— VG, ES a,)” + wa == as) + OTe + (æ, 5 Ay)»
On voit aisement que 2—1n
r*
est une fonction harmonique dans tout l'espace sauf au point
H. Poincaré.
Pour » = 3, c'est a dire dans l'espace ordinaire; on a
nous retombons donc sur le potentiel newtonien.
Les propriétés du potentiel newtonien sont bien connues; elles peuvent d'ailleurs en général être étendues facilement au cas de # quel- conque.
La premiere de ces propriétés est le theorème de GREEN exprimé par l'équation:
> 3 | (V5, — UG de = f(YAU— UAY ds; R dv dy / la seconde intégrale est étendue à tous les éléments dz d'un volume T et la premiére à tous les éléments dw de la surface S qui limite ce volume.
Li. dV ; RU. SH, 2 ; La dérivée En représente la dérivée »estimée suivant la normale à y
l'élément dw», c'est a dire que l’on a:
av dV dV ay Ru dh e:
: 2 da, de,
dy
l,,l, et 1, étant les cosinus directeurs de l'élément de surface dw. Les fonctions V et U doivent étre finies et continues, et posséder des dérivées des deux premiers ordres.
Théoréme 1. Si V et U sont des fonctions harmoniques, il reste
fi -— 07, lo — 0: \ D y
Une autre propriété du potentiel newtonien est la suivante: si un po- tentiel est du à des masses attirantes, il est une fonction holomorphe de 7,, v,, 1X, en tout point situé hors des masses attirantes. :
Théoréme 2. Considérons par exemple une surface attirante; soit dw’ un élément de cette surface; xj, x}, x; les coordonnées du centre de
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 93
gravité de cet élément; r la distance des deux points x, v;, v; et % 5%, 1. Le potentiel aura pour expression:
£d , y | à do o
T
9" étant une fonction de z;, x,, rj; c'est cette fonction que l'on appelle ordinairement la densité superficielle de la matiere attirante. Considérons une sphere:
di + a + 43 = p°
ayant pour centre l'origine et supposons que la surface attirante soit tout entiere en dehors de cette sphere de sorte que l'on ait:
zi + a + 43? p. Développons:
1 I ; ==
, 2 y! ae Ne} al ^ 2 c [m — 2)’ + m -—:2-Tí(x—2) ? suivant les puissances de x,,%,,x,. Les coefficients du développement seront plus petits que les coefficients correspondants du développement de:
Le développement est done uniformément convergent par rapport à zj, $5,495 pourvu que: 2o] | ei 2: ( — d A) eT. \ Pp p" ou
E( eyes
0 i /
ou enfin pourvu que:
2
(1) Ial<e( — 1) ; ls co (. — 1) | dnd eo z—
94 H. Poincaré.
Plus généralement le développement de
k=1
LE (ay, AT |
suivant les puissances croissantes des x, a ses coefficients plus petits que ceux du developpement de:
en posant
Le développement converge donc uniformement pourvu que:
|o] «(y + : I 1). (&=1,2,...,n)
Soit done: (2) I Ant wg:
r I . . le développement de - suivant les puissances de x,, z, et r,. La con- 7
vergence de ce développement est uniforme, tant par rapport à 2j,27;,4;
que par rapport à #,,%,,4, pourvu que ces quantités satisfassent aux inégalités:
ai^ + v + [rà 08,
s etant une quantité aussi petite que l'on veut. Les coefficients A sont, bien entendu, des fonctions des z;. I] vient alors:
uU D
0 do — (3) y — | =) vpazas [ Ad’ de’. N y -
vU
Comme la convergence de la série (2) est uniforme, la série du dernier membre de (3) converge également et représente V. Donc le potentiel
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 95
V peut être développé en série procédant suivant les puissances de m,, $,,, pourvu que les modules de ces quantités soient assez petits.
Pour que ce résultat soit exact, il n'est pas nécessaire que la fone- tion 0’ soit finie et continue, il suffit que l'intéerale:
Ji | ay | da’
existe et soit finie. Par exemple, en un point Q de la surface attirante, la densité 9’ pourra devenir infinie, pourvu que le produit de la densité ó' au point J/7' par la distance M'Q tende vers une limite finie quand la distance M’Q tend vers zéro.
En effet, d'aprés la discussion précédente nous avons: PAPE, Tea
B et h étant deux nombres indépendants des exposants « et des coor-
données 2, 45, 23. On a donc: | [Ao'do'| CU tig Bf |o'|do'
ce qui montre que la série (3) converge pourvu que Jf |e" [do soit finie. Par un simple changement d'origine, on démontrerait que V est
développable suivant les puissances de 2, — a, , x, — a, ,
que l'on puisse trouver des nombres p et < tels que
X, —4, pourvu
(a, — a)? + (25 — ay)? + (v; — a;)* > p’,
CE) ue gal ne.
Or c'est ce qu'on peut toujours faire, pourvu que le point a,,a,, a, ne soit pas sur la surface attirante.
Le potentiel V est done une fonction holomorphe dans tout l'espace sauf sur la surface attirante.
En particulier, ce sera une fonction holomorphe en tout point de la sphere:
++.
Cela ne veut pas dire que la serie (3) converge en tous les points de
96 H. Poincaré.
cette sphere; tout ce que nous avons démontré c'est que la convergence a lieu en tous les points de la sphère concentrique dont le rayon est
(e)
Mais la série présente une particularité curieuse; supposons que dans la série (3) on groupe ensemble tous les termes de méme degré; chacun de ces groupes formera un polynôme homogene en z,, v,, v, et satisfaisant à l'équation de LAPLACE; c'est ce qu'on appelle un »polynóme sphérique».
Quand les termes sont ainsi groupés, la série (3) converge en tous les points de la sphere de rayon p; et en effet la série (2), si l'on con- vient de grouper ensemble les termes de méme degré, converge uni- formément dans toute sphere de rayon plus petit que p.
Je n’insisterai pas davantage sur la démonstration de cette pro- position qui est bien connue et qui ne m'est d'ailleurs pas utile pour mon objet.
La condition de convergence absolue de la série (3) est donc
a + x + X; < 0°
si on groupe ensemble les termes de même degré et
2 2 2 E af + 2 v PAT, — 1)
3
si on laisse ces termes séparés les uns des autres. C'est ainsi que la série alternée
I I I legte; al vale aie
nest pas absolument convergente, mais qu’elle le devient si on groupe les termes de la maniére suivante:
Passons au cas dit de la double couche.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 97
Théorème 3. Soient /|,/;, /; les cosinus directeurs de l'élément de surface dw; x), %,, x; les coordonnées du centre de gravité de cet ele- xv
ment, et à' une fonction quelconque de ces coordonnées; soit toujours r
la distance des points z,, 4,, x, et x, z;, x;. Considérons l'intégrale I I I d= d - d- Tq. n T = d'do' li = l— i= ! dz, T^ FA r ? dz,
v
Cette intégrale est ce qu'on appelle le potentiel d'une double couche. Soit encore: vy -d-xy-d xl
soit:
(4) lh = + has. == i = I Arr een
le développement de l'expression qui figure entre parenthèses sous le
, Comme /;, J, et
signe Ji par rapport aux puissances de z,, v, et x l, sont limités, nous voyons d'abord que ce développement converge et que la convergence est uniforme tant par rapport aux x’ que par rapport
aux æ pourvu que
Ns eura —1) E: V |
Par conséquent V peut se développer suivant les puissances de z, , $, , x,
et le développement converge pourvu que 2 2 2 2 Li + La + 9; < D:
Donc le potentiel V d’une double couche attirante est une fonction ho- lomorphe dans tout l’espace, sauf sur la double couche attirante elle- même.
M
Cela resterait vrai, méme si ó' pouvait devenir infini, pourvu que
f |e’ |do’
l'intégrale
solt finie.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 7 juin 1898. 13
98 H. Poincaré.
Enfin si on groupe ensemble les termes de méme degré, le développe- ment de V converge absolument pourvu que
a + ot + at <p?
et chaque terme de ce développement est un polynóme spherique. Théorème 4. Considérons une surface fermée quelconque S. Soit V une fonction qui soit harmonique à l'intérieur de S, sauf sur tous les points d'une certaine courbe singuliére C. Soit o la plus courte distance du point x,, z,, r, à la courbe sin- guliére C. Je suppose que
V dV dV dY p, ES V (2 de,
log p ? P de, 2
restent finis quand p tend vers zéro et que le point x, ,x,, x, se rapproche indéfiniment de la courbe C. Je supposerai que la surface S et la courbe C sont analytiques et
qu'elles ne se touchent en aucun point de facon qu'elles se coupent sous
3
un angle fini. Considérons maintenant le vecteur F dont les composantes sont
dV dV dV
dz, * da, "dz;
Soit ensuite M le point x,, z,, x, et N le point de la courbe C qui est le plus rapproché de M; la droite MN est par conséquent normale à la courbe C et c'est sa longueur que nous avons appelée plus haut p.
Soit ® la projection du vecteur /’ sur la droite MN.
Je suppose que le produit o® tend vers une limite bien déterminée 24 quand le point M se rapproche indéfiniment du point N. Cette limite 27. est, bien entendu, une fonction de la position du point N sur la courbe C; mais elle ne dépend pas de la direction de la droite UN dans le plan normal en N à la courbe C.
Nous envisagerons encore un point P intérieur à S et dont les coordonnées s'appelleront y, , y, , Yq:
Construisons un domaine D défini par les trois conditions suivantes:
1° Les points de ce domaine sont intérieurs à S.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 99
2° La distance d'un point de ce domaine à P est plus grande que e.
3? La distance d'un point de ce domaine à la courbe C est plus grande que se.
Le domaine D est limité par trois surfaces:
1° par la surface S, ou plutót par la portion S, de cette surface dont tous les points sont à une distance de C plus grande que ¢;
2° par la sphère X de centre P et de rayon e;
3° par une surface-canal K, enveloppe des sphères de rayon e dont le centre est sur C. L’equation de cette surface-canal peut s'écrire p =e.
Si la courbe C coupe la surface S en h points, la surface-canal K decoupera sur la surface S, si ¢ est tres petit, 7 petites courbes fermées entourant ces h points. La portion de S située en dehors de ces h petites courbes est celle que nous venons d'appeler $,; la portion de S située à l'intérieur de ces h petites courbes pourra s'appeler S,. Posons
i e nuo dieu ae (a u), U-—-.
Les fonctions V et U sont harmoniques dans le domaine 1) et le théoréme de GREEN nous donne:
| (vi — UT do = o.
dy dy,
Les intégrales doivent être étendues à toutes les surfaces qui limitent le domaine D, c'est à dire aux surfaces S,, X et A; nous aurons donc:
Verear o.
8;
Faisons maintenant tendre = vers o et voyons vers quelle limite tendra chacune de ces trois intégrales.
Occupons-nous d'abord de JE Je dis que cette intégrale tend vers
Si une limite finie et déterminée que l’on peut considérer, d'apres les con-
ventions habituelles, comme la definition de l'intégrale / étendue à la
surface S tout entière.
100 H. Poincaré.
Il suffit pour cela de montrer que l'intégrale
ra oF to
S est finie; la fonction sous le signe 2 devient infinie aux A points où la courbe C coupe la surface $; mais comme il s'agit d'une intégrale double, il suffit, pour que l’intégrale soit finie, qu'en tout point M, voisin de l'un de ces h points que jappelle Q, la fonction sous le signe if soit au plus
de l'ordre de l'inverse de la distance MQ, ou ce qui revient au méme de
, I l’ordre de -. 0
i jJ
2 TU : Or U et - sont finis, V est de l'ordre de logo et = de Vordre y
I ef : de -. La condition est done remplie. P Pour la méme raison
- Car [\Plae, | d
S
sont finies. Donc d’après un théorème démontré plus haut l'intégrale
a I d - | (E UT do = po pees tae
dy dy dy + s
est une fonction holomorphe de y,,y,, y, pourvu que le point y, , y; , JJ; soit à lintérieur de S. En effet l'intégrale
n'est autre chose que le potentiel de double couche envisagé plus haut
d : d i d z
T T dw’); +1 — +1; : ! dg, de, * de, |?
"P,
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 101
les notations seules sont changées, on passe de la seconde intégrale à la premiere’ en! changeant.4, ,2,,%, en 91, 945 J,5 415 Vy 44 EN Ly, 14, 95; dw’ en do; ó' en V. De méme l'intégrale (we
dv r
n’est autre chose que l’integrale
qui représente le potentiel d'une surface attirante. Il n'y a qu'un change-
ment de notations et l'on passe de l'une a l’autre en changeant les x en
dv y, les z' en x, dw’ en dw, 9' en Amo Ay
M
Voici done un premier résultat: la limite pour s — o de l'intégrale
Ju est une fonction holomorphe des y.
8; Passons à l'intégrale ie la surface de la sphère est 4zc*. V et dV . A AUR aU ae sont finis; U est égal a : et LT Done ‘dV do dy r
est de l'ordre de & et tend vers o; et d'autre part
> RENT, ; * da lim | Ux dw = lim | y-— EURO)
t t
c'est à dire que lim | m ng AUI ET QE
Considérons enfin l'intégrale [. x La surface-canal K est engendrée pas des eirconferences de rayon e dont le plan est normal à la courbe C. Soient Q et Q' deux points infiniment voisins de la courbe C; considérons les deux circonférences
102 H. Poincaré.
dont le plan est normal à C aux deux points Q et Q'. La portion de la surface comprise entre ces deux circonférences sera ce que j'appellerai un »segment» de la surface.
Si lare QQ’ est égal à ds, l'aire du segment correspondant sera 2zeds. Considérons notre intégrale
| (vi — UT. do j dy
dy
et étendons-la à ce segment.
7 IT Jic : UV: ; U et Er sont finies; V est de l'ordre de loge et E de l'ordre de y L
Im
Alors Vintégrale e
[0]
est de l'ordre de logs et tend vers o. L'intégrale:
Ge = (a dy x dy v
tend au contraire vers une limite finie; qui est égale au produit:
o D
d
T Winer Par 2zds.lim (s =) Immer dy ) T
dy se , O89 I q est ce que jai appelé plus haut 24. La limite de 2 (Lu ^
est l'inverse de la distance du point P au centre de gravité de l'élément ds. L'intégrale devrait être étendue à la portion A, de la surface K
La limite de
Qo
qui est a l’intérieur de 5S; considérons l'intégrale
i
K,
étendue à la portion A, de la surface K engendrée par les circonférences de rayon s dont le centre est sur la partie de C intérieure à S.
Les deux surfaces K, et K, ne coincident pas exactement parce qu'il
1 peut y avoir des circonférences de rayon ¢ qui ne sont que partiellement intérieures à S, ou encore des circonférences qui sont intérieures à S
a
mais dont le centre est extérieur a S, ou inversement.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 103
Mais si e est tres-petit, l'aire totale des parties de X, qui n'appar-
tiennent pas a K,, ou celle des parties de K, qui n'appartiennent pas à
K,, est de l'ordre de e’. Et, comme la fonction sous le signe ij est de
I eppr l'ordre de = la différence
est de l'ordre de e et tend vers o.
Quant à lintégrale E elle est la somme des intégrales relatives K,
aux segments qui correspondent à la partie de C intérieure à S. Elle tend donc vers la limite: " _ [ads — sr | T
ou r désigne la distance du point P à l'élément ds.
C'est, au facteur — 47 près, le potentiel par rapport au point P de la ligne attirante C, la densité linéaire étant égale à y. Ce potentiel multiplié par —47 est done la limite vers laquelle
tend notre intégrale if n Donc en passant à la limite, notre équation
jc ee o
nous apprend que V(w,,5,.,) est égal au potentiel de cette ligne atti- rante plus une fonction des y, holomorphe à l'intérieur de S.
Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant:
Théoréme 4. La fonction V satisfaisant aux conditions énoncées plus haut est égale à l'intérieur de S a une fonction holomorphe plus le potentiel d'une ligne attirante; la ligne attirante est C et la densité linéaire est y.
Si en particulier on suppose que V est harmonique dans toute la région intérieure à S, y sera nul; et V sera une fonction holomorphe en tout point intérieur à $5.
D'ou cette conséquence.
Toute fonction harmonique dans un domaine est holomorphe dans ce domaine,
104 H. Poincaré.
J'ai insisté un peu sur cette démonstration, parce que c'est le modele sur lequel sera calquée plus loin la démonstration d'un théoréme important.
Tous ces résultats s'étendent facilement au cas d'un nombre quel- conque de variables; et d'abord le théoréme de GREEN.
Considérons dans l'espace à n dimensions un domaine D et la variété fermée à » — 1 dimensions S qui limite ce domaine.
Considérons une portion de cette variété assez petite pour que ses équations puissent se mettre sous la forme suivante:
d; X eg, (u, ) U, 29929 Un): (922152275738) Les 4 sont des variables auxiliaires et les ¢ sont des séries procédant suivant les puissances des w.
Considérons le jacobien ou déterminant fonctionnel de CUI E 5 G, +465, €; TRE), 2 Pana. Gn FE par rapport a Un, os pen e
Ce jacobien étant évidemment une fonction linéaire des indéterminées a,
je l'appelle: Da + Dia, +... + D,a,.
Soit ensuite:
D, = \Di + Di +... + Di L'intégrale n — nie
JD, du, du, ... du, ;
étendue à une portion // de la variété S s'appellera l'aire de cette portion Il; les intégrales » — 1”
J| D, du, du, AIO Ede JD, du, du, ies DI
sappelleront les projections de cette aire sur les espaces coordonnés. Si la portion // est infiniment petite, l'intégrale
[Diode 500 Gis
pourra s'appeler l'aire d'un élément de la variété S et se représenter par dw.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 105
Les rapports D D Ds DO mo m
0
seront les cosinus directeurs de l'élément do. Nous poserons alors, ç étant une fonction quelconque des x:
dg =
i dg x aa D, do dy D, dz, Up SUM
Ces définitions posées, le théoréme de GREEN se généralise immédiatement et l’on a:
Théoréme 1 généralisé. Si V et U sont deux fonctions harmoniques dans le domaine D, on a:
k dU dV | (V -- U= )do = O.
* S On trouve de méme: Théoréme.2 généralisé. Considérons l'intégrale
" , y à do = pn—2 t
étendue à tous les éléments dw’ d'une variable S à » — 1 dimensions; solent
,
MONT 2 AIEO SOT LR
les coordonnées de lélément dw’; r la distance des points x, ,,,..
telle que l'intégrale
T.
"325 M
et r,,25,.... 7,; 6’ une fonction quelconque des x
flo | do’ soit finie.
La fonction V sera développable suivant les puissances de z pourvu que 1
a m a py +-—1).
\
,
La série converge encore absolument si
Da? < p
Acta mathematica. 22. Imprimé le 7 juin 1898. 14
106 H. Poincaré.
pourvu que l'on ait soin de grouper ensemble les termes de méme degré.
Corollaire. La fonction V est holomorphe dans tout l'espace à n dimensions sauf pour les points de la variété S.
Théoréme 3 généralisé. Considérons l'intégrale:
a.
v= ep) dy
Dans cette formule, 0’,dw’ et r ont même signification que dans le théoréme précédent et on pose:
CGE) be D; d (r?—7) dva D, dz, '
D; et D; étant les quantités analogues aux D, et aux D, définis plus haut qui sont relatives à l'élément do'. La fonction V sera encore développable suivant les puissances des x si:
a pr ri e(y + - — 2) :
Si on groupe ensemble les termes de méme degré, la convergence est encore absolue pour La? < p.
Corollaire. La fonction V est holomorphe dans tout l'espace à n dimensions sauf pour les points de la variété S.
Le théoréme 4 est également susceptible de généralisation; je ne m'en occuperai pas pour le moment parce que je me réserve de revenir avec plus de détails sur ce point important. Mais j'aurai peut-étre encore besoin de plusieurs propositions qui sont des conséquences des propriétés des fonctions de GREEN relatives à une hypersphere. Ces propriétés étant bien connues, au moins en ce qui concerne l'espace à trois dimensions, je n'insisterai pas sur la démonstration.
Théorème 5. Considérons l'hypersphére:
(1) La? = R?
que jappellerai S. Soit P un point intérieur à l'hypersphére dont les coordonnées seront y, , y,,..., /,; nous aurons
Ly? = p, pak.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 107 Soit P' le point conjugué de P; ses coordonnées seront:
n* BR? lige
I p: » Ya ot? VENTE
N
.,€, à P et r' sa distance
BE =) i
Soit r la distance du point ©, ,® de sorte que
24s
r? — Z (x —y)’, =) (ey
Lorsque le point x,,x,,...,x, est sur l'hypersphere S, on a:
considérons alors la fonction:
n—2 n—2 0°) r pr
c’est une fonction harmonique dans tout l'espace à » dimensions sauf aux points P et P'; elle sannule quand le point x, ,..., v, vient sur S.
Considérons une fonction V harmonique à l'intérieur d'une hyper- sphere plus grande que S.
Considérons une hypersphére X de rayon e et de centre P et le domaine D compris entre les deux hyperspheres S et Y; dans ce do- maine les deux fonctions V et G sont harmoniques et le théoréme de GREEN nous donne:
a
| (ao ue V)do =O,
dy dv
L'intégration devant être étendue à tous les éléments des deux hyper- spheres S et 2, j'écris:
IE ane E b) Quand e tend vers o, la seconde intégrale / tend vers une limite finie:
CV (y, »35 en Yu);
C est une constante numérique, qui est égale à n— 2 fois l'aire de l'hy- persphére de rayon r.
108 H. Poinearé.
Quand a la première intégrale, comme @ s’annule sur S, elle se réduit a: L 73 dG -— | — Vdo.
dy
Ainsi V(y, , y,, ..., V,) est égal à l'intégrale
De méme, comme la fonction ;*^* est aussi harmonique dans tout l'espace sauf au point P, on trouverait:
2 @ Ip s A 1 AOR Uh nay) == | (= e e de.
dy dy
Mais d'après les théorèmes 2 et 3 généralisés, l'intégrale du 2% membre est développable suivant les puissances des y pourvu que
. 25y* — Ru Vene 1).
Dans le cas où la fonction V est harmonique dans toute portion finie de l'espace, on peut prendre R aussi grand que l'on veut. Nous arrivons done au résultat suivant:
Si la fonction V est harmonique dans toute portion finie de l'espace à n dimensions, (c'est à dire si elle satisfait partout à l'équation de LAPLACE AV — o et possede partout des dérivées du second ordre, mais sans étre assujettie à tendre vers o quand le point z,, »,,..., v, s'éloigne indé- finiment) cette fonction V est développable suivant les puissances des x; ce développement est toujours convergent.
Si on groupe ensemble les termes de méme degré, chacun des groupes sera un polynóme homogene qui devra satisfaire à l'équation de LAPLACE; c'est à dire ce qu'on peut appeler un polymóme hypersphérique.
Théorème 6. Reprenons la formule
V (y, Ya» ONUS) IL I E: va.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 109
Si R est trés grand et > fini, r est de l'ordre de R et 7’ de l'ordre de hetsiele; point 2. ; Tu Gus 2. est sur $$.
Donc r*" et r7" sont de l'ordre de E^" et Rt". Leurs dérivées premieres par rapport aux x sont respectivement de l'ordre de R'™ et RR"; et leurs dérivées secondes sont respectivement de l'ordre de R™ et E.
Les dérivées premieres de ?
.2—n
par rapport aux y sont égales au signe prés aux dérivées premieres par rapport aux x, elles sont donc de l'ordre de R'™.
De méme les dérivées secondes de 7^7" prises par rapport à l'une des variables x et à l'une des variables y, sont égales au signe pres aux dérivées secondes prises par rapport à deux variables x; elle sont donc de l’ordre de R”.
Supposons ensuite que le point P vienne en P, et que la distance PP, soit finie; soit 1, et r! sa distance au point Pi conjugué de P,; soit o, la distance du
1 1 1 £
la distance du point z,, 7,,..., z, au point P,
; E point P, à l'origine. L’accroissement
2—n
d CaP = j —— C'est à dire de l'ordre R^"; dy
est du méme ordre que les dérivées
de méme les accroissements
da
d^y2—n
seront du méme ordre que les dérivées , c’est à dire de l'ordre
de a.
Si nous observons ensuite que l’on a:
da dy
dF VE dF UE = I dy ZRda,! R : on verra que dris) dam dr"
H , ; '
dy dy dy
110 H. Poincaré.
sont du méme ordre que
c'est à dire respectivement de l'ordre de:
R n m 2n Je 2n ) , de
Nous avons:
et il viendra:
dG 4G, dr "—#" ") (" n—2 qr) 4 E dri 9 dy ip, dy a ) ;
dy ; dy
Dans le second membre, le premier terme est de l’ordre de R” et les , I
deux derniers sont aussi de l'ordre de: A^"; done le premier membre
est de l'ordre de R™.
Cela posé, solent z,, 2,,..., 2, les coordonnées de P,; nous aurons:
1 f°/dG dG Vices ete VC EE E =| ( tg) Vdo. : dG, dG ; ae e vA . La fonction d; 3, St de l'ordre de R7"; le champ d'intégration est ly
de l'ordre de A"; si la fonction V est finie, l'intégrale du second membre est infiniment petite et l'on a:
Vlaams. 4) = AUT RUE ee 7E
Comme les deux points P et P, sont quelconques, cela veut dire que V est une constante. Nous arrivons donc à cette conséquence:
Une fonction harmonique dans toute portion finie de l'espace et dont le module est limité se réduit à une constante.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 111
Théoréme 7. De la on peut tirer une conséquence importante: Supposons que la fonction V soit harmonique dans toute partie finie de l'espace; qu'elle soit par conséquent susceptible d'étre développée en une série toujours convergente de polynómes hypersphériques, qu'elle soit en un mot ce qu'on pourrait appeler une fonction harmonique entiére.
Supposons de plus qu'elle soit » fois périodique; alors l'espace à n dimensions se trouvera subdivisé en une infinité de »prismatoides des pé- riodes» formant un assemblage à la Bravais et à l'intérieur de ces divers
_prismatoïdes, la fonction reprendra les mêmes valeurs.
Son module est donc limité et elle doit se réduire à une constante;
d’où cette conclusion:
Toute fonction harmonique entière n fois périodique se réduit à une constante.
C’est aussi une conséquence de ce fait bien connu qu'une fonction harmonique ne peut avoir ni maximum ni minimum.
Je renverrai d’ailleurs pour plus de détails à un mémoire de M. ArrELL publié dans les Acta mathematica, tome 4.
§ 3. Fonctions Biharmoniques.
Soit F — V+iW une fonction des » variables complexes
4 =. + ŸY,; BL, hs 0: 45 = MS ke ae On aura alors: dV = dw dV i. dw dx, — dy, ? dy, — — de,
d'ou il suit que l'expression /dV IV (1) N (5— ee dr,) VR ( Yk
est une différentielle exacte. Si donc V est la partie réelle d'une fonction 7’, l'expression (1) sera différentielle exacte.
112 H. Poincaré.
De la nous tirons les équations:
Ge ger dv d'y
? da; de, ^ dyidy, "ai
2 Dc , da; dy;
(2) vy av dx,dy, dy, di, j
Toute fonction satisfaisant à ces équations (2) et d'ailleurs continue et ayant des dérivées secondes sera dite biharmonique. Des équations (2). on tire aisément:
(3) AY-Y (+ )=o.
— \ ik dy;
Ainsi toute fonction biharmonique est en inéme temps une fonction har- monique des 2n variables x et y.
Si n= 1, toute fonction harmonique est la partie réelle d'une fonc- tion de variable complexe.
Mais, si x > I, il n'en est plus de méme et la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction V puisse étre regardée comme la partie réelle d'une fonction de variables complexes, c'est que cette fonction V soit biharmonique.
Les équations (2) peuvent encore se mettre sous une autre forme.
Soit
U = D — dy,
et supposons qu'au lieu des x et des y, on prenne pour variables les z et les #. Alors la condition pour que V soit biharmonique, c'est qu'il soit de la forme:
CCE REA CENT oO)
de sorte que les équations (2) peuvent étre remplacées par les suivantes qu'on en déduit d'ailleurs par un calcul simple:
dV (2 ) dzy du, EIS
où l'indice k peut être égal à g. Ces équations sont au nombre de n’.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 113 Théorème 8. Quelle est la condition pour qu'on puisse trouver un
polynôme V satisfaisant aux $^ équations
dy (4) dax dug zu Dis
où les ® sont des polynómes donnés. Il est clair que les ® doivent satisfaire aux relations suivantes:
dÓ,, dmg — d°V dzm dz E dzj dz, dug ? 5
dÓ,, d60,, ES d*V
Wu = GAS dz, du, du,
L'indice q peut étre égal à k ou à m; mais ces deux derniers indices doivent étre différents, sans quoi les relations se réduiraient à des identités.
Le nombre des relations (5) est done n’(n — 1).
Les conditions (5) sont évidemment nécessaires, je dis qu'elles sont suffisantes.
En effet supposons d'abord que les 9 soient des polynómes homogenes de degré À par rapport aux z d'une part et homogènes de degré p par rapport aux w d'autre part:
Alors il suffira pour satisfaire aux équations (4) de faire:
yi eu (A + Tp + 1) Il est aisé de vérifier que cette expression satisfait aux équations (4) si les conditions (5) sont remplies.
Si maintenant les ® sont des polynómes quelconques, on n'aura quà les décomposer en parties homogènes tant par rapport aux z que par rapport aux u.
Ainsi pour qu'on puisse satisfaire aux équations (4) il faut et il suffit que les conditions (5) soient remplies.
Il est clair d'ailleurs que si on peut y satisfaire, on peut le faire d'une infinité de maniéres puisqu'on peut ajouter à V une fonction bi- harmonique quelconque sans que les équations (4) cessent d'avoir lieu.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 13 juin 1898. 15
114 H. Poincaré.
Si on revient aux variables x et y les équations (4) deviennent
VE UV = 2 i. oa F,, day, dy ‚ d'y dy n (a?) EL day de, dag d, 7 d’V OA ET dx, daj, a der dig te e
les F étant des polynómes donnés en x et y, et les conditions (5) de-
viennent:
df, dF;, u‘ CEng dE ing , dam dim ode da, 2 5 ) d T dF, d i. dE ng
|
dis dem dy, day
8 4. Potentiel d'une courbe.
Considérons d’abord une courbe analytique dans l’espace ordinaire à trois dimensions. Soient x, x, x, les coordonnées d'un point de cette courbe et r la distance de ce point au point #,,#,,#x,. Le potentiel de cette courbe sera: ND 3 u à ds
Vi ess 2
t
où 0’ représente la densité et ds’ l'élément d'are de la courbe. Je veux étudier cette courbe et son potentiel dans le voisinage d'un de ses points O. Je prendrai ce point, que je supposerai non singulier, pour origine des coordonnées; je prendrai la tangente en ce point pour axe des =, et le plan osculateur pour plan des x,#,; nous pourrons mettre alors
les équations de la courbe sous la forme suivante:
mp, xe =) les © étant des séries ordonnées suivant les puissances de ¢ et s'annulant de, 9 : avec f. De plus pour / — o, ne s’annule pas, mais :
dg, de, d'e, dt dt dt?
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 115
Nous aurons d’ailleurs
ds' = dt@(t),
d étant une série développée suivant les puissances de /, et je supposerai ^
de plus que 9” est également développable suivant les puissances de f. Cela posé:
= (ri — m)* + (n — 2)* + (x)
est développable suivant les puissances de ¢, z,, v, et &,. Ecrivons l'équation:
et résolvons-la plus rapport à /; cette équation comportera deux solutions: C—O Se, ae ST 5923 aq
qui sannulent pour z, — $, — 7, — O. Ces deux solutions sont imagi- naires bien entendu. Considérons le produit (E— 4 )\(t—@,) et posons: 1 2
Be 0) 2 ez
Y et Z seront deux séries procédant suivant les puissances des r. De plus on aura
y? = (t* — 2Yt + 2)0,
0 étant une série procédant suivant les puissances de /, z,, v,, ©,
ne sannulant pas pour
t=1 =, = 4%, =0.
Pour tous ces théoremes, je renverrai au mémoire de WEIERSTRASS sur les fonctions de plusieurs variables (Oeuvres Completes, Tome II, page 135 sqq) et au début de ma these inaugurale (Paris, Gauthier- Villars, 1879).
On aura done:
Vo m dt M | Udt J JO JP =2Yr+ 2 (=e
U étant une série développée suivant les puissances de ¢ et des x.
116 H. Poincaré.
Cela posé, nous allons nous proposer de mettre U sous la forme sulvante:
de ; p (1) U U, + O¢— Y) +70 —2Yt 4 2),
U, étant une série développée suivant les puissances des x, et ® une série développée suivant les puissances des x et de f.
Si nous mettons U sous cette forme, nous en déduirons la valeur de V, car l’integrale indéfinie sera
U, log [((( — Y) + Ve —2Yt + Z] + OV 2Yt +2.
Si U était un polynóme, il se mettrait sous la forme (1) par un procédé bien connu. Mais U étant une série, il faut démontrer que ce procédé, toujours applicable, conduit à un résultat convergent.
Posons t=Y-+E, Y’—Z=y,
l'équation (1) devient:
z Bp d@ (1’) UL rt De
Comme U est développable suivant les puissances de ¢ et des z et Y suivant les puissances des x; la fonction U sera développable également suivant les puissances de & et des x.
D'autre part 7 est développable suivant les puissances de x; mais nous ne nous servirons pas de cette propriété et nous traiterons 7 comme une variable indépendante.
En conséquence dans l'équation (1):
DS
U sera une série donnée procédant suivant les puissances de &
et des x.
2? U, sera une série inconnue procédant suivant les puissances de 7 et des x.
3° ® sera une série inconnue procédant suivant les puissances de &, de » et des x.
Ecrivons alors:
U, =u, + 7%, + nu, +... D — D, 4-70, F5 9, 4 ....
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 117
Alors l’équation (1’) se décompose dans la série d'équations suivantes:
1d £0, + + 4, =U, d D £2 rA (2^) £0. 4- € qs b dé” Id dd £ q) ga cw, b ue Sa dE a ey ae
DA,,é” étant une série donnée procédant suivant les puissances de €.
On y satisfait en faisant:
wr dae S mdi AE y
On peut done calculer les 4, et les u,, mais il reste à savoir si le dé- veloppement converge. Pour cela je compare l'équation N a la suivante:
2 (0 —p)
U’ est une serie donnée procédant suivant les puissances de & et des m.
U) et @ sont des séries inconnues procédant la premiere suivant les
puissances de et des x, la seconde suivant celles de €, de » et des x, 7 , , 7
et ou enfin S est ce que devient ® pour £— o. ij; IR (1") en posant:
= = Iy"u Im C= Ly 2 q^, , = 29" e, A
(1") U' = Ui + £d —
ae
se el en une serie d’equations:
£0, + uy = U',
L
EG, up o 5,
ED, + u, = 2 +,
118 H. Poincaré.
Supposons que U’ ait tous ses coefficients positifs et plus grands en valeur absolue que ceux de U et comparons les équations (2’) et (2); soit:
U= XA£" age, U^ = JAE quaii AAA UN EMA ne 02 ph: as Dt EMAL 0 pds pd ®, = XB,6 Yi Ty 33, D, = XD; Uy" Do 3", ’ em+3 . Oy N ıDı 3 Norte D, = XB,t"Uapapap, Di TBE aparry, Il viendra: A m — I + Es 5 9-3 y p Ag DON DY) ——— y] BY) Qmm E 0E , D, a Pa? >10 2 Bo;
ce qui montre que les 5’ sont positifs et que: BL JB
La convergence des séries dans le cas de l'équation (1") entraine la convergence dans le cas de l'équation (1^). Or on satisfera à l'équation (1") en faisant:
donc
jj U'(J22) + U'C— V2x)., , _ U2z) — US 27)
t3 S "S
Inutile de dire que U’(\/27) représente ce que devient U’ quand on Ww 27 l change & en V27-
On voit en effet que dans ces conditions U' — U; — 颒 est divisible par &°— 25. Ainsi nos séries convergent et U peut se mettre sous la forme (1).
Nous pouvons alors trouver la valeur de V puisque nous avons l'inté- grale indéfinie: U, log [£ — Y + yt* —2Yt 4 Z] + OJP — 2Yt + Z.
Nous supposerons que les deux extrémités de la courbe attirante corres-
pondent aux valeurs ¢, et ¢, du parametre /; de sorte que les deux limites d'intégration seront /, et f.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 119
Nous supposerons d'abord que (, et t, ne sont pas nuls et que par
exemple HO epa
En d'autres termes, nous étudierons le potentiel dans le voisinage d'un point de la courbe. qui n'est pas une des extrémités. Dans ces conditions U,, ®(t,), ®(t,), et les deux radicaux:
WIE EMI, Uy DENTES TERRI sont des fonctions holomorphes des x; il en est de méme de log [4 — FF + B=2Y + 2].
Car le radical est developpable suivant les puissances de Y et de Z et le logarithme ne devient pas infini pour Y — Z — o. I] n'en est plus de méme de
log [4, — Y + yt? — 2Yt, +2] car si lon fat Y — Z — o, il reste
log (t, Ru vii): Si l'on convient de prendre la détermination positive du radical; il faudra, puisque /, est négatif, prendre vi mci d'ou: log (f£, + Vf) = log (f, — tb) = co. Au contraire
se réduit pour Y= Z— o à log(—2/,) et n'est pas infini; c'est donc une fonction développable suivant les puissances des m. Or nous avons:
log (4, — Y + VE — 2Yt, + Z) = log (Z— Y?) — log (— f, + Y + yr — 2Yt, + 2).
120 H. Poincaré. Done:
Théorème 9; le potentiel V dune courbe attirante est égal dans le voisinage d'un point de cette courbe qui n'est ni une extrémité de la courbe, ni wn point singulier; ce potentiel, dis-je, est égal à une fonction U, holo- morphe par rapport aux x, multipliée par log (Z — Y?), plus une autre fonc- tion holomorphe des x. D'ailleurs Z — Y? est aussi une fonction holo- morphe des x.
Supposons maintenant £, — 0; ou en d'autres termes, étudions le potentiel dans le voisinage d'une des extrémités de la courbe. Alors
V —2tY + Z
se réduit à ÿZ et n'est plus une fonction holomorphe des zy. Mais Z
,
est égal à aj +ax; + 75, multiplié par une fonction holomorphe des x ,
ne s'annulant pas avec les x. On a d'autre part
log (&, — Y + Vit + 26,X -- Z) = log (yz — Y).
Le potentiel est alors égal à la fonction holomorphe U, multipliée par log (/Z— Y), plus une fonction holomorphe, plus une autre fonction ho- morphe multipliée par Va? zi + a.
En résumé soit une courbe attirante AOB, décomposons-la en deux segments AO et OB; et prenons le point O pour origine.
Dans le voisinage du point O, le potentiel du premier segment sera U, log (VZ —Y)+AH+ W Vx? fap a) et celui du second segment: U, log (VZ + Y) + H' — Were e+ a
U,, H, H' et W étant des fonctions holomorphes; celui de la courbe entiére sera:
U, log(Z— Y?) 4+ H + MH".
Pour bien nous rendre compte de la signification de ce résultat, cher- chons d'abord ce que c'est que la surface Z— Y? — o; l'équation
m EM
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 121 signifie que l'équation en ¢ 7— tY+Z=o a deux racines égales; or cette équation en ¢ est équivalente à la suivante: [e
Supposons donc que du point z,, x,, x, comme centre nous décrivions une sphere de rayon nul. Cette sphére coupera la courbe attirante en
un certain nombre de points imaginaires; le lieu des points z,, »,, c
2.2 3 qui sont tels que deux de ces points imaginaires d'intersection se con-
fondent est precisement la surface = 7
Cette surface est imaginaire, mais elle présente une courbe réelle qui n'est autre chose que la courbe attirante.
Cherchons maintenant la signification de U,.
Notre potentiel V est égal à l'intégrale:
ie Udt SIC UU Z
La fonction sous le signe f. considérée comme fonction de ¢, présente
un certain nombre de points singuliers. Représentons ces points sin- guliers dans le plan des /; nous ne nous occuperons que de ceux d'entre eux qui sont volsins de l'origine; ils sont au nombre de deux qui sont les racines de l'équation en /
? — 2t Y +Z — o.
Solent r et 7’ ces deux points:
Quand les variables z varieront, ces deux points r et 7 varieront également; et quand les x auront décrit un contour fermé; ces deux points 7 et 7’ décriront des contours fermés ou s'échangeront entre eux.
Dans ce dernier cas (ou bien encore si 7 et 7’ décrivent des contours fermés, mais de telle sorte que c ait tourné autour de 7’) l'intégrale de- finie V ne reprendra pas sa valeur, mais elle augmentera d'une période.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 14 juin 1898, 16
122 H. Poinearé.
Cette période que j'appelle // sera l'intégrale
[| Udt J VE — 2tY +Z
prise le long d'un contour fermé enveloppant les deux points 7 et 7. Or les diverses déterminations de notre intégrale définie V correspondent aux diverses déterminations du logarithme
log (Z— Y5.
Quand ce logarithme augmente de 2iz, V augmente de 2izU,; on a donc:
Il serait d'ailleurs aisé de vérifier que la période // est une fonction holomorphe des x. En effet, le contour fermé le long duquel cette intégrale est prise peut être choisi d'une manière quelconque pourvu quil enveloppe z et 7. Je le choisirai done fixe et indépendant des #. Comme il passe toujours à distance finie des deux points c et z', la fonc-
tion sous le signe | est en tous ses points, holomorphe par rapport à ¢
D
et aux ©. L'intéorale est done une fonction holomorphe des x.
GO ED:
Il faudrait pour étre complet, étudier V dans le voisinage d'un point singulier de la courbe attirante, par exemple d'un point de re- broussement. Je me contenterai de la remarque suivante:
Soit o la distance du point z, , #,, x, au point singulier. Le produit Vo tend vers o quand le point z,, r,, x, se rapproche indéfiniment du point singulier en suivant une courbe quelconque non tangente à la courbe attirante.
Revenons à notre fonction U,, cherchons sa valeur quand les x s’annulent; c'est au facteur constant prés iz l'intégrale:
[. m Uto am J Xt — 3t — 7)
Si les x sont tres petits, 7 et 7’ sont trés voisins l'un de l'autre et de
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonetions Abéliennes. 123
zero et quand / varie de c a 7, { reste trés petit. Alors sous le signe 7l le fonction U ne prend que des valeurs trés peu différentes de A,
A étant la valeur de U quand ¢ et les x s'annulent. L'intégrale diffère donc peu de
ANT. AJ A
Ainsi U, se réduit à A quand les v» s'annulent. Or nous avons
2j 2 SP: (VY Cac) À alt — c(t — v) = X(z' — x)". Quand les x sannulent, 7 et z s'annulent et il reste: 4° = — yr Deh
Si ¢ est tres-petit, on a sensiblement
il reste done:
On en conclut:
Ainsi sur la courbe attirante, la fonction U, n'est autre chose que la densité. Ce que nous venons de dire de l'intégrale
D "ds
s'applique sans aucun changement si la courbe attirante, au lieu d'étre dans l'espace ordinaire, est dans l'espace à m dimensions et si au lieu de
trois variables z, , z,, r,, nous en avons un nombre quelconque.
124 H. Poincaré.
hevenons encore sur quelques points de détail et d'abord sur la génération de la surface ze
C'est lenveloppe d'un cóne isotrope (c'est à dire d'un sphére de rayon nul) dont le sommet décrit la courbe attirante. On voit aisément que cest une surface développable.
Reprenons la formule donnée plus haut:
V = U, log (Z— Y?) + H+ H5
on en tire:
dV Ax dU, 25 7 d log (Z — Y*) d(H + H^) da, da, log De U, da, a dx, et CHO ER VES dU , d(H + H^) , d log (Z — Y?) V RE ARE — 2 WU: [2 eo ve Ar ML duc rr Pier re eee Ups ye ES
=
dU 5 : Je remarque que U, et ~~ sont des fonctions holomorphes des x et que aa
1
le second membre est égal à une fonction holomorphe des x divisée par po.
Done V satisfait à une équation linéaire du premier ordre à second membre et à coéfficients holomorphes.
Il est intéressant, un point de vue de la généralisation qui va suivre de retrouver ce résultat par une autre vole.
rape "d'pdt pe
d E [^ d(d'@)
dr o »| da, r da, da, za;
Nous avons:
et nous en tirons aisément:
Les fonctions dd, r^ et
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 125
sont holomorphes par rapport à f£ et aux x; de plus le développement de r? commence par des termes du 2? degré, celui de 9’ par des termes de degré o; celui de M par des termes du degré r. Nous poserons:
ab —N
de sorte que nos intégrales prendront la forme:
y — es dV ES
: x r de, 7? LA
Transformons ces deux intégrales, et d'abord l'intégrale V; nous allons chercher à mettre l'intégrale indéfinie sous la forme:
Pe Pr
P étant une fonction holomorphe de ¢ et des x, et ® une fonction ho- lomorphe des x seulement.
Cela nous donne:
(3) N — 0 rt rTP.
Cette équation (3) présente une grande analogie avec l'équation (15); elle pourrait, soit se traiter de la méme maniére, soit s'y ramener par une transformation simple; mais, au point de vue de la géneralisation, je préfére suivre une autre marche.
2
Je développe r
suivant les puissances de / et des z, et je fais de méme pour N, P et 4; je groupe ensemble les termes de méme degré et j'écris:
pepe pecu D = 6, + 06, + 0, + ..., N-N TEN EN, + see PP bee
La notation 7, par exemple représente un groupe de termes homogène par rapport à / et aux x.
196 H. Poincaré.
L'équation (3) se décompose alors et nous donne:
LdF. an Ld F, 1 LE NP CRAN ae eel 2 di hut Den ME dP IdF 1dF 1 dF' AT. 7 eg EOS] 2) = 4 * à O40 Ig PES bia d lah
^
La premiere équation nous donne 4,; de la seconde, on tirera P, et 4.
La troisième nous donnera P, et ®,, la quatrième P, et 4,, etc.
En général ces équations prendront la forme:
WAP, adip. F, dt 2 dt
3 Dir = Haa
H, étant un polynôme connu homogene et de degré k+ ı par rapport à tet aux zc. Pour résoudre cette équation, posons:
PEAU, - Hl DB, Fo ONG EEE
m
Les A et les B sont évidemment des DEN homogenes par rapport aux æ. Les degrés respectifs de A,,, B,,, ,C, sont k—m,k+1—m,
@Q5.0 Gi 2,
m)
En égalant les termes en /", on trouve: mC, An + (2m + 1)€, A, + (m + 1)C Any, = B,
Comme C, est une constante, on fera successivement dans l'équation précédente DW int ee CY MICE S MSTR E EZ NET
ce qui permettra de calculer successivement
A,, Aa, À
0
qui seront des polynómes entiers par rapport aux x. La derniére équation qui correspond au cas de m =o est d'une forme un peu différente, elle s'écrit:
30,4, zb 20,4, + DaB,
et elle nous donne @,,,.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 127
On peut done mettre N sous la forme (3), la question de convergence des séries demeurant réservée. Occupons-nous maintenant de transformer l'intégrale:
3 T
dv [Mit dz, — | |
Je m’appuierai sur le lemme suivant, sur lequel je me réserve de re- venir plus loin.
Soient trois fonctions holomorphes M, A, et 4, Si M sannule toutes les fois que A, et A, s'annulent à la fois, (au moins dans le voisinage de l'origine), on peut trouver deux fonctions holomorphes B, et B, telles que l'on ait identiquement:
me BEA pe
Considérons les deux fonctions holomorphes
Pour qu'elles s'annulent à la fois, il faut que l'équation BL ORTE a
ait deux racines égales; c'est a dire que
Y ZO gg : ; " : dr La fonction (Z— Y?)M s'annule done toutes les fois que r* et r di
s'annulent à la fois de sorte qu'on peut poser:
‚dr
(Z— Y)M=r’B t r5 B,
Bete. étant holomorphes; on en déduit
"M J i dB,\ d B. [a y) = | (8, 4 DE T
7 T T
*
128 H. Poincaré.
R dB,\ dt : [ (5. B =)
peut se traiter comme V, ce qui montre qu'elle est égale a:
L'intégrale
t
Tt q' = + Py
® et P' étant holomorphes; on a donc finalement:
(4) Gr fi © [+ Pr
t LE
Il reste à traiter la question de la convergence des séries.
Pour démontrer la convergence de la série P qui entraine celle de toutes les autres, jemploierai la méthode des fonctions majorantes et je comparerai l'équation (3) à l'équation:
yeu "n d Mr EP (3) N" = 0" + T (PEU)
ou N” est une série donnée, holomorphe en / et x et dont tous les coéffi- clents sont positifs et plus grands en valeur absolue que ceux de N; ou 0 et P" sont deux séries inconnues holomorphes la premiere en a, la seconde en ¢ et r, ou enfin
Cee
2
p" =?
G étant une série dont les coëfficients sont positifs et égaux à la valeur absolue de ceux de r* — C,t. L'intégration de l'équation (3') est d'ailleurs facile. On en tire: prp" = (N"dt — 0" — a"
Q"' étant une nouvelle série holomorphe en x; on peut toujours choisir les deux séries inconnues 9" et ®'” de telle facon que le second membre soit divisible par 7"; on obtiendra ensuite immédiatement 7".
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonetions Abéliennes. 129
Cela posé, reprenons l'équation et l'équation qui donne la valeur , rei 1
Ndt 4 de ——; nous en tirerons: T
(5) (Z— Y’\@ (E D fu EN (OP — Pd')r + OB, l Cherchons les valeurs de ® et de 4', et pour cela prenons l'équation:
[== ® I: Pr.
y
Prenons les intégrales le long d'un contour fermé enveloppant c et 7’;
; : ; ; : ar dt ; le premier membre devient égal à U,; soit J l'intégrale — prise le
5 o? 8 zB long de ce méme contour. uant à l'intégrale e oO far)
prise le long d'un contour fermé, elle est nulle; il vient done:
U, —4J.
Nous avons vu que U, est une fonction holomorphe des x ne s'annulant pas avec les x. Pour la méme raison, il en est de méme de J. On trouve de méme, en partant de l'équation (4)
et alors l'équation (5) peut s'écrire:
5 ( dU *] ( Ü z— rn TERES
> d U, dx,
=|U,P—1
de, ; 7
ou en prenant les intégrales entre les limites /, et f,
(z— Nu — Ve) = 6,
Oe oe de, dx, / 6 étant une fonction holomorphe des x.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 17 juin 1898. 17
130 H. Poincaré.
§ 5. Généralisation.
Je me propose d'étendre les résultats précédents au cas d'une variété attirante à nm — 2 dimensions dans l'espace à n dimensions, la loi d'attrac- tion étant en raison inverse de la puissance » — ı des distances.
Soit v la variété attirante, O un point de cette variété dans le voisinage duquel nous voulons étudier le potentiel. Nous supposerons que ce n'est pas un point singulier et nous le prendrons pour origine.
Les équations de la variété v prendront la forme suivante:
% = (Op (Cit lig a le) (k= 1,2, 7)
7
les e, étant holomorphes et s'annulant avec les f. L'expression 7? = En — a)"
est développable en série procédant suivant les puissances des x et des ¢ le développement commence par des termes du 2? degré; je pourrai toujours choisir les variables auxiliaires ¢ de telle facon, que quand les
v sannulent, les termes du second degré de r’ se réduisent a
fib tie ea:
Cela posé, le potentiel cherché sera représenté par l'intégrale m— 2° ? = Ndo V= | 7? -
N désigne une fonction holomorphe des / et des æ et jai désigné pour
abréger par do le produit:
do = di,dt,...dt,-5.
L'intégrale V n'est pas une fonction holomorphe des / et des æ parce
que r sannule avec les ¢ et les v, c'est à dire dans le champ d'intégra-
tion. Voyons d'un peu plus prés en quoi consiste cette singularité. Représentons dans l'espace à 25 — 4 dimensions les parties réelles
et imaginaires des m — 2 variables complexes £/,,7,,..., f, 2.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 131
L'intégrale V est une intégrale » — 2? étendue aux éléments d'une certaine variété w à m — 2 dimensions située dans cet espace à 25 — 4 dimensions.
Cette variété est d'ailleurs plane; soit en effet
f, = Uy, + y — 19,.
Comme dans l'intégrale V, nous ne donnons aux ¢ que des valeurs réelles, nous aurons
C'est là l'équation de notre variété w. Mais cette variété n'est pas in- définie, elle est limitée par une variété à n — 3 dimensions que j'appellerai À et qui aura pour équations
Pour achever de définir la variété w, il faut donc adjoindre aux équa- tions v, = o, l'inégalité f > o.
La variété À est ainsi le bord de la variété w.
Le point
1 2 Eyes Ma epa m
n'appartient d'ailleurs pas à À; car nous n'avons pas supposé que le point O se trouvait sur le bord de la variété attirante v.
D'aprés un théoréme connu, généralisation de celui de Caucny, (cf. Mémoire sur les résidus des intégrales doubles, Acta mathematica, tome 9), l'intégrale ne changera pas quand on la prendra le long d'une autre variété w', ayant méme bord que w, pourvu qu'on puisse passer d'une maniére continue de w à w' sans rencontrer de point singulier.
Quand le point z,, 7,,..., s, décrira certains contours fermés, il faudra déformer la variété w d'une maniére continue de telle facon que sur cette variété ne se trouve jamais aucun point singulier; quand le contour fermé aura été complétement décrit, il pourra se faire que la variété w ne revienne pas à sa forme primitive, et se soit changée en une autre variété w’.
132 H. Poincaré. L'intégrale V se sera alors changée en V+ L de l'intégrale (n — 2)"* "*Nde it
Pour aller plus loin, nous allons appliquer la méme méthode que dans
J,, U, étant une période
le cas de l'espace ordinaire. Nous allons chercher à mettre N sous la forme:
d P. lr (1) N p Dr D
— dt;
où -® est une fonction holomorphe des x et les P, (k = 1, 2,..., n — 2) des fonctions holomorphes des x et des f. Cette équation équivaut en effet à:
"Ndo RP (2) | pn— CES X fx IS )do+ of 25,
Décomposons les séries N, P,, 0,7?
en groupes de termes homogenes tant par rapport aux ¢ que par rapport aux x. Soient
NS ’ ES : D, ’ 1
les groupes de termes de NS Da
qui sont de degré y par rapport aux x et de degré » par rapport aux f. Nous allons caleuler les groupes inconnus P,,,, dans l'ordre suivant:
on commencera par les termes où y + » est le plus petit et on rangera
les groupes dans l’ordre des y + » croissants; les groupes correspondant
à une méme valeur de y + » seront rangés dans l'ordre des y croissants. Nous aurons donc en posant pour abréger
PE = IL, en nous rappelant que Fos = xU
et en désignant par M un ensemble de termes déjà calculés, homogenes
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 133
de degré y par rapport aux x et de degré » + 1 par rapport aux f, nous aurons donc, dis-je: (en égalant dans (3) les termes de méme degré)
d II, ; (3) M=Y ED uo 0— 22H. dil , , Nous poserons 2E Z et d'autre part, on peut poser et cela d'une
infinité de maniéres: AL EDU m
Nous chercherons donc à faire: E EEE d'ou lon tire aisément: dA; E > "mu = (v + 1)Z en tenant compte de
po uerus ey ee
dt; — dt;
car Z est homogène de degré » — 1 par rapport aux f.
Nos équations nous donneront donc Z et les //,.
En egalant dans l'équation (3) les termes de degré y par rapport aux x et oO par rapport aux /, on a une équation qui donne 4,.
I] resterait à traiter la question de la convergence des séries; comme les théorémes que je démontre dans ce paragraphe et dans le précédent ne sont pas indispensables pour mon sujet principal, je ne veux pas trop m'y attarder et je me bornerai à indiquer la marche générale de la dé- monstration.
Il est d'abord facile de mettre r? — F sous la forme suivante:
= Fu ++... + ui, +2
ou u, est une série développée suivant les puissances de / et des x, commençant par des termes du 1* degré, et dont les termes du 1*' degré se réduisent à ¢, quand les x s'annulent;
où z est une série développée suivant les puissances des x et com- mencant par des termes du second degré.
134 H. Poincaré,
Cela posé l'intégrale
CN dO diss dts m. frs
devient:
jee du, du, ... dwn»
pi? Jj ou A est le jacobien des / par rapport aux u; ce jacobien étant une fonction holomorphe des ¢ et des x, et aussi des w et des z, nous voyons que nous pouvons toujours supposer que l'on a:
= Sez
car les 4 peuvent jouer le méme rôle que les f.
Supposons donc r? = Dre + 2°
Notre équation devient alors:
dP a : (4) (30° + 2» 7 — (n — 4)Z (P) = N — 9. Notre fonction N peut se développer en une série absolument convergente de la forme
NE 3 ou f est un entier pair et où Y est un polynome homogene de degré a par rapport aux / et satisfaisant à l'équation
et ou enfin on a posé
Cherchons à satisfaire à la fois aux équations
Li di o xc
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 135
Pour cela faisons:
dY . ef. . p LI HR p d- bt, 0° 5
ou a et b sont des coéfficients qu'il s'agit de déterminer. Pour cela on trouve les deux équations:
I eA
a+tf+ba+P+n—4)=0
aatb= —
dont le determinant ne s’annule que pour a—O ou «w--^"--A4-o.
Comme n est plus grand que 4, cette seconde hypothèse ne peut se réaliser, mais nous devons exclure le cas de a4 = o.
Appelons done N, l'ensemble des termes de N pour lesquels «a sera nul, de sorte que N, sera fonction de p* seulement et résolvons l'équation
dP
di N;
(4°) +99 — (n— 4)3(P) = N
cela pourra se faire en prenant: > zu LY 5 y LH P= y a it 0 d- Xbt Y 037°
(les termes où « est nul etant exclus); comme les coefficients a et b sont limités, la série est convergente.
Il faut maintenant trouver des séries P, satisfaisant à l'équation:
(4") (p* + 2% Le (n — 4) 3tP = N, — $.
Nous poserons: ) Ii, SM)
() étant une fonction de o^; l'équation devient:
: + : dQ : = (p* + 2] (a 2) QE (nes 4p'Q— N,— 0
136 H. Poincaré.
ou bien:
L'équation est tout à fait semblable à celle qui a été traité dans le | paragraphe précédent, et pourrait se traiter de la méme manière.
On pourrait dire aussi: nous déterminerons @ à l'aide de l'équation:
ENDO meee tta dp,
n
JJ: p? sinn ig) Nos spes)
les intégrales étant prises le long d'un contour 'fermé entourant les deux
points
Si dans ces intégrales on pose: N IP Y= [PME et qu'on prenne les intégrales suivant un contour entourant les deux points o' = - i, l'intégrale du second membre sera une constante; dans
celle du 2° membre la fonction sous le signe Ih sera une fonction holo-
morphe des x et de Vz; ® devra done être une fonction holomorphe des x et de yz; et j'ajouterai des x et de z; car ® ne change pas quand
vz se change en — Vz: Si ® est une fonction holomorphe; il est clair qu'il en est de même de Q. On pourrait aussi ramener nos intégrales par des integrations par parties aux cas simples n — 3 ou m = 4.
Pour résumer cette longue discussion: l'intégrale V peut toujours étre mise sous la forme:
'N de do (2) | = = | ==) )do SE OE =a
Considérons maintenant l'intégrale:
4V — f Mdo de, + 7"
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 137
est une fonction holomorphe des ¢ et des x. Considérons les équations:
( ) ap es xd Je dr = Met dr er 5 : pu SS IET à
et éliminons les / entre les équations dont les premiers membres sont holomorphes en ¢ et en x; nous obtiendrons une certaine équation:
(6) HO
dont le premier membre sera holomorphe par rapport aux rz. En appliquant le méme lemme que dans le paragraphe précédent, nous pourrons écrire:
necu ire da 2 TEMA Apes: By dt, T E dí, e ct Bia! di
A et les B étant holomorphes en / et en x; car // s'annule toutes les fois que les équations (5) sont satisfaites.
Ce lemme est bien connu; et d'ailleurs, en ce qui concerne son appli- cation actuelle, il suffit pour lui donner une évidence immédiate, de rappeler que nous avons vu qu'on peut toujours supposer:
dou dr Pies e TT:
Cela posé notre intégrale devient
u[ E = [a oe
1
do SN : d / D; — oem pna 34, dt: (m — 2)r" =) 2
Heer "Nda La premiere intégrale du 2! membre se traitera comme he > et on
Acta mathematica. 22. Imprimé le 17 juin 1895, 18
C
138 H. Poinearé.
trouvera finalement léquation suivante analogue à (2) ainsi qu'à l'équa- tion (4) du paragraphe précédent:
s {ae ny ee c
2 t
-I
de + v |; ER
Nous n'avons plus qu'à continuer le raisonnement comme dans le para- graphe précédent
Dans l'équation (2) comme dans l'équation (7), le premier terme du second membre est nul si l'intégrale est prise le long d'une variété fermée; elle est une fonction holomorphe des x dans le cas contraire.
Prenons d'abord les intégrales le long de la variété fermée qui correspond à la période U, dont nous avons parlé plus haut, les équa- tions (2) et (7) nous donneront:
U, = 0J, Hob dx,
; Lo € do jie : J étant la période de l'intégrale 1 laquelle période est une fonction 2 72 ; :
holomorphe des x ne s'annulant pas avec les a. On tirera alors des équations (2) et (7) (en prenant les intégrales dans les limites qui conviennent à V):
H(U, 5, — y = 2) m
1?
0, étant une fonction holomorphe des x et on trouverait de méme:
H(U, D — y =) =e
2?
nues Vs) — 0
ces équations peuvent s'écrire encore:
V Ode, + O,dx, + ... + Oda, di; ) — — ti; . i HU;
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 139 Posons: 0; dH UE As + BIT, l'expression:
—
A, dH Da se -- B.)da,
devra étre une différentielle exacte ce qui entraine l'identité:
dH AH | UH dA,dH dA,dH Sd orci dz, da, 7 (A, nr. de, ar = de, E dz, = dB dB Bo 15 dx, dz, Cette équation nous montre d'abord que pour H = o; on a A, = A, et de méme: CRAN AE 0,
Comme les A, sont arbitraires pourvu qu'ils se‘ réduisent a pour
UG
H = o, nous pourrons supposer que tous les A, sont égaux et supprimer l'indice 4; notre équation devient alors en divisant par H:
dA dH dAdH ‘dB, d B, de, de, dx, dz, ae b da, ) pay
2
ce qui montre que l'on peut regarder 4 comme une constante; car si Lom ut = ©. dH -— o, il-yient @Ai='o. Il vient alors:
d c
0
) = Ad los H + B,dz, + B,dz, + ... + B,dz,.
Comme il est aisé de vérifier que les B ne peuvent être que des fonc- tions holomorphes des x, nous déduirons:
V = AU, log H + fonction holomorphe des x.
Il nous reste à voir quelle est la signification de cette variété H = o, qui joue un grand róle dans lanalyse précédente.
140 H. Poinearé.
L'équation
est l'équation d'une variété à » — 1 dimensions que j'appelle K et qu'on peut assimiler à un cóne ayant son sommet en un point P de la variété attirante v. La variété K est le lieu des points dont la distance à P est nulle; elle est done imaginaire et n'a d'autre point réel que le point P lui méme.
Quand le point P se déplace sur la variété v, la variété K se déplace également et son enveloppe s'obtient en éliminant les ¢ entre les equations (5); c'est donc la variété à n — 1 dimensions
HH = ©.
Cette variété est done imaginaire et n'a d'autres points réels que ceux de v. Considérons une fonction holomorphe F de » variables complexes
2, = %, + 99, eh a M T EET
et considérons les x et les y comme les coordonnées d'un point dans l’espace à 2» dimensions.
L’equation # — o se decompose en deux autres obtenues en égalant à zéro la partie réelle et la partie imaginaire de I’; elle définit ainsi une variété à 25» — 2 dimensions que j'appelle v.
Nous verrons plus loin que la fonction
log | F|
est égale au potentiel de la variété attirante v plus une fonction holo- morphe des x et des y.
Nous devrons done avoir: log | F| = U, log H + 9,
U,, H et @ étant des fonetions holomorphes des x et des y.
L’equation |/| = o doit done coïncider avec l'équation H = o. L'équation |F| = o représente une variéte à 2» — 1 dimensions qui est imaginaire et dont les seuls points réels sont les points de la variété à 25 — 2 dimensions v.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 141
Vérifions done que la variété | F| — o est bien l'enveloppe des va- Bieten F^ — o.
Observons d'abord que, si nous laissons de cóté les points singuliers, nous pouvons écrire:
F = (2, — f)®
ou f est une fonction holomorphe de gU Zoe
fonction holomorphe de 2, , z, , ..., z, qui ne s'annule pas dans le voisinage
..,2,4 et ou @ est une
du point considéré. Soit ar Ce
de sorte que f, et f, sont des fonctions holomorphes de
VUE RET NT a E NET AE les coefficients des développements de ces fonctions holomorphes étant réels. La variété à 25 — 2 dimensions » a pour équations: Yn =f» y f et la variété imaginaire à 2n — 1 dimensions | F| = o a pour équations: (8) Gee dud Me,
Cela posé soit ,,2;,...,7,, V1» 935 -.-,). un point de v, la variété correspondante r* = o a pour équation
(9) X(z, — x)? + X(y, — y)? = o.
Il faut chercher l'enveloppe de cette variété, en faisant varier
Al nt m’ | LAMP MEET AR
, , , Yı ‚Ya » PUS » Yu-1)
et en méme temps x, et y, puisque l'on a:
: Apad. , E , X Te h(a , Yı RE) X -1 9 VE
Yn = fti , yi QE CIT | Ty , JE
142 H. Poincaré.
On trouve ainsi par la différentiation de (9)
; dx, ACE
(a, EE. 2) + (x, Ic 2) dx}. + (a Hs mot y 2) da, = O,
1 » 1 ? (K—1,2, ..., n—1)
, 0€ NOn
(y, — Yi) RG) gee ©
A cause des relations:
dz, — ds dz, dyn dz, — dyi di; da,
il vient:
(n — à) + (iy. =) = (25 — SE) (tr, — at) + ir, — 12) et en combinant avec (9) (x, — %) + Qu — y) = (x. — 2%) + iQ, — Yn) = 0: On a done:
v, - dy, = x, ty =f (0) + Uis 4s EM G1 e y) Or G+ Ye — m, ie Done: Fran el, FE 195-525)
de sorte qu’on retrouve l’equation (8). 1 ]uat |
Cy OSEE
§ 6. Généralisation du théorème 4.
Soit dans l'espace à n dimensions une variété S à n— ı dimensions; supposons que cette variété soit fermée et limite un domaine G.
Soit maintenant C une variété analytique à na — 2 dimensions; nous mettrons les équations de la variété C sous la forme suivante:
N
(1) 4p. = ext, ; t, pn oe ss) (k=1,2,...,n)
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 143
Cela posé, considérons les hypersphéres de rayon ¢ ayant pour centre un point de C. L’équation générale de ces hyperspheres sera:
(2) 20 — e)! = €°
et cette équation contient n — 2 paramètres arbitraires qui sont les /. Pour avoir l'enveloppe de ces hyperspheres, il suffit de différentier l'équa- tion (2) par rapport aux paramétres /, ce qui nous donne les n — 2 équations:
(3) > (x, EA = = (9h (h=1, 2, ...,n—2) En éliminant les ¢ entre les équations (2) et (3) on obtiendrait l'équa- tion d'une variété à » — 1 dimensions que j'appelle K et qui est une sorte de »variété-canal». Posons y, — €, = UE COS 0 + fe sin 0
et (3) soient satisfaites quel que soit 9; nous obtiendrons les équations suivantes qui définissent les a et les A
Dan Ap = ii, sap = (4) de de Ye dt, =) Ba — (h=1,9,...,n—2)
Je dis que les cosinus directeurs de l'élément de surface de K, c'est à
et cherchons à choisir les « et les /? de telle facon que les équations (2)
dire les quantités que j'ai appelées
au paragraphe 2 sont é Vu — Yr . "rft — qu cos + A, sin.
Pour cela il suffit de vérifier que l'on a:
YAS") =:
et en outre
144 H. Poincaré.
ou ce qui revient au méme:
S Ge i= ae
day » — en) = oO. (h=1, 2, ...,n—2)
Ces conditions sont évidemment remplies, car en différentiant (2) on trouve
DG, €) S iru e O, DG; — €i) = E10
(5)
— dt, — d et en combinant avec (3) on retrouve (5). On déduit de là: ; D, = X(a, cos 0 + B, sin 6) D c'est à dire que D, est égal au déterminant: uri a XE. ae ; A. a, cos 0 + f, ane Guys
Or on a:
dag ve de; da; P: gi oat Gre ne CURE in 0)
et comme € est tres petit, on peut écrire:
Il vient donc, en négligeant <°:
r de de; de; 6 3 De = RTE > € (— a, sin 6 + fi, cos 0) , a, cos 0 + B, sin 4 ou bien: pi | dex NN (a d c * |dt, ’ dt, 57 Px >
Remplacons les lignes m“ et p° du déterminant par deux lignes ainsi obtenues; l'une sera obtenue en multipliant la 1°° ligne par a,, la pas par a,,..., la n° par a,, et ajoutant; l’autre en multipliant la 1°" ligne par B,, la Ec par ß,,..., la n° par f, et ajoutant.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 145
Le déterminant se trouve ainsi multiplié par
Ann — Sp Bra
En tenant compte des équations (4) on voit que tous les éléments des deux lignes nouvelles sont égaux à o ou à 1 et on conclut:
(On By E Ap Pm) D, EX EA»
A,,, étant le mineur obtenu en supprimant les deux dernières colonnes et les lignes m et p.
CON 1 , . 4 . Onva um) equations de cette forme. En faisant la somme des
carres, et remarquant que
X (n, Pp YE a, [ =,
on trouve:
Nous poserons:
et il viendra, aux quantités près de l'ordre de e’: DEA L'aire de la variété C est donc représentée par l'intégrale à — 2"* J À dl, dé. dt, et celle de K (en négligeant s*) par l'intégrale n — 17! E JPA di di... di, dé.
Il nous faut distinguer quels seront les parties de la variété-canal A qui conviennent. Nous ne conserverons de cette variété que les points qui satisferont aux deux conditions suivantes:
1° Ils seront à l'intérieur de S,
1? Leur plus courte distance à C sera précisément ¢, et non pas plus petite que e.
Acla mathematica. 22. Imprimé le 30 juin 1898. 19
146 H. Poincaré.
Les circonstances suivantes peuvent en effet se présenter:
1° Il peut arriver que le point 2z,,27,,...,*, de K soit a l'extérieur de S tandis que le point correspondant ¢,, ¢,,...,¢, de C est a lin- terieur de S.
2° Il peut arriver au contraire que le point. 25, 5... 2. def soit à l'intérieur de S tandis que le point correspondant e, , ¢,,,--5 €, de C sera à lextérieur de S.
3° Il peut arriver enfin que l'on puisse du point x, , 2,, ..., 2, mener deux normales à C, l'une égale à e, l'autre plus petite que e, de telle facon que ce point appartienne à K, mais que sa plus courte distance à C soit cependant plus petite que e.
Soit K, la portion de K formée par les points ©, ,%,,...,%,, tels que les points correspondants €,,6€,,..., €, de C soient à l'intérieur de S. La portion de A qui convient au probleme sera alors
K, — k + ki — k":
k. lieu des points 2, %,,.-., €, qui sont extérieurs à S, mais tels que les points €, , €,,..., €, correspondants soient intérieurs à S.
k', lieu des points 2, , 2,,..., x, qui sont intérieurs à S, mais tels
? 195 2? ? n , que les points ¢,,¢,,..-, €, correspondants soient extérieurs à S.
k", lieu des points d'ou lon peut mener à C deux normales, l'une égale à €, l'autre plus petite que e.
Je dis que l'aire totale de k, &' et k” est de l'ordre de e*.
Démontrons-le d'abord pour k et k’.
Si. les" deux ‘points 4$, 5:5... 55 16019. ,0,,...,0, sont lune térieur et l’autre intérieur à S, comme la distance de ces deux points est e, la plus courte distance de ¢,,¢,,.-.,¢, à S sera plus petite que e. Considérons la partie de C formée par les points ¢,,¢,,..-,¢, dont la plus courte distance à S est plus petite que e. Son aire, représentée par l'intégrale
fp ^, d, di, dt,
sera, je suppose, égale à A. L'aire de x k', représentée par l'intéerale J PI g , g
e f A, dt,dt, . . . dt, d6
t
Sur les propriétés da potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 147
sera alors plus petite que
Je dis que A est de l'ordre de e. Pour nous en rendre compte, supposons par exemple que la variété S soit une hypersphére
(ma ES. cep) poet. ot, ap
et faisons varier p.
Soit F(p) laire de la partie de la variété C contenue à l'intérieur de cette hypersphere.
Nous allons faire varier o depuis o jusqu'à p, par exemple; cet intervalle va pouvoir se partager en un nombre fini d'intervalles partiels de telle sorte que dans chacun de ces intervalles partiels, I’() soit une fonction analytique de p.
Si nous donnons à p une valeur comprise à l'intérieur d'un de ces intervalles, A sera égal a
F(p + e) — F(p — &)
et comme la fonction F est analytique, A sera de l'ordre de
(o
On peut d'ailleurs éviter cette difficulté par l'artifice suivant.
Soit C' l'intersection de C et de S; c'est une variété an — 3 di- mensions. Soit g,,9,,...,€, un point de C'; a, et f, les valeurs cor- respondantes des coefficients « et A définis plus haut.
Considérons l'ensemble des points:
v, = €, + C(a, cos 0 + B, sin 0)
où les c, (ainsi que les a et les /4) prennent toutes les valeurs qui correspondent aux différents points de C’; où @ varie de o à 2z et € de Oo à e.
Cet ensemble de points formera une variété W à n— 1 dimensions qui s'écartera peu de S, puisque le point *,, g,,..., €, est sur S et que C est tres petit.
Remplaçons S par une variété S’ peu différente, mais comprenant
la variété W; il n'y aura plus alors d'aires k et 4, car si le point Ps 935 o Pr de C est à l'intérieur de S', il en est de même du point
148 H. Poincaré.
correspondant 7,,2,...., v, de K et inversement. Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que lorsque le point c, de C traverse S’, il est sur C' et par conséquent le point correspondant x, est sur W et par conséquent sur S’, puisque W fait partie de S".
Passons maintenant à £A"; je dis que l'aire de A" sera très petite, non seulement d'une maniére absolue, mais par rapport à e.
En effet l'équation de la variété-canal K peut pour € trés petit se mettre sous la forme suivante.
Soient
Ji == ©, F=o
les équations de la variété C; l'équation de K s'écrira en négligeant les puissances supérieures de e:
ry (2) en y (235) 4 ry (25)
a \ dx da dx dz ,
aos (m dF —dF, d 2
e \da; de; da, dx;
Cette variete ne présentera pas de singularité & moins que tous les de- terminants dF, dr d F, dr
da; day, da, dx;
ne sannulent a la fois. Si cela n’a pas lieu, dans un certain domaine on est done certain que deux nappes de la variété K ne peuvent pas se couper dans ce domaine, et par conséquent que ce domaine ne contient aucune partie de k”.
L'ensemble des points de C tels que tous ces déterminants s'annulent forme une variété singulicre C" qui aura au plus » — 3 dimensions.
Si le point ¢,,¢,,..-,¢, de C n'est pas sur C", nous pourrons choisir ¢ assez petit pour étre certains que le point correspondant z,, Ly «45 d de eK Mest passu PME.
Soit alors C, l’ensemble des points de C dont la plus courte distance à C' est plus petite que 9. Nous pourrons prendre ¢ assez petit pour que si le point ¢,,¢,,...,¢, de C n'est pas sur C,, nous soyons certains que le point correspondant z,, %,,...,%, de K ne sera pas sur k”. Il
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 149
est à remarquer que la valeur que l'on doit attribuer à = doit étre d'autant plus petite que 2 est plus petit.
Soit A l'aire de C,, elle sera de l'ordre de 2. L/aire de A" sera plus petite que 2ze4. Elle sera donc de l'ordre de ed. Quand 2 et par conséquent e tendent vers zéro, on voit que le rapport de l'aire de
k” a e tend vers o. (DEOS:
Envisageons maintenant une fonction V jouissant des propriétés sui- vantes:
1° Elle est harmonique a lintérieur de la variété S, sauf sur la variété C.
2° Quand le point z,, 2,,..., z, est à une distance ¢ de la variété C, elle est de l'ordre de loge
3? En méme temps ses dérivées premiéres sont de l'ordre de -. <
4° Considérons un point ¢,,¢,,-.-,¢, de C et un point z,, z,, .. trés. volsin du premier, et tel que l'on ait:
roe!
X, — €, = ae COS 0 + fj,e sin 6,
les a, et les A, étant les coefficients définis plus haut et correspondant au point ¢,,%,)+++5 €,; Je supposerai que l'expression
av dV dV (x, PES GE ate (X, zw (on) a: Due + (v, ca En) da,
da, dx,
tend vers une limite finie indépendante de @ quand e tend vers o. Cette limite que j'appellerai 9 est évidemment une fonction des coordonnées q,, €,,..., ¢, du point considéré de C. Cela posé, soit
Y, , Ya QE) Yn un point quelconque intérieur à S. Posons " 2 pom 2. m), U-—Ziux
Soit ensuite Y l'hypersphere
150 I. Poincaré.
Dans le domaine limité par la variété S, par l'hypersphére Y et par la a
rariété-canal X, les deux fonctions V et U sont harmoniques, nous
pouvons donc appliquer le théorème de Green et écrire:
FU dV [ee = -——- — f dy U Jo E
les intégrales étant prises le long des variétés qui limitent le domaine, cest ce que je mettrai en évidence en écrivant l'équation qui précede sous la forme suivante:
ou bien encore:
S, représente ici la partie de S qui est extérieure à K. Je vais maintenant faire tendre € vers o. Je dis que f tend vers une limite finie et déterminée que j'appel- S
m lerai fe En effet la variété S a n — 1 dimensions, l'intersection de C S
et de S en a »— 3; l'aire de S — S, (c'est à dire de l'ensemble des points de S dont la distance à C est plus petite que e) sera donc de l'ordre de &*. Si nous changeons ¢ en ¢’, e’ étant plus petit que € et tel que la différence s — e’ soit tres petite par rapport à €, si nous appelons s lensemble des points de S dont la distance à C est comprise entre & et e’; l'aire de s sera de l'ordre de e(s — s; de plus dans s,
=
. 1U 5 à dV 5 les fonctions U et c sont finies, tandis que V et > sont de l'ordre de ay Ly
I . ,
loge et de -. L/integrale Jr est donc de l'ordre de ¢ —¢’. Nous en con- 2 s
cluons que l'intégrale
| (v7 = mE do
dy dy /
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 151
et méme l'intéerale D
sont finies. De plus d'aprés les théorèmes 2 et 3 généralisés la premiére inté- grale est une fonction holomorphe et harmonique des y.
Ainsi quand s tend vers o, l'intégrale / tend vers une fonction M holomorphe et harmonique des y.
En même temps, les intégrales f? Jr fs tendent vers o; en effet xi pi pr
les aires d'intégration k, k’ et k” sont trés petites par rapport à e et la
-
I : ; I fonction sous le signe 1 est de l'ordre de -. P €
Passons à l'intégrale fu L'aire de X est proportionnelle à s". S dV 5 x I dU 1 02$——2 A la surface de Y, V et — sont finis; U est éval à et à À ? dy ? D n—2 dy gn—l
Done quand e tend vers o,
eg pav Dd
We dp dy
tend vers (n — 2)V,, V, étant la valeur de V au point de y,,y,, ..., Un» c'est à dire au centre de X.
multipliée par un
La limite de l'intégrale f est done égale a V,
facteur constant numérique.
teste l'intégrale fel Elle est égale a k,
en représentant par
| ug = f ^, dt, dt, ude
1—2
laire de ©.
152 H. Poincaré. dU
V est de l'ordre de loge et 4, est fini, done y
tend vers zéro. D'autre part U est égal à 7?” et
dV dV
De ee Oa
tend vers 9. Done l'intégrale [ tend vers X,
àdt #27 pn—2 2 c r désignant la distance de l'élément dr au point y,,%,,...,%,.
C'est le potentiel d'une variété attirante à » — 2 dimensions, au point y,,9,, ...,),. La variété attirante est C et la densité de la ma- tiere attirante est 9.
Notre équation devient ainsi:
A * adt Jm) gat OV, = 0, S t
C étant un coefficient constant. Nous arrivons done à l'énoncé suivant qui est la généralisation de notre théoréme 4:
Notre fonction V est, dans le domaine considéré, égale au potentiel de la variété attirante C, plus une fonction holomorphe et harmonique.
On pourrait dans la démonstration précédente, remplacer la variété- canal K, par d'autres variétés trés peu différentes et qui joueraient le méme róle.
Nous en verrons un exemple dans le paragraphe suivant.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonetions Abéliennes. 153
§ 7. Applications aux fonctions logarithmiques. Soit F une fonction des variables complexes:
2 = riy, cma ped e ur ett
Y
holomorphe dans un certain domaine G. La fonction
Vlog V2)
sera une fonction biharmonique des 2» variables x et y dans tout ce domaine sauf sur la variété a 2n — 2 dimensions
FP = 0,
variété que j'appellerai C dans ce qui va suivre.
J'appellerai S la variété à 2» — 1 dimensions qui limite le domaine @.
Nous pourrions en partant de la variété C, construire, comme dans le paragraphe précédent, une variété-canal X à 25— 1 dimensions qui serait l'enveloppe des hyperspheres dont le rayon serait ¢ et dont le centre serait sur C.
J'envisagerai ensuite une hypersphere X dont le centre sera un point quelconque de G et dont le rayon sera e. Je désignerai par 7 le centre de cette hypersphere.
Je désignerai par M le point de coordonnées courantes
3 , y, ) T. , UP PEDRO) TC, E Ms
et par r la distance MP. J'ai déjà posé Y= log | F|;
je pose de même I
U = — . yen—2
La fonction U a méme définition qu'au paragraphe précédent; il me reste à montrer que la fonction V satisfait bien aux meines conditions que dans le paragraphe précédent.
Acla mathematica. 22. Imprimé le 30 juin 1895. 20
154 H. Poincaré.
1° Quand le point M est à la distance e de la variété C, V est de l'ordre de loge.
Soit en effet
,
xr) , , , , 1158915152525 5 Uns Yn
un point quelconque JZ’ de la variété C. Je poserai d'ailleurs: v, UL = 2. Si le point M’ n'est pas singulier, c'est à dire si en ce point — ne
sannule pas; nous pourrons poser: F = (z, — H)6. H est une série développée suivant les puissances de
# , ali Ee it epus (YD) OOS Sp ile d
,
et se réduit à z,; quand tous les z, deviennent égaux a 4.
en
0 est une série développée suivant les puissances de
, , , En c — 1 » 499 Ba. 9 En An
a
CA
et ne sannule pas quand tous les z, deviennent égaux a z,. Supposons maintenant que le point JZ’ soit singulier; je suppose donc
| instant) Eie ; TA qu'en ce point — s'annule, mais cependant que toutes les dérivées suc-
dz, cessives de / par rapport à z, ne s'annulent pas à la fois. Par exemple,
pour fixer les idées, je supposerai:
— — g = dz, dz, ale ~~
dF dr FE I = ©
Alors nous pourrons poser: F= (2+ He + Hz, + H8.
0 conserve la méme signification. Les séries H,, H,, H, sont comme H développées suivant les puissances de
^
a! = ^ 2] “19 29 ee 7 “n—1°
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 155
Quand tous les z, deviennent égaux a z;, le polynóme
3 2 2+ Hh2a+ Mz, + H, se réduit à
(2, — 2).
Tout cela résulte des théorémes cités plus haut et qui se trouvent soit
dans les oeuvres de WEIERSTRASS, soit au début de ma these. : "wu (GN! : ; é Reste le cas ou toutes les dérivées P. sont nulles à la fois. Mais Zn
ce cas se ramène au précédent. Il suffit de faire un changement linéaire de variables; et on peut toujours le faire de telle facon que toutes les dérivées de F par rapport à lune des nouvelles variables ne s'annulent pas à la fois. Car nous ne supposons pas que P soit identiquement nul. Qu'on se reporte d'ailleurs au dernier des théorémes de la partie citée
de ma thése. Cela posé, placons-nous d'abord dans le premier cas; celui ou:
Considérons le point de coordonnées courantes M dont les coordonnées sont les parties réelles et imaginaires de
B19 835 5*5 ne
Considérons le point JZ” dont les coordonnées sont les parties réelles et imaginaires de
2 2 2 2 £i» £3» SOC IE 4 rl) 1; (C RO SEE ES X
SE
La distance MM” est précisément | | 2, — H |.
Nous aurons alors:
V = log|z, — H| + log| 4];
"n
le second terme est fini, le premier est négatif et trés grand; il est égal
à log MM".
150 H. Poincaré.
» Mais comme e représente la plus courte distance de M à C ct que M" est sur C, on a ADM "ote
et par conséquent |log MM" | « [logs].
Done V est de l'ordre de loge. 60: Ei.
Passons au second cas ou: „3 2 3 ; F ER (22 + Hie; =F Ht + H,) 0.
Soient /h,, h,, h, les trois racines de l'équation:
23 „2 2 - En + JEDE + Hz, + Jah, L9. Soient MW’, Mi, M; les trois points dont les coordonnées sont les parties 15 2 3 réelles et imaginaires de Both pony resin I 2) Bo Seo La RENTE à ler Ces trois points sont sur C et l’on aura: lee + Hi + Hz, + H,| = MM) X MM, x MM: dou:
V = log (MM. MMy. MM») + lo
oa SD
Le second terme est fini. Quand au premier il est plus petit en valeur absolue que
car les points M;’, M;', M; étant sur C, on a: IWAN SSS. WWE SS) WINE €: En Qo QD:
Done V est de lordre de log
=~]
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 15
2° Les dérivées premières de V sont de l’ordre de
O | mn
Ces dérivées premières sont les parties réelles et imaginaires de
dlog P! dlog F d log F dz ARENA NOR PORC da. :
Nous pouvons toujours supposer que toutes les dérivées successives de F
par rapport à z, ne s'annulent pas à la fois, non plus que toutes les
dérivées par rapport à z,, non plus que toutes les dérivées successives
par rapport à z,, etc.
Car, ainsi que je l'ai dit plus haut, sil n'en était pas ainsi, on
n'aurait qu'à faire un changement linéaire de variables.
conséquent plus petit que
3 A E ds à ; d log F Il suffira d'ailleurs de démontrer la proposition énoncée pour mm den si l’on a: F= (2, — H)9 il vient: d log FF I d log 0 VE. all dz, -—. E » 6 5 ^ I Le second terme est fini et le premier a son module égal à yr 9t par
Ole
Si l'on a:
F = (2+ Hg + Hyz, + Ay) 0 = (2, — hjy(e, —h,)(e, — 6
il vient:
d log F I I I d log 6
x Joc area El
dz; an h, an ll an —— la dz,
Le dernier terme est fini et les trois autres ont leurs modules égaux à
c'est à dire plus petits que
I I I MM; MM; MM,’
I €
d log E à I Done dans tous les cas le module de ——— est de l'ordre de s
azn -
158 H. Poincaré. 3° L'expression
BY ra) Qs me tend vers l'unité quand le point M’ dont les coordonnées sont x; et y, est sur la variété C; quand la distance de M’ au point M dont les coordonnées sont x, et y, tend vers o; quand enfin la droite MM’ est normale à la variété C.
Exprimons d'abord que la droite MM’ est normale à la variété C. Nous aurons les équations suivantes:
qui correspondent aux équations (3) du paragraphe précédent. Dans ces équations À} a la signification suivante. Soit A, ce que . , dF NA rro devient TP quand on y remplace les z, par z;; Ag sera l'imaginaire conjuguée de A,. D'autre part E est la partie réelle de
h d] F T dE J —M (a — 4) ——— = pde
La formule des accroissements finis nous donne ensuite
F = ZB, — 2),
D, étant une quantité complexe dont la partie réelle est comprise entre
d p e. Aon 2e : celle de A, et celle de E et dont la partie imaginaire est comprise de dy IF : méme entre celles de 4, et de T En effet F est nul pour 2, — 2; Uk puisque le point M’ est sur C. Il vient alors: dF u p= t sae > * dz, 2 By, (zi, — zi) dcm ZA? B, - : ; dr Quand la distance MM’ tend vers zéro, am et D, tendent vers A, et 2k
J tend vers 1,
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 159
Il en est done de méme de sa partie réelle E.
CHROME "D:
Ainsi la troisième condition imposée à V dans le paragraphe pré-
N
cédent est remplie et la quantité 9 est égale a 1. Donc
La fonction log|F| est égale dans le domaine G à une fonction holo- morphe et harmonique des x et des y, plus le potentiel de la variété atti- rante C, la densité de la matière attirante étant égale à 1.
C'est la le théorème fondamental que je veux emprunter à la théorie du potentiel pour l'appliquer à la théorie des fonctions abéliennes.
La démonstration du paragraphe précédent peut être un peu mo- difiée en substituant à la variété-canal A, une autre variété peu diffé- rente qui a pour équation:
| F| = const. En effet résolvons l'équation: ? Pete a> ey) =
par rapport à z, et supposons que l'on trouve ainsi:
= Be Ed (2 nate ads og oS)
et faisons-y
m le” Soient H’ et II" les parties réelles et imaginaires de / de telle sorte que qp. = del gomme. Alors x, et y, vont se trouver exprimés en fonctions de $1591» Vos Yon ess > In-ı 9 Ja 0
de sorte que la quantité que nous avons appelée Jj sera la somme des carrés des déterminants contenus dans la matrice
160 H. Poinearé.
Oo O I O O O O O I Oo
du, da, dx, da, dan
da dy, de, dy, dé
1
dy, dy, dy, dyn dyn
dada da dard
J'ai en écrivant cette matrice supposé n = 3 pour fixer les idées. On en déduit:
da, dy, dz, dy,\? dz, dy, dyn de, V? / da ? ‘dyn\? )2 E C gar i kun n Ande San 1 Er | Di » Ge d dé =) 25 x s d dy, d ) sis (m ) ae (6
\ /
d'ou:
a | dz; 2 | dz, 2 ST Dp= (1+ | Wer | Pp. D'autre part nous aurons: ae dV P |4F IF I) cus
Mais pour comparer cette formule avec la précédente, il importe de re-
2
marquer que dans l'une d'elles nous faisons entrer les dérivées partielles:
Gest | di ar ? dz,
en regardant z, comme fonction de F et des z, et dans l'autre les dérivées
ar dF dz, ^ de, en regardant F comme fonction de z,,2,,...,z,. Pour rendre les for- mules comparables, nous transformerons par les relations: dF dF dz, dF dz,
= oF ESSI 2 dz, dI
dz}, dz, dz.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 161
ce qui donne:
dz
; mA dF |? Ds = ae | |
dz,
Envisageons l'intégrale qui correspond à 1% à savoir: K
dU i (I pis D) Dude, di dr dy, MT erm boe
Entre quelles limites faut-il prendre cette intégrale? Pour nous en rendre compte, observons que le domaine G est arbitraire dans une trés large mesure; nous pourrons le supposer défini par des inégalités de la forme
sulvante: , , quc cau Nac qug ge PCT
f. «y « fi ? Pa < La «f, OPA tg) TE MEET
Nous pourrons toujours supposer que les constantes a et @ ont été choisies de telle sorte que si lune des quantités x, ou y, atteint lune de ses limites q,, «,, 8, ou f,; et que l'une des inégalités relatives à x, ou à y, soit remplacée par une égalité, le module | F| restera supérieur à une certaine limite.
En effet donnons d'abord à z,,2,,...,2, ; les valeurs
a, ar 1f, ; Fy SE ip, ete net SF i.a
nous pourrons choisir 4,,/,,a, et ff, de telle sorte que si nous con- sidérons dans le plan de la variable z, le rectangle dont les cótés ont
pour équations
A nhe, 129 E A Un = Ans Xa = An» V, *— Pr; Yn ER f»:
n
F ne s’annule pas sur le périmètre de ce rectangle et s'annule à Tin- térieur de ce rectangle.
Si ensuite a; est assez voisin de a, et A; assez voisin de f,, P ne s’annulera pas non plus quand 4, décrira le périmétre de ce rectangle et quand en méme temps a variera de a, à a, et y, de f, à f, (k—1,2,...,n — 1). Ainsi se trouve justifiée l'hypothése faite plus haut.
Acla mathematica. 22. Imprimé le 4 juillet 1598. 91
162 . H. Poincare.
Dans ces conditions, les limites de l'intégration seront , a, et a, pour a, Pr et f, pour y, (k=1, 2, ...,n—1)
O et 27 pour 6,
pourvu que |F| soit plus petit que le plus bas module que puisse atteindre F quand z, décrit le périmètre du rectangle dont il vient d’être question.
Cela posé l'intégrale:
nm dx, ...dy, ,d0
tend vers zéro quand || tend vers o, et il nous suffira d'envisager
l'intégrale: UNE dF |’ av dz, (oe Ds, ...dy, dà — | AON ds, ... dy, 446.
Quand 17] tend vers zero, la variete |F|= const. tend A se confondre avec C et la quantite sous le signe Ji tend vers la valeur qui correspond aux points de la variété C. Elle devient done indépendante de 6, et en intégrant d'abord par rapport à 0, notre intégrale devient: arp TES
E > dz dx
aa re u dz, |
dy, s.
à
Comparons-la avec l'intégrale qui représente l'aire de C. Il est aisé de voir que cette intégrale est égale à: dF |?
a > ia
Tarp
dzn
dz, ...dy, = fo.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 163
Notre intégrale a done pour limite:
ce qui représente au facteur 27 pres, le potentiel de la variété attirante C.
(QS BID:
L'avantage de cette facon de procéder, c'est qu'on évite les diffi- cultés relatives aux petites portions de variété appelées Æ, A’ et 4" dans
le paragraphe précédent.
8 8. Application aux fonctions Abéliennes.
Nous allons appliquer ce qui précède aux fonctions de n variables méromorphes et 25 fois périodiques.
Qu'est-ce d'abord qu'une fonction méromorphe?
Voici les hypothéses que nous allons faire et que nous regardons comme constituant la définition d'une fonction méromorphe.
Il y aura dans l’espace à 2» dimensions une infinite de domaines G
appartienne au moins à un de ces domaines.
, distribués de telle façon que tout point de l'espace à 2» dimensions
Dans un domaine G, la fonction méromorphe pourra étre représentée par le quotient de deux séries de puissances.
Je ne restreins pas la généralité en supposant que ces deux séries de puissances ne peuvent être l'une et l'autre divisible par une troisieme série de méme forme s'annulant à lintérieur de G.
WEIERSTRASS a démontré en effet (oeuvres completes, tome 2, page 151) que si deux séries de puissances P, et P, s'annulent en un certain point M, on peut toujours trouver trois autres séries P,, Pj, Ps telles que l'on ait:
pu — PsP, Pier.
et telles que les deux séries P; et P; n'admettent aucun diviseur commun
sannulant au point M.
164 H. Poinearé.
Qu'arrive-t-il alors dans la partie commune à deux domaines G et G'? Dans le domaine G, la fonction méromorphe F sera égale au quotient
rae p : : : 2.c i. de deux séries "E dans le domaine G' au quotient de deux séries "E Le dans la partie commune on aura; BIER: OG La variété P— Oo a 2» — 2 dimensions; je dis que dans la partie com-
mune G et à G', elle ne diffère pas de la variété P’ =o. Supposons en effet, qu'en un point de cette partie commune, on ait P= © Sans) AVOIR 2 O-msoit
% = 4, , 2, — 04, ..., En — Ay
ce point que j'appellerai M. Je pourrai toujours supposer qu'en ce point toutes les dérivées successives de P’ par rapport à z, ne s'annulent pas
à la fois, sans quoi je ferais un changement linéaire de variables. Ima- ginons par exemple
dP' zd d^ P' m. dE S di li dz. HE lie dz, =
Alors on aura: 0 2 3 E \2 b E p -— [(e, "Ws q,) + H (2, SAT 4) xis H, (2, X a) + Jeb) 0 ITE TE 6, ou les H sont des séries ordonnées suivant les puissances de
edo ES SS BEC
n—1
et sannulant pour z= a,, et où © est une série ordonnée suivant les puissances des z, — a, et ne s'annulant pas pour 4, = a. Soit alors
Il = (2, ER a, en. hi, ra 4, IIT hy) (Zn AED a, Cr hs); h,, h, et h, seront des fonctions de
euh UE ie scs
sannulant avec ces variables,
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 165
Quand on égalera z, à «a, 4-7, , à, 4- h,; , a, 4- 7,5; P sera nul ct P ne sera pas nul, done Q devra s’annuler; done @ est divisible par //, ce qui est absurde puisque nous avons supposé que P’ et (' n'avaient pas de diviseur commun.
Donc les deux variétés P =o, P’ =o sont identiques.
Il en est évidemment de méme des deux variétés Q — o, Y — o.
J'uppellerai C la variété P=o; et C' la variété Q—205; j’appellerai W l'intersection de ces deux variétés qui est elle-même une variété a 25 — 4 dimensions.
Il importait de démontrer que la définition de la variété C ne dé- pendait pas de la façon dont F est mise sous la forme du quotient de deux séries, c'est à dire que les deux variétés P=o et P’ =o sont iden- tiques; je puis ainsi étendre nos variétés C et C' au delà du domaine @.
Supposons maintenant que notre fonction méromorphe est 2» fois périodique. L'espace à 2» dimensions va se trouver partagé en une in- finite de prismatoides des périodes dont le róle est analogue à celui des parallélogrammes des périodes dans la théorie des fonctions elliptiques.
Soient
VEU (OA ee bee
ces prismatoides; l'ordre des indices est d'ailleurs arbitraire jusqu'à nouvel ordre.
Je designerai par; C,, C,, W, les portions de variétés C, C', W qui sont intérieures au prismatoide Zi.
L'aire de C, sera finie; ce sera une constante qui sera la méme pour C, que pour C,; car la variété C, n’est autre chose que la varlété C, transportée parallèlement a elle-même. Soit A cette aire.
Soit dw’ un élément de l'aire de la variété C, M' son centre de
gravité, 21, y{,-.-,%,,y, ses coordonnées. Soit JZ le point de coor- données courantes, x,, y, , ..., 1» J, Ses coordonnées. Soit r la distance MM'.
Considérons l'intégrale:
étendue à tous les éléments dw’ de la variété C, (c'est à dire le potentiel de cette variété OC).
166 H. Poinearé.
} I ' 1 : Développons ——; suivant les puissances croissantes des zr et des y, RTE c’est a dire des coordonnées du point M, et écrivons:
I
D (hI (bene
„2 yon
U, étant un ensemble de termes homogene de degré k par rapport aux x et aux y.
Supposons que les coordonnées æ et y soient finies et les coordonnées x et y’ trés grandes, de telle facon que
| v 72 1 12 = V Dry TE Ny )
distance du point JZ’ a l'origine, soit un infiniment grand du 1* ordre. Alors U, sera égal à
jo et sera un infiniment petit d'ordre 2n — 2. U, sera un infiniment petit d'ordre 2» — 1, U, d'ordre 2n etc. Si nous posons: I 2 T 7 H m p2n—2 U, U, U,,
m: H sera un infiniment petit d'ordre 2% + 1. Précisons davantage; je suppose que p, et o, soient deux constantes et que l'on ait: 1.2 1 2 2 2 22 UND (a) Lu? + Ly* < pi < pi < Ja? + dy” on pourra trouver une constante B telle que
B
jor +1
[A] < Soit maintenant
S, = fdw'(U, + U, + U,),
l'intégration étant étendue à tous les éléments dw’ de la variété C,; S, sera un polynôme du 2? degré par rapport aux w et aux y. Ce po- lynóme sera harmonique, c'est à dire qu'on aura
AS, — O;
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 167
car on a
et par conséquent
On a ensuite:
V,.— 8, = f Haw. Il est clair que si les inégalités (x) sont remplies, on aura:
lesu e
gincl ?
la lettre o désignant la plus petite valeur que puisse prendre p à lin-
térieur du prismatoide Z,.
Soit d'un autre cóté T le volume d'un prismatoide des périodes; ce volume est évidemment le méme pour tous les prismatoides. Soit D la longueur de la plus grande diagonale de ce prismatoide; cette longueur est aussi la méme pour tous les prismatoides.
A l'intérieur du prismatoide &,, o sera compris entre a et o+ D. L'intégrale an”
"dede, ... dx, dy,... dy, E 5 dz (p "ER. Dy» ys (p ES Dy»
"
étendue au prismatoide AR, sera plus grande que un Je désigne pour
abreger par dz le produit des 2» différentielles dx’ et dy’ On aura done:
AB (" dr
rJ pao
t
| V, T 5,| <= Je dis que la série: AV, — S)
est absolument convergente. En effet nous distinguerons parmi les pris- matoides 44: 1? ceux dont tous les points ne satisfont pas aux inégalités
DCN S prd
168 H. Poinearé.
Ceux-la sont en nombre fini et correspondent a un nombre fini de termes de la série.
2° ceux dont tous les points satisfont aux inégalités p 3 P> D. La somme 217, —S,]
relative à ces prismatoides est plus petite que l'intégrale:
AB dt "n T (To Ds!
etendue a tous les elements dr de ces prismatoides; ou a fortiori plus
petite que l'intégrale ”
AB dz jp | (p 23 Dal
étendue à tous les éléments dz de l'espace tels que P> p> p> D; je puis toujours supposer pour fixer les idées pp =D:
Or cette dernière intégrale est égale a l'intégrale simple >
ABo “do
a |S
& étant une constante, et cette intégrale simple est finie.
Done la série
est absolument convergente. (D. (Qu i, ID.
Cette série est évidemment égale à l'intégrale [ Hdo'
étendue à tous les éléments dw’ de la variété C.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 169
Je désigne par V la somme de cette série.
Voici les propriétés fondamentales de cette fonction V.
1° Elle est harmonique dans tout l’espace sauf pour les points de la variété C.
2? La différence V — V, est harmonique en tous les points du pris- matoide R,.
3? Envisageons un domaine G, où lon peut mettre F sous la forme
et qui fasse partie de Z,.
Q D'aprés le théoréme fondamental du paragraphe précédent, la fonction log | P| est, à l'intérieur de G, égale à Gal 25
€ étant une fonction holomorphe et harmoni ue des x et des y et c' étant le potentiel d'une variété attirante qui est la partie de C intérieure
"a deor mE *
étendue à cette partie de C. Mais comme V, est la méme intégrale
à G; c'est à dire l'intégrale
étendue à une partie de C plus étendue, à savoir à la partie de C qui est intérieure à R,, la différence
V, Xm e
sera une fonction holomorphe et harmonique dans @. Done la différence V, — log| P|
et par conséquent la différence V — log| |
est dans tout le domaine G une fonction holomorphe et harmonique des x et des y.
4° La fonction log | P| est biharmonique.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 4 juillet 1898 29
170 H. Poincaré.
Si done je représente par
DV l'une des expressions GS GRY d'V dV dV wid dal dy ' dede, © dyydy, ^ de, dy, dy, dit,’ on aura: Dicg Po:
Or V —log|P| est une fonction holomorphe et harmonique; done D(Y—log|P |) sera aussi une fonction holomorphe et harmonique, puisque AD(V —log|P| = DA(V —log|P]) = 0;
et puisque
|| m Dior] © nous arrivons a cette conclusion que DV est une fonction holomorphe et harmonique dans tout l'espace.
5? Qu'arrive-t-il quand les quantités 2, , 2, , ..., 2, augmentent d'une période?
Soit 4, ,4,,..., 4, une période de telle facon que la fonction F ne change pas quand 2z,,2,,.... 2, se changent en
Bae hy A SR os 55 By ae GES Je représenterai par V(e, + a), Vie: + a), Sk (e; + a) ce que deviennent V, V, et S,, c'est a dire V(z), V,(z), S(z) quand on change z; en 2; + «;; nous aurons alors: V2, + a) = X[V,(2z; + a) — Se; + a)], V(2;) — Z[ V.(2;) = S,(2;)].
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 171
Quand z; se changera en 4 + a,, le prismatoide R, se changera en un autre prismatoide R,; et comme la distance des points z; + a; et z; + a; est égale à celle des points z; et z/, nous aurons:
V,(z) = V, + a; D'autre part nous pouvons remplacer l'équation Va t a) = XLV (5 + «) — Si( + 2] par la suivante: Va + a) = XLV. (a + a) — S. (5 + 2).
Les deux séries ne différent en effet que par l'ordre des termes; la premiere s'étend aux prismatoides R,, c'est à dire à tous les prismatoides; la seconde aux prismatoides R,, c'est à dire aussi à fous les prismatoides. Je puis écrire également:
Va; + a) = X[V,(z;) — SG; + aj]
et par conséquent:
Va, + a) — V(z) = X[S,(z) — S,(2; + aj].
Tous les termes du 2? membre sont des polynómes du 2° degré par rapport aux æ et aux y. Donc quand les z augmentent d'une période, V augmente d'un po- lynóme qui est au plus du 2* degré. Etudions les termes du second degré et cherchons par exemple le 2
7i
coefficient de
Dans S,(z,) ce coefficient est égal à l'intégrale: kN s e g
:
d? —?n+2 : > 3 A
| v SCIES ou p'-— ZT; + Jy; 1
LE
l'intégration est étendue à tous les éléments dw’ de la partie de C qui est intérieure à R,; j'appelle J, cette intégrale. Dans S,(2;+ aj, le coefficient sera la méme intégrale étendue à tous
les elements do’ de la partie de C intérieure à R,; c'est done J,.
172 H. Poincaré.
Done le coefficient cherché dans V(z; + a)— V(z;) est la somme de la serie:
XE.
Je dis que cette série est absolument convergente et a pour somme zéro. Elle est absolument convergente parce que son terme général est de l'ordre de —(2n4-1)
,
nd
c'est à dire du méme ordre que le terme général de la série X(V, — S,) qui est convergente. Pour évaluer la somme, groupons les termes d'une facon particulière. Soit A,— R, un prismatoide quelconque, /t,— R; ce que devient Hh, quand on change z; en z; + a,; soit plus généralement Z ce que devient H,— R, quand on change z; en z; 4-»a;, n étant un entier positif ou négatif.
Les prismatoides OU (RT TENE Creo TL aee ees
formeront ce que j'appellerai un groupe de prismatoides. Tout pris- matoide appartiendra à l'un de ces groupes et à un seul.
Nous aurons ainsi réparti en groupes les prismatoides et par consé- quent les termes de la série.
Il me suffit de montrer que la somme des termes d'un nulle.
groupe est in effet, soit J, l'intégrale qui sera à ZH, ce que J, est à R,. Notre groupe de termes s'écrira:
(Jap Ja) Ett (45a ducha oed) o ea) caus Sb.)
La somme des termes sera (2 , Je, GE Joy ) en nous arrétant au n° terme dans un sens et au p° dans l'autre. Quand n et p croitront indéfiniment, J', et J;,, tendront vers zéro. Done la somme cherchée est nulle. FD}
[2v]
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 17
aie 2l ; : / Donc le coefficient de — est nul et on démontrerait de méme que
2
les autres termes du second degré sont nuls également. Donc la différence V(z,-+ a) — V(z;) est un polynôme du 1% degre seulement.
Donc quand les z augmentent d'une période, la fonction V augmente d'un polynôme du 1" degré par rapport aux x et aux y.
On démontrerait de méme: 1? Que l'intégrale
1 = [ Hdo'
étendue à tous les éléments de la variété C' est finie. 2? Que la fonction V’ est harmonique dans tout l'espace sauf sur la variété C'. 3? Que la différence V' — log|Q|
est dans tout le domaine G une fonction holomorphe et harmonique. 4° Que les expressions DV’ sont harmoniques dans tout l'espace.
r
5? Que la fonction V' augmente d'un polynôme du 1* degré par
rapport aux z et aux y quand les z augmentent d'une période.
8 9. Introduction des fonctions 0.
Nous venons de voir que les expressions DF sont des fonctions holo- morphes et harmoniques dans tout l'espace. D'autre part, nous avons trouvé:
V(z; + a) — V(2;) = I, II étant un polynôme du 1% degré; on a donc: DV(z; + a) — DV(z;) = DIl=o
ou
DV( + a) = DV()
ce qui montre que les DF sont des fonctions périodiques,
174 H. Poincaré.
Les DV étant des fonctions a la fois harmoniques et périodiques se réduisent à des constantes (théoréme 7).
Je dis maintenant que l'on peut toujours trouver un polynóme Z du second degré par rapport aux æ et aux y et tel que les expressions DZ se réduisent à des constantes données.
Ce théoréme peut encore s'énoncer d'une autre maniere.
Reprenons les notations du $ 3 et posons:
y + dy 2 Ly, — Wj, = 9.
Je dis qu'on peut toujours trouver un polynóme Z du second degré par rapport aux z et aux w et tel que les #° quantités:
d^Z dz, du,
soient égales à n° constantes données A,,. L'identité des deux énoncés est manifeste et d'ailleurs le second énoncé est immédiatement évident puisqu'on n'a qu'à prendre:
Z-—XAwugs-
Il résulte de la que nous pourrons toujours trouver un polynôme Z tel que les expressions DZ soient égales aux constantes DV.
On aura donc DZ) 6
c'est a dire que la fonction V — Z est biharmonique dans tout l'espace sauf sur C. D'autre part log | P| étant biharmonique, on a
D(V— Z— log| P|) = o
et comme V— Z—log|P| est holomorphe et harmonique à l'intérieur de G, méme sur C, nous pouvons conclure que
a Z — log| |
est holomorphe et biharmonique à l'intérieur de G, méme sur C. Enfin V — Z augmente d'un polynôme du 1i* degré par rapport aux x et aux y, quand les z augmentent d'une période.
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. 175
Les équations D(V—Z) =
nous apprennent que l'expression
» [15,5 dV — 2), |]
day dan.
est une différentielle exacte. Posons done:
TU m d(V—2), v= | = di dy, — zm
L'intégrale prise le long d'un contour fermé est nulle si ce contour ne tourne par autour de C; elle n'est pas nulle en général, si le contour tourne autour de C.
Done T est une fonction uniforme dans tout domaine simplement connexe ne contenant aucun point de C. Mais ce n'est plus une fonction uniforme dans un domaine traversé par C.
Considérons de méme la fonction:
ag. P= | se E eS ca ES ee
— de; duy
c'est également une fonction uniforme dans tout domaine simplement connexe non traversé par C; et une fonction non uniforme dans un do- maine traversé par C.
La différence:
T — arg. p =| Y [4 — 4 — log | P|) dy, all EC Z — log | "Das, |
da dui
est une fonction uniforme dans tout le domaine G, quoique ce domaine soit traversé par C; et en effet V — Z—log|P| est biharmonique dans tout le domaine G. La fonction £—V—Z-rFiT—log P a pour partie réelle
y — Z — log | P|
176 H. Poincaré. et pour partie imaginaire
T — arg. P.
C'est done une fonction des % variables complexes
et de plus cette fonction est holomorphe dans tout le domaine G.
Posons ensuite: Qu (2)
il viendra:
BER
P et ç étant des fonctions holomorphes des n variables complexes z dans le domaine G, il en sera de méme de 6 et comme tout point de l'espace fait partie d'un domaine tel que G:
La fonction @ est une fonction des m variables complexes z holomorphe dans tout l’espace.
Nous avons trouvé plus haut: V (2; + a) — V(2;) = Hl,
|| étant un polynôme du 1% degré. D'autre part Z étant un polynôme du second degré, on aura:
Ze; + a) — Z(2;) = 9,
i
2 étant un polynôme du 1% degré; il vient alors:
2 » Lacu ; ay, UP e) Ta), Va + a) — Y (8) — Ze + a) + Zn) == a(l + 2) — const. day et de méme: Ca d (II + 9) de; [Te + a) — T(z)] = — D — const.
Les dérivées de T(z, + a; — T(z;) étant des constantes, on aura: 1 1 t)
T(z; + a) — T(zj)) = V,
Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéiiennes. MA J^ étant encore un polynôme du premier degré. J'écris enfin: V(z, + a) — Z( + &y) + T (z, + a) — V(zj) + Z(z) — iT (ea) = U,
U étant un polynôme du 1% degré par rapport aux v et aux y. Comme
V(z,) — Z(2;) + iT (2), V (z, + a4) — Z(z + 04) + 4T (% + a)
sont des fonctions des x variables complexes z, il en sera de méme de U.
Done U est un polynôme du 1* degré par rapport aur m variables compleres z et om aura
(1) 0 (z; + a) = 6(2;)e*
Cette propriété rappelle la propriété fondamentale des fonctions 6 et il est aisé de voir comment les fonctions qui satisfont à la condition (1) se raménent aux fonctions 6 ordinaires; je renverrai pour plus de détails à mon mémoire sur les fonctions abéliennes inséré dans l'American Journal of Mathematics.
On démontrerait de méme:
1° que les DV’ sont des constantes. 2° qu'il existe un polynóme du second degré Z' tel que
TZ" m T.
3? que si l'on pose:
SE (“= zZ du Zr T ={>| LT Va rn dr, |
F'—Z" 0 =e dup
la fonction 6’ est dans tout l’espace une fonction holomorphe des x variables complexes z.
4
? enfin que
0'(z; + a) = 0'(z;)e" ,
U’ étant un polynôme du 1° degré par rapport aux n variables com- plexes 2.
Acta mathematica, 22. Imprimé le 6 juillet 1898
178 H. Poinearé. Considérons maintenant le rapport:
FO [7]
ou plutót son logarithme H = log F + log 6' — log 6.
1? C'est une fonction des » variables complexes 2. 2° Cette fonction H est holomorphe dans tout l'espace, et en effet, dans le domaine G, elle est égale à la différence de
y: 27 a ipe Togo
et
V —Z-rFiT—logP
qui sont toutes deux holomorphes dans le domaine G. 3? Quand les z augmentent d'une période, cette fonction H aug- mente de
U'—U
c'est à dire d'un polynôme du 1i* degré; les dérivées secondes de H sont done périodiques et comme elles sont holomorphes dans tout l'espace, elles se réduisent à des constantes.
En d'autres termes /7 est un polynôme du second degre.
On a done finalement
17 = ew H étant un polynóme du second degré.
Cette formule démontre la possibilité de mettre F sous la forme du quotient de deux fonctions 9 ordinaires; il suffit pour s'en rendre compte d'appliquer les principes de mon mémoire cité de l'American Journal of Mathematics.
SUR L'INTÉGRALE FINIE D'UNE FONCTION ENTIERE
PAR
A. HURWITZ
à ZÜRICH.
Je reviens ajourd'hui au mémoire que j'ai publié sous ce titre dans le tome 20 de ce journal pour y ajouter une citation relative à un mé- moire important de M. Appetit sur les fonctions périodiques de deux va- riables,' dont jai eu connaissance récemment par l’obligeance de son illustre auteur. M. ArrELL y donne une démonstration du théoréme de M. Guicuarp en formant des fonctions entières ¢,(z) (n — 0, 1,2,...) satisfaisant aux
identités
DE +1) — 0) 2" et ayant la propriété que la série PONS ath 2 : G(2) = a, (2) + 4,9, (2) +... tad,(z) +... est convergente pour toute valeur de z, si la série H(z) =a, -F a2 4- ...d- aZ" +... représente une fonction entière. Ainsi, l'idée fondamentale dont je pars dans mon mémoire appartient à M. Arperr. Seulement il y a une diffé- , , , , (" B rence quant'au développement de l'idée. Les fonctions d,(z) de M. ArrrErr sont définies par l'intégrale affectée de coupures: + ; * ganzzi ae eg-?nn:i VUE [n 16—22t d. (2) = g2nnzt + e?nret © e—?rt = nz :
— o0
' Journal de mathématiques pures et appliquées, quatrième série, t. 7
(1891).
Acta mathematica. 22. Imprimé le 6 juillet 1898.
180 A. Hurwitz. tandis que les fonctions ¢,(z) dont je me sers et que je désigne par Ö,„(2) dans mon mémoire ont l'expression suivante:
I p2kriz duas (Z) SE Pa(z) — D2 Cae ? eh sn)
où @,(2) désigne la fonction de BerNOULLI. Comme le démontre M. ArrELL la fonction d,(z) differe de ¢,(z), de méme que la fonction ¢,,,,(2), d'un
polynôme en e”” et e "*; mais les coefficients de ce polynôme se pré- sentent sous la forme d'intégrales définies et ne sont pas susceptibles
d'une représentation explicite et simple.
Zürich, janvier 1898.
181
DAS RECIPROCITATSGESETZ IN DER THEORIE DER QUADRATISCHEN RESTE' VON JULIUS KÓNIG
in BUDAPEST
In diesen Zeilen beabsichtige ich einen Beweis des Reciprocitätsge-
setzes der quadratischen Reste vorzutragen, der — mit Ausschluss eines jeden andern Hülfsmittels — nur jene Eigenschaften des Legendre'schen,
beziehungsweise Jacobi'schen Symbols benutzt, die unmittelbar aus der Definition entspringen. Damit erhält der neue Beweis gegenüber der langen Reihe bekannter Beweise eine ganz besondere Stellung und es ist damit auch sein formaler Gang festgelest. Denn wo immer aus der De- finition eines Operationssymbols dessen allgemeine Eigenschaften entwickelt werden sollen, kann dies im Wesen nicht anders, als mittels vollständiger Induction geschehn. Der initzutheilende Beweis wird daher ebenso auf der vollständigen Induction beruhen, wie der erste Gauss'sche Beweis, der sich in der IV. Section der »Disquisitiones arithmeticae» findet; er benützt aber jenes berühmte Gauss’sche Lemma nicht, nach welchem, wenn p eine Primzahl von der Form 8» + 1 ist, es immer unterhalb 2» + 1 eine Primzahl q gibt, von welcher p quadratischer Nichtrest ist.
Die Quelle dieses Lemma's findet sich in Wahrheit erst in den Tiefen der Theorie der quadratischen Formen, und sein elementarer Beweis hat Gauss bekanntlich grossen Schwierigkeiten verursacht; »demonstratio satis diu operam nostram elusit» — berichtet er selbst darüber, während Kro- NECKER^ Gauss’ Gedankengang seinerzeit mit folgenden Worten charak-
' Der ungarischen Akademie der Wissenschaften vorgelegt am 18 November 1895. ? Mon. Ber. d. k. p. Akad. d. Wiss. zu Berlin, 1876, pag. 341.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 6 juillet 1898.
182 Julius Konie.
terisirte: »Jene merkwürdige und scharfsinnige Deduction, welche ganz direct mit Uberwindung aller Schwierigkeiten auf das Ziel losgehend fast wie eine Art Kraftprobe Gauss'schen Geistes erscheint.»
Die mathematische öffentliche Meinung hat — soviel ich weiss — bei dem inductiven Beweise des Reciprocitätsgesetzes bisher jene Kraft- probe für unerlässlich gehalten und schon darum dürfen die folgenden Betrachtungen einiges Interesse beanspruchen. Doch abgesehen hievon ist für das System der Arithmetik die Thatsache nicht ohne Wichtigkeit, dass das Reciprocitatzgesetz in der That eine ausschliessliche Folge der Definition des Legendre'sehen Symbols ist, und aus der Theorie der hó- heren Congruenzen nicht das geringste, also auch weder die Fermat'sche Congruenz, noch das Euler’sche Kriterium, noch irgend ein anderes äqui- valentes Hülfsmittel vorwegnimmt.
Um dies ganz klar zu legen, sollen zuerst die als Prämissen zu ver- wendenden Sätze vollständig zusammengestellt werden.
Die Prämissen des Beweises. Ist p irgend eine ungerade Primzahl,
. . 7 a . CAO und « durch p nicht theilbar, so bedeute das Zeichen (^) die positive p oder negative Einheit, je nachdem die Congruenz z*- « (mod. p) eine
Wurzel besitzt oder nicht, der gebrauchlichen Terminologie nach also je nachdem a Rest oder Nichtrest von p ist. Wenn aber a durch p theilbar
ist, soll (^) gleich Null sein.
Die Multiplicationsregel des so definirten Legendre’schen Symbols
lautet: a\ /b ‘ab (len)
und ist eine unmittelbare Folge der Definition, wenn sowohl a, als à teste von p sind. In den übrigen Fällen sind bekanntlich nur noch jene beiden ganz elementaren Sätze zu verwenden, nach denen
erstens mit æ auch ax ein vollständiges System incongruenter Zahlen mod. p durchläuft und
zweitens die Anzahl sowohl der Reste, wie der Nichtreste von p
gleich (p= 1) ist.
Das Jacobi'sche Symbol ist nun nichts anderes, als eine rein formale Verallgemeinerung des Legendre'schen; ist nàmlich P irgend eine positive,
Das Reciprocitiitsgesetz in der Theorie der quadratischen Reste. 183
ungerade ganze Zahl — weiter gehn wir hier tiberhaupt nicht — und hat P in Primfactoren zerlegt die Form:
nsa mo
so lautet die Definition des Jacobi'schen Symbols:
0-90
p BANDS pi
und die Multiplicationsregel des Legendre’schen Symbols bleibt demnach auch für dieses erhalten.
Zu den Prämissen gehórt endlich noch der auf den quadratischen vestcharakter von — 1 bezügliche Satz, nach welchem:
n—1
(Im folgenden soll nämlich der Kürze wegen statt (— 1) ?
immer e, ge- schrieben werden.) Ein von Eurer stammender Beweis dieses Satzes, der sich im 109. Art. der »Disquisitiones» reproducirt findet, bewegt sich ausschliesslich in dem angegebenen elementaren Gedankenkreise. Um dem Leser hierüber am bequemsten ein klares Bild zu geben, soll dieser Beweis — in aller Kürze und zweckentsprechend formulirt — hier ein- gefügt werden. Die Reste der ungeraden Primzahl p,
werden in zwei Classen eingereiht. In die erste Classe mögen jene Reste a gehören, für welche a*- 1 (mod.p) ist. Nun ist a? — 1 — (a — 1)(a + 1) nur dann durch p
theilbar, wenn « — 1 oder a+ 1 theilbar ist, also nur dann, wenn a — t
oder a= — 1 (mod. p). In diese erste Classe gehören demnach ein oder zwei Reste, je nachdem — 1: Rest oder Nichtrest ist; da doch + 1 immer
ein Rest ist. In die zweite Classe gehóren alle übrigen Reste. In dieser Classe findet sich zu jedem Reste a ein und nur ein zweiter Rest b, so dass
ab = 1 (mod. p), und zwar ist 5 von a verschieden, da sonst a der ersten
184 Julius Konig.
Classe angehören würde. Zu b gehört nun ebenso wieder a; es vertheilen sich demnach die Reste der zweiten Classe in Paare, ihre Anzahl ist gerade.
Ist nun p=4n+ ı, und demnach die Anzahl sämmtlicher Reste, p—1
, gerade, so müssen die der ersten Classe angehórigen Reste auch in
gerader Zahl vorhanden sein, und dann ist —1 Rest von p. p
Ist hingegen p= 4n + 3, also ungerade, so müssen die Reste
erster Classe in ungerader Zahl vorhanden sein; es ist also — ı Nichtrest
von p.
Damit ist aber bekanntlich der Inhalt des Satzes = — e, erschöpft.
Nach dieser Einleitung wenden wir uns zu unserem eigentlichen Gegenstande. Der zu betretende Weg ist ein wesentlich anderer, als in Gauss’ erstem Beweise, oder der Dirichletschen Umarbeitung (Crelle, Journal, 47. Bd.) Eine Unterscheidung verschiedener Fälle je nach dem Charakter der vorkommenden Primzahlen findet überhaupt nicht statt, sondern wir zerlegen den Reciprocitätssatz entsprechender Massen in von einander unabhängige Theilsätze, die entweder mit Hülfe der vollständigen Induction leicht direct zu beweisen sind, oder durch Umkehrung aus den
schon bewiesenen Theilsätzen entspringen.
Satz I. Sind q und r zwei positive, ungerade Primzahlen, und ist
À €5Q , T ferner q «v, so folgt aus (=) — ı immer auch () = i. X T q
Da der Satz für die kleinsten Primzahlen, z. B. diejenigen unterhalb 11, richtig ist, so kann der allgemeine Beweis so geführt werden, dass wir den Satz fiir die Zusammenstellung zweier Primzahlen die kleiner als r sind, als richtig voraussetzen, und dann nachweisen, dass er auch für die Zusammenstellung einer Primzahl unterhalb r mit r selbst richtig bleibt.
Im Sinne unsrer Voraussetzung hat die Congruenz
z'— 6&,q-:0 (mod. r)
Das Reciprocitiitsgesetz in der Theorie der quadratischen Reste. 185
Wurzeln; sei a eine Wurzel, die positiv und kleiner als r ist; dann ist r —a eine ebensolche; und zwar ist von den beiden Wurzeln die eine gerade, die andere ungerade. Wir bezeichnen die gerade Wurzel mit &; dann ist
(1) e —eq = 19;
und @ ist jedenfalls ungerade, weil € gerade; ¢ ist ferner positiv, denn selbst im ungünstigen Falle, wenn e, — r, kann die links stehende Diffe- renz nicht negativ sein; sonst wäre ja q — £^ positiv, und diese positive
Zahl kleiner als g, und trotzdem durch die Primzahl r, die grösser als q ist, theilbar. Ferner hat man
rp<E+a<(r—1)+r,
und hieraus unmittelbar er.
a) Wenn nun ¢ nicht durch q theilbar ist, so erhält man für jeden
Eq] ZZ) — 1 ( =) ^
und da ,;<e<r, im Sinne der Voraussetzung auch
Primfactor z; von e
und endlich dureh Multiplication (£
) — 1. Andrerseits ergibt aber die U
fundamentale Identität (1)
und schliesslich T ln “\)=(2)=1. 1 H b) Ist aber © durch 4 theilbar, so setzen wir ¢ = qd; dann ist nach
1) auch & durch 4 theilbar, also € = qy; durch diese Substitutionen geht in
_ —-
25:72 = AE NS ; q'3' —e,q = 194
Acta mathematica, 22. Imprimé le 7 juillet 1898 24
186 Julius Konig.
(2) yp — FE Erp
über, wo d wieder kleiner als r, positiv und ungerade ist, den Theiler q aber, wie die linke Seite zeigt, nicht mehr enthält. Diese Identität zeigt nun wieder, dass ¢,g Rest von jedem Primfactor x; der Zahl 4,
Eq G . Ti also (=) — 1, und hieraus nach unsern Voraussetzungen (5) = I also Ti q
schliesslich auch (£) =I.
q
Andrerseits folgt aus (2)
rj — — e, (mod. 9);
vd — € © : = = : : also (“) = (==), was wie man leicht sieht, immer + 1 ergibt, hier- q q
aus endlich
womit unser Satz auch für diesen Fall bewiesen ist.
Satz IL Sind q und r zwei positive, ungerade Primzahlen, und ist
ferner qg<r, so folgt aus (‘) = 1 immer auch = = is
Dem bei Satz I. benutzten Gedankengange abermals folgend, hat
nun die Congruenz 2
x” —q=o (mod. r) Wurzeln; und es sei wieder & eine solche, die positiv, gerade und kleiner als r ist. Dann erhàlt man
(3) Ne
und c ist wieder positiv, ungerade und kleiner als r. a) Wenn nun c nicht durch 4 theilbar ist, so hat man für jeden Primfactor 7, von e die Relation (2) — 1, und also, da der Satz für
u/
Das Reciprocitätsgesetz in der Theorie der quadratischen Reste. 187 die Zusammenstellung zweier Primzahlen unterhalb r als richtig ange-
R , Em Ti s D PEL nommen wird, hieraus (=) = 1, und endlich durch Multiplication
q Cie
da ja bekanntlich ¢,¢, = €, ist. Andrerseits erhält man aus der Identität (3)
9:
und demnach
Ist nun q- 1 (mod. 4), so sind + e und —g zugleich Reste oder Nichtreste von q; es ist also auch
Für den zweiten Fall, y = 3 (mod. 4), bemerken wir, dass rp = & _q=1 (mod. 4)
ist, also &,, — 1, oder e, — e, und hienach wieder
v
was zu beweisen war. b) Ist nun wieder zweitens e durch g theilbar, dann gehn wir — grade so, wie früher bei Satz I. — zur Identitat 2 = ie (4) quin über. Auch diese zeigt, dass, wenn 7, irgend einen Primfactor von d
g . . En Ti 1) — 1, und hieraus wieder ( ) LI,
bedeutet, q Rest von 7, ist, also (2 i ti/ (
h h oder endlich durch Multiplication (©) = I. Andrerseits hat man
rg =—1 (mod. 4)
188 Julius Konig.
rb) fe 4 À also () = (- -) = e,. Und hieraus wieder: / [/ /
sro
welche Symbole sich gleich + 1 ergeben. Denn, da 7 gerade, wird
rd = 3 (mod. 4), also €
45: — 1, oder €, — —e,, und hienach
[^] 3222
was zu beweisen war.
Satz III. Sind q und r zwei positive, ungerade Primzahlen und ist
Sop 5 q ferner q <1, so folgt aus ea = 1 immer auch I) — Ze 1 WT
Unsere Voraussetzung nach ist die Congruenz z'— e,r=o (mod. q)
lösbar. Sei nun «a irgend eine ihrer geraden Wurzeln; dann ist «+ 2qu eine ebensolche und man hat
(a + 2gu)? — e,r = qe,
wo g ungerade und, wenn nur positiv und gross genug genommen wird, auch positiv ist.
Der Wert von w soll nun noch so festgelegt werden, dass e nur solche Primzahlen als Theiler enthalte, die grösser als r sind.
Damit zuerst gi
p— + 4au + 4qu*
nicht durch 4 theilbar sei, genügt es w der Congruenz
TD en; at FIENT. + 4au=1 (mod. q)
[0]
(a)
entsprechend zu wählen, was natürlich immer möglich ist, da ja « nicht durch g theilbar ist.
Seien nun 4,,4,,... die sàmmtlichen Primzahlen, die nicht grósser als r sind, mit Ausschluss von g; und unter diesen gj, 4;,...,r die-
Das Reciprocitätsgesetz in der Theorie der quadratischen Reste. 189
jenigen, die in 1—e,r nicht als Theiler enthalten sind. Wahlt man dann w den Congruenzen
(b) a + 2qu — 1 (mod. g;) entsprechend, so wird qe -1-——e,r (mod. qj),
und mit 1 —e,r ist also auch © nicht durch g; theilbar. Seien nun ferner qj,4;7,... jene Primzahlen die nicht grösser als r sind, aber in r — e,r enthalten sind, ohne jedoch Theiler von 4—e
e,r zu sein. (Sollte keine solchen vorhanden sein, so fallen natürlich die aufzustellenden Bedingungen ganz fort) Dem entsprechend unterwerfen
wir 4 noch den eventuellen Bedingungscongruenzen: (c) a+ 2qu=2 (mod. q;') und dann zeigt wieder
qg =4—e,r (mod. q;^),
dass e durch keine der Primzahlen g;’ theilbar sein kann.
Nun bleiben aber von den Primzahlen unterhalb r nur solche, die sowohl in r — e,r, als in 4—e,r als Theiler enthalten sind; eine solche kann nur die 3 sein. Sollte sich nun keine der Bedingungen (a), (b), (c) auf die 3 beziehen, beschränken wir die Wahl von w von neuem durch
die Congruenz:
(d) a + 2qu =o (mod. 3), und dann ist qe =— ¢,r (mod. 3),
also g keinesfalls durch 3 theilbar, da r Primzahl und jedenfalls > 3.
Die linearen Congruenzen (a), (b), (c), (d) soweit sie in Anwendung kommen, besitzen immer gemeinschaftliche Losungen; denn die Moduln sind durchaus verschiedene ungerade Primzahlen, während Coefficient der Unbekannten und Modul immer relative Primzahlen sind. Dabei kann natürlich # immer noch positiv und beliebig gross gewählt werden. Dann
190 Julius König.
ist auch ¢ positiv; mit dem so fixirten Werte von w sei nun € — a + 2qu, das mit a zugleich gerade ist, so erhält man endlich
(5) ger qe;
und hier enthält c nur solche Primtheiler, die grösser als r sind. Nun hat man wieder nach (5) für jeden solchen Primtheiler 7,
ET --- = ji Ti Ti
und hieraus, da z;- r ist, nach Satz I. (=) = 1, oder endlich durch TE
CEE
Andrerseits ergiebt sich aus (5) auch (E) — r, also schliesslich
Multiplication
was zu beweisen war.
Das Reciprocitätsgesetz wird nun in der aller einfachsten Weise durch Zusammenstellung des II. und III. Satzes erschlossen. Man hat nämlich,
: q : (ET wenn wieder r- 4, nach II. aus (1) — 1 immer auch =) — une e
Sg
umgekehrt nach III. aus (=) — 1 immer auch () — ı; die beiden 2l
Symbole haben demnach gleichzeitig den Wert + 1 oder — 1. Es ist also:
€ TN — (q "Rau A oder anders geschrieben
De
die bekannte Form des Reciprocitätsgesetzes, in welcher q und r mit
einander vertauscht werden können, und demnach also schliesslich auch die bisherige Einschränkung (g < r) wegfällt.
Das Reciprocitätsgesetz in der Theorie der quadratischen Reste. 191
Zur Vervollständigung dieser Darstellung móge noch bemerkt werden, dass der auf die Zahl 2 bezügliche Ergänzungssatz, wenn einmal das Re- ciprocitátsgesetz festgestellt und demnach auch auf das Jacobi'sche Symbol ausgedehnt ist, nach einer von Kronecker in seinen Vorlesungen gege- benen Bemerkung in zwei Zeilen erledigt werden kann.
Ist nämlich P > 1, positiv und ungerade, also eine der beiden Zahlen P und P— 2 von der Form 4n + 1, so hat man
tSp -— pe
also bei Fortsetzung dieser Reduction schliesslich:
i04 - etti ay sd aaa m LIA NT m AMT 4 "E edle d PC mir al? DP wit gc - fultfatend ADU CEE TEM TT, wii ag 3M kote thine nie res tis car ee PAU NR fis aed "ox od Tae laf amount. usb ioa. donpidosdadisir Dro pod. aes \ “ie euiüdeviin V ea 54 80M A Wee amie: Ania nd tidal j-
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193
NOTE ZUR THEORIE DER DEFORMATION DER FLACHEN VON
J. WEINGARTEN.
in BERLIN.
In einer interessanten, das Problem der Flächendeformation betref- fenden Inauguraldissertation hat Herr Dr. G. HEsseNBERG unter Anderem auch diejenige Singularität petrachtet, deren Eintreten in den Entwickel- ungen meiner Abhandlung sur la déformation des surfaces im 20“" Bande dieses Journals ausgeschlossen wurde. Diese Singularitàt tritt ein, wenn unter den Flàchen, die ein gegebnes reducirtes Linienelement zulassen, solche existiren können, für die eine der beiden, durch die Kanten des zu Grunde gelegten beweglichen Trieders erzeugten, sphärischen Abbildungen in eine sphärische Curve ausartet. Herr Dr. HrssENBERG zeigt, dass für jede Flàche und auf unendlich viele Weisen reducirte Linienelemente ge- bildet werden kónnen, mit denen diese Ausartung verbunden ist.
In Rücksicht auf diese Bemerkung erscheint es nothwendig, die sehr einfachen Kriterien des Eintretens dieser Singularität aus den in der er- wähnten Abhandlung gegebnen Entwickelungen ausführlich herzuleiten. Zu diesem Zweck betrachten wir zunächst die Gleichungen (15)? der er- wähnten Abhandlung (Bd. 20. pag. 172 d. J.):
DU oA, (2) J (2) = m qu (15) = Ve I J(2) = Verge ES Vo P dl) — = @,
! Von einem Druckfehler befreit.
Acta mathematica, 22, Imprimé le 11 juillet 1898. 95
194 J. Weingarten.
denen wir die entsprechenden, auf die Entwickelung der zweiten Funda- mentalformel bezüglichen
oA3(2) —I'(2) = — 105, EN)
(15°) Ha — VE go A(z) — voQ
hinzufügen.
Die Quadrate der Linienelemente der vermittelst der Cosinus X, Y, Z und der anderen X’, Y', Z gebildeten zwei sphärischen Abbildungen er- gaben sich aus den Gleichungen: i]
dX! + dA? + 47? = (- + Que’ + 2QQ,dzde + Gide’,
dX? -LdY? p az*— ( n Paz + 2PP.dzdo + Pido?.
Wird für eine Fläche (5,7, €), welche ein gegebnes reducirtes Linien- element besitzt, die Grösse P, gleich Null, so artet die zweite Abbildung in eine sphárische Linie aus; wird dagegen Q, gleich Null, so tritt diese Ausartung bei der ersteu Abbildung ein. Eine gleichzeitige Ausartung beider Abbildungen kann für keine Fläche (£, 7, €) eintreten, da vermöge der letzten der Gleichungen (10) (l. c. pag. 174)
I
(10) —= PQ
2 vo 2
OP,
ein gleichzeitiges Verschwinden der Grössen P, und Q, ausgeschlossen ist. Die zweite der obigen Gleichungen (15) zeigt nunmehr sofort, dass unter der Voraussetzung P, — o die Function z der partiellen Differen- tialgleichung
genügen muss. Aber dieselbe Function genügt auch, da Q, von Null verschieden bleibt, der Fundamentalgleichung: (pag. 178 1. c.)
b 26 la — (17) ao + 2a0A,(2) — ae J(z) — 28 /c0(z2) = o.
Note zur Theorie der Deformation der Flächen. 195
Die mit der Gleichung P, = o verbundene Singularität kann daher nur eintreten, wenn die Grössen a,b,«a,ß dergestalt angenommen werden, dass die zwei vorstehenden partiellen Differentialgleichungen zweiter Ord- nung ein gemeinschaftliches Integral z zulassen.
Was nun die Differentialgleichung J(z) = o anbetrifft, so ist sie der Ausdruck für den Umstand, dass die Curven z — Const. auf der Kugel der ersten Abbildung geodätische Linien, d. h. grösseste Kreise werden.' Aus der zweiten Columne der Gleichungen (9) (l c. pag. 173) ergiebt sich, dass unter der Bedingung P, — o oder J(z)=0 die Cosinus X’, Y', 7, welche zur degenerirten Abbildung gehóren, Functionen von z allein sein müssen. Daher drückt die Orthogonalitatsbedingung:
XX’ + YY' -- ZZ =o
unter der angenommenen Bedingung ebenfalls aus, dass die zu z= Const. gehórigen Curven der ersten Abbildung aus gróssten Kreisen gebildet sind, und stellt das allgemeine Integral der Gleichung J(z) = o dar.
Durch Einsetzen der aus diesem Integral entwickelten Differential- quotienten der Function z in die Gleichung (17) kónnte man die Bedingung der Coexistenz der Gleichung (17) und der Gleichung J(z) — o durch eine einfache Rechnung erhalten. Allein es ist bequemer, diese Be- dingung aus den in meiner Abhandlung gegebnen Gleichungen zu ent- nehmen.
Die Gleichung (17) ist keine andere als die durch die Gleichung (16) (l. e. pag. 178) dargestellte Integrabilitätsbedingung
(16) — aQ, + OP, -- aQ — pP — o während die Bedingung P, =o mit der Gleichung J(z) — o zusammen-
fallt. Daher ist die Bedingung, dass die Gleichung (17) mit der Gleich- ung J(z) — o gleichzeitig bestehe, einfach die folgende:
— aQ, 4- aQ — BP — o oder, da P und P, nicht gleichzeitig verschwinden kónnen, auch:
(P) — aQ, P + «PQ — BP* = o.
1 Da J(z) = A(2)A,(2) - A(z, Az). Vergl. Darpoux leçons III pag. 202.
196 J. Weingarten.
nter der Voraussetzun: — © sind die Cosinus X’, Y', Z, wie schon Unter der V tzung P, =o sind die Cosinus X', Y', Z, hor bemerkt, Funetionen von z allein, und es besteht daher die Gleichung
eye ty rye ier
Na dz ,
in welcher v’ eine von a unabhängige Grösse bezeichnet.
Aus den Gleichungen Oasen X qYY-ezz-
I
4 TE
von denen die letzte sich ohne Weiteres aus den Gleichungen (9) (L c. pag. 173) ergiebt, erhalt man auf bekannte Weise:
az =
Vd : Be M € EINS = SER NE w | ale EE a | © S
spem em y* 9z G y" a 9%
7 ; oM „9X I I eZ Ze „(X Y ) V y facic NC y* z 02 o v" Na 92
und falls man diese Werthe in die folgende Gleichung substituirt:
eu F2 ie = PQ;
welche sich durch Differentiation der letzten der Gleichungen (X) und Berücksichtigung der oft erwahnten Gleichungen (9) ergiebt, so findet man:
G Va? wenn der Abkürzung wegen: : ,, dX' o*X' wen 7) a PX lb} a CAN: dz
Note zur Theorie der Deformation der Flächen. 197
gesetzt wird. Führt man jetzt den Werth des Productes PQ, ferner den Werth von P? und den durch die Gleichung (10) gegebnen Werth von Q,P in (P) ein, so stellt sich die Bedingung der Existenz einer gemein- schaftlichen Lósung der Fundamentalgleichung (17) und der Gleichung J(2) =o in der Form dar:
(N) LEA ROUE n — 0;
2Va \ va" /
Unter der Voraussetzung, dass zunächst die Grösse a nicht der Null gleich sei, und unter Einführung der Abkürzungen:
29Vo — a 3. No Eia We MEME = D 5 A z Vo; D y” NES", n= Vie y
erscheint diese Bedingung in der Gestalt: (N’) Py, A + mr 6 — 1 d n — o.
Die Grössen »'^, m, » der vorstehenden Gleichung sind von der Variablen s unabhängig. Daher ergiebt sich durch Differentiation nach o:
m y?
9, 12 OA (N^) ao Jr y? 1 aE —— =i O, 0a oc 2 EE zT
und durch Elimination der Function m, nach abermaliger Differentiation
in Beziehung auf 0, erscheint schliesslich die Gleichung: : wil 290A v” (90 9 OA, \ n it 2 1 11 | 2 1 o 1)( 00° 5 90° ) 2) Ea 4 ) 2
Zum Bestehen der Bedingungsgleichung (N) ist es daher erforderlich, dass die vorstehende quadratische Gleichung für vy’? eine von a unabhängige Wurzel zulasse. Tritt dieser Umstand ein, so folgt durch Integration die Gleichung (N”) zurück. Alsdann bestimmt diese letztere Gleichung die Function m oder vielmehr # als Function der Variablen z. Eine abermalige Integration führt zur Gleichung (N’), aus welcher die Function n bestimmt werden kann,
198 J. Weingarten.
Aber nur in dem besonderen Falle, dass die so bestimmte Function
"
n sich mit der Function — identisch erweist, besteht die ursprüngliche
y
Gleichung (N), und kann die singulàre Bedingung P, = o erfüllt werden. Die Erledigung des Falles, dass die vorstehende quadratische Gleichung für die Function » durch jeden Werth dieser Grösse identisch erfüllt würde, bedarf kaum der Andeutung.
Wenn aber die Grösse a als Null vorausgesetzt wird, so giebt die Gleichung (N) ohne Weiteres die Bedingung der Coexistenz der Fun- damentalgleichung (17) und der Gleichung J(z) =o in der Form
I "qm 46
Neo
an. Sind die Functionen a und f geeignet, diese Bedingung durch eine von o unabhängige Grösse vy’? zu erfüllen, so ist damit y’? selbst be- stimmt, während die Function #, die ebenfalls von o unabhängig ist, völlig willkürlich bleibt.
Die Kenntniss der zwei Functionen »? und # reicht in jedem Falle aus, um auf die Cosinus X’, Y', Z und mit ihnen auf die anderen X, Y, Z zurückzuschliessen. Nach geschehener Ermittelung derselben würden sich die Coordinaten £,7,{ derjenigen Flächen, für welche die Bedingung P, =o eintreten würde, durch die in meiner Abhandlung angegebenen (Juadraturen bestimmen.
ine einfache, schon am angeführten Orte benützte Buchstabenver- tauschung in den vorstehenden Rechnungen würde diejenigen Kriterien ergeben, für welche die Gleichung Q, — o erfüllt sein könnte.
Functionen 4,5, 2, f, welche diese Kriterien erfüllen, sind daher durch die Voraussetzung, dass weder P, noch Q, für eine der betrachteten Flächen verschwinden dürfen, aus den in meiner Abhandlung gegebnen Entwickelungen ausgeschlossen. Will man solche Functionen zulassen, so würden den durch die Fundamentalgleichungen bestimmten Flächen noch diejenigen hinzuzufügen sein, für welche die betreffende Degeneration der Abbildung eintritt.
Zur vollen Einsicht in das Verhalten der ausgeschlossenen Singulari- tät führt schliesslich die Betrachtung der Transformation, welche die Fun- damentalgleichung (17) in die zweite Fundamentalgleichung (17’) (I. c.
Note zur Theorie der Deformation der Flüchen. 199
pag. 181) überführt. Die Formeln diese Transformation vermittelnden Formeln sind an der betreffenden Stelle nicht mitgetheilt worden, ergeben sich aber sofort aus der Combination der oben angegebnen Formeln (15) und (15’) in folgender Gestalt:
NC ere Te) ap UE ; o(d(z) — c A, (2) a( — Dy Ai(z) LAS ( + jh c(J'(z) — oA:(z) : a ‚(z foe a won
Bezeichnet man durch A(z) die linke Seite der Fundamentalgleichung (17) durch A’(z) diejenige der Fundamentalgleichung (17’) (l. e. pag. ı81) so hat man vermöge dieser Transformationsformeln die beiden Iden- titäten
Aus ihnen geht hervor, dass jede Function z der Variablen w, v welche A(z) zu Null macht, als Function der Variablen w', v' auch A’(z) zum Verschwinden bringt, wenn diese Function nicht etwa J(z) annulirt, und dass umgekehrt, wenn nicht etwa J'(z) verschwindet, A’(z) mit A(z) gleich- zeitig zu Null wird.
Unter der Voraussetzung, dass die Bedingungen, mit denen die Gleich- ungen 7, =o oder Q, — verträglich sind, ausgeschlossen bleiben, haben daher die Fundamentalgleichungen A(z) =o und A'(z) — o den gleichen Umfang an Integralen und bestimmen alle Flächen von dem betreffenden reducirten Linienelement.
200
Berichtigungen zur: Tabelle der kleinsten primitiven Wurzeln der Primzahlen unter 5000.
(Bd. 17, S. 315 und 20, S. 153 dieser Zeitschrift.)
Die kleinste primitive Wurzel von 1021 ist 10, die von 3181 ist 7, die von 3191 ist 11, die von 3967 ist 6, die von 4657 ist 15, die von AGS En 110%
G. Wertheim.
Acla mathematica. 22. Imprimé le 11 juillet 1868.
SUR LA THEORIE DES VARIATIONS DES LATITUDES
PAR
VITO VOLTERRA
a TURIN.
Introduction.
I. Je présente dans ce Mémoire l'ensemble de quelques articles que jai publiés en 1895 sur la théorie des variations des latitudes.’ Je ne ferai pas ici l'histoire de cette question qui est si importante dans l'astro- nomie et la mécanique céleste. Dans le second volume de son traité de mécanique céleste TISSERAND a consacré deux chapitres à l'exposition par-
' Sulla teoria dei moti del polo terrestre (Atti della R. Accademia delle
Seienze di Torino, Vol. 30, 3 février 1895). :
— Sul moto di un sistema nel quale sussistono moli interni slaxionarii (id., 3 mars 1895).
— Sopra un sistema di equaxioni differenxiali (id., 31 mars 1895).
— Un teorema sulla rotaxione dei corpi e sua applicaxione ai moti di un sistema nel quale sussistono moti interni staxionarü (id., 5 mai 1895).
— Sui moti periodici del polo terrestre (id., 5 mai 1895).
— Osservaxioni sulla mia Nota: Sui moti periodici del polo terrestre (id., 23 juin 1895).
— Sulla teoria dei moti del polo nella ipotesi della plasticita terrestre (id., 9 juin 1895).
— Sulle rotaxioni permanenti stabili di un sistema in cut sussistono moti interni staxionarti (Annali di Matematica pura ed applicata, t. 23).
— Sulla rotaxione di un corpo in cui esistono sistemi ciclici (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, 1% septembre 1895).
— Sulla rotaxione di un corpo in cui esistono sistemi policiclici (Annali di Ma- tematica pura ed applicata, t. 24).
— Sulla teoria dei movimenti del polo terrestre (1. février 1895, Astronomische Nachrichten, n? 3291—92).
Acta mathematica, 22, Imprimé le 21 septembre 1898. 926
202 Vito Volterra.
ticularisée des travaux désormais classiques sur ce sujet. Je renvoie done à cet ouvrage pour citer les grands travaux de M. Darwin, de M. SCHIAPARELLI, de M. HELMERT, de GvrpÉN etc. En général les auteurs cherchent les causes des variations des latitudes géographiques dans les actions géologiques, l'élasticite, la plasticité terrestre, dans les explosions voleaniques, les troubles météorologiques, la production des glaces etc., c'est à dire en général ils attribuent le phénoméne à des causes qui altérent la distribution des masses sur la surface de la terre.
2. Mais outre les mouvements dont on vient de parler il y en a d’autres qui ont lieu à la surface terrestre, et d'autres aussi peuvent subsister à l'intérieur (dont la grandeur nous est inconnue) qui sans changer à cause de leur nature cyclique les axes d'inertie de la terre ni la grandeur des moments d’inertie, ni la distribution des masses non plus, peuvent exercer une action puissante sur le déplacement des póles de la terre.
Parmi ces mouvements on peut citer les courants marins constants, les courants atmosphériques, le mouvement continu des eaux des fleuves jusqu'à la mer, leur évaporation et la condensation successive de la vapeur sur les. montagnes. Ces mouvements ne changent sensiblement Ja distri- bution des masses, ni la forme de la terre et l'on peut méme dans une premiére approximation les regarder comme des mouvements stationnaires. Par rapport aux mouvements de la méme nature qui peuvent exister à l'intérieur de la terre on ne peut rien affirmer sur leur grandeur.
Montrons d'une maniére tout à fait élémentaire leur influence sur la rotation.
3. A cet effet envisageons un corps dont les axes d'inertie soient £,75,6€ et supposons qu'à son intérieur ou à sa surface il y ait un mouve- ment stationnaire d'une partie de la matiére dont il est constitué. Ce mouvement qui aura lieu sous l'action de forees internes ne changera ni la forme ni la distribution des densités. Pour fixer les idées supposons que le corps soit homogène et, par l'effet de forces internes, un tore de revolution PQ tourne relativement au corps autour de son axe VV’ avec une vitesse angulaire constante, tandis que la partie résidue du corps soit rigide; ou plus en général le long d'un tube quelconque PQ ait lieu une circulation constante d'un fluide homogène. Le centre de gravité du corps, les axes d'inertie et les moments d'inertie 4, B, C ne changeront pas.
Sur la théorie des variations des latitudes. 208
Soient m, , m, , m, les moments, par rapports aux axes €, 7, ¢, des quan- tités de mouvement dues aux mouvements stationnaires internes quels qu'ils soient. Si le systéme a un mouvement de rotation autour du centre de gravité O, et si les composantes de la vitesse angulaire sont p,q,r, les moments des quantités de mouvement dues au mouvement absolu de tout le systeme, par rapport aux axes €, 7, ¢, seront
fi
Supposons que le systéme ne soit pas soumis à des forces externes; alors le couple de quantité de mouvement sera constant et son axe aura une direction constante. Soit z un axe fixe paralléle à cette direction; x, y solent des axes fixes situés dans le plan invariable et représentons par la table suivante les cosinus des angles que les axes €, 7, ¢ forment avec les axes 2 ,y , 2:
Ge sy 4 fla, Bo Ld RC esl ONE c AN
Les trois intégrales des aires seront exprimées par les équations suivantes | (Ap + m,)a, + (By + m,)a, + (Cr + m,)a, = 0,
(1) 1 (Ap + m,)B, + (Ba + m), + (Cr + m,)8, = o, Peake ein
204
Vito Volterra.
K étant la grandeur constante du couple de quantité de mouvement. Dérivons ces équations, et ayons égard aux formules de Poisson
da, Am = a, az 9,1, df,
| dy, _
| dt Date
on trouvera La, + Ma, + Na, =o,
ayant posé
awe
Ba
dr
ir op
posso
da, ae = a, DC df, 1 dt Behr dy Sa EV Der nn
Lf, + MB, A NB, == 0;
da, dt = aq D) df, que = hdi 25 dy, a — r "TP
Ly, + My, Ny, = 0
— B)qr + m,q — m,r = L,
C)rp + mr — mp =
M,
C— 3m + (B— A)pq + m,p — m,q = N.
On aura donc les équations
C— TE cae (B — A) pq + m,p — Mg = 0.
On a bien aisément deux intégrales algébriques de ces équations. En
effet en les ajoutant aprés les avoir multipliées par »,9,r,
par une intégration
on trouve
(4) :(Ap* uc Bq? Be Cr?) = } = const.
Sur la théorie des variations des latitudes. 205 Si on intégre aprés les avoir multipliées par Ap+m,, Bg-+m,, Cr+ m, et les avoir ajoutées, on a
(5 | A'p! + Bq? + Cr? + 2 Am, p + 2Bm,q + 2Cm,r = K, = const.
Cette intégrale peut s'obtenir aussi des intégrales des aires. En effet en écrivant que la grandeur du couple de quantité de mouvement est constant on a
(6) (Ap + m,)? + (Bg + m,)” + (Cr + m,) = BK’;
cest pourquoi
K? = K, + mi + m} + m}.
Supposons maintenant qu'à l'instant initial le corps tourne autour de laxe d'inertie ¢, on aura alors
gg r
AV ©
et les équations (3) deviendront
Cela prouve que si m, et m, ne sont pas nuls, les dérivées de p et q ne seront pas nulles, d'ou l'on tire que laxe d'inertie f ne sera pas un axe permanent de rotation, mais que cet axe changera.
En ayant égard aux mouvements internes terrestres de nature cy- clique dont nous avons parlé (voir $ 2) et en les regardant comme sta- tionnaires, on voit qu'ils n'altéreront ni la forme ni la distribution des masses de la terre, et cependant il pourront donner lieu à des valeurs de m, et m, qui ne sont pas nuls, c'est pourquoi il pourront changer l'axe de rotation de la terre. Pour employer les équations (3) nous avons supposé que les mouvements internes terrestres solent stationnaires, mais méme en supposant qu'ils ne changent pas la distribution de la matiere on
206 Vito Volterra.
pourra admettre que dans certaines époques ils se ralentissent, en d’autres époques il deviennent plus rapides. On voit tout de suite qu’on pourra abandonner l'hypothése des mouvements stationnaires et pour cela il ‚‚m,, m, des fonctions du temps au lieu que des quantités constantes et alors il faudra remplacer les équations (3) par les
suffira de supposer m
équations dp j $5 Ar, (€ — B)qr + m,q —m,r + imi o, ; J , dq nee dm, (7) jo: A Oynpi oma mp ao, ,dr dm, Can ts (B — A)pq + m,p — mg + Uo
qu'on trouvera de la méme maniére qu'on a employée précédemment. Dans ce cas il restera la seule intégrale (6); l'intégrale (4) ne se vérifiera pas.
4. Le plan des recherches que je me suis proposées est justement d'étudier d'abord l'action toute seule des mouvement cycliques qui ne changent ni la forme ni la distribution des masses sur la terre, et d'étudier apres les perturbations produites par la plasticité et en général par les mouvements qui changent la forme et la constitution de la terre. La premiere partie a été traitée avec détail dans ce mémoire; de la seconde il ny a qu'un aperçu au dernier chapitre.
Je crois de cette maniére d'avoir envisagé la question d'un point de vue nouveau.
Les mouvements cycliques dont nous avons parlé sont appréciables, du moins en partie, pour les habitants de la terre, mais un observateur qui aurait égard seulement à la variation de la forme de la terre et aux variations de sa constitution, c'est à dire à la distribution des masses, ne sen apercevrait pas. C'est pourquoi par rapport à ses observations il pourrait les appeler, en suivant une locution trés-heureuse introduite par Hertz, des mouvements cachés.
Nous arrivons par là à une liaison entre le sujet de ce mémoire et les idées imaginées par Hertz en systematisant celles de Hrrwnorrz et de Maxwe tt, et dont la base est la théorie des mouvements cycliques.
Sur la théorie des variations des latitudes. 207
Rappelons à ce propos la pensée fondamentale développée par Hertz dans son dernier ouvrage. Il dit que la seule loi qui gouverne tous les phénoménes naturels est la loi d'inertie, entendue dans un sens plus gé- néral que celui attaché à cette loi par Newrox. C’est la loi d'inertie généralisée à tout système matériel soumis à des liaisons quelconques. Cette loi subsiste pour l'ensemble complet constitué des masses que nous envisageons et d'autres qui nous sont cachées. En examinant les pre- miéres il peut paraitre que leurs mouvements ne suivent pas la loi d'inertie, mais la loi ressort lorsqu'on envisage les unes et les autres.
Tandis que dans la mécanique classique si la loi d'inertie n'est pas vérifiée il faut chercher les causes externes ou les forces qui produisent les altérations de l'état du corps, en suivant lidée de Herrz il faut chercher des mouvements cachés.
Voyons maintenant comment on peut présenter la question de la variation des latitudes: Un corps (la terre) ne suit pas les lois d'EurER de la rotation libre d'un corps rigide, comment peut-on expliquer cet éloignement de la loi d’inertie? car au fond les lois d’EuLmr ne repré- sentent que la loi d'inertie.
I] est évident qu'une solution fondée sur l'existence des mouvements cycliques dont nous avons parlé repond tres-bien aux idées de Hertz que nous avons indiquées. Nous dirons à ce propos dés à présent qu'on peut démontrer que toute anomalie qu'on remarque dans la rotation libre d'un corps peut étre expliquée par des mouvements internes cycliques qui ne changent ni la forme mi la distribution des masses du corps.
(Voir Chap. IV, Art. IL)
5. En suivant les idées qu'on vient d'exposer j'ai commencé l'étude en partant de l'hypothése plus simple que les mouvements internes soient stationnaires. En remarquant que par la,seule inertie ils ne pourraient pas se conserver en général de cette nature, on peut chercher les actions mutuelles que les mouvements cycliques et le mouvement de rotation exercent entre eux.
On arrive par là à une question trés-générale et on voit bien aisé- ment qu'il est avantageux de se poser à ce point de vue dans la question du mouvement terrestre, car on peut pousser la recherche jusqu'aux réactions exercées par la rotation sur le mouvement interne.
208 Vito Volterra.
Mais en envisageant de cette manière la question j'ai reconnu qu'il y a encore un autre interét, dont je vais parler: un interét qu'on pourrait appeler analytique et fonctionnel.
On connait tres-bien la relation qui subsiste entre les transcendantes elliptiques et la théorie de la rotation libre d'un corps rigide. D'aprés les mémoires classiques de JAconr cette théorie constitue une des plus belles applications des fonctions Jacobiennes. Or la recherche des rapports entre les mouvements cycliques et la rotation est (comme on le voit tout d'abord) un probléme beaucoup plus compliqué que celui de JAconmr de la rotation d'un corps rigide; cependant je montrerai que ce sont toujours les fonctions elliptiques et Jacobiennes qui suffisent pour la résolution compléte de la question, méme dans le cas le plus général. Je donnerai en effet dans ce mémoire la solution compléte. On verra que ces transcen- dantes paraissent toujours sous des expressions rationnelles ou sous des ex- ponentielles, mais d'une manière différente que dans la solution de JAconr.
Nous allons donner en peu de mots une idée de ces résultats et pour cela nous faisons usage des à présent de la terminologie d’Hrrn- HOLTZ,’ qu'on va rappeler. Les coordonnées indépendantes d'un systeme peuvent être classées en deux catégories: les coordonnées cycliques et les paramètres. Les premiéres existent dans un systéme lorsqu'il y a des mouvements possibles qui n'altérent pas la distribution des masses et qui produisent un échange cyclique des masses. Un mouvement est dit cy- clique lorsqu'on peut se borner à considérer dans l'expression de la force vive les termes qui dépendent seulement des intensités cycliques.? Il est évident qu'un mouvement rigoureusement cyclique n'existera que si tous les paramètres seront constants.
Cela posé envisageons un systéme dont les liaisons n'empéchent pas la rotation autour d'un point. Les variables qui déterminent sa configura- tion seront, outre celles qui définissent la position variable d'un systéme d'axes ayant l'origine dans le point fixe, un certain nombre de coor- données cycliques et de paramétres. Nous supposerons que les coordon- nées cycliques et les paramétres suffisent pour définir le mouvement
! Principien der Statik monocyklischer Systeme. Crelle's Journal, Bd. 97. ? Le eas appelé d’ignoration of coordinates avait été examiné par THOMSON et Tarr, Treatise on natural philosophy, Vol. I, Part. I, Art. 319.
Sur la théorie des variations des latitudes. 209
relatif par rapport aux axes Nous regarderons ce mouvement comme le mouvement interne du systéme et nous supposerons qu'il soit cyclique.
Faisons d'abord l'hypothèse que les axes soient fixes et que les pa- ramétres soient constants. Si on abandonne le systéme à son inertie les moments cycliques et par conséquent les intensités cycliques seront des quantités constantes. C’est pourquoi dans ce cas le mouvement sera dans le méme temps adiabatique et isocyclique.
Supposons maintenant que les axes puissent tourner librement et le mouvement interne soit maintenu isocyclique, les parametres étant con- stants. C’est le cas d'un systeme dans lequel existe un mouvement in- terne stationnaire.
Alors si le systeme n’est soumis à aucun couple de rotation nous démontrerons au chapitre II que, les composantes de la rotation seront des fonctions elliptiques du temps et les cosimus des angles que les axes d'inertie du système forment avec des axes fixes seront des fonctions uniformes du temps représentables par des fonctions Jacobiennes.
On peut demander dans ce cas s'ü faut des forces pour maintenir stationnaire le mouvement interne. On trouve qu'en général elles sont né- cessaires et qu'on peut en déterminer les expressions par des fonctions ellip- tiques du temps. |
La nécessité des forces dont nous venons de parler prouve que de la même manière que le mouvement interne altére la rotation, celle-ci a en général une influence sur les mouvements internes. C'est pourquoi on peut se poser la question suivante: À l’intérieur d'un système qui peut tourner autour d'un point fixe et qui est abandonné à son inertie existent des mouve- ments cycliques quelconques (les paramètres étant constants). Comment a lieu la rotation et quelles lois suivent les intensités cycliques, à cause des actions mutuelles que ces mouvements exercent entre eux?
Cette question qu'on peut appeler le problème général du mouvenient adiabatique parait au premier abord tres-compliquee car on peut imaginer les mouvements cycliques internes d'une manière tout à fait arbitraire. Cependant nous montrerons au chapitre IV qu'on peut la résoudre compléte- ment en employant un théorème par lequel on ramène ce cas à celui d'un mouvement isocyclique, de maniére que méme dans ce cas les com- posantes de la rotation sont des fonctions elliptiques du temps et les cosinus des angles que les axes mobiles forment avec les axes fixes s'expriment par
Acta mathematica, 22. Imprimé le 21 septembre 15985, 91
210 Vito Volterra.
des fonctions Jacobiennes. En outre les intensités cycliques sont des fonctions elliptiques du temps. Le probléme peut étre aussi généralisé en regardant comme isocyclique une partie seulement des mouvement internes et en supposant que les forces correspondantes aux autres coordonnées cycliques soient nulles, et la solution s'obtient toujours de la méme manière. On voit par là que le champ des problémes sur la mécanique des systémes d'ou ressortent les fonctions elliptiques et Jacobiennes est beaucoup plus large que celui compris dans les recherches classiques de Jacomr, car il embrasse le probléme général du mouvement adiabatique et isocyclique d'un systéme quelconque.
6. Il nous reste à indiquer de quelle mañière a été faite la division en chapitres du mémoire.
Les premiers trois chapitres traitent du mouvement d'un systéme à l'intérieur duquel existent des mouvements stationnaires. Dans le premier chapitre il y a une étude géométrique faite avec les vues de Porssor; le second chapitre renferme la solution analytique complète, et le troisième est consacré à la recherche des rotations permanentes, de leur stabilité, des oscillations du póle autour de ses positions stables et des perturbations correspondantes de la période eulérienne.
Le quatrième chapitre traite en général des mouvements cycliques et renferme les résultats dont nous venons de donner un apercu.
Dans le cinquiéme chapitre, apres l'étude du cas général des mouve- ments internes qui n'altérent ni la forme ni la distribution des masses, et la résolution du probléme de déterminer les mouvements internes, étant donné d'une maniére arbitraire le mouvement du póle, on trouvera quelques applications au mouvement de la terre. J'ai cherché par des calculs approximatifs de déterminer les mouvements internes cycliques qui cor- respondent aux mouvements harmoniques du pôle découverts par M. CHAnp- LER. Cet éminent astronome a trouvé dans le mouvement du póle une période d'environ 430 jours. Si le couple de quantité de mouvement des mouvements internes avait une composante dans la direction de l'axe ter-
restre égale a du couple de quantité de mouvement de la terre
supposée rigide, la période eulérienne deviendrait celle de M. CHANDLER. Sans diseuter ce résultat je cherche quels seraient les mouvements internes cycliques capables de déterminer dans le pôle le mouvement
Sur la théorie des variations des latitudes. 211
harmonique ayant la période annuelle dont M. Cnaxprxm a determine les éléments. Les résultats obtenus sont renfermés dans quelques théorémes qui sont énoncés au $ 3 de l'Art. V.
Je remarquerai ici seulement que l'axe du couple de quantité de mouvement correspondant oscille de manière que la projection sur l'équateur de son extémité (l'origine étant au centre de la terre) décrit une ellipse dont Jai calculé la grandeur des axes, et dont le grand axe est situé dans le méridien ayant la longitude de 45° (par rapport au méridien de Greenwich) c'est à dire dans le méridien qui passe au milieu de l'océan atlantique.
Enfin le dernier chapitre renferme un apercu des perturbations qu'on a dans les lois précédemment trouvées par l'hypothèse de la plasticité ter- restre. Cette étude est à peine ébauchée, c'est pourquoi j'espére de pouvoir exposer dans un autre mémoire des nouvelles études dans cette direction ainsi que dans l'hypothése générale des mouvements cycliques lorsque les parametres ne sont pas constants et de pouvoir enfin approfondir les appli- cations de ces recherches.
CHARTTRET.
L'étude géométrique de la rotation d’un corps dans lequel existe un mouvement interne stationnaire.
Article I.
1. Il est possible de se faire une idée claire du mouvement sans recourir à lintégration compléte des équations différentielles (3). Il suffit pour cela d'envisager les intégrales algébriques de ces équations qu'on a trouvées (Introduction $ 3) de la méme maniere que Pornsor a fait dans ses recherches sur la rotation libre d'un corps.
Nous commencerons par nous proposer la solution des deux problémes suivants:
1°) Déterminer toutes les positions de l'axe instantané de rotation par rapport au corps en mouvement,
212 Vito Volterra.
2°) Déterminer la vitesse angulaire de rotation du corps pour chaque position de l'axe.
Soit (1), A& Br + CC —1 l'équation de l'ellipsoide d'inertie par rapport au centre de gravité O et soit P son intersection avec l'axe de rotation. On peut appeler P le póle et la courbe quil décrit sur l'ellipsoide la polodie.
Si l'on pose OP € — Vp + gtr
on aura que les coordonnées du pole seront
- zi p q 7 2). SEN y= 0— C= - (2) » i e / PIG? 5 LT d'ou (voir (4) et (1),)
0°
—2h—1
e) cest à dire
QOL ON 2h.
Par suite la vitesse de rotation sera proportionnelle au rayon vecteur OP. On a ainsi la solution de la deuxiéme question que nous nous sommes proposée.
On déduit des équations (2),
Pty, qe». cw
et en substituant dans l'équation (5)
2 329: 2 2 » ; ; K, (3). AE + By? + CE + Says + Bm,y + Cm,¢) = —-.
Les équations de la polodie seront donc les deux équations (2), et (3),.
,*
La dernière équation peut s'écrire encore
qm,
2 M m 2 £ : 2 K: 5) Eee: = ee =) sa NEM \ A a) s (7 ir By2h s e 3 v ,
Sur la théorie des variations des latitudes. 213
On peut done envisager la polodie comme l'intersection de l'ellipsoide d'inertie avec l'ellipseide ayant pour équation
ro
: 5 K 222 2 2 12 #2
Age tes DIE CT = 5% transporté par une translation de maniere que son centre ait pour coor- donnees
m, ni 2 m 3
fe, UNA y / A V2h B V2h CO y2h
La premiere question est donc aussi résolue.
2. Dans le cas étudié par Pomsor le plan tangent à l'ellipsoide d’inertie au pole est parallele au plan invariable et il est un plan fixe. Cette propriété ne se vérifie pas dans le cas que nous étudions. Ce- pendant on a des propriétés analogues qu'il est intéressant d'examiner.
Le plan polaire, c'est à dire le plan z qui est tangent à l'ellipsoide d'inertie au pôle, a par rapport aux axes coordonnées &, 5, € l'équation
(4). Ap& + Bay + Cr&— V2h-
Conduisons les deux droites OK, OM. La premicre soit l'axe du couple de quantité de mouvement; l’autre ait pour projections sur &,7,¢ les trois quantités m, , m,, m
Us On pourra appeler ce dernier vecteur
l'axe des mouvements internes.
214 Vito Volterra.
Les coordonnées des points M et K seront respectivement
nem, m
1 2 ? 3?
Ap + m, , Bq + m, , Cr + m..
On tire de là que /e plan polaire est toujours perpendiculaire à la droite qui va de l'extrémité de l'axe des mouvements internes à celle de l'axe du couple de quantité de mouvement. La droite MK est donnée par
MK — V A?p? + b’g’ + Cr? et la distance OD entre O et le plan polaire est
val
OD = - zs -— VA*p* + Beg? + Cr?
par suite: la distance entre le centre de gravité et le plan polaire est en raison inverse de la distance entre les extrémités de l'axe des mouvements internes et de l'axe du couple de quantité de mouvement. Par rapport aux axes fixes æ,y, 2 l'équation du plan polaire sera (Apa, + Bqa, + Cra,)x + (Apf, + BoB, + CrB,)y + (Apr, + Bay, + Cry,)z = q2h
c'est à dire, à cause des équations (1),
— (m,a, + m,a, + m,a,)z — (m, B, x UD. e m,ß,)Y -— (my, + mr, + m,ry,)2 = V2h-
L'équation du plan polaire au temps #{ + dt, sera | I I I ,
— (ma, + m,a, + m,a,)% — (m, B, +m, B, + m,ß,)y— (my, + mr, + m,7,)2 — (m, da, + m,da, + m,da,) x — (m,df, + m,dß, + m,dB,)y — (m, dr, + m,dy, + m,dp,)z = V2h, c'est pourquoi l'intersection du plan polaire au temps ¢ et du plan polaire au temps { + dé sera une droite du plan (m,da, + m,da, + m,da,)x + (m,dB, + m,df, + m,dß,)y + (m,dy, + m, dy, + m,dy,)2= 0.
Sur la théorie des variations des latitudes. 215
Divisant par dt, et ayant égard aux formules (2) cette équation peut s’ecrire
To, M, , M, m, , "T, m, Mm,» mY,m,| a, , a, , a, X + B, , Pa , Pa y 4d- h , fa , ie | 2 410 DE qa DE EQ, | IDE QE
d'ou l'on tire
(5). £,2,€CC—2o
Cette équation est celle du plan POM.
La droite PH ou se rencontrent les deux plans polaires correspondants aux temps ¢, et £ + dt peut être regardée comme l'axe instantané autour duquel tourne le plan polaire au temps /. On aura done: Le plan polaire tourne à chaque instant autour de la droite où il rencontre le plan conduit par le pole et par l'axe des mouvements internes.
3. On peut mener par chaque point de la polodie la droite autour de laquelle le plan polaire doit tourner. Le lieu de ces droites sera une surface tangente à l'ellipsoide d'inertie le long de la polodie et qui sera liée invariablement au corps en mouvement. Appelons cette surface la surface axiale, alors le mouvement du corps aura lieu de sort que l'ellipsoide d'inertie roulera sur le plan polaire, tandis que celui-ci tournera à chaque instant autour de la génératrice où il rencontre la surface axiale. L’equa- tion de la surface axiale s'obtiendra par l'élimination de p,q, r, entre les équations (4), (5), (4h, (5)
Article II.
1. Nous allons généraliser aux mouvements que nous étudions un théorème bien connu donné par SYLVESTER pour les mouvements à la PorNsor.
Posons dans les équations (3)
216 Vito Volterra.
on aura
Uap a) ee
a dt 5 Ur n RE TI ZEN — ©, I dq A n^ 3
b dt a = rp + m,r —m,p = 0,
I dr I I : ! m cam + j—.)n + om,p— mq = O,
et les intégrales (4) et (6) deviendront
2 2 2 ) ( T (24m + 1pm, + -+m,) =1, a. 1 b 2 c :
en supposant qu'on change les unités de manière que la constante A soit égale à r.
2. Supposons maintenant que l'on compose le mouvement avec une rotation uniforme @ autour de laxe du couple de quantité de mouve- ment. Alors les trois composantes de la rotation deviendront
ppc oft a" n,) = p(* To
) + om,,
a
\ b g=¢t+ o( + m, = (>) + om,,
IR ce + © al. . E— Te o( + n.) = } (- =) 4 OM, , d'ou pa m,oa
a? ?, a + © a + ©
=
qb m,ob
nen DEED?
re T, ec = ee : C +20 e +
bo m —1
Sur la théorie des variations des latitudes. Posons a + © — d, b + © — v, cto=c,
b ; c mm. —— =— nr. 2b+o is ’c+o
m, —— = m! = m; ato 12 mes
alors les équations précédentes pourront s'écrire DU D -tm=-+m rU. nn GA Peu V +m, = b Tom,
y £ TY = + m; = E Tm,, et par suite on aura
I I ; =— „ar + miq'— mir = 0,
c
I dq’ I I
P3 (;— =) p + mr — mp’ = o, G— “pa + mp — mg = 0, ie Ss qp) + (© +) =
E LL = aW.
Entre les deux quantités constantes h et /' subsistera la relation
mia mb msc )
= at ee Seed pt 2 (: ato b+o c+o
Done si on compose le mouvement que nous étudions avec une rotation uniforme autour de l'axe du couple de quantité de mouvement, la nature du mouvement ne changera pas; il ny aura qu'un changement des constantes.
Cette propriété est tout à fait analogue à celle qui a été découverte par SyLvesrer dans le cas des mouvements à la Pomsor et dont on trouve des nombreuses et intéressantes applications dans les travaux de M. Dan- Boux et de HALPHEN.
Acta mathematica. 22, Imprimé le 5 octobre 1598. 28
bo rer 9o
Vito Volterra.
Article III.
1. Nous consacrerons un chapitre (chapitre IIT) à l'étude des mouve- ments permanents et à leur stabilité, mais dés à présent nous voulons examiner quelques propriétés des mouvements permanents.
Puisqu'on doit avoir
Ap! + Bq? + Cr? = const., un axe de rotation sera permanent lorsque p,q.* seront constants, c'est à dire si l'on aura dp dq dr eu au ao
et par suite (voir équations (3))
| (C— B)qr + m,q — m,r — o,
(6), (A — C)rp + m,r — m,p = o, | (B— A) pq + m,p— m,q = o, d'ou l'on tire = , p —— EX ee E Mies ö (67). Ap+m, Bj+m, Cr+m,
2. Les points multiples de la polodie se trouvent ou les deux sur- faces (1),, (3), sont tangentes. Les coordonnées du póle sont
p q T V2h ? V2h V2h
par conséquent les plans tangents aux deux surfaces au pole auront pour équations
A(Ap4-m)(£— + B(Ba+m,)(4 aad +0(Crm,)(— € = 5
bo art e
Sur la théorie des variations des latitudes. et ils coincideront lorsque
p d qd mn g Ap-m, Ba+tm, Cr+m,
Done: les axes permanents de rotation passent par le centre de gravité et par les points multiples de la polodie, et si la polodie a un point multiple la vitesse de rotation correspondante sera celle de la rotation permanente.
3. Revenons maintenant aux équations (3). Elles seront satisfaites si l'on substitue aux fonctions p(t), g(t), r(¢) les autres fonctions
[DAE Dr U Let),
T etant une constante arbitraire; et en remplacant dans le méme temps Mm, , Mis m, par —m, , —Mm,, —Mm,. On pourra énoncer cette propriété en disant: le mouvement du systeme peut s'invertir si l’on invertit l'axe des mowvements internes.
Cela posé, supposons que, la polodie ayant un point multiple P,, le pole puisse rejoindre ce point aprés un temps 7’. Si lon invertit le mouvement le póle reviendra au point de départ aprés le méme temps. Mais laxe de rotation et la vitesse qui correspondent à P, sont perma- nents, done le pôle ne pourrait plus bouger de P,. On a done: Si la polodie a wn point multiple, le pile sapprochera indéfiniment à ce point sans jamais le rejoindre.
Cela constitue une différence essentielle entre les mouvements qui ont lieu lorsque la polodie a des points multiples, et ceux qui ont lieu lorsque elle n'en a pas. Dans le premier cas la polodie sera une courbe fermée et le póle reviendra au point de départ; dans le deuxiéme cas le pôle ne reviendra au point de départ mais il s'approchera indéfiniment au point multiple.
Article IV.
1. Dans cet article nous particulariserons les formules dans le cas où l'ellipsoide d'inertie a deux axes égaux, et le troisicme est plus petit que les autres.
Supposons A= B, et prenons les axes 5,» dans le plan de l'équa-
220 Vito Volterra.
teur de manière que l'axe des mouvements internes soit dans le plan &£. Alors on aura m, = Oo, et les équations de la polodie deviendront
u See
2/ £2 y2 = 2 Y K, ANE? + $7) + CC + jac + Om,¢) = 2i
ou bien AG ence =a C(C— A + — (Am,E + Cn, = d v2h =
Posons pour simplifier ee Um, ne C(C — A) y2h Cfms + (K —2Ah)C(C— A) _ , 2 /2h AC(C — A)m, "UO Am,
O(C— A) 2h —
Les deux équations précédentes s'écriront
A(& + 77) + CC =1,
(a = AG c On déduit de là que la projection de la polodie sur le méridien qui passe par Vaxe des mouvements internes, est une parabole dont l'axe est perpen- diculaire à l'axe de symétrie de l'ellipsoide.
Les coordonnées du sommet de la parabole seront &, et & et le
semi-parametre sera P.
2. Le théoréme précédent conduit à une construction trés simple de la polodie par l'emploi des méthodes bien connues de la géométrie descriptive.
Il suffit de choisir pour 1 plan de projection un plan parallele à léquateur et de prendre le 2? plan de projection paralléle à l'axe de symétrie et à laxe des mouvements internes. L’ellipsoïde d'inertie sera projecté sur le premier plan dans un cercle, et sur le second dans une ellipse. La projection de la polodie dans ce plan sera une parabole ayant l'axe parallele à l'équateur. On obtiendra donc la polodie en la regardant
Sur la théorie des variations des latitudes. 221
comme l'intersection de l'ellipsoide avec un cylindre dont la directrice est une parabole et qui est perpendiculaire au second plan de projection. C'est pourquoi il n'y a pas de difficulté pour construire la premiere pro- jection de la polodie.
Par ce procédé nous avons dessiné les projections de plusieurs po- lodies qu'on a obtenues en changeant la position de sommet et la grandeur du parametre de la parabole.
222 Vito Volterra.
3. L'avant-derniére figure correspond au cas où il peut arriver une inversion des póles, c'est à dire que le póle peut passer d'un bout à lautre du petit axe de l'ellipsoide.
Pour cela sont nécessaires et suffisantes deux conditions, savoir
1°) la parabole doit passer par les projections des extrémités du petit axe.
Sur la théorie des variations des latitudes. 223
2°) le sommet de la parabole doit se trouver à l'intérieur de la pro- jection de l'ellipsoide. Ces conditions seront vérifiées lorsqu'on aura
Gas e = Qu (8), 5 <=:
De la première on tire
et par suite __ K, — 24h
== 2 V2h Am,
Sir
0
Lorsque le pöle sera a un bout du petit axe on aura
dou
et par suite C,75(C — A)
2NC€r, Am,
= I Sie
Ayant égard à l'équation (8), on aura
Cro(C — A) A 1
2/0r2Am, YA
Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il arrive l'inversion des póles seront done
un JG m, > = ve (C — A)r,, m, = o.
4. On peut examiner aussi le cas ou l'ellipsoide d'inertie se réduit à une sphére. Si A= B — C, les équations de la polodie deviennent A(& + »! + C) =I, 2A K
£ Tad \ 1 Vor (m,& + m,» + m,¢) = aie
AXE + 7? + 6?) +
224 Vito Volterra.
La polodie sera done l'intersection de la sphére d'inertie avec le plan
2A 2 K (m,Ë + m,» + m,¢) = 2h — À
\ 2h
et par conséquent elle sera un cercle de la sphere ayant pour axe, l'axe des mouvements internes.
Dans ce cas les équations (3) sont des équations linéaires qui peuvent s'intégrer immédiatement. En effet si on fait coïncider l'axe £ avec l'axe des mouvements internes, elles deviendront
dp dq m dr m — —0 —=+—r=o ———r=0o dt ; dt 1 A dt A d'ou {nt . (mr Das GG. 608 (Gita), na sin (7t 4- a, ), d,, @,, a, étant des constantes arbitraires.
Le póle se mouvra sur la polodie avec une vitesse constante et la
27A
période d'une révolution sera m
Dans ce cas l’amplitude de la polodie ne dependra nullement de la grandeur de laxe des mouvements internes, mais seulement de sa direc- tion par rapport à l'axe initial de rotation.
Article V.
1. Les mouvements des systemes que nous venons d'étudier géomé- triquement et que nous allons étudier analytiquement dans le chapitre suivant sont une généralisation des mouvements à la Porwsor.
Nous consacrerons cet article à réduire les équations différentielles des mouvements à la Porwsor, celles que nous étudions et d'autres plus générales à un méme type. Cette transformation appartient à la partie cinématique de la recherche, c'est pourquoi nous la placons dans ce chapitre.
Un mouvement à la Porssor est le mouvement d'un système d'axes qui tourne autour de l'origine fixe de sorte que les composantes de la rotation ont des rapports constants avec les cosinus des angles que les axes forment avec une direction fixe.
Sur la théorie des variations des latitudes. 225
Si 715725 7, sont les cosinus, p, q,r les composantes de la rotation et a,b,c les rapports constants, on aura
p -— ay, q = y, = Cis d'ou lon tire, à cause des équations de Porsson, (Introduction $ 3)
à dq dy, 4 dr 43:7 GUY: Mo) zn ec oe Oe Urge
dr dr. dt C di = c(ar, ey)
ou bien
NG c I. /p* OF D f= EET
les équations précédentes pourront s'écrire
dp _ d(f,. fj) dq — d(f,. f.) dr — d(fi fj) dt — d(qg,v)' dt — d(r,p)' dt d(p,q)
et on aura
2. Au méme type d'équations appartiennent les équations diffé- rentielles du mouvement d'un corps dans lequel existent des mouvements internes stationnaires. En effet posons
I
h zm (dr a m)° Ss (By T Ma)” au (Cr RE ms)*), a Ve /
h= > a + Bq? + Cr’). - V4
Acta mathematica. 22. Imprimé le 5 octobre 1898. 29
226 Vito Volterra.
Alors on pourra écrire les équations (3) de la maniére suivante
dp _ Uf,» fe) dq — d(f,. f) dr — d(f,, f)
dt d(g, r) ? dt d(r,p)” dt — d(p,q)
Pour avoir les cosinus 7,,7,, 73, il suffit de construire la fonction
p— = (Ap? + Bq? + Cr’? + 2m,p + 2m,q + 2m,r) et l'on aura RU EUN t) h = Kap? Ta Rag? Ys Kor '
Entre les fonctions f, , f,, F subsisteront les relations
152.
dre. + m) + (Ge)
oF oF oF )
I 4 = m — — y—— f 2\ ABC ( op 1 194 t'y
3. En général si on a un système d'axes en mouvement autour de l'origine fixe et les cosinus des angles qu'ils forment avec une direction fixe sont donnés par les formules
EUER Yr) e pg VH Ih Kap ? Ja Ko? fs— Kor’
K étant une constante et F une fonction quelconque de p , 4, r on aura à cause des équations de Poissox
doF — xum j oF d oF — „or - °F d oF oF ve dtp 9q Ir’ dag — Ps, dp’ dtor op I 4.
Calculons les premiers membres de ces équations, on aura
d oF 5°F dp dtôp 2p° dt
9?F dq oF dr Se as 5 apoq dt opor dt
-—
doF — 9'Fdp dioq ^ 9qop dt
9*F dq 9?F dr uno. aq? dt 9q9r dt
+-
doF 20°F dp 9?F dq 0°F dr dior drop dt ar dq dt ar? dt
Sur la théorie des variations des latitudes.
On tire de la
doF doF dor dt dp ? dtdq ? dtor
dp ii || ae or or
dt H|999p ’ 99° ? 9gor or Che Fr | drop ? 9r0q 9 pu SEE or or or 1 || op ^ eq ? or dqop " 94' " 9q9) | "n s Ie ETES TETE Pr Qs | ?rop ’ 9reoq ’ or
x 0 +
or oF , oF af oF oF , oF = et > je |p a
|
H étant le Hessien de la fonction /’.
Posons "Ee e oF oF
or op su dota wy"?
Pa — D
on aura dp T d(@, , Po) dt- H d(g,v)
D'une maniére tout à fait analogue on trouvera
Ea willen A) et - T qu dt H d(r,p) ’ dt H d(p,qQ)
Si nous introduisons une variable auxiliare rz, telle que
228 Vito Volterra.
les équations précédentes pourront s'écrire
(9) dp = d(e, , >) dq = d(¢,,¢,) dr S. d(p, , 94)
x dc d(q, v) dr d(r,p) ? dr d(p,g) dt
(10), mx
Ces équations ont les intégrales e, = const., ©, = const. et sintegrent par une quadrature.
Les trois premieres équations appartiennent au méme type d'équa- tions qu'on a trouvé auparavant.
4. Lorsque F est de 2? degré, e, ev ce, seront aussi des fonctions de 2° degré et H sera une quantité constante. Alors si on intègre l'équation (10), on trouve
t= H(r— 7), c, étant un constante arbitraire. Dans ce cas, en posant I 9p 9p* oF \* Gee ei (1 1), | . I OF oF oF |; 7 al LE CET P| les équations (9), deviennent dp rire) dg df fs) dr OG 9 TES)
dE d(q , v) 4 dt d(r , p) ? ata d(p, q) ; Dans la fonction # on peut négliger le terme constant, alors il est aisé
de remarquer que pour obtenir la fonction
or 9q
QI | oF 3 De An ee
il suffit de négliger dans la fonction Æ les termes de premier degré.
bo
Sur la théorie des variations des latitudes. 29
CHAPIT RE, TI,
L'étude analytique de la rotation Wun corps dans lequel existe un mouvement interne stationnaire.
Article I.
1. Dans le dernier article du chapitre précédent nous avons ramené les équations différentielles (3) au type suivant
dp a(f,,h) ane d(q, v)
2
dt d(r , p) ?
dr _ d(f, . f.)
dt ma (pe)
(1), dq — d(f,. f.)
ou f,,f, sont des fonctions de p,4, r. Nous allons par suite commencer par l'étude général des équations I g 1
differentielles de ce type. 2. On peut trouver deux intégrales des équations (1),, c'est a dire (2), f, = const. — h,, f, = const. = h,,
ce qu'on vérifie tout de suite par un calcul élémentaire. Posons
(3). pes, q——, ==
230 Vito Volterra.
Les fonctions ¢,,¢, auront un degré d'homogénéité égal à 2.
2 maintenant d(f: f) _ 1 d(p,, €.)
d (q , v) a, (ez)
Le
dp 1 2#,dz, — x,dz, . ia dt ;
par suite la premiere des équations (1), s'écrira
æ,dæ, — 2,de, — d(g,, %,)
(4) dt dz, , %,)
et de méme les deux autres pourront s'écrire
A e,dz, — z,dz, — d(g,, ¢,) (4), dt ii).
de, pida d(e, , @)
(4) dt da , e)
Enfin on pourra substituer aux deux intégrales (2), les équations (5) €, = 0, 0, =0:
Deux quelconques des équations (4),, (4’),, (4’), auront la forme
2, IE — Ende, — d(¢, , 9) pe ake AE ES A VER EE LE dt d (2(e1) ; %r+2) 2, E24 — nd, — d(e,,@) dt d(&r+2) s Er)
etant
O0.) (r)=r mod. 3.
On en tire
" 241) LT) — (3d 41) _ 99, 9c, dis 9c, A lt = 2x “(r+1) 2x Vr) 2 at V(r+9) Lr+1) Vr)
9€; ( 9e, Sf) SITE za zo. | OF) 92.1) ar P 8x»
On a
Sur la théorie des variations des latitudes. 231
Mais dpi dpi 9c; 96: Len + ey + Lys = + = 29; = 0 21,9 (0 92 > D Qa) " CT Brin 4.2) * 8e, 4 2
par suite l'équation précédente s’écrira
Rory duy — Mn TE) _ 909, 99, : 99, 99,
dt Q2. .2) OX, 92, 0242) |
On pourra donc conclure: si i,,i,, 2,7, est une permutation quelconque d'ordre pair des nombres 1,2,3,4 on aura
v; da; — 2, dai, * d(g, , €)
(6), dt d (zi, , Vi.
3. Appliquons aux variables x; une substitution linéaire
a
(7) T; = Zone, = = 2.04,
et soit C le déterminant des coefficients c,,. Nous supposons que C ne s'annulle pas. Nous aurons
: a 2 | 4E = da , da i Cis ' Ci, si | | de, , dE,, ri , T Ci, 85 ? Ci, 8 | Ss, ? Ss,
1 , (gi 2) d(g, » Ys) Coes Coss dvi, y 2) e— d(és,, &s,) cr ,
13, 84 ? Ty, Sy
|
>
! BALTZER, Theorie und Anwendungen der Determinanten, IIL Auflage, page 50.
a" J | Ci, s, ) Cis, Erden — En dés > | Cá s ? Cis, si d(e, » Q3) ——————————-—c om > = =) e dt a €: d (8, » Ss,/
Cj, s; )
232 Vito Volterra.
d'ou l'on déduit
TR u: Es, dé, Ars. 1 d (e, , ¢,)
(8), dt T7 Ca, EE)
On tire de la qu'une substitution linéaire ne change pas la forme des équations différentielles.
Article II.
1. Nous voulons maintenant appliquer les résultats de l'article pré- cédent au cas ou f, et f, sont des fonctions entieres de 2° degré par rapport à p,q,r.
On aura alors
I == 5 (a, p^ + 4a,.07 + a,,r?) + a4 qr + a,,rp + 4,,pq "Lua prag Le a
— Le) SS c a
f, = 5 (612° + Oy? + Dar) + Dura + BrP + Dp + 0,,p + 0,9 + 9,47 + 0.
En posant
D | m y re
on trouvera
I DDR =; DE DOR ER
Dir
(9), D SS
et par la substitution (7), on pourra reduire £, et ¢, aux formes suivantes
I pa 22 PR) 22 | Qi = 5 8 + A6 a As §3 =F AE) (10),
I 9 =) 21 =? lee = dedu
Sur la théorie des variations des latitudes. 233
Il suffit pour cela que l'on ait
| Die a — I, | EIER; = (9n (h 2 k)
| DD Ge. Cs,n TX An, | LE RO =O (hz k)
Les quantités A, seront les racines de l'équation de quatrieme degré par
v
rapport à À
A 45, , 0,4 Mr a, — AD, 55-4, — Àb,,
Gps — Abs, , 044 —AD,, , Gy, — AD, » dy, — A5,
(051 UT. » Aso MEE » Ay; ud » 054 QU.
Be Abi. Ad : 5 A A0), Par suite, si B est le discriminant de la forme c,, on aura
:(4) = B —4)0 —4)0— X)0 — 4)
2. Supposons que les racines soient différentes entre elles.
Soient z,, les éléments adjoints aux éléments du déterminant (na) Nous les désignerons par un suffixe af, lorsqu'on remplacera 2 par A.
On trouve alors les égalités
5 : a Diep ay Ae CIS C3,s C4,s zn =k Dyn ChsCks — — 0 CN) (s) (s) \ 3) (s) st
"S Gr 0,7 03,7 ar =h—k bia Ur Er
Mais par un théorème sur les déterminants on a!
(S) „(s) (8) LG)
Qu, Ain = yy Uk par suite, à cause de la premiére des équations (11),
I
1508 E TT vv (8) \ Urn —k byu Gy k
JAALTZER, Theorie und Anwendungen der Determinanten, IIl Auflage, page 54.
Acta mathematica. 22, Imprimé le 13 octobre 1898, 30
234 Vito Volterra. Dérivons l'équation (12),. Nous trouverons r(A)e-— aS. Donau et., ayant égard à l'égalité (13),, 27, Lona? = — UA) = By — As)(As es — AJ s — À).
Par suite
Gir
Cis =. = Va. B(äszı = As\(As-+2 tas As) Asa X As)
(14)
V (s) Cii 1 B (Asi NE As)As+2 X As)(As+3 == As)
Enfin si lon fait usage de la régle pour calculer le produit des dé- terminants on trouve
BOX
d'ou I
Y I 5 G = —- ( 5)» VB
3. Les équations (8),, à cause des formules (10),, deviendront enden = &s, és, aoe! (A À )E E dt (Dd NEU ESS
Posons
(16), & = mou), &, = po, (uw), & = p,o,(u), E, = n,o(u)
a,0,,06,, 6, étant les quatre fonctions de WerersrrAss. Alors les équa- tions précédentes deviendront
, " du I Poy Mors) (60) 901 — Fr) Fors) ai o Uem — Ay) ont 049 0 du I
, , Ps ora s) (00€ — Gr4-2)0') OCC m (Ay — Acc) nit On 904
Sur la théorie des variations des latitudes. 235
Mais entre les fonctions o subsistent les relations différentielles !
! — , es Fir) Mor) — Fry Mery = (Aen — en) 9e e , , 0043)9 rt TI Ir) par suite les équations précédentes pourront s'écrire
du x Bolo o) — €) Te zr G Ue» Àj) Ho ena
du I Palkır+2) dt = C (CE SS TET
d'ou lon tire (1 7) (RGIS) m (Arta) — 4) dt e C : b Par +2) C(er41) = ery) du dt !
(ee — An) a
par eonséquent on aura
I Keli N= (18), CC) aan Olan (Gr (Ay) — Ae) Ree — An) (=) et enfin .2 sch. 4, — 4, 45 à, (19), Pipe cene pm us
4. Des équations (17), on déduit
7 I dt 2 174 Tis — ZUR Ar; Pen gm o oem An) du’ 2150 ; Poo Art) — Aa x = = ent), Parga) (+ — Arr — Ao) c'est pourquoi on aura fa) Ar 7 Fr»
(20), = — — Ron — V4) — Ar+ı) VÀ) Apr 2) VAr+n — Ar)
[24
1 A429 — den — Ace») V (eio Ep) = rn A(r2) — Ag
' WEIERSTRASS, Formeln und Lehrsülxe sum Gebrauch der elliplischen Punctionen,
page 28.
236 Vito Volterra.
Or (voir (7,) et (16),)
q;— eh, [hs Os done, en caleulant par les formules (3),, (14), et (20), les expressions de p.q.r et en retranchant les facteurs communs aux numérateurs et aux
dénominateurs on trouvera
3 2, Ar Or dr A,46 p=, > e A3, 6, SF Ayia 3 I =, A5,» 0% + 10, 1 (2 1), q 3 XS C Ag 70r + Ag 46 3 ES 4 Tr 3,8; + 4; 40 p — 3 = — 5 S^ TE 4,76; zs Agua
ou l'on a posé pour simplifier
"2 4 A — V ze (A, À;) , (22 h E (A, ND 4,)(A, 2,)(à, A À.) p (A, : 2,)(2, A,)(A, Às) I (rm — Ace) — Ace») Au= À — NV of? (oan Er) Y m Rem E | M(r2) — A (44 — À) 4 — A+)
Pour trouver la relation qui subsiste entre la variable ¢ et l'argument w B . 5 PI " , . 1 €
des fonctions s, il suffit de résoudre l'équation (18), par rapport à du
(EN
Si on intégre aprés, ayant égard à l'équation (15), on trouve
É€(rA4 —= (45 22 kx A 2 (r+1) (m) uU—U 23) B (A2) — Ar) — An) 0)
4, etant une constante arbitraire.
Sur la théorie des variations des latitudes. 237
On a done pu intégrer les équations (1), lorsque 7, et f, sont des fonctions de 2° degré. Les intégrales trouvées sont des fonctions double- ment periodiques de la variable £.
Article III. 1. On peut appliquer l'intégration. générale de l'article précédent au cas des équations différentielles (3). Il suffit de prendre (voir chap.
Iaceo V 52)
I
E > ABO [(Ap + m)? + (By + m,)? + (Cr + m,)], hips T = AP’ + Ba’ + Cr"), E NE TN
2 (ABO VABC
pour réduire les équations différentielles (3) aux (1), et les intégrales (4) et (5) aux intégrales (2). 2. L'équation de quatrième degré (12), devient
AP — Ml z Oo À Oo : Am,
O 5 1B SB , O £ Bm, | 2A) — ; = 0, Oo E O Ca AC Cm,
Ae, bm, . Cm, 7,2M—K, ou nous avons posé
(24), K, = Kk? — mj — m3 — mi.
En développant le déterminant on trouve, aprés avoir divisé par ABC,
(25), = (4 — NB-NC— HK, — 2h) + Ami(B — NC — 2)
+ Dm;(C-— A((A — à) + Cms(A — 4)( Bb — 2) = 0
bo o0
Vito Volterra. et si l'on divise par (A —A)(B— 2)(C— A)
Ain; Bm; Cm? : aa Eee nn D
(2 5 )b
A cause de l'égalité (2 cette équation pourra s'écrire encore > b
mi m; ms Ke
(25), A proc pen
Nous supposerons que les racines soient simples, que m, , m,, m, ne solent pas nuls et que les trois quantités A, B,C soient différentes entre elles. Dans ces hypotheses aucune des, racines ne sera égale à A ni à
78), t y (GG
Nous aurons, par des calculs sans difficulté,
xp LL REB Cn ee di RPG
ios)
]*tsy: G3,4 [= —— A) (As = B) V 03 3 m —= = — + à (s) As — CU
Va a = Bao.
Si l'on substitue ces valeurs de ya‘) dans les formules (22), les équations (21), deviennent
M, u DE HEN ) — m, t— re A dta À, — À a dd i 2 Mo, + Uo, + Mo, + Mo M, M; c M ne (26), Me eee ea (m o TCR d Mo, + Mo, + Mo, + Mo 2 I, N: aa ee OO ee Sm r=m 2 : ;
Mo, + Mo, + Mo, + Mo
Sur la théorie des variations des latitudes. 239
ayant posé
(27)
| 5-4 — M Ve SUC uc ni — Agr AE =O)
=n 10, = A BC),
} (Ar Im Nort ») Và, — AY, — By d —0 ) Aib, = Ve £r) — €») |
Me À) Ant) — As
Pour trouver l'équation du temps il suffit d'observer que le discriminant D de la forme ce, dans notre cas se réduit a
2h
1 ABO’
En substituant cette valeur dans l'équation (23), on trouve
(2307 l c Ve en) — &r+1) (u 4).
2h (AES = AX hort) — (5)
On peut done énoncer la proposition: Si l’on a un corps, à l'intérieur duquel existent des mouvements stationnaires et qui west soumis à aucun couple de rotation, les trois composantes de la rotation par rapport au centre de gravité sont des fonctions elliptiques du temps.
Le probleme de la rotation est donc résolu par les formules de
cet article, pour ce qui a rapport aux trois composantes de la rotation.
Article IV.
1. Afin que la solution analytique du probléme soit complete, il faut déterminer les neuf cosinus des angles que font les axes principaux avec le systéme d’axes fixes. On les a appelés dès le commencement
(voir introduction) a, , CR NU 25r. ES TUA
240 Vito Volterra.
Nous avons déjà déterminé p,q, 7; il suffit done d'intégrer les équa- tions de Potsson (voir introduction (2))
da d i dy nm ne a Pr 89; dr =n a tle da, à dp, 5 dy, À ED = Gp — a", dm EIE EU dt maire eye da, df, dy 77 ae Cat ee Eo nu A9 — PP» dp 7 n9—nP-
2. Avant d'aborder cette question dans le cas particulier du pro- bléme que nous occupe, nous envisagerons le cas tout à fait général et nous donnerons dans cet article un theoreme sur la rotation des corps qui simplifiera beaucoup tous les calculs que nous allons faire. Posons !
A, 0, 621,5 Ayo, OB; AO cp if, 2
on aura les relations bien connues ”
Ann xls e + A ces»
d'ou lon tire
AL = UE ar Ts 4
(28) RE m = b
la = UST US A
Pe I
et par suite on a que A,, A, peuvent s'exprimer rationnellement par ND UNDE? A,. Soit BY SE, x I je ee TT «hoan cm B; =o, —iß. Ba HE
2? 3
nous pourrons écrire aussi
> LI IR NES Pr EN a eae
Voir BRILL, Sul problema della rotaxione dei corpi. Annali di Mat. T. IIT, S. II.
Voir Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques. XIL, page 27.
Sur la théorie des variations des latitudes. 241
Par conséquent B,, D,, B, pourront de méme étre représentés rationnelle-
ment par 7, ; Jo» 3» À,» et de là on déduit que les six cosinus a, , 2,, 4,3
Bi» Py» A, seront des fonctions rationnelles des mémes quantités. Observons enfin que
: I—n Mole is = = =? To rs donc! les meuf cosinus sont des fonctions rationnelles des trois quantités
(29), yas fart Wars a, tip.
On déduit des équations de Porssox
dA : = À
dé 4 P NIE 4,9;
par suite, ayant égurd aux équations (28),, nous obtiendrons
RE) NO em dad) (30), AINE: v7 fe + 7s x
1
ce qui démontre que lorsqu'on connait p, q, T ; 7,5 Ya; Ja il suffit d'une seule quadrature pour obtenir tous les cosinus.
3. Les propriétés précédentes rappelées, nous allons démontrer le théoréme suivant:
Si p.q,vT i Tyo fas py, Sont des fonctions uniformes du temps dont les points singuliers sont des pôles, et si dans tout point singulier l'ordre d'infini d'une des fonctions y, , y,, y, west pas dépassé par l'ordre d'infini des fonc- lions p, q,wv; alors les neuf cosinus seront des fonctions uniformes du temps
et tous leurs points singuliers seront des poles.
En effet, p,q,r; 7,157.97, nont que des pôles pour points sin- guliers, on pourra écrire
P^. inb. eB Pr a: m NI TET mu a= M US mic aS pt
! Voir HALPHEN, Traité des fonctions elliptiques. T. IT, page Ir.
Acla mathematica. 22. Imprimé le 13 octobre 1898, 91
242 Vito Volterra.
P,Q,R; I4, 1,, I5; D étant des fonctions entières. Supposons qu'on ait retranché toutes les racines communes à ces fonctions, alors on pourra dire que I’, 1,, 7,, D n'auront pas des racines communes. Pour le voir il suffit d’observer que si 1°, 7,, 7,, D avaient une racine qui ne füt pas une racine de P, Q, R, une au moins des fonctions p,q, 7 de- viendrait infinie d'ordre supérieur aux trois fonctions 7, , y, , 7, pour / égale à cette racine, ce qui est contraire aux hypothéses qu'on a faites. Cela posé, on peut transformer l'équation (30), en écrivant
1 dA, _ Hr — 3.9) hr wt ig) Ariat mrtis
OU Ert det einer ae Uf)
re + 7s
Mais RR u een
par suite
I dA, To? — Tad ing, nd n RAR 0) A, dt it ar l'a Sp Vy. I Ti (IT iy.
Si on a égard à l'égalité — en fa rst dt ?
l'équation précédente deviendra
c'est à dire
en, 1dA, dj «(H3 5) bet n zu m SEES Ts 2 a A, dt Cine D I, + il, dimes D P,—2aI N y I dA, . Les póles de la fonction uda seront les valeurs de ¢ qui annullent une
ou plusieurs des quantités DE 2, DT De u DX
Soit £, une de ces valeurs. Nous pouvons distinguer deux cas. 0 e
Sur la théorie des variations des latitudes. 243
Si f, n'est pas en méme temps une racine de /, et 1, alors
I, +1, et l, —il, ne seront pas nuls à la fois. Il en suit que l'infini D aA D d DH p d Liab
de Aad dépendra du terme 3,108 (55) ou du terme 3:198 (>=) ;
Mais chacune de ces fonctions est la dérivée logarithmique du rapport
: d I dA ER : de deux fonctions entiéres, donc dans ce cas 4 Q4; Sea infini de premier A; €
ordre et le résidu sera un nombre entier. Examinons maintenant le cas où /, est une racine de ie eth der dit. Alors /, + il; et [, — il", seront nuls à la fois, et puisque
(D+ 5D — n) =(F, + in), — in)
il faudra qu'un des facteurs du premier membre soit nul Mais les deux facteurs ne sauraient pas étre nuls simultanément, parce que D, I',1,,l1, wont aucune racine commune.
On tire de là que
+
5. As (32), un DEEE
Caleulons la dérivée de 7, +i7,. On aura
d d (5 tds 1 + dI) 4D
E: I det: /T 7 a Vs as ir) dt D ) e D: (D xi te (1 2 3r il 8) Ze):
Mais des équations de Poisson on déduit
“(ry + iy) = + if +) — 70 Hi) = S {FiP(L, ED) —T(RTFiQ)},
dt IE D par suite NG ey i les SW ld a TT Ud er 4) pem rik ()) = til ler UE) (R + iQ) et enfin R = iQ R x iQ
(34) "m 29 Zr y Tiny 4D 7 en l »)( + iP)
244 Vito Volterra.
Soit ¢ une racine de 7,-FiIl? dordrée w, alors ‘elle sera’ une raceme
; d 2 5 : À ; d'ordre » — 1 de 7 (PT, +iT,). L'équation (33), nous montre qu'elle sera ;
aussi une racine d'ordre 4 — 1 de R+7Q, et par conséquent le rapport
T R 2 iQ (35) ya = iT,
deviendra pour £ — £, infini de premier ordre. Ayons égard maintenant
3 ; dA aux deux expressions (31), que nous avons trouve pour ur i Le A, t : , : hie I dA, premier terme de lune ou de l'autre sera fini pour £ — £,, done VET 4 € 1
sera infini de premier ordre. Pour calculer le résidu il suffira de dé-
terminer le résidu du rapport (35), qui sera égal a
On peut faire usage de la formule (34),, et on a alors
0 = n lim — R +10 | PIE: rz E iP) =u SEU up. ! p à; Ei em pe enya Se, In (= ze PRO [x ar
ce qui montre (voir (32),) que le residu est un nombre entier. Nous pouvons done conclure que dans tous les cas les singularités de la fonction
I dA, d A dpa 084,
1
sont des póles de premier ordre, les résidus étant des nombres entiers. Par
consequent A, sera une fonction uniforme ayant pour singularités des
]
Sur la théorie des variations des latitudes. 245
poles, et les neuf cosinus qui sont des fonctions rationnelles de 7,,7,,7,, À seront aussi des fonctions de la méme nature.
eO E. D.
4. On peut énoncer le théoréme du paragraphe précédent d'une autre maniere.
Si on a
(36 JE E E "= E ; E 6h, P=5 =H tn P,Q,R; 1,1,,17,; D étant des fonctions uniformes et entières du temps; et si [,1",, 1", D went aucune racine commune; les neuf cosinus seront des fonctions uniformes et leurs singularités seront des pôles.
in effet nous avons déjà vu que si dans chaque point singulier l'ordre d'infini d'une des fonctions 7,,7,,7, West pas dépassé par les ordres d'infini de p,q,vr il faut que 1°, 1,, 1", D n'aient aucune racine commune. Démontrons maintenant la proposition reciproque. Soit m l'ordre de multiplicité d'une racine de D dans un point singulier. Il y aura une des fonctions 7,, 7,57, qui deviendra infinie d'ordre » et aucune des fonctions p, q,r deviendra infinie d'ordre supérieur.
Article V.
1. Pour vérifier si les conditions nécessaires et suffisantes pour l'application du théorème fondamental de Varticle précédent sont satis- faites dans le probléme de rotation que nous étudions, il faut calculer ffo ayant déjà calculé dans l’article III les quantité p,q, r.
Faisons coincider l'axe z avec l'axe du couple de quantité de mouve- ment. On aura alors
Ap + m, By +m, Cr + m, Ji c TO D COSE) remet Ja SS an eae
et. en substituant à p,q,r les valeurs qu'on a trouvées (voir article
III (26),)
240
Vito Volterra.
À, M, à, M, À, M, AM, PT MEE + 0, + 6 Loc HA Al AA ASA | Peer Mo, + Ms, + Mo, + Mo Au AM, AM, À, M, (37) BET en urn fitim Mo, + Mo, + Mo, + Mo UN UE Ur ee ul E Eee US a US + Mo, + Mo, + Uo
Si done on fait usage des notations de l'article précédent on
(voir article III (2
6),)
P= mn, (2 a, a hen) Bm; le =m s ee p cS 2 xeu) R= m. i o^ T puo 4 0 dep Pees iuc qi
(39), l= Qa. M ar Ga: es zin CLA 2): T, = Gave am Te ps Se ae Be
Mc, + M,
8, + Myo; + M,c.
trouve
2. Demontrons maintenant que les quatres fonctions I’,, 1,, 1,, D
nont aucune
racine commune.
Cela suffira
pour
prouver
que
tous les
neuf cosinus sont des fonctions uniformes ayant pour singularités des pôles.
Posons
Mo, = 9,
et ayons égard a Vhypothése qu'on a faite
nuls. Alors les équations
(40),
UE = Th
D = 1, =
Mo, —
que m, , M, , ?
E
2 3
Mo — y,
2, ne sont pas
bo ces I
Sur la theorie des variations des latitudes. pourront s'écrire
| Y + U lem IE
À A, 7 A, 4 ; — ee Aa je a Eu
(4 1),
J
= A À, À, À,
D Dep = BY: a8 B! nis 2, — B^ — 0; EE Ae À,
ME 2: ES 6 nis 7 = 0°: + I = C
Le déterminant des coefficients sera
Tat es 1 ; I : I À, À, À 2, wad? 4A? HAIDA Sl! 1 3 à [ee EN) B ^ 2 20d 2 TWOEDE TR CEU 6) et en le développant on trouvera A= ABC(B— AXC— A)(C—B)(A, —A,)(A, — 4) 4, = AMA, = Ag dg — AM Ag — A)
@, — AG, — AVA, — Aya, — AY, — B)(A, — BY, — BYA, — BXA, — C)(, — Oy. Oya €)
L
Le premier membre de l'équation (25), peut s'écrire
EA) a (A — A, )(A — A(A — A, )(A-- 4,) = (A —2)(B — 2)(C — NK, — 2h24) + Ami(B — 2)€ — 2) + Bim;(€ — )\(A — 2) + €m;(A — 2)(B — 2).
Zn faisant successivement A= A, B,C on aura
(= 104 — LA aa) = Se, DEDE Ene PA»
_ mit 1 FUNDE - €)
(C — XAX€ —AX6— ÀX€ — 4) =
2h
248 Vito Volterra. Par suite le dénominateur de A sera égal a
ABCmimimi(B — AG. — A) (G — B): 8h°
et par conséquent
rer Eee net)
— 0 - - E mym3zm;(B— A\(C — By(A- C)
Mais on a suppose que les racines À , A,, A,, À, soient différentes entre elles. Il en suit que A n'est pas nul, d’où l'on tire la conséquence que les équations (41), c'est a dire les équations (40),, sont incompatibles. Cela signifie que les quatre fonctions D, 27, 7, 77, n'ont aucune racine commune. Il ressort done du théorème de l'article précédent que les neuf cosinus seront des fonctions uniformes et leur singularités seront des poles. ls seront des rapports de fonctions uniformes et entiéres, et nous en calculerons les expressions dans l'artiele suivant.
Article VI.
1. Pour obtenir les expressions des neuf cosinus il suffit de calculer I SS fis fe x Ts 9 03 ake ifi,
puisque les cosinus sont des fonetions rationnelles connues de ces quan- tites- e (Moirsartiele TV, 85 2.)
Si on prend l'expression de D trouvée dans l’article précédent on a
a
= M,*: + M,> + M, -- M, = x(u).
Done y(w) est une fonction doublement périodique dont les périodes
sont 4« et qa’. !
Posons w= 2v, il viendra
x(2v) — e(v)
et c aura pour périodes 2& et 2«'. Elle deviendra infinie a l'intérieur
! Weierstrass, Formeln und Lehrsülxe, page 28.
Sur la théorie des variations des latitudes. 249
du parallelogramme des périodes dans les points 0, © , w’, c", par suite elle sera une fonction elliptique de quatrième degré et l'on aura
a(v — OL — Ja» — 2)«(» —A | e(v) Fr C, F ( , == ,
ava(v — «)a(v — e')a(v — 0")
C, étant une constante et
+ u, +u, +.u, = 40".
Par conséquent
et l'on a
De mcine on peut écrire
$ y =v, DEN du ZUNG DEI = Col 5 ) af 5 ) o( 3 )«( 3 JG, a N, TEE AIR m d iT, wt Col” m1) u : "ol u - Ms) o( “= u— W, )G,
C,, C, étant des quantités constantes, et
+, +0 +0, — ww, + wv, dw, + w, = 40”.
On déduit de là les expressions suivantes pour 1 + 7, et 7, + ir,
ne moe nes)
(42),
! Ibid. page 15.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 27 octobre 1898 32
250 Vito Volterra.
et il faudra supposer *
We p dp U Oh ae v, +», + YY, ERU ap UH. oF w, at 2 2 2
— ,
meter etant des constantes.
N M a) - ua o = E ua
pum o(" — Sr a — ")o(“ — *)o(" — at 2 Kk 2 2 2,
/
u — W, A m — w, (^ By 2 2 w w 10, ^ w = L,o\v —— \)o(|v——)o Sk v——)}. 2 2 2 2 2
Les trois fonctions D', D' + 7’, 1% + il, seront des fonctions entières et on pourra les substituer à D, D + 77, 77, +72, dans les formules de l'article précédent. En faisant cette substitution dans la formule (31),
DT eg we et
on aura
Nr DEG TUUM. (31 A, dt me © Eaapn- ?0)
ou l'on a posé
R—iQ = (R'— iQ)
Nous écrirons a = b lorsque les nombres a et b seront tels que a — b = 2mo + 2no',
m et n étant des nombres entiers.
Sur la théorie des variations des latitudes. 251
Dans l'article III nous avons établi la relation qui subsiste entre les va- riables ¢ et #. Elle peut s'écrire (voir (27’),)
U, t=nw — u) = on(v —")
ou n et w, sont des quantités constantes. Par suite
1 dA, d (= + =) I RR -—aQ
A, dw mel p muon wey
D'aprés des propriétés bien connues on pourra dire que les résidus de la fonction d,(v) seront égaux à ceux de la fonction ¢(¢).
3. Cela posé supposons qu'aucune des valeurs #; ne soit congruente à une valeur v; On pourra en déduire qu'aucune des w; ne sera congruente à une valeur w;. En effet chaque racine de 1’, + ij est une racine de D’ + 7" ou de D' — I”, mais elle ne peut pas être une racine de D', parce que dans ce cas D' et D' + 7” auraient une racine commune, ce qui est contraire aux hypotheses qu'on a faites. Done les valeurs w; ne sont pas des racines ni de D’ ni de 7”, et par suite on
,
pourra énoncer les propriétés suivantes:
Vi . 1° pour les valeurs v = la fonction
est infinie de premier ordre, son résidu étant + r.
U; ' , 2" pour les valeurs D la fonction
d lo (= + 1" Ot E D' )
est infinie de premier ordre, le résidu étant — 1.
w . . 3° pour les valeurs v — — la fonction
ER 70%
(44) ESI VJ
est infinie de premier ordre, le résidu étant + r.
252 Vito Volterra.
. w Ww, W, ww \ + "Ad . r Prenons les points —,—, —, — à l'intérieur du parallélogramme
, 2 »)
des périodes. La somme des résidus de la fonction dans les points d'infini qui sont à l’intérieur du parallélogramine des périodes devant être nulle, il faudra que le résidu de la fonction (44), soit egal à + 1 en deux des
0; z 7 3 * et soit égal à — 1 dans les autres.
quatre points vx
Rappelons maintenant (voir article I, $ 3) que la fonction (44), doit avoir le résidu égal +1 ou s'annule D' — 7", et doit avoir le résidu égal — 1 ou D'+ 7" s'annule. Il faudra donc que pour deux des
. w, 10 a valeurs de la variable v, par ex. —, —, soit nulle la somme D’+ 7"
2 2 254.2
ww, : v p et pour les autres = 2. soit nulle la différence D’ — 7”. Si nous
choisissons v, et v, de manière que l'on ait v, = i0, , v, — w,, on pourra dire:
1? pour 2 Anne w jt 4 A2 —UE 2
l | |
la fonction
I dA, (45) A, dv
1
sera infinie de premier ordre et le résidu sera + 1.
2? pour aL, pe la méme fonction sera infinie du premier ordre et le résidu sera — r. 3° la fonetion (45), n'aura d'autres infinis que les précédents.
Par suite il viendra !
I dil í ) , / 70 a a = —2)9—2) + eo — 2) + do —%)
m etant une constante.
Voir WEIERSTRASS, Formeln und Lehrsätze, page 20.
Sur la théorie des variations des latitudes. 209
Si on intégre et qu'on désigne par L, une nouvelle constante, on
v, 4 v, w, WwW, a(v —— Ja e— = of v — —Je(v — — 2. 2 2 Wee m e : m ;
trouvera
2 2 7 I. —— = u = - i), th, = hs NET a a ate a : 2 2 2 EE
Rappelons les formules (42), et ayons égard aux égalités w, =v,, w, — v. Nous pourrons écrire
ou il faut supposer
as | di oe de up e De Sn dh ae UK arth (47) W, FU, =, +0, = TE 2 — =o:
On a ainsi l'expression. générale des trois fonctions dont les cosinus dé- pendent rationnellement d'une maniére connue. Il est aisé de voir que les formules gardent la méme forme si l'on suppose que quelques-unes des valeurs wu; soient congruentes aux valeurs v,. Il ne reste à trouver que les relations entre les constantes w;, v; w;, D, , L,, L, et m et les constantes mécaniques du probléme.
254 Vito Volterra.
Note au chapitre II.
1. La résolution analytique de la question est composée de deux parties. Dans la premiére on détermine les composantes de la rotation; dans l'autre on calcule les cosinus des angles que les axes d'inertie font avec les axes fixes.
C'est la méme décomposition de la question qu'ont fait JAconr et la plupart de ceux qui ont traité de la rotation des corps. Il va sans dire que la premiére question est beaucoup plus simple et plus facile que l'autre.
2. Par rapport à la premiére question on peut remarquer que pour reconnaitre @ priori que les composantes de la rotation s'expriment par des fonctions elliptiques du temps, il suffit d'avoir égard à la polodie qui est l'intersection de deux quadriques. Les coordonnées de cette courbe sont des fonctions clliptiques d'un parametre, et puisqu'elles sont pro- portionnelles aux trois composantes de la rotation, celles-ci pourront de méme sexprimer comme des fonctions elliptiques de ce paramètre #. Or on peut démontrer que w est une fonction linéaire du temps. En effet
. € dt " > : 2 : si l'on calcule 7, 9n voit tout de suite, à cause des équations (3), que aU
ce rapport est une fonction doublement périodique. Il est facile de dé- S, : x À ; : e montrer que, si l'équation (25’), n'a pas de racines multiples, 7, na pas au
d'infinis, ce qui prouve que ce rapport est constant.
2. Relativement à la seconde question on peut dire qu'elle a été résolue aisément dans le chapitre précédent en vertu du théoréme de l’article IV. La difficulté trésgrave de la détermination des cosinus a été surmontée presque sans caleuls. Si on aurait voulu suivre la vole directe il aurait fallu calculer et discuter l'expression (30^), qui peut se mettre sous forme de rapport de deux polynomes rationnels et entiers de
4 eme ,
degré par rapport aux fonctions c. Mais en employant le théoréme
€
bo
Sur la théorie des variations des latitudes. 55 qu'on vient de citer, il a été suffisant de s'assurer que les nuinérateurs et les dénominateurs des expressions de 7,,7,,7, ne Sannulent pas en- semble pour reconnaitre que tous les cosinus sont des fonctions uniformes du temps et pour pouvoir aprés les calculer.
Si on emploie la méme méthode dans le cas des problèmes d’Evrer et de LAGRANGE on est conduit tout aisément aux mêmes conclusions.
3. Dans un de ces admirables fragments sur la rotation d'un corps que M. Lorrner a tirés des manuscrits de JAconr, on trouve l'explica- tion du succes de la méthode d'intégration de Jaconr dans le cas du probléme d’Eurer. La voici: l'angle f d'EcvrEn forme par l'intersection des plans & et zy avec l'axe x s'exprime par une somme d'intégrales elliptiques de troisième espèce auxquelles est attaché le diviseur 2i. Puisque la méme circonstance favorable se présente dans le probléme de LAGRANGE, JACOBI a pu reconnaitre a priori que son procédé pouvait s'étendre à ce cas.
Allons voir quelle relation subsiste entre l'existence du diviseur 2i de JAconr et le théorème de l'article IV.
La dérivée de l'angle & d'Eurrn est donnée par la formule
Verne BER)
dt I — 7a I — A
i — 7 — ip 7 —I Q —iP = = |: log = scis s tpud 4 |= =| : onem Iv 2 é a = 2ildt °1+7, tin 2uL dt SDIFT, Ih
Si 7\,7,,7,,D ne sannulent pas ensemble, par un raisonnement dq
semblable à celui qu'on a fait dans l’article IV on a que = est une [i fonction uniforme dont les singularités sont des póles du premier ordre
Dub , Y n , . . \ et ses résidus sont égaux à =, ^ etant un nombre entier. On tire de là s L
que l'existence du diviseur de Jacomr dépend du théorème de l'article
IV, cest X dire quil existe parce que D, 7^, 21,, I,
ne s'annulent pas ensemble. On a done que le théorème de l'articie IV peut remplacer la re-
cherche du diviseur de JAcomr par l'étude directe de p,q,r; 7 p py
256 Vito Volterra.
4. M. JanuwskE tout récemment dans quelques Notes exprime l'in- tention de revenir sur la question que j'ai traitée.
C'est par ces notes que jai appris, aprés la rédaction du présent mémoire, que M. WANGERIN avait traité dans un savant travail un cas particulier en dehors de la question de mécanique céleste. Le cas de M. WawGERIN n'est pas celui des mouvements internes stationnaires qui a été traité dans les chapitres précédents, mais c'est un cas particulier de mouvement adiabatique. Seulement par un théorème que j'ai donné dans le 4^" chapitre les mouvements stationnaires et les mouvements adiabatiques en général restent liés ensembles, c'est à dire il y a un moyen de passer des uns aux autres et méme à ceux qui tiennent en méme temps des deux types de mouvement.
M. WawcEnIN s'est limité à la détermination des composantes de la rotation, parce qu'il ne prend pas en considération les cosinus des angles; c'est pourquoi il s'occupe seulement de la premiere partie du problème dont on a parlé au premicr paragraphe.
Sur la théorie des variations des latitudes. 257
CHAPITRE III.
Les axes permanents de rotation et leur stabilité.
Article I.
1. Déjà dans l'article III du I chapitre nous avons envisagé les axes permanents de rotation et démontré un théoréme à leur égard. Nous voulons maintenant étudier la question des axes permanents, de leur distribution, de leur stabilité, et tirer les conséquences qui découlent de ces recherches.
Ecrivons les équations différentielles de la rotation comme nous avons fait dans le 1* chapitre, article V, $ 2 (voir aussi le chapitre II). En posant
I ; 2 D 2 Y. 2 [^ = 2 ano AP + m)’ + (Bq + m,)? + (Cr + m,)”], Es yt CE Cy? 2 Vaso AP + Ba’ + Cr] on aura
ap _ dh» f) dt di(q,r) :
dq _ d(f. f) (2). dt — d(r,p)^ dr P d(f, , fo)
dt d(p,9 2. Supposons maintenant que p,gq,# solent les coordonnées d'un point en mouvement J.’
! On pourrait appeler le point P’ l'indice de la rotation pour le distinguer du pôle de la rotation (voir le 1** chapitre, article I, 8 I) qu on a désigné par P. Entre les coor:
données p, q, v de P' et les coordonnées $,7, £ de P subsistent les relations
ee DW De VOR
Acta mathematica. 22. Imprimé le 5 novembre 1898. 33
258 Vito Volterra.
Puisque les équations précédentes admettent les intégrales (3). 4, = const. = h,, IE GDN SS
et qu'on peut envisager ces équations comme les équations de deux surfaces du 2° degré, on aura que les intersections de ces surfaces seront toutes les trajectoires possibles du point P’. Ces trajectoires seront donc des lignes du 4° ordre (quartiques). Pour trouver les rotations permanentes il suffira de trouver les positions dans lesquelles P' est en repos. Pour simplifier on pourra les appeler les positions d'équilibre du point P'.
Ces positions d'équilibre seront telles que
: = 0 d(q, v) d(r, p) ? d(p , q)
d(f, > f.) d(f. f d(f, » f, (4), (f c frie) fs fa)
cest a dire CPC ip Os (4 )e of, of, of, 9p oq or
Les équations précédentes représentent les conditions pour que dans le point p,q,r les deux surfaces du 2° degré soient tangentes de sorte que ce point soit un point double d'une des quartiques.
C'est pourquoi on a le théoréme. (Voir chapitre I, article III, § 1.)
Les points doubles des quartiques $4, — h,, f, — h, sont les positions d'équilibre du point P', et le lieu de ces points est la courbe ayant pour équations les équations (4^).
Les équations (4), peuvent s'écrire (voir (6),) | (C — Bi + mq — mr = o,
(4”), PRE dE
pam A) pg + mp — m,q = o,
c'est pourquoi la condition nécessaire et suffisante pour que le lieu des po- sitions d'équilibre de P' se décompose en courbes d'ordre inférieur sera
(5). (B — C(C — A)(A — B)m,m,m, = o.
Sur la théorie des variations des latitudes. 259
3. Une nouvelle maniére d'écrire les équations (4), est la suivante (voir (6’),)
ge m, _
Si l'on appelle A la valeur commune aux trois membres, on trouvera
m Mm, m,
(6% Pt Er ET
Envisageons maintenant le cas général en supposant que m,,m,, m, ne sannullent pas et qu'on ait 4 — B C.
Tous les points de la courbe, lieu des positions d'équilibre de P', sobtiendront des équations précédentes en donnant à A toutes les valeurs comprises entre — oo et + co.
La courbe aura trois asymptotes qui seront les droites L,, L,, L, pa- ralleles aux axes coordonnées €, 7, € ayant respectivement pour équations
ME: SO nori Td UO BY Ob erg? Y m, p = m, pee Dis pem he ma Pr m. dere (2.0) Qua
Elle sera formée de trois branches 9,,9,,9,. La premiere branche partira du point — oo de L, et aboutira au point + co de L,. Elle correspondra aux valeurs de A comprises entre A et B. La seconde branche partira du point — co de L, et aboutira au point + co de L,. Elle correspondra aux valeurs de À comprises entre B et C. Enfin la dernière branche ira du point — co de L, au point + co de L, en passant par l'origine et correspondra à toutes les valeurs de À plus grandes que A et à toutes celles plus petites que C.
La courbe lieu des positions d'équilibre de P' est donc une hyperbole cubique.”
! A l'article IV de ce chapitre on a exposé de quelle manière cette courbe peut
se décomposer en courbes d'ordre inférieur,
260 Vito Volterra.
4. Lorsque les équations (4'), sont équivalentes à une seule équa- tion, ou qu'elles se réduisent à trois identités, alors le lieu des positions d'équilibre de P' n'est plus une courbe. Afin que ces cas se présentent il faut qu'un ou plusieurs des systémes suivants de conditions soit vérifié
uf DIE — ==
C—B=m, — m, = o, ^ uM — (4 — Ge A—€ —m,—m, —0,
B—A=m, =m, = o.
Si un seul est vérifié, alors la dégénération du lieu conduira à une droite et à un plan. Si deux sont vérifiés, et par suite les trois sont vérifiés, c'est à dire si l'on a
AT PE (CR M, =m, =m, =O alors chaque point de l'espace sera une position d'équilibre du point P'. Par l'étude que nous venons de faire on a résolu complètement la
question des axes permanents de rotation. Nous consacrerons les articles suivants à la classification des axes permanents selon leur stabilité.
Article II.
1. Commencons par donner la définition de stabilité de l'équilibre du point P'. Elle correspondra parfaitement à celle de rofation stable du système.
On dira que la position P de P’ est stable, si, o étant un nombre aussi petit que l'on veut, on peut trouver un nombre e tel qu’en plaçant P' à une distance de P plus petite que e, et en le faisant mouvoir d'aprés la loi représentée par les équations (2),, il ne s'éloignera jamais de P, au delà de a.
Cela posé, en suivant un raisonnement semblable à celui bien connu employé par DirICHLET, on peut démontrer le théorème suivant:
Tous les points isolés des quartiques (3), seront des positions d'équilibre stable du point P',
Sur Ja théorie des variations des latitudes. 261
Soit P, un point isolé. Désignons par fj, f? les valeurs des fonc- tions f,, f, au point Pj, et formons l'expression
T= (f, — fi)’ + Ph). I sera une fonction continue des coordonnées p, q, r.
Je dis qu'on peut trouver un nombre « tel que la limite inférieure des valeurs de J sur chaque sphère ayant P; pour centre et dont le rayon est plus petit que «, est un nombre positif.
En effet s'il n'était possible de satisfaire la condition précédente quelque petit qu'on prenait a, les deux surfaces
= o b-R auraient des points d'intersection réels aussi voisins que l'on voudrait à Pi, et par suite ce point ne serait pas un point isolé de la quartique à laquelle il appartient.
Désignons par S la sphere ayant pour centre P, et pour rayon a. A l'intérieur de cette surface construisons une autre sphére avec le méme centre, et avec un rayon plus petit que o. On l'appelera S'. Soit y la limite inférieure de / sur la surface S'. Ce nombre sera positif. Or I est une fonction continue, donc à l'intérieur de S', on pourra construire une troisième sphère S", avec le centre P5, telle que la limite supérieure des valeurs de J à son intérieur soit plus petite que 7’.
Soit e le rayon de la dernière sphère. :
Faisons maintenant mouvoir le point P’ d'aprés la loi représentée par les équations (2), à partir d'une position interne à S". Puisque 1 doit garder une valeur constante pendant le mouvement, sa valeur sera
;
égale à la valeur initiale, c'est à dire sera plus petite que 7’.
P' ne rejoindra jamais la surface S’, d'ou l'on déduit que sa distance du
Par suite
point P, restera toujours plus petite que s.
(02507 Tew: 2. On peut généraliser la proposition précédente en démontrant le théoréme:
Soit Py un point isolé d'une quartique appartenant au système (3),, et soit a un nombre aussi petit que l’on veut.
262 Vito Volterra.
On pourra trouver deux nombres & et &' tels que 1° si l'on change m,,m,,m, de quantités constantes plus petites que e'; 2° si dans sa position initiale on place P' à une distance de P, plus petite que €,
le point P' en se déplaçant ne séloignera de P, au delà de a.
En effet envisageons de nouveau les trois sphéres S, S', S" du para- graphe précédent. Soit z" la limite supérieure des valeurs de J à l'in- térieur de S". Nous aurons 7” < »'. Posons 7 — 7" = p.
Puisque J est une fonction continue de m, , m,, m,, nous pourrons
,
trouver un nombre =’ tel qu'en changeant m,,,,m, de quantités plus petites que ¢’, les valeurs de J a l'intérieur de la sphère S changent moins que d: Par suite de ce changement la limite inférieure de 7 sur S' sera plus grande que 7 à et la limite supérieure de 1 à l’intérieur
de S" sera plus petite que 7” + = Mais z" + s « Me donc en placant
P' dans un point initial interne à S” il se déplacera sans jamais rejoindre p la surface S’.
(STOPS Dn De
On peut énoncer le théoréme que nous venons de démontrer en disant qu! y a une double stabilité des rotations permanentes qui corres- pondent aux points isolés: l'une par rapport aux changements du mouvement de rotation, et l'autre par rapport aux changements des mouvements internes.
3. Passons maintenant à démontrer le théoréme inverse de celui de l'article I, c'est à dire que les points de Uhyperbole cubique qui ne sont des points isolés des quartiques correspondent à des rotations instables.
Nous nous bornerons dans cet article au cas ou aucune des conditions (7), m'est satisfaite, en renvoyant à l’article IV pour la démonstration lorsque ces conditions sont vérifiées.
Cela posé on peut étre sûr que sur chacune des surfaces (3), n'existe qu'un nombre fini de positions d'équilibre du point P’. Désignons par P, une de ces positions, et par f;, f2 les valeurs de f, et f, au point P;. On pourra construire une sphere X ayant P, pour centre, et telle
Sur la théorie des variations des latitudes. 263
qu'aucun point des surfaces f, = fi, f, — [$, qui est à son intérieur, soit une position d'équilibre de P'. Or si P, n'est pas un point isolé de la quartique à laquelle il appartient, il y aura une branche réelle de cette courbe qui passe par P;.
Soit VP, une partie de cette branche interne à ¥ et désignons par 20 la distance entre les points V et P, . Enfin soit VV’ la partie con- nexe de VP, qui est située externement à une sphere ayant P, pour.
centre et dont le rayon est égal à -; € étant un nombre plus petit que
t910
oe et qu'on peut choisir d'ailleurs aussi petit que l'on veut. On voit bien aisément, en rappelant des théorémes connus sur les fonctions im- plicites, qu'on pourra prendre le nombre # de manière que chaque point
. \ . . € ^ e - de VV’ soit à une distance moindre que =, d'un point de la quartique | 2? | 1
f [5 fp=f2+u, et en outre que celle-ci n’ait aucun point double. 1l suffit pour cela de remarquer que sur la courbe VV’ on n'a aucun point d'équilibre et par suite il n'y a aucun point ou les conditions (4), soient satisfaites. On tire de là que sur la ligne f, = fi, f = fo + existent deux points W’ et W, dont lun est à une distance de 7, plus petite que e, et l'autre à une distance plus grande que o. Si l'on place P’ dans le point W’, il doit parcourir la ligne f, = fi, f; = fs + et re- joindre le point W, c'est à dire en partant d'un point initial qui est éloigné de P; moins que e, il doit s'éloigner au delà de ao. Cela prouve que P, est une position d'équilibre instable.
Article III.
I. Tous les points d'équilibre du point P', c'est à dire tous les points doubles des quartiques, se trouvent sur lhyperbole cubique ayant pour équations les équations (4’),.
Les théorémes de l'article précédent montrent combien il est important de séparer sur cette courbe les parties où sont les points isolés de celles ou sont les noeuds. Les points de passage entre les unes et les autres doivent correspondre aux cuspides des quadriques et nous donneront les points de passage entre les rotations permanentes stables et instables. Nous consacrerons cet article à cette séparation dans le cas général
264 Vito Volterra.
où la cubique ne se décompose pas, c'est à dire lorsqu'on A> B>C, m,,m,,m, n'étant pas nulles Nous renvoyons à l'article suivant pour le cas où ces conditions ne sont pas vérifiées.
2. En différentiant deux fois les équations (3), on a | Apdp + Dqdq + Crdr = o, | A(Ap + m,)dp + B(Bq + m,)dq + C(Cr + m,)dr = o, Adp? + Bdq? + Cdr? + (Apd?p + Bqd'q + Crd’r) = (9). lone + B'dgq* + C'dr* + (A(Ap + m,)d’p + B(Bq + Ne | + C(Or + m,)d’r) =
(8).
Ajoutons les équations (9), aprés avoir multipliée la premiere par — A. On trouvera, ayant égard aux équations (6’),,
A(A — 3)dp? + B(B — 2)dq? + C(C — 3)dr* =o
A cause des équations (6).. les deux équations (8), sont équivalentes, par suite il suffira d'examiner les deux équations
| A(A— A)dp? + B(A — B)dg’ + CA — C)dr? =o 1) | Apdp + Bqdq + Crdr = o. Par lélimination de dr on trouve
A[Cr?(a — A) + Apa — C)]dp? + B[Cr*à -- B) + Bq°( — O)]ag’ + 2AB(A — C)pqdpdq = o.
A la place de p,gq,7 substituons les valeurs (6’),. Alors l'équation précédente deviendra
AIS a A) um A D ae Je m pie E at T ge Jor 2 ABm,m,(4 — C) = + 2 @= AGB) dpdq = Oo.
Pour séparer les valeurs de A qui correspondent aux points isolés de celles qui eorrespondent aux noeuds, il suffira d'examiner pour quelles
Sur la théorie des variations des latitudes. 265
valeurs de À la forme différentielle précédente est définie et pour quelles valeurs elle ne l'est pas; et pour cela il faudra calculer le discriminant
de la forme différentielle et examiner son signe. Le rapport entre ce Y
determinant et la quantité positive a sera
Am; Bm; Cm IM UII UE MERE UT
1 CY, q cca x Le signe du facteur (A — A)(A — B)(A— C) change lorsque À passe pai les valeurs A, 5, C; mais évidemment le signe de l’autre facteur aussi
change pour les mémes valeurs de A, et par suite le signe de A changera pas. Il suffit donc d'examiner les changements de signe du facteur
Ami Am; Cm;
By tü- (i — oF
Si A croit, chaque terme du trinome déeroit, par suite le trinome changera
me By tü
de signe deux fois seulement, les valeurs A, B, C exceptees: la premiere fois pour une valeur de À comprise entre C et B, et une seconde fois pour une valeur comprise entre B et A. Le trinome sera toujours né- gatif pour À « C et sera positif pour A> A.
Il en suit que A sera positif le long de la branche g, (voir article I, $ 3) de Vhyperbole cubique et en deux parties des branches 9, , 9, adjacentes respectivement aux points à l'infini de Z, et L,; tandis qu'il sera négatif dans les deux parties résidues des branches g, , 9, qui sont adjacentes au point à l'infini de L,.
Les points de passage d'une partie à l'autre, c'est à dire des rotations stables aux rotations instables correspondent aux racines réelles de l'équation
2 Uu 2 Am; Bm} Cm;
Ay + a By t nel ©
Tto qui sont deux et sont comprises entre A et B, et entre B et C. 3. L'équation précédente peut étre écrite
ago ddp + Bqdq + Crdr| = = df, — “df,
Acta mathematica. 22. Imprimé le 8 novembre 1898. 34
Vito Volterra.
Il suffit pour voir cela de faire usage des équations (6’),. Les égalités précédentes démontrent le théoréme:
Dans les points de passage entre les points isolés et les noeuds, Uhy-
perbole cubique est tangente aux quadriques appartenant aux systèmes (3). qui se touchent dans ces points.
Article IV.
1. Nous avons jusqu'à présent envisagé le cas où le produit (5),
ne s'annule pas. Nous allons maintenant traiter tous les cas qu'on a laissés de côté.
On peut suivre pour cela le méme procédé qu'on vient d'employer. Puisque tous les calculs se répétent de la même manière, nous les suppri- merons et nous nous bornerons à énoncer les résultats.
Hrs Bea i = © er ac = ; > 1** Cas ou fm; 2 O, AND IEC: pea hyperbole CV Bm? + BV Cm? |: comprise entre À et m a : rotations instables La eubique se p=0, q= sig XE ic V Bm + vom; décompose |, n'est pas comprise entre les limites précédentes rotations stables en 1 m m : droite d EB: T Mc) SM OLUULDILSESUH IPSE zd cpm 2 2 ugs ou Th = O AL BAC m, hyperbole A4 Cm + Cx/ Am? [; comprise entre D et Ay Omidst yam rotations instables La cubique se An Hist
3/7 > TT EET ‘Cm; + V Am; P— 0 fm V ms +\ m,
; E décompose 2 n'est pas comprise entre les limites précédentes rotations stables
en
mi M,
droite Jak cri) cem ee oo, oe oue rotations instables.
Sur la théorie des variations des latitudes. 267
Ans BC E = 0,
aus aH ou
ss d > >
|
9
ELT m, 20,
dS
Mm,
ise entre ——3— et tations instabl T comprise entre ——— et —— — rotations instables F AO HE v nest pas compris entre les li-
droite p —0, q—0 | mites précédentes. . . . . . . rotations stables
La eubique se
m ; décompose À droite Qi Oy tn Ee) ues) cay erotations’stables A—C en : m, 1 A ; droite p=0, r= PEGS 30 Mel .... s rotations instables
ARE CH (mn — ©:
1 eme E : > Ame ag. ou m, Z O, lieve m, =O, : i Mm, ; m, tati tabl q comprise entre ——— et —— rotations stables E ASB cm
droite p —0, r — o q n'est pas comprise entre les li-
mites précédentes . . . . . . . rotations instables La cubique se
2
, ep sot a4. OL Ka»: ye de: D te l S 7 oO .. (ovo rotations s ub es AB
décompose À droite q = en
m, í droite p —0, q— C_B uuum rotationsistables ——
[ ALS DE C, sem Cas (Cas d'Eurer)
Im, = N, EM O,
L bin ar PO OM sa nay ete wee). TOLALLONS sbables a cubique se
décompose 4 droite g—0, r—0 .................. rotations stables Sl
droite m — OPI . . . rotations instables
268 Vito Volterra. ta 210, 6° Cas #4 B 02m 0, I =, 2 comprise entre B et hyperbole {°/Bme 3/7, 2 Ay Bm; + By Am , : a - E ui Tou —N =. . rotations instables La eubique se =; p gu iB r—O v Bm; + V Am; décompose 4 2 n'est pas comprise entre en | les limites précédentes . rotations stables m aris P= Ra q—co. |" — O, 7 RC asa TD ICH m CE p. — 10, Mm, ; 3 Hs Aa Be aS Tm rotations instables droite p —0, r—0 un rotations stables La cubique se UES = Bocce s rotations e décompose J 7 = droite d= pe Oo ee eee Coens stables
droite p — O0, q — co
2. I] faut maintenant discuter les cas où le lieu des points d'équilibre de P’ devient un plan et une droite
- ‚20. Ou m —o,
nos Cas 42 2f = (6) — O, 1 droite q—0, r=0........... rotations stables Le lieu des points d équilibre de P devient ] ein . ] ; plan p= B_A (q et r queleonques) . rotations instables
' Lorsque A = B — C on peut choisir les axes d'inertie de manière qu'on ait m, =O. * Dans ee eas nous supposons qu'on ait choisi les directions des axes de sorte que m, et À — B aient le méme signe; ce qui est toujours possible,
Sur la théorie des variations des latitudes. 269
li 2 0; 2r Cas Ala B C 4m, =o; ie —0, Le lieu des points d'équilibre | droite PHO, PHO eon cv dso bo 5 HUMID EIA:
de P devient | plan p = ce.
Pour démontrer dans le premier cas que les rotations correspondantes
\ m A . a p — n: à et q et r quelconques sont instables on ne peut pas appliquer
le théorème qu'on a démontré au § 3 de l'article I.
Remarquons que dans ce cas les intersections des quadriques f, = h,, f, =", sont un couple de cercles. Les points doubles correspondent au cas où les deux cercles coincident. Alors les deux quadriques sont tan- gentes le long du cercle double. Tous les cercles d'intersection ou de contact des quadriques f, — ^, f, — h, sont placés dans des plans per- pendiculaires à l'axe de symétrie des deux quadriques et leurs centres sont situés sur cette droite. Le point P est en équilibre dans un point queleonque appartenant aux cercles doubles qui sont placés dans le plan
m. Dist a? de cercles simples qui sont parcourus par le point P’ avec une vitesse
mais aussi prés de ces cercles que l'on veut existent des couples
constante. Cette remarque suffit pour montrer que l'équilibre du point 7" dans
Mm,
B= permanentes qui correspondent à ces positions sont instables. On tire de la que le theoreme donné dans l'article deuxième du § 3 peut s'étendre au cas quon avait exclu.
les points du plan p — est instable, et par suite que les rotations
3. ll reste encore à examiner un cas particulier, savoir lorsque les trois systèmes d'équations (7), sont vérifiés. On aura alors
— > — Ye — — 4 — spl li M, =m, =m, = O.
Dans ce cas P” est en équilibre dans tout point de l'espace; par suite tout point de l'espace est une position d'équilibre stable.
270 Vito Volterra.
Mais on voit aisément que dans ce cas il n'y a pas de stabilite par 'apport à des ehangements des mouvements internes, En effet choisissons les axes de maniére que l'on ait
Si nous prenons
> ; m, Z o, MIO
on aura que, quelque petite que soit la valeur absolue de »,, la tra- jectoire de P’ sera un cercle situé dans le plan g = o, ayant le rayon égale à p, et dont le centre est l'origine des axes coordonnées.
Done les rotations sont stables par rapport à des changements des rotations mémes, mais elles sont instables par rapport au mouvement interne.
De cette maniére tous les cas qui peuvent se présenter ont été discutés et dans chacun on a distingué les rotations stables et instables.
Article V.
1. Nous allons développer quelques conséquences des théorémes des articles précédents.
Commençons par supposer A> B>C, m, envisageons le V* cas de l'article IV. On peut alors dire que si le
=m, — m, — 0. Nous
couple de quantité de mouvement est suffisamment petit, en prenant la position initiale du póle de rotation assez proche d'une extrémité de l'axe dinertie dont le moment est maximum, ou de celui dont le moment est minimum, la polodie sera aussi proche que lon veut au póle d'inertie.
2. Une remarque, qui parait digne d'intérét, peut étre déduit tout de suite des considérations précédentes.
Si Von voit le pôle de rotation faire des petites oscillations autour d'un certain point, méme si le système ne change de forme, ni la distribution des masses ne change mom plus, om me pourra pas conclure que le point autour duquel le pole oscille soit un pôle d'inertie.
En effet si à l’intérieur du systeme existent des mouvements station- naires, le point autour duquel oscille le póle de rotation au lieu d'étre
Sur la théorie des variations des latitudes. 271
le pôle d'inertie sera l'intersection de l'ellipsoide d'inertie avec le rayon vecteur d'un des points isolés des quartiques que nous avons précédem- ment envisagées.
3. Passons maintenant à l'étude des petites vibrations de 7" autour des positions d'équilibre stable.
Supposons d'abord que la cubique (4. ne se décompose pas et de- signons par À et À, les racines réelles de l'équation (12).. Prenons À de manière qu'elle ne soit pas comprise entre ces valeurs. Alors
m m m
3
(13). P pa DE ME pesa
seront des valeurs correspondant à une position d'équilibre stable de P", c'est à dire à une rotation permanente stable du systéme. Posons P=n +6, 4q—4-yp r—nctp et supposons que &,7,p solent des quantités trés-petites de manière qu'on puisse négliger les expressions du second ordre formées avec elles par rapport aux mémes quantités. Alors, puisque les valeurs constantes
Por dr satisfont aux équations (47, les équations (2), pourront s'écrire
{ do , m,(À— B) mis c). M fut eo JEU A cg te? dy m4(A — C) m, À — A) _ ^d (14). ora Er a er do m,(A — A) _ m,(4 — B)
(re apne ue. Vian diu. DE
Pour intégrer ces équations posons
x = be", ICE,
— zt )
(0 = ae
a,b,c, étant des quantités constantes. 2 sera une racine de l'équation
| 4 m,(A — B) m,(A — C) TAL , A—C d A— B Rc md = 1) p mi (à — €) 27, A— C A— A m,(4 A) mm, (À B) C2 1—B ’ jc Av? é
272 Vito Volterra.
En développant le déterminant on trouve
Z-—0
ABO? + (A— Ao. — B — o| 5 Sm |
Q— 4» tas tac
d'ou l'on tire
rin al „u /(A— A) — B(4—C0)p. Ami Cm; ue iiM ABC [Ru ox]:
De l'hypothèse que nous avons faite par rapport aux valeurs de À, on
peut déduire que les racines z qui ne sont pas nulles, sont imaginaires. Par suite la période de vibration du point P’ autour de la position d'équi- libre stable sera
27
(A — AXA — B\2Z — C) pF Am? " Bm? Cm. ABC Ir Den = all
Si lon change À entre les limites établies au commencement de ce pa- ragraphe, la formule précédente donnera toutes les périodes avec lesquelles le pole de rotation peut osciller autour des positions d'équilibre stable. Ajoutons m, m, A— A'2— B^ T5
les équations (14),, aprés les avoir multipliées par
On aura Am, 2 Bm, dy Cm, do _
A— A dt i— B di ZR Qu. qu
et en intégrant
Am, Um,
(ER Se 40 LS X tj Ge = const.
De méme ajoutons les équations (14), apres les avoir multipliées par (A— A)&, (A— B)y, (4 — C)p Nous trouverons en intégrant
(16), AQ — A)o* + B(A— B)y* + C(A— C)p? = const.
Ces intégrales montrent que le mouvement du point P’ a lieu sur une ellipse appartenant au plan (14), c'est à dire à un plan parallèle au plan
tangent aux surfaces (3), au point p,, q, , Fo:
Sur la théorie des variations des latitudes. 273
4. Il my a pas de difficulté à discuter les cas particuliers qui peuvent se présenter. Il suffit pour cela d'avoir égard aux résultats qu'on a établi dans l'artiele précédent.
Nous examinerons seulement le cas où deux des moments d'inertie sont égaux, le troisième étant différent. C’est à dire quand on a
JM C.
Alors en choisissant les axes d'inertie de maniére qu'on ait m, = 0, et en employant les résultats qu'on a trouvé dans le cas VI de l'article IV, on aura que les rotations stables seront données par
Th, ay Es eS OP es et po adip
A étant compris entre
Ay Bm? + By Am)
T V Bm? + y Ami
Par suite les périodes des vibrations du póle de rotation autour des po- sitions d'équilibre stable seront données par la formule
Serra 5v es 7 Ed VOR. ; A — 4 Ami bm m, m Aps qi E scd
M ; A E — A)’ "p (A — B)° Bq, V Ap, | m * m,
Lorsquil n'y a pas de mouvements internes il y a une seule position
d'équilibre stable du póle de rotation (I cas, article IV) qui correspond à p — p,, q-— r — o et la période de vibration du pôle autour de cette 2zB (B— A)p,' que les mouvements internes donnent naissance à un nombre infini de
position est donnée par la période éulerienne On tire de là
positions d'équilibre stable du pôle et changent les valeurs de la période eulerienne de maniére qu'elle peut prendre toutes les valeurs données par la formule précédente.
Acla mathematica. 22. Imprimé le 23 novembre 1898. 35
D
74 Vito Volterra.
CHAPITRE IV.
Rotation Wun corps à l’intérieur duquel existe un mouvement polycyclique quelconque.
Article I.
i. Dans les chapitres précédents nous avons étudié la rotation d'un corps dans lequel existent des mouvements stationnaires.
Il faut en général lintervention de forces à l'intérieur pour maintenir stationnaires ces mouvements. On peut maintenant approfondir l'étude de ces forces et voir pourquoi et quand elles sont nécessaires (article VI, $ 3) et l'on peut étudier aprés ce qu'il arrive lorsqu'elles n'existent pas (article VII, VIII), ou lorsqu'elles ne sont pas capables de maintenir tous les mouvements stationnaires (article IX).
L'étude de ces questions sera le but de ce chapitre dans lequel nous introduirons les idées et la terminologie que HELMHOLTz a employées dans ses travaux sur les systèmes cycliques.'
2. Commençons par déterminer la force vive de tout système qui tourne autour d'un point fixe.
Soit €,7, C un systeme d'axes en mouvement dont l'origine est fixe. Désignons par p, q,r les composantes de la vitesse angulaire de rotation dans la direction des axes.
Supposons que u,v, w soient les composantes de la vitesse relative aux axes LE, 7, 01 d'un point du système ayant pour coordonnées £, 7, €. Alors les composantes de la vitesse absolue seront
u ge 19, VF ré pl, w + y ge.
Si la densité du systéme est o, la force vive sera
je J elu + QE — rg) + (o + r£ — pO) + (w + py — a8) 4S S
Nl m
* Crelle s Journal. Bd. 97.
Sur la théorie des variations des latitudes. 275
S étant lespace occupé par le systéme en mouvement. On tire de la
(05 T = -(Ap! + Bq? + Cr? — 2Dqr — 2Erp — 2F pq)
I 2 + mQp-m,q-rm, T,
ou lon a désigné par A,B,C les moments d'inertie du systeme par rapport aux axes €,7,¢; par D, E, F les moments mixtes d’inertie par rapport aux couples d’axes 7, 06; C, €; €, 7, et l'on a posé
mM, — [own — vê) as, m, — fe (uf — wé)dS, nu f ove — un)dS,
Ss
R ; [pw + 0° + w°)ds.
Ss
On a donc désigné par m,,m,, m, les composantes du couple de quantité
2 de mouvement relatif aux axes &,7,{ et par T, la force vive du méme
mouvement relatif.
3. On peut appeler ces mouvements relatifs les mouvements internes du système. S'ils ne changent la forme ni la distribution de la densité à l’intérieur du système ils vérifieront la condition 9 (pw)
9 (pu) 9 (pv) dE de 97 ju ec =
et le long de toute surface de discontinuite on aura
plu cos ni; + v cos my + wcosnz) = p'(u' cos mx + v' cosny + w' cos nz)
\
en désignant par n la normale à la surface de discontinuite, par p, w, v, w la densité et les composantes de la vitesse d'un côté de cette surface, et par p’, w', v', w' les valeurs des mêmes quantités de l’autre côté. N A A ve 4 ( "m Ar IQ y * 1 a] » + « 1 > + En général m,, m,,m,, T, seront des fonctions du temps, mais si les mouvements internes seront stationnaires on devra les regarder comme
des constantes.
276 Vito Volterra.
Article II. .
1. Lorsque les mouvements internes sont stationnaires et le systeme n'est pas soumis à des forces externes on a les relations (voir introduction)
(Ap? + Bq’ + Cr?) = const.
Nl ee
(2)a
(3) (Ap + m,)? + (Bg + m)? + (Cr + m,)” = const. Si la force vive T est constante (voir article précédent § 2) on doit avoir (4)a m,p + m,q + m,r = const. puisque 7, est constante.
Nous allons déterminer les conditions pour que la relation précédente soit satisfaite, quelles que soient les conditions initiales du mouvement.
2. En dérivant l'équation (4), par rapport à ¢, on trouve
: dp dq dr (4')a n, 3t Tom, zm p dm O.
Multiplions les équations différentielles du mouvement (voir introduction)
1
AT + (C— B)qr + m,g — m,r = o, dq "ny
Bs + (A — C)rp + mr —m,p = o, Ir
Ge + (B — A)pq + m,p — m,q = o,
Tm mem. . \ » : ; par po En les ajoutant on aura, à cause de l'équation (4^),
"D Y My pr 5 ms = (B — C)qr + = (C — A)rp + ES (A — B)pq
AL I AT I ) I I , — m.m. Ge DIE m. o Et qu— nu ni, IEEE y — ©.
Sur la théorie des variations des latitudes. 277
Il est aisé de trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que cette équation soit satisfaite quelles que soient les valeurs de p,q, r. Elles sont ou
Ji cmi e ou 2 = (0, m, =m, =O ou Y GEAR M, = M, =O ou enfin
il = UR im = mM, = ©.
On tire de là le théoréme suivant: Il est nécessaire et suffisant pour que la force vive du systeme soit constante, quel que soit le mouvement initial, que l'ellipsoide d'inertie soit une sphère, ow qu'il soit un ellipsoide de re- volution par rapport à l'axe du mouvement interne.”
3. On peut maintenant se poser la question suivante:
En prenant d'une facon particuliére les conditions initiales du mouve- ment, est-ce qu'on peut trouver d'autres cas dans lesquels la force vive reste constante?
On peut répondre tout de suite affermativement à cette question; à cet effet il suffit de remarquer que la force vive sera constante toutes les fois que le mouvement de rotation du systéme sera permanent (voir le chapitre III). Mais ce cas n'est pas le seul; il y en a aussi d'autres.
Pour les trouver il suffit de chercher les conditions qui doivent étre remplies pour que les équations (2),, (3), (4), aient un nombre infini de racines communes. Par l'élimination de p entre ces équations on trouve
B(B — A)q* + €(€ — A)r? + 2(B — A)m,q + 2(C — A) m,r = const. (Am; + Bmj)q? + (Am; + €Cmi)r? + 2 Am,m,qr — 2Agm,q — 2 Agm,r = const. ayant pose
(4)a g —mn,p-Fm,q + mr = const.
! Il est évident que le dernier cas comprend le premier.
278 Vito Volterra. Les équations précédentes auront un nombre infini de racines com- munes lorsque leur résultante aura tous ses coefficients nuls. Si l'on écrit que le coefficient du terme de 4*"* degré est nul, il vient [mi BC(B — C) + m; CA(C — A) + m; AB(A — B)" + 4ABC|[m;m; A(B — A)(C — A) + m5mi B(C — B)(A — B) + mim,C(A — C)(B— C) -o. Cette équation sera satisfaite seulement si l’on a ASS IP o ou si nn, ou m,, ou m, s'annule. En effet on peut l'écrire Im} BC(B — €) — m;CA(C — A) — m; AB(A — B)\? + 4A’°BCm;m;(B — A)(C — A) == {m;CA(C — A) — m; AB(A — B) — mi BC(B — C)* + 4B'CAmi;mi(C — B)(A — B) = m; AB(A — B) — m; BC(B — C) — m;CA(C — A))* + 4C'ABmj m;(A — C)(B — €) = o.
On tire de là que, si la condition À — B — C n'est pas satisfaite et si les quantités m,,m,,m, ne sont pas nulles, 7' sera constante seule-
ment lorsque p,4,r seront constantes. D'où lon déduit le théorème:
Si lon a un système qui west pas soumis à des forces externes et dans lequel subsistent des mouvement stationnaires, la condition nécessaire et suffi- sante pour que la force vive soit constante, lorsque A, B,C ne sont pas
égaux, et m,,m,,m, ne sont pas nuls, est que la rotation du système soit permanente.
4. Supposons maintenant qu'on ait m, — 0. Alors la derniére équa- tion s'écrira
m;C(B — C)— m;A(A — B) = o
m, A(A — B) fig, at be VERA
3
dou
Sur la théorie des variations des latitudes. 279 Donc il faut que B soit comprise entre A et ©. En supposant A> B>C on pourra poser m, = WAGES m, — eJ
s désignant une quantité constante réelle. Les équations (2), et (3) deviendront Ap? + Bq’ + Cr? = const.
* + B’g’ + OC’? + 2eA A(A — B)p + 2eC JOB Cr = const. Par l'élimination de 4 entre ces équations on trouve A(A — B)p* + C(C — B)r* + 2A J A(A — B)p + 2:0 4C(B — C)r = const. Cette égalité peut s'écrire de la maniére suivante (5)a [VA — B)p + VO(B— Or + «(4 — C)] X [VA(4 — B)p + JC(B — Cyr + e(A + C)] = const.
Supposons que les valeurs initiales de p et de r soient telles que le premier facteur du premier membre de l'équation précédente soit nul; on peut démontrer alors que ce facteur sera toujours nul. Cette pro- position est évidente lorsque les valeurs initiales de p et de r n'annulent pas le deuxiéme faeteur. Mais s'ils l'annulent, alors on a
cU NU ; + eC + eVO(B — C) "ERU,
E = ae 3
(AGF. HE OB — C) rm GUI
PI
et par suite le mouvement de rotation est permanent (voir chapitre III, article IV, § 1, 3°% cas). p et r garderont alors une valeur constante et par conséquent le premier facteur sera toujours nul. Observons maintenant que si le premier facteur est nul, la condition (4), peut être déduite comme une conséquence. On peut donc conclure: la force vive sera constante lorsqu'on a m, = eyA(A— B), m, = o, m, = + € /C(B—C) et que les conditions initiales du mouvement sont telles que l'égalité VA(A — B)p + VO(B — Chr + (4 — €) =
soit vérifiée, q ayant une valeur quelconque.
280 Vito Volterra.
Réciproquement si la condition (4), doit être remplie, ou elle doit coincider avec l'équation qu'on obtient en annulant le premier facteur de l'équation (5), ou les deux facteurs du premier membre de cette équation devront étre constants et par suite p,q, r seront constants, c'est à dire le mouvement de rotation sera permanent.
hemarquons enfin que si lon suppose que non seulement m,, mais
m, ou m, soit nul, alors il faut qu'on ait B= A ou B — C, c'est pourquoi
1 on revient aux cas envisagés auparavant ($ 2).
5. On peut résumer l'analyse qu'on vient de faire dans cette pro- position:
Tous les cas particuliers dans lesquels la force vive du système est constante se réduisent aux suivants:
o
1° Le mouvement de rotation du systéme est permanent;
2° On a, e étant une constante Uie == NU e 8 = OL Wi, = me IBI SO) A> BI
et les conditions initiales sont telles que
pVA(A — B) + YC(B — 0) + e(A— C) = 0o;
3° L'ellipsoide d’inertie est de révolution autour de l'axe du mouvement interne. RE JE € hie Dans le 3 cas les conditions initiales du mouvement peuvent étre quelconques.
Les cas précédents exceptés, la force vive du systeme doit changer; par suite il faut des forces pour maintenir stationnaire le mouvement interne. C'est pourquoi si ces forces n'existent pas le mouvement interne doit cesser d'étre stationnaire.
Done de la méme maniére que les mouvements internes changent le mouvement de rotation du système, celui-ci tend à changer les mouvements
internes.
6. Nous venons de trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que la force vive du système soit constante. Or ces conditions sont nécessaires pour que le mouvement interne se maintienne stationnaire
Sur la théorie des variations des latitudes. 281
sans qu'il intervienne aucune force, mais évidemment elles ne sont pas suffisantes. En effet la somme des travaux des forces qui servent à maintenir stationnaire le mouvement peut étre nulle, sans que chaque force soit nulle.
Nous verrons dans l'article VI les conditions nécessaires et suffisantes pour que le mouvement soit stationnaire lorsqu'aucune force n'agit.
Article III.
1. Nous avons vu dans l'article précédent que la force vive d'un système où subsistent des mouvements stationnaires change en général avec le temps. Nous consacrerons cet article pour en calculer l'expression.
Il suffit pour cela d'employer les formules que nous avons trouvées dans le chapitre II, article III, § 3. Ona
4 M, M, M, M, Mi lih sur 2 RUE HOT e Re D dia Mo, + Mo, + Mo, + Mo ne: = Mo; 4 , M, M, M, M, MEM ais jus pm id prega + Be ip pg d lom E 2 Mo, + Mo, + Mo, + Mo 2 > - Mo; 4 M, M, M, M, » M "EHE pi ae eee AO" mix — 0% y — m, — A EE _ ue = M,o, + = + M,o 8 = Y Mo;
ou pour symétrie on a remplacé o par o,. On tire de la
(6), m, p+ mg + mr = ————————À4——————————. I Mo; Mais les quantités 4; sont les racines de l'équation (voir (25’),) = n Cm; i —d + ra a+ 2hA — K, =
Acta mathematica. 22. Imprimé le 24 noyembre 1898. 36
282 Vito Volterra.
par suite on aura
1 2 2 \ 5 M; Ms m? 3 2. r à ur qp == yes ü) TX (my — m; a ins)
À; — A
Am; Bm; À — A Us À — B
Gm ok TO — 2hÀ; + K,.
Ayant égard à l'équation (2 on peut écrire J S b K, + mi + mi + mi = K°
donc (comparer (25”),)
i; umo jus s À oi jan et enfin $a (+ es aha =a (6), — m,p-- mg + m,r = ———,— = dg rn
2. Il ny a plus maintenant de difficulté pour calculer la force vive. Il suffit d'employer la formule (1), de l'article I dans laquelle on prendra D — #E— "Fi o. 7On aura
T= = (Ap? + Ba? + Cr?) +m, p+ mq + mr + T,.
Mais (voir (2),) : (Ap? + Bq’ + Cr?) = h = const.
Donc, à cause de l'égalité (6’),, on trouvera
Sur la théorie des variations des latitudes. 288
Article IV.
1. Examinons maintenant les variations produites par le mouvement de rotation du systéme sur le mouvement interne lorsqu'il n'y a pas de forces capables de le maintenir stationnaire.
Pour simplifier nous envisagerons d'abord un cas particulier, et dans les articles suivants nous discuterons le cas le plus général.
2. Supposons que le mouvement interne soit la rotation d'un tore de révolution homogéne autour du son axe de symétrie, et que celui-ci soit fixe dans l'intérieur du corps.
Désignons par © la vitesse angulaire de rotation du tore, par a, f. y les cosinus de direction de l'axe du tore avec les axes d'inertie du systéme £,», ¢; par p le moment d’inertie du tore par rapport à l'axe de symétrie.
Les composantes du couple de quantité de mouvement due au mouve- ment interne dans les directions 5,7 , € seront
M, = poa, M, = of, m, = por et la force vive du mouvement interne sera I 2 Ty zo .
Par suite la force vive du systéme, dont la forme et la distribution des masses ne changera pas, sera (voir (1),)
qu ;(Ap' + Ba’ + Cr?) + no (pa + 98 + vy) + aoe
Si le systeme n'est soumis à aucune force externe nous pouvons écrire les équations du mouvement de la maniére suivante (voir introduction)
A 2 + (€ — B)qv + po (qy — rf) + pa = = 0,
BL 4 (A — O)rp 4- no (ra — py) + gua
(7)a dt pt, pr) + ufa; = 0, dr do
CT + (B — A)pq + po (pg — ga) + py 7 =o
284 Vito Volterra.
Si le tore aussi, en tournant autour de son axe, n'est soumis à aucune force, on aura, à cause du principe des forces vives
(Ap? + Bq? + Cr?) + po (pa + af + vy) + <p = const.
D | es
3. Nous avons trouvé quatre équations (7), et (1’), ou paraissent quatre fonctions inconnues, c'est à dire p, q,r, «e. Les quantités p,q,r déterminent la rotation du systeme, et « détermine le mouvement in- terne. ]
En dérivant l'équation (1), par rapport à ¢ on trouve
af da lp dq dr Apt / + Bq S ge a t no(n m + P Hr)
da
+ p= (pa + a +17) + po — o.
Ajoutons les équations (7), aprés les avoir multipliées par p,q,r. Il viendra do
lp jj m p + Bg LG qi Ba + 98 + rp); =
D'ou Ag dq r do e. an Pa trat =
et en integrant
(8) o + ap + Bq +7r = const.
intre o , p, q, r subsiste donc une relation linéaire à coefficients constants. A l'aide de cette relation on peut éliminer w dans les équations (7),. En intégrant ces équations on aura p,q, 7 et par suite, a cause de l'équation (8,4, on aura «c.
Il est aisé de voir sans méme faire des calculs que le probléme de integration peut se reconduire aux quadratures et qu'on obtient des fonctions elliptiques. Il suffit pour cela de remarquer que par le principe de la conservation des aires on a l'intégrale suivante des équations (7,)
(Ap + o2)? + (Bg + po)? + (Cr + poy)’ = const.
Sur la théorie des variations des latitudes. 285
Remplagons dans cette équation et dans l'équation (1'); © par la valeur qu'on tire de l'équation (8),. On trouvera deux relations de 2°% degré entre p, q, r. On déduit de là que p, q,r peuvent s'exprimer comme des fonctions elliptiques d'un paramètre, et par une quadrature on peut trouver une relation entre ce paramétre et le temps. L’équation (8), montre que méme « peut sobtenir d'une maniére analogue. Nous en resterons là dans la solution de ce cas particulier, parce que nous con- sidérerons le cas général dans les articles suivants.
Article V.
1. Nous allons discuter la question tout à fait générale de la ro- tation autour du centre de gravité d'un corps dans lequel existe un système polycyclique quelconque." Le cas que nous avons étudié dans l’article précédent n'est qu'un cas tres-particulier de mouvement mono- cyclique. Nous pouvons supposer des mouvements polycicliques de plu- sieurs sortes. Comme type nous pouvons par exemple envisager approxi- mativement des réseaux de canaux dont les sections soient trés-petites par rapport à leurs longueurs, et dans lesquels circulent des fluides homogénes.'
2. Soient p,, p, p, ..., p, les coordonnées cycliques du systeme
—
et ©,,®,,...,@, solent les paramètres. L’expression de la force vive du mouvement interne sera en général
n m m n m
I £ dp; dps I do, da; dp; dà,
n n m m n m
I I da, dà, ^ x^ do, 6 SAR > a;,0;0, + 5 a 2 De D aE -— ay die Ca Oi, 1 1 1 1 1 1 désienant : aes les intensités cycliques du systéme en désignant par «o; — 5, les intensités cycliques du systeme.
Nous verrons aprés les termes qu'on doit négliger dans cette ex- pression. Les coefficients a;, b,, c;, seront des fonctions des paramètres.
‘ Voir HERTZ, Die Prinxipien der Mechanik. Zweites Buch. Abschnitt 5. ? Dans l'art. IX nous envisagerons un cas de rotation d'un solide qui renferme un fluide dans un récipient tubulaire dont la section est queleonque.
bo oo ec
Vito Volterra. Les composantes du couple de quantité de mouvement seront
n n
S a. Li don da" m, = Ÿ +> 6 B= Yet Day
A Gers dt - 1 2 2 (9)a m, = A + > hs eee hic > hh
1 1
m n m
Er dp; do h > lo, s - os a gas 1 1
où 4;,0;,6;, 6,, fs, d, Seront des fonctions des paramètres. On pourra aussi supposer que les moments d'inertie A, B, C et les moments mixtes solent des fonctions des paramètres.
La force vive du systéme sera (voir article I)
T = - (Ap? + Bg? + €? — 2Dqr — 2 Erp — 2Fpq)
a
+m, p+ mq + mr + T,.
3. Un déplacement virtuel du systeme sera détermine par les com- posantes d'une rotation infiniment petite qu'on désignera par 00, dy, 0 et par les differentielles dp, et 0». Eerivons le travail virtuel sous la forme
n m U = M.06 + M,óy + M.0p + di P,0p, + 2 11,08,. M., M,, M. seront les composantes du couple de rotation; P; seront les forces correspondant aux coordonnées cycliques p; et //, celles corres-
pondant aux paramètres @,. Par des formules connues on aur:
N d N ^ zu Op = 3,00 + 900 — roy, x d N, \— N 0g = =, OX + rào — poo,
d or = 4 9? + poy — 400
Sur la théorie des variations des latitudes. 287
En employant le principe de Haminron on trouve donc l'équation suivante
4
f oT (d , J MET. ler U)dt zn ls (5 oo + qp — roy) == a (5x t de — pop)
fo
tee do + poy LJ
+ (naa er Y sos Yu) atr
< é 3 “ uae 1 \— - oT ^ — + ost hat art 2 mot = On ae) a; 005. D a, 09s
m
+ M0 + Moy + M.0p + > ;P;Op; + Y, II, 06, | dt
où lon doit supposer que 00, dy, do, Op;, 0i», soient nuls aux temps f, , 4. Par des intégrations par parties on trouve les équations différentielles du mouvement
CET m Am dt dp ar I aq — Me,
doT , at fier
dt 9q op d oT oT (10), aras P 15 Me
qi (np + ba + or £s 4,0, +}, cu) = p,
m
da, T ale + ha + or £X in 0; + >: b, :) H
dt 909,
= /],.
4. Supposons maintenant que les paramétres changent si lentement que leurs dérivées par rapport à / soient infiniment petites.
En les négligeant on trouvera que la force vive du mouvement in- terne sera
n
jo x 4, €0,€0,
Nie
288 Vito Volterra.
La force vive totale sera
T' = - (Ap? + Bq? + Cr? — 2Dqr — 2Erp — 2F pq)
I 2
n mn Y, Y, dx €0; €0 ,
I 2
+ E (ap + ba + croi +
et les équations différentielles du mouvement deviendront
d oT" 92 Lom dt 9p 1 or ! 2q ms d aT" aT’ oT" dt aq ian op orne M, ao aT’ oT’ RO ’ £p MIO ja | dt ar aie 9q 1 9p M;
- (ap + bq + cr + 2» Qi, o.) = P; c 1
; n lan + fig + qur Sono) = D. Pour que le mouvement interne soit cyclique méme si les dérivées des intensités cycliques ne sont pas négligeables, il faut supposer que les coefficients c,, solent des quantités négligeables.!
Alors les équations précédentes deviennent
d oT oT oT . dt op us I’ aq Me, d oT" oT" oT dt dq pui D " doT | oT of | (10), 3r udo. "iss = M,,
= (ap + bq + cr + 2.4.0.) = P,, 1
1 eT (ap DE fid zr Ue = IL,
90;
1
Voir Vorar, Kompendium der theoretischen Physik. 1% Bd., page 86.
Sur la théorie des variations des latitudes. 289
Il est inutile d'ajouter que le systéme ne sera rigowreusement cyclique que si les parametres seront constants.
5. En supposant que le couple de rotation soit nul ajoutons les
CIE PAu STE trois premiéres équations (10), apres les avoir multipliées par — , — , —.
op ' °q or On trouvera oT d oT eT doT oT d oT
9p dt dp os dt oq Te dior —
et en intégrant
(11) (5)
Désignons par æ,y,2 un systeme d'axes fixes et représentons dans la table suivante les cosinus des angles qu'ils forment avec les axes £, y, €
i ETE
9q ‚or
ro irs eG.
Da, 2 AC VIE Pas Bs NON ÉD. ONE
En employant les formules de Poisson on tire des équations (10), si l’on suppose toujours M:= M, = M. — o,
a OF 4 oT oT UV dt V dp Fa oq 2s 7 "p a5 op +57 + -) zu d oT oT ln 9p i LETS 2 em no. d'où par intégration QM. "om. "9T a SE 3b + a, 5- = const. oT oT nA = ane EL = + B, 2m const. oT oT oT = 5p dp gie a 7 53, — Const.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 24 novembre 1898. 37
290 Vito Volterra.
Ces intégrales sont les intégrales des aires et l'équation (r1), peut étre déduite comme une conséquence d'elles.
Si le plan ay est le plan invariable, alors les deux premiéres con- stantes sont nulles et la troisiéme est A; par suite il vient
19T 10T 1 07 (12) Ih Kop’ T2 Keg? lias cuo
6. On tire trés-facilement des équations (10),, étant v<n
d eT AT o d oT d oT Pu DUE "e + Ye PI
da, d ^. af da, aR Yd us >, 900, dt
dt dt (a) — Mp+ M, + Mer 3 > Pore = ne
Cette équation peut s’ecrire de la manière suivante
d eT oT - os SE VN dt p ap ard utr = Ys ‘30; Hn ; Fe) V9 oTdp , 9Tdq , 9Td: Y 9T do; eT 90, oT d'o, At iol +>, c acm | p dt dq dt or dt D di 90, dt (I dt dt
y dà h
— M:p + M,q + Mr + Ÿ Pio, +}, Me 1
Mais on a
dt op dt oq dt or dt Lom dt
,
dT oTdp , oT dq |, oTdr Y oT do; eT do, , 9T d'a, da 90, dt = dt? ar)
oT. EN OT - T ; M — p a ry M Qe ae 1 1 h ( ^)
1 \ dt
Sur la théorie des variations des latitudes. 291 done l'équation précédente deviendra n
lt Yi)
do, Ur dw;
A dw; di '
= Mp4 M,q + Mer + > Po, + Yn Supposons que les intensités cycliques ,,,, 0,,5,..., @, solent con- stantes, alors il viendra
v m
(38. G(T Yos) = Mp + Ma + Mr Y Po Y = S y+1 & 1
1 S'il existe une fonction des forces relatives aux paramètres” et qu'on la
désigne par 9, on aura cunda, d La —u
et par suite l'équation (13), s'écrira
ü (ncs Yi) = M;p + Mo + Mr + Y Po, 4 = k y+1 i - F
Multiplions par dt et integrons, nous trouverons
(14), T— Yo e f (Mp + M,q + Mer dt 4- Y^, v+l 1
Pod + D+Hh,
Ve
h étant un constante. Si les mouvements internes sont isocycliques, c'est a dire si les in- tensités cycliques sont constantes, l'intégrale précédente deviendra
n n D OM Te d SD = TL Mar Mera + h Y D 9m; E ? =
Si aucune des quantités «, n'est constante, alors
(r4). T= f hp + Mg + Mr)t + Y f Pod + D +h.
‘ Herrz, Die Prixipien der Mechanik, page 240. 1 pag
292 Vito Volterra.
Article VI.
1. Supposons d'abord que le système soit rigoureusement cyclique, c'est à dire que les parametres soient constants. Supposons en outre que les intensités cycliques soient constantes.
Le mouvement sera isocyclique, c'est pourquoi nous revenons au cas où les mouvements internes seront stationnaires et le corps ne change pas de forme, ni la distribution des densités change non plus.
Alors les équations (10"), se reduiront aux équations suivantes
dT or oT ; dip el dio aT. oT à "o cS QU TO J meh d oT WN STE cod dior T Pag epiac
dp lr eap apt ge = Fi
et si le couple de rotation est nul les trois premieres équations de-
viendront d oT eT oT
ee ; 1T oT oT I0" x , LE ( Ja | dtoq dr "op 91 ?
Pour les réduire à la forme qu'on a donné auparavant il suffit de prendre
pour axes €,7, € les axes d'inertie, et alors les équations précédentes se reduisent aux équations (3).
On peut done énoncer les résultats qu'on a obtenus dans le chapitre 2"* de la manière suivante: Si à l'intérieur d'un corps qui west soumis à aucun couple de rotation existent des mouvements isocycliques (les para- mètres étant constants) alors les composantes de la rotation sont des fonc- tions elliptiques du temps, et les cosinus des angles que les axes d'inertie du
systeme forment avec des axes fixes sont des fonctions uniformes du temps.
Sur la théorie des variations des latitudes. 293
2. Remarquons que 7 est une fonction de 2°%* degré, par suite si nous posons
m? /at\* (at\? allen) tion) + len) | = ;VH[(Ap— Fq— Er + m,)?(— Fp + By — Dr + m,)*(— Ep — Dq + Cr+ m,)’],
i oT oT le
oT =—1] EN + re
15; 5
oes 2VH
(Ap? + Bq? + Cr? — 2Dqr — 2 Erp — 2F pq),
H étant donné par la formule A,—F,—E "T B,—D — E, ——D, C
les équations (10), deviennent (voir article V du chapitre I)
dp — d(f,.f,) dq _ 4, » f) dr d(f,. f.)
age d(q y v) 4 deere d(r,p)' dt d(p,q) et l'on peut obtenir l'intégration (voir chapitre II, article II) sans dé- terminer d'avance les axes d'inertie du corps. L'équation de 4^""* degré dont dépend la solution sera
E'-F-A(A-2 , ED-FA-F(B-/ , FD-EA-E(C-4) , Am,- Fm,- Em, ED-FB-F(A-3, F°+D°+B(B-}) , FE-DB-D(C-3 , -Fm,* Bm,- Dn, FD -EC-E(A-i) , FE-DC-D(B-2), ÆE+D'+C(C-à , Em, - Dm, + Om, Am, -Fm,-Em, , -Fm+Bm-Dm, , - Em, -Dm,+ Cm, , 24] — K,
où l'on a (voir (14’)a)
E I! i — const. — i (Ap?+ Bq?+ Cr? -- 2Dqr — 2 Erp — 2Fpq) = T— VY o ee
7 72 2 2 9 K, = K'’— mi — m;-—m;,
294 Vito Volterra.
étant (voir (11)4)
K^ = const. + (Ap — Fy — Er + m,)? + (Bg — Fp — Dr + m,)?
+ (— Ep — Dq + Cr + m,)? = (=) + (FF) + (=) :
/
^
3. Les formules (10’”), font connaitre un autre élément trés-im- portant dans la question. En effet la derniére de ces formules nous donne l'expression des forces qui sont capables de maintenir stationnaire le mouvement. On tire de ces formules la propriété suivante qui complete la proposition que nous avons énoncée à la fin du premier paragraphe:
Les forces nécessaires pour maintenir stationnaire le mouvement sont des fonctions elliptiques du temps.
Pour le calcul de ces forces nous renvoyons au § 4 de l'article IX {voir (23),. En attendant nous pouvons nous servir du résultat que nous venons de trouver pour chercher dans quels cas les mouvements in- ternes pourront se maintenir stationnaires sans que l'intervention d'aucune force ne soit nécessaire. Nous emploierons les résultats que nous avons trouvés à l'article II et nous les compléterons. Rappelons en effet que les conditions que nous avons données dans cet article, par rapport à la question que nous nous posons, sont des conditions nécessaires et ne sont pas suffisantes (voir $ 6, article II).
On tire de la dernière des formules (10'”); que les forces internes seront nulles lorsque
CEE ap + bq + cr = const. G=1,2,. 5m)
temarquons d'abord que ces conditions sont vérifiées lorsque le mouve- ment de rotation est permanent. On peut done dire:
Si le mouvement de rotation est permanent, il ne faut pas de forces pour maintenir isocycliques les mouvements internes.
Lorsque le mouvement de rotation n'est pas permanent, rapportons nous aux axes d'inertie.
Sur la théorie des variations des latitudes. 295
Si les forces ne doivent pas exister il faudra que la force vive soit constante, c'est pourquoi on aura (voir article II, § 1)
m,p + mq + m,r = const. Ap’ + Bq? + Cr? = const.
sans que p,g,r soient des quantités constantes. Done pour que les conditions (14*), soient vérifiées il faut que
a; b; Ci
Nous avons donné (article IT, $ 5) les conditions que m, , m, ,m, doivent vérifier pour que la force vive soit constante lorsque la rotation n'est pas permanente, on aura done tout de suite les conditions nécessaires et suffisantes que nous cherchons.
En rappelant la proposition que nous avons donnée au $ V, article
II, et le théorème que nous avons énoncé tout à l'heure on aura:
Les forces étant nulles, le mouvement interne sera isocyclique dans les cas suivants:
1° lorsque le mouvement de rotation est permanent,
2° lorsque
a; = 0, A(A — B), Do C= +0; J0(B = 6)
les quantités 0; étant des constantes et les conditions initiales du mouvement étant telles que
VA(A — B)p + VC(B — Cjr + (4 — C) 20,0; E
3° lorsqu'on aura
A-B, 4,=b,=0,
le mouvement initial de rotation étant. arbitraire.
Article VII. I. Nous allons examiner dans cet article un cas important qui peut se présenter. C'est le cas où les forces correspondant aux coordonnées eycliques sont nulles.
bo © a
Vito Volterra.
SR ee (O0 ee
d = : do, dt (ap + b;q + C;1 + > ae, + Zac =) =O
et en intégrant
n m da,
1 1 i K, étant une quantité constante.
2. En employant les intégrales qu'on vient de trouver on peut éliminer les intensités cycliques. En effet, en ayant égard à l'égalité a;, — a,,, cal- culons le déterminant
, a $t, Am
0, ol aene core
Ant 9 Ana 9 + + > Ann
et désignons par .4; le rapport entre l'élément réciproque de a, et le
déterminant. m do Dp On aura, en posant Dee — Oe i n (16), Y, 4,0, = K,— v; — ap — b;q — civ
d'ou n
(1 7)a 0, >= Y, A,,(K,— v,) — ps, A,,a, ET qZ,4;0, TRE 12,450, Ou si
I = = dà do; EN ae
on a (voir article V, $ 2)
n
I n n n n T, = ÈS Xd, ww, zt Livia; + t= 2. 0. (Zıa,o, == 2) Tz
Nie
n
=: Y o(K, + 0, — ap — bg — er) + 7.
2
Sur la théorie des variations des latitudes. 297
Et en remplaçant w; par l'expression (17), on trouve
n n
T, = > (ap? + bq? + er? + 2dqr + 2erp + 2fpq) — p 2,2, Aa K,
n
im > ‚4,6; K, — v xo Aj,c; K, + = 2,5, A;, Kh, K, — 2,2,A,00, + v, 1 z
8
ayant posé pour simplifier P
en 4 050,5 b= Y, X, A, bd
wt b,,
d = 2,2, Abe, (g Y
Si dans les formules (9), on remplace «,...«, par les expressions (17), on à
m, = LE, A(K, — v)a, — ap — fa —er + > QE
d t
>»: — „= 22, Ai (Ki — v6, — fp— bq — dr +>, ee
m
3 D» À; URS — vj)e, — ep — dq — cr Ep S 9 ur D ips al
Zu 1
=> = =
d'où l’on tire
m,p + m,q + m,r = — (ap? + bq* + er? + 2dqr + 2erp + 2fpq)
n n m
£p Y, AK, ce v;) a, 3% DEC Po
a5 af Y, Aj, (A i. c ^ +- = 3 d
n n LS la » ; ‘4: een hy MICI + 1] XY AS + Yun
Acla mathematica. 22. Imprimé le 16 janvier 1899. 98
298 Vito Volterra.
On peut done calculer l'expression de la force vive du système qu'on obtient par l'élimination des intensités cycliques, savoir
(A — a)p + (B — bd)? + (C — e)r — 2(D + d)qr — 2(E + e)rp — 2(F + f)pq]
AN H — —. NS er Di» =
m m
SON z ae 2 IN 5 do, + PY 6. >, fi- +), In dt 1 1 I n n I m m lo da > Jr , tw, AW, OR AR ED OE eee 1 1 1 1
ayant posé
n n
e, — e,— XOU f, = f, — 3, Aubin»
n In ES In = 2, Y, A,, C, Ci,
n
Up DD
1 l
A is Cin Cs :
s
Nous avons écrit (T) au lieu de T pour désigner l'élimination qu'on vient de faire.
3. Pour transformer les équations (10), par l'élimination des quan- tités w;, remarquons que l'on a
CU oT oT NOT o S UT x: 2D 20 pé Jr N ——7 3 00 (18), 01 8p Op + 21 oq 4- 0 +- m Io; + 28 5g, 09 „dan Le > " (m) Der | Je
A cause des équations (15), on peut écrire
m = 2 NE
Qe;
bo e e
Sur la théorie des variations des latitudes.
et des équations (17), on déduit
m n à (2.4.08, — v) — PL, Aga, — q 2; Aib; — vd, Auc,) OO — 20
h ue
\— 00,
m
y ^ yl = NT, ^ DE die isCin — 3, A4,0,0p — X, A;,0,0q — X, À,,c, or.
JE,
Par suite en posant 2,2, A, Kya, = 0; 2A Kb, = Ts, PE, Ag dfc 5
n n
2, 2, À; Cin K, = $a
la formule (18), s'écrira A A "eT AUS eT («NOT à „do, er) en E pee, let 2 mou x ie) m à TN m : de, = se OR [2 2:5,4, K; K, — > ST —Lp—1,q—1l,) poo.
Mais
E toU. eua) 9 ( Y QUOS (T) 5d.
a(T) = = Op + 21 oq + = | Gr + Zu o o 4d Y (4 rl
1 m)
en conséquence si nous comparons les dernières formules nous aurons
m TR) oT o(T c AM EP LT
op op EEE)
«(ie Tope t 9 ( I 9)a j dt
da, (m) s] me hp a + tr *Y, er
am.
TR
2 = SO K,
300 Vito Volterra.
On peut donner a ces équations une expression plus simple, A cet
effet posons 8 — (T) - lp La t lr + Y ALSO ou bien (20), Br ae 4— a)p! + (B — 0g? + (C — e)r' —2(D + d)gi — 2(E + erp — 2(F + f)pq!
m
cs lo. y . x ge 2. I) + AD, Laos L) + +0, DE +1) 1
\
"i dà, do; dày I E = 2F = Do: Ink di di £s Sn di —23242,4, 0e
2
On aura alors
Mas ot eye al ef EP op = op 4 °q aq” or 9’ eT 90 eT oT u dà
— ep + fid + gir + bU dt +S, 1
QU, E An} ; 2 dày = 3 da, dt ) dt ) et par suite les équations (10), peuvent s’ecrire
d 20 26 20
ro) is Um de er — M., d 960 20 20 dt oq sisse De qu M,
(21), d 20 2 CLR dior ' f oq 7 5p E & da; À 20 E di (air == fid + gir +) br dt 3p 2 Une
Sur la théorie des variations des latitudes. 301
Article VIII.
1. Supposons que les paramètres du système cyclique soient constants. Alors les équations qu'on vient de trouver se réduisent aux trois équations
d 20 90 90 : dt dp ur do | aq Me, 120, 90 26 (214 dt dq a ‘ap! or ia 25,
d 20 90 220
dtor p oq d op
= M. dans lesquelles on aura 20), 8 AI — a)p? + (B — 0)q? + (C — er? — 2(D + d)qr
— a(E + e)rp — z(F + f)pa| + lp + la + lr.
Les coefficients de tous les termes de cette expression sont constants, par suite les équations (21’), correspondent à la rotation d'un systeme dans lequel existent des mouvements stationnaires, en supposant que les moments d'inertie par rapport aux axes €, 7, € soient
A—a, B—b,6
Cy
que les moments mixtes d’inertie par rapport aux couples d'axes 7, €; 6, 6; €, * solent D) bord. neigh - buf
et enfin que les composantes du couple de quantité de mouvement du mouvement interne solent
Du. (Voir article VI.) On tire de là le théoréme suivant:
Soit un corps dont la figure reste invariable, dans lequel la distribution des densités m'est pas alterée, à l'intérieur duquel existe un mouvement poly- cyclique laissant les paramètres constants et sur les coordonnées cycliques
302 Vito Volterra.
duquel wagit aucune force; sous l'action d'un couple donné, il tournera autour du centre de gravité comme un autre corps dans lequel existe un mouve- ment stationnaire, qui est sollicité par le méme couple moteur; les intensités cycliques dépendront à chaque instant de la rotation du corps.
2. Remarquons que la forme quadratique
(20), \(A — a)p? + (B — 0)q? + (C — e)r* — 2(D + d)qr
— 2(E + e)rp — 2(F + f)pq}
est une forme définie positive. Cela dépend de l'expression (1"), trouvée pour (T) qui étant celle de la force vive doit étre toujours positive. Mais on ne peut pas démontrer que A — a, B — 0, C — c, vérifient les conditions
Dim
(B—b) + (C—c) > A—a, (C—c)+ (A—a) > B— b, (A —a) + (B— b) > C—c,
auxquelles doivent satisfaire les moments d’inertie d’un corps réel dont la densité est toujours positive. C’est pourquoi dans le théorème précédent lorsqu'on parle du corps qui tourne de la méme maniére que le corps donné, il faut envisager un corps idéal dont la densité peut devenir aussi négative. Du point de vue analytique et cinématique il n'y a aucune différence entre le mouvement de ce corps et celui d'un corps réel, puisque la forme quadratique (20"), est une forme quadratique définie.
3. Le théoréme qu'on a donné a la fin du $ 1 ramene la recherche du mouvement d'un corps dans lequel existent des systémes polycycliques, et qui n'est soumis à aucun couple extérieur, au probléme qui a été traité auparavant, et l'intégration, dans ce cas plus général, s'effectuera encore à l'aide des fonctions elliptiques. (Voir le chapitre II.)
On pourra énoncer la proposition suivante:
Les composantes de la rotation et les intensités cycliques d'un systeme, dans lequel existent des systèmes polycycliques, dont la figure et la distribution des densités n'est pas altérée, et qui west soumis à aucune force extérieure,
Sur la théorie des variations des latitudes. 303
sont des fonctions elliptiques du temps; les cosinus des angles que les axes d'inertie forment avec des axes fixes sont des fonctions uniformes du temps.
4. Si lon voulait effectuer la solution de la question en la rame- nant à celle du mouvement d'un corps dans lequel existent des mouve- ments stationnaires, on pourrait d'abord réduire les équations à la forme (3) et aprés faire lintégration par les méthodes qu'on a données aupara- vant. Mais il est évident qu'on peut atteindre le but d'une maniére di- recte beaucoup plus simple. Il suffit pour cela d'appliquer les propo- sitions de l'article V du 1i* chapitre, $$ 3, 4, comme nous avons déjà montré dans l'article VI. En effet, lorsque M. — M, — M. — o on peut ramener les équations différentielles (21), au type (r2), puisque 6 est une fonction de 2° t Le Hessrex de la fonction 6 sera
LL. e), —(D+d), C—e
et on caleulera tout de suite les fonctions f, et f, par les formules
fi — lan — + fa — UE + or LY ir ea se io ED E ard ul t [— (E + 9p — (D + dq + (C — Or +1].
fi = —— (4 — ap’ + (B — Jg? + (C— o) — AD + dyar — 2(E + e)rp — »(F + fra},
de sorte qu'on aura
dp. afi, fr) dy = N, dr — d(fisfs)
dt — d(q,r)' di r,p) dt d(p , 4)
5. On peut intégrer directement ces équations par la méthode qu'on a donnée dans le 2°% chapitre à l'article II. Cette intégration dépendra de la résolution d'une équation de 4°" degré qu'on écrira tres- aisément en partant de l'équation (12), du méme article. (Comparez
article VI, § 2.)
304 Vito Volterra.
Les expressions des composantes de la rotation et celles des intensités cycliques seront les suivantes
Nu + NO? OU + NO au + Nu
JU = , M o,u + Ms M oyu + MO ou o. No, 4 + NM o,u + NP a,u + Nou Mou + Mou + Mou + Mou 22) ( T ( : Ns u + Nau + N Su + Nou — = E] M o,u + M o,u + M o,u + Mou LU tw 59 Tota EEE) u + Lou oO, —
I Mo, u+ Mou + m“ )c, u b Mou’
ou LY, M", N° sont des quantités constantes.
(A)
Si nous employons les quantités aj? du 2"* chapitre, article II,
on aura
N® — Mos a
(A) 44 (23)a (h) AD Asay, — (iii ded — 650, + K de) Ais
5) ED — Me at (—
(A) O44
La relation qui subsiste entre ¢ et w sera l'équation linéaire (voir (23),)
(24), uo A 0, Ag),
(e, — €)
(, étant une constante arbitraire et 4,, 4,, À,, 4, les racines de l'équa- tion du 4?" degré.
Pour calculer les cosinus des angles que les axes €, 7, € forment avec les axes fixes, il faudra d'abord déterminer 7,,7,,7,- En employant
les formules (12), on aura n=zl (4—29»—(F- f) —(E- Qr +1] (25) 5 LG + fp + (B—9)s —(0 4 Or +4),
ng Et — (D + da + (C — Or 4 1].
Sur la théorie des variations des latitudes. 305
Par la méthode qu'on a donnée aux articles IV, V, VI du 2*"* chapitre on pourra obtenir l'expression des autres cosinus.
6. Dans le cas que nous venons de diseuter le systeme est aban- donné à son inertie, car on a supposé toutes les forces nulles, soit le couple de rotation, soient les forces relatives aux coordonnées cycliques. On peut désigner ce cas en disant qu'il correspond à un mouvement adiabatique du systéme. Done dans un mouvement adiabatique (les para- mètres étant constants), les composantes de la rotation et les intensités cy- cliques sont des fonctions elliptiques du temps.
Il faut remarquer cependant que le mouvement interne mest pas adiabatique. En effet calculons les moments cycliques. On aura
a g; — v rr Lao, robe Big er, On voit qu'ils ne sont pas constants, mais qu'il sont des fonctions li- néaires des composantes de la rotation du système.’
Article IX.
1. Les résultats qu'on a trouvés aux articles VI, VIII prouvent que les paramétres étant constants, et le mouvement du systéme étant isocyclique ou adiabatique, la solution peut étre obtenue par les fonctions elliptiques.
Nous allons maintenant discuter un cas plus général, dont ceux qu'on a envisagés sont des cas particuliers, et dans lequel la solution peut s’obtenir de la méme manière.
2. Supposons que quelques-unes seulement des forces relatives aux coordonnées cycliques soient nulles. Alors on voit bien aisément qu'on pourra éliminer dans les équations du mouvement autant d'intensités eycliques, qu'on a de forces nulles.
Pour obtenir ce résultat il n'est pas nécessaire de faire de nouveaux caleuls. On peut se servir des formules que nous avons trouvées à l'ar-
"Voir HERTZ: Die Prinzipien der Mechanik, page 230.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 16 janvier 1899. 89
306 ticle VII.
—
données ©, , &, ,..
(10).
Vito Volterra.
Il suffit pour cela de supposer que quelques-unes des coor- ., ©, ne paraissent pas explicitement dans les formules Alors elles deviennent des coordonnées cycliques et les paramètres sont les coordonnées résidues.
Donc les formules qu'on trouve par l'élimination sont les équations
20 arts (21), dans lesquelles on devra retrancher les termes m relatifs a celles Wp
des coordonnées @, qu'on a supposées étre des coordonnées cycliques.
3. Appliquons ce résultat au cas on le systéme est rigoureusement
cyclique.
: dom dt ue ost et posons //, = P;.
do do,
qui sont des intensités cycliques, par @|,@;,.
Alors on pourra supposer que toutes les coordonnées G, , &,, ., ©, soient des coordonnées cycliques.
Désignons leurs dérivées
, Om)
Les équations (21 ourront s'écrire q a P
[peto rar T ene a, " J (21”)a I + ps — 0, = My 2 (ep + fia + oir Xiao) = Bi, ou (20), 8 = (A a)p' + (B — b)q? + (C — or? — 2(D + d)gr
— 2(E + erp — 2(F + fa}
m m m m
+ (Et) 4a (afit +h) (uii +h) +5 5e ot.
=
On a supprimé dans l'expression de 6’ les termes X. Sr et les termes
m m
DP %,4A,K;K, qui paraissent dans l'expression de 6, mais qui dispa-
raissent Eger les caleuls des dérivées.
Sur la théorie des variations des latitudes. 307
4. Soient maintenant les intensites cycliques «j, @;,...,@, des quantités constantes, Dans ce cas les coefficients de p,g,r dans tous les termes de 6’ sont des quantités constantes. Par suite le théoréme énoncé au 1" § de l'article VILI s'étend au cas où quelques coordonnées cycliques ne sont pas soumises à des forces et les intensités cycliques correspondantes aux autres coordonnées cycliques sont constantes.
Si le couple de rotation est nul, alors l'intégration des équations (21"), pourra s'effectuer par les fonctions elliptiques.
En effet en rappelant les résultats obtenus à l'article V du 1% cha- pitre on pourra écrire les équations (21") sous la forme (comparez le
$ 4 de l'article VII)
dp edu. f. dg dif fo
dr — d(fi , fs) (22)a dt d(q , v) : dt d(r,p) ?
dt — d(p,q) :
” et f; étant donnés par les formules
I
= [A0 + f)a — (E+ er + Leo, + i| "n |- (F + f)p + (B—b)qg—(D+ d)r +2 fro, + A
+ [7&4 op —(D + da + (C— dr + Eno; + 4] |
— 2(E + e)rp — 2(F + f) pq}, le eee ee eae C —c
Les expressions des fonctions inconnues 9,9,75@,,@,,...,@, sont les mémes que celles données dans l'article VIII au $ 5.
Pour obtenir les expressions des forces P; c'est à dire des forces qui sont capables de maintenir constantes les intensités cycliques «;,
308 Vito Volterra.
S
2525, ©, il suffira de remarquer que la dernière des équations (21^), s'écrit
,dp ,dr „= Zr +9 Ina,
et à cause des équations (22),
; AT) , (f, f) ‚af 5 f) JL DÁM h : S : : E ci d(g,r) tf d(r , p) tn d(p : q)
Par suite en posant fo = ep + figu on aura ‚ A8 AES f s) 2 = pt = SE EVEN Due (23)a P= ap, a9)
On tire de là que les forces P; seront représentées par des fonctions elliptiques du temps.
Article X.
1. Nous avons donné à l'article V les formules (10), dans lesquelles on a introduit les coordonnées cycliques et les paramétres.
Les paramétres que nous avons considérés sont des quantités indé- pendantes, mais on pourrait trés-bien envisager des paramétres liés par des relations correspondant à des liaisons. Si les parametres étaient liés par les relations indépendantes
1(@,@,, On) iro EIE (roger Coe) — 077 COR ORO Os) — O5
il faudrait modifier les équations (10), en ajoutant au second membre de la dernière d'elles les termes
2. Nous n'allons pas approfondir le résultat qu'on trouverait de cette manière. Plutôt comme complément des formules que nous avons
Sur la théorie des variations des latitudes. 309
données, nous voulons envisager le cas du mouvement d’un corps solide et d'un corps liquide homogéne qu'on peut supposer remplir une cavité du premier corps.
S étant l’espace occupé par le liquide, la force vive du systeme sera, en se rapportant à des axes liés invariablement au corps solide (voir article V)
T — (Ap? + Bg? + Or? — 2Dgr — 2Erp — 2F pq)
+2 {UGE + Gi) esee foi ioo + af (e 6 )oas + (ER Br ds,
Ss
où €,7,€¢ sont les coordonnées des points du fluide et o sa densité. Pour vérifier l'équation de continuité il faudra prendre
90€ , ody , 20
++ 0. es 07 ac
Par suite, en employant le principe de Hamitron, en trouvera les
équations DÉS iones (4) — Vade (ratu)t 62 Sage + (= — 7) — 0 Sesto) rh dieti me "E 45. — 7 — M; es CR PR md, d oT e NETS M.
dat Leg
310 Vito Volterra.
V étant la fonction potentielle des forces agissant sur le fluide et M., M,, M. les composantes du couple de rotation. Si nous posons
dé dy auc
SAT v er
. rome ° Oo o et si nous désignons par le symbole ai la dérivée partielle par rapport
à ¢ d'une quantité en la regardant comme une fonction de €, 7, C, f, les équations précédentes deviendront
ou ou ou ou U vU w 21010 — — Fas sula gE ES ae + 2a )
siege na + ae lp = EN E "x + es + we E ue ; ; sare erie > a a eae me E are Ms (25’)a ee ar = Me dos hou ann
ou = * (Ap? + Bg? + Cr? — 2Dqr — 2Erp — 2F pq) + pf (gw — &) pdS + q f (Su — Ew)pdS + r f (£v — qu)pd S. S S S
A ces équations il faut ajouter l'équation de continuité
ou Qv Ow (26). BE at og IU CE
Sur la théorie des variations des latitudes. 311 et l’equation au contour (27) u cos n& + v cos m» + w cos ng = o,
5 étant la normale à la paroi qui limite l'espace occupé par le fluide.
3. Envisageons le cas ou le fluide n'ait pas de tourbillons, c'est à dire ou l'on ait E) 2 ? 300 quem w ee
Ww = = 9x ^ ay’ 02
Les équations (2 3 écriront d
sorta ae) n) + GE)
95 | ot 2
(28)a ae rs pt) eg —t o,
GE) + (sp) + (Ge)
C’est pourquoi
a (cee QN a—tal=2| (ae x) dp page [so Ps ) "ber s d her yea 725.2 = abl
On tire de là et de l'équation de continuité
Bh pate qo Reo Mp letz, 5
et d’une maniere analogue on a
2 (pe + 4738) — 3t le EC
id BAC) 2 99 , ,99 «de 0, T's
312 Vito Volterra.
Par une intégration on trouve
dq dr : ac ag ser
4,99 oy op dp, Pag Ti 1 %r ENG
C étant une quantité constante. Si le mouvement de rotation du corps solide est permanent, cette équation devient
°P 99 o E (29). poribus iir mi La constante C doit étre nulle, parceque si nous conduisons un plan tangent à la surface qui limite le fluide, et qui soit normal à l'axe de rotation, au point de contact on aura
9€ op cM op qe Pag ts am Uer COE
Prenons pour axe C laxe de rotation, alors l'équation (29), deviendra
et les équations (28), s'écriront
serio em SEI 12-71-92
en supposant que le mouvement du fluide soit stationnaire. L'équation de continuité (26), et celle (27), qui doit étre vérifiée au contour seront
; 370 , 9° i 9 (26). et eo (27’)a T —o
Done si ¢ est la fonction conjuguée de ec, c'est à dire si
g + i = F(E-u)
Sur la théorie des variations des latitudes. auus
on aura
9 9 2 TENUE “1 Ge) + 3 |- 2rod + K, K étant une constante.
Pour que les conditions (26^, (27), soient vérifiées, il faut que © soit polydrome et que l'espace occupé par le fluide n'ait pas la connexion linéaire simple.
Caleulons maintenant les composantes du couple de quantité de mouvement du fluide par rapport aux axes. La composante dans la direction & sera
= c nds = s Cae ? dS = 0 JS dS,
et puisque d est constant le long des intersections du contour avec des plans parallèles au plan £5, on trouvera m, — o. De méme on aura Uo
On tire de là que l'axe du couple du mouvement interne est pa- rallele à l'axe de rotation, c'est pourquoi celui-ci (voir (6')) doit être un axe d'inertie.
Nous avons done une infinité de mouvements possibles permanents du solide et du fluide renfermé dans un recipient tubulaire sans que le fluide ait des tourbillons. (Voir la note à l'article V de ce chapitre.)
Note aw chapitre IV.
1. Nous avons fait usage dans le chapitre précédent du principe de HAMILLON et des équations du type LAGRANGE-LIOUVILLE; mais on peut trés-bien s'en passer et démontrer directement la relation qui subsiste entre le mouvement adiabatique et le mouvement isocyclique en employant seule- ment l'équation symbolique du mouvement, c'est à dire l'expression ana- lytique du principe de LAGRANGE. Il faut pour cela se servir d'une trans- formation trés-élégante de cette équation donnée par M. Brirramt. |
2. Lorsqu'on a un systéme qui peut tourner autour d'un point fixe, solent g,,g,, 9, des parametres qui determinent sa position, Suppo-
* BELTRAMI, Sulle equaxioni dinamiche di Lagrange. Rendiconti del Istituto
Lombardo, S. IL, Vol. 28, fase. 14.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 21 janvier 1899, 40
314 Vito Volterra.
sons que dans ce systéme existent des mouvements cycliques et que les forces relatives aux coordonnées cycliques soient nulles. L'équation symbolique de M. BzrTrRAMI peut s'écrire dans ce cas
3 , aU éL = sU—( Y |, ( 170% 1)
où L est le travail du couple des forces appliquées au système et U est donné, par des calculs que nous supprimons, par
—U= 5 [(A—a)p? + (B—b)q? + (C—or*—2(D + dar —2(E + drp—2(F +f) pa]
+ip+tha+hr —i 23 ARR
les notations étant les mémes que celles que nous avons adoptées dans le chapitre précédent.
On peut tirer de là aisément le théoréme auquel nous avons fait allusion et de méme les équations du type LAanAxaE-Lrovvirrr.
CHAPITRE V.
Quelques applications aw mouvement du póle terrestre.
Article I.
1. Lorsque les mouvements internes ne sont pas stationnaires nous avons vu que les équations différentielles du mouvement sont les suivantes (voir introduction (7))
2 dm, An + (C— B)ar +mq —m,r +77 =0, dq DV be dm (1). | Ia + (A— C)rp + mr —m,p + = = 0, ,dr dm, CT + (B— A)pg + m,p —m,g + *=0
Sur la théorie des variations des latitudes. 315 et on a l'intégrale (voir (6)) (2). (Ap + m4)? + (By + m,)’ + (Cr + m,)? = KC.
En général on ne peut pas donner d'autres intégrales et par suite on ne peut obtenir lintégration par des quadratures. Supposons A = D; alors les équations précédentes deviennent
dp C— A. m, = , dm,N I dt +| A r+" = (mr— dt |=
dq C= Ager m. » dm; I (3)e a —| A r+ |p (mr)
dr _ I dm, (m,q — m, p)
gH C dt 2 C E
2. Pour intégrer ces équations différentielles nous pouvons employer une méthode d'approximations successives.
A cet effet remarquons que si lon connaissait p et g, on pourrait calculer > par la troisième équation. On trouverait
I I (5). r= a, — Gm, + af (ma — m,p)dt , a, étant une constante arbitraire.
De méme si lon connaissait r, on pourrait intégrer les premiéres équations. En effet posons
C — A m (5). Rn pde p I . dm, ^ 7 (m; m — 9.
I S wx p a (rt —F) =F
on aura alors
a à =| o mM > ! = vo
316 Vito Volterra.
u = fadt
En posant
ces équations peuvent s'écrire
d'ou p = C. eosw — C. sina. 2 3 q — C, sin « + C, cosu,
dC, og dC Aine Agr
sin 4 — a,
Lug dC * sin —*cosu = f. T u+ ap COs P
Par l'intégration des dernières équations il vient (2E— fe cos u + B sin u)dt + a,, (ra — f(x sin 4 — f cosu)dt + a,,
a, et a, étant des constantes arbitraires. Par suite
p= BIC cos u + f sin u) dt + a, | cos u + [fe sin 4 — f cos u)dt + a, | sin %, QE [ cosu + Asinu)dt + a, | sin u
— | [(asinu — du + a; | cos «.
Prenons d'abord y donné par la formule
I y, = a, — Gms
et substituons cette valeur dans les équations (6),.
e
D'aprés les équations (7). on déterminera p et g et en substituant les expressions qu'on trouvera
Sur la théorie des variations des latitudes. 317
dans l'équation (4), on aura une nouvelle valeur pour r. On pourra de méme employer cette expression de r pour obtenir une nouvelle déter-
mination de p et g. Ainsi de suite on aura la solution par des approxi- mations successives.
3. Il est aisé de calculer les series qui donnent la solution par cette méthode.
En effet posons
t = fe cosu, + f, sin u,)dt + a, | cos u, 0
2 E
+ fe sin#, —f, cosu,)dt + a, | sinu,
0
t
q, = f(a, cosu, + f, sin u,)dt + a, | sinu,
0
t
E fe sin 4, —f, cosu,)dt + a, | cos u, 0
et écrivons pour # > 1 les formules récurrentes
t i * r= zu (m, Qu — m, p, s) dt,
0
DAR? U, = —— / rdi, 0
; To mn n—1 I C — A = NEL G gu a Y; tes Bn = (7 E ETE, 2p, jt»:
318 Vito Volterra.
Pr — | |. COS (x u.) + P, sin (x u.) Ja | cos ex u.)
c
i | le. sin ( Y u.) — (cos (x uer iS us),
‘1
e
1
a
In = | " | a, cos (2 u.) + B, sin (x Aye: (x 7) | |
| |a. sin ex u 7, COS e hl (x uj. / 1 E Les intégrales des équations proposées seront
p=2p, G=2%q, r—-X£Er. On peut démontrer que ces séries sont convergentes pour les va-
leurs de ¢ comprises entre certaines limites si l'on suppose que m,, nm, , m,, dm, dms
GN ar solent des quantités finies.
Article II.
1. Dans les équations différentielles (1), on peut regarder m, , m, , m, comme les fonctions inconnues et p,q,7 comme des quantités données. Le probléme mécanique qui correspond à cette question analytique
est le suivant:
On connait le mouvement de rotation du système, déterminer les mouve- ments internes qui correspondent au mowvement de rotation donné.
Dans le cas où m,,m,,m, sont les fonctions inconnues, l'applica- tion de la méthode des approximations successives conduit à des résultats beaucoup plus simples que dans le cas traité dans l'article précédent,
Sur la théorie des variations des latitudes. 319
En effet, prenons d’abord mp = —f(e— B)qr + a,q — a,r]dt — A(p — p), mj — — [A — C)rp + ar — a,p]dt — B(q — q,),
t ms) = mL — A)pq + a,p — a,q]dt — C(r — r,), 0
4,, 4, , &, étant des constantes arbitraires. Eerivons apres les formules récurrentes
t mo) — — af [meq — mS r] dt, 0 t (8), mp = — f [mer — my) »| dt, 0
t mp — — fmt" p — mt Yq|dt, 0
et calculons les séries
m, =a, + Y, mo, m, =a, + xm,
= m, = a, + Y, me
Elles donneront les intégrales des équations différentielles (1),.
Le théoréme général de M. Picarn’ sur la méthode des approximations successives, avec la modification apportée par M. LixprLOr, prouve que les séries précédentes sont convergentes pour toute valeur du temps qui soit limitée dans un intervalle où p,4,r sont des fonctions continues et
! PrcARD, Traité d'analyse, T. IIT, page 88. E. LiNpELÓF (Comptes rendus
26 février 1894).
320 Vito Volterra.
finies. Il est intéressant de particulariser le raisonnement général a ce
cas particulier pour avoir un résultat que nous allons énoncer. Soit P la
limite supérieure des valeurs de p,q, 7 pour ¢ comprise entre — T et T. Les formules (8), montrent que si lon suppose
N n—1
[Ge — 1) (=1,2, 3)
n) M n | mi |<: +
on aura 2MMIp GAS 2NPt
|(n + 1) m
|] mit? pr
Supposons maintenant que l'on ait A Be
et soit A la limite supérieure des valeurs de |p—p,|,|g—%|,|"—%| et a la plus grande des quantités |a, |,|a,|,|«,|. Alors on aura
|n? | < Pr TE a |2Pt + AA et par suite
(DEP)
Te A—C (2Pt) Ine] « [7 a ff + 4A p
|a
ce qui prouve que les séries (9), sont convergentes. On aura aussi si |7| < 7
(10), |m;| < [ASSP + a ern) + Ane
Par les raisonnements ordinaires on prouve que les séries (9), satisfont
aux équations différentielles (1), lorsque les dérivées de p,q, r sont finies.
Prenons dans les formules précédentes f — /,, puis faisons évanouir /, et
changeons en méme temps les fonctions p(f),q(t),r(t) de manière que
p(t),q(&),r(t) gardent toujours les mêmes valeurs, qu'on désignera
par 9,9,r. On aura à la limite pour f, — o 1
m, — a, = Alp — p,), m, — a, = B(q — q,), m, — a, = C(r—,).
On a ainsi les relations qui doivent subsister entre p , q , r 5 m, , m,, m, dans leurs points de discontinuité. Il est facile d'interpréter ces formules comme
Sur la théorie des variations des latitudes. 321
celles qui donnent les discontinuités de la rotation dues & un choe qui change brusquement les valeurs de m, , m, , m,.
2. Les résultats du paragraphe précédent nous conduisent à la pro- position: Soit donnée une loi arbitraire de rotation. On pourra toujours engendrer dans un corps quelconque des mouvements internes qui ne changent ni la forme mi la distribution des masses du corps, tels que le corps sans étre soumis à aucune force externe, tourne autour du centre de gravité d'aprés la loi donnée.
Si le corps était rigide il suivrait les lois bien connues de la rota- tion libre d'un corps rigide, par suite le théoréme précédent peut étre énoncé de la maniére suivante:
Toute anomalie qu'on remarque dans la rotation libre d'un corps peut être expliquée par des mouvements internes qui ne changent ni la forme ni la distribution des masses du corps.
La formule (10), montre que [m,] , |w,| , |m,| sont aussi petits que l'on veut, pourvu que A et 7' soient suffisamment petits.
Donc toute altération de la rotation d'un corps, pourvu qu'elle soit suffisamment petite, peut être produite par des mouvements internes qui ne changent ni la forme ni la distribution des masses du corps et qui sont aussi petits que Von veut.
* 3. Les propositions précédentes conduisent à des conséquences im-
médiates dont nous allons donner quelques exemples dans ce paragraphe et dans le paragraphe suivant. On connaît la rotation d'un corps dans lequel existent des mouvements internes qui ne changent ni la forme ni la distribution des masses du corps. Comment peut-on changer les mouvements internes de manière qu'ils produisent toujours le méme effet, c'est à dire que la rotation du corps ne change pas?
Si mj,m;,mj sont les nouvelles valeurs de m, , m, , m, il faut qu'on ait
dp : | e ATE + (€ — Br + mig — mir + = 0, 1 bs Bu + (A—C)rp + mr —m;p + a E.
dm,
ae + (B — A)pq + mp —miq + a e
Acta mathematica, 22. Imprimé le 13 février 1899, 41
322 Vito Volterra.
Retranchons les équations (1), et posons
m — m =m, Ms — Mo = my, Ms — Ma = Ms, on trouve dm, P + mig — mr = 0, dm; = + mi’ r— mip = 0, a 1 dans 11 "n "UR T mjp--m,jq-o
les équations étant du méme type que les équations de Porssox (voir Intro- duction. Si nous appelons aq,,,, 7,3 4» f, Ya 5 9,5» P,» y, les cosinus des angles que les angles 5,75, € forment avec les axes fixes x,y, 2, les intégrales générales seront
my = Cia, + C, p, + Cas m; = Gas + 0,8, +: Cur m, = Cra, + C, B, + Cr
C,, C,, C, étant des constantes arbitraires; d'ou l'on tire
m; =m, + Ca + CB + Cams ms =m, + €, a, + C, B, + Gy m, = fh, Jc. C a, GB Cory
Ces formules résolvent complétement la question proposée.
in prenant o», — m, =m, =o et en remplaçant a,,2,, 6,5 P, , P,» P5 Yada 7, par les expressions données par Jaconr pour ces cosinus dans le eas d'un systéme rigide qui n'est soumis à aucune force, on aura fous les mouvements internes qui ne produisent aucun effet dans la rotation libre d'un corps.
De méme si nous prenons m, , m,, m, constants et que nous mettions à la place de a,, a, a, 3 B, . Py» f, i yos fuor, les expressions que nous avons trouvées à l'article VI du chapitre II pour ces cosinus lorsque les mouve-
Sur la théorie des variations des latitudes. 323
ments internes sont stationnaires, on trouvera tous les mouvements internes variables qui produisent le méme effet que les mouvements stationnaires.
On tire de la qu’un corps peut avoir un mouvement de rotation, comme s'il était rigide ou trésrapproché à celui qu'il aurait sil était rigide, et cependant il peut s'engendrer à son intérieur un mouvement tel que le moment du couple de quantité de mouvement soit aussi grand que l'on veut.
4. Un résultat qu'on peut concevoir beaucoup plus facilement est le suivant.
Supposons qu'on ait tracé les polodies correspondant au mouve- ment rigide sur l'ellipsoide central du corps ayant pour équation
AE + By? + CE? = 1.
Si en supposant B compris entre A et C, on conduit les plans
fees ee any EAC Von 0’ ecc Vos 0 la surface de l'ellipsoide sera découpée en quatre régions.
En prenant deux polodies situées dans la même région on peut dé- former l’une d’elles avec continuité en passant par toutes celles inter- médiaires jusqu'à la faire coïncider avec l'autre.
Cela ne peut pas étre fait pour les polodies situées dans des régions différentes de l'ellipsoide.
Remarquons que chacune de ces courbes peut étre parcourue par le pole lorsque les mouvements internes sont nuls. On peut done prévoir qu'engendrant des mouvements internes aussi petits que l'on veut le póle puisse parcourir une courbe dont les spires soient rapprochées aux polodies et que cette trajectoire soit telle qu'en partant d'un point d'une polodie on aboutisse à un point d'une autre polodie quelconque appartenant à la méme région de l'ellipsoide. Les formules qu'on a données le montrent d'une manière fort simple. En effet ayant égard à l’integrale (2), des
Mix
équations (1),, posons
Ap + m, Bq + m, (ean Lic KR fa [ome [a K
324 Vito Volterra.
ces quantités seront les cosinus des angles que les axes €, 7, € forment avec l'axe du couple de quantité de mouvement qui est fixe. (Voir In- troduction.)
Résolvons les équations précédentes par rapport à p,q,r et substi- tuons les valeurs qu'on trouve dans les équations (1),; on aura
m
, dy, Tm, 3 dy, m, m; (1 js ap CD) 2E p oi qum (a —c)ysr; TU SEU ELS
m m arm (oe ONT + + h—gh Sr a E, K 7 K € K ou on a pose @ = vi = B^ = CG .
Lorsqu'on suppose m, = m, = m, — o, ces équations deviennent
Wu dr, dy, dy, Un ae DI Cof u a—9nn u: 240 — OT Tas
c'est à dire elles se réduisent aux équations différentielles du mouvement rigide.
Les équations (17), ont les deux intégrales noa«pccás—n amtmt+p=e
et la quantité constante e doit être comprise entre @ et c, si nous sup- posons que la valeur B soit comprise entre A et C.
Si nous nous rapportons à la distinction des polodies qu'on a faite tout à l'heure, on aura que le passage des polodies d'une région à celles d'une autre a lieu lorsque e franchit la valeur 5.
Si nous prenons avec JACOBI |
(510152161210 8 OU dg UOI C
les intégrales des équations (1"), seront
= Van) = tenes), E)
Ts = Vt an [ne — 14) El,
1
Voir Hermire: Sur quelques applications des fonctions elliptiques. SS X, XI.
Sur la théorie des variations des latitudes. 325
où #, est une constante et
n-- (b — aye — e)
Caleulons les dérivées de ;,,7,,7, par rapport aux constantes ¢, et e. On aura d'abord
e — 7 (e — 9 ae nne 9) = nb — 0) par suite ces dérivées seront des quantités finies. Les dérivées des fonc- tions sn, cn, dn par rapport au module deviennent infinies lorsque k= r. On tire de là que les dérivées de y, ,7,, 7, seront finies si e ne prend pas les valeurs limites 5 et c.
Cela posé, employons la méthode des variations des constantes arbi- traires, et táchons de vérifier les équations différentielles (1), en prenant t, et e fonctions du temps.
Ces équations déviennent alors
9r, dt, dy, de m, m, enger ch ©
9r, dt %,,de m m
na | reste reta AUDE at Yan, LOT ESA —
(17). 9t, dt 9e dt + ch Als Pd 07, di, er de. m; UL TUUM ot, dt RC DAMM dv
Solent Yi; 25 7» et fi »72 » 73 deux systemes de valeurs de 7,,7,, 7, qui correspondent à deux valeurs quelconques 7 e 7” de t—t, et à deux valeurs e’ et e" de e comprises entre les limites 5 etc. On pourra prendre ¢, et e fonctions du temps de manière qu'en posant c(f) = ( — f, (t)
on ait , ( " dt ‘dt, z(t) "7, z(t,) — c" + 2nq, (FL, — o, (52 ob ER:
e(l) =e’, ef.) =e, (e’ — e(t))(e" — e(t)) < o,
de zum de 0 Es Te fey e rot
326 Vito Volterra.
2m étant la période réelle des fonctions elliptiques correspondant au module ; vo a)le — e") (e^ — aye — b)
n-—n(t—t0,et) r-mrpnt-—ut);'e».) n=nlt- t), e(t)),
pour ¢ = /, prendront les valeurs 71,7, y; et pour ¢ — f, prendront les valeurs 5; , 73,73 et leurs dérivées par rapport à ¢, et à e seront finies.
Nous pouvons calculer d’après les formules (1’”), un systeme de valeurs m,(¢), m,(t), m,(t) de m,, m,,m, qui les vérifient de sorte que ces valeurs soient nulles pour ¢ = ¢,, et pour ¢ = f,.
Ayant égard aux formules (11), on tire de là que si pendant le temps ¢,...¢, les mouvements internes sont caractérisés par m,(t), m,(t), m,(t) et si les composantes de la rotation du corps au temps ¢, ont les valeurs
Alors les fonctions
AR Bhd KS UK UR au temps f, elles deviendront An Pr K "ON C WES
ce qui prouve que le póle peut passer d'un point d'une polodie à un point d'une autre polodie appartenant à la méme région de l'ellipsoide. Mais on peut choisir les fonctions #,(t) et e(t) de sorte que les dé- er t de 0 . . , EE A rivées 7^, 7; Soient aussi petites que l'on veut de manière que méme ( m,,m,,m, aient des valeurs absolues plus petites qu'une quantité donnée AN done le passage du póle peut arriver par des mouvements internes aussi petits ane l'on veut. Nous avons jusqu'ici exclu la valeur e — c qui correspond à un
j ee E ; Um Cli OR sommet de l'ellipsoide, parce que pour cette valeur CHER uy de-
viennent infinies, mais on reconnait facilement que cette exclusion n'est pas nécessaire. En effet il suffit de changer de variable et de prendre VIe —e]| = ? au lieu de e et l'on voit tout de suite que si l'on regarde L»f;;f, comme des fonctions de £,/, et 9, leurs dérivées par rapport
Sur la théorie des variations des latitudes. 327
à d ne sont pas infinies lorsque 9 — o. On peut donc généraliser la proposition précédente en disant que par des mouvements internes aussi petits que l'on veut le póle peut étre conduit d'un point à un autre situés intérieurement à la méme région de l'ellipsoide.
Le méme.résultat peut étre obtenu d'une autre maniére en suivant laquelle il n'est pas nécessaire d'exclure les points situés sur les frontiéres des régions dans lesquelles la surface de l'ellipsoide a été partagée. Il suffit pour cela de remarquer que les polodies se rapprochent autant que l'on veut aux sommets de l'ellipsoide et aux frontières qui séparent les régions qu'on a envisagées, et en outre d'avoir égard au dernier théoréme du:27* &
Si A — B, cest à dire a — b, alors k = o, les polodies sont les paralléles de l'ellipsoide et les propositions précédentes, valables pour chaque région, peut s'étendre à toute la surface de l'ellipsoide par les mêmes raisonnements qu’on vient de faire. -
5. Nous avons calculé dans cet article les composantes du couple de quantité de mouvement relatif au mouvement interne, qui correspond à un mouvement donné du póle.
Or on peut imaginer d'une infinité de maniéres des mouvements cy- cliques internes qui correspondent aux valeurs trouvées en général pour Q^. Il suffit pour cela de rappeler, que lorsque les paramètres
sont constants les équations (10^), sont équivalentes aux équations (1); Prenons maintenant les formules (9), qui deviennent
m, ,m
n m, = Y, a; (0;
Les fonctions m,, m,, m, étant connues, on pourra d'une infinité de ma- niéres trouver des fonctions «,, €,,..., ©, qui satisfont aux équations précédentes.
328 Vito Volterra.
Article III.
1. Dans les articles précédents nous avons montré que par la. méthode des approximations successives on peut résoudre la question de déterminer le mouvement de rotation du systéme lorsqu'on connait le mouvement interne, et réciproquement on peut déterminer les mouve- ments internes, la rotation du systéme étant donnée.
Dans les applications pratiques au mouvement de la terre, la question analytique se simplifie, en négligeant des termes trés-petits qui paraissent dans les formules générales.
En effet dans ce cas nous pouvons regarder les moments d'inertie A et B égaux et p et q tres-petits.
On pourra supposer que les variations de r soient aussi trés-petites, de sorte qu'en posant r— « J- € on puisse regarder w comme constant et e comme une quantité du méme ordre que p et q. Alors de la dernière
des équations (3), on tire t
Ma = m? = m — m at = Ce = ms u 3 3 2 1 3 ,
0
ou m} désigne une quantité constante. Les premiéres équations (3), peuvent s'écrire
dp C— À AC ms ee M 1 /dm, 2) = ere ment lu nt
dq C—A ms E u "e I (dm, "B. Ap (o + €) + > p= 4 att no + 3)-£ Si l'on suppose que les termes
ug up me me C—A C—A (12). a Qoo Ga a Traun
solent négligeables, alors les équations précédentes deviendront
dp ,[C— m} 1 (dm, » Be Bey ds = le mw) = a,
| dq C—A Ts I /dm, d goat a aoa Pelee
Sur la théorie des variations des latitudes. 329
2. Pour réduire les équations différentielles à la forme précédente il n'est pas nécessaire de supposer que toutes les quantités (12), soient négligeables, pourvu qu'on change la variable indépendante.
Divisons les premiéres équations (3), par 7, on aura
. dp CA i I (dm, ; rdt La | A "e PAL Vert c v n,),
dq C—A , m I /dm, \ | Ta aJ 7 ie ds mi
Posons
t "rt
o étant la valeur de r pour / — o. Si nous prenons 7 pour variable
indépendante, on trouvera
dp C— A m, a I /dm e) >= que emp qa mh e dr 7 | A 7 Ar A \ dz ): dq C— I /dm, = — — = —— (—+mo). dr = dm A = D e) Désignons par m; la valeur de m, pour z = 0, et écrivons r — c — e,
il viendra
pce 0 à Ve I m, = m3 — f (n, p — m,)-- dr — Cs
0 d'ou dp C 1 m; 4 1 /dm, | dc == [ A o je A l zi CORTE A | lz d m. ); (4 1 A a l dq — qm c. wth fan; | 32 | de |p vp = ( 7 + mo),
$ x _el pee = q ) eae T (4 «3
Acta mathematica. 22. Imprimé le 13 février 1894. 12
330 Vito Volterra.
Supposons maintenant p,q, 7 tres-petits de sorte que par rapport aux
autres quantités qui paraissent dans les formules on puisse les regarder
comme des quantités infiniment petites du premier ordre. La formule pré-
cédente démontre que wv est infiniment petit du même ordre. Par suite
les termes qv , pv seront des quantités infiniment petites du second ordre. En les négligeant, les équations différentielles (14), deviendront
dp C — A mi, I /dm,
| er | We iin le rs (Fz n,o), dq C — A ans I (dam,
| n | a CE 7 | = — m de mo).
On a done réduit les équations différentielles à la forme (r3). en sup- posant seulement qu'on puisse regarder p,q, s comme des quantités in- finiment petites du premier ordre et en négligeant les infiniment petits du second ordre.
Entre les équations (13), et (13’), il n'y a que la variable indé- pendante qui soit différente. Dans les premieres équations on a f, dans les autres on a 7. Mais remarquons que si l'on pose w = 27 et si l'on se rapporte au mouvement de la terre la variable qui mesure effective- ment le temps est c.
(13)
Il est évident que la discussion que nous allons faire des équations (13). est applicable sans aucune modification aux équations (13’),.
3. Dans les équations (13), on peut supposer que m, et m, soient données et qu'on les intègre par rapport à p etg. Au contraire on peut donner p et g et déterminer m, et m,. Comme nous avons déjà vu dans les articles précédents le premier probléme correspond à déterminer le mouvement dw pôle lorsqu'on connaît le mouvement interne et le second probléme se rapporte à la détermination des mouvements internes lorsqu'on connait le mouvement du pole.
Il est évident que si nous voulons appliquer les résultats de M. Cnaxpzrer (voir l'article V) il faudra avoir égard au second pro- bléme. Nous allons cependant traiter les deux problémes ensemble.
Posons pour simplifier
Ts
A 7 ee
Sur la théorie des variations des latitudes. 331
et ajoutons les équations (13), aprés avoir multiplié la deuxieme équa- tion par i. On aura
d(p + iq) : : I [d(m, + im à : > = Ip io(p + iq) s - + io(m, + im) | — a + if
d'ou l'on tire (15). p + i = enfin + pewa + c],
I ; mie - -— : (155) 4 (m + im,) = e— f(a + if) edt + D|, C et D étant des constantes arbitraires.
4. Dans le cas que nous discutons le póle est trés-peu éloigné de l'extrémité de l'axe d'inertie € et dans l'ordre d'approximation dans lequel nous envisageons la question nous pouvons supposer qu? le mouve- ment ait lieu dans le plan tangent à l'ellipsoide d'inertie conduit par lextrémité de l'axe & Alors on peut regarder les coordonnées £, 7 du pole dans ce plan comme proportionnelles à p et q.
Supposons maintenant que le mouvement du póle soit décomposable dans une série de mouvements harmoniques.
Avant de développer les conséquences qui découlent de cette hypo- thése nous allons donner quelques définitions.
Nous concevons un mouvement harmonique comme un mouvement d'un point sur une ellipse de maniére que le rayon vecteur conduit par le centre décrit des aires proportionnelles au temps. La période est la durée d'une révolution.
Si nous envisageons tous les mouvements harmoniques d'une période donnée, sans avoir égard à leur amplitude, nous trouverons une infinité de mouvements possibles en changeant le rapport de la longueur des axes de la trajectoire et leurs inclination par rapport à un axe fixe.
Un point qui pourra se mouvoir dans un plan avec un mouvement harmonique d'une période donnée sur des ellipses dont les axes sont dans un rapport queleonque et ont une direction quelconque aura toutes les sortes de mouvements harmoniques qu'on a considérés précédemment, et pour simplifier nous dirons qu'il peut prendre un mouvement harmonique quelconque de la période donnée.
332 Vito Volterra.
s. Cela posé écrivons les formules qu'on trouve dans l’hypothese que nous venons de faire sur le mouvement du póle. On aura
a— a, + I (a, cosA,t + a! sin 4,2), B = BP, + X (f. cos A,t + B, sin 4,6) d'ou
n + Pn 2, = i i ^ ix B, Ü „+ 2, — Yn cum E Dies | u En) im 1 @ ! ale P), zt)
= x) a > (4 L pe A RG = ss) ayant supposé
Un + Pr + i (B, An) 2 ;
(16), A,=o,+i2,, A= A’ VER. Cle B. 2m (a ar Bn) en aa ture " ym
Par conséquent
fat pedi ae + 2e (Aer 4 Arena: = A 0 —ipt + > mn An e 1— p) +S A, eco»
(An DB ue U(An cn P
Employons maintenant la formule (15), Nous trouverons
et Go gu An si)
d ud — ul ar)
p+q=—
et en séparant la partie réelle de la partie imaginaire on aura
p= E + (€, cos pt — C, sin pt) +7) Bench) Genannte] (17). a is q— ++ (C, sin pt + C, cos pt)
IE (Bn An ar Un P) cos Ant ar (Bn An IN On?) sin Ant qu Roy An = na ayant posé C = C, + iC,.
Sur la théorie des variations des latitudes. Aa) De méme si nous écrivons D = D, +iD,, on pourra calculer les
Tm qn. E valeurs de Fh et X et on trouvera les formules suivantes
m ß : Y = A + (D, cos wt — D, sin ot) (B, e» + ann) eos Ant — (and, — Bio) sin Ant x ? : TENERE | | n — © (18). m, a, : : x eem + (D, sin ot + D, cos wt)
x »3 (Bian — an) eos Ant — (B, A, + 0,0) sin Ant
52 2 A, — ©
6. Les dénominateurs des formules (17), et (18), s’annulent lorsqu'on
a À,-— p, 4,= ©. On tire de là que le pôle peut avoir un mouvement
: : 5. 2x harmonique quelconque avec un période —
(À, Z ©) tandis qu'il ne peut avoir n qu'un mouvement harmonique circulaire avec la période — .
©
En effet si À, = « il faut que l'on ait Bn — + Bn An = Be:
27
Donc les termes relatifs à la période
qui paraissent dans les expres- e
sions de p et de q sont de la forme
12 !
sin) ot — Gl p e) FL
4 L cos wt — ao — P (== p
cos wt,
sin wt
et ils correspondent évidemment à un mouvement harmonique cireulaire. Si À, = p on doit avoir
f. — 0,5 Occ E Gas
par suite les termes de p et q qui sont relatifs à la période — auront n
la forme (C, + h,) cos ot — (C, 4- h,) sin pt, (C, — h,) sin pt + (C, — h,) cos pt,
334 Vito Volterra.
h, et h, étant des quantités arbitraires; et par suite ils correspondent a un mouvement harmonique quelconque.
Si À, a une valeur qui n'est égale ni à 9 ni à ©, on pourra prendre arbitrairement les coefficients «,, f,, a, , f, et en conséquence le mouve- ment harmonique correspondant sera quelconque.
Qr Q- Fy D:
7. D'une maniére tout à fait analogue à ce que nous avons établi précédemment on pourra dire maintenant qu'il est possible qu'il existe un mouvement interne quelconque de la période A si dans les expressions
m Mm, de — et — A A
paraissent des termes de la forme i cos AL + n sin At , m’ cos At + n’ sin At
où les coefficients constants m,n, m’, n’ peuvent avoir des rapports quel- conques entre eux.
En répétant le raisonnement qu'on vient de faire dans le paragraphe précédent on arrive à la conclusion que si le mouvement du pole est dé- composable dans une série de mouvements harmoniques, il peut exister des mowvements internes quelconques ayant une période différente de = mais il
i
t3
ne peut exister qu'un mouvement interne particulier ayant la période —. P
2n 27 , — sont des 0
i
8. Nous venons de reconnaitre que les périodes
périodes singuliéres pour les mouvements du póle et pour les mouve- ments internes.
Une autre propriété qui se rattache à ces périodes est la suivante, et elle découle immédiatement des formules (17), et (18).
to
z | p m cor- An | 27
A tout mouvement harmonique du pole ayant la période
respond un mouvement interne périodique ayant une période égale et réci- proquement. Les constantes a, , a, , B, ff, définissent les deux mouvements indépendamment des mouvements ayant une période différente.
Sur la théorie des variations des latitudes. 335
Au contraire les mouvements internes ne peuvent pas caractériser le
27
mouvement du pole ayant la période —, et le mouvement du pole ne peut
P.
bu : zu DR C2 : pas caractériser les mouvements internes ayant la période —. Il peut exister €)
A Z0 2m 114% 2 des mouvements internes ayant la période — qui mont aucune influence Sur
e
le mouvement du pôle.
Article IV. 1. Regardons l'axe OM du mouvement interne comme résultant , ; . AE AT , d'un vecteur constant, d'un vecteur variable avec la période —, d'un e)
5 re 27 vecteur variable avec la période — et enfin des vecteurs OM”, OM”, ...
. ee 27 27 variables avec les périodes 7 3: en supposant 1 2 ze À, << 7 lp
Les projections de OM” dans les directions &, 7 soient les termes ayant la période = dans les expressions de nn : 3 que nous avons trouvées be ? dans l’article precedent (voir (18),). Nous allons résoudre la question suivante: déterminer le mouvement de l'extrémité M? du vecteur OM? étant connu le mouvement du pôle ayant 27
la période as An A
Il est évident que les formules de l’article précédent nous donneront le mouvement de la projection du point M" dans le plan de l'équateur. Prenons les plans coordonnés &€ et 5€ de maniere que les axes de l’ellipse décrite par le pôle dans le mouvement harmonique ayant la
rake 27 : caer
période ; solent situés dans ces plans. Nous aurons
(A)
A) CR I = b sin At
{ — — 4 COS À, 1 e e
ayant désigné par p et g^ les termes des expressions (17), qui ont la
fue 27 période 3
336 Vito Volterra.
Si @ et d sont les sémiaxes de l'ellipse décrite par le pôle et si on
les mesure en secondes d'ares on aura 9, b-—tg9. Soient «, a’, f,[f/ les constantes des formules (17). qui correspondent à
P. la période m On aura
A
— A| Meus an, 27009) BÀ — «p f + ap = o, p do
d'ou l'on déduit
ao) BE 0, B = (bA—ap)o, a’ = (bo — a))w.
* m Mm, e Did 270 Par suite les termes de —* , — qui ont la période — seront Aw’ Aw À
mi” ar (bà — ap)o + (bp — aayA cos At,
Aw A5 — wt
my (bA — ap)A — (bp — ado .
LE = ED = sin At. Aw À — o
(2) D m. 2. Les maxima des valeurs absolues de P correspondent aux va- AW
NT , . r leurs {= =, n étant un nombre entier, et sont donnés par
m” 2 — ap)® + (bp — ux
Ae À — «w° (A) i ms à 2n + I) 7 Les maxima des valeurs absolues de m. correspondent à ¢ = C SUN 3s 4o) A Ils sont MP |— (b2 — ap)à — (bp — ado Ao — À — o /
d'ou lon tire
4 (2bÀ — 2«o)a 2bo — 2a2)À ee Ex i wu Be) Co, (19). 2M a) >> = — (2b4 — Zap) — E — 2a4)« | Ga C A> — @
Sur la théorie des variations des latitudes. 391
On pourra done énoncer les propositions suivantes:
Si nous projetons sur le plan de l'équateur mer M® de l'axe des mouvements internes partiels dont la période est 27 , la projection m;
a un mouvement harmonique sur une ellipse dont les axes sont parallèles aux axes de l'ellipse décrite par le pôle dans le mouvement harmonique de la meme période. Lorsque m; rejoint un sommet de sa trajectoire, le pôle aussi dans le mouvement harmonique de la méme période rejoint un sommet. 3° Les longueurs des axes de lellipse décrite par le point m, sont données par les formules (19)..
. A Lc 27 3. Le mouvement harmonique du pole ayant la période => est le
A
mouvement résultant de deux mouvements harmoniques de la méme pé- riode qui ont lieu sur les axes €, 7.
De méme le mouvement du point m, peut étre obtenu en composant deux mouvements harmoniques dont les trajectoires sont les axes coor- données E, 3.
Le mouvement harmonique du pôle et celui de m; dans la direction & auront la méme phase si la quantité
(bà — ap) + (bo — adh
(20). 2 and: = (a =f p ——
— À
EE Bid (a —
est positive, et ils seront en opposition de phase si la .méme quantité est négative. Le mouvement harmonique du pole et celui de m, dans la direction y auront la méme phase si la quantité — (bà — ap) A — (bo — al)o — À 0 + À a pee L—c {#))
e + À (0 — À
est positive; et si elle est négative les deux mouvements seront en oppo- sition de phase.
Nous supprimons la démonstration de ces propositions qu'on déduit aisément des formules précédentes.
Acta mathematica, 22, Imprimé le 25 février 1899 43
338 Vito Volterra.
Article V. 1. Si nous voulons appliquer les résultats précédents au mouvement , 27 ; : He de la terre il faut supposer que — représente le jour sidéral. o
On n’a observé aucune variation diurne des latitudes; cela ne signifie pas qu'ils n'y ait pas de mouvements internes avec la période diurne,
car on a vu quil peut exister des mouvements internes avec la période 27
. qui n'ont pas d'influence sur le mouvement du póle. (Article IV, § 8.)
. Be 27 2. Examinons la période —. Nous avons! p
d'ou, en prenant pour unité de temps le jour sidéral,
27 305 305 ms [0]
A
ms
Co
I + 305 I + 306
27 =D rie , Done — est la période eulérienne changée dans le rapport p
I
. 0
Ms I + 3065
Si de telle maniére on voulait trouver la période de 430 jours découverte par M. CHANDLER on devrait avoir
430 — I 305 ms I 06 — wis Co C—A I : 5 ! Nous supposons T m 305 sans discuter ici si ce rapport qu on calculé d après 3
les phénomènes de précession et de nutation ne peut être changé à cause du mouvement interne.
Sur la théorie des variations des latitudes. 339
d’ou m; I
Co 1053
3. Sans discuter ce résultat, appliquons les résultats établis par M. Caanpzer dans le N° 329 de l’Astronomical Journal de l’année 1894, relativement au mouvement du póle ayant la période annuelle.
On peut tirer de là les éléments correspondant au mouvement in- terne capable de l'engendrer.
A cet effet il suffit de substituer dans les formules que nous avons trouvées les valeurs suivantes:
(0) 23 Er. ya 27 366" 2p — 0^,3, 2j = 0",08,
le jour sidéral étant l'unité de temps. En effectuant les calculs, on a approximativement
2 ones. jos E dn er Zr 10 X 360 X 60 x 60 ? 8
= h — LI —————s = 218 : 100 X 360 x 60 x 60
Il faudra supposer que l'axe £ forme avec le méridien de Greenwich v o
un angle de 45°. Prenons comme au paragraphe précédent
235 (177 S00.
on trouvera a cause des équations (19),
2M® — 37 Cw, IO
9 2M;) — 7 Cw 2 10
340 Vito Volterra.
SENS 27 si l'on suppose o =——; et 305 23 TO) — 2M\ et on Co, I 2MY = 00 2T en supposant p= t 430
L'axe a de l'ellipse décrite par le pole forme un angle de 45° avec le méridien de Greenwich, par conséquent le grand axe de l'ellipse parcourue
par le point m”
sera située dans le plan méridien qui a la longitude de 45°. Remarquons encore que la quantité' (20), est positive et la quantité (20'), est négative. En résumant tous ces résultats on peut énoncer les propositions sulvantes:
Si Von cherche la variation que doit subir l'axe OM du mouvement interne terrestre (dans Uhypothése de la non-plasticité de la terre) pour donner au pole le mouvement harmonique étudié par M. Chandler, ayant la période annuelle, on trouve que:
1? projetant M® sur l'équateur en m”, ce point décrira une ellipse dont le grand axe fait wn angle de 45° avec le méridien de Greenwich;
3 1 à 2 eo 2° les axes de cette ellipse seront éyaux à EE Co, As Co, ou à 8 Co, 10 10 10 SUR . , 27 2T , =— Co suivant que lon suppose p — — mu p = —; 10 305 430
„0
3° décomposant le mouvement du pôle et celui de m, suivant les direc- tions des axes de l'ellipse décrite par le pole, les deux mouvements dans la direction du grand axe auront la meme phase et les mouvements dans la di- rection du petit axe auront des phases opposées.
4. Pour exercice des formules qu'on a données dans l'article précé- dent on peut répéter un calcul analogue à celui qu'on vient de faire pour résoudre le probléme suivant:
Supposons qu'il existe un mouvement interne ayant la période de 430 jours. Quels sont les éléments de ce mouvement pour qu'il soit capable de produire le mouvement du pole étudié par M. Chandler ayant la méme période?
Sur la théorie des variations des latitudes. 341
. 27 . . Si nous prenons P= sos il faudra substituer dans les formules les
valeurs suivantes
hé mai | jrs) 430
Le mouvement du pôle est circulaire et sa demi-amplitude est 0”,1, par suite
Q — d -—o"yi d'ou approximativement
I
aU cepa ?7 10X 360 X 60 X 60
et à cause des équations (19), on aura
M, = M, = +, Co.
CHAPITRE: VI.
Aperçu sur les perturbations dues à la plasticité de la terre.
Article I.
1. Supposons que le mouvement interne soit stationnaire et cher- chons les perturbations produites par la plasticité sur le mouvement de rotation que nous connaissons par les études que nous avons faites dans le chapitre précédent.
Nous partirons de l'hypothèse que l'effet du à la plasticité consiste dans la tendance du póle d'inertie à se rapprocher du póle de rotation lorsque les deux points ne coincident pas. Nous diseuterons aprés la loi de ce rapprochement.
2.. Envisageons les résultats de l'article III du chapitre précédent lorsque le mouvement interne est stationnaire. On pourra les rapprocher
342 Vito Volterra.
à ceux qu'on a trouvés dans le chapitre III sur les petites vibrations du pôle autour des positions d'équilibre stable dans l'hypothése que l'ellipsoide d'inertie soit un solide de révolution.
Si le mouvement interne est stationnaire les formules (17), et (18), de l'article IIl du chapitre V deviennent
3 ; p de + C, cos pt — C, sin pt, q= = C, sin pt + C, cos pt, un B, | x. mu Ka AB o et en posant pour simplifier | © © C, = ES Ca => = , on aura | z — me + c, cos pt — c, sin pt, (1); | i= 2 + c, sin pt + c, cos pt.
La quantité o sera donnée par la formule
C—A m P bui Pura
3. Pour fixer les idées, supposons que m, soit une quantité né- gative, c'est à dire supposons que les projections de l'axe du mouvement interne et de l'axe du couple de quantité de mouvement du à la rotation de la terre, sur l'axe terrestre n'aient pas la méme direction. Nous dis- cuterons aprés comment on doit modifier les formules lorsqu'on suppose que cette hypothése ne soit pas vérifiée.
Ayant égard qu'une rotation positive a lieu dans le méme sens que
a rotation des aiguilles d'une montre, nous pouvons conduire les deux
Sur la théorie des variations des latitudes. 343
segments OR et OM qui représentent la rotation de la terre et l'axe du mouvement interne en prenant pour origine le centre de la terre. En prolongeant les deux segments dans leurs directions positives ils rencon- treront respectivement l’hemisphere sud et l'hémisphère nord.
Cela posé, soit OP — 1 un segment ayant la méme direction de OR. En projetant ce point sur l’equateur en 7, on aura que les projections
de Oz sur les axes & et 7 seront 2, 2. De méme soit 08-7, un segment ayant la méme direction que OM, et soit h la projection de S sur l'équateur. m, m, Ap’ Ap'
Nous pouvons maintenant énoncer d'une manicre géométrique la loi représentée par les formules (1), en disant: Le point z tourne avec la
vitesse angulaire p sur une circonférence ayant h pour centre.
Les projections de Oh sur les axes & et » seront
4. Conduisons une sphere ayant O pour centre et dont le rayon soit égal à r. Elle rencontrera l'axe OM dans le point M' et l'axe OR dans le point P. Puisque ce point est trés-proche du pôle d'inertie C, nous pouvons par approximation regarder la trajectoire qu'il décrit sur la sphére comme une circonférence ayant pour centre le point 77 de la sphere qui se projette en h sur l'équateur. Si nous voulons envisager
344 Vito Volterra.
tous les éléments dans l'hémisphére nord il suffit de construire les points C.H, P' situés dans une position diamétralement opposée aux points C, H, P. Il est évident que les quatre points P', H' ,¢’, M' appar- tiennent à l'hémisphére nord.
Nous les désignerons par les mots: póle de rotation, centre du mouve- ment polaire, pole d’inertie, centre du mouvement interne.
Soit h’ la projection de H’ sur l'équateur. On aura
On — Oh, par suite
sin Gi — 0h OS since
d'ou
(2) sin HE _ gg — OM vmi mimi _, : sinM' Ap — (C— A)o + m, ;
Posons
A = Vm? + in omi, nous aurons
m, = — M cos M'C',
3
et par conséquent
bd M re
i (0 — 4)o — Me It
lox A
5. Nous avons supposé jusqu'ici que m, soit une quantité négative; c'est pourquoi on a pris l'intersection de OM avec le sphère sur l'hémisphére nord. Si m, est positif, prolongeons MO du côté du point © jusqu'à rencontrer l'hémisphére nord en M’. On appellera toujours ce point le centre du mouvement interne. Lorsque m, était négatif le point €’ était situé entre M’ et H', tandis que dans l'hypothése actuelle M’ et H’ seront situés du méme côté par rapport à 6”.
Désignons par a et ß les arcs M" et ¢’H’ et prenons leur origine dans le point &. Les équations (2), et (3); pourront s'écrire
Sur la théorie des variations des latitudes. 345
à sin 2 — (2): mme E M fée M (3) prec uM 3 Jr Pere X Meos«
A
et lon prendra le signe supérieur dans le premier cas (m, <0) et le signe inférieur dans le second cas (m, > o).
6. En résumant les lois du mouvement du póle, si l'on suppose les mouvements internes stationnaires, et que l'on néglige la plasticité de la terre, on trouve
1° Le centre du mouvement interne, le pole d'inertie et le centre du mouvement polaire sont situés sur un grand cercle de la sphère.
2° a et B étant les arcs de grand cercle conduits par le pôle d'inertie et les centres du mouvement interne et du mouvement polaire, on a
gini sits + M Sin Glial scene (C — A)w X Meosa
3° Le pole de rotation parcourt une circonférence autour du centre du mouvement polaire avec la vitesse angulaire
(C — A)w £ Meosa Cr a DE UTE
Acta mathematica. 22. Imprimé le 25 février 1899. 44
346 Vito Volterra.
Ces lois représentent d'une maniere fort claire l'effet produit par les inouvements internes sur le mouvement du póle.
En effet s'ils n'existaient pas, le pôle décrirait une circonférence autour du póle d'inertie avec la vitesse angulaire
C — A
RH
par suite les mouvements internes ont une double action, savoir:
1° Ils changent le centre de rotation du mouvement polaire qui est repoussé (ou attiró) du centre des mouvements internes le long du grand cercle qui passe par ce point et le póle d'inertie.
Le déplacement du centre du mouvement polaire est déterminé par l'angle f.
2? [ls changent lo vitesse angulaire de rotation du póle de
et ce changement correspond à une variation de la période Eulerienne. Nous remarquons enfin que le point //' correspond à un pôle de rotation permanent. Nous renvoyons pour cela au chapitre III où l'on a discuté et approfondi cette’ question.
Article III.
1. Nous allons maintenant déterminer les perturbations auxquelles seront soumises les lois que nous avons énoncées dans l'article précédent, par effet de la plasticité qu'on avait négligée auparavant.
Prenant le point O pour centre de projection, projetons la surface de la terre sur la sphere. Si nous envisageons les phénoménes pendant un intervalle de temps qui ne soit pas trop long, nous pourrons supposer que, méme si la terre se déforme à cause de sa plasticité, la configuration des mers et des continents sur la sphére ne change pas sensiblement, mais il faudra supposer que le pole d'inertie se déplace sur la sphere.
Ce sont donc ces déplacements du póle d'inertie sur la sphére, la projection de la terre sur la sphère étant fixe, qui decelent sa plastieite.
Sur la théorie des variations des latitudes. 347
On pourra énoncer la propriété que le mouvement interne est station- naire en disant que le centre du mouvement interne est un point fixe de la sphere et que M = Vm? + mi + mi est constant.
Nous faisons aussi l'hypothése que les points H’, P', £’ se maintiennent toujours trés-proches, de maniére qu'on puisse négliger les puissances de leurs distances supérieures à la premiére puissance. Rappelons à ce propos que l'analyse de l'article III du chapitre précédent, dont nous employons à présent les résultats, est appuyée sur cette hypothése.
Enfin nous supposerons que l'influence de la plasticité se manifeste de maniére que le póle d'inertie tend toujours à s'approcher du póle de rotation avec une intensité proportionnelle à la distance entre ces points.
D'une facon plus précise nous énoncerons cette loi dans les termes sulvants:
Le póle d'inertie se déplace à chaque instant dans la direction de l'axe du grand cercle qui passe par ce point et par la position occupée dans le méme temps par le pôle de rotation, avec une vitesse proportionnelle à la distance entre ces points.”
Le rapport entre la vitesse du póle d'inertie dans son mouvement relatif à la sphere et cette distance sera désigné par p, et nous l'appellerons coefficient de plasticité. ?
Sa valeur sera positive et nous la laisserons indéterminée.
Nous aurons done © 2 47» 0. On peut établir des à présent la signi- fication des cas limites: la valeur y =o correspond au cas de la rigidité complete; et y— co au cas de l'adaptation immédiate du sphéroide terrestre.
2. Par les hypothéses qu'on vient de faire le probléme de la rota- tion de la terre se présente de la maniére suivante: On a quatre points situés sur la sphére: M' (centre du mouvement
Voir Darwin, On the influence of the Geological Changes on the Earth's Axis of Rotation. Phil. Trans. Roy. Soe., Vol. 167. * Voir SCHIAPARELLI, De la rotation de la terre sous l'influence des actions géolo-
1
giques. Saint-Petersbourg 1889. Nuovo Cimento, T. 30. S. 3°. Le cas intermédiaire ne correspond pas complètement à celui que M. SCHIAPARELLI a diseuté. Mais en em- ployant la méthode géométrique dont il a fait usage on pourrait l'envisager d'une manière analogue, en ayant égard aux résultats du chapitre précédent. On a adopté lhypothese
qu'on vient d'énoneer pour simplifier les calculs des articles suivants,
348 Vito Volterra.
ar
interne), £^ (pôle d'inertie), 4’ (centre du mouvement polaire), P" (pôle de rotation) qui suivent dans leurs mouvements sur la sphere les lois suivantes:
1° IT’ est un point fixe de la sphère. 2° M'. C, H' appartiennent à un grand cercle et
inc A ey. + M
sin M' Sa (C — A)w ¥ M cos CM'C
3° P' tourne à chaque instant autour du point H' avec la vitesse an- gulaire
(C — A)o x M cos C M" Di A ^
4^ C se déplace à chaque instant dans la direction tangente a C P' avec une vitesse égale à p. C P.
Par ces conditions on pourrait établir tout de suite les équations différentielles du probléme. Cependant dans l'article suivant nous le transformerons de manière qu'on pourra l’aborder par une analyse tout à fait élémentaire.
Article III.
1. Pour simplifier la question dont nous avons parlé à la fin de larticle précédent nous envisagerons une représentation de la terre sur un plan au lieu de la représentation sphérique que nous avons considéré. Pour passer de l'une à l'autre de ces représentations nous employerons la projection stéréographique.
Le plan de projection sera le plan tangent à la sphére dans le point AT’ et nous prendrons pour centre de projection le point diamétralement opposé de M’ que nous désignerons par M”.
Le pôle étant en JZ’, soient 0 la colatitude et ç la longitude des points de la sphere. Alors le carré de l'élément linéaire de la sphere sera
do^ = dé’ + sin? 6dg
et le carré de l'élément linéaire dans la projection stéréographique sera
gie. -—e (40? + sin? 8dg?)
cos? — f 2
Sur la théorie des variations des latitudes. 349
d'ou l'on tire ds I
de —
On a supposé qu'on puisse négliger les puissances des arcs C'H', H'P", P'Z, supérieures à la premiere puissance.
Cela revient à regarder ces arcs comme des quantités infiniment petites. C'est pourquoi on pourra dire que par la projection stéréogra-
phique leurs longueurs ont changé dans le rapport
2 cos — 4 2
Soient ¢ , 1, P, les projections stéréographiques des points ¢’, H’, P'; nous aurons
E TE H 4 H, = — TA cos” — «t 2 Mais sind H' ee sing ——— E
par suite, en remplaçant sin ¢’H’ par Vare £’H’, il viendr:
CH’ = +Fesina
350 Vito Volterra.
D’ailleurs on a
donc
Capa GM, Et a
[D
En outre, à cause des propriétés bien connues des projections stéréogra- phiques, on pourra remarquer que P, tourne autour de H, avec la vitesse angulaire p. Par suite les lois que nous avons énoncées dans le 1*' article, 6°% $. lorsqu'on néglige la plasticité, pourront être remplacées par les lois suivantes:
1° Les projections stereographiques M', & , H, du centre du mouvement interne, du pôle d'inertie, et du centre du mouvement polaire sont situées en
ligne droite et Gi
CMS
[0]
o
2? La projection stéréographique P, du pole de rotation décrit une circonférence autour du point H, avec la vitesse angulaire p.
2. Passons maintenant à déterminer des lois analogues en ayant égard à la plasticité.
A cet effet nous allons transformer les expressions de & et de p.
En posant C, M' = D, on aura DES
I =a 2
d'ou
Sur la théorie des variations des latitudes. 351
Par conséquent nous pourrons écrire
4 M Dp C= Aa eu : n ds yp 11 # (3): / Thee {1 —— D (Qi — Ayo uf —— 1+-D* 4
On tire de là les quatre lois suivantes qu'on pourra substituer aux lois énoncées au $ 3 de l'article précédent.
On a dans un plan quatre points M', & , H,, P, 1? M’ est un point fixe. 2? M',¢, H, sont situés en ligne droite et
ayant désigné & M' par D. 3? P, tourne à chaque instant autour du point H, avec la vitesse an-
qulaire
ı —-D’ I+-D*/ 4
4° & se déplace à chaque instant dans la direction & P, avec la vitesse
po, où à signifie & P,.
La derniére loi a été obtenue en remarquant que dans la projection stéréographique les vitesses sont changées dans le méme rapport que les
ares infiniments petits.
bo
Vito Volterra.
3. Cela posé, on peut écrire bien aisément les équations différen- tielles du probleme.
M’ D
Soient r,) des axes orthogonaux fixes par rapport au plan où l'on a fait la représentation stéréographique, situés dans ce plan et ayant pour origine le point M’. Désignons par 2,5; 2,,9, ; $,, y, les coordonnées des points P,,¢,H,. La deuxième condition énoncée au paragraphe précédent s'écrira
(4) = > _= == 7, = + £ et la troisième condition
da
arse Uit»
dy — ae
(5)r | p(x, — x).
Le sens de la rotation sera déterminé par l'orientation des axes ©, y. Enfin de la quatriéme condition on déduira
da, = A par = p(r — 2,),
(6),
dy ETES
4. A cause des équations (4), on aura
v= (1 Se E)T» Y = (1 + €), ;
Sur la théorie des variations des latitudes. 358
par suite les équations (5); deviendront
da
ar X PME), — yl (5)
dy
u ela xe nel
On tire de là, en posant A* =”? 4- y*,
dA? da dy a a (o zm va) = 2p(1 + em,y —y,*)
ou bien
dA 9, — ye Nee) si
Remarquons que p est une quantité petite et (x,y—,x) est le double de l'aire du triangle M'P&, c'est pourquoi le rapport
zy — ye
A
sera petit du méme ordre que ¢P,, d'ou l'on tire que les variations de grandeur de A et par suite de D seront petites. En outre dans les expressions que nous avons trouvées pour e et o (voir équations (3")) le terme
/ 1s D——)* ul — \ Ip / 4
est petit par rapport à (C—A)w. Si donc on envisage le mouvement pendant un intervalle de temps qui ne soit trop long on pourra négliger les variations de e et de o et par suite on pourra les supposer constantes. Nous avons été conduits aux quatre équations différentielles (6),, (5^) qu'on pourra regarder comme des équations différentielles à coefficients constants. Nous consacrerons l’article suivant à leur intégration.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 6 mars 1899. 45
354 Vito Volterra.
Article IV.
1. Nous avons réduit dans l'article précédent les équations diffé- rentielles du mouvement au systeme
dz, | a — N — 2, ), 6), (6) Jin a 50 —9, da | Tout om o (5): diy pres, —al,
dans lequel p ct e peuvent être regardés comme des quantités constantes. Pour l'intégrer posons
BCE, u dA a, = Cé”, UE Te
C,C,, K, K,, 2 étant des constantes. Par la substitution des valeurs précédentes on aura
Get) — Cn = 9, K(e+ y) — Kp —o,
Cz + Kyp(1 + e) — Kp = o,
C,p(1 + €) + Co + Kz
O.
z sera done une racine de l'équation de quatrième degré e
2+y u Oo 20550
| —p(t+e), 0E O 3
Cx
Sur la théorie des variations des latitudes. 35
Cette équation peut s'écrire aussi de la manière suivante
4 ES 2 NN 29 - 2.2.2 (8) 2 + ane’ + (p? + o?) £ + 2p?psz + n^ p^s* = o. Soient z', 2”, 2”, 2” les racines et C®, C?, K®, K® un systeme de valeurs
2 Fs) de C,C,, K, K, qui vérifient les équations (7), lorsqu'on prend z= 2”. Nous aurons ^ | a= 2 M,O%e", 1
4 y = X MK,
4 n X) y, = 2 M,Cÿe"*, 1
4 y, = 2M, Ke", les quantités M, étant des constantes arbitraires. 2. Pour résoudre l'équation (8), posons Fe=e’. Elle s’écrira alors 2^ (a + y) + e'(e- pe) — o z(z + p) + ip(z + pe’) = o.
Par suite les racines seront
, —pw+u—i(p —%) LR ; 2 y — u Tu +ilo — v) 2 = ; 2 eee dpi) Z =.— ———— — ; 2 = - yp I — MIR i(o + v) gv = 7
ou u et v sont donnés par les forınules
TE V^ ee) = 16m pe (I — €) + u? —p° 2
H
'
A VAS Tpy-— 16np'e(t — g)4 p° EN
les radicaux étant pris dans leurs valeurs absolues.
356 Vito Volterra. 3. Examinons plus particuliérement les cas limites envisagés dans l'article AT S 2: Si g—o (cest à dire dans le cas de la rigidité complete) l'équation (8), devient eit ane 0
Deux des racines deviennent égales a + ip et deux racines s’annulent. Done le mouvement est périodique et la période est —, c'est à dire on 0 i
trouve la période eulerienne modifiée de la manière que nous avons vu dans le chapitre précédent. Soit y — co. En divisant l'équation (8), par a?” et en faisant aprés
I - — © on trouve n
1
2? + p?e? = o.
Cela signifie que deux des racines sont infinies et les autres sont + ipe.
RI d. A Donc le mouvement est périodique et la période est — = ——. Dans ce
cas les equations (6), deviennent
Bl) y —,
c'est à dire le póle d'inertie coincide avec celui de rotation. Il viendra à cause des équations (5^, da M | dy M
qi c ils = re di zu y ike
d'ou M Y : M à i; — N, cos (364 N), gc Nasin (iN) N, et N étant des constantes arbitraires. Le póle de rotation décrit donc une circonférence autour du centre du mouvement interne avec la vitesse ud angulaire 7r.
Turin le 18 octobre 1897.
TABLE DES MATIERES
Introduction
CHAPITRE I. L'étude géométrique de la rotation d'un corps dans lequel existe un mouvement
MMECEIE MA LA HLON NANG s cS an es nee Reda da UIS net seesaw
CHEV ACE TR Ee Tells
L'étude analytique de la rotation d'un corps dans lequel existe un mouvement in-
LATE SAG EN: Uu dentem Et ee MESE CHAPITRE III. Wes e axeseDermanentswdevrotationpeb, leurystabilitó esee eme rano eoque eese sincerus
CHAPITRE IV.
Rotation d'un corps à l'intérieur duquel existe un mouvement polycyclique queleonque CHAPITRE V.
Quelques applications au mouvement du pole terrestre CHAPITRE VI.
Aperçu sur les perturbations dues à la plastieit de la terre ...............................
907
Page.
201
220
I
x AL ^
EHER RAT AURA
JL i i. 9 rue éd * ^f EA sa d JI AAnTITAHSO i i dp + op wind eb. aw b cold AI gb (UNIVERS Li i =. Biene wees mn E JS- tit |! yes bai 2] ERTINA RH ar lie Bu s ms sui ia > n tates al vit, : E ML HUPDIANO
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" = d |
P . : 4 3
SUR UN NOUVEL ET IMPORTANT THEOREME DE LA THEORIE DES FONCTIONS
PAR
J. L. W. V. JENSEN.
Monsieur le Professeur,
Lors de votre dernier séjour à Copenhague j'ai eu honneur de vous entretenir au sujet d'une intégrale définie appelée, si je ne me trompe, à jouer un role dans la théorie des fonctions analytiques. Comme il me parut que cette question vous interéssa vivement, je profiterai de cette occasion — l'envoi des deux petits mémoires” destinés à votre Journal — pour vous communiquer le développement détaillé de mon théoréme.
Soit z — re" une variable complexe, et a un nombre complexe different de zéro, on a pour r <a],
(vestes ey
ou / désigne la valeur principale du logarithme. En prenant les parties
, e» I s réelles des deux membres et en observant que l'on a &(a) = - (a + à), *
on trouve
(1) i]: —:
(evi 2 vi
er 7? e " ronde rant) r — |2| « [a].
v=l
* (1) Sur les fonctions entières.
(2) Note sur une condition nécessaire et suffisante pour que tous les xéros d'une fonction entiere soient reels.
? [ei et dans la suite je désigne toujours par (a) la partie réelle et par d la valeur conjuguée de a.
Acta mathematica. 22, Imprimé le 6 mars 1899
360 J. L. W. V. Jensen. Si r>|e|, on a, par conséquent, E NT
a er 2 yy" vl
(ale + a" e. r — lal 2
(2) i —°
Si l'on suppose que 7 soit constant, dans ces équations (1) et (2), les séries
des seconds membres convergent uniformément pour toutes les valeurs g I
de largument 0. Multiplions les deux membres de (1) et (2) par
z.€ "d6, où k désigne un nombre entier positif qui peut être nul, et
Zi
ss
intégrons de o à 27; tous les termes s'évanouissent alors, à l'exception du terme constant. On trouve ainsi
o-
(3) z pe
0
m pour r al,
o pour r « |a]. et
I /a\* —5,(5) pour re lad,
T k = (5) pour r « [a].
Jusqu'ici nous avons laissé de côté le cas r — |a]. Dans ce cas limite les séries en question se confondent et restent encore uniformément con- vergentes, pourvu que l'on ait soin d'exclure de l'intervalle (o, 2z) de 6 un intervalle (0'— 2, 0' + e), 0° désignant l'argument de a. Aprés l'inté- gration, les séries, dans les deux cas k =o et k > 0o, deviennent
I ws 2 si I x sin (A ) I x5 sin (k + v) 2 [ 2 sin ve 1 Sin (ki — v)e sin (4 y)e 15275 — 2c T abe tay in (2)
27 æ y 27 v(k — v) 27 a EET) Dye Bike
respectivement, expressions qui tendent évidemment, pour lime — o, vers
AN E O et — (5). 2k \a
D'autre part la fonction, sur laquelle porte l'intégration dans les premiers
les limites respectives
membres, devenant seulement logarithmiquement infinie dans le voisinage
Sur un théoréme de la théorie des fonctions. 361
de 0 — 0', les intégrales correspondantes tendent, comme l'on sait, vers des limites déterminées. De la sorte les formules (3) et (4) restent encore valables dans le cas limite, mais les deux formes différentes des seconds membres se confondent en une seule.
Cela posé, nous allons faire une trés intéressante application de ces formules à la théorie des fonctions. Soit f(z) une fonction méromorphe dans une partie du plan qui contient à son intérieur le point z — o, point où la fonction ne devra être ni nulle ni infinie. Soient a, ,4,,. tous les zéros et 4, 8,,..., Bm tous les pôles de la fonction situés à l'in- térieur ou sur la circonférence d'un cercle |z|= 7 compris tout entier à l'intérieur du domaine donné. Nous supposons, bien entendu, que les zéros et les pôles sont chacun d'eux comptés autant de fois que l'indiquent leurs degrés de multiplicité. Nous aurons donc
509615
(s) f(z) = fo) — — R2).
où f,(z) désigne une fonction de z qui reste méromorphe à l'intérieur du domaine donné et qui est holomorphe à l'intérieur et sur la circonférence du cercle |z| — r. Nous voyons, par suite, que l'on a
fe) = 1 + Laz,
au moins pour le| & 8; R désignant un certain nombre positif plus grand que r. Nous pouvons aussi écrire
f(z) =e
oo (6) f) = Br, pour |z|« E', E' désignant la valeur absolue de l'affixe du plus petit zéro ou pôle situé à l'extérieur du cercle l2 — y. Prenons maintenant
Acta mathematica, 22. Imprimé le 5 juin 1899. 46
362 J. L. W. V. Jensen.
la partie réelle du logarithme des deux membres de (5), nous obtenons alors par l’intégration en appliquant la formule (3)
Pe DT Bi Es rimase Balers Jnd
(7) sed ee )|ae = 1|f(o)| +1 NK ER
car lintégrale correspondante relative à f,(z) est nulle, d’après la formule (6) où manque de terme constant.
C’est en cette formule (7) que consiste le nouvel et important théorème que javais en vue. D'apres les développements précédents il est évident que le théoréme subsiste méme lorsque re" passe par un nombre quel- conque de zéros ou de poles. Dans le cas spécial ou f(z) est une fonc- tion entière, on peut prendre r aussi grand que l'on veut; la formule (7) se réduit alors à la suivante
8 E 2s) = | ETE oe (8) nee CN) ee al
Avant de procéder a quelques-unes des nombreuses applications du théoréme, il ne sera pas inutile de jeter un coup d'oeil sur le second membre de (8) Il est évident que cette expression est une fonction continue du nombre positif r, et cela malgré qu'elle dépende du nombre des zéros compris à l'intérieur du cercle |z| 2 r. On voit aussi, du reste, que la fonction est continuellement croissante avec r. Dans le cas où la fonction entiére n'a pas de zéros situés à l'intérieur du cercle, le second membre de (8) se réduit à son premier terme, qui est constant. Ce fait nous met en possession d'un critère précieux qui nous renseigne sur l'absence des racines à l'intérieur d'un cercle. Il est évident aussi que le théorème fondamental de l'Algébre est un corollaire immédiat de ce que nous venons de démontrer.
Pour montrer avec quelle facilité ce théoréme se préte aussi aux recherches de la théorie des fonctions transcendantes entiéres, soit f(z) une telle fonction, préalablement débarassée par division de toute racine zéro. Soit e*? la valeur maxima de |f(z)| sur la circonférence |z| = r; il est évident alors que g(r) est une limite supérieure pour 7|/(re^)|, et on trouve, par conséquent
“N
an
Sur un théorème de la théorie des fonctions. 363
K désignant une constante réelle et «,,4,,..., a, les valeurs absolues des zéros, rangées par ordre de andere non decroissante, les zeros étant comptes, comme il a été dit précédemment, avec leurs degrés de multipli- cité respectifs. Il est évident que, dans la formule (9), nous pouvons à fortiori remplacer n par un entier qui lui est inférieur; de la sorte » ne désignera plus le nombre exact des zéros à lintérieur ou sur la cir- conférence du cercle |z| — r, mais un entier quelconque plus petit que ce nombre. Si nous supposons, bien entendu, que f(z) ait une infinite de zéros, nous pourrons fixer » arbitrairement, et prendre une valeur r — xa, correspondante, x désignant une constante positive > I, mais d’ailleurs arbitraire. Par conséquent on a
CCR o K -pl— —— a ul
ur
> K+ nlz.
Done, si l'on suppose que e(r) « 7", « désignant une constante positive, on a sur le champ
Kk Ix ago aL L9
ce qui fait voir que la série 22a;"-— est convergente pour € positif. Nous avons ainsi trouvé une limite inférieure de a, regardé comme fonc- tion de n. On peut aussi procéder inversement et employer (9) pour la détermination d'une limite inférieure de ç(r), en supposant a, donné. Je vous renverrai pour plus de détails à mon mémoire Sur les fonctions entiéres ou je traite cette question d'une manicre tout à fait élémentaire à l'aide des premiers principes de la théorie des séries et sans employer le calcul intégral.
Reprenons maintenant la formule (5) et prenons comme auparavant la partie réelle du logarithme des deux membres, mais en multipliant cette fois avant l'intégration par yz6 nous trouvons alors en appliquant
a
les formules (4) et (6)
27 ( : I E (10) 5; J Mere Jenae = xl
364 J. L. W. V. Jensen.
Nous avons de la sorte calculé le coefficient de z* dans f,(z), ce qui permet de déterminer le facteur exponentiel dans les fonctions entiéres, (voir la méthode analogue dans mon mémoire précité).
Avant de terminer cette lettre, je prendrai la liberté de vous rappeler quelques recherches de la théorie analytique des nombres, dont je vous ai parlé il y a plusieurs années. Si je puis trouver le loisir nécessaire, j'espère pouvoir cette année terminer la rédaction de mon mémoire sur les fonctions numériques. Ces recherches ont beaucoup de rapport avec le théoréme que je viens d'exposer.
Vous savez, Monsieur, que le probléme relatif au nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée attend encore sa solution rigoureuse, et cela, parceque l'on n'a pu jusqu'ici démontrer que les zéros de la fonc- tion transcendante entière &(t) de RiEMANN sont tous réels. Or, à l'aide de recherches subséquentes sur les series de DIRICHLET, pour lesquelles en 1884 déjà j'ai démontré deux théorèmes fondamentaux, et en employant le critere donné plus haut, je suis parvenu à démontrer rigoureusement que &(t) m'a pas de zeros à l'intérieur du cercle |t — vi| — r. C'est, en d'autres termes, affirmer que toutes les racines de l'équation £(t) = o sont réelles. L'on a surmonté de la sorte le dernier et le plus difficile des obstacles qui s'opposaient à la solution du probléme, et il est maintenant aisé de démontrer (comme je le ferai voir dans le mémoire que je prépare) que le nombre des nombres premiers inférieurs à » est
ST 3(n) ae > jy mE. 2
lol 4s 54 WEE tend vers zéro, e désignant une quantité fixe n
positive aussi petite que l'on veut. D'autre part on démontre trés aisé-
ou, pour lim» = co,
ment que p, n'est pas d'un ordre plus petit que Vn, c'est à dire, pour parler d'une maniére plus précise, qu'on peut toujours trouver une suite infinie de nombres », pour lesquels
[en] > (Va)
* Voir Tidskrift for Mathematik, Copenhague 1884, p. 70 et 83 et Comptes Rendus, t. 106, p. 834.
SUR QUELQUES INTEGRALES AYANT RAPPORTS AVEC LES FONCTIONS ELLIPTIQUES
PAR
M. LERCH
à FRIBOURG (SUISSE).
Dans un mémoire publié par l'académie de Prague’ j'ai établi la
formule oo 17; 2m , æ—ldæ = emia sin (sez — wx sin ez) = 700", 0 I + ax
\ I en me bornant aux hypotheses o <oe<,, u>o.
En multipliant les deux membres par e”“"du et en intégrant de w= o à «4 — co, j'en ai déduit la suivante
o» w sin soz + & sin(s — I)az c do TO PRE RS ENGEL T LU ae ae = , w+ 2we cos 7 + x 2 I+w u I + a
de laquelle j’ai conclus que la fonction suivante
a — «de L(w,s,o)— - =
(w? + 2we eos oz + z) + x)
1 2me année, Mémoire N° 9: 1893.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 5 juin 1899.
366 M. Lerch.
jouit de cette propriété remarquable
TO
w Sin Sox. L(w,s— 1,0) + sin(— 1)ez.L(w,s,o) = Fa
Jai promis de mettre en évidence ses relations avec les fonctions ellip- tiques et j'y suis revenu en effet l'année dernière’ en introduisant la fonction
oo
a da
(A) JE Se cs = (m + 2we cos = + ale + 2°)
qui résulte de [, en changeant o en sa réciproque; celle-ci a par consé- quent la proprété
T
> (Gap Oe in?” = ; (B) w sin —— — L(w, s, 0) + sin 7 L(w,s + iude meg.
Or}
jai établi une seconde en observant que la quantité Q = L(w,s, o) + L(w,s + o, 0)
s'exprime par l'intégrale
8
as daz.
2 7 2 w + 2wrcos- + a oO
dont la valeur est
ST
zw‘! sin Te. sin — sin sz c
La seconde relation est done la suivante
si
zws—! sin
(C) L(w,5, 6) + L(w,s +o, e) =———.
/
sin — sin sz c
* Rozpravy (de Prague), 5° année, N° 23, 1896.
Sur quelques intégrales ayant rapports avec les fonctions elliptiques. 367
Ces deux relations laissent espérer que notre transcendante, jouissant des proprétés assez simples relatives au parallélogramme des périodes 1 et c, aura quelques relations avec des fonctions elliptiques. Pour le montrer, j'établirai d'abord son développement, en vérifiant les propriétés (B) et (C) sur la fonction définie par l'équation sulvante
STL (D) EE + sin- L(w, s, o) Es 202 SAG. g(I + w) a Pa [m usmi un api eÀsri I e © = 277 sin 2 2 we erent zer ate 6 pri ?
j B ef +w
Le caleul étant facile, je me borne à indiquer le domaine d'existence des expressions qu'on vient de considérer. Je supposerai que w soit réel et positif. On voit d'abord que l'intégrale (A) n'existe pas, si la quantité c est purement imaginaire; ensuite, puisque la relation (D) a été obtenue pour o réel et positif, il faut admettre que la partie réelle de a soit po-
—- 1 sitive. Puis, pour que la fonction (w? + 2wrcos- + x’) reste finie pendant o ‘
l'intégration, il faut que la partie réelle de - ne soit pas un entier im- 6
pair, ce qui nous améne à introduire la condition que la partie réelle de
soit entre zéro et l'unité. Quant à la quantité s, la convergence de
l'intégrale exige que sa partie réelle soit plus grande que — 1: et moindre que celle de la quantité «+ 1. Dans la bande indéfinie pa- ralléle à laxe des imaginaires qui est remplie de ces points s, la fonc- tion L(w,s,o) est analytique et reguliere.
Passons maintenant aux séries (D). La convergence de la premiére série exige, la partie imaginaire de o étant supposée positive, que la partie imaginaire de s soit également positive; au contraire, la convergence de la deuxiéme série exige que la partie imaginaire du quotient — - soit positive. On satisfait à toutes ces conditions en supposant que s se trouve à l'intérieur d'une figure qui étant placée dans le demi-plan positif est
368 M. Lerch.
limitée par le segment de laxe (—1...1), puis par la droite (1...c-+ 1) et par les deux lignes verticales aux points s — — 1 et s=o+1. Le domaine (s) que nous venons de fixer est assez étendu pourqu'on puisse y placer une infinité des parallelogrammes des périodes composés des côtés IMG.
, 3. the a 4 2 Cela étant, appelons @(s).sin— la difference des fonctions L dé- 6 finies, l'une par l'intégrale (A), l'autre par l'expression (D), et observons a . + _ ST B . , que la fonction sin— ne sannulant que dans un point du parallélo- o
gramme, la fonction ®(s) n'a d'autres singularités qu'un seule pôle du premier degré s =; elle satisfait ensuite aux équations déduites de (D) et (C)
D(s + 1) = —wd(s), D(s + e) = Ds)
qui font voir que la fonction est de la forme
inais cette fonction-ci ayant aussi le pôle s=s—ı où ®(s) reste finie, on a nécessairement a=o, et les deux fonctions L(w,s, 0), définies par les équations (A) et (D), sont égales. Ceci posé, prenons s — e dans l'équation (D); il vient
xe dx T
I + 7
w? + 2wx cos - + x? osin-.(I +0) 6 6 0 Ensuite, différentions dans l'équation (D) par rapport à s et posons s= 9; nous aurons le développement
oo
D a^ log æ dæ
T I hr
2 T 2 w+ 2we cos —- + 2 5 G
27 I ms Y wel gor i ns I ys I 7, m | 2a(t + w) Tp aei c pri sin - A [7]
Sur quelques intégrales ayant rapports avee les fonctions elliptiques. 369
Remplacons la parenthése dans le deuxieme meinbre par son déve- loppement
bpmzi
I T 3 eimering ,mc—1 I TA mgr wr} e gm ( T
2a(I + ww) À,m Gm
multiplions par dw et intégrons entre zéro et w; les séries qui en résultent
umri
I I wre sé I =, au? Ex xd loe AE = SAS, ermori Sl mL c 2G (m d ) F o >> m 15 o- p ) m i
,m
s'expriment par des logarithmes et on obtient l'équation
©
2 Cl " / =
G Z log a 7 w = Ge T T Zr HEU (cot^ — cosec - - — - Id
DTA | I+ a’ | SU G 2 æ G da c 2
zu 0
ao
| . 2mri I+we 7 |
o Ec i ey
— log SURG +w | | I — ap^ em Isi m=)
Elle fait voir que les transcendantes en o
f oo Il E + we”? ), Jut (1 — wer Di) qui ont laxe des quantités réelles pour coupure, ont un quotient qui s'y comporte réguliérement. Cette relation qui nous parait intéressante se simplifie en changeant w en - et en ajoutant; on aura au deuxieme membre l'expression
II a + we V(x ue EN w
n=1
log
oo
IIa — wel an De I — we? 2n-—I)mi)
nzl' qu'on peut écrire d'apres les définitions bien connues
ae ae w
1 2zi [7] os. —————— —— 9 D a log w al —— | 27
Acta mathematica. 22. Imprimé le 5 juin 1899, 47
370 M. Lercb.
ou en faisant usage de la formule de transformation,
Set 0X) a :| aX d iD)? v4 ei 7 og" ) i |
La formule dont il s'agit sera done
log
> 2 M G | 2°! log x
1 + a?
7T w 7) arcte (cot B — cosec = 2 a qu a c,
T I T arcte | cot - -—— cosec =} an =) ( c i we 6, 3:
mr Gt = VE eu 4,008 wy | i |
[2]
371
SUR LA NATURE ANALYTIQUE D'UNE FONCTION CONSIDEREE PAR P. DU BOIS-REYMOND
PAR
M. LERCH
à FRIBOURG (SUISSE).
[Extrait des »Monatshefte für Mathematik und Physik» 8ème année] Traduit par L. Laugel.
Dans le tome 21 des Mathematische Annalen Pavr pu Bors- REYMOND parle de séries infinies de la forme
= lI p, sin px
dont les coefficients remplissent des conditions infinitaires determinees, et il cite notamment le cas w,=e'”. Cette série possède des dérivées de tous les ordres et d'après pu Bors-REvwowp elle ne peut être prolongée dans le domaine de limaginaire.
Il en résulterait que la série infinie de puissances
o6
2 enu"
m=1 aurait sa région de convergence — le cercle de rayon unité décrit autour de l’origine comme centre — aussi pour région d'existence, Cela est en
tout cas bizarre et a été contesté par M. Prinasuem (Math. Annalen, t. 44); ce géométre s'est contenté de présenter quelques observations à ce sujet, sans résoudre la question méme, bien qu'il soit possible de le faire d'une maniére excessivement simple, comme nous voulons ici le faire voir.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 5 juin 1899.
372 M. Lerch.
Soit d'abord w une variable complexe dont la valeur absolue est plus petite que 1, et soit « une grandeur réelle positive; alors la série infinie
» e Van u”
m=1 est absolument convergente. Pour voir comment elle se comporte sur le contour du cercle de convergence |= I, et, d'une maniére générale, pour reconnaitre la nature analytique de cette transcendante, nous em- ploierons la formule intégrale
oc
a a P EI. dx er ae e — Ze AE ava 2
nous ne nous attarderons pas ici à la vérification de l'équation
0
oo oo a
= nr = da p um € c = cmt 5 S 0
" ls m=1 UVa 0
mais nous passerons à la considération du résultat
oo
(1) v Y ane e de , =
m=1 e — wav a 0
Nous obtenons ainsi pour la fonction analytique
TS to 7
d(u) = = Denis (|u| < 1),
d m=1
une représentation intégrale
= o SH = >
=
LA |
dont le prolongement nous est fourni directement. En effet cette intégrale existe pour toutes les valeurs w, qui, sur le plau de la variable complexe, sont représentées par des points en dehors
Sur la nature analytique dune fonction considérée par P. du Bois-Reymond, 373
de la coupure (1...co) pratiquée le long de laxe des grandeurs réelles, et dans cette région l'intégrale a évidemment le caractére d'une fonction entiere. Il s'ensuit que notre fonction (2) peut étre prolongée dans tout le plan des uw, à l'exception, faite provisoirement, de la coupure (1... 00). Son développement en série de puissances dans le domaine du point 4 =i s'obtient au moyen de la formule (3), et l'on a
ac
d(u) = X: A,(u — iy
y=0
CE da
à (er — ot! ze On a evidemment
o0 ^ =f ote d T GET VU TE —29N a(v4-1) x |4,| < | e = Vez , t
WE
0
et la série converge pour |u — i| & 1, comme c'était clair de prime abord. Nous nous proposons maintenant de démontrer que la fonction (w) se comporte aussi d'une manière régulière le long de la coupure (1... 69), exception faite du seul point w — r. En effet soit L une ligne issue de l'origine et s'étendant dans le voisinage de l'axe des grandeurs réelles sur le plan de la variable com- plexe x, jusqu'à l'infini. Alors la fonction
se comporte régulicrement dans la région qui a pour contour la courbe L et laxe des grandeurs réelles, et l'intégrale
e da
er — UT
374 M. Lerch.
qui correspond au chemin d'intégration L est égale a l'intégrale @(w). Mais celle-ci exige pour la fixation précise de sa région de convergence une coupure (définie par les points w =e’) tout a fait différente de la précédente et elle se comporte réguliérement en tous les points de la ligne (1...00), à l'exception seule de w= 1.
Il n'est pas difficile de reconnaitre le mode de discontinuité de d(u) au point #—1. Soit de nouveau ®(u) lintégrale (3) et soit v> 1 une
,
grandeur réelle et &', s" deux petites grandeurs positives; si l'on pose w —v--s', w'-—v-——s"i
il est facile de démontrer à l'aide d'une méthode de raisonnement in- ventée par M. Hermire et simplifiée par M. GovnsaT que
lim [6(u') — D(u")] = 2zi ——,. 0
&—0,c"— Il résulte de là comme conséquence que la fonction
(4 Du) + 6 Pr ED w(u) u (log u)”
reste uniforme dans le domaine du point w= 1, et ainsi est developpable suivant les puissances positives et négatives de (w— 1).
Le nombre des puissances négatives qui se présentent dans ce dé- veloppement est nécessairement infiniment grand. En effet si ¢ désigne une grandeur positive infiniment petite, évidemment V'(r — s) est alors infiniment grand, puisque @(1—e) reste fini et que le second terme dans (4) au premier membre devient infiniment grand, et d'autre part V(1--s) reste finie pour = infiniment petit. Pour démontrer ce dernier point il suffit de faire voir que l'intégrale
a
e meds
e? — VU a fa
1
Voir Acta mathematica, tome I, p. 189—192: Letire de M. Hermite et Acta mathematica, tome IO, Table: GOURSAT, où se trouve la liste des travaux de M. HrR- MITE sur les sujets de la Lettre de M. GOURSAT.
Sur la nature analytique d'une fonction considérée par P. du Bois-Reymond. 315
reste finie pour w-— r1 4-e; c'est ce que lon voit clairement en la ra- menant à la forme
Du) = — fo (1 —e&u)d* —.
Maintenant, comme les expressions (w+ s) ne sont ni toutes les deux finies, ni toutes les deux infiniment grandes, alors «= 1 est un point singulier essentiel de la fonction V^(w) et dans le développement en serie de puissances
oo
Wu) = Z A,(u— ry y=—o le nombre des puissances négatives qui se présentent effectivement est nécessairement infiniment grand, ainsi quil a été affirmé.
»La fonction @(w) définie par la série (2) se comporte reguliere- ment en tous les points de la circonférence du cercle |w| = 1, à l'exception du point «= 1. Ce dernier point est un point singulier et la maniere dont la fonction se comporte dans le domaine du point “= 1 peut se définir par la formule suivante
a
Du) = — gtx be 1) + z A, (u — 1)»
oc
La construction d'exemples de fonctions à lignes singuliéres ne peut avoir aprés les travaux de WEIERSTRASS qu'un but pédagogique. A ce point de vue, il y a dix ans, j'ai étudié un grand nombre d’expressions; mais par suite du nombre restreint de lecteurs des publications de la Société royale des Sciences de Prague mes recherches sont restées trés peu connues, et méme mon mémoire sur l'impossibilité de différentier certaines fonctions, qui a été publié dans le Journal de Crelle, tome 103, n'a pas attiré l'attention de M. MirraAa-Lrrrrzn.!
* Sur une transcendante remarquable trouvée par M. FREDHOLM, Acta mathe
matica, t. I5. La série traitée à la fin de mon mémoire fournit évidemment une fonction de la méme propriété que la série de M. FREDHOLM.
376 M. Lerch.
Notamment dans mon mémoire Sur les fonctions à région d'existence bornée* sont indiquées de nombreuses expressions de cette catégorie, ainsi que de nouvelles méthodes de démonstration et de nouvelles généralisa- tions. Par exemple, il y est démontré que la série à double entrée
0 Ni > (9 G )a” ur? ee IR ne peut être prolongée au delà de sa région de convergence |w| « 1, |v|-« 1, lorsque les constantes m,n ne sont pas des nombres entiers positifs, et lorsque la constante a a pour valeur absolue l'unité mais n'est pas une racine de l'unité.
De ce qui se trouve dans ce mémoire beaucoup a été nouvellement publié par M. PRINGSHEIM dans les Math. Annalen, tomes 42 et 44, par exemple la généralisation qu'il cite en note au bas de la page 166 du tome 42, et encore le principe de démonstration qu'il emploie p. 50 et p. 51 du tome 44. C'est aussi à moi que remonte cette remarque que l'on peut construire des expressions de la forme
a
Y — | == ^ v=0 * dy
qui, en valeur absolue, restent inférieures à une constante, lorsque x est limité à une région à l'intérieur de laquelle ne sont pas situés des points a,, et il en est de méme aussi pour le contour de la région quand tous les points de ce contour sont des points limites [ Häufungsstellen d'après la terminologie de M. G. Caxror] de l'ensemble (a). C'est ce que jai éclairci p. 7 de mon mémoire au moyen de l'exemple
ou a désigne une grandeur réelle irrationnelle. M. PRINGSHEIM au tome 42 des Math. Annalen cite beaucoup d'expressions de ce type.
* Mémoires de l Acad. royale des Se. de Bohème, VII. Suite. Tome II, 1888.
Sur ia nature analytique d une fonction considérée par P. du Bois-Reymond. 377
M. Prinesuemm voulait pousser la question plus loin, et il affirme que l'expression e DEN (2 |c,| est convergente) eq
ne peut étre prolongée au delà du domaine C lorsque tous les points
a, sont situés en déhors de C, mais cela de telle sorte cependant que
v leurs points limites forment le contour de C, sous la supposition que les a, ne récouvrent aucune portion de surface d'une maniére partout dense.
En 1887, je n'ai pas voulu aller aussi loin que M. PriNGSHEIM et je n'ai pas tenté de résoudre la question, car la démonstration me sembla alors et me semble encore aujourd'hui difficile, de sorte que je ne puis iei rien fournir en réponse à la question. Lorsque M. PRINGSHEM croit en avoir trouvé la solution au moyen de son théoreme (p. 168 du t. 42 des Math. Annalen) il se trompe, car la démonstration de ce théoréme
est fausse et lexactitude de ce théorème reste done indécise.
Acla mathematica. 22. Imprimé le 6 jnin 1899. 48
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319
SUR UNE PROPRIÉTÉ DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES INTÉGRABLES À L'AIDE DES FONCTIONS MÉROMORPHES DOUBLEMENT PÉRIODIQUES
PAR
MICHEL PETROVITCH
à BELGRADE.
Etant donné un type général d'équations différentielles (1) F(y,y,y",...,y9)—0
d'un ordre queleonque, ne contenant pas x explicitement, on peut se proposer à préciser les équations appartenant à un tel type, qui peuvent étre satisfaites par des fonctions méromorphes doublement périodiques. Jindiquerai ici une propriété de telles équations qui permet, sans entrer dans des études plus approfondies, de simplifier le probléme en question et qui se traduit par une régle trés simple et pratique.
Supposons l'équation écrite sous la forme
i=s
(2) 2 p: Uie n'ya cd: JO — © i=1 où les m sont des entiers positifs, tels qu'on n'ait pas à la fois pour deux indices 7 et j différents Moi = My, My = My yp 22. y My = My,
et les P. sont des constantes.
v
Formons les 2s nombres entiers et positifs suivants M,=m; + omg... nm, N; = Ms + 2m, +... + pn.
Acta mathematica. 22. Imprimé le 6 juin 1899.
(3)
380 Michel Petrovitch.
Tracons dans le plan deux axes, celui des M et des N, et marquons les s points (M,, N;) en ayant soin d’inscrire à côté de chacun d'eux son indice. Si deux on plusieurs points coincident, on mettra à cóté d'un tel point multiple les indices de tous les points qui y sont confondus.
Construisons la ligne polygonale // concave vers OM, contenant à son intérieur ou sur sa périphérie tous les points (M;, Nj) et fermée par
des droites perpendiculaires à l'axe ON, dans le cas ou il n'y a pas de sommets sur cet axe. Posons pour abréger
foi = Mai + Mg; +... + my, ’ Yu Mo; + m3; +... M my, (4
In Ui Tec et ensuite
( ) À; — (A 1y"(4— 28 NS (i) s Lye
Cn
ou À est un nombre arbitraire.
Il peut arriver que la ligne polygonale // présente un ou plusieurs sommets dans lesquels deux ou plusieurs points (M,, N,) coincident; nous les appellerons alors les sommets multiples. Envisageons un tel sommet multiple et soient a,,a,,-.., a, les indices des termes de F' qui y sont confondus. Formons l'équation
(6) APP Ae PEER A JE == Os
an
elle sera une équation en À de la forme
A" 4a 277 + ak + + au À + au =0
que nous appellerons équation en À relative au sommet multiple (a,, a, ..., o). A chaque sommet multiple correspond une équation en À définie par (6).
Ceci étant, il peut arriver que l'équation différentielle (1) admet des intégrales méromorphes doublement périodiques. Dans ce cas elle jouit des propriétés suivantes:
I. La ligne polygonale Il a au moins un côté à coefficient angulaire égal à un nombre entier négatif, ou bien elle a au moins un sommet multiple
Sur une propriété de certaines équations différentielles. 381
tel, que son équation en À admet comme racines un ou plusieurs nombres entiers négatifs, compris entre les valeurs des coefficients angulaires de deux côtés aboutissant à ce sommet.
Car une fonction méromorphe doublement périodique ne saurait rester holomorphe dans tout le plan, et au voisinage d'un pôle # = a peut s'écrire
(7) y — (x — a) f(x),
ou # est un entier négatif et f(x) une fonction holomorphe au voisinage de æ—a et ne s’annulant pas pour cette valeur de x. D'autre part jai démontré antérieurement (Thèse de doctorat) le résultat suivant: si y a une valeur déterminée, pour que y, définie par (7), puisse satisfaire à une équation différentielle (1), il faut ou bien que y soit égal à un des coefficients angulaires des cótés de la ligne polygonale //, correspondant au polygone F, ou bien que y satisfasse à une des équations en À rela- tives aux sommets multiples de // et soit compris entre les valeurs des coefficients angulaires de deux cótés aboutissant à ce sommet. La proposition I s'en déduit immédiatement.
IL Quelle que soit la fraction rationnelle R(y) en y, la transformée (8) Diaz Earl) 0 de F=o en z=R(y) jouit des propriétés énoncées dans la proposition I.
Car, y étant une fonction méromorphe doublement périodique, z lest aussi.
Remarquons en méme temps, que si les conditions I ne sont pas remplies pour une transformée (8) correspondant à une fraction ration- nelle (y) ayant plus de deux pôles distincts, l'équation F — o n'admet aucune intégrale méromorphe. Car l'équation 9 — o ne satisfaisant pas aux conditions I, son intégrale z, qui sera aussi méromorphe si y l'est, ne saurait devenir infinie pour aucune valeur finie de x. Par suite si a,b,c sont trois pôles distincts de R(y) en y, les trois équations
Yy— a = O, y—b= 0, y—c=0
382 Michel Petrovitch.
n'ont pas de racines finies Par suite, en vertu du théoréme connu de M. Prcanp, l'intégrale y, supposée méromorphe, se réduirait à une constante.
III. St l'on forme une combinaison rationnelle RG,y,y",..., ym
de y et des ses dérivées successives, telle que la transformée (9) en, 32) © de F=o en (10) 2=RYy,y',y',---,y) ne satisfasse pas aux conditions de la proposition 1, l'équation (11) LAYS Yin Yas TU) —— Conse
Joue le role d'intégrale premiére pour les intégrales méromorphes doublement périodiques de F = o en ce sens que toute intégrale de telle nature satisfait en méme temps à l'équation R = const.
Il suffit, pour démontrer la proposition, de remarquer que y étant méromorphe doublement périodique, z le sera aussi et que toute fonction de telle nature n'ayant pas de póles, se réduit à une constante.
La considération des lignes polygonales // et des équations en À correspondantes donne donc un moyen de former d'intégrales premiéres re- latives aux intégrales méromorphes doublement périodiques de l'équation différentielle donnée. Une fois ces intégrales premiéres connues, la re- cherche des intégrales en question se raméne à celle des solutions com- munes à deux équations différentielles données, ce qu'on fera par diffé- rentiations et élimination des dérivées successives de y. Si p. ex. pq, on différentiera l'équation R= const. p—q fois par rapport à x et en éliminant 9? entre
(1) F0)
d»—s R (2) da?—8 =
Sur une propriété de certaines équations différentielles. 383
on aura une équation (3) d'un ordre inférieur à p, admettant toutes les solutions communes à (1) et (2). En opérant sur (2) et (3) comme sur (1) et (2, on remplacera lune de ces équations par une autre d'un ordre moindre et ainsi de suite. On obtiendra ainsi une suite
(A) (De Gy, Gls. as) (2), m — xy, (m)...
d'équations différentielles. Si l'équation / =o admet effectivement d'inté- grales méromorphes doublement périodiques ne se réduisant pas à des constantes, on pourra toujours choisir la constante figurant dans linté- grale premiere R= const. de sorte que les équations de la suite (A) à partir d'un certain rang m se réduisent à des identités. "Toute intégrale commune à F=o et À — const. est alors intégrale de l'équation (m — 1). Pour que /’=o admette d'intégrales méromorphes doublement périodiques, il faut et il suffit que l'équation (m — 1) en admette et que parmi ces intégrales il y en ait qui satisfassent à F=o. La recherche des inté- grales de telle nature se trouve ainsi ramenée à celle relative à une équation d'un ordre moindre.
Si en particulier l'équation (m — 1) ne contient que y et y’, cette recherche s'achéve facilement par les méthodes de Brior et Bouquer.
Ces propositions permettent dans un grand nombre de cas de simplifier la recherche des conditions pour qu'un type donné d'équations différen- tielles admette d’intégrales méromorphes doublement périodiques.
P. ex. en remarquant que la ligne polygonale de l'équation
P(y") = Q(y)
ou P et @ sont des polynomes de degrés respectifs m et n, ne peut présenter qu'un seul côté à coefficient angulaire négatif et que ce coeffi- cient est égal a
on voit que l'équation ne saurait admettre d’integrales méromorphes doublement périodiques que si n est de la forme
2m
n = M + rad
384 Michel Petrovitch.
ou % est un diviseur de 2m. Elle en admettra effectivement p. ex. si m= 1, n-— 2 ou 3, les coefficients des polynomes P et Q étant quelconques; ou encore si m — 2, n=4 ou 6, les coefficients étant convenablement choisis etc.
Plus généralement, pour que l'équation
PY) = Q(y) puisse admettre d'intégrales en question, il faut que n soit de la forme
mp n -—m-4 ue , lc ou k est un diviseur de mp. En remarquant aussi que la ligne polygonale de l'équation
Ply) = Q(y)y' est a un seul coefficient angulaire et que celui-ci est égal a
mp — I , n+ I—m
on voit que l’existence des integrales meromorphes doublement periodiques i ; : exige quon ait
mp — I n=m—ı+ —,
k étant un diviseur de mp—1. Elle sera effectivement intégrable par de telles fonctions p. ex. si, les coefficients de P et Q étant quelconques, on à p — 3, m — I, * — I OU 2 etc.
S'il s'agit des équations de Brior et Bouqurr
F(y,y)-—9,
pour qu'une telle équation puisse étre intégrable par des fonctions méro- morphes doublement périodiques, il faut que sa ligne polygonale admette au moins un cóté à coefficient angulaire entier négatif et au moins un à coefficient angulaire entier positif et qu'il n'y ait pas de cótés à coeffi- cient angulaire fractionnaire. Cette proposition simplifie souvent con- sidérablement la question de préciser les équations, appartenant à un type général donné d'équations pouvant admettre d'intégrales de la nature
Sur une proprieté de certaines équations différentielles. 385
considérée. Elle resulte immédiatement d'une part de ce fait qu'une fonction méromorphe doublement périodique ne saurait rester holomorphe dans tout le plan et doit s'annuler pour un nombre illimité de valeurs de a, et d'autre part de la proposition suivante, que jai démontré dans un travail antérieur: pour que y défini par
y = (y — a) f(x),
ou f est une fonction holomorphe au voisinage de x = « et ne s'annulant pas pour cette valeur de z, satisfasse à une équation
F(y,y)=0,
il faut et il suffit que y soit égal à un coefficient angulaire des côtés de la ligne polygonale correspondant à l'équation différentielle considérée.
Remarquons aussi que, d'aprés cette méme proposition, pour qu'une équation de Brior et Bouquer irréductible puisse être intégrable par des fonctions méromorphes en général, il faut que la ligne polygonale de l'équation n'ait aucun cóté à coefficient angulaire fractionnaire et qu'elle ait au moins un cóté à coefficient angulaire différent de zéro. Car, s'il n'en était pas ainsi, l'équation ne pouvant étre intégrable par d'autres fonctions méromorphes que par les fonctions rationnelles ou simplement périodiques et ne pouvant sannuler ni étre infinie pour aucune valeur finie de x, se réduirait à une constante ou bien à une ou plusieurs fonc-
tions de la forme Her,
.
et dans ce dernier cas le premier membre de l'équation serait décomposable en facteurs de la forme
y + ay, où a est une constante.
D'ailleurs si ces conditions nécessaires pour l'existence des intégrales méromorphes sont remplies pour l'équation donnée, mais que la ligne poly- gonale n'admet aucun cóté à coefficient angulaire négatif ou aucun cóté à coefficient angulaire positif, ou s'assure aisément si l'équation admet ou non d'intégrales méromorphes. Car dans ce cas l'intégrale ne pouvant étre que rationnelle ou simplement périodique, elle ne saurait, dans le premier cas avoir des póles et dans le second cas des zéros. Par suite,
Acta mathematica. 22. Imprimé le 6 juin 1899, 49
386 Michel Petrovitch. dans le premier cas elle se réduirait à un polvnome en x ou en e” et : ; k : PRAE dans le second cas c'est la transformée de l'équation donnée en - qui y
doit se réduire à un tel polynome et l'on achève facilement la question en déterminant, par la méthode des coefficients indéterminées, le degré et les coefficients d'un tel polynome.
4 mars 1898.
INHALTSVERZEICHNISS. — TABLE DES MATIÈRES.
BAND 22. — 1898—1899. — TOME 22.
FABRY, E. Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de pons unsulcmp. ae ake ie N ds desees
HADAMARD, JACQUES. Théorème sur les séries entieres...... HURWITZ, A. Sur lintégrale finie d'une fonction entiére ......
JENSEN, J. L. W. V. Sur un nouvel et important théoréme dexlasbücoriesdes ton Colonies seer eee NN RR EE IER
KONIG, JULIUS. Das Reciprocitütsgesetz in der Theorie der quadratischent Restore nee musee nee dMeessestisste seg esses aen dte
LERCH, M. Sur quelques intégrales ayant rapports avec les FONG HORS LTD GUC Sy. e. eee sen torse Sense Eo cokann'seandecesiese
LERCH, M. Sur la nature analytique d'une fonction considérée paco CUTIE ES OLS EGG eT ON Ol etre t TE ne cO eie desear ees ket eontra
MELLIN, HJ. Uber die Integration partieller linearer Differen- tialgleichungen durch vielfache Integrale ......................... esses ses
MELLIN, HJ. Über die Integration simultaner linearer Diffe- rentialgleichungen durch bestimmte Integrale...........................
PETROVITCH, MICHEL. Sur une propriété des équations différentielles intégrables à l'aide des fonetions méromorphes double-
menupertodiquossc es sde ec esse tons niet arme ane ie
Seite. Pages.
59— 64
179—180
359— 364
181—192
365—370
371—378
19— 40
41— 54
379—386
388 Inhaltsverzeiehniss. — Table des matiéres.
Seite. Pages.
POINCARE, H. L'oeuvre mathématique de Weierstrass ......... 1— 18 POINCARE, H. Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions) PAibélicnmes ER eee RET NE
VOLTERRA, VITO. Sur la théorie des variations des latitudes 201—358
WEINGARTEN, J. Note zur Theorie der Deformation der IBlachen eem the SIL Eee ME 193—199
WERTHEIM, G. Berichtigungen zur Tabelle der kleinsten pri- mitiven Wurzeln der Primzahlen unter 5000 ................ eterne 200
Ce cahier était déja livré a la distribution quand nous est arrivée la nouvelle douloureuse de la mort de Sophus Lie, arraché a la science le 18 février 1899.
Sophus Lie appartenait a la rédaction de ce journal depuis sa fon- dation à la fin de l'année 1882. C'était méme lui qui avait le premier compris que l'époque était venue d'éditer un grand journal mathéma- tique scandinave. C'est lui qui dans une entrevue que nous eümes à Stockholm au printemps de 1882 me proposa de tenter cette entreprise et de la diriger moi-méme comme rédacteur en chef du nouveau journal. Il me promettait d'apporter à cette entreprise le concours de son influence et de sa collaboration; à cette promesse je n'ai jamais fait appel, par la suite, sans étre entendu.
Une plume plus compétente que la mienne retracera bientót dans ce journal l'oeuvre mathématique de Sophus Lie.
La force intérieure qui a surtout dirigé ses travaux était un amour enthousiaste, jeune et vigoureux de la théorie si vaste qui portera toujours la marque de son génie, Il a voulu faire de la théorie des groupes de substitutions une théorie embrassant les mathématiques entières, et trouver, dans cette théorie, l'explication des phénomenes les plus cachés de l'ana- lyse et de la géométrie. C'était un fils d'une de ces races jeunes, qui ont une foi ardente dans leur destinée et qui puisent dans cette foi la force d'accomplir en une vie d'homme l'oeuvre d'un siécle. Z
Il a eu le bonheur de trouver des collaborateurs dévoués et géné- reux, et de pouvoir, grâce à eux, dire toute sa pensée dans ces oeuvres trés développées qui ne laissent plus de difficultés à ceux qui veulent s'assimiler ses théories.
Pour trouver les concours indispensables à la publication de son oeuvre et pour répandre plus largement ses doctrines, il n'a pas hésité,
Acta mathematica 22. Imprimé le 21 juin 1899.
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lui qui aimait tant son pays, —- ce pays qui a vu naitre Abel, — il n'a pas hésité a sexpatrier pendant des années. Sa tâche accomplie, il est revenu à sa terre natale: il n'y devait pas vivre six mois.
Sophus Lie était né le 17 décembre 1842. Son pére, comme celui d'Abel, était pasteur Luthérien. Dans les pays Scandinaves, le pasteur a presque toujours une place marquée dans la généalogie des homines de la pensée. L'année 1859, Lie entrait comme étudiant à l'université de Chri- stiania. Dans le cours des années 1869 et 1870, il étudiait les mathé- matiques en Allemagne, en France et en Italie. C’est pendant ce voyage quil noua avee F. Klein et G. Darboux des relations qui ont eu, par la suite, une si grande influence sur sa carrière scientifique. Le 1° juillet 1872, sur l'initiative de O. J. Broch et d'autres, on créa pour lui une chaire personnelle de mathématiques à l'université de Christiania. On était loin de l'époque ou Gauss et Humboldt employaient leur influence à faire créer pour Abel une chaire à l’université de Berlin, sans que celui-ci eût aucun moyen de réaliser son désir ardent de se dévouer à son propre pays.
En 1886, Lie obtint un congé prolongé de l'université de Christiania pour occuper une chaire de mathématiques à l'université de Leipzig. Il n'a abandonné cette chaire en 1898 que pour rentrer à Christiania ou la mort la terrassé en pleine force et en pleine activité.
STOCKHOLM
"RF. & Ge BRIJER.
PARIS A. HERMANN,
8 RUE DK LA SORBONNK,
1898.
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Differential- und Totezralrechoung als etwas Selbstverstándliches eingeführt; die Fort- -sehritte der mathematischen Forschung haben aber je länger je mehr gezeigt, dass ‚dabei eine ‚sehr grysse Zahl stillschweigender Voraussetzungen zu Grunde lag, zu - denen man bei der immer vorliandenen Ungenauigkeit unserer sinnlichen Währnehm- ungen keineswegs gezwungen ist. Auch tritt mit dem genannten Ansatze die An- ‚nahme der molecularen Constitution der Materie yon Vorvherein in Widerspruch. Die Fakultät wünscht eine von aktuellem. wissensehaftliehen Interesse getragene “Schrift, - ‘welche die hier in Betracht kommenden Fragen in allgemein verständlicher "Weise darlegt und die Zulässigkeit bezw. Zweckmässigkeit der üblichen Darstellung einer eingehenden Prüfung unterwirft. Die Sehrift kann mehr nach mathematischer ‘oder philosophischer und. psychologischer Seite ausholen; historische Studien sind erwünscht, werden ‚aber nieht verlangt.»
Bewerbungsschriften sind in einer der modernen Sprachen abzufassen und bis zum 31. August. 1900, auf dem Titelblatt mit einem Motto versehen, an uns einzusenden, zusam- men mit “einem versiegelten - -Briefe, der auf der ARE das Motto der Abhandlung; innen. Nauien, Stand und. Wohnort des Verfassers anzeigt. In auderer Weise darf der Name des: Verfassers nicht angegeben werden, Auf dem Titelblatte muss ferner die Adresse verzeichnet sein, an welehe die Arbeit zurückzusenden ist, falls sie nicht preiswiirdig be- funden wird. Der erste Preis betrügt-2400 M. der zweite 680 M.
Die Zuerkennung der Preise erfolgt am 11: Mirz 1901 in öffentlieher Sitzung der ‚philosophischen Fakultät zu Göttingen. Die gekröuten Arbeiten ‘bleiben unbeschränktes Eigenthum ihres Verfassers.
Hr Die Preisaufgaben, für ER die Bewerbungsschriften bis zum 31. August 1898 nt 31. August 1899 einzusenden sind, finden sich in den Nachrichten von der Kénig- lichen Gesellschaft der Wissenschaften, Geschüftl. Mittheilungen 1896 S. 69. 1897 Heft I: = 26. n
C^ ggttingen, den.11. März 1898,
Die philosophische Fakultät.
Der Dekan G. Cohn..
ine Funktionen angesehen worden. Diese Grundlage wurde von den Erfindern der —
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LEITSCHRIFT JOURNAL
HERAUSGEGEBEN RÉDIGÉ
G. MITTAG-LEFFLER
STOCKHOLM F. & G. BEIJER. BERLIN 1899. PARIS MAYER & MÜLLER CREA A. HERMANN, CENTRAL-TRYCKERIET, STOCKHOLM, f$ RUE DE LA SORBONNE.
PRINZ LOUIS FERDINANDSTRASSE 2.
Le Comité d'organisation
,
du Condos international des mathématiciens a Paris, du 6 au 12 aoüt 1900
a émis en décembre 1898 une circulaire dont le texte est conçu comme il suit:
»La Société mathématique de France a recu à Zurich, en 1897, la mission.de préparer le prochain
Congrès international des mathématiciens, qui doit avoir lieu à Paris en 1900. Elle a constitué à cet
effet un Comité d'organisation qui s'est lui-même divisé en deux Commissions: Commission administrative (président, M. G. Darboux) et Commission des travaux (président, M. H. Poincaré) A l'heure actuelle,
—le programme détaillé du prochain Congrès international ne saurait étre arrêté définitivement, mais il
a été pris cependant un certain nombre de résolutions fermes que nous avons le devoir de porter à votre- connaissance.
Tout d'abord, la date est fixée du lundi 6 août au dimanche 12 août 1900; le Congrès durera par conséquent sept jours.
Nous serons rattachés à l'ensemble des Congrés rentrant dans l'organisation de l'Exposition uni- verselle, ce qui, du reste, ne nous empéchera nullement de tenir la plupart de nos séances, et surtout les séances de sections, ailleurs que dans les locaux de l'Exposition. D'après des indications que nous avons déjà, tout nous fait espérer. que la Sorbonne pourra, dans ce but, nous ouvrir trés gracieuse- ment ses portes.
Le programme du Congrès comprendra: au moins deux séances générales; des séances de sections, qui auront lieu surtout le matin; des visites scientifiques; un banquet, qui réunira tous les membres du Congrès. Des excursions, facultatives, pourront être organisées et sont dés maintenant à l'étude.
Le prix de la carte du Congrés sera de trente francs.
Elle donnera droit:
1° A la participation à tous les travaux, à toutes les assemblées, à toutes les visites qui seront organisées;
2° Au banquet;
3° A la réception du compte rendu des travaux du Congrès, aussitôt après la publication.
Lorsqu'un membre du Congrès y viendra accompagné d'une ou plusieurs personnes de sa famille, celles-ci pourront recevoir, sur demande, des cartes spéciales à un prix réduit qui sera ultérieurement fixé.
Il est absolument impossible au Comité d'organisation de s’occuper de l'installation des membres du Congrès. dans les hôtels, ni des conditions de la vie matérielle pendant le séjour à Paris. Mais, re- connaissant toute l'importance de cette question, il s'est préoccupé de donner indirectement satisfaction à ceux des membres du Congrès qui n'habitent pas Paris en temps ordinaire. A cet effet nous espérons, dans une prochaine circulaire, pouvoir vous fournir les moyens d'obtenir tous les renseignements que vous jugeriez nécessaires de vous procurer à ce sujet.
Nous vous ferons également connaitre en temps utile quelles seront les conditions spéciales de faveur accordées pour les voyages par les Compagmies de transports, à l'occasion de l'Exposition universelle,
Prés de deux années nous séparent encore de l'ouverture du Congrés, et il ne saurait étre question de vous demander aujourd'hui une résolution ferme. Mais il est du plus haut intérét, pour la suite de nos travaux, d'avoir au. moins quelque indication sur le nombre probable des membres du Congrès de 1900. En conséquence, nous insistons d'une façon toute particulière pour que vous ayez lobligeance de nous faire savoir vos intentions probables par une simple carte postale (que vous trouverez ci-incluse), dans les termes suivants:
Il est probable que j'assisterai au Congrès de Paris
(avec personnes de ma famille), ou : Il n'est pas probable que j’assiste au Congrès de Paris.
Ceci ne vous engagera en rien, à aucun point de vue, dans un sens ou dans l'autre, Ce n'est que plus tard que nous aurons à vous demander vos intentions définitives. Mais l'ensemble de ces premiéres indications nous sera extrémement précieux.
Il importerait que votre réponse nous parvint le plus tót possible, et dans tous les cas qu'elle nous fût adressée par vous, dans les huit jours qui suivront la réception de la présente circulaire.
Priere d'adresser toutes les communications à M. le Président de la Société mathé- matique de France, rue des Grands-Augustins, 7, Paris. C'est lui qui est en méme temps président du Comité d'organisation.»
Herausgegeben den 8. Juni 1899. — Paru le 8 juin 1899.
Inhaltsverzeichniss. Table des matières.
Seite, Pages,
VOLTERRA, Vrro, Sur la théorie des variations des latitudes ................ 297—358 Jensen, J. L. W. V., Sur un nouvel et important théorème de la tHéornie:*des fonctions 2... ur IS mI LT DE Lercu, M., Sur quelques intégrales ayant rapports avec les fonctions elliptiqués. msn ER cei e PORT DE RU CE US Rot di: 365—370 Lercu, M., Sur la nature analytique d'une fonction considérée par Pdu.Bors-Beymond.i- DA SE MSS eee on arate ete 371—378
PrrRovrrcH, MicHEL, Sur une propriété des équations différentielles intégrables à laide des fonctions méromorphes doublement pénodiques ar... ee Menge de e e TE B AUR RES 379—386
Im Verlage von Mayer & Müller in Berlin erschien:
Der Briefwechsel
von
Gottfried Wilhelm Leibniz
mit Mathematikern.
Herausgegeben von
C. J. Gerhardt.
Mit Unterstützung der Kônigl. Preuss. Akademie der Wissenschaften. -
Erster Band. Mit einem photographisehen Faesimile.
1899.
Preis auf bestem Druckpapier M. 28.—, auf Sehreibpapier M. 36.—.
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V, 22 Physical & Applied Sel, Semalke
Acta mathematica
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